А.М.ЛЯПУДГОВ j

КЛАССИКИ
ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
М AT E M AT И К А
МЕХАНИ КА
ФИЗИКА
АСТРОНОМИЯ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ЗЧ.осква.19 5 о -сЛеникград

А.М.ЛЯПУНОВ
общая задача
об устойчивости
движения:
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТПХ11ИК.О-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москв a-i 9 50 -Ленинград

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
В этой книге помещены знаменитая докторская
диссертация гениального русского ученого Александра
Михайловича Ляпунова «Общая задача об устойчи-
устойчивости движения», впервые опубликованная в издании
Харьковского математического общества в 1892 г.,
л три статьи А. М.Ляпунова, в известной мере допол-
дополняющие диссертацию. Диссертация и статьи написаны
Ляпуновым больше, чем пятьдесят лет тому назад.
Однако только в последние двадцать лет выявилась та
огромная роль, которую имеют исследования Ляпунова
для современной техники.
Текст диссертации А. М. Ляпунова воспроизводится
без изменений; внесены лишь те исправления, которые
были указаны самим А. М. Ляпуновым в статье «К во-
вопросу об устойчивости движения». Кроме того, названия
параграфов, данные А. М. Ляпуновым только в огла-
оглавлении, вставлены также в текст книги. Аналогичным
образом без изменения воспроизводится и текст статей.
В конце книги помещены небольшие примечания
к тексту А. М. Ляпунова, сделанные членом-корреспон-
членом-корреспондентом Академии наук СССР Н. Г. Четаевым. Ссылки
на эти примечания даны в тексте в квадратных скобках.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
ДВИЖЕНИЯ

ПРЕДИСЛОВИЕ
В этом сочинении излагаются некоторые способы
для решения вопросов о тех свойствах движения
и в частности равновесия, которые известны под назва-
названием устойчивости и неустойчивости.
Обыкновенные вопросы такого рода, которым
и посвящено это сочинение, приводят к исследованию
дифференциальных уравнений вида
dxx _ у dx2 у dxa ^_ у
вторые части которых, зависящие от времени t и неиз-
неизвестных его функций хj, #2,..., хп1 при величинах xs,
численно достаточно малых, разлагаются в ряды по
целым положительным степеням последних и уничто-
уничтожаются, когда все эти величины делаются нулями.
Задача состоит при этом в том, чтобы узнать,
можно ли начальные значения функций zs, не делая их
нулями, выбирать настолько численно малыми, чтобы
во все время, следующее за начальным моментом, функ-
функции эти оставались численно меньшими некоторых
заранее данных, отличных от нуля, но сколь угодно
малых пределов.
Когда наши дифференциальные уравнения мы умеем
интегрировать, задача эта конечно не представляет
затруднений. Но важно иметь способы, которые позво-
позволяли бы решать ее независимо от выполнимости этого
интегрирования.

Ю А. М. ЛЯПУНОВ
Известно, что существуют случаи, когда рассма-
рассматриваемая задача допускает приведение к некото-
некоторой задаче о максимумах и минимумах1). Но об-
область вопросов, которые таким путем могут быть
разрешаемы, весьма ограничена, и в большинстве
случаев необходимо прибегать к каким-либо иным
методам.
Прием, которым пользуются обыкновенно, приво-
приводится к тому, что в исследуемых дифференциальных
уравнениях отбрасывают все члены выше первого изме-
измерения относительно величин xs и вместо первоначаль-
первоначальных рассматривают получаехмые таким путем линей-
линейные уравнения.
Так трактуется вопрос в сочинении Томсона и Тэта
«Treatise on Natural Philosophy» (т. I, ч. I, 1879),
в сочинениях Рауса «A treatise on the Stability of
a given State of motion» A877) и «A treatise on the
Dynamics of a System of rigid bodies» (ч. II, 4 изд., 1884)
и наконец—в сочинении Жуковского «О прочности дви-
движения» («Ученые записки Московского университета»;
отдел физико-математический, вып. 4, 1882) [*].
Конечно, указанный сейчас прием вносит весьма суще-
существенное упрощение, в особенности в тех случаях, когда
коэффициенты в дифференциальных уравнениях суть
постоянные величины. Но законность такого упроще-
упрощения a priori ничем не оправдывается, ибо дело приво-
приводится к замене рассматриваемой задачи другою, с кото-
которою она может не находиться ни в какой зависимости.
Во всяком случае очевидно, что если решение новой
задачи и может давать ответ на первоначальную, то
х) Мы разумеем здесь те случаи, к которым приложима
известная теорема Лагранжа о максимумах и минимумах сило-
силовой функции, касающаяся вопросов об устойчивости равно-
равновесия, или более общая теорема Рауса о максимумах и мини-
минимумах известных интегралов дифференциальных уравнений
движения, позволяющая решать некоторые вопросы об устой-
устойчивости движения (см. R о u t h, The advanced part of a trea-
treatise on the Dynamics of a System of rigid bodies, 4 изд., стр.
52, 53).

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ ,Ц
только при известных условиях, а последние обыкно-
обыкновенно не указываются.
Должно, впрочем, заметить, что, сознавая нестро-
нестрогость приема, некоторые авторы (как, например, Раус)
не ограничиваются одним первым приближением, к кото-
которому приводит интегрирование названных выше линей-
линейных уравнений, а рассматривают также второе и неко-
некоторые из следующих, получаемых обычными в подоб-
подобных случаях методами. Но этим дело мало подвигается
вперед, ибо вообще таким путем достигается только
более точное представление функций xs в пределах
известного промежутка времени, что, конечно, не дает
новых оснований для каких-либо заключений об устой-
устойчивости.
Единственная, сколько мне известно, попытка стро-
строгого решения вопроса принадлежит А. Пуанкаре,
который в своем во многих отношениях замечатель-
замечательном мемуаре «Sur les courbes definies par les equations
differentielles» (Journal de mathematiques; 3 серия,
томы 7 и 8; 4 серия, томы 1 и 2) [*], и именно в двух
последних его частях, рассматривает вопросы об устой-
устойчивости для случая систем дифференциальных уравне-
уравнений второго порядка, а также останавливается на неко-
некоторых близких к ним вопросах, касающихся систем
третьего порядка.
Хотя Пуанкаре и ограничивается очень частными
случаями, но методы, которыми он пользуется, допу-
допускают значительно более общие приложения и способны
привести еще ко многим новым результатам. Идеями,
заключающимися в названном мемуаре, я руковод-
руководствовался при большей части моих изысканий.
Задача, которую я себе поставил, предпринимая
настоящее исследование, может быть формулирована
так: указать те случаи, в которых первое приближение
действительно решает вопрос об устойчивости, и дать
какие-либо способы, которые позволяли бы решать его
по крайней мере в некоторых из тех случаев, когда
по первому приближению нельзя судить об устойчи-
устойчивости.

12 A. M. ЛЯПУНОВ
Конечно, чтобы придти к каким-либо результатам,
необходимо было сделать относительно рассматривае-
рассматриваемых дифференциальных уравнений известные предпо-
предположения.
Простейшее из них и вместе с тем соответствующее
наиболее важным и интересным приложениям со-
состояло бы в том, что коэффициенты в разложениях
вторых частей этих уравнений суть постоянные ве-
величины. Весьма многим интересным вопросам соот-
соответствовало бы также более общее предположение,
что коэффициенты эти суть периодические функции
времени.
В этих двух предположениях вопрос и трактуется
мною преимущественно.
Впрочем, я касаюсь отчасти и более общего случая,
когда названные коэффициенты суть какие-либо функ-
функции времени, числовые значения которых никогда
не превосходят известныд пределов.
В этом общем предположении трактуется вопрос
в первой главе моего сочинения, где доказывается одно
предложение, касающееся интегрирования рассма-
рассматриваемых дифференциальных уравнений при помощи
рядов известного типа1), и указываются некоторые выте-
вытекающие из него заключения об устойчивости. В том же
предположении доказываются здесь и некоторые дру-
другие предложения, лежащие в основании дальнейших
выводов.
Первая глава представляет только вступительную
часть моего сочинения, в которой излагаются некото-
некоторые предложения принципиального характера. Глав-
Главную же часть составляют вторая и третья, где и рас-
х) Ряды, о которых идет здесь речь, рассматривались мною
в более частных предположениях в статье «О постоянных
винтовых движениях твердого тела в жидкости» («Сообщ.
Харьк. матем. общ.», 2 серия, том I, 1888). Впоследствии я
узнал, что в таких же предположениях ряды эти рассматри-
рассматривались Пуанкаре в его диссертации «Sur les proprietes des
fonctions definies par les equations aux differences pariielles»
A879).

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 13
сматриваются последовательно случаи постоянных
и периодических коэффициентов.
Каждую из этих двух глав я начинаю некоторыми
замечаниями, касающимися линейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений, соответствующих первому приближе-
приближению, примем в третьей главе, где трактуется случай
периодических коэффициентов, вхожу в некоторые
подробности относительно так называемого характери-
характеристичного уравнения.
Переходя затем к главному вопросу и указав усло-
условия, при которых он разрешается в первом приближе-
приближении, я обращаюсь к тем особенным случаям, когда для
этой цели в дифференциальных уравнениях необходимо
принимать в расчет члены выше первого измерения.
Но случаи этого рода весьма разнообразны, и в ка-
каждом из них задача получает свой особый характер,
так что не может быть и речи о каких-либо общих спо-
способах ее решения, которые относились бы ко всем
таким случаям.
Поэтому различные возможные случаи приходится
рассматривать отдельно, и я ограничиваюсь только
простейшими из них, которые представляют затруд-
затруднения, наименее серьезные. Исследование их и изло-
изложение соответствующих им способов решения вопросов
об устойчивости занимает большую часть двух послед-
последних глав.
Не входя в дальнейшие подробности относительно
содержания этого сочинения, с которым читатель может
до известной степени ознакомиться из прилагаемого
оглавления, замечу еще, что во второй главе я касаюсь
вопроса о периодических решениях нелинейных диф-
дифференциальных уравнений. Вопрос этот находится
в тесной связи с методами, прилагаемыми мною для
одного из особенных случаев. Притом рассмотрение его
приводит к некоторым заключениям об условной устой-
устойчивости для тех наиболее интересных случаев, когда
дифференциальные уравнения имеют каноническую
форму. А этими заключениями исчерпывается почти
все, что пока можно сказать общего о таких случаях.

14 А. М. ЛЯПУНОВ
В предлагаемом сочинении читатель не найдет реше-
решения каких-либо определенных механических задач.
По первоначальному плану приложения такого рода
должны были составить четвертую главу. Но потом
я отказался от намерения прибавлять ее, имея в виду
следующие соображения.
Все наиболее интересные и важные вопросы меха-
механики (как, например, те, которые приводят к канони-
каноническим уравнениям) таковы, что в особенных случаях,
когда первое приближение недостаточно, задача де-
делается для них в высшей степени трудною, и пока
невозможно указать каких-либо приемов для ее реше-
решения. Поэтому, при рассмотрении таких вопросов, мне
пришлось бы ограничиться только примерами двоякого
рода: или теми, в которых вопрос решался бы приведе-
приведением к задаче о максимумах и минимумах (т. е. на осно-
основании теоремы Рауса), или теми, в которых он решался
бы в первом приближении. Но подобные примеры, хотя
и представляли бы известный интерес, не относились бы
к главной части моего исследования, которая, как уже
было сказано, посвящена изложению методов, соот-
соответствующих особенным случаям известных категорий.
Что же касается примеров, относящихся к этим мето-
методам, то их пришлось бы выбирать из области тех вопро-
вопросов механики, в которых принимаются в расчет раз-
различного рода сопротивления среды. Таких примеров,
конечно, можно было бы привести сколько угодно,
но они сами по себе не представляли бы большого
интереса и могли бы иметь значение только как пояс-
поясняющие названные методы. Если же иметь в виду
исключительно эту последнюю цель, то совершенно
достаточно и тех примеров аналитического характера,
которые приведены мною в надлежащих местах двух
последних глав.
В заключение замечу, что сочинение мое не есть
трактат об устойчивости, где было бы обязательно рас-
рассмотрение механических задач всякого рода. Подобный
трактат должен был бы заключать в себе многие
вопросы, которых я здесь вовсе не касаюсь.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИ-КЕНИЯ 15
В этом сочинении я имел лишь в виду изложить то,
что пока удалось мне сделать для решения поставлен-
поставленной мною задачи и что, может быть, может послужить
точкою отправления для дальнейших изысканий
такого же характера.
Во время печатания этого сочинения появились два
весьма интересных произведения А. Пуанкаре, в кото-
которых затрагиваются вопросы, стоящие весьма близко
к рассматриваемым много. Я разумею его мемуар «Sur
le probleme des trois corps et les equations de la dyna-
mique», появившийся в XIII томе Acta mathematica
вскоре после того, как я начал печатать свое исследо-
исследование, и вышедший в самое недавнее время первый
том его большого сочинения «Les methodes nouvelles
de la Mecanique celeste» (Paris, Gauthier-Villars, 1892).
В первом находятся некоторые результаты, сходные
с полученными мною, на что я и указываю в надле-
надлежащих местах своего сочинения в подстрочных приме-
примечаниях. Что же касается второго, то ознакомиться
с ним подробно я еще не успел; но по отношению к во-
вопросам, рассматриваемым мною, в нем, повидимому, нет
каких-либо существенных прибавлений к названному
мемуару.
Считаю нужным сказать здесь об одном термине,
встречающемся в этом сочинении.
Рассматривая ряды, расположенные по степеням
величин, которые по характеру вопроса можно пред-
предполагать сколь угодно малыми, я весьма часто говорю
о членах различных порядков. При этом под порядком
каждого члена я разумею его измерение, и термину
«порядок» не приписываю никакого иного значения.
Я должен упомянуть еще об одном выражении,
которым по примеру многих французских и немецких
ученых нередко пользуюсь для сокращения речи.

16 А. М. ЛЯПУНОВ
Я разумею выражение: «ряды, формально удовлетворяю-
удовлетворяющие» таким-то уравнениям.
Выражение это имеет весьма условный смысл.
Но я счел излишним входить в какие-либо разъясне-
разъяснения его, так как в тех случаях, где мне приходится
им пользоваться, относительно значения его не может
возникнуть никаких сомнений.
Это сочинение издано Харьковским математическим
обществом, благодаря особым средствам, которые нашел
возможным доставить ему Харьковский университет,
за что и считаю долгом выразить последнему свою
признательность.
Харьков» А. Ляпунов.
5 апреля 1892 г.

ГЛАВА I
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
ПОСТАНОВКА ВОПРОСА
1. Общая постановка задачи. Определение устой-
устойчивости. Рассмотрим какую-либо материальную си-
систему с к степенями свободы.
Пусть
суть к независимых переменных, которыми мы усло-
условились определять ее положение.
Мы будем предполагать, что за переменные эти
взяты такие величины, которые остаются веществен-
вещественными для всяких действительных положений системы.
Рассматривая названные переменные как функции
времени t, первые производные их по t будем обозна-
обозначать через
Во всякой динамической задаче, в которой силы
определенным образом заданы, эти функции будут
удовлетворять некоторым к дифференциальным урав-
уравнениям второго порядка.
Пусть для уравнений этих найдено какое-либо ча-
частное решение
2 А. М. Ляпунов

18 A. M. ЛЯПУНОВ
в котором величины gr/ выражаются вещественными
функциями t, дающими при всяком t только возможные
для ни,х значения1).
Этому частному решению будет соответствовать неко-
некоторое определенное движение нашей системы. Сравни-
Сравнивая его в известном отношении с другими, возможными
для нее при тех же силах, движение это будем называть
невозмуценным, а все остальные, с которыми оно срав-
сравнивается, возмущенными.
Разумея под t0 некоторый данный момент времени,
назовем соответствующие ему значения величин qly q)
в каком-либо движении через g7-0, qH.
Пусть
g'w = /1 (О + <> Я2о = /2 {to) + ej,..., дк0 = fk (t0) + 4,
где ey«, e'j суть некоторые вещественные постоянные.
Заданием этих постоянных, которые будем называть
возмущениями у определится возмущенное движение. Мы
будем предполагать, что им можно приписывать всякие
численно достаточно малые значения.
Говоря о возмущенных движениях, близких к невоз-
невозмущенному, будем разуметь движения, для которых
возмущения численно достаточно малы.
Пусть Qlf Q2, ..., (?псуть какие-либо данные непре-
непрерывные вещественные функции [3] величин
Для невозмущенного движения они обратятся в не-
некоторые известные функции ?, которые означим соот-
соответственно через Fi, Fzy ..., Fn. Для возмущенного
движения они будут некоторыми функциями величин
2) Может случиться, что для величин д;- по самому их
выбору розможны не всякие вещественные значения, а только
не большие или не меньшие известных пределов.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЙ 19
Когда все е/, s;' равны нулю, величины
будут равными нулю для всякого t. Но если постоян-
постоянные е/, еу, не будучи нулями, предполагаются все
бесконечно малыми, то является вопрос, можно ли
назначить такие бесконечно малые пределы для вели-
величин Qs—Fs, которых последние никогда не превзо-
превзошли бы по числовым значениям?
Решение этого вопроса, который составит предмет
наших изысканий, зависит как от характера рассма-
рассматриваемого невозмущенного движения, так и от выбора
функций Ql9 Q2, ..., Qn и момента времени tQ. При
определенном выборе последних, ответ на этот вопрос
будет, следовательно, характеризовать в известном отно-
отношении невозмущенное движение, определяя собою то
свойство последнего, которое будем называть устой-
устойчивостью, или противоположное ему, которое будем
называть неустойчивостью.
Мы будем исключительно заниматься теми случаями,
когда решение рассматриваемого вопроса не зависит
от выбора момента t0, в который сообщаются возму-
возмущения. Поэтому примем здесь следующее опреде-
определение:
Пусть Li, Li, ..., Ln суть произвольно задаваемые
положительные числа. Если при всяких Ls, как бы они
малы ни были, могут быть выбираемы положительные
числа Ei, Еъ, ..., Ek, E'v Е'2, .. ., Е'к так, чтобы при
всяких вещественных еу-, ву, удовлетворяющих условиям
\Ч\<Е,, ИКЯ;-1) (/=1,2,..., Л),
и при всяком t, превосходящем t0, выполнялись нера-
неравенства
\Q,-F1\<Ll, \Q2-Fi\<L2,...,\Qn-Fn\<Ln,
*) Вообще под | х \ условимся разуметь числовое значение
вещественного или модуль мнимого количества х.
2*

20 А. М. ЛЯПУНОВ
то невозмущенное движение по отношению к величи-
величинам Qly Q2y ..., Qn устойчиво', в противном случае—
неустойчиво [4].
Приведем примеры.
Если материальная точка, притягиваемая неподвиж-
неподвижным центром обратно пропорционально квадрату рас-
расстояния, описывает круговую траекторию, то движе-
движение ее по отношению к радиусу-вектору, проведенному
из центра притяжения, а также по отношению к ее ско-
скорости устойчиво. То же движение по отношению к пря*
моугольным координатам точки неустойчиво.
Если же рассматриваемая точка описывает эллип-
эллиптическую траекторию, то движение ее неустойчиво
не только по отношению к прямоугольным координа-
координатам, но и по отношению к радиусу-вектору и скорости.
Но оно устойчиво, например, по отношению к величине
г —
+ e cos c
где р и е—параметр и эксцентриситет эллипса, описы-
описываемого точкою в невозмущенном движении, а г и <р—
радиус-вектор точки в возмущенном движении и угол,
составляемый им с наименьшим радиусом-вектором
в невозмущенном движении.
Когда твердое тело, имеющее неподвижную точку
и не подверженное действию сил, вращается вокруг
наибольшей или наименьшей из осей эллипсоида инер-
инерции, соответствующего этой точке, движение его устой-
устойчиво по отношению к угловой скорости и углам, соста-
составляемым мгновенною осью с какими-либо неподвиж-
неподвижными или неизменно связанными с телом направле-
направлениями. Когда же оно вращается вокруг средней оси
эллипсоида инерции, движение его по отношению
к тем же величинам неустойчиво.
Может случиться, что пределов Е}-, Е)у удовлетво-
удовлетворяющих требованию предыдущего определения, нельзя
найти, если рассматривать всякие возмущения, а тем
не менее возможно найти такие пределы для возмуще-

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 21
яий, подчиненных некоторым условиям вида:
/ = 0 или / > О,
где / — некоторая функция величин
ei> г2> • • •» гь ?i> г2> • • •> Зь
обращающаяся в нуль, когда все эти величины пола-
полагаются равными нулю.
В таких случаях мы будем говорить, что невозму-
невозмущенное движение устойчиво для возмущений, подчи-
подчиненных таким-то условиям.
Так в предыдущем примере эллиптическое движение
точки по отношению к ее прямоугольным или каким-
либо другим координатам устойчиво для возмущений,
удовлетворяющих условию неизменяемости полной
энергии, или—по терминологии Томсона и Тэта—для
консервативных возмущений.
Таким образом для движений неустойчивых можно
будет рассуждать об условной устойчивости.
Предыдущее определение конечно относится и к по-
понятию об «устойчивости равновесия», ибо покой можно
рассматривать как частный случай движения.
2, Общий вид исследуемых дифференциальных
уравнений возмущенного движения. Решение нашего
вопроса зависит от исследования дифференциальных
уравнений возмущенного движения или, если угодно,
от исследования дифференциальных уравнений, кото-
которым удовлетворяют функции:
Порядок системы этих последних уравнений вообще
будет тот же, т. е. 2к\ но в некоторых случаях может
быть и ниже.
Мы будем предполагать число п и функции Qs
такими, чтобы порядок этой системы был п, и чтобы
она приводилась к нормальному виду:
dxx у ах1 , г dxn v /n
T^X ==A = X {1>

22 A. M. ЛЯПУНОВ
и везде далее будем рассуждать об этих последних
уравнениях, называя их дифференциальными уравне-
уравнениями возмущенного движения.
Все Xs в уравнениях A) суть известные функции
величин
X), Х2, . . . , Хп, t,
обращающиеся в нуль при
х1 = х2= ...=хп=0.
Мы сделаем теперь относительно них некоторые
предположения, и везде далее будем трактовать урав-
уравнения A) исключительно в этих предположениях.
Мы допустим, что функции Xs даны не только для
вещественных, но и для комплексных значений вели-
величин х19 х2, ..., хп, модули которых достаточно малы,
и что по крайней мере для всякого вещественного t,
большего или равного t0, функции эти разложимы
в ряды по целым положительным степеням величин
х19 Хо, ...,#п, абсолютно сходящиеся для всяких xs,
удовлетворяющих условиям
где А19 А2, .. ., Ап суть или отличные от нуля постоян-
постоянные, или такие функции t, которые никогда не делаются
нулями.
Таким образом для всякого из указанных значений t
все Xs будут голоморфными функциями величин х19
х2, ..., хп ).
-1) Употребляя этот термин для сокращения речи и везде
далее, считаем нужным сказать определенно, что мы будем
разуметь под ним.
Рассматривая какую-либо функцию переменных х^х^ ...,хп,
мы будем называть ее по отношению к этим переменным
голоморфною всякий раз, когда она может быть представля-
представляема под видом я-кратного ряда, расположенного по целым
положительным степеням величин х6, по крайней мере длч
всех таких значений последних, модули которых не превосхо-
превосходят некоторых отличных от нуля пределов.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 23
Пусть
где сумма распространена на все целые неотрицатель-
неотрицательные числа пи, Ш2, ..., гпп, удовлетворяющие условию
Щ + Щ+ • • • +™п> !•
В этих разложениях все коэффициенты /?SJ, pt™1'™2' •••» ™п)
суть функции ?, которые, согласно нашему предполо-
предположению, должны оставаться определенными, а по харак-
характеру самой задачи—вещественными для всякого веще-
вещественного t, большего или равного t0. Мы будем пред-
предполагать кроме того, что для всех таких значений это
суть функции непрерывные.
Приписывая t какое-либо из указанных сейчас зна-
значений и рассматривая в разложении Xs совокупность
членов выше первого измерения при всевозможных
комплексных значениях величин xlf x2, ..., хп, модули
которых соответственно равны А19 А2, .. ., Ап, обозна-
обозначим через Ms некоторый высший предел ее модуля
при этих условиях. Тогда по известной теореме будем
иметь:
Вообще далее будем рассматривать только веще-
вещественные значения t, не меньшие t0. Если же в каких-
либо случаях представится надобность рассматривать
и другие значения t, то об этом всегда будем упоминать
определенно.
Заметим, что если вместо времени за независимую
переменную примем какую-либо непрерывную веще-
вещественную функцию времени, вместе с ним беспредельно
возрастающую, то последняя при решении вопроса
об устойчивости может играть такую же роль, как
и время. Поэтому независимая переменная t в уравне-

24 А. М. ЛЯПУНОВ
ниях A) не всегда будет означать время, но во всяком
случае—функцию его, удовлетворяющую только что
сказанному условию.
Сделаем еще следующее замечание:
Пусть а19 а2,..., ап суть значения функцийх19 х2, ...,хп
при t=t0. Тогда, по свойству функций Q, всякой
системе вещественных значений величин
Sj, ea, . .., зА, г[, з'2, ..., sj., C)
численно достаточно малых, будет соответствовать неко-
некоторая система вещественных значений величин
а1У аа, . .., ап. D)
Притом, как бы ни было мало данное положительное
число А, эти последние всегда можно будет сделать
численно меньшими А, подчиняя величины C) усло-
условию, чтобы их числовые значения не превосходили
достаточно малого, но отличного от нуля предела Е.
Мы предположим теперь, что, как бы ни было мало
данное положительное число Е, всегда можно найти
такое положительное число А, чтобы всякой системе
вещественных значений величин D), численно мень-
меньших А, соответствовали одна или несколько систем
вещественных значений величин C), численно мень-
меньших Е.
При этом условии величины D) могут играть та-
такую же роль при решении вопроса об устойчивости,
как и величины C), если только заданием величин D)
функции xs , удовлетворяющие уравнениям A), опре-
определяются вполне. Это последнее условие в силу пред-
предположений, которыемы делаем далее относительно урав-
уравнений A) (§ 4) всегда будет выполняться. Поэтому
далее вместо величин C) будем рассматривать всегда
величины D).
3. Интегрирование посредством рядов, располо-
расположенных по степеням постоянных произвольных. Для
интегрирования уравнений A) в занимающем нас
вопросе естественно представляется метода последова-

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 25
тельных приближений, основанная на допущении, что
начальные (т. е. соответствующие t=t0) значения
искомых функций численно достаточно малы.
Метода эта в своем простейшем виде приводит к ря-
рядам, которые могут быть получены следующим образом.
Полагая
я, = 41Ч42) + 43)+... (* = 1, 2, ...,п) E)
и рассматривая величины х[т\ х{™\ ..., х^ вместе с
их производными по t как обладающие m-ым измере-
измерением, вносим эти выражения функций xs в уравнения A)
и в каждом из последних приравниваем между
собою совокупности членов одинакового измерения той
и другой части равенства. Таким образом получаем
следующие системы дифференциальных уравнений:
^=Р.1ХР + Р*хР +¦¦¦+ PsnxV F)
(*=1, 2, ..., га),
\ = PslX[m) + Ps2xim) +...+ Psnx^ + Rim) G)
•(/га>1, s=l, 2, ..., л).
Здесь /??m) суть известные целые рациональные
функции от величин х(^ с коэффициентами, пред-
представляющими суммы произведений из функций
p(mlt ma,...fmn) на некоторые целые положительные
числа.
Все И^т\ соответствующие всякому данному гпу
конечно, будут зависеть только от тех х[^\ для кото-
которых [а < т.
Поэтому введенные нами функции a^m) можно будет
определять из написанных уравнений последовательно
в порядке возрастания т.
Первая задача, которою придется при этом заняться,
будет состоять в интегрировании системы F) однород-
однородных линейных уравнений.

26 A. M. ЛЯПУНОВ
Принимая в расчет предположенную определен-
определенность и непрерывность коэффициентов /?sa, нетрудно
доказать, что всегда найдется группа п2 функций,
определенных и непрерывных для веер: рассматривае-
рассматриваемых нами значений t1), которая представит систему п
независимых решений для системы уравнений F).
Предложение это докажется при помощи действи-
действительного составления некоторых выражений для функ-
функций Zg, удовлетворяющих названным уравнениям при
всяком ty превосходящем t0, и принимающих какие-
либо заданные значения для t= tQ. А такие выражения
можно получить под видом рядов, рассматривая, напри-
например, уравнения, выводимые из F) умножением вторых
частей их на некоторый параметр г, и стараясь удо-
удовлетворить этим новым уравнениям рядами, располо-
расположенными по целым положительным степеням послед-
последнего. Если эти ряды составляются з предположении,
что значения, принимаемые искомыми функциями при
t=t0, не зависят от г, то они будут абсолютно сходя-
сходящимися для всех рассматриваемых значений t и при
всяком г. Делая в них г = 1, и получим сказанные выра-
y » а)
жения функции xKs \
Допустим, что каким-либо способом для уравне-
уравнений F) удалось найти систему п независимых частных
решений.
Пусть
суть функции ty представляющие функцию х^ в этих
решениях.
Тогда общий интеграл системы F) выразится урав-
уравнениями:
x') = a1xsl + a2xs2+ ...+anz8n (s=l, 2, ..., п), (8)
где av a2, ..., ^ — произвольные постоянные.
х) Говоря о значениях t, мы всегда имеем в виду некото-
некоторые определенные числа. Поэтому бесконечность никогда не
рассматриваем как значение t.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ
27
После того как функции я* найдены, можно будет
определять и все остальные х^ последовательным инте-
интегрированием систем линейных неоднородных уравне-
уравнений G), соответствующих иг = 2,3...
Каждое из этих интегрирований выполнится при
помощи квадратур. При этом каждое из них введет
п постоянных произвольных, и для определения послед-
последних представится широкий выбор закона, который
вообще должен быть подчинен только условию, чтобы
получаемые ряды по крайней мере в известных пределах
были сходящимися.
Названные постоянные определятся вполне, если
введем условие, чтобы все ^т), для которых т>1,
обращались в нуль при t=t0.
Составим в этом предположении формулы для опре-
определения функций xim\ когда все х^\ для которых
[х < т, уже найдены-
Положим
"ш
12
= А.
Этот определитель будет функциею t, не обращаю-
обращающеюся в нуль ни при каких рассматриваемых нами
значениях t, ибо по известной теореме
где С — отличная от нуля постоянная.
Означим минор этого определителя, соответствую-
соответствующий элементу хи-, через Ai;-.
Тогда искомые формулы будут следующего вида:
— Zi 2j x*j \ "д"
=1»2 и). (9)

28 A. M. ЛЯПУНОВ
Функции Xs\ определяемые этими формулами,
остаются определенными и непрерывными для всех
рассматриваемых значений t.
Относительно постоянных а19 а2, ...,ап это суть
целые однородны^ функции m-ой степени.
Притом, если выбранная нами система частных
решений уравнений F) такова, что при t—t0 все xtj
получают вещественные значения, то коэффициенты
в этих функциях остаются вещественными для всех
рассматриваемых значений t.
Определив таким образом функции х^т\ обра-
обращаемся к вопросу о сходимости рядов E), которые
представятся как расположенные по целым положи-
положительным степеням постоянных as.
4. Исследование сходимости рядов в случае,
когда за постоянные произвольные принимаются
начальные значения искомых функций. Мы уже сде-
сделали некоторые предположения относительно коэф-
коэффициентов в разложениях вторых частей уравнений A).
Теперь прибавим к ним еще одно.
Мы будем предполагать, что за величины А19
А2, ..., Ап, М19 М29 ..., Мп могут быть приняты
такие функции t, чтобы для всякого Т, большего t0,
при ?, изменяющемся в пределах t0 и Т, для каждой
из функций As существовал некоторый положительный
низший предел, а для каждой из функций Ms — неко-
некоторый высший предел.
В этом предположении докажем, что для всех зна-
значений t, лежащих между t0 и Г, как бы ни было
велико данное число Т, предыдущие ряды (рассмат-
(рассматриваемые как расположенные по степеням вели-
величин as) будут абсолютно сходящимися при всяких os,
модули которых не превосходят некоторого отлич-
отличного от нуля предела, известным образом зави-
зависящего от Т.
Докажется это, как и другие подобные теоремы,
с которыми встретимся далее, при помощи обычной
р таких случаях методы, которою мы обязаны Кошп.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 29
Обращаясь к этому доказательству, замечаем, что
при ty не выходящем из границ t0 и Г, можно назначить
некоторые постояные высшие пределы для модулей
всех xtj и ~ или, если угодно, для модулей всех
хи — 1, xtj (i 3g /), , A0)
4^-i, -^ (*^/)- (">
Пусть К есть такой высший предел для величин A0),
а /Г— для величин (И).
Если рассматриваемая система частных решений
уравнений F) определена условием, что при t — t0
то за if и К' можно взять такие непрерывные функции
Г, которые будут обращаться в нуль при T = t0.
Пусть вообще {и} означает результат замены в какой-
либо целой функции и от величин alf a2, ..., ап всех
членов их модулями.
Тогда, означая через а наибольшую из величин
\as\f из (8) и (9) выведем следующие неравенства:
п Т
to i=l t0
Эти неравенства будут справедливы для всякого t,
не выходящего из пределов t0 и Т.
Замечаем далее, что по свойству первоначального
выражения Я;т) через величины х^\ р(ть — »т">, за-
заменяя в нем последние высшими пределами величин
Г/Л^1 | п(тьт2,...,тп)|
\xs п 1*1 Ь
найдем высший предел для величины {Л^т)}.

30 А. М. ЛЙПУНОВ
Поэтому, если некоторый общий высший предел
величин
в рассматриваемых пределах изменяемости t означим
через х^\ а через R^ означим то, во что обратится
каждая из функций
Iti , /I2 , . • • , fin
после замены величин х(8^ величинами #AХ и величин
р{т1}..., тп) нек0Т0рЫМИ независящими от i высшими
пределами />(mi>--" ™л) их числовых значений в тех же
пределах изменяемости t, то найдем:
{xim)} < A + пК) A + пК') (T-t0) R(m\
Отсюда видно, что можно принять:
Но согласно неравенствам B), для P^mi m
можно взять следующие величины:
T)(mi, 7П2,..., ТПп) -М"
где М есть некоторый общий высший предел для всех
функций Ms в рассматриваемых пределах изменяе-
изменяемости t, a A—некоторый положительный низший пре-
предел, общий для всех функций As, в тех же пределах
изменяемости t.
Если же этими величинами заменим коэффициенты
p(mlt...tmn) B фуНКцИЯХ Xg9 то совокупности членов
выше первого порядка в последних сделаются тожде-
тождественными с разложением функции
ml.г,г^.,i

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВЙЖЕЙИЯ з!
Поэтому, при сделанном выборе величин p(mi>*"> mn\
величина R^ представит совокупность членов т-го
измерения относительно значков величин xs^ в разло-
разложении выражения
Отсюда следует, что если рассмотрим уравнение
x^(l + nK)a + Ah{(l--^yn-l-n-^}, A2)
где
то ряд
представит разложение по целым положительным сте-
степеням а корня х этого уравнения, обращающегося
в нуль при а==0. Поэтому ряд этот будет наверно
сходящимся, если а менее величины
8 =
представляющей наименьший из модулей всех значе-
значений а, при которых уравнение A2) имеет кратные
корни. Ряд этот будет сходящимся даже и при a = g,
ибо обладает положительными коэффициентами, а для
названного корня, когда а приближается к g, несом-
несомненно существует предел.
Но по самому определению величин х(т) сходимостью
рассматриваемого ряда обусловливается абсолютная
сходимость рядов E) для всех значений t, лежащих
между t0 и Т.
Поэтому заключаем, что для всех таких значений t
ряды E) будут наверно абсолютно сходящимися, если
модули постоянных as не превосходят величины g.

32 A. M. ЛЯПУНОВ
Вместе с тем получаем и высший предел для модулей
сумм этих рядов при условиях
to<t<T, \as\<g (s=l, 2, ..., п). A3)
Этот высший предел представится значением, соответ-
соответствующим a = g, вышеназванного корня уравнения A2),
и, как нетрудно убедиться, не будет превосходить А.
Из последнего обстоятельства следует, что если
ряды E) внести в функции Xs, то функции эти можно
будет представить рядами, расположенными по целым
положительным степеням величин as.
При этих условиях можно, следовательно, написать
равенства
. . + Psnxn
E=1, 2, ...,и),
которые в силу уравнений F) и G) приводятся к сле-
следующим:
Но ряды, находящиеся во вторых частях последних,
при рассматриваемых условиях очевидно суть сходя-
сходящиеся в равной степени для всех значений t, лежащих
между tQ и Т, и, следовательно, в этих пределах пред-
представляют производные от функций, определяемых ря-
рядами E).
Поэтому написанные равенства приводят к заклю-
заключению, что при условиях A3) ряды E) представляют
функции, действительно удовлетворяющие уравне-
уравнениям A).
Относительно найденного высшего предела g заме-
заметим, что при Т = t0 он принимает значение величины
А
1+пК'
соответствующее тому же У, А значение это, согласно
замеченному выше, можно считать равным соответ-
соответствующему значению величины А всякий раз, когда

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 33
выбранная нами система частных решений уравне-
уравнений F) такова, что при t = t{)
В последнем предположении постоянные as суть
значения функций х для t=tQ.
Мы можем поэтому утверждать, что если все As
суть непрерывные функции t, и если Ао есть наимень-
наименьшее из значений, принимаемых ими для t = tQ, то при
всяких as, которые по числовым значениям меньше AQf
найдется такой предел Т, больший ?0, что функции xs,
удовлетворяющие уравнениям A) и принимающие зна-
значения as при t=t0, представятся абсолютно сходя-
сходящимися рядами, расположенными по восходящим сте-
степеням этих значений, для всякого t, лежащего между
t0 и Т.
Примечание. Для представления функций $5 в тех же
пределах изменяемости t можно конечно получить
бесчисленное множество других абсолютно сходящихся
рядов, расположенных по целым положительным сте-
степеням некоторых других постоянных произвольных
0ц, а2, ..., ал, модули которых достаточно малы.
Всякие ряды такого характера могут быть выво-
выводимы из предыдущих при помощи подстановок вида
«, = /.(«1, «21 •••,«„)¦ (*=1> 2. •••» и), A4)
где fs означают некоторые голоморфные функции ве-
величин а0.
Рассматривая какие-либо ряды этого рода, допу-
допустим, что для них все функции fs при аг=.(х2= . ..
...=ал = 0 делаются нулями. Допустим кроме того,
что функциональный определитель функций fs в отно-
отношении величин аа при таком положении не делается
нулем.
Тогда, если в этих рядах возьмем совокупности
всех членов не выше m-го порядка относительно по-
постоянных а0, то эти совокупности представят то, что
мы будем называть выражениями функций xs в т-ом
приближении.
3 А. М. Ляпунов

s4 a. if. Ляпунов
Известно, что при сделанных предположениях отно-
относительно функций /s уравнениям A4) всегда можно
удовлетворить, выбирая для величины аа некоторые
голоморфные функции величин as, уничтожающиеся
при ^=^2= ... =ап = 0, и что, когда все |аа|, \as\
подчинены условию не превосходить некоторых доста-
достаточно малых пределов, такое решение будет единствен-
единственно возможным.
Поэтому различные т-ые приближения, полученные
из различных разложений рассматриваемого характера,
будучи выражены через постоянные as, представятся
рядами, расположенными по целым положительным
степеням последних, и ряды эти будут разниться
между собою только членами выше m-го порядка.
5. Более определенная постановка задачи. Движе-
Движения установившиеся и периодические. Две катего-
категории способов исследования устойчивости. При той
общей точке зрения, с какой мы рассматривали вопрос
до сих пор, мы имели в виду только доказать, что по
крайней мере для t, не выходящего из известных гра-
границ, всегда существуют функции, удовлетворяющие
уравнениям A) и в данный момент принимающие
какие-либо данные, численно достаточно малые значе-
значения, и что метод последовательных приближений доста-
доставляет ряды, которые при известных условиях могут
служить для определения этих функций. Но переходя
к изложению каких-либо способов решения вопросов
об устойчивости, мы должны будем оставить эту точку
зрения, ограничивая нашу задачу некоторыми более
определенными предположениями относительно диф-
дифференциальных уравнений возмущенного движения.
Преимущественно мы будем заниматься рассмотре-
рассмотрением двух следующих случаев: когда все коэффи-
коэффициенты pso, Р[т± mn) суть постоянные величины
и когда это суть периодические функции t с одним
и тем же вещественным периодом.
Первый, конечно, можно было бы рассматривать как
частный случай второго. Но по многим причинам мы
предпочитаем рассмотреть его отдельно.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 35
В первом случае, по примеру Рауса, невозмущенное
движение мы будем называть (для величин, по отно-
отношению к которым исследуется устойчивость) устано-
установившимся] во втором—периодическим.
Рассматривая эти два случая, увидим, что для
решения нашего вопроса весьма существенное зна-
значение будет иметь исследование первого прибли-
приближения.
Мы покажем, при каких условиях это исследование
вполне решает вопрос об устойчивости и при каких
оно вообще делается недостаточным. Вместе с тем
укажем и некоторые способы для решения вопроса
в известных случаях этого последнего рода.
Прежде, однако, чем перейти к детальному рассмо-
рассмотрению вопроса, мы остановимся на некоторых общих
предложениях, которые послужат точками отправле-
отправления при наших изысканиях.
Все способы, которые мы можем указать для реше-
решения занимающего нас вопроса, можно разделить на две
категории.
К одной мы причислим все те, которые приводятся
к непосредственному исследованию возмущенного дви-
движения, и в основании которых поэтому лежит разыска-
разыскание общих или частных решений дифференциальных
уравнений A).
Вообще эти решения придется искать под видом
бесконечных рядов, простейшим типом которых могут
служить рассмотренные в предыдущем параграфе.
Это суть ряды, расположенные по целым положитель-
положительным степеням постоянных произвольных. Но далее
мы встретимся также и с некоторыми рядами другого
характера.
Совокупность всех способов исследования устойчи-
устойчивости, относящихся к этой категории, назовем первою
методой.
К другой мы причислим все те, которые основы-
основываются на принципах, не зависящих от разыскания
каких-либо решений дифференциальных уравнений воз-
возмущенного движения.
3*

36 A. M. ЛЯПУНОВ
Таков, например, известный способ исследования
устойчивости равновесия в случае существования сило-
силовой функции.
Эти способы могут приводиться к разысканию
и исследованию интегралов уравнений A), и вообще
в основании всех тех из них, с которыми встретимся
далее, всегда будет лежать разыскание функций пере-
переменных хи х2,.. ., хп, t по некоторым данным условиям,
которым должны удовлетворять их полные производ-
производные по t, составленные в предположении, что хг,
х2, ...,хп суть функции tf удовлетворяющие уравне-
уравнениям A).
Совокупность всех способов этой категории мы
назовем второю методой.
Основания последнего, выраженные в нескольких
общих теоремах, изложим в конце этой главы. Те-
Теперь же остановимся на приложении первой методы
к одному довольно общему случаю дифференциальных
уравнений возмущенного движения, заключающему
в себе случаи как установившихся, так и периодических
движений.
Случай этот есть тот, когда можно предполагать,
что при t > t0 Для функций As существует некоторый
положительный низший предел А, а для функций Мs—
некоторый высший предел М. и когда при тех же зна-
значениях t можно назначить некоторый высший предел
и для числовых значений всех коэффициентов /?SJ.
Мы начнем при этом с рассмотрения линейных диф-
дифференциальных уравнений, соответствующих первому
приближению.
О НЕКОТОРЫХ СИСТЕМАХ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
6. Характеристичные числа функций. Прежде всего
условимся в некоторых терминах и докажем некоторые
вспомогательные предложения.
Будем рассматривать функции вещественного пере-
переменного t, получающие вполне определенные значения

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 37
для всякого t, большего некоторого предела t0 или
равного ему. Будем притом рассматривать только такие
функции, для модулей которых при изменении t от t0
до какого угодно данного числа Т, большего t0, суще-
существовали бы высшие пределы.
Всякую такую функцию будем называть ограничен-
ограниченною, если модули ее при t > t0 остаются всегда меньше
некоторого предела. Напротив, функцию, модули кото-
которой надлежащим выбором значений t, больших t0, могут
быть сделаны большими всякой данной положительной
величины, как бы она ни была велика, будем называть
неограниченною. Наконец, ограниченную функцию, кото-
которая с беспредельным возрастанием t приближается
к пределу, равному нулю, будем называть исчезающею.
Рассматривая одновременно с функцией х функ-
цию — , будем предполагать, что при всяком данном Т,
ее
большем tQ, в промежутке от t0 до Т точный низший
предел модуля функции х отличен от нуля.
Лемма I. Если х есть ограниченная функция
t, то хе~п при всяком положительном постоянном X
есть функция исчезающая.
Лемма непосредственно вытекает из предыдущих
определений.
Лемма II. Если х не есть исчезающая функция t,
то хеи при всяком положительном постоянном X есть
функция неограниченная.
В самом деле, если х не есть исчезающая функция,
то всегда найдется такая положительная постоянная а,
при которой надлежащим выбором значений t, больших
произвольно заданного предела Т, как бы он велик ни
был, модуль функции х можно будет сделать пре-
превосходящим а. Тогда, рассматривая только выбранные
таким образом значения t, будем иметь:
\хе**\ >ае*т.
А этим и доказывается лемма, ибо вторую часть
неравенства выбором достаточно большого Т можно
сделать сколько угодно большою.

38 A. M. ЛЯПУНОВ
Лемма III. Разумея под х некоторую функцию t,
а под \г и \' некоторые вещественные постоянные,
допустим, что функция z~xeKt при Х = лх есть исче-
заюгцаЯу а при Х = У неограниченная. Тогда можно
найти такое вещественное число Хо, что функция z
при X = Хо + з будет неограниченною для всякого поло-
положительного постоянного s и исчезающею для всякого
отрицательного постоянного г.
Действительно, из предыдущих лемм следует, что
если существует такое постоянное значение X, при
котором функция z есть ограниченная не исчезающая,
то это значение и будет искомым.
В противном случае, вставляя между числами >ч
и У ряд промежуточных чисел и последовательно пере-
переходя в этом ряду от меньших чисел к большим, начиная
от Х2 (ибо Х2 необходимо менее X'), сначала будем встре-
встречать только числа, для которых z есть исчезающая,
затем только числа, для которых она есть неограничен-
неограниченная функция.
Поэтому в последнем случае последовательными
вставками промежуточных чисел по закону, надлежа-
надлежащим образом выбранному, мы всегда можем получить
два бесконечных ряда чисел: неубывающий
'Ч1> ^2» ^3» * ' •
и невозрастающий
Л , Л , Л , . . .
— таких, чтобы каждое число первого ряда было менее
каждого числа второго, чтобы разность
выбором достаточно большого п можно было сделать
насколько угодно малою и чтобы функция
для всякого п была исчезающею, а функция
xexWt
для всякого п неограниченною.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ i 39
Эти два ряда определят число Хо, не меньшее ни од-
одного из чисел первого ряда и не большее ни одного
из чисел второго, которое и будет искомым.
Число Хо будем называть характеристичным числом
функции х.
Примечание. Функция х, для которой произведе-
произведение хеи есть исчезающая функция при всяком X или
неограниченная при всяком X, не имеет характеристич-
характеристичного числа. Но мы можем условиться говорить, что
в первом случае характеристичное число есть +ос,
во втором — оо. При этом условии всякая функция
будет иметь конечное или бесконечное характери-
характеристичное число.
Приведем примеры.
Для всякой отличной от нуля постоянной характе-
характеристичное число есть нуль, а для нуля +оо.
Для функции tm (m—постоянная) характеристичное
число равно 0.
t cos —
1
Для функции е 1 характеристичное число равно — 1,
» е 1 » » » +1,
» gdb* sin t yy » » • 1
» » » — е,
» » t * » » » + со.
Примечание. Вообще если f(t) есть такая веществен-
вещественная функция t, a X такая вещественная постоянная,
что величину
IWWI
надлежащим выбором значений t, больших произ-
произвольно заданного предела, можно сделать насколько
угодно малою, и если притом для всякого доложи-

40 A. M. ЛЯПУНОВ
тельного постоянного г, как бы оно мало ни было,
можно найти такой предел Т, что
для всех значений t, больших Т, то X есть характери-
характеристичное число функции
При доказательстве следующих предложений мы
ограничиваемся случаем, когда характеристичные числа
данных функций конечны. Но из этих предложений лем-
леммы IV, V и VIII можно будет считать справедливыми
и для всех случаев бесконечных характеристичных
чисел, в которых они не утрачивают определенного
смысла.
Лемма IV. Характеристичное число суммы двух
функций равно наименьшему из характеристичных
чисел этих функций, когда эти числа различны, и не
менее их, когда они равны.
В самом деле, пусть \г и Х2 суть характеристич-
характеристичные числа функций хг и х2, и пусть Xj<X2.
Тогда функции
будут исчезающими для всякого отрицательного з.
Такою же будет поэтому и сумма их. Если же притом
К < ^2» то ПРИ
первая из этих функций будет неограниченною, вто-
вторая исчезающею, а следовательно, сумма их неограни-
неограниченною. Но тогда последняя будет неограниченною,
и для всякого положительного г.
Поэтому характеристичное число функции хг + х2,
будучи во всяком случае не менее \г, при послед-
последнем условии равно кг.
Примечание. Когда слагаемые функции, имеющие
равные характеристичные числа, таковы, что отноше-

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 41
ние их есть величина чисто мнимая или вообще ком-
комплексная с постоянным аргументом, отличным от не-
нечетной кратности тг, то характеристичное число суммы
всегда равно характеристичному числу слагаемых.
Лемма V. Характеристичное число произведения
двух функций не менее суммы их характеристичных
чисел.
В самом деле, если \г и Х2 суть характеристичные
числа функций хх и х2У то функция
) t =
5")
есть исчезающая для всякого отрицательного е.
Что характеристичное число произведения может
быть более суммы характеристичных чисел произво-
производителей, достаточно ясно видно из приведенных выше
примеров.
Следствие. Сумма характеристичных чисел функ-
функций х и — не более нуля.
Лемма VI. Если
где г = |/ — 1, a f я <р суть некоторые вещественные
функции t, то для того, чтобы сумма характеристич-
характеристичных чисел функций х и — была равною нулю необ-
ходимо и достаточно, чтобы функция f с беспредель-
беспредельным возрастанием t приближалась к некоторому
пределу.
Достаточность сказанного условия очевидна, ибо
если функция / с беспредельным возрастанием t стре-
стремится к некоторому пределу, то последний служит
характеристичным числом функции х.
Что же касается его необходимости, то она следует
из того, что если л и — л суть характеристичные числа
функций х и —, то при всяком данном доложитель,-

42 A. M. ЛЯПУНОВ
ном г, как бы оно мало ни было, обе функции
будут исчезающими; а последнее возможно только при
условии, что
I X — / | < з
для всех значений ty больших некоторого достаточно
большого предела.
Лемма VII. Если суммахарактеристичных чисел
функций х и — равна нулю, то характеристичное
число произведения z из функции х и какой-либо функ-
функции у равно сумме характеристичных чисел этих
последних.
В самом деле, пусть X, |а, S суть характеристичные
числа функций х, у, z и пусть характеристичное число
функции — равно — X.
Тогда, прилагая лемму V к каждому из двух равенств
найдем
откуда
Пусть х есть интегрирующаяся функция t.
Означая через tx какое-либо не меньшее t0 дан-
данное число, рассмотрим интеграл
и=\ xdty
если характеристичное число функции до отрицательно

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 43
или равно нулю, и интеграл
со
и= \ xdt,
если это характеристичное число положительно.
Тогда докажется следующее предложение.
Лемма VIII. Характеристичное число интег-
интеграла не менее характеристичного числа подинтег-
ралъной функции.
Пусть К есть характеристичное число функции х.
Тогда функция
при всякой положительной постоянной г\ будет исчеза-
исчезающею и, следовательно, ограниченною. Означим через
М высший предел ее модулей для t > tQ.
При 1 > 0 и г] < к будем иметь
t
откуда следует, что
есть исчезающая функция при всяком е, большем ri#
Но у\ можно предполагать насколько угодно малым.
Поэтому предыдущая функция есть исчезающая при
всяком положительном з.
При Л < 0 будем иметь
откуда следует, что

44 А. М. ЛЯПУНОВ
есть исчезающая функция при всяком г, большем т),
а, следовательно, и при всяком положительном з.
Далее нам придется рассматривать группы, состо-
состоящие из нескольких функций. При этом мы введем по-
понятие о характеристичном числе группы, называя так
наименьшее из характеристичных чисел функций, со-
составляющих группу.
7. Характеристичные числа решений линейных
дифференциальных уравнений. Рассмотрим систему
линейных дифференциальных уравнений
dx
Sf = PslXl + Ps2X2 + • • • + PsnXll E=1,2,..., /l), A5)
предполагая, что все коэффициенты pSo определенным
образом заданы по крайней мере для всех значений t,
не меньших некоторого предела tQt и представ-
представляют непрерывные и ограниченные вещественные функ-
функции t.
Говоря о каком-либо решении этой системы урав-
уравнений, будем подразумевать, что речь идет о группе п
функций
совокупно удовлетворяющих этим уравнениям (а сле-
следовательно, определенных и непрерывных) и^жвсяком t,
не меньшем t0. Такие группы функций, как уже было
замечено раньше, всегда могут быть наддены. Притом
всегда найдется п таких групп, которые составят
систему п независимых решений.
Теорема I. Всякое решение системы дифферен-
дифференциальных уравнений A5), отличное от очевидного
имеет конечное характеристичное число [*].
Будем рассматривать только решения, в которых
не все функции xs тождественно равны нулю. При этом
сначала рассмотрим решения вещественные, т. е. такие,
в которых все xs суть вещественные функции t.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА OB УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 45
Разумея под X некоторую вещественную постоян-
постоянную, положим:
za = x8e" (s=l, 2, ..., n). A6)
Тогда уравнения A5) преобразуются в следующие:
-^ = Ps*zi + Ps2*2 + • • • + (Pss + М Zs + • • • + PsnZn
(s=l, 2, ..., ri),
из которых выведем:
f я 2 zS=2 (a,+x) ^+2
предполагая, что вторая сумма во второй части равен-
равенства распространена на всевозможные различные
комбинации различных чисел s и а, взятых из ряда
1, 2, ..., п.
Вторая часть последнего равенства есть некоторая
квадратичная форма величин z19 z2, ..., zn, в которой
коэффициенты зависят от к и t. Притом в силу пред-
предположенной ограниченности функций poS зависимость
эта такова, что, очевидно, всегда можно найти такие
значения X, при которых эта форма будет положитель-
положительною для всех рассматриваемых значений ?, оставаясь
всегда больше формы
±N(z* + z*+...+z*n) A7)
при произвольно заданном положительном постоян-
постоянном N. Также очевидно, что можно найти и такие зна-
значения X, при которых для тех же значений /этаформа
будет отрицательною, оставаясь всегда численно боль-
большей формы A7).
При всяком X первого рода получим неравенство

46 A. M. ЛЯПУНОВ
из которого, означая через С некоторую положитель-
положительную постоянную, выведем
2 zl > CeNt
для всякого ty большего некоторого предела.
При значении X второго рода будем иметь
откуда (если С попрежнему означает положительную
постоянную)
также для всякого t, большего некоторого предела.
Поэтому в первом случае величина ^ zl c беспре-
беспредельным возрастанием t будет беспредельно возрастать;
во втором она будет приближаться при этом к пре-
пределу, равному нулю.
Таким образом убеждаемся, что можно найти как
такие значения X, при которых в группе функций A6)
непременно находятся неограниченные, так и такие,
при которых все эти функции суть исчезающие.
Отсюда на основании предыдущего заключаем, что
в каждом вещественном решении
отличном от очевидного хл —х2= .. . — хп — 0, непре-
непременно найдутся функции с конечными характеристич-
характеристичными числами и не найдется ни одной с характери-
характеристичным числом—оо. Поэтому характеристичное число
группы функций A8) всегда конечно.
Чтобы обнаружить справедливость теоремы вообще,
достаточно теперь только заметить, что всякое решение
х1=и1-}гу — 1 v19 х2 =г и2 + у — 1 и2, . ..
...,xn = un + V~^n A9)

6ЁЩАЙ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 4?
системы уравнений A5) будет составлено из Двух веще-
вещественных решений
и1У и2, ..., ип, \
v19 v2, ..., vn J
той же системы, и что на основании леммы IV и сделан-
сделанного к ней примечания характеристичное число группы
функций A9) равно характеристичному числу группы
функций B0).
Примечание. Мы предполагали все коэффициенты /?.SJ
в уравнениях A5) вещественными. Но доказав теорему
в этом предположении, ее, очевидно, легко распростра-
распространить и на случай комплексных josa, лишь бы только
это были непрерывные и ограниченные функции t.
Поэтому все предложения, доказываемые далее отно-
относительно уравнений A5), будут справедливы и в случае
комплексных коэффициентов.
Пусть для уравнений A5) найдено к решений
B1)
Полагая,
xs = Cxxsl + C9xs2 + ... + Ckxsk E = 1, 2, . . ., /г),
где С19 С2, ..., Ск суть некоторые постоянные, из ко-
которых ни одна не нуль, мы будем говорить, что решение
Х^у Х%, . . ., Хп
есть линейная комбинация решений B1).
Из леммы IV следует, что характеристичное число
решения, представляющего линейную комбинацию
нескольких решений, не менее характеристичного
числа системы комбинируемых решений (т. е. характе-
характеристичного числа группы функций, составляющих
систему решений) и равно этому числу, когда характе-

48 А. М- ЛЯПУНОВ
ристичные числа всех комбинируемых решений раз-
различны.
Из последнего выводим, что всякие решения (ко-
(конечно отличные от хг = х2 = .. . ~хп — 0), характери-
характеристичные числа которых различны, суть независимые.
Отсюда заключаем о справедливости следующего
предложения.
Теорема П. Система уравнений A5) не может
иметь больше п решений, отличных от очевидного
х^ = х2 — • . • = хп = U,
характеристичные числа которых были бы все раз-
различными.
Везде далее будем рассуждать только о решениях,
в которых не все функции х тождественно равны нулю.
8. Нормальные системы решений. Пусть для си-
системы уравнений A5) найдена какая-либо система п
независимых решений. Составляя из последних всевоз-
всевозможные линейные комбинации, мы можем вывести из
этой системы всякую другую полную систему незави-
независимых решений.
Допустим, что всякая найденная система п незави-
независимых решений преобразовывается в другую по сле-
следующему правилу: каждый раз, когда из каких-либо
решений этой системы может быть составлена линейная
комбинация, характеристичное число которой было бы
более характеристичного числа группы комбинируе-
комбинируемых решений, одно из последних, а именно одно из тех,
характеристичные числа которых равны характери-
характеристичному числу группы, заменяется в рассматриваемой
системе этой линейной комбинацией.
Так как число различных характеристичных чисел,
которыми могут обладать решения системы уравне-
ний A5), ограниченно, то, поступая таким образом,
мы получим наконец систему п решений такого свой-
свойства, что всякая линейная комбинация всяких входящих
в ее состав решений будет обладать характеристичным
числом, равным характеристичному числу группы ком-
комбинируемых решений.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 49
Всякую такую систему п решенцй (которые оче-
очевидно независимы) будем называть нормальною.
Вследствие предполагаемой нами вещественности
коэффициентов pSQ в уравнениях A5), для уравнений
этих можно найти систему п вещественных независимых
решений. Исходя из такой системы и при составлении
линейных комбинаций пользуясь только веществен-
вещественными коэффициентами, мы могли бы получить систему п
решений, удовлетворяющую предыдущему требованию
для всяких линейных комбинаций с вещественными
коэффициентами. Но тогда эта система будет удовле-
удовлетворять этому требованию и для линейных комби-
комбинаций с какими угодно коэффициентами (лемма IV,
примечание). Система эта будет, следовательно, нор-
нормальною.
В силу этого замечания мы можем в случае надоб-
надобности, все функции, входящие в состав нормальной
системы, предполагать вещественными.
Из определения нормальной системы следует, что
если возможно найти систему п решений, характери-
характеристичные числа которых были бы все различны, то эта
система есть нормальная.
Из того же определения выводится следующее
предложение:
Теорема I. Пусть найдена какая-либо си-
система п независимых решений
и пусть из нее выведена новая
Zl2> *22' •'" ' Zn2> B2)
4 A.M. Ляпунов

50 AM.ЛЯПУНОВ
в которой вообще
Zsk === Xsk + ^l^sfc+l + ak2,Xsk + 2 + • • • + аАП-Атг>
a aia.y a&2> • • • » 7<kn-k суть такие постоянныеy что харак-
характеристичное число всякого решения
Xli Xil"> ' • • > ХЮ
в котором
Xs — Xsk + $lXsk + l + ?2Xskr2 + • • • + $n-kXsn>
a Pi> ?2> •••> P/i /с какие-либо постоянные, не более
характеристичного числа решения
Тогда система решений B2) есть нормальная.
Для доказательства замечаем, что если бы система
B2) не была нормальною, то между решениями ее можно
было бы найти группу таких, которые, обладая общим
характеристичным числом X, могли бы доставлять
линейные комбинации с характеристичным числом,
превосходящим X. Но по самому определению вели-
величин zsk, таких решений в системе B2), очевидно, нельзя
найти.
Пусть к есть число всех различных характеристич-
характеристичных чисел, которыми могут обладать решения уравне-
уравнений A5), и пусть
^и Х2, .. . , кк
суть все эти числа.
Означим через ns число решений с характери-
характеристичным числом Xs, входящих в состав вообще какой-
либо системы п независимых решений. Некоторые
из чисел ns могут быть и нулями. Но они во всяком
случае будут таковы, что
Щ 2 + к — п-
Предполагая

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 51
означим еще через Ns точный высший предел числа
независимых решений с характеристичным числом Xs,
допускаемых системою уравнений A5). Очевидно будем
иметь:
#i > N, > ... > Nk9
Л\ = п, ns + n8+1+... + nk<N8 (s=l, 2, ...,к).
При этом докажутся следующие предложения:
Теорема II. Для всякой нормальной системы
решений
В самом деле, всякое решение есть линейная ком-
комбинация некоторых решений нормальной системы.
А по свойству этой системы решение, обладающее
характеристичным числом Xs, может быть линейною
комбинацией только тех решений нормальной системы,
характеристичные числа которых не менее Xs. Поэтому
число допускаемых системой уравнений A5) независи-
независимых решений с характеристичным числом ks не может
быть более величины
соответствующей нормальной системе; а потому для
последней
откуда и следует справедливость теоремы.
Теорема III. Сумма
S = иЛ + п2к2 + ... + пк)^
характеристичных чисел всех решений, входящих в со-
состав системы п независимых решений, для нормальной
системы достигает своего высшего предела.
В самом деле, полагая
4*

52 A. M. ЛЯПУНОВ
найдем:
S - nl, + TV; A,-1,) + N'3 (К - ).а) + ... + N'k (lk - V,).
Но мы только что видели, что для нормальной
системы каждое из чисел N's достигает своего высше-
высшего предела Ns. А потому, замечая, что в этом выраже-
выражении S коэффициенты при величинах N'2, N'3.y .. . , Nk все
положительны, и убеждаемся в справедливости
теоремы.
Теорема IV. Всякая система п независимых,
решений, для которой сумма характеристичных чисел
всех составляющих ее решений достигает своего высшего
предела, есть нормальная.
Теорема следует из самого определения нормальной
системы, ибо если бы возможно было из каких-либо
решений рассматриваемой системы составить линейную
комбинацию, характеристичное число которой было бы
более характеристичного числа группы комбинируемых
решений, то можно было бы найти систему п незави-
независимых решений, для которой сумма всех характери-
характеристичных чисел была бы более, чем для рассма-
рассматриваемой.
Теорема V. Сумма характеристичных чисел
независимых решений системы уравнений A5) ни в коем
случае не превосходит характеристичного числа функции
п
I 2 pss dt
е s=1
В самом деле, если А есть определитель, соста-
составленный из каких-либо п независимых решений, то
где С — некоторая постоянная. А на основании лемм IV
и V характеристичное число А не менее
пгК + п212 + ... + nk\k.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 53
Следствие. Всякая система п независимых
решений, для которой сумма характеристичных чисел
всех решений равна характеристичному числу функции
есщь нормальная.
Следует однако иметь в виду, что не всегда можно
найти систему п независимых решений, для которой
имело бы место только что сказанное равенство.
Так, например, если имеем систему уравнений
^l = Xl cos In t + x2 sin In t,
¦37 = #1 sin In t + x2 cos In t,
то при надлежащем определении произвольной постоян-
постоянной будем иметь:
J 5j Pss dt t(sin In t + cos In t)
e *-* = e '
что представляет функцию с характеристичным чис"
лом —|/2. Притом для этих уравнений находим систе-
систему решений
Х^ Хо
pi sin In i pt sin In t
gt cos In / pi cos In f
которая, как нетрудно убедиться, есть нормальная,
а между тем для нее сумма характеристичных чисел
(равная—2) менее предыдущего числа.
9. Правильные и неправильные системы уравне-
уравнений. Мы знаем (лемма V, следствие), что сумма ха-
характеристичных чисел функций
не более нуля.

54 А. М. ЛЯПУНОВ
Поэтому, если [а есть характеристичное число второй
из этих функций, то сумма S характеристичных чисел
решений нормальной системы не может превосходить
числа —[х. Притом равенство S= — ji возможно только
при условии, что сумма характеристичных чисел рас-
рассматриваемых двух функций равна нулю.
Это равенство
S + р. =. О
для уравнений с постоянными или периодическими
коэффициентами действительно имеет место. Но может
иметь место и во многих других случаях.
Вообще при существовании сейчас сказанного равен-
равенства систему линейных дифференциальных уравне-
уравнений A5) мы будем называть правильною, а в противном
случае—неправильною.
Так, например, система уравнений
¦JS- ^ хг cos at + %2 Б*п bt>
-~=^х1 sin bt + #а cos at
есть правильная, каковы бы ни были вещественные
постоянные а и Ь.
В конце предыдущего параграфа был приведен
пример неправильной системы уравнений.
Чтобы дать пример более общего характера, рас-
рассмотрим следующую систему:
dx2
B3)
ТИТ = P™Xi + Pn*** + ¦¦¦+ PnnXn> J
dx
в которой уравнение, содержащее производную -=?
не содержит функций xs>, для которых sf > s%

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 55
Относительно систем уравнений такого вида (в пред-
предположении, что коэффициенты psz удовлетворяют преж-
прежним условиям) докажется следующее предложение.
Теорема. Для того, чтобы система уравне-
уравнений B3) была правильною, необходимо и достаточно,
чтобы сумма характеристичных чисел функций
была равною нулю для всякого s.
Докажем сначала необходимость этого условия.
Для уравнений B3) находим следующую систему п
независимых решений:
= 2,3, ...,
2) Xl = 0, x2 =
i=2
n) xx = x2 = ... = xn.x = 0, ж„ = с/"""*.
Чтобы остановиться на чем-либо определенном,
будем предполагать, что здесь все интегралы
встречающиеся в показателях, обращаются в нуль
при t = t0. Что же касается остальных интегралов,
то предположим их такими, чтобы в каком-либо к-ом
решении функции

56 A. M. ЛЯПУНОВ
обращались при t = tQ в некоторые данные постоянные
a/ci> а/с2> • • • > а/сл-/с
Тогда, если
^i/о ^2/с» • • • > %пк
есть А-ое решение рассматриваемой системы в предполо-
предположении, что все а равны нулю, то для того же А-го реше-
решения, не делая этого предположения, найдем:
ZS = Xsk + 4l ZskU + ЧЛк+2 + • • • + «Ал-Ал
(s = l,2, ... ,n).
Отсюда на основании теоремы I предыдущего параг-
параграфа заключаем, что при надлежащем выборе постоян-
постоянных а рассматриваемая система решений будет нор-
нормальною.
Предполагая эти постоянные таким образом выбран-
выбранными, означим характеристичные числа рассматри-
рассматриваемых решений соответственно через
f^i, Pa» ••• ,fV
Кроме того, означим
характеристичное число функции e^Psiidt через л5,
E-1,2, ... ,п),
Очевидно, будем иметь:
Ъ<4 (*=1,2, ... ,тг).
Поэтому, если допустим, что система B3) есть пра-
правильная, что приведет к равенству

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 57
и -заметим, что в силу леммы V сумма 2 К не может
быть более S, то найдем:
2 >., = ?.
Но вследствие того же допущения имеем
Поэтому на основании леммы VII заключаем, что
характеристичное число функции
равно ^ + ^, и что, следовательно (лемма V):
откуда вследствие только что найденного равенства
выводим:
Но сумма ^k + Kk не может быть положительною;
а потому
>* + >* = О,
чем и доказывается необходимость высказанного в тео-
теореме условия.
Для доказательства достаточности этого условия
поставим требования, которым должны удовлетворять
постоянные а, несколько иначе. А именно, допустим,
что постоянные эти выбраны таким образом, чтобы
каждый интеграл вида
S-1
в котором характеристичное число подинтегральнои
функции положительно, с беспредельным возраста-
возрастанием t стремился к нулю. Тогда в рассматриваемой

58 A. M. ЛЯПУНОВ
системе решений каждый интеграл такого вида будет
обладать характеристичным числом, не меньшим ха-
характеристичного числа подинтегральной функции
(лемма VIII).
Поэтому, если допустим, что
>ч + >;=о (s=i, 2,..., л),
и рассмотрим какое-либо к-ое решение (в котором
хих2, ...,хк1 равны нулю), то, замечая, что в этом
решении характеристичным числом функции хк
служит \ki легко убедимся, что характеристичные числа
всех остальных входящих в него функций не менее кк.
Отсюда следует, что \к есть характеристичное
число к-го решения.
Но мы имеем вообще
а вследствие допущенного
Поэтому получаем равенство
из которого выводим, 1) что система уравнений B3)
есть правильная и 2) что найденная для нее система
решений есть нормальная.
Примечание. На основании леммы VI выраженное
в теореме условие равносильно следующему: каждая
из функций
1С
pssdt (s = l, 2, . . ., п)
(а если бы коэффициенты pss были комплексными вели-
величинами, то вещественная часть каждой из этих функ-
функций) с беспредельным возрастанием t должна прибли-
приближаться к некоторому пределу,

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 59
10. Приводимые системы уравнений. Пусть
)ч, J, . . ., \к суть всевозможные различные характе-
характеристичные числа решений уравнений A5), и пусть ns
есть число решений, обладающих характеристичным
числом Xs, в нормальной системе. Мы условимся при
этом говорить, что система этих уравнений обладает
пх характеристичными числами, равными \1У
п2 » » » Х2,
Таким образом всякой системе п линейных диффе-
дифференциальных уравнений рассматриваемого вида будет
соответствовать группа п характеристичных чисел,
между которыми могут быть и равные.
Пусть система уравнений A5) преобразовывается
при помощи линейной подстановки
h = & А + gS2x2 + • • • + qSnxn (s = 1, 2, . .., и),
обладающей следующими свойствами: все коэффи-
коэффициенты qsv суть непрерывные и ограниченные функ-
функции t, их первые производные суть функции такого же
характера, и величина, обратная составленному из
этих коэффициентов определителю, есть ограниченная
функция L
При таком преобразовании коэффициенты в преоб-
преобразованных уравнениях будут обладать теми же основ-
основными свойствами, что и в первоначальных.
Нетрудно доказать, что группа характеристичных
чисел преобразованной системы уравнений всегда будет
тождественной с группою характеристичных чисел
первоначальной.
В самом деле, по свойству рассматриваемой под-
подстановки не только ее коэффициенты, но и коэффици-
коэффициенты обратной подстановки суть ограниченные функ-
функции t. Поэтому, если при посредстве соотношений
между функциями х и функциями z из какого-либо
решения одной системы уравнений выведем решение

60 A, M. ЛЯПУНОВ
другой, то оба эти решения будут обладать одним
и тем же характеристичным числом. А отсюда (в силу
понятия о нормальной системе решений) следует, что
всякое число, встречающееся известное число раз
в группе характеристичных чисел одной системы
уравнений, необходимо встретится такое же число раз
и в группе характеристичных чисел другой.
Таким образом характеристичные числа системы
линейных дифференциальных уравнений по отношению
к рассматриваемым преобразованиям обладают свой-
свойствами инвариантов. Теми же свойствами по отноше-
отношению к этим преобразованиям обладают и характери-
характеристичные числа функций
Поэтому преобразованная система уравнений всегда
будет того же рода (т. е. правильная или неправиль-
неправильная), как и первоначальная.
Система уравнений A5) может быть такова, что
подстановкой рассматриваемого характера, надлежа-
надлежащим образом выбранной, ее можно преобразовать
в систему уравнений с постоянными коэффициентами.
В этом случае систему уравнений A5) мы назовем
приводимою.
Из замеченного сейчас следует, что приводимыми
могут быть только правильные системы уравнений.
Мы покажем далее (глава III), что всякая система
уравнений A5), в которой все коэффициенты суть
периодические функции t с одним и тем же веществен-
вещественным периодом, есть приводимая.
Рассмотрим какую-либо систему A5).
Пусть >чХ, Х2, ...Дп суть все ее характеристичные
числа (между ними могут быть и равные), и пусть

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 61
есть найденная для нее нормальная система решений,
в которой /-ое решение обладает характеристичным
числом X/.
Означая через .л определитель, составленный из
функций Xfj, допустим, что все функции
-J* ' , хиех? (*, /=1,2,..., и)
суть ограниченные.
Можно показать, что при этом условии система
уравнений A5) есть приводимая.
В самом деле, означая минор определителя А,
соответствующий элементу xtj, через Д1;-, из предыду-
предыдущего условия выводим, что все функции
суть ограниченные. Такими же будут поэтому и их
первые производные по t, ибо известно, что функции
при всяком / удовлетворяют системе линейных диф-
дифференциальных уравнений, присоединенной к систе-
системе A5).
Поэтому подстановка
— Л ] '
обладает всеми свойствами рассматриваемых здесь
подстановок, а при помощи нее система A5) преобра-
преобразовывается в систему уравнений
^ + Ms = ° (s=l, 2, .. .,л)
с постоянными коэффициентами.

A. M. ЛЯПУНОВ
О НЕКОТОРОМ ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
11. Определение некоторого нового типа рядов,
расположенных по степеням постоянных произволь-
произвольных. Обращаемся теперь к уравнениям A).
Рассматривая попрежнему только вещественные зна-
значения ?, не меньшие некоторого предела t0, будем
предполагать в этих уравнениях все коэффициенты
Pso> Ps mi> Ш2) •••'тп) непрерывными и ограниченными
вещественными функциями t. Притом будем предпола-
предполагать, что могут быть найдены такие положительные по-
постоянные М и А у при которых для рассматриваемых
значений t будут справедливы неравенства
| р (mi, m2, ..., тп) J <
...-fmn '
Допустим, что система дифференциальных уравне-
уравнений, соответствующая первому приближению, есть
правильная и что
суть характеристичные числа этой системы.
Мы покажем, что, выбирая из этих чисел какие-
либо к
\19 Х2, ... ,ХЛ, B4)
можно составить формально удовлетворяющие урав-
уравнениям A) и содержащие к постоянных произвольных
ряды следующего вида:
, 2, ...,гс),

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 63
где Lsfmi> m-2 тк) СуТЬ не зависящие от постоянных at
непрерывные функции t, характеристичные числа
которых не менее нуля, причем суммирование распро-
распространяется на все целые неотрицательные значения
чисел т1, т2, ...,тк, подчиненные условию
tffci + т.2 +¦ . .. + тк > 0.
Мы будем затем исключительно рассматривать тот
случай, когда выбранные характеристичные числа B4)
все положительны, и в этом предположении покажем,
что при всяких а1? а2, . ..,аЛ, модули которых не пре-
превосходят некоторого предела, ряды B5) будут абсолютно
сходящимися и представят функции, действительно
удовлетворяющие уравнениям A) для всех значений t
превосходящих tQ.
Обращаемся к формулам § 3.
Допустим, что система частных решений уравне-
ний F), которою мы там пользовались, есть нормаль-
нормальная и что решение
обладает характеристичным числом Xs (s —1, 2, ..., ??).
Полагаем
х(8" = a^sl + a2#s2 + . . . + akxsk (.9=1, 2, . . ., п).
Затем интегрируем системы уравнений G), соот-
соответствующие т=2, 3, ...
В § 3 мы при этом предполагали, что все функ-
функции х(т\ для которых т > 1, должны обращаться в нуль
при t = t0.
Здесь более не будем удерживать этого предполо-
предположения, а взамен того примем следующее правило.
Допустим, что все функции хкх\ для которых
р. < т, найдены и представляют относительно постоян-
постоянных at целые однородные функции р.-ой степени. Тогда
функции Н[т\ по свойству своих выражений через
величины х№у представятся относительно тех же

64 А. М. ЛЯПУНОВ
постоянных под видом целых однородных функций
m-ой степени.
Пусть
где Т суть функции t, не зависящие от постоянных as.
Тогда, делая
lV8 " — Zj Zj ^
) ~/T ** ^ ^ -" ai 1Л2 " * ' ' a*A J '/ mi> ^^ '"' т^ ^
каждый из интегралов
в котором подиитегралъная функция обладает поло-
положительным характеристичным числом, будем брать
в пределах от -\- оо до t. Что же касается тех, для кото-
которых характеристичные числа подинтегральных функ-
функций отрицательны или нули, то, вообще делая
__- С Т^?*1' Ш2> ••• » mk^dt JL.
Ш2)
будем только предполагать, что постоянным С припи-
приписываются какие-либо не зависящие от постоянных as
определенные значения.
Рассматриваемые интегралы будут при этом обла-
обладать характеристичными числами, не меньшими харак-
характеристичных чисел соответствующих подинтегральных
функций (лемма VIII).

