Классические группы, их инварианты и представления - Вейль Г.

Автор: Вейль Г.

Теги: высшая математика

Год: 1947

Похожие

Представления классических групп

Теория представлений симметрических групп

Абстрактный гармонический анализ. Том I. Структура топологических групп. Теория интегрирования. Представления групп

Специальные функции и теория представлений групп

Текст

THE CLASSICAL GROUPS
THEIR INVARIANTS
AND REPRESENTATIONS
by
HERMANN WEYL
PROFESSOR OF MATHEMATICS
THE INSTITUTE FOR ADVANCED STUDY
1939

ГЕРМАН ВЕЙЛЬ
КЛАССИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
ИХ ИНВАРИАНТЫ
И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Перевод с английского
Д. А. РАЙКОВА
1947
Государственное издательство
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва

Великому алгебраисту
ИССАЙЕ ШУРУ
в знак глубокого уважения

ПРЕДИСЛОВИЕ
С тех пор как мне удалось в 1925 г., комбинируя инфи-
нитезимальные методы Э. Картана и интегральный метод
И. Шура, определить характеры полупростых непрерывных
групп, я поставил своей целью вывести главные результаты для
наиболее важных из этих групп, в частности, для полной группы
невырожденных линейных преобразований и для ортогональной
группы, прямым алгебраическим построением. Благодаря, глав-
главным образом, работам и сотрудничеству Р. Брауэра в течение
последних нескольких лет, я в настоящее времцобладаю всеми
необходимыми для этого средствами. Задачу можно точно оха-
охарактеризовать следующим образом: разложить пространство
тензоров заданного ранга на его неприводимые инвариантные
подпространства относительно заданной группы линейных пре-
преобразований в' положенном в основу векторном пространстве.
Другими словами, предметом нашего изучения будут различ-
различные типы линейно преобразующихся „величин", которые можно
приготовить из материала тензоров при режиме той или иной
группы. Такова проблема, образующая один из стержней этой
книги, и, в соответствии с алгебраическим подходом, решение
ее разыскивается не только в поле вещественных чисел, на ко-
котором анализ и физика разыгрывают свои сражения, но и в
произвольном поле характеристики нуль. Однако я не пытался
охватить поля простой характеристики.
Понятие алгебраического инварианта абстрактной группы у
не может быть сформулировано, покуда мы не владеем поня-
понятием представления 31 группы Y линейными преобразованиями,
или эквивалентным понятием „величины типа §1". Поэтому про-
проблема нахождения всех представлений или величин группы у
должна логически предшествовать проблеме нахождения алгеб-
алгебраических инвариантов этой группы. (По поводу понятий вели-
величин и инвариантов более общего характера и их тесной .взаимо-
.взаимосвязи отсылаем читателя к главе I, где эрлангенская программа

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
Клейна пересказана в несколько более абстрактных терминах.)
Второй моей целью является — дать современное введение в тео-
теорию инвариантов. Уже давно пора омолодить классическую
теорию инвариантов, впавшую почти в окаменелое состояние.
Оправданием тому, что я придерживался значительно более
консервативного стиля, чем это, вероятно, казалось бы жела-
желательным нашему молодому поколению алгебраистов, является
нежелание жертвовать прошлым; но даже при этом, надеюсь,
я достаточйо решительно прокладывал путь к современным кон-
концепциям. Я не претендовал на то, чтобы написать монографию
по современной теории инвариантов: систематическое руковод-
руководство должно было бы содержать много вещей, обойденных здесь
молчанием.
Как видно из предшествующего описания, предмет этой
книги довольно специальный. Как бы важны ни были общие
понятия и предложения, которыми одарило нас современное,
деятельное увлечение аксиоматизированием и обобщениями, рас-
распространенное в.алгебре, быть может, больше, чем в какой бы
то ни было другой области, — все же я убежден в том, что
именно специальные проблемы во всей их сложности составляют
опору и стержень математики; и преодоление их трудностей
требует, вообще говоря, наиболее серьезных усилий. Разумеется,
линия раздела здесь неопределенна и текуча. Однако общей
•теории представлений групп совершенно сознательно посвящено
едва ли более двух страниц, тогда как применение этой тео-
теории к рассматриваемым группам частного вида занимает по край-
крайней мере в пятьдесят раз больше места. Общие теории пока-
показаны здесь в их возникновении из специальных проблем, анализ
которых приводит к этим теориям как действенному инстру-
инструменту решения, с почти принудительной необходимостью; но
однажды появившись, эти теории освещают широкую область
за пределами ограниченного участка их возникновения. В этёи
духе мы изложим, среди прочих вещей, учение об ассоциатив-
ассоциативных алгебрах, возвысившееся в последнее десятилетие дсГт>уко-
водящего положения в математике.
Связи с другими частями математики подчеркнуты здесь
всюду, где к этому представляется, случай, и несмотря на ал-
алгебраический, в основном, характер книги, не обойдены ни
инфинитезимальный, ни топологический методы. Опыт подска-
подсказывает мне, что борьба с опасностью слишком сильной специа-
специализации и технизации математического исследования особенно
важна в Америке. Строгая точность, достижимая мате.уатиче-

ПРЕДИСЛОВИЕ 9
ским мышлением, привела многих авторов к манере изложения,
которая должна произвести на читателя такое впечатление, как
если бы он был заключен в ярко освещенную камеру, где каж-
каждая деталь выделяется с одинаково ослепляющей ясностью, но
без рельефности. Я предпочитаю открытый ландшафт под ясным
небом с его глубиной перспективы, где обилие отчетливо очер-
очерченных близких деталей постепенно сходит на-нет по мере уда-
удаления к горизонту. В частности, горный массив топологии ле-
лежит для этой книги и ее читателя у горизонта, и потому те
его части, которые следовало поместить в картину, даны лишь
в грубых чертах. От читателя ожидается здесь готовность пе-
переключаться на точки зрения, отличные от принятых в алгеб-
алгебраических частях, и добрая воля к сотрудничеству.
Книга предназначена, главным образом, для тех, кто скромно
хочет узнать изложенные в ней новые вещи, а не для гордых
ученых, уже знакомых с предметом и желающих лишь получить
быструю и точную справку о той или иной детали. Она не
является ни монографией, ни элементарным учебником. В том
же духе составлены и ссылки на литературу.
Боги наложили на мои писания путы чужого языка, не зву-
звучавшего у моей колыбели.
„Was dies heissen will, weiss jeder,-
Der im Traum pferdlos geritten"*),
— хотелось бы мне сказать вместе с Готфридом Келлером.
Никто более меня не почувствует связанной с этим утраты
силы, легкости и ясности выражения. Если, все же, удалось из-
избежать хотя бы грубейших ошибок, то этим относительным
достижением я целиком обязан преданному сотрудничеству мо-
моего ассистента, д-ра Альфреда Клиффорда; но еще более цен-
ценной, чем лингвистическая, была для меня его математическая
критика.
Герман ВЕИЛЬ
Принстон,- Нью-Джерси,
сентябрь 1938.
Замечание. Ссылкой на формулу G.6) [или (III.7.6)] указы-
указывается формула 6 в параграфе 7, обозначенная через G.6) в той же
главе [или, соответственно, в главе III].
*) „Что это значит — каждый знает,
Кто ездил во сне верхом без коня".

ГЛАВА f
ВВЕДЕНИЕ
1. Поля, кольца, идеалы, полиномы
Прежде чем приступать к алгебре, следует фиксировать
числовое¦поле k, в котором мы будем оперировать, k — это
замкнутая вселенная, в пределах которой протекают все наши
действия. Я бы советовал читателю на первых порах мыслить
себе k континуумом обыкновенных вещественных или комплекс-
ных чисел. Но, вообще говоря, k есть любая совокупность
элементов а, называемых числами, замкнутая относительно двух
бинарных операций: сложения и умножения. Сложение и умш>
жение предполагаются коммутативными и ассоциативными.
Кроме того, сложение должно допускать однозначное обраще-
обращение (вычитание), т. е. существует число о, называемое нулем,
такое, что
¦а-\-о = а
для каждого а, и для любого а существует противоположное
число—а, удовлетворяющее равенству а-|-(— а) = о. Умноже-
Умножение должно удовлетворять закону дистрибутивности относи-
тельно сложения:
откуда легко следует, что
A.1) д.о = о,
каково бы ни было о. Требуется тгкже, чтобы умножение до-
допускало обращение (деление), за одним исключением, необхо-
необходимо вытекающим из A.1); а именно, существует единица ?
или 1; удовлетворяющая для всех а равенству

12 ГЛАВА1
и для каждого а., за исключением нуля, существует обратное
число О или -д- такое, что а-а~' = ?. При s = o все числа а
были бы, в силу A.1) и A.2), равны нулю; этот вырожденный
случай мы раз навсегда исключим, приняв в качестве аксиомы,
ЧТО ?=7^0.
Каждое число а порождает совокупность его кратных
а=1а, о + а = 2а, 2а-\-а. = За,...;
здесь натуральные числа 1, 2, 3, ... суть символы „мультипли-
„мультипликаторов", а не числа рассматриваемого поля k. Возможны два
случая: либо все кратные единицы
п$ (я —1, 2, 3,...)
отличны от о, либо существует наименьшее я, для которого
/zs = o. В последнем случае это я должно быть простым чис-
числом р. Действительно, для составного числа « = пхпъ (где ни пи
ни 1ц не равно 1) мы имели бы
и потому я,е, либо я2? было бы равно о, в противоречие с пред-
предположением, что я — наименьшее число, для которого т обра-
обращается в нуль. Эти два случая различают, приписывая полю k,.
соответственно, характеристику 0 или р. В поле простой ха-
характеристики р р-кратное каждого числа а обращается в нуль:
ра=р (га) = (р?) а = о.
В поле характеристики нуль можно для любого целого я
образовать й-ю долю E = — числа а, т. е. найти число {$, удов-
удовлетворяющее уравнению п$ = а. Действительно, это уравнение
равносильно уравнению
и так как первый множитель яе отличен от о, то последнее
уравнение разрешимо по аксиоме делимости. Вследствие Этого
наше поле & содержит под-поле рациональных кратных единицы г:
— (п — любое натуральное число 1, 2, 3,. .. ;
т — любое целое число 0,4; 1, 4; 2,...);

ВВЕДЕНИЕ 13
последнее изоморфно полю обыкновенных рациональных чи-
чисел — и может быть отождествлено с ним. Это простейшее
поле характеристики 0 мы будем называть фундаментальным
полем х; таким образом, сделанное выше замечание устанавли-
устанавливает тот факт, .что каждое поле k характеристики О содер-
содержит фундаментальное поле х.
Всюду в дальнейшем мы будем предполагать положенное
в основу поле k полем характеристики О, не напоминая в каж-
каждом случае этого ограничения. Ни одну из наших проблем мы
не будем рассматривать в поле простой характеристики. Таким
образом, даже употребляя выражение „в любом поле" или что-
нибудь в этом роде, мы будем всегда подразумевать: „в любом
поле характеристики О".
Отбросив аксиому существования обратного числа а, мы
вместо поля придем к общему понятию кольца; лишь сложение,
вычитание и умножение возможны в кольце без всяких ограни-
ограничений. Классическим примером кольца служит совокупность всех
целых чисел. Если произведение а[5 двух элементов кольца ни-
никогда не обращается в нуль без обращения в нуль хотя бы
одного из сомножителей, то говорят, что это кольцо без дели-
делителей нуля. Исходя из заданного кольца R без делителей
нуля, мы можем формально ввести дроби у как пары элемен-
элементов а, р, из которых (j 7^ 0, и затем определить равенство, сло-
сложение и умножение дробей согласно правилам, которым все мы
учились в школе. Дроби образуют поле, поле отношений коль-11
ца R; оно содержит R, если отождествлять дроби -г- с а.
По отношению к заданному кольцу R множество а его эле-
элементов называется идеалом, если
содержатся в а для любых а, ^ из а и любого X из R. Тот
случай, когда а состоит из одного лишь элемента 0, исклю-
исключается по определению. Классический пример доставляется со-
совокупностью целочисленных кратных заданного целого числа.
Идеалы служат в качестве модулей для сравнений:
X = ]i (mod а)
означает, что разность X — ]А элементов X, Ц из R содержится
в а. Конечное число элементов а1г... , аг идеала а образует

14 ГЛАВА.!
его* базис, если каждый элемент а из а может быть представ-
представлен в виде
ХА + ...-fV*, (*/6 Я).
а есть тогда идеал (ctj,..., аг) с базисом аи ... , аг. В поле k
существует только один идеал — само это поле. Действительно,
если а есть число фО из заданного идеала а, то последний
содержит все числа вида la, а следовательно, и всякое число {$
вообще: Х=ра~1. В кольце обыкновенных целых чисел каждый
идеал является главным идеалом (а), а есть простой идеал, если
сравнение
1ц = 0 (mod a)
имеет место лишь в том случае, когда один из множителей
a, ]i = 0(moda).
Формальное выражение
2
1=0
содержащее „неизвестную" (или переменную) х, и имеющее в ка-
качестве коэффициентов а( числа из поля k, называется (k-) поли-
полиномом от х формальной степени п. Если аа ^ 0, то я есть ис-
истинная степень; Ь является единственным полиномом, не имеющим
истинной степени. Каждому известно, как складывать и пере-
перемножать полиномы; они образуют кольцо k[x] без делителей
нуля. Действительно, если а — полином истинной степени т и
Ь — полином истинной степени и:
то
имеет истинную степень т-\-п, ибо amf$n=^O- Ясно, что это
предложение ^останетс'я в силе, если коэффициенты брать не из
поля, а из любого кольца без делителей нуля. Это дает воз-
возможность перейти к полиномам от нового неизвестного у с коэф-
коэффициентами, взятыми из k[x], или, что то же самое, — к
fe-полиномам от двух неизвестных х, у, а т. д. k-полиномы от
нескольких неизвестных х, у,... образуют кольцо k [х, у,...]
без делителей нуля.
В заданном полиноме F(u, v, ...) от неизвестных и, v, ...
можно произвести подстановку
t=j(x, у, ...), v = g(x, у

ВВЕДЕНИЕ 15
с" помощью определенных полиномов /, g, ... от некоторых
других неизвестных х, у, ...; в результате получится поли-
полином Ф(х, у, ...) от х, у, . ..:
* . У, •••). g{x, У, ...), ...) = *(*, Л •••)•
В частности, вместо „аргументов" и, v, ... можно подставить
в F числа а, (}, ...; получающееся в результате число F(a, [5, ...)
называется значением полинома F при значениях а, [5, ...
аргументов и, v, ...
а есть корень полинома f(x) от л:, если /(а) = 0. Полином
степени л имеет, самое большее, п различных корней; это уста-
устанавливается хорошо известным способом, путем: доказательства
того, что /(л:I содержит множители (х — at)(x — оц).. ., если
Oj, ct2> ... — различные его корни. Это показывает, что поли-
полином }(х)^=0 не может обращаться в нуль для каждого значе-
значения х из k, если только k — поле характеристики 0, потому
что такое поле содержит бесконечное множество чисел. Можно
найти даже рациональное значение л;, для которого значение
/=7^0. Индукция по числу неизвестных позволяет обобщить это
предложение на полиномы с любым числом аргументов. Если
F(x,y,...); R^x, у, ...), R2 (х, у,... I ...
— jfe-полиномы, отличные от нуля, то произведение их FR^^...
также ^=0; поэтому наше утверждение можно усилить следую*
щим образом:
Лемма (I. 1. А). (Принцип несущественности
алгебраических неравенств.) k-поланом F(x, у, ...)
тождественно равен нулю, если он обращается в нуль для
всех систем рациональных значений х = а, у = {$, ...,
удовлетворяющих конечному числу алгебраических неравенств
От кольца k[x, у, .. . ] А-полиномов от х, у, ... можно
перейти к полю k{x, у, ...) рациональных функций от х, у, ...
над k, образуя поле отношений для k [x, у, ... ].
Производная f'(x) полинома f(x) вводится как коэффи-
коэффициент при t в разложении f(x-\-t) как полинома от t:
0-3) /(* + ')=/(*) + '•/'(*) + ¦•••
Известные формальные свойства производной являются непо-
непосредственными следствиями этого определения. Можно было бы

16 * Г Л А В А I
перефразировать определение A.3) следующим образом: суще-
существует полином g(x, у), удовлетворяющий тождеству
A.4) f(y)—f{x) = (y — x).g(x, у); -
/' (jc) есть g {х, x). Тогда как в дифференциальном исчислении
однозначная определенность производной g(x, x) обеспечивается
требованием непрерывности g (х, у) при у = х, алгебра дости-
достигает того же требованием, чтобы g было полиномом,. Произ-
Производной" от
/ (х) —
служит
f'()
Поэтому единственными полиномами / (х) над полем характе-
характеристики 0, имеющими производную /' (х) = 0, являются кон-
константы: f(x) = a0.
Для полинома /((•*)) = /(#], ..., хп) от я переменных х(
можно, аналогично разложению A.3), . образовать разложение
A.5) f(( '
Коэффициент /, ((л:, у)) при t в этом разложении по степеням t
называется поляризованным полиномом DyJ от /; он содер-
содержит новые переменные yt однородным линейным образом:
Иногда новые переменные yt обозначаются через dxt и тогда
поляризованная форма называется полным дифференциалом df
от f. Поляризация обладает формальными свойствами диффе-
дифференцирования:
A.7) { D(af) —a-Df (а —число),
[ D(f.g) =Df.g+f.Dg.
Степенью одночлена
1 2 ' " ' я
от наших п переменных хи х2, . .., хп называется сумма

ВВЕДЕНИЕ 17
целых неотрицательных показателей ги г2, ..., гп. Каждый по-
полином f((x)) является линейной комбинацией одночленов; если
все эти одночлены имеют одну и ту же степень г:
A.8) /((*)) = 2«* ...'¦*? ...*;« (/-Х + -.¦ + '•„ = '¦).
то полином называется однородным или формой степени г.
В A.8) сумма распространяется на все совокупности целых не-
неотрицательных показателей г1 гп с суммой г. Умножение
всех переменных х{ на численный множитель \ превращает
A.9) /<(*)) в V-f№).
Другим способом записи такой формы является:
= 2 р(л...g*/,... */,,
где каждый из г индексов / независимо пробегает значения
от 1 до я. В этом выражении коэффициенты р определены не-
неоднозначно^ однако, они становятся уже однозначно опреде-
определенными, если наложить на g условие симметричности:
&(/!,, ...I» = ?(/,.../,)
для любой перестановки Г, ..., г' ряда 1, ..., г. Тогда ко-
коэффициенты ^ из A.10) очевидно связаны с коэффициентами a
из A.8) следующим соотношением:
если гх из г индексов /я равны 1, г2 из этих индексов равны
2, . .., гп из них равны п.
A.10) естественно подсказывает образование полилинейной
формы
A.12) f{(x, у, .... *))=2№« ••• 'г)*/»Л. ••• г'г-
зависящей от г систем по п переменных:
С — (хи ..., х„),
A.13) ] ^
ОтформыA.12)мы снова возвратимся к форме A.10), отождествив
A.14) х = у= .. . =2 с х.
2 Г. Вейль

18 ГЛАВА I
Симметричность коэффициентов $ относительно индексов /„
эквивалентна симметричности полилинейной формы /{х, у, ..., z)
относительно перестановок г систем х, у, ..., г. Поэтому наш
результат может быть выражен так: существует однозначно
определенная симметричная полилинейная форма / (х, у, ..., z),
переходящая при отождествлении A.14) в заданную форму /((*))
степени г.
Полагая в A.9) Х=1-(-^, находим, что поляризованная
форма D J при замене у на х приводится к r-f:
То же самое явствует и из формулы A.10), которая, в предпо-
предположении симметричности коэффициентов {$, сразу дает;
Dyxf—г 2 Р(«л • • • h)Ук*1, •¦¦ xiT•
Поэтому симметричная полилинейная форма f(x,y, ..., г), со-
соответствующая заданной форме / (и) степени г, получается из
f=zf(u) путем полной поляризации:
DxaDya ... ОИ/(Й) = И-2И?2 .../r)W. ••• "ir-
Это снова доказывает ее единственность.
2. Векторное пространство
Следующим фундаментальным понятием, с которым мы должны
вполне освоиться с самого начала, является понятие вектор-
векторного пространства {над k). Векторное пространство Р есть
^-линейная совокупность элементов, называемых векторами,
т. е. область, в которой сложение векторов и умножение век-
вектора на число из k являются допустимыми операциями, удов-
удовлетворяющими хорошо известным правилам векторной геоме-
геометрии I1). « векторов е1( ..., гп образуют систему координат
или базис, если они линейно независимы, но присоединение
к ним любого другого вектора уже нарушает линейную незави-
независимость. При этих предположениях каждый вектор у. однозначно
представляется в форме
B.1) 1 = *1в1 + .-- + *А»
где числа xt суть „компоненты* вектора J. Число я не зависит
от выбора системы координат и называется размерностью век-
векторного пространства Р. Переход к другой системе коорди-

ВВЕДЕНИЕ 19
нат 6j, ..., е'я осуществляется с помощью невырожденного ли-
линейного преобразования А, описываемого матрицей ||art[| сле-
следующим образом:
B.2) е; = 2аЛ> */
k k
Матрица А = ]| aik || невырожденного линейного преобразования
есть неособенная матрица, т. е. матрица, определитель которой,
det А или | А \, отличен от нуля; обратное преобразование А*1
переводит столбец из я чисел х' обратно в столбец х. Запи-
Записывая компоненты в виде столбца (матрицы из я строк и одного
столбца), мы можем представить B.2) в сокращенной матричной
записи
B.3) х — Ах1.
Существует и другое истолкование этого или, лучше, видо-
видоизмененного равенства x' = Axt состоящее в том, что это ра-
равенство описывает линейное отображение j —*¦ J' пространства
Р на себя в фиксированной системе координат. В этом случае
мы не обязаны предполагать матрицу А неособенной. Отобра-
Отображение j—s-r.', переводящее каждый вектор j в некоторый век-
вектор j', линейно, если оно переводит
(а — любое число из k). Если такое отображение заменяет базис-
базисные векторы е;- нашей системы координат на
то оно переводит-
где
B.4) xi==^jaikxk или
ft
Тождественное отображение j—>-j представляется единичной
матрицей
Линейное отображение j—>-j', заданное в некоторой системе
координат формулой B.4), в другой системе координат, в ко-
2*

20 Г Л А В A I
торой вектор х имеет компоненты у, определяемые соотноше-
соотношением
B.5) x = Uy,
где U — неособенная матрица, выражается формулой
в этом легко убедиться, комбинируя B.4) и B.5) с соотноше-
соотношением
x' = Uy' или y' — U-ix'.
Поэтому матрица А заменяется матрицей U~lAUt получающей-
получающейся из .4, как мы будем говорить, „трансформированием с по-
помощью ?/". Так как
\lE — U-iAU\ = \U-i(\E — A)U\= \IE—A\,
то отсюда следует, что характеристический полином
А\ = 1а — *1У~1+ ...±Ьп
от неизвестной X не зависит от системы координат; в частности,
не зависят от системы координат след (trace) b{:
tr(A) = 2Jaw
и определитель
det A = bn.
Квадратная матрица А из я строк и п столбцов называется
матрицей я-го порядка.
В алгебраической модели п-мерного векторного про-
пространства вектор означает просто ряд j из я чисел:
S = (*i ¦*«)•
Эти числа суть координаты вектора j относительно „абсолют-
„абсолютной системы координат"
е1 = A,0, ..., 0),
е, = @, 1, ..., 0),
ея = @,0, ..., 1).
Нашими рассмотрениями установлен тот простой факт, что каждое •
л-мерное векторное пространство, определенное в общем аксиома-
аксиоматическом смысле, изоморфно этой единой алгебраической модели.

ВВЕДЕНИЕ 21
Линейную форму /(j), зависящую от векторного аргумента
J, можно определить без привлечения системы координат с по-
помощью функциональных соотношений
)=/(!)+/(?'), /(<Ч) =?«•/(?) (а —число).
Выражением ее в терминах системы координат будет линейная
форма в алгебраическом смысле от компонент лсг вектора J:
с постоянными коэффициентами а,-. Аналогично может быть
определена и полилинейная форма/(j,. . ., 3), зависящая от /-век-
/-векторных аргументов j, . .., 3. При отождествлении j = t) = . .. = j
она приводит к форме /(г.) степени г от одного векторного ар-
аргумента J. Тем же способом /(j) получается из каждой формы
*/(?> • • • > 8). в которую превращается /(j, ..., 3), если под-
подвергнуть г ее аргументов j, Ц, . .., j подстановке s, и потому,
в частности, из симметричной формы
где сумма распространяется на все г! подстановок s. Связь этих
замечаний с рассмотрениями относительно алгебраических форм
в конце первого параграфа ясна. Что такое форма степени г,
значительно легче описать без помощи системы координат, а
именно путем перехода через соответствующие полилинейные
формы. Определение поляризованной формы с помощью разло-
разложения /(j-j-*'ty) по степеням параметра / показывает, что по-
поляризация инвариантна относительно замены координат. Есте-
Естественным обобщением является изучение форм /(j, t), .. .),
имеющих по отношению к различным своим векторным аргу-
аргументам г, ц, ... предписанные степени jjl, v, ... В применении
к алгебраической модели векторного пространства наши незави-
независящие от нее определения показывают, что форма /((*)) =
=f(xu ..., хп) степени г переходит в такую же форму при
любом линейном преобразовании B.3); то же самое справедливо
для формы, зависящей от нескольких рядов переменных A.13),
каждый из которых подвергается тому же преобразованию B.3),
что и х.
Пусть в /t-мерном векторном пространстве Р задано /га-мер-
/га-мерное линейное подпространство Р, (/и==?я). Систему координат
е,, ..., tm подпространства Pj можно дополнить п — т векто-
векторами ew+1, ..., гп до базиса всего пространства Р. По отно»

22 Г Л А В А I
шению к этому базису, приуроченному к Р,, векторы х из Pt
суть те, у которых последние п — т. компонент обращаются в нуль:
х = (хи ..., хт, О, ..., 0).
Поэтому универсальная алгебраическая модель для этой ситуа-
ции описывается так: векторы пространства Р суть ряды из п
чисел (jfb . .., хп), векторы подпространства Pj суть ряды из п
чисел специального вида (xv .. ., хт, 0, ..., 0). Факторпро-
странство Р mod Pj есть (и — от)-мерное векторное пространство,
в которое превращается Р, если отождествить любые векторы j
и у.', сравнимые по модулю Р4, т. е. векторы, разность кото-
которых лежит в Pj.
Р разлагается на два линейных подпространства:
если каждый вектор у. единственным способом расщепляется на
сумму jj-J-j^ вектора ja из Р: и вектора j2 из Р2. Однознач-
Однозначность разложения обеспечивается, если единственным разложе-
разложением нуля:
является 0-}-0, т. е. если подпространства Pj и Р2 линейно
независимы (не имеют ни одного общего вектора, кроме нуле-
нулевого). Базис для Р] в соединении с базисом для Р2 образуют
систему координат для всего пространства Р (координаты,
приуроченные к заданному разложению); поэтому сумма
л, -f- «г размерностей подпространств Р, и Р2 равна размер-
размерности я пространства Р. По отношению к такой системе коор-
координат векторы из Р, и Р2 имеют, соответственно, вид
(лгг> .... xni, 0, ..,, 0), @, ..., 0, лгЙ1+„ ..., хп).
Слово „сумма" (но никогда не „разложение") будет иногда
употребляться и в тех случаях, когда единственность или ли-
линейная независимость не имеют места. Процесс суммирования
(независимых) подпространств легко распространяется на случай
более чем двух слагаемых:
независимость означает, что O-J-...-f-О является единственным
разложением для 0 на компоненты, лежащие в подпростран-
подпространствах Р

ВВЕДЕНИЕ 23
Если линейное отображение А переводит каждый вектор
подпространства Р: в вектор того же подпространства, то Р,
называется инвариантным относительно А, и отображение А
подпространства Pj на себя называется преобразованием, „дк-
дуцированным" в Р, отображением А. Если система коорди-
координат приурочена к подпространству Рх, то матрица А имеет вид
где Aj — матрица порядка /и, индуцированная матрицей А
в подпространстве Plf тогда как А2 можно истолковать как
матрицу соответствующего преобразования факторпространства
PmodPp В случае разбиения Р на два подпространства Р: -(- Р2,
каждое из которых инвариантно относительно А, матрица А
в системе координат, приуроченной к этому разложению, имеет вид
Хорошо известно, как матрицы заданной степени п склады-
складываются, умножаются на числа и друг на друга; умножение ас-
ассоциативно, но не коммутативно. Транспонированная матрица
для матрицы А = ||й(.А|| будет обозначаться через
А*=К*11. a*ik=ai,i-
Это — матрица подстановки
5' = Ь4,
где ? обозначает строку из чисел (?„ ..., SJ. Столбец х из
п чисел будет называться ковариантным, а строка % — кон-
травариантным вектором. Из них можно образовать произве-
произведение
являющееся однострочной квадратной матрицей или числом.
Если под влиянием перехода к новой системе координат х
подвергается невырожденному преобразованию x — Uy, то ;
будет подвергаться контрагредиентному преобразованию
так что \х останется неизменным:

24 Г Л А В A 1
Мы рассматриваем ковариантные и контравариантные векторы
как векторы в двух различных „двойственных" пространствах
I1 и Р*. Преобразование координат в одном из них автомати-
автоматически вызывает контрагредиентное преобразование координат
в другом, так что произведение he имеет инвариантный смысл.
Отображение х —>¦ х' = Ах инвариантным образом связано
с отображением $—>-?' = ?А в двойственном пространстве:
т. е. произведение $' на х равно произведению S на образ V
вектора х.
3. Ортогональные преобразования, эвклидова
векторная геометрия
Ортогональное преобразование есть преобразование B.4),
оставляющее инвариантной квадратичную форму
C.1) х*х = х*+... + х1( = х'> + ...+х'*,.
Это равносильно уравнению
C.2) А*А—Е
для А, откуда сразу следует
C.3) АА* = Е,
так как связь между матрицей А и обратной матрицей А
взаимна. Иначе это можно выразить, сказав, что ортогональная
матрица тождественна с контрагредиентной к ней. Что же ка-
касается определителя ортогональной матрицы, то из C.2) сле-
следует, что квадрат его равен 1, откуда
det А = -f-1 или — 1.
Соответственно двум этим случаям говорят о собственно или
несобственно ортогональном преобразовании.
Пусть Al!t означает умноженный на (— 1)'—* определитель
матрицы, получающейся из А по удалении /-той строки и fe-ro
столбца. Хорошо известные тождества
det Л при / = k,
0 пр

ВВЕДЕНИЕ 25
показывают, что для неособенной матрицы А отношение , *г.
det A
есть элемент обратной матрицы А~х с индексами ik; поэтому
контрагредиентной матрицей для А служит
det Л
Отсюда следует, что для собственно или несобственно ортого-
ортогонального преобразования А имеем соответственно
C.4) А1к = ±а1к.
Минор
будем обозначать символом
°l r --if,, *,---ftp-
В теории определителей доказывается следующее тождество,
связывающее миноры матриц ||a,-J| и ||Л/4||:
C-5) ^...(„.....^
„^Ц'Ч,.,,, ui
здесь р-\-а = п и
/,...«,,!,.. .'.„ kx...kpXv..X,
— четные перестановки индексов 1, 2, ..., я. В частности,
det (Аш)={ det (att)}->.
Для ортогональной матрицы Л, комбинируя C.5) с C.4), находим:
где верхний знак снова имеет место для собственно, а ниж-
нижний— для несобственно ортогональных преобразований. Эти
простые формальные соотношения понадобятся нам дальше.
Каждому известна роль, которую играют ортогональные пре-
преобразования в наиболее важной — эвклидовой—геометрии, где,
после выбора единицы измерения длин, — фута или метра, —¦
каждый вектор J имеет определенную длину, квадрат которой
задается положительно определенной квадратичной формой (JJ)
от г.. Соответствующая симметричная билинейная форма есть

26 Г Л А В А I
скалярное произведение (rt)). Условие (jty) = O означает, что J
и t) перпендикулярны. Ортогональная или декартова система
координат ej, ..., е„ есть такая система координат, в кото-
которой (JJ) имеет нормальный вид
или, другими словами, — такая, что
Все декартовы"' системы координат эквивалентны в эвклидовой
геометрии; переход от одной декартовой системы координат
к другой осуществляется с помощью ортогонального преобра-
преобразования; соответственно тому, является ли это преобразование
собственно или несобственно ортогональным, указанные системы
имеют одинаковые или же противоположные „ориентации*.
Линейное отображение j—>-r' = /4j, оставляющее длины векто-
векторов неизменными, выражается в декартовой системе координат
ортогональной м'атрицей А; в случае, когда матрица А — соб-
собственно ортогональная, мы имеем дело с „вращением".
В эвклидовой геометрии часто приходится строить декарто-
ву систему координат следующим индуктивным путем. Прежде
всего выбирают (или имеют заданным) вектор (t^O. С помощью
положительного нормирующего множителя
1
а
превращают его в вектор С1=а<х единичной длины и берут е,
в качестве первого базисного вектора. Затем выбирают произ-
произвольный вектор J^O, перпендикулярный к е,:
(?е,) ,
и берут „нормированный" j в качестве второго базисного век-
вектора е2. Следующий шаг требует решения системы двух одно-
однородных линейных уравнений
и т. д.; наконец, на последнем шаге нужно решить п—1 таких
уравнений:
(ЗСе,) = О, ..... (?(!„_,) = 0.
Согласно общей теории линейных уравнений, выписанные урав-
уравнения всегда имеют решения ?^0, поскольку в течение всего

ВВЕДЕНИЕ 27
процесса число их остается меньшим числа я неизвестных ком-
компонент вектора j = (a;1, .. . ,хп). Это построение мы будем иногда
называть классическим индуктивным построением декартовой
системы осей.
В предшествующих наших замечаниях относительно эвклидо-
эвклидовой или ортогональной векторной геометрии мы подразумевали
под основным полем k поле, обычно используемое при всех
геометрических и физических измерениях: поле К всех веще-
вещественных чисел. Однако анадиз последнего построения показы-
показывает, что оно требует лишь, чтобы поле k удовлетворяло сле-
следующим двум условиям:
1) Сумма квадратов а? -f- [}2 -f-... -f- у2 может быть равна
нулю лишь, если каждое слагаемое в отдельности равно нулю.
2) Уравнение Пифагора
имеет решение у для любых двух заданных чисел а и [5.
Второе условие позволяет выразить всякую сумму квадратов
в виде квадрата; действительно, в конечной сумме квадратов
можно выполнить сложение последовательными шагами:
а2
123'
а2 = а2 а2 -4- а2 = а2
Поле, удовлетворяющее первому условию, называется веще-
вещественным полем; если, кроме того, выполнено и'второе усло-
условие, то мы будем называть поле пифагоровым. Роль этого усло-
условия в геометрии состоит в том, что оно позволяет откладывать
заданный отрезок на заданной прямой t2).
4. Группы. Эрлангенская программа Клейна. Величины
Совокупность GL(n) всех невырожденных линейных преобра-
преобразований в «-мерном векторном пространстве Р, совокупность
SL(n) всех унимодулярных линейных преобразований (т.. е. пре-
преобразований с определителем, равным 1), совокупность О (и) всех
ортогональных преобразований и совокупность О+(я) всех соб-
собственно ортогональных преобразований — суть группы. И это
понятие есть третий столп, на который будет опираться наше
зчание. В каждой точечной области, т. е. заданной совокупно-
совокупности элементов р, называемых точками, мы можем изучать взаимно

28 Г Л ABA I
однозначные соответствия S: р — *р'. Е означает тождество,
S~l — обратное соответствие р'—>¦ р, и два соответствия
5: р-*р\ Т: р'^р" .
вместе образуют композицию
TS:p-+p\
Группа Г есть множество соответствий, содержащее тождество
Е, вместе с каждым S из Г—также обратное соответствие S~\
и вместе с любыми двумя S и Т из Г — также их композицию
TS. Рассматриваемое как абстрактная группа у, наше множе-
множество Г состоит из элементов s (безразлично какой природы),
для которых определена композиция st, удовлетворяющая сле-
следующим трем правилам:
1) закон ассоциативности (st)u — s(tu);
2) существует единичный элемент 1 такой, что 1s = s1^s
для всех s;
3) для каждого элемента s существует обратный элемент s~1,
ss-i—-s-Js = -\.
Переходя на абстрактную точку зрения, мы всегда будем за-
заменять прописные буквы Г, 5, ... соответствующими строчными
буквами у, s, ... Исходная группа преобразований Г является
точной реализацией абстрактной групповой схемы у. Говорят,
что задана реализация абстрактной группы у, если каждому
элементу s отнесено взаимно однозначное соответствие 5: 5—<- S
так, что
1—?, s-'-h-S-1, ts--+TS;
реализация является точной, если различным элементам 5 отне-
отнесены различные -S. Каждая абстрактная группа у допускает
точную реализацию, полем действия которой является само
групповое многообразие у; эта реализация осуществляется пу-
путем отнесения каждому элементу а „сдвига" в у: ¦
D.1) (a): s' = as (с обращением s = a-1s')
(регулярная реализация). Реализация посредством линейных под-
подстановок в «-мерном векторном пространстве называется пред-
представлением п-ой степени.
Здесь не место повторять вереницу элементарных определе-
определений и предложений о группах, заполняющую первые страницы
любого руководства по теории групп I3). Следуя Эрлангенской
программе Клейна!4' A872), мы предпочтем описать в общих

ВВЕДЕНИЕ 29
чертах значение групп для идеи, относительности, в частности
в геометрии. Возьмем в качестве примера эвклидово точечное
пространство. По отношению к декартовой системе отнесения \
каждая точка р представляется своей координатой x — (xv лг2,л:3)
¦—столбцом из трех вещественных чисел. (Я намеренно, отклоняюсь
от обычного словоупотребления, называя весь символ (xltxz,x3)
координатой, в единственном числе.) Координаты суть объек-
объективно индивидуализированные воспроизводимые символы, тогда как
точки все одинаковы. Не существует никакого объективного от-
отличительного свойства, с помощью которого можно было бы выде-
выделить одну точку среди всех остальных; фиксирование точки воз-
возможно только путем указательного акта, выражаемого такими
.словами, как „это", „здесь". Все декартовы системы отнесения
одинаково допустимы; никакое объективное геометрическое свой-
свойство, которым обладает одна из них, не может не быть прису-
присущим и всем остальным. Координаты х, х' одной и той же про-
произвольной точки р относительно двух таких систем связаны пре-
преобразованием S:
D.2) *; = «| + ^ «,*** С * = 1, 2, 3),
где 4 = |ja/ft|| — неособенная матрица, удовлетворяющая соотно-
соотношению
D.3) А*А = аЕ
с числовым множителем а (наличие которого обусловливается про-
произвольностью масштабной единицы.) Каждое такое преобразова-
преобразование D.2) осуществляет переход от заданной декартовой системы
отнесения к некоторой другой. В то же время S может быть
истолковано и как выражение, задающее в фиксированной декар-
декартовой системе отнесения отображение подобия р—>р' = ар рас-
рассматриваемого точечного пространства на самое себя. Группа всех
этих преобразований или автоморфизмов пространства описывает
истинный характер относительности, свойственной данному про-
пространству, истинную его степень однородности. Например, груп-
групповая характеристика эвклидовой геометрии говорит нам, что
все точки одинаковы, что в заданной точке — все направления
одинаковы, и т. д.
В аффинном точечном пространстве ограничение D.3) заме-
заменяется более слабым: det ^4 =^= 0; если же приписывать термину
„аффинное" первоначальный смысл, вкладывавшийся в этот тер-
термин Эйлером и предполагавший сохранение объема, то D.3)

30 Г Л А В А I
¦заменится условием det.4=l. Имея перед собой эти и другие
примеры, особенно проективную геометрию, Клейн выдвинул
принцип, состоящий в том, что каждая группа преобразований
может служить группой автоморфизмов и что она определяет
природу геометрии, с которой мы имеем дело. Будем различать
две тесно связанные идеи 1° автоморфизма и 2° координатиза-
ции (sit venia verbo\ [да простят это слово!]).
1° Автоморфизмы. Лейбниц выдвинул принцип: две фи-
фигуры подобны или эквивалентны, если их нельзя отличить друг
от друга, рассматривая каждую саму по себе, так как любое
возможное объективное свойство, которое имеет одна фигура,
имеет и другая I5). Лейбниц выявил, таким образом, действитель-
действительный общий смысл подобия. Для геометрии, основанной на системе
аксиом, объективные свойства и соотношения можно описать как
логически определяемые через неопределимые далее фундамен-
фундаментальные геометрические понятия, входящие в аксиомы. Отобра-
Отображение подобия или автоморфизм есть взаимно однозначное соот-
соответствие а: р—>р' = ар между точками р пространства, пере-
переводящее каждую фигуру в подобную, т. е. не нарушающее
никакого объективного соотношения между точками. (Отображе-
(Отображение р—> />' не нарушает соотношения R(p, q, ...), если образы
р', q', ... удовлетворяют этому соотношению, коль скоро ему
удовлетворяют первоначальные точки р, q, ...) Автоморфизмы
необходимо образуют группу, потому что каждая "фигура экви-
эквивалентна самой себе и эквивалентность есть симметричное и тран-
транзитивное соотношение. Групповые аксиомы представляют собой
как раз формальное выражение этих тривиальных фактов. Ма-
Математик, не расположенный к привлечению каких бы то ни было
внешних истин, будет склонен стать на ту точку зрения, что лю-
любая группа может быть задана как группа автоморфизмов; он
заявляет этим, что собирается изучать только те соотношения
между точками, которые не нарушаются при отображениях из
его группы.
2°Координатизация. В системе отнесения f точечное
пространство отображается на поле воспроизводимых символов
или координат:
р—>х или х = х(р).
(Слово „поле" употреблено здесь в широком смысле области из-
изменения.) Мы предполагаем, что координатизация устанавливает
взаимно однозначное соответствие между точками р и коорди-
координатами х. Ничто не препятствует рассматривать как систему

ВВЕДЕНИЕ 31
отнесения саму эту координатизацию. Посредством автоморфизма
о: р—>р' = ар
мы можем определить новую координатизацию
эквивалентную первой и никаким объективным способом не отли-
отличимую от нее. Обе координатизации связаны преобразованием 5,
x'=S{x) {х = х{р), х' =
описывающим автоморфизм а в системе координат х. Преобра-
Преобразования 5, выражающие различные автоморфизмы а в заданной
системе отнесения f, образуют группу, изоморфную группе авто-
автоморфизмов. В то же время группа преобразований 5 описывает
переходы эквивалентных систем отнесения друг в друга. Самое
большее, на что мы можем надеяться, — это объективно опреде-
определить класс одинаково допустимых систем отнесения, так чтобы
любые две системы из этого класса были эквивалентны. Это есть
проблема относительности: фиксировать объективно класс
эквивалентных координатизации и установить группу преоб-
преобразований S, связывающих их друг с другом. (Индивидуальная
функция преобразования 5, совершенно так же, как и сама коор-
координата х, является воспроизводимым символом.)
Однако воспроизводимыми символами требуется представлять
не только точки, но и любые другие типы геометрических
объектов; а при переходе к физике в аналогичной символиче-
символической трактовке нуждаются и всякого сорта физические величины,
как скорости, силы, напряжения поля^ волновые функции и т. д.
Часто действуют так, как если бы, раз только точки уже
подчинены этой трактовке путем фиксации для них системы отне-
отнесения, дело с этими остальными объектами устроено само собой,
не требуя особой заботы. Разумеется, это не совсем верно; тре-
требуется, по крайней мере, произвольно фиксировать дополнитель-
дополнительные единицы измерения для того, чтобы сделать схему отнесения
полной. Не стесняя себя заранее излишне жесткими рамками, мы
можем в этом случае говорить о системе отнесения, охватываю-
охватывающей все виды объектов, с тем, однако, чтобы закон преобразова-
преобразования для символов, описывающих в соответствующих системах
отнесения объекты заданного сорта (точки, или напряжения элек-
электромагнитного поля), зависел от рассматриваемого специального
объекта. Группа автоморфизмов будет тогда скорее абстрактной
группой, а не группой преобразований. Это представляется есте-

32 Г Л А В А I
ственным шагом вперед по сравнению с собственной клейновской
формулировкой его программы.- Абстрактная группа характери-
характеризует „геометрию", в смысле Клейна, тогда как тип переменной
величины в этой геометрии характеризуется законом ее преобра-
преобразования. Каждый элемент 5 абстрактной группы описывает пере-
переход от одной системы отнесения к другой. Закон преобразования
устанавливает, как изменяется символ или координата, представ-
представляющие произвольное значение рассматриваемой величины в си-
системе отнесения f, при переходе к другой системе f посредством
элемента s; следовательно, этот закон является реализацией
абстрактной группы посредством преобразований в поле ко-
координат. Я дам теперь систематическую аксиоматическую фор-
формулировку, в которой A) относится к „геометрии" или „про-
„пространству" как таковым, а B) — к специальным величинам в них.
A. „Символическая" часть (относящаяся к элементам
группы и координатам).
1°. Задана совокупность у элементов, называемых группо-
групповыми элементами. Каждая пара групповых элементов s, t по-
порождает композицию — элемент ts. Существуют единичный эле-
элемент 1, удовлетворяющий соотношению 1s=;.s1 = s, и обратный
элемент s-1 для каждого группового элемента s: s~1s = ss~1='\.
(Выполнение закона ассоциативности явно не требуется.)
2°. Заданы совокупность (или „поле") элементов, называемых
координатами х, и реализация Ж: s —>¦ S группы у посредством
взаимно однозначных соответствий х —»- х' = Sx в этом поле.
B. „Геометрическая" часть (относящаяся к системам
отнесения и величинам).
1°. Каждые две системы отнесения f, f определяют груп-
групповой элемент s, называемый переходом от f к f'. Обратно,
групповой элемент s „переводит" систему f в однозначно опре-
определенную систему f' = sf, так, что переход (f—>-f') = .s. Пере-
Переход f—> f есть единичный элемент 1, переход f—>-f — обратный
элемент по отношению к переходу f—>f. Если s, t, соответ-
соответственно, — переходы f —»¦ f', f' —>¦ f", то композиция ts есть пере-
переход f-*f\
2°. Величина q типа §{ допускает различные значения. По
отношению к произвольно фиксированной системе отнесения f
каждое значение величины q определяет координату х, так, что
q—>-х есть взаимно однозначное отображение возможных значе-
значений величины q на поле координат. Координата х', соответ-
соответствующая тому же произвольному значению q в любой другой

ВВЕДЕНИЕ 33
системе f, связана с х преобразованием х' = Sx, сопоставляе-
сопоставляемым с переходом (f—>f') = s заданной реализацией St.
Для лучшего уяснения добавим еще следующие замечания.
Связь между системами отнесения и групповыми элементами,
установленная в В1°, весьма сходна с связью между точками
и векторами в аффинной геометрии -14. Последняя аксиома в В 1°
влечет за собой закон ассоциативности для композиции группо-
групповых элементов. Эпистемолог отметит тот факт, что объекты в
(А) — групповые элементы и координаты — суть объективно
индивидуализированные и воспроизводимые символы, тогда как
любые две системы отнесения, говоря словами Лейбница, „не-
„неразличимы, если каждую рассматривать саму но себе". Они вво-
вводятся для того, чтобы сделать возможной фиксацию значений
всевозможных типов величин в нашей геометрии посредством
воспроизводимых символов. С математической точки зрения сле-
следовало бы заметить, что аксиомы В 1° содержат ничуть не больше,
чем аксиомы, определяющие группу, так что элементы любой ассо-
ассоциативной группы можно рассматривать как переходы между раз-
различными системами отнесения в надлежащей «геометрии". Дей-
Действительно, если группа у задана, можно каждый ее элемент s на-
назвать одновременно „системой отнесения" и определить переход от
системы s к системе.^ как групповой элемент ts~1. Тогда наши
аксиомы, связывающие групповые элементы с системами отнесе-
отнесения, будут, очевидно, выполнены, если групповое умножение,
ассоциативно. Таким же образом математик не поколеблется
отождествить значения величины q с ее соответствующими коор-
координатами х, и требование, чтобы объективное значение имели
лишь те соотношения, которые остаются неизменными при замене
х на
x'=Sx {S-
для каждого s, будет означать для него лишь условие, кото-
которым он провозглашает, что не будет изучать никаких других
соотношений.
Все это звучит достаточно обще и абстрактно. Тем не менее
наша формулировка В 2° еще слишком узка для многих важных
целей, так как следует учитывать возможность, что одна коор-
координатная система будет не в состоянии охватить всей области
значений величины q. Однако мы не собираемся вдаваться в эти
дальнейшие обобщения; напротив, начиная отсюда, мы ограничим-
ограничимся тем частным случаем, когда реализация 31 есть представле-
представление и потому координатой является любой ряд п чисел {xt xj
3 г.

34 ГЛАВА I
из заданного числового поля k (А-вектор). Слово „величина"
будет теперь резервировано только для этого случая, и мы еще
раз повторим определение при этом ограничении 1'Ь
Величина q типа 31 характеризуется представлением Щ
группы Y над k:s—*A(s) некоторой степени п. Каждое зна-
значение величины q определяет в системе отнесения f k-вектор
(хь..., хп), так что „компоненты" х. величиныqпреобразуются
при переходе s к другой системе f с помощью матрицы A (s).
Представления степени 1 суть представления с помощью чи-
чисел:
Частный случай представления степени 1, для которого X (s) = 1
тождественно относительно s: s—>-1, называется тождествен-
тождественным представлением; величина этого типа называется скаляром.
Мы теперь уже уверенно вошли в воды чистой математики.
Понятия неэквивалентности, приводимости и разложения пред-
представляются совершенно естественными в применении к представ-
представлению 31 группы у или к типу 31 величин. Они имеют даже
более общий смысл, поскольку группу Щ можно здесь заменить
любой совокупностью матриц.
Пусть 31 — какая-нибудь совокупность линейных преобразова-
преобразований или матриц А в я-мерном векторном пространстве Р. Если
изменить базис этого пространства с помощью невырожденной
линейной подстановки U, то каждая матрица А перейдет в
матрицы А' образуют эквивалентную совокупность 31' (^-31).
Совокупность 31 называется приводимой, если Р содержит
линейное подпространство Р', инвариантное относительно всех
преобразований А из 31 и не совпадающее ни со всем про-
пространством Р, ни с нулевым пространством, состоящим из одного
лишь вектора 0 = @, ... , 0). В этом случае Р можно отнести
к такой системе координат, что все матрицы А будут иметь
вид B.6).
Ш разложимо, если Р распадается на два ненулевых под-
подпространства Pj -j- Р2, инвариантных относительно всех А из 31.
В системе координат, приуроченной к этому разложению Pj -j- P2,
каждая матрица А имеет вид B.7), что мы будем выражать сим-
символической записью

ВВЕДЕНИЕ 35
Эти определения применимы, в частности, к группе Щ: s —>- A (s)
матриц A (s), гомоморфной заданной группе у- Если U — фикси-
фиксированная неособенная матрица, представление
s -+А' (s), A'{s) = U-iA{s)U
эквивалентно первоначальному. Эквивалентные представления мы
будем рассматривать как одно и то же представление, отнесен-
отнесенное только к различным базисам в пространстве представления,
по отношению к которым линейные операторы представления вы-
выражены в матричнрй форме. След X (s) матрицы A (s) называется ха-
характером представления. Эквивалентные представления имеют
один и тот же характер. В случае приводимости все A (s) имеют,
в надлежащей системе координат, вид B.6). Часть Л, (s) опреде-
определяет представление m-ой степени 2tj группы у, так что часть
(xv ... ,хт) величины (хи ,хп) сама является величиной типа
Щ.,; мы говорим, что она содержится в последней. Если 91
неприводимо, то сама величина называется неприводимой или
примитивной. В случае разложения B.7) наша величина яв-
является соединением двух независимых частей
s (*1> • • • . ХП1)> (ХП!+1> • ' ' > Хп)>
компоненты каждой из которых преобразуются только между
собой. Ничто не препятствует рассматривать электромагнитный
потенциал вместе с напряжением поля как .одну величину с де-
десятью компонентами; но, разумеется, это — довольно искусствен-
искусственное объединение и гораздо естественнее разложить его на две
независимые части, соответственно, с четырьмя и шестью компо-
компонентами— потенциал и напряжение поля. Очевидно является во-
вопросом первостепенной важности, разбивается ли заданная вели-
величина на несколько независимых примитивных величин, т. е.
можно ли заданное представление 81 расщепить на неприводи-
неприводимые составляющие. Другими словами: верно ли, что подпро-
подпространство Pj пространства Р, инвариантное относительно опера-
операторов A (s) из ЗГ, обладает инвариантным дополнительным
подпространством Р2, так что все пространство представления Р
разбивается на две линейно независимые части Рг —[- Р3, — и верно
ли это для всякого представления 21 заданной группы у? Ответ
оказывается утвердительным в наиболее важных случаях и, в
частности, как мы позже увидим, для всех конечных групп. •
На нашем пути мы встретились со следующей операцией
сложения, посредством которого два представления
$t:s—>A{s) и $L':s-+A'{s)
3*

36 Г Л Л В A I
одной и той же группы, имеющие, соответственно, степени т и
й, порождают представление 91-}-9Г степени т-\-п:
s-+A{s)-\-A'(s).
Соединение величины {хи ... ,хт) типа 91 с величиной {у1г ... ,уг)
типа 9Г дает величину
(*i. ... ,xm,yv... , уп).
Характер представления St-j-Щ' является суммой характеров
представлений 31 и 91'.
Другой важной операцией является умножение 91 X 91'. Если
векторы
подвергаются соответственно линейным преобразованиям
то тп произведений
D.4) xtyp {i — \,...,m;p=\ л)
подвергаются соответствующему линейному преобразованию
А X А', называемому кронекеровскам произведением преобра-
преобразований А и А'. В явной форме преобразование
очевидно задается равенством
Clp, kq = aikapq'
и наше определение сразу приводит к закону композиции
(А X А') (В X В') = (АВ X Л'?').
91 X 91' есть представление
s->(A(s)XA'(s))
степени тп. Тот же знак X будет применяться и к соответ-
соответствующим величинам. Характер представления 91X 91' есть произве-
произведение характеров представлений 9( и 9Г. Совершенно естестиен-
но возникает задача разложения произведения двух примитивных
величин на его примитивные составляющие; частные, случаи этой
задачи будут рассмотрены ниже (главы IV и VII).

ВВЕДЕНИЕ 37
Числа D.4) можно рассматривать как компоненты zip вектора
г = хУ^у в от/г-мерном векторном пространстве РР'. При рас-
рассмотрении линейных форм в этом пространстве часто оказывается
удобным заменять самый общий вектор z с тп независимыми
компонентами вектором х\у, где xi и у—независимые пере-
переменные; этот прием называется символическим методом в тео-
теории инвариантов. ¦
Отметим уже здесь некоторые важные представления полной
линейной группы OL{n); мы придем к ним, рассматривая в ас-
аспекте теории представлений преобразование форм от я перемен-
переменных под действием линейных подстановок переменных. Возьмем
любое невырожденное линейное преобразование А:
D.5) *'
Под его влиянием все одночлены заданной степени г,
*?¦*?• ••¦*«" (/"i + '+- ••+''„ = г),
подвергнутся линейному преобразованию (А)г, и соответствие
А —»(А)г будет представлением степени
1-2...г
С другой стороны, рассмотрим произвольную форму / степени г,
зависящую от контравариантного векторного аргумента (Sj, ..., ? ),
и запишем ее в виде
D-6) /=2;jrb^...*
Когда S,- преобразуются по формуле
/ переходит в форму от новых переменных ?!, коэффициенты
которой и'г,, Гп получаются из иг _, Гп с помощью той же подста-
подстановки (А)г, с которой мы встретились выше. Действительно, г-тая
степень инвариантного произведения
является частным случаем формы D.6), с

38 г л А в A i
Символический метод заменяет произвольную форму / частной
формой {sx)r.
Произведения компонент г векторов х, у г:
*/,Л. • • • z^
когреди^нтно преобразующихся посредством того же самого А,
D.5), в векторы х', у', .. . , z\ подвергаются преобразованию
А X А X • • • X А. Величина F этого типа с пг компонентами
F(itl2.. Лг) называется тензором ранга л Согласно A.10), мы
записываем нашу форму D.6) в виде
с симметрическими коэффициентами v {ixi2 ... ir), где
если /-j из г индексов /а равны 1, г2 из этих индексов равны 2,
и т. д. Поэтому многообразие форм л-той степени есть не что
иное, как совокупность всех симметрических тензоров F ранга
г—где. симметрия означает, что F(ili2...ir) не меняет своего
значения при любых перестановках индексов или аргументов
i-J,%.. Лг В пространстве тензоров ранга г симметрические тен-
тензоры образуют линейное подпространство, инвариантное отно-
относительно всех (невырожденных) преобразований А. Другое такое
инвариантное подпространство состоит из всех косо-симметриче-
косо-симметрических тензоров, т. е. тензоров, компоненты которых меняют знак
при транспозиции двух аргументов, например ix и i2:
Частным случаем упомянутой выше задачи разложения произ-
произведения нескольких примитивных величин на его примитивные
компоненты является расщепление тензорного пространства на
неприводимые инвариантные подпространства; действительно, ве-
величина, называемая произвольным тензором, есть кронекеровское
произведение г (ковариантных) векторов. Этот вопрос будет
рассмотрен в главе IV для полной линейной группы и в гла-
главах V и VI для некоторых других групп.
Прежде чем закончить этот параграф, коснемся вопроса об
относительности в эвклидовом пространстве, хотя лишь
слабо связанного с рассматриваемой здесь темой, однако инте-
интересного тем, что он породил много, путаницы у математиков
и философов; я имею в виду вопрос о связи конгруэнтности
с группой автоморфизмов эвклидова пространства. Если основывать
геометрию на некотором числе фундаментальных отношений, как

ВВЕДЕНИЕ 39
„лежит на", «между", „конгруэнтно", то автоморфизм есть соот-
соответствие, не нарушающее никакого из этих отношений. Остав-
Оставляя сначала в стороне отношение конгруэнтности, находим, что
автоморфизм, поскольку это относится к векторам, должен быть
линейным векторным преобразованием S. В предположении, что
конгруэнтность устанавливается посредством собственно ортого-
ортогональных преобразований Л, дополнительное условие на S,
а именно — не нарушать конгруэнтности, сводится к требова-
требованию, чтобы 5 было перестановочно со всей группой 0+ кон-
груэнтностей: S^AS A'
должно быть собственно ортогональной матрицей вместе с А.
Совокупность всех линейных преобразований S, удовлетворяю-
удовлетворяющих этому условию, является группой, так называемым норма-
нормализатором группы 0 + . Нормализатор группы включает эту
группу; в нашем случае он в действительности шире ее, так
как включает, кроме „вращений", также „отражения" (несоб-
(несобственно ортогональные преобразования) и растяжения. Группа 0+
играет свою внутреннюю роль в эвклидовой геометрии задолго
до возникновения „внешнего" вопроса о всех автоморфизмах;
группой ее автоморфизмов является нормализатор группы 0+,а не
сама 0+. Что же сказать теперь по поводу кантовской трак-
трактовки различия „левого" и правого" в § 13 его „Пролегомен" №1,
где он утверждает, что „различие между подобными и равными,
но не конгруэнтными вещами (как, например, противоположно
завитыми винтами) мы можем уяснить не с помощью отдель-
отдельного понятия, но лишь в связи с правой и левой рукей, тем
самым прямо опираясь на интуицию (Anschauung)"? He подле-
подлежит сомнению, что понятие конгруэнтности в пространстве ос-
основано на интуиции, однако, то же относится и к подобию.
Кант затронул на вид довольно тонкий пункт; но этот пункт
отлично подходит под общую „концепцию" группы и ее норма-
нормализатора. Группа, вообще говоря, не может быть получена из
ее нормализатора; нет ничего удивительного в том, что норма-
нормализатор может быть действительно шире самой группы.
5. Инварианты и коварианты
Пусть задана группа Г линейных преобразований А в я-мер-
ном векторном пространстве Р. Функция f(x, у, ...), завися-
зависящая от нескольких векторных аргументов
E,1) х=(хх, ... ,*„), у = {у1,...,ущ), ,..

40 ГЛАВА?
из Р, переходит в функцию /' = Л/, когда х, у, ... перево-
переводятся линейным преобразованием А в х' = Ах, у' = Ау, ...:
Как и должно быть, мы имеем тогда В (Af) = (ВА) /. Если
Af=f для всех подстановок А из нашей группы Г, то функ-
функция / называется инвариантом группы Г. В этом смысле ска-
скалярные произведения \хх), (ху), ... суть ортогональные век-
векторные инварианты. Мы будем заниматься исключительно
алгебраическим случаем, когда / есть полином, однородный
относительно компонент каждого векторного аргумента, и по-
поэтому называется инвариантной формой. Степени ji, v, ...
формы / относительно х, у, ... могут как совпадать, так и не
совпадать.
С этим элементарным понятием мы сопоставим в порядке
контраста оЗщее понятие инварианта. Тогда как первое свя-
связано с заданной группой Г линейных преобразований А,
последнее определяется по отношению к заданной абстрактной
группе у—W и нескольким ее представлениям, имеющим
соответственно степени т, я, ...:
E.2) 81: s-+A(s), 33:5 — B(s), ...
Функция f(x, у, ...), зависящая от произвольной величины х
типа Щ, далее, величины у типа 23, ..., будет определенной
функцией / от численных векторов
E.3) * = (*! хт), y = (yv...,yn), ...
в заданной системе отнесения и определенной функцией /'
в другой системе отнесения, в которой те же величины, слу-
служащие аргументами, имеют компоненты x' = (x'v ..., х' ),
V=f(x,y,...)=f{x',y,...).
Преобразованную функцию /' мы будем обозначать через sf,
где 5 — переход от первой системы отнесения ко второй:
x' = A(s)x, y = B{8)x, ...
Наша функция <р есть инвариант, если ее алгебраическое вы-
выражение / не зависит от системы .отнесения: sf=f для всех
элементов s группы у- Тот, кто из соображений математиче-
математического пуризма желает исключить из определенил ,системы отне-

ВВЕДЕНИЕ 41
сения" и „величины", предпочитая им групповые элементы
и численные векторы, назовет функцию f(x,y,...) численных
векторов х, у, ... инвариантом относительно заданных пред-
представлений Щ, S3, ... группы у, если
f(A(s)x,B(s)y,...)=f{x,y,...). .
Ясно, что элементарный случай „векторных инвариантов" под-
подпадает под эту общую схему.
В классической теории инвариантов у есть специальная (или
унимодулярная) линейная группа SL(n), а величины х,у,...,
служащие аргументами, суть произвольные формы от я пере-
переменных. Мы разъяснили перед концом предыдущего параграфа,
как такие формы интерпретировать как особого типа величины.
Обычная точка зрения классической теории несколько разнится
от этой, в том отношении, что она придает значение не самим
переменным и коэффициентам форм, но лишь их отношениям,
поскольку значения я переменных рассматриваются как одно-
однородные координаты точки в проективном (я— \)-мерном про-
пространстве, а не как компоненты вектора в аффинном и-мер-
ном пространстве. Обращение заданной формы в нуль опреде-
определяет алгебраическое многообразие я — 2 измерений; обращение
в нуль инварианта J, зависящего от нескольких таких произ-
произвольных форм, определяет проективно инвариантное алгебраиче-
алгебраическое соотношение между соответствующими многообразиями.
Особого упоминания заслуживает одно специальное обобще-
обобщение элементарной концепции, а именно, тот случай, когда аргу-
аргументами служат некоторое число ковариантных векторов х, у, .,.
и некоторое число контравариантных векторов ?, 7), ... В то
время как х, у, ... преобразуются когредиентно -с любой под-
подстановкой А из группы Г, каждый из векторов ?, i), ... под-
подвергается контрагредиентному преобразованию А. Произве-
Произведение (?х) является наиболее важным инвариантом этого типа,
как для полной линейной группы GL(n), так и для любой ее
подгруппы Г. Изучение таких функций f (х, у, ..., ?, j), ...)
включено нами в главу о векторных инвариантах по той причине,
что здесь, как и в самом элементарном случае, мы имеем, дело
с одной заданной группой Г линейных подстановок, а не
с абстрактной группой у и рядом ее представлений. (Если
х, у, ... —координаты точек в проективном (и — 1)-мерном про-
пространстве, то S, )),...— координаты плоскостей, и обратно.)
Возвращаясь к общему случаю, остановимся особо на фор-
формах f{Sc,y,...), имеющих предписанные степени ji, v, ...

42 Г Л А В A I
относительно величин х,у,..., служащих аргументами. Эти
формы суть линейные комбинации
*т — т(т-$-1)...(т + у— 1) я
/V—
1.2...,»
одночленов предписанных степеней,
Показатели степеней a, [J, . . . суть, конечно, неотрицательные
целые числа. Когда компоненты xi подвергаются линейному
преобразованию A{s), компоненты ук— преобразованию В(s), ...,
наши одночлены подвергаются некоторому составному преобра-
преобразованию U(s), определяющему составное представление \Х:
s—>U(s) степени N. Тем самым инвариантные формы
f(x, у, ...) превращаются в линейные инварианты одной вели-
величины г типа П. Однако следует подчеркнуть то обстоятельство,
что эта линеаризация проблемы инвариантов возможна лишь,
если мы изучаем инвариантные формы с предписанными степе-
степенями ц, v, ...
Линейные инварианты L{x) величины х=(хи ..., хп) за-
заданного типа Щ: s—>A(s) образуют подпространство я-мерного
пространства всех линейных форм от х. Если / — размерность
этого подпространства, то мы имеем точно / линейно независимых
линейных инвариантов. Беря их в качестве первых / координат
произвольного х в новой системе координат, мы достигаем при-
приведения представления SC к виду
A(s) =
Et О
* *
/—-ееть максимальная степень, с которой единичное представ-
представление s—>Е( содержится в 31. Если, в частности, имеет место
теорема о полной приводимости, то мы можем описать / как
максимальную кратность, с которой тождественное представле-
представление s—>1 входит в 21.
Инвариант можно описать как скаляр, зависящий от не-
нескольких произвольных величин х, у, ... предписанных типов.
Если результат преобразования sf отличается от / постоянным
множителем X (s),
E.5) sf=\(s).f,

ВВЕДЕНИЕ 43
то / называется относительным инвариантом с мультипли-
мультипликатором \{s). / = 0 остается при этом инвариантным соотно-
соотношением между переменными величинами х, у, . .. В отличие от
относительных инвариантов, инварианты в первоначальном смысле
называют абсолютными инвариантами. Мультипликатор есть
представление s —*\(s) степени 1. Еще более обще, ковариант
типа i?j: s—*H{s) есть величина / этого типа, зависящая от
аргументов х, у, ..., являющихся соответственно величинами
заданных типов St, 33, ... По отношению к заданной системе
отнесения, / будет иметь h компонент
/i=/i(*i.y. •••) /*=/*(*. >.•••).
совершенно так же как х, у, ... имеют компоненты E.3).
После осуществления перехода s к другой системе отнесения
новыми компонентами, получающимися из старых посредством
линейного преобразования H{s), будут f'1 = sf1, ..., f'h = sfh;
поэтому, если положить
/;(*',/,...)=Л(*,у,.• •) (*= 1,.... а)
с
x' = A{s)x, y' = B(s)y, ...,
должно выполняться равенство
f = sf=H.(s)f.
Система уравнений
Л=о, ..../*=о
имеет тогда инвариантный смысл, не зависящий от системы
отнесения.
В качестве иллюстрации к относительным инвариантам рас-
рассмотрим классический случай, когда у есть полная линейная
группа GL(n), состоящая из линейных преобразований
А: х\ —
¦¦ 2 *«**•
а величинами, входящими в качестве аргументов в /, являются
произвольные формы заданной степени от я переменных $,.. При
этих условиях X (А) будет однородным полиномом от я2 пере-
переменных aik; поэтому для частного преобразования
E,6) х\ = ах(

44 ГЛАВА I
мультипликатор а (Л) будет равен аа с неотрицательным целым
показателем G. Применяя соотношение
а (Л) а (В) =
к преобразованию Л и преобразованию Я=||Лде||, элементами
которого служат миноры Аы матрицы Л:
где Д=|Л| есть определитель преобразования А, получим
E.7) а (Л) X (Я) = Д°.
Но так как Д есть неприводимый полином от я2 переменных aik,
а \{В) — полином, как и Х(Л), то из E.7) с необходимостью
следует, что Х(Л) есть степень определителя Д:
E.8)
Целый показатель g называется весом относительного инва-
инварианта. Вследствие формулы E.8), относительные инварианты
полной линейной группы GL(ri) являются абсолютными инва-
инвариантами унимодулярной группы SL(n).
Основываясь на этих общих понятиях относительно полей,
векторов, групп, представлений, мы приступим теперь к изуче-
изучению алгебраических векторных инвариантов наиболее важных
групп, особенно полной и унимодулярной линейных групп, OL(n)
и SL(n), и ортогональной группы, О (л) или О+(й), для л из-
измерений.

ГЛАВА U
ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
1. Взгляд в прошлое
Теория инвариантов возникла в Англии около середины
XIX в. как естественный аналитический инструмент для описа-
описания конфигураций и их внутренних геометрических связей
в проективной геометрии. Функции и алгебраические соотно-
соотношения, выражающие их в проективных координатах, должны
быть инвариантны относительно всех однородных линейных пре-
преобразований. Кэлли первый перешел от рассмотрения определи-
определителей к более общим инвариантам. Этот путь отразился в за-
заглавии его работы, Memofre sur les Hyperdeterminants Ш A846),
которую можно считать свидетельством о рождении теории
инвариантов. В более поздних шести знаменитых Memoirs on
Quantics И A854—1859) ему удалось, среди других .результатов,
получить полную систему инвариантов для кубических и биквад-
ратичных форм. Его работу продолжили в Англии Сильвестр
и Сальмон. Сильвестр преподавал несколько лет в Johns Hop-
Hopkins University и там основал первый математический журнал
на американском континенте: The American Journal of Mathe-
Mathematics. Страницы первых томов этого журнала заполнены рабо-
работами по теории инвариантов, вышедшими из-под плодовитого пера
Сильвестра. В Германии приверженцами и продолжателями новой
дисциплины стали Аронгольд, Клебш и Гордон. В Италии эта
область привлекла Бриоши, Кремона, Бельтрами и Капелли.
Этот ранний период развития теории инвариантов носил исклю-
исключительно формальный характер: на первый план ставилось раз-
развитие формальных процессов и фактическое вычисление инва-
инвариантов. Почти все работы имели дело с одной группой —
непрерывной группой всех однородных линейных преобразо-
преобразований.
Другой импульс, в несколько отличном направлении, дала
теория чисел, более точно — арифметическая теория бинарных

46 Г Л А В А И
квадратичных форм. Здесь оказалось необходимым рассматривать
не непрерывную, а дискретную группу — группу унимодулярных
линейных подстановок с целыми коэффициентами. Гаусс в своих
Disquisitiones arithmeticae исследовал эквивалентность квадра-
квадратичных форм относительно этой группы. Кроме и после Гаусса
выдающимися исследователями в этой области были Якоби
в Германии и Эрмит во Франции.
За формальным периодом классической теории инвариантов
последовал более критический и идейный, решавший общие
проблемы теории инвариантов конечных форм не столько посред-
посредством прямых вычислений, сколько путем развития соответствую-
соответствующих общих понятий и их общих свойств по тем абстрактным
направлениям, которые позже повсеместно вошли в моду во всей
алгебре. Здесь следует упомянуть только одного человека —
Гильберта. Его работы A890—1892) знаменуют поворотный
пункт в истории теории инвариантов 131. -Он решил Основные
проблемы и тем самым почти убил весь предмет. Но все же
в прследующие десятилетия жизнь теории инвариантов вла-
влачится, хотя и слабо теплясь. А. Гурвитц делает новый и важ-
важный вклад, введя интегральные процессы, распространяющиеся
на групповое многообразие A897); в Англии А. Юнг, разраба-
разрабатывая это поле более или менее в одиночку, получает важные
результаты, относящиеся к представлениям симметрической
группы, и использует их для целей теории инвариантов A900
и позже). В последнее время древо теории инвариантов обна-
обнаружило новую жизнь и начало снова цвести, главным образом,
вследствие интереса к вопросам теории инвариантов, пробуж-
пробужденного революционным развитием теоретической физики (тео-
(теории относительности и квантовой механики), но также и благо-
благодаря связи теории инвариантов с распространением теории
представлений на непрерывные группы и алгебры.
Появление проективной геометрии произвело столь пода-
подавляющее впечатление на геометров первой половины XIX в.,
что они начали стараться втиснуть все геометрические рассмот-
рассмотрения в проективную схему. В соответствии с этим сужение
проективной группы до аффинной группы или группы эвклидо-
эвклидовых движений метрической геометрии осуществлялось путем
присоединения так называемых „абсолютных" объектов: беско-
бесконечно удаленной плоскости, абсолютной инволюции. То же
стремление проявляется, когда метрическую геометрию в вектор-
векторном пространстве трактуют, допуская произвольные аффинные
системы координат и произвольные линейные преобразования,

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 47
присоединив при этом фундаментальную метрическую форму
' x'j -\- х* -\- ... -j- х2 как нечто абсолютное, вместо того, чтобы
ограничиться лишь метрически эквивалентными декартовыми
системами координат и соответствующей группой ортогональ-
ортогональных преобразований. Этот подход, будучи легко распространи-
мым на инфинитезимальную геометрию, остался в употреблении
и весьма успешно применялся, в частности, для целей общей
теории относительности. В теории групп он сводится к тому,
что каждая группа линейных преобразований рассматривается
как подгруппа полной линейной группы и в связи с ней. Дик-
Диктаторский режим проективной идеи в геометрии впервые начал
посл'едовательно разрушать немецкий астроном и геометр Мебиус.
Но классическим документом демократической платформы
в геометрии, утверждающим группу преобразований как руко-
руководящий принцип в любого рода геометрии и предоставляющим
равные права на независимое рассмотрение каждой и всякой
такой группе, была Эрлангенская программа Клейна. Приноров-
ление теории инвариантов к этой точке зрения происходило
медленно; оно не могло быть выполнено без учета того, что
изучению инвариантов групп должно предшествовать изучение
самих групп и их представлений.
Решающим для развития теории групп было открытое
Э. Галуа A832) применение групп подстановок для исследова-
исследования алгебраических уравнений; он заметил, что связь между
алгебраическим расширением К. и исходным полем k в значи-
значительной степени определяется группой автоморфизмов. Его тео-
теорию можно описать как алгебраическую теорию относительности
для конечных множеств чисел, заданных как корни алгебраиче-
алгебраического уравнения 1*1. Краткие намеки Галуа долгое время остава-
оставались книгой за семью печатями. Только с монографией С. Jor-
dari'a „Tratte des Substitutions" A870) вновь завоеванное поле
было открыто для более широкого круга математиков. Алге-
Алгебраические проблемы, связанные с эллиптическими и модуляр-
модулярными функциями,—деление, преобразование, комплексное умно-
умножение,—доставили наиболее важный материал для новых
концепций. Возглавив это направление, Ф. Клейн и А. Пуанкарэ
создали теорию автоморфных функций. В то время как теория
Галуа имеет дело с конечными группами, здесь выдвинулись на
первый план бесконечные дискретные группы. Нужды кристал-
кристаллографии побудили к детальному изучению бесконечных дискрет-
дискретных групп движений 16'. Софус Ли положил начало общей теории
непрерывных групп с инфинитезимальной "точки зрения и показал

43 г л л в л п
ее важность' многочисленными применениями к геометрическим
вопросам и к дифференциальным уравнениям Iе).
Теория представлений групп линейными преобразованиями
была создана, в первую очередь, Г. Фробениусом Ю в течение
1896—1903 гг. Бэрнсайд независимо от него и И. Шур — про-
продолжая его, нашли существенно более простой подход, выдви-
выдвинув на первый план саму матрицу представления, вместо ее
следа — фробениусовского характера. Для инфинитезимальных
групп Ли Э. Картан доказал основные предложения об их строе-
строении и представлениях W. Все это тесно связано с гиперкомплек-
гиперкомплексными системами чисел или алгебрами. После создания Гамиль-
Гамильтоном исчисления кватернионов A843) и долгого периода более
или менее формальных изысканий, в которых наиболее выдаю-
выдающуюся роль сыграл Б. Пирс, Молин A892) был фактически
первым, кто достиг некоторых общих и глубоких результатов
в этом направлении W. Первостепенную важность для современ-
современного развития теории имела работа Веддербёрна 1101 от 1908 г., где
он исследует ассоциативные алгебры над произвольным числовым
полем k; в качестве фундаментального следует также упомянуть
исследование И. Шура о неприводимых представлениях над
произвольным числовым полем A909)tnJ. После этого теория
алгебр продвигалась вперед, в Америке главным образом тру-
трудами Л. Диксона и А. А. Алберта, в Германии — Эмми Нётер
и Р. Брауэром,
Этим кратким перечислением имен вместо реальной истории
мы удовольствуемся здесь в качестве нашего связующего звена
с прошлым Из). Библиография поможет пополнить картину в отно-
отношении современного периода.
2. Основные предложения теории инвариантов
Будет удобно, прежде чем итти дальше, проиллюстрировать
понятие векторного инварианта (глава I, § 5) двумя хорошо из-
известными примерами — симметрической группы и ортогональной
группы.
Теория алгебраических уравнений приводит к рассмотрению
симметрических функций f(xx,x2, ...,хп) от п аргументов xit
х2, . .., хп, т. е. функций, инвариантных относительно группы пп
всех л! возможных подстановок п аргументов. Эти подстановки
суть, очевидно, линейные преобразования л-мерного вектора
х = (xlt х2, ..., хп). Элементарные симметрические функции

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 49
СУТЬ коэффициенты полинома Ф(/) от неизве-
неизве, t,
B.1)
9i» Ъ> •••>
стной, t,
—t"—ь (*) t"~1+ъ (x) (п~2—• • • ± <рл (*),
корнями которого служат xlt x2, ..., хп. Таким образом,
?!<*) = 2-*''
B.2)
S
/<*<<
= *Л- ••Не-
••Нефактом, относящимся к симметрическим функциям,
является то, что они могут быть выражены через элементарные
симметрические функции <fj(x). Более подробно, для любой
симметрической функции f{xlt х2, . •., хп) от п аргументов
л:,, х2, .. ., ха существует функция F(?u $2, ..., $л) от п аргу-
аргументов Sj, 52, ..., Sn такая, что
B.3) f(x) = F (Ь (х), (р2 (х), ..., !рл W).
Мы говорим, что функции <рДя) (г = 1, 2, ..., я) образуют
функциональный базис для семейства симметрических функций.
Это предложение почти тривиально, если брать понятие функ-
функции в его наиболее широком объеме, поскольку оно тогда
утверждает просто, что значения элементарных симметрических
функций tfj(x), ..., <?t(x) определяют значения аргументов
хх, ..., хп, с точностью до их порядка, единственным образом.
Действительно, уравнением Ф(^) = 0 однозначно определяется
множество его корней. Но если / {хх, ..., ха) — полином от
jCj, ...,xn, то возникает вопрос, выражается ли / через функ-
функции <р,(х) (/= 1, 2, .. ., п) тем же самым алгебраическим спо-
способом, т. е. существует ли полином F, для которого имеет
место соотношение B.3)? Справедливость этого и утверждается
так называемой основной теоремой о симметрических функциях:
функции срДя) (/=1, 2, . .., п) образуют целый рациональный
базис для симметрических форм. Таким образом, ограничение
гипотезы, а именно предположение, что заданная симметриче-
симметрическая функция — целая рациональная, сбалансировано соответ-
4 г. Вейль

60 Г Л А В А II
ствующим сужением заключения: функциональное выражение F
для / через базис <р также должно быть целым рациональным.
Тем самым „алгебраическая теорема", относящаяся к формам /,
не есть частный случай „функциональной теоремы", где функ-
функциональная зависимость в / и F понимается в наиболее широ-
широком смысле; напротив, лишь алгебраическая теорема и требует
развитого доказательства.
Подобное положение является характерным для многих слу-
случаев. „Все инварианты варажаются через конечное их число":
эта так называемая первая основная теорема теории инва-
инвариантов подсказывается рассмотренным примером. Мы не можем
утверждать ее справедливость для каждой группы у: напротив,
главной нашей задачей будет исследовать для каждой частной
группы, существует ли для неё целый' рациональный базис или
нет; ответ, конечно, окажется утвердительным в наиболее важ-
важных случаях. В этих случаях— и это то, что я хочу подчерк-
подчеркнуть, — чисто функциональная часть, утверждающая, что значения
всех инвариантов определяются значениями базисных инвариан-
инвариантов, окажется почти тривиальной; существенные трудности
будут лежать только в алгебраической части.
Чтобы пролить дополнительный свет на этот вопрос, я вы-
выберу в качестве второго примера группу, управляющую класси-
классической эвклидовой геометрией, — группу Г = О(я) ортогональ-
ортогональных преобразований. Рассмотрим функции от двух произвольных
векторов х, у, инвариантные относительно всех (собственных
и несобственных) ортогональных преобразований. Первая основ-
основная теорема утверждает, что скалярные произведения, которые
можно построить с помощью этих двух векторов, а именно три
произведения
B.4) (хх), (ху) = (ух), (уу),
образуют базис. Функциональная часть этого утверждения есть'
не что иное, как основное предложение о равенстве треуголь-
треугольников: „треугольники ABC и А'В'С равны, если две стороны
и заключенный между ними угол одного треугольника совпа-
совпадают с соответствующими элементами другого", или, что тоже:
„две фигуры, образованные парами векторов х, у и х', у',
конгруэнтны, т. е. могут' быть переведены одна в другую путем
'надлежащего ортогонального преобразования тогда и только
тогда, когда
(**) = (*'*•), (*у) = (*У), СХУ) = (/У)"

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 51
Глубже лежит алгебраическое предложение, ,что каждая орто-
ортогонально инвариантная форма f{x,y) представима в виде пола-
нома от трех скалярных произведений B.4). Посмотрим, смо-
сможем ли мы доказать это методами, используемыми при
доказательстве сформулированной выше теоремы о конгруэнт-
конгруэнтности в аналитической я-мерной геометрии, где координаты
изменяются в поле К всех вещественных чисел.
Пусть численно заданы два вектора х, у. „Классическим
индуктивным построением" (глава I, § 3) можно выбрать новую
декартову систему координат е1, е2, ..., е" так, чтобы вектор х
был параллелен первому фундаментальному вектору е1, а век-
вектор у лежал в плоскости (е1, е2):
Целый рациональный инвариант / (х, у) должен быть тогда ра-
равен /(*',/), где
' (ООО)
Таким образом, f(x', у') есть полином от трех величин а, E, у. Но
поэтому
Итак, этот путь привел к появлению квадратных корней и зна-
знаменателя (хх).
Однако от квадратных корней освободиться довольно легко.
Мы нашли, что f(x, у) равно некоторому полиному F от вели-
величин а, р, у. Из инвариантности / относительно частных орто-
ортогональных преобразований, состоящих в изменении направления
первой или, соответственно, второй оси, следует, что F не меняется
при подстановках
A) Y — — Г. B) а —а, Р— -р.
Полином F есть линейная комбинация одночленов
4*

52
Г ЛАВД II
вследствие только что указанной инвариантности, показатель с
должен быть четным во всех членах полинома F, показатели же
а и b должны быть в каждом члене одинаковой четности, т. е.
либо оба четные, либо оба нечетные. Соответственно двум этим
случаям, М есть либо одночлен от квадратов а2, р2, Y2> либо
такой одночлен, умноженный на ар. Следовательно, F может
быть записан в виде полинома от а2, Р2, у2 и <*Pi т- е- от
(хх), (ху), (уу), Щ
Таким образом, / рационально выражается через скалярные
произведения со степенью (хх) в качестве знаменателя.
Аналогичным образом можно найти рациональное выражение
для f(x, у) через скалярные произведения, содержащее в ка-
качестве знаменателя степень (уу). Комбинируя оба результата,
можно, как мы скоро увидим (см. стр. 56), избавиться также от
знаменателей. Однако в целом описанный метод слишком
громоздок, чтобы располагать к обобщению его на случай более
чем двух аргументов.
Проблема нахождения ортогональных инвариантов от произ-
произвольного числа векторных аргументов х, у, ..., z будет реше-
решена в § 9 другим методом. Результат будет аналогичен получен-
полученному: симметричная матрица скалярных произведений
B.5)
(хх) (ху)
(ух) (уу)
(xz)
(У*)
(гх) (zy) ... (zz)
будет представлять собой полную таблицу базисных инвариантов.
Это наводит на предположение, что для заданной группы Г
линейных преобразований можно указать конечное число типо-
типовых базисных инвариантов, годное для любого числа векторных
аргументов. Такая таблица должна состоять из определенных
инвариантов, зависящих от некоторых „типовых" векторных
аргументов и, vt..., и давать целый рациональный базис для
инвариантов от произвольного числа векторных аргументов х,
у, z, ..., если подставлять эти векторные аргументы х, у, z, ...
во всех возможных комбинациях (не исключая повторений)
вместо типовых векторных аргументов и, v, ... В этом смысле
ортогональная группа имеет в качестве своего единственного
типового базисного инварианта скалярное произведение (uv).

