СОВРЕМЕННАЯ
АЛГЕБРА
К. А. ЖЕВЛАКОВ
А. М. СЛИНЬКО
И. П. ШЕСТАКОВ
А. И. ШИРШОВ
КОЛЬЦА,
БЛИЗКИЕ
К АССОЦИАТИВНЫМ
(Гт^ь
ш
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 978

517.1
Ж 45
УДК 512.8
Кольца, близкие к ассоциативным. Ширшов А. И.,
Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестаков И. П. —
М.: Наука. Главная редакция физико-математической
литературы, 1978.
Монография является первой книгой в мировой литературе,
содержащей полное и систематическое изложение теории
альтернативных колец вплоть до самых последних ее достижений.
Книга также содержит изложение основ теории йордановых алгебр.
Книга рассчитана на математиков — аспирантов и научных
работников, а также на студентов старших курсов университетов
и пединститутов. Она может служить основой для специальных
курсов и семинаров
20203 —134 ft © Главная редакция
лго/лпх 7Q— "^"'о физико-математической литературы
VDd[}J4)-iO издательства «Наука», 1978

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Глава 1
Многообразия алгебр 9
§ 1. Свободпые алгебры 9
§ 2. Многообразия. Алгебры, свободные в многообразии 12
§ 3. Одпородпые тождества и однородные многообразия 15
§ 4. Частичпые липеаризации тождеств 18
§ 5. Полилинейные' тождества. Полная линеаризация
тождеств 25
§ 6. Присоединение единицы 29
Глава 2
Композиционные алгебры 34
§ 1. Определение и простые свойства композиционных
алгебр 35
:2. Процесс Кэли — Диксона. Обобщенная теорема Гур-
вица 41
§ 3 Простые квадратичные альтернативные алгебры . . 49
§ 4. Дальнейшие свойства композиционных алгебр ... 56
Глава 3
Специальные и исключительные йордановы алгебры .... 67
§ 1. Определение и примеры йордановых алгебр .... 67
§ 2. Свободные специальные йордановы алгебры .... 75
§ 3. Теорема Ширшова 84
Глава 4
Разрешимость и нильпотентность йордановых алгебр .... 101
§ 1. Определения и примеры 101
s 2. Нормальная форма элементов алгебры умножений 105
| 3. Теорема Жевлакова 109
| 4. Йордановы ниль-алгебры 112
s о. Локально нильпотентный радикал 114

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Г л а в а 5
Алгебры с тождественными соотношениями 120
§ 1. Лемма Ширшова 120
§ 2. Ассоциативные PI-алгебры 124
§ 3. Алгебраичность и локальная конечность 130
§ 4. Специальные йордановы PI-алгебры 133
§ 5. Альтернативные PI-алгебры 140
Глава 6
Разрешимость и нильпотентность альтернативных алгебр . 150
§ 1. Теорема Нагаты — Хигмана 150
§ 2. Пример Дорофеева 154
§ 3. Теорема Жевлакова 158
Глава 7
Простые альтернативные алгебры 163
§ 1. Предварительные результаты 163
§ 2. Элемепты ассоциативного центра ' . 173
§ 3. Теорема Клейнфелда 179
Глава 8
Радикалы альтернативных алгебр 183
§ 1. Элементы общей теории радикалов 183
§ 2. Ниль-радикалы 192
§ 3. Радикал Андрунакиевича 200
Глава 9
Полупервичные альтернативные алгебры 209
§ 1. Идеалы полупервичных алгебр 209
§ 2. Невырожденные альтернативные алгебры 216
§ 3. Первичные альтернативные алгебры 227
Глава 10
Радикал Жевлакова 235
§ 1. Примитивные альтернативные алгебры 236
§ 2. Радикал Клейнфелда 239
§ 3. Радикал Смайли 242
§ 4. Теорема Жевлакова о совпадении радикалов
Клейнфелда и Смайли 245
§ 5. Радикалы колец К эли — Диксона 248

ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Глава И
Представления альтернативных алгебр 256
§ 1. Определения и предварительные результаты . . . 257
§ 2. Представления композиционных алгебр 268
§ 3. Неприводимые альтернативные модули 275
Г л а в а 12
Альтернативные алгебры с условиями конечности 285
§ 1. Альтернативные алгебры с условием минимальности
для двусторонних идеалов 285
§ 2. Альтернативные артиновы алгебры 292
§ 3. Альтернативные алгебры с условием
максимальности 299
Глава 13
Свободные альтернативные алгебры 303
§ 1. Тождества конечнопорожденных альтернативных
алгебр 303
§ 2. Радикалы и нильпотентные элементы свободных
альтернативных алгебр 315
§ 3. Центры альтернативных алгебр 328
§ 4. Альтернативные алгебры от трех порождающих . . 339
Глава 14
Радикалы йордановых алгебр 350
§ 1. Радикал Маккриммона 350
§ 2. Обратимые элементы, изотопия и гомотопия . . . 355
§ 3. Квазирегулярный радикал 361
§ 4. Наследственность радикалов 374
Глава 15
Структурная теория йордановых алгебр с условием
минимальности 379
§ 1. Квадратичные идеалы 380
§ 2. Радикальные идеалы йордановых алгебр с условием
минимальности 384
§ 3. Полупростые йордановы алгебры с условием
минимальности 391
Глава 16
Правоальтернативные алгебры 400
§ 1. Алгебры без нильпотентных элементов 400
§ 2. Ниль-алгебры 406
Литература 411
Предметный указатель 426
Указатель обозначений 429

ПРЕДИСЛОВИЕ
До 30-х годов нашего столетия теория колец
развивалась в основном как теория ассоциативных колец. Однако
еще с середины прошлого столетия в математике возникали
системы, удовлетворяющие всем аксиомам кольца, кроме
ассоциативности. Такова, например, построенная в 1845 г.
английским математиком Артуром Кэли алгебра чисел
Кэли, с помощью которой он переоткрыл найденное
в 1818 г. Дегеном тождество, представляющее
произведение двух сумм восьми квадратов снова в виде суммы восьми
квадратов. Это — восьмимерная алгебра с делением над
полем вещественных чисел. Она удовлетворяет следующим
ослабленным тождествам ассоциативности: (аа) Ъ = а (ab),
(аЪ) Ъ = а (ЪЪ).
Алгебры с этими двумя тождествами впоследствии
были названы альтернативными. Такое название
объясняется тем, что во всякой алгебре с двумя указанными
тождествами ассоциатор (х, у, z) = (ху) z — х (yz)
является альтернативной (кососимметрической) функцией своих
аргументов. Серьезное внимание математиков теория
альтернативных алгебр привлекла после того, как
обнаружились ее глубокие связи с теорией проективных плоскостей,
активно развивающейся в начале века. При этом
выяснилось, что альтернативные алгебры «довольно близки»
к ассоциативным. Существо этой близости проясняет
теорема Артина, утверждающая, что во всякой
альтернативной алгебре подалгебры, порожденные двумя|элементами,
ассоциативны.
Другой важный класс неассоциативных алгебр —
йордановы алгебры, определяемые тождествами ху = ух,
(х2у) х = х2 (ух). Они возникли в работах немецкого
физика Йордана, посвященных аксиоматизации основ
квантовой механики. Йордановы алгебры связаны с
ассоциативными алгебрами следующим образом.

ПРЕДИСЛОВИЕ
7
Пусть А — ассоциативная алгебра над полем
характеристики Ф 2. Определим на векторном пространстве
алгебры А новую операцию умножения а 0 Ь = V2 (ab +]ba).
Полученную алгебру обозначим через А(+>. Эта алгебра
является йордановой. Если подпространство / алгебры А
замкнуто относительно операции а 0 Ь, то оно вместе
с этой операцией образует подалгебру алгебры Л(+)
и является, следовательно, йордановой алгеброй.
Похожая связь имеется между ассоциативными
алгебрами и алгебрами Ли, которые задаются тождествами
х2 = 0, (ху) z + (zx) у + (yz) х — 0. Если в
ассоциативной алгебре А определить новое умножение формулой
[а, Ъ\ = ab — Ъа, то полученная алгебра Ai") будет
алгеброй Ли. Для алгебр Ли над полями имеется связь
и в обратную сторону: по теореме Пуанкаре — Биркго-
фа — Витта всякая алгебра Ли над произвольным полем
является подалгеброй алгебры Л(-) для подходящей
ассоциативной алгебры А,
В теории йордановых алгебр ситуация иная: над любым
полем существуют йордановы алгебры, не являющиеся
подалгебрами алгебр А (+) ни для какой ассоциативной
алгебры А. Если йорданова алгебра / является
подалгеброй алгебры Л(+), где А — ассоциативная алгебра, то /
называется специальной йордановой алгеброй.
Связь в обратную сторону для йордановых алгебр
также имеется, хотя она и не так сильна, как в случае
алгебр Ли. Основной результат в этом направлении
принадлежит одному из авторов и состоит в том, что любая
йорданова алгебра с двумя порождающими специальна.
Теории альтернативных, лиевых и йордановых алгебр
тесно переплетены между собой, имеют обширные
контакты с различными областями математики и составляют
вместе с сильно развитой теорией ассоциативных колец
основное ядро современной теории колец. Алгебры этих
трех классов объединяются под общим названием
«алгебры, близкие к ассоциативным». Этот термин введен в
обзорной статье А. И. Ширшова [279], где была намечена
обширная программа дальнейших исследований.
В нашей книге мы, естественно, не смогли охватить
всю теорию колец. Само название книги свидетельствует
о том, что теория ассоциативных колец в ней не
излагается. Однако для чтения основного текста от читателя

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
требуется лишь знание таких классических ее разделов,
как строение артиновых колец или теория радикала Дже-
кобсона, которые можно прочесть в любой книге по
теории ассоциативных колец. Кроме того, совершенно не
затрагиваются в нашей книге алгебры Ли, которым
посвящено несколько книг на русском языке.
Наиболее подробно мы излагаем теорию
альтернативных алгебр, с которой читатель ранее мог ознакомиться
только по журнальной литературе. В изложении теории
йордановых алгебр имеются некоторые пробелы. Многие
невключенные результаты содержатся в монографии Дже-
кобсона [47], с которой мы старались не пересекаться,
делая акцент на достижения последнего десятилетия.
Первая глава книги носит в основном справочный
характер. В ней собраны основные факты о многообразиях
алгебр и линеаризации тождеств. Читателю рекомендуется
обращаться к ней по мере надобности. Остальные главы
тоже не обязательно читать подряд. Мы рекомендуем
читателю два маршрута:
«альтернативные алгебры» — 2, 3.1, 3.2, 5—13;
«йордановы алгебры» — 2—4, 5.1—5.4, 8.1, 8.2, 14, 15
(указываются только номера глав и параграфов).
Последняя глава, посвященная правоальтернативным алгебрам,
носит в основном обзорный характер.
Почти каждый параграф книги снабжен
упражнениями, в которых нередко читателю предлагается доказать
теорему, имеющую вполне самостоятельное значение.
В этих случаях даются подробные указания. Упражнения
в основном тексте нигде не используются.
Нумерация теорем, лемм и формул в каждой главе
своя. При ссылках на теоремы (формулы) другой главы
перед номером теоремы (формулы) пишется номер
соответствующей главы.
В конце книги приведен список литературы, который
не претендует на полноту. Обзоры и монографии отмечены
в этом списке звездочкой.
В основе книги лежит материал, излагавшийся в
спецкурсах А. И. Ширшова, неоднократно читавшихся в МГУ
и НГУ, а также в спецкурсах остальных авторов,
читавшихся в разные годы в НГУ.
Авторы благодарят Ю. А. Медведева и В. Г. Скосыр-
ского за большую помощь в составлении библиографии.

ГЛАВА I
МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР
§ 1. Свободные алгебры
Пусть Ф — ассоциативное и коммутативное кольцо
с единицей 1. Множество А называется алгеброй над
кольцом Ф, если на А определена структура унитарного Ф-мо-
дуля и операция умножения, связанная с модульными
операциями соотношениями
(а + Ъ) с = ас + be, а (Ь + с) = аЪ + ас,
а (аЪ) = (аа) Ъ = а (аЬ),
а, Ъ, с £ А; а £ Ф. Алгебры над кольцом Ф будем для
краткости называть Ф-алгебрами; иногда их называют
также Ф-операторными кольцами. Кольцо Ф называют
кольцом скаляров или кольцом операторов. Если Ф — поле,
то всякая обычная алгебра над полем Ф является,
очевидно, Ф-алгеброй. Всякое кольцо является алгеброй над
кольцом целых чисел Z. Таким образом, понятие алгебры
над кольцом объединяет понятия кольца и алгебры над
полем.
Пусть А и В — две Ф-алгебры. Гомоморфизмом Ф-
алгебры А в Ф-алгебру В называется отображение
ф: А ->■ В, которое является гомоморфизмом Ф-модулей
этих алгебр, такое, что
Ф (ab) = ф (а) ф (Ь), а, Ъ £ А.
Гомоморфизмам Ф-алгебр соответствуют Ф-допустимые
идеалы, т. е. идеалы/выдерживающие умножение на
элементы из Ф.
Зафиксируем произвольное множество X = {ха} и
добавим к нему еще два символа: левую и правую скобки.

10
МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР
[ГЛ. 1
Получим множество X* = X (J {( , )}. Рассмотрим
всевозможные конечные последовательности элементов
множества X*. Две последовательности аха2 . . . ат и
Ъ1Ъ2 ... Ъп, at, bj £ X*, считаются равными, если т = п
и at = ht для i = 1, 2, . . ., т. Определим индуктивно
множество F [X] таких последовательностей элементов
множества X*, которые будем называть неассоциативными
словами от элементов множества X. Во-первых,
множеству V [X] принадлежат все элементы множества X;
во-вторых, если хг, х2 £ X и и, v £ V [X] \ X, то
последовательности хгх2, хх (и), (v) х2, (и) (v) также принадлежат
множеству V [X]; никакие другие последовательности
в V [X] не входят. Например, последовательность
(хг (х2х3)) xk является неассоциативным словом от
элементов множества X = {хи х2, х3, х^}, а
последовательность (хх (х2х3) #4) таковым не является. Длиной
неассоциативного слова v называется число вхождений в него
элементов множества X; она обозначается через d (v).
Предложение 1. Пусть v — неассоциативное
слово от элементов некоторого множества. Тогда
1) число левых скобок в нем равно числу правых скобок;
2) в любой начальной подпоследовательности слова v
число левых скобок не меньше числа правых скобок.
Доказательство проводится очевидной
индукцией по длине^слова v.
На множестве V [X] определим бинарную операцию,
обозначаемую •, следующим правилом. Пусть хх, х2 £ X;
и, v£V{X]\X. Положим
1*2 — ^1^2? X-^*U — Х^ \Uj)
v-x2 = (v) х2, u-v = (и) (v).
Предложение 2. Всякое неассоциативное слово
v, d (и) ^ 2, имеет единственное представление в виде
произведения двух неассоциативных слов меньшей длины.
Доказательство. Существование такого
представления вытекает непосредственно из определения.
Допустим, что слово v имеет два различных представления:
v = u*w = ur *w'. Рассмотрим случай, когда слова и, w,
и', w' все имеют длину больше 1. Тогда
v = (и) И = (и') (w')t

§ 1
СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ
11
причем d (и) + d (w) = d (и') + d (wf). Если d (и) =
= d (и'), то, очевидно, и = и', w = w'. Если же d (и) >
}> d (и'), то последовательность и') есть начальная
подпоследовательность слова и, имеющая, ввиду первого
пункта предложения 1, правых скобок больше, чем
левых. Но это противоречит второму пункту того же
предложения. Разбор остальных случаев еще более прост.
Предложение доказано.
Рассмотрим теперь свободный унитарный Ф-модуль
ф [X] от множества V [X] порождающих и распространим
операцию умножения, определенную в V [X], на Ф [X]
следующим правилом:
(Sa«u«).(SPi^) = Sa*P;(^r^).
i i i, 3
где otj, Р7- 6 Ф; ui, vj 6 V [X]. Мы получили Ф-алгебру
Ф [X], которая называется свободной алгеброй над
кольцом Ф от множества X порождающих. Свободные алгебры
обладают следующим универсальным свойством.
Теорема 1. Пусть А — произвольная Ф-алгебра
и 0 — некоторое отображение X в А. Тогда 6
единственным способом продолжается до гомоморфизма алгебры
Ф[Х] в А.
Доказательство. Распространим сначала 6
на V [X]. Допустим, что 6 уже определено на множестве
всех неассоциативных слов длины меньше п, и пусть длина
слова w равна п. В силу предложения 2 w однозначно
представляется в виде произведения двух слов меньшей
длины: w ~ u-v. Элементы 6 (и) и 6 (v) уже определены,
поэтому положим Q (w) = Q (u)-Q (v). Отображение
определено корректно, так как и и v однозначно определяются
словом и\ Распространим теперь 6 на Ф [X], полагая для
всех at 6 Ф и щ £ V [X]
0(2 а*И1)==2а*0(и*)«
г г
Это можно сделать, так как Ф [X] — свободный Ф-модуль.
Не составляет теперь труда убедиться, что указанное
отображение 6 есть гомоморфизм Ф [X] в А. Его
единственность очевидна. Теорема доказана.
Элементы алгебры Ф [X] называются
неассоциативными многочленами от элементов множества X. Неассо-

12
МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР
[ГЛ. 1
циативный многочлен вида av, где а £ Ф, v £ V [X],
называется неассоциативным одночленом. Длина слова v
называется степенью этого одночлена. Степенью многочлена
называется максимум степеней одночленов, суммой
которых этот многочлен является.
§ 2. Многообразия. Алгебры, свободные в многообразии
Зафиксируем счетное множество символов X =
= {хх, х2, . . .}. Пусть / — произвольный элемент из
Ф [X]. В его запись входит лишь конечное число
элементов из X, например, хъ х2, . . ., хп\ в этом случае будем
писать / = / (хг, х2, . . ., хп).
Пусть А — некоторая Ф-алгебра и а1( а2, . . ., ап £ А.
В силу теоремы 1 существует единственный гомоморфизм
6: Ф [X] -> А, переводящий xt в at для i = 1, 2, . . ., /г,
а прочие элементы множества X в нуль. Образ элемента /
при гомоморфизме 6 будем обозначать через / (аъ а2, ...
. . ., ап) и говорить, что элемент / (ах, а2, . . ., ап)
получен подстановкой элементов аъ а2, . . ., ап в
неассоциативный многочлен / (хъ х2, . . ., хп).
Неассоциативный многочлен / — / (#]_, х2, . . ., #n) t
£ Ф [X]! называется тождеством алгебры А, если
/ (ах, а2, . . ., ап) = 0 для любых ах, а2, . . ., ап £ А.
Говорят также, что А удовлетворяет тождеству / или что
в А справедливо тождество /. Совокупность всех тождеств
данной алгебры есть идеал алгебры Ф [X], который
называется идеалом тождеств (Т-идеалом) алгебры А и
обозначается Т (А). Совокупность всех тождеств, которым
удовлетворяет каждая алгебра некоторого класса алгебр 501, —
также идеал в Ф [Х]\ он называется идеалом тождеств
(Т-идеалом) класса алгебр 501 и обозначается Т (5Ш).
Пусть / — подмножество в Ф [X]. Класс 501 всех Ф-ал-
гебр, удовлетворяющих каждому тождеству из /,
называется многообразием Ф-алгебр, определенным множеством
тождеств /. Множество тождеств / называется
определяющим для многообразия 5Dh Так, например, все
ассоциативные Ф-алгебры образуют многообразие с одним
определяющим тождеством / = (хгх2) х3 — хх (х2х3). Класс всех
Ф-алгебр Ли также является многообразием;
определяющие тождества этого многообразия таковы: Д — хх, /2 —
= (ххх2) хэ + (х2х3) хх + (х3х1) х2. Тождества /^ = х\х2 —

$2l
МНОГООБРАЗИЙ
13
— xx (хгх2) и /2 — x\x\ — (^1^2) x2 определяют
многообразие альтернативных алгебр. По отдельности, эти
тождества определяют соответственно многообразия левоаль-
тернативных и правоальтернативных алгебр.
Многообразие йордановых алгебр определяется тождествами /х =
= Х]Х% ^2^1» /2 = \XlX2) Xl Xl V^2^1/"
Многообразие, состоящее только из нулевой алгебры,
называется тривиальным.
Пусть 501 — нетривиальное многообразие Ф-алгебр
и F — алгебра из Ж с множеством порождающих Y.
Алгебра F называется свободной в многообразии 501 (или
ffi-свободной) с множеством свободных порождающих У,
если всякое отображение множества Y в произвольную
алгебру А из Ш единственным образом продолжается до
гомоморфизма алгебры F в А.
Пусть / — некоторое множество многочленов из Ф [X].
Через I (А) будем обозначать идеал Ф-алгебры Л,
порожденный всевозможными элементами вида / (ах, а2, . . ., ап),
где /£/; ах, а2, . . ., ап £А.
Теорема 2. Пусть Ш — нетривиальное
многообразие Ф-алгебр с определяющей системой тождеств I.
Тогда для любого множества Y ограничение канонического
гомоморфизма о: Ф [Y] ->- Ф [Y] / I (Ф [Y]) инъективно
на множестве Y и алгебра Фэд \YG] = Ф [Y]/I (Ф [Y])
является свободной в многообразии 5Ш с множеством
свободных порождающих YG. Любые две свободные алгебры
в 501 с равномощными множествами свободных
порождающих изоморфны.
Доказательство. Алгебра Ф$% [Ya]
порождается множеством Ya и принадлежит 501, так как
удовлетворяет всем тождествам из /. Покажем, что она свободнь
в Ж с множеством свободных порождающих Ya. Пуста
4^501 и т: YG ->- А — некоторое отображение Ya в А.
Тогда отображение о о т: Y ->■ А по теореме 1
продолжается до гомоморфизма т): Ф [Y] ->■ А *). Но идеал
I (Ф [Y]) лежит в ядре любого гомоморфизма
алгебры ф [Y] в алгебру многообразия 501 и, в частности, в
ядре гомоморфизма ц. Поэтому существует
гомоморфизм ф: Ф [Y] /1 (Ф [Y]) ->■ А, делающий коммутативной
*) Здесь и далее (ф о if») (х) = ^(ФО*))-

14
МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР
[ГЛ. 1
диаграмму
Ф[У]-^Ф[У]//(Ф[У])
т. е. такой, что о о ф = ц. Если у £ У, то ф (уа) = z/ao(P =
= I/11 = */авт = т (#а) и> значит, ф продолжает
отображение т. Следовательно, ф — искомый гомоморфизм.
Единственность его очевидна.
Итак, Ф$л [Y°] — свободная алгебра в многообразии
ЭД1 и Y° — множество ее свободных порождающих.
Докажем, что ограничение а на У инъективно. Пусть ух ф у2,
но у°г = у\. Рассмотрим ненулевую алгебру А из Ш и ее
ненулевой элемент а. Существует гомоморфизм т: Ф [Y] ->
->■ А такой, что у1 = а, у\ = 0. Так как / (Ф [У]) лежит
в ядре т, существует гомоморфизм ф: Фэд [Fa] ->■ А
такой, что т = а о ф, Но теперь, ввиду того что у\ = у%,
мы имеем а = у*= (г/£)ф = (у°)ч> = г/J = 0. Полученное
противоречие доказывает инъективность ограничения a
на Y.
Мы доказали, что Ya — множество свободных
порождающих алгебры Ф$л [Ya], равномощное Y. С помощью
стандартной процедуры мы можем теперь построить
свободную алгебру Ф$л [Y] с множеством свободных
порождающих Y.
Пусть теперь множества Y и Yr равномощны.
Докажем, что алгебры Фд# [Y] и Ф^ [Y'] изоморфны.
Рассмотрим биекцию о: Y ->■ Y'. По доказанному,
существует единственный гомоморфизм т: Фэд [Y] ->■ Фд# IT'],
продолжающий а. Рассмотрим также биекцию a-1: Y' ->■
->7и гомоморфизм т': Фэд [У] ->- Фэд [У],
продолжающий а-1. Тогда тот' отображает гомоморфно алгебру
Фдде [У] в себя, а сужение то т' на У является
тождественным отображением. Однако, по доказанному, имеется лишь
один гомоморфизм алгебры Ф$% [Y] в Фд# [Y],
тождественный на У. Этот гомоморфизм — тождественный. Значит,
тот' = id. Аналогично имеем т'от = id. Следовательно,
т — изоморфизм.
Теорема доказана.

g3J ОДНОРОДНЫЕ ТОЖДЕСТВА И МНОГООБРАЗИЯ ig
Как легко заметить, многообразия ассоциативных,
альтернативных, правоальтернативных и йордановых
алгебр нетривиальны (все они содержат, например,
алгебры с нулевым умножением) и потому обладают
свободными алгебрами от любого множества свободных
порождающих У, которые мы будем обозначать Ass [Y], Alt [Y],
RA [Y] и J [Y] соответственно.
Следствие. Если I — система определяющих
тождеств многообразия ЭД1, то Т {Ш) = I (Ф [X]).
Доказательство. Идеал Т (Ш) лежит в ядре
любого гомоморфизма алгебры Ф [X] на алгебру из ЯК
и, в частности, в ядре канонического гомоморфизма о:
Ф [X] -> Ф$л [X], которое равно / (Ф [X]). Ввиду
очевидности обратного включения, следствие доказано.
Замечание 1. При изучении алгебр конкретного
многообразия Ш мы будем часто называть тождеством
алгебры А из ЯК элемент / £ Ф$# [X], подразумевая под
этим тот факт, что некоторый прообраз элемента / в Ф [X]
при каноническом гомоморфизме Ф [X] на Ф$# [X] (а,
следовательно, и все прообразы) является тождеством
алгебры А.
§ 3. Однородные тождества и однородные многообразия
Всякий неассоциативный многочлен / £ Ф [X]
единственным способом может быть разложен в несократимую
сумму одночленов. Будем говорить, что одночлен av, где
а £ Ф, v 6 V [X], имеет тип [пг, п2, . . ., nk], если
неассоциативное слово v содержит xt ровно щ раз, причем
щ фО, но Wj-0 для ] > к. Например, одночлен
((х1х2) х2) (хгхь) имеет тип [2, 2, 0, 1]. Число щ будем
называть степенью одночлена av по xt. Если все одночлены
многочлена / в несократимой записи имеют одну и ту же
степень nt по хи то многочлен / назовем однородным по xt
степени щ. Одночлены, имеющие один и тот же тип,
называются однотипными. Неассоциативный многочлен
(тождество алгебры) называется однородным, если все его
одночлены в несократимой записи однотипны. Иначе говоря,
многочлен / является однородным, если он однороден
по каждой переменной. Так, например, однородным
является многочлен {х\х2) хк + ((^а) хъ) х\ — х\(х2хк —

16
МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР
[ГЛ. 1
— {хгХь) (х2хх); каждый его одночлен имеет тип [2, 1, 0, 1].
Многочлен х\х% - (хххн) хх + х\ однороден по хг степени 2,
однако однородным не является. Однородный многочлен
типа [пх, п2, . . ., nk]1 где все щ ^ 1, называется
полилинейным.
Так как свободная алгебра Ф [X] является свободным
Ф-модулем с множеством V [X] свободных порождающих,
она обладает разложением в прямую сумму подмодулей
Ф*я1* •••»nftl [X], состоящих из однородных многочленов
типа [пх, . . ., щ]\
Ф[Х]^0ФСп1*'--*пь][Х].
Степенью неассоциативного многочлена по хг называется
максимум степеней по xt его одночленов.
Пусть / 6 Ф 1-Х"! — произвольный неассоциативный
многочлен. Сгруппируем однотипные одночлены многочлена /.
Тогда / представится в виде суммы однородных
многочленов. Эти однородные многочлены называются
однородными компонентами многочлена /.
Теорема 3. Пусть f £ Ф [X] — тождество Ф-ал-
гебры А степени kt по xt. Положим к = max kt. Допустим,
что в Ф имеется к + 1 элементов аь а2, . . ., afe+i таких,
что для определителя Вандермонда
I 1 at а\ ... а?
, 1 0&2 0&2 . . . 0&2
I 1 OSfe+1 OSft+1 . •. «Ы-1
равенство d-a = О влечет а = 0 для любого а £ А. Тогда
всякая однородная компонента тождества f является
тождеством алгебры А.
Доказательство. Сначала мы представим /
в виде / = /0 + /i + ... + /ftl, где ft — сумма всех
одночленов многочлена /, имеющих степень i по #x. Пусть
/ — / (#1» ^2> • • ч #п) и %> а2-> • • ч ап — произвольные
элементы алгебры А. Будем сокращенно обозначать
ft К, а* • • ч «О через ft (а). Для * = 1, 2, . . ., к± + 1

§ 3] ОДНОРОДНЫЕ ТОЖДЕСТВА И МНОГООБРАЗИЯ 17
имеем соотношение
/о (а) + *ift (а) + <Ah («)+...+ «i 7*. (а) =
= /(а4аь а2, ..., ап) = 0,
откуда следует (см. Ленг С, Алгебра, «Мир», 1968,
стр.376), что dt fj (а)-0, / = 0,1,..., ки где
di
Л 6
1 (Xi <Xi
1 а2 а!
afc+t
1 ah1+i aftl4-i .
Так как dx — делитель d, то из djj (а) = 0 следует, что
fj (а) ~ 0- Ввиду произвольности аг, а2, . . ., an это
означает, что /0, /ь . . ., /h - — тождества алгебры Л.
Проделав ту же операцию с многочленами /7-, / = 0, 1, 2, . . .
. . ., кх, и переменной #2 и т. д., в конце концов докажем
теорему.
Условия теоремы заведомо выполнены в каждом из
следующих случаев:
1) существуют ах, а2, . . ., afe+1 £ Ф такие, что
определитель Вандермонда d = [] (ot; — а*) обратим в Ф;
г< j
2) алгебра А — свободный Ф-модуль и
существуют элементы ах, а2, . . ., afe+i 6Ф такие, что d —
= П(«—«дФО;
г<.д
3) Ф — поле, содержащее более к элементов.
Следствие 1. Пусть f — тождество Ф-алгебры
А степени к-ъ по Xi и к — max fej. Тогда в любом из случаев
1) — 3) всякая однородная компонента f является
тождеством алгебры А.
Многообразие ЭД1 назовем однородным, если для всякого
/ 6 Т (Щ) все однородные компоненты / также
принадлежат Т (Щ1).
Следствие 2. Всякое многообразие алгебр над
бесконечным полем однородно.
Заметим, что для однородного многообразия Ш
П1)= 0 (ф["' Пк1[Х]пт(Ш)),

18
МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР
(гл. i
поэтому разложение алгебры Ф [X] в прямую сумму
подпространств Ф[п1' •*•' пь* [X] индуцирует аналогичное
разложение и для свободной алгебры Ф^де [X] многообразия
501, изоморфной фактор-алгебре Ф [Х]/Т (Ш):
Фю[Х]= © o£""'nfc3[X],
[wi, ...,nft] Ж
где
ogf • •" n*] [X] =фСЯ1' ■ - ^ [Х]/фЕЯ1> • •"nfe] [X] п г (а»).
Поэтому для элементов свободной алгебры Ф$л [X]
многообразия Ш могут быть корректно определены понятия
однородности, степени, степени по каждой из переменных.
В дальнейшем нам понадобится следующий критерий
однородности многообразия.
Лемма 1. Для однородности многообразия Ш
необходимо и достаточно, чтобы Т (ЭД1) как идеал алгебры
Ф [X] обладал системой однородных порождающих
элементов.
Доказательство. Если Ш однородно, то
совокупность всех однородных компонент элементов Т {Ш)
содержится в Т (9Л) и порождает этот идеал даже как
Ф-модуль. Если же Т (Ш) как идеал порождается
множеством однородных многочленов {/а}, то Т (Ш) как
Ф-модуль порождается однородными элементами вида
v (и±, . . ., uk, /а, uh+x, . . ., ит),
где и, иг, . . ., ит — одночлены из Ф [X]. Наличие же
в Т (ЗЕЯ) системы однородных порождающих как Ф-модуля
влечет однородность многообразия ЯК. Лемма доказана.
§ 4. Частичные линеаризации тождеств
Зафиксируем некоторый элемент [у £Ф [X] и
определим семейство A(i/) = {A^ (y)\i = l, 2, ...;& = О, 1, 2, ...}
линейных отображений алгебры Ф [X] в себя, полагая
1) А? (у) = id — тождественное отображение;
2) £eAi(*/) = 0, если fc>l, либо &=1, 1фв;
3) хгА\(у)^у;
4) (u.i>)Af(»)= S (иАЦу))-№(у)),
r+s=k

§ 4] ЧАСТИЧНЫЕ ЛИНЕАРИЗАЦИИ ТОЖДЕСТВ 19
где Xj £ X, и, v — произвольные одночлены из Ф [X]. Как
легко видеть, условия 1) — 4) вместе с условием
линейности однозначно определяют действие отображений
А* (у) на алгебре Ф [X].
Лемма 2. Пусть v = v (хи . . ., хп) —
полилинейный одночлен. Тогда для любых /ь /2, . . ., fn £ Ф [X]
v(fu---,fn) A? (I/) = 2 у (ZiAi* (»),-..,/„ A?" (j/)).
Доказательство. Будем обозначать для
краткости А* (у) просто через А?, а г; (/х, . . ., fn) через у (/).
Проведем индукцию по п. При п = 1 все очевидно. Пусть
теперь ?г > 1, тогда у = ivy2» где d (иг) = т <С п,
d (v2) =г I <С п. По определению оператора А* и по
предположению индукции получаем
v (/) А? = (Wl (/) • У2 (/)) А? =' S (i;, (/) AJ) (У2 (/) А!) =
= 2 ( 2 »i(/iAi*, ...,/mAi-))x
r-f-s=ft n+ • • • +rm=r
x( 2 MWtf,...,/»A?')) =
= 2 »1(/|^ /«Ahx
Xi*(/w+1AjmH, ...,/nA?n) =
= 2 ^(/iA?' /„Ah-
Лемма доказана.
Следствие. Пусть и = и (хх, . . ., хп) —
произвольный одночлен из Ф [X] степени т по xt. Тогда при
к <^т
иД* (у) = Щ + и2+ ...+ U, ту
где ии и2, . . ., и,т\ — всевозможные одночлены,
получающиеся из и заменой к вхождений хь на у, а при к > т
иА?(у) = 0.
Для доказательства достаточно рассмотреть
полилинейный одночлен v(xlu . . ., xlki, . . ., хп1, . . ., xnkn), для

20
МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕЕР
[ГЛ. 1
которого и (хи . . ., хп) = v (хх, . . ., хг, . . ., хп, . . .
. . ., хп), и воспользоваться леммой 2 и условием 2)
в определении оператора Д£ (у).
Приведем примеры:
[(х\х2) xt] Д} (у) = (^2) у + [(зд) ж2] ж4 + [(yxt) х2] хи
1{х\х2) xt] Д? (у) = [(зд) жа] у + [(yXi) х2] у + (у2х2) хи
[(x2ix2)xi]A3i(y)^=(y2x2)y,
[(xlx2)xi]^i(y) = 0.
Заметим, что символ i в обозначении Д^ (у) нужен
лишь для указания порождающего хи на котором
оператор Дг (у) действует ненулевым образом. Если элементы
множества X не снабжены индексами, мы будем вместо
индекса писать сам порождающий элемент. Например,
l(x*z) t] Д£ (у) = [(ху) z] t+ [(ух) z] t.
Лемма 3. Пусть f = / (хг, . . ., хп) — многочлен
из Ф [X] степени т по xt. Тогда
т
f(xu ...,xt + y, . . ., Хп) = Jj /Д* (у).
Доказательство. Ввиду следствия леммы 2
и линейности оператора Д{* (у) достаточно рассмотреть
случай, когда / — одночлен. Проведем индукцию по
степени /. Если d (/) = 1, то все ясно. Пусть теперь d (/) > 1,
тогда / = /i*/2, где d (ft) < d (/), и пусть fx имеет степень
тг по xt, /2 имеет степень т2 по xt. По предположению
индукции и по определению оператора Д* (у) получаем
/ (xt, ..., xt -\-у, ..., хп) =
= fi(Xi, ...,xt + y, ...,xn)f2(Xi, ...,xt + y, ...,xn) =
mi m2
= [£ /iAi(»)][S f-Al{y)\ =
h=0 r=0
m m
= 2 t 2 (/iA?(j/))(/2Ai(j/))l=S/AHj/).
j=0 ft+r=j j=0
Лемма доказана.
Рассмотрим некоторый неассоциативный многочлен / =
= / (х1, . . ., хп) е Ф [X], и пусть ж, 6 X Ч {*!, . . ., ^п}-

ЧАСТИЧНЫЕ ЛИНЕАРИЗАЦИИ ТОЖДЕСТВ 21
Многочлены j\h) (хг, . . ., хп\ Xj) == /А* (^) мы будем
называть частичными линеаризациями многочлена f по xt
степени к. Пусть многочлен / имеет степень sno^. Ввиду
следствия леммы 2 многочлен f[h) (хх, . . ., хп\ Xj)
однороден по xj степени к при /c^sh равен нулю при к > s.
Если / — однородный многочлен типа [кх, . . ., kt, . . .
. . ., кп], то многочлен/ift) (^, . . ., хп\ хп+1) также
является однородным типа [кх, . . ., kt — к, . . ., кп, к] (при
к ^ kt). Заметим здесь же, что для любого у £ Ф [X]
элемент /А? (у) получается подстановкой элемента у в
многочлен /lft) (#!, . . ., хп; Xj) вместо переменной Xj.
Предложение 3. Если многообразие Ш
однородно, то для любых f £ Т (Ш) и для любого у £ Ф [X]
справедливо включение
/Д(у) = {/Д?({,)|* = 1, 2, .V.; fc = 0, 1, 2, ...}дгр,
Доказательство. Заметим прежде всего, что
если / (*1Э ...,жп)£Г (ЯК), то и / (у1э . . ., уп) £ Т (Щ
для любых элементов уг, . . ., г/п £ Ф [X]. Поэтому для
доказательства включений /А? (г/) £ Г (931) достаточно
доказать, что /ift) (а?!, . . ., хп\ Xj) £ Г ($1), где xj£X\
\ {хх, . . ., хп}. В силу леммы 3 мы имеем Т {Ш) Э
Э / К, . . ., ^ 4- жу, . . ., хп) = 2 Mi (*/). гДе ^ —
fc=0
степень / по я*. Как было замечено выше, каждый из
многочленов f^(xj) однороден по xj степени к.
Ввиду однородности Ш отсюда следует, что /A* (xj) =
= /^ (^,. . ., хп; Xj) е Т (Ж), откуда и /А? (у) =
— Л (#ц. . ., л:п; у) ^ Т (Ш). Предложение доказано.
Легко видеть, что справедливо и обратное утверждение:
если /А (у) с= Т (Ш) для любых / 6 Г (ЯЛ) и у 6 Ф Ш,
то многообразие Ш однородно. Мы сейчас покажем, что
на самом деле для однородности многообразия Ш
достаточно выполнения гораздо более слабого условия.
Пусть / — неассоциативный многочлен. Обозначим
через /А множество всех многочленов из Ф [X], которые
можно получить из / с помощью последовательных
частичных линеаризации:
/А = {g € Ф [X] | g = /Д|; (xhl) ... Afc ю>.

22
МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР
[ГЛ. 1
Теорема 4. Пусть многообразие Ш обладает такой
системой I определяющих тождеств, что /А ^ Т (Ш)
для всех f £ I. Тогда Ш однородно.
Доказательство. Заметим прежде всего, что
мы можем считать без ограничения общности, что система
/ состоит из однородных многочленов. Действительно,
пусть / = / (хи . . ., хп) G 7", / = fx + /2, где fx однороден
по хг степени т, а /2 имеет по хх степень меньше т. Пусть,
далее, х}- — порождающий, не входящий в запись /. Тогда
мы имеем /Д™(^/) = fi&? (xj) + /2АГ (xj) = /i (xh хъ-> • • •
. . ., хп) 6 /А и далее jx (xh х2, . . ., хп) Af (хх) = fx (хх,
**, • • ., **) = /i6/as г(Ш1), т. е. /1Э /,er(aR).
Покажем, что /ХА (J /2А д= Т (ЭД1). Так как /х g /А, то
ясно, что /ХА ^ /А ^ Г (Ж). Пусть теперь g £/2Д. Тогда
g = /2Ai ... Aft, где A* - A^ (хц). Мы имеем g = (f — f1)x
X Ах ... Aft - /Ах ... Aft — AAi ... Aft € Т(Ш). Итак, мы
можем заменить в системе / многочлен / многочленами fx
и /2. Продолжая этот процесс, мы придем к однородной
системе /', удовлетворяющей условию теоремы. Согласно
лемме 1 однородность многообразия ЗЯ эквивалентна тому,
что идеал Т (Ш) обладает системой однородных
порождающих. По следствию теоремы 2 этот идеал порождается
элементами вида / (gx, g2, . . ., gn), где / 6 /; gx, g2, . . .
. . ., gn £ Ф [X]. Разложим многочлены gx, . . ., gn на од-
si
ночлены: gt = 2 £sfc- Тогда по лемме 3 элемент h =
= / ten • • ., gn) представится в виде
^ — 2j /m teib • • • i £lsj> • • ч gni> • • • i £ns ),
m
гДе /m == Jm% (#11 > • • ч ^lSj* • • ч #inl' • • ч ^sn ^ '^'
В силу однородности / все элементы fm являются
однородными; кроме того, по условию они лежат в Т (Ш).
Но тогда и все элементы
fm tell? • • ч ^ls^ • • ч £nl> • • ч £nsn)
также являются однородными и лежат в Т (Ж).
Следовательно, совокупность этих элементов и есть искомая
система однородных порождающих для идеала Т {Ш).
Теорема доказана,

§ 4] ЧАСТИЧНЫЕ ЛИНЕАРИЗАЦИИ ТОЖДЕСТВ 23
Выясним теперь, при каких условиях частичные
линеаризации некоторого тождества сами являются
тождествами.
Теорема 5. Пусть / 6 Ф [X] •— тождество Ф-
алгебры А, однородное по xt степени к. Допустим^ что
в Ф имеются такие к — 1 элементов ах, а2> • • •» аь-и
что для определителя
d =
<Zi
а2
а?
а2
aj-1
aJ
ь-i
«k-i aftz-i
a
fc-i
ь-i
ь-i
= (S «.) (П «/-«!))
равенство d*a = 0 влечет a = 0 для любого a £ А. Тогда
все частичные линеаризации многочлена f являются
тождествами алгебры А.
Доказательство. Пусть / = / (хг, . . ., хп) и
ах, а2, . . ., ап, а,- — произвольные элементы алгебры А.
Как и при доказательстве теоремы 3, элементы/^ (ах, . . .
. . ., ап\ aj) для краткости обозначим /|Ш)(а). Имеем
по лемме 3
0 = /(яц • • •> а*-и а«+Лу, аж, • • •> ап) =
= 2/(i^«)=2V(«),
так как f\°'(a) = / (ax, . . ., a^, af, a,+1, . . ., an) = 0
и #°(a) = / (аъ . . ., a^j, aj, am, . . ., an) = 0.
Подставляя в полученное равенство последовательно
элементы a±aj, a2a/, . . ., OLk^1aj вместо aj, получим
. «i/^ («) + «i/!2) («)+•••+ «i" Vf"J) (a) = 0,
«z/^ (a) + «2/i2) («)+.-. + atlj\h-l) (a) = 0,
*{D
(2),
aft_1/r,(a) + aft-i/i'(«) +
+ a^:Mft-1)(a) = 0,
откуда следует, что d-f\sy (a) = 0 для 1 ^ 5 ^ к -— 1.
Значит, /|s) (a) = 0, что, ввиду произвольности элементов
%,..., an, a7- g Л, доказывает справедливость в А
тождества f[s) (xv xz, . . ., хп; Xj). Теорема доказана.

24
МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР
[ГЛ. 1
Следствие. Если многообразие Ф-алгебр 501 задано
системой I однородных тождеств степени ^ к по каждой
из переменных и в Ф имеется к — 1 элементов аг, а2, ...
• . ., ай_! таких, что для d = ( [J as) ([J (а/ — аг-)), любой
s=l i<i
алгебры А £ Ш и а £ А равенство d-a = 0 влечет а = О,
ттго многообразие ЭД1 однородно. В частности, всякое
многообразие, заданное однородными тождествами степени ^ 2
по каждой из переменных, однородно.
Доказательство. Если в Ф найдутся нужные
элементы аг, а2, . . ., <Xk-i, то в силу теоремы 5 для
всякого / 6 7 мы будем иметь /АдТ (5Ш), откуда по
теореме 4 многообразие Ш однородно. Если все элементы в I
имеют степень не выше 2 по каждой из переменных, то мы
можем взять в качестве аг единицу 1 и применить первую
часть следствия.
Многообразия ассоциативных, альтернативных и пра-
воальтернативных алгебр задаются однородными
тождествами степени не более 2 и потому являются
однородными. Определяющие тождества многообразия йордановых
алгебр также однородны, но одно из них имеет степень 3
по хг. Это является причиной того, что для некоторых
колец операторов Ф, например, поля Z2 из двух
элементов, многообразие йордановых алгебр не является
однородным. Однако если в Ф разрешимо уравнение 2х = 1,
то ситуация в корне меняется. В самом деле, если
положить аг = 1, а в качестве а2 взять решение этого
уравнения (обозначим его V2), то для d = 1-V2-(1 — V2) =
= (V2)2 импликация da = 0 =>- a = 0 верна, так как
Ada = а. По следствию теоремы 5 заключаем, что в этом
случае многообразие йордановых алгебр однородно.
Теорема 6. Пусть А — алгебра над кольцом Ф,
принадлежащая однородному многообразию ЯЛ, и В —
ассоциативно-коммутативная Ф-алгебра. Тогда Ф-алгебра
С = В ®ФЛ также принадлежит многообразию Ш.
Доказательство. Достаточно показать, что С
удовлетворяет всем однородным тождествам из Т(Ш).
Пусть / (хг, х2, . . ., хп) — такое тождество. Тогда для
любых сг, с2, . . ., сп £ С элемент / (сг, с2, . . ., сп)
представляется в виде суммы элементов вида g (Ьг ® аг, ...
. . ., bs ® as), at £ A, bj £ В, где g — однородный
многочлен из /As Т (Ш). Если многочлен g (хг, х%, . . ., xs)

§ 5]
ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ТОЖДЕСТВА
25
имеет тип Ux, г2, . . ., is], то
= bi'bl1 ... Ь|в®£(а1э а2, ..., а,)=0.
Но это значит, что и / (с1? с2, . . ., сп) = 0. Теорема
доказана.
§ 5. Полилинейные тождества. Полная
линеаризация тождеств
В этом параграфе мы докажем, что наличие в алгебре А
некоторого тождества влечет наличие в алгебре А и
некоторого полилинейного тождества.
Введем следующее обозначение: крышечка " над х-г
в сумме хг + ... + xt + ... + хп означает, что xt
входит в сумму с нулевым коэффициентом, т. е.
п
#1 + • • • + %i + • • • + %п ~ 2j %k %i'
h=i
Например, хг + х2 + х3 + xk + х5 = хг + х3 + х5.
Пусть / = / (хъ х2, . . ., хп) — некоторый
неассоциативный многочлен из Ф [X] и уъ г/2, . . ., yk £ -X" \
Xl^, х2, . . ., хп). Для каждого г = 1, 2, . . ., м
определим неассоциативный многочлен fL* формулой
= / (*i, ..., £*-!, */, + */2 + • •. + yk> *ж, • • -, *п) —
ь
— 2 /(*!, •.•,**-!. Pi+ ••- + £? + - -.+0Л,*Ж, ...,^n) +
g=l
+ 2] /(*!, ...,£*-!, 01+... + ^+...+^ +
+ --.+УЛ» *Ж> ---i Хп) —
k
•••+( 1) .Zj /(#!» •••»#*-!» #g> ^i+Ь •••>^n).
9=1
Очевидно следующее
Пред л*о ж е н и е 4. Пусть Р — подполугруппа
и Q — подгруппа аддитивной группы Ф-алгебры А, Тогда

26
МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР
[ГЛ. 1
если для неассоциативного многочлена / = / (хг, х2, . . .
. . ., хп) и любых элементов аг, а2, .. ., ап £ Р имеем
/ (аъ а2, . . ., ап) £ Q, то и для любых а±, . . ., а^ъ
Ъъ 62, . . ., bh, ai+1, . . ., ап 6 Р будем иметь fL\ (аг, . . .
. . ., аг_ъ Ъъ 62, . . ., bk, ai+1, . . ., ап) £Q. В
частности, если / £ Т (А), то и fb\ £ Т (А).
Таким образом, оператор 1% преобразует тождества
алгебры А снова в тождества алгебры А. Чтобы выяснить
механизм его действия, докажем сначала одну лемму.
Лемма 4. Пусть g: А X А X ... Xi->i -
функция от п переменных, заданная на Ф-алгебре А и
линейная по каждому аргументу. Тогда для любых аъ а2, ...
. . ., ak £ А, где к^> п,
g^i + агЛ- ... + а&, . .., <Ч + а2+ .. . + aft) —
к
— 2 £(«4+ ...+aq+ ...+ak, ..., а4 +
9=1
+ ...+afe, ...,a4+ ...+a9l + ...+ag2+ ...+afe) +
+ (-l)fe-1 2 ^K» «g. ...,ag)-
9=1
= < (ii...in)6Sn
( 0, если /b>n.
Доказательство. Пусть к ^ п. Пользуясь
линейностью функции g, вынесем все знаки + из-под знака
этой функции. Тогда левая часть доказываемого
равенства будет представлять из себя линейную комбинацию
элементов вида g (a7- , a,- , . . ., a,- ) с целыми
коэффициентами. Вычислим коэффициент при элементе
£(aV aV * * '' аО' Если среди инДексов Ь /г. • • •. In
имеется s различных и при этом s <ск, то коэффициент
при g (aj , aj- , . . ., a, ) равен знакопеременной сумме
1 — (hJs) + (V)— • - • + (—l)fe's (Jlj), которая равна

§ 51
ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ТОЖДЕСТВА
27
нулю. Заметим, что s не превосходит п, а к по
предположению не меньше п. Поэтому s ^>к может быть лишь при
s = к = п. В этом случае коэффициент при g (aj , а/ , . . .
. . ., dj ), очевидно, равен единице. Это доказывает нашу
формулу, а следовательно, и лемму.
Предложение 5. Для любых /, /' £ Ф [X],
иа которых оператор L\ определен, (/ + /') L\ = /£$ +
-\- f L\. Если f = f (хг, х2, . . ., хт) — одночлен степени
п по xt и g = g (хг, . . ., х^х, уг, у2, . . ., уп, xi+u . . .
. . м хт) — одночлен, линейный по ух, у2, . . ., уп £
£ Х\ 1^, . . ., хт), такой, что f (хх, #2, . . ., хт) =
== 8 V^l» • • ч ^i—1» ^i» ^i* • • ч *^i» ^i+l' • • ч ^m/» ^^
/.Li (#i, ..., #*-!, z4, ..., zft, Xi+i, ..., #m) =
I 2л 8 v^i» • • •» #1-1» zitt • • •» zin> #i+l» • • •» #mj»
I (ii...in)£Sn
= л ес/ш k = n,
I 0, если k>n.
Доказательство. Линейность оператора 1%
следует непосредственно из определений. Если fug —
одночлены, указанные в условиях предложения, то
одночлен g мы можем рассмотреть как функцию от п
переменных ух, у2, . . ., уп, зафиксировав #!, . . ., х^х, xi+1, . . .
. . ., хт. Применяя лемму 4, получаем формулу для /Lj.
Предложение доказано.
Проиллюстрируем это предложение примерами:
IsJtesi)] Ц = (уху2) (х2у3) + (у2ух) (х2у3) + (уху3) (х2у2) +
+ (УзУх) (*s»s) + (УъУз) (*s0i) + (У3У2) (*s0i)»
[{х\х2) х\\ Ц = 0,
[х[х\\ ЦЦ = (уху2) (zxz2) + (у2ух) (zxz2) +
+ (У1У2) (*й) + (У2У1) (ад)-
Пусть / = / (хх, х2, . . ., хп) — однородный многочлен
типа [кх, к2, . . ., кп]. Тогда полилинейный многочлен
fL^L\2 . . . Цп будем называть полной линеаризацией
многочлена /.
Теорема 7. Пусть неассоциативный многочлен f =
= f (xv Хр . . ., хп) обращается в нуль при подстановке

28
МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР
[ГЛ. 1
в него любых элементов подгруппы Р аддитивной группы
алгебры А. Тогда полная линеаризация любой его
однородной компоненты, имеющей максимальную степень, также
обращается в нуль на Р.
Доказательство. Пусть / = /х + /2 + • • •
• • • ~+ fs — разложение многочлена / в сумму
однородных компонент, причем степень fx максимальна. Допустим,
что некоторая переменная Xj не входит в /х, но входит
в другие однородные компоненты. Тогда многочлен
/ \Xi, Х2, . . ., Хп) = / (#]_, . . ., #/-1? U, ^j+l? • • •» %п)
снова обращается в нуль на Р, /х — снова его однородная
компонента максимальной степени, но при этом /' уже
не содержит Xj. Далее, если Xj входит в /1г но не входит
в какую-либо однородную компоненту многочлена /', то
рассмотрим новый многочлен
/ \Х\, Х%, • • •) хп) = у \Х^, Х^, . . ., Хп)
Этот многочлен также обращается в нуль на Р, но Xj
входит уже во все однородные компоненты многочлена /" и /х
является в /" по-прежнему однородной компонентой
максимальной степени.
Таким образом, перенумеровав, если надо,
переменные, мы с самого начала можем считать, что однородная
компонента /х многочлена / имеет тип [кх, к2, . . ., кп],
где kt Ф О, 1 = 1, 2, . . ., п, а остальные однородные
компоненты (/2, например) имеют тип [тх, т2, . . ., тп],
где mt Ф О, 1 = 1, 2, . . ., я, и где для некоторого /
имеет место строгое неравенство т$ <С kj. Так как т$ <
< kj, то, ввиду предложения 5, fJJpUp . . . L^n = 0.
Следовательно,
/ii>i Х/2 . . . X/n =J-Li\ JU2 ... Ьп •
Теперь в силу предложения 4 заключаем, что полная
линеаризация f-J^L^ . . . Z,£n компоненты fx обращается
в нуль на Р. Теорема доказана.
Следствие. Если алгебра А удовлетворяет
некоторому тождеству, то она удовлетворяет и некоторому
полилинейному тождеству.

s <j]
ПРИСОЕДИНЕНИЕ ЕДИНИЦЫ
29
§ 6. Присоединение единицы
Пусть А — некоторая алгебра над кольцом Ф.
Рассмотрим кольцо Ф как модуль над собой. Единица 1 кольца
Ф является порождающим элементом этого Ф-модуля:
Ф = Ф-1. Рассмотрим прямую сумму А# = А © Ф-1
двух Ф-модулей А и Ф-1 и определим на ней умножение
следующим образом:
(а + аЛ) (Ь + Р-1)'= (аЪ + аЪ + 0а) + сф-1>
где а, (3 6 Ф, я» Ь 6 А. Алгебру А# мы будем называть
алгеброй, полученной формальным присоединением единицы
к алгебре А. Легко видеть, что 1 — единица алгебры Л#
и А — подалгебра в А#. Многообразие Ш назовем
унитарно замкнутым, если для любой алгебры А из Ш алгебра
Л# также принадлежит ЭД1.
Алгебру Ф [Х]#, полученную присоединением единицы
к свободной алгебре Ф [X], мы будем в дальнейшем
называть свободной алгеброй с единицей.
Предложение 6. Многообразие Ш,
определенное множеством тождеств I, является унитарно
замкнутым тогда и только тогда, когда I (Ф [Х]#) ^ Т (Ш).
Доказательство. Рассмотрим ЗД}-свободную
алгебру Ф^де [X] и ЭДЬсвободную алгебру с присоединенной
единицей Ф^де [Х]#. Как легко видеть, Ш является
унитарно замкнутым тогда и только тогда, когда Фд#[Х]# £ 9ft.
Последнее условие эквивалентно тому, что I (Ф$де [Х]#) =
= (0). Заметим теперь, что алгебра Ф$# [Х]#
изоморфна фактор-алгебре Ф [Х]#/Т (Ж), поэтому равенство
I (Фэд [Х]#) = (0) эквивалентно включению I (Ф [Х]#) s
^ Г (Ж). Предложение доказано.
Обозначим через Д* отображение алгебры Ф [X]
в алгебру Ф [Х]#, сопоставляющее многочлену
/ = f {хх, . . ., хп)
из Ф [X] элемент
/А? (1) = /|ft) fo хп; 1)
из алгебры Ф [Х]#. Отображение Д* линейно и определено
на всей алгебре Ф [X]. Действие оператора Д| аналогично
«частному дифференцированию» по переменной xt.

30
МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР
[ГЛ. 1
Например,
+ 2 (ххх2) х±,
[(afra) *J A* = 0.
Если элементы множества X не снабжены индексами,
то мы будем заменять индекс i обозначением
соответствующего порождающего. Например,
[(а*у) х] Д» = у.
Совокупность всех элементов, которые можно
получить из многочлена / с помощью применения операторов
Аь мы обозначим через /А'.
Теорема 8. Пусть многообразие 5Ш обладает такой
системой I определяющих тождеств, что /А' ^ Т (5Ш)
для всех f £ I. Тогда Ш унитарно замкнуто.
Доказательство. Ввиду предложения 6 нам
нужно доказать, что I (Ф [ХЩ s Т (5Ш). Так как
Т (ЯК) — идеал в Ф [Х]#, то достаточно доказать, что
f (gu • • •» gn) 6 ЩШ) для любого / = / (
и любых gl9 . . ., gn 6 Ф 1ХЩ. Имеем ^ = yt + аг1, где
^1 6 Ф [X], at 6 Ф, * = 1, 2, . . ., я. Теперь в силу
леммы 3
f(gu ....*n)=/(Vi + arl. ....»n+Oii-l) =
= 2 Ж ...eftfAi{...4?(yi,...,yn).
it f 'tin
Так как по условию /Aj1 . . . A£n = /А*1 ... Ay1 (xl9 . . .
. . ., хп) € Г (501), то и / (fo, . . ., gn) е Т (501). Теорема
доказана.
Многообразие 501 назовем сильно однородным, если 501
однородно и /A' s Г (Ж) для любого / б Г (501).
Предложение 7. Многообразие 501 является
сильно однородным тогда и только тогда, когда 501 одно-
родно и унитарно замкнуто.
До казательство. Если 501 сильно однородно,
то утверждение следует из теоремы 8. Обратно, пусть 501
однородно и унитарно замкнуто. Рассмотрим/ = / (хг, . . .

§ 61
ПРИСОЕДИНЕНИЕ ЕДИНИЦЫ
31
. . ., хп) 6 Т (9Л). По предложению 3 имеем /A* (xj) =
= /ift) fo, . . ., хп\ xs) 6 Г (Ж), где х, € Х\ fo, . . .
. . ., хп). Так как множестве тождеств Т (ЭД1) определяет
многообразие ЭД1, то по предложению 6 мы получаем /Aj =
= fik) {хп • • •» з?п"» 1) € У (ЗЛ). Предложение доказано.
Из теорем 4 и 8 получаем теперь
Следствие 1. Пусть многообразие Ш обладает
такой системой I определяющих тождеств, что /A U
U /А' ^ Т (501) для всех f 6 /. ^огда ЗЛ сильно однородно.
В частности, справедливо
Следствие 2. Многообразия ассоциативных,
альтернативных и правоалътернативных алгебр являются
1
сильно однородными. Если в Ф есть элемент -^ , то и
многообразие йордановых Ф-алгебр является сильно
однородным.
Доказательство. Как мы уже видели в § 4,
все эти многообразия однородны. Покажем, что
многообразие Jord йордановых алгебр сильно однородно. Это
многообразие определяется тождествами /х — хгх2 — х2хг
и /2 = (#?#2) xi — х\ (x2xi)* Легко видеть, что /^Д? = О
во всех случаях, кроме случая, когда i = 2, к = I = 1.
В этом случае
/2^1 — ^ \Х1Х%) 1 ~> Х\™ъ — £Х\ уХпХ-j^j — ХлХо —
— £ \Х]Хп XnXi) Х-1 ~~J- ^ yXnX-ij Х-1 — ZtX-t \ХаХл) —
= 2/х fo, я2) хх + 2/х (Жа^, жх) 6 У (Jord).
Таким образом, /ХД' U /2Д' ^ Г (Jord) и многообразие
Jord сильно однородно. Для других многообразий
доказательства аналогичны. Следствие доказано.
Докажем теперь одно свойство свободных алгебр
сильно однородных многообразий.
Предложение 8. Пусть $Щ — сильно
однородное многообразие. Тогда для любого / £ Фд# [X] и для любого
х £ X каждое из равенств f-x = 0, x-f = О влечет f = 0.
Доказательство. Обозначим через dx (/)
степень многочлена / по переменной х и через Rz —
оператор правого умножения на элемент z: yRz — y-z.
Покажем индукцией по <#*•(/), что для любого натурального т

32
МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР
ЕГЛ. 1
равенство fR™ = 0 влечет / == 0. При dx (/) = 0,
вследствие сильной однородности многообразия, имеем 0 =
= (/#?) Ах = /» что дает нам основание для индукции.
Пусть dx (/) = п > 0. Используя вновь сильную одно-
родность многообразия 3UI и лемму 2, получаем
т lm\ m lm\
0 = (/iff) А?= S ( . ) (/Д£) Д£ = /+2 (t ) (/Ax)i?L
откуда / = URX, где d* (/x) < п. Теперь имеем
0=fR%= hRT1.
Предположение индукции дает нам /х = 0 и / = 0.
В частности, мы доказали, что если f -х = 0, то / = 0.
Аналогично доказывается, что равенство x-f = 0 влечет
/ = о.
Предложение доказано.
Элемент а алгебры А называется ее правым (левым)
аннулятором, если А -а = (0) (соответственно а-А = (0)).
Следствие. В свободной алгебре сильно
однородного многообразия не содержится ненулевых правых и левых
аннуляторов.
В частности, свободные альтернативные, правоальтер-
нативные и йордановы алгебры не содержат ненулевых
аннуляторов.
В заключение докажем одно предложение,
облегчающее иногда доказательство тождеств в сильно однородных
многообразиях. Утверждение, в нем содержащееся, часто
называют принципом Кёхера.
Предложение 9. Пусть ЭД1 — сильно
однородное многообразие и / = / (хъ . . ., хп) — некоторый
однородный неассоциативный многочлен. Предположим, что
для любой конечнопорожденной как Ф-модулъ алгебры А
из Ш многочлен / обращается в нуль при подстановке в него
любых элементов вида 1 + х таких, что идеал, порожден-
ный элементом х в А, нильпотентен. Тогда / — тождество
многообразия Ш*
Доказательство. Достаточно установить, что
/ (хи . . ., хп) = 0 в ЯК-свободной алгебре F = Фэд [хг, . . .
. . ., хп\. Пусть степень многочлена / равна т.
Рассмотрим фактор-алгебру G = FIF™*1 и в ней элементы уи . . .
• • •> Уп ~— образы элементов хъ . . ., хп при канониче-

£6]
ПРИСОЕДИНЕНИЕ ЕДИНИЦЫ
33
ском гомоморфизме F на G. Присоединив к этой алгебре
единицу, получим алгебру С?# £ Ш. Элементы уг, . . ., уп
порождают в этой алгебре нильпотентные идеалы. Поэтому
/ (1 + У1, . . ., 1 + уп) = 0.
Но тогда в силу однородности в алгебре F# имеем
соотношение
/ (1 +*!,..., 1 + Хп) = 0.
Многочлен / (хг, . . ., хп) является однородной
компонентой многочлена / (1 + хг, . . ., 1 + хп) и потому равен
нулю. Предложение доказано.
Во всех классических многообразиях элементы
указанного в условиях предложения вида являются
обратимыми, так что тождества в этих многообразиях достаточно
доказывать только для обратимых элементов.

ГЛАВА 2
КОМПОЗИЦИОННЫЕ АЛГЕБРЫ
Одно из важнейших свойств комплексных чисел
выражается тождеством
| Zz' | = | Z | • | Z' |.
Если обозначить z = ах + a2i, z' = Ъх + b2i, то это
тождество перепишется в виде
(а\ + а\) (6J + bl) - («А - а А)2 + (аА + а А)2.
Допуская некоторую расплывчатость формулировки, его
можно прочитать так: произведение суммы двух квадратов
на сумму двух квадратов есть снова сумма двух квадратов.
Естественно возникает вопрос: существуют ли
аналогичные тождества с большим числом квадратов? Как
описать все такие тождества?
Примеры тождеств для суммы 4 квадратов были
известны еще Эйлеру и Лагранжу. В 1818 г. Деген *)
указал первый пример тождества для суммы 8 квадратов,
который, к сожалению, остался тогда незамеченным.
В 1843 г. Гамильтон заметил, что существование тождества
для суммы п квадратов эквивалентно существованию
алгебры с делением определенного вида размерности п
над полем вещественных чисел. В случае п = 2 такой
алгеброй является, например, алгебра комплексных чисел.
Гамильтон построил 4-мерную алгебру с делением,
дающую тождество Эйлера для суммы 4 квадратов. В 1845 г.
Кэли построил 8-мерную алгебру с делением, дающую
тождество для суммы 8 квадратов. Аналогичная алгебра
независимо была построена в 1844 г. Грейвзом. После
этого долгое время не удавалось выяснить, существуют ли
*) Degen С. F., Mem. Acad. Sc. St. Petersbourg, 8 (1818),
207—219.

§ i] ПРОСТЫЕ СВОЙСТВА КОМПОЗИЦИОННЫХ АЛГЕБР 35
аналогичные тождества для других значений п. Лишь
в 1898 г. Гурвиц доказал, что тождества интересующего
нас типа возможны лишь при п = 1, 2, 4, 8.
Алгебры, построенные Гамильтоном и Кэли и
известные теперь соответственно как алгебра кватернионов
и алгебра чисел Кэли, оказались весьма интересными
и с многих других точек зрения. Так, в 1878 г. Фробениус
доказал, что алгебра кватернионов вместе с полем
комплексных чисел являются единственными конечномерными
ассоциативными алгебрами с делением размерности
больше 1 над полем вещественных чисел. Алгебра чисел Кэли
позднее заняла важное место в теории альтернативных
и йордановых алгебр.
В связи с теоремой Гурвица возникает такой более
общий вопрос: что будет, если вместо суммы, квадратов
рассматривать некоторую невырожденную квадратичную
форму над произвольным полем? Для каких
квадратичных форм справедлив результат, аналогичный теореме
Гурвица? Этот вопрос, известный как проблема Гурвица,
был решен сравнительно недавно в работах Алберта, Кап-
ланского и Джекобсона. Оказалось, что и в этом случае
задача сводится к описанию некоторого класса алгебр —
так называемых «композиционных алгебр».
Композиционные алгебры являются естественным обобщением алгебр
комплексных чисел, кватернионов и чисел Кэли и играют
важную роль в теории альтернативных и йордановых
алгебр. Изучению этих алгебр и посвящена данная глава.
§ 1. Определение и простые свойства
композиционных алгебр
Пусть F — произвольное поле, А — векторное
пространство ненулевой размерности над F. Отображение
/." А X A ->F называется билинейной формой, если для
любых х, х , у, у' £А, а 6 F
1) / (х + х', у) =f(x, у) + / (х', у);
2) / (*, у + у') = f(x,y)+f (х, у');
3) / (ах, у) = / (х, ау) = а / (х, у).
Билинейная форма / называется симметрической, если
/ (#» У) — f {у, %) Для любых х, у £ А. Симметрическая
билинейная форма / называется невырожденной, если из
того, что / (а, х) = 0 для всех х 6 А, следует, что а = 0.

36
КОМПОЗИЦИОННЫЕ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. 2
Отображение п: А -> F называется квадратичной
формой, если
1) п (Хх) = Х2п (х), где х еЛ, X £ F;
2) функция / (а:, у) = п (х + у) — п (х) — п (у)
является билинейной формой на А.
Квадратичная форма п (х) называется строго
невырожденной, если невырождена соответствующая ей
симметрическая билинейная форма / (х, у), и невырожденной, если
из того, что п (а) = f (а, х) = 0 для всех х £ А, следует,
что а = 0. Всякая строго невырожденная квадратичная
форма является невырожденной; обратное верно, если
характеристика поля F отлична от 2. Форма п (х)
называется допускающей композицию, если существует такая
бинарная билинейная операция (композиция) ху в А, что
п (х) п(у) = п (ху). (1)
Проблема Гурвица заключается в определении
невырожденных квадратичных форм, допускающих
композицию. Если А = Еп — м-мерное евклидово пространство,
а п (х) = (х, х) — скалярный квадрат вектора х, то мы
получаем классическую формулировку проблемы Гурвица.
Равенство (1), расписанное в ортонормированном базисе,
в этом случае дает искомое тождество для суммы
квадратов.
Примером квадратичной формы, допускающей
композицию и отличной от суммы квадратов, может служить
следующая форма от двух переменных:
п (х) = п (хх, х2) = х\ + kxxx2 + tx\, k, t £ F.
Действительно, легко проверить, что
п (хх, х2) -п (ух, у2) = п (х1у1 — tx2y2, хху2 + x2yt + кх2у2).
Если форма п (х) допускает композицию, то линейное
пространство А превращается в алгебру относительно
операций сложения, умножения на скаляр и умножения
ху; при этом умножение связано с квадратичной формой
п (х) равенством (1). Обратно, если на некоторой алгебре А
определена квадратичная форма п (х), связанная с
умножением равенством (1), то форма п (х) допускает
композицию. Следовательно, проблема Гурвица эквивалентна
проблеме описания алгебр, на которых определена невы-

§ 1] ПРОСТЫЕ СВОЙСТВА КОМПОЗИЦИОННЫХ АЛГЕБР 37
рожденная квадратичная форма п (х),
удовлетворяющая (1).
Как мы увидим далее, если форма п (х) строго
невырождена и допускает композицию, то, как и в теореме
Гурвица, размерность соответствующей алгебры А может
быть равна лишь 1, 2, 4, 8. В то же время над всяким
несовершенным полем характеристики 2 существует
бесконечное число невырожденных квадратичных форм, не
являющихся строго невырожденными я допускающих
композицию; при этом размерность соответствующей алгебры А
принимает бесконечное число различных значений
и может быть даже бесконечной. В связи с этим в
дальнейшем для того, чтобы обезопасить себя от «патологических»
случаев в характеристике 2 и в то же время не
накладывать ограничений на характеристику, мы будем
рассматривать лишь строго невырожденные квадратичные формы.
Невырожденные квадратичные формы, допускающие
композицию, рассмотрены в упражнениях к § 2.
Алгебра А над полем F с квадратичной формой п (х)
называется композиционной алгеброй, если
1) п (ху) = п(х)п (у);
2) форма п (х) строго невырождена;
3) в А есть единица 1.
Предложение 1. Пусть п (х) — строго
невырожденная квадратичная форма на конечномерном
векторном пространстве А. Тогда если п (х) допускает
какую-либо композицию ху на А, то п (х) допускает такую
композицию х-у, относительно которой А является
композиционной алгеброй.
Доказательство. По предположению алгебра
А с умножением ху и форма п (х) удовлетворяют
условиям 1) и 2). В силу условия 2) существует такой элемент
а £ А, для которого п (а) Ф 0. Пусть и = a2,In (а). Тогда
п (и) = 1; следовательно, п (хи) = п (их) = п (х). Отсюда
следует, что / (хи, у и) = f (их, иу) = f (х, у). В силу
условия 2) это означает, что линейные отображения Ru: х\—*
»—*> хи и Lu: х I—> их невырождены. Ввиду
конечномерности А отображения Ru и Lu обратимы. Определим теперь
повое умножение в А, положив х-у = (xRu1) (yLu1). Тогда
и2-х = (u2R~^) (хЬй1) = и (xL'J) = х. Аналогично х-и2 =
~ х. Следовательно, и2 является единицей относительно
нового умножения. Далее, п (х-у) = п ((xR^-) (yL^1)) =

38 КОМПОЗИЦИОННЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 2
= п (хНй1) п (уЬй1) = п (х) п (у). Таким образом, мы
можем заменить композицию ху на х -у и получить
композиционную алгебру. Предложение доказано.
Итак, для строго невырожденных квадратичных форм,
определенных на конечномерных пространствах, проблема
Гурвица эквивалентна проблеме описания конечномерных
композиционных алгебр. Мы опишем все композиционные
алгебры, без каких-либо ограничений на размерность.
Нам понадобится следующее определение.
Алгебра R называется альтернативной, если для
любых х, у из R х2у = х (ху), ух2 = (ух) х.
Лемма 1. Пусть А — композиционная алгебра.
Тогда А альтернативна и каждый элемент алгебры А
удовлетворяет квадратному уравнению с коэффициентами
из F (т. е. алгебра А квадратична над F).
Доказательство. Мы будем отождествлять
поле F с подалгеброй FЛ алгебры А. Подставив в (1)
у + w вместо у, получим п (х) п (у + w) = п (ху + xw).
Вычитая из этого равенства тождество (1), а также
тождество, получающееся из (1) заменой у на w, получим
п (х) / (у, w) = / (ху, xw). (2)
Проделав ту же процедуру с х, получим
/ (х, z) / (у, w) = / (ху, zw) + / (xw, zy). (3)
Подставим теперь в (3) z = 1, у = хи:
/ (х, 1) / (хи, w) = / (х-хи, w) + / (xw, хи) *). (4)
Так как в силу (2) / (xw, хи) = п (х) / (w, и), то (4) можно
переписать в виде
/ (х-хи, w) + п (х) / (w, и) — / (х, 1) / (хи, w) = О,
что, в силу билинейности и симметричности формы /,
эквивалентно тождеству
/ (х-хи + п (х) и — f (х, 1) хи, w) = 0.
Так как форма / (х, у) невырождена, отсюда следует в силу
произвольности w, что
х -хи -\- п (х) и — f (х, 1) хи = 0 (5)
*) Здесь и далее, чтобы избежать нагромождения скобок, будем
иногда использовать вместо некоторых из пих точку. Например,
xy-zt = (ху) (zt)

§ 1] ПРОСТЫЕ СВОЙСТВА КОМПОЗИЦИОННЫХ АЛГЕБР 39
для любых х, и из А. Положив теперь в (5) и = 1,
получим
х2 — / (х, 1) ж + п (х) = О, (6)
что доказывает вторую половину леммы. Остается
доказать альтернативность алгебры А.
Умножив (6) справа на и и сравнив с (5), получим
х2и = х (хи). Аналогично доказывается, что их2 = (их) х.
Следовательно, алгебра А альтернативна. Лемма
доказана.
Эндоморфизм ф векторного пространства А называется
инволюцией алгебры А, если ср (ср (а)) = а и ср (аЪ) =
= ф (Ь) ф (а) для любых a, b £ А.
Лемма 2. Отображение а н-*> а = / (1, а) — а
является инволюцией алгебры А, оставляющей
неподвижными элементы поля F; при этом элементы t (а) = а + а
и п (а) = аа лежат в F для всех а из А. Кроме того, а
удовлетворяет равенству
а2 — t (а) а + п (а) = 0.
Доказательство. Будем проверять
последовательно все свойства инволюции:
а) a + b = a + b. Имеем а + 6 = /(1, a + b) — (а + Ь) =
-/(1, а)-а + /(1, Ъ)-Ъ=^ + Ъ. _
б) Пусть X £F.__ Тогда Я,а = / (1, Я,а) — Ха =
= А, (/_(1, а) — а) = Ял.
в) а = а. Имеем а = / (1, а) — а = / (1, / (1, а) — а) —
- / (1, a) + a = f (1, 1) / (1, а) - 2/ (1, а) + а. Далее,
как легко видеть, п (1) = 1, поэтому / (1, 1) = п (2) —
— м (1) — п (1) = 2. Следовательно, а = а.
г) аЬ = Ьа. Из тождества (6) получаем, подставляя
вместо # последовательно а + Ь, а и Ъ и вычитая из
первого получившегося тождества два других:
аЪ + Ъа- / (1, а) Ъ - / (1, Ь) а + / (а, Ь) = 0. (7)
Далее, из (3) получаем при х = у = 1, z = а и w = b
/ (1, a) / (1, Ь) = / (1, аЪ) + f (а, Ъ). (8)

40
КОМПОЗИЦИОННЫЕ АЛГЕБРЫ
[ГЛ, 2
Подставив это в (7), получим
аЪ + Ъа - / (1, а) Ъ - / (1, Ъ) а + / (1, а) / (1, Ъ) -
- / (1, аЪ) = 0, (9)
откуда
(/ (1, а) - а) (/ (1, b)-b)=ab-f (1, а) Ъ -
- / (1, b)a + f (1, а) / (1, Ъ) = / (1, аЬ) - Ъа.
Из (8) следует, что / (1, аЪ) = / (1, Ъа). Следовательно,
аЪ = Ьа, что и требовалось доказать.
Далее, если X £ F, то X = / (1, X) — X = Xf (1, 1) —
— X = X. Наконец, а + а = / (1, а) £ F и в силу (6)
аа = / (1, а) а — а2 = п (а) £ ^. Так как t (а) = f (1, а),
то последнее утверждение леммы следует также из (6).
Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть А — алгебра над полем F с
единицей 1 и с инволюцией х н-*► х, причем для всякого х £ А
элементы х -\- х и хх принадлежат F. Тогда если
квадратичная форма п (х) = хх строго невырождена на А, то
алгебра А либо проста, либо изоморфна прямой сумме F @ F
с инволюцией (а, Ъ) = (Ь, а).
Доказательство. Докажем вначале, что А
проста, как алгебра с инволюцией. Пусть I фА — идеал
алгебры А и / = /. Так как / f| F = 0, то мы имеем
а + а = 0, аа = 0 для любого а £ I. Далее, для любых
элементов а £ I, х £ А мы имеем ах £ /, откуда по
предыдущему f (а, х) = ах -\- ха = ах -\- (ах) = 0. Ввиду
невырожденности формы /, отсюда следует, что / = (0).
Пусть теперь Т — произвольный идеал алгебры А,
Т ф(0) и Т фА. Положим / = Т + F, тогда / = /,
/ Ф(0), откуда по доказанному выше / = А. Далее,
положим / = Т П Т, тогда J = J, J фА и вновь по
доказанному выше / = (0). Следовательно, алгебра А есть
прямая сумма идеалов Т и Т. Остается доказать, что
идеал Т одномерен над полем F. Пусть t, s £ Т, t ф 0;
X = t -f- t, [i = ,9 + s; X, \i 6 F- Заметим, что X ф 0, так
как_иначе t =__—*~£ Т Q f = (0). Далее,_имеем Т-Т +
+ Т-Тс=Т f\f =-- (0), откуда Xs = (t + t) s = ts, \it =

§2
ПРОЦЕСС КЭЛИ - ДИКСОНА
41
= t (s + s) = ts. Следовательно, ks = \it и s = (k'1^) t,
т. е. одномерность идеала T доказана.
Итак, если алгебра А не проста, то она является
прямой суммой двух экземпляров поля F. Лемма доказана.
Мы видим, что задача описания композиционных
алгебр естественным образом приводит нас к изучению
простых альтернативных алгебр. В § 3 мы покажем, что
в свою очередь, за исключением некоторых алгебр
характеристики 2, каждая простая квадратичная
альтернативная алгебра является композиционной алгеброй.
Окончательное описание простых альтернативных
неассоциативных алгебр будет получено нами в главе 7.
§ 2. Процесс Кэли — Диксона. Обобщенная теорема
Гурвица
Пусть А — алгебра над полем Е с единицей 1 и с
инволюцией а н-* а, причем а + а, аа £ F для любого а £ А.
С помощью так называемого процесса Кэли — Диксона мы
построим новую алгебру с инволюцией, содержащую А
в качестве подалгебры. При этом если размерность
алгебры А равна т, то размерность новой алгебры будет
равна 2т.
Зафиксируем 0 ф а £ F и обозначим через (А, а)
совокупность всех упорядоченных пар (ах, а2), аг£А,
с операциями покомпонентного сложения и умножения
на скаляр и следующим умножением:
(ах, а2) (а3, а4) = (ага3 + aaka2, axak + а3а2).
Как легко видеть, (А, а) является алгеброй над F.
Элемент (1, 0) является единицей алгебры (А, а); множество
А' = {(а, 0) | а £ А} есть подалгебра алгебры (А, а),
изоморфная алгебре А. Пусть v = (0, 1); тогда v2 =
=- а (1, 0) и (.Л, а) является прямой суммой векторных
пространств А' и vA[. Если мы отождествим А' с А,
элементы алгебры (А, а) представятся в виде х = ах + va2,
где at £ А однозначно определены элементом х, и
умножение в (А, а) будет задаваться следующим образом:
(а4 + va2) (а3 + vab) = (а1аз + ая^г) +1; (ada4 + а3а2).
Для произвольного элемента # = ах + ш2 £ (-4, а)*мы
положим # = аг — ш2.