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 65
Руководствуясь сказанным правилом, начиная от
иг =; 2, для всех ^т) получим выражения, целые и одно-
однородные относительно постоянных а,, а2, . . . , аЛ.
Пусть в этом предположении составлены ряды
xs=xi1) + x?)+... (* = 1, 2, ... ,/г).
Желая придать им вид B5), мы должны будем
сделать:
j (mi, m-2, ... , т^)
к
i=i /=i
Отсюда нетрудно заключить, что характеристичные
числа функций Ls(/??b ™2' '" ' тк) не менее нуля.
В самом деле, вследствие сделанного допущения,
что система уравнений F) есть правильная, характери-
стичное число функции -г равно
д..
а потому характеристичное число функции —~ не
менее —-X/.
Вследствие этого, если допустим, что сейчас ска-
сказанное относительно функций L справедливо для всех
тех из них, для которых
тх + т2 + .. . + тк < т,
то по свойству величин R^ заключим (леммы IV, V),
что характеристичное число функции T\fl} m'2> •••' тк^>
для которой
tf*i + ^2 + • • • + тк = т>
5 А, М. Ляпунов

A. M. ЛЯПУНОВ
а следовательно, и характеристичное число интеграла
>/П2 ть) dt
\
не менее
Отсюда же выведем, что характеристичное число
всякой функции L, для которой сумма значков т{
равна т, не менее нуля.
Поэтому рассматриваемое свойство функций L,
будучи справедливым в случае ^mt=-l, справедливо
вообще.
Примечание. Чтобы притти к такому результату,
очевидно нет надобности при составлении рядов B5)
интегрировать в пределах от + оо до t непременно
каждую из функций Т{™1} m2t "'' m^ с положительным
характеристичным числом. Достаточно интегрировать
в таких пределах только те из них, для которых
иг^ + щК + • • - + тк\к — ' / > 0.
12. Теорема о сходимости рядов. Переходя теперь
к вопросу о сходимости рядов B5), будем предпола-
предполагать, что все взятые для составления их характери-
характеристичные числа B4) положительны.
При этом для упрощения исследования примем
*0 = 0.
Тогда докажется следующее предложение.
Теорема. Если, разумея под в некоторую поло-
положительную постоянную, сделаем
0Lse-as-s)t==qs (*=1, 2, ... ,*)
а величины as в рядах B5) заменим следующими отсюда
их выражениями, то получим новые ряды
1"ГЛ'""т*'9?1ЯР.--№ B6)

ОБЩАЯ САДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИИ 6?
расположенные по восходящим степеням величин qs,
которые будут такого свойства, что при всяком с,
как бы оно мало ни было, найдутся такие положитель-
положительные постоянные Qrmi> m2' ••• > mk\ при которых для всех
неотрицательных значений t будут справедливы нера-
неравенства
\n(mi> ™2> ... , тк) | ^ /^(mi, m2, •••>тк)
а ряд
будет абсолютно сходящимся, пока модули величин qs
не превосходят некоторого отличного от нуля предела q.
Будем рассматривать только такие положительные
значения е, которые менее каждого из чисел
Тогда найдется такое целое положительное число /,
что все выражения
Щ (>ч — 3) -I- Щ (К ~ г) + • • • + тк (К — •) — ^/ + е
(/=1, 2, ... , и)
при всяких целых неотрицательных ти т29 . .. , тк,
удовлетворяющих условию
тч + то + . .. + тк > /,
будут более некоторой произвольно заданной поло-
положительной величины Н.
Пусть 71 есть некоторая положительная постоянная,
меньшая г.
Все функции
m2 mk) e-
будут исчезающими. Поэтому для модуля каждой
из них может быть назначен некоторый постоянный
высший предел, годный для всех положительных зна-
значений t.
5*

68 A. M. ЛЯПУНОВ
Пусть такие пределы, которые притом предположим
не зависящими от s и означим через Q^wv "V ••• »"V,
найдены для всех тех из них, для которых
т1 + т2 + . . . + тк < I.
Между ними будут между прочим функции
Если же предположим еще т| > —, то и для модулей
функций
найдутся подобные высшие пределы.
Пусть К ж К' суть такие постоянные, что
для всяких i и /, взятых из ряда 1, 2, 3, . .. , и, и для
всякого положительного t.
Для определения высших пределов модулей тех
из величин B8), для которых сумма значков ти
т2> • • • > тк не менее /, обращаемся к формулам
п п t
(s = l,2, ...,n), B9)
в которых, согласно принятому нами правилу, все
интегрирования производятся в пределах от + сю до t,
ибо при т>1 характеристичные числа всех подинтег-
ральных функций будут положительны.
Пусть
где Щт1> т2> •••» m/f) суть величины, не зависящие от
постоянных as.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 69
Тогда, полагая для сокращения
т^ + т3/ч2 + • • • + тк\к — тг = 7V,
из B9) выведем:
pbni, m2, ... , тк) __
п п оо
= -eNt S 2 ж-/ $ -?e-NtRimi'm* mk>dt. C0)
z=l/=l t
Допустим, что, пользуясь такими формулами, мы
нашли годные для всех положительных значений t
высшие пределы модулей всех величин
^'^'-'Ч C1)
для которых сумма значков у,, р3, . .. , \ьк менее т,
и что эти пределы и для случаев, когда
Pi + \Н + • • • + Рк > h
получены нами под видом:
где ^l*lf м'2' *" ' ^^^ суть постоянные величины.
При помощи этих пределов составим высшие пре-
пределы модулей для всех fl[mi'm2 тл), фигуриру-
фигурирующих в формулах C0).
Для этого замечаем, что по свойству выражений R^
величина др»1 тк> представляет целую функцию
т-ож степени от тех из величин C1), для которых
сумма значков ps менее т, а коэффициенты в ней суть
линейные формы с положительными коэффициентами тех
из величин
Р(»»^ *»\ C2)
для которых сумма значков у19 р.2, .. ., \>.п не более т.
Притом относительно величин C1) степень каждого
члена этой функции не ниже второй.

70 A. M. ЛЯПУНОВ
Отсюда следует, что если /?'ть ^2,...»т*) есть п0_
стоянная, в которую обращается каждая из функций
D(mi, Ш2 m,\ r>(mi>n*2 injfc) г?(^1» /пг, ..., т&)
Л1 к>, Щ , . . . , /Тп
после замены в ней величин C2) некоторыми не завися-
зависящими от i высшими пределами их числовых значений
для всех положительных значений t, а величин C1) —
величинами (?>ь ^2, ..., цА)? т0 для всех таких значе-
значений t будут справедливы неравенства
Вторые части их и примем за искомые высшие
пределы.
Пользуясь всеми найденными высшими пределами,
выведем из C0) следующее неравенство:
со
справедливое для всякого положительного ?. Замечая,
что
и что, следовательно,
оо
) < ^-(N-4 + 01,
можем заменить это неравенство следующим:
m2, ..., mk) e-rtt
Отсюда заключаем, что можно положить
Л(т1, т2, ..., mk) n2KKf р(тп11 Ш2, ..., т/с)
V ""Я
для всяких т,, т2, . ..,mfc, сумма которых не менее/.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 71
Но, выбирая достаточно большие величины для К
и К' или достаточно малую величину для //, очевидно,
можем достигнуть того, что величины Q, определяемые
по этой формуле для значков, удовлетворяющих условию
1 < т1 + т2 + ... + тк < /,
будут не менее тех, которые мы нашли для них
раньше.
Поэтому, заменяя последние, если это необходимо,
большими величинами и означая через G некоторую
достаточно большую положительную постоянную, мо-
можем сделать
для всяких mlt m2, ...,тк, сумма которых больше 1.
Для тех же, сумма которых равна 1, можем положить
Q{mltm2 тк) __ g
Означим сумму
распространенную на все целые неотрицательные числа
т1У т2, .. ., ткУ удовлетворяющие условию
через х'м\ Тогда для т > 1 равенство C3) приведет
к следующему:
где /?(ш) есть то, во что обращается^™ г осле замены
величин #s величинами х^ и величин C2) вышепри-
вышепринятыми высшими пределами.
При этом ряд
x'U + x<V + xfV+ ..., C4)
расположенный по восходящим степеням Беличий qs,
будет обладать членами, модули которых более модулей

72 A. M. ЛЯПУНОВ
соответственных членов каждого из рядов B6) для
всякого положительного t (они будут даже более этих
модулей, умноженных на e^f).
Но ряд C4) можно рассматривать как расположен-
расположенный по восходящим степеням величины
и если, согласно замеченному в предыдущем параграфе
за высший предел числовых значений величин C2)
примем следующую
М
то ряд этот, по существу, не будет отличаться от того,
к исследованию которого привелся вопрос в § 4.
Поэтому, если остановимся на такой гипотезе, то
наверно найдется такай положительная величина q,
что для всяких g,, q2, . . ., qki удовлетворяющих усло-
условиям
\qs\<q (s = l,2f ... ,fc),
ряд C4) будет абсолютно сходящимся.
Теорема, следовательно, доказана.
Следствие. Можно найти такую положи-
положительную постоянную а, что при всяких alt а2, .. ., аА,
удовлетворяющих условиям
|ав|<а E=1, 2, ... , *),
и для всякого неотрицательного t ряды B5) будут
абсолютно сходящимися, представляя притом непре-
непрерывные функции t.
Что функции эти удовлетворяют уравнениям A),
докажется так же, как в § 4.
Примечание. Если система дифференциальных урав-
уравнений первого приближения не есть правильная,
то означая через S сумму всех ее характеристичны*

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 73
чисел, а через р. характеристичное число функции -г- ,
будем иметь
где а—некоторое положительное число.
В этом случае характеристичное число функции
не менее — X/ — а. А на основании этого нетрудно
доказать, что если для рассматриваемого случая по
правилу, изложенному в предыдущем параграфе, со-
составить ряды, подобные B5), то характеристичное число
функции
W
будет не менее
— (m1 + /wa+. .+/иА-1)а.
Допустим, что а менее каждого из чисел
Xi> Л2» * * ' У ^ft*
Тогда надлежащим выбором чисел з и у] можно
будет удовлетворить всем неравенствам
А при выполнении последних будут выполнены и
все условия предыдущего доказательства, в чем легко
убедимся, принимая в расчет только что указанное
свойство функций L.
Поэтому теорема будет справедлива и в случае,
когда система дифференциальных уравнений первого
приближения не есть правильная, но каждое из харак-
характеристичных чисел, взятых для составления рядов B5),
более с, — если только угловие з>0 заменим в ней
условием г > о.
13. Вытекающие из теоремы о сходимости заклю-
заключения об устойчивости. Из доказанного могут быть
выведены следующие теоремы:
Теорема I. Если система дифференциальных
уравнений первого приближения есть правильная и если

74 A. M. ЛЯПУНОВ
все её характеристичные числа положительны, то
невозмущенное движение устойчиво.
При сказанном условии можно принять к=п.
Тогда, называя значения функций xs для ? — 0
через as и полагая в уравнениях B5) ? = 0, найдем:
<*8=fS(*l>*2> -' >О (*=1, 2, ...,И),
где fs суть голоморфные функции величин ау, обра-
обращающиеся в нуль при
ах = а2 = . . . = ап = 0
и притом такие, что функциональный определитель
их в отношении величин а;- не обращается в нуль,
когда все ау- сделаем равными нулю (ибо он принимает
при этом значение определителя А для г = 0).
Поэтому предыдущие уравнения разрешимы отно-
относительно величин а/, и когда величины as численно
достаточно малы, мы можем из них вывести:
as = ?a(ai> а2> • • ->пп) (S=U 2, . . ., 71), C5)
где cps суть голоморфные функции величин а7-, обращаю-
обращающиеся в нуль при
ах - а2 = ... = ап = 0.
Пусть х есть произвольно малая положительная
величина.
Мы можем найти такую положительную величину г,
что для всех значений переменных g1? q2, . .., qn, удо-
удовлетворяющих условиям
\Я*\<Г (*=1, 2, ...,л),
ряд B7) (относящийся к предположению, что з мень-
меньше каждого из характеристичных чисел) будет аб-
абсолютно сходящимся, а модуль его суммы будет
менее х.
Затем можем пайти такую положительную вели-
величину а, что для всех значений величин а%, а2, ..., a/t,

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 75
удовлетворяющих условиям
\а,\<а (s = l,2, ...,n), C6)
модули величин <xs, определяемых уравнениями C5),
не будут превосходить величины г.
Тогда можем быть уверены, что если начальные
обстоятельства возмущенного движения выбраны со-
согласно условиям C6), то в течение всего последующего
времени движения будут выполняться условия:
xs\<x, (s = l, 2, ... , п),
а этим и доказывается теорема.
Примечание. При условиях предыдущей теоремы
во всяком возмущенном движении, достаточно близком
к невозмущенному, все функции xs с беспредельным
возрастанием t стремятся к нулю. Это обстоятельство
мы будем выражать, говоря, что возмущенное движение
(поскольку оно определяется выражениями величин xs
в функциях t) асимптотически приближается к невоз-
невозмущенному.
Далее мы будем часто говорить также о движениях,
асимптотически приближающихся к какому-либо дан-
данному движению. После замеченного сейчас, значение
такого выражения не требует особых разъяснений.
Теорема 11. Если система дифференциальных
уравнений первого приближения есть правильная,
а в группе ее характеристичных чисел находятся поло-
положительные, то невозмущенное движение всегда обла-
обладает известною условною устойчивостью. А именно,
если число положительных характеристичных чисел
есть к, то для устойчивости достаточно, чтобы на-
начальные значения alt a2, ..., ап неизвестных функций
удовлетворяли некоторым п—к уравнениям вида
Fj(al9 a2> ... ,an) = 0 (/ = 1, 2, ... ,п-Л),
где Fj суть голоморфные функции величин as, уни-
уничтожающиеся при ах =¦ а2 = ... = ап = 0. У равнения
таковы, что позволяют выражать вес as как

76 A. M. ЛЯПУНОВ
вещественные голоморфные функции некоторых к ве-
вещественных независимых величин.
Будем предполагать все функции, входящие в состав
нормальной системы решений уравнений F), которою
мы пользовались для составления рядов B5), веще-
вещественными.
Тогда вычисления можно вести так, что все коэф-
коэффициенты L в уравнениях B5) также будут веществен-
вещественными, и, следовательно, уравнениями этими при веще-
вещественных а; будет определяться некоторое веще-
вещественное решение системы уравнений A).
Допуская это и делая в уравнениях B5) ?=0, найдем:
as = fs (ах, а2, . . ., ай) (s = 1, 2, . . . , п),
где fs суть вещественные голоморфные функции вели-
величин ау-, обращающиеся в нуль, когда все а7- полагаются
равными нулю. Притом функции эти таковы, что между
функциональными определителями, которые можно из
них составить, комбинируя их по к, найдется по край-
крайней мере один, который не будет обращаться в нуль,
когда сделаем
ибо при этом определители эти обращаются в значения,
соответствующие ?=0, миноров определителя А, соста-
составленных из элементов его первых к строк.
Вследствие этого из предыдущих уравнении при
достаточно малых | as \ можем вывести следующие:
а/= ?/(«и «2» •• ->ап) (/=1, 2, ..., А),
F8(au а2, ..., яп) = 0 (б-=1, 2, . .., /г-А), C7)
где <р/> Ps СУТЬ нкоторые голоморфные функции вели-
величин а1?а2, .., aJV обращающиеся в нуль, когда пос-
последние все делаются равными нулю.
Дальнейший ход доказательства будет тот же, что
и для предыдущей теоремы, с тою только разницей,
что здесь мы должны иметь в виду п — к уравнений
C7), связывающих величины as.

ОБЩАЯ РАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 77
Можно заметить, что при всяких численно доста-
достаточно малых возмущениях, удовлетворяющих условиям
C7), возмущенные движения будут асимптотически при-
приближаться к невозмущенному.
Примечание. Если система дифференциальных урав-
уравнений первого приближения не есть правильная, но
имеет к характеристичных чисел, больших величины
з .(§ 12, примечание), то найдется п — к подобных пре-
предыдущим условий для возмущений, при которых невоз-
невозмущенное движение будет устойчивым.
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
14. Общие замечания о функциях, определяемых
дифференциальными уравнениями возмущенного дви-
движения. Переходя теперь к изложению оснований вто-
второй методы, прежде всего обратим внимание на неко-
некоторые общие заключения, которые могут быть выве-
выведены из изложенного в §§ 3 и 4.
Как и в предыдущем отделе, мы будем здесь рас-
рассматривать уравнения A) исключительно в предпо-
предположении, что для функций As, о которых шла речь
я §§ 2 и 4, при значениях t, больших его начального
значения tQJ может быть назначен некоторый поло-
положительный низший предел А.
В этом предположении, обозначая через alf
а2, ..., ап какие-либо постоянные, выбранные согласно
неравенствам
as\<A E=1,2, .. . ,п),
рассмотрим функции xs, удовлетворяющие уравне-
уравнениям A) и принимающие значения as для t = tox).
х) Заданием постоянных as функции xs определяются вполне
по крайней мере для достаточно близких к t0 значений t.
Это выводится из легко доказываемого предложения, состоя-
состоящего в том, что система A) кроме очевидного решения
хг = х, = ... = ха *= О
не может иметь другого, в котором начальные значения всех
неизвестных функций были бы равны нулю.

78 A. M. ЛЯПУНОВ
На основании изложенного мы можем утверждать,
что такие функции по крайней мере для значений t,
достаточно близких к t0, всегда найдутся и выйдут
вещественными всякий раз, когда такими выбраны
все as (это мы и будем здесь предполагать), и что при-
притом всегда найдется такой предел t19 больший t0, чтобы
в промежутке от tQ до tx включительно функции эти
представлялись рядами, расположенными по целым
положительным степеням постоянных as.
Если определяемые этими рядами функции при
t ~tl удовлетворяют неравенствам
\xs\<A E=1,2, ...,*), C8)
то для них конечно возможны будут аналитические
продолжения и за предел tly представляемые подоб-
подобными же рядами, расположенными по степеням значе-
значений этих функций для 1=1±.
Эти новые выражения функций xs вообще будут
справедливы только для значений t, не превосходящих
некоторого предела Z2. Но если при t=t2 неравенства
C8) остаются выполненными, для наших функций
будет возможно дальнейшее продолжение под видом
некоторых новых рядов такого же характера.
Таким образом, исходя из данных начальных зна-
значений as, можно будет следить за непрерывным изме-
изменением наших функций при непрерывном возрастании t
по крайней мере до тех пор, пока не нарушаются
неравенства C8).
Может случиться, что при каком-либо выборе
постоянных as неравенства эти будут выполняться
для всех значений t, больших t0. Тогда функции xs
определятся для всех таких значений t.
В других случаях для t будет существовать некото-
некоторый высший предел ?', при котором по крайней мере
одно из неравенств C8) перейдет в равенство.
Аналитическое продолжение наших функций за та-
такой предел t' потребовало бы, конечно, особого исследо-
исследования. Но нам входить в него не представится надоб-
надобности, так как для нашей цели будет достаточно рас-

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ ?9
сматривать всякое возмущенное движение только до
тех пор, пока величины \xs\ не превосходят каких-
либо данных отличных от нуля пределов.
Во всяком случае постоянные as всегда можно бу-
будет выбрать настолько численно малыми, чтобы на-
наши аналитические выражения функций xs годились для
всех значений t, лежащих между t0 и Т, как бы вели-
велико ни было данное число Т, и чтобы значения
^> 52, * * > *п этих функций для t~-T были все сколь
угодно численно малыми. Притом, если бы мы поже-
пожелали определять функции xs их значениями ?s для
t = T, то как бы велико ни было Т, все cs всегда можно
было бы выбрать настолько численно малыми, чтобы
этим значениям соответствовала одна определенная
система начальных значений as и чтобы последние
были все сколь угодно численно малыми.
Из этого последнего замечания следует, что при
решении вопросов об устойчивости достаточно будет
рассматривать только значения t, большие сколь
угодно большого предела Т, и заменять рассмотрение
начальных значений функций xs рассмотрением их
значений, соответствующих t = T.
Мы будем далее рассуждать о функциях xs только
до тех пор, пока не нарушаются неравенства C8).
Поэтому, говоря о каких-либо пределах для величин \xs\,
эти пределы всегда будем предполагать меньшими А.
15. Некоторые определения. Мы будем здесь рас-
рассматривать вещественные функции вещественных пере-
переменных
х19 х2, .. ., хп, t,
подчиненных некоторым условиям вида
t>T, |ж,|<# (* = 1,2, ...,п), D0)
где Т и Н суть постоянные, из которых вторая всегда
будет предполагаться отличною от нуля.
Притом мы будем рассуждать только о функциях,
которые при условиях D0) остаются непрерывными

80 A. M. ЛЯПУНОВ
и однозначными и уничтожаются при
xt — x2— ... = хп = 0.
Такими свойствами будут обладать все рассматри-
рассматриваемые нами функции (хотя бы об этом и не было упо-
упомянуто). Но кроме того они могут обладать более спе-
специальными свойствами, для обозначения которых мы
введем некоторые термины.
Пусть рассматривается функция V, которая такова,
что при условиях D0), если в них Т сделать достаточно
большим, а Н достаточно малым, она может получать,
кроме равных нулю, только значения одного какого-
либо знака.
Такую функцию будем называть знакопостоянною.
Когда же пожелаем указать на ее знак, то будем го-
говорить, что это есть функция положительная или от-
отрицательная.
Притом, если функция V не зависит от t, а постоян-
постоянная Н может быть выбрана достаточно малой для того,
чтобы при условиях D0) равенство V = 0 могло иметь
место только для одной системы значений переменных
Xi Т== Х% === • • • == Хп z=z U,
то функцию V будем называть знакоопределенною, а же-
желая обратить внимание на ее знак — определенно-поло-
определенно-положительною или определенно-отрицательною.
Последними терминами мы будем пользоваться так-
также и по отношению к функциям, зависящим от t. Но
в этом случае функцию V будем называть знакоопре-
знакоопределенною только при условии, если для нее возможно
найти такую независящую от t определенно-положи-
определенно-положительную функцию W, при которой одно из двух выра-
выражений
V -W или —7— W
представляло бы функцию положительную [в].
Так каждая из функций
х\ — х\ — 2хгх2 cos /, t (x\ + xl) — 2хгх2 cos t

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ gi
есть знакопостоянная. Но первая есть только знако-
знакопостоянная, а вторая, если п = 2> есть в то же время
знакоопределенная.
Всякую функцию V, для которой постоянная Н
может быть выбрана настолько малой, чтобы для чис-
числовых значений этой функции при условиях D0) су-
существовал некоторый высший предел, мы будем назы-
называть ограниченною.
В силу свойств, которыми по нашему предполо-
предположению обладают все рассматриваемые нами функ-
функции, такой будет, например, всякая не зависящая от t
функция.
Ограниченная функция может быть такова, что для
всякого положительного з, как бы оно мало ни было,
найдется такое отличное от нуля число /г, при котором
для всех значений переменных, удовлетворяющих ус-
условиям
t>T, \xs\<h E = 1, 2, ... , n),
будет выполняться следующее:
Этому требованию удовлетворяет, например, всякая
не зависящая от t функция. Но функции, зависящие
от t, хотя бы и ограниченные, могут ему не удовлетво-
удовлетворять. Такой случай представляется, например, для
функции
sin[C1 + za+ ... +xn)t].
Когда для функции V предыдущее требование
выполнено, мы будем говорить, что она допускает
бесконечно малый высший предел.
Такова, например, функция
(хх + х2 + .. . + хп) sin t.
Пусть V есть функция, допускающая бесконечно
малый высший предел. Тогда, если нам известно, что
A. M. Ляпунов

82 A. M. ЛЯПУНОВ
переменные удовлетворяют условиям
t>T, \V\>1,
где I есть некоторое положительное число, то отсюда
заключим, что найдется некоторое другое положи-
положительное число X, менее которого не может быть наи-
наибольшая из величин |#j.|, \х21, .. ., \хп\.
Одновременно с функцие11 V мы будем часто рас-
рассматривать выражение
dV у dV х dV у dV
представляющее ее полную производную по t, взятую
в предположении, что xlt x2, ...,xn суть функции t,
удовлетворяющие дифференциальным уравнениям воз-
возмущенного движения.
В таких случаях всегда будем предполагать функ-
функцию V такой, чтобы V как функция переменных C9)
обладала всеми свойствами вообще рассматриваемых
нами здесь функций.
Говоря далее о производной функции V, будем
подразумевать, что речь идет о только что названной
полной производной.
16. Основные предложения. Всем известна тео-
теорема Лагранжа об устойчивости равновесия при суще-
существовании силовой функции и изящное доказательство,
предложенное для нее Лежен-Дирихле1). Последнее
основывается на соображениях, которые могут служить
для доказательства многих подобных теорем.
Руководствуясь такими соображениями, мы дока-
докажем здесь следующие предложения:
Теорема. Если дифференциальные уравнения
возмущенного движения таковы, что возможно найти
знакоопределенную функцию V, производная кото-
1) Lagrange, Mecanique analytiqtie, 3 или 4 изд., том I,
дополнение II [7].

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 83
рой V в силу этих уравнений была бы или знакопостоян-
знакопостоянною функцией противоположного знака с V, или тожде-
тождественно равною нулю, то невозмущенное движение
устойчиво.
Допустим, что найденная функция V определенно-
положительна, а производная ее V представляет отри-
отрицательную функцию или тождественно равна нулю.
Тогда найдутся такие постоянные Т и Н, при кото-
которых для всех значений переменных xLi x2, ...,xn, t,
удовлетворяющих условиям: ?>Ги
\xs\<H E=1, 2, ...-и), . D1)
будут выполняться следующие:
F'<0, V>W, D2)
где W есть некоторая не зависящая от t положитель-
положительная функция переменных xs, не обращающаяся при
условиях D1) в нуль иначе, как для хг = х2 — ... = хп = 0.
Рассматривая величины xs как функции t, удовле-
удовлетворяющие дифференциальным уравнениям возмущен-
возмущенного движения, допустим, что значения ?s этих функ-
функций для t = Т удовлетворяют условиям D1) со зна-
знаками неравенства. Тогда в силу непрерывности этих
функций условия D1) будут выполняться по крайней
мере для всех достаточно близких к Т значений t.
Будем рассматривать только такие значения послед-
последнего, которые не менее Т.
Тогда, называя значение функции V для t=T
через Fo, из уравнения
D3)
выведем, что если в промежутке от Т до t условия D1)
постоянно выполняются, то в том же промежутке
функции xs наверно будут удовлетворять условию
W<V0, D4)
6*

g4 A. M. ЛЯПУНОВ
вторую часть которого, делая все is численно доста-
достаточно малыми, можно сделать сколь угодно малою.
Означим через х наибольшую из величин \х1\у
\х2\, . .., | хп\, а через з некоторое отличное от нуля,
но произвольно малое положительное число (которое
во всяком случае будем предполагать меньшим Н)
и рассмотрим всевозможные системы значений вели-
величин xs, удовлетворяющие условию
х=8. D5)
Пусть / есть точный низший предел функции W
(как функции независимых переменных х1, х2, ...,хп)
при этом условии.
Число I необходимо будет отличным от нуля и по-
положительным, ибо функция W по своему характеру
не может делаться при условии D5) ни отрицательною,
ни равною нулю, а / в силу ее непрерывности необхо-
необходимо будет одним из значений, которые она при этом
условии может принимать.
Поэтому всегда можно будет сделать
vo<i,
и притом всегда найдется такое отличное от нуля
число X, при котором неравенство это будет выпол-
выполняться для всяких ?s, удовлетворяющих условиям
|?J<X (s = l, 2, ...,ri). D6)
Установив это, допустим, что величины 5, действи-
действительно выбраны согласно условиям D6).
Так как число X необходимо менее г, то функ-
функции xs будут тогда удовлетворять неравенствам
\х$\<з (s=l,2,...,w) D7)
для всех достаточно близких к Т значений t.
Но изменяясь с течением времени непрерывно,
функции xs не могут перестать удовлетворять этим
неравенствам иначе, как достигнув предварительно

ОБЩАЯ РАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 85
некоторых значений, удовлетворяющих условию D5).
Последнее же при Vo < I несовместно с условием D4).
Мы должны поэтому заключить, что каковы бы
ни были ?s, удовлетворяющие условиям D6), функ-
функции xs будут удовлетворять неравенствам D7) для
всех значений t, больших Т.
Таким образом теорему нашу можем считать дока-
доказанной.
Как некоторый частный случай, из нее выводится
тотчас же упомянутая выше теорема Лагранжа[8].
Примечание 1. Если бы для дифференциальных
уравнений возмущенного движения было найдено не-
несколько интегралов Ul9 U2, . . ., Um (уничтожающихся,
как и все рассматриваемые здесь функции, при
xL — х2 = . . . = хп = 0), и если бы найденная функция V
удовлетворяла условиям D2) (при прежнем значении
буквы W) только для переменных, подчиненных, кроме
D0), еще условиям
то мы заключили бы, что невозмущенное движение
устойчиво по крайней мере для возмущений, не нару-
нарушающих этих последних условий.
В случае, когда функция V сама есть один из ин-
интегралов и когда функции F, Ul9 U2, .. ., Um не за-
зависят явным образом от t, в этом заключается предло-
предложение, на которое было указано Раусом1).
Примечание 2. Если функция F, удовлетворяя
условиям теоремы, в то же время допускает бесконечно
малый высший предел, а производная ее представляет
знакоопределенную функцию, то можно доказать, что
всякое возмущенное движение, достаточно близкое
к невозмущенному, будет приближаться к нему асимп-
асимптотически.
г) Routh, The advanced part of a Treatise on the Dyna-
Dynamics of a system of rigid bodies, 4 изд., 1884, стр. 52, 53.

86 A. M. ЛЯПУНОВ
С этою целью рассмотрим какое-либо возмущенное
движение, которому соответствуют величины ?s,
численно достаточно малые для того, чтобы условия D1)
выполнялись во все время, следующее за моментом,
когда t=T.
Легко убедиться, что если постоянная Н доста-
достаточна мала, то при названных свойствах функции V
(которую опять предположим определенно-положи-
определенно-положительною) нельзя найти такого положительного числа /,
которое было бы меньше всех значений, получаемых
функцией V в этом движении при ? > Т.
В самом деле, если бы такое число существовало,
то по свойствуV как функции переменных C9), допу-
допускающей бесконечно малый высший предел, мы
нашли бы такое положительное число X, при котором
было бы х > \ (если х попрежнему означает наиболь-
наибольшую из величин | xs |) для всех значений t, превосходя-
превосходящих Т. А тогда для функции—V при тех же значе-
значениях t существовал бы некоторый положительный
низший предел V.
Действительно, функция — F', согласно допущен-
допущенному, есть определенно-положительная. Поэтому по-
постоянные Т и Н всегда можно предположить такими,
чтобы при t > Т и я < // выполнялось условие—V > W,
в котором W есть некоторая независящая от t
положительная функция переменных xs, не уничто-
уничтожающаяся при условии х < Н иначе, как для х = 0.
Но этот последний случай будет исключен, если пере-
переменные xs подчинить условию
X < х < Я.
Поэтому при последнем функция W будет иметь
некоторый положительный низший предел V.
Но если при t > Т всегда выполняется условие
— V > /', то из уравнения D3) выведем
V <V0-l'(t-T)
для всех превосходящих Т значений t. А это невоз-
невозможно, ибо первая часть неравенства есть положитель-

ОБЩАЯ- ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 87
ная функция t, а вторая при достаточно большом t
делается отрицательною.
Итак, как бы мало ни было число I, всегда насту-
наступит момент, когда функция V сделается меньшей Z.
А будучи убывающей фукцией t, она затем всегда
будет оставаться меньшею I.
Поэтому, как бы мало ни было положительное
число з, всегда наступит момент, когда функция V
сделается и будет затем оставаться меньшею точного
низшего предела функции W при условии
з < х < Н.
А начиная по крайней мере с этого момента, функ-
функции хъ будут всегда оставаться по числовым значе-
значениям меньшими з.
Отсюда заключаем, что при всяких численно доста-
достаточно малых ?g функции xs с беспредельным возраста-
возрастанием t стремятся к нулю.
Теорема II. Если дифференциальные уравне-
уравнения возмущенного движения таковы, что возможно
найти функцию V, которая обладала бы в силу этих
уравнений знакоопределенною производного V, притом
допускала бы бесконечно малый высший предел и была бы
такова, чтобы при всяком t, большем некоторого пре-
предела, надлежащим выбором величин xs, численно на-
насколько угодно малых, ее можно было сделать величиною
одинакового знаки с ее производною,—то невозмущенное
движение неустойчиво.
Допустим, что найдена функция V, удовлетворяю-
удовлетворяющая этим требованиям, и что производная ее V опре-
определенно-положительна .
Для этой функции найдутся такие постоянные Т
и Н, при которых для всех значений переменных,
удовлетворяющих условиям ? > Н и
\х,\<Н (s = l, 2, ..., п), D8)
будут выполняться следующие:
V >W, \V\<L, D9)

88 A. M. ЛЯДУНОВ
где L есть некоторая положительная постоянная, a* W—
не зависящая от t положительная функция перемен-
переменных xsi не уничтожающаяся при условиях D8) иначе,
как при равенстве нулю всех xs.
Тогда, предполагая, что значения Ss функций ocs
для t = Т удовлетворяют условиям D8) со знаками
неравенства, и называя значение функции V для
того же t через Fo, из уравнения
^'dt E0)
г
выведем
V > Vo E1)
для всех значений t, превосходящих Т и удовлетво-
удовлетворяющих требованию, чтобы в промежутке от Т до t
условия D8) оставались постоянно выполненными.
Мы замечаем теперь, что по свойству функции V
постоянную Т можно предположить достаточно боль-
большою для того, чтобы надлежащим выбором величин ?s,
удовлетворяющих условиям
|SS|<3 (*=1, 2, ..., п),
при всяком отличном от нуля, но сколь угодно малом
положительном г, постоянную Fo можно было сделать
положительной.
Если же Vo—положительная величина, то по свой-
свойству V как функции, допускающей бесконечно малый
высший предел, найдем такое положительное число X,
которое будет менее всех значений, возможных при
условии E1) (когда в нем предполагается f> T) для
наибольшей х из величин \xs\. А тогда, если озна-
означим через / какое-либо положительное число, мень-
меньшее всех значений, возможных для функции W при
условии
X < х < Я,

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 89
то из уравнения E0) выведем следующее неравенство:
V>V0 + l(t-T), E2)
которому будет удовлетворять функция V для ? > Т,
если в промежутке от Г до if условия D8) никогда
не нарушаются.
Но при тех же условиях функция V должна удовле-
удовлетворять неравенству D9). А последнее может существо-
существовать совместно с неравенством E2) только при значе-
значениях t, меньших величины
Поэтому, если неравенство E2) не должно нару-
нарушаться ранее условий D8), то в промежутке от Т
до т наверно найдется такое значение t, начиная с кото-
которого (по крайней мере в течение известного промежутка
времени) хотя одно из этих условий не будет выпол-
выполняться.
Таким образом убеждаемся, что как бы мало ни
было з, которого по нашему желанию не должны пре-
превосходить числовые значения величин ?s, но если
последние выбраны так, чтобы Vo было положитель-
положительным, то всегда наступит момент, когда по крайней
мере одна из величин | xs | достигнет неизменного пре-
предела Н. А этим и обнаруживается неустойчивость
невозмущенного движения.
Пример 1. Пусть данная система дифференциаль-
дифференциальных уравнений возмущенного движения имеет сле-
следующий вид:
~dt ~~ дхх у dt ~~даъ9 ' ' "' ~di " дх~п '
где V есть независящая от t голоморфная функция
величин хи х2, . . ., хп, разложение которой начинается
членами не ниже второго порядка.
В силу этих уравнений будем иметь:

90 A. M. ЛЯПУНОВ
Поэтому всякий раз, когда V есть функция опре-
определенно-отрицательная, невозмущенное движение бу-
будет устойчивым. Напротив, движение это будет не-
неустойчивым всякий раз, когда V не есть такая функ-
функция, если только мы не имеем дела с тем случаем, когда
системе уравнений
dV п дУ с\ dV с\
возможно удовлетворить (не равными нулю одновре-
одновременно) вещественными значениями величин х&у на-
насколько угодно численно малыми.
Последний случай будет сомнительным и потребует
особого исследования.
Случай этот наверно не представится, если гессиан
(определитель Гесса) функции V не обращается в нуль,
когда сделаем
Пример 2. Пусть система дифференциальных урав-
уравнений возмущенного движения есть 2к-то порядка
и имеет следующий вид:
d д? д? dxs , , , 2 к)
где
к к
т 2 2
a vtj = Vjt и U суть не зависящие от t голоморфные функ-
функции переменных xlf x2, . . .9хк, обращающиеся в нуль,
когда все эти переменные делаются равными нулю.
Притом функция U такова, что разложение ее начи-
начинается членами не ниже второго порядка.
Эта система, очевидно, приводится к типу вообще
рассматриваемых нами систем дифференциальных урав-
уравнений возмущенного движения.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 91
Пусть
где вообще Ux означает целую однородную функцию
l-oii степени величин xi9 х2, . . ., хк.
Тогда, делая
т/_ dF l dF
в силу наших уравнений найдем:
JT "" 2j ^ ^ -t 2j ж* с?ж^ -
5=1 S=J
=s ^2+s is (°«+т s *. §;) ^
Пусть C/"m есть определенно-положительная функция
переменных хи х2, . . ., хк (для чего, конечно, т должно
быть числом четным).
1огда это выражение -г- будет определенно-поло-
определенно-положительною функцией переменных xvx2, .. ., xki x'vx'2, .. .
...,х'к, и все условия теоремы II будут выполнены.
Поэтому заключим, что невозмущенное движение не-
неустойчиво.
Рассматриваемый здесь случай может представиться,
например, при исследовании устойчивости равновесия
(в обычном смысле) при существовании силовой функ-
функции (?/).
Всякий раз, когда для положения равновесия сило-
силовая функция обращается в минимум, и это обнаружи-
обнаруживается из исследования совокупности членов наиниз-
наинизшего порядка в разложении приращения этой функ-
функции по степеням приращений координат, мы заключим
о неустойчивости равновесия.

92 A. M. ЛЯПУНОВ
Теорема III. Если дифференциальные уравнения
возмущенного движения таковы, что возможно найти
ограниченную функцию V', производная которой в силу
этих уравнений приводилась бы к виду:
где к—положительная постоянная, a W или тожде-
тождественно равна нулю, или представляет некоторую
знакопостоянную функцию, и если в последнем случае
найденная функция V такова, что при всяком t, боль-
большем некоторого предела, надлежащим выбором вели-
величин xs, насколько угодно численно малых, ее можно
сделать величиною одинакового знака с W, — то невоз-
невозмущенное движение неустойчиво.
Пусть найденная функция F, удовлетворяющая
этим требованиям, такова, что W есть функция поло-
положительная.
По свойству функций VnW найдутся такие постоян-
постоянные Т и Н, при которых для всех значений перемен-
переменных, удовлетворяющих условиям ? > Т и
\х8\<Н (* = 1,2, ... ,п), E4)
будут выполняться следующие:
\V\<L, W>0,
где L— некоторая положительная постоянная. Притом
постоянную Т можем предположить достаточно боль-
большою для того, чтобы надлежащим выбором значений cs
функций xs для t = T, насколько угодно численно
малых, соответствующее значение Fo функции V можно
было сделать положительным.
Рассматривая только не меньшие Т значения t, из
уравнения E3) выведем:

ОБЩАЯ ЗАДАЧА OB УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 93
для всех значений ty при которых условия E4) остаются
выполненными.
Поэтому если от Т до t условия эти постоянно вы-
выполняются, будем иметь:
и, следовательно,
Но при положительном Fo последнее неравенство
может иметь место только для значений t, меньших
величины
Поэтому в промежутке от Т до т условия E4) не
могут постоянно выполняться.
Отсюда так же, как при доказательстве предыдущей
теоремы, заключаем, что невозмущенное движение
неустойчиво.
Подобным же образом докажется теорема и в слу-
случае, когда W = 0 тождественно.
Варьируя условия, которым должны удовлетворять
искомые функции, можно было бы конечно предложить
и множество других теорем, подобных доказанным.
Но для приложений, которые мы имеем в виду, по-
последние совершенно достаточны. Поэтому ими и огра-
ограничиваемся.
Примечание. До сих пор мы предполагали, что для
переменных xs возможны всякие вещественные вели-
величины, численно достаточно малые. Но могут встре-
встретиться случаи, когда, по самому значению этих пере-
переменных, для некоторых из них возможны величины
только одного из двух знаков (более сложных условий
рассматривать не будем).

94 A.M. ЛЯПУЙОВ
Для этого, конечно, дифференциальные уравнения
A) должны быть таковы, чтобы условия эти, которые
будут вида
xi>0) xj<0, E5)
выполнялись во все время движения, будучи выпол-
выполнены в начальный момент.
В этом случае в теоремах II и III, при выражении
требования относительно знака функции F, условия
E5) всегда должны быть подразумеваемы. Притом во
всех предыдущих теоремах терминам «знакопостоян-
«знакопостоянная» или «знакоопределенная функция» достаточно
приписывать более условное значение, которое они
получили бы, если бы в определениях предыдущего
параграфа предполагалось, что переменные подчи-
подчинены не только условиям D0), но и условиям E5) [9].

ГЛАВА II
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ
ДВИЖЕНИЙ
О ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
17. Определяющее уравнение. Типы решении,
соответствующие простым и кратным корням его.
Группы решений. Рассмотрим систему линейных диф-
дифференциальных уравнений
dt
} = pslx1+ps2x2+ ... +psnxn E =
A)
с постоянными коэффициентами psa.
Интегрирование этой системы зависит от решения
алгебраического уравнения
— * Pl2
Ръ\ Р22 — *
Ptn
Рп2
Рпп—*
п-ои степени относительно неизвестной 7.
Мы будем называть это уравнение определяющим,
а определитель, представляющий первую его часть,—
основным. Рассматривая последний как функцию
величины х, будем означать его через D (х).

96 A. M. ЛЯПУНОВ
Каждому корню х определяющего уравнения соот-
соответствует решение системы A) вида
xL - Ktf**, х2 = К2е**, ... , хп = Кпе«, B)
где Ks суть постоянные, между которыми по крайней
мере некоторые отличны от нуля; и когда определяю-
определяющее уравнение не имеет кратных корней, то рассмат-
рассматривая все его корни получим п решений вида B), кото-
которые будут независимыми.
В случае существования кратных корней, система
уравнений A) вообще будет допускать решения сле-
следующего типа:
хх - Д (t) е**, х2 - /2 (t) е**, .. . , хп = /п @ е",
где fs (t) суть целые функции t> степени которых не
выше числа, на единицу меньшего кратности корня х.
Если решения типа B) рассматривать как заклю-
заключающиеся в этом последнем, то всякому ^.-кратному
корню х будет соответствовать ^ независимых решений
такого вида.
Притом, если в числе этих решений находится такое,
в котором степени по крайней мере некоторых из функ-
функций fs(t) достигают своего высшего предела р —1, то,
исходя из этого решения, можем получить все ^ неза-
независимых решений, соответствующих корню х, заменою
функций fs (t) их производными f^ (t) no t от нулевого
до ([х — 1)-го порядка включительно. Таким образом
получим \*. следующих независимых решений:
Мы будем говорить, что в этом случае корню х соот-
соответствует одна группа решений.
Случай этот представится всякий раз, когда рас-
рассматриваемый корень х не обращает в нуль по крайней
мере одного из первых миноров основного определителя.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 97
Может случиться, что р-кратный корень х обращает
в нуль все миноры этого определителя до порядка
Л —1 включительно, не обращая в нуль по крайней
мере одного из миноров к-го порядка.
Тогда корню этому будет соответствовать к групп
независимых решений, составленных подобно преды-
предыдущей.
Высшим пределом для числа к служит число р..
Этот высший предел может достигаться, и тогда все
решения, соответствующие корню х, будут типа B).
Все эти теоремы можно считать настолько хорошо
всем известными, что было бы излишним приводить
их доказательства, которые притом не представляют
ни малейших затруднений.
Заметим, что если хх, х2, ..., хп суть все корни опре-
определяющего уравнения, то вещественные части величин
представят для уравнений A) то, что мы назвали харак-
характеристичными числами системы линейных дифферен-
дифференциальных уравнений.
18. Линейное преобразование дифференциальных
уравнений к некоторому простейшему виду. Для
системы уравнений A) можно найти п независимых
интегралов вида
У i^i + У*%ъ + • • -+Упхп>
где ys суть некоторые функции t.
Функции эти будут удовлетворять системе уравне-
уравнений
^ + РнУ^ + Р**У* + • • - + РпэУп^Ъ (*-!> 2, ...,л),C)
присоединенной к A), и если
У lit У>21> * • • У Уп1?
У\п> Уъп> • • • » Упп
А. М. Ляпунов

98 A. M .ЛЯПУНОВ
есть какая-либо система п независимых решений при-
присоединенной системы, то п функций
'•••+Уп&П>
Г . • • + УппХп
будут независимыми интегралами системы A).
Основной определитель системы уравнений C) полу-
получается из основного определителя системы A) заменою
7. через—х и умножением на ( —1)п. Поэтому корни
определяющего уравнения системы C) будут отли-
отличаться только знаками от корней определяющего
уравнения системы A).
Пусть
суть все корни определяющего уравнения системы C)
в предположении, что каждый кратный корень повто-
повторяется столько раз, сколько соответствует ему групп
решений. Тогда каждому из чисел —xs можно будет
поставить в соответствие по одной группе решений,
предполагая все эти решения независимыми.
Пусть ns есть число решений в группе, соответст-
соответствующей корню —xs, так что
Принимая за величины ysa функции, входящие
в состав этих групп, для каждого корня — */s найдем
ns следующих интегралов системы уравнений A):
¦"' D)
(m = 0, I, 2, ..., n,-l),
(s\ « Y
где z) суть линейные формы относительно величин
х19 х2, ..., хп с постоянными коэффициентами, a ml
согласно общепринятому означает произведение всех

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 99
целых чисел от 1 до т включительно, когда т > О,
и единицу, когда т - 0.
Все п интегралов, которые получим, давая здесь s
все целые значения от 1 до А: включительно, при нашем
предположении будут независимыми.
Поэтому все п форм zf^ необходимо также будут
независимыми, и их можно будет, следовательно, принять
за новые неизвестные функции вместо хи х2, ..., хп.
А делая это, получим следующие уравнения:
dt
___ E)
dt -**ZJ *'-*
(/ = 2, 3, ...,ns\ s=l,2, ..., ft),
которым, очевидно, должны удовлетворять величины
(s)
z) по самому своему значению.
Отсюда заключаем, что при помощи линейной под-
подстановки с постоянными коэффициентами система A)
всегда может быть преобразована к виду E).
Допустим, что все коэффициенты pSa в уравнениях A)
суть вещественные числа и что при преобразованиях
этих уравнений мы желаем рассматривать только такие
подстановки, в которых все коэффициенты также
были бы вещественными. Тогда предыдущее преобра-
преобразование будет возможно только в случае, если все
корни определяющего уравнения системы A) суть
вещественные числа. В случае же существования мни-
мнимых корней, простейший вид, к которому преобра-
преобразуются эти уравнения, будет несколько иным.
Чтобы показать такое преобразование, замечаем,
что при сделанном предположении всякому мнимому
корню будет соответствовать сопряженный с ним той
же кратности, и что если найдены все линейные формы
(s) „
Zj для какого-либо мнимого корня, то, заменяя в них
У — 1 через — ]/ —1, получим новые формы, которые
можем принять за величины z для сопряженного корня.
7*

100 A. M. ЛЯПУНОВ
Допустим поэтому, что сопряженным корням
соответствуют следующие величины z:
Z(P=U} + О, /~1, Zf = В,- - В, ]/~1
(/=1,2, ...,v).
Тогда за новые неизвестные функции вместо z) , Zj'
можно будет принять величины к/, и/, которые будут
линейными формами величин xs, с постоянными веще-
вещественными коэффициентами.
Дифференциальные уравнения, которым они удо-
удовлетворяют, легко получаются из E) и имеют следую-
следующий вид:
du1 . civ, ^ ,
(/ = 2,3, .-.,v).
Такие группы уравнений получим для каждой пары
мнимых сопряженных корней. Для корней же веще-
вещественных будем иметь группы вида E).
Примечание. По поводу указанного здесь преобра-
преобразования заметим, что, основываясь на нем, можно
доказать одно предложение, находящееся в связи
с теорией линейных дифференциальных уравнений,
начала которой были изложены в предыдущей главе.
А именно (возвращаясь к предположениям § 10),
нетрудно доказать, что для всякой приводимой системы
уравнений, в которой все коэффициенты суть веще-
вещественные функции t, преобразование в систему с постоян-
постоянными коэффициентами может быть выполнено по-
посредством подстановки (характера, указанного в § 10),

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ Ю1
в которой все коэффициенты были бы также веще-
вещественными функциями tx).
19. Производные определители и уравнения,
получаемые приравниванием их нулю. Рассмотрим
следующую задачу.
Дано уравнение с частными производными
п
*-* oxs
в котором х означает некоторую постоянную. Тре-
Требуется найти все значения последней, при которых
уравнению этому можно удовлетворить (не равными
х\ Докажется это следующим образом.
Допустим, что система A) (коэффициенты psi предпола-
предполагаем здесь некоторыми вещественными функциями t) есть при-
приводимая. В силу изложенного сейчас мы можем тогда допу-
допустить, что посредством подстановки, удовлетворяющей усло-
условиям § 10, она преобразована к виду E). Притом все xg, оче-
очевидно, можем предположить вещественными.
Условившись в этом, делаем
разумея под и^*\ v^ линейные формы величин хд с коэффи-
коэффициентами, представляющими вещественные функции t. Затем
рассматриваем к следующих пар функций:
и, выбирая по одной из каждой пары, составляем всевозмож-
всевозможные сочетания, содержащие по к функций каждое. По свой-
свойству функций z^ мы встретим при этом по крайней мере
одно такое сочетание, из функций которого нельзя будет выве-
вывести никакой линейной комбинации с постоянными коэффициен-
коэффициентами (не равными нулю одновременно), которая была бы то-
тождественно равною нулю, или в которой все коэффициенты
при величинах хо были бы исчезающими функциями t. Чтобы
остановиться на чем-либо определенном, допустим, что это
условие выполняется для следующего сочетания:
7/1) ,,B) {к)
Мы замечаем теперь, что при надшх предположениях

102 А. М- ЛЯПУНОВ
нулю тождественно) целыми однородными функциями
V данной степени т величин х19 х29 ..., хп.
Легко составить алгебраическое уравнение, кото-
которому должны удовлетворять искомые величины /.
Функция V заключает в себе
V
1 • 2 • 3 ... т 1-2.3... 0-1)
коэффициентов.
из всякого интеграла D) системы A) получается интеграл
той же системы, если все z^ заменить в нем величинами
иу\ А при сделанном сейчас допущении все эти интегралы
будут независимыми. Действительно, если бы они не были
такими, то из них можно было бы вывести линейную комбина-
комбинацию с постоянными коэффициентами (не равными нулю одно-
одновременно), которая была бы тождественно равною нулю. Но
комбинация эта представится под видом суммы произведений
величин t^e~Xst на некоторые линейные комбинации форм и№\
и если через х обозначим наименьшее из чисел xs, соответст-
соответствующих тем из рассматриваемых интегралов, для которых ко-
коэффициенты в комбинации не суть нули, а через т—наиболь-
т—наибольший из показателей степеней t, соответствующих тем из этих
последних интегралов, для которых %s — x, то должны будем
заключить, что для тождественного равенства нулю нашей
комбинации необходимо, чтобы в ней выражение, умноженное
на tme~~xt, или было также тождественно равным нулю, или
представляло такую форму величин ха, в которой все коэф-
коэффициенты были бы исчезающими функциями t. Но ни то,
ни другое невозможно, ибо названное выражение необходимо
будет линейной комбинацией форм u^s\ Если же наши инте-
интегралы суть независимые, то функциональный определитель
величин u)jS) в отношении величин xQ наверно не будет тожде-
тождественно равным нулю. Но тогда он будет необходимо таков,
что величина, обратная ему, представит ограниченную функ-
функцию t, ибо определитель этот может отличаться только по-
постоянным множителем от функционального определителя
величин z^.
Таким образом подстановка, посредством которой вместо
переменных #а вводятся переменные и^\ будет удовлетворять
всем условиям подстановок § 10. Притом она обладает ве-
вещественными коэффициентами, а система A) преобразовывается
при помощи нее в систему уравнений с постоянными коэффи-
коэффициентами.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЮЗ
Таково же будет и число уравнений, линейных
и однородных относительно последних, которые полу-
получим, приравнивая коэффициенты при одинаковых произ-
произведениях вида
в обеих частях уравнения F).
Исключая из этих уравнений коэффициенты функ-
функции F, и получим названное алгебраическое уравнение,
которое будет следующего вида:
—* #12 • • • aiN
Я21 #22 — Х • • •
где ац суть известные линейные формы коэффициен-
коэффициентов Psa.
Уравнение это будет, следовательно, N-ой степени.
Определитель, представляющий первую часть его,
обозначим через Z>m(*)-
Рассматривая всевозможные числа т, получим ряд
определителей
из которых первый не будет отличаться от того, кото-
который мы обозначили через D(y.) и назвали основным.
Все остальные можем назвать производными, так что
АпG) будет (т— 1)-ым производным определителем.
Зная все корни определяющего уравнения, легко
найти и все корни уравнения Dm (у.) — 0, ибо можно
доказать следующее предложение:
Теорема. Если
суть все корни определяющего уравнения, то все корни
уравнения

104 A. M. ЛЯПУНОВ
найдутся по формуле
П9 G)
когда числам ти т2У .. ., тп будем давать всевозможные
целые неотрицательные значения, удовлетворяющие
соотношению
т1 + т2+ ,..-\-тп = т,
так, чтобы одна и та же система значений не встре-
встречалась более одного раза.
Для доказательства предположим сначала коэф-
коэффициенты pSQ такими, чтобы величины v,s не удовлетво-
удовлетворяли никакому соотношению вида
1-4*1 + РЛ + • • • + Рп*П = 0
при целых ^!, [х2, . . ., рп, для которых
E-1, 2, ..., п),
и между которыми по крайней мере некоторые не равны
нулю.
Тогда величины х, определяемые по формуле G)
сказанным в теореме способом, будут все различными.
Мы предположим сверх того, что между ними не суще-
существует равной нулю.
Обращаясь теперь к доказательству и разумея под
х какое-либо отличное от нуля число, обозначим через
vlf v2, . .., vn независимые интегралы системы линейных
дифференциальных уравнений, выводимой из A) поло-
положением
Тогда при какой угодно функции Ф уравнение
ФК, *V •••> <ъ) = 1, (8)
если только оно разрешимо относительно V, доставит
решение уравнения F).

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 105
Допустим, что все взятые нами интегралы vs суть
линейные относительно величин xlf x29 ..., хп.
Так как при наших предположениях все xs раз-
различны, то все эти интегралы будут вида:
vs = (asi^x + <хб2ж2 + . .. + г*пХп) V x ,
где &sj суть некоторые постоянные.
Вследствие этого, если сделаем
Ф(О„ О, WnJ^WrC.-.Wn".
разумея под ms целые неотрицательные числа, дающие
в сумме т, то при
уравнение (8) приведет к решению
представляющему целую однородную функцию т ой
степени величин xs.
Отсюда следует, что все величины х рассматривае-
рассматриваемого вида удовлетворяют уравнению
/>,„(*) = о.
Но при сделанном допущении число всех таких
различных х равно степени N этого уравнения. По-
Поэтому никакие другие величины у. ему удовлетворять
не могут.
Чтобы убедиться в справедливости теоремы вообще,
достаточно теперь только заметить, что исключенные
нами случаи можно рассматривать как предельные для
только что разобранного. Особенность этих случаев
будет состоять поэтому только в том, что уравне-
уравнение Z>m(x) = 0 будет иметь кратные или равщде нулю
корни,

106 A. M. ЛЯПУНОВ
Примечание. Обратим внимание на следующее свой-
свойство производных определителей.
Когда определяющее уравнение не имеет кратных
корней, а также когда в случае существования таких
корней каждый из них обращает в нуль все миноры
основного определителя до наивысшего возможного
при кратности этого корня порядка, тем же свойством
обладает и каждый кратный корень уравнения
по отношению к минорам определителя Вт(*).
Свойство это докажется, если заметим, что при ска-
сказанном условии для каждого [^-кратного корня послед-
последнего уравнения можно найти р. линейно независимых
целых однородных функций V степени т, удовлетво-
удовлетворяющих уравнению F).
20. О целых однородных функциях, удовлетворя-
удовлетворяющих некоторым линейным уравнениям с частными
производными. Мы можем доказать теперь следующие
предложения.
Теорема I. Когда корни ъи х2, .. ., v,n опреде-
определяющего уравнения таковы, что при данном целом поло-
положительном т для них невозможны никакие соотноше-
соотношения вида
в которых все ms были бы целыми неотрицательными
числами, дающими в сумме т, то всегда можно найти
и притом только одну целую однородную функцию V
степени т величин xsi удовлетворяющую уравнению
п
^? (v х 4- п х 4- 4-й х } — — U (9)
при произвольно заданной целой однородной функции U
величин xs той же степени т.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ Ц07
В самом деле, для определения коэффициентов
искомой функции V мы получаем систему линейных
уравнений, число которых равно числу этих коэффи-
коэффициентов. Притом определитель этой системы есть 2)т@)
и, следовательно, при означенном в теореме условши
не равен нулю.
Примечание. Условие, рассматриваемое в теореме,
будет, например, выполнено и притом для всякого ту
когда вещественные части всех величин xs отличны от
нуля и имеют одинаковые знаки.
В двух следующих теоремах величины xs будюм
предполагать вещественными, будем ли их рассматри-
рассматривать как независимые переменные или как функции t,
удовлетворяющие уравнениям A). Последнее воз-
возможно вследствие предположенной уже нами веще-
вещественности коэффициентов pso.
Теорема II. Когда вещественные части всех
корней xs отрицательны и когда в уравнении (9)
функция U есть знакоопределенная форма какой-
либо четной степени га, то удовлетворяющая этому
уравнению форма т-ой степени V будет также зиа-
коопределенною и притом противоположною по зна-
знаку с U.
Для доказательства замечаем, что, рассматривая
величины xs как функции t, удовлетворяющие урав-
уравнениям A), можем представить уравнение (9) под
следующим видом:
Отсюда заключаем, что для всякого решения си-
системы уравнений A), отличного от х± = х2 = . .. = хп — О,
функция V делается такой функцией переменного t,
которая при возрастании последнего изменяется по-
постоянно в одном и том же смысле, а именно: возрастает,
если U положительна, и убывает, если U отрицатель-
отрицательна. Но при сделанном предположении относительно

108 A. M. ЛЯПУНОВ
величин ks всякие функции xs, удовлетворяющие урав-
уравнениям A), необходимо таковы, что с беспредельным
возрастанием t стремятся к нулю. Поэтому такою же
должна делаться и функция V для всякого решения
системы A). А это в силу сейчас замеченного возможно
только при условии, чтобы для всякого решения, отлич-
отличного от
Xi = Х% =^ . • . = Хц = U,
функция V обращалась в такую функцию t, которая
ни при каких значениях последнего не могла бы
приобретать знака функции U или делаться нулем.
Условие же это очевидно равносильно тому, чтобы
никаким выбором величин xs функцию V нельзя было
сделать величиной одинакового знака с U или обратить
в нуль, не предполагая хх = х2 = .. . = хп= 0.
Теорема III. Если между корнями xs находятся
такие, вещественные части которых положительны,
и если при данном четном т корни эти удовлетворяют
условию теоремы I, то всякий раз, когда в уравнении (9)
U есть знакоопределенная форма т-ой степени, удовле-
удовлетворяющая этому уравнению форма той же степени V
наверно не будет знакопостоянною противоположного
знака с U.
В самом деле, рассматривая величины xs как функ-
функции t, удовлетворяющие уравнениям A), представим
уравнение (9) под видом
dVU
и
Отсюда заключаем, что если надлежащим выбором
величин xs, не равных одновременно нулю, функцию
V можно сделать нулем, то ее можно также сделать
и величиною одинакового знака с II. Поэтому, если бы
функция V не могла получать значений одинакового
знака с U, то она необходимо была бы знакоопределен-
ною. А тогда мы имели бы дело с некоторым частным слу-
случаем условий теоремы I § 16 и заключили бы, что для

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 109
всяких функций xs, удовлетворяющих уравнениям A),
существуют некоторые высшие пределы, которых их
числовые значения не могут превзойти, когда t возра-
возрастает, начиная от какого-либо значения. Но это заклю-
заключение было бы несогласно с предположением, что
между величинами xs находятся такие, вещественные
части которых положительны, ибо при этом предполо-
предположении всегда найдутся решения системы A), в кото-
которых по крайней мере некоторые из функций xs будут
неограниченными.
Поэтому функция V необходимо такова, что надле-
надлежащим выбором величин xs ей всегда можно придать
знак функции U.
Примечание. Для того, чтобы условие теоремы I
могло быть выполнено при каком-либо ту определяю-
определяющее уравнение не должно иметь равных нулю корней.
Притом для возможности выполнения этого условия
при каком-либо четном т между корнями определяю-
определяющего уравнения не должно быть ни одной пары таких,
сумма которых была бы нулем.
21. О канонических системах линейных дифферен-
дифференциальных уравнений. Рассмотрим каноническую си-
систему линейных дифференциальных уравнений
dt ду8 ' dt dxs ^ '
(* = 1, 2, ...,*).
где /7 есть некоторая квадратичная форма переменных
Х±, Х%у • . • , & fcj Уi j У2> • • • > Уh
с постоянными коэффициентами.
Если положим вообще
дЧ1 л дЧГ п дЧ1

110 A. M. ЛЯПУНОВ
то основной определитель, соответствующий этой си-
системе, будет отличаться только множителем (-—1)*от
определителя
X ls21. .. lskl Пи П21 . . . Dkl
Сlk С<Ьк ' • ' ?АА + х ^1/с #2/с ' ' * ^АА
Л Л Л С С v Г1
¦fX-12 -ra22'*' "^A2 ^21 22 ' ' * 2 А
Но в силу соотношений
этот последний определитель не меняет своей величины
от замены v, через — х. Чтобы убедиться в этом, стоит
только после сказанной замены строки сделать столб-
столбцами, а затем произвести надлежащие перестановки
как строк, так и столбцов.
Поэтому определяющее уравнение системы A0)
содержит только четные степени х, и, следовательно,
всякому его корню х соответствует корень —х.
Таким образом для канонической системы уравнений
мы встречаемся с тем особенным случаем, когда условие
теоремы I предыдущего параграфа не выполняется ни
при каком четном т.
Можно заметить, что когда Н есть знакоопределен-
ная форма переменных xs, ys, все корни определяющего
уравнения системы A0) суть чисто мнимые (т. е. имеют
равные нулю вещественные части и не равные нулю
коэффициенты при |/" — 1), и притом каждый кратный
корень какой-либо кратности [х обращает в нуль все
миноры основного определителя до порядка [х — 1 вклю-
включительно.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ Щ
Это предложение Раус доказывает алгебраически х).
Но оно, очевидно, представляет непосредственное след-
следствие того обстоятельства, что Н есть один из интегра-
интегралов системы A0).
В случае, когда Н есть сумма двух квадратичных
форм: X переменных xs и Y переменных ys и когда
по крайней мере одна из форм X или Y знакоопределен-
на, уравнения A0) обладают всеми свойствами ли-
линейных дифференциальных уравнений, которыми в пер-
первом приближении определяются малые колебания
материальной системы около положения равновесия
при существовании силовой функции. Поэтому, осно-
основываясь на известных теоремах теории малых колеба-
колебаний, можем утверждать, что в этом случае определяю-
определяющее уравнение будет иметь только корни, квадраты
которых вещественны, и что корни эти могут быть все
чисто мнимыми только при условии, если функция Н
знакоопределенна.
Когда Н не представляется под видом X + Y при
указанном сейчас значении величин X и У, все корни
могут быть чисто мнимыми и при отсутствии последнего
условия.
Предположим вообще функцию Н вещественною
и такою, чтобы определяющее уравнение системы A0)
г) Предложение это является у Рауса в несколько иной
форме вследствие того, что вместо канонической системы урав-
уравнений он рассматривает следующую:
d dL __dL dx8__ ,
!td^8~"fa8' ~dt^X%
(s«l, 2, ..., к),
где L—некоторая квадратичная форма переменных хя, х/8. Роль
функции Н при этом играет функция
См. Routh, The advanced part of a Treatise on the Dy-
Dynamics of a system of rigid bodies, 4 изд., 1884, стр. 68.

112 Л. М. ЛЯПУНОВ
имело только чисто мнимые корни. Пусть эти корни
суть:
где все Xs означают отличные от нуля вещественные
числа.
Допустим, что все корни различны. Тогда для
системы A0) найдутся 2к независимых интегралов вида
(s= I, 2, ..., ft), A1)
где г = }/"¦— 1, а гг5 иу$ суть линейные формы перемен-
переменных Xj, yj с постоянными вещественными коэффици-
коэффициентами.
Пусть для каких-либо двух функций ср и ф перемен-
переменных жу, г/у (функции эти могут содержать также и t)
символ (ср, ф) означает величину
к
\j ду} dyj dxj ) '
Тогда, если ср и ф суть интегралы системы A0), то(;р, ф),
как известно, будет или также интегралом этой системы,
или некоторою определенною постоянною.
Но если функции f и <j> берутся из ряда интегралов
A1), то, очевидно, возможен только последний случай.
Поэтому, замечая, что вследствие сделанного пред-
предположения ни одно из чисел Xs ± Хо при s и а различ-
различных не нуль, мы должны заключить, что все величины
для которых .9 и а различны, суть нули. Что же касается
величин
(us + ivs, us — ivs) (s = 1, 2, ..., A),

ОБЩАЯ 8АДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ ИЗ
то из ни наверно ни одна не нуль, ибо в противном
случае интегралы A1) не были бы независимыми.
Отсюда выводим, что все скобки (и8, и3), (os, v0),
а также, при различных s и а, и все скобки (us, va) суть
нули и что есс (usy vs) суть отличные от нуля веще-
вещественные постоянные. Эти постоянные мы можем притом
предположить равными 1, ибо всегда можно пред-
предположить, что каждая из функций us и vs заключает
в себе под видом множителя одну и ту же произволь-
произвольную вещественную постоянную, которой можно распо-
распорядиться так, чтобы (ws, v8) по числовой величине рав-
равнялось 1; а надлежащим выбором знака числа as
(который оставался до сих пор неопределенным) вели-
величину (ws, vs) можно сделать положительною.
Таким образом, приписывая надлежащий знак ка-
каждому из чисел Xs, всегда можем предположить инте-
интегралы A1) такими, чтобы для них имели место равен-
равенства:
=lf 2,..., Л).
Из этих равенств нетрудно вывести, что если соста-
составить частные производные функций us, vs по перемен-
переменным Xj, i/j, а затем, рассматривая последние как
функции первых, составить частные производные функ-
функций Xj> yj по переменным us, vs, то получатся следую-
следующие соотношения:
ди8 __ ду; dug _ дх? 1
dyj dus ' дх} dus ' j
Отсюда следует, что всякая каноническая система
уравнений
dxs OF dy, OF , * о к)
8 А. М. Ляпунов

114 A. M. ЛЯПУНОВ
(где F —какая-либо функция переменных- х$ууь), будучи
преобразована к переменным us> vs, приведется также
к каноническому виду:
dus_ dF dv^__dF , . о ,ч
Ж~~ dvs' dt~dus {S~~ ly *' " *' *h
Но систехма A0) преобразовывается этим путем
к виду:
St = ~ дл' 1и = Х»и« (s = 1, 2, ... ,к).
Поэтому функция Н, преобразованная к перемен-
переменным us, j;s, будет:
Предыдущий анализ с небольшими изменениями
прилагается и к случаю, когда определяющее уравне-
уравнение системы A0) имеет кратные корни, еслр! только
каждый кратный корень обращает в нуль все ми-
миноры основного определителя до порядка возможно
наивысшего.
Чтобы показать это, рассмотрим два т-кратных
корня X i/" ~ZT\ и — X j/ — 1.
При сказанном условии этим корням будет соот-
соответствовать 2т независимых интегралов системы A0)
следующего вида:
Uy'c2' Uv*™""vm!™Al' 1 °2)
где i попрежнему означает \/~ — 1, а все Us и Vs суть
линейные формы переменных Xj, у,- с постоянными
коэффициентами. Притом для каждой пары форм ?7S, Vs
коэффициенты одной получаются из коэффициентов
другой заменой }/ —¦ 1 через — ]/ — 1.
Присоединяя к системе интегралов A2) такие же
системы, относящиеся к остальным корням, получим
полную систему 2к независимых интегралов уравне-
уравнений A0).

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ Ц5
Составляя всевозможные скобки из функций Us
и из функций Vsf очевидно, найдем:
(Us9 V.) - О, (VS, V,) - 0 (*, а 1,2,..., т).
Также найдем, что будут уничтожаться и все скобки,
которые можно составить, комбинируя каждую из
функций Us или Vs с каждою из таких функций, соот-
соответствующих корням, отличным от рассматриваемых.
Отсюда следует, что для каждого числа s, взятого
из ряда 1, 2,..., т, найдется в том же ряду по крайней
мере одно такое число б, что скобки (Us, Va) предста-
представят отличную от нуля постоянную. В самом деле, если
бы все скобки
(US,V,), (U,,Vt),..., (U,,Vm)
были нулями, то уничтожались бы все 2к—1 скобок,
которые можно вывести, комбинируя интеграл Use~m
со всеми остальными линейными интегралами, состав-
составляющими вместе с ним полную систему независимых
интегралов. А это, очевидно, невозможно.
Может случиться, что уже между скобками вида
(Lrs, Vs) находятся не равные нулю.
Допустим, например, что (Uly Vx)—не нуль. Тогда
систему A2) можно преобразовать в равносильную ей
систему интегралов
иге-м, Vxcw, и[е~ш, VWU (о = 2, 3, .. ., т)
того же характера, для которой все скобки
(С;, VJ, (UAy П) (^ = 2,3, ...,т)
будут нулями. Для этого должно только сделать
приписывая постоянным ocff, \la следующие величины:

116 А. М. ЛЯПУЙОВ
При этом функция V'a будет выводиться из функции U'z
заменою ]/ — 1 через — J/ —-1.
Допустим теперь, что все скобки вида (US1 Vs)
суть нули.
Так как между скобками (Ul9 VQ) наверно находят-
находятся отличные от нуля, то пусть (f/x, V2) не нуль. Тогда,
полагая
U^U. + iiU,, V2)U2, V'^V^iiU,, VX)V»
вследствие равенств (Ulf V1) = 0f (U29 F2)=0 найдем:
(U[, V'1) = 2i(U1, Vt)(Ut, Vt),
и величина эта наверно не будет нулем, ибо (U2, FJ
как сопряженная величина с —(Ui, V2)—не нуль.
Вследствие этого, если интегралы первого столбца
таблицы A2) заменим интегралами
что приведет к новой системе 2т независимых инте-
интегралов того же характера (ибо функция V[ выводит-
выводится из функции U[ заменой i через — г), то придем к толь-
только что разобранному случаю.
Мы можем поэтому предположить, что для системы
интегралов A2) скобки (Ulf VJ представляют отлич-
отличную от нуля постоянную и что притом все скоб-
скобки (U19 Va) и (Ua9 VJ, для которых а>1, суть
нули. А тогда предыдущие рассуждения можно будет
приложить к системе 2(т—1) интегралов, которую
получим, вычеркивая из таблицы A2) интегралы пер-
первого столбца.
Отсюда видно, что систему интегралов A2) всегда
можно предположить такою, чтобы все скобки (f/s, V9)}
для которых s и а различны, были равными нулю
и чтобы ни одна из величин (Us, Vs) не была нулем.
Составивши такие системы интегралов для каждой
пары сопряженных корней, мы можем затем рассу-
рассуждать так же, как и в случае простых корней.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ Ц7
Таким образом приходим к заключению, что если
определяющее уравнение системы A0) имеет только
чисто мнимые корни, квадраты которых суть
и если притом, в случае кратных корней, каждый из
последних обращает в нуль все миноры основного
определителя до порядка, возможно наивысшего, то
при помощи линейной подстановки с постоянными
вещественными коэффициентами всякую каноническую
систему уравнений вида
dxs
можно преобразовать в каноническую же следующего
вида:
du8 __ , OF dvg __} dF ( . ? k)
если только под каждым >s разуметь число некоторого
определенного знака.
Можно заметить, что подобное преобразование воз-
возможно и в случае, когда определяющее уравнение,
кроме чисто мнимых корней, имеет также корень, рав-
равный нулю, если только означенное выше условие выпол-
выполняется для каждого из кратных корней, к числу кото-
которых равный нулю корень всегда будет принадлежать.
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
22. Интегрирование посредством рядов, располо-
расположенных по степеням произвольных постоянных.
Пусть
-~- = pslX{ + ps2X2 -i- ... + Psnxn + %s {Щ
(s=l, 2, . .. , n)
суть предложенные дифференциальные уравнения воз*
мущенного движения,

118 А. М- ЛЯПУНОВ
Здесь все Xs означают данные голоморфные функ-
функции переменных х19 х2, . . . , жл, разложения которых
X = У1 p(mi> m2t "• 'тп^ xmixm2 .. xmn
(s = l, 2, ... ,n)
по целым положительным степеням последних не
содержат членов ниже второго измерения, а коэффи-
коэффициенты
суть некоторые вещественные постоянные.
Независимую переменную ?, пока не встретится
надобности рассматривать комплексные ее значения,
будем попрежнему считать вещественною.
Отбрасывая в уравнениях A3) все члены выше пер-
первого измерения, получим систему линейных диф-
дифференциальных уравнений, соответствующую первому
приближению. Составляя для последней определяющее
уравнение, мы будем говорить, что это есть определяю-
определяющее уравнение, соответствующее системе A3).
Пусть 7сх, х2, . . . , ъп суть все корни этого урав-
уравнения.
Интегрируя систему A3) по способу, изложенному
в § 3, получим для функций xs ряды
41} + xf + 43) + • •. (* = 1, 2, . .. , п), A4)
m-ые члены которых будут следующего вида:
xs — 2л1 s е
Здесь суммирование распространено на все целые
неотрицательные числа т19 т.,, . .. , тп, удовлетво-
удовлетворяющие условию
О < т1 4- Щ + • • • + гпп < т,
а коэффициенты Т (целые и однородные /тг-ой степени
относительно постоянных произвольных) суть или
цостоянные величины, или целые функции t, степени

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 119
которых не превосходят некоторого предела, завися-
зависящего от т г).
Коэффициенты этого второго рода будем называть
вековыми. Так же будем называть и члены, в которых
они встречаются, когда соответствующие этим членам
числа
равны нулю или суть чисто мнимые.
Если отбросить введенное в § 3 условие, чтобы все
функции х[т\ для которых т > 1, обращались в нуль
для одного и того же данного значения t, то вычисле-
вычисление можно вести таким образом, чтобы выражения A4)
для функций х$ выходили однородными m-ой степени
относительно показательных функций
e%lt, е*2', . . . , е*л*. A5)
При этом коэффициентам Т можно придать вид:
( ) >ь 7Л2, ... , W/0 тг Ш2 тп
где а3, а2, . . . , ал суть постоянные произвольные, от
которых не зависят коэффициенты К, представляющие
или постоянные величины, или целые функции t.
Тогда, делая некоторые из постоянных as нулями,
получим ряды, в которых будут фигурировать не
все, а только некоторые из функций A5).
Однако, если желательно, чтобы получаемые ряды
по крайней мере в известных пределах изменяемости t
при достаточно малых | %s | были наверно сходящимися,
то вообще вести вычисления таким образом можно
только до некоторого (впрочем совершенно произволь-
произвольно выбранного) предела т —N, а для гг > N нужно
возвратиться к гипотезе § 3. При этом в выражениях
2) Нетрудно убедиться, что степени эти не превосходят
числа
Bц + \)т- «1- 1,
ели ;а есть наибольшая из этих степеней для m=L

120 A. M. ЛЯПУНОВ
функций xim\ для которых т> N, вновь появятся во-
вообще все показательные функции A5), и относительно
последних выражения эти утратят однородность.
Случаи, в которых мсжно не назначать никакого
предела -/V, представляют особенный интерес. Некото-
Некоторые из этих случаев, наиболее важные для нашей
задачи, укажем в следующем параграфе.
Должно заметить, что условие, чтобы все х["
были однородными относительно величин A5), не
всегда вполне определяет постоянные, вводимые инте-
интегрированием уравнений, которым удовлетворяют функ-
функции x[w\ соответствующие #г>1. В таких случаях
остается еще известное число постоянных, которыми
можно распорядиться по произволу.
Пусть составляются ряды, в которых должны фигу-
фигурировать показательные функции, соответствующие
каким-либо к корням
*!, ха, . . . , *А A6)
определяющего уравнения.
Легко убедиться, что если при этом вековые коэф-
коэффициенты не входят ни в одно из т—\ первых при-
приближений
т • . . т Жв
(р = 1, 2, .. . , т — 1; s=l, 2, ... , п)
и если выбором целых неотрицательных чисел
т1У . . . , тк> удовлетворяющих условию
нельзя удовлетворить никакому соотношению вида
тл + лгах2 + . . . + mk*k=Y.s (s =1, 2, . . . , /г),
то такие коэффициенты не войдут и в т-ое прибли-
приближение.
Поэтому, если все корни A6) обладают веществен-
вещественными частями одного и того же знака, то отсутствие

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 121
или существование в рассматриваемых рядах вековых
коэффициентов всегда может быть обнаружено при
помощи конечного числа элементарных алгебраиче-
алгебраических действий1).
Далее мы будем часто рассматривать не самые урав-
уравнения A3), а различные их преобразования при помощи
линейных подстановок с постоянными коэффициен-
коэффициентами2), руководствуясь при выборе этих подстановок
тем соображением, чтобы в преобразованных уравне-
уравнениях совокупности членов первого порядка принимали
частный вид, возможно более облегчающий исследова-
исследование. Таковы подстановки, рассмотренные в § 18.
Мы встретимся с вопросами, для которых веще-
вещественность коэффициентов в дифференциальных уравне-
уравнениях не будет иметь существенного значения. В таких
случаях при помощи сказанных подстановок можно
будет преобразовывать уравнения A3) к виду:
-jj-=y.sZs + Gs-iZs-i + Zs (s^=2, 3, . . . , л),
где Zj суть голоморфные функции переменных
zl9 z29 . . . , zny разложения которых по степеням послед-
последних начинаются членами не ниже второго порядка и об-
обладают постоянными коэффициентами; 73, >-2, . . . , у.п суть
корни определяющего уравнения, соответствующего
системе A3), a clt <з2, . . . , оп1—некоторые постоянные,
которые в случае, когда все у./ различны, можно пред-
предполагать равными нулю.
*) Каждую из систем уравнений, определяющих функции
x^w\ для которых т> 1, мы можем интегрировать по способу
неопределенных коэффициентов. Тогда все дело будет сво-
сводиться каждый раз на решение некоторых систем алгебраиче-
алгебраических уравнений первой степени.
2) Мы будем рассматривать, конечно, только такие подста-
подстановки, при которых можно выражать по произволу как новые
переменные через прежние, так и прежние через новые.