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 53
Действительно, образуя все скалярные произведения B.5), мы
получим базис для инвариантов от независимых векторов
х, у, ..., г, каково бы ни было их число h.
Когда предлагается выразить некоторые функции, например,
инварианты, через заданные величины, например, базисные ин-
инварианты, существенно знать, зависимы эти величины между
собой или нет. Так, базисные инварианты для симметрической
группы {над полем комплексных чисел), элементарные симметри-
симметрические функции tfi (x), независимы в том строгом функциональ-
функциональном смысле, что они могут одновременно принимать произвольно
предписанные значения а{: <р; (х) = at. Действительно, компо-
компоненты X; вектора х определятся как корни уравнения
t* — а^я-i Jf. a2tn-* — ... ± ап — 0.
Алгебраическая независимость полиномов yt (x), т. е. тот факт,
что между ними не существует никакой рациональной зависи-
зависимости, является непосредственным следствием этой строгой функ-
функциональной независимости. Желательно, однако, иметь чисто
алгебраическое доказательство для этого чисто алгебраического
предложения: что полином F(?v Sj, . .., ?„) от л независимых
переменных ^, $2> • • •> ?л равен нулю как полином от ^, ?2, •; 'Лп,
если, он равен нулю как полином от xlt х2, ..., хп после
подстановки вместо $,-¦ элементарных симметрических функций
<ft(x). Такое доказательство становится уже необходимым при
оперировании в произвольном числовом поле вместо области
комплексных чисел.
Мы проведем доказательство с помощью двойной индукции
по числу п и степени полинома F. Заметим, что
) ' • •
где tpj, ..., ({/_! — элементарные симметрические функции от
хг, ..., хп. Поэтому, если мы в тождестве
положим xl=z0) то получим

54 Г Л А В A II
Так как мы принимаем в качестве предположения индукции, что
(р' ..., <$'п_г алгебраически независимы, то заключаем, что
HSj.e, ^1,0)^=0,
откуда полином F имеет вид
Так как уп(х)=?0, то G(<fv . ..,<рп) = 0; но О имеет меньшую
степень, чем F, и потому в силу второго предположения ин-
индукции должно обращаться в нуль тождественно.
Нет оснований ожидать, что это положение, с которым мы
встретились здесь в случае симметрической группы, будет ха-
характерно и для общего случая; алгебраические соотношения
между базисными инвариантами могут существовать, даже если
множество последних не слишком обширно. Это имеет место,
например, когда Г—знакопеременная группа, т. е. группа всех
четных подстановок аргументов xlt x2, ..., хп. Совокупность
базисных инвариантов для знакопеременной группы состоит из
элементарных симметрических функций у{(х), ,..,уп{х) и „раз-
„разностного произведения"
Д(*)=П (*, — **).
Квадрат последнего Д2, „дискриминант", есть симметрическая
функция и потому выражается через функции Ц/(х). Но, как
мы увидим, это соотношение является в некотором смысле
„единственным" соотношением, связывающим нашу совокупность
базисных инвариантов.
Докажем сначала, что инварианты cpt (лг), ..., (ря (дг); Д(я)
образуют целый рациональный базис для знакопеременной группы.
Форма f(xv ...,xn), инвариантная относительно четных под-
подстановок, переходит при всех нечетных подстановках в одну и
ту же форму /'. Сумма f-\~f' = F симметрична, тогда как раз-
разность /—f' — g знакопеременна, т. е. изменяет свой знак при
транспозиции двух переменных. Поэтому полином g обращается
в нуль, если отождествить два из его аргументов, скажем xi
и хк, и, значит, должен делиться на xt— xk. Делясь на каждый
из простых полиномов xt — xk, g должен делиться на их про-
произведение Д(л:):
g = b-G'.
Полином О, очевидно, симметричен. Выразив симметрические
формы F и О через элементарные симметрические функции, мы

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 55
получим для / следующее выражение через функции <f/(x) и Д(лг):
[То, что Д входит только в первой степени, не представляется
неожиданным, поскольку Д2 может быть выражено в виде поли-
полинома D от .функций ср, (х).]
Обращаясь ко второй части нашего утверждения, заметим,
что то, что упомянутое выше квадратное уравнение
B.7) A«-D(<plf ...,<pJ = O
является единственным, связывающим наши базисные инварианты
tpt (jc), ..., <fn(x); Д(х), можно утверждать в обоих смыслах —
как „функциональном", так и „алгебраическом". Что касается
функционального аспекта, то заметим, что эти инварианты
могут принимать произвольные значения tpj —alf ..., yn=att,
Д = b, подчиненные лишь условию
B.8) b* = D{au ...,ап).
Действительно, коэффициенты аь .. ., ап определяют с точностью
до порядка нумерации корни хь,.. .,>.% а соответственно этому
порядку Д (х) может принимать то или иное из значений 4; Ь,
допускаемых соотношением B.8). Что же касается алгебраиче-
алгебраического аспекта, то каждый полином Н(Zv . ..,$„; tj) от незави-
независимых переменных ?,, ..., ?„; 7], тождественно обращающийся
в нуль как полином от jc1( ..., хп после подстановки ?/ = <р,-(я),
ц=к(х), кратен левой части соотношения B.7):
где L — снова полином. Для доказательства будем рассматри-
рассматривать Н как полином от т) и разделим его на 7J — D(?v . .., ?я).
Получим линейный остаток: A(ZV . ¦ ., ?л) —[— 7)S(?1т ..., ?я). Ука-
Указанная выше подстановка ?,- = tp;. (л:), г] = Д (л;) даст оба равен-
равенства A ('f) zb Д^ ('f) = 0 соответственно порядку нумерации пере-
переменных jc,, ..., л;а. Следовательно, А(у) и Б(^) тождественно
равны нулю, откуда Л ($)= ?(!;) = 0.
Для вопроса о соотношениях между базисными инвариантами
не менее поучительной, чем эта конечная группа, является не-
непрерывная группа всех ортогональных преобразований. Выше мы
рассмотрели инварианты, зависящие от двух векторов х, у.
разисные их инварианты (хх), (ху), {уу) — по крайней мере

56 ГЛАВА П
если число измерений 5г 2 — могут принимать все численные
значения, удовлетворяющие неравенству
B.9) {хуJ^(хх)(уу);
действительно, длины двух сторон треугольника и угол, заклю-
заключенный между ними, могут быть произвольно заданы. Нера-
Неравенство B.9) с общей функциональной точки зрения, конечно,
должно рассматриваться как соотношение; с точки же зрения
алгебраической (хх), (ху), (уу) независимы, так как они не
связаны никаким алгебраическим уравнением.
Как ведут себя в этом отношении произвольное число h
независимых векторов х, у, ..., z и таблица их скалярных
произведений B.5)? Скалярные произведения алгебраически не-
независимы, коль скоро h не превышает размерности п, но пере-
перестают уже быть независимыми, если А^>л. Так, скалярные
произведения п-\-\ векторов х, у, ¦.., z удовлетворяют урав-
уравнению
(хх) (ху) ... (xz)
(ух) (уу) ... (уг)
(zx) (zy) ... (zz)
= 0.
¦В случае h <; п задача определения h векторов х, у, ..., г,
у которых матрица скалярных произведений B.5) совпадает
с заданной симметрической матрицей || aik || с h строками и
столбцами, имеет в вещественном поле К решение тогда и
только тогда, когда квадратичная форма с коэффициентами aik
является положительно определенной. Это утверждение есть
лишь другая формулировка того хорошо известного факта,
что такая форма может быть линейно преобразована в сумму *
квадратов независимых переменных. Как видим, таблица B.5)
базисных инвариантов ограничена лишь неравенствами, если
h^n; алгебраические же уравнения появляются, как только
число h векторов превосходит размерность я. Чисто алгебраи-
алгебраическое доказательство, годное при любом основном поле, будет
дано в разделе С, § 17.
Мы доказали для случая А = 2, что каждая инвариантная
форма f(x,y), зависящая от двух векторов х, у, выражается
как в виде
Р((хх),(ху),(УУ))

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 57
так и в виде
О Цхх), (лгу), (уу))
где F и G — полиномы. Полином
W(S,4l 0 — 5-0E, 4,Q
при подстановке ?==(хх), ц = {ху), С=~(.у,У) обращается в нуль.
Так как (хх), (ху) и (уу) алгебраически независимы, то он
должен обращаться в нуль тождественно относительно ?, >], С
Таким образом, F делится на ?*, скажем F^frF^ откуда
(ху), (уу))'.'
Несмотря на успех, достигнутый нами в доказательстве
первой фундаментальной теоремы для ортогональных инвариантов
от двух векторов, мы столкнемся с существенными осложнениями,
если попытаемся обращаться тем же способом с /г^>2 неза-
независимыми векторами. Этот метод становится уже совершенно
безнадежным, когда h превосходит размерность п и скалярные
произведения перестают быть линейно независимыми. Для пре-
преодоления этих трудностей требуется новый формальный ап-
аппарат.
Первой основной проблемой в теории векторных инвариантов
заданной группы Г является определение системы базисных
инвариантов, и первая основная теорема (справедливость кото-
которой, однако, мы не можем утверждать для всех групп) устанав-
устанавливает конечность такого базиса. Вторая основная проблема
состоит в определении „всех" алгебраических соотношений,
имеющихся между базисными инвариантами
<Pi(*, У, •••), <Ы*. .У. •••). •••• Ь(х> У> •••).
или, вернее, в нахождении некоторого числа таких соотноше-
соотношений, алгебраическими следствиями которых являлись бы все
остальные. Конечность этого числа устанавливается второй
основной теоремой теории инвариантов. Она верна для любой
группы, для которой справедлива первая основная теорема;
действительно, она является частным случаем общей теоремы
Гильберта, утверждающей, что каждый полиномиальный идеал
имеет конечный базис (см. библиографические указания к
главе VIII, 14J). Последняя теорема впервые была получена Гиль-
Гильбертом как раз в этом контексте теории инвариантов. Все по-
полиномы Ц (iv ?2, ... f Sr) („соотношения") от г независимых

58 ГЛАВА II
переменных ?г, ?2, ..., %., обращающиеся после подстановки
^ — tp. (х, у, ...) тождественно в нуль как полиномы от х, у, ...,
образуют идеал 3> в кольце полиномов от неизвестных Бр ..., ?г.
Согласно теореме Гильберта, идеал 2> имеет конечный базис
Rv ..., Rt. Таким образом, все соотношения /? = 0, имеющие,
место между г базисными инвариантами <рt (х, у, ...), являются
следствиями I соотношений
?, = 0, .... Я,=0.
Это общее решение, нашей проблемы не освобождает нас
от обязанности действительного определения базиса/?,, ...,Rt
для соотношений в каждом частном случае, который может нам
встретиться.
А. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
3. Первый пример: симметрическая группа
После долгого периода планирования нашего путешествия
настал, наконец, момент отправления; мы приступаем теперь
к систематическому исследованию векторных инвариантов. Пер-
Первой нашей заботой будет первая основная теорема, которую мы
докажем прямым построением конечного целого рационального
базиса для наиболее важных групп. В этом параграфе мы изучим
группу п всех л! подстановок п компонент xv . .., хп общего
вектора х.
Из определения поляризации (глава I, §1) непосредственно
следует, что она переводит инвариант в инвариант, какая бы
группа Г линейных преобразований нашего л-мерного векторного
пространства ни была положена в основу. Более подробно, если
f(x, у, ...)— форма, зависящая от нескольких векторов х, у, ...
и инвариантная относительно когредиентного их преобразования
любым элементом из Г, то поляризованная форма Daxf(x, у, ...)
также является инвариантом^ здесь и есть новый вектор, пре-
преобразующийся когредиентно с остальными. На этом замечании
основывается важность поляризации для теории инвариантов.
В § 2 упоминалась фундаментальная алгебраическая теорема,
гласящая, что элементарные симметрические функции B.2) обра-
образуют целый рациональный базис для инвариантов f(x) симметри-
симметрической группы тгл, зависящих от одного вектора х = (х^, ..., хп).
Нашей задачей теперь будет решение той же проблемы* для
инвариантов f (х^\ х&\ ...,^т)), зависящих от произвольного
числа т независимых векторов jcW, x&\ ..., х(т\ Сразу

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 59
напрашивается предположение, что полная поляризация функций
B.2) даст полную таблицу типовых базисных инвариантов.
Приписав к <р; множители i\, мы придадим поляризованной таб-
таблице B.2) вид
"Рз (в> w> w)= 2 utvkwt (A *• ' попарно
не равны)
срл(а, v, ..., w) = 2a("» ...«>, (/, А, ..., / попарно
не • равны)
Наше утверждение означает (§ 2), что для получения целого
рационального базиса для инвариантов f(xW, лг<2>, ..., лг(т>),
зависящих от т векторных аргументов л:^), х&\ ..., дгС"),
достаточно подставить в формы C.1) эти аргументы вместо
„типовых" аргументов a, v, w, ... во всех возможных комби-
комбинациях (включая повторения):
(ava2, ...,а,-=1,2, ...,т; /=1,2, ...,л).
Чтобы избежать нагромождения индексов, обозначим рас-
рассматриваемые т векторных аргументов через х, у, ..., г. До-
Доказательство проведем путем полной индукции по размерности п.
Для этой цели будем рассматривать каждый вектор х =
= (хи х2, ..., хп) как комбинацию числа хх с (я — 1)-мерным
вектором х' = (х2, ...,хп). Элементарные симметрические функ-
функции от (я — 1)-мерных векторов (неполяризованные и поляри-
поляризованные) будут обозначаться через <pj, ц'2, ..., (Рд_г Каждая
форма f(x, у z) является агрегатом (линейной комбинацией)
членов
х\у\... г]-и...-,{х',у',- ...,z-).
Если / симметрична, то симметричны также /<*?...т. и, согласно
нашему предположению о справедливости теоремы для п — 1
измерений, /«?...т выражаются (целым рациональным образом)
через поляризованные элементарные симметрические формы
fv •••' У'п-1ш Таким образом, заданная форма f(x, у, *..,z)
представляется в виде агрегата из членов

60 ГЛАВА П
где (tpjI"' обозначает произведение р. множителей tpj, зависящих,
каждый, вообще говоря, от различных аргументов.
Воспользуемся теперь равенствами B.6) в их поляризованной
форме
и выразим отсюда tpj через tp^, tpj^ и переменные xv yu ..., г1.
Этим способом мы последовательно исключим величины
заменив их на tpn_!, <ря_г, .. ., tpi и х,, ^, ..., г,, /(дг, ^, .. ., г)
выразится тогда в виде агрегата из членов
C.2) ^JS ¦ ~ «И»,)* ...(?„..,)>"•.
Вторая часть такого члена симметрична, даже если первая ком-
компонента хг каждого из векторов х заменяется, его компонентами
лг2, . .., х . Так как функция / симметрична относительно
всех п компонент, то член C.2) можно заменить на
л
Но стоящая здесь сумма получается путем последовательной
поляризации из степенной суммы
а хорошо известные формулы Ньютона показывают, как выразить
эти суммы через элементарные симметрические функции tpj,
<Р2. •••• <Р„-
Чтобы не оставлять никакого пробела в доказательстве, при-
приведем простейший вывод этих формул. Полином •
= П A —Щ*= 1 — 'f 1

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 61
имеет логарифмическую производную
п
При этом ряд Тэйлора в правой части следует понимать в фор-
формальном смысле, так что никаких вопросов о сходимости не
возникает:
— ф' (I) == ф (*) • 2 «, (х) ^ (mod
Отсюда вытекают рекуррентные формулы
2<f2 (х) = — <рх (*)»! (x) + o2 (x),
3 ip, (x) = ip, (x) a, (x) — <p, (x) <J2 (x) + o3 (x),
с условием <ру(л:) = О при v]>«.
Следует заметить, что случай я = 1 также охватывается
нашим индуктивным рассуждением, и тем самым теорема дока-
доказана нами во всех деталях.
4. Тождество Кап ел л и
Мы показали в предыдущем параграфе, что целый рацио-
рациональный базис для инвариантов симметрической группы, зави-
зависящих от одного векторного аргумента, путем полной поляризации
превращается в целый рациональный базис для инвариантов,
зависящих от произвольного числа векторных аргументов. Однако
дело обстой! определенно не так, если речь идет о произволь-
произвольной линейной группе Г. Замечательно, что тем не менее целый
рациональный базис для инвариантов, зависящих от п аргумен-
аргументов, где я — порядок группы Г, все же дает путем полной
поляризации базис для т^>п аргументов. Для доказательства
этого нам понадобится один мощный формальный инструмент —
тождество Капелли'13'. Оно относится к результату последова-
последовательных поляризаций.
Пусть х, у, z, ... — ряд независимых (ковариантных или
контравариантных) векторов в л-мерном векторном простран-
пространстве и х', у', z\ ... — те же векторы, взятые в (том же или)
другом порядке. Символы кх,х, равно как и Dx>x, будут обозна-
обозначать поляризацию. Подвергая форму f(x,y, z, ...) нескольким

62
ГЛАВА II
последовательным поляризациям Dx,x, Dy,y, Dg>z и предполагая,
что х' не совпадает ни с _у, ни с z, и у не совпадает с г,
мы получим
Выражение, стоящее в правой части, независимо от наличия
или отсутствия указанных совпадений, мы будем записывать, упо-
употребляя вместо композиции символов Dx>x, Dyy, ... композицию
вспомогательных символов \х>х, Ьуу, ...:
i,k,l
Подсчитаем, насколько отличается композиция Dz,zDyiyDx>x от
этой „псевдо-композиции". Введем для этой цели символ bxix,
определенный формулой
% / 1, если лг'=^лг,
*'* @, если х'у^х.
*
Тогда из наших определений непосредственно получим:
Нас будет особенно интересовать знакопеременная сумма
Dziz Lz'y Дг
распространенная на 3! подстановок символов х', у', г'. Инди-
Индивидуальные члены в разложении этого операторного определи-
определителя следует писать так, чтобы множители располагались слева
направо, как они стоят в самом определителе: первый множитель
из первого столбца, второй множитель из второго столбца и
т. д.; этого же правила мы будем придерживаться и во всем
дальнейшем. Выполнив в D.1) альтернирование, мы можем обме-

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
63
нять местами х' и г' во втором члене.справа и у и г' в третьем,
изменив знаки этих членов. Мы получим, таким образом,
2 ± D*>AybX'x = 2 ± А*'* V>д*'* — 2
(Jt'.y. г)
ИЛИ
2 ± Ф«
=2 ±
С помощью операторных епределителеЯ этот результат можно
записать в форме
Р.)
ay
УУ
"аг "ау "и
V А,,
понимая под этим равенство соответственных миноров третьего
порядка.
Этому равенству для трех последовательных поляризаций
предшествуют получаемые аналогичным образом равенства для
одной или двух таких операций:
Pi)
P2)
°
УУ
Распространение на четыре и большее число последовательных
поляризаций очевидно. Применяя сначала (D2) к последним двум
столбцам левой части соотношения (D3), а затем (D,) к послед-
последнему столбцу, мы получим основное равенство, вывод которого
был нашей целью:
Dz
А,,
А

64
ГЛАВА II
Аналогично для т независимых векторов х, у г вместо
трех получим
-1)... D
гу
„
••• D
xy
D
ух
(Приношу извинения за то, что х, у, ..., z пробегаются снизу
вверх и спереди назад; это — следствие скверной привычки читать
операторы справа налево.)
Операторный определитель в правой части преобразует
f(x,y, ...,z) в
где внутренняя сумма распространена знакопеременно на все
перестановки х', у', ..., z' векторов х, у, ..., г. Эта сумма
равна нулю, если не все т индексов i, k, ..., I различны. Так
как последнее невозможно при /и^>л, то результат в этом
случае равен нулю. При т = п внутренняя сумма равна
zb [ху ... г] или 0,' смотря по тому, представляет ли ряд
i, k, ..., / четную илк нечетную перестановку чисел 1,2, ..., п,
либо содержит одинаковые индексы; символ [ху ... г] означает
здесь компонетный определитель
x,
... л:
Ух Уг
*1 *2 • • • *я
инвариантный относительно унимодулярной группы SL(n); с ис-
исторической точки зрения интересно отметить, что именно от
этого частного инварианта началось все развитие теории инва-
инвариантов. Таким образом, при т = п мы получаем в правой
части
[xy...z]-Qf,

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
65
где Q/ образуется из / посредством так называемого Q-npo-
цесса Кэли:
±
('¦* I)
dnf
дхх дх2''' дхп
дУ\ &Уг''' дуп
A. JL А
dzi дг% ''' дга
f;
сумма здесь распространена знакопеременно на все перестановки
i, k, ... , / номеров 1, 2, ... , и.
Итак, мы пришли к тождеству Капелли. В его окончательной
форме обозначения х, у, ... , z можно заменить более педан-
педантичными хг, хг, .. . , х™, а символы А^* на D^.
Теорема (II.4.A).
й„
D
т\
D
'1т
\т
D,
D,
D,
21
(
12 ^11
О при т^>п,
[х1х2 ... х"] ¦ й/ при т = п.
Случаи т^>п и т = и этой формулы мы назовем, соответ-
соответственно, общим и специальным тождествами Капелли.
5. Редукция первой основной проблемы с помощью
тождеств Капелли
Применение тождества Капелли к исследованию инвариантов,
зависящих от т векторных аргументов х1, хг, ... , хт, мо-
может быть описано для произвольной группы Г линейных преоб-
преобразований А следующим образом. Поляризация Dpa переводит
(абсолютный или относительный) инвариант fix1, х2, ..., хт)
в инвариант D~J (с тем же мультипликатором). Специальное
тождество Капелли\ показывает, что, в случае /я = и, Q/ есть
относительный инвариант; мультипликатор которого равен муль-
мультипликатору инварианта /, деленному на определитель преобра-
преобразования. В частности, применение оператора й к абсолютному
5 Г. Вейль

бв Г Л А В А II
инварианту / дает абсолютный инвариант, если Г состоит из
унимодулярных преобразований; в последующем нас будет инте-
интересовать преимущественно этот случай.
Форма f(x\ хг, ... , хт) имеет определенную степень ги
г2, .. ., гт по каждому из своих аргументов х1, х2, ...,хт.
Сумма г = гх -\- г„ -\- ...-\: гт есть полная ее степень. Мы рас- .
положим формы / (х1, х2, ... , хт), в первую очередь, по их
полным степеням, т. е. будем считать / в иерархии форм ниже
чем /*, если полная степень формы / меньше полной степени
формы /*. Например, Q/ (в случае т = п) ниже чем /, так как
Q-процесс уменьшает полную степень на я. В пределах же сово-
совокупности всех форм заданной полной степени мы будем придер-
придерживаться лексикографического расположения по индивидуальным
степеням ги ... , гт, т. е. / будет считаться ниже чем /*, если
первая из степеней ги ... , гЛ, в которых различаются / и /*,
имеет меньшее значение для /. Формы, совпадающие по всем т
их степеням гр будут считаться имеющими одинаковый ранг;
для них мы порядка старшинства определять не станем.
Главный член в операторном определителе тождества Ка-
Капе лли,
\
преобразует / в
Численный множитель р при / отличен от нуля, если г, ^
т. е. если / действительно содержит первую переменную х1.
Относительно любого другого члена заметим, что в нем можно
опустить диагональные множители Daa-j-a—1; эффект их сво-
сводится просто к умножению / на некоторые постоянные, которые
мы объединим в один множитель р*, включив в него и знак
всего члена Этот член принимает тогда вид
где or>ar_,>...>o2>o1> р,=^а, и р„ р„ ..., рг есть-
перестановка ряда аи а2, ... , аг При этом, как нетрудно
убедиться, г^2 и рт ^> а,. Так как главный член является
единственным, в который не входит ни один множитель D^ с
различными индексами a, JJ, то левая часть тождества Капелли
приводится к виду
/

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 67
где
DfoJ имеет относительно х^ меньшую степень, чем /, относи-
относительно же х& —большую. Первое решает; так как о.х<^$ъ то/*
ниже, чем /.
Тождества Капелли можно теперь записать следующим об-
образом:
E.1)
E.2) tf
где 1) /* и S/ ниже чем / и являются инвариантами, если
/ — инвариант, 2) & есть последовательность поляризаций и
3) р^>0, если / действительно содержит х1.
. Предположим теперь, что мы выбрали из (абсолютных) ин-
инвариантов группы Г, зависящих от т векторных аргументов
х1, ... , х™, конечное множество
E.3) <Pi. <Р« <Р/,
относительно которых хотим доказать, что они образуют целый
рационааьный базис для всех этих инвариантов. Примем, что
таблица E.3) замкнута относительно поляризации.
Предположение I. Каждое D^} либо само есть одна
из функций <р, либо, по крайней мере, выражается через эта
функции целым рациональным образом,
Я утверждаю: при этом предположении E.3) является целым
рациональным базисом для т^>п аргументов х1,..., хт, если
те tpy, которые не зависят от х1, образуют целый рациональный
базис для т — 1 аргумента х2, ... , х.
Действительно, в силу E.1), / выражается через множество
E.3), если этим свойством обладают инварианты /*, входящие
в правую часть. В самом деле, вследствие предположения I
и формальных свойств A.1.7) операторов поляризации, из вы-
выражения для /*: f*^F*(ylt (f»2, ... , у}) получается аналогич-
аналогичное выражение для «??/*, поскольку дело сводится к применению
поляризаций D3a, из которых состоит <J>, к аргументам f lt • • • > <Р/
функции F*. Действительно,
5*

63 ГЛАВА II
Наше рассуждение предполагает, что / действительно содержит
х1, так как иначе р было бы равно нулю. Но формы /* ниже,
чем /. Применяя полную индукцию по рангу, мы будем вынуж-
вынуждены остановиться лишь, когда рассматриваемый инвариант /
окажется степени г1 = 0 относительно лг1.
Можно сделать еще один шаг и даже в случае т = п
с помощью специального тождества Капелли E.2) сократить
число аргументов до я— 1, если прибавить еще
Предположение И (относящееся лишь к случаю т = я).
Определитель [х^х2 ... хч] содержится среди функций <р, либо
выражается через эти функции.
Поскольку мы изменяем число т аргументов, наш результат
удобнее выразить в терминах типовых базисных инвариантов. Сфор-
Сформулируем это понятие еще раз. Пусть задано несколько инвариантов
E.4) $
зависящих линейным образом * от некоторых векторных аргумен-
аргументов и1, и2, ... (не обязательно одних и тех же для каждой
функции); эти инварианты образуют полную таблицу типовых
базисных инвариантов для т аргументов, если E.4) превра-
превращается в целый рациональный базис для инвариантов от т
аргументов х1, ... , хт путем подстановки этих аргументов
вместо и1, а2, ... во всех возможных комбинациях (включая
и повторения). Так как1 такая подстановка приводит к множе-
множеству E.3), удовлетворяющему требованию I, то, применяя ин-
индукцию по т, заключаем:
Теорема A1.5.А). Конечная таблица типовых базисных
инвариантов линейной группы п-го порядка будет полной
системой для любого числа т аргументов, если это спра-
справедливо для п аргументов; достаточно даже п — 1 аргумен-
аргументов, если предположить еще, что определитель [и1 и2 ... ип]
содержится в этой таблице или, по крайней мере, выра-
выражается через ее инварианты.
Даже если элементы А группы Г не унимодулярны, первая
часть теоремы сохраняет силу для относительных инвариантов,
*) Требование линейности типовых базисных инвариантов не яв-
является ограничением, поскольку полная поляризация формы любой степе-
степени всегда приводит к полилинейному выражению, которое, в свою оче-
очередь, при отождествлении аргументов приводит к исходной форме. Так
как для линейной формы f(x), Dyxf(x)—f(y), то для полученной систе-
системы базисных инвариантов автоматически выполняется предположе-
предположение I. Ред.

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 69
мультипликаторы которых принадлежат некоторой заданной
группе, т. е. совокупности, содержащей вместе с любыми двумя
мультипликаторами ji, (A), }л3 {А) также ^~ ; вторая часть требует>
чтобы группа содержала определитель преобразования \А\.
Почти во всех случаях доказательство первой основной
теоремы состоит из двух частей: формальной части, в которой
посредством тождеств Капелли проводится редукция к я или
я — 1 аргументам, и другой, более содержательной части, в ко-
которой доказательство для этого ограниченного числа векторных
аргументов осуществляется с помощью рассмотрений, сходных
с примененными в доказательстве теоремы конгруэнтности в § 2.
Формальную часть можно провести для любой группы, тогда
как содержательная часть не может деградировать до столь
общей механизированной процедуры и остается специфической
для каждой отдельной группы. Как эта комбинация осуще-
осуществляется — будет теперь показано для групп SL (я) и О (я).
6. Второй пример: унимодулярная группа SL (п)
Мы рассмотрим вопрос об инвариантах унимодулярной
группы SL(n) сразу для любого числа ковариантных или ла-
латинских векторов х, у, .. . и любого числа контравариантных
или греческих векторов ?, 7], ...
Теорема (II.6.А).
есть полная таблица типовых базисных инвариантов для
унимодулярной группы.
С помощью тождеств Капелли доказательство приводится
к случаю, когда дано только я — 1 латинских и я — 1 гре-
греческих векторов
^O.ljl X , . . . , X ,?,...,(;
Нашей целью будет показать, что зависящая от них инвариантная
форма / может быть выражена через (я — IJ произведений
(?'**) ¦(/, 4=1,..., я —1).
Предположим, что векторы F.1) численно заданы произвольным
образом, при условии лишь, что определитель
F.2) Д= det {11
1к1 1

70
ГЛАВА II
Лемма (И.6.В). В предположении F.2) можно ввести
с помощью унимодулярного преобразования новую систему
координат так, что х1, . .. , х"-1 совпадут с первыми п— 1
базисными векторами е1, ... , е"-, а п-я компонента
каждого из п — \ контравараантных векторов ?,..., 2я
обратится в нуль.
Принимая эту лемму за доказанную, мы будем действовать
дальше следующим образом. Перед преобразованием имеем
= (дг1, х\,..., х\)
F.3)
х —
Я—1 «-Л—1
х
v-П—1\
=(е*; Ч,¦¦¦,%)
после преобразования:
в» = A, О,..., О, 0)
F.4)
e«*-i = @, 0, ... , 1, 0)
Вследствие инвариантности форм (S/x*
n-i, 0)
\...,Ъ?л, 0).
кроме того, инвариант /, зависящий от аргументов F.3), равен
той же функции / от аргументов F.4). Введем полином Ф{5а}
от (я — 1 J переменных S* с помощью формулы
/1 0 ... 0 0
\о о ... 1 о ?»-!... ^=1 о
Последние два замечания приводят тогда к равенству
F.5) /(*>,..., л*-11 51 S"-1) = Ф
выполняющемуся при подстановке любых векторов х и 5, удов-
удовлетворяющих алгебраическому неравенству F.2). Д не есть
тождественный нуль, в чем убеждаемся, взяв в качестве как
векторов хг, ... t х"-1, так и векторов S1, ..., 5е, первые и — 1
базисных векторов е1, ... , еа~1 абсолютной системы координат.
Поэтому, на основании принципа несущественности алгебраи-
алгебраических неравенств, A.1, А), F.5) есть тождество,

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
71
Доказательство леммы проводится следующим образом. При
переходе от абсолютной системы координат е* к новой си-
системе е1, определенном формулами
71=
7» = ^*»+...+«„«•,
векторы хг, ... , л;" совпадут с новыми осевыми векторами
е1,..., е". Условие унимодулярности нашего преобразова-
преобразования выразится следующим линейным уравнением относительно
неизвестных гк:
*=1
где Dk — миноры матрицы компонент
F.7)
1 • • • хп
Произвольный контравариантный вектор ? преобразуется по
формулам
5 = *&1+•••+*& (/=1, .... я —I),
Потребовав, чтобы новые я-е компоненты $я каждого из на-
наших я — 1 заданных контравариантных векторов ?,..., S"-1
обращались в нуль, мы тем самым присоединим к F.6) сле-
следующие я — 1 уравнений:
' " , (/=1, ... , « — 1).
F.8)- Ж* °
Система F.6), F.8) содержит и уравнений для я неизвестных гк
и имеет однозначно определенное решение, если ее определитель
F.9)
D,
»я—1

72 ГЛАВА II
отличен от нуля. Этого уже было бы достаточно для доказа-
доказательства нашей основной теоремы, поскольку мы с равным успе-
успехом могли бы воспользоваться этим определителем вместо Д.
Однако можно показать простым формальным подсчетом, что Д
совпадает с F.9).
Теорема и ее доказательство справедливы при любом основ-
основном, поле k.
7. Теорема расширения. Третий, пример: группа
ступенчатых преобразований
В этом параграфе мы будем иметь дело исключительно
с ковариантными векторами. Исходя из заданной группы Г ли-
линейных преобразований и переменных хи ... , хп, мы построим
„расширенную группу" Г относительно я-j-v переменных
G
1)
состоящую из всех
G
2)
хи ... ,
матриц
хп\
А
В
xi>
¦ ¦-, хч,
0
с
i
удовлетворяющих следующим условиям:
G.3) А 6 Г, detC=l.
Разбиение в G.2) соответствует разбиению и-f-v переменных
на основные {xv ... , хи) и присоединенные (xv ..., jcv). Если
при v = 1 присоединение переменной хг истолковать как пере-
переход к однородным координатам, то расширение Г1 будет пред-
представлять:
1) группу параллельных переносов, если Г состоит из од-
одного лишь тождества;
2) группу, характеризующую аффинное п-мерное простран-
пространство, если Г есть GL(n) или SL(n);
3) группу, характеризующую эвклидову геометрию, если Г
есть ортогональная группа О(п) или О+(п).
Ввиду столь важных применений особенно приятно, что все
инварианты расширенной группы Г* определяются по инвариан-
инвариантам исходной группы Г посредством следующей простой и об-
общей теоремы №;
Теорема (II.7.А). Полный список типовых базисных инва-
инвариантов для расширенной, группы J™ получается из полного

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 73
списка типовых базисных инвариантов для исходной группы
Г путем присоединения определителя \х ... у г], зависящего от
n-\-v типовых аргументов х, ... , у, г.
Доказательство. Тождества Капелли сводят нашу за-
задачу к доказательству того, что инвариант группы Р,
(хх ... хах1 ... x
Ух •••УпУх--- Л
зависящий от я -f- v — 1 аргументов х, ... , у, не содержит при-
присоединенных переменных и потому является инвариантом «-мер-
«-мерного пространства относительно Г. Предполагая х,..., у численно
заданными векторами, для которых определитель
G.5)
сделаем следующую подстановку, принадлежащую V:
х\ = х, (i = \, ... , п); х'Л = ха (а—1, .„ , v— 1);
х', = (Ь^ + .. • + Ьахп) -\- (ел -f ... -f в,_Я-1 + Я)-
л-j-v— 1 коэффициентов blt ... , bn; с,, ... , cv_! можно опре-
определить так, чтобы для каждого из численно заданных век-
векторов х, ... , у последняя преобразованная компонента х!, обра-
обратилась в нуль. Определителем я-j-v—1 линейных уравне-
уравнений х» = 0, ..., y'v = 0 для п-\-у—1 неизвестных коэффи-
коэффициентов bt, cv является как раз G.5). В силу инвариантности /
получаем, что функция G.4) будет равна
хг ...хах, ...J,
Так как это равенство выполняется при подстановке любых
аргументов, удовлетворяющих алгебраическому неравенству G.5),
то по принципу несущественности алгебраических неравенств
оно должно быть формальным тождеством. Следовательно, / не
Зависит ОТ последней компоненты х^ ее векторных аргументов,

74
Г Л А В А II
Тем же путем убедимся в независимости от остальных присое-
присоединенных компонент хх, ... , х,_г
Непосредственно применяя теорему расширения (II.7.А), мы
определим здесь полную таблицу типовых базисных инвариан-
инвариантов, зависящих от ковариантных векторов, только для группы
„ступенчатых преобразований", т. е. всех преобразований G.2),
удовлетворяющих условиям
\, detC=l.
Мы снова предполагаем, что ступени имеют соответственно ши-
ширину я и v, и пользуемся для основных и присоединенных компо-
компонент обозначением G.1).
Теорема (II.7.B). Все чисто ковариантные векторные
инварианты группы ступенчатых преобразований выражаются
через два типовые: (полный) компонентный определитель
[х ... yz]nom., зависящий от всех л-j-v аргументов, и (основ-
(основной) компонентный определитель, зависящий от п основных
аргументов:
[х ... у]оы. —
Л
Обобщение на лестницу, содержащую более чем две ступени,
очевидно. В частности, можно рассматривать лестницу из и сту-
ступеней ширины 1 в и-мерном пространстве, т. е. группу всех
.рекуррентных матриц"
1 0 0... О О
яО1 I 0 ... О О
*nl
1
у которых на главной диагонали стоят одни единицы. Инва-
Инварианты этой группы называются семи-инвариантами.
8. Общий метод охвата контравариантных аргументов
Теорема расширения, установленная^ в последнем параграфе,
действительна лишь для инвариантов ковариантных векторов.
Однако существует общий метод вывода таблицы типовых базисных
инвариантов для векторов обоих видов из таблицы типовых
инвариантов для ковариантных векторов. Пусть л;1, ... , x°~i

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
75
будут я — 1 ковариантных или латинских векторов в я-мерном
пространстве; миноры ((я — 1)-го порядка) матрицы компонент
F.7), надлежащим образом занумерованные и взятые попере-
попеременно с положительным и отрицательным знаком, являются
компонентами контравариантного вектора $, который мы будем обо-
обозначать
Это непосредственно следует из тождества
сп-г
-и—1
'я
для ковариантного вектора х, если предполагать, что в основу,
положена (произвольная) группа Г унимодулярных линейных
преобразований. При истолковании 5 как однородных координат
.точки в (я — 1)-мерном проективном пространстве это есть хо-
хорошо известный процесс определения точки путем пересечения
я — 1 плоскостей.
Пусть F (х, у, ... ; ?, к], ...) — инвариантная форма, завися-
зависящая от некоторого числа латинских (ковариантных) и греческих
(контравариантных) аргументов; в частности, пусть она будет
степени я ^ 1 относительно ?. Произведя сначала в F поляри-
поляризацию по ?: „
а затем взяв в качестве S вектор [х1 ... л:""], мы превратим F
в инвариант G, имеющий относительно S степень, я—1. Новые
латинские векторы х1, ... , х"*1, введенные в этом процессе, мы
назовем символическими векторами. Результатом будет инвариант
х
dF
К'1
dF
Мы приписали множитель -г-» чтобы обеспечить превращение
нашего G обратно в F при реституции (восстановлении) $

76 ГЛАВА II
вместо [л1 ... jc""]. ? называется реституэнтой. Процесс ре-
реституции применим к любому инварианту G, линейно зависяще-
зависящему от л— 1 символических ковариантных векторов дг1,..., хп~х:
Сначала G путем альтернирования делается косо-симметрическим:
где сумма распространена знакопеременно на все перестановки
векторов х1, ... , хп~1, а затем производится реституция
[лг1 ... хп~1) —* ?. Результат, который мы выразим символической
записью О(х1, ... , л;")—*F, дается формулой
где сумма распространена знакопеременно на все перестановки
'и • • • . ln-v ln индексов 1, 2, ... , п.
.Вот два простейших примера реституции:
(8.1) [*»... ж"*]-
(8.2) (p*i)... E-1*'-1) — ^
Повторяя процесс, приводящий от F к G, можно понижать
степень, в которой входит S, пока она не обратится в нуль;
исключив так ?, можно таким же способом уничтожить и осталь-
остальные греческие аргументы. Конечно, с каждым шагом этого про-
процесса будут вводиться новые совокупности символических ла-
латинских векторов, и именно по этой причине столь важно, что мы
обладаем таблицей типовых базисных инвариантов, достаточной
для любого числа латинских аргументов. Наши рассмотрения
приводят, очевидно, к следующей лемме:
Лемма (II.8.A). Для того, чтобы доказать, что таб~
лица типовых базисных инвариантов полна, достаточно убе-
убедиться в том:
1) что она содержит полную таблицу таких инвариан-
инвариантов лишь для ковариантных аргументов и
2) что „член" (произведение базисных инвариантов), ли-
линейно содержащий п — 1 символических векторов, превра-
превращается при реституции в инвариант, представимый с по-
помощью базисных инвариантов нашей таблицы. (При выполнении
реституции можно пренебречь теми сомножителями этрго члена,

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 77
которые не содержат символических аргументов, в частности,
„чисто греческими" множителями.)
Этот метод был детально разработан Вейтценбёком ПЧ;
последний употребляет для символических векторов х1,..., хч~1
так называемый „комплексный символ" р = (р]>..., рп)у один и
тот же для каждого из этих векторов, и автоматически обес-'
печивает альтернирование,вводя правило умножения pkpl=- —ptpk.
При применении этого метода приходится часто пользоваться
некоторыми формальными тождествами для компонентных опре-
определителей. Если L[x) — линейная форма, то
(8.3)
Цх1) *}.. .xl
= 0.
Последние п — i векторов xt+*,.. ., x*+1 обозначаем х, у,..., г,
развертываем определитель по первому столбцу и переносим
последние п — i членов в правую часть; получаем;
(8.4) [я1... х'ху ... г] • L (*'+1) f-... =
Сумма в левой части состоит из i-\-l членов с чередующимися
знаками, получающихся из выписанного члена путем выбора в ка-
качестве аргумента в L по одному вектору из ряда xl,...,x', xl+1
и оставления других векторов в множителе при L в их естествен-
естественном порядке; так же следует поступить в выписанном справа
члене с рядом х, у,..., г, чтобы получить все стоящие справа
члены.
Когда дан член, содержащий компонентный определитель, то
тождество (8.4), очевидно, позволяет нам вводить в этот мно-
множитель один символический вектор за другим и тем самым
легко подготовить его к реституции:
Поэтому, если наша таблица содержит инвариант (&х), можно
предполагать в лемме (II.8.А), что член, подлежащий рести-
реституции, не содержит никакого компонентного определителя. Если
в теореме (II.6.А) доказан уже один тот факт, что [ху... г]
является единственным типовым базисным „латинским" инвариан-
инвариантом для группы SL (я), то это рассуждение в соединении

78 ГЛАВА II
с формулой (8.2) дает новое доказательство нашей теоремы (II.6.A)
относительно векторов обоих видов.
Из (8.4) с помощью индукции выводится тождество
(8.5) '%±[xi...xlx...yz...a]-L(xl+1,:..,xk) =
где L — косо-симметрическая полилинейная форма от k — i ар-
аргументов, сумма в левой части распространена знакопеременно
на все „смеси" векторов
х1 х* с х**\ ..., х",
т. е. на все перестановки векторов х],...,хк, сохраняющие по-
порядок внутри каждой из обеих групп, правая же часть рас-
распространена на все „смеси"
х, ..., у с г,..., и.
Это тождество вводит внутрь компонентного определителя одно-
одновременно еще k — / символических векторов. Частным случаем
является формула
(?*)...(&)
(8.6) [х*...х'х... vz]($x'+i) ... )
К*) • • • С*)
где С — реституэнта. В качестве применения докажем следую-
следующую теорему.
Теорема (II.8.B). Присоединение к данной в теореме
(II.6.А) таблице для SL(n-\-\) компонентного определи-
определителя [х... у]оен. основных п ковариантных аргументов х,..., у
и компонентного определителя
(8.7) [5...1)]прис.=
присоединенных v контравариантных аргументов ?,..., 7]
дает полную таблицу для группы ступенчатых преобразо-
преобразований, рассматриваемой, в теореме (II.7.В).
Согласно сделанному выше замечанию и формуле (8.2), тре-
требуют рассмотрения лишь члены, не содержащие ни одного полного
компонентного определителя латинских векторов, но зато содер-
содержащие по крайней мере один компонентный определитель основ-
основных латинских векторов. Такой член мы расщепляем тогда на произ-
произведение множителей типа [х...у]оел. и произведение множителей

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
79
типа (?х). Первое из этих частичных произведений относится
лишь к «-мерному пространству основных компонент, и, применяя
к нему наше тождество, можно собрать все символические век-
век1 й
торы х1
х1, содержащиеся в этой части, в один такой
]
р ,р
множитель [х.. ._у]оси.. Получим тогда член вида
. . . Х1Х. . .
В абсолютной системе координат е,,..., еп, еи...,е^ первый
множитель может быть записан в виде полного компонентного
определителя
\хх... х'х.. .уе1... evj.
Применяя (8.6), получим, после реституции с реституэнтой С,
(U).- Л'уЖех).. .(Се,)
(?«)... E^) ?,...?,
Разложение по последним v столбцам показывает,что это — агре-
агрегат из членов вида (?х) и (8.7).
9. Четвертый пример: ортогональная группа
При исследовании группы О (я) всех собственно и несоб-
несобственно ортогональных преобразований t16l А удобно включить
в рассмотрение (кроме абсолютных или „четных" инвариантов)
относительные инварианты особого рода (называемые „нечет-
„нечетными"), у которых мультипликатор )i(A) равен -\-\ для соб-
собственных и — 1 для несобственных вращений. Определитель
«векторов [х1... х] есть нечетный инвариант. Специальное
тождество Капелли показывает, что Q/ есть нечетный или чет-
четный инвариант соответственно четности или нечетности инва-
инварианта /. Теперь мы примем в качестве основного поля поле К всех
вещественных чисел. В случае ортогональной группы не придется
различать ковариантные и контравариантные векторы.
Нечетные инварианты, как и четные, являются абсолютными
инвариантами для группы собственно ортогональных преобра-
преобразований 0+{п). Обратно, абсолютный инвариант / группы О+(л)
переводится при всех собственных вращениях в себя, а при всех
несобственных вращениях — в одну и ту же новую форму /', и
потому / является суммой четного и нечетного инвариантов

80 Г Л А В А П
относительно полной группы О (я):
/=4(/+Я + у(/-Я
Теорема A1.9.А). Скалярное произведение {uv) а ком-
компонентный определитель [а1 и2...а4] образуют полную таб-
таблицу типовых базисных инвариантов ортогональной группы.
Произведение двух компонентных определителей может быть
выражено через скалярные произведения с помощью известного
соотношения
{х1у1){х1у^)...(х1уп)
m Ц I vl v2
\V.l) [XX....
В силу этого нашу теорему можно сформулировать следующим
образом:
Г™« Каждый четный ортогональный инвариант, зависящий
от т векторов х1, х2,..., хт в п-мерном векторном простран-
пространстве, выражается через от2 скалярных произведений (х?х$).
Каждый нечетный инвариант является суммой членов
[uxu*...un}.f*{x\...,xm),
где и1,..., и" берутся из ряда х\..., хт, а /* — четный
инвариант.
Доказательство следует схеме, принятой в § 6; однако, оно
здесь несколько усложняется, так как отправной пункт для
применения тождеств Капелли согласно § 5 должен быть под-
подготовлен дополнительной индукцией по числу измерений про-
пространства. Применением общего и специального тождеств Капелли
теорема Г" (т^п — 1) приводится к теореме 7"л~\ относя-
относящейся к я — 1 векторным аргументам в я-мерном пространстве.
Если х1,..., дг1 суть л—1 численно заданных линейно неза-
независимых векторов, то можно ввести новую ортогональную си-
систему координат так, чтобы они лежали в (я—1)-мерном про-
пространстве, натянутом на первые п — 1 фундаментальных векторов
(„неформальная" часть). Таким образом вопрос сводится к ис-
исследованию ортогональных инвариантов в я — 1 измерениях или,
более точно, так как эти инварианты зависят ровно от я — 1
векторов, — к T%l\. В соответствии с этим, представляется

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ g]
наилучшим сперва выполнить переход
(9.2) Т?Х—*Г?1-+Т1,
а затем обобщить Т" доТ". Два шага, на которые разбивается
согласно (9.2) переход T"i\—»Тп„, выполняются, соответственно,
путем „неформального" рассуждения и специального тождества
Капелли, тогда как переход Т%—>Г" (т^>п) основывается на
общем тождестве Капелли. Поскольку очевидно, как провести
вторую часть, обратимся к индуктивному доказательству тео-
теоремы 7пп по схеме (9.2). Сперва сформулируем эту теорему:
Т". Четный инвариант, зависящий, от п векторов х1,.... Xй
в п-мерном пространстве, выражается через я2 их скаляр-
скалярных произведений; каждый нечетный инвариант получается
из некоторого четного путем умножения на компонентный
определитель [х1.. . хч].
Проведем сначала переход T%Z\—>Tjp1. Пусть
( >Хп-1>Хп
— четный инвариант, зависящий от я — 1 векторов х у
в я-мерном пространстве. Функция
/о =/
\ Уп-1>
является четным ортогональным инвариантом (я—1)-мерных век-
векторов и потому, согласно 7^~i, может быть выражена в виде
полинома F от (я — IJ скалярных произведений
(хх)*, ..., (ху)\
где
(ху)* = х1У1 -{-..., + хп-\Уи-\-
При / нечетном, несобственно ортогональная подстановка
(9.3) Уп: Х\ =jclt ..., -?я_| ==xa-i> xaz=~ — ха
дала бы /0 = —/0, откуда /<р=0.
6 Г. Вейль

82 Г Л А В A II
При численно заданных х, ..., у можно найти перпенди-
перпендикулярный ко всем им вектор г=^=0 и затем применить класси-
классическое индуктивное построение декартовой системы координат
таким образом, чтобы последняя ось е" совпала по направле-
направлению с г. В этой новой системе координат е1, ..., е" последняя
компонента каждого из векторов х, ...,у обратится в нуль:
Инвариантность функции / относительно произведенного соб-
собственно ортогонального преобразования выразится уравнением
где*, ...,у суть (я—»1)-мерные векторы с компонентами
X j, • • • 1 -^я—ц
Л. •••» Уп-i-
Если / нечетна, то сразу получаем
(9.4) /=0.
Если же / четна, то, как упомянуто выше, применяем 7"JJZj
к четному ортогональному (и — 1 )-мерному инварианту /0 и
получаем
(ух\ ...,
Так как наше преобразование было ортогональным, то
и следовательно, как мы и утверждали,
/(хх), ...,(ху)'
(9.5) /(at, ...,y\ = F[ .

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 83
f
Равенства (9.4) и (9.5), первое — для нечетных, а второе—г
для четных инвариантов, верны при любом выборе численных
векторов х,...,у и, следовательно, являются тождествами
в формальном смысле. В результате, приняв Т^—и имеем:
7^~~\ Нечетных инвариантных форм от п — 1 векторов.
в п-мерном пространстве не существует, каждый же чет-
четный инвариант от п — 1 векторов выражается через их ска-
скалярные произведения.
Следующий шаг ГЦ" —> Т" производится путем применения
специального тождества Капелли к инвариантам /(дг1, . ...дг"),
зависящим от и векторов. Правая часть этого тождества
(9.6) [*»... *«].Q/
содержит множитель Q/, имеющий меньший ранг, чем /. Если
/ четно, то 12/ нечетно и по предположению индукции может
быть выражено в виде произведения компонентного определителя
[х1... ха] на полином от скалярных произведений. Восполь-
Воспользовавшись тогда равенством
[*»...*"j» = det(*-*l>) (a, p = l, ...,«),
мы выразим четный инвариант (9.6) через одни лишь скалярные
произведения. Заметим, что только этот частный случай ра-
равенства (9.1) и используется в нашем доказательстве.
Рекомендуем читателю сравнить законченное таким обра-
образом доказательство с первыми неуклюжими попытками дости-
достижения того же результата в § 2; данное там обещание теперь
выполнено. Изложенный метод проходит в том же виде при лю-
любом пифагоровом основном поле k.
По теореме расширения (II.7.А) мы можем определить
полную таблицу типовых инвариантов, зависящих только от ко-
вариантных векторов, для группы, характеризующей эвклидову
геометрию ранга v в (я-f-v—1)-мер«ом пространстве, т. е.
для расширения Г собственно ортогональной группы Г = О+(я).
Эта таблица состоит из: скалярных произведений, компонент-
компонентного определителя основных векторов и компонентного опреде-
определителя всех векторов. С помощью метода комплексных симво-
символов Вейтценбёка можно охватить и контравариантные аргу-
аргументы I"].
6*

84 Г Л А В А II
В. ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА КРУПНЫМ ПЛАНОМ
10. Рациональная параметризация ортогональной группы
по Кэли
На первый взгляд наше требование, чтобы основное поле
было пифагоровым, представляется необходимым в случае эв-
эвклидовой геометрии, где основным метрическим построением
является откладывание заданного отрезка на заданной прямой.
Поэтому покажется несколько неожиданным, что основные резуль-
результаты остаются в силе для любого числового поля k (характеристи-
(характеристики 0). Это существенно основывается на возможности рациональ-
рациональной параметризации ортогональной группы, впервые обнаружен-
обнаруженной Кэли 1181. К сожалению, параметрическое представление Кэли
не охватывает некоторых ортогональных матриц, и значительная
доля нашего труда будет потрачена на то, чтобы свести на-
нет эффект этих исключений. Затронута наша алгебраическая
амбиция; мы прерываем общий ход изложения и обращаемся
к более подробному изучению ортогональной группы при про-
произвольном основном поле k.
Будем называть матрицу А неисключительной, если
При этом условии введем матрицу 5 посредством равенства
Е-\- 5=2 (? + А)~\
с обращением
Матрица S — также неисключительная, Причем А и S взаимно
связаны друг с другом соотношениями
(\0Л) $ = {Е
A.0.2) A=(E
В силу перестановочности обоих множителей, последнее соотно-
соотношение можно записывать также в форме
Это и есть подстановка Кэли.
Пусть теперь G=||g",-ft||—произвольная матрица. Равенство
A0.3) A*GA = G

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ * 85
выражает условие, при котором подстановка А оставляет инва-
инвариантной билинейную форму
Лемма (II. 10.А). Если А и S — неисключительные мат-
матрицы, связанные соотношениями A0.1) и A0.2), a G— произ-
произвольная матрица, то A*GA=G в том и только в том слу-
случае, когда
A0.4)
Выполняя в A0.1) транспонирование, получаем
Е — Л* = S* (Е-\-А*).
Умножая справа на GA и принимая во внимание A0.3), находим:
G(A — E) = S*G(A + E),
что по умножении справа на {А-\-Е)~^ дает:
Обратно, приняв A0.4) и умножив транспонированное равен-
ство A0.2)
A*{E-\-S*) = E — S*
справа на G, получим
что по умножении справа на (E-J-S)-1 дает A0.3).
Польза подстановки A0.2) заключается в том, что она превра-
превращает квадратичные соотношения A0.3) для А в линейные соот-
соотношения A0.4) для S. Мы используем эту лемму для случая,
когда G — симметричная неособенная матрица, в частности G = E,
а также, когда О — косо-симметричная неособенная матрица.
Сформулируем наш результат в применении его к случаю G — E.
Теорема (II.10.B). Каждая неисключительная ортогональ-
ортогональная матрица А предетавима в форме A0.2), где S — неисклю-
неисключительная косо-симметричная матрица. Обратно, если S—¦
неисключительная косо-симметричная матрица, то матрица
А, определенная формулой A0.2),—неисключительная орто-
ортогональная.
На протяжении этого и следующих параграфов S = || slk || бу-
будет обозначать косо-симметричную матрицу. Отметим равенство,
имеющее место для этих матриц:
A0.5) det {E — S) — del [E + 5») = det {E-{-Sf = det {E -f S).

86 * Г Л А В А II
Это наталкивает на следующее любопытное замечание: мат-
матрица А, заданная формулой A0.2), имеет определитель -|-1, так
как числитель и знаменатель в силу A0.5) имеют один и тот же
определитель, неравный 0; следовательно, это представление, а по-
потому и гипотеза det (Е -\- А) фО, на котором оно основано,
должны быть невозможны для несобственно ортогональных пре-
преобразований.
Следствие 1. Для каждой несобственно ортогональной
матрицы А имеем
Если наше пространство имеет нечетную размерность п и А —
собственно ортогональная матрица, то —А будет несобственно
ортогональной. Поэтому в таком пространстве для каждой соб-
собственно ортогональной матрицы А имеем
det(? — A) = 0.
Из этого соотношения следует, что однородные линейные урав-
уравнения
ft* —««)** = 0 или *, = |>(.Л
имеют ненулевое решение (xv ..., ха).
Следствие 2. Каждое собственное вращение в простран-
пространстве нечетной размерности обладает „осью", проходящей че-
через начало, точки которой при этом вращении остаются на
месте.
Простой факт, установленный в следствии 1, должен иметь
более непосредственное основание, чем представленное нами. И оно
достаточно просто. Взяв определитель от обеих частей равен-
равенства
А* (Е-\-А) = А* + Е,
находим для несобственного А:
— det (Е-{-А) = det (A* -f E) = det [E + А).
Обратимся теперь к более подробному исследованию соб-
собственно ортогональных матриц, в частности исключительных соб-
собственно ортогональных матриц А, т. е. удовлетворяющих уравнению

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 87
Если матрица А — исключительная, то тем же свойством обла-
обладает и любая сопряженная матрица A'=U~1AU, где U — про-
произвольная ортогональная матрица; действительно,
и потому
Если неисключительная матрица А представлена в виде
то сопряженная матрица А' = U~lAU задается равенством
где
S' = U-iSU и
Для исключительной матрицы А однородные линейные уравнения
A0.6) ?(»» + */*>** = ° ('=1 «)
имеют ненулевое решение xk. Обозначим линейное подпростран-
подпространство всех векторов х, удовлетворяющих этим уравнениям, через
Р°. Мы собираемся применить к Р° следующую лемму:
Лемма (II. 10.С). Пусть Р° — т-мерное линейное под-
подпространство пространства Р. Тогда можно ввести ортого-
ортогональную систему координат еи ..., еа, первые т фундамен-
фундаментальных векторов которой ег, ...,ет будут лежать в Р°
(причем Р° будет натянуто на них). Это верно в предполо-
предположении, что основное поле k вещественно и пифагорово*). Если
k только вещественно, то построение может потребовать
нескольких последовательных присоединений квадратных кор-
корней аз сумм квадратов.
Доказательство первой части состоит в классическом индук-
индуктивном построении декартовой системы координат, возможном
в предположении, что поле k вещественно и пифагорово. Если
поле не пифагорово, то это построение требует присоединения
квадратных корней из сумм квадратов. Остановимся немного на
этом процессе.
*) См. стр. 27.

83 Г Л А В A II
Пусть k — заданное вещественное поле и с — число, задан-
заданное в k как сумма квадратов,
но само не являющееся квадратом в k. Тогда полином уг— с
от неизвестной у неприводим над k. Поле (k, Ус), получающе-
получающееся путем присоединения к k квадратного корня Ус, состоит из
всех ^-полиномов от неизвестной у по модулю у2 — с, т. е. об-
обращение такого элемента /(у) в нуль означает делимость его
на у2 — с. Все элементы поля (k, Ус) однозначно представимы
в форме -v.
Замечание, которое мы хотим здесь сделать, состоит в том, что
если k вещественно, то вещественно и (к, Ус). Другими сло-
словами, сравнение
A0.7) (аг + &л)»-Ь.. + (а, + *л)* = ° (modf_c)
выполняется лишь, если все числа a, b из k равны нулю. A0.7)
эквивалентно следующим двум уравнениям в к:
Первое уравнение можно записать в форме
t
Вследствие вещественности поля k заключаем отсюда, что
т. е., что действительно все я и Ь равны нулю.
Процесс присоединения квадратного корня из суммы квад-
квадратов мы назовем „пифагоровым присоединением". Наше заме-
замечание обосновывает возможность последовательных пифагоровых
присоединений без разрушения нашей конструкции, поскольку
в процессе всех этих расширений поле остается вещественным.
Обратимся теперь к обещанному выше применению нашей
леммы к /и-мерному подпространству Р° всех векторов х, удовле-
удовлетворяющих системе A0.6). После введения новой декартовой си-
системы координат, на первые т осей которой ev ..., ет натя-

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ ' 89
нуто Р°, наша матрица А принимает вид
II о в\\' .
так как система A0.6) имеет теперь решения
«, = A,0, ..., 0|0, .... 0)
Сумма квадратов элементов первой строки матрицы А равна 1,
(-!)•+. 2, ,<=!. °™У» ± а\к =0. .
k=m-\-l k—m-\-\
В силу вещественности поля это влечет за собой, что все эле-
элементы alk {к = т-\-1, ...,я) равны нулю. То же верно для ка-
каждой из первых т строк, так что верхний правый прямоуголь-
прямоугольник, обозначенный звездочкой, как и нижний левый, заполнен
нулями. det(E-\-B) не должен равняться нулю, так как иначе
система A0.6) имела бы решение
лежащее вне Р°. Поэтому В необходимо является собственно ор-
ортогональным преобразованием, и так как А было предположено
собственно ортогональным, то определитель нашего /я-мерно-
го —Ет должен быть равен -\-\; таким образом т должно быть
четным: т = 2р, п — 2p = q. Мы пришли к следующему резуль-
результату:
При применении к А надлежащего ортогонального преобра-
преобразования U,
А распадается по формуле
A = ( — Etp)+B,
где В — неисключительная собственно ортогональная матрица
в ^-мерном пространстве.
Отсюда легко вытекает
Лемма (II.10.D). При вещественном основном поле k каж-
каждая собственно ортогональная матрица А может быть запи-
записана в виде произведения двух перестановочных неисключитель-
неисключительных собственно ортогональных матриц Av A3.

90 г л А в а н
Доказательство. Примем сначала, что наше поле k ве-
вещественно и пифагорово. Применив наше преобразование U,
положим
(р слагаемых)
• ? = (?-» + .... + G-oL-fl;
>lj = U-^AJJ, A2 = i/-Mai/.
Тогда у4х, Л2 будут удовлетворять относительно А всем требуе-
требуемым условиям, поскольку эти условия выполнены для трансформиро-
трансформированных матриц AltA2 относительно А.
Если k вещественно, но не пифагорово, то описанное выше
построение проходит после применения надлежащей цепи пи-
пифагоровых присоединений, расширяющей k до некоторого также
вещественного поля К. В силу неравенства
мы можем, согласно теореме (II.10.B), написать:
Косо-симметричная матрица S = |] sik || будет перестановочна с Л, и
A0.8) det (E-\-S) —det (E — S)=?0.
Отметим, между прочим, что S = U~1SU, где
и 0 —нулевая матрица q-ro порядка.
Так как
то неравенство det (Е -(- Л2) ф 0 равносильно неравенству
A0.9) ¦ det{(? — S) + (E + S)A}=?0.
Перестановочность с А,
SA = AS,
налагает на у я (я — 1) неизвестных slk(i<^k) некоторое коли-
количество линейных условий. Так как коэффициенты этих уравнений
лежат в А, то можно найти фундаментальные решения ^\ W

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 91
в k так, чтобы каждое решение (в К или любом поле над k) было
линейной их комбинацией:
A0.10) S = T1S<1>-t-...+TASW.
Оба определителя A0.8) и A0.9) после подстановки вместо S
выражения A0.10) становятся полиномами от т,, .. ..т^. Они не
могут тождественно обращаться в нуль в формальном смысле,
поскольку нам известны значения параметров т в К, при кото-
которых оба эти определителя не равны 0. Поэтому мы можем найти
такие значения в k или даже рациональные значения, которые
ни один из этих определителей не обращают в нуль.
Хотя это завершает доказательство нашей леммы, не беспо-
бесполезно, пожалуй, немного подробнее рассмотреть обычно встре-
встречающийся случай. Перемножив две перестановочные неисключи-
неисключительные собственно ортогональные матрицы
мы получим в результате
ПП1П А — А л __^-Si)(E-S2)_(E+S1S2)-(Sl + Si)
[ ' ' 2~{?+Sl)(E + S2) — (E+SlS2) + (S1 + S2)'
а это выражение снова имеет тот же вид A0.2), с косо-симмет-
косо-симметричной матрицей
Мы встретились здесь с тем, что в области скаляров известно
под названием закона сложения тангенсов. Полученное правило,
конечно, теряет силу, если
и этим обстоятельством объясняется больший объем области
бинарных произведений A0.11), охватывающей наряду с неисклю-
неисключительными также исключительные преобразования.
11. Формальные ортогональные инварианты
Параметризация Кэли сразу показала бы, что собственно ор-
ортогональные матрицы образуют рациональное неприводимое
алгебраическое многообразие в и2-мерном пространстве всех мат-
матриц, — не будь исключительных элементов, не охватываемых пара-
параметризацией. Естественно напрашивается предположение, что

02 ГЛАВА II
эти элементы, возможно, не играют роли. Руководствуясь этой
надеждой, попробуем воспользоваться следующим модифициро-
модифицированным определением ортогонального инварианта, имеющим то
преимущество, что оно носит более формальный алгебраический
характер. Рассмотрим произвольную форму f{x,y, ...), зависящую
от нескольких векторов х, у, ... в нашем я-мерном простран-
пространстве и однородную относительно этих аргументов с предписан-
предписанными степенями jjl, v, ... Произведем над х, у, ... когредиентно
подстановку
{
где 5=||5Й1] — косо-симметричная матрица Нтп(й — 1) вели-
величин s(k (i<^k) рассматриваются как неизвестные. В результате
мы получим рациональную функцию от этих неизвестных, знаме-
знаменателем которой служит det(?-j"^) в степени A = jt-|-y-|- ...:
f(x,y, ...;slk)
Функция /, для которой постулировано тождество
относительно х, у, ... и уя^— 1) переменных sik, называется
формальным ортогональным инвариантом.
Этот постулат подчиняет коэффициенты функции / некоторому
количеству однородных линейных уравнений с рациональными
коэффициентами. Поэтому можно найти совокупность "линейно
независимых базисных инвариантов fv .. .,/#» имеющих предпи-
предписанные степени и рациональные коэффициенты, такую, что каж-
каждый инвариант / (над k) есть линейная комбинация aj^ -{-...
... _|_ ufijfN с постоянными коэффициентами а (из k). Теперь,
безотносительно к положенному в основу числовому полю k ха-
характеристики 0, наша проблема сведена к проблеме, касающейся
лишь фундаментального поля х рациональных чисел.
Главным нашим результатом будет подтверждение теоремы
(II.9.A) для формальных ортогональных инвариантов. Нам
нужно будет просто подправить наше прежнее рассуждение с тем,
чтобы устранить препятствия, которые могут представить имею-
имеющиеся „исключения". Лемма (I1.10.D) и была придумана для
достижения этой цели. Действительно, функция, инвариантная
относительно преобразований А1 и Л2, инвариантна также отно-
относительно A = AlAi, и таким путем инвариантность можно рас-

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 93
пространить с неисключительных на все ортогональные преобра-
преобразования. Сделаем несколько предварительных замечаний, ко-
которые подготовят нас к выполнению стоящей перед нами задачи.
Введем специальную несобственно ортогональную инволю-
инволюцию Jn:
(9.3) х1 = хи .. ., хп_1 = хп_х, хп= хп.
Будем называть формальный инвариант / четным или нечетным
сообразно тому, переводит ли Jn функцию / в / или же в —/.
Преобразование Jn_v изменяющее знак лишь (п—1)-й перемен-
переменной, будет оказывать то же действие, поскольку собственно
ортогональное преобразование Jn_1Jn,
Х'п-1—~Хп-Ь х'„= хп
оставляет / неизменной. Действительно, •/„_!•/„' есть квадрат не-
неисключительной матрицы
где Sn_i „ обозначает косо-симметричную матрицу, в которой
единственными элементами, отличными от нуля, являются
sn-\, n== sn, я-1 == 1 •
Так как / — формальный инвариант, то и форма f, в которую
Ja переводит /, также естьч формальный инвариант; инвариант-
инвариантность /' относительно
А = (Е — S)(E-\-S)'1
равносильна инвариантности / относительно
А' = J^AJa = (Я - S') (Е + ST1 W = J~*SJa).
f-\-f четно, /—/' нечетно. Следовательно, каждый формаль-
формальный инвариант является суммой четного и нечетного инвариантов.
Если
• • • *«-! Хп
¦ - • Л-1Л
есть формальный инвариант в л-мерном пространстве, то

94 г л а в а П
есть формальный инвариант в (я — 1)-мерном пространстве. Сде-
Сделанное выше замечание о Ja_x и Ja показывает, что последний
инвариант четен, если четен первый. Если же заданный инвари-
инвариант / нечетен, то A1.1), очевидно, является нулем, потому что
Jn есть тождество в подпространстве ха = 0.
Мы теперь уже в состоянии произвести ревизию нашего до-
доказательства в новой, более формальной интерпретации:
Теорема (II.11.А). Каждый четный формальный ортого-
ортогональный инвариант выражается через скалярные произведе-
произведения его аргументов. Каждый нечетный формальный орто-
ортогональный инвариант является суммой членов [ху ... г]-/*,
где х, у, ..., z — любые п из аргументов, а /* — четный фор-
формальный ортогональный инвариант.
Выделяющимся, по сравнению с прежним доказательством,
моментом, и притом единственным, апеллирующим к соображе-
соображению неформального численного характера, является следующий.
Пусть /—формальный инвариант, зависящий от п — 1 аргумен-
аргументов, и пусть
Х=== \xi ха)>
У = (Уг Л.)
— численно заданные рациональные значения его аргументов.
Существует перпендикулярный ко всем им отличный от нуля рацио-
рациональный вектор. Произведя собственно ортогональное преобра-
преобразование А так, чтобы этот вектор стал я-Й осью, мы переведем
х,.. :,у в я— 1 векторов
*г=ц, .•¦,*;_!, о),
у=(у\, ¦'¦¦', yi-v°)>
имеющих последней компонентой 0. Верно ли, что
A1.2) f{x,...,y)=f(x',...,y)?
Построение матрицы А может потребовать нескольких после-
последовательных пифагоровых присоединений, так что элементы этой
матрицы лежат в каком-то вещественном поле К над х. По лемме
(II.10.D), А есть произведение АХА^ двух неисключительных
множителей
А1 = (Е - 5Х) (Е + Sx)-», А, = (Е -

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 95
элементы которых также принадлежат К. Формальная инвариант-
инвариантность функции / влечет за собой инвариантность относительно
Л, и Л2, а потому и относительно А; тем самым равенство
A1.2) действительно верно.
Форма с коэффициентами из поля k характеристики 0, чис-
численно инвариантная при неисключительных рациональных соб-
собственно ортогональных преобразованиях, очевидно, формально ин-
инвариантна. Поэтому мы можем отметить в качестве следствия
нашей теоремы тот факт, что инвариантность распространяется
с таких частных преобразований на все собственно ортогональ-
ортогональные преобразования при каком угодно поле над ж,
12. Произвольная метрическая основная форма
При достигнутой нами степени общности легко заменить
рассматривавшуюся до сих пор сумму квадратов
A2.1) *»+...+*?
произвольной невырожденной квадратичной формой
A2.2) 2 ***Л («« = */*)•
I, *=i
Пусть G=||g-rt|| — матрица коэффициентов, взятых из основного
поля k характеристики 0. Линейные подстановки В над k, остав-
оставляющие инвариантной форму A2.2),
A2.3) B*GB=O,
образуют группу, ортогональную группу 00{п) с „основной
метрической формой" A2.2).
Согласно лемме (II. 10.А), неисключительное преобразование В
этого типа может быть записано в форме
A2.4) 'В = {Е
где Т удовлетворяет линейному условию
GT-\-T*G = 0.
Формальная инвариантность определяется в терминах этой
параметризации очевидным образом.
После надлежащего присоединения квадратных корней, расши-
расширяющего k до некоторого поля К над k, новую основную форму
A2.2) можно преобразовать в A2.1) посредством некоторой под-
становкиЯ; 0Я»Я

96 Г Л А В А II
Это осуществляется путем классического индуктивного по-
построения декартовой системы координат, если рассматривать
A2.5)
как скалярное произведение*). Подстановки В нашей тепереш-
теперешней группы получаются из ортогональных подстановок А транс-
трансформированием с помощью Н:
Однако это соответствие предполагает, что мы оперируем
в расширенном поле К.
Представление A0.2) матрицы А приводит к соотношению
A2.4) С
а последнее действительно превращает условие
S*-{-S — 0 в GT-\-T*G = Q.
Если f(x, у, ...) есть формальный инвариант нашей новой группы
Оо(и) над К, то /{И~1х, Н-1у, ...) есть формальный ортого-
ортогональный инвариант над К и потому выражается через компонент-
компонентные определители и скалярные произведения. Установив это, мы
можем в дальнейшем снова ограничиться полем k.
Особый интерес для аналитика представляет поле К всех ве-
вещественных чисел. Метрическая основная форма является тогда
невырожденной квадратичной формой с вещественными коэффи-
коэффициентами, не обязательно положительно определенной; таким
образом, здесь представляются различные возможности, описы-
описываемые сигнатурой формы. Они не причиняют никаких трудностей
при исследовании соответствующих инвариантов (группа Лоренца).
13. Инфинитезимальная точка зрения
Мы подготовлены теперь к тому, чтобы придать нашему ис-
исследованию новый оборот введением идеи инфинитезимальных
ортогональных преобразований, и достичь, таким образом, еще
*) При этом, однако, пгрвый базисный вектор е следует выбрать
так, чтобы о = (ее) ф. 0. Тогда каждый вектор х будет допускать един-
единственное разложение
где х' лежит в (л—1)-мерном пространстве, определяемом уравнением
{ех') = 0. Квадратным корнем, который надлежит извлечь на этом
первом этапе, является корень из a W.

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ QJ
более сжатой и изящной трактовки инвариантности. Эта идея взо-
взошла на почве непрерывных переменных, и чтобы уразуметь ее зна-
значение, мы последуем пути исторического развития, приняв сначала
за наше основное поле снова континуум всех вещественных чисел.
Хотя это и представляется довольно неожиданным, однако тот
же метод с некоторыми формально алгебраическими видоизме-
видоизменениями проходит при любом основном поле k характеристики 0.
Возьмем в качестве примера группу О+C) = ?) вращений
в трехмерном пространстве. Эта группа служит для описания
подвижности волчка —твердого тела, одна точка о которого,
центр, занимает фиксированное положение в пространстве. Пусть
tx,t2 — любые два момента в процессе движения нашего волчка.
Та точка волчка, которая занимает в момент tx положение р
в пространстве, будет занимать в момент t2 положение р', и ото-
отображение р—*р', т. е. смещение, достигнутое в промежуток
времени t-fv будет операцией Н(^/2) из нашей группы D. „По-
„Подвижность" всегда должна описываться группой; действительно,
Н(Щ будет тождеством, Я(^2/1) обратным по отношению к
H(txt^, и #(^3) = //(^s)#(^2)- Материальная субстанция,
распределенная в пространстве (или любой его части), движется
как твердое тело вокруг о, если группой возможных смещений
служит наша группа D. В этом описании мы сравниваем поло-
положения субстанции в два отдельные момента tlt tv игнорируя
проходимые ею промежуточные положения. Более естественным
представляется описывать действительное непрерывное движение
во времени как такое, при котором положение волчка претер-
претерпевает бесконечно малое вращение в течение каждого элемента
времени (i, t -\- dt), так что движение предстает в виде инте-
гралообразной цепи инфинитезимальных операций из D.
Воспользуемся декартовыми координатами xlt xv х3 с нача-
началом в о; xv xv je8 суть координаты точки р или компоненты
векторного плеча х — ор. Чтобы избежать понятий, дискреди-
дискредитированных историей математики, мы заменим бесконечно малое
смещение {dxlt йхг, dxa) скоростью г.:
liS каждый момент / мы имеем в пространстве определенное поле
скоростей, задающее смещение тела в течение следующего эле-
элемента времени dt. Так как каждое вращение есть линейное пре-
преобразование, то уравнения, определяющие скорость t в ее
1 Г. Вейль

93 ГЛАВА П
зависимости от точки р, должны быть линейными и однородными:
/ion 'у. V1 о v И Ь 1 О Ч\
Добавочное требование, чтобы х\ -f- х\ -J- х\ оставалось инвариант-
инвариантным, приводит к соотношению
2 У\ Х:Х, = 0 или 22 SiJC/Xu = 0.
Т /Г*
Если мы запишем это уравнение в виде
2 E« + ski) xixk = °»
то коэффициенты будут симметричными и обращение квадратич-
квадратичной формы в нуль для всех х будет означать обращение в нуль
этих коэффициентов:
5« + */и = 0; .
таким образом, матрица \\sik\\ косо-симметрична. В трехмерном
пространстве мы положим
Тогда A3.1) превратится в известную кинематическую формулу:
г равно векторному произведению плеча r= op на постоянный
вектор b = (du d2, da) [постоянный = независящий от р]. Если
поле скоростей субстанции имеет этот характер в каждый мо-
момент, то субстанция движется вокруг о как твердый волчок.
В и-мерном эвклидовом пространстве бесконечно малые вра-
вращения точно так же описываются уравнениями
с косо-симметричной матрицей |]s/ft[|.
Аналогичным образом каждая непрерывная группа преобразо-
преобразований будет содержать свои инфинитезимальные элементы, являю-
являющиеся бесконечно малыми смещениями поля точек. Они удобно
заменяются их полями скоростей. Композиция двух бесконечно
малых смещений сводится к сложению их полей скоростей. По-
Поэтому инфинитезимальные элементы группы преобразований обра-
образуют линейный пучок; они представляют собой не что иное, как
пучбк линейных элементов, исходящих из единичного элемента 1
группового многообразия у. Каждый элемент группы, по край-

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 99
ней мере каждый элемент, соединяемый с 1 непрерывной дугой,
лежащей в у> может быть построен из инфинитезимальных эле-
элементов путем нанизывания их в интегралообразную цепь. Эта
теория сведения непрерывной группы к ее инфинитезимальным
элементам, к которой мы вернемся более подробно в разделе В
главы VIII, принадлежит норвежскому математику Софусу Ли. Обо-
Обогатившись его фундаментальной идеей, мы возвращаемся теперь
к нашим алгебраическим изысканиям.
Применяя алгебраическое определение производной (глава I, § 1)
к рациональной функции <p=-i- от одной переменной, находим:
где штрих обозначает производную. Предполагая полиномы /
и g взаимно простыми, заключаем из <р' = 0 или gf—/.§•' —О,
что /' = ^ = 0, так как fug" имеют меньшую степень, чем,
соответственно, fag; поэтому /, g и <р— постоянные.
Пусть F—форма предписанных степеней ja, v, ... от неко-
некоторого числа векторных аргументов х, у, ... Подстановка А,
когредиентно примененная ко всем аргументам, превращает F
в новую форму, которую обозначим через F(A). Вводя наряду с
х, у, ... новые аргументы dx, dy, ..., мы построим полный
дифференциал dF как поляризованную форму
Произведем с помощью заданной матрицы л-го порядка В под-
подстановку
dx = Bx; dy = By, ...',
полученная в результате форма dj3 будет иметь относительно
всех аргументов те же самые степени, что и F. Руководствуясь
фактом, что инфинитезимальное ортогональное преобразование
задается формулой ¦:
dx = Sx {S косо-симметрична),
принимают следующее определение:
F есть инфинитезимальный ортогональный инвариант, если
A3.3)
тождественно для всех косо-симметричных матриц 5=(
7* ' "

100 ГЛАВА II
Уравнение A3.3) линейно относительно-к-я (я — 1) неизвестных
Sib (i<ik)K потому содержит уй (я — 1) однородных линейных
уравнений для коэффициен-тов формы F. Связующее звено с нашими
предыдущими рассмотрениями доставляет следующая простая
Теорема A1.13. А). Понятия формального и инфиншпези-
мального ортогональных инвариантов совпадают.
Докажем сперва, что формальный инвариант является инфи-
нитезимальным. Пусть 5 — косо-симметричная матрица с рацио-
рациональными элементами. Образуем, исходя из заданного F, разность
зависящую от параметра \. Как показывает равенство
E—1S — 2XS
E+XS С~
? ^5
„производная* от ., при Х = 0 равна—2?. Таким образом,
числитель Ф(\) в A3.4) есть полином, принимающий при Х = 0
значение
Если F — формальный инвариант, то левая часть равенства A3.4)
тождественно равна нулю; следовательно, Ф@)=0, dsF=0.
Доказательство обратного утверждения немного сложнее;
основным используемым в нем средством является закон компо-
композиции A0.11). Имеем:
E-\*S E-T Е—\$
где I и I* — два параметра и
т—л# \
Положим
где Ф — полином. Производной от

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 101
является по определению
A3 л ф'Ол - ф(и)
Используя A3.5) и применяя к A3.6) то же рассуждение, что
и в первой части доказательства, находим, что A3.7) становится
равным —2dF, если ввести сперва в A3.2) дифференциалы
dx=-
а затем вместо х, у, ... подставить
E-\S E-IS
E+IS ' E+lSy' '"
Поэтому, если F есть инфинитезимальный инвариант, то полу-
получаем
<р'A) = 0, <р(Х) = const. = <f{Oy.
Подстановка значения X—1 в тождество
F(E~\S\p
показывает, что F инвариантно относительно преобразования
(Е — S)(E-{-S)-1 в предположении
С. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
14. Формулировка предложения для
унимодулярной группы
В я-мерном векторном пространстве типовыми базисными
инвариантами относительно группы всех унимодулярных линей-
линейных преобразований служат „латинский" компонентный опре-
определитель [х1 ... хп] п ковариантных („латинских") векторов xlt
„греческий" компонентный определитель [5,... SJ я ковариант-
ковариантных („греческих") векторов ^ и смешанное выражение {&),
произведение ковариантного вектора х на контравариантный
вектор 5. (Нижними индексами мы пользуемся теперь для различе-
ния отдельных векторов, поскольку в обозначении векторных
компонент нет нужды,) Между этими базисными инвариантами

102 ГЛАВА II
существуют соотношения следующих пяти типов:
(I) 2,±[*i*s.-.*J(S*o)=O,
(И) 2, ± [*1*2 • • • *л1 1*ЬЛ • • • Уп] = °>
(iv)
Здесь латинские буквы обозначают ковариантные векторы, гре-
греческие—контравариантные векторы. Знакопеременная сумма
yV± в (I) и (II), состоящая из п-\-\ членов, относится
к последовательности х0 \ хх ... хп; то же самое в (III) и (IV)
относительно $01 Sj ... ?л. Тождества (I) и (II) непосредственно
следуют из того, что левая часть их является косо-симметричной
полилинейной формой, зависящей от п -\- 1 векторов д;0, xv ..., хп.
Теорема (П.14.А). (Вторая основная теорема для
унимодулярной группы.) Все соотношения между
указанными базисными инвариантами являются алгебраи-
алгебраическими следствиями соотношений пяти типов (I) — (V)'2°I.
В целях точной формулировки второй основной теоремы
следует сперва рассматривать величины типа
A4.1) [*,...*„], [?,... У,
как независимые переменные („формальная точка зрения");
латинские и греческие „символы" х и ? лишены здесь какого
бы то ни было самостоятельного значения. При этом, однако,
предполагается,, что выражение типа [xfy ... xS\ при переста-
перестановке символов х{ превращается в + \_ххх% ... хп] с положитель-
положительным знаком для четных и отрицательным — для нечетных под-
подстановок; в частности, выражение этого типа, содержащее два
тождественных символа, есть нуль. Пусть F — целая рациональ-
рациональная функция от этих переменных, содержащая некоторые латин-
латинские символы xv хъ ... и некоторые греческие символы 5t, ?2, .. .
Совокупность всех функций J, получаемых путем подстановки
в левые части соотношений (I) — (V) вместо стоящих там латин-
латинских и греческих букв этих символов во всех возможных ком-
комбинациях, — разумеется, латинских символов лишь вместо латин-

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ ЮЗ
ских букв и греческих символов лишь вместо греческих букв, —
является базисом идеала %= {J}. Возвращаемся теперь к ста-
старой точке зрения, заменяя каждый из латинских и греческих
символов xv х2, ...; ?,, ?2, ... соответственно переменным кова-
риантным или контравариантным вектором и затем истолковывая
символы A4.1) в их старом смысле, как компонентные опре-
определители и внутреннее произведение; этот процесс есть то, что
я называю подстановкой. Вторая основная теорема утверждает:
Если функция F при подстановке переходит в 0, то она
принадлежит идеалу %.
Наряду с (I) — (V) я буду пользоваться еще следующим
типовым выражением, обращающимся при подстановке в нуль:
Оно принадлежит идеалу %; действительно, развертывая этот
определитель по первой строке и заменяя определители типа
det (?(Xk) (i,k = \, ..., п), входящие множителями, соответ-
соответствующими произведениями типа
[*,...*«]&¦..-У
по модулю (V), мы получим (I) (где следует положить ? = ?,)),
умноженное на [?, ... ?J.
Без ограничения общности можно предполагать, что функ-
функция F однородна по каждому из латинских и греческих сим-
символов. Действительно, F можно разложить на такие однородные
слагаемые соответственно степеням этих символов, и если F при
подстановке обращается в нуль, то то же имеет место и для
каждого слагаемого в отдельности. (При подсчете степени одно-
одночленного слагаемого функции F следует, конечно, приписывать
каждой переменной степень 1 по содержащимся в ней символам
и.степень 0 — но несодержащимся.) Пусть отдельный член функ-
функции F содержит / латинских и \ греческих компонентных опре-
определителей; тогда полная степень относительно латинских сим-
символов минус полная степень относительно греческих будет для
этого члена пA — ^.Следовательно, в предположении однород-
однородности функции Т разность I — X имеет одно и то же значение
для всех членов этой функции*). Произведение латинского и гре-
*) Ср. стр. 191."

104 ГЛАВА II
ческого компонентных определителей, [лс, ... хп] и [$, ... SJ,
можно заменить, mod (V), полиномом от переменных типа (ix),
а именно, определителем из (^хк). Поэтому мы можем считать,
что функция F содержит либо одни лишь латинские, либо одни
лишь греческие компонентные определители, причем каждый ее
член — одно и то же их число. Так как наша таблица фунда-
фундаментальных соотношений симметрична относительно латинских
и греческих символов, то мы ограничимся тем случаем, когда F
содержит лишь латинские компонентные определители. После
этих приготовлений мы можем высказать вторую основную тео-
теорему в следующей уточненной форме:
То. Если однородная функция F, обращающаяся при под-
подстановке в нуль, содержит лишь переменные типа (&), то
она =0 уже по иодулю выражений типа (VI).
Т х. Если, однако, такая функция F, кроме переменных
типа ($лг), содержит еще латинские компонентные определи-
определители, но не содержит греческих, то она =0 по модулю
выражений типа (I) и (II).'
15. Формальное сравнение Капелли
Мы имеем в виду применить к однородной функции F тож-
тождество Капелли, содержащее п-\-\ латинских аргументов в
«-мерном пространстве. Однако теперь мы рассматриваем латин-
латинские и греческие символы не как векторы, а просто как
составные части обозначений A4.1). Поэтому нам следует сперва
определить процесс поляризации соответственно этой интер-
интерпретации („формальная поляризация"); соотношение Капелли
будет тогда выполняться не как равенство, а как сравнение по
модулю 3>-
Мы принимаем, что поляризация D — Dyx, где х и у — два
латинских символа, удовлетворяет формальным законам A.1.7).
Эти законы показывают, как действует операция Ь на про-
произвольный полином /, коль скоро мы знаем, как она действует
на его аргументы A4.1). Последнее же определяется следую-
следующими правилами:
1) Переменная, символ которой не содержит буквы х, пе-
переводится операцией Dyx в нуль;
2) ?>,,[**, • • • *J
Для доказательства сравнения Капелли мы поступаем совер-
совершенно так же, как раньше, различая, однако, с самого начала

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ ]05
два случая, соответственно тому, содержит ли наша однородная
функция F а) лишь переменные типа ($лг) или Ь) также компо-
компонентные определители. Вводим символы х'о, х'г, ..,, х', не вхо-
входящие в F, и образуем сумму
A5.1) ^x,±Dx>n...Dx[xDx[xJ,
распространенную знакопеременно на (я -f-1)! перестановок
символов х'о, х[, ..., х'п. В случае а) это выражение, очевидно,
составлено из членов
A5.2)
где Q — одночлен от переменных, входящих в F. Поэтому
A5.1) сравнимо с 0 по модулю определителей типа (VI). После
образования суммы A5.1) подставляем хо,хг,...,хп вместо
х'о,x'v ..., х'п- В том, что это приводит к тому же результату,
как и в прежней менее формальной интерпретации, убеждаемся
тем же самым способом, как и там, используя теперь следую-
следующие два факта, заменяющие обычные правила дифферен-
дифференцирования:
а) для двух различных символов х и х' имеем
Dyx{f(x',x)}x, = x = { Dyx,f (х\ х) + Dyxf (x't x)}xl=:x;
P) если f(x') линейно относительно х', то Dyx,f(x')=f(y).
Согласно правилам A.1.7) достаточно доказать а) для слу-
случая, когда / есть одна из переменных. Единственной перемен-
переменной A4.1), действительно содержащей одновременно оба сим-
символа х, х', является [лг'лг^з ... х„]. Левая часть формулы а)
равна нулю, поскольку [ххх3 ... х„) с двумя одинаковыми х по
определению означает 0, правая же часть равна
[ухх3 ... хп]-\-[хуха ... ха],
что также по определению есть 0.
Таким способом находим, что A5.1) после подстановки
первоначальных символовл;0) xv ..., ха вместо новых x'Q,x'v ., ,}х'
переходит в
A5.3) ?

106 Г Л А В А II
Знакопеременную сумму в A5.3) следует теперь понимать так,
что x'Q, х[, ..., х'п последовательно заменяются всеми переста-
перестановками символов х0, xv ..., хп. Ьх,х означает 1 или 0 соответ-
соответственно совпадению или несовпадению символов х' и лг. Резуль-
Результат, к которому мы приходим, состоит в том, что A5.3)
сравнимо с 0 по модулю типа (VI).
В случае Ь) поступаем следующим образом. Нам нужно
применить A5.3) к одночлену F, являющемуся произведением
переменных типа (?х) и латинских компонентных определителей,
причем по крайней мере один из последних действительно
содержится в F. Распространяя сначала суммирование лишь на
перестановки символов х[,...,х'п, можно последовательно со-
собрать все символы х'х х'п в один компонентный определи-
определитель. Это выполняется путем применения тождества (8.4) к двум
случаям:
L(x) = (b), Цх)=[ху2...уп],
где оно приводится соответственно к (I) и (II). Однако наше
преобразование, в результате которого все п символов x'v .. .,х'п
сводятся в один определитель [х'г... х'п], является с „формаль-
„формальной точки зрения" не тождеством, как это было в § 8, а пре-
преобразованием по модулю выражений типов (I) и (II). Отвлекаясь
от множителей, не содержащих символов х'о, x'v ..., х'п, сумма
A5.3) является теперь выражением типа (I) или (И). Таким
образом, мы пришли к выводу, что если однородная функция F
содержит латинские компонентные определители, то A5.3)
сравнимо с 0 по модулю типов (I) и (II).
16. Доказательство второй основной теоремы для
унимодулярнои группы
Если F имеет относительно символов лг0, л:,, .. ., хп степени
ro,rv...,ra, то доказанное только что сравнение Капелли
можно записать в форме
A6.1) ^F —
Здесь
и потому р=т^О, если F дейстзительно содержит символ л;0.
Полином F* — меньшего ранга чем F и получается из F по-
посредством поляризации; ^ есть некоторая последовательность
поляризаций.