42
КОМПОЗИЦИОННЫЕ- АЛГЕБРЫ
[ГЛ. 2
Лемма 4. Отображение х н-*> х есть инволюция
алгебры (А, а); при этом х -\- х, хх £ F для любого х £
£ (Л, а). £Ъш квадратичная форма п (а) = аа строго
невырождена на А, то квадратичная форма п (х)= хх
строго невырождена на (А, а).
Доказательство. Ясно, что отображение х н->
ь-> # линейно и что х = х для любого х £ (Л, а). Пусть
# = ах + ш2, # = а3 + ш4, где а^ £ А. Тогда мы имеем
ух = (а3 — уа4) (а4 — иа2) = (а3а1 + ыага^ — у (а3а2 + а^).
С другой стороны,
ху = (а3а^ + аа2а4) — v {аф^ + а3а2) = ух.
Следовательно, отображение х ь—► л: есть инволюция
алгебры (Л, а). Далее, # + # = а4 + а4 £ F и яя^а^ —
— аа2а2 6 ^.
Пусть теперь квадратичная форма п (а) строго
невырождена на А. Квадратичной форме п (х) = хх
соответствует билинейная форма / (х, у) = ху + ух = (а^д +
+ а3аг) — a {a2ak + а^а2), где х = аг + ш2, у = а3 + 1>а4»
а^ 6 -4. Пусть / (я, у) = О для всех г/ £ (Л, а). Полагая
у = а3 £ Л, мы получим аха3 + #за1 = О Для всех аз 6 -4,
откуда, ввиду строгой невырожденности формы и. (а) = аа,
следует ах — 0. Так как а Ф§, то аналогично мы
получаем а2 = 0, откуда л: = 0. Значит, квадратичная форма
п (х) = хх строго невырождена. Лемма доказана.
Пусть теперь А — композиционная алгебра с
квадратичной формой п (а). По лемме 2 в А существует
инволюция а ь-> а такая, что п (а) = аа и £ (а) = а + а £ F для
любого а £ А. Значит, мы можем применить к А процесс
Кэли — Диксона. Найдем условия, при которых
получающаяся алгебра (А, а) с квадратичной формой п (х)
также является композиционной.
Лемма 5. Если А — композиционная алгебра, то
алгебра (А, а) является композиционной тогда и только
тогда, когда алгебра А ассоциативна.
Доказательство. Выше показано, что алгебра
(А, а) обладает единицей. Кроме того, по лемме 4 квадра-

§ 2]
ПРОЦЕСС КЭЛИ — ДИКСОНА
43
тичная форма гс (х) = хх строго невырождена на (А, а).
Значит, алгебра (А, а) является композиционной тогда
и только тогда, когда форма гс (х) допускает композицию.
Заметим, что если х = ах + va2, то гс (х) = п (аг) —
— arc (а2). Пусть у = а3 + va^, тогда мы имеем
и (ХУ) — п(х)п (у) = п {а^аъ + аа4а2) — ап (а1аь + аъа2) ~~
— [п (а4) — arc (а2)] [гс (а3) — arc (а4)] =
= гс (а4аз) + а2гс (а4а2) + а/ (а4аз, а4а2) — arc (а4а4) —
— arc (а3а2) — а/ (ada4, а3а2) — гс (а4) гс (а3) + an (ad) гс (я4) -f
+ arc (а2) п (а3) — а2п (а2) гс (а4).
Так как п (аЪ) = п (а) п (Ь) и п (а) = п (а) для любых
а, Ъ £ А, то мы получаем
гс (жу) — п (х) п (у) = а/ (а^з, а4а2) — а/ (аха4, а3а2).
Ввиду (3) мы имеем
/ {аха3, аф2) = f (ага3-1, аф2) = — / (ага3-а2, а4) +
+ / (а^з, а4) / (1, ^2) = / К^з'(/ (1, «г) — а2), а4) =
= / (a^g-ag, а4)
и аналогично
/ (axa4, а3а2) = f (a4, аг-а3а2).
Следовательно,
гс (#i/) — п (х) п (у) = а/ (а1а3-а2 — а1-а3а2, а4).
Так как а ^Ои билинейная форма / невырождена,
отсюда следует, что квадратичная форма гс (х) допускает
композицию тогда и только тогда, когда алгебра А
ассоциативна. Лемма доказана.
Мы можем теперь привести следующие примеры
композиционных алгебр:
I. F — поле характеристики ф1, п (а) = а2 для всех
а £ F. Заметим, что в случае характеристики 2 поле F
не является композиционной алгеброй. Действительно,
в этом случае билинейная форма / (х, у) = (х + у)2 —
— х2 — у2 = 0 на F, т. е. квадратичная форма гс (х) = х2
не является строго невырожденной. Можно изменить

44
КОМПОЗИЦИОННЫЕ АЛГЕБРЫ
СГЛ9 2
определение композиционной алгебры так, чтобы поле
характеристики 2 являлось композиционной алгеброй; но
тогда появится целая дополнительная серия
композиционных алгебр характеристики 2, которые могут быть даже
бесконечномерными (см. упражнение 6).
II. K(\i) = F + Ful4 где v\ = уг + ц, 4^ + 1 ф 0;
ноле F произвольно; инволюция: а + $иг = (а + |3)—
— (З^; квадратичная форма: п (а) = аа. Если многочлен
х2 — х — \л неприводим в F Ы, то алгебра К {\л) является
полем (квадратичное сепарабельное расширение поля F);
в противном случае К (|i) = F © F. Если характеристика
поля F не равна 2, то элемент v = иг— у удовлетворяет
равенству г;2 = а, где а = (4 [г + 1)/4 =^0; в этом случае
# (мО = (F, а). Обратно, если F — поле характеристики
Ф 2, то алгебра (F, а) есть алгебра типа И. Действительно,
полагая vx = и + у , мы получим у? = i>i + (а —т-j, при
этом 4 (а — -т-j + 1 = 4а ф0; кроме того, у + Р^^
= 7 + Р (*> + 4") = 7 - Р* + у = (7 + Р) - P^i.
Заметим здесь же, что если F — поле характеристики 2, то
условие 4(1 + 1 =7^=0 выполняется автоматически.
III. Q (|i, |3) = (К ([г), |3), |3 =7^0,— алгебра
обобщенных кватернионов. Как легко видеть, алгебра (> (|i, |3)
ассоциативна, но не коммутативна.
IV. С ((г, р, у) = (() (|i, Р), у), 7 =7^ 0,— алгебра Кэли —
Диксона. Легко проверить (см. упражнение 2), что алгебра
Кэли — Диксона С (ц, (3, у) неассоциативна, поэтому
в силу леммы 5 наш индуктивный процесс построения
композиционных алгебр дальше продолжить нельзя.
Докажем теперь, что указанными примерами
исчерпываются все композиционные алгебры.
Пусть А — композиционная алгебра, п (х) —
соответствующая квадратичная форма, определенная на А.
По лемме 2 в алгебре А есть инволюция аь->а такая, что
п (а) = аа и а -\- а £ F для любого а £ А. Кроме того,
а = а для любого а £ F. Пусть / (х, у) — билинейная
форма, ассоциированная с квадратичной формой п (#),
тогда / (#, у) = ху -{- ух. Если В — некоторое
подпространство пространства А, то через 51 мы будем обозна-

§ 2]
ПРОЦЕСС КЭЛИ - ДИКСОНА
45
чать ортогональное дополнение подпространства В
относительно формы / (х, у): В1 = {а £ А \ f (а, В) = 0}.
Нам понадобится следующая
Лемма 6. Пусть В — подалгебра композиционной
алгебры А, содержащая единицу 1 алгебры А. Тогда
В^-В + ВВ1 ^ В1, и для любых a, b £ В, v £ 51 серны
соотношения
v=—v, av — va, (10)
a(vb) = v(ab), (vb)a=v(ab), (И)
(va)(vb)=—n(v)ba. (12)
Доказательство. Из равенств / (г;, 1) = 0,
/ (a, v) = 0 мы получаем г; + г; = 0, ш; + *;# = 0, откуда
следует (10). Далее, в силу (3) имеем
/ (a, vb) = f (а-1, vb) = -f (ab, v)+f(a, v) f (1, 6) =0
и аналогично
/ (a, bv) = 0. -
Ввиду произвольности элементов a, b £ В, v £ i?1 это
означает, что 551 + 5J-5 g; 51. Далее, по лемме 1
в алгебре А выполнено тождество х (ху) = х2у. Отсюда
легко следует, что в А верно и соотношение
х (ху) = (хх) у = п (х) у. (13)
Линеаризуя это соотношение по х (см. гл. 1), получаем
х (zy) + z (ху) = / (х, z) у. (14)
Полагая здесь х = а, у = b, z = и, мы получим
a (vb) = —v (ab),
откуда следует первое из равенств (11). Подействовав
на обе части этого равенства инволюцией, получим второе
из равенств (11). Наконец, по тождеству (14) и ввиду (2),
(13), (11) имеем
(va) (vb) = — v (va • b) + / (ya, v)b = v(av-b) — f (va, v)b =
= — v (av-b) — n (v) f (a, 1) b = — v (va-b) — n(v)f (a, 1) b =
= v(vba) — n(v)f(a, \)b=-n(v) (ba—f(a, l)b)= —n(v)ba.
Лемма доказана.

46
КОМПОЗИЦИОННЫЕ АЛГЕБРЫ
[ГЛ8 2
Теперь может быть доказана
Теорема 1. Пусть А — композиционная алгебра.
Тогда А изоморфна одной из приведенных выше алгебр
типов I — IV.
Доказательство. Под словом «подалгебра» мы
будем понимать подалгебру, содержащую единицу 1. Так
как а -\- а £ F, всякая такая подалгебра выдерживает
инволюцию.
Пусть В — конечномерная подалгебра алгебры А,
на которой ограничение формы / (х, у) невырождено.
Тогда, как хорошо известно (см., например, Мальцев А. И.,
Основы линейной алгебры, «Наука», 1975, стр. 284), А
разлагается в прямую сумму подпространств: А = В +
+ В*-\ при этом ограничение формы / (х, у) на В1 также
невырождено. Предположим, что В ф А. Тогда мы можем
найти и £ В1 такой, что п (v) = — а ф 0. Из (2)
получаем / (va, vb) = п (v) f (a, b) = —а/ (а, b). Ввиду
невырожденности / на В отсюда следует, что отображение
х н-> их подпространства В на vB взаимно однозначно;
следовательно, В и vB имеют одинаковую размерность.
Кроме того, полученное соотношение показывает, что
подпространство vB невырождено относительно / (х, у). Значит,
невырождено и подпространство Вг = В + vB,
являющееся по лемме 6 ортогональной суммой двух
невырожденных подпространств. Соотношения (11), (12)
показывают, что Вг = В + vB — подалгебра алгебры А,
полученная из В с помощью процесса Кэли — Диксона: Вг =
= (5, а). Так как v = —v, а + vb = а — bv = а — vb,
то инволюция, индуцированная в Вг инволюцией в А,
совпадает с инволюцией, получающейся в процессе
Кэли — Диксона. Наконец, подалгебра Вг невырождена
относительно / (х, у) и удовлетворяет тем же условиям,
что и 5, поэтому мы можем повторить тот же процесс
с алгеброй Вг.
Вернемся к алгебре А. Рассмотрим отдельно 2
случая:
1. F — поле характеристики ф2. В этом случае
подалгебра F невырождена относительно / (х, у), поэтому мы
можем положить В — F. Если F Ф А, то в А содержится
подалгебра Вг типа II. Если Вг Ф А, то в А содержится
подалгебра В2 типа III. Если, наконец, В2фА, то А

§ 2]
ПРОЦЕСС КЭЛИ - ДИКСОНА
47
содержит подалгебру В3 типа IV. На этом процесс должен
оборваться, так как в противном случае по лемме 5
в алгебре А содержалась бы подалгебра Z?4, не
являющаяся композиционной алгеброй, что невозможно.
Следовательно, А = В3.
2. F — поле характеристики 2. В этом случае, как мы
видели, А Ф F. Покажем, что существует а £ A\F, для
которого t (а) Ф 0. Действительно, пусть t (х) = / (1, х) =
= 0 для всякого х £ A\F. Так как t (а) = 2а = 0 для
всякого а £ F, то вообще t (х) — / (1, х) ='0 для всех
х £ А, что противоречит невырожденности формы /. Пусть
t (а) Ф 0, a (J F. Положим 5 = а/£ (а). Тогда £ (s) = 1,
т. е. 52 = 5 + |ы, |х 6 ^. Подалгебра F + Fs, как
легко видеть, невырождена относительно / (х, у); далее,
а + $s = а + Р — Р$, так что подалгебра F + Fs есть
алгебра типа П. Полагая В = F -{- Fs, мы вновь
получим, что алгебра А есть одна из алгебр типа II, III или IV.
Теорема доказана.
Следствие. Строго невырожденная квадратичная
форма п (х), определенная на векторном пространстве V
над полем F, тогда и только тогда допускает
композицию, когда dimFF = 1, 2, 4, 8, и в некотором базисе
пространства V форма п(х) имеет соответственно один
из видов:
1) п{х)=х2 (char Fф2);
2) п(х) =x2i-}-xiX2 — \лх\\
3) п (х) = х\ ji~xix2—]хх\—$х\~~р*з*4 + Рр?!;
4) п (х) = х\ + ххх2 — \ix\ — р^з ~ Р*з*4 + Рм^4— Ух1 ~
— 7*5*6 + y\ixl + Рт*7 + Py*7*8 — PYM^I,
где [г, р, Y 6 ^\ (4|i + 1) Py ^ 0- Если характеристика
поля F не равна 2, то в V можно выбрать такой базис,
в котором форма п (х) имеет один из видов:
1) п(х) = х2;
2) п (х) ==х\ — ах\\
3) п (х) = х\ — ах\ — р#з + о$х\\
4) п (х) -=--х\ — ах\ —§х\ + <*Р*1 — Y*s + аУх1 + Py*? —
— a$yx28, где a, p, y£F. а$уф0.

48
Композиционные алгебры
[гл. 2
Упражнения
1. Пусть А = F + Fs, где s2 = s + а, а £ F, 4а + 1 # 0.
Доказать, что в А существует единственная нетривиальная
инволюция, причем относительно этой инволюции А является
композиционной алгеброй (алгеброй К (и.) типа II).
2. Пусть А — алгебра над полем F с единицей 1 и с инволюцией
ан-*а такой, что а + а, аа £ F для любого а £ А. Пусть, далее,
(А, а) — алгебра, полученная из А с помощью процесса Кэли —
Диксона. Доказать, что
а) алгебра (А, а) ассоциативна тогда и только тогда, когда
А ассоциативна и коммутативна;
б) алгебра (А, а) альтернативна тогда и только тогда, когда
алгебра А ассоциативна.
3. Доказать, что в алгебре Кэли — Диксона С (u., р, у) над
полем F характеристики Ф2 можно выбрать базис е0 = 1, ег,
е2, . . ., е7 со следующей таблицей умножения (е0 = 1 — единица
алгебры С (п., р, у)):
Ч
е1 а
Ч —ез
Ч ~аЧ
ч
Ч 1
ч
Ч
—ч
— ае4
Ч
ае%
Ч
Ч
Р
P*i
— ч
— ч
~Р*4
~Р*6
ч
ае2
~P*i
— ар
—ч
— aeQ
Р*5
аР^4
Ч
Ч
Ч
ч
У
УЧ
УЧ
УЧ
ч
ае4
Ч
ае6
— уч
— ау
—УЧ
—ауе2
Ч
—ч
$ч
~$Ч
—УЧ
УЧ
-Pv
Py^i
ч
— aeQ
Р*5
-аР^4
~УЧ
аУЧ
-Py*i
ару
где а = ^7~ =7^ 0- Если а = р = у — —1 и F — поле
вещественных чисел, то мы получим классическую алгебру чисел Кэли,
решающую проблему Гурвица для суммы 8 квадратов.
4. Доказать, что над полем вещественных чисел квадратичная
форма п (х) = х\ + х\ + х\ — х\ не допускает композиции.

§ 3] ПРОСТЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 49
5. Определить с точностью до эквивалентности все
невырожденные квадратичные формы над полем вещественных чисел,
допускающие композицию. (Существует всего 7 таких форм.)
6. Доказать, что если в определении композиционной алгебры
заменить требование строгой невырожденности формы п (х) на
невырожденность, то кроме алгебр типов I—IV появятся следующие
композиционные алгебры: поле F характеристики 2 и произвольные
чисто несепарабельные квадратичные расширения поля F,
размерность которых либо равна 2*, либо бесконечна.
(Указание. Если / (х, у) = 0, то отображение #t—*п (х)
является кольцевым гомоморфизмом с нулевым ядром.)
§ 3. Простые квадратичные альтернативные алгебры
В этом параграфе мы докажем, что, за исключением
некоторых алгебр характеристики 2, всякая простая
квадратичная альтернативная алгебра является
композиционной алгеброй.
Нам понадобится несколько простых результатов об
альтернативных алгебрах.
Пусть А — некоторая алгебра над произвольным
кольцом операторов Ф и х, г/, z £ А. Через (х, г/, z) = (ху) z —
— х (yz) мы будем обозначать ассоциатор элементов x,y,z\
через [х, у] = ху — ух — коммутатор элементов х, у
и через х о у = ху -\- ух — йорданово произведение
элементов х, у. В этих обозначениях тождества, определяющие
многообразие альтернативных алгебр, запишутся в виде
(х, х, у) = О,
(я, У, У) = 0.
Первое из этих тождеств называется тождеством левой
альтернативности, второе — тождеством правой
альтернативности.
Линеаризуя тождества левой и правой
альтернативности, мы получаем тождества
(х, z, у) + (z, х, у) = 0,
(х, у, z) + (х, z, у) = 0,
из которых следует, что в альтернативной алгебре
ассоциатор является кососимметрической функцией своих
аргументов. В частности, во всякой альтернативной
алгебре справедливо тождество
(я, */, х) = 0.

50
КОМПОЗИЦИОННЫЕ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. 2
Алгебры, удовлетворяющие этому тождеству, называются
эластичными, а само это тождество называется тождеством
эластичности. Например, всякая коммутативная или
антикоммутативная алгебра эластична. Ввиду тождества
эластичности мы можем (и будем) в дальнейшем записывать
произведение хух в альтернативной алгебре, не указывая
расстановку скобок.
Лемма 7. Во всякой альтернативной алгебре А
справедливы следующие тождества:
х (У%У) = НХУ) %] У — правое тождество My фанг,
(yzy) х = у [z (ух)] — левое тождество My фанг,
(ху) (zx) = х (yz) х — центральное тождество My фанг.
Доказательство. Докажем вначале, что в
алгебре А выполнено тождество
(х2, у, х) = 0. (15)
В силу тождеств эластичности и левой альтернативности
имеем
(х2у) х — [х (ху)] х = х (хух) = х2 (ух),
т. е. (15) доказано. Теперь в силу (15)
ху3 = (ху2) у — (х, у2, у) = (ху2) у = [(ху) у] у.
Ввиду следствия теоремы 1.5 многообразие
альтернативных алгебр однородно, поэтому по предложению 1.3
в алгебре А верно тождество
0 = {ху3 - [(ху) у] у) Д£ (z) =
= х (yzy) + х (у2 о z) — [(ху) z]y — (ху2) z — (xz) у2 =
= х (yzy) — [(ху) z]y — (х, у2, z) — (х, z, у2) =
= х (yzy) — [(ху) z] у.
Аналогично доказывается левое тождество Муфанг.
Наконец,
(ху) (zx) — х (yz) х = — (ху, z, х) + (х, у, Z) X =
= (z, ху, х) + (z, х, у) X =
= [z (ху)] х — z (хух) + [(zx) у] х — [z (ху)] X = 0.
Лемма доказана.

I 3] ПРОСТЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 51
С л
верны
едств
и е.
тождества
(х,
(х,
{х2,
(х2,
Во
ху,
ух,
, У,
, У,
всякой альтернативной алгебре
z) = (х, у, z) х, (16)
z) = х (х, у, z), (16')
z) = (ж, х о у, z), (17)
z) = ж о (ж, у, 2). (17')
Доказательство. Тождества (16) и (16')
эквивалентны соответственно правому и левому тождествам
Муфанг. Действительно,
(z, ху, х) + (z, х, у) х = — z (ая/ж) + [(яг) у] х,
(х, ух, z) + х (у, х, z) = (хух) z — х[у (xz)].
Далее, из (15) мы получаем
О = (х2, у, х) М (z) = (xoz, у, х) + (х2, у, z),
откуда следует (17). Наконец, (17') вытекает из (17) и (16),
(16'). Следствие доказано.
Тождества (16) — (17) мы в дальнейшем также будем
называть тождествами Муфанг.
Теорема 2 (А р т и н). В альтернативной алгебре
А любые два элемента порождают ассоциативную
подалгебру.
Доказательство. Достаточно, очевидно,
показать, что если ut = ut (хг, х2), i = 1, 2, 3,— произвольные
неассоциативные слова от порождающих х±, х2, то для
любых а, Ъ £ А справедливо равенство (йх, й2, й3) = 0, где
Hi = ut (а, Ъ). Будем доказывать это утверждение
индукцией по числу п = d (щ) + d (и2) + d (и3), где d (ut) —
длина слова ut. Если п = 3, то все следует из тождеств
левой и правой альтернативности и эластичности. Пусть
теперь ^>3и для любых неассоциативных слов v± (хг, х2),
v2 {хъ х2), v3 (хг, х2) таких, _что_й (i?x) + d (v2) + d (v3) <
< n, имеет место равенство (v±, v2, v3) = 0. Тогда по
предположению индукции ассоциатор (щ, й2, й3) не зависит
от способа расстановки скобок в словах ut, и поэтому
можно считать, что каждое ut имеет правонормированную
расстановку скобок, т. е. ut = {...[(х[^х^) х^Ц . . .} х[1\
где xW £ {хъ х2}, kt = d (ut). В этом случае какие-то два
слова среди иг, и2, и3 оканчиваются на одинаковые порож-

52
КОМПОЗИЦИОННЫЕ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. 2
дающие. Пусть, например, иг = fa) х1,и2 = (а2) хг. Легко
видеть, что если v± либо v2 отсутствуют, то по
предположению индукции и в силу тождеств Муфанг (йц й2, й3) =
= 0. Следовательно, можно считать, что d fa) ^ 1,
d(v2)^l. Тогда в силу линеаризованного тождества
Муфанг имеем
(ии и2, u3) = faa, v2a, и3) =
= —(i>iM3i v2a, а) + а(ии v2a, u3) + u3(vu v2a, a) =
= — (^1^3, y2a, a)=—afau3, v2, a) = 0.
Теорема доказана.
Алгебра ^4 называется алгеброй с ассоциативными
степенями, если каждый элемент алгебры А порождает
ассоциативную подалгебру.
Следствие. Всякая альтернативная алгебра есть
алгебра с ассоциативными степенями.
Заметим, что из теоремы Артина следует также, что
альтернативную алгебру можно определить как алгебру,
в которой любые два элемента порождают ассоциативную
подалгебру.
Напомним, что алгебра А над полем F с единицей 1
называется квадратичной над F, если каждый элемент х
из А удовлетворяет равенству вида
х2 — t (х) х + п (х) = 0, t (х), п(х) £F (18)
(при этом мы отождествляем поле F с подалгеброй F Л
алгебры А). Элементы t (х) и п (х) мы будем называть
соответственно следом и нормой элемента х. Заметим, что если
х (J F, то t (х) и п (х) определены однозначно. Положим
для а 6 F по определению t (а) = 2а, п (а) = а2; тогда
след t (х) и норма п (х) определены однозначно для любого
х 6 А.
Теорема 3. Пусть А — квадратичная алгебра над
полем F, содержащим по крайней мере 3 элемента. Тогда
след t (х) является линейной функцией, а норма п (х) —
квадратичной формой на А. Если при этом алгебра А
альтернативна, то квадратичная форма п (х)
удовлетворяет соотношению (1).

§ 3] ПРОСТЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 53
Доказательство. Пусть а, (3 £ F, а Ф (3, а(3 =т^
^ 0. Имеем из (18) для любых х, у £ А
0 — (ая + рг/)2 — £ (ая + (Зу) (ая + Р#) + п (ах + рг/)—
- ар [(х + y)*-t (х + у)(х + у) + п(х + у)],
и, далее,
0 - [аН (х) — at (ах + $у) — a$t (х) + afit (х + у)] х +
+ IP2* (У) ~ Р* № + |3z/) - a$t (у) + ар* (х + у)]у +
+ [—а2п (х) — р2гс (у) + п (ах + (Зу) + сфгс (х) +
+ а$п (у) — а$п (х + у)].
Если теперь 1, х, у линейно независимы над F, то имеем
a [at (х) — t (ах + |3г/) — $t (х) + $t (х + у)] = 0,
|3 [р* (у) -t(ax+ $у) - at (у) + at (х +. у)] = 0,
откуда
(а - р) [* (ж) + * (у) - t (х + у)] = 0
и
* (х + у) = * (ж) + * (г/). (19)
Пусть теперь элементы 1, х, у линейно зависимы над F
и, например, у = ах + Р- Прямым вычислением
получаем из (18) t (у) = at (х) + 2р и t (х + у) = t ((1 +а)х +
+ р) = (1 + a) t (х) + 2р = t (х) + t (у). Таким
образом, равенство (19) доказано для всех х и у.
Далее, имеем для любого X £ F
Х*х* _ и (х) Хх + Х2п (х) = 0,
откуда t (Хх) = Xt (х) и п (Хх) = Х2п (х). Тем самым
линейность следа t (х) доказана. Для доказательства того, что
норма п (х) является квадратичной формой на А, нам
осталось показать, что функция / (х, у) = п (х + у) —
— п (х) — п (у) является билинейной формой на А. Из
равенства
(х + у)2 - t(x + у) (х + у) + п (х + у) = 0
ввиду (19) получаем
/ (х, у) --= t (х) у + t (у) х — х о у, (20)
откуда в силу линейности следа вытекает билинейность
функции / (х, у). Тем самым первая часть теоремы 3
доказана.

54
КОМПОЗИЦИОННЫЕ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. 2
Пусть теперь А — альтернативная алгебра. Докажем
равенство (1). В силу теоремы Артина подалгебра,
порожденная элементами х и у, ассоциативна. Умножив
равенство (20) справа на ху, получим
/ (х, у) ху = t (х) уху + t (у) х2у — (ху)2 — ух2у.
В силу (18) имеем
ух2у = у (t (х) х — п (х)) у = t(x) уху —
— п (х) t(y) у + п (х) п (у),
t (у) х2у = t(y) t (х) ху — t (у) п (х) у.
Подставив эти два равенства в предыдущее, получим
(ху)2 — (—/ (х, у) + t(y) t (х)) ху + п (х) п (у) = 0,
откуда следует (1), если ху (J F. Пусть теперь ху = а £
£ F. Так как п (Хх) = Х2п (х) = п (X) п (х) для любого
X £ F, то нам достаточно рассмотреть случай, когда х (J F,
у (J F. Умножив равенство (18) справа на у2, получим
а2|— at (х) yl+ п (х) у2 = 0.
Пусть п (х) = 0. Если в этом случае а Ф 0, то имеем
а = t (х) у, откуда у £ F, что не так. Значит, а = OJh
п (ху) = 0 = п (х) п (у). Если же п (х) Ф 0, то получаем
<**(*) у + 1/2= 0
гс (ж) тг (я)
откуда ввиду того, что у $ F, следует п (у) = —г и
п (х) п (у) = а2 = п (ху). |F Равенство J (1) доказано.
Теорема доказана. Щ~': i ^< :•?:
Теорема 4. ПустьТА — простая квадратичная
альтернативная алгебра~Гнад полем F, содержащим
по крайней мере 3 элемента. Тогда либо А —
композиционная алгебра, либо А — некоторое поле характеристики 2.
Доказательство. В силу теоремы 3 на алгебре
А определена квадратичная форма п (х), связанная
с умножением в алгебре А равенством (1). Пусть / (х, у) —
билинейная форма, соответствующая квадратичной форме
п (х). Рассмотрим множество W = {а £ А \ / (а, А) =к0) —
ядро формы / (х, у), и покажем, что W является идеалом

§ 3] ПРОСТЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 55
в А. Ясно, что W является подпространством векторного
пространства А. Линеаризуя соотношение (1), как и при
доказательстве леммы 1, мы получаем, что в алгебре А
верно соотношение (3). Пусть а £ W; х, у £ А. Тогда из (3)
получаем
/ {ах, у) = / {ах, у Л) = —/ (а, ух) + / (а, у) fftx, 1) = О,
т. е. W — правый идеал алгебры А. Аналогично
доказывается, что W — левый идеал в А. Ввиду простоты
алгебры А либо W = (0), либо W = А. В первом случае форма
п {х) строго невырождена, и А является композиционной
алгеброй. Пусть теперь W = А. В этом случае / {х, у) = 0
на А, так что п {х + у) = п (х) + п {у) для любых х, у £
£ Л. Следовательно, отображение # »-*• ?г (#) является
гомоморфизмом кольца А в кольцо F. Ядро этого
гомоморфизма является, как легко видеть, идеалом алгебры А.
Так как алгебра А проста и п (1) = 1 Ф 0, то это ядро
равно нулю, т. е. кольцо А изоморфно некоторому под-
кольцу кольца F. Далее, из равенства 0 = / (1, 1) = 2
следует, что в этом случае поле F имеет характеристику 2.
Ясно также, что кольцо А является подполем поля F.
Теорема доказана.
Упражнения
1 (обобщенная теорема Артина). Пусть А —
альтернативная алгебра, а, Ь, с £ А. Доказать, что если {а, 6, с) =
= 0, то подалгебра, порожденная элементами а, Ь, с, ассоциативна.
В упражнениях 2—4 D — конечномерная альтернативная
алгебра без делителей нуля над полем вещественных чисел R.
2. Доказать, что D является алгеброй с делением, т. е. для
любых а, Ъ £ D, а Ф 0, разрешимы уравнения
ах = Ь, уа = Ъ.
3. Доказать, что в D есть единица 1.
4. Доказать, что алгебра D квадратична над В.
Указание. Каждый элемент алгебры D порождает
ассоциативную подалгебру, поэтому в D имеет смысл понятие
минимального многочлена элемента конечномерной алгебры.
5 (обобщенная теорема Фробениуса). Пусть
D — конечномерная альтернативная алгебра без делителей нуля
над полем вещественных чисел R. Тогда D изоморфна одной из
следующих алгебр над R: 1) R; 2) поле комплексных чисел К; 3) тело
кватернионов Q; 4) алгебра чисел Кэли С.
6. Пусть А — алгебра с единицей 1 над полем F, К —
некоторое расширение поля F. Доказать, что если алгебра А # = К (g) FA
квадратична над if, то алгебра А квадратична над F.

56*
КОМПОЗИЦИОННЫЕ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. 2
§ 4. Дальнейшие свойства композиционных алгебр
В этом параграфе мы докажем некоторые свойства
композиционных алгебр, необходимые нам в дальнейшем.
Напомним, что во всякой композиционной алгебре А
кроме квадратичной формы п (х) определены также
билинейная форма / (х, у), связанная с п (х), и линейная форма
следа t (х) = / (1, х); при этом каждый элемент алгебры А
удовлетворяет равенству (18). Если В — некоторое
подпространство композиционной алгебры А, то через В1
мы, как и раньше, обозначаем ортогональное дополнение
подпространства В относительно формы / (х, у).
Композиционные алгебры, отличные от поля F, можно
представить в следующем виде:
Q (ц, р) = (К(ц), р) = К(ц) + 1>аК(ц),
v^Kin)1, у22 = р^0,
С (ix, р, у) = (Q (ц, р), y) = Q (ц, Р) + v3Q (ц, р),
у8€0(ц, Р)\ vt = y=^0.
Заметим, что так как по (10) v2k = kv2, v3q = qvs для
любых к 6 К (u.), q 6 Q (п., Р), то алгебры Q (ц, Р)
и С (ц, f;, у) можно представить и в виде
О ((А, Р)=К(Ц)+К(|Х)У2,
С(|*, P. Y) = 0(|i, Р) + 0(Ц, Р)%-
Отсюда следует, что в алгебрах if ((г), (> ([г, (3), С ([г, (3, у)
можно выбрать соответственно следующие базисы:
{1, иг), {1, ^, v2, vxv2),
{1, i;x, v2, v3, иги2, vxv3, v2v3,{vxv2) v3};
при этом v\ = vx + (г, у* = |3, ^з = 7; (4|i + 1) (З7 ^ 0;
^ = 1 — vx, v2 = — y2, y3 = — v3; vtVj = VjVt при / > i.
Если F — поле характеристики Ф 2, то каждая
композиционная алгебра над F, отличная от F, представляется
в виде F + F1; кроме того, в любом случае алгебры

§ 4] ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА КОМПОЗИЦИОННЫХ АЛГЕБР 57
Q ((г, (3) и С ((г, (3, у) представляются в виде АГ (|ы) + AT ((х)-1-,
а алгебра С (ц, (3, у) — в виде () ((г, р) + (? ((г, Р)1.
Заметим, наконец, что по лемме 3 алгебры Q (ji, Р)
и С ([г, Р, у) всегда являются простыми алгебрами.
Пусть теперь А — некоторая алгебра. Обозначим через
N (А) совокупность всех таких элементов п из А, что
(п, а, Ъ) = (а, и, Ь) = (а, Ь, и) = 0 для любых элементов
а, Ь£А. Множество N (А) называется ассоциативным
центром алгебры А. Совокупность всех таких элементов
z £ N (А), что [z, а] = О для всех а 6 -4, называется ty£w-
тром алгебры А и обозначается через Z (А).
Теорема 5. Пусть А — композиционная алгебра
над полем F. Если dimFA ^ 4, то Z (А) = F\ если же
А = С (\i, р, у) — алгебра К эли — Диксона, то и
N (А) = F.
Доказательство. Ясно, что F ^ Z (А) ^
^ N (А). Для доказательства включения Z (А) ^ F
достаточно показать, что если [а, х] ■= 0 для всех х из А, то
а £ F. Как было замечено выше, А = К (\i )+ К ([г)1.
Пусть а = А + #', где k £ К ([г), а' £ К ([г)1. Мы имеем
0 = [а, yj = [а', yj. Но ввиду (10) Уха' = а'ух = а' — a'vx,
поэтому мы получаем а = 2a'vx = Aa'v\ = 4а' (vx + \i) =
= 2а' + 4a'|i = (2 + 4|ы) а'. Так как 4[х + 1 =т^ 0, отсюда
следует, что а' = 0, т. е. а = к £ К ((г). Пусть а = а +
+ Рух, где а, Р £ F. Тогда мы имеем 0 = [а, у2] =
= р [ух, у2] = р {vxv2 — vxv2) = р (2уху2 — у2), откуда р =
= 0 и а 6 F. Тем самым равенство Z (А) = F доказано.
Пусть теперь А = С ([г, Р, у) и а 6 Л^ (Л). Мы вновь
можем записать а = q + а', где g £ (? (щ Р)> л' £
6 @ ([г, Р)1. По условию и в силу (11) имеем 0 = (а, ух,
у2) = (а', ух, у2) = (а'^) у2 — а' {vxv2) = а' [у2, yj =
= а' (у2 — 2уху2), откуда a'v2 = 2а' {vxv2), и вновь по (И)
a'v2 = 2(а'у2)у1 = 4(а'у2) v\ = (2 + 4jx) a'v2. Так как
1 + 4|i =т^ 0, то получаем av2 = 0, откуда 0 = (a'v2) v2 =
= a'v\ = Ра', и a' = 0. Итак, a = q £ Q ((г, P). Пусть
теперь Ь — произвольный элемент из (> ([г, Р). Тогда мы
имеем 0 = (у3, а, Ь) = (у3а) Ъ — у3 (а&), откуда в силу (И)
получаем 0 = у3 [а, Ь], и, далее, 0 = у3 (у3 [а, Ь]) =
= 7 [л, Ь], т. е. [а, Ь] = 0. Мы получили, что а £
6 Z (() (jbi, Р)), откуда по доказанному а £ F.
Теорема доказана.

58
КОМПОЗИЦИОННЫЕ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. 2
Лемма 8. Пусть А — композиционная алгебра.
Тогда для любых х, у £ А таких, что t (х) = t (у) = О,
имеют место включения #2, хоу £F. В частности, для
любых х, у, z, г, 5, t £ А верны включения
[х, у]2, [х, у] о [z, г], (х, у, z)2, (х, у, z)o [г, si,
(х, у, z) о (г, s, t) е F.
Доказательство. В алгебре А справедливо
тождество (9), которое можно переписать в виде
хо у = t (х) у + t (у) х — t (х) t (у) + t (ху). (21)
Отсюда вытекает первое утверждение леммы. Для
доказательства второго утверждения достаточно заметить, что
t (to у]) = t ((*, у, z)) = 0. (22)
Так как х + х = t (х) £ F, то мы имеем
__ to у] = — to у],
(х, у, z) = (ж, у, z) = (ж, у, z) = — (х, у, z).
Теперь
t (to У1) = to У] + to У] = [ж» у] — to »] = о,
t((x, у, z))--={x, у, z) + to у, 2) = (ж, г/, z) — (z, у, х) =
= (ж, г/, z) + (z, г/, ж) = 0,
т. е. (22) доказано. Тем самым доказана и лемма.
Следствие. Во всякой композиционной алгебре
справедливы тождества
[U, г/]2, t] = [to у] ° U, *], г] = 0,
[(ж, у, z)2, fl = [(я, г/, z)o[r, s], t] =
= [(ж, г/, z)o(r, 5, г), и] = 0,
(Ь, г/]2, 5, £) = ([ж, */l°to r], 5, J) = 0,
((я, У, z)2, 5, t) = ((ж, г/, z)o[r, s], и, ^ =
= ((ж, I/, z)o(r, 5, о, И, У) = 0.
Лемма 9. Следующие условия для композиционной
алгебры А эквивалентны:
а) п (х) = 0 идя некоторого х ф0 из А;
б) в А есть делители нуля.

§ 4] ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА КОМПОЗИЦИОННЫХ АЛГЕБР 59
Доказательство. Если х ф О и п (х) = хх =
= 0, то ясно, что х является делителем нуля. Обратно,
пусть ху = 0, где х, у £ А; х фО, у фО. Тогда имеем
О == п (ху) = п (х) п (у), откуда либо п (х) = 0, либо
п (у) = 0. Лемма доказана.
Если в композиционной алгебре А выполнено одно
из условий а), б) леммы 9, то А называется расщепляемой.
Лемма 10. Композиционная алгебра А тогда и
только тогда является расщепляемой, когда А содержит идем-
потент е ф 0, 1.
Доказательство. Если в А есть идемпотент
е ф0, 1, то имеем е2 = е, откуда п (е) = 0 и алгебра А
расщепляема. Обратно, пусть алгебра А расщепляема.
Если в А найдется такой элемент х, что п (х) = 0, t (х) =
= а ф 0, то элемент а~хх будет искомым идемпотентом.
Пусть теперь таких элементов не существует, т. е. для
всякого х £ А равенство п (х) = 0 влечет t (х) = 0. Так
как А расщепляема, то существует 0 фа £ А, для
которого п (а) = 0. Для любого х £ А имеем п [ах) =
= п (а) п (х) = 0, откуда по нашему условию и t (ах) = 0.
Теперь в силу (8) получаем / (а, х) = t (a) t (х) —
— t (ах) = 0. Ввиду невырожденности формы / (х, у)
отсюда следует, что а = 0. Полученное противоречие
доказывает лемму.
Теорема 6. Любые две расщепляемые
композиционные алгебры одинаковой размерности над полем F
изоморфны.
Доказательство. Пусть А — расщепляемая
композиционная алгебра и В — невырожденная
подалгебра алгебры Л, содержащая единицу 1 и идемпотент
е ф0, 1. Докажем, что если В фА, то существует v £
6 5-L такой, что v2 ~ 1. Как и при доказательстве
теоремы 1, получаем, что существует и £ 51, для которого и2 =
= — п (и) = а ф0, при этом иВ ^ В1. Положим теперь
v = и + а-1 (1 — а) ие, тогда v £ В1. Кроме того, по
центральному тождеству Муфанг имеем (ие)2 = (ие) (ей) =
= и (ее) и = 0, откуда
v2 = (и + а-1 (1 — а) 1ге)2 =
= и2 + а_1 (1 — а) (мге + мем) =
= а + (а"1 — 1) (ае + и (ие)) = а + (1 — а) (е +1) = 1.

60
КОМПОЗИЦИОННЫЕ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. 2
Повторяя теперь рассуждения, проведенные при
доказательстве теоремы 1, в силу леммы 10 мы получаем, что
алгебра А изоморфна либо алгебре К (0), либо алгебре
Q (0, 1), либо алгебре С (0, 1, 1). Отсюда следует
утверждение теоремы.
Следствие. Над алгебраически замкнутым полем
F существует всего 4 неизоморфные композиционные
алгебры.
Доказательство. Достаточно показать, что
всякая композиционная алгебра А над полем F размерности
п > 1 является расщепляемой. Пусть а £ А, а Q F,
и пусть а £ F — корень уравнения х2 — t (а) х + п (а) =
= 0. Тогда мы имеем
а2 — а2 = t (а) (а — а),
откуда
(а — а) (а -\- а — t (а)) = 0,
т. е. в А есть делители нуля. Следствие доказано.
Рассмотрим более детально строение расщепляемых
композиционных алгебр.
Ясно прежде всего, что К (0) ^ F © F\
соответствующий изоморфизм устанавливается отображением
а + |3^н-> (а + |3, а).
При этом инволюции алгебры К (0) соответствует
инволюция (а, |3) = (|3, а) в алгебре F © F.
Далее, рассмотрим алгебру F2 матриц порядка 2x2
с элементами из F. Как легко видеть, F2 является
композиционной алгеброй относительно квадратичной формы
п (х) = det х, при этом, ввиду наличия делителей нуля,
алгебра F2 расщепляема. По теореме 6 всякая
четырехмерная расщепляемая композиционная алгебра над F
изоморфна F2. Следовательно, Q (0, 1) ^ F2. Этот
изоморфизм можно установить и непосредственно,
рассмотрев соответствие
а-г Pi>i + 7^2 + 6*^2 *-* i v а )•
Как мы уже отмечали, соответствующей квадратичной
формой в алгебре F2 является определитель матрицы;
заметим еще, что линейной формой следа t (х) в алгебре F2
является обычный след матрицы. При этом равенство (18)

§ 4] ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА КОМПОЗИЦИОННЫХ АЛГЕБР 61
справедливо в F 2 в силу теоремы Гамильтона — Кэли.
Наконец, инволюция а н-> а = t (а) — а в алгебре F2
выглядит следующим образом:
ш~: ■«)•
Перейдем теперь к рассмотрению алгебры Кэли —
Диксона С (0, 1, 1). По доказанному выше имеем
С (О, 1, 1) <*; (F2, 1), т. е. (7(0, 1, 1) = F2 + i;F2, где
v £ Ff, у2 = 1. Пусть еи, е12, ^21^^22 — матричные
единицы алгебры F2. Мы положим
^12 == ^12ч ^12 == ^^22? ^12 == №ч\\
4Г = *21, 4f = ^ii, 4f = — Vei2]'
тогда элементы еи, е22, е^, е[\\ к = 1, 2, 3, образуют базис
алгебры С (0, 1, 1).
Лемма 11. Элементы еп, e^f (i, f = 1, 2; /b = 1, 2, 3)
удовлетворяют соотношениям
б) e„e<f ==*<*>*„ = *#>, e^ = eg)e» = 0;
в) («#>)*= «<*>oe<j> = 0 (Л#0; (24)
г) e<W?> = eH, eft)e«) = 0 (ft^Z);
д) *<*>*<*+4> = (7 — 0 e$+2) (ft mod 3).
Доказательство. Соотношения а)
выполняются в алгебре F2. Справедливость соотношений б) — д)
проверяется непосредственно по определению умножения
в алгебре (F2, 1). Докажем, например, справедливость
соотношения г). Мы имеем
eij eji — eijeji ~ eii'
Далее, из (23) следует, что eti = е^, etj — — е^, поэтому
e$e}V = — (veJt) (vetJ) = —еиёп = еие}1 = «„.

62
КОМПОЗИЦИОННЫЕ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. 2
С другой стороны, мы имеем
efteff = еи (veu) = v (еиеп) =—v (еиеп) = О,
е#}е§? = ± е*у (veu) = ±v (ёиеи) = О,
*$}}*5? = ± (irc#) (и**/) = ± etfrj = ± *,j*„ = 0.
Мы доказали, что effefi = 0 при /с < Z. Так как £ (4f) = О,
то в силу (21) мы имеем е$ о е$ = 0 при к ф1, откуда
me^efi = 0 при к > I. Тем самым г) доказано. Аналогично
доказываются остальные соотношения. Лемма доказана.
Восьмимерная алгебра над полем F с базисом еп, е$\
г, / = 1, 2; /с = 1, 2, 3, и таблицей умножения (24)
называется матричной алгеброй Кэли — Диксона над F. Мы
будем обозначать эту алгебру через С (F). Элементы eih
e[f мы будем называть матричными единицами Кэли —
Диксона. Из доказанного выше следует, что всякая
расщепляемая алгебра Кэли — Диксона над полем F
изоморфна матричной алгебре Кэли — Диксона С (F).
Таким образом, справедлива
Теорема 7. Всякая расщепляемая композиционная
алгебра над полем F изоморфна либо алгебре F © F, либо
алгебре матриц F2, либо матричной алгебре Кэли —
Диксона С (F).
Матричную алгебру Кэли — Диксона можно
рассматривать не только над полем, но и над произвольным
ассоциативно-коммутативным кольцом Ф. Ясно, что алгебра
С (Ф) также будет альтернативной.
Название «матричная алгебра» объясняется тем, что
элементы из С (F) можно следующим образом
представить матрицами. Пусть а £ С (F), а = апеп + «22^22 +
з
+ 2 (o^MV + а&е&)- Сопоставим элементу а матрицу
k=i
Г*11"12), где а„ = («8\ af, ag>)€F». (25)
Тогда сложению и умножению на скаляр элементов
алгебры С (F) будут соответствовать обычные сложение
и умножение на скаляр матриц вида (25)/а умножению
элементов алгебры С (F) будет соответствовать следующее

§ 4] ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА КОМПОЗИЦИОННЫХ АЛГЕБР 63
умножение матриц вида (25):
«и Я12\ /Рн bi2\ __
#21 а22/ \hl 022 /
__ /allPll + (а12, &2l) «11&12 + ^22^12 — #21 X b2i
Ipll^l + «22^21 + #12 X Ь12 «22р22+ (#21, &12>
где для векторов х = (хх, х2, х3), у = (ух, */2, у3) £ ^3 через
(#> I/) = х1Уг + ^2^/2 + хзУз обозначено их скалярное
произведение, а через х X у = {х2у3 — х3у2, х3ух — хху3,
х\Уъ — х2Уг) — «векторное произведение». Заметим еще,
что при таком представлении следом элемента а является
обычный след матрицы: t (а) = аи + а22, а
соответствующей квадратичной формой (или нормой) является
следующий аналог определителя для матриц вида (25): п (а) =
= ^iia22 — (ai2» a2i)- Кроме того, действие инволюции
а н-> а в алгебре С (F) определяется в данном случае
равенством (23).
Приведем теперь примеры композиционных алгебр без
делителей нуля. Как мы видели, над алгебраически
замкнутым полем F не существует таких алгебр,
отличных от F. Мы сейчас покажем, что любое поле F можно
расширить до поля Fx, над которым уже существуют
композиционные алгебры без делителей нуля.
Лемма 12. Пусть F — произвольное поле, Fx =
— F (а) — простое трансцендентное расширение поля F.
Тогда композиционная алгебра К (а) над полем Fx не
содержит делителей нуля.
Доказательство. Достаточно доказать, что
многочлен х2 — х — а неприводим над полем F (а).
Предположим, что это не так, т. е. а2 — а — а = О для
некоторого а 6 F (а). Тогда а — f-g'1, где /, g — многочлены
от а с коэффициентами из поля F, и мы имеем /2 — fg=
= ag2. Если deg f — т, deg g = n, то мы получаем, что
max {2т, т + п) = 2п + 1. Однако, как легко видеть,
это равенство невозможно ни при каких т, п. Полученное
противоречие доказывает лемму.
Лемма 13. Пусть А — конечномерная алгебра над
полем F с единицей 1 и с инволюцией а\-> а, причем а + а,
аа £ F для любого а £ А; Fx = F (а) — простое
трансцендентное расширение поля F. Тогда если А не имеет делите-

64
КОМПОЗИЦИОННЫЕ АЛГЕБРЫ
1.ГЛ. 2
лей нуля, то алгебра Арг = Ft ® FA и алгебра Ах =
= (^4f1? а), полученная из алгебры Архс помощью процесса
Кэли — Диксона, также не содержат ненулевых
делителей нуля.
Доказательство. Докажем вначале, что в
алгебре Apt нет делителей нуля. Пусть аЪ = 0 для
некоторых а, Ь 6 -4*\, причем а фО, Ъ ф 0. Тогда а = 2 *г ® а*>
i
6 = 2^® fy» гДе *i» */ 6 ^ (а); а,-, fy 6 А. Пусть / —
i
общий знаменатель дробей tt; g — общий знаменатель дро-
п т
бей sj; тогда fa = 2 а?® аь ?Ь = 2 а' ® ^"» гДе аь
г=0 j=0
Ъ] £ А\ а'п ф 0, Ь'т ф 0. Мы имеем (fa) (gb) = 0, откуда
a'nb'm = 0 и либо а?'г = 0, либо Ъ'т = 0. Полученное
противоречие доказывает, что либо а = 0, либо 6 — 0, т. е.
в алгебре AFl нет делителей нуля. Пусть теперь х =
= а + vb, у = с + yd — ненулевые элементы из (Л^, а)
такие, что ху = 0. Тогда
ас 4-a db = 0,
J (26)
ad + cb = 0.
Так как в алгебре AFl нет делителей нуля, то все
элементы а, Ь, с, d должны быть ненулевыми. Как и в
предыдущем случае, существует такие многочлены /, g, h, t
п т
из кольца F[a], что fa= 2 a* ® a*> £&= 2 a* ® Ь*»
г=0 г=0
/г Z
йс = 2 а% ® ci-> td = 2 a* ® ^м ГДе все ai> bi9 ct, di£A
г=0 г=0
и an, bm, сд, dj отличны от нуля. Первое из равенств
(26) дает нам
п k
^(2 а*®а,)(2а*®*|) +
г=0 г=0
I т
+ afh ( S a1 ® <*») ( S a'® Ь,) = 0,
г=0 г=0
откуда
deg g + deg t -\- п -\- к = deg / + cleg h + I -{- т + I.
(27)

§ 4] ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА КОМПОЗИЦИОННЫХ АЛГЕБР 65
Аналогично из второго равенства (26) получаем
deg g + deg h + n + I = deg / + deg t + & + m. (28)
Вычитая теперь (28) из (27), мы получаем
2 (deg t — deg h) + 2 (Л — I) = 1,
что невозможно, так как 1 не является четным числом.
Полученное противоречие доказывает, что алгебра (AFt, а)
не имеет делителей нуля. Лемма доказана.
Из лемм 12 и 13 вытекает
Теорема 8. Пусть F — произвольное поле. Тогда
для любого п = 2, 4, 8 существует бесконечное расширение
Fx поля F и композиционная алгебра А над полем Fx
размерности п, не содержащая ненулевых делителей нуля.
Упражнения
1. Доказать, что базисные элементы ух, t>2, v3 алгебры Кэли —
Диксона удовлетворяют следующим соотношениям:
(ViVj) Vk = ±(*W ^3+8 V2V3,
Vi (VjVk) = ±(*W ^3+8 V2V3,
где (г, /, к) — произвольная перестановка символов 1, 2, 3; 8 =
= 0, +1. Если F — поле характеристики =^2, то элементы ех =
1
== ui о~ ' е2 = у2' ез = ^з удовлетворяют соотношениям
('««;) «к = -Ч (efh) = (-1)sgno ('Л) 's
для любой перестановки а = (г, у, к) символов 1, 2, 3.
В упражнениях 2~Ъ А — альтернативная алгебра с единицей
1, содержащая систему матричных единиц Кэли — Диксона таких,
что еХ1 + е22 = 1.
2. Доказать, что А разлагается в прямую сумму подмодулей:
А == Ац © ^12 © ^21 Ф -^22>
где Atj = {а £ А \ eita = ае^- = а}; при этом компоненты Atj
связаны соотношениями
An £4. AuAjj = 0,
A'liAij + AijAjj g; Л^-, AjjAfj = AijAn = 0,
0 0' — ^ji» AijAji S ^4jb
где г # у.
3. Доказать, что при г ^ у

66 КОМПОЗИЦИОННЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 2
где AW==AiieW = eWAjj, & = 1, 2, 3; при этом компоненты А^
связаны соотношениями
4$Ц$> = 0, А<$А\Ч+» = Af+2\ Amod3.
4. Доказать, что кольцо Q = Ап ассоциативно и коммутативно.
Указание. Доказать, что ассоциатор (жи, г/п, zn)
аннулируется элементом е(^2\ а следовательно, и элементом etyeffl = еп;
коммутатор же [xlv уп] аннулируется элементом effleffi = e[lJ
и, следовательно, элементом е$е$ = еХ1.
Определим на А «координатные функции» я^: А -> Q,
полагая, что я^ на всех компонентах, кроме А$\ равны нулю, а на А*№
определены следующим образом:
Я11 (all) = а11» Я22 К2) = *12 (*22«2l) .
я(Л) (a(fe)) = a(h)e(h) тИЩаЩ — e(fe)a(fc)
12 V 12 ' 12 21 ' 21 V 21 ' 12 21 *
Далее, определим линейное отображение я: А -*- С (Q), полагая
1 3
1=1 ft=i
5. Доказать, что я (ab) = я (а) я (Ь).
Указание. Достаточно рассмотреть случаи, когда
элементы а и Ъ лежат в компонентах A W. Предварительно доказать
равенство е12 (a22e21) = 4<Р ,(a22e2i^)i & = 2, 3.
6(координатизационная теорема Цорна).
Пусть Л — альтернативная алгебра с единицей 1, содержащая
систему матричных единиц К эли — Диксона таких, что еХ1 + е22 =
= 1. Тогда Л есть матричная алгебра Кэли — Диксона над
кольцом Q = Ап.
7. Пусть С (Ф) — матричная алгебра Кэли — Диксона над
ассоциативно-коммутативным кольцом Ф. Тогда всякий
односторонний идеал В алгебры С (Ф) является двусторонним и имеет вид
С (А), где Л — идеал кольца Ф, Л = В {] Ф-1.
ЛИТЕРАТУРА
Алберт [1, 8], Брак и Клейнфелд [24], Браун [25], Джекобсон
[43, 45], [47, стр. 162—171], Диксон [53], Капланский [88], Линник
[106], Маккриммон [118], Фрейденталь [239], Херстейн [250], Цорн
[258], Шафер [261, стр. 44-50].
Квадратичные формы, удовлетворяющие более слабому условию
композиции п (х2) = (п (х))2, изучал Гайнов [31—33].
В работах Шафера [260, 263] и Маккриммона [115, 119, 120]
было введено понятие формы п-й степени, допускающей композицию,
и теорема о квадратичных формах, допускающих композицию, была
обобщена на формы п-й степени.

ГЛАВА 3
СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ
ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ
В этой главе Ф — ассоциативное и коммутативное
кольцо с единицей 1, в котором разрешимо уравнение
2^: = 1. Решение этого уравнения (оно, как легко видеть,
единственно) обозначается через V2. Через F обозначается
произвольное поле характеристики ф 2.
1. Определение и примеры йордановых алгебр
Алгебра называется йордановой, если она
удовлетворяет тождествам
ху = ух,
(х2у) х = х2 (ух).
Пусть А — ассоциативная Ф-алгебра. Определим
на аддитивном Ф-модуле алгебры А новую операцию
умножения ©, связанную со старым умножением
формулой
а © Ъ = -j (аЪ + Ьа).
После замены старого умножения на новое получается
новая алгебра, которая обозначается через А(+). Легко
проверить, что она йорданова. Если /—подмодуль алгеб-
ры А, замкнутый относительно операции а © Ь= ^(а^ +
+ Ьа), то / вместе с этой операцией является подалгеброй
в А(+) и, следовательно, йордановой алгеброй. Такая
йорданова алгебра / называется специальной. Подалгебра
А0 алгебры Л, порожденная множеством /, называется
ассоциативной обертывающей алгеброй для /. Неспеци-
альные йордановы алгебры называются также исключи-

68
ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. 3
тельными. Заметим, что для неассоциативной алгебры А
алгебра А{+) также может быть определена, однако она
не всегда является йордановой.
Пусть V — векторное пространство над полем F с
заданной на нем симметрической билинейной формой / =
= / (#i У)- Рассмотрим прямую сумму В = F-1 + V
векторного пространства V и одномерного векторного
пространства F-1 с базисом 1 и зададим на В умножение
следующим правилом:
(а-1 +*)(р.1 + у) =(ар + /(*, у))Л + ($х + ау),
где а, (5 £ F, х, у £ V. Сразу отметим, что элемент 1
является единицей алгебры В и что, ввиду симметричности
формы /, умножение в алгебре В коммутативно. Пусть а --
= а-1 + х £ В. Тогда а2 = (а2 + / (х, х))Л + 2ах =
=-■ (а2 + / {х, х))Л + 2аа - 2а2-1 = (/ {х, х) - а2)-1 +
+ 2аа. Теперь тождество (a2b) а = а2 (Ъа) для алгебры 5
есть следствие соотношений (аЪ) а = а (Ъа) и (lb) а =
= 1 {Ъа), верных в любой коммутативной алгебре.
Следовательно, алгебра В йорданова. Она называется
йордановой алгеброй симметрической билинейной формы /. Эта
алгебра специальна (см. упражнение 1).
Пусть теперь U — некоторая (не обязательно
ассоциативная) алгебра и * — ее инволюция. Множество
Н (U, *) = {и £ U \ и = и*} симметричных относительно
* элементов замкнуто относительно операции а© Ь =
= y (аЬ + Ъа) и является подалгеброй алгебры £/(+). Если
U ассоциативна, то U(+> йорданова и Н (U, *) —
специальная йорданова алгебра.
Пусть D — композиционная алгебра с инволюцией
d-> d и Dn — алгебра матриц п-то порядка над D.
Отображение S: X -> X*, где Хг — матрица, полученная из
матрицы X применением ййгволюции к каждому ее члену
и транспонированием, является, как легко видеть,
инволюцией алгебры Dn. Если D ассоциативна, то Н (Dn, S) —
специальная йорданова алгебра. Если же D — алгебра
Кэли — Диксона, то алгебра Н {Dn, S) будет йордановой
только при п <; 3, причем при п = 3 она будет
исключительной. Доказательству этих двух утверждений и будет
посвящена оставшаяся часть параграфа.

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБР 69
В дальнейшем для краткости алгебру Н (Dn, S) будем
обозначать через Н (Dn).
Итак, пусть С — алгебра Кэли — Диксона над полем
F. Рассмотрим алгебру Н (С3). Через е^мы будем
обозначать матрицу из С3, у которой на пересечении £-й строки
и /-го столбца стоит 1, а все остальные элементы — нули.
Элементы г и перемножаются по обычным формулам:
Gifiki = &jkSih гДе &jk — символ Кронекера. Элемент
з
2 гц является единицей алгебры С3, и мы будем обозна-
г=1
чать его через 1, так же как и единицу алгебры С.
Отображение
сн> diag {с, с, с}
алгебры С в С3 есть мономорфизм. Диагональную
матрицу, в которую переходит при этом мономорфизме
элемент с, будем обозначать также через с. Тогда матрицу
X = (хи) можно записать в виде X = 2^о*8и- Легко
проверить, что (аги) (Ьгк1) = 8jk (ab) еп.
Лемма 1. Пусть А — произвольная алгебра и а,
Ь, с £ А. Тогда если (а, Ь, с)+ — ассоциатор элементов а, Ъ
и с в алгебре А(+), то
4 (а, Ь, с)+ = (а, Ь, с) — (с, Ь, а) + (Ь, а, с) —
— (с, а, Ь) + (а, с, Ь) — (Ь, с, а) + [Ь, [а, с]1. (1)
Доказательство состоит в раскрытии всех ассоциаторов
и коммутаторов и сличении обеих частей равенства.
Лемма 2. В произвольной альтернативной алгебре
А справедливо тождество
[(а, Ь, с), d] = (аЬ, с, d) + (be, а, d) + (са, Ь, d). (2)
Доказательство. Линеаризуем центральное
тождество Муфанг (см. § 2.3). Получим
(са) (bd) + (da) (be) = [с (ab)] d + [d (ab)] с (3)
Теперь имеем
d (a, b, c) = d [(ab) c]-d[a (be)] =
= — (d, ab, c) + Id (ab)] с — d [a (be)] =
no (3)
- - (d, ab, c) + [d (ab)] с + (d, a, be) - (da)(bc) =

70 ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 3
= — (аЪ, с, d) — (be, a, d) — [с (ab)\ d + (са) (bd) =
= — (аЪ, с, d) — (be, a, d) + (с, а, Ъ) d —
— [(са) Ъ] d + (са) (bd) = — (а&, с, d) — (Ьс, а, d) +
+ (с, а, Ъ) d — (са, Ъ, d)t
что и требовалось доказать.
Напомним (см. доказательство леммы 2.8), что в
алгебре Кэли — Диксона С верны соотношения
(а, Ь, с)=-—(а, Ъ, с)=—(а, Ъ, с)=—(а, Ь,~7), (4)
(а, Ъ, с)=—(а, Ъ, с). (5)
Кроме того, так как F — поле характеристики ф 2, из ра-
венства а = а следует а = у t (а) £ F. В частности, если
А = (atj) £ Я (С3), то аи £ F. Наконец, легко проверить,
что для любых а, Ь, с £ С в алгебре С3 выполняется
соотношение
(аги, Ъгк1, сгт) = (а, Ъ, с) гигк1грд. (6)
Лемма 3. Пусть А = (atj) £ Н(С3). Тогда [А2, А] =
= 2а, где а = (а12, а23, а31).
Доказательство. Согласно (6) и правилу
перемножения матричных единиц мы имеем
[Л2, А] = (А, А, А) = ^(аф ajk, ам)еа.
Если i = j, j = /с или /b = Z, то (atj, ajk, aki) = 0, так как
один из элементов ассоциатора в этом случае лежит в F.
Если i = к, то ам = а^- и (atj, аи, ahl) = — (аи, а^,
#ы) = 0- Аналогично, если / = I, то (а^, а7/1, а^) = 0.
Так как индекса всего три, то ассоциатор (atj, ajk, akt)
может быть ненулевым лишь в случае, когда i, j и к все
различны и i = I. Следовательно, [А2, А] = 2 (a0-, aJfe,
aki) еи. Далее, имеем_(а01 ajk, aki) = (ajk, aki, atj) и
(aik, ahj, ал) = (ahi, ajk, au) = — (ahi, ajk, atj) = (atj,
<*<jh, ahi)- Следовательно, (atj, ajk, aki) = (a12, a23, a31) =
= a и [A2, A] = 2a (2 £**) = 2a. Лемма доказана.
Теорема 1. Я (С3) — йорданова алгебра.
Доказательство (Маккриммон). Так
как коммутативность алгебры Я (С3) очевидна, мы должны

§ 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБР 71
только проверить, что (Л2 © В) ©Л = Л2 © (В © Л) для
любых двух матриц А, В £ Н (С3). Это эквивалентно
тому, что (Л, 5, С)+ = 0 для С = А2. Достаточно
показать, что коэффициенты при еи и е12 у элемента (Л, 5, С) +
являются нулями; те же доказательства с заменой одних
индексов на другие будут годиться и для других
коэффициентов. Ввиду (1), (2), (6) и леммы 3 коэффициент
элемента (Л, 5, С)+ при 8П есть сумма ассоциаторов и
согласно (5) является кососимметричным. Однако (Л, 5, С)+ £
£ Я (С3), и его коэффициент при еп должен быть
симметричен. Следовательно, он равен нулю. Рассмотрим
коэффициент при е12 элемента (Л, 5, С)+. Так как
ассоциатор (Л, 5, С)+ линеен по 5, достаточно показать, что
коэффициент при е12 равен нулю в следующих четырех
случаях: В = Ъпгн, В = Ь13г13 + Ь31е31,_Я = 623е23 +
+ ^32832, В = &12812 + *21е2И ГДе bij = bji- В ПврВОМ
случае Ън £ F-1, поэтому ввиду (1) коэффициент при е12
равен нулю. Если В = Ь13г13 + Ь31е31, то коэффициент
при е12 у элемента (Л, 5, С) ввиду (6) равен 2 («ik, &ьь
м
с/2/ == («п, ^13, сзг) ~г («i3, &3i? ^12) = («i3, ^3i, ci2/*
Аналогично, коэффициенты при е12 элементов —(С, 5, Л),
(5, Л, С), - (С, Л, £), (Л, С, 5), - (5, С, Л)
соответственно равны: — (с13, Ь31, а12), (Ь13, л31, с12), 0, 0, — (Ь13,
сзи «12)- Коэффициент при е12 элемента Ш, [Л, С]] =
= —2 [&13е13 + &з1ези «1 равен нулю. Суммируя,
получаем, что коэффициент при е12 элемента 4 (Л, 5, С)+ равен
(«is, &3ii ^12) — (^1з, Ь31, а12) + (Ь13, a3i,k12) — (bi3, ^зь «12) =
= Кз, b3J, c12) + (b3i, «13, с12) —
— (сш Ь31, a12)— (b3i, с13, а12).
Это выражение равно нулю в силу (4) и
кососимметричности ассоциатора. Аналогичные аргументы пригодны
и в случае, если В = Ь23е23 + &32е32. Пусть теперь В =
^ ^i28i2 + ^2i82i- Используя (1), мы находим
коэффициент при е12 элемента 4 (Л, 5, С)+; он равен
(«12, Ь21, Ci2) — (ci2i Ь2И «12) + (&12, «21, £l2)+ (^12, «23, СЪ2) —
— (с12, а21, &i2) —(q3, а31, bi2)-b(«i2, ^21, М +
+ («13, С31, &12) — (&12, С21, «12) —(^12, ^23, «32) —2[&12, «] •

72
ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. 3
В силу (4) и кососимметричности ассоциатора его можно
записать так:
^ (^32> a23i ^12) — ^ \C2li а\Ъч ^12/ —
—2 (с13, а31, Ь12) — 2 [Ь12, (а12, а23, а31)]. (7)
Теперь си = 2 aikakj, поэтому (cih ая, Ь12) = (а^а^,
«Я» Ь12) + {ацаи, ан, Ь12) + (aikakj, aju Ь12), где i, 7, Л
различны. Так как a^£F-l, то согласно (4) (auatj,
0/м Ь12) = ап (а*;, ая» Ь12) = аи (а0-, а0-, Ь12) = 0.
Аналогично, {aijdjj, ал, b12) = 0. Следовательно, (7)
приобретает вид
^ (tt31tt12> tt23> ^12/ ^ (#23tt31> tt12> ^12/ —
^ (#12^23* tt31> ^12/ ^ 1^12» \ai2i a23i #3l)-l*
Однако это выражение равно нулю в силу (2).
Теорема доказана.
Нам будет удобно теперь ввести следующие
обозначения для элементов алгебры Н {С3):
хц=хеш ж = а-1, a£F,
*ij = xZij+*xEJh х£С, гФи
Теорема 2 (Алберт). Н (С3) —
исключительная алгебра.
Доказательство будем вести от противного.
Допустим, что существует ассоциативная алгебра А
такая, что Я (С3) является подалгеброй алгебры А(+).
Умножение в алгебре С будем обозначать точкой •,
умножение в алгебре Н (С3) — кружком с точкой внутри©;
умножая элементы в алгебре А, не будем ставить между
ними ничего.
Пусть X, Y еН{С3). Тогда Х©У = */а (XY + YX). Это
соотношение связывает умножение в А с умножением
в Н (С3) и, в конечном итоге, с умножением в С.
Используя его, найдем в А подалгебру, изоморфную алгебре
Кэли — Диксона С. Ввиду неассоциативности алгебры С
теорема будет доказана.

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБР 73
Отыщем в алгебре А нужные соотношения:
СЦ ~ С Hi &ij == £ц \ €jji \Р/
^iixij I xij^ii ~ ^jjxij ~Т~ xij^jj — xijt W/
ehhXij + xuehh = О, к ф I, /; (10)
*12#23 4" #23*12 = (**#)l3' \*Ч
Соотношения (8) — (10) очевидны. Докажем равенство (11).
Имеем
*12#23 + #23*12 = 2я12 0 г/гз =
/0 х 0\ /0 0 0\ /00 х-у\
= 2^00 0 00И= 0 0 0 \ = (x.y)i9.
\0 0 0/ \° У °/ \У* оо/
Аналогично получаем соотношения
*12#13 + #13*12 = (*'#Ь, (12)
*13#23 + #23*13 = (*'#) 12 • (13)
В силу (10) для к фг, ) имеем
0 = ehh {ekkXij -f- Xijekk) = ekkXij -f- ekkXijekk,
однако в силу (8) и (10)
^ehhxij^kk = (ekkxij + xij^kk) £kh +
+ ehk {ehkxu + хиекк) — {elhxtj + хие%к) = 0,
и поэтому
*fefe*U = xUehh = 0, /b =^ I, /. (14)
Отобразим теперь С в А следующим образом:
О: X Ъ" ^ ^11*12^12*
Ясно, что это отображение — гомоморфизм векторных
пространств. Покажем, что (х-у)° = х°у°. В силу (13)
и (14) имеем
(Х.у)°=еп(х- y)i2ei2 = 0ц (^13#23 + #23*1з) *12 = ^11*13#23^12-
Преобразуем полученное выражение с помощью (11) и (14):
^11*13#23^12 == *11 (*12^23 + ^23*12) #23^12 = ^11*12^23#23^12,

74
ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. 3
а затем с помощью (12):
€цХ12е 231/23^12 == Vl2^23 (#12^13 I ^13^12/ ^12 ~
= ^n^i 2^ 2 3^13^/l 2^12'
так как в силу (9) и (14) у12е13е12 = у12 {е33е13 + е13е33) е12=
= 0. Итак,
[х-у) = e11x12e23e13y12ei2. \Д«э)
Однако в силу (9), (13) и (14) е23е13у12 = е23 (епе13 +
I е\Ъе\\) #12 = е22р\2рцУ12 = \е12 — ^13^23) еиУ\2 == е12епУ121
и поэтому из (15) вытекает, что
(х-у)° = епх12е12епу12е12 = х°у°,
что доказывает гомоморфность введенного отображения.
Однако алгебра Кэли — Диксона по лемме 2.3 проста,
поэтому наш гомоморфизм есть либо изоморфизм, либо
отображает алгебру С в нуль. Но последнее неверно:
в силу (8) и (14)
1° = епе12е12 = еп (еп + е22) = еп =£ 0.
Мы получили противоречие, так как алгебра С
неассоциативна и ее нельзя изоморфно отобразить в
ассоциативную алгебру. Теорема доказана.
Упражнения
1. Пусть В (/) = F Л + М — йорданова алгебра
симметрической билинейной формы /: М X М ->- F. Доказать, что алгебра
Клиффорда С (/) формы / (см. Ленг С, Алгебра, стр. 411) является
ассоциативной обертывающей алгеброй для В (/).
2. Доказать, что если форма / невырождена и dim^ М > 1,
то йорданова алгебра В (/) = F Л + М проста.
3. Доказать, что алгебра С<+> для алгебры Кэли — Диксона С
изоморфна йордановой алгебре симметрической невырожденной
билинейной формы.
4. Доказать, что для любых элементов а, Ь, с ассоциативной
Ф-алгебры имеет место равенство
V2 (abc + сЪа) = (а 0 Ь) © с + (Ь © с) © а - (с 0 а) Э Ъ. (16)
5 (М а к к р и м м о н). Пусть А — ассоциативная Ф-алгебра
и / — идеал алгебры А(+). Тогда A* b2A* s/ для любого Ъ £ /;
если же Ь2 — 0 для всех Ь £ /, то (А* ЪА-н- )3= (0) для любого Ъ £ /.
6 (Херстейн). Если А — простая ассоциативная
Ф-алгебра, то и алгебра Л<+) проста.
7 (М а к к р и м м о н). Пусть А — ассоциативная Ф-алгебра
с инволюцией * и / — идеал в Н (А, *). Тогда, если ЪсЪ Ф 0

СВОБОДНЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ 75
для некоторых Ь, с £ /, то для идеала В = А^ЪсЬА^ алгебры А
имеет место включение В (] Н (А, *) ^ /; если же ЪсЪ = 0 для
всех Ь, с £ J, то А содержит ненулевой нильпотентный идеал.
Набросок доказательства. Доказать, что для
любых х, у Е Л
xbcbx* £ /, xbcby* -\- ybcbx* £ /.
Отсюда следует первая часть утверждения. В случае, когда bcb = О
для всех Ь, с £ /, предположить сначала, что bhb Ф О для
некоторых Ъ 6 /, h £ Н (А, *), и доказать, что для любого х £ А
xbhb + bhbx* 6 /.
Отсюда (xbhb + bhbx*)* = О и 0 = xbhb (xbhb + bhbx*)3 = (xbhb)*,
т. е. левый идеал / = A^bhb есть ниль-алгебра ограниченного
индекса. В силу хорошо известного результата теории
ассоциативных PI-колец (см., например, [46, стр. 335] это влечет наличие
в / нильпотентного идеала. Теперь нетрудно обнаружить такой
идеал и в А. Если же bhb = 0 для всех h £ Н (А, *), то доказать,
что левый идеал А^Ь удовлетворяет тождеству x's = 0, что тоже
влечет существование в А нильпотентного идеала.
8 (X ерстепн). Если А —ассоциативная Ф-алгебра с ипво-
люцией *, не содержащая собственных ^-идеалов (т. е. таких
идеалов /, что I* S/), то йорданова алгебра Н (А, *) проста.
9. Йорданова алгебра Н (Dn), где D — ассоциативная
композиционная алгебра, проста.
10. Доказать, что Н (С3) — простая алгебра.
11. Доказать, что алгебра Н (С2) изоморфна йордановой алгебре
симметрической билипейной невырожденной формы и поэтому
является простой и специальной.
12. Пусть и = vly v = v2, w = v3 — порождающие алгебры
Кэли — Диксона С (см. § 2.4). Докажите, что элементы X = е12,
Y = е23, Z = ul2+ vl3 + w23 порождают алгебру Н (С3).
13. Доказать, что алгебра Н (Сп) не является йордановой
при п > 4.
§ 2. Свободные специальные йордановы алгебры
Рассмотрим свободную ассоциативную Ф-алгебру
Ass [X] от множества свободных порождающих X =
= \ха). Подалгебру алгебры Ass [Х](+), порожденную
множеством X, назовем свободной специальной
йордановой алгеброй от множества свободных порождающих X
и обозначим SJ [X]. Как мы увидим в конце параграфа,
специальные йордановы алгебры не образуют
многообразия, так как при card (X) ^ 3 существуют гомоморфные
образы алгебры SJ [X], являющиеся исключительными
алгебрами. Однако все специальные йордановы алгебры
от множества порождающих мощности X являются гомо-

76
ЙОРДЛНОВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. 3
морфными образами алгебры SJ [X] при card (X) = К.
В этом смысле мы и говорим о свободе алгебр SJ [X].
Предложение 1. Пусть J — специальная йор-
данова алгебра. Тогда всякое отображение X в J
единственным образом продолжается до гомоморфизма
SJ [X] в J.
Доказательство. Пусть о: X -> / —
некоторое отображение и А — ассоциативная обертывающая
алгебра для /. Тогда отображение о продолжается до
гомоморфизма о: Ass [Х]~^А. Ясно теперь, что
ограничение о на SJ [X] есть гомоморфизм SJ [X] в /,
продолжающий о. Предложение доказано.
Элемент свободной ассоциативной алгебры Ass [X]
называется йордановым многочленом (]-многочленом), если
он принадлежит SJ [X], т. е. выражается через элементы
множества X при помощи операций + и © . Например,
многочлены х1х2х1 и хгх2хъ + xsx2xx являются
/-многочленами в силу (16). До сих пор неизвестно ни одного
удобного критерия, позволяющего по записи многочлена из
Ass [X] узнавать, является ли он /-многочленом или нет.
Для card (X) ^ 3 такой критерий дает теорема Кона,
которая будет сформулирована ниже.
Свяжем со свободной ассоциативной алгеброй Ass [X]
еще одну йорданову алгебру. Для этого определим на
Ass [X] инволюцию *, которая на одночленах задается
правилом
yXi1Xi2 . . . Х\.) = Х'х- . . . Xi2Xit
и на многочлены распространяется по линейности: если
/=S asus, где as 6 Ф, us — одночлены, то /* = 2 asuf-
Через Н [X] обозначим йорданову алгебру Н (Ass [X], *)
симметричных элементов алгебры Ass [X] относительно *.
Теорема 3 (К о н). Для любого множества X
справедливо включение Н [X] ^ SJ [X], причем при card (X) ^
^ 3 имеет место равенство, а при card (X) > 3 — строгое
включение.
Доказательство. Порождающие ха £ X
симметричны относительно * и лежат в Н [X]. Кроме того,
если а, Ь £ Н [X], той а©Ь 6 Н [X], так как (а©Ь)* =
= V2 1(аЪ)* + (Ъа)*] = 72 (Ь*а* + а*Ь*) = Чг (аЪ + Ьа) =
= aQb. Поэтому Н [X] => SJ [X].

