Представления классических групп - Тимашев Д.А.

Автор: Тимашев Д.А.
Теги: алгебра
Год: 2007
Похожие
Классические группы, их инварианты и представления
Абстрактный гармонический анализ. Том I. Структура топологических групп. Теория интегрирования. Представления групп
Теория представлений симметрических групп
Введение в теорию алгебр Ли и их представлений
Текст
                    МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
имени М.В.ЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет
Представления классических
групп
Д. А. Тимашёв
Москва 2007 год

Д. А. Тимашёв
Представления классических групп
Развивается теория комплексных представлений
классических алгебраических групп — группы подстановок,
полной и специальной матричных групп, ортогональной и
симплектической групп. Рассматриваются ключевые
вопросы теории представлений — полная приводимость и
конструкция неприводимых представлений, нахождение
базисов и размерностей, разложения тензорных
произведений. Излагаются факты общей теории представлений
редуктивных алгебраических групп и взгляд на
представления классических групп с этой более общей точки
зрения. Пособие снабжено упражнениями.
Для студентов, аспирантов, преподавателей и научных
работников, интересующихся алгебраическими
аспектами теории представлений.
©Механико-математический
факультет МГУ, 2007 г.

Оглавление
Введение 5
1. Представления конечных групп 10
2. Представления симметрической группы 13
2.1. Диаграммы Юнга 13
2.2. Неприводимые представления 15
2.3. Модули Шпехта 21
2.4. Формула крюков 28
2.5. Представления знакопеременной группы 37
3. Представления полной линейной группы 41
3.1. Функторы Шура 41
3.2. Неприводимые представления 46
3.3. Стандартные базисы 49
3.4. Многообразия флагов 54
4. Многочлены Шура 60
4.1. Характеры представлений GLn 60
4.2. Формулы Пиери 64
4.3. Формула Якоби-Труди 71
4.4. Размерность модулей Вейля 74
5. Правило Литтлвуда-Ричардсона 75
5.1. Косые диаграммы и многочлены Шура 78
5.2. Доказательство комбинаторной леммы 81
5.3. Вывод правила 87
5.4. Другие формулировки 90
6. Представления других классических групп 94
6.1. Специальная линейная группа 94
6.2. Симплектическая группа 95
6.3. Ортогональная группа 100
Приложения 105
1. Группы Ли 106
2. Редуктивные группы 109
3. Представления редуктивных групп 115

4. Инварианты классических групп 122
Литература 128
Ответы и указания к упражнениям 128
Предметный указатель 133
Указатель обозначений 136
4

Введение
К классическим группам относятся
симметрическая группа (группа подстановок) Sm и её
знакопеременная подгруппа (группа чётных подстановок) А™,
полная линейная группа GLn и её подгруппы:
специальная линейная (унимодулярная) группа SLn,
ортогональные группы (полная и специальная) Оп и SOn,
и симплектическая группа Spn. Теория
представлений классических групп является классическим (это
не каламбур!) и чрезвычайно важным разделом
алгебры, восходящим к работам А. Клебша, Г. Фробени-
уса, И. Шура, А. Юнга, Г. Вейля и др., и имеющим
многочисленные связи и приложения в
комбинаторике, теории групп Ли, теории инвариантов и т.д. Цель
настоящих заметок — изложить основные результаты
теории представлений классических групп,
подчеркнув при этом их связь с общей теорией представлений
редуктивных алгебраических групп. Основными
источниками для нас являются книги Фултона-Харриса
[FH] и Фултона [Фу]. Кроме того, весьма полезными
будут компактная книга Джеймса [Дж] о
представлениях симметрических групп и фундаментальная
монография Вейля [Be], посвященная классическим
матричным группам.
Мы будем развивать теорию представлений
классических групп над полем комплексных чисел С, хотя
все результаты справедливы над любым
алгебраически замкнутым основным полем характеристики 0, а
многие переносятся на незамкнутые поля и в
положительную характеристику. (Это связано с тем, что
неприводимые представления классических групп часто
определены над простым подполем основного поля.)
5

Опишем вкратце содержание настоящих заметок.
В §1 кратко напоминаются основные факты
теории представлений конечных групп в форме, удобной
для дальнейшего изложения: описание неприводимых
представлений в терминах структуры групповой
алгебры. Подчеркнём, что этот параграф носит
вспомогательный характер и рассчитан на читателя, уже
знакомого с основными понятиями теории
представлений из стандартного университетского курса
алгебры. Параграф 2 посвящен представлениям
симметрической группы. Подход к описанию неприводимых
представлений в терминах групповой алгебры
применяется в п. 2.2 к построению всех неприводимых
представлений Sm. Здесь впервые естественно возникают
комбинаторные объекты, играющие важнейшую роль
в теории представлений классических групп, —
диаграммы и таблицы Юнга. Свойства неприводимых
представлений Sm удобнее изучать, реализуя
представления не в групповой алгебре, а в алгебре
многочленов от т переменных (где Sm действует
перестановками переменных). Соответствующие подмодули в
алгебре многочленов — модули Шпехта — изучаются в
п. 2.3. В частности, строятся стандартные базисы
модулей Шпехта, а в п. 2.4 вычисляются их размерности.
Переход от симметрической группы к описанию
неприводимых представлений знакопеременной группы
сравнительно несложен, см. п. 2.5.
В последующих параграфах изучаются
представления классических матричных групп. Эти группы
6

являются наиболее естественными и часто
встречающимися представителями класса редуктивных
алгебраических групп (см. приложение 2). Всякая редук-
тивная группа G может быть вложена в полную
матричную группу; для классических групп такое
вложение заложено в определении. При изучении предстаг
влении G разумно ограничиться рассмотрением
полиномиальных или рациональных представлении,
матричные элементы которых являются многочленами
или рациональными функциями от элементов матриц
из G. На самом деле категория рациональных
представлений совпадает с категорией всех
дифференцируемых представлений G как комплексной группы Ли.
Можно доказать (см. приложение 3), что все
рациональные представления редуктивных групп вполне
приводимы, поэтому основное внимание в настоящих
заметках уделяется неприводимым представлениям.
Представления GLn изучаются в §3. В п. 3.1
описаны функторы Шура — определённые композиции
операций симметризации и альтернирования, при
помощи которых строятся неприводимые подмодули в
пространствах тензоров — модули Вейля. Они
тесно связаны с неприводимыми представлениями
симметрической группы. Модули Вейля исчерпывают все
полиномиальные неприводимые представления GLn, a
рациональные неприводимые представления легко к
ним сводятся. В п. 3.3 строится реализация модулей
Вейля в алгебре многочленов на пространстве (n x п)-
матриц, аналогичная модулям Шпехта. Она
используется для построения стандартных базисов модулей
Вейля, с приложениями к алгебраической геометрии
многообразий флагов (теория стандартных мономов).
7

Как и в теории представлений конечных групп,
рациональные представления GLn полностью
определяются своими характерами, которые можно
интерпретировать как симметрические многочлены
Лорана от п переменных. Характеры модулей Вейля
называются многочленами Шура. Они давно и широко
используются в алгебраической комбинаторике [Ма].
Их изучению посвящен §4. Различные вопросы
теории представлений сводятся к чисто комбинаторным
задачам про многочлены Шура. Одной из
фундаментальных задач теории представлений является
разложение на неприводимые слагаемые тензорного
произведения двух неприводимых представлений.
Правило Литтлвуда-Ричардсона для разложения
тензорного произведения двух модулей Вейля является одной
из вершин теории представлений GLn. Оно выведено
в §5, а в п. 4.2 разобран его более простой частный
случай — формулы Пиери. Эти формулы
используются при индуктивном выводе компактной формулы
для многочленов Шура (п. 4.3), с помощью которой в
п. 4.4 вычисляется размерность модулей Вейля.
Представления других классических матричных
групп рассматриваются в §6. Их изучение основано на
погружении в представления полной матричной
группы. Для каждой из групп построены все
неприводимые рациональные представления в виде некоторых
подмодулей в модулях Вейля.
8

В приложениях рассматривается общая теория ре-
дуктивных групп и их представлении. Цель здесь
состоит не в том, чтобы дать полное и подробное
изложение теории, а в том, чтобы предоставить
читателю возможность взглянуть на классические
группы с более общей точки зрения и естественно
"встроить" теорию их представлений в более общий
контекст, мотивировав тем самым изучение редуктив-
ных групп и снабдив большим запасом наглядных
иллюстраций. Поэтому доказательства часто
заменяются примерами, поясняющими ту или иную
конструкцию, определение или теорему для случая
классических групп. Подчеркнём, что изложение теории
представлений классических групп в §§2-6 сделано (по
возможности) замкнутым в себе и формально не требует
обращения к теории представлений общих редуктив-
ных групп.
Приложение 4, стоящее особняком, содержит
фрагмент классической теории инвариантов, необходимый
для обоснования построения неприводимых
представлений ортогональной и симплектической групп.
Настоящие заметки основаны на материалах
семинара "Алгебраические группы и теория инвариантов"
на механико-математическом факультете МГУ в
весеннем семестре 2006 г. Автор благодарен всем
участникам семинара за активную работу и в особенности
X. Нурлигарееву, К. Куюмжиян и Нгуен Бик Ван,
чьи доклады послужили основой для отдельных
разделов настоящих заметок, а также И. В. Аржанцеву
за критическое прочтение первоначального варианта
текста и массу полезных замечаний.
9

1. Представления конечных групп
Начнём с напоминания основных результатов
теории представлений конечных групп, как правило,
включаемых в программу университетского курса
алгебры, см., например, [Ви, гл. 11].
Пусть G — произвольная конечная группа. Будем
рассматривать её конечномерные линейные
представления над полем С. Всякое представление G
продолжается до представления групповой алгебры А = CG
(состоящей из формальных линейных комбинаций
элементов G с операцией умножения, продолженной по
линейности с умножения в G). Таким образом,
категории представлений СиА эквивалентны.
Из теоремы Машке следует, что групповая
алгебра А полупроста, т.е. любое представление А вполне
приводимо. (Это одно из эквивалентных определений
полупростой алгебры; другое состоит в
тривиальности нильрадикала [Ви, гл. 11, §3].)
Упражнение 1. Докажите, что в определении
полупростой алгебры достаточно потребовать, чтобы
левое регулярное представление А на себе самой
умножениями слева было вполне приводимым.
Структура полупростых алгебр хорошо известна.
Теорема 1. Всякая полупростая алгебра изоморфна
прямой сумме матричных алгебр: А = Matni (С)ф- ■ ■©
Matn,(C).
Доказательство. Рассмотрим полупростую алгебру
А как левый А-модуль относительно регулярного
представления. (Неприводимые) подмодули А — не
что иное, как (минимальные) левые идеалы. Имеет
10

место изотипное разложение А = Дф- • -Ф J„ где изо-
типные компоненты Ц суть суммы всех
неприводимых подмодулей данного типа. Изотипные
компоненты уже являются двусторонними идеалами, поскольку
операция умножения на элемент А справа
перестановочна с операциями левого умножения, т.е. является
гомоморфизмом левых А-модулей, а значит,
переводит неприводимые подмодули в неприводимые
подмодули того же типа (или в 0).
Поэтому в дальнейшем можно ограничиться
рассмотрением одной изотипной компоненты и считать,
что все неприводимые подмодули в А изоморфны
фиксированному А-модулю U. Имеем изоморфизм А-
модулей А~и@---@и~и<8>Сп (где А действует
только на левый сомножитель тензорного
произведения).
Сопоставив каждому элементу a G А операцию
х »-» ха, получаем антиизоморфизм А -^ EncUA
(здесь и ниже EncUM обозначает алгебру
эндоморфизмов А-модуля М). В самом деле, каждый
эндоморфизм <р 6 EncU-A однозначно задаётся элементом
а = <р(1): ф(х) = ¥>(# * 1) ~ Х(Р{1) = жа- При этом
композиции эндоморфизмов отвечает произведение
соответствующих элементов в обратном порядке.
С другой стороны, EncU-A ~ Matn(C), где действие
Matn(C) на U ® Сп определяется действием на
правый сомножитель. В самом деле, действие оператора
(р G Enda(U ©■••©[/) на i-e слагаемое Ui задаётся
отображениями U ~ Ui —» (p(Ui) —» Uj ~ С/, где 1-я
стрелка — это <р, а 2-я — проекция. По лемме Шура,
каждое из таких отображений — гомотетия с
коэффициентом А#, и (р задаётся матрицей (Ау).
11

0 0
Чтобы получить изоморфизм А ~ Matn(C),
остаётся подвергнуть Matn(C) какому-нибудь
антиавтоморфизму (например, транспонированию). □
Теорема 1 позволяет описать неприводимые
подмодули регулярного представления полупростой
алгебры А. Если А = Matn(C), то А разлагается в прямую
сумму неприводимых подмодулей вида:
= Matn(C) - Еи ^ Сп
(здесь Eij обозначает матричную единицу с 1 на месте
(i, j) и 0 на остальных местах). Всякий неприводимый
подмодуль в А получается из указанных
автоморфизмами А как левого А-модуля, а значит, имеет вид
АЕн-д"1 (при некотором д G GLn) = А(дЕцд~1) = Ае,
где е — проектор ранга 1. С точки зрения
алгебраической структуры проекторы ранга 1 в алгебре
матриц могут быть охарактеризованы как
неразложимые идемпотенты, т.е. такие элементы е G А, что
е2 = е ф 0 и е не представим в виде суммы
ортогональных идемпотентов: е = е\ + е2, е? = е$ ф 0, е^2 =
e2ei = 0. Характеризация неприводимых подмодулей
регулярного представления как циклических
подмодулей, порождённых неразложимыми идемпотентами,
уже переносится на любую полупростую алгебру.
В обозначениях теоремы 1 неприводимые
подмодули регулярного представления А имеют вид Ui = Cni
(г = 1,..., s), где на Ui действует ненулевым образом
только i-я матричная подалгебра алгебры А.
Поскольку любой неприводимый А-модуль является
циклическим, а значит, фактормодулем А, получаем:
12

Следствие 1. Все неприводимые представления по-
лупростой алгебры А исчерпываются
естественными представлениями в пространствах Ui = Сщ, г =
1,...,S.
Заметим, что п\ Л Ь n2s = dim A hs = dimZ(A),
где Z(A) — центр алгебры А. Если А = CG9 то
dim A = |G|, a Z{A) состоит из линейных
комбинаций элементов G с коэффициентами, постоянными на
классах сопряжённости.
Следствие 2. Число различных неприводимых
представлений группы G равно числу классов
сопряженности, а сумма квадратов их размерностей —
порядку группы.
Отметим ещё, что инверсия g ь-» д"1 на группе G
продолжается по линейности до инволютивного
антиавтоморфизма а »-> а* групповой алгебры А.
2. Представления симметрической группы
2.1. Диаграммы Юнга. Применим результаты §1
к описанию неприводимых представлений G = Sm.
Количество неприводимых представлений равно
числу классов сопряжённости, а последние, как
известно, задаются цикловой структурой подстановок,
т.е. длинами независимых циклов в разложении
подстановки. Упорядочив длины независимых циклов
в порядке невозрастания, получаем разбиение А =
(Ai,..., A*), Ai > • • ■ > A*, Ai H h Ал = m. Число
k называется длиной разбиения, а число т = |A| —
его порядком. Разбиение принято задавать
графически при помощи диаграммы Юнга — таблицы,
составленной из т квадратных ячеек, сгруппированных в
13

к строчек длин Ai,..., А*., расположенных сверху вниз
в порядке невозрастания длин и выровненных по
левому краю:
Ai
А2
Диаграмму Юнга, отвечающую разбиению А, будем
обозначать тем же символом А. Её высота htA —
это количество строчек, т.е. длина разбиения. Часто
для сокращения обозначений в разбиении цепочку
повторяющихся чисел заменяют на одно число с
указанием степени, равной числу повторений. Например,
вышенаписанная диаграмма Юнга кодируется так:
А = (7,52,4,2,1).
Зачем понадобилось заменить более простой объект
— разбиение числа т — более сложным —
диаграммой Юнга? Разумеется, смысл состоит в том, чтобы
что-то помещать в клетки диаграммы Юнга. Дадим
необходимые определения, которые нам пригодятся в
дальнейшем.
Определение 1. Таблица Юнга формы А — это
произвольное заполнение диаграммы Юнга А числами
1,..., т без повторений.
Таблица Юнга называется стандартной, если эти
числа возрастают слева направо и сверху вниз.
14

Пример 1. Таблицы Юнга S и Т имеют форму А =
(5,42,2), причём S стандартна, а Г — нет:
гт~
4
6
[12
2
5
9
14
3
7
11
8
13
15
Щ
п~
2
8
13
3
4
7
15
5
10
9
6
11
14
12~]
2.2. Неприводимые представления. Мы
выяснили, что неприводимые представления Sm
параметризуются диаграммами Юнга порядка т. Сделаем это
описание более явным. Наша цель — для каждой
диаграммы Юнга А построить соответствующее
неприводимое представление Sm и получить таким
образом все неприводимые представления симметрической
группы с точностью до изоморфизма. Зафиксируем
некоторую таблицу Юнга Т формы А и дадим
следующие определения:
Определение 2. Строчным стабилизатором
таблицы Т называется подгруппа Рт Я Sm, состоящая из
подстановок, переставляющих числа внутри строчек
таблицы Т. Очевидно, Рт ^ S\t х • • ■ х S\k.
Аналогично определяется столбцовый
стабилизатор QT. Можно также сказать, что Qt = РгТ> где
— транспонированная таблица.
Определим теперь следующие элементы групповой
алгебры:
жеРт
ФеЯт
ст = Ьтот — симметризатор Юнга.
15

Группа Sm естественным образом действует на
таблицах Юнга: подстановка a G Sm переводит
таблицу Т в таблицу аТ той же формы, заменяя каждое из
чисел t G T (t = 1,... ,m) на a(t). Легко видеть, что
при замене Т на аТ подгруппы Pt,Qt и элементы
а^, &г, от сопрягаются при помощи а, поэтому
свойства этих объектов не меняются. Допуская вольность
обозначений, мы будем иногда использовать индекс Л
вместо Г.
Теорема 2. Симметризаторы Юнга с\
пропорциональны неразложимым идемпотентам групповой
алгебры А. Циклические модули U(X) = Ac\
составляют полный набор различных неприводимых
представлений Sm.
Пример 2. Разбиению Л = (т) отвечают Р\ = Sm,
Qx = {е}, 6а = е, ах = сЛ = E<,esm *, и 17(A) = Ссл —
тривиальное одномерное представление Sm.
Пример 3. Разбиению А = (1т) отвечают РЛ = {е},
Qx = Sm, ax = е, 6Л = сА = Z)ff6Sm О5^ *)*> и ^(л) =
Сед — знаковое одномерное представление Sm.
Доказательство теоремы 2 основано на серии лемм.
Лемма 1. Подстановка a G Sm допускает
разложение а = ^7Г, ф £ Qa> тг G Р\, тогда и только тогда,
когда не существует пары чисел %j, лежащих в
одном столбце таблицы Т (по которой определяются
16

P\, Qx) u в одной строке таблицы Т1 = аТ. Это
разложение единственно.
Доказательство. В одну сторону утверждение
очевидно: если а = фк, то действуя на Т сперва 7г, а
затем ф, не загнать числа из одного столбца в одну
строку.
Напротив, если T,Tf удовлетворяют условию
леммы, то действуя на Т столбцовым стабилизатором Qt,
можно постепенно загнать все числа в те же строчки,
в которых они находятся в Т': сперва, переставляя
числа в столбцах Т, загоняем в 1-ю строку все числа,
которые находятся в 1-й строке Т1 (это возможно,
поскольку все они находятся в разных столбцах Т),
затем то же делаем со 2-й строкой и т.д. Значит,
найдутся ф € (Эт? я7 £ Рт1 такие, что фТ = 7г'Т' = отгТ,
где 7Г = о""17Г/а G Рт- Отсюда а = фтг"1 G Q\P\.
Единственность разложения следует из того, что
РлП<Эл = {е}. □
Лемма 2. с = с\ — единственный с точностью до
пропорциональности элемент с G А, для которого
фск = (sgn^)c, \/7г еР\,фе Q\.
Доказательство. То, что с\ обладает этим
свойством, следует из того, что а\ не меняется при
умножении на 7г е Рл, а Ъ\ при умножении на ф G Q\
умножается на sgn^.
Предположим теперь, что элемент
с = ^Г zaa G A (zae С)
17

обладает указанным свойством. Тогда z^ = Za-sgnip
(Vtt еРх,фе Qx) и
с= ]Р ze(sgnil>)a+ ]Р z*a-
Первая сумма в правой части равна zecx- Пусть а ф
QxP\- Пользуясь леммой 1, найдём числа i,j в одном
столбце Т и одной строке Т1 = аТ. Тогда г = (г, j) G
Qt П Pt'i Г7 = G~lTG G Pr, TGT* = G =$> Za = ZT(TTi =
-za = 0. П
Лемма З. СхАсх = Сед «4 = ?aca> 9a G N.
Доказательство. Включение СхАсх С Сед сразу
следует из леммы 2. Теперь понятно, что с| = #дсд,
9aGZ.
Рассмотрим оператор х »-> жсд на А. Поскольку
^сд = ЬсН , Vcr G Sm, имеем tr(x ь-> жсд) = ml. С
другой стороны, в базисе, согласованном с ?7(А), этот
оператор имеет матрицу
Г- О
о -fc
о._
*
о]
Поэтому tr(s ь-> хсд) = #д ■ dim 17(A), откуда ?л =
го!/dim tf (А)- □
Замечание. Коэффициент #л имеет интересную
комбинаторную интерпретацию: он равен произведению
длин всех крюков диаграммы А, см. п. 2.4.
Теперь посмотрим, как взаимодействуют симме-
тризаторы Юнга, отвечающие разным диаграммам.
18

На диаграммах Юнга, если их отождествлять с
разбиениями, имеется естественный лексикографический
порядок ">-": сравниваем длины строк в диаграммах
А,/х, начиная с первой, до 1-го различия на некотором
номере р, и считаем А >~ /х, если Хр > /хр.
Лемма 4. Если А >~ /л, то а\Ьц = Ь^а\ = 0.
Доказательство. Пусть ад,6м задаются таблицами
Г, Т', соответственно. Тогда можно найти пару чисел
г, j в одной строке Т и в одном столбце Т'. В самом
деле, в противном случае действием Qt> на Т1
можно было бы загнать все числа из 1-й строки Т в 1-ю
строку Т', затем из 2-й строки Т во 2-ю строку Т',
и т.д. Но тогда строки Т' были бы не короче строк Г
— противоречие.
Теперь рассмотрим транспозицию г = (г, j) € Рд П
<3Д и заметим, что ад&д = (адг)&м = ад(тЬд) = — адб^ =
0, аналогично с Ь^ад. □
Лемма 5. Если А Ф \i, mo с\Асц = 0.
Доказательство. Если А >- fi, то имеют место
импликации:
с\Асц = ЬхахАЪ^а^ = 0 «= алА&д = 0 <=
4= ала6м = 0 (Ver G Sm) <= ахЬ^ = 0,
где 6^ = аЬцСг*1. Последнее произведение обращается
в 0 по лемме 4. Если же А -< /г, то
сд-Асд = 0 <= Ьд-Аа^ = 0,
что также верно по лемме 4. □
19

