СОВРЕМЕННАЯ
АЛГЕБРА
А. И. МАЛЬЦЕВ
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МЛТЕМЛТИЧЕСКОП ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1970
517.1
М 21
УДК 512.к
Анатоли й II ванов ич Мальцев
Алгебраические системы
М., 1U70 г., 392 cip. С Илл.
(Серни: «Современная алгебра»)
Редакторы Д. М. Смирнов, Л/. А. Тайцлаи, Ф. II. Кизнер
Техн, редактор А. А. Благовещенская
Корректор Н. Д. Дорохова
Сдано б набор 26 V 1969 г. Подписано к печати 24 XJI 1969 г. Бумага
84x1081/32. Физ. леч. л. 12,25	1 вкл. Условн. печ. л. 20,68. Уч.-изд. л. 20.
Тираж 17 500 экз. Т-18506. Цена книги I р. 50 к. Заказ № 1077.
Пздательство «Наука»
Главпая редакция физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Московская типография № 16 Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР. Москва, Трехпрудный пер., 9
2-2-3
92—69
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов ...	.	5
Предисловие автора ....	7
I' л а в а 1
Общие понятия............................... . ..	9
§ 1.	Отношения и отображения.............................. 9
1.1.	Miioatecina (!)). 1.2. Отношения (16). 1.3. Отображе-
нии (20). 1.4. Зышвалситности (23). 1.5*. Частичные
и .iiiiieiiiiMi* порядки (30). 1.6. Многозначные и ча-
стичные iHoop.-niieiiioi (.32). 1.7*. Мощности и порял-
i.oiiMC числа (35).
Примеры и дополнения . .	. .	41
§ 2.	Модели и алгебры.................................... 42
2.1.	н-арпые отношения и функции (42). 2.2. Алгебраи-
ческие снстемы(46). 2.3. Подсистемы. Порождающие
coiioi.yiiiiocTH (53). 2.4. Копгруепцпп (60). 2.5. Де-
картовы произведения (70). 2.6*. Операции над кар-
'||1Ш1.'1Ы11.1мп и порядковыми числами (84).
Примеры и дополнения . .	88
Г л а на II
Классические алгебры	89
§ Группоиды и группы...................................... 89
3.1*. Группоилы и полугруппы (89). 3.2. Квазигруппы
и IVUI.I e.isi	Гру ины (97).
Примеры и дополнения	105
§ 4.	1|О.ц|.ца и тела................................... 100
4.1.	Кольца (106). 4.2*. Алгебраически замкнутые поля
(113). 4.3. Альтернативные ie.na (119). 4.4. Линей-
ные алгебры (122).
Примеры и дополнения . .	128
§ 5.	Решетки (структуры)................................ 129
5.1.	Решетки (129). 5.2. Модулярные и дистрибутивные
решетки. Алгебры Буля (133).
Г л а в а III
Я:..in первой и второй ступени .	138
§ Г». Синтаксис и семантика . ........................... 138
6.1. Термы (138). 6.2. Формулы (146). 6.3. Свойства
2-й ступени (154). 6.4. Олемеитарпые теории и акси-
оматизируемые классы (160).
1*
4
l)l’. I \ H.IKHllli
♦Примеры и дополнения .	163
§ 7.	Классификация формул.............................. 164
7.1.	у-формуды и 3-формулы (l(ii). 7.2. A ькверсал оно
аксноча! ii.mpjcAibie iio:ij ллсеы (17 I). 7.3. уз- и зу-
фирму..ы (17В).	7.4. Позитивные формулы (189).
7.5.	Мултвнлпг.атпвно устойчивые формулы (IS3).
Г л а в а IV
Произведения и полные классы	193
§ 8.	Фильтры и фильтрованные произведения .	193
<4.1. Фильтры и ультрафильтры (193). 8.2. Ультра произ-
ведение (197). 8.3. Некоторые применения ультра-
произведений (207).	8.4. (‘'словно фильтрующиеся
формулы (213).	8.5. Мощности ультранроизведе-
пий (2 18). 8ji*. Регулярные произведения (225).
Примеры н дополнения .	.	233
§ 9.	Неотличимость и элементарная вложимость ....	235
9.1.	:)л<‘М1'п гарные вложении (235). ’.’.2. 3. icmcii i арпые
подсистемы (24 3).
§ 10.	Полнота и модельная полнота....................... 248
10.1.	Полные совокупности формул (249). 111.2. Модель-
нал полнота (256).
Примеры и дополнения	266
Г л а в а X'
Квазимпогообразня .	267
§11. Общие свойства..................................... 267
11.1.	Xapai.TCiir.cTii'ieci.iie iin>ii<">b.i (2i>7). 11.2. Опреде-
ЛИ1О1ЦПС i-oii'i'hohiciiiiii (275). 11.3. Репиньи (289).
♦Примеры и дополнения .	299
§ 12.	Свободные системы п композиции ...	299
12.1.	Свободные KOMHii.cmiiii (299). 12.2. Независимые
элементы о свободные ciicicaii.i (3 12). 12.3. Амальга-
мированные komiio.iiiii'iii (322).
Примеры и дополнения	. .	335
Глава VI
Многообразия ............................................... 337
§ 13.	Общие свойства.................................... 337
13.1.	Структурные характеристики (337). 13.2. Ранги
многообразия (343). 1 3.3. Многообразия унондов (348).
♦Примеры и дополнения . . .	356
§ 14.	Примитивные замыкания ............................ 357
14.1.	Порождающие системы (357). 14.2. Решетка много-
образий (3(15).	14.3. Минимальные многообразия
и квазимногообразия (372).
♦Примеры и дополнения .	381
Литература .	.	384
Предметный указател)........................................ 388
ОТ РЕДАКТОРОВ
Автором этой книги является выдающийся советский
математик академик Анатолий Иванович Мальцев, без-
временно скончавшийся 7 июля 1967 г. на 58-м году жизни.
Научное наследство, оставленное А. И. Мальцевым,
исключительно богато п-разносторонне. А. II. Мальцеву
принадлежат фундаментальные результаты в теории групп,
в теории колец и линейных алгебр, в топологической
алгебре, в теории групп Ли, в математической логике.
А. И. Мальцев является одним из создателей теории
алгебраических систем, возникшей в результате приме-
нения к алгебре методов математической логики и заняв-
шей поэтому пограничное положение между алгеброй
и математической логикой. Теории алгебраических систем
А. И. Мальцев посвятил большой цикл статей и яркие
обзорные доклады на 3-м и 4-м Всесоюзных математиче-
ских съездах [37, 39]. Ряд новых идей в теории алгебраи-
ческих систем А. И. Мальцев высказал в докладе на
Международном конгрессе математиков в Москве [42].
Работу над книгой «Алгебраические системы»
А. И. Мальцев начал еще в 1951 г. в Иванове. В 1953 г.
машинописный экземпляр первой части книги был передан
А. И. Мальцевым в математический кабинет Иваповского
педагогического института и с тех нор был доступен для
многих советских алгебраистов. Однако дальнейшая рабо-
та над книгой была прервана и возобновилась уже в Ново-
сибирске в 1964 г. Так как к этому времени теория алгеб-
раических систем пополнилась большим числом новых
работ, существенно изменивших ее лицо, то была начата
фактически новая книга. В последние годы \. И. Мальцев
предполагал написать ее в двух томах под названием
<а»ощая алгебра». Первый том, посвященный основным
6	ОТ РЕДАКТОРОВ
структурам, исчислениям предикатов и многообразиям,
был включен в план издательства физико-математической
литературы на 1967 г., но не был своевременно закончен
н публикация была отложена. Однако Л. И. Мальцев
продолжал работу над книгой, и только скоропостижная
смерть помешала ему довести эту работу до конца.
Не располагая какими-либо сведениями о содержании
второго тома, мы решили сохранить за книгой ее перво-
начальное название «Алгебраические системы», тем более,
что так озаглавлена оставшаяся рукопись книги.
Машинописный экземпляр книги был передан нам
II. П. Мальцевой вместе с несколькими вариантами пред-
полагаемого оглавления. Естественно, что мы выбрали
из этих вариантов тот, который ближе отвечал фактиче-
скому содержанию рукописи. В соответствии с планами
автора мы включили в книгу главу «Классические алгеб-
ры» из ивановского варианта рукописи в надлежащей
редакции и с некоторыми добавлениями, а также необхо-
димые сведения о кардинальных и ординальных числах
по книге Хаусдорфа [68]. В книгу добавлены нами
некоторые другие недостающие связующие звенья.
В оглавлении все они отмечены звездочкой. Первая глава
книги была подвергнута некоторой редакционной пере-
работке, так как в пей рассматривались алгебраические
системы лишь конечной сигнатуры, тогда как в после-
дующих главах сигнатура предполагается произвольной.
Для чтения книги требуется знание обычных универ-
ситетских курсов высшей алгебры и математической логи-
ки и лишь в отдельных местах читатель отсылается к спе-
циальной литературе.
Д. Смирнов, М. Тайцлин
Апрель 1968 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Еще в 20-х годах нашего века стало обычным мнение,
что алгебра — это наука о свойствах множеств, па кото-
рых определена та или иная система операций. Однако
вплоть до конца сороковых годов подавляющая часть
алгебраистов занималась изучением свойств лишь весьма
ограниченного числа типов алгебраических структур.
В основном это были группы, кольца и решетки (струк-
туры). Первые общие работы по теории произвольных
множеств и с произвольными операциями принадлежат
Г. Биркгофу (1935 г.). В те же годы появилась важная
работа А. Тарского, в которой были заложены основные
концепции теории множеств, снабженных некоторой систе-
мой отношений,— такие множества называются ныне моде-
лями. В отличие от теории алгебр, теория моделей исполь-
зовала богатый аппарат математической логики. Возмож-
ность плодотворного применения математической логики
не только к изучению универсальных алгебр, но и к более
классическим областям алгебры, например к теории
групп, была обнаружена автором в 1936 г.
В течение следующих 25 лет постепенно выяснилось,
что обе теории — теория универсальных алгебр и теория
моделей,— несмотря на некоторое различие в проблема-
тике, столь тесно связаны, что имеет смысл говорить
об одной дисциплине — теории алгебраических систем,
предметом которой являются множества с определенными
па них последовательностями операций и отношений
(алгебраические системы). Формальным аппаратом этой
теории служит язык так называемого прикладного исчис-
ления предикатов, а сама теория должна рассматриваться
как пограничная между математической логикой и ал-
геброй.
8
ПРЕДИС'..ТОВИН автора
Изложенную точку зрения автор пытался обосновать
в своих обзорных докладах на всесоюзных математиче-
ских съездах 195(5 и 19(51 гг.
Начиная с 1951 г. автор неоднократно читал специаль-
ные курсы лекций, посвященных изложению основных
понятий и некоторых разделов теории алгебраических
систем. В 1953'54 г. были составлены записки одного
из таких курсов. Несколько десятков машинописных
копий этих записок ходили ио рукам в разных городах.
Однако обработать их для печати своевременно не уда-
лось. В 19(54 г. автору пришлось снова читать курс теории
алгебраических систем, и группа студентов и сотрудников
ИГУ предложила издать ротапринтным способом старые
записки. Однако прошедшие 10 лет коренным образом
изменили состояние теории и переработка упомянутых
записок привела к созданию книги, которая и предлагает-
ся вниманию читателей.
Содержание этой книги в общих чертах соответствует
содержанию двух обзорных докладов автора, о которых
говорилось выше.
Г JJ . I /Л I J
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
§ 1. Отношения н отображения
1.1. Множества. Совокупность предметов или понятий,
объединенных каким-нибудь общим свойством, называется
множеством. Например, можно говорить о множестве
символов в строке, множестве всех натуральных чисел,
множестве лиц, являющихся в данный момент студентами
университета, м т. п. Предметы, входящие в состав мно-
жества, называются его элементами. В дальнейшем мно-
жества будут, как правило, обозначаться прописными
буквами, а элементы малыми буквами латинского или
греческого алфавитов. Утверждение, что предмет а являет-
ся элементом множества А, сокращенно записывается
в виде а £ А. Запись а ц А пли а £ А означает, что пред-
мет а не есть элемент множества А.
Может случиться, что элементы некоторого множества
сами являются множествами. Например, студенческие
группы можно рассматривать как элементы множества
всех групп университета, хотя каждая группа сама
является множеством входящих в нее студентов.
Два множества называются равными, если они состоят
нз одних и тех же элементов, т. е. если каждый предмет,
являющийся элементом одного множества, является эле-
ментом и другого. Из этого определения следует, что для
полного задания множества достаточно перечислить все
его элементы. Поэтому там. где это удобно, для записи
множества будут выписываться внутри фигурных скобок
и произвольном порядке обозначения элементов множест-
ва. Например, выражение {4, 1, 3} обозначает множество,
। о< |оящее из чисел 1, 4, 3. Множества {1,3, 1, 5} и {1, 3, 5}
10
ОБЩИЕ ПОНЯТИИ
[Гл. I
следует рассматривать как равные, так как в нервом
случае элемент 1 только упомянут дважды при перечисле-
нии элементов множества, что не существенно для опреде-
ления самого множества.
Часто приходится рассматривать множества, состоя-
щие лишь из одного элемента. При этом множество {«},
состоящее из единственного предмета а, и сам этот пред-
мет а считаются различными объектами. В частности,
приходится различать элемент а, множество {я}, состоя-
щее из единственного элемента а, множество {{«}},
единственным элементом которого является множество
{а}, и т. д.
Наряду с множествами, имеющими элементы, рас-
сматривают также пустое множество, но имеющее ни одно-
го элемента. Все пустые множества по определению равны
и обозначаются символом 0. Отметим, что множество
{ 0 } имеет своим элементом пустое множество 0 и потому
не пусто.
Множество А называется подмножеством или частью
множества В, символически А s В, если каждый эле-
мент А является элементом В. Например, множество
четных натуральных чисел есть подмножество множества
всех натуральных чисел.
Согласно этому определению произвольное множество
А и пустое множество 0 являются подмножествами мно-
жества А. Непустая часть множества А, отличная от А,
называется правильной частью А. Запись А сг В означает,
что А есть подмножество множества В, отличное от В.
Пустое множество имеет лишь одну часть 0; множество
{1}. состоящее из одного элемента 1, имеет 2 части:
0 и {1}; множество {1, 2}, состоящее из двух элементов,
имеет 4 части: 0, {1}, {2}, {1, 2). Легко убедиться, что
множество, состоящее из конечного числа п элементов,
имеет 2" различных частей.
Очевидно, что для любых множеств /1, /?, С из Л s В,
В сг А следует А — В, из A s В, В £= С следует А s С,
из А сд В, В ?= С следует А сС in. д.
Вместо слов множество, подмножество часто употреб-
ляются слова совокупность, подсовокупность, система,
подсистема, семейство и т. п. Если A s В, то говорят,
что В есть надмножество [надсистема) множества А.
(j fl	ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ	11
Пусть Р — некоторое свойство объектов, и пусть
формула Р (а) означает, что объект х обладает свойством
Р. Тогда через {х | Р (я:)} обозначается множество тех
объектов х, которые обладают свойством Р. Например,
пусть N обозначает множество всех натуральных чисел
О, 1, 2, ... Тогда {х | х > 5, x£N] будет множеством
натуральных чисел, больших числа 5, {х | 2 < х < 6,
х £ N} есть множество {3, 4, 5}, {х | х < 0, х £ N} — 0.
Объединением или суммой множеств А, В, символиче-
ски A U В, называется множество, получаемое объеди-
нением элементов А и В в одно множество. Таким образом,
утверждение а (И ij В) означает, что а £ А или a £ В.
Например,
{1, 2, 4} U {2, 3, 5, 6}=-{1, 2, 3, 4, 5, б}.
В частности, для любого множества А имеем
A U А Л, 0[\А — А.
Выражения
лили...ид>= и At
1=1
обозначают объединение элементов множеств Л(, . . ., Ап.
Пересечением или общей частью множеств А, В, сим-
волически А П В, называется множество, содержащее
те и только те предметы, которые одновременно принад-
лежат множествам А и В. Если А и В общих элементов
не имеют, то их пересечение пусто. Так,
{1, 3}П{2, 4, 5}—0,
{1, 2, 5}П{1, 5, 6} = {1, 5}.
В частности, для любого множества А имеем
А Г1 А = А, 0ПЛ=0.
Выражения
Л ПЛП • • •	=-П At
i— 1
обозначают общую часть системы множеств Ль . . ., Л„,
т. е. совокупность тех предметов, которые являются эле-
ментами каждого из множеств Лъ . . ., Ап.
Разностью множеств Л, В, символически А \ В,
называется совокупность тех элементов множества А,
12
овщии понятия
[Гл. I
которые не входят в В. Например,
{О, 1, 2, 3}\{1, 3, 5}-{0, 2}.
Отсюда следует, что для любых множеств Л, В имеем
Л\Л = 0,	Л’.0 = Л, 0 ЧЛ = 0,
А \ 73 = Л \ (Л Г) 73).
Иногда операцию объединения множеств рассматри-
вают как аналог операции сложении чисел, а операцию
вычитания множеств как аналог вычитания чисел. Однако
эта аналогия весьма не полпая. Например, если Л \JB —
— С, то отсюда еще не следует, что Л — С В. Дей-
ствительно, полагая
.1 {0, 1, 4, 5},	/3 {1, 2, 3, 5},
будем иметь
Л U #={0, 1, 2, 3, 4, 5},
{О, 1, 2, 3, 4, 5} \ 73= {О, 1}=#Л.
Правильное заключение имеет следующий вид: если
Л U 73 ~= С, Л П 75 = 0, то Л — С В.
Если Л В, то разность В ' ч Л называется дополне-
нием множества А в множестве В и обозначается через
допдЛ. В случае, когда множество В заранее извест-
но, вместо доНдЛ кратко пишут Л' и говорят просто
о д о п о л н е п п и множества Л. Так, если основным
множеством В служит множество N всех натуральных
чисел, то дополнением совокупности четных чисел являет-
ся совокупность нечетных чисел, дополнением совокуп-
ности чисел, каждое из которых делится на какое-либо
нечетное число, большее единицы, является совокупность
степеней двойки 2°, 21, 22, 2я, . . .
Только что определенные операции объединения, пере-
сечения множеств и взятия дополнения множества допу-
скают очень наглядное графическое истолкование. В каче-
стве основного множества берем совокупность точек пло-
скости. Пусть Л — круг на этой плоскости (см. рис. 1),
т. е. множество точек, лежащих внутри и на заданной
окружности. Тогда А’ будет множеством точек, лежащих
вне упомянутой окружности (па рис. 1 — заштрихованная
область).
I I	ОТНОШЕНИЯ II ОТОБРАЖЕНИЯ
Рассмотрим теперь два круга А, В. Па рис. 2 изобра-
жено объединение множеств Л\\В (заштрихованная
область), а на ряс. 3 изображено множество А р Б (дваж-
ды заштрихованная область). Па рис. 4 заштрихованная
область представляет разность А '\В множеств Л, В.
Арифметические действия сложения и умножения пату
ральпых чисел суть операции, производимые над парами
чисел, или, как говорят, бинарные операции. Теоретико-
множественные операции объединения и пересечения могут
Рис. 3.
Рис. 4.
служить хорошим примером бинарных операций, произ-
водимых над множествами, т. е. над объектами еще более
простой логической природы, чем натуральные числа.
Онорации возведения числа в квадрат и взятия допол-
нения множества суть операции, производимые над
одним объектом. Такие операции называются унарными.
Фиксируем какое-нибудь множество U и обозначим
через U совокупность всех подмножеств множества U.
Над элементами совокупности U можно производить
операции пересечения, объединения и взятия дополнения
14
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. 1
(в основном множестве U). Совокупность Иза м к н у -
т а относительно перечисленных операций в том смысле,
что, производя эти операции над элементами совокуп-
ности U, мы будем в результате получать элементы,
принадлежащие II. Система, состоящая из совокупности
U и операций jj , П , называется алгеброй Буля
подмножеств множества U.
В арифметике действия сложения и умножения связа-
ны известными законами ассоциативности, коммутатив-
ности, дистрибутивности. Аналогичным законам и ряду
других подчинены и операции объединения, пересечения
и дополнения в алгебрах Буля. Мы выпишем здесь основ-
ные из этих законов, так как взятые в абстрактной форме
(см. п. 5.2) они играют большую роль во многих разделах
алгебры и логики:
Б1) х[]х = х;
Б2) x[Jy = y(Jx;
БЗ) (.->Ul/)U2 = -«U(l/Uz);
Б4) .Tn(yUz)=(a-Gy)UC’-nz);
Б5) (ж')'=.с;
Б6) (х U у)' = х' Пу';
Б7) х U (г/ П у') = х.
В истинности этих тождеств легко убедиться и путем
простых рассуждений, и графически. Например, из рис. 5
непосредственно видно, что для
любых множеств х, у, z левая и
правая части тождества Б4 изо-
/	\ бражаются одной и той же заштри-
хованной частью плоскости.
/	\ Равенства Б1, . . ., Б7 суть
/	\ тождества. Поэтому, подставляя в
I 1 I них вместо х, у, z выражения х',
\ \У у у', z', получим снова тождества.
------------Эти новые тождества можно пре-
5	образовать при помощи тождеств
как старых, так и новых и т. д.
В результате из тождеств Б1 —
Б7 мы получим ряд тождеств, называемых формальными
следствиями данных. Этот процесс выведения из данных
I |	ОТНОШЕНИЯ 11 ОТОБРАЖЕНИЯ
15
тождеств новых но всех деталях будет проанализирован
далее и и. 11.2 этой книги, а здесь мы покажем лишь, что
н.т тождеств Б1 — Б7 чисто формально вытекают сле-
дующие тождества, в которых л"- (т')':
Бо1) .ГГ]Х==.Т;
Б02) Qy = yQ^;
Б03) (,т Г) у) Г] z = т П (у Г| z);
Б</) х U {У 0 z) = (т U у) П (х J z);
Бо5) ,т"=.т;
Боб) (х ПУ)' -A Uy';
Бо7) х n(yUy') = ‘T-
Все они получаются сходными приемами. Выведем
из Б1 — Б7, например, лишь тождество B0(j. Заменяя
в Б6 х, у на х', у', получим (x'Uy)' — аЛПу". Это
равенство ввиду тождества Б5 можно представить в форме
(%' Ul/У =‘ТПУ- Беря дополнения
и применяя снова тождество Б5,
получим требуемое соотноше-
ние Боб.
Тождмува Б01 — Бо7 с чисто
внешней стороны получаются из ,т
тождеств Б1 — Б7 взаимной пере-
менной ролей знаков U п П и
потому называются двойственны-
ми этим тождествам.
Наряду с операцией вычитания
множеств иногда рассматривается операция разностного
сложения, обозначаемая символом @ и определяемая
формулой
г © У = 0’ \ У) U (У \ 	(1)
Графически разностная сумма х@у изображена
на рис. 6, откуда ясно видно, что
(•'*’ ©!/)©!/ = ? •
Поэтому, если ввести новую операцию вычитания (разно-
стного) (А с помощью формулы
.г.©у=^.г ©у,
от ооепх частеп
Рис. 6.
16
(ЛИЦИН понятия
[Гл. I
то обе операции будут связаны друг с другом обычным
арифмотическпм законом
х © ?/ = z <=>// = 2 © ж,
где знак <=> употреблен как символ слова «равносильно».
Вместе с гем легко проверить, что для операций ©, П
имеет место и обычный закон дистрибутивности
ЖП([/©2) х--=(.ТГ| ?/)©(«(] 2).	(2)
Система, состоящая из совокупности U всех подмно-
жеств некоторого множества U и операций @,	, назы-
вается кольцом Вуля подмножеств множества U. Помимо
законов коммутативности и ассоциативности (Б02 и Б03)
операции С], закона дистрибутивности (2), в кольце Нуля
выполнены также следующие тождества:
Ж©« = 0,	=
х ®У=У@Х-
(X © ?/) © 2 = Х © (// © Z),
легко вытекающие из тождеств Б1 Б7 и формулы (1),
определяющей разностную сумму множеств.
Отметим еще, что в алгебре Нуля отношение включения
подмножеств .4 с= В равносильно каждому из равенств
.4 U В-В, Л П В = А.
Ясно также, что включение .4 s В равносильно двойст-
венному включению В' <= Л'.
Естественно было бы спросить себя, исчерпывают ли
тождества Б1 — Б7 и их формальные следствия все
вообще тождества, которые связывают операции (J , П , '
па произвольной алгебре подмножеств? Ответ на этот
вопрос положительный п будет дан ниже (см. пп. 5.2
и 7.1).
1.2. Отношения. Декартовым произведением множеств
А и В, символически А :< В, называется совокупность
всех	пар вида (а,	о),	где	а £	А,	b £ В.	Например,	если
А	-	{1, 2}, В =	{4,	5},	то	А	X В =	{(1, 4),	(1,	5),
(2, 4), (2, 5)}. Далее,
В х А -	{(4,	1),	(4,	2),	(5, 1),	(5, 2)},
Л < Л =---	{(1,	1),	(1,	2),	(2, 1),	(2, 2)}.
§ U
ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ
17
Ясно, что если множества А, В конечные и А содержит
in элементов, а В — п элементов, то произведение А X В
содержит тп пар.
Всякое подмножество а декартова произведения А X В
произвольных множеств А, В называется отношением,
определенным на паре множеств А, В. Исли («, t>) £ а,
то говорят, что элемент а находится в отношении а к эле-
менту b или что отношение а для а, Ъ истинно. Вместо
(л, /?) б « пишут также аиЪ или а (а, Ъ).
Отношение, заданное на паре множеств А, А, назы-
вается бинарным отношением, заданным на множестве А.
Поскольку отношения, заданные на фиксирован-
ной паре множеств А, В, суть подмножества множе-
ства А X В, то совокупность всех этих отношений обра-
зует алгебру Буля относительно операций объединения,
пересечения и дополнения отношений. В частности, для
произвольных а £ А, b £ В
a (a U р) b <=> aab или afrb,
а (а П Р) b <=> aab и арЬ,
аа'Ь <=> не aab.
Поэтому часто вместо объединения, пересечения и допол-
нения отношений говорят об их дизъюнкции, конъюнкции
и отрицании.
Например, отношение равенства —, определенное
на множестве натуральных чисел N, можно понимать
как совокупность всех «диагональных» пар: (0,0), (1,1), . . .
Дополнение этого отношения есть отношение неравенства
-/=. Отношение порядка < есть совокупность пар (а, Ь),
у которых а < б. Отношение совпадает с объединением
<U=. а пересечение < (] = пусто, т. е. представляет
собою всюду ложное отношение. Объединение U >
является, напротив, всюду истинным отношением.
Помимо операций (J, П, ' важное значение имеют
еще две операции над отношениями — обращение и ум-
ножение отношений, определяемые следующим образом.
Если а — отношение, определенное на паре множеств
А, В, то обратным отношением (символическиа-1) называ-
ется отношение а-1, определенное на паре В, А и состоящее
2 А. И. Мальцев
18
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
И’л . 1
из тех пар (Ь, а), для которых (о., b) б а, т. е.
Ла ‘а <=> aab.
Например, если <— отношение порядка, то
а < 1 Ъ <=> Ъ < а
<=> а > Ь,
и потому < = >.
Пусть теперь отношение а задано на паре множеств
А, Б и отношение р задано на паре множеств Б, С. Про-
изведением «Р отношений а, р называется отношение,
определенное на паре множеств А, С и такое, что
с(аР)с (а £ А, с б С) истинно тогда и только тогда, когда
в В найдется элемент х, для которого истинны аах и x:[Jic.
Если же отношение а определено на паре множеств А, В,
отношение р определено на паре С, D п В С, то произ-
ведение ар считается не определенным.
Таким образом, в общем случае произведение двух
отношений может оказаться и не определенным. Дело
меняется, если рассматривать совокупность всех бинарных
отношений, определенных на некотором фиксированном
множестве А. В этом случае обращение отношения и про-
изведение любых двух отношений будут бинарными отно-
шениями, определенными снова на множестве А.
Рассмотрим несколько примеров. Введем обозначения:
аа = а2, а2а = а3, ...	(1)
Посмотрим, что выражают отношения <2, <3, . . ., Тде
< — отношение порядка на множестве натуральных чи-
сел N. Согласно определению, а <2 b истинно тогда и толь-
ко тогда, когда для некоторого натурального х истинны
а < х и х <Z Ъ. Для существования такого х необходимо
и достаточно, чтобы а . -f- 1 < Ъ. Следовательно,
а <3 b « + 1 < Ъ,
а <3 Ъ <-> а -т- 2 < />,
(2)
Аналогично
а (< >) Ъ <=> З.к (а < .с & х > Ь) <=> З.с (.»; > шах (а, Ь)).
(3)
11
ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ
19
?>,ieci, З.г — символ выражения «существует такое х, что»,
Л символ для союза и. Переставив в (3) сомножители
«С и >, получим
и О  <;) b <=> Зж (с > ж & .т < b) <-> 3.; (.? < mi u (a, bf).
Ihiuapiibie отношения а, р, определенные на каком-
нибудь множестве А, называются перестановочными, если
а|> = ра. Формулы (3), (4) показывают, что отношения
и <;' = > на натуральном ряде не перестановочны.
Отношение равенства, определенное на множестве А,
часто обозначают символом iA. Оно состоит из всех диа-
гональных пар (а, а), а ^А. Если множество А заранее
фиксировано, то вместо сА пишут i. Легко убедиться,
что для любого бинарного отношения а, определенного
на множестве А,
СС1А = tAa.	(5)
Однако пример (4) показывает, что равенство аа”1 = i
для некоторых отношений а может оказаться и неверным.
Исходя из определений произведения и обращения
отношений, легко убедиться, что для произвольных отно-
шений а, р, у имеют место тождества
а (Ру) = (ар) у,	(6)
(аР)-1 - р^а-Е	(7)
При этом, если отношения рассматриваются на парах
различных множеств, то тождества (6), (7) следует пони-
мать так, что из определенности левой или правой частей
равенства вытекают определенность и другой части равеи-
г тиа и совпадение значений обеих частей.
Помимо тождеств (6), (7), относящихся к операциям
умножения и обращения отношений, существует ряд
ЮЖД1Ч-ТВ, связывающих эти операции с булевыми опера-
циями (J, f], Например, для любых отношений а, Р, у,
определенных на произвольном множестве А,
(а-1)' = (а')”1,	(8)
(аЦр)”1 = а’1 UP’1, (ссПР) 1 = «"'АР”1,	(9)
а (Р U у) = ар U ау, (р U Т) « = Ра U У«-	(10)
OiMeiiiM, что аналог формул (10) для (] неверен.
2*
20
оВЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
Система, состоящая из совокупности всех бинарных
отношений, определенных на каком-нибудь множестве А,
и операций (J , П, -1, производимых над этими отно-
шениями, называется алгеброй отношений на А. Тож-
дества (6) — (Ю), а также булевы тождества Б1—Б7
из п. 1.1 являются примерами тождеств, имеющих место
на произвольных алгебрах отношений. Задача нахожде-
ния полной системы тождеств, истинных на алгебрах
отношений, оказалась более сложной, чем, например,
для алгебр Буля подмножеств.
1.3. Отображения. Отношение а, определенное на паре
множеств А, В, называется отображением А в В, если
для каждого а £ А существует один и только один эле-
мент Ь б В, удовлетворяющий отношению ааЪ. Элемент
b называется образом элемента а при отображении а
и обозначается через аи или аа. Если b = аа, то элемент
а называется прообразом элемента b при отображении а.
Совокупность всех прообразов элемента b в А при данном
отображении а называется полным прообразом этого эле-
мента в А.
Отображение иногда удобно задавать таблицей, состоя-
щей из двух строк. В верхней строке в произвольной
последовательности пишутся обозначения элементов мно-
жества А, а под ними записываются обозначения их обра-
зов в множестве В. Например, таблица
/1 5 3 4\
а=\3 4 1 3/
определяет отображение множества {1, 5, 3, 4} в себя,
при котором 1“ — 3, 5га = 4, Зга — 1, 4,х = 3.
Пусть а — отображение А в В, р — отображение
В в С. Тогда произведение отношений ар будет отобра-
жением А в С, и для любого х £ А справедливо соотно-
шение
х (ар) = (ха) р.
В самом деле, пусть х (ар) = с. Тогда для подходя-
щего у £ В имеем хау, г/Рс, откуда ха ~ у, и потому
с = (ха) р. Обратно, из с — (ха) Р вытекает (ха) р с. Так
как х а (хВ * * 11), то х (аР) с, т. е. с — х (ар).
f. 11
ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ
21
Умножение отображений, заданных таблицами, произ-
нодптся по способу, непосредственно видному из следую-
щего примера:
/1 2 3 4\ /я Ъ с d'
\а b с d)\.r у и v
1 2 3 4
X у и V
Отображение а множества А в множество Б называется
отображением А ла В, если каждый элемент b £ В имеет
и А хотя бы один прообраз, т. е. если уравнение ха = b
для любого Ь^В имеет хотя бы одно решение х£А.
Отображение а множества А иа множество В назы-
вается взаимно однозначным, если обратное отношение
а 1 является отображением В па А. Для того чтобы ото-
бражение, заданное таблицей, было взаимно однозначным,
необходимо и достаточно, чтобы каждый элемент из В
встречался в нижней строке один и только один раз. Делая
нижнюю строку верхней, а верхнюю нижней, получим
таблицу обратного отображения.
Так, из таблиц
/12 3 4
\2 3 1 4
1 2 3 4\
2 4 2 3/
первая определяет взаимно однозначное отображение
множества {1, 2, 3, 4} на себя, а вторая нет.
Пусть а — какое-нибудь отображение множества А
в себя и аа = Ь. Тогда говорят, что отображение а пере-
водит точку а в точку Ь. Если аа = а, то а называется
нс подвижной точкой отображения а. Все точки множества
/1 являются неподвижными точками тождественного ото-
бражения 1д.
Рассмотрим какое-нибудь взаимно однозначное ото-
бражение а А на В. Ясно, что в этом случае обратное
отношение а-1 будет взаимно однозначным отображением
В на А. Так как для любых a f А, b g В имеем (аа) а~1 =
а, (Ьа~у) а — Ь, то
аа 1 = 1Л, а 'а = ii(.
(1)
В частности, если а — взаимно однозначное отображе-
ние Л на Л, то
дат1 = а-1а = г,
(2)
22
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
Равенства (1), (2) дают повод высказать следующую
теорему.
Теорема 1. Для того чтобы отношение а, опреде-
ленное на паре множеств А, В, было взаимно однозначным
отображением Л на В, необходимо и достаточно, чтобы
отношения а и а"1 удовлетворяли соотношениям (1).
Необходимость соотношений (1) уже была доказана.
Остается убедиться лишь в их достаточности. Из истин-
ности отношения aiAa и первого из равенств (1) следует,
что отношение	истинно, а это означает, что в В
существует элемент Ь, для которого истинны aab, Ьа~*а.
Таким образом, для каждого a g А в В существует элемент
Ь, для которого aab истинно. Пусть существует еще какой-
нибудь элемент bl g В, для которого aab\ истинно. Из
истинности bia~1a, aab вытекает истинность отношения
1>уа~гаЬ. Согласно (1), а~1а = 1В, и потому
1уа~1аЬ <=> Ь^Д) <=> l>i — Ъ.
Итак, для каждого а £ А в В существует один и только
один элемент Ь, для которого aab истинно. Это означает,
что а есть отображение Л на В. Аналогичным образом
убеждаемся, что се1 есть отображение В на А, что и тре-
бовалось.
Теорема 2. Объединение (пересечение) двух отобра-
жении множества А в множество В тогда и только тогда
является отображением, когда оба заданных отображения
совпадают друг с другом.
Действительно, если а, р — отображения А в В. то
для каждого а б А а и р содержат лишь по одной паре вида
(а, х), (а, у), где х, у б В. Из х у следовало бы, что
a U р содержит две пары (а, х), (а, у), a aQ р не содержит
ни одной пары с первым элементом, равным а.
Пусть М — множество, над элементами которого мож- •
по производить какую-то операцию / (точное определение
понятия операции см. в п. 2.1). Подмножество Р этого
множества называется замкнутым относительно операции
/, если, производя операцию / над элементами подмноже-
ства Р, мы получим снова элемент этого же подмножества.
Теорема 2 показывает, что все множества отображений
А в А, замкнутые относительно операции объединения,
состоят лишь из одного элемента’ и потому мало интересны,
Й 11
ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ
23
1<> же самое верно и для множеств отображений, замкпу-
и.|\ о г.и сольно операции пересечения. Напротив, непу-
< it.ie совокупности отображений А в А, замкнутые отно-
ciric.'ti.iio операции умножения, отличаются большим раз-
....раннем. Они называются полугруппами отображении
I в . I.
Непустые совокупности отображений А в А, замкну-
ii.ie не только относительно операции умножения, но
и отпоенгельно операции обращения, называются группами
чиин>ра.теиия А в А. Так как обращение отображения
. I и .1 тогда и только тогда является отображением, когда
оно взаимно однозначно, то группы отображений состоят
лишь нз взаимно однозначных отображений.
1.4.	Эквивалентности. Бинарное отношение а па мно-
жестве А называется отношением эквивалентности или
просто эквивалентностью на А, если для любых х, у, z
пл I:
а)	хал:	(рефлексивность),
б)	хау =$ уах (симметричность),
в)	хау & у az =? xaz (транзитивность),
где знак заменяет слово «влечет».
Пользуясь введенными выше операциями над отпоше-
П11ИМП. свойства а), б), в) можно, очевидно, представить
п следующем виде:
Рефлексивность: i £ а,
('.пмметричность: tzJ <£1 а,
Транзитивность: а2 г; а,
। щ I. — отношение равенства. Легко заметить, что эти
। рп условия равносильны следующим:
i S а, а 1 = а, а2 — а.
«’.петому 5 непустых подмножеств заданного множества
I условимся называть разбиением или расслоением мно-
жеетна Л, если каждый элемент А принадлежит одному
и только одному подмножеству из системы S. Подмноже-
ств пл .S' называются смежными классами или слоями
piinnilCDIIH .S'.
каждым разбиением 5 мы свяжем бинарное отноше-
ние о па Л, полагая, по определению, хау истинным
мода п голько тогда, когда х и у принадлежат одному
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. 1
и тому же слою множества А. На рис. 1 множество А изо-
бражено в виде квадрата, а слои — в виде прямоуголь-
ников, на которые разбивается квадрат. Отношение
.ту истинно тогда и только тогда, когда точки х, у при-
надлежат одному и тому же прямоугольнику. Ясно, что
отношение о есть эквивалентность. Она
—————называется эквивалентностью, отвечаю-
—------------ щей разбиению S.
_	Покажем, что каждая эквивалент-
ность о на А отвечает некоторому раз-
~~	~ биению S. Для каждого а £ А совокуп-
—------------ ность тех х, для которых .та, обозначим
через [а]. Подмножества [а! назы-
ваем смежными классами А по о.
р	Из рефлексивности отношения о сле-
дует, что a Е [а]. Далее, если b Е [а],
то [Ь] = [а[. В самом деле, если
х Е [а], то хаа. Соотношение b Е [al влечет baa и потому
aab (симметричность а). Из хаа, aab следует xab (тран-
зитивность о). Таким образом, [al S [Ь). Обратно, если
х Е Ibl, то из xab, 1юа получаем та или [6] s [al. Вклю-
чения [a] S [b], [bl "= [al показывают, что [«] = [bl. Итак,
различные смежные классы не имеют общих элементов
и каждый элемент а Е А содержится в своем смежном клас-
се [а[. Поэтому система всех смежных классов А по о
есть разбиение множества А. Так как элементы из А
тогда и только тогда эквивалентны, когда они входят
в один и тот же смежный класс, то разбиение А па смежные
классы И по о и заданная эквивалентность ст отвечают
ДРУГ другу.
Совокупность всех смежных классов множества А
по эквивалентности о обозначается через A/а и называется
фактор-множеством от А по ст.
Однозначное отображение Л->Л/ст, при котором каж-
дый элемент а Е А переходит в содержащий его смеж-
ный класс [al, называется каноническим отображением
А на Ala.
Утверждение aab иногда записывают в виде а == b (о)
и говорят, что а сравнимо с b по ст. Согласно сказанному
эквивалентность а = Ь (о) в множестве А равносильна
равенству [a] = [bl в фактор-множестве Л/ст.
!< I I
ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ
25
Отметим еще, что каноническое отображение А -> А/а
тогда и только тогда взаимно однозначно, когда экви-
валентность о совпадает с отношением равенства i. Каж-
дый смежный класс А по i состоит лишь из одного эле-
мента. Отождествляя элемент и множество, состоящее
только из этого элемента, мы отождествим множество А
с фактор-множеством A/i.
Рассмотрим какое-нибудь отображение а множества А
па множество В. Определим на А бинарное отношение а,
полагая ataa2 (af, а2 £ Л) истинным
тогда и только тогда, когда а\1 = а“. 
Ясно, что отношение о есть экви- —
валентность па А. Смежные классы
/1 по о суть просто полные прообразы ;----------•- •
и /I элементов множества В. Ставя z
каждому элементу В в соответствие 
<ч'о полный прообраз в А, получим	----*" *
взаимно однозначное отображение
множества В па фактор-множество	Гис. 2.
. 1/п. Яго отображение называется
каноническим, а эквивалентность о называется ядерной эк-
киналснтностъю для отображения а. На рис. 2 множество А
состоит из точек всех квадратов, а множество В есть сово-
купность точек, находящихся в правом столбце. Все точки
каждого квадрата отображаются в одну и ту же точку,
стоящую справа. Квадраты и будут смежными классами
) ।11.< р 11 о й эки ива л ентности.
В заключение спросим себя, относительно каких опе-
раций на числа рассмотренных выше будет замкнута
совокупность всех эквивалентностей на произвольном
множестве? Ясно, конечно, что совокупность всех экви-
валентностей замкнута относительно операции обращения
отношений, так как для любой эквивалентности а-1 = а.
Столь же очевидна и
Т с о р е м а 1. Пересечение любой (безразлично —
конечной пли бесконечной) системы эквивалентностей на
мин»септе Л есть эквивалентность на А.
Пусть заданы, например, две эквивалентности а, р.
По углов.... i е a, tsp. Следовательно, i с=~. «ПР-
Аналогично
(а Пр) 1 = а'* П Р"1 = « П Р-
26
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
Таким образом, отношение а р рефлексивно и сим-
метрично. Будет ли оно транзитивно? Пусть я (аПР) Ъ
и Ь (а П р) с истинны. Это значит, что истинны отношения
aab, ярЬ, Ьас, йРс.
Из первого и третьего следует аас, из второго и четвертого
следует яре. Таким образом, я (аПР) с истинно, что
и требовалось.
Дополнение отношения эквивалентности не содержит
i и потому не есть эквивалентность.
Теорема 2. Произведение эквивалентностей а, р
тогда и. только тогда есть эквивалентность, когда а и р
перестановочны.
Действительно, если оф — эквивалентность, то ар -=
= (аР)“’, откуда
ар -- prJa”] ра.
Обратно, пусть ар=ра. Так как
,та.с & .<p.i:	.тар.'/’,
то отношение ар рефлексивно. Из
(ар)”1 = Р-1а~1 -- ра — ар
следует, что ар симметрично. Наконец, равенства
(ар)2 = аРаР = аарр = ар
показывают, что ар транзитивно.
Теорема 3. Объединение a(j р эквивалентностей
а, р тогда, и только тогда является эквивалентностью,
когда пересечение любого смежного класса по а с любым
смежным классом по р или совпадает с одним из этих
классов, или пусто. Если a (J р — эквивалентность, то
alj р -= ар.
Действительно, пусть существуют смежный класс по а
и смежный класс по р, имеющие общий элемент а, и
ни одни из этих классов не лежит в другом. Тогда
найдутся элементы Ь, с такие, что Ьаа, еря, Ьр'я, са'а.
Пары (Ь, а) и (а, с) содержатся в a(J р. Если бы отношение
a U Р было эквивалентностью, то пара (Ь, с) также содер-
жалась бы в a 1J р, что невозможно, так как Ьас & baa =s
=> саа и />р-&'ря—jftpn. Остальные утверждения теоремы
3 доказываются аналогичным путем.
t, 11
ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ
27
'Гео p e м a 4. Произведение сер эквивалентностей a, p
содержит a и fl и содержится в любой эквивалентности у,
содержащей а и р.
В самом деле,
aab => (aab & &Р&) =х rzcz,|4Z>,
a[jb =ф (ааа & czpb) =ф aafib,
aafib => В х(аах &. :>f>b) =J- З.г(ауг & xyb) =ф ayb,
•i го и требовалось.
Следствие. Если эквивалентности а, р переста-
новочны, то их произведение сер является наименьшей экви-
валентностью, содержащей а и р.
Гео ремы 1—4 показывают, что ни одпа из операций
алгебры отношений не позволяет по произвольно заданным
эквивалентностям а, р найти эквивалентность, содержа-
щую а и р. Поэтому представляет интерес еще одна опе-
рация — операция эквивалентного замыкания, в какой-то
мере восполняющая этот пробел.
Пусть а — какое-нибудь бинарное отношение, задан-
ное па произвольном множестве Л. Множество о = А X А
<411. самое «большое» отношение на А. Оно одновременно
пил...гея и наибольшей эквивалентностью на А, содер-
аницеп в с,обе, в частности, и заданное отношение а. Обо-
значим через ап пересечение всех эквивалентностей,
определенных на А и содержащих в себе отношение а.
< '.ог пи-по теореме 1 отношение а'1 есть эквивалентность.
Ип> наименьшая эквивалентность из эквивалентностей,
с<>щр.кащих в себе отношение а. Она называется эквива-
интпым замыканием отношения а. Если а есть эквива-
пч1 hiiiiti., то а” = а. Из определения эквивалентного
HiMi.iiciiiiiiii вытекает, что для любого отношения а имеем
(от1)6 = ас, (а2)с S а°.
Эквивалентным замыканием системы 5 отношений
па ii.iiiarrcn эквивалентное замыкание объединения отно-
шении из Д'. В частности, эквивалентное замыкание пары
"in..... ос, р, которое мы временно обозначим через
 < ни р, определяется формулой
а© р = (aUp)e.
28
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
Понятию эквивалентного замыкания можно дать сле-
дующее, в каком-то смысле более конструктивное опре-
деление.
Пусть S — некоторая совокупность отношений, задан-
ных па каком-то множестве А. Вводим новое отношение
еЛ на множестве А. полагая аелЬ истинным в следующих
случаях:
а)	а = Ъ,
б)	aab или baa для некоторого а £ S,
в)	в А существует конечная совокупность элементов
«!, . . ., ап (п — 1, 2, . . .), связанных условиями
вад, я1о2я2, . . ., апопцЬ*),	(1)
где ог или оГ1 принадлежит S (i = 1, . . ., п1).
Ясно, что отношение ел является искомым эквивалент-
ным замыканием системы S. Действительно, из а) следует,
что отношение ел рефлексивно; из б) следует, что ел
содержит каждое отношение а £ S; из б) и в) следует,
что ел симметрично и транзитивно. Таким образом, ел
есть эквивалентность, содержащая в себе каждое отноше-
ние из S, а потому содержащее в себе и эквивалентное
замыкание системы S. С другой стороны, если о — экви-
валентное замыкание S, то из аеЛЪ в каждом из случаев
а), б), в) вытекает aab, т. е. ел о и, значит, ел = о.
Из указанного конструктивного определения экви-
валентного замыкания непосредственно вытекает
Следствие 1. Эквивалентное замыкание а, (е) а2
произвольных эквивалентностей at, а2 на множестве А
тогда, и только тогда истинно для а, b £ А, когда в А суще-
ствует конечная цепочка элементов at, . . ., а2пы, свя-
занных, соотношениями
aaiala2a2a1a3a2 . . . а1а2л+1а2Ь.	(2)
Для доказательства надо лишь убедиться, что в рас-
сматриваемом случае каждое из условий а), б), в) влечет
подходящее условие вида (2). Ясно, что условие а) влечет
условие са1оа2а вида (2), а условие б) влечет условие
аа{аа2Ь или условие aatba2b. Так как отношения а2
*) Соотношения (1) будут записываться в виде	•
•	—Прим, ред.
61]
ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ
29
симметричны, то в условии в) можно отбросить слова
«или Oi1». Далее, если в цепочке (1) встретится отрезок
(гАагай+1а;аА + 2, то в силу транзитивности сс; (i 1, 2)
этот отрезок можно заменить отрезком оцагсц + 2 и т. д.
Рефлексивное и симметричное отношение называется
псевдоэквилалентностъю. Конструкция эквивалентного за-
мыкания системы нсевдоэквивалентностей допускает неко-
торые упрощения по сравнению с общим случаем. Эти
упрощения мы сформулируем в виде особого следствия.
Следствие 2. Эквивалентное замыкание системы
S нсевдоэквивалентностей на множестве А тогда и только
тогда истинно для элементов а, Ъ из А, когда в А сущест-
вует конечная цепочка элементов а^, . . ., а,,, связанных
отношениями
асjUjG2п2оз ...
где <ц, . . ., оп+! — какие-то (возможно, повторяющиеся)
отношения из S. Доказательство такое же, как и для
следствия 1.
Конструкцию эквивалентного замыкания можно пред-
ставить в иной форме, если воспользоваться следующими
замечаниями.
Замечание 1. Произведение GiG2 . . . oft рефлек-
сивных отношений о15 . . ., Оь рефлексивно и содержит
в себе каждое из перемножаемых отношений.
Ввиду ассоциативности умножения отношений это
замечание достаточно доказать лишь для двух множителей.
Имеем
хщу =? (хсцу & У<Ы) =$ х (о^г) у,
и потому Oj <= OiO2. Аналогично из
хо2у (.тор; & хо2у) => х (ощД у
получаем о2 S ощг- Наконец, для произвольного х
xg^x & хс2х х (с1с>2) х,
что и требовалось.
Замечание 2. Каждая эквивалентность а, содержа-
щая отношения оь . . ., oft, содержит и их произведение.
Снова достаточно рассмотреть лишь случай двух сомно-
жителей. Но
.7,’ (О1О2) У => 3z(y'OfZ & ZO2y) => 3z(xgz & ZGy) => XGGy =ф хау,
что и требовалось.
30
ОП1ЦП1-! ПОНЯТИЯ
1Гл. I
Теорема 5. Эквивалентное замыкание совокупности
эквивалентностей оа совпадает с объединением о всевоз-
можных произведений этих эквивалентностей.
Действительно, согласно замечанию 1, о содержит все
эквивалентности оа, а согласно замечанию 2, о содержится
во всех эквивалентностях, содержащих оа.
1.5. Частичные и линейные порядки. Наряду с экви-
валентностями важным типом бинарных отношений явля-
ются частичные порядки. Бинарное отношение р на мно-
жестве А называется частичным порядком, если оно
рефлексивно, транзитивно (см. и. 1.4) и антисимметрично:
хру & УРХ =А х = У
для любых элементов х, у из А. Таким образом, бинарное
отношение р на множестве А будет частичным порядком
тогда и только тогда, когда оно обладает следующими
тремя свойствами:
i = р, р П Р-1 S , Р2 Е Р-
Легко проверить, что эта система условии равносильна
следующей:
i^=P, рАр1=ь Р2 = Р-
Заметим, что для каждого частичного порядка р
на множестве А обратное отношение р-1 также будет
частичным порядком, который называется обычно двойст-
венным к р.
Частичный порядок на множестве А часто обозначают
символом и если а b для некоторых элементов а, Ъ
из А, то говорят, что а меньше или равно Ь. а также что
а содержится в b или равно Ь. Если а tC. Ъ и а Ф Ь, то
пишут а < Ъ и говорят: а строго меньше b или а. строго
содержится в Ь.
Например, пусть U есть совокупность всех подмно-
жеств какого-либо фиксированного множества U. Отно-
шение включения х £ у для элементов х, у из 11 (см.
п. 1.1) является, очевидно, частичным порядком на мно-
жестве U.
Элементы а, b множества А называются сравнимыми
относительно частичного порядка на этом множестве,
если а Ъ или b а. Частичный порядок на мно-
§ 1J
ОТПОШКППИ 11 „ото г, раже и II я
;;i
жестве А называется линейным порядком, если любые
два элемента а, b из Л сравнимы относительно
Пусть на множестве А задан частичный порядок
и В <= А. Элемент а £ А называется верхней границей
для В в А, если b а Для всех Ъ £В. Элемент а £ А
называется наибольшим в А, если а служит верхней гра-
ницей для самого множества А. Элемент т £ А назы-
вается максимальным в А, если каждый элемент х из А
либо не сравним с т, либо х т.
Ясно, что если множество А обладает наибольшим эле-
ментом а, то а будет единственным максимальным эле-
ментом в А. Аналогично определяются понятия нижней
границы подмножества В в А, наименьшего и минималь-
ного элементов в А.
Например, если А = {1, 2, 3, 4, 5} и х у означает,
что у делится на х без остатка, то 1 есть наименьший эле-
мент в А, а 3, 4, 5 — максимальные элементы в А. Наи-
большего элемента в А в данном примере нет.
Множество А, на котором задан какой-нибудь частич-
ный (линейный) порядок, называется частично (соответ-
ственно линейно) упорядоченным. Линейно упорядоченное
множество называется также цепью.
Если (А,	) — частично упорядоченное множество
и В — подмножество множества А, то отношение
J'PI/' С'/	(•>,
будет, очевидно, частичным порядком на В. Обычно его
обозначают тем же символом, что и заданный частичный
порядок на А. Таким образом, всякое подмножество В
частично упорядоченного множества (А, относительно
отношения является частично упорядоченным.
Лемма Цорна. Каждый элемент непустого ча-
стично упорядоченного множества {А, в котором
каждая цепь {В,	) (В <= А) имеет верхнюю границу,
содержится в некотором максимальном элементе.
Это утверждение логически равносильно так называе-
мой аксиоме выбора (см. п. 2.5), и поэтому будет принято
нами в качестве аксиомы.
Линейно упорядоченное множество А называется впол-
не упорядоченным, если всякое непустое подмножество В
множества А имеет наименьший элемент.
32
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
1Гл. 1
Во вполне упорядоченном множестве А для всякого
элемента а, который не является наибольшим в А, имеется
единственный элемент а' такой, что а < а' и а' х для
всякого элемента х £ А, большего а. Элемент а' называется
непосредственно следующим за а. В свою очередь элемент
а называется непосредственно предшествующим для эле-
мента а’. Элемент из А, не имеющий непосредственно
предшествующего в А, называется предельным.
Лемма Цорна логически равносильна также следующей
аксиоме.
Аксиома полной упорядочиваемо-
с т и. Всякое непустое множество может быть вполне
упорядочено.
Высказывания, касающиеся элементов вполне упоря-
доченного множества А, можно доказывать методе м
трансфинитной индукции, который заклю-
чается в следующем. Пусть 1 — наименьший элемент мно-
жества А и Р (х) — некоторое высказывание об элементе
х g А. Если Р (1) истинно и из истинности Р (х) для
всех элементов х С А, строго меньших а, следует истин-
ность высказывания Р (а), то можно утверждать, что
Р (х) истинно для всех х£А. Действительно, пусть В
есть совокупность тех элементов у из А, для которых
высказывание Р (у) ложно. Если В 0, то В имеет
наименьший элемент, который мы обозначим а. Так как
Р (1) истинно, то а 1, и поэтому а > 1. Для всех эле-
ментов х, строго меньших а, высказывание Р (х) истинно.
По условию Р (а) тоже должно быть истинным, и мы полу-
чили противоречие.
1.6. Многозначные и частичные отображения. Поня-
тия отображения и эквивалентности, рассмотренные в пре-
дыдущих пунктах, допускают полезные обобщения, кото-
рые теперь и будут изложены.
Пусть а — произвольное отношение, определенное на
паре множеств А, В. Как и в случае отображений, элемент
b б В будем называть образом элемента a б А, если aab
истинно. В отличие от «настоящих» отображений, теперь,
вообще говоря, могут существовать такие элементы в А,
у которых или совсем нет образа в В, или есть несколько
образов в В. Но этой причине отображения, отвечающие
произвольному отношению а, называются частичными
S и
ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИИ
33
ли/лыпиотображениями из множества А в множест-
во В.
Если а — частичное мультиотображение из множества
Л в множестве В, то, как и в случае обычных отображений,
полагают
аа = {х | аах} (а С ^4),
Л1« = {х | аах, af/|} (ylt S Л).
Таким образом, Ata — это совокупность всех образов
всех элементов подмножества А1. Множество Ва~л назы-
вается областью определенности, а Аа — совокупностью
.тачаний частичного мультиотображения а.
Если частичное мультиотображение а из множества А
п множество В таково, что для каждого элемента а £ А
множество аа либо состоит лишь из одного элемента, либо
шляется пустым, то а называется частичным отображе-
нием из Л в В.
Для каждых отношений а, р, определенных соответ-
ственно на множествах А, В и В, С, очевидно, справед-
ливо равенство
(/lta) р At (оф) (At S А).
Поэтому вместо (Л^р и ЛДоср) обычно пишут Л(ар.
Как и ранее, символами iA, iB обозначим отношения
равенства соответственно на множествах А и В. По понят-
ным причинам говорят, что отношение а, определенное
па паре Л , В, есть частичное мультиотображение из А в В,
определенное на А, если iA S аа х,
точное,	если аа-1 <= tA,
однозначное,
если а 1а е iB.
В частности, отношение а есть обычное отображение
Л и />, если а — отношение, определенное на 4 и одно-
значное. Частичное отображение из А в В есть однознач-
ное част.... мультиотображение из А в В.
Mno.Kec.iiia вида Ьа 1 и аа (Ь £ В, а £ А) называются
< в, <« Hi.iMii классами Л по а и 7? по а-1. Фактор-множест-
чч ин I а н В/а 1 называются множества, элементами
|ч>н>ры\ являются смежные классы А по а и В по а-1.
|,ч 1.<> заметит!., что объединение всех смежных клас-
... I и,, а ее и. область определенности частичного
34
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
(Гл. I
мультиотображения а. Она может и не совпадать с Л.
Смежные классы А /а могут частично налагаться друг па
друга, и потому совокупность их в общем случае не обя-
зана быть разбиением области определенности а. Рассмот-
рим, например, отношение а, определенное па множествах
А == {0, 1, 2, 3}, В = {я, Ь, с}
и состоящие из пар (0, а), (0, b), (1, а), (2, Ь). Область
определенности а есть
/.’а1 = {0, 1, 2},
а совокупность A/а состоит из смежных классов
асг1 -= {0, 1), Ъа' = {0, 2},
имеющих общий элемент 0.
Отношение а на паре множеств Л, В называется бифунк-
циональным, если для любых а, аЛ £ А и b, bt £ В из aabt,
a^abi, а^аЬ следует aab, т. е. если
аа-1а S а.
Так как всегда а s аа-1а, то отношение а дифуикцио-
нально тогда it только тогда, когда аог’а — а.
Т е о р е м а 1 (Р и г е 153]). Если для отношения а,
определенного на паре множеств А, В, различные смежные
классы А по а или различные смежные классы В по а 1
попарно не пересекаются, то отношение а бифункцио-
нально. Если отношение а бифункционально, то различные
смежные классы А по а и различные смежные классы В
по а-1 попарно не пересекаются.
Пусть различные смежные классы А по а попарно
не пересекаются и ясс/д, apzb^ аЛаЬ (a, ai £ А; Ь, Ь, £ В).
Так кака! £ bar1, а! £ то Ьа-1 = ^а-1. Но a £ fejtx-1.
Поэтому a g fra-1, aab, т. е. а дифункционально. Случай,
когда не пересекаются смежные классы В по а-1, рас-
сматривается аналогично, так как условия аа-1а s а
и а-1аа-1 с= а-1 равносильны.
Обратно, пусть отношение а дифункционально и для
некоторых a, at g А аар^а =Д 0, т. е. для подходящего
bi g В имеем aabt, а&Ь^ Если b £ ага, то в силу дифунк-
циональности а получим b £ аа, т. е. ata = аа. Анало-
гично устанавливается и включение аа £ а,а. Теорема
доказана.
I <1
ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ
35
Рассмотрим теперь произвольное дифункциональное
ни...сине а па паре множеств А, В. Смежный класс
//, । /.’ а 1 назовем образом смежного класса A; g Ala
(pin I), ec.'in найдутся элементы ал £	связан-
ni.i<' соотношением aiabi. Согласно теореме 1 из atalp
пык'кает, что для любых a £ Alf b £ Bt отношение aab
in uiiiiio. Поэтому установленное отображение Ala в /?/«'
по aaiiiii irr от выбора представителей щ, Ъ\ и является
iiiiiiiMiio однозначным отображением А/а па В1а Опо
ihi.ii.iiiiii'iTH каноническим отображением А!а на В'а у,
HiiiivHiipiiiiaiiiibiM отношением а.
< liipa i iio, пусть задана произвольная система S попарно
1П< 111'р|'1-е|сак)1цихся непустых подмножеств множества А
И пи гема Т попарно не пересекающихся непустых под-
MiKi/hei-1и множества В. Кроме того, предположим, что
fYiiiiM iiiyi'T взаимно однозначное отображение о системы
Л1 на систему Т. Обозначим через а совокупность таких
Нир (</. /<), что а g А. £ S, Ь £ AiO g Т. Легко убедиться,
•но inn определенное отношение а дифункцпонально,
»1 и 5, В'а 1 --- Т и о — каноническое отображение
И и пи В а ', индуцированное отношением п.
................с показывает, что дифункциональпые отно-
HK'iiiiii эго отношения, порождаемые взаимно одно-
iiiiii'iiii.iMii соответствиями между системами попарно не
ni'pi'i 1'1н11О1цп\-ся подмножеств заданных множеств А, В.
I 7 Мощности и порядковые числа. Каждому множест-
ву I ши мним в соответствие объект | А |, называемый
Hi'iipi,., tfii.ui э|ого множества, так, что \А | — \В | тогда
3*
36
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. 1
и только тогда, когда существует взаимно однозначное
отображение множества А на множество В. В частности,
пустому множеству 0 поставим в соответствие в качестве
мощности число 0, а множеству {«|( . . аа}, состоящему
из п элементов (n = 1, 2, . . .),— число п.
Мощности множеств называются также кардинальными
числами или просто кардиналами. Мощность множества
всех натуральных чисел принято обозначать х0 (алеф-
нуль), а мощность множества всех действительных чисел —
к (алеф). ^Мощность к называется также мощностью
континуума. Множества мощности х0 называются счет-
ными.
Пусть а — | А | , b =| В |. Положим а Ь, если
существуют взаимно однозначное отображение множества
А в множество В. Легко проверить, что это определение
не зависит от выбора множеств А, В и поэтому выражает
отношение между кардинальными числами.
Теорема 1. На любом множестве кардинальных
чисел отношение является линейным порядком.
Из определения отношения следует, что оно рефлек-
сивно и транзитивно. Антисимметричность этого отноше-
ния вытекает из следующей теоремы Кантора — Берн-
штейна.
Теорема 2 *). Если а — взаимно однозначное ото-
бражение множества А на его подмножество а (А), то
для всякого множества С S (А \ а (А)) существует взаим-
но однозначное отображение а* множества А на множест-
во а* (А) = С\]а (А).
Действительно, положим а0 (С) = С, an+1 (С) =
= а (ап (С)) и рассмотрим множество
со
s- и ап(С).
71=0
Отображение
Г «/* для. 'jc iS,
сс* (./) — <
'	( а (т) для х £ (А \ S)
тождественно на S и совпадает с а на множестве А \ S.
*) Формулировка теоремы Кантора-Берпштейиа в этом виде
и доказательство принадлежат РойхСаху (см. R е i ch b a ch М.,
Colloq. math. 3, № 2 (1955), 163).
I 11
ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ
37
Гик как 5 — С (_) a (В), ТО
Л' И а (А \ S) = (С П а (Л\ 5)) U («(-$) П « И\В)) = 0
и поэтому а* есть взаимно однозначное отображение
множества А на множество
а *(Л )= 5 U « И\5) - С (J а(5) J а(Л\В) = С U а(Л).
Предположим теперь, что а<Ь и Ь<а. Это означает,
•ни существуют взаимнооднозначные отображения
а:Л->а(Л), а(А)<=В,	0: В--»0(В), 0(В)<=Л.
Произведение у = сер (см. и. 1.3) будет взаимно одно-
апачным отображением А на у (Л) = 0 (а (Л)). По тео-
реме 2 существует взаимно однозначное отображение у*
множества Л на множество C|Jy(/l) Для любого Се
= (Л \ у (Л)). Выбирая С — р (В) \ у (Л), получим
у* (Л) = Р(В). Следовательно, у*0-1 будет взаимно одно-
111ич111.1м отображением множества А на множество В,
и поэтому а = 6.
IIгик, отношение для кардинальных чисел рефлек-
сивно, симметрично и транзитивно. В дальнейшем изло-
жении мы покажем, что любые два кардинальных числа
и. h сравнимы, и поэтому на любом множестве карди-
IIU ii.ui.ix чисел отношение^ является линейным порядком.
Ли пен по упорядоченное множество Л называется
линейно упорядоченному множеству В, если
cyiiieciiiyeT взаимно однозначное отображение ср множе-
i iiiii . I ни множество В, сохраняющее линейный порядок,
I в и h влечет сир bq> (а, b £ А). Отображение ср
с ними свойствами будет называться изоморфным ото-
b/>,i нч-ппем Л па В.
Каждому линейно упорядоченному множеству Л поста-
вим в соответствие объект о (Л), называемый порядковым
iiiiiuoM, гак, что о (Л) — о (В) тогда и только тогда, когда
iiiHioiiiio упорядоченные множества Л и В изоморфны.
Ihii iio.iii.Kv равенство порядковых типов о (Л) = о (В)
в 1СЧ1Ч равенство мощностей | Л | = | В | , то каждому
норниковому типу отвечает некоторая мощность, которая
пн ii.iiiiicicii мощностью этого типа.
Г.нжчое множество [а,, .... состоящее из п элемен-
ifiiitn =1,2. . . .), допускает п! перестановок и поэтому
38
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. J
может быть линейно упорядочено а! способами. Однако
все получающиеся при этом линейно упорядоченные
множества имеют один и тот же порядковый тип, который
обозначается поэтому через п. Пустому множеству при-
писывается порядковый тип 0. Множеству натуральных
чисел N = {1, 2, 3, . . .}, линейно упорядоченному по
возрастанию 1 < 2 < 3 < . . приписывается порядко-
вый тип со, а множеству uV, с двойственным линей-
ным порядком ... < 3 < 2 <' 1 — тип со*.
Порядковый тип вполне упорядоченного множества А
называется порядковым или трансфинитным числом, или
просто ординалом.
Отсюда следует, что типы п. со (н -- 0, 1, 2, . . .)
являются порядковыми числами, а порядковый тип со*
не является порядковым числом.
Если (Д,	— произвольное вполне упорядоченное
множество и а — некоторый его элемент, то вполне упоря-
доченное подмножество
Ра = <{•£ ] х £ А, х а},
элементов из А, строго меньших а, называется отрезком
множества А, отвечающим элементу а.
Л е м м а. Если <р есть изоморфное отображение вполне
упорядоченного множества А на его подмножество В,
то <р (а) а для каждого элемента а £ А.
В самом деле, допустим, что ср (а) < а для некоторого
элемента а £ А. Можно предположить, что а — наимень-
ший элемент из А с этим свойством. Полагая Ъ = ср (а),
будем иметь <р (Ъ) < ср (а), так как Ь < а. Таким образом,
ср (ft) < b, что противоречит выбору элемента а.
С л е д с т в и е. Вполне упорядоченное множество не
может быть изоморфно своему отрезку.
Пусть даны порядковые числа а — о (Д), р = о (В).
Положим а <'. р, если множество А изоморфно некото-
рому отрезку множества В. Взяв объединение < (J =
(см, и. 1.2) отношений < и =, получим новое отношение,
которое мы обозначим
Пусть W (а) — множество всех порядковых чисел,
строго меньших порядкового числа а. Например, W (0) =
= 0, W (1) = {0}, W (п) = {0, 1, . . п - 1}, W (со) =
- {0, 1, 2, . . .}.
S 11
ОТНОШЕНИЯ II ОТОБРАЖЕНИЯ
39
Теорема 3. Множество (W (а), является впол-
не упорядоченным и имеет порядковый тип а.
Действительно, определенное выше отношение реф-
лексивно и транзитивно. Оно также симметрично, так как
сели р у, у << р, у ¥= р, то в силу транзитивности долж-
но быть р < р, что противоречит следствию из леммы.
Покажем, что любые два порядковых числа р =/= у из
IV (а) сравнимы.
Пусть а ~ о (Л), р = о (В). у = о (С). Так как р < а,
у < а, то каждое из вполне упорядоченных множеств В, С
изоморфно отрезку множества А. Обозначим эти отрезки
Рс соответственно. Элементы Ь, с из А, отвечающие
этим отрезкам, сравнимы. Если, папример, b < с, то
р < у. Таким образом, р и у также сравнимы.
Для каждого элемента Ь множества А порядковое чис-
ло р о (Р,.) принадлежит множеству W (а) и соответ-
ствие b р будет, очевидно, изоморфным отображением
А па W (а). Поэтому множество W (а) вполне упорядоче-
но и а — о (W (а)). Теорема 3 доказана.
Таким образом, любое вполне упорядоченное множе-
ство А типа а изоморфно множеству порядковых чисел
1Г (а), и поэтому элементы из А можно перенумеровать
числами из W (а) так, что А = {т | g < а} и индекс |
ость тип отрезка Ра^ множества А, отвечающего элемен-
ту
Т е о р е м а 4. Два порядковых числа а, р всегда срав-
нимы.
Действительно, пусть А — W (а), В = W (р), D =
/If]/?, 6 — 0 (Z>). Так как D — вполне упорядоченное
множество, то 6 — порядковое число. Покажем, что 6 а.
Если В — Л, то 6 = а. Пусть D а А. Легко устано-
вить, что В является отрезком множества А, и поэтому
б < а. Действительно, если £ £ В, ц g (А \ В), то либо
< ||. либо т] < £. Случай i| < | невозможен, так как
loi 'i.a имели бы 1] < | < сх и Т] < £ < р, откуда число ц
принадлежало бы В. Следовательно, £ < т]. Взяв т]
iihiimviii.iiihm в А \ В, получим D = W (ц), т. е. В есть
отрезок. Поскольку Т| = о (И7 (г])) — о (В) = 6, то В —
II (6).
II ГПК, 6 а и б^р. Комбинация 6 < а, 6<Р
невозможна, так как 6 $ 1) ~ W (6).’ Поэтому или б — а,
40
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
6 — р, и тогда ос — р, или & — а, 6 < р. и в этом случае
а <С р, или же 6 < а, 6 = р, и тогда р <Г а. Теорема 4
доказана.
Из аксиомы полной упорядочиваемое™ п теоремы 4
получаем, что любые два кардинальных числа а, b также
сравнимы. Действительно, по упомянутой аксиоме а, Ь
являются мощностями некоторых вполне упорядоченных
множеств Л, В типов а, р соответственно. Если а = р,
то a = [). Если же а < р, то А изоморфно отрезку В,
и поэтому а Ь. Аналогично, а Ь при а ~> р. Теоре-
ма 1 полностью доказана.
Кардинальное число о. называется конечным, если
а < х0, и бесконечным (или алефом) при а х„. Поряд-
ковое число называется конечным или бесконечным,
в зависимости от того, будет ли его мощность конечна
или бесконечна.
Т е о р е м а 5. Любое непустое множество W поряд-
ковых чисел имеет наименьшее число.
Другими словами, всякое множество порядковых чисел
вполне упорядочено. Действительно, пусть а б W. Если
а не является наименьшим в 1Е, то берем пересечение
W П W (а). Вудучи подмножеством множества И7 (а),
оно вполне упорядочено и поэтому обладает наименьшим
числом а0. Число tz0 будет наименьшим в W. В самом
деле, если р б И7, то а0 р при а р, а при р < а
р б W 0 И7 (а) и также аа р.
С л е д с т в и е. Всякое множество А кардинальных
чисел также является вполне упорядоченным.
Действительно, каждому кардинальному числу а из
данного множества А поставим в соответствие какое-
нибудь порядковое число а мощности а. Получим изо-
морфное отображение множества А па множество поряд-
ковых чисел.
В заключение этого пункта докажем теорему Кантора.
Т е о р е м а 6. Множество -S (Л) всех подмножеств
любого множества А имеет мощность, строго большую
мощности множества. А.
Действительно, ставя в соответствие каждому элементу
а б А одноэлементное подмножество («} множества А,
получим взаимно однозначное отображение множества А
в S (Л). Поэтому | Л | << | S (Л) |.
§ и
ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ
41
Допустим, что существует взаимно однозначное ото-
бражение ф множества Л на множество 5 (Л). Пусть
М = {а £ А | а $ ф («)}.
М есть подмножество множества А, и поэтому М £ S (Л).
Следовательно, должен существовать элемент т Е Л
такой, что ф (m) = М. Получаем противоречие: если т £ М,
то т $ ф (те) — М, а если т £ М, то т £ ф (те) = М.
С л е д с т в и е. Для любого кардинала а (ординала а)
существует наименьший кардинал Ь (ординал р) с тем
свойством, что а < 1> (соответственно а < Р).
Действительно, по теореме 6 существует кардинальное
число Ь, с <; Ь. В силу следствия из теоремы 5 среди
кардинальных чисел, строго больших а и меньших или
равных Ь. существует наименьшее. Утверждение для
порядковых чисел доказывается аналогично.
Операции над кардинальными и порядковыми числами
будут рассмотрены детально в п. 2.6. Определим лишь
понятие суммы двух порядковых чисел.
Пусть а = о (Л), р — о (В) — произвольные поряд-
ковые типы, причем Л П2? — 0- Суммой а -Ь Р данных
типов называется порядковый тип объединения А И В
множеств Л, В, линейно упорядоченного следующим
образом: если а £ А, Ъ Q В, то а < 6; линейный порядок
на каждом из множеств А, В сохраняется.
Например, 1 + со есть порядковый тип объединения
{1} U {2, 3, . . .,}, линейно упорядоченного по возра-
станию чисел 1 < 2 < 3 <С . . . Поэтому 1 + со — со.
Сумма ю -f- 1 есть порядковый тип множества {а2, «3, . . .
. . .. щ}, в котором а.3 < «з <1 . . . < аЛ. Так как это мно-
жество обладает наибольшим элементом, то со + 1 со.
Вообще типы со, со Ц- 1, ® + 2, . . ., очевидно, различны.
Из определения следует, что сумма а + р двух поряд-
ковых чисел а, р является порядковым числом.
Примеры и дополнения
1. Пусть отображения а, р
в себя заданы таблицами
/1 2 3 4 5 6\
® \2 4 1 3 6 5/’
множества Л={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Р=-
/1 2 3 4 5 6\
U 24366/’
42
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
Показать, что
аа~|а = а.,
Л/а“ =>,{1,
4 2 3 1 ‘ 6 5 »)•
2, 3, 4(, {5, б}{, Л/Р« = {{1, 3, 4}, [2|, {5, 6}},
J/(a!J ₽)« = {{!, 2, 3, 4}, {5, 6}},
где а'—•эквивалентное замыкание а.
2.	Пусть дифункциоиальноо отношение а задано на паре А, А.
Если а — псевдоэквивалептность, то .4 /а есть разбиение А и инду-
цированное отображение есть тождественное отображение А /а
на себя. Таким образом, отношение а — тогда и только тогда экви-
валентность, когда оно рефлексивно и симметрично.
3.	Отношение ос является эквивалентностью тогда и только
тогда, когда i 2 а и асе-1 С а.
4.	Линейно упорядоченное множество называется неограни-
ченным, если оно бесконечно и по имеет ни наибольшего, ни наи-
меньшего элемента, и плотным-, если в нем для любых элементов
а < Ъ существует элемент с, расположенным между ними:
а < с < Ь. Все с,четные неограниченные; плотные множества изо-
морфны между собой (X а у с д о р ф [68], § 11).
§ 2. Модели и алгебры
2.1.	w-ариые отношения и функции. Декартовым
произведением Л( X Л2 X ... X Л„ системы множеств
Л1; А2, . . ., А„ называется совокупность последователь-
ностей вида («,, а2, . .	а„), где at Е Л,, . . ., ап £Ап.
Всякое подмножество 7? множества Л^: ... хЛп назы-
вается отношением, определенным на системе At, . . .
. . ., Ап. Декартово произведение At X А2х . . . ХЛП,
где At = Л2 — . . . = Л,( = А, называется декартовой
п-й степенью множества Л и обозначается через Л”.
Отношение В, определенное на системе Л, . . ., Л, назы-
вается п-арным отношением на множестве Л.
Частичное отображение а из совокупности Л^ . . .
. . . )<Л„ в совокупность В (см. п. 1.6) называется частич-
ной функцией из Л1Х ... хЛп в В. Отображение сово-
купности At < ... ХАП в совокупность В называется
функцией из Л(Х ... ХАП в В. Элемент b Е В, отвечаю-
щий элементу (щ, . . ., н„), at Е At, . . .. ап Е Ап, при
отображении а, называется, согласно и. 1.3, значением
функции а в точке (щ, . . ., ап) и обозначается (аь . . .
. . ., «„) а. Вместо (а,, . . ., ап) а часто употребляются
также обозначения a (а,, . . ., ап), а, .. . ОцПи а^а^а . . .
S 21
МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ
43
. . . аап. Для п = 1 и п = 2 почти всегда применяются
обозначения аа и «1аа2.
Различие между функцией и частичной функцией
весьма существенно. Если а — функция из At X А2 в В,
то для каждых at ( Аи а.2 С Л2 существует однозначно
определенное значение а (щ, а2) = щаи.,, этой функции
и точке (at, а2). Если же а — частичная функция из
/1, х Л2 в В, то для некоторых at £ At, а.2 £ А2 значение
я,аа2 может и не существовать. В последнем случае гово-
рят, что значение ахаа.2 не определено или что выражение
<цаа2 имеет неопределенное значение.
Частичная функция из Ап в Б называется частичной
п-арной функцией на А со значениями в В. Функция
из Лп в В называется п-арной функцией на А со значения-
ми в В. n-арная функция на А со значениями в А назы-
вается п-арной операцией на А. Аналогично определяется
п-арная частичная операция на множестве А. Совокуп-
ность тех точек, в которых заданная частичная функция а
имеет определенные значения, называется областью опре-
деленности а.
Например, обычные сумма а + Ъ и произведение аЪ
натуральных чисел а, Ъ суть бипарные операции на нату-
ральном ряде N. Действие вычитания — в области нату-
ральных чисел не всегда возможно. Поэтому операцию
вычитания на множестве N следует рассматривать как
частичную бинарную операцию. Область определенности
операции вычитания на N состоит иэ пар вида (а, Ь),
где а^> Ь.
Па совокупности R всех рациональных чисел опера-
ции вычитания—всюду определена. Операция деления :
является частичной бинарной операцией как па множе-
стве N, так и на множестве R. Однако область определен-
ности операции деления на множестве В состоит из всех
пир («, b), b 0, тогда как область определенности опера-
ции деления на множестве N состоит из пар (a, b), Ъ О,
и которых число а кратно числу Ъ.
В этих примерах одним и тем же символом — были
околпачены разные операции: одна, определенная на N,
Пыла частичной, а другая, на Б, была всюду определен-
ной. Согласно приведенным выше определениям частич-
ные функции а из Р в А и |i из Q в В называются равными
44
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. Г
тогда и только тогда, когда Р = Q, А = В и для каждого
х £ Р из определенности одного из выражений а (х),
Р (х) вытекает определенность другого и их равенство.
Например, унарные частичные функции / (ж), g (ж) из N
в N, определенные равенствами
/ (ж) - 0-(х — 1), g (х) = 0-(ж — 2)
равны нулю в областях их определенности. Однако область
определенности функции / состоит из натуральных х 1,
а область определенности g состоит из натуральных х 2.
Так как области определенности не совпадают, то функ-
ции / и g различные.
В логике рассматриваются особые множества, элемен-
ты которых называются модальностями или степенями
истинности. В классической логике рассматривается мно-
жество, состоящее из двух элементов. Один из них назы-
вается истиной, а другой — ложью. В дальнейшем первый
из них будет обозначаться символом И, а второй — сим-
волом Л.
Пусть А — произвольное множество, /г-арная функ-
ция /, определенная на А со значениями в множестве
{И, Л}, называется п-арным предикатом па А. Сово-
купность тех последовательностей (а,, . . ., ап) из Ап,
для которых
/ («о •  ап) = И,
называется (n-арным) отношением на А, отвечающим
предикату f. Обратно, пусть задано какое-нибудь п-арное
отношение а Ап на А. Полагая
| И, если («1, . ,.,яп)£а,
/ (щ, ..., сп) | если	, (lny
мы получим /г-ариый предикат, отвечающий отношению а.
Таким образом, n-арные предикаты и zz-арные отношения
па произвольном множестве находятся во взаимно одно-
значном соответствии.
Характеристической функцией /гарного отношения а,
определенного на множестве Л, называется n-арная функ-
ция % из Ап в N, определенная таблицей
( 1, если (щ, ...,ап)£а,
7 (а., .,., ап\ — s „	,	, .
к' 1	'	( 0, если (щ, ,..,ап)^а.
МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ
45
( 2]
Частичной характеристической функцией /z-арного
отношения а <= Л'1 называется частичная п-арпая функ-
ция, определенная таблицей
( 1,	если (щ, . ,.,an)ga,
у (а., . .а,Л
'	’	[ неопределенность, если (щ, . . ., ап) Q а.
Например, если ф, ф — характеристическая и соот-
ветственно частичная характеристическая функции для
отношения < на N, то
Ф (1, 3) = ф (1, 3) = 1, ф (1, 1) = О,
(1, 1) = неопределенность.
Подмножества множества А — это унарные отноше-
ния на А. Поэтому характеристическая
функция подмножества — это функция одно
го переменного, равная 1 в точках подмножества и рав-
ная 0 в точках, не принадлежащих подмножеству. Частич-
ная характеристическая функция подмножества равна 1
в точках подмножества и неопределенная вне подмноже-
ства.
В дальнейшем мы часто не будем различать отношение
и отвечающий ему предикат и будем для предиката Р
вместо Р (ж1? . . ., хт) =И писать просто Р (лц, . . ., хт).
В частности, равенство
Р (%, у) = Q (*, у)
для предикатов Р, Q мы иногда будем писать в виде соот-
ношения
р U’. у) <=> Q (А У)-
Согласно определению каждой частичной n-арной опе-
рации F на множестве А отвечает подмножество декарто-
вой степени Л”*1, состоящее из тех последовательностей
(«I, . . ., ап, ап+1) из Ап+1, для которых значение
/'’ (щ, . . ., ап) частичной операции F определено и рав-
но ап+1. Иногда это подмножество называют графиком
частичной операции F и говорят, например, о характери-
стической функции графика частичной операции вместо
того, чтобы говорить о характеристической функции самой
частичной операции. С принятой памп точки зрения оба
выражения означают одно и то же.
4G
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
П’л. I
Иногда приходится рассматривать пульарные опера-
ции и пульарные предикаты. Нульарной операцией на
множестве А называется фиксированный элемент из этого
множества, а нульарпым предикатом — истина или ложь.
Если на множестве А заданы операция F и предикат Р,
то их арности условимся обозначать в дальнейшем соот-
ветственно п (F), п (Р).
2.2.	Алгебраические системы. Пусть а, р — некоторые
порядковые числа. Типом т порядка (а, р) условимся
называть пару отображений W (а) -> N, И/(Р)-^А'Г мно-
жеств И7 (а), W (Р) в множество N = {0, 1,2,.. .}.
Тип т будем записывать в виде
т =- {т0, . . ., т*, . . .; п0, . . ., п1}, . . .)
(й < «, Я < Р)-
Два типа т, т' будут считаться равными тогда п только
тогда, когда они имеют один в тот же порядок (а, р)
и т-. — т), пп — п^ для всех g < а и для всех ц < р.
Тип т называется конечным, если числа а, р, составляю-
щие его порядок (а., Р), конечны.
Алгебраической системой (или просто системой) типа т
называется объект VI {Л,	Q,.), состоящий из трех
множеств: непустого множества А, множества операций
Q,.- (Fo. . . ., F\, . . .}, определенных на множество Л
для каждого £ <С а, и множества предикатов QP —
{Ро, . . ., Рх], • • •}, заданных на множестве А для
каждого 1] < р, причем арности рассматриваемых опера-
ций и предикатов должны удовлетворять условиям:
п (F$ nti для всех £ < а и п [Р1}] — п^ для всех ц<р.
Множество А называется носителем или основным
множеством системы VI, а его элементы—элементами систе-
мы s2l. Мощность |А | множества А называется мощностью
или порядком системы VI и обозначается также | VI |.
В отличие от других операций и предикатов, которые
могут быть определены па множестве А, операции /'V
(| < а) и предикаты (ц <' Р) называются основными
или главными. Значения главных нульарных операций
системы называются главными или выделенными элемен-
тами этой системы.
s
МОДЕЛИ П АЛГЕБРЫ
47
Объединяя множества £2,,. и £2Р системы 91 и полагая
£2	£2Р J £2;>. мы сможем записать систему 91 более крат-
но: 91 — {A, £2).
Если даны две системы 91 (А, £2), 95 = (/?. £2')
одного и того же тина т, имеющего порядок (а, [>), то глав-
ные операции £ £2, g £2' для каждого S. < а, а также
главные предикаты /’>, g £2, Qt| £ £2' для каждого ц <Z [’>
называются одноименными. Часто одноименные главные
операции и одноименные главные предикаты однотипных
алгебраических систем 91, 93, G, ... обозначают в каж-
дой ни рассматриваемых систем одинаково, скажем Fo, . . .
. ., f\, . . ., Ро, . . .. />„. ... (g < а, ц < (5).
Система VI —• (Л, £2} называется конечной, если множе-
ство Л конечно.
(’истома 91 конечного типа записывается в виде 91 =
(Л; /’о, . . ., /’s-i! /’о, •  •• /*м) п;1и 15 виде 91 —
(Л;	. . ., Лл 1\.....Pt}-
Алгебраическая система 91 — {А, £2 ’> называется алгеб-
рой, если £2Р — 0, и моделью (инн реляционной системой),
если £2;,. --- 0.
Примерами алгебраических систем могут служить:
91 (Z, |->,
s </?, ?, —,
к <z, ч ,
Ф -(Z, -<),
где Z — множество всех целых чисел. R — множество
всех рациональных чисел, а Ч , —, X — обычные опера-
ции сложения, вычитания и умножения чисел. Согласно
сказанному 91, 35 — алгебры типов (2), (2,2,2), О' — алге-
браическая система типа (2; 2) и 2) — модель тина (2).
Алгебраическая система 91 = (N, S, X, 0, 1), где N —
множество всех натуральных чисел, S (х) = х -}- 1, есть
алгебра типа (1,2,0,0), имеющая два главных элемеп-
।а о,1.
Приведем еще несколько примеров алгебр и моделей.
Пусть U — совокупность кругов, V — совокупность
выпуклых замкнутых многоугольников па плоскости.
\ небра и модель
53-(F; Л),	11 =--([/;=)
48
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
встречались в литературе. Алгебра
,	d
где W — совокупность функций комплексного перемен-
ного z, аналитических в данной области, также рассма-
тривалась некоторыми авторами.
Заменяя в определении алгебраической системы слово
«операций» словами «частичных операций», получим опре-
деление частичной системы.
Каждая m-арпая операция F, определенная на неко-
тором множестве А, есть (т 4 1)-арпое отношение. Обо-
значим через Р соответствующий (т 4- 1)-арный предикат,
для которого
P(rt, . у)	у (с4, .. ., .Т„„ г/6 А).
Заменяя в алгебраической системе'Л = {A.	{Az+n})
(£ < а. т] < р) операции 1<\ соответствующими предиката-
ми Р-., получим модель
-- (А, {/<})	(£<сс+р),
которая называется моделью, представляющей алгебраи-
ческую систему VI . В сокращенной записи представляю-
щая модель для системы VI — (А, Й) будет записываться
в виде VI* = (А, й,„).
Например, для того чтобы алгебру (Z, (-' представить
моделью, достаточно ввести предикат
5 (а., у, z) <=> .с-\-у=-- z,
представляющий операцию сложения. Модель (Z, S)
и будет представлять алгебру (Z, -р ). Ввиду простоты
перехода от алгебры к соответствующей модели часто
новых обозначений не вводят и говорят о модели (Z, +),
понимая под этим модель (Z, S). Тем не менее следует
помнить, что некоторые понятия, определяемые далее,
имеют разный смысл для алгебры (Z, -ф-) и для модели
(Z, S).
Отображением алгебраической системы VI в алгебраи-
ческую систему называется отображение основного
множества А системы V( в основное множество В систе-
мы 55.
J 2j
МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ
49
Изоморфизмом алгебраической системы ЭД --(Л, F0, ...
. . ., 7<\, . . ., 7%, . . 7%, . . .) (g < а, 1] < (!) типа т
и алгебраическую систему ЭД = (7?, Gv, . . ., G±, . . .
. . Qo, . . Q-ц, . . .) того же типа т называется взаим-
но однозначное отображение ср системы ЭД в систему 55,
сохраняющее главные операции и главные предикаты
системы ЭД, т. е. удовлетворяющее условиям
7< (.гь . . .,	G. (.г/р, . . ., -г,„др),	(1)
7’,, (.1’1, ..., з'П1)) <=> (?,; (.г/р, ..., .г„п<р)	(2)
для всех xt, х2, . . . из Л, для всех £<а и для всех
'* I3'
Изоморфизм ср системы ЭД в однотипную систему 55,
при котором основное множество А системы ЭД отображает-
ся па основное множество В системы 55, называется изо-
морфизмом системы ЭД на систему 55. Изоморфизм систе-
мы ЭД на себя называется автоморфизмом.
Гомоморфизмом системы ?! в однотипную ей систе-
му 53 называется отображение <р системы §1 в систему ЗБ,
удовлетворяющую условию (1) и условию
( ' о • • •, :r„r) QVl (.- i<p, .  ., .тП11ч>)
(зд, з;2, ...еЛ; 1]<Р).	(3)
Отсюда видно, что каждый изоморфизм есть гомомор-
физм. Утверждение, что каждый взаимно однозначный
гомоморфизм есть изоморфизм,— в общем случае неверно.
Например, пусть
?! = (N, о),
55 = (N, <),
где о - бинарное отношение па множестве натуральных
чисел /V, ложное для любой пары чисел. Модели ЭД, 53
однотипные. Любое отображение ?! в 55 есть гомоморфизм.
Действительно, условие (3) здесь автоматически выпол-
няется, так как отношение ха у всегда ложно и, значит,
импликация (3) истинна. Условие (1) проверять не нуж-
но, так как операций в системах нет. В то же время ника-
кого изоморфизма ?! в 55 нет. В самом деле, если ф —
изоморфизм ЭД в 55, то числа Оф, 1ф различны и, следова-
тельно, или Оф < 1ф, или 1ф < Оф. Из условия (2)
'I А. И. Мальцев
ОГ.1ЦИЕ ПОНЯТИЯ
1Гл. 1
вытекает, что 0о1 или 1о0 истинно, вопреки тому, что
ха у ложно для любых чисел х, у из N.
Заметим, однако, что всякий гомоморфизм <р конечной
системы St = (A, £2) на себя является изоморфизмом.
Действительно, если для некоторых элементов . . .
. . ., ап из А отношение Р (щф, . . ., япф) (Р g Й) истин-
но, то в силу условия (3) в определении гомоморфизма
отношение Р («др11, . . ., также истинно для каж-
дого к = 2, 3, ... Поскольку ф есть взаимно однознач-
ное отображение на себя конечного множества А, то для
некоторого к ф/£ есть тождественное отображение. Таким
образом, Р (a-i, . . ., ап) — И.
Понятия изоморфизма и гомоморфизма принадлежат
к числу фундаментальных понятий теории алгебраических
систем. Поэтому стоит отметить тот частный случай,
когда рассматриваются модели sJt = (Л,
35 = (Л, {C?i,}) (11 < Р), имеющие одно и то же основ-
ное множество А. В этом случае, согласно (3), тож-
дественное отображение А на А тогда и только тогда
является гомоморфизмом St на 35, когда главные отно-
шения связаны условиями
<= Qr, (ц < fl).
Тождественное отображение А па А тогда и только тогда
есть изоморфизм St на 5$, когда
7% = Q
(11 < ₽)•
Из сравнения условий (2), (3) также видно, что взаим-
но однозначное отображение ф произвольной алгебраиче-
ской системы ?! на произвольную однотипную систему 55
тогда и только тогда является изоморфизмом St на 33,
когда фИф 1 — гомоморфизмы SI на 35 и 35 на SI. В част-
ности, если ф — изоморфизм St на 35, то ф-1 — изомор-
физм 35 па St.
Пусть ф — гомоморфизм алгебраической системы ?!
в какую-нибудь алгебраическую систему 35 и ф — гомо-
морфизм 35 в некоторую систему 6. Легко проверить, что
отображение фф системы SI в систему G удовлетворяет
условиям (1), (3), и потому произведение гомоморфизмов
есть гомоморфизм.
МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ
51
§ 21
в*
Рассматривая обратные отображения, приходим к выво-
ду, что произведение изоморфизмов алгебраических систем
есть изоморфизм.
В отличие от моделей, взаимно однозначный гомомор-
физм алгебры на алгебру есть изоморфизм.
Это непосредственно вытекает из определений, так как
для алгебр изоморфизм и гомоморфизм характеризуются
выполнением одних и тех же тождеств (1).
Алгебраическая система VI называется изоморфной
системе S3, если существует изоморфизм VI на 9?.
Из сказанного выше следует, что отношение изомор-
физма между алгебраическими системами рефлексивно,
симметрично и транзитивно. Поэтому все алгебраиче-
ские системы данного типа распадаются на классы (изо-
классы) изоморфных между собою систем. Теория алгебраи-
ческих систем изучает преимущественно лишь те свойства
алгебраических систем, которые сохраняются при изо-
морфизме и которые, таким образом, одинаковы у всех
изоморфных систем. Эти свойства часто называют абстракт-
ными свойствами систем. Считается, что абстрактные
свойства системы — зто свойства главных операций и пре-
дикатов системы, не зависящие от природы элементов,
слагающих систему. Примерами наиболее простых аб-
страктных свойств систем могут служить тип и мощность
системы, так как тип и мощность у изоморфных систем
заведомо одинаковы.
Иногда бывает нужно построить алгебраическую систе-
му, изоморфную данной, но имеющую иное основное мно-
жество. Мы изложим простейший прием, часто применяе-
мый при решении этой задачи.
Пусть заданы некоторая алгебраическая система
Vt = (A, {7-\},	) (£ С а, т] < р), какое-то множе-
ство В и взаимно однозначное отображение ср: А —> В.
'Требуется построить алгебраическую систему 55 с основ-
ным множеством В такую, чтобы отображение ср было
изоморфизмом §1 на 55.
1’е1пение этой задачи очевидное. На множестве В опреде-
ляем операции G% (£<сс) и предикаты Q,} (i]< р), полагая
(yi,  • •, г/т.) =	(^ср'1, ..., г/^ф-1) ф,
(Ус> • • • > Упп) = 1\ (УсФ-1, • • •, У^ф-1)-
4*
52
ОБЩИЕ ПОНЯТИИ
[Гл. 1
•>
Ясно, что отображение ф есть изоморфизм системы
Я на получившуюся алгебраическую систему 35 =
= {в, {gJ,
В начале этого пункта с каждой алгебраической систе-
мой 21 = (Л, {/'’g},	(fi < а, П < Р) была связана
однозначно определенная модель 31* — (Л,
(£ < а + р), представляющая систему 31.
Пусть S3 = (Б, {б?н}, {<2Ч}> — какая-то другая система,
однотипная с системой 31, и S3* = (£’, {(С}) (£ < а -|-
+ р) — модель, представляющая систему S3. Допустим,
что задан гомоморфизм ф системы 31 в систему 35. Будет
ли отображение ф гомоморфизмом модели 31*
в модель 35*? Очевидный положительный ответ дает
Теорема 1. Отображение ф алгебраической систе-
мы 31 в алгебраическую систему 35 тогда и только тогда
является гомоморфизмом, когда ф — гомоморфизм моде-
ли 31*, представляющей систему 31, в модель S3*, представ-
ляющую систему 55.
В самом деле, пусть ф — гомоморфизм модели 31*
в модель SB*, Gs — одноименные главные m-арные
операции систем 31, S3, Bz, О: — соответствующие
предикаты моделей 31*, 35* и	. . ., ат — произволь-
ные элементы основного множества 31. Полагая а =
(ах, . .	имеем
Bt («1, • - ап, а) --- И.
Следовательно,
Qi («[ф, . . ., а,„ф, сф) = И,
т. е.
Gs («!ф, . . ., атф) = ац>,
что и требовалось. Обратное утверждение проверяется
так же.
В заключение в качестве примера приведем изоморфизм
и гомоморфизм, хороню известные в арифметике веществен-
ных чисел. Пусть С — совокупность всех вещественных
чисел, G+ — совокупность положительных, Со — сово-
купность неотрицательных вещественных чисел. Формула
lg (a-b) = 1g а + 1g b
показывает, что отображение аф = 1g я есть изомор-
физм алгебры (С+, • ) на алгебру (С, +).
I
МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ
53
С другой стороны, из формулы
I X-у I - I х I- I у I
вытекает, что отображение | х | есть г о м о м о р -
ф и з м алгебры (С, • ) на алгебру (Со, • ). Отображение
,г -> | х | не взаимно однозначное, так как при нем каж-
дое число из Со, отличное от 0, имеет два прообра-
за в С.
2.3.	Подсистемы. Порождающие совокупности. Непу-
стое подмножество At основного множества А некоторой
алгебраической системы 21 — (А, £2) называется замк-
нутым в системе 2Г, если замкнуто относительно каж-
дой главной операции этой системы, т. е. если резуль-
тат любой главной операции, произведенной над произ-
вольными элементами множества А,, принадлежит снова
,'1(. Обозначим через Ff, операции и предикаты, опре-
деленные на At, значения которых на At совпадают соот-
ветственно со значениями операций F%£ £2 и предикатов
g £2. В результате получим алгебраическую систему
211	£2*), называющуюся подсистемой системы 21.
Если 2( — алгебра или модель, то называют под-
ол.-оброй или подмоделью 21.
Подсистема 211 однозначно определяется подмноже-
ством А1г и поэтому вместо «подсистема 2Ij== <Л(, £2*)»
чисто пишут «подсистема 21 j = (Ль £2)» или просто
«подсистема At».
Если система 21 есть модель, то любое непустое под-
множество Ai s А будет замкнуто, и потому любое непу-
стое подмножество основного множества, модели является
подмоделью.