§ 2] СВОБОДНЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ 77
Пусть card (X) = 3, т. е. X = {хх, х2, xs}. Для
доказательства того, что Н [X] = SJ [X], достаточно
показать, что элементы из Н [X] вида и + и*, где и —
одночлен, являются /-многочленами. В самом деле, если / —
= 2^г симметричен относительно *, то / = */г (/ + /*) =
Пусть и = xl[x\\ . . . #'£, причем ir ф1г+х для г ==
= 1,2, ..., /г — 1. Число h назовем высотой одночлена и.
Доказательство того, что и + и* £ SJ [X], мы
проведем двойной индукцией. Первая индукция — по длине
одночлена щ основание ее очевидно. Пусть для
одночленов длины < к утверждение доказано. Рассмотрим
множество одночленов длины к. Среди них всего три одночлена
высоты 1 — это х\, х\ и х\. Для них наше утверждение
очевидно, и мы имеем основание для второй индукции.
Предположим, что для всех одночленов длины к и высоты
< h утверждение справедливо. Допустим, что одночлен и
имеет длину к и высоту h. Рассмотрим сначала случай,
когда одночлен и начинается и кончается на один и тот же
порождающий элемент, а именно и = avvaq, где а £
£ {хг, #2, xs}, v — одночлен. В этом случае
и + и* = apvaq + aqv*ap =
= ар (vaq + аV) + (aV + vaq) ар - (ap+qv* + vap+q).
Заметим, что сумма первых двух слагаемых является /-
многочленом в силу первого индуктивного
предположения, а последнее — в силу второго, так как одночлен
ар+я v* имеет высоту h — 1.
Второй случай, который надо рассмотреть,—
следующий: и = avbraqv, где а, Ъ £ {хх, х2, xs}, а ф Ъ и v —
одночлен. Имеем
и -f и* = a'bVi; + г;*а*Ьгар -
- aW (aqv + v*aq) + (v*aq + aqv) brap - (a?Wv*aq + aqvbrap),
и сумма первых двух слагаемых есть Йорданов многочлен
ввиду (16), а в последней скобке имеем первый случай.
Третий случай: и = apvaqbr, где а, Ь £ {хг, х2, xs},
а фЪ и v — одночлен. В этом случае
и + и* = ap!;ae6r + 6 Wap -
= ар (Vaq + aqv*) br + ¥ (aqv* + vaq) ap - (ap+qv*br + brvap+q).

78
ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. 3
Ввиду (16) и первого индуктивного предположения сумма
первых двух членов есть /-многочлен, а вычитаемая
скобка находится в условиях второго индуктивного
предположения.
Четвертый случай. Осталось рассмотреть для
одночлена и лишь две возможности: и = apbrcs и и =
= арсяЬгиа1сгЬ\ где v — одночлен, возможно,
отсутствующий, а, Ь, с £ {хъ х2, х3} и попарно различны. Если и =
= apbV, то в силу (16) и + и* = apbV + cs6rap 6
6 SJ [X]. Пусть теперь и = арсдЬЬа1сгЬ8. Тогда
и + и* = apcqblvalcrbs + Ь8сга1и*ЬгсЧр =
= а р(с*Ъгт1(Г + cralv*blcq) bs +
+ bs (сга1и*Ьгс* + cqblvalcr) ар- (apcralv*blcqbs + bscqbl valcrap).
Сумма первых двух членов является /-многочленом ввиду
(16) и первого индуктивного предположения, а третий
член — также /-многочлен согласно уже разобранному
второму случаю.
Итак, равенство Н IX] = SJ [X] в случае, когда
card (X) = 3, доказано. Отсюда, конечно, следует
справедливость этого равенства и при card (X) = 2.
Доказательство, приведенное нами, принадлежит Ширшову. Оно
конструктивно и дает алгоритм, позволяющий по записи
симметричного многочлена от трех переменных найти его
представление в виде /-многочлена.
Докажем, что Н [X] ф SJ [X] при card (X) > 3. Для
этого достаточно показать, что элемент / (хх, х2, хг, #4) =
— xix2xsxtk + xkxzx2xx не является йордановым
многочленом от хг, х2, хг, xk.
Рассмотрим свободный Ф-модуль Е от порождающих
в\, е2, ег, е4 и внешнюю алгебру Д (Е) этого модуля. (Ее
определение и свойства см. в книге Ленга С, Алгебра,
«Мир», 1968, стр. 474.) Ф-модуль алгебры Д (Е) также
свободен с базисом {1, et А . . . Aet ; ix < . . . < is; s =
= 1, 2, 3, 4} и, кроме того, et © £/ = 0 в Д (Е). Пусть а.
Ass [X] -* /\ (Е) — гомоморфизм такой, что о (xt) = е^
i=l, 2,3, 4, иа (£j) = 0, * > 4. Все йордановы
многочлены при этом гомоморфизме переходят в нуль, однако
о [/ (#!, £2, £3> £4)1 = 2ех А е2 Л е3 Л ^4 =7^= 0- Значит,

§ 2] СВОБОДНЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ 79
/ (#i, #2> #3i хд не есть Йорданов многочлен, и теорема
полностью доказана.
Замечание. Если уравнение 2х = 1 неразрешимо
в Ф, операция © не может быть определена. В этом случае
йордановыми многочленами свободной ассоциативной
алгебры Ass [X] называют элементы, которые можно
получить из элементов множества X при помощи операций
сложения, возведения в квадрат и квадратичного
умножения {хух} = хух. Если 4/2 £ Ф> то, как нетрудно видеть,
это определение дает нам обычные йордановы многочлены.
Проследив доказательство теоремы Кона, можно
заметить, что для множества SJ [X] йордановых многочленов
в новом смысле равенство Н [X] = SJ [X] верно при
card (X) ^ 3 для любого кольца операторов Ф.
Теорема 4. Если card (X) > 1, то свободная йорда-
нова алгебра SJ [X] не изоморфна алгебре Л(+) ни для
какой ассоциативной алгебры А.
Доказательство. Допустим, что SJ [X]
изоморфна алгебре ^4(+), где А — ассоциативная алгебра.
Мы можем тогда считать, что на множестве SJ [X] задана
дистрибутивная со сложением ассоциативная операция
(обозначаемая точкой) такая, что для любых а, Ъ £
€ SJ [X]
а® Ъ = V2 (а-Ъ + Ъ-а) (17)
и что А = (SJ [X], +, •)• В силу (17) множество X есть
множество порождающих и для А. Пусть о: Ass [X] ->-
->- А — гомоморфизм такой, что х° = яа для всех ха £ X.
Рассмотрим ядро / этого гомоморфизма. В силу (17)
ограничение о на SJ [X] является тождественным
отображением. Поэтому
/ П SJ IX] = (0). (18)
Кроме того, для любого / (х) £ Ass [X] найдется / (х) £
6 SJ [X] такой, что / (х) — / (х) £ /. В частности, это
верно для многочлена / (ж) = ххх2. Но тогда в силу (16)
[ххх2 — / (я)] [х2хх — / (я)] =
= ххх\хх — я^з/ (ж) — / (х) х2хг + / (х)2 £ / П SJ [X].
Значит, в силу (18) [хгх2 — j (х)] [х2хх — / (х)] = 0, и
получаем, что либо / (х) = я^з, либо / (я) = ^2^. Но ни того,
ни другого быть не может. Теорема доказана.

80
ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ
ГЛ* 3
Переходим к изучению гомоморфных образов
свободных специальных йордановых алгебр.
Лемма 4. Пусть I — идеал специальной йордано-
еой алгебры J с ассоциативной обертывающей алгеброй А
и I — идеал алгебры А, порожденный множеством 7, причем
Тогда фактор-алгебра JII специальна.
Доказательство. Отметим сначала один
очевидный изоморфизм: для любого идеала В алгебры А
(А/Ву+>^А<+ЧВ<+К
Теперь по второй теореме о гомоморфизмах
/// = J/J п /(+) ^ J + /+)//(+) <= 4<+>//<+>,
что в силу предыдущего замечания дает нам специальность
алгебры JII.
Лемма 5 (К о н). Пусть I — идеал свободной
специальной йордановой алгебры SJ [X] и I — идеал в Ass [X],
порожденный множеством I. Фактор-алгебра SJ [XVI
специальна тогда и только тогда, когда I fLSJ [X] = 7.
Доказательство. Если условие 7 f|SJ [X] =
= 7 выполнено, то фактор-алгебра SJ [Х]/1 специальна
в силу леммы 4.
Допустим теперь, что фактор-алгебра SJ [XVI
специальна и А — ее ассоциативная обертывающая алгебра.
Обозначим через т канонической гомоморфизм алгебры
SJ [Х\ на SJ [XVI. Алгебра А порождается элементами
аа = х (#а), где ха £ X. Пусть а — гомоморфизм алгебры
Ass [X] на А такой, что о (ха) = аа. Тогда ограничение о
на SJ [X] есть гомоморфизм SJ [X] в SJ [XVI,
совпадающий с т на порождающих и, следовательно, равный т.
Но тогда Ker a f] SJ [X] = Кег т. Заметим теперь, что
7 ^ Кег о и Кег т = 7. Следовательно, I [\ SJ [X] е 7
и, ввиду очевидности обратного включения, имеем 7 f|
П SJ [X] = 7, Теорема доказана.
Теорема 5 (Кон). Пусть SJ [х, у, z] —
свободная специальная йорданова алгебра от порождающих х, у,
z и I — ее идеал, порожденный элементом к = х2 — у2.
Тогда фактор-алгебра SJ [х, у, z]/I исключительна.

§ 21 СВОБОДНЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ 81
Доказательство. Элемент v = kxyz + zyxk
лежит в / П SJ [х, у, z], где / — идеал алгебры Ass [х, у, z],
порожденный множеством /. Покажем, что у $ J, и все
будет доказано в силу леммы 5. Допустим, что v £ I. Тогда
существует Йорданов многочлен / (х, у, z, i), каждый
одночлен которого содержит t такой, что v = / (х, г/, z, к).
Ясно, что мы можем считать, что все одночлены в / (х, у, z,
t) имеют степень 4 и линейны по z. Сравнивая степени
элементов и и j (х, у, z, х2 — у2) по отдельным переменным,
заключаем, что / (х, у, z, t) линеен по t и, следовательно,
по остальным переменным тоже. Многочлен / (х, у, z, t)
симметричен и лежит в Н [х, у, z, t]. Поэтому он является
линейной комбинацией 24 четверок вида {xyzt} =
= xyzt + tzyx по всем перестановкам элементов х, у, z, t.
Однако вид элемента и говорит о том, что в этой
линейной комбинации ненулевые коэффициенты могут быть
лишь у тех четверок, на конце (или в начале) которых
находится z:
j (х, у, z, t) = ах {txyz} + а2 {xtyz} + а3 {tyxz} +
+ а4 {ytxz} + а5 {xytz} + а6 {yxtz}.
Заменяя в этом равенстве ^ на f — г/2, получаем
соотношение
{x3yz} — {y2xyz} = аг {x3yz} — at{y2xyz} -f a2 {x3yz} —
— a2 {xy3z} + a3 {x2yxz} — a3 {y3xz} +
+ a4 {yx3z} — a4 {y3xz} + a5 {xyx2z} —
— a5 {xy3z} + a6 {yx3z} — ae {yxy2z}.
Сравнивая коэффициенты при {y2xyz}, заключаем, что
аг = 1. Затем сравним коэффициенты при {x3yz} и
получим а2 = 0. Сравнение коэффициентов при {x2yxz} дает
нама3 = 0. Отсюда следует, что а4 = 0, как коэффициент
при {y3xz}. Далее, сравнивая коэффициенты при {xyx2z}
и {yxy2z}, получаем, что а5 = а6 = 0. Но это значит, что
/ (х, г/, z, t) = {xyzt}.
Однако, как мы видели в доказательстве теоремы 3,
{xyzt} не есть Йорданов многочлен. Теорема доказана.
Теорема 6. Все гомоморфные образы свободной
специальной йордановой алгебры SJ [х, у] от двух
порождающих специальны.

82
ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ, 3
Доказательство. Пусть / — произвольный
идеал алгебры SJ [х, у] и I — идеал в Ass [х, у],
порожденный множеством I. В силу леммы 5 достаточно показать,
что / Р) SJ [х, у]= I. Пусть и £ /. Тогда и = 2 Уьк{шь
где kt £ /, vt и wt — одночлены. Допустим, что и £
£ SJ [х, у]. Для доказательства того, что и £ I,
достаточно показать справедливость включения vkw + w*kv* £ /
для всех к £ / и любых одночленов у, г#. Но это включение
действительно справедливо, так как по теореме 3 vzw +
+ w*zv* — Йорданов многочлен от х, у, z. Теорема
доказана.
Как хорошо известно *), чтобы расширить класс
алгебр й до многообразия, надо сначала замкнуть Й
относительно взятия прямых произведений, затем —
подалгебр и, наконец,— гомоморфных образов. Получится
наименьшее многообразие Var S!, содержащее класс
алгебр R. Легко заметить, что класс @ всех специальных
йордановых Ф-алгебр замкнут и относительно прямых
произведений, и относительно подалгебр. Поэтому
многообразие Var @ состоит из всевозможных гомоморфных
образов специальных йордановых алгебр. Как мы
покажем далее, оно отлично от многообразия всех
йордановых алгебр. Очевидно, что свободные специальные йорда-
новы алгебры являются свободными алгебрами этого
многообразия.
Докажем теперь одну теорему о вложении для
специальных йордановых алгебр. Доказательству ее
предпошлем две леммы.
Лемма 6. В свободной ассоциативной алгебре
Ass [х, у] элемент принадлежит подалгебре (Z),
порожденной множеством Z = {zt = хугх\ i = 1, 2, . . .}, тогда
и только тогда, когда он является линейной комбинацией
одночленов вида
хуПаРу'ЪР .. . x2yj*x, jh > 1. (19)
Эта подалгебра является свободной ассоциативной
алгеброй с множеством Z свободных порождающих.
Доказательство первого утверждения
леммы очевидно. Для доказательства второго рассмотрим
*) См., например, Мальцев А. И., Алгебраические системы,
«Наука», 1970, стр. 339.

§ 2] СВОБОДНЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ 83
гомоморфизм
ф: Ass [хг, . . ., хп, ...]-»- (Z),
переводящий xt в zt. Легко видеть, что ф — изоморфизм,
так как / (%, z2, . . ., zn) = 0 влечет / = 0. Будем
обозначать теперь алгебру (Z) через Ass [Z].
Лемма 7. Пусть I — идеал алгебры Ass [Z] и I —
идеал в Ass [х, у], порожденный множеством I. Тогда
I {] Ass [Z] = I.
ь с т в о. Всякий элемент и из I пред-
и = 2*>|М,, (20)
где &£ £ /, vt, wt — одночлены. Если u £ Ass [Z], то и
есть линейная комбинация одночленов вида (19).
Аналогично представляются и элементы kt. Заметим, что если к
и vkw — одночлены указанного вида, то и одночлены v, w
имеют тот же вид. Поэтому, если и £ Ass [Z], то в
правой части равенства (20) все слагаемые vfiiW^y которых
либо vt, либо wi не лежит в Ass [Z], должны взаимно
сократиться. Но в этом случае и £ I. Лемма доказана.
Теорема 7 (Ш и р ш о в). Всякая специальная
йорданова алгебра, имеющая не более счетного числа
порождающих, еложима в специальную йорданову алгебру с двумя
порождающими.
Доказательство. Пусть / — специальная
йорданова алгебра, имеющая не более счетного числа
порождающих. Тогда / изоморфна некоторой фактор-алгебре
SJ [Z]/I алгебры SJ [Z]. Отметим, что в силу леммы 5 для
идеала / алгебры Ass [Z], порожденного множеством Г,
верно соотношение
I (] SJ[Z] = /.
Рассмотрим теперь идеал / алгебры Ass [х, у],
порожденный множеством /. Ввиду леммы 7
/ П Ass[Z] = /,
откуда SJ[Z] П f=Sl[Z] П (Ass[Z] f] T) = SJ[Z] f] /=/.
Образ алгебры SJ [Z] в фактор-алгебре А = Азй[х,у]/1—
Доказател
ставляется в виде

84
ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ.3
это подалгебра SJ [Z]/SJ [Z] f] /= SJ [Z]/I, изоморфная /.
Так как хугх = 2 (у 0 #) 0 ж — у 0 #2, эта подалгебра
леж#г в подалгебре алгебры Л(+), порожденной
элементами # = я + / и у — у-\-1.
Теорема доказана.
Упражнения
1 (К о н). Доказать, что Н [X] — подалгебра алгебры Ass [X] <+\
порожденная множеством X я четверками вида {хахрхухЛ.
2 (Кон). Доказать, что фактор-алгебра SJ [х, у, z]/I, где
/ — идеал, порожденный/ элементом х©у, исключительна.
3. Доказать, что фактор-алгебра Ass [х, у, z] <+V/, где / —
идеал, порожденный элементом х2 — г/2, исключительна.
4 (Ширшов). Всякая специальная йорданова алгебра
изоморфно вложима в специальную йорданову алгебру, каждое
счетное подмножество которой лежит в подалгебре с двумя
порождающими.
§ 3. Теорема Ширшова
В предыдущих параграфах мы установили, что аналог
теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта для йордановых
алгебр несправедлив и не каждая йорданова алгебра имеет
ассоциативную обертывающую алгебру. Мы видели, что
исключительными могут быть даже йордановы алгебры,
порожденные тремя элементами. Для 2-порожденных
йордановых алгебр ситуация в корне отлична: в 1956 г.
Ширшов доказал, что всякая йорданова алгебра от двух
порождающих специальна.
Этот результат оказал заметное влияние на дальнейшее
развитие теории. Из него, например, следует, что все
тождества от двух переменных, справедливые во всех
специальных йордановых алгебрах, верны и во всех
йордановых алгебрах. Ввиду того, что вопрос о
справедливости тождества во всех специальных йордановых алгебрах
не вызывает затруднений — надо только проверить, верно
ли оно в свободной специальной йордановой алгебре,— эта
теорема дает алгоритм для распознавания тождеств от двух
переменных в многообразии йордановых алгебр.
В 1960 г. Макдональд сходными методами доказал, что
все тождества от трех переменных, линейные хотя бы
по одному из них, верные во всех специальных
йордановых алгебрах, верны и для всех йордановых алгебр. Глени

§ з]
ТЕОРЕМА ШИРШОВА
85
показал, что результаты Ширшова и Макдональда
усилить нельзя. Он нашел тождества степени 8 и 9,
выполняющиеся в специальных йордановых алгебрах и не
выполняющиеся в простой исключительной йордановой
алгебре Н (С3). Эти тождества зависят от трех
переменных и имеют степень ^ 2 по любому из них.
Вопрос об описании тождеств, верных во всех
специальных, но не во всех йордановых алгебрах, пока
остается открытым.
Цель настоящего параграфа — доказать теорему
Ширшова и ряд следствий из нее. Хотя результат
Макдональда и не является формальным следствием этой теоремы, он
следует из ее доказательства.
Мы начнем с некоторых предварительных
результатов.
Пусть А — произвольная Ф-алгебра. Для всякого
элемента а £ Л определим два отображения алгебры А
в себя: Ra: х н-> ха и La: хн-* ах. Эти отображения
являются эндоморфизмами Ф-модуля Л. Первый эндоморфизм
называется оператором правого умножения на элемент а,
а второй — оператором левого умножения на элемент а.
Подалгебра алгебры эндоморфизмов Ф-модуля Л,
порожденная всевозможными операторами Ra и La, где а £ Л,
называется алгеброй умножений алгебры А и обозначается
М (А). Подалгебра алгебры М (Л), порожденная всеми
операторами правых (левых) умножений, называется
алгеброй правых {левых) умножений алгебры А и
обозначается R (Л) (соответственно L (Л)). Если алгебра Л
коммутативна или антикоммутативна, то все эти алгебры
совпадают: М (Л) = R (Л) = L (Л).
Пусть Л — подалгебра алгебры В. Подалгебру,
порожденную в R (В) операторами i?a, где а£А, будем
обозначать RB (Л). Аналогично определяются алгебры
MB (Л), LB (Л).
Рассмотрим алгебры умножений йордановых алгебр.
Тождества, которым удовлетворяют йордановы алгебры,
влекут ряд соотношений для операторов умножений. Так,
основное йорданово тождествоТв»*силу коммутативности
эквивалентно тождеству (ух) х2, = (ух2) х, которое в свою
очередь эквивалентно операторному соотношению
[Rx, Rx*] = 0.
(21)

86
ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ, 3
Проведем полную линеаризацию тождества (х2у) х =
= х2 (ух). Переобозначив неизвестные и
воспользовавшись коммутативностью, получим тождество
[(ху) z] t + [(xt) z] у + x [(yt) z] =
- (xy) (zt) + (xz) (yt) + (xt) (yz). (22)
Заметим теперь, что в правую часть этого равенства все
переменные входят симметрично, поэтому левая часть
не должна измениться от перемены х и z местами.
Учитывая это обстоятельство, мы получаем еще тождества
[(ху) z] t + [(xt) z]y + x [(yt) z] =
= [x (yz)] t + [x (yt)] z + [x (zt)] y, (23)
[x (yz)]t + [x (yt)] z + [x (zt)] у =
- (xy) (zt) + (xz) (yt) + (xt) (yz). (24)
Тождества (22) — (24) эквивалентны следующим
операторным соотношениям:
RyRzRc + RtRzRy + R(yt)Z = RyRzt + RzRyt + RtRyZi (25)
RyRzRt -f- RtRzRy -f R{yt)z = RyzRt + RytRz + RztRy, (26)
\Ryz, Rt] + [Ryu Rz) + [Rzu Ry] = 0. (27)
Предложение 2. Если подалгебра А йордановой
алгебры В порождается множеством А0, то алгебра
RB (А) порождается множеством операторов {Ra, Rab | а,
Ь£А0}.
Доказательство. Очевидно, что алгебра
RB (А) порождается операторами вида J?-, где v =
= v (хх, . . ., хп) — некоторый неассоциативный одночлен
и v = v (аъ . . ., an), at £ А0. Достаточно показать, что
для любого одночлена v оператор R- лежит в подалгебре
А о, порожденной множеством {Ra, Rab \ a, b£A0}.
Проведем индукцию по степени одночлена v. Если d (v) ^
<с: 2, то, очевидно, R„ £ А*. Если же d (v) > 3, то v =
= (vxv^ ^3' гДе vt — одночлены меньшей длины. В силу (25)
R-v = ~ RZiRv3Rv2 *~ Rv2Rv3Rm + RviRv2h + Rv2Rmv3 + Rv3Rvm '
По предположению индукции /?-., /?--. £ At, поэтому
и R- 6 А*- Предложение доказано.

§ з]
ТЕОРЕМА ШИРШОВА
87
Подалгебра А йордановой алгебры В называется
сильно ассоциативной, если для любых элементов а, а' £А,
Ъ £ В имеет место равенство (а, Ь, а') = 0. В силу
соотношения (а, Ь, а') = Ъ [Ra, Ra'] условие сильной
ассоциативности подалгебры А в алгебре В эквивалентно
коммутативности алгебры RB (А).
Теорема 8. Всякая однопорожденная подалгебра
йордановой алгебры является сильно ассоциативной.
Доказательство. Пусть подалгебра А
йордановой алгебры В порождена элементом а. Тогда алгебра
RB (А) порождается элементами Ra и /?а«, которые
коммутируют в силу (21). Следовательно, алгебра RB (А)
коммутативна. Теорема доказана.
Следствие. Всякая йорданова алгебра является
алгеброй с ассоциативными степенями.
Из теоремы 8 следует также, что во всякой йордановой
алгебре справедливо тождество
(хпу) хт = хп (ухт). (28)
Наряду с обычным умножением определим во всякой
йордановой алгебре тройное йорданово произведение:
{xyz} = (xy)z + (zy) х — (xz) у.
Если йорданова алгебра А специальна и вложена в
алгебру Р(+) для некоторой ассоциативной алгебры Р, то, как
нетрудно проверить, для любых а, Ь, с £ А,
{abc} = y (яЬс + сЪа),
где через ху обозначено ассоциативное произведение
элементов х и у. В частности, тройное йорданово
произведение {aba} в Pi+) равно ассоциативному произведению aba.
Определим теперь для любых элементов а, Ъ
йордановой алгебры А отображение Ua,b: х ь-> {ахЪ} и положим
Uа = Ua% а. Ясно, что Ua% ь и Uа являются элементами
алгебры R (А) правых умножений:
Ua, Ь = RaRb + RbRa — Rabi (29)
Ua = 2RI - Ra>. (30
Иногда мы будем писать также U(a,b) и U(a).
Лемма 8. Пусть А — сильно ассоциативная
подалгебра йордановой алгебры В. Тогда для любых а, а' £ А

88
ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. 3
и Ъ £ В справедливы соотношения
UaUa>4 ъ = 2RJJaa\ Ъ — Uа2а', bi (31)
Ua,,bUa = 2Uaa,,bRa-Ua*a,t b. (31')
Доказательство. Заметим сначала, что для
любых х, у £ В
Ux\ у = 2UXt yRx — RyUx = 2RxUx<t y — UxRy. (32)
Для доказательства этого соотношения надо расписать
операторы Ux, UXtV, Ux*,y по формулам (29), (30) и
воспользоваться тождествами (25) — (27).
Линеаризуя равенства (32) по х, получаем
U xz, у == Uх% у-^-z "г Uz9 у-**-х ^у^х, z ==
= RzUXi у + RxUZt у — UX9 zRy. (33)
Заменим теперь во втором из равенств (33) х на х .
Получим соотношение
Uxizy у — RzUxiy у + Rx?UZi у — UX2t zRy.
В силу (32) и по определению оператора Ux это
соотношение можно преобразовать следующим образом:
UX2z, у = 2RzRxlIXt у — RzUxRy + (2R% — Ux) UZi y —
— 2UXi zRxRy + RzUxRy = 2[RZ, Rx] UXt y +
+ 2RxRzUXt у + 2RxlIZt у — UxUZt y +
+ 2 [Rx, Ux% z] Ry — 2RxUXt zRy.
Следовательно, no (33)
UxzZi у = 2 [i?z, Rx] UXt у + 2RxUXZl у +
+ 2[i?x, UXtZ]Ry- UxUZi v.
Полагая здесь x = a, z = a', у = Ь, мы получим
соотношение (31). Аналогично доказывается (31'). Лемма
доказана.
Следствие. Во всякой йордановой алгебре
справедливы тождества
{xk {хпухп} z} = 2 {xn+k (ух71) z) - {x2n+kyz}, (34)
{xty} z + {zty} x - {(xz) ty} -f {x (ty) z}, (35)
{xtz} у + {(xz) ty} = {x (tz) y} + {z (tx) y}, (36)
{xnyxn}xk = {xnyxn+k}. (37)

§ з]
ТЕОРЕМА ШИРШОВА
89
Доказательство. Справедливость тождества
(34) следует из (31) в силу теоремы 8. Далее, операторные
соотношения (33) дают нам тождества (35) и (36). Для
доказательства тождества (37) положим в (34) z = 1,
предварительно формально присоединив, если необходимо,
к йордановой алгебре единицу 1. Получим в силу (28)
{хпухп} xk = 2xn+k (ухп) — x2n+ky = {xnyxn+k}.
Следствие доказано.
Рассмотрим свободную ассоциативную Ф-алгебру А =
= Ass [х, у, z] от порождающих х, у, z. Алгебра А
является свободным модулем над Ф, базис которого составляет
множество S всех ассоциативных слов от х, у, z. Для
ассоциативного слова а £ S через d (а) будем обозначать
длину слова а, а через h (а) — его высоту, которая была
определена при доказательстве теоремы 3. Напомним
также, что в алгебре А определена инволюция *; если а =
= XiX2 ... хп, где х-ъ Ki \Х, у, z|, то ос = xnxn_i . . . х±.
Пусть Sx — множество слов из 5, степень которых
по z не более 1. Индукцией по высоте слова а £ S1
определим отображение ан>а' множества Sx в свободную
йорданову алгебру / = J [х, у, z], полагая
1) а' = а, если h (а) = 1;
2) (ар)' = а'-Р', если h (аР) = 2, h (а) - h (Р) = 1;
3) (xk$xn)' = хк-фхпУ + {xh$)'-xn - a*+n-P', где
h (a*$xn) = h (P) + 2;
4) (j,*p**)' = 2 {y*P'sn> - (xn$yk)', где p ^ z,
h (yk$xn) = h (P) + 2 (заметим, что в этом случае
/i (#np?/ft) < h (iffix71), так что можно считать, что
(xnfiyk)' определено);
5) (ymzxky = {ymzxk};
6) (xh$z)' = (z$*xk)' = 2хк-№У - (Ряс*)', где h (xh$z)
= h (P) +2. (Заметим, что (§zxh)' уже определено в силу 3),
4), 5).)
Меняя ролями х и у, получим еще четыре правила
индуктивного определения 3') — 6').
Через Ах обозначим Ф-подмодуль в А, порожденный
множеством %SV Ясно, что отображение а »-> а'
продолжается до гомоморфизма Аг в /, как Ф-модулей,

90
ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ, 3
Далее, для любых элементов а, Ъ £ А определим
операции
[а]=4(а + 0, (38)
аоЬ = а<Э [b]^=-^(ab + ab* + ba + b*a)y (39)
где через © обозначается, как обычно, умножение в
алгебре Л(+). Отметим, что операция о , вообще говоря,
некоммутативна. В силу теоремы 3 отображение а н-> [а] является
эпиморфизмом алгебры А на свободную специальную
йорданову алгебру SJ [х, у, z]\ при этом если а £ SJ [х, у,
z], то [а] = а.
Лемма 9. Для любых a, b £ А справедливо равенство
[aob] = Ы © [Ь].
Доказательство. В силу (38) и (39) [ао&] =
= 4> © [Ъ] + (а 0 [б»*} =у (* © [Ь] + а* © [Ь]) = [а] © [Ь].
Лемма доказана.
Теорема Ширшова. Всякая йорданова алгебра
от двух порождающих специальна.
Доказательство. Ввиду теоремы 6 достаточно
доказать, что алгебры J [х, у] и SJ [х, у] изоморфны.
Обозначим через ср ограничение отображения а н-> а'
на множестве SJ [х, у]. Ясно, что ср отображает SJ [х, у]
в [х, у] и является гомоморфизмом Ф-модулей.
Покажем, что ф — изоморфизм SJ [х, у] на J [х, у].
В силу определения отображения ' индукцией по
высоте слова а £ Sx легко показать, что (а*)' = а'. Поэтому
для любого а £ Ах
(а*)' = а' (40)
и, следовательно,
[а]' = а'. (41)
Теперь для любых а, Ъ £ SJ [#, г/] в силу (41) и леммы 9
имеем ф (а 0 Ъ) = (а 0 &)'; == ([а] 0 [&])' = [а о &]' = (а о Ь)'.
С другой стороны, ф (а)-ф (Ь) = а'-6'. Значит, для того
чтобы отображение ф было гомоморфизмом, необходимо
и достаточно выполнения соотношения
(aob)' = а'-6'

§ з]
ТЕОРЕМА ШИРШОВА
91
для любых а, & ^ SJ [х, у]. Это соотношение мы докажем
позднее в основной лемме, а сейчас завершим
доказательство теоремы. Мы имеем гомоморфизм ср: SJ [х, у] ->
->- J [х, у] такой, что ф (х) = ж, ср (г/) = г/. Заметим, что
если элементы т, п £ J [#, г/] имеют прообразы, т. е. иг =
= р', п = q' для некоторых /?, g g SJ [х, у], то и элемент
т-п имеет прообраз — элемент p®q, так как
Ф (Р © q) = Ф (/>)• Ф (?) = p'-q' = т- п.
Отсюда вытекает, что ср — сюръективный гомоморфизм.
Однако имеется канонический гомоморфизм я: J [#, у] ->
-> SJ [а:, г/], при котором я (а:) = ж, я (г/) = у.
Отображения Яф и фя тождественны на SJ [х, у] и J [х, у].
Следовательно, я и ф — изоморфизмы, что и требовалось
доказать.
Л е м м а 10. Пусть я: J [х, у, z] ->■ SJ [х, г/, z] —
канонический гомоморфизм. Тогда для любого а £ Аг
справедливо равенство
я (а') = [а].
Доказательство. Достаточно, очевидно,
доказать утверждение леммы в случае, когда а — а — слово
от х, г/, z. Если h (ос) = 1, то все ясно. Предположим
теперь, что лемма верна для всех слов меньшей высоты,
и рассмотрим возможные случаи: <
1) а = аха2, /г (а) = 2, /г (ах) = /г (а2) = 1. Тогда
я (а') = я (о^-аз) = a1Qa2 = ta^] = [а];
2) а = xk fix71. В этом случае по определению отобра-
женияа а' «-> и предположению индукции
я (а') - я (xk- (fix71)' + (xkfi)'-xn-xk+7l-fi') =
= xk © [^n] + [zfep] © *n —£*+n © [0] =
= у (^n + *n|3 V) = [^n] - [a].
3) a — ykfixn. Тогда имеем
n(a') = 2{yk[fi]xn}-[xnfiyk} =
= yk[fi]xn + xn[fi]yk-[xnfiyk} =
= j (» V + xn$*Vk) = 1Ук№П] = [«]•

92
ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ
ЕГЛ* 3
4) a = xh$z. В силу уже рассмотренного случая имеем
я (а') - 2xk © [$z] — [$zxk] = у (a*pz + zp*a*) = [я*р«] = [а].
Оставшиеся случаи рассматриваются аналогично.
Лемма доказана.
Следствие. Пусть а, Ь, аЬ £ Ль причем а -V = с'
для некоторого с £Аг. Тогда а'-b' = (аоЬ)'.
Доказательство. Применяя гомоморфизм я
к равенству а'-Ь' = с', получим [а]©[Ь] = [с]. Теперь
в силу леммы 9 и равенства (41) получаем
а'.Ъ' =с' = [с]' = ([а]0[6])' = [а об]' = (а о 6)'.
Следствие доказано.
Основная лемма (Ш и р ш о в). Для любых
а, Ъ £ Л3 таких, что ab £ Ль справедливо соотношение
(аоЬ)' = а'-b'.
Доказательство. Пусть /, g £ J [#, г/, z].
Будем писать f = g, если / — g = h' для некоторого
ft 6 -4i« В силу следствия леммы 10 нам достаточно
показать, что для любых a, b £ Ах таких, что аЪ £ Лх,
справедливо соотношение а'«Ь'=0. Ясно также, что это
соотношение достаточно доказать в случае, когда а
и Ь — ассоциативные слова из Sv Мы будем говорить, что
слово а больше слова (3, если а содержит z, а (3 его не
содержит, либо если а и (3 не содержат z и ft (а) > /г ((3).
Итак, пусть а = а, Ь — (3 — ассоциативные слова,
удовлетворяющие условиям основной леммы.
Сформулируем три индуктивных предположения:
1) лемма справедлива для слов ах и (Зх, если ft (аг) +
+ ft (рх) < /г (а) + /г (р);
2) лемма справедлива для слов аг и (Зх, если ft (аг) +
+ ft (рх) = ft (а) + Л (Р), d Ы + d (Рх) < d (а) + d (р).
Основанием первого индуктивного предположения
является очевидная справедливость леммы для суммы
высот, равной 2. Основанием второго индуктивного
предположения служит первое индуктивное предположение,
так как уменьшение суммы степеней приведет в конечном
итоге к уменьшению суммы высот.
3) лемма справедлива для слов ах и рх, если ft (аг) +
+ ft (рх) = ft (а) + ft (р), d (аг) + d (рх) = d (а) + d (Р) и

§ з]
ТЕОРЕМА ШИРШОВА
93
высота меньшего из слов ах, рх меньше высоты меньшего
из слов а, (3.
Последнее индуктивное предположение будет
обосновано ниже, где будет показано, что лемма справедлива,
если высота меньшего из слов а, |3 меньше 3. А сейчас
завершим доказательство основной леммы.
Пусть (3 меньше а и h ((3) > 2. Тогда, как легко видеть
из определения отображения',
г j
где ok е Ф, ch df, eteS, h (ct) + h (dt) + h (et) ^ h (p).
В силу линейности всех операций достаточно доказать
справедливость леммы, рассматривая вместо (3' элементы
(Зх = (c'-d')-e' или |32 = a*-ys.
Основание третьего индуктивного предположения дает
нам
а'.р2 = a'.^'sO.
Далее, ввиду тождества (22) и предположения индукции 3)
a'.p! = a'.((c'.d').e') = - ((а'-с')-е'М' -
- ((a'.d')-e').c' + (a'.c').(d'.e') +
+ (a'-d')-(c'.e') + (а'.е').(с'.#) =
= — {((ао с) о е) о й - ((а о d) о е) о с -(- (а о c)o(doe) -f-
+ (aod)o (сое) + (аое) о (со d)}'== 0.
Таким образом, по модулю индуктивного
предположения 3) лемма доказана.
Прежде чем приступить к обоснованию индуктивного
предположения 3), установим одно полезное соотношение.
Пусть а, с £ SJ [х, z/, z], Ь £ Ass [#, г/, z]; тогда имеет
место равенство
{а&с} = (Ъ о а) о с -\- (Ъ о с) о а — Ъ о (с о а).
Действительно, по определению операции о имеем равенство
х о у = х © [#], откуда, ввиду того что [а] = а, [с] = с
и [а о с] = a Q с, получаем
{аЪс} = (Ь 0 а) © с + (Ъ © с) © а — Ъ © (с © а) =
= (Ь о а) о с -{- (Ь о с) о а — b о (с о а).

94
ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ
[ТЛ. 3
Если пары элементов (Ъ о а, с), (Ь о с, а) и (6, с о а)
находятся в условиях индуктивных предположений, то из
полученного соотношения следует равенство
{аЪс}' = {а'Ъ'с'}. (42)
Действительно, в этом случае имеем
{аЪс}' = ((Ь о а) о с -}- (Ь о с) о а — Ъ о (а о с))' =
= (Ъ'-а')-с' + (Ь'-с')-а' - Ъ'.(а'.с') = {а'Ъ'с9}.
Доказательство основания индуктивного предположе
ния 3) разбивается на ряд случаев. Ниже всюду h (а) =
= h(y) + 2.
1-й случай, а = xsyxm, |3 = х*.
Будем считать, что s ^ т. Это не ограничивает
общности, так как в противном случае, ввиду (40), вместо а
можно рассмотреть а*. Проведем индукцию по 5 + т. Если
s + тп = 1, то одно из чисел 5, т равно 0, и мы попадаем
в условия индуктивного предположения 1). Таким
образом, основание для индукции есть; совершим теперь
индуктивный переход. Используя индуктивные
предположения 1) и 2) и формулу (42), а также тождества (37)
и (28), получаем
а'. |3' - (xsyxmY • х1 = {хт (xs~my) хт}' • х1 =
= {*m (*s"wy)' *w} •*' - {хт (х*-ту)' х™**} -
= ((x*-my)'-xm)-xm+t + ((х8-туУ-хт+г)-хт--(х8-туу.х*т+г =
ss 2 ((я5-т7)' - О -ж"1*' = 2 ((я8-т7) о о:771)' -xm+t =
- (аГтухт + *sy)' • £m+< — (^s-mY^m)') • *m+i*
откуда по предположению индукции а'-|3' = 0.
2-й случай, а = хтууп, Р = х*.
a) y = z. В этом случае по определению операции о
и отображения ' и в силу (35) и (28) получаем
а'-р' —(аор)' =
= (х^уп)'.х* -у (хт+V)'-4 (xmzynx*)' »
={/v} • ** - 4 {*т+V} -
- у *т. (ч,V)' - у {Л/п} • *Ч у *™+'' (* * Уп) =

§ 3J
ТЕОРЕМА ШИРШОВА
95
=\ {xnzyn} • *« - ± {xm+tzyn} + у {* V} • хт -
-хт.(хг-(г.уп)) + ±хт+*-(г.уп) =
= у К" (* • Уп) *'} - хп • (*' • (* • Л) + у *т+* • (2 • Л = 0.
В случае, когда слово у отсутствует, рассуждаем
аналогично; при этом доказательство только упрощается.
б) у фъ,у — непустое слово. В этом случае h (упухт)<1
< h (хтууп), поэтому по индуктивному предположению 1)
а'-$' = (хтууп)'-х* =
= 2 {хту'уп} ■ х* - (упухт)' -х* = 2 {хту'уп} ■ х*. (43)
С другой стороны, если h (хтЬхп) = h (б) + 2 = h (а) +
+ h (Р),то по определению отображения ' и
индуктивному предположению 1) имеем
(хт8)' ■ хп = (хтбхп)' - хт ■ (Ьхп)' + хт+п • б' = - хт ■ (8хп)'.
(44)
Следовательно, о! -Р' = (хтууп)'-хг = — хт-(уупх*)',
откуда по определению операции о и индуктивному
предположению 1) получаем
о'-р' = -2хт-((ууп) о х*)' + хт- (х*ууп)' =
= - 2хт ■ (х* • (ууп)') + 2хт ■ {х*у'уп} - хт • (упух*)' =
= - 2хт- (х*- (ууп)') + 2хт-{х*у'уп).
Складывая полученное соотношение с (43), получим в силу
(35) и (28)
а'. $'=={хту'уп}-х*+{х*у'уп}-хт-хт-(х* -(тЛ') =
= {xm+ty'yn}+ {хт (у' ■ уп) х*}-хт- (х*• (ууп)') =
= {хт(у°уп)'х*}-хт.(х<-(уупУ) =
= \{хп(упуУх*}-\хт*-(уупУ^хт-(х*-{упу)') =
= хт-{упу) ох*)' = у хт-(х*упу + упух*)' =±-хт-(хУу)'.
Так как h (а) = h (у) + 2, то либо у = j/*^, либо у =
= y2xk. Таким образом, либо по 1-му индуктивному

96 ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 3
предположению, либо по случаю 1) имеем а'-|5' =
3-й случай, а = xmyz, (3 = хп.
Если у — пустое слово, то согласно (28) имеем
а'.р'_(аор)' = (a?*.z).zn—Y (xmzxn + xm+nz)' =
= (zm-z).xn — ±(xn-z).a» — -YXm.(z.xn) +
+^xm+n-z—YXm+n-z = 0.
Если же у — не пустое слово, то получаем в силу (44)
и первых двух случаев
ос' .р' = (xmyz)' -хп Е=-хт- (yzxny = 0.
4-й случай, а = хтухп, р = у*.
Заметим вначале, что если слово б £ А1 и h (xk8yn) =
= h (б) + 2, то по определению отображения'
2 {хЧ'уп} = (хЧупу + (*/n6*ft)' = 0. (45)
Далее, в силу (40) мы без ограничения общности можем
считать, что т~^ п. Теперь в силу индуктивного
предположения 2) и соотношений (42), (36) и (45) получаем
а'•$' = (хтухУ .у*={хп(хт~пу) хп}'.у*={хп(хт-пу)' хп}.у* =
= — {х2п (хт-пуУ у1} + 2 {хп (хп • (хт-пуУ) у1} =
= _ {у* (хт-пу)' х*п) + 2 {хп ((хт-пу) о xn)f у*} =
= _ {у* (хт-пуу х2п} + {у* (хтуУ хп) +
+ {у* (хт-пухпу хп) = {у* (хт-пухпу хп}.
Обозначим для удобства т — гс через к. Для завершения
доказательства достаточно теперь доказать соотношение
{уг{хкухп)'хт} = 0. (46)
Проведем индукцию по к + ть. Если к + п = 1, то либо
к = 0, либо гс = 0, и (46) следует из (45). Предположим
теперь, что (46) верно при к' + гс' < А + гс. Можно
считать, что & ^ гс. В силу индуктивного предположения 2)

§ з]
ТЕОРЕМА ШИРШОВА
97
и соотношений (42), (34) и (45) получаем
{у1 (xkyxnY хт) = {у* {хп (xk~ny) xnY хт}=
= {у* {хп (xk-ny)' хп) хт) = 2 {хп+т (хп.(хк~пу)') у*} -
- {х*п+т (xk-ny)' у*} = 2 {у1 {{xh-ny) о хп)' хп+т} —
- {у1 (хк-пу)' х*п+т} = {у* (хкуУ хп+т} +
+ {У* {хк~пухпУ хп+т} = {у* (хк~пухпу хп+т},
откуда по предположению индукции (46) справедливо.
Таким образом, и в 4-м случае лемма верна.
5-й случай, а = ofi-yz, (3 = уп.
В этом случае по определению отображения ' имеем
2сс' • Р' = 2 (xkyzy • уп = (уVyz)' + {xkyzyn)f = О,
и все доказано.
6-й случай, а = cfiyxn, (3 = i/*^m.
Применяя уже рассмотренные случаи, получаем,
ввиду (46),
а' • Р' = (^ухпу • (у*хт)' = (я V*)'. (у* • ят) =
= -{*/' (^VT хт) + ((хкухпу -уг)-хт +
+ ((хкухп)'-хт)-у*^0,
что и требовалось доказать.
7-й случай, а = хкууп, Р = z/V71.
Применяя вновь ранее рассмотренные случаи,
получаем в силу (45)
а' ■ р' = (*V)' • (»' •*")=- {у* (aVT *т) +
+((*Vy ■ хт) ■ у' + ((«VT • /) -хт = о»
что и требовалось доказать.
Аналогично рассматривается случай, когда а = £feYz,
Р - у'*"1.
Рассмотренные случаи вместе с получающимися из них
при помощи перемены ролей порождающих х и у или же
замены слова а словом а* оправдывают индуктивное
предположение 3). Этим завершается доказательство
основной леммы.
Следствие 1. Пусть Jx — подмодуль алгебры
J [х, у, z], состоящий из элементов степени ^1 по z, и
я: J [х, г/, z] ->- SJ [х, г/, z]
— канонический гомоморфизм. Тогда Кег л f| /х = (0).

98
ЙОРДАНОВЬТ АЛГЕБРЫ
ЕГЛ. 3
Доказательство. Пусть SJi = Аг f| SJ[#, г/, z],
тогда как легко видеть, л (/х) = S/j. Обозначим через ф
ограничение отображения а*-* а' на множестве 5/х. Для
любого a £ iS/j по лемме 10 имеем л (ср (а)) = л (а') =
= [а] = а. Отсюда следует, что для доказательства
следствия остается показать, что ср отображает SJX на Jx.
Это устанавливается так же, как и в доказательстве
теоремы Ширшова.
Следствие 2 (Ширшов —Макдональд).
Если неассоциативный многочлен / (хг, х2, х3) степени ^1
по х3 является тождеством во всякой специальной йордано-
вой алгебре, то on является тождеством для всех йордано-
вых алгебр.
Доказательство. Достаточно показать, что
/ (#, у, z) = 0 в свободной йордановой алгебре J [х, у, z].
По условию / (х, у, z) £ Кег л f| Jx. Поэтому в силу
следствия 1 / (#, у, z) = 0. Следствие доказано.
Утверждение этого следствия, когда степень
многочлена / по х3 равна нулю, принадлежит Ширшову; когда она
равна единице,— Макдональду. Для степени 2 по х3
утверждение следствия неверно. Это показал Глени (см.
упражнения).
Результат Макдональда можно переформулировать
в следующей форме.
Следствие 3. Пусть J 2 = J [х, у], J3 =
= J [х, у, z], SJ2 — SJ [x, y], SJ3 = SJ [a:, y, z]. Тогда
отображение Ru ь-> Run продолжается до изоморфизма
П: RJ>(J2)-*RSJ>(SJ2).
Доказательство. Определим отображение П
следующим образом:
П ( 2 RutRui2 • • • Ruik) = 2 #ия #ия ... #ия .
i ll 12 ш1 г иЦ %2 iht
Условие гомоморфности для П очевидно; в проверке
нуждается только корректность определения. Пусть
2#ицДи.2... i?uift.GKerjt.
Но тогда 0=z«2 Д„«А* • • • Ru" = (*2Ru.Rui2• •. Д«|л.)я
и по следствию 1 z 2 #u. #u. . ..Дм.ь. = 0. В силу свободы

§ 3]
ТЕОРЕМА ШИРШОВА
99
алгебры J [х, г/, z] окончательно имеем
что доказывает изоморфность отображения П.
Следствие доказано.
Интересный результат в данном направлении получен
Маккриммоном. Он доказал, что если неассоциативный
многочлен / (х, х~г, у, г/"1, z) степени ^1 по z обращается
в нуль во всякой специальной йордановой алгебре при
подстановке вместо х и у обратимых элементов, вместо х'1
и у~х их обратных *)г а вместо z — любого элемента этой
специальной алгебры, то этим же свойством многочлен
/ (х, х~х, у, г/-1, z) обладает в классе всех йордановых
алгебр.
Отметим два полезных тождества, которые в силу
следствия 2 справедливы во всех йордановых алгебрах:
{хух}2 = {х {ух2у} х), (47)
zU(xUy) = zUyUxUy. (48)
Последнее тождество носит название тождества
Макдональдсе.
Обозначим через $п ядро канонического гомоморфизма
свободной йордановой алгебры J [хх, х2, . . ., хп] на
свободную специальную йорданову алгебру SJ [хг,х2, . . ., хп].
Теорема Ширшова утверждает, что Q2 = (0)- Однако Зз
уже оказывается отличным от нуля; это впервые
установили Алберт и Пейдж, показав, что алгебра Н (С3)
порождается тремя элементами и не является гомоморфным
образом никакой специальной йордановой алгебры.
Всякий ненулевой элемент из $п называется s-тождеством.
Такое название объясняется тем, что если / £ $п, то / есть
тождество, выполняющееся во всех специальных, но не
во всех йордановых алгебрах. Из теоремы Алберта —
Иейджа следует существование s-тождеств от трех
переменных х, у, z. Однако их доказательство не позволяло
указать ни одного конкретного s-тождества. Глени,
анализируя доказательство Алберта и Пейджа, указал ряд
s-тождеств от трех переменных восьмой и девятой степени.
*) Определение обратимости элементов для йордановых алгебр
несколько отлично от обычпого. Оно будет дано позднее, в главе 14.

loo
ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. 3
Он же показал, что не существует ^-тождеств степени ^,5
ни от какого числа переменных. Позднее, с помощью
ЭВМ Глени установил, что в случае поля
характеристики 0 ^-тождеств степени ^7 также не существует.
Упражнения
1. Доказать, что следующие два элемента алгебры J [х, у, z]
являются s-тождествами:
2 {{у {xzx} у) z (ху)} — {у {х {z (ху) z) х) у) —
— 2{(ху) z {х {yzy} х}} + {х {у {z (ху) z) у) х},
2 {xzx}-{у {zy2z} х) — 2 {yzy}-{x {zx2z} у) —
— {х {z {х {yzy} у} z) х) + {У {z {у {xzx} х) z) у).
Указание. Первое тождество опровергнуть на следующих
элементах алгебры] Н (С3): X = еи + е3з? Y = е12 + е2з? % =
= ^12 + yi3 + и>гз» где (и, v, w) Ф 0; второе на элементах X =
= е\ъ Y = *23, Z = и12+ и13 + мы где (и, и, w) Ф 0.
2 (А л б е р т—П е й д ж). Алгебра Я,(С3) не является
гомоморфным образом специальной йордановой алгебры и не лежит в
многообразии Var 6.
3. Свободная йорданова алгебра J [X], где card (X) > 2,
является исключительной.
ЛИТЕРАТУРА
Алберт и Пейдж [9], Глени [35, 36], Джекобсон [47], Джекобсон
и Маккриммон [49], Кон [101], Макдональд [ИЗ], Маккриммон
[121, 123, 125, 126], Ширшов [274, 275, 279].

ГЛАВА 4
РАЗРЕШИМОСТЬ И НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ
ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБР
Ассоциативная алгебра называется нилъпотентной,
если для некоторого натурального числа п произведение
любых п элементов этой алгебры равно нулю. Говоря
о произведении п элементов неассоциативнбй алгебры,
мы должны указать также порядок выполнения операций
или, что то же самое, расстановку скобок. Может
оказаться, что произведения любых п элементов алгебры равны
нулю при одной расстановке скобок и отличны от нуля
при другой. Таким образом, для неассоциативных алгебр
и, в частности, для йордановых алгебр возникают
различные варианты понятия нильпотентности. Взаимосвязь
между ними изучается в данной главе.
§ 1. Определения и примеры
Неассоциативная алгебра А называется
нилъпотентной, если существует такое натуральное число п, что
произведение любых п элементов алгебры А с любой
расстановкой скобок равно нулю. Наименьшее такое число
называется индексом нильпотентности алгебры А.
Алгебра А называется правонилъпотентной, если существует
натуральное число п такое, что агВа2 R/i • • • Ra = О,
и лееонилъпотентной, если a^La2Lab • • • Т'ап = О для
любых элементов аг, . . ., ап. Минимальное такое число п
называется индексом праеонилъпотентности или
соответственно лееонильпотентности алгебры А.
Определим индуктивно в алгебре А ряд подмножеств:
положим А1 = А<» = А иАп = Ап-гА + Ап~2А* + . . .
... 4- АА71-1, Л<п> = А<п~^А. Подмножество Ап назьт-

102 РАЗРЕШИМОСТЬ И НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ [ГЛ. 4
вается п-й степенью алгебры А. Цепочка подмножеств
есть цепочка идеалов алгебры А. Легко видеть также, что
цепочка
4<*> э Л<2> з ... 3 А<п> ^ ...
есть цепочка правых идеалов этой алгебры, а если А
коммутативна или антикоммутативна, то эта цепочка состоит
из идеалов. Алгебра А нильпотентна, если Ап = (0)
для некоторого п, и правонильпотентна, если Л<п> = (0).
Предложение 1. Пусть А — коммутативная
(антикоммутативная) алгебра. Тогда А2П ^ Л<п> для
любого п ^ 1. Другими словами, если алгебра А
правонильпотентна индекса п, то она нильпотентна индекса не
выше 2п.
Доказательство. В силу коммутативности
(антикоммутативности) алгебры А
?+j=2n
Тривиальная индукция дает А2П ^ А^п\ что и доказывает
предложение.
Определим еще одну цепочку подмножеств в алгебре А,
полагая А(1) = А2 и А(П) = (Л(П~Ъ)2. Назовем алгебру А
разрешимой, если А{П) = (0) для некоторого п.
Минимальное такое п называется индексом разрешимости
алгебры А. Члены цепочки
А з AM э А& э ... э AW з ... ,
начиная с А(2\ не являются, вообще говоря, идеалами
в А.
Говорят, что алгебра локально обладает некоторым
свойством, если этим свойством обладают все ее конечно-
порожденные подалгебры. Таким образом, вводятся
понятия локальной нильпотентности, локальной
разрешимости и т. д.
Основным результатом данной главы является теорема
Жевлакова, утверждающая, что всякая локально
разрешимая йордаиова алгебра является локально нильпотент-
ной. Эта теорема будет доказана в третьем параграфе.

§ 1]
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ
103
В заключение этого параграфа мы приведем два примера,
показывающих, что разрешимые йордановы алгебры могут
быть ненильпотентными. *
Пример 1 (Ж е в л а к о в). Пусть X — {хх, х2, . . .
. . ., хп, . . .} — счетное множество символов. Рассмотрим
множество слов в алфавите X и назовем слово xitxi2 . . . xin
правильным, если ix < i2 < . . . < in. Множество
правильных слов линейно упорядочим лексикографически,
полагая хг > Xj, если i < /, и если и = vvx, то считаем
и > у.
Рассмотрим поле F характеристики Ф 2,3 и алгебру А
над F с базисом из правильных слов алфавита X и
умножением на базисе, определенным правилом: если и, и —
правильные слова, то
1) u*v = v*u;
2) u*v = 0, если min (d (и), d (и)) > 1;
3) u*xt = 0, бели х% входит в запись и;
4) u*xt = 0, если d (и) > 1 и ^ > w;
5) xt*Xj = xtxj, если i < /;
6) ^*£* = (—1)а (u,Xi), если не применимы 1)—5).
Здесь {uxt) — правильное слово, образованное всеми
буквами слова и и буквой хи и если и = tfj^ . . . Xjn, то а —
число инверсий в перестановке (]\, /2, . . ., /n, i).
В алгебре А справедливо тождество Якоби:
(а*&)*с + (Ь*с)*а + (с*а)*& — 0 (1)
для любых а, Ь, с £ А. Докажем это. Ясно, что если из
трех слов а, Ъ, с два имеют длину >1 или имеют общий
символ из X, то (1) справедливо. Аналогично, если d (а) >>
> 1 и d (b) = d (с) = 1, но либо Ъ > а, либо с > а, то
(1) также верно. Оставшиеся два случая:
а) а = Xitxiz . . . xin, b = Xj, с = xh и a > Ъ > с;
б) а = xt, b = Xj, с — xk и а > b > с
проверяются непосредственными вычислениями.
Докажем теперь, что Л — специальная йорданова
алгебра. Ввиду (1), в алгебре умножений R (А) для любых
а, Ъ £ А справедливо соотношение
Ra*b = — RaRb — Rb^a-
Определим теперь на векторном пространстве алгебры
R (А) другое умножение: wvw2 = — 2wxw2. Легко видеть,

104 РАЗРЕШИМОСТЬ И НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ [ГЛ. 4
что полученная таким образом новая алгебра R (А) также
ассоциативна. Кроме того, для любых а, Ъ £ А в R (А)
справедливо соотношение
Иа*Ъ = ~2 (На 'Нь + Щ- Ra)i
которое показывает, что отображение ср: А -> R (А),
переводящее а £ А в Ra £ R (А), является гомоморфизмом
алгебры А в R (А)(+). Легко видеть, что ядро ср равно нулю,
т. е. ф — изоморфизм. Это доказывает,] специальность
и йордановость алгебры А.
Как видно из таблицы умножения, алгебра А
разрешима индекса 2: А(2) = (0) и, кроме того, в А справедливо
тождество х3 = 0, однако А не является нильпотентной,
так как произведение
(. . . ((хг*х2)*х3) . . .)*хп
не равно нулю ни для какого п.
Пример 2 (Ш е с т а к о в). Пусть М — векторное
пространство над полем F с базисом {хх, х2, . . ., хп, . . .},
/\{М) — его внешняя алгебра и Д° (М) — подалгебра
алгебры Д (М), порожденная множеством М. Рассмотрим
пространство А — Д° (М) ©Ми определим умножение
на А правилом
(и -{- х) (v -\- у) = v Л х -\- и Л у,
где и, v £ Д° (М), х, у £ Af. Легко видеть, что алгебра Л
йорданова, разрешима индекса 2, удовлетворяет
тождеству #3 = 0, но не является нильпотентной.
Упражнения
1. Доказать, что всякая правонильпотентная (левонильпотент-
ная) алгебра является разрешимой.
2. Пусть Л — йорданова алгебра. Доказать, что
3. Пусть Л — алгебра. Положим А^)п = Ап и 4(i+1)?l =
= (Л^г)п)п. Назовем алгебру п-разрешимой, если Л^)/г = (0) для
некоторого г. Доказать, что если 2k > тг, то
Вывести отсюда эквивалентность всех понятий п-разрешимости
между собой.

§ 2]
НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА
105
4 (Ж е в л а к о в). Пусть А."— алгебра над произвольным полем
F с базисом X = {xt, #2, . . ., хп, . . .} и умножением на базисе
ixl4, если i>U
lXj'~\0, если г</.
Доказать, что алгебра А проста и локально правонильпотентна.
§ 2. Нормальная форма элементов алгебры умножений
Пусть J = J \Х] — свободная йорданова Ф-алгебра
от счетного множества X = {х1, х2, . . ., хп, . . .}
свободных порождающих. Как мы видели в § 1.3,
многообразие йордановых Ф-алгебр (при наличии элемента V2 в Ф)
является однородным и для элементов алгебры /
корректно определены понятия однородности и степени. Степень
одночлена и £ / будем обозначать через d (и).
Всякое выражение вида
W = RaiRa2 . . . Ran,
где всё аь являются одночленами алгебры /, будем
называть словом в алгебре правых умножений R (J). Число п
п
назовем длиной слова w, а число 2 ^ (ai) — его степенью.
г=1
Последовательность (Z1? Z2, . . ., ln, . . .), где Ц —
суммарная степень одночленов аъ а2, . . ., ап по хи назовем
составом слова w.
Допустим теперь, что множество всех одночленов
алгебры / произвольным образом линейно упорядочено.
В этом случае слова вида
Rbficfibjlcz • • • RbnRcn
(RCn может как присутствовать, так и нет), где Ъх <
<С Ь2 < . . . < Ъп и сг < с2 < . . . < сп, назовем
нормальными.
Лемма 1 (лемма Жевлакова о
нормальной форме). Всякое слово w £ R (J)
представило в виде линейной комбинации нормальных слов того же
к
состава, что и w, с коэффициентами вида «^ , где k, т £Z.
Доказательство. Слова длины 1 и 2 являются
нормальными; проведём индукцию по длине слова w.
Пусть длина w равна п. Введем на словах длины п из

106 РАЗРЕШИМОСТЬ И НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ [ГЛ. 4
R (J) лексикографическую упорядоченность, полагая
RUj Ra2 -••Run> RViRv2 • • . Rvn,
если для некоторого I £ {1, 2, . . ., п) имеем щ = vt для
i<.l я ul>vl.
Допустим, что слово w = RaiRa2 - - - Ra не является
нормальным. Тогда оно содержит либо подслово вида
RaRbRa, либо подслово вида RaRbRc, где а > с. В первом
случае в силу соотношения (3.26) слово и; выражается
через слова меньшей длины того же состава
w - w'RaRbRaw" =i- w'Ra*Rbw" + w'RabRaw"-\ w'Ra>bw"
и потому представимо в нужном виде по индуктивному
предположению.
Во втором случае то же соотношение позволяет
представить слово w следующим образом:
w = w'RaRbRcw" = -w'RcRbRaw" +
+ w' {RabRc + RacRb + R bcRa ~ R(ac)b) w"'•
Слово и; представлено в виде линейной комбинации слов
того же состава, находящихся в условиях индуктивного
предположения, и слова w'RcRhRaw"', которое
лексикографически меньше слова и;. Ввиду того, что слов
фиксированного состава в R (J) конечное число, описанный
процесс ликвидации беспорядков конечен. Это означает,
что через конечное число шагов слово w представится
в виде линейной комбинации нормальных слов.
Лемма доказана.
Пусть Jn = 3 \хг, х2, . . ., хп] — свободная йордано-
ва алгебра от порождающих хх, х2, . . ., хп. Она
естественным образом вкладывается в /, и впредь мы будем
считать ее подалгеброй алгебры /.
Лемма 2 (Ж е в л а к о в). Для всякого
натурального числа к ^ 1 существует такое число h (п, /с), что
любое слово w £ RJ (Jn) степени h (п, к) представляется
в виде линейной комбинации слов того оке состава, каждое
из которых содержит оператор правого умножения на
одночлен степени ^ к.
Доказательство. Положим по определению
h(n,k) = l + 2 S }Pn>J,

§ 2]
НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА
107
где Рп% j — число различных одночленов из Jn степени /.
Докажем, что число h (п, к) удовлетворяет условиям
леммы. Пусть w £ RJ (Jn) имеет степень h (п, к). Упорядочим
одночлены из / так, чтобы одночлены большей степени
были больше, и представим w в виде линейной комбинации
нормальных слов:
w=yialwl.
Покажем, что всякое нормальное слово wx в этом
разложении содержит оператор умножения на одночлен
степени ^ к. Предположим противное: пусть
Щ = ^Ь1^С1^Ь2Нс2 • • • RbmRcm
и степени всех одночленов bt и ct строго меньше к. Ввиду
того, что Ъх < Ь2 <С . . . < Ьт, все одночлены bj различны.
Поэтому
т< 2 Рп,л
i=i
и суммарная степень одночленов bt не превосходит числа
Аналогичные рассуждения справедливы и для
одночленов ct. Следовательно, степень слова wK не превосходит
2 S JPn,j.
i=i
Но это число строго меньше h (п, к). Противоречие
доказывает лемму.
Теорема 1 (Ж е в л а к 'о-в). Пусть В — йорда-
нова алгебра и А — ее локально нилъпотентная подалгебра.
Тогда алгебра RB (А) локально нилыготентна.
Доказательство. Пусть {шг, w2, . . ., wk} —
произвольное конечное подмножество в RB (А). В запись
wu w2, . . ., wk входит лишь конечное число операторов
#а1, ^а2, • • • Ram at £ А• Достаточно показать, что эти
операторы порождают нильпотентную подалгебру.
Рассмотрим подалгебру А0 ^ Л, порожденную элементами
#i, а2, . . ., ап. Она иильпотентна некоторого индекса N.
Покажем, что любое произведение h = h (п, N) операто-

108 РАЗРЕШИМОСТЬ И НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ [ГЛ. 4
ров множества {Rai, Ra2, . . ., Ran) равно нулю. Пусть
Ra{Ra{ . . . i?a. — такое произведение. Рассмотрим
слово w = Rx. Rx. . . . Rx. из RJ (Jn). В силу леммы 2
слово и; представляется в виде линейной комбинации слов,
каждое из которых содержит оператор правого умножения
на одночлен степени ^N:
В частности, действие правой и левой части равенства на
элемент хп+1 одинаково:
Xn+iW = Xn+i 2 UjW'jRu. (хи . . .xn)W"j.
Это равенство выполняется в свободной йордановой
алгебре /. Оно сохранится, если вместо порождающих
хъ х2, . . ., хп подставить элементы аг, а2, . . ., an,
а вместо хп + г — произвольный элемент b £ В. Ввиду
нильпотентности алгебры А0, получим
bRa Ra ...Ra = 0,
Н l2 lh
т.е. Ra. Ra. • • • Ra. =0 в R(B). Теорема доказана.
ll l2 lh
Упражнения
Во всех упражнениях А и В — йордановы алгебры, причем Л —
подалгебра алгебры Б.
1. Доказать, что из конечной порожденное™ алгебры А
следует конечная порожденность алгебры RB (А).
2. Доказать, что алгебра А локально нильпотентна тогда
и только тогда, когда ее алгебра правых умножепий R (А) локально
нильпотентна.
3. Доказать, что^если А конечномерна, то и R {А)
конечномерна.
4. Доказать, что все алгебры семейства {Rc (А)}, где А
фиксирована, а С пробегает класс всех ее йордановых надалгебр,
являются гомоморфными образами некоторой алгебры R* (А) этого
семейства. Какова алгебра R* (А), если А — алгебра с нулевым
умножением? "'-0
Указа hjh е. Для доказательства существования алгебры
R* (А) воспользоваться конструкцией свободных произведений
алгебр (см., например, Мальцев А. И., Алгебраические системы,
«Наука», 1970, стр. 306).

§ з]
ТЕОРЕМА ЖЕВЛАКОВА
109
§ 3. Теорема Жевлакова
Для многих целей в йордановой алгебре А вместо
цепочки подмножеств Л(1) удобно рассматривать цепочку
А => Л[1] з Л[2] з ... з Л[п] э ...,
где AW — Л3 и Л^+13 = (AW)3. Эта цепочка является
в йордановой алгебре Л цепочкой идеалов, так как
справедливо следующее утверждение.
Лемма 3. Пусть В и С — идеалы йордановой
алгебры А. Тогда (ВС) С + ВС2 — также идеал в А.
В частности, если I — идеал в Л, то Р — также идеал.
Доказательство. Пусть b £ В, с, d £ С, а £ А.
Тогда по тождеству (3.22)
[(be) d]a = - l(ba) d] с - b [(ас) d) + (be) (ad) +
+ (bd)(ac) + (6a) (cd) £ (ВС) С + ВС2,
и, далее, в силу (3.24)
[Ъ (cd)} а = - [Ь (ас)] d - [Ъ (ad)] с + (be) (ad) +
+ (bd) (ас) + (ba) (cd) £ (ВС) С + ВС2.
Мы видим, что (ВС) С + ВС2 — идеал в Л, и лемма
доказана.
Лемма 4. В произвольной алгебре А справедливы
включения
А™с=А™с=А«\
так что «кубическая разрешимость» эквивалентна обычной
разрешимости. В йордановой алгебре А всякий ненулевой
разрешимый идеал I содержит ненулевой нильпотентный
идеал алгебры А.
Доказательство. Первое утверждение леммы
доказывается очевидной индукцией. Допустим теперь, что
в йордановой алгебре Л имеется разрешимый идеал /.
Если п — индекс его разрешимости, то в силу первого
утверждения леммы Лп3 = (0). Однако в цепочке
/=>/[1]=> ...=>/[п] = (0)
все члены являются идеалами и для некоторого члена Q
этой цепочки Q* = (0), но Q Ф(0). Лемма доказана.
Лемма 5 (Ж е в л а к о в). Для любых двух
натуральных чисел тип существует число f (п, т) такое,

110 РАЗРЕШИМОСТЬ И НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ £гл. 4
что для всякой йордановой алгебры А с п порождающими
Afin,m)^A[ml.
Доказательство. Достаточно доказать лемму
в случае, когда А = Jn — свободная йорданова алгебра
с п порождающими; это же число / (п, т) будет годиться
и в общем случае. Ввиду того, что Л3 = Л^Э, имеем
/ (п, 1) = 3, что дает нам основание для индукции по т.
Допустим, что число / (п, т — 1) найдено. Пусть
/(п, т-1)
3=1
есть число различных одночленов степени ^/ (и, т — 1)
в Jn и h — функция из леммы 2. Докажем, что в качестве
/ (п, т) можно взять число 2^, где
N = / (и, т - 1) + (М + 2) h (и, / (и, т - 1)).
В силу предложения 1 нам достаточно доказать, что
Aw<=Alm\
Рассмотрим произвольный элемент из Л<^>; он является
суммой одночленов вида aw, где а £ А и w — слово из
R (А) длины N — 1. Разобьем слово w на подслова:
w = w0w1w2 . . . wM+2
так, чтобы длина слова w0 была равна / (п, т — 1) — 1,
а длины остальных равнялись числу h (и, / (и, m — 1)).
Применяя к словам и?!, г#2> • • ч wm+2 лемму 2, можем
считать, что слово w1w2 . . . wM+2 содержит М + 2
оператора i?Wl, i?„2, . . ., #им+2, где d (щ) >f(n, т — 1) и,
следовательно, м$ 6 Л[7П~1]. Заметим также, что и0 =
= aw0 ^ 4tm_1], так как d (aw0) = f (п, т — 1). Нам
предстоит теперь доказать, что всякий одночлен вида
b= u0WqRUiw\RU2 .. . Wm+iRUm+jv'm+2
лежит в А[т], где w'8 = RaslRaS2 • •. Raat8, а>и$А, причем
без ограничения общности можем считать, что аи^Л[т""1]
иТ в частности, d(au)<lf(n,m--l).
Покажем, что все w's, где 5=1, 2, ..., Af + 1, можно
считать либо пустыми, либо состоящими из одного
оператора. Действительно, если w\ = wf[RatRat, то согласно

§ з]
ТЕОРЕМА ЖЕВЛАКОВА
111
(3.26) под слово RaiRa2Ru2 можно заменить на сумму
— /iU2/ia2/iai' К(ахи2)а2 ~т **-аха2Н-и2 "Т~ ^axu2J^a2 + tia2uj^ax ?
в результате чего слово w'0RUiw[RU2 . . . RUm w'm+2
представится в виде линейной комбинации слов такого же
вида, но с меньшей длиной подслова, стоящего между
первым и вторым операторами вида Ru, где и £ At™-1!.
Последовательное применение таких преобразований
позволяет сократить длину этого подслова до нужной
величины. Те же операции проделаем со словами w\, ...
. . ., Wm+1.
Рассмотрим случай, когда одно слово из w'u w'^, . . .
. . ., wm+i является пустым, например, w's. Тогда, так
как А^™-1! и 4М — идеалы в А, имеем
b = uow'0RuM ... и*-A Am • • • е (Л[т~1])3=А[т]-
Осталось рассмотреть случай, когда слова w[, w'2, . . .
. . ., w'M+i состоят из одного оператора: w\ = Ra., i =
= 1, 2, . . ., М + 1, и d (at) <f(n, m — 1). Имеем
b=U0w'0RUtRat . . . RuM+1RaM+1RuM+WM + 2-
Преобразуем b по тождеству (3.25). Тогда в силу
доказанного выше получим
Ь=-- u0w'q . . . i?u.i?a.i?u.+ii?a.+ii?u.+2 . . . w'M+z =
= — UQw'o . . . i?u.i?a.+ii?u.+ii?afi?u.+2 . . . Wm+2 + Ь',
где Ъ' £ 4N, Значит, перемена мест операторов Ra.
и Ra. с точностью до слагаемых из 4N меняет, знак
элемента Ь. Заметим теперь, что среди одночленов аг, а2,. . .
. . ., aM+i найдутся два одинаковых. Действительно,
d (at) < / (п, т — 1), а М — число различных
одночленов из Jn степени <cf {п, т — 1). Наличие двух
одинаковых одночленов влечет теперь, что 2Ь £ AW, откуда
следует, что Ъ £ A^mh На этом доказательство леммы
заканчивается.
Теорема 2 (Ж е в л а к о в). Всякая разрешимая
конечнопорожденная йорданова алгебра нилъпотентна.
Доказательство. Пусть йорданова алгебра А
разрешима индекса т и имеет п порождающих. В силу
леммы 4 имеем 4N = (0), а в силу леммы 5 отсюда
вытекает, что Af(n>m) = (0). Теорема доказана.

112
РАЗРЕШИМОСТЬ И НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ [ГЛ. 4
Следствие. Всякая локально разрешимая йорда-
нова алгебра локально нилъпотентна.
Другой способ доказательства теоремы 2,
предложенный Шестаковым, приводится в упражнениях к этому
параграфу.
Упражнения
1. Пусть А — алгебра, / — идеал в А. Доказать, что если идеал
/ нильпотентен, то и алгебра RA (I) нильпотентна.
2. Пусть А — йорданова алгебра, / — идеал алгебры А такой,
что А2 ^ I и А = I + Ф'У, где и £ А. Доказать, что
[R (А)]* <= RA (/) + RA (I)-R (А).
3. Доказать, что в условиях упражнения 2 нильпотентность
идеала / влечет нильпотентность алгебры А.
4. Пусть А — конечнопорождепная йорданова алгебра.
Доказать, что нильпотентность А2 влечет нильпотентность всей
алгебры А.
5. Доказать, что если йорданова алгебра А конечнонорождена,
то и алгебра А2 является конечнопорожденной.
Указание. Сначала доказать это утверждение для
свободной йордановой алгебры / с тем же числом порождающих, для
чего установить существование числа N такого, что JN ^ (Z2)3,
и воспользоваться однородностью многообразия йордановых алгебр.
6. Доказать теорему Жевлакова, используя упражнения 4 и 5.
§ 4. Йордановы ниль-алгебры
Этот параграф посвящен доказательству следующей
теоремы.
Теорема 3 (Алберт — Жевлаков). Пусть
А — йорданова нилъ-алгебра над кольцом Ф, содержащим
элемент 1/2. Тогда если А удовлетворяет условию
максимальности для Ф-подалгебр, то она нилъпотентна.
Доказательство. Все однопорожденные
подалгебры в А нильпотентны, поэтому в силу условия
максимальности в А найдется максимальная нильпотентиая
подалгебра В. Во всякой алгебре с условием
максимальности для подалгебр все подалгебры конечнопорождены,
следовательно, В конечнонорождена. Более того, так как
В нильпотентна, она является конечнопорожденным
Ф-модулем: В = Ф-ех + . . . + Ф'еп- Отсюда следует, что
в алгебре R (А) правых умножений алгебры А подалгебра

§4]
ЙОРДАНОВЫ НИЛЬ-АЛГЕБРЫ
113
RA (В) порождается операторами Re^ . . ., Ren и по
теореме 1 является нильпотентной некоторого индекса т.
Допустим, что В фА. Найдем тогда элемент а £ А\В
такой, что аВ ^ В. Возьмем произвольный элемент а0 £
£ А\В. Если он не является искомым, то существует
элемент Ьх £ В такой, что ах = а0Ъх (J В. Если и ах не
является искомым, то существует Ь2 £ В такой, что а2 =
= ахЪ2 § В, и т. д. Ввиду того, что для любых Ь1? ...
. . ., Ьт £ В элемент Яо-Д^ . . . Rbm равен нулю и,
следовательно, принадлежит 5, среди элементов ах, . . ., ат_4
обязательно должен найтись искомый элемент а.
Возможны два случая:
1. а2В ^ В. В силу предложения 3.2 оператор Rat
для любого t ^ 1 лежит в подалгебре, порожденной
операторами Ra и i?a«, поэтому в этом случае агВ ^ 5
для любого t ^ 1. Ввиду нильпотентности элемента а,
найдется такое р ^ 1, что ap (J 5, но (ар)2 £ 5. Обозначим
элемент ар через 5. Элемент 5 обладает следующими
свойствами:
s$B, s2 еВ, sB с= 5. (2)
2. Существует элемент с £ 5 такой, что а2с $ 5. В этом
случае мы покажем, что элемент а2с удовлетворяет
свойствам (2) и его можно взять в качестве s. В силу тождества
(3.23) для любого Ъ £ В
(а2с) Ь = —2 1(аЪ) с] а + [а (ас)] Ъ +
+ [a (ab)] с + [a (be)] а£В. (3)
Кроме того, (3.23) дает
(а2с)2 = ~2{[а (а2с)] с} а + [а (ас)] (а*с) +
+ {а [(а2с) а]} с + {а [(а2с) с]} а.
Второе и четвертое слагаемые правой части этого равенства
лежат в В согласно (3). Рассмотрим первое. В силу (3)
{{а (а2с)] с} а = {[(а2с) а] с} а = {[а2 (са)] с) а£В.
Аналогично имеем
{а [(а2с) а]} с = {а [а2 (са)]} с = {а2 [(са) а]} с £ В.
Итак, (а2с)2 £ В и элемент а2с удовлетворяет условиям (2).
Обозначим его через s.