Доказательство теоремы 2. Убедимся, что ед =
c\/q\ — неразложимый идемпотент. В самом деле,
если бы он был разложим в сумму ортогональных идем-
потентов ед = ei + ег, то мы бы имели еде^ед = е% £
сдАсд, в то время как сд-Асд = Сед по лемме 3.
Поэтому модули ?7(А) неприводимы.
С другой стороны, А по-разному действует на ?7(А)
и U(fx) при А ф /z. В самом деле, сдСУ(А) = Сед ф 0 =
c\U(tx) по леммам 3, 5. Поэтому модули 17(A) попарно
не изоморфны при разных А и исчерпывают все
неприводимые 8т-модули, так как их количество равно
числу классов сопряжённости в Sm. □
Замечание. Всю предшествующую теорию можно
развить, используя вместо с\ элементы с\ = адбд
(нужно только в некоторых рассуждениях поменять
порядок сомножителей). Получаем другой полный набор
неприводимых модулей Ас*х. Однако можно показать,
что Ас\ ~ Ас\. Для этого рассмотрим циклические
модули Аа\ и АЪ\. Имеем следующую диаграмму
гомоморфизмов А-модулей:
Аа\ » Ас\
и .ОА п
Асх «—-— АЪХ
Сквозное отображение Ас\ —► Ас\ —► Ас\ есть
просто гомотетия с коэффициентом q\, откуда и следует
изоморфизм.
20

8т-модуль Аа\ устроен довольно просто — он
является транзитивно пермутационным, т.е. Sm транзи-
тивно переставляет элементы его базиса.
Транзитивно пермутационный модуль конечной группы G
определяется стабилизатором Н базисного вектора и
изоморфен C[G/H] — пространству формальных
линейных комбинаций левых смежных классов G по Н с
действием G левыми сдвигами. В частности, Аа\ ~
C[Sm/P\]. В другой терминологии [FH, §3.3], Аа\
индуцирован с тривиального представления группы Р\.
Аналогично, АЪ\ ~ C[Sm/Q\] ® sgn индуцирован со
знакового представления группы Q\.
Каждый из модулей Аа\,АЪ\ содержит
единственную неприводимую компоненту, изоморфную U(X).
Остальные компоненты определяются правилом
Юнга [FH, §4.3], [Фу, §§7.3-7.4].
Упражнение 2. Какой диаграмме Юнга
соответствует неприводимое представление Sm в
пространстве U = {х G Ст | х\ Л ь хт = 0} перестановками
координат?
Упражнение 3. Обобщая примеры 2-3, докажите,
что транспонированной диаграмме Юнга
соответствует неприводимое представление U(XT) ~ U(X) ®
sgn.
2.3. Модули Шпехта. Хотя мы и построили все
неприводимые представления Sm, хотелось бы иметь их
более наглядную реализацию в пространствах, более
привычных, чем групповая алгебра. Мы построим
реализацию всех неприводимых представлений Sm в
пространстве многочленов С[хи ..., хт].
Фиксируем таблицу Юнга Т порядка m и
обозначим через tij число, стоящее в (г,^)-й клетке, считая
21

вниз/вправо от верхнего левого угла. Введём
следующие обозначения:
Ат = Ьтхт = Y^ (^^) Пж$&)"
i/>£Qt ij
Легко видеть, что
Дт = Дт(1) - - ■ ДТ(о,
где А^о) — определитель Вандермонда, построенный
по переменным в j-м столбце Т® таблицы Т, а I —
длина 1-й строки.
Ясно, что {хт | Т формы А)с — транзитивно пер-
мутационный подмодуль в C[xi,-.. ,хш],
изоморфный Аа\. Следовательно,
5(A) := <ДТ | Т формы А)с ^ Щ\)
— неприводимый модуль, называемый модулем Шпех-
гпа. Чисто комбинаторное определение модулей Шпех-
та (впрочем, эквивалентное данному) можно найти в
[Фу, §7.2], [Дж, §4].
Модули Шпехта являются удобной моделью
неприводимых представлений симметрической группы.
Например, в них можно построить стандартный базис,
в котором элементы группы представляются
целочисленными матрицами. Докажем вначале несколько
лемм.
Введём на таблицах одной формы А обратный
лексикографический порядок ">-" следующим образом:
сравниваем числа в таблицах Т,Т' по строкам слева
направо и сверху вниз (как на следующем рисунке) до
22

1-го различия в некоторой позиции (p,q), и считаем
Т >- Г, если tpg < tipq.
| ►■ j
I » I
Лемма 6. Если Т yTf — две стандартные таблицы
формы А, то ОфЪг' = Ьт'От = 0.
Доказательство. Аналогично лемме 4, достаточно
найти пару чисел i9j в одной строке Т и в одном
столбце Т*. Пусть первое различие между Т и Т"
происходит в позиции (р,#), т.е. таблицы совпадают
в строках выше р-й и в р-й левее q-ro элемента, а
j = ipg < t^- Тогда в Т' число j стоит левее q-vo
столбца и ниже р-й строки, а значит, в одном столбце
с неким числом г из р-й строки таблицы Т. □
Следствие 1. стог' = с^/С^ = 0.
Следствие 2. сгДт' = 0, стАт = q\Ar-
Чтобы описать линейные зависимости между
порождающими элементами Ат модуля Шпехта,
воспользуемся одной леммой из линейной алгебры.
Обозначим через det(vi,..., Vk) определитель, составленный
из векторов vi9..,9Vk G С*, записанных по столбцам.
Лемма Сильвестра. Фиксируем р < к. Имеет
место тождество:
detfa,..., vk) • det(t0i, ...,wk) =
= ^2 det^i,.,.,^!,...,^,...,^) x
•i<-<tp •* *p
x deb(yh,..., vip, wp+i,..., та*)
23

(определители в правой части получаются из
определителей в левой части обменом первыхр столбцов
2-го определителя с какими-нибудь р столбцами 1-го
определителя, с сохранением порядка столбцов).
Доказательство. По соображениям непрерывности,
достаточно проверить равенство при линейно
независимых vi,..., Vk- Заменив координаты, можно
считать, что vi9...9Vk совпадают со стандартным
базисом ei,..., е* пространства С*. Тогда равенство
приобретает вид:
det(wu..., Wk) = 53 detfc...^(wu..., w„) x
x «* (hZZTi'-b) detii-i,(%+b ■ ■ -, «;*),
где {»!,...,ip | ji,...Jq} — разбиение {1,...,&}
на 2 непересекающихся подмножества, а
detfc! immm9kr (щ,..., ггг) — минор матрицы со
столбцами щ9..., иТ € С*, натянутый на строки &i,..., &г.
Последнее равенство, известное как теорема
Лапласа, вытекает из
Wi Л ■ ■ • Л Wk = (wi Л • • • Л гур) Л (гур+1 Л ■ ■ ■ Л ги*),
если в правой части разложить оба сомножителя по
стандартному базису Д*С* и раскрыть скобки. □
Лемма 7. Имеют место так называемые
соотношения выпрямления: Д^ = Yjt'^t', где суммирование
ведётся по всем таблицам Т\ получаемым из Т
обменом каких-нибудь р чисел из q-го столбца с первыми р
числами из (q + 1)-го столбца, сохраняя порядок
следования чисел по вертикали (в каждом соотношении
выпрямления p,q фиксированы).
24

Доказательство. Поскольку множители ДТ0')>
отвечающие столбцам с j ф q, q + 1, просто выносятся из
левой и правой части, можно считать, что А имеет
всего два столбца:
Г =
ГуГ
\Ук~
ъ\
~Zl\
Здесь в таблице Т вместо чисел г = 1,..., m записаны
переменные ж,-, переобозначенные для удобства как
2/1
■ • •, У к
Ат =
,Zi,...
1
Vi
:
it1
,Zl
. lenep
1
■ Ук
■ :
■ у1~х
ь:
1 ..
Zi ..
zx
zl
1
• Zl
z1-1
• zl
1
. ^0
0
и применим лемму Сильвестра.
□
Замечание. В лемме Сильвестра вместо первых р
столбцов во 2-м определителе из левой части
можно брать любые фиксированные р столбцов
(пользуясь кососимметричностью определителей, их всё
равно можно переставить на первые р мест). То же
относится и к соотношениям выпрямления.
Теорема 3. Элементы Дт, где Т стандартна
формы А, образуют базис 5(A).
Доказательство. Опишем алгоритм выпрямления,
выражающий любой At через стандартные.
25

Изменим обратный лексикографический порядок
">-" на таблицах формы А, сравнивая теперь числа
по колонкам снизу вверх и справа налево:
Например, Т УТ±, где Т± получается из Г
упорядочиванием столбцов в порядке возрастания сверху вниз.
Поскольку А? = ± Atj, > можно считать, что числа в
столбцах Т возрастают. Пусть Т не стандартна.
Тогда в ней найдётся пара чисел г = tVi4 > £p,g+i = j:
Легко видеть, что Т -< Г для любой таблицы Т',
получаемой из Т обменом каких-нибудь р чисел из q-то
столбца с первыми р числами из (q + 1)-го столбца.
По лемме 7 Ат выражается через Ат* с V -< Т. Так,
постепенно уменьшая таблицы, можно выразить Дт
через стандартные.
Теперь докажем, что стандартные Ат линейно
независимы. Для этого вернёмся к прежнему обратному
лексикографическому порядку на таблицах.
Рассмотрим линейную комбинацию
26
У2 ztAt = zqATo + ]Г] ZiAT. = 0.
Т стан д. Ti<To

Действуя ог0, по следствию 2 леммы 6 получаем
ZoQx^To == 0 =** ^о = 0, и так постепенно
проверяем, что все Zi = 0. D
Замечание. Из доказательства теоремы 3 следуют це-
лочисленность матриц представления Sm в
стандартном базисе и способ их вычисления.
Пример 4. Выпрямим элемент аАт е #(23), где
а =
/1 2 3 4 5 6\
\514632у'
Г =
1 4
2 5
3 6
Для сокращения обозначений будем писать вместо Ат
саму таблицу Т. Имеем:
аТ =
5
1
4
б'|
3
2
1
4
[5
2]
3
6
/Г2ТТ
3 4
У|б|б
/
V
1
3
5
2
4
6J
+
+
2 1
4 5
3 6
2 3
14
5 6
2 3
15
4 6
+
+
1
2
з
4
5
6
2 5
3 4
16
2 4
3 5
16
гт
3
[5_
2
4
6
+
1
2
5
3
4
6
+
1
2
3
"4П
51
6
+
+
14
2 5
3 6
12
3 5
4 6
1 3
2 5
4 6
27

Упражнение 4. Выразите через стандартный базис
элемент Д^, отвечающий таблице
1
р+1
т
... |2| 1|
Упражнение 5 (Правило ветвления). Докажите, что
ограничение представления Sm в 5(A) на подгруппу
Sm_i (стабилизатор т) изоморфно 0А, S(\'), где
диаграмма Юнга А' получается из А удалением одной
клетки.
Упражнение 6. Докажите, что неприводимое
представление Sm однозначно определяется своим
ограничением на Sm_i при т > 2. Приведите контрпример
для приводимого представления.
Упражнение 7. Докажите, что /\kU(m — 1,1) ^
U(m - Л, 1*).
2.4. Формула крюков. Хотя теорема 3 и даёт
нам в принципе размерность каждого
неприводимого представления Sm, практически пользоваться ей
для вычисления размерности неудобно, так как
приходится подсчитывать количество стандартных
таблиц данной формы. Чтобы получить явную
формулу для размерности, проведём следующий мысленный
эксперимент. Возьмём наугад произвольную таблицу
формы А. Какова вероятность того, что она окажется
стандартной?
Определение 3. Крюком диаграммы А с вершиной в
клетке (i>j) называется множество клеток
диаграммы, идущих в г-й строке вправо или в j-м столбце
28

вниз, начиная с (г, j) до края диаграммы. Длина
крюка Ы' — этю число клеток крюка.
Чтобы таблица была стандартной, необходимо и
достаточно, чтобы число, стоящее в вершине
каждого крюка, было наименьшим из чисел в этом крюке.
Вероятность того, что наименьшее из чисел в
данном крюке попадёт в его вершину, равна 1//&#. Если
бы все эти вероятности были независимы, то
вероятность выбора стандартной таблицы была бы равна
1/ Y[.. hij. Таким образом, мы приходим к следующей
формуле крюков:
Теорема 4. dimU(X) = т\/ Пу hij-
Следствие. qx = Пу hij-
Пример 5. Для диаграммы порядка т = 24,
иллюстрирующей определение 3, укажем длины крюков на
следующем рисунке:
12
9
8
6
1 3
|_1
10
7
6
4
1
8
5
4
2
7
4
3-
1
5
2
1
2|1]
Получаем dim 17(A) = 44172 388 260.
29

Замечание. Иногда бывает удобно переписать
произведение длин крюков в следующем виде. Для
разбиения А = (Ai,..., А*) обозначим Ц = Aj + к — ц тогда
1\ > ■ ■ ■ > tk- Имеет место формула:
п
hij =
« П & - Q
Для доказательства заметим прежде всего, что
правая часть не изменится, если мы продолжим А,
добавив несколько нулевых членов. В самом деле, если
Хк = 0, то правая часть равна
ti\-~lk-i\ (ii -I)!- -(4-1-1)!
П &-ЛМК П (&-i)-(4r-i))
p<q<k р<к Р<Я<к
Теперь заметим, что длины крюков с вершинами в 1-м
столбце А равны £i7..., £&, и если на них поделить, то
в правой части останется аналогичное выражение, но
уже для диаграммы без 1-го столбца.
К сожалению, эвристическое рассуждение,
приведённое перед теоремой 4, не является
доказательством, поскольку вероятности того, что в вершинах
крюков стоят наименьшие числа, зависимы. Строгое
доказательство основано на индукции по т.
Обозначим правую часть формулы крюков
через F(A). Достаточно показать, что F(X)
удовлетворяет тому же рекуррентному соотношению, что и
число стандартных таблиц формы А:
F(X) = ^Г^(А') по всем А', получаемым из А
А7 удалением одной клетки.
30

Приведём два доказательства этой формулы — чисто
алгебраическое [Фу, §4.3] и вероятностное [GNW].
Алгебраическое доказательство. Сократив на
множитель (т - 1)\/£\\ • - - 4!» приведём наше
рекуррентное соотношение к виду
к
тД(/1,.-.,^) = Х]/»'А^ь---»А--1,...,4),
гдеА(<ь...,^) = Д(*р-д.
р<я
Это равенство получается подстановкой £* = £{, t =
—1 из более общего тождества:
(*1 + ---+**+(Э*)Д(*ь--•!**) =
А;
= 53 *iA(ti,...,*« + *,...,**).
1=1
Чтобы доказать тождество, заметим, что его правая
часть кососимметрична по t±9.. -, £&, а значит, делится
на A(ti,...,tfc). В частном будет линейная форма от
tij..., £fc, t. Поэтому достаточно проверить равенство
при t = 0 (что очевидно) и при каких-нибудь
значениях t ф 0 и £i,... ,4 таких, что A(<i,. -., £*) 7^ 0.
Возьмём, например, ^ = & — г, * = —1; тогда и левая и
правая части равны 0. □
Вероятностное доказательство. Проведём серию
следующих испытаний. На первом шаге
испытания выберем случайным образом клетку (ii,ji)
диаграммы А, предполагая выбор любой клетки
равновероятным (с вероятностью 1/т). На следующем
шаге выберем случайным образом любую клетку
31

(^2>J2) крюка с вершиной в клетке (i\7ji)9 кроме
самой вершины, считая выбор любой клетки
равновероятным (с вероятностью 1/(Ыи% — 1)). Продолжим
испытание в том же духе, пока возможно, т.е. пока
не дойдём до угловой вершины. Получаем некий путь
тг : (iuji) -> (i2,j2) ->■■■-> (iNJN). Вероятность
выбора пути 7Г равна Р(7г) = 1/т ■ Ylp<N 1/(^*Рл> ~ !)•
7Г
I
•)
j—'
С формально-математической точки зрения
ситуация описывается вероятностным пространством [Гн,
§6], элементарными событиями которого являются
всевозможные пути 7Г с вероятностями Р(тг).
Следующее рассуждение, в частности, обосновывает
корректность этой вероятностной модели (и более общих
моделей ветвящихся вероятностных процессов,
основанных на последовательном выборе вариантов).
Все варианты выбора путей можно закодировать
при помощи некоторого дерева. Из корневой
вершины ведёт несколько ребер в вершины 1-го уровня,
отвечающие различным вариантам выбора 1-й клетки в
пути. Из каждой вершины 1-го уровня ведут рёбра в
вершины 2-го уровня, отвечающие различным
вариантам выбора 2-й клетки, и т.д.
32

PiQiri
£*» = £*© = £**■*
Аналогичное дерево вариантов описывает любой
ветвящийся процесс. Предположим, что каждому ребру
дерева приписан некоторый вес так, что сумма
весов рёбер, исходящих из данной вершины в вершины
следующего уровня, всегда равна 1. Эти веса
интерпретируются как вероятности выбора вариантов на
очередном шаге процесса. (В нашем случае припишем
рёбрам, исходящим из корня, вес 1/ш, а исходящим
из вершины, отвечающей выбору точки (г»,j»), — вес
Припишем каждой вершине вес, равный
произведению весов рёбер вдоль пути, ведущей в данную
вершину из корня дерева (корневая вершина имеет вес 1).
Этот вес интерпретируется как вероятность
последовательного выбора определённых вариантов на
нескольких начальных шагах процесса, ведущих к
ситуации, характеризуемой данной вершиной.
33

Лемма 8. Вес вершины равен сумме весов концевых
вершин, в которые можно попасть из данной
вершины, двигаясь вверх по рёбрам. В частности,
сумма весов всех концевых вершин (отвечающих
элементарным событиям вероятностного пространства)
равна 1.
Лемму легко доказать индукцией по уровню данной
вершины.
Для каждого пути 7Г : (гь ji) -> ■ ■ ■ —► (iNjjN)
рассмотрим его вертикальную проекцию I = {ilf..., г^}
и горизонтальную проекцию «7 = {ji, ,^лг} (так что
|/| + \J\ = N +1). Обозначим через P(J, J) (условную)
вероятность того, что путь имеет проекции J, J, при
условии, что испытание начинается в клетке (г\, ji),
т.е.
P(/,J):= £ Р(тт)
т.
in(«'iji)-»-—>(inJn)
{»ii.«Av}=J"
Лемма 9*
Hi,J)= П ^zr П дгтп-
Доказательство. По формуле полной вероятности
[ГЧ §7]
P(J'^ = ^Гт(Р(/Иг'1}'J) + P(/'JUjl}))-
34

Рассуждая по индукции, получаем, что правая часть
равна
1 ( ТТ i тт 1
*1Л - 1 \Ш\Цг**} kiJN ~ l JGAto} hiNJ ~ г
п * п -J—) =
+
Л«и1 - 1 ieA{i/v} 'ЧМг - * JZJ\{JN} •*»*
= П ^n П j^i- °
Пусть диаграмма Л' получается из Л удалением
угловой клетки (?,J). Обозначим через Р(А')
вероятность того, что испытание закончится в клетке (г,$),
т.е.
Р(А'):= Е PW-
Нужное нам рекуррентное соотношение вытекает из
следующей леммы и формулы полной вероятности.
Лемма 10. Р(А') = F(\')/F(\).
35

Доказательство. По формуле полной вероятности и
лемме 9
р(Л') = ^ Е p(J>J) =
m
/С{1,...,*}
JC{l,...j}
m . ^ . Al h _ ! 11 ft _ !
ii<-<i*<t P<s ад q<t Чя
ji<-<jt<3
4Пд^тП^т = Пл')/г(л). □
Дополнение. Видоизменим наше испытание,
продолжив его следующим образом. После выбора пути 7Г :
(^i?ii) —> "■■ -* {iNjJN) запишем в угловую
клетку (in>Jn) число m и удалим её из диаграммы А.
В оставшейся диаграмме А' продолжим случайный
выбор клеток так, как это делали для А. Получим
путь 7^. В его угловой клетке запишем га — 1,
удалим её из А', и т.д. В результате испытания получим
последовательность путей 7Г, я*',..., тг^""1) в
диаграммах А, А',..., А^™-1) порядков га, га — 1,..., 1 с
вероятностью Р(7г)Р(7г') - ■ • Р(7г^го""1^), а последовательное
заполнение клеток исходной диаграммы А числами га,
га — 1, ..., 1 даст стандартную таблицу Т формы А.
Любая стандартная таблица формы А может быть
получена таким образом с вероятностью Р(Т) =
Р(А') ■ ■ • Р(А(го"1)), где диаграммы А',..., А(т-1)
получаются последовательным удалением из А клеток с
36

f.. = тп, -.., 2. Из леммы 10 индукцией по т
получали
ем Р(Т) = Р(А')РСГ') = P(X')/F(X') = 1/F(X) (здесь
У = Т \ {тп})- Таким образом, мы получили способ
равновероятного выбора случайной стандартной
таблицы формы А с вероятностью l/F(X) (что, в
частности, ещё раз доказывает формулу крюков). □
Замечание. Наивный способ выбора случайной
стандартной таблицы формы А, при котором га
пишется в одну из угловых клеток А с равной
вероятностью, затем т — 1 пишется в одну из угловых
клеток оставшейся диаграммы А' с равной вероятностью
и т.д., не является равновероятным. Например, при
д = (т — 1,1) таблица
1
г
т
без г
т
выбирается с вероятностью l/2m+1 * (если 2 < г < т)
или 1/2т"2 (если % = 2).
Упражнение 8. Докажите, что dim 17(A) < |А| тогда
и только тогда, когда А или Ат имеет вид:
ЕВ
2.5. Представления знакопеременной группы.
Имея в распоряжении уже разработанную теорию
представлений Sm, мы опишем неприводимые
представления группы Ат.
Прежде всего отметим, что Ат — подгруппа индек-
са 2 в Sm = Am U гАуд, где г G Sm — фиксированная
транспозиция.
37

Всякий неприводимый Ат-модуль U вкладывается I
в некоторый неприводимый Бт-модуль W: достаточ- 1
но вложить U в САто С CSm и спроектировать (не- 1
нулевым образом) в одну из неприводимых компо- 1
нент регулярного представления Sm. Очевидно, что I
tU C:W — тоже неприводимый Ащ-подмодуль nW = 1
U+tU, поскольку в правой части равенства стоит не- 1
нулевое 8т-инвариантное подпространство. Обратно, 1
любой неприводимый 8т-модуль разлагается в сумму I
не более двух неприводимых ^-подмодулей, переста- 1
вляемых действием т. 1
Лемма 11. Возможно одно из двух: 1
• W ф W <g>sgn =* W = U = tU; I
• W~W®sgn =» W = U®tU, ифти. I
Доказательство. Предположим, что 8т-модули W Я
и W ® sgn изоморфны. Изоморфизм можно рассма- I
тривать как линейное преобразование ф G GL(W), I
подкручивающее действие Sm на sgn, т.е. ф(аь)) = я
(sgn<7)a^(ty), Va е Sm, w € W. 1
Пространство W распадается в прямую сумму соб- Я
ственных подпространств относительно г с собствен- Я
ными значениями ±1 (поскольку т2 = е). Оператор ^ я
обязан их переставлять и, следовательно, не является Ц
скалярным. По лемме Шура, представление Аш в W я
приводимо, а значит, U ф tU. Я
Обратно, если W = U ф гС/", то оператор ^ = я
J? © (-Е) подкручивает действие Sm на sgn, а значит, Я
осуществляет изоморфизм W —► W ® sgn. Остаётся 8
доказать, что в этом случае U ф tU. ||
Предположим противное. Изоморфизм U —► тЕ/" 1
имеет вид и \-> Т(р(и), Уи G U, где <р G GL(E/) под- Ц
кручивает действие А™ на г: <р(сга) = (т~1ат)(р(и), Я
38 1