122 A- M* ЛЯПУНОВ
23. Теорема о сходимости рядов, выводимая иа
теоремы § 12. Допустим, что составлены ряды, фор-
формально удовлетворяющие уравнениям A3), и что ряды
эти, расположенные по восходящим степеням к
постоянных произвольных ах, а2, . .. , а/с, содержат
показательные функции, соответствующие к корням
*г, V ••-.** A8)
определяющего уравнения.
Пусть эти ряды следующие:
(s = l, 2, ... , п), A9)
где коэффициенты К не зависят от величин ау- и пред-
представляют или постоянные величины, или целые функ-
функции t. Притом суммирование распространено на все
целые неотрицательные числа т17 т2, . .. , тк, сумма
которых не менее 1.
Эти ряды представят некоторый частный случай
рядов B5), рассмотренных в § 11.
Из теоремы § 12 для рядов A9) выводится следу-
следующее предложение:
Теорема. Пусть рассматриваемые корни A8)
обладают отличными от нуля вещественными частями
- - Xi, Х2, . . . , кк,
которые притом все одного и того же знака.
Выберем какую-либо вещественную постоянную ч
и будем рассматривать только значения t, удовлетво-
удовлетворяющие условию:
±(t-z)>0, B0)
где верхний знак относится к случаю, когда все Ху
(/=1, 2, . . . , к) положительны, а нижний к тому,
когда все Ху отрицательны. Тогда, если, разумея пода
некоторое вещественное число того же знака,

общая задача об устойчивости движения 123
и все \j {которое в случае, когда все коэффициенты К
в рядах A9) суть постоянные величины, можно пред-
предполагать и нулем), сделаем
а/х)+*>' = д, (/=1, 2 к),
и исключением постоянных а.; из рядов A9) выведем
новые:
xs = SQimuma m/i) чТяТ ¦¦¦яТк B1)
(s=l, 2, ... ,и).
расположенные по восходящим степеням величин qj, то
при всяких х и г найдем такую положительную посто-
постоянную q, что ряды B1) будут абсолютно сходящимися
для всяких qj, модули которых не превосходят q,
и притом в равной степени для всех значений ty удо-
удовлетворяющих условию B0).
Допустим сначала, что все ),/ положительны.
Тогда, если т —0, то это предложение будет непо-
непосредственным следствием теоремы § 12, ибо величины qj,
рассматриваемые нами теперь, отличаются от тех,
с которыми мы имели дело в этом параграфе, только
множителями, модули которых равны 1.
В случае же, когда т не нуль, рассматриваемое
предложение докажем, если теорему § 12 приложим
вместо рядов A9) к тем, которые из них выводятся заме-
заменою t через ? + т, а/ через ауе~(/7+е) т (/ ^ 1, 2, . . . , К)
(и следовательно, также формально удовлетворяют
уравнениям A3)). Действительно, в рядах B1),
соответствующих этши новым рядам, коэффи-
коэффициенты Q будут выводиться из прежних заменою I
через 11- т.
Если бы все Kj были отрицательными, то мы убе-
убедились бы в справедливости теоремы, приводя этот
случай к предыдущему. Для этого стоило бы только
в рядах A9) и в уравнениях A3) заменить t через — t.
Что касается возможности предположения s = 0,
когда все коэффициенты К суть постоянные величины,
то она очевидна без каких-либо разъяснении.

124 А. М- ЛЯПУНОВ
Из рассматриваемой тзоремы в силу соображений
известного характера (cip, 32) следует, что всякий
раз, когда корни A8), взятые нами для составления
рядов A9), имеют вещественные части одного и того же
знака, этими рядами определяется некоторое решение
системы уравнений A3) или для всякого t, большего
некоторого предела, если вещественные части корней
A8) все отрицательны, или для всякого t, меньшего
некоторого предела, если эти вещественные части все
положительны. Пределы же эти зависят от постоян-
постоянных as так, что выбором достаточно малых | as J их можно
сделать какими угодно.
Эти решения будут содержать к постоянных произ-
произвольных, и число последних не приведется к меньшему,
если для составления рядов A9) были взяты к незави-
независимых решений
^гA, 0, ..., 0) %1i ^r(l, 0,...,0) Xlt кгA, 0, ..., 0) Xlt
i^@,l 0) xt дг@, 1, ..., 0) f jnr@, 1 0) yof
системы дифференциальных уравнений первого при-
приближения.
Говоря о таких решениях, это условие всегда будем
предполагать.
В случае, когда вещественные части всех корней
определяющего уравнения отличны от нуля и притом
одинакового знака, мы можем сделать к=п, и тогда
рядами A9) при только что сказанном условии будет
определяться общий интеграл системы уравнений A3).
Примечание. Если предположим, что имеет место
этот последний случай, то, составляя ряды A9), соот-
соответствующие kzz=n> можем вывести из них п независи-
независимых интегралов системы A3) вида:
-V S Lju , „) ж
(s=l,2, ...,и),

ОЁЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 125
где суммирование распространяется на все целые неот-
неотрицательные числа mv m2J ...,mn, сумма которых не
менее 1, и где коэффициенты L суть или постоянные
величины, или целые функции t, степени которых
в членах какого угодно порядка т не превосходят
некоторого числа, известным образом зависящего от т.
В членах первого порядка наивысшая из этих степеней
всегда будет равна наивысшей из степеней коэффициен-
коэффициентов К в членах того же порядка разложений A9).
Входящие сюда ряды будут абсолютно сходящимися
при всяком данном t, пока модули величин xs не пре-
превосходят некоторого предела. Последний же всегда
отличен от нуля, но может иметь нуль пределом, когда
t\ беспредельно возрастает.
Особенный интерес представляет случай, когда все
коэффициенты L суть постоянные величины. Для то-
того чтобы он имел место, необходимо и достаточно,
чтобы и все коэффициенты К в рядах A9) были посто-
постоянными.
Как уже было замечено в предыдущем параграфе,
при рассматриваемых здесь условиях всегда легко
узнать, имеем ли мы дело с этим случаем.
Для возможности этого случая, конечно, необхо-
необходимо, или чтобы определяющее уравнение не имело
кратных корней, или чтобы при существовании таких
корней каждый из них обращал в нуль все миноры
основного определителя до наивысшего возможного
порядка.
Допустим, что это условие выполнено. Тогда, если
еще выполнено условие, чтобы при целых неотрица-
неотрицательных ти гп2, ..., тп, сумма которых более 1, между
корнями xs не существовало никаких соотношений
вида
m1xl + m2x2 + ... +mn*n=.Y.i (/ = 1, 2,..., га), B3)
то мы можем быть уверены, что все коэффициенты К и L
будут постоянными.
Во всяком случае, когда все коэффициенты L суть
постоянные величины, мы получим для системы диф-

126 Л. М- ЛЯПУНОВ
ференциальных уравнений, выводимой из A3) исключе-
исключением dt, следующую систему интегральных уравнений:
"- <24>
где <р,, ср2, . . ., уп суть голоморфные функции перемен-
переменных х19 х2,...,хп, определяемые рядами, которые
входят как вторые множители в интегралы B2).
Присоединяя к этим уравнениям какое-либо из
уравнений вида
и предполагая, что переменной t даются только зна-
значения или большие некоторого предела (зависящего
от постоянных осу), или, напротив, меньшие некоторого
предела, смотря по тому, отрицательны или положи-
положительны вещественные части всех ху>, получим полную
систему интегральных уравнений для системы A3).
Результат, к которому мы пришли, представляет
теорему, доказанную Пуанкаре в его диссертации
«Sur les proprieties des fonctions definies par les
equations aux differences partielles» (Paris, Gauth-
ier-Villars, 1879, стр. 70)l).
Делая известные предположения 2) (и между прочим—
что корни хв не удовлетворяют никаким соотношениям
вида B3)), Пуанкаре доказывает существование инте-
интегральных уравнений вида B4), не переходя предвари-
г) По поводу этой теоремы Пуанкаре замечает, что она
была сообщена ему Дарбу.
2) Вместо нашего предположения, что вещественные части
всех корней xs одного и того же знака, Пуанкаре делает более
общее, а именно, что точки координатной плоскости, изобра-
изображающие эти корни, лежат все по одну сторону некоторой
прямой, проходящей через начало координат. Но если рас-
рассматривать не самые величины xg, а только отношения меж-
между ними [что именно и нужно для уравнений B4)], то по-
последнее предположение не будет существенно отличаться от
первого.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 127
тельно через уравнения A9). А именно, он выводит
их, рассматривая уравнения в частных производных
7-1 (s=l, 2, ...,/i)
и показывая, что при известных условиях последним
удовлетворяют некоторые голоморфные функции f,
переменных х19 х2, . . ., хп.
24. Теоремы об условиях устойчивости и не-
неустойчивости, доставляемых первым приближением.
Из теоремы предыдущего параграфа или непосред-
непосредственно из теорем § 13 могут быть выведены сле-
следующие:
Теорем а I. Когда определяющее уравнение, со-
соответствующее системе дифференциальных уравнений
возмущенного движения, имеет только корни с отри-
отрицательными вещественными частями, невозмущенное
движение устойчиво, и притом так, что всякое воз-
возмущенное движение, для которого возмущения доста-
достаточно малы, будет асимптотически приближаться к не-
невозмущенному.
Теорема II. Когда определяющее уравнение
имеет корни с отрицательными вещественными ча-
частями, то каковы бы ни были остальные его корни, для
невозмущенного движения будет существовать извест-
известная условная устойчивость. А именно, в случае суще-
существования к таких корней, движение это будет устой-
устойчивым для возмущений, подчиненных некоторым п—к
уравнениям вида
Fj-(aly а2, ...,ап) = 0 (/==1, 2, . . .,п— к),
в которых Fj суть голоморфные функции начальных
значений as функций xs, обращающиеся в нуль, когда
все as делаются нулями, и которые позволяют выражать
все эти значения как голоморфные функции к неза-
независимых величин.

128 A. M. ЛЯПУНОВ
В дополнение к этим теоремам докажем теперь
следующую:
Теорема III. Когда между корнями определяю-
определяющего уравнения находятся такие, вещественные части
которых положительны, невозмущенное движение не-
неустойчиво.
Допустим сначала, что в числе корней этого урав-
уравнения находятся положительные.
Если таких корней существует несколько, то пусть х
есть наибольший из них. Тогда ту. при т > 1 наверно
не будет корнем определяющего уравнения. А потому,
если составим ряды A9), соответствующие только одному
корню х и содержащие одну произвольную постоян-
постоянную а, принимая за первое приближение решение
системы A), в котором все Ks суть постоянные вели-
величины, то в рядах A9) все коэффициенты К наверно
будут постоянными.
Притом мы можем и будем предполагать эти коэф-
коэффициенты от а не зависящими и вещественными.
Пусть
есть найденное таким образом решение системы A3).
Здесь все fs суть голоморфные функции аргумен-
аргумента а**, обращающиеся в нуль, когда последний делается
нулем, и для вещественных его значений сохраняющие
вещественные значения.
Этому решению при вещественном а будет соответст-
соответствовать некоторое действительное движение, и последнее
будет определяться им, пока числовая величина аех*
остается достаточно малою для того, чтобы ряды, кото-
которыми выражаются функции /s, были абсолютно схо-
сходящимися, а числовые величины их сумм не пре-
превосходили некоторого предела.
Пусть это имеет место, пока

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 129
где /—некоторая не зависящая от а положительная
постоянная.
Тогда нашим решением, при всяком данном отлич-
отличном от нуля вещественном а, будет определяться неко-
некоторое возмущенное движение для всех значений t, не
превосходящих следующего предела:
1 -, /
т~ — In-г— .
Таким образом, если | а | достаточно мало для того,
чтобы предел этот был больше начального значения t,
мы получаем возмущенное движение, за которым можем
следить от начального момента до момента, когда ?—т.
Это движение таково, что соответствующие ему
начальные значения функций xs при |ос| достаточно
малом делаются все сколь угодно численно малыми,
а значения тех же функций для t = т
между которыми наверно находятся отличные от нуля *),
не зависят от численной величины а.
Мы должны поэтому заключить, что невозмущенное
движение неустойчиво.
Допустим теперь, что определяющее уравнение не
имеет положительных корней, но имеет комплексные
корни с положительными вещественными частями.
Выбираем из них два сопряженных
с наибольшею вещественною частью X.
Так как выражения вида
т^ + т2к2 = (т1 + т2) X + (^i — rn2) p. j/" — 1
при вещественных ^ и т2, удовлетворяющих условию
х) Если значения функций xs, соответствующие какому-
либо t, все равны нулю, то функции эти необходимо равны
нулю для всякого t (см. сноску на стр. 11). А мы предпо-
предполагаем, конечно, что между функциями f8 существуют нерав-
неравные нулю тождественно.
9 А. М. Ляпунов

130 Л. М. ЛЯПУНОВ
Щ + ^2 > 1, наверно не будут корнями определяющего
уравнения, то для системы A3) найдется решение,
соответствующее корням ъх pi *2, с двумя постоянными
произвольными а, и а2, для которого в рядах A9)
все коэффициенты К будут постоянными.
Пусть это решение определяется уравнениями:
^S = /SK«4(- <V**') (s=l, 2, .... и),
где fs суть голоморфные функции аргументов а1еХ1',
а2е*2', обращающиеся в нуль, когда последние оба
делаются нулями.
Мы можем функции fs предположить такими, чтобы
каждая из функций
/,0 + ч/~1, S-i/~l) (*~1, 2, ...,л)
при вещественных ? и т) была вещественною.
Тогда при всяких комплексных сопряженных а2 и а.,
рассматриваемому решению будет соответствовать не-
некоторое действительное движение, определяемое им
по крайней мере для значений t, удовлетворяющих
некоторым неравенствам вида
| a2e*if | < /, |«2еХ2<1<*,
где / означает постоянное положительное число, не
зависящее от ах и а2
Пусть а есть общий модуль последних.
Разумея под i j/" — 1, положим
и приписывая а только отличные от нуля значения,
между a pi |3 поставим зависимость:
Тогда, при а достаточно малом, нашим решением
будет определяться возмущенное движение, соответ-
соответствующее возмущениям, сколь угодно численно малым,
для которого в некоторый момент

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 131
следующий за начальным, функции xs будут достигать
значений
xt = f,(l,I) (в=1, 2, .... п),
от ос не зависящих.
Как и в предыдущем случае, мы должны поэтому
заключить, что невозмущенное движение неустойчиво.
Таким образом теорему нашу можем считать дока-
доказанной *).
25. Условие неустойчивости равновесия при су-
существовании силовой функции. Из доказанного выво-
выводится некоторое дополнение к теореме Лагранжа об
устойчивости равновесия при силах, имеющих силовую
функцию.
Теорема эта, как известно, дает условие, достаточное
для устойчивости, которое состоит в том, что силовая4
функция должна в положении равновесия достигать
наибольшего значения.
Но констатируя достаточность этого условия, она
не позволяет делать каких-либо заключений о его
необходимости.
Поэтому является вопрос, будет ли положение рав-
равновесия неустойчивым, если для него силовая функция
не есть максимум?
Поставленный в общей форме вопрос этот не решен
и по настоящее время. Но при некоторых допущениях
довольно общего характера на него можно дать опре-
определенный ответ, ибо из последней теоремы предыдущего
параграфа при известных условиях выводится предло-
предложение, обратное лагранжеву. Условия эти притом
суть те, с которыми всего чаще приходится иметь дело
в приложениях.
г) Эта теорема была доказана мною таким же образом
в статье «О постоянных винтовых движениях твердого тела
в жидкости» (Сообщения Харьк. матем. общ., 2 серия, том I,
1888). В этой статье, показывая, что при известных условиях
для дифференциальных уравнений возмущенного движения
возможны решения вида A9), я не упомянул о цитированном
выше сочинении Пуанкаре (стр. 126), потому что последнее
в то время мне было неизвестно.
9*

1Я2 А. M> ЛЯПУНОВ
Пусть
суть независимые переменные, определяющие положе-
положение рассматриваемой материальной системы.
- Мы будем предполагать их выбранными так, чтобы
для исследуемого положения равновесия они все дела-
делались нулями.
Силовая функция U может зависеть от всех этих
переменных или только от некоторых из них. Допу-
Допустим, что она зависит только от т следующих:
?1> ?2> •••> Ят- B5)
Будем предполагать притом, что она есть голоморфная
функция этих последних.
Живую силу нашей системы, которая будет некото-
некоторой квадратичной формой производных
величин д. по t с коэффициентами, зависящими от этих
величин, будем предполагать также голоморфною по
отношению к последним.
При нашем допущении относительно силовой функ-
функции, рассматриваемое положение равновесия будет
одним из серии бесчисленного множества положений
равновесия, для которых величины
Qsn + 1> G;7l+2> • • • > Як
могут иметь какие угодно постоянные значения, а вели-
величины B5) все равны нулю.
Если бы U как функция т независимых перемен-
переменных B5) при
обращалась в максимум, то по теореме Лагранжа каждое
из этих положений равновесия было бы по отношению
к величинам B5) устойчивым.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 133
Допустим теперь, что при одновременном равенст-
равенстве этих величин нулю силовая функция не делается
максимум.
Нетрудно показать, что если это обстоятельство
обнаруживается уже тем, что совокупность членов
второго измерения в ее разложении по степеням вели-
чин qj может получить положительные значения, то
как рассматриваемое положение равновесия, так и все,
достаточно близкие к нему из означенной выше серии,
будут неустойчивыми, и неустойчивость притом будет
иметь место уже по отношению к величинам B5).
Действительно, из теории малых колебаний изве-
известно, что при сказанном сейчас условии определяющее
уравнение всегда имеет по крайней мере один поло-
положительный корень. Поэтому по предыдущему неустой-
неустойчивость наверно будет иметь место по крайней мере
по отношению к некоторым из 2к следующих величин:
Остается показать, что она имеет место по отноше-
отношению к т первым из них. .
Для этого, обозначая через у. наибольший из поло-
положительных корней определяющего уравнения, рас-
рассматриваем соответствующее ему решение
?i = Л (*е"'), д2 - U (™%t) > • • • > Qk - /ft {*ext)
дифференциальных уравнений движения того типа,
который рассматривался при доказательстве тео-
теоремы III.
Наше предложение, очевидно, будет доказано, если
покажем, что между функциями
/1 » / 2> • • • > 1т
находятся не равные нулю тождественно (мы предпола-
предполагаем, конечно, что функции Д, /«, ..., /А. по все тожде-
тождественно равны нулю).
Но это обстоятельство обнаруживается тотчас же,
ибо для всякого движения (если только такие движения
возможны), в котором величины B5) все тождественно

134 A- M. ЛЯПУНОВ
равны нулю, уравнение живой силы даст для послед-
последней постоянную и> конечно, отличную от нуля величину,
между тем как для решения рассматриваемого типа
живая сила с беспредельным возрастанием—t должна
приближаться к пределу, равному нулю.
Возможны, конечно, случаи, когда отсутствие макси-
максимума силовой функции констатируется только при
рассмотрении членов выше второго измерения. Тео-
Теорема III тогда не может служить для доказательства не-
неустойчивости.
Один из таких случаев, в котором неустойчивость
доказывается на основании некоторой общей теоремы
другого рода, был указан в § 16 (пример 2).
26. Новое доказательство предложений § 24.
Общая теорема о неустойчивости. Теоремы, фор-
мулированные в § 24, были нами выведены из рас-
рассмотрения некоторых рядов, удовлетворяющих диф-
дифференциальным уравнениям возмущенного движения.
Но I и III из этих теорем легко доказываются и без
помощи этих рядов, для чего можно воспользоваться,
как теперь покажем, общими предложениями § 16.
Допустим, что определяющее уравнение системы A3)
имеет только корни с отрицательными вещественными
частями.
Мы знаем, что при этом условии всегда найдется
квадратичная форма V переменных хи х2У ...9хп, удо-
удовлетворяющая уравнению
п
Pnxi + Р*Ръ + • • • + Ршхп) а? =
5 = 1
...+х*п, B6)
и, следовательно, т кая, что ее полная производная по t
dV о , ,
Х1 + Х+
составленная на основании уравнений A3), представит
функцию определенно-положительную. Мы знаем также,

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 135
что форма эта будет определенно-отрицательною (§ 20,
теоремы I и II).
Мы можем таким образом найти функцию F, удовле-
удовлетворяющую всем условиям теоремы I § 16.
Наша форма, представляя такую функцию, будет
удовлетворять притом и условиям предложения, на
которое было указано в примечании 2 к этой теореме.
Мы должны поэтому заключить, что невозмущенное
движение устойчиво, и что всякое возмущенное дви-
движение, для которого возмущения численно достаточно
малы, будет асимптотически приближаться к невоз-
невозмущенному.
Допустим теперь, что в числе корней определяю-
определяющего уравнения находятся такие, вещественные части
которых положительны.
Если при этом определитель Д, @) (§ 19) не равен
нулю, то попрежнему найдется квадратичная форма V,
удовлетворяющая уравнению B6); но форма эта при
рассматриваемом теперь допущении будет такой, что
надлежащим выбором вещественных значений вели-
величин xs ее всегда можно будет сделать положительною
(§ 20, теорема III). Поэтому, обладая определенно-
положительной производной, она будет удовлетворять
всем условиям теоремы II § 16.
Мы должны таким образом заключить, что невоз-
невозмущенное движение неустойчиво.
Если D2 @) = 0, то вместо уравнения B6) мы возьмем
следующее:
г
5=1
= W + xl + zt+...+xtn, B7)
разумея под к некоторую положительную постоянную.
Предполагая, что постоянная эта не есть корень
уравнения D2 (х) = 0, всегда найдем квадратичную фор-
МУ V> удовлетворяющую уравнению B7). Но удовлетво-
удовлетворяя последнему, форма эта необходимо будет удовле-

136 А. М- ЛЯПУНОВ
творять также следующему:
л
2 \Р*1Х1+Р*гх2+- ' ' +(Pss---2jxs+ ' ' -+Psnxn }^в==
А это уравнение выводится из B6) заменою величин pss
величинами pss — у , и поэтому к нему могут быть при-
приложены все теоремы § 20, если только вместо корней
определяющего уравнения системы A3) рассматривать
корни уравнения
-0.
Вследствие этого, если допустим, что постоянная X
достаточно мала для того, чтобы уравнению этому
можно было удовлетворить величиной х с положитель-
положительною вещественною частью, то можем быть уверены,
что форма V будет способною принимать положительные
значения.
Но тогда форма V, полная производная которой
по t приводится к виду
л
Y dV
будет удовлетворять всем условиям теоремы III § 16.
Мы заключим поэтому, что невозмущенное движение
неустойчиво.
Примечание. Предыдущие доказательства прило-
жимы, конечно, не к одному только случаю установив-
установившихся движений, ибо предположение, что коэффи-
коэффициенты />(/пь Л12,..../нл)^ входящие в разложения функ-
функций Xs, суть постоянные величины, не играло в них
никакой роли. Коэффициенты эти могли быть функци-
функциями t, и для справедливости предыдущих выводов
необходимо только, чтобы эти функции удовлетворяли
общим условиям, поставленным в начале § 11.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 137
Поэтому анализ наш приводит между прочим к тео-
теореме, представляющей некоторое дополнение общих
предложений § 13.
Теорема эта, которою определяются некоторые
условия неустойчивости, получается в предположении,
что коэффициенты /?so суть постоянные величины. Но
она тотчас же обобщается для случая, когда эти коэф-
коэффициенты суть какие угодно ограниченные функции t,
удовлетворяющие условию, чтобы система дифферен-
дифференциальных уравнений первого приближения принад-
принадлежала к классу систем, названных нами приводи-
приводимыми (см. § 10 и § 18, примечание). Она формулируется
при этом так:
Если система дифференциальных уравнений пер-
первого приближения есть приводимая, то всякий раз,
когда в группе ее характеристичных чисел находятся
отрицательные, невозмущенное движение неустойчиво.
Сопоставляя этот вывод с теоремой I § 13, приходим
к заключению, что для приводимых систем вопрос об
устойчивости решается знаком наименьшего из характе-
характеристичных чисел. Сомнительными остаются, следова-
следовательно, только случаи, когда число это есть нуль.
Тогда вопрос, конечно, не может быть разрешен, пока
в дифференциальных уравнениях не приняты в расчет
члены выше первого измерения.
27. Особенные случаи, в которых рассмотрение
одного первого приближения недостаточно. Опреде-
Определение тех из них, которые составляют предмет
дальнейшего исследования. Из предыдущего анализа
следует, что в большинстве случаев вопрос об устой-
устойчивости разрешается уже исследованием одного первого
приближения, ибо только в тех случаях исследование
это не дает ответа на вопрос, когда определяющее урав-
уравнение, не имея корней с положительными веществен-
вещественными частями, имеет корни, вещественные части
которых суть нули.
Тем не менее эти особенные случаи представляют
весьма большой интерес как по трудности своего

138 А. М- ЛЯПУНОВ
анализа, так и по тому, что для многих вопросов имен-
именно в них только и возможна безусловная устойчивость.
Так, например, если исследуемая система уравне-
уравнений есть каноническая
р=-™, % = %*- (, = 1,2,...,*)
dt dys ' dt dx8 v '
(здесь Н предполагается голоморфною функцией пере-
переменных xlt х2, . .., хк, у1У у2, .. ., ук, не содержащею чле-
членов ниже второго измерения), то безусловная устой-
устойчивость возможна только в случае, когда для всех
корней определяющего уравнения вещественные части
суть нули.
К такому заключению приходим, принимая в рас-
расчет, что уравнение это содержит только четные степени
неизвестной х (§ 21).
Если бы между его корнями находились обладающие
отличными от нуЛя вещественными частями, то суще-
существовала бы некоторая условная устойчивость (§ 24,
теорема II) такого характера, что при известных воз-
возмущениях возмущенные движения асимптотически
приближались бы к невозмущенному.
В случаях, когда вещественные части всех корней
равны нулю, может оказаться, что Н есть функция
знакоопределенная. Устойчивость тогда действительно
будет иметь место. Но если Н не есть такая функция,
вопрос делается вообще весьма трудным, и мы не можем
указать средств для его решения.
Конечно, естественно было бы обратиться для этой
цели к интегрированию наших уравнений при помощи
рядов. Но ряды, к которым в занимающих нас случаях
приводят все известные методы интегрирования, таковы,
что из рассмотрения их вообще не могут быть выводимы
какие-либо заключения об устойчивости.
Ряды, расположенные по степеням постоянных
произвольных, к которым приводит обычный метод
последовательных приближений, представляют уже то
неудобство, что вообще содержат вековые члены,
которые обыкновенно входят в них и в тех случаях,

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 139
когда устойчивость действительно имеет место. А при-
присутствие таких членов служит, конечно, одним из серьез-
серьезных затруднений при исследовании этих рядов.
Поэтому желательно иметь такие методы интегриро-
интегрирования, которые, если возможно, доставляли бы ряды,
не содержащие вековых членов.
Известно, что в области небесной механики разы-
разыскание подобных методов составляет предмет большей
части новейших исследований. Из них в особенности
обращают на себя внимание исследования Гильдена
и Линдстедта.
Методы, предложенные Гильденом, основываются,
как известно, на введении эллиптических функций.
Более простая метода Линдстедта в тех случаях,
когда приводит к цели, доставляет ряды синусов и ко-
косинусов кратностей t, зависящих не только от кор-
корней определяющего уравнения (которые предполага-
предполагаются все чисто мнимыми), но и от постоянных про-
произвольных, вводимых интегрированием. Этою именно
зависимостью и обусловливается устранение вековых
членов1).
Но если таким образом и можно указать методы,
в известных случаях позволяющие избегать введения
вековых членов, то этим затруднение еще далеко не
устраняется, ибо остается разрешить еще существенно
важный вопрос о сходимости получаемых рядов. А во-
вопрос этот для систем дифференциальных уравнений
выше второго порядка представляется весьма трудным,
и пока для решения его еще ничего не сделано, чем
можно было бы здесь воспользоваться2).
х) Lindstedt, Beitrag zur Integration der Differential-
gleichungen der Storungstheorie. Mencoires de l'Academie des
Sciences de St.-Petersbourg, VII серия, том XXXI, № 4.
2) Недавно появился в высшей степени замечательный
мемуар: Н. Poincare, Sur le probleme des trois corps et
les equations de la dynamique. Acta matheinatica, т. 13. В этом
мемуаре между прочим рассматривается вопрос о сходимости
рядов Линдстедта для некоторой канонической системы чет-
четвертого порядка, и автор приходит относительно нее к отри-
отрицательному заключению.

140 А- М- ЛЯПУНОВ
Мы имеем в виду случай, когда названные методы
прилагаются к разысканию общего интеграла. Если же
ограничиться разысканием частных решений, то при
известных условиях можно, например, получить перио-
периодические ряды, подобные линдстедтовым, сходимость
которых будет несомненною.
Мы рассмотрим такие ряды в конце этой главы.
Как уже видно из сейчас изложенного, вопросы об
устойчивости в интересующих нас особенных случаях
являются весьма нелегкими. Затруднения здесь де-
делаются притом тем серьезнее, чем более число корней
с равными нулю вещественными частями.
Поэтому если желательно придти к каким-либо
общим способам решения таких вопросов, необходимо
начать с тех случаев, в которых число названных
корней возможно менее.
Мы ограничимся здесь рассмотрением двух простей-
простейших случаев этого рода: 1) когда определяющее урав-
уравнение имеет один равный нулю корень при остальных
корнях с отрицательными вещественными частями
и 2) когда при таких же остальных корнях уравнение
это имеет два чисто мнимых корня 1).
Анализ наш представит некоторое приложение той
методы исследования устойчивости, которую мы на-
назвали второю.
1-й случай: определяющее уравнение
с одним равным нулю корнем.
28. Приведение дифференциальных уравнений
к некоторому характерному виду. Случаи общий
и особенный. Пусть рассматриваемая система диффе-
дифференциальных уравнений возмущенного движения есть
(п г 1)-го порядка, и пусть соответствующее ей опре-
х) Случай чисто мнимых корней для систем второго
порядка рассматривается А. Пуанкаре в мемуаре «Sur les
courbes definies par les equations differentielles» (Journal de
mathejiatiques, 4 серия, том I, стр. 172). Термину «устойчивость»
приписывается здесь несколько иное значение, чем у нас.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 141
деляющее уравнение имеет один равный нулю корень
при п остальных с отрицательными вещественными
частями.
Система дифференциальных уравнений первого
приближения будет в этом случае допускать линейный
интеграл с постоянными коэффициентами (§ 18). При-
Принимая такой интеграл (в котором коэффициенты можно
предположить вещественными) за одну из неизвестных
функций, приведем рассматриваемую систему к сле-
следующему виду:
J
E=1, 2, .. ., /г), )
где X, Xlf X2, . . ., Xn суть голоморфные функции пере-
переменных х, х19 х2, . . ., хп, разложения которых начина-
начинаются членами не ниже второго порядка и обладают
постоянными вещественными коэффициентами, a /?sa, ps
суть некоторые вещественные постоянные. Притом
постоянные pSo таковы, что если под D (х) попрежнему
будем разуметь основной определитель системы A),
то уравнение
?(*)=-О
будет иметь только корни с отрицательными веще-
вещественными частями.
Рассмотрим в уравнениях B8) члены, не зависящие
от переменных хи х2, . . .,хп. Совокупности таких чле-
членов в разложениях функций X, X,, Х2, . . ., Хп обо-
обозначим соответственно через Х<с>, Х(°\ Х(°), . . ., Х^° .
Может случиться, что все коэффициенты ри р2, ..., рп
суть нули. Тогда, если при Х<°) не равном тождественно
нулю в-разложениях Х[0), Хг20), . . ., Х^ по степеням х
не встречается членов, степени которых были бы ниже
паинизшей из степеней х, входящих в разложение Х(° ,
или если Х(°), Х{°\ X'W, ..., Хп0)г>со тождественно равны

142 А- М- ЛЯПУНОВ
нулю, то вопрос об устойчивости, как увидим, бу-
будет решаться непосредственным рассмотрением урав-
уравнений B8).
В противном случае будет необходимо некоторое
предварительное преобразование, и мы сейчас пока-
покажем, что систему уравнений B8) всегда можно преобра-
преобразовать в систему того же вида, для которой условия,
имеющие значения предыдущих, будут выполняться.
С этой целью рассмотрим следующую систему урав-
уравнений:
(,= 1,2, ...,n). {29)
Первые части этих уравнений уничтожаются при
X 2 — ОС- а '—¦ • • • —- X г% '¦—¦ J0 — \).
Но их функциональный определитель в отношении
х19 х2, ..., хп обращается при таком предположении
в величину Z)@), не равную нулю. Поэтому в силу из-
известной теоремы уравнения эти разрешимы относительно
величин х19 х2, ..., хп и допускают одно определенное
решение вида
х± '-^ и±, %2z==- и2у • • • f хп :=- и/гу
где и19 и2, . . ., ип суть голоморфные функции перемен-
переменной х, обращающиеся в нуль при х = 0.
Коэффициенты в разложениях функций us найдутся
последовательно, начиная с коэффициентов при наи-
наинизшей степени х. А последнею будет служить наиниз-
наинизшая из степеней х, встречающихся в уравнениях B9)
л членах, не зависящих от величин xs.
Если бы все коэффициенты ps были нулями, и если
бы ни одна из функций Xs не содержала в своем раз-
разложении членов, не зависящих от величин xs, то все us
были бы тождественно равными нулю.
Возвращаясь теперь к системе дифференциальных
уравнений B8), преобразуем ее посредством подста-
подстановки

ОВШАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 143
где zl9 z2, ..., ziX суть новые переменные, которые вво-
вводятся вместо прежних хх, х2, ..., хп.
Преобразованная система уравнений будет следую-
следующего вида:
dx rj
? = ЛА + Л А + • • - + Р*п*п + Zs
(s = l, 2, ..., ri),
где Z, Zlf Z2> ..., Zn суть голоморфные функции пере-
переменных х, zn z.2> ..., zn, разложения которых начина-
начинаются членами не ниже второго порядка. Притом функ-
функции эти, как нетрудно видеть, таковы, что если Zr0\
Zf\ Z^, . . ., Z^ означают совокупности тех членов
в их разложениях, которые не зависят от перемен-
переменных zs, то
ZrQ' — du* 7@) 7@) — du* 7@) 7@) - dUn 7Ф)
Отсюда ясно, что в разложениях Z\ ^по степеням х не
будет членов, степени которых были бы ниже напниз
шей из степеней х в разложении Z(°), и что если эта по-
последняя величина тождественно равна нулю, то такою
же будет и каждая из величин Z^\
Преобразованная система будет поэтому обладать
всеми требуемыми свойствами.
Величина Z@) найдется как результат подстановки
в функцию X.
Если бы результат этой подстановки оказался тожде-
тождественно равным нулю, то система уравнений B8)
допускала бы частное решение с постоянными вели-
величинами для х, #,, х2, ..., хп, зависящими от одной
произвольной постоянной.

144 A. M. ЛЯПУНОВ
Предполагая, что
Us = tts X -l- tts X -y Us X -j- ф . *
E=1, 2, ..., w)
суть ряды, определяющие функции us, решение это
мы могли бы выразить следующими уравнениями:
(s---= I, 2, ..., /г),
где с - произвольная постоянная, модуль которой для
сходимости встречающихся здесь рядов вообще не
должен превосходить некоторого предела.
Всякому вещественному численно достаточно ма-
малому значению постоянной с соответствовало бы в
этом случае некоторое установившееся движение1). Из-
Изменяя эту постоянную непрерывным образом, мы по-
получили бы непрерывный ряд таких движений, заклю-
заключающий в себе и рассматриваемое, устойчивость кото-
которого исследуется.
Примечание. Подстановка, посредством которой было
выполнено предыдущее преобразование, такова, что
задача об устойчивости по отношению к прежним пере-
переменным xf xlf х2, . . ., хп вполне равносильна задаче
об устойчивости по отношению к новым х, zl9 z2, . . ., zn,
так что, решая одну задачу в утвердительном или
отрицательном смысле, мы решаем другую в том же
смысле.
х) Если число п + 1 меньше удвоенного числа степеней
свободы рассматриваемой материальной системы, то данным
выражениям величин х, х±, ..., хп в функциях t может
соответствовать, конечно, не одно, а бесчисленное множество
движений. Но всю совокупность таких движений мы условим-
условимся рассматривать как одно. То же будем делать и в анало-
аналогичных случаях далее.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 145
Большинство преобразований, с которыми мы встре-
встретимся далее, будет такого же характера.
Впрочем нам придется иногда иметь дело и с преоб-
преобразованиями другого рода. В таких случаях при пере-
переходе от первоначальной системы уравнений к преобра-
преобразованной конечно необходимы будут надлежащие изме-
изменения в постановке задачи.
29. Исследование общего случая. В силу вышеиз-
вышеизложенного в настоящем исследовании можно исходить
из предположения, что дифференциальные уравнения
возмущенного движения имеют следующий вид:
*ъ = д. , x + , ^+I [ C0)
(*=1, 2, ..., n), J
где функции X, Xs таковы, что их разложения удо-
удовлетворяют условию, на которое было указано в преды-
предыдущем параграфе.
Мы рассмотрим сначала случай, когда величина
Х'0) не равна тождественно нулю, и допустим, что
наинизшая из степеней, встречающихся в ее разложе-
разложении, есть т.
Согласно нашему предположению ни одна из ве-
величин Xf^ при этом не будет содержать в своем
разложении членов ниже m-ой степени относи-
относительно х.
Число т, конечно, будет не менее 2.
Начнем с простейшего случая, когда т^=2.
Пусть
где g ~отличная от нуля постоянная, Р—линейная фор-
форма переменных х19 х2, ..., xnf Q—квадратичная форма
тех же величин и R—голоморфная функция переменных
Ю А. М. Ляпунов

146 А. М. ЛЯПУНОВ
x, xu x2, ..., xn, разложение которой не содержит чле-
членов ниже третьего измерения.
Мы замечаем, что при рассматриваемых услови-
условиях всегда найдутся формы переменных xs -линей-
-линейная U и квадратичная W, удовлетворяющие урав-
уравнениям:
2 (P*ixi + Р 2«а + • ' ' + Р*пхп) ^ + Q =
Составив эти формы, положим
V = х + Ux + W.
Тогда в силу наших дифференциальных уравнений
C0) найдем:
?=*(*ч *:+*:+...+*¦„)+.*,
будет содержать только члены выше второго по-
порядка.
Таким образом производная функции V по t пред-
представит знакоопределенную функцию переменных х} xs.
Но сама функция F, очевидно, может принимать как
положительные, так и отрицательные значения, как
бы малы ни были числовые величины этих пере-
переменных.

Г ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 147
Вследствие этого на основании теоремы JI § 16
мы должны заключить, что невозмущеннос движение
неустойчиво.
К такому же заключению придем и в случае, когда
т есть какое-либо четное число.
Пусть вообще
X = gX«\ + Р&
где g — не равная нулю постоянная, PW — линейные
формы величин xs, Q — квадратичная форма последних,
a R — голоморфная функция переменных х, xs, разло-
разложение которой не имеет членов ниже третьего порядка
и притом в членах, линейных относительно вели-
величин xSy содержит х в степенях не ниже т, а в чле-
членах, независящих от этих величин,—в степенях не
ниже (m-f 1)-ой.
Кроме того, обозначая через к какое-либо целое
положительное число, допустим, что
+...+ Pik)x" +¦ х<*> = ga>« + X's.
Здесь PJ суть линейные формы величин xs\ X[ \
Х% , . . ., Хд —голоморфные функции переменных х,х8>
разложения которых в членах, линейных относительно
величин xSi могут содержать х только в степенях выше к;
gs суть некоторые постоянные, a X's — голоморфные
функции, разложения которых в членах, не завися-
зависящих от величин xs, могут содержать х только в степенях
выше т-ой.
Под СЛ1-, U''2\ . .., Шт~^ условимся разуметь неко-
некоторые подлежащие нашему выбору линейные формы
величин xs, а под W -- такую квадратичную форму этих
величин.
Предполагая т числом четным, сделаем
10*

148 A- M. ЛЯПУНОВ
Тогда в силу дифференциальных уравнений C0)
найдем:
т-2 п
2 Х'к 2
аи
(т-1)
2 Xs) ~-
s=l
m-1
Рассматривая здесь совокупность членов, линей-
линейных относительно величин xS} распорядимся выбором
линейных форм L^} так, чтобы в этой совокупности х
не встречалось в степенях ниже m-ой. Для этого мы
должны будем сделать:
2 (РпЪ + Р*Рг +¦¦¦+ PsnXn) ~- + Р°' = 0,
(* = 2, 3, ..., m-1).
При наших предположениях уравнения эти всегда
будут возможны, и мы найдем из них последовательно

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 149
Если же теперь квадратичную форму W выберем
согласно уравнению
KPs1Xl -f pS2X2 + . . . + Psn%n) ^Г
s-1
2 (P*iX* + Р**Х* + • • • + Р* ^
то будем иметь
где
s-l I /c = l
n m-1
s=i
А это выражение б1 ио свойству функций X, i?, Xs,
всегда может быть представлено под видом:
S-10=1
где у, vS3 суть некоторые голоморфные функции
переменных х, xs, уничтожающиеся при
Отсюда ясно, что при рассматриваемом определе-
определении форм и^\ W производная j- будет знакоопре-
деленною функцией переменных х, х8.
Но тогда функция V будет удовлетворять всем усло-
условиям теоремы II § 16. А потому на основании

150 А. М- ЛЯПУНОВ
последней заключим, что невозмущенное движение
неустойчиво.
Допустим теперь, что т есть число нечетное.
Полагая
в силу уравнений C0) найдем:
m-l
+ Р{1)х2 + Рфх* + ... + P^m'i)xm+{Q + Д)
к=2
fc-2
Выберем квадратичную форму VK согласно с урав-
уравнением:
\PsiXl + P&2%2 -Г«'«+ PSnXn) g^~ —
=«(«;+ * + •••+4)
Затем линейными формами f/(/) распорядимся так,
чтобы в этом выражении -г~ не было членов, линейных
относительно величин xs, в которые х входило бы
в степенях ниже (т + 1)-ой. Для этого названные формы

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 151
определим согласно уравнениям:
^п / I i \ dU^ пA) п
5=1
т(к)
2 (АЛ + Л А + • • • + АЛ)
3
'(ft = 2, 3, ...,m-2),
Вследствие этого найдем:
где
s=l
п
2 (A^t + АЛ + • • • + А-А)^?^+ /><яи1) +
^ + XI kU^x*-* + (Q + R) x.
s
s-l A=2
Но это выражение S может быть представлено под
видом:
если под о, uS3 попрежнему будем разуметь некоторые
голоморфные функции, уничтожающиеся при равен-
равенстве нулю всех х, xs.
Поэтому производная ~т- будет знакоопределен-
ною функцией переменных х% xs, и знак ее при доста-

152 A. M. ЛЯПУНОВ
точно малых \х\, \xs\ будет одинаков со знаком посто-
постоянной g.
Мы замечаем теперь, что на основании теоремы II
§ 20 форма W, удовлетворяющая уравнению C1), будет
знакоопределенною и притом противоположною по зна-
знаку с g. А из выражения функции V видно, что если W
есть определенно положительная форма переменных xs,
то V будет определенно-положительною функцией пере-
переменных х, xs.
Таким образом при g < 0 функция V будет опреде-
определенно-положительною, а производная ее определенно-
отрицательною, и следовательно, мы будем иметь дело
с условиями теоремы I § 16 или даже с условиями тео-
теоремы, доказанной в примечании 2 к теореме I. Если
же g > 0, то функцию V всегда можно будет сделать
величиною любого знака, как бы ни был мал предел,
которого не должны превосходить величины \х\, \xs\.
Поэтому в этом случае будут выполняться условия
теоремы II названного сейчас параграфа.
Вследствие этого приходим к заключению, что при
т нечетном в случае положительного g невозмущенное
движение неустойчиво, а в случае отрицательного—
устойчиво. Притом в последнем случае всякое возму-
возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущен-
невозмущенному, будет приближаться к нему асимптотически.
30. Некоторое вспомогательное предложение. Нам
остается теперь рассмотреть случай, когда в уравне-
уравнениях C0) ни одна из функций X, Xs не заключает
в своем разложении членов, не зависящих от величин
хг, х2, ..., хп, и следовательно — когда уравнения эти
допускают частное решение вида:
при произвольной постоянной с.
Мы покажем, что в этом случае уравнения C0)
будут обладать полным интегральным уравнением
с одною произвольною постоянною с следующего вида:
x = c + f(x19 я3, .. ., хп, с),

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ
153
где /—голоморфная функция величин х1У х2, .. ., хп, с,
уничтожающаяся при
#i = Х2 = • • • = хп = 0.
Предложение это конечно можно было бы доказать
непосредственно; но мы предпочитаем поставить его
в связь с более общим, которое может нам понадо-
понадобиться и в других случаях.
Докажем следующее:
Теорема. Пусть дана система уравнений с ча-
частными производными вида:
п
Ц (Л^1 + Аа*2 + • • • + A/Ai + xs) ?- =
s = l
= ?/1*1 + ?/оА + '"+qjkzk + Zj (/=1,2,...,*), C2)
где Xl7 X2, . .. , Xn, Zlt Z2, ... , Zk суть голоморфные
функции переменных xv x2, .. . , хп, zl9 z2, . . . , zk,
обращающиеся в нуль, когда все эти переменные дела-
делаются нулями; притом функции Xs не содержат в своих
разложениях членов ниже второго порядка, а функ-
функции Zj, если и содержат члены первого порядка, то
только не зависящие от величин zlt z2, ... , zk. Коэф-
Коэффициенты psa, qn суть некоторые постоянные. Тогда,
если >'1? х2, . . . , ъп суть корни уравнения
Pll * Pl2
P21 • Pit — *
Р'2п
Аи Аз ••• A*-*
a Xx, д2, ... Д/, корни уравнения
ll"~^ ^12 • • • GiA:
— \)t
= 0,
если притом вещественные части всех y.s отличны от
нуля и одного и того же знака, и если между величи-

154 А. М- ЛЯПУНОВ
нами xs и X/ не существует никаких соотношений вида
т^ + т2х2 + . . . + тп*п = X/ (/=1,2, ... , А),
сЧ/^ все яг&. бьг^гг бы целыми неотрицательными числами,
удовлетворяющими условию 2ms > 0, — mo всегда пай-
дет:я одна определенная система голоморфных функ-
функций zu zty .. . , z:i переменных xl7x2, ... , zn, удовлетво-
удовлетворяющих уравнениям C2) и обращающихся в нуль при
х± = х2 = • • • ^ ^л ^ 0.
Для доказательства возьмем следующую систему
обыкновенных дифференциальных уравнений:
^7 = fti*i + Аа«2+ ... + Psnxn + Xs(s=zl,2,...,n), C3)
^' + qj2z2 +...+ qjkzk f Z} (/-1,2,..., A).
На основании изложенного в § 23 можно утвер-
утверждать, что уравнения эти при сделанных предполо-
предположениях будут допускать решение следующего вида:
• C4)
— S L(-i> 2 ' шп)а^1л^2 , . . anemixi + m2x2-f ...+mnxn)t
(/ = 1,2, ... , A), C5)
где все К и L суть постоянные величины или целые
рациональные функции ? и во всяком случае не зави-
зависят от постоянных произвольных ах, а2, ... , ал, а суммы
распространены на все целые неотрицательные ms,
удовлетворяющие условию ^ms>0.
Мы можем и будем притом предполагать, что со-
совокупности членов первого порядка в рядах C4) дают
общий интеграл системы линейных дифференциальных
уравнений, выводимой из C3) отбрасыванием в ней
всех членов выше первого порядка. При этом условии
функциональный определитель величин хя в отно-
отношении величин
7.^*1*, а2е4 ... ,а„е*л< C6)

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 155
при равенстве последних нулю будет обращаться в
неЕ\Оторую отличную от нуля постоянную.
Вследствие этого уравнения C4) можно будет раз-
разрешить относительно величин C6) и вывести из них
следующие:
а,8е*ь* = fs (xL, х2, . . . , xlV t) (s = 1, 2, . . . , n),
где вторые части суть голоморфные функции перемен-
переменных хи х%, ... ,хп, уничтожающиеся при хх — х2— .. .
.. . ~хп - 0, разложения которых обладают коэффициен-
коэффициентами или постоянными, или целыми рациональными
относительно t.
Внося эти выражения величин C6) в уравнения
C5), получим:
zj = <р7 (х19 х2, ... 9 хп, t) (/=1,2,..., к), C7)
где ср7- суть функции такого же характера, как и /s.
Притом функции эти, в силу самого способа получения
их, удовлетворяют следующей системе уравнений в част-
частных производных:
^-, dzt д%;
2j (Ai^i ^- P**xt + • • • + p,n*n + xs) -§zt + JT =
= ?/i*i+ 0/2*1+...+g/*sA + Z/ (/-1,2, ... Д). C8)
Посмотрим, как можно удовлетворить этой системе
самым общим образом в предположении, что все Zj
суть голоморфные функции переменных xs, уничтожаю-
уничтожающиеся при равенстве последних нулю и обладающие
в своих разложениях постоянными или целыми ра-
рациональными относительно t коэффициентами.
Для упрощения исследования допустим, что в урав-
уравнениях C8) все коэффициенты дц равны нулю, за
исключением следующих:
ЯП ~ Л1» ?22 = ^2> ' • • > Якк ~ ^Л>
?21 = Т1» ЯВ2 — Т2> ' • • у Якк 1 = тА-1-

156 А. М- ЛЯПУНОВ
Такое допущение всегда возможно, ибо в противном
случае, принимая за новые неизвестные функции не-
некоторые линейные формы величин zj с постоянными
коэффициентами, мы могли бы преобразовать урав-
уравнения C8) к такому виду, для которого коэффициенты
q удовлетворяли бы сказанному сейчас условию (таково
преобразование уравнений A3) к виду A7), на кото-
которое было указано в § 22).
Пусть
z, = zt,i> + zf>+z<P+... (/ = 1,2,...,*),
где вообще z[m\ z[m\ . .., z™^ суть формы m-ой степени
относительно величин xs.
Уравнения C8) дадут:
^^I }^ (/ = 2f 3 ft).
Здесь И^ш), ^ш), ...,Wim) суть формы т-ож сте-
степени переменных a;s, известным образом выводящиеся
из форм z^\ для которых р. < т. Если бы эти послед-
последние обладали все постоянными коэффициентами, то
такими же были бы и коэффициенты всех форм W^.
При т^ 1 эти коэффициенты всегда будут постоянными,
ибо формы W)lj представляют совокупности членов
первого порядка в разложениях функций Zj.
Из написанных сейчас уравнений последовательно
найдем:
Пусть о есть какая-либо из этих форм, и пусть все
предыдущие обладают постоянными коэффициентами.
Тогда в уравнении, служащем для ее определения,

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 157
известный член представит форму также с постоянными
коэффициентами.
Вследствие этого, если допустим, что I есть наивыс-
наивысшая из степеней t, встречающихся в коэффициентах
формы и, и если, означая через yo»ui» •••»^i некоторые
формы с постоянными коэффициентами, сделаем
V = Vo + Vtt + . . . + w/
(а этим выражается самое общее предположение, ко-
которое мы должны сделать относительно и), то фор-
форма vt будет удовлетворять уравнению:
71
2 (PsiXi + Ps2X2 + • • • + PsnXn) ^Г = >^Z>
где X есть одна из величин \lt Х2, ..., \к. Но по условию
ни одна из этих величин не представляется под видом
2/rasV Поэтому (§ 19), какова бы ни была степень
формы Vp рассматриваемому уравнению нельзя удо-
удовлетворить иначе, как полагая uz = 0.
Единственное возможное предположение будет, сле-
следовательно, 1 — 0, и из уравнения
которому в этом предположении будет удовлетворять
форма и, последняя найдется вполне определенным
образом, какова бы ни была известная форма w.
Таким образом, если в ряду C9) для всех форм,
предшествующих v, коэффициенты суть постоянные ве-
величины, то то же будет и для формы v. Притом коэф-
коэффициенты ее вполне определятся по коэффициентам
предшествующих ей форм.
Но форма z[l) необходимо будет с постоянными коэф-
коэффициентами, ибо такова каждая из форм W(p. Поэто-
Поэтому и все следующие формы в ряду C9) будут обладать
постоянными коэффициентами.

158 A. M. ЛЯПУНОВ
Отсюда заключаем, что функции C7) не зависят
от t и, следовательно, удовлетворяют системе C2) и что
других функций того же характера, удовлетворяющих
этой системе, нельзя найти.
Теорема поэтому доказана1).
Заметим, что разложения функций Zj будут начи-
начинаться членами того же порядка, как и разложения
функций, в которые обращаются Zj при zx =• z2 =*
= . ., ^ zk=-- 0. Если бы ни одна из функций Z/ не со-
содержала в своем разложении членов, не зависящих от
величин Zj, то все функции Zj, о которых идет речь
в теореме, были бы тождественно равными нулю.
Примечание. Мы предполагали, что разложения функ-
функций Xs начинаются членами не ниже второго порядка.
Но совершенно так же можно было бы доказать теорему и
в случае, если бы эти разложения содержали члены пер-
первого порядка, не зависящие от величин xltx2> ..., хПУ
а разложения функций Z/ начинались членами не
ниже второго порядка, и если бы было поставлено
требование, чтобы разложения искомых функций Zj не
содержали членов ниже второго порядка. При этом
для справедливости теоремы было бы достаточно, чтобы
соотношения вида 2 ms\ — ^/ не могли существовать
только при таких ms, сумма которых более 1.
31. Исследование особенного случая. Возвраща-
Возвращаемся к уравнениям C0) в предположении, что все функ-
функции X, Xs обращаются в нуль при xv = х2 -~- ... ==
0
подстановку
х =с+ z,
разумея под с произвольную вещественную постоян-
г) В некоторой частной форме теорема эта была доказана
А. Пуанкаре в мемуаре «Sur les courbes defiiies par les equatiors
differentielles» (Journal de mathematiques, 4 серия,том 2, стр. 155).
В опубликованном недавно мемуаре «Sur le probleme des
trois corps» (Acta mathematica, том 13, стр. 36) Пуанкаре вновь
доказывает ее в значительно обобщенном виде.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 159
ную, числовая величина которой не должна только
превосходить некоторого предела.
При нашем предположении вследствие этой подста-
подстановки найдем:
Xs = cslxl + с аж2 + ... + стхп + X; (s = 1, 2, . . ., и),
где csJ суть постоянные, представляющие голоморфные
функции постоянной с, уничтожающиеся при с = 0,
a X's—голоморфные функции переменных z,xltx2,...f xtV
разложения которых начинаются членами не ниже
второго порядка и обладают голоморфными относи-
относительно с коэффициентами.
В таком же виде представится после указанной под-
подстановки и функция X.
Рассмотрим теперь уравнение в частных произ-
производных
п
2 ' (Рп + CSi) «1 + (Рл + Сй) »!+•••
s = l
• • • + (А„ Ч csn) xn + X's) g = Л', D0)
предполагая, что X выражена через переменные z,xs.
Вследствие нашего допущения, что все корни урав-
уравнения D (,:) = 0 обладают отрицательными веществен-
вещественными частями, для уравнения D0) при \с\ достаточно
малом будут выполняться все условия предыдущей
теоремы. Поэтому при достаточно малом \с\ уравне-
уравнение это будет допускать решение следующего вида:
Z = / \Х± у Х% , . . . , Хл, Cj у
где / означает голоморфную функцию переменных г,,
#2» • • • > хп> уничтожающуюся при х1^х2 • • • - х 1 --- 0.
Коэффициенты в разложении этой функции будут
известным образом зависеть от постоянной с\ а именно,
они будут голоморфными функциями последней и при-
притом так, что при достаточно малом не равном нулю
| с | разложения по степеням с для всех этих коэф-

]F,0 A. M. ЛЯПУНОВ
фициентов будут абсолютно сходящимися. Чтобы
убедиться в этом, стоит только обратить внимание
на общий характер уравнений, служащих для
последовательного вычисления названных коэффи-
коэффициентов.
Если бы разложения последних по степеням с обла-
обладали положительными коэффициентами, то мы отсюда
заключили бы, что функция / голоморфна не только
по отношению к величинам xs, но и по отношению к ве-
величинам хь, с.
Таков был бы, например, случай, если бы все ко-
коэффициенты рзэ, для которых s < а, были нулями, а из
остальных все pss отрицательными, а прочие, если не
нулями, то положительными, и если бы притом в раз-
разложениях функций Xs по степеням х, xs все коэффи-
коэффициенты были положительными, а в разложении функ-
функции X отрицательными.
В этом случае, разыскивая функцию z, удовлетво-
удовлетворяющую уравнению D0), под видом ряда, располо-
расположенного по целым положительным степеням величин
xs, с, мы получили бы для определения коэффициентов
в членах какого-либо порядка через коэффициенты
в членах низших порядков такие уравнения, кото-
которые, будучи расположены в известном порядке, давали
бы непосредственно по одному из искомых коэффициен-
коэффициентов в зависимости от найденных раньше. Последова-
Последовательность, в которой определились бы эти коэффи-
коэффициенты, была бы такова, что для каждой совокупности
членов с произведениями
соответствующими данным I и ^т8 — т, прежде все-
всего определились бы коэффициенты, для которых
7?гп_1 +mn=/и, в порядке возрастания mn-it затем
те, для которых тп_2= 1, w^n-i + тп~т — 1,— также в
порядке возрастания тп-и и вообще коэффициент,
с о ответствующий

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 161
определился бы после всех тех, для которых
или пгх < т[,
или mL = т[, m.z < mi,
или т, = т[, т2 = тг, т3 < тп3,
или т1 = mi, m2-=m'2, . . .,тя_2 = тп-2, т„_! <т„-1.
При этом для каждого из искомых коэффициентов
получилось бы выражение вида:
р
-~m1/>11 + m2pa3+ ... -\-тпрппу
где Р означает некоторую целую рациональную функ-
функцию найденных раньше коэффициентов, в которой ко-
коэффициенты суть линейные формы с положительными
коэффициентами от величин psa, соответствующих не-
неравным s и а, и от коэффициентов разложений Xs,-—X
по степеням х, xs.
Но к указанному сейчас случаю приводится иссле-
исследование всякого другого.
Для этого стоит только дифференциальные урав-
уравнения C0) преобразовать к виду A7), чего всегда мож-
можно достигнуть при помощи надлежащим образом вы-
выбранной линейной подстановки с постоянными коэф-
коэффициентами. Тогда, если допустим, что уравнение D0)
соответствует преобразованным уравнениям C0), то из
коэффициентов /?SJ все будут нулями, за исключением
следующих:
Р\\ ~ У1 у РъЪ == ^2» • * • » Рпп ~===L *Tl >
Ail = 31 У Р-62 "= а2> ' ' ' » Pn,Tl-i = Gn-U
между которыми п первых (представляющих корни
определяющего уравнения) будут обладать отрица-
отрицательными вещественными частями.
Разыскивая затем z под видом ряда, расположенного
по восходящим степеням величин xs, с, мы определим
коэффициенты этого ряда такими же формулами, как
и в предыдущем случае. Мы придем притом к послед-
11 А. М. Ляпунов

162 А. М- ЛЯПУНОВ
нему, если заменим все vs их вещественными частями,
а все <3S и все коэффициенты в разложениях функций
Xs,— Х — их модулями. А через это получим ряд, в ко-
котором коэффициенты будут не менее модулей коэффи-
коэффициентов нашего ряда.
Таким образом убеждаемся, что рассматриваемая
функция / будет во всяком случае голоморфною не
только относительно величин xs, но и относительно
величин xs, с.
Вводя опять прежнюю переменную х, получим:
% = с + f (xi> #2> • • • > %п, с). D1)
Этим уравнением будет определяться некоторое ре-
решение уравнения в частных производных:
Поэтому уравнение D1), заключая в себе произ-
произвольную постоянную с, представит некоторое полное
интегральное уравнение системы C0), и следовательно
им можно будет заменить одно из дифференциальных
уравнений этой системы.
Заменяем им первое из этих уравнений и исклю-
исключаем при помощи него х из остальных. Тогда послед-
последние приведутся к виду:
^ = (Рч + с81) хг + {р82 + cS2) х2+ ...
• • • + (Psn + csn) xn + Xs D2)
(s=l, 2, ...,w),
где Xfs будут голоморфными функциями величин хи
х2,...ухп, с, не содержащими в своих разложениях
членов ниже второго порядка относительно перемен-
переменных Xi, Х%, . . . , Хц.
Мы замечаем теперь, что наша задача об устойчи-
устойчивости по отношению к величинам
Х1У Хо> • • • > ХП) X

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 16°,
вполне равносильна задаче об устойчивости по отно-
отношению к следующим:
Х±} X-jy • • • » Хп, С. \^<-V
Действительно, для этого необходимо только, чтобы
всяким численно достаточно малым значениям одних
величин могли соответствовать сколь угодно числен-
численно малые значения других. А что это на самом деле
имеет место, видно из уравнения D1) и из следующего:
c = x + F(x19 х29 . . .; хП9 х)9
которое выводится из него в предположении, что вели-
величины D3) численно достаточно малы, и в котором F
есть независящая от с голоморфная, функция пере-
переменных xl9 x2, .. ., хп, х, уничтожающаяся при
Л> ^ -—- Л> о — • • • —— JL п — \) •
Что же касается вопроса об устойчивости по от-
отношению к величинам D3), из которых последняя есть
постоянная, то он приводится к исследованию урав-
уравнений D2).
Эти уравнения при всяком численно достаточно ма-
малом с имеют тип рассматриваемых нами вообще диф-
дифференциальных уравнений возмущенного движения, и
соответствующее им определяющее уравнение обла-
обладает только корнями с отрицательными веществен-
вещественными частями. Вследствие этого мы можем быть уве-
уверены, что при всяком достаточно малом | с \ для вся-
всякого данного положительного з найдется такое поло-
положительное число а, чтобы при выполнении условий
\xL\<a, |х2|< а, . . ., \хп\ < а
в начальный момент времени, во все последующее время
движения выполнялись следующие:
\xl\ < 3> |Я21 < ?> • • " Iх" I < г
и чтобы при тех же условиях функции xs с беспредель-
беспредельным возрастанием t стремились к нулю.
Однако отсюда мы еще не имеем права заключать,
что невозмущенное движение устойчиво. Для того,
И*

164 A. M. ЛЯПУНОВ
чтобы такое заключение было законно, необходимо, чтобы
при | с\, не превосходящем некоторого предела, число а>
соответствующее всякому данному е, можно было бы
выбирать не зависящим от с.
Но в рассматриваемом случае это последнее об-
обстоятельство действительно имеет место, как легко в том
убедиться при помощи метода § 26.
В самом деле, вследствие того, что вторые части
уравнений D2) суть голоморфные функции не только
по отношению к величинам xs, но и по отношению к ве-
величинам xs, с, легко найти независящие от с целые
функции V и W переменных х19 х2, . .., хп, из которых
первая была бы определенно-отрицательною, вторая
определенно-положительною и которые при всяких чи-
численно достаточно малых значениях величин D3) удо-
удовлетворяли бы условию:
где первая часть представляет полную производную
функции V по t, составленную в силу уравнений D2I).
А при этом возможность выбора числа а не завися-
зависящим от с делается очевидной (см. доказательство те-
теоремы I § 16).
Таким образом приходим к заключению, что в слу-
случае, когда в уравнениях C0) функции X, Xs все обра-
обращаются в нуль при хх = х2 г= . . . =: ха = 0, невозмущен-
невозмущенное движение устойчиво.
В этом случае всякое возмущенное движение, до-
достаточно близкое к невозмущенному, будет асимпто-
асимптотически приближаться к некоторому установившемуся
движению:
X == С, Ху =~= Х^ z=z • • • :==: X ft ~=^ U,
х) Так например, принимая за V квадратичную форму,
удовлетворяющую уравнению B6), за W можем принять сле-
следующую:
где 6 — какая-либо данная положительная правртльная дробь.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 165
которое вообще будет отличным от невозмущенного, но
может быть сделано насколько угодно близким к нему.
Можно притом заметить, что всякое из этих уста-
установившихся движений, когда ему соответствует до-
достаточно малая величина | с | , будет устойчивым.
32. Формулирование методы. Примеры. Выводы, к
которым мы пришли в последних параграфах, можно
резюмировать в форме следующего предложения:
Теорема. Пусть определяющее уравнение имеет
один равный нулю корень, и пусть все остальные его
корни обладают отрицательными вещественными ча-
частями. Предполагая, что система дифференциальных
уравнений возмущенного движения преобразована к виду
B8), составляем уравнения B9) и определяем из них
величины х19 х2, . . ., хЛ как голоморфные функции пере-
переменной х, уничтожающиеся при х — 0 {такое опреде-
определение всегда будет возможным и притом единствен-
единственным). Затем найденные величины xs подставляем в функ-
функцию X, и если результат этой подстановки не равен
тождественно нулю, разлагаем его в ряд по восходящим
степеням х.
Тогда, если наинизшая степень х разложения ока-
окажется четною, то невозмущенное движение будет не-
неустойчивым, если же она окажется нечетною, то все
будет зависеть от знака коэффициента, соответствую-
соответствующего этой степени х, так, что невозмущенное движение
будет неустойчивым, когда этот коэффициент поло-
положителен, и устойчивым, когда он отрицателен. В по-
последнем случае всякое возмущенное движение, соответ-
соответствующее достаточно малым возмущениям, будет асим-
асимптотически приближаться к невозмущенному.
Наконец, если результат рассматриваемой подста-
подстановки окажется тождественнор авным нулю, то будет
существовать непрерывный ряд установившихся дви-
движений, к которому будет принадлежать и рассмат-
рассматриваемое невозмущенное, и все движения этого ряда,
достаточно близкие к невозмущениому, включая и по-
последнее, будут устойчивыми. В этом случае при до-
достаточно малых возмущениях всякое возмущенное

166 А. М- ЛЯПУНОВ
движение будет асимптотически приближаться к од-
одному из установившихся движений названного ряда.
Приложим заключающееся в этой теореме правило
к примерам.
Пример!. Пусть данная система дифференциальных
уравнений возмущенного движения есть следующая:
*? = (Зт- 1) я2- (т- 1) у2- (л- 1) z2 +
+ (Зп — 1) yz — 2mzx — 2пху,
~= — z + х — (х + 2у — z) (у + z — х),
где т я п означают некоторые постоянные.
Для этой системы корни определяющего уравнения
суть: 0, — 1,-1.
Обозначая вторые части предложенных уравнений
соответственно через X, У, Z, делаем:
У = 0, Z-0. D4)
Отсюда выводим:
А подставляя эти величины у к z в функцию X,
находим:
X — 4 Eиг — 7лг) ж4 + 24 (т — п) х'° + ...
Из этого выражения видно, что если 5т—-7п не
нуль, невозмущенное движение неустойчиво. В про-
противном случае E#г = 7тг) оно неустойчиво при тип
положительных и устойчиво при т и п отрица-
отрицательных.
Если же т — п = 0, то получается следующее то-
тождество:
2X = (z-2y-x)Y-\ (y-~2z-x)Z,

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 167
из которого видно, что в силу уравнений D4) всегда
будет X — 0.
Поэтому в последнем случае будет существовать не-
непрерывный ряд установившихся движений, и не только
рассматриваемое невозмущенное движение, но и все
движения этого ряда, достаточно к нему близкие, бу-
будут устойчивыми.
Пример 2. Разберем всевозможные случаи, кото-
которые может представить система второго порядка:
-?= ах2 + Ьху + су\ ¦?= — у + кх + 1х2 + тху + пу2
при различных значениях постоянных а, 6, с, к, /, т, п.
Из уравнения
у = кх + 1х2 + тху + пу2
выводим
В2х2
где
А подстановка этой величины у дает:
ах2 + Ьху + су2 — А2х2 + А3хъ + А±х^ + ...,
где
А2 = а + Ьк + ск2, А3 = (Ь + 2ск) В2,
Отсюда видно, что устойчивость будет возможна
только в случае, когда
Если при этом В2 — 0 (что влечет за собою равенство
нулю и всех остальных коэффициентов В), то все
коэффициенты А будут нулями, и следовательно, устой-
устойчивость будет несомненною.
Допустим, что Вг не нуль.

168 A. M. ЛЯПУНОВ
Тогда, если Ь + 2ск не нуль, устойчивость будет
определяться знаком А3. Если же
то коэффициент А3 будет нулем, а коэффициент АА
не будет нулем, пока с не нуль. Поэтому устойчивость
будет возможна только в случае с — О. А тогда вслед-
вследствие допущенных равенств будет также а = О и 6—0,
и следовательно, ' устойчивость действительно будет
иметь место.
Таким образом всевозможные случаи приводятся
к шести следующим:
невозмущенное движение неустойчиво;
пк2)(Ь+2ск) > 0,
невозмущенное движение неустойчиво;
ш f a
невозмущенное движение устойчиво;
TV /
невозмущенное движение неустойчиво;
невозмущенное движение устойчиво:
VI. а = Ь = с = О,
невозмущенное движение устойчиво.
В двух последних случаях невозмущенное движе-
движение принадлежит к некоторым непрерывным рядам
установившихся движений,

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 169
2-й случай: определяющее уравнение
с двумя чисто мнимыми корнями.
33. Общий вид, к которому приводятся диффе-
дифференциальные уравнения. Пусть предложенная система
дифференциальных уравнений возмущенного движе-
движения есть (а1+2)-го порядка, и пусть соответствующее
ей определяющее уравнение имеет два чисто мнимых
корня и п корней с отрицательными вещественными
частями.
Так как коэффициенты в дифференциальных урав-
уравнениях мы предполагаем вещественными, то чисто мни-
мнимые корни необходимо будут сопряженными:
где л — некоторая отличная от нуля вещественная посто-
постоянная, которую, чтобы остановиться на чем-либо опре-
определенном, будем считать положительною.
Для системы дифференциальных уравнений пер-
первого приближения этим корням будут соответство-
соответствовать два интеграла вида:
(х + iy) е~ш, (x — iy) е~ш,
где i = |/ — if а х иу суть линейные формы с постоян-
постоянными вещественными коэффициентами от переменных,
играющих роль неизвестных функций в дифференци-
дифференциальных уравнениях (§ 18).
Вводя вместо двух из этих неизвестных функций
переменные х и у, преобразуем предложенную систему
к следующему виду:
(s=l, 2, ..., л). )
Здесь X, У, Xs суть голоморфные функции пере-
переменных х, у, х19 х2, . . ., хп, разложения которых начи-
начинаются членами не ниже второго порядка и обла-

170
A. M. ЛЯПУНОВ
дают постоянными вещественными коэффициентами,
a Pszt as, ps —некоторые вещественные постоянные, ме-
между которыми pSJ таковы, что уравнение
(при прежнем обозначении) имеет только корни с от-
отрицательными вещественными частями.
Можно предположить, что функции X и Y обраща-
клся в нуль, когда х и у делаются нулями, ибо в про-
противном случае, заменяя переменные х и у некоторыми
новыми, систему D5) всегда можно было бы преоб-
преобразовать в такую же, но для которой функции, играю-
играющие роль In 7, обращались бы в нуль при одновре-
одновременном равенстве нулю обеих новых переменных.
Действительно, на основании теоремы § 30 (при-
(примечание) всегда найдем голоморфные функции х и у
переменных х1у х19 . . ., хп, удовлетворяющие уравне-
уравнениям
psnxn
дх
р8Пхп
Xs) ^- =
и содержащие в своих разложениях только члены не
ниже второго порядка х).
Пусть
суть такие решения этих уравнений.
Тогда, делая
х) Выраженное в этой теореме условие относительно кор-
корней *й., Яу в рассматриваемом случае, очевидно, выполняется.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 17J
1» вводя в уравнения D5) вместо переменных х и у пе-
переменные ? и г], преобразуем эти уравнения к виду
(s= 1, 2, .. ., /г),
где S, X, X's представят голоморфные функции вели-
величин ё, 7], ors, разложения которых будут начинаться
членами не ниже второго порядка, и из которых пер-
первые две, определяясь формулами
Y = Y i- Хи -
• • • + Psn*n + «. (« + 2) + P, (W + V)) + X,} g
(если в функциях X, У, Xs величины х и у предполо-
предположим замененными величинами u-\-l и и + т)), при
с = Yj = 0 будут обращаться в нуль.
Притом рассматриваемое преобразование таково, что
новые переменные могут играть такую же роль при
решении нашей задачи, как и прежние.
Мы можем предположить, что при составлении урав-
уравнений D5) уже было выполнено указанное сейчас пре-
преобразование (если в нем была надобность), и что, сле-
следовательно, функции X и Y уничтожаются при
х~у = 0.
Допуская это, сделаем
x — rcosb, у = r sin 9
и введем в наши уравнения вместо х и у переменцыф
г и ft.

172 A. M. ЛЯПУНОВ
Будем иметь:
d/ =Zcosa+^sin&, r^ =
at at
Но вследствие нашего допущения вторые части этих
уравнений, будучи выражены через г и О, будут обра-
обращаться в нуль при г = 0. Поэтому второе из этих урав-
уравнений приводится к виду:
§ = >* + е, D6)
где В есть голоморфная функция переменных ?\ xl9
х2, . . ., хп, уничтожающаяся при одновременном равен-
равенстве последних нулю и обладающая в своем разложе-
разложении коэффициентами, представляющими целые рацио-
рациональные функции от cos & и sin 0.
Из этого уравнения видно, что пока величины
\r\ , \xs\ не превосходят некоторых пределов, & будет
непрерывною возрастающею функцией t, и что если бы
величины | г |, \xs\ во все время движения оставались
достаточно малыми, то функция 0 с беспредельным
возрастанием t беспредельно возрастала бы.
Так как нашу задачу можно рассматривать как
задачу об устойчивости по отношению к величинам
Г, Xi, Х%) • • • у %ni
то отсюда ясно, что при решении этой задачи пере-
переменная Ь может играть такую же роль, как и t.
Примем ее за независимую переменную вместо t.
Тогда наши уравнения для определения г, xs
в функциях 0 дадут следующие:
- - rR Л
S ^ q^i + ЯЛ + • • • + qsnxn |- v D7)
-I- (ascosd + 6ssinfl)/'-f-?.s |
E=1, 2, ..., Л), J
где R, Qs представят функции такого же характера,
как п в, причем функции Qsne будут содержать в своих

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ
разложениях членов ниже второго измерения отно-
относительно величин 7% xs. Что же касается коэффициен-
коэффициентов qsa, as, 6S, то они определятся формулами:
JtSG ^ о 7 г Я
rj —— _____ /у ¦ 2 Q •—- ' °
и следовательно,
нения
будут таковы, что все корни урав-
уравD8)
будут обладать отрицательными вещественными ча-
частями.
Первое из этих уравнений D7) показывает, что
если начальное значение г есть нуль, то г будет рав-
равным нулю для всякого 7е), и что в противном случае г
будет сохранять знак своего начального значения по
крайней мере до тех пор, пока величины г, xs остаются
все численно достаточно малыми. Притом из самого
определения г видно, что без всякого нарушения общно-
общности можно ограничиться рассмотрением его значений
только одного какого-либо знака.
Вследствие этого мы будем предполагать, что г
может получать только положительные (или равные
нулю) значения.
Примечание. Функции в, R, Qs при всяком 0 суть
голоморфные относительно величин г, хи х2, . . .> хп.
Притом, по самому своему происхождению, они таковы,
что всегда найдутся такие положительные постоянные
A, Alt А2, . . ., А,,, которые будут удовлетворять усло-
условию, чтобы при
[ А I 'У I Л (о \ *) У)\
| J±9 | Jss | ^ls \^ i) ^) • • • f Ib)
разложения этих функций были сходящимися в рав-
равной степени для всех вещественных значений 0.

1?4 A. M. ЛЯПУНОВ
Так как далее нам нередко придется иметь дело
с подобными функциями, то мы введем для них особый
термин.
Вообще пусть F есть некоторая функция перемен-
переменных х, г/, ... и параметров а, [3, . . ., и пусть при всяких
значениях этих параметров, удовлетворяющих неко-
некоторым условиям (А), функция F по отношению к пе-
переменным ху у, . . . голоморфна. Тогда, если возможно
найти такие не зависящие от названных параметров,
отличные от нуля числа а, 6,..., чтобы при
разложение этой функции по целым положительным сте-
степеням х, у, . . . было сходящимся в равной степени для
всех значений а, |3, . . ., удовлетворяющих условиям
(А), то мы будем говорить, что функция F (по отно-
отношению к переменным х, у, . . .) голоморфна в равной
степени для всех таких значений а, [В, . . .
Наши функции в, R, Qs по отношению к перемен-
переменным г, х19 х2,. . ., хп будут, следовательно, голоморфными
в равной степени для всех вещественных значений О1).
34. Некоторые характерные ряды, формально
удовлетворяющие дифференциальным уравнениям.
Общий случай, когда ряды эти не суть периоди-
периодические. Чтобы воспользоваться для исследования урав-
уравнений D7) предложениями § 16, вообще придется
предварительно подвергнуть эти уравнения некоторому
преобразованию.
В таком преобразовании не представится надоб-
надобности только в случае, если все постоянные as, bs равны
х) Если бы мы пожелали рассматривать и комплексные
значения О, то, очевидно, могли бы утверждать, что функции
эти по отношению к переменным г, xs суть голоморфные
в равной степени для всех значений 0 вида
где а—произвольное вещественное число, a [3—вещественное
число, подчиненное условию, чтобы абсолютная величина его
не превосходила какого-либо данного предела.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 1^5
нулю, и функции Ri0\ (Ko), в которые обращаются
/?, Qs npnxl = x2 = .. . ~хп — 0> удовлетворяют некото-
некоторому условию. Условие это состоит в том, что если функ-
функция RW не равна тождественно нулю, то при разло-
разложении по восходящим степеням г наинизшая степень
должна сопровождаться в ее разложении постоянным
коэффициентом и должна быть меньше наинизшей из
степеней г, входящих в разложения Q(o); если же R(Oj
тождественно равна нулю, то такими же должны быть
и все <К°).
Цель упомянутого преобразования и будет состоять
в приведении дифференциальных уравнений к такому
виду, для которого выполнялось бы указанное сей-
сейчас условие.
Названное преобразование находится в связи с
вопросом о возможности некоторого периодического ре-
решения для системы D7).
Будем стараться удовлетворить этой системе рядами
следующего вида:
E=1,2, ...,Л), J
где с-—произвольная постоянная, а иA\ и^> - незави-
независящие от нее периодические функции & с общим перио-
периодом 2тс.
Такая задача, конечно, не всегда будет возможна; но
когда она возможна, функции и найдутся под видом
некоторых конечных рядов синусов и косинусов це-
целых кратностей &.
Относительно типа функций и можно поставить бо-
более общее требование: а именно, можно предположить
их целыми рациональными функциями Й с коэффи-
коэффициентами, представляющими конечные ряды синусов
и косинусов целых кратностей &. Тогда задача о подыска-
подыскании этих функций так, чтобы ряды D9) по крайней
мере формально удовлетворяли уравнениям D7),
сделается всегда возможною.