В и. 2.2 для каждой алгебраической системы 21 =
.1, £2) была построена модель 2)2 = {А, £2„0,
и р е д с т а в л я ю щ а я систему 21 в предикатной фор-
ме Ясно, что каждая подсистема системы 21 представ-
niercii подмоделью .4! модели 2)2. Однако не каждая под-
Mo ie.u. .1, модели 2)2 представляет подсистему системы 21.
Де|'н-тв1ггельно, каждое подмножество At 0 мяоже-
। inn .1 есть подмодель модели 2)2, тогда как подсистема-
ми < цс1смы 21 являются лишь замкнутые подмножества.
lloiMoie.ui модели 2)2 часто называют подмоделями
• ют, мы 21. При этом замкну т ы е п о д модели
54
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
системы 21 отождествляют с соответствующими под-
система м и системы 21. Разница между подмоделями
и подалгебрами хорошо поясняется на следующем примере.
Пусть основное множество А ал-
гебры 21 состоит пз точек я,, а2, а3, at,
аа&, ас, образующих вершины пра-
вильного шестиугольника (рис. 1).
7i Вводим операцию F, полагая
F («;) = «i+i О’ #= 6), F (ас) = ал.
Алгебра (A, F) не имеет подал-
гебр, отличных от нее самой, так
как, производя операцию F над
с	произвольной точкой п;, а затем,
беря (fii) = F (F (щ-)), . . ., F5 («,-),
рис 1	получим все. 6 точек. В то же время
алгебра 21 имеет 26 —1 — 63 подмо-
дели. Например, 21 содержит подмодель.
({«1, а2, «5, а0};	{(«,, <?2), («5, щ), («е,
Отметим, что если среди главных операций системы
есть пульарные, то каждая подсистема содержит все
главные элементы системы. Одно пз важнейших свойств
подсистем указывает
Теорема 1. В любой, алгебраической системе
21 = {A, Q) пересечение произвольной совокупности под-
систем либо пусто, либо является подсистемой.
Нам надо убедиться, что пересечение D произвольной
совокупности (Аа | a g Т} замкнутых подмножеств Аа
множества Л либо пусто, либо замкнуто. Пусть
Производя какую-нибудь главную операцию над про-
извольными элементами я,,	из Р, получим неко-
торый элемент а £ А. Так как произвольное множество Ла
замкнуто относительно операции и содержит элемен-
ты щ, .... то а б Аа и потому a g D, что и требовалось.
Пусть среди главных операций системы есть нульарпые.
Тогда главные элементы системы, содержась в каждой
подсистеме, содержатся и в пересечении любой совокупно-
сти подсистем. Таким образом, для систем с главными
элементами пересечение любой совокупности подсистем
есть сноса подсистема. В частности, подсистемой будет
МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ
55
§ 2]
пересечение вообще всех подсистем данной системы. Это
наименьшая или главная подсистема системы .
Однако главную подсистему может иметь и система,
не имеющая йульарных главных операций. Рассмотрим,
например, алгебру
3 = <{0, ±1, ±2, . . .}, +,	X),
называемую кольцом целых рациональных чисел. Каждая
ее подалгебра содержит какое-то число а и замкнута отно-
сительно вычитания. Поэтому она содержит и число
а — а = 0. С другой стороны, число 0 само по себе
составляет подалгебру в 3- Отсюда следует, что подал-
гебра {0} наименьшая в 3-
Напротив, алгебра
({1, 2, 3, . . .}; +),
как легко видеть, наименьшей подалгебры не имеет.
Рассмотрим снова произвольную алгебраическую систе-
му SI = (4, Q). Пусть В — некоторое непустое множе-
ство ее элементов. Среди подсистем системы ?! заведомо
найдутся такие, которые будут содержать множество В.
Например, множество В содержит подсистема, совпадаю-
щая со всей системой ?1. Обозначим через 55 пересечение
всех подсистем, содержащих множество В. Согласно тео-
реме 1 53 есть подсистема. Она содержит В и содержится
в каждой подсистеме, содержащей В, т. е. 53 есть наи-
меньшая подсистема, содержащая множество В. 55 назы-
вается подсистемой системы ?1, порожденной множеством
В, а элементы множества В иногда называются порож-
дающими элементами подсистемы 55. Если подсистема 55
совпадает с §1, то В называется порождающим множе-
ством для системы §1.
Отметим сразу же, что различные множества могут
порождать одну и ту же подсистему. Например, в алгебре,
изображенной на рис. 1, каждый элемент порождает всю
алгебру. Напротив, ни один элемент алгебры {N, х)
(JV = {0, 1, 2, . . .}) в отдельности не порождает всей
алгебры (N, X ). Более того, легко показать, что никакое
конечное множество элементов этой алгебры не может
порождать всей алгебры.
56
НИЩИЕ ПОНЯТИЯ
[гл. г
Отметим еще следующие свойства порождающих
множеств, непосредственно вытекающие из определений.
Для краткости через [С1?1 обозначим подсистему, порож-
денную множеством С в системе 21. Имеем:
1.	t s [Cjflj.
2.	С’с=.О=МС'1?1с=|/Д9(.
з.	(Аэд
4- K’hcj^-[Пи-
Легко видеть, что объединение двух подсистем может
не быть подсистемой. 'Гем пе менее в дополнение к теоре-
ме 1 может быть сформулировано предложение, названное
ниже теоремой 2.
Пусть А — произвольное множество и В — некоторое
его подмножество. Совокупность (g = {Аа | а Е Т} под-
множеств Аа множества Л называется локальной в В,
если любое конечное подмножество из В содержится
в некотором множестве из совокупности <g. Совокуп-
ность (g, локальная в своем объединении, т. е. локальная
в множестве В — [J Аа, называется просто локальной.
«ет
Теорема 2. Объединение непустой локальной сово-
купности <g подсистем произвольной алгебраической систе-
мы §1 является подсистемой системы 21.
Пусть 1*\ — какая-нибудь главная операция систе-
мы 21 и й|, . - anit — произвольные элементы объеди-
нения. По условию в* совокупности (g найдется подсисте-
ма 2(а, содержащая элементы «(1 . . ., «т£, а потому
содержащая и элемент Ft^di, . . ., а,,,.). Элемент
Fi(ai, . . ., ат^) вместе с системой 21«’ содержится
в объединении, и потому объединение замкнуто относи-
тельно каждой главной операции.
Из теоремы 2 вытекает, в частности, что объединение
возрастающей цепочки
2И С 2l2 CL . . . С 21„ С . . .
подсистем произвольной алгебраической системы 21 яв-
ляется подсистемой системы 21.
Рассмотрим теперь поведение подсистемы при гомо-
морфных отображениях.
МОДЕЛИ IT АЛГЕБРЫ
57
§ 2]
Теорема 3. При гомоморфизмах одной алгебраиче-
ской системы в другую образами подсистем и непустыми
полными прообразами подсистем являются подсистемы.
Пусть а — гомоморфизм какой-нибудь системы
21 = (Л, {FJ, {7\}> в систему 33 = (В, {(?=},
и пусть С — подсистема в 21, С S А.
Берем произвольную главную операцию алгебраи-
ческой системы 35 и произвольные элементы Ь{, . . йШ£
и образе Са подсистемы С. Обозначим через аи . . ., ат^
какие-нибудь прообразы элементов bt, . . ., Ьт,; в С,
и пусть	“ а. Из формулы (1) п. 2.2
получаем
G^by, . .	b,,^) -- Ь\(а{, . . amJ а -= аа.
'Гак как а £ С, то аа g Са, т. е. множество Си замкнуто
относительно главных операций системы 55, и первое
утверждение теоремы 3 доказано.
Переходя к доказательству второго утверждения, обо-
значим через ® какую-нибудь подсистему системы 55,
и пусть С — непустая совокупность всех тех элементов
системы 21, которые при гомоморфизме а переходят в эле-
менты из Надо показать, что совокупность С замкнута.
Перем произвольную главную операцию F% и какие-то
элементы «1, . . из С. По определению гомоморфизма
Ft («J, .. ., a„,g) а (ща, . .., ат^а) £ ®,
и потому F^ («J, . . ., С С, что и требовалось.
Отметим следующий частный случай теоремы 3: образ
системы 21 при гомоморфизме а в систему 53 есть под-
система системы 55, и гомоморфизм а есть гомоморфизм
системы 21 на систему 21".
Изоморфизмы являются частными видами гомоморфиз-
мов. Поэтому утверждения теоремы 3 имеют силу и для
изоморфизмов.
При построении систем, удовлетворяющих некоторым
требованиям и содержащих заданную систему в качестве
своей подсистемы, часто пользуются следующей простей-
шей конструкцией.
11 усть задано изоморфное отображение а некоторой
алгебраической системы 21 = (А,	{/’’с}, {Aj}) на
58
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. J
подсистему IS =-- (С, {Gt}, {С?п} > алгебраической системы
93 — (В, {П^},	(С <= В). Спрашивается, суще-
ствует ли алгебраическая система 21;, содержащая систему
21 в качестве своей под-
Рпс. 2.
имио однозначное отображение
системы и изоморфная
системе 93? Берем мно-
жество Л1 = (В\С) J А
(рис. 2) и обозначим
через р отображение Ai
на В, совпадающее с ото-
бражением а на подмно-
жестве А <= At и с тож-
дественным отображе-
нием на подмножестве
В\С. Ясно, что р—вза-
At на В. При помощи Р
переносим структуру системы 93 на множество (см.
п. 2.2), т. е. определяем на Аг предикаты PVi и операции
Bt посредством формул
ВЕ (л, . . ., хп£ = (.тдр, .. ., тЧР) p-i,
Bn (УД, . . . ,	(Д, ('Др, . . . , -TnjjP)-
В результате получим алгебраическую систему 211 =
— подсистема систе-
= (Л1, {BJ, {В,)}). Ясно, что
мы ?Ii и р есть изоморфизм
21! на 93, совпадающий на 21
с первоначально заданным
изоморфизмом а.
Говорят кратко, что
система 21 j получается из
93 отождествлением элемен-
тов системы 21 с соответ-
ствующими элементами си-
стемы 93.
Рассмотренный способ
вложения одних систем в
«4




Рис. 3.
Я
другие, естественно, приво-
дит к следующей важной конструкции. Пусть'задана беско-
нечная последовательность алгебраических однотипных си-
стем 21 ь 212, • • ., п пусть для каждой системы 21; задан изо-
морфизм <рг в систему 2I7--j-j . Системы 21; изображены на рис. 3
§ 2]
МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ
59
условно отрезками, а изоморфизмы ф, — проектированиями.
Отождествляя Sh с SI^i, SI2 с ?12ф2 11 т- Д-> получим по-
следовательность вложенных друг в друга алгебраических
систем
si, s si: si: •	(1)
Это значит, что если SI* = (^ft, {Fky}, {Р^}) (£<«,
Л<р), то
Яд Яч ^3 ~ • • • 1
Fit F2t Fst,— ...
а<«).
Plr, — Р 21] — Рзг, — • • •
01 <Р)-
Пусть A, Fv, Рп — объединения соответственно мно-
жеств Ak, Fki, Ph1}. Ясно, что отношения F% являются
операциями на множестве А. Поэтому совокупность SI =
г.= (Л, {7ч }, {7',,}> (ё < а, 1] < р) есть алгебраическая
система, содержащая системы SIj, SI?, VI*, ... в качестве
своих подсистем. Система SI называется объединением
возрастающей цепочки систем (1). Первоначальная после-
довательность изоморфизмов
S[4 Л SI2 Л SI3 -^ .. .	(2)
называется прямым спектром, а система SI — пределом
этого спектра *).
В построении предела прямого спектра (2) нигде не
предполагалось, что системы SIt, Sl2, . . . различны.
Иногда представляет интерес и случай, когда не только
все системы SIj, Sl2, . . . совпадают друг с другом, но
и все изоморфизмы ф,- равны друг другу. Рассмотрим,
например, алгебру
SI, = ({1, 2, 3, . .	+).
Отображение ф: «ф = 2а является изоморфным отобра-
жением SIj на свою подалгебру {2, 4, 6, . . .}, и потому
цепочка изоморфизмов
si1 Л si, Л sh Л ...	(3)
образует прямой спектр. Какая же алгебра является пре-
делом этого спектра? Чтобы отличать элементы алгебры
*) В действительности спектр вида (2) представляет собой про-
стейший случай прямого спектра. —Прим. ред.
60
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
2(t, находящейся на n-м месте в цепочке (3) от элементов
алгебр, находящихся на других местах, условимся обозна-
чать элементы п-й алгебры 2() парами (п, 1), (п, 2), . . .
В соответствии с изоморфизмом <р пары (и, г) и (п + 1, 21)
в предельной алгебре должны обозначать один и тот же
элемент. Это и дает ключ к построению предельной алгеб-
ры 21. Рассматриваем множество А пар (г, j) (i, j =
— 1,2, . . .). Пары (г, j), (i -|- k, 2llj) называем экви-
валентными. Суммой пар (а, b) и (с, d) называем пару
(а -|- с, 2cb -|- 2°d) и любую ей эквивалентную пару.
Получившаяся алгебра с основным множеством А/~, где
через ~ обозначена указанная эквивалентность, и есть
искомая предельная алгебра. Эта предельная алгебра
резко отличается по своим свойствам от исходной алгебры.
Например, в предельной алгебре уравнение х -J- х = и
разрешимо для любого заданного элемента и = (а, Ъ).
Решением будет служить х = (a -f- 1, Ь), так как
(а + 1, Ъ) -j- (а + 1. b) ~ (а Д- 1, 2Ъ) ~ (а, Ь).
Отсюда, в частности, следует, что предельная алгебра
21 не изоморфна исходной алгебре 21). Действительно,
если бы существовал изоморфизм т алгебры 21 па алгебру
21), то из х И -г --- и в 21 следовало бы равенство хх -|-
Д- хх — их в 2(). Поэтому для любого заданного элемента
а £ 211, найдя решение х уравнения х Д- х = ат-1 в 21,
мы нашли бы и решение у — хх уравнения у Д- у = а
в алгебре 2Ij. Так как в алгебре 21) уравнение у Д- у = 1
заведомо не имеет решений, то алгебры 21 и 21) не изо-
морфны.
В качестве отображения т выше бралось отображение
ах == 2а. Если вместо этого взять отображение ах. = За,
то в предельной алгебре будет для каждого а разрешимо
уравнение х Д- х Д- х — а и т. д.
2.4. Конгруенции. С каждым отображением <р множе-
ства Л на множество В связано отношение эквивалентности
о,р на множестве А, называемое ядерной эквивалент-
ностью и определяемое формулой (см. п. 1.4)
xa,ty <=> «ф = z/<p (.г, у Е Л).
Ставя каждому элементу z g В в соответствие его пол-
ный прообраз z<p-1 в А. получим канонические
МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ
61
§ 2]
взаимно однозначные отображения
В А/а, A/о В.
Допустим теперь, что А, В — основные множества
однотипных алгебраических систем ЭД, ® и отображение
<р — гомоморфизм ЭД на 35. Какими дополнительными
свойствами в этом случае обладает ядерпая эквивалент-
ность oQ? Чтобы ответить на этот вопрос, нам придется
ввести несколько новых понятий, играющих важную роль
во многих разделах алгебры.
Отношение Р (хг, . . ., хп) на множестве А называется
стабильным относительно т-арной операции F, определен-
ной на этом множестве, если для любых элементов «г1,
ai2, . . ., ain (г = 1, 2, .... т) множества А из истинно-
сти отношений
Р (ан, ai2, . . ., ain) (i == 1, 2, . . ., т)
вытекает истинность отношения
Р (^ (ан, . . ., amt), . . ., / (hj71, . . ., атп)).
Отношение Р называется стабильным на алгебраической
системе ЭД, если оно стабильно относительно каждой
главной операции системы ЭД.
В частности, бинарное отношение о на множестве А
называется стабильным относительно определенной на
этом множестве операции F, если для любых элементов
at, а\, . . ., ат. а,'п множества А, связанных соотноше-
ниями
а1 == a'i (°),
л2-=<(а),
— втп (О’)»
истинно соотношение
F (fit, -. ., ат) =5 F (at, .. ., а'т) (о).	(2)
Из этих определений, например, следует, что тожде-
ственно ложные и тождественно истинные отношения
на А являются стабильными относительно произвольной
операции, определенной на А.
62
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
Эквивалентность о, определенная па некоторой
алгебраической системе ЭД, называется конгруенцией на
системе ЭД, если о стабильна относительно каждой глав-
ной операции системы ЭД.
Пусть на системе ЭД = (A, {F%}, {Ptl}) (g < а, ц <С (>)
задана какая-либо конгруенция о. Мы хотим обратить
совокупность А/а всех смежных классов А по о (см. п. 1.4)
в алгебраическую систему, однотипную с системой ЭД.
Для этого нам надо на совокупности А/о определить
операции F| и предикаты Для каждого а £ А через
[«]0 обозначаем смежный класс, содержащий а, т. е. сово-
купность всех элементов из А, сравнимых с а по о. Для
любых «j, . . ., ат^ из А полагаем по определению
 • -1	..(3)
Если [яДа 1, ..., то элементы а/,, а'п удов-
летворяют сравнениям (1), и потому вследствие (2) имеем
F§ ([fijjo, • • • >	-- ^'1 (ВМо, • • • 5 lamg]o)-
Это означает, что операции Fs, определенные на Л/о
соотношением (3), однозначные.
Далее, для произвольных классов [щ],,, .. ., [ап]0 из А/а
отношение Р,* ([бДп, •-.,[«пч1о) полагаем истинным, если
в классах |оДо-, . .., [«п ]а н а и д у т с я такие элементы
ajt = аи(о), для которых РГ| (а', ...,а'п ) истинно в си-
стеме ЭД.
Система ЭД/о = <Д/о, {F|}, {Р^}) (В<а, '•]<₽) назы-
вается фактор-си стел ой системы ЭД по конгруепции о.
Каноническое отображение <р: а -> [я]0 системы ЭД
на фактор-систему ЭД/о есть гомоморфизм, для которого
конгруенция а служит ядерной эквивалентностью.
В самом деле, из условия (3) получаем
FE (а1; . .., ят.) <р — [Fg (я4, ..., «„,g)]0. = F| (djtp, ..., нтлр),
а из Pri («!, ..., аЛ1)) = II следует P$ («рр, ..., ani)<p) = II,
что и требовалось.
Гомоморфизм <р системы ЭДДИ, {/'Д, {РГ|}> на
систему $5 = {В, {СД, называется сильным, если
для каждых элементов . . .,	и для каждого
главного предиката из (1ц, ...,Ьп^) = И вытекает
§ 2)
МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ
63
существование в А таких прообразов .. ., элемен-
тов /»,,	Ь,Ч}, для которых Pn(ai, ..аПг)-~-И.
Поскольку алгебры пе имеют главных предикатов, то
для алгебр понятия гомоморфизма и сильного гомомор-
физма совпадают. Для моделей могут существовать гомо-
морфизмы, не являющиеся сильными *).
Йз определения главных предикатов фактор-системы
ЭД/о непосредственно следует, что каноническое отобра-
жение ЭД на ЭД/о есть сильный гомоморфизм.
'Г е о р е м а 1 (т е о р е м а о г о м о м о р ф и з -
м е). Ядерная эквивалентность о каждого гомоморфиз-
ма ф алгебраической системы ЭД = (Л, {/'Д, {/%}) на
однотипную систему 33 - (5, {С^} ,{(?,]} )(£< a, т] < [’>)
есть конгруенция на ЭД и каноническое отображение
т: ЭД/о—>- S3 есть гомоморфизм. Если гомоморфизм ф силь-
ный, то каноническое отображение ЭД/о на 35 есть изо-
морфизм.
Действительно, из условий (Г) вытекает
ад —ад (k-- 1, .. ., пц).
Следовательно,
(ад, . .., а,„6ф) -- (ад, .. ., «Ц/Д,
т. е.
F^ (аь .. ., «,П£) ф = Ft («’, ..., а'т^ ф,
и потому (2) истинно.
Пусть для некоторых аъ ...,ап из А отношение
Р*((й1], •••, [япД) истинно. Это значит, что для подходя-
щих а', ..., а"п из А имеем
ад= ад (& = 1, ..., пл)
*) Пусть, например, й -= ({я}, Р) есть система, у которой
основное множество состоит из одного элемента а, а основной
предикат Р одноместный и Р (а) == .7/. Пусть также 83 = ({/?}. Q) —
другая система с одноэлементным основным множеством и одним
одноместным основным предикатом Q, причем Q (6) ,= II. Отобра-
жение <р: а -> Ь есть гомоморфизм (и даже взаимно однозначный),
ноне сильный, т. е. <р не является изоморфизмом данных моделей.—
Прим. ред.
64
01>Щ|1в понятия
[Гл. 1
и P,t («J, ..., «„ ) — //. Из последнего соотношения выте-
кает, что (.Л) (а1Ф,	Ч1)- Н • П1к как
|п] т шр (с/ £ Л),
то т — гомоморф ИЗМ.
Наконец, пусть гомоморфизм ср сильный и для каких-то
элементов bt, ..., Ьп^ отношение (Ьг, ..., 6Пг1) истинно.
Тогда в А найдутся такие прообразы щ, .. ., ап^ элемен-
тов bt, ..., bn что 7% («1, ..., h;Ii1)-=//. Но в таком
сл учае
7’Г1([«1],	(«»,,])-Я.
Ядерпая эквивалентность о гомоморфизма ср алгебраи-
ческой системы ?! будет называться в дальнейшем ядерной
конгруенцией.
Теорема 1 показывает, что совокупность всех сильно
гомоморфных образов заданной алгебраической системы
VI с точностью до изоморфизма исчерпывается совокуп-
ностью всех фактор-систем данной системы ио ее различ-
ным конгруепцпям. Поэтому задачи: а) найти с точностью
до изоморфизма все сильно гомоморфные образы данной
алгебраической системы VI и б) найти все конгруенции
на VI — равносильны.
На каждой алгебраической системе VI, очевидно, заве-
домо существуют нулевая конгруепцпя i, совпадающая
с отношением равенства элементов VI, и единичная копгру-
енция со, при которой любые два элемента VI конгруентны
ДРУГ другу *). Каждый смежный класс по нулевой кон-
груепции состоит лишь из одного элемента и каноническое
отображение VI на Vl/i есть изоморфизм. Напротив, еди-
ничная конгруенция объединяет все элементы VI в один
класс и Vl/co есть одноэлементная система.
Рассмотрим несколько примеров. Возьмем алгебры
Vlj —<{1, 2, 3, ...}, +),	VI2-({-l, 1}, •>
и обозначим через ср отображение VI j на VI2, определяемое
формулой сир = (—1)”. Так как
(а 4- Ь) ср = (— 1)а+ь = (— 1)"  (- 1 )ь = «ср • Ьср,
*) Коигруснция св называется иногда универсальной.—
Прим. ред.
§ 2]	МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ	65
то^ф — гомоморфизм. Фактор-алгебра Sfj/tp состоит из
двух классов: класса 11] всех нечетных положительных
чисел и класса [2] всех четных положительных чисел.
Легко убедиться, что помимо ядерной конгруенции, отве-
чающей гомоморфизму ср, на алгебре 9(t существует
бесконечное множество и других конгруенций.
Рассмотрим еще модель (А, Р) с унарным предикатом
Р, который мы будем отождествлять с множеством эле-
ментов, на которых он истинен. Ясно, что тождественное
отображение модели (А, Р) на однотипную модель (A, Q)
тогда и только тогда является гомоморфизмом, когда
Р s Q. В частности, если Р = 0, то тождественное
отображение модели (А, Р) на любую модель (A, Q)
есть гомоморфизм. Всем этим гомоморфизмам отвечает
одна и та же нулевая конгруенция = на А.
Прежде чем формулировать следующую теорему,
напомним, что для любого бинарного отношения о на
множестве А и любого At^A символом csAj обозначается
совокупность тех х g А, для которых в At существует
элемент удовлетворяющий условию хо>а.\ = И. Опреде-
ленная выше единичная эквивалентность со на A i совпадает
с декартовым квадратом At X А, и потому часто записы-
вается в виде
Теорема 2 (1-я теорема об изо м о р -
ф и з м е). Пусть 91 j — произвольная подсистема какой-
то алгебраической системы 91 и су — конгруенция на 91.
Тогда А', Пет — конгруенция на At, oAf —подсистема
системы 91 и имеет место взаимно однозначный гомомор-
физм
Йс/^П^) -^/су,	(4)
стрелкой обозначено каноническое отображение, при
топором каждый, смежный класс стоящей слева фактор-
cih ineMbi переходит в содержащий его смежный класс
фактор системы, стоящей справа.
Первое утверждение теоремы очевидно. Замкнутость
множен।на су/Ц относительно главных операций также
легко проверяется. Действительно, пусть F — какая-то
пс арная главная операция и czj, . . ., ат — произвольные
элементы нэ о/11. Это значит, что в /Д существуют элемен-
ты а\, . . ., а'„, связанные с . . ., ат соотношения-
А. И. Мальце и
66
Общие понятия
[гл. i
ми(1). Так как по условию А (а', . .	£ Alt то из (2)
заключаем, что F (сц, . . ., ат) б 0А1.
Ясно, что каждый смежный класс Л- по о П А{ лежит
в некотором смежном классе системы oAt по о и каждый
смежный класс о At по ст содержит лишь один смежный
класс At по а П А*. Это положение схематически пред-
ставлено на рис. 1, где секторы внутреннего круга изобра-
морфи.зм относи тел ьпо
жают смежные классы А , по о П А*,
а содержащие их секторы большого
круга изображают соответствую-
щие классы oAt по о. Допустим
для простоты, что система 21 имеет
бинарный главный предикат Р и
что для некоторых и, v из ^Д/о П А[
Р (и, v) — 11. Тогда в классах
и w. v найдутся такие элементы
а, Ь, что Р (а, Ь) = И. Но в таком
случае, согласно определению фак-
тор-систем, Р (аа, Ъа)—И. Таким
образом, отображение (4) — гомо-
всех главных предикатов. Анало-
гично доказывается и то, что отображение (4) — гомомор-
физм относительно всех главных
операций.
Взаимно однозначный гомомор-
физм алгебры на алгебру есть изо-
морфизм. Поэтому, если 21 — алгеб-
ра, то отображение (4) является
изоморфизмом.
Рассмотрим теперь случай, когда
па одной и той же алгебраической
системе 21 заданы две конгруенции
°, ГЬ удовлетворяющие условию
и CZ тр На рис. 2 элементы 21 изо-
бражены точками большого квадрата, смежные классы
21 по т] — четырьмя средними квадратами, а смежные
классы 21 по о — шестнадцатью мелкими квадратами.
Ясно, что и в общем случае каждый смежный класс 21
по ц распадается на несколько смежных классов по о,
и потому можно утверждать, что конгруенция ц индуци-
рует на фактор-системе 21/о некоторую эквивалентность,
S 21
МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ
67
которую мы условимся обозначать через ц/о. Мелкие
квадраты ц/о-эквивалентны, если они лежат в одном
в том же среднем квадрате *).
Теорема 3 (2-я теорема об изомор-
ф и з м е). Пусть на алгебраической системе 91 суще-
ствуют конгруенции о, i], связанные соотношением о cz T).
Тогда эквивалентность т]/о есть конгруенция на фактор-
системе 91/о и каноническое отображение
<р: 9(/о/т]/о9(/t|	(5)
сеть изоморфизм.
Первое утверждение очевидно, и потому будем доказы-
вать лишь второе. Допустим для простоты, что система
91 имеет бинарный главный предикат Р, и пусть для
некоторых и, v из 91/т] этот предикат истинен. Это значит,
•его в 91 найдутся точки а £ и, Ъ £ v, для которых
/’ («, Ь) = И. Отсюда следует, что Р ([«]0, [Ыо) = И,
и потому Р (llaloLi/o, ПМДц/о) ~ И в фактор-системе
91/п/т]/о. Аналогичным образом убеждаемся, что из
/’(.с, у) = И в фактор-системе 91/о/ц/о следует
/’(.пр, ytp) = И в фактор-системе 91/тр
Мы показали, что отображение (5) есть изоморфизм
относительно всех главных предикатов системы 91. Тем же
путем убеждаемся, что это отображение есть изоморфизм
н относительно всех главных операций системы 91.
В и. 1.4 рассматривались некоторые операции над
экппналептностями. Посмотрим, будут ли результаты этих
операции конгруенциями, если исходные эквивалент-
ности — конгруенции.
Т е о р ем а 4. Пересечение с любой совокупности кон-
.•руепцип ()а на алгебраической системе 91 есть конгруен-
ци.ч па 91.
Па п. 1.4 мы знаем, что о — эквивалентность на 91.
I'liccMoTpiiM какую-нибудь главную операцию F на 91,
н пусть элементы Gj, а[, . . ., ат, а„г из 91 связаны соот-
iioiiieiiiiiiMii (1). Так как о содержится в произвольной
♦) :iKhiiii,i.neiiTiiocTb i)/o, называемая обычно дробной, может
<>|.П1. определена формулой
[6]о <=> «1)6,
। н «. /• произвольные элементы данной системы.— Прим. ред.
5*
68
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
конгруенция 0а, то соотношения (1) верны и для 6га,
а потому для 0а верно соотношение (2). Поскольку соотно-
шение (2) истинно для любой конгруенции 6К, то оно
истинно и для пересечения их о.
Теорема 5. Произведение о = ощ2 . . . конеч-
ной последовательности бинарных отношений сц, . . од,
стабильных на алгебраической системе ЭД, стабильно на ЭД.
Очевидно, достаточно доказать теорему для двух сомно-
жителей. Пусть F — какая-нибудь главная т-арная
операция системы ЭД и alf а{, . . ат, а™ — элементы
системы ЭД, связанные условиями (1). Согласно определе-
нию произведения отношений (и. 1.2) в ЭД найдутся
элементы blt . . ., bm, связанные соотношениями:
a=s й, (Oi), bi = a’(oz),
а2 =	(Щ), Ь2 = О2 (OZ)i
- бт (oj), Ьт = ат (oz).
Из соотношений, находящихся в первом столбце,
получаем
F («1....ат) ; F (bi, ..., bm) (щ).
Из соотношений, находящихся во втором столбце,
получаем
F (bi, ..., hm)f& F («;, ...,0m) (о2),
и потому
F (аг, .. ,,am) = F («',	(о),
что и требовалось.
Следствие 1. Если произведение о = OiO2 . . .
конгруенции 04, . . ., од есть эквивалентность, то о
является и конгруенцией. Произведение двух конгруенции
на алгебраической системе ЭД тогда и только тогда есть
конгруенция на ЭД, когда перемножаемые конгруенции
перестановочны.
В самом деле, согласно и. 1.4, произведение GiG2 тогда
и только тогда является эквивалентностью, когда OiO2 =
=
Каковы бы пи были заданные бинарные отноше-
ния ок на произвольной алгебраической системе ЭД,
6 2]	МОДЕЛИ II АЛГЕБРЫ	69
всегда на ЭД существует к о и г р у е и ц и я, содержащая
все <уа. Такой конгруенцией является, например, единич-
ная конгруенция ЭД X ЭД. Согласно теореме 4 пересече-
ние о всех конгруенцвй на ЭД, содержащих все отношения
оа, есть конгруенция на ЭД. Это — наименьшая конгруен-
ция, содержащая заданные отношения оа.
Конструкция наименьшей эквивалентности
о, содержащей заданные эквивалентности о„ (а 6 S),
была указана в и. 1.4. Оказалось, что о есть объединение
всевозможных произведений заданных эквивалентностей.
Теорема 6. Наименьшая конгруенция о, содер-
жащая заданные конгруенции оа (а £ S) на алгебраической
системе ЭД, представляет собой объединение всевозможных
произведений заданных конгруенций вида оа,оа, - . . оа/г,
и потому наименьшая конгруенция, содержащая заданные
конгруенции ок, совпадает с наименьшей эквивалент-
ностью, содержащей заданные конгруенции.
Нам надо лишь показать, что'объединение о произве-
дений вида оа1 ... Gah (7с2, 3, ...) есть конгруенция.
Пусть для главной операции F и некоторых аЛ, ..., ат,
а'т из ЭД истинны соотношения (1). Это значит, что для
подходящих произведений р(, . ..,ргп истинны соот-
ношения
я4 н:- аг (pi),
(Pin)*
Так как ръ ..., рт рефлексивны, то р; s р4р2 .. . р,„
и, следовательно,
«4 а[ (р4р2 . .. рп1),
(,т — Ст (pip2 • • • Рт)-
Согласно теореме 4 произведение pip2 . .. р,„ есть ста-
бильное отношение, и потому
/' (а^, . . . , Ото) “- !' (flii •  • 1 йт) (Р1Р2 • •  Pm)-
Ввиду включения р, . . . рт с= о, отсюда получаем (2),
и теорема 6 доказана.
70
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
Ясно, что если заданные отношения оа —не конгру-
енцпп, а эквивалентности, то наименьшая конгруен-
ция, содержащая все оа, будет лить содержать в себе
наименьшую эквивалентность, содержащую все щ,.
В связи с замечаниями, сделанными в п. 1.4, упомя-
нем еще
Следствие 2. Если конгруенции oj, о2 переста-
новочны, то их произведение есть наименьшая конгруен-
ция, содержащая в себе щ и о2.
Действительно, наименьшая конгруенция о, содержа-
щая о, и о2, содержит и С другой стороны, согласно
следствию 1, OiO.2 есть конгруенция, содержащая о, и о2-
Отсюда о — 0,0.2-
2.5. Декартовы произведения. Нам уже встречались
декартовы произведения конечных последовательностей
множеств. Мы теперь обобщим это понятие до понятия
декартова произведения произвольной системы множеств
и, более того, введем понятие декартова произведения
произвольной системы алгебраических систем произволь-
ного фиксированного типа.
Рассмотрим какое-нибудь непустое множество А, эле-
менты которого условимся называть индексами. Пусть
каждому индексу а £ А поставлена в соответствие неко-
торая алгебраическая система
{4а)}, а<и, ii’<v) (1)
данного фиксированного типа т — {т0, . . ., т^, . . .;
п0,	. . ., пГ1, ...}(£< |1, т] < т). Декартовым про-
изведением индексированной системы множеств Ма по
совокупности индексов А называется множество функций
/ из А в объединение (J Ма, удовлетворяющих условию
/ (а) 6 Ма (а £ Л).	(2)
Декартово произведение системы множеств Ма по сово-
купности А будет обозначаться выражениями
Ц Ма, ПМа (а^А), П Ма.
а£А
Согласно (2), чтобы задать элемент f декартова произ-
ведения. достаточно в каждом множестве Ма выбрать
МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ
71
§ 21
элемент / (а) — fn. Обратно, каждый такой совместный
«выбор» в каждом множестве Ма по элементу fa однозначно
определяет функцию /, удовлетворяющую условию (2),
а значит, определяет и некоторый элемент декартова
произведения.
Допустим, что каждое из множеств Ма не пусто. Будет
ли в этом случае непустым и декартово произведение
[J Л/к? Если совокупность индексов А конечна, то поло-
жительный ответ на этот вопрос не вызывает сомнений.
Непустота каждого множества Ма означает, что в этом
множестве можно «выбрать» хотя бы один элемент.
Производя такой выбор для каждого а, получим совмест-
ный выбор, а значит, и элемент декартова произведения.
Если множество А бесконечно, то требуется произвести
бесконечное число произвольных выборов. Осуществи-
мость не только конечного, но и бесконечного числа выбо-
ров является постулатом теории множеств, называемым
аксиомой Ц е р м е л о или а к с и о м о й в ы -
б о р а. Мы сформулируем эту аксиому в следующей
форме.
Аксиома выбора. Декартово произведение
произвольной индексированной системы непустых множеств
есть множество непустое.
Довольно часто множеством индексов служит нату-
ральный ряд N. В этом случае функция / вполне опре-
деляется последовательностью своих значений
/ (0), / (1), . . ., / (А-), • • •	(3)
и потому может быть отождествлена с этой последователь-
ностью.
До сих пор шла речь лишь о декартовом произведении
D = Ма основных множеств Ма алгебраических систем
sJJla- Теперь мы определим па Г) операции и преди-
каты и обратим D в алгебраическую систему ф =
= <Р, {Т^}, {/%}) (| < Ц, т| < т) того же типа, что
и заданные системы ВДа.
Пусть Д, ..., /пг — какие-либо элементы из /). По оп-
ределению полагаем
Рт) (/1> • • • >	— Ч
72
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
тогда и только тогда, когда для каждого а^А
/Пг1 («)) = //.
Аналогично значением F^ (Д, ..., /т ) называем эле-
мент f£D, определяемый условиями
/(а) ^а)(/1(сс),	/т|(а)) (аЕЛ).
Алгебраическая система © = (D, {Ръ}, {Р,,}),
построенная указанным способом, называется декартовым
произведением систем ЭЛа по множеству индексов Л
и обозначается так же, как и декартово произведение
множеств:
И w, ГЖ («ел), Пьж.
а£Л
Если множество индексов А состоит лишь из чисел
1, 2, . . ., к, то декартово произведение ] [ часто запи-
сывается в виде 5R1 X . . . X 94 й, а его элементы отожде-
ствляются с последовательностями (с1; . . ., сй) (c;E 34j).
Аналогичной записью пользуются и в случае, когда множе-
ством индексов служит совокупность всех натуральных
чисел.
Поясним указанные определения на следующих при-
мерах. Обозначим через и одну и ту же систему
(А, Е, <) и рассмотрим прямое произведение ® =
=- 9Л( X 94а. Элементами этого произведения являются
пары (а, Ь) натуральных чисел. Сложение пар в ® опре-
деляется формулой
(«, Ь) 4- (с, с?) = (а + с, Ъ 4 d),
а отношение для пар определяется условием
(a, b) < (с, d) <^> а < с и lift'd.
В частности, имеем
(1,3) <(1,4),	(1,3) <(2,5),
но
(1, 3)^(2, 1),	(2, 1)<(1, 3).
5 2]
МОДЕЛИ П АЛГЕБРЫ
73
Аналогично, пусть 3)1 j (г = О, 1, 2, . . .) обозначают
одну н ту же модель {N, Ч), где Ч есть предикат «быть
четным числом». Элементами прямого произведения 2) —
- II 3)1, будут бесконечные последовательности а --
- (а0, «j, - . ал, . . •) натуральных чисел, причем
последовательность будет «четной», т. е. Ч (а) — II, тогда
и только тогда, когда все ее члены четны.
Рассмотрим снова произвольное декартово произведе-
ние А) = 11 3)1а каких-нибудь алгебраических систем Э31а
(а Е -4)- Для каждого фиксированного а £ А отображе-
ние лк: /-> / (а) (/ Е D) есть отображение D на Ма. Из
определения декартова произведения непосредственно вид-
но, что ла — гомоморфизм 3) на 3)1 а. Гомоморфизм ла
называется проектированием 3) на Жа.
Система гомоморфизмов 6а (а £ А) какой-нибудь
алгебраической системы ЭД1 в алгебраические системы 3)1«
называется полной, если при помощи этих гомоморфизмов
можно различить любые два различные элемента в 3)1.
Это означает, что для любых а, Ъ из 3)1 из истинности
равенства	для каждого а Е А следует а = Ъ.
Теорема 1. Пусть задано отображение а-+- 3J1Q
совокупности А на некоторое множество {ЗЛга} однотип-
ных алгебраических систем. Декарто-
во произведение ® = Ц ЗИа и проек-
тирования ла: 3) —> 3)1а обладают
следующими свойствами'.
а)	Система проектирований лк
полная.
б)	Если для произвольной алгеб-
раической системы 3)1, однотипной
с системами ЗЛК, заданы какие-то
гомоморфизмы 6К системы 3)1 в ЗЛа,
морфизм б системы ЭЛ в систему СЭ
рзпощий для каждого а равенству 6а
У тверждение а) очевидно. Действительно, для а, Ъ £ D
равенства ала = 1та означают, что для каждого а Е А
имеем а (а) ~- Ъ (а), а это и значит, что а — Ь.
Докажем утверждение б). Для произвольного т Е 9Л
определяем па А функцию тд, полагая по определению
(жй) (а) — т&а (а Е А).
то найдется гомо-
(рис. 1), удовлетво-
74
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
Так как mfia С sDJa. то отображение т -> тТ есть отобра-
жение ЯК в ®. Ясно, что оно удовлетворяет .требованиям
6К -- 6ла. Остается убедиться, что б — гомоморфизм.
Пусть Р — какой-нибудь главный предикат арности п,
и пусть Р (ал, . . ., ап) = И для некоторых щ. . . ., ап
из ЯК- Тогда Р (afia, . . ., л„ба) -= II для каждого a £ А,
и потому Р (а(д, . . ., о,,6) — И в силу определения
декартова произведения. Аналогично проверяется истин-
ность условий гомоморфизма и для главных операций.
Важный факт состоит в том, что теорема 1 допускает
следующее обращение:
Т е о р е м а 2. Пусть задано отображение а —> ЯКа
некоторой совокупности индексов 1 на множество {ЯКга}
однотипных алгебраических систем, и пусть задана систе-
ма гомоморфизмов ха некоторой алгебраической системы
SJJ на. системы ЯКк, удовлетворяющая требованиям:
а) Система гомоморфизмов ха (д. ?Л) полная.
Р) Если для произвольной алгебраической системы ЯК,
однотипной с системами ЯКа, заданы какие-то гомомор-
физмы. Sa системы ЯЛ « ЯКа, то найдется гомоморфизм 6
системы ЯК в систему Я? такой, что ба — бхг/ для всех
а £ А (ср. рис. 1).	3
Тогда существует изоморфизм у системы Ж на ® =
-][ЯКа, при котором гомоморфизмы ха переходят
в проектирования ла, т. е. для которого хв — улк (a g А).
Действительно, в качестве системы ЯК и гомоморфизмов
би возьмем декартово произведение ® и проектирования
лк. Согласно Р), существует такой гомоморфизм б системы
® в систему Я(\ что
лк = бхе (а Е А).	(4)
С другой стороны, согласно теореме 1, существует
гомоморфизм у системы 3J в систему для которого
Ха -- ула.	(5)
Сравнивая (4) и (5), получаем
Лес — буЛа, Ха - - убха .
Ввиду полноты систем ла п хк отсюда следует
бу = е(, уб = е2,	(6)
§ 2]	МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ	75
где Ej, е2 — тождественные отображения ® и St па себя.
Из (6) вытекает (см. п. 2.2), что б и у суть изоморфизмы.
Итак, отображение у есть изоморфизм St на удовлетво-
ряющий соотношениям (5), что и требовалось.
Согласно теореме 2 условия а), б) характеризуют декар-
тово произведение с точностью до изоморфизма. Отсюда
видно, что эти условия могут служить и в качестве второ-
го определения декартова произведения. Первое определе-
ние дает явную конструкцию декартова произведения.
Второе определение описывает лишь свойства декартова
произведения и может быть названо поэтому аксиоматиче-
ским определением. При аксиоматическом определении
надо отдельно доказывать существование декартова про-
изведения. Это — недостаток аксиоматического определе-
ния. Преимуществом аксиоматического определения слу-
жит то, что оно формулируется лишь в терминах гомоморф-
ных отображений и не содержит упоминаний элементов
рассматриваемых алгебраических систем. Правда, кос-
венно ссылки на элементы систем в теореме 2 есть, так
как полнота системы гомоморфизмов лга определяется
с помощью элементов ®. Однако и эти ссылки можно
исключить, если воспользоваться следующим определе-
нием.
Система гомоморфизмов ба (a g А) алгебраической
системы ЭЛ в системы SJtra называется квазиполной, если
для каждых эндоморфизмов (гомоморфизмов в себя) у4,
у.2 системы ЯЛ из истинности всех равенств
ТА. =	(« С А)
следует у5 = у2.
Из доказательства теоремы 2 видно, что условие а) мож-
но заменить требованием квазиполноты системы гомомор-
физмов гек (а^А). Ясно также, что всякая полная система
гомоморфизмов является квазиполной.
Понятия, которые можно определить, пользуясь
лишь понятием гомоморфизма, называются категорий-
ными. Таким образом, можно сказать, что теорема 2
дает категорийную характеристику декартовых произ-
ведений.
Из теоремы 2 непосредственно следует, что декартовы
произведения соответственно изоморфных алгебраических
76
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
систем изоморфны. Однако это обстоятельство мы сфор-
мулируем более точно в виде следующего общего утвер-
ждения.
Теорема 3. Рассмотрим декартовы произведения
5) — И 2)* — [J однотипных алгебраических си-
₽РВ
стам. Пусть существуют взаимно однозначное отобра-
жение <р множества А на множество В и изоморфизмы
фа систем ЭЛК на 'К;,, (сс£ А). Тогда существует изомор-
физм у системы 2) на 2)*, для которого лкфк — ул^
(а£Л).
Рассмотрим гомоморфизмы х^ — np^-ii^.-i системы 2)
на ((’> С:/<)• Эти гомоморфизмы удовлетворяют требова-
ниям а), Р) теоремы 2, и потому найдется изоморфизм у
системы 2) па 2)*, удовлетворяющий требованиям
ГСр<р-1фрф-1 — улр.
Отсюда получаем лкфк — ул^.
Теорема 3 показывает, что с точностью до изоморфизма
декартово произведение не зависит от порядка нумерации
сомножителей индексами вспомогательного множества.
Вследствие этого теорема 3 называется иногда законом
коммутативности декартовых произведений. Обычный
закон ассоциативности также переносится на декартовы
произведения и может быть записан в следующей общей
форме.
Теорема 4. Пусть множество индексов А в декар-
товом- произведении 2) — | [ ЭЛК разбито на попарно не пере-
секающиеся подмножества (у С 0. Тогда 2)* = II (II ж)
VEC б^Е-^у
изоморфно 2» = Ц
ас А
Введем обозначения: 2)т JJ л«— проектирова-
a£Av
ние 2\ на ЗК, л у— проектирование 2)* па 2\ и лк—
проектирование 2) на Жк.
Рассмотрим гомоморфизмы: хс — л^л^ (а £ Av) системы
2)* на 3J?K. Покажем, что хк и 2)* удовлетворяют требо-
ваниям теоремы 2. Квазнполпога системы гомоморфиз-
мов ха очевидна, так как если уъ у2 — эндоморфизмы.
§ 2]
МОДЕЛИ II АЛГЕБРЫ
77
то из равенств ytxa = у2хк вытекают соотношения
(Т1^т) па '-= (Т2кт) (а£А)-
Но система гомоморфизмов л? полна для и потому
71Л* = 72^т (ТбО- В свою очередь система гомоморфиз-
мов л£ полна и потому yj = у2.
Проверим условие р). Пусть заданы гомоморфизмы 6а
произвольной системы ЭЛ в системы ЗЛК (а Е Л). По тео-
реме 1 для каждого	найдется гомоморфизм pv
системы ЭЛ в систему ®т, для которого
= р^ла	(о^ЕЛ^).	(/)
Согласно той же теореме 1 найдется гомоморфизм р
системы ЗЛ в произведение ®* = | {®7, удовлетворяющий
соотношениям
р7 = рл^ (?EQ-	(8)
Из (7) и (8) получаем
= рл^л £ = ри„	(«ЕЛ),
и свойство Р) доказано. Из свойств а), р) системы {яа},
согласно теореме 2, вытекает существование требуемого
изоморфизма о системы на ф, удовлетворяющего при
том соотношениям
Л& = ОЛа («ЕЛ).
Говорят, что алгебраическая система ЭЛ разлагается
в декартово произведение систем ЗЛК (а Е Л), если ЭЛ
изоморфна декартову произведению ЦЗЛга. Вопрос об
единственности такого разложения требует более деталь-
ных рассмотрений. Здесь мы ограничимся формулировкой
одного довольно очевидного критерия разложимости, кото-
рый тем не менее оказывается полезным в ряде случаев.
Рассмотрим какое-нибудь декартово произведение
®=ПЛ (“ЕЛ)
алгебраических систем ЗЛ«. Обозначим через ли проекти-
рование ® па ЗЛа. Гомоморфизму лга отвечает ядерпая
конгруенция на ® (см. п. 2.4), которую мы обозначим
78
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
через ра. Если системы ДД — алгебры, то
Ж ®/Ра,	(9)
где есть символ изоморфизма. Однако если Жя — не
алгебры, то изоморфизм (9) может и не иметь места. Рас-
смотрим, например, декартово произведение одноэле-
ментных моделей ({1}; Ч), <{2}; Ч), где Ч (х) означает
унарный предикат «ж — четное число». Это произведение
состоит из единственной пары (1,2) и Ч (1, 2) = Л.
Оба проектирования л2 — гомоморфизмы. Однако
фактор-модель ®/р2 состоит из класса {(1, 2)}, и в ней
Ч (1, 2) — Л. Поэтому модели <{2}, 4} и ®/р2 здесь не
изоморфны.
Произвольную систему конгруенций ок (а £ А) на
какой-нибудь алгебраической системе ЭЛ = (М, Q) усло-
вимся называть полной, если:
1) для каждой пары различных элементов а, Ъ Из М
в заданной системе {ок} существует конгруенция ок,
различающая а, Ъ, т. е. а =0= Ъ (ок), и
2) если для какого-нибудь главного предиката Р
и некоторых щ, . . ., ап из М Р (щ, . . ., ап) -= Л, то
найдется конгруенция оа такая, что
Xi = di(oa)...хп = ап (ок) Р (xlt ..., «„) = Л
для любых хА, . . ., хп из М.
Из полноты совокупности проектирований па декартова
произведения [] на его сомножители следует, что
совокупность конгруенций рк заведомо удовлетворяет
условию 1). Легко убедиться, что эта совокупность удов-
летворяет и условию 2). Действительно, если для некото-
рого главного предиката Р и некоторых элементов . . .
. . ., ап из произведения имеем Р (а1, . . ., ап) = Л, то
по определению декартова произведения для подходящего
а имеем
. . .,	- Л.
Пусть ,гг = at (р.,) (i =- 1, . . ., п) и, значит, xtna =
— пглк. Если бы оказалось, что Р (ж1; . . ., жп) = И
то мы бы имели Р (х'|Ля, . . ., .т,|.пг/) = И (ото
бражение лк — гомоморфизм) и, следовательно
МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ
79
§ 2]
Р («1ЛК, . . апла) — И, вопреки предположению. Таким
образом, конгруенции рк удовлетворяют требованию 2).
Систему конгруенций ок на произвольной алгебраиче-
ской системе ЭЛ условимся называть независимой, если для
произвольного отображения ср: а аа совокупности
индексов А в систему ЭЛ найдется такой элемент a Е М,
что
а = аа (аа) для всех a Е А.
Из определения декартова произведения ® = Ц ЭЛа
непосредственно видно, что система ядерных конгруенций
рк на ® независима.
Итак, если алгебраическая система ЭЛ разлагается
и декартово произведение систем ЭЛК (a Е Л), то на ЭЛ
существует полная независимая система конгруенций оа
(а ЕЛ) такая, что ЭЛ„ есть взаимно однозначный гомо-
морфный образ системы ЭЛ/ок.
Это утверждение допускает следующее обращение.
Теорема 5. Если на алгебраической системе ЭЛ
существует полная и назависимая система конгруенций
ок (а £Л), то ЭЛ изоморфна декартову произведению
<фактор-системы ЭЛ/ок («ЕЛ).
Обозначим через аоа смежный класс ЭЛ по ок, содержа-
щий элемент а. Для каждого а Е ЭЛ определим на Л функ-
циюполагая ja (а) ~ аоа, и рассмотрим отображение <р:
fa системы 9)1 в декартово произведение-® — ||ЭЛ/ои.
Из независимости конгруенций оа следует, что <р есть
гомоморфизм ЭЛ на ®. Условие 1) в определении полноты
показывает, что <р есть взаимно однозначное отображение.
Наконец, условие 2) в определении полноты гарантирует,
что отображение ф есть изоморфизм. В самом деле, пусть
для некоторого главного предиката Р и какпх-то элемен-
тов . . ., а„ из ЭЛ P(at, . . ., ап) - J1. По условию 2)
существует такой индекс а, что Р {atGa, . . ., «,,оа) =
.// в ЭЛ/о„. Но тогда Р (f„ , . .	) = Л согласно
определению декартова произведения. Аналогично про-
веряется справедливость соответствующего утвержде-
ния и для каждой главной операции.
По поводу теоремы 5 и предшествующего ей утвержде-
ния можно сделать следующее замечание. Пусть модель
ЭЛ изоморфна декартову произведению ЭЛ1 X ЭЛ2. Тогда
80
О1ПЦЛЕ ПОНЯТИЯ
£гл. I
на ЭЛ существуют конгруенции pt, р2, отвечающие проекти-
рованиям л1, л2 на ЭЛ1 и на ЭЛ2. Мы не можем утверждать,
что ЭЭ?! изоморфна ЭЛ/р! и АК2 изоморфна ЭЛ/р2. Однако,
согласно теореме 5, можно утверждать, что ЭЛ изоморфна
декартову произведению ЭЛ/pi X ЭЛ/р2. Эти тонкости исче-
зают, если рассматриваются алгебры. В этом случае
в определении полноты исчезает условие 2) и отображения
ЭЛ/ра на ЭЛа являются изоморфизмами.
Отметим одно следствие теоремы 5. Индексом эквива-
лентности 0 на множестве М называется число (мощность
множества) смежных классов MIQ. Из теоремы 5 и пред-
шествующего ей результата получаем, что алгебраическая
система ЭЛ тогда и только тогда разлагается в декартово
произведение конечных систем, когда на ЭЛ существует
полная независимая совокупность конгруепций конечного
индекса.
В тесной связи с понятием декартова произведения
алгебраических систем находится понятие финитной
аппроксимируемости.
Алгебраическая система ЭЛ = {М, О) называется фи-
нитно аппроксимируемой, если она обладает полной сово-
купностью конгруенции конечного индекса, другими сло-
вами, если для любого предиката Р, как главного, так
и совпадающего с отношением равенства = в ЭЛ, и для
каждой п-ки элементов щ, . . ., ап £ М (п —- п (Р)),
для которой Р (щ, . . ., ап) = Л, существует гомомор-
физм ср: ЭЛ -> Л в конечную систему 'Л, при котором
Р (attp, . . ., ап<р) = Л.
Отсюда следует, что любая подсистема ЭЛ, финитно
аппроксимируемой системы ЭЛ сама финитно аппрокси-
мируема.
Т е о р е м а 6. Алгебраическая система ЭЛ = (М, Q)
финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда
она изоморфно вложима в декартово произведение конечных
систем.
Действительно, если ЭЛ — [J ЭЛа (а С А) и все системы
ЭЛа конечны, то ядериые конгруенции, отвечающие про-
ектированиям ла: ЭЛ->ЭЛа, имеют конечные индексы
и составляют полную систему.
Обратно, пусть система ЭЛ финитно аппроксимируема.
Рассмотрим всевозможные конечно гомоморфные образы
§ 2]
МОДЕЛИ II АЛГЕБРЫ
81
S)<a (а Е Л) системы ЭД и фиксируем гомоморфизмы <ра:
ЭЛ -> ЭДа. Пусть ® —]|ЭЛа (а£.1). По теореме 1 суще-
ствует гомоморфизм <р: ЭЯ ® такой, что ipa - фла.
Если a, b Е М, а Ь, то по условию найдется такой гомо-
морфизм <1'а, что «(|'а =/= 1>Ча, т. е. щрла #= 6<рла. Следова-
тельно, «ц> -р /др. Аналогично, если Р Е QP н для некото-
рых щ, . . ., ап из Л/ Р (нрр, . . ., <7,др) = Л, то
Р (а^ла, . . ., апЧ'Ла) = Р (aj(pa, . .	«„(ра) — И
для всех а Е А. Отсюда получаем, что Р (щ, . . ., «„) —
= II. Таким образом, ср есть изоморфизм системы ЭД
в систему ®.
Произведения вида Эв = |]ЭЛР (РЕ В), где В^А,
В А, называются подпроизведениями декартова произ-
ведения Эл = ][ЭДа («С А). Положим С —А - В.
Декартово произведение Эс — || ШД, (у Е С) называется
дополнительным подпроизведением. Каждый элемент
/ Е есть функция, определенная на А со значениями
в соответствующих сомножителях. Обозначим через /н
и fc ограничения функции / на В и С. Ясно, что отображе-
ния лв:	лс: / -> fc являются гомоморфизмами
системы ®А на подпроизведения Эв и Эс, а отображение
/-> (/в, /с) есть изоморфизм ЭА на Эс X ®с (см. теоре-
му 4). Отображение лв называется проектированием ЭА
на подпроизведение Э;(.
Посмотрим, может ли проектирование лв (В -/ А)
быть изоморфизмом. Если дополнительное произведение
®с содержит два различных элемента и, и, то пары (/л, и)
и (/в, v) имеют одну и ту же проекцию fu па Эр и потому
проектирование лв в этом случае не взаимно однозначное.
Итак, чтобы проектирование лв было изоморфизмом, необ-
ходимо, чтобы все множители ЭЗД, (у Е С) были одноэле-
ментными алгебраическими системами.
Заметим, что существует лишь конечное число попарно
неизоморфпых одноэлементных алгебраических систем
любого фиксированного конечного типа и лишь единствен-
ная с точностью до изоморфизма одноэлементная алгебра
каждого конечного или бесконечного типа.
Декартово произведение алгебраических систем, изо-
морфных фиксированной одноэлементной системе, само
6 А, И« Мальцев
82
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
изоморфно этой системе. Поэтому, если в декартовом про-
изведении ® = ПЭЯа встречаются изоморфные одноэле-
ментные сомножители, то на основании теоремы 4 все
эти одноэлементные сомножители, кроме одного, можно
вычеркнуть из произведения. Сокращенное произведение
будет изоморфно первоначальному.
Алгебраическая система называется единичной, если
она одноэлементна и все ее главные предикаты имеют
значение И. Так как алгебры не имеют главных предика-
тов, то понятия единичной и одноэлементной алгебры сов-
падают. Для моделей эти понятия не совпадают. Напри-
мер, модель ({1}; Ч) (Ч — отношение «быть четным чис-
лом») одноэлементная, по не единичная, поскольку Ч (1)=Л.
Легко видеть, что единичные множители можно
вычеркнуть из любого декартова произведения, содержа-
щего хотя бы один неединичный сомножитель. Значение
произведения при этом останется с точностью до изомор-
физма тем же самым. Неединичные одноэлементные сомно-
жители, вообще говоря, вычеркивать нельзя.
Декартово произведение называется собственным, если
оно имеет более одного сомножителя и ни одно из его про-
ектирований па собственные подпроизведения не является
изоморфизмом. Например, декартовы произведения двух
и большего числа неодноэлементных сомножителей заве-
домо собственные.
Алгебраическая система называется декартово неразло-
жимой, если она не изоморфна никакому декартову про-
изведению двух или более неодноэлементных систем.
Алгебраическая система называется абсолютно декартово
неразложимой, если она не изоморфна никакому соб-
ственному декартову произведению. Ввиду сказанного
выше для алгебр понятия декартовой неразложимости
и абсолютной декартовой неразложимости совпадают.
В качестве иллюстрации к введенным понятиям дока-
жем следующее предложение.	f- '*•
Теорема 7. Каждая конечная алгебраическая систе-
ма ЭЯ конечного тина разложима в декартово произведение
конечного числа абсолютно декартово неразложимых систем .
Одноэлементная алгебраическая система конечного типа,
тогда и только тогда абсолютно декартово неразложима,
когда она имеет не более одного ложного главного предиката.
!> : I	МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ	S3
Докажем первое утверждение. Если заданная система
абсолютно неразложима, то ЭД = ЭД и есть искомое разло-
жение. Если ЭД разложима, то ЭД — ЭД1 X ЭД2, где ЭД!,
'U<2 — неединичные сомножители. Если оба сомножителя
абсолютно неразложимы, то все доказано. Если какой-
нибудь из них разложим, то, разлагая его, получим более
...... разложение для ЭД и т. д. Надо доказать, что этот
процесс разложения сомножителей оборвется. Для алгебр
.но очевидно, так как собственные произведения алгебр
не содержат одноэлементных сомножителей и потому при
каждом разложении получаются сомножители с меньшим
числом элементов. Если же рассматриваемая система —
не алгебра, т. е. сигнатура ЭД содержит предикатные сим-
волы, то требуются небольшие дополнительные рассужде-
нии.
Секвенцией для алгебраической системы ЭД -
(Л/; F1, . . ., Ps; Pi, . . ., Pt) назовем последователь-
ность вида (Р,-, at, . . ., а,,.), где гц. . . ., я— какие-то
ал(>мснты из М. Секвенцию (Pf, ал, . . ., «„.) назовем
положительной, если в ЭД имеем Pf («15 . . ., ап.) = И.
Высотой системы ЭД назовем пару (u, t — v), где и —
порядок ЭД, a v— число положительных секвенций у ЭД.
'Гак как система ЭД конечная и конечного типа, то числа
и и и конечны. Единичная система имеет высоту (1, 0).
Упорядочим высоты в словарном порядке, полагая
(и, v) (х, у) <=е> и < х \/ (и х & v < у),
где символом \/ обозначен союз «или». Ясно, что если
какая-нибудь конечная система ЭД отображена гомоморфно
на систему ЭДt, то высота ЭД не меньше высоты ЭД), причем
высоты равны только в случае, когда гомоморфизм являет-
ся изоморфизмом.
Итак, при разложении сомножителей в собственные
декартовы произведения высоты новых сомножителей
....inc высот разлагаемых сомножителей. Отсюда видно,
Mio процесс постепенного разложения сомножителей не
может продолжаться бесконечно, что и требовалось.
Высота одноэлементной алгебраической системы конеч-
ного типа, у которой лишь один главный предикат ложен,
и остальные истинны, есть (1, 1). При разложении ее
(>*
84
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
в декартово произведение должны появиться множители
высоты (1, 0), которых в с о б с. т в е п и о м произведе-
нии быть не может. Поэтому указанные одноэлементные
системы абсолютно декартово неразложимы.
Если в системе = ({«};	Pt, . . Pt)
Pi (и, .... и) Л, Pj(a, .... и) II
/ = /; + !, ..., t),
то
= ЗИ2х ... хШ,
где ЭЛ, — одноэлементная система, у которой предикат
Pt ложен, а остальные истинны.
2.6. Операции над кардинальными н порядковыми
числами. Пусть а, Ь — произвольные кардинальные
числа иа == |4 |, Ь = | В |, А ("] В = 0. По определе-
нию полагаем:
а + Ь = |Ли В\,
аЬ \АхВ |,
аЬ ”-|Лв|,
где А11 есть множество всех отображений В в А. Легко
доказать, что результаты операций зависят только от
а и Ь и не зависят от выбора множеств А, В. Из простей-
ших свойств объединения и декартова произведения
множеств непосредственно следуют тождества:
а -! (Ь -j-с) -= (а1>) J-с, а (Ьс) = (аЬ) с,
а - Ь —- Ь + а,	с.Ь - Ьа.
Легко доказываются также следующие формулы:
а^тЕ--aV, (ab)c — acbc, (а^)с ^at,c.
Ставя в соответствие каждому подмножеству произ-
вольного множества А характеристическую функцию этого
подмножества (см. п. 2.1), получим взаимно однозначное
отображение множества 5 (Л) на множество 2л, где 2 =
= {0, 1}. Поэтому мощность множества 5 (Л) всех под-
МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ
85
§ 2]
множеств произвольного множества А равна 2' А 1 , т. е.
справедлива формула
| S (Л) | = 21 л
Из теоремы Кантора получаем
для любого кардинального числа а.
Заметим, что вопрос о существовании промежуточной
мощности между к0 и 2К° есть проблема континуума.
Если дано произвольное множество {a; | IQ 1} карди-
нальных чисел Of — | Л; | и A; QAj --=0 при то, по
определению, полагаем
2 - -1 и Л* 1> 11 °; П ! Ai I-
i£/ it'/	i~l
Теорема 1. Если а/--а для всех iQJ, то
Sa; = И a-	(1)
>е/
Действительно, ес.тиа=|Л|, то 111 а = 11 х А |. Для
каждого i QI обозначим через (i, А) множество пар вида
(f, я), где а£А. Тогда
и (i, А) = 1хА.	(2)
Поскольку (/, Л)П(/, Л) — 0 при i=Aj, то равенство (1)
непосредственно следует пз равенства (2), так как | (г, Л) I
= | Л ! = а.
Например, взяв в качестве I множество всех нату-
ральных чисел, получим
a + a -I- a -|- ... -	(3)
для любого кардинального числа а.
Отметим также следующие легко доказываемые равен-
ства для кардинальных чисел:
хохо= х0, аД-Ь = а,	(4)
где а бесконечно и В конечно или счетно,
86
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. 1
Действительно, множество пар (щ, /г) натуральных
чисел легко занумеровать натуральными числами, выпи-
сывая последовательно пары для каждого значения суммы
т г п = 0, 1, . . . Если множество А бесконечно, то оно
содержит счетное подмножество В == (а0, at, . . Если
С = А \ В, \ D \ = Ь, то
MU£>MC'U£| = MI-
Понятие суммы двух порядоквых типов было определе-
но в п. 1.7. Произведением ра порядковых типов а =
= о(Л), Р = о (В) называется порядковый тип декартова
произведения А X В, линейно упорядоченного лексико-
графически: (а, Ь) < (с, с/) тогда и только тогда, когда
а < с или а = с, но при этом Ъ < d.
Например, со2 есть порядковый тип множества пар
{(1, п), (2, /?)} (ii =1, 2, . . .), линейно упорядоченного
лексикографически:
(1, 1)<(1. 2)<(1, 3)< ...
. . . < (2, 1) < (2, 2) < (2, 3) < . . .
Следовательно, со2 со со. Произведение 2со есть
порядковый тип множества пар {(«, 1), («, 2)} (п =
= 1, 2, . . .), расположенных в порядке:
(1, 1) < (1, 2) < (2, 1) < (2, 2) < (3, 1) < (3, 2)<. . .
Следовательно, 2<о = со.
Из определения, в частности, следует, что произведение
ар двух порядковых чисел а, р, как и их сумма а р,
является порядковым числом.
Теорема 2. Пусть а, р, £ — произвольные поряд-
ковые числа, причем, ц < ар. Тогда существуют такие
порядковые числа 5, т], что
С ат] g, g < а, т] < р.
Действительно, пусть а — о (Л), р о (В). Тогда аР
есть тип произведения В ?' Л, вполне упорядоченного
лексикографически. Так как ц <Z ар, то £ есть тип неко-
торого отрезка о), который состоит из пар, строго
меньших пары (Ь, а), т. е. из пар (у, х) (у £ В, х £ Л),
у которых либо у < Ъ, либо у — b и х < а. Обозначим
через Ра, Ръ отрезки вполне упорядоченных множеств
S 21
МОДЕЛИ II АЛГЕВРЫ
87
,4, В, определяемые соответственно элементами а, Ъ.
Исли g = о (Ра), т) = о (Рь), то t, — ат] Д- £, так как
Р(ъ,О)^Ръ'<А^(Ъ, Ра),
где (Ъ, Ра) состоит из пар вида (Ь, .г), х £ Ра.
Легко видеть, что числа £, т] определяются условиями
георемы 2 для данных чисел а, р, £ однозначно.
С л е д с т в и е. Для любых порядковых чисел, а, £,
из которых, а > 0, существуют такие порядковые числа
£, 1], что
ь =	g < а.	(5)
Для доказательства достаточно применить теорему 2,
полагая р = £ + 1.
Теорема 3. Для любого бесконечного крадинально-
го числа а имеет место равенство
- - Q.
Пусть а — некоторое порядковое число мощности а.
Ввиду (5) существуют кардинальные числа т], п такие, что
а = соц + п, п < со.
Обозначим мощность 1] через Ь. Так как п конечно, то
ввиду (4) имеем
а — х0Ь,
— кД) = К(|Ь с.
Следствие 1. Если хотя бы одно из кардинальных
чисел а, b бесконечно, то
а -р b max (а, Ь).
Действительно, пусть, например, а ?-• Ь. Тогда
а а + b < а Ц- а = 2а <1 коа — а,
откуда аД-Ь — а.
Из теорем 1, 3 получаем также
С л е д с т в и е 2. Для любого бесконечного кардиналь-
ного числа а имеет место равенство
а- Ра4-аД- ... — а,
сумма слева содержит конечное или счетное множество
с.тгаемых.
88
овщпв понятия
[Гл.
Примеры и дополнения
1.	Выписать вес разбиения множества .1 = {<;$ Ъ, с, d}, отве-
чающие различным конгруеициям алгебры (Л, F}, где F— унар-
ная операция, заданная таблицей
а Ь с d\
Ъ а <1 с )
2.	Пусть Т> —декартово нротнедеипс мо ц'.зей 9И|-.-((I), 1},
— ({2, 3}, <') и р,(/ —[, 2)—ядерные конгруенции в ®, отве-
чающие проектированиям л,: ® -> Показать, что каждое
пз канонических отображений
~/Pi -*	^/р2 —*
является изоморфизмом.
3.	Если хотя бы одно из кардинальных чисел а, Ь бесконеч-
но, то
аЬ==тах(а, £>)
<Х а у с д о р ф 1.68], стр. 77).
Г Л А НА П
КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
§ 3.	Группоиды п группы
3.1.	Группоиды и полугруппы. Алгебра типа ;2) назы-
вается группоидом. Как правило, основная операция
группоида называется умножением. В этом случае группо-
ид называется мультипликативным. Результат примене-
ния операции умножения к элементам ,т, у группоида
называется их произведением и обозначается х-у или
просто ху. Иногда основная операция группоида обозна-
чается знаком 4- и называется сложением. В этом случае
группоид называется аддитивным.
Пусть @ = ((?, • ) — мультипликативный группоид.
Элемент e£G называется правой единицей группоида @,
если хе - х для всех элементов х £ G. Левая единица
группоида определяется аналогично. Элемент е С G назы-
вается двусторонней единицей группоида @ пли просто
единицей, если оп является одновременно левой и правой
ед...щей этого группоида. Никакой группоид не может
иметь более одной единицы, так как если хе = ех — х
и хе'  е х — х для всех х из G, то = е'е = е. Если
<Я (<7, +) — аддитивно записанный группоид, то эле-
мент О g G, обладающий свойством х -j- 0 — 0 -|- х — х
для всех х g G, называется нулем.
Подалгебры (см. п. 2.3) группоидов называются под-
группоидами. Заметим, что подгруппоид группоида @,
<и i.i а дающего единицей е, может не иметь единицы. Напри-
мер, ({1, 2, 3, . . .}, •) есть группоид с единицей 1.
• iiiiai.o его подгруппоид ({2, 4, 6, . . .}, •) не имеет
< 1НННЦЫ.
90
КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
[Гл. II
Группоид @ называется идемпотентным, если хх = х
для всех х из @.
Группоид @ называется коммутативным, если ху —
-- ух для любых элементов х, у из @.
Если для любых элементов :с, у, z группоида @ имеет
место ассоциативный закон х (yz) — (ху) z, то группоид
@ называется ассоциативным пли полугруппой. Под-
алгебры полугрупп называются подполугруппами.
Важными примерами полугрупп служат полугруппы
отображений множеств в себя (см. и. 1.3). Полугруппа
всех отображений данного непустого множества А в себя
называется симметрической полугруппой отображений мно-
жества А в себя. Условимся обозначать ее или 6|А|-
Т е о р е м а 1. Всякая полугруппа @ — (G,  ) изо-
морфна подполугруппе симметрической полугруппы ото-
бражении в себя множества G, пополненного, быть может,
еще одним вспомогательным элементом.
Предположим сначала, что полугруппа @ содержит
единицу е. Каждому элементу g б G поставим в соответ-
ствие отображение Т „ множества G в себя такое, что хТg—
— xg (х б G). Так как
x-Tgh*=x(gh) (xg)h (xTg)Th-- xTgTh,
то Tgh = ТgTh. Следовательно, соответствие g -> Тg есть
гомоморфизм полугруппы @ па подполугруппу из Сс.
Поскольку еТ „ — g, eTh = h, то различные элементы из
G переходят при этом в различные отображения из
и соответствие g -> Тg есть изоморфное отображение
данной полугруппы @ на подполугруппу из С(;.
Если @ не содержит единицы, то добавляем к G вспомо-
гательный элемент е (£ G и полагаем eg = ge = g, ее = е
(g б. G). Новая совокупность G' = 6'|j {с} относительно
только что определенной операции умножения будет
полугруппой, содержащей @ в качестве подполугруппы.
Представляя элементы полугруппы @' = (G’,  ) отобра-
жениями, мы вместе с тем представим отображениями
и элементы &.
Если полугруппа @ изоморфна подполугруппе полу-
группы то говорят также, что © изоморфно вложима
в Таким образом, всякая полугруппа © изоморфно
вложима в некоторую симметрическую полугруппу.
§ 3]
ГРУППОИДЫ И ГРУППЫ
91
Рассмотрим другие примеры изоморфной вложимости
полугрупп. Пусть А — произвольное непустое множество
и G — совокупность всех непустых подмножеств множе-
ства А. Операцию умножения в G определим формулой
ху = ж Пр (х, у € G).
Ясно, что (G,  ) есть коммутативная идемпотентная полу-
группа. Она называется полугруппой подмножеств множе-
ства А (с операцией пересечения).
Теорема 2. Всякая коммутативная идемпотент-
ная полугруппа 21 = (А,  ) изоморфно вложима в полу-
группу подмножеств множества Л.
Для каждого .элемента а из 21 положим
ао =,= {Ь £ Л | (3<) ах — Ь}.
В силу коммутативности умножения имеем
&ab = {с £ А I (З.т) abx = с} с= аа П
Обратно, если элемент d принадлежит пересечению аа П а;,,
то существуют такие элементы х, у в А, что ах = d и
by = d. В силу коммутативности и идемпотентности
полугруппы 21 равенство ах = by дает abx — by = d,
откуда d £ ааЬ. Таким образом, ааЬ = аоПаь, т. е.
соответствие «—у аа есть гомоморфизм полугруппы 21
в полугруппу подмножеств множества А.
Пусть аа = аь. Так как bb — Ь, то Ъ £ аь = аа.
Поэтому существует элемент х g А такой, что ах — Ъ.
Аналогично существует элемент у £ А, для которого by =
= а. Отсюда а = аху, Ъ = Ьху. Получаем
а = аху — Ьу-ху — Ьху — Ь.
Поэтому гомоморфизм а -> а„ является в действительно-
сти изоморфизмом.
Рассмотрим полугруппу 3 с основным множеством
{О, 1} и операцией умножения, заданной таблицей
О 1
О
1
О О
О 1
В качестве простого следствия из теоремы 2 докажем сле-
дующее утверждение.
92
К ЛАССИ ЧЕС К НЕ А Л ГЕ Б РЫ
[ГЛ. II
Следствие. Всякая коммутативная идемпотент-
ная полугруппа изоморфно вложима в подходящую декарто-
ву степень полугруппы 3-
В силу теоремы 2 можно предположить, что ЭД есть
полугруппа подмножеств множества А. Элементы множе-
ства А будем обозначать малыми латинскими буквами
а, Ь, . . а элементы полугруппы §1, являющиеся подмно-
жествами множества .4,— малыми греческими буквами
а, р, ... Каждому элементу а £ А поставим в соответ-
ствие экземпляр 3„ полугруппы 3 и образуем декартово
произведение
®--= П зс,
Его элементами служат функции / (а) из А в множество
{О, 1} (см. п. 2.5). Каждому множеству а А отвечает
характеристическая функция а (а), принимающая значе-
ние 1 при a £ а и значение 0 при а (t а. Соответствие
а —> а («) определяет отображение ?! в ‘S). Так как пере-
сечению a Q Р подмножеств а, р множества А отвечает,
очевидно, произведение функций а (о)-р (а) в 'А), то ука-
занное соответствие есть гомоморфизм ЭД в ‘А). Однако
равенство характеристических функций влечет равенство
соответствующих им подмножеств, и поэтому построенный
гомоморфизм ЭД в А) является в действительности изо-
морфизмом.
Полугруппа @ - {G, •, е) с выделенной (или главной)
единицей е (см. п. 2.2) называется моноидом. Не следует
смешивать моноид с полугруппой, в которой имеется еди-
ница. так как подалгебра полугруппы с единицей может
не иметь единицы, а подалгебра моноида всегда является
полугруппой с единицей.
Полугруппы с одним порождающим элементом, назы-
ваемые циклическими или моногенными, легко классифи-
цируются.
Пусть а — порождающий элемент циклической полу-
группы ЭД. Все элементы ЭД содержатся в последователь-
ности а. а2, а3, ... Допустим сначала, что в этой последе^
вательностн имеются два одинаковых члена аг = а1
( / < /) Пусть п — наименьшее среди тех чисел /, для
которых при некотором i, I < /, имеет место равенство
аг = а1. Далее, через т обозначим наименьшее из чисел i.
S з]
ГРУППОИДЫ И ГРУППЫ
93
для которых а‘ = ап. Числа т, п называются показате-
лями циклической полугруппы ?1, отвечающими порожда-
ющему элементу а. Если же все члены последовательности
д, а2, а3, ... различны, то полагаем по определению
т = п — 1.
Пару целых положительных чисел (т, п) назовем
парой показателей циклической полугруппы ?(, если
т и п являются показателями Ч21 для какого-нибудь
порождающего элемента.
Теорема 3. Каждая пара целых положительных
чисел (1, 1), (т, п') (т < п; т, п — 1, 2, . . .) является
парой показателей одной и, с точностью до изоморфизма,
только одной циклической полугруппы.
Действительно, пара (1, 1) является парой показате-
лей для мультипликативной полугруппы чисел вида 2,£
(к = 1, 2, . . .) относительно порождающего элемента 2.
Рассмотрим пару (in, п}, где 1 т < п. Для про-
извольного целого числа к 4> 1 положим
/ (к) = min (к, т + rest (к — т, п — т)),
где rest (х, у) означает остаток от деления х на у. Легко
проверить, что / (к) совпадает с числом к при к < п
и f (к) = т + rest (к — т, п — т) при к п. Принимая
для остатка rest (х, п — т) сокращенную запись г (х),
покажем, что
/ (* + f (/)) = f (к + у)	(1)
для любых целых положительных чисел к, j.
Заметим сначала, что при к п имеет место сравнение
/ (А-) = A (mod (п— т)).
Если / <Zn, то j и равенство (1) очевидно. По-
этому мы предположим, что j п.
Сравнение / (j) = j (mod (и—m))	влечет равенство
остатков
г (к f (/) — т) = г (к -I - j — т).
Следовательно, равенство (1) справедливо при к 4- / (/)>«.
Пусть kp-f(j)<Zn. Так как j п, то
/ (/) = 7 (1110(1 (п—т)) и т •: f (/) ; f (7) к < п.
94
КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
1Гл. II
I'1-/(*)= {
Отсюда следует, что
г (Л-1- 7 — «О = r(k+f(j)—m) = k+ f (7) — 111,
т. о. k-\-f(j) = 111 -\-г(к + /—т) и равенство (1) доказано.
На совокупности чисел т1-~{1, 2, ...,п—1} опреде-
лим бинарную операцию
i°7 = /(* + 7’)-
В силу соотношения (1) имеем
(г о /) о А’ = г о (7 о к) = f (г + / + к)
для всех i,7, 7г из Л. Следовательно, группоид ЭД = (А, о)
есть полугруппа. Легко проверить, что полугруппа ЭД
порождается элементом 1, а числа т, п служат показателя-
ми ее относительно 1. Действительно, полагая I1 = 1,
В'й1 = lkcl, будем иметь
к	при к < п,
111 -j rest (к — т,п — т) при к >п.
Следовательно, I1 < I2 < ... < I"-1, по 1” = 1’“.
Нам остается доказать лишь, что циклические полу-
группы, имеющие одинаковые пары показателей, изо-
морфны.
Для пары (1, 1) это утверждение очевидно. Рассмот-
рим пару (т, п), где 1 т < п. Пусть т, п являются
показателями циклической полугруппы = {В,  ), отве-
чающими порождающему элементу Ь, и ЭД — полугруппа,
построенная выше, с носителем А = {1, 2, . . ., п — 1}.
Из определения показателей следует, что элементы Ъ,
Ь2, . . ., Ь”-1 из' SJ различны, но Ъп == Ът. Пусть к —
произвольное целое число, большее п. Деля к — т на
п — т, будем иметь к — т — (п — тп) s г, где s 1,
О г <Z п — т. Следовательно, / (к) = т Ц- г. Так как
Ьп = Ът, то
уп фп-ту bnibn-m ^п-ту^!	(tfi- пу_у __ &
Отсюда
bk - - bmbk~"1 =-: bm (bn ~mYbr = b',l+T = b’
s-ч
ГРУППОИДЫ И ГРУППЫ
95
Таким образом, B={b, b2, ...jb”"1}. Остается показать,
что отображение Ьг —» 1г (i = 1, ...,п— 1) является изо-
морфизмом полугруппы S3 на полугруппу §1.
Действительно, имеем
Ь1У___//;+J _ V 1/ й+й = 1’о Т'
Теорема 3 доказана полностью.
3.2.	Квазигруппы и лупы. Группоид @ = (С, -) назы-
вается квазигруппой, если в нем каждое из уравнений
ах =-- Ъ, уа ---- Ь имеет решение и притом единственное.
Подгруппоид £т квазигруппы @ называется подквази-
группой, если при любых а, b из £ каждое из уравнений
ах ----= Ь, у а = Ъ разрешимо в £>.
Примитивной квазигруппой называется алгебра @ =
(G, , /, \) типа (2, 2, 2), в которой для любых
элементов х, у справедливы следующие соотношения:
1)	(х / у) у = х, у (у \ х) = X,
2)	(ху) / У = X, у \ (ух) = х.
Операции \ называются соответственно правым
и левым делением в @.
Легко убедиться в том, что всякая примитивная квази-
группа будет квазигруппой относительно операции умно-
жения. Действительно, решением уравнения ах = b заве-
домо будет элемент а \ Ь. Поскольку из равенства ах - - b
следует а ' ч (ах) = а\ Ь, то ввиду 2) элемент х = а \ Ъ
будет единственным решением уравнения ах ~ Ъ. Анало-
гично единственным решением уравнения у а = b будет
элемент у ~ b / а.
Обратно, пусть дана обыкновенная квазигруппа @ =
{G, ). Обозначим через а \ b единственное решение
уравнения ах = Ъ, а через Ъ / а — единственное решение
уравнения уа -= Ь. Символы \, / можно рассматривать
как новые операции в G. Полагая х = а \ Ъ в уравнении
ах = Ъ и у = b / а в уравнении уа = Ъ, получим тожде-
ственные соотношения
(Ъ / а) а = Ъ, а (а\Ь) = Ь.
Так как элемент b является решением уравнения ах = ab,
а элемент а удовлетворяет уравнению yb = ab, то также
а \ (ab) = b, (ab) / Ъ — а.
96
КЛАССИЧЕСКИЕ алгебры
[Гл. II
Таким образом, алгебра @ = {G, , /, \) есть при-
митивная квазигруппа.
Другими словами, между квазигруппами и прими-
тивными квазигруппами существует тождественное соот-
ветствие. Однако алгебраические свойства квазигрупп
и примитивных квазигрупп различны. Например, под-
алгебры примитивных квазигрупп будут подквазигруппа-
ми, тогда как подалгебры обычных квазигрупп будут лшпь
подгруппоидами.
Теорема 1. Отображение <р: @ —> примитив-
ной квазигруппы & в примитивную квазигруппу <&' будет
гомоморфизмом, если для любых элементов х, у из @ имеет
место соотношение
Ф &У) = ф W Ф (У)-	(1)
Действительно, возьмем произвольные элементы х, у
из @, п пусть z — х/ у. Тогда x = zy в силу аксиомы 1).
Следовательно, ф (х) = ф (z) ф (у), откуда
ф (V») = Ф й = ф (х) / ф (у).
Аналогичные рассуждения показывают, что ф сохраняет
и операцию левого деления, т. е.
Ф \ У) = ф (*) \ ф (у)
для всех х, у из @. Поэтому ф есть гомоморфизм.
Квазигруппа @ называется тотально симметрической
(пли T’iS'-квазигруппой), если
(а-i/) у = х = у (ух)
для любых элементов х, у из
Легко проверить, что всякая тотально симметрическая
квазигруппа <3 коммутативна. Действительно, пусть ,г,
у — произвольные элементы из @ и ух = z. Тогда (ух) х =
= zx, откуда у = zx. Умножая обе части последнего
равенства слева на z, получим х — zy. Отсюда z = ху.
Таким образом, ху = ух.
Т сорома 2. Квазигруппа @ является тотально
симметрической тогда и только тогда, когда все три
операции в ней — умножение, левое и правое деление —
совпадают.
§ 3]
ГРУППОИДЫ II ГРУППЫ
07
Действительно, если для любых элементов х, у из ©
имеют место равенства
ху .г / у - - у '\ х,
то
(•^) ?/ (ху) / У х, у (уз) у (ух) -- х.
Обратно, если квазигруппа 0 тотально симметриче-
ская. то, полагая .г у и, у\ х v, будем иметь х —
= иу, х -- yv, откуда и - ху, v — ух и в силу коммута-
тивности и — р, т. е. ху — х / у = у \х.
Квазигруппа с, единицей называется лупой. Примитив-
ная квазигруппа называется примитивной лупой, если,
кроме тождеств 1), 2), она удовлетворяет еще тождеству
3)	х / х — у .у.
Примитивная лупа является лупой относительно
умножения, так как из аксиом 1). 3) следует, что частное
е = х х — у '\у
есть двусторонняя единица. Обратно, если £ — обыкно-
венная лупа с единицей е, то для любых элементов х, у
из £ имеют место равенства
ех = х, уе = у,
откуда х / х~е-=у \ у, т. е. £ будет примитивной лупой
относительно операций умножения, левого и правого
делений.
Подквазигруппы луп называются подлупами. Для при-
митивных луп понятие подлупы совпадает с понятием под-
алгебры, т. е. непустое подмножество примитивной лупы
будет подлупой тогда и только тогда, когда оно замкнуто
относительно всех трех основных операций примитивной
лупы: умножения, левого и правого делений.
3.3.	Группы. Группой называется алгебра @ =
— (fl, ^тппа (2, 1), основные операции которой свя-
заны па множестве G тождествами:
1) х (//г) (ху) z,
2) у 1 (ух) = х = (ху) у1,
где через у-1 обозначен результат унарной операции
примененной к элементу у. Подалгебры группы назы-
ваются подгруппами.
7 А. И. Мальцев
98
- .1АССИЧЕСКНЕ АЛГЕБРЫ
1Гл. II
Полагая е — у~*у, будем иметь ех = хе =-- х для всех
х £ G. Следовательно, элемент е является единицей груп-
поида (G,  ). Так как всякий группоид может иметь
не более одной единицы (см, п. 3.1), то е — фиксированный
элемент группы, не зависящей от элемента у. Полагая
в тождестве 2) х — е, будем иметь у 'у = е = уу1- Поэто-
му элемент у ' называется обратным для элемента у,
а тождество 2) называется законом обращения.
В группе каждое из уравнений ах — b, ya -= b имеет
единственное решение соответственно х — у — Ьа~*.
Для доказательства достаточно умножить обе части перво-
го уравнения слева на о1, а второго — справа на а"1
и воспользоваться законом обращения. Таким образом,
группа относительно операции умножения является лупой.
Группу можно рассматривать, очевидно, и как примитив-
ную пупу с операциями ху, х у — ху \ у \х = у~1х.
Обратно, па всякой ассоциативной квазигруппе (G, • )
можно определить унарную операцию обращения х1 так,
что алгебра (6, •, будет группой. Действительно,
пусть я (Сие есть решение уравнения ах = а. Записывая
произвольный элемент Ъ g G в виде b ----- са, будем иметь,
ввиду ассоциативности умножения, be — (са) е = с (ае) =
— са — Ь. Следовательно, е — правая единица квази-
группы. Аналогично решение е' уравнения уа = а являет-
ся левой единицей. Получаем е' = е'е — е. Таким образом,
е есть единица. Обозначая через а 1 решение уравнения
ах = е, будем иметь — а, откуда a“Ja — е, так как
уравнение ау — а имеет единственное решение. Таким
образом, а'а — аа 1 = е и, следовательно, (G, -, -1) есть
группа.
Приведенные рассуждения наводят на мысль, что
группу можно рассматривать как алгебру с одной основ-
ной операцией умножения, так как операцию обращения
можно определить (но не выразить) через операцию умно-
жения. Однако в таком случае подалгебрами групп были бы
подполугруппы, тогда как в теории групп основную роль
играют подалгебры, замкнутые относительно двух опера-
ций — умножения и обращения.
Группу можно все же рассматривать как алгебру типа
(2), т. е. с одной основной бинарной операцией, только
не с операцией умножения, а с операцией деления : ,
§ 3]
ГРУППОИДЫ II ГРУППЫ
99
выражающейся через операции умножения и обращения
формулой
х : у = ху-1.	(1)
В свою очередь операции умножения и обращения выра-
жаются в группе, через операцию деления формулами
х"1 = (х : ж) : х.	(2)
ху = х : у-1 ---= х : ((у : у) : у).	(3)
Из групповых аксиом вытекает, что операция деления
в группе удовлетворяет тождествам
(х : z) :	(у : z)	=	х : у,	(4)
ж :	(у : у)	=	х,	(5)
(х : х) :	(у : z)	=	z : у.	(6)
Обратно, если в группоиде (G, :) операция : удовлетворя-
ет тождествам (4), (5), (6), то, определяя на множестве G
операции умножения и обращения при помощи формул
(2), (3), получим группу ((?, •, в которой операция :
будет выражаться через операции умножения и обращения
формулой (1).
Действительно, из тождеств (4), (5) следует
(х.: у): у-1 = (х : у): ((у :у):у)=х: (у :у) = х,
 У~г) -У = (х- у-1): ((у : у): у-1) = я: (у : у) = х.
Из (6) вытекает
(ж : у)'1 = ((ж ; у) : (х : у)): (х : у) у: х.
Следовательно, умножение ассоциативно:
х (yz) х:(у: г"1)"1 х: (z 1: у) = ((х : у1) : у): (г*1: у) =
(•>’: у-1): z 1 -= (.ту) г.
Из (2), (6), (5) имеем
(ж-1)”1 == [((.г: .г):.? ): ((.»• : х): .г)]: ((ж : ж): ж) = х : (х: .г) .т,
откуда получаем
УУ1 У ’ GT1)-1 = У ’ У’
(.ту) у1 ~х (уу1) = х •’ (у ' у) ~
у1 (у-1-) = У~х •• (у •• -7’1) 1 у~г 	 у) = [(у  у)  у]  ('1  у) =
= (у: у): Ж"1 ----- (.Г1: (у : у))-1 = (ж"1)"1 - х.
7*
100
КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
[Гл. II
Следовательно, алгебра (G, • , -1) есть группа, и перво-
начальная операция : на множестве G выражается через
операции умножения и обращения формулой (1).
Т е о р е м а 1. Если отображение ф группы @ =
- (G, , '1 > в группу @ = (G, •, 1) сохраняет, опера-
цию умножения, т. е. ср (ху) = ср (.с) ср (у) для всех х, у
из G, то ср переводит единицу группы & в единицу группы
@ и является гомоморфизмом.
Действительно, пусть е — единица группы @ и е =
—- ф (е). Так как ее = е, то ф (е) ср (е) = ср (е), т. е. ее = е,
откуда следует, что е есть единица группы @. Пусть х б G,
у = х1. Поскольку ху = е, то ф (х) ф (у) = ф (е) = е.
Следовательно, ф (.с-1) = ф (?/) = (ф (х)) 1 и поэтому ф есть
гомоморфизм из @ в @.
Для фиксированного элемента а и произвольного эле-
мента х группы @ отображение ф„: х—г а ' ха является
взаимно однозначным отображением группы @ на себя,
поскольку каждый элемент у £ @ имеет в @ единственный
прообраз ауа ’. Далее имеем
Та («/) = я(ху) а = а^'ха-а 'уа = ф„ (.г) фа (у).
Следовательно, отображение ф'„ — автоморфизм группы @.
Автоморфизм фй называется внутренним автоморфиз-
мом группы @, производимым элементом а.
Подгруппа N группы @ называется инвариантной
или нормальным делителем в @, если она отображается
на себя при любом внутреннем автоморфизме группы @.
Если Н есть подгруппа группы @, то множество эле-
ментов вида ha, где h — произвольный элемент из Н,
а а — фиксированный элемент из называется левым
смежным классом, группы @ по подгруппе Н и обозначает-
ся На. Аналогично определяется правый смежный класс
аН. Ясно, что подгруппа Н тогда н только тогда является
нормальным делителем в когда
На = аН
для любого элемента a g @.
Для любой подгруппы Н группы @ левые смежные
классы На, НЬ или не имеют общих элементов, или совпа-
дают. Действительно, если На р НЬ 0, то, взяв
ГРУППОИДЫ И ГРУППЫ
101
§ :>1
элемент с из этого пересечения, будем иметь
с = hya = h2b
для некоторых ht, h2 из Н. Отсюда а = h\'h2b, и потому
На <= НЬ. Аналогично b = h^h^a и, следовательно, НЬ !=
<= На. Получаем На = НЬ.
Таким образом, группа @ распадается па попарно
не пересекающиеся левые смежные классы по подгруппе Н:
@ = Н + На2 + На3 + . .
где знак + понимается в смысле объединения классов.
Аналогично получается разложение группы @ в теорети-
ко-множественную сумму правых смежных классов по
произвольной подгруппе Н.
Если число смежных классов группы @ по подгруппе
11 конечно и равно /, то Н называется подгруппой конечного
индекса в группе @, а число / называется индексом Н в
Теорема 2. Смежные классы по произвольной кон-
груенции 6 группы @ являются смежными классами по
некоторому нормальному делителю этой группы. Обратно,
каждому нормальному делителю N группы @ отвечает
конгруенция в @, смежные классы по которой являются
смежными классами @ по N.
Действительно, пусть
N = {х | х £ G, .?0е},
где е — единица группы @. Тогда N есть подгруппа груп-
пы @, так как, если .тОе. у()е. то л--10е, .гт/Ос по определению
конгруенции (см. п. 2.4). Подгруппа N инвариантна
в @, поскольку из ,г()е следует g~lxgl)e. Легко установить,
что для произвольного элемента а из @ выполняется
равенство [alo = Na.
Обратно, пусть N — нормальный делитель группы
(Ипошепие
aOb <=> Na = Nb («., b g G)
является, очевидно, конгруенцией группы @ и |«]о ~ Na
при любом а из G.
Таким образом, существует взаимно однозначное соот-
ветствие между коптруепцпями и нормальными делите-
лями группы. Поэтому фактор-группа группы @ цо
102
К. I ЛС.<III ЧЕСК11Е ЛЛГЕВРЫ
[Гл. II
конгруенции 0 называется также фактор-группой груп-
пы @ по отвечающему этой конгруенции нормальному
делителю N и обозначается @/Лг. По определению фак-
тор-спстемы (см. п. 2.4) имеем
Na-Nb =-- Nab, (Na) 1 = Nar1.	(7)
Пусть 5$ -- (P,  ) — полугруппа с единицей е. Эле-
мент a g Р называется обратимым, если существует такой
элемент a-1 g Р, что ааг1 сг'а — е. Поскольку для
каждого обратимого элемента а из Р элемент л-1 един-
ственен, то на совокупности G всех обратимых элементов
полугруппы ^5 имеется операция обращения -1. Совокуп-
ность G замкнута также относительно умножения и, сле-
довательно, <С, •, -1> есть группа. Эта группа называется
группой обратимых элементов данной полугруппы с еди-
ницей.
Группа обратимых элементов симметрической полу-
группы (5Л (см. п. 3.1) называется симметрической груп-
пой и обозначается также С 4 пли Й|Л|.
Если (G,	"’) — группа, то для каждого ее элемента
g отображение Тк: х —> :rg (х g G) множества G в себя
является обратимым элементом симметрической полугруп-
пы (Sc. В силу теоремы 1 из и. 3.1 и теоремы 1 из настоя-
щего пункта справедлива
Теорема 3. Всякая группа (G,	~г) изоморфно
вложима в симметрическую группу (£<;.
Если ?! = (A, Q) — произвольная алгебраическая
система, то совокупность всех ее автоморфизмов (см.
п. 2.2) составляет группу относительно операций
умножения и обращения отображений, рассмотренных
в п. 1.3. Эта группа называется группой всех автоморфиз-
мов системы ?! и обозначается Ant 'Ч. Подгруппы группы
Ant называются просто группами автоморфизмов алге-
браической системы ?1. В частности, внутренние автомор-
физмы любой группы ® составляют подгруппу группы
Aut @, которая называется группой внутренних авто-
морфизмов группы <3.
Среди подгрупп произвольной группы @ простейшими
по своему строению являются циклические подгруппы,
т. е. подгруппы, порожденные одним элементом. Конструи-
руются опп следующим образом. В данном группе @
§ 31
ГРУППОИДЫ И ГРУППЫ
103
берем произвольный элемент g е и полагаем
е, gnil--~gng, g~n^(g^n (л=--0, 1,2,...).
Отсюда непосредственно следует, что для любых целых
чисел т, п имеют место соотношения
gmgn-gm+”, (g"‘)n=g’,in-
Совокупность элементов вида gn (п = 0, ±1, ±2, . . .)
будет подгруппой группы @, порожденной элементом g.
Наименьшее целое положительное число и, для которого
gn — е, называется порядком элемента g. Если gn е
при любом п= 1, 2, . . то элемент g называется эле-
ментом бесконечного порядка. Порядок единичного элемен-
та е принимается равным нулю.
Циклическая подгруппа группы @, порожденная эле-
ментом g конечного порядка п 1, состоит из элементов
<?, g, g2, , g”"1,
так как, взяв произвольное целое число т п разделив его
па и, получим т — nq -' г, 0 г < п. откуда д”1 —. gr.
В циклической группе, порожденной элементом g беско-
нечного порядка, все степени gn — е, g, g~\ g2, g2, . . .,
очевидно, различны.
Примером бесконечной циклической группы может
служить группа ({0, 1, —1, 2. —2, . .	—),
порождаемая элементом 1. Группа всех корней п-й степени
из 1 (относительно операций умножения и обращения
корней) при данном п 1 порождается любым перво-
образным корнем ге-й степени пз 1 и является циклической
группой конечного порядка, равного п.
Пусть р — фиксированное простое число. Каждая
циклическая группа VI,, порядка рп, порожденная эле-
ментом а, обладает циклической подгруппой {«•"} порядка
р" ’, порожденной элементом а1'. Тем самым определяется
прямой спектр 9ItИапредел которого (см.
и. 2.3) называется группой типа р°°. Эта группа изоморф-
на группе по умножению всех корней из 1 степени р° = 1,
р, р2, ... и обозначается
Группа @ называется коммутативной пли абелевой, ес-
ли .77/ — ух для любых элементов'а:, у пз @. Циклические
104
К.1ЛССПЧЕСКИВ АЛГЕБРЫ
1Г.1. Il
группы п группы типа /?°° являются простейшими при-
мерами абелевых групп.