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ J07
Мы определили „формальную поляризацию" так, что безраз-
безразлично, применяется ли поляризация к заданному F („формально")
до или („не формально") после подстановки. Поэтому, если F
при подстановке обращается в нуль, то то же имеет место
и для каждого О, полученного поляризацией из F, и в част-
частности для форм F*, входящих в A6.1). Выражения (VI), равно
как (I) и (II), переходят " при поляризации в выражения той
же структуры. Следовательно, посредством сравнения A6.1) мы
свели справедливость соответственных теорем То и Тх для
заданного F к справедливости их для формы F* низшего ран-
ранга, пока F действительно содержит символ лг0. Начатый так»
индуктивный процесс закончится полным исключением л;0 из F.
Тот же процесс можно повторять, пока F содержит еще более п
латинских символов, приписывая п-\-\ из этих символов роль,
которую играли выше х0, x.v ...,xn. Этим способом мы, нако-
наконец, дойдем до F, содержащего не более п латинских сим-
символов xv ..., хп. В случае а) такое F является функцией «у
переменных вида
(& ( й )
число V ничем не ограничено. Мы докажем теорему Го, пока-
показав, что если в случае а) число латинских символов равно п,
то наше F не может обратиться в нуль после подстановки, не
будучи нулем уже до нее.
Это легко сделать, поскольку можно сразу найти п кова-
риантных векторов xv .. -, хп и v контравариантных векторов ^
так, чтобы внутренние произведения (k%xk) оказались равными
произвольно предписанным числам гхк. Для этого следует только
взять
*, = (!, О, 0, ...,0),
*2 = @, 1,0 0),
*в=@,0,0, .... 1),
В случае Ь) однородная функция F, содержащая не более п
латинских символов, необходимо имеет вид
[*!*,,...*„]'• о {Eл)},
где второй множитель G зависит снова от одних лишь перемен-
переменных типа (?xxk). F не может содержать более одного такого

108 глава и
члена, поскольку показатель / фиксирован разностью между
полными степенями F относительно латинских и греческих сим-
символов. Поэтому и здесь снова верно, что F может обратиться
в нуль после подстановки, лишь будучи нулем уже до нее;
действительно, обращение F в нуль после подстановки имеет
своим следствием то же для О.
17. Вторая основная теорема для ортогональной группы
Если Г — группа О(п) всех собственно и несобственно орто-
ортогональных преобразований, то имеется только один тип базис-;
ного инварианта, а именно скалярное произведение (ху). Типо-
Типовым соотношением между скалярными произведениями является
следующее, содержащее п-\-1 векторов х н п-\-\ векторов у:
= 0.
... (хоуп)
(*1Уо)
(*«Уо)
Теорема A1.17.А). (Вторая основная теоремадля
ортогональной группы.) Каждое соотношение между
скалярными произведениями является алгебраическим след-
следствием соотношений типа J.
При заданных т латинских „символах" xv ..., хт „соот-
„соотношение" есть полином от -^т{т-\-\) переменных (хахЛ, об-
обращающийся в нуль при замене символов xv ..., хт произволь-
произвольными векторами, а переменных {хах,) — скалярными произведе-
произведениями соответствующих пар векторов лга, .Хд („подстановка").
Мы уславливаемся и с формальной точки зрения рассматривать
(хлх^) и (XpXj как одну и ту же переменную. При замене
„букв" х0, xv ..., хп, у0, yv ..., уп в выражении J любыми
из „символов" х необходимо позволить заменять букву у тем
же символом хл, что и букву лг; однако, заменять различные
буквы х (или у) одним и тем же символом ха бесполезно,
поскольку все выражение / косо-симметрично относительно д;-ов
(и _у-ов). Выражения, получающиеся из J описанными заменами
букв х к у символами лга во всех возможных комбинациях,
образуют базис идеала %, и в точной формулировке вторая
основная теорема утверждает, что каждое соотношение R срав-
сравнимо с 0 по модулю 2f,

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 109
Доказательство снова проводится с помощью сравнения Ка-
пелли. Формальное определение поляризации D = Dyx здесь
таково: D(uv) — 0, если ни и, ни v не равны х; D(xu) = {yu),
если* и отлично от х; D (хх) = 2 (ху). Правила а) и В) § 15 остаются
в силе; а) достаточно сохранить лишь для случая / (х', х) =
= (х'х). Образуя A5.1), мы получим некоторую совокупность
членов, устроенных совершенно аналогично с A5.2):
A7.1) Q-s^W W • • • Кл);
но как раз эти члены =0 по модулю определенного выше
идеала *$. Однако, это — не единственная могущая теперь пред-
представиться возможность. Предположим, что некоторый член
выражения F содержит, например, множитель {хохг) и что пер-
первая поляризация Dx[x производится над этим множителем; он
переходит тогда в (x'Qx^. Вторая поляризация D х'х , произ-
произведенная над этим множителем в его новой форме, превратит
его в (лг'олг^). Поэтому следовало бы считаться с возможностью,
что вместо знакопеременной суммы в A7.1) могла бы появиться
другая, общий член которой, наряду с переменными типа {х'оуо),
содержит также переменные типа (л^лг|), объединяющие пару
новых символов х'. Но тогда ^х, в силу условия {ху) = (ух)
определенно будет равно 0. Следовательно, сравнение Капелли
оказывается справедливым по модулю введенного здесь идеала,
базис которого состоит лишь из выражений типа J.
Применяя это сравнение, можно постепенно довести число
переменных до и. Для завершения доказательства мы должны
показать, что полином F от -^ п{п-\-\) переменных
A7.2) (хах?) (а, 0 = 1,2,..., я)
-будет нулем до подстановки, если он обращается в нуль после
подстановки. В § 2 мы упомянули доказательство этого, осно-
основанное на том факте, что (над полем К вещественных чисел)
векторы хл можно определить так, чтобы скалярные произведе-
произведения A7.2) образовывали произвольно предписанную симметрич-
симметричную матрицу, в предположении, что квадратичная форма с этой
матрицей коэффициентов является положительно определенной.
Здесь мы предпочтем вместо этого дать прямое алгебраи-
алгебраическое доказательство, основанное на индукции от п — 1 к п
и сохраняющее силу при любом основном поле. Для этой цели

НО ГЛАВА И
мы воспользуемся следующими двумя простыми леммами об
обращении полиномов в нуль:
1) Полином y(t) от переменной / тождественно равен нулю,
если <p(t-\-a) = Q, где а — фиксированное число кольца, из
которого взяты коэффициенты полинома tp.
2) Полином <рA„ ..., th) от h переменных t тождественно
равен нулю, если тождественно равен нулю как полином от
переменных t полином <р(t'v ..., t'h), где t'h связаны с перемен-
переменными tt невырожденным линейным преобразованием
А
Предположим xv ..., хп_л численно заданными и линейно
независимыми векторами в подпространстве Рп_, всех векторов,
у которых последняя компонента равна нулю. Тогда эти п — 1
векторов
A7.3) */ = («/!. •••> Ka-i) (/=1,...,я—1)
из Pn_j будут иметь определитель Д^О. Будем рассматривать
остающийся вектор
* = *« = ('l. ••¦>*._!, О
как переменную. Тогда (после подстановки)
Выполним теперь «частичную подстановку", заменив пере-
переменные
A7.4) ¦ (хах? (сг,р = 1,...,я —I)
скалярными произведениями п—1 постоянных векторов A7.3).
Заданный полином F, зависящий теперь от переменных (хх) и
(хХ;), можно рассматривать как полином от (хх) с коэффициен-
коэффициентами из кольца полиномов от переменных (xXj):
A7.5) F
Полагая

ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ Щ
и принимая во внимание, что F после подстановки обращается
в нуль, имеем
Поэтому
A7.6) F
тождественно по переменной s, где
Обращение в нуль полинома F*(s) следует теперь из A7.6)
по первой лемме, а обращение в нуль всех его коэффициентов
<p*(tv ....^-i) влечет за собой обращение в нуль полиномов
<p,{tv ..., *B_i) тождественно относительно переменных t — по
второй лемме.
Коэффициентами полинома F от (#,#„), •••)(-^п_Л). (-^А)
служат полиномы / от выражений A7.4). Относительно каждого
такого коэффициента / мы видели, что он обращается в нуль
при подстановке вместо (х^) скалярных произведений п — 1
векторов ха пространства PB_V имеющих определитель Дт^О.
Ограничение, накладываемое этим алгебраическим неравенством,
несущественно. Предполагая доказываемое предложение справед-
справедливым в ?„_.,, мы вправе из обращения в нуль коэффициентов/
после подстановки заключить, что они равны нулю и до под-
подстановки. Это завершает доказательство, приводя к формаль-
формальному тождеству F— 0.
Во вторую очередь рассмотрим группу О+ (я) всех собственно
ортогональных преобразований. К типовому инварианту (ху)
надлежит теперь присоединить, в качестве дополнительного
фундаментального инварианта, компонентный определитель
\хх ... ха], а к соотношениям типа У= J1 — соотношения еще
следующих двух типов:
Л = [*1 •¦•ха][у1...уа}—
Вторая основная теорема утверждает, что этот перечень типо-
типовых соотношений для группы О+ (w) является исчерпывающим.

112 ГЛАВА II
Доказательство. Прежде всего заданное соотношение R
можно привести по модулю типа /2 к виду, не содержащему
никаких произведений двух компонентных определителей, т. е.
где F есть функция от
(*«*()) (а, р = 1,..., п),
a О — линейная комбинация членов вида
С помощью несобственно ортогонального преобразования, на-
например посредством изменения знака я-й компоненты у всех
т векторов, сразу убеждаемся в том, что F и О сами являются
соотношениями. Тогда доказательство, только что проведенное
нами для полной ортогональной группы,, показывает, что до
подстановки F должно быть сравнимо с 0 по модулю типа Jv
То же самое рассмотрение, что и проведенное в § 16 для слу-
случая присутствия компонентных определителей, показывает здесь,
что для О имеет место сравнение Капелли по модулю типа Js.
Соотношение (II), входящее там наряду с (I), здесь не появляется,
поскольку каждый член суммы О содержит множителем только
один компонентный определитель. С помощью сравнения Капелли
общее О сводится к G, содержащему не более п латинских
символов х1 ха:
Если G— соотношение, то то же верно и для F*; но мы ви-
видели, что в таком случае Z7*, а потому и G, должно до под-
подстановки обращаться в нуль.

глаЪа ш
МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА
А. ТЕОРИЯ ВПОЛНЕ ПРИВОДИМЫХ МАТРИЧНЫХ АЛГЕБР
I. Основные понятия, относящиеся к матричным алгебрам.
Лемма Шура
При рассмотрении какого-либо множества 21 матриц А над k
естественно ввести его линейную оболочку [21] над k, состо-
состоящую из всех конечных линейных комбинаций
матриц Л,- из Ш с коэффициентами а, из k. Абстрактно говоря,
линейная оболочка есть линейная совокупность (или векторное
пространство) определенного ранга h; h означает максимальное
число матриц из 21, линейно независимых над k. Если некото-
некоторое подпространство «-мерного векторного пространства Р (над А),
подвергающегося действию матриц А, инвариантно относительно
множества 21, то оно инвариантно и относительно [21]; поэтому
во всех рассмотрениях, относящихся к инвариантным подпростран-
подпространствам и приведению, можно с удобством заменять 21 его ли-
линейной оболочкой [21]. Если 21 — группа, то [21] будет замкнуто
относительно следующих трех операций: сложения двух матриц,
умножения матрицы на число из & и умножения двух матриц.
Такая совокупность называется (матричной) алгеброй над k,
а [21] — обертывающей алгеброй группы 21. Наше утверждение
остается в силе и тогда, когда 21 есть лишь полугруппа; под
этим мы понимаем совокупность матриц, замкнутую относительно
умножения (отбрасывая дополнительные предположения, харак-
характерные для собственно группы, а именно, что она содержит
единичную матрицу, что каждая из ее матриц — неособенная и
что А~х входит в группу вместе с А). Отправляясь от произ-
произвольной совокупности 21 матриц, мы можем сперва образовать
ее мультипликативное замыкание, состоящее из всех конечных
произведений W.A, А ? 21, и являющееся полугруппой, а затем
перейти к его линейной оболочке: в результате этих двух ша-
шагов мы придем к обертывающей алгебре совокупности 21.
8 Г. Вейль

114 ГЛАВА III
Совершенно так же, как и при переходе от группы (линей-
(линейных) преобразований к абстрактной групповой схеме, можно
игнорировать природу элементов, составляющих матричную ал-
алгебру, и фиксировать наше внимание исключительно на произ-
производимых над ними операциях. Тогда (абстрактная) алгебра а
над k выступает как совокупность элементов я, для которых
определены три операции: сложение а-\-Ь и умножение ab
двух элементов а, Ь, а также умножение \а элемента а на
число X из k. Но на протяжении этой книги мы будем рас-
рассматривать как основной наш объект матричные алгебры; аб-
абстрактные схемы будут лишь средством, облегчающим их
изучение. Мы условимся применять замену прописных букв со-
соответственными строчными: как А на я, 31 на а, для указания пере-
перехода от матриц к абстрактным элементам. Обратно, матричная
алгебра 31 является точным представлением а—+А абстракт-
абстрактной алгебры а. k-представлением степени п алгебры а на-
называется любое соответствие а—*R(a), сопоставляющее эле-
элементам а заданной абстрактной алгебры а матрицы я-го порядка
R (а) и сохраняющее основные операции:
R(la) = lR(a), R(ab) = R(a)R(b)
(a, b — элементы из а, X— число из k).
Представление является точны и, если различные элементы а пред-
представляются различными-матрицами R (а). Определяющие операции
алгебры а подчиняются следующим законам, где а, Ь, с обозначают
произвольные элементы из a, a X— произвольное число из k:
A) Все аксиомы, характеризующие векторное пространство
над k (конечной размерности И).
B) Закон дистрибутивности по обоим множителям,
(а + Ь) с = (ас) + (be), c(a + b) = (ca) -f (cb),
дополненный соотношениями
C) Закон ассоциативности
(ab) с—a (be).
Мы говорим, что алгебра содержит единицу е, если имеется
Элемент е, удовлетворяющий соотношениям

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА Ц5
для всех элементов а (единица определена тогда однозначно).
Алгебра а, содержащая единицу, называется алгеброй с деле-
нием, если каждый элемент а ф- 0 обладает обратным а~1\
Если, кроме того, умножение коммутативно, то алгебра с де-
делением будет полем, конечным над А.
Как и в случае групп, мы можем каждому элементу а из
а поставить в соответствие линейное преобразование
(а): х—>-х' — 'ах,
применяемое к переменному элементу х из а. Алгебра а ранга h
выступает здесь в двух ролях: 1) как совокупность элементов а,
которым соответствуют преобразования (а), 2) как Л-мерное
векторное пространство р, подвергаемое этим преобразованиям.
Соответствие (а): а—»-(я) определяет представление, так назы-
называемое регулярное представление, так как
Ъ (ах) = (Ьа) х;
степень регулярного представления есть ранг алгебры. С ал-
алгебрами дело обстоит значительно благополучнее, чем с груп-
группами, поскольку описанный способ дает настоящее представление
линейными преобразованиями, а не только лишь реализацию
посредством каких-то преобразований в общем неопределенном
функциональном смысле. Регулярное представление будет точным,
если алгебра а содержит единицу е или, более обще, если О
является единственным элементом а, удовлетворяющим соотно-
соотношению ах = 0 для всех элементов х.
Матрица А, перестановочная с каждым членом L заданного
множества матриц &,
AL = LA,
называется коммутатором этого множества &. Коммутаторы
множества ? над k образуют /г-алгебру матриц Ж, коммута'
торную алгебру множества й над А. Действительно, из
следует
Иг
и
8*
из
/\* L* —— Lit
l = L{Al-
AL = LA
следует
l2Z. = Z.y4
[А А \
IA-L —

Цб ГЛАВА III
{\ — число из k). В доказательстве нуждается лишь второе из
этих следствий; имеем:
OVi) L=At {АХЦ = A, {LAJ = (AiL)Al = (LAJ А, = ЦАаА1).
Е— всегда коммутатор; и если неособенная матрица А есть
коммутатор, то коммутатором является и А~х\ действительно,
равенство AL = LA можно переписать в виде LA = A~1L.
И. Шуру Ш принадлежит следующее предложение первосте-
первостепенной важности:
Лемма (III.1.A). Если множество & неприводимо над k,
то каждый коммутатор этого множества либо равен ну-
нулю, либо является неособенной, матрицей; иными словами,
коммутаторная алгебра 21 множества ? есть алгебра
с делением.
Доказательство. Линейное преобразование j' = >lj
отображает наше векторное пространство Р на подпространство Р',
совокупность всех векторов-образов j'. Вследствие предполо-
предположенной перестановочности матрицы А со всеми элементами L
множества 2, для всякого такого L из Ц = Ц. следует 1)' —Z.J'.
Поэтому Р' инвариантно относительно S и, согласно дополни-
дополнительному предположению о неприводимости множества ?, есть
либо нуль, либо все пространство Р. В первом случае Л = 0,
во втором А — неособенная матрица.
Понятие коммутаторов и эта лемма имеют прямое отноше-
отношение к проблеме ковариантов заданного типа ©, рассматривав-
рассматривавшейся в конце главы I. Предположим (В неприводимым, так что наши
коварианты /=(/i, • • -i/n) являются примитивными величинами.
Компоненты их суть формы предписанных степеней jjl, v, ... от-
относительно каких-то аргументов — величин х, у,.. . Все такие
формы образуют линейную совокупность — векторное простран-
пространство Фдг, размерность которого N определяется формулой A.5.4).
Первое наше замечание заключается в том, что компоненты
/и • • • >' /я либ° все равны нулю, либо линейно независимы.
Действительно, системы из п коэфициентов {а1г..., аа), даю-
дающих тождественные соотношения
образуют векторное пространство, инвариантное относительно
представления, контрагредиентного к ($, т. е., вследствие непри-
неприводимости ®,'— либо все пространство (//==0), либо нулевое
пространство {fi линейно независимы). Если мы имеем несколько

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА Ц7
ковариантов типа©,
то на п компонент каждого из этих ковариантов натянуто «-мер-
«-мерное подпространство Р, Р', ... пространства Фдг. Пространство
РСЯ из этой последовательности либо целиком содержится в сумме
предшествующих ему Р —|— Р' —(—...-f-P ^"), либо линейно не-
независимо от них. Это устанавливается стандартным рассуждением,
которое неоднократно будет применяться в дальнейшем: пересе-
пересечение пространства Р^ с указанной суммой инвариантно и, сле-
следовательно, в силу неприводимости @, есть либо нуль, либо
все Р(Л. Поэтому можно определить полную совокупность ин-
инвариантов типа &,
r=(f[,¦¦-,/'„) /w=(/<?...•,/<;').
так, что все пх компонент
//•> (/=1 л; а = 1 т)
будут линейно независимы, компоненты же любого коварианта
/=(Д, ... ,/л) типа ® будут линейными их комбинациями:
Вытекающее отсюда равенство
sf=A'(sf)
в менее абстрактной форме записывается так:
где S — соответствующая s матрица из ®. Таким образом,
S (A'f + А"Г + ...) = A' (Sf) + A" (Sf) + ...,
откуда, в силу линейной независимости всех /W,
SA' — A'S, SA" = A"S, ...
Иными словами, матрицы А', А",... лежат в коммутаторной ал-
алгебре §1 неприводимой совокупности ©, и каждая из них есть
либо нуль, либо неособенная матрица. Более симметричная фор-
формулировка этого результата такова:
Теорема (III. 1.В). Если /', )'",..., frW — заданные ко-
варианты неприводимого типа ($, то либо пх их компонент

118 ГЛАВА III
не связаны никаким линейным соотношением, либо мы имеем
соотношение
A'f -f A"f -f • • • + A&f W = 0,
где матрицы А принадлежат коммутаторной алгебре со-
совокупности © и по крайней мере одна из них не равна 0.
Особенно просто обстоит дело, если основное поле k ал-
алгебраически замкнуто, т. е. если каждый fe-полином
степени т ^ 1 от одного неизвестного имеет в k корень а и
потому распадается на. т линейных множителей (х— а2) ...
... {х — ая). Так называемая основная теорема алгебры утвер-
утверждает, что область обычных комплексных чисел алгебраически
замкнута. При таком поле k лемма Шура принимает более
простой вид:
Лемма (III. 1.С). Единственными коммутаторами А
k-неприводимого множества матриц & над алгебраически зам-
замкнутым полем k являются численные кратные аЕ единич-
единичной матрицы.
Действительно, каково бы ни было число а, аЕ — А будет
коммутатором вместе с А. Если взять в качестве а корень ха-
характеристического уравнения
det(a? — А) = 0,
то этот коммутатор будет особенным и значит, по лемме Шура,
будет раве.н 0.
Отсюда следует, что при алгебраически замкнутом поле k
либо все компоненты нескольких ковариантов /', /", ... одного
и того же примитивного типа @ линейно независимы, либо
имеется нетривиальное соотношение вида
a'/'-f «"/
Другими словами, либо одновременно выполняется л соотноше-
соотношений
либо между компонентами /J, f{, ... нет никакого соотношения
вообще (разумеется, исключая в обоих случаях тривиальное со-
соотношение, все коэффициенты которого равны нулю). Эти рас-
рассмотрения, очевидно, являются существенным дополнением к об-
общему понятию коварианта.

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА Ц9
Существует еще один вариант леммы Шура, относящийся к двум
неэквивалентным неприводимым множествам матриц 9t1( $f2. Мы
снова оперируем в произвольном поле k. Для того чтобы наи-
наиболее общим способом установить то соответствие между двумя
множествами матриц, на которое опирается понятие эквивалент-
эквивалентности, мы предположим, что нам дано произвольное множе-
множество а элементов а и что каждому а соответствует матрица А1 (а)
порядка пг и, кроме того, матрица А2(а) порядка я2. Эквива-
Эквивалентность' имеет место, если порядки равны, пг = п2, и если
существует неособенная матрица В такая, что
B-i'A1(a)B = Ai{a) или А1 (а) = ВА2 (а)В~1
для всех а из й.<
Лемма (III.1.D). Если множества А1{а), А, (я) неприво-
дамы и не эквивалентны, то не существует никакой мат-
матрицы В (из пг строк и л2 столбцов), кроме В = 0, для «о-
торой бы
[)В В{
тождественно относительно а.
Доказательство. Пусть Рх и Р2 — векторные про-
пространства, подвергаемые, соответственно, преобразованиям At(a)
и А2 (а). Матрицу В можно истолковать как линейное отобра-
отображение х1 = Вх2 пространства Р2 в Рх. Линейное подпростран-
подпространство пространства Plf состоящее из всех векторов хг вида Вх2,
инвариантно, так как А1 (а)хх = Вх'2, где х'2—А2(а)хг В силу
предположенной неприводимости пространства Рх имеются лишь
две возможности: либо Вх2 = 0 для всех х2 из Р2, т. е. В = 0,
либо Р2 отображается с помощью В на все пространство Vv
С другой стороны, совокупность всех векторов х2 из Р2, для
которых Я*г2 = 0, является инвариантным подпространством в Р2,
так как ВА2 (а) хг =. Ах (а) Вх2 = 0. Из неприводимости Р2 за-
заключаем: либо ?Ц, = 0 для всех х2 из Р2, т, е. В = 0, либо
х2.= 0 является в Р2 единственным вектором, для которого Вх2 = 0,
так что различные векторы из Р2 переходят при отображении В
в различные векторы из Рх. Поэтому, если В^О, заключаем,
что В определяет взаимно однозначное линейное отображение
пространства Р2 на Рг. Но это означает, что В есть неособен-
неособенная квадратная матрица (йх = п2) и значит Лх (а) и Л2 (а) экви-
эквивалентны, что, однако, противоречит предположению.
Пусть теперь

120 ГЛАВА III
будут нескотько множеств ковариантов, заданных, выписанных
перед ними, неприводимых и неэквивалентных типов ®, (§,..., и
предположим снова, что, за пропуском /, все компоненты ко-
ковариантов /', /", ...; g', g", ...;... линейно независимы. Здесь
опять имеются лишь две возможности: либо каждая компонента
коварианта / "является линейной комбинацией компонент осталь-
остальных ковариантов, либо таблица компонент даже после присое-
присоединения / состоит из независимых членов. В первом случае мы
будем иметь соотношение вида
f=(A'f + А'Г'+- ¦ ¦) + № +BY+ .-¦).
Если
5 — 5EN®, s-+T(s)?$
то получаем
S{s)A' = A'S(s), ...; S(s)B' = B'T{s),
Поэтому А', А",... принадлежат коммутаторной алгебре мно-
множества ®, тогда как В', В", ...;..., согласно нашей новой лемме
A11.1.D), все суть нули. Полученный результат можно сформу-
сформулировать более симметричным образом:
Теорема (Ш.1.Е). Если f, f", ... ; g', g. ...;... суть
множества ковариантов заданных неприводимых и. не экви-
эквивалентных типов ©,§,..., то либо их компоненты линейно
независимы, либо по крайней мере одно из этих множеств,
скажем, первое, @: f'.f", ... , связано соотношением
A'f + A"f" + -..= О,
где А', А",...—коммутаторы множества ©, один из ко-
которых не равен 0.
2. Предварительные сведения
Мы приступим теперь к более основательному исследованию
структуры матричных алгебр. С каждой такой алгеброй 21
дается ее коммутаторная алгебра S3, и одновременное рассмот-
рассмотрение % с 23 проливает больше света на строение алгебры St.
Несколько подготовительных замечаний, относящихся глав-
главным образом к „вырождению", расчистят нам путь. Мы все
время оперируем в заданном поле k, и такие термины, как
матрица, векторное пространство, алгебра, неприводимость, под-
подразумеваются все „над &". Заданное множество 31 матриц А мо-
может проявлять вырождение двоякого рода:

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 121
1) Все матрицы А отображают векторное пространство Р
водно и то же собственное подпространство Р', т. е. все образы
Alt (Л ^2t, S G Р) лежат в Р': вырождение первого рода;
2) существуют векторы, неравные 0, переводимые всеми пре-
преобразованиями А из 91 в нуль: вырождение второго рода. .
Если множество матриц81 = {А} проявляет вырождение пер-
первого рода, то множество St* транспонированных матриц А*
страдает второй болезнью, и обратно; действительно, наше пред-
предположение означает, что все векторы t) = (ylt ... , _у„) вида
АХ удовлетворяют нетривиальному условию
и потому контравариантный вектор (аъ ... , ап) переводится в
нуль всеми А*. Для отдельной матрицы невырожденность лю-
любого рода означает неособенность. Множество матриц Ш, содер-
содержащее единичную матрицу или любую неособенную матрицу, не
является вырожденным ни в первом, ни во втором смысле. Век-
горы j, удовлетворяющие соотношению Л? = 0 для всех А из 21,
и векторы вида Aj-{-ВХ)-{-.••• (А, В, ... ?Щ, очевидно, обра-
образуют инвариантные подпространства. Поэтому неприводимое мно-
множество 91 не может быть вырожденным первого рода, за исклю-
исключением того случая, когда А]С = О для всех А из 91 и всех
векторов J. Но тогда 91 состоит из единственной матрицы Л = 0,
и вследствие неприводимости порядок ее должен быть равен 1.
Матричную алгебру 31, состоящую из одной лишь однострочной
матрицы 0, или абстрактную алгебру, состоящую из единствен-
единственного элемента 0, мы будем называть нулевой алгеброй. Таким
образом, неприводимая матричная алгебра, если только она —
не нулевая, не может быть вырожденной первого, а также, как
легко доказывается аналогичным способом, — и второго' рода.
Неприводимая матричная алгебра 81, рассматриваемая как аб-
абстрактная алгебра, называется простой; или, другими словами,
простая алгебра й есть алгебра, допускающая точное не-
неприводимое представление ?1: а —*• А. Нулевая алгебра не счи-
считается простой по условию.
Если алгебра а содержит единицу е, то при представлении
a-+R(a) этой алгебры единице соответствует идемпотентная
матрица Т (е) = J, т. е. матрица, удовлетворяющая условию
JJ—J. Построим в нашем пространстве Р подпространства Р9
и Pj тех векторов г.о и jj, для которых, соответственно,
/5, = 0, Jh=h-

122
ГЛАВА III
Эти подпространства линейно независимы, и Р расщепляется
на Pq-J-Pj, потому что
r. = r.0-[-r.1 влечет за собой yj = j1
и дает таким образом требуемое однозначное разложение
/о 1 \ т — Jy г — г Jy
(разложение Пирса). В системе координат, приуроченной к этому
разложению, J является единичной матрицей, окаймленной нулями:
, ||? О
J — [|0 О
Каждая матрица А = R (а) вследствие равенств
AJ=JA = A,
соответствующих равенствам ае = еа — а, содержит нулевое
окаймление той же ширины. Поэтому мы можем и будем
ограничиваться невырожденными представлениями, в кото-
которых е представляется единичной матрицей Е. Самые общие
представления получаются из них окаймлением всех матриц
нулями.
Совокупность всех А-матриц я-го порядка называется пол-
ной матричной алгеброй Ша', ранг ее равен я2.
Из заданного множества Si = {А} матриц я-го порядка можно
получить два множества Ш и Sl^, состоящие из всех матриц по-
порядка nt вида
А 0 ... О
О А ... О
О 0 ... А
или соответственно
B.2)
AikGW). Если 51 — алгебра, то и Ш и 91, —алгебры.
Докажем следующую лемму:
Лемма (III.2.А). Если Щ — неприводимая {и ненулевая)
алгебра, то и Ш.( — неприводимая алгебра.

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 123
Таким образом нижним индексом t указывается формальный
процесс получения новых простых алгебр из заданной.
Доказательство. Векторы нашего ^«-мерного простран-
пространства Р' можно описать как системы (jj, ..., 3Q из t произволь-
произвольных векторов основного я-мерного пространства Р. Пусть If —
подпространство пространства Р', инвариантное относительно %t
и содержащее, по крайней мере, один вектор
предположим, что j° = jj7^O. Произведя над этим вектором
операцию B.2), в которой равны нулю все Aik, за исключением
одного Ас1 = А в первом столбце, находим, что
(О,..., Af,..., 0)
принадлежит 2'. Так как вырожденный случай исключен нами, то
можно выбрать Ао в 31 так, чтобы А^^О; поэтому заклю-
заключаем, что в 2' содержится по крайней мере один вектор вида
@ h 0),
отличный от нуля. Пусть А„= А пробегает $1 и пусть все
остальные Л/А = 0. Вследствие неприводимости 31 мы видим
тогда, что каждый вектор вида
@, •••, h 0)
содержится в 2'. Суммируя по т= 1, ..., t, приходим к заклю-
заключению, что 2' совпадает с Р'.
Последним в этом разрозненном собрании будет замечание,
фиксирующее стандартное рассуждение, встретившееся уже нам
в § 1 и вновь встречающееся часто и дальше.
Лемма (III.2.B). Из заданной последовательности не-
неприводимых инвариантных подпространств 2у G=1, ...,т)
можно выбрать подпоследовательность, все члены которой
линейно независимы и дают ту же сумму, что и вся после-
последовательность .
Предполагается, конечно, что векторное пространство Р под-
подвергается действию заданного множества SI матриц. Пересече-
Пересечению любого 2у из нашей последовательности с суммой пред-
предшествующих членов Sx —f- ... —J— Sy_t является инвариантным
подпространством и потому есть либо 0, либо все 2,. В первом
случае мы оставляем 2^, во втором — опускаем,

124 глава га
3. Представления простой алгебры М
Теорема (III. 3. А). Алгебра с делением а является
простой: уже ее регулярное представление (а) — а неприво-
неприводимое, и точное.
Доказательство. Обозначим о, рассматриваемое как
векторное пространство, снова через р. Подпространство р' про-
пространства р, инвариантное относительно всех операций х—*ах
и содержащее элемент i=^=Q, должно содержать каждый эле-
элемент вида ai и следовательно каждый элемент с вообще:
e = c/-i.
Теорема (III.3.В). Каждое невырожденное представле-
представление алгебры с делением а. является кратным t{a) ее регу-
регулярного представления (а).
Пусть а —> Т (а) — заданное невырожденное представление
в я-мерном векторном пространстве Р; пусть j обозначает
общий вектор пространства Р и е,, ..., е„ — систему коорди-
координат. Имеем Т(е) = Е. К подпространствам пространства Р мы
будем применять термины инвариантно, неприводимо, подразуме-
подразумевая инвариантность и неприводимость по отношению к алгебре ?
матриц Т(а). Равенство j' = aj означает, что у.' =±Т(a)j. Пусть
Р, — подпространство, состоящее из всех векторов j = лге^, где х
пробегает а. Установленное этим соответствие х—> ? является
подобием, т. е. ах переходит в aj; поэтому Р, инвариантно
относительно преобразований Т (а) из ?. Тогда либо Р, — нуль,
либо это отображение р на Р,- есть взаимно однозначное соот-
соответствие. Действительно, элементы лг, для которых ^ = 0,
образуют в р инвариантное подпространство; и так как (а)
неприводимо, то либо каждое х удовлетворяет соотношению
Аге, = О, либо никакое х, кроме нуля, ему не удовлетворяет.
Первый случай Р;. = 0 здесь исключен, поскольку ett = Eti =
= г/фО. Сумма Рг —{— ... —{— Рст содержит каждый из базисных
векторов ех, ..., ея и потому совпадает со всем простран-
пространством Р. Применяя лемму (III.2.B) к последовательности
Рп .. ., Рл, мы расщепляем Р на некоторое число линейно неза-
независимых инвариантных подпространств РЯ1, ..., Ра(, в каждом из
которых S? индуцирует представление, эквивалентное регуляр-
регулярному представлению (а).
Если допускать вырождение, то 2 будет прямой суммой крат-
кратного регулярного представления и кратного нулевого представления.
Теорема (III.3.C). Простая алгебра а содержит еди-
единичный элемент. Ее регулярное представление является

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 125
t-кратным того точного неприводимого представления St:
а—>-А, которым а была определена. Ранг h алгебры а кра-
кратен степени g этого представления: h = gi.
Матрицы А порядка g являются линейными отображениями
в ^-мерном векторном пространстве Р. Регулярное представле-
представление (§1) сопоставляет матрице А линейное отображение
аргумент которого X пробегает линейную совокупность Ш,
выступающую здесь как Л-мерное векторное пространство р.
Выделим в р неприводимое инвариантное подпространство pj.
Оно подобно пространству Р по отношению к соответственным
их преобразованиям (А) и А. Действительно, пусть Л° — нену-
ненулевой элемент из pt и ё — вектор из Р такой, что Aut^=O.
Формула l=Xt (X ? pj) отображает р1 на инвариантное под-
подпространство рхе пространства Р посредством соответствия X —>¦ g,
являющегося подобием, поскольку X—>? влечет за собой
АХ—> Л?. Вследствие неприводимости представления 31, под-
подпространство pte есть либо нуль, либо все пространство Р.
Первая возможность здесь исключена, поскольку А°^О
В остающемся же случае подобие X—>j в силу неприводимости рх
явлается взаимно однозначным соответствием между рг и Р:
те X из р1( для которых Хе — 0, образуют в р, инвариантное
подпространство, и потому единственным таким элементом
является ЛТ—0. Это доказывает, что любая неприводимая
часть представления (81) эквивалентна представлению Щ..
Так как каждый вектор j из Р представим в виде ЛТе
(X € Pi), то, в частности, в pt существует элемент /, такой,
что е^Де. Вследствие инвариантности рх, матрица Х1Х лежит
в pj для каждой матрицы X из р. Так как обе матрицы X
и XI\ переводят е в один и тот же вектор ? = ЛГе, то для X,
лежащих в р}, они должны совпадать; в частности, I1Il = I1:
матрица 1г является производящим идемпотентом подпростран-
подпространства pj в р. Применяем теперь к р идею пирсовского разложе-
разложения и вводим инвариантные подпространства pj и at тех X,
которые соответственно удовлетворяют уравнениям Х1Х — Х,
Х1г = 0. Первое из них действительно является подпространством,
обозначавшимся ранее через р:. Единственность разложения каж-
каждого X из р на матрицу ЛТ, из pt и матрицу Yx из av
C.1) X = Xl + Ylu ¦

126 ГЛАВА III
Обеспечивается тем, что из C.1) следует
C.2) Xl = XI1 {Y,=X-XIX).
Повторяя этот процесс, мы определим неприводимое инва-
инвариантное подпространство р2 пространства av производящий
идемпотент 1'2 подпространства р2 в Uj и с его помощью разло-
разложение Sj на р2 и дополнительное инвариантное подпростран-
подпространство а2:
Y
Yx € ex; X* € р2, К2 € в„ т. е. YJ\ = 0.
Воспользовавшись выражением C.2) для общей матрицы Yx из elf
получаем
C.3) ^ = CY-<X71)/^ = Jf/2, ^=^-(^7! + ^),
где
Та == 72 7j72.
Следующим шагом разбиваем а, на неприводимое инвариантное
подпространство р3, порождаемое в а2 идемпотентом 7д, и до-
дополнительное инвариантное подпространство о8. р3 состоит из
матриц вида YJ'3 (Уг?а2), т. е. в силу C.3) — вида
Продолжая так дальше, мы получим в окончательном итоге раз-
разложение пространства р на неприводимые инвариантные под-
подпространства р1( г.., pt по формуле
Как мы уже знаем, каждая неприводимая часть регулярного
представления эквивалентна представлению Ж; поэтому (а) экви-
эквивалентно ^-кратному от Ж и h = tg.
Так как компонентой Ха матрицы ^ в р, служит Х1„ то,
в частности, для матрицы Х=/^ (у которой р-вой компонентой
является L, все же остальные компоненты — нули) получаем:
, / _ / /«Для
г* \ 0 для
Сумма

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 127
-удовлетворяет уравнению А1=А для всех А из 31 и в част-
частности 1-1=1. Вектор t), переводимый матрицей / в нуль,
C.4) It) = О,
удовлетворяет уравнению
Л1) = 0 для всех А ? 31,
поскольку Aty = Afy. Так как тривиальный случай нулевой
алгебры нами исключен, то заключаем, таким образом, что
свойством C.4) обладает лишь 1) = 0. Тогда пирсовское разло-
разложение B.1) сразу показывает, что ? = /? для каждого вектора г.,
т. е. что / есть единичная матрица; таким образом 31 содер-
содержит единичную матрицу Е, и, следовательно, а — единичный
элемент е, представляемый в §1 матрицей Е.
Метод, с помощью которого мы получили теорему (Ш.З.В),
может быть использован для доказательства одного общего
утверждения, которое заслуживает упоминания, хотя и не будет
фигурировать в качестве необходимой части нашего теоретиче-
теоретического построения.
Теорема AII.3.D). Если регулярное представление (а)
алгебры а расщепляется на неприводимые части З^. §12, ...,
то всякое представление, не являющееся вырожденным пер-
первого рода, расщепляется на неприводимые части, каждая из
которых эквивалентна одному из Ш.{.
Доказательство. Предположение теоремы состоит в том,
что алгебра а, рассматриваемая как пространство р регулярного
представления, разлагается на неприводимые инвариантные подпро-
подпространства pj, р2, ..., рг Пусть g — общий вектор и е}, ..., е—
система координат пространства Р заданного представления-
81: а-*7».
2' = я$ снова будет означать j' = 7(a)j, а рае — совокупность
всех векторов г. = л;е (^€р«)- Образуем тогда таблицу
Piei> •••• ?t i
и применим к ней лемму (III. 2. В). Представление, индуцируемое
представлением Ш. в любом из оставленных подпространств р;еА,
эквивалентно представлению, индуцируемому в р, регулярным
представлением; действительно, такое подпространство р;еА — не-
ненулевое и посредством отображения х —* xtk (x ? р,) ставится во
взаимно однозначное подобное соответствие с р;. Сумма всей

123 ГЛАВА III
таблицы содержит каждый вектор с$ (а ? a, J ? Р), а следова-
следовательно и всякий вектор вообще, поскольку вырождение первого
рода по условию исключено.
Непосредственным следствием этого и предыдущего предло-
предложений является
Теорема (III.3.E). Каждое невырожденное представле-
представление простой алгебры а эквивалентно кратному ее точного
неприводимого представления Э(. В частности, Щ является
единственным неприводимым представлением алгебры а.
4. Теорема Веддербёрна
Мы приходим теперь к связи между проведенным анализом и иде-
идеей коммутатора. Она имеет своим источником следующую теорему:
Теорема A11.4.А). Если алгебра а содержит единич-
единичный элемент е, то единственными линейными преобразова-
преобразованиями, перестановочными со всеми преобразованиями (а):
х—>-х' — ах, являются преобразования вида (b)': x—*у=хЬ
(Ь — элемент из ct).
Действительно, если у = В(х) — такой коммутатор, то мы
должны по определению иметь
D.1) В(а-х) — а-В(х).
Положив В(е) = Ь и применив D.1) к х^=е, придем к требуе-
требуемой формуле В(а) = аЬ для каждого а.
Обозначим через а' инверсную алгебру алгебры а, т. е.
алгебру, отличающуюся от а тем, что теперь произведение двух
элементов а и b определяется как Ьа, а не ab. Тогда наш
результат можно выразить так: коммутаторной алгеброй регу-
регулярного представления алгебры а служит регулярное представ-
представление инверсной алгебры а'; таким образом эта связь — взаимная.
В частности, применяем это к алгебре с делением а; тогда
оба регулярных представления (а) и (а)' неприводимы.
Вернемся снова к нашей простдй алгебре Ш. или а. Комму-
Коммутаторная алгебра 23 алгебры Ш. есть in abstracto алгебра
с делением Ь' (ранга d), следовательно in concreto — крат-
кратное t(b') ее регулярного представления (Ь'); таким образом,
общая матрица алгебры 23 имеет вид
(Ь)'
D.2) В— (t строк),

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА
129
где (Ь)' пробегает все операторы
х—>x' = xb {х — переменная из Ь),
порождаемые элементами Ъ инверсной алгебры Ь. Следова-
Следовательно, g=d-t. Коммутаторная алгебра 91 алгебры 33 состоит
из всех матриц вида
(ап)...{аи)
D.3)
А=
где каждое (в/А) есть оператор
x^x' = alkx (alk<:b)
из регулярного представления (Ь) алгебры с делением Ь; таким
образом,
SI, коммутатор коммутатора алгебры Ш, очевидно, содер-
содержит 91. Мы желаем установить тот факт, что 31 совпа-
совпадает с St. Для этой цели заметим, что коммутатор коммутатора
алгебры «91 обязательно содержит tM, потому что коммута-
коммутаторной алгеброй алгебры а31 служит 33И. Поэтому, если бы Щ
было в действительности шире, чем Ш,, то это же имело бы
место и для «St, и в частности для того кратного xSt алгебры 2t,
которое, по теореме (Ш.З.С), -^ (а). Это, однако, противоре-
противоречит сделанному выше замечанию, что (а) есть коммутатор ком-
коммутатора (а') алгебры (а). Таким образом мы получаем возмож-
возможность заменить равенство D.4) теоремой Веддербёрна*):
D.5) % = (b)t.
Она показывает, что рангом h нашей простой алгебры о слу-
служит d-fi=g-t и, следовательно, упомянутое выше число х
равно t (а) ^ щ>
Абстрактно говоря, теорема D.5) утверждает, что наша про-
простая алгебра изоморфна алгебре ^-строчных матриц,
D.6)
*) На этот сокращенный путь к теореме Веддербёрна обратил
мое внимание Р. Брауэр.
^ Г. Вейль

130 ГЛАВА III
элементы которых aik берутся из алгебры с делением,Ь. Она
выходит за пределы этого абстрактного утверждения, говоря
нам, как получить конкретную матричную форму Щ, для а,
а именно, —• путем замены каждого элемента alk из Ь й-строч-
ной матрицей (a!k). В терминах нормальной формы D.6) произ-
произвольного элемента а из а, уравнение •
(я): х' — ах {а и
читается: ...
Выделение индивидуальных столбцов (jfj ,, ..., xt.) даст разложе-
разложение регулярного представления (о) на t раз взятое St. Коммута-
Коммутаторная алгебра 33, т. е. Ь', а потому и Ь, однозначно опреде-
определены представлением §1.
Теорема (III.4.В). Связь между неприводимой матрич-
матричной алгеброй Ш и ее коммутаторной алгеброй 33 взаимна:
31 есть полная коммутаторная алгебра алгебры 33. 33 выра-
выражается посредством однозначно определенной алгебры с де-
делением Ь ранга d, как t-(b'), Ш. — как (Ъ)г Кроме h=tg
имеем g=dt, следовательно h = dfi.
Сформулируем здесь специально следующий частный случай
этой теоремы:
Теорема (Ш.4.С). Неприводимая алгебра St ранга g,
единственными коммутаторами которой являются крат-
кратные аЕ единичной матрицы Е {случай d=\), есть полная
матричная алгебра Ш над к {и потому не приводима в лю-
любом поле над k — „абсолютная неприводимость").
Если k алгебраически замкнуто, то единственными комму-
коммутаторами алгебры Ш. являются кратные единичной ¦ матрицы
и потому 3l = 9Jt^ В этой форме наша теорема принадлежит
Бёрнсайду, тогда как общий критерий (Ш.4.С), справедливый
при любом поле k, предложен Фробениусом и И. Шуром 14.
Элементы а из а, перестановочные со всеми элементами х,.
D.7) ах = ха,
образуют центр J алгебры а. Соответствующая матрица А
должна одновременно являться -некоторой матрицей В из ком-
коммутаторной алгебры, т. е. в D.3), D.6) мы должны, соответ-
соответственно, иметь
D.8) (вд) = (г)гл, aik = zbik>

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА
131
где z обозначает элемент из центра алгебры с делением &.
Поэтому центр алгебры a = bt изоморфен центру алгебры с де-
делением Ь. Несколько более прямым путем можно притти к тому
же результату следующим образом. Беря в матрице •*= ||-*:/ft||,
входящей в уравнение D.7), т. е. в
в качестве элементов xlk = %lke (Srt — числа из k, е— единица
алгебры Ь), получаем D.8), т. е. \\alk\\=zE, а тогда D.9) по-
показывает, что z должно быть перестановочно в Ь с каждым х.
Полная взаимность между алгеброй и ее коммутаторной
алгеброй достигается лишь при переходе от неприводимого
представления 81 нашей простой алгебры а к его кратному s3t.
Нетрудно видеть, что для этой алгебры, s-(b)t, коммутаторной
алгеброй служит р-(Ь')]^. Строение общих элементов наших
двух алгебр указано схемами
D.10)
(«ii) • • • К)
(ап) ... (аи)
0
(«я) • • • (««)
о
0 ...(&„)'
0 ...(*„)'
о ...(М'
где (aik) пробегают независимо друг от друга (Ь), а (Ьл?)' про-
пробегают (Ь); i, k = \, ..., t; a, {5 = 1, ..., s. Таким образом
(изменяя наши обозначения), мы имеем пару алгебр
D.11) Я~
каждая аз которых служит коммутаторной алгеброй для
другой; 81 и Ъ суть алгебры матриц порядка g=d-st,
имеющие, соответственно, ранги
откуда
D.12)
9*
=-d<V и й«=

132
ГЛАВА Ш
Эквивалентности D.11) являются одновременными в том смысле,
что алгебры Ш и 33 описываются схемами D.10) в одной и той
же системе координат.
5. Вполне приводимая матричная алгебра и ее
коммутаторная алгебра
Следующим предметом нашего изучения будет естественное
обобщение матричных алгебр: элементами а будут теперь сово-
совокупности v занумерованных матриц над k
E.1) a = [Al,Ai,...,Av),
где каждая компонента Аа есть матрица предписанного по-
порядка ga. ¦ Такие элементы можно складывать, перемножать
между собой и умножать на числа из к, выполняя эти дей-
действия над отдельными компонентами. Исследуем алгебры а над k,
состоящие из таких элементов а. Каждая компонента, например
А1 = А1(а), определяет представление §lj алгебры а: а—<¦ Av
Применив простой прием записи наших элементов в форме
А{ 0 ... О
E.2)
О .А,
О
О О ...А,
вместо E.1), мы могли бы остаться и в пределах матричных
алгебр.,Докажем следующее предложение:.
Теорема A1I.5.A). Если компонентные представле-
представления Ца алгебры а, образованной элементами вида E.1), не-
приводимы и неэквивалентны, то компоненты Аа независимы
друг от друга. Регулярное представление алгебры а разла-
разлагается тогда на неприводимые части, каждая из которых
эквивалентна одному из компонентных представлений.
Утверждаемая „независимость" может быть сформулирована
различными способами. Пожалуй, проще всего сказать, что если
E.3)
а — (Аи А, Av)
содержится в а, то это же верно и для
а1 = (А1,0 0),
E.4)
ар = {0, 0 Av).

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 133
Иными словами, когда а изменяется в а, то каждая компо-
компонента Аа(а) независимо пробегает всю ее область значений Ща.
Или еще: а есть прямая сумма алгебр §1а.
Доказательство точно следует плану, принятому в доказа-
доказательстве теоремы (Ш.З.С). а есть векторное пространство р.
В неприводимом инвариантном подпространстве pt пространства р
снова выделяем элемент ай=^0. По крайней мере одна из его г»
компонент А°а, скажем A°v отлична от нуля. Выбираем тогда
снова вектор е, для которого A®z=^=0, и заключаем, что рх по-
подобно, пространству первой компоненты, т. е. пространству пред-
представления Щ, (или, что представление, индуцируемое регулярным
представлением в р,, эквивалентно Slj). Теперь делаем следую-
следующее простое замечание: ни для какого элемента а из pt вторая
компонента А2 не может быть отлична от нуля. Действительно,
в противном случае, исходя вместо а0 из такого а, мы нашли
бы, что pj подобно пространству второй компоненты, что,
однако, невозможно вследствие предположенной неэквивалент-
неэквивалентности представлений Slj и §12. Разложив р на неприводимые
инвариантные подпространства pt, р2, ..., объединяем те из них
которые подобны пространству первой компоненты, те, которые
подобны пространству второй компоненты, и т. д. Согласно
нашему последнему замечанию, это означает, что E.3) разби-
разбивается на члены из а вида
(I, 0 0),
(О, Л2, ..., 0),
@, 0, ...,AV).
Но их сумма равна E.3), следовательно Аи = Аа, и мы пришли,
таким образом, к требуемому результату E.4).
Рассмотрим в заключение k-алгебру а матриц над k, раз-
разложимую на неприводимые части. Если эквивалентные из них
записывать одинаковым образом, то общий элемент а разобьется
на „блоки" вида
(«=!,..., v),
где
и.
: а-
(а)
(а)

134 глава ш-
— неприводимые и взаимно неэквивалентные представления.
Лемма (III. 1.D), — второй вариант леммы Шура — тогда пока-
показывает, что каждый коммутатор В алгебры а разбивается на
блоки такого же размера. На каждый же отдельный блок рас-
распространяется положение, установленное нами в конце предыду-
предыдущего параграфа: блоку sa \(ba) J заданной алгебры 31 соответ-
соответствует блок [tu (b'J]s в коммутаторной алгебре 33; Ьи — некоторая
алгебра с делением. Наше предложение (III.5.А) относительно
алгебр, образованных элементами вида E.1), показывает, что
заданная алгебра 8С есть прямая сумма блоков: »
В том же смысле имеем
и, применяя к 35 то же рассуждение, а именно, в сущности,
лемму Шура, легко устанавливаем, что Ш. есть коммутаторная
алгебра алгебры 33. Если бы некоторые блоки алгебры Щ. не
были независимыми, то коммутаторная алгебра алгебры 23 была
бы существенно шире, чем 51! Таким образом, наше исследова-
исследование увенчивается следующей теоремой:
Теорема (Ш.5.В). Если k-алгебра 21 матриц над k
разлагается на неприводимые части, то это же верно и для
ее коммутаторной алгебры 23. Обратно, §1 служит комму-
коммутаторной алгеброй для 23. Строение алгебр 21 а 33 описы-
описывается одновременными эквивалентностями
где Ьи, Ь'и — взаимно инверсные (абстрактные) алгебры с де-
делением.
Вряд ли необходимо особо упоминать, что Щ содержит еди-
единичную матрицу Е. Матрицы алгебр Э( и 33 имеют порядок
g=y\daSja> где du — ранг алгебры Ьи; ранги алгебр Ш и 33
и
суть соответственно
2d? и Л«=5М

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 135
Таким образом, при всех обстоятельствах
Как абстрактная алгебра, 31 тождественна алгебре а эле-
элементов
a = (Av ..., Av),
где каждое Аи независимо пробегает неприводимое множество 31а
матриц порядка gu, — или, еще более абстрактно,
a = (av ...,«„),
где аи пробегает простую алгебру аа (а— прямая сумма алгебр
аа). В том же смысле центр алгебры а есть прямая сумма цент-
центров алгебр аи, которые в свою очередь изоморфны центрам
соответствующих алгебр с делением Ьи. Согласно результатам,
полученным для любого неприводимого множества, вида 31В,
регулярное представление (а) расщепляется на tx раз взятое 31Х
плюс t2 раз взятое 812> плюс... Кратность ta, с которой входит
каждая неприводимая составляющая Щи, является делителем
порядка gu матриц этой составляющей:
E.6) ga = dja.
Используя общее предложение (III.3.D), заключаем:
Теорема (Ш.5.С). Всякое невырожденное представление
абстрактной схемы а вполне приводимой матричнбй алгебры 31
разлагается на неприводимые составляющие, каждая из ко-
которых эквивалентна одному из Stn (и = 1, ..., v). В част-
частности, кратность, с которой эта составляющая входит
в регулярное представление алгебры а, есть число tu из тео-
теоремы (III.5.B), делитель порядка gu, определенный равен-
равенством E.6).
Непосредственным следствием нашего окончательного резуль-
результата (III.5.В) является следующий критерий, впервые плодо-
плодотворно использованный Р. Брауэром:
Теорема (III.5.D). Обертывающая алгебра вполне при-
приводимого множества матриц Ш. есть коммутаторная ал-
алгебра коммутаторной алгебры множества %
Под полной приводимостью мы понимаем, что множество
матриц §1 разлагается на неприводимые части.
Действительно, обертывающая алгебра 31 множества 91 рас-
расщепляется тем же способом, что и само 3t, и ее части, содержа-
больше, чем соответствующие части множества Ш., тем более

136 Глава ш
неприводимы. Каждый коммутатор В множества 31 является ком-
коммутатором и для St. Следовательно, применима теорема (III.5.В),
и 81 есть коммутаторная алгебра совокупности 23 всех коммута-
коммутаторов В множества 3L
В. ГРУППОВОЕ КОЛЬЦО КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ И ЕГО
КОММУТАТОРНАЯ АЛГЕБРА
6. Постановка задачи
Раздел В будет посвящен теме, тесно связанной с темой
раздела А, хотя и менее общей по охвату. Она возникла из
задачи разложения тензорного пространства на его непри-
неприводимые компоненты относительно полной линейной группы,
и мы приступаем к ней, имея в виду это применение. Пусть
наше основное й-мерное векторное пространство Р подвергнуто
любому неособенному линейному преобразованию Д^||а(гй)||;
тогда под влиянием этого преобразования компоненты произ-
произвольного тензора F(i1...if) ранга / подвергаются преобразо-
преобразованию
F.1) Щ{А) = АХАХ--- ХА (/множителей),
т. е. F преобразуется в
f(/,... if) = 2 а('А) • • •а('A)^ (V • •kf).
*1, ¦¦;kf
Все аргументы или индексы ink пробегают целые значения
ог 1 до п. Тензоры ранга / образуют векторное пространство Р/
размерности лА Мы говорим, что А индуцирует в Рf преобразо-
преобразование llf(A). Соответствие А—>П^(Д) определяет представление
группы GL(n) в Рj. Примерами инвариантных подпространств
в Pyt служат совокупности всех симметрических или же всех
косо-симметрических тензоров, а также, в очевидное обобщение
этих простейших случаев, совокупность всех тензоров, удовле-
удовлетворяющих каким-нибудь условиям симметрии. Чтобы опи-
описать, чтб такое условие симметрии, мы должны сперва выяс-
выяснить, чтб означает применить к заданному тензору F под-
подстановку s нижних индексов 1, . .., /. Пусть s — подстановка
F.2) 1—1',..., /—/',
тогда F' = sF мы определим формулой
F.3) F(tlii...ij> = F{tv,iv 1Л

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 137
Этим обеспечивается выполнение желательного нам соотношения
t(sF) = (ts)F для любых двух подстановок s:а—>а'и^:а'—ю."
{а = 1, ...,/}, композиция которых ts определена как а—>-а".
Действительно, принятая нами последовательность в выполнении
композиции сохраняется, если подстановке s сопоставить следую-
следующие (линейные) преобразрвания сначала переменных I в новые
переменные /', а затем функции F в новую функцию F':
Вытекающее отсюда равенство
совпадает с F.3), если заменить V на i. Подстановки / индексов
образуют симметрическую группу у —п/ порядка /!.
Линейное условие симметрии, наложенное на тензор F,
есть соотношение
F.4) 2a(s)sF=0
S
с произвольными коэффициентами a (s); оно утверждает, что
оператор симметрии
переродит F в 0: aF=0. Операторы симметрии можно оче-
очевидным образом складывать и умножать на числа. Более того,
последовательное применение операторов
s s
(сперва a, затем 6) порождает новый оператор симметрии с,
произведение Ьа, определенное формулой
2 b(t')(t)ft ^()
2
t,t>
где
F.5) ф)= 2 Hn
t't=s
Правила выполнения операций сложения и умножения зависят
лишь от структуры рассматриваемой группы ть и ничем не
связаны со специальной реализацией групповых элементов 5
в виде линейных преобразований F—*sF в пространстве Р,.

138 Г Л А В A III
Поэтому естественно стать снова на абстрактную точку зрения:
каждая конечная группа у порядка h порождает алгебру ранга ft,
так называемое групповое кольцо г над k, состоящее из всех
линейных комбинаций групповых элементов s с коэффициентами
a (s) из k:
F.6) a = ^a(s)-s.
s
»
Здесь сумма—лишь наводящий способ записи, „величина" я из г
есть не что иное, как совокупность коэффициентов a (s) или
функция a(s), определенная на группе. Существенно лишь опре-
определение трех операций: если а имеет коэффициенты a(s), a
b — коэффициенты b (s), то а -(- b, 1а, Ъа имеют соответственно
коэффициенты
a{s)-\rb(s),- la(s) и F.5)
(X — произвольное число из k). Все аксиомы, характерные для
алгебры, выполнены; закон ассоциативности умножения есть не-
непосредственное следствие соответствующего закона для элементов
группы. Групповое кольцо содержит единицу 1. Переход от
группы к групповому кольцу существенно облегчает ее изучение
благодаря пополнению списка допустимых операций, включавшего
первоначально лишь умножение Ьа, еще сложением a -j- b и
умножением на числа la.
Возвращаясь к симметрической группе тт^ порядка /! и реали-
реализации ее элементов и величин а из группового кольца линей-
линейными операторами F—>aF в тензорном пространстве, следует
заметить, что эта реализация, вообще говоря, — не изоморфная
или точная. Если мы положим §я = —|— 1 или —1 соответственно
тому, четна или нечетна подстановка s, то альтернирование
^Sy-s будет переводить каждый тензор F, ранг которого /
превосходит размерность п, в нуль
Группу преобразований ПДЛ), индуцируемых в Р^ всеми не-
неособенными линейными преобразованиями пространства Р, есте-
естественно заменить ее обертывающей алгеброй
Легко видеть, и позже будет в явном виде доказано [теорема
(IV.4.E)], что эта алгебра Щ.^ состоит из всех преобразований
F.7) Л, = !№.../,; V-

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 139
в тензорном пространстве, симметричных в том смысле, что
а (г\ ... if, kx ... kf) не изменяется, когда оба ряда аргументов
/,, . .., if и kv .. ., kf подвергаются одной и той же подста-
подстановке s, F.2):
F.8) a (i\<... ip; k\, — kf>) = a(i1 ... if, kx ... kf).
Так как термин „симметричный" употребляется для весьма мно-
многих других целей и притом также связанных с линейными пре-
преобразованиями, то я предлагаю присвоить рассматриваемому
здесь роду симметрии наименование „бисимметрия". Бисим-
метричный оператор в тензорном пространстве можно описать,
как оператор, перестановочный со всеми /! операторами сим-
симметрии F—>sF. Действительно, положим
а (А //.; kv... kf,) = a' [ix ...if, kx ... kf);
тогда равенство
G^ ... /,) = 2J fl(/t ...if, kt... kf) F(kt ...kf)
в силу F.3) дает
eO(/, ... /,) = Sa'(/1 ...if, k,... kf).SF(kl ...kf)
или, в легко понятных обозначениях,
s-^A'fS^Af или A'f=sAfs~K
Поскольку подстановки s входят в определение алгебры Щ^
нет ничего удивительного в том, что. исследование действия
группы GL(n) на тензорное пространство связано с симметри-
симметрической ГРУППОЙ Пр
Идея замены группы преобразований П^(Л), A?GL(n), обер-
обертывающей алгеброй 31^ всех бисимметричных А* впервые была
подсказана автору применением этих теории к квантовой
механике^. Там тензор F описывает состояние физической
системы, образованной из / однородных частиц, скажем, элек-
электронов. Каждая наблюдаемая физическая величина представляется
линейным оператором Af в тензорном пространстве, и в част-
dF
ности изменение F==:~^f состояния F в момент t определяется
оператором Н, представляющим энергию:
F(ix ... /^SAt'i ...ij,kx..
н

140 ГЛАВА Щ
Если все частицы подобны, то Н будет бисимметричным в на-
нашем смысле, и потому между различными подпространствами тен-
" зорного пространства, инвариантными относительно алгебры SL,
невозможны никакие переходы во времени, каковы бы ни были
силы взаимодействия между частицами. Решающую роль
в квантовой механике играет не столько- группа преобразова-
преобразований П^(Л), сколько алгебра §1^.
Теперь уже должно быть совершенно очевидно, какой общей
проблемой охватывается наш вопрос, относящийся к тензорам:
группа тг* заменяется произвольной конечной группой у> тензор-
тензорное пространство — любым векторным пространством, общий
вектор которого мы обозначим через /, а размерность — через я,
операторы F—>-sF—любым представлением <2 заданной группы у
в этом векторном пространстве, и, наконец, 81^—т коммутаторной
алгеброй представления <2>. Мы установим полную взаимность
между регулярным представлением группового кольца х
группы у и коммутаторной алгеброй заданного представле-
представления. Повторим более подробно: у есть конечная группа порядка п,
s означает общий ее элемент, г есть соответствующее группо-
групповое кольцо, образованное величинами F.6). Пусть задано пред-
представление группы у в л-мерном векторном пространстве Р:
s-+U(s)=\\uik(s)\\,
F-9) ? = 2«/*(*)/* (hk=\, ...,п) или f = U(s)f.
Мы сокращенно записываем F.9) в виде f' — sf и распростра-
распространяем это представление на групповое кольцо:
/—»/' = Va(s)s/=a/ представляет Va(s)s = fl.
S
Линейные операторы а образуют алгебру @, гомэморфную груп-
групповому кольцу. SI есть коммутаторная алгебра заданного пред-
представления или алгебры ©; элементы алгебры 31 мы будем теперь
обозначать через Л= Ця^Ц. Таким образом из
(ело) /= Af, 7«=S«rt/ft
при А € 31 следует, что
F.11) sf = Asf или s7 2A
2
Групповое кольцо есть Л-мерное векторное нространство р, рас-
рассматриваемое как поле действия регулярного представления (г)

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 141
алгебры г, сопоставляющего величине а подстановку
(а): х—*ах
в р, наше же векторное пространство Р будет рассматриваться
как поле действия матриц из 21 (а не @); соответственно сле-
следует понимать инвариантность, неприводимость, эквивалентность
и т. п.
Первым делом покажем, что регулярное представление груп-
группового кольца г вполне приводимо, причем это справедливо
при любом основном поле k*). После этого мы могли бы вы-
выбрать следующий путь: теорема (III.3.D) и ее доказательство
показывают, как разложить @ на неприводимые части, а тогда
общая теорема (Ш.5.В) обеспечивает полную приводимость
коммутаторной алгебры Ш. Однако мы установим здесь гораздо
более полный и прямой параллелизм между (х) и Ш, без по-
посредства @ и притом гораздо более элементарным методом,
который также можно вычитать из нашего специального случая
тензоров F.
Как мы предлагали выделять инвариантное подпространство
в тензорном пространстве Р^? — Наложением на F некоторого
числа условий симметрии F.4). Эти условия выражают, что
„величина" с коэффициентами F(s) = sF находится в некотором
линейном подпространстве о пространства р. Читатель, не же-
желающий оперировать с величинами, коэффициентами которых
служат не числа, а тензоры, может потребовать, чтобы в ука-
указанном подпространстве лежала каждая величина х с коэффи-
коэффициентами
при произвольных фиксированных iv ..., if. Переход от этого
замечания к нашей общей проблеме приводит к следующему
исходному пункту дальнейших рассмотрений.
Пусть /—вектор; через //(•) мы будем обозначать величину
с коэффициентами
F.12)
*) Это останется справедливым, даже если k имеет характеристику
р Ф 0, в предположении, что р не является делителем порядка h
группы f. Заметим, что раздел А этой главы сохраняет силу для полей
любой характеристики, а раздел В—для полей характеристики р, не
Делящей А.

142 ГЛАВА III
/(•) = (/,(•), ..., /„(•)) можно рассматривать как вектор, ком-
компонентами которого служат не числа, а величины. Каждое под-
подпространство а в р следующим образом определяет подпростран-
подпространство 2 = $а векторного пространства Р: вектор f принадле-
принадлежит 2 в том и только в том случае, если каждая аз п величин
/,(•) (/=1, ...,п) лежите в. То, что построенное так 2 есть
инвариантное подпространство пространства Р (инвариантное от-
относительно алгебры Щ, — почти тривиально. Нашей главной
целью является установить справедливость обратного утвержде-
утверждения, т. е. что каждое инвариантное 2 имеет вид $а. Естест-
Естественным способом достижения этой цели является построение а
по 2, и совершенно ясно, как это сделать. Пусть 2 — любое
подпространство пространства Р; определяем а—1J как ли-
линейную оболочку всех величин вида /Д«) (/6 2, i=\, ..., п).
Более подробно: если /W (а=1, ...,/я) — базис подпростран-
подпространства 2, то соответствующее [J состоит из всех величин вида
F.13) *=2чМв)(-)
с произвольными коэффициентами <pW. Опять-таки почти три-
тривиально, что такое а=1}2 инвариантно и является, кроме того,
подпространством пространства
F.14) ро = 1|Р
(не обязательно совпадающего со всем пространством р). При
этих ограничениях — что. 2 инвариантно в Р и о инвари-
инвариантно в р0 — мы покажем, что операции # и t) взаимно
обратны.
7. Полная приводимость группового кольца
Во исполнение программы, намеченной в последнем пара-
параграфе, прежде всего докажем, что регулярное представление (г)
группового кольца г вполне приводимо'5'.
Теорема (III.7.A). Инвариантное подпространство а
пространства р обладает идемпотентным производящим
элементом е; т. е. хе лежит в о для каждого х, и хе = х
для каждого х из о.
Из этой теоремы, в частности, следует, что е = 1е содер-
содержится в а и потому ее = е.
Линейное преобразование х—у у, переводящее каждый „век-
„вектор" х в некоторый вектор у из о и оставляющее векторы х

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА ИЗ
из о неизменными, мы будем, естественно, называть проекти*
рованием р на а. Такое проектирование на произвольное линей-
линейное подпространство о размерности g строится достаточно просто:
беря какую-нибудь систему координат ех е ; е v ...,eh,
приуроченную к подпространству а, полагаем по определению
«,—«„ ..., eg-+ej «,+ I—0 eh-^0.
Нам нужно, доказать существование проектирования специаль-
специального вида
х—>у = хе,
в предположении, что а — инвариантное подпространство.
Мы начнем с произвольного проектирования х—*у:
y(s) = %d(s, t)x(t), y = Dx.
t
Вследствие инвариантности подпространства а, формула
гг — Drx
снова определяет некоторое проектирование х—*-г, какой бы
элемент группы ни взять в качестве г; это проектирование за-
записывается в явном виде так:
или
l
t
Образовав „среднее" всех наших проектирований
мы снова получим проектирование; его матрица е (s, t) удовле-
удовлетворяет соотношению
е (rs, rt) = e (s, t)
и потому имеет вид е (t~1s). Следовательно, наше новое про-
проектирование и есть проектирование требуемого вида,
у {s) = 2 х (t) e (t-^s) или у=хе.
t
Теорема (Ш.7.В). Инвариантное подпространство а,
содержащее инвариантное подпространство ax<z.a, можно

144 ГЛАВА III
расщепить на о. и дополнительное инвариантное подпростран-
подпространство а': а = а, -f-з'.
Доказательство следует схеме, уже использованной в дока-
доказательстве теоремы (Ш.З.С). Пусть ех — производящий идемпо-
тент подпространства о,. Те х из о, для которых лге, = х, обра-
образуют инвариантное подпространство av те, для которых хех = 0,
образуют также инвариантное подпространство а'. Разложение
Пирса дает а = а^-\-а'.
Если инвариантное подпространство о разложено на несколько
линейно независимых инвариантных подпространств,
то имеем для каждого элемента х из о единственное разло-
разложение
G.1) X = Хх -J- Хг -(-...-{- Ха (¦*•«€'«)>
в частности, для производящего идемпотента е подпростран-
подпространства о имеем
Из G.2) следует, что, для любого х из а,
Так как хеа (как и еа), в силу инвариантности подпространства иа,
лежит в аа, G.3) совпадает с разложением G.1), которое, таким
образом, оказывается .непосредственным следствием разложения
G.2). Применяя наше замечание к я —еа, видим, что
„ если р4 = а,
, если Р =т^ а-
Такие величины еа будем называть взаимно нормальными идем-
патентами. Идемпотент е неразложим или примитивен, если
он не допускает никакого разложения е = ех -\- е2 на два вза-
взаимно нормальных идемпотента ev e2, кроме тривиальных разло-
разложений е = е-\-0 и е = О-{-е. Производя расщепление, пока,
это будет возможно, мы придем в конце концов к расщеплению
заданного идемпотента е на взаимно нормальные примитивные
идемпотенты. Действительно, если ег допускает дальнейшее рас-
расщепление,

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 145
то для а^> 1 имеем
поэтому последовательность e'v е"г; е2, ... снова состоит из
взаимно нормальных идемпотентов. Наш анализ показывает, что
разложение единицы 1 на взаимно нормальные примитивные
идемпотенты приводит к расщеплению всего р на неприводимые
инвариантные подпространства.
Обратимся теперь к ситуации, к которой относилась лемма
(III. 1.D), с тем, чтобы выяснить общую идею подобия или
эквивалентности. Мы имеем два множества матриц, Ах (а) и А2 (а),
связанных некоторым соответствием с параметром а, пробегаю-
пробегающим какое-то абстрактное множество. Pt и Р2 суть два вектор-
векторных пространства размерностей gx и g2, векторы которых под-
подвергаются соответственно преобразованиям Ах(а) и Л2(а). Под
равенствами iI = aj:1, tJ = aj2 Для векторов у,, из Pt и ?2 из
Р2 понимается, что д, =Д, (а)^, 92 = Л2(а)у,2. Пусть 2„ 22—
инвариантные подпространства, соответственно, в Р,, Р2. Линей-
Линейное отображение у,2—> jj, сопоставляющее произвольному век-
вектору ?2 из 22 некоторый вектор j, из 2j, называется отобра-
отображением подобия 22 на 2,, если оно переводит а|2 в aj, (для
любого a). 2j и 22 подобны или эквивалентны, если суще-
существует взаимно однозначное отображение подобия ^2^=±^г
22 на Sj. В частности, 2t и 22 могут быть подпространствами
одного и того же векторного пространства Р, являющегося
полем действия совокупности преобразований А.(а).
Теорема (Ш.7.С). Отображение подобия D: х—«-л;' ин-
инвариантного подпространства ст на о' порождается умноже-
умножением справа на некоторое Ъ: x' = xb.
Доказательство. Обозначим через Ъ величину, в кото-
которую переводится отображением D производящий идемпотент е
подпространства а. Так как D — отображение подобия, то оно
будет переводить хе в xb, каково бы ни было х; но х = лге,
если х принадлежит в. — Это предложение и его доказательство
представляют собой незначительную модификацию утверждения
и доказательства теоремы (Ш.4.А).
По общей формуле x' = xb образом е будет eb; поэтому
построенное здесь Ъ удовлетворяет соотношению е6 = 6икроме
того, как величина из ст', удовлетворяет еще соотношению
be' = b, где е' — производящий идемпотент подпространства ст'.
Рассмотрим тот частный случай, когда ст и о' эквивалентны и,
10 Г. Вейль

146 ГЛАВА III
значит, отображаются друг на друга с помощью взаимно одно-
однозначного соответствия подобия х^=±х'. Это соответствие будет
в одну сторону порождаться величиной b: x' = xb, удовлетво-
удовлетворяющей указанным выше соотношениям, а в другую сторону —
величиной а:
G.4) х = х'а,
удовлетворяющей аналогичным уравнениям:
G.5) ае = е'а = а; be' = еЬ=Ь.
е переводится прямым отображением в Ь, а последнее — обрат-
обратным отображением в Ьа; следовательно,
G.6) Ьа = е и ab = e\
Обратно, если е и е'— заданные идемпотенты и а, Ь удовле-
удовлетворяют уравнениям G.5), G.6), то формулы
x' = xb, х = х'а
устанавливают взаимно однозначные отображения а:—>дг', х'—>х
инвариантных подпространств а, а', порожденных соответственно
идемпотентами е, е', друг на друга.
То, что мы несколько небрежно назвали инвариантными под-
подпространствами, было бы, пожалуй, более точно назвать левыми
инвариантными подпространствами, потому что операциями,
относительно которых определена здесь инвариантность, явля^
ются левые умножения (а): х—*ах на элементы а из нашего
кольца. Подпространство, инвариантное относительно правых'
умножений (а)': а:—*ха, заслуживает наименования правого
инвариантного подпространства. Тогда как первое имеет про-
производящий идемпотент е справа, в том смысле, что оно состоит
из всех величин вида хе, последнее будет иметь производящий
идемпотент слева. Доказательство можно было бы провести
тем же способом. Однако существует общий метод свободного
перехода слева направо. Если определить й формулой
d{s) = a{s~1) или d(s-1)=^a{s),
то имеет место следующая лемма:
Лемма (III.7.D). Из а — а^ следует й = агйг
Таким образом, покрытие „крышками" переводит нашу ал-
алгебру г в „инверсную" алгебру г'. Если инвариантные подпро-
подпространства, порожденные идемпотентами е, е', эквивалентны, то
это же верно и для 6, ё'; действительно, уравнения G.5). G.6)

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 147
показывают, что ё, ё' связаны друг с другом с помощью вели-
величин а, Ь тем же способом, как е, е' с помощью величин Ь, а.
Поэтому представление, индуцируемое регулярным представлением
в а, в смысле эквивалентности, однозначно определено пред-
представлением, индуцируемым в а; здесь а, а обозначают подпро-
подпространства, порожденные, соответственно, идемпотентами е и ё.
Вопрос о природе этого сопряжения разрешается следующей
теоремой.
Теорема (III. 7. Е). Представления, индуцируемые регу-
регулярным представлением в а и а, контрагредиентны друг
другу.
Доказательство основывается на понятии следа: следом (ан-
(английское trace) величины a: a (s) называется ее единичная ком-
компонента а A) = tr (а). След произведения двух переменных величин,
G.7) ' tr(xy) = 2lx{s)y(s-i) = 2lx(s-i)y(s),
S S
есть симметричная билинейная невырожденная форма в р: при
заданном а уравнение tr (ха) = 0 не может тождественно удо-
удовлетворяться всеми х за исключением того случая, когда а = 0.
Сравним левое и правое инвариантные подпространства а
и X, состоящие соответственно из величин хе и ex. Мы утверж-
утверждаем, что форма tf (xy) не вырождается, когда х и у изменя-
изменяются соответственно в а и т. Действительно, для произвольного
элемента z и элемента а из а имеем
az = ae-z = a-ez = ay,
где y — ez принадлежит т. Поэтому предположение tt{ay) = O
для всех у из х влечет за собой, что tr (az) = 0 для всех
вообще z, откуда а = 0. Аналогично доказывается наше утверж-
утверждение и для второго множителя. Отнесем теперь а и г к коор-
координатным системам а1 и bk так, что
G.8) x=Ziai+...+Zgag, _y = rh&1+...+vV
пробегают соответственно а и х, когда числа ? и ч\ независимо
пробегают k. Из невырожденности формы tr (xy) для выражений
G.8) легко следует совпадение g' = g размерностей подпро-
подпространств а и т и возможность приурочить систему координат bk
втк произвольно выбранной системе координат а( в о так, чтобы
G.9)
для х из а и у из т.
10*

148
ГЛАВА III
Когда у изменяется ъ х, у принимает значения из а. Одно-
Одновременное выполнение подстановок
х—*sx (x?d),
или
G.10) х—>sx (х?з), ;
оставляет G.9) неизменным: ;
G.11) it(sas~1) = ii(a), tr (sxys-1) = tr (xy).
Следовательно, будучи выражены в выбранных системах коорди-
координат, подстановки G.10) контрагредиентны.
Наше последнее замечание будет относиться к характеру x(s)
представления, индуцированного в о регулярным представлением
группового кольца г.. Надо вычислить след 2aE)ZE) линейной
подстановки *
\i лЛ) х—* у^=- ах \х 13).
Если мы приурочим систему координат ev .. ., е ; eg+v ..., eh
к ^-мерному подпространству в, то сразу увидим, что подста-
подстановка
G.13) л:— у =
имеет матрицу
*
*
0
0
где левый верхний квадрат занят матрицей подстановки G.12).
Это позволяет вычислить след подстановки G.12) или
который оказывается равным
2 a(t)e (f) = ^ a (t) e (s~4-*s) =
s,t
Отсюда, переставляя буквы sat, имеем
G.14)
Функцию a (s) называют функцией классов, если для эле-
элементов s одного и того же класса, т. е. сопряженных элемен-

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 149
I
тов, как s и t~lst, она принимает одинаковые значения:
G.15) a(Mst) = a{s).
В этом смысле характер i(s) любого представления s—>U(s)
является функцией классов, поскольку
имеет тот же след, что u.U(s). Формула G.14) делает это оче-
очевидным для наших представлений, содержащихся в регулярном.
a (s) есть функция классов в том и только в* том случае, когда
величина а принадлежит центру группового кольца. Действи-
Действительно, из ах=ха или
G.16) 2а и x V'1) =2 * ('"> {tgS>
t t
обратно следует G.15),
a(st) = a(ts),
если приравнять коэффициенты в обеих частях формулы G.16),
8. Формальные леммы
После того как мы разрешили себе войти во все эти де-
детали, относящиеся к конечным группам и их групповым кольцам
и частично не нужные для нашей непосредственной цели, на-
настало время вернуться к проблеме, сформулированной в конце
шестого параграфа. В основу доказательства полной взаимности
между регулярным представлением (х) группового кольца г и
коммутаторной алгеброй 31 мы положим три простые леммы I6',
Лемма (Ш.8.А).
(8Л) в-Л(-)=5а*М->
к
(8.2) \K\\=^a(s)U-Hs).
S
Доказательство. с/(-) имеет ^-коэффициентом вектор
g(s) = ^ia(r)r^sf=^a(r)U-^r)f(s).
г г
Лемма (Ш.8.В). fi{-)a = gt{-), где вектор g определен
формулой

150 ГЛАВА 1П
Другими словами, если g=af, то g{-)=f{-)a.
Доказательство. ft(.)a — x действительно задается
формулой
Лемма (Щ.8.С)/Равенство вида
(8.3) f
1=1
где tp = (tpt, ..., fa) рассматривается как строка, а не стол-
столбец (контравариантный вектор), влечет за собой
(8.4) ' в(*)=2Л-*Р"
где sr^ = (p(s) определяется, как строка yU~l(s). Линейное
преобразование
<8-5> IKJH
/и. е.
(8.6) A =
S
перестановочно с операторами s.
Доказательство. (8.4) или
сразу следует из (8.3), так как U-1(s) = U(s~'1). Кроме того,
U {() AIM (/) = J tf ifs) ty (/-i (ts) = A.
*
9. Взаимность между групповым кольцом и коммутаторной
алгеброй
Если А ==Ц% || принадлежит коммутаторной алгебре, то из
соотношения
(9.1) Л=2%Л
в силу F.11) следует
(9.2) ?(•)

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦХ 151
Это замечание показывает, что $о инвариантно: одновременно
с / также f=Af содержится в $з, потому что если величины
Д(.) лежат в а, то это же верно и для величин /,(•)• опре-
определяемых формулой (9.2). С другой стороны, в силу леммы
}Ш.8.А), \\& инвариантно для любого линейного подпростран-
подпространства 2 из Р: a:ft(') есть линейная комбинация величин fk{-)
для любого вектора / из 2. Далее, по определению имеем
Нашей целью является замена в этих соотношениях, в случае
инвариантных ScP и <зсро> включения с равенством =. В со-
соответствии с этим мы выразим полную взаимность между р0
и Р, устанавливаемую операциями $ и \, в виде следующих
Двух теорем:
Теорема (Ш.9.А). Пусть в (<f, ви а2) — произвольные
инвариантные подпространства пространства р0 а 2 = #з;
тогда соотношения
влекут за собой, соответственно, соотношения
2'с2, 23-2, + S,, 2^2,;
при этом, обратно,
о = 1|2.
Теорема (III.9.B). Пусть 2B', 2,, 22) — произвольные
инвариантные подпространства пространства Р и о = 1J;
тогда
и соотношения
2'с2, 2 = 21 + 2я, 2Х^23
влекут за собой, соответственно, соотношения
o'cs, o = o1 + s2, ai-^a2.
Прежде чем перейти к доказательствам этих теорем, сде-
сделаем следующее замечание. Если ё — производящий идемпо-
тент инвариантного а, то соответствующее 2 = $з состоит из
всех векторов вида ef. Действительно, g=ef лежит в 2, по-
потому что, в силу леммы (III.8.B), gf(-) =fA-) ё} для каждого
же / из 2 имеем ef=/,

152 ГЛАВА III
Для доказательства первой части теоремы (Ш.9.А) заметим,
что равенство ё = ёх-\-ёг, получающееся в результате примене-
применения к производящему идемпотенту ё подпространства о разло-
разложения a=a1-\-ez, приводит к следующему разложению 2 =
^ + 2 для 2 = #j:
(/ 6 2)
Лемма (IH.7.D) позволяет убрать все крышки в соотношениях
что обеспечивает независимость составляющих Slf 2а:
«,/(«) = О,
Соответствие подобия л:, *=t л;2 между st и vv определяемое
формулами
порождает взаимно обратные преобразования
/B) — ft/(Df /A) = а/<2>
между векторами /Я), /<2> из 'Е1=.§а1 и 22 = ^о2. В силу F.11)
этими формулами устанавливается соответствие подобия:
из /(П —л/W следует ft/W =
Для доказательства второй части теоремы (Ш.9.А), т. е.
соотношения ocrl]2, мы построим 1]2 с помощью производя-
производящего идемпотента ё подпространства о следующим образом.
Пусть векторы gW(a=l,..., n) образуют базис всего вектор-
векторного пространства Р. Так как все /(а) = eg^ лежат в 2 = $з, то
лежит в |2. Вводя
\
имеем ^ = х^. Таким образом, лт? лежит в 1]2, если х лежит
в ро = 1|Р. Но каждое х аз в удовлетюряет обоим условиям:
х ^ р0 и лт<? = х.
Обратная теорема (Ш.9.В) устанавливает существенно важ-
важные факты. Ее утверждение, что
(9.3) из a =1J следует 2 = ^5

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 153
для любого подпространства 2, инвариантного относительно 31,
является становым хребтом всей теории. Пусть ё — производя-
производящий идемпотент подпространства а = |]2. Как и всякий элемент
из о, он имеет вид
где
— векторы, образующие базис для 2. Поэтому, в силу леммы
(Ш.8.С),
2J
a, ft
и всякий вектор g=ef из $а задается формулой
где
Каждое слагаемое gW суммы (9.4), g=Vg-(ct)) получается из
а
/(»> с помощью линейного преобразования А^ = || at*) ||f кото-
которое, в силу той же леммы (III.8.С), перестановочно со всеми s.
Поэтому 2, будучи инвариантным относительно преобразований А
из коммутаторной алгебры 3(, вместе с f№ содержит и g^"\
Этим и доказано наше утверждение: ^?2 или фас2.
Из разложения 2 = 2j -(- 22 по определению следует, что
каждое лт из a = |j2 может быть записано в виде суммы хг -\- лг2,
где jct ga1 = l]21, дг3 ^ ст2 == tjS^. Остается доказать, что jt и а2
линейно независимы, или что пересечение о* = а1Пог пусто,
если пусто пересечение 2* = 2jfl22. Но в силу уже доказан-
доказанной части теоремы (Ш.9.В),
поэтому $a*c2* и, согласно последней части теоремы (Ш.9.А),
а*с|]2*.
Переход от 2, ~ 22 w al ~~ j2, где о, = 1J^ ста= ||22, бу-
будет основываться на следующем утверждении, доказательство
которого содержится в лемме A11. 8. В);

154 Г Л А В A III
Лемма (П1.9.С). р0 как лево-, так и правоинвариантно.
В силу этого, р0 обладает левым производящим идемпотен-
том i: i€po. ix=x для всех х?р0.
Пусть векторы /М образуют базис подпространства 2j и
пусть заданное отображение подобия Ъ1 на 22 переводит /1«>
в gi'\ Если мы положим
4,1
. { ф(«) — произвольные числа}, то соответствие х—*у между
а: и у с одними и теми же коэффициентами <р<«> будет определять
отображение подобия подпространства a, = l|Sj на sa = l|22,
так как, в силу леммы (III.8.А), имеем
Однако это определение соответствия д:—*у правомерно лишь,
если из х = 0 следует у = 0. Докажем сперва, что
из дг/=О следует yf=O
(для любого вектора /). В силу леммы (Ш.8.С), вектор F=xf
есть сумма членов Z7^), получающихся из соответствующих /(">
с помощью преобразования
Так как преобразования Л(а> принадлежат коммутаторной ал-
алгебре Ш, то заданное отображение подобия 2: на 22 перево-
переводит Т7*") в соответствующую часть G^ вектора G=yf и пото-
потому F в G. Следовательно, F=0 влечет за собой G = 0 и,
в частности: если числа tpW удовлетворяют уравнению х —0, то
мы должны иметь yf==O или, по лемме (Ш.8.В), f.(.)y = O
для каждого вектора /. Поэтому данное у удовлетворяет усло-
условию zy = 0 для каждого z из ро, и в частности для z = i. Но
так как у само лежит в р0, то полученное равенство iy = Q и
доставляет требуемый результат: у = 0.
Полная взаимность, установленная теоремами (HI.9.A) и
(III.9.В), включает тот факт, что операция $ перецодит не
только s = 0 в $3 = 0 и часть а'с а в часть ^a'c^J, но так-
также всякое афО в фз^-О и собственную часть в собственную
часть, предполагая, что рассматриваемые ст суть инвариантные

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 155
подпространства пространства р0. Разложение пространства р0
на неприводимо инвариантные подпространства оа приводит
к разложению пространства Р на подпространства 2а=еаР,
неприводимо инвариантные относительно алгебры 31; при этом
оба разложения совершенно параллельны, вплоть даже до
сохранения эквивалентностей.
Заметим в дополнение, что любое инвариантное подпростран-
подпространство 2 пространства Р разбивается на неприводимо инвариантные
подпространства, каждое из которых подобно одной из рассмот-
рассмотренных выше частей 2, пространства Р. Это справедливо для лю-
любого векторного пространства, вполне приводимого относительно
некоторого множества линейных преобразований. Но доказатель-
доказательство особенно просто в данном случае. Действительно, пусть е —
производящий идемпотент подпространства 2. Из разложения
Р 2+2 + ... или
вытекает равенство
Так как 2а неприводимо, то отображение /в —> efa либо перево-
переводит каждый вектор /„ подпространства 2а в нуль, либо представляет
собой взаимно однозначное отображение подобия 2„ на некото-
некоторое подпространство в 2.
Теорема (III.9.D). Пространство Р разбивается на не-
неприводимые часта 2а = екР. Любое инвариантное подпростран-
подпространство 2 пространства Р разлагается на неприводимые части,
каждая из которых подобна одному из еаР.
Для полной оценки изложенного метода (II) сравним его с ме-
методом (I), упомянутым в § 6, состоящим в переходе от г к а
посредством теоремы (III.3.D) и от © к 31 посредством теоре-
теоремы (III.5.В), пользуясь построениями, данными в доказатель-
доказательствах обоих этих предложений W. Эти построения зависят от
выбора координатной системы в Р и ни на одном из указан-
указанных двух шагов не проявляется такого полного параллелизма,
какой обнаружен нами здесь. Совпадения между числами экви-
эквивалентных частей и не следует ожидать. В противоположность
ограничению р до р0 в (II), метод A) заменяет р на его фактор-
пространство по двусторонне инвариантному подпространству р°,
элементы которого а удовлетворяют уравнению а/= 0 тожде-
тождественно для всех векторов /. Пробегая снова весь ход доказа-
доказательства, можно сжато выразить суть метода A) следующим

156
ГЛАВА Ш
образом. Единица 1 группового кольца г (или, лучше, г mod p°)
разлагается на взаимно нормальные примитивные идемпотенты,
(9.5) 1 = в1 + в, + ...;
= xel-\-xe%-\-... и f=eJ-\-e
тогда
(9.6)
дают соответствующие разложения пространств р и Р на непри-
водимо инвариантные подпространства (соответственно по отно-
отношению к (г) и Щ. Действительно, если алгебра <2>, которую
теперь следует отождествить с 23, записана в виде прямой сум-
суммы v простых алгебр Ьи как в доказательстве теоремы (Ш.5.В),
а элементы каждой из простых составляющих Ьа — как 5-строч-
5-строчные матрицы
(9.7)
Ьлл ... Ьл
"- bs
(s = sa), элементы которых принадлежат алгебре с делением
Ь = i>w, то мы получим примитивные идемпотенты е("), прирав-
приравняв в (9.7) один из диагональных элементов Ьт единице е алгеб-
алгебры Ь, а все остальные элементы в (9.7), равно как и все вообще
элементы других простых составляющих Ьц< (и'фи) — нулю.
Число членов в (9.5) равно sx ¦^j-... -\- sv. Система координат
в нашем векторном пространстве разбивается на части, различа-
различаемые тройками индексов
(?) [и = 1, ... , v; i = 1, ... , ta; a = 1, ... , s ].
Векторы вида e^f суть те, у которых обращаются в нуль все
компоненты, кроме компонент с индексами
и эти векторы подвергаются под действием
из неприводимой алгебры Щ:
(ап) ... (аи)
преобразованиям
{ап) ...
{
Мы видим теперь, что существенная разница между методами
(I) и (II) состоит в том, что в (I)
хе сопоставляется с

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 157
тогда как в (II)
хё сопоставляется с ef.
Лишь второй способ устанавливает соответствие, не зависящее
от выбора производящего идемпотента е. Таким образом, можно
сказать, что более полные результаты, достигаемые методом (II),
возможны благодаря наличию в групповом кольце операции ',
отсутствующей в произвольной (полупростой) алгебре М.
10. Обобщение
Простейшие аксиомы проективной геометрии (включая акси-
аксиомы порядка и непрерывности) показывают, что проективное
(я-—1)-мерное пространство изоморфно следующей алгебраи-
алгебраической модели: каждое отношение п чисел заданного поля k,
(за исключением 0:0:...: 0) представляет точку; прямая ли-
линия, соединяющая две различных точки а( и bt, задается пара-
параметрическим представлением
(где w.v пробегает все пары из k за исключением 0:0). Для
того чтобы поле k было коммутативным, следует допустить
в качестве аксиомы также некий частный случай теоремы Па-
Паскаля. Невырожденное линейное преобразование
(\ол) /;= 2«йд, f=uf,
представляет коллинеацию, т. е. отображение /—>/', при ко-
котором точки, лежащие на прямой линии, переходят снова в точки,
лежащие на прямой линии. Возникает вопрос, является ли это
наиболее общей коллинеацией. Все геометры считали, что ответ
должен быть утвердительным, и это формулировалось как так
называемая основная теорема проективной геометрии: каждая
коллинеация, оставляющая .неизменной проективную систему ко-
координат, есть тождество. При этом проективная система коор-
координат состоит из п вершин
A:0:0:. ..:0), @:1:0:...:0) @:0:0:.. .:1)
и „единичной точки"
A:1:1:...:!).