114 РАЗРЕШИМОСТЬ И НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ If-Л. 4
Рассмотрим множество Вх = В 4- Ф-s. В силу свойств
элемента s Вх — подалгебра алгебры А, строго
содержащая В. Ввиду того, что В\ ^ В, она является разрешимой
конечнопорожденной алгеброй. По теореме Жевлакова Вх
нильпотентна, что противоречит максимальности В.
Теорема доказана.
Следствие (Алберт). Всякая конечномерная
йорданова нилъ-алгебра над полем F характеристики =^=2
нильпотентна.
Результат Алберта можно усилить. Как показал Шеста-
ков, всякая йорданова Ф-алгебра, порожденная как Ф-мо-
дуль конечным множеством нильпотентных элементов,
является нильпотентной.
§ 5. Локально нильпотентный радикал
Локально нильпотентным радикалом алгебры А
называется такой локально нильпотентный идеал %(А), что
фактор-алгебра AIX (А) не содержит ненулевых локально
нильпотентных идеалов. Так как гомоморфный образ
локально нильпотентной алгебры есть локально ниль-
потентная алгебра, идеал X {А) содержит любой другой
локально нильпотентный идеал алгебры А.
В этом параграфе мы покажем, что во всякой йордано-
вой алгебре локально нильпотентный радикал существует,
и докажем важную теорему Скосырского о связи локально
нильпотентного[радикала специальной йордановой алгебры
с локально нильпотентным радикалом ее ассоциативной
обертывающей алгебры.
Лемма 6. Пусть J — конечнопорожденная
йорданова алгебра. Тогда ее идеалы JW также являются конечно-
порожденными алгебрами.
Доказательство. Достаточно доказать, что
Р — конечно порожденная алгебра. Кроме того,
очевидно, можно считать, что / — свободная йорданова
алгебра. Пусть, для определенности, / имеет п
порождающих. Тогда по лемме 5 / (п' 2) ^ /[2], т. е. всякий
одночлен и степени ^ / (п, 2) представляется в виде
^—2 {ViWi)th

§ 5] ЛОКАЛЬНО НИЛЬПОТЕНТНЫЙ РАДИКАЛ 115
где vt, wt, tt — одночлены из J3. В силу однородности
многообразия йордановых алгебр можно считать, что
d (vt) + d (wt) + d (tt) = d (и) для любого i. Это значит,
что в качестве порождающих алгебры Р можно взять все
одночлены v алгебры /, для которых 3 ^ d (v) ^ / (п, 2).
Лемма доказана.
Лемма 7. Если идеал I йордановой алгебры J
и фактор-алгебра JII локально нилыготентны, то и
алгебра J локально нилъпотентна.
Доказательство. Пусть J0 — конечнопорож-
денная подалгебра в /. В силу локальной
нильпотентности фактор-алгебры JII мы имеем JW .<= / для
некоторого к. Так как / локально нильпотентен, а подалгебра
JW конечнопорождена, существует такое число т, что
(0) = (JWym1 = J[k+m1. Подалгебра J0 является, таким
образом, разрешимой. По теореме Жевлакова она
нилъпотентна. Лемма доказана.
Теорема 4 (Ж е в л а к о в). Всякая йорданова
алгебра имеет локально нилыготентный радикал.
Доказательство. Рассмотрим в йордановой
алгебре / сумму X (J) всех локально нильпотентных
идеалов. Если Lx и L2 — два таких идеала, то по второй
теореме о гомоморфизмах
Li-\-L2tILi^L2IL2[\Li,
откуда в силу леммы 7 следует, что Lx + L2 — также
локально нильпотентный идеал. Легко теперь видеть, что
сумма конечного числа локально нильпотентных идеалов
есть локально нильпотентный идеал. Пусть 1Ъ 12, . . ., 1п —
конечное число элементов из X (/). Все эти элементы лежат
в сумме конечного числа локально нильпотентных идеалов
и потому порождают нильпотентную подалгебру.
Следовательно, идеал X (J) локально нильпотентен. Фактор-
алгебра J/X (J) не содержит ненулевых локально
нильпотентных идеалов ввиду леммы 7. Значит, X (J) —
локально нильпотентный радикал алгебры /. Теорема
доказана.
Перейдем к изучению связи локально иильпотентного
радикала специальной йордановой алгебры с локально
нильпотентным радикалом ее ассоциативной
обертывающей. Заметим, что во всякой ассоциативной алгебре

116 PA3IЕШИМОСТЬ И ЕИЛЬПОТЕНТНОСТЬ [ГЛ, 4
справедливо соотношение
х (у 0 z) = (х 0 у) z + (х 0 z) у — {yxz}. (4)
Лемма 8. В свободной ассоциативной алгебре
Ass [х0, хх, . . ., хп] для любого однородного йорданова
многочлена j (хъ . . ., хп) существуют однородные
линейные по х0 йордановы многочлены jt (х0, хх, . . ., хп), i —
= О, 1, . . ., п, такие, что
Xq) \Х\ч . . . , Хп) =
п
= 7*0 (х0, Xi, . . . , Хп) + 2 U (х0, ?1, • • • , хп) ХЬ (5)
г=1
причем d (/0) — 1 = d (jt) = d (/).
Доказательство. Очевидно, можно считать,
что / — Йорданов одночлен. Проведем индукцию по
степени d (j) этого одночлена. Если d (/) = 1, то утверждение
очевидно. Пусть d (j) = т ^ 2. Тогда / = ]\ 0 /2, где
d (jk) < т, /с = 1, 2. В силу соотношения (4)
*о/ = *о (/i © h) = («о © /i) /2 + (*ог© /2) /i — {/Л/2}. (6
По предположению индукции для многочлена x0j2
представление вида (5) существует. Подставляя в него вместо х0
многочлен х0 0 jx, получим аналогичное представление
для (х0 © jx) /2. Таким же образом наличие искомого
представления для х0]г влечет наличие такого же
представления для (х0 0 /2) /V В силу (6) понятно теперь,
что и x0j представляется в требуемом виде. Лемма доказана.
Следствие. Пусть /' (х), )" (х) — однородные
йордановы многочлены в Ass [хх, . . ., хп]. Тогда существуют
однородные йордановы многочлены jt (х), i = 0, 1, . . ., п,
такие, что
п
Г(х)Г{х) = 1о(х)+%П(х)хц (7)
г=1
причем d (/0) = d (jf) + 1 = d (/') + d (j").
Доказательство. По лемме 8
Xq] \X\i . . - , Xn) =
n
— 7 о \x0i x\i . . ., Xn) -\- 2a h \x0i xi-> • • • i xn) xi*

§ 5] ЛОКАЛЬНО НИЛЫ10ТЕНТНЫЙ РАДИКАЛ Ц7
Подставляя в это выражение /' (х) вместо #0, мы получим
соотношение (7). Следствие доказано.
Лемма 9. Для любого линейного по х0 однородного
йорданова многочлена / (х0, хъ . . ., хп) и любого одночлена
v (хх, . . ., хп) найдутся линейные по х0 однородные йорда-
новы многочлены jt (х0, хъ . . ., хп) и полилинейные
одночлены vt (хх, . . ., хп) такие, что
J \x0i xii • • • ? хп) V \xli • • • ' хп) :==
=== /о (#0? х1ч • • • ? #п) "Ь ^J h \X0i xi-> • • "> xn) vi \xli • • • ? xn)i
г
причем d (/) + d (v) = d (/0) = d (jt) + d (vt).
Доказательство. Проведем индукцию no d (v).
Если d (v) = 1, то все очевидно. Пусть d (г;) = m > 1
и для одночленов меньшей длины все доказано. Введем
следующее обозначение: будем писать р = д, если разность
р — q удовлетворяет условиям индуктивного
предположения. В силу соотношений (5) и (7) ясно, что
7 \Xq, #i, . . ., Хп) Х{х . . . \X{S (£) xis+i) • • • xim ^ ^*
Поэтому
/ \x0i xii • • • ? xn) xi\ • • • xisxis+l • * * xim ===
= / (#0i xli • • •? xn) XU • * • ^is+i^is • • • xim'
Очевидно теперь, что если в одночлене v (хх, . . ., хп) =
= ^ij . . . #im есть Две одинаковые переменные, то
/ \х0ч Х1ч • • •? Хп) V (#1? • • ч #7г) ^ U,
что и требовалось доказать.
Следствие. Для всякого одночлена v (хх, . . ., хп)
алгебры Ass [хъ . . ., #п] существуют однородные йорда-
новы многочлены jt (хг, . . ., хп) и полилинейные одночлены
и{{хъ . . ., хп) такие, что
v(xi4 ...,хп) =
= /о (#1» • • • » #n) + 2j li (#1» • • • » #п) ^г (#li • • • 1 #п)»
г
где d (у) = d (/„) = d О,) + d fa).
Д о^к азательство. Достаточно применить
лемму 9 для j (#0, хъ . . ., хп) = х0, а потом
специализировать х0 в единицу 1 алгебры Ass [xv . . ., хп]#»

118 РАЗРЕШИМОСТЬ И НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ СГЛ, 4
Предложение 2. Если специальная йорданова
алгебра J от п порождающих нилъпотентна индекса т,
то ее ассоциативная обертывающая алгебра А также
нилъпотентна и индекс ее нильпотентности не
превосходит 771.,+ п.
Доказательство. Если аъ . . ., ап —
порождающие алгебры /, то они порождают и алгебру А. По
следствию леммы 9, если ассоциативный одночлен
v (хг, . . ., хп) имеет степень, не меньшую чем ттг + тг,
то v {аъ . . ., ап) = 0. Следовательно, Ат+п = (0).
Предложение доказано.
Следствие. Если J — специальная локально ниль-
потентная йорданова алгебра, то всякая ее ассоциативная
обертывающая алгебра локально нилъпотентна.
Теорема 5 (С косы реки й). Пусть J —
специальная йорданова алгебра и А — ее ассоциативная
обертывающая. Тогда для их локально нильпотентных
радикалов справедливо соотношение
X(J) = J()5B(A).
Доказательство. Включение / f| Х{А) ^
^ X(J) очевидно. Для доказательства обратного
включения достаточно показать, что множество / = X(J) Л#
является в А локально нильпотентным идеалом. Понятно,
что / — правый идеал. Для доказательства того, что / —
левый идеал, достаточно заметить, что для любых
элементов х £ /, I £ %(J)
xl = — lx + 21 0 х. (8)
Так как 21 0 х £ X(J) и алгебра А порождается
множеством /, имеем АХ (J) ^ X(J) Л#, откуда следует,
что / — левый идеал в А, а следовательно и идеал.
Покажем, что этот идеал локально нильпотентеп.
Зафиксируем некоторое множество {аа} порождающих
алгебры /, а следовательно и алгебры А. Достаточно
доказать, что любое конечное множество М элементов
вида lv (аъ . . ., ak), где I пробегает конечное множество
L0 с= X(J), a v — некоторое множество слов (быть может,
пустых), порождает в А нильпотентную подалгебру.
Отметим, чтОдВ силу леммы 9 все слова v можно считать
полилинейными.

ЛИТЕРАТУРА
119
Для каждого натурального числа р рассмотрим
множество Lp элементов вида / (Z, аъ . . ., ak), где I £ L0,
а / (х0, хх, . . ., xk) — линейный по х0 Йорданов одночлен
степени р + 1 с коэффициентом, равным единице. Ясно,
что Lp ^ X(J). Множества Lp конечны, и потому в силу
предложения 2 порождают в А нильпотентные подалгебры.
Пусть t — индекс нильпотентности подалгебры,
порожденной множеством L2k. Покажем, что произведение любых t
элементов из М также равно нулю. Рассмотрим некоторое
такое произведение:
b = l1v1 (ах, . . ., ak) l2v2 {аъ . . ., ak) . . . ltvt (аъ . . ., ah).
Выражение иг (аъ . . ., ak) 12 с помощью соотношения (8)
можно преобразовать в сумму выражений вида
l'2v[ (аг, . . ., ak), где 1'2 £ Lk, v[ — полилинейный
одночлен. Каждое произведение вида
Г2и[ (ах, . . ., ak) v2 (ах, . . ., ak)
можно по лемме 9 представить в виде суммы элементов
вида V'2v\ (ах, . . ., ak), где l"2 £ L2k, v\ — полилинейный
одночлен. Далее этот процесс повторяем, но уже с
произведением v'[ (ах, . . ., ak) 13, и т. д. В конце концов,
получим представление произведения Ъ в виде суммы
произведений вида
IJ'Jl . . . rtvt (аъ . . ., ak),
где l\ £ L2k. Каждое из таких произведений равно нулю,
так как t — индекс нильпотентности подалгебры,
порожденной множеством L2k. Следовательно, и Ъ = 0.
Теорема доказана.
Следствие. Если йорданова алгебра J
специальна, то и фактор-алгебра J/X(J) также специальна.
Доказательство. Пусть / — идеал
ассоциативной обертывающей алгебры А, порожденный
множеством X(J). В силу теоремы Скосырского имеет место
равенство/ fl J = <£(/), и специальность фактор-алгебры
J/X(J) вытекает из леммы 3.4. Следствие доказано.
ЛИТЕРАТУРА
Джекобсон [47], Жевлаков [69], Жевлаков и Шестаков [80],
Лю Шао-сюэ [112], Скосырский [194], Слинько [208], Цай [257],
Шестаков [266, 267].

ГЛАВА 5
АЛГЕБРЫ С ТОЖДЕСТВЕННЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ
Теория ассоциативных алгебр с тождественными
соотношениями (PI-алгебр) к настоящему времени достаточно
развита и содержит целый ряд различных направлений.
Настоящая глава посвящена одному из них, возникшему
в связи с известной проблемой Куроша: «Будет ли всякая
алгебраическая алгебра локально конечной?»
Для ассоциативных PI-алгебр эта проблема была
положительно решена Левицким и Капланским, которые
использовали для ее решения хорошо развитую структурную
теорию ассоциативных колец. В неассоциативном случае
эти методы оказались недейственными, ввиду отсутствия
подходящих структурных результатов.
Ширшов подошел к проблеме с комбинаторной точки
зрения. Разработанные им методы позволили ему получить
не только принципиально новые результаты для
ассоциативных PI-алгебр, такие как теорема о высоте, но
и решить положительно проблему Куроша для
альтернативных и специальных йордановых Р1-алгебр.
Изложению этих результатов и посвящена данная
глава.
§ 1. Лемма Ширшова
Рассмотрим ассоциативные слова, образованные из
элементов некоторого конечного упорядоченного множества
символов
R — {xt}, i == 1, 2, . . ., к, xt > X], если i > /.
Слово а назовем х^перазложимым, если оно имеет вид:
а = xkxk . . . хкХ1гХ{2 . . . xis, где s ^ 1 и it фк для t =
= 1, 2, . . ., s. Представление слова |3 в виде произведе-

§ 11
ЛЕММА ШИРШОВА
121
ния некоторого числа а^-неразложимых слов назовем
хк-разложением слова |3. Легко видеть, что для слова (3
существует а^-разложение и притом единственное тогда
и только тогда, когда слово |3 начинается с символа xk
и оканчивается символом, отличным от xk.
В множестве всех ассоциативных слов от элементов
множества R введем частичную упорядоченность: для
слов аир, имеющих равную длину, положим а}> |3, если
это отношение выполняется в лексикографическом смысле.
В множестве Т всех а^-неразложимых слов введем
линейный порядок: для слов а, |3 £ Т (не обязательно равной
длины) положим а > |3, если а лексикографически
больше |3 или если а — начало слова (3.
Ассоциативное слово у назовем п-разбиваемым, если
оно может быть так представлено в виде произведения п
своих под слов, что при любой нетождественной
перестановке этих подслов получаются ассоциативные слова,
строго меньшие у.
Например, слово х3х1х2х2х1х1х2х1х1х1 3-разбиваемо и
допускает несколько 3-разбиений:
\XqXij (Д/2^2 1 1/ \ 2 1 1 1/J V 3 1 2/ \ 2 1 1/ \ 2 1 1 1/J
\ 3/ \«л^1«л^2 2 1 1 2/ \ 1 1 1 / ?
и т. д., слово я^з^з^^г^з^г не является 2-разбиваемым.
Слова, допускающие а^-разложение, можно
рассматривать как слова, образованные элементами множества Т.
В этом случае мы будем называть их Т-словами (в отличие
от R-слов); аналогично мы будем употреблять термины
Т-длина и R-длина, подчеркивая, какое множество
символов рассматривается в качестве множества образующих.
На множестве всех ассоциативных Г-слов введем
частичную упорядоченность -<: для Г-слов аир, имеющих
равную Г-длину, а -< |3, если а меньше |3 в
лексикографическом смысле как Г-слово. Теперь имеет смысл говорить
и об ^-разбиваемых Г-словах. Поэтому в дальнейшем там,
где это может вызвать недоразумения, мы будем
употреблять термины пп-разбиваемостьи пТ-разбиваемость.
Лемма 1. Пусть а — ассоциативное Т-слово. Тогда
из его пт-разбиваемости следует пТ-разбиваемостъ.
Доказательство. Пусть а = аха2 . . . ап есть
^-разбиение слова а; тогда а, ах, . . ., ап — слова,
допускающие ^-разложение. Из определения гс-разбивае-

122 АЛГЕБРЫ С ТОЖДЕСТВЕННЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ [ГЛ, 5
мости следует, что а > otj aif . . . ain для любой не-
т
тождественной перестановки (ix, i2, . . ., £п). Легко
видеть, что и для Д-слов а и a^a^ . . . а*п мы имеем a >
> OLixai2 . . . ain. Поэтому данное тгг-разбиение будет
являться и ^-разбиением. Лемма доказана.
Лемма 2. (п — 1)т-разбиваемостъ слова а влечет
пп-разбиваемость слова ахк.
Доказательство. Из леммы 1 вытекает
существование следующего (п — 1)д-разбиения слова а:
0Ь= \ХкХ\х . . . XiJ \XjlXi2 . . . Xij . . . \XjlXin_mi . . . #in-l/>
где xi, x\ £ Д, л:| =^£fe, £ = 1, 2, . . ., /г — 1.
Покажем, что для слова axk имеет место следующее
Гсд-разбиение:
В самом деле, любая перестановка подслов слова axk,
сохраняющая на первом месте (xk), преобразует слово axk
в слово а'хк, где слово а! получается с помощью некоторой
перестановки подслов в данном (п — 1)д-разбиении
слова а. Поэтому а > а' и axk > a'#ft. Если же
рассматривать перестановки, смещающие символ xk с первого места,
то очевидно, что получающиеся при этом слова будут
начинаться строго меньшим числом символов xk по
сравнению со словом ахк. Поэтому они будут строго меньше
слова axk. ЛемМа доказана.
Лемма 3 (Ш и р ш о в). Для любых трех
натуральных чисел к, s, п найдется такое натуральное число
N (k, s, п), что в любом ассоциативном слове длины
N (к, s, п) от к упорядоченных символов либо встретится s
последовательных равных подслов, либо найдется п-разби-
ваемое подслово.
Доказательство. Будем рассматривать
ассоциативные слова от элементов множества R =
= {#!, х2, . . ., хк). Легко видеть, что число N (к, s, 1)
существует для любых к и s. Это дает нам основание для
индукции по п. Допустим, что число N (к, s, п — 1)
существует, каковы бы ни были к и s. Заметим, что число
N (1, 5, п) также существует; это дает нам основание для
дальнейшей индукции по к. Итак, пусть число
N (к — 1, 5, п) существует — докажем, что существует
число N {к, s, п).

§ 1]
. ЛЕ^МА ШИРШОВА
123
Рассмотрим произвольное ассоциативное слово а длины
[S + N(k-1, s, п)] [JV(km-Us^n)+s, s, п-1) + 1].
Если в начале слова а стоит некоторое количество
символов Xi, отличных от символов хк, и их число не меньше
числа N (к — 1, 5, п), то выполняется предположение
индукции по отношению к подслову а', стоящему в начале
слова а! и зависящему лишь от к — 1 порождающего.
Поэтому мы можем предположить, что длина такого под-
слова ах меньше N (к — 1, s, п). В конце слова а может
находиться подслово а" = xhxh . . . xh. Мы можем
предполагать, что длина слова а" меньше s, так как в противном
случае заключение леммы было бы выполнено. Отбросив
слова а' и а", если они существуют, мы получим
подслово ах, длина которого больше числа
[S + N(k—U *, n)].N(kmk~Us>n)+s, s, п-1).
Для слова ах существует ^-разложение ах = ап . . .
. . . а1т. Мы можем, очевидно, предположить, что длина
каждого а^-неразложимого слова alt меньше числа s +
-\- N (к — 1, 5, п), так как в противном случае в таком
слове нашлось бы или s последовательных символов xk,
или же подслово длины N (к — 1, s, п), не содержащее
символа xk. Легко видеть, что существует не более
]~N(k-i,s, n)+s различных ^-неразложимых слов при
указанном ограничении на длину. Будем рассматривать
слово ах как Г-слово. Так как его Г-длина строго больше
jy (£jv(ft-i, s,n)+s^ s^ п — i)7 т0 в слове аг найдется или s
последовательных равных подслов, или же (п —
^^разбиваемое подслово (3.
Если выполняется второе предположение, то в силу
строгого неравенства для Г-длины Г-слова ах мы можем
считать, что за подсловом (3 следует символ xk. По лемме 2
подслово $xk является Гсд-разбиваемым. Итак, в любом
случае заключение леммы выполнено. Поэтому полагаем
N {к, 5, п) =
= [#(fc_l,s, n) + s][N(kN(k-Us>n)+s, s, п-1) + 1].
Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть а — ассоциативное слово длины т,
не представимое в виде |3', где |3 — собственное подслово

124 АЛГЕБРЫ С ТОЖДЕСТВЕННЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ [ГЛ. 5
слова а. Тогда для любого натурального п ^ т слово а2п
содержит п-разбиваемое подслово.
Доказательство. Из слова а при помощи
циклических перестановок порождающих можно
получить т слов: а = а0, а1? . . ., ат_х. Так как слово а
не представимо в виде степени своего подслова, то, как
легко видеть, все полученные слова а0, а1? . . ., ат_х
различны. Предположим, что в лексикографическом
смысле <Xio > а^ > . . . > агт_1- Очевидно, что каждое из
слов at можно представить в виде at = и^, где z;^ = а.
Рассмотрим теперь слово
Положим а\ = UiVi.UiVi для & = 0, 1, 2, ..., п — 2
и ai7l_1=Min_1i;in_1Min_1, Y=i;i0; тогда слово a2n
представится в виде a2,n=yai0ail . .. a^. Так как начало каждого
из слов а] совпадает со словом а7- и ai0 > а^ >> . .. > «in-n
то, как легко видеть, слово a^a^ ... ain-1 будет м-раз-
биваемо. Лемма доказана.
§ 2. Ассоциативные PI-алгебры
Начнем теперь изучение алгебр, удовлетворяющих
полиномиальным тождествам. Пусть Ф — произвольное
ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей 1.
Рассмотрим свободную ассоциативную Ф-алгебру Ass [X]
от множества порождающих X = {х1, х2, . . .}.
Элементами алгебры Ass [X] являются ассоциативные многочлены
от некоммутирующих переменных хх, х2, ... с
коэффициентами из Ф. Элемент / (хг, х2, . . ., хп) £?Ass [X]
назовем допустимым, если хотя бы один из коэффициентов
при членах высшей степени многочлена / (хх, х2, . . ., хп)
равен единице. Пусть теперь А — ассоциативная Ф-ал-
гебра и М — некоторый Ф-подмодуль алгебры А. Будем
говорить, что М удовлетворяет допустимому
полиномиальному тождеству, если существует такой допустимый
элемент / (хг, х2, . . ., хп) £ Ass [X], что
/ (ти ти2, . . ., тп) = О
для всех тх, т2, . . ., тп £ М.

§ 2
АССОЦИАТИВНЫЕ PI-АЛГЕБРЫ
125
Если алгебра А удовлетворяет допустимому
полиномиальному тождеству /, то алгебру А для краткости будем
называть Vl-алгеброй.
Заметим, что если подмодуль М алгебры А
удовлетворяет допустимому полиномиальному тождеству /, то М
удовлетворяет и допустимому полилинейному тождеству
той же степени. Действительно, по теореме 1.7 полная
линеаризация однородной компоненты элемента /,
содержащей выделенный член высшей степени (с
коэффициентом 1), будет являться тождеством на М. Это
тождество и будет искомым допустимым полилинейным
тождеством. Ясно, что всякое допустимое полилинейное
тождество можно записать в виде
Х^Хч . . . Хп 2л ^Мг • • • гп^Ч^т-2 • • • Xini К*-)
(it, U, • • ., in)
где (Xiti2. . . i £ Ф и суммирование справа распространено
на все перестановки символов 1, 2, . . ., и, отличные от
перестановки (1 2 ... и).
Рассмотрим некоторые простейшие примеры
ассоциативных Р1-алгебр:
1) любая коммутативная алгебра А является Р1-ал-
геброй, так как удовлетворяет тождеству / (хг, х2) =
= Х±Х2 Х2Х^\
2) алгебра Ф2 матриц порядка 2 X 2 с элементами из Ф
удовлетворяет тождеству Холла
/ (#]_, Х2, х3) = [Х^Х2 Х2Х±) Х$ х$ [х^х2 X2Xi) J
3) ниль-алгебра, у которой индексы нильпотентности
всех элементов ограничены в совокупности некоторым
числом и, удовлетворяет тождеству / (х) — хп. Будем
называть такую алгебру нилъ-алгеброй ограниченного
индекса.
Познакомимся теперь с более общими примерами PI-
алгебр.
Стандартным многочленом степени п в алгебре Ass [X]
называется многочлен
lxli • • • ? %п\ — 2л ( Ч #о<1) • • • %o(n)i
oesn
где о пробегает симметрическую группу Sn, а число
(—l)sgn<* равно 1 или —1 в зависимости от того, четна

126 АЛГЕБРЫ С ТОЖДЕСТВЕННЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ [ГЛ. 5
подстановка а или нечетна. Заметим, что стандартным
многочленом степени 2 будет просто коммутатор [хг, х2] =
= ххх2 — х2хх\ в этом смысле класс алгебр,
удовлетворяющих стандартному многочлену, является обобщением
класса коммутативных алгебр.
Следующая лемма показывает, что всякая
конечномерная алгебра является Р1-алгеброй.
Лемма 5. Если алгебра А является п-порожденным
Ф-модулем, то А удовлетворяет тождеству [хг, . . ., хп+1].
Доказательство. Из определения
стандартного многочлена видно, что он линеен по всем своим
переменным и обращается в нуль, если какие-либо два
аргумента равны. Пусть иг, . . ., ип — порождающие Ф-моду-
ляЛ иа1? . . ., ап+1 — произвольные элементы алгебры А.
Каждый из элементов at мы можем представить в виде
линейной комбинации элементов щ, . . ., ип с
коэффициентами из Ф. В силу полилинейности многочлена
[хг, . . ., хп+1] выражение [ах, . . ., ап+1] будет
линейной комбинацией членов вида [щг, . . ., щ ], где щ —
элементы из множества {их, . . ., ип). Но тогда какие-либо
два аргумента в выражении [щ\ . . ., щ ] обязательно
совпадут, поэтому оно должно быть равно нулю. Отсюда
[аъ а2, . . ., ап+1] = 0. Лемма доказана.
Если алгебра А над полем F имеет размерность п,
то каждый элемент из А удовлетворяет многочлену
степени п + 1 над F. Это свойство положено в основу
определения алгебраической алгебры. Элемент а Ф-алгебры А
называется алгебраическим над Ф, если существует такое
натуральное число п, что ап = 2 aia\ гДе at € Ф-
г<п
Наименьшее такое число п называется степенью алгебраич-
ности элемента а. Алгебра А называется алгебраической
над Ф, если каждый элемент алгебры А алгебраичен над Ф;
если при этом степени алгебраичности элементов алгебры А
ограничены в совокупности, то А называется
алгебраической алгеброй ограниченной степени над Ф.
Лемма 6. Пусть всякий элемент Ф-подмодуля М
алгебры А является алгебраическим над Ф, причем степени
алгебраичности всех элементов из М ограничены в
совокупности. Тогда М удовлетворяет допустимому
полиномиальному тождеству.

§ 2]
АССОЦИАТИВНЫЕ PI-АЛГЁБРЫ
127
Доказательство. Пусть п — граница
степеней алгебраичности элементов из М. Тогда для любых
а, Ъ £ М элемент [ап, Ъ] является линейной комбинацией
элементов [ап-1, Ь], . . ., [а, Ъ] с коэффициентами из Ф,
поэтому элементы [ап, Ь], [ап-1, Ь], . . ., [а, Ь] обращают
в нуль стандартный многочлен [хх, . . ., хп].
Следовательно, подмодуль М удовлетворяет тождеству
И*п, у], I*""1, У], • • ., Ь, УН,
которое, как легко видеть, является допустимым. Лемма
доказана.
Следствие. Всякая алгебраическая алгебра
ограниченной степени над Ф является Vl-алгеброй.
Пусть теперь А — ассоциативная алгебра,
порожденная конечным множеством {ах, а2, . . ., ak}. Для всякого
многочлена /:-= / (хг, . . ., #fe) свободной ассоциативной
алгебры Ass [^, . . ., xk] через / = / (ах, . . ., ak) будем
обозначать образ элемента / при гомоморфизме алгебры
Ass [хх, . . ., xk] на А, переводящем xt в at.
Пусть Y ={/i, /2, • • ., //} — некоторое конечное
множество однородных многочленов из Ass [хх, . . ., xk], Y =
— {/i> /21 • • -> fi) и v — одночлен из Ass [хг, . . ., xk].
Допустим, что существует такое натуральное число q
и такие ассоциативные одночлены ut (хх, . . ., хг) с
максимумом высот, равным д, что в алгебре А
^=2м7,7г,...,7о.
г
причем каждый элемент мг (/х, /2, . • ., /*) имеет тот же
тип, что и у. Наименьшее число q с этим свойством назовем
высотой одночлена v относительно множества Y.
В случае, когда высоты всех одночленов алгебры А
относительно Y ограничены в совокупности некоторым
натуральным числом /г, будем говорить, что А — алгебра
ограниченной высоты (относительно множества Y) и что
h — высота алгебры А.
Рассмотрим в качестве примера в свободной
ассоциативной алгебре Ass [хъ х2\ одночлен х1х1х2х1х1х2х1х1х2.
Этот одночлен имеет высоту 6 относительно множества
{хх, х2) и высоту 1 относительно одноэлементного
множества {х1х1х2}.

128 АЛГЕЁРЫ С ТОЖДЕСТВЕННЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ ЕГЛ, 5
Очевидным примером алгебр ограниченной высоты
служат конечнопорожденные коммутативные алгебры.
Действительно, если А — коммутативная алгебра,
порожденная элементами {ах, . . ., ak}, то для любого
одночлена v типа Ux, £2, . . ., ik]
и = аа\1а\2 ... а^, сс£Ф,
т. е. высота всякого одночлена алгебры А относительно
множества {ах, . . ., ak} не превосходит к.
Как оказалось, всякая конечнопорожденная Р1-ал-
гебра является алгеброй ограниченной высоты. Этот факт
носит название теоремы о высоте.
Теорема о высоте (Ширшов). Пусть в
ассоциативной Ф-алгебре А от множества порождающих
{ах, . . ., ak} выполнено допустимое полиномиальное
тождество степени п. Тогда алгебра А имеет ограниченную
высоту относительно множества Y, где Y — множество
всех ассоциативных слов из Ass [хх, . . ., xk] длины,
меньшей п.
Доказательство. Как уже было замечено,
мы можем считать, что А удовлетворяет тождеству вида (1).
Для доказательства теоремы достаточно доказать
существование такого числа М = М (п, к), что всякое
ассоциативное слово s от элементов хг, . . ., xk высоты ^М
относительно Y содержит ^-разбиваемое под слово.
Действительно, тогда в алгебре А мы имеем s = 2 &isii гДе
г
at £ Ф, st — слова от хг, . . ., xk того же состава, что
и 5, строго меньшие s. Если какое-то из слов st имеет
высоту ^М, то продолжаем процесс. Ввиду его строгой
МОНОТОННОСТИ, В КОНЦе КОНЦОВ МЫ ПОЛуЧИМ, ЧТО S = 2j (XjSj,
i
где каждое из слов st имеет высоту меньше М
относительно Y.
Согласно лемме 3 существует такое число N =
= N (к, 2п, п), что всякое ассоциативное слово s длины N
от хх, . . ., хк, не содержащее ^-разбиваемых подслов,
содержит подслово вида v2n. Можно считать при этом,
что слово v не представимо в виде yj, к > 1; тогда по
лемме 4 длина d (у) слова у меньше п. Из приведенных
рассуждений легко следует, что всякое слово от х±, . . ., xk
высоты ^N + 2 относительно Y, не содержащее гс-разби-

§ 2]
АССОЦИАТИВНЫЕ PI-АЛГЕБРЫ
129
ваемых подслов, содержит подслово vx вида vx = vnv',
где п > d (v) ^ d (v'), и слово i/ не является началом
слова v. Ввиду конечности множества подслов указанного
вида, для достаточно большого натурального числа М
всякое слово высоты ~^М относительно У, не содержащее
^-разбиваемых подслов, содержит п равных подслов вида
vx = vnv' (не обязательно последовательных). Однако
у каждого такого слова существует подслово,
^-разбиваемое одним из следующих способов:
(ипи'щи) (и^и'щр2) ... (vv'un),
(ищи71'1) (vv'u2vn-2) .. . {vn-xv'un),
в зависимости от того, какое из слов у, v'
лексикографически больше. Следовательно, всякое слово, высота
которого относительно Y больше М, содержит ^-разбиваемое
подслово.
Теорема доказана.
Следствие 1 (Капланский). Конечнопо-
рожденная ассоциативная алгебраическая Vl-алгебра А
над полем F конечномерна.
Доказательство. Обозначим через V
множество всех произведений менее чем по п порождающих
алгебры А, где п — степень тождества. Пусть т —
максимум степеней алгебраичности элементов множества V и h—
высота алгебры А относительно V. Тогда алгебра А как
линейное пространство над F порождается конечным
множеством всех произведений менее чем по (т — l)-n-h
порождающих.
Аналогично, из теоремы о высоте выводится
Следствие 2 (Левицкий). Конечнопорожден-
ная ассоциативная Vl-алгебра над кольцом Ф, каждый
элемент которой нилыготентен, является нилыготент-
ной.
В частности, всякая ассоциативная ниль-алгебра
ограниченного индекса локально нильпотентна.
Будем говорить, что алгебра А имеет локально
ограниченную высоту, если каждая ее конечнопорожденная
подалгебра есть алгебра ограниченной высоты.
Следствие 3. Всякая ассоциативная Vl-алгебра
имеет локально ограниченную высоту.

130 АЛГЕБРЫ С ТОЖДЕСТВЕННЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ [ГЛ, 6
§ 3. Алгебраичность и локальная конечность
В предыдущем параграфе мы видели, что теоремы
Капланского и Левицкого, полученные авторами
совершенно разными методами, оказались следствиями одного
результата. Идейная общность этих теорем становится
еще более наглядной после рассмотрения следующих
понятий.
Зафиксируем для дальнейшего некоторый идеал Z
кольца Ф.
Элемент а Ф-алгебры А с ассоциативными степенями
назовем алгебраическим над Z, если существуют такие
7П-1
элементы zt £ Z и натуральное число т, что ат = 2 zia%*
г=1
Конечнопорожденную Ф-алгебру А назовем конечной
над Z, если в А существуют такие элементы ах, а2, ...
. . ., afe, что для некоторого натурального числа т всякий
элемент с £ Ат допускает представление в виде с =
h
— 2 ziai-> гДе zt 6 Z. Если в Ф-алгебре В каждая конеч-
i=l
нопорожденная Ф-подалгебра А является конечной над Z,
то алгебру В назовем локально конечной над Z.
В частности, когда Z = (0), алгебраические над Z
элементы — это просто нильпотентные элементы, а
локальная конечность над Z в этом случае превращается
в локальную нильпотентность; когда же Z = Ф и Ф —
поле, алгебраичность и локальная конечность над Z
превращаются в обычную алгебраичность и локальную
конечномерность над Ф.
Немедленным следствием теоремы о высоте является
Теорема 1 (Ш и р ш о в). Если в конечнопорож-
денной ассоциативной Ф-алгебре А с допустимым
тождественным соотношением степени п все произведения
менее чем по п порождающих алгебраичны над Z, то алгебра
А конечна над Z.
Эта теорема содержит теоремы Капланского и
Левицкого в качестве частных случаев. Принципиальное отличие
ее от последних состоит в том, что условие алгебраичности
накладывается в ней не на все элементы, а лишь на
конечное их число.

§ 3] АЛГЕБРАИЧНОСТЬ И ЛОКАЛЬНАЯ КОНЕЧНОСТЬ 131
Для дальнейшего изучения понятия локальной
конечности понадобится следующая лемма.
Лемма 7. Пусть алгебра А конечнопорождена как
ф-модулъ. Тогда всякая конечнопорожденная подалгебра В
алгебры А также является конечнопорожденным Ф-мо-
дулем.
Доказательство. Пусть R ={ЪЪ . . ., bk} —
множество порождающих алгебры В. По условию
существуют такие элементна!, . . ., ап £ А, что А = Фах + . . .
. . . + Фап. В частности,
п
i=i г
п
я*Я/=2ф1а» ^ 7 = 1» 2, ..., га. -
Пусть Ф0 — подкольцо кольца Ф, порожденное
множеством {1, ф|, ф^}. По теореме Гильберта (Ленг С,
Алгебра, «Мир», 1968, стр. 169) Ф0 — нётерово кольцо.
Рассмотрим Ф0-модуль А0:
А0 = Ф0аг + Ф0а2 + . . . + Ф0ап.
Легко видеть, что А0 является Ф0-алгеброй, причем
R ^ А0. Рассмотрим Ф0-подалгебру BQ ^ А о,
порожденную множеством R. Так как Ф0-модуль А0 нётеров (как
конечнопорожденный модуль над нётеровым кольцом Ф0),
то В0 является конечнопорожденным модулем над Ф0.
Для завершения доказательства остается заметить, что
В = ФВ0. Лемма доказана.
Лемма 7 является частным случаем следующего
утверждения.
Лемма 8. Пусть алгебра А конечна над Z. Тогда А
локально конечна над Z.
Доказательство. По условию существуют
такие элементы ах, . . ., ап £ А и натуральное число т,
что Ат ^ Zax + . . . + Zan. Пусть В — произвольная
конечнопорожденная подалгебра алгебры А. Для
доказательства конечности В над Z достаточно, очевидно,
показать, что В конечнопорождена как Ф-модуль и
алгебра В = B/ZB нильпотентна. Ясно, что А является
конечнопорожденным Ф-модулем. По лемме 7 В также

132 АЛГЕБРЫ С ТОЖДЕСТВЕННЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ [ГЛ. Ь
является конечнопорожденным модулем над Ф. Таким
образом, остается доказать нильпотентность алгебры В =
= B/ZB. Обозначим алгебру двусторонних умножений
МА (В) через 5*. Достаточно, очевидно, показать, что
алгебра 5* = 5*/Z5* нильпотентна. (Действительно,
если (S*)fe = (0), то, как легко видеть, (B)2h = (0).)
Пусть W — произвольный элемент из 5*. Рассмотрим
элементы aiWYl 6 Ат, i = 1, 2, . . ., п. Имеем аг\¥т =
= saax + . . . + sinan, где su 6 Z, h / = 1, 2, . . ., п.
Обозначим через S матрицу порядка п X п, составленную
из элементов stj. Далее, если элемент с £ Ат представим
в виде с = zxax + . . . + znan, где zt £ Z, то сопоставим
ему строку [с] = (zx, . . ., zn). Наконец, через а обозна-
ел
чимстолбец! • . Как легко видеть, в этих обозначениях
. W/
сИ7т = [c]-S-d, где в правой части стоит обычное
произведение матриц, и cWkm = [c]-Sk-d для всякого
натурального числа к. По теореме Гамильтона — Кэли
(Ленг С, Алгебра, «Мир», 1968, стр. 446) матрица S
является корнем своего характеристического многочлена,
п-1
т. е. Sn = 2 °kSki гДе Gk 6 Z. Пусть теперь х — произ-
ft=0
вольный элемент алгебры А. Рассмотрим
xWm{n+1) = (xWm) Wmn = [xWm\ -Sn.a =
= 2 <*k lxWm] • Sk • a = S afe (*Wm) Wmfe =
ft=0 fc=0
ft=0
откуда, ввиду произвольности элемента х, получаем
п-1
Г(п+1)= 2 okWm<k+1\ ok£Z.
ft=0
Итак, ТУт(П+1) £ Z5* для любого элемента И^б£*, т. е.
алгебра 5* удовлетворяет допустимому тождественному
соотношению хщп+1) = 0. Алгебра 5* ассоциативйа и,
ввиду конечной порожденное™ В над Ф, имеет конечное

§ 4] СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЙОРДАНОВЫ PI-АЛГЕБРЫ 133
число порождающих. По следствию 2 теоремы о высоте
алгебра 5* нильпотентна. Тем самым лемма доказана.
Ввиду леммы 8 из теоремы 1 легко вытекает
Теорема 2. Если в ассоциативной алгебре А с
допустимым тождественным соотношением степени п все
произведения порождающих, содержащие менее п
множителей, алгебраичны над Z, то алгебра А локально конечна
над Z.
Упражнения
Ниже всюду Ф — произвольное ассоциативно-коммутативное
кольцо с единицей 1, Z — некоторый идеал кольца Ф.
1. Пусть А — ассоциативная Ф-алгебра, / — идеал в А.
Доказать, что если идеал / и фактор-алгебра А — А/1 локально конечны
над Z, то и А локально конечна над Z>
2. Доказать, что сумма двух двусторонних локально конечных
над Z идеалов ассоциативной Ф-алгебры А есть снова локально
конечный над Z идеал.
3. Доказать, что во всякой ассоциативной алгебре А существует
единственный двусторонний локально конечпый над Z идеал %z (^)>
содержащий все двусторонние локально конечные над Z идеалы
алгебры А и такой, что в фактор-алгебре А = А1%% (А) нет
ненулевых двусторонних локально конечных над Z идеалов.
Идеал £ъ (А) мы будем называть локально конечным над Z
радикалом алгебры А.
4. Доказать, что локально конечный над Z радикал %%{А)
ассоциативной алгебры А содержит все односторонние локально
конечные над Z идеалы алгебры А.
§ 4. Специальные йордановы PI-алгебры
Рассмотрим вновь свободную ассоциативную Ф-ал-
гебру Ass [X] от множества порождающих X— {хх, х2, . . .}.
Элемент h алгебры Ass [X] назовем j-многочленом, если h
выражается через элементы множества X с помощью
операций сложения, умножения на элементы из Ф,
возведения в квадрат и «квадратичного умножения» xUy = уху.
Множество всех /-многочленов обозначим через / [X].
Как легко видеть, множество / [X] замкнуто относительно
йорданова умножения а о Ъ = аЪ + Ьа. Кроме того, если
а, Ъ, с £ / IX], то а2, аЪс + сЪа 6 / [X].
Заметим, что если в Ф есть элемент V2, то наше
определение /-многочлена совпадает с определением, приведен-

134 АЛГЕБРЫ С ТОЖДЕСТВЕННЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ ЕГЛ, 5 ■
ным в главе 3. При этом / [X] как множество совпадает
со свободной специальной йордановой алгеброй SJ [X].
Вернемся вновь к нашему множеству R = {хг, х2, . . .
. . ., xk), где xt < Xj при i < /. Напомним, что через Т
обозначено множество всех а^-неразложимых слов.
Ассоциативное слово а от элементов множества R назовем
особым, если существует однородный по каждому xt
/-многочлен /га, старшим словом которого является слово а.
Лемма 9. Всякое Т-слово а является особым
{относительно множества R).
Доказательство. Если Г-длина слова а
равна 1, т. е.
0& == XfoXfi • . • Х^ Х\хХ\г . . *Xim, lr =7= /£J Г = i 9 Z, • • •, 771,
n
то можно положить
К = [ . . . (Xh ° Яг») °Xit...]o Xim.
Пусть утверждение леммы доказано для Г-слов,
Т-длины которых меньше п, и Г-длина Г-слова а равна п.
Тогда
а = ^х^хк ... xkxitXi2 . • • Xim, i*¥=k; 5 = 1, 2, ..., m,
r
где |3 — Г-слово, находящееся в условиях предположения
индукции. Пусть 11$ — /-многочлен, соответствующий
слову |3. Тогда в качестве ha можно взять /-многочлен
{... [(hpxlxit + x^xlhf) о xi2] о ...} о Xim.
Лемма доказана.
Пусть теперь А — произвольная ассоциативная Ф-ал-
гебра, М ={ть} — подмножество алгебры А. Через / [М]
мы обозначим множество элементов вида h (тг, . . ., mk),
где mt £ М, h (хх, . . ., xk) £ / [X]. Элементы множества
/ [М] будем называть j-многочленами от элементов
множества М.
Теорема 3 (Ш и р ш о в). Пусть в ассоциативной
Ф-алгебре А множество / [{at}] j-многочленов от
множества порождающих {at} удовлетворяет некоторому
допустимому тождественному соотношению. Тогда, если
всякий элемент множества / [{а*}] является алгебраическим
над Z? то алгебра А локально конечна над Z

§ 4] СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЙОРДАНОВЫ PI-АЛГЕБРЫ 135
Доказательство. В силу леммы 8 достаточно
доказать, что всякое конечное подмножество R =
= {ах, . . ., ak} множества порождающих алгебры А
порождает конечную над Z подалгебру. Докажем это ут^
верждение с помощью индукции по числу порождающих,
предположив его справедливость в случае, если число
элементов в R равно к — 1. Рассмотрим наряду с
множеством R множество R ={хг, . . ., xk} и свободную
ассоциативную алгебру Ass [R]. Если/ = / (хг, . . ., xk)—
ассоциативное слово от хг, . . ., xh или некоторый
многочлен из Ass [/?], то мы, как и раньше, через / обозначим
соответствующий образ / (ах, . . ., ak) этого элемента
в алгебре А. Ввиду предположения индукции и алгебраич-
ности над Z элемента ak существует такое натуральное
число т, что для всякого ^^-неразложимого слова а
длины т в алгебре А имеем а = 2 ?>№и гДе zi 6 Z, at —
г
слова от хх, . . ., xk меньшей длины. Обозначим через Т0
множество всех ^^-неразложимых слов длины, меньшей иг,
и через V — множество всех Г0-слов Г-длины, меньшей п,
где п — степень допустимого полиномиального тождества.
(Заметим, что тождество можно считать имеющим вид (1).)
Ввиду леммы 9 всякий элемент множества V является
особым словом (относительно множества Д), т. е. для
всякого элемента v £ V существует однородный
/-многочлен от порождающих хь старшим членом которого
является слово v. Зафиксируем для каждого элемента
v £ V по одному соответствующему /-многочлену hv. Ввиду
конечности множества F, множество Н {V) = {hv \ v £ V)
также конечно, причем по условию леммы для каждого
элемента hv множества Н (V) элемент hv является
алгебраическим над Z. Рассмотрим теперь Д-слово а Д-дли-
иы rnN (К, s, п) + 2т, где К — число элементов в
множестве Т0, s — максимум степеней алгебраичности над Z
элементов hv, где hv £ Н (V). (Без ограничения общности
можно считать, что s ^ 2п.)
Все будет доказано, если мы установим, что
элемент а представим в алгебре А в виде Z-линейной
комбинации элементов аи где at — Д-слова, имеющие Д-длину,
меньшую чем а.

136 АЛГЕБРЫ С ТОЖДЕСТВЕННЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ [ГЛ. 5
Пусть а = а'^а", где а' не содержит xk, |3 = хк$'хь,
i ф /Ь, а" = £fe£fe . . . xk. Можно считать, что Д-длины
слов а' и а" меньше т, так как иначе все было бы
доказано. Тогда Д-длина слова |3 больше mN (К, s, п). Можно
предположить, далее, что образ каждого из
^-неразложимых слов, входящих в слово |3, не может быть представлен
в алгебре А в виде Z-линейной комбинации образов /?-слов
меньшей /?-длины. Каждое такое слово имеет Д-длину,
меньшую т. Следовательно, |3 является Г0-словом и Г-дли-
на слова |3 больше числа N {К, s, п). В силу лемм 3 и 4
мы, как и при доказательстве теоремы 1, получаем, что
в слове |3 найдется либо ^-разбиваемое подслово у, либо
подслово вида (у'У, где у' — Г0-слово, Г-длина которого
меньше п. Рассмотрим отдельно обе возможности.
1. |3 = |3Х (у'У$21 гДе Г-Длина слова у' меньше п.
В этом случае у' £ F, поэтому существует /-многочлен
hy> £ Н (F), имеющий у' своим старшим членом. Вследствие
выбора числа s существуют такие элементы zt 6 Z, что
К' — 2 Zihy'- Отсюда следует, что в алгебре А образ (y')s
слова (y')s (а, значит, и образ а слова а) представляется
в виде Ф-линейной комбинации образов меньших (в
лексикографическом смысле) слов той же Д-длины и Z-линейной
комбинации образов слов, имеющих меньшую Д-длину.
2. Р = P1Y1Y2 • • • YnP2, Y1Y2 • • • Уп > Yi/Vi, • • • Угт
если (ix, *2, . . ., in) =^(1, 2, . . ., п). Пусть y* —
старшие члены /-многочленов hv.. Так как множество
/-многочленов от {at} удовлетворяет соотношению вида (1),
произведение hyJiy2 . . . hyn выражается в виде линейной
комбинации произведений, получающихся из данного
с помощью перестановки сомножителей. Далее, так как
старший член произведения есть произведение старших
членов сомножителей, отсюда следует, что в алгебре А
образ слова Y1Y2 • • • Уп представляется в виде линейной
комбинации образов меньших слов той же Д-длины.
Следовательно, и элемент а может быть выражен аналогичным
образом.
Итак, мы пришли к заключению, что в алгебре А
образ а слова а представим в виде Ф-линейной
комбинации образов слов, имеющих ту же Д-длину, но
меньших а, и Z-линейной комбинации образов слов меньшей

§ 4 ! СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЙОРДАНОВЫ PI-АЛГЕБРЫ 137
Д-длины. Так как убывающая последовательность слов
равной длины обрывается, то на некотором шаге мы
получим представление элемента а в виде Z-линейной
комбинации образов слов меньшей Д-длины. Теорема доказана.
Следствие. Пусть в ассоциативной Ф-алгебре А
всякий j-многочлен от порождающих является
алгебраическим над Z, причем степени алгебраичности j-многочле-
нов ограничены в совокупности. Тогда алгебра А локально
конечна над Z.
Доказательство вытекает из леммы 6.
Пусть теперь в Ф есть элемент 1/2. Рассмотрим
свободную йорданову Ф-алгебру J [X] от множества
порождающих X ={#i, .}. Элемент / £ J IX]
назовем существенным, если при естественном
гомоморфизме алгебры J [X] на свободную специальную йорданову
алгебру SJ [X] образ / элемента /, рассматриваемый как
элемент свободной ассоциативной алгебры Ass [X],
является допустимым элементом. Пусть теперь / — некоторая
йорданова Ф-алгебра. Будем говорить, что /
удовлетворяет существенному полиномиальному тождеству, если
существует такой существенный элемент / (хх, . . ., хп) £
6 J [X], что /(ах, . . ., ап) = 0 для всех ах, . . ., ап £ J.
Если йорданова алгебра / удовлетворяет существенному
полиномиальному тождеству /, то алгебру / для
краткости будем называть йордановой Pl-алгеброй и говорить,
что / удовлетворяет многочлену /. Вот некоторые примеры
йордановых PI-алгебр:
1) любая ассоциативно-коммутативная алгебра
является йордановой PI-алгеброй, так как удовлетворяет
существенному многочлену / (хх, х2, х3) = 4 (хх, х2, х3).
Действительно, имеем / (хх, х2, х3) = 4 [(хгэ х2) © х3 —
— хх © (х2 © х3)] = [х2, [хг, х3]] — допустимый элемент;
2) йорданова алгебра Ф(£> матриц порядка 2x2
с элементами из Ф удовлетворяет существенному
многочлену / (ж, */, z, г, s) = 128 ((ж, у, z)2, г, s);
3) йорданова ниль-алгебра индекса п удовлетворяет
существенному многочлену / (х) = хп.
Пусть теперь / — некоторая специальная йорданова
алгебра и А — ассоциативная обертывающая алгебра
алгебры /. Ясно, что если / — йорданова PI-алгебра, то /
как подмодуль алгебры А удовлетворяет некоторому

1^8 АЛГЕБРЫ С ТОЖДЕСТВЕННЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ [ГЛ. 5
ассоциативному допустимому полиномиальному тождеству.
Покажем, что справедливо и обратное утверждение.
Лемма 10. Пусть специальная йорданова алгебра J,
рассматриваемая как подмодуль ассоциативной алгебры А,
удовлетворяет ассоциативному допустимому
полиномиальному тождеству. Тогда J удовлетворяет и некоторому
йорданову существенному полиномиальному тождеству,
т. е. J является йордановой Vl-алгеброй.
Доказательство. Пусть / (хг, . . ., хп) = 0—
ассоциативное допустимое тождественное соотношение,
выполняющееся на подмодуле /. Тогда / удовлетворяет
и многочлену ср (х, у) = / (хух, ху2х, . . ., хупх). Если
ф* (%, у) — многочлен, получающийся применением к
многочлену ф инволюции * , то / удовлетворяет и многочлену
if) (х, у) = ф (х, г/)-ф* (х, у). Многочлен г|) (х, у) является
допустимым и симметричен относительно инволюции * ;
следовательно, по теореме 3.3 г|) (х, у) £ SJ [х, у]. Пусть
теперь г|)0 {х, у) £ J [х, у] — некоторый прообраз
элемента г|) (х, у) при каноническом гомоморфизме J [х, у] на
SJ [х, у]. Тогда ясно, что г|)0 (х, у) — существенный
элемент и что / как йорданова алгебра удовлетворяет
тождеству г|)0 (х, у) = 0. Лемма доказана.
Заметим, что множество порождающих {аа}
специальной йордановой алгебры / порождает и ассоциативную
обертывающую алгебру А] при этом / как подмножество
алгебры А совпадает с множеством / [{аа}1 всех
/-многочленов от {аа}.
Мы можем теперь переформулировать теорему 3
и следствие из нее следующим образом:
Теорема 3' (Ш и р ш о в). Пусть всякий элемент
специальной йордановой Vl-алгебры J над кольцом Ф
является алгебраическим над Z. Тогда ассоциативная
обертывающая алгебра А алгебры J локально конечна
над Z.
Следствие 1. Пусть всякий элемент
специальной йордановой алгебры J аЛгебраичсн над Z, причем
степени алгебраичности элементов ограничены в совокупности.
Тогда ее ассоциативная обертывающая алгебра А локально
конечна над Z.
Полагая Z = (0), мы получаем также
Следствие 2. Пусть всякий элемент специальной
йордановой Vl-алгебры J является нилъпотентным. Тогда

§ 4] СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЙОРДАНОВЫ PI-АЛГЕБРЫ 139
ее ассоциативная обертывающая алгебра А локально ниль-
потентна.
Из теоремы 3' легко следует
Теорема 4. Пусть J — специальная йорданова
Vl-алгебра над кольцом Ф, каждый элемент которой
алгебраичен над Z. Тогда J локально конечна над Z.
Доказательство. Пусть / — некоторая
подалгебра алгебры /, порожденная конечным множеством
элементов R = {Ьь . . ., bk}. По теореме 3 в
ассоциативной обертывающей алгебре А алгебры / множество R
порождает конечную над Z алгебру В. Рассмотрим йорда-
нову алгебру 5(+). В силу конечности над Z алгебра В
(а следовательно, и В(+)) является конечнопорожденным
модулем над Ф. Отсюда следует, что В(+) конечнопорожде-
на как Ф-алгебра. Ясно теперь, что В{+) конечна над Z.
По лемме 8 подалгебра I ^ Bi+) также конечна над Z.
В силу произвольности подалгебры / это означает, что
алгебра / локально конечна над Z. Теорема доказана.
Из теоремы 4 для алгебры / легко выводятся
утверждения, аналогичные следствиям 1 и 2 теоремы 3'. Мы
приведем здесь лишь один очень важный частный случай этих
утверждений.
Следствие. Специальная йорданова ниль-алгебра
ограниченного индекса локально нильпотентна.
Заметим, что из соответствующего результата Голода
для ассоциативных алгебр следует, что ограниченность
индекса в формулировке следствия существенна (см.
упражнение 5).
Вопрос о локальной нильпотентности произвольной
йордановой ниль-алгебры ограниченного индекса остается
открытым до сих пор.
Упражнения
1. Пусть / = Ф • 1 + М — йорданова алгебра симметрической
билинейной формы / на векторном пространстве М, не обязательно
конечномерном. Доказать, что / является Р1-алгеброй.
2. Доказать, что исключительная простая йорданова алгебра
Я (С3) является Р1-алгеброй.
3. Пусть всякий элемент йордановой Ф-алгебры / алгебраичен
над Ф, причем степени алгебраичности ограничепы в совокупности.
Доказать, что / является Р1-алгеброй.
4. Пусть А — коммутативная алгебра с тождеством х* = 0.
Доказать, что А — йорданова алгебра, причем А локально
нильпотентна,

140 АЛГЕБРЫ С ТОЖДЕСТВЕННЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ [ГЛ. 5
Указание. Применить следствие 2 теоремы 3' к алгебре
правых умножений R (А) и доказать, что она локально нильпо-
тентна.
5. Пусть Л — ассоциативная Ф-алгебра (V2 Е Ф), Ж (А) ~
ее верхний ниль-радикал, X (А) — ее локально нильпотентный
радикал. Доказать, что
ЛГ (А) = Ж (Л(+)), Х{А)^Х (А(+)).
Вывести отсюда существование специальной йордановой ниль-
алгебры, не являющейся локально нильпотентной.
Указание. Воспользуйтесь упражнением 3.1.5.
§ 5. Альтернативные PI-алгебры
Прежде чем рассматривать PI-алгебры, мы установим
некоторые необходимые нам факты о произвольных
альтернативных алгебрах.
Предложение 1. Пусть I, J — идеалы
альтернативной алгебры Л. Тогда произведение IJ также
является идеалом алгебры А,
Доказательство. Пусть i £ I, /6 /.Тогда
для любого а 6 А
(ij) а = i (ja) + (i, /, а) = i (ja) — (*, a, /) £ I J,
a (ij) = (ai) j — (a, i, /) = (ai) j + (i, a, /) £ I J,
что и требовалось доказать.
Пусть теперь S и Т — какие-то подмножества
альтернативной алгебры А. Обозначим через {STS} подмодуль
Ф-модуля А, порожденный всевозможными элементами
вида sts, где s £ S, t £ Т.
Предложение 2. Для любых идеалов /, /
альтернативной алгебры А множество {IJI} также является
идеалом в А.
Доказательство. Положим {xyz} = (ху) z -\-
-\-(zy)x= x(yz) + z(yx). Тогда для любых £, V £ I', / £ J
мы имеем
{*/*'} = (i + if) j (i + i') - iji - i'ji' 6 {///},
откуда по тождествам Муфанг для любого а £ А
(iji) а = i\j (ia)\ = i [j (ia)] + (ia) (ji) — (id) (ji) =
= {iJ(ia)}-i(aj)ieUJI},
и аналогично a (iji) £ {HI}- Лемма доказана.

§ 5l
АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ PI-АЛГЁБРЫ
141
Напомним, что для произвольной алгебры А через А#
обозначается алгебра, полученная формальным
присоединением единицы к алгебре А, По следствию 2
предложения 1.7, если алгебра А альтернативна, то и алгебра Л#
альтернативна.
Следствие. Для любого идеала I альтернативной
алгебры А множества Р (I) = {/Л#/} и Т (I) = {III}
являются идеалами алгебры Л, при этом Р (I) 3 Т (I) 3
э (Р (/))2.
Доказательство. Заметим, что / является
идеалом и в алгебре Л#, поэтому по предложению 2
множество Р (I) есть идеал алгебры Л#. Но Р (I) ^ Л,
поэтому Р (I) — идеал алгебры А. Непосредственно из
предложения 2 следует также, что Т (I) — идеал алгебры А.
Далее, включение Р (I) з Т (I) очевидно. Остается
доказать включение [Р (7)]2 ^ Т (/). Будем писать х = г/,
если х — у £ Т (I). Пусть i, j £ I, a, b £ А#. Тогда в силу
тождеств Муфанг и их линеаризации имеем
(iai) (jbj) = {(ia) (ij) (bj)} — (bj-i) (j-ia) =
= — (bj- i) (j- ia) = — b {ji (/. ia)} + (lb (j- ш)] i) j =
= ([b (j-ia)] i) j = {b (j-ia) i} j — ([i (j-ia)] b) / =
= Ь[(/-ш)(У)] + i[(j-ia)(bj)] -
— (l(iji) a] b) j = b [j (iai) j] + i [j (ia- b) j] =0.
Следствие доказано.
Пусть Ф [X] — свободная алгебра от множества
порождающих X = {ха}. Положим
(#1/ — Х±, \%\ч • • • ? %n-li %п) = \^1» - - -1 %п-1/ ' %п
для rc>l. Неассоциативные слова вида (Xit, . . ., xin)
мы будем называть ^-словами от множества {ха}. Если
в rj-слове у = (я:^, #|8, . . ., ^п) индексы упорядочены:
h < Н < • • • < *т т0 будем называть v правильным
^-словом. Далее, г ^-словами (правильными г ^-словами) от
{ха} будем называть неассоциативные слова вида (иг, . . .
. . ., ип), где каждое ut есть гх-слово (соответственно
правильное гх-слово) от {ха}. Если А — произвольная алгебра
и М = {mt} — подмножество алгебры Л, то элементы
вида (mit, . . ., min) будем называть ^-словами от
множества М. Аналогично определим г2-слова от
множества М. Для полилинейного слова v = v (хи . . ., хп)

142 АЛГЕБРЫ С ТОЖДЕСТВЕННЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ [ГЛ. 5
через (и) мы обозначим правильное гх-слово того же
состава, что и у; если же слово v не полилинейно, то
положим (v) = 0.
Алгебра А называется антиассоциативной, если в А
справедливо тождество
(ху) z + х (yz) = 0.
Лемма 11. Пусть А — антиассоциативная и
антикоммутативная алгебра, v — v {хъ . . ., хп) —
произвольное неассоциативное слово. Тогда для любых элементов
аг, . . ., ап £ А верно равенство
v {ах, . . ., ап) = ± (и(а1ч . . ., ап)).
Доказательство. Докажем вначале, что
v (ах, . . ., ап) = v' (ах, . . ., ап), где и' = и' {хх, . . .
. . ., хп) — какое-то, не обязательно правильное, ту-слово
того же типа, что и слово v. Будем доказывать это
утверждение индукцией по длине d (v) слова v. Очевидно
основание индукции: d (v) = 1. Пусть теперь d (v) = п > 1 и
для любого неассоциативного слова и длины, меньшей п,
наше утверждение справедливо. Мы имеем v = vxv2, где
d (vt) < п. Если d (v2) = 1, то все ясно, так как по
предположению индукции элемент vx = vx (ах, . . ., ап)
представим в виде rj-слова. Пусть теперь d (v2) > 1, v2 =
= v'2vl; тогда для образов v, vu v'2, v"2 элементов v, vu v'2,
v\ в алгебре А имеем v = v (ax, . . ., an) = vxv2 =
= vx (v'2vl) ~ — (у1уг) y2» и доказательство завершается
индукцией по d (у2). Далее, пусть v (аъ . . ., ап) =
= (aiv . . ., аь ah . . ., aim) и i > 7. Если / = i, то
мы имеем v = (а^, . . ., а,, а,, . . ., atJ = — (а^, . . .
. . ., а|, . . ., а; ) = 0. Если же / < i, то i; =
= — (а^, . . ., а^ау, . . ., aim) = (а^, . . ., а^, . . .
. . ., aim) = — (а^, . . ., ау, а*, . . ., aim). Так как
данный процесс монотонен (он уменьшает слово в смысле
лексикографической упорядоченности) и не изменяет тип
слова v, то через некоторое конечное число шагов мы
получим нужный результат. Лемма доказана.
Предложение 3 (Ж е в л а к о в). Пусть А —
альтернативная алгебра, v = v (хг, . . ., хп) —
произвольное неассоциативное слово. Тогда для любых элементов

§ 5l
АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ Р1-АЛГЕБРЬ1
143
ах, . . ., ап £ А элемент v (аг, . . ., ап) представим в виде
v(au ..., an) = ±(v(ai, ..., ап)) + 2 <хц?| (<Ч, ..., О»
г
где а$ £ Ф и для каждого i элемент vt = уг (#x, . . ., #п)
есть неассоциативный однородный многочлен, имеющий
тот же тип, что и и, и представляющийся в одном
из видов:
и2, иои', (uw) и, {uwu'}, (2)
где и, и'', w — неассоциативные слова длины меньшей,
чем v.
Доказательство. Без ограничения общности
мы можем считать, что А — свободная альтернативная
алгебра с множеством свободных порождающих {at}.
В силу следствия теоремы 1.5 многообразие
альтернативных алгебр однородно, поэтому в А имеют смысл понятия
степени одночлена, однородного многочлена и т. д.
Рассмотрим фактор-алгебру А = А/Р (А). Для любых
элементов а, Ъ, с £ А мы имеем {аЪс} £ Р (А), а о Ъ = {alb} £
6 /* (-4), поэтому в фактор-алгебре А мы получаем аЪ =
= — Ъа и (аЬ) с = — (сЬ) а = а (сЪ) = — а (Ьс). Таким
образом, алгебра Л антикоммутативна и антиассоциатив-
иа. По лемме 11 отсюда следует, что
v (ах, . . ., ап) = ± (г; К, . . ., ал)> + у0, (3)
где v0 £ Р (А). Заметим, что всякий элемент из идеала
Р (А), в частности элемент v0, есть линейная комбинация
элементов вида (2) для каких-либо одночленов и, и', w.
Далее, так как А — свободная алгебра однородного
многообразия, то любая однородная компонента любого
тождества, справедливого в А, также является тождеством
в А. Рассмотрев теперь однородную компоненту
соотношения (3), содержащую элемент и (аг, . . ., ап), мы
получим требуемое утверждение. Предложение доказано.
Теорема 5 (III и р ш о в). Пусть А —
альтернативная алгебра, v = v (хг, . . ., хп) — произвольное
неассоциативное слово. Тогда для любых элементов ах, . . .
• . ., ап £ А элемент v (ах, . . ., ап) представим в виде
линейной комбинации правильных г2-слов от аг, . . ., ап
той же длины, что и v.

144 АЛГЕБРЫ С ТОЖДЕСТВЕННЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ [ГЛ. 5
Доказательство. Вновь можно считать, что
А — свободная альтернативная алгебра с множеством
порождающих {at}. Достаточно показать, что v (ах, . . .
. . ., ап) можно представить в виде какой-либо линейной
комбинации правильных г2-слов; сохранение длины будет
вытекать из того, что А — свободная алгебра
однородного многообразия. Пусть щ — произвольный одночлен
из Л. Докажем индукцией по степени d (щ) одночлена щ,
что для любого правильного г2-слова и2 элемент и2щ
снова представим в виде линейной комбинации
правильных г2-слов от ах, . . ., ап. Очевидно основание индукции:
d (иг) = 1. Пусть d (щ) = т ^ 2, и для слов меньшей
длины утверждение доказано. По предложению 3 имеем
щ = а0и0 + 2ai^in гДе ио — правильное гх-слово, а ии —
г
элементы вида (2). Так как и2и0 есть правильное г2-слово,
то нам остается рассмотреть элементы и2ии. Пусть,
например, ии имеет вид {uwu'}, где и, и', w — одночлены
из А степени, меньшей п. Тогда по линеаризованному
правому тождеству Муфанг имеем
u2Uli = и2 {UWU' } = [(U2U) W] и' + i(u2u) w] U.
Так как d (и) < п, d (w) <. п, d (и) < п, то, применив
последовательно (слева направо) к каждому слагаемому
в правой части три раза предположение индукции, мы
получим представление элемента и2ии в виде линейной
комбинации правильных г2-слов. Аналогично
рассматриваются другие случаи. Итак, мы доказали, что для любого
правильного г2-слова и2 и для любого одночлена иг
элемент и2иг есть линейная комбинация правильных г2-слов.
Заметим теперь, что элемент и {аъ а2, . . ., ап)
представляется в виде v (ах, а2, . . ., ап) = aiiRVlRV2 . . . RVk,
где ait — порождающий, стоящий на самом левом месте
в v (ах, . . ., ап), v±, v2, . . ., vk — некоторые одночлены
из А. Начав с правильного г2-слова а^ и применив к раз
доказанное нами утверждение, мы получим
представление элемента v (аь . . ., ап) в виде линейной комбинации
правильных г2-слов. Теорема доказана.
Следствие. В альтернативной алгебре А для
любого натурального п верно включение Ап2 ^ Л <п>. В
частности, если алгебра А правонилыготентна индекса п, то А
нилыготентна индекса не выше п2.

§ 5]
АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ PI-АЛГЕБРЫ
145
Доказательство. По теореме 5 всякий
элемент из А71* есть линейная комбинация г2-слов от
порождающих алгебры А длины ^ п2. Но любое г2-слово w
длины ^ п2 либо содержит гх-слово длины ^ п, либо само
является гх-словом от более чем п гх-слов. Так как по
предложению 1 Л<п> — идеал в Л, тоЦв каждом из случаев
очевидно, что w£ Л<п). Следствие доказано.
Рассмотрим теперь свободную альтернативную Ф-ал-
гебру Alt [X] от множества порождающих X =
= {#!, х2, . . .}. По аналогии с ассоциативным случаем
элемент / = / (хг, . . ., хп) алгебры Alt [X] назовем
альтернативным j-многочленом, если / выражается через
элементы множества X с помощью операций сложения,
умножения на элементы из Ф, возведения в квадрат и
«квадратичного умножения» xUy = уху. Множество всех
альтернативных /-многочленов обозначим через /A1t [X].
Пусть я — канонический гомоморфизм алгебры
Alt [X] на свободную ассоциативную алгебру Ass [X];
тогда ясно, что я (/Alt IX]) = / [X].
Лемма 12. Пусть f = f (хг, . . ., хп) £ /Ait IX].
Тогда
Rf(xu ..., xn) = f (-Йзсц • • ч -Racji)-
Доказательство. Пусть S — множество
альтернативных /-многочленов, для которых выполнено
утверждение леммы. Очевидно, что S 3 X и S замкнуто
относительно Ф-линейных комбинаций. Пусть теперь /,
gtS. Тогда
= (Pf(RXl,...,RXji),
и в силу правого тождества Муфанг
Rfgf(Xl Хп) = Rf(Xl Xn)Rg(Xi Xn)Rf(Xt xn> =
= f (RXl, ..., RXJ gn (RXl, ..., RXn) f (RXl, ..., RXJ =
= (fgff(RXl,...,RXn).
Таким образом, множество S содержит порождающие
и замкнуто относительно операций сложения, умножения
на элементы из Ф, возведения в квадрат и «квадратичного
умножения» xUy = уху. Отсюда, очевидно, следует, что
$ = Jam IX]. Лемма доказана.

146 АЛГЁБРЬ1 С ТОЖДЕСТВЕННЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ [гл. 5
Как и в ассоциативном случае, если А —
произвольная альтернативная алгебра и М = {mt} — подмножество
алгебры А, то через /Alt [М] мы обозначим множество
элементов вида / (тг, . . ., mk), где / (хг, . . ., xk) £
6 /ah f^b Элементы множества /A1t [М] будем называть
/-многочленами от множества М.
Элемент / £ Alt [X] назовем существенным, если fn
является допустимым элементом в алгебре Ass [X]. Если
А — некоторая альтернативная Ф-алгебра и М —
подмодуль алгебры А, то будем говорить, что М
удовлетворяет существенному полиномиальному тождеству, если
найдется такой существенный элемент / (хг, . . ., xk) £
6 Alt [X], что / (тъ . . ., ttife) = 0 для всех тг, . . .
. . ., mk £ М. Альтернативную алгебру, удовлетворяющую
существенному полиномиальному тождеству, будем
называть для краткости альтернативной Р1-алгеброй.
Зафиксируем вновь некоторый идеал Z кольца Ф.
Лемма 13. Пусть в альтернативной Ф-алгебре А
с множеством порождающих R = {аъ . . ., ak}
подмодуль М = /AU Ш] удовлетворяет существенному
полиномиальному тождеству f = О, где / 6 /am f-XI- Тогда,
если всякий элемент подмодуля М алгебраичен над Z, то
для некоторого натурального числа N все г^слова от
порождающих at длины, большей или равной N, представляются
в виде Z-линейной комбинации гг-слов от порождающих аь
длины, меньшей N.
Доказательство. Как легко видеть, для
доказательства леммы достаточно доказать конечность над Z
подалгебры Л* алгебры R (А), порожденной операторами
правого умножения Rai, . . ., Ra . Пусть dx (xt), . . .
. . ., dn (xt) — произвольные альтернативные
/-многочлены. Очевидно, что dt (ах, . . ., ak) £ М для любого t.
Поэтому в силу леммы 12
f71 (di (#а.), . . ., dn (Rat)) = f (Rdt(a.), - - -, Rdn(a.)) =
= -R/(d1(a|), ...,dn(a.))=0.
Так как / [X] = я (/Au [X]), то множество /-многочленов
от {Ra.-* • • •, ^afe} удовлетворяет допустимому
тождественному соотношению /я = 0. Ввиду алгебраичности
элементов подмодуля М, для любого /-многочлена
d {хг, . . ., xk) £ /A1t [X] существует натуральное число т

§ 5]
АЛЬТЕРНАТИЁНЫЁ Pl-АЛГЕБРЫ
147
и элементы zt £ Z такие, что
т- i
dm (alf ..., ak) = 2 M* (ai> • • •. ak)-
В силу леммы 12 и того, что dr (хг, . . ., #&) 6 /ап 13П»
имеем
(dn)m (i?ai, . . . , i?aft) = (dm)n (Rai, . . . , i?afe) = Rdm{au _ #> а^ =
m-\ m-1
= 2 ^(a, ,= 2 M<*-№„..., л,,).
Таким образом, всякий /-многочлен от множества {Rax, • - •
. . ., Rak} является алгебраическим над Z. По теореме 3
алгебра Л* конечна над Z. Лемма доказана.
Лемма 14. Всякая альтернативная Vl-алгебра
удовлетворяет существенному полиномиальному
тождеству /, где f 6 /ап IX].
Доказательство. Пусть g (хг, . . ., хп) = О —
существенное тождественное соотношение, выполняющееся
в альтернативной PI-алгебре А. Тогда А удовлетворяет
и многочлену ср (х, у) = g (ху, ху2, . . ., хуп) £ Alt [х, у].
По теореме Артина алгебра Alt [х, у] ассоциативна и
потому изоморфна Ass [х, у]. Пусть г|) (#, у) = ср (#, г/) ср* (а:, г/).
Тогда по замечанию к теореме 3.3 г|) (а:, г/) является
/-многочленом, т. е. г|) (х, у) 6 / [{я, I/}] = /ап I{%•> У}1- Ясно,
что г|) (#, г/) — существенный элемент и что алгебра Л
удовлетворяет тождеству г|) (ж, г/). Лемма доказана.
Теорема 6 (Ширшов). Пусть А —
альтернативная Vl-алгебра над кольцом Ф с множеством
порождающих R = {at} и пусть М — множество всех гх-слов
от элементов множества R. Тогда если всякий элемент
подмодуля /Alt [М] алгебраичен над Z, то алгебра А
локально конечна над Z.
Доказательство. Ввиду леммы 8, достаточно
показать, что любое конечное подмножество множества R
порождает конечную над Z подалгебру алгебры Л. Пусть
В — произвольная подалгебра, порожденная конечным
множеством R0 = {a* , . . ., а\ }. Из лемм 14 и 13
следует существование такого натурального числа п, что
всякое ту-слово от элементов множества R0 длины ^ п
представляется в виде Z-линейной комбинации ту-слов

148 АЛГЕБРЫ С ТОЖДЕСТВЕННЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ [ГЛ* 5
меньшей длины. Обозначим через Rx множество всех
rj-слов от элементов множества В0 длины, меньшей п.
Внорь применив леммы 14 и 13, получаем натуральное
число т, для которого всякое г^слово от множества Rx
Д^длины ^ т представимо в виде Z-линейной
комбинации г^слов от множества Rx меньшей /?1-длины. Ясно
теперь, что всякое г2-слово от множества R0 длины ^ тп
является Z-линейной комбинацией г2-слов от множества
R0 меньшей длины. Ввиду теоремы 5, это означает, что
всякое произведение тп или более элементов множества
R0 представимо в виде Z-линейной комбинации
произведений меньшего числа сомножителей из R0.
Следовательно, алгебра В конечна над Z. Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть в альтернативной Ф-алгебре
А всякий элемент является алгебраическим над Z, причем
степени алгебраичности ограничены числом п. Тогда А
локально конечна над Z.
Действительно, как легко видеть, алгебра А
удовлетворяет существенному многочлену [[хп, у], [#п-1, у], . . .
• • • » Ь> */И 6 Alt [х, у].
Следствие 2. Пусть всякий элемент
альтернативной Vl-алгебры А нильпотентен. Тогда А локально
нилъпотентна.
В частности, всякая альтернативная ниль-алгебра
ограниченного индекса локально нилъпотентна.
Упражнения
1. Доказать, что если в Ф есть элемент 1/2, то Л4 дР(4)
для любой альтернативной алгебры А.
2. Пусть А — Ф-алгебра и 1/2 £ Ф. Доказать, что если А
альтернативна, то Л<+> является специальной йордановой алгеброй.
При этом если А конечнопорождена, то и А(+) конечнопорождена.
3 (Ж е в л а к о в). Пусть В — альтернативная алгебра, А —
подалгебра алгебры В с множеством порождающих {at}. Тогда
в качестве порождающих алгебры RB(A), порожденной
операторами правого умножения Ra на элементы алгебры А в алгебре В,
можно взять операторы правого умножения Rw, где w —
правильное гх-слово от {а,}}.
4. В условиях упражнения 3 доказать, что если алгебра А
конечнопорождена, то и алгебра RB (А) конечнопорождена.
5. Доказать, что если альтернативная алгебра А локально
нильпотентна, то алгебра RB (А) локально нильпотентна для любой
альтернативной надалгебры S эЛ.

ЛИТЕРАТУРА
149
6. Пусть Л — конечнопорожденная альтернативпая алгебра.
Доказать, что для любого п существует такое число / (п), что
Л/(п)е Л<п>.
7. Доказать, что во всякой альтернативной алгебре существует
локально нильпотентный радикал.
8. Пусть я —канонический гомоморфизм свободной
альтернативной алгебры Alt [X] на свободную ассоциативную алгебру
Ass [X]. Доказать, что JA\t[X] П Кег я = (0). В частности,
ограничение я на множестве/дм [X] взаимно однозначно отображает
/Ait [X] на/Ш.
ЛИТЕРАТУРА
Голод [37], Джекобсон [46], Жевлаков и Шестаков [80], Курош
[104], Медведев [145], Прочези [170], Херстейн [252], Ширшов [276,
277, 279].

ГЛАВА 6
РАЗРЕШИМОСТЬ И НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ
АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР
§ 1. Теорема Нагаты — Хигмана
В связи с теоремой Ширшова о локальной
нильпотентности альтернативной ниль-алгебры ограниченного
индекса возникает естественный вопрос: насколько
существенным является в этой теореме условие локальности,
т. е. не будет ли всякая альтернативная ниль-алгебра
ограниченного индекса нильпотентной? В этом параграфе
мы покажем, что в случае ассоциативных алгебр при
достаточно хорошем кольце операторов ответ на этот
вопрос оказывается положительным.
Нам понадобится следующая
Лемма 1. Пусть А — альтернативная алгебра.
Обозначим через 1п (А) множество
М4) = {2а**?|а*€Ф, я* €^}.
г
Тогда (nl)4n (А) А + (nl)*AIn (А) д= 1п (А).
Доказательство. Обозначим через
Sn (ах, а2, . . ., ап) следующую сумму:
Sn (а1> а2, ..., ап)= 2 v (ач, аи^ • • • > ain)i
(г1} г2, .... in)
где v (хг, х2, . . ., хп) — некоторое фиксированное
неассоциативное слово длины п. По лемме 1.4 мы имеем
Sn(au ..., an) = v(ai+ . . .+an, ..., ах+ ...+ап) —
п
— 2 y(ai+. • -+at+. . . + ап, .. ., а4+. . .+аг + . . .+ап) +
i=i
+ 2 v(at+ ...+at+ ...+aj+ ...+ап,...
1 ^i<j^n

1]
ТЕОРЕМА НАГАТЫ — ХИГМАНА
151
..., ах + ... + а% + ... + aj + ... + ап) — ...
... +(-ir12i>(a„ ....а,). (1)
г=1
Ввиду того, что А — алгебра с ассоциативными
степенями, правая часть этого равенства не зависит от способа
расстановки скобок в одночлене v. Следовательно, и
сумма Sn (ax, . . ., ап) не зависит от способа расстановки
скобок в одночлене v. Можно считать, например,
расстановку скобок правонормированной. Далее, из (1)
следует, что Sn (ax, . . ., ап) £ In (А) для любых элементов
й!, ..., яп^4. Пусть теперь а, Ъ — произвольные
элементы алгебры А. Тогда имеем
п-1 .
Sn(ab,a, ..., а) = (п— 1)! 2 а* (оЬ) ап^"1 =
п-1
= а(п — 1)! 2 а1Ьап-1Н = а8п(Ь, а, ..., а),
г=0
откуда
aSn(b, a, . . ., a)ein(A). (2)
Линеаризуя это включение по а, получаем, что для любых
ах, . . ., ап, Ъ £ А справедливо включение
п
а<и • • •> 0n)£Ai(^)- (3)
г=1
Полагая в (3) ах = а, а2 = а3 = ... = ап = Ь, получим
(„_ 1)! aSn(b, Ь, . . ., Ь) +
+ (и _ 1) (и _ 1)! Ь5П (а, Ь, . . ., Ъ) £ /„ (Л),
откуда в силу (2) следует
(n\)'abn ein(A).
Аналогично доказывается, что для любых а, Ъ £ А
(/г!)2 Ь"а 6 /„ (А).
Лемма доказана.
Следствие. Пусть А — альтернативная алгебра.
Обозначим через Jn {А) множество
Jn (А) = {а 6 А | (n\)ha £ 1п (А) для некоторого к}.