Пусть ® — (С, •, -1) — произвольная группа и а,
b — некоторые ее элементы. Элемент
[a, Ы = а~*Ь~*аЬ
называется коммутатором элементов а, b группы
Так как
ab — Ъа [я, Ы,
то элементы а, b перестановочны в группе @ тогда и толь-
ко тогда, когда In, Ь] = е.
Совокупность К всех коммутаторов группы @ замкну-
та относительно операции обращения, так как
[я, Ы-1 — b~la~lba = [Ь, «].
Подгруппа, порожденная совокупностью К *), состоит,
очевидно, из всевозможных произведений элементов из К.
Эта подгруппа называется коммутантом группы @ и
обозначается G'.
Поскольку для любого внутреннего автоморфизма <р„
группы @ имеет место равенство
1«, Ы (р,, = g 1 [«, Ы g —
1 (g-16g) 1 (g~’flg) (g~‘&g) --= k<Pg, b<Pgl,
то коммутант G' является нормальным делителем в груп-
пе @. В силу формул (7) [G'a, G'b] --= G', и поэтому фак-
тор-группа &IG' группы по ее коммутанту G’ абелева.
Легко показать, что коммутант G' содержится в
любом нормальном делителе N группы @, фактор-группа
&/N по которому абелева.
Элемент z группы @ называется центральным в @,
если оп перестановочен с любым элементом g этой группы,
т. е. если Is, gj — е для всех g из @1. Совокупность Z
всех центральных элементов группы @ замкнута, очевид-
но, относительно основных операций умножения и обра-
щения в @ и поэтому является подгруппой группы @,
которая называется центром, группы @. Легко доказать,
что подгруппа Z абелева.
*) Определение порождающей совокупности см. в п. 2.3.
S 3]
ГРУППОИДЫ 11 ГРУППЫ
105
Так как любой внутренний автоморфизм <рА, группы @
оставляет неподвижным каждый центральный элемент z
этой группы:
Z(fff = g-’zg = z,
то подгруппа Z является нормальным делителем групп-
пы @.
Группа @ будет абелевой тогда и только тогда, когда
выполняется хотя бы одно из равенств
G' = {«?}, Z = G.
Группа @ называется метабелееой, если коммутант G'
содержится в центре Z этой группы: G' s Z.
Пусть @ — произвольная группа. Полагая @((0 — @
и обозначая через @<п' коммутант группы @<П),
получим цепь последовательных коммутантов @(0*
=2 @(i>	@<2) э . . . Группа @ называется разрешимой,
если @(п) — дЛя некоторого целого числа т? О,
и локально разрешимой, если все конечно порожденные
подгруппы в @ разрешимы.
Для произвольных элементов т,. .... (п 2)
группы @ положим
[ал, . . a:n+1l — lUi, •
а п 1» а р + j 1 •
Цепь подгрупп @ э ®2 => @3 => ... группы @,
в которой <Зп порождается всеми коммутаторами вида
I#!, . . ., §„] (gjt . . .. Е @), называется нижней
центральной цепью группы @. Группа @ называется ниль-
потентной, если @п — {е} для некоторого целого числа
н^>1. Ясно, что метабелевы группы — это те п только
те нильпотентные группы @. для которых @3 — {е}.
Примеры и дополнения
1.	Всякая абелева группа с конечным числом л порождающих
разложима в декартово произведение не более чем и циклических
подгрупп.
2.	Для каждого непустого подмножества 1 множества N =
{2, 3, . . .} зададим полугруппу порождающими п, b и оп-
редели ЮЩПМП СООТПОШС11 иями
aibai'liHibi -цЦнр (1 £ /).
106
К л А С С И Ч Е С КИЕ A J1 ГЕ В Р Ы
[Гл. И
Доказать, что при I Г полугруппы ?(/, 21,' не изоморфны
(Л. А. Бокуть).
3.	Для любого кардинального числа и 4- 2 множество всех
неизоморфных полугрупп с н порождающими имеет мощность
2пл"ко Аналогичный результат справедлив также для групп
(см. П е ii м а и [48]).
§ 4. Кольца и тела
4.1.	Кольца. Кольцом называется алгебра типа
(2, 1, 2), основные операции которой, будучи обозначены
х + у, —ж, ху, связаны на основном множестве следующи-
ми тождественными соотношениями:
1)	х + (у -Ь z) = (х + у) + z,
2)	х 4- у = у + х,
3)	(—ж) 4- (ж + у) = у,
4)	(ж I  у) z = xz [- yz, х (у 4~ z) = ху 4- xz.
Подалгебры колец называются подкольцами.
Тождества 1), 2), 3) показывают, что для всякого
кольца ft — (К.	. •) алгебра (К, 4~, —> являет-
ся абелевой группой и называется аддитивной группой
кольца ft. Пуль этой группы называется нулем кольца ft.
Легко видеть, что всякая абелева группа (А, 4~, —)
служит аддитивной группой некоторого кольца, например
кольца (А, 4-, —, - ) с нулевым умножением: ху = 0
(ж, у е я’).
Для нуля 0 и для произвольных элементов ж, у кольца
получаем
ху = ж (у 4- 0) = ху 4~ х0, ух = (у 4~ 0) ж = уж 4~ 0ж,
откуда
жО = Ож = 0.
Далее имеем
0 = х (у |- (—у)) •= ху ж (- у),
0 = (ж 4“ (—х)) у = ху + (—ж) у,
и поэтому
х (—у) = (~Х) у — — ху, (—ж) ( у) = жу.
КОЛЬЦА И ТЕЛА
107
S 4]
Из дистрибутивных законов 4) методом полной индук-
ции легко вывести общий дистрибутивный закон
(Ж1Ч -Х’Т 4 Хт) (У1 + //2 + ••• 4 У») = Xil/j,
из которого, в свою очередь, для любых целых чисел т, п
следует тождественное соотношение
(тх) (пу) = (?7?и) (ху).
Подкольцо I кольца Я называется идеалом в Я, если
для любых элементов а из I и х из К элементы ах и ха
принадлежат I.
Поскольку всякий идеал кольца Я является подгруп-
пой аддитивной группы этого кольца, то можно говорить
о смежных классах I + х кольца Я по данному идеалу I
и о разложении кольца Я по этому идеалу.
Теорема 1. Существует взаимно однозначное соот-
ветствие между идеалами и коигруеициями кольца Я, при
котором, смежные классы, кольца Я по идеалу совпадают
со смежными классами по отвечающей этому идеалу кон-
груенции.
Пусть 0 — конгруенция кольца Я. Положим
I = {а £ К | п0О}.
Легко проверить, что I есть идеал в Я и Lzlo — I + х для
всех х С К. Соответствие 0 I будет взаимно однознач-
ным. Действительно, если I — произвольный идеал в Я,
то, полагая
хву <=> I х I + у (х, у £ К),
будем иметь конгруенцию 0, для которой идеал I совпадает
с. множеством элементов, сравнимых с 0.
Ввиду указанного соответствия фактор-кольцо Я/0
во конгруенции 0 принято обозначать также Я//, где
/ — идеал, отвечающий конгруенции 0.
Если Я = {К,	1 , —,	•) — кольцо и группоид
(К,  ) обладает единицей, то эта единица называется
единицей кольца Я и обозначается 1 или е.
Элемент а кольца Я с единицей 1 называется обрати-
мым в Я, если существует элемент а* £ К такой, что
108
КIА С С J1Ч Е С К НЕ АЛГЕБРЫ
1Гл. 11
аа* = а*а = 1. Элемент а* называется обратным
для а и обозначается а '.
Элемент а кольца St называется левым делителем- нуля,
если а 0 и существует ненулевой элемент хб К такой,
что ах = 0. Аналогично определяется правый делитель
нуля. Кольцо, в котором нет ни левых, ни правых делите-
лей нуля, называется кольцом без делителей нуля.
Во всяком кольце St без делителей нуля справедливы,
очевидно, законы сокращения
ах = ау =ф х ~= у, ха — уа —>. х = у
(а, х, у g К, а ф О).
Кольцо St называется кольцом с делением, если для
любых элементов а, Ъ бК, а -/-- 0, каждое из уравнений
ах — Ъ, у а == Ъ
разрешимо в К. Если каждое из этих уравнений при а =4= 0
имеет одно и только одно решение и R содержит единицу,
то St называется телом. Иначе говоря, телом называется
кольцо с делением, содержащее единицу и не имеющее
делителей нуля. Подкольцо тела St, также являющееся
телом, называется подтелом тела St.
Из приведенных определений следует, что подкольцо
Т тела St будет подтелом тогда и только тогда, когда оно
содержит единицу и является кольцом с делением.
Совокупность всех элемептов тела, отличных от нуля,
составляет по умножению лупу (см. и. 3.2). Отсюда,
в частности, получаем, что тело St не имеет идеалов, кроме
{0} и St. Действительно, если элемент а 0 принадлежит
идеалу 7 в St, то / содержит элемент а (а \ 1) = 1 и поэто-
му 7 —- St'.
Следует подчеркнуть, что, в то время как операции
сложения х у, умножения ху п взятия противоположно-
го элемента —х в теле всюду определены, луповые опера-
ции левого и правого делений . , / являются частичными
в теле. Поэтому относительно всех этих операций + ,
—, -, 4 , Z тело является лишь частичной алгеброй.
Кольцо st называется ассоциативным, если для любых
его элементов х, у, z имеет место ассоциативный закон
(ху) z = х (yz).
§ 4
КОЛЬЦА И ТЕЛА
109
Для элементов х, у, z произвольного кольца й элемент
[х, у. z\ --- (ху) z — х (yz)
называется ассоциатором этих элементов. Ясно, что коль-
цо будет ассоциативным тогда и только тогда, когда ассо-
циатор [.г, у, z] любых его элементов х, у, z равен нулю.
Кольцо Й называется альтернативным, если его эле-
менты удовлетворяют альтернативным законам
[./, х, у\ = 0, [х, у, а] 0, [г/, х, х] = 0.
Легко показать, что каждый из этих законов является
следствием двух других и, таким образом, в определении
альтернативного кольца можно оставить лишь два тожде-
ства из указанных трех. Например, если в кольце й
имеют место первые два альтернативных закона, то для
произвольных элементов .г, у нз й |.r 4- у, х 4~ I/, ?’! = 0.
Так как ассоциатор дистрибутивен по каждому своему
аргументу, то
[х, х, х] -|- [у, х, х] ~г [.г, у, а] Ь [у, у, х] = 0,
откуда [г/, х, х] = 0.
Кольцо Й называется кольцом Ли, если для любых
элементов х, у, z этого кольца имеют место следующие
соотношения:
хх ~ 0, х (yz) Д у (zx) -J- z (ху) — 0.
Отсюда следует, что никакое кольцо Ли не может иметь
единицы и поэтому не может быть телом.
Кольцо Й называется коммутативным, если для
любых его элементов .г, у имеет место коммутативный
закон
ху = ух.
и антикоммутативиым, если оно удовлетворяет тожде-
ственному соотношению
ху = — ух.
Для произвольных элементов х, у кольца Ли имеем
(х. 4 у) (х 4- у) — 0, откуда ху Д- ух — 0, т. е. всякое
кольцо Ли антикоммутативно.
Но
КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
[Гл. 11
Ассоциативное кольцо, удовлетворяющее закону идем-
потентности
называется кольцом Буля.
Легко показать, что кольцо Буля коммутативно
и удовлетворяет тождеству
х + х = 0.
Действительно, тождество хх = х влечет тождество
(х у) (х -|- у) -- х + у. Раскрывая скобки в левой
части последнего тождества, получим х + у + ху -|- ух ==
= х у, откуда ху 4- ух — 0. Полагая х = у, будем
иметь х + х —- 0. Теперь, используя равенство х = — х,
получим также ху — ух =- 0, т. е. ху — ух.
Ассоциативное и коммутативное тело называется полем.
В каждом поле 5)3 уравнение ах = b (а, Ъ £ 5)3, а 0)
-	г ь
имеет единственное решение, ооозначаемое дробью —
и называемое частным от деления b на а. Все обычные
правила действий с арифметическими дробями сохраняют
свою силу и в произвольном ноле. В частности,
ас а .	, , а , с ad -\ Ьс а с ас
be b \с П Л у yd ’ b d bd '
Все элементы поля 5)3, отличные от нуля, составляют
относительно операций умножения ху и обращения х1 =
абелеву группу. Поскольку элемент О-1 не опреде-
лен, то в поле операция обращения х1 является частичной.
Подкольцо Р поля 5)3, также являющееся полем, назы-
вается подполем поля 5)3- В свою очередь поле 5)3 называет-
ся расширением своего подполя Р. Если М — произволь-
ное множество элементов из поля 5)3 и Р — некоторое
подполе поля 5)3, то через Р (Л7) принято обозначать пере-
сечение всех подполей поля 5)3, содержащих Р и М. Ясно,
что Р (Л/) есть подполе поля 5)3- Оно называется расшире-
нием поля Р путем присоединения элементов множества
М из поля 5)3-
Пусть Р есть пересечение всех подтел тела Я. Из опре-
деления тела непосредственно следует, что Р — тело.
§ 41
КОЛЬЦА И ТЕЛА
111
В теле Р уравнение ке-х = е (к — целое число, отличное
от нуля) имеет единственное решение, которое мы обозна-
чим через (/;е)-1. Очевидно, имеем ке-(ке)1 — (ке)~1-ке =
— е. Для любых элементов а, Ъ из Р справедливо соотно-
шение
(ке- а) (ре-b) ка-рЪ = (кр) аЪ.
Поэтому равенства ке-х — е, ре-у = е (к #= О, р 0)
влекут кре-ху — е, т. е.
(ке-реу1 -= (key1 (ре)-1.
Полагая Ъ е, будем иметь также
(ке-а)-ре — ке-(а-ре) = кра.
Поэтому из ке-ре = ре-ке (к 0) умножением слева
и справа на (key1 получаем
(ке) ' (ре) = (ре) (ке)-1.
Полагая
будем иметь
те ! пе (тр \-кп) е. те пе тпе
ке 1 ре кре ' ке ре кре '
Таким образом, элементы те-(ке) 1 составляют поле,
которое должно совпадать с Р. Поле Р, построенное таким
образом, называется простым подполем тела Я.
Если те. =у пе при т у= п, то соответствие те-(кеу1 ->
>- тк 1 (к #= 0) будет изоморфным отображением поля Р
на поле всех рациональных чисел. В этом случае данное
гсло й называется телом характеристики нуль.
Если же при некоторых т > п > (J имеет место равен-
ство те = пе, то (т — п) е = 0. Так как 0, то т —
п > 1. Среди целых чисел t > 1, удовлетворяющих
условию te = 0, найдется наименьшее число р, которое
и называется характеристикой тела й в рассматриваемом
случае.
Т е о р е м а 2. Характеристика любого тела есть
либо пуль, либо простое число.
112
КЛАССИЧЕСКИЕ А Л ГЕ В Р Ы
[Гл. II
Действительно, если 1 < pt < р, 1 < рг < р, р -
— Р\Рп то Pie'PiP ~ ре = О, откуда либо pte — 0, либо
р2е ----- 0, что невозможно ввиду минимальности р.
Если характеристика тела Я есть простое число р,
то минимальное подполе Р состоит пз элементов
О, с, 2е, . . (р — 1) е.
В самом деле, из ре. — О следует те -д- не ~~ rte,
те-пе — г.2е, где через /д, г.2 обозначены остатки от деле-
ния т р п и та на р. Далее, если те 0, то т, р взаим-
но просты, поэтому найдутся целые числа ж, у такие, что
тх + ру = 1, откуда е = хте -|- у ре, т. е. е = хе-те
или (те)-1 == хе. Таким образом, каждый элемент из Р
представим в виде ге. где О <Р г <С р.
Отметим, что в теле характеристики нуль из равенства
тх = (J (т =?= (J) следует х = 0. В теле же простой характе-
ристики р для любого элемента х имеют место равенства
рх — ре-х = 0, и соотношение тх = 0 влечет за собою
равенство х 0 при любом х только в том случае, когда т
не делится па р.
Из университетского курса высшей алгебры известно,
как строится кольцо многочленов i^ [,г| над заданным
полем ip от одного неизвестного х и кольцо многочленов
[ж0, . . ., др, . . .] относительно произвольного множе-
ства неизвестных .т0, . . ., х%, . . . Известно также, что
кольцо ip	х2, . . .1 ассоциативно, коммутативно
и пе содержит делителей нуля и что его можно вложить
в поле отношений пли в поле рациональных дробей
ip (х0, . . .,	. . .). Будут предполагаться известными
понятие корня многочлена, понятие неприводимого много-
члена над полем, теорема существования поля разложения
для многочлена степени /г 1 с коэффициентами из про-
извольного поля. Предполагается также, что читатель
знаком с техникой присоединения к заданному
полю ip неизвестных х0, . . ., х^, . . ., а также корней
а, Ъ, . . . многочленов из кольца ip Ы. Получающиеся
при этом расширения ноля ip будут обозначаться через
ip (х0, . .	х-2, . . .) или соответственно ip (а, Ь, . . .).
Идеал I произвольного кольца Я называется макси-
мальным, если Z Я и между I и Я нет других идеалов
в Я, отличных от I и от Я.
КОЛЬЦА II ТЕЛА
113
S 41
Теорема 3. Если Я — коммутапшвно-ассоциатив-
ное кольцо с единицей е и I — максимальный идеал этого
кольца, то фактор-кольцо R/I по нему есть поле.
Действительно, кольцо Я/Z, очевидно, коммутативно,
ассоциативно и содержит единицу I Ц- е. Поэтому доста-
точно доказать, лишь, что Я7/ есть кольцо с делением.
1< Рассмотрим уравнение ха = b в Я/Z, где а 0.
Совокупность Ц == {г + ka | i б I, k g Я} является, оче-
видно, идеалом в Я, содержащим I и элемент а = 0 +
|- еа. Так как а (£ I, то Ц — Я, и поэтому каждый эле-
мент кольца Я можно записать в виде i + ка, где i g I,
к С й. Пусть b = i ха. Тогда I b — I -|- ха, т. е.
I) = ха. Итак, Я/Z есть поле.
4.2.	Алгебраически замкнутые ноля. В дальнейшем
будут использованы в качестве иллюстрации алгебраиче-
ски замкнутые поля. Для удобства чтения данной книги
приведем необходимые определения и результаты, отсылая
читателя за деталями к книге Вап-дер-Вар-
д е и а [10] (см. также Зарисскпй и Самю-
эль [151).
Расширение Я поля Р называется алгебраическим
над Р, если каждый элемент пз Я алгебраичеи над Р, т. е.
является корнем некоторого многочлена степени п 1
из кольца Р [ж].
Произвольное расширение Я поля Р можно рассматри-
вать как линейное пространство над полем Р. Расширение
Я называется конечным, если размерность этого простран-
ства конечна, т. е. если в Я существуют такие элементы
elt . . ., еп, что всякий элемент х из Я можно записать,
и притом единственным способом, в виде линейной комби-
нации этих элементов с коэффициентами пз поля Р:
х = krCi +  -  + Мп (Ад, . . ., кп б Р)-
Система элементов е1; . . ., еп с этим свойством называется
базой поля Я над полем Р. Другими словами, база есть
максимальная линейно независимая система элементов
поля Я относительно поля Р.
Легко доказываются следующие свойства расширений.
1)	Всякое конечное расширение Я поля Р является
алгебраическим.
Ь А. И. Мальцев
114
КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. П
Действительно, в конечномерном линейном простран-
стве все базы состоят из одного и того же числа элементов.
Поэтому если х £ Й, то среди степеней х° ~ е, х, ...
. . ., х71"1, где п — размерность й над Р, имеется не более
п независимых. Следовательно, существуют элементы
«0, . . ., ап в поле Р, которые не все равны нулю и для
которых а0 -Д aix -j- ... -f- a„_pr"-1 — 0. Таким образом,
элемент х алгебраичеп над Р.
2)	Если й — конечное расширение поля Q, a Q — конеч-
ное расширение поля Р, то Й — конечное расширение
поля Р.
Пусть {щ, . . ., ат} — база Q над Р и {Ьп . . ., Ъп} —
база й над Q. Тогда элементы (г = 1, . . ., /гг; j =
= 1, . . ., п) составляют, очевидно, базу Й над Р.
3)	Поле разложения й любого многочлена / (х) над
полем Р является конечным и, следовательно, алгебраиче-
ским.
Действительно, присоединение к Р одного корня а
многочлена / (х) дает конечное расширение Pt с базой
е, а, . . ., аг-1, где г — степень неприводимого многочле-
на из кольца Р [х\, корнем которого является элемент а.
Присоединяя к Pt другой корень Ъ многочлена / (х),
получим конечное расширение Р2 поля Pi, которое будет
также конечным расширением поля Р, и т. д.
Методом трансфинитной индукции легко доказать, что
поле разложения й любой системы многочленов над полем
Р является алгебраическим над Р.
4)	Если й — алгебраическое расширение поля Q, a Q —
алгебраическое расширение поля Р, то Й — алгебраическое
расширение поля Р.
В самом деле, если а £ Й, то а — корень некоторого
многочлена с коэффициентами а0, . . ., ап из поля Q,
которые в свою очередь алгебраичны над Р. Присоединяя
а0, . . ап к полю Р, получим конечное расширение Р',
а поле Р'(а) конечно над Р'. Следовательно, Р’(а) конечно
над Р и потому элемент а алгебраичеп над Р.
Поле 4s называется алгебраически замкнутым, если
всякий многочлен из кольца ЬЯ, имеющий степень
п 1, обладает по крайней мере одним корнем в поле 45-
Основная теорема алгебры комплексных чисел утверждает,
что поле всех комплексных чисел алгебраически замкнуто.
КОЛЬЦА И ТЕЛА
115
§ 4]
Теорема существования. Для всякого
поля существует алгебраически замкнутое алгебраиче-
ское расширение Я'.
Обозначим через F множество всех неприводимых мно-
гочленов степени п^-2 из кольца )р Ы. Каждому много-
члену f g F поставим во взаимно однозначное соответствие
неизвестное у; и построим кольцо многочленов [У1
относительно множества У всех этих неизвестных. Оно
содержит, в частности, многочлены / (?//) для каждого
/ (х) £ F. Пусть I — наименьший идеал кольца $р 1^1,
содержащий все / (yf). Замечаем, что единица е $ I.
В самом деле, допуская противное, будем иметь
« = Ф1А (Уfi) + - •  + Фа/а
где ф1,	— многочлены из [У]. Присоединяя к
по одному корню многочленов /ь . .., Д, получим расши-
рение поля Заменяя неизвестные yf , ..y/k корнями
соответствующих многочленов Ц, ..., fk из этого расши-
рения, придем к соотношению е — 0. Итак, /^$р[У].
По лемме Цорна (см. п. 1.5) идеал I содержится
в некотором максимальном идеале Г кольца 5]3 [У], отлич-
ном от этого кольца. В силу теоремы 3 из п. 4.1 фактор-
кольцо 5^ = [У]//' будет уже полем. Так как Г =Д )р [У],
то sp П Г = 0, и поэтому можно считать, что £р содержится
в Каждый многочлен / (ж) £ F обладает’ в поле )р хотя
бы одним корнем, например I'-]-yf, так как j (Г -]-yf) =
--I' / (г//) = Г. Поскольку поле порождается (в смысле
п. 3.2) этими корнями, то поле )р является алгебраиче-
ским расширением поля
Итак, для всякого поля sp существует алгебраическое
расширение -р, в котором каждый неприводимый много-
член из кольца [а.] имеет хотя бы один корень.
Исходя из произвольного поля ip, построим возрастаю-
щую последовательность полей
$0 = $ с= CZ с ...
такую, что каждое последующее поле $рп+1 является
алгебраическим расширением предыдущего поля и вся-
кий неприводимый многочлен из кольца Ы обладает
8*
116
КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
[Гл. II
в поле ip„ + 1 хотя бы одним корнем. Пусть St — объедине-
ние этой цепочки. Согласно п. 2.3 St есть поле. Поскольку
поле ip„ будет алгебраическим расширением поля ip для
каждого п = 1, 2, . . ., то St также является алгебраиче-
ским над ip. Если / (х) = а0 + аАх + ... -|-	—
некоторый неприводимый над St многочлен из кольца
St Ы, то его коэффициенты а0, ал, . . ak лежат в неко-
тором поле ipzl, и поэтому / (х) принадлежит кольцу ipjjx].
Ясно, что / (х) будет неприводимым многочленом над полем
ipn и по построению обладает в поле ipn+i, а следовательно
и в поле St, хотя бы одним корнем. Таким образом, St есть
алгебраически замкнутое алгебраическое расширение
поля ip.
Справедлива также следующая теорема единственности,
которую мы приводим без доказательства.
Теорема единственности. Любые два
алгебраически замкнутые алгебраические расширения St,
St' поля Р эквивалентны над Р, т. е. существует изоморф-
ное отображение поля St на поле St', тождественное на Р.
Отсюда, в частности, следует, что алгебраически замкну-
тое алгебраическое расширение St поля Р содержит (с точ-
ностью до эквивалентности над Р) все алгебраические рас-
ширения поля Р.
Действительно, пусть Q — произвольное алгебраиче-
ское расширение поля Р и St' — алгебраически замкнутое
расширение поля Q. Так как St' будет алгебраическим
расширением Р, то St' эквивалентно St пад Р. Отсюда
следует, что Q будет эквивалентно некоторому подполю
поля St.
Алгебраически замкнутое алгебраическое расширение
поля всех рациональных чисел называется полем всех
алгебраических чисел.
Пусть дано поле Р п некоторое его расширение ip.
Конечная система элементов и,, . . ., ип из ip называется
алгебраически независимой над полем Р, если для любого
многочлена f (х1, . . ., хп) от неизвестных xt, . . хп
с коэффициентами из ноля Р истинна импликация
f (щ, ип) 0 =? / (xi, ж„) = 0.
Произвольная система S элементов из ip называется
алгебраически независимой над полем Р, если любая
§ 41
КОЛЬЦА И ТЕЛА
117
конечная часть ее алгебраически независима над Р. Мно-
жество всех алгебраически независимых над Р систем
элементов из *£ частично упорядочено по теоретико-
множественному включению, причем, если системы S', <=
S 52 S ... алгебраически независимы над Р, то их
объединение S также алгебраически независимо над Р.
По лемме Цорна для всякой алгебраически независимой
над Р системы элементов S из ^5 существует в макси-
мальная алгебраически независимая над Р система эле-
ментов Smax- Подобно тому, как доказывается, что все
максимальные линейно независимые системы векторов
данного линейного пространства имеют одну и ту же
мощность, можно доказать, что все максимальные алге-
браически независимые над Р системы элементов также
имеют одну и ту же мощность, которая называется сте-
пенью трансцендентности поля относительно Р.
Пусть S — произвольное множество алгебраически
независимых над Р элементов из Каждому элементу
н g S сопоставим неизвестное х, и пусть X — множество
всех таких неизвестных. Соответствие
/ (jj, .-Ц,) f (щ, ,,,, ип)
I! (.rlt ..хп) g(ult ...,ип)
(f, gOPPH, xnQX)
есть изоморфизм поля рациональных дробей Р (X) на рас-
ширение Р (S). Поэтому алгебраически независимые эле-
менты над полем Р ведут себя так же, как и соответствую-
щие им неизвестные.
Расширение Р (S) поля Р, получающееся присоедине-
нием произвольного множества алгебраически независи-
мых над Р элементов, называется чисто трансцендентным
расширением поля Р.
Теорема Ш т е й н и ц а. Каждое расширение
Я поля Р является алгебраическим расширением некоторо-
го чисто трансцендентного расширения К поля Р.
Действительно, пусть К ~ Р где Smax — неко-
торая максимальная алгебраически независимая над Р
система элементов из Я. Но определению К есть чисто
трансцендентное расширение поля Р. Если v £ Я, то
система элементов {и, Smax) не является алгебраически
независимой над Р, и поэтому существует такой ненулевой
многочлен / (ж}, . . xn+i) от неизвестных xit . . ., жп+1
118
КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
[Гл. II
с коэффициентами из Р, что
/ (к, щ, . . ип) — С)
для некоторых щ, . . ., ип из «Sniax- Записывая многочлен
/ по убывающим степеням v, будем иметь
«о (и) vm + flt (zt) -j- ... -I- am (и) = О,
где а; (и) = й; (zz-i, . . ., uft) g К (i = О, 1, . . ., иг). Так
как элементы пз Smax алгебраически независимы над Р,
то степень многочлена f относительно хг отлична от нуля.
Таким образом, элемент v алгебраичеи над К.
Пусть $$ — произвольное поле и Р — простое его
подполе. Степень трансцендентности поля ^5 относитель-
но Р называется просто степенью трансцендентности
поля
Следствие 1. Все алгебраически замкнутые поля
фиксированной характеристики х и данной степени транс-
цендентности t изоморфны между собой.
Действительно, пусть и — произвольные алгебра-
ически замкнутые поля характеристики х и степени
трансцендентности i. Можно считать, что они являются
расширениями одного и того же простого поля Р. По тео-
реме Штейпица и будут алгебраически замкнутыми
алгебраическими расширениями одного и того же чисто
трансцендентного расширения Р (S) поля Р, где | S | —-
= 1. По теореме единственности и Ж' изоморфны.
Следствие 2. Все алгебраически замкнутые поля
фиксированной характеристики х, имеющие фиксирован-
ную несчетную бесконечную мощность tn, изоморфны.
В самом деле, пусть — произвольное алгебраически
замкнутое поле характеристики х и степени трансцендент-
ности 1, имеющее мощность tn > х0. Простое подполе
поля обозначим через Р. Выберем какую-нибудь макси-
мальную алгебраически независимую над Р систему эле-
ментов 5тах и присоединим ее к Р. Полученное расшире-
ние обозначим Т. Каждый элемент и из является корнем
многочлена с коэффициентами из поля Т. Поэтому
tn < I Т Ы |< I т I + I Т I2 + I т I3 + ...
По условию мощность поля бесконечна и несчетна.
Следовательно, мощность | Т | поля Т должна быть беско-
КОЛЬЦА И ТЕЛА
119
§ 41
печной. Но в таком случае | Т | + | Т |2 4- . . . = | Т |
(см. примеры и дополнения к § 2, доп. 3). Таким образом,
m = | Т |. С другой стороны, нетрудно подсчитать, что
| Т | = 1. Таким образом, 1 = nt, и следствие 2 дока-
зано.
4.3.	Альтернативные тела. Элемент а, кольца Я назы-
вается вполне обратимым, если в Я существует такой
элемент а \ называемый вполне обратным для а, что
а 1 (ах) = (ха) а~1 = х
для любого элемента х из Я.
Теорема 1. Если все ненулевые элементы произ-
вольного кольца Я с единицей е вполне обратимы, то кольцо
Я является альтернативным телом.
Действительно, если ab = 0, а =£= 0 (a, b £ Я), то
аг1 (аЪ) ~ Ъ = 0. Аналогично, если ab = 0, Ь С), то
(ab) Ь~г ~ а — 0. Таким образом, Я не содержит делите-
лей нуля и, будучи кольцом с делением и с единицей,
является телом.
Полагая для произвольных ненулевых элементов а, Ъ
из Я х = (аЬ)~г, получим х~1 = аЪ, х~1Ъ~1 = а, откуда
ха = х (х-'Д1) = Ъ~1, т. е. в Я имеет место обычное пра-
вило обращения произведения: (аЪ)-1 = fr-’a-1.
Пользуясь этим правилом, докажем альтернативный
закон
ab-a =- a-ba.	(1)
Можно сразу же предположить, что a С), b =# С)
и b a~J. Имеем:
а — а (Ьа) = (Ъ~г — а)-Ъа = [а-’Ь-1-^-1 — а)-1]-1 =
= [(е + а-1 (Ь1 — а)) (Ь~г — а) 'Д' =
= [(&-1 - а)-1 -|- н-1]-1.
С другой стороны,
п. — (ab) а = «Ь-(Ь-1 — а) = [(Ь-1 — я)1-Ь^а-1]"1 =
= [(Ь-1 - я)"1 (е -j- (b-1 — a) fl"1)]"1 =.
= [(&“’ — fl)"1 + а-1] ’.
Таким образом, а — а (Ьа) = а — (ab) а, и поэтому
a ba = ab-a.
120
I ’1АССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
[Гл. И
Из равенств (аЪ-a х)а = а(Ъа~1-а) = (а-Ъаг1)а. в силу
отсутствия делителей нуля следует тождество
ab-cr1 = а-Ъа-1.	(2)
Доказательство альтернативного закона а-аЬ = а2Ъ
проводится следующим образом. Пусть а 0, Ъ 0,
Ъ — аг1. Па основании (1) приравниваем выражения
(Ь 4 а1) (Ь_,л)-(Ь J я1) (я + я-1-6^4) (Ъ Ч- а~1) =
~ ab Ч (д'МгЛг) Ъ \- е Ч- д~’Ь-1,
(Ъ 4 я.1)-(6 4) (Ь ; д ') == (Ь -j- а'-) (b~*a-b Ч- 6”1) “
= аЪ 4 е Ч- «' (Ь~4-6) 4- агЧг1.
Получаем
а 1 (Ь 1 а-Ъ) {а~1-Ъ~1а) Ъ.	(3)
Заменяя здесь а па (a J- Ь-1)’1, Ъ на а и учитывая (2),
будем иметь
(а 4 1г1) [д’1 (д Ч б-1)1-»] =
= (д Ч- Ь’1) 1(«2 Ч Ъ ’ 4)~4| .
= (д Ч- Ъ-1) (а Ч « 4 4) 1 ---
= д(д 4 Д' ^б ^д)-1 Ч~ (я Ч- Я-1Ь-1д)-1 =
— 4 4- (а~1Ь~1а) д“1]~1Ч- [«6Ч~ (я“1Ь“1д) 6] 1 —
(е Ч- а-Ч> !) 1 Ч- lab |- (д-^-'д) Ы Д
(д 4 6"1) (д-' (д Ч~ 1г1)-L)-а ~
= (д Ч~ Ъ^1) (а? 4 ?>-1д)-1-д ~
— [д (д2 4 6-4)-1 |- 6-1 (а2	б-’я)’1] д =
=* |(д 4 Ъ-')1 Ч- (я26 Ч- Ь ЧгЬ)1] а ==
= (с 4 д 1 Ч- [я ^дЭД г д’1 (Zr4-6)]-1.
Отсюда получаем
аЪ 4 агЧ 'а-Ь - д_1-д2Ь 4 я”1 (6_'д-6).
В силу (3) аЪ — д-1-д2Ь, т. е. a-аЪ ~ а2Ъ.
Справедлива и обратная
Теорема 2. Альтернативное кольцо Я с делением
и без делителей нуля содержит единицу, и все ненулевые
элементы его вполне обратимы.
§ 4]
КОЛЬЦА И ТЕЛА
121
Вычисляя ассоциатор [,т -L У, х Ц- у, z] и принимая
во внимание, что он равен нулю в кольце Я, получим
[х, у, г] = — [г/, х, г].
Аналогично [.г, у. z] — — [ж, z, z/1, [•/', у, z] -- — [z, у, х].
Таким образом, в альтернативном кольце ассоциатор
меняет знак при перестановке любой пары своих аргу-
ментов.
Переходя к явной записи ассоциаторов, легко доказать
следующее тождество в произвольном кольце:
[ху, z, zz] — [ж, yz, zz] 4'	?/, 2г/1 ~
= х [у, z, zz] r k, у, z] и. (4)
Используя это тождество, покажем, что в альтернативном
кольце для любых элементов а, Ъ, х имеет место равен-
ство
[zz, ba, .г] = а [а, Ъ, х].	(5)
Действительно, заменяя в (4) х и z на а, у на Ъ и и па х,
получим
[zzfr, а, ,т] -- [zz, ba, .г] [zz, b, ах] — а [Ь, а, х],
так как [zz, Ъ, zz] = 0. Отсюда находим
[zz, ba, х] = a [zz, b, т] -[- [«, ах] — fzz, х]. (6)
Заменяя в (4) х и у па a, z па Ъ и и на х, получим
[zz2, b, .г] — 1«, ab, х] = а [а, Ъ, ж],
откуда
[zz, ab, х] = [zz2, b, .г] — а [а, Ь, х].
Подставляя это выражение для [zz, ab, х\ в (6), получим
[zz, ba, .г] = 2а [zz, b, .т] + [zz, b, ах] — [zz2, b, ж]. (7)
Заменяя в (4) х и у на a, z на х и и на Ь, будем
иметь
[zz2, х, 6] — [zz, ах, b] = a [zz, х, Ь],
122
КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
[Гл. II
т. с. [а, Ь, ах\ — к2, Ъ, .г] — — а [я, Ъ, .г]. Подставлял
это выражение в (7), получим (5).
Пусть теперь a £ Й, а 0. По условию существует
такой элемент е g Й, что ае = а. Отсюда аа — ас-а -~
= а-еа и, сократив на а слева, получим а — еа. Ввиду (5)
для любого элемента ,r g Й имеет место равенство
[я, еа, ,т[ — я [я, е, л[,
откуда [а, е, а-]	0, т. е. я.с	а-ex, и поэтому х ех.
Из (5) получаем также [.г, ех, я]	х |.г, е, я], откуда
х [ад е, я] — 0. При х 0 будем иметь хе-а х-еа  ха,
т. е. хе -- х. Итак, е — единица кольца Й.
Для каждого элемента 0 а g й найдется по условию
такой элемент я-1, что яя-1 — е. Будем иметь также
ае аа~1-а а-а'а,
откуда а 'а = е. Далее в силу (5)
0 = [я-1, яя-1, х] — а 1 [я J, я, з|,
откуда [я-1, а, .г[ 0, т. о. я1 (я.г) — х. Поскольку
[ж, я, я ]1 -- — [я1, я, х! 0, то также (ха) а~’ — х.
Следовательно, любой ненулевой элемент я из Й вполне
обратим, и теорема 2 доказана.
Пример альтернативного неассоцпативпого тела будет
рассмотрен в следующем пункте.
4.4.	Линейные алгебры. Пусть — поле, элементы
которого будут обозначаться малыми греческими буква-
ми а, р, у, . . ., а единичный элемент — буквой е. Линей-
ной алгеброй над полем называется кольцо £, в котором
для каждого элемента а из ф определена унарная опера-
ция сои так, что в £ имеют место тождества:
5)	соа (х 4 у) = ыа (х) -|- соа (у),
6)	соа+в (х) =	(ж) + Юр (х),
7)	<оаВ (х) = юа (сор (х)),
8)	юе (.с) -- х,
9)	<оа Uv) = («а (х)) у = х (<оа (?/)) (х, у Е&)-
Таким образом, линейная алгебра над полем является
универсальной алгеброй с главными операциями: х + у,
—х, ху, аа (х) (а £ ф), связанными на основном множе-
стве тождествами 1) — 4) из п. 4.1 и только что перечислен-
§ 4]
КОЛЬЦА И ТЕЛА
123
ними тождествами 5)—9). Относительно операций х + у,
—х, (иа (х) (a g алгебра £ над полем $р является линей-
ным пространством, в котором
ах = соа (х) (х £ £, а £ 5р).
Если размерность этого линейного пространства конечна,
то алгебра £ называется конечной над ф.
Пусть а1; . . ., ап — какая-либо база конечной алгеб-
ры £ над $р. Произведения ataj, являясь элементами £,
должны выражаться линейно через базу. Поэтому в £
имеют место соотношения вида
ai(li = Уша1 + Ты'2а2 4- • • • -1-Tijn«n (г, 7 -^1,  • -, n)- (1)
Коэффициенты ytjh, число которых равно и3, называют-
ся структурными константами алгебры £ в базе ах, . . .
. . ., ап. Эти константы зависят от выбора базы, но пол-
ностью определяют умножение в алгебре £.
Пусть заданы п3 элементов yijh из поля s,p, занумеро-
ванные тройками натуральных чисел г, /, к, каждое из
которых принимает значения 1, . . ., п. Возьмем произ-
вольные неизвестные et, . . ., еп и обозначим через £
линейное пространство всех линейных форм ajCj Ь . . .
. . . Ц- апеп от ц, . . ., еп с коэффициентами из ?р. Вводя
для элементов £ операцию умножения формулой
2 atCi  2	~ 2
i, 3, h
мы обратим £ в линейную алгебру над полом 5р со струк-
турными константами yak- Таким образом, произвольную
систему из п3 элементов уц^ можно считать системой
структурных констант подходящей линейной алгебры.
Совокупность соотношений (1) называется таблицей
умножения базы гц, . . ., ап.
Если алгебра £ содержит единицу е, то элементы
ае (а С ф) образуют подалгебру, изоморфную алгебре 5р-
В этом случае, отождествляя элемент ае с элементом а
для каждого a £ $р, получим вложение поля ^р в качестве
подалгебры в алгебру £.
Рассмотрим следующие примеры линейных алгебр.
124
КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
[Гл. II
Прежде всего, поле комплексных чисел является
алгеброй над полем вещественных чисел, для которой
числа 1, i составляют базу с таблицей умножения:
I2 = 1, 1 • i = i • 1 = i, i2 = — 1.
В середине прошлого века Гамильтон нашел алгебру
размерности 4 над полем вещественных чисел. Эта алгебра
является ассоциативным телом, но не коммутативна. Эле-
менты ее были названы кватернионами.
Тело Q, кватернионов имеет своей базой символы
1, i, j, к, пз которых первый служит единицей алгебры
Q и отождествляется с вещественным числом 1, а осталь-
ные перемножаются согласно следующей таблице:
I2 = jZ = к2 = _ 1,
ij ~ — ji = к,
jk = — kj = i,
ki = — ik = j.
Эта таблица хорошо запоминается при помощи схемы,
указанной на рис. 1. Таким образом, каждый кватернион
однозначно записывается в виде ли-
нейной формы
а + Pi + yj + б/с
| от элементов базы 1, i,/, к с действи-
I тельными коэффициентами а, р, у, б.
к	j Перемножаются кватернионы в соот-
ветствпи с дистрибутивным законом
и таблицей умножения базы.
Рис. 1.	Из таблицы умножения базы видно,
что алгебра Q не коммутативна, но
ассоциативна, так как для любых базисных элементов
х, у, z справедливо равенство (ху) z = х (?/z).
Неотрицательное вещественное число а2 -|- Р2 4 у2 +
-|- б2 называется нормой кватерниона q = а + pi • | - yj 4
+ б/с и обозначается N (q).
Кватернион а — pi — yj — б/с называется сопряжен-
ным к кватерниону q = а pi + yj -f- б/с и обозначает-
ся д.
§ 41
Кольца и тела
125
Непосредственные вычисления показывают, что
ffrrft = ?iT?2, ch(lz = ЧгЧъ c/.q = aq,
qq qq _-. N (q), N (ад2) = N (q^ N (q2),
где q, qt, ?26£l,
Если q £ Q, q 0, то, полагая
7~1 = W)^’
будем иметь
Таким образом, каждый элемент q 0 мультипликатив-
ной полугруппы алгебры Q, обратим, и поэтому алгебра
Q, является телом.
Кватернионы, хотя и не столь широко, как комплекс-
ные числа, все же используются как в математике, так
и в механике. Рассмотрим одно из приложений их в алгеб-
ре, а именно задачу о композиции вещественных квадра-
тичных форм, т. е. задачу о представлении произведения
ДВУХ сумм квадратов переменных в виде суммы
квадратов билинейных форм от этих переменных.
Простейший закон композиции квадратичных форм
(от двух переменных) дают комплексные числа. Если
и = Xi -j- x2i, и =	+ y2i, то формула N (и) N (у) =
= N (им) запишется в виде
Gi I a’D (l/tl I/D -= (-Г1//Г- Х2У2}2 4 (^i!/2 I .Г2.1/1)2.
Взяв кватернионы
и = xi 'i x2i - h x3j -|- xjc, v = yi 4- y2i 4- y3j 4- ytk,
получим закон композиции квадратичных форм от четырех
переменных
(4 4- а * я* -|- х*) (у* 4 у\ 4- у23 4- у*) =
-	-- з’2у2 — ЖзУз — ^г/4)2 + (Я1Уг 4- x2yi 4- Ж8у4—ж4у3)2 +
(а’1Уз *1"	+ Л\У2—а'г!/4)2 +
+ (-Г1У4 4- *1У14- Х2У3 — а’зУг)2,
126
КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
[Гл. II
Поиски закона композиции для форм от восьми пере-
менных привели Кэли в 50-х годах прошлого века к откры-
тию особой алгебры размерности 8, элементы которой полу-
чили название чисел Кэли.
Пусть К — множество упорядоченных пар (glt д2)
кватернионов qt, q.,. Операции сложения и умножения на
вещественное число а в К определим формулами
(91, 9г) Д (?’i, г2)	(91 -I- П, 9г Д гг),
« (91, 92) = (“91, “9г)-
Относительно этих операций множество К становится
линейным пространством над полем вещественных чисел
(т. е. в К имеют место тождества 1)—3) из и. 4.1 и тожде-
ства 5)—8) из настоящего пункта).
Операцию умножения в этом пространстве зададим
формулой
(91, 9г) (Г1, г2) = (9й'1 — rzq2, r2qx ф- qzi\),	(2)
где г — сопряженный кватернион. Аксиома 9) очевидна.
Дистрибутивные законы умножения относительно сложе-
ния также легко проверяются. Таким образом, Я =
— (К,	-, {<»«}/ есть линейная алгебра над полем
действительных чисел. Эта алгебра и называется алгеброй
Кэли.
Пары вида (<?, 0) образуют подалгебру, изоморфную
алгебре кватернионов, причем изоморфизмом является
отображение (q, 0) -> q. Поэтому число Кэли вида (q, 0)
отождествляется с кватернионом q, и тем самым алгебра
кватернионов Q, вкладывается в качестве подалгебры
в алгебру Кэли Я.
Так как
(91, 9г) = (91, 0) Д (92, 0) (0, 1),
то, полагая е = (0, 1), будем иметь для каждого числа
Кэли однозначную запись
91 + 92е,	(3)
где qi, q.> — кватернионы.
Если
91 = а0 Д “Д Д “г/ Д 9г = “4 Д се5г Д “с/ Д
§ 4]
КОЛЬЦА И ТЕЛА
127
то число Кэли q! + q2e может быть записано и притом
однозначно в форме
а0 + “Ц '1~ а2/ оь3/с Д' а4е + азге + ас/е + «?/«?,	(4)
где а0, • • а7 — вещественные числа. Следовательно,
элементы 1, I, j, к, е, ie, jc, ке составляют базу алгебры
Кэли над полем вещественных чисел.
Практически удобнее записывать числа Кэли не в фор-
ме (4), а в форме (3) и пользоваться при вычислениях
соотношениями
с2 =—1, eq--qe, p-qe — qp-e,
ре • q = pq • е, ]>e-qe.= —qp,
(5)
где p, q — кватернионы. Эти соотношения непосредственно
следуют из формулы (2).
Соотношения (5) позволяют составить таблицу умноже-
ния базы 1, i, /, к, е, ie, je, ке. В частности, имеем
i-/e ~ ji-e = — ке, ij-e = ке.
Следовательно, алгебра Кэли не ассоциативна.
Для числа Кэли и = г -j- qe сопряженным называется
число
и = г — qe.
Пользуясь соотношениями (5), легко доказать следующие
формулы:
сшД	j-pp, uu—vu,
mi - = пи = rr C qq,
где и, v — числа Кэли, а, р— вещественные числа.
Неотрицательное вещественное число
ии ------- rr qq
называется нормой числа Кэли и и обозначается N (и).
'Гак как
N (г qe) = N (г) + N (q),
то N (и) — 0 тогда и только тогда, когда и = 0.
128
КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
[Гл. II
Непосредственные вычисления показывают, что для
любых чисел Кэли и, v имеет место соотношение
и (ни) = (пи) и — N (п) и.
Поэтому каждое число Кэли и 0 имеет вполне обратное
число
1 1 “
К.
А (и)
По теореме 1 из п. 4.3 получаем, что алгебра Кэли является
альтернативным (неассоциативным) телом.
Используя числа Кэли, легко указать закон компози-
ции для вещественных квадратичных форм от восьми
переменных. Однако в конце прошлого века А. Гурвиц
(A. Hurwitz) показал, что квадратичные формы от большего
числа переменных не допускают закона композиции.
Справедлива также следующая
Теорема. Любая алгебра конечной размерности над
полем вещественных чисел с вполне обратимыми элемента-
ми, содержащая единицу, изоморфна или полю действи-
тельных чисел, или алгебре комплексных чисел, или алгебре
кватернионов, или алгебре Кэли.
Для ассоциативно-коммутативных алгебр эта теорема
была известна уже в первой половине 19 в. Случай ассо-
циативных некоммутативных алгебр был рассмотрен Фро-
бениусом. Доказательство теоремы в общем виде вытекает
из результатов М у ф а н г [47], Цорна [72, 73]
и Линн и к а [30]. Поскольку в дальнейшем изложе-
нии эта теорема использоваться не будет, то мы оставим
ее без доказательства.
Примеры и дополнения
1.	Всякое ассоциативное кольцо Й с делением, отличное
от пуля, является телом.
2.	Всякое алгебраически замкнутое поле бесконечно.
3.	Группа всех автоморфизмов поля комплексных чисел имеет
мощность 22^° (С а у и д а р а р а д ж а и [58]).
4.	Кольцо St альтернативно тогда и только тогда, когда все
его подкольца, порожденные двумя элементами, ассоциативны
(см. Ширшов [76], стр. 7—8, а также К у р о ш [25]).
РЕШЕТКИ (СТРУКТУРЫ)
129
§ 5]
§ 5. Решетки (структуры)
5.1. Решетки. Напомним, что элемент т частично упо-
рядоченного множества М называется верхней границей
для подмножества N ст 71/, если каждый элемент из N
сравним с т и не превосходит т. Если среди верхних
границ для N есть наименьшая, то она называется верх-
ней гранью элементов N. Аналогично определяются ниж-
ние границы и нижняя грань для N.
Частично упорядоченное множество М называется
верхней полурешеткой, если каждая пара его элементов
имеет верхнюю грань, и нижней полурешеткой, если каж-
дая пара элементов из М имеет нижнюю грань. Множество
М называется решеткой пли решеточно упорядоченным,
если каждая пара элементов его имеет верхнюю и нижнюю
грани.
Например, совокупность всех частей данного множе-
ства А является решеткой относительно отношения вклю-
чения: верхней гранью пары частей At, А2 является здесь
их объединение, а нижней гранью их пересечение. Решет-
кой является и всякое линейно упорядоченное множество:
верхней гранью пары элементов является больший,
а нижней гранью — меньшпй из этих элементов.
Обозначив верхнюю грань элементов а, Ъ через a \J Ъ,
а нижнюю грань — через а [\ Ъ, легко убедиться в спра-
ведливости следующих формул:
Ср а\/а— а, а[\а~а,
С2: a\Jb = b\/a, a/\b-b/\a,
С3: aV(bVc)=(aVi)Vc> («Л^)АС= ^A(Z'AC)>
С4: a/\(a\/b)=a, а\/(а/\Ь) = а,
называемых соответственно законами идемпотентности,
коммутативности, ассоциативности и поглощения. Дистри-
бутивный закон
« A (l> V с)-- (п Л ь) V (« А с)
может и не выполняться в решетках.
Законы С4 — С4 дают повод ввести следующие опре-
деления.
Аддитивной (мультипликативной) полурешеткой на-
зывается коммутативная идемпотентная полугруппа §1,
130
КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
[Гл. It
записанная аддитивно 21 = (А, +) (соответственно муль-
типликативно: 21 = (А, -)).
Алгебра (А, +, -) типа (2, 2) называется абстракт-
ной решеткой, если главные операции связаны в ней
тождествами:
Rj: а	а — а, аа = а,
R2: а + Ь -- b 4- а, аЬ — Ьа,
R3: (а + Ь) 4- с = а (Ь 4- с), (ab) с = а (Ьс),
R4: а (а + Ъ) = а, а + cib = а (а, Ъ £ А).
Если А — верхняя полурешетка, то, определяя для
элементов из Л операцию сложения формулой
а + Ъ — a \] Ь,
мы обратим А в аддитивную полурешетку, в которой соот-
ношения а 4Z Ъ, а + Ъ — Ь будут равносильны.
Обратно, пусть дана произвольная аддитивная полу-
решетка (Л, +). Полагая а Ъ, если а 4- Ъ = Ь, будем
иметь а а, так как а, -I- а --- а-, если а Ъ, Ъ <4 а,
то а 4- Ъ Ь, Ъ а Ъ, откуда в силу коммутативности
сложения получаем а — Ь; наконец, если а Ъ, то
а 4- Ь = Ь, Ъ с = с и при помощи ассоциативного зако-
на получаем a -f- с = а 4 (b -j- с) = Ъ 4~ с = с, т. е.
а <4 с. Следовательно, относительно отношения <4 множе-
ство А является частично упорядоченным. Легко показать,
что верхней гранью для элементов а, Ь в А является а 4- Ь.
Аналогичная связь существует между нижними полу-
решетками и мультипликативными полурешетками, а так-
же между решетками и абстрактными решетками. Дей-
ствительно, если А — решетка, то, полагая а 4- Ь =
= а V Ъ, аЪ — а /\ Ъ, мы обратим А в абстрактную
решетку. Обратно, пусть А — абстрактная решетка. Вво-
дим в А отношение <4, полагая а <4 Ъ, если а 4- Ь = Ъ.
Из доказанного соответствия между верхними полурешет-
ками и аддитивными полурешетками следует, что отноше-
ние делает множество А верхней полурешеткой, в кото-
рой а -|- Ъ = а у Ъ. Но соотношения а 4- Ь = Ь и аЬ = а
во всякой абстрактной решетке равносильны, так как
из а 4- Ь ~ Ъ следует аЬ а (а + Ь) = а, а из аЪ = а
РЕШЕТКИ (СТРУКТУРЫ)
131
следует а -{- Ъ = ab b — b Ьа — Ь. Поэтому то же
отношение делает Л и нижней полурешеткой, причем
uh - а /\ Ъ.
Следовательно, каждую абстрактную решетку можно
рассматривать и как решеточно упорядоченное множество.
Изложенные рассуждения показывают, что в абстракт-
ных решетках задание одной операции вполне определяет
вторую. Например, зная операцию сложения, вводим
отношение и с его помощью произведение аЪ находим
как нижнюю грань пары а, Ь. Однако это не дает еще пра-
ва с,читать в качестве основной операции лишь одно сло-
жение, так как умножение не может быть явно выражено
через него.
Строение конечных частично упорядоченных множеств
задается иногда при помощи диаграмм. С этой целью
элементы множества изображаются
гочками, расположенными на разных
горизонталях, причем непосредствен-
но большие элементы соединяются
опускающимися линиями с непосред-
ственно меныпими. В результате
элемент а оказывается большим b
тогда и только тогда, когда па диаг-
рамме от а можно перейти к Ъ по опу-
скающимся вниз линиям. Например,
на диаграмме 1, изображающей
структуру всех частей множества
на трех элементов, элемент р мень-
ше с и несравним с элементом с.
Элементы 0 и 1 некоторой абстрактной решетки ЭД
нпаыпаются ее нулем и единицей, если для любого a g ЭД
имеем
О -J- а = а, 1 -а = а.
Ию означает, что 0 и 1 являются соответственно наимень-
iiiii*.анболыпим элементами ЭД. Конечная абстрактная
репняка ЭД с элементами alt . . ., ап обязательно имеет
н\ и. н единицу, а именно
iii«., . . . Иц — 0, at ж а2 -Ь ... + ап — 1.
1>г| ....... абстрактные решетки могут не иметь нуля,
< hi..... или того и другого одновременно.
9*
132
КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
[Гл. II
В решетках любое конечное множество элементов имеет
верхнюю и нижнюю грани. Если не только конечное,
но и любое бесконечное подмножество имеет верхнюю
и нижнюю грани, то частично упорядоченное множество
называется полной решеткой. Например, полной решеткой
является совокупность всех частей данного множества А.
Верхней гранью любой системы частей А является их
объединение, а нижней гранью — их пересечение.
Если частично упорядоченное множество М имеет
наибольший и наименьший элементы и если любая система
его элементов обладает нижней (верхней} гранью, то любая
система обладает и верхней (нижней} гранью, т. е. М
является полной решеткой.
В самом деле, совокупность Р верхних границ для
какой-либо заданной системы N элементов из М не пустая,
так как Р заведомо содержит наибольший элемент из М.
По предположению для Р есть нижняя грань, которая
и будет искомой верхней гранью для N.
В частности, совокупность всех подсистем (включая
пустую} произвольной алгебраической системы SJ[ является
полной решеткой относительно включения, так как любая
совокупность подсистем имеет нижнюю грань, равную
пересечению взятых подсистем.
Алгебраизация понятия полной решетки приводит
к необходимости рассматривать операции, выполненные
над произвольным множеством аргументов. Именно, мно-
жество М называется полной абстрактной решеткой,
если каждому отображению р -> хр произвольного под-
множества Р из М в М поставлены в соответствие одно-
значно определенные элементы У хр, Ц хр, обладающие
Р£Р ' р£Р
следующими свойствами:
1-	2 хр =	= -т> если хр = х для всех р из Р.
2.	Если Р есть объединение подмножеств Рг, попарно
не имеющих общих элементов, то
2 2 хр	2	II П з’р= П хр-
г Р£Рг	Р£Р	г Р~рI РЁ₽
3. а + ab = а, а (аЦ-1>} = а.
Здесь в свойстве 2 объединены закон ассоциативности
и закон коммутативности. Вводя в полную абстрактную
§ 5]	РЕШЕТКИ (СТРУКТУРЫ)	133
решетку отношение
а <Ъ <=> а4-Ь = Ъ,
легко показать, что эта абстрактная решетка будет полной
решеткой, в которой
v •’-₽> П л ^р-
р£Р Р=Р	Р£Р Р£Р
Обратное очевидно.
Понятие полной абстрактной решетки можно опреде-
лить, и не употребляя бесконечных сумм и произведений.
Именно, абстрактная решетка полна, если она есть полная
решетка относительно естественного упорядочения эле-
ментов.
В дальнейшем мы не различаем решетки и абстрактные
решетки.
5.2. Модулярные и дистрибутивные решетки. Алгебры
Г>уля. Решетка И называется модулярной, если ее эле-
менты удовлетворяют модулярному закону
а (аЪ 4- с) = аЪ ас,	(1)
п дистрибутивной, если элементы из	удовлетворяют
дистрибутивному закону
а (Ъ 4- с) — аЪ 4- ас.	(2)
Примером дистрибутивной решетки является решетка
всех частей какого-либо множества. В этой решетке сумма
и произведение совпадают соответственно с объединением
и пересечением, а последние операции дистрибутивны.
Всякая дистрибутивная решетка является модуляр-
ной, так как из (2) имеем
a (ab 4~ с) “ a-аЪ -|- ас — ab 4 ас.
Обратное неверно: класс модулярных решеток шире
класса дистрибутивных решеток.
Важность модулярных решеток видна из следующего
(|iania, впервые замеченного еще Дедекиндом: решетка
tm/iMujoiibi.r. делителей, произвольной группы @ является
Minhi.iM/чтй.
В решетке нормальных делителей нижней гранью
нормальных делителей 1Ц, Н2 является их пересечение,
134
КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
[Гл. II
а верхней гранью — их произведение ТЦН.,, состоящее
из элементов вида 7г(/г2, где hi Е Яь h2 Е Н2. Поэтому моду-
лярный закон для нормальных делителей сводится к равен-
ству
Hi СП (/Л о Н2)Н3] -- (Я, П Я2) (Hi П Я3).
Пусть х — элемент, входящий в левую часть. Тогда
х ЕЯ,, х — hh3, где h Е Я1ПЯ2, h3 £ Н3. Отсюда
h3=h~lx^Hi, h3^Hi(]H3, и, следовательно, hh3 Е
С(Я1Г|Я2) (Я, f'j/Лч)- Обратно, если х принадлежит пра-
вой части, то х = h.Ji3, где h2 Е Hi П Я2, h3 Е Я, П Я3, от-
куда х Е Hi и поэтому х входит в ле-
j ную часть.
О На диаграмме 2 изображена немоду-
лярная решетка с наименьшим числом эле-
ментов. Легко доказывается, что такую
подрешетку содержит каждая немодуляр-
пая решетка.
Из модулярного закона (1) следует
тождество
(я б) (а -[ с) я- -| (« Ь) с. (3)
О Действительно,
Диаграмма 2.	~ Д’ (® ~Ь Ц® 4“ Ь) а, с] —
— (а Ь) а (а Ь) с = а 4- (а + Ь) с.
Обратно, из (3) следует модулярный закон.
Аналогично дистрибутивный закон (2) равносилен
закону
(а Д- Ь) (а 4- с) = а 4_ Ъс.
Решетка ?! называется решеткой с дополнениями, если она
содержит 0 и 1 и для каждого ее элемента а существует
дополнительный элемент а', удовлетворяющий равенствам
а 4- а' = 1, на' — 0.
В решетке, изображенной на диаграмме 3, каждый
элемент а, имеет дополнительный, причем в качестве
дополнительного для а; служит любой элемент aj, отлич-
ный от Следовательно, в произвольных и даже модуляр-
ных решетках дополнительные элементы определяются
S 5J
РЕШЕТКИ (СТРУКТУРЫ)
135
неоднозначно. Дело меняется, если рассматриваются
дистрибутивные решетки.
В дистрибутивной решетке с нулем и единицей каждый
элемент может иметь не более одного дополнительного,
причем, если а, Ъ имеют
дополнения а', Ъ', то	I
(а')'— а, (аЬ)' - а'Ъ',
(ab)' = а' 4- Ъ'.
В самом деле, если а' и
а" — дополнения для а, то,
умножая равенство а 4 а' —	"
1 на а" и пользуясь дистри-	Диаграмма 3.
бутивным законом и соотно-
шениями act' -- 0, 1а" = а", получим а'а" — а". Меняя
ролями а', а", будем иметь а"а' ~ а', откуда а'=а”
и единственность установлена. Далее имеем
(а Д- Ь) а'Ъ' -- аа'Ъ 4- а'ЬЪ' — О,
а Ь 4- а'Ъ' = а (Ъ 4* Ъ') 4 (а 4- а') Ъ 4’ а'Ъ' —
— ab 4- аЪ' 4- а'Ъ + а'Ъ' — (а 4~ а') (Ь + Ъ') = 1.
Следовательно, а'Ъ' = (а Ъ)'. Так же доказываются
и остальные равенства.
Дистрибутивная решетка с дополнениями называется
решеткой Буля или булевой решеткой.
В решетке Буля взятие дополнительного элемента
естественно рассматривать как особую унарную операцию,
связанную со сложением и умножением тождествами (4).
Алгебра (А, +, •, ') типа (2, 2, 1 > называется алге-
брой Буля, если ее главные операции связаны на основном
множестве тождествами:
Вр. а 4- а — а, аа — а,
В»: а 4- Ь — Ъ 4- a, аЪ = Ъа,
В;1: a 4~ (Ъ 4- с) = (а 4 Ъ) 4- с, (аЪ) с = а (Ъс),
В,: а (Ъ с) = ab 4” ас, а 4~ Ъс = (а 4 Ъ) (а 4’ с),
It,: (а')' = а,
Нп: (а 4- Ь)' = a'b', (ab)' = а' 4- Ь',
Вд (а -|- а’) Ъ = Ъ,	аа' 4 Ь = Ъ.
136
КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
[Гл. II
Легко видеть, что в этих аксиомах можно оставить
либо только первые равенства, либо только вторые, так
как первые следуют из вторых, а вторые из первых. Из
аксиом Bj—В7 следует закон поглощения
а (а й) = а, а ф- аЪ = а.
Таким образом, алгебра Буля относительно операций
сложения и умножения является решеткой. Соотношения
В7 показывают, что аа' является наименьшим, а а ф- а’
наибольшим элементами этой решетки, и следовательно,
а' является дополнением элемента а.
Итак, каждая алгебра Буля, рассматриваемая только
относительно операций сложения и умножения, есть
дистрибутивная решетка с дополнениями. В свою очередь
каждую дистрибутивную решетку с дополнениями можно
сделать алгеброй Буля, приняв взятие дополнительного
элемента за третью главную операцию.
Совокупность всех частей данного множества А будет
алгеброй Буля, если в качестве сложения и умножения
рассматривать объединение и пересечение, а в качестве
дополнений брать дополнительные множества. Для конеч-
ных алгебр Буля имеет место и обратное утверждение.
Теорема Стона. Каждая конечная алгебра
Буля 21 изоморфна алгебре всех частей множества мини-
мальных ненулевых элементов 21.
Поскольку алгебра 21 конечна, то среди ее ненулевых
элементов заведомо найдутся минимальные. Обозначим
их совокупность через М. Пустой части М ставим в соот-
ветствие нуль алгебры 91, а части М, состоящей из неко-
торых элементов mi, . . ., mk, ставим в соответствие сумму
этих элементов в 21. Остается показать, что определенное
таким образом отображение ср алгебры частей М в алгебру
21 есть изоморфизм между ними. Покажем прежде всего,
что каждый ненулевой элемент пз 21 представим в виде
суммы элементов из М. Тем самым будет показано, что
ср есть отображение на алгебру 21. Пусть а С 2(, а 0.
Если а б. AI, то все доказано, если же а £ 71/, то найдется
такой элемент Ъ, что а > Ъ > 0. Тогда а = а (Ъ + Ь') =
— аЪ ф- аЪ', причем a аЪ и а > аЬ'. Если ab и аЪ' —
минимальные элементы, то опять все доказано, если же
s 5]	РЕШЕТКИ (СТРУКТУРЫ)	137
ист, то повторяем тот же процесс над ними. Поскольку
алгебра Я конечна, то указанный процесс оборвется и мы
получим искомое разложение а на минимальные слагаемые.
Остается доказать взаимную однозначность отображения
<1>, т. е. что представление каждого элемента а в виде сум-
мы различных минимальных ненулевых элементов един-
ственно. Пусть
Н =	+ ... + Я» ==	4* - • • 4" bt
— два таких разложения. Умножая обе части на аг, полу-
чим at =	+ • - • + Произведение atbj тогда
и только тогда отлично от нуля, когда «г = bj. Поэто-
му каждый член первой суммы встречается во второй
и, наоборот, каждый член второй встречается в первой,
что и требовалось доказать. Сохранение операций сложе-
ния, умножения п взятия дополнительного элемента при
отображении ср очевидно.
Для бесконечных алгебр Буля можно утверждать
в общем случае, что каждая бесконечная алгебра Буля
изоморфна подалгебре алгебры всех частей подходящего
бесконечного множества.
ГЛАВА HI
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ и второй ст у пени
§ 6. Синтаксис и семантика
6.1. Термы. Выше указывалось (см. п. 2.2), что в теории
алгебраических систем изучаются преимущественно лишь
свойства систем, остающиеся инвариантными при изо-
морфизмах систем на системы. Одним из языков, на кото-
ром удобно выражать инвариантные свойства систем,
является язык 2-й ступени. Строится он следующим
образом.
Алфавитом называется произвольная совокупность
попарно различных символов. Предполагается, что мы
можем рассматривать произвольные конечные последова-
тельности букв, каждая из которых «воспроизводит» тот
пли иной символ алфавита. Эти последовательности букв
называются словами в данном алфавите. Далее мы не будем
символы алфавита отличать от воспроизводящих их букв.
Например, пусть алфавит состоит пз символов 0, 1, Д-,
= , а, Ъ. Последовательности
ал, аЪаЪ, а Д- = 1, О Д 1 — 1, Д 1 = Д-Д-я
суть слова в указанном алфавите. Число букв слова назы-
вается его длиной. Два слова называются (графически)
равными, если они имеют одинаковые длины и соответ-
ствующие их буквы равны. Например, слова 0-|-1 и 1Д 0
различны, так как различны их первые буквы. Совокуп-
ность всех слов в данном алфавите называется формальным
языком в этом алфавите. Для того чтобы говорить о свой-
ствах слов данного формального языка, мы употребляем
некоторые символы, не принадлежащие алфавиту языка.
Эти символы называются символами метаязыка или мета-
s Cj	СИНТАКСИС II СЕМАНТИКА	•	139
символами. В частности, в выражениях вида «рассмотрим
какие-нибудь слова Ан В формального языка» буквы А, В
не входят в состав алфавита формального языка п являют-
ся метасимволами.
Итак, пусть А, В — слова какого-нибудь формально-
го языка. Выписывая сначала буквы первого слова А
и приписывая затем к ним все буквы слова В, получим
повое слово, называющееся композицией слов А, Ви обо-
значающееся через АВ. Отсюда видно, что композиция есть
особая бинарная операция, определенная на множестве
слов данного формального языка. Иногда ее обозначают
точкой и называют операцией умножения слов. Результат
этой операции, конечно, зависит от порядка слов-сомно-
жителей. Например
аЪа-Ъа = ababa, ba-aba -- ЬааЪа.
Однако операция композиции слов, очевидно, ассоциа-
тивна.
Наряду с обычными только что определенными слова-
ми в данном формальном языке иногда вводят в рассмотре-
ние еще особый символ Л, называемый пустым словом.
По определению полагают
Л-Л = И-Л = А
п длиной пустого слова называют число 0.
Отрезки слова называют его подсловами. Ясно, что
слоно Aj есть подслово данного слова А тогда и только
тогда, когда существуют слова X, У. удовлетворяющие
уравнению
А ----- XA,Y.	(1)
Может случиться, что слово А имеет несколько отрезков,
рапных заданному слову At. В этом случае уравнение (1)
имеет несколько решений для X, Y. Первый отрезок А,
ранный At, называется первым вхождением А^ в слово А;
агорой отрезок слова А, равный Ait называется вторым
чгчждспием Ai в А и т. д. Если Xt, Уь Х2, У2, . . .,
) „ нее решения уравнения (1) и
дл. Xj < дл. Х2 < . . . < дл. Хп,
140
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТУПЕНИ
[Гл. III
где дл. обозначает длину слова, то решение Xt, Yt отвеча-
ет первому вхождению А, в А, решение Х2, У2 отвечает
второму вхождению и т. д. Решения X, Y, для которых
X — А или Y = А, не исключаются. Если Xt — А, то
называют начальным отрезком или начальным подсло-
вом слова А. Отрезки длины 1 являются просто буквами
данного слова. Пустое слово А, согласно сказанному,
имеет т + 1 вхождении в слово длины т, видных из
разложений
А. . . Ojyi — аЛ * А • iig . . . Oj^ — ... — а^а t, . . .	• А-•
Пусть At — подслово слова А и В — какое-нибудь
заданное слово. Рассмотрим i-е вхождение At в А, отве-
чающее разложению А = ХА tY. Слово XBY называется
результатом подстановки слова В в слово А вместо i-ro
вхождения слова At и обозначается символически через
Sb; (Л; Alt В), где Sbz — символ операции подстановки.
Например,
Sba (abac; а, с) — аЪсс, Sb! (ab; А, с) — cab,
Sbj (cab; a, A) — cb.
На этом мы пока прервем абстрактное изучение фор-
мальных языков и займемся изучением строения конкрет-
ного языка, названного выше языком 2-й ступени.
Алфавит языка 2-й ступени состоит из символов:
& (конъюнкция, читается И),
V (дизъюнкция, читается ИЛИ),
Л (отрицание, читается НЕ),
-> (импликация, читается ВЛЕЧЕТ),
V (квантор всеобщности, читается ДЛЯ КАЖДОГО),
3 (квантор существования, читается СУЩЕСТВУЕТ),
= (знак равенства, читается РАВНО),
называемых логическими символами, а также из символов:
х, F, Р, А,
( (левая скобка),
) (правая скобка),
, (запятая).
| G]	СИНТАКСИС И СЕМАНТИКА	‘ 141
Слова вида
(хД ... Л) -= (хД”‘) — хт	(m = 0, 1, ...),
(Л ... Л/’Л ... Д) = (ЛЖ1)^	(m, /г = О, 1, ...),
(Л ... А/'Л ... Д) =--(ДпРДт) = Р™	(т, п = 0, 1, ...)
называются соответственно предметными, функциональ-
ными и предикатными переменными. Число т называется
номером переменного, а число п — арностью соответствен-
ного предикатного или функционального переменного.
На символы хт, F^, Рт следует смотреть как на сокра-
щенные обозначения соответствующих слов рассматри-
ваемого языка. Знак равенства будет дальше играть
двойную роль. С одной стороны, это будет алфавитный
символ языка 2-й ступени, а с другой — это будет знак
равенства, употребляемый в метаязыке, на котором будут
выражаться свойства слов языка 2-й ступени.
Указанный выше алфавит языка 2-й ступени конечен,
но каждая из совокупностей: предметных переменных,
функциональных переменных произвольной арности и пре-
дикатных переменных этой арности — бесконечна. Тем
не менее иногда к алфавиту языка 2-й ступени добав-
ляются еще дополнительные символы, играющие роль
предметных, функциональных или предикатных пере-
менных.
Не все слова языка 2-й ступени употребляются для
выражения свойств алгебраических систем, а лишь
некоторые из них, называемые термами и формулами.
В этом пункте будут изложены определение и простей-
шие свойства термов, а в следующем пункте — формул.
По определению полагаем:
1)	каждое слово вида или F^ есть терм;
2)	если щ, . . ., ап — термы, то слово
(щ, • • -, оп) также терм;
3)	слово называется термом, если оно является термом
в силу условий 1), 2).
Отсюда, например, следует, что слова
(F?, х2, F™ (х.)), F ‘2) (F«> (хь х2), F? (х„ х,))
142
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТУПЕНИ
[Гл. III
являются термами, а слова
(х2, F™ (zt)), F? (Р“'\ F?)
— по термы.
Мы теперь хотим определить понятие значения терма
при заданных значениях функциональных и предметных
переменных, входящих в запись терма. Задать значение
n-арпого функционального переменного F^ — это зна-
чит поставить ему в соответствие конкретную п-арную
операцию, определенную на фиксированном «основном»
множестве Д. Задать значение предметного переменного
Xi — это значит поставить ему в соответствие какой-то
элемент яг из указанного основного множества А. При
этом множество А фиксируется заранее и значения всех
функциональных и предметных символов задаются в А.
Значение произвольного терма Т определяем далее индук-
цией по числу функциональных букв в записи терма.
Если терм имеет вид или Fi°\ то значение его совпа-
дает со значением предметной переменной ,гг, или F^.
Если же терм 7' имеет вид F\i,} (7'ь . . ., 7',,) и значения
термов 7’(, . . ., 7’,, равны соответственно элементам
at, . . ., ап из Д, то значение терма Г равно значению
соответствующей операции /р1), выполненной над эле-
ментами «ь . . ., а„. Иначе говоря, чтобы получить
значение терма, надо выполнить над значениями предмет-
ных переменных все те операции, которые указаны в записи
терма. Например, пусть требуется вычислить значение
терма
F^(X1, F^(xi, х2)),	(2)
когда значения cq, х2 равны соответственно 2, 3, a F‘*\
F™ «обозначают» операции и • па множестве N —
— {О, 1, 2, ...}. Последовательно находим
/?’ (*ь л-2) = 2ДЗ-5, 7'12> (./ j, F? а-2)) =- 2  5 = 10.
Если же обозначает операцию сложения нату-
ральных чисел, a F™ — операцию возведения в степень
хр, то при тех же значениях предметных переменных
хЛ — 2, ;т2 -- 3 значением терма (2) будет число 22+3 = 32.
СИНТАКСИС И СЕМАНТИКА
143
§ fi]
Иногда в качестве значений функциональных пере-
менных допускают частичные операции, определенные
не для всех значений предметных переменных. В таком
случае и значение терма может оказаться неопределен-
ным. А именно, значение терма, содержащего символы
частичных операций, тогда и только тогда определенное,
когда, выполняя над значениями предметных перемен-
ных последовательно операции, указанные в записи
терма, мы все время будем получать определенные зна-
чения. Например, рассмотрим частичную алгебру
<{0, 1, 2, . . .}; +, • , — >, где +, • — обычные
операции сложения и умножения чисел, а у - х — частич-
ная операция вычитания, определенная только для пар
х У- Тогда имеем
1 + 0-(2 - 1) = 1,	(2 - 3)	3 = неопр.,
1 -|- 0-(1 — 2) = неопр.
Следующая теорема указывает одно из наиболее заме-
чательных свойств термов.
Т е о р е м а 1. Пусти задан гомоморфизм а некоторой
алгебраической системы -= (A, Q) в однотипную систе-
му S3 т= (В, Q'), и пусти Т (ж1; . . ., .г,.) — какой-то
терм, построенный из функционал иных переменных
/'’У"1’, . . ., и предметных переменных ,г17 . . ., хТ.
Значениями функциональных переменных F^"^, . . ., F^”'»'
а системе ?( будем считать операции . . ., Fs £ Q,
а значениями тех же функциональных переменных в систе-
ме S3 будем считать одноименные операции Glt . . ., Gs £
( £2'. Тогда для любых элементов at, . . ., аТ в
Т (я17 . . ., ar) а = Т (гца, . . ., ага), (3)
.ih- слева. и справа от знака равенства стоят значения
терма Т при указанных значениях переменных в системах
?1 » S'.
Доказательство проводится индукцией по числу п
иные....ini функциональных символов в Т. Если п — О
ii.hi и I, то терм Т имеет один из видов
Л°’, Л’Ихн
144
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТУПЕНИ
[Гл. III
где	Е {xt, . . ., хг}. В каждом из этих
случаев равенство (3) совпадает с равенством (1) в опре-
делении гомоморфизма в п. 2.2.
Пусть теперь терм Т имеет п > 1 вхождений функцио-
нальных символов и для термов с меньшим числом вхожде-
ний равенство (3) справедливо. Терм Т имеет вид
Н’”г) (Tj, . .	Tm.), где Tt, . - Tm. — некоторые тер-
мы с меньшим значением числа п. Из определения гомо-
морфизма получаем
Ft (Л, . . ., Т,п.) а = G, (Tta, . . ., Л„.а).
Согласно индуктивному предположению
Тj (щ, . . яг) « — Тj (ала, . . ., я,а)
и потому
Fi (Tt, . . ., Tw.) а =
~ Gt (Tt (ata, . . ., яга), . . .
(бца, . . ., яга)) —
- Т (ща, . .	я,а),
что и требовалось.
В п. 2.3 было введено понятие порождающей сово-
купности элементов S подсистемы 21 t некоторой алге-
браической системы 21. Это понятие можно сделать более
конкретным при помощи понятия терма. Условимся
говорить, что некоторый терм Т имеет сигнатуру систе-
мы 21 (см. также п. 6.3), если каждому функциональному
переменному, участвующему в записи терма Т, поставлена
в соответствие в качестве его значения в 21 некоторая
главная операция системы 21. Мы будем говорить, что
терм Т есть терм от элементов ал, . . ., аг системы 21,
если каждому предметному переменному, входящему
в запись Т, поставлен в соответствие один из элементов
at, . . ., аГ в качестве значения этого переменного. Тогда
значением каждого терма сигнатуры системы 21 от некото-
рых элементов этой системы будет какой-то элемент
той же системы 21.
Теорема 2. Для того чтобы подсистема 21 f по-
рождалась совокупностью S элементов некоторой алгебраи-
ческой системы 21 — (A, Q), необходимо и достаточно,
СИНТАКСИС И СГ.МАНТИКА
145
§ 6]
чтобы каждый элемент 9(1 равнялся значению подходя-
щего терма сигнатуры ?! от некоторых элементов S.
В самом деле, подсистема 91 j. порожденная совокуп-
ностью 5, содержит 5 и замкнута относительно главных
операций. Поэтому, вычисляя значение какого-нибудь
терма от элементов совокупности S, мы будем оставаться
внутри 91 j, и окончательное значение терма также будет
в 911- Обратно, пусть 3)1 — множество значений всевоз-
можных термов от элементов совокупности 5. Множество
3)1 замкнуто относительно любой главной операции Ft,
так как, если п;, . . ., ит* — значения каких-то термов
Ti, . . , от некоторых элементов S, то Ft (щ, . . ., nnu)
будет значением терма It (Tlt . . ., от тех же эле-
ментов и потому F- (г/ь . . ., ит ) g 3)1. Согласно опре-
•в
делению 91! есть наименьшее множество, содержащее S
и замкнутое относительно всех главных операций. Множе-
ство 3)1 содержит 5 и замкнуто относительно главных опе-
раций. Поэтому 911 <= 3)1. Однако выше было установле-
но, что 3)1 <= 9li. Следовательно, Slj = 3)1, что и тре-
бовалось.
Следствие 1. Если гомоморфизмы а, р какой-
нибудь алгебраической системы 91 в систему 35 совпадают
на некоторой, совокупности элементов S, порождающей 91,
то а = [3.
Согласно теореме 2 произвольный элемент х С 91
есть значение подходящего терма Т (щ, .... а,.), где
а........ а,. — некоторые элементы .S'. По условию
ata = агр (f -= 1, . . ., г).
В силу теоремы 1 отсюда получаем
Т («1, - . ., оГ) а - Т («!, . . ., аг) р,
I. <. ха -- .г’Р для любого х f 91.
И га к, чтобы задать гомоморфизм 91 в 35, достаточно
укать лишь элементы а,а (at g 5). Каким же условиям
н> i.i.iii.i удовлетворять произвольно заданные элементы
ч" 'ИОО1.1 эго отображение S в 35 можно было продолжить
к» । омочорфпзма 9( в 35?
I < <> р с м а 3. Пусть S — совокупность элементов, по-
ра 4i	алгебру 91, и а* —отображение S в какую-то
IВ д II M.I 11.11«*ii
14(5
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ 11 ВТОРОЙ СТУПЕНИ
|Гл. Ш
алгебру %>, однотипную с 21. Для того чтобы отобра-
жение а* могло быть продолжено до гомоморфизма бДИ.
в 33, необходимо и достаточно, чтобы
ТДа^ ..ar)- Tzipt, .. ., яг)=>
=5 7\ («!«*, .. ., ага*) = Т2 («1«*.а,.а*)	(4)
для любых термов Т 4, Т\сигнатуры 21 и любых аЛ, . . аг
из S.
Из теоремы 1 следует, что условие (4) необходимо.
Пусть оно выполнено. Берем произвольный элемент
а £ 21. Согласно теореме 2 найдется терм 7' (яд, . . ., хг)
такой, что а = Т (сд, . . ., аг) для подходящих alt ...
. . аг из S. Полагаем по определению
аа = Т (аха*, . . ., сга*).	(5)
Условие (4) гарантирует, что аа не зависит от выбора
соответствующего терма Т, т. е. что а есть одно-
значное отображение 21 в Беря произвольные
z4, • • -, z,nt в <1 и представляя их в виде термов от эле-
ментов iS”, из (5) получаем соотношение
7* в (zi> • • • > zmt) сс — (zta, . .., zjn^a),
означающее, что а — гомоморфизм 21 в 35.
В теореме 3 рассматриваются гомоморфизмы а л -
г е б р. Для гомоморфизмов с и с т е м к условию (4)
надо добавить условие (2) из п. 2.2, принимающее здесь
следующий вид:
Р,) (z17 ..., zmJ =$ Q,} (Z1a*, . .., z„1T]a*)
для любых термов z4, . . ., zm от элементов S.
6.2.	Формулы. Наряду с термами и их значениями
в языке 2-й ступени такую же фундаментальную роль
играют понятие формулы, понятия свободных и связан-
ных переменных в данной формуле и значения формулы.
Понятия формулы, свободных и связанных переменных
определяем совместно путем следующей индукции:
1)	Для каждого предикатного переменного Р-п) и про-
извольных термов 71!, ..., Тп слово Рр^ (Т15 ..., 7’„)
есть формула. Для каждого нульарного предиката Р-0)
I, 1.1	СИНТАКСИС И СЕМАНТИКА	147
<лоно	есть формула. Все переменные в этих формулах
свобод н и.
2)	Для каждых термов Т{, Т<> слово 1\ = 1\ есть
формула. Все переменные в этой формуле свободны.
3)	Если Й — формула, то ~ й — также формула. Все
переменные, свободные в формуле й> свободны и в ~Й-
Все переменные, связанные в формуле й, остаются свя-
занными и в формуле
zi) Пусть йь йз— такие формулы, что переменные,
входящие одновременно в обе формулы, свободны в каж-
дой из них. Тогда слова
(S1 & Йз)>	(Й1 V Эг)> ®1 —> Йг)	(1)
также формулы. Переменные, свободные хотя бы в од-
ной из формул йг, Й2, являются свободными и в форму-
лах (1). Переменные, связанные в какой-либо из формул
Й,, йз,— связанные и в формулах (1).
5) Пусть £ обозначает какое-либо из переменных
,r(,	Р^\ и это переменное входит свободно в некото-
рую формулу й- Тогда слова
(Vj)g, (3s) g	(2)
снова являются формулами, в которых переменное £
связанное, а все остальные переменные, входившие сво-
бодно или связанно в формулу Й, остаются такими же
н в формулах (2).
(!) Слово называется формулой, если оно является фор-
мулой вследствие утверждений 1)—5).
Определение 1)—6) является индуктивным, причем
индукция ведется по числу знаков Р^\ =, участвующих
и записи формул. Существует очень простой алгоритм,
нозноляющий для любого заданного слова узнать, является
ли оно термом, формулой или нет. Для этого сначала
ан метим, что в термах и формулах скобки всегда входят
пирами соответствующих друг другу левой и правой ско-
бок- и что пары соответствующих скобок не могут разде-
лить друг друга. Пара скобок называется внешней, если
псе остальные буквы слова лежат внутри этой пары.
Из правил образования термов и формул следует, что
гермами и формулами, не содержащими скобок, являются
10*
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТУПЕНИ [Гл. Ill
лишь слова
•г-ь /Г, РУ\ =	.'IРГ^РГ,
ти,=,г;. -уп = /7>,
II т. д.
Пусть ЭД — какое-нибудь слово, содержащее скобки.
Находим в ЭД первичные пары скобок. Чтобы слово ЭД
было формулой, необходимо, чтобы либо внутри первич-
ной пары находилось слово вида (3), либо чтобы ЭД
вместе с этой первичной парой содержало подслово вида
Fjl) («1, - • Ut) или Р^ (щ, . . ., щ), где щ, . . ., кг —
переменные вида ,ги, F^’. Пара скобок в слове называется
парой высшего порядка относительно другой пары ско-
бок, если вторая пара содержится внутри первой. Пер-
вичные пары — это нары наинизшего порядка. Переход
от пар скобок внутри слова ЭД к парам высшего порядка
должен совершаться по правилам 1)—5). Если эти пра-
вила в какой-то момент нарушаются, то слово ЭД —не
формула. Например, слова
(V.r.) (.rj -ам & (Э.т3) Р™ (,г2, , j), (Э.г,) (V.rJ Д .г, - .г2
— формулы, а слова
(V.rt) Л” (-П, М ((V.rj) Р{" (.г,) & (Э.г,) Р'" (.г,))
— не формулы.
Значением предикатного переменного Р\‘} на множе-
стве А называется произвольный конкретный i-арный пре-
дикат Р, определенный на А. Значением формулы ЭД при
заданных значениях всех свободных предметных, функ-
циональных и предикатных переменных этой формулы
на фиксированном множестве Л называется символ II
или .7, вычисляемый по следующим правилам:
а)	Пусть ЭД— формула вида и = v, где и, v — термы.
Значениями этих термов являются некоторые элементы
а, Ъ из Л. Если а = Ъ, то значение ЭД есть И. Если же
а гД- ft, то значение ЭД есть JI.
б)	Пусть ЭД — формула вида Pf* (at, ..., а,), где
щ, ..., а,—термы. Значения этих термов равны каким-то
элементам ..., лг множества Л. Значением перемен-
ного Р(/> служит какой-то г-арный предикат Р, заданный
!< Ы
СИНТАКСИС И СЕМАНТИКА
149
па А. По определению значение Р(яа, ...,аг) называется
значением формулы 7->;’)(аа, аг).
в)	Пусть формула g- имеет вид И ЭД, где ЭД— более
короткая формула. Вычисляем значение ЭД. Если оно
равно 7/, то значение fy равно Л. Если значение ЭД равно Л,
го значение равно 77.
г)	Если формула jy имеет один из следующих видов:
(ЭД & ’25), (ЭД V ’25),	(ЭД —> 05)
п значения формул ЭД, 05 известны, то значение §• вычис-
ляется согласно известной логической таблице
ш $	(VIO)	(SIV'33)	(VI—>ЯЗ)
Il II	II	И	11
и Л	Л	11	Л
Л 11	Л	И	н
Л Л	Л	Л	11
д)....Пусть формула имеет вид (V.r;) ЭД или (За,) ЭД.
Но условию все свободные переменные формулы jy имеют
заданные значения. Формула ЭД имеет свободными пере-
м...... все свободные переменные формулы ?у и, сверх
того, переменное xt, значение которого не задано. Так
как формула ЭД короче формулы ?у, то. задавая для аг
какое-нибудь значение а из множества /I, мы можем
вычислить значение ЭД. Если для каждого а в множестве
. I значение ЭД равно И, то значение формулы (V.t,) ЭД
равно If. В противном случае значение формулы (у.г,) ЭД
полагают равным Л. Если существует такое значение
и и .г, в А, при котором значение ЭД есть И, то значение
формулы (З.с;) ЭД полагаем равным И. Если при всех
111ЛЧГ11НИх Xi в /1 значение ЭД есть Л, то значение формулы
(1г,)ЭД полагаем равным Л.
с) Если формула имеет вид (W^’) ЭД или (З/'’^-’) ЭД,
н in (V/’'Р) ЭД, или (ЗР(р) ЭД, то значение Д' определяется
он. а.о, как и в случае д). Разница состоит лини, в том,
чю и качестве значений переменных 7/(р и 7-><)) теперь
паю орать операции и предикаты па множестве Д.
150
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ II ВТОРОЙ СТУПЕНИ
[Гл. III
Формула $ называется истинной на заданном множе-
стве А при заданных значениях всех ее свободных пере-
менных, если значение 'д- равно II. Формула jy называется
ложной, если значение ее равно Л.
Рассмотрим, например, формулу
(Hxj) A2’ (xt, xz) = х3.	(5)
Чтобы найти ее значение, надо сначала указать основ-
ное множество А и задать значения предметных пере-
менных и функционального переменного F^p. Пусть А —
совокупность натуральных чисел, F{^ = Тогда
истинность формулы (5) равносильна истинности соотно-
шения
.fj г .т2 - .т’з,
н, например, формула (5) истинна для у2:2, J.’3=5
и ложна для .г2 = 5, а;3 —2.
На том же множестве А- —{0,1, . . .} рассмотрим фор-
мулу
(Vt.) (lr2) F™ (г2, F/' (.г,, х3)) - х3.	(6)
Пусть значение F‘i~' есть операция сложения чисел, значе-
ние F'!' есть операция умножения. Тогда истинность фор-
мулы (6) будет равносильна истинности утверждения о том,
что для каждого натурального .г уравнение
у -|- ха = а	(7)
имеет хотя бы одно натуральное решение у. Это, оче-
видно, верно, если а — 0, и ложно, если а =# 0.
При тех же значениях переменных истинность фор-
мулы
(Э.т2) (V.Tt) Ff (,гг, F(*> (.гь л3)) -=.с3
равносильна истинности утверждения о том, что суще-
ствует такое натуральное число у, для которого для всех
натуральных значений х выполнено равенство (7).
При записи формул языка 2-й ступени обычно поль-
зуются разного рода сокращениями. Наиболее употреби-
тельные из них следующие. Прежде всего, не выписы-
вают внешних скобок. Например, словом
Х2 & - I 3j Х3
S в]	СИНТАКСИС И СЕМАНТИКА	151
обозначают формулу
(ж, — Ж2 & “1 Ж] — ж3).
Вместо формулы Ч £ = t) пишут х =# ф При последова-
тельности кванторов V промежуточные кванторы опускают
и вместо (Ужг) (Х/жД ... (Х/жД ЭД пишут (VxiXj ... хп) ЭД. Ана-
логично вместо (Эж;) (Эж^) . . . (ЭжД ЭД пишут (Эжгж7- ... жй) ЭД.
В формулах вида
(...((ЭД1&ЭД2)&ЭД3)&...&ЭД,!),
(...(^LVW^V---V2U)
опускают скобки и пишут
эд1&эдг&эд3& ... &эд„, эд4\/ЭД2\/ЭДз\/ • • • V^-
Чтобы еще более сократить количество скобок в фор-
мулах, пользуются известным правилом силы операции,
полагая, что связка \/ сильнее связки & и связка & силь-
нее связки —Это значит, что при отсутствии некоторых
скобок их надо восстанавливать в следующем порядке:
сначала выделяем скобками такой минимальный отрезок,
содержащий первый знак V, который вместе с этим зна-
ком и восстанавливаемыми скобками образует формулу.
Восстановив этим способом скобки для знаков V, перехо-
дим к восстановлению скобок, связанных со знаками &,
и затем к восстановлению скобок, связанных со зна-
ками —>. Например, слово
Пж1^ж2&пР<1'»\/^21)->А=з-3	(8)
после восстановления скобок переходит в формулу
((-] ,г1 = ж2 & (~| Р?» V /’»"’)) -> Ч = Ъ),
дли которой слово (8) и служит сокращенной записью.
Изложенные способы сокращенной записи позволяют
набегать лишних нагромождений скобок. Наряду с этим
применяется важный способ сокращения записи путем
нведГппя новых обозначений. Пусть формула ЭД содержит
подформулу 58, имеющую свободные в ЭД предметные
переменные жг, х}. Для подформулы §8 можно ввести обо-
......... П (.Ci, Xj), где U — символ, не входящий в алфа-
itiii рассматриваемого языка. Подставляя в формулу ЭД
имеет ч8 слово U (ж,, xj), получим новое слово, которое
152
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ II второй ступени
[Гл. III
и называется сокращенной записью формулы ?1. Такие
сокращенные обозначения можно вводить нс только для
подформул, но и для отдельных переменных. Например,
мы будем говорить: возьмем какую-нибудь бинарную
операцию L, унарные предикаты Q, Н, предметные пере-
менные х, у и рассмотрим формулу
У) I. {У.	(.г) &/?(!/).	(9)
Это значит, что мы рассматриваем формулу, которая
юлучается из слова (9) подстановкой вместо х, у каких-то
р а з л и ч н ы х предметных переменных ад, xj, вместо
L какого-то функционального переменного Fi2’ и вместо
Q, R каких-то различных унарных предикатных перемен-
ных Р"\ Р?>.
Как уже говорилось в п. 3.1, термы вида
-Тш.) иногда обозначают через х1П^ ... F^l\
а формулы	. .., ;гга.) — через х,,^ .. . хт.Р^\ Для
бинарных операций и предикатов вместо F (.г, у), Р (х, у)
иногда пишут xFy, хРу. В результате довольно длинные
формулы, имеющие, например, вид
р (Р (•»’. /Д z) & Р С*’, z) F (z, .г),
оказывается возможным записать короче в виде
(xFy) Pz & xFz — zFx.
Для того чтобы говорить о значении формулы или
терма, надо сначала фиксировать основное множество А
и на нем задать значения свободных переменных, входя-
щих в формулу. Иногда бывает интересно фиксировать
значения лишь некоторых свободных переменных на А
и затем следить за законом изменения значения формулы
или терма при изменении значений остальных свободных
переменных. В этом случае часто в заданную формулу
вместо свободных переменных, имеющих фиксированные
значения, подставляют обозначения этих значений п рас-
сматривают формулу смешанного вида, составленную
частично из символов языка 2-й ступени и частично из
обозначений конкретных элементов, операций и предика-
тов, являющихся значениями соответствующих перемен-
ных заданной формулы.
5 «1
СИНТАКСИС И СЕМАНТИКА
153
Например, вместо того чтобы сказать: рассмотрим
значения формулы
(V r2) (/'?’ (х,, Т2) Т2 & F<2> (.^ Z2) = X,)
па натуральном ряде N = {0, 1, 2, . . .}, когда обо-
значает операцию сложения, — операцию умноже-
ния, а принимает различные значения в N, говорят:
рассмотрим значения формулы
(Vy) (х + у = у&ху = х)	(10)
па натуральном ряде, где +, • есть обычные операции
сложения и умножения чисел. Из правил вычисления
значений формулы непосредственно получаем, что фор-
мула (10) истинна тогда и только тогда, когда х = 0.
Аналогично легко убеждаемся, что формула
(Zh) (т z yF х у)	(11)
истинна тогда if только тогда, когда х < у. Легко также
убеждаемся, что формула
(V?/z) (уу Fy & zz =# z —>хф yz) & хх X (12)
истинна тогда и только тогда, когда число х простое.
Обозначим формулу (12) через В (ж) и рассмотрим
формулу
(V.r) (.».< =# х —> (Hz/z) (/? (у) & В (z) & .г - |-.r у ' z)). (13)
Эта формула истинна тогда и только тогда, когда
каждое четное число, большее двух, есть сумма двух
простых чисел. Верно это утверждение или нет — пока
открытая проблема. Таким образом, сегодня пока неиз-
нсс.тно значение формулы (13).
Если в качестве основного множества взять не множе-
ство натуральных чисел, а множество всех вещественных
чисел, то значения формул (10) — (13) будут иными, хотя
формула (10) и па множестве вещественных чисел будет
по-прежнему «определять» число 0. А именно, формула
(И) будет истинна для всех х =# у, формулы (12) и (13) —
ложны для всех х. Чтобы определить с помощью опера-
ции сложения и умножения отношение х < у для
кч'птвительных чисел, вместо формулы (11) можно
154	ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТУПЕНИ ГГл. ш
воспользоваться формулой
(Hz) (х + (zz) = у & Z + Z =#= Z) ,
так как квадрат любого отличного от нуля веществен-
ного числа есть число положительное.
6.3. Свойства 2-й ступени. Многие важные свойства
алгебраических систем допускают вполне естественную
формулировку на языке 2-й ступени. Ряд проблем также
может быть совершенно естественно сформулирован на
этом языке. Простым примером этого рода может слу-
жить упомянутая выше проблема Эйлера о представле-
нии четных чисел суммой двух простых. Общая идея
применения языка 2-й ступени в теории алгебраических
систем состоит в следующем.
Рассмотрим произвольный класс Я алгебраических
систем заданного типа (znn, . . . , т$, . . .; пп, ...
. . ., Пт), . . . > (g < а, ц < |3). Этому типу ставям в соответ-
ствие набор о каких-то функциональных и предикатных
символов Fo, . . ., F^, . . ., Ро, . . .,	.	. ., арности
которых равны числам ш0, . . ., /п>, . . ., п0, - - 
..., п,и . . . На символы F 0, . . ., F^, . . POl . . ., /3Гр . . .