153 ГЛАВА III
Приведенное утверждение действительно справедливо, если k
есть поле вещественных чисел, однако уже неверно для общего k
(неверно даже тогда, когда k есть континуум всех комплекс-
комплексных чисел, в котором действует классическая алгебраическая
геометрия). Действительно, любой автоморфизм а—>-а* поля k
порождает коллинеацию fl—»/J, сохраняющую неизменной си-
систему координат. (Автоморфизм поля есть взаимно однозначное
отображение а —»• а* этого поля на себя, не нарушающее фун-
фундаментальных операций -|- и X:
(а-Н)»=а'-И* (аР)»=аТ.
и потому, й частности, переводящее 0 в 0 и 1 в 1.) Основная
теорема проективной геометрии в форме, годной при любом
поле k, утверждает просто, что каждая коллинеация, со-
сохраняющая систему координат, является в этом смысле
автоморфизмом поля k. Доказательство основывается на том
факте, что понятия числа из k и сложения и умножения в k
определяются геометрически в терминах фундаментальных поня-
понятий, входящих в проективные геометрические аксиомы. Наибо-
Наиболее общая коллинеация есть комбинация автоморфизма а—>а*
и линейной подстановки A0.1):
В сравнении с этими „полу-линейными" подстановками, линей-
линейные подстановки в собственном смысле, хотя и не вынужденные
к полному отречению от престола, играют лишь второстепенную
роль: они представляют проективножи: Две (п— 1 (-мерные
гиперплоскости, вложенные в проективное я-мерное пространство,
можно отобразить одну на другую с помощью перспективы (цен-
(центральной проекции). Проективность осуществляется любой цепью
перспектив, возвращающейся в конце концов к исходной гипер-
гиперплоскости и тем самым производящей некоторое коллмиеарное
отображение этой плоскости на себя; и именно этот тип кол-
линеации, реализуемый цепью перспектив в проективном про-
пространстве большего числа измерений, соответствует линейным
подстановкам без автоморфизмов.
В силу указанных обстоятельств представляется естествен-
естественным обобщить теорию представлений конечной группы у так,
чтобы включить полу-линейные преобразования. Поэтому мы при-
примем, что с каждым элементом s заданной конечной группы у

МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 159
сопоставлен автоморфизм поля k, обозначаемый через а—ю*|
причем
Все представления, которые мы собираемся исследовать, осно-
основаны на этом соответствии, заданном раз навсегда; индивиду-
индивидуальное представление степени п представляет s полу-линейным
оператором следующего типа:
г =u(S)f.
Закон композиции читается теперь так:
Пользуясь для A0.3) снова сокращенной записью /' = s/, мы
относим величине a = ^a{s)s из группового кольца оператор
A0.4) f->f = af=%a{s).8f.
S
Если умножение кольцевых элементов а следует способу ком-
понирования соответствующих операторов а, то с—ba должно
задаваться формулой
tt' — S
Этот закон определяет модифицированное групповое кольцо х,
зависящее от того, какие автоморфизмы отнесены групповым
элементам s.
Операторы A0.4), соответствующие всем величинам а из
этого группового кольца, образуют алгебру @, которую мы,
правда, не решились бы назвать матричной алгеброй. Все обык-
обыкновенные линейные преобразования
7,=2% д, 7=а/,
к
перестановочные с h операторами /—*¦*/, образуют множество
21 матриц, которое мы снова назовем коммутаторной алгеб-
алгеброй, хотя это и не есть алгебра в строгом смысле, по крайней
мере — не над k. Щ. замкнуто относительно матричного сложе-
сложения и умножения; однако, в принадлежности аА к 81 (а — число,
Л ^ 31) мы можем быть уверены лишь, если а есть самосопря-
самосопряженное число из k, т. е. число, удовлетворяющее условию
a.s = a для всех рассматриваемых автоморфизмов s. Самосопря-

160 ГЛАВА III
женные числа образуют подполе k0, над которым k является
относительным полем конечной степени w; автоморфизмы s обра-
образуют группу Галуа поля k над k0. 51 есть алгебра над k0, и
для многих целей было бы удобнее рассматривать в качестве
основного поля не k, a k0. Если воспользоваться базисом поля k
над k0, то операторы / —> af из © обратятся в обыкновенные
линейные операторы над k0 порядка гт.
Каковы бы ни были достоинства этой точки зрения, нет ни-
никакой нужды в том, чтобы принять ее, собираясь перенести
теорию, изложенную в разделе В этой главы, на полулинейный
случай. Все результаты остаются в полной силе, доказатель-
доказательства же требуют лишь тривиальных видоизменений. Операция
a —*й должна теперь определяться формулой
Что же касается следа, то форма tr(xy) не будет уже симмет-
симметричной, и G.11) заменится на
Во всем дальнейшем нам нигде не встретится случая при-
прибегнуть к полу-линейным преобразованиям. Тем не менее три
причины побудили нас упомянуть это обобщение: во-первых, по-
потому что- это не стоило нам почти никакого труда; во-вторых,
указанное обобщение, повидимому, доставляет естественную об-
область применения метода (II); и, наконец, в-третьих, потому что
полу-линейные преобразования выдвинулись на первый план в ря-
ряде современных исследований в различных областях алгебры 14.

ГЛАВА IV
СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА И ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ
ГРУППА
1. Представление конечной группы над алгебраически
замкнутым полем
Следующим шагом в выполнении программы, намеченной в
§ 6 предыдущей главы, является прямое разложение регулярного
представления симметрической группы тг^ на его неприводимые
составляющие. Это построение, доставляя полную совокупность
неэквивалентных неприводимых представлений группы тт* вместе
с тем протекает целиком в рамках поля х рациональных чисел.
Тем не менее получаются такие результаты, которые общей
теорией обеспечиваются лишь при алгебраически замкнутом
основном поле. Причина этого явления коренится в том, прису-
присущем симметрической группе, обстоятельстве, что неприводимые
составляющие над х оказываются абсолютно неприводимыми. Для
полной оценки нашего прямого и элементарного построения
считаем полезным вкратце напомнить читателю основные факты,
относящиеся к представлениям конечной группы над алгебраи-
алгебраически замкнутым полем k. Мы имеем в виду ортогональность
и полноту.
1. Ортогональность. Пусть
s~>U(s)=\\uik(s)\\ и V(s)=\\vpg(s)l
•— два неприводимых представления соответственно степеней g
и g' конечной группы у порядка h (i, k = 1, ..., g; p, q =
= 1, ..., g'), и пусть||vig{s)|| = \\vqp(s~l)|] — матрица V, кон-
трагредиентная к V. Обозначая символом Ш1 операцию усред-
усреднения -~ V , имеем тогда (в предположении неэквивалентности
рассматриваемых представлений)
Г. Вейль

162 ГЛАВА IV
в случае же V(s) = U(s) усреднение дает:
0-2) Ш.* {1МЯР
{ 0 в противном случае.
И. Шуру 14 принадлежит следующее простое доказательство.
Образуем с помощью произвольной матрицы # = 11^,11 из g
строк и g' столбцов сумму
распространенную на все гр упповые элементы t. Очевидно,
U{s)CV-l{s) = C или U(s)C = CV(s).
Поэтому, в силу леммы (III. 1.D), в случае неэквивалентности
имеем С=0: это и дает соотношения A.1). Во втором случае,
когда V(s)= U(s), лемма (III. 1.C) позволяет при алгебраически
замкнутом поле & заключить, что С=р.Е, где р. — число, ко-
которое должно линейно зависеть от произвольно выбранной нами
матрицы
Таким образом,
ИЛИ
Но контрагредиентные матрицы |)а1к\\ и ||км|| связаны соотно-
соотношениями
Поэтому, полагая p — i и суммируя по /, получаем
так что A.3) приводится к A.2).
Для характеров

СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА И ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА 163
получаем:
0.4) аилх«(*)х.(*-1)У
0, если представления
неэквивалентны,
1, если представления
эквивалентны.
Из установленной ортогональности в качестве непосредствен-
непосредственного следствия вытекает, что компоненты uik (s), vpg (s), ... не-
неэквивалентных неприводимых представлений группы у, равно как
и характеры ia(s), lv(s), . .. этих представлений линейно неза-
независимы.
2. Полнота состоит в том, что указанные функции обра-
образуют полный линейный базис для всех функций или, соответ-
соответственно, для всех функций классов. Иными словами: число неэк-
неэквивалентных неприводимых представлений равно числу классов
сопряженных элементов в группе у> а сумма квадратов их сте-
степеней ё*-{-??2 -(-••• равна ее порядку . Л. Тогда как ортого-
ортогональность приписывает некоторое свойство любым двум заданным
представлениям, доказательство полноты, очевидно, зависит от
способа построения полной системы неэквивалентных неприво-
неприводимых представлений. Но общим источником, из которого воз-
возникают все эти представления, как было обнаружено в главе 111,
является регулярное представление (г) группового кольца х,
сопоставляющее каждому элементу
а = 2 a (s) s
S
этого кольца г подстановку
A.5) (а): х—*у = ах (х пробегает г).
Мы знаем из § 7 главы III, что (х) вполне приводимо и потому,
в силу теоремы (III.5.В), является прямой суммой простых ал-
алгебр, каждая из которых есть полная матричная алгебра над
некоторой алгеброй .с делением над k. Однако над алгебраиче-
алгебраически замкнутым полем k не существует другой алгебры с
делением, кроме самого k. Это получается тем же рассуждением,
которым мы специализировали лемму Щура для случая алгебра-
алгебраически замкнутого поля, доказав, что единственными коммута-
коммутаторами в этом случае служат кратные единичной матрицы.
Поэтому при надлежащем выборе базиса еш e'pq, ... общий эле-
элемент а нашего группового кольца изображается некоторым
набором матриц
11*

164 ГЛАВ A IV
элементы которых alk, a'pg, ... независимо пробегают все k:
A.6) «
При этом
A.7) <*—IKJ,
суть неэквивалентные неприводимые представления, содержащиеся
в регулярном, и записывая A.5) в виде
rlij — 2 anfikj' r\pr== 2 aPi bqr, • • • i
*
«¦
мы снова видим, что каждое из них входит столько (g, g', ...)
раз, какова его степень [число t в (Ш.5.6), связанное с g
равенством g—d-t, в данном случае совпадает с g, поскольку
ранг d алгебры с делением равен теперь 1]. A.6) влечет за со-
собой требуемую полноту:
a(s) есть функция классов, если а принадлежит центру
группового кольца, т. е., согласно § 4 главы III, если в качестве
матриц A.7) выбраны кратные аЕ ,<t'Eg>, ... соответствующих
единичных матриц:
Таким образом, элементы
A.8) е = 2е«. s' = 24>> •••
образуют базис центра. Число их равно числу всех неприводи-
неприводимых представлений группы у- Элементы elt, epp дают то полное
разложение единицы 1 на взаимно нормальные примитивные-
идемпотенты, которым мы занимались в § 9 главы III.
Равенство
A.9) 1 = е + е'+...
представляет собой разложение 1 на взаимно нормальные идем-
идемпотенты, обрывающееся на неприводимых двусторонне инва-
инвариантных подпространствах, т. е. на простых алгебрах, прямою
суммой которых является (х):
х = х?-\-хе'-\-...,

СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА И ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА 165
На этом мы могли бы закончить. Однако, чтобы внести
большую ясность, мы присоединим еще следующие замечания.
Закон перемножения матриц эквивалентен следующей таблице
умножения для нашего базиса:
(\ \ Q) ) eikekj — etp
\ все осталь
p
все остальные произведения равны 0.
Вычисляя след подстановки A.5) сначала при „естественном" ба-
базисе" s, а затем при нашем новом базисе elk, еРЯ, ... нахо-
находим:
или
it{elk) = O Цфк), tr (*„) = -?;
Таблица умножения A.10) показывает тогда, что единственными
отличными от нуля являются следы таких произведений:
A.11) tr^^f, t:(e'pq е'др) ={,...
Поэтому A.6) дает:
A.12) f
Но
где U{s) = '\uik(s)\\—представление рассматриваемой группы.
Замечая, что
S
выводим, таким образом, из A.12) равенства
A.13) u,b(s) = — eb-(s~1), у (s) = — ete),
rt g "' a g
в свете которых соотношения A.11) содержат иовое. конструк-
конструктивное доказательство соотношений ортогональности.
Сопоставляя формулу A.13) для характера Xa(s) c формулой
A11,7.14), выражающей его через производящий идемпотент е

166 Г Л А В А IV
соответствующего инвариантного подпространства, видим, что
*
A.14) е (*)=-?
Указанием, содержащимся в этом равенстве, мы воспользуемся
при конструктивном разложении регулярного представления сим-
симметричной группы, к которому мы сейчас и переходим.
2. Симметризаторы Юнга. Комбинаторная лемма
Мы будем представлять себе подстановки / индексов
1, 2, ..., / следующим образом. Имеются разграфленная доска,
состоящая из / „полей", помеченных номерами от 1 до /, и /
пешек, которые могут быть расставлены на этих / полях. Это
можно сделать /! различными способами. Пешки можно сделать
различимыми друг от друга путем различной окраски или, если
не бояться возможных смешений, — снова с помощью номеров
1, 2, ..., п. Движение s есть переход от одной позиции пешек
на доске к другой; оно описывается подстановкой
B.1) s: 1 — 1', 2 — 2', ....
если пешка с „поля 1 передвигается посредством s на поле Г,
пешка с поля 2 передвигается на поле 2', и т. д. Что мы хо-
хотим подчеркнуть, это — что подстановка B.1) должна читаться
как передвижение пешки с поля 1 на поле Г и т. д., а не как
замена пешки № 1 на ее поле пешкой № Г и т. д. Таким
образом, движение, показанное на схеме
доска |l|2|3|4[5|6
1
2
3
4|5|6
пешки 123456 516423
представляется подстановкой
1—2, 2 — 5, 3 — 6, 4—4, 5 — 1, 6 — 3,
а не обратной подстановкой
1—*5, 2 — 1, 3—6, 4—4, 5—2, 6—3.
Последовательное выполнение движения s, B.1), а затем дви-
движения
(: Г —1", 2' — 2", ...,

СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА И ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА 167
дает в результате движение, называемое их произведением
ts: 1—*Г, 2—2", ...
Иногда удобно иметь перед глазами одновременно и начальную
и конечную позиции пешек. Для этого требуются две доски
и два одинаковых набора пешек. Весь этот на вид чрезмерный
педантизм оказывает серьезную помощь в уяснении порядка,
в котором выполняется композиция подстановок.
Проблема, к которой мы теперь приступаем, заключается в
следующем: как, исходя из произвольного тензора F(i%...if)
ранга / и пользуясь идемпотентным оператором симметрии е,
образовать тензор eF, обладающий „максимальной возможной
симметрией?". Мы уже имеем в готовом виде два простых спо-
способа этого типа — симметризацию и альтернирование:
и -«.?*,.
порождающие классы симметричных и антисимметричных тензо-
тензоров; напомним, что S^= -J-1 или — 1 смотря по тому, четна
или нечетна подстановка s. Но строку нижних индексов 1, ..., /
можно разбить теперь на несколько строк, имеющих длины
/и Л. •••> указываемые диаграммой T=T{fvfv ...), и вы-
выполнить симметризацию тензора относительно аргументов ia
отдельно в каждой из этих строк. Строки мы будем распола-
располагать в порядке убывания длин Д:
B-2) f^j
1
9
14
19
23
2|3
10
15
20
241
И
16
21
4
12
17
22
5
13
18
6 | 7 8
Диаграмма Т, соответствующая разбиению
При фиксированной заданной диаграмме Т, содержащей / полей,
обозначим через р любую подстановку, оставляющую каждую
пешку в своей строке, а через ^ —любую подстановку, сохра-

168 Г ЛАВА IV
няющую в том же смысле столбцы диаграммы Т. Наша симмет-
симметризация „по частям" выразится тогда суммой
B.3) «=2р;
р
применяя ее к произвольному тензору, мы получим тензор, сим-
симметричный относительно /х первых аргументов, /2 следующих
аргументов и т. д. Мы предполагаем здесь поля нашей доски
занумерованными числами 1, 2, ..., / в их естественном порядке.
Этот процесс не приводит к примитивному классу симметрии,
т. е. к классу тензоров, обладающих максимальной возможной
симметрией. Для усиления условий симметрии можно было бы
дополнить симметризацию альтернированием. Если мы выполним
альтернирование относительно каких-нибудь аргументов или по-
полей, наудачу выбранных на нашей доске, то если хотя бы два
из этих аргументов лежат в одной строке, в результате навер-
наверняка получится нуль; действительно, если F{ik) симметрично, то
F^k)—~F(/ti) есть нуль. Поэтому самое большее, что можно
сделать, это — выбрать по полю в каждой строке; без всякого
ограничения общности можно считать эти поля взятыми из пер-
первого столбца. Эти соображения наводят на мысль дополнить
симметризацию B.3) альтернированием относительно столбцов:
B.4) *
Окончательным процессом, который мы сопоставляем диаграмме Т,
будет тогда
B.5) ' c=b
р,я
Эти „симметризаторы" с впервые были открыты А. Юнгом.
В изучении их свойств мы будем следовать Г. .Фробениусу или,
точнее, упрощенному изложению фробениусовских доказательств,
предложенному Дж. Нейманом №. Мы хотим доказать три вещи:
1) что с, с точностью до численного множителя {А^О, есть
идемпотент, т. е. что имеет место равенство
B.6) cc = ]ic;
2) что идемпотент — = е примитивен, так что совокупность
всех тензоров cF есть неприводимое инвариантное подпростран-
подпространство тензорного пространства относительно алгебры 91 бисим-
метричных преобразований, т. е. совокупность величин, вида XQ

СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА И ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА 169
есть неприводимое инвариантное подпространство группового
кольца, рассматриваемого как /1-мерное векторное пространство,
и 3) что инвариантные подпространства, порожденные таким
способом симметризаторами с и с', соответствующими различным
схемам Т и Т', неэквивалентны.
Имеется ли основание ожидать, что мы получим тогда все
неприводимые представления симметрической группы ту" Число
различных схем Т равно числу „разбиений" / на слагаемые Д,
Д> • • •:
B.2) /=/,+/,+ .-.. Л >/«>... >0.
Распределение подстановок на классы сопряженных элементов
определяется записью произвольной подстановки s в виде про-
произведения взаимно простых циклов. Цикл, скажем A234), есть
подстановка, переводящая 1 в 2, 2 в 3, 3 в 4, 4 в 1. Класс
подстановки 5 описывается числом и длинами составляющих ее
циклов: сопряженные элементы получаются путем всевозможных
перераспределений номеров в той же схеме циклов. Так, на-
например, подстановки
5 = A234) E6) G) (8) и 5'= G251) C8) D) F)
— сопряженные: s'~rsr~l, где г есть подстановка, переводящая
12345678 в 72513846.
Если имеется аг циклов длины 1, а2 циклов длины 2, ...., то эти
числа а„ а2, ..,., удовлетворяющие условиям ^ S* 0, а2 3& 0, ... и
B.7) /=1а, + 2ец + 3а,+ .--, ¦
определяют класс. Таким образом, число классов равно числу
решений уравнения B.7) в неотрицательных целых числах. Если
положить
то неравенства aoSs0 превратятся в ДЗзД^г ..., а уравне-
уравнение B.7) — в /=/1-j-/2-(- .. . Поэтому число классов равно
числу различных диаграмм. Это обстоятельство позволяет с до-
достаточным основанием рассчитывать на то, что построение Юнга
даст полный комплект всевозможных неприводимых предста-
представлений.
Подстановки р образуют группу (порядка Д! /2!.. .) и то же
верно для подстановок ц. Если подстановка $ может быть пред-

170 Г Л А В А IV
ставлена в виде qp, то это разложение на составляющие р и q
единственно. Действительно,
из qp = q'p' следует q'-lq = p'p-i.
Но подстановка типа р может быть равна подстановке типа q
лишь будучи тождественной подстановкой 1; в самом деле, это—¦
единственная подстановка, сохраняющая"' и строки и столбцы
диаграммы Т. Поэтому
Следовательно, симметризатор с может быть определен следую-
следующим образом:
О в противном случае;
все его коэффициенты равны либо 0, либо 4; 1.
Мы могли бы занумеровать поля нашей диаграммы Т числами
1,2, ...,/ в каком-нибудь другом порядке г,, г2, ..., г,. То же
самое движение, которое описывалось раньше подстановкой s, опи-
описывалось бы теперь подстановкой rsr~l, где г есть подстановка
1-*г„ 2->г„ ...,
так что с заменилось бы на cr = rcr~x с коэффициентами
Интерпретация величин х нашего группового кольца г как
операторов в тензорном пространстве была нужна здесь лишь
для эвристических целей; теперь мы забудем о ней и сосредо-
сосредоточим наше внимание на /!-мерном пространстве г или р. Инва-
Инвариантное подпространство всех величин хс будет обозначаться
через pr ^= p (ДД • • • )> а соответствующее представление коль-
кольца X или группы тг^ (индуцированное в рг регулярным пред-
представлением)— через <р(/,/2.. .)>. Очевидно нумерация полей
не играет никакой роли, по крайней мере, поскольку это ка-
касается вопроса об эквивалентности. Действительно, подпро-
подпространство величин у = хс эквивалентно подпространству величин
у' =:x'cr = (x'r-1)cr, как это сразу показывает взаимно одно-
однозначное отображение подобия
/= У г (х' = хг)

СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА И ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА 171
Исследование симметризаторов Юнга будет основываться на
простой комбинаторной лемме, относящейся к двум диаграм-
диаграммам Т, Т'. Расположим все диаграммы в алфавитном порядке,
считая, что Т = (/х, /2, ...) предшествует или стоит выше
T'=(/i, /2, ••.), если первая неравная нулю из разностей
/i—/1. Л—/г. •••
положительна. Через {Т} будем обозначать любую позицию
наших / пешек на / нолях диаграммы Т. Движение, заменяющее
заданное {Т} заданным {71'}, есть подстановка
s: {T} -{Г}.
Поля в каждой диаграмме Т предполагаются занумерованными
числами 1, 2, ..., / в их естественном порядке.
Лемма (IV.2.A). Пусть {Т\ и {Т'\—любые позиции в
схемах Т а Т' и пусть Т не ниже Т. Тогда представляются
две возможности:
1) либо имеются две пешки, стоящие в одной а той же
строке в {Т\ ив одном и том же столбце в {Т'\;
2) либо Т = Т' и подстановка {Т}—»{7"} имеет вид qp.
Доказательство. Пусть р', q' имеют тот же смысл
относительно Т', что р, q относительно Т. fx пешек, занимаю-
занимающих первую строку диаграммы Т в {71}, должны быть как-то
распределены в j\ столбцах диаграммы 7" в {7"}. Если /j^>/J
то по крайней мере две из этих пешек должны находиться в
одном и том же столбце в Т: верно альтернативное утвержде-
утверждение 1). Если же /1=/1 и первое альтернативное утверждение
неверно, то все указанные пешки должны стоять в различных
столбцах диаграммы Т'; тогда с помощью подстановки q', сохра-
сохраняющей столбцы в {7"'}, мы можем передвинуть эти пешки во
главу соответствующих столбцов. Отбросим теперь эти /t пешек,
занимающих первую строку как в {71}, так и в новой позиции
q'{T'}, и вычеркнем первые строки в обеих схемах. Затем при-
применим то же рассуждение ко второй строке, которая стала
теперь первой строкой в обезглавленных схемах Т, 7", и продол-
продолжим этот процесс. Тогда либо на некотором шаге v мы встре-
встретимся в Т с более длинной строкой, чем в V:
f\—Jb • • •. /v-l=/v-l, /v ^>/v,
либо Т = Т'. В первом случае, как показывает приведенное
«ыше рассуждение, должно выполняться первое из альтернатив-

¦172 г л А в a iv
ных утверждений леммы. Во втором же случае можно избежать
этого лишь, если некоторая подстановка д' приводит к позиции
д'{Т'}, совпадающей с {Т} с точностью до порядка расположения
пешек в каждой строке. Поэтому некоторая перетасовка р пешек
в строках позиции {Г} в соединении с перестановкой д' пешек
в различных столбцах позиции { Т } приведут обе позиции к пол-
полному совпадению:
Т=Г, р{Т}=д'{Г}.
Это равенство, или {Т'} =д'~1р{Т}, означает, что подстановка
{Т}—'¦{Г'} имеет вид др. Действительно, так как подстановка
определяется номерами полей, а не пешек, то д' есть некото-
некоторое д, если Т' — Т.
Сформулируем нашу лемму заново, разбив ее теперь на два
случая: Т выше Т и Т = Т'. Во втором случае заменим обо-
обозначение {Т'\, означающее здесь новую позицию пешек на до-
доске Т, через {Т}'. Если выполняется первое из альтернативных
утверждений леммы (IV.2.A), то обозначим через и транспози-
транспозицию двух пешек, о которых идет там речь, в их исходном
положении в {Г}, а через v' — то же для их окончательного
положения в {T'j. Если 5 — снова подстановка {Г}—>{Т'\,
то имеем тогда su = v's-
и есть подстановка типа р, a v' — типа д'.
Лемма (IV.2.B). Пусть Т — заданная диаграмма. Если
подстановка s не может быть представлена в виде др, то
существуют две транспозиции и, v такие, что su = vs,
причем и есть подстановка типа р, a v — типа д.
Лемма (IV.2.C). Если Т выше Т, то для произвольной
подстановки s можно найти транспозицию и типа р и
транспозицию v' типа д' такие, что su = v's.
Действительно, взяв любую позицию {7}, вводим ту позицию
{Г'} на второй доске 7", вкоторую переходит {Т} поддействиемв.
3. Неприводимые представления симметрической группы
Коэффициенты с'(^) симметризатора с очевидно удовлетворяют
следующим соотношениям:
C.1) c(sp) = c(s), c(gs) = bgc(s).
Лемма (IV.3.A). Каждая величина d, удовлетворяющая
тем оке условиям

СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА И ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА 173
есть численное кратное симметризатора с.
C.3) d=lc, ' d(s) = ic(s); l = dQ).
Доказательство. Из C.2), в частности, следует d(p) =
= d(\), и d(qp) — Hqd{p)~bqd{\), так что соотношения C.3)
выполняются для подстановок s вида qp.
Если s не представимо в этом виде, то пользуемся парой
транспозиций и, v, доставляемых леммой (IV.2.B), и в качестве
следствия соотношений C.2) получаем:
что в соединении с su = vs приводит к равенству d(s)=—d{s)
или d(s) = 0.
Лемма (IV.3.B). Если Т выше Т, то каждая величина d,
удовлетворяющая соотношениям
необходимо равна нулю.
-Доказательство проводится с помощью того же рассуждения,
что и во второй части предыдущего доказательства, опираясь
на лемму AV.2.C).
Теорема (IV.3.C). схс является кратным с; в частности
СС = ]1С.
Доказательство. Величина d = cxct
2(t'), trt' = s,
обладает свойствами C,2).
Теорема (IV.3.D). Если Т выше Т', то. каждая вели-
величина вида с'хс равна нулю; в частности с'с = О.
Доказательство аналогично.
В главе VII будет в одном месте использовано несколько
более сильное соотношение
C.4) с'ха = 0,
содержащее а, B.3), вместо с.
Коэффициент }А из теоремы (IV.3.C) есть целое число,
C.5) М=2«(*)с(*)-
Нажно знать, что оно отлично от нуля. Мы докажем его поло-
положительность. Согласно C.5), число }А указывает, насколько чаще
уравнение

174 г л а в a iv
имеет решения, содержащие подстановки <?, и q2 одинаковой
четности, 5 _8 чем противоположных четностей.
Теорема (IV.3.E).
C.6) ]ig=fl,
где g—размерность подпространства рГ.
Доказательство. рг состоит из всех величин вида хс.
Подстановка х—>х' — хс переводит каждую величину х в не-
некоторую величину х' из рг, внутри же рг является умножением
на ji: :
(хс) с = х (с с) = ji • (хс).
Приурочив систему координат к подпространству рг, мы сразу
видим, что след указанной подстановки равен ?Ц. Используя же
естественный базис, т. е. подстановки s, мы находим, что сле-
следом преобразования
служит /! сA)=/!.
Наша теорема показывает, между прочим, что g=g(f^f2. . .)>
степень представления <р(/,/г- • ¦)>> является делителем по-
порядка /! нашей группы. Соответствующее утверждение в общей
теории, а именно, что степени абсолютно неприводимых представ-
представлений конечной группы являются делителями ее порядка, также
оказывается справедливым, но лежит относительно глубоко; по-
поэтому мы воздержались от доказательства его в § 1.
Введем теперь идемпотент
C.7) е = 1с=Дс
и докажем следующее предложение:
' Теорема (IV.3.F). е есть примитивный идемпотент.
Действительно, пусть е допускает разложение
е = «1 + е2,
где
Тогда eel = ev ee1e = ele = ev и потому, в силу теоремы
(IV.3.C), ey=ie. Так как е, — идемпотент, то численный мно-
множитель X удовлетворяет соотношению Х2 = Х. Поэтому X есть

СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА И ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА 175
либо 1, либо 0, и е = е-{-0, е = О-\-е — единственные воз-
возможные разложения идемпотента е.
Теорема (IV.3.G). Если ТфТ', то неприводимые инва-
инвариантные подпространства рТ, рг, неэквивалентны.
Доказательство. Пусть Г выше Т'. По теореме
(IV.3.D), каждая величина х = хс' из рг, удовлетворяет тогда
уравнению сх~0, тогда как в рг имеется, по крайней мере,
одна величина: х = с, для которой сх=^0. Это делает невоз-
невозможным существование взаимно однозначного отображения подо-
подобия рг на ррт.
Руководствуясь соотношением A.14), введем величину б
формулой
C.8) . e(*) = iV e(*-i*/) = 1V с (*-'*/):
е (s), очевидно, есть функция классов и потому е лежит в центре
группового кольца.
Лемма (IV.3.H). г'г = О или г, смотря по тому, принад-
принадлежат ли г иг' различным диаграммам Т, Т' или же одной
и той же диаграмме Т.
Доказательство. Мы можем написать
Это показывает, что равенство е'е = О является непосредствен-
непосредственным следствием теоремы (IV.3.D), если Т выше Т. Но так
как s лежит в центре группового кольца, то s's = ee'; поэтому,
при том же предположении, и ss' = O и, наконец, e's = 0, неза-
независимо от того, выше ли Т, чем Г', или ниже.
Произведение ес( = се) с точностью до множителя >л2 равно
C.10) ^Ш-Ч.
t
По теореме (IV.3.С), ct~xc = \с, где
или
Поэтому выражение C.10) равно

176 Г Л А В А IV
ИЛИ ^
?с = е.
Так как $ принадлежит центру, то отсюда следует, что
Тогда, суммируя по t, получаем:
SS = S.
Наша лемма влечет соотношения ортогональности для харак*
теров
C.11) X(,) = ?e(s-i) = ^(s-i).
Она показывает, что функции классов е (s), г'($), ... , соответ-
ствующие различным диаграммам Т, 7", ... , линейно незави-
независимы. Так как число различных диаграмм равно числу классов
в 1т^, то каждая функция классов должна быть линейной ком-
комбинацией указанных базисных функций. В частности, должно
выполняться равенство вида
с численными коэффициентами X» X', ... Умножение на г дает,
в силу леммы,
г = Xs или X =±= 1.
Поэтому имеем разложение единичного элемента 1:
C.12) 1=.8 + 8'-f...,
являющееся максимумом того, что вообще можно получить
в области функций классов.
Теорема AV.3.J). Единичный элемент 1 группового
Кольца Симметрической группы пу расщепляется на элементы
центра s, соответствующие диаграммам Т Юнга.
C.12) можно записать в виде
г г
и это показывает, что сумма инвариантных подпространств, по*
рождаемых всеми сг, сГ) ¦ •. , исчерпывает все рассматриваемое
/!-мерное пространство. Так как эти подпространства неприво-
димы, то мы можем, в силу лемиа A^,2.В), выбрать из них

СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА И ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА Ш
линейно независимые, образующие в сумме все пространство.
Это и есть разложение регулярного представления на неприво-
неприводимые составляющие. Мы знаем априори, и можем заново вы-
вывести иг» с.оотношения C.12), записав его в виде
C.13) /и (*)=ei W+g'x' (*)+.-.,
сколько раз входит каждая неприводимая компонента: столько
раз (g), какова ее степень. [В C.13) левая часть есть характер
регулярного представления.] Однако мы не будем стараться
выполнить это разложение тем же прямым конструктивным спо-
способом, как и разложение C.12) на двусторонне инвариантные
подпространства'3] • Разложения C.13) достаточно для всех важ>
ных целей; при этом, не содержа никакого произвола, оно имеет
преимущество единственности.
4. Разложение тензорного пространства
Как и в § 6 главы III, мы обозначим теперь через 2L ал-
алгебру всех бисимметричных линейных преобразований
А,=|| а (/,.../,;*,.••*/) II
в тензорном пространстве Ру ранга /.
Теорема (IV.4.А). Р, расщепляется на неприводимые
инвариантные подпространства 23 относительно алгебры 3L,
в которых %f индуцирует представления <2а>. Всякое ин-
инвариантное подпространство пространства Р^ разллгается
на неприводимые части, каждая из которых подобна одному
из подпространств 2а.
Более обще: всякое представление алгебры $lf вполне при-
водимо, всякое неприводимое представление эквивалентно од-
одному из <2а>.
Первую часть этой теоремы мы не только доказали [теорема
A1I.9.D)], но и дали теперь совершенно элементарный способ
построения неприводимых подпространств, на которые расще-
расщепляется Р^ Тензоры каждой из этих частей можно получить
применением некоторого симметризатора Юнга к совершенно
произвольным тензорам. Вторая часть теоремы следует из об-
общей теоремы A11.5.C).
При применении метода раздела В главы III нужно знать дву-
двусторонне инвариантное подпространство р0 = Ijl*^ пространства р,
являющееся линейной оболочкой всех величин /г(-,г, .../л
с коэффициентами F(s; ix ... if) = sF(ilt ... tf) (где F —
12 Г. Вейль

178 г л А в A iv
произвольный тензор, а /а имеют любые значения от 1 до я).
Для этой цели полезно заметить следующее:
Лемма (IV.4.B). Если диаграмма Т самметризатора
Юнга с содержит более п строк, то cF=0 для любого тен-
тензора F. В противном же случае существует тензор Fo
такой, что cFQ^0.
Доказательство. cF антисимметричен по аргументам
из первого столбца диаграммы Т. Следовательно, если длина
этого столбца превосходит я, то наш тензор должен обратиться
в нуль.
Если, напротив, Г состоит из т «С п строк, то введем тензор Фо,
.все компоненты которого равны нулю, кроме компоненты
(\ 2 "¦
D.1) Фо •
\ т ... т
Аргументы iv .. . , if расположены здесь в соответствии с диа-
диаграммой Т. Этот тензор Фо симметричен по аргументам из
каждой строки; применение к Фо процесса с вызывает лишь
альтернирование относительно столбцов. Поэтому /70 = сФ0 есть,
,с точностью до численного ненулевого множителя, тот тензор,
-который для всякой комбинации значений аргументов, получаю-
получающейся из комбинации в D.1) с помощью подстановки q столб-
столбцов, имеет компоненту Ьд, все же остальные его компоненты
равны нулю.
Эта лемма показывает, что в тензорном пространстве играют
¦роль лишь разбиения
•на я слагаемых, тогда как в анализ симметрической группы
входили произвольные разбиения. Разница исчезает в том и только
в том случае, когда n^f. Допустимость равенства /„ = 0
в D.2) позволяет нам в формулировке нашего ограничения го-
говорить о разбиениях не на sg: n, а на я слагаемых.
В силу определения C.8), /F—0, если i соответствует од-
одной из диаграмм, исключенных указанным ограничением. Поэтому
D.3)

СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА И ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА 179
где сумма распространена лишь на диаграммы, содержащие не
более я строк. Для каждого х из р0 имеем в том же смысле
х = xi -j- xl' -f- . . .
или "*
x= xe == ex,
где сумма
D.4) / = / + /'+•••
распространена лишь на указанные диаграммы, е лежит в центре
алгебры р. Заметим, что / = / и потому е = е, так как в симме-
симметрической группе s—1 сопряжено с s (имеет циклы той же
длины, что и s). Мы утверждаем, что е само лежит в р0 и по-
потому является там единичным элементом. Для доказательства
рассуждаем следующим образом: с, соответствующее диаграмме,
содержащей не более п строк, лежит в р0. Действительно, так
как р° лево-инвариантно, то совокупность р ^ всех величин вида хс,
где х пробегает р0, есть (лево-) инвариантное подпространство,
содержащееся в пространстве рт всех величин хс, получающемся,
когда лг^ пробегает все р. Поскольку рг неприводимо, р", как его
инвариантная часть, есть либо 0, либо все рг Но первая возмож-
возможность исключена предыдущей леммой, и, следовательно, рО = рг.
Так как р0 как лево-, так и право-инвариантно, то р? содер-
содержится в р0. Это показывает, что с лежит в р0, поскольку с=\-с
лежит в рг. Снова используя двустороннюю .инвариантность р0)
заключаем, что i, C.9), принадлежит р0. А так как это верно
и для любого другого члена суммы D.4), то е также принад-
принадлежит р0.
Теорема (IV.4.C). Сумма
распространенная на все диаграммы, содержащие не более п
строк, есть единица в р0.
Таким образом, мы можем уточнить утверждение теоремы
(IV.4.A) следующим образом:
Теорема (IV.4.D). Если с — симметризатор Юнга, со-
соответствующий разбиению D.2) на п слагаемых, то тен-
тензоры cF образуют ненулевое неприводимое инвариантное
подпространство Р (fxf2 •¦•/„) тензорного пространства Р,.
В разложение Р^ на неприводимые части эта составляющая
12*

180 ' г л а в a iv
входит g раз, где g— размерность подпространства из р,
образованного всеми величинами вида хс; при этом
D.5) g=ti, ji = Sc(*)c(*71)-
г s s
Различные диаграммы порождают неэквивалентные подпро-
подпространства. Каждое неприводимое инвариантное подпростран-
подпространство пространства Vf подобно какому-нибудь из пространств
Р(Л ¦••/„)•
Уже значительно раньше было отмечено, что как симметричные,
так и антисимметричные тензоры образуют неприводимые инва-
инвариантные подпространства, из которых, правда, последнее ну-
нулевое, если /^>л. Они отвечают, соответственно, разбиениям
/=/ и /=1 + 1+...
Нам еще надлежит вставить краеугольный камень всего
этого здания, доказав, что Ш^ есть обертывающая алгебра
группы всех преобразований
П, (А) = А X А X • • • X A (f множителей),
индуцируемых в тензорном пространстве невырожденными линей-
линейными преобразованиями Л=||й(/&)|| основного векторного про-
пространства. Именно это замечание дало первый толчок всему ходу
наших исследований, начиная с раздела В главы III. Однако
с той же затратой труда мы можем достичь даже большего,
подвергнув одновременному рассмотрению все тензорные про-
пространства Ро, Рх,... , ?f любого ранга v^f. Введем алге-
алгебру §1(Л, элементы которой
А<Л= (Af, Af_!,...., Ао)
составлены из произвольных бисимметричных матриц
Av=\\a(i1...iv;k1...kv)\\
в Ро (г» = /,/—1, . ,. , 0). Элемент Л'Л, индуцируемый невы-
невырожденным преобразованием А векторного пространства, опре-
определяется как
D.6) Ш/)(Л) = (П/(Л)) П^И), .... П0И)).
Теорема (IV.4.Е). §{</) есть обёртывающая алгебра
группы элементов Ш^ (А), индуцируемых всеми невырожден-
невырожденными линейными преобразованиями А векторного простран-
пространства.

СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА И ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА 181
Доказательство. Если бы обертывающая алгебра
группы элементов ШЛ (А) была на самом деле уже, чем 91^', то
существовало бы линейное соотношение
D-7) У Yi{i1...iv;kl...kv)a{il...l1,;k%...k1,) = Q
с фиксированными „бисимметричными" коэффициентами у, вы-
выполняющееся для всех элементов из Ш?> или всех элементов
D.6), т. е. полином от я2 переменных аЦк)
S S v<'i.--'.; *!••.*.)«(<А)• • •«СА)
обращался бы в нуль для всех значений переменных, удовлетвО'
ряющих алгебраическому неравенству
Но тогда он тождественно равнялся бы нулю. Если рассматри>
вать каждую пару (ik) как один индекс /, то коэффициенты у
этого полинома будут записаны в симметричной ^форме. Следо-
Следовательно, все эти коэффициенты у должны быть равны нулю,
что, однако, противоречит нашему предположению о существо-
существовании нетривиального соотношения D.7).
В качестве следствия нашего последнего предложения мы
можем высказать следующее утверждение 1*1:
Теорема (IV.4.F). Предложения AV.4.A) и (IV.4.D)
справедливы и в том случае, если инвариантность, неприво-
неприводимость и т. д. относить к группе преобразований, инду-
индуцируемых в тензорном пространстве группой GL(n) вектор-
ного пространства.
Каждое представление А —> Т (А) группы GL {п), где эле-
элементами в Т(А) служат формы степени f относительно
элементов a{ik) из А, вполне приводимо, а его неприводи-
неприводимые составляющие эквивалентны тем <Р(/Х .../„)>, кото-
которые получаются при разложении Р^. (Если элементами в Т (Л)
служат полиномы степени /, то полная приводимость также
имеет место, а неприводимые составляющие эквивалентны тем
<р(Л • • • /.)>. Для которых /, + ...+/„< f.)
Никакие два неприводимые представления группы GL(n),
получающиеся из тензорных пространств различного ранга,
не эквивалентны.

182 г л А в a iv
Разумеется, здесь <Р (/]..• /„)> обозначает то представление
полной линейной группы, полем действия которого служит тен-
ворное множество Р (/-, .. . /„).
Мы должны привести доказательство лишь последнего заме-
замечания нашей теоремы. Пусть рассматриваемые ранги будут /
и tf<^/. Согласно теореме (IV.4.E), можно рассматривать
(Рй Р, j ... , Ро) как поле действия всех
A<f> = (ApAf_v...t Ao)
из 21'Л. Пусть тензоры F^h F рангов/ и v пробегают соответ-
соответственно неприводимые инвариантные подпространства пространств
Р. и Р„, и предположим, что существует взаимно однозначное
отображение подобия Ft5=± Fv. To же самое отображение должно
сопоставлять AfFf с AJFV. Но среди элементов Л<Л имеется
такой, в котором Aj есть единичная матрица, а /1^ = 0. Поль-
Пользуясь им, получаем, что каждому тензору F. соответствует нуль.
Следовательно, оба подпространства должны быть нулевыми.
5. Величины. Разложение
Многообразие всех тензоров из Р (fl ... /я), рассматривае-
рассматриваемое как поле действия группы GL (п), есть область значений вели-
величины типа <P(/i .../„)>, или, как мы предпочтем говорить,
величины сигнатуры (fv ... , fn). Областью значений кроне-
керовского произведения двух таких величин, сигнатур (fv..., fn)
и (gv • • • . Stt)' будет совокупность всех тензоров
ранга k=f-\-g, которые как функции первых /=/, + ... -4- /„
аргументов / принадлежат Р (/, ... /и), а как функции послед-
последних g=gx-\- ... -\-ga аргументов k принадлежат Р(^ ... ga).
Базис для этих тензоров получится, если, в произведении
F(t,...if)G(k,...kg)
дать F пробегать базис для Р (f1 . .. fn), a G — базис " для
P(^i • • ¦ ёп)- Подобно всякому другому инвариантному подпро-
подпространству пространства Рл, указанная совокупность разбивается
на неприводимые инвариантные части, каждая из которых по-
подобна некоторому P(At ... Ая) с Aj-]-...-j-Ая= А.
Таким образом, рассматриваемый нами класс примитивных
типов величин замкнут относительно операции кронекеровского
умножения (сопровождаемого разложением на примитивные

СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА И ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА 183
части). Допустив в качестве примитивных величин лишь ковариант-
ные векторы, мы получим, очевидно, наименьший класс, удовле-
удовлетворяющий указанному требованию, поскольку тензор ранга /
есть кронекеровское произведение / векторов. Однако уже
контравариантный вектор ? является простым примером величины
типа, не подпадающего под нашу схему. Если ограничиться уни-
модулярными подстановками А, то ? будет вести себя как ком-
компонентный определитель
E.1)
п — 1 ковариантных векторов, использованный в § 8 главы II, или
как косо-симметричный тензор ранга я — 1, т. е. как величина
сигнатуры A,..., 1, 0). Но по отношению к произвольным
элементам А закон преобразования для ? отличается от закона
преобразования для E.1) множителем
Д~', где Д —detA
Это наводит на следующее общее замечание. Исходя из задан-
заданного представления R (А), можно образовать представление
E.2) A-+\A\eR(A)
той же степени; е здесь — любой целый показатель. Если/? (А)
есть представление сигнатуры (Д, ...,/„) и е ^ 0, то пред-
представление E.2) имеет сигнатуру (/j-|-0, • • • , fa-\-e). Действи-
Действительно, поставим перед диаграммой Т (/, ... fn) e столбцов
длины п, так что получится Г(/j-f-е ... fa-\- e). Рассмотрим тен-
тензоры F, косо-симметричные относительно аргументов, стоящих
в каждом из этих столбцов, и обладающие симметрией T(f{. . ./п)
относительно совокупности остальных аргументов. Эти тензоры,
очевидно, образуют неприводимое инвариантное подпространство,
которое можно было бы охарактеризовать как
E.3) Р(в...е)ХР(Л-../.)-
Р (/j -|- е .. ./я-\-е) есть часть пространства E.3) и потому,
вследствие неприводимости последнего, должно совпадать с ним.
Доказанный сейчас факт дает нам возможность приписать пред-
представлению E.2) сигнатуру (Д -\~е; ... , /e-f-e), когда R{A) есть
представление </, ... /я>, независимо от того, будет ли е ^ 0
или <^0; действительно, представление E.2) зависит лишь от
сумм fl-{-e, ... , fn-\-e. Результатом этого небольшого обоб-
обобщения является устранение условия /в ^ 0: любые целые числа

184 г лав A iv
/,,..., /в, расположенные в убывающем порядке,
E-4) /,>/, >.;.>/«.
образуют сигнатуру некоторого неприводимого представления.
Соответствующие примитивные величины мы будем называть
обобщенными; Кэли ввел для них термин quantic. Контрав*
риантный вектор включается теперь в нашу классификацию как
обобщенная примитивная величина сигнатуры (О,..., О, — 1).
Кронекеровское произведение двух обобщенных величин, сигна-
тур (Д, ..., /я) и (gv .. .,?„), разбивается на некоторое число
независимых обобщенных величин определенных сигнатур
(А],. .., Аа): замкнутость относительно умножения при нашем
обобщении не утерялась. Все типы получаются из диаграмм
симметрии T(f1 ... /n_j0),* содержащих лишь п— 1 строк, путем
присоединения множителя Де с любым целым показателем е.
Наряду с ковариантными тензорами, рассматривавшимися до
сих пор, заслуживают рассмотрения и контравариантные тензоры
Ф^х-. • if), закон преобразования которых отличается от (III.6.1)
тем, что [а(/&)|| заменяется контрагредиентной матрицей
||e(ift)[|. В какой связи находятся ковариантиые тензоры, обла-
обладающие заданной симметрией Т (Д ... /я), и контравариантные
тензоры с той же симметрией? Я утверждаю: в то время как
первые образуют примитивную величину сигнатуры (Д, ..., /я),
вторые образуют примитивную величину сигнатуры (¦—/„,. ..,—Д).
В частности, контравариантная форма степени г,
есть примитивная величина сигнатуры @, ..., О,—г),
Рассмотрим инвариантные полилинейные формы
зависящие от / ковариантных векторов х, у, . . ., г, где Ф про-
пробегает неприводимое множество Р* (Д ... /я) всех контравари-
антных тензоров, обладающих симметрией 7(/х ... /а). Выполняя
подстановку, аналогичную E.1),
х =
мы получаем инвариантное множество 2 форм, линейно завися-
зависящих от (л — 1)/ контравариантных векторов, т. е. совокупность
ковариантных тензоров ранга (л—1)/. Соответствующие пред-
представления разнятся множителем Д^; поэтому 2, так же. как

СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА И ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА 185
и P*(/j • •¦/„), неприводимо и, следовательно, подобно некото-
некоторому Р (/*.../*). Это показывает, что контравариантные тен-
тензоры, обладающие симметрией T(ft . . ¦ fa), образуют примитив-
примитивную величину некоторой сигнатуры
Чтобы доказать, что
E-5) /;=_/я+1_„
я воспользуюсь формальным применением характеров. При этом
я постараюсь провести рассуждение так, чтобы его можно было
непосредственно перенести на ортогональную и другие группы.
Будут рассматриваться лишь „диагональные* преобразования
E.6) *;.=?,*,
из- GL{n). Под действием преобразования E.6) каждая тензор-
тензорная компонента Fa = F(ix ... if) приобретает множитель
4»=^ ... е,у,
ее „вес". Каждое инвариантное подпространство 2 пространства
Pf характеризуется некоторым числом линейных уравнений, свя-
связывающих п? тензорных компонент Fa. В силу этих уравнений
некоторое число тензорных компонент F^ (с весами iv) линейно
независимы в 2, причем каждая тензорная компонента f, в S
линейно выражается через этот базис Fs. Оказывается, что Fa
может быть комбинацией лищь тех F^, которые имеют тот же
вес, что и Fa. Это утверждение является частным случаем об-
общей теоремы (III. 1.E). Повторим доказательство. Пусть
E-7) ^,
— соотношение, выполняющееся для всех тензоров F из 2. Так
как 2 инвариантно относительно подстановки E.6), то тензор
с компонентами ijaFe также лежит в 2:
E-8) i/
Умножая E.7) на 7ja и вычитая из E.8), получаем:
Следовательно,

185 ГЛАВА IV
откуда Ь„=0, когда т^=^=г^. Поэтому мы можем определить
базис Fa, выбирая по базису для тензорных компонент каждого
веса в отдельности; члены, соответствующие различным весам,
будут автоматически линейно независимы. Если в 2 в качестве
координат взять базисные Z7», то преобразование, индуцирован-
индуцированное в 2 преобразованием E.6), будет также диагональной формы,
и если km^ тп есть число базисных компонент веса
то след этого преобразования — характер — будет полиномом
с целыми неотрицательными коэффициентами k.
Расположим члены этого полинома в лексикографическом
порядке. Для 2 = Р(/, •••/„) наивысшим возможным весом слу-
служит ф ... ef» и, согласно лемме (IV.4.B) и ее доказательству,
имеется точно одна линейно независимая компонента этого веса,
а именно
Следовательно, характер начинается с члена
Тем же способом легко убеждаемся в том, что членом наиниз-
наинизшего веса елужит е{« ... гК Этот результат справедлив для пред-
представления сигнатуры (/j, .-.,/„) независимо от того, будет ли
/в>0 или <0.
Преобразование E.6) сопровождается преобразованием
для контравариантных векторов $. Поэтому характер для Р*(/,.. ./„)
получается из характера для V (Д ... /в) путем замены каждого
st на —. Это обращает лексикографический порядок, и потому
старшим членом в характере для Р* (ft ... /я) служит
еГ/я • • • 4h>

СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА И ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА 187
что и доказывает наше утверждение E.5). Так как сумма
инвариантна, то представления <Р(/, ... /„)> и <Р*(/Х ... /„)>
контрагредиентны друг к другу. Таким образом,
</,.-••./„> и <-/„-•••>—Л>
суть контрагредиентные типы, и это остается справедливым даже
при/„<0.
Теорема (IV.5.A). Контравариантные тензоры, обла-
обладающие симметрией.
Т (/,-••/„) (/.><>),
составляют примитивную величину сигнатуры (—/„, .. ., —/,).
Неприводимые представления сигнатур
(fv-fn) «(-/«,....-/,)
контрагредиентны друг к другу (даже если n
Обобщение, состоящее в введении множителя Де с отрица-
отрицательным показателем е,-приводит к тому, что типы обобщенных
величин оказываются замкнутыми не только относительно умно-
умножения, но и относительно „обращения"—операции замены типа
контрагредиентным к нему.
В самом начале нашего исследования мы установили тожде-
тождества Капелли и показали, как с их помощью индуктивно приво-
приводить формы, зависящие от любого числа векторных аргументов,
к формам от не более чем « или даже я— 1 аргументов. Теперь мы
в состоянии провести эту индукцию несколько более прямым путем.
„Разложение" D.3) может рассматриваться как его результат'5).
С тензором F (ij ... if) мы ассоциируем полилинейную форму
от /(котравариантных) векторов $<1>, .. . ,?<Л. Мы проводим опера-
операцию с над F в два шага: сперва симметризацию а = ^р, а затем
альтернирование Ь = ^РЧЯ- Первый шаг выполняем в два этапа:
мы отождествляем первые /j векторов ?(J) = ... = $(Л) = ?t далее
следующие /2, ?(/»+!)= ... =?i/»+/j) = i]) и т. д., а затем полу-
полученную .так форму Z.o($, jj, ...), зависящую более чем от п
аргументов $, т], ..., подвергаем полной поляризации. В силу C.9),
равенство D.3) показывает тогда, что L есть линейная комбина-
комбинация форм, получающихся путем полной поляризации из форм

188 ГЛАВА IV
Ц>(S, Г), . ..), зависящих не более чем от п аргументов; в послед-
последнем процессе аргументы $<'', ... , ?(Л используются во всех /I воз-
возможных их перестановках, тогда как Z,o(?, >],...) получается из
L путем определенного отождествления ее аргументов 5<D,..., ?V>
(между собой и) с аргументами $, т], ... формы 10. Если L инва»
риантна относительно заданной группы линейных преобразований,
то это же верно и для всех Lo (?, 7], ...), равно как и для форм,
получающихся из Lu путем поляризации.
Мы можем сделать еще один дальнейший шаг в согласии
с тем, что мы назвали специальным тождеством Капелли. Если
диаграмма Т содержит е ^> О столбцов длины п, то Т соответ»
ствует разбиению
(Л + «. ••••/«-I+ «.«).
и тензоры F, обладающие симметрией Т, или ассоциированные
с ними формы L будут тогда типа
[5'ЧГ... С]...
где L' принадлежит диаграмме Т (/j . . . /я-10), содержащей лишь
и — 1 строк. Поэтому L' получается путем поляризации и аль-
альтернирования из формы, зависящей от я — 1 аргументов, и будет
по крайней мере относительным инвариантом под действием за-
заданной линейной группы, если таковым является L (с изменением
веса на множитель А~е).
Важность полной линейной группы GL(ri) заключается в том
факте, что любая группа Г линейных преобразований является
подгруппой группы GL(n) и потому разложение тензорного про-
пространства относительно OL(n) должно предшествовать разложе-
разложению относительно Г. Не следует, однако, переоценивать эту связь;
действительно, в конце концов каждая группа имеет право на
самостоятельное существование и не заслуживает того, чтобы ее
рассматривали лишь как подгруппу чего-то другого — будь это
даже Ее Всеобъемлющее Величество GL(n).

ГЛАВА V
ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА
А. ОБЕРТЫВАЮЩАЯ АЛГЕБРА И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ИДЕАЛ
1. Снова о векторных инвариантах унимодулярной группы
Для каждой из классических групп в л-мерном пространстве Р,
как GL(n) и О(п), мы найдем соответствующую ей алгебру 31^
бисимметричных преобразований в тензорном пространстве Р~
Эти алгебры содержатся в алгебре всех бисимметричных пре-
преобразований, и в этой роли всеобщего вместилища последняя
алгебра будет впредь обозначаться через Яу Желая одновременно
исследовать все тензорные пространства Pv рангов vs^f, мы
будем нанизывать бисимметричные преобразования Av из fv в одну
матрицу
A.1)
А(
A,
v; ft, ...ft.
Совокупность всех матриц ДМ с произвольнымиАсимметричными
компонентами Av образует алгебру ЯМ.
Для каждой заданной группы Г линейных преобразований
А = ]| a (ik) || в «-мерном векторном пространстве Р соответствую-
соответствующие кронекеровские произведения
действующие в Р^, образуют Группу П^Г), гомоморфную с Г,
Н(Л(Д) есть нить A.1) матриц Av — Tlv(A), а ПМ(Г)— группа,
пробегаемая матрицами Ш^> (Д), когда А пробегают Г. Мы со-
собираемся определить обертывающую алгебру [1] группы П^(Г), ис-
используя наш общий критерий — теорему A1I.5.D). Для этого

190 Г ЛАВА У
нам надо рассмотреть коммутаторную алгебру 33^ группы 11ДГ).
Матрица
перестановочна со всеми llf(A), если
A.3) (А-^Х'--ХА-г)В(АХ---
Соотношение A.3) означает, что форма
A.4)
зависящая от / ковариантных векторов
/О, ...,//)
и / контравариантных векторов
есть инвариант относительно группы Г. Поэтому определение ком-
коммутаторной алгебры 33 ^ эквивалентно проблеме векторных инва-
инвариантов, разрешаемой первой основной теоремой теории инвари-
инвариантов. Обращаясь к ШЛ (Г), мы должны задаться вопросом, при
каких условиях матрица
B/f • • • В to
A.5) В /
перестановочна со всеми П<Л(Л), А ? Г. Таким же образом на-
находим, что
должна быть матрицей коэффициентов инварианта
зависящего от и контравариантных векторов 5 ив ковариантных
векторов у.
В случае полной линейной группы GL(n) мы смогли найти
обертывающие алгебры простейшим путем; ими оказались, соот-
соответственно, SSj и $УК Поэтому здесь мы можем использовать
наш принцип для того, чтобы заново доказать первую основную
теорему относительно векторных инвариантов группы GL(n); это
и будет выполнено в настоящем параграфе. В более же слож-
сложных случаях, и в частности для ортогональной группы, тот же

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА
191
принцип позволит нам с помощью теоремы (II.9.A), зная целый
рациональный базис для векторных инвариантов, получить обер-
обертывающую алгебру.
В линейной совокупности Р^. всех тензоров F{i, ... if) ранга/
в я-мерном пространстве операторы симметрии a = ^a(s)s обра-
образуют вполне приводимую матричную алгебру <2>; подстановке
A.7) *: 1—Г, 2 — 2' /—/'
соответствует матрица
A.8) \\b(h,k,)b(i2,k2)...b(if,kf)\\.
Коммутаторной алгеброй алгебры © служит алгебра 5?^. всех
бисимметричных шатриц Af (см. стр. 139). Поэтому, согласно тео-
теореме (III.5.В), @ является коммутаторной алгеброй для $у
Следовательно, матрица коэффициентов любого инварианта A.4)
должна быть линейной комбинацией матриц вида A.8), которым
соответствуют инварианты
A.9) (W> v(l)) ($B'>У2>) ... ($(/') у Л),
Иными словами: каждый инвариант, линейно зависящий от / ко-
вариантных векторов у и / контравариантных векторов ?, выра-
выражается через произведения типа ($у). В выражении A.9) подста-
подстановка A.7) предстает как соединение в супружеские пары /
„мужских" символов у с / „женскими" символами ?.
Отсюда довольно легко удается вновь получить нашу старую
таблицу
[Ху ... г], (?*), [Stj ... С]
как полную совокупность типовых базисных инвариантов для
унимодулярной группы. Пусть требуется рассмотреть инварианты
У, зависящие от некоторого числа латинских и греческих аргу-
аргументов. Путем полной поляризации можно добиться, чтобы J
были линейны по каждому аргументу. Покажем тогда, что раз-
разность h между числом латинских и греческих аргументов должна
быть кратной п, h = ng, и что J при линейном преобразовании
с определителем а переходит ва^-У. В самом деле, рассмотрим
действие, оказываемое на J следующими двумя подстановками:
и (с) =
1

192 ГЛАВА У
Первая переводит У в ан • J, вторая — в сумму ]?] a!Ft; показатели
h и i являются целыми, хотя и не обязательно положительными.
Заменяя во втором преобразовании а на а" и замечая, что (ап)
и аЕ разнятся унимодулярным преобразованием Ао,
{а«) = аА0,
получаем следующее тождество относительно а\
Оно показывает, что в правой части фактически присутствует
лишь один член с i = g, причем h = ng и Fg = J. Поэтому
подстановка (а), и, следовательно, каждая подстановка с опреде-
определителем а, превращает J в ag-J.
В случае g=0, когда имеется одинаковое число / латин-
латинских и греческих аргументов, J есть абсолютный инвариант
и потому выражается через произведения (?лг). Если, однако,
число латинских аргументов превышает число греческих на я
(?¦=1), то вводим я вспомогательных греческих аргументов ?',
гД ..., С и выражаем абсолютный инвариант
через произведения (?дг). Выражение A.10) косо-симметрично
относительно ?', к)', ..., С; поэтому, произведя все п\ перестано-
перестановок аргументов ?', г/, ..., ?' и образуя знакопеременную сумму,
мы получим для д! j ^, ^
выражение, в каждом члене которого множитель вида
заменится определителем
Так как этот определитель равен
то вспомогательный множитель [S'j]' ... С] можно сократить. Этот
процесс следует повторно применить, если число латинских аргумен-
аргументов превосходит число греческих на 2я или Зя и т. д., и ясно.чтб
надо сделать, если, наоборот, последнее число больше чем первое.

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА 193
2. Обертывающая алгебра ортогональной группы
Нижеследующая лемма важна во многих случаях:
Лемма (V.2.A). Каждое множество ортогональных
преобразований над вещественным полем k вполне приво-
приводимо,
Доказа тельство. Пусть Р — векторное пространство, в
котором действуют ортогональные преобразования С из заданного
множества {С}. Для каждого подпространства Р' пространства Р,
инвариантного относительно {С}, строим подпространство Р",
ортогональное к Р' в Р: вектор j" лежит в Р", если он ортого-
ортогонален ко всем векторам j' из Р'. Ясно, что Р", как и Р', инва-
инвариантно относительно всех ортогональных подстановок С. Если
п' — размерность и е,, ...,?„'— базис подпространства Р'; то
общий вектор j" подпространства Р" подчинен я' независимым
однородным линейным уравнениям
Поэтому размерность п" подпространства Р" равна в — п\ и для
обоснования разложения Р = Р1 -j- P" остается еще установить,
что j' -|- g" (j't P', ?" 6 Р") может быть нулем лишь, если оба сла-
слагаемых равны нулю. Но умножая обе части равенства
скалярно на j', получаем (j'j') = 0, откуда, вследствие веществен-
вещественности основного поля, заключаем, что $'=0.
Пусть теперь Л = ||я(гА)|| пробегает ортогональную группу
О (л). Тогда П/М) будет пробегать группу Щ(О), индуцируемую
группой О (я) в тензорном пространстве Р^ ранга /. В этом
тензорном пространстве мы можем ввести метрику, определив
скалярное произведение двух тензоров F и О формулой
B.1) (F,G)
Заметим теперь, что матрица П^(Л) ортогональна в Р^, коль
скоро матрица А ортогональна в Р. Поэтому наша лемма пока-
показывает, что над вещественным полем группа НЛО) вполне при-
приводима.
Матрицы AW =П(Л(Л), индуцированные ортогональной мат-
матрицей А, очевидно, удовлетворяют линейным уравнениям
!3 Г. Вейль

194 ГЛАВА V
B.2,) % а (/,у,... /„• ОД ...*„) —
B.2*) Jj а (Ш8... /„; kxk2k&.. .kv) -
— b(k1k2)-a(iB...tv;ks... kv) = O^
(v = 2,...,/). Матрицы Д<Л, A.1), из $?№, удовлетворяющ-ие
этим условиям, как легко проверить, образуют некоторую мат-
матричную алгебру 31^, а их старшие члены At—алгебру*) 2L.
Мы утверждаем:
Теорема (V.2.B). Над вещественным пифагоровым полем,
SIW есть обертывающая алгебра группы П1^ (О).
Это предложение (вернее, соответствующее предложение дяя
симплектической, а не для ортогональной группы) впервые
былэ доказано автором W. Более простой метод, которому мы
здесь следуем, предложил Р. Брауэр, 1. с.Ш. Как мы заметили
вначале, множество Ш-^ (О) .вполне приводимо; поэтому можно бу-
будет воспользоваться критерием теоремы (III.5.D). Матрица A.5),
перестановочная со всеми П(Л (Д), состоит из матриц Bav коэф-
коэффициентов инвариантов
B.4) ^b(i1...taikl...kv)xjil)...xJ
(u,v = 0,..., f),
линейно зависящих от a-j-да векторов
Различие между ковариантным и контравариантным в случае ор'
тогональной группы отсутствует.
Наше доказательство основной теоремы для ортогональных
инвариантов в его первой форме проходит в вещественном пи-
пифагоровом поле. Поэтому, при предположении нашей теоремы,
*) Матрицы из 9Ь, как легко видеть, характеризуются уравнениями И
/ ?Л)У(й ш*)
Это определение было бы вполне удовлетворительным, если бы мы не
хотели объединить в одном рассмотрении I', с тензорными простран-
пространствами низшего ранга.

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА 195
мы знаем, что B.4) должно быть линейной комбинацией членов,
каждый из которых сопрягает наши и -f- v аргументов х^ ,..., х№;
yW ,... ,yW в пары, образующие скалярные произведения.
Однако на этот раз нет никакого различия двух „полов". При
надлежащем расположении аргументов рассматриваемый член бу-
будет произведением а последовательных множителей
у последовательных множителей
(yWyW)(yW
и Р последовательных множителей
(и = 2а-\-$, г> = 2у-|-E). Соответствующая матрица Buv опи-
описывается формулой
b(*х.../„; kx...kv) = 8(Z^)... .8(kfy)....... Ь(IJij.
Для А(П, удовлетворяющего уравнениям B.2), матрица BavAv,
равно как и AaBuv, оказывается равной
|| 5(ij2)... §(ВД ... .а (/2а+1 .../„; А2т+1... ft.)П.
При этом, вычисляя произведение BavAv, мы используем урав-
уравнения B.2ft), вычисляя же AJiM, — уравнения B.2;). Постулат
бисимметрии обеспечивает свободу перестановки порядка инде-
индексов i или k. Поэтому каждая матрица А^ нашей алгебры SI*/)
перестановочна со всеми коммутаторами В, и критерий (III.5.D)
приводит нас к цели.
В несколько другом аспекте то, что мы здесь выполнили, может
быть описано как определение всех соотношений степени /,
B-5) i У Y Ci • • • I* К... kv) a (i^)... a (ivkv) = О,
существующих между ортогональными матрицами ||а(/А)||. Ко-
Коэффициенты у такого соотношения мы предполагаем записан-
записанными в „бисимметричной* форме. Тогда соответствующее соот-
соотношение
B-6) ? У у (*,.. .iv;kv . .kv) a {iv . ;ijkv. .kv) =0
v~0 iji
13*

196 Г Л А В А V
должно выполняться для всех матриц Л(Л нашей алгебры
Если рассматривать все величины
аAг...^; kx...kv)
как независимые переменные, однако, с самого начала принимая
во внимание бисимметричность, то B.6) должно быть линейной
комбинацией левых частей уравнений B.2). Это — применение
известного принципа, согласно которому линейная форма
обращающаяся в нуль для всех значений хр, которые одновремен-
одновременно обращают в нуль линейные формы Lu ?2, ..., необходимо яв-
является линейной комбинацией этих последних форм. Рассмат-
Рассматривая теперь a (ik) как независимые переменные и беря в част-
частности А<Л = 11<Л (А), находим, что левая часть соотношения
B.5) есть линейная комбинация полиномов
] a (i.k) a (i2k) - «(v2)} a (iskA)... a (ivkv),
a (ik,) a (ik2) — «(кгк2) j a (i&k3)... a (ivkv).
Иными словами:
Теорема (V.2.C). Каждый полином Ф{аЦк)) формальной
степени /, обращающийся в нуль для всех ортогональных
матриц ||а(/&)||, есть комбинация
п(п-\-\) частных таких полиномов второй степени-.
коэффициенты которой Liih, Lkikt суть полиномы формаль-
формальной степени f — 2.
3. Формальная отшлифовка результата
Мы снова попытаемся ослабить условия, наложенные на ос-
основное поле, и формализовать совокупность „всех" ортогональ-
ортогональных преобразований. Будем сначала оперировать в рациональном
основном поле х. Вследствие его вещественности, матрицы Ну(Л)

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА 197
индуцированные любым множеством рациональных ортогональных
преобразований А, образуют множество, вполне приводимое над х.
Вторым пунктом, где играет роль природа основного поля, яв-
является, основная теорема теории инвариантов. Здесь мы прибег-
прибегнем к ее формализованной интерпретации. Мы рассматриваем
совокупность (S^) всех П<Л(Л), индуцированных рациональными
неисключительными собственно ортогональными матрицами
C.1) Л
и, кроме того, несобственно ортогональной матрицей Ja, (II.9.3),
и заключаем из формализованной основной теоремы, что обер-
обертывающей алгеброй этой совокупности над ж служит та же ал-
алгебра St^, определяемая нашими соотношениями B.2). Но так
как это суть однородные линейные соотношения с рациональ-
рациональными коэффициентами, то элемент А^> из W?K взятый при про-
произвольном поле k над х, является линейной комбинацией ко-
конечного числа (рациональных) элементов из &f>. Нам будет удобно
разбить формулировку нашего результата на две части:
Теорема (V.3.A). Утверждения теорем (V.2.B) и (V.2.C)
справедливы при любом поле k характеристики 0.
Дополнение. Даже более узкое множество S(^ тех ИЩА),
которые индуцированы рациональными неисключительными
собственно ортогональными А и матрицей Jn, настолько ши-
широко, что порождает в качестве своей обертывающей алгебры
всю алгебру 31^.
Это дополнение принимает более стройный вид на языке те-
теоремы (V.2.C). Рассматриваем полиномы Ф (А) = Ф {а (г/г)) от всех
я2 элементов а ЦК) произвольной матрицы Л = ||я(г7гI| с коэф-
коэффициентами из поля k характеристики 0. Те Ф, которые после
подстановки
F С
C.2) ¦==?ГТ7с' <^=^П*«1! косо-симметрична,
обращаются в нуль тождественно относительно ул(л—^перемен-
ул(л—^переменных sik {i <^ k), образуют идеал о — ортогональный идеал (над k).
0 есть простой идеал. Действительно, если произведение двух
полиномов после подстановки C.2) обращается в нуль тожде-
тождественно относительно sik (i <^ k), то это же имеет место и для
одного из сомножителей.
Теорема (У.З.В). Полиномы Dith, Dliks, обращение ко-
которых в нуль определяет ортогональную1 группу, образуют

198
ГЛАВА V
для той части ортогонального простого идеала о над k, эле-
элементы которой Ф удовлетворяют дополнительному условию
Ф(УП) = О, базис в смысле теоремы (V.2.C).
Отметим вытекающее отсюда
Следствие, k-полином Ф(А), обращающийся в нуль при
A = Ja и при подстановке C.2) тождественно относительно
косо-еимметричных S, обращается в нуль для каждой ор-
ортогональной матрицы А над k.
По устранении всех ограничений, относящихся к природе основ-
основного поля, ничто не мешает нам перенести все полученные результа-
результаты на произвольную невырожденную основную метрическую форму
4. Ортогональный простой идеал
Стройность наших последних результатов несколько нару-
нарушается дополнительным условием ф(/я)=0, назначением кото-
которого является охватить и несобственно ортогональные преобра-
преобразования. Включить их побудила нас чрезвычайная простота основной
теоремы теории инвариантов для полной ортогональной группы.
Раз мы теперь начали тяготиться ими, то единственным выхо-
выходом из положения является исследование собственно ортогональ-
ортогональной группы.
Собственно ортогональная матрица .Д = ||а(/&)|| удовлетво-
удовлетворяет соотношениям
D.1) D,itt = 2 а (i.k) a [izk) — 8 (i,g = 0,
D.2)
и
D.3)
,=2 а
А Е2
вA1)... дAл)
а(п\)... а(пп)
) = О
— 1=0.
В качестве их следствия мы получили следующее обобщение
A.3.6) соотношения D.3):
<4-4>
= 0.
a[l1k1)...a{t1kr)

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА 199
Здесь /j... /pt,... ia и fej... /jpXj... хя суть четные переста-
перестановки ряда 1,2, ..., л. Поэтому р-|-ч =п и можно без огра-
ограничения общности считать, что
D.6) р>а и /,<... </р, ftt< .. • <kf
Для матрицы Л(Л, индуцированной собственно ортогональной
матрицей А, D.4) приводит к соотношениям типа
lf 2 ±
= ( 2 ;±
Здесь г» ^/ и снова р^=а,а /г ../ >.г... te и kl...kpxl.. .ж,
суть четные перестановки ряда 1,2, ...,п. В'левой части стоит
знакопеременная сумма, распространенная на все перестановки
1', ...,р' ряда 1, ...,р, и аналогичная сумма — в правой частя.
Благодаря бисимметричности матриц Av, левая часть косо-сим-
косо-симметрична относительно /,,...,/, правая же часть — относи-
относительно tj,...,' ia. Левая часть тождественно совпадает с результа-
результатом альтернирования по индексам строк /, т. е. с
2 ±a(iv...if,i +1...lj k1...kpk?+v..kv).
1',... ,с
Уравнения D.6) вместе с B.2) определяют внутри $W некоторую
алгебру 51 ф.
Теорема (V.4.A). Алгебра Sl^?, определенная уравнениями
D.6) и B.2), есть обертывающая алгебра группы П(Л(О+(л)).
Доказательство проводится тем же путем,- что и раньше.
Выражение B.4), будучи инвариантом относительно собственно
ортогональных преобразований, является суммой членов, каждый
из которых может содержать, кроме множителей указанных раньше
типов, еще один множитель типа
Для доказательства того, что каждый элемент А^ из St^j? пе-
перестановочен с таким В, следует использовать уравнения D.6).
Это — дело прямого вычисления; я предоставляю его читателю,
так как в печатном виде, вследствие обилия индексов, вычисле-
вычисление выглядело бы более сложным, чем есть на самом деле *).
*) Алгебра первых членов М определится для нечетной размерности я
уравнениями B.3^.); в случае четного л, /z = 2v, следует присоединить
уравнения D.6), соответствующие с = /, p = a = v.

200 г л А в A v
И здесь можно ограничиться в группе Ш?>@+(п)) неисклю-
неисключительными рациональными А; в результате получим:
Теорема (V.4.B). Каждый полином формальной степени f
в ортогональном идеале о является комбинацией
2 А(* ¦¦'*
=n-p \КХ'--К
базисных полиномов D.1), D.2), D.4), коэффициенты которой
L: , . Lh.h.s Л
суть соответственно полиномы формальных степеней f—2,
/-2, /-р.
Как известно, уравнения
являются следствиями уравнений /?*,*, — (), определяющих орто-
ортогональность. Верно ли это не только в численном, но и в фор-
формальном смысле идеалов? Другими словами, верно ли, что для
независимых переменных a (ik),
|Д|»—1=0 и Diitt = 0 (moddD^,)?
Ответ оказывается утвердительным. Что касается первого срав-
сравнения, то нужно лишь повторить численное доказательство, рас-
рассматривая |А|2 как определитель матрицы А*А. Далее, Dlia и
Dkj, суть соответственно элементы матриц АА* —• Е и А*А — Е~
Имеем:
А* (А А* — Е) = {А* А — Е) А* == 0 (modd ?>J A) .
Пользуясь минорами матрицы А*, выводим отсюда дальнейшие
соотношения
* — Е)=0
и, наконец, на основании доказанного уже соотношения | А |а=1»
— сравнения
АА* — ? = 0 или Diila=-Q (moddD^,).
Таким образом, каждое D = Dt t выражается в виде суммы
2 *¦*,*,?*,*,•

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА 201
Однако это выражение не удовлетворяет условию относительно
формальных степеней, являвшемуся характерной особенностью
наших теорем (V.2.C) и (V.4.B) и потребовавшему бы здесь,
чтобы L.liki имели нулевую степень (согласно нашему доказатель-
доказательству, степень повысится до 2л). Поэтому присоединение поли-
полиномов 'Dt / к Dk,k, излишне, если нашей целью является лишь
нахождение базиса идеала о; но оно не излишне, если требуется
учитывать условие относительно формальных степеней.
В том же формальном смысле сравнений по идеалу все соот-
соотношения D.4) являются следствием совокупности соотношений
Z?ftjftj = 0 и |Д| = 1. Пусть М = [| A {ik)[] — матрица миноров
(п—1)-го порядка матрицы А ~ || a (ik) ||. Тогда, тождественно
относительно a {ik), имеем
М*А = \А\Е,
откуда
М*А = A*A (modd Dj,*,, Д);
поэтому, относительно тех же модулей,
(М*—А*)\А\==0,
откуда, принимая во внимание,'что |Л| = 1, получаем:
D.7) М*~А* или М=-А.
Это есть соотношение
D.8)
Вывод из D.7) соотношений для миноров Д низшего порядка,
кратко намеченный в § 3 главы I, остается в силе и при замене
равенств сравнениями (modd ?)*,*„ Д). Таким образом, если от-
отбросить постулат относительно формальной степени, то наша тео-
теорема просто утверждает, что полиномы
D.9) 2 etf*i)e</*«) —*(*i*»). det(a(i*)) — 1
образуют базис в 0. (Разумеется, здесь роль D-Klk, могут играть
и Dut,)
Мы имеем выбор между следующими тремя определениями
ортогонального идеала о над полем k:
A) Ф принадлежит о, если Ф(А) при подстановке C.2) об-
обращается в нуль тождественно относительно sjlf.

202
Г ЛАВА V
B) Ф принадлежит о, если Ф (Л) обращается в нуль для
каждой собственно ортогональной матрицы А над k.
C) о есть идеал с базисом D.9).
Если сначала различать идеалы, удовлетворяющие этим трем
определениям, символами ои 02, 03, то, очевидно, будем иметь
О3с о, с о,.
Но, как мы теперь доказали, о, = 03, и потому все три опре-
определения эквивалентны. Наиболее удобно взять за исходный пункт
естественное определение B); тогда A) показывает, что о есть
простой идеал, имеющий C.2) в качестве своего „общего корня"
(см. ван дер Варден „Современная алгебра", 2-е изд., ч. II,
стр. 67), тогда как C) дает конечный базис идеала 0.
Теорема (V.4.C). Идеал о, состоящий из k-полиномов
Ф (Л), обращающихся в нуль для всех собственно ортогональ-
ортогональных матриц А над k, есть простой идеал с общим нулем
C.2) и с конечным базисом D.9).
Первое утверждение теоремы на „геометрическом" языке
означает, что собственно ортогональная группа есть неприво-
неприводимое алгебраическое многообразие в п2-мерном пространстве
всех матриц п-го порядка, причем это верно при любом поле k
характеристики 0.
Для формулировки более тонкого результата удобнее перейти
к однородным переменным, путем подстановки —^ вместо a {ik).
Тогда мы оперируем в области п2-\-1 переменных a (ik), а и рассма-
рассматриваем в ней однородные формы. В частности, мы пишем теперь
D.10)
Dliit = ? a (i.k) a (i2k) - аЧ (/,/,),
D.11)
D.12)
= ? a (ik,) a (ik,) - аЧ (k
Ц... v ¦"
а 1
с условиями, принятыми в D.4), включая р
группа дополняется теперь растяжениями;
ч. Ортогональная
расширенная так

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА 203
группа есть неприводимое алгебраическое многообразие в л2-мер-
ном проективном пространстве с я2 -\- 1 однородными координа-
координатами a{ik), а, и наша теорема (V.4.B) определяет естественный
ее базис:
Теорема (V. 4. D). Идеал форм от я2 -f-1 переменных
a(ik), а, базис которого образуют выражения D.10), D.11),
D.12), является простым. Именно, он содержит все те
и только те формы Ф (а (г/г), а), которые обращаются в нуль
при подстановке
? 5
а=1, А== р , л, S косо-симметрична.
5. Абстрактная алгебра, связанная с ортогональной
группой
Представляется небезынтересным явно определить ту аб-
абстрактную алгебру, которая для ортогональной группы играет
такую же роль, как группа подстановок s для полной линейной
группы. В последнем случае подстановки появляются под такой
личиной. Мы имеем / „мужских" символов уи ..., yfyi f „жен-
„женских" символов ?j, ..., ?f и каждая „единица" (базисный эле-
элемент) s группового кольца есть сочетание их в разнополые
пары (Е_у), как в A.9). Композиция st двух таких единиц s и t,
записанных соответственно в буквах ?у, гр, выполняется путем
свертывания произведений вида (syt) (r^z) в {%z). При интерпре-
интерпретации s, как оператора в области тензоров ранга /, „мужские"
у следует интерпретировать как ковариантные, а „женские"
?—^как контравариантные векторы, сочетание же (?у) означает
образование их произведения. Однако это представление является
точным лишь, если размерность л нашего пространства ^/;
в противном случае появятся линейные зависимости, связываю-
связывающие единицы, как, например,
E.1)
[чу,)--
= 0,
отсутствующие в абстрактной области.
Аналогия очевидна. Ограничимся, в случае ортогональной
группы, рассмотрением одной матрицы Aj вместо всего ряда
•/1 ^/_i, ••., Ао, и в соответствии с этим выделим из опреде-
определенных ранее перестановочных с А^ матриц В, A.5), часть В*.

204 г л а в a v
Матрицы Bf* образуют алгебру со?, каждую единицу которой
можно снова описать как сочетание / символов х и / симво-
символов у в пары, однако уже без различения „полов". Композиция
двух единиц, выраженных, соответственно, в символах ху и yz,
выполняется по правилу, подобному предшествующему: произве-
произведение вида
(«ЛИЛ*')
заменяется на {uv), произведение (.jy,), если оно появляется
в результате свертывания, заменяется числом п. Здесь и есть х
или у, a v есть z или у. Результат свертываний не зависит от
порядка, в котором они производятся; действительно, единствен-
единственными возможностями являются „цепи" типа
(иух){у^) . . . (У[-<е) (и, v есть х или z)
и „кольца" типа
которые свертываются, соответственно, в
(uv) и я.
(Между прочим, цепь нечетной длины / связывает х с х или г
с г, тогда как цепь четной длины соединяет х с г; кольца
необходимо имеют четную длину /.) То, что мы получили, есть
почти, но, все же, не совсем группа: произведение двух единиц
может быть не просто единицей, а единицей, умноженной на
некоторую степень п; и некоторые единицы — во всяком случае
все, содержащие „однополые" пары, вовсе не допускают обра-
обращения. Легкий подсчет показывает, что порядком и? служит
1.3.. .B/— 1). Число п уже с самого начала играет роль в опре-
определении нашей алгебры о" чего не было в случае группы под-
подстановок tip Там п не появлялось до тех пор, пока мы не пере-
перешли от абстрактной алгебры к ее представлению операторами
в тензорном пространстве Рf ранга /, соответствующем л-мер-
ному векторному пространству Р. Аналогичное представление
нашей теперешней алгебры иЛ интерпретирует символы х и у
как векторы в ортогональном и-мерном пространстве, а сочета-
сочетания (лгдг), (ху) или (уу) — как скалярные произведения. До сих
пор со? и имелось только в этой конкретной форме. Указанное
представление — во всяком случае точное при п 3* 2/; действи-
действительно, скалярные произведения 2/ векторов хх, ..., xf, yv ..., у.
пространства 2/ или большего числа измерений алгебраически

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА 205
независимы. Оно не является точным при я<^/, так как тогда
имеет место соотношение E.1) с заменой $ на л:. Я не стану
тратить время на заполнение пробела, оставшегося между этими
двумя пределами Ш.
Более важен вопрос о полной приводимости. 3(. есть ком-
коммутаторная алгебра алгебры со" в ее конкретной форме или
представлении 23/= {^//}- Предположим, что в нашем распо-
распоряжении имелась бы теория алгебры coj? того же типа, что и
теория симметрической группы тт^, изложенная в главе IV, и,
в частности, говорящая нам, что со^ вполне приводима над
основным полем х и что неприводимые ее составляющие остаются
неприводимыми и при любом поле k над х. С помощью общих
теорем раздела А главы III мы могли бы вывести отсюда разло-
разложение алгебры 2L на ее (абсолютно) неприводимые составляю-
составляющие. Мы могли бы даже надеяться получить более элементарное
и полное соответствие, подобное установленному в разделе В
главы III. И мы действительно предпримем построение последнего
типа, но с помощью простого приема нам удастся установить
контакт с хорошо известной симметрической группой тг* вместо
этой несколько загадочной алгебры со?. На это время мы про-
просим читателя забыть, что Ш^ есть обертывающая алгебра для
11^ (О).. 31W будет исследоваться ради нее самой, и лишь после
того, как это будет выполнено, мы возвратимся с помощью
указанного забытого факта к группе О (п).
Заменяя Af всем рядом {Ар Af_v ..., Ао), мы приходим
к рассмотрению алгебры матриц
P.JI («.»=/,/-!,..., 0),
где bav есть линейная комбинация единиц, определенных соче-
сочетанием в пары и символов х и v символов у, и где соответствен-
соответственным образом определено умножение такой единицы еив на еди-
В. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
6. Разложение с помощью операции свертывания
тензоров
Объектом нашего изучения будет теперь тензорное про-
пространство Ру под действием алгебры 2L или, если предпочитать
рассматривать все тензорные пространства Р„ рангов v^f
одновременно, — суммарное пространство РМ = {Pf, Р^, ..., Ро)

206 г л А в a v
под действием 9?t/). Раз только выполнено разложение на не-
неприводимые инвариантные подпространства относительно этой
алгебры, результаты раздела А показывают, что это будет
вместе с тем и полное разложение на неприводимые подпро-
подпространства относительно ортогональной группы. Упомянутый
в конце предыдущего параграфа прием, позволяющий нам обойти
алгебру со?, состоит в следующей простой идее.
Исходя из любого тензора F Цг1ъ... if) ранга /, мы можем
образовать след по первым двум аргументам
п
Fn (/, .. . /,) =^F{iiis .. . /,),
являющийся тензором ранга /—2. Этот процесс, обычно назы-
называемый в тензорном исчислении свертыванием (Verjfingung, con-
contraction), инвариантен относительно алгебры Щ(Л; если
— произвольный элемент из 3fW и Af переводит тензор Р
ранга / в F, то Af_2 переводит след F12 тензора F в след"/7^
тензора F; чтобы убедиться в этом, следует лишь применить
уравнение B.2А) при •»=/. Тензор F ранга / имеет Т •
следов FI? (а <^Р; а, р = 1, ...,/). Рассмотрим вР f инвариантное
подпространство Р°. тех тензоров, все следы которых равны
нулю. Разложение пространства Р^ на Р2 и дополнительное
инвариантное подпространство доставляется следующей теоремой.
Теорема (V.6.A). Каждый тензор F(ir...if) может
быть единственным образом разложен на два слагаемых,
у первого из которых, F°, все следы =0, второе же имеет вид
F.1) Ф (гх .../,) = § (/,/,) Л* (/,... /у) + ...
( ' '~ слагаемых] .
Пусть Pt—многообразие всех тензоров вида F.1). Требова-
Требование, чтобы тензор F был перпендикулярен к Pt,
(F, Ф) = 0 для всех Ф из Р+ ,
очевидно, означает, что все "Г" следов тензора F равны
нулю. Поэтому многообразие Р2 всех тензоров F0 с нулевыми

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА 207
следами является подпространством, перпендикулярным к Pi,
и наше предложение является непосредственным следствием
леммы (V.2.A). При этом мы предполагаем, что основное
поле k — вещественное.
Однако более внимательное рассмотрение показывает, что
это доказательство проходит при любом поле характеристики О,
поскольку оно на деле не выходит за пределы поля х рацио-
рациональных чисел. Определим базис подпространства PJ, приписы-
приписывая одной из компонент одного из -У-х—- тензоров F12, ...
в F.1) значение 1, а всем остальным — значение 0. Варьируя
всевозможными способами наш выбор, мы получим -^/(f— \)-nJ~2
базисных Ф. Располагая их в один ряд и отбрасывая те, кото-
которые линейно зависят от предшествующих, мы придем к базису
Фх> ...| Фж Ж-мерного подпространства Pt, состоящему из
линейно независимых тензоров, имеющих целые рациональные
компоненты. Построение части
F.2) Ф = х1Ф1+...-\-хмФм
заданного тензора F требует тогда решения системы линейных
уравнений (F, <1>J — (Ф, Ф„), т. е.
F.3) {F, Фа) = 2 eaf? (а, р = 1, ..., М),
где коэффициенты суть целые рациональные числа
Для рациональных хл квадратичная форма
будучи квадратом (Ф, Ф) рационального тензора F.2), ^> 0, если
только не все д;а равны нулю. Следовательно, det (ел9), который
является целым рациональным числом, не равен нулю и остается
таковым в любом поле k над х. Тем самым разрешимость
системы уравнений F.3) (в k) обеспечена.
Разложение P^=P"-|-Pt столь важно для нас потому, что
Р^, как и Р" инвариантно относительно 31^. Согласно уравне-
уравнению B.2^ с •»=/ подстановка Af переводит
Ь (/,i,) F» (/, .. .j7) в Ь(txlt) Р» (/, ... /;),
если As_% переводит F12 в Fn.