152
РАЗРЕШИМОСТЬ И НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ [ГЛ. 6
Тогда Jn (А) — идеал алгебры А и фактор-алгебра
AUn (А) не содержит в аддитивной группе элементов
порядка ^ п.
Доказательство. Очевидно, что Jn (А)
является Ф-подмодулем Ф-модуля А. Пусть теперь а £ Jn (А),
Ъ £ А и пусть (n\)ha £ In (А). По лемме 1 (n\)2b [(n\)ka],
(#г!)2 l(n\)ha] be 1п (А), откуда (nl)h+2ba, (nl)k+2ab £ In (А)
и Ъа, аЪ е Jn (А). Тем самым доказано, что Jn (А) — идеал
алгебры А. Заметим теперь, что идеал Jn (А) обладает
следующим свойством: если (n\)ka £ Jn (А), то а £ Jn (А)-
Отсюда следует, что фактор-алгебра AIJn (А) не содержит
в аддитивной группе элементов порядка ^ п. Следствие
доказано.
Теперь мы можем доказать следующее утверждение:
Теорема 1 (Н а г а т а, X и г м а н). Пусть А —
произвольная ассоциативная алгебра. Тогда для любого
натурального числа п
A*n-*c=Jn(A).
Доказательство (Хиггинс). Будем
доказывать теорему индукцией по п. Для п = 1 утверждение
очевидно; пусть оно верно для п — 1. Ввиду того, что
Sn (Ь, а, . . ., а) £ 1п (А), имеем для любых а, Ъ £ А
2 а*Ьа»-1-*б/п(4). (4)
г=0
Пусть теперь а, Ъ, с — произвольные элементы алгебры А.
Рассмотрим сумму
2 ап-*-1сЪ'а1Ъп-*-> = S (2 an~i~i (cbj)al)№-i-i =
г, j=l j=l 1=1
п-1
= — S an-1cbibn"1-^+A:= —(n — l)an-icbn-i + k1
3=1
где k £ Jn (А) в силу (4). С другой стороны, имеем
п-1 п-1 п-1
i,j=i 2=1 i=l
n- 1
= 2 (an-1"lcai)bn-1+/c1-an-1cbn-1 + fc2,
i=l

§ 1]
ТЕОРЕМА НАГАТЫ — ХИГМАНА
153
где вновь кг, к2 £ Jn (А). В результате получаем
пап-1сЪп-1 е Jn (А).
Ввиду произвольности элементов а, Ь, с, отсюда следует,
что
nIn.l(A)AIn.l(A) = Jn(A)
и, далее,
Jn^1(A)AJn.1(A)sJn(A).
По предположению индукции А2П~ _1 ^ Jn.x (А),
следовательно,
Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть А — ассоциативная нилъ-
алгебра индекса п без элементов порядка ^ п в
аддитивной группе. Тогда А нилъпотентна индекса ^ 2п — 1.
Для доказательства достаточно заметить, что в
условиях следствия Jn (А) = (0).
Следствие 2. Пусть А — произвольная
ассоциативная алгебра. Тогда для любого натурального числа п
существует такое натуральное число к, что для любого
а ел271-1
(п1)ка=^агаи где a^CD. аг£А.
г
Для доказательства рассмотрим свободную
ассоциативную Ф-алгебру Ass [X] от множества свободных
порождающих X = {хг, х2, . . .}. По теореме 1 имеем
хгх2 . . . х2п_1 6 Jn (Ass t^Di
следовательно, для некоторого к
(nl)h XiX2 ... #2n-i = S «jM?, где at £ Ф, щ£ Ass [X].
г
Как легко видеть, данное число к является искомым.
Заметим, что полученная в теореме Нагаты — Хиг-
мана оценка 2п — 1 не является точной, так как в случае
гс = 3 известно, что А6 ^ J3 (А), в то время как 23 — 1 =
= 7. Вопрос о соответствующей точной оценке / (п) в
случае произвольного п остается открытым. Размыслов

154 РАЗРЕШИМОСТЬ И НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ [ГЛ. 6
недавно показал, что / (п) ^ п2. С другой стороны, Кузьмин
доказал, что / (п) ^ -^—^—- .
Упражнения
1. Пусть А — йорданова алгебра. Как и в случае
альтернативных алгебр, в А можно рассматривать подмножества 1п (А)
и Jn (А). Доказать, что для любого п Jn (А) — идеал алгебры А.
2. Доказать, что для любого простого числа р существует
ненильпотентная ассоциативная ниль-алгебра индекса р над полем
характеристики р.
3 (X и г м а н). Доказать, что для всякой ассоциативной
алгебры А справедливо включение A6 s /3 (А).
§ 2. Пример Дорофеева
Вернемся теперь к альтернативным алгебрам.
Оказывается, что, в отличие от ассоциативного случая,
альтернативные ниль-алгебры ограниченного индекса могут
быть ненильпотентными, т. е. теорема Нагаты — Хиг-
мана не переносится на альтернативные алгебры. Это
доказал Дорофеев, построив пример ненильпотентной
разрешимой альтернативной алгебры над произвольным
кольцом операторов. Мы приведем этот пример в
несколько измененном виде.
Рассмотрим два множества символов: Е = {ек}> к =
= 1, 2, . . ., п, . . ., V = {х, Lh Rj}, i, / = 1, 2, . . .
. . ., п, ... Если v — произвольное ассоциативное слово
от элементов F, то через dR (v) мы будем обозначать число
символов Rt, входящих в состав v. Слово v назовем
регулярным, если v имеет один из следующих видов:
1) dR (v) = О, v = х или v = хЬь;
2) dR (v) = 1, v = xRj или v = xLtRj\
3) dR (v) > 2, v = xL^R^Rb . . . i?in, где ix <
< i2 < ... < in и символ Ljj может отсутствовать.
Множество всех регулярных слов обозначим через
T(V).
Пусть теперь и — произвольное слово от V вида
u = xLitRitRis ... Rin,
где dR (и) ^ 2 и символ L\x может отсутствовать.
Обозначим через и регулярное слово вида
u = xLjlRitRjt ... Rjn,

§ 2]
ПРИМЕР ДОРОФЕЕВА
155
где {]\, /2, . . ^ /п} = {*!, *2, • • •, к} и символ Lh
входит в состав и тогда и только тогда, когда символ Ь^
входит в и. Через t (и) обозначим число инверсий в
перестановке (&х, i2, . . ., &Л). Если среди символов ix, i2, ...
. . ., in есть одинаковые, то полагаем и = 0.
Рассмотрим свободный Ф-модуль Л, базисом которого
является множество Е (J Г (V). Превратим А в алгебру,
определив умножение на базисе по следующим правилам:
1. х-у = 0, если х, у £ Е или х, у £ Т (V).
2. a) x-et = xRt, xLj-et = xLjRt;
б) если u £ Г (F) и dR (и) > 1, то
м. в| = (—1)^мВ*>йй7.
3. a) et-x = #Z^, et-xLj = xRj-et;
б) если u £ Г (У) и dH (u) ^ 1, то и = u'i?£ и
ej'U = ej'(ufRi) = {еги' + и'-е^-е^
Как легко видеть, правила 1—3 определяют
произведение любых базисных элементов. Рассмотрим теперь
Ф-модуль I = Ф (Т (V)), порожденный множеством Т (V).
Ясно, что I — идеал алгебры Л, при этом Р = (0) и Л2 9=
:= /. Следовательно, (Л2)2 = (0), А разрешима и является
ниль-алгеброй ограниченного индекса. Далее, алгебра А
ненильпотентна, так как для любого п произведение
(. . >((х-е1)-е2) . . .)-еп = xRxR2 . . . Rn отлично от нуля.
Остается доказать, что алгебра А альтернативна.
Доказательство этого факта мы разобьем на несколько лемм.
Вначале отметим следующее очевидное равенство:
(v-ed-ej + (v-ej)-ei = 0, (5)
где и е Т (У), *„ е, 6 Е.
Лемма 2. Для любых v £ Т (У), eh ek £ Е имеет
место равенство
er (v-ek) = (erv + v-ei)-ek. (6)
Доказательство. Будем доказывать это
равенство индукцией по числу dR(v), т. е. по числу символов
/?г-, входящих в v. Если dR (v) = 0, то либо и = х, либо
v = xLj, и (6) следует сразу же из правил умножения.
Пусть теперь dR (v) = п ^ 1 и для всех слов из Т (У),
содержащих менее п символов Rt, равенство (6) верно.
Пусть v = v1Rn. Если к^ п, то (6) следует из прави-

156 РАЗРЕШИМОСТЬ И НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ [ГЛ. 6
ла 36). Следовательно, можно считать, что к < п. Имеем
в силу правил умножения 26), 36), предположения
индукции и формулы (5)
er(v- ek) = et • (v'Rn • ek) = ( - if**^. (7RhRn) =
-(-lfWierv'Rb + v'Rk-eu.e^
= -[(6ri'4i;,'6,).eft].en + [(i;'.e,)^ft].en =
= [(** • i/ + v'-ei).en]-ek — [(i/ .^) -en] -efe =
Лемма доказана.
Лемма 3. Для любых v £ Г (F), ег-, е,, ek £ Е
справедливы равенства
l(erv).ej + (ej-v)-ei]-ek = О, (7)
er (ej-v) - (i>-*;)•*,. (8)
Доказательство. Докажем вначале
равенство (7). Если и = х или v = xLn, то (7) справедливо.
Пусть теперь v = v'Rn и для слов с меньшим числом
символов Rt равенство (7) верно. Тогда имеем в силу (6), (5)
и по предположению индукции
(eiov'B^-ej = l(erv' + v'-ej-ej-ej =
- — [(en-v' + i;'-О •*!•]•*/ = 1(<V*>' + ^^п)'^]'ег =
- — [(erz/ + */-e/)-eJ-^ = — [^-(i;'-^)].^ =
= _ {erv)-et.
Итак, если dR (v) > 0, то справедливо даже более сильное
равенство, чем (7): (erv)-ej + {^j'^)'ei = 0. Докажем
теперь (8). Если dR (у) = 0, то (8) справедливо. Пусть
теперь v = v'Rn. Имеем в силу (5), (6), (7) и по
предположению индукции
er(ej-v'Rn) = er \{erv' + v'-e^-ej =
=r[er (ej -v' + v'- ej) + (ej -v' + v' -ej) • et]• en =
= [(i>'-e,)-*i + (erv' + v'-ej-ej + (*r *>')•** +
+ (и'-ед-ег]-еп = [{erv')-ej + fo-i;')-^]-^ +
+ [(z/-^).^].^ = (v'ej)'ei-
Лемма доказана.

§ 2]
ПРИМЕР ДОРОФЕЕВА
157
Лемма 4. Алгебра А альтернативна.
Доказательство. Из таблицы умножения
видно, что ненулевыми являются лишь ассоциаторы,
содержащие один элемент из Г (F) и два элемента из Е. В силу
равенства (5) имеем
(у, еь е-) + (у, eh et) = 0.
Далее, из (8) и (5) имеем также
(eh eh v) + (eh eu v) = 0.
Рассмотрим теперь выражение
(eu v, ej) + {eu es, v) =
= (erv)-ej — er(v.ej) — er(erv) =
| = (erv)-e} — (erv)-ej — (v-ej-ej —'(и-е;)-ег = 0
в силу (6), (8) и (5). Далее, вновь в силу (6) получаем
(v, еь ej) + {еи v, ej) = (v-ej-ej + (erv)-ej — er(v-ej) =
= (v'ei)'ej + (ei'V)-ej — (erv)-ej — (v-ej-ej = 0.
Наконец, легко видеть, что
(у, еь et) = (eh v, et) = (et, eu v) = 0.
Лемма доказана.
Упражнения
1. Пусть Л — построенная в § 2 разрешимая ненильпотентная
алгебра. Доказать, что ее аннулятор Ann Л = {a g Л \ аЛ =
= Л а = (0)} порождается как Ф-модуль элементами вида хЬьЯ^
xLtRj + xLjRi и что фактор-алгебра Л = Л /Ann Л является
ненильпотентной разрешимой ниль-алгеброй индекса 3 и Ann Л =
= (0).
2. Доказать, что алгебра Л, определенная в предыдущем
упражнении, имеет нулевой ассоциативный центр.
3. Пусть Tk — идеал тождеств свободной алгебры от к
порождающих в многообразии альтернативных алгебр, разрешимых
индекса 2. Доказать, что цепочка Т'-идеалов
Тх =2 Т2 =2 Тв =2 . . . =2 Тп Э . . .
не стабилизируется ни на каком конечном шаге.

15g Разрешимость й нильпотентности [гл, б
§ 3. Теорема Жевлакова
В предыдущем параграфе мы установили, что теорема
Нагаты — Хигмана не переносится дословно на
альтернативные алгебры. Мы доказали даже более сильное
утверждение, а именно: из разрешимости альтернативной
алгебры А, вообще говоря, не следует ее нильпотентность.
(Напомним, что аналогичный факт имеет место и в теории
йордановых алгебр.) В связи со всем этим возникает
естественный вопрос: не будет ли всякая альтернативная
ниль-алгебра ограниченного индекса разрешимой? Как
доказал Жевлаков, при достаточно хорошем кольце
операторов ответ на этот вопрос оказывается положительным.
Для доказательства теоремы Жевлакова нам
понадобится ряд лемм.
Ниже всюду А — произвольная альтернативная
алгебра.
Лемма 5. В алгебре А справедливо тождество
(zxoxz, у, z) = (xzx, у, Z2). (9)
Доказательство. Применяя тождества Муфанг
и их линеаризации, получаем
(zxoxz, у, z) = (zx)o(xz, у, z) + (xz) о (zx, у, z) =
= (zx) о (x, yz, z) + (xz) о (x, zy, z) =
= (zx о x, yz, z) — x о (zx, yz, z) + (xz о x, zy, z) —
— x о (xz, zy, z) = (zx2, yz, z) + (x2z, zy, z) +
+ (xzx, у о z, z) — 2x о (x, zyz, z) =
= 2 (x2, zyz, z) + (xzx, y, z2) — 2 (x2, zyz, z) =
■= (xzx, y, z2).
Лемма доказана.
Лемма 6. В фактор-алгебре А = A/Jn (А)
справедливо тождество
z (хп~\ у, z)z = 0.
Доказательство. Заметим вначале, что в А
справедливо тождество
п-1
0 = Sn(z, х, ..., ж) = (и— 1)! 2 xKzxn-^-\
i=0

§ 3]
ТЕОРЕМА ЖЕВЛАКОВА
159
откуда в силу свойств идеала Jn (А) получаем
п-1
2 xn-1~izxi = 0. (10)
i=0
Теперь, ввиду (10), имеем
п-1 п-1
2 (zxl) о (х71-1-^) = nzxn~^z + 2 afri-i-iz2xi = nzxn-%
i=0 i=0
откуда вследствие линеаризованного по х тождества (9)
и тождеств Муфанг имеем
nz(xn-i, у, z)z=(nzxn-iz, у, z) =
= (S (z*i)°(*n-i-iz),y,z) = (% xlzxn-'-\ у, z2)-0.
i=0 i=0
Лемма доказана.
Лемма 7. В алгебре А справедливо тождество
(хп~\ уп~\ z2) = 0, п > 2.
Доказательство. Заметим прежде всего, что
во всякой альтернативной алгебре верно тождество
п-1
(хп, у, z)= 2 ж4 (ж, у, z)x"-i-\ (11)
г=0
Действительно, по теореме Артина (#п, у, х) = 0, откуда
п-1
0=(*", у, s)A£(z) = (*", у, z)+ S (aW*-*-*, у, ж),
и далее в силу тождеств Муфанг получаем (11).
По лемме 6 для любых /с, I ^ 1 имеем
Z* (*"-\ у, Z) Z* = 0.
В силу тождества (11) отсюда следует, что для любого
т > 1
(*»-*, г/, zm)^(xn'\ у, z)*zm-K
Теперь имеем
0 = (*п-1, у, Zn) = {xn-\ у, z)oZn-l =
= { ... [(о:71"1, г/, z)oz]oz ... }oz.

160 РАЗРЕШИМОСТЬ И НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ [ГЛ. 6
Линеаризация этого тождества по z дает
0 = S { • • • К^1, У, К) ° *i,l °^...}°V (12)
Положим здесь zx = z2 = z, z3 = zk = ... = zn = у. Так
как для любого к ]> 0
{[ ...((Ж""1, у, 2)оу)оу...]оу}о2 =
-([...(о;П1ог/)о1/...]ог/, у, z)oZ =
4 v '
ft
= ([ ...(^'о^оу...]»^ у, Z2) =
* v '
ft
^{...[(х*1-1, У, z2)°y]°y...}°y = (xn-1, У, *2)°У\
N v '
ft
то тождество (12) после произведенной подстановки
примет вид
0 = 2(л - 1)! (хп~\ у, z2)o»n'2 =
= 2 (и - 1)! (хп~\ уп~\ z2).
Лемма доказана.
Лемма 8. Л4 ^ /2 (Л).
Доказательство. Для любых а, 6 ^4 имеем
а2, аоЬ £ /2 (Л) и 2аЬа = (аоЪ)оа — а2оЬ £ /2 (Л), откуда
и aba 6 «^2 С^)« Теперь, как и при доказательстве
предложения 5.3, получаем, что фактор-алгебра А = A/J2 (А)
антикоммутативна и антиассоциативна. Рассмотрим в
алгебре А ассоциатор
(ab, с, d) = [(ab) с] d — (ab) (cd) =
= — [а (be)] d + я [& (cd)] =
- а [(be) d] - a [(be) d] = 0.
С другой стороны, имеем
(ab, с, d) = [(ab) с] d — (ab) (cd) =
= [(ab) c]d + [(ab) c] d = 2 [(аб) с] d.
Полученные равенства доказывают, что Л4 = (0). Лемма
доказана.

§ з]
ТЕОРЕМА ЖЕВЛАКОВА
161
Теперь может быть доказана
Теорема 2 (Ж е в л а к о в). Пусть А —
произвольная альтернативная алгебра. Тогда для любого
натурального п
/71(71+1)\
Доказательство. При п = 1 утверждение
теоремы очевидно; при п = 2 в силу леммы 8 имеем Л(3) ^
^ А2-А2^ Л4^ /2 (Л), т. е. утверждение также верно.
/71(71-1) v
Пусть теперь А\ 2 / ^ /п-1 (Л), п > 2. Рассмотрим
фактор-алгебру Л =? Л Мп (А). По индуктивному
предположению имеем
/71(71-1)ч
Далее, из леммы 7, ввиду включения /п_х (Л) ^ J2 (Л),
следует, что /п_х (Л) — ассоциативная ниль-алгебра
индекса п. По теореме Нагаты — Хигмана алгебра /n_i (Л)
иильпотентна индекса 2П — 1, откуда (/„_! (Л))(П) = (0).
Так как (A(k)Ym) = Aik+m\ то окончательно получаем
/71(71+1)ч /71(71-1)ч
Л* 2 ' = (А^ 2 'Mn>s(/n-i(4))C») = (0),
откуда
/гг(п+1)ч
Ак 2 ;<=/п(Л).
Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть А — альтернативная ниль-
алгебра индекса п без элементов порядками в аддитивной
группе. Тогда алгебра А разрешима индекса ^ —Ц>—- .
Следствие 2. Пусть А — произвольная
альтернативная алгебра. Тогда для любого натурального числа п
существует такое натуральное число к, что для любого
/71(71+1 к
аеА\ 2 ;
(и!)ла = 2а*я?» где а,£Ф, at£A.
г
Таким образом, всякая альтернативная ниль-алгебра
ограниченного индекса локально иильпотентна, при доста-

162
РАЗРЕШИМОСТЬ И НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ [ГЛ. 6
точно хорошем кольце операторов даже разрешима, но
при любом кольце операторов может быть ненильпотент-
ной. При этом, как и в теореме Нагаты — Хигмана,
довольно легко видеть, что ограничение на характеристику
является существенным для разрешимости.
Заметим для сравнения, что в случае йордановых
алгебр ситуация далеко не так ясна. Мы уже отмечали
в главе 5, что ответ на вопрос о локальной
нильпотентности йордановых ниль-алгебр ограниченного индекса
неизвестен для неспециальных йордановых алгебр. Вопрос
о разрешимости йордановых ниль-алгебр ограниченного
индекса не решен даже для специальных йордановых
ниль-алгебр индекса 3.
Упражнения
Ниже А — альтернативная Ф-алгебра, где Ф 3 1/2-
1. Доказать, что для любого натурального п множество Ап =
= (Л(+))(7г> является подалгеброй алгебры А.
Указание. Доказать, что Ап = 12 (Ап-г), затем применить
лемму 1 и индукцию по п.
2. Доказать, что Л(2п) £ (Л(+))(п). В частности, алгебра А
разрешима тогда и только тогда, когда йорданова алгебра Л<+>
разрешима.
Указание. Применить лемму 8 и индукцию по п.
3. Пусть / — идеал алгебры А, М — некоторый подмодуль
Ф-модуля А у причем /0Л(+) s М. Доказать, что для любого
неассоциативного слова v (х1у #2, #3» хь) Длины 4 справедливо
включение v (/, Ау А у А) £ М.
Указание. Рассмотреть свободную альтернативную Ф-ал-
гебру и применить лемму 8.
4. Доказать, что Агп+1 £ (Л(+))^+1. В частности, алгебра А
нильпотентна тогда и только тогда, когда йорданова алгебра А<+)
нильпотентна.
Указание. Применить индукцию по ли воспользоваться
упражнением 3.
ЛИТЕРАТУРА
Дорофеев [55], Жевлаков [66], Кузьмин [103], Нагата [157],
Размыслов [175], Хигман [253].
Результаты о связи разрешимости и нильпотентности в
некоторых других многообразиях алгебр: Андерсон [13, 14], Дорофеев
[59], Жевлаков [69], Жевлаков и Шестаков [80], Марковичев [144],
Никитин [160], Пчелинцев [172, 174], Роомельди [184], Шестаков
[267].

Г Л А В А 7
ПРОСТЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
Вопросы о строении простых алгебр в том или ином
многообразии являются одними из главных вопросов
теории колец. Настоящая глава посвящена изучению простых
альтернативных алгебр. Мы уже знаем один пример
простой неассоциативной альтернативной алгебры — это
алгебра Кэли — Диксона. Оказывается, что других
простых неассоциативных альтернативных алгебр не
существует. Этот результат доказывался с постепенным
нарастанием общности на протяжении нескольких десятков лет
разными авторами: вначале для конечномерных алгебр
(Цорн, Шафер), затем для алгебр с нетривиальным идем-
потентом (Алберт), для альтернативных тел (Брак, Клейн-
фелд, Скорняков), для коммутативных альтернативных
алгебр (Жевлаков) и т. д. Наибольшее продвижение было
получено Клейнфелдом, доказавшим, что всякая простая
альтернативная неассоциативная алгебра, не являющаяся
ттиль-алгеброй характеристики 3, есть алгебра Кэли —
Диксона. Окончательное описание простых
альтернативных алгебр осуществилось после появления теоремы
Ширшова о локальной нильпотентности альтернативных ниль-
алгебр с тождественными соотношениями.
§ 1. Предварительные результаты
Пусть А — произвольная алгебра. В алгебре А можно
рассматривать следующие три основных центральных
подмножества: ассоциативный центр N (Л),
коммутативный центр К (А) и центр Z (А), которые определяются
следующим образом:
N(A) = {neA\(n, А, А) = (А, п, А) = (А, А, и) = (0)};
К(А) = {кеА |[А, А] = (0)},
Z(A)=N(A) [\К(А).

164 ПРОСТЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 7
Лемма 1. Пусть А — произвольная алгебра, х, у, z 6
6 А, п 6 N (А). Тогда в А справедливы соотношения
п (х, у, z) = (гаж, у, z), (1)
(лтг, г/, z) = (ж, ш/, z), (2)
(ж, у, z) п = (х, г/, ггг). (3)
Если, кроме того, один из элементов х, у, z принадлежит
N (А), то в Л справедливо соотношение
[ху, z] = ж [г/, z] + [ж, z] г/. (4)
Доказательство. Заметим, что во всякой
алгебре справедливо тождество
(wx, у, z) + (и;, #, */z) — и; (ж, у, z) — (и;, ж, у) z —
— {w, ху, z) = 0. (5)
Для доказательства его достаточно раскрыть все
ассоциаторы. Из тождества (5) вытекает справедливость
соотношений (1) — (3). Для доказательства соотношения (4)
достаточно установить, что в любой алгебре верно
тождество
[ху, z] — х [у, z] — [х, z] у =
= (ж, у, z) — (х, z, у) + (z, х, у). (6)
Оно доказывается так же, как и (5). Лемма доказана.
Следствие 1. Множества N (А) и Z (А) всегда
являются подалгебрами алгебры А. Если алгебра А
альтернативна, то коммутативный центр К (А) также является
подалгеброй алгебры А, при этом ЗК (А) ^ Z (А).
Доказательство. Из соотношений (1) — (3)
следует, что N (А) является подалгеброй, а из (4) следует,
что и Z (А) является подалгеброй. Пусть теперь алгебра
А альтернативна. Тождество (6) в этом случае принимает
следующий вид:
[ху, z] — х [у, z] — [х, z] у = 3 {х, у, z). (7)
Пусть к, к' £ К {А), х, у 6 А. Имеем из (7)
3 (к, х, у) = 3 (у, к, х) = 3 (х, у, к) =
= [ху, к] — х [у, к] — [х, к] у = 0,

§ 1]
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
165
откуда следует, что ЗК (А) ^ Z (А). Далее, применяя
вновь тождество (7), получаем
[kk', x] = k [к', х] + [к, х] к' + 3 (к, к\ х) = О,
т. е. К (А) является подалгеброй алгебры А.
Следствие 2. Пусть А — коммутативная
альтернативная Ф-алгебра. Тогда, если 1/3 £ Ф, то А
ассоциативна.
Действительно, в этом случае А = К (А) ^ Z (А).
Теорема 1. Если А — простая алгебра, то либо
Z (А) — (0), либо Z (А) является полем.
Доказательство. Пусть Z = Z (А) ф (0). Ясно,
что Z является ассоциативным коммутативным кольцом,
поэтому нам достаточно доказать, что в Z есть единица
и что каждый ненулевой элемент из Z обратим в Z. Пусть
z £ Z, z Ф 0. Тогда множество zA является идеалом
алгебры Л, причем, как легко видеть, zA =7^(0). В силу
простоты алгебры А имеем zA = А. Значит, существует
такой е £ А, что ze = z. Пусть теперь х £ А, тогда х = zy
для некоторого у 6 А, поэтому ех — е (zy) = (ez) у =
— (ze) у = zy — х и аналогично #е = #, т. е. е является
единицей алгебры А. Далее, существует такой z' £ А, что
zz' = е. Пусть х, у — произвольные элементы алгебры А
и х = z£. Тогда, ввиду (2), имеем
(z', ж, у) = (z', z£, у) = (z'z, *, г/) = (в, *, у) = 0
и аналогично
(ж, z\ у) = (ж, у, z') = 0,
т. е. z' 6 Af (Л). Наконец, ввиду (4), получаем
W, х] = [z', z£] = z [z\ *] = [zz', *] = [e, t] = 0,
т. e. z' £ Z. Мы доказали, что элемент z' является
обратным к элементу z в Z. Теорема доказана.
Алгебра А над полем F называется центральной над F,
если Z (Л) = F.
Теорема 2. Пусть А — простая центральная
алгебра над полем F, К — любое расширение поля F.
Тогда алгебра Ак — К ® FA является простой
центральной алгеброй над полем К.
Доказательство. Докажем вначале простоту
алгебры Ак.

166 ПРОСТЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 7
Пусть U ф(0) — идеал в Ак. Если и — ненулевой
элемент из С/, то запишем его в виде и = ^kt ® аь где
г
ki £ К, at £ А и /^ линейно независимы над F. Назовем
число ненулевых аг в этом выражении длиной элемента и.
Выберем элемент 0 ф и £ £/ с наименьшей длиной. Далее,
отождествим алгебру А с F-подалгеброй 1 ® А алгебры
Ак и рассмотрим в алгебре умножений М (Ак) алгебры
Ак F-подалгебру Л* = МАк (А), порожденную
операторами умножения на элементы из А. Если W£A*, то
uW = 2 ^г ® aiW 6 £/• Так как Л проста, то существует
г
элемент W0 6 А*, для которого ^Wq = 1; поэтому от
элемента и можно перейти к элементу иг £ U той же длины,
имеющему вид иг = /Ьх ® 1 + к2 ® а^ + ... + &m ®
® а^. Для любого а £ А элемент [1 ® а, щ] = k2 ®
® [а, а^] + ... + /cm ® [а, ат] принадлежит U. Однако
длина этого элемента меньше, чем длина и, поэтому он
должен равняться 0. Так как kt линейно независимы над
F, то из свойств тензорного произведения следует, что
[а, а\] = 0 для i = 2, . . ., т и любых а £ А.
Следовательно, а\ 6 К (А). Аналогично получаем, что а\ £ N (Л),
и окончательно а\ ^ Z (А) = F. Запишем а\ = at £ ^-
Тогда их = кг ® 1 + к2 ® а2 + ... + кт ® am =
= (кг + а2к2 + • • • + amfcm) ® 1 = Л ® 1, где к £ К
и /с Ф 0 в силу линейной независимости /Ь^ над F. Отсюда
следует, что U = Лк, и простота алгебры Лд; доказана.
Пусть теперь элемент z = ^кг ® аг лежит в центре
г
алгебры АК; здесь мы снова предполагаем, что элементы
kt £ К линейно независимы над F. Тогда для любых
а, Ъ £ А будем иметь
0 = [z, 1 ® а] = 2 &г-® [af, a]r
i
0=(z, 1 ®a, 1 ® 6) = S*i® (**, *, 6)>
i
откуда [a$, a] = (ah a, b) = 0 и аналогично (a, a^, b) =
= (a, 6, a^) '= 0, т. е. элементы at лежат в Z (А) = F. Пусть
ах = at 6 F, тогда z = 2^ ® at = (2a^)® 1 £ if. Итак,
г г
мы доказали, что Z (Ак) ^ if. Ясно, что К ^ Z (Ак),
так что окончательно Z (Ак) = К.

§ 1]
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
167
Теорема доказана.
П р е д л о ж е н и е 1 (Ж е в л а к о в). #есуществует
простых локально нилыготентных алгебр.
Доказательство. Пусть А — некоторая
локально нильпотентная алгебра. Предположим, что А
проста, и возьмем в ней произвольный элемент а фО.
Рассмотрим в алгебре А идеал /а, порожденный
множеством А а + аА. Ясно, что I а ф (0), поэтому 1а = А.
Значит, в алгебре А найдутся такие элементы xtj, что
«=|*А...мч, (8)
где каждое из Мх.. равно либо Rx.., либо Lx...
Возьмем в алгебре А подалгебру 5, порожденную
множеством элементов {а, хп, . . ., xlhl, х21, . . ., xtk }.
По условию алгебра В нильпотентна; пусть, например,
BN = (0). Но тогда, если в каждое слагаемое правой части
равенства (8) подставить вместо а его выражение (8)
и повторить эту процедуру N — 1 раз, мы получим в
результате а = 0. Полученное противоречие доказывает
предложение.
Далее в этом параграфе всюду А — произвольная
альтернативная алгебра, N = N (A), Z = Z (А).
Определим в А функцию
/ (w, х, у, z) = (wx, у, z) — х (w, у, z) — (х, z/, z) w.
Эту функцию обычно называют функцией Клейнфелда.
Лемма 2. f (w, х, у, z) — кососимметрическая
функция своих аргументов.
Доказательство. Достаточно доказать, что
для любой пары равных аргументов / (w, х, у, z) = 0.
В силу правой альтернативности / (w, х, у, у) = 0. Далее,
обозначив левую часть равенства (5) через g (ш, х, у, z), мы
получим
— / (z, w, х, у) = g (w, х, */, z) — f (z, w, x, у) =
= (wx, у, z) + (w, x, yz) — (w, xy, z) —
— w (x, y, z) — (w, x, y) z — {zw, x, y) +
+ w (z, x, y) + (w, x, y) z = (wx, y, z) +
+ (yz, w, x) — (xy, z, w) — (zw, x, y).

168 ПРОСТЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 7
Подставив сюда вместо w, х, у, z соответственно х, у, z, w,
получим
/ (w, х, у, z) = (wx, у, z) + (yz, w, x) —
— (xy, z, w) — (zw, x, y). (9)
Отсюда ясно, что / (w, x, г/, z) = —f (z, w, x, у). С помощью
этого равенства, используя тождество / (w, х, г/, у) = О
и его линеаризацию, легко показать, что / (w, х, у, z) =
= 0 при любых двух равных аргументах. Лемма
доказана.
Следствие. / (w, х, у, z) = ([w, х], у, z) +
+ ([*/, z], w, ж).
Доказательство. В силу тождества (9) нам
достаточно показать, что
(xy, z, w) + (zw, х, у) + (хш, z, у) + (zy, х, w) = 0.
Это тождество действительно справедливо, так как оно
является линеаризацией тождества (ху, х, у) = 0 по
обеим переменным. Следствие доказано.
Лемма 3. Пусть а, Ъ — такие элементы алгебры
А, что (а, Ь, А) = (0). Тогда [а, Ъ] £ N.
Доказательство. Пусть х, у — произвольные
элементы алгебры А. Тогда / (х, у, а, Ъ) = (ху, а, Ь) —
— у (х, а, Ь) — (у, а, Ъ) х = 0. С другой стороны, в силу
следствия леммы 2 имеем ([а, Ь], х, у) = f (а, Ь, ж, г/) —
— (а, Ь, [а:, г/]) = 0. Следовательно, [а, Ь] £ -/V\ Лемма
доказана.
Следствие 1. [N, А] ^ N.
Следствие 2. Пусть n£N, х, г/, z£A. Тогда
п (х, г/, z) = (иж, г/, z) = (от, г/, z) = (ж, г/, z) и. (10)
Для доказательства достаточно применить
соотношения (1) — (3) и следствие 1.
Обозначим через ZN (А) идеал алгебры А,
порожденный множеством [N, А]. Этот идеал является как бы
мерой разности между ассоциативным центром N (А) и
центром Z (А) альтернативной алгебры A: ZN (А) = (0) тогда
и только тогда, когда N (А) = Z (А).
Лемма A.ZN (А) = [N, А] А# = А# [N, А].
Доказательство. Ясно, что ZN (А) ^
S IN, А] А#. Для доказательства обратного включения

§ 1]
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
169
достаточно показать, что множество М = [N, А] А#
является идеалом алгебры А. В силу следствия 1 леммы 3
мы имеем для любых п £ N, у 6 А#, х, z £ А
у [п, х] = [п, х] у + [у, [п, х]] £ М,
[п, х] y-z = [п, х] (yz) £ М,
z-([ra, ж] у) = (z [га, ж]) у 6 МЛ# ^ М.
Следовательно, М является идеалом алгебры А и М =
= ZiV (Л). Аналогично доказывается, что ZiV (Л) =
= Л# [N, А]. Лемма доказана.
Лемма 5 (С лейте р). (ZN (Л), Л, А) != N.
Доказательство. В силу леммы 4 достаточно
показать, что ([х, га] у, z, t) £ N для любых х, у, z, t £ А,
п £ N. Применяя соотношения (3), (4) и (10), получаем
в силу следствия 1 леммы 3
([#, п] у, z, t) = [х, га] (у, z, t) = [х (у, z, t), га] —
— х [(г/, z, *), га] = [х (у, z, *), га] е U, ЛГ] ^ N.
Лемма доказана.
Лемма 6. Пусть га £ N, пА#п = (0). Тогда (га)2 =
= (0), где (га) — идеал алгебры А, порожденный
элементом п.
Доказательство. Заметим вначале, что (п) =
= Л#гаЛ#. Действительно, легко видеть, что (га) ^ Л#гаЛ#.
Для доказательства обратного включения достаточно
показать, что множество А#пА# является идеалом
алгебры А. Имеем для любых г £ A, s, t £ Л#
r-snt = rs-nt — (г, s, nt) = rs-nt — n (г, 5, £) £ A#nA#
и аналогично sra£-r £ Л#гаЛ#, что и требовалось доказать.
Для доказательства леммы нам остается теперь показать,
что rns-tnv = 0 для любых г, 5, t, v£A#. Применяя
несколько раз соотношения (10), получаем
rns -tnv = г -(ns) (tnv) + (г, ns, tnv) =
— r [(ns) (tn) -v] — r (ns, tn, v) + n (r, s, toy) =
= r [ra (st) n-v] — r -ra (s, t, v) n + (r, S, ra -to?) = 0.
Лемма доказана.
Лемма 7. Пусть а, Ъ — такие элементы алгебры
Л, что (а, Ь, Л) ^ iV. Тогда для любого элемента х £ А
элемент п = (а, Ъ, #) принадлежит N и (п)2 = (0),

170 ПРОСТЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 7
Доказательство. Пусть у, z — произвольные
элементы алгебры А. В силу линеаризованного тождества
Муфанг и условия леммы имеем
(а, у, z) (а, Ь, х) = — (а, (а, Ь, ж), z) у +
+ ((а, Ь, х) а, у, z) + (г/а, (а, Ь, я), z) =
= ((а, Ь, а#), у, z) = 0.
Аналогично получаем
(а, Ь, ж) (а, у, z) = 0.
Далее, имеем
(а, Ь, а:) I/ (а, Ь, ж) =
= — (а, Ь, г/) ж -(а, Ь, ж) + (а, уЪ, х) (а, Ь, ж) +
+ (а, яЬ, у) (а, Ь, ж) =
= — (а, Ь, г/) •# (а, Ь, #) = — (а, Ь, г/) (а, Ь#, л:) = 0.
Таким образом, пА#п = (0), откуда по лемме 6 (п)2 =
= (0). Лемма доказана.
Следствие. Если алгебра А проста и
неассоциативна, то N = Z.
Доказательство. Если N $ Z, то ZN (А) Ф
Ф (0), поэтому в силу простоты алгебры А получаем
ZN (А) = А. По лемме 5 тогда алгебра А удовлетворяет
тождеству
((*, у, z), г, s) = 0. (И)
Так как Л неассоциативна, существует элемент п =
= {х, у, z) ф 0; в силу (И) п £ N. Из тождества (И)
и леммы 7 следует, что (п)2 = (0), откуда, ввиду простоты
А, следует (п) = (0) и п = 0. Полученное противоречие
доказывает, что ZN (А) = (0) и N = Z. Следствие
доказано.
Предложение 2. Пусть в алгебре А справедливо
тождество [х, у]п = 0. Тогда нилъпотентмые элементы
алгебры А образуют идеал.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай,
когда алгебра А ассоциативна. Пусть / — наибольший
ниль-идеал алгебры А (верхний ниль-радикал). Фактор-
алгебра А = А/1 не содержит ненулевых двусторонних
ниль-идеалов. Предположим, что в алгебре А есть ниль-
потентный элемент х, х = 0. Рассмотрим правый идеал

§1]
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
171
хА. Для любого у 6 А имеем 0 = [х, у]пху = (ху)п+1,
т. е. идеал хА является правым ниль-идеалом индекса
п + 1. По теореме Левицкого (следствие 2 теоремы о
высоте) идеал хА локально нильпотентен. Заметим, что хА Ф
Ф (0), так как иначе бы элемент х порождал ненулевой
двусторонний ниль-идеал в алгебре А, чего не может
быть. Но тогда, как хорошо известно (см., например,
упражнение 4 к § 5.3), и X (А)Ф (0), где X (А) —
локально нильпотентный радикал (радикал Левицкого) алгебры
А. Идеал X (А) является ненулевым двусторонним ниль-
идеалом алгебры А. Полученное противоречие доказывает
предложение в случае, когда алгебра А ассоциативна.
Пусть теперь алгебра А альтернативна, х и у — два
нильпотентных элемента алгебры А. Рассмотрим
ассоциативную подалгебру В, порожденную элементами х, у.
Алгебра В удовлетворяет условию предложения, поэтому
по доказанному выше ее нильпотентные элементы
образуют идеал. В частности, элемент х + у нильпотентен.
Аналогично можно показать, что если х — нильпотентный,
а у — произвольный элементы алгебры А, то элементы ху
и ух нильпотентны. Следовательно, нильпотентные
элементы алгебры А образуют^идеал.
Предложение доказано.
Лемма 8. Пусть алгебра А коммутативна. Тогда
для любых элементов х, г/, z £ А.
Доказательство. Заметим вначале, что в А
Справедливо тождество
4 (х, (х, у, z), z) = 0. (12)
Действительно, имеем
4 [х (х, у, z)] z — Ах [(х, г/, z) z] =
= [хо(х, у у z)]o z — хо [(х, г/, z)oz] =
= {х\ z/, z2) - {х\ у, z2) = 0.
Из следствия 1 леммы 1 получаем
9 (з, г/, zf = 3 {х, г/, z) -3 (х, г/, z) = 0.

172 ПРОСТЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 7
Наконец, имеем в силу тождеств Муфанг и (12)
8 (ж, у, z)2 = 4 (ж, у, z) о (ж, у, z) =
= 4 (я, (я, у, z)oy, z) — 4уо(я, (ж, у, z), z) =
= 4 (я, (ж, г/2, z), z) = 0.
Окончательно получаем
(я, г/, z)2 - 0.
Лемма доказана.
Теорема 3 (Ж е в л а к о в). Простая
альтернативная коммутативная алгебра А является полем.
Доказательство. В силу предложения 2 ниль-
потентные элементы алгебры А образуют идеал /. Если А
неассоциативна, то по лемме 8 I Ф (0), откуда I = А, л А
является ниль-алгеброй. Алгебра А коммутативна и
потому удовлетворяет существенному тождественному
соотношению. По теореме 5.6 Л локально нильпотентна, что,
ввиду предложения 1, противоречит простоте А.
Следовательно, алгебра А ассоциативна и, как хорошо
известно, является полем.
Теорема доказана.
Упражнения
1. Пусть А — альтернативная алгебра. Доказать, что если
k g К (Л), то kz £Z (А).
2. Пусть А — коммутативная альтернативная неассоциативная
алгебра. Доказать, что для любых элементов а, 6, с £ А ассоциатор
(а, Ь, с) порождает в А ниль-идеал / индекса 3.
Указание. Доказать, что для любых а, &£Ли#, г/£/
справедливы соотношения (аЪ)г = агЪъ, (х + г/)3 = хг + г/3.
3. Пусть А — локально нильпотентпая алгебра и / —
минимальный идеал алгебры А. Доказать, что IA = AI = (0).
4. Доказать, что в альтернативной алгебре А следующие
условия эквивалентны:
а) ZN (А) с= N (А);
б) (A U, N1 А, А) = (0);
в) (A, A, A) [A, N] = (0).
5. Пусть А — альтернативная алгебра, п £ N (А). Тогда
следующие условия эквивалентны:
а) (п) c=N(A);
б) (А, А, А)п= (0).
6. Пусть А — альтернативная алгебра, я, у, z £ А, п £ N (А).
Доказать, что
(я, г/, z) [n, z] = 0.
Указание. Воспользоваться следствиями 1 и 2 леммы 3
и ^соотношением (4).

§ 2] ЭЛЕМЕНТЫ АССОЦИАТИВНОГО ЦЕНТРА 173
7 (С л е й т е р). Доказать, что в альтернативной алгебре А
для любых элементов п, т £ N (А) идеал ([т, п]), порожденный
коммутатором [т, п], содержится в N (А).
Указание. Использовать упражнения 6 и 5.
§ 2. Элементы ассоциативного центра
Пусть Ш — некоторое многообразие Ф-алгебр. Через
7Vs$, К$л и Zsjji мы будем обозначать соответственно
ассоциативный центр, коммутативный центр и центр
ЯК-свободной алгебры Ф$де [X] от счетного множества
порождающих X = {хъ х2, ... }. Если Р — некоторое
подмножество алгебры Ф$л [X] и А — произвольная алгебра
из Ж, то через Р [А] мы будем обозначать совокупность
элементов из А вида р (ах, . . ., ап), где р (хг, . . ., хп) £
6 Р, ах, . . ., ап 6 Л. Легко видеть, что Nsjji [А] ^
^ N (A), Ksjji [А] ^ К (Л), Zsjft[A]^Z(A) для любой
алгебры А из ЭД1, причем эти включения, вообще говоря,
могут быть строгими.
Предложение 3. Пусть Ш — однородное
многообразие. Тогда подмножества Nsjft, К$%, Z^ алгебры
Ф$де [X] устойчивы относительно действия операторов
частичных линеаризации.
Доказательство. Покажем, например, что для
любого элемента п = п(хх, . . ., хт) £ Л^ все частичные
линеаризации элемента п также принадлежат множеству
Nsfft. Пусть nW (хх, . . ., хт\ Xj) = nAh (xj) — частичная
линеаризация элемента п по х-г степени к (см. § 1.4)
и пусть хг, хх £ Х\{хх, . . ., хт, Xj}. Так как п £ -^зде» то
(п, xr, xt) = (жг, п, хг) = (х„ xh п) = О,
откуда по лемме 1.2 мы получаем
0 = (и, хг, хг) Д*(жу) = (иД*(:гу), хг, хг),
и аналогично
0 = (ХГ, П&Ч (Xj), Х1) = (ХГ, XU ГЬк\(Х;)).
Значит, nAi (xj) £ iV^. Точно так же рассматриваются
случаи подмножеств К^ и Z^. Предложение доказано.
Если Ш = Ass — многообразие ассоциативных алгебр,
то как легко видеть, NAss = Ass \Х], К^ = ZAss = (0).

174 ПРОСТЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ8 7
В случае многообразия Alt альтернативных алгебр
оказывается, что NAn Ф (0), КАП Ф (0) и ZAlt ф (0). Случаи
подалгебр КАП и ZAlt мы рассмотрим позднее, а в этом
параграфе мы найдем ряд ненулевых элементов из NAn,
необходимых нам для доказательства теоремы о простых
альтернативных алгебрах.
Далее А — произвольная альтернативная алгебра.
Лемма 9. В алгебре А справедливы тождества
(х, у, (х, у, z)) = [х, у] (х, у, z), (13)
((х, у, z), х, у) = —(х, у, z) [х, у], (14)
(х, у, z)o[x, у] = 0. (15)
Доказательство. Заметим вначале, что в А
справедливо следующее тождество:
(ху) (х, у, z) = у [х (х, у, z)]. (16)
Действительно, имеем в силу левого тождества Муфанг
и его линеаризации
(ху) [(ху) z] — (ху) [х (yz)] — у {х [(ху) z]} +
+ у {х[х (yz)]} = (xy)2z —
— [(ху) ху + ух (ху)] z + у [х2 (yz)] =
= [(ху)2 — (ху)2 — ух2у + ух2у] Z = 0.
Теперь имеем
(*/, х, (х, г/, z)) = (ух) (х, у, z) — у (х (х, у, z)) =
= (ух) (х, у, z) — (ху) (х, у, z) = [у, х] (х, у, z),
т. е. (13) доказано. Аналогично получаем тождество (14).
Наконец, в силу (13) и (14) имеем
(х, у, z) о [х, у] = (х, у, z) [х, у] + [х, у] (х, у, z) =
= — ((х, у, z), х, у) + (х, у, (х, у, z)) = 0,
т. е. (15) также доказано. Лемма доказана.
Лемма 10. Пусть х, у £ А. Тогда для любых
элементов ц, v из подалгебры, порожденной элементами х, у,
справедливо включение (А, и, v) ^ (А, х, у).
Доказательство. В силу теоремы Артииа
достаточно доказать, что для любых ассоциативных слов
Щ (х, у), и2 (х, у) верно включение (А, иг, и2) £= (Л, х, у).

§ 2] ЭЛЕМЕНТЫ АССОЦИАТИВНОГО ЦЕНТРА 175
Будем доказывать это утверждение индукцией по числу
п = d (иг) + d (и2). Очевидно основание индукции: п =
= 2. Пусть теперь п = к > 2, и утверждение леммы
справедливо для всех п <С к. Будем писать г = s, если г — s £
£ (А, х, у). Заметим, что во всякой альтернативной алгебре
верно тождество
(z, х, уху) = (z, жуя, у). (17)
Действительно, в силу тождеств Муфанг имеем
(z, х, уху) — (z, хух, у) = (zx) (уху) — z (хуху) —
— [z (хух)] у + z (хуху) =
= {l(zx) у] х) у — {[(zx) у] х) у = 0.
Линеаризуя (17) по х, получаем
(z, t, уху) = (z, {xyt}, у) + (z, yty, x), (18)
где {xyt} = (xy) t + (ty) x. Рассмотрим теперь два
возможных случая.
1. Хотя бы одно из слов иг, и2 оканчивается и
начинается на один и тот же элемент. Пусть, например, их =
= xvxx. Если vx — не пустое слово, то, ввиду (18) и
по предположению индукции, получаем для любого z £ А
(z, ии и2) = (z, xvxx, и2) =
= (xzx, vu и2) + ({zxvx}, х, и2) = 0.
Если же слово vx отсутствует, то имеем
(z, щ, и2) = (z, х2, и2) = (z о х, х, и2) = 0.
2. В начале или в конце слова и2 стоит тот же элемент,
что и в начале слова иг. Пусть, например, иг = xvx, и2 =
= xv2. Применяя тождества Муфанг и их линеаризации,
получаем с помощью предположения индукции и случая 1
(z, xvx, xv2) = — (z, xvx, v2x) + (z, xvx, XoV2) =
= — (z, xvx, v2x) + (zox, xvx, v2) + (zoy2, хиъ x) =
s= — (z, xvx, v2x) = (z, v2, xvxx) —
— (v2z, xvx, x) — ((хиг) z, v2, x) = 0.
Лемма доказана.
Следствие. Пусть х, у, z £ А. Тогда для любых
элементов ии vt, i = 1, 2, из подалгебры, порожденной

176 ПРОСТЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ* 7
элементами х, у, справедливо соотношение
(их, vl4 z) о [и2, v2] = 0. (19)
Доказательство. В силу теоремы Артина
достаточно доказать, что для любых ассоциативных слов
и (х, у), и (#, у) верно равенство
(иг, vu z) о [и, и] = 0. (20)
Докажем это равенство индукцией по числу п = d (и) +.
+ d (v). Справедливость основания индукции при п = 2
вытекает из леммы 10 и равенства (15). Пусть теперь п =
= 4>2и равенство (20) верно, если п < к. Заметим, что
по лемме 10 мы имеем (иг, иг, z) = (х, у, zx). Если d (и) >
> 1, d (и) = 1 и, например, v = х, то в силу
линеаризованного тождества (15) и по предположению индукции
мы имеем
(их, vu z) о [и, v] = (х, у, zx) о [и, х] =
= — (ж, и, zx) о [у, х] = 0.
Если же d (и) > 1 и d (v) > 1, то аналогично получаем
(их, vl4 z) о [и, v] = (х, у, zx) о [и, и] =
= — (и, */, zx) о [х, v] — (х, v, zx) о [и, у] — (и, v, zx) о
о[х, у] = 0.
Следствие доказано.
Теорема 4. Пусть х, у £ А, В — подалгебра
алгебры Л, порожденная элементами х, у. Тогда для любых
uh vt £ В, r, s 6 А и wt = [ut, vt] верны равенства
(w1 о w2, r, s) w3 = w3 (wx о w2, r, s) = 0, (21)
(w?, r, 5) w2 = w2 (w\, r, 5) = 0, (22)
(w\ (w2ow3), r, 5) = ((^0^з) w;?. r> *) — 0. (23)
(иЗД. r, s) = 0. (24)
Доказательство. Заметим вначале, что для
любых г £ Л, и £ В
(w1 о w2, и, г) = (wj, и, г) = 0. (25)
Действительно, в силу линеаризованного тождества
Муфанг и тождества (19) получаем
(wiow2, и, г) = w1o(w2, и, г) + w2o(Wl, и, г) = 0,

§ 2] ЭЛЕМЕНТЫ АССОЦИАТИВНОГО ЦЕНТРА 177
и аналогично получается второе равенство. Теперь из
линеаризованного тождества (14) получаем, ввиду (25),
(и?г о w2, г, s) w3 = (w1 о w2, г, s) [и3, v3] =
= — (W1 О W2, Ид, 5) [Г, Уд] — (W1 О Ц;2, Г, Уд) [Ид, S] —
— (W10W2, Ид, Уд) [Г, 5] — ((W10W2, Г, 5), Ид, Уд) —
— ((И>1°И>2. ^3. *)> Г> ^з) — (К°^2, Г> *>з). Ид, *) —
— ((w1oW2, U3, V3), Г, S) = — ((w1oW2, Г, $), Ид, Уд),
и далее вновь в силу линеаризованного тождества Муфанг,
(19) и теоремы Артина
((w1ow2, г, s), и3, v3) = (w1o(w2, г, s), и3, v3) +
+ К°К г> s), из, из) = ^1°(К г> *)> и3, уз) +
+ (W2, Г, 5)о(^, U3, V3) + W2o((Wl, Г, S), Ид, Уд) +
+ (ц^, Г, 5) о (ц;2, U3, V3) = О,
что доказывает первое из тождеств (21). Аналогично
доказываются второе тождество (21) и тождество (22). Далее,
из (25) получаем
/(г, s, w\, W2oW3) =
= (Г5, w\, w2ow3) — s(r, w2i9 wzow3)—(s, w2, w2°w3)r = 0.
Следовательно, ввиду тождеств левой и правой
альтернативности и (21), (22), имеем
{w\(w2ow3), г, s) =
= / (И>2, W2 о tt?g, Г,5) + (^2 ° ^з) (И>2, Г, *) + ("'2 ° ">3, Г, s) w\ =
=-w2[w3(w\, г, s)] + w3[w2(w2u г, s)] + [(w2ow3,r,s)wi]wi = 0,
т. е. первое из тождеств (23) доказано. Аналогично
доказываются второе тождество (23) и тождество (24). Теорема
доказана.
Следствие 1 (Клейнфелд). Во всякой
альтернативной алгебре верны тождества (тождества Клейн-
фелда)
[х, у] {[х, г/]2, г, 5) = О,
([ж, г/]2, г, 5) [ж, у] = О,
([ж, г/]4, г, 5) = 0.

178 ПРОСТЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 7
Прежде чем сформулировать второе следствие,
определим следующие функции:
^1 (*» У) = Ь, У14.
^2 (я, I/) = Is, */12 (Ь. уЫж, уж]),
гс3 (ж, у) = [ж, у¥ [х, ух]2.
Следствие 2 (HI е с т а к о в). Элементы nt {хъ х2)
принадлежат множеству NAu для i = 1, 2, 3; при этом
справедливо следующее соотношение:
п1 (#1» #2/ ^1 — П2 \Xli х2) х1 + ns (х±, х2) = 0. (^Ь)
Действительно, по теореме 4 nt {хъ х2) £ iV^Ait» а
соотношение (26) справедливо в силу теоремы Артина.
Заметим, что элементы nt (хг, х2) отличны от нуля
в свободной ассоциативной алгебре Ass [X], поэтому они
являются ненулевыми и в алгебре Alt [X]. В частности,
#Alt Ф (°)-
Упражнения
В упражнениях 1—6 А — альтернативная алгебра, х, у, z,
г, 5, t — произвольные элементы из Л, i; = [#, у], м; = (г, 5, *).
1. Доказать, что
v* (i > 2), vi [v\ z) (i > 1), [v*, z]w£ NMt{A].
Указание. Применить леммы 3 и 5.
2. Доказать, что
v [м>, и2} = 0,
b [i;2, в], w] = 0.
Указание. Воспользоваться тождеством (3.2).
3. Доказать, что
(у2, Г, *)2 = 0.
Указание. Вначале доказать, что (v2, (у2, г, s), *) = 0,
эатем воспользоваться тождествами Муфанг и их линеаризациями.
4. Пусть (я, у, z) = 0. Доказать, что [[z, г/]2, z] 6 N (А).
Указание. Применить лемму 3, лемму 2 и ее следствие,
а также линеаризованное тождество (15).
5. Доказать, что
(vH) (у2, г, s) = (tv2) (и2, г, s) = 0.
Указание. Используя линеаризованное тождество (16),
доказать, что [v (ut)] (v, г, и о s) = 0.
6 (III е с т а к о в). Доказать, что
[[*, 2/Р, z]*eNMtlA].

§ з]
ТЕОРЕМА КЛЕЙНФЕЛДА
179
Указание. Доказать, что [у2, z] о / (и2, z, г, s) = 0.
7. Доказать, что N^ulA] = (0) для любой ассоциативно-
коммутативной алгебры А.
Указание. Рассмотреть матричную алгебру Кэли —
Диксона С (А).
8. Пусть А — альтернативная алгебра с единицей над полем F,
N (А) = F, и в А есть такие элементы а, Ь, что [а, б]4 Ф 0.
Доказать, что коммутативный центр К (А) алгебры А равен F.
§ 3. Теорема Клейнфелда
В этом параграфе мы докажем теорему Клейнфелда
о строении простых неассоциативных альтернативных
алгебр.
Лемма 11. Пусть А — алгебра с единицей 1 над
полем F, К — некоторое расширение поля F. Тогда, если
алгебра А — К ® рА квадратична над К, то алгебра А
квадратична над F. При этом если А является
композиционной алгеброй относительно нормы п (#), то А также
является композиционной алгеброй относительно
ограничения п (х) нормы п (х) на А.
Доказательство. По условию каждый элемент
х £ А удовлетворяет соотношению: х2 — t (х) х + п (х) =
= 0, где t (х), п (х) £ К. Обозначим через t (х) и п (х)
ограничения следа t (х) и нормы п (х) на А. Для
доказательства квадратичности А нам достаточно показать, что
t (х), п (х) £ F для любого х £ А. Если х £ F, то t (х) =
= 2х £ F и п (х) = х2 £ F. Пусть теперь х ($ F, т. е. 1
и х линейно независимы. В этом случае в А можно выбрать
базис вида {1, х, е±, е2, ... }, содержащий элементы 1
и х. Как известно, этот базис является и базисом А над К.
Рассмотрим элемент х2. С одной стороны, так как х2 6 Л,
то х2 = od + fix + ^ Y***. гДе а, |3, у* 6 ^. С другой
i
стороны, имеем х2 = t (х) х — п (х) -1. В силу
единственности разложения элемента х2 по базису {1, х, ег, е2, . . .}
алгебры А получаем t (х) = р, и, (х) — — ее, т. е. t (я),
тг (#) £ /?. Тем самым доказана квадратичность алгебры
Л над F.
Для завершения доказательства леммы нам осталось
доказать, что если форма п (х) строго невырождена на Л,
то форма п (х) строго невырождена на А. Пусть а £А,

180 ПРОСТЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 7
f (а, х) = п (а + х) — гс (а) — гс (я) = 0 для всех х £ Л.
Тогда в силу билинейности формы / (#, у) = п (х + у) —
— п (х) — п (у) и ввиду того, что / = / на Л, мы
получаем, что f (а, А) = 0, откуда а = 0, и форма п (х) строго
невырождена.
Лемма доказана.
Лемма 12. Пусть А — альтернативная алгебра
с единицей 1 над бесконечным полем F. Предположим, что
nt (xt У) 6 F, i — 1, 2, 3, для любых х, у £ А, причем
ni (а-> Ь) = [а, Ь]4 =^= 0 Зля некоторых элементов а, Ь £ Л.
Тогда алгебра А квадратична над F.
Доказательство. Заметим вначале, что если
х, у £ Л и у4 Ф 0, то существуют такие различные
элементы рг £ .F, i = 1, 2, что (х + РгУ)4 =7^ 0. Это легко
следует из бесконечности поля F. Пусть теперь а, Ъ — такие
элементы из Л, для которых [а, Ь]4 Ф 0, и # —
произвольный элемент алгебры Л. Ввиду симметрии элементов а, Ъ,
мы можем считать, что либо [х, а] Ф 0, либо [х, Ь] — 0.
Выберем различные элементы |3Х, |32 из F такие, что
(lb, х] + (3; [Ь, а])4 = [Ь, х + |3,а]4 =£ 0. В силу
соотношения (26) существуют такие at £ F, что
(х + М2 + а, (х + М 6 F, i = 1, 2.
Так как [а, Ь]4 =£ 0, то аналогично имеем а2 £ F -\- Fa,
откуда
х2 + atx + $гУ £F + Fa,
где у = хоа. Исключив отсюда у и разделив на |32 — |3Х,
получаем
х2 + ая + у = ва
для подходящих а, у, 6 £ Т*7. Если [я, Ь] = 0, мы про-
коммутируем это соотношение с Ъ и получим 8 [а, Ь] = 0.
Если же [х, а] Ф 0, мы прокоммутируем это выражение
с а и получим 8 [х, а] = 0. В обоих случаях 8 = 0
и х2 + осх + у == 0. Ввиду произвольности элемента х,
тем самым доказана квадратичность над F алгебры Л.
Лемма доказана.
Теперь может быть доказана
Теорема 5. Пусть А — простая
некоммутативная альтернативная алгебра и Nam [А] ^ Z (А). Тогда
центр Z (Л) алгебры А является полем и А есть либо

§ з]
ТЕОРЕМА КЛЕЙНФЕЛДА
181
алгебра обобщенных кватернионов, либо алгебра Кэли —
Диксона над своим центром.
Доказательство. По теореме 1 для
доказательства того, что центр Z (А) является полем, нам
достаточно показать, что Z (А) Ф (0). Ввиду условий нашей
теоремы и следствия 2 теоремы 4, для этого достаточно
показать, что в А есть такие элементы а, Ь, для которых
[а, Ь]4 Ф 0. Пусть это не так, т. е. [х, г/]4 = 0 для любых
х, у £ А. По предложению 2 нильпотентные элементы
алгебры А образуют идеал /; при этом [х, у] £ I для
любых х, у £ А. Алгебра А некоммутативна, поэтому I Ф
Ф (0) и / = А вследствие простоты алгебры А.
Следовательно, А является ниль-алгеброй. Так как А
удовлетворяет существенному тождественному соотношению [х, г/]4 =
= 0, то по теореме 5.6 А локально нильпотентна. Но это
невозможно, ввиду предложения 1. Полученное
противоречие доказывает, что существуют такие а, Ъ £ Л, для
которых [а, Ь]4 Ф 0, откуда (0) Ф NAn [А] ^ Z (А)
и Z = Z (А) — поле.
Будем теперь рассматривать Л как алгебру над полем Z.
Как легко видеть, А проста не только как Ф-алгебра,
но и как кольцо; в частности, А проста над Z. Пусть К —
некоторое бесконечное расширение поля Z. По теореме 1.6
и теореме 21 алгебра Ак = К ®ZA является
центральной простой альтернативной алгеброй над полем К.
Заметим теперь, что по условию теоремы в алгебре А
выполняются тождества
(щ (х, у), z, t) = [щ (х, у), z] = 0, i = 1, 2, 3. (27)
Ввиду предложения 3, в Л выполняются и все частичные
линеаризации этих тождеств. По теоремам 1.4 и 1.6 отсюда
следует, что тождества (27) справедливы в алгебре Ак.
Следовательно, nf (х, у) £ Z (Ак) = К для любых х, у £
6 Ак; при этом существуют такие а, Ь £ А ^ Ак, что
fa, Ь]4 Ф 0. По лемме 12 алгебра Ак квадратична над К,
откуда, ввиду некоммутативности, по теореме 2.4 алгебра
Ак является композиционной. По лемме 11 алгебра А
также является композиционной. Остается
воспользоваться теоремой 2.1. Теорема доказана.
Следствие 1 (теорема Клейифелда).
Пусть А — простая неассоциативная альтернативная

182 ПРОСТЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 7
алгебра. Тогда центр алгебры А является полем и А есть
алгебра Кэли — Диксона над своим центром.
Действительно, по теореме 3 алгебра А
некоммутативна, а по следствию леммы 7 NAn [А] ^ N (А) = Z (А),
т. е. условияттеоремы 5 выполнены. Остается заметить,
что, ввиду неассоциативности, А не может являться
алгеброй обобщенных кватернионов.
Алгебра А называется алгеброй с делением, если для
любых элементов а, Ъ £ А, а Ф О, каждое из уравнений
ах — Ь, уа = Ъ
разрешимо в А. Если каждое из этих уравнений при а Ф О
имеет одно и только одно решение и А содержит единицу,
то А называется телом.
Как легко видеть (см. упражнение 1), всякая
альтернативная алгебра с делением является телом.
Следствие 2 (Б рак, Клейнфелд, Скор-
н я к о в). Пусть А — альтернативная неассоциативная
алгебра с делением. Тогда центр алгебры А является полем
и А есть алгебра Кэли — Диксона над своим центром.
Упражнения
1. Доказать, что всякая альтернативная алгебра с делением
является телом. —
Элемент а кольца R называется вполне обратимым, если в R
существует такой элемент а-1, называемый вполне обратным для а
что г*
а"1 (ах) = (ха) а"1 =■ х
для любого х £ R. Р?
2. Пусть R — альтернативное тело. Тогда все ненулевые
элементы из R вполне обратимы.
Справедливо и обратное утверждение: если все ненулевые
элементы произвольного кольца R с единицей вполне обратимы, то R
является альтернативным телом (см. Мальцев А. И.,
Алгебраические системы, стр. 119).
3. Доказать, что в альтернативном теле любые два элемента
порождают ассоциативное подтело.
4. Всякое конечное альтернативное тело является полем.
Указание. Применить упражнение 3 и теорему Веддер-
берна о конечных телах (Херстейн И., Некоммутативные кольца,
стр. 100).
Следствие. Всякая алгебра Кэли — Диксона над конечным
полем расщепляема.
ЛИТЕРАТУРА
Алберт [6], Брак и Клейнфелд [24], Жевлаков [70], Клейнфелд
[92, 93], Скорняков [190], Слейтер [197, 199, 205], Херстейн [250],
[251], Цорн [258], Шестаков [270].

ГЛАВА 8
РАДИКАЛЫ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР
Идея радикала — важнейшая в теории колец. Она
заключается в следующем. Допустим, что нужно описать
кольца некоторого класса колец R, например класса
всех альтернативных Ф-алгебр. Как правило, класс Я
содержит в себе весьма разнородные элементы; он может
содержать как тела, так и нильпотентные кольца, и найти
общие черты в строении колец класса Я обычно
оказывается невозможным. В этом случае поступают
следующим образом. В каждом кольце К £ К фиксируют
некоторый идеал М (К), называемый радикалом, так, чтобы
радикалы Ж (К) и фактор-кольца КШ (К) по отдельности
обладали сходным строением, а затем описывают классы
колец М = {Ж {К)} и № = {КШ {К)}. Произвольное
кольцо класса й таким образом описывается как
расширение кольца из оР с помощью кольца из Ж. Открытие
этого метода принадлежит Веддерберну. В 1908 г. он
доказал, что всякая конечномерная ассоциативная алгебра
является расширением прямой суммы полных матричных
алгебр над телами с помощью нильпотентной алгебры.
К настоящему времени в классе альтернативных колец
открыт ряд радикалов, позволивших доказать глубокие
структурные теоремы. Особое по своей важности место
занимает в этом ряду квазирегулярный радикал Жевла-
кова — аналог радикала Джекобсона в классе
ассоциативных колец. Этому радикалу будет посвящена глава 10.
§ 1. Элементы общей теории радикалов
В 1953 г. Курош и независимо Амицур положили
начало аксиоматическому изучению понятия радикала.
Имея целью доказательство структурных теорем об
альтернативных и йордановых кольцах, мы не будем

184 РАДИКАЛЫ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 8
углубляться в эту теорию, а ограничимся лишь
необходимым минимумом сведений из нее.
Зафиксируем некоторый класс Ф-алгебр Я,
замкнутый относительно взятия идеалов и гомоморфных образов.
На протяжении этого параграфа будем считать, что все
рассматриваемые алгебры принадлежат Я. Пусть М —
некоторый подкласс класса к. Алгебры класса М будем
сокращенно называть ^-алгебрами. Идеал / алгебры А
будем называть ^-идеалом, если / есть ^-алгебра. Класс
М (свойство алгебры принадлежать к классу М),
называется радикальным в классе алгебр ft\ если выполняются
следующие три условия:
(A) гомоморфный образ ^-алгебры есть ^-алгебра;
(B) каждая алгебра А из Ш содержит ^-идеал М (А),
содержащий все ^-идеалы алгебры А;
(C) фактор-алгебра AIM {А) не содержит ненулевых
^-идеалов.
Отображение А »-> М (А) называется в этом случае
радикалом, определенным в классе алгебр й; будем
обозначать его также буквой М.
Идеал М {А) алгебры А называется ее М-радикалом.
Алгебры, совпадающие со своим ^-радикалом,
называются М-радикальными, а ненулевые алгебры, радикал
которых равен нулю,— М-полупростыми. Класс е^ всех
^?-полупростых алгебр класса й называется
полупростым классом радикала М. Радикал однозначно
определяется не только своим радикальным, но и своим
полупростым классом, так как справедливо
Предложение 1. Радикальный класс М есть
совокупность алгебр из Я, гомоморфно не
отображающихся на алгебры класса $>.
Доказательство. Если А £ J?, то она не
может гомоморфно отобразиться на алгебру из ffi в силу
условия (А). Если же А £ J?, то А фМ (А) и AIM (А)
есть гомоморфный образ алгебры А, принадлежащий &.
Предложение доказано.
Проверка условий (А) — (С) часто оказывается
трудоемкой. Иногда гораздо проще установить радикальность
класса М, воспользовавшись критерием,
сформулированным в следующей теореме.
Теорема 1. Класс М является радикальным тогда
и только тогда, когда выполнены условия'.

§ 1] ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАДИКАЛОВ 185
(А) гомоморфный образ Si-алгебры есть М-алгебра;
(D) если всякий ненулевой гомоморфный образ алгебры
А содержит ненулевой М-идеал, то А есть М-алгебра.
Доказательство. Если М — радикальный
класс, то условие (А) выполнено и нужно доказать только
(D). Допустим, что в кащдом ненулевом гомоморфном
образе алгебры А имеется ненулевой ^?-идеал.
Рассмотрим в алгебре А радикал М (А) и фактор-алгебру AIM {А).
По свойству (С) этот гомоморфный образ не содержит
ненулевых ^-идеалов, а значит, он нулевой.
Следовательно, А = М {А) и А есть ^-алгебра.
Допустим теперь, что класс М удовлетворяет
условиям (А) и (D). Докажем, что он радикален. Чтобы
установить (В), рассмотрим идеал R — сумму всех ^-идеалов
алгебры А. Нужно доказать, что R есть ^-идеал.
Предположим, что R не является ^?-алгеброй. Тогда в силу
(D) имеется ненулевой гомоморфный образ RII алгебры
R, не содержащий ненулевых ^-идеалов. Это невозможно
по следующим причинам. Так как I=£R, существует
^-идеал В алгебры А, не содержащийся в /. Ввиду того,
что В ^ R, В является ^-идеалом алгебры R. По второй
теореме о гомоморфизмах В + /// = В/В f| / и по
условию (А) В + /// есть ненулевой ^?-идеал в RII.
Полученное противоречие доказывает, что условие (В)
выполнено.
Докажем, что выполнено (С). Пусть А — произвольная
алгебра. По уже доказанному условию (В) в ней
существует ,5?-идеал /?, содержащий все ^?-идеалы алгебры А.
Допустим, что AIR содержит ненулевой ^-идеал MIR.
Докажем теперь, что М £ М, и получим противоречие
с тем, что М ^ R. Пусть MIN — гомоморфный образ
алгебры М. Если N 3 /?, то MIN есть гомоморфный образ
,5?-алгебры M/R и потому есть ^?-алгебра. Если же N =£ й,
то по второй теореме о гомоморфизмах
N + R/N^R/R П N
и по условию (А) N + RIN есть ненулевой ^?-идеал
алгебры MIN. Мы видим, что алгебра М удовлетворяет посылке
условия (D) и потому М £ М. Итак, условие (С)
выполнено, и теорема доказана.
Теорема 2. Класс ffi, не содерэьбащий нулевой
алгебры, является полу простым классом для некоторого

186 РАДИКАЛЫ АЛЬТЕРН-АТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 8
радикала М тогда и только тогда, когда $* удовлетворяет
условиям:
(E) всякий ненулевой идеал алгебры из # может быть
гомоморфно отображен на алгебру из $>\
(F) если всякий ненулевой идеал алгебры А может быть
гомоморфно отображен на алгебру из $>, то А £ <9*.
Доказательство. Пусть & — полупростой
класс некоторого радикала М- Пусть i ^ и/ — идеал
в А. Так как А ^2-полупроста, то идеал / не ^-радикален
и в силу предложения 1 гомоморфно отображается на
алгебру из $>. Значит, gj* удовлетворяет условию (Е).
Если же А $ #*, то М (А) ф(0) ж № (А) — идеал,
который не отображается гомоморфно на алгебру из $>.
Это соображение доказывает (F).
Обратно, пусть ffi — класс алгебр из R,
удовлетворяющий условиям (Е) и (F) и не содержащий нулевой
алгебры. Обозначим через М класс алгебр, не
отображающихся гомоморфно на алгебры из <9*. Докажем, что М —
радикальный класс, а ^ — полупростой класс радикала
М> Очевидно, условие (А) для класса М справедливо.
Чтобы доказать (D), предположим, что алгебра А такова,
что в любом ее ненулевом гомоморфном образе есть
ненулевой М-идеал. Если A (J М, то Л может быть
гомоморфно отображена на алгебру А' £ $>. По сделанному
предположению алгебра А' обладает ^-идеалом /=^=(0).
Согласно (Е). / может быть гомоморфно отображен на
алгебру из $*, однако это противоречит тому, что I £ 3i.
Итак, класс М радикален.
Осталось доказать, что & — полупростой класс этого
радикала. Если А — алгебра из 1^, то согласно (Е)
никакой идеал алгебры А не является ^-радикальным.
Следовательно, А — ,5?-полупростая алгебра. Если же А
есть ^-полупростая алгебра, то никакой ее ненулевой
идеал не ^-радикален. Это значит, что всякий идеал
/ ф (0) алгебры А может быть гомоморфно отображен
на алгебру из <9*, а отсюда в силу (F) вытекает, что i f ^,
Мы доказали, что полупростой класс радикала М
совпадает с <9*. Теорема, таким образом, доказана.
Будем говорить, что класс алгебр М замкнут
относительно расширений, если из того, что I £ М и АН ^ М
следует, что А £ М,

§ 1] ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАДИКАЛОВ 187
Предложение 2. Всякий радикальный класс М
замкнут относительно расширений.
Доказательство. Допустим, что для
некоторой алгебры А и некоторого ее идеала / алгебры I и All
принадлежат М, но тем не менее А $ J2. В этом случае
/ <= М (А) и 31 (А) ФА. По первой теореме о
гомоморфизмах
AIM (А) ~ AIIIM (А)/1,
и искомое противоречие получено, так как справа стоит
гомоморфный образ алгебры А/1, т. е. алгебра
радикальная, а слева — полупростая алгебра. Предложение
доказано.
Предложение 3. Если 31 — класс алгебр,
удовлетворяющий условию (А) и замкнутый относительно
расширений, то сумма любых двух М-идеалов произвольной
алгебры А есть снова М-идеал алгебры А.
Доказательство. Если 1Х и /2 суть 31 -идеалы^
алгебры Л, то по второй теореме о гомоморфизмах
h + IJI^IJI^h.
Поэтому /х + /2//i есть ^-алгебра, так как она есть
гомоморфный образ ^-алгебры /2. В силу замкнутости
относительно расширений получаем, что /х + /2 есть
,^-алгебра и, следовательно, М-идеал алгебры А.
Предложение доказано.
В частности, предложение 3 справедливо, если класс 31
радикален.
Радикал М в классе алгебр Я называется
наследственным, если для любой алгебры А £ й и любого ее идеала /
М(1) = 1(] М(А).
Теорема 3. Радикал М в классе алгебр R является
наследственным тогда и только тогда, когда выполняются
условия:
(G) если А £_ 3Z и I — идеал в А, то I £ М\
(Н) если А £ <9* и I — идеал в А, то I £ &*.
Доказательство, разбивается на две леммы.
Лемма 1. Для любого радикала М условие (G)
эквивалентно тому, то М {I) ^. I {] М (А) для любой алгебры
А £ Я и любого ее идеала /.

188 РАДИКАЛЫ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 8
Доказательство. Если радикал Ж
удовлетворяет свойству (G) и А £ Я, то для любого ее идеала 7
пересечение / f| йЛ (А) есть идеал ^-алгебры Ж (А),
и в силу (G) заключаем, что 7 f| Ж (А) есть ,^-идеал
алгебры 7. Но тогда он должен содержаться в ее
.^-радикале, т. е. / П Ж (А) ^ Ж (7).
Обратно, если Ж (7) з 7 fl Ж (А) и А есть ^/-алгебра,
то Ж (I) ^. I [} J/ (А) = I [} А = 7. Следовательно,
ft (I) = I и I £ Ж. Лемма доказана.
Лемма 2. Для любого радикала Ж условие (Н) зя<ш-
валентно тому, что Ж (7) с= 7 fl .5? (Л) д.дя любой
алгебры А £ $t и любого ее идеала 7.
Доказательство. Допустим, что (Н)
справедливо. Пусть 7 — идеал алгебры А. Рассмотрим Ж
-полупростую алгебру А/Ж (А). Ее идеал 7 + ,_% (А)/Ж (А)
в силу (II) также Ж -полупрост. По второй теореме о
гомоморфизмах
1 + Ж (А)1Ж (А) ^ III (]Ж(А).
Следовательно, алгебра 7/7 П $1 (Л) является ^-полу-
нростой, и потому Ж (I) <=: I [\ Ж (А).
Обратно, если алгебра А является ,^-полупростой
и условие Ж (7) ^ 7 П $ И) выполнено для любого ее
идеала 7, то Ж (7) <=, 1" f| (0) --= (0). Лемма 2, а вместе
с ней и теорема 3 доказаны.
Остаток параграфа мы посвятим доказательству того,
что в классе альтернативных алгебр условие (Н)
справедливо для любого радикала.
Лемма 3. Если I — идеал альтернативной алгебры
А, а М — идеал алгебры 7, то для всякого а £ А
а) М2А g= М;
б) (М, а, 7) с= м + Ма\
в) М + Ма — идеал в 7;
г) М + (Ма)2 — идеал в 7, содержащийся в М + Ма;
д) (МЛ) 72 д= М;
е) (Ма)2 (Ма)2 д= М.
Доказательство. Для доказательства а) и б)
воспользуемся правой альтернативностью:
М2А <= М {МА) + (М, 717, Л) <= Ml + (М, Л, М) gz М,
(М, а, 7) = (М, 7, а) <= М (la) + (М7) а <== М + Ма.

§ ll ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАДИКАЛОВ 189
Утверждение в) есть следствие б). Докажем г). Имеем
М + (Ма)2 ^ М + Ма в силу в). Применяя еще раз
в), получим
[М + (Ма)2] I с= м + (Ма) [(Ма) I] + (Ма, Ма, I) д=
с= М + (Ма)2 + (Ма, I, Ма) <= М + (Ма)2.
Чтобы доказать д), воспользуемся линеаризованным
тождеством Муфанг. Пусть т £ М, я, у £ /", г £ Л, тогда
(/таг, я, г/) + (уг, я, /га) = (г, я, у) т + (г, я, /га) г/.
Ввиду того, что ассоциаторы (уг, х, т) и (г, я, г/) тгг лежат
в М, заключаем, что
(тг, х, у) — (г, я, т) у £ Л/.
Однако
(тг, х, у) — (г, х, т) у = (тг, х, у) — (т, г, х) у =
= — (тг) (ху) + [т (гх)] у,
откуда, ввиду того, что [т (гх)\ у £ М, следует (тг) (ху) £
6 М- Итак, мы доказали д). Наконец, в силу г) и д)
(Ма)2 (Ма)2 <= (М + Ма) (Ма)2 ^ М +
+ (Ма) (Ма)2 <= М + (Ма) Р <= М,
что дает нам е). Лемма доказана.
Теорема 4. Если I — идеал альтернативной
алгебры А, а М — идеал алгебры I такой, что фактор-
алгебра ИМ не содержит ненулевых нилъпотентных
идеалов, то М — идеал ссей алгебры А.
Доказательство. Если М не является
идеалом в А, то найдется такой элемент а £ А, что либо аМ с£
<5= М, либо Ma'df М. Пусть, например, Ма <3= М. Тогда
в силу условия в) леммы 3 М\ = М + Ма — идеал в /,
строго содержащий М. Это значит, что в фактор-алгебре
/ = ИМ образ Мг идеала Мх не равен нулю. Но в силу
е) (М\)2 = (0), поэтому, ввиду предложения 5.1 и
отсутствия в алгебре / ненулевых нильпотентных идеалов, мы
получаем, что М\ = (0) и Мх = (0). Полученное
противоречие доказывает, что Ма ^ М. Аналогично с
использованием левого аналога леммы 3 доказывается, что аМ s
^ М. Теорема доказана.