мы будем смотреть как па обшие имена соответствующих
операций и предикатов систем класса Я. Совокупность
указанных символов мы будем называть сигнатурой класса
Я'. Пусть задана произвол!,ная система ЭД класса Я- Значе-
ниями символов F^, Рц па ЭД называются g-я операция и ц-й
предикат этой системы. Таким образом, задать па данном
множестве А систему сигнатуры о — это значит задать
некоторое непустое множество А и каждому сигнатурному
знаку сопоставить в качестве его значения некоторую
операцию или предикат на А соответствующей арности.
Формула языка 2-й ступени называется формулой
сигнатуры о, если все свободные функциональные и пре-
дикатные символы этой формулы принадлежат о. Фор-
мула, не содержащая свободных предметных переменных,
называется замкнутой или закрытой. Формула, не содер-
жащая ни предметных, ни функциональных, ни преди-
катных свободных переменных, называется абсолютно
замкнутой.
Для каждой абсолютно замкнутой формулы jy и для
каждого множества А можно поставить вопрос, истинна
СИНТАКСИС II СЕМАНТИКА
155
§ 6]
или ложна формула па А. При этом никаких дополни-
тельных сведений о значениях свободных переменных
не требуется, так как в формуле g их нет. Напрпмер,
формулы
(VP) (W) (Р G) vn Р (ж)), (VP) (V.r) (F (т) = F (т)),
где Р, F — унарные предикатный и функциональный сим-
волы, истинны на любом непустом множестве.
Напротив, если формула не абсолютно замкнута,
то, спрашивая об ее истинности или ложности, предвари-
тельно надо задать значения ее свободных переменных.
Однако все свободные переменные замкнутой формулы
сигнатуры о имеют фиксированные значения на каждой
алгебраической системе сигнатуры о. Следовательно,
в этом случае мы снова можем говорить об истинности
или ложности формулы ?у, ио только не на множестве,
а на системе сигнатуры о. Например, формула
(V-zyz) (a; (//-I-z)	(.r-z))	(1)
— замкнутая формула сигнатуры о = (+, • ), где
- есть бинарные функциональные символы. Натураль-
ный ряд с обычными операциями сложения и умноже-
ния есть алгебра сигнатуры о. Ясно, что формула (1)
истинна на этой алгебре. Напротив, формула
(V.r) (.г-ж = ж)	(2)
ложна на ней.
Обозначим через S (х) число х -|- 1 и рассмотрим
алгебру (N, S), где N — натуральный ряд. Формула
(VP) (V.r) ((¥{/) (ж =£ S(y)) & /'(•,) & (Vz) (P(z) P (S (z))) ->
-> (Vu) P(u)) (3)
выражает принцип полной индукции и потому истинна
на алгебре (TV, S).
Рассмотрим еще пример. Формула
(Vz) (ж -(- y-z = ж)	(4)
есть формула сигнатуры +, но не замкнутая. Истинна
опа пли ложна на алгебре (2V; | , - ) — зависит от зна-
чений предметных переменных х, у в N. Если х — 1,
у = 0, то формула (4) истинна, если х = 1, у — 1, то
156
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ л второй ступени
[Гл. Ш
формула (4) ложна, и т. д. Мы видим, что каждой паре
чисел х, у формула (4) сопоставляет один из элементов
множества {И, Л} и, таким образом, определяет бинар-
ный предикат на N.
Значения формулы (4) можно исследовать не только
на алгебрах сигнатуры -j~, -, по и на алгебрах более
узкой сигнатуры, например на алгебре (N,  ). В этом
случае значенпе формулы (4) будет зависеть не только
от значений предметных переменных х, у, но и от выбора
функции -|-. Иначе говоря, значение формулы (4) будет
предикатом, определенным на декартовом произведении
N X N X Т, где 7’ — совокупность всех бинарных опе-
раций на N. Такого рода предикаты называются преди-
катами 2-го порядка. В отличие от них, обычные преди-
каты, которые мы только и будем рассматривать, иногда
называются предикатами 1-го порядка.
Как уже говорилось, истинность или ложность замк-
нутой формулы сигнатуры о на системе сигнатуры о не
зависит от каких-либо дополнительных данных и потому
является свойством самой этой системы. Свойство системы
?! сигнатуры о, состоящее в том, что па ЭД истинна какая-
то данная замкнутая формула сигнатуры о, называется
свойством 2-й ступени.
Покажем, что свойства 2-й ступени абстракт-
н ы о, т. е. 410 если па какой-нибудь системе ЭД сигна-
туры о некоторая замкнутая формула § сигнатуры о
истинна или ложна, то на каждой системе Q5, изоморфной
ЭД, формула Я имеет то же значение. На самом деле мы
докажем, что верна следующая более общая
Т е о р о м а 1. Пусть а — изоморфное отображение
алгебраической системы ЭД сигнатуры о „на" систему S3.
Обозначим через (нь . . ., ип) какую-нибудь формулу
сигнатуры о, имеющую свободные предметные переменные
ил, . . ., w„. Тогда для любых щ, . . ., ип из ЭД
Й' (н I,  • , ип) <=> ft (»1«, • - , к.,а).	(5)
Эту теорему удобнее всего доказывать индукцией по
числу г вхождений в формулу ft логических знаков &,
V, —>, 3, V, -- и знаков предикатных переменных.
Если г—1, то ft имеет один из видов
ai=ag, Р(0), Р(п) (а1; .. ., an), (6)
§ с]
СИНТАКСИС И СЕМАНТИКА
157
где С|, . .	а„— термы от щ, . . ип. В этом случае
соотношение (5) следует из определения изоморфного ото-
бражения (см. п. 2.2) и из теоремы 1 и. 6.1.
Пусть теперь для формулы $ имеем г >• 1 и для фор-
мул с меньшим значением г теорема 1 верна. Следуя
определениям формулы, рассмотрим все способы, при
помощи которых S может возникнуть из формул с мень-
шим г.
а)	имеет вид Щ Si. По условию S4 (и) <=> Si (на)
и потому И Si (и) <=> П Si (на).
б)	$ имеет один из видов
Si & S2, S1V&Z’ Si—*3'2»
где So S'2— формулы, имеющие меньшие значения г, чем
формула S- По условию
Si («) <=> Si (“«)	(1‘ = 1.2)
и, следовательно, соотношение (5) справедливо.
в)	S имеет вид (V.t)Si(ui,  ип, %)• По условию
Si (щ, ..., ип, х) <=> Si (ща, .. ., ипа, ха) (7)
для каждого х из ЭД. Если формула (V.<) Si (гФ ..., и,,, х)
истинна, то левая, а значит, и правая формулы в (7)
истинны при каждом значении х в ЭД. По для любого
элемента у системы 05 существует такой элемент .г б ЭД, что
ха = у. Поэтому формула Si (uia-, • • , una, у) истинна
для каждого у в 05, т. е. формула (V.c) Si (ща., ..., zintz, ,г)
истинна и соотношение (5) доказано. Если же формула
(V.c) Si (ztj, • • •, ип, х) ложна, то формула Si (Mi> • •  > ип, х)
ложна при некотором .egЭД. Из (7) заключаем, что фор-
мула fa (ща, ..., ипа, у) ложна при у - ха, и потому
<|юрмула (V.c) Si (uia,  • у ипа., х) ложна на 05. Итак,
и в этом случае соотношение (5) справедливо.
г)	Формула S имеет один из видов
(MS1, (VF)Si. (3F)S1, (VP) Si- (ЗР) Si-
ll каждом из этих случаев соотношение (5) доказывается
при помощи тех же рассуждений, что и в случае в).
Теорема доказана. В условии теоремы сказано, что
рассматривается изоморфизм системы ЭД „на“ систему 05.
Для изоморфизма ЭД hв" 05 утверждение теоремы может
158
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ 11 ВТОРОЙ СТУПЕНИ
[Гл. ш
оказаться неверным. Рассмотрим, например, модель §1 =
= ({1, 2}, <) и модель SB = ({1, 2, «}, <), где и в пер-
вом и во втором случае предикат < истинен лишь для
пары (1, 2). Тождественное вложение
а: х —>- х (х — 1, 2)
есть изоморфизм 91 в SB. Тем не менее формула
(Уху) (х ф у -* х < у V у < х),
истинная па модели 91, очевидно, ложна на модели SB.
Легко построить пример, показывающий, что при
гомоморфизме 91 на SB утверждение теоремы 1 также мо-
жет оказаться неверным. Пусть SB = ({1, 2}, <^), 91 =
= {(1, 2, п}, где отношение состоит из пар (1, 1),
(2, 2), (а, а) и пары (1, 2). Отображение
а: 1 -> 1, 22, а-> 2
есть гомоморфизм 91 на SB. Однако формула
(Эху) (~1 я < у & у < х)
истинна иа 91 и ложна па SB.
Из теоремы 1 при п = 0 получаем, что для изоморфиз-
ма систем 91 н SB необходимо, чтобы каждая замкнутая
формула данной сигнатуры, истинная на одной из систем,
была истинна и на другой. Из простых соображений
относительно мощностей систем вытекает, что приведен-
ное условие недостаточно для изоморфизма систем 91 и SB.
Однако его часто удобно использовать для доказательства
неизоморфности систем 91, SB. Для этой цели достаточно
найти замкнутую формулу, истинную на одной системе
и ложную па другой.
Рассмотрим, например, модели
9Ь ДО, 1, 2, . ..}; <>, SB = ({0, — 1, —2, ...}; <),
где — обычное отношение порядка. Замечаем, что в пер-
вой модели существует наименьший элемент 0, а во вто-
рой модели его нет. Первое утверждение можно записать
формулой
(3x)(Vy)x<y,
которая, таким образом, истинна на первой модели и лож-
на на второй. Следовательно, модели не изоморфны.
СИНТАКСИС И СЕМАНТИКА
159
Ь с>1
Сравним теперь модель VI с моделью
«-<М44.............................44.2-з.-}^>-
Сели мы попытаемся различить модели VI, G при помощи
замкнутых формул, не содержащих связанные предикат-
ные или функциональные переменные, то скоро заметим,
что паши попытки не увенчаются успехом. Однако раз-
ница между абстрактными свойствами моделей VI и К
есть. Мы видпм, что каждый элемент х той и другой модели
имеет непосредственно следующий за ним элемент х'
Связь между х и х' можно выразить формулой
с / A df
5 (г, х ) =
= х < х' & .1-	X.' & (Vz/) (.г <_ у & у < X -> X = y\Jy x').
п г1/
Символ = здесь и всюду далее означает, что стоящее
с,лева слово есть обозначение для выражения, стоящего
с.ирава.
Далее, в моделях VI, (5 есть наименьший элемент х,
описываемый формулой
Т (х) = (Уу)х<у.
Наконец, видпм, что, переходя от наименьшего элемен-
та х к следующему за ним ж', от х' к х" и т. д. в модели
VI, мы исчерпаем всю модель. В виде формулы это свой-
ство можно записать следующим образом:
(VP) (W) (Т (ж) & Р (.7 ) & (Vz/z) (Р (у) & S (у, z) Р (z)) ->
->(Vn)P(u)). (8)
Ясно, что, применяя те же переходы в модели (£, мы
Г А 1	2	1-0
исчерпаем лишь ее подмодель < U,	...!-. 1аким
£	о	1
образом, формула (8) истинна на модели 21 и ложна на
модели С. Поэтому модели VI и С не изоморфны.
Существует глубокое различие между свойствами фор-
мул, содержащих связанные предикатные пли функцио-
нальные переменные, и свойствами формул, не содержа-
щих таких переменных. Формулы языка 2-й ступени, не
содержащие связанных предикатных и функциональных
ICO
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ Я ВТОРОЙ CTMIE11J!
[Гл. J i i
переменных, называются формулами прикладного исчис
ления предикатов, сокращенно — формулами НИИ и. и*
ПИП -формулами. ПИП-формула, пе содержащая функ-
циональных переменных, называется (формулой узкого
исчисления предикатов или (формулой УИН. Формула
УИП, не содержащая знака равенства, называется фор-
мулой чистого исчисления предикатов (ЧИП).
Основным формальным языком теории алгебраических
систем служит ПИП, а основным языком теории моделей
является УИП. Языки ПИП, УИП и ЧИП в основном
равносильны друг другу. Эти языки называются язы-
ками 1-й ступени. Напротив, язык 2-й ступени много
более мощный. Весьма тонкие и логически сложные свой-
ства обычно нетрудно записать в виде формулы 2-й сту-
пени с предикатными связанными переменными. Напро-
тив, ряд даже самых обычных понятий, например понятие
подсистемы, невозможно записать на языке ПИП. Однако
много определений и свойств легко записывается и на
языке ПИП и, что самое главное, из самого факта запи-
сываемое™ некоторого утверждения на языке ПИП уже
следует много важнейших свойств этого утверждения.
Эти свойства ПИП и будут постепенно далее изложены.
6.4. Элементарные теории и аксиоматизируемые
классы. Пусть задай какой-нибудь класс Sv алгебраиче-
ских систем сигнатуры о. Замкнутая формула ?у
сигнатуры о называется истинной на классе St, если fy
истинна на каждой системе класса Я. Формула jy назы-
вается выполнимой на классе Я, если в Sv существует
система, на которой у истинна.
Понятия истинности и выполнимости на классе SI
распространяют и на незамкнут ы е формулы сле-
дующим образом. Пусть формула % содержит свободные
предикатные переменные 1\, . . ., РГ, свободные функ-
циональные переменные /(, . ... fs п свободные предмет-
ные переменные . . ., xt> пе входящие в сигнатуру о.
а все остальные свободные переменные ?у пусть входят
в о. Рассмотрим какую-нибудь алгебраическую систему
№ класса Я. Чтобы можно было говорит!» об истинности
или ложности формулы § на 3)1, надо задать па Э)1 значе-
ния переменных Ру, xh (i, j, k = 1, 2, . . .) (см. п. 6.2).
Формула g называется истинной на классе Я. если она
§ 61
СИНТАКСИС И СЕМАНТИКА
161
истинна на каждой системе 331 из St при любом задании
в всех свободных переменных формулы не входящих
в сигнатуру St. Формула ?у называется выполнимой на
классе St, если в St существует система W, на которой
возможно так задать значения всех свободных перемен-
ных формулы Д', не входящих в сигнатуру 3JJ, чтобы при
этих значениях формула % была истинной па ЗК.
Из этих определении непосредственно следует, что
формула Д- со свободными впеспгнатурными переменными
Pi, . . ., Pr, fi, . . fs, -"i,. . jrt тогда и только тогда
истинна на классе St. когда на классе St истинна замкну-
тая формула
(VPf .. . Р,) (V/t ... fs) (У.Г1 ..
'О Й-
Аналогично формула jV с указанными свободными вне-
сигнатурными переменными тогда и только тогда выпол-
нима па классе St, когда на классе St выполнима замкну-
тая формула
(3Pt ... Л) (3fi ... fs) (Э.(1... .г,)
Формула 2-й ступени ?у называется тождественно
истинной, если опа истинна на любом непустом множе-
стве Л/ при любых значениях на М всех входящих в jy
свободных переменных. Формула ?у называется выполни-
мой, если существуют такое непустое множество М и такие
значения на Л/ для всех входящих в jy свободных перемен-
ных, при которых формула ?у становится истинной.
Ясно, что тождественно истинные формулы сигнатуры
л истинны на любом классе алгебраических систем сигна-
туры о. Обратно, если формула % сигнатуры а истинна
на классе St всех алгебраических систем сигнатуры
о, то jy тождественно истинна.
Отметим еще ряд непосредственных следствий ука-
занных выше определений.
Формула тогда и только тогда невыполнима на классе
St, когда на St истинна формула И g.
Формула ?У1 &. . . &?уга тогда п только тогда истинна
на классе St, когда на классе St истинна каждая из формул
Лн ... ?У,„-
II \ II. Мальцев
162
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ II ВТОРОЙ СТУПЕНИ
(Гл. Ш
Формула Й1 \/ .. . V Йт тогда и только тогда выполнима
на классе ft, когда на St выполнима хотя бы одна из фор-
мул Й1> • • ч ifm-
Замкнутые формулы й, Д-4 сигнатуры о называются
эквивалентными на классе ft алгебраических систем сигна-
туры о, если на каждой системе класса Si значение й
совпадает со значением йг
Ясно, что замкнутые формулы й, Й1 сигнатуры о тогда
и только тогда эквивалентны на классе ft' систем сигна-
туры о, когда па ft истинна формула
(Й~>Й1)&(Й’1—*Й)-	(1)
Для незамкнуты х формул й и Й1 сигнатуры о будем
говорить, что Й 11 Й1 эквивалентны на классе ft систем
сигнатуры о, если формула (1) истинна на классе ft.
Пусть (5 — некоторая совокупность замкнутых формул
ПИП сигнатуры о. Класс всех алгебраических систем
сигнатуры о, на каждой из которых истинны все формулы
из (5, будет обозначаться KQ. Ясно, что если (g4 <= @>2,
то КОц AS2.
Пусть ft — произвольный класс алгебраических систем
сигнатуры о. Совокупность всех замкнутых формул ПИП
сигнатуры о, истинных на классе ft, называется элемен-
тарной теорией класса ft и обозначается Th ft. Заметим,
что если ft'j s ft2, то Th ftj э Th ft2. Ясно также, что
ft с= К Th ft.
Класс St систем сигнатуры о называется аксиомати-
зируемым, если
ft - К Th ft.
Теорема 1. Класс ft алгебраических систем сигна-
туры о аксиоматизируем тогда и только тогда, когда,
сугцествует такая совокупность @ замкнутых формул
ПИН сигнатуры о, что ft — К<£.
Если ft — К Th ft, то в качестве <3 можно взять Th ft.
Пусть @ — такая совокупность замкнутых формул ПИП
сигнатуры о, что ft=A(g. Так как £ S Th ft, то К<& Э
Э A Th ft. С другой стороны, St S К Th ft. Следовательно,
ft' - К Th ft.
§ 61
СИНТАКСИС И СЕМАНТИКА
163
Примеры и дополнения
1.	Множество А,, всех аксиоматизируемых классов алгебраи-
ческих систем любой фиксированной сигнатуры Q имеет мощ-
ность 2'й' ।
2.	Мощность подсистемы, порожденной в алгебраической
системе ?( сигнатуры £2 мпожеством С, не превосходит
шах {| £2|, | 6'1, к,,}.
3.	Существует эффективная процедура (а л г о р и т м Г и л ь-
б е р т а), позволяющая последовательно выписывать все тожде-
ственно истинные формулы ПИП (см. Новиков [51J, К л и н и
[22], Гильберт и А к к е р м а п [14J).
4.	Пусть о — некоторая конечная сигнатура, aS — некото-
рая совокупность бескванторных формул сигнатуры о, каждая
из которых не содержит свободных предметных переменных, отлич-
ных от i/i, . . . , 1/г. Совокупность © называется совместной, если
существует такая система Й)? сигнатуры о, па которой возможно
так задать значения yt, . . ., уг, что при этих значениях все фор-
мулы из © будут истинпы на ЭК. Принцип локализа-
ции для бескванторных формул ПИП: если каждая конечная
подсистема системы формул © совместна, то и вся система фор-
мул S совместна.
Доказательство. Все формулы ПИП сигнатуры о вида
п1 — О2. В<П) (oj, .... ол),
где а);	а2, . . ., ап — термы, все функциональные символы
которых принадлежат о, а все предметные переменные содержатся
в множестве {</1, . . . , уг}, и Р<п> есть и-арный предикатный сим-
вол из о, расположим в последовательность	•
п будем последовательно строить совокупности формул ©о,
Пусть ©о — © и ©/+1 = ©j 1J {~| 8i+t[. если для некоторой конеч-
ной подсистемы ©' из S/ система формул ©' (J несовместна,
оо
и to/+1 = ©,- 'J {Jj+i} в противном случае. Пусть ©«,= [I ©/. Пусть
i=0
. I —множество термов, все функциональные символы которых
принадлежат о, а все предметные переменные содержатся в мпо-
жестие {//j, ..., уг}- Для сц, а2£Л полагаем гц— сы, если (aj = n2)€
( Проверяется, что — есть отношение эквивалентности на . 1.
Для n С . 1 через [а] обозначим класс эквивалентности, содержа-
ний! а, а через А/--множество всех этих классов эквивалент-
ности для всевозможных а С А. На множестве А/~ определяем
операции /<"> и предикаты для всех /<п>, из о, полагая
/"‘>([<41, •••, ЫЬ [/‘"’(о,, .... оп)[;
([«d...[п,„1)-П <=> Р<»»(а1, ..., a,n)GSoo.
Легко проверяется, что на полученной системе сигнатуры о при
значениях [//J для yt, [у21 Для уг,    . [уг] для уг все формулы
III © ИСТИННЫ.
11*
164
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ 1Г ВТОРОЙ СТУПЕНИ
[Гл. Ill
§ 7. Классификация формул
7.1.	V-формулы и 3-формулы. Известно (см. И о н и -
к о в 151], К л н и и |22|, Г п л г, <5 с р т и А к к с р м а н
114]), что каждая формула прикладного исчисления пре-
дикатов сигнатуры а эмивалеитна *) формуле той же
сигнатуры, имеющей преиексиъщ вид
(<?Р1)   • (Qm^m) (-П,................I'm, У1.Уп),
где формула 21 кванторов не содержит, а символы (ф
обозначают кванторы V или 3. Основная классификация
формул пренексного вида идет по виду ее префикса,
т. е. кванторпой части «21^) . . .	А именно, гово-
рят, что формула ПИП вида
((?гги  • • '' Пд)  • • (Qi-1'ц   	21,
где Qi, . . ., Qi — чередующиеся кванторы, имеет тип
Qt . . . Qi. Например, формулы
(V./1/) ху у,
(V.< ) (Зг/z)./ yz,
(З.г) (Vyz) (3iw) у- и, — z-v
имеют соответственно типы V,V3,3V3.
Формула тина QA . . . Qt называется также QL . . .
. . . Q {-формулой. Префиксный тип формулы не инва-
риантен относительно эквивалентности: существуют экви-
валентные формулы пренексного вида, имеющие различ-
ный префиксный тип. Например, все тождественно истин-
ные формулы эквивалентны друг другу. В то же время
существуют тождественно истинные формулы, имеющие
любой заданный префиксный тип.
V-формулы называются универсальными, 3-формулы —
экзистенциальными формулами.
Т е о р е м а 1. Пусть V-формула сигнатуры а
(V-H ... r,tl) 21 Pi, . . ., rm, tji, ..., yn), (1)
где 21 кванторов не содержит, истинна, на какой-то алгеб-
раической системе 2Л сигнатуры а для некоторых значений
*) Формулы Дт и второй ступени называются эквивалент-
ными, если формула pi -> <у2) & (5г -* 3>) является тождествен-
но пстннпой.
§ 7]	КЛАССИФИКАЦИЯ ФОРМУЛ	165
у1 ylOj . . ., уп ~ уп0 в ЭК. Тогда для этих значений
переменных г/10, . . уп0 формула (1) истинна и на любой
подсистеме Of S ЭЯ, содержащей. элементы у10, . . уп0.
В самом деле, истинность формулы (1) в точке yL —
— у[0, . . уп - уп0 означает, что бескванторная фор-
мула 51 (.гд, . . ., хТ11, у10, . . ., уп0) истинна для любых
значений переменных .г।, . . ., хт в Ж. Но тогда эта
бескванторная формула истинна и для всех значении
a?i, . . ., тт пз Of, т. о. формула (1) истинна на системе
№ в точке г/ю......ун0.
Как уже отмечалось в п. 6.3, формула (1) определяет
на каждой алгебраической системе ЭК сигнатуры о преди-
кат (у;, . . ., уф), зависящий от строения системы
в целом. Теорема 1 утверждает, что значение этого пре-
диката в заданной точке не меняется при переходе к под-
системам, т. е. что
. .., г/,,)-	..., уп)
для каждой подсистемы Of s ЭЯ, содержащей г/(, . . .
. . ., уп. Это свойство инвариантности иногда называют
устойчивостью прп переходе к подсистемам.
Теорема 1 при п =- 0 обращается в следующее утвер-
ждение: если универсальная замкнутая формула, истинна
на какой-либо алгебраической системе, то она истинна,
и на любой ее подсистеме.
Переходя от V-формул к их отрицаниям, получаем
Следствие 1. Пусть 3-формула
(3»д . . . .т,,,) 51 (эд, .. ., .г,,,, г/р . .., уф), (2)
где 51 — бескванторная формула, сигнатуры о от свободных
переменных л\, . . ., хт, yt, . . ., уп, истинна на какой-то
алгебраической системе Of сигнатуры о в точке г/, —
т/ю, • • -, Уп — Упь- Тогда, формула (2) истинна в точке
г/|(), .... уп0 и на каждой системе ЭЯ, содержащей Of
в качестве своей подсистемы. Иными словами, каждый Э-
иредикат устойчив относительно перехода к надсистемам.
В самом деле, отрицание формулы (2) эквивалентно
V формуле
(V.r( ... -г,,,)- Э( (.г-p .. ., г/р . .., уп). (3)
166
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТУПЕНИ
[Гл. III
Если бы формула (2) была ложна в точке у10, . . уп0
на системе ЭЛ, то V-формула (3) была бы истинна на ЭЛ
в точке у10, . . ., уп0. Тогда по теореме 1 формула (3)
была бы истинна в точке г/10, . . уп0 на системе Я1,
т. е. формула (2) была бы ложна в точке у10, . . ., уп0
па 31, что противоречит предположению.
Следствие 2. Существуют ^-формулы (3-фор-
мулы), не эквивалентные никакой 3-формуле ('^-формуле').
Рассмотрим, например, 3-формулу (Зе) Р (х) и модель
ЭЛ = ({0, 1}; Р), где Р (0) = Л, Р (1) = И. Указанная
формула истинна на модели ЭН и ложна па подмодели
<{0}, Р). Поэтому формула (3 х) Р (х) не эквивалентна
никакой V-формуле.
Ясно, что предикаты, определяемые бескванторными
формулами, устойчивы в обе стороны: и при переходе
к подсистемам, и при переходе к надсистемам. Покажем,
что среди V-формул и 3-формул двусторонней устойчи-
востью обладают лишь формулы, эквивалентные бескван-
торным.
Теорема 2. Если 3-формула (2) устойчива отно-
сительно перехода к подсистемам, то опа эквивалентна
некоторой бескванторной формуле.
Пусть формула (2) истинна на какой-то алгебраической
системе ЭЛ сигнатуры о в точке г/10, . . ., уп0. Берем под-
систему 31, порожденную в системе ЭЛ элементами
у10. . . ., уп0. По условию формула (2) должна быть ис-
тинна в точке у10, . . ., yri0 на подсистеме т. е. в $Л
должны найтись элементы х17 . . ., хт, для которых
Э1 (xi, . . хт, у10, . . ., у„0) = И. Но каждый элемент
системы 3? равен значению подходящего терма от
у10.   Упо (см. п. 6.1). Таким образом, для подходящих
термов Т\......Тй,п от р10, . . ., уп0 формула
21(7’?, ..., Гт, у10, ..., уп0)	(4)
должна быть истинной.
Рассмотрим теперь систему формул Q, которая
состоит из формулы § вида (2) и всех формул вида
 31 (11, . . ., i ,п, У\, • .	Уп.)> где 1 j, . . ., / m 
какие-нибудь термы от . . ., уп. Система @ не может
быть выполнимой. Действительно, пусть Q выполняется
на какой-то алгебраической системе ЭЛ сигнатуры о в точ-
§ 71
КЛАССИФИКАЦИЯ ФОРМУЛ
167
ке у10, . . ., уп0. Тогда для каких-то термов 7\, . . Тт
должна быть истинна формула (4), а это невозможно,
поскольку в системе формул © находится формула
И 51 (7’1, . . Тт, У1, . . уп).
Итак, бесконечная система формул © невыполнима.
Отсюда, согласно принципу локализации (см. примеры
и дополнения к § 6, доп. 4), вытекает, что невыполнима
некоторая ее конечная подсистема
W, 51 (7 и, • • •, Tlm, iji, . .., Ул), .  •
..., П 51 (7’ftl, . .., Ткт, У1, уп),
т. е. невыполнима формула
Й&П ?1(7’ц,  • Т1т, уи ..., у,,)& ...
... & I 51 (1 I; 1, . . . , 1 h т, у 1, - • • , у п)
и, значит, тождественно истинна формула
^->5[(7’11, ..., Т1т, У1, ...,yn)\J...
... \/5( (7ь15 ..., Ткт, У1, ..., уп).
Обратная импликация
51 (Т’ц, .. ., Tim, yi, ..., Уп.) \/ • - 
• •  V5I (7’iii, ..., Ткт, yi,   , уп) >
также тождественно истинна, так как, если стоящая слева
от знака импликации формула истинна в какой-то алге-
браической системе Ж для некоторых гц, ..., уп, то
какая-то формула 51 (Тц, ..., Т im, yt,  - ., у„) истинна в Ж-
Поэтому формула 51 (э’ь .. ., :rm, ух....,у„) истинна для
ii Тц, ..., 3'm = 7’j,n, и потому Д- также истинна. Итак,
'Д эквивалентна бескванторной формуле
51 (?’„,..., Т1т, У1, ...,yn)\J...
... V 51 (Т’н, . .., Thm, У1,...,уп),	(5)
что и требовалось.
Изложенное доказательство теоремы 2 не конструк-
тивно, т. е. в нем не указывается алгоритм для построе-
нии формулы (5). Однако такой алгоритм существует.
Пользуясь алгоритмом Гильберта (см. примеры и допол-
нения к § 6, доп. 3), строим все тождественно истинные
формулы вида 81> S Эг’ • • • Одновременно строим
168
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ п второй ступени
ГГл. III
цепочки всех тождественно истинных формул вида %, —>
-> So, Si -* S/2’   • и продолжаем этот процесс, до тех
нор, пока не получатся формулы —> ?уг. ?уг —> g, где
S;— бескванторная формула. Теорема 2 гарантирует,
что такая формула §•; найдется.
Рассматривая отрицание V-формулы, получаем из
теоремы 2 непосредственное
С л ед ст в п е. Если V-формула устойчива относи-
тельно перехода к надсистемам, то она эквивалентна
некоторой бескванторной формуле.
Поставим следующий вопрос: существует ли алгоритм,
позволяющий по записи произвольной формулы ?у ПИП
узнать, эквивалентна эта формула или нет какой-нибудь
V-формуле?
Т е о р е м а 3. Не существует алгоритма, позволяю-
щего по записи произвольной замкнутой формулы S ПШ1
узнать, эквивалентна или нет формула S какой-нибудь
3-формуле (V-формуле).
Согласно теореме Чёрча (см. К л и н и 122], стр. 382,
теорема 54) не существует алгоритма, позволяющего по
записи форму.! УИН распознавать их тождественную
истинность. Покажем, что если бы у нас был алгоритм .4,
позволяющий узнать, эквивалентна или нет произволь-
ная формула какой-нибудь 3-формуле, то с помощью .4
мы могли бы распознавать тождественно истинные фор-
мулы и вступили бы в противоречие с теоремой Чёрча.
Итак, пусть упомянутый алгоритм .4 нам известен,
и пусть jy — произвольная формула УИП. Смотрим,
эквивалентна пли нет формула S какой-нибудь 3-формуле.
Если пет, то не может быть тождественно истинной,
так как каждая тождественно истинная формула экви-
валентна 3-формуле (З.с) х J-. Пусть ответ «да». Тогда
при помощи процесса Гильберта строим последовательно
все формулы, эквивалентные формуле S, и выбираем
среди них первую 3-формулу Si- Остается узнать, будет
.тп Зч тождественно истинной, т. е. будет пли нет формула
"'S, выполнимой. Формула ')<-| обычным путем приводится
к универсальному виду. Следовательно, вопрос о ее
выполнимости в силу теоремы 1 равносилен вопросу
о выполнимости “ -д, па какой-нибудь одноэлементной
системе и потому может быть решен эффективно.
§ 7.1
КЛАГ.СПФННАЦИЯ «НОРМУЛ
169
Аналогично доказывается утверждение теоремы 3
и для V-формул.
В заключен не сделаем несколько замечаний но поводу
теоремы 2. Формулы вида
Р (Xi' • • •.	!' (Xf, • • * 1 Xll) " \п : 1,
где j; — предметные переменные, Р — предикатный, В —
функциональный сигнатурные символы, называются ато-
марными формулами. Формулы, построенные из атомар-
ных формул и знаков &, \/,	,	(т. е. без кванторов),
называются абсолютно бескванторными. Формулы вида
(CVii •  • rv) - •  (СЛ-7/1   • •'/;)
где Ур — абсолютно бескванторная формула, а @i, . . .
. . Qi— чередующиеся кванторы, называются абсолют-
ными Qt . . . Qi-формулами.
Если сигнатура не содержит функциональных симво-
лов, то, очевидно, понятия Q{ . . . (^-формулы и абсолютной
(Ji . . . С,-формулы совпадают. Для произвольной сигна-
туры указанные понятия не совпадают, однако в этом слу-
чае имеет место следующее утверждение.
Тео р е м а 4. Каждая Qt . . . Qгформула (Z 1)
эквивалентна подходящей абсолютной <2i -  • Qi-формуле.
Для доказательства достаточно показать, что формула
вида / - д, где /, g — термы, эквивалентна и подходя-
щей абсолютной 3-формуле вида
(З.г[....'г;,)(/?|А...&Л></),	(6)
н подходящей абсолютной V-формуле вида
(V'i )(G&... & G ->( ’о),	Р)
где Bt, Сj— атомарные формулы.
Доказательство ведем индукцией по числу о функ-
циональных знаков, участвующих в записи формулы
/ - - g. При v 1 формула / ---g атомарная и доказы-
вать нечего. Пусть 1, тогда формула / —- g имеет вид
!'i (fit-  fin) — h 11 потому эквивалентна формуле
(3.' | . . . 3’m+j) ( ’Д — /1 & • • •
• , . & Хт —- fm & З’пы! 7* i (-1 |, . -  , .1 /и) н(г1 /1),	(S)
170
языки первой и второй ступени
[Гл. Ш
где Fj— некоторый сигнатурный функциональный символ,
а .С|, . . .. .с,п+1— символы, нс участвующие в записи
термов /, g. Число функциональных знаков, участвую-
щих в записи каждой из подформул
,гт.и = h, = f}. (X -= 1, . . т)
меньше V. Поэтому каждая из этих подформул эквива-
лентна формуле вида (б). Заменяя в формуле (8) указанные
подформулы формулами вида (6) и вынося знаки суще-
ствования, получим формулу вида (6). эквивалентную фор-
муле / = g.
Чтобы привести формулу f — g к виду (7), замечаем
сначала, что формула f — g эквивалентна формуле
(V.*’i .. . ' jih-i) (.t’i —ft & ...
... & .7.m — fm & ;Tm.t t --- /' f (.< ], . . . , ,»'nl) >	, j — /.’).
Заменяя здесь подформулы лц —/>, (?.==!, . . ., т)
эквивалентными им формулами вида (6), подформулу
•г»1+1 Л эквивалентной формулой вида (7) и вынося
кванторы, получим формулу вида (7), эквивалентную
формуле f — g. Теорема 4 доказана.
Итак, термальное равенство f ~ g можно привести
к абсолютному 3-виду и к абсолютному V-виду. Спра-
шивается, можно ли его привести к абсолютной бескван-
торной форме? Ответ в общем случае отрицательный.
Рассмотрим, например, формулу
F (.г, F (т, .г)) = х.	(9)
Допустим, что она эквивалентна какой-нибудь абсо-
лютно бескванторной формуле Ф (.г, у, . . ., г). В послед-
ней формуле могут встречаться, помимо функциональ-
ного знака F, и другие функциональные знаки Ft, а также
предикатные символы Pj. Так как значения формул
F (т, F (х, х)) - - х и Ф (х, у, . . ., z) должны быть равны
при любых значениях у, . . ., z, Fh то, не нарушая
эквивалентности, мы можем в формуле Ф положить
у -- х, . . ., z — х, Fi (х, х. . . •) --- х. и Pj (х, х. . . .) =
= И. В результате получим эквивалентность вида
F (х, F (х, х)) — Т (z),
КЛАССИФИКАЦИЯ ФОРМУЛ
171
§ 7]
где Т (л) образовано из атомарных формул а: -- .г,
F (х, х) --= х с помощью знаков А, . Но каждая пз
формул Т этого вида эквивалентна одной из формул
х — х, х -А х, х =-- F (,г, а-), х F (х, х),
из которых ни одна не эквивалентна формуле (9).
7.2. Универсально аксиоматизируемые подклассы. Вви-
ду большой логической простоты утверждений, выра-
жаемых V-формулами, нетрудно решается п задача об
описании свойств тех классов алгебраических систем,
которые можно задать совокупностью V-формул (см.
п. 7.1). Предварительно введем несколько определений.
Пусть s2l = (A, Q) — произвольная алгебраическая
система. Заменяя в ее сигнатуре Q функциональные сим-
волы соответствующими предикатными символами (см.
п. 2.2), получим новую сигнатуру При этом алгеб-
раическая система {A, Q) превращается в модель
ЭДМ "= (^4, —м)- Всевозможные подмодели модели Ядо-
казываются (п. 2.3) подмоделями и алгебраической
системы ЭД. Существенно помнить, что хотя каждая подси-
стема ЭД является ее подмоделью, но пе всякая подмодель
?! является ее подсистемой (п. 2.3).
Если Q'— какая-нибудь непустая часть сигнатуры Q,
то алгебраическая система (Л, Qr) называется -обед-
нением (иногда Q'-редукцией или Q'-проекцией) системы
ЭД = (A, Q). Если сигнатура Q' конечна; то Q'-обсдне-
ние называется конечным обеднением системы ЭД. Напри-
мер, пусть
И = (И; ГП Ш ГП,
n/'"i—Г
где R — совокупность всех вещественных чисел, у | | —
одноместная операция извлечения (арифметического) кор-
пя n-й степени из абсолютной величины числа. Тогда
алгебры
Яг = (Л; Ш ГП, ..., »УП)
будут конечными обеднениями алгебры ЭД.
Конечные обеднения конечных подмоделей алгебраиче-
ской с,истомы называются локальными подмоделями этой
системы,
172
ЯЗЫКИ НЕРПОЙ И ВТОРОЙ СТУПЕНИ
[Гл. Ill
С понятием подмодели алгебраической системы
тесно связано понятие диаграммы модели. Пусть ЭД =
— (.1, Q) — какая-нибудь модель. Каждому ее элементу
a d .4 поставим в соответствие особый символ z„, не вхо-
дящий ни в Л, ни в Q. Рассмотрим всевозможные фор-
мулы вида
^(zoi....z„„), Р (гИ1, . . ., z„„) (н;еЛ),	(1)
где /’ - предикатный символ из £2 или знак — . Совокуп-
ность тех формул вида (1), для которых соответствующее
выражение Р («,, . .	я„) или Р (at, . . ., п„) истинно
в ЭД, называется диаграммой модели ЭД и обозначается
через Г) (ЭД). Например, диаграмма модели ({0, 1, 2},
состоит из формул
Zq — Zq, Zj — Zg, z,2 — Zo, Zg / - Zg, Zj	Zq, Zq  / Zo,
Zo f Zq, Zj -y—-	Z'2z>q —Zq, Zg . Zj, Z-2 "'» Zo,
Zq Z* Zj, Zj < . Zq, Zq Zo, ' Zo < Zq, Zj  Zg, 1 Zg Zj.
Если сигнатура модели ЭД содержит предметные сим-
волы с,- и в модели ЭД С; at (а; £ Л). то в диаграмму
модели ЭД, помимо формул (1), включаются формулы
Ci -Z((., C-i Z(J (<Z 5А ttj, а£Л).
Наконец, если ЭД — не модель, а алгебраическая
система, сигнатура которой Й содержит функциональные
символы Ft, то диаграммой ЭД называется диаграмма
соответствующей модели ЭДЛ1. Иначе говоря, в этом слу-
чае диаграмма системы ЭД состоит из формул вида (1),
где Р — предикатный символ из £2, и формул вида
(zn,, .... z„,„) - z„„	(ч0 - - F (at, ..., ani)),
!' (Zaj, • • - , Z«ni) ZO0	(ffg =F F («j, . . . ,
(«0......«шСЛ, Fg£2).
Например, диаграмма обедненной подмодели ({1, 2}, • )
кольца ({0. ±1, ±2, . . .};	•) состоит из формул
*-*l —" ^4,	^2 _ ^2»	-^2?	^2	^1?
j 	^’2'	— ^2? “1'^2	1 ?	I ^2 ?
* *-»] —f—	'4;2*^’2 / J т ‘^’2*^’2	^’2*
КЛАССИФИКАЦИЯ ФОРМУЛ
173
§ 71
Пусть ЭДар = (Аа, £2р)— какое-нибудь конечное обеднение
конечной подмодели алгебраической системы ЭД—(Л, £2).
Тогда диаграмма £>(ЭДар) будет состоять из конечного числа
формул. Через D ' (ЭДац) условимся обозначать конъюнк-
цию всех формул из £>(ЭДгар) и через (3 J)/> ' (ЭДар) будем
сокращенно обозначать формулу
(3zoi.. .zu<)	(«ав),	(2)
где щ,	as — все элементы ЭДо.р. Ясно, что формула (2)
тогда и только тогда истинна в какой-нибудь алгебраи-
ческой системе	(£2р s £2'), когда 55 содержит
конечную подмодель {Ва, £2'), ^-обеднение которой
(Ва, Qp) изоморфно модели ЭДкр - (Ла, £2р), т. е. когда
модель ЭДар вложима в модель 55.
В свою очередь отсюда следует, что формула
(Vzol...zoJ-D''(s2lap),	(3).
равносильная отрицанию (формулы (2), тогда и только
тогда, истинна на некотором классе Я алгебраических
систем сигнатуры £2' (£2'э £2р), когда модель ЭДаВ не вло-
жима ни в какую систему класса Я.
Введем теперь следующие определения. Вудем гово-
рить, что алгебраическая система ЭД — (А, £2) локально
вложима в систему $£>~{В, £2t) (£24=>£2), если каждое ко-
нечное обеднение (Ла, £2В) каждой конечной подмодели
системы ЭД вложимо в 55, т. е. изоморфно Qp-обедпепию
подходящей конечной подмодели системы 55.
Алгебраическая система ЭД называется локально вложи-
мой в класс систем Я, если каждое конечное обеднение
каждой конечной подмодели системы ЭД вложимо в под-
ходящую (зависящую от выбранного конечного обеднения)
систему класса Я.
Подкласс й алгебраических систем класса Я назы-
вается локально замкнутым в классе Я, если из локаль-
ной вложимости произвольной Я-системы в класс й
вытекает принадлежность этой системы классу й. Класс
й алгебраических систем сигнатуры £2 называется просто
локально замкнутым, если й локально замкнут в классе
всех алгебраических систем сигнатуры £2.
174	ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТУПЕНИ	[Гл. 111
Возвратимся теперь снова к V-формулам. Подкласс
£ алгебраических систем класса St называется универ-
сально аксиоматизируемым внутри ft (или \-подклассом,
класса ft), если существует такая совокупность © закрытых
V-формул сигнатуры Q, что £ принадлежат те и только те
ft-системы, в которых истинны все формулы из Q.
Т е о р е м а 1 (Т а р с к и й [62], Лось [31]).
Для того чтобы подкласс 2 алгебраических систем, класса,
ft сигнатуры Q был. универсально аксиоматизируем внутри
ft, необходимо и достаточно, чтобы £ был локально замк-
нут в ft.
Н е о б х о д п м о с т ь. Пусть £ состоит из ft-систем,
удовлетворяющих системе S каких-то V-формул заданной
сигнатуры И, и пусть дана некоторая ft-система 21, ло-
кально иложимая в класс £. Надо доказать, что каждая
формула Ф из Q истинна в 21. По условию формула Ф
имеет вид
(V.ii ... з„)е# (а?!, ..жп).	(4)
В запись этой формулы входит лишь конечное число сим-
волов из Q. Пусть это будут символы Pt, ..., Ps. Возьмем
какие-нибудь элементы щ, ..., из 21. Надо убедиться,
что выражение ^(«п ...,ип) истинно в 21. Рассмотрим
локальную подмодель
2Ub =<{«1,  •{Pt, • •Ps})
из системы 21. По условию существует изоморфизм о мо-
дели 21К(з в какую-то £-систему 55. В системе 55 формула
(4) истинна и, следовательно,
..., щ,о) = //*).
Согласно и. 6.3
.-4 («I, . . ., «„) = 77 A (ato, .. ., апа) = И
?!<хр	®
и потому Ф истинна па 21.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть £ — локально замкнутый
подкласс класса ft. Обозначим через <S совокупность всех
*) Для алгебраической системы 'Л и формулы запись — И
означает, что истинна па ?!.— Прим. ред.
S 71
КЛАССИФИКАЦИЯ ФОРМУЛ
175
закрытых V-формул сигнатуры Q, истинных в каждой
£-системе. Надо показать, что каждая St-система й, на
которой истинны все формулы из Q, локально вложима в £
(и потому принадлежит £). Пусть это не гак, т. е. й со-
держит какую-то локальную подмодель Йар “• \Аа, Qp),
не вложимую пн в одну £-спстему. Согласно сделанному
ui.tiiie замечанию в таком случае во всех £-системах истин-
на формула (3). Эта формула является V-формулой сигна-
туры Q и потому принадлежит совокупности Следова-
тельно, формула (3) истинна в системе Й и, в частности,
в Й истинна формула "i D ' (Й^р) при zaj ......zan — ап,
где Aa = {rtf, . , ., h,i}. Но из определения диаграммы
пидпо, что в й истинна формула D ' (йкр) при указанных
значениях zai, .. ., z„n. Подучается, что при zai =
«!, . .., zan — ап в системе й пстиппа формула D ' (йар)
п ее отрицание, что невозможно.
Для произвольного класса систем St сигнатуры Q через
/,Sl обозначается класс всех м о д еле п соответственной
сигнатуры £2М, локально вложимьтх в St. Если St(—какой-
нибудь другой класс систем сигнатуры Q, то StQ-Wti есть
класс всех тех St-систем, которые локально вложимы в Sip
Из определения локальной вложимости непосредственно
пидпо, что
ZZSt^ZStj.
(•’)
Теорема 1 и соотношение (5) влекут за собою важное
С л е д с т в и е 2. Пусть St, Stj— произвольные
классы алгебраических систем одной и той. же сигнатуры.
Тогда подкласс й тех ^-систем, которые локально вло-
.И1ИМ1Л в класс Sip универсально аксиоматизируем внутри
класса St-
Действительно. если какая-нибудь St-система й
локально вложима в класс £, то в силу (5) система Й
локально вложима и в класс Sip Отсюда следует, что й £ £,
и потому подкласс £ локально замкнут в St'.
Подкласс £ алгебраических систем сигнатуры Q не-
которого класса St1 называется наследственным в St, если
каждая St-подсистема произвольной £-системы является
£ системой. Класс £ называется (абсолютно) наследствен-
ным, если оп наследственен в классе всех алгебраических
176
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТУПЕНИ
1Гл. ИТ
систем заданной сигнатуры, т. е. если каждая подсистема
произвольной 2-системы есть 2-система.
Ясно, что каждый локально замкнутый подкласс 2
класса й является наследственным в Й, и потому из
теоремы 1 некое родственно вытекает
С л е д с т в и с 3. Для универсальной аксиоматизи-
руемости какого-нибудь подкласса 2 в классе Й необходимо,
чтобы 2 был наследственным в й.
Однако па примерах легко убедиться, что это условие
пе является достаточным.
В теореме 1 идет речь об аксиоматизируемости под-
класса посредством какой-нибудь вообще бесконечной
совокупности V-формул. Очевидными изменениями опре-
делений легко получается и соответствующая теорема
для аксиоматизируемости 2 кон е ч н о й совокупно-
стью V-формул.
V-формулы вида (4), имеющие модельную сигнатуру
Q.u 11 содержащие данное число п кванторов, называются
V” -форму лам и. Если сигнатура Q конечна, то число
неэквивалентных закрытых V’’-формул также конечно.
Поэтому аксиоматизируемость посредством конечного
числа V-формул подкласса конечной сигнатуры равно-
сильна аксиоматизируемости этого подкласса системой
У"-формул при каком-то фиксированном п.
Алгебраическая система 91 называется Уп-вложимои
в класс 2. если каждое конечное обеднение каждой пе
более чем н-элемептпоп подмодели из 91 вложило в под-
ходящую 2-систему. Подкласс 2 класса й называется
^-замкнутым в Й, если каждая Й-система, Уп-вложпмая
в 2, принадлежит 91.
Т е о р е м а 4. Для того чтобы подкласс 2 класса
Й был ^-аксиоматизируем в Й, необходимо и достаточно,
чтобы 2 был. ^"-замкнут в Й.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.
7.3. V3- и ЗУ-формулы. Как уже говорилось, V3
формулой называется формула вида
(V.Cj ... .1 ,,,) (Эгд . .. уп) 91 (.'/д, . . ., .гг„, yt, ...
   1 У и, zi- •  •, zp)i (1)
где 91 кванторов не содержит, .г,, ijj, zh—свободные пред-
метные переменные, встречающиеся в записи 91. Формулы
Ц 7]	КЛАССИФИКАЦИЯ ФОРМУЛ	177
этого иида называются также сколемскими формулами или
формулами, имеющими нормальный вид Сколема.
Отрицание сколемской формулы эквивалентно фор-
муле вида
(3,/j ... хт) (\/yi ... уп)% (а?!, ..., хт, ylt ...
• • • ! Uni	, Zp), (2)
т. с. ЗУ-формуле. И обратно, отрицание ЗУ-формулы экви-
валентно УЗ-формуле.
Спрашивается, не обладают ли сколемские формулы
каким-нибудь видом «устойчивости», аналогичным устой-
чивости У- или 3-формул? Основное структурное свойство
ЗУ-формул указывает
Теорема 1. Пусть ЗУ -формула (2) истинна на
алгебраической системе ЭЛ для некоторых значений пере-
менных z(, ..., zp в ЭЛ, и пусть система ЭЛ покрыта
локальной, совокупностью (определение см. в п. 2.3) своих
подсистем !{ЭЛа}. Тогда, формула (2) истинна в какой-то
подсистеме ЭЛа, содержащей элементы Zj, . .., zp.
Действительно, истинность (2) на ЭЛ означает, что
для каких-то элементов хл, .. ., хт из ЭЛ формула
(Уг/! ... уп) ® (xlt ..., хт, У1, . .., уп, z1; ..., Zp) истинна.
Из локальности покрытия {ЭЛа} следует, что в этом по-
крытии найдется подсистема ЭЛа, содержащая элементы
.Tj, ..., хт, zt, ..., Zp. Но для этих элементов указанная
формула в ЭЛа истинна. Поэтому в ЭЛа истинна и фор-
мула (2) для заданных значений переменных z,, ..., zp.
Для р — О из теоремы 1 получаем: если алгебраическая
система ЭЛ локально покрыта своими подсистемами Э)1а
и на ЭЛ истинна некоторая замкнутая ЗУ -формула.
то $ истинна хотя бы на одной подсистеме из задан-
ного покрытия.
Простым переходом от ЗУ-формул к их отрицаниям
получаем
Следствие 1. Пусть алгебраическая система ЭЛ
покрыта локальной совокупностью своих подсистем {Э)1а},
и пусть V3-формула (1) истинна для некоторых значений
zb . . ., Zp на каждой подсистеме ЭЛа, содержащей, эти
элементы zt, . . ., zp. Тогда формула (1) для указанных
значений z1; . . ., zp истинна и на системе 3)1.
12 А. И. Мальцев
178
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТУПЕНИ
(Гл. III
Действительно, допустим, что формула (1) ложна на
ЭЛ. Тогда отрицание ее, имеющее вид (2), истинно на ЭД
и, значит, по теореме 1, оно должно быть истинно хотя
бы па одной подсистеме ЭЛа, содержащей z17 . . zp,
что противоречит предположению.
При р = 0 из следствия 1 получаем такое утвержде-
ние: если алгебраическая система ЭЛ есть объединение
возрастающей цепочки своих подсистем
ЭЛ1 с: ЭЛ2 cz . • • cz ЗЛЙ с ...
и на каждой из этих подсистем истинна некоторая замк-
нутая У 3-форму ла, fy, то формула, ?у истинна и на ЭЛ.
В самом деле, совокупность подсистем {ЭЛг} локально
покрывает систему ЭЛ и потому к ней применимо след-
ствие 1.
Следствие 2. Существует ЗУ-формула фЗ-форму-
ла), не эквивалентная никакой, \3-формуле (ЗУ-формуле).
Рассмотрим ЗУ-формулу (3./) (У//) у утверждающую,
что в модели с отношением < существует наибольший
элемент х. Рассмотрим модель ЭЛ {N, -<), где N—-сово-
купность всех натуральных чисел, —обычное отноше-
ние порядка. Ее подмодели
ЭЛг = <{0, 1, .... i}; <) (i = l, 2, ...)
образуют возрастающую цепочку, объединение подмоделей
которой совпадает с ЭЛ- Формула (З.т) (\у) х истинна
па каждой подмодели ЭЛ; и ложна на модели ЭЛ. Поэтому
формула (З.с) (Уу) у < х пе эквивалентна никакой УЗ-фор-
муле. Отрицание указанной формулы (У.г) (Зу) И у < х не
эквивалентно по той же причине никакой ЗУ-формуле.
В предыдущем пункте было показано, что если неко-
торая формула -Д- одновременно эквивалентна У-формуле
и 3-формуле, то § эквивалентна формуле низшего, бес-
кванторного вида. Для УЗ- и ЗУ-формул аналогичное
утверждение неверно. Существует формула, эквивалентная
одновременно некоторой УЗ-формуле и некоторой ЗУ-фор-
муле и в то же время ве эквивалентная никакой V фор-
муле и никакой 3-формуле.
В качестве примера может быть взята формула
(У х) Р (х) &. (3y)Q (у).	(3)
S 7]
КЛАССИФИКАЦИЯ ФОРМУЛ
179
Зта формула эквивалентна каждой из следующих двух
формул:
(Vz) (ly) (Р (х) & Q (у)), (Зу) (Va) (Р (х) & Q (у)).
В то же время легко проверить, что формула (3) неустой-
чива ни относительно перехода к подмоделям, ни отно-
сительно перехода к надмоделям, и потому пе эквива-
лентна ни V-формуле, ни 3-формуле.
Структурные свойства УЗУ-формул, ЗУЗ-формул
и формул с более сложными префиксами известны, но фор-
мулируются они довольно сложно. При помощи их,
а также и из других соображений, нетрудно вывести,
что, например, формула
(У-'l) (3yi) . .. (Ужп) (lyn) Р (xt, . .., хп, уп)
пе эквивалентна никакой формуле, содержащей меньшее
число кванторов.
Теорема 2 из п. 7.1 переносится на V3-формулы и фор-
мулы с иными префиксами следующим образом.
Положим " I У З, '|H V и префикс Qi~ Q2   
...~]Qi, где Qi = V, 3, назовем двойственным префиксу
• • - Qi-
Теорема 2. Если формула g эквивалентна как
(формуле с префиксом Qi  Qi, так и формуле с двой-
ственным префиксом Qi . . . П Qi, то эквивалентна
конъюнкции дизъюнкций подходящих формул с более корот-
ким префиксом
Доказательство мы здесь опустим.
Т е о р е м а 3. Каков бы ни был фиксированный пре-
фикс Qi . . . Qi, не существует алгоритма, распознающего
но записи произвольной замкнутой формулы, эквивалентна
или нет эта формула какой-нибудь Qi . . . Qi-формуле.
Для I = 1 эта теорема была доказана в п. 7.1. Спра-
ведливость ее в общем виде в этой книге не будет уста-
новлена, мы докажем эту теорему лишь для префикса V3.
Как и в и. 7.1, покажем, что если бы мы при помощи
некоторого алгоритма Л могли распознать, эквивалентна
пли нет произвольная замкнутая формула g- какой-нибудь
УЗ формуле, то мы могли бы при помощи Л узнать,
тождественно истинна или нет произвольно заданная
замкнутая формула g, не содержащая функциональных
12*
180
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТУПЕНИ
[Гл. ш
символов, в противоречие с теоремой Чёрча. Действи-
тельно, если бы формула g оказалась не эквивалентной
никакой УЗ-формуле, то g не была бы тождественно
истинной, так как любая тождественно истинная формула
эквивалентна УЗ-формуле
(Уж) (Эу)ж=у.
Пусть формула g эквивалентна какой-то У 3-формуле.
При помощи алгоритма Гильберта находим конкретную
V 3-формулу
(У^.-.^)^...^)^,	(4)
эквивалентную формуле Как и в п. 7.1, мы можем пред-
полагать, что формула (4) имеет ту же сигнатуру, что
и формула g, и, в частности, что формула (4) не содержит
функциональных символов. Нам надо узнать, является
ли формула (4) тождественно истинной, т. е. является ли
выполнимой формула
(Зж^. .хт) (Vtji.. .уп) ~] §1 (жь ..., жт, у15 .. ., уп). (5)
Если формула (5) истинна па какой-нибудь модели ЭЛ,
то в ЭЛ существуют элементы щ, . . ., ат такие, что выра-
жение
П ?1 («!	У1, • • •, Уп)	(6)
истинно для всех yit . . ., уп из ЭЛ, и, значит, выражение
(6) истинно для всех значений у4, . . ., уп в подмодели
ЭЛ1? образованной в ЭЛ элементами щ, . . ., ат.
Итак, если формула (5) выполнима, то она выполнима
на некоторой модели, содержащей не более т элементов.
Все эти модели можно эффективно построить и для каж-
дой узнать, истинна или ложна на ней формула (5).
7.4. Позитивные формулы. Формула ПИП называется
позитивной, если в ее записи нет знаков отрицания и им-
пликации. Вынося вперед в позитивной формуле кван-
торы, получим предваренную позитивную формулу, экви-
валентную первоначальной.
Пусть ЭЗ (ж1; . . ., жт) — позитивная формула сигна-
туры о и жь . . ., хт— все ее свободные предметные
переменные. На каждой алгебраической системе ЭЛ сигна-
туры о указанная формула определяет m-арньтй предикат
S 7]
КЛАССИФИКАЦИЯ ФОРМУЛ
181
Ryy, который называется позитивно формульным преди-
катом.
Теорема 1. Пусть R (xt, . . ., хт) — позитивно
формульный предикат, определяемый позитивной предва-
ренной формулой
+ • •  (Qn^'m+n)	(•*-!>  • ч ^mi •rm + l, • • ч ^m+n) 0)
сигнатуры о, и пусть <р — гомоморфизм некоторой алге-
браической системы ЭЛ сигнатуры о на алгебраическую си-
стему 31. Тогда из истинности R^ • • , хт) для
каких-либо Xi, . . хт из ЭЛ вытекает истинность
• • ч ^тф)- Иными словами, позитивно формуль-
ные предикаты устойчивы относительно гомоморфизмов
системы на систему.
Позитивные формулы строятся из простейших формул
вида Р (xt , . . ., xis) или / = g, где Р — предикатный
символ, /, g — термы, с помощью операций конъюнкции,
дизъюнкции и квантования. Поэтому теорема 1 будет
доказана, если мы убедимся, что простейшие формулы
устойчивы относительно гомоморфизмов и что конъюнк-
ции, дизъюнкции и квантования гомоморфно устойчи-
вых формул являются гомоморфно устойчивыми форму-
лами.
Гомоморфная устойчивость упомянутых простейших
формул была доказана в и. 6.1. Пусть Rlt R2— гомоморф-
но устойчивые предикаты. Если их дизъюнкция
Ri (xiv xit) V Кг («й, - - • > a:it)	(2)
истинна для некоторых значений х1, . . ., x'j, из систе-
мы ЭЛ, то истинен хотя бы один член этой дизъюнкции.
Пусть, например, Ri (ж?,, . . ., х°&) = И. Тогда по усло-
вию Ri . . ., ж°8ф) = И и, следовательно, дизъюнк-
ция (2) истинна и в системе 31 для Xi = Ж1<р, . . ., xk =
Xfcfp. Аналогично доказывается, что конъюнкция гомо-
морфно устойчивых предикатов есть гомоморфно устой-
чивый предикат.
Рассмотрим теперь предикат (Va^) Ri (xi, х2, • • ., xs)-
Пусть он истинен для некоторых значений х->, . .	х°»
182
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТУПЕНИ
[Гл. III
в системе $Л. Это значит, что для любого х С ЭЛ истинно
выражение (х, х%, . . ., ж°), и потому в системе 31
истинно выражение Ri(x<p, хВ2(р, . .	ж"<[) для любого
х С ЭЛ. Так как <р есть гомоморфизм ЭЛ на 91, то ж<р пробе-
гает всю систему 91, когда х пробегает ЭЛ. Иначе говоря,
выражение Рц (х, х%(р,   ., ж£ф>) истинно для любого
х £ 31 и, следовательно, в 91 истинно выражение
(Уж) R-, (х, ж?><р, . .	ж"<р), т. е. формульный предикат
(Уж) Ri (х, ж,, . . ., х„) гомоморфно устойчив.
Аналогично доказывается гомоморфная устойчивость
предиката (Зж) R1 (х, х2. . . ., ж8).
Следствие 1. Если на некоторой алгебраической
системе ЭЛ истинна какая-то замкнутая позитивная фор-
мула, то эта формула истинна и на любом гомоморфном
образе системы ЭЛ.
Формула называется негативной. если она образована
с помощью кон’ыонкций, дизъюнкций и кванторов из вы-
ражений вида
f 8i Pj (jli • • • > Sm),
где хг- — предметные переменные, /, g — термы, Pj — пре-
дикатные символы.
Если — позитивная формула, то ~?у обычными опе-
рациями углубления отрицаний и вынесения кванторов
приводится к негативной форме, и, обратно, если $ —
негативная формула, то ~l jy указанными преобразова-
ниями приводится к позитивному виду.
Следствие 2. Пусть ?у (г/ь . . ., уп) — негатив-
ная формула со свободными переменными ух, . . ., уп,
имеющая сигнатуру о, и пусть <р — гомоморфизм некото-
рой алгебраической системы ЭЛ сигнатуры о на алгебраи-
ческую систему 91. Тогда из истинности ?у (ущ, - . ., Уп(Р)
для каких-либо элементов yt, . . ., уп системы 91 вытекает
истинность формулы g (у4, . . ., у„) на ЭЛ.
В частности, если замкнутая негативная формула
истинна на какой-либо системе 91, то она истинна и на
любом гомоморфном прообразе системы 91.
Действительно, если бы -Д' (l/i, . . ., уп) была ложна,
то позитивная формула П Дг (у1? . . ., уп) была бы истинна,
а тогда была бы истинна и формула —I g ([ЛФ, . - ., рп<р),
что противоречит предположению.
§ 7]	КЛАССИФИКАЦИЯ ФОРМУЛ	183
Обращение теоремы 1 (и следствия 2) верно, но требует
для доказательства более тонких соображений (см.
Линдон [28]).
Вопрос о существовании алгоритма, распознающего
по записи формулы эквивалентна ли она какой-нибудь
позитивной формуле, легко решается отрицательно.
Теорема 2. Не существует алгоритма, позволяю-
щего по записи произвольной замкнутой формулы % узнать,
эквивалентна или нет g- какой-нибудь позитивной формуле.
Согласно теореме Чёрча не существует алгоритма,
распознающего тождественно истинные формулы ПИП.
Покажем, что если бы существовал алгоритм Л, позво-
ляющий распознавать, эквивалентна или нет произвольно
заданная формула какой-нибудь позитивной формуле,
то при помощи .А можно было бы распознавать и тожде-
ственно истинные формулы.
Действительно, если бы заданная формула была тож-
дественно истинной, то она была бы эквивалентна пози-
тивной формуле, например формуле (V ж) х = х. С дру-
гой стороны, пусть эквивалентна некоторой позитивной
формуле. Процесс Гильберта дает возможность эффек-
тивно найти одну из таких формул. Пусть — пози-
тивная формула, эквивалентная Остается узнать,
является ли ^4 тождественно истинной формулой. Этот
вопрос равносилен вопросу: является ли выполни-
м о и негативная формула —I Но если негативная фор-
мула истинна на некоторой системе, то она истинна и па
любом ее гомоморфном прообразе и, в частности, на абсо-
лютно свободной алгебраической системе с бесконечным
числом порождающих (см. и. 12.2). Итак, вопрос свелся
к следующему: узнать, истинна или ложна формула —| gi
пи абсолютно свободной системе бесконечного ранга.
Алгоритм для решения этого вопроса указан в работе [38].
7.5. Мультипликативно устойчивые формулы. Хорнов-
< кон формулой (см. Л. Хор н [71]) называется предва-
ренная формула, у которой бескванторная часть есть
коп'ыонкция членов, каждый из которых есть или
нростоншая’ формула, т. е. атомарная формула вида
/’ (.г,...is) или / = g (где Р — сигнатурный преди-
luiTHi.ii'i символ, /, g — термы), или дизъюнкция одной
иростеГнпен формулы указанного вида и нескольких
184
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТУПЕНИ
[Гл. III
отрицаний простейших формул, или дизъюнкция отри-
цаний простейших формул. Например, формула
(Vx) (Зу) (Vz) (/0 = g0 & Л = gi & /2 = g2 V f3 ¥= g3 V ft ¥= gt),
где /г, gt— термы, есть формула хорновского вида.
Если Xt, . . ., хп— свободные предметные переменные
какой-то хорновской формулы (ж1; . . ., х,п) сигнатуры
о, то указанная формула определяет на каждой алгебраи-
ческой системе ЗЛ сигнатуры о m-арный предикат, кото-
рый будет называться хорновским.
Пусть теперь на каждой системе ЗЛ сигнатуры о ка-
ким-то способом задан предикат (xlt . . ., хт). Этот
предикат мы будем называть мультипликативно устой-
чивым, если он удовлетворяет следующему требованию.
Обозначим через ЗЛ декартово произведение системы
моделей ЭЛ„ (а £ А) сигнатуры о, и пусть щ, . . ., ат—
произвольные элементы ЭЛ. Если для каждого а £ А
• • • 1	— II
(ла — проектирование ЗЛ на ЗЛа), то
(«ь ..., ат) = И.
Основное свойство хорновских предикатов выражает
Теорема 1 (А. Хорн [71]). Каждый хорнов-
ский предикат мультипликативно устойчив. В частности,
если какая-нибудь хорновская замкнутая формула %
истинна на каждом сомножителе ЗЛа декартова произ-
ведения ЭЛ = (аСА), то g истинна и на самом
декартовом произведении.
Для доказательства введем вспомогательное понятие.
Предикат (уь . . ., уп), определенный на каждой
системе ЗЛ сигнатуры о, назовем строго мультиплика-
тивно устойчивым, если он мультипликативно устойчив
и из истинности его в некоторой точке . . ., уп декар-
това произведения [|ЗЛК вытекает истинность его в каж-
дом сомножителе ЗЛа в соответственной точке У1Ла, . . .
• • •> Уп^а*
КЛАССИФИКАЦИЯ ФОРМУЛ
185
§ 71
Строгая мультипликативная устойчивость простейших
формул вида
Р,(У1,   , Уп), yi=F(yt, •, Уп),	(1)
где Pt, Fj— сигнатурные символы, непосредственно сле-
дует из определения декартова произведения. Столь же
очевидно, что конъюнкция (строго) мультипликативно
устойчивых предикатов есть (строго) мультипликативно
устойчивый предикат.
Покажем, что квантование (строго) мультипликативно
устойчивых предикатов дает (строго) мультипликативно
устойчивые предикаты.
В самом деле, пусть 5$ (ylt . . ., уп) — строго муль-
типликативно устойчивый предикат, и выражение
(3 i/j) (г/i, у2, •  -, Уп) истинно на декартовом произ-
ведении
ЗЛ = Г[ЭЛга (а£А)
для некоторых у2, ..., уп £ ЗЛ- Это значит, что для под-
ходящего у 6 ЗЛ $ (у, у2, у п)= и. Ввиду строгой
устойчивости предиката отсюда следует
$ (ула, у2ла, ..., упла) = И	(2)
для каждого т. е. для каждого а£А
(Зу) (У< УгПа, , Уп^а) =И.	(3)
Обратно, пусть для фиксированных у2,   , УпЕЯН
и для каждого а£А имеет место (3), т. е. для подходя-
щего УаЕ^а
$ (Уа, Уг^а,   , УпЛа) = И.
Перем в ЭЛ элемент у такой, что ула = уа для каждого
а£А. Из (2) получаем (у, у2, ..., уп) = И, и потому
(3?/)W Уг, , Уп)=И.
Мы показали, что навешивание квантора существова-
ния на (строго) устойчивый предикат дает снова (строго)
устойчивый предикат. Аналогичные рассуждения показы-
вают, что навешивание квантора всеобщности также
сохраняет (строгую) устойчивость.
Докажем теперь, что из строгой мультипликативной
устойчивости предиката ф (уь . . ., уп) и мультиплика-
186
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ и второй ступени
[Гл. Ill
тивной устойчивости Cl (i/t, . . уп) вытекает мульти-
пликативная устойчивость импликации
•••>	Уп).
Пусть для некоторых , уп из декартова произве-
дения ЭЛ ^(//ь -..,Уп)=Н [и для каждого а£А
импликация
5$ (У1^а, • • - I Уп^а) * Л • • • > Уп^а)
истинна. Так как предикат строго устойчив, то
$	, рлЛа) = И, И потому Q (У1Ла, ..., упла) — И.
Из устойчивости предиката П теперь заключаем, что
ЩУп Уп)=Н.
Наконец, заметим, что отрицание строго мультипли-
кативно устойчивого предиката есть мультипликативно
устойчивый предикат.
Действительно, И эквивалентно импликации ->
-> х х, мультипликативно устойчивой в силу пре-
дыдущего замечания.
Из доказанных замечаний теорема 1 вытекает непо-
средственно. В самом деле, согласно п. 7.1 формула
вида
/ (У1, • • •, Уп) = 8 {У1, • • •> Уп),	(4)
где /, g — некоторые термы от yt, . . ., уп, эквивалентна
3-формуле, у которой бескванторная часть есть конъюнк-
ция простейших выражений вида (1). Эти простейшие
выражения строго мультипликативно устойчивы. Вместе
с ними строго устойчивыми будут их конъюнкция и кван-
торизованная формула (4). Таким образом, формулы
вида (4) строго мультипликативно устойчивы. Хорнов-
ская формула есть кванторизация конъюнкции членов,
каждый из которых есть либо формула одного пз видов (1),
(4), либо отрицание формулы этого вида или их конъюнк-
ции, либо формула вида
At & Az &.. . & А/, —> Ар+1,
где Ai— формулы видов (1), (4). Так как формулы видов
(1), (4) строго мультипликативно устойчивы, то каждый
§ 71
КЛАССИФИКАЦИЯ ФОРМУЛ
187
член хорновской формулы мультипликативно устойчив.
Поэтому мультипликативно устойчивы конъюнкция
указанных членов и ее кванторизация, что и требо-
валось.
Обращение теоремы Хорна неверно. А именно, Чанг
и Морел [75] показали, что существуют мультипли-
кативно устойчивые VJ -формулы, не эквивалентные ни-
какой формуле хорновского вида (см. п. 8.4). Что касается
V-формул и 3-формул, то для них обращение теоре-
мы Хорна справедливо. Мы ограничимся здесь только
рассмотрением V-формул, более важных для прило-
жений.
Теорема 2. Пусть класс R алгебраических систем
обладает тем свойством, что декартово произведение
любых двух систем класса R принадлежит R. Тогда каж-
дая ^-формула (j/t, . . ., уп), мультипликативно устой-
чивая на классе R, эквивалентна на R универсальной хор-
иовской формуле.
Формулу g- представим в виде
(V.7-J,.. ,хт) (U1&... .&иг),
где V г,—формула
-i V • . \/ч ApV A, p+iV • • •
(5)
(6)
и A-,j— простейшие формулы типа (1) или (4). Допу-
стим, что в члене (6) число q— р больше 1. Обозначим
через формулу, получающуюся из вычеркиванием
в ее члене (6) k-го выражения вида А^ ]Hk- Ясно, что
формула
9а
тождественно истинная. Покажем, что для подходящего к
па классе R истинна и формула
9->9а-
(7)
Пусть, напротив, для каждого к формула (7) не истин-
на на классе R. Это значит, что в R найдется система 3J[/t
н в этой системе найдутся такие элементы у^, ...,уп‘\
188
ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ и второй ступени
[Гл. III
что в точке i/i , ..., уп на ЭЛ к формула И’ будет истин-
на, а формула gk ложна. Из истинности формулы g
следует, что истинны все ее подформулы (V./j__xm)Ut.
Так как все эти подформулы, кроме Х-й, входят и в состав
формулы то ложность формулы gk влечет ложность
подформулы (6) с вычеркнутым членом. Значит, в ЗЛк
найдутся такие элементы х^\ ..х^, что в точке
, Уп\ x\k), • • •, «''т выражения Аи, ..., АКр будут
истинны, а выражения AKtP+a (а=^~-к) ложны.
Рассмотрим декартово произведение ЭЛ систем ЭЛк
(к — 1, ..., q — р). Обозначим через у, последовательность
, ..., i/i9—p)) (i = 1, ..., п) и через х}—последователь-
ность (^1), ..., хур)) (j = l, ..., т). Последовательности
...,уп, хь ...,хт— это элементы системы ЭЛ. В точ-
ках ..., уп\ x\h), .. ., х^ (к — 1, ..., q—р) выражения
А}Л, ..А>р были истины, поэтому они истины и в точке
a=(i/i, ...,уп, xt, ..., хт). С другой стороны, каждое
из выражений p+i, ..., ложно в подходящей про-
екции алк = ([/ib), ..Уп \ х^\ ..., х(т) точки а. Поэтому
все выражения AiiP+i, ..., ложны в точке а. Мы
видим, что в точке а формула ложна. Следовательно,
в точке (т/!, ..., уп) формула g ложна. Но это противо-
речит мультипликативной устойчивости формулы g, так как
для каждого & = 1, ...,q—р формула ^(г/1Лк, ..., Уп^ь.)
истинна.	'
Итак, если мультипликативно устойчивая V-формула
не имеет хорновского вида, то она эквивалентна на классе
ft более короткой мультипликативно устойчивой на ft
V-формуле gk- Если не имеет хорновского вида, то,
производя в gk указанное вычеркивание, получим еще
более короткую формулу ^hr и т. д. Через конеч-
ное число шагов процесс оборвется, и в результате по-
лучится формула, удовлетворяющая требованиям тео-
ремы 2.
В этом и предыдущих пунктах был определен ряд
устойчивостей: устойчивость относительно перехода к под-
системам, гомоморфная устойчивость, мультипликатив-
ная устойчивость. Среди формул, обладающих несколь-
кими из этих устойчивостей, особенно большое значение
имеют так называемые тождественные соотношения или,
КЛАССИФИКАЦИЯ ФОРМУЛ
189
S 71
короче, тождества и условные тождества (квазитожде-
ства).
По определению тождествами называются формулы
вида
(Va?i . .. хп) (f=g), (VXi ... хп) Р (аь ..., ат), (8)
где /, g, а17 . . ат— термы от xt, . . хп, Р — сиг-
натурный предикатный символ.
Условными тождествами (квазитождествами) назы-
ваются формулы вида
(Vxj...^) (А&...
где через At, ..., Ар, А обозначены простейшие формулы
вида
f = g, Р(а,, .. ., ат).
Из приведенных выше результатов этого параграфа
видно, что тождественные соотношения устойчивы отно-
сительно перехода к подсистемам, гомоморфно устойчивы
и мультипликативно устойчивы. Условные тождества
устойчивы относительно перехода к подсистемам и муль-
типликативно устойчивы, но в общем случае не обладают
гомоморфной устойчивостью.
Заметим еще, что каждое тождество (8) эквивалентно
условному тождеству
(VXt . . . Хп) (Xi = Xi-> / = g)
или соответственно условному тождеству
(V^i - -. хп) (я^ = Xi-^P (alt ..., am)).
Поэтому тождества можно рассматривать как частный
вид условных тождеств.
Известен ряд задач о существовании алгоритмов,
естественно связанных с понятиями хорновской формулы
и мультипликативной устойчивости. Например:
а)	Существует ли алгоритм, позволяющий по записи
произвольной замкнутой формулы сказать, обладает или
пет эта формула свойствами мультипликативной устой-
чивости?
б)	Существует ли алгоритм, позволяющий по записи
произвольной замкнутой формулы сказать, эквивалентна
190
языки первой и второй ступени
[Гл. 111
или пет эта формула подходящей формуле хорновского
вида ?
Вопросы а), б) можно специализировать, рассматривая
в них не произвольные замкнутые формулы, а лишь фор-
мулы какой-то фиксированной сигнатуры. Можно и по-
другому видоизменять вопросы а), б). Например, усло-
вимся замкнутую формулу g называть квадратоустойчи-
вой, если из истинности g на произвольной системе ЭЛ
вытекает истинность g на декартовом квадрате ЭЛ X ЭЛ.
Естественно к вопросам а), б) добавить и вопрос
в)	Существует ли алгоритм, позволяющий по записи
произвольной замкнутой формулы сказать, является ли
эта формула квадратоустойчивой?
Вопросы б), в) и некоторые их модификации были
отрицательно решены Феферманом (для формул произ-
вольной сигнатуры) и Маховером [45] (для формул
сигнатуры, содержащей или fc-арный предикатный сим-
вол, к 3, или два предикатных символа, один из кото-
рых бинарный, а другой не нульарный). Мы ограничимся
здесь доказательством лишь следующей теоремы.
Теорема 3 (Ал м а г а м б е т о в Г4]). Не су-
ществует алгоритма ,->1, позволяющего распознавать квад-
ратоустойчивые формулы среди замкнутых формул ПИП,
сигнатура которых состоит лишь из одного бинарного
предикатного символа и которые не содержат знака ра-
венства.
Обозначим через Я класс моделей, сигнатура которых
состоит лишь из одного бинарного предикатного символа
Р и па которых истинна формула
V( = (Уху) Р (х, у).
Через £ обозначим класс тех моделей сигнатуры (Р),
на которых истинна формула
?&~(Уху)(Р(х, у)\/Р(у, х)).
Рассмотрим какую-нибудь замкнутую формулу
df
S = (<21Ч) •  • (QmXn) 9} (^, . . , Хт) (9)
сигнатуры (Р), не содержащую знака равенства. Чтобы
§ 7]	КЛАССИФИКАЦИЯ ФОРМУЛ	191
узнать, истинна или ложна эта формула на какой-то модели
ЭЛ класса Я', достаточно в ее бескванторной части Э( все
выражения вида Р (xiy Xj) заменить их значением И
и с помощью таблиц из и. 6.2 вычислить значение полу-
чившейся формулы. Если значение будет равно И, то
формула § истинна не только на модели ЭЯ, но и на любой
модели класса St. Если значение Э? равно Л, то ложна
не только на ЭЛ, но и на любой модели класса St. Следо-
вательно, мы получили алгоритм, позволяющий для каж-
дой формулы вида (9) сказать, истинна или нет эта форму-
ла на всех моделях класса St.
В противоположность этому известно, что не сущест-
вует алгоритма, посредством которого для каждой фор-
мулы вида (9) можно было бы сказать, выполнима или нет
эта формула на всех моделях класса £.
Поэтому для доказательства теоремы 3 достаточно
показать, что если бы упоминаемый в этой теореме алго-
ритм ЛЬ существовал, то с помощью его для каждой фор-
мулы вида (9) можно было бы решить, выполнима или нет
эта формула на моделях класса £.
Итак, пусть задана какая-то формула Д- вида (9). Преж-
де всего узнаем, истинна ли Д на всех моделях класса St.
Если да, то Д выполнима и на классе 2 (так как St с £),
и вопрос о выполнимости на £ решен.
Пусть Д ложна на Si. С помощью алгоритма А решаем,
является ли квадратоустойчивой формула Д&55.
Пусть нет. Тогда Д выполнима на £. Действительно,
неквадратоустойчивость формулы Д&55 означает, что
существует такая модель ЭЛ, что на ней формула Д&95
истинна, а на ЭЛ2— ложна. Из истинности на ЭЛ формулы
Д Л 55 следует, что на ЭЛ истинны порознь формулы Д
и 5\ т. е. что Д истинна на модели ЭЛ класса £.
Пусть, наконец, формула Д & 55 квадратоустойчива.
Покажем, что в этом случае Д невыполнима па £. Пусть,
напротив, Д истинна на какой-то модели ЭЛ из £.
П<> условию на всех St-моделях формула § ложна, и потому
'll} (| М, т. с. в ЭЛ существуют элементы а, Ъу для которых
/* (щ h) Л. В модели ЭЛ2 рассмотрим элементы а —
(</, /») и Ь - (Ь, а). Так как Р (о, Ь) — Л, то
Р(а, Ь) = Р(Ь, а)=Л
192	ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ и ВТОРОВ СТУПЕНИ	[Гл. Ill
и, следовательно, на Ж2 формула $8 ложна, хотя ввиду
квадратоустойчивости формулы g&SS на Ж2 должна
была бы быть истинной формула Полученное про-
тиворечие доказывает, что утверждение о невыполнимости
g на £ истинно.
Совершенно аналогичными рассуждениями доказы-
вается и
Теорема 4 (Алмагамбетов [41). Не су-
ществует алгоритма, позволяющего для произвольной
замкнутой формулы, сигнатура которой состоит из од-
ного бинарного предикатного символа и которая не содер-
жит знака равенства, решить, является или нет эта
формула мультипликативно устойчивой.
ГЛАВА IV
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
§ 8. Фильтры и фильтрованные произведения
Видное место, занимаемое декартовыми произведе-
ниями в теории групп, теории колец и в теориях других
классических объектов алгебры, в значительной степени
зависит от того, что декартовы произведения групп
являются группами, декартовы произведения колец —
кольцами и т. д. Для теории языка 1-й ступени понятие
декартова произведения менее удобно, так как декартово
произведение систем, обладающих каким-либо свойством,
выражаемым на указанном языке, само этим свойством,
как правило, не обладает. В конце 50-х годов были откры-
ты так называемые ультрапроизведения систем, в полной
мере удовлетворяющие требованию сохранения свойств
1-й ступени. В настоящее время техника ультрапроиз-
ведепия стала играть большую роль при решении более
гонких проблем языка 1-й степени. Основные понятия
и результаты теории ультрапроизведений и излагаются
и данном параграфе.
8.1. Фильтры и ультрафильтры. Фильтром над непу-
стым множеством I называется любая непустая совокуп-
ность D подмножеств множества I, удовлетворяющая
требованиям:
i) пересечение любых двух подмножеств из D при-
надлежит D;
ii) все надмножества любого подмножества, принад-
лежащего /), принадлежат D;
Hi) пустое подмножество 0 не принадлежит D.
II.। условий i), ii) непосредственно вытекает, что пере-
< еченпе любого конечного числа множеств, принадлежащих
I* \ II. Мюи.Ц'*||
194
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
фильтру, принадлежит этому же фильтру и что базис-
ное множество I принадлежит каждому фильтру над 7.
В дальнейшем фильтр D над / будет обозначаться либо
одной буквой D, либо парой (7, D}.
Совокупность всех надмножеств какого-нибудь фикси-
рованного непустого множества М 7, очевидно, удов-
летворяет требованиям i), ii), iii) и поэтому является
фильтром. В частности, фильтром является само множе-
ство 7, взятое в отдельности. Фильтры этого вида назы-
ваются главными. Остальные фильтры называются не-
главными. Ясно, что фильтр F тогда и только тогда
главный , когда F содержит пересечение всех своих множеств.
Поскольку конечное множество имеет лишь конечное
число подмножеств, а пересечение конечного числа под-
множеств из фильтра принадлежит фильтру, то все филь-
тры над конечным множеством I являются главными.
Над каждым бесконечным множеством 7 существуют
неглавные фильтры. Простейшие из них называются
фильтрами Фреше и строятся следующим образом. Пусть
и — какая-нибудь бесконечная мощность, по превосходя-
щая мощности | 7 |. Обозначим через совокупность
всех тех подмножеств множества 7. мощность дополнений
которых строго меньше и. Из результатов и. 2.6 непосред-
ственно вытекает, что совокупность Dn удовлетворяет
условиям i), ii), iii), и потому 7)п — фильтр над I. Множе-
ства вида 7\{а} (a g 7) принадлежат 7?п. Пересечение
всех этих множеств, а следовательно, и пересечение вообще
всех множеств из Dn пусто. Поэтому D„ — неглавный
фильтр.
Например, над множеством всех натуральных чисел
единственным фильтром Фреше будет совокупность всех
подмножеств, имеющих конечное дополнение. Над сово-
купностью С всех вещественных чисел фильтрами Фреше
будут совокупность всех подмножеств, имеющих конеч-
ное дополнение, и совокупность всех подмножеств, до-
полнение которых конечно или счетно. Первый из этих
фильтров есть часть второго. Если принимается гипотеза
континуума (п. 2.6), то других фильтров Фреше над С нет.
Примером неглавного фильтра, не являющегося
фильтром Фреше, может служить совокупность множеств
I, Hl ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
195
нигуральпых чисел, дополнение которых содержит лишь
конечное число четных чисел, а также совокупность мно-
жгетн рациональных чисел, каждое из которых содержит
ше рациональные числа подходящего интервала, содер-
.ьап1.его фиксированное иррациональное число 0. Послед-
ний фильтр рассматривается как фильтр над множеством
рациональных чисел.
В соответствии с и. 2.6 через 21 обозначим совокуп-
ность всех подмножеств множества I. Фильтры — это
подмножества множества 21, удовлетворяющие специаль-
ным требованиям i), ii), iii). Семейство всех фильтров
над / частично упорядочено относительно включения.
Нижеследующие теоремы выражают простоните свой-
( ню этого семейства.
Теорема 1. Пересечение любого непустого семей-
ства фильтров над I есть фильтр над I. Объединение
фильтров над I, образующих упорядоченную по включению
цепочку, есть фильтр над I.
) 6»казательства очевидны.
Т е о р е м а 2. Для того чтобы какая-то совокуп-
ичеть X подмножеств множества 1 была частью некото-
/т.41 фильтра над I, необходимо и достаточно, чтобы
неуен-чеиие любого конечного числа подмножеств из X
<0.1.111 не пусто.
Необходимость очевидна. Докажем достаточность.
Пу< гь пересечение конечного числа любых множеств
ил не пусто. Обозначим через D совокупность всех тех
подмножеств множества I, каждое из которых содержит
пересечение конечного числа каких-то множеств совокуп-
на nt i]. Так как эти пересечения по условию не пусты,
io 1> не содержит 0. Далее, если подмножество А I
 о к р.кнт пересечение At П. . .	каких-то мно-
.ьесш нз 2 и подмножество В s I содержит пере-
 ।'leitue /?i П . . . П В,, каких-то множеств из S, то
I 11 /> содержит пересечение At р . . . рЛ,„ f) Bv Р . . .
11 />„ и потому принадлежит совокупности D. Таким
<||>разом, совокупность D удовлетворяет требованиям i),
hi) Ясно, что D удовлетворяет и требованию ii) и потому
/’ iiii'iiicti'h искомым фильтром, содержащим X.
Мпьгнмальные фильтры, т. е. не лежащие ни в каком
i|>\ him фнл ьтре над'/, называются ультрафильтрами над/.
13*
196
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
(Гл. IV
Ясно, что среди главных фильтров над I ультрафиль-
трами являются лишь совокупности всех подмножеств,
содержащих какой-то фиксированный элемент а £ I. Су-
ществование неглавных ультрафильтров над бесконеч-
ными множествами вытекает из следующего предложения.
Теорема 3. Для того чтобы какая-то совокуп-
ность X подмножеств множества I содержалась в некото-
ром ультрафильтре над I, необходимо и достаточно,
чтобы пересечение любого конечного числа подмножеств из
2 было не пусто. В частности, каждый фильтр над I
содержится в некотором ультрафильтре над I.
В доказательстве нуждается лишь достаточность усло-
вий. Пусть пересечение конечного числа любых подмно-
жеств, принадлежащих совокупности S, непусто. По тео-
реме 2, 2 содержится в каком-то фильтре D над I. Так
как объединение фильтров, образующих цепь, есть фильтр,
то, согласно лемме Цорна (п. 1.5), каждый фильтр, в том
числе и D, содержится в подходящем максимальном
фильтре, т. е. в подходящем ультрафильтре.
Если пересечение всех множеств заданного фильтра
D пусто, например, если 1) — фильтр Фреше, то каждый
содержащий I) ультрафильтр также будет неглавным
и потому над каждым бесконечным множеством сущест-
вуют неглавные ультрафильтры.
Приведенное доказательство существования неглав-
ных ультрафильтров опирается па лемму Цорна, т. е.
на аксиому выбора. Без помощи аксиомы выбора никаких
неглавных ультрафильтров даже над множеством нату-
ральных чисел до сих пор не построено. Легко пока-
зывается, что утверждение о расширяемости каждого
фильтра до ультрафильтра эквивалентно аксиоме
выбора.
Удобный признак максимальности фильтра дает
Теорема 4. Фильтр D над множеством I тогда
и только тогда является ультрафильтром, когда любое
подмножество А = I либо само принадлежит D, либо
дополнение А принадлежит D.
В самом деле, пусть фильтр D обладает указанным
свойством и, вопреки утверждению теоремы, содержится
в некотором большем фильтре Ор Пусть А £ О15 А $ D.
По условию из A (+.D следует А' £ D, где Л'— дополни-
Ii HJ ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
197
пне А. Таким образом, А С D1; А' £ Di и потому
Л рЛ' = 0 £ что противоречит требованию iii).
Обратно, пусть D — ультрафильтр над I и
A^D, A' (Ас=Г).
Если для некоторого X g D A QX = 0, то
Х<~А' и А' £ D. Поэтому A |~|X 0 для любого
X £ D и, значит, A Q X, f| . . . П Хт 0 для произ-
вольных Хь . . ., Хтиз D. Мы видим, что совокупность
i], состоящая из множества А и всех множеств фильтра D,
удовлетворяет условиям теоремы 2 и потому содержится
и подходящем фильтре Но D — ультрафильтр, т. е.
он пе может содержаться ни в каком большем фильтре
/)ь что и требовалось.
8.2. Ультрапроизведения. Пусть каждому элементу
а какого-то множества I поставлена в соответствие неко-
торая алгебраическая система = (Аа, Q) фиксиро-
ванной сигнатуры Q. Элементами декартова произведения
м=Пла («£/)
носителей Аа указанных систем являются функции /,
определенные на I, значения которых удовлетворяют усло-
вию / (ос) £ Аа. Вместо f (а) будем писать fa и будем
называть проекцией элемента f на сомножитель Аа.
Пусть D — какой-нибудь фильтр над I. Вводим на М
бинарное отношение =л, полагая по определению
/sDg<=>{ae/|/“=ga}eo	(/,/ел/).	(i)
Если / g, то говорят, что / эквивалентен g по
фильтру D.
Из определения (1) видно, что отношение =3£> сим-
метрично. Так как f=n f-> то отношение =с рефлек-
сивно. Покажем, что оно и транзитивно. Пусть f=Dg,
g==Dh, и потому наряду с правой частью (1) истинно
н соотношение
{а £ 11 = ha} £ D.
Так как
(а | /в = Л«} э {«| /а =	|	= /г«} £ D,
198
ПРОИЗВЕДЕНИЯ II ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
ТО
Итак, отношение ==л есть отношение эквивалентности
на множестве М, и мы можем образовать фактор-мно-
жество А —- Л77=л, которое называется редуцированным
ио D или фильтрованным по D произведением множеств
Аа и обозначается символически через Ц^1а/7) (а£/).
Символом /£) (/ g М) обозначается класс элементов из М,
эквивалентных / по D.
Мы хотпм теперь определить на множестве Л = Л7/==р
алгебраическую систему сигнатуры Q. Пусть R— какой-то
тарный предикатный символ из Й. По определению
полагаем
/тО) = 77<=>{а|7?(/?,	=77} £D.	(2)
Истинностное значение 11 (faD,	определен-
ное формулой (2), не зависит от выбора представителей
Д,	в классах faD,	Действительно, если
gi е ДО	т), 7? (ДО, .. ., fmD) = 77,
то
Л ={a|g? =/“}£»•
Но
2ДП... ПДпП{а|й(/ь ..., f“) = 77}£D,
поэтому совокупность {а | 7? (g?, ..., g,“) = 77} принадле-
жит фильтру D и, следовательно, R(gtD, ...,gmD)—lI.
Если F есть и-арнып функциональный символ из Q,
то в соответствии с условием (2) полагаем
FU.D, ...,/,,У) = /£<=>{« |F(/?, ..., /“) = /а}еО. (3)
Как и в случае предикатного символа 77, легко убеж-
даемся, что соотношение (3) задает на }]Ла/7? всюду опре-
деленную и однозначную функцию F.
Определения (2), (3) превращают фильтрованное произ-
ведение А — [J Aa!D в алгебраическую систему (А, Q),
§ Sj ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ IQ'J
называемую редуцированным или фильтрованным по
/фильтру D произведением последовательности систем
s?(a (а £ I) и обозначаемую символически одним из сле-
дующих способов:
Пад>. IhL/o («€/), IIsl/d.
Системы называются сомножителями фильтрован-
ного произведения. Если все ?1а совпадают с фиксиро-
ванной системой ?1, то фильтрованное произведение
| I'l’Ir/./O называют I-й степенью системы ?(, (фильтрованной
по фильтру D, и обозначают через 9F/D.
Если фильтр {I, D) состоит лишь пз самого множества
/, то фильтрованное произведение [f 9la/Z> (и б I) совпа-
дает с декартовым произведением | [ (а С I) систем
'Ла (а б I), определенным в п. 2.5. Волос подробные
сведения о поведении фильтрованных произведений при
меняющихся фильтрах и сомножителях дают следующие
простейшие теоремы.
Теорема 1. Если D, Di— фильтры над одним
н тем же множеством I и D = Dt, то каноническое ото-
бражение
v.	(/dM)	(4)
является гомоморфизмом |[s?Ifz/O на |[VIK/Oi-
Из D вытекает
f=Dg=^f^Dtg (f, g€[]^a)
н потому отображение (4) является однозначным отобра-
женном	на ]	Из D s Di, кроме того, сле-
дует, что для любого Л б О
Л UiD, fmD) = И R	fM = II.
Поэтому отображение (4) является гомоморфизмом.
Веря в качестве D фильтр, состоящий лишь из множе-
ства /, получаем, что каноническое отображение f -> /Г)-,
пишется гомоморфизмом декартова произведения J [ ?1а
на фильтрован ное произведение []	Однако в общем
 чучае гомоморфизм (4) не сильный (п. 2.4), и потому
to 'ii..in утверждать, что фильтрованное произведение есть
200
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
фактор-система от соответствующего декартова произве-
дения по надлежащей конгруенции 0. Тем не менее,
если перемножаемые системы — алгебры, то фильтро-
ванное произведение	—также алгебра. Любой
гомоморфизм алгебры на алгебру — сильный гомомор-
физм. Поэтому произведение алгебр |[ ?[„/£)!, фильтро-
ванное по произвольному фильтру £>!, является фактор-
алгеброй декартова произведения | [ по конгруенции
Теорема 2. Пусть | [	— фильтрованное
произведение каких-то алгебраических систем (а б. I)
и J £ D. Тогда
П иа/£>М1вдг),	(5)
где Dj—фильтр, образованный пересечениями J с мно-
жествами фильтра D.
В частности, если D—главный фильтр, состоящий
из всех надмножеств множества J <= I, то
^11 Я; (/е/)-
Рассмотрим отображение
(/eIPu),
гДе fj — ограничение функции f на множестве J. Из
определения (1) и конструкции фильтра Dj видно, что
f =Dg<^>fj=Djgj (f,
и для каждого R g Q
R (ftD, fnD) = H^>R ((fJjDj,	= И.
Поэтому отображение /О —> jjDj есть искомый изомор-
физм (5).
T е о р е м а 3. Если пересечение J всех множеств
фильтра (/, D) не пусто и не принадлежит D, то
IM/zMJ ?ir П ир/Дг,
*) Если ?[ и S3 — алгебраические системы, то й ss S3 озна-
чает, что й и S3 изоморфны.
§ 8] ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
201
где Dj- — фильтр над J' = /\ J, образованный пересече-
ниями J' со всеми множествами фильтра D.
Доказывается аналогично теореме 2.
Из предположений теоремы 3 видно, что пересечение
всех множеств фильтра Dj- пусто, и потому теорема 3
сводит изучение произвольных фильтрованных произ-
ведений к изучению декартовых произведений и произ-
ведений, фильтрованных по фильтру, имеющему пустое
пересечение своих множеств.
Теорема 4. Пусть заданы последовательности
?1а	алгебраических систем и гомомор-
физмы
4>а- ?1а-»^а
систем ?1а в системы $&а. Тогда отображение <р: fD—>
где fq> определяется формулой
(«) = f («) Та	(/ € П 51 а),
есть гомоморфизм ] J в || %>aID для любого фильтра
{I, D). Если отображения сра— сильные гомоморфизмы,
изоморфизмы или отображения на, то таковым же
является и отображение ф.
Утверждения этой теоремы непосредственно вытекают
из соответствующих определений.
Теорема 5. Пусть заданы фильтрованное произ-
ведение ][ (а £1) и взаимно однозначное отображение
а: I ->- J множества I на какое-то множество J. Обозна-
чим через Da фильтр над J, образованный о-образами мно-
жеств фильтра D. Тогда
П 91а/О^П ?1ра-Ж.	(6)
а£Т	₽£J
Легко проверяется, что отображение fгде
и представляет собою искомый изоморфизм (6).
Теоремы 4 и 5 показывают, щго фильтрованное произ-
поде||не с точностью до изоморфизма не зависит от спо-
<ч»о;| нумерации систем и определяется абстрактными
<tроениями сомножителей и фильтра.
202
ПРОИЗВЕДИ ПИЯ И ПОЛНЫЕ КЛ АССЫ
[Гл. IV
Поставим теперь следующий основной вопрос. Возьмем
какое-нибудь фильтрованное произведение [ [ ЭДа/У) алгеб-
раических систем ЭДа сигнатуры Q. Допустим, что в каж-
дой системе ЭДК истинна некоторая фиксированная закры-
тая формула 1-й ступени имеющая сигнатуру Q.
Спрашивается, при каких условиях, наложенных на фор-
мулу И или на фильтр D, можно утверждать, что jy
истинна и на фильтрованном произведении? Чтобы отве-
тить на этот вопрос, мы введем два вспомогательных
понятия.
Допустим, как и выше," что нам заданы какой-то
фильтр (I, D) и отображение а-> ЭДа = {Аа, Q) сово-
купности I в класс алгебраических систем фиксирован-
ной сигнатуры Q. Положим
М-Ща,	(«€/).