Vtf G Am- При этом ер2 коммутирует с действием А™,
а значит, скалярен по лемме Шура. Без ограничения
общности можно считать, что ср2 = Е.
Непосредственная проверка показывает, что в этом случае
подпространство {(и,т(р(и)) | и G U] С W инвариантно
относительно Ат и т, т.е. относительно Sm —
противоречие. П
Ответ на вопрос, какая из двух возможностей в
лемме 11 вьшолняется для данного неприводимого Sm-MO-
дуля W = и(\), даёт упражнение 3, согласно
которому U(А) ® sgn ~ U(\T). Следовательно, при А Ф Ат
представления А™ в Е/*(А) и U(XT) изоморфны и не-
приводимы.
При А = Ат представление Ат в /7(A) распадает>
ся на две неизоморфных неприводимых компоненты.
Доказательство леммы 11 фактически содержит
способ построения неприводимых Ат-подмодулей в U(X).
А именно, существует единственный (с точностью до
знака) линейный оператор ф на /7(A),
подкручивающий действие Sm на sgn, для которого ф2 = Е.
Упражнение 9. Постройте этот оператор.
Его собственные подпространства U+(\),U-(\) С
U(X) (с собственными значениями ±1) А^-инвариант-
ны, а значит, они и будут искомыми неприводимыми
Аш-подмодулями.
Итоги подводит
Теорема 5. Неприводимые представления Ат
реализуются в пространствах U(X) при А Ф Ат и U±(\)
при А = Ат (по всем диаграммам Юнга А порядка т).
Перечисленные представления попарно неизоморфны,
за исключением случаев U(X) ~ U(\T).
39

Доказательство. То, что перечисленные предста- 1
вления исчерпывают все неприводимые представле- 1
ния Ат, вытекает из вышесказанного. Осталось дока- 1
зать, что они попарно неизоморфны. Достаточно по- 1
казать, что по любому неприводимому Ат-модулю U 1
содержащий его неприводимый 8т-модуль W восста- |
навливается однозначно с точностью до подкрутки на |
®sgn. 1
Заметим, что rU однозначно восстанавливается по |
U как Ат-модуль. В самом деле, действие г задаёт II
отождествление векторных пространств U ~ rU. При II
этом действию Ат на rU соответствует действие на ||
U', подкрученное на т: сг, и) ь-> (т~1ат)и, V<j G Am, и G II
U. I
Если U ф rU как Ау^-модули, то W = U 0 rU ~ I
U®U (как векторные пространства), причём действие ||
Ат на втором слагаемом подкручено на т, а сама г ||
переставляет слагаемые. Этим однозначно задаётся 11
действие Sm на W. |1
Если же U ~ rU как Ат-модули, то W = U. Пусть Ц
W — другой 8т-модуль, изоморфный U при огра- и
ничении на Ат. Рассмотрим изоморфизм Ат-модулей I
ср : W -^ W9. Тогда т<рт~1 : W -^ W — тоже изо- JI
морфизм неприводимых A^j-модулей. По лемме Шура, II
т(рт~1 = в(р для некоторого е G С. Сопрягая с г ещё ||
раз, получаем ср = е2ср =Ф е = ±1 =^ <рт = ±т<р. Л
Следовательно, <р либо коммутирует с действием Sm Ц
(т.е. W ~ W7), либо подкручивает его на sgn (т.е. Ц
W~W®sgn). □ Я
40

Замечание. Аналогичная тесная связь имеется между
представлениями произвольной группы G и её
подгруппы Я индекса 2 [FH, §5.1]. Вышеизложенное
описание неприводимых представлений Н = Ат на
основе неприводимых представлений G = Sm работает для
любых G и Н. В п. 6.3 мы ещё раз встретимся с этой
ситуацией на примере G = Оп(С) и Н = SOn(C).
Мы не стали здесь развивать общую теорию
представлений подгрупп индекса 2, ограничившись
рассмотрением двух указанных частных случаев, поскольку
специфика ситуации позволяет внести ряд упрощений
в рассуждения (используя, например, тот факт, что
смежный класс G\H представлен элементом
порядка 2).
Упражнение 10. Какие неприводимые
представления группы Am имеют размерность < ш?
3. Представления полной линейной группы
3.1. Функторы Шура. Основным инструментом
построения неприводимых представлении GLn(C)
являются тензорные конструкции. Например,
представление GLn(C) в (Сп)02 распадается на два
неприводимых: S2Cn и Д2СП. Более общим образом,
£Ьп(С)-модули SmCn и ДтСп неприводимы при
любом т. Симметрические и внешние степени являются
частными случаями общей конструкции, носящей
название функтора Шура.
Рассмотрим векторное пространство V а Сп и
какую-нибудь его тензорную степень У®т. Помимо
естественного действия группы всех невырожденных
линейных операторов GL(V) ~ GLn(C) (и даже
полугруппы всех линейных операторов L(V) ~ Matn(C)),

в пространстве V®m имеется перестановочное с ним
правое действие Sm:
(vi <8> - ■ • ® vm)a = ^(i) ® ■ • • ® va(m),
Оно превращает V®m в правый А-модуль (А = CSm).
Определение 4. Подпространство §АУ = У®т • с\
называется модулем Вейлл (отвечающим диаграмме
А порядка т). Операция V *** §Ау называется </к/кгс-
тором Шура. Как и в 2.2, более точно было бы писать
индекс Т вместо А, где Т — некоторая таблица Юнга
формы А.
Пример 6. S<ra> V = SmV, §(im>V = /\mV.
В общем случае функтор Шура — это
симметризация по индексам в каждой строке таблицы Т формы А,
а затем альтернирование по столбцам этой таблицы,
применяемые к У®т.
Пример 7. Рассмотрим таблицу
Г =
1
•1
Модуль Вейля STV С V®3 порождается тензорами
вида
(и ® v ® w)c?r = (u<8)v + v®u)<g)w-bT =
= u®v®w — w®v<g>u + v<8)u<8)w — w<g)u<8)V
(где u,v,w G V).
Операция SA действительно является функтором на
категории векторных пространств. Это означает, что
42

каждое линейное отображение <р : V —> W
однозначно задаёт линейное отображение §х(р : SXV —> SAW
(ограничение у?0т), причём тождественное
отображение переходит в тождественное, а композиция —
в композицию. В частности, каждое SXV является
GL(V)- и даже Ь(У)-модулем.
Теорема 6. Модули Вейля пеприводимы, причём
§А£п ф о тогда и только тогда, когда ht A < п.
Имеет место разложение (GLn(C) x Sm)-модулей:
(Сп)®т= 0 §ACn<g>t/(A).
|A|=m
htA<n
Доказательство. Обозначим V = С". Если htA > п,
то в операции §А присутствует альтернирование по
> п индексам, откуда SXV = 0. Напротив, если ht A =
к < п, то SXV содержит ненулевой тензор
(efAl ®. - -®efХк) с*х = Аь» • • • A,! (efAl®- • -®efА*) bx =
= Ai! ■ ■ • A*! (ei Л ■ ■ ■ Л е*) ® ■ ■ ■ ® (ei Л ■ • ■ Л в|),
где ei,..., en — стандартный базис V и Ат = (fe,..., I)
(для удобства тензорные сомножители в формуле
переставлены так, чтобы симметризуемые/альтерниру-
емые индексы шли подряд).
Разложение V®m получается следующим образом:
V®™ ~ у®т ® А = V®m <g> 0 Ас\А
А А |А|=т
(поскольку Асд^4 ~ Matnx(C) суть простые идеалы ^4)
= @V*™®(Ac*x®c*xA)
|A|=m
43

(изоморфизм Ас\ ® с\А -^ Ас\А задаётся операцией
умножения)
~ 0 (у*™ <g> Ас*х) ® с*хА ~ 0 §А V ® С/(А)
|Л|=т [А|=т
(антиинволюция * изоморфно отображает правый Sm-
модуль с*хА в левый 8ш-модуль Асх = U(\)).
Из разложения следует, что
EndA(V®m) = 0 L(SAV).
|A|=m
С другой стороны,
Еп(Ц(У0т) С L(V0m) ~ У0т ® (у®ту ~ (у ® у*)®т
состоит из операторов, перестановочных с
действием Sm, т.е. из симметрических тензоров:
En<U(F®m) ^ Sm(V <g> У*) - SmL(y).
Воспользуемся известным фактом из тензорной
алгебры:
Лемма 12. SmW = {w®m \ w G W)c.
Получаем, что EncU(V0ro) порождается
операторами вида ср®т, ip G L(V), а значит, $хср порождают
L(SACn) (даже при дополнительном условии det(p Ф
0), откуда SXV неприводим.
Доказательство леммы 12. Как известно, SmW* ^
C[W]m — пространство однородных многочленов
степени т от координат на пространстве W.
Изоморфизм сопоставляет т-линейной форме F многочлен /
по правилу
f{w) = F(w,...,w) = (F,w0m>, Vw <Е W
44

fобратное соответствие называется поляризацией
многочлена). Если (F,w®m) = О, Vw e W, то / = О,
а значит, F = 0. Поэтому аннулятор в SmW*
подпространства (w®m | w G W)c равен 0, а значит,
подпространство совпадает с SmW. D
Упражнение 11. Разложите (Cn)0m в прямую сумму
неприводимых GLn(C)-MOдулей (т = 2,3,4) и
вычислите размерности слагаемых (т = 2,3).
Упражнение 12. Докажите:
Тсганд.
\Т\=т
ЫТ<п
Обозначим Ат = (/zi,..., до). По построению,
— подпространство, получаемое применением к
SAl У®- • -®SA*y С V®m операций альтернирования по
индексам в каждом столбце данной таблицы формы А.
Вот другая тензорная реализация модулей Вейля:
§ау „ v®m-cx = (A^V®- ■ -®/\щУ) ах С SAiy®- • -®SA*y
Изоморфизм между двумя реализациями задаётся
операциями симметризации и альтернирования
(ср. замечание к теореме 2):
y®mc* ~ v®m®Aaxbx ~ ' V^®Abxax ~ V®m-cx.
А ** Л
Упражнение 13. Имеет место изоморфизм GL(y)-
модулей (§АУ)* ~ §А(У*).
45

3.2. Неприводимые представления. Какое место
занимают модули Вейлд среди всех неприводимых
представлений GLn(C)? Прежде всего, они
полиномиальны в следующем смысле:
Определение 5. Линейное представление R
GLn(C) —» GL(W) полиномиально, если матричные
элементы Гу(#) операторов R(g) являются
многочленами от матричных элементов д G GLn(C).
Легко видеть, что свойство полиномиальности не
зависит от выбора системы координат и сохраняется
при переходе к под- и факторпредставлениям. Поли-
номиальность эквивалентна тому, что представление
продолжается до представления полугруппы всех
матриц R : Matn(C) -> L(W).
Не все представления полиномиальны: скажем,
естественное представление GLn(C) в (Сп)* не таково,
поскольку матрицы операторов представления обрат-
ны к транспонированным матрицам элементов
группы, а значит, их матричные элементы содержат det в
знаменателе и не являются многочленами.
Теорема 7. МодулиВейллЕ>хСп исчерпывают все по-
линомиалъные неприводимые представления GLn(C).
Доказательство. Опишем общую конструкцию,
отображающую любой полиномиальный GL^-модуль в
алгебру многочленов от матричных элементов C[Matn].
Пусть R : GLn —► GL(W) — полиномиальное
представление. Его матричными элементами
называются функции вида rUjW(g) = (oj,gw), w 6?, ш G W*. В
частности, матричные элементы гу получаются, если
в качестве w брать базисные векторы, а в качестве ш
— координатные функции. Фиксируя о;, получаем
46

отображение W —► C[Matn], w ь-> rWjW —
гомоморфизм СЬп-модулей, где GLn действует на C[Matn]
правыми сдвигами аргумента по правилу gf(x) = f(xg)
(<7 е GLn, х G Matn). Если W неприводим, то это —
вложение. Эта констрзгкция двойственна хорошо
известному вложению любого неприводимого
представления конечной группы в регулярное.
Взяв W = Сп, а в качестве ш — координатные
функции, получаем вложения Cn <-» Mat* в виде
подпространств, порождённых матричными элементами
фиксированной строки. Очевидно, эти матричные
элементы под действием GLn будут преобразовываться
как векторы стандартного базиса Сп:
Таким образом,
C[Matn] ~ S#(Mat*J - S*(Cn е-.- ®Сп) =
п раз
= 0 SmiCn®---®Sm"Cn.
rni,...,mn>0
Поэтому любой неприводимый полиномиальный
модуль вкладывается в подходящее (Cn)0m (m = mi +
hmn) и значит изоморфен некоторому §АСП (|А| =
т). П
Более широкий класс образуют рациональные
представления:
47

Определение 6. Линейное представление R :
GLn(C) —► GL(W) рационально, если г^(д) —
рациональные функции от матричных элементов д £
GLn(C).
Поскольку эти рациональные функции должны
быть определены на всех невырожденных матрицах,
то их знаменателями могут быть только степени det д.
Отсюда следует, что представление jR® det* будет
полиномиальным при к :§> 0.
Рассматривая §ЛСП, удобно считать, что разбиение
Л продолжено нулевыми членами до (Ai,. -., An), Ai >
• ■ ■ > An > 0.
Лемма 13. SACn <g> det* = §A+(*n)Cn.
Доказательство. В левой и правой части стоят
неприводимые подмодули в (Cn)0(lAl+nAj),
пересекающиеся по (eiA- •■Aen)®---<g)(eiA---Aej),rfle (X+(kn))T =
(n,...,J). □
Из леммы 13, теоремы 7 и сделанных выше
наблюдений сразу вытекает
Теорема 8. Модули V(X) := §A+(*w)<Cn ® det""* (Ai >
■ ■ ■ > An £ Ъ) не зависят от выбора к :§> 0 и
исчерпывают все неприводимые рациональные
представления GLn(C).
Можно показать, что любое дифференцируемое
представление GLn(C) как комплексной группы Ли
рационально (см. теорему 27 в приложении 3). Чуть
позже мы увидим, что модули V(X) попарно
неизоморфны (следствие 2 теоремы 12), и тем самым
получим полную классификацию неприводимых
представлений GLn(C).
48

С другой стороны, развивая конструкцию с
матричными элементами, можно построить вложение
W *-» C[Matn] ® - ■ • ф С[МаЦ
N=dimW
для любого полиномиального представления R :
GLn -+ GL(W) по правилу w ^ (гЫ1,«,,... ,rWjv,w),
где ши • • - >шл* — базис W*. Отсюда любое
полиномиальное представление вкладывается в прямую
сумму представлений GLn(C) в пространствах тензоров
(С")®"1. Последние вполне приводимы по теореме 6.
Сводя рациональные представления к
полиномиальным подкруткой на (gxiet*, получаем следующий
результат:
Теорема 9. Все рациональные представления
GLn(C) вполне приводимы.
Это завершает описание представлений GLn.
Теорема 9 обобщается на любые редуктивные
группы (см. приложение 3).
Упражнение 14. По теореме 8, §A(Cn)* ~ V(A') для
некоторого А' (зависящего от А) — найдите его.
3.3. Стандартные базисы. Как и для
неприводимых представлений Sm, можно построить удобную
реализацию модулей Вейля в пространстве многочленов.
Нам будет удобнее работать с дуальными модулями
Вейля §А(СП)*.
Обозначим V = Сп, со стандартным базисом
ei,..., вп и координатными функциями хь..., хп.
Будем нумеровать сомножители в (У*)®т клетками (7, q)
49

диаграммы А порядка т. Имеется естественное
вложение
(у*)®т ^ C[x.jq | j = 1,.. . , n> (j, 9) G Л]
в качестве подпространства многочленов,
полилинейных по векторам x.jq = (#уд, - - -, xnjq) (здесь х^ч
обозначает г-ю координату jj, g)-ro тензорного
сомножителя).
Обозначим Ат = (/*1,--.,до)- Альтернирование по
столбцам диаграммы А отображает (у*)®т на
пространство многочленов, полилинейных и кососимме-
трических по каждой группе векторов x.jg, j =
l,...,/ig. Симметризация по строкам диаграммы А
означает замену полилинейной формы на
полиоднородный многочлен мультистепени (Ai,..., А*.) путём
отождествления векторов x.jq := x.j, q = 1,..., Aj, т.е.
подстановки переменных х#д = ху. Получаем
вложение
§лу* „ (у*)®-.6лаА — C[Matn] = C[Xij | i,j = 1,... ,n].
Группа GLn здесь действует на функции от матриц
левшш сдвигами аргумента по правилу gf(x) =
/(Д"1^) to G GLn, х е Matn).
Опишем образ дуального модуля Вейля в C[Matn].
Для этого дадим следующие определения:
Определение 7. Обобщённая таблица Юнга формы
А и веса ш — это произвольное заполнение Т
диаграммы Юнга А числами
o;i раз wn раз
где ш = ш(Т) = (wi, - -. ,о;п) — некоторый набор
неотрицательных целых чисел.
50

Лолу стандартная таблица Юнга — это
обобщённая таблица, в которой числа
неубывают слева направо и (строго) возрастают сверху
вниз.
Пример 8. Обобщённые таблицы S и Г имеют одну
и ту же форму А = (5,42,2) и веса u(S) = (2,3,3,4,3),
w(T) = (3,3,5,4,0) (считая п = 5):
S =
112 2 4
2 3 3 4
3 4 4|5|
5 5
Т =
п:
2
3
и
1
3
4
4
1
2
3
2
3
4
з|
Таблица 5 полустандартна, а Т — нет.
Л Xip € /\PV* задают
Базисные р-формы х^ Л
полилинейные функции
Аь.4р =
я*1,1
Zl
п»р
Xip,l
X
*р*р
на векторах x.j = (ху,..., жп^). Поэтому
~ (DT(i) (s..i) • ■ ■ DT(i) (z..j) | tjq G {1,..., n})c
(по всем обобщённым таблицам Т формы Л,
заполненным числами 1,...,п), где
Хцд . . . #l,/*g,g
x..g-
Эту картину можно представить графически
следующим образом. Придадим диаграмме А объём,
расположив её копии на п уровнях глубины. В каждой
51

(кубической) ячейке (i,j,q) объёмной диаграммы
запишем переменную Xijq.
г
Тогда векторы x.jq отвечают "колодцам" этой
объёмной диаграммы, a DT{q) — миноры её q-ro
вертикального среза, отвечающие строкам с номерами из
q-ro столбца Т^ обобщённой таблицы Т.
Симметризуя по строкам диаграммы А, т.е.
отождествляя Xijq = Xijj получаем следующую
реализацию дуального модуля Вейля:
~ {DT := DT(i) • ■ • DTw \ Т формы A, tjq G {1,..., п})с-
Таким образом, §А(СП)* С C[Matn] порождён
произведениями миноров матрицы х G Matn(C), натянутых
на несколько первых столбцов (и произвольные
строки), так что размеры этих миноров образуют
разбиение Ат.
Теорема 10. Многочлены Dt, где Т
полустандартна формы \, образуют базис §А(СП)*.
Доказательство этой теоремы совершенно
аналогично доказательству теоремы 3 и состоит из двух
частей.
Алгоритм выпрямления. Для того, чтобы выразить
любой Dt через полустандартные, используются
соотношения выпрямления:
52

Лемма 14. D? = Ysr* Ar' no всем таблицам Т',
получаемым из Т обменом каких-нибудь р чисел из q-го
столбца с первыми р числами из (q + 1)-го столбца,
сохраняя порядок их расположения (p,q
фиксированы).
Доказательство. Как и в лемме 7, применяем лемму
Сильвестра к
Ai,...,u^ii,...j/
ЯйА •
#*1 ,к •
ж**,1||
xhM
xh,i
X3l,l
xh,k
где T<«> = (н,... ,гк), Г^1) = (ju... ,i,).
xA,i
О
Xjl,l
X
'it* О ' 1
□
Линейная независимость. Рассмотрим обратный
лексикографический порядок на полустандартных
таблицах, сравнивая числа по строкам слева направо
и сверху вниз, а ячейки матрицы х упорядочим по
столбцам сверху вниз и слева направо:
Упорядочение ячеек (i,j) задаёт
лексикографический порядок на одночленах от х#, г, j = 1,..., п. Обо-
значим через / старший член многочлена / € C[Mat„].
Легко видеть, что D^X = xiul ■ ■ ■ х^ф (при h <
53

■'" < h)> a &T есть произведение переменных в
следующей таблице:
Я
ГхТ
Х.2
..?•*
xij
Х.2
. . . X 11
Теперь заметим, что Т >- Т' => DT у DTf. В
самом деле, пусть первое различие между ГиГ'
происходит в клетке (j, 5). Тогда % = tjq < Uiq и ж# входит в
Цг в большей степени, чем в Dt'* a предыдущие
переменные — в одинаковых степенях (здесь существенна
полустандартность).
Следовательно, в любой нетривиальной линейной
комбинации полустандартных Dt старший член не
сокращается. □
Следствие. Базис §АСП составляют элементы
ет := (е^а) ® • • ■ ® ©гю) ад, з^е Т полустандартна,
aeilm..ip :=Bix Л — Ле^.
Упражнение 15. Докажите правило ветвления для
модулей Вейля: ограничение представления GLn(C)
в §АСП на подгруппу GLn_i(C), вложенную "углом",
изоморфно фд/З^С1"1, где диаграмма Юнга А'
высоты < п получается из А удалением не более одной
клетки из каждого столбца.
3.4. Многообразия флагов. Дуальные модули
Вейля тесно связаны с многообразиями флагов.
Напомним, что (полным) флагом в пространстве
V называется набор вложенных друг в друга
подпространств О С Wi С • ■ ■ С Wn = У, dim Ж, = р.
54

Каждое подпространство Wp задаётся разложимым
^-вектором wp = vi Л • - - Л vp (где vu... ,vp —
базис Wp), определённым однозначно с точностью до
пропорциональности. Поэтому его можно
рассматривать как точку проективного пространства Р(ДРУ),
где Р(М) обозначает пространство прямых в
векторном пространстве М. Таким образом, многообразие
флагов
Tin = Т11У) :=
= {W. = (Wu...,Wn)\WpCWqujmp<q}C
С Р(У) х Р(Д2^) х ■ ■ ■ х Р(ДПЮ
естественно вложено в прямое произведение
проективных пространств. Полный прообраз Tliy) в
(V \ 0) х (ДV \ 0) х • ■ • х (/\nV \ 0) состоит из
наборов w. = (гУ1,..., wn) таких, что wp ф 0, wp
разложим при любом р и делит wq при р < q. Отказываясь
от условий wp ф 0, получаем мулътиконус над
многообразием флагов:
Tln = J4iy) := {w9 = (wi,..., wn) | wp разложимы,
Wp\wq при wp ф 0, p < q} С
с у e д V e ■ ■ • e /\nv.
Любой поливектор можно разложить по
стандартному базису внешней алгебры:
1<»1<—<1р<П
Числа yilm„ip называются координатами Плюккера
р-вектора wp (или соответствующего
подпространства Wp, если wp разложим). Их удобно определить
55

для любого набора индексов г*1,... ,гр, приняв
соглашение, что координаты Плюккера кососимметричны
по своим индексам.
Лемма 15. Т£(У) и Т£{у) задаются
алгебраическими уравнениями на координаты Плюккера и, в
частности, замкнуты. Мулътиконус Т£(У) — это в
точности замыкание полного прообраза !F£(V).
Доказательство. Покажем, что условия, задающие
полный прообраз Т£(У), в окрестности каждого wp
выражаются алгебраическими уравнениями на у^..^.
В достаточно малой окрестности найдется
координата Плюккера yjlmmmjp Ф 0. Без ограничения общности
можно считать, что это y\_v = 1, а значит,
wp = vi A • • • Л vp, Vj = ej + y2 aijei =* aH = tfi-..i-..p-
Разложимость wp задаётся условием, что y^...^ суть
р-миноры матрицы со столбцами Vi9...,Vp, т.е.
некоторые многочлены от yi...i...p, г > р> j- Делимость на
wp равносильна делимости на любой Vj, т.е. условию
Vj Л wq = 0 — это тоже алгебраическое уравнение на
координаты Плюккера.
Полученные уравнения можно дополнить до
однородности, домножив одночлены на подходящие
степени ^...jp, — тогда они будут выполняться в любой
точке w. € 3^(У). В самом деле, при wp = 0 уравнения
тривиальны, а при wp ф 0 можно малым шевелением
векторов Vj добиться условия yjt...jp Ф 0, при котором
уравнения выполнены. Эти однородные уравнения
задают F£(V) и M(V).
56