А. М- ЛЯПУНОВ
Посмотрим, как найдутся такие функции.
Делая в уравнениях D7) подстановку D9) и затем
приравнивая коэффициенты при одинаковых степе-
степенях с, получим следующие системы уравнений:
du<-V Л
-ж- = ?« Mi1} + ЪЯФ + • • • + 5
duW
+ as cos 0 + 6S sin &
(8 = 1,2, ...,n),
-f (as cos & + bg sin S)
(s=l, 2,..., n),
E0)
J
где /—одно из чисел 2, 3,...
Здесь f/(z), ?/W суть известные целые рациональ-
рациональные функции от тех u(i\ u^\ для которых i < /, с ко-
коэффициентами, представляющими целые рациональные
функции от sin ^ и cos &.
Когда все u,W, u^\ для которых i < /, найдены,
первое из уравнений E0) даст функцию иA\ после
чего п остальных послужат для определения функ-
функций и<1\
При нашем предположении относительно типа всех
функций и известные члены в этих последних п урав-
уравнениях представятся под видом конечных рядов си-
синусов и косинусов целых кратностей 0 с постоянными
или целыми рациональными относительно 0 коэффи-
коэффициентами. Разыскивая функции и^ под видом таких же
рядов, получим для них по свойству корней уравне-
уравнения D8) вполне определенные выражения. Притом функ-
функции эти выйдут периодическими всякий раз. когда
таковы известные члены в рассматриваемых уравне-
уравнениях.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 177
Функции и@ всегда будут периодическими, а имен-
именно—следующего вида:
где As, Bs—некоторые постоянные. Можно убедиться,
что будут периодическими также и все функции и^2\
up. Но следующие могут содержать О и вне знаков
sin и cos.
Допустим, что все функции и<1\ up, для которых /
меньше некоторого целого числа т, найдены и пред-
представляют периодические функции &. Тогда функцию
?Дт) можно будет представить под видом конечного
ряда синусов и косинусов целых кратностей &, и если
в этом ряду не окажется постоянного члена, то функ-
функция и(т\ а следовательно, и все функции и(т^ будут
периодическими. В противном случае в функции эти
войдут вековые члены, и между прочим функция гЖт>>
будет вида:
u(m^gb + v, E1)
где g — отличная от нуля постоянная, a v — конечный
ряд синусов и косинусов целых кратностей &.
Допустим, что имеет место этот последний случай.
Предполагая, что вычисление было ведено таким
образом, чтобы все функции u(l\ up, v для веществен-
вещественного & были вещественными, преобразуем наши диф-
дифференциальные уравнения D7) посредством подста-
подстановки:
E=1, 2, ..., ri),
где z, zlt z2, ..., zn суть новые переменные, которые
вводим вместо прежних г, х19 х2, . . ., хл.
12 А. М. Ляпунов

178 A. M. ЛЯПУНОВ
Пусть
d
¦¦¦+
n)
E2)
суть преобразованные уравнения.
Вследствие E1) и уравнений, которым удовлетво-
удовлетворяют функции иA\ и^\ будем иметь:
+2u <2>z + 3WCV~-f . .. + (m-i)!?111-1) zm-2+mvzm~1 '
+ (as cos 8- -f 6S sin ft) uzm —
— [«CD + 2tt<2> 2 + . .. + (m -1) u(m-^ zm~2] zZ,
где функции rR, Qs предполагаются выраженными че-
через переменные z, zs.
Отсюда видно, что Z, Zs будут голоморфными функ-
функциями переменных z, zlf z21 ..., zn в равной степени
для всех вещественных значений 8, от которого будут
зависеть коэффициенты в их разложениях (эти коэффи-
коэффициенты представятся под видом конечных рядов сину-
синусов и косинусов целых кратностей Ь). Функции эти
будут уничтожаться при равенстве нулю всех z, zs.
Притом функции Zs не будут содержать в своих раз-
разложениях членов первого порядка. Наконец, если 7Л®\
Z(°) суть функции, в которые обращаются Z, Zs при
то разложение функции Z(°) по восходящим степе-
степеням z будет начинаться (т—1)-ой степенью последнего,
которая будет сопровождаться постоянным коэффи-
коэффициентом g, а разложения функций Z((' будут содержать
z в степенях не ниже т-оя.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 179
В последнем убеждаемся, замечая, что по самому
значению величин U(l\ U^l) разложения функций
Qs _ [/B) 2«
в членах, не зависящих от величин zs; могут содержать
z только в степенях, превосходящих т.
Таким образом уравнения E2) будут обладать всеми
требуемыми свойствами.
Притом подстановка, посредством которой они вы-
выведены, такова, что при решении нашей задачи новые
переменные z, zly z2, .. ., z,x могут играть ту же роль,
как и прежние г, хх, х2, . . ., хп.
Заметим, что при | z\ достаточно малом знаки г
и z всегда одинаковы. Поэтому вследствие сделанного
предположения относительно г переменную z мы должны
считать положительною.
Примечание 1. Общие выражения функций иA\
и(р, соответствующих данному /, будут содержать 1—1
постоянных произвольных, которые войдут при квад-
квадратурах, определяющих функции иB\ иC\ ..., иAК
Но легко видеть, что ни число т, ни постоянная g от
выбора значений, которые мы пожелали бы приписать
этим постоянным произвольным, зависеть не будут.
Действительно, если /г2, Л3, ... суть значения, при-
принимаемые функциями иB\ и(*\ . . . при & = 0, a v(l\ vW
суть функции u^l) , uil\ найденные в предположении, что
все hj равны нулю, то общие выражения функций
и , щ получатся как коэффициенты при с1 в раз-
разложениях выражений
где
А потому, если у(т) есть первая непериодическая в ряду
функций
2>
12*

180 А. М- ЛЯПУНОВ
то и'т< будет первою непериодическою в ряду функций
каковы бы ни были постоянные hj. Притом разность
u(m)__v(m) необходимо будет периодическою функцией.
Примечание 2. Из способа, которым были полу-
получены функции R, Qs, нетрудно вывести, что если ко-
коэффициенты в их разложениях представить под видом
рядов синусов и косинусов целых кратностей &, то
в каждом члене с четною степенью г (включая и нуле-
нулевую) будут встречаться только четные кратности &,
а в каждом члене с нечетною степенью г—-только
нечетные кратности &.
Отсюда в силу выражений для функций i4x)следует,
что если функцию ?Л2> представить под видом ряда
синусов и косинусов целых кратностей &, то в этом ряду
будут встречаться только нечетные кратности 0, и, сле-
следовательно, ряд этот не будет содержать постоянного
члена. Функция мB) будет поэтому всегда периоди-
периодическою, и следовательно, число т, игравшее роль в пре-
предыдущем преобразовании, будет не менее 3.
Ближайшее рассмотрение уравнений E0) показывает,
что число это всегда будет нечетным.
Впрочем, это свойство числа т обнаружится и при
самом исследовании уравнений E2) (§ 37, примечание).
35. Особенный случай, когда ряды выходят
периодические. Сходимость этих периодических
рядов. Когда функции ul\ uil\ начиная с некото-
некоторого значения /, делаются непериодическими, мы всегда
можем в том убедиться, проинтегрировавши достаточное
число систем уравнений E0). Но когда все эти функ-
функции суть периодические, как бы ни было велико число/,
обнаружить это последнее обстоятельство таким же
путем вообще, конечно, нельзя.
Тем не менее допустим, что в каком-либо случае
нам удалось так или иначе доказать, что все функции
и^1\ и^ при всяком I суть периодические.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 181
Покажем, что в этом случае при надлежащем опре-
определении постоянных произвольных, которые войдут
в названные функции, ряды D9) при | с | достаточно
малом будут абсолютно сходящимися и притом в рав-
равной степени для всех вещественных значений ft. Этими
рядами определится тогда некоторое периодическое ре-
решение дифференциальных уравнений D7) с одною про-
произвольною постоянною с, подчиненною только условию,
чтобы модуль ее не превосходил некоторого предела.
Мы остановимся на предположении, что все функ-
функции u(V) обращаются в нуль при & = 0. Этим предполо-
предположением постоянные произвольные в функциях иA\ и$
определятся вполне.
В § 22 было замечено, что посредством линейной под-
подстановки с постоянными коэффициентами система урав-
уравнений A3) всегда может быть преобразована к виду
A7). Воспользуемся подобной подстановкой для пре-
преобразования уравнений D7).
Пусть х19 у2, ..., уп суть корни уравнения D8).
Тогда названную подстановку можно предположить та-
такою, чтобы коэффициенты q'sa, играющие в преобразо-
преобразованных уравнениях роль коэффициентов q'Sf:, все были
нулями, за исключением следующих:
9л 1 — 71> 9?2 ==1 У2> • ' • > ЯпП = *ЛП>
Допустим временно, что система D7) уже имеет
преобразованную форму. Тогда система E0) будет сле-
следующего вида:
(a, cos в + Ъг sin Ь) u(
db
= wP + o^ui^ + (в, cos & -Ь 6S sin 9)
(s~2, 3, ..., n).

182 А- М- ЛЯПУНОВ
Предполагая, что все функции и , us , для кото-
которых i < /, уже найдены, и принимая в расчет, что веще-
вещественные части всех xs отрицательны, из этих уравне-
уравнений последовательно выводим:
-oo
О
«, cos a + 6S sin &) и<*> + U
= 2, 3, .. ., /г). j
E3)
Мы замечаем теперь, что G( , J7^ суть целые
функции от найденных раньше u(j\ и^ в которых
коэффициенты представляют линейные формы с поло-
положительными числовыми коэффициентами от коэффи-
коэффициентов в разложениях функций R, Qs. Поэтому, если
вообще через vl\ oil) означим некоторые высшие пре-
y » ''О (i)
делы модулей функции и , щ в пределах изме-
изменяемости 0- от 0 до 2тт (а следовательно, и для всех ве-
вещественных значений 0), а через V^l\ V^— резуль-
результаты замены в функциях U{1\ U[l) величин u(l\ u[lJ
величинами v/J\ о{1) и коэффициентов разложе-
разложений i?, Qs высшими пределами их модулей в тех
же пределах изменяемости 0, и если, наконец,
через
означим вещественные части корней v.lt х2,

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 183
то в силу E3) можем положить:
E4)
Ka%-^\a8-1\v^1^-{\as\ + \t)st ' " "
(s = 2, 3, ..., /г).
Делая притом
(s = 2, 3, ..., /г)
и определяя формулами E4) величины o(l\ v^ для
всякого I, превосходящего 2, получим таким образом
высшие пределы модулей для всех функций и^1\ и[1)>
годные для всех вещественных значений &.
Но по свойству функций Ry Qs для модулей коэф-
коэффициентов в их разложениях при вещественном &
всегда можно выбрать постоянные высшие пределы
так, чтобы ряды, в которые обратятся эти разложения
после замены коэффициентов названными высшими пре-
пределами, были сходящимися при отличных от нуля гу
xs, модули которых достаточно малы. Тогда этими ря-
рядами определятся некоторые голоморфные функции
переменных г, xs. Означим их соответственно через
г (г, х1У х2, . . ., хп)у гs (г, xlt х2У . . ., хп).
Функции эти будут уничтожаться при г — ^, = ^2 = ...
... = хп = 0, и притом функции Fs не будут содержать в
своих разложениях членов первого порядка.
Если же высшие пределы, о которых идет речь,
выбраны таким образом, то величины iP\ v[l\ опре-
определяемые предыдущими формулами, представят ко-
коэффициенты в разложениях
по целым положительным степеням о величин г, xs,

184 A. M. ЛЯПУНОВ
удовлетворяющих уравнениям
г = с + 2r,rF (г, х19 х2, ..., хп),
Mi = {|«i l + lbiDr + F^r, xl9 x2, ..., хп),
KjXj = { | «/ | + I 6/ | } Г + | OM | ЖМ + F, (Г, 3?!, Я2, . . . , Xn)
(/ = 2, 3, ..., /г)
и обращающихся в нуль при с = 0.
Поэтому при | с ] достаточно малом ряды E5) будут
абсолютно сходящимися, а следовательно, ряды
при всяком достаточно малом | с | будут сходящимися
в равной степени для всех вещественных значений Ь.
Возвращаемся теперь к первоначальным уравне-
уравнениям D7) и к соответствующим им уравнениям E0).
Так как в этих уравнениях все коэффициенты
суть вещественные функции &, то такими же будут
и функции u^l\ Ug]\ найденные в предположении, что
при & = 0 все u(l) делаются нулями. Поэтому при веще-
вещественном с рядами D9) будет определяться в этом
предположении некоторое вещественное решение урав-
уравнений D7).
Воспользуемся им для преобразования этих урав-
уравнений.
Делаем
и вместо переменных г, xi9 x%y ... ,хп вводим в эти
уравнения переменные z9 zl9 z2f ... , zn.
Преобразованные уравнения будут вида E2), и вхо-
входящие в них функции Z, Zs будут такого же характера,
как и в случае, рассмотренном в предыдущем пара-
параграфе, с тою только разницей, что теперь при
все эти функции будут делаться нулями,

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 185
Рассматриваемая подстановка притом такова, что
для нашей задачи новые переменные будут иметь та-
такое же значение, как и прежние.
36, О периодических решениях. Рассмотрим ближе
случай, когда все функции и^\ uW суть периодические.
Предполагая, что постоянные произвольные в этих
функциях определены согласно рассмотренному выше
условий, мы представим рядами D9) при | с | достаточно
малом некоторое периодическое решение системы D7).
Для системы D5) этому решению будет соответство-
соответствовать также некоторое периодическое решение. Послед-
Последнее получим, если в уравнениях
х = [с + и^с2 + ... ] cos », у = [с + uWc2 + ... ] sin »Л
xs = uWc + upc2 + . .. (s - 1, 2, ... , n) }E6)
переменную & заменим ее выражением в функции t.
Покажем, как найдется эта функция, и каков будет
вид названного сейчас решения системы D5).
Обращаемся к уравнению D6).
Делаем в функцию в подстановку D9) и затем функ-
функцию
Я
разлагаем в ряд по восходящим степеням с.
Так как последняя при с = 0 обращается в единицу,
то при этом найдем:
где все 0У- суть не зависящие от с периодические функ-
функции 0, которые можно представить под видом конечных
рядов синусов и косинусов целых кратностей $.
Означая теперь через t0 постоянную произволь-
произвольную, из уравнения D6) выводим:
о
ead&+ ...=

186 А. М- ЛЯПУНОВ
Первая часть этого уравнения, кроме периоди-
периодических членов, заключает в себе члены, пропорциональ-
пропорциональные &.
Если вообще сделаем
1 [
то совокупность всех таких членов представим под
видом:
При этом уравнению нашему можно будет дать сле-
следующий вид:
где Ф7- (8) означают не которые не зависящие от с конеч-
конечные ряды синусов и косинусов целых кратностей 9.
Все произведенные до сих пор операции вполне за-
законны в предположении, что Ь принимает только ве-
вещественные значения, а \с\ не превосходит некоторого
предела.
В этом предположении ряды
1-j-/V2 +/г3с3 + • • • , сФ, (8) + с2Ф2 (&)+...
будут абсолютно сходящимися. Притом ряд
.-- E7)
будет сходящимся в равной степени для всех веществен-
вещественных значений &.
Но для дальнейших преобразований рассмотрение
вещественных значений о- будет недостаточно. Нам при-
придется при этом рассматривать всякие комплексные зна-
значения его вида:
1) ?1етрудно убедиться, что hx всегда будет нулем.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 187
где а и C—вещественные числа, из которых первое со-
совершенно произвольно, а второе подчинено условию,
чтобы его абсолютная величина не превосходила неко-
некоторого предела.
Если бы в предыдущем параграфе, при исследовании
сходимости рядов D9), мы рассматривали такие значе-
значения 8, то пришли бы, как нетрудно убедиться, к по-
подобному же заключению, как и для вещественных
значений 8.
Вследствие этого мы можем быть уверены, что | с |
всегда можно выбрать достаточно малым для того,
чтобы ряд E7) был сходящимся в равной степени для
всех комплексных значений & указанного сейчас вида.
Заметив это, положим:
Тогда наше уравнение приведется к виду:
? + сФ1(?+^) + с1Фй(? + т)+...=0. E8)
Будем здесь рассматривать т как не зависящий от с
параметр, которому приписываются всякие значения
вида:
где р и а — вещественные числа, из которых последнее
по абсолютной величине не превосходит некоторого
данного предела.
Тогда, если такое же условие поставим и для пе-
переменной ср, то в силу замеченного выше свойства ряда
E7) из уравнения E8) будет следовать, что при \с\
достаточно малом модуль переменной ср сделается сколь
угодно малым.
Наша задача приведется таким образом к опре-
определению из уравнения E8) зависящей от с функции
ср, модуль которой выбором достаточно малого | с | можно
было бы сделать насколько угодно малым.

188 А. М- ЛЯПУНОВ
Мы замечаем теперь, что каждая из функций
ф. (<р _{_ -) по своему характеру может быть представлена
под видом ряда, расположенного по целым положитель-
положительным степеням <р и абсолютно сходящегося при всяких
со и т. Поэтому в силу упомянутого сейчас свойства
ряда E7) первая часть уравнения E8) будет голоморф-
голоморфною функцией величин ср и с (и притом—в равной сте-
степени для всех указанных значений т;).
Функция эта при ср = с = О обращается в нуль, а ее
частная производная по f делается при этом равною
единице.
Поэтому на основании известной теоремы искомая
функция ср будет голоморфною относительно с и, сле-
следовательно, при | с | достаточно малом представится под
видом ряда:
? = <PiC+?aCa + ?.C8+-.., E9)
где все <ру- означают не которые не зависящие от с функ-
функции т.
Функции <р/ легко находятся последовательно и вы-
выражаются при помощи функций Ф/ и их производ-
производных Ф<°:
Все эти функции можно будет представлять под
видом конечных рядов синусов и косинусов целых крат-
ностей т.
Таким образом для 0 найдем следующее выражение:
» = т + ?iC + ?2с2 + ъс* + • • •
Внося это выражение в уравнения E6) и затем раз-
разлагая результаты подстановки в ряды по восходящим
степеням с, представим функции ху у, xs под видом
рядов того же характера, как и E9).
Все эти ряды при величинах с, модули которых до-
достаточно малы, будут сходящимися в равной степени
для всех рассматриваемых значений т.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 189
После подстановки
ими и определится искомое решение системы D5).
По отношению к t функции х, у, xs будут в этом
решении периодическими с периодом
Найденному решению, если угодно, можно дать не-
несколько иной вид. А именно, названные сейчас функ-
функции можно представить под видом рядов Фурье, рас-
расположенных по синусам и косинусам целых кратно-
стей т. Эта возможность видна из того, что функции,
о которых идет речь, при достаточно малом | с | будут
синектичными для всех комплексных значений т. под-
подчиненных указанному выше условию.
Получаемые таким путем новые ряды будут того же
характера, как и ряды, рассматриваемые Линдстед-
том (§ 27).
Наше периодическое решение содержит две постоян-
постоянные произвольные с и t0, при вещественных значениях
которых ему будет соответствовать некоторое периоди-
периодическое движение.
Постоянная tQ, впрочем, не имеет существенного
влияния на характер этого движения. Последний опре-
определяется главным образом постоянною с.
Изменяя эту постоянную непрерывным образом, мы
получим некоторый непрерывный ряд периодических
движений, и рассматриваемое невозмущенное движение
будет входить в него как соответствующее с — О.
Примечание. Для действительного вычисления чле-
членов рассматриваемых рядов конечно нет необходимости
непременно идти указанным выше путем. Для этой цели
вообще будет предпочтительнее трактовать непосред-
непосредственно уравнения D5).

190 А. М- ЛЯПУНОВ
Разумея под с произвольную постоянную и под Т ряд
с неопределенными коэффициентами /г, вводим в эти
уравнения вместо I новую независимую переменную t
посредством подстановки F0). Затем постоянными h
стараемся распорядиться так, чтобы преобразованным
уравнениям удовлетворяли ряды:
х =
У =
F1)
(« = 1,2, ... ,/г),
в которых все х'ш), у (т\ . . . , х^ были бы периодиче-
периодическими функциями т с общим периодом 2тс.
Для вычисления этих функций (которые предпола-
предполагаются не зависящими от с) получатся системы диффе-
дифференциальных уравнений, из которых в случае возмож-
возможности нашей задачи, при надлежащем выборе коэффи-
коэффициентов /г, последовательно найдутся все названные
функции в порядке возрастания т под видом конечных
рядов синусов и косинусов целых кратностей i. При
этом для каждого т сначала найдутся х(т) и у'т\ затем
все Xs. Значения, которые придется приписать
постоянным kn9 определятся также последовательно
в порядке возрастания т и притом так, что для всякого
т постоянная кпЛ найдется одновременно с функциями
х'т\ у<т\
Уравнениям, которые получатся для определения
?(!), г/CD, всегда можно будет удовлетворить предполо-
предположением
#(!) —cost, г/С1) —sin т.
Затем дальнейшие вычисления можно будет вести
так, чтобы все х(т\ у(т\ для которых т>1, прит=0
делались нулями. Тогда все искомые функции, а также
постоянные h выйдут вполне определенными, и ряды
F1) сделаются тождественными с рассмотренными выше.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 191
Останавливаясь на таком предположении, посмо-
посмотрим, как найдутся постоянные h,
Допустим, что мы вычислили все функции хМ, у^1\
xs , для которых [J. < т> и все постоянные/гу-, для кото-
которых / < т — 1. Тогда для определения функций х(т^ и
у(т) получим систему уравнений вида:
^ hm^ cos т + УС"»),
где Х(т\ YW будут некоторыми известными целыми
рациональными функциями от всех найденных
У у $
Функции Х(т\ 7(;л> представятся под видом конеч-
конечных рядов синусов и косинусов целых кратностей т.
Будем искать функции х(т\ у(~т> под видом таких же
рядов.
При определении коэффициентов в этих рядах мы
встретим некоторую особенность только для членов,
содержащих синус и косинус первой кратности т.
Поэтому ограничимся рассмотрением только последних
и остальных выписывать не будем.
Пусть
Х{т) = ^jcos т + А2 sin т + • • • ,
где Alf A2, В1У В2 суть некоторые известные посто-
постоянные.
Делая подобным образом:
х^ = ах cos т + я2 sin z + . . . ,
у(т) = 6Х cos т + 62 sin т + . . . ,
для определения постоянных al9 a?f bl9 62, hm_j получим
следующие уравнения:
а2 + Ь.1=А1, — ах + 62 + Am_, = Л2,
- а2 — Ъх = 52, — а, + 62 - Am_! = 51.

192 A. M. ЛЯПУНОВ
Уравнения эти будут возможны только при условии
А1 + В2 = 0) F2)
и когда последнее выполнено, дадут:
h — A*~Bi а — A —h h — А% + Bl 4- а
/гт„! — , а2 — л.х — о17 о2 — h Ui •
Так как условие, чтобы х^т\ у(т>> при т= 0 делались
нулями, определяет постоянные ах и 6М то по этим фор-
формулам и найдутся все искомые постоянные.
Изложенный сейчас метод вычисления представляет
только незначительное видоизменение метода Линд-
стедта, каков он был бы в приложении к занимающему
нас случаю (§ 27).
Заметим, что для приложимости этого метода не
необходимо, чтобы функции X я Y обращались в нуль
при х~у = 0. Поэтому для нее нет надобности и в том
предварительном преобразовании уравнений D5), на
которое было указано в § 33.
Если бы существование рассматриваемых периоди-
периодических решений не было известно a priori и если бы,
прилагая предыдущий метод и доведя вычисление до
некоторого значка т, мы нашли, что для него условие
F2) не выполняется, то это послужило бы признаком,
что искомые решения невозможны.
Нетрудно видеть, что в этом случае (будут ли функ-
функции X и Y уничтожаться при х = у = 0 или не будут)
чрюло т и постоянная
были бы те самые, с которыми мы имели дело в § 34.
Возвращаемся теперь к нашей задаче.
Покажем, каким образом на основании уравнений
E2) решается вопрос об устойчивости.
37. Исследование общего случая. Рассмотрим
сначала случай, когда при zL = zti = ... = zn—0 функ-
функция Z не делается нулем тождественно.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 193
Пусть
где g — отличная от нуля постоянная, /^ -—линейные
формы величин zs с периодическими относительно О
коэффициентами1) и R — голоморфная функция пере-
переменных zy zSJ разложение которой, обладающее такими
же коэффициентами, не содержит членов ниже третьего
порядка и притом в членах, линейных относительно
величин zs, заключает z в степенях не ниже m-ой, а в
членах, не зависящих от этих величин, — в степенях
не ниже (#г+1)-ой.
По свойству уравнений E2) при этом должно до-
допустить, что разложения функций Zs в членах, не за-
зависящих от величин zQy не содержат z в степенях
ниже т-ой.
Пусть для какого угодно целого положительного к
7H)- | 7>B)-2 j_ I T)Wrrk ! у(к)
s — * s z i *s Z ~г • • ' г ^ s z ~Г &S 7
где P(s]^ суть линейные формы величин z9 с периодиче-
периодическими коэффициентами, &Z[k\ Z^k)y.... , Znk) — голоморф-
голоморфные функции переменных zy zS9 разложения которых
в членах, линейных относительно величин z&y могут
содержать z только в степенях выше к-ош.
Подобно тому, как в § 29, положим:
V = z -\~ W -\- U z -\- и z -j- . . . -f- U z *
s,
означая через V^ линейные формы величин zs
а через W—их квадратичную форму с неопределенными
коэффициентами. Но эти коэффициенты, предполагая
их попрежиему постоянными для формы W, для форм
U^ предположим периодическими функциями &.
Составивши затем в силу уравнений E2) производ-
производную -тд-, постараемся коэффициентами в формах
г) Вообще все.периодические коэффициенты, о которых
здесь будет идти речь, суть конечные ряды синусов и коси-
косинусов целых кратностей 0.
13 а. М. Ляпунов

194 А. М. ЛЯПУНОВ
распорядиться так, чтобы эта производная в членах,
линейных относительно величин zs, могла содержать z
только в степенях не ниже т-ой. Для этого мы должны
будем сделать:
2 «ЬА-
S=l
ЬА + 9 А + • • • + *„*, ^ ^
>> ^G;) <*1) ^М 0
(Л=г2, 3, ... , ira-1).
Из этих уравнений последовательно найдем:
U(i\ ?/B\ . . . , и(т-'\ F3)
Притом предположение, что коэффициенты в фор-
формах U^ суть периодические функции & и именно—ко-
именно—конечные ряды синусов и косинусов целых кратностей ft,
всегда будет возможно и определит эти коэффициенты
вполне.
Действительно, если U есть первая в ряду форм F3)
или какая-либо из следующих в предположении, что
все предшествующие ей уже найдены в указанном
сейчас виде, то для определения ее получится уравнение
тг
2 (Чп*х + QSA + • - + q8nzn) ¦— + ~ =
в котором все А будут известными конечными рядами
синусов и косинусов целых кратностей 8. Это уравне-
уравнение для определения коэффициентов а в форме
U = axzx + a2z2 + . . . + anzn

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОЁ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 195
даст следующую систему уравнений:
-?§¦ + qlsax + qlscu + . . . + qnban - A, (s -1,2,..., п).
А последняя вследствие того, что соответствующее ей
определяющее уравнение не имеет чисто мнимых корней
(все эти корни обладают положительными веществен-
вещественными частями), всегда будет допускать и притом только
одно такое решение, в котором все а были бы конечными
рядами синусов и косинусов целых кратностей ft.
Определивши указанным путем формы U(i\ форму W
выберем согласно уравнению:
2 (?«2i + Ч*А + • ¦ ¦ + 9snzn)
ЛТТГ
F4)
Тогда выражение полной производной функции V
по ft примет следующий вид:
-^1 = a (zm + z2 + z2 + + z2) + S
если положим:
/г т-2
s=l
m-1
Но эту величину S всегда можно представить под
видом:
где у, vSa были бы функциями z, zs, ft, уничтожающи-
уничтожающимися при
z = zx = za = .. . s= zn = О,
13*-

196 A. M. ЛЯПУНОВ
периодическими относительно ft и голоморфными отно-
относительно z, zs, притом — в равной степени для всех
вещественных значений 9.
Поэтому очевидно, что если поставлено условие
z>0, F5)
dV .
то наиденная величина -ттт- как функция переменных
z, zs, ft, из которых последняя играет роль переменной
Z, представит функцию знакоопределенную (стр. 93,
примечание), которая при достаточно малых z, \zs\
будет сохранять знак постоянной g.
При том же условии F5) будет знакоопределенною
и именно - определенно-положительною и функция F,
если форма W как функция переменных zs определенно-
положительна.
Последнее действительно будет иметь место, когда
g < 0, ибо форма W, как удовлетворяющая уравнению
F4), будет всегда сохранять знак, противоположный
знаку g (§ 20, теорема II).
Напротив, если g > 0, для функции V при условии
F5) и при величинах z> \ zs |, насколько угодно малых,
будут возможны значения любого знака.
Поэтому, если иметь в виду условие F5),—а послед-
последнее, как уже было замечено в § 34, представляет след-
следствие предположения г > 0, всегда возможного и ни-
нисколько не ограничивающего нашей задачи (§ 33),—
то можно утверждать, что функция V при g > 0 будет
удовлетворять условиям теоремы II § 16, а при
g<0— условиям теоремы I (вместе с примечанием 2).
Вследствие этого мы должны заключить, что в слу-
случае положительного g невозмущенное движение не-
неустойчиво, а в случае отрицательного—устойчиво.
В последнем случае возмущенные движения, соот-
соответствующие всяким численно достаточно малым воз-
возмущениям, будут асимптотически приближаться к не-
невозмущенному движению.
Примечание, Мы рассматривали г и z как перемен-
переменные, для которых невозможны отрицательные значе-

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 197
ния. Но с таким же правом мы могли бы их рассматри-
рассматривать и как переменные, для которых невозможны поло-
положительные значения.
Чтобы исследовать вопрос в этом последнем предпо-
предположении, предыдущий анализ пришлось бы подвергнуть
только незначительному изменению; а именно, для
этого стоило бы только в уравнении F4) заменить g
через (— 1)т g.
Тогда новое выражение производной -ттг предста-
представило бы знакоопределенную функцию при условии
?<0, и знак ее был бы одинаков со знаком (~—l)mg.
Функция V при том же условии была бы знакоопреде-
ленною и именно — отрицательною, когда (— l)m g пред-
представляет положительное число.
Мы пришли бы поэтому к заключению, что при усло-
условии (— 1)т g > 0 невозмущенное движение устойчиво,
а при условии (—l)m g<0 — неустойчиво.
Эти новые условия совпадают с предыдущими только
в случае, если т есть число нечетное. А так как совпа-
совпадение это несомненно должно иметь место, то найденный
результат может служить доказательством нечетности
числа т (§ 34, примечание 2).
Заметим, что если бы т было числом четным, что
могло бы иметь место, если бы уравнения E2) не пред-
представляли преобразований уравнений D5), а были бы
предложены непосредственно, то наш анализ привел бы
к заключению, что для возмущений, подчиненных одно-
одному из двух условий
z > О или z < О,
невозмущенное движение устойчиво, а для возмуще-
возмущений, подчиненных другому,—неустойчиво.
38. Исследование особенного случая. Существо-
Существование не зависящего от t голоморфного интеграла.
Рассмотрим теперь случай, когда в уравнениях E2)
все функции Z, Zs при zL = z2 = . . . =- zn = 0 дела-
делаются нулями, и следовательно, когда уравнения эти

198 A. M. ЛЯПУНОВ
допускают решение
z = с, ъх = ъг = ... = zn = О
при произвольной постоянной с.
Покажем, что в этом случае для системы E2) воз-
возможно найти полное интегральное уравнение с одною
постоянною произвольною с, представляющееся под
видом:
z = c + f(zl9 z2, . . ., zn, с, в), F6)
где / означает голоморфную функцию величин
Zu z2, ..., zn, с, уничтожающуюся как при с = 0, так
и при z, = z2 = ... = zn — 0, в разложении которой
коэффициенты суть конечные ряды синусов и коси-
косинусов целых кратностей &, и которая голоморфна в
равной степени для всех вещественных значений по-
последнего.
Мы должны для этого показать, что уравнение в ча-
частных производных
F7)
s=l
допускает решение вида F6) при указанном сейчас
характере функции /.
Положим
оо со
/=2 2 РЯс1, F8)
m=l Z=l
разумея под Р$ не зависящую от с форму m-ой степени
переменных zs.
Если затем во вторую часть уравнения F7) подста-
подставим вместо z его выражение F6) и результат расположим
по степеням величин zs, с, то получим ряд, в котором,
при нашем предположении относительно функций Z, Zs
не будет членов, не зависящих от величин zs.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ Ю9
Результат сказанной подстановки представится по-
поэтому под видом
со оо
- s s $v,
m = l Z=l
где (?т} означает форму m-ой степени величин zs, изве-
известным образом выводимую из тех Рт'*\ Для которых
т! + V <т + 1
(в случае m+Z=l форма эта представляет совокуп-
совокупность членов первого измерения в функции—Z).
Таким образом нам придется удовлетворить ряду
уравнений вида
дРA)
-gf = -9т\ F9)
которые и послужат для последовательного вычисления
всех Р$ в каком-либо порядке, соответствующем не-
неубыванию числа т+ I.
При этом коэффициенты в формах Р^ всегда можно
будет предполагать периодическими относительно &
(конечными рядами синусов и косинусов целых кратно-
стей €), и такое предположение сделает задачу вполне
определенною.
Действительно, если допустим, что все формы Рт*\
для которых т' -г V < m 4- /, уже найдены и обладают
периодическими коэффициентами, то вторая часть в
уравнении F9) представит форму величин zs с такими
же коэффициентами. Поэтому таковы же будут и изве-
известные члены в системе неоднородных линейных диф-
дифференциальных уравнений, которая получится из этого
уравнения для определения коэффициентов формы Р^К
Но определяющее уравнение этой системы будет иметь
только корни с положительными вещественными ча-
частями, ибо уравнение это получим, приравнивая
нулю (т - 1)-ый производный определитель (§ 19) от

200 A. M. ЛЯПУНОВ
определителя, представляющего первую часть уравне-
уравнения D8), после замены в нем у на — х. Поэтому назван-
названная система всегда будет допускать (и только одно)
периодическое решение.
Таким образом ряд F8) выйдет вполне определен-
определенным г).
Чтобы исследовать сходимость этого ряда, рассмот-
рассмотрим некоторое его преобразование. А именно, рассмот-
рассмотрим аналогичный ряд для системы, выведенной из E2)
посредством такой же линейной подстановки, какой мы
воспользовались в § 35 для преобразования уравне-
уравнений D7).
Наш вопрос приведется таким образом к исследова-
исследованию сходимости ряда F8), найденного в предположе-
предположении, что в уравнении F7) все коэффициенты qsa суть
нули, за исключением следующих:
между которыми п первых обладают отрицательными
вещественными частями.
В этом предположении для определения коэффициен-
коэффициентов формы Р^ уравнение F9) даст такие уравнения,
которые, будучи расположены в известном порядке,
определят непосредственно по одному из искомых коэф-
коэффициентов и притом в той же последовательности, как
и в случае, рассмотренном в § 31 (стр. 160).
Пусть А есть коэффициент в члене, содержащем
и пусть все предшествующие ему при указанной сейчас
последовательности найдены. Тогда для определения
*) Само собою разумеется, что при вещественности коэф-
коэффициентов в системе E2) такими же будут и коэффициенты
в этом ряду, если его рассматривать как расположенный
по степеням величин z6., с (переменную 0 мы предполагаем
вещественною).

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 201
его получим уравнение
dA
в котором В будет некоторою известною периодическою
функцией &.
Из этого уравнения найдем:
А = е~(
со
Ь
Мы замечаем теперь, что функция В в своем перво-
первоначальном виде необходимо представляет целую рацио-
рациональную функцию с положительными коэффициентами
от найденных раньше коэффициентов как в форме Р^\
так и в предшествующих ей, от величин as и от коэффи-
коэффициентов в разложениях функций — Z, Zs.
Поэтому из найденного выражения коэффициента А
следует, что мы получим некоторые высшие пределы
для модулей таких коэффициентов, годные для всех
вещественных значений 3, если найдем коэффициенты
в соответственных членах ряда, подобного F8), но не
зависящего от ft, который составится в предположении,
что в уравнении F7) все v.s заменены их вещественными
частями, всеа8 —их модулями, а все коэффициенты в раз-
разложениях функций — Z, Zs — некоторыми постоянными
высшими пределами их модулей, годными для всех
вещественных значений S. По свойству же функций
Z, Zs, эти последние высшие пределы всегда можно
выбрать так, чтобы при достаточно малых |я|, |zs|
ряды, определяющие названные функции, остава-
оставались абсолютно сходящимися и после указанной
замены.
Таким образом вопрос о сходимости нашего ряда
приведется к такому же вопросу в случае, рассмотрен-
рассмотренном в § 31.
Мы можем поэтохму утверждать, что рядом F8) опре-
определяется голоморфная функция величин zs, с в равной
степени для всех вещественных значений &, и, следова-

202 A. M. ЛЯПУНОВ
тельно, существование интегрального уравнения F6)
можем считать доказанным.
Обращаемся к нашей задаче.
Предполагая постоянную с вещественною, заменяем
первое из уравнений E2) интегральным уравнением
F6). Затем в остальные вносим вместо z его выражение
F6). Уравнения эти примут тогда вид:
E = 1,2, ...,/г). G0)
Здесь cSJ суть голоморфные функции постоянной с,
уничтожающиеся при с —0, для которых коэффициенты
разложений по степеням с представляют вещественные
периодические функции &, a Z's суть голоморфные функ-
функции величин zs, с, разложения которых, обладающие
такими же коэффициентами, начинаются членами не
ниже второго измерения относительно переменных zs.
Все названные функции голоморфны притом в равной
степени для всех вещественных значений . ^
Подобно тому, как в § 31, наша задача приведется
теперь к исследованию устойчивости движения
z, = z2 =...== zn = 0
по отношению к переменным zs, удовлетворяющим урав-
уравнениям G0).
Эти уравнения содержат параметр с, подчиненный
одному только условию, чтобы числовая величина его
не превосходила некоторого предела, и если будет
доказано, что названное движение устойчиво независимо
от величины этого параметра в смысле, определенном
в § 31 (стр. 164), то этим докажется также и устой-
устойчивость нашего движения по отношению к перемен-
переменным z, zs.
Но при указанном характере функций, представля-
представляющих вторые части уравнений G0), доказать это весьма
нетрудно, для чего можно воспользоваться тем же прие-
приемом, который был намечен в конце § 31.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 203
Таким образом убедимся, что в рассматриваемом
случае невозмущенное движение всегда будет устой-
устойчивым.
Вместе с тем докажем, что всякое возмущенное дви-
движение, для которого возмущения численно достаточно
малы, будет асимптотически приближаться к одному из
периодических движений
z = с, zL = z.2 = . . . =zn = Q,
и что каждое из последних, если для него \с\ достаточно
мало, будет по отношению к величинами, zs устойчивым.
Примечание. Разрешая уравнение F6) относительно
постоянной с (в предположении, что все величины
| zs |, \с\ достаточно малы), выведем из него следующее:
c = z + ^(zn 2а, ..., zn, z, »), G1)
где 9 будет голоморфною функцией величин z, zs, уничто-
уничтожающеюся как при 2 = 0, так и при zx — z2 = . . . = zn =
= 0, в разложении которой коэффициенты будут конеч-
конечными рядами синусов и косинусов целых кратностей г.
Вторая часть уравнения G1) представит один из ин-
интегралов системы E2).
Вводя в этот интеграл вместо переменных z, zs пе-
переменные г, ?ч, получим некоторый интеграл для си-
системы D7).
Рассмотрим квадрат последнего. Он будет следую-
следующего вида:
г2+Ф(хп х2, ..., хП9 г, \>), ' G2)
где Ф означает голоморфную функцию величин г, xs,
разложение которой начинается членами не ниже тре-
третьего измерения и обладает коэффициентами, предста-
представляющими конечные ряды синусов и косинусов целых
кратностей ?'.
Вводя в функцию G2) вместо переменных г и Ь пере-
переменные х и у, получим из нее некоторый интеграл для
системы D5).

204 А- М- ЛЯПУНОВ
Этот интеграл представится под видом следующего
ряда:
) m2 тп)] x^xfK . .z%n. G3)
Здесь Um"\ Vm"S означают некоторые рациональные
однородные функции переменных х и у соответственно
т-го и (т—1)-го измерений. Функции эти притомили
сами по себе суть целые относительно х и у, или дают
таковые после умножения на некоторые целые степени
величины х2-{-у2,
Суммирование распространяется здесь на все целые
неотрицательные т, т19 гПо, • •, шП} подчиненные усло-
условиям:
пг>1, m + m1 + m2 -f ..+mn>2.
Характер сходимости ряда G3) определяется самым
происхождением его из функции G2), которая относи-
относительно г, xs будет голоморфною в равной степени для
всех вещественных значений &.
Того же характера по отношению к сходимости бу-
будет и ряд, выводимый из G3) заменою ]/ х2 + у2 через
— \/Гх2 + у2у ибо ряд этот представит преобразование
к переменным х и у функции, выведенной из G2) заме-
заменою г через — г и & через 8 + тс. Притом этот новый ряд
очевидно также будет интегралОхМ для системы D5).
Отсюда заключаем, что ряд
X ! У ~г~ 2j т х 2 ' п
= x2 + y2 + F(xi, x29 ..., хп, х, у),
который будет наверно сходящимся при условиях схо-
сходимости обоих предыдущих, представит интеграл систе-
системы D5), преобразование которого к переменным г
и &, подобно предыдущим, будет голоморфною функцией
величин г, xs в равной степени для всех вещественных
значений 0.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 205
Покажем, что этот интеграл будет голоморфною
функцией переменных х, у, х1у х2, . . ., хп.
Для этого прежде всего заметим, что все коэффи-
коэффициенты U необходимо будут целыми функциями х и у.
В последнем убедимся, рассматривая уравнение
п
У, ypslXl -f- PS2%2 T • • - Т Psn%n ~h as^ ~i *sy) ~aZ Г"
<«—' ujcs
s -1
dF dF
которому удовлетворяет функция F и которое, после
подстановки ее выражения под видом ряда, распадается
на сргстемы уравнений, по одной для каждой пары чисел
га, ml + m2+ .. . +тп. G4)
Каждая из этих систем даст возможность найти все
функции С/, относящиеся к соответствующим ей числам
G4), после того, как найдены все U, для которых или
сумма этих чисел менее, или, при той же сумме, число
т менее1). А ближайшее рассмотрение этих систем
легко обнаружит, что функции U не могут быть рацио-
рациональными, не будучи целыми.
Убедившись, что все U суть целые функции перемен-
переменных х и у, вводим вместо последних переменные ? и т/
посредством уравнений
S = х + у ]/ -^1, У1 = х — у\/"^А.
1) В случае m1 = m3= ... =тп = 0 при т четном встретится
некоторая неопределенность, обусловливаемая тем, что к иско-
искомой функции U можно будет прибавлять тогда выражение
С(х2 + у2J с произвольною постоянною С.

206 А. M. ЛЯПУНОВ
Пусть
т
и(ти т2, ..., mn)== ^ C^m-ft "" "'^Y**, G5)
где все С означают некоторые постоянные.
Согласно замеченному выше, функция F после под-
подстановки
делается голоморфною относительно величин г, #s в рав-
равной степени для всех вещественных значений 8.
Вследствие этого, если в силу означенной подста-
подстановки
jrr(mi, т2, ..., mfl)_ mn(m1( m2, ..., тпп)
^ т — ' u m >
то всегда найдутся такие положительные постоянные
A, Alt А2, . . ., ^4П, Л/, при которых для всех веществен-
вещественных значений 0 будут выполняться неравенства вида
\r\(mi, то, ..., m М
1 т
Но в силу G5)
тп)
О
Поэтому написанное сейчас неравенство приведет
к такому:
Ш2, ..., тп) ^ М
Отсюда следует, что функция F, будучи преобразо-
преобразована к переменным ? и yj, делается голоморфною относи-
относительно 5, т], ^, #2, ..., хп. Она голоморфна поэтому
и относительно переменных х, у, х19 х2, ..., хп.
Таким образом в случае, когда система D5) допу-
допускает известное периодическое решение, для нее всегда
найдется независящий от t голоморфный интеграл
x* + y* + F(xlt x2, ..., хп, х, у), G6)

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 207
в котором совокупность членов наинизшего измерения
будет х* + у2.
Нетрудно притом убедиться, что если найден какой-
либо интеграл вида G6), то всякий другой не зависящий
от t голоморфный интеграл будет его функцией.
Можно также доказать, что если система D5) допу-
допускает подобный интеграл, то будет допускать и периоди-
периодическое решение, определяемое рядами вида F1).
В этом убедимся, рассматривая систему, выводимую
из D7) исключением переменной г при помощи инте-
интегрального уравнения, доставляемого таким интегралом.
Мы предполагали, что при х = у =?= 0 функции X ш Y
делаются нулями. Но для справедливости сказанного
сейчас такое предположение, конечно, не необходимо.
Далее, говоря о системе D5), вообще не будем более
удерживать этого предположения1).
1) [10] Для невозмущенного движения (для которого с = 0)
задача об устойчивости по отношению к величинам х, </, xs ие
отличается"в сущности от задачи об устойчивости по отношению
к величинам zf zs. Но для периодических движений, о которых
идет здесь речь, эти две задачи вообще различны.
Для этих движений по отношению к величинам х, у, xs
вообще существует только известная условная устойчивость:
они устойчивы для возмущений, не меняющих постоянной вели-
величины интеграла G6). Безусловная же устойчивость по отноше-
отношению к названным величинам имеет для них место лишь в тех
случаях, когда период Т (стр. 189) не зависит от постоянного с,
т. е. когда все числа /г;- суть нули.
Чтобы доказать это, рассматриваем одно из периодических
движений, соответствующее, допустим, уравнениям:
Z = С, Z1 = Z2= . . . =zZn—0, (I)
0=Т+ЬС + ?2С2+ ..., (И)
где
U(t-t0)
Т
а 9и 9z п т- Д- суть известные периодические функции т
(см. стр. 203).
Из соотношений между переменными х, у, xs и z, 0, zs
(стр. 171 и 184) нетрудно заключить, что если с—не нуль, задача
об устойчивости этого движения по отношению к первым пере-
переменным равносильна задаче об устойчивости его по отношению
ко вторым. Поэтому, чтобы рассматриваемое движение, устой-

208 A. M. ЛЯПУНОВ
39. Некоторые частные случаи, в которых суще-
существование периодического решения или голоморфного
интеграла может быть доказано. Из предыдущего
видно, что в занимающем нас случае двух чисто мнимых
чивое по отношению к z, zs, было устойчивым по отношению к х,
у, xs, необходимо и достаточно, чтобы оно было устойчивым
по отношению к 0.
Заметив это, обозначаем вторую часть уравнений (II) бук-
буквой ф и, полагая
0 = ф-К,
составляем дифференциальное уравнение, которому будет удо-
удовлетворять С, в предположении, что для всех возмущенных
движений, с которыми сравнивается рассматриваемое перио-
периодическое, постоянная величина интеграла G6)—та же, что и для
периодического.
Для всех этих движений постоянное с в уравнении F6) будет
тогда иметь ту же величину, как и в уравнениях (I) и (II).
Поэтому, исключая z при помощи уравнения F6), получим
для определения ? уравнение вида:
^ = Z(Zl> а2, .... *„, С, ф), (Ш)
вторая часть которого будет уничтожаться при
z1 = z3= ... zn = 0.
Зде ь Z будет некоторою голоморфною функцией величин
zv z2, ..., zn, ?, в разложении которой коэффициенты будут
периодическими по отношению к ф, и функция эта будет голо-
голоморфною в равной степени для всех вещественных значений ф.
Мы замечаем теперь, что постоянное с всегда можно предпо-
предположить настолько численно малым, чтобы характеристичные
числа функций zs (как функций переменного ft), удовлетворя-
удовлетворяющих уравнениям G0), были все положительными при всяких
начальных значениях этих функций.
Допуская это, обозначим через х какое-либо положительное
число, меньшее всех этих характеристичных чисел.
Затем, принимая t0 за начальное значение t, означим
через z0 начальное значение функции
Тогда, подставляя в функцию Z вместо величин z8 их выра-
выражения в функциях $=:ф + ?, обратим ее в такую функцию т, %
и начальных значений величин zSi которая при достаточно боль-
большом М будет удовлетворять неравенству
| Z |

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 209
корней решение вопроса об устойчивости зависит глав-
главным образом от вопроса о возможности некоторого пе-
периодического решения для системы D5) или, если угод-
угодно, от вопроса, весьма тесно с ним связанного, — о
для всех значений t, больших ?0, для всех значений С, численно
меньших некоторого предела /, и для всех численно достаточно
малых начальных значений функций zs.
Вследствие этого, означая через ?0 начальное значение
функции ? и предполагая | ?01 и z0 достаточно малыми для того,
чтобы выполнялось неравенство
. „ , . МТ
из уравнения (III) выведем, что при всяком t, большем t0, будет
выполняться следующее:
МТ
m<ici+^(i-")
Отсюда заключаем об устойчивости нашего движения по
отношению к ? или, что все равно, —по отношению к д.
Этот вывод получен в предположении, что возмущения
не изменяют величины интеграла G6).
Рассмотрим теперь какие угодно возмущения.
Пусть сг есть постоянное, входящее вместо с в уравнение F6)
для рассматриваемого возмущенного движения.
Пусть далее фх есть то, во что обращается ф после замены с
на cv
В силу доказанного сейчас для безусловной устойчивости
нашего движения по отношению к Ь при \с \ достаточно малом,
очевидно, необходимо и достаточно, чтобы для всякого данного
положительного s при cv достаточно близком к с, для всех
значений t, больших t0, выполнялось неравенство
А этому условию, не предполагая сх= с, очевидно, можно
удовлетворить только в случае, когда Т не зависит от с.
УМзанная выше неточность, выразившаяся в пропуске
слов «по отношению к величинам z, zs», повлекла за собою не-
неправильные обобщения, встречающиеся на стр. 223 (строки
15 — 18) и 226 (примечание), где утверждается, что все пе-
периодические движения, достаточно близкие к невозмущенному,
устойчивы. Так как здесь речь идет об устойчивости по отно-
отношению к величинам х, у, х8 и притом—об устойчивости безу-
безусловной, то утверждать, что имеет место устойчивость, вообще
можно для одного только невозмущенного движения.
14 А. М. Ляпунов

210 A. M. ЛЯПУНОВ
возможности для этой системы не зависящего от t голо-
голоморфного интеграла. Но к сожалению все способы, ко-
которые вообще мы можем предложить для решения этого
последнего вопроса, таковы, что приводят к цели только
в случае, если на него должен получиться отрицатель-
отрицательный ответ. Однако, если нельзя указать общего метода,
который во всех случаях приводил бы к цели, то необ-
необходимо по крайней мере поставить на вид некоторые
частные случаи, в которых решение названного вопроса
упрощается.
Допустим сначала, что функции X и Y не содержат
переменных хи х2у ..., хп.
Вопрос решается тогда вполне исследованием систе-
системы второго порядка
Один из простейших случаев существования для
такой системы не зависящего от t голоморфного инте-
интеграла есть тот, когда функции X и Y удовлетворяют
соотношению
т. е. когда система G7) есть каноническая.
В этом случае удовлетворяющие ей функции х
и у будут периодическими при всяких численно доста-
достаточно малых начальных значениях.
Пуанкаре указал некоторый случай другого рода,
когда функции х и у, определяемые уравнениями G7),
выходят периодическими. Это именно случай, когда при
замене t на—t и у на—у рассматриваемые уравнения
не меняются *).
В периодичности функций х и г/, как показывает
Пуанкаре, легко при этом убедиться a priori. Но и
х) Н. Р о i n с а г ё, Sur les courbes definies par les equations
differenlielles. Journal de mathomatiques, 4 сер., том I, стр. 193.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОЁ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 211
существование голоморфного интеграла при сказанных
условиях легко обнаруживается непосредственно.
Действительно, для того чтобы имел место указан-
указанный сейчас случай, функции X и Y должны быть вида:
где / и ср означают голоморфные функции своих аргу-
аргументов, уничтожающиеся при одновременном равенстве
последних нулю.
Но тогда в уравнении
9 О, у2)
dx" * WO*, У2) '
которое выведем исключением dt из системы G7), вто-
вторая часть будет голоморфною функцией величин х
и у2. А потому, рассматривая у2 как определяемую им
функцию х и называя значение последней, соответст-
соответствующее ж = 0, через с, в силу известной теоремы найдем:
уш = с + ^(х, с), G8)
где <]> будет голоморфною функцией х и с, уничтожаю-
уничтожающеюся при х = 0.
Уравнение G8) и обнаруживает существование ин-
интеграла требуемого характера. Интеграл этот будет
голоморфною функцией величин х и у2.
Вообще для того, чтобы система G7) допускала не за-
зависящий от t интеграл, представляющий голоморфную
функцию х та у2 (или, если угодно, х и х* + у2), необхо-
необходимо и достаточно, чтобы функции X и Y могли быть
представлены под видом:
X = yf(x> У1)+ [-* + /(*. У2)Ь/Н{х, у2),
Y = <р (х, у2) + [U + ? {х, у2)] уН (х, у2),
где /, <р и Н означают некоторые голоморфные функции
х и г/а.
Можно поставить вопрос в несколько более общей
форме. Можно, именно, искать условия, при которых
14*

212 А. М. ЛЯПУНОВ
система G7) допускала бы не зависящий от t интеграл,
представляющий голоморфную функцию величин
ах + by и х2 + у2,
где а и 6—какие-либо вещественные постоянные. Но
на этом случае, который приводится к предыдущему
преобразованием, соответствующим вращению системы
прямоугольных координатных осей в плоскости вокруг
начала координат, останавливаться не будем.
Существуют случаи, когда при X и У, содержащих
переменные xi, х*, . . . , хП1 вопрос приводится тем не
менее к исследованию некоторой системы второго
порядка.
Таков, например, случай, когда
где X' и У суть голоморфные функции только двух
переменных х и г/, a Z—какая угодно голоморфная
функция х, у, хи х2, ..., хп, уничтожающаяся при одно-
одновременном равенстве последних нулю.
При этом все зависит от исследования уравнений
вида:
Таков также случай, когда при каких угодно X и У
все функции Xs в системе D5) вследствие предполо-
предположения
хх = х2 = ... = хп = О
делаются нулями и когда все постоянные as, |BS равны
нулю.
Тогда, если Х@' и У^ суть функции х и г/, в кото-
которые обращаются X и У при равенстве нулю всех xvf

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОВ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 213
то вопрос будет зависеть от исследования уравнений:
Последний из указанных сейчас случаев заключается
в более общем, к которому можно придти, рассматривая
систему уравнений в частных производных
=¦ Psixi + АЛ + • ¦ • + ртяп + asx + Р.У + Xs G9)
(s = l, 2, ..., n),
определяющую величины xi, X2, . . ., xn как функции
переменных хну.
Всякий раз, когда возможно будет удовлетворить
этой системе голоморфными функциями
^i = Л (^»У)» яа = /а(ж,у), ..., xa^fn{xiy) (80)
переменных х и у, уничтожающимися при х — у = 0,
вопрос будет приводиться к исследованию уравнений:
в которых (X) и (Y) означают результаты подстановки
(80) в функции X и Y.
Рассматривая ближе уравнения G9), легко убе-
убеждаемся, что если функции xs искать под видом рядов,
расположенных по целым положительным степеням
х и у и не содержащих постоянных членов, то уравне-
уравнения, которые при этом получатся между коэффициен-
коэффициентами, всегда будут совместны и определенны, позволяя
вычислять эти коэффициенты для членов каждого изме-
измерения по найденным раньше для членов низших изме-
измерений.
Таким образом всегда найдутся ряды указанного
сейчас вида, которые будут формально удовлетворять
системе G9), и такие ряды будут единственными.
Однако было бы ошибочно полагать, что ими всегда
будет определяться некоторое решение системы G9),

214 А. М- ЛЯПУНОВ
ибо весьма возможны случаи, когда ряды эти не будут
сходящимися, как бы малы ни были модули перемен-
переменных х иг/.
Так, например, если предложено уравнение
= — xt + x* + г/2
то формально удовлетворяющий ему ряд
(х* + уГ + 1 -2(х* + уУ + 1 ¦ 2 ¦ 3(
будет расходящимся при всяких отличных от нуля
х и у х).
Вследствие этого указанное приведение не всегда
будет возможно, и для решения вопроса о возможности
его вообще необходимо будет исследование сходимости
названных сейчас рядов.
Но могут встретиться случаи, когда ряды эти будут
конечными, или когда сходимость их известна a priori.
Как на один из случаев первого рода укажем на
тот, когда
X = xU, Y = yU, Xs = xsU (s=l, 2, ..., л),
где U—какая угодно голоморфная функция величин
xi У у xs> уничтожающаяся при одновременном равенстве
их нулю. В этом случае системе G9) очевидно можно
удовлетворить некоторыми линейными функциями пе-
переменных х и ?/.
Заметим притом, что, если U есть целая однородная
функция нечетной степени, то система D5) всегда будет
обладать не зависящим от t голоморфным интегралом.
Укажем еще один из случаев второго рода.
Допустим, что все постоянные as, |3S равны нулю,
и что функции X, У, Xs удовлетворяют следующим
*) Мы рассматриваем этот ряд как двойной, расположен-
расположенный до степеням х и у.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 215
соотношениям:
(-\у+Х)Э-Ь + (\х + Г)Щ* = 0 (S=l,2,...,«), (81)
где частные производные берутся в предположении неза-
независимости переменных х, у, х1} х2У ..., хп.
Тогда, рассматривая уравнения
АЛ + Ps2x2 + • • • + А1А1 + xs = 0 (82)
E=1, 2, ...,Л)
и определяя из них величины ж5 как голоморфные функ-
функции переменных х и у, уничтожающиеся при# = 1/ — О
(каковая задача по свойству коэффициентов psa всегда
будет возможна и вполне определенна), найдем, что эти
голоморфные функции будут удовлетворять уравне-
уравнениям G9).
Действительно, из уравнений (82) в силу (81) вы-
выведем следующие:
(s=l, 2, ..., n).
Из последних вследствие того, что определитель
при достаточно малых |х\ , \у\9 \xs\ не может быть
равен нулю, найдем:
В этом случае, если только названные голоморфные
функции не все тождественно равны нулю, система D5)
всегда будет допускать не зависящий от t голоморфный
интеграл. А в периодическом решении, которым она
будет при этом обладать, все функции х§ выйдут по-
постоянными,

216 А. М. ЛЯПУНОВ
Можно заметить, что если требовать, чтобы условия
(81) выполнялись не непременно тождественно, а только
в силу уравнений (82), то указанный сейчас случай
будет самым общим, в котором система D5) допускает
периодическое решение известного характера с постоян-
постоянными величинами для функций xs.
В последнем случае сходимость рядов, определяе-
определяемых уравнениями G9), совпадала с существованием
известного периодического решения системы D5).
Нетрудно убедиться, что вообще, коль скоро такое
решение возможно для этой системы, названные ряды
при достаточно малых | х | и I у | всегда будут абсолютно
сходящимися.
В самом деле, при сказанном условии система D7)
будет обладать периодическим решением, определяемым
уравнениями D9). Из последних же исключением по-
постоянной с можно будет вывести выражения величин xs
под видом рядов, расположенных по целым положитель-
положительным степеням 7% не содержащих нулевой степени послед-
последнего и обладающих периодическими коэффициентами,
представляющими конечные ряды синусов и косинусов
целых кратностей 0. Рядами этими определяются функ-
функции переменных г и & голоморфные относительно г
в равной степени для всех вещественных значений ft,
и функции эти будут удовлетворять системе уравнений,
представляющей преобразование системы G9) к пере-
переменным г и &. Но легко убедиться, что этой системе
нельзя удовлетворить рядами указанного сейчас ха-
характера, если эти ряды не приводятся к расположен-
расположенным по целым положительным степеням величин г cos &
и rsin& с постоянными коэффициентами. Поэтому рас-
рассматриваемые ряды необходимо должны приводиться
к такому виду. А при этом условии так же, как для
подобного случая в предыдущем параграфе (примечание),
докажем, что ими будут определяться голоморфные
функции величин rcosft и rsinft. Но тогда, после пре-
преобразования к переменным х и у, эти ряды представят
голоморфные функции последних, ибо, если мы имеем
дело с тем случаем, когда функции X и Y прия = ?/ = 0

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 217
делаются нулями, переменные х и у соответственно
равны rcosft и rsin&; если же имеем дело с общим
случаем, переход от одних переменных к другим совер-
совершается при посредстве уравнений
х = г cos 0 + и,
в которых и и v суть рассмотренные в § 33 (стр. 170)
голоморфные функции величин xs, не содержащие чле-
членов ниже второго порядка; а в силу последнего обстоя-
обстоятельства из этих уравнений следует, что, если все xs
суть голоморфные функции величин rcosO и rsinO,
уничтожающиеся при равенстве последних нулю, то
величины rcos& и г sin ft, когда их модули достаточно
малы, суть голоморфные функции х и у, уничтожающие-
уничтожающиеся при х = у = 0.
Таким образом при сделанном допущении находим
голоморфные функции xs переменных х и у, уничто-
уничтожающиеся при равенстве последних нулю и удовлетво-
удовлетворяющие уравнениям G9).
40. Некоторые дополнения. Формулирование руко-
руководящего правила. В случае, когда для системы D5)
нельзя найти периодргческого решения известного типа,
вопрос об устойчивости решается, как мы видели,
знаком некоторой постоянной g.
Для вычисления последней в предыдущем были
указаны два способа, оба приводящиеся к выполнению
тех операций, которые пришлось бы производить при
разыскании названного сейчас решения (§ 34 и § 36,
примечание). Теперь покажем, что к определению той
же постоянной можно придти и путем вычислений,
представляющихся при разыскании для системы D5)
не зависящего от t голоморфного интеграла.
Рассмотрим следующее выражение:
и = х2 + у^ + 1(х17 х2, ..., хл, х, у),
где / означает некоторую целую рациональную функ-
функцию переменных xs, x, г/, не заключающую членов ниже
третьего порядка.

218 А. М. ЛЯПУНОВ
Если в силу уравнений D5) составим производную
dU
г- и разложим ее в ряд по целым положительным сте-
степеням величин х, ?/, ж5, то в ряду этом не будет членов
ниже третьего порядка, а при надлежащем выборе
функция / в нем могут исчезнуть и члены до порядка
более высокого.
Может случиться, что, как бы ни было велико целое
число /с, функцию / возможно подобрать таким обра-
зом, чтобы в разложении j- не встречалось членов
ниже к-то порядка. В этом случае найдется ряд, рас-
расположенный по целым положительным степеням х, у, xs,
формально удовлетворяющий условию интеграла си-
системы D5), и как увидим далее, система эта действи-
действительно будет обладать не зависящим от t голоморфным
интегралом.
Но может случиться также (и это будет общий слу-
случай), что, как бы ни была выбираема функция /, в раз-
разложении -=- нельзя уничтожить всех членов ниже неко-
некоторого определенного порядка.
Допустим, что мы имеем дело с этим последним слу-
случаем, и что функция / подобрана так, чтобы в разложе-
разложении рассматриваемой производной не встречалось чле-
членов до порядка возможно наивысшего.
Тогда совокупность членов наинизшего порядка
в разложении т- необходимо представит форму четной
степени, ибо если бы эта форма, которую обозначим
через F, была нечетной степени 27V+1, то согласно
теореме I § 20 можно было бы найти форму v той же
степени, удовлетворяющую уравнению
5=1

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 219
а прибавляя последнюю к функции /, мы составили бы
новую функцию U', для которой в разложении -т- уни-
уничтожались бы все члены до порядка 2N +1 включи-
включительно.
Допустим поэтому, что степень формы V равна чет-
четному числу 27V.
Степень функции / можно при этом предположить
не выше 27V—- 1. Но если для составления этой функции
рассматривать и члены 2Лт-го порядка, то форму V
всегда можно будет привести к виду
G(x2 + y2)", (83)
где G будет некоторою определенною постоянною.
Действительно, если v означает совокупность чле-
членов 2/V-ro порядка в функции /, a Fo — совокупность чле-
членов того же порядка в разложении выражения
аи dv
dt dt '
то для выполнения указанного приведения форма о
и постоянная G должны быть определены согласно
уравнению
= G(x> + y*)"-V0. (84)
А последнее для вычисления коэффициентов формы v
доставит систему линейных уравнений в числе, равном
числу этих коэффициентов, определитель которой бу-
будет BN —-1)-ым производным от основного определителя
системы D5) в предположении х =0 (см. § 19). Опреде-
Определитель этот будет следовательно нулем, но между
первыми минорами его наидетсяг по крайней мере один,
отличный от нуля. Поэтому из названных уравнений
коэффициенты формы v всегда будут исключаться,
и исключение их приведет к одному только соотношению
между коэффициентами второй части равенства (84),

220 А. М- ЛЯПУНОВ
Это соотношение, необходимое и достаточное для воз-
возможности определения формы v, и доставит, как сейчас
покажем, искомую величину постоянной G.
Чтобы получить названное соотношение, можно исхо-
исходить непосредственно из уравнения (84). Для этого
заменяем в нем величины xs линейными функциями
переменных х и у, удовлетворяющими системе урав-
уравнений
7у~ У "ЙО ^ PslXl + АА + * " + р'"х" +
(* = 1, 2, ...,и)
(такие функции всегда найдутся и будут единственными),
затем делаем x = rcosO, y = rsin$ и, умножая обе
части равенства на r~2Nd$t интегрируем по перемен-
переменной 0 в пределах от 0 до тт. В первой части при этом
получится, очевидно, нуль. Поэтому найденное таким
путем равенство (которое и будет искомым соотно-
соотношением) даст следующую величину для постоянной G:
Таким образом убеждаемся, что при нашем допуще-
допущении функцию / всегда можно подобрать так, чтобы сово-
совокупность членов наинизшего порядка в разложении
dU /г>о\
—т- приводилась к виду (оо).
Покажем, что постоянная G будет притом находить-
находиться в весьма простой зависимости от постоянной g.
Для этого, если мы имели дело с общим случаем
системы D5), переходим к тому, когда функции X и Y
уничтожаются при х~у-=0. Для последнего очевидно
найдется целая функция /, удовлетворяющая преды-
предыдущему условию при тех же N и G.
Рассматривая такую функцию /, в выражении U
делаем х = г cosft, у = rsinO и при помощи уравнений D7)
dU
составляем производную -т*г .

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ВО УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 221
Будем иметь
где Я означает голоморфную функцию переменных
xs, r, разложение которой по целым положительным
степеням последних не содержит членов ниже BN + 1)-го
порядка и обладает периодическими относительно 9
коэффициентами.
Обращаемся теперь к рядам D9).
Если бы мы пожелали продолжить эти ряды до бес-
бесконечности, сохраняя тот тип функций гг, который рас-
рассматривался в § 34 (см. стр. 175), то в случае отсутст-
отсутствия периодического решения постоянными произволь-
произвольными, входящими в функции гг, вообще нельзя было бы
распорядиться так, чтобы ряды эти представляли какое-
либо решение системы D7). Но если надлежащим обра-
образом изменить характер функций и, а именно, сохраняя
для них прежний тип только до порядка т, начиная
с которого они не могут быть периодическими, ввести
условие, чтобы для у. > т не только все гг<», но и все
и^ при & = 0 делались нулями, то рассматриваемыми
рядами при | с | достаточно малом во всяком случае
представится некоторое решение системы D7) по край-
крайней мере для значений 0, не превосходящих известного
предела. Притом \с\ можно будет предположить на-
настолько малым, чтобы названный предел был насколько
угодно велик.
Мы предположим, что этими рядами можно пользо-
пользоваться по крайней мере для всех значений 0, лежащих
между 0 и 27i: включительно.
Условившись в этом, вносим ряды D9) в уравнение
(85). Затем, умножая обе части равенства на d&, инте-
интегрируем в пределах от 0 до 2тс и результаты распола-
располагаем по восходящим степеням с.
Выписывая в каждой части равенства только члены
с наинизшими степенями с, очевидно, найдем:

222 A. M. ЛЯПУНОВ
Отсюда заключаем, что
Таким образом находим искомую зависимость между
постоянными g и G. Вместе с тем получаем и новое дока-
доказательство предложения, что число т всегда будет
нечетным (§ 34, примечание 2).
Из приведенного сейчас анализа следует также, что
если бы мы имели дело с тем случаем, когда функцию /
возможно выбирать так, чтобы в разложении -т— исче-
исчезали все члены до порядка насколько угодно высо-
высокого, то система D5) допускала бы не зависящий от t
голоморфный интеграл, ибо из нашего анализа выте-
вытекает, что в этом случае система D7) необходимо обла-
обладала бы периодическим решением (§ 38, примечаниеI).
В силу доказанного мы можем формулировать теперь
следующее предложение.
Теорема. Пусть определяющее у равнение имеет два
чисто мнимых корня при п остальных с отрицательными
вещественными частями. Дифференциальные уравнения
возмущенного движения приведутся тогда к виду D5).
Означая через f целую рациональную функцию пере-
переменных х, у, х19 х2, ..., хп> не содержащую членов ниже,
третьего порядка, рассмотрим выражение
г) Из изложенного выводится также теорема, на которую
уже было указано в § 38 (стр. 207), и к которой мы еще воз-
возвратимся далее (см. § 44), — теорема, состоящая в том, что
если система D5) обладает не зависящим от t голоморфным
интегралом, то будет обладать также и периодическим реше-
решением известного характера. Действительно, весьма нетрудно
доказать, что если существует какой-либо независящий от t
голоморфный интеграл, то всегда найдется и такой, в котором
совокупность членов наинизгаего порядка будет приводиться
к виду ж2 + у2.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 223
которое представим под видом ряда, расположенного
по целым положительным степеням величин х, у, xs.
Мы встретимся при этом с одним из двух случаев',
или с тем, когда выбором функции / можно распоря-
распоряжаться так, чтобы в этом выражении исчезали все члены
до порядка насколько угодно высокого, или с тем, когда
таким способом можно уничтожить в нем только
члены до некоторого четного порядка 2N невключительно.
В первом случае система D5) будет обладать не за-
зависящим от t голоморфным интегралом. При этом
будет существовать непрерывный ряд периодических
движений, заключающий в себе рассматриваемое не-
невозмущенное движение, и все движения этого ряда,
достаточно близкие к невозмущенному, включая и по-
последнее, будут устойчивыми. Притом всякое возму-
возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущеннс-
му, будет асимптотически приближаться к одному
из движений названного ряда [1г].
Во втором случае интеграла указанного характера
существовать не будет. Но функцию / можно будет
подобрать так, чтобы совокупность членов наинизшего
порядка в рассматриваемом выражении приводилась
к виду
Тогда, если постоянная G окажется положительною,
невозмущенное движение будет неустойчивым. Если шее
она окажется отрицательною, движение это будет
устойчивым, и всякое возмущенное движение, достаточно
близкое к невозмущенному, будет приближаться к нему
асимптотически г).
В заключение покажем, что к определению постоян-
постоянной g можно придти, пользуясь рядами, о которых гово-
говорилось в конце предыдущего параграфа, причем нет
даже надобности, чтобы ряды эти были сходящимися.
*) Заметим, что совершенно аналогичную теорему можно
было бы предложить и для разобранного раньше случая, когда
определяющее уравнение имеет один равный нулю корень.

224 A. M. ЛЯПУНОВ
Для этого замечаем, что постоянная g (если только
может идти о ней речь) определяется только несколь-
несколькими первыми членами в разложениях вторых частей
уравнений D5), так что, если к означает достаточно
большое целое число, постоянная эта может быть
найдена из исследования каких угодно уравнений типа
dx } (86)
(s=l, 2, ...,и),
в которых X's суть голоморфные функции, отличаю-
отличающиеся от функций Xs только членами выше к-го по-
порядка. Но эти последние члены в них всегда можно
подобрать так, чтобы системе уравнений в частных
производных
= pslxx + ps2tx2 + . . . + psnxn + asx + $sy + X's
(s=l, 2,..., n),
удовлетворяли целые рациональные функции
xi =-• Ь (х> У)> х2 = ср2 (х, у), ..., хп = срп (х, у), (87)
уничтожающиеся при х = у = 0 и не содержащие членов
выше А-ой степени. Тогда, по замеченному в предыдущем
параграфе, вопрос приведется к исследованию урав-
уравнений
выводимых из (86) заменою величин xs функциями (87),
а эти функции представят совокупности членов не выше
к-го порядка в рядах, определяемых уравнениями G9).
Таким образом для определения постоянной g
можно трактовать уравнения, в которые обращаются
два первых уравнения системы D5) после замены в них
величин xs названными сейчас рядами, составленными
до членов достаточно высокого порядка.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 225
На основании изложенного, мы можем руководство-
руководствоваться при решении нашего вопроса следующим пра-
правилом:
Преобразовав дифференциальные уравнения возму-
возмущенного движения к виду D5), составляем систему
уравнений в частных производных G9), определяющую
величины xs как функции независимых переменных х и у.
Затем вводим новые независимые переменные г и Ь,
полагая г)
ж = гсозв, \
, ) (88>
и стараемся удовлетворить этой системе рядами, рас-
расположенными по восходящим целым положительным
степеням г, не содержащими нулевой степени послед-
последнего и обладающими периодическими относительно &
коэффициентами с общим периодом 2тг (такие ряды
всегда найдутся и будут единственными).
Обращаясь затем к уравнению
dr г (X cos 0 + Г sin ft)
db \r-i-Y cos Ъ — Х sin 0 '
следующему в силу подстановки (88) из двух первых урав-
уравнений системы D5), представляем вторую часть его
под видом
1 /лг а I т/ • о\ (л , X Sin О —Г COS 0 ,
у (X cos 0 -f У sm Ь) <1 Н ^ Ь
— Г cos fly
где функции X и Y заменяем их разложениями по вос-
восходящим степеням г, xs. Затем величины xs заменяем
названными выше рядами и, поступая так, как если бы
последние были абсолютно сходящимися, результат
J) Само собою разумеется, что эти переменные вообще
будут отличными от тех, которые были означаемы теми же
буквами в предыдущих параграфах.
15 А. М. Ляпунов

226 A. M. ЛЯПУНОВ
представляем под видом ряда
расположенного по восходящим целым положительным
степеням г (все коэффициенты R будут периодиче-
периодическими функциями & с общим периодом 2тс).
Наконец, означая через с произвольную постоянную,
составляем не зависящие от нее функции Ъ
u2i uzi в4,..., (89)
определяемые условием, чтобы при каком угодно целом
положительном к в выражении
db 2 3 " ' " к
после подстановки
исчезали все члены, содержащие с в степенях ниже
(k+i)-ou. Функции эти последовательно составляем
до тех пор, пока не встретим непериодическую, и если
первая непериодическая между ними есть ит (число т
должно быть для этого нечетным), то функция эта
будет вида
где g означает постоянную, a v — периодическую функ-
функцию \ Тогда, если к—число положительное, то при
g > 0 невозмущенное движение будет неустойчивым,
а при g < 0 устойчивым.
Примечание. Может случиться, что в ряду (89),
как бы далеко он ни был продолжаем, все функции
будут периодическими. Предыдущее правило тогда не
приведет к цели. Но если будет доказано, что имеет
место такой случай, то из этого будет следовать, что
невозмущенное движение устойчиво, и что оно при-
принадлежит к непрерывному ряду периодических движе-
движений, в котором все движения, достаточно к нему близ-
близкие, также устойчивы [12],

общая Задача об устойчивости движения 227
41. Примеры. Разберем несколько примеров.
Пример 1. Дифференциальные уравнения возмущен-
возмущенного движения приводятся к одному следующего вида:
'<№~*~х~ а \dt J if \dtj J '
1де а—какая-либо постоянная, п—целое положительное
число и F—голоморфная функция своих аргументов,
не содержащая членов ниже второго порядка относи-
относительно величин х и -^. Исследуем устойчивость невоз-
невозмущенного движения (х = 0) по отношению к этим по-
последним величинам.
Пусть, делая
х =- г sin В, -г- = г cos bt
at
выводим из нашего уравнения следующее:
d?=R2r* + Rar*+..., (90)
где все R означают функции одного &.
Тогда из функций
очевидно, ни одна не будет зависеть от постоянной а
(в предположении, что функция F не зависит от а).
А потому, если для уравнения (90) будем искать реше-
решение под видом ряда
г = с + щс2 + и3с3 + ...,
расположенного по восходящим степеням произволь-
произвольной постоянной с, то все функции
(91)
можем считать также от а не зависящими.
Но если бы а было нулем, предложенное уравнение
допускало бы, как нетрудно видеть, не зависящий от t
голоморфный интеграл (см. стр. 211).
15*

228 A. M. ЛЯПУНОВ
Поэтому функции (91) все будут периодическими,
и следовательно, если а не нуль, постоянная g найдется
по формуле
Отсюда заключаем, что при а > О невозмущенное
движение неустойчиво, а при а< 0 —устойчиво.
Пример 2. Пусть предложенные дифференциаль-
дифференциальные уравнения возмущенного движения суть следу-
следующие:
dx , dy dz 2 , 2 о
- + y = nxz, ft-x= -nyz, Tt + z = x2 + y2-2xyz,
где n—постоянная.
Делая x — r cos &, у — r sin О и принимая за независи-
независимую переменную &, из этих уравнений выводим
dr nrz cos 20 = nrz 2Н у , cog 2Q . 2Ь
.* 2 • on .
= — z + г2 — rcz2 sin 2& +
db 1 — nz sin 20-
с?2 — z-Ь г2 — г22 sin 20
jk = —г1- г—^—
db 1 — nz sm 20
где в разложениях выписаны все члены не выше треть-
третьего порядка.
Поступаем затем, как в § 34.
Так как полученные уравнения при замене г через
—г не меняются, то в соответствующие им ряды типа D9)
можно не вводить для г четных, а для z нечетных сте-
степеней постоянной с.
Полагаем поэтому
г = с + щс* + и5с5 + • • •»
Z = 1\С2 + У4С4 + . . . ,
где все и и о суть не зависящие от с функции &.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 229
Для вычисления последних получаем следующие
уравнения:
^ + ь\ = 2и3 + (л — 1) и 2 sin 2& — иу* sin 2&,
^ = п (и4 + у2гг3) cos 2& + гс2г* cos 2& sin 2&,
Из этих уравнений трем первым удовлетворим,
делая
v2 = 1, м3 = -^ sin 20, v4 = ^- (sin 2& — 2 cos 2&),
после чего из четвертого найдем функцию иь, которая
кроме периодических членов будет заключать в себе
следующий:
5 *и
Поэтому, если п (п—1) не нуль, будем иметь
Если :ке п (п—1) = 0, предложенные дифференциаль-
дифференциальные уравнения будут обладать периодическим решением.
Действительно, для п~ 0 это очевидно, а для тг~1
обнаруживается тем, что тогда вторые части этих урав-
уравнений, которые обозначим соответственно через X,
У, Z, будут удовлетворять соотношению
Мы встретимся, следовательно, со случаем, указан-
указанным в § 39 (стр. 214—215).
Таким образом окончательно приходим к выводу,
что при п (п—1) > 0 невозмущенное движение устойчиво,
а при п(п— 1) < 0- неустойчиво.