Рассмотрим какой-нибудь предикатный п-арный (воз-
можно, нульарпый) символ R, не обязательно содержа-
щийся в Q. Пусть для каждого ос £1 символу У? сопоставлен
в качестве его значения в ЭДК какой-то n-арный предикат
Ra (ад, . . ., а:,,), определенный в ЭДГ/, и, кроме того,
задан некоторый н-арный предикат R* в ЭД, который
будет называться значением У? в ЭД.
Предикат У? (т. е. совокупность его значений в ЭДа,
ЭД) будем называть условно фильтрующимся (в У)), если
для любых ft, ..., fn из М
{а|УГ(/?, ..., /“) = У7}еО^У?(/1О, ..., /ПО)=Я.	(7)
Предикат У? будем называть фильтрующимся (в D), если
{a\Ra(ft ...,	У? (ДУ), ..., fnD) — II. (8)
Функция F, определенная в ЭДК, ЭД, называется
фильтрующейся или условно фильтрующейся, если филь-
трующимся, соответственно условно фильтрующимся,
является предикат, принадлежащий этой функции.
Сравнивая формулу (8) с формулами (2), (3), видим,
что все сигнатурные предикаты и функции заведомо
фильтрующиеся в любом фильтре (У, D).
Рассмотрим теперь произвольную формулу 1-й ступени
^3 (У?1, , , ., Rs; xit . . ., хп), свободные предметные пере-
§ 8J ФИЛЬТРЫ II ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
203
меппые которой содержатся среди переменных xlt . . ., хп,
а предикатные (и функциональные) переменные суть
/?!, . . Rs. Пусть значения 7?(, . . Rs в системах
21, 2Ia (а С I) каким-то образом уже определены. Тогда
указанная формула будет определять в каждой системе
21, 21„ (а С I) свой n-арный предикат
R (xt, ..., хп) = $ (/?!, .. ., Rs; xt, х,г),
который может быть фильтрующимся или пе фильтрую-
щимся в фильтре D в зависимости от вида формулы
и характера первоначально заданных предикатов Rt, . . .
. . ., Rs, которые также могут задаваться некоторыми
формулами.
Нижеследующие леммы устанавливают эту зависи-
мость в ряде простейших случаев.
Л е м м а 6. Если Jl(xt, . . ., хп), ^(xt, . . ., хп) —
формулы, определяющие условно фильтрующиеся преди-
каты (на некотором фшлътре D), то фюрмулы
(Мхх)Л, (3.^)./,
определяют предикаты, также условно фильтрующиеся
на фильтре D.
Фиксируем какие-нибудь значения для х2, ..., хп в М
и далее не будем явно писать их в формулах. Пусть
{а\(Ух^ = И}ЕО.	(9)
Перем в М произвольное значение а для xt. Из (9) выте-
кает, что
{а | (Vxt) = И} s {а | Л (а«) = 11} £ D.
Так как предикат Л условно фильтрующийся, то из (9)
вытекает истинность Л (а) на М, и потому формула
(V-ct) истинна на М.
Условная фильтруемость формул (З.л)^ и Л &. 99
доказы вается аналогично.
Лемма 7. Если Л (хл, ..., хп}, 99 (xt, ...,хп) —
фюрмулы, определяющие фильтрующиеся предикаты, то
формулы Л & 99, (Hxj) Л также определяют фильтрую-
щиеся предикаты.
204
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
Условная фильтруемость указанных предикатов уже
установлена. Далее имеем
^&^> = ZZ=^(^ = IZ и Jg>=Z7)=s>
?I	51	81
^{a\J=H}£D и {a\&=Il}£D,
Via	Via
отсюда
{а\<4&^=И} = {с,\.4 = И}[}{а\^=И}еП,
Via	Via	Via
и потому Л'& .‘z?—фильтрующаяся формула. Фильтруе-
мость формулы (H-Tj) <4 устанавливается аналогично.
Лемма 8. Если формула Л(з\, ...,хп) определяет
предикат, фильтрующийся на улътафилътре D, то
формула А также определяет предикат, фильтрую-
щийся на D.
Так как для любого подмножества М s /
M£D<=>M'&D	(M' = Z\M),
то
{а|П^ = /7}еТ)<^{а|^=/7}^7)<^
<4 = 11.
81
Из лемм 7 п 8 непосредственно вытекает основная
Теорема 9. Пусть .4 (7?i, . . ., 7?s; Xj, . . ., хп) —
произвольная формула 1-й ступени, где Ri, . . ., Rs —
предикатные и Х\, . . ., хп — предметные символы,
встречающиеся в этой формуле. Если Rx, . . ., Rs —
фильтрующиеся предикаты в некотором ультрафильтре
D, то предикат, определяемый формулой <4, также
фильтрующийся в D.
В самом деле, формула <4 равносильна формуле, полу-
чающейся пз атомарных формул Rt (х^, . . ., xip) при
помощи операций &, 3, "I. По условию атомарные фор-
мулы определяют предикаты, которые фильтруются в D.
Согласно леммам 7 и 8 операции &, 3, П, примененные
к предикатам, фильтрующимся в ультрафильтре D, дают
предикаты, фильтрующиеся в D. Поэтому формула <4 опре-
деляет предикат, фильтрующийся в D.
Выше отмечалось, что в фильтрованных произведениях
алгебраических систем заданной сигнатуры Q все сигпа-
§ 8] ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
205
турные предикаты и операции являются фильтрующимися.
Поэтому из теоремы 7 непосредственно получаем
Следствие 10. Пусть А (хх, . . ., хп) — произ-
вольная формула 1-й ступени со свободными предметными
переменными xit . . ., хп, имеющая заданную сигнатуру
Q, (I, D) — произвольный ультрафильтр и а ->- Иа —
отображение I в класс алгебраических систем сигнатуры
Q. Тогда для любых at, . . ., ап из [| имеем
И = A (aiD, . .., «„£>)<=>{« | А (а1}, ..., а") — И} g D.
В частности, закрытая формула .А сигнатуры Q
тогда и только тогда истинна на фильтрованном по уль-
трафильтру (I, D) произведении алгебраических систем
21а (а Е ^), когда совокупность номеров сомножителей,
в которых истинна формула .4, принадлежит ультра-
фильтру D, т. е.
А = И<^{а\.А==11}£1)	(10)
VI	VI а
Произведения систем, фильтрованные по ультрафиль-
тру, называются улътрапроизведениями. Если над мно-
жеством I задан какой-то фильтр D, то все множества,
принадлежащие фильтру, часто называют «большими»
(относительно D) пли содержащими почти все элементы
множества I. С помощью этой терминологии формулу
(10) можно высказать в виде такого утверждения: замкну-
тая формула 1-й ступени тогда и только тогда истинна
на ультрапроизведении, когда она истинна в почти всех
сомножителях.
В частности, если замкнутая формула 1-й ступени
истинна в каждой алгебраической системе (а £ Z),
то она истинна и в любом ультрапроизведении этих систем.
Например, согласно п. 3.3, группой называется алгеб-
раическая система сигнатуры {•, -1}, в которой истинна
формула
(V.TJ/Z) (х (yz) = (ху) Z & х (уу1) -= .г & (у-1 у) ж = ж).
Па основании следствия 10 заключаем, что каждое уль-
тра произведение групп есть группа.
Свойство группы быть абелевой также выражается
формулой 1-й ступени: (Уху) (ху = ух). Поэтому ультра-
произведение абелевых групп есть абелева группа.
206
ПРОИЗВЕДЕНИЯ II ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
Группа называется полной, если в ней истинны формулы
0М(ЭУ)(Уп = 3) (и = 2, 3, ...).	(11)
Следовательно, ультрапропзведепие полных групп есть
полная группа.
Обозначим через Zp. циклическую группу простого
порядка pt (i =0, 1, 2, . . .; р0 = 2, рг = 3, . . .),
и пусть D — какой-нибудь неглавный ультрафильтр над
множеством N всех натуральных чисел. Попробуем выяс-
нить строение группы
Прежде всего, Zp. — абелевы группы и порядки их растут
неограниченно. В силу следствия 10 и теоремы 3 из п. 8.5
@ — бесконечная абелева группа, имеющая мощность
континуума. Формула
(V.r) (тп+1 = .г —> :г ,гх х) (п > 1)
истинна во всех сомножителях, начиная с Zp . Поэтому
она истинна и на @, т. е. @ не содержит элементов конеч-
ного порядка. Аналогично формула (11) для каждого
п 1 истинна па всех сомножителях, начиная с Z,, .
Поэтому она истинна и на @, т. е. группа @ полная.
Подгруппа декартова произведения [] &а групп
состоящая из элементов g, у которых лишь конечное
число проекций gna отлично от единицы, называется
прямым произоедением заданных групп. Согласно оче-
видном теореме теории абелевых групп всякая полная
абелева группа без элементов конечного порядка изо-
морфна прямому произведению надлежащего числа групп,
изоморфных аддитивной группе рациональных чисел.
Таким образом, интересующая нас группа изоморфна
прямому произведению континуума копий аддитивной
группы рациональных чисел.
Класс ft алгебраических систем сигнатуры Q назы-
вается аксиоматизируемым (конечно аксиоматизируемым),
если существует такая совокупность © (соответственно
конечная совокупность G5) замкнутых формул ПИП сиг-
натуры Q, что ft состоит из тех и только тех алгебраиче-
ских систем сигнатуры Q, на которых истинны все фор-
мулы из (g (ср. п. 6.4).
§ 8] ФИЛЬТРЫ II ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
207
Говорят, что класс К алгебраических систем сигна-
туры й замкнут относительно улътрапроизведеиий (крат-
ко, улътразамкнут), если для каждого множества 7,
каждого ультрафильтра D ва множестве I и каждых
алгебраических систем Я,- (i б I), выбранных из класса St,
ультрапроизведение ] | (i £ /) принадлежит классу St.
Класс St систем сигнатуры й называется абстракт-
ным, если с каждой системой ?1 класс St содержит и все
изоморфные ей системы сигнатуры й.
Из теоремы 1 п. 6.3 следует, что всякий аксиоматизи-
руемый класс систем является абстрактным. Из следствия
10 получаем, что всякий аксиоматизируемый класс являет-
ся также ультразамкнутым.
8.3.	Некоторые применения ультрапропзведений.
В качестве первого применения развитой выше теории
ультрапроизведений докажем следующую важную теорему.
Теорема 1 (т е о р е м а к о м п а к т п о с т и
или локальная теорема языка 1-й с т у -
и е и и). Если выполнима каждая конечная часть беско-
нечной совокупности (а закрытые формул 1-й ступени
какой-то сигнатуры й, то выполнима и вся совокупность Q.
Совокупность закрытых формул данной сигнатуры й
называется выполнимой, если существует алгебраическая
система сигнатуры й, в которой истинна каждая формула
указанной совокупности. Обозначим через I множество
всех конечных непустых частей совокупности <2. Через
Фа (а € О обозначим конъюнкцию всех формул, при-
надлежащих а. По условию для каждого а б I существует
алгебраическая система Жа сигнатуры й, в которой
истинна формула Фа. Вводим подмножества —
- {« 6 I | Ф£ = И}.
Так как пересечение 76(] . . . Правно
{а | Ф£ & ... & ФЕ== 77} Zg,#= 0,
то по теореме 3 п. 8.1 совокупность подмножеств вида
/п можно дополнить до некоторого ультрафильтра D
над 7. Рассмотрим ультрапроизведение
Ж 4{ЖаЛО (а £7).
208
ПРОИЗВЕДЕНИЯ II ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
Согласно следствию 10 из предыдущего пункта
Фа = {г|Фа = И} е D1а е D.
Таким образом, все формулы Фа, а потому и все формулы
из ®, истинны в ЭЛ, и, следовательно, совокупность Q
выполнима.
Для конечной или счетной сигнатуры теорема 1 выте-
кает из теоремы полноты Геделя. Независимое доказа-
тельство для произвольной сигнатуры было указано
в статье Мальцева [32], где была отмечена и воз-
можность использования общей теоремы компактности
для получения конкретных алгебраических фактов. Эта
программа получила развитие в заметке Мальцева
[36], где при помощи теоремы компактности были решены
некоторые проблемы из общей теории групп, интересо-
вавшие в то время специалистов в указанной области.
Другие важные применения были найдены А. Робин-
соно м (см. [57]) и рядом других авторов.
В п. 7.2 рассматривались признаки универсальной
аксиоматизируемости классов алгебраических систем. Тео-
рия ультрапроизведений позволяет дать признаки иной
формы. Основанием их является
Теорема 2. Если каждое конечное обеднение (Аа, Ов)
каждой конечной подмодели {Аа, Q) некоторой алгебраи-
ческой системы И = (А, О) вложимо в подходящую систе-
му ЭЛав = {Мар, О), то ?! вложима в подходящее ульт-
рапроизведение систем ЭЛар.
Обозначим через /гер изоморфное отображение модели
(Аа, QB) в систему ЭЛав, существующее в силу условий
теоремы. Утверждение теоремы 2 нетривиально лишь
в случае, когда А или О бесконечна, что мы и будем
предполагать. Обозначим через I совокупность всех под-
моделей ?1ав = (Ла, fig) и введем подсовокупности
Ав = {^аВ Ms £=	& “И s ^в}-
Ясно, что пересечение всех подсовокупностей 7^,,
пусто, а каждое конечное пересечение fl ... Q A
не пусто, так как оно совпадает с Г^, где
A=UAP ^=и^г-
g 8J ФИЛЬТРЫ II ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
209
Дополним систему подсовокупностей до какого-
нибудь ультрафильтра D над I и рассмотрим ультра-
произведение
зя=Пззыя-
Выделим в ПЗЛар произвольную последовательность
{d; | i g /} и для любого а Е ЭД обозначим через а* после-
довательность {аг | i Е I}, где
„	( fip(a)	(a(Aa),
<jaP — <
I dat}	(ф!а).
Покажем, что отображение а —> а* является вложе-
нием ЭД в 3J1. Мы можем предполагать, что знак равенства
включен в Й. Пусть Р — какой-нибудь n-арный предикат-
ный символ из й и flt, ..., ап— произвольные элементы
из ЭД. Полагаем Д5={«1,	ЙТ1 {/*}. Тогда, если
Р(«!, ...,«„) истинно в ЭД, то

и потому Р (а*, .. ., о*) 11 в ЭЛ. Если же Р (at. .. ., ап)
ложно в ЭД, то
{i Е 11 Р («1, • • •, а«) - Л} =2 /S1)
и потому Р (а*, . . ., «*) «= Л. Следовательно, отображе-
ние а -> а* является изоморфизмом ЭД в SJ1, и теорема 2
доказана.
Согласно п. 7.2 алгебраическая система ЭД называется
локально вложимой в класс систем St, если каждое конеч-
ное обеднение каждой конечной подмодели ЭД вложимо
в подходящую систему класса St.
Так как любое ультрапроизведеипе систем аксиомати-
зируемого класса принадлежит этому же классу, то
из теоремы 2 непосредственно получаем
Следствие 3. Если какая-нибудь алгебраическая
система ЭД локально вложима в аксиоматизируемый класс
St’, то ЭД изоморфно вложима в подходящую систему
класса St.
Это следствие можно рассматривать как одни из необ-
ходимых признаков аксиоматизируемости класса систем.
l'i Л. II. Мальцев
210
ПРОИЗВЕДЕНИЯ II ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
Оно является также очевидным прямым следствием и тео-
ремы 1. В качестве необходимого признака аксиоматизи-
руемости оно явно было сформулировано, по-видимому-
в статье Генкина [13] и теперь иногда называется
признаком Генкина.
Подкласс систем £ некоторого класса Я называется
универсально аксиоматизируемым внутри St (см. п. 7.2),
если £ состоит из всех St-систем, удовлетворяющих
фиксированной совокупности закрытых V-формул. Соглас-
но теореме Тарского — Лося подкласс £ тогда и только
тогда универсально аксиоматизируем внутри St, когда
из локальной вложнмости в класс £ произвольной
St-системы ЭД вытекает, что ЭД £ £. Опираясь на тео-
рему 2, условиям Тарского — Лося можно придать особо
простой вид, если предположить, что класс £ ультра-
замкнут (т. е. замкнут относительно ультрапроизведений)
или, в частности, аксиоматизируем.
Говорят (п. 7.2), что подкласс £ класса Я наследстве-
нен в St, если каждая St-подсистема произвольной £-си-
стемы является £-системоп. Из условий Тарского — Лося
следует, что условие наследственности £ в Я необходимо
для универсальной аксиоматизируемости £ внутри St.
Следствие 4. Для универсальной аксиоматизи-
руемости улътразамкнутого абстрактного подкласса й
внутри какого-нибудь улътразамкнутого класса St алгеб-
раических систем необходимо и достаточно, чтобы под-
класс S был наследственным в St.
В частности, для универсальной аксиоматизируемости
(абсолютно) аксиоматизируемого подкласса £ внутри
какого-нибудь аксиоматизируемого класса Я необходимо
и достаточно, чтобы S был наследственным в Я'.
Как уже говорилось, необходимость наследственности
очевидна. Докажем достаточность. Пусть абстрактный под-
класс £ ультразамкнут и наследственен в ультразамкну-
том классе Я, и пусть какая-то Я-снстема St локально
вложима в класс £. Согласно теореме 2 тогда система ?!
вложима в ультрапроизведение ,ЭЛ каких-то £-систем.
Из ультразамкнутости £ следует, что ЭЛ g £, а из на-
следственности подкласса £ вытекает, что ЭД g£. Условия
Тарского — Лося выполнены, и потому £ универсально
аксиоматизируем в Я.
!, «| ФИЛЬТРЫ!!! ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 211
Следствие 5. Для того чтобы класс S алгебраи-
ческих систем был универсально аксиоматизируем, необ-
годцмо и достаточно, чтобы были выполнены условия-.
i)	класс £ ультразамкнут-,
ii)	класс £ (абсолютно) наследственен;
iii)	класс £ абстрактен.
Это— частный случаи следствия 4, получающийся
и предположении, что Я — класс всех алгебраических
гнетем данной сигнатуры. Например, следствие 5 пока-
зывает, что класс групп универсально аксиоматизируем,
если он ультразамкнут, содержит подгруппы всех своих
групп и абстрактен.
Изложенные результаты могут быть применены к про-
блеме вложения, часто и в различных формах встречаю-
щейся в алгебре.
Теорема 6. Пусть Я, Я1 — улыпразамкнутые
абстрактные классы алгебраических систем сигнатур Q,
и соответственно Q1T причем £2 Qj. Тогда класс Q тех
Я систем, которые вложимы в подходящие ^-системы,
является универсально аксиоматизируемым внутри Я'
(либо пустым).
В самом деле, если S2I — какая-то Я-подсистема
£ системы 55, то 55 вложима в некоторую ftj-систему 9Л.
Но тогда в вложима и система s2(, т. е. £ £ и класс
£ наследственен внутри Я. Ясно, что пз ультразамкну-
тости классов Я, Я'1 вытекает ультразамкнутость £.
Условия следствия 5 выполнены, п потому подкласс £
универсально аксиоматизируем внутри Я.
Пусть Я — ультразамкнутый абстрактный класс алгебр
сигнатуры Q и Slj — ультразамкнутый абстрактный класс
алгебраических систем сигнатуры Qj э Q. В частности,
классы Я, Hi могут быть аксиоматизируемыми. Проблема
вложения Я-алгебр в Я^-системы состоит в нахождении
условий, которым должны удовлетворять те Я-алгебры,
которые могут быть вложены в некоторую Я1-систему.
Теорема 6 утверждает, что эти условия заведомо могут
быть представлены в виде V-формул. Но всякая V-фор-
мула сигнатуры Q есть конъюнкция формул, имеющих
одну из следующих форм:
a)	(V.r.| . .. .r„j (Т\	... VFm =# Gm),
б)	(V.r4 .. - хп) (Т\ -±Gi),
14*
212
Произведения и полные классы
1Гл. IV
в)	(V.i’i .. . а'п) (7'j —(ц & .. . Fm Gm—> Fm+1 — G,n+l),
г) (V-ТД  . . Xn) (J' 1 ^4 & • . . & I1 m Gjn >
-^^n+1-GmHV---V^=- Gs),
где Ft, Gt, . . ., Fs, Gs — некоторые термы сигнатуры
Q от переменных xt, . . хп. Поэтому ответ принципиаль-
но всегда может быть представлен в виде формул типов
а) — г), истинность которых в St-алгебре ?[ и является
необходимым и достаточным условием вложимости ?!
в подходящую й'1-систему. Конечно, зная форму ответа,
надо в каждом конкретном случае фактически указать
искомые формулы и исследовать их взаимную зависи-
мость.
В качестве известного примера укажем проблему
вложимости ассоциативных колец в ассоциативные тела,
т. е. в ассоциативные кольца, удовлетворяющие аксиоме
(Э.с) (х Ф 0) & (Va) (а^О—> (VZ>) (Eh?/) (а.с = уаЬ)) *). (1)
Ясно, что кольца, вложнмые в тела, не имеют дели-
телей нуля (п. 4.1), и потому можно искать условия вло-
жимостп колец без делителей пуля (класс й) в ассоциа-
тивные тела (класс St,). Оба класса аксиоматизируемы,
и потому класс £ вложимых колец должен характери-
зоваться внутри St аксиомами вида а) — г). Одноэле-
ментное кольцо формально удовлетворяет аксиоме (1),
и потому оно принадлежит классу £. Но на одноэлемент-
ном кольце формулы вида а) ложны. Таким образом,
искомые условия должны иметь вид б) — г).
Поскольку в классе £ кольца пе имеют делителей
нуля, то в этом классе формула Fm+1 == Gm+1 \/ . . .
. . . V Fs = Gs равносильна формуле
(Fm+i-G,n+1) ... (Л--Са) --- 0,
т. е. формулы вида г) можно привести к виду в). Фор-
мулы вида б) можно заменить равносильными формулами
х ।.Tj —If I G ।,
*) См. примеры п дополнения к § 4.
§ 8] ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
213
имеющими также вид в). Тем самым показано, что усло-
вия вложимости колец без делителей нуля в тела можно
представить в виде набора условий вида
Фр-(1&...&ф, = 0->ФЧ	(2)
где Ф,, . . ФЕ, Ф — какие-то многочлены от (некомму-
тативных) переменных zt, . .	х„.
Согласно классической теореме теории колец каждое
коммутативное ассоциативное кольцо без делителей нуля
вложимо в поле. В 1937 г. также было показано (Маль-
цев [33]), что существуют ассоциативные некоммута-
тивные кольца без делителей нуля, не вложимые в ассо-
циативные тела. В настоящее время известен ряд условий
типа (2), необходимых для вложимости. Известны условия
и достаточные для вложимости. Однако необходимые
и достаточные условия пока в явном виде неизвестны.
В частности, неизвестно, будут ли эти условия выражаться
конечной системой формул вида (2).
8.4. Условно фильтрующиеся формулы. Согласно п. 7.5
закрытая формула 1-й ступени Л сигнатуры О называется
мультипликативно устойчивой, если из истинности
па алгебраических системах s2Ia (a g I) сигнатуры О
вытекает истинность .-4 и в декартовом произведении
|| Ик. Сравнивая понятие мультипликативной устойчи-
вости с понятием условной фильтруемости, введенным
в п. 8.2, непосредственно видим, что из условной филь-
труемости закрытой формулы вытекает ее мультиплика-
тивная устойчивость.
В п. 7.5 уже отмечалось, что свойством мультиплика-
тивной устойчивости обладают тождества и условные
тождества. Вопрос о нахождении общего вида формул,
обладающих мультипликативной устойчивостью, в окон-
чательной форме, по-видимому, до сих пор не решен.
Однако еще в 1951 г. X о р н [71] указал один простой
класс мультипликативно устойчивых формул, привлекших
внимание многих исследователей и получивших наимено-
вание формул хорновского вида пли формул Хорна. Эти
формулы были рассмотрены в п. 7.5. Приведем определе-
нно их в следующей форме.
Формула Л со свободными предметными переменными
,Г|. . . ., хт называется хорновской, если она имеет
214
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
ВИД
«А - О - - - (Cn-mA.) GA & ... &A) (Ci - V, 3), (1)
где каждый член есть пли дизъюнкция
V~i
или импликация вида
& ,д\2 & ... А-о,
построенная из формул имеющих или вид / g, или вид
В (Л, - ft) (li gQ; /, g, Л,	ft—некоторые термы
от .et, ..., .»•„).
Упомянутые в п. 7.5 тождества и условные тождества
являются формулами хорновского вида. Ясно также, что
конъюнкция хорновскпх формул эквивалентна хорнов-
ской формуле. В частности, условие, что предикат
ТЦ.тд, . .., хп, .») есть функция, записывается формулой
(V.T’! ... х„уг) (З.с) (R (.л, . .., zn, ,т) &
& (R (.Tj, . . ., хп, у) & R (.г1: . . ., ,rn, г) —-> у - z)),
имеющей хорповский вид.
Заметим еще, что каждая хорповская формула, содер-
жащая термы, легко преобразуется к хорновской формуле
(1), в которой все подформулы являются атомарными
формулами вида R (xtl, . . .,	,) (iA, . . ., ip — 1. . . .
. . ., и), где R или принадлежит Q, плп отвечает функцио-
нальному символу из Q. Для этого достаточно каждый
терм заменить его выражением, указанным в п. 7.1.
А. X о р и о м [711 было показано (см. также п. 7.5),
что все закрытые хорновские формулы мультипликативно
устойчивы. Здесь мы докажем следующее более сильное
утверждение, восходящее к статье Чанга и Морел [75].
Теорема 1. Все формулы хорновского вида —
условно фильтрующиеся в любом фильтре. В частности,
если замкнутая хорповская формула А истинна в каждой
алгебраической системе ?Ia (а £ I) фиксированной сигна-
туры, то А истинна и в произведении } | V(r//D этих
систем, фильтрованном по любому фильтру D над I.
Предварительно докажем следующую лемму.
Л е м м а 2. Если формулы В . ., со свободными
предметными переменными Xi, . . ., хп сигнатуры Q филъ-
s 8] ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
215
труются в фильтрованном произведении II
алгебраических систем сигнатуры Q, а формула
еР0 CTi, • • •» жп) условно фтлыпруется в указанном про-
изведении, то формулы
И V  • • V"l
условно фильтруются в указанном произведении.
Согласно лемме 5 из и. 8.2 формула cP -	& ... &
фильтруется в упомянутом произведении, т. о.
& = И <=>{« I .?> = //} 6 D,
81	81а
и, следовательно,
{cd И & = II}£D<^{a\& = A}eD^'==A.
'	?1а	81«	81
Поэтому формула '1 еР =- И .(Pi V • • • V определяет
условно фильтрующийся предикат.
Покажем, что формула <£Р—>?Р0 также условно фильт-
руется. Пусть {а | cP—> <?Р0 = 77} ED. Надо убедиться, что
сР==/7 влечет сР0==/7. Так как предикат cP фильтруется,
то из сР==77 следует {<х | cP = /7} Е D. По
{а|^Р0 = /7}Э{а|оТ = //}П{а|^-^^о = //}€0,
и потому сР0= II.
Перейдем к доказательству теоремы 1. Мы можем пред-
полагать, что формула A (ад, - . ., х,„) имеет вид (1)
и при этом формулы cPjj атомарные. Атомарные формулы
фильтруются на любом фильтре. В силу леммы 2 заклю-
чаем, что подформулы Аг, . . ., AR в формуле А условно
фильтрующиеся. Применяя теперь лемму 6 из п. 8.2,
видим, что формула А^&. . . . &AS, а вместе с нею и сама
формула А, условно фильтрующаяся.
Из определения понятия условной фильтруемости непо-
средственно видно, что если какая-нибудь формула А
условно фильтруется на некотором произведении, то каж-
дая формула, эквивалентная А, также условно филь-
труется на этом произведении. Поэтому из теоремы 1
следует, что каждая формула, эквивалентная формуле
21G
ПРОИЗВЕДЕНИЯ П ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
хорновского вида, условно фильтруется на любом филь-
трованном произведении.
В предположении истинности обобщенной гипотезы
континуума *) К и с л е р [20] доказал, что обратное
утверждение также верно: если формула условно филь-
труется на любом фильтрованном произведении, то она
эквивалентна формуле хорновского вида.
Возникает вопрос, не будет ли условная фильтруемость
формулы на фильтрах какого-нибудь частного вида доста-
точной, чтобы формула была эквивалентна формуле хор-
повского вида? В частности, в течение некоторого времени
в литературе обсуждалась гипотеза, что условная филь-
труемость формулы на декартовых произведениях доста-
точна для приводимости формулы к хорновскому виду.
Однако Чанг и М о р е л [75] нашли примеры, опро-
вергающие эту гипотезу. Одним из таких примеров может
служить формула
(Зяб) (V.r) (я 1> & ах -- а & Ъх — а \/ b.i: — b).	(2)
Эта формула условно фильтруется на всех декартовых
произведениях. Действительно, пусть формула (2) истинна
на каждой алгебре s2[a = <Ла,- ) (а Е Г)- Обозначим через
?! декартово произведение этих алгебр. По условию
в каждой алгебре ?[а существуют элементы аа -/~ Ьа
такие, что для каждого ха Е Аа
а ~ ' а& & Ьа (1а\/ Дх-Чх — Ьа.
Обозначим через а, b элементы алгебры SI,
которых я“, Ьа определяются формулами
я“-~-аа (аЕЛ>
f ®<Х	Z),
Ъа = <
\ba	(а-А),
где А — какой-нибудь фиксированный индекс из I. Так
как Ь)„ то а =^Ь. Из (4) следует, что для каждого
.тЕ?1 и каждого аах°- аа, т. е. ах--а. Из (5) и (3)
*) Предположение, что для всякой бесконечной мощности
с нет мощностей, лежащих между с и 2е, называется обобщенной
гипотезой континуума.— Прим, ред,
(3)
проекции
(4)
(5)
§ 8] ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
217
следует:
ba.ia-- Ъа -^(1а (а Ъ),
bW^a^bW ---- Ъ7-.
Если Ъ7х7- — а\ то Ъх = а, если же Ъ7х7- — Ъ7-, то Ъх — Ъ,
и потому формула (2) истинна в ?1.
Остается показать, что формула (2) не эквивалентна
никакой хорновской формуле. Если бы она была экви-
валентна хорповской формуле, то ио теореме 1 она бы
условно фильтровалась на любом фильтрованном произ-
ведении. Покажем, что это не так. Обозначим через Г)
фильтр Фреше над множеством N (N == {О, 1, 2, . . .}),
т. е. совокупность множеств натуральных чисел, допол-
нения которых конечны. Каждому п £ N поставим в соот-
ветствие одну и ту же алгебру	<{0, 1}, • ), где
• означает обычное умножение натуральных чисел. Ясно,
что формула (2) в ?1„ истинна. Покажем, что па фильтро-
ванном произведении ]J ^n/D истинна не формула (2),
а ее отрицание, которое мы запишем в виде
(V«6) (а =т^= b & (V.r) («с = а) —> (Зу) (Ъу ^а&Ъу^ Ъ)). (6)
Истинность формулы (6) в фильтрованном произведе-
нии ][ ’fl.JD равносильна истинности формулы
(V«b) (a Ъ & (Vx) (ах а) (Зу) (Ъу а & by =£D b))
(7)
в обычпом декартовом произведении Элементы а, Ъ
декартова произведения можно записать в виде последо-
вательностей
и = («о, «и • • •>; Ъ-~-(Ь0, bi, ...) (ah bi-^O, 1),
а условие a b означает, что а, Ъ, для всех доста-
точно больших I. Так как (V.*) (ах =?Da), то для
х =(0,0, ...) мы должны иметь as=Dax, т. е. а;=0для
всех достаточно больших i. Но для достаточно боль-
ших г имеем ai^bi, причем b, g {0, 1}. Поэтому
а=(ап, ..., ап, 0, 0, ...>; b = (bv, ..., br„ 1, 1,
218
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
Взяв в качестве у элемент (0, ... О, 1, 0, 1, О, ...), будем
иметь
бу =п У, У а, У ^=i> Ъ,
и потому формула (7) истинна в }]?!,>.
8.5. Мощности ультрапроизведений. Вследствие того,
что ультрафильтры строятся с использованием аксиомы
выбора, обычно не легко оценить точно мощность ультра-
произведения. Ниже излагается ряд результатов, связан-
ных с оценками мощностей тех или иных ультрапроиз-
веденнп.
Т е о р е м а 1. Если мощности всех сомножителей
улыпрапроизведения не превосходят фиксированного нату-
рального числа п, то мощность улыпрапроизведения также
не превосходит п.
По условию в каждом сомножителе истинна формула
(V-T'i -.. ''n+i) (-*т а-гХ/п ~ -’’.iV  •  V '«	r„ + i)-
В силу основной теоремы об ультрапроизведеппях эта
формула будет истинна и па ультра произведении.
Т е о р е м а 2. Если в фильтрованном произведении
J[9[a/© (a £ I) фильтр D не главный и для каждого нату-
рального п число сомножителей, имеющих мощность п,
конечно, то фильтрованное произведение имеет бесконеч-
ную мощность. Любое фильтрованное произведение беско-
нечных систем бесконечно.
Пусть в фильтрованном произведении |[ ^aID фильтр
D не главный. Отсюда следует, что все множества»© беско-
нечные. Обозначим через ©4 совокупность множеств,
получающихся из множеств D отбрасыванием конечного
числа элементов. Ясно, что©, — снова не главный фильтр,
по заведомо содержащий все множества, дополнение
которых конечно. Из © S О4 вытекает, что фильтрован-
ное произведение [J ?!«/©( есть гомоморфный образ произ-
ведения ][?!„/©. Поэтому теорема 2 будет доказана, если
первое из упомянутых произведений окажется бесконеч-
ным. Рассмотрим формулу
(3.14 . . . J'n) (.Т4	.1'2 &	=7^= З’з & . . . & ,ГП_(	-Гд),	(1)
§ 8J ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
219
утверждающую, что мощность системы не меньше п. Эта
формула имеет хорповский вид и потому условно филь-
труется в любом фильтрованном произведении. По усло-
вию теоремы формула (1) может быть ложной лишь в сомно-
жителях ?1К, индекс которых пробегает конечное число
значений. Всякое множество, имеющее конечное допол-
нение, принадлежит Вг. Поэтому формула (1) для любого
п истинна на || ^[n/Bi-
Прежде чем формулировать более гонкие теоремы,
сделаем несколько очевидных замечании. Согласно опре-
делению элементами фильтрованного произведения
|[ (Аа, й)//) являются классы функции из декартова
произведения ] | Л ,z, сравнимые по фильтру В. В опреде-
лении сравнимости по фильтру никакие сигнатурные
символы не участвуют. Следовательно, мощность филь-
трованного произведения [ [ \’1а/79 целиком определяется
мощностями сомножителей и природой фильтра В,
и потому мощность произведения ] | У1а/В можно обозна-
чить через J J | ?1а | /В. Более того, если Аа = Ва (a £ I),
то Ц Ла/В <= ] | Ва/В и, следовательно, мощность филь-
трованного произведения монотонно .зависит от мощности
каждого сомножителя.
Если В е Bt, то | [ ''Аа'В1 есть гомоморфный образ
произведения | ] ^а/В. Поэтому
||[Яа/А|<11КЖ	(2)
В частности, для любого фильтра В
|Пад)|<П|»1а|.	(3)
Неравенство (3) дает верхнюю границу для мощности
фильтрованного произведения, которая иногда оказывается
и нижней границей.
Согласно теореме 3 из и. 8.2, если пересечение М
всех множеств фильтра В непусто и не принадлежит, В то
II II ^!В0,
НЕ И	VE-4'
где М’ -----1 \ М, а фильтр Во состоит из пересечений
множества М' с множествами фильтра В. Пересечение
so
ПРОИЗВЕДЕНИЯ II ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
всех множеств фильтра О0 пусто, и потому Do содержит
все множества, имеющие конечное дополнение в М'. Таким
образом, при изучении мощностей фильтрованных про-
изведений можно ограничиться рассмотрением лишь
фильтров, содержащих все множества, обладающие конеч-
ными дополнениями.
Фильтр (/, D) называется однородным, если мощность
каждого множества из D равна мощности /.
Пусть фильтр (I, Г), не однородный. Тогда D содер-
жит какое-то множество М, мощность которого меньше 11\.
Согласно формуле (5) (и. 8.2)
где фильтр /Д образован пересечениями множества М
с множествами фильтра D. Следовательно, изучение мощ-
ностей произвольных фильтрованных произведений сво-
дится к изучению мощностей произведений, фильтрован-
ных по однородным фильтрам, содержащим все множе-
ства с конечными дополнениями.
Пусть а — какое-то кардинальное число. Фильтр D
называется a-полным, если пересечение любых а мно-
жеств из D принадлежит D. В частности, фильтр D назы-
вается счетно полным, если пересечение счетного числа
любых множеств из D принадлежит D.
Допустим, что фильтр D задан над счетным множеством
I и каждое множество, имеющее конечное дополнение,
принадлежит D. Тогда D не может быть счетно полным.
Действительно, выбрасывая из I по одному элементу,
получим счетное число множеств, принадлежащих фильт-
ру, пересечение которых пусто. Если бы фильтр D был
счетно полным, то он содержал бы пустое множество,
что невозможно.
Каждый неглавный ультрафильтр содержит все мно-
жества, имеющие конечное дополнение. Поэтому, в част-
ности, не существует счетно полных неглавных ультра-
фильтров над счетными множествами.
Теорема 3. Пусть в улътрапроизведении Д 81а/.О
(а б /), имеющем не главный и не счетно полный ультра-
фильтр D, для каждого натурального п
{а| |81а | =	(4)
§ fej ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
221
Тогда мощность указанного ультрапроизведения не мень-
ше 2^о, т. е. не меньше мощности континуума.
В частности, если все сомножители sS.a конечны или
счетны, I — совокупность натуральных чисел, D — неглав-
ный ультрафильтр над I и условие (4) выполнено, то мощ-
ность улътрапроизведения	равна 2ко.
Доказательство мы проведем с помощью следующей
леммы, имеющей и некоторый самостоятельный интерес.
Другие доказательства изложены в статье Ф рейна,
Морел и Скотта [66] и в книге Кона [23].
Л е м м а 4. Рассмотрим совокупность предикатных
унарных символов TL, (o£Q), индексами которых служат все-
возможные последовательности о —	<т2, . . ., ст, . . .),
О; с {0, !}• Рассмотрим систему <3 всех формул вида
(3^)Po(.i;),	(5)
(Эзд . . . жп) (ад х2 & ад х-> & ... &	-/= хп) —>
-^(V^)(-lPx(.r)V-lPK(;C))	(6)
(/!-^2m; (Xj, ..., 2vm)¥=(Pi, • • •, Pm); m = 1, 2, . ..).
Каждая бесконечная модель ЭК для этой системы содержит
подмодель мощности 2У(1. Для каждого натурального
s 1 существует модель для <&, содержащая 2s эле-
ментов.
Первое утверждение очевидно, так как, согласно аксио-
мам (5), для каждого и g Q существует ао g ЖД для
которого Рс (до) -= И. Так как рК имеет бесконечно
много элементов, то для 7.=/= р имеем а-, av, и потому
система {щ | о g Q} является подмоделью мощности 2Ко.
Пусть s — положительное натуральное число. Обозна-
чим через ЛД множество всех последовательностей
₽ = <₽!, |?2,	(₽;6{0, 1}).
Для р £ ЛГ8, <т £ Й полагаем Ра (р) = И, если р является
начальным отрезком последовательности о, и полагаем
Р„ (р) = Л в противном случае. Получившуюся модель
Q) обозначим через 3)i's. Число се элементов равно
2s. Аксиомы (5) в ЭЛ8 истинны: в качестве х следует взять
начальный отрезок [ci]s длины s последовательности о.
Аксиомы вида (6), у которых т > s, истинны в Э)<£,
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
так как в 3Jis посылка импликации (6) ложна. Аксиомы
вида (6), у которых т -Д' я, истиппы в S)is, так как истин-
ность Р>„ (.»), 7’и (,i) для некоторого .с £ Ms влечет |Z|.S =
-- [jilb л-, что противоречит предположению [Х]П1
lpJm.
Итак, система ® имеет модели Ж12, . . . неогра-
ниченно больших конечных порядков., имеет модели кон-
тинуальной п любой большей мощностей и не имеет моделей
счетной мощности (и других бесконечных мощностей,
меньших 2Ко, если такие существуют).
Возвратимся теперь к доказательству теоремы 3. Пусть
{а| |	| > хо} = Л
Так как D — ультрафильтр, то либо J' ^D, либо J £D.
В силу теоремы 2 из п. 8.2 мы можем ограничиться рас-
смотрением случаев i) J' = /, ii) J -- I.
Случай i). Все сомножители ?1к конечны, и мощности
их не ограничены сверху. В сомножителях 21 с/, число эле-
ментов которых лежит г. границах <2 |	| < 2<+1,
выбираем подмножество 95а, содержащее точно 2s эле-
ментов, и па 95гх определяем предикаты 7\, из леммы 4 так,
чтобы 95а стало моделью, изоморфной модели 9Jis, упо-
мянутой в лемме 4. Так как па каждом сомножителе 95а
из ультрапропзведсния
Я5	(а £7)
все аксиомы системы G истинны, то система @ истинна
и на Те Бером какую-нибудь формулу .-4К вида (1),
у которой н- = 2\ Так как
{a |.VS ==//}=={«! I М > 2’} е D,
то пстппна на 95, т. о. 95 — бесконечная модель для
системы <&. Согласно лемме 4 отсюда следует, что
|95|?-2Хо и, значит, | Ц ^a/D | > 2>!».
Случай ii). Все сомножители <!(с/ бесконечные. По
условию фильтр D не счетно полный. Это означает, что
в D существуют множества Ut (z = l, 2, ...), пересече-
ние которых Г7 - р Ut не принадлежит D. Рассматривая
вместо множеств пересечения Б^рБгП • • • V\Ut и
оставляя из ннх только отличные друг от друга, получим
§ 8] ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
223
убывающую последовательность
... zdV (V^D, I Г|1М£>).
Обозначим через Do ультрафильтр, образованный пере-
сечениями множества V £ D с множествами из D. Пола-
гая Vi \Д’ W;, будем иметь
1 |?L/D М1^/о0
CCzI
Wo~ I' zd Wi zd W2 zd...	(Wi£D0, П IFi - 0).
В каждой системе ?1/, индекс Z которой принадлежит раз-
ности В4 \ W’s+i (s = 0, 1, . . .), выбираем подмножество
85;., содержащее 2Ч элементов., и в 85/ определяем пре-
дикаты Р„ из леммы 4 так, чтобы на 85/ была истинна
система ®. Поскольку в каждой модели 85/ все формулы
из Q истинны, то (S истинна и на ультра произведении
85 == Ц 85//А-
Остается убедиться, что модель 85 бесконечна. Рассмат-
риваем снова аксиому с^ь. вида (1), где п 2\ Так как
//} ж8еп0,
то Л s истинна па 85 при любом я, т. е. модель 85 бесконеч-
на. В силу леммы 4 | 85 |	2*°.
Теорема 3 дает точную информацию о мощности филь-
трованного произведения для фильтров над счетным
множеством I, но пз нее не видно, как растет мощность
ультрапроизведенпй с ростом мощности /. Этот пробел
отчасти заполняет
Теорема 5 (см. Ф р с й н, М о р е л и Скотт
|(И>1). Для каждого бесконечного I существует такой
фильтр D, что для каждого фильтра Di => D и каждой
бесконечной системы ?!
|?11/.01|>21Л.
Доказательство основывается на следующей лемме
Чанга и Кпслсра о вложении декартовых произведений.
Л о м м а 6. Пусть (J | k С К) — последовательность
подмножеств множества I, содержащая все конечные
224
ПРОИЗВЕДЕНИЯ II ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
непустые подмножества I и (йа | а g I) — последова-
тельность каких-то алгебраических систем ?1а данной
сигнатуры Q. Тогда существует такой фильтр (К, D),
что для любого фильтра э D над К существует изо-
морфное вложение
11	П (11 Ш-	(7)
cc'^I	k^J£ <1£J
Для каждого а Е 1 полагаем
Ln—~	| ОС Q J;; j-.
Для произвольных а, ..
Laf] ... ПЛ = {Л к> • • •» Vс Л}¥= 0>
поэтому совокупность всех надмножеств пересечений
La П . .. П Л 15 образует фильтр D над К. Этот фильтр
и удовлетворяет требованиям леммы 6. Действительно,
каждой функции /сП’Л ставим в соответствие функцию
/р Е П П Л, определенную условиями
/? t &
Л (/)(«) /(«) Л ЕЛ).
Остается только показать, что из g-/=f (g, f Е | [ Sta)
следует gp ^D1 fp. По условию g (сх) =f- f (а) для како-
го-то ex ЕД и потому « Еg/, (А) -///< (/>'), г. е.
{к | gp (Л) ¥= fP (*)} => La. Отсюда
{к I Sp (^) ¥= !р (^)} Е
в, следовательно, gp E^D1fp.
Теорема 5 непосредственно вытекает из леммы С.
В самом деле, так как множество I бесконечно, то суще-
ствует однозначное отображение а -> Ja множества I на
совокупность всех его конечных непустых частей Ja,
и потому, применяя лемму 6 к фильтрованной степени
St7//?!, можно положить К — I. Из соотношения (7)
получаем
или
2|f!<]3lJ|< И	(8)
«Е1
§ 8] ФИЛЬТРЫ Л ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
225
По предположению, система 91 бесконечна, поэтому
(п. 2.6) | 9IJ“ | = | 91 |. Заменяя в формуле (8) | 9IJ“ |
на | 91 |, закончим доказательство теоремы 5.
Как уже говорилось, теоремы 1—5 дают лишь общие
оценки для мощностей фильтрованных произведений,
однако достаточные для основных приложений. Ряд более
тонких оценок указан в дополнениях к этому параграфу.
8.6. Регулярные произведения. Почти одновременно
с фильтрованными произведениями были открыты регу-
лярные произведения, которые тоже стали играть замет-
ную роль при изучении проблем языка 1-й ступени.
Рассматривают две сигнатуры Qo и Предпола-
гается, что сигнатура содержит символы теоретико-
множественных операций (J, Г), —, символ теоретико-
множественного предиката включения £, символ пустого
множества 0 и, возможно, еще какие-то предикатные
и функциональные символы.
Через Л' (./) обозначим множество всех подмножеств
множества I. Алгебраическую систему ® сигнатуры Qi
назовем алгеброй подмножеств, если со основное множе-
ство есть 51 (/) для некоторого множества I, а сигнатурным
знакам (J, f], ~, S, 0 сопоставлены в качестве их зна-
чений в алгебраической системе (S соответственно теоре-
тико-множественные операции объединения, пересече-
ния, дополнения подмножеств множества I, теоретико-
множественный предикат включения на S (/) и пустое
подмножество.
Пусть каждому элементу а какого-то непустого множе-
ства I пооставлена в соответствие некоторая алгебраическая
система 9(к = (Аа, й0) сигнатуры Qo. Рассмотрим декартово
произведение М —	(ag/). Пусть Л (xj, . ..,.тп)—
формула ПИП сигнатуры Qo. Через	> (Д, ..., /„)
для ..., /пб.М обозначим множество
...,/«)== Я).
It частности, если	— закрытая формула сигнатуры Qo, т0
К^а[а£1}	=
lb A II. Мальцев
226
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. i\
Из этого определения непосредственно вытекают, на-
пример, такие свойства:
UK ’hl)	* \К.Л (Jli  > fn),
-<Xk'U£I>(A, •-/п)ПА-512“|аеП(/1, ..., f„);
,-{9[а|«ег; .	{ .
л^р/^2 Un ’tn)-
_ z^®a '	/ f	r \ i । E'^®a ' аЕП ,r	<• .
-‘Л^1	(/j. ••. /п)11л^2	(/1, •••,/«),
.Дйа1«ео	£лЯа1°еп, ,
А(Зл1Ы (/2. •  fn)= UwA^“ (g,/2, •••,/«)•
Будем рассматривать всевозможные последовательности
£=(.$’; €^0, . . ., где .9? — формула ПИП сиг-
натуры Qb а .40, . . ., Лт — формулы ПИП сигнатуры
Qo. Последовательность Е, назовем допустимой, если
все свободные предметные переменные формулы .98
содержатся во множестве л0, . . ., хт. Свободными
переменными последовательности Е. назовем те и только
те предметные переменные, которые входят свободно
хотя бы в одну из формул .^о, • • •• ^т-
Последовательность Е, называется стандартной допу-
стимой, если свободные переменные Е есть в точности
х0, . . ., X/, для некоторого натурального к. Последова-
тельность Е, называется разбивающей, если формулы
,^0 V •  • V	< j m) являются тож-
дественно истинными.
Пусть <S = (8 (1), Qj) — алгебра подмножеств. С каж-
дой стандартной допустимой последовательностью
В —-	(*Ч)7 •	т), Q (а;о, -  • , X},), . . •, «т/in	• • •» 3-/,))
<s
свяжем (к + 1)-арнып предикат на М, полагая для
/«7 • •  7 fk € М
(?f (f0, ...,Л,) = /7
• • -7 h),  • .7	... ,fh)) = II.
§ 81 ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
227
Занумеруем все стандартные допустимые последователь-
ности трансфииитнымп числами, мепыппми [1, и пусть —
стандартная допустима я последовательность, занумерован-
ная числом а.
Полным регулярным произведением ('€/) алгеб-
раических систем (i£7) по алгебре подмножеств (g =
(S (/), Q,) назовем модель (71/, {(?^}> (К<Р)-
Регулярными произведениями алгебраических систем
ЭД; (г£/) по алгебре подмножеств Q называются обеднения
моде.пи	(#£/)•
Если все модели ЭДг совпадают с одной и топ же
моделью §[, то вместо (i С /) пишут 'Л~. Модель
называют полной регулярной степенью алгебраической
системы ?1 по алгебре подмножеств е, а обеднения моде-
ли §(® называют регулярными степенями модели по ал-
гебре подмножеств g.
Пусть й Q(Q0, QJ («<(3). Каждому <2g(x сопо-
ставим предикат (7^, после чего на	(’£/) можно
смотреть как па модель сигнатуры 12.
Приведем примеры регулярных произведений.
При м е р 1. Пусть Ц -- ( U , Г1,	& 0). С каждым
и арным предикатным символом Р из Q() свяжем стан-
да ртную допустимую последовательность
В(Р)- (.-'о 0;^(го, -£„-!)>•
(’ каждым n-арным функциональным символом F из
12,, свяжем стандартную допустимую последовательность
£(Г)- («о - 0; F(.r0, .. ., хп J
Теперь для /0, . .., /„16717
7/<=>
<--> I\к^'!^(f0,	=
Л;>(Л-0.Хп-1)	(./о>   • 1 ]п-1) ~ 1 
Аналогично
>(А.........  /п-1,	fn)=- II <=>
<=> Л. Р(Л().......Тп- 1): Л„ (,/0> • • • , 1 П-1, ! п)-1 •
15*
228
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
Поэтому, если Q — (S (Г),	— алгебра подмно-
жеств, Q' =	Q^(P) I F, Р 6 Qo>, то Q'-обеднение
модели <Т®21г (г Е Г) является моделью, представляющей
декартово произведение алгебраических систем 21г (i Е I)
(разумеется, с точностью до наименования главных опе-
раций и предикатов).
Пример 2. Пусть = < (J , П, S, 0, Fin),
где Fin — символ унарного предиката, Йо = (•, -1, е),
где • — символ бинарной операции, — символ унар-
ной операции, е — символ выделенного элемента. Пусть
(i Е Г) — группы (в которых • — операция умноже-
ния, -1 — операция взятия обратного элемента, е —
единица), а <25 = (S (/), £20 — такая алгебра подмно-
жеств, что Fin (х) -- И тогда и только тогда, когда х —
<3
конечное подмножество множества I.
Если
£n- = (Fin (ж0); х0^е);	=(х0~ 0; ar0 «i--т2);
= (з’о = 0; ж'1--«j); с3 - (а-0 = -0; х0-- е},
то, как уже было замечено, ((2^, Q&, Q^s)-обеднение
модели (i е /) есть модель, представляющая декар-
тово произведение групп 21 г (г Е /). Легко попять также,
что (/) = И тогда и только тогда, когда /“ =0 е только
для конечного множества а из I.
Пример 3. Пусть £2t — ((J, П, ~, s, 0,0),
где D — символ унарного предиката. Для простоты будем
предполагать, что £20 содержит только предикатные сим-
волы. Пусть 2Ia (а Е I) — модели сигнатуры £20.
Рассмотрим алгебру подмножеств ® = (5 (/), £20,
в которой множество всех тех х Е S(I), для которых
D(x) = И, образует фильтр D на I.
Для каждого n-арного Р£ £20 рассмотрим стандартную до-
пустимую последовательность ^(Р)=(О(ж0); Р (х0, ..., xn_i)).
Тогда для /0, ..., f n_t Е М
(fo> • • • I fn-l) —
<^D	(f0, ..., /„_,) = II.
6 81 ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИИ
229
Другими словами,
&) (/о, •  •, fn-i)	(f0D, fn^D) == II.
6	11 Sla/P
Рассмотрим еще последовательность Е,= - (О (х0); х0 — х^.
Понятно, что для /о, Qi (f0, /i) тогда и только тогда
истинно, когда f0D—fiD.
©
Легко проверить, что есть отношение конгруен-
ции на модели (7W, {С^р)}> (Р£&о) и что фактор-модель
но этому отношению <9® модели (71/,	(Р £й0) и есть
] [?Ia/D (с/.С7). Эта проверка фактически проделапа в п. 8.2.
Приведенные примеры показывают, что понятие регу-
лярного произведения охватывает многие алгебраические
конструкции. Важные применения нашла поэтому сле-
дующая
Т е о р е м а 1. Существует аффективная процедура,
которая каждой формуле Г(т;0, . . ., хц) ПИП сигнатуры
й Й (й0, Qj), где XiQ, . . ., x,k — попарно различные пере-
менные, сопоставляет такую стандартную допустимую
разбивающую последователъност ъ
, г#0 (х0, .. ., .Tft), ..., <Ат (т0, ..., хфф),
что
а)	для любого непустого семейства ^а — (гФа, й0) («£/)
алгебраических систем сигнатуры й0 w для любой- алгебры
подмножеств Q=(S (7),
(V'... • •  (Г (аЧо, .... *ЧЬ) Qf , аЧ)) = И •);
б)	в частности, если Г — закрытая формула сигна-
туры й, то с40, ..., с4т-—закрытые формулы сигнату-
ры й0 н
Г == IK^Qf = И.
.PSSla	Ла
*) ••/ ч ► ,'й используется кин сокращение формулы	^8) &
А (.<7 • .rl).
230
ПРОИЗВЕДЕНИЯ П ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
Доказательство проведем индукцией по числу знаков
V, 3, встречающихся в записи формулы Г, предпо-
лагая, что в записи формулы Г по встречаются знаки
V, &.
Предварительно докажем, что каждой стандартной
допустимой последовательности Е,' = (.>??', <^f,, . . ., Л'т’)
можно аффективно сопоставить стандартную допустимую
разбивающую последовательность £ с теми же самыми
свободными переменными так, что для каждой алгебры
подмножеств <S — (S (/), Й,) и для каждого семейства
=- (Аа, Qo) (а £ /) алгебраических систем сигнатуры
й0 предикаты Q~ н Q^, совпадают на ЛГ — |J Аа (а £ I).
Пусть т ~	и пусть г0, . . ., гт — последова-
тельность всех подмножеств множества {0, 1, . . ., т'}.
Для каждого натурального к иг. пусть
Л*МА--<•)&( д :.<<)
1, • • ,
(при этом конъюнкцию пустого множества формул считаем
тождественно истинной формулой). Пусть для каждого
натурального Z /и'
s( {к | к - т &l£ г/:},
и пусть
АУ =-%?' ( U :>:к, . . ., U .Ск),
/•-Eso
где для конечного множества s натуральных чисел
если s пусто, и (J3’; есть ( (J ж*) U •>'*., если к—
i£s	i£s	i£s'
наибольшее число в s и s'=-s\{A-}. Непосредственно про-
веряется, что	• • •, Лт)— стандартная допусти-
мая разбивающая последовательность и что предикаты Q*
п Qi- совпадают на М.
Возвратимся к доказательству теоремы. Сначала рас-
смотрим случай, когда Г — атомарная формула.
Если Г есть (zi0, . . ., Xi), достаточно просто
сослаться на замечание, с которого мы начали доказы-
вать эту теорему.
Если же Г есть (.т,-0, .. ., Jjj, где j0, .. ., js— некото-
рые из чисел /0, . . ., г\, то положим %'	.....^'т)-
§ 8] ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
231
Пусть Jl-i получается из заменой .ст на .г,,,- для каждой
такой пары (т., т'), что Х’щ, есть .ri)n, (тпЯ-1, .. ., s;
т' = 1, . Непосредственно проверяется, что после-
довательность g-^0, . ..,ОТО) удовлетворяет усло-
вию а); эту последовательность g можно превратить в раз-
бивающую.
Если Г есть .'с{()—.с^, в качестве последовательности g
возьмем (.ro--=0; rc0 ~rt, :г0 ф и если Г есть .гг„ - ,cio,
в качестве g возьмем (,с0. 0; .'»'о	с0, .гй
ЕслиI’j есть	r.i ), где gj.4',, .ОтД
Г2 есть (?£2	• • •,	), гДе 1г —	  > Л™*}, сна-
чала заметим, что (.г0, ..., .rfl) V <?ь(.гЧ1 i,   •, .>’sr; s2;i)
есть Qf(r0, ..., .7S1 lS2_i J для подходящей последователь-
ности g. В качестве такой g можно взять последователь-
ность
(.9?) (т0, . . . , .t’nij) V -®2 (-’’mi ; i, • • • > I m2 i 1)> O(), • • •
• •  ,	Oo (^siT-l’ •••,•* si-| sj J 1)> • • •
. . . , Om2 O'siH-1> • •  1 ^‘Si4-S24~1))'
Теперь Г< \J Г2 есть Qz (.c.i, . .., a’.j , .r 2, .. ., .1.2), — и дело
свелось к уже разобранному случаю.
Если формула Г есть (.<-д„ ...,.<д), то ; Г есть
<h.	. . ., ад), где g.-- (П .^о, . .., ^т). если g'----
.....^х^-
Остается рассмотреть случаи, когда формула Г есть
(3%+1) <?£' (П(), -О,.......Ofe/.Oft+1)- Пусть -разбива-
ющая последовательность и g'-=(^'; Oq, . .	IlyCTbOj
есть (3.Z:	) Jl’i, а есть
(3//„) ... (3ym) ( U </., = 0 & Д (yi П yj - 0) &
j'^rn	i< j<z?n
& Л (У) J'j) &	’ (?/о,   • , Ут))-
Пусть g О0, ..., Ои). Покажем, что g удовлетворяет
условию а).
232
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
Пусть /о, fh£M и Q^(fo, . -., fk) II- Тогда
найдутся такие подмножества у0, . . ., ут в 7, что
•#' (l/o, - • - , Ут)==И,
Уз — -Тс “ ) л'- (/о, • • • 1 Л), Уо U •  • U Ут 1
’й+1
и множества г/0, . .., ут попарно не пересекаются. Если
а £ 2, то найдется одно и только одно такое натуральное
у<иг, что	Значит, существует такой	что
Л;- (fu,	Покажем, что
Q^(f0, /ю Ли) = 72.
Надо показать, что
«'(л-5г'“6,:
(Л, • • •, fk, fk+i),  • •
'Ik	КС
Но Kj- K^'a'aEI’ (f0, ..., Л, /д+1) = г/;, множества
Ко, . . ., Кт попарно не пересекаются и их объединение
есть /. Значит, Kj у,. Теперь $?'(Ко, ..., Кт) = И.
©
Наоборот, пусть /0, ...,	и Г(/о, .. ., /fe) -= II.
Тогда найдется такой fh+i£M, что (/0, • • •, Л, Л+i) И-
Пусть у, ~ А'^“|1‘еП (f0, ..., /л+1). Тогда по определе-
нию (J?-, у0, ..., ут попарно не пересекаются, их объеди-
нение есть I, IS' (у0, ...,ут) — 11- Кроме того, yt s
= Л<зч,н«Д/"- 
<2S(/O, ...,/fe) - 27.
Д). Это
показывает, что
Построенная последовательность £ может не оказаться
разбивающей, но ее можно будет превратить в разбиваю-
щую. Теорема 1 доказана.
Напомним, что элементарной теорией Th (SI) класса
R алгебраических систем сигнатуры G называется сово-
купность всех закрытых форм ПИП сигнатуры о, истин-
ных, на всех системах из класса й. Элементарная теория
класса Я называется разрешимой, если существует алго-
§ 8] ФИЛЬТРЫ II ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
233
ритм, который по произвольной замкнутой формуле
ПИП сигнатуры о определяет, принадлежит эта формула
Th (Я) пли нет.
Простым следствием теоремы 1 является
Теорема 2. Пусть Я—класс алгебраических систем
сигнатуры Qo, £ — класс алгебр подмножеств сигнатуры
g— класс всех таких моделей (ag/), что ЭДаЕЯ
для всех а £1, ©££, и основное множество алгебры под-
множеств <& есть S (I). Если теории Th (Я) и Th (£)
разрешимы, то теория Th(eF^g) тоже разрешима.
Пусть Г-—замкнутая формула сигнатуры £2 - Q(Q0, ^i)-
Найдем такую допустимую разбивающую стандартную
последовательность £= -(.#; ^о,	которая удовле-
творяет условию б).
Для каждого определим, верно ли, что 0 ,-#г£Тй (Я).
Пусть t—множество всех тех натуральных /<тя, для
которых J,gTh(ft). Пусть
т (V.-0	и
& A ('•j П П * 0) & A -'j= 0)—(.Со, . .., хт)).
icj'Zm	з£1
Мы можем определить, верно ли, что 4fgTh(S). Пока-
жем , что
Ге Th (;7yg)<=>WeTh(£).
Г’сли 4reTh(£), то, конечно, r^Th(eFgg). Пусть
re'rh(^ g), а Т е Th (£). Тогда найдутся ® =
0S'(/), С0е£ и такие попарно непересскающиеся х0,..., хт,
объединение которых есть I, что xj — 0 для j б t
и 0 (г0, . .., хт) ложно в £>. Для а£1 выберем такое r.j,
что аб-fj, и в качестве выберем такую систему из Я,
и которой Aj истинно. Так как J^t, то это сделать можно.
Ясно, что	' — Xj. Поэтому Г ложна в (аб_Г),
•гго противоречит выбору Г.
Примеры и дополнения
1.	Ассоциативный закон для декартовых произведений (и. 2.5)
принимает следующий вид для фильтрованных произведений.
Пусть {Jh \ k£K} — разбиение множества индексов 7, и пусть
над каждым .1 it задан фильтр L>it и над К — фильтр D*. Тогда
234
ПРОИЗВЕДЕНИЯ II ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
семейство
D = {X S I | {к € К | X П Ji: € Dh} Е «*}
является фильтром над /, п для любых йа (a g 7)
|[ йа/77а 1J ( || йа/7?„) Ц)
а£1	k£K a£Jk
(см. Фрейн, Морел я Скотт [66], стр. 202).
2.	Если все Йа имеют мощность > т, то для любого фильтра
(/, 77) | [| ^a/I) | Z>- т (т—натуральное число).
3.	Пусть in — некоторая бесконечная мощность и | й | >- nt --1 I |.
Если фильтр <7, D) однородный, то | й1/77 | nt (<I> р е ii н. Море л
и Скотт (66], стр. 206).
4.	Если мощность ш бесконечна и я—наименьший кардинал,
удовлетворяющий неравенству tn<^2\ то для любого однородного
фильтра {/, D) из | 7 | — в, | й ( >• ш следует j Hl1 /D | 2П
([66], стр. 206).
5.	Если <7, 1))—ультрафильтр и | ][ йа/77 | < 2No, то | J йа/77 =s
г й, для подходящего i ( I ([66], стр. 208).
6.	Если (7, 77>— произвольный фильтр и | ]| йа/77|<2>’<>,
то для подходящего конечного множества J S [
[J йв/77 - |] йр (Р б J)
([66], стр. 210).
7.	Для любого кардинального числа фильтр <7, D) назы-
вается Ха-нолным, если для каждого ш < пересечение m мно-
жеств из D принадлежит /7. В частности, счетно полные филь-
тры— это неполные фильтры.
Если | Й1 •< m и (7, D) есть m-полный ультрафильтр, то
Йг/77 s Й.
8.	Можно ли в теореме 3 из и. 8 опустить в условии требова-
ние несчетноиолпости фильтра?
9.	Какие мощности являются мощностями ультрапроизведе-
ний по неглавным ультрафильтрам? Существует ли неглавный
ультрафильтр (/, D), для которого
No<KZo/£’<2|r|?
(Фрейн, Морел и Скотт [66], стр. 208).
10.	Классы конечных групп, конечных абелевых групп, сво-
бодных групп, циклических групп не является аксиоматизируе-
мыми.
§ 9] НЕОТЛИЧИМОСТЬ И ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ВЛОЖПМОСТЬ 235
§ 9. Неотличимость
и элементарная вложимость
Пусть задан какой-то логический язык Е и некоторые
объекты 21, S3. Говорят, что объекты 21, S3 неразличимы
на языке Е или 'Е.-экеивалентн.ы, если каждое свойство,
формулируемое на языке Е и присущее одному из объек-
тов, присуще и другому. Неразличимость объектов зависит
от силы языка. Может случиться, что объекты, неразли-
чимые на бедном языке, будут различимы на более бога-
том языке. Понятие неразличимости объектов можно рас-
пространить и на элементы объектов, рассматривая лишь
те свойства элементов, которые характеризуют положение
элементов внутри данного объекта и формулируются
на заданном языке. 13 результате уточнения этой идеи
возникает важное понятие ^.-вложения одного объекта
в другой. Если рассматриваемые объекты — алгебраиче-
ские системы, а язык Е — язык 1-й ступени, то указан-
ным путем приходят к понятиям элементарно неразличи-
мых систем и элементарного вложения систем, главные
свойства которых и излагаются ниже.
9.	1. Элементарные вложения. Алгебраические системы
21, S3 фиксированной сигнатуры Q называются элементар-
но эквивалентными пли неразличимыми (символически
21 = S3), если каждая закрытая формула 1-й ступени
сигнатуры Q, истинная на одной пз заданных систем,
истинна и на другой. Из абстрактности языка 1-й ступени
(п. 6.3) следует, что любые две изоморфные системы нераз-
личимы. Обратное, в общем случае, неверно. Возьмем
какую-нибудь бесконечную алгебраическую систему 21,
и пусть I — произвольное множество, мощность которого
равна или больше | 21 |. Согласно теореме 5 из п. 8.5
существует такой ультрафильтр (Z, Di), что
|217/.О1|>2|7|>|/|.
Таким образом, системы 21 и 21//Р] имеют разные мощ-
ности и потому не изоморфны. В то же время они нераз-
личимы. Действительно, если какая-нибудь закрытая
формула сигнатуры Q истинна в 21. то в силу основ-
ной теоремы теории ультрапроизведепий .7 истинна
236
ПРОИЗВЕДЕНИЯ II ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
и в каждой ультрастепени 9II/DJ. Если формула Л
ложпа в 91, то в 91, а следовательно, и в 911IDy истинна
формула И Л, т. е. формула Л ложпа в W !Dt. Итак
нами получена
Теорема 1. Каждая алгебраическая система 91
элементарно эквивалентна любой ее ультростепени. Если
91 бесконечна, то существуют системы, элементарно
эквивалентные системе 9(, которые не изоморфны 91.
Ниже будет показано, что каждая алгебраическая
система, элементарно эквивалентная конечной
системе 91, изоморфна 91.
Напомним, что формула 1-й ступени Л называется
формулой сигнатуры й со свободными переменными
xt, . . ., х„, если все несвязанные переменные формулы
Л содержатся в множестве й (J {xt, . . ., хп}. Формулу
Л данной сигнатуры й со свободными предметными пере-
менными хь . . ., х„ обозначаем через Л (xf, . . ., х„).
Истинное значение формулы Л (хц . . ., х„) в алгебраи-
ческой системе 91 сигнатуры й при заданных значе-
ниях X] — п]? . . ., хп = ап («г £ 91) обозначаем через
Л<& (cj, . . ., о.,|) или просто через Л («]; . . ., дп), если
алгебраическая система 91 заранее фиксирована.
Некоторые из приводимых ниже рассуждений имеют
силу не только для полного языка 1-й ступени, но и для
некоторых его частей.
Совокупность формул 1-й ступени Е условимся назы-
вать классом формул, если, изменяя наименования сво-
бодных и связанных предметных переменных (см. п. 6.2)
в какой-то формуле класса Г (Т-формуле), получим
снова формулу из Г.
Алгебраическая система 91 сигнатуры й называется
X-неотличимой от. алгебраической системы £5, если £5
имеет сигнатуру й и каждая закрытая Г-формула сигна-
туры й, истинная на 91, истинна и на £5. Символически
Е-неотличимость 91 от 35 обозначается через 91 '1 у£5.
Совокупность всех закрытых Г-формул сигнатуры Й,
истинных в алгебраической системе 9l сигнатуры й,
называется б-теорией 91 и обозначается через Г (91).
Поэтому, если алгебраические системы 91 и ® имеют
одну и ту же сигнатуру, то Т-неотличимость 91 от £5
равносильна включению Г (91) s Г (55).
ii 9 ] НЕОТЛИЧИМОСТЬ И ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ВЛОЖИМОСТЬ 237
Алгебраические системы 21, 55 называются X-экви-
валентными (символически 21 ^у55), если У (2() = У (85).
Из определений видно, что для любого класса формул
У отношение *5Г рефлексивно и транзитивно, а отноше-
ние =у рефлексивно, транзитивно и симметрично. Также
ясно, что если У sz У*, то
21<г* 85 ^21^35,	2I^r*S5=4 2l=r35.	(1)
Совокупность всех формул 1-й ступени обозначается
через Е. Очевидно, что понятия Е-неотличимости и Е-экви-
валентности равносильны введенному выше понятию эле-
ментарной эквивалентности алгебраических систем. Из
соотношений (1) вытекает, что теорема 1 остается верной
и для У-эквивалентностей.
Ясно, что если класс формул У удовлетворяет условию:
i)	для каждой формулы ,?/ f l' и У существует фор-
мула, равносильная ~1
то отношения и =г становятся равносильными.
В частности, отношение элементарной неотличимости рав-
носильно отношению элементарной эквивалентности.
Рассмотрим алгебраические системы 21, 35 какой-то
фиксированной сигнатуры О. Отображение о: 21 —> 85
называется X-вложением 21 в 55, если для произвольной
У-формулы dl (tj, . . ., ж,,) со свободными предметными
переменными . . ., имеющей сигнатуру Q,
(fl1; .. ., о,г) = И —> Л (fljtr, ..., ана) = И
для любых й1э . . ., ап из 21.
Подмодель (г. частности, подсистема) 21 алгебраиче-
ской системы 35 называется У-элементарной подмоделью
или, короче, X-подмоделью в 35 (символически 21 <у55),
если тождественное отображение ас = a (a С 21) является
У-вложением 21 в 35. Система 21 У-вложима в 35, если
существует У-вложение 21 в 35.
Сравнивая определения У-вложимости и У-неотличи-
мости, непосредственно получаем
Следствие 2. Из X-вложимости 21 в 55 вытекает
X-неотличимость 21 от 55. В частности,
21<г35^21^г®
для любых У, 21, 35.
238
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
Из указанных выше определении ташке непосредствен-
но получается и
С л с д с т г. и е 3. Если о: 91 —> 85 и р: 55 —> Й есть
Y-вложения, то отображение пр: 91 -> (£ — также
Y-вложение. Р> частности,
9(<г55,	55<гй =.> 9(<r(S.
Если класс формул Г удовлетворяет условию i) и ото-
бражения пр: 91—>(5, р: 55—> б являются Y-вложениями,
то отображение, о: 91—>55 также является Г-вложением.
В частности., предполагая выполненным условие i), имеем
91 <=	91 <г «35 <r (S =? ' 91 <г 55
для любых алгебраических систем 91, 55, б.
Простейшую связь между Г-вложсниями и изоморфиз-
мами мы сформулируем как
С л е д с г в и е 4. Если класс Г удовлетворяет тре-
бованию'.
ii)	все атомарные формулы и их отрицания входят в Г,
то отображение о; 91 —>- 85 тогда и только тогда есть
Y-вложенпе 9( в 55, когда о есть изоморфтзм 91 на 91°
«9[°<г35.
Доказательство очевидно.
Отметим еще, что из условия ii) вытекает, что каждая
[’-подмодель 91 алгебраической системы 55 является
подмоделью 55.
Е-вложепия п Е-модспстсмы называются соответственно
элементарными вложениями и элементарными подсисте-
мами. Важную роль в их теории играют так называемые
канонические вложения алгебраических систем в филь-
трованные степени, определяемые следующим образом.
Пусть 91 — произвольная алгебраическая система сиг-
натуры Q и (/, D) — некоторым фильтр. Каждому а С 81
ставим в соответствие постоянную функцию ta £ 9IJ,
определенную соотношением
Ма) = а (а £ 7).
Отображение
е: а —> t„D
называется каноническим вложением 9( в 91 '/D. Если
а, 6^91, a-ph, то
{« 611 t„ (сс) 1Ь (а)}	0 £ D
§ 9J НЕОТЛИЧИМОСТЬ II ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ВЛОЖИМОСТЬ 239
и, следовательно, ае^бе. Иначе говоря, е является взаим-
но однозначным отображением 91 в W/D. Так как для
любого zz-арного предиката Р£Ь2 и любых at, ...,ап из 2(
P(taiI), ..., t„„D) 11 <> {а£1 \Р{а1, .. ., «„) 1I}^D,
то
Р («j, .. ., а„) = И <i=> Р (ще, .. ., п„е) 11,
т. е. каноническое отображение е является изоморфизмом
системы 21 на подсистему 21е системы '‘A4D. Поэтому
систему 21 часто отождествляют с 21е (и. 2.3) и считают
§1 подсистемой системы ‘i[Ii.D. если это не вызывает
неясностей.
Для каких классов формул Г и каких фильтров D
каноническое отображение 21 в 2Р/7) является Г-вло-
жением?
Из теоремы 1 (п. 8.4) об условной фильтруемости хор-
новских формул следует, что для любого фильтра (/, D)
каноническое вложение 21 в 2PZD является /z-фложением,
где h — совокупность всех хорновских формул. Однако
для дальнейшего главное значение имеет непосредственно
вытекающее из основной теоремы об ул ьтрапро и введениях
С л е д с т в и е 5. К аноническое вложение алгебраиче-
ской системы 21 в любую ее улътрастепенъ 2lf/D является
элементарным вложением.
Если для некоторого класса формул Г 21	т0
SP называют Г -расширением системы 21. Е-расширения
пазыв аютс я элем ей т арным и расш прениям и.
Следствие 6. У каждой бесконечной алгебраиче-
ской системы существуют элементарные расширения,
мощность которых больше любого наперед заданного кар-
динального числа tn.
Действительно, пусть множество I имеет мощность ш.
Согласно теореме 5 из п. 8.5 существует такой ультра-
фильтр D вад I, что
|2l7D|>2’u>tn.
()тождествляя систему Я с ее каноническим образом
в 2(///), видим, что 2P/D есть элементарное расширение
21, имеющее требуемую мощность.
Для конечных алгебраических систем положение иное.
240
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
|Гл. IV
С л едет в и е 7. Если класс формул Г содержит все
формулы вида
(^•г1 • •  а'п+1) (;,'1 :г2 V -Г1 ~ -rS V • • • V :Гп ~ ^n+l)i (2)
то комедия конечная Y-подсистема И произвольной алгеб-
раической системы 33 совпадает с В частности, любая
улътрастепенъ WH) конечной алгебраической системы
VI изоморфна 81.
В самом деле, пусть число элементов VI равно п.
Рассмотрим формулу (2). По условию эта формула при-
надлежит классу Г. Она истинна в VI и VI <3Г33. Следо-
вательно, формула (2) истинна и в системе 33, т. е.
S3 имеет пе более п элементов. Так как VI <= 35 и | 35 |
| VI |, то VI = 35.
Введем одно вспомогательное понятие. Рассмотрим
какую-нибудь формулу 1-й ступени Л (х,, . . ., .г,.,), содер-
жащую свободные предметные переменные Ю(, . . ., хт.
Формулы
(Э.г, ... х,„) Л, (V.- j ... хт) Л
условимся называть соответственно 3-закрытием и ^-за-
крытием (по переменным . . ., хт) формулы Л.
Следующая более содержательная теорема имеет своим
источником статью Фрейна, Морел и Скотт
166].
Теорема 8. Пусть класс формул, Г удовлетворяет
условиям'.
iii	) для каждой из двух Y-формул в классе Г существует
формула, равносильная их конъюнкции;
iv	) 3-закрытие любой Y-формулы принадлежит Г.
Алгебраическая система VI тогда и только тогда
Y-неотличима от системы 35, когда VI Х-вложима в под-
ходящую улыпрастепень ЗЗС/9 системы 33.
Достаточность очевидна. Действительно, если
VI <r-35f/Z>, то, согласно теореме 1, ЗЗСО	и,
значит, 357/Z> 5Sr33. Применяя следствие 3, получим
VI 55.
Докажем необходимость. Каждому элементу
а £ VI ставим в соответствие предметное переменное z„,
которое мы будем предполагать пе входящим в сигнатуру
Q систем VI и 33. Рассмотрим совокупность I* всех закры-
S »1 НЕОТЛИЧИМОСТЬ И ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ВЛОЖИМОСТЬ 241
тых формул сигнатуры Q U {za | a g ?!}. Каждая фор-
мула Jk из /* является либо закрытой формулой сигна-
туры Q, либо формулой Jk (zai, . . zO;i) сигнатуры Q,
содержащей свободные предметные переменные zai, ...
. . ., za , где	— какие-то попарно неравные
элементы 21. Обозначим через I множество тех формул
(z01, . . ., z„n) из Г*, для которых Jk (щ, . . ., «„)
истинна в 21. Множество I обычно называют К -описанием
системы 21 и обозначают символически через Or (21).
Пусть Jk (zai, . . ., z„ ) € I. В силу iv) формула
(3zai . . . zoj (zai, . . ., Zan) принадлежит классу Г,
имеет сигнатуру Q и истинна в системе 21. Согласно
предположению 21 g Следовательно, формула
(3 zai . . . ZaJ Л (zai, . . ., zOji) истинна и в -25, т. е.
в 25 найдутся элементы й., . . ., й„, для которых
...,М и-	(3)
Допустим, что для каждой формулы Jk£.I — СД(21)
соответствующие элементы . .., Ьп в 25 как-то выбраны
(например, при помощи аксиомы выбора). Вводим функ-
цию /^(.т), полагая
/.^(3;) = ^ (л-€21,	. •., х=/=ап),	''
где Ь — произвольный фиксированный элемент из 25. Далее
вводим для каждого функцию ga(t) из I в 25
с помощью соотношения
gaH)=U(«)	Me')-
Соответствие a—>g„ является отображением 21 в 251.
Однако оно может нс удовлетворять требованиям теоремы.
Чтобы получить Г-вложение, нам надо фильтровать 351
по надлежащему фильтру. Для каждой формулы
Jk (zai, . .., zan) € I полагаем
=	(5)
Каждое множество не пустое, так как из (3) сле-
дует, что JkQl^. Более того, не пусто и пересечение
16 А. И. Мальцев
242
ПРОИЗВЕДЕНИЯ 11 ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
1Гл. IV
любой коночной совокупности 1^,	1<& множеств
вида (5). Действительно, согласно iii), в классе Г суще-
ствует формула (zrtl, ..., zo„), равносильная конъюнкции
.. & '(i. Из (3), (4), (5) видно, что Л ... Q 1<&.
Обозначим через I) какой-нибудь ультрафильтр над /,
содержащий все множества I (.Vg/). Покажем, что
отображение
о: a-^gaD
является искомым Г-вложением ЭД в %>T/D.
По определению, для каждой формулы (z01, .. ., zan)
из / имеем
Л . . ., йпст) — И
<=> {& е I \-Л (gai (П . . ., gan m)=//}€«-
ж
Далее,
€ 11A (goi (£Р), ..., gan (&)) = II} -
- {Т ЕIМ (/.у («1),  • •, Ы) = И} € D,
и, следовательно, выражение л! (бцо, ..., япо) истинно
в ^/D.
Итак, если какая-то Г-формула Л (ад, . . ., хп}, имею-
щая сигнатуру Q и свободные предметные переменные
xi, . . ., хп, истинна в ЭД для хл = at, . . ., хп = ап,
то, рассматривая формулу Л (zai, . . ., z„n) из I, видим,
что (djir......апо) истинно в S&4D, что и требовалось.
Отметим одно следствие, непосредственно вытекающее
из теоремы 8.
Следствие 9. Пусть класс формул Г содержит
конъюнкции атомарных и отрицаний атомарных формул,
а также 3-закрытия указанных конъюнкций. Тогда из
Г -эквивалентности алгебраической системы ЭД какой-
нибудь конечной алгебраической системе 55 вытекает изо-
морфизм систем ЭД и 55.
Класс К удовлетворяет условиям теоремы 8 и след-
ствия 4. Так как ЭД то по теореме 8 существует
Г-вложенис а системы ЭД в подходящую ультрастепень
%H!D. Согласно следствию 4 а есть изоморфизм ЭД в ^>4D.
s 9] НЕОТЛИЧИМОСТЬ II ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ВЛОЖНМОСТЬ 243
По условию система 53 конечна, и потому 53f!D изоморфна
53. Итак, существует изоморфизм 91 в 55, откуда | 91 |<С
< I « |.
Меняя теперь ролями 91 и 55, получим | 53 | ^ | 91 |.
Следовательно, | 91 |	| 55 и упомянутый выше изо-
морфизм 91 в 55 на самом деле есть изоморфизм 91 на 53.
9.2. Элементарные подсистемы. В предыдущем пункте
было введено понятие Г-элементарпой подсистемы алгеб-
раической системы. Теперь мы хотим более подробно
рассмотреть свойства совокупности всех Г-подсистсм
заданной системы. При этом всюду (в данном пункте)
будем предполагать, что класс Г формул 1-й ступени
удовлетворяет следующим требованиям:
i)	Все формулы из Г имеют предваренный вид. Если
в произвольной Г-формулс переименовать связанные
и свободные переменные, то получится снова Г-формула.
ii)	Для каждой Г-формулы .7 существует Г-формула,
равносильная “IЛ.
iii)	Если (Qx) А- £ Г (Q = 3, V), то .4 £ Г.
Пусть задана подсистема 91. Как и в предшествующем
пункте, каждому a g 91 ставим в соответствие предметный
символ z(, и предполагаем, что символы zn нс входят в сиг-
натуру Q системы 91. Через обозначаем объединение
й и совокупности всех символов zn (а С 91). Элемент а
будем называть значением символа z„. Пусть 91 — под-
система системы 55. Тогда	В каждой закры-
той формуле А сигнатуры Qjj свободными предметными
переменными могут быть лишь предметные символы из Q
и предметные символы вида z„. Так как и те и другие
символы имеют фиксированные значения в 91 и в 55,
то истинное значение формулы определено как в 91,
так и в 55.
Подсистема алгебраической системы 91 сигнатуры 55
называется Q-элементарной подсистемой (Г-подсистемой,
символически 91 <у55), если каждая формула сиг-
натуры истинная в 91, истинна и в 55.
Как уже указывалось в п. 9.1, из свойства ii) вытекает,
что подсистема 91 алгебраической системы 53 сигнатуры
£2 тогда и только тогда Г-элементарна в 55, когда каждая
1-формула сигнатуры £2щ, истинная в 55, истинна в 91.
16*
244
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
Простой и удобный признак элементарности подси-
стемы указывает
Т е о р е м а 1. Для того чтобы подсистема ЭД алгеб-
раической системы 53 сигнатуры £2 была Г-элементарной,
необходимо и достаточно, чтобы из истинности в 55
произвольной Х-фюрмулы вида (Вл) Л~(х), имеющей сиг-
натуру £2^, вытекала истинность в 55 фюрмулы Л-(гп)
для подходящего а из ЭД.
Необходимость очевидна. Докажем достаточность.
Пусть ЭД и 5? удовлетворяют условиям теоремы 1. Надо
доказать, что из истинности в 55 предваренной Г-фор-
мулы Л сигнатуры £2^ вытекает истинность Л в ЭД.
Доказательство ведем индукцией по числу п кванторов
в <Д. Если п — 0, то утверждение тривиально. Пусть
для Г-формул, имеющих п 0 кванторов, утверждение
справедливо, и пусть Л имеет вид (За-)	(ж), где (х)
содержит п кванторов. По условию (З.г)	(х) истинна
в 53 и, следовательно, для некоторого а £ ЭД формула
дв (z„) истинна в 58. Но .й? (z0) имеет п кванторов и сигна-
туру £2$. В силу индукции J? (za) истинна в ЭД, и потому
(Зх) SS (х) истинна в ЭД.
Если Л имеет вид (Vz) .3? (.г) и формула (V.r) SB (х)
истинна в 55, то 98 (za) истинна в -55 для любого a £ ЭД.
По индукции из истинности 98 (za) в 53 вытекает истин-
ность 99 (za) в ЭД, и потому (V.r) 98 (х) истинна в ЭД.
Из теоремы 1 непосредственно вытекает «алгебраиче-
ское»
Следствие 2. Если для каждой конечной совокуп-
ности at, . . ., ап элементов подсистемы ЭД алгебраической
системы 55 и каждого b £ 55 существует автоморфшзм о
системы -55, оставляющий неподвижными элементы
alt . . ., ап и переводящий b в некоторый элемент ЭД,
то подсистема ЭД элементарна в 55.
Согласно теореме 1 достаточно показать, что из истин-
ности в 5В формулы
Л (b, at, ..., й„) (oj, ..., an Е ЭД, b Е -55),
имеющей в сигнатуре £2 в качестве свободных символов
лишь «j, ..., ап, Ь, вытекает истинность в 58 форму-
лы Л (a, ал, ...,ап) для подходящего а£ЭД. Так как
§ 9] НЕОТЛИЧИМОСТЬ И ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ВЛОЖИМОСТЬ 245
о—автоморфизм 95, то (и. 6.3)
И —	(Ь, ол, ..аи) М (bo, atG, .. ., аис>) == И <=>
<=> Л (бо, wj, ..., я„) = 7/,
Л)
где bo £ 31, что и требовалось.
Теорема 3 (А. Т а р с к п п [64]). Произвольное
множество М элементов произвольной алгебраической систе-
мы 93 сигнатуры Q содержится в ее подходящей элемен-
тарной подсистеме 91, мощность которой не превосходит
max ( | М | Q |, к0).
Положим
ш max (I М I, I £2|, х0)
и рассмотрим совокупность S всех закрытых формул сиг-
натуры йм, имеющих вид (Зж) М (ж) (.7 (г) может содер-
жать кванторы) и истинных в 95. Согласно и. 2.6 15 1 =
-- in. Для каждой формулы (3.<) А (.г) б. $ выберем в 95
какой-нибудь элемент а, для которого А (а) истинно в 95,
Совокупность всех выбранных элементов обозначим через
Mt. Мощность Mi не превосходит мощности множества
всех закрытых формул сигнатуры QM, т. е. пе превосходит
ш. Так как для каждой формулы вида (Зж) (ж = а)
(a g М) придется выбрать именно элемент а, то М s 71Д.
Теперь повторим процесс, взяв в качестве исходного
множества элементов совокупность Mt вместо М. Сово-
купность всех выбранных элементов обозначим через Л/2.
Продолжая указанный процесс, получим цепочку мно-
жеств
М = Ml М2 ' ...	(1)
Обозначим через А объединение всех множеств Mt, и пусть
s’[ — подмодель модели 95, имеющая носитель А. Из (1) сле-
дует, что
| 211 < m ш - m | ... ----- к0 • m — nt.
При помощи теоремы 1 легко убедиться, что подмодель
91 элементарна в 95. Действительно, пусть (Зж) М (ж) —
какая-нибудь закрытая формула сигнатуры Q^, истинная
и 95. 'Гак как эта формула содержит лишь конечное число
символов из то она будет формулой сигнатуры йд/.
246
ПРОИЗВЕДЕНИЯ II ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
для достаточно большого i. Тогда при построении мно-
жества мы должны были выбрать в 95 какой-то
элемент а, для которого Л (а) истинна в 55, и внести этот
элемент в Mi+1. Поэтому в 21 существует элемент а,
для которого с-/ (а) истинна в 95. На основании теоремы 1
заключаем, что модель 21 элементарна в 95, а потому 21
не только подмодель, по и подсистема в 55, удовлетворяю-
щая требованиям доказываемой теоремы.
Следствие 4. Если- мощность бесконечной алгебраи-
ческой системы 55 не меньше мощности ее сигнатуры Q,
то для любого множества М £= 95 и. любой мощности и,
удовлетворяющей неравенствам
шах (| М |, | Q|, х(|) -<п < | 551,	(2)
в существует элементарная подсистема 21 мощности
и, которая содержит М.
В частности, каждая несчетная алгебраическая система
конечной или счетной сигнатуры содержит бесконечно
много счетных элементарных подсистем.
Действительно, пусть Д7, =- 71Z(J71AO, тогда Мо —
произвольное множество элементов 55, имеющее мощ-
ность и. Из (2) следует, что | М\ | — и. Согласно
теореме 3 в 95 существует элементарная подсистема 21,
содержащая Mt, мощность которой нс превосходит
шах ( | Q х9, | й/j 1 ) = и. Так как 71Д <= 21, то
| 21 | и и, следовательно, | 21 | = и.
Согласно и. 9.1 алгебраическая система 95 называется
элементарным расширением системы 21, если 21 есть
элементарная подсистема системы 95.
Теорема 5. Каждая бесконечная алгебраическая
система 21 сигнатуры Q обладает элементарным расши-
рением. (5, имеющим любую наперед заданную мощность
и, равную или большую | Q | -|- | 21 |.
Пусть I — произвольное множество мощности и.
Согласно теореме 5 из и. 8.5 существует такой ультра-
фильтр (У, D}, что
| 217,7? | > 2" > и.
Согласно и. 9.1 существует элементарное вложение алгеб-
раической системы 21 в ультрастепень 2U/D и, значит,
существует алгебраическая система 95, изоморфная 2ITID
S 91 НЕОТЛИЧИМОСТЬ И ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ВЛОЖПМОСТЬ 247
и содержащая ?! в качестве элементарной подсистемы.
'Гак как | 55 | >- п, то существует элемент b £ -55, не вхо-
дящий в 91. Полагая 71/ = 21 (J {Ь}, видим, что заданная
мощность и удовлетворяет условиям (2) следствия 4,
и потому в 55 найдется элементарная подсистема (S,
содержащая множество М и имеющая мощность и.
Согласно п. 9.1 (см. следствие 3) имеем
21 еб, 21 <55, G <55	21 <6.
Таким образом, (S удовлетворяет всем условиям теоремы 5.
Легко построить пример, показывающий, что в теоре-
ме 5 условие и ^- | £2 | + | 21 | нельзя заменить более
слабым условием п ] 21 |. Пусть сигнатура Q состоит
из предметных символов аа и унарных функциональных
символов где а — произвольная конечная последова-
тельность (а,, . . ., а,„), а, £ {0, I}, т 1, 2, . . .,
a X — любая бесконечная последовательность X =
= <Х1( Х2, . . .), Х; f {0, 1 }. Положим далее IX],п =
— (Xlt .. ., Х,п) и обозначим через Л совокупность всех ко-
нечных последовательностей а. Полагая аа = а и /?. (а) =
= [Х]т, если длина а равна т, мы обратим А в алгебраи-
ческую систему 21 сигнатуры Q. Легко видеть, что в 21
истинны аксиомы вида
.г #=	& ... &.» ат —> /, (.»•) =#	,	(3)
где аа, ..., а7—последовательности длины <»г и [Х]?п^= [р]т.
Поэтому аксиомы (3) истинны и в каждом элементарном
расширении 55 системы 21. Пусть 55^4=21 и :г (J91, х^55.
Тогда посылка импликации (3) будет истинна для любых
а.а, .. ., ат, и потому />. (.т) =/= (•».) для произвольных
Х <[1. Таким образом, 55 содержит континуум различных
элементов /?.(.?), и потому |55| >2К". Итак, |21|--к0 и в то
же время каждое элементарное расширение системы 21,
не совпадающее с 21, уже несчетно.
Из следствия 4 и теоремы 5 вытекает нижеследующее
полезное замечание.
Следствие 6. Для каждой бесконечной алгебраи-
ческой системы’' 21 произвольной сигнатуры Q и каждой,
бесконечной мощности nt | Q | существует алгебраиче-
ская система 21} мощности Ш, элементарно эквивалентная
Системе 21.
248
ПРОИЗВЕДЕНИЯ 11 ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
В самом деле, если m | ЭД |, то, согласно след-
ствию 4, в ЭД существует элементарная подсистема ЭД\
мощности nt, элементарно эквивалентная ЭД. Если же
ш > | ЭД |, то, согласно теореме 5, у системы ЭД найдется
элементарное расширение ЭД] мощности nt, которое также
элементарно эквивалентно ЭД, что и требовалось.
Следствие 4 гарантирует, что по меньшей мере у несчет-
ных систем счетной сигнатуры совокупность элементарных
подсистем бесконечна. Следующая теорема указывает
простейшие структурные свойства этой совокупности.
Теорема 7. Объединение ЭД локальной в себе
(см. п. 2.3) совокупности Y-подсистем ЭДа (а G I) алгеб-
раической системы сигнатуры Q является Y-подсисте-
мой
В частности, объединение возрастающей цепочки
Y-подсистем системы 36 есть Y-подсистема 35.
Воспользуемся теоремой 1. Пусть (Эж) Л (ж) есть
Г-формула сигнатуры истинная в 33. В записи этой
формулы содержится лишь конечное число символов
za, . . ., zc (о, . .., cf ЭД). Ищем такое а, чтобы эле-
менты а. . . с содержались в ЭДа. Так как формула
(Зж) (ж) имеет сигнатуру истинна в 35 и ЭДИ <Д
<г35, то указанная формула истинна и в ЭДа, т. е.
<4- (d) истинна в ЭДа для подходящего d g ЭДа. Из ЭДа<г
<г35 следует, что (d) истинна в %>. Поскольку d g ЭД,
то в силу теоремы 1 ЭД < г93.
§ 10. Полнота и модельная полнота
Допустим, что рассматривается класс каких-то струк-
тур в самом общем понимании этого слова, для которых
определено понятие изоморфизма. Пусть система утвер-
ждений ©, сформулированных на каком-то языке Е,
выделяет из всех упомянутых структур некоторый под-
класс. Система утверждений (или аксиом) © называется
категоричной, если все структуры, обладающие свойства-
ми ©, изоморфны. Система <& называется полной (в языке
Е), если все структуры, обладающие свойствами ©,
Н-эквивалентны, т. е. если любые две ©-структуры обла-
дают совершенно одинаковыми свойствами, допускающими
§ 10]
ПОЛНОТА И МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
249
формулировку на языке Е (Е-равносвойственны). Если
язык Е совпадает с языком 1-й ступени, а рассматривае-
мые структуры — алгебраические системы данной сиг-
натуры, то общее понятие Е-полноты системы аксиом
переходит в точное понятие элементарной полноты, кото-
рое и будет изучено в этом параграфе.
10.1. Полные совокупности формул. Как и в § 9, через
Г обозначим какой-нибудь класс формул 1-й ступени,
инвариантный относительно изменения наименований
предметных переменных, встречающихся в формулах этого
класса.
Пусть — совокупность каких-то закрытых Г-фор-
мул данной сигнатуры £2. Говорят, что алгебраическая
система ЭД удовлетворяет системе б пли что совокупность
б выполняется на системе ЭД, если сигнатура ЭД равна £2
и каждая формула пз б истинна ла ЭД. Формулы б часто
называют аксиомами, а алгебраические системы, на кото-
рых выполняется совокупность б, называются моделями
б- Совокупность б называется совместной (или выпол-
нимой, см. п. 6.4), если существует хотя бы одна алгебраи-
ческая система, удовлетворяющая б- Формула назы-
вается следствием совокупности б, если г# истинна в каж-
дой алгебраической системе, удовлетворяющей б-
Совокупность формул б называется Y-полной в сиг-
натуре £2, если совокупность б совместная и для каждой
Г-формулы А сигнатуры £2 либо <4, либо П Л является
следствием совокупности б-
Символом Г£2 условимся обозначать класс Г-формул,
имеющих сигнатуру £2. Ясно, что свойства совокупности
б быть Г-полной в сигнатуре £2 и быть Г£2-полной равно-
сильны. Ясно также, что Г£2-полнота совокупности б
влечет 1'1£21-полноту б для любых сГ, £2j е £2.
Если Г есть совокупность произвольных формул
1-й ступени, то Г-полиота в сигнатуре £2 называется про-
сто полнотой в сигнатуре £2 (Q-полнотои). Наконец, сово-
купность формул б фиксированной сигнатуры £2 назы-
вается полной, если б полна в сигнатуре £2.
Пусть предикатный символ Р не содержится в сигна-
туре £2 совокупности формул б- Тогда ни формула
(Уж) Р (х, . . ., ж), ни ее отрицание (Зж) Р (х, . . ., ж)
не следуют из б, и потому совокупность б не может
250
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
быть полной пи в какой сигнатуре, содержащей Р. Ана-
логично, если предметные символы а, b пе содержатся
в й, то ни формула а = Ь, ни формула а =^= Ъ не следуют
из (&, и потому © не может быть полной в сигнатуре,
содержащей символы а, Ь. За исключением тривиальных
случаев, совокупность © не может быть полной и в сиг-
натуре, содержащей предметный символ а, не встречаю-
щийся в формулах совокупности <&. Таким образом,
когда идет речь о полноте совокупности формул ©, име-
ющей сигнатуру й и полной в сигнатуре йь то можно
без существенного ограничения общности предполагать,
что Q.
Указанному выше определению полноты можно при-
дать иной вид.
Следствие 1. Для того чтобы совокупность фор-
мул © была Y-полной в сигнатуре й, необходимо и доста-
точно, чтобы все алгебраические системы, удовлетворяющие
©, были ТЙ-эке и валентны.
Необходимость. Пусть модели ЭД, 25 для сово-
купности © пе ГЙ-эквивалентны. Это означает, что
существует Тй-формула .7, истинная па одной из ука-
занных моделей и ложная на другой. Поэтому пн А,
ни П А не следуют из ©.
Достаточность. Пусть ЭД, 25 — модели для
Гй-полной совокупности формул ©. Рассмотрим произ-
вольную Тй-формулу А, истинную в ЭД. Так как либо
А, либо И А должна следовать из © и ~\ А заведомо
из © не следует, то А следует из ©, т. с. А истинна
на всех ©-моделях, в том числе и на 25.