Осталось показать, что T£(V) — замыкание
полного прообраза Ti(V). Возьмём произвольную
точку V)* €Е Ti(V). Выберем базис t7i,...,vn так, что
w = vi Л ■ • • Л vp для всех wp ф 0, и деформируем
его гомотетиями:
vp(t) := ^
£ • vp, гур = 0 7^ гир_1,
Vp/t, гУр 7^ 0 = Wp-i,
г;р, в остальных случаях.
Прообраз ^(У) содержит точки вида w.(t) =
(wi(*)>■■■>«>«(*)), где
/ ч / ч / \ it -ViA- -• Avv,
wp^0,
причём гу#(<) —► гуФ при £ —> 0. П
Подмножество М векторного или проективного
пространства (или прямого произведения таких
пространств) называется алгебраическим
многообразием, если оно задаётся алгебраическими уравнениями
на координаты- Таким образом, Т£п и Tin являются
алгебраическими многообразиями.
Алгебра С[М] многочленов от координат,
ограниченных на алгебраическое подмногообразие М, и
идеал I(Af) всех многочленов, тождественно
обращающихся в 0 на М, несут важную информацию о
геометрических свойствах многообразия М, см. [Ша]. Изу-
ти*м структуру алгебры С[Т£п].
57

Многообразие флагов однородно относительно
естественного действия GL(V) (т.е. состоит из
одной орбиты): Tln ~ GLn/Bn, где Вп —
подгруппа невырожденных верхнетреугольных матриц,
являющаяся стабилизатором стандартного флага Ет =
(#1, #12,..., Еъ..п)9 Ei_p = (ei,..., ер)с- Его полный
прообраз в ТЧп — открытая плотная орбита,
изоморфная GLn/Un, где Un — подгруппа верхних уни-
треугольных матриц (т.е. с 1 на диагонали),
являющаяся стабилизатором е# = (ei, ei2,..., ei...n).
Орбитное отображение
GLn —> Tln, g >-* ge.,
продолжается до отображения
Matn —► Т(-п-> # *-+ %£• = (■ - -,ж.1 Л ■ ■ • Л х.р,...). |
С его помощью всякий многочлен / от координат
Плюккера на Т1п можно поднять до многочлена х !-►
f{xem) на Matn. Поскольку многочлен как функция
на Т1п однозначно определяется своим ограничением
на плотную орбиту, получаем вложение C[Matn] <-*
С[^п], при котором, очевидно, координаты
Плюккера Уг1аалр переходят в Аь..*р> а одночлены ут :=
2/тС1)""' Ут('> — в Дг (где Т — любая обобщённая
таблица Юнга высоты < п, заполненная числами }
1,..., п). Из результатов п. 3.3 вытекает |
Теорема 11. Имеет место изоморфизм алгебр:
С[Мп) к (Дг I htT < п, tjq е {1,... ,п»с = 0 §А(СП)*|
htA<n
Одночлены ут, где Т полустандартна, при
ограничении на ТИп образуют базис С[^п] (они называются
58

стандартными мономами/ Идеал 1(Т£п)
порождаешься квадратичными соотношениями вида У%1Ш.лкУп.~31 ~~
(сумма произведений двух плюккеровых координат,
отвечающих парам мулътииндексов, получаемых из
(п, ■ ■ ■1 ik), (Зъ • - • >iz) обменом ju... ,jp с какими-то
р индексами из г^..., i*J no всел* А; > Z > р.
Следствие. Уравнения Уг1я.лкУп^1 = • ■ ■ служат
определяющими соотношениями между образующими
2/п...»р алгебры С[^п] и задают алгебраические
многообразия Т£п и Tin-
Доказательство. Описание структуры и базиса
С[^п] следует из теоремы 10. Квадратичные
соотношения указанного вида между координатами Плюк-
кера на ТЧп вытекают из соотношений выпрямления
(лемма 14). Пользуясь только ими, любой многочлен
/ от координат Плюккера можно преобразовать в
линейную комбинацию стандартных мономов. Если
/ Е 1(Т1п), то эта комбинация тривиальна, поскольку
стандартные мономы линейно независимы в С[Т£п].
Следовательно, 1{Т£п) порождается указанными
соотношениями. □
Упражнение 16. Сколько GLn-op6nT в Т£п? Какие
из них лежат в образе Matn?
Упражнение 17. Выведите из соотношений
выпрямления уравнения Плюккера
fc+i
5=1
задающие грассманов конус разложимых ^-векторов
вД*У.
59

Можно доказать, что С[Т£п] ~ C[Matn]Un —
алгебра всех инвариантных многочленов относительно
действия группы Un правыми сдвигами аргумента.
Аналогичным образом, если взять в Т1п открытое
подмножество, задаваемое условием юп ф 0, и
рассмотреть на нем рациональные функции, разрешая в
знаменателе степень 7/i...n, то полученная алгебра
функций будет изоморфна
~ (Дг/det* | ЫТ < п, tjg G {1,... ,п}, к> 0)с =
= C[GLn]u« ~ 0 V(X)
Ai>->AnGZ
(где C[GLn] := CfMatJfdet"1]). Получается
замечательный факт: все неприводимые представления
GLn(C) можно организовать в конечнопорождённую
коммутативную алгебру без делителей нуля.
4. Многочлены Шура
4.1. Характеры представлений GLn.
Характером представления R:G —> GL(W) называется
функция на группе
chw(g) := trR(g) = ^(д) + •••+ fJ,N(g),
гДв №i(g) — собственные значения оператора R(g)>
Упражнение 18. Докажите, что chy®w — chy+ ch^
и chv®w = cby ■ chpp для любых G-модулей V, W.
В теории представлений конечных групп
характеры играют важную роль [Ви, гл. 11, §4], [FH, Lect. 2].
60

То же оказывается справедливым и для
(рациональных) представлений G = GLn(C) (а также любой ре-
дуктивной группы G, см. приложение 3).
Почти все д G GLn(C) диагонализуемы (например,
матрицы с однократными собственными значениями
образуют плотное открытое подмножество в GLn).
Поэтому с точностью до сопряжения (что не
меняет значения chw) для вычисления chw{g) достаточно
рассматривать диагональные матрицы
-s-9'Ч;-!)'
Другими словами, характер представления
однозначно определяется своим ограничением на подгруппу Тп
диагональных матриц, и мы можем рассматривать
chw как многочлен Лорана из Cfttf1,. -.у*^1] в
случае рационального представления или обычный
многочлен из C[*i,..., tn] в случае полиномиального
представления. Числа ti суть собственные значения д в
стандартном представлении GLn в С". По
непрерывности, chw(g) — многочлен (Лорана) от собственных
значений д на всей группе GLn.
Лемма 16. Характеры представлений GLn
являются симметрическими многочленами (Лорана).
Доказательство. Имеется естественное вложение
Sn «-* GLn в качестве подгруппы матриц,
переставляющих базисные векторы. Имеем при всех t £ Tn,
aeSn:
cbw(tu...,tn) = trR(t) =
= tr Ща'Ча) = chw(ta(i),..., Ц„)). П
61

В модуле Вейля W = БхСп все операторы R(t)
(t G Tn) одновременно диагонализуемы: на
базисном векторе е$, отвечающем полустандартной
таблице S формы А веса /z, R(t) действует умножением на
£м := t^1 • • •££*. Другими словами, es — весовой
вектор относительно Тп веса V* или просто /х (см.
приложение 3). Вес называется доминантным, если он
является разбиением, т.е. \i\ > ■ • > fxn.
Среди всех полустандартных таблиц формы А
имеется старшая относительно обратного
лексикографического порядка:
1
2..
к..
.к\
... 2]
......
Соответствующий базисный вектор в\ является
весовым не только для Тп, но и для Вп. Его
(доминантный) вес tx является старшим среди весов № модуля
§АСП относительно лексикографического порядка.
Такие векторы называются старшими (см. теорему 29
в приложении 3).
Определение 8. Многочлены Шура — это
характеры модулей Вейля:
s\(tu...,tn) := chSAC« = 22 К\^,
где К\р — это число полустандартных таблиц формы
А веса /г. Числа К\^ называются числами Костки.
Упражнение 19. Докажите, что s^*) = о*. —
элементарный симметрический многочлен степени fc, a
5(*0 — сумма всех одночленов степени к (полный
симметрический многочлен).
62

Характеры рациональных неприводимых модулей
имеют вид
chy(A) = $А+(*»)(*Ъ • • ■ > *n)/(*l • ■ ■ tn) .
Весовые векторы — те же, что для 8А+(*П)(СП, но их
веса сдвигаются на (—кп). В частности, старший
вектор имеет вес А.
Применение характеров в теории представлении
основано на следующем фундаментальном
результате:
Теорема 12. Многочлены Шура образуют базис
алгебры симметрических многочленов C[ii,... ,£n]Sn.
Доказательство. Идея та же, что и в
доказательстве основной теоремы о симметрических
многочленах [Ви, гл. 3, §8].
У любого симметрического многочлена / старший
член / = £А обладает свойством Ai > • • • > Ап.
Вычитая из / многочлен Шура S\ с нужным
коэффициентом, получаем многочлен h = / — c\S\ с h -< /. Той
же процедурой убиваем старший член h и так далее,
в итоге выражая / в виде линейной комбинации
многочленов Шура.
Линейная независимость следует из того, что
А у А' <=> tx У tx\ а значит, в любой нетривиальной
линейной комбинации многочленов s\ старший член не
сокращается. □
Следствие 1. chv(\) образуют базис алгебры
симметрических многочленов Лорана C[tf \. - -, t„l]Sn.
Следствие 2. Модули V(X) попарно неизоморфны
при разных А.
63

Это следствие также вытекает из того, что У (А)
имеют различные старшие веса (ср. теорему 29 в
приложении 3).
Следствие 3. Рациональные представления GLn(C)
однозначно определяются своими характерами.
Доказательство. Разложение рационального
представления GLn в пространстве W на неприводимые
слагаемые определяет разложение ch^ в сумму
характеров сЬу(Л). Последнее однозначно определяется
характером chyp, а значит, и структура разложения
W на неприводимые однозначно восстанавливается
по chw- □
В приложении 3 эти результаты обобщаются на
представления любых редуктивных групп.
Полученные результаты позволяют сводить многие
вопросы теории представлений к чистой
алгебраической комбинаторике, работая вместо представлений с
их характерами.
Например, вопрос о разложении V(X) ® V(fjt) на
неприводимые слагаемые сводится к линейному
выражению s\ - Sp через многочлены Шура. В полной
общности этот вопрос будет рассмотрен в §5, а в
следующем пункте мы выясним, как тензорно умножать на
S*Cn и Д*СП.
4.2. Формулы Пиери. Правила разложения на
неприводимые слагаемые тензорного произведения
модуля Вейля на симметрическую и внешнюю степени
Сп имеют следующий вид.
64

Теорема 13 (Формулы Пиери). Имеют место
изоморфизмы GLn-модулей:
§АсЛ ® s*cn ~ 0 §А'сп
Л'
по всем диаграммам А' высоты < п, получаемым из А
добавлением к клеток справа, причём не более одной
в каждый столбец;
§ACn ® /\kCn ~ 0 SA"Cn
Л"
по всем диаграммам А" высоты < п, получаемым из А
добавлением к клеток справа, причём не более одной
в каждую строку.
Идея доказательства такова. Используя следствие 3
теоремы 12, сводим вопрос к многочленам Шура:
достаточно получить разложения s\-S(k) = ]Г) ^д', $а"0* =
£)sa", где А', А" пробегают диаграммы
вышеописанного вида. Заметим, что s\ = X)$ f^ по всем
полустандартным таблицам S формы А. Для разложения
sx-SpB сумму многочленов Шура $у достаточно уста-
новить взаимно однозначное соответствие между паг
рами (5, Т) полустандартных таблиц форм А и \i и
полустандартными таблицами S! всевозможных форм А'
(из данного списка), при котором w(Sf) = u(S)+u(T).
Для решения этого, уже чисто комбинаторного,
вопроса на множестве всех полустандартных таблиц
определяется операция умножения, при которой веса
складываются.
Замечание. Векторы es ® #г образуют естественный
базис §АСП ® §"СП, а векторы е<?/ — базис 0§Л'<СП.
65

Вышеупомянутая биекция даст изоморфизм
векторных пространств §ЛСП ® §^Cn ~ 0§А'СП, а условие
на веса гарантирует, что это изоморфизм Тп-модулей.
Однако этот изоморфизм, как правило, не
перестановочен с действием группы GLn — базисные векторы
неприводимых GLn-подмодулей не являются, вообще
говоря, тензорными произведениями стандартных ба-
зисных векторов сомножителей. Например, СП®СП =
S2Cn © /\*Сп, а базисные векторы неприводимых
слагаемых суть вг ® ej + ej ® 6{ (i < j) и ei ® ej — ej ® 6{
Определение 9. Умножение полустандартной
таблицы S на одноклеточную таблицу \Т\ определяется
следующим образом. Вначале пытаемся приписать
клетку \t\ к первой строчке S справа. Если нарушается
полустандартность, то ищем первую справа клетку
первой строчки, которую можно заменить на щ
без нарушения полустандартности (т.е. самую левую
клетку с s > <), и заменяем. Вытесненную клетку [¥]
пытаемся вписать во вторую строчку S аналогичным
образом, и т.д.:
В результате получается обобщённая таблица 5"
формы А', получаемой из А добавлением одной клетки,
заполненная элементами 5 и числом t.
66

Свойства умножения на клетку:
1) Путь вытеснения (состоящий из
перемещаемых клеток, начиная с добавляемой) идёт по
направлению вниз/влево (заштрихован на
предыдущем рисунке). В самом деле, рассмотрим
переход от 1-й строки ко 2-й. Клетка (Т),
вытесненная из 1-й строки, может вытеснить во
2-й строке либо стоящую под [|] клетку [гГ],
либо клетку левее этой, поскольку s < v. Дальше
всё аналогично.
2) В результате получается полустандартная
таблица. В самом деле, нестрогое возрастание по
строкам ясно из конструкции, а строгое
возрастание по столбцам достаточно проверить на
уровне первых двух строчек: г <t < s, t < s <
v (см. предыдущий рисунок).
Произведение произвольных полустандартных
таблиц S • Т определяется так: S последовательно
умножается на клетки таблицы Т, в порядке слева направо
по строкам снизу вверх, начиная с последней.
Упражнение 20. Перемножить таблицы:
1
2
Ll
1
3
3
4
4
X
1
2
3
2
4
2
67

Свойства умножения на строку (столбец):
3) Последовательные пути вытеснения не длиннее
(соответственно, длиннее) предыдущих и
расположены строго правее (нестрого левее) их,
т.е. в каждой строке, содержащей клетки двух
последовательных путей, клетка 1-го пути
расположена строго правее (нестрого левее)
клетки 2-го пути.
MW
и
ш
11
Это легко показать индукцией по номеру строки.
При последовательном умножении на клетки \t\ и \if\
с t < t1 (t > t1) сперва щ вытесняет из 1-й строки
клетку \s\ с s > £, а затем \l/j вытесняет самую левую
клетку [sj с s1 > £' > t (s' > t' < t). Поэтому [sj
расположена строго правее (нестрого левее) вставленной
клетки щ, т.е. клетки Щ в исходной таблице, и s < S*
(s > t > s'). Затем клетки Щ и [У] вписываются во
2-ю строку аналогичным образом, и т.д.
л*
Замечание. Можно доказать, что умножение
полустандартных таблиц ассоциативно [Фу, гл. 1-3].
Лемма 17. Операция умножения S' = S ■ Т
осуществляет взаимно однозначное соответствие
между парами (5,Т), где S — полустандартная таблица
формы А; а Т — полустандартная строка (столбец)
68

длины к, и полустандартными таблицами S'
всевозможных форм А'; получаемых из А добавлением к
клеток, причём не более одной в каждый столбец
(строку).
Доказательство. То, что произведение таблицы
формы А на строку (столбец) длины к имеет
вышеописанную форму А', следует из свойства 3 умножения
таблиц. Теперь нужно показать, что по любой
полустандартной таблице 5" формы А' однозначно
восстанавливается пара (5, Г), для которой S' = S Т.
Умножение производится последовательно на
каждую клетку Т. Последние клетки в
последовательных путях вытеснения — это в точности клетки,
дополняющие диаграмму А до А', в порядке слева
направо и снизу вверх (сверху вниз и справа налево,
соответственно). Поскольку они однозначно определяются
видом S', можно восстанавливать S и Т по 5"
постепенно, считая на каждом шаге, что к = 1, т.е. Т
состоит из одной клетки.
Для каждой клетки [р] в пути вытеснения доста-
вытеснила её из
точно установить, какая клетка
предыдущей строки. Заметим, что q < p, но любая
клетка правее ПЛ должна содержать число > р.
Поэтому Ы — самая правая клетка предыдущей строки,
в которой стоит число < р.
Так мы восстановим весь путь вытеснения снизу
вверх, а его 1-я клетка добавляется к Т. Процесс
восстановления S изображён на следующем
рисунке (стрелки показывают перемещение клеток снизу
вверх вдоль пути вытеснения):
69

Остаётся убедиться, что полученные таблицы £, Т
полустандартны.
На каждом шаге восстановления S нестрогое
возрастание по строкам сохраняется по построению, а
строгое возрастание по столбцам ясно из неравенств
u<Q<p, q<p<v (см. предыдущий рисунок).
Чтобы доказать полустандартность строки
(столбца) Т, рассмотрим два последовательно
восстановленных пути вытеснения. Пусть \р\ и
клетки этих
расположена
путей, стоящие в одной строке; тогда
строго левее (нестрого правее) \р\ и р1 < р (pf > р)
Это можно показать обратной индукцией по
номеру строки: если \р\ и [j/J, удовлетворяющие
условиям по предположению индукции, вытеснены из
предыдущей строки клетками \q\ и 1дЧ, соответственно, то
<?' < pi < p (qf < р' > р), а значит, q[ стоит строго
левее (нестрого правее) клетки \д\ и д[ < д (д* > р > д).
В частности, эти условия выполнены для клеток из
1-й строки, которые образуют соседние клетки в Т.
Поэтому числа в Т нестрого убывают справа налево
(строго возрастают сверху вниз). П
Доказательство теоремы 13. Имеем
S Т
70

(по всем полустандартным таблицам S формы А и
строкам Т длины к)
5,Т S'
(по всем полустандартным таблицам 5" всевозможных
форм А', в силу леммы 17)
Аналогично, s\ • crk = J2\»sx"- Следовательно,
характеры GL^-модулей в левой и правой частях формул
Пиери совпадают, а значит, и сами модули
изоморфны по следствию 3 теоремы 12. □
4.3. Формула Якоби—Труди. Вычисление
многочленов Шура по определению 8 требует перебора
полустандартных таблиц и подсчёта их количества.
Ввиду важности многочленов Шура, желательно
научиться их сворачивать в компактную формулу, с
которой удобно работать. Такая формула существует и
выглядит следующим образом:
Теорема 14 (Формула Якоби-Труди).
где % = А* + п - г и
g(li,... ,ln)
а(п — 1, ...,1,0)'
*
t*1
■fin fln
4 ■ ■ ■ ln
71

Вначале изложим схему доказательства. Мы
покажем, что правая часть ё\ формулы Якоби-Труди
удовлетворяет соотношениям, аналогичным
формулам Пиери для перемножения многочленов Шура. Эти
соотношения можно рассматривать как
рекуррентные выражения для правой части как функции
параметра А. Теперь формулу Якоби-Труди можно
доказать индукцией по Л, поскольку обе её части
удовлетворяют одному и тому же рекуррентному
соотношению.
Лемма 18.
g(/i,...,Zn) _ y^ л/т/ 7/\
(1-*!)•••(!-*») ^^..^
Доказательство. Проведём индукцию по п. База
индукции: £*/(1 — t) = Ylv>i^- Дли выполнения шага
индукции разложим определитель а(1[,..., Vn) по
последней строке:
где а% — определитель, аналогичный а, но зависящие
от переменных £ь..., ij_i, tj+i,..., tn. Правая часть
72

доказываемой формулы равна
»=1 £=*» l'l>ll>->l'n-l>ln-l
B_l\n+i Чп — У"1 g»(*i>• • • »k-i)
(по предположению индукции)
(l-il)---(l-b)
(два разложения по последней строке), т.е. равна
левой части формулы. □
Разложение в ряд
1 °°
(i-tl)--(i-*»)=Ssw
позволяет вывести из леммы 18 формулу Пиери для
правой части формулы Якоби-Труди:
Лемма 19. ё\ • s^ = ]Г)Л, ёу по всем А', получаемым
из А добавлением к клеток, причём не более одной в
каждый столбец.
Доказательство. Эквивалентное равенство
а(£и... ,4) • 8W = ^2 a(£v''' >0>
где ^ = Д( + п — г, получается из леммы 18 взятием
однородных компонент степени £i + •-• + £п + к по
*ь • • - ,tn от левой и правой частей. □
Доказательство теоремы Ц. Проведём индукцию
П(> лексикографическому упорядочению на диаг
граммах Лт. База индукции: при А = 0 формула
73

Якоби-Труди очевидна (в левой и правой частях
стоит 1).
В общем случае рассмотрим диаграмму /z,
получаемую из А удалением последней строки, имеющей
длину к. Перепишем лемму 19 в виде рекуррентного
соотношения: S\ = §д ■ S(fc) — Y1\'SX п0 ВСеМ X Ф М>
получаемым из А добавлением к клеток, причём не
более одной в каждый столбец. Аналогичная формула
имеет место для 5д. Поскольку /zT, (А')т -< Ат,
формула Якоби-Труди верна для s^sy по предположению
индукции. Следовательно, она верна и для s\ в силу
рекуррентного соотношения. □
4.4. Размерность модулей Веиля. Формула
Якоби-Труди позволяет, в частности, вычислить
размерности неприводимых представлений GLn(C).
Теорема 15.
;<i q~p v<qq-p
Доказательство. Очевидно, dimSACn = $д(1,...,1).
К сожалению, прямая подстановка *i = • • ■ = tn = 1
в формулу Якоби-Труди даст неопределённость 0/0.
Чтобы её разрешить, удобно вначале сделать
подстановку t{ = in~\ Получаем:
V 7 7/ p<g
i<\q-p
74

что легко установить методом Лопиталя или чисто
алгебраически, сократив числители и знаменатели на
*-1- □
Упражнение 21. Вычислите размерности
неприводимых подмодулей в (Сл)®4.
Упражнение 22. Выведите формулу крюков для
размерности модуля Вейля:
dimSHT^ П !4r±i
Замечание. Формулы для характеров и размерностей
модулей Вейля дословно обобщаются на любые
рациональные неприводимые представления V(X)
группы GLn(C). В свою очередь, они являются частными
случаями более общих формул Вейля для характеров
и размерностей неприводимых представлений любых
редуктивных групп, см. приложение 3.
5. Правило Литтлвуда-Ричардсона
Задача разложения тензорного произведения
неприводимых представлений на неприводимые
слагаемые является одной из основных в теории
представлений. В этом параграфе мы решим её для
представлений группы GLn(C).
Так как все рациональные представления GLn(C)
получаются из полиномиальных домножением
на det~* (к G N), и эта операция сохраняет
разложение на неприводимые слагаемые (лишь подкручивая
представления в них на detT*, но сохраняя
неприводимость), для разложения У (А) <8> У(/г) достаточно
рассмотреть случай, когда \,ц — разбиения, а
V{\) = SxCn и V{p) = S"C" - модули Вейля.
75