230 А- М- ЛЯПУНОВ
Пример 3. Даны уравнения
в которых к означает положительную, ак,ри у—какие
угодно вещественные постоянные.
Поступая, как было указано в § 36 (примечание),
делаем
t = to + (i + v2+...h.
Затем, замечая, что вследствие замены х через—х
и у через — у предложенные уравнения не меняются,
полагаем
X = С COS X + ?3С3 + ?6С5 + . . . ,
у = с sin т + г/3с3 + г//5 + . .. ,
Z = 22С8 + 24С4 + . , . ,
разумея под #s, ys, zs не зависящие от с функции т.
Из этих функций z2, x3 и у3 определятся следую-
следующими уравнениями:
37 +А22= у sin 2т,
3 + г/3 = — A2sin т + az2 sin x,
-J^ — ж3 = /г2 cos х + pz2 cos т.
Для первого находим периодическое решение
которое подставляем во вторые части двух остальных.
Затем, обозначая последние для второго уравнения
через Р и для третьего через Q, составляем выражение
Это выражение, если оно не нуль, и представит до-
достоянную g (стр. 192).

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 231
Поэтому, замечая, что из двух случаев у = О и
а + р = 0, когда оно делается нулем, в первом предло-
предложенная система уравнений допускает периодическое
решение
во втором—интеграл
заключаем, что при (а + |В)у > 0 невозмущенное движе-
ние неустойчиво, а при (а + Р)Т< 0 — устойчиво.
Пример 4. Пусть даны уравнения
? — 3y + z)z,
в которых \ означает какую угодно отличную от нуля
вещественную постоянную.
Обозначая через / форму третьей степени перемен-
переменных ху у, z, определяем ее из условия, чтобы производ-
производная по t от функции
составленная при посредстве наших дифференциальных
уравнений, не содержала членов третьего порядка.
Эту форму получаем из уравнения
под видом
При этом находим:
?g = ilLz^i) {я* + у») {2х - y)z. (92)
Заменяем здесь z линейным решением
7- A—Я
г + Я2

232 A. M. ЛЯПУНОВ
уравнения
затем делаем x = rcosb, у—г shift и, означая через В
функцию переменной 0, в которую обращается резуль-
результат по разделении на ?л, составляем величину
f й г/а' 2A-ЗА)*
j ∫»= ХA+Я1) .
О
Если эта величина не равна нулю, то ею определяет-
определяется постоянная G (стр. 219). Нулем же она может сде-
1 А
латься только в случае л = —. А тогда, как видно из
(92), функция U будет интегралом предложенной си-
системы уравнений.
Вследствие этого полученное выражение позволяет
, . 1
заключить, что при к отрицательном и при X— —
о
невозмущенное движение устойчиво, а при X поло-
1
жительном, отличном от -^ , неустойчиво.
Пример 5. Дифференциальные уравнения возмущен-
возмущенного движения даны под видом:
d2x . dz 7
где п — целое число, большее 1, к — положительная
и а —какая угодно отличная от нуля вещественная
постоянная. Исследуем устойчивость невозмущенного
движения (x = z = 0) по отношению к величинам х,
dx
df й z'
Поступаем по правилу, изложенному в конце пре-
предыдущего параграфа.
Делая — = х', рассматриваем уравнение в частных
производных
, uz dz j Oz
dx dx ' dx

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 233
которое вследствие подстановки #' = rcos&, ? =
приводится к виду:
6'Z 7 • с\ г, f a &Z Sill
+kz rsmbaz" (oosb ^
Этому уравнению можем удовлетворить но крайней
мере формально, подставляя вместо z ряд
воГ + в^ + в^-Ч ..., (93)
расположенный по степеням г, возрастающим на п— 1,
с периодическими относительно & коэффициентами 0О,
вх и т. д., определяемыми последовательно при помощи
дифференциальных уравнений, которые легко соста-
составить. Так, коэффициенты в0 и 6Х найдутся из урав-
уравнений
и, следовательно, будут
-00
Обращаемся теперь к первому из предложенных
дифференциальных уравнений и, делая прежнюю под-
подстановку, выводим из него следующее:
dr azn cos d
1 — a — sin 0
г
Вторую часть этого уравнения представляем под
видом ряда
azn cos & + а2 — sin 9 cos & + . . .,
и заменяя в последнем z рядом (93), результат распола-
располагаем по восходящим степеням г.

234 A. M. ЛЯПУНОВ
Таким образом получаем ряд
в котором степени г возрастают на п — 1 и коэффици-
коэффициенты Д суть определенные периодические функции 8:
Rn = авп0 cos 8, Я2П_! = а2воп sin 8 cos 8 + naQ"~^cos »,
и т. д.
Рассматривая теперь выражение
и означая через с произвольную постоянную, а через
Щи w2n-i—не зависящие от нее функции 8, делаем в него
подстановку
и в результате приравниваем нулю коэффициенты при
п-оя и Bп—1)-ой степенях с.
Таким путем получаем уравнения
из которых первое дает
ип = а \ в" cos 8d8 + const.
Если же введем угол г, определяемый равенствами
к 1
sin з = '¦^-_~ cos з =
то будем иметь

ОБЩАЯ ЗАД \ЛА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 235
Тогда выражение функции ип приведется к виду
ZT cosn+1 (» + e) [ + const.
Отсюда видно, что, если п—число нечетное, функ-
функция ип будет заключать в себе вековой член, и постоян-
постоянная g найдется по формуле
Постоянная эта будет, следовательно, противопо-
противоположного знака с а.
Если же п—число четное, функция ип будет периоди-
периодическою. Тогда, как видно из (94), постоянная g будет
определяться равенством
2т*
если только входящий в него интеграл не нуль.
Покажем, что интеграл этот никогда не сделается
нулем и что притом он будет отрицательным.
Для этого преобразуем надлежащим образом его
выражение
2п 2-я 2тс
^ R2n-idb = a2 \ в20п sin8cosШ + па
6 о
Пользуясь опять углом з и замечая, что в случае
четного п
~1Г J

236 A. M. ЛЯПУНОВ
получаем:
о
= — (к2 ,a1)W+i\ e~k*cosnMft ^ в*? cos" ?efcp —
6 -со
— П2 'a.Wtl \ е"fcd cosn~х & sin (Ш \ ел? соь'1
О -со
Но, вводя для сокращения обозначение
2те Ь
О -со
интегрированием по частям находим:
п[е-к* cos"-1» sin МЬ \ ек* cosn <fd<t = [ cos2/l Ml) —
О -со О
Вследствие этого, замечая, что
( i
I 0 0 J
окончательно приходим к равенству
4*ft ^ 2.4.6...Bп + 2) j "
О
Из этого равенства и следует справедливость ска-
сказанного выше, ибо величина, находящаяся в скобках
во второй его части, во всяком случае менее
U__ 1 • 3 • 5...Bя-Ц)
4те~~ 2 • 4 • 6... Bл+ 2)

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 237
(/ величина положительная); а так как kJ, очевидно,
менее интеграла
О
то эта величина менее следующей:
1 . 3 . 5... Q- 1) Г 1 0+1H + 3) ,..Bи+1)
Г 1_ 0
\Y"" О
2 . 4 -6...Л ' \Y"" О+ 2) О+ 4)...B/1 +
которая наверно отрицательна.
Таким образом при п четном постоянная g будет
всегда отрицательною.
Мы приходим, следовательно, к выводу, что в случае
нечетного п невозмущенное движение устойчиво при а
положительном и неустойчиво при а отрицательном,
а в случае четного п всегда устойчиво.
Пример 6, Пусть при прежнем значении постоянных
дифференциальные уравнения возмущенного движения
предложены под видом:
d*x i п dz j h dx
Идя совершенно таким же путем, как и в предыду-
предыдущем примере, найдем: в случае нечетного п
а в случае четного
1) n + lkJ\
2) 2 2TC[
где / имеет прежнее значение.
В первом случае постоянная g будет, следователь-
следовательно, обладать знаком постоянной а. Во втором знак ее
от а не зависит. Покажем, что она будет тогда отрица-
отрицательною.

238 A. M. ЛЯПУНОВ
Для этой цели прежде всего докажем, что kj есть
возрастающая функция к.
Это легко докажется при помощи формулы при-
приведения, дающей зависимость между двумя /: со-
соответствующими значениям п, разнящимся на две
единицы.
Названную формулу выведем посредством интегри-
интегрирования по частям, и если / как функцию числа п
означим через /„, то она будет следующею:
. (96)
( о
Формула эта легко приводится к виду
,(97)
и тогда становится ясным, что если для m=w—2 вы-
выполняется неравенство
то последнее будет выполняться и для т — п.
Но из (97) непосредственно видно, что это нера-
неравенство справедливо в случае т/г==2. Оно будет
поэтому справедливо и для всякого большего 2 чет-
четного т.
Принимая в расчет указанное неравенство, из урав-
уравнения (97) заключаем, что, если А"/л-2 есть возрастаю-

ОЁЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 239
щая функция А, то такою же будет и kjn. Поэтому, за-
замечая, что функция
3 1
возрастает с возрастанием &, убеждаемся, что Ып обла-
обладает тем же свойством по крайней мере для всякого
большего 2 четного п ').
Доказавши, что Ып или, при нашем прежнем обозна-
обозначении, kJ есть возрастающая функция к, мы получим
для нее низший предел, делая в ней & = 0. Этот предел
найдется из формулы (96) и будет следующий:
V
)
Обращаясь теперь к формуле (95), заменяем в ней
Ы найденным низшим пределом. Тогда выражение,
стоящее в скобках, обратится в следующее:
1 • 3- 5...0-1) Г(л + 1)(п + 3)...Bп + 1)
2 • 4
. 6...
последнее,
1 1-3
2 2-
. 5...
4 • 6
п \ (п + 2)
приводясь
(тг -1) fGi-f
...i» 1 (г
(тг
К
¦з)
i +
+ 4) ... 0
71 + 1
2
виду
(/г+ 5)..
2) (тг+ 4;
3-5.
2 •
1
+-2)
. з.
2 •
.Bтг +
7,
4 •
. 2тг
...(
6..
5 ...
4 • 6 .
1)
71 + 1)
. тг
(n-i)
. . п
\
Г '
1
1 •
очевидно отрицательно.
Поэтому величина g, определяемая формулой (95),
и подавно будет отрицательною.
х) Указанные здесь свойства функции Jn можно было бы
распространить, если бы в том была надобность, и на нечет-
нечетные значения п.

240 A. M. ЛЯПУНОВ
Таким образом окончательно приходим к заключе-
заключению, что в случае нечетного п невозмущенное движение
устойчиво, если а отрицательно, и неустойчиво, если а
положительно; в случае же четного га—всегда устойчиво.
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
42. Доказательство сходимости некоторых перио-
периодических рядов, формально удовлетворяющих диф-
дифференциальным уравнениям. Мы видели, что всякий
раз, когда возможно найти периодические ряды из-
известного типа, которые формально удовлетворяли бы
системе D5) последняя действительно допускает перио-
периодическое решение, представляемое такими рядами.
Доказательство этого предложения основывалось
на допущении, что все корни определяющего уравнения
системы D5), за исключением двух, обладают отрица-
отрицательными вещественными частями. Но допущение это
несущественно, и названное предложение легко обоб-
обобщить, рассматривая какую угодно систему, для которой
определяющее уравнение имеет по крайней мере одну
пару чисто мнимых корней.
Покажем, как это можно сделать, ограничиваясь
тем случаем, когда между чисто мнимыми корнями опре-
определяющего уравнения находятся простые
Х/31, _х/—Г, (98)
целые кратности которых не суть его корни, и когда
уравнение это не имеет равных нулю корней.
Допуская, что данная система дифференциальных
уравнений удовлетворяет этим предположениям, и
пользуясь известною линейною подстановкой с постоян-
постоянными коэффициентами, преобразовываем ее к виду D5).
Притом для упрощения дальнейших рассуждений на-
названную подстановку выбираем так, чтобы все постоян-
постоянные, играющие роль as, 3S> были нулями. Это всегда

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ
241
возможно при сделанном допущении, что корни (98)
суть простые.
Таким образом преобразованная система будет вида
^ — о х 4-d x 4- 4- d x 4-Х > (99)
(e = l, 2, ...,n)
при том же характере функций, означенных через
X, У, Zs, как и в системе D5), но с более общими коэф-
коэффициентами pSQ, относительно которых здесь предпо-
предполагается только, что уравнение
Рп— *
= 0
Pni • • • Рпп "''
не имеет корней вида m\}f —1, соответствующих дей-
действительным целым значениям т, включая и нуль.
Делаем теперь подстановку
и из системы (99) выводим дифференциальные уравне-
уравнения, определяющие величины г, zl, z2,..., zn как функции
переменной &.
Полагая
?SJ=^I (S, e=l, 2, ...,л)
и обозначая через срА, ср2, ..., срл некоторые квадратичные
формы величин sin & и cos 0, можем представить эти
уравнения под видом
% ^ z2 + • • • + qtnzn + <?sr + Zs A00)
где R, Zs суть функции переменных z19 z2, ..., zn, r, &,
легко выводимые из функций X, У, Xs и представляе-
представляемые, при разложении по степеням величин i\ zs, рядами,
не содержащими членов ниже второго порядка, е перио-
16 А. М. Ляпунов

242 A. M. ЛЯПУНОВ
дическими относительно & коэффициентами [по отно-
отношению к сходимости ряды эти такого же характера,
как и разложения функций Qs в уравнениях D7)].
Будем теперь трактовать уравнения A00) подобно
тому, как мы трактовали уравнения D7) в §§ 34 и 35.
Разыскивая для системы A00) решение под видом
рядов
+... v A01)
(s = l, 2. ..., /г), j
расположенных по восходящим степеням произволь-
произвольной постоянной с, с периодическими относительно &
коэффициентами и, получим для определения послед-
последних системы дифференциальных уравнений такого же
характера, как и в случае, рассмотренном в указанных
параграфах, и когда задача наша возможна, эти системы
дадут искомые коэффициенты под видом конечных рядов
синусов и косинусов целых кратностеи & в той же после-
последовательности, как и в названном сейчас случае. При
этом каково бы ни было /, разыскание коэффициентов
u[l\ uV\ ..., и^\ после определения всех предше-
предшествующих им, попрежнему не представит затруднений,
ибо определяющее уравнение
=0 A02)
системы линейных дифференциальных уравнений, от
которой зависят эти коэффициенты, при сделанных
допущениях не имеет ни равных нулю корней, ни кор-
корней, которые представляли бы целые кратности у —1.
Возможность нашей задачи поэтому попрежнему будет
обусловливаться тем, чтобы каждая из периодических
функций, к интегрированию которой приведется опре-
определение какого-либо из коэффициентов и<]\ при раз-
разложении в ряд синусов и косинусов целых кратностеи &
давала только члены, зависящие от 1>.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 243
Допустим, что это условие действительно выпол-
выполняется, и предполагая попрежнему, что вычисление
рассматриваемых коэффициентов ведется так, чтобы
все и(]) при 0 = 0 делались нулями, исследуем сходи-
сходимость рядов A01).
С этою целью рассмотрим такие же линейные преоб-
преобразования последних, какие для рядов D9) рассматри-
рассматривались в § 35.
Вопрос приведется таким образом к исследованию
рядов A01), составленных в предположении, что все
коэффициенты длв1 которые не заключаются в группе
Ян ==^lf 0.22 ~ ^2' • • ' J Я.ПП == ^П9
суть нули.
Рассматривая эти ряды, допустим, что в них все
коэффициенты и^\ и^\ для которых i < I, уже изве-
известны. Тогда для определения коэффициентов ^1\
и(р получим уравнения
up,
(/= 2, 3, ..., п),
в которых известные члены и^1\Щ1^ будут функциями
такого же характера, как и в системе ненумерованных
уравнений на стр. 181.
Первое из этих уравнений даст
о
Но для получения периодических решений осталь-
остальных здесь уже нельзя будет пользоваться формулами
вида E3), ибо последние возможны только в предполо-
предположении, что вещественные части всех ks отличны от нуля
и притом отрицательны.
16*

244 A. M« ЛЯПУНОВ
Чтобы получить соответствующие формулы для рас-
рассматриваемого случая, мы замечаем, что вообще перио-
периодическое решение уравнения
da г п\
и+ /()
в котором я есть отличная от нуля постоянная, а / (&)—
периодическая функция & с периодом со, находится по
формуле
с V
если только хсо не представляет целой кратности
При со = 2тг и х — 7*s последнее условие выполняется,
ибо величины xs суть корни уравнения A02).
Поэтому для вычисления коэффициентов и^ можно
воспользоваться формулами:
и\ =-
ь
(/=2, 3, .... в).
Положим
cos
разумея под Xs, ^ вещественные числа и считая радикал
в выражении \)s полояштельным. В случае Xs = 0 под
ps будем разуметь предел
I Sin

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 245
к которому приближается его выражение при \s, стре-
стремящемся к нулю.
При наших предположениях все ps будут во всяком
случае отличными от нуля.
Означим затем через w^, v^ высшие пределы моду-
модулей функций гг('), vtp для всех вещественных значении О,
а через as—такие же пределы модулей функций cps.
Тогда, если под Vj/) будем разуметь постоянные,
выводящиеся из функций U[l\ как было указано
в § 35, то согласно нашим формулам можно будет
принять
Щ =-~zr.
\е I — 1| ^
\е I — 1| ^
(/ = 2, 3 п).
Таким образом получим уравнения
(/ = 2, 3, ..., л),
в которых У(*>, У^^ будут зависеть только от тех v(l),
v(j\ для которых i < /. Уравнениями этими можно будет
пользоваться для всякого /, большего 1. Притом можно
будет принять
^0 ^Hsy-il^-i + a/ (У =2, 3, ..., п),
и тогда они дадут возможность найти всякую из посто-
постоянных V.
Дальнейший ход рассуждений будет тот же, как
и в § 35.
Таким образом докажем, что при сделанных предпо-
предположениях и при | с\ достаточно малом ряды A01) будут

246 A. M. ЛЯПУНОВ
абсолютно сходящимися, каково бы ни было веществен-
вещественное &, и что ряды модулей их членов будут сходящи-
сходящимися в равной степени для всех вещественных значений
последнего.
Предыдущий анализ с соответствующими изменения-
изменениями легко распространяется и на комплексные значе-
значения &, для которых числовые величины коэффициента
при [/"—1 не превосходят какого-либо данного предела.
Мы можем поэтому воспользоваться рассуждениями
§ 36 для того, чтобы из периодического решения системы
A00), определяемого рассмотренными сейчас рядами,
вывести такое же решение для системы (99).
Последнее представится рядами вида F1) и будет
заключать в себе две постоянных произвольных:
с, которую мы рассматривали выше, и t0, которая вой-
войдет вместе с t в комбинации t—10. Первая из этих
постоянных войдет также и в выражение
его периода (соответствующего переменной t), который
будет голоморфною функцией с.
Для непосредственного составления рядов, выра-
выражающих это периодическое решение, если угодно,
можно воспользоваться методой, изложенной в приме-
примечании в § 36.
Укажем некоторые обстоятельства, характеризую-
характеризующие это решение.
43. Определение периодических решений зада-
заданием начальных значений неизвестных функций.
Введение этих значений в качестве постоянных
произвольных. Рассмотрим систему уравнений в част-
частных производных.
(-Ху + X) g+ (>.* +У) ^ =
= РЛ%1 + Р^Х* + ¦ • ¦ + РзлХп + Х$ A03)
(s = l, 2,..., п),
подобную той, с которою мы имели дело в § 39.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 247
Легко убедиться, что при наших предположениях
относительно коэффициентов psa, как и в случае, рас-
рассмотренном в указанном сейчас параграфе, этой системе
всегда можно формально удовлетворить рядами, распо-
расположенными по целым положительным степеням вели-
величин х и 2/, без постоянных членов1), и что такие ряды
будут единственными.
Если же остановимся на предположении, что для
системы (99) может быть найдено указанное выше пе-
периодическое решение, то так же, как и в § 39, докажем,
ч.о эти ряды при достаточно малых \х\ и \у\ будут
абсолютно сходящимися, представляя голоморфные
функции переменных х ш у, действительно удовлетво-
удовлетворяющие системе A03), и что приравнивая величины xs
этим функциям, получим результат исключения по-
постоянных с и t0 из уравнений, выражающих периодиче-
периодическое решение.
Это решение характеризуется, следовательно, тем,
чго для него величины xs суть вполне определенные
голоморфные функции величин х и у.
Что же касается этих последних как функций пере-
переменной t, то они находятся как общие величины х ш у,
удовлетворяющие системе
%=-ly + (X), d? = lx + (Y), A04)
выводимой из двух первых уравнений системы (99)
заменою величин xs названными голоморфными функ-
функциями.
Поэтому, если пожелаем рассматривать начальные
значения функций х, у, xlt x2f ..., хПу то, называя их
соответственно через а, 6, alt а2, ..., аП1 можем вполне
охарактеризовать наше периодическое решение усло-
условием, чтобы все as были голоморфными функциями
величин а и Ь, уничтожающимися при а = 6 = 0 и удо-
удовлетворяющими системе частных дифференциальных
х) В рассматриваемом случае в этих рядах, очевидно, ке
будет и членов первого порядка.

248 A. M. ЛЯПУНОВ
уравнений, выводимой из A03) заменой величин х, у>
х1У х2, ..., хп величинами а, 6, а1У а2, ..., ап.
Посмотрим, к какому виду приведутся ряды, пред-
представляющие это решение, если вместо постоянных с
и t0 в них ввести постоянные а и Ь.
Прежде всего покажем, что период Т будет голоморф-
голоморфною функцией а и 6.
С этой целью воспользуемся уже известным нам
предложением, в силу которого, при рассматриваемых
здесь условиях, система A04) будет обладать не зави-
зависящим от t голоморфным интегралом.
Так как последний всегда может быть выбран так,
чтобы в нем совокупность членов наинизшего порядка
приводилась к виду х2 + у2, то, рассматривая такой
интеграл и обозначая через С постоянную произволь-
произвольную, получим уравнение
в котором F будет голоморфною функцией х и у, не за-
заключающей в себе членов ниже третьего порядка.
Делая в этом уравнении # = 7'cos0, 2/ = 7*sin&, вы*
ведем из него следующее:
г* + F (r cos &, r sin 0) = С\ A05)
А последнее, если в нем г будем рассматривать как
неизвестную, а 0 как данную величину, будет обладать
двумя только решениями, удовлетворяющими требова-
требованию, чтобы выбором достаточно малого | С \ модуль г
можно было сделать насколько угодно малым, и реше-
решения эти, голоморфные относительно С, при разложении
по восходящим степеням его представятся общей форму-
формулой вида:
-Здесь все коэффициенты и будут периодическими
функциями &, притом такими, что при замене & через
& + тс все и(т\ соответствующие четным т, будут приоб-
приобретать прежние значения с противоположными знаками,

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 249
а соответствующие нечетным вовсе йе будут .меняться.
В этом убедимся, замечая, что уравнение A05) при за-
замене г через —г и & через & + тс не меняется.
Вследствие этого каждое из рассматриваемых реше-
решений после замены С через —С и & через & + л будет
давать для г прежнее значение с противоположным
знаком. А отсюда следует, что если, пользуясь которым-
либо из них, вторую часть уравнения
М ~~ %г + (Г) cos Ь — (X) sin Ь
выразим в функции г% то последняя при указанной
замене не будет меняться.
Поэтому интеграл
rjib
) lr+(Y)cosb— (X)sinb
о
выражающий период Т, не будет меняться при замене С
через —С, и следовательно, период Г, который будет
голоморфною функцией С, представится рядом
содержащим только четные степени последней.
Но квадрат постоянной С, в силу самого ее значе-
значения, представляет голоморфную функцию а и Ь. По-
Поэтому таков же будет по отношению к ним и период Т.
Установив это, мы замечаем теперь, что если Т (а, 6)
есть обозначение периода Т как функции а и 6, то
Т (х, у) необходимо будет интегралом системы A04).
Поэтому, если сделаем
и величины х и у, удовлетворяющие системе A04),
будем рассматривать как функции переменной т, то
функции эти при всяких начальных значениях, модули
которых достаточно малы, будут относительно т перио-
периодическими с периодом 2тг,

250 A. M. ЛЯПУНОВ
Эти функции будут удовлетворять притом уравне-
уравнениям
A06)
вторые части которых относительно х и у голоморфны.
Вследствие этого, если модули их начальных зна-
значений а и Ь достаточно малы, функции эти будут пред-
представляться рядами, расположенными по целым поло-
положительным степеням а и Ь, для всех значений т, не
выходящих из заранее поставленных границ. А так
как названные ряды при всяких а и 6, модули которых
достаточно малы, должны давать периодические функ-
функции О- с периодом, не зависящим от а и 6, то коэффи-
коэффициенты в них необходимо сами должны быть периоди-
периодическими. По свойству же уравнений A06), эти коэф-
коэффициенты должны быть для этого конечными рядами
синусов и косинусов целых кратностей т.
Таким образом, совершенно независимо от перво-
первоначальных выражений функций х и у через постоянные
с ш t0 можем установить, что если в наше периодиче-
периодическое решение в качестве постоянных произвольных
ввести а и 6, то оно представится рядами, расположен-
расположенными по целым положительным степеням последних,
в которых коэффициенты будут суммами конечного
числа периодических членов, представляющих произ-
произведения постоянных на синусы и косинусы целых
кратностей
2nt
и что рядами этими, если в них рассматривать х как не за-
зависящий от а и 6 параметр, будут определяться голо-
голоморфные функции а и 6 в равной степени для всех веще-
вещественных значений т.
Едва ли нужно прибавлять, что когда коэффициенты
в уравнениях (99) и постоянные а, 6 суть вещественные
величины, период Т будет таким же, и что при тех же
условиях указанные сейчас ряды будут давать веще-
вещественные значения для искомых функций для всякого

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 251
вещественного t, если таково начальное значение
последнего.
Примечание. Если для постоянных а и 6 рассматри-
рассматривать и мнимые значения, то в нашем периодическом
решении будут заключаться два, зависящие каждсе
только от одной постоянной произвольной и заме-
замечательные тем, что для них периодом служит неизмен-
неизменная величина ~ . Решения эти получим, если между
величинами а.ж Ъ установим зависимость
которая дает возможность каждую из них выразить
двояким образом как голоморфную функцию другой.
Эти решения можно определить, конечно, и незави-
независимо от нашего. Притом даже существование послед-
последнего для них не необходимо, ибо они могут быть найдены
всякий раз, когда уравнения (99) удовлетворяют пред-
предположениям, сделанным в начале предыдущего пара-
параграфа.
Говоря далее о периодических решениях, будем под-
подразумевать, что речь идет о решениях рассмотренного
выше типа с двумя постоянными произвольными.
44. Случай существования голоморфного инте-
интеграла. Возьмем опять систему (99) при прежних пред-
предположениях относительно коэффициентов pS3.
Допустим, что для этой системы найден не завися-
зависящий от t голоморфный интеграл, и что в нем совокуп-
совокупность членов второго порядка зависит от х и у.
Принимая в расчет, что последние в члены первого
порядка входят только в двух первых уравнениях си-
системы (99), при наших предположениях легко докажем,
что в эту совокупность они могут войти только под
видом комбинации х2-\-у2.
Мы должны поэтому допустить, что интеграл наш
умножением на постоянную приводится к следующему
виду:
я2 + у2 + F (х19 xv . .' , жп, х,у),

252 A. M. ЛЯПУНОВ
где F означает голоморфную функцию переменных
xs> x> У> разложение которой не содержит членов ниже
второго порядка, а в членах второго порядка, если
таковые входят в нее, не заключает ни х, ни у1).
Покажем, что при этих условиях система (99) всегда
будет обладать периодическим решением.
С этою целью вводим в наш интеграл вместо пере-
переменных х, у, xs переменные г, 0, zs при помощи подста-
подстановки, которою уже пользовались раньше.
Тогда извлечением квадратного корня из интеграла
этого можно будет вывести следующий:
r + r<f(zuzi9 ... ,zn,r,0), A07)
где ср означает голоморфную функцию величин zs> i\
уничтожающуюся при одновременном равенстве их
нулю и обладающую в своем разложении периодиче-
периодическими относительно & коэффициентами.
Допустим теперь, что периодического решения не
существует, и что при составлении рядов A01) это
обнаруживается в первый раз в членах га-го поряд-
порядка. Допустим, следовательно, что в этих рядах коэффи-
коэффициенты
7jA) «B) и(т~г) (s-i 2 л\
us , us , . . . , us \ь — i, z., . . . , п)
представляют периодические функции, а коэффициент
имеет вид:
где g — отличная от нуля постоянная, а и —периодиче-
—периодическая функция 0.
В этом предположении дел г ем в выражение A07)
подстановку
и результат располагаем по восходящим степеням с.
*) При наших предположениях этот интеграл не может
содержать членов первого порядка.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 253
Так как выражение это есть интеграл системы A00),
то по самому определению величин и в результате
должны выйти постоянными все члены, содержащие с
в степенях ниже (яг+1)-ой.
Но это, по крайней мере для члена с /тг-ой степенью с,
очевидно, невозможно, ибо для функции гу такой член
необходимо будет периодическим и, следовательно,
наверно не даст постоянной величины в сумме с членом
(g& + v) ст
функции г.
Мы должны поэтому заключить, что наше допущение
невозможно, и что, следовательно, как бы далеко ни
были продолжаемы ряды A01), все члены в них можно
предполагать периодическими.
А при этом условии существование периодического
решения, как мы видели, несомненно.
Примечание. Мы предполагали, что определяющее
уравнение не имеет равных нулю корней. Но мы не
встретили бы затруднений и при существовании послед-
последних, если бы наша система дифференциальных уравне-
уравнений допускала достаточное число не зависящих от t
голоморфных интегралов, содержащих члены первого
порядка, совокупности которых были бы между собою
независимыми.
Мы разумеем случай, когда число таких интегралов
достигает своего высшего предела, которым всегда
служит кратность т равного нулю корня.
Действительно, если имеем дело с этим случаем, то,
приравнивая найденные интегралы (которые пусть
не содержат постоянных членов) произвольным постоян-
постоянным с19 с2, .. . , ст и пользуясь получаемыми таким обра-
образом интегральными уравнениями, можем понизить
цорядок нашей системы на т единиц. Притом вычисле-
вычислениями всегда можем распорядиться так, чтобы окон-
окончательно получилась система дифференциальных урав-
уравнений обычного в. нашем исследовании вида, для
которой определяющее уравнение при достаточно

254 А. М- ЛЯПУНОВ
малых | с | не имело бы равных нулю корней, приводясь,
когда все с делаются нулями, к определяющему уравне-
уравнению первоначальной системы, сокращенному на га-ую
степень неизвестной.
45. О периодических решениях канонических
уравнений. Предыдущие выводы могут найти прило-
приложения во многих задачах мехащши.
Укажем для примера на вопрос о движении тяжелого
твердого тела, имеющего неподвижную точку или опи-
опирающегося своей поверхностью на гладкую горизон-
горизонтальную плоскость. В том и в другом случае всегда
будут существовать известные периодические движе-
движения, в которых проекция угловой скорости на оси,
неизменно связанные с телом, и косинусы углов напра-
направления вертикали с этими осями будут изменяться
периодически с течением времени.
Чтобы указать приложения более общего характера,
допустим, что наша система дифференциальных уравне-
уравнений имеет каноническую форму:
dxs d# dys __ дН
~di ~~ ^vl ' ~dt~~ dxs
(в = 1,2, ...,&).
Здесь Н предполагается голоморфною функцией
величин х19 х21 . .. , хк, у19 у2У ... , ук, в которой члены
наинизшего порядка образуют квадратичную форму Н2.
Всякий раз, когда эта система будет удовлетворять
предположениям, сделанным в начале § 42, для нее
найдется по крайней мере одно периодическое решение
с двумя постоянными произвольными.
Для доказательства (по замеченному в начале пре-
предыдущего параграфа) достаточно только показать, что
после преобразования нашей системы к виду (99), пере-
переменные, которые будут играть роль х и у, непременно
войдут в функцию Н2.
Но при рассматриваемых предположедиях, когда
определяющее уравнение не имеет равных нулю кор-
корней, последнее ясно уже из того, что определитель
Гесса для функции Н2 не может быть нулем.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 255
Притом, если определяющее уравнение имеет только
чисто мнимые корни
± к /зт; ± х2 у ~г, ..., ± К /^
то всякий раз, когда числа к19 Х2, ... , ЛА таковы, что
ни одно из отношений, которые можно из них составить,
комбинируя их по два, не представляет целого числа,
для нашей канонической системы найдется к периоди-
периодических решений, содержащих по две постоянных про-
произвольных каждое.
Предполагая это, допустим, что в функции // сово-
совокупность членов второго порядка имеет вид:
+ \(х^ */°)++D1 У1)
Мы знаем (§ 21), что если под каждым Xs разуметь число
с надлежащим знаком, то такое допущение приводится
к выполнению некоторого линейного преобразования
нашей канонической системы.
В этих предположениях, рассматривая величины
как функции переменных Xj и г//, состагляем следую-
следующую систему частных дифференциальных уравнений:
dxj dyf dyj dXf ~~ dxs
(e = l,2, ... ,/-1,^ + 1, ... ,k) *
и для последней ищем решение, в котором все ocs, ys
были бы голоморфными относительно Xj и 2/у и уничто-
уничтожались при Xj = yj~ 0. Такое решение, как мы знаем,
найдется всегда и будет только одно.
Рассматривая его, составляем выражение
2л \dxj dyj дУ}
s

256 A. M. ЛЯПУНОВ
(предполагая, что при суммированид исключается зна-
значение s = /) и называем через #; (жу-, г/у) функцию, в ко-
которую обращается Н вследствие замены величин xs, ys
найденными для них выражениями.
Затем интегрируем уравнения
их-, дНг dy: dlit
и в качестве постоянных произвольных вводим началь-
начальные значения ау- и bj функций Xj и у}-.
Тогда, если все х, у выразим в функциях t, то при
всяких dj и 6/, модули которых достаточно малы, будем
иметь одно из периодических решений нашей канониче-
канонической системы.
В этом решенид, которое можно назвать соответ-
соответствующим числу X/, период TJf относящийся к перемен-
переменной t, при достаточно малых | #у | и | 6/1 будет опреде-
определяться формулой вида
Т, = fj {1 + hS^Hj(a,-, bj) + hf [И,(а„ Ь,)Г + ...},
в которой все h означают числа, не зависящие от по-
постоянных произвольных.
Поступая, как сейчас указано, для всех значений /
от 1 до к включительно, получим все к периодических
решений.
Каждое из этих решений можем определить, если
угодно, условиями для начальных значений неизве-
неизвестных функций. Эти условия получаются из изло-
изложенного непосредственно.
Таким образом в случае канонической системы,
удовлетворяющей рассмотренным сейчас предположе-
предположениям, если мы не можем вполне решить вопроса об
устойчивости, то по крайней мере можем указать для
возмущений ряд условий, при которых невозмущенное
движение несомненно будет устойчивым.
Примечание. Когда для предложенной канониче-
канонической системы числа лх, а2, . . . , \к удовлетворяют рассмо-
рассмотренному сейчас условию, то для получения всех соот-

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 257
ветствующих им периодических решений, согласно
изложенному правилу, мы должны предварительно
выполнить некоторое линейное преобразование нашей
системы. А именно, за новые неизвестные функции
us, vs мы должны принять такие линейные формы
прежних х89 ys, для которых совокупность членов
второго измерения в функции Н приводилась бы к виду
у К + »0 + lj(ul + vl)+... + ** К + »1),
а дифференциальные уравнения сохраняли бы кано-
каноническую форму.
Теперь покажем, как можно избежать этого преобра-
преобразования.
Для этого замечаем, что в периодическом решении,
соответствующем числу Х;-, все us, vs, для которых s
не равно /, суть такие голоморфные функции щ и vj9
в которых не заключается членов ниже второго изме-
измерения. Поэтому, если рассмотрим две какие-либо линей-
линейные формы
р = а1щ + pll?l + a2w2 + $2v2 + ... + акик + $kvk)
q = ьщ + 8^ + + 8 + + h
величин ust vs, то для того же периодического решения
они обратятся в голоморфные функции Uj и у/, в кото-
которых совокупности членов первого измерения будут
«уВу + Р/иу, Т/и/ +Гу-
+Густею да следует, что, если
не нуль, то в этом решении все неизвестные функции
будут голоморфными относительно р и q.
Допустим, что указанное сейчас условие выполняет-
выполняется для всех значений / от 1 до к включительно. Тогда
все xs> Us будут голоморфными функциями р и q для
каждого из к периодических решений.
17 А. М. Ляпунов

258 А.Ш. ЛЯПУНОВ
Вопрос приведется таким образом к разысканию
этих голоморфных функций и к интегрированию урав-
уравнений
которые получатся после этого для определения р и q.
Разыскивая названные голоморфные функции, мы
должны будем прежде всего удовлетворить некоторой
системе нелинейных алгебраических уравнений, от
которой будут зависеть коэффициенты в их членах
первого измерения. Система эта будет допускать более
к решений. Но чтобы ориентироваться в выборе тех из
них, которые соответствуют нашей задаче, достаточно
будет принять в расчет условие, что для каждого из
искомых периодических решений величины Р и Q как
функции р и q должны быть таковы, чтобы выражение
дР_ dQ
при p=q=O делалось нулем. Это условие, выражаю-
выражающее, что сумма корней определяющего уравнения си-
системы A09) равна нулю, будет выполняться только для
к решений. Останавливаясь на каком-либо из них и пе-
переходя затем к определению коэффициентов для чле-
членов высших измерений, будем получать системы линей-
линейных уравнений, при решении которых не встретится
затруднений.
Таким образом найдем к систем голоморфных функ-
функций, из которых каждая приведет к одному из искомых
периодических решений.
Остается указать правило, которым можно было бы
руководствоваться при выборе линейных форм р и q
как функций переменных xs> ys, не прибегая к соста-
составлению форм uSi vs.
С этою целью одновременно с р и q рассматриваем
еще 2к—2 линейных форм
А» Р*> • • • > Р.-и Чи 4v • • • » Чк-\>

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 259
представляющих совокупности членов первого измере-
измерения в выражениях производных
d2p d*p d2«~2p d*q d*q d2«~*q
~df2 ' dt* ' " ' ' d*2* '
составленных при посредстве наших дифференциаль-
дифференциальных уравнений.
Выражая эти формы в переменных ws, ws, eo свой-
свойству последних найдем:
= Кт
Отсюда, принимая в расчет, что числа X*, л*, ... , к2к
при наших предположениях все различны, заключаем,
что если из величин A08) ни одна не нуль, формы
А А, А.-. А-,. 1
#> Ян #2> • • • * Як-1 )
будут между собою независимы, и обратно—если это
последнее условие выполнено, то из величин A08)
наверно ни одна не будет нулем.
Поэтому единственное условие, которому мы долж-
должны будем удовлетворить при выборе форм р и д, приве-
приведется к тому, чтобы 2к форм A10) представляли незави-
независимые между собою функции переменных xS9 ys.
Пример. Пусть предложена система четвертого
порядка
й5" ей= to ' 5i*^~ di^dy '
в которой U означает некоторую данную голоморфную
функцию переменных х и у> не содержащую членов
ниже второго измерения.
17*

260 A. M. ЛЯПУНОВ
Систему эту, если угодно, можно преобразовать
в каноническую
dx__ __дн d%__dH
dt ~~ д% ' dt~~ дх '
d_y <9Я ^\__^М
dt~~ ду\ ' ~dt~~ ду '
полагая
«.dx dy
* у У + Х
Допустим, что соответствующее ей определяющее
уравнение имеет только чисто мнимые корни
которые притом пусть таковы, что ни одно из отношении
не представляет целого числа.
Предложенная система уравнений будет при этом
обладать двумя периодическими решениями, и для
определения последних по указанному сейчас способу
за величины р и q можно будет принять х и у.
Действительно, если допустим, что совокупность
членов второго измерения в функции U представляется
выражением
то делая р = х, q—y, будем иметь:
а следовательно, формы р, q, pt, qx будут независимыми,
каковы бы ни были постоянные А, В, С.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 261
Названные периодические решения найдутся поэто-
поэтому интегрированием уравнений
вторые части которых определятся как голоморфные
функции переменных х и у, удовлетворяющие системе
уравнений
idf -4-ф df 2*-dU /** + 3 + 2/-^
при двух следующих условиях: чтобы функции эти
уничтожались при х = у = 0, и чтобы в членах первого
измерения их разложений
/ =э ах + by + .. ., ср = ах + $У + • • •
для коэффициентов а и р выполнялось соотношение
Если же обратимся к вычислению коэффициентов
а, Ьу а, р, то получим для этой цели систему уравнений
а* + Ьь - 2х = А, ab + 63 — 2Р = В,
6л + ^2 + 26 - С, аа + ар + 2а = JB,
которая будет обладать двумя решениями, удовлетво-
удовлетворяющими условию а + р = 0.
Решения эти найдем по формулам
заменяя X2 последовательно каждым из корней уравне-
уравнения
которые суть к\ и XJ.
Каждому из этих решений будет соответствовать по
одной паре функций/ и ср и, следовательно, —по одному

262 A- M. ЛЯПУНОВ
периодическому решению предложенной системы диф-
дифференциальных уравнений.
Если переменные х и у будем рассматривать как ко-
координаты точки, движущейся в плоскости, то получим
таким образом два периодических движения. Траекто-
Траектория в каждом из них будет определяться уравнением
2f/-/2-cp2 = const.1).
*) Вопрос о периодических решениях нелинейных диф-
дифференциальных уравнений рассматривается также, хотя
и с другой точки зрения, в последнем мемуаре Пуанкаре
Sur le probleme des trois coprs et les equations de la dynami-
que, Acta mafchematica, т. 13.

ГЛАВА III
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ
О ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
46. Характеристичное уравнение. Типы решений,
соответствующие простым и кратным корням его.
Группы решений. Рассмотрим систему линейных диф-
дифференциальных уравнений
~dt = A^i + Р**х* + •••+ Psnxn (* = 1,2 ... л) A)
в предположении, что все коэффициенты pS7 суть перио-
периодические функции t с одним и тем же вещественным
периодом ш и что функции эти остаются определен-
определенными и непрерывными для всех вещественных зна-
значений t.
Рассматривая только такие значения последнего,
допустим, что для нашей системы найдено п незави-
независимых решений
Х1Т1> Х2п> * * * t ХПП
B)
для обозначения которых удерживаем прежнее усло-
условие, чтобы первый значок при букве х относился к иско-
искомой функции, второй—к решению.

264 A. M. ЛЯПУНОВ
Желая указать на значение, даваемое независимой
переменной, вместо xSj будем писать xSj(t).
В этом предположении группа функций
Si/ (t + со), x2f (t + со), .. ., xni (t + со),
соответствующая какому угодно /, взятому из ряда
1, 2, ...,дг, по свойству рассматриваемой системы
уравнений представит также некоторое решение ее.
Поэтому, означая через at]- некоторые постоянные,
будем иметь:
x8j (* + «>) = axixsl (t) + a2JxS2 (t) + .. . + anjxsn (t) C)
(/ = 1, 2, .. ., n)
для всякого s, взятого из ряда 1, 2, ..., п.
При посредстве определенных таким образом по-
постоянных atj составляем следующее алгебраическое
уравнение:
11 —Р «12 ••• а1п
которое будет п-ош степени относительно неизвестной р.
Это уравнение, играющее весьма важную роль в тео-
теории рассматриваемых дифференциальных уравнений,
будем называть характеристичным, соответствующим
периоду со *). Так же будем называть и определитель,
представляющий первую его часть.
Если бы вместо B) мы рассматривали какую-либо
другую систему п независимых решений, то получили
бы вообще другие величины для постоянных a-j. Но
х) Можно рассматривать характеристичное уравнение, соот-
соответствующее периоду то), где т — произвольное положитель-
положительное или отрицательное целое число.
Говоря о характеристичном уравнении, соответствующем
периоду о, часто для сокращения речи не будем упоминать
о периоде.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 265
коэффициенты As при различных степенях р в характе-
характеристичном уравнении, приведенном к виду
остались бы прежними.
В этом состоит одно из основных свойств этих коэф-
коэффициентов, в силу которого они могут быть названы
инвариантами.
Для коэффициента Ап свойство это обнаруживается
уже из выражения, которое можно найти для него,
пользуясь известною формулой, дающею величину опре-
определителя, составленного из п независимых решений
системы A).
Чтобы получить это выражение, означим определи-
определитель, составленный из функций B), через A (t). Тогда
названная формула доставит следующее равенство:
А так как в силу соотношений C) определитель Л (t + о)
представляется под видом произведения из определи-
определителя A (t) на определитель величин аи-, то написанное
сейчас равенство приведется к виду:
(-1L =
in
«21 «22 • • • «
a,
2n
• D)
Из этого равенства между прочим следует, что харак-
характеристичное уравнение не может иметь равных нулю
корней.
Заметим, что если все коэффициенты ps? в уравне-
уравнениях A) суть вещественные функции, то все коэффи-
коэффициенты As в характеристичном уравнении необходимо
будут также вещественными. Действительно, в этом
случае систему B) всегда можно выбрать так, чтобы
в ней все функции были вещественными. А тогда такими
же выйдут и все постоянные аи-.

265 A- M. ЛЯПУНОВ
Из формулы D), которою определяется произведе-
произведение корней характеристичного уравнения, видно, что
в этом случае произведение это всегда будет положи-
положительным и что, следовательно, если характеристичное
уравнение имеет отрицательные корни, то число таких
корней всегда будет четным.
Известно, что всякому корню р характеристичного
уравнения соответствует решение системы A) вида:
L L. _1
*1 = Ш?Ш> яа = /2(Орш> •••^„ = /„@Г. E)
где г) все fs суть периодические функции t с периодом со
(между которыми по крайней мере одна не равна нулю
тождественно). Поэтому, если характеристичное урав-
уравнение не имеет кратных корней, то, рассматривая все
его корни, получим п решений такого вида, и решения
эти будут независимыми.
В случае существования кратных корней система A)
может допускать решения более общего вида. А именно,
кратному корню р могут соответствовать решения, для
которых функции fs в уравнениях E) будут предста-
представляться выражениями
/. (О = Ъо W + *?,х (О + *Ч. (О + ... + *m<psm (t),
при условии, что все <ps/ суть периодические функ-
функции t 2).
Если в число возможных значений для т включить
и нуль, то для каждого ^-кратного корня найдется \ь
независимых решений такого вида.
Число т ни в одном из них не будет превосходить
р. — 1 (мы предполагаем, что из функций cpsm по крайней
мере одна не равна нулю тождественно), но может до-
— —lnp
2) Под р ш разумеем функцию е "* , соответствующую не-
некоторому определению логарифма lnp.
2) Говоря о периодических функциях и не упоминая
о периоде, будем подразумевать, что речь идет о функциях
с периодом а>.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 267
стигать этого предела, и если рассматриваемый корень р
не обращает в нуль по крайней мере одного из первых
миноров характеристичного определителя, то для него
всегда найдется решение, в котором будет т = \ь — 1.
Исходя из этого решения, можно получить все
остальные, соответствующие тому же корню.
Действительно^ если в каком-либо решении вида E)
все функции /s (t) заменим их конечными разно-
разностями какого-либо порядка, соответствующими прира-
приращению со независимой переменной t, то по свойству
системы A) получим для нее новое решение. Поэтому,
имея дело со случаем, когда т=\ь-~ i, и рассматривая
все разности от первого до (\ь — 1)-го порядка включи-
включительно, выведем таким путем из нашего решения еще
р. — 1 решений, и эти последние вместе с нашим составят
систему [л решений, которые, очевидно, будут неза-
независимы.
Вместо указанного сейчас способа получения новых
решений из данного можно предложить другой. А имен-
именно, вместо замены функций fs (t) конечными разностями
можно для той же цели заменять эти функции выра-
выражениями, приводящимися к их производным по t, если
величины cps/- рассматриваются как постоянные. Что
таким путем действительно будут получаться решения,
это следует непосредственно из известных соотношений
между конечными разностями и производными различ-
различных порядков.
Таким способом в только что указанном случае для
^-кратного корня р получим [х независимых решений,
если за исходное примем решение, в котором т = jj.— 1.
Мы будем говорить, что в этом случае корню р со-
соответствует одна группа решений.
Если бы кратный корень обращал в нуль все миноры
характеристичного определителя до порядка к — 1
включительно, не обращая в нуль по крайней мере
одного из миноров к-го порядка, то ему соответствовало
бы к групп независимых решений, которые можно было
бы составить тем или другим из указанных способов,
исходя из известных к решений.

268 A. M. ЛЯПУНОВ
Число к, никогда не превосходящее кратности ц
рассматриваемого корня, может достигать этого пре-
предела, и тогда во всяком решении, соответствующем
этому корню, все функции fs будут периодическими.
Все указанные здесь теоремы, выводящиеся из основ-
основных предложений теории подстановок, можно считать
известными1). Притом доказательства их не представ-
представляют ни малейших затруднений. Поэтому приводить
здесь этих доказательств не будем.
Примечание. Пусть
Pl> Р2> • • •> Рп
суть корни характеристичного уравнения, соответ-
соответствующего периоду со.
Останавливаясь на каких-либо определениях лога-
логарифмов, положим
*i=^lnPi> У2= tt lnP2> •••• уп = —1прл-
Тогда вещественные части величин
представят характеристичные числа системы уравне-
уравнений A).
Означая через N некоторое вещественное целое
число, получаем из D) равенство
из которого обнаруживается, что вещественная часть
величины 2XS Равна характеристичному числу функции
e
г) См., например, Floquet, Sur les equations differenti-
elles lineaires a coefficients periodiques. Annales scientifiques
de l'Ecole norLiiale superieure, том 12, 1883.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 269
Поэтому, согласно замеченному в § 9, заключаем,
что система уравнений A) есть правильная.
47. Преобразования уравнений с периодическими
коэффициентами в уравнения с постоянными коэф-
коэффициентами. Рассмотрим систему уравнений
% + PisUi + РозУъ + -. + РпзУп = О (« = 1, 2, ..., И), F)
присоединенную к A).
Пусть группа функций
УIV У21'
Уп1>
представляет какую-либо систему п независимых ре-
решений этих уравнений. Тогда группою функций
Утх1+У2пх2+ •••+Уппхп
определится некоторая система п независимых инте-
интегралов для уравнений A).
Пусть
н
A)
суть все корни характеристичного уравнения системы
F) в предположении, что каждый кратный корень встре-
встречается в ряду чисел G) столько раз, сколько соответ-
соответствует ему групп решений. Тогда каждому из чисел ps
можно будет поставить в соответствие по одной группе
решений так, чтобы все эти решения были незави-
независимыми.
В этом предположении допустим, что ns предста-
представляет число решений в группе, соответствующей числу

270 A. M. ЛЯПУНОВ
ps. Числа пг, пъ, ... , пк будут, конечно, удовлетворять
условию:
+ . . . + Пк = П.
Принимая за величины yS3 функции, входящие в со-
состав названных групп, и при составлении последних
останавливаясь на втором из указанных выше способов,
для числа ps найдем ns независимых интегралов систе-
системы A) вида:
(т = 0, 1,2, ...,пя-'1),
где все Zy означают некоторые линейные формы вели-
величин х^ с периодическими коэффициентами.
Рассматривая совокупность всех к групп, получим
для системы A) п независимых интегралов такого вида.
В эти интегралы переменные xQ входят только при
посредстве линейных форм z^s\ число которых равно
числу всех интегралов. Поэтому, если последние неза-
независимы, то такими же будут и формы Zj . Эти формы
можно будет, следовательно, принять за новые неизве-
неизвестные функции вместо х1У #„, . . ., хп.
Таким путем, делая
со
приходим к следующей системе уравненгти:
щ I
(/ = 2,3, .... я,; s = l, 2, .... *), J
которой, очевидно, должны удовлетворять величины
z's> по самому способу, каким они входят в инте-
интегралы (8).

обЩая задача ов устойчивости движения 21 \
Система A) преобразована, следовательно, в систему
с постоянными коэффициентами. Притом преобразо-
преобразование выполнено посредством подстановки, удовлетво-
удовлетворяющей всем условиям § 10.
Действительно, чтобы установить это в рассматри-
рассматриваемом случае, очевидно, достаточно только показать,
что величина, обратная функциональному определи-
определителю, составленному из частных производных функций
Zj по переменным #а, есть ограниченная функция t.
А в последнем убеждаемся, замечая, что названный
определитель, представляющий произведение из функ-
функции
на функциональный определитель интегралов (8), мо-
может отличаться только множителем вида
2т
(где i = у — 1, т —• вещественное число и С—некоторая
постоянная) от функции
Таким образом приходим к заключению, что си-
система A) есть приводимая.
Вместе с тем из рассмотрения ее преобразова-
преобразования (9) выводим, что величины ps суть корни характе-
характеристичного уравнения этой системы1), и, следовательно,
получаем теорему, что корни характеристичного урав-
уравнения присоединенной системы суть обратные величины
корням характеристичного уравнения данной.
*) Это заключение основывается на предложении, что если
система A) допускает решение вида E) при указанном
характере функции fs, то р есть корень ее характеристичного
уравнения, и что если для этой системы найдено ц независи-
независимых решений такого вида, то кратность корня р не менее jjl

272 A- M. ЛЯПУНОВ
Допустим, что в системе A) коэффициенты psi суть
вещественные функции t.
Мы знаем (§ 18, примечание), что при этом усло-
условии для преобразования ее в систему с постоянными
коэффициентами можно пользоваться такими подста-
подстановками § 10, в которых все коэффициенты были бы
вещественными функциями t. Но является вопрос,
можно ли такие подстановки подчинять предположению,
чтобы коэффициенты в них были периодическими, как
это имело место в указанном сейчас преобразовании.
Нетрудно убедиться, что если желательно, чтобы
периодом для названных коэффициентов служило
число со, как это было в предыдущем преобразовании,
то такое предположение всегда возможно только в слу-
случае, когда характеристичное уравнение не имеет отрица-
отрицательных корней1). При существовании же последних,
для возможности его необходимы известные условия,
которые, например, наверно не будут выполняться, если
в числе отрицательных корней находятся простые.
Но нетрудно придти к заключению, что в подста-
подстановках, о которых идет речь, коэффициенты во всяком
случае можно предполагать периодическими с перио-
периодом 2со 2).
х) При нашем допущении для всякого положительного
числа pg коэффициенты в формах z^p можно предполагать ве-
вещественными функциями t. Мнимые же числа ps разобьются на
пары сопряженных, и из форм z(s\ соответствующих какому-
либо из них, можно будет выводить формы zv' для сопряжен-
сопряженного с ним f>g заменой У *— \ на — У — 1. Поэтому, если
характеристичное уравнение не имеет отрицательных корней,
то, поступая подобно тому, как было показано в § 18, получим
вещественную подстановку, в которой коэффициенты будут
периодическими функциями t с периодом со.
2) Для этого достаточно заметить, что для каждого отри-
отрицательного числа ps можно предполагать вещественными коэф-
коэффициенты в формах

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 273
НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО
ХАРАКТЕРИСТИЧНОГО УРАВНЕНИЯ
48. Общая теорема о разложении инвариантов в ря
ды по степеням некоторых параметров. Во всяком
вопросе об устойчивости периодических движений пер-
первая задача, которою придется заняться, будет состоять
в исследовании характеристичного уравнения системы
линейных дифференциальных уравнений, соответству-
соответствующей первому приближению. Поэтому считаем уме-
уместным указать здесь некоторые соображения, которыми
при этом исследовании можно было бы руководство-
руководствоваться.
Прежде всего обратим внимание на одно общее пред-
предложение, на котором могут быть основаны некоторые
общие методы вычисления коэффициентов характери-
характеристичного уравнения.
Предложение это состоит в следующем:
Теорема. Пусть коэффициенты pS3 в уравне-
уравнениях A) зависят от некоторых параметров 2lt s2, ... 9
удовлетворяя сделанным относительно них предположе-
предположениям по крайней мере при величинах elf e2, ... , модули
которых достаточно малы, и пусть период со от этих
параметров не зависит. Тогда, если коэффициенты р^
могут быть представлены рядами, расположенными
по целым положительным степеням параметров
9и е2, .. . и сходящимися в равной степени для всех
вещественных значений t no крайней мере при величинах
з19 е2, ... , модули которых не превосходят некоторых
отличных от нуля пределов Ех, Е%, ... , то коэффи-
коэффициенты As в характеристичном уравнении
будут голоморфными функциями рассматриваемых
параметров. Притом, если постоянные Elf Е2 ,... ,
выбраны так, чтобы при условиях
и ряды, составленные из модулей членов разложений psiy
18 А. М. Ляпунов

274 A. M. ЛЯПУНОВ
были сходящимися в равной степени для всех веществен-
вещественных значений t, то ряды, которыми представятся
инварианты As, будут наверно абсолютно сходя-
сходящимися при условиях A0).
Справедливость этой теоремы обнаружится тотчас
же, если докажем, что функции х1У х2, ... , ха, удовле-
удовлетворяющие уравнениям A) и принимающие при t = 0
какие-либо данные значения а1У а2, ... , аП1 не завися-
зависящие от параметров еп s2, ... , могут быть представ-
представляемы рядами, расположенными по целым положи-
положительным степеням этих параметров и абсолютно
сходящимися при всяком вещественном t, пока
модули г±, е2, ... не превосходят пределов^, Е2У ... ,
выбранных согласно указанному сейчас условию.
Что же касается этого последнего предложения, то
в справедливости его легко убедимся, рассматривая
вместо системы A) следующую:
в которой з означает некоторый новый параметр,
и разыскивая^функции xs под видом рядов, располо-
расположенных по степеням е, е1У з2, ... Тогда одного взгляда
на получаемые при этом уравнения будет достаточно,
чтобы заключить, что модули коэффициентов в этих
рядах не будут превосходить соответственных коэффи-
коэффициентов в разложении по степеням тех же параметров
следующей функции:
t
ае о 1),
где а означает наибольшую из величин \as\, a p — ряд,
расположенный по степеням е19 е2, ... , в котором
каждый коэффициент при всяком данном t равен наи-
наибольшему из модулей соответственных коэффициентов
разложений pSo при том же t.
1) Здесь верхний знак относится к случаю t > 0, нижний —
и случаю t < 0.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 275
Возвращаясь к системе A), допустим, что группа
функций
представляет решение этой системы, определяемое
условием
Тогда, рассматривая п таких решений, соответству-
соответствующих 5—1, 2, ... , п, из равенств C) выведем
ав/ = жЛ/-(ш) (s,/=l, 2, ..,, w).
Отсюда в силу указанного сейчас предложения сле-
следует, что постоянные as/, соответствующие нашей
системе частных решений, при условиях A0) разла-
разлагаются в абсолютно сходящиеся ряды по степеням
et, ei, ...
Поэтому заключаем, что этим свойством будут обла-
обладать и коэффициенты As в характеристичном уравнении.
Допустим, что систему A) мы умеем интегрировать
в предположении г1 = е2 ==...== 0.
Тогда, если функции xs будем искать под видом ря-
рядов, расположенных по степеням параметров а19 з2, ... ,
то для определения коэффициентов в этих рядах полу-
получим системы дифференциальных уравнений, которые
будут интегрироваться в известной последовательности
посредством квадратур. При этом в рядах, которыми
представятся инварианты As, коэффициенты будут
определяться посредством некоторых кратных инте-
интегралов.
Может случиться, что предложенные уравнения не
содержат никаких параметров, по степеням которых
можно было бы разлагать постоянные As. Но тогда
уравнения эти можно заменить другими, в которые
входили бы такие параметры и которые при некоторых
частных значениях последних приводились бы к пред-
предложенным (как это, например, было сделано при дока-
доказательстве теоремы),
18

276 A. M. ЛЯПУНОВ
Поэтому методы вычисления инвариантов Ast осно-
основанные на возможности разложения их в рассматри-
рассматриваемые здесь ряды, можно считать совершенно общими*).
49. Приложение к одному дифференциальному
уравнению второго порядка. Пользуясь рядами,
о которых шла речь в предыдущем параграфе, можно
решать некоторые общие вопросы относительно харак-
характеристичного уравнения.
Покажем это в приложении к следующему диффе-
дифференциальному уравнению
d2x . А /л л\
в котором под р будем разуметь периодическую функ-
функцию t с вещественным периодом со, определенную и
непрерывную для всех вещественных значений t.
Заменяя это уравнение системой
dx __ , dx'
ЧГ'~~ х ' ~Ж ~~ ~~ рХу
на основании формулы D) заключаем тотчас же, что
соответствующее ему характеристичное уравнение будет
вида
р2—2Лр + 1 = 0. A2)
Вопрос о составлении последнего приведется, следо-
следовательно, к определению одной только постоянной А.
Рассматривая попрежнему только вещественные зна-
значения t, мы будем предполагать, что функция/? остается
всегда вещественною. Тогда такою же будет и посто-
постоянная Л.
При этом возможен будет каждый из двух случаев:
1) А2 < 1, когда корни уравнения A2) будут обладать
модулями, равными 1, и 2) А2 ^> 1, когда корни эти будут
х) Некоторые приложения этих метод были указаны
мною в статье «Об устойчивости движения в одном частном
случае задачи о трех телах» (Сообщ. Харьк. матем. общ,,
2 серия, т. II, 1889).

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 277
вещественными и один из них численно более, другой
численно менее 1.
Вопрос о том, который из этих двух случаев имеет
место, при исследовании устойчивости является весьма
существенным. Поэтому небесполезно указать неко-
некоторые признаки для того и для другого.
Такие признаки можно выводить из рассмотрения
выражения постоянной А под видом некоторого ряда.
Для составления последнего будем временно рас-
рассматривать вместо A1) следующее уравнение:
d2x //!ОЧ
-^ = spx, A3)
для которого постоянную А будем искать под видом
ряда, расположенного по целым положительным степе-
степеням параметра з.
В силу теоремы предыдущего параграфа ряд этот
будет абсолютно сходящимся при всяком з, так что А
будет не только голоморфною, но некоторою целою
трансцендентною функцией з.
Пусть / (t) и <р(г) суть частные решения уравнения
A3), определяемые условиями
/@) = 1, /'@) = 0; <р@) = 0, <р'@) = 1.
Разлагая функции / и ср по степеням г, найдем:
если вообще под/а (t), <pn(t) будем разуметь функции tf
вычисляемые последовательно по формулам
t t t t
fa (t) ^\dt[ Pfn-l @ dt, <рл (t) = J Л J ppM (t) dt
0 0 0 0
в предположении, что
/oW=l> <Po(O = '-
Чтобы найти теперь разложение постоянной А, за-
замечаем, что характеристичное уравнение может быть

278 A. M. ЛЯПУНОВ
представлено под видом
и что, следовательно,
Искомое разложение поэтому будет:
^(O)L-cp7;(,o)]sn. A4)
п=1
Пользуясь найденными формулами, можно решать
между прочим вопрос о том, который из двух указан-
указанных выше случаев представляется для уравнения A3)
при величинах е того или другого знака, численно
достаточно малых. Так как
о
то вопрос этот будет решаться знаком интеграла
[pdt
всякий раз, когда интеграл этот не равен нулю.
Из тех же формул вытекает следующее предложение:
Теорема 1. Если функция р такова, что может
получать только отрицательные или равные нулю зна-
значения (не будучи нулем тождественно), то корни
характеристичного уравнения, соответствующего урав-
уравнению A1), всегда будут вещественными, и один
из них будет более, другой менее 1.
Остановимся теперь на случае, когда функция р
может получать только положительные или равные
нулю значения, предполагая, что она не равна нулю
тождественно.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 279
Функции fa (t), <p,'@ будут обладать тогда таким
же свойством. Притом можно будет доказать, что
при п > 1 они будут удовлетворять неравенству
t
(/„_! + ?;_,)t\pdt-2n(fn + ti) > 0 A5)
для всякого отличного от нуля вещественного t.
Докажется это следующим образом.
Полагая
замечаем, что можно написать
t
о
разумея под Fn и Фп следующие функции
t t
л.=*/;.,$
и
t
Неравенство наше будет поэтому доказано, если
покажем, что для всех положительных значений t
имеют место неравенства
*¦„><>, ^„>0, A6)
а для всех отрицательных — противоположные им

280 A. M. ЛЯПУНОВ
С этою целью замечаем, что предыдущие выражения
функций Fn и Фп легко приводятся к виду
t t
где ип и vn означают выражения
t
"п = (9n-2 + tfn.%) 5 р dt + «pA-i + tfn-x - Bп~
которые можно представить так:
t
*-\)d
о о
Из этих формул заключаем, что если для всех поло-
положительных значений t имеют место неравенства
^n-i > °> Фп-1 > О,
то для таких же значений t будут иметь место и нера-
неравенства A6), и что если для всякого отрицательного t
то для такого же t будут выполняться и неравен-
неравенства A7).
Отсюда следует, что справедливость неравенств A6)
для t > 0 и неравенств A7) для t < 0 будет несомнен-
несомненною при всяком п, большем 1, если неравенства эти
имеют место в случае п = 2.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 281
В последнем же убеждаемся непосредственно, заме-
замечая, что из наших формул выводятся следующие:
t t t
0 0 0
Таким образом неравенство A5) можно считать
доказанным.
Обращаемся теперь к нашей задаче.
Формула A4) для уравнения A1) принимает вид
со
1 у
72=1
Поэтому, замечая, что в силу A5)
ш
fn Н + ?п (с0) < l/n-i (со) + ?r-i (^М "^" 5 ^ *'
0
находим:
ОО (О
O5 )
п=1 0
Отсюда заключаем тотчас же, что если
о
то необходимо будет
— 1<Л< 1,
и таким образом приходим к следующему предложению;

282 A. M. ЛЯПУНОВ
Теорема II. Если функция р такова, что мо-
Ofcem получать только положительные или равные
нулю значения (не будучи нулем тождественно), и если
притом функция эта удовлетворяет условию
to
о
то корни характеристичного уравнения, соответст-
соответствующего уравнению A1), всегда будут мнимыми,
обладая модулями, равными 1.
Условия, выраженные в этой теореме, достаточны,
но, конечно, не необходимы.
В том частном случае, когда функция р приводится
к постоянной величине (за период ш можно принять
тогда какое угодно число), уже одного условия р > О
достаточно, чтобы корни характеристичного уравнения,
соответствующего какому-либо вещественному периоду,
обладали модулями, равными 1.
Поэтому естественно возникает вопрос, не будет ли
того же самого и в общем случае.
Но на вопрос этот получается однако отрицатель-
отрицательный ответ, ибо можно привести примеры, в которых
функция р будет оставаться всегда положительною,
а характеристичное уравнение тем не менее будет обла-
обладать вещественными корнями, из которых один по чис-
числовой величине будет более, другой менее 1.
Чтобы дать пример такого рода, рассмотрим урав-
уравнение Ламе:
в одном из простейших его случаев.
Здесь h означает какую угодно постоянную, а к
положительную правильную дробь, представляющую
модуль эллиптической функции sn t.
Благодаря исследованиям Эрмита, мы знаем, что
если вместо h ввести новую постоянную X, полагая

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 28
то одно из частных решений рассматриваемого урав-
уравнения представится выражением
в котором Н и в суть известные якобиевские функции.
Другое вообще найдется, если в выражении этом заме-
заменим t на — t или X на —X х).
За период со в рассматриваемом случае можно при-
принять число 2jfiT, разумея под К, как обыкновенно,
интеграл
J -/~l-/c2sin2<p '
и из написанного сейчас выражения видно, что корни
характеристичного уравнения, соответствующего это-
этому периоду, суть следующие:
— е «W и — е «W. A8)
Будем предполагать число X вещественным и лежа-
лежащим между 0 и 2jRT, но не достигающим этих пределов.
Притом будем предполагать его достаточно малым для
того, чтобы выполнялось условие
Тогда функция
будет положительною для всех вещественных значений
t, и в то же время числа A8) будут вещественными,
причем одно будет численно более, другое численно
менее 1 [13].
!) Gm. Her mite, Sur quelques applications des fohctions
elliptiques. Paris, Gauthier-Villars, 1885, стр. 14.

284 A. M. ЛЯПУНОВ
50. О виде характеристичного уравнения,
обусловливаемом некоторыми функциональными
свойствами коэффициентов в дифференциальных
уравнениях. Иногда на основании некоторых функци-
функциональных свойств коэффициентов в дифференциальных
уравнениях можно тотчас же сделать некоторые за-
заключения относительно характеристичного уравнения.
Так, например, если в системе
d*** - п ^ гд dx* 4- 4-/7 dXn 1
+ Psixi + Ps2^2+ '-+PmXn
(8=1, 2, ... , П)
с периодическими коэффициентами qsis, psz все qsa
суть нечетные функции t, а все psa— четные, то можно
утверждать, что в соответствующем ей характеристич-
характеристичном уравнении
ш^ + А2п - 0
коэффициенты As будут удовлетворять соотношениям
=l, 2, ... , ri),
так что уравнение это будет принадлежать к типу так
называемых возвратных.
В этом убедимся, замечая, что рассматриваемая
система не меняется вследствие замены t на — t.
Указанный сейчас случай заключается в более об-
общем, когда в предложенной системе уравнений, кото-
которая пусть будет вида A), все те из коэффициентов рь0,
для которых значки s и о не превосходят некоторого
целого числа к, и все те, для которых оба значка бо-
более ку представляют нечетные, а остальные все —чет-
—четные функции t.
Такая система не будет меняться, если- в ней t за-
заменим на — t и одновременно с этим
#й+1 на #fc+i> #/с+2 на ^а+2» ••• > %п на #п-
А ца основании этого нетрудно показать, что между

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ
285
коэффициентами соответствующего ей характеристич-
характеристичного уравнения
рп + 41(|п-1 + ... + An-tf + Ап = О
будут существовать соотношения
Можно рассматривать условия еще более общего
характера, а именно—условия, при которых уравне-
уравнения A) не будут меняться вследствие замены t на— t
при одновременной замене величин xs некоторыми ли-
линейными их формами с постоянными коэффициентами.
Предполагая, что pSa(t) есть означение коэффи-
коэффициента /?S3 как функции переменной t, допустим, что
существуют следующие соотношения:
п
2 [««/Р/о@+ */¦/>*/(-"*)] = О (*¦ a=lf2f ••-.л). B0)
где все aso означают некоторые постоянные, опреде-
определитель которых
B1)
будем предполагать отличным от нуля.
Тогда система уравнений
%-= - Psi(-t) уг- p.2(-t) уя- ... - pm(-t) yn B2)
(* = 1, 2 л)
представит преобразование системы A) посредством под-
подстановки
ys = aeiXi + as2z2 + • . . + ав11Жп (s = 1, 2, .. ., п). B3)
Основываясь на этом, легко показать, что инвари-
инварианты ^4S будут удовлетворять соотношениям A9).

А. М. ЛЯПУНОВ
Действительно, пусть р есть один из корней харак-
характеристичного уравнения системы A) и пусть группа
функций
B4)
представляет одно из решений этой системы, соответ-
соответствующих корню р, так что все fs(t) суть или периоди-
периодические функции t, или суммы конечного числа членов,
представляющих произведения периодических функ-
функций на некоторые целые степени t.
Из этого решения по формулам B3) выведем сле-
следующее решение системы B2):
У* =
J
в котором функции
?s @ = ««А @ + °W2 @ + • • • + Wn (О
будут такого же характера, как и функции fs (t).
Притом, если последние не все тождественно равны
нулю (что и будем предполагать), то в силу нашего
предположения относительно определителя B1) и меж-
между функциями ys(t) найдутся не равные нулю тождест-
тождественно.
Но из всякого решения системы B2) заменою t
на—t выводится некоторое решение системы A). По-
Поэтому для последней получим решение:
L Л
v B5)

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 287
существование которого обнаруживает, что — есть один
из корней характеристичного уравнения этой системы.
Если бы корень р был кратным и кратность его
была т, то мы нашли бы для системы A) т независи-
независимых решений вида B4) и из последних указанным
сейчас путем вывели бы т решений вида B5), кото-
которые при сделанном предположении относительно опре-
определителя B1) также были бы независимыми. Поэтому
мы заключили бы, что — есть кратный корень и что
кратность его не менее т. А так как корень р какой
угодно, то отсюда же следовало бы, что кратность корня
— не может быть и более т.
Таким образом можем утверждать, что если харак-
характеристичное уравнение системы A) обладает корнем р
какой-либо кратности т, то будет обладать и корнем —
той же кратности т, и что, следовательно, коэффициенты
в этом уравнении будут удовлетворять соотношениям:
Ап= ± 1, Ап~1=^АпА1У Ап-2 = АпА2, ...
Поэтому для доказательства равенств A9) остается
доказать только первое из них1).
С этою целью, означая через А определитель B1),
а через Asa его минор, соответствующий элементу aSc,
выводим из B0) следующее равенство:
2 S S (о+*hP4 (- *)]=о.
которое по разделении на А приводится к виду
*) Если бы коэффициенты ps8 были вещественными функ-
функциями t, то это равенство не требовало бы приводимого далее
доказательства, ибо в силу D) величина (— i)nAh была бы
тогда во всяком случае положительною.