Следствие 2 (теорема Линденбау-
м а). Каждая совместная совокупность формул © сигна-
туры й может быть пополнена до полной совокупности
формул сигнатуры й.
По условию совокупность © обладает некоторой
моделью ЭД сигнатуры й. Обозначим через Та (ЭД) сово-
купность всех формул сигнатуры й, истинных в ЭД. Ясно,
что © s Та (ЭД). С другой стороны,для каждой форму-
лы А сигнатуры Й либо А, либо Л А истинна на ЭД,
и потому либо А, либо П А содержится в Та (ЭД), а пото-
му и следует из Та (ЭД). Поэтому Та (ЭД) — искомое
пополнение ©,
§ 10]
ПОЛНОТА И МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
251
Совокупность формул (е фиксированной сигнатуры 52
называется категоричной в сигнатуре £2t f= £2, если
совместна и все се модели сигнатуры £2 являются Qj-изо-
морфными. Совокупность G называется категоричной,
если она категорична в сигнатуре £2. Ясно, что совокуп-
ность формул, категоричная в сигнатуре £2(, категорична
и в каждой более узкой сигнатуре. Ясно также, что из кате-
горичности Q в сигнатуре £2, вытекает 52,-полнота
Существуют ли категоричные совокупности формул?
Допустим, что какая-то совокупность формул Q сиг-
натуры £2 обладает бесконечной моделью VI сигнатуры £2.
Согласно теореме 5 п. 9.2 существует модель 55 сигна-
туры £2, элементарно эквивалентная VI и имеющая боль-
шую мощность, чем модель VI. Из элементарной экви-
валентности VI и 55 следует, что все формулы из © истинны
в 55, т. е. -55 — модель для Q. В то же время ?! и 55
не изоморфны, так как имеют различные мощности.
Поэтому совокупность <3 не категорична. Никакую беско-
нечную алгебраическую систему нельзя описать с точно-
стью до изоморфизма на языке 1-й ступени. Напротив,
каждая конечная алгебраическая система легко описы-
вается с точностью до изоморфизма.
Пусть VI — какая-нибудь (конечная или бесконечная)
алгебраическая система фиксированной сигнатуры £2.
Каждому элементу а £ Я ставим в соответствие предмет-
ный символ zn, не принадлежащий £2. Как и в п. 9.2,
символом £2о[ обозначим объединение £2 и множества
всех символов z„ (« £ VI). Элемент а условимся называть
каноническим значением символа z„ в системе VI. Диа-
граммой системы VI (символически I) (VI)) называется
совокупность тех атомарных и отрицаний атомарных
формул сигнатуры £2j(, которые истинны в VI при кано-
нических значениях предметных символов.
Сравнивая определение диаграммы системы Я с опре-
делением описания О (VI) п. 9.1, видим, что диаграмма
составляет часть описания системы. Тогда как описание
любой системы состоит из бесконечного числа формул,
диаграмма конечно й алгебраической системы ко-
нечной сигнатуры состоит из конечного числа формул.
Например, диаграмма полугруппы ({0, 1}, - ), где точкой
обозначено обычное произведение, является совокупностью
252
ИГОИЗ ВЕДЕ HUH И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
следующих формул:
zo z0, z4 = Z(,
z0'Z0 ~ ZC, z0'zl = z0,
ZO'ZO Zl, ZO'Z1 Zit
Z0 Zl> Z1 Zi >
Z1 * z0 ~ z0, zl’zl ” zl,
zl’z0 =И2 zl, zl'zl “7“ ZC-
Рассмотрим произвольную совместную совокупность
формул <3 какой-то фиксированной сигнатуры Q. Пусть
21 — модель для ©. Присоединяя к <2 диаграмму D (21),
получим совокупность формул -=@UZ)(2I) сигна-
туры Пэд. Все формулы из <3, истинны в 21 при канони-
ческих значениях сигнатурных переменных zo.
Рассмотрим теперь какую-нибудь модель 95 совокуп-
ности @t. Каждое переменное za имеет в 93 определенное
значение ba С 93. Обозначим через о отображение а -> Ьп
модели 21 в 95. Рассуждения, приведенные в и. 9.1 по пово-
ду описаний моделей, показывают, что и в рассматривае-
мом случае отображение о есть изоморфизм ?! в 93.
Отождествляя 21 с подмоделью 21°, видим, что каждая
модель для совокупности (g, содержит подмодель 21.
Разница между описанием и диаграммой состоит в том,
что каждая модель для Q\^O (2() содержит 21 в качестве
своей элементарной подмодели, а каждая модель для
@U£>(2I) содержит 21 лишь как «простую» подмодель.
Из этих рассуждений, в частности, получаем
Следствие 3. Пусть 21 — конечная алгебраиче-
ская система с п элементами at, . . ., ап, имеющая сиг-
натуру Q. Тогда все модели сигнатуры совокупности
формул
D (21), (V.r) (.т - zP1 V х - zO2 V  •  V - Z« J
изоморфны модели 21. Если сигнатура конечной алгебраи-
ческой системы 21 конечна, то все модели сигнатуры Q
для формулы
(lzai...zaJ £>*(21)&
& (. • • Хп:(л.41) (' 1	\/ .Cj —- .1-3 \/ . . . \/ Хп ™ а’п+1),
где D* (21) — конъюнкция формул из D (21), изоморфны 21.
Таким образом, каждую конечную систему 21 бесконеч-
ной сигнатуры Q можно описать с точностью до изомор-
s 10]
ПОЛНОТА И МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
253
физма бесконечной системой формул сигнатуры £2^, а каж-
дую конечную систему ЭД конечной сигнатуры £2 можно
описать с точностью до изоморфизма одной формулой
сигнатуры £2.
Сопоставляя следствие 1 и следствие 7 я. 9.1, получаем
С л е д с т в и е 4. Пусть совокупность формул © сиг-
натуры £2 Y-полна и Г содержит З-замыкания конъюнк-
ций атомарных и отрицаний атомарных формул. Если
существует конечная алгебраическая система ЭД сигнату-
ры £2, удовлетворяющая совокупности ©, то все модели
для © изоморфны ЭД.
Следствия 3 и 4 показывают, что, за исключением
тривиальных случаев, полные системы формул обладают
пепзоморфпыми моделями различных мощностей и потому
не категоричны. Если же рассматривать лишь модели
какой-нибудь фиксированной бесконечной мощности, то
такие модели могут оказаться и изоморфными. Поэтому
целесообразно ввести следующее определение.
Совокупность формул © сигнатуры £2 называется
категоричной в мощности tn, если © имеет модели мощ-
ности ш и все модели для ©, имеющие мощность ш,
изоморфны. Аналогично совокупность формул © назы-
вается YQ,-полной в мощности ш (£2j	£2), если © имеет
модели мощности ш и все модели для ©, имеющие мощ-
ность ш, являются ^^(-эквивалентными. Ясно, что
из категоричности © в мощности ш вытекает полнота
© в этой мощности. Обратное не всегда верно.
Теорема 5 (признак В о о т а 112]). Если
все модели совокупности фюрмул © сигнатуры £2 бесконечны
и совокупность © Г£2(-иолна (£2t S £2) в некоторой мощ-
ности nt, не меньшей | £2 |, то совокупность © YYl^-полна.
В частности, если совокупность формул © конечной
или счетной сигнатуры не имеет конечных моделей и кате-
горична в некоторой мощности, то совокупность ©
полная.
Допустим, что © не Г£21-полпая. Тогда она будет
иметь какие-то по 1~£2 ^эквивалентные модели ЭД и S3.
Последнее означает, что найдется закрытая Г£2(-формула
•V, истинная в одной из упомянутых моделей и ложная
в другой. Пусть А истинна в ЭД и “1 Jt истинна в 95.
По условию модель ЭД бесконечна, заданная мощность nt
254
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ [Гл. IV
бесконечна и m | Q 13 силу следствия 6 и. 9.2
отсюда вытекает, что существует модель ?(( мощности
т, элементарно эквивалентная §1. На основании того же
следствия заключаем, что существует модель 25 j мощности
1Д, элементарно эквивалентная 25. Из ?[ == Vlt следует,
что в ?14 истинна формула .л, а из 25 ss 25j следует, что
в истинна формула ~1 г/. Однако модели ?[}, 25^ имеют
мощность ш и в каждой из них истинны все формулы
из <&. По условию модели н 23 j Т^-эквивалентны
и в то же время TQj-формула истинна в и ложна
в -25(. Полученное противоречие доказывает теорему.
Несмотря на свою простоту и очевидность, признак
Воота позволяет мгновенно установить полноту ряда
систем формул, определяющих весьма важные алгебраи-
ческие понятия. Рассмотрим некоторые из них.
Понятие (л и и е й и о) у п о р я д о ч е и н о г о
м и о ж е с т в а определяется аксиомами:
Ы - (Va;y) (а: < у & у < х -» а: = у),
L2. (Va:pz) (а:-< у & у < z —» х < z),
L.3. (V-ту) (,r< у \/ у < а:).
Присоединяя к ним аксиому
L4. (Vaa/) (Elz) (а; < у & х =ж у z х & z у & а: <
<z& z<_ у),
получим определение понятия в себе плотного
у п о р я д о ч е и и ого множества. Аксиомы
L5. (V.»;) (Byz) (с у & а z & у < z),
L6. (За-) (Vy) (3z) (.г < у & у ф z & у < z),
L7. (За ) (Vy) (3z) (у < .»• & у ф z & z < у),
L8. (Зэ у) (Vz) (.г Ф у & х < у & ,г< z & z К у)
выделяют соответственно неограниченные, ограниченные
слева и неограниченные справа, ограниченные справа
и неограниченные слева, ограниченные слева и справа
упорядоченные множества. Теорема Хаусдорфа § 1 утвер-
ждает. что все счетные в себе плотные линейно упорядочен-
ные множества, удовлетворяющие одному из требований
L5 — L8, изоморфны. Иначе говоря, теорема Хаусдорфа
утверждает, что каждая н.з совокупностей формулЫ —L4,
S 10J
ПОЛНОТА И МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
255
L5; L1 — L4, L6; L1 — L4, L7; L1 — L4, L8 полна в мощ-
ности к(). Сигнатура этих совокупностей состоит лишь
из символа <4 и все упорядоченные в себе плотные мно-
жества бесконечны. Согласно признаку Воота отсюда
следует, что каждая из четырех упомянутых совокупно-
стей формул полная.
Еще более интересный пример доставляет совокупность
формул, определяющих понятие алгебраически замкну-
того поля. В качестве сигнатуры поля мы выберем знаки
I-, • п индивидуальные предметные символы 0, 1. Понятие
п о л я определяется аксиомам]] (см. п. 4.1):
F1. 0=#1,
F2. (Vt) (О4. х —	1  х= х),
F3. (V;n/z) ((.с 4 у) + z =.г 4. (у 4. с) & .г (yz) = (ху) z),
F4. (V.rf/z) (ж (у 4. z) =.гг/4 xz & (у 4.z) ;r = ух -|- z.r),
F5. (Уху) (ж 4. у= у 4.х & ху = г/а;),
F6. (У.г)(Зу)(ж44/ = 0),
F7. (V.r) (By) (x.^0-+xy = 1).
Весконечная последовательность аксиом
F8. (V^r, . .. .г,,) (Зу) (.r0 (хоуп\ х^' > , ... -)-./„) = ())
(п = 2, 3, 4, .. .)
определяет понятие алгебраической замкну-
тости поля.
Говорят, что поле имеет простую характеристику р,
если в нем выполнено условие
F9. 1 - 1_[___: 1 (J (р-2, 3, 5, ...),
II	I	Z
где слева стоит р слагаемых. Наконец, поле имеет харак-
теристику 0, если в нем выполнена бесконечная система
следующих аксиом:
F1C). 14-1^=0, 14-1 + 1 ¥= 0, 1 -i-1 4- 1 4- 1 =#0,...
Согласно теореме Штейница п. 4.2 алгебраически
замкнутые поля тогда и только тогда изоморфны, когда
они имеют одну и ту же характеристику и одну и ту же
степень трансцендентности. Если степень трансцендент-
ности конечна или счетпа, то поле счетно. Если же степень
трансцендентности несчетна, то мощность поля совпадает
256
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
1Гл. IV
со степенью трансцендентности. Это показывает, что сово-
купность формул F1 — F8 и одна из формул F9, а также
совокупность F1 — F8, F10 категоричны в любой несчет-
ной мощности. Так как, кроме того, все алгебраически
замкнутые поля бесконечны, то на основании признака
Воота приходим к выводу, что концепция алгебраически
замкнутого поля фиксированной характеристики являет-
ся полной.
Отсюда следует, например, что поле алгебраических
чисел и поле всех комплексных чисел элементарно экви-
валентны, так как оба они алгебраически замкнуты и име-
ют характеристику нуль.
10.2. Модельная полнота. Признак полноты Воота,
сводящий вопрос о полноте заданной совокупности фор-
мул @ к вопросу об изоморфизме алгебраических систем,
удовлетворяющих @ и имеющих некоторую фиксирован-
ную бесконечную мощность, в ряде важных случаев
неприменим просто потому, что исследуемая совокуп-
ность хотя и полная, но не категоричная ни в какой мощ-
ности. Поэтому важно иметь и другие признаки полноты,
не основывающиеся на категоричности. Одним из таких
наиболее сильных и наиболее часто используемых в на-
стоящее время признаков является признак, основанный
на понятии модельной полноты, который был введен
А. Робинсоном и оказался интересным с чисто теоретиче-
ской точки зрения.
При изучении свойств полных совокупностей (п. 10.1)
оказалось полезным понятие диаграммы D (Й) алгебраи-
ческой системы й и понятие расширенной сигнатуры Qg.
Опираясь на эти понятия, вводим следующее определение.
Совокупность формул (S сигнатуры О называется
моделъно полной (в данной сигнатуре Q), если для каждой
алгебраической системы ?1. удовлетворяющей аксиомам
совокупность @ U D (й) полна в сигнатуре
Для сравнения введем еще вспомогательное понятие
слабой полноты, называя совокупность © слабо полной,
если для каждой системы ?(, удовлетворяющей to, сово-
купность to U О (®) полна в первоначальной сигнатуре Q.
Ясно, что все полные и все модельно полные совокуп-
ности являются и слабо полными. Обратное неверно,
как это видно из следующих простейших примеров.
§ 10]
ПОЛНОТА И МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
257
Рассмотрим совокупность g формул F1 — F8 п. 10.1,
определяющих концепцию алгебраически замкнутого поля.
Ни любая из формул F9, ни совокупность формул F10
не зависят от т. е. ни они сами, ни их ложность не сле-
дуют из и поэтому совокупность (© пе полная. В то же
время диаграмма D (ЭД) любого поля ?! содержит либо
формулу р-1 = 0 (если характеристика ЭД равна /?),
либо совокупность формул F1C) (если характеристика ЭД
есть нуль). Таким образом, совокупность <aUH(SI)
содержит или полную в сигнатуре Q = {+, •, 0, 1}
совокупность F1 — F8, F10, или одну из полных в этой
же сигнатуре совокупностей, состоящих из формул
F1 — F8 и одной из формул F9. Поэтому для любого
поля ЭД совокупность (a U О (ЭД) полна в сигнатуре Q
и, следовательно, совокупность <а слабо полная. Впрочем,
при помощи подходящей модификации признака Воота
легко убедиться, что концепция алгебраически замкнутого
поля не только слабо полная, но и модельно полная.
Чтобы привести пример полной, но не модельно полной
совокупности, рассмотрим концепцию двусторонне огра-
ниченного в себе плотного упорядоченного множества,
определяющуюся формулами L1 —L4, L8 из и. 10.1.
Обозначим зту совокупность через <а и добавим к ней
диаграмму модели ЭД = ([0, 1],	ГД° Ю, 1] — сово-
купность всех рациональных чисел х, 0 х 1. Фор-
мула (Уж) (ж z0 z0 х) имеет сигнатуру Q^, но
ни она сама, ни ее отрицание не вытекают из @ U D (ЭД).
Действительно, в модели ([0, 1], Qg) упомянутая фор-
мула истинна, а в модели ([—1, 11, Qj[) опа ложна.
Таким образом, совокупность (S полная, по нс модельно
полная.
Алгебраическая система ЭД0 называется первичной
системой или первичной моделью для совокупности фор-
мул сигнатуры Q, если ЭД0 удовлетворяет @ и каждая
система, удовлетворяющая содержит подсистему, изо-
морфную ЭД0.
Теорема 1. Если слабо полная совокупность формул
обладает первичной моделью, то эта совокупность полная.
Пусть совокупность формул Q сигнатуры Q слабо
полная и ЭД0 — первичная модель для g>. По условию
17 А. И. Мальцев
258
ПРОИЗВЕДЕНИЯ II ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
совокупность gj -- (£>U^ (ЭДо) полна] в сигнатуре Q.
Достаточно показать, что каждая формула .А сигнатуры Q,
вытекающая из (Si, истинна на произвольной модели 86
для совокупности. (S. Модель 55 содержит подмодель
95О, изоморфную ЭД0. Поэтому существует модель ЭД,
изоморфная 55 и содержащая ЭД0 в качестве подмодели.
Формула .А следует из совокупности (ЭД0), содер-
жащейся в совокупности ©J D (ЭД). Поэтому <А выте-
кает и из последней совокупности. Но ЭД — модель для
этой совокупности, поэтому .А истинна в модели ЭД,
а потому истинна и в модели 55, изоморфной ЭД.
Из теоремы 1, в частности, следует (А. Робинсов
[55]), что каждая модельно полная совокупность, обладаю-
щая первичной моделью, является полной. Однако сущест-
вуют полные совокупности, обладающие первичной
моделью, и тем не менее не модельно полные. Например,
каждое двусторонне ограниченное в себе плотное упоря-
доченное множество содержит подмодель, изоморфную
отрезку ([0, 1], рациональных чисел. Этот отрезок
является, таким образом, первичной моделью для сово-
купности формул L1 — L4, L8 из п. 10.1. определяющей
класс упорядоченных множеств с указанными свойствами.
Мы видели, что упомянутая совокупность полная, но не
модельно полная.
В н. 10.1 было указано, что каждую совместную сово-
купность формул фиксированной сигнатуры Q можно
дополнить до полной совокупности формул той же сигна-
туры. Последний пример показывает, что для модельной
полноты это уже неверно: существуют полные совокуп-
ности, не являющиеся модельно полными, т. е. совокуп-
ности, которые по причине полноты далее уже нельзя
пополнять, оставаясь в пределах заданной сигнатуры.
Положение меняется, если допускается обогащение сиг-
натуры.
Т е о р е м а 2. Полное формульное обогащение Q*
любой совместной совокупности формул @ является моделъ-
но полной совокупностью в обогащенной сигнатуре.
Полное формульное обогащение строится так. Пусть
Я — сигнатура заданной совокупности формул (£>.
Рассматриваем всевозможные незакрытые формулы
•^7. (.Г(, • • ., з'„.) (X < а) сигнатуры Q со свободными
§ 10]
ПОЛНОТА II МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
259
предметными переменными . . ., хп . Для каждой
такой формулы Лк вводим особый, не содержащийся в О,
н?-арный предикатный символ SK и записываем формулу
(V.I4 ... т.„?)	(,ч, . . ., т„?) Л (зд, . . .,	(1)
Полагаем Q* -- Q (J {«S\ I ?- < «} и обозначаем через
объединение совокупности @ и совокупности всех
формул (1). и есть полное формульное обогащение <S>-
Докажем, что совокупность @* — модельно полная в сиг-
натуре Q*.
Пусть ?! — алгебраическая система сигнатуры Q*,
удовлетворяющая формулам из Q. Рассматриваем сово-
купность
S** (S* U/>('’!)
в сигнатуре Q®. Предположим, что нам дана какая-то
формула Л* сигнатуры Q®. Мы можем предполагать,
что Л* содержит предметные символы вида zn (а б ?1),
так как в противном случае вместо Л* могли бы далее
рассматривать равносильную ей формулу Л* & z0 — za.
Итак, пусть формула Л* я сигнатуре й* имеет свободные
предметные переменные z0 , . . ., zo . Заменяя их соот-
ветственно новыми предметными символами уь . . ., уп,
не входящими ни в запись формулы Л*, ни в £2®, полу-
чим формулу Л* (у[, . . ., у„). Эта формула имеет сиг-
натуру Q* и потому может содержать подформулы вида
(щ, . . ., с,,?), где каждое с; — либо один из сим-
волов yt, . . ,, у„, либо сигнатурный символ, либо пред-
метное переменное, связанное в формуле Л*. Символу
S,, отвечает определенная формула Л}_ (л'15 . . ., х,1})
сигнатуры Q, причем совокупность Q* содержит формулу
(I). Заменяя в формуле Л* (у\, . .	у„) каждую атомар-
ную подформулу вида (af, . . ., ал ) соответствую-
щей формулой Лк (fii, . . -, а,,.), получим какую-то
формулу Л (yt, . . ., у„) сигнатуры Q. Так как сово-
купность (£* содержит все формулы вида (1), то из (S*
следует формула
(V//I - . . у„) (Л* (У1, уп) <-> Л (уь . . ., у;1)).	(2)
17*
260
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
Согласно построению для формулы (ад, ..., тп) в Q*
существует отвечающий ей предикатный символ <S'P такой,
что совокупность g* содержит формулу
(V.Cj ... а,,) (л 1, . • •, а?,) «- >	('1’1? • • •, и-’п))*	(3)
Так как из g* следуют формулы (2), (3), то из g*
следует и формула
(V//1  - - Уп) (Ss (j-Д, . . . , lJn) Л* (У1, .	уп)),
из которой в свою очередь вытекают формулы
*^В (zaj?	•	•	• ? Ж//)	* (zai? • • • > zct«)j	(-4)
1	(z<ip	•	-	- ? za7l) > 1 Л  (ZC1? • • • ? za;l)-	(3)
Символ	входит	в сигнатуру системы ?[. Поэтому либо
формула Л',., (zai, ...,	zan), либо формула 5В (zoi,	..	., zan)
принадлежит D (SI). В силу (4), (5) в первом случае из g**
вытекает формула Л* (z(ll, ...,zan), а во втором—из g**
вытекает формула П Л* (zai, . ..,zan). Поэтому совокуп-
ность g** полна в сигнатуре Q^(, и теорема 2 доказана.
Напомним, что для каждой совокупности формул g
сигнатуры Q ^-системами ((^-подсистемами) называются
алгебраические системы, сигнатура которых содержит
Q и в которых истинны все формулы из g. Следующее
свойство модельно полных совокупностей иногда прини-
мается в качестве определения модельной полноты.
Теорема 3. Для того чтобы совместная совокуп-
ность формул g сигнатуры Q была модельно полной,
необходимо и достаточно, чтобы все ^-подсистемы произ-
вольной ^-системы были ^-элементарными.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Возьмем какую-нибудь g-си-
стему SI и положим
©* = -@и/)(91).	(6)
Надо показать, что каждая формула d (zaj, . . ., za„)
(ai g 14) сигнатуры Q, истинная в 91, является след-
ствием совокупности g*, т. е. что каждая такая фор-
мула истинна в любой модели 55 для g*. Так как
g* содержит диаграмму системы 21, то 91 изоморфно
вложена в 55. По условию отсюда вытекает, что 91 есть
Q-элемен тарная подсистема в 55, и потому формула
§ 10]
ПОЛНОТА II МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
261
Л (zai, . .	za„), истинная в 21, является истинной
и в 85.
Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть 58 — какая-то ©-си-
стема и 21 — ее произвольная ©-подсистема. Рассмотрим
какую-нибудь формулу Л (zni, . . ., z,ltl) (а, £ 21) со сво-
бодными переменными z„3, . . ., z„n, имеющую сигнатуру
12. По предположению, совокупность ©*, определенная
соотношением (6), полная в сигнатуре 12g. Если из ©*
вытекает (zf(1, . . ., zo„), то (zai, . . ., z„„) истинна
в 21 и в 85. Если же из ©* вытекает “ ' Л (zai, . - ., zo„),
то Л (za],   -, za„) ложна и в 21 и в 85. Таким образом,
каждая формула Л (zax, . . ., zu„) сигнатуры 12, истинная
в 21, истинна в 58, и потому подсистема 21 12-элементар-
на в 85.
Теорема 3 указывает достаточный признак модельной
полноты. Однако этот признак очень сложный, так как
для его проверки надо просматривать все формулы вида
Л (zai, .... z„„) для любой ©системы 21 и любой ее
©-подсистемы 55. Па самом деле вместо произвольных
формул Л (zlfl, • • ., zUt.) достаточно просматривать лишь
формулы вида
(3.Tj . . . З'та) Si (< j, . . . , '* т, Ztll, . . ., ZUfl),	(/)
где S? — конъюнкция некоторых атомарных формул
и отрицаний атомарных формул. Формулы вида (7) назы-
ваются примитивными.
В соответствии с п. 9.1 подсистему 21 системы 58
условимся называть примитивной (пли примитивно эле-
ментарной) в 85, если из истинности в 58 произвольной
примитивной формулы сигнатуры 12.)( (т. е. формулы
вида (7)) вытекает истинность этой формулы и в системе 21.
Т е орема 4 (к р и т ери й м о дель и о й
ноли о т ы А. Р о б и и с о в а [55]). Для того чтобы
совместная совокупность формул © сигнатуры 12 была
модельно полной, необходимо и достаточно, чтобы все
© подсистемы произвольной (^-системы 95 были прими-
тивными подсистемами системы 58.
'Гак как из элементарности подсистемы какой-либо
системы заведомо следует ее примитивность в этой системе,
то необходимость условий теоремы 4 вытекает из теоре-
мы 3. Поэтому будем доказывать достаточность.
262
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
Временно будем говорить, что формула A (ад, . .	x„)
сигнатуры Q со свободными предметными переменными
aj, . . хп (©-сильная, если для каждой (©-системы
п каждых щ, . . ап из либо формула A (zn„ . . ., zU/1),
либо формула "1A, (zrI1.......z„„) вытекает из совокуп-
ности (©U £>(?!). Нам надо доказать, что несильных
формул сигнатуры Q нет. Допустим, напротив, что несиль-
ные формулы указанного вида есть. 'Гак как все формулы,
равносильные несильным, несильные, то есть и несиль-
ные формулы предваренного вила. Пусть А (,г(, . . ., ,г„)—
несильная формула предваренного вида, имеющая наи-
меньшее число к кванторов. Так как все формулы сигна-
туры Q, не содержащие кванторов, очевидно, сильные, то
к А 1. Из определения следует, что вместе с А несильной
будет и формула " А. Пусть (Зу) .9? (у, ад, . . ., л„) — та
из формул А, " ' А, которая в предваренной форме
начинается квантором существования. Таким образом,
формула (Зу) .9? (у, л-,, . . ., ,г„) несильная, а формула
.9? (др, ,Г|, . . ., .г„) уже сильная. Первое означает, что
для подходящей (©-системы VI и подходящих ее элементов
щ, . . ., а,, каждая из совокупностей
<©U/>C<’l)U!(3y)./?(y, zni, ...,zn„)}	(8)
и
s U D (?1) и {П (Ну) .9? (у, zoi, .. ., z0;!)}	(9)
совместна.
Рассмотрим произвольную систему 58, удовлетворяю-
щую аксиомам (8). Так как совокупность (8) содержит фор-
мулу (Ну) А (у, zai. . - ., z<„(), то для некоторого b g 58
в 58 истинна формула 49 (zr,, z.,,, . . ., z„n). Но формула
Si (х0, х}, . . ., х71) (©-сильная, 58 есть (©-система и для
элементов й, at, . . ., ап из 58 формула .9? (z(,, z(ll, . . ., zQ„)
истинна в 58. Поэтому формула .9? (zf), zn„ . . ., zo„)
является следствием совокупности
<SUO(®)-	(1‘>)
Из 93 (zb, zui, . . ., z„n) формально вытекает формула
(Зу) S3 (у, zai, . . ., z(ln), и потому из совокупности (10)
вытекает формула (Зу) .9? (у, za„ . . ., z„„).
Совокупность (10), вообще говоря, бесконечна, но
в силу теоремы компактности найдется некоторая коиеч-
§ 101
ПОЛНОТА И МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
2(53
М совокупности (10), из
формула (Ну) .£? (г/, zaj, .
конъюнкцию формул из
ная часть
вытекать
через
и через — конъюнкцию формул
в М, видим, что формула
(gt & Oj —> (Зу)	(г/, zO1,
которой также будет
. zan). Обозначая
(£. входящих в Л1,
из D (95), входящих
• • ч z<'n)
(И)
тождественно истинная.
В сигнатуре О формула закрытая, а формула Di
может содержать и свободные предметные переменные.
Это будут символы вида zc (eg®). Они частью будут сов-
падать с некоторыми из символов zni, . .., z„„, а частью
будут новыми—символы вида z(1, . . гГ/„ где .. ., о„,
с4, ср — попарно различные элементы системы 95.
Поэтому формулу (11) можно более подробно переписать
в виде
Qi&Dt (zai, .... z„,„ z(.,, .. ., z,.„)-»(3//)	(y, z,„, . . ., z„„).
(12)
Так как О] есть часть диаграммы системы 95, то в 95
заведомо истинна примитивная?формула
(Hz(1 . . . zCp) Di (zai, ..., zan, zCl, . .., zC/l).
Но условию теоремы отсюда следует, что в системе ?[
найдутся элементы an+i, ..., ап+р, для которых будет
истинна формула
(Zflli • • ч %О?11	• • • >	)	(13)
Подставляя в тождественно истинную формулу (12)
вместо свободных предметных переменных zG1, ..., пСр
соответственно переменные zn„+J, ..., zap.p, получим фор-
мулу
&~Di (zai, . .., zan, z„n+1, ..., z„n+/l) >
-> (3?/) S8 (у, zav ..., s„n), (14)
которая будет также тождественно истинной. Формула (13)
есть конъюнкция части формул из £>(?[). Это совместно
с формулой (14) означает, что формула
(Зу) гО1, .. ., z0;!)
264
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
является следствием совокупности
SUW),
что противоречит выполнимости совокупности (9).
Пусть Y — какой-то вид формул. Условимся говорить,
что класс St систем сигнатуры Q X-приводим, если для
каждой формулы .7 (л^, . .., хп) сигнатуры Q со свобод-
ными предметными переменными xt, ..., хп существует
формула И8 (.гъ . .., ./ „) вида У сигнатуры Q такая, что
на каждой Й-системе истинна формула
(V.C, . .. ./„) (A (,-j, . .., гг„) ~	(,т1: . . ., ./•„)),	(15)
т. е. если на St каждый формульный предикат эквивален-
тен предикату, определяемому подходящей формулой
вида Г.
В частности, класс St систем называется Э-приводп-
мым, если каждая формула А (xt, . . ., хп) на этом классе
эквивалентна подходящей 3-формуле. Ясно, что если
класс St 3-приводим, то он и V-приводим, так как из
эквивалентности формулы "3 Л какой-то 3-формуле $
вытекает эквивалентность формулы Л V-формуле ~1 S8.
Совокупность О закрытых формул сигнатуры Q назы-
вается Х-приводимой, если Г-приводим класс всех систем
сигнатуры Q, па которых истинны все формулы из ©,
т. е. если формулы (15) являются следствиями совокуп-
ности ©.
Теорема 5 (А. Робинсон [55]). Для того
чтобы совокупность формул Q была модельно полной,
необходимо и достаточно, чтобы она была ^-приводимой.
Для доказательства д о с т а т о ч н о с т и восполь-
зуемся теоремой 3. Пусть совокупность © V-приводимая
и ?! — какая-то ©-подсистема некоторой ©-системы £5.
Тогда каждая формула Л (z,,,, . . ., zan) будет эквива-
лентна на S5 подходящей V-формуле
(V?/i - • • ys) Я (У1, - - •, уя, zni, ..., zan). (16)
Так как из истинности формулы (16) в произвольной
системе следует ее истинность и в любой подсистеме,
содержащей элементы alt . . ., ап, то из истинности Л
в следует ис тпнность формулы Л и в VI. В силу тео-
§ 10]
ПОЛНОТА И МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
265
ремьт 3 это показывает, что совокупность @ модельно
полная.
И е о б х о д и м о с т ь. Пусть совокупность формул
(S модельно полна, и пусть задана какая-то формула
Л- (zt, . . ., .с„) сигнатуры Q со свободными предметными
переменными xlt . . ., хп. Расширим сигнатуру Q, доба-
вив в нее новые предметные символы	и поло-
жим Qj = й U {«1, . . ., «„}.
Обозначим через St класс систем сигнатуры опре-
деляемый совокупностью формул (S, и пусть £ — под-
класс тех Я-систем, в которых истинна формула
Л («j, . .	«„). Подкласс £ наследственный в Я. Дей-
ствительно, пусть 21 — какая-нибудь St-подсистема ^си-
стемы В ?! и в 55 истинны формулы из <S. Поэтому
21 — элементарная подсистема в 55. По условию в 55
истинна формула Л (а,, . . ., а„) (af, . . ., ап £ 21). Из
элементарности ?! в 55 вытекает, что указанная формула
истинна и в 21, т. е. 21 £ £.
Так как классы St, £ аксиоматизируемы, то они
ультразамкпуты. Из ультразамкнутости St, £ и наслед-
ственности £ в St следует, что подкласс £ универсально
аксиоматизируем в Я (и. 7.2). Но £ аксиоматизируется
внутри Я одной аксиомой Л (а1; . . ., я„). Поэтому £
будет аксиоматизироваться внутри Я одной V-формулой.
Пусть это будет формула
(V?/i •  • ?л) 9S (ylt ..ys, (tt, .... «„).	(17)
Подкласс £ выделяется из класса Я любой из формул
(17) или e#(oj, . . ., <?„). Поэтому на классе St
Л (аь ..., я„) * > (V?/i . . . ?/s) S (i/i, ...,ys,ai, .... «„)
и, следовательно, из вытекает эквивалентность
(V.r, ... ;с„) И (Н, -•-,^)^
*~> (Vl/1 Уз) % (У1, • • - , Уз, л. • • • > ^п)),
показывающая, что совокупность формул <2 V-приводпма.
Вспоминая, что совокупность формул @ называется
V-полной в сигнатуре Q, если для каждой закрытой
V формулы Ф сигнатуры Q либо Ф, либо И Ф вытекает
из @5, получаем
266
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ	[Гл. IV
Следствие 6. Для того чтобы модельно полная
совокупность формул была полной, достаточно (и, оче-
видно, необходимо), чтобы S была ^-полной.
В самом деле, в силу теоремы 5 совокупность <3 V-при-
водима, и потому произвольная закрытая формула Д
сигнатуры Q эквивалентна в классе К<& (см. п. 6.4) под-
ходящей закрытой V-формуле сигнатуры Q.
Примеры и дополнения
1. Если совокупность 2 замкнутых формул конечной пли
счетной сигнатуры категорична в несчетной мощности, то
она категорична и в любой другой несчетной мощности (М о р -
лей [46]).
2. Привести пример совокупности замкнутых формул, катего-
ричной в мощности континуума, по не категоричной в счетной
мощности.
Г Л .1 В . I V
КВ АЗ 11МНОГООБРА ЗИЯ
Многообразиями и квазимпогообразиями алгебр назы-
ваются классы алгебр, которые можно задать посредством
совокупности тождеств или соответственно квазитождеств
(условных тождеств). Так как тождества и квазнтождоства
являются V-формулами, то многообразия н квазимпогооб-
разия представляют собой частные тины универсально
аксиоматизируемых классов алгебр, общие' свойства кото-
рых были рассмотрены в § 7. Особое положение квази-
многообразий и в особенности многообразии в общей алгеб-
ре определяется тем обстоятельством, что многие струк-
туры, подробно изучаемые в классической алгебре, такие,
как группы, кольца, решетки, алгебры Буля и т. и.,
образуют многообразия.
Вопросы погружаемости систем одного многообразия
в системы другого многообразия, теория определяющих
соотношений и некоторые другие разделы алгебры находят
свое наиболее естественное выражение в теории квази-
многообразии.
Всюду в дальнейшем изложении условимся понимать
под классами алгебраических спетом только абстракт-
ные классы (см. п. 8.2).
§ 11. Общие свойства
11.1. Характеристические свойства. Рассмотрим алгеб-
раические системы какой-то фиксированной сигнатуры Q.
Согласно и. 7.1 формулы вида
Ui, • • •, Jn), ^(j!, . . ., £,„)-щс	(Р,/•’££>),
268
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
где X, Xi, ?з, • • • Е	xk}, называются ато-
марными формулами сигнатуры Q от хг, х„, . . ., xk.
Формулы более сложного вида
р (Ji (-t’l, • • •, П), - • fn Cn, . . ., :r,;)),
/(.Tj, . .	.->;ft)^g(.Tj, . . rft),
где /, Я, /i> • • •, fn — некоторые термы сигнатуры £2,
Р g Q, называются квазиатомарными формулами сигна-
туры О от переменных .ги . . xh. Иногда для краткости
формулу f = g записывают в виде Р (j, g), понимая под Р
знак равенства и включая его в сигнатуру формулы.
Пусть (хл, . . ., -п). . .	.^s+) (xt, . . ., x!t) — ка-
кие-то квазиатомарные формулы сигнатуры О (включаю-
щей равенство) от переменных xit . . ., x!t. Тогда фор-
мулы вида
(V.-,	г,)	(1)
называются тождествами или тождественными соотно-
шениями, а формулы вида
(V ... xh) (Л, & ... &	+	(2)
назы ваются квазитождествам и.
В частности, если рассматриваются классы алгебр,
то сигнатура О предикатных символов не содержит,
и тождества имеют вид
(V.7J .. . :>h) (f (;q, .... .т„) = g .X,,)),	(3)
а квазитождества суть формулы вида
(Vjj ... xi,) (ft g-.& ...&/< gb—-gs.;t),	(4)
ГД° Л g, fu gi, , fs+i, gsu~ некоторые термы сигна-
туры О от переменных .Гд, . . ., xh.
Из этих определений следует, что тождества и квази-
тождества являются частными видами хорновских V-фор-
мул (и. 7.5). Отметим также, что каждое тождество (1)
равносильно квазитождеству
(V.Tj .. . xh) (r-i = хл -» Pit (зд, ..., ,Tfi)).
Обратное несправедливо. Например, квазитождество
—>xPLz пе равносильно никакому тождеству,
так как все тождества устойчивы относительно гомоморфиз-
мов (п. 7.4), а указанное квазитождество неустойчиво.
§ 11 j
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
269
Рис. 1.
Например, пусть = ({д, Ъ. с}, <^j) есть модель
типа (2), в которой предикат задан следующим обра-
зом: a а, а b, b b, с с, ~ a с, П с 1>,
П b а, " I b с, ~I с а. Рассмотрим также модель
912 = ({а, Ь, с}, <12;, полагая а <С2 а, а <С2 Ь, Ъ <12 Ь,
с <С2 с, Ъ с, ~ а <^2 с, ”1 с <^2	й, 1 с 2 а
(рис. 1). Тождественное отображение
множества {«, Ь, с} на себя является
гомоморфизмом модели 911 на модель
912- Легко проверить, однако, что квази-
тождество X У &У z z ис-
тинно на 91 j, но ложно на 912.
Класс St систем называется много-
образием (квазимногообразием), если су-
ществует такая совокупность (g тож-
деств (квазитождеств) сигнатуры Q,
что St состоит из тех и только тех систем
сигнатуры Q, в которых истинны все
формулы из (g. Совокупность (g называется определяющей
совокупностью многообразия пли соответственно квази-
многообразия. Многообразие (квазимногообразие) назы-
вается конечно определимым, если оно обладает какой-
нибудь конечно й определяющей совокупностью.
Так как каждое тождество равносильно соответствую-
щему квазитождеству, то каждое многообразие является
и квазимногообразием. С другой стороны, ясно, что ква-
зимпогообразия являются частным типом универсально
аксиоматизируемых классов, и потому при изучении
свойств квазимногообразий можно использовать свойства
универсально аксиоматизируемых классов, изложенные
в п. 7.2.
Каждое многообразие (квазимпогообразие) является
аксиоматизируемым классом алгебр. Покажем, что если
многообразие (квазимпогообразие) конечно аксиоматизи-
руемо, то оно конечно определимо.
В самом деле, пусть многообразие St, определяемое
какой-то бесконечной совокупностью тождеств <g, опре-
деляется некоторой формулой Ф. Это значит, что формула
Ф является следствием бесконечной системы формул <£>•
В силу теоремы компактности формула Ф будет следствием
подходящей конечной подсовокупности (g/ из <g, и потому
270
КВЛЗИМНОГООГ.РЛЗИЯ
[Гл, V
многообразие S> определяется конечной совокупностью
тождеств (&у.
В частности, если некоторое многообразно определимо
конечным числом квазнтождеств, то оно определимо
и конечным числом тождеств.
Для каждой сигнатуры Q существует единственная
с точностью до изоморфизма единичная система ?(,,,
состоящая лишь из одного элемента е, для которого
F (с, . . ,, с) - е, Р (е, . . ., е) = II (F, Р £ Q).
Отсюда видно, что в единичной системе сигнатуры Q
истинны вообще все тождества и квазитождества сигна-
туры Q. Иначе говоря, единичная система сигнатуры О
принадлежит каждому многообразию и каждому квази-
многообразию этой сигнатуры.
Рассмотрим теперь произвольную последовательность
St'; (i £ I) многообразий (или квазимногообразий) фикси-
рованной сигнатуры Q. Обозначим через @г совокупность
тождеств (квазнтождеств), определяющих класс R;,
и пусть £ — объединение всех совокупностей <5г. Ясно,
что совокупность Q определяет пересечение St классов
St;. Это пересечение не пустое, так как заведомо в него
входит единичная система, и класс St — многообразие
(пли соответственно квазимногообразие).
Отметим далее, что среди всех квазимногообразий
данной сигнатуры существует наибольшее. Это — много-
образие всех систем сигнатуры Q. Оно может быть
определено тождеством
(V.r) (.г	.г).
Наименьшее из квазимногообразий данной сигнатуры
также является многообразием. Оно, очевидно, характе-
ризуется тождествами
(Vту) (л; = у), (V.^ ... .г,;) Р (т4, . . ., .г,) (Р £ Q)
и состоит лишь из единичной системы. Оба эти многообра-
зия называются тривиальными; первое иногда называют
единичным, а второе — нулевым.
Из определения квазнтождеств видно, что они являют-
ся частными типами хорновских аксиом (п. 7.5). Классы
алгебраических систем, аксиоматизируемые хорновскими
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
271
§ 111
аксиомами, замкнуты относительно фильтрованных про-
изведений (и. 8.4). Поэтому произвольное фильтрованное
произведение систем какого-нибудь квазимногообразия при-
надлежит этому же квазимногообразию. В частности,
декартово произведение систем произвольного квази-
многообразия принадлежит этому же квазимногообразию.
Отсюда следует, что если квазимногообразие по нуле-
вое, то оно содержит бесконечные системы.
Из характеристик универсально аксиоматизируемых
классов, полученных в пп. 7.2 и 8.3, легко выводятся
и характеристические свойства квазимногообразий.
I1 е о р е м а 1 [40]. Для того чтобы класс систем ft
был квазимногообразием, необходимо и достаточно, чтобы
класс ft был
i)	локально замкнут',
ii)	мультипликативно замкнут',
iii)	содержал, единичную систему.
Необходимость этих условий была установлена выше.
Обратно, пусть класс ft удовлетворяет этим условиям.
В силу теоремы 1 п. 7.2 из i) следует, что класс ft уни-
версально аксиоматизируем. Согласно теореме 2 из и. 7.5
из условия ii) вытекает, что класс ft аксиоматизируем
с помощью хорновскпх V-формул. В и. 8.3 отмечалось,
что каждая хорновская V-формула равносильна конъюнк-
ции квазнтождеств и, может быть, нескольких формул
вида
(V.r4... .с„) (П pt (h,..., fm) V • • • V “1 Ps (/„..., /„,)), (5)
где A, . . .,	— какие-то термы от переменных хЛ, . . .
. . ., хп. Но в единичной системе формулы вида (5) ложны.
Поэтому класс ft аксиоматизируем при помощи одних
к вазитождеств.
Если вместо результатов § 7 воспользоваться резуль-
татами п. 8.3, то получится
Т е о р е м а 2. Для того чтобы класс систем ft был
квазимногообразием, необходимо и достаточно, чтобы
ft был
i) ультразамкнут',
i i) и аследственен;
iii) мультипликативно замкнут',
iv) содержал единичную систему.
272
KB АЗ ИМИ ОГ О О Б P A 3 И Я
[Гл. V
Необходимость этих условий непосредственно следует
из теоремы 1 и следствия 5 и. 8.3. Поэтому пусть класс
Я удовлетворяет условиям i) — iv). Согласно следствию 5
из п. 8.3 из i) и ii) следует, что класс Я универсально
аксиоматизируем и потому локально замкнут. Применяя
теорему 1, получаем, что Я — квазимпогообразие.
Выше отмечалось, что квазимногообразия замкнуты
относительно фильтрованных произведений. С другой
стороны, и ультрапроизведепия и декартовы произведе-
ния суть частные случаи фильтрованных произведений.
Поэтому в теореме 2 условия i) и iii) можно заменить
одним условием замкнутости относительно произвольных
фильтрованных произведений. В результате получаем
Следствие 3. Класс систем Я тогда и только
тогда является квазимногообразием, когда Я
i)	замкнут относительно фильтрованных произве-
дений',
ii)	наследственен',
iii)	содержит единичную систему.
Легко показать, что в формулировке этого следствия
условие замкнутости относительно фильтрованных про-
изведений нельзя заменить простой мультипликативной
замкнутостью. Например, пусть р — простое число и @ —
группа. Обозначим через подгруппу, порожденную
в @ р-ми степенями всех элементов @, и положим @0 =
= @, @,г+1 = Группа @ называется Др-группой,
если @га = П @п — единичная группа. Легко прове-
ряется, что класс всех Др-групп удовлетворяет условиям
ii), iii), iv) теоремы 2. Однако этот класс не является
локально замкнутым и потому не есть квазимпогообразие.
Действительно, каждая конечная циклическая группа
порядка рт есть Др-группа. Поэтому локально цикличе-
ская группа ZpOO, построенная в п. 3.3, локально вложима
в класс Др-групп. Но сама эта группа не является Др-груп-
пой, поскольку для нее Zp<x> = ZpO0. Так как класс Др-групп
наследственный, то группа ZpOO не вложима в него и, сле-
довательно, этот класс локально не замкнут.
Следствие 3 позволяет указать явную формулу для
минимального квазимногообразпя, содержащего в себе
произвольно заданный класс Я. В самом деле, пусть
$ 111
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
273
заданный класс систем R имеет сигнатуру Q. Обозначим
через совокупность всех квазитождеств сигнатуры
Q, истинных в каждой системе класса R. Тогда KQft
будет классом всех систем сигнатуры Q, удовлетворяю-
щих квазитождествам (Ж, т. е. будет квазимногообра-
зием. Ясно, что R s KQSI. Ясно также, что каждое
квазимногообразие, содержащее класс R', содержит и ква-
зимногообразие KQSt. Таким образом, квазимногообра-
зие К(Д\. является наименьшим из квазимногообразий,
содержащих класс R. Оно иногда называется квазиприми-
тивным замыканием класса R.
Присоединяя к классу R единичную систему, полу-
чим класс, который мы будем обозначать через R,..
Класс всех систем, изоморфных фильтрованным про-
изведениям систем заданного класса Я, обозначим через
FR. Через SFfte обозначим класс всех подсистем филь-
трованных произведений М^-спстем (вообще для произ-
вольного класса £ через <)'£ будем обозначать класс
всех подсистем £-систем).
Т е о р е м а 4. Для каждого класса систем R имеем
KQ^i = SF^e.
Поскольку класс KQR является квазимногообразием,
содержащим в себе класс R, то из свойств i), ii), iii),
указанных в следствии 3, вытекает, что SF$te s KQ&.
С другой стороны, квазпмногообразие KQSt — наимень-
шее из совокупности квазимногообразпй, содержащих R.
Поэтому остается лишь доказать, что класс Л’/’.Н’,. —
квазимпогообразие, т. е. что этот класс обладает свойства-
ми i), ii), iii) из следствия 3. Свойства ii), iii) очевидны.
Проверим i). Пусть задана последовательность (ц С М)
систем класса SFRt. Это значит, что для подходящих
Я'е-систем С; и подходящих фильтров (D^, 7ц)
(г€7ц)*).
Кером произвольный фильтр D над М. Па основании
§ <S (см. дополнение 1)
П с [1 61/77*,	(6)
*) Запись 'ЛД'В означает, что система §1 изоморфна подсис-
теме системы ЗД.
1В д. п. Мальцсп
274	КВАЗИМНОГООВРАЗИЯ	[Гл. V
где D* — подходящий фильтр. Но соотношение (6) и озна-
чает, что класс SFRe замкнут относительно фильтро-
ванных произведений.
В частности, из теоремы 4 вытекает, что квазиприми-
тивное замыкание системы '21 состоит из единичной систе-
мы и подсистем произвольных фильтрованных степеней
системы Я.
Обсуждая в п. 8.3 проблему вложения систем одного
улътразамкнутого класса в системы другого такого же
класса, мы убедились, что условия вложимости можно
выразить V-формулами. Мы хотим теперь показать, что
условия вложимости можно выразить даже совокупностью
квазитождеств, если рассматривать не произвольные уль-
тразамкнутые классы, а квазимногообразия.
Следствие 5. Подкласс й тех систем какого-
нибудь квазимногообразия Stj сигнатуры Qt, которые
вложимы в подходящие системы некоторого фиксированного
квазимногообразия сигнатуры Q2 э Qj, сам является
квазимногообразием.
Это и означает, что условия вложимости систем одного
квазимпогообразия в системы другого квазимногообразия
могут быть выражены квазитождествами.
Доказательство очевидно, так как непосредственно
видно, что подкласс St удовлетворяет требованиям i),
ii), iii) следствия 3.
В качестве типичного примера рассмотрим задачу
о погружении полугрупп в группы. Классы полугрупп
и групп являются многообразиями и потому к ним можно
применить следствие 5. Таким образом, условия погру-
жаемости произвольной полугруппы в подходящую груп-
пу могут быть представлены совокупностью квазитож-
деств, имеющих для полугрупп вид (4), где Д, gt, . . .
• • •, fm+t, gm+i — какие-то слова в алфавите xlt . . ., хп.
Простейшими из этих квазитождеств являются, очевидно,
формулы
хАх2 = xtx3 -> х2 = х3,	(7)
хАх3 — х2х3 Xi = х2,	(8)
представляющие собою законы левой и соответственно
правой сократимости.
§ HI
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
275
Полугруппы, удовлетворяющие квазитождествам (7),
(8), называются полугруппами с сокращением. Отсюда,
а частности, следует, что полугруппы с сокращением обра-
зуют конечно аксиоматизируемое квазимногообразпе.
Если полугруппа ЭД коммутативна, то, как известно,
истинность в ЭД квазитождества (7) уже достаточна для
погружаемости полугруппы ЭД в группу. Если же полу-
группа ЭД — произвольная некоммутативная, то выпол-
нимость в ЭД квазнтождеств (7), (8) не всегда гарантирует
вложимость ее в какую-то группу. В связи с этим
были найдены более сложные квазитождества, необходи-
мые для вложимости произвольной полугруппы в группу.
Первым из них было указано (М а л ь ц е в [331) квази-
тождество
ах — by & сх' — dy & аи bv си du.
Позже были найдены полные системы квазнтождеств,
необходимые и достаточные для вложимости произволь-
ной полугруппы в группу (см. Мальцев [341, а также
Л а м б е к [271, К о п [231, стр. 263). Эта системы ока-
зались бесконечными и было доказано (М а л ь ц е в
|35]), что они не эквивалентны никакой конечной системе
квазнтождеств. Иначе говоря, оказалось, что квазнмногооб-
разие полугрупп, вложимых в группы, не является конеч-
но аксиоматизируемым. Это тем более интересно, что
исходные классы — класс полугрупп и класс всех групп —
конечно аксиоматизируемы.
11.2. Определяющие соотношения. Задать алгебраиче-
скую систему в явном виде — значит задать ее диаграмму.
Диаграмма бесконечной системы состоит пз бесконечного
числа формул, и потому задать бесконечную систему
можно лишь, указав способ для построения формул
ее диаграммы. Одним из таких способов, имеющих боль-
шое теоретическое значение, является способ задания
алгебраической системы посредством так называемых
определяющих соотношений, состоящий в следующем.
Рассмотрим алгебраическую систему ЭД = (Л, О),
принадлежащую какому-то фиксированному классу систем
М‘. Кыбсрсм в ЭД произвольную порождающую совокуп-
ность элементов at (i £ 7) (не обязательно различных) и с
каждым из этих элементов и,- свяжем особый предметный
18*
276
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
символ Z;. Берем, далее, какой-нибудь набор g ква-
зиатомарных формул вида
/ - g, Р (/, g, . .	/О,	(1)
где /, g, . . ., h — термы сигнатуры Q от предметных
переменных z; (z Е 7), Р — сигнатурный предикатный
символ.
Говорят, что совокупность порождающих символов
zt (г Е 1} и совокупность формул @ являются определяю-
щими совокупностями- для системы 'Л в классе St в порож-
дающих at (i Е 7), если:
1) все формулы из (g> истинны в 21 при отображении
Zt a-i (j Е /);
2) любая формула вида (1), истинная в Л при отобра-
жении г, —> at (г Е 7), является в классе St еле д с т в и -
е м совокупности формул
Формула (zx, . . zv) называется следствием в клас-
се St совокупности формул если для любого отображе-
ния z; —>• тг совокупности символов z;- в произвольную
St-систему ЭЛ, при котором в ЭЛ истинны все формулы
из Q, формула <*/ (мг?., . . ., wv) также истинна в ЭЛ.
Нижеследующая теорема является удобной перефра-
зировкой приведенного определения.
Т е о р е м а 1. Пусть заданы класс Si алгебраических
систем, множество {z;} символов z; (/ Е I) и произвольная
совокупность <S формул вида (1). Произвольная ft-система
?! тогда и только тогда изоморфна ft-системе, для кото-
рой совокупность порождающих символов z, и совокупность
формул <5 являются определяющими совокупностями, когда
существует отображение zt a, (а, Е 21, i Е 7), обла-
дающее следующими свойствами'.
i)	элементы a, (z Е 7) порождают систему 21;
ii)	все формулы системы истинны в 21 при отобра-
жении zt -ж ар
iii)	если для некоторой системы ЭЛ класса St существует
отображение z; —т, (mf Е ЭЛ, i Е 7), при котором все
формулы совокупности истинны в ЭЛ, то существует
гомоморфизм ср системы 21 в систему ЭЛ, переводящий
«г в m-t (i Е 7).
Н е о б х о д и мост ь. Пусть система 21 опреде-
ляется в St совокупностями zz (z Е I), Согласно опреде-
§ 11]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
277
лению это значит, что существует отображение a: z; —>
д; (д; g ЭД), удовлетворяющее условиям 1), 2), причем
элементы дг порождают ЭД. Это значит, в частности, что
отображение z; —>- а-, обладает свойствами i), ii). Покажем,
что а обладает и свойством iii). Пусть задано отображе-
ние |3: zf —> тг в какую-то Si -систему 9)1, ври котором
все формулы из @ истинны в 9)1. На паре (ЭД, 9)1) рас-
смотрим отношение ср, состоящее из всевозможных пар вида
</(«>., ...,«v), /(?«/., ...,/щ)).	(2)
где f — произвольный терм, и покажем, что ср есть гомо-
морфизм ЭД в 9)1. Так как элементы п-, порождают ЭД,
то в виде / (дЛ, . . ., дг) можно представить любой эле-
мент системы ЭД, и потому левая область отношения ср
есть ЭД. Далее, если для каких-нибудь /, д
/(а-,....щ.)	аДил, .... Ду),	(3)
то, согласно 2), формула
/(гЛ, ..., zv)-=g(z?,, ..., zv)	(4)
является следствием совокупности формул (2
в классе Si'. Но в системе 9)1 все формулы из <3 при ото-
бражении z; —> пц истинны и 9)1 g Si, поэтому форму-
ла (4) также истинна в 9)1, т. е. в 9)1
..., mv) =-. g (тк, .... mv).	(5)
Это означает, что ср есть однозначное отображение
ЭД в 9)1.
Аналогичным образом убеждаемся, что если в ЭД истин-
но какое-нибудь соотношение вида
Р(/(дЛ, . .., Ду), ...,7г(«Л..Ду)),	(6)
где /' — сигнатурный предикатный символ, то в 9)1 истин-
но соответствующее соотношение
P(/(mz, .. ., Wy), .. ., h (т}., . .., mv)).	(7)
Из (5) и (7) следует, что отображение ср — гомомор-
физм. 'Гак как пары вида (2) принадлежат ср, то (дг, т;) £
( <р, т. е. и,ср — т; (i f I), что и требовалось.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть система ЭД удовлетво-
рив! ус ловиям i), ii), iii), и пусть для некоторых термов
278
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
/, g, . . h в ЭД истинно соотношение (3) или соотношение
(6). Надо убедиться, что тогда формула (4) (или соответ-
ственно формула (7)) в классе Й является следствием
совокупности формул <В, т. е. что в каждой Й-системе
333 для любого отображения z£ -> mt (mi Е 33?, i E I),
при котором в 33t истинны все формулы из <S, формула
(4) (или соответственно (7)) также истинна. Согласно
iii) при указанных предположениях существует гомо-
морфизм <р системы ЭД в систему 33?, для которого ддр =
— mt (i Е J). Но при гомоморфизмах квазиатомарные
формулы сохраняют свою истинность, и потому из истин-
ности (3) или (6) вытекает истинность (4) пли соответ-
ственно (7).
i Отметим два следствия, непосредственно вытекающих
из теоремы 1.
Следствие 2. Если в некотором классе й сущест-
вуют системы ЭД, SB, имеющие фиксированную совокуп-
ность порождающих символов z-t (г £ I) и одну и ту же
совокупность квазиатомарных формул (Z своими опреде-
ляющими совокупностями, то ЭД и SB изоморфны.
Действительно, согласно теореме 1 найдутся отобра-
жения
Zi-^at («,-еЭД, Hl).	(bi Е SB, i e Z) (8)
такие, что элементы at будут порождать ЭД, элементы
будут порождать 95 и для подходящих гомоморфизмов
ср: ЭД SB, ф: 5В ЭД
будем иметь агд> = bt, Л,ф — at, откуда
<9фф = аг, Ьгф<р = bi (i Е Z).	(9)
Так как отображения <рф, ф<р — гомоморфизмы ЭД, SB
в себя, то из (9) следует
/ («Л, ..., av) <рф = / («х, ..., av),
f(bK, ..., ^)фф = /(Ьх, • • - , bv),
т. е. срф, фср — единичные отображения, ф = <р-1 и ф
есть изоморфизм ЭД на SB.
Следствие 3. Пусть совокупности порождающих
символов Zi (i Е I) и квазиатомарных формул (S определяют
§ И]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
279
в классе ft систему ЭД, а в подклассе £ ^ ft определяют
систему S3. Тогда система 55 является гомоморфным
образом системы ЭД.
По условию существуют отображения (8), прп которых
все формулы из <2 истинны в ЭД и 55 и совокупности эле-
ментов {я,}, {bt} порождают эти системы. Из 55 g £
следует 55 g ft, и потому из утверждения iii) теоремы 1
вытекает существование гомоморфизма <р: ЭД —55, при
котором щ<р — bi (i g I). Так как образ ЭД<р системы ЭД
в 55 содержит элементы bL, порождающие 55, то <р есть
гомоморфизм ЭД па 55.
Если класс ft произволен, то может случиться, что
некоторая совокупность порождающих символов и ква-
зиатомарных формул не будет определять в ft никакой
системы. Например, пусть класс ft состоит л пип. из си-
стем, изоморфных полугруппе
@ = ({2, 3, 4, . . .}, •).
Ясно, что в этой полугруппе пет элементов zt, z2, удовле-
творяющих условию zt-z2 = zt. Поэтому в классе ft
порождающие символы zt, z2 и формула zt-z2 = zt не опре-
деляют никакой системы.
В каких же классах любая совокупность квазиатомар-
пг.гх формул служит определяющей совокупностью под-
ходящей системы? Ответ на этот вопрос дает основная
Теорема 4. Если класс ft алгебраических систем
наследственен, мультипликативно замкнут и содержит
единичную систему {в частности, если ft — квазимногооб-
ра.зие), то в ft любая совокупность порождающих символов
z, О- € I) и произвольная совокупность 2 квазиатомарных
формул от переменных zt, имеющих сигнатуру класса ft,
определяют некоторую ^.-систему.
Пусть m = max ( | Q I, | J |, x0), где | Q |, | 1 |, к0 —
мощности сигнатуры класса ft, совокупности порождаю-
щих символов Zi и множества натуральных чисел. Соглас-
но § 6 (см. примеры и дополнения, доп. 2) каждая алгеб-
раическая система, обладающая порождающей совокуп-
но» гыо элементов мощности | I |, сама имеет мощность
пе выше ш.
(»бозпачим через М набор всевозможных попарно
пспзоморфпых ft-систем, мощность которых не превос-
280
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
ходит nt. Ясно, что Л/ — множество вполне определенной
мощности, не большей известной границы, зависящей
лишь от ши | £2 | .
Рассмотрим систему (X g J) всевозможных таких
отображений
a,.:	(«I е	е А/)	(10)
совокупности порождающих символов z; в системы из мно-
жества Л/, что при отображении все формулы пз @
оказываются истинными в 21Так как для одной и той
же системы ?1 могут существовать несколько различных
отображений zi -> при которых формулы из <3 истин-
ны, то не исключено, что в системе (10) ?Г?. — для
некоторых Z. =# ц из J.
Система отображений ct>. заведомо не пустая, так
как она содержит единичную систему — ({е}, Q),
в которой при отображении z; —> е истинны не только
формулы пз <3. но п вообще все квазиатомарные формулы.
Рассмотрим декартово произведение
(A£J).
Так как все его сомножители принадлежат классу St,
который мультипликативно замкнут, то 55 g ft. Отобра-
жения (10) индуцируют отображение
a: гг —> 55 (z £ /).
Согласно п. 7.5 квазиатомарные формулы мультипли-
кативно устойчивы. Формулы пз <3 квазиатомарны
и истинны в сомножителях при отображениях
Поэтому формулы из @ истинны в 55 при отображении а.
Положим z;a =-- zz; и обозначим через 21 подсистему
системы 53, порожденную в 53 элементами (z 0 Г)-
Так как формулы из (3 кванторов не содержат, то пз истин-
ности их в системе 55 при отображении a: z; -> at выте-
кает истинность их и в подсистеме ЭД.
1 Мы хотим показать, что порождающие символы zf
и формулы совокупности 3 определяют в классе ft как
раз систему VI. Действительно, эта система является
подсистемой ft-системы SB и потому сама принадлежит ft.
Элементы at порождают ?( и при отображении a: z; ->
§ II]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
281
формулы из (S истинны в 91. Остается показать, что ото-
бражение а обладает свойством iii) из теоремы 1.
Пусть заданы Я-система ЭЛ и отображение z; mt
(mi б ЭЛ, i б I), при котором формулы @ истинны в ЭЛ.
Обозначим через ЭД подсистему, порожденную в ЭЛ эле-
ментами mt. Система ЭД принадлежит Я' и при отобра-
жении Zi —> т; формулы пз (» истинны в ЭД. Нам надо
найти гомоморфизм ср: 91 -> ЭД, при котором «др mt
Элементы т( порождают ЭД, и мощность их множества
не выше | I | . Поэтому с точностью до изоморфизма
система ЭД совпадает с какой-то системой 91,-, а отображе-
ние 2г -> mt совпадает с отображением а/ > «,!. и нам
достаточно лишь найти гомоморфизм ср: 91 —>-91;. удо-
влетворяющий требованиям «др «; (/' б /).
Отображение a: z; -► 23 но условию индуцируется
отображениями (10), и потому для проектирования Л/
имеем
л/ 91 —91 j, ciittj — Hi,
т. e. лj и есть искомый гомоморфизм 9( в 91;.
В и. 11.3 (теорема 5) будет показано, что теорема 4
обратима, а сейчас мы докажем ряд утверждений, позво-
ляющих более полно описать строение систем, заданных
определяющими формулами.
Теорема 5 (теорема Д и к а). Пусть в неко-
тором классе Я совокупности определяющих соотношений
@1. <©2 пРи одной и той же системе порождающих симво-
лов {Zj | i б 1} определяют соответственно системы 91
и 25. Если все формулы из являются следствиями фор-
мул <S2 в Я, в частности, если S @2, то система 25
является гомоморфным образом системы 91. Если сово-
купности формул (g, и равносильны в Я, то системы
91 и 25 изоморфны.
Согласно теореме 1 существуют отображения гг ->
«; (о,- б ?1), zt —*- b[ (bi б 35), такие, что совокупности
{«, | г б Т} и {Ь, | I б /} порождают соответственно систе-
мы 91 и 25, и формулы из Qj и (g2 для указанных значений
z; истинны соответственно в 91 и в 25. Так как формулы,
принадлежащие следуют пз формул системы @2, то
в 25 истинны все формулы из Согласно iii) отсюда
282
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
вытекает существование гомоморфизма ср системы §1
в систему переводящего «г в Ь, (?, Е /). Так как эле-
менты bi порождают систему ®. го сс есть искомый гомо-
морфизм 31 на 85.
Если системы Qi и ©2 равносильны, то, помимо гомо-
морфизма ср: 31 -> 85, найдется и гомоморфизм ф: 95 —> 81,
переводящий Ь, в Так как совокупности {at | i £ I},
{bj i Е [} порождают системы 31, 95 и «;<рф = at,
&гфср “ Ь.:, то ф ~ ср-1, 31 ~ £5.
Теорема Дика указывает, каким образом при фикси-
рованной совокупности порождающих {zt | i Е /} можно
изменить совокупность определяющих соотношений @,
чтобы при этом определяемая система 3( осталась неиз-
менной. Посмотрим теперь, как следует менять совокуп-
ность (£ при изменении совокупности порождающих z;,
чтобы определяемая система оставалась неизменной.
Теорема 6 (теорема Тице). Пусть в произ-
вольном классе Я совокупность порождающих z,, i Е I,
и определяющих соотношений й> определяет систему 31.
Присоединяя к совокупности порождающих новые символы
ха, а к совокупности © какие-нибудь соотношения вида
Ха ~ fa (zi,  	Z/,), получим совокупности порождаю-
щих и соотношений, определяющих ту же систему 31.
Обратно, пусть в совокупности Q есть соотношения вида
za ~ fa (zn •  zk) (к Е ^), где символы za не входят
в записи термов fa. В каждом из остальных соотношений
совокупности @ вместо вхождений символов za подставляем
термы fa (zt, . . ., zA). В результате получим новую
совокупность соотношений <3*, в записи которых символы
za не участвуют. Выбрасывая из списка, порождающих
символы za (а Е J), получим сокращенную совокупность
порождающих z^(f.£I\J), которая вместе с совокуп-
ностью соотношений Q* определяет в классе Я снова систе-
му 31.
Докажем первое утверждение. Рассмотрим какое-
нибудь отображение гг -> «г («; Е ЭД), обладающее
свойствами i), ii), iii) теоремы 1. Дополнительные сим-
волы ха отобразим в соответственные элементы Ъа =
= fa (а,.....а1г) Е ЭД- Пусть г,- -> шг, ха -+ па — ото-
бражение символов гг, ха в произвольную Я-систему ЭЛ,
при котором соотношения из ® и соотношения ха =
§ ii]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
283
= fa (zt, . . Zk) истинны в 5Di. Согласно iii) найдется
гомоморфизм ф: 21 -> ЭЛ, переводящий at в шг (г £ I).
Так как fa (а{, . . ал) ф = fa (nit, . . ., mh), то гомо-
морфизм ф переводит Ьа в па, что и требуется.
Докажем второе утверждение. Рассмотрим снова ото-
бражение zs -> as (as € 21, s £ I), обладающее свойствами
i), ii), iii). Так как aa = fa (a,, . . ., ak), то сокращенная
совокупность элементов aj, (Z £ I \ J) будет все еще порож-
дать систему 21. Ясно, что при отображении zx —> ах
(Z g I \ J) все формулы совокупности истинны в 21.
Пусть Zx-> ffi;. (Z £ I \ J) — отображение сокращенного
списка порождающих символов в какую-то R-систему ЭЛ,
при котором формулы из <3* истинны в ЭЛ. Берем в ЭЛ
элементы та — fa (mt, . . ., т/() и рассматриваем отобра-
жение zs -> ms (s g I). При этом отображении в систе-
ме ЭЛ истинны все формулы из <г>, и потому сувщствует
гомоморфизм ф: 21 —> ЭЛ, переводящий as в ms
(S е i).
Алгебраическая системы 21 называется конечно пред-
ставимой пли конечно определенной (finite presented)
в классе Я, если в 21 существует такая конечная порож-
дающая совокупность элементов, в которой 21 может
быть определена в классе Я конечной совокупностью 6
определяющих соотношений.
Порождающая совокупность элементов системы 21
называется ее базисом, если никакая истинная часть этой
совокупности не порождает 21. Из теоремы 2 п. 6.1 сле-
дует, что в алгебраической системе, порожденной к о и е ч-
п о й совокупностью элементов, каждая порождающая
совокупность содержит некоторый базис. В силу опреде-
лений каждая конечно представимая система конечно
порождаема. Ниже будет показано на примерах, что
обратное неверно. Поэтому можно было бы подумать, что
возможен и случай, когда конечно порождаемая систе-
ма 21 в одном базисе допускает конечную определяющую
совокупность соотношений, а в другом нет. Однако
из теоремы Тице вытекает опровергающее
Следствие 7. Если в некотором классе Я конечно
порождаемая система 21 в каком-то базисе может быть
определена конечной совокупностью определяющих соотно-
шений, то в классе Я система 21 в любом базисе может
284
КВАЗПМИОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
быть определена конечной совокупностью определяющих
соотношений.
Пусть zt, zs и Xf, . . xt — базисы системы 21,
— система определяющих соотношений в первом бази-
се. По условию
3'j	...,zs)	а i,..., t),	(ii)
zi~-gi (-с,, . .xt)	(i-= 1, . .., s),	(12)
ГДС /й St — подходящие термы от указанных предметных
символов. Согласно теореме Тице в объединенной сово-
купности порождающих z,, . . ., zs, .г,, . . ., xt систе-
ма 2( определяется совокупностью соотношений
состоящей из @ и формул (И). Формулы (12) являются
следствиями системы (Sj в классе St, и потому, согласно
теореме Дика, присоединяя их к совокупности полу-
чим совокупность соотношений ©2, определяющую ту же
систему 21. Применяя к совокупности <S2 второе утверж-
дение теоремы Тице, видим, что если в (g2 в каждой форму-
ле вместо символов z; подставить всюду соответствующие
термы gi (.г,, . . ., ./(), то получится совокупность соот-
ношений (£*. определяющая систему 21 в базисе
хЛ, . . .. xt. Если исходная совокупность <г> конечная,
то и совокупность (£>.*, очевидно, конечная.
Теоремы Дика и Тице указывают следующий процесс
перехода от определяющей системы соотношений @ в одной
совокупности порождающих символов z; (Z g /) к любой
другой определяющей системе формул в любой другой
порождающей совокупности z, (j g J):
А) К символам z; добавляем произвольные новые сим-
волы Zj(j g /, J П / = 0), а в совокупность @ добавляем
формулы впда (11) в произвольном числе (по одной фор-
муле для каждого нового переменного). Пусть — новая
совокупность.
В) В совокупность (Si добавляем произвольное число
формул, являющихся следствиями системы <Si в классе R,
и затем оставляем такую часть новой совокупности,
из которой вытекают все отбрасываемые формулы.
С) Из расширенной совокупности порождающих
символов z>. (?. g IU J) исключаем систему символов
zr (г g Я), для каждого из которых в @2 есть формула
§ ill
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
285
вида
zr =	(z,-, . . ., Zft) (i, . . Л-(J «).	(13)
В каждую формулу из <&2 вместо исключаемых символов
подставляем их выражения (13).
Совокупность S* новых формул будет определять
систему VI в порождающих z,- (г $ R). Из доказательства
следствия 7 вытекает, что преобразованиями Л), В), С)
возможно перейти от системы определяющих соотноше-
ний в одной системе порождающих к произвольной дру-
гой определяющей системе соотношений в любой системе
порождающих.
Преобразования А), С) имеют ясное алгоритмическое
строение. Какова природа преобразований В)? Чтобы
ответить па этот вопрос, мы предположим, что класс Я
есть квазимпогообразие, определяемое квазитождествами:
(V^ ... .rnJ(Pal(/(T))& .. . &/\„a(/(a;))^PK0(/(.r)). (14)
Здесь через Ра1Ц (.г)) (aQU) обозначена формула вида
Р (Л CZ1- • • • , 'A’cj)’ •  • 1 f>< (1 I’ • •  ! Xna))>
где P — сигнатурный предикатный символ или знак
равенства. . . ., /Л — какие-то термы сигнатуры Q
от переменных лд, . . ., х,,а. Формулы (14) могут содер-
жать знак равенства, понимаемый в абсолютном смысле.
Мы его релятивизируем, т. е. заменим в указанных фор-
мулах обычный знак знаком ~ и добавим формулы
;Т1 s :i\, ,rt = = .1'2—> r2 — rl>
•I'l = -r2 & ;r2 -- -*'3'—* •'-’1
Л i - — 3 /1+1	• • • ОС -1 n === 'Z'n+n *
> / (j j, ..., ^ n) _	1 (з n+j. . . ., a n+n),
.7Д ==	& . - • <S< Xn r=. .T7t+n <Sc P (.C|, . . . , T„) >
----> P (j’ft+l,   • i J'n+n)-
(15)
Формулы (15) имеют тот же вид, что и формулы (14).
Поэтому далее мы будем считать, что система (14) пред-
ставляет собой полную систему формул (включающую
286
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
формулы (15)) с, релятивизированным знаком равенства,
определяющую квазимногообразие Я.
Пусть теперь заданы произвольная совокупность
порождающих символов z, (I Е 7) и произвольная сово-
купность (а квазиатомариых формул от переменных гг.
Подставив в послеквапторную часть формулы (14) вме-
сто переменных х{, . .	произвольные термы
ht (zlt . . zs), . . /г„к (z1? . . zs), получим формулу,
которую сокращенно запишем в виде
Рол (/ (h (z))) & ... & PaiJa (f (h (z))) -» Pa0 (f (h (z))). (16)
Обозначим через £ совокупность всех формул (16),
которые указанным способом можно получить из фор-
мул (14).
Далее строим последовательность @0 s	.
.. . S <Sn Е • • - совокупностей квазиатомариых формул от
гг. По определению полагаем @0-=<а, и пусть для некото-
рого натурального п 0 совокупность (ап известна. Ищем
в совокупности £ такие формулы (16), у которых все
подформулы Pat (j (h (z))) (Z — 1, . . ., pa), входящие
в посылку, содержатся в <ап. Правые части Ра0 (j (h (z)))
всех этих формул являются формальными следствиями
формул из и формул (14). Присоединяя эти правые
части к совокупности <Sn, получим по определению сово-
купность @n+i-
Обозначим через объединение совокупностей (£п
и покажем, что является множеством всех квазиато-
марных формул от переменных z;, являющихся в клас-
се Я формальными следствиями совокупности
Действительно, из процесса построения совокупно-
стей gn видно, что все формулы из являются в клас-
се Я следствиями из Поэтому надо лишь показать, что
квазиатомарные формулы, не входящие в (£ш, не являются
следствиями совокупности (S в классе Я. Иными словами,
надо построить систему ?1, определяемую в классе Я
порождающими символами z; и формулами из и пока-
зать, что все квазиатомарные формулы, истинные в ?!
при каноническом отображении zt -> аг («г Е И, i £ Г),
содержатся в (5Ю.
1]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
287
Обозначим через В совокупность всех термов сигна-
туры Q от переменных z;. На совокупности В определяем
свободные термальные операции (п. 6.1) и полагаем отно-
шение Р (Д, . .	/Л) (Р С ft, •  •, fk € В) истинным,
если формула Р {ft,  • -, fk) содержится в В резуль-
тате получается алгебраическая система 55 = (В, Q).
Элементы f,g£B называем эквивалентными, если сово-
купность содержит формулу f = g. Так как при
построении совокупности были учтены формулы (15),
то отношение s является конгруенцией на системе 55
и мы можем образовать фактор-систему $&/==.
Канонический эпиморфизм о: 53	55/ == дает отобра-
жение о: z, -> z-L- (t £ /), при котором все формулы из
истинны, а квазиатомарные формулы от гг (i 6 I),
не входящие в ложны в 55/==. Остается лишь прове-
рить, что 55/== £ Я, т. е. что в 55/ = истинны все квази-
тождества (14) (с абсолютным знаком равенства).
Допустим, напротив, что в 55/= какое-нибудь нз ква-
зитождеств (14) ложно, т. е. что в 55/ = существуют эле-
менты hi~~, . . ., /гп = (/гг, . . hn С В), для которых
формулы
Pat{f{h~)) (7=1, ...,па)	(17)
истинны в 53/=, а формула Ра0 {f (h=)) ложна. Но истин-
ность в системе 55/= формул (17) равносильна истинно-
сти формул
Pal{f{h)) (7=1, .... И<х)	(18)
в системе 55, а истинность формул (18) в S3 по определе-
нию означает, что они принадлежат совокупности So)
и, следовательно, принадлежат для подходящего
натурального п. В силу формулы (16) отсюда вытекает,
что формула Ра0 {f (/г)) принадлежит @n+i и потому истин-
па в 55/=, в противоречие со сделанным допущением.
Итак, совокупность (2Л) есть совокупность всех квази-
атомарных формул от переменных гг, вытекающих в клас-
се Я из совокупности В частности, согласно исходным
определениям, это означает, что система 53/= является
системой, определяемой в классе Я порождающими сим-
волами гг и определяющими формулами <Е>. Изложенный
процесс построения 55/= часто называется стандартным
288
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
1Гл. V
процессом построения алгебраической- системы по ее поро-
ждающим элементам и определяющим формулам.
Отметим, что решенная нами задача о нахождении
процесса построения формул квазиатомарного вида, выте-
кающих из заданных квазитождеств и квазиатомарных
формул, является частным случаем задачи о построении
всех тождественно истинных формул языка 1-й ступени,
решаемой с помощью алгоритма Гильберта. Однако бла-
годаря тому, что пас здесь интересовали лишь формулы
очень специального вида, найденный процесс оказался
много более простым, чем общий алгоритм Гильберта.
В заключение рассмотрим несколько примеров факти-
ческого построения алгебраических систем по их опреде-
ляющим формулам.
а) Пусть класс Я есть квазимпогообразие частично
упорядоченных множеств, определяемое квазитождест-
вами
х < х, :с у &у <; х -> ./• — у, х -СУ&У z-xc < z. (19)
Сигнатура этого класса не содержит функциональных
символов и квазиатомарные формулы могут иметь лишь
вид z; zj или z, Zj. Поэтому, чтобы задать частично
упорядоченное множество определяющими соотношениями,
надо задать совокупность определяющих символов z,
(i £ /) и совокупность формул (S вида
zt = zj, z/( < zi (i, j, k, 1 E /)•	(20)
Имея совокупность (20), далее применяем процессы С)
и В), указанные выше. А именно, если в (20) есть равен-
ства, то выделяем их систему, имеющую вид
Zi^zh	к^12, /1ПГ2--- 0).
Все символы z; (i £ Ц) исключаем из списка порождаю-
щих, а во всех формулах (20) заменяем каждое z, на соот-
ветствующее zh.
Смотрим, есть ли в новой совокупности (20) пары
формул вида Zi Zj, zj^zi или z; zj, Zj^zk. Если
есть, то к совокупности (20) добавляем формулы zt — Zj
или Zi <1 Zk и применяем снова процесс исключения.
Чтобы нормализовать эти процессы исключения,
можно, например, совокупность индексов / вполне упоря-
§ И]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
289
дочить и исключать символы с большими индексами.
Совокупность всех оставшихся символов и совокупность
всех полученных формул вида zt Zj, связывающих
оставшиеся символы, н будут определять искомую модель.
б) Пусть класс £ имеет сигнатуру, состоящую из пре-
дикатного символа
символа ', и пусть £ оп-
ределяется аксиомами
(19) и дополнительным
квазитождеством
X' < х. (21)
Рассмотрим систему
SI, определяемую в £
порождающими симво-
лами а, b и определяю-
щими формулами
«<’)	(c(/i+1) --
i-1, 2, ...). (22)
Легко видеть, что все
одноместного функционального
Рис. 1.
соотношения системы,
изображенной на левой
диаграмме (рис. 1), вы-
текают из формул (22)
п что в этой системе квазитождества (19), (21)
Поэтому указанная система определяется в £
ми (22).
истинны,
формула-
Аналогичным образом убеждаемся, что изображенная
на рис. 1 правая система определяется г, классе £ фор-
мулами
(г-=1,..., и)
Отсюда видно, что система -21, определяемая беско-
нечной системой формул (22), пе может быть определена
в £ никакой конечной совокупностью квазиатомарных
формул.
11.3. Реплики. Пусть Я — произвольный класс алгеб-
раических систем сигнатуры О п ?! — какая-нибудь
система сигнатуры Q, не обязательно принадлежащая
классу Я. Гомоморфизм а системы £( на некоторую
19 А. И. Мальцев
290
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
Я-систему 3lt будем называть ^-морфизмом, если для
каждого гомоморфизма у системы 31 в произвольную
Я-систему 6 существует такой гомоморфизм £ (рис. 1)
системы 31 j на систему С, что у =
Каждый Я-морфный образ системы 31
называется репликой 31 в классе Я
(Я-репликой) и обозначается 31g.
Из этого определения вытекает,
что тождественное отображение каждой
Я-системы на себя есть Я-морфизм,
и потому каждая Я-система является
своей собственной репликой в Я.
Отметим еще несколько прямых
следствий определения реплики.
1. Пусть Я — какой-либо класс систем
Р: 25 -> 25g — Sc-морфизмы некоторых
2Z
(S
Рис. 1.
Рис. 2.
Теорема
и а: 31	31g,
систем на их St-реплики. Если существует эпиморфизм
ср: 31 —> 95, то существует и эпиморфизм 31 g	25 g,
удовлетворяющий условию =
--=срР (рис. 2).
13 самом деле, рассматривая
эпиморфизм срР: 31	25g п заме-
чая, что эпиморфизм а является
Я-морфизмом, заключаем, что тре-
буемый эпиморфизм £ существует.
Из теоремы 1 вытекает важное
Следствие 2. St-реплики
изоморфных систем изоморфны.
Действительно, пусть ср —
изоморфизм системы 31 на систе-
му 25 и а: 31—>31$, Р: 25—» 25g—какие-то Я-мор-
физмы. Тогда, согласно теореме 1, найдутся эпимор-
физмы	31g —» 25g и тр 25 g—>3Ig, удовлетворяющие соот-
ношениям
сД = срР, pi] — ср 1а.
Отсюда следует, что
а£т) = а, Рн& = Р>
S 11]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
291
т. е. являются тождественными отображениями 21$
и соответственно па себя. Таким образом, гомомор-
физмы £, г] взаимно обратны и g — искомый изоморфизм
21$ на £5$. Второе утверждение следствия 2 доказывается
аналогично.
Итак, если некоторая алгебраическая система 21 имеет
реплику в каком-то классе Я, то эта реплика определена
с точностью до изоморфизма однозначно.
Фиксируя 21 и меняя класс Я, мы будем менять, вооб-
ще говоря, и реплику 21$. При этом выполняется следую-
щий «закон ассоциативности».
Теорема 3. Если 21$ — реплика системы Й в клас-
се Я и (21$) <> — реплика системы 21$ в подклассе 2 «= Я,
то система (21$)^ есть реплика 21 в классе 2.
Доказательство очевидно.
Из определения реплик видно, что Я реплика системы
21 — это в известном смысле «наибольший» из гомоморф-
ных образов системы 21, лежащих в классе Я. Может слу-
читься, что в каком-то классе Я заданная система и не
будет иметь реплики. Например, может оказаться, что
в классе Я' вообще нет систем, являющихся гомоморф-
ными образами заданной системы. Достаточные условия
существования реплик можно непосредственно вывести
из результатов предыдущего раздела, если воспользо-
ваться следующей связью между репликами и совокуп-
ностями определяющих формул.
Л е м м а 4. Пусть заданы класс Я алгебраических
систем сигнатуры Q и какая-нибудь система 21 этой же
сигнатуры. Каждому элементу а б 21 ставим в соответст-
вие символ za и обозначаем через Da (21) совокупность всех
тех атомарных формул сигнатуры Q от переменных za,
которые истинны в 21 при отображении za a (/),, (21) —
итомариая диаграмма системы 21). Если порождающие
символы za и совокупность формул Du (21) определяют
в классе Я некоторую систему §5, то 25 является ^-репли-
кой системы 21.
Пусть z„ —> ba— каноническое отображение порождаю-
щих символов в систему 25. Рассмотрим отображение а:
ч - h„ системы 21 в систему 25. Если для некоторых
</., . .	а,„ из 21 Р («!, . . ., «.,„) -- И (Р б И), то
19*
292
КВАЗПМНОГООБРАЗИЯ
1Гл. V
формула Р (zai, . . zo ) принадлежит 1)а (21) и потому
Р (bai, . . ban) = И. Это показывает, что отображение
а является гомоморфизмом. Так как при нем образ 21
в 95 содержит элементы Ьа, порождающие систему S3, то а
есть гомоморфизм 21 на 95.
Предположим теперь, что нам задан какой-то гомо-
морфизм у: а с„ системы 21 в некоторую St-систему (S.
Покажем, что отношение £, состоящее пз всевозможных
пар вида (Ьа, са), является гомоморфизмом 95 в <5.
Пусть bn = Ьаг для некоторых а, аг £ 21. Тогда фор-
мула za zG1 должна быть следствием в классе St сово-
купности определяющих формул Da (21). Но все формулы
из Da (21) истинны в (5 при отображении za -> са, так
как отображение у: а -> сп есть гомоморфизм. Поэтому
формула zn = zltl также должна быть истинной в 6, т. е.
ся = с(11. Тем самым показано, что отображение Е, одно-
значно. Аналогичным путем доказывается, что есть
гомоморфизм ® н 6.
Ясно, что гомоморфизм Н удовлетворяет соотношению
-у = а£, и потому а есть St-морфизм 21 на 95.
Т е о j) е м а 5. того чтобы в классе St алгебраи-
ческих систем сигнатуры Q любая система 21 этой
сигнатуры имела ^-реплику, необходимо и достаточно,
чтобы класс St был наследственным, мультипликативно
замкнутым и содержал единичную систему.
Достаточность вытекает из теоремы 4 п. 11.2
и леммы 4. Поэтому надо доказать лишь необходи-
мость условий. Итак, пусть в классе St' любая систе-
ма 21 сигнатуры Q имеет реплику. Берем в качестве 21
единичную систему 21Р. St-реплика 21е должна быть гомо-
морфным образом 21е. Но гомоморфными образами единич-
ной системы являются лини, единичные системы, и потому
2ie е st.
Докажем наследственность St. Пусть 95 — некоторая
подсистема St-системы 2( и а: 95 -> 95$ — соответствующий
St-морфпзм. Тогда для тождественного вложения е:
95 —21 должен существовать гомоморфизм 95$->21,
удовлетворяющий условию е --- at. Так как а есть эпи-
морфизм и е — тождественное отображение 95 на себя, то
из е = следует, что отображения а, £ взаимно обратны.
§ 11]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
293
и потому система изоморфна системе принадлежа-
щей классу Я.
Остается доказать мультипликативную замкнутость
класса Я. Пусть
?1 -ГГЛ1 GGO, (SfiESt).
Рассмотрим Я-морфизм
а: ?!—>?($
и проектирования
лг:	(iQJ).
Так как	то существуют гомоморфизмы
Ь: 91$->Иг	(ИЛ),	(1)
удовлетворяющие соотношениям
лг = а&.	(2)
Согласно основному свойству декартовых произведений
(и. 2.5) для системы гомоморфизмов (1) существует гомо-
морфизм В:	удовлетворяющий требованиям
(3)
Пз (2), (3) вытекает зт, =~и^л,-, т. е. для любого ж из ?1
жзтг -=х. (а|) л; («£/)
и потому X х («£)•
Итак, отображение а есть эпиморфизм, аН — тож-
дественное отображение. Отсюда следует, что £ -- а-1,
а изоморфизм системы VI на систему 91$, принадле-
жащую классу Я ио определению.
Класс Я сигнатуры Q называется реплично полным,
если в нем каждая алгебраическая система сигнатуры Q
имеет реплику.
л е д с т в ие 6. Для того чтобы в классе Я произ-
чч.п.ныс порождающие символы zt (г g Г) и произвольная
спиикцпиость квазиатомариых формул от этих символов
ии/н iii-.uijiu соответствующую ^.-систему, необходимо
и ihxiiitiiiio'iiio, чтобы класс Я был реплично полным.
294
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
Достаточность вытекает из теоремы 5 и теоремы 4
и. 11.2, а необходимость следует из теоремы 5 и леммы 4.
Следствие 7. Для того чтобы аксиоматизируе-
мый класс Я алгебраических систем был реплично полным,
необходимо и достаточно, чтобы Я был квазимногообразием.
Б самом деле, каждое квазимногообразие заведомо
наследственно, мультипликативно замкнуто и содержит
единичную систему. Обратно, если класс ft обладает
этими тремя свойствами и вдобавок аксиоматизируем, то
в силу теоремы 2 и. 11.1 ft есть квазимногообразие.
Для произвольного класса ft нетрудно построить
в явном виде минимальный, содержащий ft, реплично
полный класс 7?й, называемый репличным замыканием
класса ft.
Напомним, что для произвольного класса ft символом
[] Я обозначается класс всех изоморфных копий декартовых
произведений ft-систем, а 5ft означает класс всех под-
систем ft-систем. Обозначим еще через fte класс, получае-
мый присоединением к ft единичной системы.
Т е. о р е м а <8. Для произвольного класса алгебраиче-
ских систем ft класс Z?ft’ <S' ]|fte является минимальным
реплично полным классом, содержащим в себе класс Я.
Минимальность класса S Яе очевидна, так как реп-
лично полный класс содержит единичную систему, декар-
товы произведения и подсистемы своих систем. Поэтому
надо доказать лишь, что класс S | j ftc реплично полон.
Этот класс заведомо содержит единичную систему. Если
?! — подсистема произведения [] (a G Л 6 &),
то каждая ее подсистема является подсистемой того же
произведения. Поэтому класс S [] fte наследственный.
Наконец, пусть задана какая-то последовательность
{91 = \ i б 1} систем из S [[ Йе. По условию
(35^ft\; Ki(]Kj= 0,
По в этом случае, согласно п. 2.5, существует вло-
жение
II Яг'ЛПЖЫМ (VGU^).
i X
из которого следует, что f[
S 11]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
295
Отметим важный случай, когда класс Я состоит лишь
из одной (с точностью до изоморфизма) системы §1.
Согласно теореме 8 наименьший реплично полный класс,
содержащий систему ?[, состоит из единичной системы
и изоморфных копий подсистем декартовых степеней сис-
темы ?1.
Укажем следующий простой пример реплично пол-
ного класса, не являющегося квазимногообразием. Пусть
есть класс всех групп для которых пересечение
р последовательных коммутантов @(°) з @(D э
э ... (@<0> = ®, @<n И) = (@(«))') есть единич-
ная группа. Класс является, очевидно, наследствен-
ным, мультипликативно замкнутым и содержит единич-
ную группу. Следовательно, класс Ф'(Л — реплнчно-иол-
ный. В то же время этот класс не является локально
замкнутым. В самом деле, как установили Адо [1]
и Ш м и д т [781, существуют локально разрешимые
группы, совпадающие со своим коммутантом. Поэтому
класс включая в себя все разрешимые группы, не
содержит всех локально разрешимых групп.
Возникает вопрос, для каких же классов Я минималь-
ный реплично полный класс S ] [ Яе есть квазимногообра-
зие? Полезным частичным решением этого вопроса является
Следствие 9. Если класс Я алгебраических
систем аксиоматизируем, то класс S [J Яе — ква-
зимногообразие.
Ясно, что. присоединяя единичную систему к аксио-
матизируемому классу Я, мы получим снова аксиома-
тизируемый класс Яс- Согласно следствию 5 и. 8.3 из
аксиоматизируемости класса Яе вытекает универсальная
аксиоматизируемость класса 5|[Я₽*). Применяя теперь
следствие 7, получаем, что S [JЯ'е есть квазимногообразие.
Например, класс (?[) изоморфных копий конечной
алгебраической системы ?1 аксиоматизируем. Ввиду следст-
вия 9 отсюда вытекает, что минимальный реплично полный
класс S П(§1)е в этом случае является квазимногообразием.
*) Достаточно проверить, что любое ультрапропзведение
11 4<в-спстем изоморфно вложимо в подходящую [ [ ^(.-систе-
му. —Прим. ред.
296
КВАЗПМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
Выше отмечалось, что если эпиморфизм а: 91 -> 55
является й-морфизмом для какого-то класса систем й,
то а является S-морфизмом для любого меньшего класса
S, содержащего систему 55. Обратное в общем случае
неверно. Поэтому представляет интерес следующее пред-
ложение, указывающее условия, при которых обращение
остается справ едл ив ым.
Теорема 10. Если эпиморфизм a:	55 является
Q-морфизмом для некоторого класса S, то а остается
^-морфизмом и для репличного замыкания й “ «S' [J Se
класса S.
Пусть задан гомоморфизм у: $—>(£, причем
0 |К-	(Й;Р5).
i=I
Рассмотрим
проектирование
гомоморфизм
Еб
гомомо рфпзмы ул ,:
С на ‘dj. 'Гак как
?1—»©г, где лг —
то найдется
yn,-==agf
(КГ).
(4)
По основном у свойству декартовых произведений для
гомоморфизмов (1) найдется гомоморфизм т): 85 -> удов-
летворяющий условиям £; -= (Z 6 I), которые, ввиду
соотношений (4), дают
ул; Г/Л]л < (i е /),
т. е. у f/.i].
Мы показали, что а есть | {S-морфизм. Аналогично
пусть задан гомоморфизм у: ?! С (С £ «S'[[£<=). Тогда
(S изоморфна подсистеме системы 94 g П Se и у можно
рассматривать как гомоморфизм в Ц£е-систему 311.
Согласно доказанному а есть [[ £е-морфизм. Поэтому най-
дется гомоморфизм Т> -> 3JC удовлетворяющий требо-
ванию у = аВ, т. е. а является и S [[ £е-морфизмом.
Реплики в квазимногообразиях алгебр допускают
более конкретное описание. Здесь мы ограничимся сле-
дующим замечанием.
Пусть й - некоторое квазимпогообразие алгебр фик-
сированной сигнатуры Q и 91 — какая-то алгебра ука-
занной сигнатуры, С точностью до изоморфизма все гомо-
§ И]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
297
морфные образы 91 исчерпываются фактор-алгебрами вида
91/0, где 0 — конгруенция на 91. Обозначим через S сово-
купность тех конгруенций 6, для которых 91/0 g ft, и пусть
б0: 91 -»91/0 (ОСS)	(5)
— канонический гомоморфизм 91 на 91/0. Гомоморфизмы (5)
порождают гомоморфизм
б: 91-»П?1/0 (ОС S'),	(6)
ядро которого есть конгруенция х, равная пересечению
всех конгруенции 0 С S. Так как сомножители 91/0 в про
изведеяпп (6) принадлежат квазимиогообразию ft, то б
есть гомоморфизм 91 на алгебру 9I6, снова принадлежа-
щую ft. Отсюда следует, что 91/х изоморфна 91е С ft,
и потому 9(/х С ft- Таким образом, средн, всех конгруенций
на 91, фактор алгебры по которым принадлежат квази-
многообразию ft, имеется наименьшая конгруенция х.
Покажем, что 91 'х есть ft реплика 91, а канонический
гомоморфизм б.х: 9( -> 91/х есть ft-морфизм. Рассмотрим
какой-нибудь гомоморфизм у. 9( S алгебры 91 па
произвольную ft-алгебру (S. Этот гомоморфизм порождает
изоморфизм <р: 91/ст—>6. где о — ядерная конгруенция
у. Из 6 С ft следует 91/о С ft, и потому х о. Обозна-
чая через р канонический гомоморфизм 9Пх на 91 /ст, будем
иметь у = бк (р<р), что и требовалось.
Указанная наименьшая конгруенция х называется
^.-конгруенцией па 9(. Опа зависит от выбора квазимного-
образия ft. Например, если алгебра 91 простая и 91 С ft,
то конгруенция х единичная. Если же 91 С ft, то кон-
груенция х нулевая.
Конгруенция х на алгебре 9Г называется квазивербалъ-
iioii, если существует квазимпогообразие ft, для которого
каноническое отображение 91 -> 91/х является ft-морфиз-
мом. Конгруенция х называется вербальной, если суще-
ствует многообразие ft, обладающее указанными свой-
ствами. Этим же путем определяются понятия квазивер-
бальпой и вербальной фактор-спстемы произвольной
системы.
Укажем несколько примеров ft-конгруенций. Пусть
ft' квазимпогообразие полугрупп с. сокращением. Согласно
сказанному па любой полугруппе 91 существует наимень-
298
КВАЗПМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
шая конгруенция х, для которой 21/х есть полугруппа
с со кр ащением.
В и. 8.3 было доказано, что класс полугрупп, вложи-
мых в группы, является квазимпогообразием. Поэтому
на каждой полугруппе ?! существует наименьшая кон-
груенция, фактор-полугруппа по которой- вложима
в группу.
Явные конструкции й-конгруенций часто встречаются
в теории групп. Например, если Й — многообразие абеле-
вых групп, то й-репликой неабелевой группы является
ее фактор-группа по коммутанту. Взяв в качестве Й
класс всех метабеленых групп, легко убедиться, что Й-
ренликой произвольной группы будет фактор-группа
2Г/913 (по второму члену нижней центральной цепи груп-
пы §1).
Некоторые дополнительные свойства вербальных кон-
груенций будут указаны ниже в и. 14.2.
С понятием й-конгруенции тесно связано пока мало
исследованное понятие достижимости класса (Т а м у -
р а [61]). Пусть задано квазимногообразие й сигнатуры
Q и какая-нибудь алгебра 1>1 этой же сигнатуры. Алгебра
?! называется ^-неразложимой (Й-indecomosable), если
й-конгруенция х на ?! единичная.
Допустим, что Й-конгруенция х не единичная. Тогда
алгебра ?! распадается па смежные х-классы, некоторые
из которых могут оказаться подалгебрами алгебры ?1.
Если все эти подалгебры й-неразложимы, то класс
й называется достижимым на ?1, а алгебра ?! —
^-достижимой. Класс алгебр £ называется ^-достижи-
мым, если он состоит лишь из Й-достижимых алгебр.