Проблему можно переформулировать так: разложить
s\ • Sp в линейную комбинацию многочленов Шура.
Поскольку §^СП <-► S^Cn ® - • • ® S^Cn, разложение
§ACn ® §^СП на неприводимые слагаемые — это часть
разложения §ACn ® S^C* ® • ■ • ® S^C1, которое
легко вычислить по формуле Пиери. С другой стороны,
легко доказать аналогично теореме 12, что
многочлены hv = S(VI) • ■ ■ S(„n) также образуют базис алгебры
симметрических многочленов. В частности, s^ выраг-
жается через многочлены hv (доказательство
теоремы 12 даёт рекурсивный алгоритм, но есть и явная
формула [FH, §А.1]). Поэтому разложение s\ • s^
можно вычислить через разложения $д ■ /&„, а последние —
по формуле Пиери.
По существу, эта процедура определяет
интересующую нас часть разложения §ACn ® S^C1 ® • ■ • ® S^nCn
методом включения/исключения: сперва мы
вычитаем из разложения s\ • h^ всевозможные разложения
$л * Jy, где 5Д/ входит в разложение h^ (fj!)T ■< /iT;
затем добавляем разложения s\ • /fy", где Sp» входят в
разложения /fy/, (//)т -< (l*')T\ затем снова вычитаем,
и т.д.
Предложенный алгоритм разложения §ACn ® S^Cn
на неприводимые слагаемые имеет два недостатка: он
избыточен (так как в процессе вычисления итоговых
кратностей неприводимых подмодулей путём
сложения/вычитания происходят сокращения) и не даёт
явной формулы для разложения в терминах Л, ц. Явный
ответ даёт
Теорема 16 (Правило Литтлвуда-Ричардсона).
§АСП ® §"СП ~ ф §"СП
76

по всем цепочкам диаграмм v^k\ получаемым из А
последовательным применением формул Пиери
умножения на SMACn и удовлетворяющим
дополнительному условию: число клеток, добавляемых на k-м
шаге в строки с номерами < %, не должно
превосходить числа клеток, добавленных на (к — 1)-м шаге
в строки с номерами < г, для всех к = 2,...,ht/x,
г = 1,... jhtz/*"-1) + 1 (в частности, на к-м шаге
клетки можно добавлять только в строки с
номерами > к).
Пример 9. Рассмотрим простейший случай, когда не
применимы формулы Пиери: А = /л = (2,1).
1Ч1
7|
quo
1 Ulil
21
/
1 2
1
I 1 1
121
2 J
ri
I1
ri
21
i
1 2
1
2
1
Получаем (§(2Д)СП)®2 ~§(4'2)СпФ§(4'1'1)Спф§(3'3>Спв
(S(3,2,l)Cn)e2 ф S(8,1,14)CI» $ §(2,2,2)Сп ф §(2,2,1,1)<C» (ИС-
ключая диаграммы высоты > га).
Упражнение 23. Разложите §(2-2>i)cn ® §(3>2'i)<C» на
неприводимые слагаемые.
77

Можно было бы дать доказательство теоремы 16
в духе п. 4.2, используя умножение полустандартных
таблиц [Фу, гл. 5] (только в данном случае одна и та
же таблица формы v может быть реализована в
виде произведения таблиц форм А,/х несколькими
способами). Однако это потребовало бы развития
мощной комбинаторной техники, что не входит в нашу
задачу. Поэтому мы пойдём окольным путём, следуя
Макдональду [Ма, гл. I, §9].
5Л. Косые диаграммы и многочлены Шура.
Предположим, что у нас имеются две диаграммы
Юнга А, I/, причём А целиком содержится в левом верхнем
углу диаграммы z/, т.е. А* < щ, Уг = 1,..., п. Мы будем
обозначать это так: А С и. Множество клеток,
остающихся после удаления А из верхнего левого угла i/,
называется косой диаграммой Юнга z/\A:
Значительная часть теории, развитой выше на
основе обычных диаграмм Юнга, обобщается на
косые диаграммы. В частности, определяются
косые таблицы Юнга различных типов (обычные и
обобщённые, стандартные и полустандартные).
В дальнейшем будет систематически
использоваться упорядочение клеток косой таблицы Т слева
направо по строкам снизу вверх, начиная с последней, как
в определении 9. Последовательность чисел, стоящих
в клетках Т в указанном порядке, назовём строчным
словом (или просто словом) таблицы Т.
78

Определение 10. Слово называется обратным
решётчатым, если начиная с любого места
количество стоящих в нём чисел к не превосходит
количества чисел к — 1, для всех к = 2,..., п.
Пример 10. Рассмотрим косые таблицы:
hjl
2
2
1
3
3
1
туг
, г =
|1[3
3
2
3
2
2
1
1 |1|
Строчное слово (1,1,2,3,2,1,1,3,2,1)
таблицы Т является обратным решётчатым, а слово
(1,3,2,2,3,3,1,2,1,1) таблицы V — нет (начиная с
5-го элемента троек больше, чем двоек).
Если в правиле Литтлвуда-Ричардсона мы будем
при построении цепочки (i/, z/',..., v) писать число к
в клетках, добавляемых на fc-м шаге, то в
результате должна получиться полустандартная косая таблица
(это прямое следствие формул Пиери), строчное
слово которой — обратное решётчатое (это в точности
дополнительное условие на цепочку диаграмм i/*)).
Таким образом, правило можно переформулировать
следующим образом:
Теорема 17.
§ЛСП ® §"СП ~ 0(SI/Cn)eM^,
где М^ — число полустандартных таблиц формы
v\\ веса ц с обратным решётчатым строчным ело-
в ом.
Коэффициенты
Литтлвуда-Ричардсона,
щ*
называются
числами
79

Можно было бы определить косые симметризаторы
Юнга (которые уже не будут, вообще говоря,
пропорциональны идемпотентам), а также косые функторы
Шура и модули Вейля (которые, как правило,
приводимы), и построить для них стандартные базисы как
в п. 3.3. Однако нас будут интересовать только
характеры косых модулей Вейля — косые многочлены
Шура
MA(*l j - ■ ■ i *п) = ^2 К"\Х> ^>
М=И-|А|
где Ки\\ф — это число полустандартных таблиц
формы и\Х веса /i.
Лемма 20. Пусть дано два набора переменных
t = (ti,...,*») и 1 = («i «J,). Тогда su(t',t) =
Елс^аЮМаФ-
Доказательство. Во всякой полустандартной
таблице S формы г/, заполненной числами 1,..., 2гс, числа
1,..., п заполняют полустандартную таблицу 5"
некоторой формы А С г/, а числа п +1,..., 2гс —
полустандартную таблицу S" формы i/\A. Заменяя в S" каждое
число к на к — п, получаем полустандартную таблицу
Т формы i/\A, заполненную числами 1,..., п.
Обратно, по каждой паре (5",Т) можно однозначно
восстановить 5. При этом одночлен в su{lf^ £), отвечающий 5,
равен ($,)W(5')$W(T), что и доказывает лемму. □
Из леммы сразу видно, что косые многочлены Шура
sv\\ являются симметрическими (поскольку sv
симметрический, a s\ линейно независимы). Следовательно,
они линейно выражаются через обычные многочлены
Шура. Найдём это выражение.
Теорема 18. s„\X = £м Af*.fy
80

Доказательство. Теорема вытекает из следующего
комбинаторного результата:
Комбинаторная лемма. Имеется взаимно
однозначное соответствие между полустандартными
таблицами S формы z/\A веса fi и парами (S'jT), где
£' — полу стандартная таблица формы и\Х с
обратным решётчатым строчным словом, а Т —
полустандартная таблица веса [л, форма которой
совпадает с весом S*.
Лемму мы докажем в следующем пункте, а сейчас
закончим доказательство теоремы. Из леммы следует,
что Кг,\Х,» = £д' Щ^К^ а значит,
Мл = £ К*Ы& = £ MWK»'^ = Е MaVV- П
5.2. Доказательство комбинаторной леммы.
Мы построим соответствие S -w (S",T),
последовательно видоизменяя косую таблицу 5, чтобы её
строчное слово стало обратным решётчатым, и
регистрируя изменения в таблице Т.
Для каждого элемента слова определим его к-де-
фект как разность между количествами чисел к и
к — 1 в слове, начиная с этого элемента (к > 2).
Заметим, что слово является обратным решётчатым тогда
и только тогда, когда все его дефекты
неположительны.
Строя (5",Т) алгоритмически, на начальном шаге
полагаем S' := £, Т := Sp (эта запись имеет смысл
даже если /х не доминантен).
Пусть на очередном шаге в строчном слове S' все
^-дефекты < 0 при I < к, но у некоторых элементов
81

^-дефекты > 0. Возьмём последний элемент с
максимальным к-дефектом d — очевидно, этот элемент
равен к. Заменим его на к — 1 и одновременно
перенесём крайнюю правую клетку к-й строки Т в правый
конец (к — 1)-й строки. В этом состоит элементарная
операция уровня к нашего алгоритма.
I ~~1 ~1 I ^~1
Отметим, что уровень применяемой на данном
шаге элементарной операции однозначно определяется
видом 5". В результате элементарной операции
к-дефекты всех элементов слова вплоть до выбранного
включительно уменьшились на 2, а после
выбранного — не изменились, так что максимальный к-дефект
в новом слове равен d — 1 или —1, если выбран
последний элемент (при этом d = 1).
Лемма 21. Элементарная операция уровня к
обратима при любом к>2.
Доказательство. После элементарной операции
элемент слова, следующий за выбранным, станет
первым элементом с максимальным &-дефектом (равным
d — 1). Поэтому, чтобы восстановить исходную косую
таблицу, нужно взять первый элемент с
максимальным неотрицательным fc-дефектом и заменить
предыдущий (или самый последний, если все &-дефекты
< 0) элемент (очевидно, равный к — 1) на к. О
Замечание. Элементарная операция уровня к
осуществляет взаимно однозначное соответствие между
словами с максимальным &-дефектом > 0 и словами,
82
г1
Jfe-1
и _ 1
5

у которых к-дефект 1-го элемента немаксимален или
<0.
Лемма 22. Элементарные операции и обратные к
ним сохраняют полу стандартность.
Доказательство. Если исходная таблица 5" была
полустандартна, а новая — нет, то заменяемый в S'
элемент — самое левое из чисел к в некоторой строке
(идущих подряд), а в предыдущей строке над ними
стоят числа к — 1, левее которых стоят меньшие
числа.
< fc-1 - ■ - fc-l |
Тогда элемент, следующий в слове за этими числами
к — 1, тоже имеет максимальный &-дефект d —
противоречие.
Аналогично, если S' не была полустандартной, но
стала таковой после элементарной операции, то в
новой таблице заменённый элемент — самое правое из
чисел к — 1 в некоторой строке, а в следующей
строке под ними стоят числа &, правее которых стоят
большие числа.
83

I <jfc-1| ••• [*т1|< 1
I 1 k 1 •' • 1«Ч< 1
^— ■ и
1
Первый из этих элементов к тоже имеет
максимальный &-дефект d — 1 — противоречие. □
Хотя элементарная операция уменьшает
максимальный fc-дефект, (к — 1)-дефекты элементов от
начала слова вплоть до заменённого включительно
увеличиваются на 1 и могут стать равными 1 (в то время
как их к-дефекты уменьшатся на 2, (к + 1)-дефекты
увеличатся на 1, а остальные /-дефекты при I < к — 2
и I > к + 2, очевидно, не изменятся). В этом случае
следующая элементарная операция заменит последний
элемент с (к — 1)-дефектом 1 на к — 2. При этом
некоторые элементы до заменённого включительно могут
приобрести (А —2)-дефект 1 (но к-дефекты,
увеличившись на 1, останутся < rf), и тогда следующим шагом
станет замена последнего из них на (А; — 2), и т.д. до
тех пор, пока все /-дефекты при I < к не станут снова
неположительными (а максимальный А-дефект станет
равен d —1).
,ч
fc-3 ^fc-2 ^jfe-l
В таблице Т при этом крайняя правая клетка к-и
строки переедет в одну из предыдущих строчек. Назовём
эту цепочку элементарных операций составной
операцией уровня к.
84

Лемма 23. При последовательном применении
составных операций уровня к номера строчек, в
которые перемещаются клетки из k-й строки Т,
нестрого убывают.
Доказательство. Предположим, что применив
составную операцию уровня к, мы последовательно
заменили в строчном слове Sf элементы на позициях
Н > ■ • ■ > «г на & — 1, ...,& — г. Элемент на
позиции %\ + 1 имеет &-дефект d — 1. Поэтому следующая
элементарная операция заменяет последний элемент с
А;-дефектом d— 1, стоящий на позиции ji > ii, на к — 1.
Теперь элемент на позиции г^ + 1 приобрёл (к — 1)-
дефект 1. Значит, следующая элементарная операция
заменит последний элемент с (к — 1)-дефектом 1,
стоящий на позиции j2 > i2, на к — 2. Продолжая в том же
духе, заменяем элементы на позициях js > is на к — 5,
s = l,...,r.
■■•fc-r + 1"- к-г-hi fc-1 ■•■ Jfc ■■■ fc-1 •■■ jfe
Таким образом, цепочка элементарных операций,
входящих в следующую составную операцию уровня к, не
короче предыдущей, что и доказывает лемму. □
Лемма 24. После проведения всех составных
операций уровня к строки Т с 1-й по к-ю
образуют полустандартную таблицу, заполненную
числами 1,..., к.
Доказательство. Проведём индукцию по к с
очевидной базой. На к-м шаге некоторое количество d клеток
85

\к] с правого края &-й строки Г перемещается в
предыдущие строки, номера которых нестрого убывают
по лемме 23.
Перед каждой составной операцией уровня к все
I-дефекты < 0 при I < к, а после всех этих операций — и
при I = к. Поскольку длина 1-й строки Т равна
количеству /х| чисел I в 5", перед каждой операцией длины
первых к — 1 строк, а после всех операций —
первых к строк, должны нестрого убывать. Кроме того,
d > fjfk — l^k-v Отсюда легко понять, что клетки Щ
не могут встать друг над другом, из чего и следует
полустандартность. □
Теперь мы можем завершить доказательство
комбинаторной леммы.
Из леммы 22 следует, что итоговая косая таблица
5" будет полустандартной. По построению, её
строчное слово — обратное решётчатое. В частности, /jf =
ш(£") — разбиение. По построению, Т — обобщённая
таблица формы // веса /х. По лемме 24 она тоже
будет полустандартной. Наконец, лемма 23 позволяет
однозначно восстановить последовательность
составных, а значит, и элементарных операций, приведших
от (SjSp) к (£',Т). В самом деле, цепочка составных
операций к-го уровня однозначно определяется
последовательностью номеров строк таблицы Г, в которых
стоят числа к выше &-й строки слева направо.
Применяя обратные операции к паре (5",Т), мы однозначно
86

2
1112 3
2 4 4 5
3 5 5
восстанавливаем S по лемме 21. Нетрудно убедиться,
что это можно проделать для любой полустандарту
ной косой таблицы 5" веса // с обратным решётчатым
строчным словом, поскольку обратные к
элементарным операциям уровня I в составных операциях
уровня к потребуется применять только когда ^-дефект
1-го элемента < О (I < к) или немаксимален (I = к).
Упражнение 24. Какая пара таблиц (5", Т)
соответствует косой таблице
5 =
5.3. Вывод правила. Вернёмся к правилу Литтл-
вуда-Ричардсона. Чтобы его вывести, надо связать
косые многочлены Шура с произведениями обычных
многочленов Шура.
Воспользуемся для этого одним полезным
тождеством:
Лемма 25 (Тождество Копш).
$^«а(*1,...,*||Ы«1,...,С)= П 1 *f/
А 1<«<п 1 ЦЪ3
l<j<m
Тождество надо понимать как равенство
формальных степенных рядов.
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать т = п (общий случай получается
подстановкой нулевых значений "лишних" переменных). Домно-
.*ив тождество Коши на Д(*ь..., tn)A(fl9...,fn),
перепишем его в эквивалентном виде, с учётом формулы
87

Якоби-Труди:
А(«)А(<0
= Е
«J1 ••• *
к- ■•• #
-
1 1
l-*l*i ■"
1
l-*n*i ' "
1
" i-*iu;
i
' l"*»* 1
Второе равенство вытекает из того, что в последнем
определителе коэффициент при t{{1) • • ■ t£M (a G Sn)
равен
(ti)MD ... (t^d)
(«i)M») ... фпУ*ы
Докажем тождество Коши в эквивалентном виде.
Для этого преобразуем определитель в правой частя,
вычтя 1-ю строку из остальных, а потом 1-й столбец
из остальных, вынося при этом общие множители из
строк и столбцов:
88

1 1
l-tl*i ■'
1
l-t»*i "'
1
• i-m;
i
• i-*.-*;
1 1
l-*i*i
fr-ti *i
l-*i*i 1-***i ' '
1 1
l-*lfn 1
tl-tl t«
• 1-h* 1-Ц4
i=2
n 1
1
_Ji_
1—*iti • •
1
»=2 i=l X *1V
0
*L_ «4-* i
ikziL^L
тт уч - яд^ - rj -i-r i
!-*»«£ ' " ' 1-tnfn I
Доказательство завершается индукцией по п. □
Доказательство теоремы 17. Фиксируем три
набора t,1f,t,f no n переменных. Домножив формулу
теоремы 18 на s\(tf)sv{t") и просуммировав по A,z/,
получим:
A,i/
A,/i,z/
89

С другой стороны, из леммы 20 получаем:
= ft izV П пт?=£*а(о-а(о*,ю*,п
трижды применяя тождество Коши. Осталось
воспользоваться линейной независимостью многочленов
Шура и приравнять коэффициенты при Sx(tf)s^(t) в
правых частях обеих формул, что даёт искомое
разложение SxSp = £„ M^S,,. П
5.4. Другие формулировки. Правило Литтлвуда-
Ричардсона можно переформулировать несколькими
эквивалентными способами. Мы приведём две таких
формулировки.
Первая принадлежит Реммелю и Уитни.
Занумеруем клетки диаграммы z/\A в обратном порядке, так
что соответствующее строчное слово будет иметь вид
НА|,...,2,1.
Теорема 19. Коэффициент М^ равен числу
стандартных таблиц формы \х, удовлетворяющих
дополнительному условию: если клетка щ в ь>\\ стоит
непосредственно слева от\i — 1 или
непосредственно под и], то в стандартной таблице \Т\ стоит
нестрого выше и строго правее \г — 11 и,
соответственно, строго ниже и нестрого левее щ-
90

i-1
...J.JH
Доказательство. Каждой обобщённой таблице S
формы z/\A веса /х поставим во взаимно однозначное
соответствие таблицу Т формы /х следующим
образом: в &-й строке Т пишем в порядке возрастания
номера клеток S, в которых стоит число к. При этом
Т стандартна тогда и только тогда, когда строчное
слово S — обратное решётчатое.
Условие на взаимное расположение клеток щ ,|
в Т в точности означает, что числа в S нестрого
возрастают по строкам слева направо. Строго
говоря, условие при этом накладывается только на
вертикальное расположение клеток, но если клетка [7] не
, она обязана быть строго правее, в силу
i-1
ниже
стандартности Т.
Аналогично, условие на взаимное расположение
клеток Щ И] по вертикали означает, что числа в S строго
возрастают по столбцам сверху вниз. Условие на
горизонтальное расположение получается автоматически.
В самом деле, заметим, что 1,..., j заполняют
стандартную подтаблицу в левом верхнем углу Т, причём
если j-я клетка S находится в &-й строке, то под
номерами клеток к-и строки в этой подтаблице ничего не
стоит. Теперь индукцией по г легко показать, что Щ
не может быть строго ниже и правее \J\ (иначе числа
*> ■ • -, г не будут образовывать подтаблицу в Т).
В итоге получаем взаимно однозначное
соответствие между стандартными таблицами формы \х с
91

дополнительным условием и полустандартными
таблицами формы z/\A веса \х с обратным решётчатым
строчным словом. □
Теорема 19 удобна для вычисления конкретных
коэффициентов Мдд, так как все стандартные таблицы,
удовлетворяющие условиям, можно построить
рекурсивно, начав с [Г] в левом верхнем углу и на г-м ша-
re добавляя щ в допустимую зону всеми возможными
способами.
Упражнение 25. Вычислите Мдм для Л = (32,2,12),
/i=(4,32,2),i/ = (6,52,4,2).
Другая переформулировка принадлежит Литтель-
ману [Li].
Теорема 20.
т
по всем полустандартным таблицам Т формы //
таким, что все веса А + u(Tj) доминантны (j =
1,..., fii), где Tj обозначает фрагмент Т, начинал с
j-го столбца.
Доказательство. Каждой полустандартной таблице
Т формы /z веса // = и(Т) поставим в соответствие
слово, состоящее из последовательных сегментов длин
А*п, ■ ■ ■ j A*i> так что в ^~*м с конЧа сегменте числа
нестрого возрастают, причём количество чисел j равно
количеству чисел к в j-й строке Т:

J l\
Из полустандартности следует, что слово будет
обратным решётчатым. Приписав к-и с конца
сегмент слова к &-й строке диаграммы А, получим косую
обобщённую таблицу S формы z/\A, v = А + //' (здесь
мы пользуемся доминантностью).
Заметим, что в строках S числа нестрого
возрастают по построению. Замена Т на Tj приводит к
удалению из S последних j — 1 клеток Щ для всех
к = 1,... ,п. Поскольку строчное слово S —
обратное решётчатое, в каждой строке клетки удаляются с
конца. Если веса А + w(Tj) доминантны, то j-я с
конца клетка [к] в таблице S расположена строго ниже
и нестрого левее j-й с конца клетки \к — 1|, для всех
^ = 1,...,/х*, А; = 2,...,п.
я
а
1 ' 1
1 * 1
1 Г I
1 '
__ _ J_ nmr""""1 I
^_3 l^fj —1
I ' 1
1 _ ми i
— -+ — 1 /С 1 I
| ' r--U~ii j 1
1 , _ _, . 1 ....,!
—i , ,
i
i 1
к
ш
И
р—
Поэтому над числом к в S может стоять только
меньшее число, а значит, S полустандартна.
93

- v 1
Обратно, всякая полустандартная таблица S
формы и\Х веса (j, с обратным решётчатым строчным
словом получается при помощи этой конструкции из
некоторой однозначно определённой полустандартной
таблицы Т формы /л веса v—А, удовлетворяющей
условиям теоремы. □
6. Представления других классических групп
6.1. Специальная линейная группа. Между
линейными представлениями GLn(C) и SLn(C)
имеется тесная связь, поскольку эти две группы не
слишком сильно отличаются друг от друга: любая матрица
д G GLn представима в виде д = t-gi, t G С*, g\ G SLn.
В самом деле, любое представление R : GLn —»
GL(W) можно ограничить на подгруппу SLn. Если
R неприводимо, то по лемме Шура подгруппа
скалярных матриц С* С GLn действует на W гомотетиями,
а значит, R\sLn тоже неприводимо (поскольку у GLn
и SLn одни и те же инвариантные подпространства).
Обратно, всякое представление R : SLn —> GL(W)
можно продолжить (неоднозначно) до
представления GLn. В самом деле, рассмотрим подгруппу
скалярных матриц Zn с SLn. Это будет циклическая
группа порядка п с образующей е ■ Е, где е = е27Г,/п,
а Е обозначает единичную матрицу. Разложим W в
прямую сумму собственных подпространств Wk
относительно е - Е с собственными значениями е*, где к
пробегает полную систему вычетов mod га. Так как
Zn — центральная подгруппа SLn, подпространства
Wk будут 5£п-инвариантны. Продолжив R на Сх так,
94