288
A. M. ЛЙПУМОЁ
и таким образом обнаруживает, что 2Pss есть нечетная
функция t.
Вследствие этого находим
а отсюда в силу D) заключаем, что Ап—(—1)п.
Можно заметить, что в случае нечетного п характе-
характеристичное уравнение системы A), удовлетворяющей рас-
рассмотренному сейчас условию, всегда будет обладать
по крайней мере одним корнем, равным 1, и, следо-
следовательно, система эта всегда будет допускать периоди-
периодическое решение (отличное от очевидного хх = х2 = ...
Примечание. Заметим, что если коэффициенты ps^
удовлетворяют соотношениям B0) при таких величинах
постоянных asa, для которых уравнение
— л а
12
и
aln
Я 2л
B6)
не имеет ни кратных корней, ни корней, различающихся
между собою только знаками, то интегрирование си-
системы A) приводится к преобразованию ее посредством
некоторой линейной подстановки с постоянными ко-
коэффициентами и к выполнению п квадратур.
Действительно, нетрудно убедиться, что если корни
X,, Х2, ..., кп уравнения B6) все различны, то всегда
найдется линейная подстановка с постоянными коэф-
коэффициентами, преобразовывающая систему A) в такую
d4f = qsi (О *!
dt
(t) z2
qsn (t) zn
=rl, 2,

l ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 289
для которой коэффициенты qs, будут удовлетворять
соотношениям
^(О + М^С-О^О, (s, а = 1, 2, ...,п).
А из последних при наших предположениях следует,
что все qS3, для которых s и а различны, будут нулями.
Интегрирование преобразованной системы приве-
приведется поэтому к выполнению п квадратур
, • -., \ Qnndt.
Что касается корней характеристичного уравнения
системы A) при рассматриваемых здесь предположениях,
то в случае, если определитель B1) не нуль, все эти
корни будут равными 1, а в противном случае—
все, за исключением одного, который может быть
каким угодно.
51. О характеристичном уравнении каноничес-
канонической системы. Иногда соотношения между инвариан-
инвариантами, о которых шла речь в предыдущем параграфе,
могут обусловливаться самым видом дифференциальных
уравнений, независимо от каких-либо функциональных
свойств их коэффициентов.
Укажем один из наиболее важных случаев этого
рода.
Допустим, что предложенная система есть канони-
каноническая
в которой Н представляет квадратичную форму пере-
переменных xi, X2, . .., хк, yi9 y.z, . . ., ук с коэффициентами
такого же характера, как в системе A).
Пусть
•^11» #21' * * '' *%Ь ^11' УIV • ' *» Ук1Л
#12, Х22, . . . , Х]<2, У12> У22У • • • » УЬЧ *
суть два каких-либо решения этой системы.
19 А. М. Ляпунов

290 А. М- ЛЯПУНОВ
Означая через H{(i=\, 2) результат замены
в функции Н величин xs, ys величинами xsi, ysi, най-
найдем:
к
дН> д#х дН, дЯ1
2! /
I [- Х
4
Но вторая часть этого равенства тождественно равна
нулю, ибо, представляя функцию величин B8), унич-
уничтожающуюся при одновременном равенстве их нулю,
обладает в отношении их тождественно равными нулю
частными производными. Так, например, частная про-
производная ее по xsi равна
dlh ^ (г дЧ1 1 л дЧ]
Вследствие этого равенство наше приводит к сле-
следующему соотношению
к
2 (хпУп — хпУп) = const.,
которым будут таким образом связаны всякие два ре-
решения системы B7).
Рассмотрим 2к независимых решений этой системы
x:s, xzs, • • •, xks, yls, y?s, • • ., yk8 E—1,2,..., 2k).
В силу доказанного сейчас между ними будут суще-
существовать кBк—1) соотношений вида
к
2 IPi'Vi* ~ xMi*) = Cs°> B9)
в которых постоянные Csz — — Cs. («, а=1, 2, ...,2А)
вследствие независимости рассматриваемых решений

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 291
будут таковы, что во всякой группе их
каково бы ни было данное число s, найдется по крайней
мере одна постоянная Csc, соответствующая отличному
от s числу а, которая не будет нулем.
Означая теперь через р1? р2, .. ., \>2к корни харак-
характеристичного уравнения системы B7), допустим, что
наши решения выбраны так, чтобы функции XjS, yjS
были вида
t t
где fjS1 ?jS означают или периодические функции t,
или (если между величинами ps существуют равные)
суммы конечного числа членов, представляющих про-
произведения из периодических функций на некоторые
целые неотрицательные степени t.
Тогда из равенства B9), которое примет вид
заключим, что если Csa не нуль, то необходимо будет
А так как по замеченному выше для каждого данного
числа s можно найти отличное от него число а, при
котором постоянная CS3 не будет нулем, то отсюда вы-
выведем, что каждому корню ps характеристичного урав-
уравнения будет соответствовать по крайней мере один
„ 1
корень, равный —, и что если уравнение это имеет
корень, равный +1 или—1, то последний всегда будет
кратным.
Вследствие этого можем утверждать, что если ха-
характеристичное уравнение
19*

292 A. M. ЛЯПУНОВ
системы B7) не имеет кратных корней, то между коэф-
коэффициентами его будут существовать соотношения
= As (s=l, 2, ...,ft-l). C0)
Но доказавши последние для случая простых кор-
корней, легко убедиться в справедливости их и для случая
кратных.
Будем рассуждать для этого следующим образом.
В функции Я, которая пусть будет
к к
Н = ^ 2 (Р**х*х* + qs,ysy, + г8оХ8уа),
S=lJ=l
коэффициенты pSJ, qSa, rss и г50(для s и а различных)
заменяем величинами
разумея под з произвольный параметр, а под х,, х2 . .., хА
какие-либо постоянные, для которых числа
X (О X <О X. U) —X tO —X СО —X.U) /О л \
е 1 , е 2 , .. .,е * , е i , е ^ , .. .,е « C1)
все различны, и рассматриваем каноническую систему,
соответствующую измененной таким образом функции 77.
Система эта при г = 0 будет обращаться в систему
с постоянными коэффициентами, для которой числа
будут служить корнями определяющего уравнения,
а следовательно, числа C1)—корнями характеристич-
характеристичного уравнения, соответствующего периоду оз.
Поэтому, замечая, что для нашей новой системы
иварианты As будут непрерывными по отношению к г,
ибо в силу теоремы § 48 представят некоторые целые
трансцендентные функции его, и принимая в расчет,
что по условию числа C1) все различны, заключим,
что характеристичное уравнение этой системы не бу-
будет иметь кратных корней ни при з ~ 0, ни при отлич-
отличных от нуля величинах s, модули которых достаточно
малы. Поэтому для таких значений з будут выполняться

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 293
соотношения C0). Но в таком случае соотношения эти
как выражающие равенства между целыми функциями
з необходимо будут выполняться для всяких его зна-
значений, а следовательно, и для з = 1, когда наша новая
каноническая система переходит в первоначальную.
Таким образом получаем следующую теорему:
Теорема. Если предложенная система линей-
линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэф-
коэффициентами имеет каноническую форму, то соот-
соответствующее ей характеристичное уравнение всегда
есть возвратное1).
Наше доказательство основывалось на существо-
существовании известного соотношения между всякими двумя
решениями системы B7).
Можно указать и другие системы, допускающие
подобные соотношения, из рассмотрения которых могут
быть выводимы некоторые заключения о характери-
характеристичном уравнении.
Таков, например, случай, когда в системе A) коэф-
коэффициенты pso связаны между собою уравнениями
л
2 (a/s Pi* ~~ а/°Л'«) = ° (s, <* = 1, 2, ..., и),
/=i
в которых aSj суть некоторые постоянные, удовлетво-
удовлетворяющие условию asa + aas — 0 при всяких $ и б, взятых
из ряда 1, 2, .. ., п.
Может случиться, что предложенная система, не
будучи канонического вида, приводится к нему посред-
посредством некоторой линейной подстановки с постоянными
г) Теорема эта указывается и А. Пуанкаре в его мему-
аре «Sur le probleme des trois corps et les equations de la
dynamique» (Acta mathematica, t. 13; стр. 99, 100), где автор
также основывает ее на соотношениях вида B9). Но она была
известна мне ранее опубликования этого мемуара, и еще
в феврале 1890 г. я сообщил ее Харьковскому математическому
обществу в том виде, как она изложена выше, вместе с некото-
некоторыми другими предложениями, касающимися характеристич-
характеристичного уравнения («Сообщ. Харьк. матем. общ.», серия 2, том II;
извлечение из протоколов заседаний),

294 A. M. ЛЯПУНОВ
или периодическими коэффициентами. Всякий раз, когда
это будет констатировано, а подстановка будет удов-
удовлетворять условиям § 10, можно будет утверждать,
что характеристичное уравнение для этой системы
есть возвратное.
Так, например, пусть предложена система
к t к
Ж = 2 [«» + 5 (Ps,-P:.)
(s=l, 2, ...,Л),
в которой коэффициенты pS3, имея обычные значения,
удовлетворяют условиям
^(Ps* — Pis)dt = O (s, a=l, 2,..., А'),
о
a aS5 суть какие-либо постоянные, для которых
aS3 + aas = 0 E, a= 1, 2, . .., А).
Делая
к t
5
О
(в=1, 2,...,
и полагая
к к
S=la=l z=l
z=l
' 2
s=lз-1
где
t
(ps, — p;s)dL
0

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 295
приведем эту систему к виду B7).Мы можем поэтому
утверждать, что характеристичное уравнение для нее
есть возвратное.
52. Некоторые особенные способы исследования
характеристичного уравнения. Если в уравнениях A)
коэффициенты /?SJ суть вещественные функции t (что
и будем здесь предполагать), то для исследования
характеристичного уравнения можно пользоваться ме-
методой, основанной на соображениях, подобных тем,
которые лежат в основании методы исследования устой-
устойчивости, названной нами второю.
Метода эта всегда дает возможность находить более
или менее точные высший и низший пределы модулей
корней характеристичного уравнения. Для получения
этих пределов можно например поступать, как было
сделано в § 7 при доказательстве теоремы I1).
Но метода эта может также служить иногда и для
раскрытия некоторых других свойств характеристич-
характеристичного уравнения.
Допустим, например, что предложена следующая
система
-jjt = ЛЛ + Рз*Я2 + . . . + PsnXn
{s=\, 2, ...,и), C2)
в которой коэффициенты pSo, представляющие ве-
вещественные периодические функции t, таковы, что
*) Если бы коэффициенты н наших уравнениях не были
вещественными, то полагая
и рассматривая ys, zs как вещественные функции t, мы со-
составили бы для определения их систему 2п-то порядка ли-
линейных дифференциальных зфавнений с вещественными коэф-
коэффициентами. А разыскивая указанным сейчас способом выс-
высший и низший пределы модулей корней характеристичного
уравнения для этой последней системы, мы нашли бы такие
пределы и для нашей первоначальной системы.

296
уравнение
+ J&12
+ Р1П
А. М. ЛЯПУНОВ
Рп2-+-Pzn ••• 2(рпп — к)
с неизвестной А; не имеет отрицательных корней ни
при каких значениях t (мы рассматриваем, как
и раньше, только вещественные значения t).
Пусть р есть наименьший из его корней (которые
все, как известно, вещественны).
Так как коэффициенты в наших дифференциальных
уравнениях мы всегда предполагаем непрерывными для
всех рассматриваемых значений ?, то такою же будет
и функция р. Функция эта притом будет периодиче-
периодическою с тем же периодом о), которым обладают коэффи-
коэффициенты pss.
Мы допустим, что функция р не равна тождественно
нулю (хотя, может быть, и может обращаться в нуль
при некоторых значениях t).
Тогда можно будет доказать, что характеристич-
характеристичное уравнение системы C2) имеет п корней с моду-
модулями, большими 1,ип корней с модулями, меньшими 1.
С этою целью, полагая
dxx dx2 , , dxn у
Xl~dt~l~x*~dT~i''-~tXn~dr=lA>
выводим из наших уравнений следующее:
Отсюда, предполагая все xs вещественными, по из-
известному свойству квадратичных форм находим:
8=1

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 297
А замечая, что вторая часть этого неравенства не
менее величины
dxx , dxz . . dxn
выводим из него следующее:
Здесь радикал }/р (когда р не нуль) будем считать
положительным.
Назовем значение функции X для ? = 0 через Хо
и будем рассматривать только положительные зна-
значения t. Тогда из найденного сейчас неравенства вы-
выведем:
I
Х>Хое о
Отсюда, полагая
заключаем, что если Хо есть величина положительная,
то функцию
Хе-Ч*-*»,
как бы мало ни было данное положительное число е,
выбором достаточно большого t можно сделать сколь
угодно большою.
Пусть для системы C2) найдено 2 п независимых
вещественных решений, и пусть
Xv X2, ...,Х2п C4)
суть функции, в которые обращается для них выра-
выражение X.
Каковы бы ни были наши решения, ни одна из этих
функций не будет тождественно равною нулю, ибо

298 А. М- ЛЯПУНОВ
такое равенство в силу C3) было бы возможно только
для функции, относящейся к решению
которое не входит в число рассматриваемых.
Мы можем притом всегда допустить, что решения
наши выбраны так, чтобы для функций C4) получались
выражения
2t 2t_ 21
Хг - г» Ft (О, Х2 = г» F2(t),..., Х2п = г » F2n (t),
где rv r2, . ..,Г2п суть модули корней характеристич-
характеристичного уравнения, соответствующего периоду со, a Fs(t)
некоторые вещественные функции t, удовлетворя-
удовлетворяющие условию, чтобы для каждой из функций
Fi(t), F2(t), ...,F2n(t),
характеристичное число было нулем.
Мы замечаем теперь, что всегда найдутся такие
значения t, при которых ни одна из функций C4) не
будет нулем.
Чтобы остановиться на чем-либо определенном, до-
допустим, что этому условию удовлетворяет значение
t — О. Допустим притом, что для t- 0 функции
Х19 А2, . .., Хт
делаются положительными, а остальные все отрица-
отрицательными.
На основании доказанного мы можем тогда утвер-
утверждать, что как бы мало ни было данное положительное
число г, функции
при t достаточно большом сделаются все сколь угодно
большими. А это при нашем предположении относи-
относительно вида функций Xs возможно только в случае,
если
(число со мы предполагаем положительным).

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 299
Рассмотрим теперь вместо C2) систему, выводимую
из нее заменою t на— t.
Эта новая система очевидно будет удовлетворять
всем предположениям, сделанным относительно преж-
прежней. Поэтому мы можем к ней приложить предыдущие
рассуждения, заменяя функции C4) следующими:
2t _2t
Х;=-гГиЛ(-*). X'2=-r2~*F2(-t),...
2*
..., Х'п = — г2п ш F2n ( — t).
Но из последних функции
при ? —О делаются, согласно допущенному выше, по-
положительными. Поэтому, подобно предыдущему, зак-
заключим, что
1
Таким образом (принимая в расчет, что число к не
нуль и положительно) приходим к выводу, что при
наших допущениях характеристичное уравнение си-
системы C2) будет иметь m корней с модулями
большими 1, и 2п — т корней с модулями
меньшими 1.
Покажем, что необходимо будет т~п.
Для этого прежде всего замечаем, что если бы ко-
коэффициенты pSQ в наших дифференциальных уравнениях
удовлетворяли условию;?^ = /?.$ для всякихяи о, взятых
из ряда 1, 2, ..., /г, то равенство т~п несомненно
имело бы место. Действительно, из доказанного в пре-
предыдущем параграфе следует, что характеристичное
уравнение системы C2) было бы тогда возвратным.

300 А- М- ЛЯПУНОВ
Обращаясь теперь к общему случаю, заменяем в
системе C2) коэффициенты /?SJ следующими выраже-
выражениями:
Qs* = j (ps, + Pas) + j (Psz — Pzs) (s, a = 1, 2, . .., n),
разумея под з произвольный вещественный параметр.
Каково бы ни было число г, будем иметь
qsz + q*s = Ps* + Pas»
Поэтому наша новая система при всяком s будет удов-
удовлетворять предположениям, сделанным относительно
системы C2).
На основании доказанного мы можем, следовательно,
утверждать, что характеристичное уравнение этой но-
новой системы не будет иметь корней с модулями, рав-
равными 1, ни при каких значениях s.
Но в таком случае, принимая в расчет, что коэф-
коэффициенты As в этом уравнении
будут непрерывными функциями з для всех значений
последнего (§ 48), мы должны заключить, что число
корней этого уравнения с модулями, большими 1 (или
меньшими 1) будет всегда одно и то же, каково бы ни
было з. Для определения этого числа достаточно, сле-
следовательно, рассмотреть предположение 8 = 0. А так
как в этом предположении qS3—qtS при всяких s
и а, то в силу замеченного выше искомое число
должно быть равным п.
Теорему нашу мы можем поэтому считать доказан-
доказанной, ибо, полагая з = 1, приходим к системе C2).
Показав, что характеристичное уравнение этой си-
системы имеет п корней с модулями, большими 1, и та-
такое же число корней с модулями, меньшими 1, мы нашли
вместе с тем низший предел eAw для модулей корней
первого рода и высший предел е~Аи> для модулей корней
второго рода.
Можно заметить, что теорема I § 49 заключается
в доказанной сейчас, как некоторый частный случай.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 301
Чтобы дать еще один пример, допустим, что для
системы A) удалось найти интеграл, представляющий
квадратичную форму переменных xs с постоянными или
периодическими коэффициентами. Допустим притом, что
интеграл этот представляет функцию знакоопределен-
ную (§ 15), так что при вещественных t, xi, хъу .. ., хп
не может сделаться численно менее функции
N(x\ + x22+ ...+х2пI
в которой N означает некоторую положительную пос-
постоянную.
Из существования такого интеграла заключим, что
во всяком вещественном решении системы A) все функ-
функции xs будут всегда оставаться по числовым величинам
менее некоторого предела, каково бы ни было поло-
положительное или отрицательное t. А это возможно толь-
только при условии, если все корни характеристичного
уравнения обладают модулями, равными 1, и если
притом в решениях типа E), соответствующих крат-
кратным корням, все функции fs (t) остаются периодическими.
С указанным сейчас случаем мы, например, встре-
встречаемся, когда коэффициенты psz в системе A) удовлетво-
удовлетворяют условию
Pss + Pos ~ 0
при всяких s и а, взятых из ряда 1, 2, . . ., п. Система
эта обладает тогда интегралом
x\ + xl+ ... +х2п.
53. Приложение принципов теории функций ком-
комплексной переменной. Один случай, когда логариф-
логарифмы корней характеристичного уравнения опреде-
определяются алгебраически при помощи некоторых опре-
определенных интегралов. До сих пор мы рассматривали
только вещественные значения переменной Л Но если
рассматривать и мнимые ее значения (изображая их,
как это принято, точками на некоторой плоскости),
а относительно коэффициентов /?S3 сделать надлежащие
предположения, то для решения различных вопросов
относительно системы A) и в частности—вопроса об

302 A. M. ЛЯПУНОВ
определении инвариантов As можно будет воспользовать-
воспользоваться общими принципами теории особенных точек линей-
линейных дифференциальных уравнений.
Пусть в плоскости комплексной переменной t про-
проведены две прямые, параллельные вещественной оси,
с той и другой стороны ее в расстояниях от нее, рав-
равных /г, и пусть коэффициенты pS: (которые попрежнему
предполагаем периодическими с вещественным перио-
периодом со) даны для всех точек части плоскости, лежащей
между означенными прямыми, как функции комплекс-
комплексной переменной t, не имеющие особенных точек на
этой части плоскости, включая и самые прямые1).
При этом условии, если провести окружность ра-
радиуса h с центром в точке ? — 0, то для всех точек,
лежащих внутри этой окружности или на ней самой,
коэффициенты pso, а также и функции xs, удовлетво-
удовлетворяющие уравнениям A), можно будет представлять
рядами, расположенными по целым положительным
степеням t.
Поэтому, если <а < h (со мы предполагаем положитель-
положительным), то пользуясь такими рядами, можно будет опре-
определять значения функций xs для t = со по данным зна-
значениям их для t — 0. А ряды, которыми выразятся эти зна-
значения, доставят тотчас же и ряды для вычисления
инвариантов As.
Когда со > /г, употребление таких рядов, конечно, не
всегда будет законно. Но тогда для вычисления инва-
инвариантов можно получить некоторые ряды другого рода,
пользуясь, например, приемами, указанными Гамбур-
Гамбургером и Пуанкаре2).
х) Бесконечно удаленных точек мы не рассматриваем.
2) Hamburger, tjber ein Princip zur Darstellung des
Verhaltens mehrcleutiger Fun:tionen et c, J. fur Mathe.natik,
т. 83.
Poincare, Sur les groupes des equations differentielles
lineaires. Acta mathernatica, т. 4.
См. также недавно появившийся мемуар: Mittag-
Le i f 1 е г, Sur la representation analytique des integrates et
des invariants duae equation differentielle lineaire etho nogene.
Acta mathe aatica, т. 15.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 303
Мы не будем останавливаться здесь на рассмотрении
этих и вообще каких бы то ни было рядов, которые
могут быть предложены для вычисления инвариантов.
Но укажем один из простейших случаев, когда инва-
инварианты могут быть определяемы без помощи рядов.
Случай этот выводится из известной теоремы Фукса,
относящейся к условиям для так называемой правиль-
правильности решений линейных дифференциальных уравне-
уравнений вблизи критических точек.
Положим
Принимая вместо t за независимую переменную z,
преобразуем систему A) в следующую:
— z^f = psl (z) хг + ps2 (z)x2+ ...+ psn (z) xn Co)
(s=l, 2, ...,n).
Согласно сделанным уже предположениям, коэф-
коэффициенты pSz {z) будут здесь функциями комплексной
переменной z, не имеющими особенных точек на части
плоскости, лежащей между двумя концентрическими
2теЛ _"Znh
окружностями радиусов е и е с общим центром
в точке z = 0, ив этой области будут однозначными.
Но теперь мы будем предполагать, что коэффи-
коэффициенты эти не имеют особенных точек на всей части
2тсЛ
плоскости, ограниченной окружностью радиуса е w
с центром в точке z = 0.
При таком предположении система C5) будет удов-
удовлетворять условиям фуксовой теоремы для точки z = 0.
Мы можем поэтому утверждать, что если хх, х2,. .., *п
суть корни уравнения
Рн@)-"* Ая@) •.../?!„ @)
Рт@)

304 А. М- ЛЯПУНОВ
то числа
е*!*, ех2ш, . . ., ex"w C6)
суть корни характеристичного уравнения системы C5),
соответствующего обходу точки z = 0 по окружности
достаточно малого радиуса с центром в этой точке.
А так как при наших предположениях радиус этой
окружности можно сделать равным 1, то числа C6)
представят и корни интересующего нас характери-
характеристичного уравнения системы A), соответствующего из-
изменению вещественного t на величину периода о>.
Впрочем в справедливости такого разультата весьма
нетрудно убедиться, и не прибегая к теореме Фукса.
Для этого, разумея под з некоторый параметр,
рассматриваем вместо C5) систему
V Z if ~= Al (SZ) Xl + А« BZ) Ж2 + • •
выводимую из нее заменою z на гъ.
Из самого способа получения этой системы следует,
что инварианты ее, соответствующие обходу точки
2 = 0 по окружности радиуса 1 с центром в этой точке,
будут оставаться неизменными, какова бы ни была
отличная от нуля величина з, лишь бы только модуль
2тсЛ
ее не превосходил числа е ^ , большего 1. А из теоремы
§ 48 нетрудно вывести, что, делая модуль з доста-
достаточно малым, инварианты эти можно сделать сколь
угодно мало отличающимися от соответственных инва-
инвариантов системы
™z§=ft, @)^ + ^,@) *,+ ...+A40)Sn C7)
(s = l, 2, ...,п).
Поэтому инварианты системы C5), соответствующие
обходу точки z = 0 по означенному выше контуру, не-
необходимо будут тождественны с соответствующими ин-
инвариантами системы C7).

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 305
Последняя же интегрируется известным образом,
и корни ее характеристичного уравнения определяются
именно так, как было указано выше1).
Для главной задачи нашего исследования могут
представлять интерес только такие системы уравне-
уравнений, в которых коэффициенты можно предполагать
вещественными для всех вещественных значений t.
Системы же, удовлетворяющие рассмотренному сейчас
условию, если в них коэффициенты не суть постоян-
постоянные величины, очевидно, не принадлежат к числу та-
таких. Но к ним путем известных преобразований могут,
конечно, приводиться и системы с вещественными коэф-
коэффициентами.
Рассмотрим, например, следующую систему:
dx8 1
~JJ — PsiXl + PS2X2 + • • • + Psn%n —
dxi
= li 2, ..., /г),
C8)
в которой коэффициенты /?5J, qSQ будем предполагать
периодическими функциями t с вещественным пери-
периодом о, не имеющими особенных точек ни на веществен-
вещественной оси, ни в расстояниях от нее, равных или меньших
некоторого предела h. Кроме того, будем предполагать,
что коэффициенты эти удовлетворяют соотношениям
С 2nmt 7 f . 2nmt 7
\ pSz cos at = \ q,Q sin eft,
I A) 1 U)
0 0
Г . 2«m« , Г 2ътЬ л.
\ psz sin a^ = — \ gS3 cos at
J O) J (D
о о
при всяком целом положительном m 2).
х) Прием, которым мы сейчас воспользовались, легко
прилагается и к доказательству самой теоремы Рукса.
2) Пути интегрирований предполагаются здесь прямо-
прямолинейными.
20 д. М. Ляпунов

306 A- M. ЛЯПУНОВ
Эти соотношения выражают, что если разложения
функций psi в ряды синусов и косинусов целых крат-
ностеи — суть следующие:
оо
ps, = aW + 2j \a>s* cos — b\, 'sin —^- J f
m=l
то разложения функций qS3 будут вида:
> sin
Известно, что при рассматриваемых здесь предпо-
предположениях представление коэффициентов /?SJ, qSa та-
такими рядами возможно для всех значений t, которые
изображаются точками, отстоящими от вещественной оси
в расстояниях, меньших h.
Обращаясь теперь к нашей системе уравнений, мы
замечаем, что если за неизвестные функции принять
величины
и* = х$ + iys> us = xs — 1У8 (s = 1> 2, . .., n),
разумея под i \/ — 1, то система эта распадается
на две:
-щ = (Psi + 4si) lh + (Ps2 + iqs*} U2 + - • • + (Psn + iqsn) Un,
~jj = (Psi - 4si) Vl + (Ps2 — Чп) °2 + • • • + (Psn - 4sn) On
интегрирующиеся отдельно.
Притом каждую из этих последних можно счи-
считать удовлетворяющею условиям системы, рассмот-
рассмотренной выше, и первую (если ш > 0) — для независи-
независимой переменной t, вторую—для независимой пере-
переменной — t.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 307
Действительно, если положим
то коэффициенты первой системы представятся рядами
не содержащими отрицательных степеней z и потому
при наших предположениях определяющими функции
комплексной переменной z, не имеющие особенных
2-rcft
точек на всей площади круга радиуса е с центром
в точке z = 0. Точно так же, если положим
е ш = С,
то коэффициенты второй системы представятся рядами
-*?..= 2 (a^-t^)С™,
т=0
не содержащими отрицательных степеней ? и, следова-
следовательно, определяющими функции комплексной пере-
переменной С, не имеющие особенных точек на площади
круга радиуса е с центром в точке C = U.
Вследствие этого мы можем утверждать, что корни
характеристичного уравнения системы C8) найдутся так.
Полагая
1С
— \
о
заменяем коэффициенты pS51 qSJ в этой системе величи-
величинами as:, 6SJ и для получаемой таким путем системы
с постоянными коэффициентами составляем опреде-
определяющее уравнение. Пусть х1? х2, . . ., ът суть корни
20*

308 A. M. ЛЯПУНОВ
этого уравнения. Тогда числа
будут искомыми корнями характеристичного уравне-
уравнения, соответствующего периоду ш.
Названное здесь определяющее уравнение будет вида
АД'-0, где
д =
^12
а А' получается из А заменою величин aSa+j'6Sa вели-
величинами asz— ibSl.
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
54. Интегрирование посредством рядов, располо-
расположенных по степеням постоянных произвольных.
Пусть исследуемые дифференциальные уравнения воз-
возмущенного движения имеют обычный вид:
-Jjr = Psixi + ftA+'"+ PsnXn + X$ C9)
где Xs суть функции переменных xl9 x2, .. ., xn, t, раз-
разлагающиеся в ряды
по целым положительным степеням величин xlf х2, ...
..., хП} не содержащие членов ниже второго измерения.
Мы будем здесь рассматривать эти уравнения в пред-
предположении, что все коэффициенты ps:, /Хть ...,тм) СуТЬ
периодические функции t с одним и тем же веществен-
вещественным периодом со.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 309
Притом, рассматривая здесь исключительно только
вещественные значения t, мы будем предполагать, что
коэффициенты эти остаются определенными, непре-
непрерывными и вещественными для всех таких значений t
и что ряды, которыми выражаются функции Xs,
представляют голоморфные функции переменных х19
х2, . .., хп в равной степени для всех вещественных зна-
значений I (§ 33, примечание).
При условии периодичности коэффициентов в этих
рядах последнее предположение, конечно, есть только
иное выражение предположения § 4 или, если угодно,
предположения § 11.
Вместо системы C9) мы будем часто рассматривать
различные ее преобразования и между прочим—преоб-
прочим—преобразования посредством линейных подстановок с пери-
периодическими коэффициентами.
Эти последние преобразования всегда будут таковы,
что коэффициенты в преобразованной системе будут
обладать всеми перечисленными выше свойствами.
Названные подстановки можно будет притом вы-
выбирать так, чтобы для преобразованной системы коэф-
коэффициенты в членах первого измерения выходили
постоянными, и такое преобразование будет возможно
с сохранением вещественности всех коэффициентов,
если только период со выбран так, чтобы число -^ было
также периодом для коэффициентов системы C9)
(стр. 273).
Мы будем часто говорить о характеристичном урав-
уравнении системы дифференциальных уравнений возму-
возмущенного движения, разумея под этим характеристич-
характеристичное уравнение системы линейных дифференциальных
уравнений, относящейся к первому приближению.
Притом всегда будем предполагать, что речь идет
о характеристичном уравнении, соответствующем пери-
периоду со. Последний же, чтобы иметь в виду нечто
определенное, всегда будем считать положительным.
Рассмотрим ряды, которые получаются при интегри-
интегрировании системы C9) по способу, изложенному в § 3.

310 А. М- ЛЯПУНОВ
Пусть Pi, р2, . .., рп суть корни характеристичного
уравнения этой системы.
Останавливаясь на каких-либо определениях лога-
логарифмов, положим
Тогда, если
>,..., х(т)
суть совокупности членов в этих рядах m-го измере-
измерения относительно постоянных произвольных, по сте-
степеням которых производится разложение, то для ве-
величин x(sm) получатся выражения вида
Хт = V T(mi""' mn^ e (mixi + m2x2+...-fmn^) tf D0)
где суммирование распространяется на все целые неот-
неотрицательные числа т19 т2,.. ., тП9 подчиненные условию
0 < тх + т2 + .. . + тп < т,
и где все 21(|ni»«-»»nn) означают или периодические функ-
функции t, или суммы конечного числа членов, представ-
представляющих произведения из периодических функций на
некоторые целые неотрицательные степени t л).
В этом убедимся, рассматривая ближе выражения
х^п\ данные в § 3, и принимая в расчет нижеследующие
формулы.
Пусть / (t) есть периодическая функция t с перио-
периодом о>,?гг—целое положительное число или нуль и х—по-
х—постоянная, для которой число хсо не представляется
х) Периодические функции, о которых здесь идет речь,
обладают периодом со и остаются определенными и непрерыв-
непрерывными для всех вещественных значений t. Вообще все перио-
периодические функции г, с которыми мы встретимся далее, будут
обладать такими же свойствами. Но каждый раз упоминать
об этом для сокращения речи не будем.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 311
под видом 2tc7V j/" — 1 ни при каком вещественном це-
целом N. Тогда будем иметь:
const.,
где все fs(t), <ps (О означают некоторые периодические
функции t с периодом я, а /г—следующую постоянную:
Если при составлении рассматриваемых рядов вы-
вычисления ведутся так, чтобы все х(т\ для которых т> 1,
при t = О делались нулями, то ряды эти, когда модули
постоянных, по степеням которых они располагаются,
достаточно малы, будут, как мы знаем, действительно
представлять функции, удовлетворяющие нашим урав-
уравнениям по крайней мере в известных пределах изменя-
изменяемости t.
Но отбрасывая указанное сейчас условие, вычис-
вычисления можно вести так, чтобы в выражениях D0) ис-
исчезали все члены, для которых
и чтобы выражения T(mi>---> тп) выходили вида
, m2,...,mn) _- J?(ini, m2,..., ™n) ami a7712 . . .
S S 1 2 n '
где olv a2, ..., an —произвольные постоянные, а
dg"(mi,...,mn)__He зависящие от них функции t.
Если получаемые при этом ряды рассматривать как
расположенные по степеням величин

312 A. M. ЛЯПУНОВ
то коэффициенты в них будут суммами конечного числа
периодических и вековых членов1).
Относительно сходимости этих рядов вообще мы
не можем делать никаких определенных заключений.
Но в случае, когда между числами xs находятся такие
xlt х2, . .., xft, D1)
вещественные части которых отличны от нуля и все
одного и того же знака, и когда ряды эти составля-
составляются в предположении
для них будет справедлива теорема вполне аналогичная
той, которая была формулирована в § 23.
В этом случае при произвольно выбранных значениях
постоянных «J, а2, ..., % рассматриваемыми рядами
будет определяться некоторое решение системы C9)
или для всякого t, большего некоторого предела (за-
(зависящего от выбора названных постоянных), когда
вещественные части чисел D1) все отрицательны, или
для всякого t, меньшего некоторого предела, когда
вещественные части этих чисел все положительны.
55. Теоремы об условиях устойчивости и неустой-
неустойчивости, доставляемых первым приближением. Осо-
Особенные случаи. Определение тех из них, которые
составляют предмет дальнейшего исследования.
Из предыдущего тотчас же выводятся некоторые
предложения, относящиеся к условиям устойчивости
в занимающем нас теперь случае.
Так, из теоремы II § 13 выводится следующая:
Теорема I. Всякий раз, когда характеристич-
характеристичное уравнение системы дифференциальных уравнений
возмущенного движения имеет корни с модулями, мень-
меньшими 1, невозмугценное движение обладает известною
условною устойчивостью, и между возмущениями на-
х) Мы будем называть вековыми всякие члены вида tm f(t),
где т—целое положительное число и / (t) — периодическая
функция.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 313
хддятся такие, при которых возмущенные движения
асимптотически приближаются к невозмущенному. Если
число названных корней есть к, то при этих возмуще-
возмущениях могут оставаться произвольными к из началь-
начальных значений величин, по отношению к которым иссле-
исследуется устойчивость.
Что касается устойчивости безусловной, то из тео-
теоремы I указанного сейчас параграфа и из замечен-
замеченного в § 26 (примечание) в этом отношении выводится
следующее предложение:
Теорема II. Когда характеристичное уравнение
обладает только корнями, модули которых меньше 1,
невозмущенное движение устойчиво и притом так, что
всякое возмущенное движение, достаточно к нему близ-
близкое, приближается к нему асимптотически. Когда
же в числе корней названного уравнения находятся
такие, модули которых больше 1, движение это не-
неустойчиво.
Из этой теоремы следует, что сомнительными по
отношению к устойчивости остаются только те случаи,
когда характеристичное уравнение, не имея корней с
модулями, большими 1, имеет корни с модулями, рав-
равными 1.
Однако для многих вопросов такие случаи суть
единственные, в которых возможна безусловная устой-
устойчивость.
Таковы, например, все вопросы, для которых систе-
система дифференциальных уравнений возмущенного дви-
движения имеет каноническую форму.
Мы знаем (§ 51), что для такой системы все корни
характеристичного уравнения распадаются на пары
таких, произведения которых равны 1. Поэтому
безусловная устойчивость для вопросов этой кате-
категории возможна только в случае, когда все корни ха-
характеристичного уравнения обладают равными 1 мо-
модулями.
Вообще вопросы об устойчивости в указанных со-
сомнительных случаях уже для движений установившихся
представляются весьма трудными. Для движений же

314 А- М- ЛЯПУНОВ
периодических затруднения делаются, конечно, еще бо-
более серьезными. Однако в известных случаях этого
рода (при условии, что систему линейных дифферен-
дифференциальных уравнений, соответствующую первому при-
приближению, удалось проинтегрировать) для названных
вопросов могут быть предложены некоторые общие ме-
методы исследования.
Подобно тому как в предыдущей главе, мы рас-
рассмотрим здесь последовательно два таких случая: 1) когда
характеристичное уравнение имеет один равный 1
корень при остальных корнях с модулями, меньшими 1,
и 2) когда уравнение это имеет два мнимых сопряжен-
сопряженных корня с модулями, равными 1, а остальные все,
как и в первом случае, с модулями, меньшими 1.
Мы не указали здесь случая, когда характеристич-
характеристичное уравнение имеет корень, равный —1, при осталь-
остальных корнях с модулями, меньшими 1, так как случай
этот приведется к первому из сейчас указанных, если
за период принять число вдвое большее прежнего.
1-й случай: характеристичное уравнение
с одним равным единице корнем
56. Приведение дифференциальных уравнений
к некоторому характерному виду. Случаи общий
и особенный. Допустим, что характеристичное уравне-
уравнение рассматриваемой системы (которая пусть будет
(тг+1)-го порядка) имеет один равный 1 корень и п кор-
корней с модулями, меньшими 1.
В силу изложенного в § 47 мы можем предположить,
что посредством линейной подстановки с периодиче-
периодическими коэффициентами система наша преобразована
к следующему виду:
dx_x
^ = р х +р2х2+ ...+psnxn + psx + X, \ D2)
(в = 1, 2, ..., п), .

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 315
где X, Xs, представляющие голоморфные функции пе-
переменных х, х1У х21 . . ., xnf не содержат в своих разло-
разложениях членов ниже второго измерения.
Коэффициенты в этих разложениях, равно как и
коэффициенты ps суть некоторые периодические функ-
функции t. Коэффициенты же ps^ будем предполагать посто-
постоянными и согласно допущенному—такими, чтобы урав-
уравнение
Рц — * Pi2 ••• Pin
Р21 7?22—* •• • Рт
= 0 D3)
Pn\ Pri2
имело только корни с отрицательными вещественными
частями.
Все коэффициенты в системе D2) будем предпола-
предполагать притом вещественными.
В двух случаях, как увидим, вопрос об устойчи-
устойчивости будет решаться непосредственно по виду урав-
уравнений D2).
Если Х(°\ XW суть выражения, в которые обра-
обращаются функции X, Xs при
то одним из этих случаев будет тот, когда функция
Х(°> не равна тождественно нулю и разложение ее по
восходящим степеням х начинается членом с постоян-
постоянным коэффициентом, а степень этого члена не выше
наинизшей из степеней ху встречающихся в разложе-
разложениях функций ^0), и когда притом все ps суть нули.
Другим будет тот, когда Х(°\ все Х<°> и все ps тожде-
тождественно равны нулю.
Что же касается всех прочих возможных случаев,
то они, как сейчас покажем, будут приводиться путем
некоторых преобразований к этим двум.

316 A. M. ЛЯПУНОВ
Будем стараться удовлетворить уравнениям D2) ря-
рядами
х8 = и<1) с + гг<2) с2 + в<*> Сз + . . . D4)
(s=l, 2, ..., л), J
расположенными по целым положительным степеням
произвольной постоянной с, с коэффициентами иA\
иA\ представляющими ил pi периодические функции t>
или суммы конечного числа периодических и вековых
членов.
Определение этих коэффициентов будет зависеть от
дифференциальных уравнений, по существу такого же
характера, как и те, с которыми мы имели дело в
§ 34, и так же, как и там, придем к выводу, что если
между функциями иA\ и^ существуют непериоди-
непериодические, то такие найдутся уже в ряду функций
и<2>, в<3>, и<4>, ...,
и что если первою непериодическою в ряду этом оказы-
оказывается и(т), то функции
, в<2\ ...,вО«-1> ($-1,2, ..., л)
все будут периодическими, а функция и(т будет" вида
где g—отличная от нуля постоянная, а о—периоди-
о—периодическая функция t.
Допуская, что мы имеем дело с таким случаем,
и что вычисление было ведено так, чтобы все иA\ и?^
выходили вещественными, преобразовываем систему
D2) посредством подстановки
4- . . . -h u<™-V z111'1 + ozm,

ОБЩАЯ ЗАДАЧА OB УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 31?
При этом приходим к системе прежнего вида
dz v
dt^L'
§ = Ai zx + pS2 z% + . . . + Psn zn + Zs
(s = l, 2, ..., n),
но удовлетворяющей условиям первого из указанных
выше двух случаев. Действительно, нетрудно убедиться,
что если Z(°\ Z(°) суть функции, в которые обращаются
Z, Zs при zx = z2 = . .. = zn — 0, то разложение функции
Z(°) по восходящим степеням z будет начинаться т-ой
степенью последнего, которая будет сопровождаться
постоянным коэффициентом g, а разложения функций
Z^ не будут содержать z в степенях ниже т-ож.
v Допустим теперь, что мы имеем дело с тем случаем,
когда u(l\ u'sl> оказываются все периодическими, как
бы велико ни было число /.
Тогда так же, как в § 35, докажем, что если при вы-
вычислении соблюдается правило, чтобы все uW обраща-
обращались в нуль для одного и того же данного значения ty
например t = 0, то ряды D4) при | с | достаточно малом
будут абсолютно сходящимися и притом в равной
степени для всех вещественных значений t.
Рядами этими будет определяться тогда некоторое
периодическое решение системы D2), и при всяком веще-
вещественном численно достаточно малом с решению этому
будет соответствовать некоторое периодическое дви-
движение. Мы будем, следовательно, иметь дело с неко-
некоторым непрерывным рядом периодических движений,за-
движений,заключающим в себе и рассматриваемое невозмущенное.
В этом случае, преобразовывая систему D2) по-
посредством подстановки
+ z*+ . . .
(s=l, 2, ..., n),

318 А. М- ЛЯПУНОВ
получим систему вида D5), в которой Z и все Zs при
zt = z2 = ... = zn = О
будут делаться нулями. Мы придем, следовательно, ко
второму из указанных выше двух случаев.
В обоих случаях преобразования наши таковы, что
задача об устойчивости по отношению к прежним
переменным х, xs будет вполне равносильна задаче
об устойчивости по отношению к новым zf zs.
Заметим кроме того, что если функции X, Xs го-
голоморфны по отношению к переменным ху х0 в равной
степени для всех вещественных значений t (что и имеет
место в силу предположенного в § 54), то Z, Zs будут
по отношению к z, z0 голоморфными также в равной
степени для всех вещественных значений t.
57. Исследование общего случая. Рассмотрим си-
систему D5) в предположении, что она удовлетворяет
условиям первого случая.
Обозначая через g отличную от нуля постоянную,
через Р'г\ Р®\ ..., /К-1) не зависящие от z линейные
формы величин zs с периодическими коэффициентами
и через Q квадратичную форму тех же величин с та-
такими же коэффициентами, допустим, что
и что выражение, входящее во вторую часть до члена
Q включительно, представляет совокупность всех чле-
членов функции Z, которые или ниже (т-\-1)-го измерения
и содержат величины zs в степенях не выше первой,
или ниже третьего измерения.
По свойству наших уравнений функции Zs в членах,
не зависящих от величин z5, не будут содержать z
в степенях ниже т-ой.
Поэтому, рассматривая, кроме таких членов, еще
только члены линейные относительно величин z0 и рас-
располагая те и другие по восходящим степеням z, можем
допустить, что
Zs = gszm + .. . + РЫ z + PW z2 + Р<3) z3 + ...

общая задала об устойчивости движения 319
Здесь gs суть некоторые периодические функции t,
а Р^~ линейные формы величин za с периодическими
коэффициентами.
Означим теперь через Ш1*, 1К2\ ..., СД1") неко-
некоторые подлежащие нашему выбору линейные формы
величин zs с периодическими коэффициентами, а че-
через W также подлежащую нашему выбору и с такими же
коэффициентами квадратичную форму этих величин.
Рассматривая сначала случай, когда т есть число
четное, положим
и постараемся распорядиться линейными формами
* « dv
так, чтобы в выражении производной j- , составлен-
составленной в силу наших дифференциальных уравнений, ис-
исчезали все члены, линейные относительно величин zs
и содержащие z в степенях ниже иг-ой.
Для этого означенные формы надо будет выбрать
согласно уравнениям
(*=1, 2, ..., m~\)
(где вторая сумма при к = 1 должна быть заменяема
нулем). А такая задача при рассматриваемом характе-
характере корней уравнения D3) всегда будет возможна в пред-
предположении периодичности коэффициентов форм U(k\
Предположение это делает ее притом вполне опреде-
определенною.

320 A«, M. ЛЯПУНОВ
Остановившись на таком выборе форм U(k\ форму W
выберем согласно уравнению
п
s\ ттт л ТТТ
2 (ЛЛ + РлЧ + • • • + Рш^п) -fot + -Щ- + Q =
что также всегда возможно сделать.
Тогда найдем
разумея под S выражение вида
S=la=l
в котором v, vsi суть некоторые функции переменных
t, z, zL, z2, ..., za уничтожающиеся при
z = z1 — z2 =* • •. = zi% = 0,
периодические относительно г и голоморфные отно-
относительно z, zs в равной степени для всех вещественных
значений t.
Наша функция V будет, следовательно, удовлетво-
удовлетворять всем условиям теоремы II § 16. Мы должны поэтому
заключить, что невозмущенное движение неустойчиво.
Рассмотрим теперь случай нечетного т.
Полагая
~z2
выбираем квадратичную форму W с постоянными ко-
коэффициентами согласно уравнению
2 (АЛ + *>«*» + • • • + P**z») ЪТ, =
/2. 2. . 2Ч / / П\
= g(zx + z2+ ...+zn). D6)

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 321
Затем линейными формами UW распоряжаемся так,
^ « dV «
чтобы в выражении производной j- , составленной в силу
наших дифференциальных уравнений, исчезали все чле-
члены, линейные относительно величин zs и содержащие z
в степенях ниже (т + 1)-ой, для чего формы эти опре-
определяем уравнениями
(k=l, 2, ..., т-2),
S-1
5s11
Вследствие этого находим
разумея под *S некоторое выражение вида
при таком же значении букв у, vsa> как и в предыдущем
случае.
Таким образом при рассматриваемом определении
форм W, U(J) функция V выходит такою, что производ-
производная ее представляет знакоопределенную функцию пе-
переменных z, zs, t, обладающую при достаточно малых
z\, \zs\ знаком постоянной g.
21 А. М. Ляпунов

322 A. M. ЛЯПУНОВ
Поэтому, замечая, что форма W как удовлетворяющая
уравнению D6) по теореме II § 20 сохраняет знак, про-
противоположный знаку g, подобно тому, как в § 29
(стр. 152), заключаем, что при g < 0 невозмущенное дви-
движение устойчиво, а при g > 0 неустойчиво.
Мы можем кроме того утверждать, что при g < 0
возмущенные движения, соответствующие каким угод-
угодно численно достаточно малым возмущениям, будут
асимптотически приближаться к невозмущенному
движению.
58. Исследование особенного случая. Рассмотрим
теперь систему D5) в предположении, что она удовле-
удовлетворяет условиям второго случая, т. е. в предположе-
предположении, что функции Z, Zs при zx = z2 = ... = zn = 0 все де-
делаются нулями.
Подобно тому, как в § 38, докажем, что в этом слу-
случае она будет допускать полное интегральное уравне-
уравнение вида
z = c + f(zXt za, ..., zn, с, t),
где с—произвольная постоянная, а /—функция вели-
величин zs9 с, t, которая по отношению к zs) с есть голоморф-
голоморфная в равной степени для всех вещественных значений
t и в своем разложении, не содержащем ни членов
первого измерения относительно zs, с, ни членов, но
зависящих от величин zs, обладает коэффициентами,
представляющими вещественные периодические функ-
функции t г).
г) Система D5) несколько более общая, чем та, с кото-
которою мы имели дело в § 38. Но это обстоятельство, которым
обусловливается более общий вид рассматриваемого здесь ин-
интегрального уравнения, не вызывает существенных изменений
в доказательстве. Последнее попрежнему будет основываться
только на трех следующих предположениях: 1) что корни
уравнения D3) обладают все отличными от нуля веществен-
вещественными частями одного и того же знака, 2) что функции Z, Z8
при 21 = 22= ... =zn = 0 все делаются нулями и 3) что функ-
функции эти по отношению к z, za голоморфны в равной степени
для всех вещественных значений t.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 323
А пользуясь этим уравнением для исключения пе-
переменной z и рассматривая систему, выводимую та-
таким путем из D5), легко докажем (§ 38), что в нашем пред-
предположении невозмущенное движение всегда будет
устойчивым, что всякое достаточно близкое к нему воз-
возмущенное движение будет асимптотически прибли-
приближаться к одному из периодических движений
и что из этих последних все, соответствующие величи-
величинам с, численно достаточно малым, будут устойчивыми.
Примечание. Из изложенного следует, что всякий
раз, когда системе D2) возможно удовлетворить перио-
периодическими рядами D4), она будет обладать голоморф-
голоморфным интегралом вида
z+F(x, x19 х2, ..., хп9 t), D7)
где F означает голоморфную функцию величин х, xlt . •.
..., хп, разложение которой не содержит членов ниже
второго измерения и обладает периодическими отно-
относительно t коэффициентами.
При этом всякий периодический относительно t го-
голоморфный интеграл будет голоморфною функцией од-
одного из интегралов вида D7).
Нетрудно убедиться также и в справедливости об-
обратного: если система D2) допускает интеграл,
периодический относительно t и голоморфный от-
относительно х, xs, то будет допускать также и периоди-
периодическое решение вида D4) (§ 38, примечание и § 44).
59. Изложение методы. Пример. Выводы, к которым
мы пришли, можно резюмировать следующим образом:
Пусть дифференциальные уравнения возмущенного
движения преобразованы к виду D2), и для них ищется
решение, зависящее от одной постоянной произвольной
су под видом рядов D4), расположенных по целым поло-
положительным степеням этой постоянной, при следую-
следующем всегда возможном условии: чтобы коэффициенты щ
в этих рядах представляли периодические функции t,
21*

324 А. М. ЛЯПУНОВ
чтобы такими же были все up, если коэффициент и&
оказывается периодическим, и вообще — чтобы были
периодическими все и%\ если такими оказываются все
иО'\ для которых j < I. В этом предположении допу-
допустим, что и(т) есть первая непериодическая в ряду
функций
»«), и<*\ Ф\ ... D8)
Тогда, если т—число четное, необходимо заключить,
что невозмущенное движение неустойчиво. Если (нее т—
число нечетное, то для решения вопроса об устойчи-
устойчивости нужно обратиться к выражению функции (\
которое всегда будет вида
где g—отличная от нуля постоянная, a v—периоди-
v—периодическая функция t. Вопрос решится при этом по знаку
постоянной g, и в случае g > 0 невозмущенное движение
будет неустойчивым, а в случае g КО устойчивым.
Возможно, что в ряду D8), пак бы далеко он ни был
продолжаем, все функции uW будут периодическими.
В этом случае будет существовать некоторый непре-
непрерывный ряд периодических движений, заключающий в себе
и рассматриваемое невозмущенное, и все движения этого
ряда, достаточно близкие к невозмущенному, включая
и последнее, будут устойчивыми.
Примечание 1. Для составления функций D8) можно,
если угодно, воспользоваться также приемом, подоб-
подобным тому, который был указан в конце § 40 для реше-
решения аналогичной задачи.
Для этого рассматриваем следующую систему част-
частных дифференциальных уравнений:
Х Ш + IH ЛА + Рп*г + • ' • + РшгРп + PsX + Xs
E=1, 2, . . ., П),
определяющую величины xs, как функции независи-
независимых переменных х и t.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 325
Нетрудно убедиться, что при рассматриваемых здесь
условиях системе этой всегда возможно удовлетворить
(по крайней мере формально) рядами, расположенными
по целым положительным степеням переменного х, не
содержащими членов с нулевою степенью последнего
и обладающими периодическими относительно t коэф-
коэффициентами. Притом задача о составлении таких рядов
будет вполне определенною.
Внося эти ряды в выражение функции X и предста-
представляя результат под видом ряда
расположенного по восходящим степенями, можем опре-
определять затем функции D8) последовательно из условия,
чтобы при всяком целом А, большем 1, в выражении
после подстановки
исчезали все члены, содержащие постоянную с в сте-
степенях ниже (&+1)-ой.
Можно заметить, что в случае, когда система D2)
допускает периодическое решение, рассматриваемые
ряды при достаточно малом | х | наверно будут сходя-
сходящимися. Когда же такого решения не существует, от-
относительно сходимости их вообще нельзя сказать ни-
ничего определенного. Но это обстоятельство для нашей
задачи несущественно.
Примечание 2. Мы предполагали, что коэффициен-
коэффициенты pSa в уравнениях D2) суть постоянные величины. Но
это предположение было сделано только для упроще-
упрощения доказательств и нисколько не необходимо для при-
приложимости изложенного сейчас способа решения во-
вопроса.
Пример. Пусть предложены уравнения

326 A. M. ЛЯПУНОВ
в которых р означает вещественную периодическую
функцию t с периодом <о, дающую для интеграла
pdt
положительную величину, а а, 6, к} п—вещественные
постоянные, между которыми кип представляют це-
целые положительные числа; притом к не менее 2.
Будем предполагать, что между постоянными а и 6
ни одна не нуль, ибо в противном случае вопрос об
устойчивости разрешался бы тотчас же в утвердитель-
утвердительном смысле.
Поступая согласно изложенному, стараемся удо-
удовлетворить нашим уравнениям рядами
х = с + пгсг + щсг + ...,
в которых коэффициенты ub vt были бы периодическими
функциями t для всех значений /, не превосходящих
возможно наибольшего предела.
При этом находим, что все vl9 для которых 1<.пу
должны быть нулями, что vn как периодическое реше-
решение уравнения
определится по формуле
t t t
vn = be ° \e° dt
и что первою непериодическою в ряду функций иа,
иа, ..., будет икп, определяемая уравнением

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 327
Отсюда выводим, что
И) f» t (»
О —оо
Притом имеем яг = Ал.
Поэтому заключаем, что, когда хотя одно из чисел
к и п есть четное, невозмущенное движение неустой-
неустойчиво. Когда же числа эти оба суть нечетные, движение
это устойчиво или неустойчиво, смотря по тому, раз-
различны или одинаковы знаки постоянных а и Ь.
2-й случай: характеристичное уравнение
с двумя мнимыми корнями, обладающими
равными единице модулями
60. Общий вид, к которому приводятся диффе-
дифференциальные уравнения. Рассмотрим теперь случай,
когда характеристичное уравнение предложенной систе- .
мы имеет два мнимых сопряженных корня с модулями,
равными 1, предполагая, что все остальные корни этого
уравнения (если оно выше второй степени) обладают
модулями, меньшими 1.
Пусть
суть означенные два корня с равными единице мо-
модулями.
Здесь X есть некоторое вещественное число, отно-
относительно которого пока не ставим никаких ограниче-
ограничений. Но дальнейшие выводы будем делать в предпо-
ложении, что — есть число несоизмеримое.
По этому поводу заметим, что если бы число —
было соизмеримым, то рассматриваемый случай при-
велся бы к тому, когда характеристичное уравнение
имеет два равных 1 корня. Для этого стоило бы только
принять за период некоторую целую кратность преж-
прежнего периода ш,

328 A. M. ЛЯПУНОВ
Но такой случай требует особого исследования, на
котором останавливаться здесь мы не имеем в виду.
Мы можем допустить, что система наших диффе-
дифференциальных уравнений (которая пусть будет (п + 2)-го
порядка) посредством линейной подстановки с пери-
периодическими коэффициентами преобразована к виду:
7jJ'= АА + рь2х2 + . .. + psnxn + psx + qsy + Xs
(s=l, 2, ...? п).
Здесь X, Г, Xs суть голоморфные функции вели-
величин х, у, хи х2, ..., хп, разложения которых, облада-
обладающие вещественными периодическими относительно t
коэффициентами, не содержат членов ниже второго из-
измерения. Коэффициенты ps, qs суть некоторые вещест-
вещественные периодические функции t\ а коэффициенты ps<s—
вещественные постоянные такого свойства, что состав-
составленное при помощи них уравнение вида D3) имеет
только корни с отрицательными вещественными частями.
Мы можем кроме того допустить, что функции X
и Y при помощи х = у = 0 делаются нулями, ибо
к такому случаю приводится всякий другой посредством
некоторого преобразования, подобного тому, с кото-
которым мы имели дело в § 33.
Преобразование это находится в связи с предложени-
предложением, что системе частных дифференциальных уравнений
E0)

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 329
при рассматриваемых здесь условиях всегда можно
удовлетворить (и притом одним только манером) го-
голоморфными функциями величин хХ1 х2, . .., хПУ не
содержащими в своих разложениях членов ниже вто-
второго измерения и обладающими периодическими отно-
относительно t коэффициентами.
Что же касается этого предложения, то оно лег-
легко докажется при помощи таких же рассуждений,
какими мы воспользовались для доказательства тео-
теоремы § 30.
Для этого замечаем, что если уЧ1 х2, ..., хд суть кор-
корни уравнения D3), то при сделанном относительно них
предположении система D9) будет допускать решение
с п произвольными постоянными аг, а2, . .., ап,* в ко-
котором функции х, у, xs представятся рядами, рас-
расположенными по целым положительным степеням ве-
величин
0^*1', aae*af, ..., аЛе«п«, E1)
с коэффициентами, представляющими или периодиче-
периодические функции t, или суммы конечного числа периодиче-
периодических и вековых членов (§ 54). При этом ряды для
функций х и у не будут содержать членов ниже второго
измерения относительно величин E1). Ряды же функ-
функций xs будут содержать и члены первого измерения;
притом, если рассматривается самое общее решение ука-
указанного характера, то такие члены в этих рядах будут
обладать коэффициентами, определитель которых пред-
представит некоторую отличную от нуля постоянную.
Вследствие этого, путем исключения величин E1)
можно будет из такого решения вывести для функций
х я у выражения под видом рядов, расположенных по
целым положительным степеням величин xs, с коэффи-
коэффициентами прежнего характера, и ряды эти не будут
содержать членов ниже второго измерения относи-
относительно величин xs.
Этими рядами при всяком вещественном t будут
определяться некоторые голоморфные функции ве-

830 А- М- ЛЯПУНОВ
личин xa) которые как функции независимых пере-
переменных xlf х%, ..., xIlf t будут удовлетворять си-
системе E0).
Нам останется поэтому только доказать, что коэф-
коэффициенты в получаемых таким путем рядах необхо-
необходимо будут периодическими функциями t. А доказать
это весьма нетрудно, рассматривая ближе уравнения,
которым придется удовлетворить для того, чтббы на-
нашими рядами представлялось некоторое решение систе-
системы E0), и принимая в расчет допущенное свойство
чисел xs.
При этом обнаружится также, что система E0)
может допускать только одно решение рассматрива-
рассматриваемого характера.
Пусть и и v суть выражения функций х и у для
этого решения.
Тогда, чтобы преобразовать систему D9) к жела-
желаемому виду, нужно будет только вместо переменных
х ж у ввести переменные 5 и т] посредством подста-
подстановки
При этом система D9) не утратит ни одного из своих
прежних свойств, ибо функции и и и необходимо будут
по отношению к величинам xs голоморфными в равной
степени для всех вещественных значений t, а коэф-
коэффициенты в них представят вещественные функции по-
последнего.
Наша задача будет притом вполне равносильна
задаче об устойчивости по отношению к величи-
величинам ?, 7), xs.
В силу изложенного сейчас мы можем рассматривать
систему D9) в предположении, что функции X и Y
обращаются в нуль, если сделать х = у = 0.
В этом предположении, вводя вместо переменных
х и у переменные ги D посредством подстановки
# = г cos #, у = /* sin ft,

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 381
преобразуем ее к виду:
»s cos & + gs sin &) г -
:-l, 2, ..., П),
где в функциях Xs величины х ж у предполагаются
замененными их выражениями через г и &.
Здесь Лив означают некоторые голоморфные
функции величин г, #s, уничтожающиеся при т =
= а?! = .. . = #rt = 0, в которых коэффициенты могут быть
представлены под видом конечных рядов синусов и ко-
косинусов целых кратностей Ь с периодическими отно-
относительно t коэффициентами.
Такого же характера и коэффициенты в разложе-
разложениях функций Xs по степеням величин г, xlt х%> ..., хп.
Наша задача приведется при этом к задаче об устой-
устойчивости по отношению к величинам г, xs) и при реше-
решении ее подобно тому как это было сделано в анало-
аналогичном случае предыдущей главы, можно будет поста-
поставить условие г > 0 (§ 33).
61. Некоторые характерные ряды, зависящие от
двух аргументов. Общий случай, когда ряды эти не
суть периодические. Рассматривая величины г, xs как
функции независимых переменных & и t, составляем
следующую систему частных дифференциальных урав-
уравнений:
= l, 2, ..., п).

333 А. М- ЛЯПУНОВ
Будем стараться удовлетворить этой системе рядами
г = с + и^с2 + иC>с3 + .. ., 1
x8 = i#>c + u?V + u?)c3+... } E3)
(8=1, 2, ..., И), J .
расположенными по степеням произвольной постоян-
постоянной с, при условии, чтобы коэффициенты иA), и^
представлялись под видом конечных рядов синусов
и косинусов целых кратностей & и чтобы коэффициенты
в этих конечных рядах были или периодическими
функциями t, или суммами конечного числа периоди-
периодических и вековых членов.
Ьудем предполагать при этом, что — есть число
несоизмеримое.
Для последовательного определения функций иA\
и]Р в порядке возрастания / получим системы уравне-
уравнений следующего вида:
Рп# + Р»*и* +¦¦¦ + Р*пи» +
+ (ps cos 0 + qs sin 9) м(/> + U(sl)
(*=1, 2, ...,. п).
Здесь U^l\ l/il) для 1=1 равны нулю (притом
—1); адля/)> 1 представляют известные целые ра-
рациональные функции от величин
}
для которых i < /, с коэффициентами такого же харак-
характера, как и в разложениях функций R, в, Xs.
Предполагая, что все и{1\ u{sl\ для которых i < Z,
уже найдены, представим функции C/(z), U^P под ви-
видом конечных рядов синусов и косинусов целых крат-

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 333
ностей 9, которые преобразовываем к виду:
%Рке**У^. E4)
Здесь сумма распространена на все целые положи-
положительные и отрицательные значения А, лежащие между
некоторыми пределами —TV и +N, а коэффициенты
Fk означают функции одного t.
Если допустим, что все и^!\ и^ оказались по отно-
отношению к t периодическими, то все Fk для каждой из
функций U^l\ U^P будут периодическими функциями ?>
В этом предположении будем искать функции иA\
Us1'* под видом таких же сумм, как и E4).
При этом придется начать с функции иA), и если
положим
разумея под fk функции одного t, то для определения
последних получим уравнения вида:
*tb+h\V—ifk^Fk. E5)
Но при нашем предположении относительно X та-
такое уравнение, когда & — не нуль, доставит для функ-
функции fk вполне определенное выражение требуемого ха-
характера, и выражение это, при сделанном допущении
относительно Fkt представит периодическую функцию t.
Поэтому функция uW только в том случае может ока-
оказаться по отношению к t непериодическою, когда такою
будет функция /0.
Но допустим, что последняя выходит периодическою,
для чего, конечно, должно быть выполнено условие
Тогда, переходя к функциям и[1^ и принимая в рас-
расчет известное свойство корней уравнения D3), легко
докажем, что и эти функции выйдут периодическими.

834 A- M. ЛЯПУНОВ
Отсюда следует, что если между функциями иA\
и$1\ начиная с известного значения /, появляются
относительно t непериодические (а это и будет иметь
место в большинстве случаев), то такие найдутся уже
в ряду функций
иB), и<;:>, и&, ..., E6)
и что если первая непериодическая в этом ряду есть и(т\
то функции
„(О 77B) т/) (а— 1 9 г)\
us , us , . .., us {s = l, z, ... 9 n)
все будут периодическими, а функция и^т^ будет вида
где g—отличная от нуля постоянная, a v—конечный
ряд синусов и косинусов целых кратностеи & с периоди-
периодическими относительно t коэффициентами.
Предполагая, что мы имеем дело с этим случаем
и что вычисление ведется так, чтобы все и^\ u^l) для
вещественных значений О- и t были вещественными,
полагаем
(s=l, 2, ..., п)
и вместо переменных г, xs вводим в систему E2) пере-
переменные 2, zs.
Преобразованная система будет вида
dt ' dt ' J'
dZ* n -7 -L П Г J. J- П * L 7 \ E7)
аг rsl x ^s4 ^ rsn n s I
(s=l, 2, ..., тг), J
и функции Z, 0, Zs (по отношению к переменным z, za,
О, ?) будут в ней такого же характера, как и функции
Я, 0, Xs (по отношению к переменным г, хЯ9 ft, i)

ОБЩАЙ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВЙШЕЙИЯ 335
в системе E2). Притом по свойству нашего преобразо-
преобразования функции-Z, Zs выйдут такими, что если Z(°\ Z$0)
суть функции переменных z9 О, t, в которые они обраща-
обращаются при zx — ... = zn = 0, то в разложении ZW по восхо-
восходящим степеням z наинизшая степень будет (т — 1)-ая и
степень эта будет сопровождаться постоянным коэффи-
коэффициентом g, а в разложениях Zy не будет степеней z
ниже яг-ой.
Наша задача приводится при этом к задаче об устой-
устойчивости по отношению к величинам z, zs, при решении
которой можно будет поставить условие z>0*
Примечание 1. Каждая из функций иA>, и^ может
заключать в себе известное число произвольных по-
постоянных. Но последние все будут приводиться к тем,
которые могут входить в функции иФ под видом постоян-
постоянных членов, и на каком бы выборе этих постоянных
мы ни останавливались, для т и g будем получать
всегда одни и те же числа.
Можно заметить, что число т всегда будет нечетным
(следующий параграф, примечание).
Примечание 2. Если бы число — было соизмери-
соизмеримым, то уравнение E5) могло бы не иметь периодиче-
периодического решения и при отличном от* нуля к, а потому
в этом случае первая непериодическая в ряду функ-
функций E6) могла бы и не быть указанного выше типа.
Но всякий раз, когда и при соизмеримом — (сюда
включаем мы и случай к = 0) вычислениями можно
распорядиться так, чтобы функция эта выходила
того же типа, для системы E2) будет возможно преды-
предыдущее преобразование, и вместе с тем будут справед-
справедливы заключения, к которым мы приходим в следую-
следующем параграфе.
Заметим, что в случае соизмеримости числа — зада-
задача о разыскании функций и<1\ u(sl) обладает гораздо боль-
большей неопределенностью, чем в рассмотренном выше

336 А. М- ЛЯПУНОЁ
случае, ибо если — = ^, где а и р —числа целые, то при
определении каждой из функций b<z> к ней можно
прибавлять ряд синусов и косинусов четных (а при
четном а —и нечетных) кратностей C(9 — \t) с произ-
произвольными постоянными коэффициентами.
62. Исследование общего случая. Разумея под РУ\
Р&\ .. ., P(m~i) некоторые линейные формы величин zs
с коэффициентами, периодическими относительно <)
и t x), допустим, что
zZ = gzm + PQh + P&z2 + .., + P'jn-Dz™*1 + ...
и что выражение, входящее во вторую часть до члена
р(т-i)zm-i включительно, представляет совокупность
всех членов функции zZ, которые, будучи не выше
т-го измерения, содержат величины zs в степенях
не выше первой.
Далее, рассматривая в функциях Zs только члены,
линейные относительно величин zat и располагая их
по восходящим степеням z9 допустим, что
где Рр суть линейные формы величин z3 с коэффи-
коэффициентами такого же характера, как и в формах Р0'\
Наконец, рассматривая в функции в только члены,
не зависящие от величин zS9 и располагая их по восхо-
восходящим степеням z, допустим, что
где все в^') суть функции только двух переменных i)
и t, периодические относительно той и другой.
Означая теперь через СД1), С/"B>, ..., СД™-1) некото-
некоторые линейные формы величин zs с коэффициентами,
периодическими относительно 9 и t, а через W—квад-
х) Под функциями, периодическими относительно $ и t,
мы будем разуметь конечные ряды синусов и косинусов целых
кратностей д с периодическими по отношению к t коэффициен-
коэффициентами.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 337
ратичную форму тех же величин с постоянными коэф -
фициентами, полагаем
и составив от этой функции V полную производную
по t в силу уравнений E7), стараемся линейными фор-
формами ?70'> распорядиться так, чтобы в выражении этой
производной исчезли все члены, линейные относительно
величин zs и содержащие z в степенях ниже т-ой.
Такая задача всегда будет возможна и при сделанном
предположении относительно коэффициентов форм Ш1')
вполне определенна, ибо для решения ее нужно будет
только удовлетворить следующей системе уравнений:
(*=1, 2, ..., BI-1)
(где выражение, находящееся во "второй и третьей
строках, при&=1 должно быть заменяемо нулем).
Уравнения эти доставят последовательно
Определивши таким образом формы U'i), форму W
выбираем согласно уравнению:
п
2 (AlZx + P.tZt +¦¦¦+ PsnZn) ~^g{z\+z\+ ... +Zi),
s = l
после чего находим:
d^ = g{z'" + z\-Yzl-\- ...-1-4) \S.
22 A. M. Ляпунов.

338 A- M. ЛЯПУНОВ
Здесь S означает выражение, которое всегда можно
представить под видом
п п
S = ozm +
так, чтобы и, uSJ были голоморфными функциями вели-
величин z, zlf ..., znt уничтожающимися при
Z —- Z± '== Z% — • • • == Zj\:==- U
и обладающими в своих разложениях коэффициентами,
периодическими относительно $ и t. Притом вследствие
того, что функции Z, t>, Zs необходимо голоморфны
(по отношению к величинам z, za) в равной степени
для всех вещественных значений 0 и t, такими же
можно выбирать и функции v, vS(J.
Отсюда видно, что, какой бы вещественной функцией
о dU
t ни выражалось о, производная -т- при условии
z > 0 будет знакоопределенною функцией и знак ее
при достаточно малых z, \zs\ будет одинаков со знаком
постоянной g.
Поэтому, замечая, что по свойству формы W (§ 20,
теорема II) функция F, при том же условии ?>0, для
отрицательного g определенно-положительна, а для
положительного может принимать какой угодно знак, —
на основании известных предложений заключаем, что
в случае g > 0 невозмущенное движение неустойчиво,
а в случае g < 0 устойчиво.
В последнем случае всякое возмущенное движение,
для которого возмущения численно достаточно малы,
будет асимптотически приближаться к невозмущенному.
Примечание. Если бы вместо условия z>0 мы ввели
условие ?<0, то, подобно тому как в § 37 (примечание),
пришли бы к выводу, сопоставление которого с преды-
предыдущими обнаружило бы, что m есть число нечетное.
63. Изложение методы. Пример. В изложенном уже
содержится некоторый способ для решения занимаю-
занимающего нас вопроса.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 339
Мы укажем здесь одно из видоизменений его, кото-
которое, чтобы остановиться на чем-либо определенном,
и предложим в качестве руководящего правила.
Рассмотрим следующую систему уравнений с част-
частными производными:
= psix± + . . . + pSTlXn + psx + qsy + Xs E8)
(s = l, 2, ..., n).
Весьма нетрудно убедиться, что при рассматривае-
рассматриваемом характере корней уравнения D3) системе этой
всегда можно формально удовлетворить (и притом
одним только манером) рядами, расположенными по
целым положительным степеням величин х и у, не содер-
содержащими членов нулевого измерения и обладающими
периодическими относительно t коэффициентами.
Хотя о сходимости этих рядов мы не можем сказать
ничего определенного, но это обстоятельство для нас
здесь не имеет важности, так как нам придется иметь
дело с суммами только тех их членов, которые не выше
известного измерения.
Предполагая, что т есть то число, о котором шла
речь в предыдущих параграфах, допустим, что
#1 =¦¦ Л (я> у, t)9 х% = /2 (х, y,t), .. ., хп == /п (х, у, t) E9)
суть совокупности членов рассматриваемых рядов не
выше (т — 1)-го измерения.
Тогда, если, означая через (X) и (У) функции,
в которые обращаются X и Y после замены величин xs
выражениями E9), будем трактовать подобно преды-
предыдущему систему уравнений
g=-Xy + (X), ^ = дх + (У), F0)
преобразованную посредством подстановки
ж = г cos ft, z/ = rsinO-, F1)
то при составлении ряда E6) до члена и<т> включительно
22*

340 A. M. ЛЯПУНОВ
будем встречать в нем прежние функции и таким обра-
образом придем к прежней величине для постоянной g.'
Мы предполагали, что функции X и Y в системе D9)
уничтожаются тождественно при х~у^=0. Мы ука-
указали также преобразование, посредством которого
всякий другой случай приводится к такому (§ 60).
Теперь заметим, что если не имеем дела с этим случаем,
то вместо преобразования системы D9) можно под-
подвергнуть соответственному преобразованию систему F0),
составленную, как сейчас было указано1). Если же
желательно перейти непосредственно к переменным г
и ft, то это приведется к преобразованию системы F0)
при помощи некоторой подстановки вида
а; = г cos 0 + .F (r cos ft, r sin ft, t), \
гsin ft, t), ) ^ '
где F и Ф означают некоторые голоморфные функции
величин г cos ft и г sin ft, не содержащие в своих разложе-
разложениях членов ниже второго измерения и обладающие
периодическими относительно t коэффициентами.
Но нетрудно придти к заключению, что если бы
вместо F2) мы попрежнему воспользовались подста-
подстановкой F1) и затем поступали бы, как было указано
в § 61, то хотя и получили бы другой ряд функций E6),
первою непериодическою в этом ряду попрежнему
оказалась бы функция и(т\ и рассмотрение ее при-
привело бы к прежней величине для постоянной g.
Вследствие этого во всяком случае (т. е. каковы бы
ни были функции X и У) мы можем руководствоваться
при решении нашего вопроса следующим правилом:
Предполагая, что дифференциальные уравнения воз-
возмущенного движения преобразованы к виду D9), соста-
составляем систему частных дифференциальных уравнений
E8) и, вводя в нее в качестве независимых переменных
вместо х и у переменные г и ft посредством подстановки
х) Мы имеем в виду нашу задачу, для которой члены выше
m-го измерения в дифференциальных уравнениях не могут иметь
значения.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 341
F1), стараемся этой системе удовлетворить (по край-
крайней мере формально) рядами, расположенными по целым
положительным степеням г, не содержащияш нулевой
степени последнего и обладающими периодическими
относительно but коэффициентами (см. сноску
на стр. 336). Такие ряды всегда найдутся и будут вполне
определенными, и если допустим, что они подставлены
вместо величин xs в разложения по степеням этих
величин выражений
db , Y cos 0 — X sin & dr v a i v • a
— — л = и — == X cos Ь + Y sm ft,
то последние представятся рядами
расположенными по целым положительным степеням г
с периодическими относительно 0 и t коэффициен-
коэффициентами в и R.
Составляя эти коэффициенты, вместе с тем соста-
составляем функции
щ, и3, гг4, ... F3)
переменных but, определяемые условием, чтобы при
каком угодно целом к, большем 2, в выражении
в
-
-Яаг1-Д,г3-...-ДЛг*
после подстановки
г = с + иас2 + щс* + ... + икс*
исчезали все члены, содержащие постоянную произволь-
произвольную с в степенях ниже {к-\-\)-ой, и чтобы каждая
из функций F3) представлялась под видом некоторого
конечного ряда синусов и косинусов целых кратностей ft
с коэффициентами, представляющими или периодиче-
периодические функции t, или сулимы конечного числа периодиче-
периодических и вековых членов.
Допустим, что мы имеем дело со случаем несоиз-
несоизмеримого — . Тогда, составляя функции F3) до тех пор,

342 A. M. ЛЯПУНОВ
пока не встретим по отношению к t непериодическую,
и предполагая, что ит есть первая такая функция
(число т будет нечетным), найдем
где g означает отличную от нуля постоянную, a v—
периодическую функцию but. Вопрос об устойчивости
при этом решится тотчас же по знаку постоянной g,
и в случае g>0 — 6 отрицательном, в случае g<0 —
в утвердительном смысле.
Примечание 1. Мы предполагали, что коэффициенты
psa в системе D9) суть постоянные величины. К такому
случаю путем известного линейного преобразования
приводится, конечно, всякий другой. Но для приложи-
приложимости указанного сейчас правила в подобном предва-
предварительном преобразовании нет надобности.
Примечание 2. Мы предполагали, что — есть число
несоизмеримое. Но если бы и в случае соизмеримости
этого числа, распоряжаясь надлежащим образом вычи-
вычислениями, мы нашли для первой непериодической
в ряду функций F3) выражение указанного выше типа,
то имели бы право сделать такие же заключения
об устойчивости, как и в предыдущем случае.
Пример. Пусть предложена следующая система
уравнений:
-?- + \у = z2 cost, ~j^— Ьж= — z2siiU, -? + z = xy,
для которой можно принять а> = 2тс.
Полагая
преобразовываем ее к виду
(V4)

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 343
Затем составляем уравнение в частных производных
^+[x-^sin(&+0]|f + s2coS(& + *)|^ + z==
= r2sin 9 cos 0,
которому стараемся удовлетворить рядом, располо-
расположенным по восходящим целым положительным сте-
степеням г (начиная со второй) и обладающим периоди-
периодическими, относительно, $ и t коэффициентами.
Ряд этот, очевидно, не будет содержать третьей
и четвертой степеней г. Поэтому, выписывая только
первые два члена, можем допустить, что он есть сле-
следующий:
zj* + V5 + • • • F5)
%
Коэффициенты z2 и z5 определятся при помощи урав-
уравнений
из которых первое даст не зависящее от t выражение
для z2:
__ sin 20— 2Х cos 2b
Z% ~ 2 A + 4X2) •
Вводя угол г, определяемый равенствами
1 . 2Х
COS ? = -у , S1I1 ? = —т=
J/1+4X2 у 1
и полагая
представим это выражение под видом:
sin <р
Если же за независимые переменные вместо & и t
примем ср и
и воспользуемся найденным выражением функции z%

344 А. М- ЛЯПУНОВ
то второе из написанных сейчас уравнений приведется
к виду:
<\ i ^\ dz* 1 9; dz* l , sin2 9 (cos cp sin т - sin у cos ~)
4 A + 4X2) 2
Отсюда находим
разумея под Р и Q периодические функции ^>, опреде-
определяемые уравнениями:
^ «in* Усов, у
Полагая |/ — 1 = г, из уравнений этих выводим:
е~^ + сеъ^', F6)
где а, 6, с суть некоторые постоянные, из которых
первые две определяются по формулам:
а-
6= ЗХ + 1-^ г. F7)
16 [1 + (ЗХ + IJ] A+4Х2)Х
Вносим теперь ряд F5) вместо z во вторые части
уравнений F4) и результаты этой подстановки распо-
располагаем по восходящим степеням г.
В получаемых таким путем рядах
коэффициенты в8, Д4, Д7 будут иметь следующие
выражения:
в8 = — z\ sin т, Д4 = z^ cos т, R7 = 22а2. cos x.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 345
Поступая затем согласно изложенному правилу,
составляем выражение
и, делая
г = с + гг4с4 + гг7с7
стараемся функциями гг4 и гг7 распорядиться так, чтобы
в этом выражении исчезали все члены, содержащие
постоянную с в степенях ниже восьмой.
Для этого означенные функции подчиняем урав-
уравнениям:
~7Г~ "t~ ^ ~Ж == ^u*zlcos т + ^Z2Z6cos т + zl s^n T ~^г •
Предполагая, что \ есть число несоизмеримое, пер-
первому из этих уравнений всегда удовлетворим периоди-
периодическою функцией 0 и t, и функция эта, будучи выражена
через ср и т, представится под видом:
и4 = Л/ cos т -f TV sin т + const.,
где
¦** \ sin 2?
2A + 4Х2) EХ + 1) (ЗХ - 1) '
N - (X-fl)cos2? 1
8A + 4Х2)EХ+1)(ЗА-1) ^ 8 A + 4А2) (Я + 1) *
В том же предположении второму уравнению всегда
удовлетворим выражением вида
где g есть некоторая постоянная, а о — периодическая
функция ft и t.
При этом, рассматривая уравнение

346 A. M. ЛЯПУНОВ
которому должна удовлетворять v как функция пере-
переменных <р и х, из условия периодичности этой функции
найдем:
2tt 2%
О
2%
и таким образом придем к следующему выражению
для постоянной g:
1+4A.2
и
где А означает коэффициент при sin о в разложении
функции Р по синусам и косинусам целых крат-
ностей ср.
Это выражение после подстановки величины А,
которая легко получается из формул F6) и F7), при-
приводится к виду:
2—А
и, следовательно, дает для g величину всегда отрица-
отрицательную.
Мы заключаем поэтому, что невозмущенное движе-
движение всегда устойчиво.
Этот вывод получен нами в предположении, что X
есть число несоизмеримое. Но он справедлив также
и для всех соизмеримых л, при которых функции и4
и v можно предполагать периодическими.
Рассматривая выражение функции гг4, видим, что
в этом отношении особенными значениями X, которые
должны быть исключаемы, служат только три следу-
следующих: - 1, — и — —. Если же обратимся к соста-

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 347
влению функции v, то- к ним должны будем присо-
единить еще 0, 1 и — — , и это будут единственные
о
особенные значения )..
Поэтому заключение наше несомненно справедливо
для всех вещественных значений X, кроме шести сле-
следующих:
О 1 -1 1 -1 -I
которые требуют особого исследования.
64. Особенный случай. Представляемые им
затруднения. Случай канонической системы второго
порядка. В предположении, что — есть число несо-
несоизмеримое, мы вполне разобрали один из двух воз-
возможных случаев — когда между функциями F3)
встречаются непериодические. Теперь остается рассмот-
рассмотреть другой — когда функции эти все суть периоди-
периодические.
В этом случае такими же будут и все коэффици-
коэффициенты u(l), uil) в рядах E3).
В аналогичных случаях в предыдущем всякий раз,
когда можно было доказать, что мы имеем с ними
дело, вопрос об устойчивости решался в утвердительном
смысле. Здесь этого не будет, и вообще означенный
случай останется сомнительным.
Такая разница происходит оттого, что периодиче-
периодические ряды, с которыми мы встречались в подобных
случаях раньше, всегда можно было делать сходя-
сходящимися. Ряды же E3) не обладают таким свойством,
и вообще исследование сходимости их представляет
затруднения весьма серьезные.
Затруднения эти не исчезают и при ?г = 0, т. е.
когда предложенная система уравнений есть второго
порядка.
Такие системы были исследованы А. Пуанкаре,
и мзжду прочим им было указано, что (при из-
известном условии относцтельно л) рассматриваемый

348 А. М- ЛЯПУНОВ
случай представляется для всякой канонической си-
системы г).
Это обстоятельство обнаруживается тотчас же из
рассмотрения уравнений, которыми определяются функ-
функции F3).
Действительно, пусть предложена следующая
система:
dt ~~ КУ~ ду ' dt -hX4r дх '
в которой F означает голоморфную функцию хну,
не содержащую в своем разложении членов ниже
третьего измерения и обладающую периодическими
относительно t коэффициентами с периодом о), a l —
постоянную, для которой — есть число несоизмеримое.
Полагая
х = г cos ft, у == г sin 0,
составляем уравнение в частных производных
которому должна удовлетворять г как функция пере-
переменных & и ?, получаемая решением относительно г
какого-либо полного интегрального уравнения нашей
системы, содержащего одну произвольную постоянную.
Мы должны показать, что в ряду известного типа
с + и2с* + иас*+... , F9)
формально удовлетворяющем этому уравнению, все
коэффициенты uv периодические относительно &, будут
периодическими также и относительно t.
Пусть подстановка этого ряда вместо т в функции V
и г2 приводит к следующим разложениям:
х) Poincare, Sur les courbes definies par les equations
differentielles. Journal de Mathematiques, 4 серия, т. 2, 1886,
стр. 199, 200. Здесь доказывается предложение несколько
более общее,

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИШЕЙИЯ 349
Коэффициенты Fm, vm будут известным образом
выводиться из коэффициентов ut. Притом
Fm и vm — 2um_19
очевидно, будут зависеть только от тех иь для которых
/< ?/г — 1.
Поэтому, замечая, что уравнение F8), которое
может быть написано так:
~dF + K~W \ дЬ ~т~ дг дЪ ) '
для всякого т (из ряда 3, 4, .. .) доставляет уравне-
уравнение вида
из этого последнего найдем vm, а затем и мт_1; после
того как будут найдены все ггг, для которых /< иг— 1.
Но если вторую часть уравнения G0) представим
под видом ряда синусов и косинусов целых кратно-
стей ft, то в этом ряду, очевидно, не будет члена, не зави-
зависящего от 0. Поэтому, если все uv для которых
/ < т— 1, оказываются относительно t периодическими,
то такою же будет и функция vm (стр. 333), а следова-
следовательно—и функция ит_г.
Таким образом, для канонической системы (при изве-
известном условии относительно X) ряд F9) будет всегда
периодическим.
При решении вопроса об устойчивости придется
в этом случае начать с исследования сходимости этого
ряда, и всякий раз, когда (в предположении вещест-
вещественности функций иг) удастся доказать, что при доста-
достаточно малых величинах | с \ ряд этот есть сходящийся
в равной степени для всех вещественных значений
О и t, вопрос наш разрешится в утвердительном
смысле.
То же будет, как покажем, и в общем случае.
Возвращаясь к системе E2), допустим, что в каком-
либо случае нам удалось найти для пес периодические

350 A. M. ЛЯПУЙО6
ряды E3) и доказать, что при | с | достаточно малом
они суть сходящиеся в равной степени для всех ве-
вещественных значений 0 и t.
Предполагая, что все и , иу суть вещественные
функции, делаем
г = z +
?s = zs + u{Pz + ufz*+ ... (e=l, 2, ... , п)
и вместо переменных гу х$ вводим в нашу систему пере-
переменные z, z8.
Таким путем придем к системе вида E7), в которой
функции Z, Zs, обладая в остальном прежними свой-
свойствами, будут уничтожаться при zl=... =-zn~§.
При этом задача наша приведется к задаче об устой-
устойчивости по отношению к величинам z, zs.
Отбрасывая в системе E7) уравнение, содержащее
производную -т- , будем рассматривать в остальных /
как данную, но совершенно произвольную непрерыв-
непрерывную вещественную функцию t.
Тогда, если будет доказано, что, при всяком дан-
данном положительном г, может быть назначаемо, незави-
независимо от выбора функции 9, такое положительное число а,
чтобы при выполнении условий
\z\<a, | zx | < а, | z21 < a, . .. , \zn { < a
в начальный момент времени во все последующее
время выполнялись неравенства
то наша задача, очевидно, разрешится в утвердительном
смысле.
В следующем параграфе мы докажем предложение,
из которого высказанный сейчас постулат действитель-
действительно будет следовать, если принять в расчет, что функ-
функции Z, Zs в наших уравнениях необходимо будут
голоморфными (по отношению к z, za) в равной степени
для всех вещественных значений 0 и t.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ а51
НЕКОТОРОЕ ОБОБЩЕНИЕ
65. Общий вид, к которому приводились диф-
дифференциальные уравнения в особенных случаях,
рассмотренных раньше. Существование голоморфных
интегралов с ограниченными коэффициентами. За-
Заключения об устойчивости. Поставим вопрос несколь-
несколько шире.
Допустим, что предложена следующая система:
dz1 ry dz2 rj
(s==l, 2, ... , n),
в которой Xs, Zj суть голоморфные функции переменных
уничтожающиеся при
и не содержащие в своих разложениях членов ниже
второго измерения.
Коэффициенты в этих разложениях будем предпо-
предполагать какими-либо непрерывными и ограниченными
вещественными функциями t, удовлетворяющими лишь
тому условию, чтобы все Xs, Zj были голоморфными
в равной степени для всех вещественных значений t *).
Коэффициенты* же pSa будем предполагать веществен-
вещественными постоянными и притом такими, чтобы все корни
уравнения вида D3) обладали отрицательными веще-
вещественными частями.
Если таковы исследуемые дифференциальные урав-
уравнения возмущенного движения, то можно доказать,
что невозмущенное движение устойчиво.
С этою целью прежде всего покажем, что для
системы G1) всегда найдется интеграл вида
L -f- Г (Х19 X2i ... , Хп, Ziy Z29 . . • , Zfa t)y
]) Если угодно, можно было бы рассматривать не всякие ве-
вещественные значения t, а только большие некоторого предела t0.