100 РАДИКАЛЫ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР |[ГЛ4 8
Лемма 4. Пусть 31 — некоторый радикал в
классе алгебр ffi и I — идеал алгебры А, причем Р = (0).
Тогда М (I) — идеал в А.
Щ Доказательство. Предположим противное:
пусть для некоторого а £ А либо аМ (I) ^ М (/), либо
М (I) а с^ М (/). Для определенности предположим, что
аМ (I) $ Л (/). Тогда М (I) + аМ (1)/М (/) -
ненулевой идеал алгебры ИМ (/), которая ^-полупроста.
Покажем, что идеал М (I) + аМ (1)191 (I) является
^-радикальным; тогда наше допущение приведет к
противоречию. Рассмотрим отображение 0: № (I) ->- М (I) +
+ аМ (1)1 М СО, определенное по правилу 6 (у) = ау +
+ J$ (/). Покажем, что это гомоморфизм. Действительно,
для любых двух элементов ух, у2 £ М СО, ввиду того,
что Р — (0), имеем
6 (*/i*/2) = а (У1у2) + М (/) = 0 + Я (/),
6 Ы 6 (у2) = (аУ1) (ау2) +М(1) = 0+М (/).
Итак, 0 — гомоморфизм, который отображает М (I) на
М СО + аМ (1)1 М (/). Значит, по условию (А) последняя
алгебра ^-радикальна. Лемма доказана.
Теорема 5 (Андерсон — Дивинский —
Сулинский). Пусть М — произвольный радикал,
определенный в классе альтернативных алгебр, А —
альтернативная алгебра и I — ее идеал. Тогда % (I) — идеал в А.
Доказательство. Обозначим 31 (I) через М.
Если М — не идеал в А, то существует такой а £ А, что
либо Ма с£ М, либо аМ <3^ М. Допустим первое. Тогда
М + Ма — идеал в /, строго содержащий М.
Предположим сначала, что (Ма)2 ^ М. Рассмотрим отображение
0: М ->- М + Ма/М, определенное по правилу 0 (т) =
= та + М. Пусть т, п £ М. Тогда, очевидно, 0 (т-{-п) =
= 0 (т) + 0 (п) и в силу пункта а) леммы 3
0 (тп) = (тп) а + М = 0 + М.
Далее, так как по предположению (Ма)2 ^ М,
0 (т) 0 (п) = (та) (па) + М = 0 + М.
Мы доказали, что 0 — гомоморфизм радикальной алгебры
М на идеал М + Ма/М полупростой алгебры ИМ. Это
противоречит тому, что М + Ма строго содержит М, т. е.
тому, что Ма <3^ М.

§ d] ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАДИКАЛОВ 191
Осталось рассмотреть случай, когда (Ма)2 с£ М. В этом
случае в силу леммы ЗМ + (Ма)2 — идеал в /, строго
содержащий М. Ввиду леммы 3, М + {Ма)2/М — идеал
с нулевым умножением в полупростой алгебре I/M.
Покажем, что у алгебры М + (Ма)2/М есть ненулевой
^-радикал; этим, ввиду леммы 4, мы приведем к
противоречию сделанное допущение и докажем теорему.
Зафиксируем такой элемент п £ М, что (Ма) (па) ^
<5= М, и рассмотрим отображение 0: М ->■ М + (Ма)21М,
переводящее элемент wifl в смежный класс 0 (т) =
= (та) (иа) + М. Мы имеем в силу а), что
0 (тхт2) = [(т^) а] (ма) + М = 0 + Af.
Кроме того, ввиду е),
0 (тх) 0 (тга2) = [(т^) (па)] [(т2а) (па)] + М = 0 + М.
Аддитивность отображения 0 очевидна, поэтому 0 —
гомоморфизм ^-радикальной алгебры М на ненулевой
идеал (Ма) (па) + MIM алгебры (Ма)2 + М/М.
Следовательно, № (М + (Ма)2/М) =7^(0), и все доказано.
Следствие. Для любого радикала М в классе
альтернативных алгебр справедливо условие (Н).
Доказательство. Если бы в полупростой
альтернативной алгебре А нашелся неполупростой идеал /,
то его радикал М (I) в силу только что доказанной
теоремы был бы ненулевым радикальным идеалом всей алгебры
А, что невозможно. Следствие доказано.
Упражнения
1. Пусть 9J? — класс Ф-алгебр со свойством (Е) и 5Ш — класс
всех таких алгебр Л, что всякий ненулевой идеал / алгебры А
может быть гомоморфно отображен на ненулевую алгебру из fflt.
Доказать, что класс ffll удовлетворяет условиям (Е) w (F).
2. Пусть 2# — класс всех простых алгебр класса $t. Доказать,
что для любого разбиения класса ffll на два непересекающихся
подкласса ЗО^ и 9#2 существует радикал в Й, относительно
которого простые алгебры из SDPj будут радикальными, а алгебры из
Я#2 — полупростыми.
3. Пусть $t — класс всех ассоциативных колец и М — класс
всех ассоциативных колец, не отображающихся гомоморфно на
нильпотентные кольца. Покажите, что Si — радикальный класс
в Ш и что условие (G) для него не выполнено.
^4 (Д и в и н с к и й — С у л и н с к и й). Пусть ffll — класс
колец, замкнутый относительно взятия идеалов и гомоморфных

192 РАДИКАЛЫ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 8
образов, и ® — класс Ф-алгебр с теми же свойствами, причем
® ^ Ш?. Доказать, что если № — радикал в 9J?, то ^-радикал
любой Ф-алгебры из й является ее Ф-идеалом, т. е. выдерживает
умножения на элементы из Ф. Показать также, что класс &[\$
радикален в ®.
§ 2. Ниль-радикалы
Пусть й — произвольный класс алгебр, замкнутый
относительно взятия идеалов и гомоморфных образов.
В каждой алгебре А £ й определим следующую цепочку
идеалов, которую будем называть бэровской. Положим
.$0 (А) = (0), а через 38 г (А) обозначим сумму всех
тривиальных идеалов алгебры А (т. е. идеалов с нулевым
умножением). Далее, предположим, что идеалы 38а {А)
определены для всех ординалов ее, меньших ординала (3.
Если (3 — предельный ординал, положим 38р (^4) =
= U ^сс 04); если же Р не является предельным, то
а<|5
существует ординал р — 1, и мы определим 38 $ (А) как
такой идеал, что
^3 (4)/#Э-1 (А) = ^1 (4/.#з-1 И).
Если мощность ординала у больше мощности алгебры ^4, то
38 у (Л) = .#7+1 (Л) - ... Обозначим .#7 (Л) через 38 (А)
и назовем бэровским идеалом алгебры Л.
Предложение 4. Фактор-алгебра А/38 (^4)
не содержит ненулевых тривиальных идеалов, 38 (А) —
наименьший идеал с этим свойством.
Доказательство. Фактор-алгебра А/38 {А)
не содержит ненулевых тривиальных идеалов по
построению идеала 38 {А). Рассмотрим множество {/а} всех
идеалов алгебры А таких, что А/1а — алгебра без
ненулевых тривиальных идеалов. Легко видеть, что I = \\1а
есть наименьший идеал в этом множестве. Если бы
включение I ^ 38 (А) было строгим, нашелся бы минимальный
ординал б такой, что 38ь (А) <3= /. Ясно, что б не является
предельным и что J?6-i (А) ^ I. Тогда в алгебре А =
=--i4/i?6-i 04) существовал бы тривиальный идеал К Ф (0),
не содержащийся в / = Н38ь-\ {А). Его полный
прообраз К в алгебре А таков, что К <3= /, но К2 ^
^ .^5-i (А) — I' Получили в АН ненулевой тривиальный

§ 2]
НИЛЬ-РАДИКАЛЫ
193
идеал К + ///, что противоречит допущению. Значит,
на самом деле / = 38 (А), и предложение доказано.
Алгебра называется первичной, если для любых ее
двух идеалов / и / из равенства // = (0) следует, что
либо / = (0), либо / = (0). Во многих классах алгебр
первичные алгебры могут быть достаточно хорошо
охарактеризованы. Первичные альтернативные алгебры
изучаются в следующей главе.
Теорема 6. Фактор-алгебра А/38 (А) является
подпрямой суммой первичных алгебр.
Доказательство. Идеал / алгебры А
назовем первичным идеалом, если алгебра А/1 первична.
Утверждение теоремы эквивалентно тому, что бэровский
идеал 38 (А) равен пересечению некоторого множества
первичных идеалов. Покажем, что он совпадает с
пересечением I всех первичных идеалов. Пусть Р — первичный
идеал. Тогда в силу предложения 4 Р э 38 (А) и,
следовательно, I з 38 (А). Пусть a (J 38 (А) и (а) — идеал,
порожденный элементом а. Имеем (a)2 dp 38 (А), и
существует элемент аг £ (а)2 \38 (А). Аналогично получим
элемент а2 £ {a>if'\38 (А) и т. д. Строим бесконечную
последовательность а0 = а, а±, а2, ... и выбираем по
лемме Цорна максимальный идеал Q алгебры А такой, что
Q[\{ai) = 0- Если идеалы С и D строго содержат идеал
Q, то для некоторых кит справедливы включения С ^ ak
и D Э сьт- Но тогда С {] D з (az), где I = max (к, т)
и CD ^ (аг)2 Э ai+v Поэтому CD dp Q, что доказывает
первичность идеала Q. Так как а — а0 QQ, то а $ /.
Значит, ^ (Л) ^ /, и равенство J? (Л) = I доказано.
Алгебра без ненулевых тривиальных идеалов
называется полупервичной. Так как в полупервичной алгебре
бэровский идеал равен нулю, из теоремы 6 вытекает
Следствие. Всякая полу первичная алгебра есть
подпрямая сумма первичных алгебр.
Выясним теперь, каким условиям должен
удовлетворять класс алгебр й, чтобы отображение 38: А ->■ 38 (А)
являлось в нем радикалом.
Предложение 5. Отображение $ является
радикалом в классе алгебр R тогда и только тогда, когда
всякий ненулевой идеал полупервичной алгебры иг ffi
может быть гомоморфно отображен на полупервичную
алгебру.

194 РАДИКАЛЫ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 8
Доказательство. Сформулированное
необходимое и достаточное условие — это есть в точности
условие (Е) для класса & = {А £ К | 98 (А) = (0)}.]
Докажем для класса ИР условие (F). Действительно, если
каждый ненулевой идеал некоторой алгебры А может быть
гомоморфно отображен на алгебру без тривиальных
идеалов, то тривиальных идеалов в алгебре А быть не может
и А £ ИР. Ввиду теоремы 2, ИР — полупростой класс
некоторого радикала, радикальный класс Я которого состоит
в силу предложения 1 из алгебр, не отображающихся
гомоморфно на алгебры без тривиальных идеалов. В силу
предложения 4 заключаем, что М — {А £$, \ А = $ (-4)}?
и достаточность условия доказана. Необходимость также
ясна, ибо если 98 — радикал, то его полупростой класс
есть HP, и условие (Е) для него справедливо.
Предложение доказано.
Если отображение 98 является радикалом, то этот
радикал называется радикалом Бора или нижним
нильрадикалом. Ввиду предложения 5, для радикальности
этого отображения в классе альтернативных алгебр
достаточно показать, что всякий идеал / полупервичной
альтернативной алгебры Л сам является полупервичной
алгеброй. Мы докажем это в следующей главе.
Предложение 6. Для любой алгебры А и ее
идеала I справедливо включение ^ (/) 2 / П ^ (^)-
Доказательство. Пусть 9В (I) ф I П & (А).
Тогда найдется минимальный ординал б такой, что 98 (I) =jb
=£ I р| 98ь (А). Ясно, что б — непредельный ординал
и что / П #e-i (А) ^ & (Л- Так как I П 98ь (А) £
с£ 9S (Л, в фактор-алгебре АШЬ_Х(А) найдется
тривиальный идеал К такой, что для его прообраза К имеет место
/ П К £ 31 (7). Но (/ П Kf = / П #e-i (A) s Я (I),
и t в фактор-алгебре -1198 (I) нашелся ненулевой
тривиальный идеал (I П К) + 9S (I) 1$ (/), чего не может
быть. Значит, 98 (I) "^ I [) 98 (А), и предложение
доказано.
Пусть теперь X — класс всех локально нильпотентных
алгебр из Я. Если X — радикальный класс в Я, то
определяемый им радикал называется локально нильпотент-
ным радикалом или радикалом Левицкого. Необходимых
и достаточных критериев радикальности класса X
неизвестно. Достаточных критериев известно несколько [13, 14,

§ 2l
НИЛЬ-РАДИКАЛЫ
195
59, 80, 174]. Мы приведем наиболее простой из них,
достаточный для наших целей.
Теорема 7 (Дорофеев). Пусть Ш —
однородное многообразие Ф-алгебр такое, что для каждой
алгебры А £ Ш элементы цепочки
А ==> Лш => Л<2) э ...
являются идеалами алгебры А. Тогда класс X всех
локально нилыготентных алгебр является радикальным в Ш
тогда и только тогда, когда все алгебры из 3UI, разрешимые
индекса 2, принадлежат X.
Доказательство. Необходимость условия
вытекает из предложения 2. Докажем достаточность.
Доказательство разбивается на ряд лемм.
Лемма 5. Квадрат конечнопорожденной алгебры А
из Ш есть конечнопорожденная алгебра.
Доказательство. Пусть аъ а2, . . ., ап —
порождающие алгебры А. Рассмотрим свободную алгебру
F из Ш с п свободными порождающими. По условию
фактор-алгебра F/Fi2) принадлежит X и, следовательно,
нильпотентна. Если М — индекс ее нильпотентности,
тогда всякий одночлен и из F степени, не меньшей М,
представим в виде
U=^]v'iVi, (1)
i
где v\, v\ — одночлены из F2, причем в силу однородности
можно считать, что d (vl) -\- d (vl) = d (и). Ясно теперь,
что всевозможные элементы вида w (at , at , . . ., at ),
где w — неассоциативный одночлен степени не менее 2
и не более М — 1, порождают алгебру А2.
Лемма 6. Локальная разрешимость — радикальное
свойство в Ш.
Доказательство. Класс локально
разрешимых алгебр удовлетворяет свойству (А). Покажем, что он
замкнут относительно расширений. Пусть идеал / и
фактор-алгебра А/1 локально разрешимы, рассмотрим в А
конечнопорожденную подалгебру А0. В силу локальной
разрешимости А/1 имеем Aqp) ^ / для некоторого р.
Идеал / также локально разрешим, а в силу предыдущей
леммы А^р) — конечнопорожденная алгебра. Поэтому
А\)а) = (0) для некоторого д, что и означает локальную

196 РАДИКАЛЫ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 8
разрешимость алгебры А. Обозначим через X (А) сумму
всех локально разрешимых идеалов алгебры А. В силу
предложения 3 X (А) — локально разрешимый идеал,
а в силу замкнутости относительно расширений в фактор-
алгебре А/Х (А) нет ненулевых локально разрешимых
идеалов. Следовательно, класс локально разрешимых
алгебр удовлетворяет (В) и (С) и является радикальным.
Лемма 7. Всякая локально разрешимая алгебра
из Ш локально нилъпотентна.
Доказательство. Достаточно доказать, что для
свободной алгебры Fen порождающими и для любого
к ^ 1 существует число / (п, к) такое, что
/г/(п, k) ^ p(k)t (2)
Мы видели, что число / (п, 2) существует. Предположим,
что 4^3и число / (п, к — 1) существует для любого п.
Тогда, ввиду леммы 5, для некоторого числа L имеем
(iT2)L^(/T2)(/t-l) = jp(/t)# (3)
Рассмотрим число N = max (L, / (гс, 2)). Заметим, что для
одночленов степени ^ N имеет место разложение (1).
Положим / (п, к) = N2 и рассмотрим одночлен и степени
> N2. В силу (1) и == 2 v\v\, где A (ul) + d (i#) = d (и)
г
и min (d (vi), d (и\)) ^ 2. Если одночлены v\ и v\ имеют
степень, не меньшую TV, то снова применяем (1), и т. д.
до тех пор, пока и не представится в виде линейной
комбинации произведений одночленов, каждый из которых
имеет степень больше двух, но меньше N. Но тогда в
каждом произведении будет не менее N таких одночленов
и в силу (3) каждое произведение будет лежать в F{k).
Следовательно, и лежит в F(k) и (2) доказано. Лемма
доказана.
Для доказательства теоремы 7 достаточно теперь
применить леммы 6 и 7.
Предложение 7. Пусть А — альтернативная
алгебра с п порождающими и А{2) = (0). Тогда Лп+3 = (0).
Доказательство. Пусть Ra и La —
ограничения операторов Ra и La на идеале А2. Тогда Rab = Lab =
= 0 для любых а, Ъ £ А и вследствие тождеств
альтернативности
Rl = Z%=0. (4)

§ 2]
НИЛЬ-РАДИКАЛЫ
197
Кроме того, в силу центрального тождества Муфанг
a (be) а = (аЪ) (са) = О
для любых а, Ь, с £ А. Поэтому
RaLa = LaRa = 0. (5)
Пусть w = Ма1 Ма2 . . . Mak — некоторый одночлен от
операторов Ra. и La., где а^ £ ^4. Элементы а^ без
ограничения общности можно считать линейными
комбинациями порождающих. Из соотношений (4), (5) и их
линеаризации следует, что элемент w является кососим-
метрической функцией элементов аг, а2, . . ., ak.
Поэтому, если к ^ п -\- 1, то w = 0. Легко видеть теперь, что
дп+ъ __ ^ Предложение доказано.
Следствие. В многообразии альтернативных
алгебр класс локально нилыготентных алгебр радикален.
Доказательство. Так как по следствию
теоремы 1.5 многообразие альтернативных алгебр однородно,
утверждение следует из теоремы 7 и предложения 7.
Теорема 8 (Ш е с т а к о в [80]). Пусть в
многообразии Ф-алгебр ffi существует локально нилыготентный
радикал X. Тогда для всякой алгебры А £ ffi радикал
X (А) равен пересечению всех таких первичных идеалов Ра
алгебры А, для которых фактор-алгебра А1Ра является
Х-полупростой *).
Доказательство. Обозначим пересечение
соответствующих первичных идеалов Ра через /. Ясно, что
X (А) содержится в каждом идеале Ра, а следовательно,
и в их пересечении: X {А) ^ /. Теорема будет доказана,
если для каждого элемента х$Х (А) будет найден
первичный идеал Р такой, что X (AIP) = (0) и х (J Р. Тогда
будет верно и обратное включение J ^ X (А).
Пусть х § X (А). Рассмотрим идеал (х) алгебры А,
порожденный элементом х. Так как х (J X (А), идеал (х)
не является локально нильпотентным и, значит, содержит
ненильпотентную конечнопорожденную подалгебру S.
Пусть М — множество таких идеалов / алгебры А, что
образ алгебры S при каноническом гомоморфизме А
*) Эта теорема впервые была доказана для ассоциативных
колец Бабичем [20].

198 РАДИКАЛЫ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ# 8
на АН не является нильпотентным. Множество М непусто,
так как (0) £ М. Далее, множество М является частично
упорядоченным по включению. Пусть теперь Т = {1а} —
линейно упорядоченное подмножество множества М.
Покажем, что I = {jla принадлежит М. Допустим противное:
образ S подалгебры S в фактор-алгебре АН нильпотентен
или, другими словами, Sm ^ I для некоторого т.
Рассмотрим множество W слов от порождающих^подалгебры
S длины от т до 2т. Это множество конечно, лежит в Sm,
а значит ив/. Но, ввиду его конечности, имеем W ^ 1а
для некоторого а0. Покажем, что и Sm ^ IaQ' Действи
тельно, пусть и — слово от порождающих алгебры S
длины не меньше т. Если его длина не больше 2т, то и £ W
и, следовательно, и £ 1ао. Если же d (и) > 2т, то и =
= щи2, где длина одного из ut больше т. Пусть d (щ) >
> т. Сделав индуктивное предположение, мы можем
считать, что щ £ /ао, но тогда и и = иги2 £ /ао.
Следовательно, Sm ^ /ао, что противоречит тому, что 1ао 6 М.
Итак, I £ М и множество М индуктивно. По лемме
Цорна в М есть максимальный элемент Р. Очевидно, что
(х)$ Р, ибо в противном случае (х) ^ Р я S ^ Р.
Рассмотрим алгебру А =АIP. Для завершения
доказательства достаточно показать, что А — первичная <3£-полу-
простая алгебра. Заметим, что подалгебра S в А такова,
что в любом собственном гомоморфном образе алгебры А
образ ее нильпотентен. Для удобства обозначим А через
А и S через S. Покажем вначале, что А первична.
Пусть В и С — два идеала алгебры А и ВС = (0). Если
В ф (0) и С ф (0), то алгебра S при канонических
гомоморфизмах А на А/В и А на А 1С перейдет в иильпотентные
алгебры Sx и S2. По теореме о гомоморфизмах
S^S + B/B^S/SftB, s2^s + c/c^ sis п с.
Рассмотрим алгебру S (] BIS (] В (] С. Она ниль-
потентна, так как S (] BIS {] В {] С se S {] В +
+ S П CIS f| С, а последняя алгебра изоморфна
подалгебре алгебры S2. Кроме того, (S П В Л О2 = (0)»
поэтому в силу предложения 2 алгебра S [] В локально ниль-
потентна. Теперь мы видим, что S (] В и S/S {] В —
локально иильпотентные алгебры. То же предложение 2

§ 2]
НИЛЬ-РАДИКАЛЫ
199
дает нам локальную нильпотентность алгебры S. Однако
это невозможно, так как она конечнопорождена и яениль-
потентна. Мы доказали первичность алгебры А.
Пусть, наконец, В — локально нильпотентный идеал
алгебры А. Если В ф{0), то алгебра S = S +В/В
нильпотентна и, следовательно, нильпотентна алгебра
S/S П 5, которая изоморфна S + В/В. Итак, S (] В
и SIS П В — локально нильпотентные алгебры. По
предложению 2 алгебра S также локально нильпотентна,
однако это не так. Полученное противоречие доказывает
теорему.
Следствие. В условиях теоремы 8 всякая
X-полупростая алгебра из Ш является подпрямой суммой
первичных X-полупростых алгебр.
Пусть теперь 31 — произвольный класс алгебр с
ассоциативными степенями, замкнутый относительно взятия
идеалов и гомоморфных образов. Легко видеть, что класс
JP всех ниль-алгебр является в 9J радикальным классом.
Соответствующий радикал называется радикалом К'ёте
или верхним ниль-радикалом.
Для всех трех введенных радикалов 98, X, JT
выполняется условие (G); для X и JfT оно очевидно, для 98
следует из предложения 6 и леммы 1. По следствию теоремы 5
в классе альтернативных алгебр условие (Н) для этих
радикалов тоже справедливо. Однако по теореме 3
условия (G) и (Н) эквивалентны наследственности. Поэтому
нами доказана
Теорема 9. Радикалы 98, X, Jf в классе
альтернативных алгебр наследственны.
Между вводимыми радикальными классами очевидны
соотношения
98^Х^Ж.
Эти включения являются строгими [37, 186]. Всякий
радикал М, радикальный класс которого удовлетворяет
соотношениям 98 ^ № ^ Ж, называется ниль-радикалом.
Понятными в связи с этим становятся термины «нижний
ниль-радикал» и «верхний ниль-радикал». Жевлаков
высказывал в свое время гипотезу, что ниль-радикалы
образуют цепь. Гипотеза оказалась неверной: в классе
ассоциативных алгебр над произвольным полем Рябухин
построил целый класс несравнимых ниль-радикалов,

200 РАДИКАЛЫ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ# 8
Упражнения
1. Доказать, что всякая первичная (полупервичная) Ф-алгебра
является первичным (полупервичным) кольцом.
2 (Дорофеев). Пусть ffll — однородное многообразие
алгебр такое, что для любой алгебры А £ ffll члены цепочки
A=>A<^=>AW =2 ...
являются идеалами в А. Тогда, если все разрешимые индекса 2
алгебры из ffll нильпотентны, то и все разрешимые алгебры в 9J?
нильпотентны.
Указание. Рассуждать, как в доказательстве леммы 7.
3 (С л и н ь к о). Доказать, что для любого дифференцирования
D алгебры А над полем характеристики 0
а) т (A)D s= 3 (А);
б) если X (А) — локально нильпотентный идеал в А и А1Х(А)
не содержит ненулевых локально нильпотентных идеалов, то
X (A)D s X {А). В частности, это так, если А принадлежит
многообразию, где- существует локально нильпотентный радикал;
в) если А — алгебра с ассоциативными степенями, то jjp (A)D s
£= JT(A).
4. Докажите, что во всякой алгебре А с ассоциативными
степенями радикал Кёте JT (А) равен пересечению всех первичных
идеалов этой алгебры, фактор-алгебра по которым ^f-полупроста.
§ 3. Радикал Андрунакиевича
Алгебра А называется подпрямо неразложимой, если
ее сердцевина Н (А) — пересечение всех ненулевых
идеалов алгебры А — отлична от нуля. Свойства подпрямо
неразложимой алгебры в значительной степени
определяются свойствами ее сердцевины. В альтернативных
алгебрах квадрат идеала — всегда идеал (предложение 5.1),
так что, если А — альтернативная алгебра, то либо
Н (А)2 = (0), либо Н (А)2 = Н (А). Таким образом,
подпрямо неразложимые альтернативные алгебры делятся
на два класса: алгебры с нильпотентной сердцевиной
и алгебры с идемпотентной сердцевиной. Если о
структуре первых ничего определенного сказать нельзя, то
вторые допускают по модулю ассоциативных алгебр
исчерпывающее описание. В этом параграфе будет доказано, что
всякая неассоциативная подпрямо неразложимая
альтернативная алгебра с идемпотентной сердцевиной является
алгеброй Кэли — Диксона над своим центром. Кроме того,
будет показано, что подпрямо неразложимые
альтернативные алгебры с идемпотентной сердцевиной являются

§ 3] РАДИКАЛ АНДРУНАКИЕВИЧА 201
строительными блоками полупростого класса некоторого
нового радикала с интересными свойствами. Этот радикал
будет играть важную роль в главе 12 при изучении
альтернативных алгебр с условием минимальности.
Пусть X — подмножество алгебры А. Правым анну-
лятором X называется множество Annr (X) = {z £
6 А | Xz = (0)}, левым аннулятором — множество
Annг (X) = {z 6 А | zX = (0)}, аннулятором — Ann (X) =
= Annr (X) П Ann г (X).
Лемма 8. Пусть В — идеал альтернативной
алгебры А. Тогда Annr (5), Аппг (В) и Ann (В) — также
идеалы в А.
Доказательство.В силу симметрии достаточно
показать, что Annr (В) — идеал. Пусть z 6 Annr (В), а £
£ Л, Ъ еВ. Тогда
Ъ (za) = (bz) а — (Ь, z, а) = — (a, b, z) =
= а (bz) — (аЬ) z = 0,
т. е. za £ Annr (5) и Annr (5) — правый идеал. Аналогично,
Ъ (az) = (ba) z — (&, a, z) = (a, Ь, z) = 0
и az £ Annr (5). Таким образом, Annr (5) — идеал, и
лемма доказана.
Напомним, что для идеала I альтернативной алгебры А
через Т (I) и Р (/) обозначаются соответственно подмодули
{///} и {1А#1} Ф-модуля А. По следствию
предложения 5.2 эти подмодули являются идеалами алгебры А
такими, что Р (I) => Т (I) => Р (7)2.
Лемма 9. Пусть Р (I) = (0) для идеала I
альтернативной алгебры А. Тогда для любого у £ / подмодуль
V = vl является тривиальным идеалом алгебры А.
Доказательство. Для любых i, j £ I', a ^ Л
мы имеем
*о/ = {ilj} = 0,
(ш) 7 + (М) * = * \aj) + j (ai) = {ш/} = 0.
Следовательно,
(у£) а = — (ш) i -f у (а<н) = у (a<u) -f (ш) у =
= v (aoi) — v (ia) = у (ai) 6 vl,
a (vi) = — a (jy) = i (ay) — (а<н) у =
= у (aoi) — у (a£) = у (ш) 6 ^?

202 РАДИКАЛЫ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 8
т. е. V — идеал алгебры А. В силу центрального
тождества Муфанг (vi) (vj) = — (vi) (jv) = — v (ij) v = 0,
откуда F2 = (0). Лемма доказана.
Лемма 10. Пусть I — идеал альтернативной
алгебры А. Тогда, если I ф (0) и I не содержит ненулевых
тривиальных идеалов алгебры Л, то Т (I) Ф(0).
Доказательство. Допустим, что Т (I) = (0).
По следствию предложения 5.2 мы имеем тогда Р (I)2 =
= (0). Так как Р (I) ^ I и Р (I) — идеал в Л, то в силу
условий леммы Р (I) = (0). Тогда по лемме 9 для любого
v 6 I верно vi = (0), откуда Р = (0). Это противоречит
условию леммы. Следовательно, Т (I) Ф(0). Лемма
доказана.
Идеал I ф (0) алгебры А называется минимальным,
если из того, что Г — идеал алгебры А, строго
содержащийся в /, следует /' = (0).
Теорема 10 (Ж е в л а к о в). Если I —
минимальный идеал альтернативной алгебры Л, то либо I2 =
= (0), либо I — простая алгебра.
Доказательство. Пусть Р Ф 0. Тогда Р = /,
и мы находимся в ситуации леммы 10. Значит, в этом
случае I = Т (/). Допустим, что В — идеал алгебры /
и В ф I. Рассмотрим множество С = (IB) I -\- I (BI)
и докажем, что С — идеал алгебры А. Запись р = q
будет обозначать, что р — q £ С. Пусть Ъ £ 5, х, у £ I,
а£А. Тогда в силу (7.18)
(а, Ь, хух) = (хах, Ь, у) + ({аху}, Ь, х) е= 0.
Ввиду равенства / = Т (/), для любого i £ I мы имеем
(а, Ь, 0 = 0.» (6)
Теперь пусть i, / £ ■/"'» тогда, ввиду (6),|
l(ib) /] а = (*Ь) (/а) + (*Ь, /, a) s= 0
и, далее,в
U (Ь/)] а = i [(bj) а] + (i, Ь/, а) = i [(&/) а] ==1
= * (Ь, /, а) + ПЬ (/а)] = 0.
Эти соотношения означают, что С — правый идеал в А.
Аналогично доказывается, что С — левый идеал. Но
С ^ 5, и потому С строго содержится в I. Следовательно,
С = (0). В частности, (IB) I = (0), т. е. IB<= Ann* (/).

§ з]
РАДИКАЛ АНДРУНАКИЕВИЧА
203
Если Ann j (/) р / =?Ц0), то в силу минимальности идеала
/ и леммы 8 Аппг (/) ^ /, т. е. Р = (0). Следовательно,
Annг (/) П / = (0). Аналогично, Annr (Г) (] I = (0).
Однако IB ^ Аппг (/) П I и> значит, IB = (0). Но тогда В ^
^ Annr (/) П / и В = (0). Значит, / — простая алгебра.
Теорема доказана.
Для ассоциативных алгебр эта теорема легко вытекает
из следующего утверждения, носящего название леммы
А ндрунакиевича.
Лемма 11. Пусть I — идеал ассоциативной
алгебры А, a J — идеал алгебры I. Тогда для идеала /,
порожденного множеством J, имеет место включение J3 ^ /.
Доказательство. Так как А ассоциативна,
/ = A#JA#. Поэтому
Р cz / (A#JA#) I<=IJI<=J.
Лемма доказана.
Для альтернативной алгебры А до сих пор неизвестно,
существует ли такое число п, что Jn с= /. Шестаков
доказал [271], что для альтернативной алгебры А с к
порождающими Jk+3 ^ /. В общем случае Хенцель и Слейтер
показали, что /w+1 ^ /, где о — первый бесконечный
ординал [249].
Ввиду того, что подпрямо неразложимая алгебра
с идемпотентной сердцевиной первична, займемся сбором
предварительных сведений о первичных и полупервичных
алгебрах.
В произвольной алгебре А через D (А) обозначим
идеал, порожденный множеством (Л, Л, Л) всех
ассоциаторов,— так называемый ассоциаторный идеал.
Предложение 8. D (А) = (А, А, А) Л# =
= А#(А, Л, Л).
Доказательство. Из тождества (7.5) следует,
что
Л (Л, Л, Л) s= (Л, Л, А) А#.
Кроме того, очевидно включение
((Л, Л, Л) Л) Л <= (Л, Л, Л) 4 (Л, Л, Л) Л2.

204 РАДИКАЛЫ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ4 8
Поэтому
Л ((Л, Л, А) А) <= (А (А, А, А)) А + (Л, Л, А) с=
£= (Л, Л, Л) + (Л, Л, Л) Л + ((Л, Л, Л) Л) Л <=
9= (Л, Л, Л) л#,
откуда следует, что множество (А, А, А) Л# — идеал в Л.
Следовательно, D (Л) = (Л, Л, Л) Л#. Аналогично
доказывается и второе равенство. Предложение доказано.
Всякий идеал, содержащийся в ассоциативном центре
N = N (Л), назовем ядерным идеалом, а наибольший
ядерный идеал — ассоциативным ядром алгебры Л.
Последний будем обозначать через U — U (Л).
Предложение 9. U (Л) = {х £ Л | хА# ^
<=N(A)}.
Доказательство. Достаточно показать, что
множество V, стоящее в правой части равенства, является
идеалом. Очевидно, что V — правый идеал. С другой
стороны, [N, А] ^ N, и потому
(ЛУ) А# = А (7Л#) <= Л7 <= [F, Л] + V <== ЛГ.
Это значит, что AV ^ F, т. е. F — левый идеал.
Следовательно, V — идеал, и предложение доказано.
Предложение 10. DU = UD = (0).
Доказательство. Ввиду леммы 7.1, мы имеем
U (Л, Л, Л) = (Л, Л, Л) U = (0), поэтому
С/ ((Л, Л, Л) Л#) - (U (Л, Л, Л)) Л# = (0),
(А#(А, Л, Л)) U = А#((А, Л, Л) ГУ) =(0).
Доказательство закончено, ввиду предложения 8.
Следствие. Если А первична, то либо U = (0),
либо А ассоциативна.
Ясно, что если U = (0), то алгебра Л довольно далеко
отстоит от ассоциативных алгебр, и в этом случае ее
принято называть чисто неассоциативной. Если Л, к тому же,
альтернативна, будем называть ее чисто альтернативной.
Полезным также оказывается понятие разделенной
алгебры — такой алгебры, в которой D {] U = (0).
Пусть теперь Л — альтернативная алгебра.
Рассмотрим ее идеал ZN (Л), порожденный множеством [N, А].
Обозначим его через М. Как мы знаем (см. леммы 7.4
и 7.5), М = [N, А] Л# и (М, Л, Л) д= N.

Й з]
РАДИКАЛ АНДРУНАКИЕВИЧА
205
Через Z — Z (А) будем, как и прежде, обозначать
центр алгебры Л.
Теорема 11. В полупервичной альтернативной
алгебре А имеет место включение М ^ U. Если вдобавок
А чисто альтернативна, то N = Z.
Доказательство. Если М df U, то М с£ N,
и мы можем найти такие элементы п £ N, а, Ъ, с, d £ А,
что т = ([а, ?г] Ъ, с, d) =^0. Элемент и = [а, ft] Ь лежит
в М, и, следовательно, т £ (М, Л, Л) ^ iV. Но тогда
по лемме 7.7 (fti)2 = (0), что противоречит
полупервичности алгебры А. Следовательно, М ^ U.
Если А еще чисто альтернативна, отсюда следует М —
= (0). В частности, [7\Г, Л] = (0), а это значит, что
N = Z. Теорема доказана.
Следствие. В первичной альтернативной
неассоциативной алгебре А имеет место равенство N = Z.
Теорема 12. Всякая подпрямо неразложимая
полупервичная альтернативная алгебра является либо
ассоциативной, либо алгеброй Кэли —Диксона над своим центром.
Доказательство. Пусть алгебра Л
удовлетворяет условиям теоремы и Я = Я (Л) — ее сердцевина.
В силу теоремы 10 Я — простая алгебра, и потому либо
ассоциативна, либо является алгеброй Кэли — Диксона.
В первом случае она совпадает со своим ассоциативным
центром, и поэтому в силу леммы 10 N (Я) = Т (N (Я)).
Во втором случае это равенство также верно, так как
по теореме 2.5 ассоциативный центр алгебры Кэли —
Диксона является полем.
Покажем, что N (Я) s N (Л). Пусть ft, m 6 N (Я)
и а, Ъ £ Л. Тогда в силу тождества (7.18)
(nmn, a, b) = — (пап, т, Ъ) + (ft, {тпа}, Ъ).
Из этого равенства вытекает, что (N (Я), Л, Л) ^
<= (N (Я), Я, Л). Далее, пусть h£H,n,m£N (Я), а£А.
В силу того же тождества
(nmn, h, а) = — (ftaft, h, т) + (ft, h, {тпа}) = 0,
и, следовательно, (N (Я), Л, Л) с (# (Я), Я, Л) = (0).
Таким образом, мы получили, что N (Я) ^ N (Л).
Допустим теперь, что Л неассоциативна. Тогда по
теореме 11, ввиду первичности алгебры Л, имеем N (А) =
= Z (Л). Отсюда следует, что если Я ассоциативна, то

206 РАДИКАЛЫ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕЁР [ТЛ, 8
Н = N (Н) ^ N (Л) = Z (Л), и Н является полем. Таким
образом, если А неассоциативна, то в любом случае
N (Н) — поле. Пусть е — единица этого поля.
Рассмотрим множество Е = {еа — а \ а £ А}. Так как е £ Z (Л),
то это множество — идеал. Однако еЕ = Ее = (0), что
в силу леммы 8 противоречит первичности алгебры Л,
если только е не является единицей в А. Если же е —
единица в А, то А совпадает с Я и является простой
алгеброй. Ввиду теоремы о простых альтернативных алгебрах,
наше утверждение доказано.
Перейдем теперь к построению радикала. Пусть ffi —
класс всех Ф-алгебр и 5JS — класс всех подпрямо
неразложимых Ф-алгебр, сердцевина которых — простая
алгебра. Идеал / алгебры А будем называть ^-идеалом,
если фактор-алгебра А/1 принадлежит ?$.
Лемма 12. Пусть А £ 5£ и I — идеал в А. Тогда I
гомоморфно отображается на алгебру из 5J5. Если алгебра
А альтернативна, то I £ 5JS, причем Н (I) = Н (А).
Доказательство. Пусть Н (А) — сердцевина
алгебры А. Алгебра Н (А) проста и I ^ Н (А). В силу
простоты Н (А) для любого идеала / алгебры / либо / ^
^ Н (Л), либо / П Н (А) = (0). По лемме Цорна
выбираем максимальный идеал К такой, что К (] Н (А) = (0).
Ясно, что I = ПК — подпрямо неразложимая алгебра
с сердцевиной Н (А). Если алгебра А альтернативна, то
по теореме А К — идеал в А. Однако К (] Н (А) = (0)
и, следовательно, К = (0), что доказывает и второе
утверждение леммы.
Теорема 13. Класс Л всех алгебр, гомоморфно
не отображающихся на алгебры из класса 5JS, является
радикальным в классе всех алгебр.
Доказательство. Свойство (А) для класса Jk
очевидно; свойство (D) вытекает из леммы 12, так что
необходимые и достаточные условия радикальности,
сформулированные в теореме 1, выполнены.
Радикал А называется радикалом Андрунакиевича или
антипростым радикалом.
Лемма 13. Пусть А — альтернативная алгебра,
I — ее идеал и J — У$-идеал алгебры I. Тогда существует
^-идеал К алгебры А такой, что К [) I = J.
Доказательство. Ввиду теоремы 4, / — идеал
алгебры Л. Рассмотрим Л = A/J и идеал I = I/J. По уело-

§ з]
РАДИКАЛ АНДРУНАКИЕВИЧА
207
вию / — подпрямо неразложимая алгебра с простой
сердцевиной. Если теперь К — максимальный идеал алгебры
А такой, что / П К = (0), то алгебра А = А/К
принадлежит 5JJ, так jsaK Н {А) э Я (Г) ф (0). Пусть /Г —
прообраз идеала К в А. Тогда
j= J/Z - AIJIKU ^ л/а:
и А есть 5^-идеал алгебры А. Кроме того, К {] I ^ /,
а следовательно, К (] I = J. Лемма доказана.
Следствие. В классе альтернативных алгебр
радикал Андрунакиевича является наследственным.
Доказательство. Ввиду следствия теоремы
мы должны доказать для радикала А только условие (G).
Пусть А £ А и / — идеал в А. Если I §А, то в алгебре
/ имеется собственный 5£-идеал /. В силу леммы 13
существует 5£-идеал К алгебры А такой, что К f| I = / и,
значит, К фА. Но тогда А/К £ 5JS, что противоречит
радикальности алгебры А. Следствие доказано.
Теорема 14. Радикал Андрунакиевича А (А)
альтернативной алгебры А равен пересечению всех ее
^-идеалов.
Доказательство. Рассмотрим пересечение /
всех ^-идеалов алгебры А. По лемме 12 всякий идеал
алгебры из 5JS есть снова алгебра из ^2, и потому все
алгебры из $Р являются .?#-полупростыми. Отсюда следует, что
/2i (А).
Докажем теперь, что I есть ^-радикальная алгебра,
и мы будем иметь / = А (А). Пусть / (J А. Тогда в I
существует собственный 5£-идеал /. В силу леммы 13 в Л
имеется 5£-идеал К такой, что К (] I = J ф]', но это
противоречит определению /. Итак, / — радикальный
идеал и теорема доказана.
Следствие. Для всякой альтернативной алгебры
А фактор-алгебра А/А (А) является подпрямой суммой
ассоциативных подпрямо неразложимых алгебр с простой
сердцевиной и алгебр К эли — Диксона.
Ввиду теоремы 14, ^-полупростые альтернативные
алгебры — это в точности подпрямые суммы подпрямо
неразложимых алгебр с идемпотентной сердцевиной.
Некоторый свет на строение ^-радикальных алгебр проливает
упражнение 4.

208 РАДИКАЛЫ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 8
Упражнения
1. Доказать, что все локально нильпотентные алгебры
являются ^-радикальными.
2. Доказать, что в классе ассоциативно-коммутативных алгебр
антипростой радикал ^ совпадает с квазирегулярным радикалом у.
В классе всех ассоциативных алгебр эти радикалы
несравнимы [50].
3 (Андрунакиевич). Пусть / — конечнопорожденный
идеал ассоциативной алгебры А. Тогда, если I ^ ^ (А), то Р Ф I.
Указание. Пусть / = (alt . . ., ап) и /2 = /. Используя
лемму Цорна, выбрать максимальный идеал М в /, содержащий
а1У . . ., ап_х и не содержащий ап. Доказать, что М максимален в /,
т. е. что ЦМ — простая алгебра. Воспользоваться для этого леммой
Андрунакиевича.
4. Доказать, что альтернативная алгебра ^-радикальна тогда
и только тогда, когда любой ее гомоморфный образ является под-
прямой суммой подпрямо неразложимых алгебр с нильпотентной
сердцевиной.
5. Доказать, что всякая разделенная алгебра является под-
прямой суммой ассоциативной и чисто неассоциативной алгебр.
6. Доказать, что в чисто неассоциативной алгебре А ассоциа-
торный идеал D (А) имеет ненулевое пересечение с каждым
ненулевым ее идеалом.
7. Доказать, что всякая чисто альтернативная алгебра является
альтернативной PI-алгеброй. &,?
Указание. Воспользоваться упражнением 7 к § 7.1.
ЛИТЕРАТУРА
Амицур [12], Андерсон [13, 14], Андерсон, Дивинский, Сулин-
ский [15], Андрунакиевич [16, 17, 18], Бабич [20], Голод [37],
Дивинский [50], Дивинский, Кремпа, Сулинский [51], Дивинский и Сулин-
ский [52], Дорофеев [59], Жевлаков и Шестаков [80], Клейнфелд
[94], Кремпа [102], Курош [105], Никитин [159, 161], Пчелинцев
[174], Роомельди [182], Рябухин [186, 188, 189], Слинько [208, 210,
211], Хенцель и Слейтер [249], Цай [257], Шестаков [271].

ГЛАВА 9
ПОЛУПЕРВИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
В предыдущей главе мы видели, что для описания полу-
простых классов многих радикалов важно знать строение
полупервичных алгебр из данного класса ffi. В. частности,
как для ниль-радикалов, так и для антипростого радикала
Андрунакиевича все полупростые алгебры являются
полупервичными. В этой главе мы изучим строение
полупервичных альтернативных алгебр. Так как всякая
полупервичная алгебра есть подпрямая сумма первичных, то задача
во многом сводится к изучению первичных
альтернативных алгебр. Последние, если исключить случай
характеристики 3, допускают по модулю ассоциативных алгебр
вполне удовлетворительное описание: всякая первичная
альтернативная неассоциативная алгебра является так
называемым «кольцом Кэли — Диксона», которое
представляет из себя подкольцо определенного вида в алгебре
Кэли — Диксона. Вопрос об описании первичных
альтернативных алгебр характеристики 3 еще открыт.
Основные результаты этой главы получены Клейн-
фелдом и Слейтером.
§ 1. Идеалы полупервичных алгебр
Лемма 1. Пусть А — альтернативная алгебра
и I — ее идеал. Если (т, /, /) = (0) для некоторого
элемента т £ А, то (т, А, А) ^ Annr Т (/).
Доказательство. В силу тождества (7.18) для
любых элементов i, j £ 1', а £ А
(m, iji, а) = — (m, iai, /) + {т, i, {jia}) = 0,

210 ПОЛУПЕРВИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 9
откуда
(m, Т (/), Л) = (0).
Если теперь Ъ £ Л, то
/ (а, Ь, m, £/i) = (аЬ, иг, i/i) — Ь (а, иг, i/j) — (Ь, m, i/i) л = 0.
Следовательно,
(i/i) (а, Ь, m) = — f (а, i/i, Ь, m) -f (а (iji), Ь, иг) —
— (i/i, Ь, m) а = 0,
что и требовалось доказать.
Теорема 1 (С лейте р). Пусть А —
полупервичная альтернативная алгебра, I — идеал алгебры А.
Тогда N(1) = I (]N (А).
Доказательство. По следствию теоремы 8.6
алгебра А есть подпрямая сумма первичных алгебр. Если
N {I) <3£ N (А), то существуют такие элементы п £ N (/),
a, b £ А, что (п, а, Ь) =^0. Но тогда у алгебры А
найдется первичный гомоморфный образ А, в котором (п, а, Ъ) ф
ф0. Ясно, что образ / идеала / отличен от нуля. По
лемме 8.10 тогда и Т (I) Ф(0). Правый аннулятор идеала
Т (/) является идеалом в Л, который равен нулю в силу
первичности А. Заметим теперь, что п £ N (/) ^ N (/),
и по лемме 1 (п, а, Ъ) £ Annr (Т (/)) = (0). Полученное
противоречие доказывает, что # (/) ^ N (Л), т. е. и
N (/) ^ / П N (А). Ввиду очевидности обратного
включения, теорема доказана.
Пусть теперь А — альтернативная алгебра и / —
правый идеал в А. Через / обозначим наибольший идеал
алгебры Л, содержащийся в /, а через / — наименьший
идеал алгебры Л, содержащий /. Как обычно, через
(/ : Л) будем обозначать множество {х £ Л | Ах ^ /}.
Лемма 2. 7 = (/ : Л#).
Доказательство. Ясно, что (/ : АЩ 9 /и что
каждый двусторонний идеал, содержащийся в /, лежит
в (/ : АЩ. Для доказательства леммы достаточно
убедиться в том, что этот подмодуль является идеалом в Л.
Пусть *6(/:Л#), а £Л, Ь £ А#. Тогда
Ъ (sa) = (bs) а — (Ь, s, а) = (bs) а + (s, Ь, а) £ /,
Ь (as) = (Ьа) 5 — (Ь, а, 5) = (Ьа) 5 + (s, а, Ь) £ Л
т. е. 5а и as лежат в (/ : АЩ, Лемма доказана.

§ lj [ИДЕАЛЫ ПОЛУПЕРВИЧНЫХ АЛГЕБР 211
Лемма 3. (/, /, Л) ^ /.
Доказательство. Пусть i, j £ /, а £ Л, Ъ £ Л#.
Тогда по линеаризованному тождеству Муфанг
Ъ (i, /, а) = —/ (i, Ь, а) + (£, /, аЬ) + (*, Ь, а/) 6 Л
откуда (/, /, Л) 5= (/ : Л#) = /. Лемма доказана.
Лемма 4. / = Л#/.
Доказательство. Достаточно, очевидно,
показать, что множество Л#/ является идеалом в А. Пусть
i е /, а еА, Ъ £ Л#. Тогда
a (bi) = (аЬ) i — (а, Ь, i) = (ab) i — (i, а, Ъ) £ Л#/,
(bi) а = Ъ (id) + (Ь, i, а) = b (id) + (i, а, b) £ Л#/,
что п требовалось доказать.*
Лемма 5. Пусть А полупервична и п £ I такой, что
(л, /, А) = (0). Тогда л 6 # U).
Доказательство. Пусть i £ I, a, b £ А.
Положим п1 = (л, а, Ъ). Имеем / (а, Ь, л, i) = (аЬ, л, i) —
— Ъ (а, п, i) — (Ь, л, i) а = 0, откуда (а, Ь, п) i =
= —/ (i, а, 6, я) + (&я, Ь, п) — a (i, Ь, л) = 0, т. е.
Щ1 = о.; (1)
С другой стороны, i (а, Ь, п) = —/ (а, £, Ь, л) +
+ (ai, Ь, л) — (i, Ь, п) а = (ai, b, л), т. е.
mx = (а£, Ь, л). (2)
Далее, из (1) следует, что (пх, i, а) = (и^) а — пх (id) =
= 0, и так как элемент а произволен, по лемме 7.3
получаем [щ, i] £ N (А), что в силу (1) и (2) дает нам
(ai, п, А) ^ N (А).
По лемме 7.7 каждый элемент из (ai, п, А) порождает
тривиальный идеал в Л. В силу полупервичности (ai, п,
А) = (0), и мы имеем теперь
(л, /, Л) = (0).
В частности, п £ N (1), и по теореме 1 п £ N (Л).
Лемма доказана.
Теорема 2 (С лейте р). Пусть А — полупер-
сичная альтернативная алгебра и I — правый идеал в Л.
Тогда N(1) = I ()N (Л).

212 ПОЛУПЕРВИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 9
Доказательство. Как и в доказательстве
теоремы 1, достаточно доказать утверждение в случае, когда
алгебра А первична. Если / = (0), то по лемме 3
(/, /, А) = (0), что в силу леммы 5 влечет I ^ N {А).
Легко видеть, что в этом случае утверждение теоремы
верно.
Если же I ф(0), то по лемме 8.10 Т (/) =^=(0). Для
любого элемента п £ N (I) имеем (га, /, I) = (0), откуда
по лемме 1 (га, Л, А) ^ Annr Т (/). В силу первичности
алгебры А получаем, что Annr Т (I) = (0) и,
следовательно, га £ N (А). Таким образом, включение N (/) £=
^ I (} N {А) доказано. Обратное включение очевидно.
Теорема доказана.
Теорема 3 (С лейте р). В условиях теоремы 2
Z (/) = / П Z (А).
Доказательство. Пусть z £Z (I). Тогда по
теореме 2 z 6 N {А). Пусть i £ I, а, Ь 6 А. В силу
тождества (7.4)
i [z, а] = [z, ia] — [z, i] a = 0.
Далее, в силу следствия 1 леммы 7.3 [z, а] £ N {А),
и потому (bijlz, а] = b (i [z, a]) = 0. Мы видим, что
[z, a] 6 Annr (/). Ввиду того, что элемент [z, а]
принадлежит идеалу / и #1?© правому аннулятору, он принадлежит
и их пересечению, которое является тривиальным идеалом
в А. В силу полупервичности [z, а] = 0; это означает, что
z 6 Z (Л). Мы доказали, что Z (/) ^ / f| Z (А). Теорема
доказана, так как обратное включение очевидно.
Покажем, наконец, что в полупервичной
альтернативной алгебре всякий идеал сам является полупервичной
алгеброй.
Лемма 6. Пусть А — полупервичная
альтернативная алгебра, I — идеал алгебры А и V — тривиальный
идеал алгебры I. Тогда подмодули A#V и VA# также
являются тривиальными идеалами алгебры /.
Доказательство. Покажем вначале, что
А#у — идеал в /. Пусть а £ Л#, i £ I, v £ V. Тогда
(av) i = a (vi) + (a, v, i) = a (ui) — (a, i, v) 6 A#V,
i (av) = (ia)-i; — (i, a, у) = (ш) i; + (a, i, у) £ Л#7,

§ 1] ИДЕАЛЫ ПОЛУПЕРВИЧНЫХ АЛГЕБР 213
что и требовалось доказать. Аналогично получаем, что
VA# — идеал алгебры /. Далее, пусть и, у £ V, i £ I,
a, b £ А. Мы имеем
/ (а, i, и, и) = ([а, &], и, у) + (а, &, [и, у]) = 0.
Следовательно,
i (a, и, у) = —/ (а, I, и, у) + (а&, и, у) — (i, и, у)а = 0,
т. е. (а, и, у) £ Annr (/). В то же время (а, и, у) =
= (у, а, и) 6 J- Так как в силу полупервичности / П
fl Annr (/) = (0), то окончательно получаем
(Л, F, V) = (AV) V = (0). (3)
Теперь из (3) по тождеству Муфанг имеем
(bv, I, и) = —(ш, Ь, и) + (у, г, и) Ъ + (у, Ь, и) i = 0,
(^F, /, F) = (0). (4)
Из (4) по лемме 7.3 следует, что [AV, V] ^ N (/), откуда
в силу (3) и теоремы 1 получаем включение
VAV<=N(A). (5)
Заметим еще, что, ввиду тождества Муфанг и (4), (3),
у (£, Ь, и) = — i (у, Ь, и) + (£, Ьу, и) + (у, bi, и) = 0,
откуда
V(I, А, У) = (0). (6)
Положим теперь iy = uav. Тогда w £ F, iy2 = 0, и в силу
(5) м; £ iV (Л). Пусть i = иа, тогда в силу (6)
iybiy = w [b (iv)] = iy [(&£) у] — iy (Ь, I, у) = 0.
Итак, w £ N (Л), wA#w — (0). По лемме 7.6 элемент iy
порождает тривиальный идеал в алгебре Л,, поэтому
w = 0. Значит,
УЛУ = (0). (7)
Теперь в силу (4), (3) и (7) мы имеем
/ (i, a, by, и) = (U, а], Ьу, и) + (г, а, [Ьу, и]) = 0,
откуда по (4)
(а, и, Ьу) i = —/ (&, а, и, fty) + (ш, и, Ьу) — a (£, и, Ьу) = 0,

214 ПОЛУПЕРВИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 9
т. е. (а, и, bv) £ Аппг (/). Так как (а, и, bv) £ /, то, ввиду
полупервичности алгебры Л, мы получаем
(Л, 7, AV) = (0). (8)
Из (3), (7) и (8) следует, что (Л#У)2 = (0). Аналогично
получаем, что (7Л#)2 = (0).
Лемма доказана.
Теорема 4 (С лейте р). Пусть А —
полупервичная альтернативная алгебра. Тогда всякий идеал I
алгебры А сам является полупервичной алгеброй.
Доказательство. Предположим, что алгебра /
не полупервична, т. е. в / есть ненулевой тривиальный
идеал U. Обозначим через U множество всех тривиальных
идеалов алгебры /, содержащих U. Множество И
непусто, так как U £ И. Далее, как легко видеть, U является
индуктивным частично упорядоченным по включению
множеством, поэтому по лемме Цорна U содержит
максимальный элемент V. По лемме 6 A#V £ И, поэтому
AV ^ V. Аналогично, VA ^ V. Следовательно, V
является идеалом алгебры Л, откуда V = (0) и U = (0).
Полученное противоречие доказывает теорему.
Следствие 1. Всякий идеал первичной
альтернативной алгебры сам является первичной алгеброй.
Доказательство. Пусть А — первичная
альтернативная алгебра и / — ее идеал. Если алгебра /
не первична, то в ней существуют ненулевые идеалы С/, V
такие, что U- V = (0). Обозначим через М правый аину-
лятор Annr (U) идеала U в алгебре /. Тогда (М [\ U)2 =
= (0), откуда М П U = (0), так как по теореме 4 алгебра
/ полупервична. Докажем теперь, что фактор-алгебра
I = ИМ полупервична. Пусть Т — идеал в /, Т2 = (0).
Если Т — полный прообраз идеала Т в алгебре /, то тогда
Т2 с= М и (Т П U)2 с= Т2 П U 9= М П f7 = (0), откуда
71 fl U = (0) в силу полупервичности алгебры /.
Следовательно, UT <=: U П Т = (0), Г ^ М и Г = (0), что
доказывает полупервичность алгебры /. По теореме 8.4
получаем, что М является идеалом алгебры А. Но Апп^ (М) з
3 [7 =7^(0), что противоречит первичности А. Полученное
противоречие доказывает, что алгебра I первична.
Следствие доказано.

§ 1] ИДЕАЛЫ ПОЛУПЕРВИЧНЫХ АЛГЕБР 215
Из теоремы 4 и предложения 8.5 вытекает также
Следствие 2. Отображение А -> §8 (А) является
радикалом в классе всех альтернативных алгебр.
Таким образом, в классе альтернативных алгебр
определен нижний ниль-радикал. Отметим, что по теореме 8.9
этот радикал является наследственным.
Упражнения
1. Пусть I — идеал альтернативной алгебры А и е — единица
алгебры I. Доказать, что е £ N (А).
8 упражнениях 2—б I — минимальный правый идеал
альтернативной алгебры А, причем Р Ф (0).
2. Пусть (/, /, А) = (0). Доказать, что
а) I = Р = vl для некоторого v £ I;
б) / = Т (/);
в) (/, 7, А) = (0);
г) I c=N (А).
Указание. При доказательстве в) рассуждать, как в
лемме 5, для доказательства г) воспользоваться утверждениями
пунктов б), в) и тождеством (7.18).
3. Доказать, что либо 1^ U (А), либо I ^ D (А).
Указание. Воспользоваться леммой 3 и предыдущим
упражнением.
4. Пусть I s U (А). Тогда Р = I, 1= II и I является
минимальным правым идеалом ассоциативной алгебры /. Если, кроме
того, Аппг (I) = (0), то I — простая алгебра.
5. Доказать, что если А ассоциативна, то I = еА для
некоторого идемпотента е £ А.
6. Пусть / £ D (Л). Тогда 1=1 — алгебра Кэли — Диксона.
7 (С л е й т е р). Пусть I — минимальный правый идеал
альтернативной алгебры А и Р Ф (0). Тогда Р = I и I является
минимальным правым идеалом алгебры /. Кроме того, 7 — еА для
некоторого идемпотента е £ N (А).
8. Доказать, что полупервичная альтернативная алгебра не
содержит ненулевых тривиальных правых идеалов.
9 (С л е й т е р). Пусть А — полупервичная альтернативная
алгебра и I — идеал алгебры А . Тогда множество всех минимальных
идеалов (правых идеалов) алгебры I совпадает с множеством всех
минимальных идеалов (правых идеалов) алгебры А, содержащихся
в I.
10. Доказать, что если А — полупервичная альтернативная
алгебра, то Z (D (А)) = N (D (А)).
Указание. Воспользоваться теоремой 8.11.
8 упражнениях 11—13 А — полупервичная альтернативная
алгебра, I — правый идеал алгебры А.
11. Пусть V — тривиальный идеал алгебры I. Доказать, что
7сЛ' (/).
Указание. Доказать, что V [\ I = (0).

216 ПОЛУПЕРВИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 9
12. Пусть V — ядерный идеал алгебры /. Доказать, что VA^ —
ядерный правый идеал алгебры А.
13 (С лейте р). Пусть А полупервична и чисто альтернативна.
Тогда и алгебра / полупервична и чисто альтернативна.
§ 2. Невырожденные альтернативные алгебры
Элемент а альтернативной алгебры А называется
абсолютным делителем нуля, если аАа = (0). Алгебра А
называется невырожденной (или сильно полу пер винной),
если А не содержит ненулевых абсолютных делителей
нуля. Как легко видеть, ассоциативная алгебра А
является невырожденной тогда и только тогда, когда А
полупервична. В случае альтернативных алгебр ситуация
усложняется. Ясно, что всякая невырожденная алгебра
является полупервичной. Однако вопрос о том, может ли
полупервичная альтернативная алгебра содержать
ненулевые абсолютные делители нуля, до сих пор остается
не выясненным до конца. В этом параграфе мы покажем,
что полупервичные альтернативные алгебры
характеристики фЗ являются невырожденными, и изучим некоторые
свойства невырожденных альтернативных алгебр.
Теорема 5 (Клейнфелд). Пусть А —
полупервичная альтернативная алгебра, причем ЗА = А. Тогда
А невырождена.
Доказательство. Ввиду следствия теоремы 8.6,
нам вновь достаточно доказать теорему в случае, когда
алгебра А первична. Предположим, что А не является
невырожденной, т. е. А содержит ненулевой абсолютный
делитель нуля а. Рассмотрев, если необходимо, вместо а
элемент а2, мы можем считать, что аА#а = (0). Обозначим
через Т множество
Т = {t е А | а (АЩ = {аАЩ t = t (АЩ = (0)}.
Заметим, что Т Ф(0), так как а £ Т. Зафиксируем
некоторый элемент t £ Т и рассмотрим Ф-модуль S = S (t),
порожденный множеством (аА, t, А). Пусть х, у, z —
произвольные элементы алгебры А. Так как (a, A, t) =
= (0), то мы имеем (ах, t, х) = х (a, t, х) = 0.
Линеаризовав это соотношение по х, получим
(ах, t, у) = —(ay, t, х).
(9)

§ 2] НЕВЫРОЖДЕННЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 217
Далее запись вида и =s v будет означать, что и — v £ S.
Мы имеем
/ (ах, t, у, z) = (lax, t], у, z) + ([у, z], ах, t) = 0.
Следовательно,
(ах, t, у) z = (ах, t, zy) — у (ах, t, z) — f (z, у, ax, t) =
= —y (ax, t, z),
т. e.
(ax, t, y) z= —y (ax, t, z). (10)
Теперь в силу (10) и (9) получаем
(ах, t, у) z = —у (ах, t, z) = у (az, t, х) =
= — (az, t, у) x = (ay, t, z) x =
= — z (ay, t, x) = z (ax, t, y),
т. e. [(ax, t, y), z] 6 S. Мы доказали, что
IS, A]s=S. (И)
Обозначим через U подмодуль Ф-модуля А, порожденный
множеством SA#. По тождеству (7.7) для любых s £ S,
х, у £ А имеем
3 (х, у, s) = [zy, s] — х [у, s] — [х, s] у =
= [ху, s] — [у, s] х — [х, [у, s]] — [х, s] у,
откуда, ввиду (11) и условия 3^4 = А, заключаем, что
(A, A, S) = U. (12)
Теперь по (12) и (11) для любых s £S, а 6 А#, Ъ £ А имеем
(sa) b = s (аЪ) + (s, а, b) £ U,
b (sa) = (bs) а — (Ъ, s, а) = (sb) а + [b, s] а —
— (Ъ, s, а) 6 U,
т. е. U — идеал алгебры А. Далее, в силу
линеаризованного тождества Муфанг имеем
(ах, t, у) = —(ух, t, а) + (х, t, у) а + (х, t, а) у =
== (х, t, у) а,

218 ПОЛУПЕРВИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ !ГЛШ 9
откуда по правому тождеству Муфанг для любых х, у 6 А,
z £А#
[(ах, t, у) z] а = ([(х, t, у) a] z) а = (х, t, у) (aza) = О,
т. е. а 6 Annr (С/). Так как алгебра А первична иа^О,
то мы получаем, что U = (0). Аналогичным образом,
рассмотрев Ф-подмодуль S' = S' (t), порожденный
множеством (Аа, t, А), и идеал U' = A#S', мы получим, что
а 6 Annj (С/'), откуда U' = (0). Мы доказали, в частности,
что S (t) = S' (t) = (0) для любого t £ Т, т. е.
(аА, Т, А) = (Аа, Т, А) = (0). (13)
Заметим теперь, что для любых х, у £А, t £ Т
/ (ж, у, а, *) — (жг/, a, t) — у (х, а, *) — (у, а, *) ж = 0,
откуда, ввиду (13),
0 = (ах, у, t) = f (а, х, у, t) + х (а, у, t) + (х, y,t) а =
= (х, у, t) а = — f (a, t, х, у) + (at, х, у) —
— t (а, х, у) = —t (а, х, у)
и, аналогично,
0 = (ха, у, t) = —(х, у, a) t =
= f (t, х, у, а) — (tx, у, а) + х (t, у, а) = —(tx, у, а).
Следовательно,
(ТА, А, а) = Т(а, А, А) = (0). (14)
Покажем теперь, что Т — идеал алгебры А. Для любых
х 6 А, у 6 А#, t 6 Т имеем в силу (13)
(ay) (tx) = —(ay, t, х) + ((ay) t) x = 0,
откуда согласно (14) "
а (у (tx)) = (ay) (tx) — (a, y, tx) = 0.
Наконец, no (13) и (14) имеем
(tx) (yd) = t [x (yd)] + (t, x, yd) = t [x (yd)] =
= t [(xy) a] — t (x, y, a) = 0.
Полученные соотношения показывают, что Т — правый
идеал алгебры А. Аналогично доказывается, что Т
является левым идеалом в А. Так как а 6 Т и а 6 Ann (Т), то

§ 2] НЕВЫРОЖДЕННЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 219
в силу первичности алгебры А мы получаем, что а = 0.
Полученное противоречие доказывает теорему.
Чтобы перейти от алгебр с ограничением ЗА = А
к случаю алгебр без элементов порядка 3 в аддитивной
группе, нам понадобятся некоторые дополнительные
рассмотрения.
Пусть R — некоторое кольцо и J?# = R -f Z-1 —
кольцо, полученное формальным присоединением
единицы к R (здесь Z — кольцо целых чисел).
Предложение 1. Кольцо R является полу
первичным (невырожденным) тогда и только тогда, когда
кольцо /?# полупервично (соответственно невырождено).
Доказательство. Так как всякий идеал
кольца R является идеалом в /?#, то ясно, что из
полупервичности /?# следует полупервичность R. Ясно также, что
из невырожденности кольца i?# следует
невырожденность R. Для доказательства обратных утверждений
достаточно заметить, что всякий нильпотентный элемент
кольца i?# лежит в R. Пусть г = пЛ + г' £ R^, где
п 6 Z, г' 6 R, и пусть г2 = 0. Тогда мы имеем 0 = п2-1 +
+ г", где г £ R, откуда п = 0 и г = г' £ R.
Предложение доказано.
Предположим теперь, что центр Z = Z (R) кольца R
отличен от нуля. Непустое подмножество S центра Z
называется мультипликативным подмножеством, если
S содержит вместе с любыми двумя элементами х, у их
произведение ху. Как и в случае
ассоциативно-коммутативных колец (см., например, Ленг С, Алгебра, стр. 85),
мы можем построить кольцо частных кольца R по S.
Рассмотрим пары (г, s), где г £ R и s £ S. Определим
отношение (г, s) ~ (г', s') между такими парами
следующим условием: существует элемент % £ 5, для которого
% (s'r — sr') = 0. Тривиально проверяется, что это будет
отношением эквивалентности. Класс эквивалентности,
содержащий пару (г, s), обозначим через s-1r, а множество
классов эквивалентности — через S~*R. Сложение и
умножение в множестве S~XR вводятся следующими
условиями:
s"V + ^i = (ss^ (sir + srt),
(s-ir)(s:1ri) = (ssiri(rri).

220 ПОЛУПЕРВИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ, 9
Тривиально проверяется, что сложение и умножение
определены корректно и что относительно этих операций
множество S~XR является кольцом.
Заметим, что наряду с кольцом S~*R мы можем
рассматривать и обычное ассоциативно-коммутативное кольцо
частных S~XZ центра Z по S.
Пусть s0 — некоторый фиксированный элемент
множества S. Как легко видеть, элемент s^Sq является единицей
кольца 5'"1/?; при этом s^Sq = s~xs для любого s £ S.
Кроме того, s_1r = (ssj)-1 (rs-^ для любых г £ R и s, sx 6 5,
т. е. мы можем «сокращать» наши дроби на элементы из S.
Рассмотрим теперь отображение ф0: R -»- S~XR, при
котором ф0 (г) = Sq1 (rs0). Сразу-видно, что ф0 — гомоморфизм
колец. Кроме того, всякий элемент из ф0 (S) обратим
в S~XZ (обратным к So1 (ss0) служит (ss0)_1 so)- Если s± —
другой элемент из S, то, как легко видеть, отображение
фх: R -»- S~XR, при котором фх (г) = si1 (rs^), совпадает
с отображением ф0. Таким образом, отображение ф0
не зависит от выбора элемента s0, и мы будем
обозначать его через ф8.
Предложение 2. Пусть S —
мультипликативное подмножество центра Z кольца R, причем S не
содержит делителей нуля кольца R. Тогда
1) отображение ц>8: R-+S~XR является вложением
кольца R в S^R;
2) Z (S-iR) = S^Z;
3) кольцо S~*R полупервично (невырождено, первично)
тогда и только тогда, когда кольцо R полупервично
(соответственно невырождено, первично)',
4) если кольцо R является алгеброй над Ф, то и кольцо
S~XR будет алгеброй над Ф относительно композиции
a-(s_1r) = s_1 (аг), где а^Ф, s £ S, г £ R; при этом
Ф-алгебра S~rR удовлетворяет однородному тождеству
f = f (хг, . . ., хп) £ Ф [X] тогда и только тогда, когда
Ф-алгебра R удовлетворяет этому тождеству;
5) если S П / Ф 0 для некоторого идеала I кольца R,
то множество S± = S f| / является мультипликативным
подмножеством центра кольца I; при этом кольца частных
S^I и S~*R совпадают.
Доказательство. Мы уже отмечали, что
отображение фз является кольцевым гомоморфизмом. Если
<Ps (г) = Sq1 (rs0) = 0 для некоторого г 6 R, то по опреде-

§ 2] НЕВЫРОЖДЕННЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕВРЫ 221
лению это означает, что существует s 6 5, для которого
s (rs0) = (ss0) г = О и, следовательно, г = 0. Тем самым
1) доказано, и мы будем далее отождествлять кольцо R
с его образом cps (R) в кольце S^R.
Пусть теперь z 6 Z, г, t £ R, s, %, s2 £ 5. Мы имеем
(s_1z, s^V, s"1*) = (ssi^r1 (2, т*, 0 = 0,
[*"Ч*Г1г] = (ад1)-1[2,г] = 0|
откуда следует, что «S^Z ^ Z (S^R). Обратно, пусть
5_1г g Z (5_1Л), Тогда для любых х, у £ R имеем
0 = (s-V, ж, у) = s-1 (г, ж, у) = (s-1 (г, ж, у)) s = (г, ж, у),
т. е. г £ N (R). Аналогично получаем, что [г, ж] = 0 для
любого х 6 .й, т. е. г 6 Z и Z (S^R) ^ 5_1Z. Тем самым
доказано утверждение 2).
Заметим теперь, что для любого идеала / кольца R
множество 5-1/ = {s_1i | 5 £ S, i £ 1} является идеалом
кольца S~XR; при этом I-J = (0) для каких-либо идеалов
/, / кольца R тогда и только тогда, когда (S-1/)- (S~V) =
= (0). Отсюда следует, что полупервичность или
первичность кольца S~*R влекут соответственно
полупервичность или первичность кольца R. Для доказательства
обратных утверждений достаточно, очевидно, заметить,
что / fl R ф (0) для любого ненулевого идеала / кольца
S^R. Пусть 0 ф i 6 /, i = s_1r, где s £ S\ г £ Я. Тогда
г =^0, г = si £ / П -й» откуда I [\ R ф (0). Пусть,
наконец, а — абсолютный делитель нуля кольца J?, т. е.
aRa = (0). Тогда для любых г £ J?, s £ 5 мы имеем
a (s_1r) а = s_1 (am) = 0, т. е. а является абсолютным
делителем нуля кольца S^R. Обратно, если элемент
х = 5_1г является ненулевым абсолютным делителем нуля
кольца 5_1Д, то элемент sx = г будет ненулевым
абсолютным делителем нуля в R. Отсюда следует, что кольцо
S~*R является невырожденным тогда и только тогда, когда
R невырождено. Утверждение 3) доказано.
Ясно, что если R является Ф-алгеброй, то и кольцо
S~XR будет Ф-алгеброй относительно композиции,
указанной в предложении. Если Ф-алгебра S~XR
удовлетворяет какому-то тождеству, то и Ф-алгебра R как
подалгебра алгебры S~XR должна удовлетворять этому тождеству.
Пусть, наоборот, алгебра R удовлетворяет однородному
тождеству / {хг, . . ., хп) £ Ф [X], и пусть все одночлены,

222 ПОЛУПЕРВИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ, 9
входящие в /, имеют тип [кг, . . ., кп]. Тогда для любых
элементов гх, . . ., rn £ R, %,..., 6*n £ S мы имеем
/ (s^, . . ., &Гп) = (Ф- • . #>)-! / (ГХ, • • ., Гп) = О,
т. е. алгебра S~rR также удовлетворяет тождеству /. Тем
самым доказано и 4).
Пусть, наконец, I [\ S = S± ф 0 для некоторого
идеала / кольца R. Ясно, что Sx является
мультипликативным подмножеством центра кольца / и что справедливо
включение S^I ^ S~rR. Зафиксируем теперь некоторый
элемент s0 £ S±. Всякий элемент вида s_1r из кольца S~rR
можно представить в виде s~h = (sSq)'1 (rs0). Так как
ss0 £ / f| S, rs0 £ /, то тем самым доказано, что S~*R ^
^ S't1I. Предложение доказано.
Из 4) следует, что если кольцо R принадлежит
однородному многообразию ЭД1, то этому многообразию
принадлежит и кольцо S~rR. В частности, если R
альтернативно, то и S~XR альтернативно.
Теперь мы в состоянии доказать аналог теоремы 5 для
альтернативных алгебр без элементов порядка 3 в
аддитивной группе.
Теорема 5'. Пусть А — полупервичная
альтернативная алгебра без элементов порядка 3 в аддитивной
группе. Тогда А невырождена.
Доказательство. Рассмотрим алгебру А как
кольцо. Легко видеть, что кольцо А полупервично. По
предложению 1 тогда и кольцо Л# = A-\-ZA
полупервично; при этом Z (А#) =7^(0). Рассмотрим в центре Z (А#)
кольца А# подмножество S = {3fe-l | к = 1, 2, . . .}.
Ясно, что S — мультипликативное подмножество центра
Z (А#); кроме того, в силу условия теоремы S не содержит
делителей нуля кольца А#. По предложению 2 кольцо А#
изоморфно вкладывается в кольцо частных S~М#, которое
также является полупервичным. Далее, легко видеть, что
3 (5-1Л#) = 5-1Л#, поэтому по теореме 5 кольцо 5-1Л#
невырождено. Ввиду предложений 2 и 1, кольцо А также
является невырожденным. Так как понятие
невырожденности никак не зависит от кольца операторов, то тем
самым теорема доказана.
Замечание. Отметим без доказательства, что
всякая конечнопорожденная полупервичная алгебра является
невырожденной. Это вытекает из следующего результата,
принадлежащего Шестакову [271].

§ 2] (НЕВЫРОЖДЕННЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 223
Для любого натурального числа т существует такое
натуральное число f (т), что во всякой альтернативной
алгебре от т порождающих любой абсолютный делитель
нуля порождает идеал, нильпотентный индекса не больше
/ (т).
Перейдем теперь к изучению свойств невырожденных
альтернативных алгебр.
Теорема 6 (Клейнфелд). Пусть А —
невырожденная альтернативная алгебра. Тогда либо А =
= Z(A), либо NAli [А] ф(0).
Доказательство. Напомним, что через Nam [А]
мы обозначили подалгебру алгебры А, состоящую
из всевозможных специализаций в алгебре А элементов
ассоциативного центра Nam свободной альтернативной
алгебры Alt [X] (см. § 7.2). В силу тождеств Клейнфелда
в алгебре All [X] верны соотношения
откуда следует, что [хъ х2]4 £ Nam?: и по лемме 7.3
[[#!, х2]2, [хг, х2] х3] 6 Nam- Предположим, что A^it [А] =
= (0). Тогда для любых х, у, z £А и у = [х, у] мы
имеем у4 = [у2, vz] = 0. Поэтому у [г;2, z] = [г;2, vz] = 0
и v2zv2 = v2 [z, v2] = 0, откуда, ввиду невырожденности
алгебры А,
v* = [х, у]2 = о. (15)
Линеаризуя это соотношение по у, получаем
[X, у] о [X, Z] = 0. (16)
Теперь в силу (15) и (16) имеем
VXV = VXV + XV2 = [х, у] х [х, у] + х [х, у] [х, у] =
= [х, у] о [х, ху] = 0,
откуда
v [у, х] = [у, х] v = 0. (17)
Далее, по тождеству (7.7) имеем'
z [у, х] = \zv, х] — [z, х] У — 3 (z, у, ж).
Проантикоммутировав обе части этого равенства с
элементом [у, ж], получим в силу (15), (16) и (7.15)
[у, ж] z [у, х] = [zv, х] о [у, ж] — ([z, х] у) о [у, ж] —
— 3 (z, у, ж) о [у, ж] = —([z, х] у) о [у, ж],

224 ПОЛУПЕРВИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ, 9
и далее в силу (16), (17) и линеаризованных тождеств
альтернативности
[у, х] z [у, х] = — ([z, х] v) о [у, х] =
= (у [z, х\) [у, х] — [у, х] ([z, х] V) =
= —(у [у, х\) [z, х] + v ([z, х] о [у, х\) +
+ h, х] ([у, х] у) — ([у, я] о [z, я]) У = 0.
Ввиду невырожденности алгебры Л, отсюда следует, что
[у, ж] = [[*, у], х] = 0. (18)
В частности, [[у, z], у] = 0, поэтому по (15)
0 = [у2, z] = У о [у, z] = 2yzy,
откуда вновь в силу невырожденности А получаем
2у - 2 [ж, у] = 0. (19)
Теперь имеем по (19) и (18)
[х2, у] == хо [х, у] = Их, у], х] + 2я [х, у] = 0.
Линеаризуя это соотношение по х, получаем
[я о у, z] = 0,
откуда, ввиду (19),
[у, z] = [[х, у], z] = boy, z] — 2 [уж, z] = 0,
и далее по (15)
vzv = y2z = 0.
Следовательно, у = 0 и алгебра А коммутативна. По
лемме 7.8 теперь имеем (х, у, z)2 = 0 и далее (х, у, z) X
X t (х, у, z) = (ж, у, z)2 t = 0, откуда (х, у, z) = 0.
Таким образом, алгебра ^4 ассоциативна и коммутативна,
т. е. Z (А) = 4. Теорема доказана.
Следствие. Пусть А — невырожденная
альтернативная алгебра. Тогда, если А =£(0), mo u 7V (А) Ф(0).
Действительно, мы имеем включения
NAlt[A]c=N(A), Z(A) = N(A),
из которых все следует.
Лемма 7. Всякий идеал невырожденной
альтернативной алгебры сам является невырожденной алгеброй.

§ 2] НЕВЫРОЖДЕННЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 225
Доказательство. Пусть А — невырожденная
альтернативная алгебра и / — идеал алгебры А.
Предположим, что существует i £ / такой, что Hi = (0). Тогда
для любых х, у 6 А в силу тождеств Муфанг мы получаем
(ixi) у (ixi) = [i (x-iy)] (ixi) = [i (x-iy)] (ix-i) =
= i l(x-iy) (ix)] i = 0.
Следовательно, (ixi) A (ixi) = (0), откуда в силу
невырожденности алгебры А следует ixi = 0. Ввиду
произвольности элемента х, это означает, что iAi = (0), откуда
окончательно имеем i = 0. Таким образом, алгебра /
не содержит ненулевых абсолютных делителей нуля.
Лемма доказана.
Теорема 7 (С лейте р). Пусть А —
невырожденная альтернативная алгебра. Если А неассоциативна,
то Z (А) ф{0).
Доказательство. Рассмотрим ассоциаторный
идеал D = D (А) алгебры А. Так как А неассоциативна,
то Бф(0). По лемме 7 идеал D является невырожденной
алгеброй, поэтому по следствию теоремы 6 N (D) Ф(0).
Далее, ввиду полупервичности D, по теореме 1 мы имеем
N (D) = D П N (А). Выберем 0 ф п 6 D [\ N (А). Тогда
для любого а 6 А мы имеем по теореме 8.11
Ь, a] eZN(A) [}D c=U П-D,
где U = U (А) — ассоциативное ядро алгебры А. В силу
предложения 8.10 мы имеем (U f| D)2 = (0), откуда,
ввиду полупервичности алгебры^., следует, что U f| D =
= (0). Тем самым доказано, что [п, а] = 0 для всех
а £А, т. е. 0 фп £ Z (А). Теорема доказана.
Следствие 1. Всякая невырожденная
альтернативная нилъ-алгебра ассоциативна.
Действительно, если А неассоциативна, то по теореме 7
Z (А) Ф(0). С другой стороны, легко видеть, что никакая
полупервичная алгебра не может содержать в своем центре
ненулевых нильпотентных элементов.
Следствие 2 (Клейнфелд). Пусть А —
полупервичная альтернативная нилъ-алгебра без элементов
порядка 3 в аддитивной группе. Тогда А ассоциативна.
В заключение этого параграфа мы применим
полученные результаты к произвольным полупервичным
альтернативным алгебрам.

226 ПОЛУПЕРВИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ.
Пусть А — некоторая алгебра и т — натуральное
число. Положим Ат = {х 6 А \ тх = 0} и через А =
= А (т) обозначим фактор-алгебру А/Ат.
Лемма 8. Если алгебра А полупервична, то алгебра
А полупервична и не содержит элементов порядка т в
аддитивной группе.
Доказательство. Пусть / — идеал алгебры А
и Р = (0). Рассмотрим полный прообраз / идеала /
в алгебре А. Тогда / — идеал в А и /2 g 4m. Это значит,
что ml2 = (0), откуда (ml)2 = (0), и, ввиду
полупервичности алгебры А, имеем ml = (0). Следовательно, / ^ Ат
и / = (0), так что алгебра А полупервична.
Заметим, что (тАт2)2 = (0). Ввиду полупервичности
А, отсюда следует, что тАт2 = (0) и Атг ^ Ат. Если
теперь х £ (А)т, то тх = 0, и для любого прообраза х
элемента х в алгебре А мы имеем тх £ Ат, т2х = 0,
откуда х £ Ат2 ^ Ат и х = 0. Тем самым доказано, что
(А)т = (0), т. е. в А нет элементов порядка т.
Лемма доказана.
Теорема 8 (Слейте р). Пусть А —
полупервичная альтернативная алгебра. Тогда
1) За = 0 для любого абсолютного делителя нуля а
алгебры А;
2) если ЗА ф(0), то N (А) ф(0);
3) если ЗА <£N (А), то Z (А) ф(0).
Доказательство. Рассмотрим фактор-алгебру
А = А/А3. По лемме 8 и теореме 5' алгебра А иевырож-
дена, поэтому всякий абсолютный делитель нуля
алгебры А лежит в А3.
Тем самым доказано 1).
Далее, если 3^4 Ф(0), то А Ф(0). По следствию
теоремы 6 мы имеем N (А) Ф(0). Выберем 0 Ф п 6 N {А),
и пусть п — некоторый прообраз элемента п в А. Пусть,
далее, г, s £ A, t = (п, г, s). Тогда t = (п, r, s) = 0
в алгебре А. Значит, t £ А3 и (Зп, r, s) = 0. Так как
элементы r, s были произвольными, то Зп £ N (А). Если
Зп = 0, то п £ А3 и п = 0. Следовательно, 0 фЗп £
6 N (А) и N (А) ф (0), что доказывает 2).

§ 3] ПЕРВИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 227
Наконец, если ЗА с£ N (А), то алгебра А
неассоциативна. По теореме 7 мы имеем Z (А) Ф(0), откуда, как
и в случае 2), получаем Z (А) Ф(0).
Теорема доказана.
Следствие. Пусть А — произвольная
альтернативная алгебра. Тогда За £_$} {А) для любого абсолютного
делителя нуля а алгебры А.
Упражнения
1. Пусть R — некоторое кольцо с ненулевым центром Z, S —
мультипликативное подмножество центра Z, не содержащее
делителей нуля кольца R. Для идеала / кольца R положим S~XI =
= {s~4 G S-iR | s g S, i £ I}- Доказать, что отображение г|э8: / ->-
->- S~XI отображает множество всех идеалов кольца R на множество
всех идеалов кольца частных S~XR. При этом для любых идеалов
/, / кольца R
S-1 (I + J) = s-ч + s-ij,
S-i (//) = (S-Ч) (S-iJ),
S~i(I П /) = (S-Ч) П (S-Ч).
2. Доказать, что имеет место следующий изоморфизм:
S-!R ss S^Z^zR.
3. Пусть R — первичное кольцо. Доказать, что кольцо R^
первично тогда и только тогда, когда для любого п £ Z в R нет
таких элементов а, что Ra = La = пЕ.
4. Доказать, что в произвольной альтернативной алгебре А
подмодуль оМг (А), порожденный всеми абсолютными делителями
нуля, является идеалом.
5. По аналогии с бэровской цепочкой идеалов {зва(А)}
определим в произвольной альтернативной алгебре А цепочку идеалов
(0) <= Mi (А) д= <Мг (А) ь= . . . с= Ma (A) s . . . <= оМ (А), где
оМ1(А) —идеал алгебры Л, введенный в задаче 4. Доказать, что
отображение А -> М (А) является наследственным радикалом
в классе всех альтернативных алгебр; при этом полупростой класс
радикала оМ есть в точности класс всех невырожденных
альтернативных алгебр.
6. Доказать, что во всякой альтернативной алгебре А
gM (А) => ^ (А) => ЪсМ (А).
§ 3. Первичные альтернативные алгебры
Пусть R — некоторое кольцо такое, что Z = Z (R) ф
Ф(0), и Z не содержит делителей нуля кольца R. Тогда
множество Z* = Z\{0} является мультипликативным
подмножеством центра Z, и мы можем рассмотреть кольца

228 ПОЛУПЁРВИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 9
частных Zx = (Z*)-1 Z и Rx = (Z*)_1 R. Ясно, что в
данном случае кольцо Zx будет обычным полем частных
ассоциативно-коммутативного кольца Z без делителей нуля.
По предложению 2 мы имеем Z (R-^ = Zx, так что кольцо
Rx можно естественным образом рассматривать как
центральную алгебру над полем Zx. Кроме того, кольцо R
изоморфно вкладывается в алгебру Д1#
Введем теперь следующее определение.
Альтернативное кольцо К с ненулевым центром Z, не содержащим
делителей нуля кольца К, будем называть кольцом Кэли —
Диксона, если кольцо частных Кг = (Z*)"1 К является
алгеброй Кэли — Диксона над полем частных Zx
центра Z.
Предложение 3. Всякое кольцо Кэли — Диксона
является первичным невырожденным чисто альтернатив-
ным кольцом. Любой ненулевой идеал кольца Кэли —
Диксона сам является кольцом Кэли — Диксона. Обратно,
если некоторый идеал I первичного альтернативного
кольца R является кольцом Кэли — Диксона, то и само
кольцо R есть кольцо Кэли — Диксона.
Доказательство. Пусть К — некоторое
кольцо Кэли — Диксона и С = Кг — соответствующая алгебра
Кэли — Диксона. Так как всякая алгебра Кэли —
Диксона является простым кольцом (в частности, первичным),
то, ввиду предложения 2, кольцо К является первичным.
Далее, ввиду неассоциативности алгебры С кольцо К
также неассоциативно, поэтому по следствию
предложения 8.10 К чисто альтернативно. Для доказательства
невырожденности кольца К достаточно установить в силу
предложения 2, что алгебра Кэли — Диксона С
невырождена. Пусть а (= С, а ф0, аСа = (0). Тогда, в частности,
а2 = 0, откуда t (а) = п (а) = 0, где t (х) и п (х) —
соответственно след и норма элемента х в алгебре Кэли —
Диксона С (см. гл. 2). Теперь для любого х £ С мы имеем
в силу (2.21)
аха = (а о х) а — ха2 =
= t (а) ха + t (х) а2 — t (х) t (а) а + t (ха) а =
= t (ха) а = 0.
Заметим, что в силу (2.8)
t (ха) = / (ха, 1) = —/ (х, а) + / (х, 1) / (а, 1) =
= —/ (х, а).

§ 3] ПЕРВИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 229
Ввиду невырожденности формы / на С, найдется элемент
х £ С, для которого t (ха) = —/ (х, а) фО. Но тогда
а = 0. Полученное противоречие доказывает
невырожденность алгебры С и кольца К.
Пусть теперь (0) ф I — идеал кольца Кэли —
Диксона К. По следствию 1 теоремы 4 и лемме 7 кольцо /
первично и невырождено. Если / ассоциативно, то по
теореме 1 имеем I = N (I) ^ N (К), откуда I ^ U (К)
и U (К) ф (0), что противоречит чистой
альтернативности кольца К. Значит, кольцо / неассоциативно.
Тогда по теоремам 7 и 3 мы имеем (0) ф Z (I) = I fl Z (К),
откуда в силу утверждения 5) предложения 2 следует,
что С = 5"1/, где S = Z (/)\{0}, т. е. / есть кольцо
Кэли — Диксона.
Пусть, наконец, R — некоторое первичное
альтернативное кольцо и / — идеал кольца i?, являющийся
кольцом Кэли — Диксона. Тогда Z0 = Z (I) Ф(0), откуда
и Z = Z (R) Ф(0). Ввиду первичности кольца R,
множество Z* = Z\{0} не содержит делителей нуля
кольца R. Следовательно, мы можем рассмотреть кольцо
частных Яг = (Z*)"1 R. Так как / П Z* = Z* = Z (1)\
\{0} ф 0, то вновь по утверждению 5) предложения 2
мы получаем, что (Z*)-1 / = (Z*)"1 R. Так как по условию
кольцо (Z*)"1 / является алгеброй Кэли — Диксона, то
тем самым доказано, что R есть кольцо Кэли —
Диксона.
Предложение доказано.
Следствие. Всякое кольцо Кэли — Диксона ниль-
полу'просто.
Доказательство. Пусть JP (К) — верхний
ниль-радикал кольца Кэли — Диксона К. Если JT (К) Ф
Ф(0), то JT (К) есть кольцо Кэли — Диксона. С другой
стороны, по следствию 1 теоремы 7 всякое невырожденное
альтернативное ниль-кольцо ассоциативно. Полученное
противоречие доказывает, что JT (К) = (0), т. е. в К нет
ненулевых ниль-идеалов. Следствие доказано.
Покажем теперь, что, кроме колец Кэли — Диксона,
других первичных невырожденных альтернативных
неассоциативных колец не существует.
Теорема 9 (С лейте р). Пусть А — первичная
невырожденная неассоциативная альтернативная алгебра.
Тогда А является кольцом Кэли — Диксона.

230 ПОЛУПЕРВИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 9
Доказательство. По теореме 7 мы имеем
Z = Z (^4) Ф (0). Кроме того, из первичности А легко
следует, что Z не содержит ненулевых делителей нуля
кольца А. Следовательно, мы можем образовать
соответствующее кольцо частных Аг, которое является алгеброй
над полем частных Zx центра Z. По предложению 2
алгебра Аг альтернативна, первична и Z (А-^ = Z±. Кроме
того, кольцо А изоморфно вкладывается в кольцо Аг,
поэтому алгебра Ах неассоциативна. Ввиду теоремы Клейн-
фелда, для доказательства нашей теоремы достаточно
теперь показать, что Аг — простая алгебра.
Заметим, что так как Аг неассоциативна и первична,
то по следствию предложения 8.10 Аг является чисто
альтернативной алгеброй, т. е. U (Аг) = (0). Пусть теперь
I — произвольный ненулевой идеал алгебры Аг. По
следствию 1 теоремы 4 и лемме 7 алгебра I первична и
невырождена. Если / ассоциативна, то по теореме 1 имеем
I = N (I) ^ N (Аг), что противоречит чистой
альтернативности алгебры Аг. Значит, алгебра / неассоциативна.
Тогда по теоремам 7 и 3 мы имеем (0) ф Z (I) = I f|
П Z (Аг) = I П Zv Пусть 0 ф а 6 / П %i- Тогда мы имеем
1 = а-а"1 £ /, откуда I = Аг. Следовательно, алгебра
Аг проста.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть А — первичная
альтернативная неарсоциативная алгебра, причем ЗА Ф(0). Тогда
А является кольцом Кэли — Диксона.
Доказательство. Ввиду теоремы 5',
достаточно доказать, что в аддитивной группе алгебры А нет
элементов порядка 3. Пусть
А3 = {х £А | Зх = 0},
тогда А3 — идеал алгебры А, при этом А3-(ЗА) = (0). Так
как 3^4 — также идеал алгебры А и по условию 3^4 Ф (0),
то мы получаем А3 = (0). Следствие доказано.
Назовем первичную альтернативную алгебру
исключительной, если она неассоциативна и не является кольцом
Кэли — Диксона. Вопрос о том, существуют ли
исключительные первичные альтернативные алгебры, остается
открытым до сих пор. Из доказанного следует, что всякая
такая алгебра должна содержать ненулевые абсолютные

§ 3] ПЕРВИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 231
делители нуля и иметь характеристику 3. Найдем еще ряд
свойств таких алгебр.
Теорема 10 (С лейте р). Пусть существует
исключительная первичная альтернативная алгебра. Тогда
существует исключительная первичная альтернативная
алгебра S со следующими свойствами:
1) 35 = (0);
2) в S есть ненулевые абсолютные делители нуля\
3) N (S) = (0);
4) S является альтернативной Pl-алгеброщ
5) S локально нилъпотентна;
6) S не содержит минимальных односторонних идеалов.
Доказательство. Нам дана некоторая
исключительная первичная алгебра А, которая, как мы видели,
удовлетворяет условиям 1) и 2). Мы будем теперь
последовательно строить новые алгебры, удовлетворяющие все
большему числу перечисленных свойств.
Заметим прежде всего, что если В — первичная
исключительная алгебра, то всякий ненулевой идеал / алгебры В
также является исключительной первичной алгеброй.
Действительно, ввиду чистой альтернативности алгебры 5,
алгебра / неассоциативна, а по предложению 3 алгебра I
не может быть кольцом Кэли — Диксона. Наконец, по
следствию 1 теоремы 4 алгебра / первична.
Вернемся к алгебре А. Если N (А) = (0), то свойство 3)
выполнено. В противном случае по теореме 8.11 мы имеем
Z (А) = N (А) Ф (0), и мы можем, как обычно, образовать
алгебру частных Ах. Если алгебра Ах проста, то Ах есть
алгебра Кэли — Диксона, а А — кольцо Кэли —
Диксона, что противоречит условию. Следовательно, алгебра Аг
не проста. Пусть теперь / — любой собственный идеал
алгебры Аг. Тогда по доказанному / есть первичная
исключительная алгебра. Если N (I) =?Ц0), то мы имеем (0) Ф
=£N (I) = Z (I) = I П % (Аг), откуда, как и при
доказательстве теоремы 10, следует, что I = Аг. Полученное
противоречие доказывает, что N (I) = (0), т. е.
исключительная первичная алгебра / удовлетворяет свойствам
1) - 3).
Далее, в силу тождеств Клейнфелда для любых a, b £ I
мы имеем [а, б]4 £ N (I) = (0), т. е. / удовлетворяет
существенному тождественному соотношению [х, г/]4 = 0.
Следовательно, в / выполнено и свойство 4).

232 ПОЛУПЕРВИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ* 9
Обозначим теперь через S множество всех нильпотент-
ных элементов алгебры /. По предложению 7.2 S является
идеалом алгебры /. Так как в / есть ненулевые
абсолютные делители нуля, то S ф (0), и по доказанному выше S
есть исключительная первичная ниль-алгебра.
Мы имеем N (S) = S (] N (I) = (0), т. е. в S
выполнено свойство 3). Ясно также, что S является
альтернативной PI-алгеброй. По теореме 5.6 алгебра S локально
нильпотентна. Таким образом, алгебра S удовлетворяет
свойствам 1) — 5).
Пусть теперь V — минимальный правый идеал
алгебры S и V — наибольший идеал алгебры S, содержащийся
в V. Ввиду минимальности V, либо V = (0), либо V = V.
В первом случае по лемме 3 правый идеал V ассоциативен,
откуда по теореме 2 V = N (V) ^ N (S) = (0), что не так.
Если же V = V, то V является минимальным
двусторонним идеалом алгебры S. Ввиду первичности алгебры S,
мы имеем V2 =т^(0), поэтому по теореме 8.10 V является
простой алгеброй. Но алгебра V локально нильпотентна
и по предложению 7.1 не может быть простой. Полученное
противоречие доказывает, что в S нет минимальных
правых идеалов, т. е. алгебра S обладает свойством 6).
Теорема доказана.
Докажем теперь, что первичные альтернативные
алгебры без ненулевых локально нильпотентных идеалов не
являются исключительными.
Лемма 9. Пусть А — альтернативная алгебра,
А ф (0) и N (А) = (0). Тогда X {А) ф (0), т. е. А
содержит, ненулевые локально нильпотентные идеалы.
Доказательство. Ввиду тождеств Клейнфелда,
алгебра А удовлетворяет тождеству [х, i/]4 = 0. В этом
случае по предложению 7.2 множество / всех
нильпотентных элементов алгебры А образует идеал. По теореме 5.6
идеал / локально нильпотентен, т. е. I <=: X (А). Если
/ = (0), то алгебра А коммутативна, а по лемме 7.7 —
и ассоциативна, т. е. (0) фА = N (А), что противоречит
условию. Значит, / Ф (0) и X (А) Ф(0).
Лемма доказана.
Теорема 11. Пусть А — первичная
альтернативная не ассоциативная алгебра. Тогда если X (А) = (0),
то А является кольцом К эли — Диксона*

§ 3] ПЕРВИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 233
Доказательство. В силу леммы 9 мы имеем
N (А) ф (0) и далее по теореме 8.11 Z Щ = N (А) ф (0),
так что мы можем вновь рассмотреть алгебру частных Ах.
Пусть / — произвольный ненулевой идеал алгебры Ах\
тогда / — первичная неассоциативная альтернативная
алгебра. Если N (I) = (0), то по лемме 9 X (I) =£(0),
а так как радикал X по теореме 8.9 наследствен, то и
Х(А1)ф(0). Легко видеть, что (0) ф X (Аг) П А —
локально нильпотентный идеал алгебры А. Так как это
противоречит условию X (А) = (0), то мы получаем, что
N (I) ф (0) для любого собственного идеала / алгебры Аг.
Но тогда (0) фМ {I) == Z {I) = I [)Z (Аг), откуда, как
и раньше, следует, что I = Аг. Таким образом, алгебра Аг
проста и является алгеброй Кэли — Диксона. Теорема
доказана.
Отметим в заключение, что из результата Шестакова,
сформулированного в замечании к теореме 5', следует,
что никакая исключительная первичная альтернативная
алгебра не может быть конечнопорожденной.
Упражнения
1. Пусть К — кольцо Кэли — Диксона. Если а, Ъ £ К и
(аК) Ъ = (0) или a (Kb) = (0), то либо а = 0, либо Ь = 0.
2. Пусть А — первичная неассоциативная альтернативная
алгебра и / — правый идеал алгебры А. Доказать, что в алгебре /
нет ненулевых ассоциативных идеалов.
Указ ание. Воспользоваться упражнением 12 к § 1.
3. Доказать, что в условиях упражнения 2 / является
первичной неассоциативной алгеброй.
Указание. Если PQ = (0) для некоторых идеалов Р и Q
алгебры /, то рассмотреть в идеале /0, порожденном в алгебре А
множеством (/, I, А), идеалы Р0 и Q0, порожденные в алгебре /
соответственно множествами (Р, Р, Р) и (Q, Q, Q).
Воспользоваться следствием 1 теоремы 4.
4. Доказать, что всякий односторонний идеал кольца Кэли —
Диксона является кольцом Кэли — Диксона.
5. Доказать, что в условиях теоремы 10 всякий односторонний
идеал алгебры S также удовлетворяет условиям 1) — 6).
6. Пусть А — альтернативпая алгебра на — произвольный
абсолютный делитель нуля в А. Доказать, что а £ X (А).
Указание. Применить теорему 8.8 и теорему 11.
Следствие. Пусть М — -радикал, определенный в
упражнении 5 к § 2. Тогда во всякой альтернативной алгебре А верно
включение
оЛЬ (А) <=,Х{А),

234 ПОЛУПЕРВИЧНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 9
ЛИТЕРАТУРА
Амицур [12], Брак и Клейнфелд [24], Скорняков [190], Клейн-
фелд [94, 97], Жевлаков [75], Слейтер [198, 203, 205], Шестаков
[271].
Результаты об абсолютных делителях нуля йордановых,
ассоциативных и альтернативных алгебр: Слинько [209], Маккриммон
[137].
Результаты, посвященные описанию полупервичных и
первичных алгебр в других многообразиях алгебр: Дорофеев [61],
Клейнфелд [96], Клейнфелд Э., Клейнфелд М., Косьер [100], Пчелинцев
[172], Роомельди [185], Тэди [231], Хенцель [246].

ГЛАВА 10
РАДИКАЛ ЖЕВЛАКОВА
Как следует из общей теории, в классе ассоциативных
алгебр существует много различных радикалов. Однако
лишь немногие оказываются полезными в структурной
теории. Для некоторых — как, например, для ниль-ради-
калов — понятно строение радикальных алгебр. Для
других — понятнее устройство полупростых. Чаще всего
непонятно ни то, ни другое.
С этой точки зрения квазирегулярный радикал Дже-
кобсона является счастливым исключением. С одной
стороны, довольно изученным объектом являются
квазирегулярные алгебры. Всякая же полупростая в смысле
Джекобсона алгебра является подпрямой суммой
примитивных алгебр, каждая из которых является плотным
кольцом линейных преобразований некоторого векторного
пространства над телом. Таким образом, о радикале
произвольной ассоциативной алгебры и о фактор-алгебре
по нему имеется существенная информация.
Попытки создать аналогичную структурную теорию
для альтернативных алгебр предпринимались давно.
В 1948 г. Смайли доказал, что в произвольной
альтернативной алгебре А существует наибольший
квазирегулярный идеал & (^4), фактор-алгебра по которому не
содержит ненулевых квазирегулярных идеалов. В
литературе этот радикал получил название радикала
Смайли.
В 1955 г. Клейнфелд распространил на
альтернативные алгебры понятие примитивности. Так как в то время
еще было неясно, что считать представлениями и модулями
альтернативных алгебр, он определил примитивные
альтернативные алгебры в чисто кольцевых терминах: как
алгебры, обладающие максимальным модулярным одно-

236
РАДИКАЛ ЖЕВЛАКОВА
&ГЛв 10
сторонним идеалом, не содержащим ненулевых
двусторонних идеалов. Для ассоциативных алгебр это условие
эквивалентно обычной примитивности. Неассоциативные
альтернативные примитивные алгебры, как показал Клейн-
фелд, исчерпываются алгебрами Кэли — Диксона.
В той же работе Клейнфелд доказал, что во всяком
альтернативном кольце А пересечение $С (А) всех
максимальных правых (левых) модулярных идеалов есть
двусторонний идеал в4и что фактор-алгебра А1Ж {А)
является подпрямой суммой примитивных альтернативных
алгебр. Идеал &С (А) получил название радикала Клейн-
фелда алгебры А. Впоследствии название оправдалось:
Жевлаков доказал, что отображение $£\ А -»- <УС {А)
является наследственным радикалом.
Вплоть до 1969 г. вопрос о совпадении этих двух
радикалов оставался открытым. Этот вопрос решил Жевлаков,
доказав, что в произвольной альтернативной алгебре
радикалы Смайли и Клейнфелда совпадают. Таким
образом, в классе альтернативных алгебр появился радикал
с богатой информацией как о своем радикальном, так
и о своем полупростом классе. Мы обозначаем этот
радикал буквой ^ и называем -радикалом Жевлакова, а также
квазирегулярным радикалом.
В последующие годы в работах Жевлакова, Слинько
и Шестакова было выработано понятие правого (левого)
представления альтернативной алгебры и доказано, что
радикал Жевлакова ty (А) произвольной альтернативной
алгебры А совпадает с пересечением ядер правых (левых)
неприводимых представлений этой алгебры. Ими также
доказано, что примитивные альтернативные алгебры есть
в точности алгебры, обладающие точным неприводимым
альтернативным модулем. Представлениям
альтернативных алгебр мы посвятим следующую главу.
§ 1. Примитивные альтернативные алгебры
Назовем правый идеал / алгебры А модулярным,
если существует такой элемент е £ А, что еа — а £ /
для всех а £ А. Этот элемент е является левой единицей
алгебры А по модулю идеала /. Если алгебра А обладает
единицей, то всякий ее правый идеал, очевидно, модуля-
рен. Аналогично левый идеал / алгебры А называется

{5 1] ПРИМИТИВНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 237
модулярным, если существует элемент е £ А такой, что
ае — а £ J для всех а £ А.
Предложение 1. Пусть I — модулярный
правый идеал алгебры А. Тогда его можно вложить в
некоторый максимальный правый идеал алгебры А, который
будет также модулярен.
Доказательство. Легко видеть, что если е —
левая единица по модулю правого идеала /, то е — левая
единица по модулю любого идеала алгебры А,
содержащего /. Поэтому любой идеал, содержащий /,
модулярен.
Рассмотрим множество М правых идеалов алгебры А,
содержащих /, но не содержащих е. По лемме Цорна в М
имеется максимальный идеал /. Покажем, что / —
максимальный идеал алгебры А. Пусть /' — правый идеал в А
и /' id /. Тогда е £ /' и для произвольного элемента
а £ А имеем а — еа ^ I ^ J'. Но так как еа £ J', то
и а £ J', т. е. /' = А. Предложение доказано.
Предложение 2. Пусть I — модулярный
правый идеал алгебры А. Тогда наибольший идеал I алгебры А,
содержащийся в /, совпадает с множеством (I : А) =
= {а £А \Аа s /}.
Доказательство. По лемме 9.2 I = (I : А#).
Так как (/ : 4#) = / П (/ : 4), то нам достаточно
доказать, что (/ : А) ^ /. Пусть е — левая единица по
модулю / и а (= (/ : А). Тогда еа £ I ж а — еа £ I, а в
результате а £ I. Предложение доказано.
Назовем альтернативную алгебру А примитивной
(справа), если она обладает максимальным модулярным
правым идеалом /, не содержащим ненулевых
двусторонних идеалов алгебры А. В силу предложения 2 для
идеала / верны соотношения I = (I : А) = (0).
Лемма 1. Примитивная альтернативная алгебра А
первична.
Доказательство. Пусть / — максимальный
модулярный идеал и / = (0). Предположим, что ВС = (0)
для идеалов В ж С алгебры А. Если В ф (0), то В ^ /,
и в силу максимальности / имеем / + В = А. Но тогда
АС = (I + В) С = 1С <= /, т. е. С <= (7 : А). Но (7 : А) =
== (0), и, следовательно, С = (0). Таким образом,
первичность алгебры А доказана.

238
РАДИКАЛ ЖЕВЛАКОВА
[ГЛ. 16
Лемма 2. Если А — первичная альтернативная
неассоциативная алгебра и (а, Ь, А) = (0) для некоторых
элементов а, Ъ £ А, то [а, Ь] = 0.
Доказательство. Напомним, что по
теореме 8.11 N (А) = Z (А) и Z (А) не содержит делителей
нуля. Поэтому, ввиду леммы 7.3, [a, b] £ Z (А). Далее,
по тождеству Муфанг (a, ab, А) = (а, Ъ, А) а = (0), что
влечет в силу той же леммы включение [а, аб] 6 Z И-)-
Заметим, что [а, аб] = а [а, 6]. Отсюда следует, что
0 = [а [а, 6], 6] = [а, б]2. Но так как в Z (А) нет
делителей нуля, имеем [а, 6] = 0, и лемма доказана.
Лемма 3. Пусть А — первичная альтернативная
неассоциативная алгебра и I — ее ненулевой
односторонний идеал. Тогда I Ф(0).
Доказательство. Пусть для определенности
/ — правый идеал. Если /=(0), то по лемме 9.3
(/, /, А) = (0), и по предыдущей лемме заключаем, что
/ — ассоциативная и коммутативная подалгебра в А.
По теореме 9.3 имеем I = Z (I) ^ Z (А), откуда / —
двусторонний идеал. Следовательно, / = / = (0).
Противоречие доказывает лемму.
Следствие. Алгебра Кэли—Диксона С над любым
полем является примитивной и не содержит собственных
односторонних идеалов.
Доказательство. Если / — ненулевой
односторонний идеал в С, то по лемме 3 / =^(0). Но так как
С — простая алгебра, то /=С и, следовательно,
1 = С.
Мы видим, что (0) — максимальный правый идеал в С
Кроме того, ввиду наличия в С единицы, он еще и моду-
лярен. Поэтому С примитивна и следствие доказано.
Теорема 1 (Клейнфелд). Всякая
примитивная альтернативная алгебра является либо примитивной
ассоциативной алгеброй, либо алгеброй Кэли — Диксона
над своим центром.
Доказательство. Если А неассоциативна и
/ — ее максимальный модулярный идеал такой, что / =
= (0), то по лемме 3 / = (0). Отсюда следует, что в А нет
собственных правых идеалов, в частности, она проста.
В силу теоремы Клейнфелда о простых альтернативных
алгебрах теорема 1 доказана.

§ 2]
РАДИКАЛ КЛЕЙПФЕЛДА
259
Упражнение
1. Докажите, что во всякой альтернативной алгебре Л
радикал X (А) содержит все односторонние локально нильпотентные
идеалы.
Указание. Использовать теорему 8.8 и лемму 3.
§ 2. Радикал Клейнфелда
Предложение 3. Пусть ср: В -»- А —
гомоморфизм алгебры В на А, я|э: А -»- С — гомоморфизм алгебры
А на С и I — максимальный модулярный правый {левый)
идеал алгебры А, содержащий ядро я|э. Тогда ф-1 (I) и
я|э (I) — также максимальные модулярные правые (левые)
идеалы в алгебрах В и С.
Доказательство. Пусть е — левая единица
алгебры А по модулю /. Тогда всякий элемент е £ ф-1 (е)
будет левой единицей алгебры В по модулю ф-1 (/). Если
Ф-1 (/) не максимален в В, то в В существует правый
идеал Р такой, что Р zd ф-1 (I) и В Ф Р. Ясно, что Р =
= ф-1 (/), где / — правый идеал алгебры А, строго
содержащий /. Но тогда / = А и Р = ф-1 (А) = В.
Ясно также, что я|э (I) модулярен. В качестве левой
единицы по модулю я|) (I) можно взять я|э (е). Если я|э (/)
не максимален, то либоя|) (/) = С, либо в С существует
правый идеал Q такой, что Q id ^ (I) и Q фС. В первом
случае найдется элемент х £ I такой, что ty (х) = я|э (е).
Но тогда х — е £ Кег я|э ^ /, откуда е £ I ж I = А. Во
втором случае мы имеем я|)-1 (Q) = А и, следовательно,
Q = С. Предложение доказано.
Как обычно, назовем идеал В альтернативной алгебры
А примитивным, если фактор-алгебра А/В —
примитивная альтернативная алгебра,
Теорема 2 (К л е й н ф е л д). Во всякой
альтернативной алгебре А пересечение всех максимальных
модулярных правых (левых) идеалов Ж (А) = П 1а есть
двусторонний идеал в А, совпадающий с пересечением всех
примитивных идеалов алгебры А. Фактор-алгебра AI&C (А)
является подпрямой суммой примитивных ассоциативных
алгебр и алгебр К эли — Диксона.
Доказательство. Пусть 1а — некоторый
максимальный модулярный идеал алгебры А и Qa = Ia —
наибольший двусторонний идеал алгебры А, содержащий-

240
РАДИКАЛ ЖЕВЛАКОВА
[ГЛ. 10
ся в 1а. Из предложения 3 следует, что Qa — примитивный
идеал. Значит, SfC (А) содержит пересечение всех идеалов
Qa и тем более пересечение Q всех примитивных идеалов
алгебры А. С другой стороны, для любого примитивного
идеала Qa фактор-алгебра AIQa есть либо алгебра Кэли —
Диксона, либо примитивная ассоциативная алгебра,
и в ней пересечение всех максимальных модулярных
идеалов равно нулю, ввиду следствия леммы 3 и хорошо
известного факта теории ассоциативных алгебр. Поэтому
в силу предложения 3 заключаем, что SfC {А) содержится
в каждом примитивном идеале алгебры А и,
следовательно, в их пересечении Q. Таким образом, Ш {А) = Q.
Последнее утверждение теоремы следует из теоремы 1.
Теорема доказана.
Если алгебра А не содержит вообще максимальных
модулярных правых идеалов, будем считать по
определению, что ffi (А) = А. Идеал Ж (А) назовем радикалом
Клейнфелда алгебры А.
Лемма 4. Пусть А — альтернативная алгебра,
В — идеал в А и I — максимальный модулярный правый
идеал алгебры В. Тогда I — правый идеал алгебры А.
Доказательство. Пусть IA ^= /. Тогда существует
такой элемент х 6 А, что 1х с£= /. Рассмотрим множество
1г = I + 1х и покажем, что оно является правым
идеалом в В. В самом деле, для любых i £ I и b £ В
(ix) Ъ = i (xb) + (£, х, b) = i (хЪ) — (£, Ъ, х) =
= i (xb) — (ib) х + i (bx) 6 I + Ix = I±.
Значит, 1гВ ^ 1Ъ а все прочие свойства правого идеала
для 1г очевидны. Так как 1г id I и I — максимален в В,
то 1г = В. Значит, левая единица е алгебры В по модулю
/ представляется в виде е = i + jx, где £, / 6 I- Отметим,
что jx $ /, так как е (J /. Однако, ввиду модулярности
идеала /, jx — е (jx) 6 I, и поэтому получаем
jx — е (jx) = jx — (i + jx) (jx) = jx — i (jx) — / (xjx) 6 /.
Отсюда следует jx 6 I, и искомое противоречие получено.
Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть В — идеал альтернативной
алгебры А. Тогда множество максимальных модулярных правых
идеалов алгебры В совпадает с множеством правых идеалов
вида I [] В, где I — максимальный модулярный правый
идеал алгебры А, не содержащий В.

§ 2]
РАДИКАЛ КЛЕЙНФЕЛДА
241
Доказательство. Пусть 1г — максимальный
модулярный правый идеал алгебры В же — левая единица
алгебры В по модулю Iv Рассмотрим в алгебре А#
правый идеал /, порожденный элементом 1 — е. Покажем,
что J В ^ 1г. Пусть /0 = {/ £ / | ]В ^ /i}. Так как
Ъ — еЪ £ 1\ для любого b £ В, то 1 — е £ /0. Далее, по
лемме 4 идеал 1г алгебры В является правым идеалом
алгебры А, поэтому для любых / 6 «Ли а 6 ^.#7 & 6 -В
мы имеем
(/а) Ъ = у (аЬ) + (у, а, 6) = / (ab) — (/, 6, а) =
= / (ab) - (jb) а + j (Ьа) £ Л,
откуда следует, что J0A# 9= /0. Ясно теперь, что J0 —
правый идеал алгебры А#. Так как J0 ^ / и 1 — е 6 «Ль
то J0 = J, т. е. /Б ^ /г Положим теперь /х = /х +
+ / П А. Ясно, что J± — правый идеал алгебры А и что
J±B ^ Iv Если бы е £ «/"i, то мы имели бы е2 6 «/"i-B ^ 1г
и, далее, е = (е — е2) + е2 6 Ли что не так- Значит,
е (J /х. Для любого й^4 мы имеем а — еа 6 / П ^. — Л»
т. е. /х — собственный правый модулярный идеал
алгебры А. Рассмотрим максимальный модулярный правый
идеал /, содержащий J±. Ясно, что е (J /, поэтому В ^= /.
Но тогда В ф1 [} В ^ 1г, откуда, ввиду максимальности
/х, получаем, что / f] В = 1г.
Обратно, пусть / — максимальный модулярный правый
идеал алгебры А, причем В ^ /. В силу максимальности
/ мы имеем / + В = А. Если е — левая единица алгебры
А по модулю /, то е = i + е', где i £ I, е' £ В. Далее,
для любого b £ В мы имеем
b — е'Ъ = b — (е — i) Ь = (Ъ — eb) + ib £ I [) В.
Отсюда следует, что 1г = / f| В — модулярный правый
идеал алгебры В. Рассмотрим максимальный модулярный
правый идеал 12 алгебры В, содержащий 1г. По лемме 4
12 является правым идеалом алгебры А. Если 1Х ф12,
то /2 dp 1', поэтому / + /2 = ^4, и существуют такие
элементы i' £ /, i2 £ /2, что е = г + i2. Тогда мы вновь
имеем Ъ — i2b £ I [} В = 1г ^ 12 для любого b £ В,
откуда следует, что 12 = 5. Полученное противоречие
доказывает максимальность идеала 1г.
Лемма доказана.

242
РАДИКАЛ ЖЕВЛАКОВА
trnt 10
Следствие. В условиях леммы Ь В <=, $К (А) тогда
и только тогда, когда В = &С (В).
Теорема 3 (Ж е в л а к о в). Отображение
SK: А \-~* $С (А) есть наследственный радикал в классе
альтернативных алгебр.
Доказательство. Если в алгебре А нет
максимальных правых модулярных идеалов, то по
предложению 3 таких идеалов нет и в любом гомоморфном образе
алгебры А. Далее, ввиду следствия леммы 5, во всякой
альтернативной алгебре А идеал S/C {А) является
наибольшим е%*-идеалом. В фактор-алгебре А = AlSfC (А)
согласно предложению 3 пересечение всех максимальных
модулярных правых идеалов равно нулю, т. е. &С {А) =
= (0). Следовательно, отображение &£ удовлетворяет
условиям (А) — (С) и является радикалом.
Наследственность радикала &С вытекает из следствия леммы 5,
следствия теоремы 8.5 и теоремы 8.3. Теорема доказана.
§ 3. Радикал Смайли
Пусть А — альтернативная алгебра с единицей 1.
Элемент а £ А называется обратимым, если существует
элемент а-1 £ А такой, что аа~х = а~ха = 1. Докажем
несколько лемм о свойствах обратимых элементов
алгебры А.
Лемма 6. Если аЪ = са = 1, то Ъ = с.
Доказательство. Докажем сначала, что
(а, Ь, с) = 0. Действительно, в силу тождества (7.16)
(а, Ь, с) = (аЪ) (а, Ь, с) = b (а (а, 6, с)) = Ъ (а, Ь, са) =
= 0. Теперь с = с (аЪ) = (са) Ъ — (с, а, Ъ) = Ь. Лемма
доказана.
Лемма 7. (х, а, а-1) = / (х, у* а, а-1) = 0, где
/ (х, у, z, t) — функция Клейнфелда.
Доказательство. В силу тождества (7.16)
имеем
(х, а, а-1) = (аа-1) (х, а, а-1) =
= а-1 (а (х, а, а-1)) = а-1 (ж, а, а~га) = 0.
Далее,
/ (х, у, а, а-1) =
= (ху, а, а"1) — у (х, а, а"1) — (г/, а, а'1) х = 0.
Лемма доказана.

§ 3]
РАДИКАЛ СМАЙЛЙ
243
Лемм'а 8. (а, х, у) = О влечет (а-1, х, у) = О.
Доказательство. В силу леммы 7
(а-1, х, у) а = (аа~г, х, у) — f (а, а~\ я, у) —
— а-1 (а, ж, г/) = 0.
Та же лемма дает нам теперь
(а-1, х, у) = (а"1, х, у) (аа~г) = ((at1, я, у) а) а'1 = 0.
Лемма доказана.
Лемма 9. Следующие утверждения эквивалентны:
а) элементы а и Ъ обратимы)
б) элементы аЪ и Ъа обратимы.
Доказательство. В силу леммы 8 имеем
(аЪ, Ъ, а) = 0=^ (аЪ, Ъ'1, а) = 0 =>- (аЬ, б"1, а"1) = 0.
Теперь в силу леммы 7
(аб) (Ь^а-1) = ((аЬ) Ь-1) а-1 - (ab, Ь~\ а"1) = 1.
Аналогично доказываются равенства (Ъ~га~г) (ab) ~
= {Ъа) (а^Ь-1) = (а-Ч-1) {Ъа) = 1.
Наоборот, пусть аЪ и Ъа обратимы. Тогда по лемме 8
(а, Ъ, (аЪ)~г) = ((Ъа)'1, Ъ, а) = 0, и получаем, что
1 = (ab) (ab)-1 = а(Ъ (ab)-1) + (a, Ъ, (аЪ)'1) =
= a(b (ab)-1),
1 = (ba)-1 (Ъа) = (фа)-1 Ъ) а - ((Ъа)-1, Ъ, а) =
= ((Ъа)'1 Ъ) а.
Отсюда по лемме 6 следует, что а — обратимый элемент.
Аналогично обратим и элемент Ъ. Лемма доказана.
Пусть теперь А — произвольная альтернативная
алгебра. Элемент а £ А называется квазирегулярным справа,
если существует элемент Ъ £ А такой, что аЪ = а + Ъ,
и квазирегулярным слева, если существует элемент с £ А
такой, что са = а + с. Элемент Ъ называется правым
квазиобратным к элементу а, а элемент с — левым
квазиобратным. Элемент а £ А называется квазирегулярным,
если существует элемент Ъ £ А такой, что аЪ = Ъа =
= а + Ъ. В этом случае элемент Ъ называется квазиобрат-
ным к а.
Предложение 4. Следующие утверждения
эквивалентны:
16*

244
РАДИКАЛ ЖЕВЛАКОВА
[ГЛ. 10
а) элемент а альтернативной алгебры А квазирегу-
лярен с квазиобратным элементом Ь;
б) элемент 1 — а алгебры А# = Ф-1 + А обратим
с обратным элементом 1 — Ъ.
Доказательство очевидно.
Следствие. Если квазирегулярный элемент z
альтернативной алгебры А лежит в ее центре Z (А), то
и его квазиобратный элемент z также лежит в Z (А).
Доказательство.В силу предложения 4
достаточно доказать, что для обратимого элемента а £ А из того,
что а £ Z (А), следует, что а-1 £ Z (А). В силу леммы 8
а'1 6 N (А). Далее, [а-1, х] а = [а-1а, х] = 0. В силу
леммы 7 [а-1, х] = [а-1, х] (аа-1) = ([а-1, х] а) а-1 = 0.
Значит, а'1 £ Z (А). Следствие доказано.
Лемма 10. Если Ъ — правый квазиобратный к
элементу а£А, а с — левый квазиобратный к а, то
элемент а квазирегулярен и Ъ = с.
Доказательство следует из предложения 4
и леммы G.
Следствие. Квазирегулярный элемент имеет
единственный квазиобратный.
Алгебра называется квазирегулярной, если каждый ее
элемент квазирегулярен. Идеал алгебры называется
квазирегулярным, если он квазирегулярен как алгебра.
Легко видеть, что всякий идеал квазирегулярной алгебры
является квазирегулярным.
Лемма 11. Пусть А — альтернативная алгебра
с единицей, и — обратимый элемент в А и а — элемент
квазирегулярного идеала В. Тогда и — а — обратимый
элемент.
Доказательство. Мы видим, что
(и — а) и'1 = 1 — aw1 = 1 — Ъ,
и'1 {и — а) = 1 — и~га = 1 — с,
где Ъ, с £ В. Следовательно, элементы (и — а) и'1 и
и'1 (и — а) обратимы, откуда по лемме 9 заключаем, что
и — а обратим. Лемма доказана.
Лемма 12. Сумма двух квазирегулярных идеалов
альтернативной алгебры — квазирегулярный идеал.
Доказательство. Пусть В, С —
квазирегулярные идеалы алгебры А; тогда В и С — идеалы и в
алгебре Л# = Ф-1 + А. Покажем, что каждый элемент идеала

§ 4]
ТЕОРЕМА ЖЕВЛАКОВА
245
В + С квазирегулярен. Пусть Ъ + с £ В + С, Тогда
1 — (Ь + с) = (1 — Ъ) — с = и — с, где и = 1 — Ъ —
обратимый элемент, так как Ъ квазирегулярен. Теперь
в силу леммы 11 имеем 1 — (Ъ + с) — обратимый
элемент, а это согласно предложению 4 означает
квазирегулярность элемента Ъ -V- с.
Л е м м а 13. Если В — квазирегулярный идеал
альтернативной алгебры Айв фактор-алгебре А = А/В
образ а элемента а £ А квазирегулярен, то а —
квазирегулярный элемент.
Доказательство. Без ограничения общности
можно считать, что А имеет единицу 1. Пусть х —
квазиобратный элемент к а. Тогда (1 — а) (1 — х) = (1 — х) X
X (1 — а) = 1 и для любого прообраза х элемента х
имеем (1 — а) (1 — х) = 1 — Ь, (1 — х) (1 — а) = 1 — Ъ',
где Ъ, Ъ' 6 В, В силу предложения 4 элементы (1 — а) X
X (1 — х) и (1 — х) (1 — а) обратимы. Следовательно,
по лемме 9 элемент 1 — а обратим, а это значит, что
элемент а квазирегулярен. Лемма доказана.
Теорема 4 (С м а й л и). Всякая альтернативная
алгебра А имеет наибольший квазирегулярный идеал of (А)
такой, что фактор-алгебра Alof(A) не имеет ненулевых
квазирегулярных идеалов.
Доказательство. Пусть of (А) — сумма всех
квазирегулярных идеалов алгебры А. В силу леммы 12
этот идеал квазирегулярен, а в силу леммы 13 фактор-
алгебра А1<^(А) не имеет ненулевых квазирегулярных
идеалов. Теорема доказана.
Следствие. Отображение оР\ А ->■ & (А) есть
наследственный радикал в классе альтернативных алгебр.
Введенный в этом параграфе радикал носит название
радикала Смайли.
§ 4. Теорема Жевлакова о совпадении
радикалов Клейнфелда и Смайли
Предложение 5. Во всякой альтернативной
алгебре А справедливо включение of {А) ^ Ж (^4).
Доказательство. Пусть of (А) с£ /, где / —
максимальный модулярный правый идеал, и е — левая
единица по модулю /. Тогда / + of (А) = А, и найдутся

246
РАДИКАЛ ЖЕВЛАКОВА
[ГЛ. 10
такие элементы i £ I, s £ <ЦР (А), что i + s = е. Для любого
a £ А мы имеем еа — а = (i + s) а — а £ /. Но ia £ /,
поэтому sa — а £ I для любого а £ Л. В частности, если
вместо а подставить элемент р, являющийся
квазиобратным для s, то получим sp — р = s £ I. Но тогда е =
= i + s £ /, что невозможно. Значит, с^ (Л) содержится
во всех максимальных модулярных правых идеалах,
а следовательно, и в их пересечении: &° (А) ^ Ж (А),
Предложение 6. Если радикалы Ж и tf различны,
то существует Ж-радикальная of-полу простая алгебра А,
являющаяся подпрямой суммой колец Кэли —Диксона,
Доказательство. Ввиду предложения 5,
несовпадение радикалов Клейнфелда и Смайли означает
наличие альтернативной алгебры 5, в которой <& (В) cz
cz Ж (5). Но тогда А = Ж (В)/^ (В) есть Ж-радикальная
с^-полупростая алгебра. По теоремам 8.8 и 9.11 алгебра А
есть подпрямая сумма первичных ассоциативных алгебр
без локально нильпотентных идеалов и колец Кэли —
Диксона. Пусть Р — пересечение всех таких идеалов Ра
алгебры А, для которых фактор-алгебра А/Ра является
кольцом Кэли — Диксона. Тогда, очевидно, Р f] D = (0),
где D = D (А) — ассоциаторный идеал алгебры А, Если
Р = (0), то все доказано. Пусть Р Ф(0), тогда мы имеем
D (Р) ^ D (А) П Р = (0), т. е. Р — ненулевой
ассоциативный идеал алгебры А. Но в этом случае Р = Ж (Р) =
= of (Р), и алгебра А не является с^-полупростой.
Полученное противоречие доказывает предложение.
Лемма 14. Если центр Z (А) альтернативной
алгебры А квазирегулярен и элемент х £ А квадратичен над
центром: х2, = ах + |3, где а, |3 £ % (А), то х —
квазирегулярный элемент.
Доказательство. Присоединим формально к
алгебре А единицу 1. Будем искать квазиобратный к х
в виде х' = ух + б, где у, б £ Z (А). Имеем
0 = х + х' — хх' = х + ух + б — ух2, — 8х =
= (1 + У ~ У* - б) х + (б - 7Р).
Решим следующую систему уравнений.относительно
неизвестных у и б:
1 + Y — Ya — 6 = 0,
б —yP = 0.

§ 4]
ТЕОРЕМА ЖЕВЛАКОВА
247
Складывая уравнения, имеем 1+7 — Уа — YP = 0>
откуда у (1 — а — Р) = —1. Но элемент а + Р квазирегу-
лярен, поэтому элемент 1 — а — |3 обратим. Значит,
у = -(1 - а - Р)"1 и 6 = -р (1 — а — Р)-1. Искомый
квазиобратный элемент найден, так как ух и б лежат
в алгебре А,
Следствие. В Ж-радикальной альтернативной
алгебре А всякий квадратичный над центром элемент
квазирегулярен.
Доказательство. Рассмотрим алгебру А# =
= Ф-1 + Л. Заметим, что для любого z £ Z (А)
множество (1 — z) А есть правый модулярный идеал алгебры А
и, значит, совпадает со всей алгеброй: (1 — z) А ~ А.
Следовательно, существует элемент z' £ А такой, что
(1 — z) z' = —z. Отсюда z + z' = zz = z'z и z* —
квазиобратный элемент к z. Ввиду следствия предложения 4,
z' £ Z (А) н центр Z (А) является квазирегулярным
кольцом. Остается воспользоваться леммой 14.
Лемма 15. Пусть С — некоторая алгебра К эли —
Диксона над полем F. Тогда для любых а, 6, х £ С имеет
место равенство
t ([а, Ь]2 х) = [аох, Ъ] [а, Ъ] — [х, Ъ] [а2, 6],
где t (у) — след элемента у.
Доказательство. Заметим, что по лемме 2.8
[а, Ъ]2 £ F, поэтому t ([а, Ъ]2 х) = [а, Ъ]2 t (х). С другой
стороны, в силу равенств (2.18) и (2.21) мы имеем
[аох, b] [а, Ь] — [х, Ъ] [а2, Ь] =
= t (а) [х, Ъ] [а, Ъ] + t (х) [а, Ъ]2 — t (а) [х, Ь] [а, Ъ] =
= t (х) [а, Ь]2.
Лемма доказана.
Лемма 16 (Ж е в л а к о в). Пусть алгебра А есть
подпрямая сумма колец Кэли — Диксона, Тогда в А есть
ненулевой квадратичный над центром идеал.
Доказательство. Пусть алгебра А —
подпрямая сумма колец Кэли — Диксона Ка. Если бы в А
выполнялось тождество [х, у]2 = О, то такое же тождество
выполнялось бы и во всяком кольце Кэли — Диксона i£a,
а следовательно, и в алгебре Кэли — Диксона Са =
= (ZJ)-1 Ка, где Za = Z (Ка). Но в произвольной алгебре
Кэли — Диксона С (|л, р, у) для базисных элементов
иг и у2 мы имеем [vx, v2]2 = (2i;xi;2 — v2)2 = — (S (4[л + 1) Ф

248
РАДИКАЛ ЖЕВЛАКОВА
[ГЛ. 10
ф0. Значит, в А найдутся такие элементы а, ft, что
[а, Ь]2 ф0. Пусть / — идеал в А, порожденный
элементом [а, Ь]2. Образ элемента [а, Ъ]2 при гомоморфизме
алгебры А на любое кольцо Кэли — Диксона Ка попадает
в центр Z (Ка), поэтому [а, Ъ]2 £ Z (А) и I = [а, Ь]2 А#.
Пусть х — произвольный элемент алгебры А#. Рассмотрим
элементы р = [а о х, Ъ] [а, Ъ] — [х, Ъ] [а2, Ъ] и q —
= ([а, Ь]2 х)2 — р([а, Ъ]2 х). При гомоморфизме на любое
кольцо Кэли — Диксона Ка в силу леммы 15 элементы
р и q переходят в Z (i£a), поэтому р и q принадлежат
Z (^4). Значит, ([а, Ъ]2 х)2 = р ([а, Ъ]2 х) + q, где р, q £
6 Z (^4), т. е. все элементы вида [a, b]2 х квадратичны над
центром. Следовательно, / — квадратичный идеал в А.
Лемма доказана.
Теорема 5 (Ж е в л а к о в). Радикалы Смайли
и Клейнфелда совпадают.
Доказательство. Если эти радикалы
различны, то в силу предложения 6 существует й^-радикальная
cf-полупростая альтернативная алгебра А, которая
является подпрямой суммой колец Кэли — Диксона.
По лемме 16 в А имеется ненулевой квадратичный идеал.
Однако этот идеал по следствию леммы 14 квазирегуля-
рен, что противоречит (^-полупростоте алгебры А.
Теорема доказана.
Таким образом, в классе альтернативных алгебр
имеется единственный аналог радикала Джекобсона. Этот
радикал будем в дальнейшем называть радикалом Жевлакова
и обозначать буквой ^.
Важную характеризацию радикала Жевлакова "f (А)
альтернативной алгебры А получил Маккриммон. Он
доказал, что радикал ty (А) состоит из тех и только тех
элементов z, для которых все элементы вида za (или az),
а £ А, квазирегулярны. Отсюда, в частности, следует,
что радикал Жевлакова альтернативной алгебры содержит
все ее односторонние квазирегулярные идеалы.
§ 5. Радикалы колец Кэли — Диксона
На протяжении этого параграфа К — кольцо Кэли —
Диксона, Z — его центр, Zx — поле частных кольца Z
и С = С (и., Р, у) = (Z*)-1 К — алгебра Кэли —
Диксона над полем Zx, являющаяся кольцом частных кольца К

5] РАДИКАЛЫ КОЛЕЦ КЭЛИ — ДИКСОНА 249
по мультипликативному подмножеству Z* = Z\{0}.
Напомним, что кольцо К изоморфно вкладывается в
алгебру С, и мы будем просто считать К подкольцом кольца С.
Сейчас мы начинаем подготовительную работу для
доказательства основного результата данного параграфа —
теоремы Жевлакова о ^-полупростоте конечнопорожден-
ных колец Кэли — Диксона.
Зафиксируем элементы а, Ъ кольца Кэли — Диксона
К такие, что [a, Ъ]2 =^0 (существование таких элементов
было показано при доказательстве леммы 16). Заметим,
что так как К ^ С, то для любого элемента к £ К
определены функции t (к) и п (к)\ однако значения этих
функций на элементах из К могутг вообще говоря, не
принадлежать Z (но обязательно принадлежат Zx).
Лемма 17. Для любых к, кг, . . ., кп £ К имеют
место включения:
1) [а, Ъ]2 t (к,) ... t (кп) 6 К;
2) [а, Ъ]2 п (к) 6 К;
3) [а, б]4 t (&х) . . . t (кп) п (к) 6 К.
Доказательство. Ввиду леммы 15, [а, Ъ]2 X
X t(kx) - t([a, Ь]2кг)^[аок{1 Ъ] [а, Ь]-[кг, Ъ][а2,Ъ]£К.
Тем самым' имеется основание для индукции по п.
Пусть уже доказано, что [а, Ъ]2 t (кг) . . . t (кт) £ К
при т <Сп для любых кг, . . ., кт £ К. Тогда в силу
(2.21) имеем
[а, Ь]Ч(кг) . . . *(&„_!) t(kn) -
- [а, b]2 t (кг) . . . t (кп_2) [t (кп-гкп) + t (Лп_х) К +
+ t (кп) кп_г — K^okJ е К,
т. е. 1) доказано.
Далее, [а, Ъ]2 п (к) = [а, Ь]2 (—к2 + t {к) к), откуда,
ввиду 1), следует 2).
Наконец, утверждение 3) очевидным образом следует
из 1) и 2).
Лемма доказана.
Пусть X — множество порождающих кольца Кэли —
Диксона К (как Ф-алгебры). Считая множество X
упорядоченным, обозначим через г^р (X) множество всех
правильных г^слов от X.
Алгебру Кэли — Диксона С мы можем рассматривать
как Ф-алгебру, полагая %-(z~lk) = z_1 (Хк) для X 6 Ф»

250
РАДИКАЛ ЖЕВЛАКОВА
[ГЛ. 10
z £ Z*, к £ К. Обозначим через Т (К) Ф-подалгебру центра
Zx алгебры С, порожденную множеством t (К) U п (К)
всех следов и норм элементов из К. Заметим, что если
Zx — поле характеристики ф2, то алгебра Т (К)
порождается множеством t (К), так как для любого х 6 К,
ввиду (2.18), норма и след связаны формулой 2п (х) =
= (t (х)Г - t (*»).
Лемма 18. В качестве множества порождающих
Ф-алгебры Т (К) можно взять множество У = Уг [} У2,
где Уг = t (rJP (X)) — множество всех следов элементов
из г^р (X), а У2 — п (X) — множество всех норм
элементов из X.
Доказательство. Обозначим Ф-алгебру,
порожденную множеством У, через Г0. Нам нужно
доказать, что п (/с), t (к) £ Т0 для любого к £ К. Ввиду
соотношения п (ху) = п (х) п (у), мы получаем, что п (v) £ Т0
для любого неассоциативного слова v от элементов
множества X. Так как п (х + у) = п (х) + п (у) + / (ж, у) и по
(2.8) / (ж, у) = t (х) t (у) — t (ху), нам остается доказать,
что t (к) £ Г0 для любого к £ К.
Мы докажем, что для любого неассоциативного слова v
от элементов множества X имеет место равенство
v=±(v) + %aivi+a, (1)
i
где a, at £ Г0, vt — правильные т^-слова длины
меньшей, чем v. Напомним, что (v) обозначает для
полилинейного слова v правильное т^-слово того же состава, что и v\
если же v не полилинейно, то (v) = 0. Ясно, что из (1)
будет вытекать нужное нам утверждение.
Будем доказывать соотношение (1) индукцией по
длине d (v) слова v. Очевидно основание индукции: d (v) = 1.
Пусть теперь d (v) = п > 1, и все слова меньшей длины
допускают представление в виде (1). Будем писать v ='v'',
если d (v) = d (i/) и v — i/ = 2 atvt + a-> гДе a> at 6
i
£ T0, vt — правильные гуслова длины меньшей, чем п.
Рассмотрим вначале случай, когда v является ^-словом:
У^*Ч'_32' " ' "' Xir)' Если xh < xh < ' •' < Xin> то
v = (у), и доказывать нечего. Пусть теперь я* ^ х%
для некоторого к <С п. Если я,- = ^ , то, ввиду (2.18),

§ 5] РАДИКАЛЫ КОЛЕЦ КЭЛИ ~ ДИКСОНА 251
мы имеем
V — \Х\^ . . . , Х\^, %ifl+i') • • •' ^*п' ~ \^*^» ' ' • »^*ь* " " " ' ^*n' ~
== ^*fc' ^V • • •' ^г^' ' • '' ж*п'
откуда по предположению индукции z; = 0. Так как
в данном случае (у) = 0, то v представимо в виде (1).
Если же xi} 4 < xt , то, ввиду (2.21), мы имеем
— (Ж14, .. ., zift+l, zift, .. ., xin) =
= t(zih)(zii,...,xih_i,Zih+i,...,zin) +
+ t (Xik+i) (xit> • • • » *V xik+2i • • ' >*tn> +
+ (*K+1^ft)-*K+1)*K))x'
X (ач4, .. ., Xiki, Xih+2, . .., Zin> —
— (ач4, .. ., a?ift+4, #ift, . .., ^n),
откуда по предположению индукции
V^ \X%^ . . . , ^ife+1? ^г^' • • • ' X*n''
Повторяя, если необходимо, данный процесс, ввиду его
строгой монотонности, мы через конечное число шагов
получим, что v = ± (у), т. е. v представимо в виде (1).
Пусть теперь слово v произвольно, v = v±v2. По
предположению индукции ух = ± (Vj), у2^± (v2) и у =
= ± (v1)(v2). Представим слово (v±) в виде: (ух) =
= и^, где ж$ £ X, ux — либо правильное ту-слово длины
d (vi) — 1» либо и± = 1 (если d (ly) = 1). В силу (2.21)
мы имеем
(щх^ (v2) = —(щ (v2)) xt + и± ((v2)oXi) =
= —(ui (У2>) xi + t «У2» U±Xi + t (xt) щ (v2) +
+ (t ((v2) zt) - t ((v2)) t (Xi)) uK
Так как {v2xt) — ту-слово, то по доказанному выше и по
предположению индукции t ((v2) xt) 6 Т0. Следовательно,
по предположению индукции имеем
v = ± (им) (v2) = =F (иг <у2» хг = ± (их (v2)) хи

252
РАДИКАЛ ЖЕВЛАКОВА
[ГЛ. 10
откуда по доказанному выше слово v представимо в
виде (1).
Лемма доказана.
Следствие. Если кольцо Кэли — Диксона К
является конечнопорожденной Ф-алгеброй, то Ф-алгебра
Т (К) также конечнопорождена.
Действительно, в этом случае, ввиду конечности
множества X, множество rji* (X) также конечно.
Представим теперь алгебру Кэли — Диксона С =
— С (ja, р, у) в виде С (ja, Р, у) = К (\i) + К ((а)1, (см.
§ 2.5); тогда каждый элемент к £ К можно записать в виде
к =Х0 + Vi + к\ где Я,0, Хг £ Zx, к' £ К (ja)J-, v1 -
базисный элемент алгебры Кэли — Диксона такой, что
v\ = v1 + ja.
Лемма 19. Существует такой элемент а £ Z*,
что для любого к £ К, представленного в виде к =- Х0 +
+ XiVi + k', верно включение аХ0 6 Т (К).
Доказательство. Пусть vL — z~xk для
некоторых элементов z 6 Z*, к £ К. Покажем, что в качестве
искомого элемента а можно взять z2 (1 -f- 4ja). Мы имеем
z2vx 6 К и z2^ 6 ^Г, откуда и z2\x £ ^- Пусть теперь к —
произвольный элемент из -К, к = Х0 + л^ + /с', где
А,0, Хг 6 ^i, Л' 6 -К" (м*)1. Мы имеем t (к) = 2Х0 + Хг. Далее,
ки± = Х0иг + %± (и± + ja) + k'v±, откуда t (ки±) = Х0 +
+ А,х (1 + 2(a). Из полученных соотношений легко
следует, что (1 + 4(lx) А,0 = (1 + 2ja) t (к) — t (киг).
Следовательно,
аХ0 = z2 (1 + 4(a) Х0 = ^ (1 + 2(a) * (Л) - Л (%) -
- * ((z2 + 2z2it) к) - t(k (г2иг)) £ Т (К).
Лемма доказана.
Положим теперь Т (а) =-- а [а, б]4 Т (К), где а —
элемент из леммы 19 и а, 6 — фиксированные элементы
из i£, для которых [а, б]2 =^= 0 (а следовательно, и [а, б]4 =^=
^ 0). Ввиду леммы 17, [а, б]4 Г (К) ^ if, поэтому
Т7 (а) е= ссТ^. Кроме того, по лемме 19 а [а, Ь]к £ ^ (^0,
поэтому Т (а) д= Т7 (/£) и, как легко видеть, 7" (а) является
ненулевым идеалом Ф-алгебры Т (К). Обозначим теперь
через К (а) идеал Ф-алгебры аК, порожденный
множеством I (а); тогда К (а) = Т (а) -(аК)^.
Лемма 20. Z (К (а)) = Т (а).

§ 5] РАДИКАЛЫ КОЛЕЦ КЭЛИ — ДИКСОНА 253
Доказательство. Ясно, что Т (а) ^ Z (К (а)),
Пусть теперь z£Z(K(a)), х = 2 ть (akt)-\- 2 tJ, где %ь
г г
т\£Т(а), kt£K. Так как 2T'i6^(a)> то нам остается
г
рассмотреть элемент х' = 2 тг (а^д- Заметим, что х' =
г
г
По следствию 1 теоремы 9.4 и теореме 9.3 мы имеем
включения Z (К (а)) ^ Z (а К) <= Z (К) = Z ^ Zu откуда
х' £Zi. Представим элементы kt в виде kt = Xi0 -)- Хци{ -\~ к\,
где %i0, %a^Zu /c-eK(ji)1; тогда ж'= 21 т£ (аЯ£0) +
i
+ 12 тг (а^н)] vi + 2 Ti (а/q). Так как х' £ Z1? то мы имеем
г г
2 т* (с^н) = 2 тг (a^i) = 0иг =^ 2 Ti (a^io)- По лемме 19
г i г
aXi0£T(K) для всех i, откуда Tt (aXi0) £Т (а) и х' £Т(а).
Лемма доказана.
Напомним, что коммутативное ассоциативное кольцо
с единицей Ф называется кольцом Джекобсона, если любой
его простой идеал является пересечением некоторого
семейства максимальных идеалов. Класс колец
Джекобсона весьма широк, ибо всякая конечиопорожденная
Ф-алгебра с единицей, где Ф — кольцо Джекобсона, будет
снова кольцом Джекобсона. (Этот результат,
используемый нами в доказательстве следующей теоремы,
содержится с полным доказательством в книге Бурбаки Н.,
Коммутативная алгебра, «Мир», 1971, стр. 419.) Ввиду того,
что кольцо целых чисел Z есть кольцо Джекобсона, то
и всякое конечнопорожденное
ассоциативно-коммутативное кольцо будет кольцом Джекобсона. Отметим, что
в кольцах Джекобсона радикал Джекобсона совпадает
с нижним ниль-радикалом.
Теорема 6 (Ж е в л а к о в). Всякое кольцо Кэли —
Диксона К, конечнопорожденное как Ф-алгебра над кольцом
Джекобсона Ф, является f -полупростым.
Доказательство. Пусть f (К) Ф (0).
Рассмотрим в кольце К идеал аК и в кольце аК идеал К (а),
где а — элемент из леммы 19. По предложению 9.3 кольца
аК и К (а) также являются кольцами Кэли — Диксона.
В силу наследственности радикала Жевлакова и первич-

254
РАДИКАЛ ЖЕВЛАКОВА
[[ГЛ, 10
ности колец К и аК мы имеем f {olK) = ty (К) f] olK Ф
ф (0) и f (К (а)) = К(а)[] f (аК) ф (0). По
предложению 9.3 мы вновь получаем, что "f (К (а)) — кольцо
Кэли - Диксона. Но тогда Z (f (К (а)) = f (К (а)) П
П Z (К (а)) Ф (0) и Z (f (К (а))) — ненулевой идеал
в Z (К (а)) = Т (а). В силу следствия предложения 4 этот
идеал J^-радикален, поэтому f (Т (а)) Ф (0). В силу
наследственности радикала ty мы теперь имеем f (Т (К)) з
3 f (Т (а)) Ф (0), так как Т (а) — идеал Ф-алгебры
Т (К). По следствию леммы 18 алгебра Т (К) является
конечнопорожденной алгеброй над кольцом Джекобсона
Ф и, следовательно, как отмечалось выше, сама есть
кольцо Джекобсона. Отсюда следует, что 'f (Т (К)) —
ниль-идеал, и поэтому JT (Т (а)) = JT (Z (К (а))) Ф (0).
Однако центр Z (К (а)) кольца Кэли — Диксона К (а)
не содержит нильпотентных элементов. Полученное
противоречие доказывает теорему.
В заключение этого параграфа мы выясним, как
устроен радикал матричной алгебры Кэли — Диксона
С (Ф) над произвольным ассоциативно-коммутативным
кольцом Ф.
Теорема 7. f (С (Ф)) = С (f (Ф)).
Доказательство. Пусть х — произвольный эле-
2 3
мент из C(f(Q>)), *= Ц аиен+ 2 («ЙМУ + <)е^)> гДе
&нч av^ 6 f (Ф)i еи-> е$ — матричные единицы Кэли —
Диксона. Непосредственная проверка показывает, что
x2 = t(x) х — п(х), где t(x) = atl -fa22, п(х)~ап022 —
з
— 2 а12)а21}- Следовательно, алгебра С (f- (Ф)) квадра-
k=i
тична над своим центром f- (Ф). По лемме 14 отсюда
следует, что алгебра С (ty (Ф)) квазирегулярна. Так как
С (^ (Ф)) — идеал алгебры С (Ф), то тем самым доказано,
что C(f(<D))<=f(C(<D)).
2
С другой стороны, пусть x£f(C (Ф)), х= 2 а>цец +
г=1
3^
+ 2 (^(гМ^ + ^пМ^)- Нам нужно доказать, что тогда
Ыи, а^С'^ (Ф). Докажем вначале, что а^£|^(Ф). Пусть
а, р — произвольные элементы из Ф. Рассмотрим элемент

Литература g
255
(аец)х($ен) = (аац$)ец. Так как x£f(C(Q>)), то
и (аайр)еа £f- (С (Ф)). Если я' —квазиобратный элемент
для (аац$)ец, то легко видеть, что х' = уцец, где -y^f —
тсвазиобрахныш элемент для аа^Р в кольце Ф. Таким
образом, элемент аа^р является квазирегулярным для
любых а, Р^Ф, т. е. элемент ait порождает в кольце Ф
квазирегулярный идеал. Значит, а^£^(Ф). Далее, для
любого а £ Ф мы имеем х (oLeff) = а£$а£ц + а^ае^ -\-
з
+ ^1 PiiM^ Для некоторых р$} 6 Ф. Так как х (aeff) 6
(=^(С(Ф)), то по доказанному выше atya^f (Ф), откуда
а$}Ф^^(Ф) и a-f^f-^). Тем самым доказано, что
x£C(f(Q>)).
Теорема доказана.
Следствие. Существует ty-радикальное кольцо
Кэли — Диксона.
Действительно, пусть Ф — квазирегулярное кольцо
без делителей нуля (например, кольцо формальных
степенных рядов без свободных членов). Тогда матричная
алгебра Кэли — Диксона С (Ф) является кольцом Кэли —
Диксона — мы предлагаем читателю убедиться в этом
самостоятельно,— и при этом f (С (Ф)) = С (f- (Ф)) =
= С(Ф).
Упражнения
1. Пусть К — кольцо Кэли — Диксона с центром Z. Доказать,
что f-(K)= (0) тогда и только тогда, когда f- (Z) = (0).
Указ ание. Если 0 Ф% £ $ (Z) и / — квадратичный над Z
идеал кольца К, то идеал zl квадратичен над квазирегулярным
кольцом zZ s J£ (Z).
2. Пусть К — кольцо Кэли — Диксона. Доказать, что
множество
/ = {а е К | t (ak) 6 К для любого к £ К#)
является наибольшим квадратичным над центром идеалом кольца К.
Указание. При доказательстве того, что / — идеал,
воспользоваться соотношениями (2.22).
3. В условиях предыдущего упражнения доказать, что [х, у]2,
[[#» у], Л 6 I для любых элементов х, у, z £ К.
ЛИТЕРАТУРА
Джекобсон [46], Жевлаков [72—75], Желябин [81], Клейнфелд
[95], Маккриммон [132], Смайли [215], Шестаков [269, 271, 273].

ГЛАВА 11
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР
Теория представлений алгебр состоит из двух
взаимосвязанных частей: теории правых и левых представлений
и теории бипредставлений. В хорошо развитой теории
ассоциативных алгебр роль представлений несомненно
значительнее роли бипредставлений, в то время как
в неассоциативном случае до недавнего времени в
основном использовалась концепция бипредставления алгебр,
восходящая к Эйленбергу. Исключения составляют
различные многообразия коммутативных и
антикоммутативных алгебр, где, по сути дела, понятия представления
и бипредставления совпадают.
В настоящей главе мы вводим понятия правого
представления и правого модуля для алгебр произвольного
многообразия 5Щ. Основной нашей целью является
получение характеризации радикала Жевлакова произвольной
альтернативной алгебры в терминах теории представлений,
аналогичной известной характеризации радикала Дже-
кобсона в ассоциативном случае. Мы изучаем свойства
неприводимых правых альтернативных представлений
и модулей. Оказывается, что каждый такой модуль
является либо «ассоциативным справа», либо «ассоциативным
слева». Это позволяет нам охарактеризовать примитивные
альтернативные алгебры как алгебры, обладающие
точными неприводимыми модулями. В силу результатов
предыдущей главы отсюда легко выводится нужная нам
характеризация радикала Жевлакова.
Результаты данной главы получены Жевлаковым,
Слинько и Шестаковым.

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 257
§ 1. Определения и предварительные результаты
Пусть V —к некоторый Ф-модуль. Через Т (V) мы
будем обозначать тензорную алгебру Ф-модуля V (см.
Ленг С, Алгебра, стр. 470):
27(F)=o.i0F(i)e ...ш7(г)е...,
где V(r) = V ® . . . ® V (тензорное произведение,
взятое г раз). Напомним, что всякий гомоморфизм Ф-модулей
ф: V -»- W индуцирует однозначно определенный
гомоморфизм тензорных алгебр Т (ф): Т (V) ->■ Т (W) такой,
что Т (ф) (1) = 1 и Т (ф) (vx ® . . . ® vr) = ф (у/) (2) . . .
. . . <8> ф (vr) для любых i;x, . . ., vr 6 V. Отсюда, в
частности, следует, что^всякое Ф-линейное отображение
ф: V -*~В модуля V в ассоциативную алгебру В с
единицей 1 индуцирует однозначный гомоморфизм
ассоциативных алгебр Т (ф): Т (V) -+В такой, что Т (ф) (1) = 1
и Т (ф) (vx ® . . . ® vr) = ф (i^) . . . ф (i;r)j для любых
vx, . . ., vr 6 F.
Пусть теперь Ж — некоторое многообразие Ф-алгебр
и Ф$л = Ф^де [X] — свободная алгебра в многообразии
Ш от счетного множества порождающих X = {хг, х2, . . .}.
Рассмотрим тензорную алгебру Т (Фэд) модуля Ф^.
Элементы алгебры Ф^ мы будем обозначать буквами
/, g, h, . . ., а элементы тензорной алгебры Т (Ф$л) —
буквами F, G, Я, . . . Пусть F (х19 . . ., хп) 6 Т (<%),
F(xi9 ...,хп) =
= a-l + S/ii)(«i» --.,а;п)® ... toffifa, ..., sn).
г г
Если А — некоторая алгебра из многообразия $i и а1? ...
. . ., ап £ ^4? то через F (а1? . . ., ап) мы будем
обозначать следующий элемент тензорной алгебры Т (А):
F(ai9 ..., ап) =
= a-l + S/ii)(«i» ...,«n) ® ... ®/^(а1? ..., ап).
г
Если ф: Ф^ ->А — гомоморфизм, Ф-алгебр такой, что
Ф (ж*) = а„ « = 1,2 п,иГ (ф): Г (<%) -> Г (Л) -
индуцированный гомоморфизм тензорных алгебр, то легко
видеть, что F (а19 . . ., ап) = Т (ф) (F (#1? . . ., яп)).

258 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 11
Пусть теперь р: A -^End0 (М) — некоторое Ф-линей-
ное отображение алгебры А в алгебру эндоморфизмов
Ф-модуля Ми Т (р): Т (А) ^Еп(1ф(М) —
индуцированный гомоморфизм тензорной алгебры Т (А). Элемент
F (хъ . . ., хп) тензорной алгебры Т (Фэд) будем называть
тождеством отображения р, если Т (р) (F (а1? . . ., ап)) =
= 0 для любых а1? . . ., ап 6 А. Иначе говоря,
элемент F (х19 . . ., хп) = а Л + 2 f[l) (х19 . . ., Хп) ® . . .
i
. . . ® /(i) (хх, . . ., #п) является тождеством отображе-
ния р, если для любых а1? . . ., ап £ А
аЯм + 2 [/^К • • .^п)]Р • • • l/n.Vi, • •., а»)]Р = 0,
г
где i?M — тождественный эндоморфизм модуля М. В этом
случае будем также говорить, что отображение р
удовлетворяет тождеству F (х±, . . ., хп).
Например, если F (хг, х2) = хг ® х2 — х±х2, то
отображение р: А ->■ End0 (М) удовлетворяет тождеству
F (хг, х2), если &№ — (ahy = О для любых а, Ъ z А.
Рассмотрим теперь Ф-линейное отображение R алгебры
Ф$% в алгебру эндоморфизмов Ф-модуля Ф^, ставящее
в соответствие элементу / £ Ф^ оператор правого
умножения Rf. Пусть Т (R): Т (Фш) -> End (Фэд) —
индуцированный гомоморфизм тензорной алгебры. Ядро
Ker Т (R) этого гомоморфизма обозначим через /^ и
назовем идеалом R-тождеств многообразия ЭД}. Элементы
идеала Isjji будем называть R-тождествами
многообразия Ж.
Если Ф-линейное отображение р: A -^Endo(M)
удовлетворяет всем 7?-тождествам многообразия Ж, то будем
называть р правым представлением алгебры А в
многообразии Ш (правым Ш-представленйем). В этом случае
Ф-модуль М с билинейной композицией т-а = ттшр,
т £ М, а £ А, будем называть правым модулем для
алгебры А (А-модулем) в многообразии Ш.
Ядром представления р называется множество
КеГр (А) = {а £ А | ар = 0}. Через Кр (А) мы обозначим
наибольший идеал алгебры А, содержащийся в Кегр (А).
Представление р (модуль М) называется точным, если
КеГр (А) = (0), и почти точным, если Кр (А) = (0).