208 г л А в a v
Повторно применяя наш процесс к тензорам F12, ... ранга
/—2 в F.1), мы в конечном итоге расщепим произвольный тен-
тензор F(i1 .. . if) на слагаемые вида
F.4) 8D,4,-) • • • *(V«,'M'?I • • • 'fc)
где тензор ср(г, ... iv) ранга v принадлежит Р°, т. е. все его
следы =0. aiGti'l ... | arir<\ ^ ... $v есть любое разбиение ряда
индексов 1,2, ...,/на г частей длины 2 и одну — длины V,
порядок, в котором расставлены г частей длины 2, и располо-
расположение отдельных членов внутри каждой части несущественны.
F разлагается на части
F.5) F^°l2
каждая — определенной „валентности" v=f, f—2, /—4, ...
Это разложение единственно; соответствующие подпространства ..
PJ, Р1, Р^, ... пространства Рf линейно независимы. Действи-
Действительно, теорема (V.6.A) устанавливает, что F0 единственно.
Далее, в разложении
все его „двойные следы* типа
равны нулю, тогда как фМ есть сумма членов типа
С помощью рассуждения, аналогичного проведенному при дока-
доказательстве теоремы (V.6.A), мы убеждаемся, что это разложе-
разложение, т. е. GW, однозначно определено; и так далее. Однако
расщепление Fr на отдельные слагаемые F.4) валентности/—2г
в значительной степени неоднозначно.
Итак, нам в некотором смысле удалось заменить тензорное
пространство Р. пространствами Р° следа Ос •» = /, /—2, ...
Подстановки Av из нашей алгебры Ш^ гораздо легче характе-
характеризовать в этих подпространствах Р?. Заметим сперва, что
каждая подстановка s: F—*sF переводит тензор F с нулевыми
следами в тензор того же типа; поэтому s есть и подста-
подстановка в ?°,. А^ есть бисимметричная подстановка в Р9, т. е.
перестановочная со всеми /! подстановками s. Следующая тео-
теорема устанавливает полное обращение этого;

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА 209
Теорема (V.6.B). Заданная бисимметричная подста-
подстановка А0 в V°j и заданный элемент
F.6) Л""» = (*,_, Л)
алгебры $(/-*) однозначно определяют подстановку А* в Р^
такую, что Aj внутри Р° совпадает с А0 а
F.7) AV> = (ApAt_v..., Ao)
есть элемент из
Или: для каждого заданного ряда A°v бисимметричных
подстановок в Р? (•»=/,/— 1, ..., 0) существует однозначно
определенный элемент F.7) алгебры W^ такой, что Av
внутри Р? совпадает с заданным А^.
Дело вкуса — предпочесть ли доказать эту теорему в пер-
первой формулировке посредством разложения, указанного в тео-
теореме (V.6.A), или доказать теорему сразу во второй формули-
формулировке, опираясь на более полное разложение F.5). Выберем первый
путь. Ясно, как построить искомое А = Ау Каждый тензор F
ранга / расщепляется на F°-\-<& согласно теореме (V.6.A), и
его образ A(F) определяется как F0-^^ гДе F° = A°{F>), a
получается из F.1) путем применения заданного А, 2 к отдель-
отдельным членам F12, ...:
Р» = Л,_,(Р»), ...
Единственное, что нужно установить, это то, что Ф однозначно
определяет Ф; для этого мы должны показать, что из Ф = 0
следует Ф = 0.
Из теоремы (V.6.A) мы знаем, что тензор Ф из Р^ равен
нулю, если равны нулю все его (простые) следы Фа, (а<3). По-
Поэтому мы попытаемся показать, что след Ф12~ получается с по-
помощью Aj_2 из соответствующего следа Ф12 тензора Ф. Обра-
Образуя след по первым двум аргументам, надлежит различать
в сумме F.1) члены трех типов:
a) ' «(*Л)^" С,...//),
b) t
с)
14 г. Вейль

210 ГЛАВА V
(черта вида | означает, что аргумент ia отсутствует). Случаи а)
а
и Ь) тривиальны. След члена а) по первым двум аргументам
равен пГ12Aа, ... if), след члена Ь) равен Fl"{iJs.. .га-Л+г • •*''¦•
и так как А*2 бисимметрично, то расстановка аргументов в по-
порядке . . . • .
1& ¦ • -'a-lVa+l •••If
не окажет влияния на результат подстановки.
След члена с) по аргументам iv i2 есть
F.8) г (/„* ?
Согласно уравнению B.2,) с v=f — 2, след Fjf тензора F^
получается из F'l посредством подстановки Af_4; поэтому, со-
согласно уравнению B.2А) с v=f—2, тензор F.8) получается"
из соответствующего тензора без черточки посредством А^_„,
что мы и утверждали.
По нашему построению след тензора Ф переводится подста-
подстановкой Af_2 в след тензора Ф, и так как следы тензоров F0
и F0 = Л° (F0) равны нулю, то след любого тензора F перехо-
переходит в след его образа F=A(F) посредством подстановки Af_T
Поэтому построенная нами подстановка Aj обладает следую-
следующими свойствами: она
1) бисимметрична;
2) совпадает с Л" в пределах Р/!
3) преобразует следы тензоров ранга / согласно заданной
подстановке Af_^, ^
4)_превращает тензор 8(/,/a)F"(/8.../,) в &(V2)F»(/8.. .if),
где F12 получается из F12 посредством Af_^.
Это нам и требовалось доказать. В то время как в случае
полной линейной группы совместное рассмотрение простран-
пространства ?f с тензорными пространствами низшего ранга было, быть
может, ненужным усложнением, здесь мы абсолютно ничего
не добились бы, не объединив с / ранги /—2, /—4, ...
7. Неприводимые представления полной ортогональной ,
группы
Наша общая теория раздела В главы III в применении
к встретившемуся нам здесь случаю, когда у есть симметриче-
симметрическая группа п,, векторное пространство есть пространство Р/

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА 211
всех тензоров ранга / с нулевыми следами, а заданное пред-
представление группы у в Р/ есть F—*sF, показывает нам, как
расщепить Р/ на неприводимые инвариантные подпространства
относительно алгебры 21/ бисимметричных подстановок в Р/. Ин-
Инвариантное подпространство
соответствующее диаграмме Т, строки которой имеют, соответ-
соответственно, длины /j, /2, ... (/, Ss/sS* ...), состоит из тензоров
cF, где с есть симметризатор Юнга диаграммы Т, a F пробе-
пробегает все тензоры ранга /=/1-f-/2-b ••• с нулевыми следами..
Положение дела, вплоть даже до кратности, с которой входит
каждая неприводимая составляющая, будет здесь совершенно выяс-
выяснено, коль скоро мы будем знать, какая часть группового кольца X
симметрической группы играет здесь роль р0. р0 определяется как
линейная оболочка всех величин F(-; il ... if) с коэффициентами
получаемыми, когда iu ,.., if независимо друг от друга пробе-
пробегают значения от 1 до п, a F пробегает все тензоры с нуле-
нулевыми следами. Это р0 более узко, чем р0 предыдущей главы,
где F пробегало все тензоры вообще, и потому впредь будет обо-
обозначаться через р00. Неприводимое инвариантное подпространство
в Р/ состоит из всех тензоров вида eF, где е есть примитив-
примитивный идемпотент в групповом кольце группы тг^, a F пробе-
пробегает Р/. В частности, мы можем выбрать в качестве е симме-
тризатор Юнга, соответствующий диаграмме Т, т. е. данному
разбиению / на слагаемые. Из этой связи ясно, что если сна-
сначала оперировать в рациональном основном поле ж и определить
неприводимые части над ж, то эти части будут неприводимыми
над любым полем k над ж. Мы будем знать р00, если будем
знать, какие симметризаторы Юнга с переводят каждый тензор
с нулевыми следами в нуль: cF=0 для всех F из Р/-
Теорема (V.7.A). Р0'(Г) пусто, если только сумма длин
первых двух столбцов схемы симметрии Т не sg п.
Это предложение непосредственно вытекает из следующей
леммы.
Лемма (V.7.B). Тензор
1 ' •' 1а
14*

212 ГЛАВА V
косо-симметричный относительно аргументов каждой строки,
лежит в P!_|_j, если а-\-Ь превосходит п, и потому равен
нулю, если равны нулю его следы.
Полилинейную форму вида
косо-симметричную относительно а векторов $(«), равно как
и Ъ векторов i](P), можно символически представить в виде
G.1) [SW . .. S<«>] [r,U> ... ij<«)]
с помощью п — а символических векторов $(а+1>,..., $М и
п — Ь символических векторов 7j(ft+I), ..., г^п\ G.1) есть опре-
определитель скалярных произведений
E<«>Ч<0) (а, р = 1 я).
Каждый член этого определителя есть произведение п множи-
множителей E)]), и так как число символических векторов
меньше и, то каждый член содержит по меньшей мере один
несимволический множитель
(SWij<») (a=I,...t a; f=l ft).
Поэтому F ( , * ' ' ' ,а есть сумма а? членов, каждый из ко-
V kx ... kb I
торых содержит множители вида Ь {iakX что и требовалось
доказать.
Это доказательство, очевидно, пригодно и для установления
справедливости более сильного утверждения, а именно, что F
лежит в пространстве, обозначенном нами через Ро^й~л. По-
Поэтому для обращения тензора F в нуль достаточно обраще-
обращения в нуль уже его (а-\-Ь — п)-кратных следов. Того же
результата можно было бы достичь и путем непосредственных
комбинаторных рассмотрений.
Диаграммы, у которых совокупная длина первых двух столб-
столбцов ^ л, мы будем называть допустимыми диаграммами. Непо-
Непосредственно ясно, что их можно распределить на пары „ассо-
„ассоциированных" диаграмм Т, Т так, что длиной первого столбца
в Т служит число т^-^п> а в Г'*—число п — /и, длины же

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА 213
остальных столбцов в Т и 7" одинаковы. Диаграмма Т самоас-
самоассоциирована, Т=Т, если пг точно =_я, что может про-
изойти лишь в случае четной размерности. Поэтому удобно
различать нечетные и четные размерности: «= 2v —{— 1 или
/z = 2v. Диаграмму Т, содержащую m^yr-n строк, можно счи-
тать содержащей точно v строк длин fv .,., /v,
G.2) /,>•••>/> О, /,-f... +/,=/,
допуская для некоторых /,- нулевое значение. Мы будем пользо-
пользоваться обозначением
р0 (?) =л (Л • • • Л). р0 (п=р; (л... />)•
7 состоит из / полей, а 7" — из большего их числа, если
только Т — не самоассоциирована. Когда /р ...,/, пробегают
все целые числа, удовлетворяющие условиям G.2), а / прини-
принимает значения 0, 1,2,..., ассоциированные диаграммы
¦> = Г(Д...Д) и Г ¦
исчерпывают все допустимые диаграммы. В случае нечетной раз-
размерности каждая такая диаграмма получается точно один раз,
в случае же четной размерности Т и Т совпадают, и потому
когда Г фактически содержит v строк: /,>
Обращение теоремы (V.7.A) тоже верно:
^Теорема (V.7.C). Если Т — допустимая диаграмма, то
Р0(Г) не пусто.
Пусть Т содержит m ^ v строк; обозначим индексы
1, 2, ..., п через 1, 1*, ..., /м, /и*, т-\-\, ..., п — т. Опре-
Определим тензор G0{ir) от таблицы аргументов
*'l/.
h-\
следующим образом. Компонента О0(/г) равна нулю, за исклю-
исключением того случая, когда а) все аргументы в первой строке
диаграммы Т равны 1 или 1*, во второй строке — равны 2 или
2*, . .., в /и-й строке — равны m или ш*, и Ь) число аргумен-
аргументов, принимающих значения, помеченные звездочкой, четно; для

214 Г Л А В A V
аргументов же, удовлетворяющих этим двум условиям, О0 при-
принимает значение
G.3) (— 1)Т
Этот тензор G0(iT) симметричен относительно аргументов ка-
каждой строки, и следы его, очевидно, равны нулю. Аналогичный
Р—2
тензор G° получим, заменяя G.3) на (— 1) 2 и одновременно
требуя, чтобы число ц было нечетным. Альтернирование отно-
относительно столбцов переводит Go (и G0) в ненулевой тензор Fo
(и F°) требуемого рода. Словесное описание простой картины,
представляемой этим тензором Fo, становится уже довольно
громоздким. Компоненты F0(iT) равны нулю, если только значе-
значения в первом столбце диаграммы Г не получаются из 1, ..., /га
'путем перестановки этих индексов и снабжения некоторых из
них звездочкой и аналогично для остальных столбцов, причем
число )А аргументов, принимающих значения х,о звездочкой,
должно быть четным. „Старшая" компонента
'1 1 1\
I равна 1,
т ... /га /
каждая же транспозиция двух аргументов в одном и том же
столбце, равно как и одновременное снабжение двух аргументов
звездочками, изменяет значение Fo на —Fo.
Чтобы достичь того же для ассоциированной схемы 7"# мы
вместо GQ(iT) пользуемся тензором
где
если im+v ..., 1„-т является, соответственно, четной или нечет-
нечетной перестановкой чисел т-\-\, ..., п, и ср = О в противном
случае.
Позже мы будет иметь случай применить следующую опера-
операцию: для заданного косо-симметричного тензора F^.-.i)
ранга р^я мы определяем „дополнительный" косо-симметрич-
косо-симметричный тензор oF ранга п — р равенством
G.4) F(h.-.i()

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА
215
имеющим место для всякой четной перестановки ?„ ..., /р,
L+v •••>'„ индексов 1, ..., п. (Мы на время оставляем в сто-
стороне вопрос о том, является ли эта операция ортогонально
¦инвариантной.) Если мы применим описанную операцию к аргу-
аргументам первого столбца тензора F(iT>), косо-симметричного
относительно аргументов каждого столбца диаграммы 7", то
получим тензор aF{ir), косо-симметричный относительно аргу-
аргументов каждого столбца диаграммы Т:
G.5)
(ij, ..., ia_m, i*v ...» i*m — любая четная перестановка
чисел 1, ..., я}.
В частности, наш тензор F0(ir<) переводится этой опе-
операцией либо в +F0(iT), либо в dc:F0(ir), сообразно чет-
четности или нечетности числа т, — замечание, которое следует
запомнить для дальнейших целей.
Тем же способом, каким теорема (IV.4.C) следует из лем-
леммы (IV.4.B), из теорем (V.7.A) и (V.7.C) вытекает теперь:
Теорема (V.7.D). Сумма
распространенная на все допустимые диаграммы симметрии,
является единицей 1 в р00.
Применение нашей общей теории увенчивает теперь следую-
следующая
Теорема (V.7.E). Р° под" действием Щ расщепляется на
неприводимые инвариантные подпространства Р0G"), опре-
определяемые; каждое, некоторой допустимой диаграммой сим-
симметрии Т (и соответствующим ей симметризатором с). Различ-
Различные диаграммы порождают неэквивалентные подпространства.
В этом разложении диаграмма Т появляется g раз, где g—
Число, определенное в предыдущей главе формулой (IV.4.5).

216 - ГЛАВАУ
Частичные пространства взяты над х, но остаются неприво-
неприводимыми над любым полем k над х.
Обращаясь к полному тензорному пространству, мы
сперва расщепляем Р^ на частичные пространства Р9, Р1,...
валентностей /, /—2, .. ., равенство F.5). Общий тензор валент-
валентности v есть сумма членов F.4), в которых (р имеет областью
значений все пространство Р°. Это пространство разлагается
на неприводимые инвариантные части относительно алгебры всех
бисимметричных постановок в ро. Каждая отдельная часть со-
состоит из всех тензоров вида ed>, где е — примитивный идем-
потентный оператор симметрии с v индексами, а ф пробегает все
ро. Вместо
G fi\ п п I I п ft I ft R
мы подставляем все существенно различные расстановки ряда
1,2, ...,/. Таким образом Vf оказывается суммой некоторого
числа неприводимых инвариантных подпространств относительно
нашей алгебры Ш.^ которые мы, расположив в каком-нибудь
порядке, обозначим через 2^ (X = 1, 2, ...). Применяя часто
употреблявшуюся лемму (III.2.В), мы отбросим те из них,
которые излишни, и получим таким образом действительное
разложение Р^на независимые неприводимые инвариантные под-
подпространства относительно нашей алгебры 9t1.
Теорема (V.7.F). Рj разложимо на неприводимые инва-
инвариантные подпространства относительно алгебры 31*. Каж-
Каждая отдельная часть содержит все тензоры вида F.4), где
<р пробегает одно из неприводимых подпространств Р0(Г) =
= Р0(Д/а ...) пространства Р°; Т — любая допустимая
диаграмма с v = f1-\-fi-\- ... полями, a v принимает зна-
значения f,f — 2,... Неприводимые части над х остаются
'неприводимыми над любым полем k над х.
Теорема (V.7.G). Каждое инвариантное подпространство
пространства Р^ разбивается на неприводимые инвариантные
части, любая из которых подобна одному из пространств Ро
(/j/2 ...), упомянутых в предыдущей теореме.
Более обще: каждое представление алгебры Щ.№ вполне
приводимо, и в случае неприводимости эквивалентно пред-
представлению <Р0 (Г)> = <Р0 (fj2 ...)>, порождаемому некоторой
допустимой диаграммой Т с f^-\-f2-\- . .. ~vs^f полями.
То обстоятельство, что части F.4) тонзора Fr, соответствую-
соответствующие всевозможным расстановкам G.6), не являются линейно

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА 217
независимыми, не позволяет нам предсказать, сколько экви-
эквивалентных неприводимых составляющих каждого сорта
<P0(/j/2 .. .)> появится в разложении пространства Р^. Утвер-
Утверждение, подобное приведенному в теореме (V.7.E), еще со-
сохраняет силу для валентности v=f, однако уже не верно для
низших валентностей /—2,... В этом отношении наш ре-
результат менее полон, чем для всей линейной группы. Могло бы
притти на ум начать с разложения Р^ относительно полной
алгебры $* бисимметричных подстановок, прежде чем расщеп-
расщеплять его на более мелкие части соответственно нашей более
узкой алгебре 9L. Из F.5) получаем
где слагаемые в правой части лежат в Р9, Pi, ... Для с, соот-
соответствующего допустимой диаграмме, это равенство показывает,
что «грубая" часть, состоящая из всех тензоров cF, содержит
более „тонкую" часть из всех тензоров cF° (f° ? PJ) точно один
раз. Это объясняет, почему диаграммы валентности / встречаются
здесь столь же часто, как и в грубом разложении относительно
полной алгебры $f, коль скоро они вообще встречаются.
Теория разложения, развитая в разделе В этой главы, не
зависит от результата- раздела А, устанавливающего, что $\f
есть обертывающая алгебра группы ИДО). Используя теперь
этот последний факт, мы заключаем W:
Теорема (V.7.H). Представление <Р0(Г)> ортогональной
группы неприводимо для каждой допустимой диаграммы Т.
Различные диаграммы, независимо от того, содержат ли
они одинаковое или различное число полей, приводят к не-
неэквивалентным представлениям.
Теоремы (V.7.F) и (V.7.G) остаются в силе при замене
алгебры 91 ^ группой 11^@).
Относительно двух диаграмм с различным числом полей,
/ и v<^f, следует снова заметить, что обертывающая алгебра
ЭМ<Л содержит элемент, являющийся тождественным преобра-
преобразованием в Р^ и нулевым преобразованием в Р°. Последнее
утверждение теоремы (V.7.G) относится теперь к представле-
представлению R (А) группы О («), в котором компоненты представляющей
матрицы R{A) суть полиномы от компонент a(ik) матрицы А,
имеющие формальную степень /.
Таким образом, мы в итоге вернулись к утверждению,
<: которого началось все наше исследование в этой главе,

218 ГЛАВА V
а именно, что группа Uf{0) вполне приводима. Однако теперь
мы в состоянии явно описать ее разложение и дополнительно
узнали, что части, неприводимые над х, абсолютно неприво-
димы.
Кронекеровское произведение двух построенных нами здесь
величин типов <Р0(/1/2 • • •)> расщепляется на некоторое число
независимых примитивных величин, каждая из которых снова
описывается как величина некоего типа <Р0 (/j/2 ¦••)>• По-,
скольку в случае ортогональной группы не существует разницы
между ковариантными и контравариантными векторами, пред-
представление <Р0 (/,/2 ... )> контрагредиентно самому себе. Таким
образом, мы имеем здесь те же самые свойства замкнутости,
с которыми мы встретились в § 5 главы IV для величин пол-
полной линейной группы.
Окольный путь, которым мы доказали полную приводимость
алгебры Up изображается диаграммой
„д
где стрелку, ведущую к <о" мы сперва не будем принимать во
внимание. Но, применяя к Щ^ ту же общую теорему (Ш.5.В),
с помощью которой мы смогли установить связь, изображаемую
верхней горизонтальной стрелкой, можно было бы показать,
что коммутаторная алгебра алгебры Щ^, т. е. cojf в ее конкрет-
конкретной форме, вполне приводима. Так как эта конкретная форма
является в случае п Зз 2/ точным представлением, то мы заклю-
заключаем из теоремы (III.5.С), что абстрактная алгебра 0M, или,
лучше, ее регулярное представление, при п Э* 2/ вполне приво-
приводимо над рациональным полем х и что части, неприводимые
над х, абсолютно неприводимы. Мне представляется весьма
сомнительным, чтобы величина числа п могла влиять на строение
алгебры иЛ в такой степени, что наш результат терял бы силу
при л<^2/, однако вопрос приходится оставить, открытым. По-
Поскольку это касается полного приведения, теорема (Ш.5.В)
позволяет нам свободно перескакивать от матричной алгебры
к ее коммутаторной алгебре, как указано горизонтальными
стрелками; если бы можно было выполнить вертикальный
переход непосредственно на левой стороне, не перепрыгивая
туда и обратно через канаву, мы, вероятно, были бы в состоя-

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА 219
нии разрешить наш вопрос. При настоящем же положении ве-
вещей я не могу дать читателю возможности расстаться с этой
темой без осадка неудовлетворенности.
С. СОБСТВЕННО ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА
8. Теорема Клиффорда
От полной ортогональной группы мы обращаемся теперь
к группе 0+ (л) всех собственно ортогональных преобразований
в л-мерном пространстве. Переход к этой подгруппе индекса 2
выполняется значительно легче на группах, чем на обертывающих
алгебрах, благодаря следующей красивой общей теореме, най-
найденной А. Клиффордом в этом контексте М.
Теорема (V.8.A). Пусть заданы группа у = {s} и ее
неприводимое представление Щ (у): s—*-A{s) над числовым
полем k. Пусть, далее, у'={^}—заданная инвариантная
подгруппа группы у. Тогда ее представление
¦ Я (у-): t-+A{()
разбивается на „сопряженные" неприводимые представления
одинаковых степеней. Если индекс у/у' конечен, то число
неприводимых -компонент не может превзойти его.
Смысл прилагательного „сопряженные" будет разъяснен
в процессе доказательства. Пусть j— вектор л-мерного про-
пространства Р, в котором действует представление Щ(у); через
?' = 5J мы будем обозначать образ у/ = A (s) j вектора j. Бук-
Буква 5, с индексами или без, всегда будет обозначать элемент
из у, а ^ — элемент из у'. Мы выбираем /-мерное подпро-
подпространство А пространства Р, неприводимо инвариантное относи-
относительно у' и как таковое являющееся носителем некоторого непри-
неприводимого представления t—>B{t) подгруппы у', имеющего
степень /. Буква j впредь будет использоваться лишь для векторов
из А. При фиксированном элементе s из у и J, пробегающем А,
sx пробегает подпространство «А, также инвариантное относитель-
относительно у', как это' видно из равенства
Здесь s~1ts=i', и мы пользуемся тем обстоятельством, что у'
есть инвариантная подгруппа группы у. sA есть носитель со-
сопряженного представления:

220 г л А в A v
Для любого подпространства А*, инвариантного относительно у',
те векторы г, из Л, для которых sj принадлежит Л*, образуют
в А подпространство Ао, инвариантное в том же смысле:
если SJ6A*. то s(^) = ^"(sj)€A*.
Поскольку Л неприводимо, имеются лишь две возможности:
Ац = 0 или А; «А либо линейно независимо от А*, либо содер-
содержится в А*.
В случае конечного индекса у, пусть
*iT' = Y'. sfl'> •••. Sjf
будут смежные классы в у по у'. Применяя к последователь-
последовательности подпространств
(8.1) SjA, s2k,...,Sj\,
инвариантных относительно у', рассуждение леммы (Ш.2.В), мы
выделим из них некоторое число,
SjA, ...,se\,
линейно независимых, сумма которых
содержит все пространства (8.1). Так как эта сумма инвариантна
тогда относительно всей группы у, она должна совпадать со
всем пространством Р, и тем самым представление Ш (у') разло-
разложено на е сопряженных неприводимых представлений
При этом е является делителем п, n = el, и /
Не предполагая конечности индекса, рассуждаем следующим
образом. Если SjA = A — еще не все пространство, то суще-
существует элемент s = s2 такой, что sA не содержится в А; в про-
противном случае А было бы инвариантно относительно всех
элементов s группы у. Как мы доказали, s2A тогда неоэходимо
линейно независимо от А. Если и сумма SjA-!-^ не исчер-
исчерпывает всего Р, то существует s = s3 такое, что sA не содер-
содержится в SjA-|-s2A; тогда s3A линейно независимо от этой
суммы. И так далее. Этот процесс должен остановиться после
— шагов.
Применим эту теорему, в частности, к подгруппе у' индекса 2;

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА
221
Тогда заданное неприводимое "представление
s-+A(s)
либо остается неприводимым и при ограничении подгруппой у'
(первый тип), либо же разбивается на две неприводимые части
^My')i 2I2 (У')> сопряженные и одинаковых степеней (второй тип):
A,(t) О
О А, (О
(8.2)
Во втором случае, когда Р разлагается в сумму A-f-aA, под-
подстановка а переводит подпространство Л в яА и обратно (и2 = с
есть элемент из у'). Это означает, что а представляется в 91
матрицей вида
(8.3) Л(йН|с2о'
Систему координат в дА можно нормировать по системе коор-
координат в А так, чтобы С2 стало единичной матрицей Е\ тогда
t' = u-4u.
Элементу и2 —с отвечают в Slj
рицы СхСг и C%CV
Соотношения
s —> A (s) или
соответственно мат-
матA (s),
соответственно тому, лежит ли s в у' или же в смежном клас-
классе и*\', определяют новое неприводимое представление Щ' (у)
группы у; мы назовем его ассоциированным с заданным пред-
представлением §1(у). Разложение
может иметь место лишь, если ассоциированное представление
5Г (у) эквивалентно Щ. (у). Действительно, для ассоциированного
представления мы имеем, в параллель к (8.2), (8.3),
t-
Ax(t) О
О Aa(f)
О -С,
— с2
что превращается в (8.2), (8.3) при перемене знаков координат
во втором подпространстве. Суммируем:
Теорема (V.8.B). При ограничении подгруппой индекса 2
заданное неприводимое представление либо остается непри-

222
ГЛАВА V
водимым, либо разбивается на две неприводимые сопряжен-
сопряженные части одинаковых степеней; последнее возможно лишь,
если заданное представление эквивалентно ассоциированному
с ним.
Вопрос об эквивалентности, повидимому, допускает простой
и общий ответ лишь в случае абсолютной неприводимости.
В этом случае справедливо следующее утверждение.
Теорема (V.8.C). Два абсолютно неприводимых пред-
представления Ш. (у), 33 (у) первого типа приводят к неэквивалент-
неэквивалентным представлениям 31 (у'), 23.(у') подгруппы у' индекса 2,
если 33 (у) не эквивалентно ни 91 (у), ни ассоциированному 91' (у).
Части 31г(у'), Ж2 (у') абсолютно неприводимого 91 (у) вто-
второго типа неэквивалентны.
Если бы 31 (у') и 33 (у') в первой части теоремы были экви-
эквивалентны, то мы могли бы считать, что матрицы A (t) и В (t) в
SI: s—*A(s) и 23: s-*B(s)
совпадают для элементов t из у'. Матрицы U и V, отвечающие
и соответственно в 31 и 33, должны удовлетворять соотношениям
?/-М (t)U=A(t')t U* =
и
V-iA[t)V=A[t'), V* =
(8.4) t' = u-Hu, и^ = с.
Согласно лемме Шура, применимой к абсолютно приводимым
множествам матриц, как {A (t)}, первое уравнение определяет U
с точностью до численного множителя; поэтому V== fit/. Второе
уравнение дает тогда P2=l: V—U или —U. Следовательно,
23 должно совпадать либо с 31, либо с ассоциированным 31'.
Для доказательства второй части теоремы примем, что,
вопреки ее утверждению, 312(у') совпадает с 3ij(y'):
(8.5)
A(t) =
О
О
Первое из равенств (8.4) дает тогда:
О С,
С, О
11-1
A,(t) О
О A,(t)
А, (С)
О

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА 223
ИЛИ
Это приводит к соотношению C2 = \iC1 или, по умножении
координат во втором подпространстве на число jjl, — к равенству
С2 = С1 = С, не нарушая нормальной формы (8.5). Если обо-
обозначить-координаты, в рассматриваемых двух подпространствах
через
( 1 2
то Ж представляет
(x' = Alx, jx' = Cy,
t посредством < ,__А а и посредством <y,_Qx
Поэтому все векторное пространство разбивается на два v-мер-
ных подпространства с координатами, соответственно, xi-\-yl
и xt—yt, инвариантных относительно полной группы у:
в первом и
t—^A^i), и-* —С
во втором подпространстве. Тем самым мы пришли в противо-
противоречие с предположенной неприводимостью представления Щ (у).
Присоединим к утверждениям, содержащимся в теореме
(V.8.C), следующие, более тривиальные.
Теорема (V.8.D). В предположении абсолютной непри-
неприводимости, представление Щ. (у'), порождаемое представле-
представлением 8[{у) первого типа, не может быть эквивалентно ни
одной из двух частей 23, (у'), 232 (у'), порождаемых пред-
представлением 23(у) второго типа.
Если Ш. (у), 23 (у) —- два неэквивалентных неприводимых
представления второго типа, то Ща (у') не эквивалентно 23, (у')
(а,р = 1,2).
Доказательство. То обстоятельство, что 332(у') не
эквивалентно 33, (у'), влечет за собой невозможность расшире-
расширения представления t—»-Bx{t) подгруппы у'посредством подходя-
подходящего соответствия и —»¦ С до ' представления всей группы у.
Представление же 21 (у') первого типа допускает расширение
согласно его происхеждению из 21 (у).

224 г л А в a v
В случае представлений второго типа мы можем принять,
что
АМ) = АЛ?) и и-
О С
Е О
Это сразу показывает, что в надлежащей 'системе координат
матрица, соответствующая элементу и, однозначно определяется
представлением Щ, (у').
9. Представления собственно ортогональной группы
Равенство D.4) можно следующим образом установить как
предложение, относящееся к операции о, определенной форму-
формулой G.4). Собственно ортогональная подстановка А = || a(ik) ||
индуцирует в пространстве всех косо-симметричных тензоров F
ранга р то же самое преобразование, что и р пространстве
соответствующих им тензоров aF ранга п — р. Преобразования
же, индуцируемые несобственно ортогональными А, противо-
противоположны (т. е. каждое равно другому, взятому со знаком ми-
минус). Пусть Т, Т' — две ассоциированные допустимые диаграммы
и G.2) — длины строк диаграммы Т. Когда F пробегает
Ро G"), то тензор aF, определяемый формулой G.5), про-
пробегает некоторое инвариантное подпространство аР0G"'), и соот-
соответствующее представление <оР0(Г')> полной ортогональной груп-
группы ассоциированно с <Р0G")>. Как мы заметили, по крайней
мере для одного из тензоров F подпространства Ро G"), а именно
для FQ (if), соответствующий тензор aF лежит в подпространстве
Р0G"), определенном ассоциированной диаграммой симметрии Т.
Те F из Р0(Г'), для которых qF лежит в Р0(Т), очевидно,
образуют в Р0(Г') инвариантное подпространство; вследствие
неприводимости Ро (TJ), это подпространство, не будучи нулевым,
должно совпадать со всем Р0(Г'). Другими словами, операция а
взаимно однозначно отображает Р0G1') на Р0(Г), и представле-
представления <Р0G")> и <Р0G")>, соответствующие ассоциированным
диаграммам, сами ассоциированы.
В случае четной размерности п = 2v, T может быть само-
самоассоциированной диаграммой. Для таких диаграмм удобно модифи-
модифицировать определение операции о, отображающей теперь РоG')
на себя, вводя в левую часть определяющего соотношения G.4)
множитель i', i = y —1. Тогда операция а становится инволю-

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА 225
торной, поскольку „четный или нечетный" характер перестановки
получается из аналогичного характера перестановки
умножением на (— 1)\
Мы теперь подготовлены к спуску к собственно ортогональ-
ортогональной группе. Согласно результатам предыдущего параграфа, не-
неприводимое представление Ш полной группы остается непри-
неприводимым при ограничении собственными ¦ вращениями, если
диаграмма Т — не самоассоциированная. Представления же W
и W, соответствующие двум ассоциированным диаграммам Г
и 7", становятся теперь эквивалентными. Представление Ш при
самоассоциированной диаграмме симметрии Т разбивается на
две части. Действительно, каждый тензор F из пространства
Р0(Г) можно разложить в сумму „четного" или „нечетного"
таких тензоров Fv Ft с помощью равенства
Оба подпространства — четных и нечетных тензоров — инвари-
инвариантны относительно собственно ортогональных преобразований,
тогда как любое несобственно ортогональное преобразование
например /„, переводит их одно в другое. Поэтому оба под-
подпространства имеют одинаковую размерность и ни одно из них
не пусто. Из наших общих рассмотрений вытекает, что относи-
относительно собственно ортогональной труппы они неприводимы и
неэквивалентны. Никакие другие эквивалентности, кроме явно
указанных нами, не вызываются снижением к собственно орто-
ортогональной группе.
Между прочим, случай нечетной размерности, где не про-
происходит никакого приведения, допускает гораздо более простую
трактовку. Действительно, тогда —Е есть несобственно орто-
ортогональное преобразование, перестановочное со всеми элементами
нашей группы. Так как построенные нами рациональные пред-
представления полной группы абсолютно неприводимы, то этот
элемент, в силу леммы Шура, должен при любом из наших
представлений представляться' [л-кратным единичной матрицы,
причем множитель jjl будет равен либо -J-1» либо —1, по-
поскольку из (— ЕJ — Е следует jjl2 = 1.
15 Г. Вейль

226 Г ЛАВА V
Мы суммируем полученные результаты следующим образом:
Теорема (V.9.A). При ограничении собственно ортого-
ортогональной группой каждое неприводимое представление W пол-
полной ортогональной группы остается неприводимым, если
только диаграмма Т не самоассоциирована; в последнем слу-
случае W разбивается на две неприводимые части одинаковой
степени, с той, однакд, оговоркой, что при п = 2 (mod 4)
к основному полю нужно присоединить V— 1. Ассоцииро-
Ассоциированные представления становятся эквивалентными, но ни-
никаких других эквивалентностей не появляется.
Этой теоремой одновременно разрешается и вопрос о не-
неэквивалентных неприводимых представлениях алгебры 9llj?, опре-
определенной равенствами B.2) и D.6), который представлялся нам
трудно поддающимся лобовой атаке W.

ГЛАВА VI
СЙМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГРУППА
1. Векторные инварианты симплектической Группы*)
Изучение симплектической группы, проявляющей тесную
аналогию с ортогональной группой, предоставит нам случай
повторить в ускоренном темпе все наше построение, разверты-
развертывавшееся на протяжении предыдущих глав.
В то время как ортогональная группа состоит из всех пре-
преобразований, оставляющих инвариантной невырожденную сим-
симметричную билинейную форму (скалярное произведение), сим-
плектическая группа Sp(n) определяется как совокупность всех
преобразований, при которых остается неизменной заданная
невырожденная косо-симметричная билинейная форма [ху]. Мы
можем считать, что это „косое произведение" двух векторов
X = (JCj, JCj, JC2, .?j, • •• •, Х^, Ху) И у
задано в нормированной форме
A.1) [ху] = (х1у'1 — х'1у1)-{-...-\-(хХ~^),
так что « = 2v фундаментальных векторов ел, е'а(а.= 1,..., v)
удовлетворяют соотношениям
A.2) [V?] = [ОД = 0, [еае;] = - ВД =± 8,,
(симплектическая система координат). Существование невырож-
невырожденной косо-симметричной формы требует, чтобы число изме-
измерений л было четным, я = 2у.
*) Первоначально я придерживался наименования -.комплекс-груп-
-.комплекс-группа", как намекающего на' комплексы прямых, поскольку последние
определяются обращением в нуль антисимметричных билинейных форм.
Но оно становилось все более и более двусмысленным вследствие
коллизии со словом „комплексная' в побочном числовом смысле.
Поэтому я предлагаю заменить это слово соответствующим греческим
прилагательным „симплектическая". Диксон называет эту группу „абе-
левой линейной группой" в честь впервые изучавшего ее Абеля.

228 г л а в л vi
Действительно, любая заданная такая форма [ху] при над-
надлежащем выборе системы координат переходит в A.1), причем,
в противоположность аналогичной нормализации скалярного
произведения,
+
здесь преобразование — полностью рациональное, даже не тре-
требующее присоединения квадратных корней. Для дока-
доказательства начнем с произвольного вектора ех =fc 0. Вслед-
Вследствие невырожденности формы [ху] мы можем выбрать
второй вектор е'х так. чтобы [е^^О, и затем умножением
его на надлежащий численный множитель добиться того, чтобы
[е^] —1. В силу соотношения [е1в1]-=0 векторы е, и е'х
линейно независимы, и векторы х, удовлетворяющие одновре-
одновременно уравнениям
[«,*] = 0, [е[х] = 0, .
образуют подпространство Р,, на два измерения меньше. Вся-
Всякий вектор х может быть записан в виде
где х% ? Рр Для этого следует просто положить
Наше утверждение легко доказывается теперь индукцией по
размерности « = 2v. Одновременно мы установили существование
симплектической системы координат, первым фундаментальным
вектором е, которой служит произвольный, наперед заданный
ненулевой вектор, — и это, разумеется, при любом числовом
поле (характеристики 0).
В то время как в случае ортогональной группы лишь ква*
драт определителя п векторов [л:1...*"] выражается через их
скалярные произведения, здесь мы находимся в более счастли-
счастливом положении: сам этот определитель является агрегатом
косых произведений. Поэтому ничего подобного различию между
собственно и несобственно ортогональными преобразованиями
здесь не появляется, и каждое симплектическое преобразование
имеет определителем 1.
Для доказательства этих двух утверждений образуем знако-
знакопеременную сумму

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГРУППА
229
распространенную на все я! перестановок я независимых век-
векторов х1, х2,
х". Множитель
v!2v
приписан потому, что
каждый член указанной суммы появляется в v!2* одинаковых
копиях, получающихся из него при тех подстановках, которые
не разлучают ни одну пару аргументов, соединенных в этом
члене прямыми скобками []. Пусть [ху] означает сперва произ-
произвольную косо-симметричную форму
A.4)
через
Каноническую форму A.1)
2 г (ik) xtyk, так что / = ||
Oil!) 0 1
_1 о F —1 О
мы будем обозначать
есть матрица
+-+I-!*
(v слагаемых).
Выражение A.3) принимает вид
х V \1 I I V \1 / |
'. '* 12'" я~1" *~ ' ,"
где внутренняя сумма снова распространена на все перестановки
векторов х1, х2, ..., х". Эта внутренняя сумма отлична от нуля,
лишь если /
,,
in получаются из ряда 1
я какой-ни-
какой-ни, , n у р
будь подстановкой s и равна в этом случае +\x1xi...xn], со-
сообразно с четностью или нечетностью подстановки s. Тем самым
мы приведены к рассмотрению „пфаффиана"
A.5) ^
где сумма распространена знакопеременно на все перестановки
г,/2.. .1а_л1н ряда 1 я. Пфаффиан играет для антисим-
антисимметричной формы A.4) ту же роль, какую определитель играет
для симметричных форм. В результате получаем формулу
-6) J-?±
Пусть форма A.4) под действием линейного преобразования
(когредиентно применяемого к х и у) переходит в.

230 Г Л А В A VI
Формула A.6) сразу приводит, к соотношению
A.7) К {у' W } = Pf { у (ik)} • det {аи).
Если [ху] взять в канонической форме A.1), то пфаффиан
принимает значение Pf {e(i'ft)} = 1. Поэтому A.7)" показывает,
что подстановка Л, сохраняющая неизменной эту форму, должна
иметь определителем 1. В этом и состояло второе наше утвер-
утверждение. Что же касается первого утверждения, то, если сохра-
сохранить за косым произведением ту же каноническую форму, равен-
равенство A.6) примет более простой вид
A.8) ¦
и даст, таким образом, требуемое выражение определителя я
векторов через косые произведения. /
Теорема (VI. 1.А). (Первая основная теорема для
симплектической группы.) Все векторные инварианты
симплектической группы, зависящие от произвольного числа
ковариантных и контравариантных векторов х,... и ?,...,
выражаются через базисные инварианты типа
A.9) [ху], (?*), [&)].
Доказательство Ч). Рассмотрим сперва случай, когда име-
имеются одни лишь ковариантные векторы х,... Доказательство
можно провести точно по тому же плану, что и для ортогональ-
ортогональной группы, с упрощением, связанным с тем, что здесь не по-
появляется детерминантного множителя, чем, в то же время,
исключается различение собственных и несобственных преобразо-
преобразований. Однако", чтобы индукция по размерности л протекала
беспрепятственно, надо сделать еще одно замечание. При рас-
рассмотрении инварианта /, зависящего от л — 1 векторов х, у, ...,
вводится новая симплектическая система координат, относительно
которой первые компоненты хъ yv ... векторов х, у, ... обра-
обращаются в нуль. Здесь х, у, ... предполагаются численно задан-
заданными и линейно независимыми. Будучи, таким образом,
дены к рассмотрению функции
/of yv.yt, УР

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГРУППА 231
мы попали бы в затруднительное положение, если бы из /
вместе с xv yv... не исчезли и. аргументы x'v y'v ...; индукция
от 2 (v — 1) к 2v измерениям не проходила бы. К счастью, это
затруднение можно преодолеть посредством следующего простого
рассуждения. Подвергнем компоненты xv x'v совершенно не
трогая остальных компонент д;2, х'2, ..., произвольному унимо-
дулярному преобразованию
лг, —> ах, -4- EU,,
¦ 7» . (а8 —8y=1).
Так как это — симплектическое преобразование, а/ — инвариант,
то имеем:
A.10) f@,x[;0,y[; .. .)=/(&*;, 8х[; ОД, Ьу\\ ...).
Соотношение A.10) выполняется для произвольных чисел ($ и 8
с одним лишь условием, что 8ф0; действительно, достаточно
взять тогда а = у, у = 0. Предложение об алгебраической не-
несущественности неравенств показывает, что A.10) есть тож-
тождество относительно переменных j} и 8. Следовательно, A.10)
остается .в силе и для значений [5 = 0, 8 = 0. Получающееся
таким образом равенство
f@,x[i 0,у[; ...)=/@,0; 0,0;...)
показывает, что /о^; у'г\ ..,) в действительности не зависит
от *;, y'v...
Введение контравариантных векторных аргументов наряду
с ковариантными вряд ли менее тривиально, чем в случае орто-
ортогональной группы. Действительно, соотношения
A.11) ¦ Xl = % *i = -ex x, = K, < = -5, ¦
связывают с заданным контравариантным вектором S ковариантный
вектор jc = S', поскольку эти равенства могут быть выражены
одним соотношением
тождественно выполняющимся относительно, ковариантного аргу-
аргумента у} а это соотношение инвариантно относительно симпдек.'
тических преобразований. Замечая, что

232 г л А в a vi
мы получаем, таким образом, наряду с [лгу], и два других ти-
типовых инварианта таблицы A.9).
Теорема (VI. 1.В). (Вторая основная теорема
для симплектической группы.) Каждое соотношение
между косыми произведениями является алгебраическим след-
следствием соотношений следующих v типов:
Л = 2 ± [хоУо] [ххх2]... [.*;„_!*„] = О,
Л = 2 ±.КУо] [ЗД] [х2у2] [хвх^\. .'.[*„_,*„] = О,
Л = 2 ± 1**Уо] [*!У,]. • • [хаУа] = 0.
Сумма 2 распространяется знакопеременно на все перестановки
п-{-\ векторов х0, xv ..., хп. Левые части, будучи косо-сим-
косо-симметричными, полилинейными формами относительно этих «-J-1
векторов, необходимо обращаются в нуль.
Доказательство в основном аналогично данному в § 17
главы II для полной ортогональной группы. Однако следует
обратить внимание на то, что теперь не исключена возможность
объединения двух из «новых символов" х' в один множитель
типа [ЯцЛ^]; действительно, это произведение теперь не симмет-
симметрично, а косо-симметрично и потому не обращается при альтер-
альтернировании в нуль. В этом — причина появления, кроме соотноше-
соотношения У„, соответствующего соотношению J теоремы (II. 17.А),
еще соотношений Jv У2, ..., ./„_,. Далее, сравнение Капелли
сводит интересующую нас теорему к тому факту, что между
косыми произведениями л векторов xi нет никаких соотношений.
Последнее вытекает из возможности выбора п векторов xi так,
чтобы матрица их косых произведений [х^к] совпадала с про-
произвольной наперед заданной косо-симметричной матрицей; по-
построение этих векторов xt может быть выполнено чисто рацио-
рациональным путем. Но можно поступать также аналогично тому,
как мы действовали в случае ортогональной группы.
2. Параметризация и унитарное ограничение
Установив первую основную теорему для симплектических
инвариантов, мы повторяем затем шаг за шагом путь, которому
следовали в случае ортогональной группы, отмечая лишь те
случаи, где требуются не совсем тривиальные модификации,

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГРУППА 233
Согласно лемме (II.10.А) параметризация Кэли
B.1) Л = (Е
применимая к неисключительным матрицам А (и S), превращает
квадратное уравнение
B.2) . А*1А = 1 .
в линейное.
B.3) 5*/+ /5 = 0.
На всем дальнейшем протяжении этого параграфа 5 будет
обозначать инфиншпезимальное симплектическое преобразо-
преобразование, т. е. матрицу, удовлетворяющую уравнению B.3). Рас-
Располагая индексы в порядке 1, ..., V, Г, ..., v', легко убеж-
убеждаемся в том, что
B.4) 5= |*«Э ?э|| (а, 8 = 1, .... v),
где
B.5) || t^ ||, ||/а'э || симметричны и .y^-j-Spj^O;
число параметров, от которых S линейно зависит, сводится к
B.6) N = vBv + 1) = -| я (я-(-I).
До сих пор симплектический случай представлялся суще-
существенно более простым, чем ортогональный; вещи, носившие там
квадратичный характер или требовавшие извлечения квадратных
корней, становились здесь линейными или рациональными. Но
в тот момент, когда мы должны обратиться к изучению ¦ исклю-
исключительных симплектических А, мы наталкиваемся на препятствие.
Аналогом вещественных ортогональных преобразований служат
во многих отношениях не вещественные, а, скорее, унитарные
симплектические преобразования. Мы оперируем в поле Kf всех
комплексных чисел или, более обще, в поле k* — (k, V— 1)> по-
получающемся путем присоединения i = V—1 к какому-нибудь
вещественному полю k. Числа из k являются „вещественными"
числами в й*. Начиная отсюда, а будет всюду обозначать число,
комплексно сопряженное с а:
.B.7) а = а-МВ, *=а-Ц (с

234 г л А в A vi
Форма вида
B-8) 2
линейна относительно у и „антилинейна" относительно лг:
О (х, y + y') = G (х, у) + О (х, у'), G (х, \у) = 10 (х, у)
G(x + x',y)=G(x,
" При применении к л; и у одного и того же преобразования х —> Ах,
матрица G = [| gik || этой формы переходит в
G'~A*GA.
Лемма (II. 10.А) и ее доказательство переносятся на этот случай,
показывая, что формулы B.1) устанавливают взаимно однозначное
соответствие между неисключительными А и S, удовлетворяю-
удовлетворяющими, соответственно, условиям
B.9) A*GA=G, S*G-{-GS = 0.
Выражение B.8) называется эрмитовым, если
G (у, х) = G (лг, у) или gu = gw
а
B.10) G(x, *) = 2g-iA%
'. *
есть тогда соответствующая эрмитова форма, принимающая
вещественные значения. Единичную форму
B.11)
можно положить в основу модифицированной эвклидовой вектор-
векторной геометрии над комплексным полем № , предоставляя
роль скалярного произведения. Вследствие равенства
унитарная перпендикулярность, определяемая требованием (ху)н =
= 0, является взаимным соотношением. Унитарные преобразо-
преобразования Л, оставляющие форму B.11) неизменной,
Л*Л = ? и, следовательно, АА* = Е,
образуют группу U{n), являющуюся в этой геометрии аналогом
ортогональной группы. Унитарная систеца координат ev ,.., еи

СИЛШЛЕКТИЧЕСКАЯ ГРУППА 235
удовлетворяет соотношениям
(«/«*)*=**¦
Любая неисключительная унитарная матрица А выражается
формулой B.1) через „инфинитезимальную унитарную" матрицу,
т. е. матрицу 5= || Stk \\ , для которой
B.12). S*-f5=° или 7
Вследствие положительной определенности формы (хх)н, про-
пространство Р", унитарно-перпендикулярное к заданному подпро-
подпространству Р', является дополнительным кР', так что все векторное
пространство Р расщепляется на сумму P'-f-P". Классическое
индуктивное построение унитарной системы координат прово-
проводится тем же путем, что и в^обычной вещественной эвклидовой
геометрии. Лемме (V.2.A) соответствует
Л ем м а (VI. 2. А). Любое множество унитарных преобразо-
преобразований над полем k* = (k,V—1) (k вещественно) вполне
приводимо.
Рассмотрим теперь пересечение USp (я) групп U (п) .и Sp(n);
элементы А этой группы одновременно и симплектичны, и ули-
тарны. Если элемент А — неисключительный, то подстановка
B.1) переводит его в инфинитезимальный элемент 5 той же
группы, характеризуемый обоими с-оотношениями B.3) и B.12).
Соотношение B.12) налагает на параметры в B.4) ограничения
« = °) и ??-ff'«з = О,
или, если положить
— условие вещественности на N параметров и, и', v, v\
Относительно унитарной группы вектор ? = (х{), порожда-
порождаемый ковариантным вектором х=(х{), контрагредиентен. Комби-
Комбинируя это с A.11), мы видим, что соотношения
B.Н) аа = — x't, u^ = x, (o=l,....v)
ассоциируют с любым ковариантным вектором х такой же век-
вектор и инвариантным образом относительно USp (я). Действительно,

236 Г Л А В А VI
соотношения B.14) можно объединить в одно тождество
относительно у. Пользуясь обозначением
и=лг, лг== — и,
имеем тогда:
(ху)н = [ху], (ху)н= — [ху];
B.15) (ху)н = — (ух)н или (ху)н = (ух)н =
Возможно ли определить векторный базис еа, е«, который
был бы одновременно симплектичным и унитарным,
B.16)
и первый вектор которого ех совпадал бы с наперед заданным
вектором el Разумеется, сперва нужно будет нормировать е так,
чтобы (ее)И сделалось = 1. Но {ее)н есть сумма квадратов
в вещественном поле k, так как [см. B.7)]
Следовательно, требуемое нормирование можно выполнить пифа-
горовским расширением поля k, не нарушающим вещественности
последнего. Прим'ем поэтому, что (ее)н= 1. Тогда пара векторов
удовлетворяет всем требованиям B.16) для а = [5 = 1. Сверх
того, как легко следует из B.15), подпространство Р, векторов
л;, удовлетворяющих уравнениям
[«!*] = О, [е[х] = 0,
или, что то же,
(ех)„=0, (ёх)я=О,
замкнуто относительно операции ~. Это позволяет выполнить
требуемое нам индуктивное построение системы координат.
Пусть теперь Л=||а,-А||—исключительный элемент из
USp (/г); Подпространство Р° векторов х, удовлетворяющих
неиию x-\-Ax = Q

СИМПЛЕКГИЧЕСКАЯ ГРУППА 237
выдерживает операцию ~, так как из у=Ах следует у=Ах.
Легко видеть, что это обстоятельство, благодаря свободе пифа-
горовских присоединений к k, позволяет выбрать в Р° унитарную
симплектическую систему координат е,, ev ..., е , ер и расши-
расширить ее до подобной же системы для всего векторного простран-
пространства Р. .Тогда, как и в случае ортогональной группы, получаем:
Лемма (VI.2. В). Любая унитарная симплектическая мат-
матрица А над (k,V—1) является произведением двух пере-
перестановочных неисключительных унитарных симплектических
матриц Л1( А2.
Понятие формального симплектического инварианта вводится
очевидным образом. Для доказательства того, что всякий такой
инвариант может быть выражен через косые произведения, мы
оперируем в гауссовском поле (х, у— 1). При этом существенное
значение имеют следующие два замечания. Для любых я — 1
векторов х1,..., х"~1 с компонентами из этого поля моЗкно
определить унитарную симплектическую систему координат
ev е\, ¦••, «„ е[, первый вектор которой е1 = е удовлетворяет
системе п — 1 уравнений
Соответствующее унитарное симплектическое преобразование,
обращающее в нуль х\ -компоненту одновременно у всех я — 1
аргументов х1, ..., ха~1, вообще говоря, потребует пифагоров-
ских расширений поля х до некоторого вещественного поля k.
Второе замечание относится к форме f(x, х';у,у';.,.), зависящей
от бинарных векторов (х, х'), (у, у'),..- и формально инвариант-
инвариантной относительно двумерной симплектической группы; оно за-
заключается в установлении того, что такая форма, не содержащая
вторых компонент х', у',..., будет постоянной. Действительно,
а О
при а ф 0 и Ф — 1 будет матрицей неисключительного симплек-
симплектического преобразования, переводящего
f(x,Q;y,0;...) в /(ал:, у*; ау, уу;...).
Равенство двух этих выражений будет тождеством относительно
а и у и будет, таким образом, выполняться даже для а —у = 0.

238 Г Л А В A Vl
Довольно любопытно, что во всех предшествующих рассмот-
рассмотрениях ту же службу, что и k* = (k, V—1), могло бы сослу-
сослужить нам и вещественное поле k; унитарные симплектические
матрицы были бы тогда ортогональными и симплектическими.
(Эта группа, пересечение О (я) и Sp(n), пожалуй, заслуживала
бы большего, чем лишь это беглое упоминание.) Однако для
определения обертывающей алгебры представляется существен-
существенным применение унитарного приема; успех его основывается
на том простом замечании, что ограничение унитарностью мат-
матрицы S, B.4), сводится к ограничению вещественностью входя-
входящих в нее параметров и потому алгебраически несущественно.
Действительно, согласно лемме A.1.А), заданный полином ФE),
зависящий от N параметров
V 4 (<*<Р) и sa9 (все а, р)
матрицы S, или от параметров а, и', v, v\ введенных формулами
B.13), будет тождественно равен нулю, если он равен нулю для
всех вещественных значений (достаточно было бы даже всех рацио-
рациональных значений) последних параметров, не обращающих в нуль
3. Обертывающая алгебра и представления сиМплектиче*
ской группы
Рассмотрим теперь преобразование П^(Л), индуцируемое
в тензорном пространстве Р^ преобразованием
C.1) A = {ES)(E + S)-\
где 5 — общая инфинитезимальная симплектическая матрица
B.4), B.5) с неопределенными элементами. Мы хотим показать,
что Р< вполне приводимо относительно Н/(Л). Будем сперва
оперировать в основном поле ж. Пусть 2 — инвариантное под-
подпространство пространства Р^, натянутое ца линейно независимые
рациональные тензоры Fu ..., F . Подпространство 2',. орто-
ортогональное к 2 в смысле метрики (V.2.1), будет натянуто на не-
некоторые рациональные тензоры Fi, . .., Fq; p-\-q = nf. Перей-
Перейдем теперь к гауссовскому полю х* — (х, V—1), так что 2, 2'
будут состоять из всех линейных комбинаций тензоров Fv ..., F ,~
соответственно Fi, ..,, Fq, с коэффициентами из х*. Тогда

СимплектическаЯ группа 239
каждый'тензор F' из 2' будет также унитарно ортогонален к каж-
каждому тензору F из 2:
Элементы матрицы, описывающей подстановку II/(Л) по отно-
отношению к системе координат Fv ..., Fp; F[, ..., Fq, являются
рациональными функциями от 5 со знаменателем |?-f-S|A Из
2X2 частей, на которые расщепляется эта матрица в соответ-
соответствии с разложением Р^= S —J—2', верхний правый прямоуголь-
прямоугольник будет пустым (инвариантность подпространства 2). Мы
утверждаем, что то же верно и для нижнего левого прямоуголь-
прямоугольника; другими словами, 2' также инвариантно. Чтобы убедиться
в этом, подставим в качестве 5 произвольную численную не-
неисключительную инфинитезимальную унитарную симплектическую
матрицу над {х, ]/—1). Соответствующее Л унитарно, и тоже
верно для Uf(A); поэтому элементы указанного прямоугольника,
в силу леммы (VI. 2. А), при такой подстановке обращаются
в нуль. Опираясь на заключительное замечание последнего па-
параграфа, выводим отсюда, что эти элементы тождественно равны
нулю.
Теперь открыт путь для установления всех теорем, анало-
аналогичных доказанным в случае ортогональной группы 12J. При этом
алгебра 31М в $(Л описывается наложением на ряд Л(^
= (Af, Af_it..., Ао) бисимметричных матриц
Av= || а (/,.../„; А,... к„) ||
(v — 2,...,/) следующих уравнений:
2 .. /в; А,... А„) = в (/,/,) • а (/,... /„; Ав...
S s (V,) a (', • • • i* A,... A.) = 8 (kxk2)-a(is.../,; A,... A,).
Теорема (VI.3.A). Щ(Л е<?/геь обертывающая алгебра
группы всех ИЩА), индуцируемых симплектическими пре-
преобразованиями А. Это верно при любом поле k характери-
характеристики нуль; можно даже ограничиться внутри Sp(n) рацио-
рациональными неисключительными А.
Или, в другой форме:
Теорема (VI.3.В). Пусть А = \\а(ik)\\ — общая матрица,
состоящая из я2 независимых переменных a(ik), и S — общая

240 г л а в A vl
инфиншпезимальная симплектическая матрица. Каждый по-
полином Ф (А) формальной степени f от п2 переменных a(ik),
формально обращающийся в нуль при подстановке
< A = {E-S){E-\-S)~\
"V
является линейной комбинацией
'Л +2 ?*
форм частного вида
Ал = 2 ? (* А) я ('А) «(*2*г) —
с полиномиальными коэффициентами L формальной степени
/-2-
Эта теорема определяет базис для симплектического про-
простого идеала. Если не придавать важности ограничению, нала-
налагаемому на формальные степени, то одна из двух базисных си-
систем Д-Л, D*klki излишня.
След тензора /7(i1B/3... if) по первым двум аргументам опре-
определяется теперь формулой
2 eWfVA-••'/)•
Тензоры ранга / с нулевыми следам^ образуют пространство
Р°. Налагая на них условие симметрии, соответствующее задан-
заданной диаграмме Т, получаем подпространство Ро (Т), неприводимо
инвариантное относительно алгебры Uf или группы H.^(Sp(n)).
Однако Ро (Т) будет пустым, за исключением тех случаев, когда
Т состоит из не более чем v = -к я строк (допустимые диа-
диаграммы). (Это упрощение по сравнению с ортогональным случаем
вызывается тем, что уже сам определитель л векторов, а не
только произведение двух таких определителей, как в (V.7.1),
выражается через косые произведения.) Будем, снова характери-
характеризовать диаграмму Г, длинами /,, ...,/, ее строк:

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГРУППА 241
P0G") = P0(/j.../v) есть поле действия неприводимого представ-
представления <P0(/i---/v)> группы Sp{n). Любое инвариантное подпро-
подпространство пространства Ру вполне приводимо, и в случае непри-
неприводимости— подобно одному из подпространств Ро(/!•../,)
пространства Р° с
v=/,-f...-f/,=/ или / — 2 или /—4,...
Представление <Р0 (Л •••'/„)> контрагредиентно самому себе»
поскольку подстановка A.11) дает возможность непосредственного
перехода от ковариантных величин к контравариантным.
Мы предоставляем читателю сформулировать и доказать во
всех деталях цепь предложений, подобную установленным для
ортогональной группы. Использование для симплектической
и ортогональной групп одинаковой системы обозначений не
приведет к путанице, так как в каждом случае будет ясно,
о какой из двух групп идет речь.
16 Г. Вс&Лк

ГЛАВА VII
ХАРАКТЕРЫ
1. Предварительные сведения об унитарных преобразованиях
В тех случаях, когда имеет место полное разложение на аб-
абсолютно неприводимые составляющие, характеры могут служить
для однозначного (в смысле эквивалентности) описания пред-
представлений. Действительно, при указанном сейчас условии харак-
характеры 1 (s), y,' (s), • • • неэквивалентных неприводимых представле-
представлений линейно независимы, и если какое-либо представление %.
с характером X(s) расщепляется на от раз взятую первую непри-
неприводимую составляющую, от' раз взятую вторую, .. ., то мы
получаем равенство
(l.i) х (*)=«x(«)+«Y (*) + •••
Поэтому характером X(s) однозначно определяются коэффициен-
коэффициенты т, т', ... его разложения A.1) по примитивным характе-
характерам х,Х'> •••'•а кратности от, т',... вполне описывают рассма-
рассматриваемое представление 31. На этом замечании основывается
калькулятивное оперирование с представлениями с помощью их
характеров. Упрощение, вызываемое такой заменой, очевидно;
в частности, формальные операции -Ц X. применяемые к пред-
представлениям, выражаются обычными сложением и умножением
характеров. Поэтому в настоящей главе мы предпримем вычи-
вычисление характеров тех представлений полной линейной, ортого-
ортогональной и симплектической групп, которые были получены
в предыдущих главах путем приведения тензорного пространства.
Последняя процедура, несмотря на свою явно алгебраическую
природу, отнюдь не доставляет простых явных формул для ха-
характеров. Для нахождения таких формул нужно обратиться
к трансцендентным методам — к процессам интегрирования, рас-
распространенного на все групповое многообразие.
Разумеется, это осуществимо лишь в предположении, что
основное числовое поле является континуумом. Мы воспользу-
воспользуемся континуумом К* обыкновенных комплексных чисел. Тем не

ХАРАКТЕРЫ 243
менее, наши результаты окажутся справедливыми для любого
числового поля k характеристики нуль по той же причине, что
и раньше: они формулируемы в терминах рационального основ-
основного поля х, которое, в свою очередь, вкладывается в континуум
К*. Таким образом, наше исследование дает новый пример
применения анализа к чисто рациональным 'алгебраическим во-
вопросам.
Интегрирование по многообразию Г возможно без каких бы
то ни было усложняющих ограничений, относящихся к сходи-
сходимости, лишь когда Г представляет собой, в топологическом
смысле, компактное множество. Поэтому мы прибегаем к тому,
что можно было бы назвать унитарным, приемом: каждая группа
заменяется подгруппой тех ее элементов, которые являются
унитарными преобразованиями. В предыдущей главе мы с ус-
успехом применили эту идею к симплектической группе. Она же
неявно содержалась и в нашем оперировании с ортогональной
группой; действительно, там унитарными являлись вещественные
элементы группы О (л). В случае полной линейной группы мы до
сих пор обходились без каких бы то ни было унитарных ухищ-
ухищрений, но теперь мы проиллюстрируем наш метод как раз на при-
примере группы GL(n), самой простой из всех рассматривавшихся
нами групп. Успех его обязан тому обстоятельству, что при
унитарном ограничении не теряется ничего алгебраически
существенного.
Алгебраическая несущественность унитар-
но го ограничения. Рассмотрим любую из групп
Г = GL (я), О (я), Sp{n)
и произвольный полином <р(Л), зависящий от я2 переменных
компонент alk общей «-строчной матрицы Л=||а;4||.
Лемма (VII. 1.А). Полином ш(Л), обращающийся в нуль
для всех унитарных элементов А из Г, равен нулю на
всем Г.
Элемент А унитарен, если
A.2) А*А = Е,
для инфинитезимальных же подстановок S=||srt|| унитарное
ограничение выражается соотношениями
A.3) 5*+ 5 = 0 или 7k.-\-sik — 0.
16*

244 ГЛАВА VII
Если положить
для каждой пары
то A.3) будет означать требование вещественности параметров в.
Общий инфинитезимальный элемент • S каждой из групп Г
линейно зависит от некоторого числа параметров а и, таким
образом, имеет своей областью изменения некое линейное мно-
множество д, инфинитезимальную группу. Надлежащим выбором
базиса в g можно добиться того, чтобы унитарными S, A.3),
были те, у которых параметры и имеют вещественные значения.
Знакомое нам равенство
A.5) A = (E
устанавливает взаимно однозначное соответствие между неисклю-
неисключительными элементами А группы Г и неисключительными эле-
элементами S инфинитезимальной группы; и правая и левая части
этого равенства допускают унитарное ограничение A.2), соот-
соответственно A.3). Для завершения доказательства остается при-
призвать на помощь следующее предложение.
Лемма (VII. 1.В). Полином ср (Л) равен нулю для всех
элементов А из Г, если при подстановке A.5) он обращается
в нуль тождественно относительно параметров о инфини-
тезимальных элементов S (а в случае Т = О (п)-~-еще при
подстановке одного несобственного Ja, (II.9.3)).
Для ортогональной группы эта лемма была явно доказана
нами при изучении ортогонального идеала. Тем же путем прово-
проводится доказательство и для Sp(n). Для группы же OL(n) не
требуется вообще никакого доказательства, поскольку един-
единственное ограничивающее условие, налагаемое предположением
леммы на я2 аргументов aik в уравнении <р(Л) = О, а именно
неравенство det (Е -\- А) ^ 0, сразу устраняется хорошо извест*
ным нам способом.
Если полином <f(A) равен нулю для всех- унитарных элемен-
элементов А из Г, то мы имеем, в частности, численное уравнение
0.6)
(плюс уравнение ср (Уя) == 0 при Т = О(п)), выполняющееся для
всех вещественных значений о, удовлетворяющих условию

ХАРАКТЕРЫ 245
Д {а) = det (Е -{-. S) ф 0. Но это влечет за собой, что A.6) вы-
выполняется тождественно относительно переменных в, и тем самым
лемма (VII. 1.А) получается как следствие леммы (VII. 1.В).
Изощренный в алгебре читатель заметит, что наша лемма
сохраняет силу в любом поле над гауссовским полем
х*=(х,У—1), даже если уравнение <р {А) = 0 предполагается
лишь для унитарных матриц А из Г, элементы которых ле-
лежат в т$ . Эта лемма эквивалентна утверждению, что оберты-
обертывающие алгебры Щу и Ш^> групп подстановок П^(Л) и ЦМ {А),
индуцируемых элементами А группы Г, не сузятся при нало-
наложении унитарного ограничения на А.
Поэтому части Р (/,... /л), на которые разлагается тензорное
пространство Р< относительно группы GL(n), останутся непри-
неприводимыми даже при сужении полной линейной группы до уни-
унитарной группы U(n).
Компактность. Унитарная матрица /4=||a<ft|| над К*
удовлетворяет соотношениям
A.7) А*А = Е, АА* — Е,
или
A.8) 2 akiCLkl == ^ij> ^ aikajk = ^ij-
k h
Поэтому
т. е. det Л по абсолютной величине равен 1. Равенства
К,
получающиеся из A.8) при i=j, показывают, что каждое akt
по абсолютной величине sgl. В силу хорошо известного прин-
принципа предельных точек Вейерштрасса это влечет за собой ком~
пактность унитарной группы: для каждой заданной последова*
тельности
AW (р=1,2, ...)
унитарных матриц существует унитарная {предельная) матрица А
такая, что во всякой ее окрестности содержится по крайней
мере одна из матриц
А'Р),
как бы велико ни было взято р.

246 Г Л А В А VII
Преобразование к главным осям. Пусть задано
унитарное отображение х—>х' = Ах,
•*; = 2 "'***•
k
пространства Р на себя. Мы утверждаем, что в надлежащей
унитарной системе координат у, получающейся из первоначаль-
первоначальной системы с помощью унитарного преобразования U: x = Uy,
это отображение принимает „диагональный" вид
где коэффициенты г(- по абсолютной величине равны 1. Иными
словами,
A.9) L
оказывается диагональной унитарной матрицей
S, 0 ... О
О е3 ... О
О 0 .. . е.
Теорема (VII. 1.С). Любое заданное унитарное отобра-
отображение А: х—*х' в надлежащих унитарных координатах
х, принимает диагональный вид
Или: в унитарной группе каждый элемент А сопряжен
с каким-нибудь диагональным элементом {е}.
Доказательство. Выберем в качестве Х=е корень
характеристического уравнения
\1Е—А\ = 0.
Тогда существует ненулевой вектор х — е такой, что
ее = Ае.
Путем классического индуктивного построения можно определить
унитарную систему координат ev ег, ...,еп, первый фундамен-
фундаментальный вектор которой, с точностью до положительного чис-

ХАРАКТЕРЫ
247
ленного множителя, совпадает с е. Имеем тогда
т. е. в новой системе координат е,
е„ матрица
ото»
бражения А имеет в качестве первого столбца
(ап, а21, ..., ая1) == (е, 0, ...,0).
Сумма квадратов абсолютных величин его членов должна рав-
равняться 1; поэтому |е| = 1. Но в то же время и сумма квадра-
квадратов абсолютных величин членов первой строки должна быть
равна 1:
M2 + Kl2+
Отсюда
т. е.
а12=...=а1в =
1в
и, следовательно, наша матрица разлагается по схеме
г 0 ... О
О о
22
a
Ч.П
0
Матрица |]a/ft|f, где ink пробегают значения от 2 до п,
является («.— 1Oмерной унитарной матрицей. Тем самым наше
предложение об я-мерных унитарных матрицах сведено к соот-
соответствующей теореме для п — 1 измерений.
Элементы st диагональной матрицы {г}, очевидно, являются
корнями характеристического уравнения
и тем самым, с точностью до порядка нумерации, однозначно
определяются матрицей А. Порядок остается действительно
произвольным, т. е. две диагональные матрицы
и {*•} =

248 г л л в л vii
сопряжены, если (и только если) t't получаются из st путем
перестановки. Полагая
мы вводим п вещественных „углов" ср, <рл отображения А.
При этом угол следует брать по модулю 1, т. е. у-4-1,
f ±2, ••• означают тот же угол, что и <р.
Теорему (VII. 1.С), относящуюся к одной унитарной мат-
матрице, можно распространить на любое множество Ш={А} пе-
перестановочных друг с другом унитарных матриц (коммутативное
множество):
Теорема (VII. 1.D). Все унитарные преобразования из
заданного коммутативного множества можно выбором над-
надлежащей унитарной системы координат одновременно при-
привести к диагональному виду.
Разбивая „собственные значения" или корни г,- унитарного
отображения А на группы равных, мы можем сформулировать
предложение (VII.1.С) следующим образом: Р разложимо на
взаимно перпендикулярные подпространства Pj -J- Р2 -f" • • • так.
что 1) каждое Рх инвариантно относительно Л и 2) операция А
является в Рх простым умножением всех векторов на некоторое
число а%, причем эти множители а, различны для различных Р,
и в Рх содержится каждый вектор j, для которогЪ
A.10) . Атс=ах1с.
Пусть В — произвольный (унитарный) оператор, перестановочный
с Л я утверждаю, что пространства Рх инвариантны также отно-'
сительно В. Действительно, если J принадлежит пространству Рх,
т. е. удовлетворяет соотношению A.10), то это же имеет место
и для Sj:
Это замечание дает возможность перенести наше предложе-
предложение на любое коммутативное множество Ш унитарных операто-
операторов А; другими словами, Р разложимо на перпендикулярные
подпространства Рх, 1) инвариантные относительно St и 2) такие,
что каждый оператор А из Ч сводится в Рх к умножению.
Действительно, пусть Р разложено на инвариантные подпростран-
подпространства Рх, причем, однако, один по крайней мере оператор /1°
из 31 в одном из этих подпространств, например, в Рт, не сво-
сводится к умножению. А° является в Р, унитарным оператором,
и потому Pj можно расщепить на взаимно перпендикулярные

ХАРАКТЕРЫ 249
подпространства Р^-|~Р*-|- ... так, что они будут инвариантны
относительно А°, причем в каждом из них А0 будет уже про-
простым умножением (на различные числа a'v a'v ...). Тогда, со-
согласно нашему замечанию, которое надо теперь применить
вместо Р к Рг, составляющие P'lt Р", . . . инвариантны относи-
относительно всех операторов А из Щ, поскольку последние перестано-
перестановочны с Л°. Так как оператор Л° не является в Рх умножением,
то число слагаемых в разложении
самое меньшее, равно 2. Тем самым наше разбиение простран-
пространства Р на инвариантные подпространства подверглось дальней-
дальнейшему дроблению — процесс, который необходимо должен оста-
остановиться, самое большее, через я шагов.
2. Характер только для симметризации или только
для альтернирования
Многообразие 2(/) всех симметричных тензоров ранга /
является полем действия некоторого представления
<2(У)>: Л— (Л),
полной линейной группы, которое может быть определено сле-
следующим образом. В то время как координаты х( в нашем
основном л-мерном векторном пространстве Р подвергаются
линейному преобразованию
B-1) A=\\aik\\: x'. = ^aikxk,
все составленные из них одночлены степени /,
B.2) ' *;....х;п (г1+...+г.=Д
подвергаются соответствующему линейному преобразованию (A)f.
Вычисление характера этого представления <2(/)> будет хорошей
подготовкой к стоящим перед нами более трудным задачам
аналогичной природы.
Можно сказать, что полем действия представления <2 (/)>
служит линейное многообразие всех форм степени / от наших
переменных х.. Эта формулировка сразу обнаруживает, что
выбор системы координат в Р несуществен для определения
этого характера. Действительно, замена координат х( в Р

250 г л А В A vn
вызывает просто замену („одночленного") базиса B.2) для форм
степени /, а известно, что след линейной подстановки не ме*
няется при замене базиса.
Согласно общему плану нашего исследования, сперва огра-
ограничимся рассмотрением унитарных матриц А. Каждую такую
матрицу А мы вправе считать заданной в ее нормальной фор-
форме {г}. Под действием А каждый одночлен B.2) умножается на
т. е. соответствующее преобразование {A)f также имеет диа-
диагональный вид, и след этой подстановки, т, е. характер фДА),
задается суммой
B.3) 2<з ¦••з;-.
распространенной на все неотрицательные целые rv .,.,>,
образующие в сумме /, Как показывает формула
B.3) есть коэффициент при г* в разложении дроби
1
B.4)
A — ?1г)... A — tnz)
в ряд Тэйлора. .Это разложение можно рассматривать либо как
формальный ряд, либо как численное равенство, выполняющееся
для комплексного переменного z в области сходимости |г|^
Знаменателем в B.4) служит характеристический полином
B.5) «p(«) = det(E — гА) =
и это замечание сразу позволяет вернуться от нормальной
формы {г}, принимаемой нашим унитарным А в приуроченной
к нему системе координат, к его матрице А в исходной системе
координат, общей для всех элементов А из U(п).
В соответствии со сказанным мы вводим для любой линейной
подстановки /4=||я№|| функции pf{A) посредством формального
разложения

ХАРАКТЕРЫ
251
Это означает, что для каждого / 5= 0 мы будем иметь сравнение
а это позволяет рекуррентно определять коэффициенты р1 один
за другим:
=1, Pi—
--±9r«P/-« = ° (/=1,2,...).
/; с отрицательными индексами, р__х, р_2, . ..., считаются здесь
равными нулю. Из этого рекуррентного определения следует,
что pt(A) есть однородный полином степени / от величин aik.
Формула
B.7) i/f(A) — pf{A)
пока доказана только для унитарных преобразований А. Однако,
согласно их определению, обе части равенства B.7) являются
полиномами от переменных элементов aik матрицы А; следова-
следовательно, по лемме (VII. 1.А) это равенство распространяется на
все элементы А из GL(ri).
Метод, которому мы здесь следовали, послужит образцом
в будущих более сложных случаях. Но благодаря простоте ре-
результата естественно задаться вопросом: нельзя ли получить
формулу B.7) без обхода через унитарные подстановки и их
иррациональную нормальную форму {s}, зависящую от решения
характеристического уравнения? Обойтись без первого шага,
действительно, довольно легко. Решая характеристическое
уравнение для произвольного отображения А, можно привести
его матрицу к рекуррентной или треугольной форме
а1 * ... *
О а2 ... *
О 0 ... а.
Тогда {A)j принимает такой же вид, и след его оказывается
равным
Обойтись¦ без приведения А к удобной нормальной форме
представляется несколько менее легким делом. Я изложу анали-
аналитический способ, отвечающий нашему теперешнему требованию
использования подстановки Л в ее первоначальной форме B.1).

252 , г л а В A vli
Коэффициент (г; р) линейного преобразования (А).;
р
может быть вычислен как интеграл
где каждая интеграция производится по единичной окружности
|л;л|=:1 в комплексной плоскости xk. Поэтому применение
того же процесса интеграции к разложению
3YV
U(xk-zx'k)
содержащему вспомогательную переменную г, приводит к фор-
формуле
dxx...dxa
8) ' -i-f Г
Когда переменные хк остаются соответственно на окружностях
| jca J = 1, выражения
не могут по абсолютной величине превзойти некоторой грани-
границы М — наибольшего из л чисел
Сходимость в B.8) обеспечена при
Мы установим выполнение в этом круге требуемого ра-
равенства
B.9)
доказав следующую лемму:

ХАРАКТЕРЫ 253
Лемма (VII. 2. А). Если
А м- и, ,, V» v
л—Няш1- Уг — Zj«/fr*ft
¦—линейная подстановка, удовлетворяющая неравенствам
B.10)
то ее определитель detкфО и
/о in — Г CdXl...dxa_ 1
^•м' B«j»J---J у,....у, — detA'
где интеграции производятся по единичным окружностям
Мы проведем доказательство индукцией по размерности п
и сделаем сперва несколько неопределенное предположение, что А
достаточно близка к единичной матрице. Рассмотрим
У\ ' • • У а
как функцию от переменной хг при фиксированных значениях
х2, ..., ха на их окружностях | xk | = 1. При нашем предполо-
предположении полюс
B.12) *i=-a^(a»*8+. •• + «,«*.). '
вызываемый приравниванием уЛ нулю, будет мал, тогда как
другие я — 1 полюсов, обращающие в нуль yv ..., уа, будут
велики. Поэтому лишь первый из этих полюсов лежит в еди-
единичном круге, и интегральная формула Коши дает:
B13) I С dXl _1 1
где
суть линейные формы, получающиеся из _y2i ..., ,уя при под-
подстановке вместо х1 - значения B.12) или при вычитании из
У-11 • • ч У- кратных —, ..., ^51 от у,, обращающих в нуль ко-
ai1 "u
эффициенты при Ху Это вычитание не изменяет определителя
detA форм уи ; .., уа; поэтому
B-И)

254 ГЛАВА VII
Заметим, что преобразование B.15)
снова близко к тождественному. Сравнение равенства B.14
с результатом интегрирования соотношения B.13)
1 С r<toi...<far,_ 1 1 Г Cdx2...dxa
и дает индуктивное доказательство равенства B.11).
Простое вычисление показывает, что неравенства B.10) влекут
за собой: 1) требуемое положение л:,-корней форм у1\у2, • • -, у„,
а именно, соответственно внутри или вне единичного круга,
в предположении, что хъ, ..., хп лежат на единичной окруж-
окружности, и 2) такие же неравенства для А'. Поэтому мы можем
утверждать справедливость формулы B.11) и при более точных
предположениях нашей леммы Ш.
Определив, таким образом, различными способами характер
представления <2(/)>, сделаем следующий шаг по направлению
к нашей окончательной цели, разбивая / аргументов тензора
ранга / на несколько рядов длиною в /t, /2, . .., /г, соответст-
соответственно данной диаграмме симметрии (Д-^-Д-Ь • • • Ч-/г=/)> и
рассматривая все тензоры, симметричные относительно аргумен-
аргументов каждого ряда. Они образуют инвариантное многообразие
2 (/i • ¦ • fr) с соответствующим ему представлением <2 (f1... /r)>
группы GL{n). Так как преобразование А представляется кроне-
керовским произведением
то его характер задается формулой
B.16) Ф (Л ¦ • • /,) = Рп № PU И) • • • PU {А).
Тем самым 'нами решена задача определения характеров,
когда диаграмма T[fj2...) 'используется как базис для сим-
симметризации
(ср. § 2 главы IV). Соответствующая задача для альтерниро-
альтернирования
даже еще проще. Если сперва снова ограничиться унитарными
преобразованиями и рассматривать А в его нормальной форме

ХАРАКТЕРЫ
255
{б}, то антисимметричные тензоры ранга / будут образовывать
иоле действия представления, характер которого равен /-той
элементарной симметрической функции от ?v ..., еа, или коэф-
коэффициенту qf характеристического полинома B.5). Тот же ре-
результат может быть получен абсолютно элементарным путем.
Действительно, сразу видно, что след подстановки, которой
подвергаются косо-симметричные тензоры под влиянием преоб-
преобразования А, равен
ahif
(Л < к < • •. < if)
aifif
= qf(A).
Если столбцы диаграммы имеют длины /*, /*, . .., то тензоры,
антисимметричные относительно аргументов каждого столбца,
образуют поле действия представления, характер которого равен
B.17) qf*q*...
Однако действительной задачей является определение харак-
характера в том случае, когда применяются последовательно оба
процесса: симметризация относительно строк и альтернирование
относительно столбцов. К этой задаче мы подойдем теперь,
пользуясь существенно более трансцендентным методом: совер-
совершенно независимо от всех предшествующих рассмотрений мы
попытаемся вычислить характеры, соответствующие всем непри-
неприводимым непрерывным представлениям унитарной группы.
3. Усреднение по группе
Процесс усреднения по всем групповым элементам s яв-
является мощным инструментом изучения конечной группы у, до-
доставляющим неожиданно сильные результаты. Мы уже встрети-
встретились с этим методом в главе III, где вывели с его помощью
существование производящих идемпотентов и полную приводи-
приводимость регулярного, а потому и любого представления конечной
группы. Чтобы освоиться с этим процессом, приведем и некото-
некоторые другие примеры.
Пусть в л-мерном аффинном точечном пространстве задана
конечная группа у аффинных преобразований $. Я утверждаю,
что существует точка, лево-инвариантная относительно

256 г л А В A vii
каждого из преобразований этой группы. Если Р — центр
тяжести некоторых положительных масс \з.л, . .. , ]ih, располо-
расположенных в точках Pv ... , Ph, a s — любое аффинное преобра-
преобразование, то sP будет центром тяжести тех же масс в точках
sPu ... , sPh. Возьмем теперь произвольную точку Р и обра-
образуем центр тяжести Ро А эквивалентных точек sP, получаю-
получающихся из Р с помощью h преобразований s заданной группы,
приписывая каждой из этих точек одну и ту же массу или"
вес 1:
Ро обладает требуемым свойством. Действительно, для про-
произвольного преобразования а из нашей группы имеем:
где
s' = as.
Но s' вместе с s пробегает все групповые элементы; следова-
следовательно, -jr^s'P снова равно Ро.
Другой важный пример, более близкий к нашим теперешним
интересам, относится к инвариантам F(x, у, . ..) заданной
абстрактной конечной группы у, гДе аргументы х, у, ... суть
общие векторы пространств нескольких заданных представлений
группы у (см. § 5 главы I). Пусть F — любой полином от та-
таких векторов, однородный относительно компонент каждого из
этих векторов. Образуем снова среднее
C.1) [Р] = тЪ*р
по группе у- Тогда -{F] будет инвариантом.. Этот процесс
усреднения [], переводящий каждый полином в инвариант, во-
первых, является линейным процессом и, во-вторых, оставляет F
неизменным, если F сам есть инвариант. Кроме того, если J —
инвариант, то имеем:
C.2)
Мы увидим (глава VIII, § 14), что этот процесс доставляет
простое доказательство первой основной теоремы теории инва-
инвариантов для случая конечных групп.