352 A. M. ЛЯПУНОВ
где L означает произвольную линейную форму вели-
величин zl9 z2, ..., zk с постоянными коэффициентами,
a F — голоморфную функцию xs> Zj, не содержащую
в своем разложении членов ниже второго измерения,
уничтожающуюся при х1~х2=... =хп = 0 и облада-
обладающую коэффициентами, представляющими ограничен-
ограниченные функции t.
Обращаемся для этого к уравнению
\П / , , . \ dF , dF
у ( Т) Ф —1~ 7") 1* 1 _J- 77 Т I . I
2х aF Y z fdF i ^L ^
s dxs 4Л l\ dzt dz: J '
которому должна удовлетворять функция F.
Пусть
G2)
где Р\п суть формы m-oii степени величин xs, а сумми-
суммирование распространяется на все целые неотрицатель-
неотрицательные т, 119 12, ... , 1к, удовлетворяющие условиям
Внося это выражение функции F в наше уравнение,
представим вторую часть его под видом
2n(h, h Ik) „h„H ik
Ут Zx Z% . . . Zk у
где суммирование распространяется на указанные сей-
сейчас значения т, If, a Q^1' "*' Z;) представляет форму
m-ой степени величин xs, известным образом выво-
/X1 ,..,1 '\
димую из тех Рт1*' ' кК Ддя которых
т' + 1'г + 1'2+.--+1'к <т + 11 + 12+ ...+1к. G3)

2
ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 353
При этом уравнения
, ..., Ik) эр (in ...» **)
+ ^
= -$!х 'Ч G4)
которым придется удовлетворить, дадут возможность
вычислять последовательно все р^1» •••»'*) в каком
угодно порядке, соответствующем неубыванию числа
1 1
+ t + 2+ +к
Допустим, что все Р^1''" ' 1ь\ для которых вы-
выполнено условие G3), найдены и обладают ограничен-
ограниченными коэффициентами. Тогда таковы же будут и коэф-
коэффициенты второй час!и уравнения G4); а потому,
при нашем предположении относительно постоянных
/?5J, всегда найдется удовлетворяющая этому урав-
уравнению форма Рт1' "'' Z/c) с ограниченными коэффици-
коэффициентами, и такая форма будет единственная. В этом
легко убедимся, рассматривая известное преобразова-
преобразование уравнения G4) (см. далее).
Таким образом при всяком определенном выборе
формы L ряд G2) будет вполне определенным. При
этом, если взятая форма обладает вещественными
коэффициентами, то, конечно, такими же выйдут и
коэффициенты в ряду этом, рассматриваемом как рас-
расположенном по ^степеням величин xs, Zj.
Обращаемся к вопросу о его сходимости.
Пусть х1У и2 ,... , у.п суть корни уравнения D3).
Отбрасывая условие вещественности коэффициен-
коэффициентов, мы можем, выполняя известное линейное преобра-
преобразование, привести общий случай к тому, когда все ps<S9
не заключающиеся в ряду
суть нули.
Если же в этом предположении будем искать коэф-
коэффициенты формы Р, удовлетворяющей уравнению G4),
23 А. М. Ляпунов

354 A. M. ЛЯПУНОВ
то они определятся последовательно в порядке, ука-
указанном в § 31 (стр. 160). При этом коэффициент А
при х^х™2 ... х™п найдется из уравнения вида
&А
-jf + (Щ*х + Щ** + •.. + лгпхп) А = — В9
и для него получится следующее выражение:
оо
Д^ е-(т1х1+т2*2+... + тпхп) t I e(mx*i + т2х2+...+тлхл) / ft ^
Входящая сюда функция В будет известным обра-
образом зависеть от найденных раньше коэффициентов А;
а именно, по самому своему происхождению она необ-
необходимо будет некоторою целою рациональною их функ-
функцией. Притом коэффициенты в ней будут суммами
произведений величин аи коэффициентов формы L,
коэффициентов разложений функций Xs, Z] и некото-
некоторых целых положительных чисел.
Поэтому, заменяя в функции В перечисленные сей-
сейчас величины постоянными высшими пределами их
модулей, годными для всех вещественных значений t,
и означая через В результат этой замены, найдем
для рассматриваемого коэффициента А следующий
высший предел его модуля:
где ).х, Х2, ... , Хп суть вещественные части чисел
Мы можем здесь притом, если угодно, каждое
из чисел Xs заменить некоторым меньшим положитель-
положительным числом, а эти новые числа можем выбрать все
различными.
Таким путем приведем вопрос наш к подобному же
вопросу в случае, когда все *s различны. А в этом
случае наше предварительное линейное преобразова-

ОЁЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 355
ние всегда можно предположить таким, чтобы все af
были нулями.
Но рассматривая вопрос в таком предположении,
мы можем затем в формулах вида G5) все \s заменить
наименьшим из них.
Отсюда видно, что достаточно исследовать сходи-
сходимость нашего ряда в предположении, что все ps^ для
которых s и а различны, суть нули, что
Ри =Р22:= ••• = Рпп— —ку
где X —некоторое положительное число, и что коэф-
коэффициенты в разложениях функций Xs, Zj суть постоян-
постоянные величины.
Мы можем притом эти коэффициенты предположить
такими, чтобы все Xs, Zj выходили функциями только
двух аргументов
х1 + х2 + ...+хп и z1 + z2 + ... + zk,
и чтобы имели место равенства
-Х^. = -Х — • • • = %п> Zi=Z2 = ...= Zk,
ибо к такому случаю приводится всякий другой заме-
заменою названных коэффициентов надлежащим образом
выбранными высшими пределами их модулей.
Наконец, форму L можем предположить следующего
вида:
L = s1 + sa + ...+z/fc.
В этих предположениях, если (имея в виду что функ-
функции Xs, Zj должны уничтожаться при ^ = ...—^ = 0)
сделаем
Xs - (xL + х2 -f ... + хп) X, Zj = {хг + х2 + ... + хп) Z,
то уравнение, определяющее функцию F, которую мы
должны предполагать теперь от t не зависящей, приве-
приведется к виду:
S=l 5=1 /-1
23*

356 A. M. ЛЯПУНОВ
Этому уравнению всегда можно удовлетворить,
допуская, что функция F зависит только от двух аргу-
аргументов
Хх + Х2+ ...+Хп=:Х И Zt + Z2+ ... + Zk=Z.
Тогда оно приведется к следующему:
Последнее же дает для -~— выражение, голоморф-
dF
ное относительно х, z, -г— , и потому на основании
теоремы Коши всегда допускает и притом только одно
такое решение, в котором функция F, уничтожаясь при
х = 0, при достаточно малых \х\ и \z\ будет представ-
представляться под видом ряда, расположенного по целым
положительным степеням х и z.
Ряд этот, если последние заменить в нем их выра-
выражениями и затем рассматривать его как расположен-
расположенный по степеням величин xSi Zj, и будет тот, сходимость
которого мы должны были исследовать.
Поэтому для достаточно малых \xs\, I z;-1 сходимость
ряда G2) при сделанных сейчас частных предположе-
предположениях можно считать доказанною. А на основании
изложенного выше этим доказывается и сходимость
его при общей постановке вопроса. Возвращаясь
к последней, мы можем притом утверждать, что ряд G2)
представляет голоморфную функцию величин xs, Zj
в равной степени для всех вещественных значений t.
Таким образом, останавливаясь на каком-либо опре-
определенном выборе формы L, найдем для системы G1)
один вполне определенный интеграл требуемого ха-
характера.
Принимая за L последовательно zlf z2t ..., zft, полу-
получим к таких интегралов. Эти интегралы, которые, оче-
очевидно, будут независимыми, можно назвать основными—
в том смысле, что всякий голоморфный интеграл
системы G1), обладающий ограниченными коэффициен-
коэффициентами, необходимо будет голоморфною их функцией.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 357
Возвращаемся теперь к нашему вопросу.
Рассматриваем интеграл, представляющий сумму
квадратов основных. Он будет следующего вида:
где R заключает в себе только члены выше второго
измерения относительно величин xs, Zj.
Рассматриваем затем квадратичную форму W вели-
величин х1У x2i ..., хП9 определяемую уравнением
71
2 (PX + PX + +РЯ)
Форма эта, как известно, будет определенно-поло-
определенно-положительною (§ 20, теорема II).
Такою же будет поэтому и
как функция переменных xs, Zj и t.
Составляем полную производную последней по t
на основании уравнений G1). Производная эта будет:
Но вследствие того, что функции Xs при хг = х2 =
~...=;хп = 0 все делаются нулями, всегда можно на-
написать
разумея под vs, некоторые голоморфные функции вели-
величин #s, Zj с ограниченными коэффициентами, уничто-
уничтожающиеся при одновременном равенстве всех этих
величин нулю и голоморфные притом в равной степени
для всех вещественных значений t.

358 А. М- ЛЯПУНОВ
Поэтому рассматриваемая производная представит
функцию знакопостоянную, отрицательную, и, следова-
следовательно, наша функция V будет удовлетворять всем
условиям теоремы I § 16.
Таким образом доказывается устойчивость невоз-
невозмущенного движения в рассматриваемом случае.
Нетрудно видеть, что всякое возмущенное движе-
движение, для которого возмущения численно достаточно
малы, будет в этом случае асимптотически прибли-
приближаться к одному из движений, соответствующих урав-
уравнениям
Zl = cu z2 = c2> ..., zk = ck, xx = х2 = ...== хп = 0, G6)
где с19 с2) ... , ^-—произвольные постоянные.
В этом убеждаемся, обращаясь к тем уравнениям
/пл\ dxs
системы (/1), которые содержат производные -~ , и рас-
рассматривая в них величины Zj как данные вещественные
функции t, численные значения которых при величи-
величинах t, больших начального его значения, никогда
не превосходят некоторых достаточно малых пре-
пределов.
Нетрудно также доказать, что все движения ряда
G6), для которых [ Cj | достаточно малы, будут устой-
устойчивыми.
Примечание. К системам G1) при известных усло-
условиях могут, конечно, приводиться более общие:
(/ —1, 2, ..., к),
dx \'' /
df = Ar*i + Аа«2 + • • • + PsnXn + Xs
E=1, 2, ...,л),
в которых коэффициенты qJif pS3 суть не постоянные
величины, а некоторые ограниченные функции t.
Допустим, что в системе G7) все коэффициенты
суть периодические функции t.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 359
Предполагая попрежнему, что все Xgf Zf при
х1 = х2 = ...=#п = 0 делаются нулями, допустим затем,
что характеристичное уравнение, соответствующее
системе
§ = g/A + g/А + ... + QjkZk (/ = 1, 2, ..., Л), G8)
имеет только корни с модулями, равными 1, а соответ-
соответствующее системе
¦^ = Psixi + Рзгх* + ' • • + PsnXn E=1,2, . . ., п)
—только корни с модулями, меньшими 1.
Тогда, если всякому корню р характеристичного
уравнения системы G8) соответствуют только решения
11 1
в которых все fs (t) суть периодические функции t,
то на основании доказанного можно будет утверждать,
что невозмущенное движение устойчиво и что всякое
возмущенное движение, для которого возмущения доста-
достаточно малы, будет асимптотически приближаться
к одному из движений, для которых х19 х2, ..., хп все
равны нулю И21( zlt ..., zk удовлетворяют системе G8).
Таков будет, например, случай, когда названное
характеристичное уравнение не имеет кратных корней.
Когда же такие корни существуют, а в соответ-
соответствующих им решениях системы G8) в функциях fs (t)
встречаются вековые члены, невозмущенное движение,
конечно, будет неустойчивым.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ
СТАТЬИ

К ВОПРОСУ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ1)
Предлагаемая заметка; заключает в себе небольшое
дополнение к сочинению «Общая задача об устойчи-
устойчивости движения» (Харьков, 1892; издание Харьковского
матем. общества).
В этом сочинении, предполагая, что в дифферен-
дифференциальных уравнениях возмущенного движения, при-
приведенных к нормальному виду, вторые части предста-
представлены рядами, расположенными по целым положитель-
положительным степеням неизвестных функций, и делая еще неко-
некоторые общие предположения (о которых будет сказано
ниже), я указываю условие, при котором решение
вопроса об устойчивости не зависит от членов выше
первого измерения в названных рядах; но при этом
доказываю только его достаточность. Здесь я намерен
показать, каким образом может быть доказана необ-
необходимость этого условия.
Пусть х19 х2У ..., хп суть величины, по отношению
к которым исследуется устойчивость и которые в диф-
дифференциальных уравнениях возмущенного движения
должны играть роль неизвестных функций времени t.
Величины эти суть некоторые данные функции
координат и скоростей рассматриваемой материальной
системы, выражения которых могут зависеть явным
образом и от времени.
*) Опубликовано в [Сообщениях Харьковского математи-
математического общества, сер. 2, т. Ц1, 1893, стр, 265- 272. {Прим. ред,)

364
А. М- ЛЯПУНОВ
Я предполагаю, что функции эти выбраны так, чтобы
для движения, устойчивость которого исследуется
и которое называю невозмущенным, они все делались
нулями, и что для движений возмущенных они удо-
удовлетворяют дифференциальным уравнениям вида:
-jf = PsiXl+P
X2+
s2X2
=l, 2, ..., n), A)
где pSQ (s, o = l, 2, ..., n) суть некоторые вещественные
постоянные, а Х19 Х29 ..., Хп—некоторые известные
функции величин х19х29 ..., хп и t, представляемые при
достаточно малых | xs | рядами
X —
S
... +mn> 1),
расположенными по целым положительным степеням
величин xs и не содержащими членов ниже второго
измерения относительно последних. Я предполагаю при-
притом, что коэффициенты Р^"^ в этих рядах, представляю-
представляющие или вещественные постоянные, или непрерывные
вещественные функции времени, таковы, что возможно
найти такие положительные постоянные М и А, при
которых выполнялись бы неравенства вида
2,.. .,mn)
для всех значений tt превосходящих то его значение,
которое мы приняли за начальное.
Задача об устойчивости по отношению к величинам xs
приводится к решению вопроса о возможности для
всякого данного положительного числа I выбирать
другое положительное число s так, чтобы всякий раз,
когда в начальный момент времени функциям xs даются
вещественные значения, удовлетворяющие условиям

к вопросу об устойчивости движения
365
во все последующее время движения выполнялись
неравенства
!»,!</, \xt\<l, ...,\хп\<1.
Когда этот вопрос разрешается в утвердительном
смысле, невозмущенное движение по отношению к вели-
величинам xs устойчиво; в противном случае —неустойчиво.
В упомянутом выше сочинении указывается условие,
которому должны удовлетворять постоянные pS3 для
того, чтобы решение этого вопр#оса не зависело от каких-
либо частных предположений относительно функций Xs.
Условие это относится к корням уравнения
Ai x Л2
Ai P22 '
Pin
Ail
Pm
Pnn —
= 0
и, если
B)
суть взятые со знаком минус вещественные части этих
корней, выражается так: наименьшее из чисел B)
не должно быть нулем.
Достаточность этого условия обнаруживается тем,
что для случаев, когда наименьшее из чисел B) поло-
положительно, доказывается устойчивость невозмущенного
движения, а для случаев, когда число это отрица-
отрицательно,—неустойчивость, причем принимаются в рас-
расчет только те общие предположения относительно
функций Xs, которые высказаны выше1).
Чтобы доказать необходимость того же условия,
я должен доказать теперь следующее:
Каковы бы ни были постоянные pSz, но если только
они таковы, что наименьшее из чисел B) есть нуль,
функции Xs всегда можно подбирать так, чтобы имела
место устойчивость или неустойчивость, по желанию.
«Общая задача об устойчивости движения», стр. 136.

366 A. M. ЛЯПУНОВ
Что в этом предположении названные функции
всегда можно выбирать так, чтобы имела место неустой-
неустойчивость, это выводится уже из некоторых результатов,
находящихся в моем сочинении, притом и непосред-
непосредственно доказывается весьма легко. Мне остается
поэтому только показать, что если наименьшее из чи-
чисел B) есть нуль, то всегда возможен и такой выбор
функций Xsi при котором невозмущенное движение
будет устойчивым.
Я рассмотрю сначала два частных случая, для
которых числа B) все будут нулями.
Пусть система A) имеет следующий вид:
dxx_ Y
? } C)
5 = ^ + Х; A = 2,3, ...,п). '
Разумея под ср2, <р2> •••> ?п функции, определяемые
последовательно (для s^=n, п—1, ..., 2, 1) из уравне-
уравнений вида
при условии
нетрудно убедиться, что если
= l, 2, . .., п),
то функция 9i будет интегралом системы C).
Но функция эта (непрерывная и однозначная)
такова, что для вещественных xs может обращаться
в нуль не иначе, как при
Поэтому при указанном выборе функций Хш невоз-
невозмущенное движение несомненно будет устойчивым.

К ВОПРОСУ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 367
Я допускаю теперь, * что система A) есть четного
порядка п=2т и имеет следующий вид:
(* = 2, 3, ...,т),
где 2/s, Ys суть новые обозначения величин #m+s,
Пусть <рг, <р2, ..., срп суть функции, определяемые
последовательно уравнениями вида
при условии
Тогда, если
= 1, 2, ...,
то функция срх будет, как легко в том убедиться, инте-
интегралом системы D). А так как функция эта при веще-
вещественных xS9 ys может уничтожаться только для
то подобно предыдущему должно заключить, что при
указанном выборе функций Xs9 Ys невозмущенное дви-
движение будет устойчивым.
Обращаясь теперь к общему случаю, я замечаю,
что каковы бы ни были постоянные pso, всегда най-
найдется линейная подстановка с постоянными вещест-
вещественными коэффициентами, преобразовывающая си-
систему A) в такую, которая распадается на группы
уравнений, принадлежащие к одному из двух следу-
следующих типов:
]
2,3,...,*) J

368 A. M. ЛЯПУНОВ
ИЛИ
(* = 2, 3, ..., A), J
где Ys, Zs означают совокупности членов выше первого
измерения относительно неизвестных функций.
Здесь не исключается и случай к — 1, когда группа
вида E) приводится к одному первому уравнению,
а группа вида F)—к двум уравнениям первой строки.
В этих уравнениях X представляет одно из чисел B).
Поэтому, если между последними не находится
отрицательных, то, чтобы невозмущенное движение
сделать устойчивым, стоит только во всех группах,
для которых \ > О, а также в тех, для которых к= 1,
положить YS = ZS — O, и в группах, для которых к = О,
А>1, совокупности членов выше первого измерения
выбрать, как было показано в двух рассмотренных сейчас
частных случаях.
Таким образом необходимость указанного выше
условия может считаться доказанною.
Но условие это, разумеется, необходимо, только
пока рассматриваются рсякие системы вида A). Если
же желательно рассматривать лишь системы какого-
либо определенного типа, то, оставаясь, конечно, доста-
достаточным, оно может не делаться более необходимым.
Так, например, если рассматривать только канони-
канонические системы с постоянными коэффициентами, то усло-
условие это наверно не будет необходимым [14].

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО
ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ ЗАДАЧИ
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ1)
1. Задача, о которой идет здесь речь, приводится
к следующему:
Дана система дифференциальных уравнений вида
dxx y dx2 y dxn y /л\
где Xl9 X2> • • •, Xn суть некоторые данные вещественные
функции вещественных переменных xv x29 ..., хПу t,
уничтожающиеся при
и где величины xs рассматриваются как неизвестные
функции переменного t. Требуется узнать, можно ли
для всякого данного положительного числа / выбирать
другое положительное число з так, чтобы всякий раз,
когда начальные значения функций xs, соответствую-
соответствующие, допустим, г = 0, выбираются согласно условиям
\хг [ < г, | х2 |< г, . . ., | Хп | < г,
для всех положительных значений t выполнялись
неравенства
..., \хп\<1. B)
х) Впервые опубликовано в Математическом сборнике
т. XVII, вып. 2, 1893, стр. 253-333. (Прим. ред.)
24 А. М. Ляпунов.

370 A. M. ЛЯПУНОВ
Предполагая, что t означает время, а хг, х2, . .., за-
заданные функции координат и скоростей некоторой
материальной системы, находящейся под действием дан-
данных сил (функции эти могут зависеть явным образом
и от времени), допустим, что всякому вещественному
решению системы уравнений A) соответствует некото-
некоторое движение нашей материальной системы. Тогда
поставленная таким образом задача представит то, что
мы здесь называем задачей об устойчивости движения
по отношению к величинам х19 х29 ..., хп *).
Движение это мы называем устойчивым или не-
неустойчивым смотря по тому, утвердительно или отри-
отрицательно разрешается поставленный вопрос.
Если при решении этого вопроса рассматриваются
не всякие возмущения (так будем называть начальные
значения функций xs), как это предполагалось здесь,
а лишь такие, которые удовлетворяют некоторым усло-
условиям вида
/ = 0 или />0,
где /—функция величия х19 х2, ..., хп, уничтожаю-
уничтожающаяся при
Х^ —'¦ Х^ =-= • • • г== Хц "— U,
и если при этих условиях он разрешается в утверди-
утвердительном смысле, то мы говорим, что невозмущенное
движение (так называем движение, устойчивость кото-
которого исследуется) обладает условною устойчивостью.
Безусловно оно может быть при этом и неустойчивым.
х) Можно рассматривать более общую задачу: об устойчи-
устойчивости того же движения, но по отношению не ко всем, а только
к некоторым из величин xlt х2, ..., хп, например — по отноше-
отношению к величинам xlt x2, ..., хт (т<п). Постановка этой
задачи получается из предыдущей заменою неравенств B)
следующими:
l*i|</, 1*2 К*, .-. , \*т\<1.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 371
Говоря об устойчивости и не упоминая о каких-либо
условиях для возмущений, будем, конечно, подразуме-
подразумевать, что речь идет об устойчивости безусловной,
как она определена выше.
Мы будем предполагать, что вторые части уравне-
уравнений A) не зависят явным образом от t и что это суть
голоморфные функции переменных х19 х2, ..., хп. При
достаточно малых | xs | они представятся поэтому ряда-
рядами, расположенными по целым положительным сте-
степеням величин xs с постоянными коэффициентами.
В большинстве случаев для решения вопроса об
устойчивости достаточно рассматривать в этих рядах
только члены первого измерения относительно вели-
величин xs. Но существуют случаи, когда для этой цели
должны быть принимаемы в расчет и члены высших
измерений. Такие случаи задачи об устойчивости
мы называем особенными.
Если
PsV Ps2> ' * ' » Psn
суть значения частных производных
соответствующие
~ __ ~ _ ~ _ л
то особенными будут все те случаи, когда уравнение
Pl2 • • • Лп
-О, C)
Pni
не имея корней с положительными вещественными
частями, имеет корни, вещественные части которых
суть нули1).
х) См. мою заметку «К вопросу об устойчивости движения».
(Сообщения Харьк. матем. общ., 2 серия, том III) [стр. 363—
358 настоящего издания. {Прим. ред.)}
24*

372 А. М- ЛЯПУНОВ
Два простейших из этих особенных случаев были
рассмотрены мною в сочинении «Общая задача об устой-
устойчивости движения» (Харьков, 1892; издание Харьк.
матем. общ.). Один из них есть'тот, когда уравнение C)
имеет один равный нулю корень при остальных корнях
с отрицательными вещественными частями; другой —
тот, когда уравнение это при таких же остальных
корнях имеет два чисто мнимых корня.
Здесь я намерен разобрать случай несколько более
сложный, когда уравнение C) имеет два равных нулю
корня, в предположении, что все остальные его корни
(когда оно выше второй степени) обладают отрицатель-
отрицательными вещественными частями.
Я однако не буду здесь рассматривать этого случая
во всех его подробностях, а ограничусь лишь предполо-
предположением, что из первых миноров определителя, фигури-
фигурирующего в уравнении C), по крайней мере один не де-
делается нулем при х = 0.
При этом условии всегда найдется такая линейная
подстановка с постоянными вещественными коэффи-
коэффициентами, посредством которой уравнения A) преоб-
преобразуются к виду
(.9=1, 2, ...,*), J
где X, Y', Zs суть голоморфные функции новых пере-
переменных х, у, z19 z2, ..., zk (k =тг — 2), не содержащие
в своих разложениях членов ниже второго измерения,
a qsa — вещественные постоянные такого свойства, что
уравнение
0U-* ••• 0ifc
-О
0*1 • • • 9kk: — *
обладает только корнями с отрицательными веществен-
вещественными частями.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 373
Уравнения D) и послужат точкою отправления для
наших изысканий.
При решении нашего вопроса мы будем основы-
основываться на принципах, установленных в цитированном
выше сочинении, руководясь при этом такими же
соображениями, какими пользовались там при рассмо-
рассмотрении подобных же, хотя и менее сложных вопросов.
Прежде, однако, чем перейти к общему случаю, мы
рассмотрим тот, когда & = 0, т. е. когда исследуемая
система уравнений есть второго порядка.
В этом случае задача допускает, конечно, многие
упрощения, вообще невозможные для систем высших
порядков.
Мы увидим, что в этом частном случае задача
не представляет никаких существенных особенностей
сравнительно с теми задачами, которые рассматри-
рассматривались в упомянутом сочинении. Напротив, для систем
высших порядков мы встретимся с некоторыми новыми
обстоятельствами, благодаря которым в известных
случаях могут возникнуть совершенно особые затруд-
затруднения.
ГЛАВА I
СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
2. Допустим, что рассматриваемая задача об устой-
устойчивости приводится к исследованию уравнений
^? +Х ty^y A)
в которых X и Y суть не зависящие от t голоморфные
функции переменных х и у, не содержащие в своих
разложениях членов ниже второго измерения.
Нетрудно видеть, что, вводя вместо у некоторое
новое переменное у1У задачу эту, если угодно, можно
привести к исследованию уравнений того же вида
dx , ,, йцл v

374 Л- М- ЛЯПУНОВ
в которых Хг будет произвольно заданною голоморфною
функцией х и уи не содержащею членов ниже второго
измерения.
Действительно, для этого между я, у и уг должно
установить зависимость
в силу которой, при \х\у \у\, \ух\ достаточно малых,
yt будет голоморфною функцией х и у, уничтожающеюся
при х = у~0, и у — голоморфною функцией х жу17 уни-
уничтожающеюся при х — ух = 0\ а при такой зависимости
между переменными задача об устойчивости движе-
движения х = у = 0 по отношению к величинам х и у
будет вполне равносильною задаче об устойчивости
движения x — f/1 = O по отношению к величинам х и уг.
Допустим, что преобразование наше выбирается
так, чтобы функция Хг уничтожалась при yL = 0.
Составляя в этом предположении функцию Yu
располагаем ее по восходящим степеням уг:
Здесь / (х), у(х) и т. д. будут некоторыми голоморф-
голоморфными функциями переменной х.
Если функция / (х) не равна тождественно нулю,
то, располагая ее по восходящим степеням х и разумея
под а отличное от нуля постоянное, будем писать
Число а будет' при этом не менее 2.
Точно так же, если функция 9 (х) не равна тожде-
тождественно нулю, то, располагая ее по восходящим сте-
степеням х и предполагая постоянное Ъ отличным от нуля,
будем писать
Число р будет здесь не менее 1.
Числа^а, а, 6 и |3 будут играть в нашем исследова-
исследовании весьма значительную роль.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 375
Из бесчисленного множества преобразований, под-
подчиненных условию, чтобы при ух = 0 функция Хх дела-
делалась нулем, укажем здесь одно, из которого выводится
простейший способ составления функций / (х) и 9 0е)*
Преобразование это соответствует подстановке
где F (х) есть уничтожающаяся при х = 0 голоморфная
функция х} получаемая решением относительно у урав-
уравнения
При таком преобразовании функция f(x)> очевидно,
найдется как результат замены у функцией F (х) в вы-
выражении Ylf а функция <р(х) — как результат той же
замены в выражении
дх + ду •
Если бы мы воспользовались каким-либо другим
преобразованием, то для функций / (х) и <р (х) могли^бы,
конечно, получить иные выражения. Но нетрудно
убедиться, что, каково бы ни было наше преобразова-
преобразование, выражения эти всегда вышли бы вида:
Здесь Д (х) и 9i (x) суть функции / (х) и 9 (#)> соответ-
соответствующие некоторому определенному преобразованию,
а Ь (х) и ф (х) — голоморфные функции х, зависящие
от выбора нашего преобразования. Из них ф (ж) может
быть какою угодно, а 6 (х) всегда такова, что при # = О
делается нулем.
Из этих выражений видно, что, если для какого-
либо преобразования функция / (х) выходит тожде-
тождественно равною нулю, то же будет и для всякого дру-
другого преобразования. Функция ср (х) тогда от выбора
преобразования зависеть не будет. Если же / (х) не
равна нулю, то хотя при переходе от одного преобра-

376 А. М- ЛЯПУНОВ
зования к другому она и может меняться, числа а
я а будут оставаться всегда одни и те же. Если при
этом р < а, то и числа Ь и [В от перемены преобразования
меняться не будут. Напротив, при р>а их можно
сделать какими угодно с соблюдением, разумеется,
этого условия.
Отсюда видно, что числа Ъ и р только в тех случаях
могут иметь для нас интерес, когда [В < а или когда
/(*) = 0.
Мы начнем наше исследование с этого последнего
случая.
3. Здесь и в последующем, где не будет сказано про-
противного, мы будем предполагать, что функция X при
у = О делается нулем. Предположение это, как мы ви-
видели, приводится к некоторому всегда возможному
преобразованию системы A).
Мы будем поэтому полагать
разумея под / (х) и ср (х) функции, рассматривавшиеся
в предыдущем параграфе.
Начнем со случая, когда / (х) = 0 тождественно.
В этом случае в уравнении
dy Y
выводящемся из системы A), вторая часть будет голо-
голоморфною функцией х и у.
Поэтому, рассматривая у как функцию х и называя
значение ее, соответствующее х = 0, через с, на осно-
основании известной теоремы найдем
у = с + ф(ж, с), C)
где ф {х, с) означает некоторую голоморфную функцию
х ж с, уничтожающуюся при х = 0.
Пользуясь этим выражением у, приведем первое
из уравнений A) к виду
а? = с + Ъ(х, с). D)

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 377
Функция 6 (#, с) будет здесь также голоморфною,
притом, подобно ф (х} с), не содержащею членов ниже
второго измерения относительно хж с.
Если не только /(#), но и <р(х) тождественно равна
нулю, вторая часть уравнения B) будет уничтожаться
при у = 0; а потому функция ф (х, с) будет уничтожаться
при с = 0.
Но тогда тем же свойством будет обладать и функ-
функция 6 (х, с), и, следовательно, в уравнении
х
С cdx __ , ,
J с+ 9 (ж, с) ~~С
о
которое выведем из D), разумея под с' постоянное
произвольное, первая часть будет голоморфною функ-
функцией X И С.
Из этого уравнения будет поэтому следовать, что
в случае ср (х) — 0 невозмущенное движение неустойчиво.
Допустим теперь, что функция 9 (х) не р&В1ш нулю
тождественно.
Вторая часть уравнения B) будет обращаться тогда
при у ¦¦= 0 в голоморфную функцию х с младшим чле-
членом Ьх*.
Поэтому младшим членом функции ф (х, 0) будет
Таков же будет и младший член функции 6 (х, 0).
Вследствие этого, если рассмотрим частное решение
системы A), соответствующее предположению с = 0,
то уравнение D) примет вид:
где далее следуют члены с высшими степенями х.
Из этого уравнения достаточно ясно видно, что,
когда р есть число нечетное или когда при четном [3
постоянное 6 положительно, невозмущенное движение
неустойчиво.

378 A. M. ЛЯПУНОВ
Нам остается поэтому рассмотреть только случай,
когда при |3 четном 6 есть число отрицательное.
Для этого прежде всего замечаем, что, каково бы
ни было вещественное постоянное с, при {3 четном
всегда можно положить
разумея под у также вещественное постоянное.
Вводя это постоянное вместо с во вторую часть
уравнения C), представим ее под видом голоморфной
функции х и у> в которой совокупность членов наи-
наинизшего измерения относительно ж и | будет равна
Поэтому, если сделаем
то для х получим р -+ 1 определений под видом голо-
голоморфных функций v, из которых только одна будет
вещественною. Обозначим ее через а (у).
Младшим членом функции о (у) будет Y-
Поэтому, если вместо х введем переменное ?, по-
полагая
то вторая часть уравнения C) представится под видом
голоморфной функции Е и у, уничтожающейся при
\ = 0, в которой совокупность членов наинизшего изме-
измерения относительно ? и у будет равна
В таком же виде представится при этом и вторая
часть в уравнении D), которое преобразуется таким
образом в следующее:
§ E)

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 379
если под 77 будем разуметь голоморфную функцию
z и Y» Б которой совокупность членов наинизшего
измерения выражается формой
Но при (В четном форма эта есть определенная
и положительная. Поэтому для численных значений у
и ? можно назначить такой отличный от нуля предел /,
чтобы при всяких вещественных у и ?, удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям
выполнялось следующее:
Я>0.
Допустим, что y и значение ?0 функции Е, соответ-
соответствующее ? ~ О, выбраны численно меньшими /.
Тогда, представляя уравнение E) под видом
заключим, что при Ь отрицательном для всех поло-
положительных значений t будет выполняться условие
Отсюда, принимая в расчет существующую между
величинами х, у, ? и у зависимость, нетрудно вывести,
что невозмущенное движение будет устойчивым.
4. Мы видели, что при [3 нечетном невозмущенное
движение неустойчиво. Но можно показать, что оно
обладает в этом случае известною условною устойчи-
устойчивостью. Можно именно показать, что оно устойчиво
для возмущений, подчиненных условию
F)

380 A. M. ЛЯПУНОВ
Для этого обращаемся к уравнению
выводимому из C) разрешением относительно с.
В этом уравнении W (х, у) есть голоморфная функ-
функция х в. у, способная быть представленною под видом:
W(x, y^yv-J
где и и v означают голоморфные функции, уничтожаю-
уничтожающиеся при х = у = 0.
Поэтому при (В нечетном первая часть уравнения G)
будет такою функцией х и у, которая при условии F)
и при величинах х и г/, численно достаточно малых,
будет сохранять знак, противоположный знаку 6,
обращаясь в нуль только при х = у = 0. Другими сло-
словами, по терминологии, которою я пользовался в своем
сочинении (и которою буду пользоваться также и здесь),
это будет функцией знакоопределенною при условии'F).
Но вследствие того, что функция Y уничтожается
при у = 0, условие это, будучи выполнено в начальный
момент времени, необходимо будет выполняться, если
не постоянно, то по крайней мере все время, пока
величины х ж у остаются численно достаточно малыми
для того, чтобы функции X и Y можно было предста-
представлять рядами, расположенными по степеням х и у.
Поэтому, пользуясь обычными в таких случаях рас-
рассуждениями, из рассмотрения уравнения G) выведем,
что, как бы мало ни было данное положительное число /,
всегда найдется такое положительное число з, чтобы
при условиях
выполненных в начальный момент времени, функции х
и у оставались всегда численно меньшими /.
Можно заметить, что в рассматриваемом случае
(т. е. при Э нечетном) невозмущенное движение устой-
устойчиво также для возмущений, подчиненных условиям
г/= <!>(*> 0), 6я<0. (8)

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДЙОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 381
Но устойчивость при условии F) существенным
образом отличается от устойчивости при этих послед-
последних условиях: в случае условия F) функции х и у,
когда их начальные значения численно достаточно
малы, изменяются между пределами сколь угодно
численно малыми не только при беспредельном возра-
возрастании, но и при беспредельном убывании t, тогда
как в случае условий (8) дело происходит так только
при беспредельном возрастании t.
Мы встречаем здесь, следовательно, примеры двух
родов устойчивости: одна такова, что после замены t
на — t переходит также в устойчивость; другая пере-
переходит после этого в неустойчивость.
Устойчивость первого рода мы будем называть
консервативною.
В предыдущем параграфе было показано, что в случае
Р четного и Ъ отрицательного имеет место устойчивость.
Устойчивость эта, очевидно, не есть консервативная.
Случаи безусловной консервативной устойчивости,
с которыми можно встретиться в занимающем нас
вопросе, будут указаны в своем месте.
5. Нетрудно видеть, что во всех рассмотренных
до сих пор случаях безусловной или условной устой-
устойчивости функции х и 2/, когда их начальные значения
численно достаточно малы, с беспредельным возраста-
возрастанием t приближаются к некоторым пределам, из кото-
которых соответствующий функции у всегда есть нуль.
Мы будем выражать это обстоятельство, говоря,
что возмущенное движение асимптотически прибли-
приближается к одному из движений, соответствующих урав-
уравнениям
при произвольном постоянном С.
В случае, когда (#) = 0 тождественно, такие движе-
движения всегда существуют.
Предполагая | С | достаточно малым, рассмотрим
вопрос об устойчивости этих движений по отношению
к величинам х — С и у.

382 А. М- ЛЯПУНОВ
Мы будем предполагать С настолько численно ма-
малым, чтобы после подстановки
вторые части уравнений A) выходили голоморфными
относительно \ ж у.
В этом предположении, выписывая только члены
первого измерения относительно \ и у, преобразуем
эти уравнения к виду:
Здесь С означает постоянное, представляющее
некоторую голоморфную функцию С, уничтожающуюся
С 0
Мы замечаем теперь, что определяющее уравне-
уравнение1) системы (9) обладает следующими корнями:
ср (С) и 0.
Поэтому всякий раз, когда <р(С)>0, имеет место
неустойчивость.
То же будет и в случае, когда ср (С) =0, если только
число 1 + С' не нуль, ибо случай этот приводится
к тому из рассмотренных в § 3, когда функция у (х)
тождественно равна нулю.
Если, наконец, у (С) < 0, то, так как вторые части
уравнений (9) уничтожаются при у = 0, по доказанному
в моем сочинении должно заключить, что имеет . место
устойчивость.
Таким образом, предполагая | С | достаточно малым
для того, чтобы функция ср (С), если она не равна нулю
тождественно, обладала знаком своего младшего члена
ЬС$ и чтобы число 1 + С' не было нулем, можем утвер-
утверждать, что, если у(х) — 0 тождественно, все рассматри-
х) Так называем уравнение C), соответствующее системе
A) (§ О-

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 383
ваемые движения неустойчивы, и что в противном
случае, если р —число нечетное, те из этих движений,
для которых ЬС > 0, неустойчивы, а те, для которых
ЪС < 0, устойчивы; если же $ — число четное, все они
при b > О неустойчивы, а при b < 0 устойчивы.
6. Переходим теперь к случаям, когда функция
/ (х) не равна нулю тождественно.
В большинстве случаев этой.категории вопрос раз-
разрешается тотчас же на основании одного легко доказы-
доказываемого общего предложения, игравшего весьма зна-
значительную роль в моем сочинении, не раз упоминав-
упоминавшемся выше.
Предложение это состоит в следующем:
Пусть удалось найти вещественную голоморфную
функцию V переменных х и у, производная которой по t
составленная при посредстве уравнений A), представ-
представляла бы знакоопределенную функцию тех же пере-
переменных. Тогда, если функция F, которую предпола-
предполагаем уничтожающеюся при х = у = 0, такова, что надле-
надлежащим выбором вещественных х и у, сколь угодно чи-
численно малых, ее можно сделать одинакового знака
с V, невозмущенное движение неустойчиво; если же
V сама есть функция знакоопределенная и противопо-
противоположная по знаку с V, движение это устойчиво.
Можно прибавить, что в последнем случае всякое
возмущенное движение, для которого возмущения чи-
численно достаточно малы, будет асимптотически при-
приближаться к невозмущенному.
Чтобы воспользоваться этим предложением в зани-
занимающем нас случае, обращаемся к уравнению
(х f X)-2-+ [Г-/(*)]-§?—УФ, A0)
в котором Ф означает какую-либо данную голоморфную
функцию переменных х и у, a F—неизвестную функ-
функцию последних.

384 A. U. ЛЯПУНОВ
dF
Замечая, что уравнение это дает для -^ выраже-
выражение вида
в котором Р и Q суть голоморфные функции х и у, на
основании известной теоремы можем утверждать, что
ему всегда можно удовлетворить, предполагая функ-
функцию F также голоморфною, и что притом функцию
эту можно подчинить условию (которое определит ее
вполне), чтобы при # = 0 она обращалась в произвольно
заданную голоморфную функцию одного у.
Наша задача будет состоять теперь в выборе под-
ходящих гипотез относительно функции Ф и этой голо-
морфной функции переменного у.
Положим
разумея под а коэффициент младшего члена ах* функ-
функции /(#), и подчиним функцию F условию обращаться
в у при х = 0.
Означая найденную в этих предположениях го-
голоморфную функцию F через V, на основании уравне-
уравнения A0) будем иметь
V' = ay* + f(x) fy. (И)
Но по определению функции V производная -~—
обращается в 1 при я = 0.
Поэтому, если а—число четное, полученное выраже-
выражение V представляет знакоопределенную функцию х и у.
Отсюда, замечая, что функции V можно приписы-
приписывать значения любого знака, заключаем, что при а
четном невозмущенное движение всегда неустойчиво.
Останавливаясь на прежнем выборе функции Ф,
подчиним теперь функцию F условию уничтожаться
при х — 0.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 385
Если V есть соответствующая этим предположениям
функция F, то попрежнему будем иметь равенство (И).
Но теперь функция V не будет содержать членов ниже
второго измерения относительно х и у; единственным
же членом второго измерения в ней будет аху, так что
функция -j- (уничтожающаяся при х = 0) будет вида
где и уничтожается при х = у~0.
Поэтому при а нечетном и а положительном рас-
рассматриваемая теперь функция V будет знакоопреде-
ленною. Функция же V, как и в предыдущем случае,
будет способною принимать значения любого знака.
Мы должны поэтому заключить, что и при нечет-
нечетном а, если только при этом а есть число положитель-
положительное, невозмущенное движение неустойчиво.
Допустим, наконец, что а есть число нечетное и а—
число отрицательное.
Допустим, кроме того, что [3<^а.
Пусть
есть голоморфная функция х и г/, удовлетворяющая
уравнению A0) в предположении Ф —0 и обращающая-
обращающаяся в у при х = 0.
Функция W (х} у) не будет содержать членов ниже
второго измерения относительно х и у. Притом она
будет такова, что младший член функции W (х, 0) вый-
выйдет равным
Поэтому, если положим
разумея под Н голоморфную функцию х и у, уничто-
25 А. М. Ляпунов

386 А- М- ЛЯПУНОВ
жающуюся при х — у = 0, то таков же будет и младший
член функции ф(#).
Делаем теперь в уравнении A0)
и голоморфную функцию F подчиняем условию уни-
уничтожаться при х = 0.
Найденная в этих предположениях функция F, ко-
которую означим через U, очевидно, будет вида
где и не содержит членов ниже (а+2)-го измерения от-
относительно х и у.
Поэтому, если сделаем
то эта функция V при рассматриваемых предположе-
предположениях будет знакоопределенною и положительною.
Составим ее производную по t на основании урав-
уравнений A). Так как функция V необходимо удовлетво-
удовлетворяет уравнению A0) при сделанном сейчас выборе
функции Ф, то для этой производной найдем следую-
следующее выражение:
' = 2[y+4?(x,y)]
Но по допущенному p < а, а функция f(x) ^ не со-
содержит членов ниже Bя+1)-го измерения относительно
х ш у.
Поэтому совокупность членов наинизшего измере-
измерения в найденном выражении V приводится к

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 387
При р четном функция V будет, следовательно, зна-
коопределенною, того же знака, что и 6.
Отсюда, принимая в расчет указанное выше свой-
свойство функции V, заключаем, что, если при наших до-
допущениях р есть число четное, то в случае положитель-
положительного b невозмущенное движение неустойчиво, а в слу-
случае отрицательного—устойчиво и притом так, что вся-
всякое возмущенное движение, для которого возмущения
численно достаточно малы, будет асимптотически при-
приближаться к невозмущенному.
Из всех возможных случаев нам остается теперь
рассмотреть лишь те, когда при а нечетном и а отри-
отрицательном или 8, будучи менее а, есть число нечетное,
или р > а [сюда же включаем мы и случай, когда
?(*) = 0].
Для исследования этих случаев мы должны будем
прибегнуть к соображениям, отличным от преды-
предыдущих.
7. Обращаемся к уравнению
(y + X)% = Y,- A2)
выводимому из системы A) исключением dt.
Посмотрим, возможно ли при неравной нулю / (х)
удовлетворить ему в предположении, что у есть голо-
голоморфная функция переменного х, уничтожающаяся при
ж = 0.
Пусть hxk есть младший член разложения этой
функции по восходящим степеням х, так что к есть не*
которое целое положительное число и h—отличное
от нуля постоянное.
Так как, согласно допущенному, функция X не
содержит членов, не зависящих от уу то младшим чле-
членом первой части равенства A2) необходимо будет
Таков же должен быть и младший член второй
части этого равенства, который, будучи таким образом
25*

388 A. M. ЛЯПУНОВ
Bк—1)-ой степени, необходимо будет совпадать с млад-
младшим членом функции
/(*) + ? (я) у. A3)
Мы должны теперь разобрать три случая: 1) а > р+ ку
2) а < р + к [или 9 Ь) = 0] и 3) а = р -f ¦ к.
В первом младшим членом функции A3) будет
вследствие чего мы должны иметь:
Случай этот характеризуется условием
A4)
Во втором случае младшим членом функции A3)
будет аха, вследствие чего найдем:
2а
Случай этот возможен поэтому только при а нечет-
нечетном и [если ь (х) не нуль] при условии
Р>4^ A5)
Если же желаем, чтобы искомое решение уравне-
уравнения A2) было вещественным (т. е. при вещественных х
давало вещественные значения для у), то должны будем
поставить еще условия а > 0.
Обращаясь, наконец, к третьему случаю, мы можем
сделать два предположения: 1) 2к — 1 > а и 2) 2к — 1 = а.
Но на первом (в котором было бы Л=а-—р, А = — -т-
л, как в первом случае, р < ^- J , возможном только
при известных соотношениях между коэффициентами
функций / (х) и ср (х), останавливаться не будем.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 389
Что же касается второго, то из него следует
причем для определения h получается уравнение
(Р+ 1)/г2—6Л —а = 0. A6)
Это предположение возможно, следовательно, только
при условии
Р = ^ A7)
и может Привести к вещественному решению только
при
)я>0. A8)
Условиями A4), A7) и A5) или ср(#)=О исчерпы-
исчерпываются все возможные случаи. Но мы видели, что при
выполнении одного из двух последних условий случай
четного а должен быть исключен.
Если сделаем это, то легко докажем, что для всех
остальных: случаев задача наша всегда возможна.
Допустим, например, что имеем дело с одним из
случаев, когда выполняется условие A4) или A7).
Преобразовываем уравнение A2) посредством под-
подстановки
разумея под h число ^—- в случае условия A4) н один
из корней уравнения A6) в случае условия A7).
Замечая, что в обоих случаях
/ (х) + hx*+1 ср (х) =
где далее следуют члены с высшими степенями х, най-
найдем, что в преобразованном уравнении

390 А. М- ЛЯПУНОВ
вторая часть будет голоморфною функцией х и z,
уничтожающеюся при х = z = 0.
Уравнение это будет, следовательно, вида
\z + X + Z, A9)
где X и [л суть некоторые постоянные, a Z —голоморф-
—голоморфная функция, не содержащая членов ниже второго
измерения относительно х и z.
Для постоянного X получится притом следующее
выражение:
)
h
Поэтому в случае условия A4)
а в случае условия A7) X найдется как корень урав-
уравнения
которое в случае вещественности его корней, т. е. при
выполнении условия A8), или даст Х = 0, пли доставит
две величины X, из которых по крайней мере одна будет
отрицательной.
Таким образом всегда можно предположить, что X
не есть целое положительное число. А этого условия, как
известно, достаточно для возможности удовлетворить
уравнению A9) голоморфною функцией z переменного
Ху уничтожающеюся при х = 0.
Возможность нашей задачи в случаях условий A4)
и A7) может считаться, следовательно, доказанною.
Подобным же образом докажется и возможность
ее в случае, когда при выполнении условия A5) [или
о (х) — 0] а есть число нечетное.
Должно заметить, что в случае условия A4) рассма-
рассматриваемое голоморфное решение уравнения A2) всегда
будет вещественным, а в случае условия A7)—только
при выполнении условия A8). Если а < 0, то случаи

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 391
эти будут притом единственными, в которых задача
наша может допускать вещественные решения.
8. Предыдущий анализ тотчас же приводит к ре-
решению вопроса об устойчивости для некоторых из
случаев, остающихся еще неисследованными.
Допустим, что имеем дело или с условием A4),
или с условиями A7) и A8).
В обоих случаях, как мы видели, уравнение A2)
допускает вещественное голоморфное решение с млад-
младшим членом вида hx$+i.
Рассмотрим соответствующее ему частное решение
системы A).
В этом решении х как функция t будет определяться
уравнением
5 = Л*»+*+..., B0)
в котором вторая часть будет вещественною голоморф-
голоморфною функцией х с младшим членом й#р+1.
Мы можем поэтому утверждать, что, когда при
условии A4) или при условиях A7) и A8) [3 есть число
нечетное, невозмущенное движение всегда неустойчиво.
Случай четного [i при тех же условиях входит в
число рассмотренных в § 6, и мы видели, что, если
тогда а есть число нечетное и а—число отрицательное,
все зависит от знака постоянного Ь.
Заметим, что из рассмотрения уравнения B0) мо-
могут быть выведены некоторые случаи условной устой-
устойчивости. Но на этом останавливаться не будем.
9. Все случаи, которые нам остается исследовать,
относятся к предположению, что а есть число нечет-
нечетное и а—число отрицательное. В этом предположении
и будем делать дальнейшие изыскания.
Мы положим
а = 2л-1,
так что п будет целым числом, не меньшим 2.
Все случаи, которые нам придется рассмотреть,
распадутся при этом на две категории: 1) те, в которых

392 A. M. ЛЯПУНОВ
[3>ra — 1 или <?(х) = 0, и 2) те, в которых р = /г — 1,
а 6 удовлетворяет неравенству
62 + 4тш<0, B1)
противоположному условию A8).
Впрочем, из случаев, в которых [$ < а (каковы, напри-
например, все случаи второй категории), достаточно будет
рассмотреть лишь те, для которых В есть число не-
нечетное. Анализ наш, однако, не потребует такого огра-
ограничения.
Случаи обеих указанных категорий будут существен-
существенно отличными от всех, с которыми мы имели до сих
пор дело: тогда как в последних решение вопроса об
устойчивости получалось немедленно, в указанных
сейчас случаях разыскание его вообще потребует вы-
выполнения известного ряда вычислений.
По характеру этих вычислений случаи обеих кате-
категорий будут вполне аналогичными. Но в известном от-
отношении случаи первой категории представляются бо-
более простыми. С них мы и начнем наше исследование.
Прежде всего обратим внимание на простейший из
случаев первой категории, в котором
В этом случае вопрос об устойчивости разрешается
всегда в утвердительном смысле, ибо система A) до-
допускает интеграл
пу*-ахт,
представляющий (при нашем донущении, что а < 0) зна-
коопределенную функцию переменных х и у.
Остановимся на этом случае, чтобы проинтегри-
проинтегрировать систему A), так как это приведет нас к функ-
функциям, которые в дальнейшем будут играть весьма
значительную роль. Интегрирование это даст притом
то, что в известном смысле можно рассматривать как
первое приближение при интегрировании каких угод-
угодно уравнений, относящихся к случаям первой кате-
категории.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 393
10. Мы сделаем а= —-1, ибо к такому случаю легко
приводится всякий другой.
Уравнения наши будут, следовательно, вида
dx_ dy ___
Ъ~У> It x
и интегрирование их тотчас же сведется к квадрату-
квадратурам, если воспользуемся следующим из них интеграль-
интегральным уравнением
в котором с означает произвольное постоянное.
Но чтобы функции, которыми вопрос будет решаться
окончательно, определить независимо от всяких по-
постоянных произвольных, мы примем вместо t за неза-
независимое переменное
разумея под у новое произвольное постоянное, и по-
положим:
Тогда дело приведется к изучению свойств функ-
функций Cs 8 и Sn & переменного 8, связанных соотно-
соотношением
Cs2n& + rcSn20=l B3)
и удовлетворяющих следующим дифференциальным
уравнениям:
s **
Для более точного определения этих функций, со-
согласно B3), можно принять
CsO=l, SnO-0,
н тогда уравнениями B4) функции наши определятся
вполне для всех вещественных значений &.

394 А- М- ЛЯПУНОВ
Они определятся этими уравнениями однозначным
образом и будут непрерывными также и для всех
значений Ф вида
где р и а — вещественные числа, из которых первое
совершенно произвольно, а второе подчинено условию,
чтобы его абсолютная величина не превосходила изве-
известного предела, разысканием которого здесь заниматься
не будем.
Рассматривая в случае надобности и такие зна-
значения 8, мы будем однако же чаще всего предпола-
предполагать, что аргумент наших функций остается веще-
вещественным.
Функция Cs 8 будет четною, а функция Sn 0—нечет-
0—нечетною. Притом обе будут периодическими, как это вы-
выводится из уравнений
s3. Sn&
f 0
которые следуют из B3) и B4) и могут служить для
определения наших функций, если пути интегрирова-
интегрирования подчинить некоторым ограничениям и сделать над-
надлежащие предположения относительно иррациональ-
ностей, входящих под знаки интегралов.
Если положим
= 2 м/п \ , = Я \ A-пх2) 2" dx,
предполагая в обоих интегралах переменное х веще-
вещественным, a dx положительным, то число 2ш будет пе-
периодом для обеих функций.
Число это выражается при помощи функции Г,
ибо из написанных сейчас формул (если входящие

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 395
в них иррациональности будем считать положитель-
положительными), найдем:
(i) ^ 1/ —
2*
Чтобы дать формулы, которыми функции наши опре-
определялись бы однозначным образом по крайней мере
для всяких вещественных значений 0, вводим вспо-
вспомогательное переменное ср, определяемое в функции &
уравнением
+ cos2 у -4- ... 4- cos2n-2
B5)
Тогда, если, ограничиваясь вещественными значе-
значениями 0, допустим, что ср как в верхнем пределе, так
и в подиитегральной функции остается вещественным,
то найдем:
Cs 9 - cos ?, Sn & = ^1 l/l-f cos2 cp+ ... + cos2rt-2^
Если предположим, что входящие сюда радикалы
положительны, то в силу B5) ср будет возрастающею
функцией 0, получающею приращение тс всякий раз,
когда & получает приращение а>.
Мы будем поэтому иметь:
Cs (& + <»)= — Csft, Sn(8 + co)=: — Sn»,
откуда, между прочим, найдем:
Gs (о — 9) = — Cs 8, Sn (со — 8) = Sn &.
Из этих последних формул заключаем, что функ-
функции наши будут известны для всех вещественных зна-
значений &, коль скоро известны их значения для величин
д, лежащих между 0 и ~ .

396 A> M. ЛЯПУНОВ
Можно заметить, что с возрастанием & от нуля до ~
функция Cs & убывает, а функция Sn 9 возрастает, и что
при & = -^ они достигают следующих значений:
Указанными свойствами функции Cs & и Sn 0 напо-
напоминают функции cos 0 и sin 0, в которые они и обра-
обращаются при п = 1.
Но в нашем исследовании наименьшее из возмож-
возможных значений п есть 2.
В этом случае наши функции обращаются в эллип-
эллиптические, а "именно:
1
при модуле ~у=.
Они выражаются при помощи эллиптических функ-
функций также и в случае п = 3. Но выражения их дела-
делаются также довольно сложными и заключают в себе
иррациональности.
Так как выражения эти не представляют ниче-
ничего особенно интересного, то приводить их здесь не
будем.
Возвращаемся к системе B2), общий интеграл кото-
которой представится уравнениями:
Если постоянные сиу предположим вещественными
и ограничимся рассмотрением вещественных значений t>
то этими уравнениями определятся непрерывные веще-
вещественные периодические функции t с периодом
Период этот будет, следовательно, зависеть от началь-
начальных значений функций х и у и притом так, что,

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 397
делая эти значения численно достаточно малыми, его
можно будет сделать сколь угодно большим.
Заметим, что если постоянное с предполагать бес-
бесконечно малым и порядок его принять за единицу,
то вообще функция х будет бесконечно малою первого
порядка, а функция у— бесконечно малою п-vo порядка.
11. Возвращаемся к нашей задаче.
Допуская, что имеем дело с одним из случаев пер-
первой категории, берем систему A) в нашем обычном
предположении, что функция X уничтожается при
у = о.
Каково бы ни было отрицательное число #, мы
всегда можем перейти к случаю, когда я= —1. Для
этого стоит только вместо системы A) рассматривать
ее преобразование посредством подстановки
Допустим поэтому, как и в предыдущем параграфе,
что а = — 1.
По характеру занимающих нас случаев функция Y
будет тогда такова, что если х рассматривать как вели-
величину первого измерения, у—как величину п-то измере-
измерения, то членом наинизшего измерения в ней бу-
будет— х2п~г.
При том же допущении в функции X не будет чле-
членов ниже (п + 1)-го измерения.
Вследствие этого, если в предположении, что х, у,
dx du ~
—=— и —^- суть бесконечно малые величины соот-
dt dt J
ветственно 1-го, тг-го, п-то и Bп— 1)-го порядков,
в каждом из уравнений A) удержать только члены
наинизшего порядка, то уравнения эти обратятся в те,
с которыми мы имели дело в предыдущем параграфе.
Естественно поэтому для интегрирования наших
уравнений прибегнуть к методу изменения постоян-
постоянных произвольных и, принимая для х и у выражения,
найденные в предыдущем параграфе, рассматривать
в них сиу как новые неизвестные функции.

398 A. M. ЛЯПУНОВ
Проще будет, однако, вместо '{ ввести комбинацию
Мы остановимся поэтому на преобразовании посред-
посредством подстановки
s = rCsO, 2/--rnSnS, B6)
принимая за новые неизменные функции г и 9,
В силу B3) уравнения B6) дают:
х2п + пу2 = г2п, B7)
откуда
х dt ^y dt ~r dt'
Из тех же уравнений в силу B4) и B3) находим:
ny~dt~~~x~di~r ~dt*
Заменяя здесь производные ~ и ¦—¦ их выраже-
выражениями, следующими из уравнений A), мы получаем
таким образом уравнения:
rn+l jt = г2- + пуХ - х От2" + F),
вторые части которых, будучи выражены в перемен-
переменных г ж Ь, представятся рядами, расположенными по
целым положительным степеням г с периодическими
относительно 0 коэффициентами.
Но в силу указанного выше свойства функций
X и Y, во второй части первого из этих уравнений,
очевидно, не будет членов ниже Зтг-ой степени относи-
относительно г, а во второй части второго младшим членом
будет г2п.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ С99
Уравнения эти приведутся поэтому к виду:
* \ B8)
где i? и в означают ряды, расположенные по целым
положительным степеням г с периодическими отно-
относительно Ь коэффициентами.
Эти коэффициенты будут некоторыми целыми рацио-
рациональными функциями от CsO и SnS и поэтому пред-
представят функции, определенные и непрерывные для
всех вещественных значений &, а ряды ЛиО при вели-
величинах г, численно достаточно малых, будут сходящи-
сходящимися равномерно для всех таких значений 0.
12. Обращаясь к уравнениям B6) и B7), мы заме-
замечаем тотчас же, что интересующая нас задача об
устойчивости приводится к задаче об устойчивости.по
отношению к переменному т% а по первому из уравна-
ний B8) (вторая часть которого уничтожается при
г = 0, вследствие чего г, по крайней мере пока остается
численно достаточно малым, будет сохранять знак
своего начального значения) заключаем, что она может
быть разбита на две задачи об условной устойчивости,
соответствующие — одна условию г > 0, другая усло-
условию г < 0.
Но эти две задачи в сущности не различаются между
собой, так как переменяя г на —-ги&на ш — (— 1)п$,
мы не изменяем уравнений B6).
Мы можем поэтому ограничиться решением какой-
либо одной из них, например той, которая соответ-
соответствует условию г > 0.
Останавливаясь на этой последней задаче, мы заме-
замечаем теперь, что при решении ее переменное t мож-
можно заменять переменным 0, рассматривая его как
время.
Действительно, в вопросах об устойчивости роль
времени может играть всякая его функция, непрерыв-
непрерывная и возрастающая, лишь бы только с беспредельным

400 А- М- ЛЯПУНОВ
возрастанием времени она возрастала также беспре-
беспредельно. Притом, если роль эту желательно приписать
функции, которая не дается a priori, а определяется
лишь известными условиями, зависящими от пере-
переменных, по отношению к которым исследуется устой-
устойчивость, то нет надобности, чтобы указанными свойства-
свойствами она всегда обладала, достаточно, чтобы она обла-
обладала ими, пока названные переменные остаются
численно меньшими каких-либо заранее выбранных
сколь угодно малых пределов.
Что касается нашей задачи, то, очевидно, всегда
найдется положительное число /, достаточно малое для
того, чтобы все время, пока выполняется условие
0 < г < I, B9)
переменное 0 непрерывно возрастало вместе с t.
Справедливость нашего замечания обнаружится по-
поэтому тотчас же, если покажем, что число / можно вы-
выбирать достаточно малым для того, чтобы во всех слу-
случаях (если только таковые возможны), в которых усло-
условие B9) сохраняется все время, следующее за началь-
начальным моментом, переменное & с беспредельным возра-
возрастанием t возрастало беспредельно.
Но этому требованию, как сейчас увидим, удовле-
удовлетворяет всякое число /, если оно достаточно мало для
того, чтобы при условии B9) ряды R и 0 были сходя-
сходящимися равномерно для всех вещественных значений
О и чтобы при том же условии при всяком веществен-
вещественном & выполнялось неравенство
1 + гв>\9 C0)
где X означает какую угодно данную положительную
правильную дробь.
В самом деле, если возможно движение, в котором
при таком выборе числа I условие B9) сохранялось бы
для всех положительных значений t (за начальный мо-
момент мы принимаем ? = 0), то для движения этого при

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 401
таких же значениях t будет выполняться неравенство
Ж > и '
следующее в силу C0) из второго из уравнений B8).
Но если значение функции г, соответствующее ? — 0,
назовем г0, то первое из уравнений B8) представится
под видом:
t
о
откуда, обозначая через М положительное число, для
которого выполнялось бы неравенство
при всяком т% удовлетворяющем условию B9), и при
всяком вещественном ft (по самому выбору числа /
такое число М всегда найдется), мы получим для рас-
рассматриваемого движения еще следующее неравенство:
или
справедливое также для всякого положительного t.
Мы найдем поэтому
Ж > "i + (n_i) мгЧ1 щ
и, следовательно, при всяком положительном t будем
иметь:
где 80 есть значение ft, соответствующее ? — 0.
26 А. М. Ляпунов.

402 A. M. ЛЯПУНОВ
Отсюда ясно, что с беспредельным возрастанием t
переменное & будет возрастать также беспредельно.
Возвращаясь к нашей задаче, мы замечаем, что
система B8) приводит к уравнению
dr r2R
вторая часть которого представляется под видом ряда
расположенного по целым положительным степеням г
с периодическими относительно Ь коэффициентами Rs
(целыми рациональными относительно CsO и Sn&)
и сходящегося при достаточно малом г равномерно
для всех вещественных значений &.
Рассматривая в этом уравнении & как время, мы
приводим таким образом нашу задачу к одному из
простейших случаев задачи об устойчивости периоди-
периодических движений.
Этот случай рассматривался в моем сочинении и со-
согласно указанному там правилу трактуется следу-
следующим образом.
Пусть функция г, удовлетворяющая уравнению C1),
ищется под видом ряда
г = с + и2с* + и3с3 + .. ., C2)
расположенного по целым положительным степеням по-
постоянного произвольного с, в предположении, что к„, и%
и т. д. суть не зависящие от с функции Ь.
Функции эти находятся последовательно из урав-
уравнений
dft Л2' d$ лз т ^^-^г-
Составляя их до тех пор, пока не встретим непе-
непериодическую, допустим, что первая такая в ряду
функций
иа, щ, и4, ... C3)

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 403
есть ит. Она необходимо будет вида
где g означает отличное от нуля постоянное, а о —неко-
—некоторую периодическую функцию д.
Найдя постоянное g, мы можем задачу нашу счи-
считать решенной, ибо, принимая в расчет условие г > 0,
можем утверждать тотчас же, что при g > 0 невозму-
невозмущенное движение неустойчиво, а при g < 0 устойчиво.
В последнем случае возмущенные движения, соот-
соответствующие достаточно малым возмущениям, будут
асимптотически приближаться к невозмущённому.
Может, конечно, случиться, что в ряду C3), как бы
далеко он ни был продолжаем, будут встречаться только
периодические функции.
Если доказано, что мы имеем дело с таким случаем,
и если вычисление ведется так, чтобы при некотором
данном вещественном значении г> все функции us уни-
уничтожались, то можно утверждать, что ряд, находящий-
находящийся во второй части уравнения C2), при достаточно
малом с будет сходящимся равномерно для всех веще-
вещественных значений &.
На основании этого уравнения, представляющего
общий интеграл уравнения C1), можно поэтому за-
заключить, что имеет место устойчивость.
Устойчивость эта, очевидно, будет притом консер-
консервативною (§ 4).
Можно заметить, что если вычисление функций us
не подчиняется никаким специальным условиям, то
определение каждой из них будет сопровождаться вве-
введением постоянного произвольного. Но эти постоян-
постоянные всегда будут входить в них так, что если при ка-
каком-либо их выборе между функциями us находятся
непериодические, то то же будет и при всяком другом,
причем числа т и g всегда выйдут одни и те же.
13. Изложенная метода, требующая последователь-
последовательного вычисления функций
26*

404 A. M. ЛЯПУНОВ
до тех пор, пока не встретится непериодической, при-
приводится к выполнению известного ряда квадратур над
целыми рациональными функциями от Cs 0, Sn & и най-
найденных раньше функций us.
Рассмотрим простейшие из этих квадратур, с
разыскания которых приходится начинать вычисле-
вычисление.
Это суть те, в которых под знаками интегралов
находятся целые рациональные функции от Cs & и Sri &
и изучение которых сводится поэтому на изучение
интегралов вида
J C4)
где jo и g суть целые неотрицательные числа.
Все такие интегралы легко преобразовываются в
интегралы от дифференциальных биномов. Но мы не
будем прибегать к этому преобразованию и будем
трактовать их непосредственно на основании свойств
функций Sn& и Cs&, выражающихся в уравнениях
B3) и B4).
Прежде всего замечаем, что уравнения B4) тотчас
же дают два следующих интеграла:
const.
Зная эти два интеграла, интеграл C4) можно на-
находить в двух случаях: 1) когда р есть число не-
нечетное, и 2) когда q при делении на 2п дает оста-
остаток 2л—1.
В обоих случаях интеграл найдется простым преоб-
преобразованием, основанным на уравнении B3), и выра-
выразится целою рациональною функцией в первом слу-
случае от CsO, во втором —от Sn 9.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 405
Чтобы обнаружить другие случаи интегрируемо-
интегрируемости, обращаемся к следующим формулам приведения:
которые получаются интегрированием по частям с не-
небольшим преобразованием посредством уравнения B3)
и легко проверяются дифференцированием.
Последовательное применение этих формул, позво-
позволяющих понижать показатель р на две единицы,
а показатель q на 2п единиц, даёт возможность нахо-
находить интеграл C4) как в указанных выше двух слу-
случаях, так еще и тогда, когда q есть число, делящееся
на 2п.
В двух случаях этого последнего рода р—2, q = 0
и р = 0, q~2n формулы эти непосредственно дают:
SndCsd . О
Св»&«й>= ге-^^- + -^г + const.
Вообще в случае четного р рассматриваемые фор-
формулы окончательно приводят к интегралам
для которых q < 2п. Но из этих последних, кроме со-
соответствующих д = Ои q = 2n—l, мы можем выразить
цри помощи наших функций еще только один, соответ-
соответствующий q = п — 1.

406 А. М- ЛЯПУНОВ
Интеграл этот найдется по формуле
[ Csn~4db = —L arc cos Csnd + const.,
J у п
если остановимся на таком определении функции
arc cos, для которого
sin arc cosCsnt>-=]/raSn 0.
Остальные 2п—3 интегралов, соответствующие
q= 1, 2, ..., п — 2, п, п+ 1, ..., 2п — 2,
потребуют особого изучения1).
Сопоставляя все сказанное, заключаем, что интеграл
C4) может быть найден во всех случаях, когда р есть
число нечетное, или когда q удовлетворяет одному из
трех следующих сравнений:
q = 0, qEEEn — 1, q=Ez2n- 1 (mod 2ri).
В других случаях придется довольствоваться пре-
преобразованием его к виду:
где F означает некоторую целую рациональную функ-
функцию от SnO и Csd, A—отличное от нуля постоянное и
г—остаток от деления числа q на 2/г.
К такому гиду формулы наши всегда позволят при-
привести рассматриваемый интеграл, если только р есть
число четное.
Так как интеграл, фигурирующий во второй ча-
части написанного сейчас равенства, при г < 2п—1 навер-
наверно не будет выражаться целою рациональною функцией
г) Можно заметить, что для дифференциальных биномов,
к которым приводятся подинтегральные функции в этих
интегралах, если за независимое переменное принять функ-
функцию Gs 0, ни одно из известных условий интегрируемости
выполняться не будет.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 407
от Sn& и Csft, то можно утверждать, что интеграл
C4) представится такою функцией только в двух
случаях, указанных в самом начале, когда р есть
число нечетное, или когда q удовлетворяет срав-
сравнению
q = 2n — I (mod 2n)t
Для нашей задачи важно указать случаи, когда
рассматриваемые интегралы выходят периодическими
функциями ft.
Нетрудно видеть, что это будет всякий раз, когда
по крайней мере одно из чисел/? и десть нечетное, и
что притом, если числа эти оба суть нечетные, пе-
периодом (который вообще равен 2ш) может служить
число ш.
Это выводится тотчас же из основных свойств фун-
функций Snft и Csft, обнаруживающихся при изменении
аргумента на о>.
Если числа р и q оба суть четные, интеграл наш
не будет периодическою функцией и представится под
видом:
где Ф (ft) означает периодическую функцию ft с периодом
to, a G—постоянное, определяемое формулой
~2
Постоянное это, если угодно, можно выразить при
помощи функции Г, ибо нетрудно убедиться в спра-
справедливости следующей формулы:

408 A. M. ЛЯПУНОВ
14. Предполагая, что между функциями us находят-
находятся непериодические, мы означили через т значок
первой непериодической в ряду
Ко, Uq, U4, . . .
Укажем некоторые свойства этого числа т, обнару-
обнаруживающиеся при ближайшем рассмотрении уравне-
уравнения C1).
Покажем, во-первых, что при четном п и число т
будет четным, а при нечетном п—нечетным.
Для этого замечаем, что уравнение C1) от замены г
на—г и & на со — ( — \)пЬ не должно меняться, ибо от
такой замены, как уже было указано, уравнения B6)
не меняются.
Мы можем поэтому утверждать, что если в ряду
C2) вместо 8 поставить со — (— 1)п& и у всех членов пе-
переменить знаки, то новый ряд, как и прежний, будет
формально удовлетворять уравнению C1).
Но роль постоянного с будет играть в нем —с, и
чтобы получить ряд того же вида, что и C2), мы долж-
должны еще заменить с на —с.
Допустим, что получаемый таким путем ряд есть
следующий:
с + v2c2 + vBc* + ..., C5)
где v2, у8 и т. д. суть не зависящие от с функции &.
Мы можем утверждать a priori, что первою неперио-
непериодическою в ряду функций
будет vm и что функция эта будет вида
gb + периодическая функция.
Но из способа получения ряда C5) следует, что во-
вообще
если us (&) есть означение us как функции перемен-
переменного Ь.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 409
Отсюда находим:
ит= ( — 1)го+п gft -j_ периодическая функция.
Мы должны поэтому заключить, что (— l)m+n=l,
и что, следовательно, т+/п есть число четное.
Мы покажем теперь, что для числа т существует
некоторый низший предел, зависящий от чисел п и р.
Обращаемся для этого к выражениям функций R
и В посредством функций X и Y.
Эти выражения, следующие из формул § И, могут
быть представлены под видом:
Мы замечаем теперь, что по свойству функции X
(которая уничтожается при у-=0) в разложении
X
по восходящим степеням г все члены ниже (п—1)-ой
степени относительно г будут обладать коэффициен-
коэффициентами вида
где К—некоторое постоянное и к—целое положитель-
положительное число.
Мы замечаем далее, что если под ./V в случае, когда
j3 > 2п— 1 или когда ср (х) = 0, разуметь число п—1, а
в случае, когда р < 2тг— 1, — число |В —га, то в разло-
разложении
все члены ниже jV-ой степени относительно г будут
обладать коэффициентами, целыми рациональными
относительно Cs&.