чтобы R(t) действовал на W*. гомотетией с
коэффициентом tk, получим корректно определённое
представление R : GLn(C) —► GL(W) по правилу R(g) =
R{t)R(gi).
Из вышесказанного и теоремы 9, в частности,
следует, что все рациональные ( <=$> полиномиальные,
дифференцируемые) представления SLn вполне
приводимы, а неприводимые представления получаются
ограничением неприводимых представлений GLn.
Если Д, S — два неприводимых представления GLn,
причём R\shn ~ S|sLn> т0 R(t • Е) и S(t • Е) —
гомотетии с коэффициентами f и is, соответственно, причём
г = s mod п. Отсюда следует, что R~ S ® det*, где
г = s + пк. По теореме 8, всякий неприводимый GLn-
модуль подкруткой на ®det* можно привести к виду
§АСП с Хп = 0. В итоге получается:
Теорема 21. Неприводимые представления SLn(C)
взаимно однозначно, с точностью до изоморфизма,
параметризуются диаграммами Юнга А высоты <
п и реализуются в соответствующих модулях Вей-
ля §хСп.
6.2. Симплектическая группа. Симплекти-
ческая группа Sp(V) состоит из всех линейных
преобразований векторного пространства У,
сохраняющих невырожденную кососимметрическую
билинейную форму ш (кососкалярное умножение).
Можно выбрать базис ei,...,en в У, т.е.,
отождествление V ~ Сп так, что матрица и) в этом базисе
95

примет вид:
0
0 г1
-Г'О
о .!
Г'О
0
п/2 п/2
(разумеется, п = dim У должно быть чётным). При
этом Sp(V) отождествляется с матричной группой
SPn(C) = {ge GLn(C) | дтПд = П}.
Поскольку Spn сохраняет ненулевую кососимметриче-
скую n-форму о; Л ■ ■ ■ Л со (п/2 раз), имеем Spn С SLn.
Можно доказать, что любое дифференцируемое
линейное представление Spn полиномиально и вполне
приводимо (см. приложение 3). Кроме того, любое
полиномиальное представление вкладывается при
помощи матричных элементов в прямую сумму
представлений Spn в пространствах тензоров У0т
(теорема 28). Поэтому построение теории представлений
Spn(C) завершится описанием неприводимых
представлений в пространствах тензоров.
Для любого разбиения Л обозначим через V(X)
подпространство тензоров в §АСП, имеющих
нулевую свёртку с о; по любой паре индексов. Очевидно,
V(X) инвариантно относительно Spn.
Лемма 26. V(X) — неприводимый 8рп-модуль.
Доказательство. Достаточно показать, что каждый
эндоморфизм V(X) скалярен. В силу полной
приводимости его можно продолжить до эндоморфизма У0т
96

(т = |Л|). Классическая теория инвариантов
(следствие теоремы 31 в приложении 4) говорит, что
всякий 8рп-эквивариантный эндоморфизм У0т
является линейной комбинацией элементарных
эндоморфизмов, которые суть композиции полной свёртки с ш®к
(к < т/2), тензорного домножения на (w*)®*, где о;*
— двойственный 2-форме со бивектор, и некоторой
перестановки индексов. Из всех элементарных
эндоморфизмов ненулевым образом на V(X) действуют только
перестановки индексов. Поэтому исходный
эндоморфизм, будучи линейной комбинацией перестановок
индексов, коммутирует с действием GLn, а значит,
сохраняет §ЛУ 5 V(А) и действует на нём скалярно по
лемме Шура. □
Лемма 27. Каждый неприводимый подмодуль V®m
изоморфен V(X) при некотором А.
Доказательство. Достаточно рассмотреть
неприводимые подмодули W С §XV, |А| = го- Если W Ф V(A),
то свёртка с о; по некоторой паре индексов задаёт
вложение W «-+ У®т-2. Доказательство завершается
индукцией по го. □
Некоторые из построенных неприводимых модулей
V(X) могут оказаться нулевыми. Начнём с
простейшего случая А = 1т.
Лемма 28. При т > п/2 свёртка сш по двум
индексам задаёт вложение l\mv «-* Am"V (в частности,
y(im) = о;.
Доказательство. Обозначим через Су операцию
свёртки с ш по индексам i,j. В силу косой
симметрии со, Сц = -Си.
97

Предположим противное: Згу G fs^V, w Ф О,
Ci2(w) = 0. Вычислим
Си(ju* Л--Лш* Aw) =
= ^2 sSn ^' Ci2((w* ® • • ■ ® о;* ® гу)ст) =
= J] ]Г 2(-l)i-i~1 sgn 7Г-Су(о;*®- - ■®a;*®to)iri
l<»<J<m+2p 7TGSm+2p-2
Если индексы i,j относятся к одному
сомножителю ш*, то последняя свёртка равна п(о;*)®р"1 ® гу, а вся
внутренняя сумма равна 2n(w*)Ap~1 Л w. Аналогично,
для пары индексов, относящихся к двум разным а;*
или к ш* и гу, внутренняя сумма равна —2(ш*)Лр'~1 Лгу.
В сумме получаем
CuLu* А - - • Л ш* Лгу) = (2np-4p(p-l)-4pm) vu* Л--Ло;*Ли.
р р-1
Коэффициент в правой части равен 2р(п — 2т — 2р +
2) < 0 при всех р. Взяв наименьшее р, для которого
(ш*)Ар A w = 0, получаем противоречие. □
Лемма 29. У(А) ^ 0 «=*> ht A < п/2
Доказательство. Пусть Ат = \х = (/ii, — 9Mi)- При
Mi < л/2 вектор
еА = (ei Л ■ - ■ Л ew) ® • ■ ■ ® (ei Л ■ ■ • Л ew) € §ЛУ
лежит в У(А). При \х\ > п/2 из леммы 28 следует, что
свёртка с ш по первым двум индексам задаёт вложение
§ЛУ С Дт^®Л/'2^®- ■ -®AW ^ ^ ^2V®^V®- • -вЛ**
Отсюда сразу вытекает, что V(A) = 0. С
98

Для изучения структуры V(A) полезно, как и в §4,
ограничить представление Spn на подгруппу Тп/2,
состоящую из матриц вида
"ч о N
tn/2
Г"1
Zn/2
v 0 v,
tu---,tn/2 eC>
Все операторы представления Тп/2 в V(X)
одновременно диагонализуемы (поскольку это верно для
представления Tn D Тп/2 в §АУ Э У (А)). Характеры
chy(A) £ C[tff\..., f^}2] этих представлений играют в
теории представлений Spn такую же роль как
многочлены Шура в теории представлений GLn, см. также
приложение 3.
Лемма 30. Модули V(\), отвечающие разным
диаграммам А высоты < п/2, не изоморфны.
Доказательство. Легко видеть, что старший (в
лексикографическом порядке) вес Тп/2 в SXV равен £А и
реализуется на единственном (с точностью до
пропорциональности) векторе в\. Поскольку ед G У(А),
старший вес Тп/2 в V(\), т.е. старший член сЬу(д) тоже
равен t\ Значит, при разных А модули V(X) имеют
различные характеры и стало быть не изоморфны. □
Теперь можно подвести итоги.
Теорема 22. Неприводимые представления Spn(C)
взаимно однозначно, с точностью до изоморфизма,
параметризуются диаграммами Юнга А высоты <
и/2 и реализуются в пространствах V(\).
99

Упражнение 26. Докажите, что SmCn = V(m) —
неприводимый 8рп-модуль, а /\тСп ~ Дп"тСп ~
v(im) e v(im'2) е • • • е у (i™-2*) е.. - при т < п/2.
6.3. Ортогональная группа. Перейдём к
построению теории представлений двух оставшихся
классических групп Оп(С) и SOn(C). Предположим, что на
основном пространстве V ~ Сп задана
невырожденная симметрическая билинейная форма и (скалярное
умножение). Традиционно при изучении
ортогональной матричной группы в V выбирается ортонормиро-
ванный базис (в котором матрица и) единична),
однако в теории представлений удобно выбрать
гиперболический базис ei,..., еп, в котором матрица и имеет
вид:
»-(N>
При этом группа ортогональных операторов О (У)
отождествляется с матричной группой
0„(С) = {д е GLn(C) | дТПд = П}.
Теория представлений Оп и SOn развивается
аналогично симплектическому случаю, с некоторыми
усложнениями.
Все дифференцируемые представления Оп и SOn
полиномиальны и вполне приводимы, а также
вкладываются в прямую сумму представлений в
пространствах тензоров У®™.
Как и в п. 6.2, определяются Оп-подмодули V(X) Q
SXV как подпространства тензоров, имеющих
нулевую свёртку с о; по любой паре индексов.
100

Лемма 31. Представления Оп в У(А) неприводимы
и исчерпывают все неприводимые подпредставления
Оп в V®m, с точностью до изоморфизма.
Доказательство абсолютно идентично симплекти-
ческому случаю.
Аналогом леммы 29 является
Лемма 32. У(А) ф 0 <=^ XJ + Aj < п
Доказательство. Пусть Ат = \х = (pi, ... ,/ij). При
\i\ + № < п имеем V(X) Э е\ ф 0 (неравенство
гарантирует, что свёртка ед с а; по индексам из двух разных
столбцов А равна 0, а свёртка по паре кососимметрич-
ных индексов из одного столбца и так нулевая).
При iJ>i+ii2 > n можно показать, что свёртка с о; по
1-му и, скажем, (/ii + 1)-му индексам задаёт вложение
§АУ с Д"1 V ® /\*»V ® /\^V ® ■ • ■ <g> /\ЩУ
<-> A^v ® д"2""1^ ® Л"3^ ® ■ ■ • ® Aw>
а значит, У (А) = 0. Достаточно рассмотреть случай
/х = (р, q). Зададим на V@V кососкаллрное умножение
й по правилу:
й(х, у) = Цж', у") - ш(х",2/0,
Vx = (x',x''), v=(t/,tf) еУФУ
Тогда ДРУ ® Д*У <-*- /\P+9(V © У), а свёртка с и
индуцирована свёрткой с и. Остаётся применить
лемму 28. □
При чётном п группа Оп содержит Тп/2. При
нечётном п можно вложить On_i в Оп как
стабилизатор "среднего" базисного вектора en±i, а значит,
2 101

T[n/2] С On_i вкладывается в Оп как подгруппа
матриц вида
"ч о N
Цп/2]
1-х
О
*1»Л0
ti,...,t[n/2]eCx.
V u *rv
Как и в п. 6.2, попробуем различить модули У (А),
отвечающие разным А, при помощи характеров сЬу(д)
представлении Т[п/2] в У (А).
Старпшй вес Т[п/2] в §АУ равен tx при ht A < гс/2 и
tx при ht А > гс/2, где А — диаграмма, определяемая
условиями Х[ = п — Xj и Aj = Aj, V/ > 1. При этом
единственный вектор старшего веса е\ лежит в У (А).
Поэтому Оп-модули У (А) и V(fx) неизоморфны при
IX ф А, А, ибо их старшие веса различны. Однако у
У (А) и У (А) старшие веса совпадают. Более того,
имеет место следующий результат.
Лемма 33. У (А) ~ У (А) ® det
Доказательство. В присутствии скалярного
умножения имеет место канонический изоморфизм
векторных пространств /\kV -=i f\n~kV* ^ Xn~kV,
задаваемый свёрткой с формой объема х\ А • • ■ Л хп (где
Х{ — координаты в У), а затем подъёмом индексов
при помощи ш. Он задаёт изоморфизм Оп-модулей
Д*У ® det ~ /\n~~kV. Обозначив для краткости /i =
(/ii,... jfxi) = Ат, получаем изоморфизм Оп-мо дулей
ЛтУ®Л^®- ' ®АщУ®<1е1 ~ /f-^Vteh^V®- ■ •вЛ"*'
102

при котором, как легко убедиться, е\ переходит в ±ед.
Поэтому образ У (А) пересекается, а значит, и
совпадает с 7(A), в силу неприводимости. □
В частности, V(X) и V(X) изоморфны как БОп-мо-
дули, и chV(\) = <&v(\)-
Чтобы различить V(X) и V(X) при А ф А,
рассмотрим действие на (единственный) вектор старшего
веса ед отражения г G Оп, которое при чётном п
переставляет еп. и ea+i, а при нечётном п меняет знак у
en±i, и оставляет на месте остальные базисные век-
2
торы. Имеем тех = ел ПРИ htA < п/2 и — в\ при
htA>n/2.
В итоге доказана
Теорема 23. Неприводимые представления Оп(С)
взаимно однозначно, с точностью до изоморфизма,
параметризуются диаграммами Юнга А с суммарной
высотой первых двух столбцов <п и реализуются в
пространствах V(\).
Упражнение 27. Докажите, что ДтСп = V(lm)
— неприводимый Оп-модуль, a SmCn ~ V(m) ф
V(m - 2) 0 - - - © V(т - 2к) ® • • •.
Упражнение 28. Докажите, что представление Оп
в V(m) реализуется в пространстве гармонических
многочленов степени т на пространстве V, т.е.
многочленов /(я?1,---,жп) от ортогональных координат,
аннулируемых оператором Лапласа: d2f/dx\ + ■ • • +
d2f/dxl = 0.
Перейдём к представлениям SOn. Поскольку SOn —
подгруппа индекса 2 в On = SOn U rSOn, мы можем
применить ту же схему рассуждений, что и в п. 2.5.
103

Всякое неприводимое представление SOn
реализуется в некотором пространстве тензоров U С у®т.
Стало быть, мы можем вложить U в некоторый
неприводимый Оп-модуль W. Очевидно, W = U + tU.
Обратно, любой неприводимый О^-модуль
разлагается в сумму не более двух неприводимых SO^-подмо-
дулей, переставляемых действием т.
Лемма 34. Возможно одно из двух:
• Wtf>W®det =*► W = U = tU;
• W~W®fet => W = U®tU,*U^tU.
Доказательство. Изоморфизм W ^ W ® det,
рассматриваемый как линейное преобразование W,
должен переставлять собственные подпространства г с
собственными значениями ±1, а значит, не может
быть скалярным, и представление SOn в W
оказывается приводимым по лемме Шура. Обратно, если
W = U Ф tU, то оператор Е ф (-Е) осуществляет
изоморфизм W -^ W ® det. Осталось доказать, что в
этом случае U ф rU.
Предположим противное. Изоморфизм U -^ rU
имеет вид и ь-> т(р(и), Vu £ U, где (р £ GL(U)
подкручивает действие SOn на т: (f(gu) = (т""1^г)у?(^),
Уд G SOn. При этом ^?2 коммутирует с действием SOn,
а значит, скалярен по лемме Шура. Без ограничения
общности можно считать, что ф2 = Е. Тогда
подпространство {(щт(р(и)) | и £ U} С W инвариантно
относительно Оп — противоречие. О
По леммам 34 и 33, представления SOn в У (А) и У (А)
изоморфны и неприводимы при А ф_ А. В этом случая,
заменяя при необходимости А на А, можно считать,
104

что htA < п/2. При различных А высоты < п/2
неприводимые БОп-модули V(X) попарно неизоморфны,
поскольку имеют разные старшие веса относительно
Т[п/2] С SO,i._
При А = А, т.е. если htA = п/2 (и п четно),
изоморфизм V(X) A V(A) ® det, построенный в
доказательстве леммы 33, инволютивен. Его собственные
подпространства (с собственными значениями ±1) —
это и есть два неприводимых 80п-подмодуля Кь(А) С
V(А). Обозначения выберем так, что V+(\) Э ед
(собственное значение (—l)tn/^), a V1(A) содержит
вектор ед- = те\ следующего по старшинству веса А" =
(Ai,...,Aa_i,—Аа).
В итоге получаем следующую классификацию:
Теорема 24. Неприводимые представления SOn(C)
реализуются в пространствах V(\), где А —
диаграмма Юнга высоты < п/2, и (при чётном п)
в V±(A), где А — диаграмма высоты п/2.
Перечисленные представления попарно не изоморфны.
Приложения
Классические группы содержатся в более широком
классе редуктивных групп Ли, и многие факты
теории классических групп и их представлении могут
быть лучше поняты в более общем контексте
редуктивных групп. В приложениях мы изложим основные
результаты теории редуктивных групп и их
линейных представлении, как правило, опуская
доказательства, но иллюстрируя их на примере классических
групп. Полное изложение можно найти, например, в
[ВО, гл. 4-5].
105

1. Группы Ли. Нам понадобятся начальные
понятия теории групп и алгебр Ли. Напомним их вкратце,
отсылая читателя за более подробным изложением к
[Ви, гл. 12], см. также [ВО, гл. 1], [FH, Part II].
Пусть V — n-мерное векторное пространство над
полем R или С. Линейная группа Ли (вещественная
или комплексная) — это подгруппа G С GL(V),
являющаяся одновременно дифференцируемым
подмногообразием (вещественным или комплексным) в
пространстве Ь(У). Стандартные понятия теории групп
(подгруппа, гомоморфизм, изоморфизм, и т. д.)
адаптируются к группам Ли, если дополнительно
потребовать согласованности со структурой многообразия
(подгруппы должны быть подмногообразиями,
гомоморфизмы — дифференцируемыми, и т. п.).
Касательное пространство к G в Е замкнуто
относительно операции коммутирования линейных
операторов [X, Y] = XY — YX и следовательно, обладает
структурой алгебры Ли. Оно называется
касательной алгеброй группы Ли G и обозначается 0, согласно
традиции, по которой группы Ли обозначаются
прописными латинскими буквами, а их касательные
алгебры Ли — соответствующими строчными
готическими буквами. В дальнейшем мы будем придерживаться
этой традиции по умолчанию.
Группа Ли G задаётся, как правило, уравнениями
на матричные элементы, а уравнения g получаются
дифференцированием уравнений G в Е.
Пример 11. Касательная алгебра группы GL(V)
есть алгебра всех линейных операторов: gl(V) = L(V>
106

Дифференцирование в д = Е уравнения det p = 1,
задающего группу Ли SL(y), даёт её касательную
алгебру
0[(У) = {X G gl(V) \tvX = 0}.
Пример 12. Группа О(У) или Sp(V) линейных
операторов, сохраняющих скалярное или кососкалярное
умножение и) на У, является группой Ли. На
матричном языке она задаётся уравнением
gTQ,g = ft,
где П — матрица ш в данном базисе. Дифференцируя
это уравнение при д = Е, получаем уравнение
задающее касательную алгебру о (У) или,
соответственно, *р(У). Поскольку SO (У) = О(У) П SL(V)
совпадает с О (У) в окрестности Е (в которой det > 0),
их касательные алгебры равны: $o(V) = о (У). Это
видно и из матричного уравнения о (У) — из него
автоматически следует tr X = 0.
Пример 13. Группа и(У) унитарных операторов в
эрмитовом пространстве У является вещественной
группой Ли, её касательная алгебра u(V) состоит
из всех косоэрмитовых операторов (ср. пример 12).
Группа U (У) компактна, так как замкнута и
ограничена в пространстве Ь(У) (это видно из её матричного
задания).
Обратная связь между алгеброй Ли и группой Ли
Даётся экспоненциальным отображением ехр
(экспонента линейного оператора определяется, как
обычно, при помощи степенного ряда). Можно доказать,
107

что ехр отображает g в G и осуществляет
диффеоморфизм окрестностей О G 0 и Е G G. Несложно
показать, что связная группа Ли порождается (как
абстрактная группа) любой своей окрестностью
единицы, а значит, однозначно восстанавливается по своей
касательной алгебре Ли.
Переход от группы Ли к алгебре Ли и обратно
сильно упрощает многие вопросы теории групп Ли, сводя
их, по существу, к линейной алгебре. Это ярко
проявляется в теории представлений групп Ли.
Представление группы Ли — это
дифференцируемый гомоморфизм R: G —> GL(W). Его
дифференциал в единице dR : 0 —► 01(ИО — представление
алгебры Ли. Имеет место формула:
Д(ехр X) = ехр dR(X), \/X G 0.
Она позволяет восстановить представление G по
представлению 0, по крайней мере, если G связна.
Замечание. Не всякое представление алгебры Ли 0,
т.е. гомоморфизм 0 —> 0l(WO ( = линейное
отображение, перестановочное с операцией коммутирования)
происходит из представления G. Это верно, если G
связна и односвязна.
Пример 14. С каждой группой Ли канонически
связано присоединённое представление Ad : G —» GL(0),
определяемое следующим образом. Операция
сопряжения х ь-> gxg~l — диффеоморфизм (?, оставляющий
Е на месте. Дифференцируя его при х = Е,
получаем линейное преобразование касательного простран--
ства Ad(g) G GL(0), определяемое той же формулой
Ad(g)X = gXg-1, Vg G G, X G 0. Дифференцируя эту
формулу по g при g = Е, получаем присоединённое
108

представление алгебры Ли ad = dAd : 0 —* fll(fl)>
ad (50А* = [У,-ДГ], VJ\T,F E 0 (именно это рассуждение
я доказывает, что g замкнута относительно
коммутирования).
Представления йи dR тесно связаны между собой.
Например, всякое Д(С)-инвариантное
подпространство будет и сШ(д)-инвариантным. Верно и обратное,
если G связна.
2. Редуктивные группы. Отныне будем считать
V комплексным векторным пространством, а(? —
комплексной группой Ли (если не оговорено
противное).
Вещественная подгруппа Ли К dG называется
вещественной формой G, если g = t®it и К пересекает
все связные компоненты G.
Пример 15. Группа GLn(C) имеет вещественные
формы GLn(R) и Un(C) (группа унитарных матриц).
Одно из возможных определений редуктивной
группы состоит в следующем:
Определение 11. Комплексная линейная группа Ли
G с GL(y) редуктивна, если она обладает
компактной вещественной формой К.
Можно доказать, что все компактные формы
редуктивной группы G сопряжены друг с другом
элементами G.
На V можно ввести Jf-инвариантное эрмитово
скалярное умножение [Ви, гл. 11, §2], так что К С U(V).
Напомним понятие полярного разложения [Ви,
Гл- 6, §3]: любой невырожденный линейный оператор
9 € GL(F) однозначно разлагается в произведение
109

9 = 9u9pj где gu — унитарный, а др — положительно
определённый эрмитов оператор. Более того, ехр диф-
феоморфно отображает пространство iu(V)
эрмитовых операторов на открытое подмножество
положительно определённых операторов, а операция
умножения осуществляет диффеоморфизм
U(V)xexpiu(V)-^GL(V).
Лемма 35. G = К • ехр(й) ~ К х $
Доказательство. Подмногообразие К • ехр(г^) С G
замкнуто и открыто, поскольку их касательные
пространства в Е совпадают: t © it = q.
Следовательно, оно является объединением нескольких связных
компонент G, а К пересекает все связные
компоненты. D
Следствие 1. G восстанавливается по своей
компактной форме К.
Следствие 2. G замкнута относительно
эрмитова сопряжения и полярного разложения: д G G =*►
9*,9и>9р £G.
Замечание. Лемму 35 можно обратить: для любой
G С GL(V) разложение G = К ■ ехр(гИ) для
некоторой К С U(V) означает, что К = G П IJ(V) является
компактной вещественной формой G.
Пример 16. Все конечные группы редуктивны
(здесь К = G).
Пример 17. Все классические группы редуктивны.
Группы GL(V) и SL(V) имеют компактные формы
и(У) и SU(V) = U(10 П SL(V), соответственно.
Для ортогональной и симплектической групп
следует выбрать эрмитово скалярное умножение на V так,
110