ХАРАКТЕРЫ 257
В качестве третьего примера я докажу следующее предло-
предложение:
Теорема (VII.3.A). Каждая конечная группа однород-
однородных линейных преобразований оставляет инвариантной не-
некоторую положительно определенную эрмитову форму.
Доказательство. Эрмитова форма
О (х) = 2 ft* *Л («и = */*)
называется положительно определенной, если О(х)У>0, за исклю-
исключением того случая, когда х1= .. .=хп = 0. Начнем с произ-
произвольной такой формы G, например, с единичной формы
C.3) ?i +
Среднее
4
будет удовлетворять нашим требованиям.
Каждую положительно определенную эрмитову форму G(x)
можно надлежащим выбором координат превратить в единичную
форму. Это достигается классическим индуктивным построением
унитарной системы координат, если принять ¦
за скалярное произведение в нашей унитарной геометрии. При-
Применяя это замечание к О0> получаем важное
Следствие (VII.З.В). Любая конечная группа однородных
линейных преобразований эквивалентна группе унитарных
преобразований.
Отсюда, в силу леммы (VI.2.A), заново следует полная
приводимость представлений конечных групп. Этот, хотя и очень
быстрый, путь установления указанной фундаментальной истины
имеет свои невыгоды по сравнению с нашим первоначальным
способом, принятым в главе III. А именно, в то время как по-
последний проходит в любом числовом поле, данное здесь дока-
доказательство оперирует в обыкновенном поле всех комплексных
чисел. Даже в лучшем случае область его применения не может
выйти за пределы полей -типа &+ = (&, У— 1), где k веще-
вещественно.
Этих примеров уже достаточно. Но чтб мы на самом
деле имеем в виду,—г это применить процесс усреднения не к
17 г. Вейль

258 ГЛАВА VII
конечной, а к компактней непрерывной! группе. Пусть дана не-
непрерывная группа Yi T- е- группа, элементы s которой обра-
образуют, в топологическом смысле, непрерывное многообразие. При
этом мы, естественно, предполагаем, что композиция st двух
элементов s и t непрерывно зависит от совокупности обоих
аргументов s, t и что s—1 есть непрерывная функция от s. Бу-
Будем, сверх того, предполагать, что к нашему групповому мно-
многообразию можно применить дифференциально-геометрическое
понятие линейных элементов; в этом случае речь идет о
группе Ли. До сих пор никому еще не удалось установить
естественным и удовлетворительным способом внутренние тре-
требования, которым должно отвечать многообразие для того, чтобы
оно допускало применение идеи линейных элементов и тем са-
самым исчисления бесконечно малых („дифференцируемое много-
многообразие"). Однако для всех практических целей достаточно
следующего. Каждой точке многообразия соответствует класс
допустимых систем координат (sv ... , sr); функции, выражаю-
выражающие преобразование одной допустимой системы координат в дру-
другую, не только непрерывны, но. обладают также непрерывными
первыми производными и неравным нулю функциональным опре-
определителем (в некоторой окрестности данной точки). Этим спо-
способом многообразию сразу приписывается определенная размер-
размерность г. „Параметры" st предполагаются вещественными числами.
Более тщательную формулировку читатель найдет в книжке
V е b I e n and W h i t e h e a d, The Foundations of Differential
Geometry, Cambridge Tracts, № 29, 1932. В случае группы эти
требования нужно выставить лишь для точки 1, так как посред-
посредством .левого сдвига" а:
C.4) s—>-s' = as
окрестность точки 1 переводится в окрестность произвольной,
наперед заданной точки а. Разумеется, мы должны теперь при-
принять, что для любых двух элементов sat достаточно малой
окрестности точки 1 параметры произведения st являются функ-
функциями от параметров сомножителей s и t с непрерывными пер-
первыми производными.
Линейные элементы bs = (8su . .. , 8sr) в единичной точке 1 яв-
являются инфинитезимальными элементами группы; они образуют
r-мерную касательную гиперплоскость к групповому многообра-
многообразию в точке 1. г таких линейных элементов fi's, ... , й'''« в
точке 1 определяют инфинитезимальный элементарный паралле-

ХАРАКТЕРЫ 259
лепипед; в качестве его объема следует рассматривать абсолютное
значение определителя
При изменении системы параметров su ... , sr, покрывающих
окрестность точки 1, все эти объемы умножаются на одну и ту
же положительную постоянную. Таким образом, они, с точно-
точностью до выбора единицы, не зависят от системы параметров.
Процесс'усреднения по компактной группе Ли предполагает,
что мы умеем сравнивать' элементы объема в различных точ-
точках группового многообразия. Мы должны найти аналог рав-
равным весам, приписывавшимся различным групповым элементам
в случае конечной группы. Наши примеры сразу обнаруживают
необходимое условие, которому должна удовлетворять такая
„хорошая" мера объема: она должна быть инвариантна относи-
относительно всех левых сдвигов C.4). Но по определении1 объема
для элементов в точке 1 этого требования уже вполне доста-
достаточно для перенесения меры из центрального бюро стандартов
при точке 1 в любую другую точку: перенос осуществляется
посредством левого сдъига. Элемент объема d®a в а, получаю-
получающийся из элемента объема da в 1 посредством левого сдвига а,
будет по определению иметь ту же меру, что и dm. Линейный
элемент ds в s ведет от * к бесконечно близкой точке s-\-ds;
посредством левого сдвига s он переходит в линейный эле-
элемент Ss в 1, определяемый формулой
C.5)
Согласно нашему определению, эти bs и используются для вы-
вычисления объема инфинитезимального параллелепипеда das в s
(как абсолютного значения определителя компонент г таких ds,
соответствующих г линейным элементам ds в s, определяю-
определяющим dtus).
Пользуясь так определенной мерой объема, мы можем усред-
усреднить любую непрерывную функцию на компактной группе Ли у
по всей группе '2J. При желании можно выбрать находящуюся
в нашем распоряжении единицу измерения объемов так', чтобы
сделать объем всей группы равным единице. Теперь мы в со-
состоянии перенести с конечных на компактные группы Ли все
примеры, рассмотренные в этом параграфе. В частности, любое
непрерывное представление такой группы оставляет инвариант-
17*

260 ' Г Л А В А VII
ной некоторую положительно определенную эрмитову форму
и потому эквивалентно унитарному представлению. В ее унитар-
унитарном нормальном виде представляющая матрица ?/ (s) = [| и/д (^) [|
удовлетворяет уравнениям . ., , „
и, следовательно, для характера %(s) мы при всех обстоятель-
обстоятельствах имеем
Любое представление разлагается на неприводимые предста-
представления.
Равным образом проходит и доказательство соотношений
ортогональности, принадлежащее И. Шуру 18J (глава JV, § 1).
В частности, для примитивных характеров мы получаем соотно-
соотношения ортогональности
Ш1,{1E) X' <5)} = 1 или 0,
смотря по тому,- эквивалентны или нет два неприводимых пред-
представления с характерами i и ¦?. Поэтому кратности т, от', ...
•в разложении произвольного характера 'Х^), равенство A.1),
могут быть определены как средние значения
C.6)
Кроме того, имеем:
C.7)
Это показывает, что представление с характером X(s) непра-
водимо в том и только в том случае, когда | X (s) |2 имеет
среднее значение 1, — признак, часто применявшийся Фробе-
ниусом.
Соотношение полноты для полной системы неэквивалентных
неприводимых представлений компактной группы Ли было уста-
установлено Ф. Петером^и автором этой книги; построение, извест-
известное для конечной группы, пришлось в процессе приспособления
к компактным непрерывным группам несколько усложнить. I*J
Кое-где нам сильно мешало бы, если бы мера объема не
была инвариантной относительно не только левых, но и правых
сдвигов, т. е. относительно операций
*
s —* s' = sa.

ХАРАКТЕРЫ 261
Элемент объема d®, заданный в точке 1, переносится с помощью
левого сдвига а в точку а, затем с помощью правого сдвига
а~1 — обратно в точку 1. Спрашивается, сохраняет ли получаю-
получающаяся в итоге операция „сопряжения" а:
C.8) s'
неизменным объем rf<o? Отнесение групповым элементам а опе-
операции C.8) устанавливает реализацию группы, так называемую
присоединенную реализацию, полем действия которой служит
само групповое многообразие. Операция C.8), оставляя точку 1
неподвижной, переводит инфинитезимальный групповой элемент
1 -j— 5s в инфинитезимальный элемент 1-f-d's, и переход от
линейного элемента 8s к b's, естественно, является некоторым
линейным преобразованием К (а); соответствие а—*К{а) есть
присоединенное представление. Мы поставили вопрос, является ли
это представление квази-унимодулярным, т. е. будет ли
JdetAT(a) |= 1
для всех элементов а. Этот вопрос решается утвердительно
в силу следующей общей леммы:
Лемма (VII.З.С). Непрерывное представление компактной
группы необходимо квази-унимодулярно.
Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент а
компактной группы y и его представителя Т (а). Предположим, что
|detr(e)|>l.
Последовательность а" (л = 1, 2, ...) имеет в групповом мно-
многообразии предельную точку Ь. Вследствие равенства
Т(а«)'=(Т(а)Г,
| det Т (а") | при п —юа стремится к оо. Но это противоречит
тому факту, что для некоторых произвольно больших номеров п
число | det T{aa) | должно быть сколь угодно близко к значе-
значению \detT(b)\. Таким же способом отвергается и возможность
(det Т{а)\ <^ 1 путем рассмотрения последовательности а~п
(л = 1,2,...).
Подстановка
превращает линейный элемент, bs, заданный в точке 1, в —bs
и, следовательно, оставляет неизменным объем любого инфини-
тезимальногЪ параллелепипеда в точке 1. То же остается

262 ГЛАВА VII
верным и для элемента объема в любой точке а. Действительно,
когда s подвергается левому сдвигу a: s—»¦ as, обратный эле-
элемент s претерпевает правый сдвиг а~1:
Тем самым наше утверждение является непосредственным след-
следствием того факта, что объем инвариантен относительно как
левых, так и правых сдвигов.
В случае группы линейных преобразований или матриц, инфи-
нитезимальные элементы группы образуют r-мерную линей-
линейную совокупность матриц
где Klt ... , Кг — произвольно выбранный ее базис. Если А
и A-\-dA — две бесконечно близкие матрицы из рассматривае-
рассматриваемой группы, то ЬА = A~l-dA есть инфинитезимальный элемент,
определенный формулой C.5), и потому компоненты 8s,-, вводи-
вводимые формулой
C.9) A-l'dA = bsl-Kl+...+b8r-Krl
служат для вычисления объема бесконечно малого параллелепи-
параллелепипеда в А, натянутого на г линейных элементов dA.
Группа U(n) всех унитарных преобразований есть ^-пара-
^-параметрическая компактная группа Ли. Инфинитезимальная унитар-
унитарная матрица 8А — \\baik\\ удовлетворяет условиям
*«« = —Й».
и я2 ее вещественных параметров 8s можно ввести с помощью
подстановки A.4):
Ъап = у — 1 8% (для "каждого /= 1, .. . , л);
balk = 8s/ft+ К^Л bs'ik, Ьаы = — 8s/ft-|- V1^ bs'lk
(для каждой пары /, k с
Это сразу показывает, что для вычисления объема объемного
элемента комплексные параметры balk могут служить так же
хорошо, как и вещественные параметры bsik.
Утверждение, что присоединенное представление квази-уни-
модулярно, выведенное выше путем простого топологического
рассмотрения для любой абстрактной компактной группы Ли,
в случае групп Ли унитарных линейных преобразований допу-
допускает алгебраическое доказательство.

ХАРАКТЕРЫ 263
Лемма (VII.3.D). Пусть U—унитарная мащшца и $ —
r-мерное линейное многообразие матрац
(ЗЛО) /С = Х1/^1+...+^Лг, .
инвариантное относительно преобразования
(З.П) K—>K'
Тогда это линейное преобразование \\сг?\\ оставляет инва-
инвариантной некоторую положительно определенную эрмитову
форму. (Поэтому при надлежащем выборе базиса Ка в Й
матрица ||св8|| становится унитарной и ее определитель не-
необходимо равен по абсолютной величине единице.)
Каждая матрица 4 = ||я/й|| имеет „норму"
2
С*
положительную для всех А, за исключением Л = 0. Эта норма
не изменяется при замене А на B = UAU~l, где U унитарна:
U* = U-\ В*В = U*-iA*U*UAU-i = d/ (ДМ) f/-i.
Следовательно, выражение
2
для общей матрицы /С, (ЗЛО), является положительно опреде-
определенной эрмитовой формой от параметров X, инвариантной отно-
относительно подстановки C.11):
Простейшей компактной группой является группа вращений
плоскости. (или, что то же, — одномерная унитарная группа).
Это коммутативная однопараметрическая группа. Очевидно,
где ср — угол вращения, для любого целого т есть унитарное
представление первой степени. Я утверждаю, что это — един-
единственные неприводимые непрерывные представления, и потому
(ЗЛ2)

264 Г Л А В A VH
— единственные примитивные характеры. Мы получаем здесь
весьма естественный подход к теории рядов Фурье. В част-
частности, равенство Парсеваля
выполняющееся для любой непрерывной функции /(tp) с перио-
периодом 1, оказывается частным случаем теоретико-группового соот-
соотношения полноты. Для доказательства нашего утверждения
заметим сперва, что всякое представление эквивалентно некото-
некоторому унитарному. Вследствие коммутативности нашей группы
и теоремы (VII. 1.D), унитарное представление разбивается на
части первой степени. Поэтому требуется лишь найти непрерыв-
непрерывные решения %(у) следующих функциональных уравнений:
Имея такую функцию 1, введем посредством формулы
вещественную функцию g(y); она однозначно определена лишь
по mod 1, но будет однозначно определенной уже в абсолютном
смысле, если мы потребуем, чтобы gr@) = 0 и чтобы g(y) не-
непрерывно изменялось вместе с (р. Сравнение
(modi)
тогда сразу заменится равенством
Действительно, разность между левой и правой частями непре-
непрерывна относительно <р, все время остается целым числом и обра-
обращается в нуль при tp = O. Из C.14) следует, что
C.15)
для всякого положительного целого k и что
C.16)

ХАРАКТЕРЫ 265
Так как e(g-(l)) = l, то g(\) должно быть некоторым целым
числом т. Полагая сперва в C.15) y=j, устанавливаем спра-
справедливость равенства
для любой целой доли <р =р -г полного оборота, затем из того
же уравнения и C.16) — для любого ^'-кратного (положитель-
(положительного, нулевого или отрицательного) такого Ф, т. е. для любого
рационального угла -г-, и, наконец, по непрерывности,—для всехф.
Тем самым мы и приходим к требуемому равенству C.12).
Теорию почти перцрдаческих функций Гаральда Бора можно
рассматривать как теорию коммутативной группы одномерных
сдвигов, т. е. группы вещественных чисел со сложением в качестве
их композиции. Бор открыл, что на должным образом ограниченный
класс функций переносятся существенные" факты теории перио-
периодических функций — ортогональность и полнота. Автор настоящей
книги показал, что теоретико-групповая трактовка приводит к
гораздо более простому выводу центральной теоремы полноты 14.
А. Хаару удалось с помощью остроумного построения опре?
делить „хорошую" меру объема на каждой локально эвклидовой
компактной группе 14. Иными словами, он освободился от сте-
стеснительных предположений дифференцируемости, входящих в по-
понятие группы Ли.
Имея перед собой теорию компактных групп и боровский
пример некомпактной группы, Дж. Нейман построил теорию
„почти периодических представлений", их ортогональности и пол-
полноты для совершенно произвольной группы!'). За эту общность
ему, конечно, пришлось заплатить дорогой ценой: ограничением
понятия функции до зачастую весьма узкой области почти пе-
периодических функций. Постараюсь изложить в нескольких сло-
словах его основную идею. Даже если наша группа является топологи-
топологической, будем умышленно игнорировать ее топологию. Взамен
введем искусственную топологию по отношению к заданной
функции f(s) на данной группе, считая по определению, что *
отстоит от sQ на расстояние ^е, если для всех групповых эле-
элементов t выполняются неравенства
/ называется почти периодической, если группа, наделенная
этой топологией, становится компактной или ограниченной, что

266 Г Л А В А VII
означает, что, как бы мало ни было е, групповое многообразие можно
покрыть конечным числом кругов радиуса е. Нейман показывает,
как образовать среднее значение такой функции. Как только
это достигнуто, теория протекает дальше по проложенным ка-
каналам. Его теория неоспоримо представляет собой кульмина-
кульминационный пункт всего описанного хода идей, хотя и никоим
образом не „предел всех человеческих желаний", как это шо-
шокирующе обнаруживается следующим замечанием: на группе
GL(n) всех невырожденных вещественных линейных преобразо-
преобразований единственными почти периодическими функциями являются
константы. Поэтому простые представления <Р (/j/2 ... )> груп-
группы OL(n), получавшиеся из разложения тензорного простран-
пространства, и даже представление этой группы посредством самой
себя: s—>s, лежат за границами области приложимости теории
Неймана! Нас устраивало бы, если бы почти периодические
функции позволяли различать отдельные точки, т. е. если бы для
любых двух различных элементов существовала почти периодиче-
периодическая функция, принимающая в этих точках различные значения.
Но единственными группами, на которых имеется, в этом смысле,
„достаточно много" почти периодических функций, являются
прямые произведения компактных групп на некоторое число
групп одномерных сдвигов (охватываемых случаем Г. Бора). Этот
результат, принадлежащий Г. Фрейденталю '8), ясно указывает
границы любой „почти периодической" теории. Я бы рискнул
сказать, что почти периодичность может привести к сколько-
нибудь удовлетворительному решению проблемы лишь в комби-
комбинации с унитарным приемом.
Групиу у можно заменить любым точечным полем, взаимно
однозначными преобразованиями которого она реализована. То-
Точечное поле однородно относительно этой группы, если каждые
две его точки можно перевести одна в другую с помощью над-
надлежащего преобразования из группы. Все сказанное о функциях
на группе остается справедливым и при этой, более общей ситуации
функций на однородном многообразии, наиболее характерным
и классическим примером которых служат сферические гармо-
гармонические функции W.
Полнота системы примитивных характеров коммутативных
групп нашла недавно важные применения в общей топологии 11(Ч.
Идеи, рассмотренные в этом параграфе, повидимому, лежат
в пункте скрещения ряда новейших продвижений в различных
областях математики.

ХАРАКТЕРЫ 267
4. Элемент объема на унитарной группе
Изучим несколько ближе основное равенство
D.1) A = U{f}U-i;
{е}=диаг. матр. {е,,..., sj, «* = «(?*)
(теорема VII.1.С), выполняющееся для элементов А унитарной
группы. Прежде всего, из него вытекает
Теорема (VH.4.A). Унитарная группа является связ-
связным компактным многообразием; она состоит из одного куска.
Действительно, фиксируя в D.1) U, заменим в {г} углы <рА
на xtpft, где т — вещественный, параметр. Полученный в резуль-
результате элемент АТ при изменении т от 0 до 1 будет изменяться
от Лт_0=? до заданного АТ=г — А.
Диагональные элементы {е} образуют «-параметрическую
коммутативную подгруппу А унитарной группы. При применении
в качестве параметров углов срА, комбинация элементов (<рА) и (<f'k)
дает элемент (<fk -\-<f'k)-
В формуле D.1) общее {г} зависит от п вещественных па-
параметров, a U—от я2 параметров. На этом основании можно было
бы ожидать, что получающееся в результате А, D.1), будет зависеть
от п-\-п^ параметров, тогда как на самом деле число параме-
параметров равно лишь я2. Как разрешается это кажущееся противо-
противоречие? В формуле D.1) О можно, не меняя результата А, за-
заменить на U{p}, где {р}—произвольный элемент из А. По-
Поэтому удобно отождествлять такие два U и Ul, которые право-
эквивалентны по mod Л или принадлежат одному и тому же
правому смежному классу по подгруппе А, т. е. для которых
U~~lU1 принадлежит А. Этот процесс отождествления превращает
я2-мерное многообразие U{n) в некоторое (я2 — л)-мерное [?/(я)].
U, как элемент из [U(n)], будет обозначаться через [?/]. Поль-
Пользуясь наглядной геометрической терминологией, мы будем говорить,
что два элемента U, Ult право-эквивалентные mod А, лежат на
одной вертикали.
Переходу от элемента U к близкому элементу U-\-dU мы
отнесли инфинитезимальный элемент bU=^U~"idU. Изучая тот
же процесс на [U(n)], мы вправе заменить
U-]-dU на. {U-\-dU)(\-f-2ni{dp}),
где второй множитель с вещественными бесконечно малыми па-
параметрами dp есть любой инфинитезимальный элемент из А,

268 ГЛАВА VII
Таким образом, dU заменяется на
d'U=
a bU—на
b'U=bU-{-2т {dp}.
Так как диагональные компоненты Ьаи в bU—чисто мнимые, то
им можно приписать, надлежащим образом выбирая dpt, любые
наперед данные значения; „боковые" же (т. е. не диагональные)
компоненты вовсе не зависят от произвола в выборе dp. В част-
частности, можно выбрать buit = O; в этом случае мы будем называть №
горизонтальным переходом от вертикали [О] к бесконечно
близкой вертикали \U-\-dU] на высоте U. Параллелепипедаль-
ный пучок, образованный вертикалями из [U(n)], натянутыми на
я2— я линейных элементов при [U], имеет поперечное сечение,
определяемое я2 — я такими горизонталями bU при U. В каче-
качестве объема этого поперечного сечения мы примем абсолютное зна-
значение определителя боковых компонент butk (i^k) этих Ш.
Образуя поперечное сечение того же пучка на другой высоте,
мы должны заменить U. и U-\-dU, соответственно, на
UR и (U+dU)R,
где
— произвольный элемент из А. Поэтому bU=LJ-ldU заменяет-
заменяется на
с компонентами
D.2) b'ulk = *fbuik.
Если bU горизонтально, то горизонтально и b'U. Линейная под-
подстановка D.2) я2 — я боковых компонент buik вследствие взаим-
взаимного сокращения множителей —, —, соответствующих каждым
двум парам (/, k) и (k, i), унимодулярна. Поэтому объем попе-
поперечного сечения не зависит от высоты, и тем самым мы ввели
на (я2 — я)-мерном многообразии [U(n)] приемлемую меру объема.
Верно ли, что никакое О, не являющееся право-эквивалентным
первоначальному по mod А, не приводит в D.1) к тому же Л?
При замене U на UR матрица А останется неизменной в том и
только в том случае, если /? = []р/А|| перестановочна с {е};
= Р«е* или Р«(е/— е*) = °-

ХАРАКТЕРЫ
269
Поэтому, если все собственные значения sk различны, то R должна
быть диагональной матрицей, и наш вопрос разрешается в утвер-
утвердительном смысле. Назовем элемент А, у которого совпадает
пара собственных значений sk, например е, =е2, сингулярным.
В п2-мерной унитарной группе сингулярные элементы обра-
образуют многообразие, меньшее не на одно, как можно было
бы ожидать, а на три измерения. Действительно, нашему R
в этом случае разрешается иметь вид
Рп
Рм
Р12
Рп
Рз
*
Ря
и так как двумерное унитарное преобразование содержит 4 парамет-
параметра, то R будет зависеть от 4 -j- (п — 2) = « —|— 2 вещественных пара-
параметров. Тем самым число существенных параметровв U (по модулю
подгруппы этих R) приводится к я2 — (я-(-2), тогда как общее
{s} с е,=?2 зависит от л—1 параметров. Сумма равна я2 — 3.
В § 1 было дано прямое алгебраическое доказательство • ра-
равенства D.1). Можно воспользоваться и идеей аналитического
доказательства по непрерывности: добиваться достижения каждой
данной инфинитезимальной вариации матрицы А, давая соответ-
соответствующие приращения матрицам U и {е}. В более общих слу-
случаях, в теории полупростых групп, этот способ навязывается не-
необходимостью; но даже и в нашем случае стбит провести
соответствующее вычисление. Имеем: из
AU=U{$}
следует •
dA.U-\-A-dU=dU. {e) + t/{e}-2ir/{d(p}.
Умножаем левую часть (слева) на (AU)~l = U~1A~l и правую—;
на равное ему {е}^-1;
Для
получаем формулы:
D.3)

270 г л А в A vu
Если считать ЬА заданным, то первая система уравнений одно-
однозначно определяет приращения dyt, а вторая — приращения бо-
боковых компонент bulk (i^k), тогда как диагональные компо-
компоненты Ьип остаются свободными. Эти утверждения, опирающиеся
на предположение, что А не сингулярна, находятся в полном
согласии с нашими предшествующими рассмотрениями. Варии-
руя А, можно обойти сингулярные точки, образующие много-
многообразие, на три измерения меньшее.
Замечая, что переход
от вА=|]«в/А|| к ЬВ = и-*.ЬА.и
есть квази-унимодулярное преобразование, выводим из D.3) сле-
следующую формулу для элемента объема d(OA, в котором изме-
изменяется D.1), когда [U] в многообразии [?/(«)] изменяется в эле-
элементе объема [fifoy], а углы <рА изменяются между <рА и {d
daA и [fitoy] обозначают здесь объемы соответствующих эле-
элементов. Множители
«А 1
входят сопряженными парами:
?i гк s,
и, объединяя их, получаем:
Теорема (VII.4.В.) Если А определено через [Щи {•?} —
формулой D.1), то объемы соответствующих инфинитези-
мальных частей связаны формулой
йч>А = Bтт)" [da,,] ¦ ДД <%.. . d<?a,
где
Кк
есть разностное произведение D{s-[, .. ., ея) величин е(..
Интегрируя по всему [?/(я)] и надлежащим образом выбирая
единицу измерения, приходим к следующему фундаментальному
выражению для плотности классов в пространстве (tpj, ..., (р„):

ХАРАКТЕРЫ 271
Теорема (VII.4.С). Объем той части унитарной группы,
у элементов которой углы заключены между (рА и ?А-|-fityA,
дается выражением
D.4)
После всего предшествующего, эта формула не является
слишком неожиданной. Сингулярные элементы, для которых
6j = e2, составляют многообразие, меньшее на три измерения;
таким образом, они подобны центру полярной системы координат
в трехмерном пространстве. Формула для элемента объема трех-
трехмерного пространства в полярных координатах содержит множи-
множитель г2 второго порядка малости в начале. На том же основании
плотность здесь должна быть бесконечно малой второго порядка
относительно Sj — е2, т. е. должна содержать множитель
]Sj — е2|г. То же верно и для всех других пар ео ек. D.4) есть
простейшее из возможных выражений, удовлетворяющих этому
требованию.
Каждая функция классов f(A) на унитарной группе является
симметрической функцией F(tpj, ...,(ря) от углов <рА, периоди-
периодической с периодом 1 относительно всех п аргументов. Наш ре-
результат допускает такую новую формулировку:
Теорема (VII.4.D). Среднее значение любой функции
классов F задается выражением
1 1
о
где .
1 1
о о
5. Вычисление характеров
После этих приготовлений мы можем уже в несколько строк
осуществить вычисление характеров унитарной группы U(n).
Оно основывается на трех замечаниях I"!. Рассмотрим любое не-
непрерывное представление степени N группы U(n) и его ха-
характер jj.
1) Как функция классов, jj будет непрерывной симметри-
симметрической периодической функцией от п углов срд. Это связывает
формулу D.1) с нашей задачей.

272 г л А в A vn
2) 1 есть след матрицы, представляющей диагональный эле-
элемент {е}. Поэтому мы можем ограничиться группой А диаго-
диагональных элементов, являющейся компактной коммутативной
группой очень простой, структуры. Заданное ее представление
эквивалентно некоторому унитарному и потому, согласно теоре-
теореме (VII.1.D), разбивается на N унитарных представлений
Ек{^, ..., tpa) степени 1 (ЛГ= 1, ..., N), каждое из которых
удовлетворяет функциональным уравнениям
E.1) |?(<plf .... <рв)| = 1,
Полагая
?(<?, О, ...,0) = /,((?), ? @, ?,...-,<)) =/,(?)
получаем из E.2):
Каждая из этих п функций / от одного переменного является
решением функционального уравнения C.13) и потому имеет
вид е(ту), где т — целое число. Следовательно,
E-3) ?(<Pi ?„) = *K?i+•••+«*?«)— «i*-••«?••
Поэтому след, сумма N величин Е%, или наш характер i является
конечным рядом Фурье с неотрицательными целыми коэф-
коэффициентами.
Мы всегда будем располагать одночлены
в лексикографическом порядке, так что член с показателями
т,, • • •, /я. будет считаться предшествующим члену с показа-
II
телями mi, ..., тп, если первая из не равных нулю разностей
тп\ — mi, ..., т„ — т„
положительна.
3) Вид D.4) элемента объема, входящего в соотношения
ортогональности для примитивных характеров, наводит на мысль
отнести каждому характеру х функцию
E.4) . Х'А = ?.

ХАРАКТЕРЫ 273
Эта ? будет антисимметрической периодической функцией и снова
конечным рядом Фурье с целыми коэффициентами. Коэффициент
при старшем члене — тот же, что и у 1, и потому положителен.
Простейшими антисимметрическими периодическими функ-
функциями являются „элементарные суммы"
E.5) ?(/,.. ./e)
распространенные знакопеременно на все перестановки углов
<р,, .. ., <ра (или чисел /,, ..., /я). lt суть целые числа, распо-
расположенные в порядке убывания:
E.6) /i>/8>. ••>'„•
Сумму E.5) можно записать в виде определителя
|?'', ...,е'-|.
я строк которого получаются из выписанной путем последова-
последовательной замены е на Sj, ..., еа.
Пусть
E.7) с- e(llb +... +/„ср„) (с>0)
— старший член антисимметрической функции ?. Вместе с ним
? должна содержать все члены
где /{,..., /«— любая перестановка ряда /lt ..-,/„. Поэтому
члены со знаком минус и, в частности, члены, получающиеся
путем транспозиции, должны быть ниже чем E.7), так что
Вычтя с• ? (/t.../ ) из ?, мы можем применить то же рассужде-
рассуждение к оставшейся части, и так получить в итоге разложение
по убывающим членам, вида
E.8) 5 = с?(/1.. .
где коэффициенты е, с',. . . —целые и
E.9) с>0.
Из соотношения
1 1
$¦••$« («i?i + • • • + »«?л)"' ("iVi +
О (j I , '
II, если m1 = nti, ...,
\ 0 в противном случае
•8 Г. Вей ль

274 Г Л A BA VII
легко следует соотношение,
1 1
_ f я!, если 11 = 1и
\
_ f
\
0 в противном случае.
Заметим, что определитель А сам является элементарной сум-
суммой, а именно,
Д = 5(я —1, .... 1,0);
поэтому
1 1
2= j.. . J ДДfifcp!...г/сря = п!.
о о
Применяя к разложению E.8) „соотношения ортогональности"
E.10), получаем поэтому:
1 1
Если характер 1 примитивен, то это среднее должно быть
равно 1. Следовательно, разложение состоит из одного лишь
первого члена и с = +1, или, принимая во внимание E.9),
с=\.
Теорема (VII.5.А). Любой примитивный характер уни-
унитарной группы имеет вид
где 1Х, . .., 1п — убывающие целые числа.
Старшим членом этого конечного ряда Фурье E.11) служит
е/1 Jn
=1 •¦¦««,
где
E.12) /^^-(й-1), ..., /„_! = /„_!-!, /. = /.-0,
так что
EЛЗ) /,^Л >..->/..
Мы обозначим, функцию E.11) через X(/i•••/«)•
Для нахождения степени N следует положить со, — .. .
.. .= сря — 0. Но это нельзя сделать непосредственно, потому что

ХАРАКТЕРЫ 275
получилась бы неопределенность —. Поэтому мы сперва пола-
полагаем
благодаря чему числитель выражения E.11) превращается
в разностное произведение чисел е (//р), и так как для малых <р,
в первом приближении,
• « Ы - е Ы - 2тт J/=T (/, - lk) Ъ
то получаем
/с 1Д\ дг КГ If f \ ' 1' * * *' я-1' *я)
E.14) NN(ff)
Вот и вся трансцендентная" часть. В § 5 главы IV мы пробили
туннель с другой стороны, показав, что алгебраически построен-
построенное неприводимое представление сигнатуры (/ц«..,/в)» —
являющееся в случае /„ ^ 0 представлением <Р (/j.. ,/а) >, —
имеет своим характером % полином
с неотрицательными целыми коэффициентами k, старшим членом
которого служит
Поэтому ^ не может быть ничем другим, кроме нашего
г (Л.../.).
Теорема (VII.5.B). Неприводимое представление сигна-
сигнатуры (/t /в) унитарной группы имеет характер
« степень
E.14)
E.16) /,=/,+(я-1), ..., /..,=/„., + 1, /. = /„
Теорема (VII.5.А) позволяет тогда сделать следующее за-
заключение:
18*

276
Г Л А В А VII
Теорема (VII.5.С). Не существует никаких иных непре-
рывных неприводимых представлений унитарной группы,
кроме представлений сигнатуры
VI1 • • • i /а)> Т\ ¦¦
= /„•
Величины, названные нами „обобщенными", суть единствен-
единственные примитивные величины для унитарной группы.
6. Характеры группы GL{n). Перечисление ковариантов
Начиная отсюда, мы делаем несущественное ограничение
/ 5г 0, так что представление сигнатуры (/j, ..., /я) есть
<P(/i-••/.)>•'
X(/i«"/a) является симметрическим полиномом от перемен-
переменных Si, ..., ев и должен поэтому выражаться через элементар-
элементарные симметрические функции, т. е. через коэффициенты харак-
характеристического полинома
Ч»(«) = ПA— «,) = det(E — гА) = \— qxz-\-.. .±
Явное вычисление основывается на следующей лемме Коши:
Лемма (VII.6.A).
\
Уп) \ik=sl у
det
Доказательство индукцией по я. Вычтем первую
строку определителя, стоящего в левой части, из второй, ...,
я-й строки:
11 х^ — ху yk
Получим
F1) ?т
1
У\
1-х*У1
1
Уг
1
Уа
Вычтем теперь первый столбец из второго, ..., л-ного; это
превратит первую строку в 11 0.... О |, судьбу же. других строк
можно прочесть из равенства
Ук У\ —Ук—У_\ 1

ХАРАКТЕРЫ
277
В результате определитель в F.1) превратится в
1 0 ... О
1
1
1
1
1— *пУ2 1 — х„уп
что и дает требуемый результат:
—xlyk/i,k=i в
Д1A~;
Полагая x(=elt находим:
гп)
Формула
показывает, что разложение правой части F.2) по степеням пе-
переменных zk содержит одночлен
F.3) *{¦•..<".
умноженный на коэффициент
Тем самым мы получаем для правой части сумму
распространенную на все неотрицательные целые /, удовлетво-
удовлетворяющие неравенствам E.6). Поэтому X(/i*<#/a) служит коэффи-
коэффициентом при F.3) в разложении выражения
\гп-1,...,г,\\
Вводя, как раньше, полиномы pg,plt ... посредством разло-
разложения it
F.4) ТЩ = Т?=

278 г л А в a vli '
приходим к формуле '12'
F.5) У.(/1'"/«) = 1Л-(я-1). •"tPi-uPi\-
Правая часть обозначает определитель, состоящий из п строк,
получающихся из выписанной путем последовательной замены /
на ly, <2, ..., /п.
Теперь мы можем вернуться от унитарной к полной ли-
линейной группе. Характер X(Л- • -fn) представления группы ОЦп),
соответствующего диаграмме Т (Д.. ,/л), очевидно, является
полиномом от я2 компонент aik общего элемента Л=||я^|| этой
группы. То же представляет собой и правая часть равенства
F.5). Поэтому, согласно лемме (VII.1.А), это равенство выпол-
выполняется для всех А; и по самой своей природе формула F.5)
сохраняет силу в любом поле характеристики 0.
Теорема (VII.6.B). Характер 7 (Л • • • /„) представления
< Р (Д.. ./а)> группы OL (я), соответствующего разбиению
f=fl~^- ... -J~/a» задается формулой tl3J
F.5) Х(Л-••/«) = !/>,_<„-,), -.., Р,\,
где I в последовательных строках определителя в правой
части следует заменить на
a pt суть коэффициенты ряда Тэйлора
Этот результат лишь слегка сложнее формулы B.16) для
характера представления <2(/,/2. ••/,.)>. Перейдем теперь
к разложению последнего характера, при произвольном г.
Пусть /j, ..., fr — произвольные целые числа, удовлетворяю-
удовлетворяющие условию
F.6) Л^...^/Г>о, /,+ ...-f/r==/,
и пусть числа / определены формулами
Равенстю F.5) побуждает нас исследовать определитель
F.7) X(/i---/r) = IP»-(r-t). •••. Л-i. Pil
сигнатуры (/,, ...,/г). При рассмотрении случая г^>я мы хо-
хотим свести длину г наших символов х к «• Прежде всего, если

ХАРАКТЕРЫ 279
/r+1 = 0, то имеем очевидное и простое сведение:
Если, однако, /r+i^>0, то я утверждаю, что
Действительно, запишем <р (z) как полином формальной степени г:
F.8) (р (z) = cQ -\- с,?-\- ... -j- crzr (co = l).
(Разумеется, в обозначениях B.5) мы имеем с^ = ( — 1)'^ для
/ = 0, 1, ...,л и ^ = 0 для г^>я.) Рекуррентные соотношения
I 0 для />0,
F.9) cuPi-\-c\Pt-i-\- •¦•JrcrPt-r— \ 1 „па / п
A ДЛЯ / = U
представляют собой лишь другую форму определяющего урав-
уравнения
2лЧ )
1=0
Полагая в F.9) 1 — 1х, ..-, /г+ц мы получаем г-\-\ однород-
однородных линейных уравнений с ненулевым решением с0, clt ..., сг;
поэтому их определитель z(/i* • »/r+i) Должен быть равен нулю.
Все символы X (Л • • 'fa) Длины п линейно независимы, как
это явствует из их выражения E.15) через диагональную мат-
матрицу А:
aik — 0 для
Числа et здесь уже не подчинены условию | sl l»= 1, которое
в произвольном поле лишено смысла, и должны рассматриваться
скорее, как независимые переменные.
Правило приведения (VII.6.С). Для г~^п имеем
X (Л • • ./r/r+t) = °- если Л+1 > 0,
Символы X (/i • • -/л) длины п линейно независимы.
Теперь займемся чисто комбинаторными рассуждениями, рас-
рассматривая при этом р0, р1г ... как независимые величины. Сигна-
Сигнатуры (/х, ... fr) заданного ранга /,

280 глава vn
можно расположить в лексикографическом порядке, начиная от
высшей сигнатуры (/, 0 0). Определитель X(/i---/a)
является агрегатом из г\ членов
F.Ю) р^.-.р^^(/[...о (/;>...>/;>о),
сигнатуры которых (Д, ..., f'r) имеют один и тот же ранг /.
Старшим членом служит ф(Д •••/,.), и я утверждаю, что все
остальные члены лексикографически выше. Поэтому линейные
соотношения, связывающие X(/i •••/»•) с членами ф(Д.../г) за-
заданного ранга /, суть соотношения арифметически рекуррентного
типа. Уравнения
Ун ==
связывающие две совокупности переменных хл, ул, индексы ко-
которых образуют упорядоченное множество, суть соотношения
этого, типа, если коэффициенты k^ — целые числа, удовлетво-
удовлетворяющие условиям
Ата=1, k?a = 0 для Р<а.
Обратная подстановка будет тогда того же типа. Отсюда:
Теорема (VII.6.D). Будем рассматривать р^как неза-
независимые переменные. Тогда произведения p/t... р/г предписан-
предписанного полного ранга /i-f-•••-(-/,. = / получаются из опре-
определителей X(fi-'-fr) посредством линейной подстановки
арифметически рекуррентного типа:
F.11) Ри-'Ри-Ъ n(fi--f'r)-
Наше утверждение относительно рекуррентного характера
рассматриваемых соотношений не так уж совсем тривиально, как
это может показаться. Развертывая определитель F.7) и запи-
записывая множители в каждом члене F.10) в порядке получения
их из последовательных строк, мы действительно видим, что
(Д, . .., f'r) выше чем (Д, ..., /г), т. е. что первая отличная
от нуля разность/!—ft (/=1, ...,г) положительна. Однако
числа Д' f'r могут появляться и не в правильном их по-
порядке f[ ^... ^ f'f. Но, располагая их в. правильном порядке:
gi^ &Ss • • .5з gr, легко убедиться в том, что {gv g2, ..., gr)
не может быть ниже, чем (Д1, f2, ..., f'r).
Выразим теперь снова наши pf с помощью формулы F.4)
через произвольную /if-строчную матрицу 4 = |1.Л/$||« При «=:/•

ХАРАКТЕРЫ 281
формула F.11) выражает разложение представления < /!,)
на его неприводимые части <Р (/,'.. ./г')>; поэтому коэффици-
коэффициенты pi в F.11) должны быть S==0. После применения нашего
правила приведения, эта формула имеет тот же смысл и при я<^г:
Теорема (VII.6.Е). В рекуррентной формуле F.11) ко-
коэффициенты ц неотрицательны. Эта формула выражает
разложение представления <2(/j.../r)> на его неприводи-
неприводимые части — непосредственно при п = г и после надлежащего
приведения по правилу (VII.6.С) — при «<V.
Поэтому разложение cum grano salis (в известной степени)
не зависит от размерности п, и мы можем вычислить кратность р>,
с которой входит каждая составляющая, с помощью простого
комбинаторного приема, а именно, по формулам F.11), получае-
получаемым путем обращения уравнений F.7), определяющих xOV ••/,¦)
через произведения pfr...pf>.
'\ 'г
Тот выражаемый нашей формулой
факт, что представление <2(е,.. .е.)> содержит неприводимую
[е е \
компоненту <P(/j.. ./а)> р.[ У) раз, означает в то же
VI • • •/» /
время существование стольких же линейно независимых кова^
риантных величин типа < P(/j. ../„)>, зависящих от г векторных
аргументов в степенях соответственно ех ег. Мы можем
расположить кратности jjl в (бесконечную) матрицу, где (е1...ег)
обозначают строки, a (fx.. .fa) — столбцы. Желая для задан-
заданного типа <Р (/j.. ./л)> определить число ковариантных величин
одновременно для всех возможных степеней {ei, ...,er), мы
должны вычислить столбец }л-матрицы с индексом {fx.. .fa),
тогда как разложение представления <2 (е^..., ег)> требует зна-
знания ее строки с индексом (ег... ег). Более явным путем, чем
при помощи нашего комбинаторного приема, обе задачи можно
решить посредством производящих функций. Начнем с первого
вопроса, и будем поэтому разыскивать „производящую функцию
столбцов"
— формальный степенной ряд по г вспомогательным переменным

282 г л а в a vii
Рассмотрим, при г^я, функцию
1;;;"r
и выведем сперва простую рекуррентную формулу для перехода
г—*г-\-\. Умножим в определителе
\гг, *'"'' 1|,
стоящем в числителе функции H{zx, ...,гг+]), первые г столб-
столбцов на коэффициенты сг, ..., cv введенные в F.8), и прибавим
результаты к последнему столбцу. Превратив тем самым послед-
последний столбец в ср (г), развернем затем определитель по этому
столбцу, и получим (при г 5= п):
F.14) H(zu ...,zr+l) = H{zlt ...,zr)-zl...zr — -{-...,
где справа стоит знакопеременная сумма из г-|-1 членов,
в которых последовательно отсутствуют zr+l, zr, ...,z:.
Теперь заметим, что при г = п
поэтому
Тем самым мы нашли разложение // (zj гг) по характерам
F.15) . //(г„ ...,^) = |] ^-Л.../„(г)-X (/,.../„),
где коэффициенты L для каждой сигнатуры (/, /а) подчи-
подчинены тому же рекуррентному правилу F.14), что и //, и при
г = я приводятся к
Легко проверить," что выражения
F.16) /./,.../„(*!, .-.,*,) =

ХАРАКТЕРЫ 283
удовлетворяют обоим условиям. Следовательно, эти выражения
и являются искомыми коэффициентами в F.15). Производящие
функции Ф суть, по определению, не зависящие от А коэффи-
коэффициенты в выражении
(Л
и потому совпадают с соответствующими отношениями -g-. Так
как выражение L косо-симметрично относительно г его аргумен-
L
тов zx, ...,zr, то отношение jr является полиномом, очевидно,
степени /, + ...+/«•
Теорема (VII.6.F). Производящая функция Ф, F,13),
дающая числа ц линейно независимых ковариантов типа
(/и • ••>/„)> зависящих от заданного числа г векторных аргу-
аргументов во всех возможных степенях (еи...,ег), является
частным от деления антисимметраческого полинома F.16)
на разностное произведение D (z,, ..., zr).
Мы пришли к весьма существенной и из'ящной формуле.
В частности, при /j = .. •=/„ = g она дает числа линейно
независимых векторных инвариантов заданного веса g и лю-
любых степеней еЛ, ..., ег. Производящей функцией для инвари-
инвариантов веса g, зависящих от п векторов х1, ..., ха, оказывается
{zx...zay.
Другими словами: если степени не удовлетворяют условию
ex = ...= er = g, то нет вообще никакого такого инварианта, а
при выполнении этого условия имеется точно один инвариант
(а именно, g-я степень компонентного определителя [х*...х"]).
Тем самым наша формула доставляет доказательство первой
основной теоремы теории инвариантов для п векторов, откуда
с помощью общего тождества Капелли получается и общий
случай. Согласно этой теореме, линейный базис для инвариантов
от г векторов с заданными степенями elt ...,er образуют все
возможные „одночлены", т. е. все произведения компонентных
определителей, содержащие аргументы х1, ..., л;'соответственно
?,, ..., ег раз. Однако эти одночлены будут, вообще говоря,
связаны линейными соотношениями, устанавливаемыми второй
основной теоремой. Тем не менее, она не дает возможности
предсказать, сколько точно одночленов, при наличии этих соот-
соотношений, останутся линейно независимыми. Таким образом, две

284 г л л в A vii
основные теоремы, с одной стороны, и наша теперешняя фор-
формула,— с другой стороны, являются, так сказать, известными
нам концами цепи, промежуточные звенья которой остаются во
мраке I14'.
Производящая функция столбцов была получена из выраже-
выражений F.5) для характеров. Производящая функция строк сразу
выводится из F.12) с помощью выражений E.15). Рассматривая
€j, •••,?„ как п вспомогательных переменных, будем для ясности
пользоваться обозначением pf(s) для симметрических функций
от этих е, определяемых разложением
Имеем тогда
и полином от неопределенных е, стоящий в левой части, дей-
действительно является искомой производящей функцией строк,
в том смысле, что определяемое pi служит коэффициентом этога
косо-симметрического полинома при
В последующих случаях — симплектической и ортогональной
групп — мы будем рассматривать только производящие функции
столбцов, опуская расположения в строки, равно как и комби-
комбинаторный способ (с неопределенными р * и последующим „прави-
„правилом приведения").
Наши результаты почти без изменения применимы к группе
SL(n). Ограничение унимодулярными преобразованиями имеет
своим следствием то, что характеры E.15) зависят лишь от раз-
разностей чисел /„ т. е. что сигнатуры вида
(/", /.) и (Д + е fa + e)
должны рассматриваться как одна и та же сигнатура.
7. Чисто алгебраический подход
Наш окончательный результат F.5) столь прост, что должен
Йыть достижим более коротким путем. Укажем один такой путь,
близко следующий остроумной работе Г. Фробениуса ЦЧ,

ХАРАКТЕРЫ 285
Принимая во внимание полную взаимность между QL(n) и
симметрической группой тг^, попытаемся определить характеры
симметрической группы, которые мы будем обозначать теми же
буквами, что и для QL (п). Там, где понадобится их различать,
мы будем в случае группы GL(n) приписывать индекс L, а в слу-
случае группы тг^—индекс тт.
Пусть
G.1) ' а = й = %р,
как и в главе IV, — оператор симметризации, соответствующий
разбиению /=/] -\~.. .-\-fny Обозначим инвариантное подпро-
подпространство всех величин вида ха через л (Л •••/„), а соответ-
соответствующее представление группы п^—через <тг (/,. ../я)>. Из
формулы (Ш.7.14) мы видим, что его характер равен
т. е. числу элементов t, для которых
G.2) t-^st есть подстановка р,
деленному на fjlf^l... Пусть разложение подстановки 5 на вза-
взаимно простые циклы содержит ах циклов длины 1, о2 циклов
длины 2,...:
1ах + 2а2-f-...—/.
Числа а,, о2,... характеризуют класс I рассматриваемой под-
подстановки; поэтому мы будем записывать любую функцию клас-
классов ф(^) в виде
Уравнение G.2) будет иметь решение t, если только мы мо-
можем составить из циклов подстановки s строки длин fv ... , fn.
Пусть ап циклов длины 1, аB циклов длины 2,... дают строку
длины f(. Тогда мы должны иметь
G.4)
Q-} циклов длины 1 могут быть разбиты на группы соответ-
соответственно по ош о21,... циклов
«1»

286 Г Л А В A VII
различными способами; и аналогично для других длин. Строка
из /,- индексов составится путем выписывания Сперва ол циклов
длины 1 в их естественном или вообще в каком-нибудь фикси-
фиксированном порядке, затем выписывания таким же образом циклов
длины 2, и т. д. t будет решением уравнения G.2), если при
подстановке t индексы в первой строке, длины fv переходят
в индексы 1, 2,...,/, в любом их пэрядке, индексы во вто-
второй строке переходят в любое расположение индексов/, -[- 1,... ,
/j -\-fp и т. д. Поэтому число решений t уравнения G.2) равно
/j!/2!... раз взятой сумме
17 Ч
распространенной на все неотрицательные решения а1иап,...
системы уравнений G.3), G.4). Сумма G.5) сама является харак-
характером ф (/,.../„; а,, а2,...). Вводя и неопределенных величин
?р... , ?„, мы сжато выразим наш комбинаторный результат бо-
более удобной формулой
G.6) аA) = а«.а*'...=2Ф(/1.../я; а,а,...) ef .. . ef»,
(/)
где ov o2, ... суть степенные суммы, составленные для вели-
величин е:
Наиболее важным для нас является тот факт, что коэффици-
коэффициенты разложений степенных произведений a(t) но переменным е
суть характеры.
Образуем теперь
G.7) <j(t).|e'-i е,1|= 2 »/Л.Л («)-I«''.-¦•, е'«|:
(/i3»...2s/n)
здесь
G-8) (о/1.../п = 2±*(^-'-]..-. , 1а-гп),
где сумма распространена знакопеременно на все перестановки
г,,..., гп ряда я — 1,..., 1, 0. Подобно характерам ф,
«Л... /n(f ) = »(*)
есть линейная комбинация примитивных характеров Х> X*» • • • с це"
лыми коэффициентами:
G.9) т (s)=,mx

ХАРАКТЕРЫ 287
однако, некоторые из коэффициентов a priori могли бы быть
отрицательными, что помешало бы быть характером самому <о.
Следующим нашим шагом будет — показать непосредственным
вычислением, что величины ю удовлетворяют тем же соотноше-
соотношениям ортогональности, что и примитивные характеры ^. Это
достигается с помощью леммы Коши.
Введем новую систему переменных zx,..., za со степенными
суммами Т], т2,... и начнем с соотношения Коши (во всяком
случае справедливого при | е,-1 <^ 1, i z{ | <^ 1)
Логарифм выражения = равен
| ]A—stz)
Х?4 тт
поэтому логарифмом правой части соотношения G.10) служит
—
2
Следовательно, совокупность членов степени /, -f- ... -\-fa=f
в самом произведении есть совокупность членов этой степени
в разложении функции
т. е. сумма
¦""^* 1al Oai | I
распространенная на все а,, а2,..., удовлетворяющие условию
1а1 + 2а8+...=/.
Как легко видеть,
/1
Г-г...^!^!...
есть число й (f) элементов класса f. Таким образом, мы пришли
к следующей форме соотношения Коши:

288 -Г Л А В A VII
где сумма в левой части распространяется на все
а в правой части — на все классы f группы тт,.
С другой стороны, умножая равенство G.7) на соответствую-
соответствующее равенство, содержащее переменные z вместо е, находим для
правой части соотношения G.12) разложение по произведениям
I*'' iln\ I*'' *а\
1.Я-1.....1Ц*"-1 И'
с коэффициентами
Поэтому
G.13) ЭЙ, { в (s) в'(s) } = 1 или О,
соответственно тому, отвечают ли ю и ю' одинаковым или же
различным сигнатурам (Д, •..,/„)•
Равенство
$fts { «2 (s) } = 1
в соединении с равенством G.9) и соотношениями ортогональности
для примитивных характеров / {s), X'(s),... приводит к формуле
показывающей, что либо -|-(i)(s), либо —o)(s) должно быть
примитивным характером. Сверх того, заключаем из G.13), что
+ оь ,ф . для различных сигнатур (Д,¦..,/„) являются харак-
характерами неэквивалентных неприводимых представлений.
Осталось доказать две вещи;
1) Для каждой сигнатуры имеет место знак -)-;
2) ®f f есть характер представления <р(/г ••/„)>» со-
соответствующего разбиению /=/i ~Ь • • • ~b/e-
1) Обращением уравнений G.8) служит
G.14) ф(Л,. ../J = 2»»/{.. •/?=•/!. ¦•/.+•••
с теми же коэффициентами ji, что и в теореме (VII.6.D). Много-
Многоточием обозначена здесь линейная комбинация членов ш,' '
'1' ' ' /и
ранга (/j.. . f'n), высшего чем ранг старшего члена «у. ,, _ Это

ХАРАКТЕРЫ . 289
равенство выражает разложение представления <тт (/,..¦ /„)> на
его неприводимые компоненты. Из того, что ш^ служит
здесь старшим членом, следует, что — оь f не может быть
характером, поскольку коэффициенты по характерам в G.14)
не могут быть отрицательными. Таким образом, мы приходим к двум
заключениям: характером является -{- (О/ ... . и коэффициенты
2) В § 3 главы IV мы, между прочим, отметили [равенство
(IV.3.4)], что
G.15) с'лгй = 0,
если диаграмма 7" ниже диаграммы Т. Записанное в виде
ахс' — О,
это равенство означает, что <it (Д.. ./п)> не содержит ника-
никакого неприводимого представления <р(Д •••/„')> ранга низшего,
чем (/,.. ./„); но <тт (fx... /я)> определенно содержит < р (Д.. ./я)>,
так как, в противоположность равенству G.15),
Примем теперь, что наше утверждение о том, что (О/,.../,, есть
характер представления <р (/,.. ./„)>, уже доказано для всех
разбиении, более высоких1 по рангу, чем рассматриваемое раз-
разбиение Д-f- •••"{"/«• Тогда формула G.14) показывает, что
характер «>/,,../„ должен соответствовать тому единственному <р>,
которое, наряду с частями высшего ранга, чем (/j... fa), дей-
действительно является частью представления <я(/к . ./о)>, а имен-
именно — представлению <p(/j,. •/„)>.
Представлением группы GL(n), соответствующим представ-
представлению <ii (/].. •/„)> группы Пу, является представление, индуци-
индуцируемое в пространстве всех тензоров ранга / вида aF, так
что характер группы GL(n), соответствующий характеру
Ф«(Л •'•/»)» определяется формулой B.16). Поэтому, перенося
в левую часть равенства G.8) все члены, стоящие в правой
части со знаком минус, переходя затем к соответствующему ра-
равенству для характеров группы GL(n) и, наконец, перенося ука-
указанные члены обратно, мы получим, что характером представле-
представления <Р (/i.../e)> служит
19 Г. ВеПль

290 Г Л А В A VII
т. е. определитель F.5). Тем самым мы пришли к нашему преж-
прежнему результату. Наряду с этим мы получили следующую про-
простую формулу для вычисления примитивных характеров
1 (/,.. ./я) симметрической группы:
Теорема (VII.7.A):
G.16)
где сумма в правой части распространяется на все
Никакого более мощного инструмента для этой цели и нель-
нельзя было бы придумать; он дает X (Л • • -/а» 0 в качестве коэф-
коэффициента при
G.17). е'....е> (/.=/, + («-/); /й>. . .>/вЗ»0)
в разложении произведения
. e<f).|e"-',...,l].
Приведем два легко получаемых следствия:
1) Степень g== g(f..../ ) представления <р (/,.. ./л)> является
коэффициентом при ${¦.... s^1 в разложении произведения
'(*, + ...+ев)Чв-';...,1|. '
Взяв во втором множителе член
Где г,,;. ..,/•„— какая-нибудь перестановка ряда п — 1,..., 0,
мы должны выбрать в первом множителе член
чтобы в произведении получить некую часть одночлена G.17).
Следовательно,
/ - п +1)! '" * *¦ (/ - 1)! ' F
Последний определитель есть
Отсюда:

ХАРАКТЕРЫ 291
Теорема (VII.7.В). Степень- g(fi-'-fn) неприводимого
представления <р(/!••./„)> симметрической группы тт^ (/ =
=Л+ •••+/„) Ра«на
где, как всегда,
2) Допустим, что подстановка s содержит цикл длины v
(av^s\). Вычеркнув его, мы сведем s к подстановке /—г; ин-
индексов, класс Г которой характеризуется теми же числами av
о2,..., что и класс f подстановки s, с тем исключением, что
av заменяется на av—1; отсюда имеем простое соотношение:
Записывая временно правую часть соотношения G.16) в форме
где сумма распространяется на все целые lv..., /л, получаем
{I»1»- •••'.}* = { h — *. '«.••••'« }»' +
Даже если lv..., la идут в убывающем порядке:
этого может уже не быть для некоторых из скобок в правой
части, например, для
При /2 — v = ts этот член следует отбросить; при /2 — v <
мы меняем эти два аргумента местами:
и в случае необходимости повторяем этот процесс до тех пор;
пока /2 — v не займет надлежащего места. В случае /2 — v <^ О
оно будет вытолкнуто в конец строки, и наш член точно так же
следует вычеркнуть. Переходя обратно от индексов / к индек-
индексам /, получаем следующее правило рекуррентного вычисления
характеров:
Теорема (VII.7.С). Если клйсс I содержит цикл длины v,
и Г — класс, получающийся после вычеркивания этого цикла,
19*

292 глава vii
то
=x(A-«. U-¦-./„;n+x(/i./2-«.-.:,/„;!')+..••
Яра эотаи, в ото время, как fx^f^^ • • • 3* /„ ^ 0, для некото-
некоторых х в правой части индексы могут в одном месте отклоняться
от этого их правильного порядка. К тем х(/5.. ./я), в которых
это происходит, надлежит применить следующее приведение:
A) Если неправильность встретилась на последнем месте,
/я<^0, то х следует вычеркнуть.
B) Если она встретилась на более раннем месте.
а деде ярй этом' разрыв fi+x—//=1, wo поступаем так же.
C) ?сли лее разрыв //+1—//5=2, ото заменяем '
(/^ увеличивается на 1, /.+1 уменьшается на 1, и порядок обра-
обращается). Этим неправильность либо устраняется, либо сдви*
гается на следующее место (а притом с меньшим разрывом).
Это правило часто применялось прежде для v=\. В част-
частности, имеет место рекуррентное равенство
GЛ8) *(/„/„...) =
= «Г(Л-1,/г,...) + *(/„/„-'!,•¦•)+¦•..,
Где в правой части следует вычеркнуть члены, аргументы которых
не сохраняют правильного порядка. Общее правило лишь недавно
было указано профессором Ф. Д. Мурнаганом 11в]) обнаружившим,
что оно весьма полезно для фактического вычисления характеров.
Умножая G.16) на
суммируя по I и используя соотношения ортогональности для
характеров х, приходим к равенству
Ё Левой части мы имеем характер iL (Д.. ./я) группы QL (я).
Эта связь,
GЛ9) ^=

ХАРАКТЕРЫ 293
очевидно, переносится с неприводимых представлений на любые
их линейные комбинации, а значит на все представления вообще.
И действительно, она является не чем иным, как выражением
в терминах характеров общего закона взаимности, рассмотрен-
рассмотренного в разделе В главы III. Этим путем равенство G.19) может
быть, как это было выполнено автором t17J, непосредственно уста-
установлено с помощью тех же комбинаторных рассмотрений, кото-
которые привели к равенству Фробениуса G.6). Частным случаем
является равенство
которое можно также вывести из G.11):
Рассматривая одну лишь симметрическую группу, можно бы-
было бы с известным преимуществом придать всему этому иссле-
исследованию следующий оборот И8]. с помощью независимых пере-
переменных ffu и2,... сопоставляем с классом f, подстановки которого
СОСТОЯТ ИЗ О] ЦИКЛОВ ДЛИНЫ 1, О2 ЦИКЛОВ ДЛИНЫ 2, . . , ОДН0-
член a (f) = oj« <?...-
С каждым характером /(f) симметрической группы сопоставляем
следующий полином 1У(я1,а2,...) от переменных <svo.z,..., на-
называемый по Шуру характеристикой:
4F{alt olt ...) =42"
Характеристику представления s —> 1, характером которого слу-
служит 1 (t) — 1, обозначим через pj.
Введение характеристик можно было бы формально оправдать
тем замечанием, что произведение двух характеристик групп ъ(
и тт/» является некоторой характеристикой группы щ+р. Это
утверждение заменяет комбинаторное рассуждение, с помощью
которого мы вывели формулу Фробениуса G.6), и доказывается
аналогичным способом. [Для нас/ посвященных, знающих, что

294 г л а в A vil
характеристика есть соответствующий характер группы GL(n),
все это в достаточной степени очевидно.] Поэтому произведения
PtxPh
сопоставляемые с произвольными разбиениями f=f\-\-fiJr—
,.. -\-fr, являются характеристиками; и то же верно для
определителей
а их коэффициенты jj (!) суть характеры, по крайней мере в рас-
расширенном, фробениусовском смысле, т. е. линейные комбинации
примитивных характеров с целыми, но не обязательно положи-
положительными, коэффициентами. С помощью соотношений ортого-
ортогональности и надлежащей формы леммы Коши убеждаемся в том,
что X (/i • ¦ • /r; t) сами являются примитивными характерами.
Отсутствие числа я, чуждого симметрической группе п*,
можно считать преимуществом этого способа. Однако, какую бы
редакцию ни придать этой теории, она всегда зависит от трех
моментов, а именно, от типичных комбинаторных рассмотрений,
леммы Коши и соотношений ортогональности. И при этом опре-
определитель появляется неизвестно откуда, как deus ex machina
(„бог из машины"). Не так обстоит дело в аналитическом ме-
методе, где Д возникает из элемента объема унитарной группы.
Таким образом, отдав дань уважения алгебраическим проверкам
в различных их видах, я остаюсь убежденным, в противоречие
со всеми пуританскими доктринами, что аналитический метод
является наименее искусственным, дозволяющим наиболее глубо-
глубокое проникновение, и лучшим в проведении нашей программы:
решать конкретные проблемы с помощью общих методов, про-
проливающих свет на гораздо более широкую область математи-
математических фактов,, чем нужно для нашей непосредственной цели.
Наиболее выдающимся преимуществом нашего аналитического
способа является то, что его можно непосредственно обобщить
на симплектическую и ортогональную группы.
8. Характеры симплектической группы
Для . симплектической группы Sp (я) размерность я четная,
я = 2v. Векторные компоненты мы будем обозначать через
i i i
Jfj, Х\, Х%, Х%, . . ., ЛГу, Xi .

ХАРАКТЕРЫ • 295
Лемма (VII.1.А) оправдывает ограничение унитарными сим-
плектическими преобразованиями, которые образуют группу
USp{n). Аналогично теореме (VII.1.С) имеем:
Теорема (VII.8.A).B USp(n) каждый элемент А яв-
является сопряженным к некоторому диагональному элементу
с компонентами
(8.1) ev г[, .,., е„ е„\
где |е,| = 1 и e{ = i = i) (i=l v).
Доказательство. Из теории унитарных матриц мы знаем,
что корни $ характеристического уравнения
\\Е— А\=0
равны по абсолютной величине единице и что собственные
пространства Р (s), состоящие из всех векторов дг, удовлетво-
удовлетворяющих уравнению
(8.2) ех=Ах,
унитарно перпендикулярны друг к другу для численно различ-
различных корней и образуют в сумме все пространство Р. Каждому
вектору х соответствует вектор, обозначенный в § 2 главы VI
через х, и из уравнения (8.2) следует
sx = Ах.
Мы теперь специальным образом определим базис в каждом Р (е),
причем будем различать два случая:
1) г^+Ь. В Р(е), как и прежде, выбираем произвольный
унитарно ортогональный .базис ev ..., е . Векторы х, соот-
соответствующие векторам х из Р (е), образуют собственное про-
пространство Р(е), и за его базис мы выбираем
Собственные значения s^+l встречаются парами е, е = —
одинаковой кратности, и указанное сейчас построение выпол-
выполняется независимо для каждой из этих пар.
2) е = ±Ь Случай е = —1 рассматривался в § 2 главы VI,
где нам удалось построить базис для Р(—1), являющийся одно-
одновременно унитарно ортогЪнальным и симплектическим. То же
построение проходит и для е = -\- 1.
Объединяя построенные так базисы различных собственных
пространств, мы получим базис всего я-мерного пространства,

2 J6 Г Л А В А VII
являющийся одновременно унитарно ортогональным и симплек-
тическим. В этой системе координат наше преобразование при-
примет диагональный вид с компонентами (8.1).
Положим
•i = «(<&)»Л = «(— Ь) A = \. ..:, у),
и назовем снова <р1э ..., <р„ углами преобразования А. С точно-
точностью до нумерации и знаков они однозначно определены по мо-
модулю 1. Введем обозначение
с (<р) = «(<р) + *(—ф), s(y) = e(f) — e{—i).
Теорема (VII.8.В). Объем той части группы USp(n),
у элементов которой углы заключены в бесконечно близких
пределах
(
дается выражением
(8.3) Д = Гр (?<) ¦ f[ { с(Ь) - с (<pft)} (i, k = 1, .. , v).
i к*
Доказательство аналогично доказательству теоремы (VII.4.C).
Каждый характер группы USp (я) является функцией классов
и, значит, периодической функцией углов (р,, ..., cpv с перио-
периодом 1 по каждому аргументу, инвариантной относительно „окта-
„октаэдральной" группы Q, порядка 2v-v!, состоящей из всевоз-
всевозможных подстановок аргументов tfv . , ., (pv, соединенных
с произвольными распределениями знаков. Д антисимметрично
относительно этой группы. Простейшими антисимметрическими
функциями являются элементарные суммы
где коэффициенты / суть целые числа, удовлетворяющие нера-
неравенствам
а сумма распространяется знакопеременно на группу Qr Имеем:
*(/,.../,) = !*(/,?) s(i#)\.
Д является самой низкой по рангу из этих сумм:
(8.4) д=е$...4 /?=v, /g=>—i,..., tf=i.

ХАРАКТЕРЫ 297
Теорема (VH.8.C). Каждый примитивный характер
1 (Л • • • Л) группы USp (я) является дробью с числителем
(8.5) 5 (/,.../,) = | ?'¦ - е-*, .... е'*- s-'v |
и знаменателем S(v, v — 1, ..., 1).
Старшим членом в Х(/х.../ч) является е/1... s'*, где
li — h = fit •••> Ai — ^=/,-
Степень определяем, полагая сперва
в результате чего числитель (8.5) принимает вид
и переходя затем к пределу по if —> 0:
Сопоставление с алгебраическим построением, проведенным
в глава V, показывает, что (8.5) соответствует линейному простран-
пространству Ро (Д...Д), выделенному из Р/ (/=Д~|-...+/,) диа-
диаграммой симметрии Т (Д ... Д).
Теорема (VII.8.D). Представления <Р0 (Д ... Д)>, где
Д, ..., Д принимают все целые значения, подчиненные усло-
условиям Д 5г .. .5гД5э>'О, образуют полную систему неэквива-
неэквивалентных непрерывных неприводимых представлений унитарной
симплектической группы.
Запишем формулу леммы Коши в виде
1.
/—-V»
и положим теперь
Тогда

298 ГЛАВА VII
Получаем:
1
O-V/Ml-»!1*/)
Но
Поэтому, пользуясь сокращенными обозначениями (8.4) и
имеем;
Вводя снова с помощью формулы F.4) величины рр видим, что
характер X (Л • • • Л) равен коэффициенту при г/1"... zi" в вы-
ражении и*-*, **-»+*,..,
Т (г^ ... ? (г,)
т. е. определителю
Теперь мы можем сбросить унитарные оковы. Желая притти
к однородным обозначениям для GL (я) и Sp (n), заменим здесь
символ / на / —|— 1.
Теорема (VII.8.Е). Характером неприводимого пред-
представления <Р0 (/х... /,)> симплектической группы служит
где pj—функции произвольного симплектического преобразо-
преобразования А, определяемые формулой
1
| Е—гА | "
а
В процессе всего этого стремительного продвижения мы
нигде не натолкнулись ни на Малейшую помеху l'9J.

ХАРАКТЕРЫ 299
Характеристический полином
y(z)^\E-zA\
симплектического преобразования А: ' (
А*1А = 1,
где / — матрица, введенная на стр. 229, обладает свойством
(8.8) ^G) = ? D
Действительно, из
[Е- zA*)IA = I{A — zE)
следует
\E — zA*\ = \A — zE\ или \E — zA\ =
так как | А | = 1. Положим
ф (*) = 1^
Yr v ' \ [1 + 22<r"v>]<p (г) для г > v.
Полином d>r степени 2г удовлетворяет аналогичному (8.8) урав.
нению
и, следовательно, имеет вид
(8.9) соA+г^ +
Поэтому функция
Н(г z\ —
где
(8.10) T(«lf ..., ±r) = \*-\ z'-*-{-zr 1 _f_ ar2(r-i) |
будет удовлетворять, при г ^ v, рекуррентному уравнению
где множитель l-f-^+T^ в случае наименьшего г. т. е. /*
следует заменить на 1. Кроме того,
= V

300 ГЛАВА VII
Поэтому, путем индукции по г, начинающейся от r=v, получаем:
^ гг) = 2 LhJ4 (zlf .. ., zr) г (Л ... /,),
где
(8.11) /.Л...Л(ггр .... г,) =
Определитель
есть разностное произведение величин zt-\-zJx, умноженное на
(zl...zr)r-K Так как
то получаем: .
V (г„ ..., гг) = D (г„ .. , гг) f]
'<
Удобно ввести вспомогательные полиномы
(Н 12> _A
Тогда полученный нами результат можно сформулировать сле-
следующим образом:
Теорема (VII.8.F). Производящие функции
определяемые формулами (8.11), (8.12), с одной стороны, опи-
описывают разложение представления <2 (е1 ... ег)> на непри-
неприводимые части <P0(/i•••/„)>:
ро(А-• •/,)>.
а с другой — определяют число независимых ковариантов
предписанного типа <Р0(/г • •/,)>> зависящих от г векторных
аргументов в произвольных степенях ev ..., ег.

ХАРАКТЕРЫ 301
Невозможно сконцентрировать в более стройном виде все
богатство информации, содержащейся в этой формуле. Для
/, = ...=/,.== 0 она дает числа линейно независимых вектор-
векторных инвариантов. Вплоть до r=2v числитель 1о0..,о допускает
упрощенное выражение
| г , .. ., г i г , ..., i |,
поэтому для Г=п, '
(8.13) Ф<>-о (г1' ' • •' г") = ПA_гл) (Г> * = * * ¦¦•.«)•
Пусть х1, ..., х" суть я векторных аргументов и [лг'л:*] (г<^?)
их -%п{п — 1) косых произведений. Формула (8.13) показывает,
что линейно независимых инвариантов имеется столько же,
сколько и „одночленов"
(8-14) —
предписанных степеней et, e( =i= У] еш. Это, разумеется, находит-
находится в полном согласии с утверждениями первой и второй основ-
основных теорем, что все инварианты могут быть выражены через
косые произведения и что между косыми произведениями я век-
векторов нет никаких алгебраических соотношений. Приняв любое
из этих двух предложений, мы получили бы с помощью
нашей формулы и другое. Мы видим теперь, чтб означает зна-
знаменатель Г1 A — г,гА) в наших формулах; им учитывается тот
очевидный факт, что умножение любого коварианта на произволь-
произвольный одночлен (8.14) приводит снова к коварианту того же типа.
Раньше мы придерживались спо.соба спуска от GL (я) к подгруп-
подгруппе Sp(n) уже после того, как представление <2(ег...ег)> раз-
разложено на его неприводимые составляющие <Р [ev. .<?л)> при
режиме нашей линейной группы:
(8.15) (
(
Рассматривая предыдущие соотношения
р (g
(г)

302 Г Л А В A VII
где X к Xs обозначают, соответственно, характеры групп GL(ril
и Sp(n), приходим к следующей формуле:
Теорема (V1I.8.G). Ряд Тейлора для
(8Л6)
косо-симметричен по п переменным' гъ ..., zn а может быть
поэтому записан в виде
и
Как производящая функция в этом смысле, (8.16) выражает
кратности ц*, (8.15), с которыми входят в <Р(е1...ел)> не~
приводимые части <P0(/i •••/„)>•
9. Характеры ортогональной группы
Мы не без умысла предоставили на этот раз симплектиче-
ской группе первенство перед ортогональной. Для последней- по-
положение значительно усложняется различием между собственно
и несобственно ортогональными подстановками 12°J. Для аналити-
аналитического исследования оказывается удобным разделить случаи
нечетной и четной размерностей, n = 2v-f-l и « = 2v, и в ка-
качестве основной квадратичной формы, лево-инвариантной отно-
относительно ортогональных преобразований, принять
.... [2(х,х[-Х-.. .-\-хчх[)-\-х1 (для й==2у-М),
(У. 1) 1 / ' I |'ч / ГЧ\
\2 (jc,*i -{"•••+хчх*> (для я = 2v),
а не
(9.2) (лг? —{— х\)-{-.. ,-f-(л;,-)- х'^){-\~хо}.
Так как формы (9.1) и (9.2) переходят одна в другую с ио*
мощью подстановки
1 ,.. i ,..к i 1 , -к ,, , .
коФорая сама унитарна, to группа UO (я) унитарных преобра-
преобразований, оставляющих инвариантной форму (9.1), эквивалентна
группе унитарных, т. е. вещественных преобразований с инва-
инвариантной формой (9.2), переходя в последнюю группу посред-

ХАРАКТЕРЫ 303
ством трансформации указанной подстановкой. При основной
форме (9.1) скалярное произведение двух векторов х, у равно
(Ху) = (*!>{¦+ x{yj -f-. . . + (Jf^yj + AT^V) { 4- Хоуо } ,
и тем самым все наше рассмотрение становится по форме более
похожим на рассмотрение симплектической группы с инвариант-
инвариантным косым произведением
-... 4- (**у!—х оО •
Несобственно ортогональное преобразование Jп, использованное
нами в главе V для разбиения О (п) на О+ (я) и ее смежный
класс О~ (п), будет теперь определяться так:
(9.3) ^ \
AT *X Х\ *Х
гу_!; л;,
Рассмотрим сперва нечетный случай п = 2ч-\-\; способ, ко^
торый мы применим, потребует лишь небольшой модификации
при переходе после этого к четному случаю. В UO(n) каждый
собственный-или несобственный элемент сопряжен, соответственно,
некоторому диагональному элементу
(9.4) x1—*s1x1, х[—*е[х[, ..., a:v—»е,л:ч, дг'—*е»'дг,', -*Го-^±^о.
где si = б,- = —. Введем v углов wt формулами et = e (cp,). Каж-
Каждая функция классов и, в частности, каждый характер % будет
тогда периодической функцией 1+(f\> •••> ^v) Ha собственной
и другой периодической функцией Х_((р], •.., tp,) на несобствен-
несобственной части, в обоих случаях инвариантной относительно октаэд-
октаэдральной группы Q=Q4 порядка 2vvl. Диагональные элементы
вида (9.4) образуют коммутативную группу, и, следовательно,
мы можем привести изображающие их в заданном представлении
матрицы одновременно к диагональному виду. Как мы знаем,
для собственных элементов матрица будет состоять из N членов
^ (,р14+ »?,)
по диагонали. Пусть несобственный элемент Jn, (9.3), представ*
лен диагональной матрицей {ак}; вследствие равенства Уя = ?
получаем; ,
&1 ±1

304 ГЛАВА VII
а тогда для несобственного элемента (9.4) имеем:
. •• + т„<р„) •
Поэтому Х+==:2^^ и X-^^S^K являются конечными рядами
Фурье с целыми коэффициентами:
(9.5) ( Х+
Коэффициенты А+ неотрицательны, а коэффициенты k~ удовле-
удовлетворяют условиям
(9.6) |*«1...mYl<*m1..j»Y, kZ^.m^kX..^ (mod 2).
Для относительной плотности классов находим на собствен-
собственной и несобственной частях, соответственно, выражения Д+Д+ и
Д-Д-, где
Эти функции двузначны так, что когда один из углов <р, описы-
описывает полный оборот, а остальные остаются фиксированными,
Д непрерывно переходит в —Д. $+ = Д+х+ и $~ = Д~^~ яв-
являются конечными рядами Фурье с целыми коэффициентами,
в том модифицированном смысле, что показатели т1У ..., /и,
общего члена е (/м^, -f- • • • ~Ь fftv<f,) берутся из последователь-
последовательности „полуцелых" чисел
3 1 ! !
•••• Т ' 2 ' 2 ' 2 '•'¦¦'
а не из последовательности целых чисел
..., — 1, 0, 1, 2, . ...
Поэтому указанные конечные ряды являются линейными комби-
комбинациями с целыми коэффициентами элементарных сумм
Где в ?+ сумма распространена знакопеременно на Qv, тогда
как в $~ сумма распространена знакопеременно по подстановкам,

ХАРАКТЕРЫ . , 305
но при этом с учетом четности или нечетности числа обращений
знаков; показатели же / — полуцелые числа, удовлетворяющие
условию >
(9.8+) ?+ (/,... О = | eh - е-\ .... е'' - е-*'| =
= \s(l^), ..., s(/;f)|,
(9.8-) Г (/,... /v) = eh + ?-'¦, • • •, еь + е-'' I =
= c(/l?), .... t(//?)|.
Д+ и Д~ суть, соответственнр, ?+ и 5~ наинизшего ранга с
Располагая члены в лексикографическом порядке, мы должны
иметь
где
(9.9) с+>0, с_ = с+ (mod 2), U_
Обозначая через Ш, Ш+, 9К~, соответственно, средние значе-
значения по всей группе, по ее собственной части и по ее несоб-
несобственной части, имеем:
Если характер i примитивен, то его среднее квадратичное
равно 1, откуда
i
что вследствие (9.9) оставляет лишь две возможности: либо
либо
1 ' X ^(/°.../у • Х r(/J.../°)
Старшим членом в (9.10) как для ](+, так и для 1~, служит
(9.12) e{....e{v (Д = /, — <?),
20 Г. Вейль

306 Г Л А В А VII
тогда как в (9.11) старшими членами являются
-{- ef'- • • & для Х+> — 81*- • -evv для х~-
Этого достаточно для сопоставления с алгебраической конструк-
конструкцией из § 7 главы V, которую мы должны приспособить к но-
новому виду (9.1) основной квадратичной формы. Это легкое из-
изменение — лишь к лучшему: для схемы Т с m ^ v строками длин
Л» •••»//» (fm+i—' ••=Л —0)
единственной линейно независимой компонентой общих тензо-
тензоров в Ро (/j. . ./v) с наивысшим весом является теперь
1 1
2 2
mm
и этот вес есть (9.12) как для собственных, так и для несоб-
несобственных преобразований. Для ассоциированной диаграммы V
соответствующая компонента получается из только что выписан-
выписанной путем присоединения к первому столбцу ряда
/я+1, .... v, 0, v', (V-1)', ..,, (
она будет веса + е{' ... г{ч соответственно тому, возьмем ли мы
в (9.4) знак -j- или —. Поэтому (9.10) соответствует подпро-
подпространству P0(/j ... /,), а (9.11) — подпространству Ро(/, .../,).
Путем применения леммы Коши в той же форме, что и для
симплектической группы, ^+ и jj~ приобретут единообразное вы-
выражение, и, заменяя символ /на 1-\--^, мы получим, с нашими
старыми условиями (8.7):
(9.13) x(/i ••¦ Л) = |Рм»-1> — Pi-U+ih •••> Pi—Pi-iA
для Ро (/i • ¦ -Л) и
(9.14) X'(/1.-./v) = !^l-X(/i---/,)
для Ро (/i.. ./,).
Мы достигли теперь пункта, где можем отбросить унитарное
ограничение, причем результат будет верен при любом числовом
поле (характеристики нуль). Поэтому нет никакой причины не

ХАРАКТЕРЫ 307
вернуться к основной метрической форме (9.2); тогда нашими
рассмотрениями доказано, что алгебраически построенные
образуют полную систему неэквивалентных непрерывных непри-
неприводимых представлений вещественной ортогональной группы.
Рассмотрение нечетного случая можно было бы упростить,
используя для перехода от собственных к несобственным элемен-
элементам не (9.3), а — Е, являющееся в нечетном случае несобствен-
несобственным элементом. Тогда единое выражение (9.13) на собственной
и несобственной частях будет совершенно очевидно. Однако
мы предпочли изложенный нами способ потому, что он служит
моделью для четного случая л = 2у. Укажем кратко требуемые
в этом случае изменения.
Вместо нормальной формы (9.4) элементов группы UO (п) мы
получим теперь
для собственных и
xl~> егк1, х[—*е[х[, ..., jcv_!—> е,_1лгу_1, *»_i—»eLi*'-i.
¦*у * Xft Xf > Xy
— для несобственных элементов. В последнем случае имеем по-
поэтому лишь v—1 углов «р,, ..., <pv_r По поводу определения
подстановки Jn см. (9.3). Вместо (9.6) получаем те же соотно-
соотношения для коэффициентов функций
(9.7) следует заменить на
( Д+ = П {с Ы - с (Ь)} (i,k=\ v),
(9.15) 1 (<*
Элементарными суммами ?+(/х.../,) являются
\сA^), ..., c(ljp)\
для /v ^> 0, но только половина их:
20*

Зо8 г л а в a vii
для /, = 0. Это влечет за собой, что
1 1
J...J|5+(/1...0P<ftp1...<ftp, = Q или ifi,
0 0 •
где S = 2vv!, смотря по тому, будет ли /v>0 или /v = 0;
в частности,
1 1
0 0.
для Д+ = S+ (v — 1, .... 0). Элементарные суммы ST (/, ... /,_х)
— такие же, как для симплектической группы:
и A~ = S~(v—1, ..., 1). Пользуясь обозначениями
(9.16) /? = v—/, /,=/,-/?,
приходим к следующим возможностям:
при /,
Г (/«... /?_,
для /»= 0. Они отвечают, соответственно, тензорным простран-
пространствам
(9.17) PoOti---/v) = Po(/1.../v) (
Ро (/,.../,_i0),
Действительно, в четном случае мы имеем самоассоциированные
диаграммы точно с v строками, Д ^> 0, для которых Ро и Ро сов-
совпадают. Нет ничего удивительного в том, что соответствующий
характер равен нулю для несобственных элементов А; так как
представление эквивалентно ассоциированному с ним, то
=-ХИ для |Л|= —1.

ХАРАКТЕРЫ 309
Наконец, с помощью леммы Коши мы приходим к тому же
результату (9.13), (9.14), что и для « = 2v-j-l, как на соб-
собственной, так и на несобственной части, и притом независимо*
от того, будет ли Д = 0 или ^> 0. Единственное различие со-
состоит в том, что в последнем случае, в согласии с (9.17),
X (/i • • • Л ) совпадает с f (/,... /,).
И действительно, мы скоро докажем, что определитель (9.13)
обращается тогда в нуль для несобственно ортогональных А.
Теорема (V1I.9.A). Характеры представлений
<Ро(/,.../,)> « <pS (Л-¦¦/,)>
задаются определителями
(9.18)
где числа I определяются формулами (8.7). Для самоассо-
самоассоциированной диаграммы, п = 2v, /, ^> 0, ]( и %' совпадают.
Формулы для степеней можно получить столь же легко, как
и в случаях GL (я) и Sp (n).
Теорема (VII.9.B). Таблица
<Ро(л...л)>, <р;(/,...л»
(с той оговоркой, что для самоассоциированной диаграммы,
п = 2ч, /,^>0, Ро = Ро берется только один раз) содержит
полную систему неэквивалентных непрерывных неприводимых
представлений вещественной ортогональной группы.
Легко проверить, что для любой ортогональной матрицы А,
А*А = Е, характеристический полином
удовлетворяет фуйкциональному уравнению
где S есть знак выражения (—1)"|Л|. В частности, при п
четном, « = 2v, и А несобственном, |Л|=—1, получаем:

310 ГЛАВА VII
и, следовательно, w (z) имеет вид
<р (г)=е0 A—*>) + с, B—г2') + ... + rv_, (**-!—**+•)
(со=1),
откуда вытекает рекуррентное соотношение
О для />0,
Это доказывает, что определитель (9.18) действительно равен
нулю, когда я = 2v, j А | = — 1 и все / > 0.
Более обще, полином
}<р(г) _ (r>v)
степени 2г удовлетворяет уравнению
и потому имеет вид
«о 0 —
Это легко приводит к формулам, аналогичным установленным
для симплектической группы I2'J.
Теорема (VII.9.C). Для приспособления теорем (VII.8.F)
и (VII.8.G) к ортогональной группе следует произвести в
них следующие изменения:
A) Положить
для п = 2v -\- I a
для п = 2v. L-футщи для типов Ро (Д ... /v) а Ро (/j . .. /v)
задаются формулами
за исключением самоассоциированной диаграммы (я = 2у,
/,>0), где

ХАРАКТЕРЫ 311
B) Заменить знаменатель
Л О-*А)««.ПО-*А)-
(< k is*
Последнее изменение находится в согласии с необходимостью
при образовании (симметричной) таблицы скалярных произ-
произведений (х'хк) заданных векторов лг1, ..., ха охватить и слу-
случай i = k.
10. Разложение и кронекеровское умножение
Проиллюстрируем то, что мы имеем в виду сказать, на
симплектической группе, которая не столь уж совсем проста,
как OL(n), но и не столь сложна, как О (я). Любое инвариант-
инвариантное подпространство пространства Р^ служит полем действия
представления 25 группы Sp («), характер i B5) которого, выра-
выраженный через диагональные элементы группы Sp («):
есть полином
<10Л> 2*-«,...«,»Г1..-С»
с неотрицательными целыми коэффициентами km ...m и целы-
целыми, но не обязательно положительными показателями тх, ..., /и,.
Соответствующий вывод для полной линейной группы был явно
проведен в § 5 главы IV. Представление 25 разбивается на непри-
неприводимые представления типа
<Р(А-••/,)>=ь (А-../,)-
Мы хотим определить, с какою кратностью каждая из этих не-
неприводимых составляющих входит в 2), в предположении, что
нам известны коэффициенты km m , характеризующие задан-
заданное представление S5-
Второй важной задачей является разложение кронекеров-
ского произведения Ь' X Ь двух неприводимых представлений Ь'
и Ь на его неприводимые составляющие b(/j.../v). Мы решим
обе задачи одновременно, дав формулу для кратности, с кото-
которой b(/j.../^) входит в произведение
(Ю.2) 2) ХЬ (Д...Д),
где представление 25 определено коэффициентами km ##<я|
его характера.

312 ГЛАВА VII
Мы предпочтем рассуждать в терминах унитарно ограниченной
группы Sp(n). Вместо характера
A0.3) *№) = 2 *«,...*, «(«,?, + ..•+«,<р,)
мы можем пользоваться и .^-функцией" представления 35:
получающейся путем умножения X на Д, (8.3). Относительно
октаэдральной группы С?„, действующей на углы (pj5 характер %
симметричен, а функция I антисимметрична. ?-ф>нкижй представ-
представления Ь(/х.../,) является
A0.4) ? (/х... /v) = | ег> — е— г> ,..., e'v-e-Ч
/а >._..>/,><>, /,=/.+ (V—
Определение A0.4) функции ?(/,.../„) мы сохраним и для про-
произвольных целых /, независимо от того, удовлетворяют ли они
неравенствам
/,>... >/v>0
или нет.
Кратности ™
[Ь" *?\
\/i • • •/» I
надлежит вывести из характера
x(?)x(/i--./,)=5
(/о
или, по умножении на Д, — из
Мы намерены показать, что левая часть, т. е. S-функция пред-
представления 3)X^(/i-"A)i равна 1221
(Ю.5) ? kmv,.mV2('i + /Wi ^v-bmv)>
т. е., другими словами, что она получается путем постановки
в ряд Фурье A0.3) для

ХАРАКТЕРЫ 313
вместо каждого члена
Действительно, пусть
A0.6) ±
— любой из 2vv! членов, составляющих ?(/,.../,); щ,.. . ,<р,'
получаются из <р,,..., <р, посредством подстановки из октаэдраль-
октаэдральной группы. Так как выражение A0.3) симметрично относи-
относительно этой группы, то мы могли бы написать
I C5) = 2X,...OTv e (щъ + ... + «,<?:),
и потому произведение хB)) на член (Ю-6) равно
2
(m)
К
Знакопеременное суммирование по Qv приводит к формуле A0.5).
На первый взгляд кажется, что эта формула без всякого
труда решает нашу задачу, неприводимая составляющая сигна-
ТУРЫ (/i+OTi>---. /, + m,) входит с кратностью *„,...„,.
Но это уж слишком упростило бы положение дела, поскольку
сумма A0.5) содержит много членов, для которых
не сохраняют убывающего порядка. Правильный вывод, который
следует извлечь из A0.5), состоит' в следующем: неприводимое
представление b(/{.../-,) будет входить в произведение A0.2)
раз, где сумма распространена знакопеременно на все последо-
последовательности (Xj,. • • Д„), получающиеся из (/i,..., /,') посредством
операций из группы C?v и где
Более легкое для запоминания выражение мы получим, исполь-
используя символическое обозначение
Тогда интересующая нас кратность будет задана символическим
выражением , , , ,
A0.7) |*'i—*-\ ...,#, — A-'vj.^r'i... V.