410 А. М. ЛЯПУНОВ
Разумея под Е(х) вообще целую рациональную
функцию от х, мы можем поэтому утверждать, что
коэффициенты в членах ниже Лг-ой степени относи-
относительно г для функции R будут вида 2?(Cs 0) Sn&, а для
функции 6 — вида i?(Csd), и что, следовательно, между
коэффициентами Rs разложения второй части урав-
уравнения C1) все те, для которых s<./V + 2, будут вида
?(C)S8
)
Отсюда нетрудно заключить, что все us, для кото-
которых s<N + 2, будут целыми рациональными функциями
от CsO.
Число т не может быть поэтому менее N + 2.
Принимая в расчет, что т + п всегда будет числом
четным, мы приходим таким образом к следующему
выводу:
Всякий раз, когда [3 > 2п— 1 или когда 9 (ж) = 0 тож-
тождественно, число т (если только оно существует) бу-
будет удовлетворять неравенству
т > п + 1,
и всякий раз, когда [3 менее 2п—1 и представляет
число нечетное, число т будет удовлетворять нера-
неравенству
/гг>?~ п + 2.
К этому прибавим, что если В, будучи менее 2тг— 1,
есть число четное, то всегда
т^ $ — п + 2.
Действительно, нетрудно видеть, что в этом случае
функция /?р-п+2 будет вида
К такому же виду приведется поэтому и вторая
часть уравнения
*и*-^+*=Щ nii + F{ih,ih, ... , B[,_n+1>C8»)Sn8,

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 411
которое послужит для определения функции Щ-п+2, ибо
Р представит здесь целую рациональную функцию
означенных в скобках величин, которые по дока-
доказанному все будут целыми рациональными относи-
относительно GsO.
Мы видим таким образом, что при четном |3 функ-
функция u$-nj2 наверно не будет периодическою.
Обращаясь к выражению постоянного gt которое
найдется в этом случае по формуле
мы придем к заключению, что при b положительном
невозмущенное движение неустойчиво, а при b отри-
отрицательном устойчиво.
Этот результат находится уже в числе выводов,
полученных иным путем в § 6.
15. Мы показали, каким образом решается вопрос
об устойчивости как в случае периодичности всех функ-
функций us, так и в случае существования между ними
непериодических. Но мы не указали признаков, по
которым можно было бы узнавать* a priori, с которым
из этих двух случаев имеем дело.
В отсутствии подобных признаков кроется, конечно,
весьма серьезное затруднение. Но затруднение это обу-
обусловливается сущностью самого вопроса и при общей
постановке последнего едва ли может быть устранено.
Все, что можем мы сделать,—это указать некото-
некоторые условия, при выполнении которых можно было бы
считать несомненным, что функции us все будут пе-
периодическими.
К числу таких условий, очевидно, принадлежат все
те, которыми обусловливается существование для си-
системы A) не зависящего от I интеграла, голоморфного
относительно х и у.
Всякий раз, когда подобный интеграл существует,
все функции us будут целыми рациональными отно-
относительно Cs& и Snft

412 А. М. ЛЯПУНОВ
Таков будет, например, случай, когда система A)
есть каноническая, т. е. когда функции X и Y удовле-
удовлетворяют соотношению
дХ л-д? -о
Из других случаев этого рода укажем тот, когда
при замене у на —у и t на — t система A) не ме-
меняется.
В этом случае функции X и Y необходимо будут
вида
X = yf(x, у*), У = ср(*, у%
где / и ср суть голоморфные функции х и у2, уничто-
уничтожающиеся при х—у = 0. Поэтому в уравнении
dy* 2yY
dx у + Х
вторая часть будет голоморфною относительно х и у2,
из чего нетрудно заключить о существовании для
системы A) не зависящих от t интегралов, голоморфных
относительно хну2.
Существование интегралов указанного характера не
есть условие, необходимое для периодичности функций
us, ибо можно указать случаи, когда и при отсутствии
подобных интегралов все эти функции будут периоди-
периодическими.
Сюда относится вообще тот случай, когда система
A) не меняется при замене х на—х и t на—t.
В этом случае, как легко убедиться на примерах,
функции us могут не быть целыми рациональными
относительно Csft и Snft и, следовательно, система A)
может не обладать не зависящими от t голоморфными
интегралами; но тем не менее все функции us всегда
будут периодическими.
Чтобы доказать это, мы замечаем, что в случае, о
котором идет речь, уравнение C1), а следовательно,
и дифференциальные уравнения, служащие для опре-
определения функций «s, от замены & да со —9 не будут

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 413
меняться, и потому, если им можно удовлетворить, по-
полагая
то можно удовлетворить также и полагая
в2 = Ф2(<*-»), и8 = Ф3(а>-0), ...
Но функции Ф5(9) и Ф5(а) —9), получающие при
& = -тг одинаковые значения, по свойству уравнений,
которым они удовлетворяют, должны быть тождествен-
тождественными.
Мы будем таким образом иметь:
для всякого вещественного 8.
Отсюда между прочим найдем:
C6)
Мы замечаем далее, что нашим уравнениям можно
удовлетворить также, делая
и что в силу C6) функции Ф8 (9) и Ф5(& + 2со) для ft — ^
принимают одинаковые значения.
Мы можем поэтому утверждать, что
Ф2 (ft + 2ш) = Ф2 (ft), Ф3 (ft + 2а>) = Ф, @), ...
для всякого вещественного &.
К указанным сейчас трем случаям мы можем при-
прибавить еще те, которые удается приводить к ним посред-
посредством перемены независимого переменного при помощи
уравнений вида
где tl—новое независимое переменное и Н—голоморф-
Н—голоморфная функция х и у, уничтожающаяся при х=у~0>

414 A. M. ЛЯПУНОВ
Заметим, что всякий раз, когда все us выходят перио-
периодическими, переменные х и у, когда их начальные зна-
значения численно достаточно малы, будут периодиче-
периодическими функциями t с периодом Т, зависящим от этих
начальных значений так, что, делая последние численно
достаточно малыми, его можно сделать сколь угодно
большим.
Этот период найдется по формуле:
[см. уравнение B8)], если под г будем разуметь реше-
решение уравнения C1), соответствующее рассматривае-
рассматриваемым начальным значениям функций хну.
Период Т будет вполне определенною функцией зна-
значения с функции г, соответствующего Ь = 0, и, если это
значение предположим численно достаточно малым,пред-
малым,представится рядом, расположенным по восходящим це-
целым степеням его с младшим членом вида
2о>
с"'
Если сделаем
разумея под у постоянное, определяемое условием,
чтобы при 0 = 0 было т—-0, то при | с | достаточно ма-
малом функции х и у представятся рядами, расположен-
расположенными по целым положительным степеням с с коэффици-
коэффициентами, зависящими от одного т и периодическими
по отношению к нему с периодом 2со.
Выписывая в этих рядах только младшие их
члены, будем иметь:
х = с Cst + . . ., у = — сп Sn т + .. .
16. Переходим к случаям второй категории, харак-
характеризуемым одновременным существованием равенства
C = тг—1 и неравенства B1).

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 415
Допуская подобно предыдущему, что а = —1, пре-
преобразовываем систему A) посредством прежней под-
подстановки B6).
Таким путем при рассматриваемых теперь усло-
условиях приходим к уравнениям вида:
? = &/* Sn1 & Се"-1 йН-г1^1 Я,
где R и В суть функции такого же характера, как и
в системе B8).
Задача наша попрежнему приводится к задаче об
устойчивости по отношению к переменному г и при
решении ее попрежнему можно поставить условие г>0.
Притом, удерживая это условие и принимая за
независимое переменное ft, это переменное попрежнему
можно рассматривать как время.
Последнее докажется так же, как в § 12, ибо приве-
приведенное там доказательство основывалось на двух свой-
свойствах системы B8), принадлежащих также и системе
C7), которые состоят в следующем: 1) младший отно-
относительно г член в уравнении, содержащем -г , старше
младшего члена в уравнении, содержащем -т- , и 2) ко-
коэффициент при наинизшей степени г в уравнении, со-
db
держащем -г , никогда не делается нулем и притом по-
положителен.
Для системы C7) в справедливости этого послед-
последнего свойства убеждаемся, замечая, что наименьшее из
всех значений функции
l+&Sn&Cs*ft, C8)
равное
1 \Ь\
2Yny
в силу условия B1) (в котором делаем а~—1) поло-
положительно.

416 А. М- ЛЯПУНОВ
Решение нашей задачи будет зависеть от исследова-
исследования уравнения
dr brSn'dCs^d + r
db~~ l + bSubC
вторая часть которого представится под видом ряда
R±r + R2r2 + R3r3 + ...,
2
расположенного по целым положительным степеням г
с периодическими относительно & коэффициентами Rs.
При достаточно малом г ряд этот будет сходящимся
равномерно для всех вещественных значений 9.
Что касается вида коэффициентов Rs, то это будут
рациональные функции от SnO и Csft со знаменателями,
равными различным степеням функции C8).
Коэффициент RY определится следующей формулой:
Мы замечаем теперь, что для уравнения C9) харак-
характеристическое уравнение, соответствующее периоду 2ш,
обладает корнем
J
и что, следовательно, всякий раз, когда интеграл, нахо-
находящийся в показателе, не нуль, вопрос об устойчивости
решается знаком этого интеграла так, что отрица-
отрицательные значения интеграла соответствуют утверди-
утвердительному решению вопроса, положительные—отри-
положительные—отрицательному.
Таков именно случай нечетного п.
Мы можем тогда утверждать, что при b < 0 невоз-
невозмущенное движение устойчиво, при &> 0 неустойчиво.
Этот результат, подобно указанному в конце
§ 14, представляет только некоторый частный случай
найденного в § 6.
Но допустим, что п есть число четное.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 417
Тогда рассматриваемый интеграл будет нулем, а
следовательно, интеграл
представит периодическую функцию «).
В этом случае, полагая
"*" \ R\db
Г = рб ,
из C9) выведем уравнение
^ = Р,РЧ-Р,РЧ-..., D0)
в котором коэффициенты
(s-l) J RicfD
будут также периодическими функциями ft.
Получаемое таким путем уравнение того же харак-
характера, что и C1); а потому задача наша, которую, оче-
очевидно, можно рассматривать как задачу об устойчиво-
устойчивости по отношению к переменному р, будет решаться
тем же способрм, какой указан был в § 12.
Для этого последовательно составляем функции
ва, и9, и4, . . . D1)
переменного ft, определяемые из условия, чтобы выра-
выражение
р = С + ЩС2 + ЩС3 + . . .
при произвольном постоянном с удовлетворяло урав-
уравнению D0).
Если между функциями этими встречаются непе-
непериодические, то первая непериодическая в ряду D1),
которую обозначим через ит> будет вида
ит = gb + периодическая функция,
где g—некоторое постоянное.
27 А. М. Ляпунов.

4i8 A. U. ЛЯПУНОВ
Все дело сводится при этом на определение знака
g, ибо в случае g > О имеет место неустойчивость, в слу-
случае g<0—устойчивость.
Но может случиться, что ряд D1), как бы далеко
он ни был продолжаем, будет заключать в себе только
одни периодические функции.
Если доказано, что мы имеем дело с таким случаем,
то можно утверждать, что имеет место устойчивость
и что устойчивость эта есть консервативная.
17. Как видно из сейчас изложенного, при четном п
случаи второй категории вполне аналогичны случаям
первой.
Как и в последних, дело приводится здесь вообще
к выполнению известного ряда квадратур. Но ква-
квадратуры эти в случаях рассматриваемой категории
гораздо сложнее, ибо простейшие из интегралов, с
которыми мы можем здесь встретиться и с разыскания
которых придется начинать вычисления, суть инте-
интегралы следующего типа:
k[Rld*
D2)
где к, р, qy s — целые неотрицательные числа, из которых
первое всегда отлично от нуля.
Подинтегральная функция зависит здесь от инте-
интеграла
о
который,, если угодно, можно выразить при помощи
функций Csfr и Snft; интеграл этот равен:
а
С Ь Sn2 ft Gs7^1 bdb __ 6 /4^2-b2Sn0 __
J l + bSnOGsn5 ""Л /SiZ^i аГС g2Gsw0 + bSnd
о

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ CHV4AEB 419
(если функция arc tg подчинена условию уничтожаться
вместе с 9).
Не останавливаясь на подробном изучении интегра-
интегралов вида D2), укажем некоторые формулы, позволяющие
все такие интегралы приводить к определенному чи-
числу некоторых из них.
Означая интеграл D2) через /p,<z,s, можем тотчас
же написать два следующих равенства:
+i> D3)
— Ip-
p-2,q+2n,s-
Кроме того, полагая
ь
к
е °
и замечая, что
d г
Ь Cs? О
+ (s - 1) Lp,,,s - [ft + 2 (.9 - 1) n] Lp+2,a>s,
имеем:
+ (p — S+ 2) /p,Q>s-l -
Уравнения D3), D4) и D5) позволяют, как сейчас
увидим, все наши интегралы выражать при помощи
тех, для которых s имеет какое-либо данное значение.
Так как уравнение D3) дает выражение интеграла
Ip,q>s через те, для которых s на единицу больше, то
для этого, очевидно, достаточно иметь еще формулы,
которые позволили бы выражать этот интеграл через
те, для которых s на единицу меньше.
Такие формулы могут быть получены следующим
образом.
27*

420 А. М. ЛЯПУНОВ
Из уравнений D3) и D4) выводится следующее легко
проверяемое уравнение:
ПЬ I ,s — b2lp + 2,q,s + I p,q,s =^=
Присоединяя к нему уравнение D5) и то, которое
выводится из последнего заменою р на р + 2, получим
систему трех уравнений первой степени относительно
наших интегралов, из которых будут входить в них
следующие:
Ip+l,q,s> *p + 2,q,s> Ip,q,si D6)
*P>q>s—l> *p-\-2,qts~li ¦* p-f 4,g,s-l>
Эти уравнения всегда можно будет разрешить от-
относительно величин D6), так как определитель
пЬ2 - б2 1
составленный из их коэффициентов при этих вели-
величинах, приводящийся к виду
при условии б2 < 4п и при к, отличном от нуля, не мо-
может быть нулем.
Таким образом эти уравнения всегда дадут возмож-
возможность интеграл /p>q)S выразить при помощи интегра-
интегралов D7) и функций &, которые мы рассматриваем как
известные.
Указавши возможность приведения всех наших ин-
интегралов к тем, для которых s имеет какое угодно данное
значение, мы должны теперь указать соотношения между
интегралами, соответствующими одному и тому же s\
Ряд подобных соотношений получается из уравне-
уравнения D4), позволяющего все наши интегралы выражать
при помощи тех, для которых р = 0 или р = 1.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 421
Но между рассматриваемыми интегралами суще-
существует еще другой ряд соотношений, позволяющий,
как увидим, случай р —1 приводить к случаю р = 0.
Соотношения эти получаются из уравнения, кото-
которое выводится из D5) заменою интегралов 1рл^-х
11 /p+2,q,s-i следующими из D3) для них выражениями
через интегралы
*p,q,Sy 'p + l,q-in,Si lp + 2>qtsi Ip-\ 3,4- n,s-
Получаемое таким путём уравнение есть следующее:
[q+l + (p+ 1) п] Ip+2,q,s - (Р + 1) /Р,«,в =
= [к - q — 1 + Bs — р - 3) п] Ыр+В)(Ип,3 +
+ (р — S + 2) 6/рн l,gr-f n,s —
Дел&я здесь поочередно /? = —1 и /? = 0, и исклю-
исключая затем при помощи D4) интегралы, для которых
первый значок больше единицы, находим:
П (q + 1) /i, q, s - [A - q - 1 f (^ — 1) Л] 6/о, q+/i, s —
— [A — g — 1 + 2 (s — 1) л] 6/0, q42n, e— wbo. Q+i, e-i. D8)
(J + 1) /o, q, s — (? + Л + 1) /о, д+Зп, s =
= — IlLlt q + ll s-t + [A— q — 1 + E—1) W] 6/lf q + n,s —
-. [A- g - l + Bs - 3) n] bfu gH an,.. D9)
Уравнение D8) позволяет все рассматриваемые ин-
интегралы вида I1} qf s выражать при помощи интегралов
вида /0, q,s-
Вопрос приводится поэтому к изучению этих по-
последних.
Положим
к- 1 + B5-3) п= --х
и вместо /о, q,s введем более простое обозначение Iq.
Из D8) и D9) получим при этом следующее урав-
уравнение:
Д/, + Lq, E0)

422 А. М- ЛЯПУНОВ
где
^ (q + п + i) (*-q)[*- ($ + 1)п~- q]b2
+ n (q + n + 1) {n (q + 3/г + 1) Llf e+1,
— (x — q)bLo,
Уравнение E0) дает возможность, как сейчас пока-
покажем, все рассматриваемые интегралы вида Iq (мы рас-
рассматриваем только те, для которых #>0) выражать при
помощи некоторых 6 я—2 из них.
Допустим сначала, что х < 0.
Замечая, что при q > 0 коэффициент ^Q не может
в этом случае сделаться нулем, заключаем, что, поль-
пользуясь выражением E0), все наши интегралы можно
выразить при помощи тех Iqt для которых #<6w,
Но между этими последними интегралами существуют
два соотношения, из которых одно получается из E0),
если там сделать q = — 1, другое—из того же уравнения,
если в нем сделать q = —п — 1 или q = — 3?г —1 [а так-
также—из D8), если в нем сделать q = —1]. Соотношения
эти суть:
= [к+ Bs- 3) п] [4ft + Ds- 7) п] &2/4n-i -
- 3 {/г3 + [ft + (s - 1) п] [к + (s - 2) п] б2} /2л-1 +
+ 3nBLt, о, *-i + Зп [k + (s- 1) /г] 6L0, л, .-i -
n,s-i, E1)
[Л+2 E- 1) /г] &/3n-i = [ft+(s-l) n] 6/n-i ~ nLo, o, s-i.
E2)

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 423
Таким образом интегралов, при помощи которых
можно выразить остальные, будет 6п—2.
Всякий интеграл Iqy для которого q не удовлетво-
удовлетворяет сравнению
2+1 = 0 (mod л), E3)
выразится в этом случае при помощи трех следующих:
1г+4п, /г + 2п, 1г* E4)
где г— остаток от деления числа q на 2тг; а интеграл, для
которого удовлетворяется это сравнение, выразится при
помощи двух из интегралов E4).
Допустим теперь, что х>0.
Всякий интеграл Iq, для которого число q—х не
делится на 2и, выразится в этом случае так же, как
и в предыдущем. Но интегралы, для которых q—х де-
делится на 2/г, вследствие того, что Ах =0, не будут спо-
способны выражаться подобным образом.
Взамен того, эти последние интегралы всегда мож-
можно будет выразить при помощи трех следующих:
1%-гбпу ^х|4л> *'/.+ 2п- E5)
При этом те из них, для которых д<х, выразятся
через один только интеграл 1х+2п-
Действительно, подставляя вместо q в уравнение
E0) все неотрицательные числа ряда
х, х — 2/г, х — 4/г,
получим уравнения
Cxt%+2n + DXIX + Lx = 0,
#x-2nA-f 2п + Cx-2nh + Ас-2л/х-2л + Ьх_2п =0, > E6)
в которых буква / не будет встречаться со значками,
большими х+2тг, и в которых коэффициенты Dx, Dx-2n
и т. д. будут отличными от нуля (ибо Dq при gr>0 не
может быть нулем).

424 A. M. ЛЯПУНОВ
Уравнения эти позволяют поэтому интегралы /х,
/х_2п и т. д. выразить последовательно через инте-
интеграл /х+2п.
Когда не выполняется ни одно из двух сравнений
х+1==0, х+1==и (mod 2л), E7)
уравнение E0) не дает никаких соотношений между
интегралами E5). В случае же выполнения которого-
либо из них оно позволяет, как сейчас пока-
покажем, интеграл /х+2п выразить 'при помощи известных
функций.
Допустим сначала, что выполняется первое срав-
сравнение.
Составляем систему E6) и присоединяем к ней урав-
уравнение E1), заключающее, при сделанном допущении,
те же интегралы.
Таким путем получаем систему, содержащую столь-
столько же уравнений, как и интегралов.
Система эта всегда будет разрешима относительно
последних, ибо известными членами ее уравнений бу-
будут служить функции
Lx, Lx_2n> •••>i'2n-li — L-i,
между которыми, как достаточно ясно видно из выра-
выражения Lq , не может существовать никакого линейного
соотношения.
. Рассматриваемая система позволит поэтому найти
все входящие в нее интегралы, которые суть следующие:
Допустим теперь, что выполняется второе сравне-
сравнение.
Составляя систему E6) и присоединяя к ней урав-
уравнение E2), получим, как и в предыдущем случае, си-
систему, содержащую столько же уравнений, сколько
интегралов. А рассматривая в ней известные члены,
подобно предыдущему, убедимся, что система эта всег-

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 425
да будет разрешима относительно входящих в нее ин-
интегралов
Последние выразятся поэтому при помощи извест-
известных функций &.
Из изложенного видно, что при х > 0, как и при х<0,
интеграл Iqy в случае выполнения сравнения E3), вы-
выразится вообще при помощи двух, а в противном слу-
случае—при помощи трех интегралов типа E4) и E5)
и что интегралов, при помощи которых выразятся
все Iq} попрежнему будет 6/г—2.
При помощи тех же 6/г — 2 интегралов выразятся
и всякие другие интегралы вида D2), соответству-
соответствующие тому же к.
Выше мы указали группу интегралов типа Iqf ко-
которые могут быть выражаемы при помощи функций
CsO и Sn».
Это суть интегралы, для которых q есть одно из
положительных чисел ряда
х + 2/г, х, х —2/г, ...,
и для которых выполняется одно из двух сравнений E7).
Замечая, что в силу равенства
это последнее условие равносильно условию делимо-
делимости числа к на п, можем таким образом утверждать,
что при помощи наших функций могут быть выражаемы
всякие интегралы типа
где / — какое угодно целое число, большее 1 —2s, a
#-—положительное число вида
? = Bo + Z—1)и— 1,
подчиненное условию, чтобы целое число а не превос-
превосходило S.

426 A. M. ЛЯПУНОВ
Так, например, имеем:
-6SndCs/l&) + const.,
(п Sn 0 + 26 Cs" Ь) A + 6 Sn О Cs" tt) + const.
К этим интегралам можно присоединить еще сле-
следующий:
е о Сз*п-* Ъdb =-J-е (l + 6Sn & Csn&)+const.,
не принадлежащий к указанному типу.
Из интегралов, которые находятся при каком угод-
угодно к, укажем следующие:
f
const.,
18. В случае четного п, который один только и бу-
будем здесь рассматривать, интеграл D2) представится
под видом:

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 427
где Ф @) — периодическая функция 8 с периодом 2ш,
а С —постоянное, определяемое по формуле:
Обращаясь к выражению функции Rlf легко убе-
убеждаемся в справедливости следующего равенства:
о)-0 0
о о
из которого, обозначая через R[ то, во что обращается
Rx после замены b на —6, выводим:
\ R,db^= [ R.db^ \ R[d».
о и о
Основываясь на этих равенствах и полагая
о
легко найдем:
Отсюда видно, что всякий раз, когда q—число не-
нечетное, постоянное G будет нулем и, следовательно,
интеграл D2) представит периодическую функцию &.
В случае четного q будем иметь:
что при четном р наверно не будет нулем, а при
нечетном р, если и может делаться нулем, то только
для некоторых частных значений 6.

428 А- М- ЛЯПУНОВ
Поэтому в случае четного q, если мы не имеем
дела с некоторыми исключительными значениями 6,
которые могут существовать только при нечетном р,
интеграл D2) не будет периодическою функцией.
Число b мы предполагаем здесь лежащим между
пределами — 2уп и + 2 )/"w невключительно.
При этом условии функция F(b)y как нетрудно
усмотреть из ее выражения E8), может быть представ-
представляема под видом ряда, расположенного по целым по-
положительным степеням 6.
Первый член этого ряда, равный F @), определится
интегралом
который, как было указано в § 13, может быть выра^
жен при помощи функции Г. Но следующие члены
будут зависеть от интегралов более общего типа:
»d&, E9)
О
где
г»
> = arccosCsz'0
(см. § 13), а /,/?', #'--некоторые целые неотрицательные
числа. Так, например, коэффициент при первой степени
Ь определится выражением:

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 429
Принимая за независимое переменное о, преобра-
преобразуем интеграл E9) к виду:
п
где
Интегрированием по частям интегралы, подобные
сейчас написанному, могут быть приводимы к инте-
интегралам того же типа, для которых р' — 0 и q" — — при
целом неотрицательном г, меньшем 2п.
Указанное разложение может служить для опре-
определения постоянного G при величинах 6, численно до-
достаточно малых.
Чтобы дать некоторые основания для суждения о
том же постоянном при величинах 6, близких к его
пределам — 2 \r n и 2 j/ n, укажем соответствующие пре-
предельные значения функции F(b).
Что касается предельного значения, соответствую-
соответствующего 6 = 2 |/~га, то оно находится без всяких затрудне-
затруднений, так как при каком угодно положительном Ь под-
интегральная функция в интеграле E8) остается оп-
определенною для всех значений 1*, лежащих между пре-
пределами интегрирования. Это значение мы найдем по-
поэтому тотчас же, делая в E8) 6 = 2|/я.
Таким образом, замечая, что при этом значении
числа Ь

430 A. M. ЛЯПУНОВ
и принимая за независимое переменное функцию-
после некоторых преобразований получим:
где
g' = i±l-l; в' = 1^р* + ф-.. F0)
Чтобы получить предельное значение, соответст-
соответствующее 6=— 2\/ п, мы замечаем, что, полагая
Ь Csn'1 Ь [(к + 2ns) Sn2 0 -g] _
l + bSn$Csnd "" v>
можно написать
F(b)=y
Пусть &д и &' суть числа, лежащие между 0 n -- ,
для которых
Нетрудно видеть, что &1 < &'.
Приписывая 6 какое-либо значение, лежащее между
0 и — 21/ и невключительно, найдем, что интеграл
jud» F1)
В
при возрастании & от 0 до Ь\ будет возрастать, а при
дальнейшем возрастании 0 от 02 до - будет убывать.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 431
При таких значениях Ь мы будем поэтому иметь:
ъ ьг
\ v d$ < \ v db
о о
для всякого &, лежащего между &' и ~ .
Но интеграл
Ъ> г —
Г,а кЬ . л / Ъ-уПь-Ъ
\ vd& = — - ягг, fgr 1 / Y.__
J n/4n-fo2 6 у 2/п + Ь
(где arc tg лежит между 0 и Л при Ь, достаточно
близком к —2уп, делается отрицательным и сколь
угодно численно большим.
Вследствие этого, когда Ъ приближается к — 2уп,
о
lim e° =0
при всяком G, лежащем между &' и -.
Таким образом, означая искомое предельное зна-
значение через F ( — 2]/ п), будем иметь:
^(- 2 |/n) = lim \ eft Sn Cs9ftrffl.
Отсюда, замечая, что интеграл
5
о
представляющий наибольшее значение интеграла F1)
между 0 ж гУ, с приближением Ь к — 2 \f n приближается

432 A. M. ЛЯПУНОВ
к некоторому пределу и, означая через -0 функцию,
в которую обращается v при Ь=—2\/~п, находим:
(-2/*)= U°
/?(—2J/n) = e<! SnPftCs«ft<flh
о
Если теперь заметим, что при 0 < В• < I)'
9
и за независимое переменное примем функцию
Csn d - /д Sn 0 ~ ^'
то после некоторых преобразований получим:
Числа q' и s' определяются здесь попрежнему фор-
формулами F0).
Для функции F (Ь) мы имеем выражение под видом
определенного интеграла, под знаком которого фигури-
фигурируют функции Sn ь и Cs 0. Но интеграл этот, если угод-
угодно, можно преобразовать в другой, под знаком которого
вместо последних будут встречаться тригонометриче-
тригонометрические функции.
Для этого за независимое переменное принимаем
угол 9> определяемый уравнениями
вместе с условием при 0 < ft < ^ лежать между 0 и тт.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 433
При этом будем иметь:
и если положим
Ъ \г\п - Ь2
==COS3, - ^— — si
2У
2/тг
разумея под г угол, заключающийся между 0 и тг, то
после некоторых преобразований найдем:
_p + i 6
р ,, ч __ п ^_ Г n tg— sin^ <p sin?/ E — <р) d?
sinffs J [sin2f-bsia2C —a)]8'•
n
Здесь q' и 5' суть попрежнему числа F0) и
19. Возвращаемся к нашей задаче.
В § 14 для случаев первой категории было дока-
доказано, что т + п есть всегда число четное. Но приведен-
приведенное там доказательство, очевидно, может быть прило-
приложено и к случаям, рассматриваемым здесь.
Так как число п мы предполагаем здесь четным,
то можем таким образом утверждать, что и т всегда
будет четным.
Рассмотрим простейший случай, когда т = 2, и со-
составим для него общее выражение постоянного g.
В этом случае уже первая в ряду функций D1) не
будет периодическою и постоянное g найдется по фор-
формуле
ь ==r о~7
28 А. М. Ляпунов

434 A- м. Ляпунов
Рассматривая разложение по степеням г второй ча-
части уравнения C9), находим:
о __ A + Ь Sn ft Csn Ь) Ro - Ъ Sn2 ft Os"-1 ft ^
2 "" A + & Sn ft Csn ftJ
где Ro и 90 суть функции, в которые обращаются Лив
при г —0, и которые поэтому находятся как не завися-
зависящие от г члены в разложениях выражений
~ {х2п-хХ + у (хт'г + Y)} - у Sn2 ft Cs" ft
и
1 fni/X x (x211 + У)) -• Sn & Csn ft
Пусть, разлагая функцию У по восходящим степеням у,
имеем:
Согласно нашим допущениям здесь
ср (я?) - бж"-1 + Ъххп + . ..
Если теперь положим 6 @) == с и значение частной про-
производной
дхду '
соответствующее х = у = 0, назовем через Z), то согласно
сделанному выше замечанию будем иметь:
До = _ (/) + fll) Sn в Cs2" & Ь 6Х Sn2 в Cs" 0 - с Sn8 ft,
Пользуясь этими формулами, находим:
И — (&1"" Db>} Sn2 ° Cs/'& "" (^ + ai) Sn ь Cs2n ° ""с
Отсюда получим:

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 435
если постоянное G, рассматривавшееся в предыду-
предыдущем параграфе, как функцию чисел р> q, s означим
чеРез Gp,qts.
Между величинами Gptq,sy соответствующими раз-
различным р, q, s, существуют соотношения, получаемые
из соотношений § 17 заменою буквы / буквою G и ве-
величин Lp, qiS— нулями.
Из этих соотношений, в которых для нашего слу-
случая должно сделать &=1, нетрудно усмотреть, что ве-
величины С2,л,2, Gb 2n, 2 и G3j(b2, от которых зависит по-
постоянное g, могут быть выражены при помощи неко-
некоторой одной из величин Gp, qt s.
Так, например, их можно выразить при помощи
^о> п, 2*
Действительно, из D5), делая р = 0, q=n, s = 2,
находим:
откуда
0
0> ЗП, 2 — ^(Ь Л, 2 П1т2* П> 2 2п 4-1 °* П* 2*
Далее, из D8), делая последовательно q = 2n,
и q~0, s = 29 выводим:
^i,o,2 — ^GOf Лэ2 —26GO, зл,2.
Отсюда, замечая, что
^з, 0, 2 "^ д ""!> 0, 2 д ^1» 2П, ЧУ
находим:
28*

436 A. M. ЛЯПУНОВ
Таким образом для постоянного g получаем сле-
следующее выражение:
Так как
г* г» _
Csn О db
_
п, 2 —
есть величина положительная, то знак этого выраже-
выражения будет одинаков со знаком следующего:
[с + (п + 1) a, — nD]b + B/г + 1) 6,.
Всякий раз, когда последнее отрицательно, невоз-
невозмущенное движение будет устойчивым, и когда оно
положительно — неустойчивым.
20. В § 15, рассматривая случаи первой категории,
мы указали некоторые признаки, несомненно обуслов-
обусловливающие периодичность функций us.
Одним из этих признаков может обладать система
A) и в случаях, рассматриваемых здесь.
Мы разумеем тот, который выражается в неизменя-
неизменяемости этой системы при замене ж на —х и t на —t.
Всякий раз, когда система A) обладает таким свой-
свойством, функции us будут все периодическими и в слу-
случаях второй категории. Докажется это так же, как
и для случаев первой категории, если принять в расчет,
что интеграл
^ x d& F2)
от замены & на со — 9 не меняется.
Что же касается тех признаков, которыми обуслов-
обусловливается существование для системы A) не зависящих
от t голоморфных интегралов, то для случаев, рассма-
рассматриваемых здесь, они не могут иметь значения, ибо

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 437
в этих случаях система A) не может допускать подоб-
подобных интегралов.
Действительно, функцию г, удовлетворяющую урав-
нию C9) и принимающую для v = 0 значение с, при с,
достаточно малом (по крайней мере в известных преде-
пределах изменяемости Ь), можно представлять под видом
ряда, расположенного по степеням с, и нетрудно видеть,
что, если бы система A) допускала не зависящий от t
голоморфный интеграл, все коэффициенты в этом ряду
были бы алгебраическими функциями от Cs&mmSni>.
Но последнее невозможно, ибо коэффициент при первой
степени с, равный
необходимо будет трансцендентною функцией от Cs О,
как это видно из выражения интеграла F2), приведен-
приведенного в § 17.
Периодичностью функций us во всяком случае бу-
будет обусловливаться периодичность х и у как функций
переменного t, удовлетворяющих уравнениям A), если
только начальные значения этих функций численно
достаточно малы.
Период этих функций в рассматриваемых здесь слу-
случаях будет определяться выражением
2(о
С
о
Sn Ь Csn Ь)
[см. уравнение C7)], если под г разуметь решение урав-
уравнения C9), соответствующее выбранным начальным зна-
значениям функций х и у.
Период этот будет функцией значения с функции г,
соответствующего & = 0, и при с достаточно малом пред-
представится под видом ряда, расположенного по восхо-
восходящим целым степеням с с младшим членом

433 A. M. ЛЯПУНОВ
где
4.Ш
•I'
Если положим
разумея под t0 значение t, для которого 8- = 0, но х и у
будут вполне определенными функциями тис, кото-
которые при с, достаточно малом будут способными разла-
разлагаться в ряды по целым, положительным степеням с.
Коэффициенты в этих рядах будут периодическими
функциями т с периодом Q.
Выписывая в этих рядах только младшие их члены,
будем иметь:
jltldb
х = се* CsC+ ...,
у = _ c"en ° Sn С f ...
Здесь С означает функцию т, определяемую урав-
уравнением:
21. До сих пор мы рассматривали уравнения A)
в предположении, что функция X уничтожается при
У = 0.
В этом предположении в случаях, рассматривавшихся
в последних параграфах, мы пользовались подстанов-
подстановкой B6), и таким путем приводили вопрос к исследова-
исследованию уравнений типа B8) или C7).
Но легко видеть, что предположение это не необхо-
необходимо, и что для получения уравнений того же типа

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫ^ СЛУЧАЕВ 439
преобразованием уравнений A) посредством той же
подстановки B6) достаточно, чтобы в функции X по-
после положения у = 0 не оставалось членов ниже (п + 1)-ой
степени относительно х.
Действительно, если у — F (х) есть уничтожающееся
при х = 0 голоморфное решение уравнения
У+Х = 0, F3)
то при сказанном условии в функции F (х) не будет чле-
членов ниже (п + 1)-ой степени относительно #, и следо-
следовательно, если разложение по восходящим степеням у
дает:
Y = f1{x) + <?l(z)y+...,
то функция
не будет содержать членов ниже /г-ой, а функция
ниже 2п-ои степени относительно х.
Поэтому функция cpi (х) в случаях первой категории
не будет содержать членов ниже /г-ой степени относи-
относительно х, а в случаях второй —будет обладать младшим
членом Ьхп~г'г функция же Д (х) в случаях обеих кате-
категорий будет обладать младшим членом ах211.
Отсюда нетрудно вывести, что если а= —1, то-
подстановка B6) попрежнему приведет к уравнениям ви-
вида B8) в случаях первой категории и к уравнениям
вида C7) в случаях второй.
Если система A) не удовлетворяет указанному сей-
сейчас условию, то, чтобы преобразовать ее к виду, для
которого условие это выполнялось бы, очевидно, доста-
достаточно ввести вместо у переменное ylt полагая
у = ух + А,х2 + Агхъ ¦)-...+ Апхп
и разумея под Ай, Аъ и т. д. коэффициенты разложения
А9х2 + Алх

440 A. M. ЛЯПУНОВ
функции y = F(x), определяемой уравнением F3) вме-
вместе с условием уничтожаться при х~0.
Если притом желательно придти к случаю, когда
а=—1, то можно воспользоваться преобразованием
1
у = (-а) 2(п-^уг + А2х2 + А3х*+ ...+Апхп.
Роль числа 6 будет играть после этого число —.—
у-а'
В § 19 мы нашли общее выражение постоянного g
для простейшего из случаев второй категории, когда
т = 2.
Выражение это было найдено в предположении,
что функция X уничтожается при у = 0 и что а— — 1.
Но нетрудно видеть, что оно справедливо для каких
угодно уравнений вида A), для которых
при б2 < in и для которых с есть коэффициент при у2
в разложении по степеням х и у функции Y , a D—коэф-
D—коэффициент при ху в разложении функции X.
Для случая, когда а есть отличное от — 1 отрицатель-
отрицательное число, выражение постоянного g получится из
предыдущего заменою
2п-1
ах на а^ — а) 2п,
п-1
Ь » Ь (- а) 21Г32,
6, » б^-а)^2,
1
С » С (—^"^2^-2^
1_
Z) » 2) ( — а) 2П.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 441
Поэтому условие устойчивости напишется в этом
случае так:
)b_nj9j Ь + Bп+1)Ь1<0.
Условие неустойчивости выразится противополож-
противоположным неравенством.
22. Разобравши все случаи, которые может предста-
представить система A), считаем уместным сопоставить здесь
главнейшие из найденных результатов.
Предполагая, что дифференциальные уравнения воз-
возмущенного движения имеют вид:
где X и У суть какие угодно голоморфные функции пере-
переменных х и у, не содержащие членов ниже второго
измерения относительно х и г/, составляем уравнение
из которого для у выводим выражение под видом ряда
расположенного по восходящим степеням х.
Пусть / (х) есть результат подстановки этого ряда
вместо у в функцию У, а <р (х) — результат той же под-
подстановки в функцию
дХ дГ
дх + ду '
Когда функция / (х) не равна тождественно нулю,
младший член ее разложения по восходящим степеням х
пусть будет аха, и когда функция ^ (х) не равна тожде-
тождественно нулю, младший член ее разложения пусть
будет Ьх$.
Установивши это, мы можем различать десять слу-
случаев, которые перечисляем здесь, указывая вместе
с тем, как решается в них вопрос об устойчивости,
I. &— число четное.
IIf а—число нечетное, а > 0.

442 А. М- ЛЯПУНОВ
В обоих случаях невозмутценное движение неустой-
неустойчиво.
III. а — число нечетное, а < 0; fJ—число четное,—мень-
четное,—меньшее а, Ь < 0.
Невозмущенное движение устойчиво.
IV. C—число четное, b > 0; функция f(x) не содер-
содержит членов ниже C+1)-ой степени.
V. ф —число нечетное; функция f{x) не содержит
членов ниже 2 ([3 + 1)-ой степени.
VI. $-число нечетное; а = 23+ 1; 62 + 4(р+ 1) в >0.
Во всех трех случаях невозмущенное движение
неустойчиво.
VII. а — число нечетное, а < 0; функция ср (ж) не содер-
;ж?ияг членов ниже ( —— J-ои степени.
Полагая а = 2тг — 1, преобразовываем наши диффе-
дифференциальные уравнения сначала посредством подста-
подстановки
затем посредством подстановки
разумея под GsO и Sn9 функции переменного &, опре-
определяемые уравнениями
при условии
CsO=l, Sn0=0.
Исключая из преобразованных уравнений dt, при-
придем к дифференциальному уравнению вида:
где R2, R3 и т. д. будут некоторыми периодическими
функциями &,

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 443
Интегрируем это уравнение посредством ряда
расположенного по степеням произвольного постоян-
постоянного с.
Коэффициенты us в этом ряду найдутся последо-
последовательно в порядке возрастания значка s при помощи
квадратур:
и если между ними находятся непериодические по отно-
отношению к &, то первый такой коэффициент будет вида
g& + периодическая функция,
где g — некоторое постоянное.
Тогда при g > 0 невозмущенное движение будет
неустойчивым, при g < 0 — устойчивым.
В случае, когда все коэффициенты и& суть перио-
периодические функции &, невозмущенное движение всегда
будет устойчивым.
VIII. р-число нечетное, а = 2р + 1; Ь2 + А ф + 1)а<0.
Полагая а = 2гг—1 и
St=
J
преобразовываем наши дифференциальные уравнения
посредством двойной подстановки:
1
у = (- а) 2"ух + А2х2 + Л,ж8 + ... + Аахп;
Ж1 = ре0 Cs ft, г/г = — pnen0 Sn &;
затем из преобразованных уравнений исключаем dt.
Таким путем приходим к уравнению вида
^Р р г 2 j О г 3 i

444 A. M. ЛЯПУНОВ
в котором Рг, Рз и т. д. будут некоторыми периодиче-
периодическими функциями 0.
Для решения вопроса об устойчивости уравнение
это трактуется так же, как подобное уравнение в пре-
предыдущем случае,
IX. / (х) = 0; р — число четное, Ъ < 0.
Невозмущенное движение устойчиво.
X. /(я) = 0; <р(а) = О.
Невозмущенное движение неустойчиво.
23. Приведем примеры.
Пример 1. Пусть дифференциальные уравнения воз-
возмущенного движения суть следующие:
где А, В, С, L, М, N — некоторые постоянные.
Известным способом легко находим:
ср (х) = BЛ + М) х + . ..
Отсюда видно, что, если L— не нуль, мы будем иметь
дело со случаем I.
Если L = 0, а числа А и М противоположных знаков,
то будем иметь дело со случаем П.
Если при L=0 числа А и М одинаковых знаков,
то, замечая, что тогда
найдем:
и, следовательно, будем иметь дело со случаем VI.
Если при L = 0 одно из чисел А и М есть нуль,
другое отлично от нуля, будем иметь дело со случаем V.
Наконец, если ? = 7)/ = Л=0, будем иметь дело
со случаем X,

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 445
Вследствие этого заключаем, что, каковы бы ни
были коэффициенты в наших уравнениях, невозмущен-
невозмущенное движение неустойчиво.
Пример 2. Пусть дано уравнение
вторая часть которого представляет целую однородную
функцию какой-либо степени к означенных в скобках
величин, и пусть требуется исследовать устойчивость
~ dx
движения ж=0 по отношению к х и -т— .
Заменяя это уравнение системой
?=У. %=*(*. V)
и полагая
F (х, у) = 10хк + Ьгхк1у + ... + Ьь^ху*-1 + Lky\
находим:
Допустим сначала, что к есть число четное.
Тогда при Lo, отличном от нуля, будем иметь дело
со случаем I, а при L0 = 0—или со случаем V, или со
случаем X.
Мы должны поэтому заключить, что исследуемое
движение неустойчиво.
Допустим теперь, что к есть число нечетное.
Тогда при Lo > 0 будем иметь дело со случаем II,
при L1>0 — со случаем IV, при Lo = LL~ 0— со слу-
случаем X, и движение наше будет неустойчивым.
При Ьг < 0, ?0<0 будем иметь дело со случаем III
или IX, и, следовательно, движение наше будет устой-
устойчивым.
Наконец, при Lo < 0, Li = 0 будем иметь дело со
случаем VII.
Если в этом случае не только Li, но и все осталь-
остальные Ls, соответствующие нечетным s, равны нулю,
то система F4),очевидно, будет обладать не зависящим

446 А. М- ЛЯПУНОВ
qt t голоморфным интегралом (голоморфным относи-
относительно х и 2/2), и движение наше будет устойчивым.
Но допустим, что между названными коэффициен-
коэффициентами находятся не равные нулю.
Полагая к~2п—1 и разумея под р одно из чисел
2, 3, ..., п, допустим, что
?,1=1,я=...=?,2р.я = 0, F5)
но что I/gp-x—не нуль.
Делая для упрощения письма Lo— —1 и преобразо
вывая наши уравнения посредством подстановки
x = rCs», у= — rnSn0,
находим:
~ = -Sn&0>8n-a,
at
dt
Здесь
?/¦= ^ (-l)eLeCs2fl-s-10Sns«r(n-1>(e-2>.
s = 2
Исключая из этих уравнений dt, выводим следую-
следующее:
оо
вторая часть которого представится под видом ряда
D «2/1-1 д /> «ЗП-2 |
расположенного по степеням г, возрастающим на л — 1,
с младшим членом Bя — 1)-ой степени.
Мы можем поэтому г как функцию переменного д
искать под видом ряда
Г — С -\- И2п-1С i изп-21 i • • ' »
расположенного по степеням произвольного постоян-
постоянного с, возрастающим также на гг — 1.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 447
Коэффициенты us в этом ряду найдутся последо-
последовательно из уравнений вида:
%=i?s+f/s (s = 2i*-l, Зп-2. ...),
где Us в случае s = 2n—i есть нуль, а в случае
5>2/г —1 представляет известный полином, состав-
составленный из тех uz и i?a, для которых о < s.
Мы замечаем теперь, что при допущении F5) наши
формулы дают для всех Rs, соответствующих
такие же выражения, как и в случае, когда все Liy
соответствующие нечетным i, равны нулю.
Поэтому все us, для которых s < (п —- 1) Bр — 1) -] 1,
необходимо будут периодическими функциями &.
Обращаемся к тому us, для которого
Разумея под Щ^ то, во что обращается Bs после
положения Lw_x— 0, мы можем утверждать, что при
указанном сейчас значении s интеграл
представит периодическую функцию &,
Но для того же s наши формулы дают
Поэтому при L2p^lf не равном нулю, рассматриваемая
функция
не будет периодическою и даст
Отсюда заключаем, что при ?2p-i > 0 исследуемое
движение неустойчиво, при Ь2р_г < 0 — устойчиво.

448 A. M. ЛЯПУНОВ
Мы предполагали Lo--= — 1. Но нетрудно видеть, что
формулированное сейчас заключение справедливо и при
всяком другом отрицательном Lo.
Мы можем таким образом утверждать, что в нашем
примере устойчивость возможна только при нечет-
нечетном к и действительно имеет место в трех случаях:
1) когда ?0~0, Lx < 0, 2) когда при Lo < О первый, не
разный нулю в ряду коэффициентов
с нечетными значками, отрицателен и 3) когда при
Lo < О все такие коэффициенты суть нули.
Во всех других случаях исследуемое движение
неустойчиво.
Пример 3. В заключение рассмотрим случай кано-
канонической системы
dt~~y' ~*~ ду ' dt~ дх '
разумея под If голоморфную функцию х и у, не содер-
содержащую членов ниже третьего измерения.
Так как для этой системы находим
?(*)*= о,
то, рассматривая ее, можем встретить только один из
четырех случаев: I, II, VII или X.
Из них устойчивость возможна только в случае VII,
и всякий раз, когда он представится, наверно будет
иметь место, ибо система наша допускает не зависящий
от t голоморфный интеграл
У2 + 2Н. F6)
В случае VII интеграл этот необходимо будет знако-
определенною функцией переменных х и у, ибо, будучи
преобразован посредством подстановок, указанных
в предыдущем параграфе, к переменным г и в, обра-
обратится в ряд, расположенный по степеням г, из которых
младшая необходимо будет сопровождаться постоян-
постоянным коэффициентом.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ИЗ ОСОБЕННЫХ СЛУЧАЕВ 449
Можно утверждать a priori, что всякий раз, когда
интеграл F6) есть функция знакоопределенная (так что
при величинах х и у, численно достаточно малых,
может уничтожаться не иначе, как при х = у=0), невоз-
невозмущенное движение устойчиво.
К этому можно теперь прибавить, что во всех других
случаях оно неустойчиво.
Таким образом для канонической системы вопрос
приводится к исследованию функции F6) и требует
для своего решения такого же анализа, как и вопрос
о максимумах и минимумах функций от двух независи-
независимых переменных.

О НЕУСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ
В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ,
КОГДА ФУНКЦИЯ СИЛ НЕ ЕСТЬ МАКСИМУМ1)
1. Известно, что положение равновесия материаль-
материальной системы устойчиво, если в этом положении функ-
функция сил достигает максимума. Что же касается поло-
положений равновесия, в которых это последнее условие
не выполнено, то они часто характеризуются как
неустойчивые, хотя их неустойчивость никогда не была
доказана в общем виде. Однако для довольно обшир-
обширного класса случаев ее можно легко доказать, как я это
сделал в моей работе «Общая задача об устойчивости
движения» (Харьков, 1892), где я вывел, что для обыкно-
обыкновенных случаев отсутствия максимума предложение
о неустойчивости равновесия является только след-
следствием одной общей теоремы, на которую я в свое время
обратил внимание в моем мемуаре «О постоянных
винтовых движениях твердого тела в жидкости»
(«Сообщения Харьковского математического общества»,
2-я серия, т. I, 1888).
В настоящей заметке я хочу изложить мое исследо-
исследование, поскольку оно относится к теореме о неустой-
неустойчивости равновесия; но для этого мне необходимо
привести некоторые общие рассуждения.
х) Впервые опубликовано на французском языке в Journal
de Mathematiques pures et appliquees, серия V, том З, 1897.

О НЕУСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ 451
2. Пусть дана система дифференциальных уравне-
нений:
d%i у dxz у ахп у .. v
~dt~~ и dt ~~ 2"'" ~di~~ п' ^'
где Х1у Х2, ..., Х.г заданные функции от переменных
х1у х2, ..., хПУ которые мы предположим голоморфными,
т. е. могущими быть представленными в виде степей»
ных рядов по xiy когда модули этих переменных не
превосходят некоторого предела. Мы предполагаем
далее, что эти функции все обращаются в нуль для
и полагаем
Xi = .Pil^l + Pi2^2 + • • • + Pin%n + Ri (i = 1, 2, . . . , /l),
где i?f содержат в своем разложении только члены
второго и высших порядков.
Коэффициенты piJy так же как и коэффициенты
разложений R{, будем предполагать вещественными
постоянными.
Всякое решение уравнений A) определяется началь-
начальными значениями переменных х1У х2У ..., хп, которые
мы обозначим через а19 а2, ..., ап. Имея в виду задачи
механики, мы будем рассматривать эти решения только
для вещественных значений ty превышающих его
начальную величину, которой мы придадим значе-
значение нуль.
Уравнения A) всегда допускают решение
Мы будем говорить, что это решение устойчиво,
если для всякого положительного числа /, как бы
мало оно ни было, можно указать другое положительное
число з так, что будет иметься
1^|</, |х2|</,..., \хп\<1
для всех положительных значений ty если только
взять для ак9 а2, ..., ап любые вещественные значения,

452 A. M. ЛЯПУНОВ
удовлетворяющие неравенствам
\at\<e, |a.|<e,..., \ап\<*.
Наоборот, если можно указать определенное число /,
отличное от нуля, так что, как бы ни было мало поло-
положительное число г, всегда можно найти вещественные
значения alf a2,..., ал, удовлетворяющие неравенствам
• Ui| < г, |ва1 < г» • • •» \ап\ < 3
и приводящие при некотором положительном значении t
по крайней мере к одному равенству вида
то рассматриваемое решение будем называть неустой-
неустойчивым.
Приняв это определение, имеем следующее предло-
предложение:
Если среди корней алгебраического уравнения
Рп — Ь Р\2 ••• Рт \
Ai P22 " ^ • • • Аа
О B)
(которое мы будем называть определяющим уравнением)
имеются такие, вещественные части которых положи-
положительны, то решение
Это предложение выводится почти непосредственно
из рассмотрения некоторых решений уравнений A),
принадлежащих к роду тех, которые теперь по Пуан-
Пуанкаре называются асимптотическими1).
2) При некоторых условиях существование этих решений
установлено в моем мемуаре «О постоянных винтовых движе-
движениях твердого тела в жидкости». Я не ссылаюсь в нем на
диссертацию Пуанкаре, в которой даны рассуждения, приводя-
приводящие к этим решениям, потому что я еще не был с ней зна-
знаком во время опубликования моего мемуара A888), хотя эта
диссертация была опубликована на десять лет раньше.

О НЕУСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ 453
Предположим, что среди корней
уравнения B) имеются такие, вещественные части
которых не равны нулю.
Пусть
X], А2, ..., Хд C)
какие-нибудь к из них, имеющие вещественные части
одного и того же знака.
Тогда, обозначая через
к произвольных постоянных, имеем решение уравне-
уравнений A), которое в некоторых границах может быть
представлено в виде рядов, расположенных по целым
положительным степеням величин
о^е**', а2ех2',.. ., аЛбА*', D)
коэффициенты которых не зависят от а,: и являются
в общем целыми рациональными функциями от t\ зти
ряды не содержат членов, не зависящих от величин D),
и в качестве членов первой степени имеют решение
линейных уравнений:
-Jjr = Pi*Xl + Pi2X2 + • • • + Pir^n E)
(i=l,2,..., n).
Эти ряды будут сходиться и представлять решение
уравнений A) для всех значений t, которые не превос-
превосходят некоторого предела, зависящего от %iy если веще-
вещественные части корней C) все положительны. Они будут
обладать теми же свойствами для всех значений t,
больших некоторого предела, если вещественные части
названных корней все отрицательны.
Случай, когда коэффициенты подобных рядов могут
быть постоянными, особенно интересен.

454 А. М- ЛЯПУНОВ
Таким будет, например, случай, когда коэффициенты
членов первой степени постоянны, а корни C) таковы,
что между корнями уравнения B) нет чисел вида
ЩК + т*К + ... + Щ^ку
которые получаются, придавая mlt m2, ..., тк все
целые и положительные или нулевые значения, удо-
удовлетворяющие неравенству
т1 + т2 + ... + тк > 1.
Если рассматривать ряды, соответствующие пред-
предположению &=1, то эти условия, очевидно, всегда могут
быть выполнены. Например, в случае, когда уравне-
уравнение B) имеет положительные корни, стоит только
взять за к1 наибольший из этих корней, приняв в каче-
качестве членов первой степени соответствующее решение
уравнений E).
Вернемся теперь к нашему предложению.
Предположим, что уравнение B) имеет положи-
положительные корни и что \ есть наибольший из этих
корней.
Согласно сказанному уравнения A) допускают реше-
решение вида
где а—произвольная постоянная и где правые части
являются рядами, расположенными по возрастающим
степеням аргумента aeAf, коэффициенты которых суть
постоянные, не зависящие от а. Мы предположим, что,
очевидно, допустимо, что все эти коэффициенты веще-
вещественны.
Принимая за а вещественную постоянную, которую
мы предположим для определенности положительной,
мы будем иметь таким образом вещественное решение,
которое будет определено для всех значений ?, удо-
удовлетворяющих некоторому условию вида

О НЕУСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ 455
где h—положительная постоянная, не зависящая от а.
Для этого решения начальные значения переменных х19
х2, ..., хп, которые даются уравнениями
могут быть сделаны с помощью соответствующего
выбора а столь малыми по абсолютному значению,
сколь желательно. Но как бы малы они ни были,
переменные х19 х2У ..., хп всегда достигают для поло-
положительных значений t,
1 л h
(мы предполагаем а < /г), значений
не зависящих от а и не равных нулю всех одновре-
одновременно (потому что в противном случае функции ft
были бы все тождественно нулями).
Возвращаясь к данному выше определению, мы
должны, следовательно, заключить, что решение
хх = 0, х2 = 0, ..., хп = О
неустойчиво.
Мы предположили, что уравнение B) имеет поло-
положительные корни. Если же оно не имеет подобных
корней, то можно взять пару сопряженных комплекс-
комплексных корней с положительной вещественной частью
и доказать теорему аналогичными рассуждениями.
Но мы не остановимся на этом, потому что подобное
обстоятельство не может иметь место в случае, который
мы имеем в виду.
3. Рассмотрим теперь материальную систему, под-
подчиненную связям, не зависящим от времени t, и пред-
предположим, что эта система находится под влиянием сил,
производных от силовой функции U, содержащей явно
только координаты.

456 A. M. ЛЯПУНОВ
Предполагая, что наша система допускает конечное
число п степеней свободы, выразим все координаты
с помощью вещественных независимых переменных
которые выберем так, что они обращаются в нуль
в некотором положении равновесия системы, и пред-
предположим, что функция U', так же как и живая сила
системы, выраженные через эти переменные, стано-
становятся функциями голоморфными. Предположим, кроме
того, что живая сила при qx = q2 = ... = qn = 0 остается
определенной квадратичной формой от производных
q[y ??>..., ?п.
При этих предположениях дифференциальные урав-
уравнения движения, определяющие переменные
па a a'-dqi of — ^ a' — dqn
как функции от t, могут быть приведены к виду урав-
уравнений A).
Мы можем, следовательно, применить установленную
выше теорему; если положить
где Um вообще означает форму степени т относительно
переменных qu q2, ..., qn, то эта теорема приводит
нас к следующему заключению:
Если в положении равновесия, определенном урав-
уравнениями
силовая функция не есть максимум и если это обнару-
обнаруживается тем обстоятельством, что квадратичная
форма U2 может становиться положительной, то это
положение равновесия—неустойчивое.
Действительно, из теории малых колебаний изве-
известно, что при указанном условии определяющее урав-

О НЕУСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ 457
нение допускает по крайней мере один положительный
корень. Следовательно, нужно заключить, что решение
дифференциальных уравнений движения неустойчиво.
Но это означает, что и рассматриваемое положение
равновесия неустойчиво, и можно даже добавить, что
эта неустойчивость имеет уже место относительно
переменных
т. е. что она узнается уже по значениям, которые могут
принимать эти переменные. Легко в этом убеждаемся,
принимая во внимание уравнение живых сил, из кото-
которого видно, что не может существовать неустойчивость
относительно скоростей, если она не имеет место по от-
отношению к координатам.
. 4. В моей цитированной выше работе я предложил
еще другую методу для рассмотрения вопросов устой-
устойчивости.
Эта метода, к которой я был приведен при изуче-
изучении важного мемуара Пуанкаре «О кривых, определяе-
определяемых дифференциальными уравнениями», состоит в оты-
отыскании некоторых функций переменных
полные производные которых, взятые по t в силу
уравнений A), обладают некоторыми свойствами.
Названная метода основывается на некоторых общих
предложениях, из которых я приведу здесь самые
простые, ограничиваясь, впрочем, такими, которые
относятся к условиям неустойчивости.
В дальнейшем я буду понимать под V вещественную
функцию вещественных переменных

458 A. M. ЛЯПУНОВ
однозначную и непрерывную, так же как и ее производ-
производные первого порядка, пока х{ не превосходят по абсо-
абсолютному значению некоторого предела, и буду пред-
предполагать, что эта функция обращается в нуль при
Х} ~х2 = . . . = хп = 0.
Для краткости буду говорить, что подобная функ-
функция знакопостоянна, если она не меняет знака при
значениях хи удовлетворяющих условиям
где /—достаточно малая положительная постоянная.
Если, кроме того, при тех же условиях эта функция
может обратиться в нуль только при
хг = Я2 = • • • = хп = 0,
то буду говорить, как в теории форм, что эта функция
определенная.
Тогда имеем следующее предложение:
Если можно найти функцию V, полная производная
которой по t
будет функцией определенной^ и если функция V такова,
что с помощью надлежащего выбора х{, как бы ни были
малы их абсолютные величины, можно удовлетворить
неравенству
VV > 0,
то решение
уравнений A) неустойчиво.
Действительно, предполагая для определенности,
что функция V положительна, имеем
для всех значений xi} которые, не будучи нулями

О НЕУСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ 459
одновременно, удовлетворяют условиям вида
I^K/, |sa|</,.... Ы</, F)
где /—достаточно малое положительное число.
Предполагая, следовательно, что начальные значе-
значения xt удовлетворяют этим условиям, и обозначая
через Vo начальное значение функции F, мы имеем
v>v0
для всех положительных значений t, пока условия F)
выполнены.
По предположению можно к тому же всегда удовле-
удовлетворить неравенству
Vo>0, G)
как бы малы ни были а1у а2, ..., ап по абсолютной ве-
величине.
Далее, если имеем У0>'0 и если рассматриваем все
значения xt, удовлетворяющие условиям F) и G),
то функция V как определенная не может стать меньше
некоторого положительного значения [х.
Мы имеем поэтому F'>p. и, следовательно, 25
для всех положительных значений t, пока условия F)
выполнены.
Но ясно, что это не может иметь место для всех поло-
положительных значений t, потому что при условиях F)
и при достаточно малом / функция V имеет верхний
предел. Надо, следовательно, заключить, что существует
положительное значение t, для которого будет выпол-
выполняться по крайней мере одно из равенств
как бы малы притом ни были alt a2, ..., ап по абсолют-
абсолютной величине, если только они удовлетворяют нера-
неравенству VQ > 0.

460 A. M. ЛЯПУНОВ
Таким образом наше предложение доказано.
Мы приведем еще следующее предложение, которое
доказывается аналогичными рассуждениями.
Если можно найти функцию F, полная производная
которой по отношению к t удовлетворяет равенству
вида
гдек—положительная постоянная и Wзнакопостоянная
функция, и если функция V способна принимать знак W,
как бы ни были малы xL no абсолютной величине, то
решение
х1 = 09 х2 = 0, ..., хп = 0
неустойчиво.
5. Для приложения методы, указанной при дока-
доказательстве предложения § 2, рассмотрим квадра-
квадратичную форму F, удовлетворяющую уравнению
п
2 (Pnxi + Pi*x* + • • • + Рн&п) %; ^ W + U,
i = i
где \—положительная постоянная, a U—заданная квад-
квадратичная форма, которую будем предполагать опре-
определенно-положительной. Легко убедиться, что функ-
функция V всегда может быть определена таким образом,
если только X не будет иметь форму
где lt и )j — какие-нибудь из корней уравне-
уравнения B).
Предположив это, примем теперь гипотезу, что это
уравнение имеет корни с положительной веществен-
вещественной частью, и предположим, что к достаточно мало
для того, чтобы среди чисел вида Xf — X находились
такие, вещественные части которых будут положи-
положительны.

О НЕУСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ 461
Легко доказать, что при этом условии V может
принимать положительные значения, а так как в силу
уравнений A) имеем
dt
где
есть определенно-положительная функция, то мы ока-
оказываемся в условиях предложения второго номера.
Приходим таким образом к заключению, что решение
неустойчиво.
6. В мемуаре «Общая задача об устойчивости дви-
движения» находится много других приложений предыду-
предыдущей методы. Здесь мы приведем еще только одно, кото-
которое относится к условиям неустойчивости равновесия.
Принимая предположения § 3, мы будем иметь
для половины живой силы системы выражение вида
где То означает определенно-положительную квадра-
квадратичную форму величин q[> q'^ ..., g^ с постоянными
коэффициентами и
где Qtj—голоморфные функции переменных gu g2,
.. ., qn, обращающиеся в нуль при
После этого рассмотрим функцию
Т7 дТ . дТ , . дТ

462 A. M. ЛЯПУНОВ
Так как дифференциальные уравнения движения суть
то будем иметь:
1=1
Отсюда видно: если форма U2 определенно-поло-
определенно-положительная, то производная -тт как функция пере-
Cut
менных
будет такой же, и вообще: если имеется
U = О, С/3 = 0, U2m-i — О,
каковы бы ни были qu q2, ..., qa> и если U^m— форма
dV
определенно-положительная, то производная л7^Удет
определенно-положительной функцией.
Так как функция V может стать положительной,
то отсюда заключаем, принимая во внимание первое
предложение § 4, что при выполнении вышеуказан-
вышеуказанных условий положение равновесия
неустойчиво.
7, Резюмируя изложенное, видим, что теорема
о неустойчивости равновесия является таким образом
доказанной для двух следующих случаев:
1) Отсутствие максимума функции сил узнается уже
по членам второго порядка, без необходимости рассма-
рассматривания членов высших порядков.

О НЕУСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ 463
2) Функция сил в рассматриваемом положении
равновесия имеет минимум, и этот минимум узнается
по членам наименее высокого порядка, которые дей-
действительно имеются в разложении этой функции.
Очевидно, что первый из этих случаев есть тот,
который встречается наиболее часто в приложениях.
Применяя надлежащим образом указанную методу,
можно без сомнения доказать рассматриваемую теорему
еще для других случаев отсутствия максимума. Но
можно ли ее доказать для общего случая?

ПРИМЕЧАНИЯ
I1] (К стр. 13.) См. Жуковский Н. Е., Собрание со-
сочинений, т. I, стр. 67—161. Гостехиздат, 1948.
[2] (К стр. 11.) См. русский перевод: Пуанкаре А.,
О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.
Гостехиздат, 1947.
[3] (К стр. 18.) Введение функций Qs и определение устой-
устойчивости по отношению к величинам Qlt ..., Qn обобщает
многочисленные определения устойчивости, существовав-
существовавшие ранее.
[4] (К стр. 20.) В определении устойчивости Ляпунов
использовал понятие числа, а не бесконечно малой вели-
величины. Поэтому существо понятия устойчивости по Ляпу-
Ляпунову лежит не столько в характере изменения величин
| Q&. — Fs | при стремлении возмущений s;., sy' к нулю, сколько
в оценках численных величин возмущений при заданных
численных оценках разностей \Q8 — Fs | для устойчивого
по отношению к функциям Qs невозмущенного движения.
Следовательно, нельзя утверждать, что устойчивость
в смысле Ляпунова имеет предельный смысл инфинитези-
мальной устойчивости при бесконечно-малых возмущениях,
когда числа sy., s.' стремятся к нулю.
В определении устойчивости предполагается неогра-
неограниченное изменение t и отсутствие возмущающих сил.
В развитых Ляпуновым методах исследования устойчивости
эти ограничения могут быть сняты в весьма значительной
степени. Условие отсутствия возмущающих сил, если эти
силы стеснить структурными ограничениями, впервые было

ПРИМЕЧАНИЯ 465
снято еще Ляпуновым в решении задачи об устойчивости
по первому приближению, например в теоремах § 13.
[б] (К стр. 44.) В доказательстве этой теоремы Ляпунов
дал метод для определения верхней и нижней границ для
значений наименьшего характеристичного числа. Числен-
Численные значения этих границ, полученные попутно, не являются
точными; однако можно указать случаи, когда методом
Ляпунова определяются практически ценные границы.
[в] (К стр. 80.) Введенное Ляпуновым понятие знакоопре-
деленной функции, если она зависит явно от t, отличается
от обычного понимания знакоопределенной функции. На-
Например, при п = 2 функция
для всех рассматриваемых значений t есть определенно-
положительная квадратичная форма в обычном смысле
слова и не является знакоопределенной в смысле Ляпунова.
[7] (К стр. 82.) См. русский перевод: Лагранж Ж.,
Аналитическая механика, том I. Дополнение II—Лежен-
Дирихле П. Г., Об устойчивости равновесия. (Гостех-
издат, 1950.)
[8] (К стр. 85.) В доказательстве теоремы Ляпунов пред-
предложил практически полезный способ нахождения для
заданного числа s, меньшего Я, с помощью функций V
и W положительного числа Я, обладающего следующим
свойством: если начальные значения §s стеснены неравен-
неравенствами
то во все последующее время t ^ Т значения переменного xs
будут удовлетворять неравенствам
\*ш I < 3 E==1> •••» 7г)«
На вопросе о наибольшем значении А для заданного s
Ляпунов не останавливается.
Функцию F, удовлетворяющую условиям этой теоремы,
называют функцией Ляпунова.
[9] (К стр. 94.) Предложения, отмеченные в этом примеча-
примечании, Ляпунов использовал при исследовании критического
30 А. М. Ляпунов

46В ПРИМЕЧАНИЯ
случая, когда характеристичное уравнение имеет пару
чисто мнимых корней (стр. 196). Следует заметить, что в пред-
предположениях примечания весьма существенным является
предположение, что «по самому значению этих переменных,
для некоторых из них возможны величины только одного
из двух знаков».
[1С] (К стр. 207.) Это примечание взято из статьи А. М. Ляпу-
Ляпунова «К вопросу об устойчивости движения» (стр. 363—
368 настоящего издания; см. также примечание [14]).
[г1] (К стр. 223.) См. поправку автора ко всему этому пара-
параграфу (стр. 209, сноска).
12] (К стр. 226.) См. поправку автора к этому месту (стр. 209,
сноска).
f13] (К стр. 283.) Дальнейшие исследования Ляпунова, свя-
связанные с уравнением (И), опубликованы в Записках Ака-
Академии Наук, VIII серия, т. XIII, № 2, 1902.
[14] (К стр. 368.) Конец статьи содержал ряд поправок
А. М. Ляпунова к тексту «Общей задачи об устойчивости
движения», принятых также во внимание во французском
переводе «Общей задачи». В настоящем издании эти по-
поправки непосредственно включены в текст на стр. 24, 31—
32, 203, 207—209.

СОДЕРЖАНИЕ.
От издательства
ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ.
Предисловие 9
ГЛАВА I.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ.
Постановка вопроса.
1. Общая постановка задачи. Определение устойчивости. 17
2. Общий вид исследуемых дифференциальных урав-
уравнений возмущенного движения 21
3. Интегрирование посредством рядов, расположенных
по степеням постоянных произвольных 24
4. Исследование сходимости рядов в случае, когда
за постоянные произвольные принимаются началь-
начальные значения искомых функций 28
5. Более определенная постановка задачи. Движения
установившиеся и периодические. Две категории
способов исследования устойчивости 34
О некоторых системах линейных
дифференциальных уравнений.
6. Характеристичные числа функций 36
7. Характеристичные числа решений линейных диффе-
дифференциальных уравнений 44
8. Нормальные системы решений 48
9. Правильные и неправильные системы уравнений . . 53
10, Приводимые системы уравнений 59
30*

468 ОГЛАВЛЕНИЕ
О некотором общем случае дифференци-
дифференциальных уравнений возмущенного
движения.
11. Определение некоторого нового типа рядов, располо-
расположенных по степеням постоянных произвольных . . 62
12. Теорема о сходимости рядов 66
13. Вытекающие из теоремы о сходимости заключения
об устойчивости 73
Некоторые общие предложения.
14. Общие замечания о функциях, определяемых
дифференциальными уравнениями возмущенного
движения 77
15. Некоторые определения 79
16. Основные предложения 82
ГЛАВА II.
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ.
О линейных дифференциальных уравне-
уравнениях с постоянными коэффициентами.
17. Определяющее уравнение. Типы решений, соответ-
соответствующие простым и кратным корням его. Группы,
решений • 95
18. Линейное преобразование дифференциальных урав-
уравнений к некоторому простейшему виду 97.
19. Производные определители и уравнения, полу-
получаемые приравниванием их нулю 101
20. О целых однородных функциях, удовлетворяющих
некоторым линейным уравнениям с частными
производными 10о
21. О канонических системах линейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений 109
Исследование дифференциальных урав-
уравнений возмущенного движения.
22. Интегрирование посредством рядов, расположенных
по степеням произвольных постоянных 117
23. Теорема о сходимости рядов, выводимая из теоремы
§ 12 122
24. Теоремы об условиях устойчивости и неустойчиво-
неустойчивости, доставляемых первым приближением 127
25. Условие неустойчивости равновесия при существо-
существовании силовой функции 131
26. Новое доказательство предложений § 24. Общая
теорема о неустойчивости 134
27. Особенные случаи, в которых рассмотрение одного
первого приближения недостаточно. Определе-
Определение тех из них, которые составляют предмет даль-
дальнейшего исследования «... 137

ОГЛАВЛЕНИЕ 469
1-й случай: определяющее уразнение с одним равным
нулю корнем.
28. Приведение дифференциальных уравнений к неко-
некоторому характерному виду. Случаи общий и
особенный 140
29. Исследование общего случая 145
30. Некоторое вспомогательное предложение 152
31. Исследование особенного случая 158
32. Формулирование методы. Примеры 165
2-й случай: определяющее уравнение с двумя чисто
мнимыми корнями.
33. Общий вид, к которому приводятся дифференциаль-
дифференциальные уравнения • . . . 169
34. Некоторые характерные ряды, формально удовлетво-
удовлетворяющие дифференциальным уравнениям. Общий
случай, когда ряды эти не суть периодические . . 174
35. Особенный случай, когда ряды выходят периодиче-
периодические. Сходимость этих периодических рядов . • 180
36. О периодических решениях 185
37. Исследование общего случая 192
38. Исследование особенного случая. Существование
не зависящего от t голоморфного интеграла . . 197
39. Некоторые частные случаи, в которых существова-
существование периодического решения или голоморфного
интеграла может быть доказано 208
40. Некоторые дополнения. Формулирование руководя-
руководящего правила ." 217
41. Примеры • 227
О периодических решениях дифференци-
дифференциальных уравнений возмущенного
движения.
42. Доказательство сходимости некоторых периодиче-
периодических рядов, формально удовлетворяющих дифферен-
дифференциальным уравнениям 240
43. Определение периодических решений заданием на-
начальных значений неизвестных функций. Введение
этих значений в качестве постоянных произ-
произвольных 246
44. Случай существования голоморфного интеграла . . 251
45. О периодических решениях канонических урав-
уравнений 254

470 ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА III.
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ.
О линейных дифференциальных уравне-
уравнениях с периодическими коэффициентами.
46. Характеристичное уравнение. Типы решений,
соответствующие простым и кратным корням
его. Группы решений 263
47. Преобразования уравнений с периодическими коэф-
коэффициентами в уравнения с постоянными коэф-
коэффициентами 269
Некоторые предложения относительно
характеристичного уравнения.
48. Общая теорема о разложении инвариантов в ряды
по степеням некоторых параметров 273
49. Приложение к одному дифференциальному уравне-
уравнению второго порядка 276
50. О виде характеристичного уравнения, обусловлива-
обусловливаемом некоторыми функциональными свойствами
коэффициентов в дифференциальных уравнениях . . 284
51. О характеристичном уравнении канонической систе-
системы ." 289
52. Некоторые особенные способы исследования характе-
характеристичного уравнения 295
53. Приложение принципов теории функций комплекс-
комплексной переменной. Один случай, когда логарифмы кор-
корней характеристичного уравнения определяют-
определяются алгебраически при помощи некоторых опре-
определенных интегралов 301
Исследование дифференциальных уравне-
уравнений возмущенного движения.
54. Интегрирование посредством рядов, расположенных
по степеням постоянных произвольных 308
55. Теоремы об условиях устойчивости и неустойчивости,
доставляемых первым приближением. Особенные
случаи. Определение тех из них, которые со-
составляют предмет дальнейшего исследования . . . 312
1-й слушй: характеристичное уравнение с одним
равным единице корнем.
56. Приведение дифференциальных уравнений к неко-
некоторому характерному виду. Случаи общий и осо-
особенный 314
57. Исследование общего случая 318

ОГЛАВЛЕНИЕ 491
58. Исследование особенного случая 322
59. Изложение методы. Пример 323
2-й случай: характеристичное уравнение с двумя мни-
мнимыми корнями, обладающими равными единице
модулями.
60. Общий вид, к которому приводятся дифференциаль-
дифференциальные уравнения 327
61. Некоторые характерные ряды, зависящие от двух
аргументов. Общий случай, когда ряды эти не суть
периодические 331
62. Исследование общего случая 336
63. Изложение методы. Пример 338
64. Особенный случай. Представляемые им затруднения.
Случай канонической системы второго порядка. 347
Некоторое обобщение.
65. Общий вид, к которому приводились дифференциаль-
дифференциальные уравнения в особенных случаях, рассмотрен-
рассмотренных раньше. Существование голоморфных инте-
интегралов с ограниченными коэффициентами. Заклю-
Заключения об устойчивости 351
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТАТЬИ.
К вопросу об устойчивости движения 363
Исследование одного из особенных случаев задачи
об устойчивости движения 369
О неустойчивости равновесия в некоторых случаях,
когда функция сил не есть максимум 450
Примечания 464

Редактор В. И. Левантовский.
Технический редактор М. Д, Суховцева,
Подписано к печати 8/VI 1950 г.
24,19 печ. л.+1 вклейка. 22,42 уч.-изд. л.
37041 типогр. зн. в печ. л. Цена книги
13 р. 45 к. Переплет 2 р. Тираж 3 000 экз.
Заказ JV» 290. Т-00298
16-я типография Союзполиграфпрома
Главполиграфиздата при Совете
Министров СССР.
Москва, Трехпрудный пер., 9.

Опечатки
Стра-
Страница
11
186
236
410
Стро-
Строка
20 св.
9сн.
7сн.
1сн.
Напечатано
и
lc*+i)iiS*+8)!+
cos2+n2 9
R% n+2
Должно быть
и
cos2n+29
Щ-п+2
Ьак. 290