чтобы ортонормированный или симплектический
базис для ш был одновременно ортонормированным в
эрмитовом смысле. Тогда для G = О (У) или Sp(V)
справедливо утверждение следствия 2: в
обозначениях примера 12, д е G <=> д = Cl~1(gT)"lQ,
откуда, пользуясь унитарностью матрицы П в выбранном
базисе и единственностью полярного разложения,
получаем аналогичное уравнение на ди,др и 9* — Зрвй1-
Более того, записав др = ехрХ для некоторого
однозначно определённого эрмитова оператора X, мы
видим, что X = —Q"1XTfi G q (справа тоже эрмитов
оператор с экспонентой др). Поэтому к G применимо
обращение леммы 35 (см. замечание выше).
На матричном языке, компактной формой Оп(С)
будет Оп(М), а компактной формой Spn(C) — так
называемая кватернионнал симплектическая (или
унитарная) группа Spn/2(EI) = Spn(C) П Un(C).
Название связано с тем, что Spn/2CHQ содержится в
группе невырожденных кватернионных матриц GLn/2(H),
вложенной в GLn(C), если кватернионы задавать
комплексными (2 х 2)-матрицами специального вида [Ви,
гл. 1, §9, зад. 4]. Компактной формой SOn(C)
является SOn(M).
Упражнение 29. Докажите, что группы
GLn(C), SLn(C), SOn(C), Spn(C) связны, а Оп(С)
— нет.
Пример 18. Алгебраический тор Тп с± С* х • • • х
С* (п раз) редуктивен. Название мотивировано тем,
что компактной формой Тп является n-мерный тор
тп П Un(C) -S^-xS1, где S1 С С* — единичная
окружность.
111

Алгебраические торы играют ключевую роль в
описании структуры редуктивных групп и их
касательных алгебр Ли. В каждой редуктивной группе
размерности > 0 (т.е. бесконечной) есть алгебраический
тор, а все максимальные (по включению) торы
сопряжены.
Рассмотрим связную редуктивную группу G.
Зафиксируем в G максимальный тор Г~ТГ Его
размерность г называется рангом G. Можно доказать
что Т имеет конечный индекс в своём
нормализаторе NG(T). Факторгруппа W = NG(T)/T (конечного
порядка) называется группой Вейля.
Всякое линейное представление Т диагонализуе-
мо (следствие теоремы 26), а значит, разлагается в
прямую сумму весовых подпространств, на каждом
из которых Т действует умножением на вес Т —►
Сх. Любой гомоморфизм Тг —> Сх имеет вид t =
(ti,.. -Л) ■-> *Л := ti1 • - ■ *гг, где А = (Аь... ,Ar) e Zr.
Поэтому веса Т образуют решётку Л ~ Zr. На ней
естественно действует группа Вейля
целочисленными линейными преобразованиями по правилу: twX =
(д~Нд)х, Vw = дТ е W. На Л можно ввести W-инва-
риантное скалярное умножение (•,■).
В частности, рассмотрим ограничение на Г
присоединённого представления Ad : Г —► GL(g).
Теорема 25. Имеет место так называемое
корневое разложение:
где А С Л\0 — множество ненулевых весов Т в
присоединённом действии на Q, называемых корнями, f1
112

соответствующие весовые подпространства 0а,
называемые также корневыми, одномерны.
Система корней А редуктивной группы G
обладает замечательными комбинаторно-геометрическими
свойствами: она симметрична относительно 0, W-ин-
вариантна и удовлетворяет важному условию целочи-
сленности: 2(А, а)/(а, a) G Z, VA G Л, a G А. Более
того, образ W в GL(A) порождается отражениями вдоль
корней
2(А,а)
га{л) = А - -j г-а.
(а, а)
Можно доказать, что пара (Л, А) с
перечисленными свойствами определяет G однозначно с
точностью до изоморфизма. Конечные системы
векторов в решётках со скалярным умножением,
обладающие перечисленными свойствами, можно
классифицировать, что ведёт к классификации связных редук-
тивных групп.
Пример 19. Рассмотрим G = GLn(C).
Стандартный максимальный тор Т = Тп состоит из всех
невырожденных диагональных матриц. Его нормализатор
NG(T) состоит из всех мономиальных матриц (т.е. в
каждой строке и в каждом столбце ровно один
ненулевой элемент). В самом деле, NG(T) должен
переставлять весовые подпространства Т в Сп, т.е.
координатные оси. Поэтому W ~ Sn.
Фиксируем в Л = Zn стандартный базис ei,..., en,
так что tei = U. Группа W действует на Л
перестановками базисных векторов, и стандартное скалярное
Умножение (A, fj) = Ai/ii H Ь Ап/хп инвариантно.
Корневые подпространства вд = fltn(C)
порождается матричными единицами Ей, а соответствующие
113

корни суть Si — 6j (i ф j). Корневые отражения ге._е.
соответствуют транспозициям (ij) G Sn.
Пример 20. Случай G = SLn(C) не сильно
отличается от предыдущего. Максимальный тор Т = Тп п
SLn(C) состоит из всех унимодулярных диагональных
матриц. Его нормализатор и группа Вейля W ~ Sn
описываются так же, как в предыдущем примере, с
учетом условия det = 1.
Веса Т получаются ограничением весов Тп, поэтому
Л канонически отождествляется с факторрешёткой
Zn по Z(ei Н h еп). Образы векторов ег-
(обозначаемые теми же буквами) порождают Л, но уже не
составляют базис — их сумма равна 0. Инвариантное
скалярное умножение индуцировано с
ортогонального дополнения к Ъ(е\ Н Ь еп). Корни и корневые
подпространства — такие же, как в примере 19.
Упражнение 30. Вычислите (£$,%).
Пример 21. В ортогональном и симплектическом
случаях удобно выбрать в пространстве V
гиперболический или симплектический базис, как в пп. 6.2-
6.3, и рассматривать матричные реализации SOn(C)
и Spn(C) в этом базисе. Тогда $оп(С) состоит из всех
матриц, кососимметрических относительно побочной
диагонали, а £рп(С) — из всех матриц вида
Д£,С,£> eMatn/2,
где В, С симметричны относительно побочной
диагонали, а А и D кососимметричны друг другу
(проверьте это!).
114
\а
\с
в
D\

Стандартные максимальные торы в G = SOn(C)
или Spn(C) имеют вид Т = Тп П G ~ Tr, r = [п/2];
они описаны в гш. 6.2-6.3. Их максимальность можно
доказать так: любой элемент большего тора обязан
коммутировать с Г, а значит, сохранять весовые
подпространства Се,-, т.е. лежать в Тп.
Пусть £i,..., ег — стандартный базис Л ~ 17ш
Система корней состоит из ±е,- ± 6j (i ф j), а также
±d для G = S02r+i и ±2в{ для G = Spn (проверьте
это!). Как и в примере 19, Nq(T) переставляет
координатные оси, а значит, W переставляет их веса ±£,-.
Отсюда вытекает, что стандартное скалярное
умножение на Л инвариантно.
Упражнение 31. Вычислите W для G = SOn, Spn.
3. Представления редуктивных групп.
Теорема 26. Представления редуктивных групп
вполне приводимы.
Доказательство. Редуктивная группа G и её
компактная форма К имеют одни и те же
инвариантные подпространства: из Jf-инвариантности следует
инвариантность относительно t и г£, а значит, и G-
инвариантность, по лемме 35. С другой стороны, на
пространстве представления существует
if-инвариантное эрмитово скалярное умножение, поэтому
каждое инвариантное подпространство имеет
инвариантное дополнение — а именно, ортогональное
дополнение. Этот приём доказательства принадлежит
Г. Вейлю и носит название "унитарный трюк". □
Следствие. Всякое представление алгебраического
wopa диагонализуемо.
115

Доказательство. Оно разлагается в прямую сумму
неприводимых, а неприводимые представления абеле-
вых групп одномерны.
Поучительно дать независимое доказательство
следствия, не использующее существование
инвариантного эрмитова скалярного умножения. У
алгебраического тора (Сх)п и компактного тора (Sl)n одни
и те же инвариантные подпространства в любом
линейном представлении. Элементы конечного порядка
в (Sl)n образуют плотное подмножество (достаточно
рассмотреть S1) и одновременно диагонализуемы в
любом линейном представлении (поскольку
диагонализуемы по отдельности и коммутируют). По
непрерывности, всё представление (S1)71, а значит, и (С*)п
диагонализуемо. О
Вектор v ф 0 в линейном представлении R группы
Н называется весовым, если он собственный для всех
h £ Н, т.е. R(h)v = x(h)v для некоторой функции
(как легко проверить, гомоморфизма) \ '- Н —* Сх,
называемой весом.
Таким образом в любом линейном представлении
алгебраического тора существует базис из весовых
векторов.
Как и в п. 3.2, назовём линейное представление
R редуктивной группы G С GLn(C)
полиномиальным {рациональным), если его матричные элементы
Tij{g) являются многочленами от матричных
элементов д £ G (соответственно, рациональными
функциями со степенями det <? в знаменателе). Всякое
рациональное представление становится полиномиальные
после подкрутки на (gxlet*.
116

Теорема 27. Все дифференцируемые представления
редуктивных групп рациональны.
Следствие. Все дифференцируемые представления
классических групп SLn, On, SOn; Spn
полиномиальны.
Доказательство. На этих группах det принимает
значения ±1, поэтому деление на det можно заменить
умножением. □
Теорема 28. Всякое полиномиальное представление
G можно вложить в прямую сумму нескольких
пространств вида (Сп)®т.
Доказательство. Идея та же, что и в п. 3.2 — с
помощью матричных элементов строим вложение
пространства представления в C[G] ® ■•■ © С[<2], где
C[G] ~ C[Matn]/I(G) — алгебра многочленов на Matn,
ограниченных на G. Пользуясь полной
приводимостью представлений G, мы можем поднять это
вложение в C[Matn] 0 • • ■ ф C[Matn] (хотя это
пространство бесконечномерно, оно является прямой суммой
конечномерных инвариантных подпространств
однородных многочленов, которые вполне приводимы по
теореме 26). Пространство C[Matn] вкладывается в
прямую сумму пространств (С")®"1. □
Замечание. Для полиномиальных представлений
классических групп инвариантное эрмитово скалярное
Умножение можно построить, отправляясь от
инвариантного эрмитова скалярного умножения на С" — оно
индуцирует инвариантное эрмитово скалярное
умножение на (Сп)®т. Это позволяет "заткнуть дырку" в
Доказательстве теоремы 26.
117

Перейдём к описанию неприводимых представлю
ний связной редуктивной группы G.
Фиксируем максимальный тор Т С G и
рассмотрим соответствующую систему корней А с Л. Лн>-
бая гиперплоскость в вещественном векторном
пространстве, натянутом на решётку Л, не содержащая
корней, разбивает А на две симметричные половины
А+ и А"" (положительные и отрицательные корни).
Вес A G Л называется доминантным, если (Л, а) > О
Vc*eA+.
Подалгебра
b = te 0 0acg
а€Д+
называется подалгеброй Бореля. Она является
касательной алгеброй максимальной связной разрешимой
подгруппы Ли В С G (подгруппы Бореля). Все боре-
левские подалгебры и подгруппы сопряжены.
Теорема 29. Неприводимый G-модуль содержит
единственный с точностью до пропорциональности
вектор V\, весовой относительно В доминантного
веса А относительно Т С. В. Вектор V\
называется старшим вектором, а А — старшим весом. Веса
остальных Т-весовых векторов имеют вид А — &i —
• • • - ak, где щ Е Д+. Для всякого доминантного
веса А существует единственный с точностью до
изоморфизма неприводимый G-модуль V(X) со старшим
весом А.
Пример 22. Пусть G = GLn(C). Гиперплоскость в
(ei,... ,£п)м не содержит корней тогда и только
тогда, когда все координаты вектора нормали и
попарно различны. Возьмём, например, v = (n, п — 1 > - ■ •» ''
118

Тогда положительными корнями (лежащими в одном
полупространстве с и) будут ei — 6j при г < j.
Доминантные веса суть А € Zn, Ai > • - • > Ап. Борелевская
подалгебра b = bn состоит из всех верхнетреугольных
матриц, борелевская подгруппа В = Вп — из всех
невырожденных верхнетреугольных матриц.
Неприводимые модули V(X) описаны в теореме 8, их Т-веса
— в п. 4.1, старшие векторы суть
ед = (ei Л ■ ■ ■ Л ет) ® • ■ • ® (ei Л ■ ■ ■ Л ew),
где /х = (flu • • - > м) — разбиение, транспонированное
к\ + (кп) (Л»0).
Случаи G = SLn(C) совершенно аналогичен,
ср. п. 6.1.
Пример 23. Пусть G = SOn(C) или Spn(C). Как мы
видели в примере 21, решётка весов максимального
тора изоморфна Zr, r = [п/2], со стандартным
базисом ei,... ,ег. Гиперплоскость в (ei,... ,er)jfc с
вектором нормали v не содержит корней тогда и
только тогда, когда \vi\ ф \i/j\, а также \щ\ ф О для
G = S02r+i, Sp2r, при всех г ф j. Взяв v = (г,..., 1),
получим положительные корни 6i±e^i < j9 а также
Sf для G = S02rH-i и 2ei для С? = Spn. Доминантные
веса А е Zr задаются условием Ai > • • • > Аг > 0 для
G = S02r+i, Sp2r и Ai > • • • > Ar_! > |Ar| для G = S02r.
Легко убедиться (проделайте это!), что b = bn П fl
и В = Вп П (? состоят из всех верхнетреугольных
матриц, лежащих в соответствующей классической
алгебре или группе Ли.
Неприводимые G-модули со старшим весом А
можно описать так. Если G = S02r+i(C) или Sp2r(C), a
также G = S02r(C) и АГ = 0, то это модули У (А),
0цределённые в пп. 6.2-6.3, со старшими векторами ед.
119

В случае G = S02r(C), ЛГ > 0 это 1^+(А), а при АГ < о
— VL(A+), где А+ = (Аь..., Аг_ь |АГ|). Старшими
векторами будут ед и гед+, соответственно.
Основная информация о представлении R : G —»
GL(M) содержится в его характере сЬм(*) = tr Я(£),
t G Г. Характеры являются многочленами Лорана от
координат £ь... ,tr в Г ~ Тг, их можно
рассматривать как элементы групповой алгебры С[Л].
Лемма 36. Характеры представлений W-инвари-
антны.
Доказательство аналогично лемме 16: сЬм
инвариантен относительно действия Nq{T) сопряжениями
аргумента, что сводится к действию W на Л.
Теорема 30. Характеры неприводимых
представлений сЬу(л) образуют базис алгебры С[Л]Ж.
Отсюда, как и в п. 4.1, можно вывести, что
представления однозначно определяются своими
характерами.
Поскольку неприводимое представление G в F(A)
определяется своим старшим весом А, его характер
сЬу(л) должен восстанавливаться по А. Явная формула
принадлежит Г. Вейлю.
Обозначим А(Х) = ]£w6Wr(sgiiu;)*wA, где sgaw —
определитель соответствующего ортогонального
преобразования Л (равный ±1). Также обозначим через р
полусумму положительных корней. Можно доказать,
что (р, а) > О, Vc* G А+.
Формула Вейля для характера.
chy(A) =А(А + р)/А(р)
120

Замечание. Равенство сохранится, если к р прибавить
произвольный вектор v J_ А (числитель и
знаменатель домножатся на f).
Из формулы для характера выводится
Формула Вейля для размерности.
Пример 24. Пусть G = GLn(C). Легко подсчитать,
что вектор р имеет координаты pi = п^ — г.
Прибавляя к нему v = (^,..., ^f1), получаем вектор р =
(га—1,..., 1,0). Очевидно, А(Х) — не что иное как
развернутое выражение для определителя a(Ai,..., Ап) из
п. 4.3. Поэтому формула Вейля сЬу(д) = А(Х + р)/А(р)
превращается в формулу Якоби-Труди. Формула
Вейля для размерности превращается в теорему 15. Для
G = SLn(C) все то же самое.
Упражнение 32. Вычислите характеры и
размерности неприводимых представлений SOn(C) и Spn(C).
Формула Вейля для характера позволяет выписать
общие формулы для разложения V(X) ® V(fj) на
неприводимые слагаемые или, что эквивалентно,
произведения chy(A) • chy(A) в линейную комбинацию
характеров chy^) (формула Стейнберга [FH, §25.3] и
др.), однако они малоэффективны, поскольку в них
присутствуют члены разных знаков и возможно
большое количество сокращений. Есть и более
эффективные формулы (например, так называемая "формула
трёх индусов", см. формулу (ФИ) в справочном
разделе [ВО]), которые особенно хорошо работают в том
121

случае, когда один из модулей V(A), V(fi) устроен
просто, напоминая этим формулы Пиери. Формулы
Пиери и правило Литтлвуда-Ричардсона обобщаются на
классические и некоторые другие редуктивные
группы [Li].
4. Инварианты классических групп.
Классическая теория инвариантов изучает инварианты
наборов тензоров на исходном пространстве V
относительно классических линейных групп GL(V), SL(V),
O(V), SO(y), Sp(V). Более точно, описываются
многочлены на прямых суммах пространств тензоров,
инвариантные относительно преобразований тензорных
координат, индуцированных действием классической
группы. С классической теорией инвариантов можно
познакомиться по книге Вейля [Be]. Нам для
приложений в §6 потребуется развить фрагмент этой теории,
а именно описать инварианты наборов векторов
относительно ортогональной и симплектической групп.
Теорема 31. Пусть G = О (У) или Sp(V) — группа
линейных преобразований, сохраняющих
невырожденную симметрическую или кососимметричесщю били-
нейную форму uj на пространстве V. Алгебра C\V Ф
■ ■ -(BV]G инвариантных относительно G многочленов
на прямой сумме т экземпляров V порождается
многочленами u)ij(v\,...,vm) = u(vi,Vj) (vi,...,vmeV),
i,j = l,...,m (в ортогональном случае достаточно
брать г < j, а в симплектическом — % < j).
Замечание. Эта теорема носит название "первой
основной теоремы теории инвариантов" для
ортогональной и симплектической групп. Аналогичный
результат имеется и для других классических групп ре,
гл. 2, 6], [FH, App. F].
122

Доказательство. Объясним вначале идею.
На пространстве V © ■ ■ ■ ф V ~ V <g> (Cm)*
помимо группы G действует GLm. Действие матрицы
д е GLm сводится к замене наборов векторов их
линейными комбинациями с матрицей перехода д~1\
(#ъ ■ • ■ > vm) *-*• (^1? • • - 3 vm) • 0"1. Так как эти два
действия коммутируют, GLm действует и на C[Vem]G.
Из теории представлений полной линейной
группы нам известно, что представление GLm в С[Ует]б?
вполне приводимо и в каждом неприводимом
подмодуле имеется многочлен, инвариантный относительно
Um и весовой относительно Тт с доминантным весом.
Такие многочлены назовём примитивными
инвариантами.
Достаточно доказать, что алгебра, порождённая
многочленами о;#, инвариантна относительно GLm и
содержит все примитивные инварианты.
Заметим, что шу образуют матрицу Грама П
набора векторов (vij... ,vm). Под действием д G GLm она
преобразуется так: Q ь-► gTQg (рассматривая Q как
функцию от (vi7... >vm), по общему правилу на
аргумент следует действовать обратным
преобразованием д~~1). Следовательно, шц переходят в их линейные
комбинации, и значит, порождённая ими подалгебра
СЬт-инвариантна.
Для нахождения примитивных инвариантов
можно применить идею сечения — одну из самых
плодотворных в теории инвариантов. Под сечением
понимается подмножество S в пространстве линейного
представления данной группы (?, пересекающее все
орбиты этой группы или хотя бы орбиты из
некоторого плотного открытого подмножества.
Поскольку инвариантные многочлены постоянны на орбитах
123

и непрерывны, они однозначно определяются
ограничением на S. Более того, если 5 инвариантно
относительно некоторой подгруппы Я с G, то
ограничения (7-инвариантных многочленов на S будут #-
инвариантны. Если удаётся описать алгебру Я-инва-
риантов на 5 (что может быть проще исходной
задачи нахождения G-инвариантов, поскольку
действует меньшая группа на меньшем множестве) и
показать, что её образующие являются ограничениями G-
инвариантов, то эти последние порождают алгебру
G-инвариантных многочленов на исходном
пространстве.
Примитивные инварианты инвариантны
относительно G xUm. Построим сечение S для действия этой
группы на пространстве Vе™. Рассмотрим по
отдельности ортогональный и симплектический случаи. Для
краткости обозначим п = dim У, г = min(m,ra).
Ортогональный случай. Рассмотрим в Vem плотное
открытое подмножество, состоящее из наборов
векторов, у которых все угловые миноры матрицы Грама
Й размера < г ненулевые. Такие наборы можно ор-
тогонализовать действием Um (это не что иное как
процесс ортогонализации Грама-Шмидта). Ортого-
нализованный набор векторов действием О (У)
можно привести к виду (#iei,. - -, хтет) в случае т < п и
(xiei,..., xnen, 0,..., 0) в случае т > п, где ei, - - • >^п
— фиксированный ортонормированный базис V.
Множество всех таких наборов и есть искомое сечение 5-
Заметим, что оно инвариантно относительно Н х Тт>
где ЯсОп состоит из матриц вида
'±1
124

Поэтому примитивные инварианты при ограничении
на S переходят в многочлены, инвариантные
относительно Н и весовые относительно Тт с
доминантными весами. Такие многочлены суть одночлены
x\kl ■ ■ • Xrkr, hi > • • • > kr > 0. Любой одночлен
указанного вида однозначно продолжается до примитивного
инварианта Д{ 1_~*2 ■ ■ - А*!"!1""*1" Д*г, где Д* — угловые
миноры П (при ограничении на S дающие я?-••#*)-
Таким образом, мы нашли все примитивные
инварианты и убедились, что они выражаются через и%.
Симплектический случай. Рассмотрим в Ует
плотное открытое подмножество, состоящее из наборов
векторов, из которых первые г линейно независимы и
все чётные угловые миноры Q, размера < г ненулевые.
Такой набор («i,... ,vm) действием Um, т.е. вычитая
из Vj линейную комбинацию предыдущих, можно
привести к виду, в котором cjij ф 0 лишь при г = 2к — 1,
j = 2к < п и Vj; = 0 при j > п. В частности,
ненулевые Vj пропорциональны векторам симплектиче-
ского базиса, и действием Sp(V) можно
преобразовать (t>i,..., vm) в начальный отрезок длины т
последовательности вида (еь xie2, - - -, en_i,хп/2еп, 0,0,...),
где ei,..., еп — фиксированный симплектический
базис У, в котором матрица ш имеет вид:
Пп:=
/ ° 1
-1 0
V
о
о
\
0 1
-1 0/
125