314 ГЛАВА VII
Эта явная формула включает в качестве частного случая
разложение на неприводимые составляющие самого 2).
В удобной форме A0.5) наш результат зависел лишь от
того факта, что характер iC3)) симметричен относительно
группы Q, служившей для построения элементарных сумм. Сле-
Следовательно, он будет верен равным образом и для линейной и
ортогональной групп.
Теорема (VII. 10.А). Пусть 2) — любое представление
(унитарно ограниченной) группы Sp (n) с характером
I B)) = S *«,...«,« K<Pi + • • • + ^т\)-
Тогда ^-функцией кронекеровского произведения S5 на не-
неприводимое представление Ь (fl.. ,/v) служит
Го дате ве/>ко а для линейной и ортогональной групп.
11. Полином Пуанкарэ
Образуем в л-мерном векторном пространстве одно-, двух-,
трех-, ...-мерные элементы, натянутые на 1,2, 3,... вектора
х,у, z,..., с компонентами
xit
Линейная
xi xk
У{ Ун
подстановка
С*).
/1, Л/ —
у) у
- у\а
k
¦kx,
к У/
к zl
V*
индуцирует некоторую линейную подстановку в совокупности
р-мерных элементов. Обозначая ее след через Ьр(А), имеем
соотношение
det (zE -f Л) = г" -f a*-i ф, (Л) -f- .. . + фя {А).
Пусть для конечной группы или компактной группы Ли за-
задано представление s —*¦ A (s) с характером X (s). Оно будет
разложимо на неприводимые представления согласно формуле
A.1). С помощью соотношений ортогональности находим;

ХАРАКТЕРЫ 315
В частности, кратностью, с которой в заданное представление
входит единичное представление 5—»-1, служит среднее зна-
значение
одновременно это есть и число линейно независимых линейных
инвариантов в пространстве представления4" Р. Мы хотим оп-
определить число v инвариантов
(ил)
линейно зависящих от произвольного р-мерного элемента в Р.
(Записанные в форме A1.1), коэффициенты /(/,... ip) будут
косо-симметричны.) Сделанное выше замечание показывает^ что
полином Р (z) с коэффициентами vp:
будет равен
С любой r-параметрической группой Ли ассоциируется при-
присоединенное представление
K(s): X—+SXS-1,
r-мерное векторное пространство .которого образуют инфините-
зимальные элементы, х группы. Полином
коэффициентом vp которого служит размерность линейной со-
совокупности- всех инвариантов
линейным и антисимметричеасим образом зависящих от р инфи-
нитезимальных элементов нашей группы, Э. Картан назвал „по-
„полиномом Пуанкарэ" этой группы. В случае компактной группы
он задается формулой
A1.2) Р (г) = ЗЛ, |
Мы применим эту формулу, в частности, к нашим группам
OL(n), О (п) и Sp(n), предварительно введя в них унитарное
ограничение. В следующей главе мы увидим, что коэффициенты v_
в то же время имеют для группового многообразия глубокий
топологический смысл,

316 Г Л А В А VII
Теорема (VII. 11.А). Полиномом Пуанкарэ группы QL(n)
является
A1.3) A+*)A+*•)... A+**->).
Диагональному элементу
унитарной группы соответствует в присоединенном представле-
представлении линейное преобразование
Поэтому определитель в A1.2) равен
где
Снова используя разностное произведение
и интеграл квадрата его абсолютной величины
1 1-
находим:
A1.4)
Хотя вычисление элементарного интеграла A1.4) вряд ли кто-
нибудь счел бы трудным делом, тем не менее, никому до сих
пор не удалось выполнить его прямым способом. Р. Брауэр по-
поступил следующим образом 1231.
Путем подсчета инвариантов он показал, что Р (z) мажори-
мажорируется полиномом (П.З),
т. е.
A1.5)

Характеры 317
Использование формулы'A1.4) уже для одного значения 2=1
приводит, как будет ниже показано, к равенству
A1.6) РA) = 2Я.
Так как это означает, что Р(г) и Рй{г) при z = l имеют
совпадающие значения:
¦о ^ о
р р р
то из (И.5) и следуют требуемые равенства vp = Vp.
При г = 1 находим в A1.4):
Подстановкой 2yt—*yt сразу убеждаемся, что интеграл произве-
произведения Д'2Д2 по <fv...,<ptt, изменяющимся от 0 до 1, совпадает с
таким же интегралом для ДД. Отсюда и следует A1.6).
Вслед за этим мы должны постараться действительно под-
подсчитать инварианты интересующего нас типа. Элемент А груп-
группы GL{n) индуцирует в присоединенной группе преобразование
A1.7) Х' = АХА~\
где Х= || xlk || обозначает переменную матрицу. Типовой мат-
матрицей служит произведение хс. столбца л: на строку ?: xik = xfik.
Действительно, под влиянием линейного преобразования х' = Ах
ковариантного "вектора х контравариантный вектор 5 переходит
в $Л—1 и потому
Поэтому форму
линейным и антисимметричным образом зависящую от р матриц
X и инвариантную относительно подстановок A1.7), можно без
опасения заменить инвариантом
A1 .У) ? Ю \1XKV . . ., 1рИр) Xit . . . Xip «ft, ... Zkp i
линейно зависящим от р ковариантных и р контравариантных
векторов
A1.10) дгЯ), ..., лг(Р) | S(D, ..., ?W.
Эта формулировка дает возможность ввести в действие основную
теорему теории инвариантов: любой такой инвариант выражается

818 ГЛАВА VII
через произведения (?лг) и потому является линейной комбина-
комбинацией инвариантов
A1.11) {?<1W))tf,(t)xte'))...(&P)x<P''>),
соответствующих каждый некоторой подстановке
«г. 1-И', 2 — 2' р->р'
р индексов. Если мы, как в § 5 главы V, воспользуемся и для
„одночлена" A1.11) символом а, то все наши инварианты при-
примут вид
A1.12) m = S«(o)e.
Они должны обладать, кроме того, свойством переходить в 4-м,
когда обе последовательности A1.10) подвергнуты одной и той
же подстановке р, со знаком плюс для четных и минус для не-
нечетных р. Так как эта операция превращает одночлен и в рар",
то получаем:
ю == ± 2 а («) • pup = ± 2 а (p~1(J?)'.
• о
и, суммируя по всем р, получаем <о в виде линейной комбинации
инвариантов частного вида
A1.13) ^=2±Р°Р
р
или как комбинацию A1.12), где
A1.14) a(p-iap) = 8p.a(a).
Разложим подстановку и на взаимно простые циклы:
Цикл р = A2... /г) перестановочен с а. Если h четно, то р —
нечетная подстановка, и A1.14) дает а(а) = 0: подстановками,
действительно порождающими члены в сумме A1.12), служат
лишь подстановки а, состоящие из одних циклов нечетных длин
/г, k,... Если k= h { = 1 (mod 2)}, то нечетная подстановка
р = A1*) B2*)... (АА*)
перестановочна с <j, так что 'и случай h = k исключен. Мы при-
приходим к выводу, что частных инвариантов A1.13) существует
столько, сколько разбиений числа р:

ХАРАКТЕРЫ 319
на неравные нечетные слагаемые:
A1.15) ~
Это сразу давало бы неравенство A1.5), если бы можно было
запретить длинна2л.
До сих пор мы пользовались лишь абстрактной схемой
подстановок. Указанное ограничение на длины циклов получится,
если мы примем во внимание представление подстановки а од-
иочленом A1.11) с векторами х и $ в п-мерном пространстве.
Перемножение двух полилинейных форм <о и <о' типа A1.8)
степеней р и q, одна из которых зависит от р матриц
ЛГО), ..., XW, а другая — от q других матриц Х<-Р+1\ ... , Х<-Р+ч\
дает полилинейную форму степени р -\~ q. Однако коэффициенты
произведения не будут уже, подобно коэффициентам форм
(о и ю', антисимметричны. Этот недостаток устраняется альтер-
альтернированием по аргументам X:
A1.16) %±*>(Х" Х'р) *'(&,..., ХЬ),
где сумма распространена на все „смеси"
av ¦ ¦ • > аР'< Pi. ¦ • •. $q
первых р индексов 1, ..., р со следующими q индексами
/? —f— 1, ..., p-\-q. Форму A1.16) мы будем обозначать через
<о •<!>'. Таким путем й„, A1.13), получается как произведение
BД•&?..., где ЙЛ есть альтернированная сумма
распространенная на все подстановки 1',..., К индексов
1, ..., h. Следовательно, нам надлежит доказать, что если р
нечетно, p = 2q—1 H.q^>n, то Qp выражается в виде комби-
комбинации тех Qo, которые соответствуют подстановкам а р индек-
индексов 1, .. .¦, р, разбивающимся на циклы длин ^
Возьмем тождество
... (?'•**«)
(с М . . IPqx'"qV
= 0
-1 Н \ *1 *2 ... kg ^i kg
2, 4 р—\,р\Ъ,Ъ,...,р, 1

320 Г Л А В А VII ¦
и умножим его на {V-x1) (Фх4)... {^Р~ъхР~х)\
{и.17) 2 ^ №**) (^т0•¦•(*'' дгР~1) (S'-1**'-1) (S'*T«)=о.
т есть подстановка
C 5 ... р 1
Соответствующий член в левой части есть одночлен и, где
'\ 2 3 4 ... /7 — 2 /7 — 1
\2 Т!4т2 . . p — \ ь?_, ч
Из нашего равенства A1.17):
заключаем, что
(иле)
т
Ти=циклу A 2 3 ... р). Если и—также цикл длины р,
то а и т~'и четны; поэтому т четно, 5т = -(-1. Предположим,
что это событие наступает N раз; оно происходит по крайней
мере однажды, а именно, когда т есть тождество. Если а есть
просто цикл длины р, то оно имеет следующий вид:
(р, 2xj —1, 2*„ 2х2— 1, 2*2, ..., 2xq_l—l, 2xq_1),
и
где it обозначает подстановку
/р 2хх — 1 2*] 2х2 — 1 2xi .
\/7 1 2 3 4.
тт оставляет р неизменным и обращает пары Bх — 1, 2х).
Транспозиция двух пар, как v-
f\ 2 3 4\
^3 4 12/'
четна. Поэтому подстановка it четна, и все N членов й,, соот-
соответствующих циклическим о, = Qp с одним и тем же знаком.
Следовательно, A1.18) превращается в равенство

ХАРАКТЕРЫ 321
где многоточием обозначены члены й„, соответствующие под-
подстановкам и, разбивающимся на циклы длины, меньшей чем р.
В соединении с A1.6) это не только доказывает нашу теоре-
теорему, но в то же время устанавливает и линейную независимость
базисных инвариантов, к которым приводит наше построение:
Теорема (VII. 11.В). Инварианты
соответствующие всем разбиениям р= h1 -\-h2-{-••• числар
на нечетные неравные слагаемые hv h2, ..., меньшие 2л:
*!<*«<.••; *«=! («nod2), 0<Аа<2«,
линейно независимы и образуют базис для линейных инва-
инвариантов р-той степени присоединенной группы.
Интеграл A1.4) теперь вычислен и, действительно, оказался
равен полиному A1.3).
Аналогичные результаты могут быть получены аналогичным
путем и для ортогональной и симплектической групп. Мы удо-
удовольствуемся формулировкой окончательного результата 1231:
Теорема (Vli. 11.C). Полиномами Пуанкарэ групп Sp Bv),
OBy-f-l)> с одной стороны, и группы OBv) — с другой, слу-
служат, соответственно,
(I +г»)A -И7)- • -О +24v-
21 Г. Вей ль

ГЛАВА VIII
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ
А. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1. Классические инварианты и инварианты обобщенных
величин. Теорема Грама
Классическая теория инвариантов UJ имеет дело с группой
OL(n) и рассматривает произвольную (ковариантную) форму и
заданной степени г, зависящую от контравариантного вектора ?;
мы будем записывать такую форму в виде
Однородный полином У (а) степени jx от коэффициентов формы и
есть инвариант веса g, если
/(«') = Д*./(«),
где Яг,...г суть коэффициенты формы, в которую переходит а
при произвольной подстановке
A.2) (*; Я&
а А обозначает det(a/6). Вместо одной формы a, J может иметь
в качестве аргументов и несколько произвольных основных форм
и, vt ... заданных степеней г, г', ... Если |i, |i', ...—степени
У(к, v, ...) относительно и, v, ... , то необходимо
A.3) «^
как показывает сравнение степеней обеих частей равенства
относительно коэффициентов преобразования aik. Для простоты
мы будем большей частью говорить об одной или двух основ-
основных формах, имея, однако, в виду произвольное их число.

Общая теория инвариантов
323
Если J зависит, кроме а и v, еще от контравариантного
вектора ?, и снова
то J называется ковариантом. При этом предполагается, что
J есть однородная форма некоторой степени /и относительно ?;
тогда
Теперь для g допускаются и отрицательные значения. Сами ос-
основные формы и, v являются абсолютными ковариантами, или
ковариантами веса нуль.
Примеры. A) Функциональный определитель или якобиан
duff)
диМ duW
« форм аО» и(°) есть ковариант веса 1. Действительно,
dad) .. '.
</5+
есть система инвариантных линейных форм от дифференциалов
d$.v ..., d?u. Под влиянием подстановки
определитель п таких форм умножается на определитель преоб-
преобразования Л.
B) Для отдельной формы и „гессиан*
есть ковариант веса 2, так как
есть инвариантная квадратичная форма от дифференциалов d?t.
21*

324 ГЛАВА VIII
Классическое понятие коварианта непосредственно обобщается
на случай, когда в качестве аргументов допускается несколько
контравариантных векторов S, 7], ...; тогда мы говорим о крат-
кратном коварианте. Система уравнений
A.4) K1(u,v) = 0, ..., Kp(u,v) = O,
где в левых частях стоят полиномы, однородные как относи-
относительно коэффициентов иГ1... г„ формы а, так и относительно
коэффициентов vr, f, формы. v, имеет инвариантный смысл,
1 '* * П
если каждая система значений
«'.-'«• Vr[...r'n>
удовлетворяющая уравнениям A.4), удовлетворяет также урав-
уравнениям
*,(«>') = О, .... Kp(u',v') = 0,
каким бы преобразованием A.2) ни получались и', v' из a, v.
Теорема (VIII. 1.А). (Теорема Грама.) Система соот-
соотношений A.4), имеющих инвариантный смысл, всегда может
быть выражена посредством обращения в нуль некоторого'
числа кратных абсолютных ковариантов.
Доказательство основывается на простом формальном приеме,
который мы опишем следующим образом. Пусть ij1, ..., щ" —
любые п контравариантных векторов. Заменим аргумент ? в
форме « = «($) на
с неопределенными /:
A.5)
Все это выражение есть абсолютный ковариант, и этим же
свойством обладает каждый коэффициент
0-6) <...гл(тI, .... П
То же верно и для любого однородного полинома от этих коэф-
коэффициентов. Если в качестве ijl, ..., г" взять единичные век-
Т°РЫ ei = (l,0 0), .... е-= @,0 1),
то а*^ г обратятся снова в заданные коэффициенты аГ1„,г

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 325
Если jI, ..., г" линейно независимы, то равенство
A.7) & = 'iV + --- + ^l"
можно рассматривать как линейное преобразование, вводящее
вместо компонент Sj, ..., $я вектора ? новые координаты
t\i • • • i '¦а'
Следовательно, предположение об инвариантности смысла
системы A.4) позволяет вывести из нее систему
A.8) Kx{u*,v*) = 0, ..., Kp(u*,v*) = 0,
которая, обратно, снова сводится к A.4) при специализации
г/ = е', ... , чп = еп.
Система A.8) имеет нужный нам вид
A.9) С,(й,гм]1,_.-., 7j") = 0 Cp(a,v;^ Tj») = 0.
От абсолютных ковариантов Са требуется обращение в нуль
при заданных значениях и, v тождественно относительно аргу-
аргументов ГI, . . . , Jje.
Вполне может случиться, что тождество
поглотит.не только первое из уравнений A.4), но и некоторые
другие. Тогда можно будет соответственно уменьшить и число
тождеств A.9). '"'
Наши кратные коварианты Са зависят от п векторов ij'.
Однако это никоим образом не является неожиданной особен-
особенностью нашей теоремы. Действительно, даже если бы Сл содер-
содержали любое число векторных аргументов щ, это число можно
было бы с помощью общего тождества Капелли свести к п.
Применением специального тождества Капелли это число можно
снизить даже до п — 1, предполагая, что допускаются лишь
ковэриавды веса ^ 0.
Произвольная форма, зависящая от двух контравариантных
векторов 5 и 7j в заданных степенях г, г', является не прими-
примитивной величиной, а кронекеровским произведением примитивных
величин сигнатур
(г,0,...,0) и (г', 0,..., 0).
Ее следовало бы заменить набором независимых примитивных
величин, на которые ее можно расщепить. По этой причине мы
отвергаем понятие кратных ковариантов, как не отвечающее

326 ГЛАВА VIII
существу дела. Резонно разбить каждое из наших уравнений
A.9) соответственно различным диаграммам симметрии. Раз уже
усвоив критическое отношение к классическим концепциям, мы
приходим к выводу, что в качестве аргументов в наших инва-
инвариантах нужно допускать обобщенные величины любой сигна-
сигнатуры (/,,..., fn), не ограничиваясь лишь основными формами ЭД.
И при рассмотрении ковариантов следует понимать этот термин
в широком смысле, введенном в § 5 главы I, как означающий
обобщенную величину J, зависящую от некоторого числа пере-
переменных обобщенных величин и, v, ... предписанных сигнатур
(/¦j, . • •, га), (/"i, .. •, гп), ...
Этой схемой, кроме ковариантных форм, охватываются также
контравариантные основные формы и даже смешанные „конко-
митанты" (зависящие от нескольких контравариантных и несколь-
нескольких ковариантных векторов). В предположении, что J {и, v,...)
имеет относительно своих аргументов a, v, ... соответственно
степени ji, ц', ..., имеем между степенями
/=/i + - •+/* r = ri + --- + ra< г'= ri-{-...-{-r'tt, ...
обобщенных величин У; a, v, ... соотношение
являющееся обобщением соотношения A.3); это легко следует
из того факта, что при подстановке
x't = axt
компоненты обобщенной величины степени / умножаются на а?.
Если для некоторого аргумента и сигнатура (rv ..., га) содер-
содержит отрицательное гя, то представление, по которому преобра-
преобразуются компоненты величины и, можно заменить представлением
сигнатуры (гг-{-е, .. .,га-\-е), где е выбрано так, чтобы
гп-\-е^0. Действительно, это будет иметь своим следствием
лишь то, что сигнатура (fv ...,fn) зависимой величины J ваме-
нйтся на (Д -\-\i.e, •••,/,, + №)• Поэтому можно без сколько-ни-
сколько-нибудь существенного ограничения общности считать, что ги^0,
т. е. что а пробегает совокупность всех тензоров ранга г с сим-
симметрией Т (Г] ... гя).
Теорема (VIII. 1.В). (Обобщенная теорема Грама.)
Система соотношений
Kl(a,v,...) = 0 Kp(u,v,...) = Q

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 327
между обобщенными величинами и, v, ,.. предписанных сиг-
сигнатур (ги ..., г„), ..., имеющая инвариантный смысл, экви-
эквивалентна системе, утверждающей обращение в нуль некото-
некоторого числа ковариантов, т. е. обобщенных величин, зависящих
от и, v,...
Доказательство. Мы можем считать, что гя^0, т. е.
что и пробегает совокупность всех тензоров F(i1...ir) задан-
заданного ранга г с заданной симметрией Т = Т(г^... га). Подстав-
Подставляем в инвариантную форму
вместо контравариантных векторов S, ?',... линейные комбина-
ции п таких векторов ij1, ..., у]":
5' = ^4i +..
Тогда A.11) превращается в полилинейную форму от систем пе
ременных (tu..., tu), (t\, ...,/„),...:
2 F*(/1/2...;r1'...r/«)Vv..
¦ и'а,...
Коэффициенты
1 V\L2 • • • > 'i • • • '| )
являются абсолютно инвариантными функциями от п контравари-
антных аргументов 7I, ...,Г(Л. Начиная отсюда доказательство
протекает, как раньше.
2. Символический метод
Символический метод лучше всего иллюстрируется классиче-
классическим примером инварианта У (и) степени р., зависящего от про-
произвольной ковариантной формы и степени г. Путем специализа-
специализации и в качестве г-й степени линейной формы:
B.1) «?=(«? + • • • +«Л)Г- «г„..г„ = «Г' • • .аяг",
J(u) превращается в инвариант /'(и), зависящий от ковариант-
ного вектора u = (uv ...,un). В этой примитивной форме наш
метод, имеющий своей целью замену инвариантов форм вектор-
векторными инвариантами, не приносит большой пользы, поскольку

328 ГЛАВА VIII
J(a) слабо отличим от его символического представителя _/(«).
Однако этот недостаток устраняется путем предварительной пол-
полной поляризации инварианта У (и). (Поляризация, примененная
к аргументам и, называется процессом Аронгольда.) Поляризо-
Поляризованная форма У(ed), ...,а№) линейно зависит от }1 произволь-
произвольных форм иA\..., иМ степени г; кроме того, она симметрична
относительно ]i ее аргументов и при отождествлении
обращается снова в J (и). При подстановке вместо и^\ . ..,и(М
r-х степеней jji линейных форм, инвариант форм ./(йA\ ... , иМ)
превращается в инвариант j (uW,.,., a№), зависящий от jji кова-
риантных векторов «М,..., «(rt; при этом j имеет степень г по
каждому из своих аргументов, j называется символическим вы-
выражением для J с ковариантными векторами а^\..., и№, как ja
эквивалентными символами, подставленными вместо одной и той
же формы и. Чтобы получить обратно J (и*1', .. ., иМ) из
у(й('),..., иМ), замечаем, что линейная форма от коэффициентов
ип...гп формы и:
2 Yn...rA ...rn (Yr,...rn —константы)
однозначно определяется ее значением при специальном выборе и,
B.1), а именно, формой
2 Y*...*«f ••¦«?•
Если временно обозначить векторные аргументы в у через и, v
а не а<1\ н<2>, ...:
/(в, v, .. .) = 2М»-,.. -г.; в, ...*„;...)«?.. .«М- • •*?...
то У(и) будет получаться из j(u,v, ...),
Дв,о, ...)-*/(«),
следующим образом:
Этот процесс действителен даже, если /(и, г>, ...) не симметрична
относительно ц ее эквивалентных векторных аргументов и, v....
Имеем
J(v, и, ...)—+J(u)
для любой перестановки v,u, ... символов u,v, ...

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 329
Из первой основной теоремы мы знаем, как обстоит дело
с векторными инвариантами: все они выражаются через компо-
компонентные определители [uv...]. Таким образом, символический
метод дает правило для вычисления всех инвариантов J(a) задан-
заданной степени ja, настолько явный и финитный, насколько этого
вообще можно требовать: образуем все возможные произведения
компонентных определителей ja векторов и(}\ .. ., и(М, имеющие
по каждому из этих векторов степень г, и выполняем переход
/—>Ук несимволической форме. Каждый инвариант степени р.
является линейной комбинацией с постоянными коэффициентами
от так полученных J. Сколь ни велико это достижение, сле-
следует,' однако, указать, что изложенный метод далеко еще не
сводит построения конечного целого рационального базиса для
инвариантов форм к построению такого же базиса для вектор-
векторных инвариантов. Действительно, число символических векторных
аргументов н<», ^..,и^\ которые нам пришлось ввести, зависит
от степени инварианта J(u), и, желая учесть инварианты J всех
возможных степеней, мы должны иметь в нашем распоряжении
неограниченный запас таких символов.
Обобщение на инварианты J(u,v, ...), зависящие от несколь-
нескольких форм и, v, ... , непосредственно напрашивается. В случае
коварианта J(a, v;?) символическое выражение
будет помимо символических ковариантных векторов
зависеть еще от контравариантного вектора 5, и потому будет
выражаться через латинские компонентные определители и про-
произведения типа ($и) = и5; ту, ...
Примеры, (а) Дискриминант
B-2) Я = в„аи —в?а
бинарной квадратичной формы
B-3) «пЙ + Зв Й
Поляризация превращает 2D в
«11^22+«22
что при специализации дает

330 ГЛАВА VIII
Следовательно, символическим выражением для D служит
(b) Якобиан трех тернарных форм, которые мы записываем
символически в виде
г г' г"
как легко видеть, равен
Никакой поляризации не требуется, так как якобиан линеен от-
относительно коэффициентов рассматриваемых форм,
(с) Гессиан тернарной формы
как легко видеть, имеет символическим выражением
-~г3 (г — l)s (tqofDtf-* [uvw]*.
Для обеспечения естественной общности мы теперь снова
допустим в качестве аргументов и, v, ... наших инвариантов пе-
переменные обобщенные величины предписанных сигнатур {rv ..., гД
(г'и • • •»г'")> • • • ^ак нам следует приспособить символический
метод к этому общему случаю? Мы раньше видели, что пред-
предположение гя^0 не налагает никакого серьезного ограничения.
а пробегает тогда совокупность всех тензоров /7(/1...t/.) ранга
г = г1-\- .. .-\-та и симметрии Т(гг.. .гп). Пусть е — производя-
производящий идемпотент этого класса симметрии, численное кратное сим-
метризатора Юнга с. Мы заменяем тензор F на eF, так что F
пробегает теперь все тензоры ранга г:
J*(F, ...) = j(eF,...).
Так как eF=F для тензоров F из V(r1...ra), то нам таким
образом удалось построить инвариант J*(F, ...), определенный
для произвольных тензоров F, .. ., совпадающий с заданным
J{F, .. .) в области
в которой J был определен. Устранив тем самым какое бы то ни
было ограничение симметрией, применим процесс Аронгольда

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 331
к J* и затем специализируем F как произведение г переменных
ковариантных векторов u,v, .. ., w.
Исходный инвариант J воспроизводится по полученному так век-
векторному инварианту j простым способом.
При переходе от инвариантов к изучению ковариантных обоб-
обобщенных величин Q(u,v, ...) естественно принять, что в сигна-
тУРе (fv •••>/«) величины Q заданы лишь разности ft—fk; они
характеризуют поведение Q при унимодулярных преобразова-
преобразованиях А. Но Q преобразуется с точностью до множителя Д'(е =/я),
как тензер Q(i1... if) с симметрией
T{h-e,...,fa-e) {/
есть тогда Инвариант веса е, зависящий от контравариантных век-
векторов ?, ..., С; в своей зависимости от и, v, ... он легко под-
поддается символической трактовке.
3. Бинарная квадратичная форма
Теорема (VIII.3.А). Каждый инвариант бинарной квадра-
квадратичной формы выражается через ее дискриминант, а каж-
каждый ковариант (простой или кратный) — через дискриминант,
саму (поляризованную) форму и компонентные определители.
Мы берем этот простой случай в качестве иллюстрации того,
как, вопреки нашим критическим замечаниям, можно иногда ис-
использовать символический метод, в комбинации с рассуждениями
другого типа, для фактического определения целого рациональ-
рационального базиса.
Символическое выражение инварианта J (и) степени р. для
квадратичной формы B.3) будет инвариантом j(a,b,c, ...), за-
зависящим от \i. эквивалентных символических бинарных векторов
а, Ь, с, ... и имеющим по каждому из них степень 2. j выра-
выражается через компонентные определители типа
Произведение таких определителей, в которое каждый аргумент
входит точно дважды, разбивается на некоторое число замкну-
замкнутых цепей вида
C.1) [ab] [be] [cd] ...[ha] —>K,

332 ГЛАВА VIII
где d,b, c,d, ..., h различны. Если цепь имеет нечетную длину,
то, обращая порядок следования аргументов в каждом звене, по-
получаем:
[ah]...[eb][ba]-+ — K.
Так как правая часть отличается от C.1) лишь нумерацией экви-
эквивалентных символов, то в этом случае для истинного инвари-
инварианта К, символически выраженного посредством C.1), получаем;
К= —К, откуда К = 0.
Пусть теперь цепь имеет четную длину, равную 21. Случай
наименьшей длины 2 разрешается соотношением
[aft] [fta] = — [aft]2 —>¦ — 2D (D — дискриминант).
В случаях ббльших длин используем тождество
C.2) [aft] [cd] + [се] [bd] -j- [be] [ad] = 0.
Подставляя в C.1) вместо произведения [aft] [erf] выражение
-[ca][bd]^[bc][ad],
получаем:
К= К{= — [со] [bd] [be] [de] ... — [be]* [ad] [de]... =.
= — [<*c] [cb] [bd] [de] ... — [bef [ad] [de] ...
или, переходя к несимволическим объектам:
K1= — Kl—2DKl_1 или Ki= — DK,_V
Таким образом, индукцией по / находим:
К—0 или 2( — D)\
соответственно нечетности или четности длины цепи. Этим и раз-
разрешается вопрос об инвариантах.
Обращаясь к ковариантам, заменяем контравариантный век-
вектор ?=(^,$2), согласно (IV.5.1), ковариантным вектором
тем самым превращая сигнатуру из @, — 1) в A,0). Наряду
с замкнутыми цепями мы встретимся теперь с цепями, соединя-
соединяющими два греческих символа латинскими звеньями:

. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 333
Кратчайшей такой цепью, если не считать самого компонентного
определителя [?"jj"] [==[iM], является
я это есть симметричная билинейная форма, соответствующая
заданной квадратичной. Более длинные цепи, коль скоро они не
равны нулю, получаются из этой умножением на степени дискри-
дискриминанта. Метод доказательства — тот же, что и выше.
Символический метод и-его применения получили столь ши-
широкое распространение в ходячих учебниках по теории инвари-
инвариантов, что мы ограничимся одним этим примером.
4. Иррациональные методы
Символический метод на самом деле отнюдь не является един-
единственным путем, на котором можно успешно достичь определения
конечного целого рационального базиса для инвариантов в про-
простых конкретных случаях. Иногда неожиданно быстро приводит
к результату применение надлежащих иррациональных методов.
В качестве примера докажем следующее предложение:
Теорема (VIII.4. А). Каждый инвариант квадратичной фор-
мы от п переменных
выражается через дискриминант
Пусть с — значение заданного инварианта J для единичной
формы
D.2)
Если J — инвариант веса h, то для формы D.1), получающейся
из D.2) линейной подстановкой
с определителем Д = det[(alk), J будет равен
с.ДА.
Так как
?> = Д2,
то получаем:
D.3)

334 глава vni
Пусть теперь gik = gki— произвольно заданные значений С не-
ненулевым определителем D. После надлежащих квадратичных
расширений основного поля форма с этими коэффициентами мо-
может быть преобразована в единичную форму. Поэтому D.3) вы-
выполняется для любых таких значений gik и, следовательно, яв-
является тождеством. Принимая во внимание, что D есть непри-
неприводимый полином от ~п{п-\-\) переменных gik, заключаем из
D.3), что J(g) сам должен быть степенью D с постоянным мно-
множителем, т. е. что h четно и
л
Для доказательства неприводимости симметричного опреде-
определителя
8п • ¦ • Su
делаем индуктивное предположение, что Da_1 неприводим. Da есть
линейная функция переменной gaa:
Если бы Da распадался на два множителя, то один из них был
бы степени 1 относительно gan, а другой — степени 0:
{JZ, В', С не зависят от gaa), т. е.
Так как Da_l неприводим, то либо В, либо С должно быть
постоянной, не зависящей ни от каких gik. Поскольку второй
случай не дает действительного разложения определителя Dai
мы можем принять, что 5 = 1, откуда
Но простой пример
показывает, что Dn(gaa — Q) не делится на Da_v в противо-
противоречие с D.4).

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 335
К бинарной кубичной форме
легко применить аналогичный „иррациональный" способ. Поло-
Положив ио=1 и ? = г-, решаем кубичное уравнение
' йз = E _ aj) (g _ a2) (g _ a3).
Тем самым инвариант У становится симметрическим полиномом
от корней alt a2, a8. Из того факта, что единственным проек-
тивно инвариантным соотношением между тремя точками av a2, a3
на прямой является совпадение, легко заключаем, что рассматри-
рассматриваемый инвариант должен быть степенью дискриминанта
D = 27 (а, — а2J (а2 — а3J (а, — а^
с постоянным множителем. Единственным проективным инвариан*
том, зависящим от четырех точек ?, av a2, a3 прямой, является
двойное их отношение
которое, однако, при перестановках трех корней ap a2, as при-
принимает 6 значений
Это без особого труда приводит к полному списку ковариантов.
Кроме самой формы /, получаем еще две другие формы, одной
из которых, как легко проверить, является гессиан — 4Я формы /,
а другой — якобиан t форм / и Н. Четверка ковариантов D, /,
Н, t связана одним соотношением
(сизигия). В руководствах по теории инвариантов эти резуль*
таты выводятся с помощью символического метода 13J.
5. Дополнительные замечания
Прежде чем погрузиться в глубокие воды, скользнем по поверх-
поверхности парой замечаний относительно общих инвариантов. Возь-
Возьмем ситуацию, описанную в § 5 главы I: даны группа у и не-
некоторое число переменных величин х, у, ... , типы которых

336 ГЛАВА VIII
определены (неприводимыми) представлениями группы у, и иссле-
исследуются относительные инварианты J от таких аргументов. Как
полином от компонент величин х, у,..., J(x, у, ...) может
быть приводимым; мы разлагаем его на простые множители:
Возникает вопрос, будут ли простые полиномы /,, ... , Jh от-
относительными инвариантами. При некоторых ограничениях на
природу группы у эт° оказывается верным:
Теорема (V1II.5.A). В предположении, что группа у
не имеет никакой подгруппы конечного индекса {за исклю-
исключением самой себя), каждый простой множитель относитель-
относительного инварианта является относительным инвариантом.
Преобразования
х—*х\ у-+/,...,
индуцированные групповым элементом s, приводят к равенству
с мультипликатором \ == X {s), или
ЛЧх'.У,• • •)•#(*'./, • ¦ •) • ..=1-Л'(х,у,...)#{*,у, ••¦)••¦
Следовательно, j[ — Jy (x't у', ...) должно быть произведением
каких-то простых множителей, стоящих в правой части, и то же
верно для /2, ... В каждом случае число множителей (которое,
самое меньшее, равно единице) должно быть точно равно еди-
единице, так как иначе произведение в левой части состояло бы
более чем из ех -\- е2 -f-... простых множителей. Следовательно,
мы будем иметь равенства вида
где olt ... , аА — некоторая перестановка индексов 1,..., ft.
Те элементы 5, для которых эта перестановка есть тождество,
очевидно, образуют в у подгруппу индекса =^ А!.
Для полной линейной группы и классического случая инва-
инвариантов форм J(u, v, ...) удобнее рассматривать преобразован-
преобразованный J(u', v', ...) как полином от a, v, .. .и от коэффициен*
тов преобразования aik. Мультипликатор \ (Л) равен Д*. Оперируя
в только что описанной области, мы придем к равенству вида
Ух (в', v',...) = A*4(«. ".-••)•

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 337
Специализация aik^=bik сразу покажет тогда, что а=1. Здесь
нам не пришлось вникать в строение рассматриваемой группы:
Теорема (VIII. 5. В). В случае полной линейной группы
каждый простой множитель инварианта, зависящего от
обобщенных величин и, v, ... , есть сндва инвариант.
В качестве применения возьмем дискриминант D бинарной
кубичной формы. Вследствие отсутствия инвариантов низших
степеней он необходимо неприводим. Этот факт надлежит ис-
использовать при детальном проведении данного выше в наброске
доказательства того, что каждый ковариант выражается через
четыре базисных коварианта D, /, Н, t.
Второе наше замечание нацелено совершенно в другом на-
направлении. Предположим, что рассматриваемые инварианты зави-
зависят от нескольких величин х, х', ... одного и того же типа,
описываемого представлением A (s) степени п (а также, возможно,
и от других аргументов).
• Теорема (VIII. 5. С). (Теорема Паскаля.) Инвариан-
Инварианты,-зависящие от т величинх, х', ... одинакового типа A(s)
степени п, могут быть выражены посредством поляризации
а линейной комбинации через инварианты, зависящие не бо-
более чем от п таких величин. Привлекая относительный инва-
инвариант [дгд;'...], мультипликатор которого равен \A{s)\,
можно даже свести число аргументов к п — 1.
Это предложение является непосредственным следствием
тождеств Капелли. Например, изучая одновременные инварианты
нескольких бинарных кубичных форм, можно ограничиться че-
четырьмя или даже тремя такими формами.
6. Теорема Гильберта о полиномиальных идеалах
Как было указано в § 2 главы II, Гильберт положил в осно-
основу доказательства основных теорем теории инвариантов общее
предложение относительно полиномиальных идеалов, являющееся
одним из простейших и важнейших во всей алгебре. Рассмотрим
кольцо R, в котором каждый идеал имеет конечный базис.
Примерами таких колец могут служить поле k или кольцо обык-
обыкновенных целых чисел. Теорема Гильберта утверждает, что это
свойство не теряется при присоединении неизвестной.
Теорема (VIII.6.А). Если каждый идеал в кольце R
имеет конечный базис, то это же верно и для кольца R\x\.
В этой модернизированной обобщенной, форме предложение
Гильберта сразу подсказывает и те шаги, которые следует
22 г. Вейль

338 ГЛАВА VIII
предпринять для его доказательства. За самим доказательством я
отошлю читателя к „Современной алгебре" ван дер Варде-
наШ. Повторное применение распространяет эту теорему на
кольцо R [jCj ... д;п] полиномов над R от любого числа неиз-
неизвестных" *,, ..., хп. Специализируя R либо как поле k, либо
как кольцо всех обыкновенных целых чисел, получаем два пред-
предложения, сформулированных самим Гильбертом Ш;
Теорема (VIII.6.В). Если k — поле, то каждый идеал
в кольце k[Xj ... ха] имеет конечный базис. То же остается
верным, если заменить k кольцом обыкновенных целых чисел.
Возьмем любое множество §={а} чисел а из кольца /?,
обладающего тем свойством, что каждый идеал в нем имеет
конечный базис. Совокупность всех чисел вида
F.1) *i«i + *A+---,
где (Хц а2, ...—любая конечная последовательность элементов
из |, а \и 12, ... — произвольные элементы из R, представляет
собой идеал (g), наименьший идеал, содержащий множество §.
Определив в (§) конечный базис и выразив каждый из его эле-
элементов в форме F.1), получим конечное множество чисел
av av ... , ah из (§) такое, что каждое число из § будет иметь вид
+•••+>*«* (У 6 Я)-
(Однако, поскольку § не предполагается идеалом, вовсе не обя-
обязательно, чтобы, обратно, каждое число этого вида принадлежало §.)
1. Доказательство первой основной теоремы для GL{n)
Для простоты рассмотрим инварианты J(u), зависящие от
Одной переменной формы A.1) заданной степени г. В кольце k [a]
всех полиномов, зависящих от переменных коэффициентов
чг ...г„> мы рассмотрим множество ^, состоящее из всех ин-
инвариантов J{u), не сводящихся к постоянной (исключить по-
постоянные весьма важно). Согласно заключительному замечанию
предыдущего параграфа,- выделим конечное число инвариантов
• ЛИ. •••. ЛИ»
не сводящихся к постоянной и таких, что каждый не сводя-
сводящийся к постоянной инвариант J(u) будет линейной их комби-
комбинацией
G.1) J(u) = Li(u)

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 339
с полиномиальными коэффициентами Lt{u). Предположим, что
У; У1( . .. , Jh однородны, степеней \i; щ, ... , jxA. Равенство
G.1) не нарушится, если вычеркнуть в L.(u) все члены, степень
которых отлична от jjl —— р.^, так что мы можем считать коэф-
коэффициенты в ?((и) однородными, „правильных" степеней jx — \xt.
(Тогда при jj^^>ji коэффициент 1/{и) будет нулем.)
Этот первый шаг имеет общую значимость и вовсе не огра-
ограничивается классическим случаем. Теперь мы попытаемся пока-
показать, что только что определенные инварианты УДк) обра-
образуют целый рациональный базис для всех инвариантов. Этот
второй, шаг будет специфичен для группы GL(n). Воспользуемся
тем же приемом, который послужил для доказательства теоремы
Грама. Подставим вместо иГ) г в соотношение G.1) абсо-
абсолютные коварианты
0-6) а*1.;.гМ> •••. 1").
определенные формулой A.5). Для инварианта J(u) веса g мы
имеем
J(u*) = Eg- J (и),
где Н обозначает определитель [jj1 ... г/1]. Поэтому
G.2) Eg-J(u) = Lx (и*)• H*/x (и) + ... + Lh(и*)• Н*\/й(и).
Н есть ковариант веса —1; следовательно, множители
суть коварианты веса —g{. Q-процесс Кэли
д д
I1
превращает коварлант веса g*, зависящий от п контра вариант-
вариантных векторов г;1 rf, в ковариант веса^*-|-1. Следова-
Следовательно, подвергнув G.2) g раз Q-процессу, мы получим в ре-
результате соотношение
G.3) cg.J{u) = L\{t
где cg есть постоянная
а *
22»

340 глава vtil
суть коварианты веса g—gt, или, лучше, поскольку они уже
не содержат переменных ij1,..., г/1, — инварианты этого веса.
Скоро мы убедимся в том, что cg=^0. Считая это важное об-
обстоятельство уже доказанным, мы делим G-3) на cg и в резуль-
результате приходим к такой нормировке коэффициентов Z-Ди) в G.1),-
при которой они становятся инвариантами.
Утверждение, что каждый инвариант /(й) степени ц выра-
выражается через инварианты /; (и), доказывается теперь индукцией
по ц. Это утверждение тривиально для }Л = 0, когда J(u) есть
постоянная. Так как каждый из инвариантов J{ (и), по крайней
мере, — степени 1, то инвариантные коэффициенты Z.(-(a) в G.1),
только что полученные нами с помощью Q-процесса, будут сте-
степени, низшей чем ц; а если они выражаются через инварианты У, (и),
то это же верно и для J(u).
Чтобы показать, что с =?0, заметим, что Яе есть форма
с целыми коэффициентами от переменных r(k и что Qs—точно
такая же форма от дифференциальных операторов —j. Но если
— любая форма степени s, и
То, как показывает простое вычисление,
Отсюда следует, что с в действительности есть положительное
целое число.
Рассматривая инварианты У, зависящие от нескольких обоб-
обобщенных величин и, v, . .. , мы можем без какого бы то ни
было ограничения общности считать, что сигнатуры {rv ... , гп)
этих обобщенных величин удовлетворяют условию rn ^ 0. Из
доказательства обобщенной теоремы Грама ясно тогда, как
ввести аналог ковариантов A.6). Суммируем:
Теорема (VIII.7.A). Относительные инварианты для
полной линейной группы GL(n), т. е. абсолютные инварианты
для SL(n), зависящие от нескольких обобщенных величин
и, v, ... , обладают конечным целым рациональным базисом.

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 341
Как было упомянуто в § 2 главы II, вторая основная теорема
содержится в следующем общем алгебраическом утверждении:
Теорема (VIII.7.B). Все соотношения, связывающие за-
заданные полиномы, являются алгебраическими следствиями
конечного числа таких соотношений.
Действительно, если
Л (*„..., ^ = 4 (z),..., Jp{z)
— заданные полиномы от любого числа неизвестных г,, ... , zt,'
то соотношение есть такой полином R (tv ... , t ) от р неза-
независимых переменных t., что
R(Jt(z),..., Jp(z)) = 0.
Соотношения, очевидно, образуют в кольце полиномов идеал,
и этот идеал имеет конечный базис 14.
Шле k, в котором мы оперируем, всюду здесь может быть
любым полем характеристики 0.
8. Метод присоединения
Рассмотрим групповую характеристику {п—1)-мерной аффин-
аффинной геометрии:
где единственным ограничением, наложенным на a[t aik, является
равенство
det (a/A) = l.
l,k—2 a
?1( 52, • • • . ?я СУТЬ однородные координаты точки. Аффинная гео-
геометрия получается из проективной с полной унимодулярной
группой SL(n) путем присоединения „бесконечно удаленной
плоскости"
в качестве абсолюта. Аффинное свойство геометрической си-
системы есть ее проективное отношение к абсолютной плоскости.
Это подсказывает способ образования аффинных инвариантов

342 ГЛАВА VIII
основных форм и, v, ... : присоединяем к основным формам
произвольную линейную форму
(8.2) /
и строим проективные инварианты J(u,v,...; l) для системы
a, v, ... ; /; тогда J(u, v, ... ; /), очевидно, является абсолют-
абсолютным инвариантом относительно аффинной группы (8.1). Возни-
Возникает вопрос, все ли аффинные инварианты получаются таким
"путем. Тогда мы были бы вправе, поскольку это касается инва-
инвариантов, рассматривать аффинное пространство как проективное
пространство с абсолютной плоскостью М.
Утвердительный ответ на нащ вопрос легко получается пу-
путем комбинирования символического метода с построением целого
рационального базиса типовых векторных инвариантов для аффин-
аффинной группы, выполненным в § 7 главы II. Заданный аффинный
инвариант J(u,v, ...) сперва заменяется его символическим вы-
выражением, аффинным инвариантом /(«, а', ...; v, v\ .. . ; .. .)>
зависящим от группы ковариантных векторов и, и', ... , v,
v', ... , .... у выражается через компонентные определители
[х...уг]а и [х...у]и_1 = [ех...у]и.
Вводим произвольную линейную форму (8.2) и заменяем в этом
выражении для j каждый компонентный определитель
Iх •••У]*-! На [lX...y\
тем самым превращая аффинный инвариант J(u, и', .. . ,v,
v', .. . , ...) в проективный инвариант у* (/; и, и',. .. , v,
v', ... , ...)*). Затем возвращаемся к несимволическому выра-
выражению, что возможно, поскольку /*, так же как и j, имеет
правильные степени по всем аргументам а, и', ,.. , v, v',.......
(равные степеням основных форм и, v;.. .). Таким образом .мы
получаем проективный инвариант J* (I; и, v, .. .), для которого
В § 7 главы II мы обобщили аффинную группу на случай, когда
абсолютом служит линейное многообразие не л — 1, ал — 2
или п — 3 или ... измерений. Рассмотрим случай размерности
*) /* может состоять из нескольких членов различных степеней
по /, где каждый член есть инвариант, однородный относительно /,
равно как и относительно и, и',..., v, и',

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 843
п — 2. (п — 2)-мерное линейное многообразие Мл_2 является
пересечением двух плоскостей / и /':
и имеет антисимметричные координаты
(8.3) h^4\-l'h-
Одномерная прямая {?, г)}, соединяющая две точки 5, i), пере-
пересекает Мл 2, если
Для произвольного антисимметричного (ковариантного) тензора tik
ранга 2 это уравнение определяет комплекс прямых. „Спе-
„Специальные" комплексы прямых Мя_2, описываемые формулой (8.3),
удовлетворяют квадратичным соотношениям
(8.4) V23 + V3i + Vi2 = 0,
(где 1, 2, 3, 4 можно заменить любой четверкой из я инде-
индексов 1, 2, ... , я). Для интересующей нас группы абсолют яв-
является таким специальным'^омплексом прямых М„"_2 с
1 = е = (\, 0, 0,..., 0), /' = «' = @,1,0,...., Of
или
(8.5) 'i2 = — '2i=1> все остальные //А = 0.
Символическое выражение / инвариантов J(n, v, ...) для этой
группы будет кроме полного компонентного определителя
\ху . .. z]n включать компонентный определитель [х ... _у]и_2-
Мы заменим последний знакопеременной суммой
распространенной на все перестановки iv i2, /3, ... , ia инде-
индексов 1, ... , я, которая проективно инвариантна и при специали-
специализации (8.5) обращается снова в [х...у)п_г Результатом будет,
что инвариант J(u, v,...) от нескольких основных форм и, v,...
в аффинном пространстве .ранга 2" получается путем специа-
специализации (8.5) из проективного инварианта, включающего, кроме
заданной системы основных форм, произвольный антисиммещ-

344 ГЛАВА V1H
ричный тензор lik ранга 2 (т. е. комплекс прямых). Чтб мы
хотим в этом случае подчеркнуть, это — то обстоятельство, что
в качестве нового аргумента в инварианты приходится ввести
произвольный комплекс прямых; нельзя удовлетворяться произ-
произвольным специальным комплексом прямых, хотя характеризую-
характеризующие его условия (8.4) и проективно инвариантны.
Если основные формы содержат как греческие, так и латии-
ские переменные, то список типовых базисных векторных инва-
инвариантов следует дополнить греческим компонентным определи-
определителем и тензором [$Tj]a, который мы заменим- на 2^*?/Ч*- Как
показывает эта замена, основной результат остается в силе.
Тот же метод присоединения применим и к' важному случаю
ортогональной группы. Благодаря теории относительности по-
получила широкую известность трактовка ортогональных векторных
инвариантов как аффинных векторных инвариантов после при-
присоединения метрической основной формы
обращающейся в декартовой системе координат в единичную
форму
Проведенные выше рассмотрения дают обоснование этого спо-
способа, если заметить, что любой (четный или нечетный) ортого-
ортогональный векторный инвариант выражается через компонентные
определители [ху ...г] и скалярные произведения (ху). Первые
инвариантны относительно полной линейной группы, и то же
верно для скалярных произведений, если записывать их в виде
(8-8) (*У)=г2Ъ**Л
и считать зависящими не только от пары ковариантных векторов
хну, но и от произвольной (контравариантной!) квадратичной
формы (8.6). Инварианты форм для ортогональной группы полу-
получаются из инвариантов форм для полной линейной группы путем
присоединения сперва к системе основных форм контравариант-
контравариантной квадратичной формы (8.6), а затем- специализации (8.7). При
желании обойтись без введения контравариантной квадратичной
формы (8.6), можно прибегнуть взамен к ковариантной квад-
квадратичной форме
(8-9) 2**А5* («<* = **)

Su
si
Ух
• • • ё\п
¦¦•'sL
¦••Уп
xl
Xn
0
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 345
и затем заменить скалярное произведение (ху) проективным
инвариантом
(8.10)
[(8.10) есть произведение det(gik) на (8.6), где Цуй1 — матрица,
обратная к \\glk\\.]
Аналогично и для симплектической группы. В каждом случае
существование конечного целого рационального базиса устанав»
ливается применением теоремы (VIII.7.А). Замена основных форм
любыми обобщенными величинами и, v,... относительно полной
линейной группы не представляет никакого труда. Суммирую:
Теорема (VIII. 8. А). Для группы ступенчатых преобразо-
преобразований, ортогональной группы и симплектической группыкаждый
инвариант J (и, v,...), где и, v,... — обобщенные величины,
определенные относительно группы SL(n), может быть после
присоединения к аргументам и, v,... надлежащего „абсо-
„абсолюта* записан как инвариант относительно группы SL(n).
Я не хочу умалять это триумфальное достижение символиче-
символического метода. Однако, в отношении первой основной теоремы,
положение дел, устанавливаемое нашим предложением, еще не-
неудовлетворительно, поскольку обобщенные величины для SL(n)
не являются ни примитивными, ни наиболее общими величи-
величинами для рассматриваемых нами более узких групп. Я не
думаю, чтобы в этом отношении можно было многое сделать
в аффинном случае. В действительности представления / аффин-
аффинной группы не являются вполне приводимыми и это почти не-
непоправимо усложняет обозрение возможных величин для этой
группы. Для ортогональной и симплектической групп кругозор
значительно шире. Действительно, „обобщенная величина" будет
здесь пробегать тензоры F одного из подпространств, обозначае-
обозначаемых через Р0G'), где Т — допустимая диаграмма. Пусть е —
производящий идемпотент этого класса симметрии Т. Тогда мы
сперва заменяем аргумент F нашего инварианта J(F,...) на eF:
J*(F, ...) = J(eF, ...),
так что F пробегает теперь все тензоры из Р° (устранение огра-
ограничения симметрией). Всякий тензор F ранга г может быть одно-
однозначно разложен по теореме (V.6.A), и первое слагаемое Fo

346 ГЛАВА VIII
с нулевыми следами получается из F применением некоторого
линейного оператора t:
' А).
инвариантного относительно ортогональной группы и перестано-
перестановочного со всеми операторами из Шг, а потому принадлежащего
алгебре и>пг, описанной в §5 главы V. Очевидно, t — идемпотент.
Второй шаг состоит в замене аргумента F в У*, пробегающего
все тензоры с нулевыми следами, на'*/7:
У** теперь — ортогональный инвариант, определенный для любых
тензоров F ранга г (устранение условия, наложенного на следы).
Метод присоединения приводит тогда к проективному инвари-
инварианту J***(gik; F, ...), в котором к тензорам F, ... в качестве
аргумента присоединена квадратичная форма (8.9), причем
>,* F, • • .) = J(F, ¦ ¦ •) Для gth = blh и F€P0(.V . .г.), ...
Теорема (V1II.8.B). Пусть J(u,v, ...) — ортогональные
инварианты, зависящие от нескольких ортогональных обоб-
обобщенных величин и, v, ... Построением целого рационального
базиса для проективных инвариантов J{gik; F, ...), в которых
каждый аргумент а, ... заменен свободным тензором F со-
соответствующего ранга и к аргументам присоединена квадра-
квадратичная форма (8.9), устанавливается конечный целый рацио-
рациональный базис и для инвариантов J(u, v, .. .). То же mutatis
mutandis (с соответствующими изменениями) верно и для
симплектической группы.
В. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
9. Групповое ядро и алгебры Ли
Окрестность единичного элемента 1 локально эвклидовой не-
непрерывной группы есть топологический образ эвклидова про-
пространства, в котором композиция применяется лишь к элементам,
достаточно близким к центру 1. Назовем такое многообразие
групповым ядром, предполагая, что композиция, коль скоро
она определена, обладает теми же свойствами, что и для непре-
непрерывной группы '7i. Каждое ли групповое ядро может быть про-
продолжено до полной группы (образуя на ней некоторую окрест-

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 347
ность единичного элемента),—трудный вопрос, лежащий за
пределами нашего современного знания. Элементы предполагае-
предполагаемой группы можно было бы ввести как произвольные конечные
цепи а,аг...ад элементов at группового ядра. Трудность лежит
в том, чтобы решить, при каких условиях две такие цепи сле-
следует отождествить.
Однако, если существует группа у с заданным групповым
ядром у0, то можно точно установить, до какой степени она
определяется ядром. (Если у состоит из нескольких отдельных
кусков, то мы принимаем в расчет только кусок, содержащий
точку 1, который сам является группой; остальные куски, его
смежные классы, считается вне игры.) Мы имеем здесь перед
собой просто частный случай вопроса о том, в какой степени
многообразие известно на всем своем протяжении, если оно ло-
локально известно в каждой точке 1*1. Ответ на этого рода вопрос
доставляет универсальное накрывающее многообразие; докажем,
что оно является непрерывной группой с тем же групповым
ядром у0. Эту односвязную группу обозначим теперь через у.
Каждая группа у' с ядром у0 имеет у своим универсальным на-
накрывающим многообразием. Другими словами, каждое продол-
продолжение ядра у0 до целой группы у' получается из наиболее
„полной" такой группы у путем проектирования: берется про-
произвольная дискретная группа {S) непрерывных автоморфизмов S
многообразия у: р—>р' без неподвижных точек, и точки груп-
группы у, эквивалентные относительно {S}, отождествляются. При
этом точки р, р' эквивалентны относительно {•?}, если они полу-
получаются одна из другой посредством некоторого преобразования S
из группы- {S}: p'=zSp. Дискретность означает, что никакое
множество взаимно эквивалентных точек нигде на у не имеет
точки сгущения. Отсутствие неподвижных точек означает, чтЬ ни
для какого преобразования S из {S}, отличного от тождествен-
тождественного, не существует точки р, для которой бы Sp=p. Таким
образом, нам надлежит показать следующее: пусть у, у' — две
группы с общим ядром у0 и пусть у односвязна; тогда суще-
существует определенное непрерывное гомоморфное отображение
р—*р' группы у на у', являющееся тождественным в ядре у0.
Функция р'= <р (р) строится хорошо известным процессом про-
продолжения, впервые примененным в области аналитических функций
Вейерштрассом. Если <р (/?)=// известна для* точки рй, то в
окрестности р0 мы определяем эту функцию формулой
<р(роа) = /?•«,

348 ГЛАВА VIII
где а — элементы ядра у0. Так, путем последовательных про-
продолжений вдоль какого-нибудь пути, ведущего от 1 к р, мы
придем к определенному образу у(р)=р' в конечной точке р.
Вообще говоря, р' будет зависеть не только от конечной точки,
но и от пути. Однако, если у односвязна, то продолжение вдоль
различных путей, ведущих от 1 к р, необходимо приведет
к одному и тому же <р (р). Рассматривая точку р' = f (p) как
„след" точки р, мы превращаем у в (неограниченное, неразвет-
вленное) многообразие, накрывающее у', и группа накрывающих
преобразований 5 группы у над у' строится известным образом.
Все это —не что иное, как топологический прием, к кото-
которому всегда обращаются, когда нужно установить связь между
происходящим в малом и в большом; лишь один момент специ-
специфичен для теории групп, а именно, что универсальное накры-
накрывающее многообразие у непрерывной группы у есть снова не-
непрерывная группа. Точка р многообразия у определяется точкой р
группы у и путем, ведущим на у от центра 1 к р. Два пути,
ведущие от 1 к р, определяют на у одну и ту же точку р
в том и только в том случае, если их можно непрерывно де-
деформировать один в другой, не смещая концов 1 и р (или если
и тот и друсой путь приводит к одной и той же конечной
точке на каждом неразветвленном неограниченном многообразии
у* над у, в предположении, что они начинаются от одной и
той же точки 1*). Считая примыкающими к пути, определяю-
определяющему точку р, все пути, начинающиеся ври лежащие в задан-
заданной .(эвклидовой) окрестности точки р, получаем] окрестность
точки р. Путь описывается непрерывной функцией р(Х), аргу-
аргумент которой X изменяется в интервале Ог^Х=^1 вещественной
оси, тогда как значения ее р(Х) берутся из у; путь соединяет
1 и р, если р@)=1, рA) = р. Если точка р над р задана
путем р (X), a q над q— путем q(]i.), то мы можем определить pq
путем, состоящим из пути ^(Х) {0<:Х<;1}, продолженного
путем
Р-д{1 — 1) iKK2},
получающимся из q(]i) левым сдвигом на р. В совокупности это
дает путь, который можно получить из
/
заставляя точку (X, }х) описывать ломаную @, 0) —> A, 0) —> A, 1).
Тот же результат даст и ломаная @,0)—*@, 1)—>¦(!, 1), по-

общая Теория инвариантов 349
скольку одна из этих, ломаных может быть деформирована
в другую внутри квадрата {0 =g: X =^ 1, 0 <; |Л *S 1}. Вполне до-
допустимо также вместо этих ломаных взять диагональ квадрата
Первые два определения показывают, что pq непрерывно по q
равномерно относительно р и непрерывно по р равномерно отно-
относительно q, откуда следует непрерывность по совокупности аргу-
аргументов (р, q). Диагональное же определение показывает, что
элемент р-1, определяемый путем р~1 (X), обратен к р.
То же рассуждение, что и примененное нами при построении
функции р' = <р(р), приводит к заключению, что любая непре-
непрерывная реализация, в частности любое непрерывное представление
группового ядра у0 может быть однозначным образом продол-
продолжено до целой односвязной группы у. Однако получающееся
в результате представление, вообще говоря, не будет однознач-
однозначным на „менее полных" группах у', порождаемых ядром у0.
При определенных условиях дифференцируемое™ групповое
ядро приводится к (и воспроизводится по) его инфинитезималь-
ним элементам а, Ь, ..., которые образуют не только линей-
линейную совокупность, касательную плоскость к группе у в начале 1,
но даже некоторого рода алгебру М. Кроме сложения и умно-
умножения на числа, подчиняющиеся правилам, обычным для всех
линейных систем, мы имеем еще умножение [ab\ (соответствую-
(соответствующее образованию коммутатора sts~4~l двух групповых элемен-
элементов s, t), удовлетворяющее закону дистрибутивности по обоим
сомножителям:
Га -f- я', Ь] = lab] -f- \a'b\ Га, b -4- Ь'Л = lab] -4- lab']
(9 1) r ' г
^¦> [ka,b] = l[ab] [a,\b] = l[ab]
(X — любое число). Однако взамен закона ассоциативности
имеются антикоммутативность
(9-2)
и правило Якоби
(9.3) . [а[
Числа берутся здесь из континуума К. В честь Софуса Ли та-
такую алгебру называют ныне алгеброй Ли. Алгебру Ли, состав-
составленную инфинитезимальными элементами группы или группового
ядра, мы будем называть инфинитезимальной группой. Каждая

350 ГЛАВА VIII
алгебра Ли а над "К порождает и однозначно определяет груп-
групповое ядро, для которого а служит инфинитезимальной группой.
Остается, однако, сомнительным, продолжаемо ли групповое ядро
до целой- группы '9а'. Сам Ли недостаточно отдавал себе отчет
в этом последнем пункте, так как его интересы целиком кон-
концентрировались на вопросах в малом. Следует подчеркнуть, что,
независимо от его значения для непрерывных групп, понятие
алгебры Ли применимо к любому числовому полю k; оно является
в такой же степени чисто алгебраическим и так же достойным
независимого алгебраического изучения, как и понятие ассоциа-
ассоциативных алгебр. Для группы линейных преобразований или мат-
матриц „коммутаторным произведением" двух инфинитезимальных
элементов А, В оказывается
(9.4) [АВ] = АВ — ВА.
Поэтому отображение а—>-Л, где' а пробегает алгебру Ли,
является представлением этой алгебры матрицами, если из а —> Л,
b—»? следует
(X — любое число).
И это снова — чисто алгебраическое понятие. Очевидно, без на-
наличия законов (9.1—3) всякая надежда на получение точного
представления абстрактной алгебры Ли была бы подрезана
в корне.
Формула (9.4) является единственным моментом во всей тео-
теории Ли, имеющим прямое отношение к нашим исследованиям.
Поэтому мы дадим ее доказательство. Интегралообразное повто-
повторение инфинитезимального линейного преобразования А приводит
к однопараметрической группе X(s) преобразований; для нахо*
ждения ее следует проинтегрировать дифференциальное уравнение
С начальным значением Х@) = Е. Это выполняется с помощью
показательной функции ехр(л4), которая для матриц опреде-
определяется совершенно так же, как и для чисел:
00
ехрЛ= lim (Е+ ?¦)*= Y ~А\
Имеем

О БЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 351
Образуем из
X (s) = exp (sA), Y (t) = exp (tB)
коммутатор
нам нужно доказать для него предельное соотношение
Z(s,t) —
st
АВ — ВА при (s, t) —> @, 0).
Для любой функции f(s, t), при 5=0 обращающейся в нуль
тождественно по t, а дри >=0 — тождественно по s, имеем
Я
о о
в предположении, что производная, стоящая под знаком инте-
интеграла, существует и непрерывна, так что
при (М)-@,
Чтобы применить это к Z (s, t) — Е, вычисляем
-X'(s)Y(t)X(-s)Y'(-t)-\-X(S)Y(t)X'{-s)Y>(-t).
При *2=0, ^:=;0 это переходит в
АВ — В А — АВ-\- АВ = АВ — ВА.
1' является инвариантной подгруппой группы у, если для
любого t из у' и любого s из у элемент sts—1 или коммутатор
sts~4~x принадлежит у'- Соответственно для алгебр Ли: линей-
линейное подпространство а' из а является инвариантной подалгеброй
алгебры а, если для каждого х из а' и каждого а из а про-
произведение [ах] лежит в а'. Таким образом, адэкватным описа-
описанием этой ситуации мог бы служить термин „идеал в а". Со-
Совокупность всех элементов вида [ab] (а, Ь ? а) и их линейных
комбинаций, очевидно, является такой инвариантной подалгеброй
а' в а, соответствующей коммутаторной группе в теории групп;
Ли называл эту подалгебру производной алгеброй.

352 ГЛАВА VIII
10. Дифференциальные уравнения для инвариантов.
Абсолютные и относительные инварианты
Для полинома f{x,x', ...), однородным образом зависящего
от компонент каждого из векторов х, х', . .., и системы
A0.1) а = (А,А',...)
линейных операторов в соответствующих векторных простран-
пространствах можно образовать дифференциал .
полагая
ч dx = Ax, dx' = A'x',...
f есть инвариант относительно системы а инфинитезимальных
преобразований, если daf=O. Пусть Ь = (В, В', ...) — другая
система таких преобразований. Для любых двух чисел 1 и ц
можно образовать линейную комбинацию
Кроме того, как легко проверить,
где [ab] обозначает систему
(АВ — ВА, А'В' — В'А', ...).
Если поэтому
то одновременно мы должны иметь и
Это, пожалуй, — быстрейший путь установления трех основных
операций инфинитезимальной группы или „алгебры Ли". Инва-
Инварианты / характеризуются дифференциальными уравнениями
A0.2) dJ=0,
где а пробегает абстрактную алгебру Ли а, матрицы же А, Л', ...
в A0.1) суть матрицы, представляющие а каждая в своем пред-
представлении. Это — снова чисто алгебраическая схема; мы уже
пользовались ею для ортогональной группы в главе II.

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 853
Относительный инвариант характеризуется уравнениями
A0.3)
Число ха, инфинитезимальный мультипликатор, является линей-
линейной функцией от а, и так как из
следует
db (dj) - da (dbf) = xaxbf - xbxj = 0,
то Х[аь-\ равно нулю, т. е. инфинитезимальный мультиплика-
мультипликатор ха обращается в нуль для всех элементов а производной
алгебры Jlit.
Примеры. A) SL(n). Инфинитезимальная группа *1 (я) со-
состоит из я-строчных матриц со следом 0. Равенства
1 ОХ/О IN /0 \\(\ 0\/0 2\
0 — 1Д0 0) \0 оДо — 1/ \0 0J'
(О \\@ 0W0 OV0 1W1 0\
\о оД1 о, и одо р;—\о —iy
показывают, что для п ^ 2 производная *(' совпадает со всей
алгеброй Ли *(. Следовательно, существуют только абсолют-
абсолютные инварианты.
B) О(п). Ее инфинитезимальная группа состоит из косо-
симметричных матриц. Обозначая через Slk {i^=k) матрицу,
имеющую -\-\ на месте (ik), —1 на месте (k!) и нули — на
всех остальных местах, легко проверяем, что
Поэтому при я ^ 3 производная о' (п) снова совпадает со всей
о (я), и относительных инвариантов- не существует.
C) То же верно и для Sp (я) с ее инфинитезимальной груп-
группой §р(я).
D) У группы GL(n) инфинитезимальная группа I состоит из
всех вообще я-строчных матриц Л=||а/А||. Пример A) показы-
показывает, что производной Г служит SL Поэтому инфинитезимальный
мультипликатор хА должен быть кратен следу;
A0.4) xA = g(au-\- ...+«„„)•
Эти результаты относительно алгебр Ли сохраняют силу при
любом числовом поле k. В случае А=К они влекут за собой
определенные следствия для соответствующих непрерывных групп.
Допуская для компонент alk общей матрицы наших групп
23 Г. Вейль

354 ГЛАВА VIII
произвольные комплексные значения, следует иметь в виду, что
их вещественные и мнимые части надо рассматривать как отдельные
параметры, а алгебру Ли — как определенную над К, а не
над Kf, если только не ограничиваться лишь аналитическими
представлениями, где возможно дифференцирование по комплекс-
комплексным параметрам. Поэтому в примере D) следует заменить A0.4)
утверждением, что хА б
ственной и мнимой частей следа, или равенством
A0.5) *A =
с двумя постоянными g, g'. Следующее замечание состой? в том,
что, исходя из инфинитезимальных элементов, можно делать вы-
выводы лишь о собственной части группы. Имея это в виду, мы
можем выдвинуть утверждение, что группа всех вещественных
или унитарных или комплексных унимодулярных преобразований,
группа всех вещественных или комплексных собственно ортого-
ортогональных преобразований и группа всех вещественных или уни-"
тарных или компл'ексных симплектических преобразований не
имеют относительных инвариантов. Действительно, каждая из
указанных групп состоит из одного куска. Для всей ортогональ-
ортогональной группы, охватывающей как собственную, так и несобствен-
несобственную части, мы сталкиваемся с различием между четными и нечет-
нечетными инвариантами. Что же касается группы всех вещественных
линейных преобразований А с положительным определителем | А \
нли группы всех унитарных преобразований, то находим, что
мультипликаторы относительных инвариантов этих групп необхо-
необходимо имеют вид | A \g, для группы же всех невырожденных ком-
комплексных линейных преобразований общий вид мультипликаторов
таков:
\А\е\А\*>;
ё (и ё') — произвольные вещественные или комплексные постоян-
постоянные. Если потребовать, чтобы представления, а потому и муль-
мультипликаторы, были однозначными на всей группе, то для уни-
унитарной и полной комплексной групп будут допустимыми лишь
целые значения g (и g'). Таким образом, топология бросает
свою тень на алгебраическую сцену.
E) Добавим еще один пример: группу всех вещественных
преобразований вида
Аг 0
* Аа

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 355
с положительными определителями | Ах \, \А%\ (ступенчатые пре-
преобразования). Мультипликатор относительного инварианта необ-
необходимо имеет вид •
с двумя постоянными показателями gt и g2.
Метод, которым мы получили эти результаты, предполагает,
что мы имеем дело с представлениями, удовлетворяющими усло-
условиям дифференцируемости, позволяющим нам переходить к инфи-
нитезимальным элементам (представления Ли). С точки зрения
теории непрерывных групп это — серьезный недостаток инфини-
тезимального подхода. Если, однако, мы изучаем алгебры Ли
как таковые, то наши результаты содержат полный, не остав-
оставляющий желать лучшего, алгебраический ответ на чисто алгеб-
алгебраический вопрос.
11, Унитарный прием
Определение представлений инфинитезимальных групп для
классических групп
ОЦп), SL(n), О (л), Sp(n)
есть алгебраическая проблема, в независимое решение которой
Э. Картан внес решающий вклад. Естественно ожидать, что в об-
общем случае она более трудна, чем для простейшего случая пред-
представлений степени 1, рассмотренного в предыдущем параграфе.
Однако наша трактовка представлений унитарно ограниченных
rpynri с помощью метода интегрирования дает нам возможность
предсказать результаты, по крайней мере для полей К и К*.
Возьмем группу SL(n). Мы скоро увидим, что группа sU(n)
всех унимодулярных унитарных преобразований односвязна. По-
Поэтому любое неприводимое представление ее инфинитезимальной
группы s\i(n) приводит к однозначному непрерывному представ-
представлению самой группы sU(n), которое должно быть эквивалентно
одному из представлений
(ил) <Р(Л..-/И)> с /1>л>...>/,=0,
построенных нами в главе IV [ср. теорему (VII.5.C)].
Сравним теперь *ц(«) с алгебрами Ли sl(n) и *х(п) всех
комплексных и всех вещественных матриц с нулевым следом.
sU(n) и sx(n) обе получаются из *1(п) наложением требования
23*

356 ГЛАВА VIII
вещественности на некоторые параметры. Но эти ограничения
несущественны ни для какой линейной задачи. Мы столкнулись
с частным случаем следующей общей ситуации.
Пусть нам задана алгебра Ли а с базисом ех, ..., ег над
полем к. Расширим это поле до некоторого поля К- й превра-
превращается тогда в алгебру Ли аК над К, элементами которой слу-
служат все линейные комбинации
¦A1.2) a = Vi+--
с коэффициентами \р изменяющимися в К. (В нашем случае
k = K, К=К\) Пусть
a = (ev ..., ег), а' = (е[, ..., е'г)
¦—две алгебры Ли над k, совпадающие после расширения;
ак=а'к. Эта ситуация возникает, если е'. выражаются через ег
() 2
с коэффициентами у,-* из К и det (yrt) ф 0. Мы будем тогда
иметь
Xi'ei+ . .. -f l're'r = l1e1-\- ... -\-1гег,
где параметры X,-, X,' связаны друг с другом подстановкой
Если структура алгебры а описывается таблицей умножения для
элементов базиса:
г
|>*е*]= 2 <*/*,/«! {<*/*,! €*},
то преобразование A1.3) должно быть таково, чтобы коэффициен-
коэффициенты а' в
С е} e'k] = 2 а'-*,г е/
также лежали в k. Любому представлению
А,
алгебры а над К соответствует представление алгебры а' над К:
e't-*A'i D = 5! Т/И*)

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 357
и обратно, так что оба представления совпадают после расши-
расширения k до К.
В нашем случае мы заключаем, что каждое представление
инфинитезимальной группы *г(л) вполне приводимо и что ника-
никаких других неприводимых представлений, кроме соответствующих
представлениям A1.1), нет. Отсюда путем интегрирования вы-
вытекает:
Теорема (VIII. 11.А). Каждое представление Ли группы
всех вещественных унимодулярных преобразований вполне
приводимо. Никаких других неприводимых таких представ-
представлений, кроме рациональных, описанных ранее как ,обобщен-
ные величины", нет.
Более сложным является вопрос о выводе всех представлений
над К алгебры Ли аА- из таких же представлений алгебры а,
когда ак рассматривается как алгебра Ли над k. Чтобы дер-
держаться ближе к интересующему нас здесь случаю, предположим,
что К—квадратичное поле над k с определяющим квадратным
уравнением
Каждое число из К,
рв (а,
имеет своими „^-компонентами" о, JJ и своим сопряженным
X = а — рв. Рассматриваемая как алгебра Ли над k, aK есть
алгебра ра.нга 2г с базисными элементами ер дег В заданном
/(-представлении матрица, представляющая элемент A1.2), яв-
является, линейной комбинацией ^-компонент коэффициентов \t или
линейной комбинацией величин X; и X/:
ал +... + хл) + Mi +. • • +IA )•
Выставляя условие
' " [ab] -* АВ — В А = [АВ],
находим, что
A1.4) $1: ei—^Ai и Ш': el—*A>t
должны являться перестановочными друг с другом /^-представ-
/^-представлениями алгебры а = аЛ:
Предположим, что каждое /^-представление алгебры а разби-
разбивается на абсолютно неприводимые составляющие. Тогда пары

358 ГЛАВА VIII
перестановочных представлений A1.4) должны разбиваться на
блоки вида
где
и
абсолютно неприводимы; Е и ?" — единичные матрицы надле-
надлежащих степеней. Поэтому наше представление алгебры йк раз-
разбивается на части вида
A1.5) E(а)Х_
(а = 11е1 + • • • + Vr> a = hei + • • • +\er)-
Обертывающая (ассоциативная) алгебра линейной совокупности
матриц S (а) является полной матричной алгеброй; то же верно
и для S'(а). Обертывающая алгебра совокупности матриц A1.5)
содержит каждую матрицу вида
E') или
а потому и всякую матрицу вида S (а) X S' (а')~ Поэтому как
прямое произведение двух полных матричных алгебр она сама
есть полная матричная алгебра, и каждое представление A1.5)
абсолютно неприводимо.
Возвращаясь к нашему частному случаю и убеждаясь из диф-
дифференциального уравнения
в том, что A1.5) описывает кронекеровское произведение в тер-
терминах инфинитезимальных подстановок, мы можем выдвинуть
следующее утверждение 4°!:
Теорема (VIII. 11.В). Каждое представление Ли комплекс-
комплексной уйимодулярной группы вполне приводимо. Неприводимые
ее части имеют вид
(И.6) R(A)XR'(A),
где R и R' — два неприводимых представления типа A1.1).
Рассуждение, приведшее к теоремам (VIII.11.А.) и (VIII.11.В),
проходит и для симплектической группы, так как унитарно
ограниченная Sp (n) также односвязна. Однако оно необходимо
должно терять силу для GL (л). Представлением инфинитезималь-

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 359
ной группы 1(я) для л = 1 служит просто любая индивидуальная
матрица, а среди матриц имеются и не являющиеся вполне при-
приводимыми, например, матрица
**¦
1 1
О 1
Этого не могло бы случиться, если бы универсальное накрываю-
накрывающее многообразие для U(n) было компактно. В действительности,
U(n) не односвязна, и ее универсальное накрывающее многооб-
многообразие состоит из бесконечного множества листов.
И rpynha вещественных собственно ортогональных преобра-
преобразований не односвязна, однако ее универсальное накрывающее
многообразие состоит лишь из двух листов. Поэтому здесь снова
будет иметь место полная приводимость, хотя и следует ожи>
дать существования целой серии представлений инфинитезималь-
ной группы о (л), приводящих к двузначным представлениям са-
самой группы. Можно почти с уверенностью предсказать, каковы
будут характеры этих двузначных представлений: для них также
будут верны наши старые формулы типа (V1I.9.10), но в случае
n = 2v-\-\ нужно будет кроме систем „ полуцелых * чисел до-
допустить и системы целых чисел (/,,..., А,), в случае же n = 2v
будем иметь обратное положение t"!. Формула A1.6), где R и R' —
либо два однозначных, либо два двузначных представления и, кроме
того, надлежащим образом учитывается, что ортогональная группа
состоит из двух кусков, дает все однозначные неприводимые
представления комплексной ортогональной группы. Результаты,
полученные для вещественной ортогональной группы, остаются
в силе и для вещественных преобразований, оставляющих инва-
инвариантной невырожденную квадратичную форму с любой сигна-
сигнатурой.
Предположения дифференцируемости, указываемые в теоре-
теоремах (VH1.11.A) и (VIII. 11.В) упоминанием имени Ли, можно устра-
устранить путем замены каждого из базисных инфинитезимальных пре-
преобразований группы порождаемой им однопараметрической груп-
группой. И. Шур 1]°1 выполнил это для SL(n), Э. Mop 112J для Sp(n).
В случае О (я) двусвязность вызывает некоторые трудности,
помечавшие Р. Брауэру, в его трактовке группы О (п) по опи-
санно'му образцу, полностью изгнать дух топологии I13'. Другим
путем к достижению тех же целей является обращение к об-
общим теоремам о „лиевской" природе линейных групп I1*!.

360 ГЛАВА VIII
12. Связность классических групп
Теорема (VIII. 12.А). Группа "U (п) унимодулярных уни-
унитарных преобразований сдносвязна.
Я дам набросок доказательства, которым обязан устному со-
сообщению д-ра Витольда Гуревича; как и в других топологических
рассмотрениях, я не буду входить здесь во все детали 1151.
sU(n) содержит 'U{n — 1) как подгруппу своих матриц вида
1 0 ... 0||
0 * ...
о * ... *[
Два элемента Л и Л' из sU(ri) лево-эквивалентны по модулю
этой подгруппы, Л' = A-Ua_v т. е. принадлежат одному и тому
же смежному классу по sU(n — 1), в том и только в том случае,
если они имеют общий первый столбец
. (ava2, . . ., аа);
он является вектором длины 1:
A2.1) lail2-fKI2+ • •
При п 5г 2 любой такой вектор а служит первым столбцом в не-
некотором элементе из sU(n)\ действительно, всегда можно опре-
определить унитарный унимодулярный векторный базис ev ...,ea,
первым членом которого служит а: ех = а. Поэтому многообра-
многообразие рассматриваемых смежных классов топологически эквивален-
эквивалентно Bл—1)-мерной сфере A2.1) в эвклидовом пространстве
с вещественными координатами ffialt %аг Эта сфера односвязна.
Замкнутая кривая (цикл) С на sU(n) есть в то же время цикл
в многообразии смежных классов. Как таковой мы можем стя-
стянуть ее в единичную точку A,0, ...0) и тем самым деформи-
деформировать С в цикл на подгруппе sU(n-^ 1). Начатая так индукция
по п может быть доведена до я = 1. А так как 'U A) состоит
из одного, лишь элемента 1, то в результате нам удастся тогда
шаг за шагом стянуть С в единичную точку на sU(n).
Проведенное рассуждение как раз в этом последнем пункте
теряет силу для полной группы U(n). U A) есть окружность,
составленная из всех комплексных чисел, равных по абсолютной
величине 1, а окружность бесконечно связна: ее универсальным
накрывающим многообразием служит спираль с бесконечным чис-

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 361
лом витков. Каждый цикл С на U(n) деформируем в (~) крат-
кратное цикла Со, описываемого элементом
когда <р изменяется от 0 до 1. Вещественная функция Ф, опре-„
деленная на U (я) формулой deL4 = е (Ф) (являющаяся многознач-
многозначной, но не разветвленной), сразу показывает, что никакое кратное
цикла Со не ~ 0. Универсальное накрывающее многообразие
группы U(n) состоит из бесконечного множества „витков"; его
группа накрывающих преобразований является бесконечной дис-
дискретной циклической группой.
Рассуждение Гуревича применимо к вещественной собственно
ортогональной группе О+ («) и показывает, что любой цикл
на Оt(я) — кратному цикла Со, описываемого элементом
— sintP
coscf)
При я = 2 никакое такое кратное не -v-0. Однако на О+ C)
и, тем более, на 0+(я) при. я^=3, имеем 2С0 —- 0. Это дока-
доказывается либо с помощью кватернионного представления вращений
в трехмерном пространстве, отображающего трехмерную сферу
в четырехмерном пространстве на О+ C) так, что диаметрально
противоположные точки отождествляются, либо с помощью сле-
следующей картины. Берем два телесных прямых круговых конуса
раствора Я с общей вершиной, касающихся по образующей, один
из которых неподвижен, а другой катится по нему. Катящийся
конус совершгет замкнутое движение, совпадающее с 2Со для
a=90J и приближающееся к покою при a-^ieo^. Таким
образом, 2С0 непрерывной вариацией параметра а деформи-
деформируется в точку 1. Пока еще не закрыта возможность самому
циклу Со стать ~*. О для некоторых достаточно больших п. Что
это, тем не менее, не имеет места, легче всего доказывается
прямым построением простейшего из двузначных представлений,
так называемого спинорного представления, впервые открытого
и описанного в инфинитезимальной форме Э. Картаном. Дирак
обнаружил, что спиноры для я = 4 (четырехмерный простран-
пространственно-временной мир) отвечают в квантовой теории вращению
электрона; отсюда и наименование *). Существование спиноров
является столь важной особенностью ортогональной группы, что
*) От английского слова spin — вращение.

362 ГЛАВА VIII
в следующем параграфе мы дадим краткое их алгебраическое
описание 116J.
Унитарная симплектическая группа USp(n), /z = 2v, представ-
представляет лучший случай применить рассуждение Гуревича; для нее
индукция доводится прямо до п = 0. Смежный класс элемента А
из USp (л) по модулю USp (n — 2) характеризуется первыми
двумя столбцами этого элемента
а-={ах, ...,аа), b = {bv ..., bn).
Они должны удовлетворять условиям
A2.2) [ab} = \;
(<*«)*= 1, (bb)H=\, {ab)H = Q.
Вводя а по формуле (VI.2.14)-, видим, что равенство A2.2), т.е.
совместимо с
(а~а)н=\, {ЪЬ)Н=\
лишь если Ь= а. Действительно,
(а — р, а — Ъ)н= (аа)н-\-(ЬЬ)н — (аЬ)н — {Ьа)н-=
= 14-1 — 1 — 1=0.
Следовательно, в качестве необходимых и достаточных условий
получаем:
Смежные классы образуют многообразие, топологически эквива-
эквивалентное Bл — 1) = Dv — 1)-мерной сфере.
Между прочим, способ Гуревича дает наиболее простой путь'
вычисления размерности каждой из наших групп.
Теорема (VIII. 12.В). UO+ (n) при п ^г 3 имеет универсаль-
универсальное накрывающее многообразие, состоящее из двух листов;
USp (п) односвязна для каждого п == 2v.
13. Спиноры
Мы избираем тот же исходный пункт, что и Дирак в его
классической работе о вращающемся электррне, задаваясь вопро-
вопросом, нельзя ли рассматривать сумму квадратов п переменных xt
как квадрат линейной формы '"J:
A3,1) *»+...' + *« = (/>!*, + ..

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ
363
Коэффициенты р{ должны быть тогда величинами, удовлетворяю-
удовлетворяющими соотношениям
2
п величин pi этого рода определяют некоторую некоммутатив-
некоммутативную ассоциативную абстрактную алгебру }>; в "качестве ее ба-
базисных элементов мы можем принять 2я одночленов
где показатели а; — целые числа, определенные по модулю 2,
Правило умножения таково:
где
Рассмотрим сперва Четный случай л = 2v и будем наряду
с обозначением plt ...,pa пользоваться обозначением
A3.3)
Положим
Pv<l\
¦ • iFv'
О 1
ii о
О i
XIX..-XI,
XIX-..XI,
где число множителей равно v; матрицы
стоят на а-вом месте; 1, Г означают соответственно
О II
t о •
О г
—/ О
Эти равенства (знакомые специалисту по квантовой теории из
процесса вторичного квантования в случае статистики Ферми)
дают представление степени 2Ч нашей алгебры:
Строки и столбцы наших матриц можно отметить знаками -|-
и—, Поэтому в качестве индексов переменных лга..#а>в про-

364
ГЛАВА VIII
странстве представления служат комбинации знаков gg = -K
При этом, iPxQt=Ra равно
с Г на a-вом месте. Таким образом,
j(E±Ra), ^^...R^i
имеют вид
1X.-.X1XVX1X-..X1,
где V на я-вом месте есть одна из четырех матриц
0 О
1 О
Следовательно, наше представление алгебры р дает полную
матричную алгебру ранга' 2\ Вследствие совпадения рангов,
2" = BVJ, это соответствие является взаимно однозначным изо-
изоморфизмом.
Выполним теперь произвольное ортогональное преобразова-
преобразование о:
1
0
0
0
0
0
0
111'
0
0
1
0
k
p't удовлетворяют тем же условиям A3.2), что и р{; поэтому
= Y.olki)P
A3.4)
также является неприводимым представлением алгебры р. Но
из теоремы (III.3.E) мы знаем, что полная матричная алгебра
обладает лишь одним, в смысле эквивалентности, таким представ-
представлением. Другими словами, существует неособенная матрица 5 (о),
определенная с точностью до численного множителя однозначно,
такая, что
A3.5) Я,' = 5(о)Р,.5-1(о) (/=!, -...л).
Для пары ортогональных преобразований о, о' имеем
A3.6) . S(oo')~xS(o)S{o'),
где Y. — численный множитель, зависящий от о и о'. Действи-
Действительно, из

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ
365
образуя A3.5), получаем:
о' (II) р\ = S (о) 5 (о') Р^-Цо') 5-1 (о),
а согласно A3.4) левая часть есть
что, с другой стороны, равно
S (оо1) PtS-i(oo').
Коротко говоря, 5 (о) есть „проективное" представление группы
О (я).
До сих пор все вполне проходит в любом поле k, к которому
присоединен Y—!• Теперь же мы попытаемся так нормировать
произвольный масштабный множитель в 5 (о), чтобы превратить
проективное представление в обыкновенное „аффинное". Транс-
Транспонированная матрица Р* снова удовлетворяет условиям A3.2),
и потому существует матрица С такая, что
A3.7) Р^ — СР^-К
Матрицу С можно без труда выписать явно:
х--.
1°
ь
1
0
X
0
— i
i.
0
X
0
1
1
0
X
0
—— /
i
0
Из равенства A3.5) следует.
и, в силу A3.7),
есть также решение уравнений A3.5) для S (о). Поэтому
S (о) = р -CS(o)C-K
При замене S(o) на Х5(о), ?(о) умножается на -r-> a P заменяется
на г|-. Взяв k = Vpi мы нормируем масштабный множитель так,
что*?(о) будет удовлетворять условиям
S(o) = CS {o)C-K

366 ГЛАВА VIH
Знак в ±S(o) остается еще неопределенным. Так как и X—.
= S(o)S(o') и S(oo') удовлетворяют нормированному условию
х=схс-\
то множитель зе в A3.6) равен + 1. Тем самым мы вместо прое-
проективного получили обыкновенное, хотя и двузначное", представ-
представление zh^(o) степени 21; оно и называется спинорным пред-
представлением.
Выполненное нами нормирование предполагает возможность
извлечения квадратных корней. Построения в эвклидовой
геометрии с помощью линейки и циркуля алгебраически экви-
эквивалентны применению четырех арифметических действий и из-
извлечению квадратных корней. На этом основании поле, в котором
разрешимо каждое квадратное уравнение х2 — р = 0, называют
эвклидовым. Наш результат состоит тогда в том, что спинорное
представление можно построить в любом эвклидовом поле;
эвклидова природа поля существенна. Ортогональные преобразо-
преобразования являются автоморфизмами эвклидова векторного простран-
пространства. Лишь обладая спинорами, мы достигаем того уровня в тео-
теории представлений этих автоморфизмов, на котором сам Эвклид,
размахивая линейкой и циркулем, так искусно лавировал в
стране геометрических фигур. Эвклидова геометрия должна быть
глубоко связана с существованием спинорных представлений.
Оперируя в поле К*, легко убеждаемся в том, что диаго-
диагональное преобразование о из UO{n):
Р. ± Ч* — в {± <р J • {ра ± iqa)
представляется следующим диагональным S{o):
*.,...», -*е (т^ ~Ь • • • +*¦*»)) •*«. ••• *•
Это показывает, что когда о совершает оборот по окружности
Со: (ро=...=<р,_г = О; 0<<р,<1,
то 5 (о), непрерывно изменяясь, меняет знак. Поэтому 0+ (я)
наверняка не односвязна. Характер спинорного представления
оказывается равным сумме
распространенной на все комбинации знаков, — формула, под-
подтверждающая нашу догадку об общей природе характеров дву-
двузначных представлений.

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 367
Видоизменения, требуемые при /z = 2v +1, не очень серьезны.
К величинам A3.3) мы присоединяем еще р=ра, представляемое
матрицей
РЯ=ГХ1'Х...Х1'.
Тогда произведение всех наших Р в порядке P^Q^ . .. Р^Ра
равно FE. Дополнение формул A3.2) еще соотношением
сводит ранг 2"=2-BvJ алгебры р к BVJ, и наше представление
взаимно однозначно и изоморфно отображает тогда ее на пол-
полную матричную алгебру ранга 2*. Так как из A3.4) следует
то мы в состоянии каждому ортогональному преобразованию о
отнести матрицу S(o) порядка 2' так, чтобы
где знак -j- или — имеет место соответственно тому, является
ли о собственно или несобственно ортогональным.
По поводу дальнейших подробностей, включая случай неопре-
неопределенной основной метрической формы, столь важной для фи-
физики, см. цитированную выше работу Р. Брауэра и автора.
14. Конечный целый рациональный базис для инвариантов
компактных групп
Мы переходим теперь к тому существенному пункту разде-
раздела В настоящей главы, которому^ подчинены все остальные рас-
рассмотрения этого раздела.
Теорема (VIII. 14.А). Инварианты (абсолютные) J(x,y,...),
соответствующие заданному множеству представлений ко-
конечной или компактной группы Ли, обладают конечным це-
целым рациональным базисом.
На основании теоремы Гильберта о полиномиальных идеалах
выбираем сперва среди инвариантов, не сводящихся к постоянной,
конечное число
A4.1) Jx(x,y,...),...,Jh{xyy,...)
таких, что все указанные инварианты J(x, у,...) являются их
линейными комбинациями с полиномиальными коэффициентами:
' а
A4.2) j {х> Л ...) = J[L, (х, у,..,) УДдг, у,...).