Если класс £ й-достижим, то квазпмногообразие й
называется также достижимым на классе £.
Т а м у р а [61] показал, что единственным нетри-
виальным многообразием полугрупп, достижимым на
всех полугруппах, является многообразие коммутатив-
ных идемпотентных полугрупп, описываемое тождест-
вами
x-yz = xy-z, х2 = ж, ху = ух.
Им же показано, что не существует нетривиального
многообразия групп, достижимого на всех группах.
§ 12]
СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ
299
Это же справедливо и для абелевых групп. Вопрос о на-
хождении многообразий группоидов, колец и решеток,
достижимых на классах всех группоидов, всех колец
или решеток, остался в указанной работе Тамура откры-
тым. Открытым остался и вопрос о многообразиях и ква-
зимногообразиях полугрупп с несколькими выделенными
элементами, достижимых на классе всех таких полу-
групп *).
Примеры п дополнения
1. Квазипримитивпое и репличное замыкания любого аксио-
матизируемого класса алгебраических систем совпадают.
V 2. Пусть полугруппа ® задана конечной или счетпой сово-
купностью порождающих .-2, • • • и некоторой совокупностью S
определяющих соотношений. Подставляя в соотношения пз G вме-
сто символов Zj слова
=	(/- = I. 2,...),	(1)
получим множество определяющих соотношений для некоторой
полугруппы 6]0 с порождающими at, а2. Формулы (1) определяют
изоморфное вложение полугруппы (У в полугруппу (Чс и алх х
для всех х из (Чо- (X о л л [70], см. также Мальцев [41].)
§ 12. Свободные системы и композиции
Свободные композиции (произведения) и свободные
системы играют видную роль в теории классов систем.
В этом параграфе излагаются лишь определения и общие
свойства свободных систем и свободных композиций.
12.1. Свободные композиции. Пусть заданы некото-
рый класс Я алгебраических систем сигнатуры Q и после-
довательность НЕТ) каких-то систем этой сигнатуры,
не обязательно принадлежащих классу $t. Система ?[
сигнатуры С называется свободной композицией систем
ЭД, в классе Я (или их ^-композицией), если она удовле-
творяет следующим условиям:
1) ?! € St;
2) существует такая система гомоморфизмов
аг:	(ig/),
*) Одно условие достижимости многообразий и квазимпого-
образпй произвольных алгебраических систем указано А. И. М а ль-
де в ы м [43].— Прим. ред.
300
КВЛЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
ЧТО
2а) совокупность (J 91"’ образов систем 91, в системе 91
порождает 91;
26) для каждой совокупности гомоморфизмов
Тг: 9Ь->6
систем 91, в произвольную Я-систему ® существует гомо-
морфизм	91 —> ®, удовлетворяющий равенствам
= (?’€/)
Утверждение, что 91 есть Я-композиция систем 91;
записывают символически в виде
91=Ц*91г	(/£/).	(1)
В простейшем случае, когда / = {0,1, ...,п— 1),
9IO-=S3, 9Д=®, ..., 91 „.j ““Э, вместо (1) обычно пишут
91 = 95*®* ... *®,	(2)
я se s
причем в записях (1). (2) знаки Я опускают, если класс
Я заранее как-то фиксирован. Если все системы 91г сов-
падают с системой 95, то композицию (1) называют Я-
свободной I й степенью системы S3 и вместо (1) пишут
91 = S3*' (Я).
Системы 91, в Я-композиции (1) называются ее свобод-
ными множителями, а гомоморфизмы называются ком-
позиционными или каноническими гомоморфизмами сво-
бодных сомножителей в их Я-композицию.
Допустим, что / состоит лишь из одного элемента s.
Сравнивая определение Я-композицин П*^ (*€{«})
с определением Я-репликп 9(s (п. 11.3), видим, что |[ * 91 ,•
(z = s) является просто репликой 9IS в классе Я.
Поэтому на понятие Я-композиции можно смотреть как
на обобщение понятия Я-реплики. Подобно тому как
Я-реплнкп задаются совокупностью определяющих соот-
ношений, Я-композпция (1) также может быть задана
естественными определяющими соотношениями, и это зада-
ние сделает очевидным ряд свойств свободных компо-
зиций.
§ 121	СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ 11 КОМПОЗИЦИИ 301
Каждому элементу a £ 21 г ставим в соответствие осо-
бый символ z‘a и обозначаем 401)03 Da (21 г) атомарную диа-
грамму системы 21 i, записанную в символах z„, т. е. сово-
купность тех формул вида
Р(^,	...,zj)	(Р, F£Q),
которые истинны в 21 г при отображении za - > а. Заметим,
что благодаря наличию верхних индексов у символов
гга диаграммы сомножителей 21г, 21; при i- ~/ j будут
состоять из разных формул даже в том случае, когда
211 = 21;.
Теорема 1. Система 21, заданная в классе st по-
рождающими символами za (i £ I, а С 21;) и определяющими
соотношениями ijF)o (21;) (i g/), является свободной
композицией систем 2l; (i £ J) в классе it. При этом кано-
ническое отображение д: zla -ж 21 порождающих символов
в систему 21 индуцирует композиционные гомоморфизмы
аг: а za4' систем 21, е их композицию 21.
Для доказательства достаточно сравнить определения
свободной St-композиции систем 21; и системы, заданной
в классе SI порождающими символами zu и определяю-
щими соотношениями (J/?n (21,).
Эти же соображения показывают, что на самом деле
истинно и следующее утверждение, несколько более
общее, чем теорема 1.
Т е о р е м а 1а. Пусть в классе St системы 21, (i £ I)
задаются попарно непересекающимися совокупностями Z,
порождающих символов и какими-то совокупностями Тt
определяющих соотношений. Тогда система 21, заданная
в классе St объединенной совокупностью (JZ,- порождаю-
щих символов и объединенной совокупностью J Т, опреде-
ляющих соотношений, является свободной композицией
систем 21, в классе St.
Из теоремы 1 получаем
Следствие 2. Пусть заданы ^-композиции
2l=jJ*21;	(i€Z),	® Ц*®;	(/£/),
соответственные композиционные гомоморф) измы
ау. 21г-^21, 0;: S3;-»®,
302
КВАЗИМНОГООВРАЗИЯ
[Гл. V
взаимно однозначное отображение ср множества I на
множество J и гомоморфизмы
Ул-	(HI)
множителей первой композиции в соответственные мно-
жители второй. Тогда существует гомоморфизм £ систе-
мы §1 в систему удовлетворяющий соотношениям
«i£ = XfPfq> (HI)-
При этом если y*t— гомоморфизмы 2[, на то
£— гомоморфизм 31 на 55; если X;— изоморфизмы 2(.на 55/(р,
то £— изоморфизм 21 на 55.
Согласно теореме 1 система 21 задается в классе ft
порождающими символами z’ (<Н21/, HI) н определяю-
щими соотношениями (J Ля(21;). Так как отображения у,,
Ру — гомоморфизмы, то формулы из Da (21 г) истинны в 55
при значениях z’—>яхгр/ф («£21/). определения опре-
деляющих соотношений следует, что сущесгвует гомомор-
физм 21 - -> 55, для которого aa;g — «XiPiti т. е. «;£ =
= - XiP/ф. Сели гомоморфизмы Xi являются эпиморфизмами,
то 21 £ содержит все системы 55j[jj. Системы 55,(3^ в сово-
купности порождают 55 и потому 215 — 55. Если эпимор-
физмы Хг являются изоморфизмами, то можно поменять
ролями 21 п 55 и получить обратный эпиморфизм
Г1: 55—>21.
Из приведенных ниже примеров будет видно, что
в отличие от декартовых и фильтрованных произведений
здесь уже нельзя утверждать, что если являются изо-
морфизмами 21 г внутрь 55Н{1, то £ будет также изоморфиз-
мом 21 внутрь 55.
Т е о р е м а 3 (а с с о ц и а т и в н о с т ь сво-
бодных к о м п о з и ц и й). Пусть заданы некоторый
класс ft алгебраических систем сигнатуры Q и последова-
тельность {21г | i С 1} систем сигнатуры С. Разобьем 1
на произвольные попарно не пересекающиеся непустые
подмножества (р С Л/). Тогда
Ib2(i^ [J *( 11 *2Ii).
»GI	B6.W icl..
И
S 12]
СВОБОДНЫЕ]. СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ
303
В самом деле, пусть
=	« =	(BGM)
и
Рщ:	(и4)- Р/-	(пел/)
— соответствующие композиционные гомоморфизмы. Пока-
жем, что 55 является St-композицией систем 21, (г СI)
С КОМПОЗИЦИОННЫМИ гомоморфизмами —PipPp,: 21; —>53.
Пусть заданы произвольные гомоморфизмы уд 21,—-» й
в произвольную St-систему СС Так как 55ц. есть St-компо-
зиция систем 21, (i^/ц), то найдется гомоморфизм
ё/	(ни/),
удовлетворяющий соотношению
т.- = рщ^ (И 4).	(3)
Так как 53 есть St-композиция систем 55|t (р С М), то
найдется гомоморфизм S3 —>• Й, для которого
р/ё (нС/И).	(4)
Из (3), (4) получаем равенства
т, = МЛ GC4),
показывающие, что 55 есть Si-композиция систем
21, (i £ I). Согласно следствию 2 St-композиции определя-
ются однозначно с точностью до изоморфизма.
Напомним, что класс St сигнатуры й называется
реплично полным, если каждая система 21 сигнатуры Q
имеет в St определенную реплику 21g. Выше указывалось,
что понятие Sl-композицпи является расширением понятия
реплики. Простейшие связи между обоими понятиями
указывает
Т е о р е м а 4. Пусть St —реплично полный класс
сигнатуры Q. Тогда для любой последовательности
{21г | I б /} систем сигнатуры Q
1Ь21^1Ь(«;)й	(*€')	(5)
St st
и для любого реплично полного подкласса SJ <= St
[Ь21г^(1Ь2(;)й.	(6)
С	St
304
КВАЗПМПОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
Докажем первое утверждение. Пусть
GE/)
$г
и
Ри
xz:
— соответствующие композиционные гомоморфизмы
и репличные St-морфпзмы. Покажем, что 25 есть ^-компо-
зиция систем 1’1 i (i £ /), отвечающая композиционным
гомоморфизмам
аг = мгрг: 2(г->25.
Прежде всего, ясно, что совокупности Й?'— (21,)й
порождают 25. Далее, пусть заданы гомоморфизмы
уд s2li—>(S
в какую-то St-систему VS. По основному свойству St-реплик
отсюда вытекает существование гомоморфизмов t,-: (3?1г)^ —>
—> 6, удовлетворяющих условиям
yt <ii-	(7)
Так как система 25 есть St-композиция систем (<1г)$,
то найдется гомоморфизм 25 —> (5 такой, что —Рг£.
Сравнивая эти равенства с равенствами (7), получаем
соотношения
(»€/),
показывающие, что 25 является St-композпцпей систем ?[г.
Второе утверждение теоремы доказывается аналогич-
но. St-комнозпцию можно рассматривать как операцию,
которую можно выполнять вад любой совокупностью
спетом сигнатуры й. Если системы рассматривать лишь
с точностью до изоморфизма, т. е. вместо систем рассма-
тривать их изоклассы (и. 2.2), то доказанные выше тео-
ремы показывают, что операция St-композиции будет
однозначной, коммутативной и ассоциативной. Напри-
мер, если обозначить через £7*’1 совокупность изоклассов
систем конечной сигнатуры й, мощность которых не пре-
S 12]
СВОБОДНЬПч.СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ
305
восходит бесконечного кардинального числа ш, то отно-
сительно операции Я-композиции пар систем совокуп-
ность U™ будет просто коммутативной полугруппой
<£/”*, *>-
Формально операция Я-композиции определена для
любых систем сигнатуры £2, в том числе и для систем, не
принадлежащих классу Я. Однако изоморфизм (5) пока-
зывает, что результат композиции зависит не от самих
множителей 21,, а только от их Я-ренлик, и потому все
сводится к Я-композициям Я-систем.
Композиционные гомоморфизмы а4: 21 г -> ?! отобра-
жают сомножители 21, на какие-то подсистемы 21,1 ком-
позиции 21. Спрашивается, при каких условиях гомо-
морфизм будет изоморфизмом? Ясно, что для этого
необходимо, чтобы 21, принадлежала 5 Я. Однако на при-
мерах легко убедиться, что для ряда важных классов
систем композиционные гомоморфизмы могут не быть
изоморфизмами даже и в тех случаях, когда все сомно-
жители принадлежат классу Я.
Тем не менее из следующих ниже замечании видно,
что при достаточно естественных условиях композицион-
ные гомоморфизмы оказываются изоморфизмами.
Говорят, что системы 21 < (i Е /) совместно еложимы
в некоторую Я-систему, если для подходящей Я-системы
21 существует совокупность изоморфизмов
аг:	21г->21 (i Е/)•
Будем говорить, что Я-композиция совокупности
систем 21 i (i Е /) инъективна, если все композиционные
гомоморфизмы ее суть изоморфизмы.
Из этих определений непосредственно вытекает
Следствие 5. ^-композиция совокупности систем
21 г (i Е I) тогда и только тогда инъективна, когда системы
21 i (i Е /) совместно еложимы в подходящую ^-систему.
Из локальной теоремы (и. 8.3) следует, что если
любая пара систем какого-нибудь аксиоматизируемого
класса Я совместно вложима в подходящую Я-систему,
то любая совокупность Я-систем совместно вложима
в подходящую Я-систему. Так как произвольное квази-
многообразие Я и класс всех его неединичных систем
20 а. И. Мальцев
306	КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ	(Гл. V
являются аксиоматизируемыми классами, то из следст-
вия 5 вытекает
Теорема 6. Если любая пара систем (неединич-
ных систем) квазимногообразия Я совместно вложима
в соответствующую ^-систему, то ^.-композиция произ-
вольной совокупности ^-систем (неединичных ^.-систем)
ииъективна.
Наряду с этими общими замечаниями отметим и сле-
дующие более конкретные признаки инъективности ком-
позиций.
Теорема 7. Если сомножитель 21 s ^.-компози-
ции 21 =	* 21, (г g I) принадлежит Я и каждый из
остальных сомножителей 2(; может быть гомоморфно
отображен в 2ls, то композиционный гомоморфизм as:
21 s —21 является изоморфизмом.
Присоединяя к тождественному отображению
2ls-> 2ls
(существующие по предположению) гомоморфизмы
Уб 2IS
и замечая, что 2ls £ Я, видим, что существует гомоморфизм
g: 21 -> 2ls, Для которого ys = txs£. Так как здесь ys —
тождественное отображение, то as— изоморфизм 2IS на
21 gOCg.
В частности, условия теоремы 5 заведомо выполняются,
если все сомножители равны одной и той же Я-системе.
Таким образом, композиционные гомоморфизмы любой
^.-степени произвольной ^-системы являются изоморфиз-
мами.
Другой важный частный случай представляют классы
Я, в которых любая система содержит единичную под-
систему. В таких классах любая система допускает го-
моморфное отображение в любую другую систему (на ее
единичную подсистему), и условия теоремы 5 оказываются
выполненными в композициях любых Я-систем. При-
мерами таких классов могут служить классы групп, луп,
колец и т. п.
Алгебраическая система 21 называется ^-свободным
произведением своих подсистем 21, (i £ 7), если 21 есть
Я-композиция последовательности 21, (i £ I), для которой
I 121	СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ II КОМПОЗИЦИИ 3Q7
тождественные отображения ЭДг —>• ЭД служат компози-
ционными гомоморфизмами. Иначе говоря, система ЭД
есть St-свободное произведение своих подсистем ЭДг
(/ G I), если выполнены три условия: 1) ЭД g St, 2) эле-
менты всех подсистем ЭД, в совокупности порождают
ЭД; 3) если для каждого i 6 I задан произвольный гомо-
морфизм ор подсистемы ЭДг в какую-нибудь St-систему (£,
то вся совокупность гомоморфизмов аг может быть сов-
местно продолжена до подходящего гомоморфизма ЭД в (S.
Пусть задан реплично полный класс Si и последова-
тельность Sl-систем | i £ /}. Спрашивается, сущест-
вует ли система ЭД, являющаяся St-свободным произведе-
нием последовательности {ЭДг | i £ 1} своих подсистем,
соответственно изоморфных заданным системам Тео-
рема 7 дает положительный ответ на этот вопрос в слу-
чае, когда любая из заданных систем может быть гомо-
морфно отображена в любую другую систему.
Отметим также, что из теоремы 3 непосредственно
вытекает
Следствие 8. Пусть St —реплично полный
класс, система ЭД — ^.-свободное произведение своих под-
систем ЭДг (i 6.1), I =	(р- € М) — разбиение I на
нспсресекающиеся подсовокупности и	— подсистема,
порожденная в 31 элементами систем ЭД, (i С /^). Тогда
ЭД есть ^-свободное произведение подсистем. (р 6 М).
При более детальном изучении свободных произведе-
ний, естественно, возникает вопрос: если ЭД есть Я-сво-
бодное произведение своих подсистем ЭД, (i G I), то каковы
пересечения ЭД,ПЭДу (i /)? Ввиду следствия 8 можно
ограничиться случаем двух сомножителей.
Теорема 9. Если система 21 есть ^-свободное
произведение своих подсистем ЭД,, ЭД2, то для любого гомо-
морфизма а: ЭД) -> ЭД2 имеем ЭД; П?(2 S ЭД“.
Гомоморфизм а: ЭД, —ЭД2 и тождественное отображе-
ние |3: ЭД2->- ЭД2 можно рассматривать как гомоморфизмы
свободных множителей в Я'-алгебру ЭД. Согласно опре-
делению свободного произведения указанные гомо-
морфизмы можно продолжить до гомоморфизма £:
ЭД • >- ЭД2. Так как ЭД, Г|ЭД2 S ЭД3 и § --= р на ЭД2, то
(ЭД । П ЭД,)^ = ЭД, П ЭД2. С другой стороны, (ЭД1('|ЭД2)6 =
(ЭД, ЛЭД2)" S ЭД,, поэтому ЭД, Г|ЭД2 S ЭД{*.
20*
308
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
Например, если 21 s	(£, Ф = 2l*S и пересе-
чение 21П содержит единичную подсистему, то оно
совпадает с этой подсистемой. В частности, в классе лун,
групп и т. п. каждая система содержит единственную
единичную подсистему. Поэтому в свободном произведе-
нии луп или групп любая пара свободных сомножителей
пересекается лишь по единичной подалгебре.
Посмотрим, что представляют собой свободные произ-
ведения в классе полугрупп. Пусть 2[1( 212— какие-
нибудь полугруппы без общих элементов. Элементы
обеих полугрупп будем рассматривать как символы неко-
торого алфавита — 2liU2l2. Обозначим через 21 сово-
купность тех непустых слов в алфавите Ji, никакие два
соседних символа которых не принадлежат одной и той
же из заданных полугрупп. Введем в 21 операцию умно-
жения, полагая по определению для любых слов cfc2 . . .
. . . ст и drd2 . . . dn из 21
(cj . . . cm)- (dj . . . dn) = Cf ... cmdi ... dn, (8)
если cm, dt принадлежат различным полугруппам, и пола-
гая
(с( . . . cm)-(dt . . . dn) = Ci ... (cmdt) . . . dn, (9)
если cm, di £ 21,, причем {cmdt) означает здесь тот элемент
полугруппы 21,, который получается в результате пере-
множения ст и di внутри 21 г.
Легко проверяется, что полученный таким образом
группоид 21 ассоциативен. Он содержит в себе элементы
полугрупп 211, 212 (в качестве слов длины 1), и закон
умножения элементов этих полугрупп (9) в полугруппе 21
совпадает с законами перемножения их в полугруппах
211, 212. Следовательно, 21t и 212— подполугруппы полу-
группы 21.
В силу (8) каждое слово из 21 является произведением
своих букв, т. е. каждый элемент из 21 есть произведение
соответствующих элементов подполугрупп 21 ь 212. Та-
ким образом, 21 порождается подполугруппами 21ь 212.
Чтобы показать, что 21 есть свободное произведение
своих подполугрупп 2li, 212, остается лишь проверить
условие продолжаемости гомоморфизмов. Пусть «р
21tа2: 212@ — гомоморфизмы в какую-нибудь
I 12]
СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ
309
полугруппу Каждому слову а =	. ст £ Я
ставим в соответствие его значение
||a|| = cPic₽2...
где Р; = а1 для	и рг = а2 Для с{СЯ2. Из (8), (9)
непосредственно видно, что
|| а-Ь || = || а ||-|| Ь ||	(а, НЯ),
причем
а€Яг->||(г|| = а“‘	(£ = 1,2).
Следовательно, отображение а —> || а || является иско-
мым гомоморфизмом Я в @, продолжающим гомоморфиз-
мы а, и а2.
Например, рассмотрим строение свободной компози-
ции (в классе У всех полугрупп) двух единичных полу-
групп. Пусть а — единственный элемент полугруппы Я,
b — единственный элемент полугруппы S3 и а Ъ. Со-
гласно вышеизложенному в качестве ^-свободного произ-
ведения’ Я и S3 можно взять полугруппу £, состоящую из
слов а, b, ab, ba, aba, . . ., перемножающихся по зако-
нам (8), (9):
aba-ab — аЪаЪ,
ab-aba — ababa, . . .
Приведем пример квазимногообразия S, в котором
композиционные гомоморфизмы свободных композиций
У-систем могут не быть изоморфизмами.
Обозначим через S квазимпогообразие полугрупп,
удовлетворяющих квазитождеству
z3 = х у3 = у.	(10)
Пусть Я — бесконечная циклическая полугруппа, со-
стоящая из элементов а, а2, а3, .. ., и S3 — циклическая
полугруппа' 2-го порядка, образованная элементами Ь.
№ (b3 = Ь). Обе эти полугруппы принадлежат классу 2,
та к как оба" элемента из 53 удовлетворяют соотношению
у3 -= у, а в Я истинно неравенство х3 х. Обозначим
через С S-свободную композицию Я * S3, и пусть а:
Я-> р: S5 —> С — соответствующие композиционные
310
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
гомоморфизмы. Из Ъ3 = Ъ следует (Ь|3)3 = Ь|3, и потому
в силу (10) в <5 справедливо тождество у3 = у. В частно-
сти, (аа)3 = аа. Это и показывает, что а не является изо-
морфизмом, так как в ЭД а3 а.
Из описанной выше конструкции свободных компози-
ций в классе всех полугрупп видно, что свободные компо-
зиции в этом классе обладают следующими свойствами
«правильности»:
а)	композиционные гомоморфизмы свободных компози-
ций ^-систем являются изоморфизмами (инъектив-
ность композиций);
б)	если система ЭД есть ^-свободное произведение своих
подсистем ЭД{ (££/), то система 55 s ЭД, порожденная
в ЭД произвольными подсистемами 55г соответственных
свободных сомножителей ЭДг (i е I), является ^-свобод-
ным произведением подсистем 55; (наследствен-
ность композиций).
Помимо класса всех полугрупп, свойствами а), б) обла-
дают также классы всех групп, всех абелевых групп,
ассоциативных колец, неассоциатпвных колец, колец Ли
и многие другие. Однако столь же часто встречаются
и классы, в которых свойство а) истинно, а свойство б)
ложно. Более того, среди всех до сих пор изученных
многообразий групп свойством б) оказались обладающими
лпшь многообразие всех групп и многообразия абелевых
групп. Существуют ли какие-нибудь другие многообра-
зия групп со свойством б) — пока открытый вопрос.
Рассмотрим следующий популярный пример. Напом-
ним, что группа называется метабелевой, если в ней
истинно тождество
x~1y~1xy-z zx~1y~1xy.	(11)
Покажем, что многообразие метабелевых групп свой-
ством б) заведомо не обладает.
Выведем сначала одну серию тождеств, истинных
в классе метабелевых групп. Пусть @ — какая-нибудь
метабелева группа и w-’ir’wr --- w, где и, v g Согласно
соотношению (11)
u.w = wu, vw — wv.	(12)
Возводя обе части равенства v~luv = uw в произвольную
степень х = 0, ± 1, + 2,  . . и принимая во внимание
S 12]
СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ
311
(12), получим v~xuxv — uxwx, uxvirx — vwx. Возводя
обе части последнего равенства в произвольную степень
у, получим uxvvu~x = vvwxy и, следовательно,
uxvv = vvuxwxy (т, у = 0, ± 1, ± 2, . . .).	(13)
Обозначим теперь через К метабелево свободное произ-
ведение циклических групп ЭД, Ж какого-нибудь простого
порядка р. Пусть а, b — порождающие элементы групп
ЭД, 95 и а^Ъ^аЬ — с С б. Согласно (13) a~lbpa = b''cp,
т. е. cv = 1. Из (13) следует также, что для любых целых
чисел х, у, z, xt, ух, zlt принадлежащих множеству
{О, 1, . . ., р — 1), имеют место соотношения
ахЬусг • ax^byiczi = ах + x'b'J+,ncz+zi~xw,	1	.. ..
J______ 1	(14)
(aT/'c'’)'1 = a-xb-vc~z-xy =. av-xbp~yc -z-xy, J
где черта сверху означает остаток от деления соответ-
ствующего числа на р. Соотношения (14) показывают, что
элементы вида
g = axb”cz (х, у, z = 0, 1, . . ., р - 1)	(15)
образуют подгруппу в б. Так как эта подгруппа содер-
жит элементы а, Ъ, порождающие б, то указанная под-
группа совпадает с б и, следовательно, каждый элемент
б допускает запись вида (15). Мы хотим показать, что
эта запись однозначная.
Обозначим через ,£> совокупность всех троек (х, у, z)
чисел 0, 1, . . ., р — 1 и, следуя формулам (14), введем
н $ операции умножения и обращения, полагая по опре-
делению
<х. у, z>.<x„ у„ =	„ Гй,. J+^>. 1 (16)
{х, у, z} 1—-(р—х, р- у, —z—xy). J
Легко проверить прямыми вычислениями, что совокуп-
ность относительно так определенных операций
является группой и притом метабол свой. Тройки вида
(.г. О, 0)и вида (0, х, 0) (х = 0,1. . . ., р — 1) образуют
соответственно циклические подгруппы Jpj, £>2 в .£?.
Гак как группа б, по предположению, является метабе-
лепо свободным произведением своих подгрупп ЭД, 95, то
42
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
изоморфизмы
а:
Р:
91 -> &
95->£2
(аха = (х, 0, 0)),
(Ьх|3 = <0, х, 0))
(17)
должны продолжаться до гомоморфизма
(16), (17) следует, что
б -> Из
^ = («-^6)5 =
= <— 1, 0, 0)(0, — 1, 0) <1, 0, 0)<0, 1, 0> = <0, 0, 1),
и потому
(axbvcz)t, — (x, у, z) (х, у, z = 0, 1, ..р — 1).
Различные тройки (х, у, z} (х, у, z = 0, 1, . . р — 1)
по определению являются различными элементами груп-
пы .<5. Поэтому и произведения вида (15), имеющие раз-
личные наборы показателей х, у, z, имеют различные
значения в б.
Возьмем теперь метабелсво свободное произведение ®
той же циклической группы 91 мощности р и циклической
группы 95, мощности р2. Обозначим через d порождающий
элемент группы 95,. Элемент Ь* = dp порождает в S3, цик-
лическую подгруппу
грт....d'p~"p, 1}
мощности р, изоморфную рассмотренной вьппе группе
95. В то же время подгруппа б*, порожденная в Ф элемен-
тами подгрупп 91, 95*, не изоморфна группе б п, следова-
тельно. не есть метабелево свободное произведение 91 и 95*.
В самом деле, так как в б a~1b~1ab = с 1, то б
не коммутативна. С другой стороны, полагая в группе ®
a~id~1ad = h, будем иметь d''1avd — aphp, откуда hp — 1.
Из Формулы a^dPa = (Fh~p получаем a~1dpa = dp, т. е.
dva = ad? и <№ = d™ax (х. у = 0, 1, . . р — 1).
Следовательно, подгруппа б* коммутативна и потому
не изоморфна некоммутативной группе б.
12.2. Независимые элементы и свободные системы.
Пусть заданы алгебраическая система 9Г и какой-нибудь
класс систем Я некоторой фиксированной сигнатуры О.
Непустая совокупность каких-то элементов из 9Г пазы-
I 121
СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ
313
плотен независимой в Я относительно класса Я (Я-незави-
симой), если произвольное отображение S в любую Я-
спстему 5DI может быть продолжено до гомоморфизма
S в где S — подсистема, порожденная элементами
.9 в Я.
Совокупность 5 называется просто независимой в Я,
если она независима относительно класса Я, состоящего
из одной системы Я (ср. М а р п е в с к и й 144]).
В этих определениях не исключено, что S состоит
только из одного элемента. Поэтому имеет смысл гово-
рить о независимости (или самоиезависимости) того или
иного элемента системы ЭД.
Так как в определении Я-пезависимости играет роль
не сама система ЭД, а лишь подсистема S, то Я-независи-
мость совокупности S в системе ЭД равносильна Я-незави-
симости S в любой подсистеме системы И, содержащей
S. Ясно также, что из Я-независимости S вытекает Я-
независимость любой подсовокупности совокупности S.
Наименование «Я-пезависимые элементы» оправды-
вается следующим их свойством.
Теорема 1. Если попарно различные элементы
аЛ, . . ., ап системы ЭД ^-независимы и в ЭД удовлетво-
ряют какому-нибудь квазиатомарному соотношению
Р (ft (at, . . ., ап)..../, (ал........ап)) = И, (4)
где Р £ {Q, =}, a f; (а;,, . . .. хО — некоторые термы
сигнатуры Q, не обязательно содержащие все переменные
,т<, . . ., .т„, то в классе Я истинно тождество
(V.r, . .. ,тп) Р (ft (.г,..г„), ..., fs (г,, ..., ®п)). (2)
Обратно, пусть для некоторой совокупности S элемен-
тов системы ?! из истинности квазиатомарного соотно-
шения вида (1) для каких-то попарно различных элемен-
тов а,, . . ., а„ б S "вытекает истинность в классе Я
тождества (2). Тогда совокупность 8 ^-независима.
Пусть at, . . ., а„ — различные Я-независимые эле-
менты, 5, = {о,, . . ., л,,} и с(, . . ., с7,— какие-нибудь
\пс обязательно различные) элементы произвольной
314
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл.У
St-системы 6. По условию отображение
a: Ui—> Ci (i = 1, ..., п)
можно продолжить до гомоморфизма у: St —> (S. Но тогда
из соотношения (1) будет вытекать
И = Р (fl («П’> • • • > «пт), ...,fs («17,  • -, апу)) =
= Р (fl (С1, • • •, СП), . . . , /8(СЬ ... с„)).
Обратно, пусть из любого соотношения вида (1) для
произвольных попарно различных элементов at, . . ап
какой-то совокупности S элементов §{ следует тожде-
ство (2) в классе ft. Берем какое-нибудь отображение а
совокупности S в произвольную ft-систему 6. Нам надо
продолжить а до гомоморфизма S в 6. Каждый элемент
а £ S можно представить в виде
а = / («j, ..., ап) (aifS, ay, j, i,	ri),
где f (xt, . . xn) — некоторый терм сигнатуры й. Вво-
дим отображение
fp: f (<ti, .. ., a„) —»/(oja, .. ., a„a).
Надо проверить, что отображение ср однозначно и что
оно является гомоморфизмом S в G, т. е. что из истинно-
сти соотношения вида (1) вытекает истинность соотношения
Р (ft (Hjtx, ..., апа), fs (ata, ..., апа)). (3)
Но это очевидно, так как соотношение (3) получается
иэ тождества (2) при отображении —>• ata (i — 1, . . .
. . ., ri).
Следствие 2. Если каждое конечное подмноже-
ство бесконечного множества S элементов системы
является ^-независимым, то множество S также ^-неза-
висимо.
Действительно, каждое квазиатомарное соотношение
вида (1) между элементами множества 5 содержит фак-
тически лишь конечное подмножество элементов S и,
в силу ft-независимости последнего, в классе ft истинно
тождество (2).
Из определения ft-независимости непосредственно
видно, что ft-независимая совокупность элементов
S 12]
СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ
315
является независимой и относительно любого подкласса
8 ЕЙ. Однако совокупность элементов, независимая
относительно подкласса S, может оказаться зависимой
относительно более широкого класса К. Чтобы убедиться
в этом, достаточно заметить, что, например, относительно
класса, состоящего лишь из единичной системы, все
элементы произвольной системы независимы. Тем не
менее нижеследующая теорема указывает важный слу-
чай, когда из независимости относительно одного класса
вытекает независимость относительно более широкого
класса.
Напомним, что для совершенно произвольного класса
£ символами S£, fj £, 7Z£ обозначаются соответственно
классы всех подсистем £-спстем, изоморфных копий де-
картовых произведений 8-систем и гомоморфных обра-
зов £-систем.
Теорема 3. Если- совокупность S элементов си-
стемы 91 независима относительно какого-нибудь класса
Я, то S независима и относительно класса HS ] | Я.
Для доказательства достаточно сослаться на теорему 1.
Действительно, пусть некоторые элементы alt . . ., ап
совокупности S удовлетворяют соотношению (1). Тогда,
по предположению, в классе Я будет истинно тождество
(2). Из истинности тождества в классе Я вытекает истин-
ность его в любых декартовых произведениях Я-систем,
т. е. вытекает истинность его в классе ]{Я. Из истинно-
сти тождества в ЦЯ-системе следует истинность его в лю-
бой подсистеме этой системы, т. е. истинность в классе
5 ] [ Я. Наконец, из истинности тождества в какой-нибудь
5 [J Я-системе следует истинность его и в любом гомоморф-
ном образе этой системы, т. е. указанное тождество истин-
но и в классе HS J [ Я. Согласно обратному утверждению
теоремы 1 это показывает, что совокупность S независима
относительно класса HS {[ Я.
Алгебраическая система 91 называется свободной отно-
сительно класса Я, если в 91 существует совокупность S
элементов, независимая относительно Я и порождающая
систему 91. Совокупность S, обладающая этими свойст-
вами, называется ^-свободным базисом системы 91.
316
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
Система ЭД называется свободной системой ранга nt
в классе Я (символически Я = ?ут (Я)), если ЭД б Я
и в ЭД существует Я-свободный базис мощности nt. Нако-
нец, ЭД называется свободной в себе системой ранга tn, если
ЭД является свободной системой ранга ш в классе {ЭД},
состоящем лишь из самой системы ЭД.
Из установленных выше свойств Я-неэависимых сово-
купностей элементов непосредственно вытекают следую-
щие свойства свободных систем:
а)	Каждая ft-независимая совокупность S элементов
системы ЭД порождает подсистему S, свободную относи-
тельно класса Я. Совокупность S является ^-свободным
базисом системы S.
б)	Алгебраическая система ЭД, свободная относительно
класса Я, является свободной относительно любого под-
класса S <= Я и относительно надкласса HS [J Я.
Столь же очевидна и
Теорема 4. Если в классе Я существуют свободные
системы данного ранга nt, то все они изоморфны между
собой и любая, ^-система, обладающая порождающей сово-
купностью мощности nt, является гомоморфным образом
свободной системы ранга, ш в Я.
В частности, если в Я существуют свободные системы
произвольного ранга, то каждая Я-система ЭД есть гомо-
морфный образ свободной в Я системы ранга |ЭД|.
В самом деле, пусть ЭД, S3 — свободные системы ранга
ш в Я и 5. Т — их свободные базисы мощности nt. Так
как мощности S тл Т одинаковы, то существует взаимно
однозначное отображение а: £ Т. По условию это
отображение продолжаемо до гомоморфизма ср: ЭД -> S3.
Поскольку ЭДч1 содержит совокупность 7, порождающую
S3, то ср есть эпиморфизм. Аналогичным образом обратное
отображение а-1: Т S продолжаемо до эпиморфизма
ф: S3 —>• ЭД. Гомоморфизм срф: ЭД ЭД оставляет неподвиж-
ными элементы совокупности S, порождающей ЭД. Поэтому
срф является тождественным отображением и, следова-
тельно, ф = ср-1.
"Пусть теперь G — произвольная Я-система, порож-
дающаяся совокупностью элементов U, причем | U |
| 5 |. Берем произвольное отображение а совокупности
§ 12]
СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ
317
5 на U. По условию а может быть продолжено до гомо-
морфизма ср: 21 ->• Ш. Так как 21ф содержит совокупность
U, порождающую систему (S, то ср есть гомоморфизм 21
на систему С.
Выше отмечено, что в каждом классе свободные си-
стемы определяются своим рангом однозначно с точно-
стью до изоморфизма. Спрашивается, могут ли быть
изоморфными свободные системы различных рангов? Пе-
ред тем, как ответить на этот вопрос, сделаем несколько
предварительных замечаний.
Классы систем, состоящие лишь из одноэлементных
систем, условимся называть тривиальными. В тривиаль-
ных классах могут существовать лишь свободные системы
ранга 1. При этом система '21 будет свободной, если в ней
каждая формула вида
Р (а, а) (Р £ QP, a £ §1)
истинна только тогда, когда опа истинна в каждой системе
класса.
Порождающая совокупность элементов какой-то си-
стемы 21 называется минимальной, если никакая ее истин-
ная подсовокупность не порождает 21. Из определения
свободных базисов непосредственно вытекает
Следствие 5. Каждый свободный базис свободной
системы 21 = Э1П(Н) в некотором классе Я является
минимальной порождающей совокупностью в 21.
Допустим, напротив, что какая-то истинная часть
8\ базиса S порождает 21. Тогда для каждого элемента
а £ должно существовать представление вида
а = / («1, • • ап),	(4)
где / (хь . . ., хп) — некоторый терм сигнатуры^ S2 и
йр . . ., ап— различные элементы из 5р Согласно тео-
реме 1 из (4) вытекает, что в классе Я истинно тождество
х = / (хь . . ., хп).
Так как 21 £ Я, то это тождество истинно и в 21. Полагая
в нем Xi = йр . . ., хп = ап, х — а, йр получим а — аи
что невозможно.
Заметим, что если в какой-то системе 21 существует
бесконечная минимальная порождающая совокупность,
318
КВАЗИМНОГООВРАЗИЯ
[Гл. V
то все минимальные порождающие совокупности системы
ЭД имеют одну и ту же мощность *). С другой стороны,
если система ЭД имеет минимальную порождающую сово-
купность мощности ш, то каждая изоморфная ей система
также имеет минимальную порождающую совокупность
мощности ш. Сравнивая эти утверждения со следствием
5, приходим к выводу, что справедлива
Теорема 6 (Ф у д з и в а р а [67]). Если в каком-
нибудь классе St свободные системы §т, различных
рангов tn, и изоморфны, то ш и и конечны.
Итак, дело сводится к проблеме изоморфизма свобод-
ных систем конечных рангов. Решение ее дает
Теорема 7 (С в е р ч к о в с к и й [591). Для
того чтобы в каком-то классе St сигнатуры Q свободные
системы $т, Дп конечных различных рангов т, п были
изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы в St выполня-
лась совокупность тождеств вида
fi (gl (*!> • •  >	 •  ,gm (Xi, , Xn)) = Xi (l = l, . . ., П), (5)
gj (fi (Xi, .... Xm), ..., fn (a-j, ..., xm))=Xj (j=l, ..., m), (6)
где fi (.Tj, . . ., r/n),	g7- (xlt ..., .r„) - подходящие термы
сигнатуры Q.
11 co б ход им ость. Пусть Йт = Йп. Тогда в
будут существовать свободные базисы V = {kj, ..., рга},
РР = {?/?!, ..., wn}, содержащие соответственно т и п эле-
ментов. Поскольку V и W порождают %т, то должны
существовать представления вида
«Г = ft (щ, •.., vm) (i = 1, ..., n),
Vj=gj(Wi, . .., wn) (j = l,...,m),
*) Действительно, пусть система 51 обладает бесконечной
минимальной порождающей совокупностью <$’ и — произволь-
ная минимальная порождающая совокупность системы 51. Каждый
элемент а £ S представим в виде а = / («!, . . . , с„), где / —
терм от основных операций системы 5( и at, . . . , ап — различ-
ные элементы пз «Si- Фиксируем одну такую запись для каждого
а £ S. Совокупность тех элементов из «S^ которые встречаются
в этих записях для всех а б «?, порождает систему 51 и поэтому
совпадает с Таким образом, | <S’i | к0| «У |. Поскольку мощ-
ность |>У| бесконечна, то х0|«У|=|«У| (см. п. 2.6). Получаем
I ^11 <9 «S I- Так как совокупность «У! не может быть конечной,
то также | S | -<| <$’,| и поэтому | <$71 =| S |.— Прим. ред.
§ 12)	СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ 319
где fi, gj — подходящие термы сигнатуры Q. Отсюда под-
становками получаем соотношения
.... u?n)....,шп)) = шг (i = l, ...,n), (7)
gj(fi(Vi, .... vm), ..., fn(Vi, vm)) = Vj (7=1, ...,m). (8)
Так как совокупности V, W являются ^’-независимыми,
то в силу теоремы 1 иэ (7) и (8) получаем тождества (5), (6).
Достаточность. Пусть Т = {щ, ..., vm}— свобод-
ный базис в gro. Полагаем
iVi = fi(Vi,	(i = 1, ..., и).	(9)
В силу тождеств (6)
Vj^gjiWi, .. ,,Wn) (j = l,...,m).
Поэтому совокупность W = {Wi, ..., wn) порождает
систему Допустим, что между элементами этой сово-
купности существует какое-нибудь соотношение вида
Р (Й! (уц, ..., wn), ..., hs (wit . . ., Wn)) = И (P E = }).
Подставляя сюда вместо элементов wlt ..., wn их выра-
жения из (9), получим
Р	...» I’m), • • fn(Vl, • • •, Vm)), ...) = И.
Так как элементы , vm ^-независимы, то в
истинно тождество
Р (^1 (/1 (У1, • • •, !/т), • • -, fn (Vi, • • •, Ут)), ...)=И.
Полагая здесь yj = gj(xi,...,xn) (j — l,...,m)
и пользуясь тождествами (5), получаем тождество
Р (hi (хь .... хп), ...,hs (xt, хп)) = И,
показывающее, что совокупность W Н-независима.
Итак, система %т имеет свободные базисы мощностей
т, п и потому
Тождества (5), (6) но называют, что в каждой системе
21, в которой они справедливы, отображение
(Xi, . . ., Хт) —> (fi (Xi, . . ., Хт), • • •, fn • • •> ^т))
совокупности всех m-ок элементов 21 на совокупность
всех n-ок этих элементов является взаимно однозначным.
320
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
Ll'jl. V
Однако если мощность 21 конечна и равна d, то число
m-ок равно d"‘, а число n-ок равно d'1. При d>2, т п
получаем dm dn. Таким образом, тождества (5), (С) не
могут быть истинными в конечной системе, имеющей более
одного элемента, и потому из теоремы 7 получается
Следствие 8 (Фудзивара 1671, Йоне-
соц — Тарский 116J). Если класс ft содержит
конечную систему, имеющую более одного элемента, то все
свободные системы различных рангов в ft не изоморфны.
Выше при доказательстве теоремы 4 были, в сущно-
сти, повторены рассуждения из п. 11.2, при помощи кото-
рых там была установлена единственность систем, задан-
ных своими определяющими соотношениями. Сравнивая
друг с другом определение свободной системы ранга ш
в классе ft и определение системы, заданной в классе ft
определяющими соотношениями, непосредственно убеж-
даемся, что справедлива следующая
Те о р е м а 9. Если в классе ft существует свобод-
ная истема ранга ш, то эта система может быть задана
в ftc множеством мощности ш порождающих символов
и пустым множеством определяющих соотношений.
Обратно, если класс ft нетривиален, то система 21, задан-
ная в этом классе множеством Z мощности ш порождающих
символов Z, и пустой совокупностью определяющих соот-
ношений, является свободной системой ранга ш в ft.
В проверке нуждается лишь второе утверждение.
Рассмотрим каноническое отображение a: Z-r'A. Из
основного определения п. 11.2 следует, что совокупность
элементов zfa порождает систему 21 и является ft-незави-
симой. Надо лишь убедиться, что мощность совокупно-
сти элементов zta равна ш, т. е. что zta zpj. при i j.
Но если бы оказалось, что i #= / и zta = Zfx, то ввиду
независимости элементов zytx, zfc в классе ft было бы
истинно тождество х = у, и класс ft был бы тривиален.
Из теоремы 9 и соответствующих теорем ип. 11.2
и 11.3 непосредственно получается
Следствие 10. В каждом реплично полном
нетривиальном классе ft существуют свободные системы
любого наперед заданного ранга ш 1. Свободная си-
стема ранга ш в любом подклассе Ц класса ft является
репликой свободной системы того же ранга ш в классе ft.
§ 12]
СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ
321
Свободная система в классе всех систем дайной сигна-
туры S2 называется абсолютно свободной. Из следствия
10 получаем, что свободная система ранга ш в произволь-
ном классе St является St-репликой абсолютно свободной
системы ранга ш.
В и. 12.1 было показано, что если системы Sip. (р. £ М)
заданы в классе St попарно непересекающимнся совокуп-
ностями Zp. порождающих символов и соответствующими
совокупностями 2'р, определяющих соотношений, то си-
стема SI, заданная в St объединенной совокупностью (JZU
порождающих символов и объединенной совокупностью
[J Zp. определяющих соотношений, является St-свободной
композицией систем Sip,. Беря в качестве пустые сово-
купности и применяя теорему 9, получаем
Следствие 11. Свободная система ранга ш
в классе St изоморфна St-свободной т-й степени свободной
системы ранга 1.
Из п. 12.1 получаем, в частности, что свободная
(в классе всех полугрупп) полугруппа со свободным бази-
сом {z£ | i £ 1} является полугруппой непустых слов,
записываемых без скобок в алфавите {гг | i £ I}, относи-
тельно операции композиции слов. Аналогично свобод-
ная группа (в классе всех групп) со свободным базисом
{хг | i С 1} состоит из слов в алфавите {z£, z?1 | г £ I},
в которых не встречаются рядом «взаимно обратные» сим-
волы zb zi1 и которые перемножаются по правилу ком-
позиции слов с последующим последовательным вычер-
киванием оказавшихся рядом взаимно обратных симво-
лов (см., например, К у р о ш [26]).
В силу следствия 11 для любых кардинальных чисел
щ, и имеет место изоморфизм
й’ш * 6’п — гУш+п’
и поэтому совокупность всех свободных систем конечного
ранга является циклической полугруппой относительно
операции свободной композиции при условии, что изоморф-
ные системы считаются равными. Порождающим элемен-
том этой полугруппы служит свободная система ранга 1.
В п. 3.1 было доказано, что циклическая полугруппа
либо бесконечна, и тогда все степени ее порождающего
элемента различны, либо же эта полугруппа конечна,
21 А. И. Мальцев
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
и тогда существуют натуральные числа к, I (1 к < I),
обладающие следующим свойством: положительные сте-
пени ит, и п(т < п) порождающего элемента и этой полу-
группы тогда и только тогда равны, когда
к <5 т, п — т = г (I — к).	(10)
Следовательно, для любого класса St, обладающего
свободными системами, либо все свободные системы раз-
личных конечных рангов не изоморфны, либо существуют
такие натуральные числа к, I (1 к < Z), что свободные
системы §m, g'n конечных рангов т, п (т < и) тогда
и только тогда изоморфны, когда выполнены условия (10).
Согласно следствию 8 первый случай реализуется, напри-
мер, в классах всех групп, всех полугрупп и в других
классах. Остается показать, что второй случай для произ-
вольной пары чисел к, I (1 к <С Z) также реализуется
в подходящем классе.
Теорема 12 (С в е р ч к о в с к и й [59] *)).
В многообразии Qk,i (1	< Z), сигнатура которого
состоит из функциональных символов Fit Gj (i = 1, . . .
. . ., I; j = 1, . . ., к), соответственно к-местных и I-
местных, и которое определяется тождествами
Ft (Gi (xlt .xt), .. .,Gh (х±.xt)) = xt	(i = 1, ..., I),
(Л (жн • • • > xk),  - ,Ft («b ..., xk)) = Xj	(7 = 1,..., к),
свободные алгебры конечных рангов образуют относительно
операции свободной композиции циклическую полугруппу
с парой показателей (к, Z).
Из теоремы 7 следует, что в многообразии &k,i сво-
бодные алгебры рангов к и Z заведомо изоморфны. Остается
показать, что из	(i < Z) следует i — к. Для
этого требуется более детальное изучение строения сво-
бодных алгебр в классе г. По этой причине доказатель-
ство теоремы 12 опускается.
12.3. Амальгамированные композиции. Фиксируем ка-
кой-нибудь класс К алгебраических систем сигнатуры Q,
и пусть S2I, 35 — произвольные St-системы, имеющие непу-
*) Изоморфизм свободных алгебр конечного ранга в многооб-
разии @1,2 впервые был замечен Йонссоном и Тарским
[16].— Прим. ред.
« 1И1
СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ
323
каком-то смысле
Рис. 1.
с тую общую часть (рис. 1). Спрашивается, существует
.ин и ft система .<£, в которой 21 и 55 являются подсисте-
мами? Если такие системы .'у существуют, то нельзя ли
какими-нибудь дополнительными условиями общего вида
выделить среди этих систем особенную, в
самую свободную? Ответ на эти воп-
росы дает описываемая ниже кон-
струкция, известная под названием
свободной композиции с амальгами-
рованными подсистемами. Предвари-
тельно лишь заметим, что для воз-
можности положительного ответа на
первый из поставленных выше вопро-
сов необходимо, очевидно, чтобы
общая часть заданных систем 2(, 55
была подсистемой каждой из них.
Это и будет ниже предполагаться.
К’роме того, вместо двух систем
будет рассматриваться произвольная совокупность систем,
по для краткости будет предполагаться, что пересечение
любой пары из заданных систем одно и то же.
Итак, пусть заданы последовательность 21 г (г g I)
некоторых систем сигнатуры О и произвольный класс ft
систем этой сигнатуры. Пусть, далее, в каждой системе
211 выделена подсистема (5;. Предположим, что зти под-
системы изоморфны и изоморфизмы между ними jt ->
► (S j фиксированы и подчинены условиям согласованности
=	=	(i, ]', к£Г) (1)
(i'.j— тождественное отображение (£г на себя). Изомор-
физмы уи отождествляют подсистемы ®г (i £ /), позволяя
рассматривать их как одну и ту же подсистему (S, содержа-
щуюся в каждой из заданных систем 21ц Для общности
мы не будем исключать случая, когда 6 или некоторые
на заданных систем 2(г пустые. Отождествленные подси-
стемы (£г обычно называют амальгамированными.
Говорят, что ft-система есть ^.-композиция систем
211 с амальгамированиями (1) подсистем (5г, если суще-
ствуют также гомоморфизмы
аг:	(»€/),
которые удовлетворяют требованиям:
21*
324
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
а)	гомоморфизмы at согласованы с амальгамирова-
ниями, т. е. yifitj — егаг (г, j £ I);
б)	порождается своими подсистемами
в)	для произвольных гомоморфизмов сц: 2(г -> ЯЛ
в любую Я-систему ЯЛ, согласованных с амальгамирова-
ниями, существует гомоморфизм .у-> ЯЛ, удовлетво-
ряющий соотношениям — а(i £ /).
Если (S, — 0, то указанное определение переходит
в определение Я-композицпи систем без амальгамирова-
ний. Гомоморфизмы ссг называются композиционными
гомоморфизмами «сомножителей» 21 г в их амальгамиро-
ванную Я-композицию £».
Говорят, что система 21 является ^-произведением
(или ^-свободным произведением) своих подсистем 2(г
над (амальгамированной) подсистемой 6 ^Q2lf, если
21 есть Я-свободная композиция систем 21 £ с тождествен-
ными отображениями (5 пай в качестве амальгамирований
и тождественными вложениями 21, в 21 в качестве ком-
позиционных гомоморфизмов.
Из этих определений непосредственно вытекает
Следствие 1. Каждая система являющаяся
^-композицией систем б I) с амальгамированиями
(1) и композиционными гомоморфизмами <хг: 2(г —>
является в то же время ^-произведением своих подсистем
2(гаг над амальгамированной подсистемой О;ссг.
Если система 21 есть ^-свободное произведение своих
подсистем 21 г (i g I) над амальгамированной подсистемой
С <= Г|2(г, то 2( есть ^-свободное произведение систем
211 над любой более широкой системой Эзб, содержа-
гцейся в пересечении всех систем 21 г.
Существование Я-композицпй с амальгамированиями
п их единственность вытекают из стандартного задания
этих композиций при помощи определяющих соотношений,
которое строится следующим путем. Рассмотрим какую-
нибудь последовательность систем 21t (i £ I) с амальга-
мированиями (1). Каждому элементу « g 2(; ставим
в соответствие особый символ za и обозначаем через
Da (21 г) атомарную диаграмму системы 21 г, записанную
в символах za. Обозначим через Av совокупность равенств
(г, jI),
§ 12]
СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ
325
описывающих амальгамирования подсистем 91,. Сравни-
вая определение амальгамированной композиции и опре-
деление системы с данными определяющими соотноше-
ниями, непосредственно видим, что
Система fj, определяемая в классе К совокупностью
порождающих символов zla(iQl, а 6?!;) и множеством
соотношений ЛтиРа (91;), совпадает с ^-композицией
систем 91; с амальгамированиями (1).
Отсюда следует, что в каждом реплично полном
классе Я существуют амальгамированные Я-компози-
ции произвольных систем и что еслп в каком-то классе
Я ^--композиция систем с заданными амальгамированиями
существует, го она определяется однозначно с точностью
до изоморфизмов, сохраняющих композициоппыс гомо-
морфизмы. Далее, как и в и. 12.1, легко получается, что
амальгамированные композиции ассоциативны при соот-
ветствующем определении понятия ассоциативности. Для
Я-произведсиий это означает, что если система 91 есть
Я-произведспне своих подсистем 91; (i £ I) над амальга-
мированной подсистемой © <= |~) 91; и I = (J/tl (р. £ М) —
какое-то разбиение совокупности I, то 91 есть Я-произве-
дение подсистем $8М над ©, где £% есть подсистема, порож-
денная в 91 подсистемами 91; (i С Л,), причем каждая под-
система 55,, сама является Я-произведением пад © своих
подсистем 91; (г £ 7ц).
В п. 12.1 Я-композиция каких-то систем 91 г была
названа инъективной, еслп все канонические гомоморфиз-
мы, принадлежащие этой композиции, являются изомор-
физмами, и потому Я-композиция систем 91; может быть
отождествлена с их Я-пропзведеннем. По аналогии мы
будем говорить, что Я-свободная композиция систем
91; (i С Г) с непустыми амальгамированиями уц‘. ©; -+
—> ©j инъективно, еслп все композиционные гомоморфизмы
а; являются изоморфизмами и 919'0 91“' = ©“' (i £ I).
Подсистема © системы 91 называется ретрактом 91,
если существует гомоморфизм 91 на ©, оставляющий не-
подвижными все элементы ©.
Теорема 2. Для того чтобы ^-свободная компо-
зиция S? ^.-систем 91, с амальгамированием о: © —> ® их
^-подсистем была инъективнойдостаточно, чтобы ©
была ретрактом 91 и ® — ретрактом.
326
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[ГЛ. V
Пусть а: ЭД —»	р: 95 —» й— соответствующие компо-
зиционные гомоморфизмы. Рассмотрим тождественный гомо-
морфизм е: 95 —-> 95 '"и ретрактирующий гомоморфизм
р: ЭД —> К. Согласно определению для гомоморфизмов
per: ЭД —» 95, е: 95 —> 95 должен найтись гомоморфизм
.<5 —> 95, удовлетворяющий условиям per = е = р£.
Так как <= ЭД“ Г) 95₽, то
Е р Sg₽)g Е ЭДа£ р «Вй = ® = gag.
Это показывает, что подмножества и ЭД“ Q 95₽ мно-
жества 95₽ при отображении 956 —> 95 имеют одинако-
вые образы. Так как последнее отображение взаимно одно-
значно, то Sa = ЭД“ П 95₽.
Рассмотрим так называемые абсолютные амальгамы,
т. е. амальгамированные’ композиции в классе всех
систем данной сигнатуры. Основной здесь является
Теорема 3. Для того чтобы система ЭД сигнатуры
Q была, абсолютно свободным произведением своих подси-
стем С 1} кад амальгамированной подсистемой
ПЭДь необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
одновременно следующие условия:
а)	пересечение любых 'двух 1 подсистем ЭДг, ЭД7- (г -/- j)
есть ©;
б)	ЭД порождается элементами подсистем ЭДг;
в)	если в ЭД имеет место соотношение вида
Ft (wt. wn) =	(Ft E Qf; wt, .... wn E ЭД),
то совокупность (иц, ..., irn} целиком содержится в неко-
торой системе ЭД7-;
г)	если в ЭД имеет место равенство вида
Ft (щ, .. ., ип) = Fv (1\, ..., i;m)
(Fz, F^P.p; ub...,un, i;lt
то либо {iq, ..., un} s ЭДг, {i;b ..., S ЭД^ для подхо-
дящих i, j, либо A. = p, n — m, ui = v1, ...,un — vn;
д)	если в ЭД имеет место соотношение вида
Р (щ, .. .,ип) = И (РЕ^р',	..., ПпЕЭД),
то {г^!, ...,Пп}еЭД/ для некоторого i£I.
Достаточность. Пусть заданы какие-то гомомор-
физмы а,:: ЭДг —>	(г Е I) в произвольную систему Ж
§ 12J
СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ
327
сигнатуры Q, согласованные на амальгамированной под-
системе (5, т. е. удовлетворяющие условиям
ca'i — caj (с £6; i,
Вводим бинарное отношение £ 9Г X ЗЛ, полагая
{и,	если для какого-то терма /(жь ...,хп) сигна-
туры Q (возможно, и несобственного) при подходящих
Wi, .. .,wn£ U 91г имеем
u = f (wi, • •	v=f(wt(p,...,Wn4>),	(2)
где через q> обозначено вспомогательное отображение,
определенное условиями wq = wa'i (в? £91,).
Из условия б) вытекает, что левая область отноше-
ния g совпадает с 91. Из условий в), г) и (2) следует, что
u^v&u^v' => v—v’ (и^91; v, р'^501),
т. е. £ есть отображение 91 в 9)1. Наконец, из условий
д) и (2) видно, что £ есть гомоморфизм 91 в 9J?, совпадаю-
щий на подсистеме 91 г с заданным гомоморфизмом aj.
Необходимость. Для доказательства необ-
ходимости достаточно построить систему 91' сигнатуры
Q, содержащую подсистемы 9Ц, удовлетворяющие усло-
виям а) — д) и допускающие изоморфизмы фг: 91г -> 91,',
согласованные на пересечениях. Действительно, посколь-
ку 91 есть абсолютно свободное амальгамированное произ-
ведение, то изоморфизмы фг должны обладать общим про-
должением до гомоморфизма ф: 91 —> 91'. В силу уже уста-
новленной достаточности условий а) — д) система 91'
одновременно с системой 91 является абсолютно свобод-
ным амальгамированным произведением указанных под-
систем, и потому гомоморфизм ф есть изоморфизм 91
па 91', переводящий подсистемы 91г в подсистемы 91ц Так
как свойства а — д) сохраняются при изоморфизмах, то
совокупность подсистем" 91; в 91 должна им подчиняться.
Перейдем к построению требуемой системы 9Г'. При
этом, чтобы одновременно доказать и инъективность
произвольных абсолютно свободных амальгамированных
композиций, мы несколько расширим задачу и предполо-
жим, что заданы не подсистемы 91 г уже существующей
системы 91, а просто последовательность систем 91г (г 6 /)
с амальгамированиями вида (1). Фиксируем какое-нибудь
32«
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
к £ I и положим К;, = К. Пользуясь конструкциями
и. 2.2 для вложений одних систем в другие, мы можем для
каждой системы ЭД,- построить изоморфную ей систему
ЭД*, содержащую подсистему © и допускающую изомор-
физм <рг: ЭДг-> ЭД*. переводящий ©; в © и такой, что перво-
начальные амальгамирования у,7-: 6, —(5; переходят
в тождественные отображения 6 = ЭД* на © <= ЭД*.
Кроме того, можно предполагать, что других общих эле-
ментов, помимо элементов подсистемы 6, системы ЭД*,
ЭД? не имеют (Z j). Иными словами, это значит, что
вместо произвольно заданной совокупности систем ЭДг
с амальгамированиями y;j можно рассматривать совокуп-
ность систем ЭД*, любая пэра которых пересекается по
одной и той же системе S, причем амальгамирования
являются тождественными отображениями (5 на 6. Мы
хотим для совокупности ЭД* (i £ I) построить некоторую
систему ЭД*, которая потом окажется искомым абсолютно
свободным амальгамированным произведением систем ЭД*.
Каждому элементу а £[|ЭД* ставим в соответствие
особый символ zn. Атомарный терм
А(гя.......z„J (A>.6Q„.; at, ..., а„ £ (J ЭД?)
называем правильным, если совокупность {fl1T .. ., дп}
не содержится целиком ни в одной системе ЭД?. Произволь-
ный терм /(zGl, . .., Zati) сигнатуры Q называем правильным,
если все его атомарные подтермы правильные. Обозначаем
через А* совокупность всех правильных термов и всех
символов zn, и 6 J ЭД?. На множестве А* определяем опе-
рации F* и предикаты Р* (F. PgQ), полагая
F (Щ, - . . , Пт) -- к (Щ, • • • j Щп) (^lt • • • , Е А )»
если терм F (и,. . . ., нга) правильный. Если этот терм
неправильный, то он имеет вид F (zOj, . . ., zGm), где
{«!, . . ., ат} с— ЭД;. Тогда по определению полагаем
A*(zai, ...,zan) = zn (a^F((i!,
Наконец, полагаем
Pf (zai, .. .,zf,ra)=-P(fl1; ..., am),
если совокупность {щ, . . ., crm} содержится в некоторой
системе ЭД;, и полагаем Р* (м(, . . ., м,„) = Л для всех
остальных значений щ, . . ., ит пз А*.
5 12]
СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ
329
Определенная указанным способом система 91* =
= (A*, Q) содержит подсистемы 91$, образованные сим-
волами z„ (rt £ 91*). Ясно, что эти подсистемы в системе
91* удовлетворяют требованиям а) — д), причем отобра-
жения а —z„ являются изоморфизмами 91* па 91;, согла-
сованными па пересеченпях, что и требовалось.
Итак, доказана нс только теорема 3, но и инъектив-
ность абсолютно свободных композиций с амальгамиро-
ваниями.
Полагая в теореме 3 (5 = 0, получим необходимые
и достаточные условия для того, чтобы система 91 была
абсолютно свободным произведением своих подсистем 91;.
Теорема 4. Пусть система 91 есть абсолютна
свободное произведение своих подсистем 91,- (i £ Г) над
амальгамированной подсистемой (5c:f]9I;, и пусть 55—
некоторая подсистема в 91. содержащая. (5. Обозначим
через ЭД? подсистему, порожденную в 9Г подсистемами
55; = Т П 91;. Тогда ЭД? есть абсолютно свободное произ-
ведение своих подсистем 55,- над амальгамированной под-
системой 6 и. 55 либо совпадает с либо является абсо-
лютно свободным, произведением ЭД; и подходящей абсо-
лютно свободной подсистемы. 53 из 91.
Прежде всего убедимся, что ЭД; [“] 91 г = 55,-. Атомар-
ный терм F . . ., н’„) назовем правильным, если сово-
купность {w,, . .	w„} не входит ни в одну систему 91 г.
Если указанный терм неправильный, то его значение
является элементом системы 91;, содержащей все элемен-
ты т,, . . ., тп. Произвольный (не обязательно атомар-
ный) терм f (и’,, . . ., ну) (iv,, . . ., w.’„ 61J9T,-) будем
называть правильным, если все его атомарные подтермы
правильные. По условию система ЭД? порождается под-
системами 55;, и потому каждый ее элемент w есть значе-
ние подходящего терма / (w,.. . ., //>„), где w,, . . ., wn £
6IJ95,-. Заменяя неправильные атомарные подтермы этого
терма их значениями и повторяя эту операцию достаточное
число раз, получим, что w есть значение правильного
терма указанного вида или же w £ 55,-. В силу свойств
в), г) значение терма, содержащего хотя бы одип правиль-
ный подтерм, не принадлежит IJ 91;. Предположим
теперь, что ЭД? П 9Г; 55,-, w б 55,-,' w б ЭД? С 91,-. Тогда
w =f (w,, . . ., w’„) € где wi, •  •' 6 U^j n f — пРа'
330
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
пильный терм от wit . . wn, что противоречит только
что сформулированному утверждению.
Аналогичным образом проверяется, что подсистемы
58г внутри ЭЛ обладают свойствами а) — д) теоремы 3,
и поэтому ЭЛ является абсолютно свободным произведе-
нием систем 58; над (5.
Если 58 = ЭЛ, то теорема доказана. Предположим,
что это неверно. Элемент Ъ £ 58 будем называть разложи-
мым, если £1)58; или b = Fa (bt, . . ., fc„;) для под-
ходящих &!,..., Ът £ 58 и Fa б S2- Пусть {щ | 1 £ А} =
= V — совокупность всех неразложимых элементов 58
и У — подсистема, порожденная совокупностью У в 58.
Убедимся, что У — абсолютно свободная система со сво-
бодными порождающими.' щ. Согласно п. 12.2 для этого
достаточно убедиться, что в системе У:
1) соотношение вида
Fa (wlt ... wm) = Vi (iPi, ..., wm б У, щ’б У)
невозможно и
*2) из соотношения
Fa (wt, ..., wm)
=	. . . , Wm) (W1; . . ., Wm, w[,
вытекает a = p, = w{, . . ., wm = w’m.
Но соотношение 1) означает, что элемент щ разложим,
что противоречит определению совокупности У, а усло-
вие 2) вытекает из теоремы 3, так как ЭЛ П У = 0.
Докажем, что 95 = ЭЛ * У. Для этого надо проверить,
что произведение ЭЛ * У обладает свойствами а) — д),
указанными в теореме 3. Покажем, что 58 порождается
системами ЭЛ, У. Каждый элемент 58 представим в виде
значения некоторого терма / (щ, . . ., ат) от каких-то
элементов щ, . . ат из множества U?I£. Допустим,
что в 58 есть элементы, не выражаемые термально через
элементы ЭЛ, У. Рассмотрим тот элемент Ъ из них, кото-
рый представим в виде терма / (щ, . . ., аго), имеющего
наименьшее число вхождений функциональных знаков.
Если функциональных знаков вообще нет или совокуп-
ность щ, . . ., ат целиком принадлежит какой-нибудь
§ 12]
СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ
331
системе 91/, то Ъ £ ЭЛ, что противоречит предположению.
Следовательно,для b имеет место представление вида
Ь = Ра(щ, ...,ит),	(3)
где совокупность п15 . . ., ит не содержится ни в одной
из систем 9ГI- Если элементы ult . . ., ит принадлежат
системе 55, то они должны, по предположению, выражаться
через элементы ЭЛ и V, так как термы щ, . . ., ит со-
держат меньше вхождений функциональных символов,
чем терм Ь. Но в таком случае и b выражается через эле-
менты ЭЛ, V.
Пусть в представлении (3) ие все элементы щ, . . .
. . ит принадлежат 55 и, следовательно, совокупность
{гц, . . ., ит) не содержится целиком ни в какой системе
91/. Согласно теореме 3 отсюда следует, что представле-
ние (3) единственно и, в частпости, b ие может быть раз-
ложим в 55, откуда b g V, что снова противоречит пред-
положению.
Итак, 55 порождается подсистемами ЭЛ, V, причем
ЭЛ F = 0. Остальные свойства в) — д), указанные
в теореме 3, проверяются столь же просто. Например, если
ш--Fa ..., wm)£V (u?!, ..., u?mg55),
то iv разложим в 55, w 4 V, и потому
Fa (гщ, wm) = Fp (w\, . .., w'm) (iv[, ...,	£ F),
Так как совокупность {ш', ..., w’m} ие входит ни в один
множитель И/, то а—(3,	—	, wm -— w'm.
Аналогичным образом доказывается и
Теорем а 5. Пусть система 91 есть абсолютно
свободное произведение своих подсистем 911 (16 1) над
амальгамированной подсистемой, (5, и пусть 55 — некото-
рая подсистема в 91, не содержащая элементов ®. Тогда
55 есть абсолютно свободное произведение пересечений
55 [~| 91г (/ £ I) и, быть может, еще одной, абсолютной сво-
бодной подсистемы 53 системы 91.
Заметим еще, что дополнительные абсолютно свобод-
ные сомножители §3, упоминаемые в теоремах 4 и 5, не
содержат элементов основных сомножителей 91/.
332
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
Теорема 6. Если система VI есть абсолютно сво-
бодное произведение одновременно пары систем VI 1; VI2
и пары систем VI j, VI3 над одной и той же амальгамиро-
ванной подсистемой 6, то VI2 — VI3.
Назовем атомарный терм F (Uj, . . ит) (F £ Q;
щ, . . ит £ VI), ^-правильным, если пг ( VIj \ ©, UjQ
£ VI t для некоторых i, j = 1, . . т. Произвольный
терм / (u1t . . иГ) (ut, . . ., ип £ VI) назовем VI^правиль-
ным, если он содержит VI (-правильный атомарный под-
терм. Применяя теорему 3 к разложениям VI = VI j*
6
* VI2 = VI! * VI3, видим, что значения VI^правильных
е в
термов пе принадлежат ни одной из подсистем VIVI2,
VIя. С другой стороны, так как VI порождается системами
Vlj, VI2, то каждый элемент VI, не входящий в VIf IJ VI2,
является значением подходящего VI(-правильного терма.
Таким образом, обозначая через М совокупность зна-
чений всех VI ^правильных термов, получим VI 2 =
= (VI \ 71/) \ (VI1 \ К). Применяя то же рассуждение к раз-
ложению VI = VI1 * VIз, получим VIз — (VI \ 71/) \ (Vlj \ 6),
С
т. е. VI2 = VI3.
Чтобы представить последующие результаты об абсо-
лютно свободных разложениях в более законченной
форме, целесообразно несколько расширить понятие абсо-
лютно свободного произведения над заданной амальгами-
рованной подсистемой. Символом * условимся обозначать
абсолютно свободные произведения, а символом * —
К
абсолютно свободные произведения над амальгамиро-
ванной подсистемой ©. Будем говорить, что система VI
есть смешанно свободное произведение своих подсистем
VI; (i € /) пад амальгамированной подсистемой символи-
чески
?1 = П®?1;	(!€/),
если I—-K[JL, каждый множитель VI, для i^K содержит
Ci, а для i £ L VI; П 6 = 0 и, сверх того,
VI=-(n*VIft)*(II*VIz) (к£К, 1^).
$
§ 12]	СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ	333
Основное свойство смешанно свободных произведений
указывает
Следствие 7. Смешанно свободные произведения
ассоциативны, т. е. если $1 =	(и I), 1= U 1ц
6
(р С М)~ некоторое разбиение совокупности I и S8g—под-
система, порожденная в 21 элементами систем 21,
(г’€/ц), то
=	(И1ц),
Е
21 = П®^	MW-
Б
Для доказательства достаточно применить теорему 3.
Аналогично из теорем 4 и 5 легко получается
Следствие 8. Если 2I-—П®2(г	(tg/) и ^>-ка-
Е
кая-нибудъ подсистема системы 21, либо содержащая
целиком амальгамируемую подсистему Б, либо не имею-
щая с ней общих элементов, то
SB = П® (21£ П SB) *53,
Е
где множитель §3 либо пустой, либо является абсолютно
свободной подсистемой системы 21, не содержащей эле-
ментов системы 6.
В самом деле, группируя множители 2Гг, имеем
21 = (If * 2Ife) * ([J* ?Ь)-
£
Применяя теоремы 4 или 5, получим
SB = (SBf|H*2[ft)*(SBnII*2(z)*§31.
Б
Применяя еще раз указанные теоремы, получим требуе-
мое разложение для SB.
Будем говорить, что разложение
(Hi)
Б
какой-нибудь системы 21 является под разложением (или
продолжением) разложения 2[ = Ц®5ВИ (pg М), если
Е
334
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
существует такое разбиение I = (J (р£М), что
^ = П®2Ь (Н1и).
6
Теорема 9. Любые два смешанно свободных разло-
жения произвольной системы ?! над одной и той же
амальгамируемой подсистемой (S имеют общее смешанно
свободное подразложение над
Пусть
Й = []®^ = П®^	(i€U, KJ) (4)
© ©
—заданные разложения SI. Согласно следствию 8
йг=$вг*П®№№),	(5)
(S	(£
где ?Зг, SB; — подходящие абсолютно свободные подсистемы
системы ?1 или пустые множества. Из разложений (5)
получаем
i,j vi	i	i,j Vi	2
Согласно теореме 6 отсюда следует, что f J * = П * SB;
*	3
Абсолютно свободные системы разлагаются в абсолютно
свободные произведения своих абсолютно свободных под-
систем ранга 1, причем это разложение однозначно. Поэтому
П*^ = П*^=П*^ т,
где — абсолютно свободные системы ранга 1. Из одно-
значности разложения следует, что для подходящих раз-
биений
К = и^г= и#-
получим
=	(*€*<), зВ/=П*эй {к^к-)
и поэтому разложение
а=П®(агп^)*П*^
i.j ©	ft
является искомым общим подразложением разложений (4).
§ 12]
СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ
335
Систему 21 назовем смешанно неразложимой над (£,
если ее нельзя представить в виде смешанно свободного про-
изведения над (5 каких-нибудь двух ее подсистем, отлич-
ных от 21. Из теоремы 9 непосредственно получаем
Следствие 10. Если система 21 может быть
представлена в виде смешанно свободного произведения над
(S cz 2( своих смешанно неразложимых над (S систем, то
такое представление единственно.
Можно построить (см. примеры и дополнения к § 12,
доп. 8) систему, разложимую в абсолютно свободное
произведение любого конечного числа своих (непустых)
подсистем, но не разложимую в абсолютно свободное
произведение подсистем, далее уже не разложимых
в абсолютно свободное произведение.
Примеры и дополнения
1.	Пусть St — реплично полный класс. Каждая система,
определяемая в St бесконечной совокупностью порождающих
символов и конечной совокупностью определяющих соотношений,
есть St-свободная композиция конечно определенной системы
и SJ-свободной системы бесконечного ранга.
2.	Базисным рангом системы 81 называется минимальная мощ-
ность, которую может иметь порождающая совокупность этой
системы. Показать, что базисный ранг абсолютно свободной компо-
зиции систем равен сумме базисных рангов перемножаемых систем.
3.	В классе коммутативных полугрупп базисный ранг свобод-
ной композиции может быть меньше суммы базисных рангов пере-
множаемых полугрупп.
4.	Элемент а £ 81 называется алгебраической константой
в системе 81 = (Л, й), если существует терм / (х) сигнатуры й,
все значения которого в ь81 равны а. Привести пример алгебры 81
и ее подалгебры SB таких, что алгебраические константы суще-
ствуют в SB и не существуют в 81.
5.	Если самонезависимый элемент а системы 81 является
алгебраической константой в 81, .то система 81 одноэлементная.
6.	Если S — независимая совокупность элементов системы 81,
то для любых U с S, V с S имеет место соотношение U Q V =
= U П V, где X обозначает подсистему, порожденную в системе
81 совокупностью X с 81. (Марчевский [44].)
7.	Пусть X = {хо, xi, . . . } — множество неизвестных, имею-
щее мощность tn 1. Обозначим через Б совокупность линейных
форм Ajxq + . . . + krxir (xjj, . . ., xir EX) с целыми коэффи-
циентами. Группа д-]П = (F, +, —) является свободной группой
ранга tn в многообразии всех абелевых групп.
336
КВАЗИМI ЮГООВРАЗИЯ
Гл. V
8.	Пусть (У — группоид, определяемый в классе всех груп-
поидов порождающими a,, b-t и соотношениями а,+)й;+1 = а/
(г = 1, 2, . . . ). Обозначим через @п подгруппоид группоида (У,
порожденный элементами ап+/, Ьн+г- (i — 1, 2, . . .) и через —
подгруппоид, порожденный элементом Ь„ (zi = 1, 2, . . .). Тогда
© =	* ... *	* (Уп (zz = 1, 2, ...),
и в то же время группоид @ не разлагается в абсолютно свободное
произведение подгруппоидов, далее пе разложимых в абсолютно
свободное произведение.
9.	Пусть ЯВ2 — Два многообразия алгебр* сигнатур Qlt
й2, определяемые системами тождеств Gf, ©2, причем £21, Q2 пере-
секаются по нульарной операции 0, a @f, ©2 содержат тождества
00 ... Осо = О для каждого со из Qi, Q2 соответственно. Обозна-
чим через ЭВ многообразие алгебр сигнатуры U Q2, определяе-
мое системой тождеств Gj <J ©2. Если для каждого i — 1, 2 под-
алгебры ^(-свободных алгебр ЗД;-свободны, то подалгебры
SB-свободных алгебр также ЭТ-свободпы (Баранович [5]).
ГЛАВА VI
МНОГООБРАЗИЯ
Многообразия алгебраических систем — это классы,
характеризуемые совокупностями тождеств, и теория мно-
гообразии равносильна теории систем тождеств. Хотя тож-
дества представляют собою простейшие закрытые выска-
зывания логического языка, язык тождеств все же доста-
точно богатый, чтобы па нем можно было выражать многие
тонкие свойства систем и их классов. Этим в значитель-
ной степени и определяется особое положение, занимаемое
теорией многообразий в общей алгебре.
Наиболее глубокие результаты и проблемы теории
многообразий связаны в настоящее время с изучением
подмногообразий тех или иных конкретных многообразий,
например многообразий групп или колец. В настоящей
главе будут рассматриваться лишь свойства обхцих много-
образий, технически менее сложные, но зато отличаю-
щиеся широтой применений.
§ 13. Общие свойства
13.1.	Структурные характеристики. В основе теории
многообразий лежит следующая теорема, докзанная
для многообразий алгебр Г. Биркгофом еще в 1935 г.
Теорема 1 (Б и р к г о ф 171). Для того чтобы
непустой класс Я алгебраических систем был многообразием,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следую-
щие условия:
а)	декартово произведение произвольной последователь-
ности ^-систем есть ^.-система,
22 А. И. Мальцев
338
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл. VI
б)	любая подсистема произвольной] ^-системы есть
^.-система,
в)	любой гомоморфный образ произвольной ^-системы
есть ^.-система,
т. е. необходимо и достаточно, чтобы класс Й был наслед-
ственным, мультипликативно и гомоморфно замкнутым.
Необходимость очевидна, так как тождества,
посредством которых характеризуются многообразия,
устойчивы относительно операций а), б), в).
Достаточность. Единичная система задан-
ной сигнатуры Q является гомоморфным образом любой
системы этой сигнатуры, и потому в силу в) единичная
система заведомо принадлежит К. Принимая во внима-
ние свойства а), б), отсюда заключаем, что класс й
реплично полный и, следовательно, в й существуют
свободные системы произвольного ранга.
Обозначим через 7Й совокупность всех тождеств
заданной сигнатуры, истинных во всех й-системах. Нам
надо убедиться, что Кт — Й. Так как включение
й S KI& тривиально, то достаточно доказать включе-
ние кт S Й.
Пусть ?! б Кт и | ЭД | = ш. Согласно сделанному
выше замечанию в Й существует свободная система g,
свободный базис которой имеет мощность ш. Пусть
za —>a(za б Й, & € ЭД)— какое-нибудь отображение свобод-
ного базиса системы g на 9. Определяем отношение
?!, полагая (и, Ь) б	если существует терм
/ (xlt ..., хп) сигнатуры Q, для которого
u = f(zai, ..., zan), b = f(alt ..., ап)
при подходящих «!, ..., ап из ЭД. Так как система
порождается элементами za, то левая область отношения £
совпадает с Покажем, что £ есть гомоморфизм g на ЭД.
Пусть для каких-то термов Д, ..., и различных элемен-
тов Za , ..., Zan ИЗ Свободного баЗИСЭ g
P(fd^ ...,zan),...,fs (zai.....zan))=K (P€{£2, =}).(!)
Так как zQ1, ...,zan—й-свободные элементы, то из (1)
вытекает, что в классе й истинно тождество
...»	...,хп)) = И. (2)
5 13]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
339
По условию в системе 81 истинно каждое тождество,
истинное в классе Я, и потому тождество (2) истинно
в системе 81. Подставляя в него вместо ж15 хп элемен-
ты	ап, заключаем, что в 8( истинно соотношение
р (Ji («1, • • •, йп), ...» fs (ait ..., ап)).
Таким образом, для любых ult ..., иа из g и bit . ..,ba
из 81 имеем
Р (ult ..., иа) & ufcbi & ... & us£ba Р (bl, ...,ba)
(Ре{&, =}),
и потому £—гомоморфизм $ на 81.
Поскольку Е Я и 81 — гомоморфный образ g, то в силу в)
81 £Я, что и требовалось.
Для любого класса Я по определению полагаем
Я—К"/Я,
т. е. обозначаем через Я минимальное многообра-
зие, содержащее в себе класс Я.
Теорема 2. Для любого класса Я
я-яяДя,	(3)
где через HQ обозначен класс, состоящий из гомоморф-
ных образов £-систем.
Включения Я s HS []ЯеЙ очевидны. Поэтому
надо лишь показать, что класс HS [] Я — многообразие,
т. е. что он, согласно теореме Биркгофа, обладает свой-
ствами а), б), в).
Свойство в) для Я5]ДЯ очевидно, так как гомоморф-
ный образ гомоморфного образа какой-нибудь системы
есть гомоморфный образ этой системы. Чтобы проверить
свойства а), б), положим 5 Ц Я = £ и, следовательно,
Я^ДЯ = Я£. Согласно п. 2.5 класс £ замкнут отно-
сительно взятия подсистем и декартовых произведений.
Пусть 81 Е Я£ и 81 j — какая-нибудь подсистема в 81.
По условию существует эпиморфизм вида
а: 05-^31	(2\Е.£)-
Обозначим через полный прообраз в -25 подсистемы ЭГр
22*
340
МНОГООБРАЗИЯ
Lra. vi
Так как 85t есть подсистема S-системы 33, то ££, т. е.
И} есть гомоморфный образ S -системы, и потому Sljg/ZS.
Свойство б) для класса НН доказано.
Аналогично пусть S2I; (i £ I) — последовательность
/ZS-систем. По условию существуют эпиморфизмы
а{: ЗЗг-^21
где 33f — подходящие S-системы. Согласно п. 2.5 из суще-
ствования эпиморфизмов <Zj вытекает существование эпи-
морфизма
а:
Так как система Ц33г (i g I) принадлежит классу S,
то произведение	принадлежит классу НН,
т. е. класс НН обладает свойством а).
Ясно, что каждое многообразие вполне определяется-
своими свободными системами. Действительно, каждая
его система является гомоморфным образом свободной
системы надлежащего ранга и все гомоморфные образы
свободных систем принадлежат многообразию. Однако
верно и несколько более сильное утверждение, которое
мы сформулируем в виде 1-й части следующей общей
теоремы.
Теорема 3. Каждое многообразие вполне опреде-
ляется своей свободной системой счетного ранга. Для
любого класса систем Я свободные системы в минималь-
ном реплично полном классе S Яе являются одновременно
свободными системами и в минимальном многообразии Я.
Ясно, что если в каком-нибудь классе S есть свобод-
ная; система счетного ранга, то /S = 1^&. В каждом
нетривиальном многообразии Я свободная алгебра
существует и, кроме того, КШ — Я. Поэтому для любо-
го многообразия Я истинна формула
Я = ВДШ,	(4)
доказывающая, в частности, первое утверждение теоремы 3.
Для доказательства второго утверждения достаточно
вспомнить теорему 3 из п. 12.2, согласно которой система,
свободная относительно класса 5 j j Яе, является свобод-
ной и относительно класса HS [J Я = Я.
5 131
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
341
В качестве иллюстрации рассмотрим квазимногообра-
зие Se полугрупп, вложимых в группы (см. п. 11.1).
Свободная полугруппа (в классе всех полугрупп) со сво-
бодными порождающими z; (i 6 7) является полугруп-
пой непустых слов, записываемых (без скобок) в алфави-
те (Zj}, относительно обычной операции композиции слов.
Эта полугруппа является мультипликативной подполу-
группой свободной группы и потому принадлежит клас-
су Se. Итак, квазимногообразие Se~n класс всех полугрупп
имеют одни и те же свободные полугруппы. Если бы Se
было многообразием, то оно совпадало бы с классом всех
полугрупп, что заведомо неверно. Поэтому квазимного-
образие Se не является многообразием.
Поставим вопрос: при каких условиях произвольно
заданная система 21 является свободной системой в каком-
то классе Я?
Система 21, свободная в ft’, в силу п. 12.2 и теоре-
мы 3 свободна в многообразии ft'. Обозначим через Й
минимальное многообразие, содержащее систему 21.
Из 21 £ Я вытекает, что Й Е Я, и потому й — свобод-
ная система в 21. Согласно той же теореме 3, для того
чтобы система й была свободна в многообразии Й, доста-
точно (и, очевидно, необходимо), чтобы система й была
свободной относительно самой себя, т. е. чтобы система й
обладала независимой совокупностью порождающих эле-
ментов. Мы получили
Следствие 4. Для того чтобы система 21 была
свободной в каком-нибудь классе, необходимо и достаточно,
чтобы она обладала независимой порождающей совокуп-
ностью элементов. В этом случае система й свободна
в многообразии Й.
Говорят, что система 21 сигнатуры Q эквационалъно
содержится, в системе 35, если S3 имеет сигнатуру Q
п каждое тождество, истинное в й, истинно в 35, т. е.
если Z2T = Из очевидных эквивалентностей
7Й<=735 <=>Я7йэЯ135<=>35£Й
и формулы (3) заключаем, что система 35 тогда и только
тогда эквационалъно содержит систему й, когда 35
342
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл .VI
является гомоморфным образом подсистемы подходящей
декартовой степени системы Я.
Системы ЭД, S5 называются эквационально эквивалент-
ными (или /-эквивалентными), если каждая из них
эквационально содержится в другой, т. е. если /ЭД =
Ясно, что последнее условие равносильно равенству
ЭД = S3. Из изоморфизма систем, очевидно, следует
их эквациональная эквивалентность. Обратное вообще
несправедливо. Из предыдущих рассуждений вытекает
следующий простой признак эквациональной эквивалент-
ности.
Следствие 5. Если ЭД — подсистема декартовой
степени системы S3 и S3 — подсистема или гомоморфный
образ системы ЭД, то ЭД = S3.
Например, ЭД и любая декартова степень ЭД эквацио-
нально эквивалентны.
Рассмотрим также следующий пример. Пусть 5 =
= ({0, 1},-) —полугруппа, в которой
0-0 = 0-1 = 1-0 = 0, 1-1 = 1,
и ЭД — произвольная коммутативная идемпотентная полу-
группа, содержащая по крайней мере два элемента а Ь.
Если ab = а или Ьа = Ь, то элементы а, b перемножаются
в ЭД согласно одной из следующих таблиц:
а Ъ	а Ъ
a a a la а b
Ъ a b ,g b' b b
В обоих случаях ЭД содержит подполугруппу {«, Ь}, изо-
морфную П-
Пусть аЪ =£ а и аЪ Ъ. Тогда элементы а, аЪ состав-
ляют подполугруппу, изоморфную 3, так как они свя-
заны в ЭД следующей таблицей умножения:
а аЪ
a a ab
аЪ аЪ ab
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
343
§ 13]
С другой стороны, в и. 3.1 было показано, что всякая
коммутативная идемпотентная полугруппа изоморфно вло-
жима в подходящую декартову степень полугруппы 3-
В силу следствия 5 можно утверждать, что любые
две неединичные коммутативные идемпотентные полу-
группы эквационально эквивалентны, так как каждая
из них эквационально эквивалентна полугруппе 3-
Рассматривая вместо тождеств квазитождесгва, мы
придем к понятию квазиэквациопальной эквивалентности
(или Q -эквивалентности) алгебраических систем. Спра-
ведливо
Следствие 6. Если 31 — подсистема фильтро-
ванной степени системы 55 iz 55 — подсистема системы 91,
то 91 и % Q-эквивалентны.
Предыдущие рассуждения показывают, например, что
любые две неедипичные коммутативные идемпотентные
полугруппы в действительности ^-эквивалентны.
13.2.	Ранги многообразия. Рангом тождества или
квазитождества называется число различных свободных
предметных переменных, входящих в их запись. Напри-
мер, ранги формул
ж2 ж3, ху = ух, х (yz) = (ху) z
равны соответственно 1, 2, 3. Соответственно этому акси-
оматическим рангом ra (St) многообразия St называется
наименьшее натуральное число г такое, что St может
быть охарактеризовано совокупностью тождеств, ранги
которых не превосходят г. Если натуральное число г
с, этими свойствами не существует, то говорят, что акси-
оматический ранг St' равен бесконечности (символически
/•„ (St) = оо).
Условимся через /„St обозначать совокупность всех
тождеств ранга < п, истинных на классе St, и через К,4.
как обычно, — класс всех алгебраических систем, в кото-
рых истинны все формулы совокупности ,4. Положим еще
St" = KIn$t. Тогда с каждым классом систем St окажется
снизанной последовательность многообразий St", причем
St1 =2 St2 э ... = St" = ... =>St.	(1)
Ясно, что равенство St - П St" тогда и только тогда
истинно, когда St — многообразие. Особо отметим
344
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл. VI
Следствие 1. Алгебраическая система ?! (сигна-
туры ft) тогда и только тогда принадлежит многообра-
зию ftn, когда каждая ее подсистема, порождаемая
не более чем п элементами, принадлежит ft” .
В самом деле, условие g ft" равносильно тому,
что в ?! истинны все тождества из /nft. Каждое из этих
тождеств имеет вид
(V.Tj ... х„) Р (f, (xlt ..., х„), fs (Xi, ..., хп))
= })•
Для проверки истинности его в ?! надо взять произ-
вольные элементы xt, . . ., хп, вычислить ft (хЛ, . .., хп) (i =
= 1, ..., s) и узнать, будет ли истинно соотношение Р для
полученных значенийД, . . fs. Но вычисление значений
fit .. ., fs производится внутри подсистемы, порожденной
взятыми п элементами Xi, . . ., хп, и потому проверку
фактически надо проводить лишь внутри таких подсистем.
Выше было показано, что для каждого многообра-
зия ft
Однако может случиться, что ft будет вполне определяться
и какой-то своей свободной системой (ft) конечного
ранга п. Наименьшее п, для которого
KI%n (ft) = ft,
называется базисным рангом ft и обозначается через гь =
= г/, (ft). Вводя обозначения (ft) — ft;, получим в допол-
нение к цепочке (1) последовательность многообразий ftj:
ftt S й2 =...<= R„ £= ... с= ft,	(2)
причем ft = (J ftn, если ft —многообразие.
При вычислении базисных рангов конкретных много-
образий иногда полезно иметь в виду
Следствие 2. Если (ft) содержит подсисте-
му, изоморфную {Jfn+1 (ft), то ftn = ftn+i- В частности,
если ft — многообразие и (ft) для каждого конечного i
содержит подсистему, изоморфтую %n+i (ft), то ft„ =
= ft и rb (ft) <и.
Так как каждое тождество, истинное на ?Vn, истинно
и на любой подсистеме системы $п, то Г$п с= и, еле-
§ 13]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
345
довательно, КГ^п Э A'7g-,(+j. Вместе с включениями (2)
это дает St = Яп+;- Если последнее равенство справедливо
для любого i, то из соотношения Я = 0 Яп+; получаем
Я = Яп.
Базисным рангом данной системы ЭД была названа
наименьшая пз мощностей порождающих совокупностей
в ЭД. Спрашивается, в каком отношении находятся базис-
ный ранг ?! и базисный ранг минимального многообра-
зия ЭД, порождаемого системой 21?
Теорема 3. Для любой системы ЭД
гьЭД<гьЭД.
(3)
Базисный ранг произвольного многообразия Я совпадает
с наименьшим из базисных рангов ft-систем, порождающих
многообразие Я.
Пусть г;,ЭД п и — свободная система ранга п в много-
образии ЭД. Тогда найдется эпиморфизм »ЭД и потому
Л^<=7ЭД,
т. е. §„эЭД. Но ^„6 ЭД, поэтому §П = ЭД и, следовательно,
гьЭД < п.
Положим гьЯ = п. Согласно определению это означает,
что
Я = Й„,	Я=#&	(1<п).
Принимая во внимание уже доказанное неравенство (3),
получаем
п = ГЪ^п < гъ%п < п,
откуда гь%п = п. Таким образом, каждое многообразие Я
базисного ранга п заведомо порождается Я-системой,
имеющей базисный ранг п. Системой меньшего базисного
ранга многообразие Я порождаться не может, так как
из неравенства (3) получаем
П>Я = гь® < гь%>
для любой системы SB, порождающей многообразие Я.
Теорема 3 доказана. В процессе ее доказательства нам
встретилось равенство гь^п = п, где — свободная
и Я система ранга п. Спрашивается, в любых ли
346
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл. VI
многообразиях это равенство справедливо? Ответ отри-
цательный. Опровергающий пример дают свободные алге-
бры в многообразии (glj2 (и. 12.2).- Мы видели, что
в этом многообразии для любого конечного п
и потому
Гъ^п =	— 1 (и = 2, 3, . . .).
Условимся говорить, что свободная в себе система
конечного ранга п обладает свойством .^?, если произволь-
ная совокупность «j, а2, .. ап (не обязательно различ-
ных) элементов ^п, порождающая gn, независима в %п,
т. е. если любое отображение аг -> Ъ, £ %п (i = 1, ..., п)
продолжаемо до гомоморфизма в себя.
Ясно, что если |gn]>2, то
S8 ®п) Гь%п = П.
Действительно, если обладает свойством 98 и после-
довательность^, . .. ат (т< п) порождает §гп, то заведомо
несвободная последовательность ..., ат, ат, . .., ат
также порождает ?уп.
Какие же системы обладают свойством ^?? Предва-
рительный ответ на этот вопрос дает
Теорема 4. В свободной системе %п конечного ран-
га п любая порождающая совокупность из п элементов
является свободной тогда и только тогда, когда любой
эпиморфизм тУп на себя является изоморфизмом.
Пусть <р: g’n ?fn — какой-то эпиморфизм, не являю-
щийся изоморфизмом, и пусть (Vj, ... vn) — свободная
порождающая совокупность элементов системы Тогда
совокупность {ррр, . .кп<р} будет снова порождающей
в ^п. Если бы последняя совокупность была свободной,
то существовал бы изоморфизм ф: %п -> g-„, переводя-
щий Vi, .. ., vn соотвественно в Pjcp, . . ., pntp. Так как гомо-
морфизмы <р, ф совпадают на порождающей совокупности
(щ, . . ., п„},тоони должны совпадать и на %п, т. е. <р = ф,
что противоречит предположению.
Обратно, путь в %п любая совокупность из п элементов,
порождающая %п, свободна, и путь гр: g-n -> %п — какой-
либо эпиморфизм. Тогда элементы	vnq> порожда-
ют и потому свободны в $п. Поэтому должен существо-
вать изоморфизм ф:	-> ^п, переводящий .. ., vn
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
347
§ 131
соответственно в Pjtp, . . нп<р. Так как гомоморфизмы <р, г],
совпадают на порождающих элементах ... vn, то <р =
= ф, что и требовалось.
В качестве примера вычислим га и гъ для многообразия
всех полугрупп. Это многообразие определяется одним
тождеством xy-z = x-yz (см. п. 3.1). Поэтому га 3.
С другой стороны, совокупность всех чисел Кэли
по умножению составляет, как известно, группоид @,
в котором любые два элемента порождают полугруппу
(см. п. 4.3). Если бы многообразие всех полугрупп имело
аксиоматический ранг 2, то, согласно следствию 1, груп-
поид @ был бы также полугруппой. Так как группоид @
не ассоциативен, то го — 3.
Переходя к вычислению гь, заметим, что в многообра-
зии всех полугрупп свободная полугруппа рапга 1 удо-
влетворяет тождеству ху = ух. которое истинно не во
всякой полугруппе. Следовательно, гь ^>2. С другой
стороны, свободная полугруппа рапга 2 содержит под-
полугруппу, изоморфную свободной полугруппе счет-
ного ранга. В силу следствия 2 гь 2, и потому гь = 2.
Аналогично для многообразия всех групп имеем га =
= 3, гь = 2.
Для некоторых многообразий вопрос о том, какие зна-
чения могут принимать га, гь в подмногообразиях, оказы-
вается трудным. Например, до сих пор неизвестно, суще-
ствует ли многообразие групп, для которого га = ооЛ
По аналогии аксиоматическим квазирангом qa qa (Я)
квазимногообразия Я назовем наименьшее число п такое,
что Я может быть охарактеризовано совокупностью квази-
тождеств, каждое из которых содержит не более п свобод-
ных переменных. Если такого натурального числа нет,
то полагают qa = оо.
Обозначим через @Я совокупность всех квазитождеств
и через (ДЯ совокупность квазитождеств ранга п (сигна-
туры Я), истинных на произвольном классе Я. Полагая
Я<П’ = А(2„(Я) (п = 1, 2, ...),
получим цепочку квазимногообразий
Я'1»эЯ'2’ =2 ... =>Я<п’ э ... Эй.
Соотношение Я = П Я(П> равносильно утверждению,
что Я — квазимногообразие. Как и выше, имеем
348
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл. VT
Следствие 5. Система ?! тогда и только тогда
принадлежит квазимногаоброзию ft(n', когда этому квази-
многообразию принадлежит л'обая подсистема из ?1,
порождаемая какими-нибудь п элементами 91.
В каждом квазимногообразии ft существуют свобод-
ные системы jVn(ft) произвольного ранга п. Полагая
(и=1,2,...),
получим возрастающую цепочку квазимногообразий
ft<i> £= Я(2, с- ... cr ft(n) <= ... s= ft.
Если для некоторого п ft(n_p =^= ft(„) = ft, то п назы-
вается базисным квазирангом ft и обозначается через
<1ъ = <1ь (ft)- Если же для любого натурального п ft(n)=7^ft,
но U ft'(n) = ft, то полагают qb — оо. Однако может слу-
читься, что (Jft(n) =# ft- Тогда квазимпогообразие ft назы-
вается неточным и базисный квазиранг его не определен.
Рассмотрим, например, квазимпогообразие @с полу-
групп с сокращением. Оно определяется квазитождествамп
x-yz —xy-z, xz = yz ->Х.- -у, zx=zy-+x-—y,
и потому q„ 3. Возьмем в качестве системы 91 совокуп-
ностыгепулсвых чисел Кэли с операцией умножения. При-
меняя следствие 5, убеждаемся, что qa > 2. Таким образом,
qn (<Sc) = 3. Свободная полугруппа (<SC) коммутативна,
поэтому qb >1- С другой стороны, ^-2 содержит свобод-
ные подполугруппы/любого конечного и счетного рангов.