Такие наборы {е^х^е^^...) длины т образуют
искомое сечение S. Оно инвариантно относительно
подгруппы Н С Тт, состоящей из диагональных матриц
с 1 на нечётных позициях.
Чтобы описать примитивные инварианты, нам
потребуется вспомнить понятие пфаффиана кососимме-
трической матрицы [Ви, гл. 8, §4, с. 340]. Пусть А
— произвольная кососимметрическая (пхп)-матрица.
Она определяет бивектор а = Y^%<j aijeiЛ ej на V- То-
гда а Л • ■ ■ Л а (п/2 раз) пропорционально е\ Л • • • Аеп с
коэффициентом (п/2)! ■ pf-А, где pf A — некий
целочисленный многочлен от элементов матрицы А,
называемый её пфаффианом. Под действием д G GLn матрица
А переходит в дАдТ, a pf-А умножается на det #.
Поскольку любая невырожденная кососимметрическая
матрица имеет вид А = дПпдт, a pf Qn = detOn = 1
(как легко посчитать), получаем, что det A = (pf А)2.
Этот вывод сохраняет силу и для вырожденных
матриц (левая и правая части равны 0).
Ограничения примитивных инвариантов на S суть
многочлены, весовые относительно Я, т.е. одночлены
х*1 • • • хк8*, s < г/2, причем доминантность веса
примитивного инварианта влечёт к\ > • - • > ks > 0. Любой
одночлен указанного вида однозначно
продолжается до примитивного инварианта р*1"*2. - - Р9^~ *Р%Я9
где Pi — пфаффиан угловой подматрицы Q, размера
2% х 2г (при ограничении на S дающий х\ • ■ •#»). Все
найденные примитивные инварианты выражаются
через 07у- ^
Классическая теория инвариантов позволяет
описать G-жвивариантные, т.е. перестановочные с
126

действием G, линейные преобразования
пространства У®т. Среди них можно сразу указать запас
элементарных эндоморфизмов, определяемых при
помощи тензорных операций. Элементарный эндоморфизм
— это композиция полной свёртки с ш®- • -®о;7
тензорного домножения на ш* ® ■ ■ ■ <8> о;*, где а;* — 2-тензор,
двойственный ш, и некоторой перестановки индексов.
Следствие. Все G-эквивариантные эндоморфизмы
Vr<8>m суть линейные комбинации элементарных
эндоморфизмов.
Доказательство. G-эквивариантные линейные
отображения F : V®m —► V®m можно отождествить с
G-инвариантными линейными функциями на V®m <g>
(У*)®т, а те в свою очередь — с G-инвариантными
полилинейными функциями / на Vxm x (V*)xm, по
правилу:
f(vu ...,vm,(pi,...9(pm) = (F(vi®- • '®vm),<px®- ■ -<g)<pm),
Vvi E V, щ G V\
Поднимая индексы при помощи u>*, можно превратить
(fj в vm+j G V, а / — в G-инвариантную полилинейную
функцию на Vx2m. По теореме 31, все такие функции
являются линейными комбинациями функций вида
где ii,.. -, im> ji9.. -, jm — некая перестановка чисел
l,...,2m.
При вычислении соответствующего
отображения F, каждой паре индексов it,jk < то отвечает
свёртка с ш по этой паре индексов, паре i^jk > ™>
— домножение на uf с последующей перестановкой
127

двух добавленных индексов на позиции гк — га, jk — т,
а паре г* < т < jk — перестановка г*. н+ jk — m. Q
Литература
[Be] Г. Вейль, Классические группы, их инварианты и
представления. Иностр. лит., Москва, 1947.
[Ви] Э. Б. Винберг, Курс алгебры, 3-е изд., Факториал,
Москва, 2002.
[ВО] Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик, Семинар по группам Ли
и алгебраическим группам, Наука, Москва, 1988.
[Гн] Б. В. Гнеденко, Курс теории вероятностей, 6-е изд.,
Наука, Москва, 1988.
[Дж] Г. Джеймс, Теория представлений симметрических
групп, Математика: новое в зарубежной науке, т. 32,
Мир, Москва, 1982.
[Ма] И. Макдональд, Симметрические функции и
многочлены Холла, Мир, Москва, 1984,
[Фу] У. Фултон, Таблицы Юнга и их приложения к теории
представлений и геометрии, МЦНМО, Москва, 2006.
[Ша] И. Р.. Шафаревич, Основы алгебраической геометрии,
2-е изд., Наука, Москва, 1988.
[FH] W. Fulton, J. Harris, Representation Theory: A First
Course, Graduate Texts in Mathematics, vol. 129,
Springer-Verlag, New York, 1991.
[GNW] C. Greene, A. Nijenhuis, H. S. Wilf, A probabilistic proof
of a formula for the number of Young tableaux of a given
shape, Adv. Math. 31 (1979), 104-109.
[Li] P. Littelmann, A generalization of the Littlewood-
Richardson rule, J. Alg. 130 (1990), 328-368.
Ответы и указания к упражнениям
1: Представить А-модуль как гомоморфный образ
свободного А-модуля.
2: А = (т — 1,1). Использовать Cn ~ Аа\.
3: Отображение а «-»• (sgna)cr (a € STO) определяет
автоморфизм алгебры А, отображающий Аслт на Ас\ и
подкручивающий действие Sm на sgn.
128

го
г=1
Удаление т из стандартной таблицы Г приводит к
стандартной таблице Т". Кроме того, Дг = Дт' П*(ят-а*)> где
г пробегает все числа в одном столбце с т. Взятие
старшего коэффициента при хт эпиморфно отображает линейную
оболочку всех At с фиксированной позицией m в Т на
соответствующее 5(А7). Поэтому каждое S(A') входит в 5(A).
Остаётся сравнить размерности.
В обозначениях упражнения 5 имеем А = |J А7, кроме
случая, когда А — прямоугольник.
Использовать упражнение 2 и правило ветвления.
При удалении из А 1-го столбца dim U(\)/\ A | поделится на
(т — 1) • • • (т — к) Hi • • • 4- Этот множитель почти всегда
> 1 (исключения: А = (т), (1то), (2, Г»"2)). Рассуждая по
индукции, остаётся перебрать варианты, когда оставшаяся
диаграмма задаётся одним из разбиений (т — jfc), (1т~*)
(т - к - 1,1), (2, Г»"*"2), (2,2), (2,2,2), (3,3).
Пусть Г — таблица формы А = Ат, в € Sm, 0(Г) = Гт.
Композиция автоморфизма алгебры А из упражнения 3 и
умножения справа на ват отображает Аст в себя,
подкручивая действие Sm на sgn. Его квадрат равен (sgn0)q\ • Е.
U(\) или U±(\), где А — одна из диаграмм в упражнении 8
или
А= П
Неприводимые слагаемые: SmCn в кратности 1, dim =
С^го"1); ЛтСп в кратности 1^ dim = (»); при та = 3:
g(2,i)Cn в ^атности 2, dim = ^х2; при m = 4: S^C" и
s(2,i9i)Cn в кратности 3; S(2»2>Cn в кратности 2.
STV • с^А = фа V®m - 4а"1 (по всем а таким, что аТ
стандартна) = ф, V®™ - (т~хс%т = ф^тУ.
Естественное ОЬ(У)-инвариантное спаривание между
уфт и ^y*j®m задаётся полной свёрткой (w,cj) тензора
129
1
и
гг
га
... Ц-1
<— без i
л

14:
15:
16:
20:
w <g>cj, Vw G V®m, a; £ (V*)®TO. Показать, что оно невыро-
ждено между У0Ш • с£ и (У*)®то . сд, используя (w • a,cj) =
(w,a; -a*), Va € A
A7 = (—An,..., — Ai). Рассмотреть GLn-инвариантное
спаривание между ЛтСп <8> • • • <8> Д^'С" и /\п~щСп ® ... ®
An_/ilCn(8)(iet~z по формуле (wi <Е>---Ф^Ц <£>••-Фи^') =
(wiAt^)®- - -®(wiAu;{)/(eiA. • -Ле,»)01, где Ат = (ри... |Л)в
Показать, что оно ненулевое (а значит, невырождено)
между неприводимыми подмодулями SACn и SA "^'"^C^detr1.
Аналогично упражнению 5, использовать разложение D? =
Вт'ХпМ '' • Яп,*, + • • • как многочлена от xnj (J = 1,... ,n),
где полустандартная таблица Т* получается из
полустандартной таблицы Т удалением п (содержащегося в
столбцах &i,...,fc|) а пропущенные слагаемые содержат более
старшие одночлены от xnj.
2П орбит, задаваемых условиями wp = 0 при р = Pi,... ,рв
(фиксированный набор индексов) и wp ф 0 при
остальных р. Орбита лежит в образе, если Pi,... ,рв — последние
s чисел из 1,...,п.
1112 2
2 2 3 3 I 4
3 414 1
4!
21: dimSP^C» = ("3-"Х"+2); dimSP'1-1)!?1 = ("'-"И""2)-;
dimS(2»2)Cn = s~^.
22: Использовать формулу для произведения длин крюков из
п. 2.4.
23: §(5'4'2) е s<5'4'l2> e s<5'32) e (s^8-2-1))02 e s<5'3'13) e§<б'23) $
§(5,22,12) e g(42,3) 0 (S(42j2j1))®2 0 §(42ДЗ) @ (§(4|32,1))®2 ф
(§(4,3,22))Ф2 @ ^§(4,3,2,12))еЗ ф §(4|3,14) ф (§(4,23Д))®2 ф
S^2.*3) ©S(38»2) eS(38'12) ф (s(32.22,i))©2 е§(32|2д3) ф§(з,24) ф
§(з,28,12)
130

S' =
II
11112
12 2 3
3 3 4
T =
12 2 5
2" 3 4
3 I4|5 1
51
Свёртка симметрического тензора с и по любой паре
индексов равна 0. Для 2-го утверждения показать, что
свёртка с ш отображает ДТОСП на Дт~2Сп и применить
индукцию по т.
Аналогично упражнению 26.
При отождествлении SmV ~ SmV* опусканием индексов
свёртка с и переходит в оператор Лапласа.
Доказать связность компактных форм. Для Un(C)
заметить, что любой унитарный оператор д диагонализуем в
подходящем ортонормированном базисе, и можно
непрерывно продеформировать его собственные значения в 1,
сохраняя унитарность, т.е. соединить д кривой с Е. Случай
SUn(C) аналогичен. Для Spn/2 (И) дополнительно заметить,
что симплектичность д равносильна тому, что
собственные подпространства с собственными значениями А, /л ко-
соортогональны друг другу при ХцфХ — это условие
сохраняется при подходящей деформации. Для SOn(R)
вместо диагонализуемости использовать каноническую
форму матрицы собственного ортогонального оператора. На
0„(С) непрерывная функция det принимает ровно 2
значения ±1.
(п — 1)/п при г = j; -1/п при г ф j.
W изоморфна группе преобразований Zr, действующей
перестановками и заменами знаков координат, в случае
G = SC>2r разрешаются замены знаков только у чётного
числа координат.
Обозначим 1{ = А,- + г — г и
a±(/i,...,Zr) =
fi1**!
tl{ ±tilr
%±t?*
fy±t~l*
131

Ответ:
SO
2r
SO;
'2r+l
__^ Chy(A)
a+(r-l,...,l,0)
Mix+ l/2,...,lr +1/2)
o_(r-1/2,..., 3/2,1/2)
a-{ei + l,...,€r + l)
a_(r,...,2,l)
U-f-j
dimV(A)~
к,-- — j + 2
Sp;
2r
тт ч - 4 tt *» + tj +
Используя упражнение 31, вычислить:
A(X) = £ sgn^n (ti'W -*ГЛ'(°) =a_(A1,...,Ar)
«res,. i
ДЛЯ S02r+l,Sp2r, И
^W = 2^ ssno'— 2—
_ a_(Ai,...,At) + o+(Ai,.. ■,A,.)
2
для S02r- Найти p = (r- 1,...,1,0), (r -1/2,..., 3/2,1/2)
или (г,..., 2,1) для ЭОгг» SO2H-1 и Sp2r, соответственно.
132

Предметный указатель
алгебра
групповая, 10
Ли, 106
касательная, 106
полупростая, 10
алгоритм выпрямления, 25,
52
вес, 62, 116
доминантный, 62, 118
старший, 62, 118
весовое подпространство,
112
весовой вектор, 62,116
вещественная форма, 109
гармонический многочлен,
103
группа
Вейля, 112
знакопеременная, 5
кватернионная
симплектическая, 111
унитарная, 111
классическая, 5
Ли (линейная), 106
ортогональная, 100
редуктивная, 109
симметрическая, 5
симплектическая, 95
унимодулярная, 5
унитарная, 107
дефект, 81
диаграмма Юнга, 13
высота, 14
косая, 78
идемпотенты
неразложимые, 12
ортогональные, 12
изотипная компонента, 11
изотипное разложение, 11
инверсия, 13
комбинаторная лемма, 81
компактная форма, 109
координаты Плюккера, 55
корень, 112
отрицательный, 118
положительный, 118
корневое подпространство,
113
корневое разложение, 112
крюк, 28
длина, 29
лексикографический
порядок
на диаграммах Юнга, 19
на одночленах, 53, 62
на таблицах Юнга, 22,26,
53
обратный, 22, 26, 53
лемма Сильвестра, 23
матричные элементы, 46
многообразие
алгебраическое, 57
дифференцируемое, 106
однородное, 58
флагов, 55
многочлен Шура, 62
косой, 80
модуль
133

Вейля, 42
транзитивно пермутаци-
онный, 21
Шпехта, 22
мультиконус, 55
оператор Лапласа, 103
операция
составная, 84
уровень, 82, 84
элементарная, 82
подалгебра Бореля, 118
подгруппа Бореля, 118
полный симметрический
многочлен, 62
поляризация, 45
полярное разложение, 109
правило
ветвления, 28, 54
Литтлвуда-Ричардсона,
76
Юнга, 21
представление
группы Ли, 108
дифференцируемое, 108
полиномиальное, 46, 116
присоединённое
алгебры Ли, 109
группы Ли, 108
рациональное, 48,116
регулярное, 10
примитивный инвариант,
123
путь вытеснения, 67
пфаффиан, 126
разбиение, 13
длина, 13
134
порядок, 13
ранг редуктивнои группы,
112
решётка весов, 112
сечение, 123
симметризатор Юнга, 15
слово
обратное решётчатое, 79
строчное, 78
соотношения выпрямления,
24,52
стабилизатор таблицы
Юнга
столбцовый, 15
строчный, 15
стандартный базис
модуля Вейля, 54
модуля Шпехта, 25
стандартный моном, 59
старший вектор, 62, 118
таблица Юнга, 14
косая, 78
обобщённая, 50
вес, 50
полустандартная, 51
стандартная, 14
форма, 14
теорема Лапласа, 24
тождество Копта, 87
тор
алгебраический, 111
компактный, 111
умножение
кососкалярное, 95

полустандартных
таблиц, 66-67
скалярное, 100,112
унитарньш трюк, 115
флаг, 54
формула
Вейля
для размерности, 121
для характера, 120
крюков, 29, 75
Якоби-Труди, 71
формулы Пиери, 64
функтор Шура, 42
характер, 60,120
число
Костки, 62
Литтлвуда-Ричардсона,
79
экспоненциальное
отображение, 107
эндоморфизм
эквивариантный, 126
элементарный, 127
135

Указатель обозначений
(•, •), скалярное умножение,
112
(•,•), спаривание вектора с
ковектором, 44,46,127,
129, 130
( ... )к, линейная оболочка
над полем К, 22, 44-45,
51-52, 58-60, 118-119
^, лексикографический
порядок, 19, 22, 26, 54, 63
[•,•], коммутатор, 106
Д*У, внешняя алгебра, 24
Д V, внешняя степень, 28,
41^12, 45, 51-52, 55-59,
64^66, 97-103,129-131
А = CG, групповая
алгебра, 10
а^о*, инволюция на
групповой алгебре, 13
a(Ji,...,Zn) = det(#)£i=1,
71
Am, знакопеременная
группа, 5
Л(Л), 120
ал = от, элемент алгебры
CSm, 15
Ad, присоединённое
представление группы Ли,
108
ad, присоединённое
представление алгебры Ли,
109
Б, подгруппа Бореля, 118
Ь, подалгебра Бореля, 118
Вп» группа треугольных
матриц, 58
Ь„, алгебра Ли
треугольных матриц, 119
Ъ\ = Ьт> элемент алгебры
CSm, 15
С, поле комплексных чисел,
5
Сх = С \ {0}, 94, 99, 102,
111-112,116
С[М], алгебра
многочленов на
векторном
пространстве/многообразии, 46,
57, 117
C[M\G, алгебра
инвариантных многочленов, 60,
63, 120, 122-123
сх = от, симметризатор
Юнга, 15
dtWi характер
представления, 60, 120
-Dti...ipi минор, 51
Dt, элемент дуального
модуля Вейля, 52
£)у(9), минор, 52
detfe...*,., минор, 24
det(vi, — ,г?л?),
определитель на векторах-
столбцах, 23
dR, дифференциал
представления Л, 108
Е, единичный
оператор/матрица, 38-39,

94-95, 104, 106-110,
129, 131
е, единичная подстановка,
16-18, 38
Е. = (JEa,...,£a...n),
стандартный флаг, 58
е. = (ei,...,ei...n), 58
Eitt.p = (ei,...,ep)c, 58
е,-, вектор стандартного
базиса Сп, 24, 43
е,ч..лр = <ц1Л---Ле*р, 54
E{j, матричная единица, 12
ет> элемент модуля Вейля,
54
ел, старший вектор модуля
Вейля, 62, 98
ЕпсЦМ, алгебра
эндоморфизмов модуля, 11
ехр, экспонента линейного
оператора, 107
Ttn = Т£(У), многообразие
флагов, 55
Tln = T£(V), флаговый
мультиконус, 55
д, касательная алгебра
группы Ли G, 106
<7*, эрмитово сопряжённый
оператор, 110-111
<7р, положительная
компонента #, 110
<7„, унитарная компонента
5,110
да, корневое
подпространство, 113
GLn, полная матричная
группа, 5
glni алгебра Ли всех
матриц, 113
GLn(H), кватернионная
матричная группа, 111
GL(V), полная линейная
группа, 41
gl(V), алгебра Ли всех
линейных операторов,
106
И, тело кватернионов, 111,
131
hij, длина крюка, 29
UA = a(Ai)'-'S(A„), 76
ht, высота
диаграммы/таблицы Юнга, 14
1(М), идеал уравнений
многообразия, 57
К\ц, число Костки, 62
^\А,м) 80
4 = Af + fc-i,30,71
L(V), алгебра
(ассоциативная) всех линейных
операторов, 41
Мд^, число Литтлвуда-Ри-
чардсона, 79
Mat„, алгебра квадратных
матриц, 10-12, 41, 43,
46-53, 58-60, 114,117
N, множество натуральных
чисел, 18, 75
Ng{T), нормализатор
максимального тора, 112-
115,120
137

On, группа ортогональных
матриц, 5, 100
OOOi ортогональная
группа, 100,107, 122
o(V), алгебра Ли кососим-
метрических
операторов, 107
Р(...), вероятность, 32-37
Р(М), проективизация, 55
Р\•= Дг> строчный
стабилизатор, 15
pf, пфаффиан, 126
Qx = Qt> столбцовый
стабилизатор, 15
qx, произведение длин
крюков, 18, 29
R, поле вещественных
чисел, 106, 109, 111, 118,
119, 131
R : G -+ GL(H0,
линейное представление, 46-
49, 60-S2, 94-95, 108-
109, 116, 120
г#, матричный элемент, 46,
48, 116
га, корневое отражение, 113
rWjti7, матричный элемент,
46
51, единичная окружность,
111
S*F, симметрическая
алгебра, 47
SkV, симметрическая
степень, 41-42, 44-45, 47,
138
64-66, 76-77, 100, 103,
129, 131
Sm, симметрическая
группа, 5
5(A), модуль Шпехта, 22
5л, старшая
полустандартная таблица, 62
SA = §т, функтор Шура,
42-^3
8\, многочлен Шура, 62
s„\x5 косой многочлен
Шура, 80
sgn, знак подстановки, 15-
18, 21, 22, 24, 38-40, 98,
128-129, 132
SLn, группа матриц с det =
1,5
SL(V), специальная
линейная группа, 107
$l(V), алгебра Ли
операторов с tr = 0, 107
SO„, группа
собственных ортогональных
матриц, 5
$оп = оп, алгебра Ли ко-
сосимметрических
матриц, 114
ЗО(У), специальная
ортогональная группа, 107
*o{V) = o(V), 107
Spn, симплектическая
матричная группа, 5, 96
$рп, симплектическая
матричная алгебра Ли,
114
Spn(H), кватернионная
симплектическая
группа, 111

Sp(V), симплектическая
группа, 95, 107, 122
sp(V), симплектическая
алгебра Ли, 107
SU (V), специальная
унитарная группа, 110
Т, максимальный тор, 112
Uj, элемент таблицы Юнга,
21
ТУ), столбец таблицы
Юнга, 22, 52
ТП) группа диагональных
матриц, 61,111
Тт, транспонированная
таблица Юнга, 15
tь-» #*, вес алгебраического
тора, 62, 112
Т ь* аТ, действие
подстановки на таблицу
Юнга, 16
Un, группа унитреутоль-
ных матриц, 58
Un(C), группа унитарных
матриц, 109
U(F), унитарная группа,
107
u(V), алгебра Ли косоэрми-
товых операторов, 107
17(A), неприводимый STO-
модуль, 16
U±(\), неприводимый Ато-
модуль, 39
V ~ Сп, векторное
пространство, 41
У (А), неприводимый
модуль редуктивной
группы, 48, 96,100,118
V±(\), неприводимый SOn-
модуль, 105
v\, старший вектор, 118
W = NG(T)/T, группа Вей-
ля, 112
W. = (Wi,...,W„), полный
флаг, 55
w% = (tui,... ,tun), набор
поливекторов, 55
хи координатная функция
на Сп, 49
##, элемент матрицы аг, 50
х#д, координата, 50
x.j, столбец матрицы аг, 50
Х'39 == v^ljciy • • ' > ^njqjt
вектор, 50
x..q, матрица, 51
агт, одночлен, 22
2/«1...*р> координата Плюкке-
ра, 55
ут, моном от координат
Плюккера, 58
уТ(9), координата
Плюккера, 58
Z, кольцо целых чисел, 18,
48,60,112-115,119,131
Zn, циклическая группа, 94
Д, система корней, 112
А±, система
положительных/отрицательных
корней, 118
139

Ат> элемент модуля Шпех-
та, 22
Д(*1,...,**),31
Ддо), определитель Ван-
дермонда, 22
б{7 вектор стандартного
базиса Zn, 113
Л, решётка весов, 112
А = (Ai,...,Afc),
разбиение/диаграмма Юнга,
13-14
|А| = Ai H Ъ Ajb, порядок
разбиения, 13
А+, вес, 120
А~, вес, 105
А С г/, включение диаграмм
Юнга, 78
Ат, транспонированная
диаграмма Юнга, 21,
37, 39,43, 45, 48, 50, 52,
73-74, 76, 98, 101-102,
128-130
А, диаграмма, 102
i/\A, косая диаграмма
Юнга, 78
р, полусумма
положительных корней, 120
(Тку элементарный
симметрический многочлен,
62, 65, 71
г € Оп, отражение, 103
г € STO, транспозиция, 37
140
П, матрица (косо)скалярно-
го умножения, 96, 100,
107
и, (косо)скалярное
умножение, 95,100, 107,122
ы*, 2-тензор, 97,127
w(T), вес обобщённой таг
блицы Юнга, 50

141

142

143

Тимашёв Дмитрии Андреевич
Представления классических групп
М., Издательство Центра прикладных
исследований при механико-математическом факультете МГУ,
144 стр.
Оригинал макет изготовлен
издательской группой
механико-математического факультета МГУ
Подписано в печать 15.04.2007 г.
Формат 60x90 1/16. Объем 9 п.л.
Заказ 2 Тираж 100 экз.
Издательство ЦПИ при механико-математическом
факультете МГУ
г. Москва, Воробьевы горы.
Отпечатано на типографском оборудовании
механико-математического факультета