368 ГЛАВА VlH
Следующим шагом было бы изобретение линейного процесса
©(/.), переводящего каждый полином L в инвариант и, кроме
того, удовлетворяющего условиям
для каждого инварианта J. Обладая таким процессом, выводим
из A4.2):
Так как ю (L/) — инварианты, то индукцией по степени докажем,
что каждый инвариант выражается через базис A4.1).
Процесс (о требуемой природы дается усреднением по
групповому многообразию:
Оно действует в любой конечной группе (в предположении, что
числовое поле не есть поле простой характеристики, делящей
порядок группы), а также в любой компактной группе Ли. Оно
действует во всех вообще компактных группах, поскольку они
допускают меру Хаара; наконец, оно действует в какой угодно
группе, если ограничиться неймановскими почти периодическими
представлениями. Наиболее важным примером, кроме конечных
групп, служат вещественная ортогональная группа О (л) над
вещественным полем К и ее двухлистное универсальное накры-
накрывающее многообразие.
В случае классических групп над К или К+ описанный спо-
способ применяется после того, как введено унитарное ограничение.
С помощью рассуждений, проведенных в §11, можно снова
освободиться от этого ограничения, либо заменить его некото-
некоторым другим условием вещественности. В результате получаем:
Теорема (VIII. 14.В). Инварианты классических групп,
соответствующие любым представлениям Ли над К, обладают
конечным целым рациональным базисом.
В действительности, мы доказали это раньше путем подроб-
подробного алгебраического исследования, основывавшегося на явном
определении всех представлений Ли, на й-ироцессе Кэли и ме-
методе присоединения. Но преимущества метода интегрирования,
его непосредственность и общность относительно природы группы,
очевидны. Большим его недостатком является то, что он имеет
силу лишь в одном поле К. Кроме того, группа ступенчатых
преобразований, которую мы до некоторой степени смогли охва-

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 369
тить методом присоединения, определенно находится за преде-
пределами достижимого методом интегрирования. Действительно, там,
где метод интегрирования применим, непосредственно или же
через посредство унитарного приема, он устанавливает и полную
приводимость и существование конечного целого рационального
базиса для инвариантов. Но первое предложение просто неверно
для только что упомянутой группы. Нам неизвестно ни одного
примера, где первая основная теорема об инвариантах была бы
неверна; но и доказательство ее, справедливое для всех вообще
групп, в равной степени неизвестно '18J. ¦
15. Первая основная теорема для конечных групп
Элементарное доказательство для конечных групп, не завися-
зависящее от общей теоремы Гильберта о полиномиальных идеалах,
дала Э. Нетер!19!. Вот предложенное ею прямое построение,
в применении к заданной группе линейных подстановок
A5.1) 4W: х^ = А^х, x^ = J^xk
(i, k = \ п; а=1,..., h).
Записываем любой инвариант J(x) в виде
и рассматриваем правую часть, как функцию от nh независимых
переменных х^\ В качестве таковой она является симметриче-
симметрической функцией от п векторов
ta — \хп > • • • > л /
Л-мерного векторного пространства в смысле, определенном в
§ 3 главы И, и тем самым выражается через поляризованные эле-
элементарные симметрические функции. Эти функции можно опре-
определить как коэффициенты Ог...Га в произведениях
24 Г. Вейль

370' ГЛАВА Vin
содержащих, кроме xf\ неизвестные и, uv ..., иа и образо-
образованных для всех возможных комбинаций из аргументов jlf ..., ja.
Функции, получаемые из
путем подстановки A5.1), образуют целый рациональный базис
для инвариантов нашей конечной группы. Все они — степеней ^ h
и число их есть
¦ 1-2...л
Ничего более явного нельзя было бы и требовать.
16. Инвариантные дифференциалы и числа Бетти
компактных групп Ли
Одним из наиболее красивых применений метода интегриро-
интегрирования является теория Э. Картана инвариантных дифференциалов
на компактных группах Ли 12°1. В заключение этой главы мы да-
дадим общий очерк основных идей этой теории.
На дифференцируемом многообразии с координатами х,,..., хп
можно рассматривать скалярное поле f(x), или дифференциаль-
дифференциальную линейную форму
A6.1)
зависящую от линейного элемента dx, пли дифференциальную
линейную форму ранга 2,
предполагаемую косо-симметричной и тем самым зависящей от
двумерного элемента с' компонентами
dxfixk — bxtdxk,
натянутого на два линейных элемента dx, Ьх. Продолжая так
дальше, мы образуем „дифференциалы" рангов р = 0, 1,
2, ..., п. ' Дифференциальные формы указывают, как следует
преобразовывать их коэффициенты / при переходе к другим ко-
координатам. Существует процесс дифференцирования, не завися-
зависящий от системы координат и хорошо знакомый всякому, кто
когда-либо изучал максвелловскую теорию электромагнитного

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 871
поля: производной от скаляра / является градиент
f—df
производная от дифференциала A6.1) ранга 1 дается формулой
f —д1±-.У±
JlkT'dxi dxk '
и вообще, производная ю' от формы о> с косо-симметричными
компонентами f/inj имеет компоненты
(знакопеременная сумма р-\-\ членов). Дифференцирование по-
повышает ранг формы на 1. Дифференциал <ар ранга р может
быть проинтегрирован по р-цепи С Общая теорема Стокса
устанавливает, что интеграл от производной ш' по (р —{— 1)-цепи
С j. равен интегралу от ю по р-циклу C^i, ограничивающему
р+у
Дифференциал о>, производная которого равна нулю, называется
точным. Что мы подразумеваем под записью ю •». О (ft) гомоло-
гомологично нулю), можно пояснить двумя путями 1211; либо дифферен-
дифференциально, как указание, что ю есть производная от дифференци-
дифференциала ближайшего низшего ранга, либо интегрально, как требование,
чтобы интеграл от ю по любому циклу был равен нулю. Каждый
дифференциал ~ 0 является точным; это легко доказывается
обоими способами. Понятия дифференциала, точного и ~ О,
совпадают „в малом", но не в большом. Изучение точных диф-
дифференциалов и их гомологии является оборотной или контрагре-
диентной стороной изучения циклов, в котором место границы
занимает производная. Некоторые недавние продвижения в осно-
основаниях топологии были достигнуты путем выдвижения аспекта
двойственности и „топологизации" этих операций с дифферен-
дифференциалами. Во всяком случае, число Бетти Вр может быть истол-
истолковано как число точных дифференциалов ранга р, линейно не-
независимых в смысле гомологии 122J.
Примем теперь, что наше многообразие есть компактная
группа Ли. Дифференциал ю называется инвариантным, если
он Остается неизменным при левых и правых сдвигах:
х—>sx и x-^+xs.
24*

372 ГЛАВА VIH
Так как левыми сдвигами можно перевести начало 1 в любую
другую точку, то достаточно знать инвариантный дифференциал
в начале, где он является косо-симметричной полилинейной
с постоянными коэффициентами а, зависящей от р инфинитези-
мальных групповых элементов Ьхх, ..., Ьх. Требование инвари-
инвариантности и относительно правых сдвигов означает, что форма
A6.2) инвариантна относительно присоединенной группы
Поэтому инвариантные дифференциалы суть как раз те инва-
инварианты присоединенной группы, которые мы рассматривали
в § 11- главы VII. Числами линейно независимых среди них для
различных рангов р служат коэффициенты полинома Пуанкарэ,
вычисляемого по формуле (VII. 11.2).
Следующие три факта устанавливают тесную связь между
рассмотрением произвольных точных дифференциалов с точностью
до гомологии и инвариантных дифференциалов с точностью до
равенства:'
Ле.мма (VIII.16.A). A) Каждый инвариантный дифферен-
дифференциал является точным.
B) Каждый точный дифференциал гомологичен некоторому
инвариантному.
C) Инвариантный дифференциал, который ~ 0, необходимо
равен 0.
. A) доказывается просто прямым вычислением производной
инвариантного дифференциала со.
B) может быть получено либо (а) интегральным, либо (Ь)
дифференциальным способом.
(а) Проинтегрируем sa, дифференциал, получающийся из ю с по-
помощью левого сдвига s, по заданному р-циклу С. Очевидно, имеем
\ 5@ = \ О).
s~}C получается из С непрерывной деформацией посредством
перехода от 1 к s-1 вдоль непрерывного пути. Интеграция точ-
точного дифференциала а> по любым двум циклам С, С, диформи-
руемым один в другой, приводит к одному и тому же интегралу:
14.
= U.

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ 373
В частности,
. \sa— f (о= {со.
Следовательно, среднее значение
будет ~ со. Дифференциал ф лево-инвариантен. Подвергая ф
правым сдвигам, таким же способом получаем, что
дифференциал, стоящий в левой части, уже двусторонне инва-
инвариантен.
(Ь) Для любого инфинитезимального s легко можно опре-
определить инфинитезимальный дифференциал <р ранга р — 1 так,
чтобы получилось sa — а> = <р'.
C) " Если инвариант а> является производной, й> = (р', то
со = 5@5* есть производная от sys', -а тем самым — и от инва-
инварианта '
Согласно пункту A), производная от инвариантного дифферен-
дифференциала ф равна нулю.
Из нашей леммы следует, что число Бетти, т. е. число точ-
точных дифференциалов, линейно независимых в смысле гомологии,
равно числу инвариантных дифференциалов, линейно независи-
независимых в смысле равенства. Отсюда:
Теорема (VIII. 16.В). Коэффициенты полинома Пуанкарз
компактной группы Ли дают ее числа Бетти.
Из этой связи легко извлекается совершенно неожиданный
запас сведений относительно чисел Бетти Bv Bv.;. компактной
г-параметрической группы Ли. Так как число линейно независи-
независимых косо-симметричных полилинейных форм A6.2), безразлич-
безразлично — инвариантных относительно присоединенной группы или нет,
равно биномиальному коэффициенту (г
С другой стороны, пусть
A6.3) ^ .

374
ГЛАВА VII)
— любые р инвариантных форм ранга 1. Равенство
!/, ...а'1р
-ip
A6.4)
.а;
(р)
определяет тогда инвариантную форму ранга р. В то время,
как формы A6.3) изменяются в линейном многообразии размер-
размерности fi1=p, эти специальные формы A6.4) ранга р пробегают
многообразие размерности (г\. Таким образом,
Рассматривая те из линейных инвариантов ранга р = р]|2
которые получаются из любой пары инвариантных форм рангов
Рх и р% путем умножения (определенного в § 11 главы VII), полу-
получим дальнейшие неравенства того же типа.
Что касается унитарно ограниченных классических групп, то
их числа Бетти 1231 определяются из явных формул для их поли-
полиномов Пуанкарэ, теоремы (VH.11.A) и (VII.11.С).

ГЛАВА IX
СНОВА О МАТРИЧНЫХ АЛГЕБРАХ
1. Автоморфизмы
Чтобы закруглить наши исследований, мы вновь возвращаемся
в этой главе к предмету раздела А главы III — изучению вполне
приводимых матричных алгебр 14. Использованный там метод мо-
может быть применен к трем относящимся к ним важным вопросам: об
автоморфизмах, умножении алгебр и расширении основного поля k.
Возьмем простую алгебру а над k и, ее неприводимое пред-
представление а —*¦ А (а). Пусть а —>¦ а' — автоморфизм алгебры а.
Тогда а—*-А{а1) также является неприводимым представлением
этой алгебры. Но мы видели [теорема (Ш.З.Е)], что имеется
лишь одно, в смысле эквивалентности, такое представление. По-
Поэтому существует неособенная матрица Н такая, что
для всех элементов а из а:
Лемма AХ.1.А). Любой автоморфизм А —*¦ А' неприводи-
неприводимой матричной алгебры Щ. порождается некоторой постоян-
постоянной неособенной матрицей Н:
Рассмотрим любую матричную алгебру St = {Л}. Если по-
постоянная неособенная матрица Н преобразует каждый элемент А
из 91 в элемент
A.1) А' = НАН-*
снова из 21, то А—*- А' является автоморфизмом алгебры 91.
Одновременно равенство
, В' — НВН-1
переводит каждый коммутатор В алгебры 21 снова в.коммутатор
и тем самым определяет автоморфизм и в коммутаторной алгебре ^,

376 ГЛАВА IX
Таким образом, мы приходим к изучению одновременных
автоморфизмов алгебр 21 и 23. Пусть 31— вполне приводимая
матричная алгебра, а ?3 — ее коммутаторная алгебра. 33 точно
так же вполне приводима, связь алгебр 31 и 33 взаимна, и струк-
структура их описывается теоремой (III.5.В). Пересечение 3 алгебр
9С и 33 называется центром; оно состоит из тех элементов ал-
алгебры 31, которые перестановочны со всеми ее элементами. Если
центр содержит лишь численные кратные единичного элемента Е,
то алгебра 31 называется нормальной (и таковой же является 93).
Наше второе определение центра показывает, что это свойство
можно приписать и абстрактной алгебре. Если фиксированная
неособенная матрица Н порождает в 91 и 93 автоморфизмы
.А->А', В—*В',
A.2) А' = НАН-\ В'=
то в пределах центра 3 они> очевидно, совпадают. Нашей целью
является доказательство обратного предложения:
Теорема (IX. 1.В). Любые два автоморфизма
A.3) А—>А', В-^В'
вполне приводимой матричной алгебры 3( и ее коммутаторной
алгебры 83, совпадающие внутри центра Q, порождаются одной
и той же неособенной матрицей Н:
A.2) А' = НАН-\ В' = НВН-\
В нашем восхождении в разделе А главы III мы впервые
достигли полной взаимности между 31 и 33 в конце § 4:
A.4) 8t =
Образуем теперь линейную оболочку & = 3193 всех произведений
С = АВ = ВА И€Я, В €89).
Из схем (Ш.4.10) общих матриц А и В сразу заключаем, что
где 2) = (b) (Ь') есть линейная оболочка всех преобразований в Ь,
(a){b)': x' = axb.
соответствующих произвольным элементам a, b из Ь. Алгебра ф,
очевидно, неприводима, поскольку содержит неприводимое мно-
множество (Ь). Каждый коммутатор алгебры Ф перестановочен, в
частности, с любым, (а): лг^ад: и .потому имеет вид х—t-xj,

СНОВА О МАТРИЧНЫХ АЛГЕБРАХ 377
где У — образ единицы из Ь. Аналогично, вследствие его'переста-
его'перестановочности со всеми (b)': x—*xb, заданный коммутатор должен
иметь вид X—-JX. Следовательно, jx = xj, т. е. j лежит в цен-
центре J алгебры b. j есть коммутативная алгебра с делением,
т. е. поле конечной степени § над k. Расширив k до g, мы
ь - d
можем рассматривать о как алгебру с делением ранга т = -^ нал
полем %. Центром алгебры 35 в ее конкретной форме является
т- E), и применение теоремы (Ш.4.В) к неприводимой алгебре 5)
показывает, что
A-5) 2> = (8)«.
Таким образом, центр 3 алгебр 21 и 33 и их произведение
(? = ШЗ задаются формулами
Как вид+ш из сравнения этих формул с A.4), положение дел
для пары перестановочных алгебр 3> ® значительно проще, чем
для алгебр I и S.
Рассмотрим сперва частный случай нормальности Ь (или Щ, и 33).
Тогда формула A.5) показывает, что 35 есть полная матричная
алгебра Wtd:
Лемма (IX. 1.С). Пусть b — нормальная алгебра с делением.
Линейная оболочка всех преобразований в Ь,
х' = axb,
соответствующих произвольным элементам a, b из д, яв-
является полной матричной алгеброй 9Jtd.
(В есть теперь полная алгебра матриц порядка g = dst,
Этот результат находится в согласии с соотношением (Ш.4.12).
Пусть.
Л, а= 1, ...
соответственно,—линейные базисы алгебр 31 и 33. Мы нашли,
что матрицы AJi^ линейно независимы и образуют базис для
($, = Mg. Построим с помощью наших заданных автоморфизмов
А—*А', В—*-В' алгебр 31 и 23 соответствующий автоморфизм
алге'бры ЗЛ^ по формуле
(^ —любые числа),

378 ГЛАВА IX
относящей произведению АВ произведение А'В'. Применяя лемму
(IX. 1.А) к полной матричной алгебре 2Л?, заключаем, что этот
автоморфизм порождается некоторой постоянной неособенной
матрицей Н,
' 1
которая, тем самым, удовлетворяет в частности (В или А — Е)
соотношениям A.2) для всех А из 21 и В из 33.
Таким образом, с помощью простого приема образования
произведений АВ нам удалось значительно уточнить лемму
(IX. 1.А), хотя она и вошла в наше доказательство лишь взятая
для частного случая полной матричной алгебры. При комбинации
тождественного автоморфизма В' = В алгебры 33 с заданным
автоморфизмом А—*-А' алгебры 21, наше И будет перестано-
перестановочно со всяким В и потому будет лежать в 21. Мы выразим
этот красивый результат в абстрактных терминах М:
Теорема (IX. 1 .D). Любой автоморфизм нормальной про-
простой алгебры является внутренним.
Следующий шаг состоит в устранении предположения нор-
нормальности алгебр 31 и 33.
А (Х = 1,...,/п/2)
образуют базис 91 над 3> если каждое А из Ш однозначно вы-
выражается в виде 2 А А с «коэффициентами" Zx из Q. Если
А» Яц — базисы алгебр & и 33 над 3, то каждая матрица из (?
однозначно выражается в виде
Если A.3) — заданные автоморфизмы алгебр 21 и S3, совпадаю'
щие внутри 3: Z—*Z\ то
определяет соответствующий автоморфизм в ©, при котором
АВ—+ А'В'. Применяя лемму (IX. 1.А) к неприводимой матричной
алгебре E = (з)?, мы получаем желаемое предложение (IX. 1.В)
для того случая, когда 21 и 33 состоят лишь из одного
блока.
Чтобы перейти к случаю нескольких блоков, мы должны
так обобщить лемму (IX.1.A), чтобы охватить прямую сумму
а = 2аа из v ПРОСТЫХ алгебр аа, в конкретной форме
A.6) щ=211+.. 44

СНОВА О МАТРИЧНЫХ АЛГЕБРАХ 379
где каждая компонента Аа независимо пробегает неприводимую
матричную алгебру 9Та. По теореме (Ш.5.С), каждое невыро-
невырожденное представление алгебры а есть' сумма
A.7) 2^,
Представление A.6), а—*¦ А(а), где каждое sa=l, является
точным. Пусть а—>-а' — автоморфизм алгебры а. Рассмотрим
представление а—*-А(а'). Оно должно быть эквивалентно не-
некоторому представлению A.7); точность его нарушилась бы,
если бы одно из sa было равно 0, а степень была бы слишком
высока, если бы одно из sa было^> 1. Следовательно, все sa — 1>
и новое представление эквивалентно старому, т. е. существует
неособенная матрица Н такая, что ' ,
Лемма (IX.1.E). Любой автоморфизм А—*-А' прямой сум-
суммы Ш неприводимых матричных алгебр,
порождается некоторой постоянной неособенной матрицей Н;
Обратимся наконец к произвольной вполне приводимой мат-
матричной алгебре Ш и ее коммутаторной алгебре S3, исследован-
исследованным в теореме (Ш.5.В). Снова образуем линейную оболочку E
всех матриц
В В
и, пользуясь вряд ли требующими пояснения обозначениями,
получаем:
Применение нашей последней леммы к GT (а не к Щ и к авто-
автоморфизму АВ—>А'В' приводит к матрице Н, существование
которой требовалось теоремой (IX. 1.В).
Что касается вопроса о единственности, то заметим, что Н
можно заменить на HZQ, где Zo — любая неособенная матрица
из центра Q. ,_
Комбинируя тождественный автоморфизм в 33 с любым авто-
автоморфизмом в Щ, оставляющим элементы центра на месте, полу-
получаем в частности;

380 ГЛАВА IX
Теорема (IX. 1 .F). Любой автоморфизм прямой суммы а
v простых алгебр аа, не затрагивающий элементов центра j
алгебры а, является внутренним.
2. Лемма об умножении алгебр
Пусть 31 = {Л}, 33= {В}—две матричные алгебры, эле-
элементы А, В которых суть, соответственно, преобразования в
л-и v-мерных векторных пространствах Ра, Pv. Тогда каждое
B.1) АХ В (Л€И, В6Э)
действует в /zv-мерном пространстве — произведении Ря Р„. На-
Напоминаем читателю, что теперь изучается кронекеровское про-
произведение А X В, а не, как в предыдущем параграфе, обыкновен-
обыкновенное произведение АВ, и что Л и В не предполагаются пере-
перестановочными. Линейная оболочка всех матриц B.1) есть алгебра
[21X33]. которую мы будем называть произведением алгебр 91
и 33. Описанный процесс может быть определен и в терминах аб-
абстрактных алгебр а и Ь. Если алгебра <1 ранга т отнесена к базису
at (i = 1, ... , т), а алгебра 6 ранга ц, — к базису bk (i = 1,,.. , |л),
с таблицами умножения
то с = [аХб] имеет базис си с таблицей умножения
» ft «а-
Переход к другому базису в а или в Ъ вызывает лишь изменение
базиса в [аХЬ]. •
Заметим, что
поэтому
Пусть К—поле над k. Любое fe-линейное множество 91
матриц А над k может быть распространено на К путем образо-
образования его линейной оболочки 31# над К. Если Av... , Ат — базис
для Ш, то
будет пробегать Щ или 91#, когда коэффициенты ^ будут не-
независимо изменяться в Н или, соответственно, в Д". Если Щ. — ад-

СНОВА О МАТРИЧНЫХ АЛГЕБРАХ 381
гебра над k, то Щ,к подобным же образом, — алгебра над К.
Также и этот процесс может быть описан в абстрактных терми-
терминах: если flj, ... ,ат— базис ^-линейного множества а ранга т,
т
2
то йк состоит из всех формальных сумм 2 ^А с произвольны-
произвольными коэффициентами ^ из К; изменение базиса в а сводится
к частному типу изменения базиса в ак, отличающемуся тем, что
коэффициенты преобразования лежат в подполе k.
Если 33 — коммутаторная алгебра над k алгебры 31 над k,
то ЭЗд- будет коммутаторной алгеброй алгебры Шк над К. Дей-
Действительно, если Av...,Am — базис алгебры Щ., то матрица В
над К принадлежит 33^., если она удовлетворяет т уравнениям
BAt — Afl.
Это—однородные линейные уравнения для В с коэффициента-
коэффициентами из k. Следовательно, решения В обладают базисом Bv ..., В ,
состоящим' из матриц над k. Выражение
доставляет все коммутаторы над k или К, когда щг независимо
пробегают все числа из k или, соответственно, из К. Далее,
центром алгебры Шк, т. е. пересечением ее с ЗЗд., служит QK —
распространение центра 3 алгебр Ш. и 33 на К. Действительно,
если Av ..., Ат — базис алгебры 91, то элементы
из За: поручаются как решения уравнений
в числах %k из К. Так как коэффициенты уравнений лежат в k,
то эти решения обладают ft-базисом. В частности, если алгебра
Ш. — нормальная, то это же верно и для 21^..
Пусть теперь b — абстрактная нормальная алгебра с делением
ранга § и 23= {В}—'неприводимая алгебра матриц порядка d.
Операции
{Ъ
действуют в §<з?-мерном векторном пространстве bPd. Мы утвер-
утверждаем, что bPd расщепляется относительно этого множества
(Ь) X 33 операторов на некоторое число и неприводимых инвари-

382 ГЛАВА IX
антных подпространств, в каждом из которых (а) X В индуци-
индуцирует одно и то же преобразование; т. е.:
Лемма (IX.2.A).
B.2) (Ь)Х»~«-&
где JQ — некоторое неприводимое множество матриц.
Векторы j из bPd выражаются через базис xv • ••»?d про-
пространства Pd в виде
B.3) S = *,*i+¦••+*Л (*,€»>).
Рассматривая b как „квази-поле" свободного изменения коэф-
коэффициентов xit определяем для любого а из Ь:
<ЧЕ = (axi) <! + ••• + (аха) rd. la — (xia) h + ¦ • • + (xa a) *a-
Инвариантное подпространство S пространства bPd.ecTb, конечно,
подмножество векторов j, B.3), замкнутое относительно сложе-
сложения и умножения спереди (j—«-ay.); действительно, в наших
прежних обозначениях последняя операция есть (а) X Ел- Поэто-
Поэтому 2 обладает b-базисом 1Ъ..., 1п, через который каждый
вектор j из 2 единственным образом выражается в виде
и 2 имеет размерность Ьп, кратную 8. Будем предполагать 2
неприводимым.
Для любой заданной величины b из Ь пространство 2?>, состо-
состоящее из всех векторов j?> (j ? 2), как и 2, инвариантно относи-
относительно (а) X В, и (а) X 5 индуцирует в нем то же преобра-
преобразование, что и в 2. Применив лемму (Ш.2.В) к последователь-
последовательности неприводимых инвариантных подпространств
где ^ = 1,..., с5 — базис алгебры Ь, мы выделим из этой по-
последовательности некоторую подпоследовательность — например,
при надлежащей нумерации, 2,,..., 2И, — такую, что 1) 2lt..., 2а
будут линейно независимы, и 2) каждое 2t (i = l, ...,§) будет
содержаться в сумме
Последнее обстоятельство показывает, что B) инвариантно также
относительно умножений сзади: B)ci содержится в B) для
всех i = l,..., 8. Следовательно, B) инвариантно относительно
всех преобразований вида
(а)(Ь)'ХВ,

СНОВА О МАТРИЧНЫХ АЛГЕБРАХ 383
где а и Ъ пробегают базис алгебры b, a 23 ? 33, и тем самым, соглас-
согласно лемме (IX.1.C), — относительно 3ft8 X 23- Тогда лемма (III.2.A)
показывает, что B) есть все пространство ЬРф и ьто замечание
завершает наше доказательство, доставляя в то же время равенство
и есть делитель числа d,
3. Произведения простых алгебр
С доказательством леммы AХ.2.А) выполнена серьезная доля
работы; остается оценить и истолковать значение полученного
результата для произведения простых алгебр (§ 3) и расшире-
расширения основного поля (§ 4).
Из B.2)- вытекают соотношения
. [(Ь) X 93] - «[$]. [(Ь>„ X S3)] - «[?],.
Согласно лемме (Ш.2.А), алгебра [§]„ вследствие неприводимости
алгебры [§] неприводима; а в силу теоремы Веддербёрна мы
можем представить наш результат в форме соотношения экви-
эквивалентности
C.1) [2tX93]^a-S, S неприводимо,
имеющего место для любых двух неприводимых матричных алгебр
31 и 35, первая из которых нормальна. Наш результат содержит
следующее абстрактное предложение:
Теорема (IX.3.A). Произведение двух простых алгебр,
одна из которых нормальна, есть снова простая алгебра.
Отсюда мы могли бы, с помощью теоремы (III.3.E), вывести
наше конкретное предложение, что [91X Щ есть я-кратное не-
неприводимой матричной алгебры ?. Однако данное нами выше
доказательство было непосредственно направлено к этой конкрет-
конкретной цели и, кроме того, дало еще, что и есть делитель порядка d
матриц алгебры 93. • i
Теорема Веддербёрна делает переход от алгебр с делением
е к простым алгебрам 93 столь легким, что, пожалуй, удобнее
специализировать наш результат B.2) для случая 93 = (е), где
е — алгебра с делением ранга d, чем обобщать его до C.1).
Напишем поэтому (специальное X специальное)-равенство
C.2)

384 ГЛАВА IX
Это приводит обратно к (общему X общее)-результату C.1) в
форме
C-3) - [(b)cX(e)J-«.[^]sro.
Переход от (Ь) и (е) к §1 = (b)v и 33 — [t)w оставляет кратность и
неизменной, заменяя [ф] на точно так же неприводимое [§]СО1.
Относительно (специального X специальное)-случая C.2) я
чувствую себя обязанным сделать два дополнительных заме-
замечания.
Первое замечание. Инвариантное подпространство 2
произведения be обладает неким базисом lv..., Ia относительно
квази-поля коэффициентов из Ь. Однако мы можем поменять
ролями b и е и рассматривать b как векторное пространство, а е —
как квази-поле множителей или коэффициентов. 2 будет иметь
тогда некий е-базис iu ..,lv, через который оно описывается
выражением
в котором коэффициенты zx независимо пробегают е. 2 имеет
размерность
nb = vd, откуда d:ti — n:y.
Так как й = /ш, то получаем еще соотношение b = vu и убе-
убеждаемся тем самым, что и является общим делителем чисел d
и 5. Та же связь имеется и в (общем X общее)-случае. Дей-
Действительно, при переходе от (Ь) кШ = {Ь)„и от (е) к ЗЗ^е)^,
8 и d превращаются, соответственно, в bv и dw, тогда как и
остается неизменным, соотношение C.3). Имея в своем распоря-
распоряжении эту дополнительную информацию, мы сформулируем кон-
конкретный дубликат теоремы (IX.3.A) следующим образом:
Теорема AХ.З.В). Произведение двух неприводимых ма-
матричных алгебр Щ. и 33, одна из которых нормальна, разла-
разлагается на некоторое число и одинаковых неприводимых компо-
компонент й,
Кратность и является общим делителем порядков матриц
обоих сомножителей.
Одинаковые части, на которые, в числе и, разлагается общая
матрица А X В алгебры §1 X S3, будут иногда обозначаться сим-
символом И (А, В). В частном случае ЭД —(Ь) мы вместо 1\{(а),В)
пишем просто II (а, В), и аналогично поступаем, когда 23 есть (е).

СНОВА О МАТРИЧНЫХ АЛГЕБРАХ 385
• Второе замечание. Применяя в (специальном X специ-
альное)-соотношении C.2), или в
„ [(Ь)Х (О]-«•[©]
теорему Веддербёрна к неприводимому [<§], заключаем из нее, что
. . . №] = ($)*
где абстрактная алгебра с делением 1), называемая брауэровским
произведением И, однозначно определяется сомножителями b и е.
Сравнение степеней и рангов в получающемся соотношении экви-
валентности - -'[(Ь)Х (е)]-*•($)„,
приводит к соотношениям
где h — степень представления (I)) —ранг алгебры — I). Поэтому
d = пи, о — va, h = т.
Теорема (IX.3.С). Произведение регулярных представле-
представлений (Ь) и (е) двух алгебр с делением but рангов dud, где Ь
нормальна, разлагается по формуле
[(Ь)Х(е)] -«.(!))„. . . ¦
Если положить
d = nu, 8 = va (я и v — целые),
то ранг алгебры с. делением ^ равен т.
4. Расширение' основного поля
Мы еще полноетью не оценили идею, заключенную в основном
нашем доказательстве возможности отнесения инвариантного
подпространства 2 произведения bPd к b-базису Ij,. .., (я.
Рассмотрим теперь ее следствия для совсем другого случая;
§t X (в)» гДе 31 —• нормальная неприводимая матричная алгебра,
а е — произвольная алгебра с делением. Пусть 2 — инвариант-
инвариантное подпространство векторного пространства Ре, подвергае-
подвергаемого действию операторов А X (а) из 31 X (е) (Л — операторы в
о-мерном пространстве Р, е — ранга d). 2 обладает е-базисом
I,,. ..,!„, так что каждый вектор j из 2 однозначно выражается
в виде
25 г. Вейль

386 ГЛАВА IX
Будем теперь рассматривать Ре = Ре как векторное простран-
пространство, получаемое из Р при расширении его поля мультипликато-
мультипликаторов k до квази-поля е. Элементы пространства Ре суть ряды
5=(aTj, ..., дг,), образованные Ь величинами из е. Сложение
определяется обычным образом, умножение «а величину а из е —
по формуле
Линейное подпространство 2е пространства Ре есть подмноже*
ство последнего, замкнутое относительно сложения и умножения
на любое а из е. Формула D.1) определяет подпространство аа
2е, имеющее базис I,,...,!,.
Каждый оператор А есть линейная подстановка с коэффици-
коэффициентами аи, являющимися обыкновенными числами из k:
х\ = 2 *»ai* (t, x = l 8),
и потому перестановочен со всеми умножениями j—»-аг.. Если
2)( инвариантно относительно преобразований Л из 31, то каждое
Л: J—»-j' переводит базисные векторы 1Х 1^ в их линейные
комбинации:
Будучи перестановочным с умножениями, А переводит тогда D.1) в
S'= ЛИ + • • • + У&—А + • • • + А»
где
Соответствие А—>¦ || ап || является представлением Ш над е
(линейными преобразованиями, в которых коэффициенты стоят
за переменными).
Теорема (IX .4. А). При расширении поля k до квази-поля
е над k заданная нормальная матричная алгебра 31, непри-
неприводимая над k, разбивается на и одинаковых неприводимых
представлений алгебры 31 над е.
Этот способ обрисовки положения связан с нашей прежней
точкой зрения следующим образом. В принятой здесь системе
координат, П (А, 1) получается из нашего представления
А—>-1| ап || путем замены каждого акХ матрицей (а|Х)' (умножение
сзади), тогда как И (Еъ> а) есть просто Еч X (<*)•

СНОВА О МАТРИЧНЫХ АЛГЕБРАХ 387
Особую важность представляет случай, когда е есть ком-
коммутативное поле К. В этом случае мы получаем из нашей тео-
теоремы, что после расширения основного поля k до поля К, конеч-
конечного над k, нормальная неприводимая матричная алгебра 31 над к
расщепляется на и одинаковых неприводимых матричных алгебр
над К:
Sl/r-N-a-S.
Матричная алгебра S над К не только неприводима над К, но,
в то же время, и нормальна. Действительно, как мы заметили
в § 2, прн расширении поля нормальность сохраняется. Рас-
Рассмотрим снова частный случай 31 = (Ь). Тогда мы должны иметь
соотношение эквивалентности вида *)
где SD — нормальная алгебра с делением над К. Обозначая через:
D степень = ранг представления B5) и сравнивая степени и ранги*
приходим к соотношениям
b=uvDt b —
откуда
и = v и 8 =
Теорема (IX.4.B). При расширении поля k до поля К,
конечного над k, нормальная алгебра с делением Ь над к
разбивается .по формуле
(Ь*)~ «•(?))„,
где 2) — некоторая нормальная алгебра с делением над К.
Всегда ли возможно путем надлежащего алгебраического-
присоединения добиться приведения (а^>1), коль скоро Ь не
есть еще основное поле k? Да, всегда. Выберем в Ь любой эле-
элемент Ьо, не являющийся численным кратным единицы е, и при-
присоединим к k корень 6 характеристического уравнения <р (г) = О
подстановки
*) Загнанный противоречивыми требованиями втупик, я нарушяж
здесь условие, запрещающее обозначение абстрактных алгебр прописны;
ми готическими буквами. Да простит мне бог, наблюдающий за правиль»
ным употреблением математических символов—в рукописи, в печати и
на доске, — этот и многие другие мои грехи.
25*

588 глава и
Тогда преобразование (Ь0)' — ЬЕ будет вырожденным, =/=0 и
перестановочным со всеми матрицами (а) из (Б). Поэтому, в силу
леммы Шура, (Ь) должно приводиться над к F).
Повторно применяя этот процесс, приходим к такому алгеб-
алгебраическому расширению К поля k, . что
Теорема (IX.4.С). Существуют конечные алгебраические
поля К над k, так называемые поля расщепленияе^, над ко-
которыми заданная нормальная алгебра' с делением Ь над k
приводится по формуле
' . . . . . (Ьк)^и.Ша.
Поэтому ранг любой нормальной алгебры с делением является
квадратом а2.
Для любой нормальной неприводимой матричной" алгебры
31 -ч- (b)j над k получаем в поле расщепления алгебры Ь:
где v = ut — кратное и. Ранг простой алгебры а есть квадрат iP,
«степень ее представления 31 есть_ iiv.
В исследованиях, приведенных в §§ 3 и 4, существенную
роль играло предположение, что один из наших сомножителей
нормален. В коммутативных полях происходят совершенно неза-
незакономерные вещи: произведение двух полей разбивается на не-
неэквивалентные части, и даже • для обеспечения самой его полной
приводимости требуются предположения относительно сепарабель-
сепарабельности 14. Аналогичное положение имеет место и для автоморфиз-
автоморфизмов: неопределенность, содержащаяся в производящей матрице Н
теоремы (IX. 1.В), вызывается центральными полями зо. Вся супер-
суперструктура алгебр над коммутативными полями обладает относитель-
относительно простой природой по сравнению с самими полями.

БИБЛИОГРАФИЯ
(За номером каждого примечания следует в скобках номер страницы,
к которой оно относится.)
ГЛАВА I
М A8) См. напр., Н. Weyl, Raum, Zeit, Materie, 5-е изд., Berlin,
1923, стр. 15.
W B7) См. D. Hilbert, Grundlagen det Geometfie, 7-е изд., Leip-
Leipzig, 1930, гл. 7.
W B8) Упомянем в частности W. В u r n 8 i d e, Theory of Groups of
Finite Order, 2-е изд., Cambridge, 1911; G. A. Miller, H. F. Bliclb
feldt, L. E. Dicks on, Theory and Application of Finite Groups, New
York, 1916; A. S p e i s e r, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung,
3-е изд., Berlin, 1937; H. Zassenhaus, Lehrbuch der Gruppentheorie I,
Berlin, 1937; главы, посвященные теории групп, во втором издании
.Современной алгебры' вандер Вардена и гл. III, §§ 1—3 в Weyl,
Gruppentheorie und Quantenmechanik, 2-е изд., Leipzig, 1931.
W .B8) Vergleichende Betrachtungen flber neuere geometrische For-
schungen. Erlangen, 1872; также Math. Ann. 43 A893), стр. 63, и Gesam-
melte mathematische Abhandlungen I, Berlin, 1921, стр. 460.
Ю C0) G. W. Leibnitz, Initia rerum Mathematicarum metaphysica,
в Leibnitzens Mathematische Schriften, изд. С. J. Gerhardt, VII, Berlin,
1848—1863, стр. 17; Zur Analysis der Lage, там же, V, стр.. 178. Как
отчетливо представлял себе Лейбниц проблему относительности, пока-
показывает его переписка с Кларком (Clarke), .особенно его третье письмо,
1ШЧ и 5, и его пятое письмо, № 47 (легко доступно в G. W. Lei-
Leibniz, Philosophische Werke, изд. A. Buchenau и Е. Cassirer, I, 2-е изд.,
Meiner's Philosophische Bibliothek, Leipzig, 1924).
N C3) См. H. Weyl, Raum, Zeit, Materie, 5-е изд., Berlin, 1923,
стр. 16. •
W C4) По поводу этого понятия и оснований теории инвариантов
см. В. L. v.,d. Waerden, Math. Ann. 113 A936), стр. 14.
. [81 C9) I. ICant, Prolegomena zu einer jeden ktinftigen Metaphysik,
die als Wissenschaft wird auftreten кбппеп, Kant's Werke, изд. Preuss-
Akad. d. Wissensch., IV, Berlin, 1903, стр. 286.

390 БИБЛИОГРАФИЯ
ГЛАВА II
М D5) Journ. reine angew. Math. 30 A846), стр. 1. Coll. Math. Pa-
Papers I, Cambridge, 1889, стр. 117.
M D5) Phil. Transact., тт. 144, 145, 146, 148, 149, 151, 157, 159, 169
A854—1878). Coll. Math. Papers, т. II, n°n° 139, 141, 144, 155, 156, 158;
т. IV, n° 269; т. VI,n°405; т. VII, n° 462; т. X, n° 693; ссылка в тексте
относится к первым шести номерам.
И D6) Math. Ann. 36 A890), стр. 473; 42 A892), стр. 313.
М D7) Е. Galois, Oeuvres, Paris, 1897, особенно его письмо к Огю-
сту Шевалье, написанное накануне смерти.
Ю D7) В качестве современной книги по этому предмету, обращен-
обращенной к математически образованному читателю, отметим Р. N i g g 1 i, Geo-
metrische Kristallographie des Discontinuums, Leipzig, 1919. Книга
А. Шпейзера, цитированная в гл. IM, содержит две интересные гла-
главы о кристаллографических классах и симметриях орнаментов.
М D8) Ли сан синтезировал результаты своих работ в большой трех-
трехтомной работе: S. Lie and F. En gel, Theotie der Transformationsgrup-
pen, Leipzig, 1893.
П] D8) Все работы Фробениуса были опубликованы в Sitzungs-
ber. Preuss. Akad. Полный список их названий можно найти в книге
Шпейзера на стр. 143.
I8J D8) These, Paris 1894; эта работа связана с более ранней, но де-
дефектной работой Киллинга, Math- Ann. 31, 33, 34, 36 A888—1890).
Е. Car tan, Bull. Soc. Math, de France 41 A913), стр. 53.
И D8) W. R. Hamilton, Lectures on Quaternions, Dublin, 1853.
©. Peirce, Linear Associative Algebra, Washington, 1870, и Am. Journ.
«of Math. 4 A881), стр. 97. Tk Mo Hen, Math. Ann. 41 A893), стр. 83;
42 A893), стр. 308.
ДО1 D8) J. H. M. W e d d e r b u r n, On Hypercomplex Numbers, Proc
tond. Math. Soc B) 6 A908), стр. 77.
[i« D8) I. Schur, Trans. Amer. Math. Soc. B) 15 A909), стр. 159.
I121 D8) По поводу истории математики в девятнадцатом столетии
см. Ф. Клейн, Лекции о развитии математики в XIX столетии, М.-Л.,
ОНТИ, 1937.
I"] F1) А. С а р е 11 i; Math. Ann. 29 A887), стр. 331.
»*] G2) Н. Weyl, Math. Zeitschr. 20 A924), стр. 139.
НУ G7) R. Weitzenb6ck, Komplex-Symbolik, Leipzig, 1908; inva.
tiantentheorie, Groningen, 1923, гл. III.
I1*] G9) Первую основную теорему для ортогональных векторных
лнвариантов впервые доказал Е. Study, Ber. Sachs. Akad. Wissensch.
1897, стр. 443. В нижеследующем вопрос излагается по В е й л ю, Math.
Zeitschr. 20 A924), стр. 136.
I") (83) Группу эвклидовых движений, т. е. я-мериую ортогональ-
ортогональную группу, расширенную окаймлением ширины у, и ее векторные инва-
инварианты рассматривал R. Weitzenbdck.' См. его Invariantentheorie,
Oroningen, 1923, гл. XII; см. также Wanner, Диссертация, Zurich, 1926,

БИБЛИОГРАФИЯ 891
я мои шшеографированные Notes on Elementary Theory of Invariants,
Princeton, 1935—1936.
1Ш (84) С ay ley, Journ. reine angew.Math. 32 A846), = Coll. Math.
Papers I, n° 52, стр. 332. По поводу алгебраической структуры орто-
ортогональной группы и других классических групп над полем характери-
характеристики 0 или простой характеристики см. van der W а е г d e n, Gruppen
von linearen Transformationen, Ergebn. d. Math. 4:2, Berlin, 1935, и ука-
указанную там литературу. Систематическое исследование групп mod/? пред-
предпринял L. E. D i с k s о п, см. его книгу Linear Groups, Leipzig, 1901.
l»l (96) См. Е. Witt, Journ. reine angew. Math. 176 A937), стр. 31,
Satz 2.
(ЭД A02) E. Pascal, Mem. Accad. dei Lincei D) 5 A888). B. L v. 4
Waetden, Math. Ann. 95 A926), стр. 706.
ГЛАВА III
W A16) I. Schur, в ero.Neue Begrundung der Theorie der Gruppen-.
¦charaktere', Sitztmgsber. Preuss. Akad. 1905, стр. 406.
Й A23) Принятое здесь изложение следует работе автора в Arnia Is
of Math. 37 A936), раздел 1, стр. 710—718. Абстрактный подход см.
в D e u r i n g, Algebren, Ergebn. Math. 4 :1, Berlin, 1935, особенно гла-
главы I—IV. В основе всего новейшего развития теорий ассоциативных
•алгебр лежит работа Веддербёрна, цитированная в гл. ШЩВехами
этого развития являются книги L. E. D i с k s о n'a: Linear Algebras, Cam-
Cambridge Tracts 16, 1914; Algebras and Their Arithmetics, Chicago, 1923, и
«e пересмотренное немецкое издание .Algebren und ihre Zahlentheorie",
Zurich, 1927.
M A30) В u r n s i d e, Proc. London Math. Soc. B) 3 A905), стр. 430.
G. Frobenius и I. Schur, Sitzungsber. Preuss. Akad. 1906, стр.209
W A39) См. пятую главу моей книги Gruppentheorie und Quanten-
mechanik, 2-е изд., Leipzig, 1931.
W,- A42) Отсюда следует полная приводимость любого представления
группового кольца. Этог фундаментальный факт впервые доказал
Н. Ma.schke, Math. Ann. 52 A899), стр. 363.
[« A49) См. Н. We у 1, Duke Math. Journ. 3 A937), стр. 200.
Ifl A55) Наш метод (II) в его применении к алгебре всех бисиммет-
ричных преобразований в тензорном пространстве тесно связан с самой
первой трактовкой представлений полной линейной группы, данной
И. Щуром в его диссертации „UebereineKlassejnunMatrizen, difc sich
¦einer gegebenen Matrix zuordnen lessen', Berlin, 1901; метод же (И) при-
применен к этой проблеме в работе I. Schur, Sitzungsber. Preuss. Akad.
1927, стр. 58. См. van der W a e r d e n, Mann. Ann. 104 A931), стр. 92 и 800.
(81 A57) а-* а1 называется инволютивным антиавтоморфизмом, дей-
действующим иа элементы а некоторой алгебры, если
<в4-в)/=в/4-К Q>ay=\aJ;(aby—bW; (а-Гу=а (X—любое число).
Наша операция а -*¦ й есть операция этого типа. Алгебры с инволю-
инволютивным антиавтоморфизмом детально исследовал A. A. Albert, см.,
в частности, его работу в Ann. of Math. 36 A935), стр. 886* Они имеют
существенное значение для теории так называемых римановых. матриц,

392 БИБЛИОГРАФИЯ
см. Albert, 1. с, и Weyl, Ann. of Math. 37 A936), стр. 709, а также
для алгебраического построения алгебр Ли, см. гл. VIII 1*1.
W A60) Полулинейные преобразования впервые ввел С. Segre, Atti
Torino 25 A889), стр. 276. В поле К* комплексных чисел имеется авто-
автоморфизм, состоящий в переходе к комплексно-сопряженному числу
(.антилинейные преобразования"). Теорию представлений конечной грун-
пы полулинейными преобразованиями дали Т. NakayamanK- Shо-
da, Jap. Journ. of Math. 12 A936), стр. 109. По поводу соответствую-
соответствующего обобщения нашей теории см. W е у 1, 1. с. М; относительно полу-
полулинейных или антилинейных преобразований вообще см. J. H a a n t j e s,
Math. Ann. 112. A925), стр.98; 114 A927), стр. 293; N. Jacobs on, Ann.
of Math. 38 A937), стр. 485; Asano and Nakayama, Math. Ann 115
A937), стр. 87;Nakay a ma, Proc. Phys. Math. Soc. Japan, 19 A937).
ГЛАВА IV
Ш A62) loc. cit. гл. ШШ,
W A68) A. Joung, Proc. Lond. Math. Soc. A) 33 A900), стр. 97;
A) 34 A902), стр. 361; Q. Frobenius, Sitzungsber. Preuss. Akad, 1903,
стр. 328. Неймановское упрощенное изложение дано в книге ван дер
В а р д е н, Современная алгебра, II, 2-е изд., § 129.
13J A77) Особенно изящный способ выполнения такого построения
указал W. Specht, Math. Zeitschr. 39 A935), стр. 696; см. особенно
разделы IV и V его работы. Этот способ основан на более ранних ра-
работах И. Шура, особенно Sitzungsber. Preuss. Akad. 1908, стр, 64. Та
же цель достигнута в серии публикаций А. Юнга в Proc. Lond. Math.
Soc. „On the Quantitative Substitutional Analysis", начинающейся с ци-
цитированной в М и продолжающейся следующими: B) 28 A928), стр.285;
B) 31.A930), стр. 253; B) 34 A932), стр. 196; B) 36 A933), стр. 304. См.
седьмой раздел книги J. A. Sс h о u t en, Der Ricci-Kalktil, Berlin, 1924.
По поводу знакопеременной группы см. G. F г о b e n i u s, Sitzungsber.
Preuss. Akad. 1901, стр. 303; относительно октаэдральной группы, кото-
которая сыграет некоторую роль в главе VII, см. A. J о u n g, Proc. Lond.
Math. Soc. B) 31 A930), стр. 273; W. Specht, Math. Zeitschr. 42 A937),
стр. 120; по поводу'обобщений в других направлениях см. W. Specht,
Schriften Math. Sem. Berlin 1 A932); Math. Zeitschr.' 37 A933), стр. 321.
W A81) Связь между симметрической и полной линейной группами
впервые была открыта и применена к анализу представлений последней
И. III у ром в его Диссертации, Берлин, 1901.
М A87) По поводу более ранней истории теоретико-инвариантных
разложений см. R. Weitzenbock, Invariantentheorie, Groningen, 1923,
стр. 137.
г лава v
W A89) Этот метод предложил R. В г a u e r, On Algebras which are
connected with the Semisimple Continuous Groups, Ann. of Math, 38
A937), стр. 857.
W A94) R. В г а и e r, 1. с 14, стр. 870.
Ю A94) Math. Zeitschr. 35 A932), стр. 300. ;
M B05) Cm. § 5 статьи R. В r a u e г' a, 1. с W. ' . , \ ¦

БИБЛИОГРАФИЯ 393
[5] B17) Пользуясь инфинитезимальным методом (глава VIII, разделВ),
Э. Картан в своей работе в Bull. Soc. Math, de France 41 A913),
стр. 53, построил все неприводимые представления любой простой не-
непрерывной группы и, следовательно, в частности, ортогональной груп-
группы О (л). Некоторых дальнейших рассмотрений, которые выполнил
Н. We у 1, Nachr. G6tt. Ges. Wissensch. 1927, стр. 227, потребовало уста-
установление того, что полем действия этих представлений служат наши под-
подпространства Pq (/i... /v). а именно, доказательство следующего утвер-
утверждения, идущего в том же направлении, что и теоремы (V.2.B) и
(V.3.A), но существенно более слабого: совокупность всех полиномов
Ф(х1,..., xi), зависящих от произвольных векторов х1,..., х* и обра-
обращающихся в нуль при выполнении v2 соотношений
образует идеал, а левые части соотношений (*) составляют его базис!.
. W B19) А. Н. Clifford, Ann. of Math. 38 A937), стр. 533.
[7] B26) Аналогично этому переходу от полной к собственно орто-
ортогональной группе с помощью теоремы Клиффорда, можно было §ы
выполнить и снижение от симметрической к знакопеременной группе.
Ср. G. Fro ben i us, Sitzungsber. Preuss. Acad. 1901, стр. 303.
ГЛАВА VI
Ш B30) Weyl, Math. Zeitschr. 20 A924), стр. 140. Группа _S/> (ft)
с окаймлением произвольной ширины и и инвариантами, зависящими от
ковариантных и контравариантных векторных аргументов, рассматри-
• вается в диссертации R. W а п п е г' a, Zurich, 1926.
И B39) Ср. R. Brauerr, Ann. of Math. 38 A937), стр.. 855, и
Н. Weyl, Math Zeitschr. 35 A932), стр. 300.
ГЛАВА VII
М B54) Относительно того, что из неравенства B.10) следует | А | ^-0,
см. Н. М i п к о w s к i, Nachr. GOtt. Ges. Wissensch. 1900, стр. 90.
l*J B59) Этот процесс впервые ввел А. Н u r w i t z, Nachr. G6tt. Ges.
Wissensch. 1897, стр. 71, в целях доказательства первой основной тео-
теоремы об инвариантах (глава VIII В, в частности, теорема VIII. 14.А),
применив его к вещественной ортогональной группе.
И B60) И. Ш у р впервые применил процесс интегрирования к пред-
представлениям компактных групп, и в частности, вещественной ортого-
ортогональной группы, в трех важных работах, помещенных в Sitzungsber.
Preuss. Akad. 1924, стр. 189, 297, 346, под заглавием „Neue Anwendun-
gen der Integralrechnung auf Probleme der Invariantentheorie"..
W B60) Math. Ann. 97 A927), стр. 737.
W B65) По поводу всего этого предмета него литературы см. Г. Б о р,
Почти периодические функции, Гостехиздат, 1933.
И B65) Ann. of Math. 34 A933), стр. 147.
I'l B65) Transact. Am. Math. Soc. 36 A934), стр. 445. Ср. также
W. Maak, Abh. Math. Sem. Hamburg 11 A935—1936), стр. 240.

394 БИБЛИОГРАФИЯ
Ю B66) Ann. of Math..37 A936), стр. 57.
W B66) E. С a r t a n, Rend. Cite. Mat. Palermo 53 A929), стр. 217.
H. Weyl, Ann. of Math. 35 A934), стр. 486.
Uol B66) L. Pontrjagin, Ann. of Math. 35 A934), стр. 361.
[и] B71) В трех работах под наименованием „Theorie der Darstellung
kontinuierlicher halbeinfacher Gruppen durch lineare Transformationen*,
Math. Zeitschr. 23 A925), стр. 271; 24 A926), стр. 338 и 377 (Appendix,
стр. 789), автор соединил инфинитезимальный подход Ли-Картана с ин-
интегральным подходом Гурвица-Шура. Первая работа содержит опре-
определение плотности классов и определение характеров унитарной груп-
группы интегральным методом.
НИ B78) Формула, устанавливающая равенство выражений E.15) и
F.5), впервые доказана G. Jacobi; см. М u i r, Theory of Determinants I
A906), стр. 341. О более поздних работах Trudi, Naegelsbach'a и Kotska —
там же, III A920), стр. 135, и IV A923), стр. 145. Обобщение недавно
предложил Aitke n, Proc. Edinb. Math. Soc. 1 A927), стр. 55; 2 A930),
стр. 164.
1»1 B78) Впервые установлена И. Ш у р о м в его диссертации, Ber-
Berlin, 1901,
lit] B84) Доказательство теоремы (VII.6.F), как и соответствующих
теорем для других классических групп, является упрощенной версией
способа, которому я следовал в работе, помещенной в Acta Mate. 48,
стр. 255.
UM B84) Sitzungsber. Preuss. Akad., 1900, стр. 516. По поводу дру-
других прямых алгебраических методов см. I. S с h u r, Dissertation, Berlin,
1901, и работы Ш у р а в Sitzungsber. Preuss. Akad. 1908, стр. 664, н 1927,
стр. 58.
И6! B92) Am. Journ. of Math. 59 A937), стр. 437. См. также F. D. Mur-
naghan, Am. Journ. of Math. 59 A937), стр. 739; 60 A938), стр. 44, и
G. de В. Robinson, Am. Journ. of Math. 60 A938), стр. 745.
U7] B93) Math. Zeitschr. 23 A9Й), стр. 300.
l№] B93) I. Schur, Sitzungsber. Preuss. Akad. 1908, стр. 664. Ср.
резюме в работе W. Specht, Math. Zeitschr. 39 A935), стр. 696. Род-
Родственные исследования: A. Joung, Proc. London Math. Sqc. A) 34
A902), стр. 361. D. E. Lit tie wood and A. R. Richards on, Phil.
Transact. Roy. Soc. (A) 233A934), стр. 99; Quart. Journ. of Math. (Oxford)
5 A934), стр. 269. D. E. Little wood, Proc. London Math. Soc. B) 39
A936), стр. 150; B) 40 A936), стр. 49; B) 43 A937), стр. 226.
[19] B98) Ср. вторую из моих работ по теории представлений полу-
полупростых групп, Math. Zeitschr. 24 A925), стр. 328.
ДО] C02) В Math. Zeitschr. 24 A925), стр. 328, я рассматривал соб-
собственно ортогональную группу. Добавленное мною в Acta Math. 48,
стр. 255, для охвата случая полной ортогональной группы следует за-
заменить изложением, данным здесь. Более алгебраический вывод харак-
характеров служит предметом диссертации R. Brauer'a „Ueber die Dar-
stetluhg der Drehungsgruppe durch Gruppen linearer Substitutiопей', Ber-
Berlin, 1925.

БИБЛИОГРАФИЯ 395
1*4 C10) Комбинаторный подход и .производящая функция строк*
легко переносятся как на симплектическую, так и на ортогональную
группы. Ср. F. D. Murnaghan, Nat. Ac of Sciences 24 A938),
стр. 184. Формула для числа инвариантов (/а = 0) является здесь, как
и в симплектическом случае, см. (8.13), непосредственным следствием
первой основной теоремы. И. Шур в его работах в Sitzungsber. Preuss.
Akad. 1924, открывших применение метода интегрирования к теории
групп, вывел из этого уравнения формулы (9.7), (9.15) для меры
объема на ортогональной группе, полученные нами прямым геометри-
геометрическим вычислением.
1**1 C12) Формула для ортогональной группы впервые даиа Р. Б р а-
у э р о м в его диссертации, Berlin, 1925. Оба мы уже долгое время зна-
знали, что та же формула справедлива для любой полупростой группы;
здесь я даю мое доказательство. См. заметку Брауэра в Comptes .
rendus 204 A937), стр. 1784. Явное правило 'для кронекеровского пере-
перемножения двух неприводимых представлений < Р (Д.. . /„)>,
<Р(/J.../„)> полной линейной группы см. в работе D. E. Little-
wood and A. R. Richardson, Phil. Trans. Roy. Soc. (A) 233 A934)
стр. 99. См. также F. D. Murnaghan, Am. Journ. of Math. 60 A938)
стр. 761;
M C16) Comptes Rendus 201 A935). стр. 419. Э. К а р т а н правильно
угадал результат еще раньше: Ann. Soc. Polon. de Math. 8 A929),
стр. 181. См. подробные замечания' самого Р. Брауэра в мимеографи-
рованных записках моих лекций „On the Structure and Representations
of Continuous Groups II', Princeton, 1934—1935.
ГЛАВА VIII
[i] C22) Из руководств, составленных в классической традиции, ука-
укажем: I. H. Grace and A. Joung, The Algebra of Invariants, Cam-
Cambridge, 1903; G1 e n n, The Theory of Invariants, Boston, 1915; L. E. D i с k-
s о n, Algebraic Invariants, New Jork, 1913. Большей свободой в вопросе
о полагаемой в основу группе преобразований отличается монография
R. Weitzenbock, Invariantentheorie, Groningen, 1923.
М C26) Н. Weyl, Rend. Circ. Mat. Palermo 48 A924), стр. 29.
Й C35) См., напр., I. H. Grace and A. Joung, The Algebra of
Invariants, Cambridge, 1903, стр. 89—91, 96—97. Рассмотренный резуль-
результат впервые получил К э л и в его Memoirs on Quantics.
W C38) D. Hilbert, Math. Ann. 36 A890), стр. 47&—534, = Gesam-
melte Abhandlungen II, Berlin, 1933, No. 16: „Ueber die Theorie der alge-
braischen Formen", теоремы I и II на стр.199 и 211. Ван дер Варден,
Современная алгебра II, 2-е изд., стр. 27—29. Конечность базиса для
каждого идеала в К эквивалентна .теореме о цепях делителей* Э. Н ё-
тер, см. 1. с, стр. 30—31.
I5) C41) Решающие факты даны в работе Гильберта, указанной
в 1*), включая теорию сизигий, в которую мы здесь не входим. Более
детальное исследование кольца инвариантов н его поля отношений,
имеющее своей целью более финитное построение целого рациональ-
рационального базиса, содержится в последующей работе Г и ль бе р та: .Ueber

396 БИБЛИОГРАФИЯ
die vollen Inyariantensysteme", Math. Ann. 42 A893), стр. 313—373,
= Gesammelte Abhandlungen II, No. 19, стр. 287—344. По поводу более
простого доказательства его „теоремы о нулях" (стр. 294) см. A. R a b 1 -
п о w i t s с h, Math. Ann. A02) 1929, стр. 518, и ван дер В а р д е н, .Совре-
.Современная алгебра" II, 2-е изд., стр. 11, .Нулевое, многообразие* состоит
из систем значений я, о, ..., для которых обращаются в нуль все инва-
инварианты J{tt, v, ...), не сводящиеся к постоянной, и построение его как
пересечения Ji = 0, ...,Jf, = 0,определяемого несколькими инвариантами
Л» • • 'Л веСа которых могут быть ограничены a priori, играет важную
роль. В этой связи полезен общий критерий конечности, принадлежа-
принадлежащий Э. Нётер: Nachr. Cott. ©ее. Wissensch. 1926, стр. 28.
М C42) Идея присоединения всюду подчеркивается в Эрлангенской
программе Ф. Клейна. "¦•
11 C46) Это понятие принадлежит О. Ш р е й е р у, Abh. Math. Sem.
Hamburg, 4 A926), стр. 15. и 5 A927), стр. 233.
И C47) См. Н. Weyl, Die Idee der Riemannschen Flache, Leipzig,
1913 (и 1923), § 9. Идея универсального накрывающего многообразия
восходит к Шварцу и Пуанкарэ (Н. Р о i n с а г ё, Bull. Soc. Math.
de France 11 A883), стр. 113—114). Генетическое построение см. у
Р. К о е b e, Journ. reine angew. Math. 139 A911), стр. 271—276. По поводу
топологического исследования непрерывных групп вообще см. две
брошюры Э. Картана: La theorie des groupes finis et continus et
l'Analysis situs, Mem. des. Sciences Math. 42, Paris, 1930, и La topologie
des groupes de Lie, Actual. Scient. 358,, Paris, 1936.
le] C49) Lie-Engel, Theorie der Transformationsgruppen, 3 тома,
Leipzig, 1893. Более новые изложения: H. W е у 1, Appendix 8 в Ма-
thematische Analyse des Raumproblems, Berlin, 1923; L.P. Eisenhart,
Continuous Groups of Transformations, Princeton, 1933; W, Mayer and
T: Y. Thomas, Ann. of Math. 36 A935), стр. 770. Упрощенная пере-
переработка наиболее важных частей работы Э. Картана по инфини-
тезимальным группам (см. гл. II18]).дана в работах автора в Math.
Zeitschr. 23 и 24 A925—1926); см. также van der W а е г d e n. Math.
Zeitschr. 37 A933), стр. 446. Центральным пунктом этих исследований,
поскольку они имели дело со структурой, а не представлениями' групп,
было построение всех (полу-) простых алгебр Ли над К+ (или более
обще, цад алгебраически замкнутым полем). Ту же проблему для про-
произвольного поля в последнее время успешно рассматривали N. Jacob-
son, Ann. of Math. 36 A935), стр. 875; 38 A937), стр. 508; Ргос. Nat
Ac. of Sciences 23 A937), стр. 240, и W. Landherr, Abh. Math. Sem.
Hamburg. 11 A935), стр. 41. Если задана ассоциативная алгебра а = {в|
с инволютивным антиавтоморфизмом J: а -*¦ а1, то ее У-косые элемен-
элементы в, т. е. элементы, удовлетворяющие условию aJ=—a, образуют
алгебру Ли с умножением [ab\ = ab — Ьа\ этот способ построения алгебр
Ли зарекомендовал себя как способ первостепенной важности.
teal C50) Для групп Ли это сомнение разрешил Э. Картав,
Actual. Scient. 358 A936), стр. 19.
Ш C58) I. S с h u г, Sitzungsber. Preuss. Akad. 1928, стр. 96.
М C59) Н. Weyl, Math. Zeitschr. 24 A926), стр. 348-353.
И C59) Е. М о h r, .Диссертация, Gottingen, 1933,

БИБЛИОГРАФИЯ 397
I1»] C59) R. В r a u e г, Sitzungsber. Preuss. Akad. 1929, стр. 3.
fi«] C59) J. v. Neumann,' Math. Zeitschr. 30 A929), стр. 3, E. С a r-
tan. M6mor. Sc Math. 42, 1930, стр. 22—24.
Ц6] C60) Принадлежащий автору первоначальный вывод связности
классических групп в Math. Zeitschr. 23 A925), стр. 291, и 24 A925),
с.тр. 337 н 346, более сложен. Относительно произвольных полупростых
групп см. там же, 24 A925), стр. 380; Е. Саг tan, Annali di Mat. D)
4 A926—1927), стр. 209, и D) 5 A928), стр. 253; We у 1, мимеографирован-
ные записки лекций о структуре и представлениях непрерывных групп II,
Princeton, 1934—1935, стр. 155—185.
Uej C62) Е. Car tan. Bull. Soc. Math, de France 41 A913), стр. 53;
P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. (A) 117 A927), стр. 610; 118 A928),
стр. 351; R. Brauer and H. Wey'l, Am. Journ. of Math. 57 A935),
стр. 425. Детальное геометрическое изучение проблемы проведено в ми-
иеографированных записках On the Geometry of Complex Domains by
O. Veblen and J.W. Qivens, Princeton, 1935—1936.
U7] C62) Получаемую ниже алгебру ввел W. К. Clifford no
крайней мере в 1878 г.: Am. Journ. of Math. 1 A878), стр. 350, = Math.
Papers, стр. 271. H. Witt дал интересное применение ее.к изучению
квадратичных форм над произвольными полями, Journ. reine angew.
Math. 176 A937), стр. 31.
U8] C69) Неудачные попытки сделали L. М а и г е г, Bayer. Akad.
Wissenseh. 29A899), стр. 147; Math. Ann. 57 A903),стр. 265, и R. Weit-
zenb6ck,- Acta Math. 58 A932), стр. 231. Работа Вейценбёка со-
содержит правильное дэказательство для каждого отдельного линейного
преобразования. Посредством интересного прямого алгебраического
подхода-Е. F i s с he r, Journ. reine angew. Math. 140A911), стр.48,
разрешает вопрос в К* для любой линейной группы, содержащей вместе
с каждым ее элементом А также сопряженный к транспонированному А*.
U») C69) Е. Noether, Math. Ann. 77 A916), стр. 89. Тот же ре-
результат для конечных групп в поле простой характеристики (делящей
порядок группы): Е. Noether, Nachr. Gott. Ges. Wissenseh. 1926,
стр. 28. Проективные инварианты mod/» рассматривали ранее L. E. Dick-
son и его школа: On Invariants and the Theory of Numbers, Madison
Colloquium 1913, и различные работы в последующие годы в Transact.
Am. Math. Soc.
№ C70) E. С а г tan, Lecons,sur les invariants integraux, Paris, 1922;
Ann. Soc. Polon. de Math. 8 A929), стр. 181; E. К abler, Einfufarung
in die Theorie der Systeme von Differentialgleichungen, Leipzig, 1934;
J.H. C. Whitehead, Quart. Journ. of Math. (Oxford) 8 A937), стр. 220.
1И] C71) Совпадение обоих определений доказал G. de Rham в его
These, Paris, 1931 (=: Journ. Math, pures et appl. (9) 10 A931), стр. 165),
где он подробно излагает основы этой теории.
[22] C71) J. W. Alexander, Ann. of. Math. 37 A936), стр. 698. Та
же идея была высказана А. Н. Колмогоровым на топологической кон-
конференции в Москве в сентябре 1935 г. Кроме того, Е. С е с h, Ann. of
Math. 37 A936), стр. 681.
128] C74) Прямой топологический подход: L. Pontrjagin, Comptes
Rendus. 200. A935), стр. 1277.

БИБЛИОГРАФИЙ
ГЛАВА IX
М C75) Я следую своему методу, излож. в Ann. of Math. 37 A936),
стр. 743—745, и 38 A937), стр. 477—483. По поводу абстрактной трак-
трактовки см. ваи дер 13ардей, Современная алгебра II, 2-е изд.,
стр. 189—195, 233—240; De urine, Algebren, Ergebn. Math.4:1, Berlin,
1935, и указанная там литература. Особенно важна работа В. Noether,
Math. Zeitschr. 37 A933), стр. 514.
И C78) Впервые доказал Th. S k о 1 е m, Shr. norske Vid.-Akad.,
Oslo, 1927.
M C85) R. Bra uer, Journ. reine angew. Math. 166 A932), стр. 241;
168 A932). стр. 44.
W C88) Ср. R. В r a u e r and E. Noether, Sitzungsber. Preus».
Akad. 1927, стр. 221. По поводу связанных с этим .скрещенных про-
произведений' Э. Нётер и «систем факторов" Р. Брауэра см. Н. Hasse,
Transact. Am. Math. Soc. 34 A932), стр. 171; R. Bra uer, Math. Zeitschr.
28 A928), стр. 677; 31 A930), стр. 733; также Weyl, Ann. of Math. 37
A936), стр. 723—728, и Deu r ing, 1. с.
W C88) ван дер В а р д е н, Современная алгебра И, 2-е изд., стр.
189—190 J. Н. М. W е d d е г b u r n, Ann. of Math. 38 A937), стр. 854;

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолют 341
Абсолютная неприводимость 130
Абстрактная алгебра 114; — груп-
группа. 28
Автоморфизм общий 30; — алгебр
376 и ел.
Алгебра, абстрактная и матричная
113, 114; — инверсная 128; —
коммутаторная 115; — Ли 349;
— "нормальная 376; — нулевая
121; —обертывающая 113; —
простая 121; — с делением 115;
— ЭДЛ (ортогональная) 194,
Wf) (симплектическая), 239;
— ИФ 199; - Я, 189; — а>?
Алгебр произведение 390
Алгебры матричной ранг = матриц
ранг.
Альтернирование 167
Арнгольда процесс 328
Ассоциированные диаграммы 212;
— представления 221
Аффинное пространство 29
Базис векторного пространства 18;
. приуроченный к под-
подпространству 22
— идеала 14
— функциональный (семейства
функций) 49; — целый рацио-
рациональный 49
Бетти числа 371; классичес-
классических групп 374; компакт-
компактных групп Ли 373
Бинарная квадратичная форма 329,
331; — кубическая форма 339 .
Бисимметрия 139, 180
Брауэровское произведение 385
Веддербёрна теорема 129, 130
Вектор 18; — ковариантный и
коитравариантный 23
Векторное пространство 18; век-
векторного пространства алгебраи-
алгебраическая модель 21
Векторные инварианты 40, 41; —
— группы ступенчатых преобра-
преобразований 74, 78; знакопе-
знакопеременной группы 54; ор-
ортогональной группы 50—52, 79,
190; инфинитезималь-
ные 99; формаль-
формальные 92; симметрической
группы 48, 58; симплекти-
ческоЙ группы 230; —
' формальные 237; — унимоду-
лярной группы 69
Величина 34; — обобщенная 184;
— примитивная или неприво-
неприводимая 35; — содержащаяся в
другой величине 35; величин
соединение 35; величины раз-
разложение 35; — тип 32
Взаимно нормальные идемпотеиты
144
Взаимно однозначные соответст-
соответствия 27.
Вполне приводимые матричные ал-
алгебры и матричные множества
135
Вторая основная теорема (Теории
инвариантов) 57, 341; — — —

400
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
. (для векторных инвариантов) Знакопеременная группа 54; ее
для ортогональной группы 108; векторные инварианты 54; их
для знакопеременной перечисление 54; вторая основ-
группы 55; для симп- ная теорема 55
лектической группы 232,
— для собственно ортогональ-
ортогональной ГруППЫ 111; ДЛ5
ной группы ш; для
унимодулярной группы 102,106
Вырождения первого и второго
рода 120, 121
Гессиан 323, 330
Геометрия в смысле Клейна 32
Гильберта теорема о базисе идеа-
идеале 337
Главный идеал 14
Гомология 371
Грама теорема 324; обобщен-
обобщенная 326
Грулпа 28, 30; — абстрактная 28;
— вращений плоскости 263; —
инфинитезимальная 340; — Ли
258; — Лоренца 96; — ступен-
ступенчатых преобразований 74; ее
векторные инварианты 74, 78;
ее инварианты 345. (Все осталь-
остальные специальные группы см.
по первой букве обозначающе-
обозначающего их прилагательного.)
Групповое кольцо 138; его полная
приводимость 142; моди-
модифицированное 159
Групповое ядро 346
Двойственные пространства 24
Декартова система координат 26;
декартовой системы координат
классическое индуктивное по-
построение 7
Делитель нуля 13
Диаграмма 167; — самоассоцииро-
самоассоциированная 213; диаграммы ассоци-
ассоциированные 212; — допустимые
212
Дискриминант 329, 331, 333
Дифференциал 370; — инвариант-
инвариантный 371; — полный 16; — точ-
точный 371
Дифференциальные уравнения для
инвариантов 352
Единица алгебры 114; — группы
28; — поля 11
Идеал i3; — главный 14; — орто-
ортогональный 197;—полиномиаль-
197;—полиномиальный 337; — простой 14; сим-
плектический 240; идеала базис
14
Идемпотент 121; — порождающий
125; — примитивный 144; вза-
взаимно нормальные идемпотен-
ты 144
Инвариантное подпространство 23;
инвариантный вектор 23; —
дифференциал 371
Инварианты 40; — абсолютные' и
относительные 43, 353; — ли-
линейные 42; — четные и нечет-
нечетные 79
— всех классических групп, соот-
соответствующие любым представ-
представлениям Ли 368; — компактных
групп 367; — конечных групп
369. (Векторные инварианты
см. под этим названием. Инва-
Инварианты частных групп см. под
названием этих групп.)
Инверсная алгебра 128
Индуцированное преобразование
23
Инфинитезимальная группа 349;
инфииитезимальиые вращения
97, 98; — симплектическиепре-
¦ образований 233; — элементы
группы 98; инфинитезимальный
мультипликатор 353
Исключительные и неисключитель-
неисключительные матрицы 84
Капелли тождества общее н Спе-
Специальное 65; — тождество 65;
— формальное сравнение 104
Квадратичная форма 333
Квази-унимодулярность 261
Квантовая механика 139
Классические инварианты и кова-
рианты 322, 323
К лассическое индуктивное построе-
построение декартовой системы осей
" 27

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
401
Классы подстановок 169
Клиффорда теорема 219
Ковариант в классическом смыс-
смысле 323; — в общем смысле 43;
коварианта тип 43
Когредиентные и контрагредиент-
ные преобразования 23, 38
Коллинеация 157
Кольцо 13 »
Коммутативное множество преоб-
преобразований 248
Коммутатор 115; коммутаторная
алгебра 115
Компактность 243, 245
Комплексный символ 77
Компоненты вектора 18; — вели-
величины 34
Конгруэнтность 38
Координатизация 30
Координатная система 18;
абсолютная 20; декартова
нли ортогональная 26
Коши лемма 276
Кронекеровское произведение
алгебр 383—385; — — матриц
и представлений 36; его разло-
разложение в случае классических
групп 311 и ел.
Ksjm параметризация 84; для
ортогональных матриц 85;
для симплектических
матриц 233
Левые и правые инвариантные
подпространства 146 "
Ли алгебра 349; — группа 258;
— представление 355
Линейная оболочка 113
— форма 21
Линейное отображение 19
Линейный элемент 258
Лоренца группа 96
Матрица 19; — единичная 19; —
— неисключительная 84; —не-
—неособенная 19
Матричная алгебра 113; впол-
вполне приводимая 132
Метод присоединения 341
Метрическая основная форма 95
Метрика в тензорном пространстве
26 Г. Вейль
Минор 25
Мультипликатор 43; — инфините-
зимальный 353
Неприводимость 35; — абсолют-
абсолютная 130 v
Норма матрицы 263
Нормализатор 39
Нормальная алгебра 376
Нулевая алгебра 121
Нуль (поля) 11
Обертывающая алгебра 113;
вполне приводимого матричного
множества 135; ортого-
ортогональной группы 194, 197, 199;
полной линейной- груп-
группы 180; симплектической
группы 239
Обобщенная величина 184
Одночлен 16; — однородный 17
Октаэдральная группа 296
Однородное многообразие 265
Ориентация 26
Ортогональная группа 27; ее век-
векторные инварианты 50—52, 79,
190; их перечисление 50—52,
80; вторая основная теорема
для ортогональной группы 108;
векторные инварианты ортого-
ортогональной группы инфинетози-
мальные 99; фор-
формальные 92
Ортогональной группы инвариан-
инварианты 345, 346, 368; оберты-
обертывающая алгебра 194, 197, 199;
, представления 210 и ел.,
226; связность 361;
характеры 304 и ел., 359;
элемент объема 304, 307
Ортогональная группа собствен-
собственная (группа собственно ортого-
ортогональных преобразований) 27;
ее векторные инварианты 79
и ел.; их перечисление 80;
вторая основная теорема
111; группы собственно орто-
ортогональных преобразований
представления 309; 359;
характеры 304 и ел., 359
Ортогональная группа с произ-
произвольной основной формой 95

402
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ортогональность представлений161
Ортогональный идеал 197
Основная теорема проективной
геометрии 157
Ось вращения 86
Относительности идея 28; — про-
проблема 31, 38
Отображение индуцированное 23;
— линейное 19; подобия 29,30,
145
Параллелизм между групповым
кольцом и коммутаторной ал-
алгеброй 151, 154
Параметризация ортогональной
группы 84; — симплектической
группы 233
Парсеваля равенство 264
Паскаля теорема 337
Первая основная теорема (теории
инвариантов) 50—52;
для .группы ступенчатых пре-
преобразований 74, 78;
для знакопеременной группы
54; для компактных
групп 367; — для конеч-
конечных групп 367, 369 . —
для ортогональной группы 50—
52, 80; для симметри-
симметрической группы 49, 59;
для симплектической группы
230; для унимодуляр-
ной группы 69, 340
Пирса разложение 122
Пифагорово поле 27; — присо-
присоединение 88
Подобие 30; подобия отображение
29, 30, 145; подобные прост-
пространства 145
Подстановка (в полиноме) 14; —
(ряда чисел) 166
Поле 11; — вещественное 27; —
отношений 13; — пифагорово
27; — расщепления 388; — фун-
фундаментальное 13; — эвклидово
366
Полином 14; — от нескольких пе-
переменных 14; полинома значе-
значение 15; — корень 15; — сте-
степень 14
Полиномиальный идеал 337
Полная матричная алгебра 122
Полная приводимость 135
Полнота представлений 163, 260
Полный дифференциал 16
Полугруппа 113
Полулинейные подстановки 158
Поляризация 16; — полная 18
Порождающий идемпотент 125
Порядок -матрицы 20; — представ-
представления = порядок матриц пред-
представления
Почти периодические функции и
.почти периодические представ-
представления" 265
Правило приведения 279
Представление алгебры 114;
аналитическое 354; — группы
28; — Ли 355; — тождествен-
тождественное 34; представления ассоци-
ассоциированные 221; — вырожден-
вырожденные и невырожденные 122; —
ортогональной группы 210 и
ел., 266; — полной линейной
группы 37, 181; — простой ал^
гебры 128; — симметрической
группы 172 и ел.; — симплек-
симплектической группы 240, 358; —
собственно ортогональной груп-
группы 309, 359; —сопряженные
219
Представлений сложение 35; — ум-
умножение 36; — эквивалентность
34, 35; представления приводи-
приводимость 35; — разложимость 34;
— степень 28
Приводимость 34
Примитивная величина 35; прими-
примитивный идемпотент 144; — класс
симметрии 168;
Принцип несущественности алгеб-
алгебраических неравенств 15
Присоединение абсолюта 341;
корня уравнения к полю 387
Присоединенная реализация 261;
присоединенное представление
261
Приуроченная к разложению век-
векторного пространства система
координат 22
Проективная геометрия 4; проек-
проективное пространство 41; проек-
проективности 158
Проектирование 148

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
403
Произведение ковариантного и
контравариантного векторов 23;
— скалярное 26
Производная (полинома) 15; —
(дифференциала) 371
Производная алгебра 121;
Производящая функция 281 и ел.,
300
Производящий идемпотент 125
Простая алгебра 121; простой иде-
идеал 14
Прямая сумма 133
Пуанкарэ полином 315; — полной
линейной группы 316; дру-
других классических групп 321
Пфаффиан 229
Разбиение (на слагаемые) 167
Разложение векторного простран-
пространства 22; — совокупности матриц
в частности представлений 34
Разложение представлений класси-
классических групп и кронекеровских
произведений 314; — тензор-
тензорного пространства под дейст-
действием полной линейной группы
177, 181, 281; под дей-
действием ортогональной группы
206, 215, 216, 310; под
действием симплектической
группы 240, 300, 302;
под действием собственно орто-
ортогональной группы 226
Размерность векторного простран-
пространства 18
Ранг тензора 38
Расширение группы ' 72; — поля
387
Рациональные функции 15
Реализация группы 28; ~ регу-
регулярная 28; точная 28
Регулярная реализация группы 28;
регулярное представление ал-
алгебры 115
Реституента 76; реституция 75
Самоассоциированная диаграмма
2f3
Связность унитарной группы 360;
— других классических групп
362
Сдвиг (в группе) 28
26*
Семиинварианты 74
Сигнатура (величины) 182; —
(квадратичной формы) 96
Символический вектор 75; — ме-
метод 37, 327
Симметризация 167
Симметрии диаграмма 167; — опе-
оператор 137; — условие 136 .
Симметрическая группа 48, 58,137;
ее векторные инварианты 58 и
ел.; их перечисление 59; сим-
симметрической группы представ-
представления 172 и ел.; связь с
линейной группой 138—139,180;
- характеры 290
Симплектическая группа 297; ее
векторные инварианты 230; их
перечисление 230; вторая ос-
основная теорема 232; симплек-
симплектической группы инварианты
345; обертывающая ал-
алгебра 239; представления
240, 358; связность 362;
¦ характеры 297, 298; —
— элемент объема 296
Симплектический идеал 240
Сингулярные элементы 269
Система отнесения 31, 32
Скаляр 34
Скалярное произведение 26
След матрицы 20, 35; — тензора
206
Сложение представлений 35
Соотношения арифметически ре-
рекуррентного типа 280
Спиноры и спинорные представле-
представления 361, 362, 366
Сравнения по модулю идеала 13
Степень полинома 14; — представ-
представления 28
Ступенчатые преобразования 74
Сумма векторных пространств 22
Тензор 38; — кососимметрический
38; дополнительный к
данному 214; — симметриче-
симметрический 38; тензора ранг 38
Теорема расширения 72
Тернарная форма 330
Тип величины 32; — коварианта 43
Типовые базисные инварианты 52
Тождественное представление 34

404
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Точная реализация 28; точное пред-
представление 114
Транспонированная матрица 23
Трансформированная матрица 20
Углы унитарных преобразований
248
Умножение алгебр 390; — пред-
представлений 36
Универсальное накрывающее мно-
многообразие 347
Унимодулярная группа 41; ее век-
векторные инварианты 69; их пере-
перечисление 69; вторая основная
теопема 102, 106; унимодуляр-
ной? группы представления 357,
358; характеры 208
Унитарная группа 234; унитарной
группы компактность 245; —
— представления 245, 275; —¦
— связность 267, 360; ха-
характеры 274; элемент объ-
объема 271
Унитарная ортогональность тензо-
тензоров 238
Унитарное ограничение 235; его
алгебраическая несуществен-
несущественность 243
Унитарные преобразования 234;
: к главным осям 246; —
— симплектические 233.
Унитарный прием 238, 243, 355
Усреднение по группе 255
Форма 17, 21; — линейная 21; —
полилинейная 17, 21
Формальные инварианты ортого-
ортогональные 92; симплекти-
симплектические 237
Функция классов 148, 271
Характер представления 35;
индуцированного регулярным
представлением группового
кольца 148; ортогональ-
ней-юуппы 304 и ел., 359; —
— полкой линейной группы 278;
— — симметрической группы
290; симплектической груп-
группы 297, 298; унитарной
. группы 274; — спинорных пред-
представлений 366; — только для
симметризации или только для
альтернирования 249
Характеристика поля 12
— представления симметрической
группы 293
Характеристический полином 20
Целый рациональный базис 49
Центр 130
Шура лемма 116—119
Эвклидова геометрия 25
Эквивалентность представлений 35;
эквивалентные подпространства
145
Элементарные суммы 273
Элемент объема группы 259;
ортогональной группы 304,307;
симплектической группы
296; унитарной группы
271
Эрлангенская программа 28
Эрмитова форма 234
Юнга симметризаторы 163
Якобиан 323, 330.
Якоби правило 349

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава I
ВВЕДЕНИЕ
1. Поля, кольца, идеалы, полиномы 11
2. Векторное пространство 18
3. Ортогональные преобразования, эвклидова векюрная геометрия 24
4. Группы. Эрлангенская программа Клейна» Величины 27
5. Инварианты и коварианты . . 39
Глава U
ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
1. Взгляд в прошлое . .' 45
2. Основные предложения теории инвариантов '. . 48
А. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
3. Первый пример: симметрическая группа 58
4. Тождество Капелли 61
5. Редукция первой основной проблемы с помощью тождеств Ка-
Капелли 65
6. Второй пример: унимодулярная группа SL{ri) . . 69
7. Теорема расширения. Третий пример: группа ступенчатых пре-
преобразований 72
8. Общий метод охвата контраварнантных аргументов 74
9. Четвертый пример: ортогональная группа 79
В. ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА КРУПНЫМ ПЛАНОМ
10. Рациональная параметризация ортогональной группы по Кэли 84
11. Формальные ортогональные инварианты 91
12. Произвольная метрическая основная форма 95
13: Инфинитезимальная точка зрения 96
С. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
14. Формулировка предложения для унимодулярной группы ... 101
15. Формальное сравнение Капелли 104

406 . ОГЛАВЛЕНИЕ
16. Доказательство второй основной теоремы для унимодулярной
группы 106
17. Вторая основная теорема для ортогональной группы 108
Глава III
МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА
А. ТЕОРИЯ ВПОЛНЕ ПРИВОДИМЫХ МАТРИЧНЫХ АЛГЕБР
1. Основные понятия, относящиеся к матричным алгебрам. Лем-
Лемма Шура 113
2. Предварительные сведения 120
3. Представления простой алгебры 124
4. Теорема Веддербёрна 128
5. Вполне приводимая матричная алгебра и ее коммутаторная
алгебра 132
В. ГРУППОВОЕ КОЛЬЦО КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ И ЕГО КОММУТАТОРНАЯ
АЛГЕБРА
6. Постановка задачи 136
7. Полная приводимость группового кольца 142
8. Формальные леммы 149
9. Взаимность между групповым кольцом и коммутаторной алгеб-
алгеброй 150
10. Обобщение 157
Глава IV
СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА И ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ
ГРУППА
1. Представление конечной группы над алгебраически замкнутым
полем ' 161
2. Симметризаторы Юнга. Комбинаторная лемма 166
3. Неприводимые представления симметрической группы 172
4. Разложение тензорного пространства 177
5. Величины. Разложение 182
Глава V
ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА
А. ОБЕРТЫВАЮЩАЯ АЛГЕБРА И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ИДЕАЛ
1. Снова о векторных инвариантах унимодулярной группы . . . 189
2. Обертывающая алгебра ортогональной группы 193
3. Формальная отшлифовка результата 196
4. Ортогональный простой идеал 198
5. Абстрактная алгебра, связанная с ортогональной группой . . 203
В. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
6. Разложение с помощью операции свертывания тензоров . . . 205
7. Неприводимые представления полной ортогональной группы . 210

ОГЛАВЛЕНИЕ 407
С СОБСТВЕННО.ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА
8. Теорема Клиффорда • 219
9. Представления собственно ортогональной группы 224
Глава VI
СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГРУППА
1. Векторные инварианты симплектической группы 227
2. Параметризация и унитарное ограничение 232
3. Обертывающая алгебра и представления симплектической
группы 238
Глава VII
ХАРАКТЕРЫ
1. Предварительные сведения об унитарных преобразованиях . . 242
2. Характер только для симметризации или только для альтерни-
альтернирования 249
3. Усреднение по группе 255
4. Элемент объема на унитарной группе 267
5. Вычисление характеров 271
6. Характеры группы QL (л). Перечисление ковариантов .... 276
7. Чисто алгебраический подход 284
8. Характеры симплектической группы 294
9. Характеры ортогональной группы 302
10. Разложение и кронекеровское умножение 311
11. Полином Пуанкарэ 314
Глава VUI
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ
А. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1. Классические инварианты и инварианты обобщенных величин.
Теорема Грама 322
2. Символический метод 327
3. Бинарная квадратичная форма 331
4. Иррациональные методы 333
5. Дополнительные замечания 335
6. Теорема Гильберта о полиномиальных идеалах 337
7. Доказательство первой основной теоремы для QL (л) .... 338
8. Метод присоединения . . 341
В. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
9. Групповое ядро и алгебры Ли . 346
10_ Дифференциальные уравнения для инвариантов. Относительные
и абсолютные инварианты 352
11. Унитарный прием 355
12. Связность классических групп ' 360
13. Спиноры 362

408 ОГЛАВЛЕНИЕ
14. Конечный целый рациональный базис для инвариантов ком-
компактных групп 367
15. Первая основная теорема для конечных групп -. .369
16. Инвариантные дифференциалы и числа Бетти компактных
групп Ли 370
Глава IX
СНОВА О МАТРИЧНЫХ АЛГЕБРАХ
1. Автоморфизмы 375
2. Лемма об умножении алгебр 380
3. Произведения простых алгебр 383
4. Расширение основного поля 385
Библиография 389
Алфавитный указатель 399
Редактор И. М. Яглом
Техн. редактор А. П. Дронов. Корректоры S. А. Ерусалимский
и М. М. Шулименко
Сдано в производство 11/IV— 1947 г. Подписано к печати 15/VII 1947 г. А-00417
Печ. л. 257-j, уч.-изд. 23. Формат 6Ox92Vie, изд. № >/а Заказ № 398. Цена 24 руб.
Набрано и сматрицировано в 1-й Образцовой типографии треста «Полиграф-
книга» ОГИЗа при Совете Министров СССР. Москва, Валовая, 28.
Отпечатано в 3-й типографии «Красный пролетарий» треста «Полиграфкнига»
ОГИЗа при Совете Министров СССР, Москва, Краснопролетарская, 16.