Поэтому либо qb = 2, либо квазимпогообразие (5С неточное.
Покажем, что справедливо именно последнее предположе-
ние. В самом деле, легко проверяется, что в ТУ/ истинно
квазитождество
ж2//2 = з2 ху ~ ух,
не выполняющееся, например, в симметрической группе (53,
являющейся (как и любая группа) относительно умноже-
ния полугруппой с сокращением.
Примерами точных квазимногообразий могут служить
квазимногообразия ft(n). В частности, для @С(2) имеем qa =
= 3, qh = 2.
13.3.	Многообразия унопдов. Алгебра, сигнатура кото-
рой состоит из ш унарных функциональных симво-
S 13 J
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
349
лов, называется ш-уи,оидом. Совокупность многообразий
Ш-упопдов при ш^> 2 остается достаточно богатой и в то
же время изучение ее строения может быть продвинуто
довольно далеко. Основой служит соответствие между
многообразиями ш-унопдов и полугруппами с выделен-
ными ш порождающими элементами.
Рассмотрим ш-уноиды сигнатуры Q =	гДе
,71 = ш. Тождества этой сигнатуры могут быть лишь
следующих четырех видов:
б) к •   fih (')
в) /й-.. А;<(ж) = /д ...
Г) /»!••• fth (*) - У-
Тождество вида г) равносильно тождеству а; - у, озна-
чающему, что соответствующая а.-исбра единичная. Далее
мы будем рассматривать лини, многообразия ш-упопдов,
которые можно охарактеризовать тождествами вида а).
Они будут называться в дальнейшем многообразиями
1-го рода ш-уноидов.
Итак, пусть задана совокупность тождеств
(1)
Эта совокупность определяет некоторое многообразие R
ш-уноидов. Совокупности (1) ставим в соответствие мно-
жество определяющих символов V — {гД i £ 7} и сово-
купность определяющих соотношений в классе полугрупп
V; ... Vi = К,-	. . . Vi .	(2)
Символы vt п соотношения (2) определяют полугруп-
пу ?[. Можно предполагать, что полугруппа ?! содержит
элементы щ, которые порождают ее и связаны в ней соот-
ношениями (2). Изменится ли полугруппа ?!, если много-
образие Я будет задано не системой тождеств (1), а какой-
нибудь иной равносильной системой? Отрицательный ответ
легко получается из следующего основного утверждения.
Теорема 1. Произвольное тождество
/и • • • fis (х) ~ fii • • • fit (?)	(3)
350
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл. VI
тогда и только тогда вытекает из совокупности (1),
когда соответствующее соотношение
»ч--- vi& = vh ... vjt	(4)
является следствием (в классе всех полугрупп} соотноше-
ний (2).
Иначе говоря, тождество (3) тогда и только тогда
истинно в многообразии Я, определенном аксиомами (1),
когда в полугруппе 21, заданной порождающими vi
и определяющими соотношениями (2), истинно соотно-
шение (4).
Пусть соотношение (4) вытекает из совокупности (2).
Возьмем какую-нибудь алгебру 6 = (С, Q) из много-
образия К, определяемого тождествами (1). Всевозможные
отображения /: С -> С образуют полугруппу (£с (см.
п. 3.1) относительно операции суперпозиции *. Среди
элементов находятся и функции (i £ I) из алгебры 6.
Эти функции удовлетворяют тождествам (1), которые при
помощи операции * могут быть переписаны в виде
По условию в каждой полугруппе, в которой существу-
ют элементы к,, удовлетворяющие соотношениям (2), эти
элементы удовлетворяют и соотношению (4). Согласно (5)
в полугруппе ©с. элементы /1 как раз удовлетворяют
соотношениям (2). Поэтому в должно быть истинным
соотношение (4), а следовательно, тождество (3) истинно
в классе К.
Обратно, пусть тождество (3) является следствием
тождеств (1). Рассмотрим какую-нибудь полугруппу 21,
в которой существуют элементы ut (i С /), удовлетворяю-
щие соотношениям (2). Присоединяя к 21 новый элемент е,
подчиненный условиям ее = е, ех = хе = х (х £ 21),
получим полугруппу 21е с единицей е, содержащую 21
в качестве своей подполугруппы. Каждому элементу и,
ставим в соответствие функцию fi (х}, определенную форму-
лой
fi(x)=vtx (ж£21е).
(6
§ 13]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
351
Из соотношений (2) теперь видно, что функции /,• в ?1(,
связаны тождествами (1). По условию из тождеств (1) выте-
кает тождество (3). Полагая в нем х = е и пользуясь
равенствами (6), получаем (4).
Теорема 1 показывает, что построенное выше отображе-
ние совокупности всех многообразий 1-го рода ш-уноидов
на совокупность всех полугрупп с выделенными ш поро-
ждающими элементами является взаимно однозначным.
При этом полугруппы следует считать одинаковыми, если
существует изоморфизм, переводящий выделенные поро-
ждающие одной полугруппы в одноименные выделенные
порождающие другой полугруппы.
Отметим, что при указанном отображении конечно
аксиоматизируемым многообразиям отвечают конечно опре-
деленные полугруппы. Далее, если многообразие ft содер-
жит подмногообразие £, то полугруппа, отвечающая
многообразию £, является фактор-полу группой полу-
группы, отвечающей ft.
Условие, что в рассматриваемых полугруппах должны
быть выделены m «сигнатурных» порождающих, сущест-
венно. Ясно, что различным многообразиям могут отве-
чать изоморфные (с абстрактной точки зрения) полугруп-
пы, в которых лишь по-разному выбрапы порождающие.
Мы хотим теперь воспользоваться соответствием меж-
ду многообразиями уноидов и полугруппами для решения
вопроса о том, сколько существует различных многообра-
зий алгебр заданной сигнатуры.
Теорема 2. Совокупность многообразий i-уноидов
счетна. Совокупность всех многообразий алгебр фиксиро-
ванной сигнатуры Q, содержащей более одного функцио-
нального символа или один неунарный функциональный
символ, имеет мощность 21 ° ,+к°.
Рассмотрим сначала 1-уноиды. Сигнатура их состоит
из одного унарного функционального символа /. Вводим
обозначения
f°x = x, fhx=f ...f(x).
Пусть Ж — какое-нибудь многообразие 1-уноидов. Сре-
ди всех тождеств вида
tkx = flx (к<1; к, 1 = 0, 1, 2,...),	(7)
352
МНОГООБРАЗИЯ
[Г«. VI
истинных в 5DI, ищем такие, у которых число I наименьшее,
а среди последних выбираем то, у которого к наименьшее.
Пусть найденное тождество есть fx = fx. Рассуждая
так же, как и в п. 3.1 при изучении полугрупп с одним
порождающим, легко убеждаемся, что все тождества
вида (7), истинные в ЗЛ, являются фрмальными следствия-
ми минимального тождества fx — fx.
Аналогично, если в ЭЛ истинно какое-либо тождество
вида
Г*-Гу
то сразу замечаем,
тождеству
т, п = 0, 1, 2, ...),	(8)
что оно формально равносильно
Г*-Гу.
(9)
Среди всех тождеств вида (9), истинных в ЭЛ, выби-
раем то, у которого т имеет наименьшее значение. Пусть (9)
и есть это тождество. Тогда из (9) будут формально выте-
кать не только все тождества вида (8), истинные в ЗЛ,
по и все тождества вида (7). Действительно, из (9) выте-
кает тождество fnx = fnvlx. Поэтому в минимальном
тождестве fx = fx (s < Z) имеем t m + 1, s m.
Из fx — fx и (9) следует тождество fx = fx — f,ly(r —
= s-p (m-|-l)(Z—s)), а из последнего вытекает тождество
fx = fy. Поэтому s = т и тождество fx = fx есть фор-
мальное следствие тождества fmx — fmy.
j* . Итак, каждое многообразие 1-уноидов определяется
или одним тождеством вида (7), или одним тождеством
вида (9). Множество тождеств этих видов счетное и раз-
личные тождества определяют различные многообразия.
Рассмотрим случай |Q|^>2. Число различных много-
образий сигнатуры Q заведомо не превосходит числа акси-
оматизируемых классов этой сигнатуры, т. е. не более
2IQI+K0 (см. примеры и дополнения к § 6, доп. 1).
Поэтому для доказательства утверждения теоремы нам
достаточно построить 21а 1+к° различных многообразий
сигнатуры Q.
Допустим сначала, что Q состоит лишь из одномест-
ных функциональных символов (I £ Г). Выше было
построено взаимно однозначное соответствие между много-
образиями 1-го рода Q-алгебр и полугруппами с выде-
§ 13]
ОГ.ЩИК СВОЙСТВА
353
ленными совокупностями порождающих vt (i f I). Сово-
купность всех неизоморфных полугрупп с |й|	2 поро-
ждающими имеет мощность 2’а Н '« (см. примеры
и дополнения к § 3, доп. 3). Поэтому совокупность всех
многообразий Й-упоидов также имеет мощность 21 я 1+ко.
Пусть теперь 1й|	2, но Й содержит некоторое число
неупарных функциональных символов fj (j б ./). Обоз-
начим через ii; арность Рассмотрим подмногообразия
многообразия, определяемого тождествами
/>(«!, Х2, . . ., .!„_,) : J у2, . . . , уп.)	(10)
означающими, что в многообразии (10) все основные функ-
ции существенно одноместны. Каждому символу /{ £ й
поставим в соответствие новый одномест ный функциональ-
ный символ gj и рассмотрим уиоиды сигнатуры Й* =--
— (gi р'0 1 )• Каждый Й*-унонд мы можем обратить
в алгебру, принадлежащую многообразию (10), полагая
по определению
А (Л, • • •. щ) giU’i) (НЛ-
Ясно, что при этом многообразия Й*-у нои до в обраща-
ются в многообразия й-алгебр, лежащих внутри много-
образия (10). Мы уже видели, что при |й*|	2 совокуп-
ность многообразий й*-унопдов имеет мощность 21£2*1+ьо.
Поэтому и совокупность многообразий Й-алгебр при
|Й[	2 имеет указанную мощность.
Остается рассмотреть случай, когда сигнатура состоит
из одного многоместного функционального символа. Сна-
чала мы предположим, что этот символ бинарный, т. е. что
рассматриваются группоиды. Пусть соотношения (1) опре-
деляют многообразие М 2-уноидов сигнатуры Й =
= (/и /2)- И каждом из этих соотношений заменяем
/2 следующими выражениями:
/1(.г)з-_-.тх,	/2(л) \хх)х.	(И)
Б результате получится система тождеств группоид-
ной сигнатуры, которая определи г некоторое многообра-
зие группоидов Имея какой-нибудь kg-группоид (Л,-)
и определив на множестве А операции /1т /2 по форму-
лам (11), получим 2-уноид (Л, /х, /2>, принадлежащий
многообразию St. Однако в этом уноиде будет истинно
23 А. И. Мальцев
3.V1
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл. VI
квазитождество
/И-ф z—>/2(z) = z.	(12)
Обратно, пусть Si* обозначает квазимпогообразие
тех St-уноидов, которые подчиняются требованию (12),
и пусть ЭД -- (Д, ft, /2) — какой-нибудь из Я*-уноидов.
Тогда, вводя на множестве А операцию умножения
формулами
гх = Л (.«), -гу=/2(у)	(^¥=У),
получим ftg-группоид, ИЗ которого 2-унОИД ЭД - <Д,/1,/2)
восстанавливается по формулам (11). Это показывает, что
еслп для каких-то многообразий St‘i, St2 2-уноидов соот-
ветствующие квазимпогообразия Si*, Si* различны, то
различными будут и многообразия SlIg, St’2fi группоидов.
Берем произвольную полугруппу @ со счетным числом
порождающих элементов щ, с;2, ... и совокупностью опре-
деляющих соотношении вида (2). Подставляя в эти соот-
ношения выражения
l'i = «!«.>«'! 1	(l = l, 2, ...),	(13)
получим систему определяющих соотношений для некото-
рой полугруппы @о с порождающими а<>. Мы уже виде-
ли (см. примеры и дополнения к § 11, доп. 2), что форму-
лы (13) определяют вложение полугруппы @ в полу-
группу @р.
Пусть @, й — различные полугруппы с поро-
ждающими щ, н2, ... (различные в том смысле, что не
существует изоморфизма ср : @ ->• й, при котором щср ==
— щ). Тогда @с, йо будут различными полугруппами
с порождающими at, а2. В силу теоремы 1 полугруппам
@о- Йо отвечают многообразия St, £ 2-уноидов сигнату-
ры /j, /2. Выделяем из Si и £ квазимногообразия St*, £*
тех унопдов, в которых истинно квазитождество (12).
Покажем, что St* -/- £*•
Присоединяем к полугруппам @0, йо-едивицы и строим
2-унопды ЭД f St, -95 £ £, определяя па носителях полу-
групп @0, йо операции
f1 (z) =- a rx, f2 (zj а 2х.
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
355
§ 13]
Так как и в полугруппе @0, и в полугруппе £»0 для
любых х истинно неравенство х, то в упоидах ЭД, ®
квазитождество (12) истинно, т. е. ЭД g St*, S3 g £*.
Но ЭД (± £, ® Si, и потому St* =/= £*•
Мы знаем, что различных полугрупп со счетным
множеством сигнатурных порождающих имеется контину-
ум. Отвечающие нм полугруппы @;о с двумя сигнатурными
порождающими также различны. Вместе с ними различны
и отвечающие им многообразия группоидов. Отсюда заклю-
чаем, что совокупность многообразий группоидов имеет
мощность континуума.
Наконец, если сигнатура рассматриваемых алгебр
состоит пз одного н-арпого функционального символа /
н п > 2, то берем многообразие алгебр, удовлетворя-
ющих тождеству
/ (-П, х2, д 3, ..., х„) = f (.< !, .с2, у3, ..., ?/„).
Каждую полугруппу можно обратить в ЭЛ-алгебру,
полагая
J (xt, х2, ..., хп) = хлх2.
Различные многообразия полугрупп обращаются при этом
в различные многообразия ЯЛ-алгебр. Поэтому совокуп-
ность многообразий рассматриваемой сигнатуры / имеет
мощность континуума.
В теореме 2 идет речь о многообразиях алгебр.
Вделаем несколько замечаний о многообразиях систем.
Прежде всего, еслп сигнатура Q бесконечна или множест-
во содержащихся в ней функциональных символов не
пусто и отлично от одпого одноместного функциональ-
ного символа, то совокупность всех многообразий сигна-
туры Q, очевидно, снова имеет мощность 21S21+ко
Если Q состоит из конечного числа предикатных сим-
волов Pt, то тождества будут иметь вид
Pi (xa, . .., ху) — II,
число их конечно, а потому и различных многообразий
будет конечное число.
Пусть сигнатура Q состоит из одноместной функции /
и одноместных предикатов Pt (i = 1, ..., п). Выше было
показано, что любая совокупность тождеств сигнатуры /
равносильна одному тождеству вида (7) или (9). Тождества,
23*
356
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл. VI
содержащие символ Ph имеют вид
Pi (fx) -- U
и совокупность их, очевидно, равносильна тому из них,
у которого s имеет наименьшее значение. Итак, много-
образия сигнатуры Q определяются самое большее п + 1
тождествами, и потому совокупность этих многообра-
зий счетна.
Рассмотрим, наконец, случаи, когда сигнатура Q состо-
ит пз одноместной функции / и предикатов Ph среди кото-
рых есть неодноместные. Пусть, например, Q содержит
/г-арвый предикат Р (/?,	2). Обозначим через D какое-
нибудь подмножество множества положительных нату-
ральных чисел. Рассмотрим многообразие определяе-
мое тождествами
Р (х, fx, ..., fx) - И (d£D).
Различным подмножествам D-/- Dl отвечают различные
многообразия Я'д =4= Яд±. Действительно, пусть
Яд = «О, 1, 2, ...}; /, Р, ...>,
где / (т) х. 4-1 и
Р (.с, у, .. ., z)<^-y—х=- ... —Z-—XQD,
Pi(x,y, ..., z)--И (Pi^P, PtEQ).
Ясно, что Яд =^= Яд, для D Di и Яд £ Ящ <=> D э D,.
Таким образом,
Яд = Яд, D = Dp
Число различных подмножеств множества положитель-
ных натуральных чисел равно 2К<>. Следовательно, столько
же существует п различных многообразий сигнатуры Q.
Примеры и дополнения
1. Класс Z/St всех гомоморфных образов систем любого реп-
лично полного класса й ость многобразие.
2. Пусть — многообразие групп, определяемое (в классе
всех групп) тождеством ж2 = 1. Класс групп ®, обладающих
таким нормальным делателем Л', что Л’ и ©/Л принадлежат Й2,
является многообразием бесконечного базисного ранга (Б. Ней-
ман, X. Нейман, П. Нейман [49]) *).
*) Первый пример многообразия труни бесконечного базис-
ного ранга указал Г. Хигмэп [69].
§ 14]	ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИЯ	357
§ 14. Примитивные замыкания
Примитивным замыканием класса систем St называет-
ся наименьшее многообразие St — К1$, содержащее
в себе все системы класса St. Класс R называется порожда-
ющим классом многообразия St. Существование примитив-
ного замыкания у любого класса St', а также существо-
вание аналогично определяемых аксиоматического,
квазипримитивно го п репличного замыканий St было
установлено в предыдущих разделах. Теперь мы хотим
более детально изучить, как те или иные свойства
класса St влияют на свойства порожденного им много-
образия St.
14-1. Порождающие системы. Пусть St — некоторое
многообразие и — принадлежащая этому многообра-
зию свободная система ранга nt. Согласно п. 13.1
St —
т. е. каждое многообразие обладает порождающей его
системой, которой, в частности, является свободная
система счетного ранга.
Будет ли каждое многообразие порождаться некоторой
совокупностью свободных систем конечного ранга?
Теорема 1. Каждое многообразие St порождается
совокупностью всех своих свободных систем конечного ранга.
Если оно порождается какой-то совокупностью систем,
базисные ранги которых не превосходят конечного числа п,
то St порождается свободной системой '-^п.
Пусть элементы vlt и2, ... образуют свободный базис
Обозначая через %п подсистему, порожденную в элемен-
тами и1г v2, ..., vn, будем иметь	где —
свободная система ранга п. Отсюда ясно,что произвольное
тождество тогда и только тогда истинно на когда оно
истинно на всех подсистемах (n = 1, 2, ...). Тем самым
первое утверждение теоремы 1 доказано. Второе утвер-
ждение вытекает из замечания, что каждая система базис-
ного ранга п является гомоморфным образом системы ^п.
Поэтому

358
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл. VI
где 21 j (JgJ)—заданные системы. Отсюда
Многообразия, пе порождаемые никакой своей свобод-
ной системой конечного рапга, были названы в п. 13.2
многообразиями бесконечного базисного ранга. Пример
такого многообразия был указан в дополнении 2 к § 13.
Мы знаем, что класс систем не обязан быть множеством,
имеющим определенную мощность, даже если системы
рассматриваются с точностью до изоморфизма. Допустим,
что класс систем Я —- (21; |г £ /) является множеством.
Согласно п. 13.1 свободные системы многообразия, поро-
жденного множеством Я, являются одновременно и сво-
бодными системами реплично полного класса	поро-
жденного множеством Я. Все системы указанного реплич-
но полного класса, в том числе и все свободные системы,
являются подсистемами декартовых произведений систем
множества StP. Сколько сомножителей надо взять, чтобы
произведение заведомо содержало свободную систему
заданного ранга nt? Ответ даст
Теорема 2. Пусть gin — свободная система ранга щ
в многообразии St, порожденном множеством систем
Я = {21; 1I}- Тогда с точностью до изоморфизма

(t'GZ).
(1)
Пусть М—какое-нибудь множество мощности щ. Обо-
значим через Lt совокупность всевозможных отображений
у: М~->21;, т. е. положим />, -2(;;. Переходя к мощ-
ностям, получим
| - |т.
Каждому у g Lt мы поставим в соответствие одну
и ту же систему 2(;, по систему, отвечающую у, будем
рассматривать как экземпляр 21; номера у и этот экземпляр
будем обозначать символом 21 ;Y. Таким образом, мы имеем
совокупность отображен ни
у:

(2)
§ 14]
ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИЯ
359
Этим отображениям отвечает однозначно определенное
отображение
В свою очередь, совокупности отображений р,- (7 Е /)
отвечав г однозначно определенное отображение
а;
i v
удовлетворяющее требованиям
T = owtfT (тЕ^, г'Е/)>	(3)
где л,-у — проектирование системы 91	j|9I;-., на сомпо-
Л т
житель 9117.
Обозначим через 95 подсистему системы 91, порожден-
ную элементами Ьт та («/£,!/). Остается доказать, что
95 — свободная в Я система ранга щ. Для этого достаточ-
но показать, что совокупность элементов Ьт (т£М)
в системе 91 является Я-независимоп, так как из
независимости относительно Я вытекает, в силу тео-
ремы 3 из п. 12.2, и независимость относительно
Я5][Я = Я.
Возьмем произвольное отображение ср:	>91, (mQM).
Соответствующее отображение m---> Ь,яср Е 9Ij должно сов-
падать с каким-то отображением (2) и потому
Lm(p^ ту (т£М).
В силу (3) отсюда получаем
т. е. отображение ср продолжаемо до гомоморфизма
niv: 91 —>91; и тем самым до гомоморфизма л;т: 95—»§{г,
что и требовалось.
Из теоремы 2 следует, что если многообразие порож-
дается одной системой 91, то для свободной в этом
многообразии системы ?уП1 ранга ш имеем формулу
Дпг —
|«I|nl
(4)
360
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл. VI
Условимся говорить, что совокупность систем локально
конечна, если любое конечное множество элементов про-
извольной системы пз этой совокупности порождает
конечную подсистему. Совокупность систем будем назы-
ваться равномерно локально конечной, если для каждого
конечного т существует такое конечное п — ср (г/г), что
произвольные т элементов любой системы из заданной
совокупности порождают подсистему, мощность которой
не превосходит п.
Теорема 3. Многообразие ЭД конечной сигнатуры
тогда и только тогда локально конечно, когда оно поро-
ждается равномерно локально конечной совокупностью
систем. Из локальной конечности произвольного много-
образия вытекает его равномерная локальная конечность.
Необходимость. Пусть многообразие ЭД
локально конечно. Тогда мощность его свободной системы
конечного ранга т будет конечным числом <р (т).
Всякая ЭД-система, порожденная т элементами, являет-
ся гомоморфным образом свободной системы и потому7
имеет мощность, по превосходящую ср (щ) — |??т|. Тем
самым доказаны пеоб\о,|.’>мо-ть условии и последнее
утверждение теоремы 3.
Достаточность. Пусть многообразие ЭД поро-
ждается равномерно локально конечным классом Я. Тогда
для подходящего множества I и отображения I —> Я имеем
(iСМ, Я/6Я).
Предположим, что т конечно, и пусть ь\, ..., и,„ — сво-
бодный базис системы $,п, л, —проектирование произведе-
ния на Обозначим через Ту подсистему, порож-
денную в элементами ..., птЛ;. Тогда
(?еЛ 53;еЭД).
Отсюда следует, что есть свободная система в мно-
гообразия £, порожденном системами 53,- (i С I)- ^се эти
системы имеют конечную сигнатуру и мощность каждой
из них не превосходит некоторого конечного числа ср (иг).
Отсюда следует, что среди этих систем существует лишь
конечное число попарно по изоморфных. Пусть это будут
системы S5t, . . ., Ту. Мы видим, что многообразие £
§ 14J
ПРЙМИТИВНЫК ЗАМЫКАНИЯ
361
порождается системами	и $'т — свободная
система в £. Согласно формуле (1)
т. е. система ?\т заведомо конечная.
Каждая 3);-система, порожденная т элементами,
является гомоморфным образом системы ^т, и потому
мощность каждом такой системы не превосходит конечного
числа |g,„|.
В теореме 3 условие конечности сигнатуры существенно.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим совокупность алгебр
Яп-= <{0, 1};	/2,
где /ь /2, ... — одноместные функции, причем в 91 п
о/^ (), 0/„u- 1	(i<«;/ 0,1....).
Ясно, что совокупность алгебр ?(„ равномерно локалг
по конечна. Обозначим через ЭК многообразие, поро-
жденное этой совокупностью, и пусть н— свободный поро-
ждающий элемент ^«-свободной алгебры g’i- Покажем,
что в fy. элементы vft, vf2, ... попарно различны. Действи-
тельно, если бы оказалось, что ufi = vfn (Z <' и), то во
всех алгебрах ЭД; было бы истинно тождественно xft —
= xfn, которое заведомо ложно при х = 0 в алгеб-
ре Йп. Итак, все свободные алгебры в многообразии 3)1
бесконечны, хотя это многообразие порождается равно-
мерно локально конечной совокупностью алгебр.
С другой стороны, требование конечности сигнатуры
можно опустить, если многообразие порождается одной
конечной системой:
Т о о р е м а 4. Конечная система любой сигнатуры
порождает локально конечное многообразие.
Пусть многообразие 3)1 порождается конечной систе-
мой 91. Из формулы (4) видим, что в 3)1 все свободные
системы конечного ранга конечны и потому многообра-
зие ЭК локально конечно.
Из теоремы 4, в частности, следует, что декатовы сте-
пени любой конечной алгебраической системы локально
конечны.
Напомним, что система ?! называется финитно аппрок-
симируемой, если для каждого Р б {Й, =} п каждой
362
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл. VI
n-ки элементов щ, ап, для которой Р (ал, ..., «„) = Л,
существует гомоморфизм <р: 91 -> ЭЛ па конечную систе-
му ЭЛ, При КОТОРОМ Р («1ф,	«п<р) ~ Л.
Многообразия, порождаемые произвольной совокуп-
ностью конечных систем, обладают рядом интересных
свойств, основное из которых указывает
Теорема 5. Многообразие ЭЛ тогда и только
тогда порождается конечными системами, когда все его
свободные системы финитно аппроксимируемы.
Пусть ЭЛ порождается совокупностью конечных систем
91; (i б !) Тогда в силу формулы (1) каждая свободная
в ЭЛ система будет подсистемой декартова произведения
конечных систем 91; и потому, согласно и. 2.5, будет
финитно аппроксимируемой.
Обратно, пусть какая-то ЭЛ-свободная система
финитно аппроксимируема. Согласно и. 2.5 это означает,
что
где 6; — конечные гомоморфные образы системы
Из С ЭЛ и гомоморфной замкнутости ЭЛ следует
6;Е ЭЛ. Обозначая теперь через 'Л мгогообразие,
порожденное всеми конечными системами, принадлежа-
щими ЭЛ. видим, что З'тп € Л. Так как свободные системы
у многообразий ЭЛ и Л оказались общими, то ЭЛ--91.
Лемма 6. Если система 91 финитно аппроксимируе-
ма и порождается конечной совокупностью своих элемен-
тов, то каждый гомоморфизм о этой системы на себя
является изоморфизмом.
Пусть для каких-нибудь Р б {О, =} и at, .. ., ап б Э1
имеем Р (а1, .. ., «„) = Л. Надо показать, что тогда
Р (алс, . . ., апл) — Л. Рассмотрим гомоморфизм ср: 91 ->
ЭЛ, где система ЭЛ конечная и Р (at ср, .. ., ап<р) — Л.
Реплично полный класс ft — 5 ]| (ЭЛ)Р состоит из подсистем
декартовых степеней конечных систем. Но декартовы
степени конечной системы являются локально конечными.
Поэтому все системы класса ft' локально конечны.
Обозначим через 35 реплику системы 91 в ft и пусть
а: 91 —95 — соответствующий ft-морфизм. Согласно тео-
реме 1 существует (см. рис. 1) эпиморфизм ф: 95	35,
§ 14]
ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИЯ
363
порожденная.
б
21
а
а



Ж
Рис. 1.
.... «,.а£) -- Л. По-
удовлетворяющий соотношению аф = оа. Система 55 есть
гомоморфный образ конечно порожденной системы 21
и потому система 55 сама конечно
принадлежит классу St, состоящему
лишь из локально конечных систем.
Следовательно, система 55 конечная.
Согласно п. 2.2 всякий гомормор-
физм конечной системы па себя яв-
ляется изоморфизмом, и мы прихо-
дим к заключению, что гомоморфизм
ф является изоморфизмом. Рассмот-
рим теперь гомоморфизм ср: 21 —>
-> 3)1. Так как 3)1 £Й, то найдется
гомоморфизм 55 -> 3)1, удовле-
творяющий соотношению ф --- а£. По
условию Р (П|ф, . . ., п„ф) - Р (гуД,
этому Р (ща, . . ., п„а)	Л. Так какф изоморфизм, то
Р (щаф, . .., щ,аф)  Л, т. о. Р («ща, ..апса) — Л
и потому Р (at&...«,щ) Л.
Из леммы G и теоремы 13.2.4 получаем
Следствие 7. Если свободная в себе система
конечного ранга п финитно аппроксимируема, то любые п
элементов из Д'п, порождающие ?Vn, образуют свободный
базис в
Соединяя это утверждение с теоремой 5, получаем
Следствие 8 (Йоне с он — Тарский [161).
Если многообразие 3)? порождается содержащимися
в нем конечными системами, то в ^-свободной системе ?ут
произвольного конечного ранга т каждые т элементов,
порождающие %w, образуют свободный базис
Теоремы 2—5 и следствие 8 сформулированы для много-
образий. Однако из их доказательств непосредственно
видно, что такие же утверждения справедливы для квази-
многообразий и произвольных реплично полных классов.
По иному обстоит дело с теоремой 1. Доказательство
ее основано на однозначной определяемое™ многообра-
зия своей свободной алгеброй счетного ранга, что неверно
для квазимногообразий.
Теорема 9. Квазимпогообразие Й тогда и только
тогда обладает порождающей системой, когда для любых
двух неединичных ^-систем 55, С существует ^-система,
364
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл. VI
содержащая подсистемы, соотвественно изоморфные систе-
мам 95, (S.
Достаточность. Пусть в квазимногообразии Я
любые две системы содержатся в подходящей третьей ft-
системе. Согласно теореме б из и. 12.1 отсюда следует,
что для любой совокупности неединичных ft-систем
$1г (i £ /) найдется ft-система, содержащая подсистемы,
соотвественно изоморфные заданным системам
Обозначим, как всегда, через (Xft совокупность всех
квазитождеств, истинных в классе ft, и пусть R — сово-
купность всех остальных квазптожцеств заданной сигна-
туры, которые ложны в ft. Для каждой формулы <4 б R
выберем в ft какую-нибудь систему <5 в которой форму-
ла Л ложна. Согласно только что сделанному замечанию
в Я найдется система ?1, в которую изоморфно вкладывает-
ся любая из систем 6^. Так как квазитождество Л ложно
на (Sл и (Sл — т0 ложно и в системе ?(, т. е. П
О R — 0. Из Е ft вытекает, что QW = <?Я. Поэтому
(Ж = (2ft, и, значит, квазимпогообразие Я’порождается
системой ?[.
Необходим о с т ь. Пусть квазимпогообразие ft
порождается системой 91. Согласно теореме 4 из п. 11.1
ft состоит из единичной системы п всевозможных подси-
стем фильтрованных степенен системы ?1. Берем произ-
вольные неединичпые ft-системы 95, 6, и пусть
95=ПВД,	©с=[[?17/)2,
где Di, D2—подходящие фильтры. Рассмотрим систему
б = П(П?т)/д2.
Ясно, что <3 Е ft. Далее, в 0 канонически вложена
система	а вместе с нею в S вложена и система 95.
С другой стороны, система канонически вложена
в | [ Поэтому 0 содержит подсистему [J ?1/£>2, а сле-
довательно система ® содержит и подсистему 6.
• Теореме 9 можно придать иную форму. Действительно,
согласно п. 12.1 любая пара неединичных систем квази-
многообразия Я содержится в^ подходящей Я-системе
в том и только том случае, когда все ft-композиции нееди-
ничных ft-систем инъективны. Отсюда получаем
§ 14]	ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИЯ	365
С л е д с т в и е 10. Квазимпогообразие Я тогда и толь-
ко тогда порождается индивидуальной системой, когда
^.-композиции любых кеединичиых h-систем инъективны.
Оговорки о неединичности систем в теореме 9 и след-
ствии 10 существенны. Например, алгебра
И = «1, 2, 3, ...}, +)
не содержит единичных подсистем и потому иа ней
истинно квазитождество х 4- х — х -> у = z, показываю-
щее, что ни одна нс-единичная алгебра, принадлежащая
квазимногообразию KQA, пе содержит единичной под-
алгебры...
В п. 12.1 был указан пример квазимногообразия Я,
в котором существуют неинъективные Я-композпции
неединичных Я-систем. Согласно следствию 10 Я может
служить и примером кг.азнмпогообразня, пе порождае-
мого никакой отдельной сисл смой.
14.2. Решетка многообразий. Взглянем теперь па
совокупность всех многообразии сигнатуры как на еди-
ное целое. Обозначим эту совокупность через Mq. Каждое
многообразие является аксиоматизируемым классом сис-
тем. Совокупность всех аксиоматизируемых классов сис-
тем сигнатуры Q обозначим /1ц.
Ясно, что пересечение любой совокупности много-
образий есть многообразие и что среди многообразий
в Ма есть наибольшее — тотальное или абсолютное
многообразие всех систем сигнатуры Q, и наименьшее —
тривиальное многообразие, состоящее лишь из одном
единичной системы. Поэтому 71/ц есть полная нижняя
полурешетка с единицей, а следовательно, Мц можно
рассматривать и как полную решетку с нулем и единицей.
Поскольку операция пересечения в /1ц и в Mq одна
и та же, то Mq является нижней подполурешеткой решет-
ки Aq. Однако MqHc есть подрешетка решетки /1ц, так
как операция решеточного объединения классов в /1ц
и в Mq определяются по-разному и в общем случае
отличаются от теоретико-множественного объединения
классов. Далее мы будем рассматривать Mq как частично
упорядоченное множество с теоретико-множественным
отношением включения классов в качестве отношения
частичного порядка.
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл. VI
366
В приложениях обычно рассматривается не множест-
во Л/q, а совокупность всех подмногообразий какого-
нибудь фиксированного многообразия ЭЛ. Эту совокуп-
ность мы обозначим через М (ЭЛ) и структуру ее рассмот-
рим более подробно.
В многообразии ЭЛ и в каждом его подмногообра-
зии ft s ЭЛ существуют свободные системы счетного
ранга, которые мы обозначим, соответственно, через 8да =
=8 и 8ft- Согласно п. 13.1 многообразие ft однозначно опре-
деляется системой 8ft- Вопрос о том, какие из ЭЛ-систем
являются свободными в некотором многообразии
также был решен выше: это в себе свободные системы.
Итак, существует взаимно однозначное соотвествие между
в себе свободными ЭЛ-системами со счетным в себе сво-
бодным базисом и подмногообразиями многообразия ЭЯ,
определяемое формулой
8я—>^8й»
причем взаимную однозначность здесь следует понимать
в том смысле, что изоморфным системам отвечают равные
многообразия, а не изоморфным — различные.
Фиксируем теперь конкретную свободную систему
счетного ранга % в основном многообразии ЭЛ, и пусть
ft — какое-нибудь л подмногообразие в ЭЛ. Согласно
п. 12.2 соответствующая ft-свободная система 8ft есть
ft-реплика системы % и потому существует ft-морфизм
Ф: 8 —* 8ft>
из которого следует, что система 8ft изоморфна подходя-
щей фактор-системе 8/6*)- ft-свободные системы 8ft
определяются лишь с точностью до изоморфизма. Однако
отвечающие им фактор-системы 8/0 будут одинаковы.
Действительно, пусть 8ft, 8ft — какие-то свободные
системы счетного ранга в ft и ср, гр* — отвечающие им ft-
*) Действительно, пусть 0 — ядериая конгруенция, отвечаю-
щая ft-морфизму ф, и о — канонический гомоморфизм 8 на д70.
По определению ft-реплики существует гомоморфизм § <5^, на -J/0
такой, что о = <Д. Используя определение фактор-системы 8/0,
легко проверить что £ есть изоморфизм.— Прим. ред.
§ 14)	ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИЯ	367
морфизмы. Нужно показать, что ядерные конгруенции
6, 0*, определяемые St-морфизмами ср, ср*, совпадают.
Рассмотрим гомоморфизм	>-3$, для которого
ср* = <р|. Еслп а, Е ?У 11 а (®)> т0 °ф = ^Ф, откуда
сср^ 6<р£, т. е. aq>* -- Ь(р*. Таким образом, из а = b (6)
следует а Ъ (()*). Верно и обратное, поэтому 0 = 0*.
Итак, отображение
у.:	(1)
является взаимно однозначным соответствием между в себе
свободными счетного ранга фактор-системами j^/0 и под-
многообразиями. основного многообразия ЭЛ.
Найдем теперь условия, при которых фактор-система
Й/0 является в себе свободной системой счетного ранга.
Фиксируем в какой-нибудь свободный базис Pj, и2, ...
Если ?у/0 принадлежит какому-то подмногообразию St,
то канонический гомоморфизм д- —> 8'/0 будет St-морфиз-
мом. St-морфизм свободной системы на свободную пере-
водит свободный базис в свободный базис. Поэтому
фактор-система j^/0 тогда и только тогда является сво-
бодной системой счетного ранга, когда последовательность
z^O, п30, • • • образует свободный базис в ^/0.
Произвольная фактор-система 21/0 системы ?! назы-
вается характеристической, если она сохраняется при
любом автоморфизме ср системы 21, т. е. если
7’(«10, ..., ап())=', Р (а^О, ..., «пф0)	(2)
(PG{Q,	«п€?1).
Если условие (2) выполняется прп любом эндоморфиз-
ме ср системы И (т. е. гомоморфизме в себя), то фактор-
система 21/0 называется вполне характеристической.
Теорема 1. Для того чтобы фактор-система 21/0
какой-нибудь в себе свободной ранга Ш системы 21 была
также в себе свободной ранга ш системой, необходимо
и достаточно, чтобы фактор-ситема 21/0 была вполне
характеристической.
Необходимость. Пусть vt (i £/) — свобод-
ный базис 21, ср — какой-то эндоморфизм системы 21,
и для некоторых аЛ, . .., апб ^ имеем
P(afi, ..., anQ) = H (Pe{Q, =--}).	(3)
ЗС8
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл. VI
Выражая элементы а(, .. ., ап через базисные, получим
h(va, ..., щ) (X=l, ...,п),	(4)
где va, .... vy — различные элементы базиса и fb /„ —
подходящие термы сигнатуры Q. Переписывая соотноше-
ние (3) в виде
Wl^a, г’у)О, - fn{Va, , Ру)0)--Я	(5)
и принимая во внимание, чго отображение «—>я0 -гомо-
морфизм, получим
P(ft(Va0, , u-fi), /пО’сД ..., Р?0)) == П. (б)
По условию совокупность {i'iQ\iQl} является свобод-
ным базисом в 21/0. Поэтому из (6) следует, что в 21/0
истинно тождество
Р (fl (^«. • • • , ^т)> -  • , fn (^csi • - • < ‘С?)) — Ч•
Полагая здесь	(j —а, .у) и производя
замену (4), получим соотношение
Р ("1ф0. • • • > «нфО) — И,
показывающее, что фактор-система 21/0 вполне характери-
стична.
Достаточность. Пусть {щ | i £1} — свободный базис
системы ?! и 21/0— вполне характеристическая фактор-
система. Надо доказать, что совокупность элементов
vfi (г €7) свободна в 21/0, т. е. что для произвольных
термов Д, ..., /„ из соотношения (С>) вытекает соотношение
P(fifacfi, -	«v0), jn(aa0, ..., «v0))=/7, (7)
где aa, ...,	— произвольные элементы 21.
Элементы щ свободны в 21. Поэтому отображение
ср: vt —> я,-	(с = а, ..., у)
может быть продолжено до эндоморфизма <р: 21—>21.
Поскольку отображение о—><70 является гомоморфизмом,
то из (б) следует (5). Гак как фактор-система 21/0 вполне
характеристическая, то из (5), в силу (2), получаем
Р(/1(^, ..., H?)tp0, ..., /п (t'B, ..., Г7)(рО)=//
§ 143
ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИЯ
369
и, следовательно,
Р (ft (^афО, • • •, Щ,фО), • • • > fn (1>аф0> • • • ’ Р?Ф6)) = И,
что совпадает с (7).
Теорема 1 позволяет утверждать, что отображение (1)
является взаимно однозначным соотвествием между мно-
жеством всех вполне характеристических фактор-систем
системы 3 и множеством всех подмногообразий много-
образия ЭЛ.
Как уже упоминалось, множество М (ЭЛ) подмного-
образий является частично упорядоченным относительно
теоретико-множественного включения классов. С другой
стороны, совокупность всех фактор-систем системы 3 так-
же частично упорядочена, согласно правилу: 370 <7 3/°
тогда и только тогда, когда тождественное отображение
е: 3 -* 3 индуцирует гомоморфизм е: 370 ->• 3/° *)•
Покажем, что отображение (1) обращает частичный поря-
док, т. е. что для любых вполне характеристических
фактор-систем 3/0, 3'/° имеем:
3/0 < 3/о<^ KI (3/0) э KI (З/о)-	(8)
В самом деле, пусть 370<3’/°- Тогда в силу канониче-
ского гомоморфизма 3/0 —*3/(Т получаем I (3/0) S Л37°) и,
следовательно, KI (376) Э KI	Обратно, пусть
71/(370) 3 АГ/(3/о). Рассмотрим свободный базис Vt(i£l)
системы 3- Так как 3/0—вполне характеристическая
система, то совокупность {у,О|г’С/} является ее свобод-
ным базисом. По условию система 37° принадлежит
многообразию, порожденному системой 3/0- Поэтому ото-
бражение
<p: vfi —> via (i С I)	(9)
может быть продолжено до гомоморфизма <р: 370 -> З/о»
причем соотношения (9) показывают, что ср совпадает
с гомоморфизмом е: 3/0	37о, а это и значит, что
3/0 < З/о-
Итак, доказана следующая основная
Теорема 2. Отображение (1) частично упорядо-
ченной совокупности X (3) всех вполне характеристиче-
ских фактор-систем свободной счетного ранга системы 3
*) То есть когда Ос а.
1/2 24 А II. Мальцев
370
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл. VI
многообразия ЭЛ на частично-упорядоченную совокуп-
ность М (ЭЛ) всех подмногообразий, многообразия ЭЛ
является антиизоморфизмом X ($) на М (ЭЛ).
Выше отмечалось, что совокупность М (ЭЛ) является
решеточно упорядоченной, причем соответствующая решет-
ка М (ЭЛ) полная.
Из теоремы 2 следует, что совокупность X @) также
решеточно упорядоченная и решетки X (g) и М (ЭЛ)
антиизоморфпы.
В случае, когда рассматриваются многообразия алгебр,
фактор-системы 91/0 однозначно определяются соответ-
ствующими конгруенциями 0 (и. 2.4). Если фактор-алгеб-
ра 91/0 характеристическая или вполне характеристиче-
ская, то и конгруенция 0 называется характеристической
или, соответственно, вполне характеристической. Из опре-
деления понятий характеристической и вполне характери-
стической фактор-систем непосредственно получаем
Следствие 3. Конгруенция 0 на алгебре 91 тогда
и только тогда характеристична (вполне характеристич-
на) , когда
xQy • хцОуц) (х, yQ9()	(10)
для любого автоморфизма (эндоморфизма) <р: 91 —> 91.
Необходимость очевидна, так как (10) можно пере-
писать в виде
аО = у6 =ф хфО = усрО,
т. е. в виде формулы (2) при Р, совпадающем со знаком =.
Предположим, обратно, что для некоторой конгруенции 0
и эндоморфизма <р утверждение (10) истинно. Надо полу-
чить соотношение
F (а$, ..., ап0) =--п0=ф F (щсрб, ..., ancp0) = «<pO (FQQ).
Но из F («.О, ..., н„0) = п0 вытекает F (щ, ..., ап)0 =
— «0, а отсюда на основании (10) заключаем, что
F («!, ..., сп)<рО = «ср0, и потому F (аррО, ..., <т„ср8) = я<р0.
В терминах теории конгруенций теорему 2 можно пере-
формулировать теперь в таком виде:
Следствие 4. Пусть % — свободная счетного
ранга алгебра многообразия алгебр ЭЛ. Тогда отображение
Q->KI(%iK)
§ 14]
ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИЯ
371
является антиизоморфизмом решетки вполне характери-
стических конгруенций алгебры % на решетку всех под-
многообразий многообразия ЗЛ.
Для доказательства достаточно заметить, что
31/0 < 31/о<^->0 о
для любых конгруенций 0, а иа произвольной алгебре 31.
Согласно п. 11.3 конгруенция 0 на какой-то алгебре 31
называется квазивербалъной (вербальной), если канониче-
ский гомоморфизм 31 ->• 31/0 является St-морфизмом
для подходящего квазимногообразия (многообразия) St.
Ясно, что здесь вместо «подходящего» можно говорить
«порожденного алгеброй 31». Из доказанных выше свойств
вполне характеристических конгруенций следует, что
понятия «вербальная» и «вполне характеристическая» для
конгруенций на в себе свободных ал-
гебрах равносильны. В общем случае
верна
Т е о р е м а 5. Каждая квазивер-
балъная фактор-система 31/0 произ-
вольной системы 31 является вполне
21-------
е

характеристической.	о
Пусть — какой-нибудь эндо-	,
морфизм 51. Так как по условию	*"
отображение 0: 31	31/0 есть St-мор-
физм, то (см. рис. 1) найдется эндо-	Рис- 1-
морфизм системы 51/0, кото-
рый удовлетворяет требованию ср0 = Gfe. Отсюда получаем
Р (fljG, . .., нп0) Р («10Е, . .., сп0Е) =к Р (а!<р0, . .., «нфО),
где Р б {О, =-} и «j, ..., ап — произвольные элементы
системы 31.
Легко убедиться, что квазивербальиая конгруенция
пе обязана быть вербальной. Наример, пусть St — квази-
многообразие всех абелевых групп без кручения и 31 =
= 55 х где ® — свободная абелева группа счетного
ранга, а Зр — циклическая конечного порядка р > 1.
Ясно, что есть наименьшая инвариантная подгруппа
в 31, фактор-группа по которой принадлежит St. Следова-
тельно, фактор-группа Sl/gp квазивербальная. Если бы
опа была вербальной, то она принадлежала бы некоторому
24*
372
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл. VI
многообразию 8. Это многообразие содержало бы все фак-
тор-группы 95, в том числе и саму группу ?1, вследствие
чего отображение 21 -> ?Г/Зр пе было бы 8-морфизмом.
14.3. Минимальные многообразия н квазимногообра-
зия. Совокупность <3 тождеств (квазитождеств) данной
сигнатуры Q называется эквационально полной или 1-пол-
ной (соотвественно квазиэквационалъно полной или Q-пол-
ной), если все формулы из (S истинны в какой-то неединич-
ной fi-системе, но любое другое тождество (квазитождест-
во) сигнатуры О или является формальным следствием
совокупности ©, или же вместе с нею образует совокуп-
ность формул, истинную лишь в единичной О-системе.
Многообразие (квазимпогообразие) Я сигнатуры О
называется минимальным или атомарным, если Я являет-
ся атомом в решетке всех многообразий (квазимногообра-
зий) сигнатуры О, т. е. если Я содержит неединичную
систему, по внутри Я уже пет никаких отличных от Я
подмногообразий (подквазимногообразий), отличных от
единичной системы.
Сравнивая изложенные определения минимальности
и полноты, приходим к заключению, что совокупность
тождеств (квазитождеств) тогда и только тогда I-полная
(соответственно Q-полная), когда эта совокупность опре-
деляет минимальное многообразие (минимальное квази-
многообразие).
Алгебраическая система сигнатуры Q называется /-пол-
ной (^-полной), еслп совокупность всех истинных в ней
тождеств (квазитождеств) является /-полной (^-полной),
т. е. если она порождает минимальное многообразие
(квазимпогообразие).
Из этих определений непосредственно вытекает
(ср. и. 13.1)
Следствие 1. Для любого неединичного многообра-
зия (квазимногообразия) Я следующие утверждения равно-
сильны:
а)	Я —- минимальное многообразие (квазимногообразие)',
б)	Я порождается (как многообразие или соответст-
венно как квазимногообразие) любой своей неединичной
системой;
в)	все неединичные системы из Я I-эквивалентны
(Q-эквивалентны).
§ 14]	ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИЯ	373
Доказательство очевидно. Отметим частный случай этого
следствия.
Следствие 2. Каждое минимальное многообразие
и каждое минимальное квази многообразие порождаются
своей свободной системой ранга 2.
Пусть Й, @ — свободные системы ранга 2 соответ-
ственно в минимальном многообразии St и минимальном
квазимногообразии 8. Так как классы й и £ неединич-
ные, то системы и @ также неединичные (и. 12.2).
Вместе с @ будут пеединичными многообразие К1^
и квазимпогообразие KQ@. Из включении
К1% <= St,	KQ& с= £
и минимальности St, £ вытекает, что
7<7g = St,	7О?@-£.
В следствии 2 свободные системы ранга 2 заменить
свободными системами ранга 1 нельзя, так как из нееди-
ничности класса St не всегда следует пеедипичность
свободной системы ранга 1.
Следствие 3. Каждое минимальное многообра-
зие фиксированной сигнатуры содержит единственное мини-
мальное квазимногообразие той же сигнатуры. Существу-
ют минимальные квазимногообразия, не содержащиеся
ни в каком минимальном многообразии заданной сигнатуры.
Пусть 3)1 — минимальное многообразие фиксированной
сигнатуры и g-2 — ЭЛ-свободпая система ранга 2. Каж-
дое содержащееся в 3)1 минимальное квазимпогообразие St
порождается своей свободной системой @2 ранга 2. Систе-
ма @2 порождает некоторое подмногообразие @2 много-
образия 3)1, причем @2 свободна в @2- Так как многообра-
зие 3)1 минимальное, то @2— 3)1. Поэтому системы g-2,
@2 изоморфны И
R = KQ<S2 = KQ%2.
Обратное рассуждение несправедливо. Действительно,
пусть St — минимальное квазимпогообразие, порожден-
ное свободной системой @2 ранга 2. Рассмотрим много-
образие 3)1 = @2, порожденное системой @2- Так как ква-
зимногообразие St пе обязательно гомоморфно замкнуто, то
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл. VI
374
система &2 может иметь в себе свободный гомоморфный
образ g2, не принадлежащий St. Тогда
§2е@2, serial®},
где (5 — единичная система, и потому §2 с- @2-
В качестве примера рассмотрим квазимногообразие St,
сигнатура которого состоит из одного унарного функцио-
нального символа / и которое определено квазптождествами
/Зж = х;	fx = х —» х = у.
Свободная St-алгебра VI с порождающими а, Ъ содер-
жит, очевидно, 4 элемента: а, /а, b, fb. Какими фактор-
алгебрами обладает алгебра VI? Пусть о — конгруеиция
иа VI. Если facb, то /2«о/б, acfb, и потому Vl/o либо
единичная, либо St свободная алгебра снорождающим ас.
То же будет и в случае, когда facrfb, и потому
f2aof2b, acb.
Если же acfa, то в фактор-алгебрс VI/’а имеем / (ас) =- ас
и, значит, либо SI/o £ St. либо VI/o — единичная алгебра.
Итак, в Si нет в себе свободных алгебр ранга 2, отлич-
ных от VI. Поэтому квааимногообразие Si минимальное.
Ясно, что ни одно тождество вида fmx = f'y не удо-
влетворяется па VI. Если, тождество вида fmx — fny истинно
па VI, то разпость т — п. очевидно, четная, и потому это
тождество является формальным следствием тождества
j2x — х. Мы видим, что многообразие VI, порожденное
системой VI, характеризуется одним тождеством f2x = х.
Однако многообразие VI не минимальное, так как в нем
содержится подмногообразие З.Л0, характеризуемое тожде-
ством fx — х. Последнее тождество не выполняется на VI,
п потому ЗГ0 VI.
Несколько более специфичной для теории много-
образий является
Теорема 4. Неединичное многообразие тогда
и только тогда минимально, когда каждая его неединичная
система I-полная.
Все неединичные системы минимального квазимного-
образия Q-полные. Если в неединичном квазимногообразии Si
композиции инъективны и все неединичиые системы из St
Q-полные, то квазимногообразие St минимальное.
§ 14]
ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫ KA IIИ Я
375
Пусть многообразие Я минимально н 21 — неедичная
система из Я. Так как
21 с а:/й <= я
и многообразие Я минимальное, то KI^l = Я и, следо-
вательно, система 21 /-полная. Эти же рассуждения верпы
и для квазимногообразнй.
Обратно, пусть в неединичном многообразии Я все
неединичиые системы /-полные. Рассмотрим какие-нибудь
неединичиые системы 21, 95 из Я. Так как системы 21, 93
являются гомоморфными образами декартова произведе-
ния 21 X 93, то
/ (21 х 95) s р/I, / (?) х
Но системы 21, 93, 21 X 95 /-полные. Поэтому
/21 = Т (21 X 95) = /95,
т. е. все неединичиые Я-системы /-эквивалентны. В силу в)
из следствия 1 отсюда вытекает минимальность много-
образия Я.
Если Я — квазимногообразие, то в указанных рас-
суждениях вместо декартова произведения 21 X 95 следу-
ет воспользоваться Я-композицией 21 * 95 и заметить,
что по условию система 21 * 93 содержит системы 21. 95
в качестве своих подсистем.
Условие инъективности композиций в теореме 4 суще-
ственно. Например, рассмотрим системы, сигнатура кото-
рых состоит из одноместных предикатных символов Р, Q.
Квазпмкогообразие Я, определяемое формулами
состоит из трех одноэлементных моделей 2Ilt 212, 2Т3, имею-
щих соответственно диаграммы
£>(211) = {Р(«), (?(«)},
7)(212) = {ПР(«). “!<?(«)},
/)(213) = {-1Р(«), <?(«)}.
Модель 214 единичная, модель 2(2 абсолютно свободная.
Пара 211, 212 образует минимальное квазимногообразие,
определяемое формулами
к =!/, Р (г) -» Q (.г), Q (ж) -» Р (х),
376
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл. VI
а пара 2Ii, 213 образует минимальное квазимпогообразие,
определяемое формулами
a; = i/, Q (х).
Отсюда следует, что модели 212 и 213 ^-полные. Таким
образом, все неединичные модели квазимногообразия R
(Тполные, а само квазимпогообразие R пе минимальное.
В п. 10.1 отмечен общий принцип пополнения совокуп-
ностей формул языка 1-й ступени. Для многообразий
и квазимногообразпй из него легко получается
Теорема 5. Каждое неединичное многообразие
(квазимпогообразие) R алгебраических систем произволь-
ной сигнатуры Q содержит хотя бы одно минимальное
многообразие (квазимногообразие).
К совокупности формул
(g = /й и Вху (х #= у)
будем присоединять различные совокупности £ тоягдеств
сигнатуры Q так, чтобы объединенная совокупность (g (J £
была выполнимой. Согласно упомянутому принципу
пополнения из п. 10.1 существует максимальная совокуп-
ность £, обладающая указанным свойством. Обозначим
через Й1 многообразие, определяемое тождествами ZSv
и максимальной совокупностью £. Так как совокупность
б U £ выполнима, то многообразие Hi неединичное.
Если Hl пе содержит одноэлементных неединичных систем,
то многообразие Rj минимальное, Sli s R и утверждение
теоремы 5 (для многообразий) истинно.
Пусть R1 содержит одноэлементную неединичную систе-
му 21. Тогда 21 будет принадлежать многообразию Si2, опре-
деляемому тождествами
ZR,	Уху (х = у),	(1)
и потому Й2 будет неединичным подмногообразием много-
образия St. Свободная в Й2 система будет также нееди-
ничной и, следовательно, для подходящего предикатного
символа Р б й
Р(н, ...,«) = Л (a£$t).
Пусть Р>. (?. б L) — остальные предикатные символы
из Q. Многообразие й3, определяемое тождествами (1)
§ 14]	ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИЯ	377
и дополнительными тождествами
Рк(х, х)	(Х£Л),
состоит лишь из единичной системы и одноэлементной
системы 55, диаграмма которой содержит только одну
негативную формулу, а именно формулу ”1 Р (а, . . ., а).
Поэтому многообразие ft3 минимальное. Так как S3 являет-
ся гомоморфным образом то 55 £ ft2 и, следовательно,
ft ft2 Э ft3, что и требовалось.
Утверждение теоремы: 5 для квазимногообразий дока-
зывается аналогично. К совокупности формул
<S — U Вху (х у)
присоединяем максимальную совокупность £ квазито-
ждеств, для которой совокупность Q U £ выполнима, и обо-
значаем через ft( квазимпогообразие, определяемое квази-
тождествами ((ft (J £. Если ftj не содержит пеединпч-
ных одноэлементных систем, то ft( — искомое минимальное
подквазимногообразие в ft. Если же Stj содержит какую-
нибудь одноэлементную пеедипичную систему SI, то
рассматриваем квазимпогообразие ft2, определяемое фор-
мулами
V/7/(.T-^), Р?.(щ . . ., з)->Ри(а ..., х), Ра(х, х),
где Р}_, Ptl — всевозможные предикатные символы из Q,
значения которых в 'Л ложны, а Ра — те предикатные
символы, значения которых в 21 истинны. Ясно, что Jft2
состоит лишь из единичной системы и системы 91, и пото-
му квазимпогообразие ft2 минимальное. Оно и является
искомым минимальным подмногообразием в ft.
Теорема 5 утверждает лишь существование минималь-
ных подмногообразий в каждом многообразии. Число
минимальных многообразий, содержащихся в каком-ни-
будь заданном многообразии ft, зависит от ft.
'Г о о р е м а 6. Если асе системы многообразия (ква-
зимпогообразия) ft локально конечны и его сигнатура Q
конечна, то М содержит лишь конечное число минимальных
многообразии (квази многообразии).
Согласно следствию 2 каждое минимальное много-
образие (квазимпогообразие) в К порождается свободной
в себе системой ранга 2, содержащейся в ft'. Каждая си-
стема ('Я осп. гомоморфный образ ft-свободной системы
23 д. и. M.I н.п*-в
378
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл. VI
ранга 2. Так как g порождается двумя элементами, то,
по предположению, система § конечная. Поэтому число
различных конгруенций на g также конечно. Поскольку
сигнатура g содержит лишь конечное множество симво-
лов, то число различных гомоморфных образов g, отве-
чающих заданной конгруенции, конечно. Следовательно,
система g обладает лишь конечным числом различных
гомоморфных образов, среди которых находятся и все
свободные в себе системы @. Поэтому число неизоморф-
ных систем @, а вместе с ним и число минимальных
подмногообразий и подквазимногообразий в St конечно.
Согласно п. 14.1 каждое многообразие, порожденной
конечной системой, состоит из локально конечных систем.
Поэтому из теоремы 5 вытекает
Следствие 7 (Д. Скотт [60]). Если многообра-
зие ЭЛ порождается* конечной системой и сигнатура его
конечна, то в ЭЛ содержится лишь конечное число мини-
мальных многообразий и минимальных квазимногообразий.
Естественно, возникает вопрос, сколько существует
различных минимальных многообразий и минимальных
квазимногообразий данной сигнатуры £2? Поскольку каж-
дое минимальное многообразие содержит единственное
минимальное квазимпогообразие, то число минимальных
многообразий данной сигнатуры не превышает числа
минимальных квазимногообразий. Впервые задачу о числе
минимальных многообразий изучал Кали ц к и й [17],
показавший, что существует континуум различных мини-
мальных многообразий группоидов. Этот результат легко
распространяется и на многообразия алгебр произвольной
сигнатуры.
Теорема 8. Существует не менее 21 Е । различных
минимальных многообразий Q-уноидов. Если сигнатура £2
рассматриваемых алгебр содержит хотя бы один неунар-
ный функциональный символ, то число различных мини-
мальных многообразий сигнатуры £2 равно 2‘q’ + k°.
Пусть £2 = {/, |i б. 1} и К — произвольное подмноже-
ство множества I. Рассмотрим многообразие Э1Л- £2-уноидов,
определяемое тождествами
= ж (ДК),	1
fjx = fhy	()
§ 1«]
ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИЯ
379
Многообразие 3tK заведомо неединичное, так как оно
содержит двухэлементную алгебру ({я, Ь}, й), в которой
/г(т) = х, />(а) = /ДЙ) = Ь (IQK, К1\К).
Любое тождество сигнатуры й имеет вид а), б), в) или г)
(см. и. 13.3), и легко проверить, что либо оно является
формальным следствием совокупности (2), либо вместе
с нею образует совокупность формул, из которой выводи-
мо тождество х — у. Следовательно, многообразие
минимальное.
Таким образом, число минимальных многообразий
упоидов сигнатуры й не менее числа различных подмно-
жеств К множества I, равного 2IQI.
Рассмотрим теперь случай, когда сигнатура й —
—	бесконечная и содержит хотя бы один
неунарпый функциональный символ. В и. 13.3 было пока-
зано, что решетка подмногообразий многообразия й-алгебр,
удовлетвориющих тождествам
/г(.с, :г2, ..., ;гп.)=/г(.т, у2, . . ., уп.) (i£l)
изоморфна решетке всех многообразий сигнатуры й* —
— (#<14 6 гДе Si — одноместные функциональные сим-
волы. Как только что было показано, мощность совокуп-
ности минимальных многообразий й*-уноидов больше или
равна 21 ц1. Поэтому существует не менее 21£!1 минималь-
ных многообразий сигнатуры й. Так как всего существует
21 £21 +хо = 21а । многообразий сигнатуры й, то мощ-
ность совокупности минимальных й-многообразий точно
равна 21 Ql
Остается рассмотреть случай, когда сигнатура й конеч-
на и содержит хотя бы один неунарный функциональный
символ fa. Рассматривая подмногообразия многообразия,
заданного тождествами
fa (г> Уч х3ч • • - ч -- fa (хч Уч %3ч •   ч гпа)ч
ft ...... rn.) -- xt (i a, i c I),
видим, что дело сводится к доказательству утверждения
теоремы 8 лишь для многообразий группоидов с одпой
бинарной операцией, которую мы обозначим через °.
Следуя К а л и ц к о м у [17], вводим сокращенные
25*
380
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл. VI
обозначения
х О X = 2а-, 2пх о 2".г =- 2" 1 Ь: (п-= 1,2, . ..).
Пусть М — какое-нибудь непустое множество нату-
ральных чисел, больших единицы, и М' — совокупность
остальных натуральных чисел, больших единицы. Обо-
значим через 'Ллг многообразие о-группоидов, определяемое
совокупностью тождеств
(') 2хох~^2уоу,
(и)	2,пжо./; -2а <>.*; (тQ М),
(Hi) 2ижо х — х (п б М'),
(iv) х о у =._ у о т.
Покажем, что каждое многообразие пеединичное.
Для этого определяем на множестве N натуральных чисел
операцию полагая для любого натурального i
(i +1) ° i = - i ° (i 1) = 0,
(г J- m) ° i —io(j m) — 0	(m £M),
(t-| /t)o? i°(i ; n) I
i, л i i -] I.
Ясно, что так определенный группоид (TV, °) при-
надлежит многообразию s2IAf, и потому это многообразие
пеединичное.
Легко убедиться также, что пересечение любых двух
многообразий 91лг, ?1Ь, отвечающих различным множест-
вам М, L, содержит лишь единичный группоид. Действи-
тельно, если .47	£, ту существует число х, принад-
лежащее (.47 (J L’) J (Т1П J £). Поэтому на произвольном
группоиде (Л, о), принадлежащем пересечению много-
образий и S2IL, одновременно выполняются тождества
2х ° х= 2у о у,
2s я: ° х — 2х о х,
2SX о;Г. -- .Г,
из которых вытекает тождество х = у.
i Согласно теореме 5 в каждом многообразии содер-
жится какое-то минимальное подмногообразие Так
§ 14]
ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИИ
381
как для Л/ =/= L имеем ЭДлгрЭДг. {®}, то SJ[*( =^= ЭД*-.
Поэтому мощность совокупности многообразий ?!*/ совпа-
дает с мощностью совокупности всех непустых подмно-
жеств множества натуральных чисел, т. е. равна мощно-
сти континуума.
Итак, мощность совокупности всех минимальных много-
образий группоидов не меньше мощности континуума. Так
как мощность совокупности всех многообразий груп-
поидов меньше или равна х, то совокупность всех минп-
тальных многообразий группоидов равна мощности кон-
мпнуума.
Поскольку тождества (i) — (iv) определяют много
образие к о м м у т а т и в и ы х группоидов, то приве-
денные выше рассуждения доказывают более сильное
С л е д с т в п е 1). CoeoKyiiiiocino tice.r .Miiiiii.M<iji,iu,i.r
многообразии коммцпкпнионых cpipinoiitfoo имеет .мощ-
ности ь копт и и ip/.iio
Задача об определении мощности совокупности мини-
мальных подмногообразия, содержащихся в каком-то
фиксированном многообразии решена для ряда важ-
ных случаев.
Некоторые другие результаты о минимальных много-
образиях систем указаны в дополнения х к этому параграфу.
Примеры и дополнения
1. Многообразие групп минимально тогда и только тогда, ког-
да оно абелево простой экспоненты (т. е. состоит из абелевых групп,
удовлетворяющих тождеству х1'1 -= е, где р — фиксированное про-
стое число).
2. Многообразие полугрупп минимально тогда и только тогда,
когда оно может быть задано в классе всех полугрупп одной из сле-
дующих систем тождеств:
3-‘	ху	ух, хх - х,
У:	ху —	х,
Ж:	.ту	у,
(S:	ху	z w,
ху --= ух, х>‘у - у (д — простое число).
(К а л и ц к и Й и С котт [18].)
3,	Дистрибутивные решетки составляют единственное мини-
мальное многообразие решеток (К а л и ц к и й и С к о т т 118]).
4.	Многообразно Я ассоциативных колец минимально тогда
п только тогда, когда оно является либо многообразием /i-нуль-
ь'олец, либо многообразием p-колец (р — простое число), т. е. если
Я‘ может быть определено в классе ассоциативных колец либо
382
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл. VI
тождествами рх - 0 = ху, либо тождествами рх = 0, т'й = х
(Тареки й [63]).
О минимальных квазимпогообразиях ассоциативных колец
см. Виноградов [11].
5.	Множество минимальных многообразий тотально симмет-
рических квазигрупп имеет мощность континуума (Боль-
бот [9]).
6.	Пусть т, п — фиксироваппыс’целые числа, удовлетворяю-
щие неравенствам 1 т п. Следуя п. 12.2, обозначим через
п многообразие алгебр (Л, Ft, . . . , Gi, . . . , Gm) типа
(m, . . . ,	m, n, . . . , n), определяемое	тождествами
Ft (Gj (Xi,	. . . , xn), . . . , Gm(xt, . . . ,	x„)) = Xi {i =	1,	. . . ,	n),
Gj {Fi (xt,	. - . , xm), . . . , (xj, . . . ,	xnl)) = х} (j =	1,	. . .,	m).
Среди многообразий „ (1 <5 m C n) минимальными являются
многообразия ,n {n > 1) и только они. Если п m2, то
многообразие (Sm, п содержит континуум минимальных подмно-
гообразий Решетка М (Sj, 4) подмногообразии многообразия j
изоморфна решетке, получающейся из решетки целых чисел с отно-
шением делимости (а; < у <=> а.| у) внешним присоединением пуля
п единицы. (А к ат а св и Смирнов [2].)
7.	Пусть ft'—фиксированный класс алгебраических систем
и U, 58 — некоторые его подклассы. Обозначим через До 33
й
класс тех й-систсм 81, каждая из которых обладает такой кон-
груенцпей 6, что фактор-система 81/0 принадлежит S3, а все
смежные классы «6 (а б Й), являющиеся ft-системами, принад-
лежат U:
81 б Но 58 <-> 81 б ft' & (30) (й/0 б 53) & (Va) («О б St -» «О б II).
й
Если й — квазимпогообразие алгебраических систем, сигнатура
которого содержит лишь конечное число функциональных симво-
лов, то произведение 11 о 58 любых двух подквазимпогообра-
Й
зий 11, 53 из Й является квазимногообразием. В частности, можно
говорить о группоиде G’qS! подквазимногообразий любого квази-
многообразия й универсальных алгебр конечной сигнатуры.
(Мальцев [43].)
8.	Если й есть многообразие всех групп, а И, 58 — его под-
многообразия, то произведение U о 58 является многообразием
Й
и совпадает с произведением 1158 в смысле X. Н е й м а п [50].
9.	Пусть ft' — многообразие всех полугрупп с выделенной еди-
ницей е и 81 — подмногообразие всех коммутативных полугрупп
из й. В работе Мальцева [43] показано, что произведение
й о 81 ие является многообразием. Действительно, пусть g —
й
свободная в й полугруппа со свободным базисом а, Ь. Рассмотрим
копгруепцию 0:
а l‘b	. . . i? Ч^	| . . . -| i>iit -pi ] ... -| P(,
ПРИМИТИВНЫ К ЗАМЫКАНИЯ
383
§ 14]
Я70 — коммутативная полугруппа, и поэтому |у/0 С 91. Так как
е — выделенный элемент в St, то лишь те смежные классы а?0 при-
надлежат Я, которые содержат е. Таких классов лишь одни —
ев — {е, 6, 62, ... } — и он является коммутативной полугруппой.
Поэтому С 91 •> 91. Еслп бы класс 91 о 91 был многообразием,
St	St
то он содержал бы и все факторы от Симметрическая группа
5-й степени (£6 порождается двумя элементами (1 2), (1 2 3 4 5)
и поэтому изоморфна фактор-полугруппе. от (V. В то же время
группа Си £ 91 о 91, так как опа пе имеет отличных от единицы
St
абелевых нормальных делителей. Таким образом, 9! ° 91 пе есть
St
многообразие.
10.	Полярной (или опорной) операцией в алгебраической сис-
теме (Л, Q) называется термальная (т. е. выразимая термом)
унарная операция е (т), удовлетворяющая условиям
(Vary 6 А) е (т) = е (у) — с, F (с, .... с) с (/’ С £2/,).
Элемент е называется полюсом системы (Л, £2). Полярой класса
St называется унарный терм, представляющий в каждой St-систе-
ме полярную операцию. Класс систем, обладающий хотя бы одной
полярой, называется поляри.нпшнпым. Если Si поляризованное
многообразие алгебр и па всех Sl-алгебрах конгруенции переста-
новочны, то St-произведепие любых двух Si'-иодмиогообразий
U, 58 является многообразием. Таким образом, для поляризован-
ного многообразия S'-алгебр с перестановочными конгруепцпями
можно говорить о группоиде GzSi подмногообразий. Например,
можпо говорить о группоиде подмногообразий любого многооб-
разия групп, луп, колец и т. п. (М а л ь ц е в [43].)
11.	Если St — многообразие всех групп, то GzSt есть свобод-
ная полугруппа с нулем и единицей (Ш мелькни [77], II с й -
маны [49]).
Полугруппа многообразий алгебр Ли над полем характери-
стики пуль также свободна (Парфенов |52]).
12.	В многообразии алгебр (Л, F) типа (3>, определяемом
тождествами
F (х, х, z) = F (г, ", аг) =- F (;, .г, ,т) - z,
У (У (-И, !/i, =i). У (‘‘г, I/г, =г), У (<:• У:-,	
= F (F (з-i, т2, xs), F (у,, у2, у3), F (-j, z2, zs)),
все алгебры свободны. Аналогичным свойством обладает много-
образие квазигрупп, описываемое тождествами: у-ух = х = ху-у,
хх = х, xy-zw = xz-yio (А л и е в [3]).
13.	Решетка подмногообразий многообразия . всех модулярных
решеток <А,+,’> имеет мощность континуума (Бейке’р [6]).
ЛИТЕРАТУРА
1.	Адо И. Д., О нильпотентных алгебрах и p-rpymiax, ДАН
СССР 40 (1943), 339-342.
2.	А к а т а е в А. А. п С м и р в о в Д. М., Решетки под-
многообразий многообразий алгебр, Алгебра и логика (семи-
нар) 7, № 1 (1968), 5 -25.
3.	А л и е в 11. III. о., О наименьшем многообразии симметри-
ческих алгебр, Алгебра и логика (семинар) 5, № 6 (1966), 5—14.
1. А л м а г а м б о т о в Ж. А., О классах аксиом, замкнутых
относительно заданных нрпведеппых пропзведенпй и степеней,
Алгебра и логика (семинар) 4, № 3 (1965), 71—77.
5.	Б а р а и о в и ч Т. М., Свободные разложения в пересече-
нии примитивных классов алгебр, Матем. сб. 67 (1965), 135—
153.
6.	Беп кер (Ваке г К. A.), Equalional classes of modular lat-
tices, Pacific J. Math. 28, № 1 (1969). 9—15.
7.	Б и p к г оф (В i г k Ii о Г f (I.), On the structure of abstract
algebras, Proc.. Cambr. Phil. Soc. 31 (1935), 433—454.
8.	Бнркгоф (Birk Ii off G.), Теория структур, ИЛ, 1952.
9.	Больбот А. Д., Об эквациопальво полных многообра-
зиях тотально симметрических квазигрупп, Алгебра и логика
(семинар) 6, № 2 (1967), 13—19.
10.	В а н - д е р - В а р д е и (v а и <1 е г W а с г d е и В. Б.),
Современная алгебра, I, II, Гостехпздат, 1947—1948.
II.	Виноградов А. А., Минимальные кназимиогообразпя
колец и алгебр отношений. Алгебра и логика (семинар) 6, № 4
(1967), 3—10.
12.	Boot (V а и g h t В. L.), Applications of the Lowenheim —
Skoleni — Tarski theorem to problems of completeness and
decidability. Indag. Math. 16 (1954), 467—472.
13.	Г e н к и п (II е n k i n L.), Some interconnections between
modern algebra and mathematical logic, Trans. Amer. Math.
Soc. 74 (1953), 410—427.
14.	Гильберт (Hilbert D.) и Аккерман (Acker-
mann VV.). Основы теоретической логики, ПЛ, 1947.
15.	3 а р и с с к и й (Z а г i s k i О.) и С а м ю э л ь (S а -
m и е 1 Р.), Коммутативная алгебра, I, II, ИЛ. 1963.
16.	П о и с с о и (Jonsson 13.) и Т а р с к и й (Т а г s k i А.),
On two properties of free algebras, Math. Scand. 9 (1961), 95—101.
17.	К а л и ц к и й (К a I i с, k i J.), The number of eqnationally
complete classes of equations, Indag. Math. 17 (1955), 660—662
ЛИТЕРАТУРА
385
. Кал и ц к и ii (Kali с. k i J.) и Скотт (S с о 1t D.),
Equational completeness of abstract algebras, Indag. Math.
17 (1955), 650— 659. (Русский перевод: Эквациоцальпая пол-
нота абстрактных алгебр, Кпбсрп. сб., № 2 (1961), 41—52.]
). К и с л с р (Reisler II. I.), Ultraproducts and elementary
classes, Indag. Math. 23 (1961), 477—495.
). К и с л e p (К c i s 1 о r 11. 1.), Reduced products and Horn
classes, Trans. Amer. Math. Soc. 117 (1965), 307—328.
1. Клиффорд (Clifford A. H.) и Престон (Pres-
ton G. B.), The algebraic theory of semigroups, Amer. Math.
Soc., 1 (1961); 11 (1966).
2. К л и и п (К I e c n e S. С.), Введение в метаматематику,ИЛ, 1957.
3. К о н (С о h n Р. М.), Универсальная алгебра, «МНР», 1968.
4. К о ч е п (К о с h е n S.), Ultraproducts in the theory
of models, Ann. Math., set. 2, 74 (1961), 221—261.
5. К у p о ш А. Г., Лекции по общей алгебре, Фпзматгиз, 1962.
.6. Кур ош А. Г., Теория групп, изд. третье (дополненное).
«Наука», 1967.
17. Ламбск (L a m b е к .1.), The iniinersibijity of a semi-
group into a group, Canadian .1. Malli. 3 (1951), 31 43.
28. Линдон (Lyndon R. (’..), Properties preserved under
homomorphism, Pacific J. Malli. 9 (1959), 113 154.
29. Л индо и (L у и d о n R. Properties preserved under
subdiroct products, Pacific J Math. 9 (1959), 155—164.
.10. Л и и и п к К). В., Кватернионы и числа Кэли, УМН 4,
№ 5 (1949), 49—65.
31.	Лось (Los J.), Quelques remarques, theoremes et proble-
mes sur les classes definissables d’algebras, Math. Inteprctation
of Formal Systems (Amsterdam, 1955), 98—113.
32.	M а л ь ц e в A. IL, Untersuchungen aus dem Gebiete dec matlie-
matischen Logik, Матем. сб. 1 (43) (1936), 323—336.
33.	Мальцев A. IL. On the immersion of an algebraic ring
into a field, Math. Ann. 113 (1937), 686—691.
34.	Мальцев	A. IL, О включении ассоциативных систем
в группы. I, Матем. сб. 6 (1939), 331 336.
35.	Мальцев	А. 11., О включении ассоциативных систем
в группы. II, Матем. сб. 8 (1940). 251 - 261.
36.	М а л ь ц е в А. И., Об одном общем методе получения локаль-
ных теорем теории групп. Уч. зап. Нваповск. вед. ин-та, физ,-
матем. фак-т, 1, № 1 (1941), 3—9.
37.	Мальцев А. И., Алгебраические системы. Тр. 3-го Все-
союзного матем. съезда, Москва, 2 (1956), 8.
38.	Мальцев А. И., Аксиоматизируемые классы локально
свободных алгебр некоторых типов, Сибирск. матом, ж. 3
(1962). 729—743.
39.	Мальцев A. 1L, Некоторые вопросы теории классов
моделей, Тр. 4.-го Всесоюзного матем. съезда, Ленинград,
1 (1963), 169-198.
40.	М а л ъ ц е в А. И., Несколько замечаний о квазпмногообра-
зиях алгебраических систем, Алгебра и логика (семипар) 5.
№ 3 (1966), 3—9.
386
ЛИТЕРАТУРА
41.	Мальцев А. И., Тождественные соотношения на много-
образиях квазигрупп, Матем. сб. 69 (1966), 3—12.
42.	Мальцев А. И., О некоторых пограничных вопросах
алгебры и математической логики, Мсждупародн. конгресс
математиков, Тезисы докл. по приглашению, Москва, 1966.
43.	Мальцев А. 11., Об умножении классов алгебраических
систем, Снбнрск. матем. ж. 8, № 2 (1967), 346—365.
44.	Мартовский (М а г с z е w ski Е.), Independence and ho-
momorphisms in abstract algebras, Fund. Math. 50 (1961), 45—61.
45.	M a x о в e p (M a c h о v e r M.), A note on sentences pre-
served under direct products and powers, Bull. Acad. Polon.
Sci. Ser. Sei. Math. Astronom. Phys. 8 (1960), 519—523.
46.	Морией (Morley M.), Categoricity in power, Trans.
Amer. Math. Soc. 114 (1965), 514 -538.
47.	M у ф а н г (M о u f a n g R.), Altemativkorper and der Satz
von vollstandingen Virseit, Abh. Math. Sem. Hamburg 9, № 3—4
(1933), 206-222.
48.	Нейман (No u in a n n B. 11.), Some remarks on infinite
groups, J. London Math. Soc. 12 (1937), 120—127.
49.	Нейман ы (N e u m a n n В. H., Neumann H., Neu-
mann P. M ), Wreath products and varieties of groups, Math.
Zeitschr. 80 (1962), 44—62.
50.	H e й м а н (Neumann H.), Varieties of Groups, Berlin —
Heidelberg — New York, 1967.
51.	II о в и к о в П. С., Элементы математической логики, Физ-
матгиз, 1959.
52.	Парфенов В. А , О многообразиях алгебр -Пн, Алгебра и
логика (семинар) 6, .№ 4 (1967), 61—73.
53.	Риге (В i g и е t J.), Relations binaires, fermetures, cor-
respondances de Galois, Bull. Soc. math. France 76 (1948), 1—4,
114—155. [Русский перевод: Бинарные отношения, замыка-
ния, соответствия Галуа, Киберп. сб.,'№ 2 (1963), 129—185.]
54.	Р о б и и с о п (Robinson A.), On the Metamathematics
of Algebra, Studies in Logic and the Found, of Math., Amsterdam,
1951.
55.	Робипсон (Robinson A.), Complete theories, Studies
in Logic and the Found, of Math., Amsterdam, 1956.
56.	Робинсон (Robinson А.), Введение в теорию моде-
лей и метаматематику алгебры, «Наука», 1937.
57.	Робинсон (Robinson A), Recent developments in
model theory, Proc, of the Intern. Congress of Logic, Methodo-
logy and Philosophy of’Science (Stanford, 1960), 1962, 60—70.
58.	Саупдарараджап (Soundararajan T.), On the
Automorphisms of the Complex Number Field, Math. Magazine
40,'№ 4 (1967), 213.
59.	Сверчковский (Swierczkowski S.), On iso-
morphic free algebras, Fund. Math. 50 (1961), 35—44.
60.	Скотт (Scott D.), Eqnationally complete extensions of
finite algebras, Indag. Math. 18 (1956), 35—38.
61.	T а м у p a (T a m u r a T ). Attainability of systems of Identi-
ties on semigroups, J. of Algebra 3, № 3 (1966), 261—276.
ЛИТЕРАТУРА
387
62.	Тареки й (Т a rski A.), Contributions to the theory of
models, Indag. Math. 16 (1954), 572-588; 17 (1955), 56-64.
63.	Тарский (Tarski A), Equationally complete rings
and relation algebras, Indag. Math. 18 (1956), 39—46.
64.	Та p скип (Tarski A.) и В о о т (Vaught В. L.),
Arithmetical extensions of relational systems, Compositio Math.
13 (1957), 81 — 102.
65.	Ф e ф e p м a n (F e f e r ni a n S.) и В о о т (Vaught В.L.),
The first order properties of products of algebraic systems, Fund.
Math. 47 (1959), 57—103.
66.	Ф рейн (F г а у n с T.), Морел (Morel A. C.)
и Скотт (Sc о t t D.), Reduced direct products, Fund. Math.
51 (1962), 195 —226.
67.	Ф у д з и в a p a (Fuji w a r a T ), Note on the isomorphism
problem for free algebraic systems, Proc. Japan Acad. 31 (1955),
135—136.
68.	X а у с Д о p ф (Il a u s d о r f f F.). Теория множеств, ОНТИ,
1937.
69.	X и г м э и (II i g m а и G.), Some remarks on varieties of
groups, Quart. .1. Math. Oxford (2), 10 (1959), 165 178.
70.	X о лл (II a I 1 M.). The word problem lor semigrops with
two generators, .1. Synib. Logic. 14 (1949), 115 — 119.
71.	X о p it (Horn A.), On sentences which are true of direct
unions of algebras, .1. Symb. Logic 16 (1951), 14—21.
72.	Цорн (Zorn M.), Theorie der alternalivcn Binge, Abh.
Math. Sem. llansischen Univ. 8 (1932), 123—147.
73.	Цорн (Zorn M.), Altemativkorper und quadratischeSystemo,
Abh. Math. Sem. llansischen Univ. 9 (1933), 395—402.
74.	Чёрч (Ch u r c h А.), Введение в математическую логику,
I, ИЛ, 1960.
75.	Чанг (С h а и g С. С.) п М орел (Morel А.), Он
closure under direct product, J . Symb. Logic 23 (1958), 149—154.
76.	Ширшов А. И., Некоторые вопросы теории колец, близких
к ассоциативным. УМ II 13, № 6 (1958), 3—20.
77.	Ill мель к ии А Л., Полугруппа многообразий групп, ДАН
СССР 149 (1963), 543—545.
78.	Шмидт О. К)., Вес.копечпые разрешимые группы, Матем.
сб. 17 (1945), 145—162.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная амальгама 326
Автоморфизм 49
—	внутренний 100
Аксиома 249
—	полной улоряд очина емости 32
—	Цсрмело (аксиома выбора) 71
Алгебра 4 7
— Буля 14, 135
— кватернионов 124
- Коли 126
— линейная 122
- — конечная 123
— отношений 20
-	- подмножеств 225
—	Я-достиясимая 298
—	Si-разложимая 298
Алгебраическая константа 335
независимость над полем 11 в
— система 46
— — абсолютно декартово нераз-
ложимая 82
— - - свободная 321
-	- декартово неразложимая 82
-	- единичная 82, 270
-	конечная 47
— — конечного типа 47
-- — конечно определенная 283
-— - - представимая 283
— - — локально вложимая 209
- • первичная 257
— —, свободная в классе 316
— __ ,	себе Зю
- - —, — относительно класса 315
—	-- смешанно неразложимая 335
—	- - тривиальная 317
—	— частичная 48
Аж 1гсб раические системы и ера пл и -
чимыс 235
- - - - элементарно эквивалентные
235
— — Г-н сот. н 14 и мыс 236
—	— Г-эквивалентные 237
Алфавит 138
Арность переменного 141
Ассоциатор 109
База расширения ИЗ
Базис, свободный в классе 315
—	системы 283
Верхняя граница 31, 129
•- грань 129
— центральная цепь 105
Вложение каноническое 238
• - элементарное 238
Вложимость изоморфная 90
-	- локальная 173
—	совместная 305
Вхождение слова в слово второе
139
—	- - - - - - первое 139
Выполнимость 249
Г< >м ом орфизм 4 9
- канонический 300
-- композиционный 300, 324
сильный 62
График 45
Группа 97
-	абелева ЮЗ
-	автоморфизмов 102
- внутренних 102
-	аддитивная кольца 106
-	коммутативная 103
-	- локально разрешимая Ю5
—	мстаб слева 105
—	нильпотентная 105
обратимых элементов 102
отображений 23
-	полная 206
-	разрешимая 105
-	симметрическая 102
— типа р°° 103
Группоид 89
аддитивный 89
ассоциативный 90
- квазимпогообразий 382
• коммутативный 90
- - многообразий 383
— мультипликативный 89
Д<у । енис лев ос 9 5
— правое 95
Делитель нули левый 108
-	правый 108
Диаграмма 172. 251
-	атомарная 301
Дизъюнкция отношений 17
Длина слова 138
Дополнение множества 12
Единица группоида <89
—	— двусторонняя 89
—	- левая 89
—	— правая 89
— решетки 131
Замкнутость локальная 173
Замыка нис аксиоматическое
357
162,
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
389
Замыкание квазипримитивное 273,
357
— примитивное 357
— репличное 294, 357
эквивалентное 27
Значение неопределенное 43
— предикатного переменного 148
— символа 202
— терма 142
-	- формулы 148
-	- функции 22
Идеал 107
•	— максимальным 112
Изокласс 51
Изоморфизм 37, 49
Индекс подгруппы 101
—	эквивалентности 80
Истина 44
Кардинал 36
Категорийные понятия 75
Квазигруппа 95
—	примитивная 95
—	тотально симметрическая 9(>
Квазимпогообразие 269
—	достижимое 298
—	конечно определимое 269
—	минимальное 372
—	неточное 348
Квазиранг аксиоматический 347
—	базисный 348
Квазитождество 189, 268
Кватернион 124
—	сопряженный 124
Класс абсолютно наследственный 175
—	абстрактный 207
— аксиоматизируемый 162, 206
—	достижимый 298
—	конечно аксиоматизируемый 206
— локально замкнутый 173
— наследственный 175, 210
-- поляризованный 383
— порождающий для многообра-
зия 357
реплично полный 293
— смежный 23, 33, 100
— ультразамкнутый 207
— универсально аксиоматизируе-
мый 210
формул 236
—	м-достижимый 298
—	Г-приводимый 264
Кольцо 106
—	альтернативное 109
—	аптикоммутативное 109
—	ассоциативное 108
—	без делителей нуля 108
—	Булям 6, 110
—	коммутативное 109
—	Ли 109
—	с делением 108
Коммутант 104
Коммутатор 104
Композиция инъективная 305, 325
— свободная 299
— систем с амальгамированиями
подсистем 323
Композиция слов 139
Конгруенция 62
— вербальная 297, 371
-	- единичная или универсальная 64
нвазивербальная 297, 371
—	пулевая 64
—	ядерная 64
Конъюнкция отношений 17
Лемма Цорна 31
Ложь 44
Лупа 97
—	примитивная 97
Метасимвол 139
Метод трансфипитпой индукции 32
Многообразие 269	iV.jm
-	атомарное 372	'
-	• единичное 270
конечно определимое 269
локально конечное 360
минимальное 372
- ассоциативных колец 381
групп 38J
полугрупп 381
решеток 381
nt,n -алгебр 382
нулевое 270
поляризованное 383
TfHJHiia.iii.noe 270
MiiWKiWBo 9
— вполне упорядоченное 31
— линейно упорядоченное 31, 254
— - — неограниченное 42
— - — плотное 42
- основное алгебраической систе-
мы 46
порождающее 55
-	- пустое 10
—	решеточпо упорядоченное 129
-	- счетное 36
—	частично упорядоченное 31
Множитель свободный 300
Модель 47, 249
—	первичная 257
—	, представляющая алгебраиче-
скую систему 48
Моноид 92
Мощность 35
—	алгебраической системы 46
—	континуума 36
Мульти отображение однозначное 33
—	—, определенное на А 33
— точное 33
—	частичное 33
Надмножество (надсистема) 10
Независимая система конгруенций 79
—	.совокупность элементов 313
Нижняя граница 129
—	грань 129
—	центральная цепь 105
Норма кватерниона 124
— числа Кэли 127
Нормальный делитель 100
Носитель алгебраической системы 46
Нуль группоида 89
— решетки 131
390
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Обеднение алгебраической системы
171
—	— — конечное 171
Образ элемента 20, 32
Область определенности частично-
го мультиотображения 33
—	— частичной операции 43
Объединение возрастающей после-
довательности систем 59
— множеств 11
Объекты, неразличимые на языке
8 235
—	8-эквивалентные 235
Одноименные операции 47
—	предикаты 47
Операция бинарная 13
—	главная 46
—	основная 46
—	полярная, или опорная 383
—	унарная 13
—	частичная 43, 143
—	— п-арная 43
—	п-арная 43
Ординал 38
Отношение 17, 42
—	бинарное 17
—	дифункциональное 34
—	обратное 17
—	стабильное на алгебраической
системе 61
—	— относительно операции 61
—	эквивалентности 23
—	п-арное 17, 42
Отношения бинарные перестановоч-
ные 19
Отоб ражение 20
—	взаимно однозначное 21
	— изоморфное 37
—	каноническое 24, 35
—	частичное 33
Отрицание отношения 17
Пара показателей циклической по-
лугруппы 93
Переменное предикатное 141
—	предметное 141
—	свободное 146
—	связанное 146
—	функциональное 141
Пересечение множеств 11
—	подсистем 54
Подалгебра 53
Подгруппа 97
—	инвариантная 100
—	конечного индекса 101
Подгруппоид 89
Подквазигруппа 95
Подкласс универсально аксиомати-
зируемый 174
Подкольцо 106
Подлупа 97
Подмножество 10
—	, замкнутое в системе 53
—	, — относительно операции 22
Подмодель 53
—	локальная 171
	— элементарная 237
Подполе 110
Подполе простое 111
Подполугруппа 90
Подпроизведение декартова произ-
ведения 81
—	— — дополнительное 81
Подразложение 333
Подсистема 10, 53
—	главная 55
—, порожденная множеством 55
—	примитивная 261
—	примитивно элементарная 261
—	элементарная 238
Нодслово 139
—	начальное 14о
Подсовокупность 10
Подтело 108
Показатели циклической полугруп-
пы 93
Поле 110
—	алгебраически замкнутее 114
—	алгебраических чисел 116
Полная система гомоморфизмов 73
—	— конгруенций 78
Полнота в сигнатуре £2 249
Полугруппа 90
—	многообразий 383
—	моногенная 92
—	отображений 23
—	подмножеств 91
—	симметрическая 90
—	с сокращением 275
—	циклическая 92
Полурешетка 129
—	верхняя 129
—	нижняя 129
Полюс 383
Поляра 383
Порядковый тип 37
Порядок алгебраической системы 46
—	двойственный 30
—	линейный 31
—	частичный 30
—	элемента группы 103
Последовательность допустимая 226
—	• — стандартная 226
—	разбивающая 226
Предикат второго порядка 156
—	главный или основной 46
—	мультипликативно устойчивый
184
-	первого порядка 156
-	позитивно формульный 181
-	условно фильтрующийся 202
-	фильтрующийся 202
— хорновский 184
— п-арный 44
Префикс 164
Проектирование 73
— на подпроизведение 81
Проекция алгебраической системы
171
Произведение групп прямое 206
—	декартово 16, 42, 70, 72
—	— собственное 82
—	дополнительное 81
—	классов 382
—	над амальгамированной подси-
стемой 324
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
391
Произведение отношений 18
—	регулярное 227
—	— полное 227
—	редуцированное 198, 199
— свободное 306
-  — в классе 306
— смешанно свободное 332
— фильтрованное 198, 199
— ^-свободное 306, 324
Прообраз элемента 20
— — полный 20
Прямой спектр 59
Псевдоэквивалентность 29
Равенство множеств 9
— типов 46
— частичных функций 43
Разбиение 23
Разложимость системы в декартово
произведение 77
Разностное сложение множеств 15
Разность множеств 11
Ранг аксиоматический 343
— базисный многообразия 344
— — системы 335, 345
— тождества или квазитождсства
343
Расслоенно 23
Расширение поля 11 о
— —- алгебраическое 113
- — алгебраически замкнутое, 114
— — конечное 113
—	— путем присоединения 110
—	— чисто трансцендентное 117
—	системы элементарное 239
Редукция алгебраической системы
171
Результат подстановки слона в сло-
во 140
Реплика 290
Ретракт 325
Решетка 129
—	абстрактная 130
—	Буля 135
—	дистрибутивная 133
—	модулярная 133
—	полная 132
—	— абстрактная 132
—	с дополнениями 134
Свойство абстрактное 51
—	второй ступени 156
Секвенция 83
Семейство 10
Сигнатура класса 154
—	системы 144
Символы логические 140
Система 46
—	гомоморфизмов квазиполная 75
- первичная 257
— реляционная 47
— смешанно неразложимая 335
—	утверждений категоричная 248
—	— полная 248
Следствие 249
—	формальное 10
Слово 138
—	пустое 139
Совокупность значений частичного
мультиотображения 33
—	локальная 56
—	локально конечная 360
—	минимальная порождающая 317
— независимая 313
— — относительно класса 313
— определяющая 269, 276
—	равномерно локально конечная
360
-	- совместная 163
—	формул выполнимая 207
—	— категоричная 251
—	— — в мощности 253
—	— — — сигнатуре Q 251
—	— квазиэквационалыю полная
(Q-полная) 372
—	— модельно полная 256
—	— полная 249
—	—• слабо полная 256
— — эквациональпо полная (/-пол-
ная) 372
-	Г-полная 249
TQi-полпая в мощности 253
Соотношение тождественное 268
Сравнимые элементы 30
Степень декартова 42
-	полная регулярная 227
-	регулярная 227
-	трансцендентности 117, 118
-	фильтрованная 199
-	Несвободная 300
Структурные константы 123
Сумма множеств 11
Таблица умножения базы 123
Тело 108
—	альтернативное 119
—	кватернионов 124
—	характеристики нуль 111
Теорема Биркгофа 337
—	Дика 281
—	Кантора — Бернштейна 36
—	компактности, или локальная 207
—	Линденбаума 250
— Лося — Тарского 174
— Мальцева о квазимногообрази-
ях 271
-	- об изоморфизме вторая 67
—	— — первая 65
-	- о гомоморфизме 63
-	Робинсона А. 261
-	Риге 34
Стопа 136
-	Тице 282
Хорна 184
-	Чанга — Морела 214
Штейнпца 117
Терм второй ступени 141
Тип алгебраической системы 46
— — — конечный 46
Тождество 188, 268
— условное 189
Точка неподвижная 21
Ультра произведение 205
Ультрафильтр 195
392
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Упиид 349
Устойчивость при переходе к под-
системам 165
Фактор-множество 24, 33
Фа ктор-система 62
— вполне характеристическая 367
— характеристическая 367
Финитная аппроксимируемость 86
Фильтр 193
—	главный 194
—	неглавный 194
—	однородный 220
—	счетно полный 220
—	Фреше 194
—	а-полный 220
Формальный язык 138
Формула 141, 146
-	абсолютно бескванторная 169
—	— замкнутая 154
—	атомарная 169
-	- второй ступени 141
—	выполнимая 160, 161
—	закрытая 154
—	замкнутая 154
— истинная 150, 160
—	квадратоустойчнвая 189
-	квазиатомарпая 268
—	ложная 150
— мультипликативно устойчивая
183, 213
—	негативная 182
—	позитивная 180
—	пренексного вида 164
— прикладного исчисления преди-
катов (1ШП) 160
-	- примитивная 264
—	сигнатуры о 154
—	сколемская 177
—	тождественно истинная loi
— узкого исчисления предикатов
* (УИ11) 160
— универсальная 164
хорновская 183, 214
чистого исчисления предикатов
- (ЧИП) 160
—	экзистенциальная 164
Формулы эквивалентные 162
Функция 42
—	характеристическая 44
подмножества 45
—	частичная 42
—	- характеристическая 45
- п-арпая 43
н-арная 43
Характеристика тела 111
Характеристическая функция 44
Центр группы 104
Цепь 31
Частично упорядоченное
во 31
Частичный порядок 30
— — двойственный 30
Число кардинальное 36
Кэли 126
— сопряженное 127
-	- порядковое 38
—	трансфинитпое 38
множест-
Эквивалецтпость 23
—	дробная 67
—	квазиэквациональная 343
-	, отвечающая разбиению 24
—	формул 162
—	эквациональная 342
—	элементарная 235
—	ядерная 25
Элемент алгебраический 113
—	алгебраической системы 46
—	бесконечного порядка 103
— вполне обратимый 119
-	- — обратный 119
-	- выделенный 46
—	главный 46
—	дополнительный 134
максимальный 31
множества 9
- наибольший 31
— непосредственно предшествую-
щий 32
— — следующий 32
— обратимый 102
— обратный 98, 108
порождающий 55
предельный 32
Элементарная теория 162
— разрешимая 233
Язык второй ступени 140
— первой ступени 160
St-композиция 299
М-копгруенция 297
Й-морфизм 290
^-произведение 324
©-подсистема 260
©-система 260
Е-вложеппе 235
Г-вложепие 237
Г-подмодель 2 37
Г-расширенис 239
1-теория 236
Г-элементарпая подмодель 237
V-закрытие 240
V п-влежим ость 176
V? г-замк путость 176
V ^-формул ы 176
3-закрытпе 240