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 259
Естественным образом, как и в ассоциативном случае
[46], определяются также понятия подмодуля и
неприводимого модуля {представления), а для алгебр с единицей —
понятие униталъного модуля {представления).
Пусть по-прежнему А — алгебра многообразия Ш.
Обозначим через /^ [А] идеал тензорной алгебры Т {А),
состоящий из элементов вида F (а1? . . ., ап), где F (хх, . . .
. . ., хп) £ I$ft, ац . . ., ап £ А. Рассмотрим фактор-алгеб-
РУ &Ш (А) = Т (А)/1$х [А] и отображение &\ А ->■
->■ M$ft{A)i переводящее а £ А в смежный класс а +
+ I$ft[A] 6 Msjji {А). Образ элемента а при
отображении М будем обозначать через Ма- Единицу алгебры
$>Ш (А) обозначим через 1.
Предложение 1. Отображение р: А ->■
->- Endo(M) является правым Ш-представлением алгебры
А в том и только в том случае, когда существует
гомоморфизм ф: Msjji {А) -+ЕпАф {М) такой, что ф(1) =
= Ем и М о Ф = р, т. е. следующая диаграмма
коммутативна:
А р—Еги1ФИ
Доказательство. Ясно, что всякое
отображение вида А —> M<$i {А) —> End0(M), где ф —
гомоморфизм, является правым ^-представлением алгебры А.
Обратно, пусть р: A -^End0(M) — некоторое правое
•^-представление. Отображение р индуцирует
гомоморфизм ассоциативных алгебр Т (р): Т {A) -^End0(M),
при котором Т (р) (1) = Ем. По определению правого
представления имеем /^ [А] ^ Ker Т (р), т. е.
отображение Т (р) постоянно^ на каждом смежном классе по
IffftlA]. Полагая теперь ср (F + 1$п [А]) = Т (р) {F) для
любого F б Т (А), мы получим искомый гомоморфизм ф:
Муц {A) -^Endo(M). Предложение доказано.
Алгебру M^i {А) назовем универсальной алгеброй для
правых представлений алгебры А в многообразии ЯЛ.

260 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ4 11
Предложение 1 дает нам возможность свести изучение
представлений неассоциативной алгебры А к изучению
представлений ассоциативной алгебры М$л (А). Мы можем
всякий правый Л-модуль в многообразии Ш
рассматривать как правый ассоциативный Мщ (Л)-модуль. При
этом легко видеть, что правое ^-представление
р: аЯ^ш(А)->ЕпАф(М)
неприводимо тогда и только тогда, когда ф —
неприводимое представление алгебры Msjji (А).
Докажем одно важное свойство Ж-представлений.
Лемма 1. Пусть А — алгебра из многообразия Ш
и р: А ->- Endo(M) — правое Ш-представление
алгебры А. Пусть, далее, В — идеал алгебры А, содержащийся
в Кегр (А). Тогда отображение р: A -^End0(M) алгебры
А = А/В, определенное по правилу р (а + В) = р (а),
является правым Ш-представлением алгебры А.
Доказательство. Нужно проверить, что
отображение р удовлетворяет всем тождествам из 1^. Пусть
F (хг, . . ., хп) е /диэ
Г \Х±, ...» Хп) =
= а-1 -f 2 № (*i. • • •. *п) ® • • • ® fn\(«i. • • •. хя).
г
Тогда для любых элементов аг, . . ., ап £ А, ввиду того,
что отображение р удовлетворяет тождеству F (х1у . . .
. . ., хп), мы имеем
Т(р) (F(ai + B,...,an + B)) =
= аЕм+%[^ (ai + B, ..., an + B)]Z ...
г
••• [fn\{a1 + B, ...,an + 5)]P =
= «£м + Е[/|{)(«1. ...,an) + 5]P ...
... [fn\{au ...,о„) + Вр =
= <xEM+2l [/<*> (аь ..., an)f ... [/«> («!,..., an)f =
г
= Г(р) (F(olf ...,а„)) = 0,

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 261
т. е. отображение р удовлетворяет тождеству F (хг, . . .
. . ., хп). Лемма доказана.
Для того чтобы узнать, является ли отображение
р: A -vEndo (М) правым Ж-представлением, совсем не
обязательно проверять для отображения р все 7?-тож-
дества многообразия Ж. Нужно проверить лишь те
Д-тождества, из которых все остальные следуют.
Рассмотрим эту ситуацию с формальной точки зрения.
Пусть Q0 — множество всех эндоморфизмов алгебры
Фэд. Каждый эндоморфизм ср из Q0 индуцирует
единственный эндоморфизм Т (ср) тензорной алгебры Т (Фдя).
Обозначим через Q множество всех эндоморфизмов алгебры
т (фзя) виДа Т (ф), гДе Ф 6 £V Идеал алгебры Т (Фэд),
переходящий в себя при всех эндоморфизмах из Q,
называется Q-характеристическим идеалом.^
^"П редложение 2. Идеал 1у# является Q-характе-
ристическим идеалом алгебры Т (Фэд).
Доказательство. Пусть F (хъ . . ., хп) =
= «-1 + S /i*> («i, • • ., хп) ® • • • ® /<„'>.(*!, • • -, *») €
г 1
6 Isfii и Т (ср) — эндоморфизм алгебры Г (Фэд),
индуцированный эндоморфизмом ср алгебры Фэд. Пусть ср (xt) =
= i/j, i = l,2, . . ., п. Нам нужно показать, что
Т (ср) (F (я?!, . . ., хп)) = F (г/!, . . ., уп) £ 1Ш. Так как
/s^ = Ker Т (R), то мы имеем
0 = T(R)(F(xu ...,*„)) =
.*„>
д
/(i>^ ...
из этого равенства
Ввиду того, что Фэд — свободная алгебра, а х
. . ., хп — свободные порождающие
следует, что
T(R)(F(yu -.-,Уп)) =
!•>
R
= 0,
т. е. F (г/!,
доказано.
уп) 6 Ker Т (R) = /,
9}?'
Предложение

262 {ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 11
Всякую систему порождающих идеала 1$$ как Q-харак-
теристического идеала мы назовем системой определяющих
R-тождеств многообразия Ж.
Предложение 3. Подмножество {F^ (хъ . . .
. . ., хп )} ^ Isffi является системой определяющих
R-тождеств многообразия Ш тогда и только тогда, когда для
всякой алгебры А из Ш любое Ф-линейное отображение
р: A ->End0(M), удовлетворяющее всем тождествам из
{Fa}, является правым Ш-представлением алгебры А.
Доказательство. Пусть {Fa (хг, . . ., хп )} —
система определяющих /?-тождеств многообразия ЭД1,
т. е. идеал /^ как fi-характеристический идеал
порождается множеством {Fa {хъ . . ., хПа)}. Легко видеть,
что Ism как обыкновенный идеал порождается элементами
вида Fa(y1, . . ., уПа), где уг, . . ., уПа — произвольные
элементы алгебры Ф^. Если отображение р удовлетворяет
всем тождествам из {Fa {хъ . . ., хп )}, то оно
удовлетворяет и всем тождествам вида Fa (уъ . . ., уп ), а
следовательно, и всем тождествам из 1$%. Значит, р является
правым Ш-представлением алгебры А.
Обратно, пусть всякое отображение, удовлетворяющее
всем тождествам из [Fa (хх, . . ., хп )}, является правым
^-представлением. Предположим, что Й-характеристи-
ческий идеал <F, порожденный множеством [Fa (хг, ...
. . ., хп )}, строго содержится в /^. Рассмотрим алгебру
А = Т (Фдя)/^ и отображение
р: Ф^ Л Т (Фдя) Л А Л End0 (М),
где Т — вложение, т — канонический гомоморфизм, a i —
некоторое изоморфное представление ассоциативной
алгебры А. Отображение р удовлетворяет всем тождествам из
{Fa (хъ . . ., хПа)} и по условию является правым
5Щ-представлением алгебры Ф^. Однако этого не может
быть, так как отображение р не удовлетворяет некоторым
тождествам из 1$#. Полученное противоречие доказывает,
ЧТО Ф = Iffl.
Предложение доказано.

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 263
Вопрос о нахождении системы определяющих Д-тож-
деств многообразия ТО часто оказывается довольно
сложным, даже если нам известны определяющие тождества
многообразия ТО. Например, до сих пор неизвестно
ни одной системы определяющих 7?-тождеств для
многообразия альтернативных алгебр. Неизвестно даже,
существует ли такая конечная система. Вообще неясно,
обладает ли всякое конечно базируемое многообразие (т. е.
многообразие, заданное конечным числом определяющих
тождеств) конечной системой определяющих Д-тождеств.
В случае многообразия Ass ассоциативных алгебр
легко видеть, что /ass как fi-характеристический идеал
порождается одним элементом F (хг, х2) = хг <8> х2 —
— хгх2. Легко находится также система определяющих
Д-тождеств для всякого многообразия ТО коммутативных
или антикоммутативных алгебр, если нам известны
определяющие тождества многообразия ТО (см. упражнения).
Покажем теперь, что всякая алгебра из многообразия
ТО обладает достаточно большим запасом правых ТО-пред-
ставлений.
Пусть алгебра А является подалгеброй некоторой
алгебры В из многообразия ТО. Обозначим через Rf(A)
подалгебру алгебры End0(J5), порожденную множеством
RB(A) и тождественным эндоморфизмом Ев.
Предложение 4. Пусть отображение RB: A ->-
->- RB(A) переводит а £ А в оператор правого умножения
RB = Ra £RB(A), ср — произвольный гомоморфизм
алгебры RB(A) в алгебру End0(M) такой, что ф (Ев) = Ем,
р = Ёвоц) — композиция отображений RB и ф:
р: А ——> R?(A) Д Endo(M).
Тогда р является правым Ш-представлением алгебры А.
Доказательство. Достаточно проверить, что
отображение RB удовлетворяет всем Д-тождествам
многообразия ТО. Пусть F (хг, . . ., хп) = а -1 + 2 f^K^, . . .
г
. . ., хп) ® . . . ® fn] Oi, . . ., хп) е ■%. По
определению идеала /эд это значит, что в алгебре End (Фэд) верно
соотношение
aEa>m + Y, Rf«), . • • • Rf(i)(x х ч =0-

264 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 11
Так как Фэд — свободная алгебра и х1, . . ., хп —
свободные порождающие, из этого равенства следует, что
для любых &!,..., Ъп £В в алгебре End0(S) верно
соотношение
аЕв + 2 R (i) ... Я (i) п=0.
Иначе говоря, отображение R: В -^End0(5), ставящее
в соответствие элементу b £ В оператор правого
умножения R ъ, удовлетворяет тождеству F. Так как отображение
RB: A -+RB(A) является ограничением отображения R
на А, то оно также удовлетворяет тождеству F.
Предложение доказано.
Правые представления алгебры ЩА, определенные
в предложении 4, будем называть правыми регулярными
Ш-представлениями.
Соответствующая универсальная алгебра существует
и для класса правых регулярных -JJl-представлений. Для
произвольной алгебры А из Ш рассмотрим алгебру С =
= С (А) 6 <Jtt» являющуюся свободным ^-произведением
(см. Мальцев А. И., Алгебраические системы, стр. 306)
алгебры А и свободной однорожденной алгебры Ogj? [х]
многообразия 9Л: С = Фдде [х] *$$А. Обозначим
подалгебру R^(A) через R^(A), отображение Rc через R*
и тождественный эндоморфизм Ее — через 1.
Предложение 5. Отображение р: А ->-
->- End<p (М) является правым регулярным Ш-представ-
лением алгебры А тогда и только тогда, когда существует
гомоморфизм ф: R^ (А) ->- Endo (М) такой, что ф (1) =
= Еф и р = R* о ф, т. е. следующая диаграмма
коммутативна:
А—Г— Епс1ф(М)
Д о"к азательство. Достаточно доказать, что
для всякой алгебры В из Ш, содержащей А в качестве
подалгебры, существует гомоморфизм a|):"7?f (А) ->-
->End0(£) такой, что я|> (Ес) = Ев и RB=Rcoty.
Искомый гомоморфизм г|) будет существовать, если из

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 265
справедливости в End0(C) соотношения
aEc + %Rca.Rca.2...Rca.h=0 (1)
всегда следует справедливость в End0(S) соотношения
где а^Ф, ац 6 А. Докажем, что это условие всегда
выполнено.
Соотношение (1) влечет справедливость в С равенства
ах + х 2 <Х, ... Д?„. = 0. (3)
| И «^ ■■■■ ■- 1Н I
Далее, для любого Ъ 6 В существует гомоморфизм алгебры
Ф$Л [х] в В, переводящий х в й. По определению
свободного -^-произведения тогда существует гомоморфизм Ф
алгебры С в В, который тождествен на А и переводит
х в 6. Применяя гомоморфизм О к равенству (3), мы
получаем равенство
г *
откуда в силу произвольности Ъ следует (2).
Предложение доказано.
Алгебра R^ {А), как легко видеть, единственна с
точностью до изоморфизма. Назовем ее универсальной
алгеброй правых умножений алгебры А в многообразии Ж.
Образ элемента а £ А при отображении R* будем
обозначать через i?*.
Следствие. Следующие два условия эквивалентны:
1) всякое правое Ш-представление алгебры А регулярно;
2) алгебры ??дде (^4) и 7?|# (А) изоморфны.
Доказательство очевидно, ввиду
предложений 1 и 5.
f Во многих классических многообразиях алгебр все
правые представления являются регулярными. Например,
если Ж = Ass — многообразие ассоциативных алгебр,
то легко видеть, что ^?Ass (А) ^ i?*ss (А) & А# для
любой алгебры А 6 Ass. Все правые ?Ш-представления
являются регулярными и в случае, когда Ш — какое-
либо многообразие коммутативных или антикоммутатив-

266 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 11
ных алгебр (см. упражнения). В то же время в
многообразии Alt альтернативных алгебр существуют правые
представления, не являющиеся регулярными (см. [214]).
Заметим еще, что для регулярных представлений аналог
леммы 1, вообще говоря, неверен (см. [214]).
В заключение этого параграфа мы покажем, что еще
одним из источников правых ^-представлений являются
5Я-бипре д став л ения.
Пара отображений (|ш, v) алгебры А из многообразия
Ш в алгебру эндоморфизмов End0 (М) модуля М
называется бипредставлением алгебры А в многообразии Ж
(Ш-бипредставлением), если расщепляемое нулевое
расширение S = А + М алгебры А с ядром М, т. е.
прямая сумма модулей А и М с умножением
(а{ + т{) (а2 + т2) = т&\ + тга\ + а4а2,
принадлежит многообразию Ж. В этом случае модуль М
с билинейными композициями а-т = та^, т-а = mav,
т £ М, а £ А, называется бимодулем для алгебры А
(А-бимодулем) в многообразии Ш. Отображение |ш: А -*•
-*• End<£ (М) называется левой компонентой бипредставле-
ния (|и, v), a v — правой компонентой.
Предложение 6. Для всякого Ш-бипредставле-
ния (|ш, v) алгебры А из многообразия Ш правая
компонента v этого бипредставления является правым
регулярным ^-представлением алгебры А.
Доказательство. Пусть (|ш, v) — бипредстав-
ление алгебры А в алгебре Епс1ф(М), и пусть S = А +
+ М — соответствующее расщепляемое нулевое
расширение. По условию алгебра S принадлежит
многообразию 5Я; кроме того, А является подалгеброй алгебры S.
Наконец, для любых а £ А, т £ М мы имеем mav —
= т-а = тЩ, откуда легко следует, что существует
гомоморфизм" ф: Rs (A) ->End0(7lf), для которого v =
= Rs о ф. Тем самым все доказано.
Упражнения
1. Доказать, что если многообразие 50? унитарно замкнуто,
то отображение ffi: А -*■ fflyft (А) является инъективным для
всякой алгебры А из 3D?.

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 267
2. Доказать, что если SO?! ^ 90?2, то существует эпиморфизм
<р: M^i {А) ->- <Йуц (А), для которого <р (1) = 1 и следующая
диаграмма коммутативна:
ЕА
А > А
3. Доказать, что для всякого гомоморфизма т: А -+ А' алгебр
из многообразия Ш существуют единственные гомоморфизмы
5Нт): Л^(Л)^ЛШ(АГ) и R*(%): Rfa (А)-> Rfa (А')
соответствующих универсальных алгебр такие, что ^ (т) (1) = 1,
i?* (т) (1) = 1 и следующие диаграммы коммутативны:
А > А' А > А'
3l(%) J?*(T)
Мш (A) > £Rn {A>) Rfa (A) > Rh (A')
4. Пусть 3D? — однородное многообразие Ф-алгебр.
Доказать, что для всякой алгебры А из 9D? и для любого расширения К
кольца операторов Ф имеет место следующий изоморфизм:
■% (К ®ФА)~К ®ф &ш (А).
5. Алгебра А называется правоалътернашивной, если в алгебре
А^ верно тождество
l(xy) z] у = х [(yz) у].
Пусть А — правоальтернативная алгебра, р: А ->- Епс1ф (М) —
Ф-линейное отображение, удовлетворяющее тождествам
F fo) - хг ® хг - xl (4)
G (xv х2) = хг (g) х2 0 хг — (#!#2) я^. (5)
Доказать, что р является правым регулярным правоальтернативным
представлением алгебры А.
Указание. Доказать, что пара отображений (0, р)
является правоальтернативным бипредставлением алгебры А,
6. Доказать, что в качестве системы определяющих Я-тождеств
для многообразия R Alt правоальтернативных алгебр можно
взять тождества (4), (5).
7. Доказать, что для всякой конечномерной правоальтерна-
тивной алгебры А универсальная алгебра Л? (А) для правых право-
альтернативных представлений алгебры А также конечномерна.
8. Пусть А — ассоциативная алгебра. Доказать, что всякий
левый ассоциативный А -модуль является правым
правоальтернативным А -модулем.

268 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 11
9. Пусть 30? — некоторое однородное многообразие
коммутативных или антикоммутативных алгебр. Тогда для всякой алгебры А
из 50? и для любого ^-представления р алгебры А пара
отображений (р, р) в коммутативном случае и (—р, р) в антикоммутативном
случае является 9)?-бипредставлением алгебры А.
10. Пусть / = / (#!, . . ., хп) — некоторый однородный
элемент свободной коммутативной или свободной антикоммутативной
алгебры F. Произвольную частичную линеаризацию первой
степени элемента / можно записать в виде
для подходящих элементов m\j (хъ . . ., хп) свободной алгебры F.
Сопоставим элементу / следующие п элементов Tt (/), i = 1, . . ., п>
тензорной алгебры Т (F), полагая
k h
Пусть теперь некоторое однородное многообразие 50?
коммутативных или антикоммутативных алгебр задано системой однородных
тождеств {/а (#!, . . ., хпа) | а £ А). Тогда в качестве гсистемы
определяющих JR-тождеств многообразия 50? можно взять систему
{Tt(fa)\ < = 1 па; а£А}.
§ 2. Представления композиционных алгебр
В этом параграфе мы будем изучать свойства
неприводимых альтернативных модулей над композиционными
алгебрами.
Прежде всего заметим, что достаточно ограничиться
унитальными модулями.
Лемма 2. Пусть А — альтернативная алгебра
с единицей 1. Тогда всякое неприводимое альтернативное
представление алгебры А унитально.
Доказательство. Заметим вначале, что, ввиду
тождества правой альтернативности и правого тождества
Муфанг, идеал JAlt альтернативных Д-тождеств содержит
следующие тождества:
F (хг) = хх ® хх — х\, (4)
G (хъ х2) = хг ® х2 ® хг — х1х2х1. (5)
Пусть теперь р — неприводимое представление алгебры
A"hlM — соответствующий неприводимьиГА-модуль/
Рассмотрим множество М0 — {т — тА \т £М}. Из /?-тож-
дества (4) и его линеаризации следует, что для любых

§ 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПОЗИЦИОННЫХ АЛГЕБР 269
а, Ъ £ А мы имеем (ар)2 = (а2)р,^ар ° Ьр = (а ° Ь)р. Теперь
для любого а £ Л мы имеем (т — т -1) -а = т -а +
+ (т -а) • 1 — т • (а о 1) = {т -а) • 1 — т- а £Мц, откуда
следует, что М0 является подмодулем модуля М. Если
М не унитален, то М0 Ф (0) и, ввиду неприводимости,
М0 = М. Далее, (т — т -1) Л =.тЛ — т-I2 = 0 для
любого ттг £ М, поэтому МЛ = (0). Наконец, ввиду
Л-тождества (5), для любых a, b £ А мы имеем (abaY =
= aPbvaP, поэтому т-а = m-(ial) = ((ттг-1)-а)-1 = 0 для
любых т (i М, a Z А. Значит, М-А = (0), что
противоречит неприводимости М. Лемма доказана.
Пусть А — альтернативная алгебра, М —
альтернативный А -модуль. Для a, b £ А, т £ М мы положим
(ттг, а, Ь) — (т-а)-Ь — ттг-(аЬ),
{ттг, а, Ь} = (т-а)-Ь — ттг-(Ьа).
Многие из доказываемых в этом параграфе
утверждений справедливы одновременно и для композиции (ттг, а, Ь),
и для композиции {ттг, а, &}. В связи с этим мы введем
общее обозначение [т/г, а, Ь] для этих трилинейных
композиций. Естественно, что все выражения [т/г, а, Ь],
встречающиеся в одной формуле или на протяжении
одного фиксированного доказательства, означают только
какую-то одну из композиций (ттг, а, Ь), {ттг, а, &}.
Лемма 3. Для любых а, & g Л, ттг £ М верны сооттг-
ношения
[ттг, а, а] = 0, (6)
{(ттг, а, Ь), а, Ь} = 0, (7)
({т/г, а, &}, а, Ь) = 0. (8)
Доказательство. Соотношение (6) вытекает
из 7?-тождества (4). Соотношения (7) и (8) можно вывести
из известных нам тождеств, справедливых в
альтернативных алгебрах (см. лемму 7.9), но мы докажем их сейчас
независимо. Докажем, например, (8). Ввиду
линеаризованного соотношения (6), нам достаточно доказать, что
({ттг, а, &}, &, а) = 0. В силу 7?-тождеств (4) и (5) и их
линеаризации, для представления р, соответствующего

270 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ. il
модулю М, мы имеем
(a%p~(baf)(bpap~(baf) =
= а%%9а9 - {baf If а9 - а%9 (ba? + (baf (baf =
=-- (ab2af - {{ba) ba + ab (ba))» + (babaf = 0,
откуда следует (8). Аналогично доказывается (7). Лемма
доказана.
Модуль М мы назовем ассоциативным справа (слева),
если М обладает такой системой порождающих элементов
{ть}, что (ти а, Ъ) = 0 (соответственно {mt, а, Ь} = 0)
для любого mt £ {ттгг} и любых а, Ь £ Л.
Мы хотим доказать, что всякий неприводимый
альтернативный модуль над композиционной алгеброй либо
ассоциативен справа, либо ассоциативен слева.
Далее в этом параграфе всюду А — композиционная
алгебра над полем F, М — неприводимый альтернативный
Л-модуль. Заметим, что по лемме 2 модуль М является
унитальным Л-модулем.
Лемма 4. Для любых а, Ъ £ А, т £ М верны
соотношения
[т, а, ab] = а [т, а, b] -а + $t (а) [т, а, Ь], (9)
[т/г, а, Ьа] = а' Ы, а, Ь] -а + $'t (а) [т, а, Ь], (10)
где £ (а) — след элемента а; а, а', р, Р' — некоторые
элементы поля F.
Доказательство. Рассмотрим вначале случай,
когда [, ,] есть (, ,). По тождеству Муфанг имеем
(ттг, a, ab) = (т, а, Ъ) -а, что доказывает (9). Далее,
(тга, а, Ьа) = — (ттг, а, аЬ) + (^, а2, Ъ) = ~(т, а, Ь) -а +
+ (w, а2, Ь). В силу квадратичности Л над F для любого
а £ Л имеем
а2 = * (а) а — л (а)-1, (11)
где £ (а) — след элемента а, га (а) — норма элемента а,
п (а), * (а) б F. Следовательно, (m, a2, b) = t (а) (т, а, Ь) —
— гс (а) (ттг, 1, Ь) = £ (а) (т/г, а, Ь) и (ттг, а, ba) =
= — (т/г, а, Ь)-а + £ (а) (т/г, а, Ь), что доказывает (10).
Пусть теперь [, ,] означает операцию {, ,}. Тогда
имеем {т, a, ab} = (m-a) -(ab) — m-(aba) = —[m'(ab)\-a+
+ т-[а о (аЬ)] — m-(aba) ={т, 6, а}-а — [(ттг-Ь).а]-а +

§ 2] |ПРЕДСТАЬЛЕНЙЯ КОМПОЗИЦИОННЫХ АЛГЕБР 2?1
+ т-(а2Ъ) = — {т, а, Ъ) -а — (т-Ь) -а2 + т-(а2Ь) =
= — {ттг, а, Ь} -а — {т, Ь, а2} = — {т, а, Ь} -а —
— t (а) {т, Ь, а} + п (а) {т, Ь, 1} = — {тп, а, Ъ)-а +
+ £ (а) {т, а, 6}, т. е. (9) доказано. Далее, {т, а, Ъа) =
= (ттг • а) -{Ъа) — иг-(6а2) = — [т-(Ъа)] -а + т-[а о (Ъа)] —
— т • (Ъа2) = {иг, а, Ь} • а — [(т?г • а) • Ь] • а + ттг • (aba) =
= {т/г, а, &}-а, что доказывает (10).
Лемма доказана.
Следствие 1. Пусть [т, а, 6] = 0. Гог<9а
[т, а, аб] = [т/г, а, 6а] = 0.
Следствие 2. Пусть а, ух, у2, у3 g Л, т £ М.
Тогда, если [т, vh Vj] = 0 Злл любых г, ; € {1» 2, 3}, то
[т, vu vjvk] = ± [т, ylf уау8], (12)
а если [т/г, a, уг] = [т, а, у^] = 0 для любых г, у £
6 {1, 2, 3}, тгго
[иг, а, (у^^) yft] = ± [in, а, (у^) у3], (13)
[in, а, У| (vjvk)] = ± [иг, а, (у^) у8] (14)
для любой перестановки (ijk) символов 1, 2, 3.
Доказательство. Соотношение (12) легко
вытекает из линеаризованных соотношений (9), (10) и условий
следствия. Для доказательства соотношений (13) и (14)
предварительно заметим, что в алгебре А верно
соотношение
ЪсЪ = t (be) b + n(b)c- t(c)n (b) .1. (15)
Действительно, в силу (И) и (2.21) имеем
ЪсЪ = (Ъ о с) Ъ — сЪ2 =
= lt(b)c + t(c)b-t (b) t(c) + t (be)] b~c[t(b)b~ n(b)] =
= t(c)b2 - t (b) t(c)b + t (be) b + n(b)c =
= t (be) b + n(b)c — t(c)n (b) .1.
Теперь из (И) и (15) следует
[т, a, b2] = t (b) [т, а, Ь],
[т, а, ЪсЪ] = t (be) [т, а, b] + п (b) [т% а, с].

272 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 11
Линеаризуя эти соотношения, ввиду условий следствия,
мы получаем
[т, a, vt о {vjvk)] = О,
[ттг, а, {vtVjVk}] = О,
откуда в силу предложения 5.3 легко следуют
соотношения (13) и (14).
Следствие доказано.
Лемма 5. Пусть А = Q ([л, (i) — алгебра
обобщенных кватернионов. Тогда М либо ассоциативен справа,
либо ассоциативен слева.
Доказательство. Нам достаточно доказать,
что в М найдется ненулевой элемент т/г, для которого
[т, А, А] = (0). Действительно, тогда множество т-А =
= {т-а | а £ А} будет являться ненулевым подмодулем
в М, совпадающим с М в силу его неприводимости,
и в качестве соответствующей системы порождающих
элементов можно взять систему, состоящую из одного
элемента т. В алгебре А = Q ([л, Р) существуют такие
элементы ух, у2, что базис А над F состоит из элементов 1,
*>i> у2» yiy2 (см- § 2.4). Пусть т £ М, тфО. Если
(ттг, ух, у2) = 0, то по следствию 1 леммы 4 (ттг, Л, ^4) =
= (0), и все доказано. Пусть теперь т± = (т/г, ух, у2) =й= 0-
Тогда по соотношению (7) имеем {7%, v±, v2} = 0, откуда
вновь по следствию 1 леммы 4 {тт^, Л, Л} = (0). Лемма
доказана.]
Рассмотрим теперь случай, когда А = С ([л, Р, y) —
алгебра Кэли — Диксона. В этом случае в А можно
выбрать такие элементы ух, i;2, у3, что базис А над F
составляют элементы 1, иъ уа, у3, у^» yiys» y2ys» (у1уг) vz
(см. § 2.4).
Лемма 6. Пусть для некоторого 0 Ф т £ М и любых
£, у £ {1, 2, 3} выполнены соотношения [т, vt, Vj] = 0.
Тогда М ассоциативен справа либо слева.
Доказате ль с т в о. Рассмотрим два возможных
случая.
1. [т, у1э уау8] = 0.
Покажем, что в этом случае [т/г, Л, А] = (0). В силу
(12) и по следствию 1 леммы 4 имеем [т/г, у^, VjVh] = 0.
Теперь, ввиду соотношения (6), нам достаточно установить

2] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПОЗИЦИОННЫХ АЛГЕБР 273
равенства
[т, vt, (vxv2) v3] = 0, (16)
[т, vtvh ViVh] = 0, (17)
[т, vtVj, (vxv2) vs] = 0. (18)
В силу (13) и следствия 1 леммы 4 имеем
[т, vh (v±v2) v3] = ± [т, vh (VjVh) vt] = О,
т. е. (16) доказано. Далее, ввиду линеаризованного
соотношения (10), имеем
[т, vtVj, ViVh] = —[т, vh, v^JptVj)] = —[т, vh, v2tVj] =
= —t (vt) [m, vk, ViVj] + n (v^ [m, vk, Vj] = 0,
т. е. и (17) доказано. Наконец, применяя (17), (13) и
следствие 1 леммы 4, получаем
[т, vtvh (v±v2) v3] = ±[т, vtvj9 (vtVj) vh] = 0,
что доказывает (18). Итак, в случае 1 имеем [ту А, А] =
= (0), откуда, как и при доказательстве леммы 5, следует
утверждение леммы.
2. [т, vx, v2v3\ = т1 ф 0.
Покажем, что в этом случае [т±, А, А]\ = (0), где
через I, ,]' обозначена та из трилинейных композиций
(, ,), {, ,}, которая отлична от [, ,]. В силу (12) и
линеаризованных (7), (8) имеем
= zh 11^, vh vjvh], vh vjY =
= +11^, vh vj], vh vjvkY — 0.
Далее, ввиду (7) и (8), получаем
[т±, vl9 v2vsY =* [[m, v±, v2v3\, vx, v2v3Y =* 0.
Теперь по уже рассмотренному случаю 1 имеем [muA,AY=*
= (0), откуда следует утверждение леммы^ и в случае 2.
Лемма доказана.
Теперь может быть доказана1
Т е о р ем а 1. Всякий неприводимый альтернативный
модуль над композиционной алгеброй либо ассоциативен
справа, либо ассоциативен слева.

2?4 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 11
Доказательство. Из соотношения (6) и уни-
тальности модуля М легко следует, что в случаях А = F
и А = К (|х) модуль М является правым ассоциативным
модулем. Ввиду леммы 5, нам остается рассмотреть
случай, когда А = С ((х, (5, у) — алгебра Кэли — Диксона.
Выберем в А элементы vl9 v2, v3, для которых множество
{1, vl9 v2, v3, v±v2, v±v3, v2v3, (v±v2) v3} образует базис A
над F. По лемме 6 достаточно доказать, что найдется
ненулевой элемент т £ М такой, что [т, vt, Vj] = 0 для
любых £, у £ {1, 2, 3}. Пусть т £ М, т Ф 0. Если
(т, vh Vj) = 0 для всех г, /, то доказывать нечего,
поэтому можно считать, например, что т1 = (т, vl9 v2) Ф 0.
Заметим, что в силу (7)
{ти vl9 v2} = {(т, vl9 v2), vl9 v2) = 0. (19)
Если {m^ vl9 v3} = {m^ v2, v3} = 0, то все доказано,
поэтому мы можем считать, например, что т2 = {mly v±,
vs} ¥* 0. В силу (8) и его линеаризации и ввиду (19)
имеем
(т2, vx, v3) = ({тъ vx, и3}, vl9 v3) = 0, (20)
(т2, vl9 v2) = ({mu vl9 v3}, vl9 v2) =
= —({™ъ vl9 v2], vl9 v3) = 0. (21)
Если еще и (m2, v2, u3) = 0, то все доказано.
Предположим, что т3 = (т2, v2, v3) Ф 0. Применяя соотношение
(7) и его линеаризацию, в силу (20) и (21) мы получаем
{т3, v2, v3) = {(т2, v2, v3), v2, v3) = 0,
{m3, vl9 v2) = {(m2, v2, v3), vx, v2) =
= ~ {(™2> *>2> l>l), V3, V2) = 0,
{m3> vx, v3} = {{m2, v2, v3), vl9 v3) =
= —{(^2, v±, vB), v2, v3) = 0.
Итак, в любом случае модуль М содержит ненулевой
элемент т, удовлетворяющий условию леммы 6. Теорема
доказана.
Упражнения
1. Доказать, что всякий ассоциативный слева правый модуль
над ассоциативной алгеброй А является левым ассоциативным
Л-модулем. (Это в какой-то мере объясняет введенный нами термин
«ассоциативный слева».)

§ з1 НЕПРИВОДИМЫЕ^АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МОДУЛИ 275
2. Доказать, что алгебра обобщенных кватернионов Q (ц, Р)
обладает в точности двумя неизоморфными неприводимыми правыми
альтернативными модулями. Оба эти модуля регулярны, причем
один из них ассоциативен справа, а другой — ассоциативен слева.
Указание. Для построения ассоциативного слева модуля
над алгеброй Q (jx, |3) применить к алгебре Q (fi, |3) процесс Кэли —
Диксона и рассмотреть подпространство vQ (jx, (3).
3. Пусть С = С (fi, р, у) — алгебра Кэли — Диксона.
Обозначим через Reg С и Reg С правые С-модули, получающиеся
введением на векторном пространстве М — С соответственно
следующих действий алгебры С: если т £ М, с £ С, то
т'С = тс для модуля Reg С,
т*с = тс для модуля Reg С,
где через та обозначено произведение элементов т и а в алгебре
Кэли — Диксона С. Доказать, что Reg С и Reg С являются
неприводимыми неизоморфными правыми правоальтернативными С-моду-
лями (см. упражнение 5 к § 1); при этом Reg С ассоциативен справа,
a Reg С — ассоциативен слева.
Ясно, что модуль Reg С является регулярным альтернативным
С-модулем. Является ли альтернативным модуль Reg С, неизвестно.
Используя описание альтернативных С-бимодулей, можно
доказать, что модуль Reg С не является регулярным альтернативным
С-модулем.
4. Доказать, что всякий неприводимый правый правоальтерна-
тивный С-модуль изоморфен либо Reg С, либо Reg С.
§ 3. Неприводимые альтернативные модули
Перейдем теперь к рассмотрению произвольных
неприводимых альтернативных модулей. Ниже всюду А —
альтернативная алгебра, f (А) — ее радикал Жевлакова,
р — правое альтернативное представление алгебры А,
М — ассоциированный с представлением р правый А-мо-
дуль.
Лемма 7. Если представление р неприводимо, то
фактор-алгебра А/Кр (А) первична.
Доказательство. Пусть сначала В, С —
идеалы алгебры А такие, что ВС + С В s К9 (А) и 5^
$ Кр (А). Рассмотрим множество М-В = {^ аьтгЪь \
г
at £ Ф, mt 6 М, bt 6 #}. Для любого а £ А мы
имеем (тгЬь)-а = —{mra)<bi +mr(ao bt) £M-B,
откуда следует, что М*В — подмодуль А -модуля М. Так
как В с£ Кр (А), то М*В Ф (0), откуда, ввиду
неприводимости М, следует, что М*В = М. Допустим теперь, что

276 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 11
С с£ Кр (А). Тогда найдутся элементы Ъ £ В, с £ С такие,
что (М-Ъ)-сф (0). Заметим, что (т-Ь)-с = —(т-с)-Ь +
+ т-(с о Ъ) = —(т-с) -Ъ для любого т £ М, т. е.
(М-Ь) -с = (М-с) -Ъ. Далее, в силу линеаризованного
Л-тождества (5) для любых а ^ А ж т ^ М мы имеем
[(т -Ъ) -с] -а = —[(т -а) -с] -Ъ + т-[(Ьс) а + (ас)Ь] =
= —[(т-а) -с] -6,
откуда следует, что (M-b)-c = (М-с)-Ь есть Л-подмодуль
модуля М. Ввиду неприводимости М, имеем М =
= (М-Ь)-с. Однако по тождеству Муфанг
М = (М.Ь)-с = {1(М.Ъ)-с]-Ъ}'С = [M-(bcb)].c = (0),
что противоречит неприводимости М. Значит, если ВС +
+ СВ <== Кр (Л), то либо В s Кр {А), либо С s Кр {А).
Пусть теперь ВС <= Кр (А). Тогда (5 f] С)2 <= £р (Л)
и по доказанному В [} С ^ Кр (А). Но тогда и С В ^
<= 5 П С s Я р (Л). Таким образом, ВС + СВ <=: Кр {А)
и, следовательно, либо В ^ Кр (А), либо С ^ Кр (А).
Лемма доказана.
Л е м м а 8. Если алгебра А обладает почти точным
неприводимым модулем М, то либо А — ассоциативная
первичная алгебра, либо А является кольцом К эли —
Диксона.
Доказательство. По предыдущей лемме
алгебра А первична. Если ЗА Ф (0), то все ясно, ввиду
следствия теоремы 9.9. Пусть теперь ЗА = (0). В силу
теоремы 9.11 нам достаточно доказать, что X (А) = (0).
Без ограничения общности мы можем считать, что ЗФ =
= (0), откуда 2-2 = 1 в Ф, т. е. в кольце Ф есть V2.
Следовательно, мы можем рассмотреть алгебру Л(+)
с умножением а® Ъ = V2 (ab + ba). Рассмотрим также
отображение 9t\ А -+(%ап (А) алгебры А в
универсальную алгебру 9iA\t (А)- Для любых а, Ъ £ А в силу Д-тож-
1 1
дества (4) мы имеем ^а0^ь = у®о0 ®ь = у®аоь =
= uAaQ)bi откуда следует, что отображение Й является
гомоморфизмом алгебр °Я\ Л(+) -^(J#Ait (А)У+)\ ПРИ этом
образом алгебры А(+) будет множество <%А = {6Аа \ а £
6 Л}. В частности, множество МА является подалгеброй
специальной йордановой алгебры {Мац (^))(+)» т« е«
°АА — специальная йорданова алгебра. Ясно также, что

§ 3] НЕПРИВОДИМЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МОДУЛИ 277
ассоциативной обертывающей для йордановой алгебры
9?л будет алгебра &АП (А).
Заметим теперь, что локально нильпотентный радикал
X (А) алгебры А является локально нильпотентным
идеалом алгебры Ai+\ Значит, его образ М%.А) при
эпиморфизме 3l\ Ai+)-+MA лежит в локально нильпотентном
радикале X (МА) йордановой алгебры №А. По теореме 4.5
%(Яа)=ЯаП%{Яап{А)), откуда следует, что Ма g
£Х (92'ап (А)) для любого а £ X (А).
Далее, пусть р — неприводимое почти точное
представление алгебры А, соответствующее А -модулю М.
По предложению 1 существует гомоморфизм ср
ассоциативной алгебры ^?ап (А) в алгебру ЕпАф(М) такой, что
р = "с$. о ф; при этом М является неприводимым
ассоциативным ^?au (^4)-модулем. Хорошо известно,, что в этом
случае X (92Ап (А)) ^ Кег ср. В' частности, 91 а £ Кег ф
для любого" а 6 %¥(А), откуда X (А) ^щКегр (А) и
X (A) s К, (А) = (0).
Лемма доказана.
Лемма 9. Пусть А —
ассоциативно-коммутативная алгебра. Тогда всякий неприводимый А-моду ль М
является правым ассоциативным А-модулем.
Доказательство. В силу линеаризованных
Л-тождеств (4) и (5) мы имеем для любых т £ М, а, Ь, с £ А
(т, а, Ь) -с = [(т -а) •&] -с — [т -(ab)] -с =
= — [(т-с) -b] -а + 2m-(abc) + (m-c)-(ab) — 2m-(abc) =
= —(т-с, 6, а) = (т-с, а, 6),
откуда следует, что подмножество (М, а, Ь) является
подмодулем А -модуля М. Если модуль М не является
ассоциативным, то (М, а, Ъ)Ф (0) для некоторых а, Ъ 6 А
и, ввиду неприводимости, (М, а, Ь) = М. Заметим, что
для любых т £ М, a, b £ А верно равенство (т, а, Ь) =
= {т, а, &}, поэтому в силу (7) или (8) имеем
((т, а, 6), а, Ь) = 0.
Но тогда М = (М, а, Ь) = ((М, а, 6), а, Ь) = (0).
Полученное противоречие доказывает лемму.
Обозначим 4epe3rarZ7VrAit идеал ZN (Alt [X]) свободной
альтернативной алгебры Alt [X] от счетного множества
порождающих X = {хь}, а для произвольной альтерна-

278 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 11
тивной алгебры А через ZNAn L4] — идеал алгебры А,
состоящий из элементов вида / (аи . . ., ап), где f (хг, ...
• • • » хп) 6 ZNMt, а±, . . ., ап £ А. Как легко видеть,
^AltUl = ШАп[А], А]А#.
Лемма 10. Если модуль М неприводим и не является
ассоциативным справа, то ZNA\t [А] ^ Кр (А). В
частности, в этом случае [iVAlt [А], А] ^ К9 (А),
Доказательство. Пусть и — произвольный
элемент из ZNAn, xt — порождающие, не входящие в и.
По лемме 7.5 в алгебре Alt [X] верно тождество
\\X-jU, х2, х3), х^, х5) = 0.
Отсюда следует, что для любых элементов a £ZNA\t [А],
&!, . . ., he А
а" (6? Щ - (ЪАГ) (Ь°з Ъ% - (ЬАТ) = 0. (22)
Если ZNA\i [А] <^z Кр {А), то существует такой элемент
а 6 ZNAn [А], что т-а ф0 для некоторого т £ М.
Возьмем элемент т-а в качестве порождающего элемента А-мо-
дуля М. Возможны два случая:
а) (т-а, Ъ, с) = 0 для любых Ъ, с 6 А;
б) существуют Ъ, с 6 А, для которых т1 = (т*а, Ъ, с)Ф
Выбирая во втором случае в качестве порождающего
элемента модуля М элемент тг, мы получаем, ввиду (22),
что в любом случае модуль М ассоциативен справа.
Полученное противоречие доказывает, что ZNA\t [А] ^ Кр (А).
Лемма доказана.
Лемма И. Пусть алгебра А обладает почти
точным неприводимым модулем М, не являющимся
ассоциативным справа. Тогда Z = Z (А)Ф (0), Z не содержит
делителей нуля алгебры А и кольцо частных Аг = (Z*)~M.
является либо алгеброй обобщенных кватернионов, либо
алгеброй Кэли — Диксона над полем частных Zx кольца Z.
Доказательство. По лемме 8 алгебра А
является либо ассоциативной алгеброй, либо кольцом
Кэли — Диксона. Так как для кольца Кэли — Диксона
утверждение леммы справедливо, остается рассмотреть
случай, когда А — первичная ассоциативная алгебра.
Заметим, что, ввиду леммы 9, алгебра А
некоммутативна. Кроме того, легко видеть, что алгебра А
невырождена. Следовательно, по теореме 9.6 NА\% [А] =^(0).Так

§ 3l НЕПРИВОДИМЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МОДУЛИ 279
как по лемме 10 [Nau [А], А] ^ К9 (А) = (0), то мы
получаем (0) ^=NAn [А] ^ Z (А), откуда Z = Z (А) ф
=^=(0). Ввиду первичности алгебры А, центр Z не
содержит делителей нуля алгебры А, и мы можем образовать
кольцо частных Ал = (Z*)~XA. По предложению 9.2 Ах
является первичной ассоциативной алгеброй и алгебра А
изоморфно вкладывается в Аг. Далее, условие NAu [А] ^
^ Z (А) эквивалентно выполнению в алгебре А
совокупности тождеств вида \п{хл, . . ., хт), хт+х] = 0, где
п (хг, . . ., хт) — произвольный элемент из Nau- Легко
видеть,1 что Nau — однородная подалгебра свободной
алгебры Alt [X], поэтому по предложению 9.2 все эти
тождества справедливы и в алгебре Аг. Значит, Nau t^J ^
^ Z (Ai) = Zv Пусть теперь / — произвольный
ненулевой идеал алгебры Аг. По следствию 1 теоремы 9.4 / также
будет первичной алгеброй. Если бы алгебра / была
коммутативной, то мы бы имели (0) ФI = Z (/) = / f| Zx ^
^ Z1? что невозможно, так как ZA —поле и Ал фZ1,
ввиду некоммутативности подалгебры А ^ Av Значит,
/ — некоммутативная первичная ассоциативная алгебра.
Ясно, что алгебра / невырождена, поэтому по теореме 9.6
мы получаем (0) фNAu 1Л ^ NAu Wl ^ Z1? откуда / П
П Zx ф (0) и / = Аг. Ввиду произвольности идеала /,
тем самым доказано, что алгебра Аг проста. Так как
Nau \A-s\ ^ Z {Ал) = Z1? то по теореме 7.5 алгебра Аг
является алгеброй обобщенных кватернионов"над полем Zv
Лемма доказана.
Теперь может быть доказана
Теорема 2. Пусть А — произвольная
альтернативная алгебра. Тогда всякий неприводимый альтернативный
А-модуль либо ассоциативен справа, либо ассоциативен
слева.
Доказательство. Так как всякий
неприводимый А -модуль М является почти точным неприводимым
А -модулем, где А = А/К0 (А), и при этом М
ассоциативен справа (слева) как А -модуль тогда и только тогда,
когда М ассоциативен справа (слева) как Л-модуль, то
нам достаточно рассмотреть почти точные неприводимые
А -модули. Пусть М — почти точный неприводимый
альтернативный Л-модуль. Можно считать, что М не является
ассоциативным справа, так как иначе доказывать нечего.
Тогда по лемме 11 Z ~ Z (А) Ф (0), и алгебра А изоморф-

280 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 11
но вкладывается в кольцо частных Ах = (Z*)~*4,
которое является либо алгеброй обобщенных кватернионов,
либо алгеброй Кэли — Диксона над полем частных Zx
кольца Z.
Рассмотрим множество N aw L4]. Для любого элемента
/ = / (хг, . . ., хп) 6 NAn мы имеем
/ ® ^п+1 — fan+Ь ^n+l ® f — Zn+JZlдм,
откуда для любых элементов ?г 6 ^Ait f^L а £ А
rfa9 — (па)9 = aQn° - (an)9 = 0.
Так как JVAlt [А] ^ Z (А), то окончательно получаем
npflp=(llfl)p=(flll)p = flpnp.
Таким образом, (NАп [А])р ^ % (М), где
j (М) = {а £ Endo (М) | [а, ар] = 0 для всех а £ 4}.
Множество J (М) называется централизатором А
-модуля М. Как легко видеть, ввиду неприводимости модуля М,
множество j (М) является телом (относительно операций
алгебры Endo (М)). По следствию 2 теоремы 7.4 для
любых элементов а, Ь 6 ^4 мы имеем (fa, Ь]4)р 6 Ъ (^Ю
и (гс2 (а, Ь))р 6 S (АО, где п2 (х, у) = [х, у]2 ([#, у] о [х, ух]).
Покажем теперь, что в центре Z алгебры А содержится
идеал I такой, что /р ^ J (М). Пусть вначале
характеристика тела $ (М) не равна двум. Выберем в алгебре А
пару элементов а, Ь, для которых [а, Ь]4 =^ 0 (см.
доказательство леммы 10.16). Для любого z 6 Z мы имеем
2 [a, bl4z = п2 (а + z, Ь) — гс2 (а, Ь), откуда ([a, b]4z)P 6
6 J (М), и в качестве идеала I можно взять идеал,
порожденный элементом [а, Ь]4. Если же характеристика тела
3 (М) равна двум, то выберем в А элементы а, Ь, для
которых п2 (а, Ь) ф 0. Такие элементы всегда существуют,
так как композиционная алгебра Аг, как легко видеть,
не удовлетворяет тождеству п2 (х, у) = 0. Мы имеем
п2 (а + az, b) = п2 (а, Ъ) + 5zrc2 (а, Ь) + 10z2 га2 (ач Ь) +
+ 10z3rc2 (а, Ь) + 5z4rc2 (a, Ь) + z5n2 (a, Ь) для любого
z 6 Z. Так как z4rc2 (a, b) = rc2 (a, zb) и z6rc2 (a, b) =
= ra2 (z#, Ь), то, ввиду условия на характеристику, отсюда
следует, что [zn2 (а, Ь)]р 6 8 (^0? и в качестве искомого
идеала / в данном случае можно взять идеал,
порожденный элементом п2 (a, Ь).

§ 3] НЕПРИВОДИМЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МОДУЛИ 281
Заметим, что ограничение отображения р на множестве
/ является гомоморфизмом алгебры /в ^ (М). Далее, как
легко видеть, для любого i 6 I П Кегр (А) мы имеем 1А ^
^ К0 (А) = (0), откуда i = 0 в силу первичности
алгебры А. Значит, I П КеГр (А) = (0), и мы можем
отождествить I с его образом /рв j (М). Так как $ (М) — тело, то
поле частных 1г кольца / также содержится в j (М).
Однако, как легко видеть, 1г = Z±. Следовательно, Zx с=
^ $ (М), и М можно рассматривать как векторное
пространство над полем Zx. Если мы теперь положим (z_1a)P ==
= 2~хаР, то, как нетрудно проверить, мы получим
альтернативное представление алгебры Аг в той же алгебре
Епс1ф (М). Ясно, что М неприводим и как .^-модуль.
По теореме 1 модуль М ассоциативен слева как Лх-модуль,
а следовательно, и как ^4-модуль.
Теорема доказана.
Докажем теперь, что примитивные альтернативные
алгебры — это в точности алгебры, обладающие точными
неприводимыми альтернативными модулями.
Лемма 12. Пусть альтернативная алгебра А
обладает почти точным неприводимым альтернативным
модулем М. Тогда А примитивна.
Доказательство. По теореме 2 модуль М либо
ассоциативен справа, либо ассоциативен слева. Допустим
первое. Пусть т — порождающий элемент модуля М
такой, что (ттг, х, у) = 0 для любых х, у £ А. Рассмотрим
множество (0:т) = {х £ А \ т-х = 0}. Как легко видеть,
(0:т) — правый идеал алгебры А. Далее, т-А = Му
поэтому в А существует элемент е, для которого т-е = т.
Пусть а — произвольный элемент алгебры А; тогда
т*{а — еа) — т-а — (т-е)-ац = т-а — т-а = 0, т. е.
а — еа £ (0:т). Тем самым доказана модулярность
правого идеала (0:т). Пусть теперь I — правый идеал
алгебры А, строго содержащий (0:т). Тогда т-1 — ненулевой
подмодуль модуля М и, следовательно, М = т-1.
Отсюда вытекает наличие в I такого элемента i, что m-i = т.
Мы имеем т-(е — г) =? 0, т. е. е — i £ (0:лтг) = 7, откуда
е £ 7 и I = А. Следовательно, правый идеал (0:т)
максимален. Заметим, наконец, что всякий двусторонний
идеал, содержащийся в (0:яг), аннулирует модуль М. Так
как модуль М почти точен, таких ненулевых идеалов
не существует, и алгебра А примитивна.

282 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР . [ГЛ. 11
Пусть теперь модуль М не является ассоциативным
справа. Тогда он ассоциативен слева, а алгебра А по
лемме И изоморфно вкладывается либо в алгебру
обобщенных кватернионов, либо в алгебру Кэли — Диксона.
В модуле М существует порождающий элемент т такой,
что {т, х, у) = 0 для любых х, у £ А. Рассуждая по
аналогии с предыдущим случаем, легко проверить, что
множество (0:лтг) является в этом случае максимальным
модулярным левым идеалом, не содержащим ненулевых
двусторонних идеалов алгебры А, т. е. в данном случае
алгебра А примитивна слева. По теореме 10.1 тогда А есть
либо алгебра Кэли — Диксона, либо примитивная слева
ассоциативная алгебра. В первом случае по следствию
леммы 10.3 алгебра А примитивна. Во втором случае А
является подалгеброй алгебры обобщенных кватернионов
и по следствию леммы 2.8 удовлетворяет существенному
полиномиальному тождеству [[х, г/]2, z] = 0. Хорошо
известно (см., например, [252, стр. 151]), что тогда А
является конечномерной простой алгеброй над своим
центром. В частности, А примитивна справа.
Лемма доказана.
Следствие. Всякий почти точный неприводимый
альтернативный модуль является точным.
Доказательство. Пусть М — почти точный
неприводимый альтернативный модуль для
альтернативной алгебры А. Тогда М ассоциативен справа либо слева
и имеет вид М = т-А для некоторого элемента т £ М,
а алгебра А есть либо алгебра Кэли — Диксона С, либо
ассоциативная примитивная алгебра. Так как алгебра С
не содержит собственных односторонних идеалов, то
в первом случае мы имеем (0:т) = (0), откуда следует,
что а £ Кегр (С) тогда и только тогда, когда Са = (0) или
аС = (0), в зависимости от того, ассоциативен М справа
или слева. Так как таких элементов в алгебре С нет, то
мы получаем в этом случае, что Кегр (С) = (0), и модуль
М точен. Если же алгебра А ассоциативна, то М является
обычным правым или левым ассоциативным Л-модулем.
В каждом из этих случаев ядро Кегр (А) является
идеалом алгебры А, поэтому Кегр.(4) = К9 (А) = (0), и
модуль М точен. Следствие доказано.
Теорема 3. Альтернативная алгебра А является
примитивной тогда и только тогда, когда А обладает

§ 3] НЕПРИВОДИМЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МОДУЛИ 283
точным неприводимым регулярным альтернативным
модулем.
Доказательство. Ввиду леммы 12, нам
остается показать, что всякая примитивная альтернативная
алгебра А обладает точным неприводимым регулярным
альтернативным модулем. Пусть / — максимальный
модулярный правый идеал алгебры А такой, что I == (0).
Тогда А и I являются правыми регулярными
альтернативными Л-модулями (относительно обычного умножения
справа на элементы из А), и таковым же является фактор-
модуль М = А/1. Ввиду максимальности правого идеала
/, модуль М неприводим. Если а £ А, то М-а = (0) тогда
и только тогда, когда Аа ^ /, откуда по предложению 10.2
Кегр (А) = (Г.А) = I = (0), и модуль М точен. Теорема
доказана.
Теперь мы можем доказать основной результат этой
главы.
Теорема 4 (Жевлаков, Слинько,
Шест а к о в). Пусть А — альтернативная алгебра, ty (А) —
ее радикал Жевлакова. Пусть, далее Рх — множество
всех неприводимых правых альтернативных представлений
алгебры А, Р2 — множество всех регулярных
представлений из Рх. Тогда
ЯЛ)=ПКегр(А)==ПКегр(Л).
PGPl PGP2
Доказательство. Пусть р £ Рх; тогда по
лемме 12 и ее следствию Кегр (А) = Кр (Л), и фактор-алгебра
Л/Kerp (А) примитивна. Значит, Кегр (А) является
примитивным идеалом алгебры А. По теоремам 10.5 и 10.2
радикал ty (А) равен пересечению всех примитивных
идеалов алгебры А. Таким образом,
^(Л)е?ПКегр(Л).
PEPl
Пусть теперь / — примитивный идеал алгебры А.
Алгебра А = А/1 примитивна и по теореме 3 обладает
точным неприводимым регулярным модулем М. Пусть
ф: А -»- А — канонический гомоморфизм и р: А -*•
->- Еюс1ф (М) — представление алгебры А,
соответствующее модулю М. Тогда легко видеть (см. упражнение 3

284 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 11
к § 1), что отображение фор: A -v End0 (М) является
регулярным неприводимым альтернативным
представлением алгебры А; при этом Кегфор (А) = /. Мы доказали,
что всякий примитивный идеал алгебры А является ядром
некоторого неприводимого регулярного представления.
Следовательно,
\~}KeTp(A)<=f(A).
Р6Р2
Окончательно мы получаем
Т(А) = Г\ Кегр (А) = П Kerp (A) ^f (А),
OGPl pGP2
откуда следует утверждение теоремы.
Теорема доказана. v. -
Следствие. Следующие включения для
альтернативной алгебры А эквивалентны:
1) a£f(A);
2) mtf(Rln(A));
3) Sta€f(JlMt(A)).
Для доказательства достаточно напомнить, что
альтернативный ^-модуль М (регулярный А -модуль М) является
неприводимым тогда и только тогда, когда М —
неприводимый ассоциативный 9?Alt (^4)-модуль (соответственно
R\n (Л)-модуль).
Упражнения
Регулярное представление р алгебры А вида
р: A-^Rf (А)^>ЕпАф(М)
назовем вполне регулярным.
1. Доказать, что для любой альтернативной алгебры А
Г(А)=Г)Кег9'(А),
реРз
где Р3 — множество всех вполне регулярных представлений
алгебры А.
2. Доказать, что включения а £ f- (А) и Ra £ f (R (А))
эквивалентны.
ЛИТЕРАТУРА
Джекобсон [44, 46], Жевлаков [76], Маккриммон [118], Слинь-
ко и Шестаков [214], Шестаков [273], Эйленберг [282].
Результаты о представлениях йордановых алгебр: Джекобсон
[44, 47], Осборн [165].

rjl А В A 12
АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ С УСЛОВИЯМИ
КОНЕЧНОСТИ
Один из классических разделов теории алгебр —
структурная теория алгебр с различными условиями
конечности. Первым крупным успехом этой теории и
отправной точкой для всех дальнейших исследований явились
структурные теоремы Веддербёрна, описывающие строение
конечномерных ассоциативных алгебр над произвольным
полем. В дальнейшем наблюдалось две тенденции. Одна
из них привела к отказу от ассоциативности и созданию
Цорном и Шафером структурной теории конечномерных
альтернативных алгебр. В рамках другой осуществлялся
переход к бесконечномерным ассоциативным алгебрам
и кольцам с различными условиями на структуру идеалов.
Так, Артин распространил теоремы Веддербёрна на
кольца с условиями максимальности и минимальности для
правых (левых) идеалов. Затем Нётер и Гопкинс показали, что
для справедливости доказанных Артином теорем
достаточно одного условия минимальности. Эти результаты
давно стали классическими и вошли в ряд монографий.
В дальнейшем обе теории были объединены Жевла-
ковым в одну единую теорию — теорию альтернативных
алгебр с условием минимальности, включающую в
качестве частных случаев теории Цорна — Шафера и Арти-
на — Нётер — Гопкинса. В этой главе мы получим
результаты Жевлакова, применив развитую в
предыдущих главах общую теорию.
§ 1. Альтернативные алгебры с условием
минимальности для двусторонних идеалов
Пусть А — альтернативная алгебра, X и Y — ее
подалгебры. Введем обозначения: (X, Y)1=X-Y и (Х,У)А+1=
= (X, Y)h.Y.

286
УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ
£гл, 12
Лемма 1. Пусть Bui — идеалы альтернативной
алгебры А, удовлетворяющей условию минимальности для
идеалов, содержащихся в В. Тогда существует такое
число к, что
(В, I)k «= ВР.
Доказательство. Рассмотрим цепочку идеалов
В => (В, I), э ... Э (В, 1)т = . . .
Все ее члены, начиная с некоторого, который мы
обозначим через В', равны между собой, т. е.
(В, 1)п = (В, 1)п+1 = ...=£'.
Пусть В' <5= В Р. Тогда множество идеалов {/},
удовлетворяющих следующим трем условиям:
а) / д= В, б) /J = /, в) / £ 5/2,
непусто, так как В' £ {/}. В силу условия минимальности
в этом множестве существует минимальный идеал С
Ввиду того, что CI = С, найдется такой элемент г £ /, что
Сг cj= ВР. Зафиксируем этот элемент г и рассмотрим
множество D = Сг + #^2- Докажем, что D — идеал в А.
Будем писать х = у, если х — у £ J5/2. Пусть с £ С,
а; 6 /, а 6 4. Тогда
Цся) г] а = — [(са) г] х + с [(хг) а + (аг) х] =
= — [(са) г] х = [(са) я] г — (са) (ar + гх) =
= [(са) х] г £ Сг,
т. е. [(С/) г] а £ Сг + ВР. Но С/ = С, и потому D -
правый идеал в А.
Далее, для любых с £ С, х, у ^ I
у (сх) у = — у [(су) х] = — (усу) х + (у, су, х) =
= —у[с (ух)] + (у, с, ху) = О,
поэтому
хсх = О,
(хс) у + (ус) х = х (су) + у (сх) = 0.

§ 1]
Условие минимальности
287
Отсюда для всех с £ С, ж, у 6 Л я 6 ^4 имеем
а {[(су) ж] г} = — а {[(су) г] я} =
= а [(хг) (су)] — {[а (су)] г) х — [(ах) г] (су) =
= — а {у [с (хг)]} + {[а (су)] х) г + у {с [(ах) г]} =
•= {[а (су)] х}геСг.
Так как (CI) I = С, то а (Сг) <= Сг + ВР и D — левый
идеал в А.
Итак, D — идеал в А. В то же время Dr ^ ВР.
Следовательно, D' = D П С фС. Поэтому идеал D' не
содержится во множестве {/}. Из трех условий,
характеризующих множество {/}, условия а) и в) выполнены для D'.
Следовательно, D' не удовлетворяет условию б). Таким
образом, имеем строго убывающую на первом шаге
цепочку идеалов
D'=>(D', I)t=> ... =>(Z>\ /)W2 ...
Начиная с некоторого места, в этой цепочке встречаются
только равенства
(D', l)h = (£>', I)h+1 = ...
Для идеала (/?', I)k выполнены условия а) и б), но (/?', I)h
строго содержится в С, и потому условие в) для этого
идеала не имеет места, т. е. (D', I)h я^ ВР. А это, в частности,
означает, что для любых хх, #2, . . ., xh £ 1 имеет место
включение
CRrRx± ...RXhsBP.
Но отсюда следует, что
CRXi...RXkRr<=BP,
или, что то же самое,
Сг = (С, 1)кг s ВР.
Полученное противоречие доказывает справедливость
включения
(В, 1)п = ВР.
Лемма доказана.
Следствие 1. В условиях леммы для любого
натурального числа к существует такое число f (к), что
(fl,/)/a) = £/<*>.

288
УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ
[ГЛ, 12
Доказательство. Утверждение леммы 1 дает
основание для индукции. Допустим, что для любой пары
идеалов В и I алгебры А, удовлетворяющей условиям
леммы 1, существует зависящее от этой пары число
/ (к — 1) такое, что
В частности, для некоторого числа / (к — 1)
Применив предположение индукции р раз, получим, что
существует число g (р) такое, что
(В,/),(р) = (£,/<*-*>),.
Если мы теперь применим лемму 1 к паре идеалов В
и 7^_1>, то получим, что для некоторого числа t
справедливы включения
(S,/),<«, = (Я,/^'hs Я/А
а это значит, что в качестве / (к) можно взять число g (t).
Следствие доказано.
Следствие 2 (С лейте р). Если
альтернативная алгебра А удовлетворяет условию минимальности для
идеалов, содержащихся в некотором ее идеале В, то для
любого числа к существует число h (к) такое, что
В частности, всякий разрешимый идеал В альтернативной
алгебры А с условием минимальности для идеалов,
содержащихся в В, нилыготентен.
Доказательство. В силу предыдущего
следствия существует такое число / (к), что
д</<*>+1> = (В> В)тЯкВВ^ с= В&\
и так как в силу следствия теоремы 5.5
/gB(ft>
для любого числа п, то в качестве h (к) можно взять число
(/ (&) + I)2- Следствие доказано.

§ ll
УСЛОВИЕ МИНИМАЛЬНОСТИ
289
Лемма 2. Пусть В — радикальный в смысле Андру-
накиевича идеал альтернативной алгебры А,
удовлетворяющей условию минимальности для идеалов, содержащихся
в В, и I — минимальный идеал алгебры А. Тогда BI =
= 1В = (0).
Доказательство. Достаточно доказать лемму
для случая, когда I ^ В; в противном случае утверждение
леммы тривиально.
В силу наследственности радикала Андрунакиевича
(следствие леммы 8.13) идеал / не может быть простой
алгеброй, поэтому по теореме Жевлакова (8.10) /а = (0).
В этом случае С = Аппг (1)=£(0). Пусть В ^ С или, что
то же самое, Вг = С [) В фВ.
Рассмотрим фактор-алгебру А = A/Bv В алгебре А
образ В идеала В отличен от нуля. Поэтому в нем
содержится минимальный идеал D алгебры А. Те же
соображения, что и выше, показывают, что он тривиален: D2 =
-= (0). Следовательно, его полный прообраз D
удовлетворяет соотношениям
В =>D zd В19 £>а <= Bv
Идеал ID содержится в/и отличен от нуля. Стало быть,
ID = /. Однако по лемме 1 существует такое число к, что
/ = (/, D)k с= ID* с= IB, = /С = (0).
Полученное противоречие доказывает, что IB = (0).
Аналогично, BI = (0).
Лемма доказана.
Напомним, что для идеала I альтернативной алгебры А
через Р (I) обозначается подмодуль, порожденный
совокупностью элементов вида iai, где i £ /, а £ Л#. Согласно
следствию предложения 5.2 Р (I) — идеал алгебры А.
Лемма 3. Пусть В — идеал альтернативной
алгебры А, удовлетворяющей условию минимальности для
идеалов, содержащихся в В. Тогда для некоторого числа т
имеет место включение
Вт<=р (В).
Доказательство. Рассмотрим цепочку идеалов
В э £<2> э . . . Э В<п> э . . .

290
УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ
1ГЛ, 12
Начиная с некоторого ее члена, встречаются одни только
равенства: 5<п> = 5<п+1> = . . . Предположим, что
5<n> cjz р (5). Тогда множество {/} идеалов / алгебры Л,
обладающих свойствами
а) /с 5, б) JB = /, в) / £ Р (5),
непусто. Пусть идеал С — минимальный элемент в этом
множестве. В силу б) и в) для некоторого а £ В имеем Са d£
df Р (В). Рассмотрим множество D = Са + JP (5) и
докажем, что оно является идеалом в А. Будем писать ж = у,
если ж — у £ Р (В). Легко видеть, что для любых ж, г/ £
£J5, с ^ С, г £ А имеют место сравнения
(еж) у = — (су) ж,
[(еж) г] у = — [(су) г] ж.
Поэтому
[(еж) а] г = — [(са) ж] г = [(са) г] ж — (са) (^ог) =
= [(еж) г] а + [с (ж о г)] а 6 Са.
В силу б) отсюда следует, что D — правый идеал алгебры
А. Далее, в тех же обозначениях
г [(сх) а] == — г [а (сх)] = г [х (са)] =
= — ж [г (са)] + (ж о г) (са) = (са) (гж) — а [с (ж о г)] =
= — [с (гх)] а + [с (ж о г)] а = [с (жг)] а £ Са.
Так как С5 = С, отсюда вытекает, что D — левый идеал.
Таким образом, D — идеал в А. Для идеала D
справедливо соотношение Da ^ Р (В). Поэтому D-= D {] С фС.
Следовательно, существует такое число &, что
(Z)', B)h s Р (В).
Это означает, однако, что] для [любых Ьг, . . ., bk £ 5
CRaRbi...Rbk^P(B).
Но отсюда следует, что
т. е. (С, 5)fea ^ Р (5). Ввиду условия б), это означает, что
Са ^ Р (В). Полученное противоречие доказывает, что

§ 13
УСЛОВИЕ МИНИМАЛЬНОСТИ
291
j5<«> ^ Р (В). В силу следствия теоремы 5.5 мы имеем
Вп% ^ Р (В), что и требовалось доказать.
Замечание. В случае алгебр над кольцом Ф,
содержащим элемент 1/2, лемма 3 является излишней,
так как по лемме 6.8 54 е р (fi) даже в отсутствие
условия минимальности. Однако в общем случае без нее
обойтись нельзя.
Теорема 1 (Ж е в л а к о в). Пусть В — идеал
альтернативной алгебры А, удовлетворяющей условию
минимальности для идеалов, содержащихся в В, и В ^
S Л (А). Тогда В — нильпотентная алгебра.
Доказательство. Рассмотрим следующую
убывающую цепочку:
В =Э Я(1) =э ... =2 В(п) Э . . .
Пусть к — такое целое число, что
я(й)=я(*+1)=...=£':
Если В' = (0), то идеал В нильпотентен в силу
следствия 2 леммы 1. Допустим, что В' Ф(0). Рассмотрим
аннулятор Annz (В') и фактор-алгебру по нему А =
= А/Атц(В'). Так как В' =_£'2, то £'_£ Ann* {В') и В'
имеет в А ненулевой образ В'. Пусть С — минимальный
идеал алгебры А, содержащийся в В', и С — его полный
прообраз в алгебре А. Тогда СВ' Ф(0), так как С zd
zd Annj (В'), но по лемме 2 СВ' ^ Аппг {В'), и потому
(СВ') В' = (0). Однако в силу леммы 3 существует такое
число t, что
СВ'г с=С-Р (В') с (СВ') В' = (0).
Так как СВ' ф (0) и В' = В'г = . . . = В'\ получили
противоречие.
Теорема доказана.
Следствие 1 (Слейте р). Если В —
локально нилъпотентный идеал альтернативной алгебры А,
удовлетворяющей условию минимальности для идеалов,
содержащихся в В, то этот идеал нильпотентен.
Доказательство. Так как простых локально
нильпотентных алгебр не существует (предложение 7.1), то
локально нилъпотентный радикал содержится в
антипростом, что и доказывает следствие.

т
^СЛОЁИЯ КОНЕЧНОСТИ
[ГЛ. It
Следствие 2. Пусть А — альтернативная
алгебра с условием минимальности для идеалов. Тогда ее радикал
Андрунакиевича Jh (А) нильпотентен, а фактор-алгебра
A/Jh (А) есть подпрямая сумма конечного числа алгебр,
каждая из которых является либо алгеброй Кэли —
Диксона над своим центром, либо ассоциативной подпрямо
неразложимой алгеброй с простой сердцевиной.
Доказательство. Радикал Андрунакиевича
Jh (А) нильпотентен в силу теоремы 1. В силу
теоремы 8.14 он является пересечением всех ^-идеалов алгебры
А. Воспользовавшись условием минимальности, можно
выбрать конечное число ^-идеалов, которые в
пересечении дают Jh (А). Для завершения доказательства остается
сослаться теперь на теорему 8.12, описывающую
структуру подпрямо неразложимых альтернативных алгебр
с простой сердцевиной.
§ 2. Альтернативные артиновы алгебры
Алгебра называется артиновой (справа), если она
удовлетворяет условию минимальности для правых идеалов.
Теорема 2 (Жевлаков). Пусть В —
квазирегулярный идеал альтернативной алгебры А,
удовлетворяющей условию минимальности для правых идеалов,
содержащихся в В. Тогда В нильпотентен.
Доказательство. Если В ^ Jh (А), то В
нильпотентен по теореме 1. Пусть В <J= Jh (А). Тогда
в ^-полупростой фактор-алгебре А = AlJh (А) образ В
идеала В не равен нулю. Пусть С — минимальный правый
идеал алгебры А, содержащийся в В. В_силу
полупервичности алгебры А мы имеем С А Ф(0). Поэтому С
является неприводимым правым альтернативным Л-моду-
лем. Радикал Жевлакова f (А) лежит в ядре каждого
неприводимого Л-модуля и, следовательно, С-f- (А) = (0).
Так как С ^ ^ (А), имеем противоречие с
полупервичностью алгебры А. Теорема доказана.
Теорема 3 (Жевлаков). Всякая
альтернативная полу первичная артинова алгебра А разложима в прямую
сумму конечного числа своих минимальных идеалов А =
= Ах © . . . © Ап, каждый из которых есть либо полная

§ 2] АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АРТИНОВЫ АЛГЕБРЫ 293
матричная алгебра над некоторым телом, либо алгебра
К эли — Диксона над своим центром. Это разложение
единственно с точностью до перестановки слагаемых.
Доказательство. По теореме 2 алгебра А
является ^-полупростой. Поэтому пересечение всех
примитивных идеалов в алгебре А равно нулю. В силу
условия минимальности можно найти конечное множество
п
Вг, . . ., Вп примитивных идеалов таких, что \\Bt =
= (0) и Cj = Р Bt Ф(0) для любого ] = 1, 2, . . ., гс.
гфз
Как хорошо известно, примитивная ассоциативная арти-
нова алгебра является простой, алгебра Кэли — Диксона
также проста, поэтому в силу теоремы 10.1
фактор-алгебры AlBt просты и идеалы Bt максимальны. Поэтому Bt +
+ Сi = А, откуда, ввиду того, что Bt f| Ct = (0),
получаем А = Bt 0 Ct. Положим Dr = Вх fl ... [\ ВТ.
Покажем по индукции, что
А = С±® ...®Ch®Dh.
Для к = 1, как мы только что доказали, это верно. Пусть
это верно для к -= т. Рассмотрим идеал Dm. По второй
теореме о гомоморфизмах мы имеем
DJDm П Bm+j & Dm + Bm+j/Bm+j = A/Bm+j,
где 7 = 1, 2, . . ., n — т. Следовательно, идеалы Dm f|
П Bm+j максимальны в Dm. Кроме того,
п-т
П ФтПВт+,) = (0),
j = l
и никакое собственное подмножество не имеет нулевого
пересечения. Следовательно, как и ранее, получаем
п-т
An = An+i© П (An П Bm+j) = Dm+l 0 Cm+1.
5=2
Поэтому А = Сг (В . . . © Ст+1 0 Z?m+1, и утверждение
для к = т + 1 доказано. Значит, требуемое разложение
в прямую сумму имеет место для всех к. В частности, для
к = п получим
А = 6j 0 . . . Ф 6П.

294
УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ
[Г Л, 12
Так как С\ ^ А1ВЬ то Сt есть простая артинова алгебра,
т. е. либо полная матричная алгебра над некоторым телом,
либо алгебра Кэли — Диксона. Легко видеть, что идеалы
Ct являются минимальными и что других минимальных
идеалов в алгебре А нет. Отсюда следует единственность
разложения.
Теорема доказана.
Теоремы 2 и 3 в совокупности дают представление
о строении произвольной альтернативной артиновой
алгебры.
Следствие. Радикал f (А) альтернативной
артиновой алгебры А является ее наибольшим нильпотентным
идеалом. Фактор-алгебра Alf (А) изоморфна конечной
прямой сумме полных матричных алгебр над телами
и алгебр Кэли — Диксона,
Приступим теперь к изучению ниль-подколец
альтернативных артиновых алгебр.
Предложение 1. Пусть В — нилъ-подкольцо
кольца А всех линейных преобразований конечномерного
векторного пространства V над телом А. Тогда В нилъ-
потентно и в V можно выбрать базис, в котором все
преобразования из В нилътреуголъны.
Доказательство. Рассмотрим произвольный
элемент Ъ £ В и цепочку подпространств
V ZD Vb ZD . . . ZD Vbn = (0).
Ясно, что п ^ dimAF, т. е. В—ниль-кольцо
ограниченного индекса. Следовательно, В локально нильпотентно.
Пусть U — подпространство в V с базисом {ег, . . .
. . ., ek}. Допустим, что UB = С/. Тогда существуют
элементы btj £ В такие, что
и
5=1
Итерация этих соотношений приводит к противоречию
с нильпотентностью подкольца J50, порожденного
элементами btj.
Теперь очевидно, что цепочка подпространств
V zd VB zd VB2 => . . ,

§ 2] АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АРТИНОВЫ АЛГЕБРЫ 295
является строго убывающей, и потому Вп = (0) для п =
— (Итд V, Выбирая базис в VBn~x, дополняя его до
базиса VjB71-2 и т. д., мы получим базис пространства F, в
котором все преобразования из В нильтреугольны.
Предложение доказано.
Предложение 2. Пусть В — нилъ-подколъцо
алгебры Кэли — Диксона С над полем F. Тогда F-подал-
гебра Z), порожденная множеством В, нилъпотентна.
Доказательство. Так как С квадратична над
F, то индекс нильпотентности каждого элемента Ъ £ В
равен двум: Ь2 = 0. По следствию 2 теоремы 5.6 кольцо В
локально нильпотентно. Ввиду того, что любой элемент
из D есть конечная F-линейная комбинация элементов
из J5, алгебра D также локально нилъпотентна. Однако
она конечномерна и, следовательно, нилъпотентна.
Предложение доказано.
Теорема 4 (Ж е в л а к о в). Всякое
нилъ-подколъцо альтернативной артиновой алгебры нильпотентно.
Доказательство. Пусть А — альтернативная
артинова алгебра, R — ее радикал, В — ниль-подкольцо
в А. Рассмотрим фактор-алгебру А = AIR, По теореме 3
она разлагается в прямую сумму своих минимальных
идеалов А = Аг © ... © As. Пусть В — образ В в А
и Bt — проекции В на 4{. Если At ассоциативна, то Аь
изоморфна алгебре матриц Д<£) над некоторым телом А(г)
и в силу предложения 1 В t содержится в подалгебре Сь
которая при некотором изоморфизме алгебры At на Д<£>
переходит в алгебру нильтреугольных матриц. Если A t —
алгебра Кэли — Диксона, то через Сt обозначим ниль-
потентную подалгебру, которую подкольцо Bt в ней
порождает. Пусть
С = 01 ^р ... © Og
и С — полный прообраз С в А, Ясно, что С —
ниль-подкольцо и С id В. Так что достаточно доказать, что С
нильпотентно.
Если R = (0), то С нильпотентно в силу предложений 1
и 2, а также теоремы 3. Это дает нам основание для
индукции по индексу нильпотентности радикала. Допустим, что

296
УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ
[ГЛ, 12
теорема верна, когда индекс нильпотентности радикала
не превосходит к — 1. Пусть также Rh = (0) и Rh~x ф (0).
При каноническом гомоморфизме А на А = AIR4-1
образ R радикала i?, очевидно, будет радикалом алгебры
А. Так как J?ft-1 = (0), образ С подкольца С в X является
нильпотентным. Другими словами, существует такое
натуральное число п, что
Сп <_ Rk-i р с
Обозначим J?ft-1 П С через Р. Так как правая
нильпотентность и нильпотентность эквивалентны, то для
нильпотентности подкольца С достаточно показать
существование такого натурального числа т, что
(Р, С)т = (0). (1)
Обозначим через At полный прообраз в А
минимального идеала Аь а через Ct — полный прообраз Ct.
Заметим, что если x£At, y^Ajiii ф /, то ху £ R и для
любого р £ Р имеет место равенство
pRxRy = —pRyRx.
Поэтому существование чисел ть таких, что
(Р, Сдщ = (0),
влечет существование такого числа т, что
(Р, С)т = (0);
достаточно положить т = тх + • . . + ^s-
Докажем существование числа mv Рассмотрим два
случая: 1) Аг — алгебра матриц над телом А; 2) Ах — алгебра
Кэли — Диксона над полем F.
Пусть сначала Аг^ Дп. Тогда Сх можно отождествить
с алгеброй нильтреугольных матриц. Любой элемент
х £ Сг представляется в виде
Полный прообраз множества Д-е^- обозначим через Гг;-.
Элементы, принадлежащие к одному множеству Г^-,
назовем однотипными,

§ 2] АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АРТИНОВЫ АЛГЕБРЫ 297
Пусть Аг — алгебра Кэли — Диксона над полем F.
Выберем в Сх базис {ег, . . ., е{\ следующим образом.
Если t — индекс нильпотентности алгебры Сг, то
выбираем сначала базис в С{-1, дополняем его до базиса С\~2
и т. д. Полный прообраз множества F-et обозначим через
Тi- Элементы, принадлежащие к одному Т\, назовем
однотипными.
Отметим, что в каждом из случаев число типов конечно.
Кроме того, для любых i и / имеем включения
Д-£Й, T\c=R. (2)
Лемма 4. Если элементы сг, с2, с3 £ Сг однотипны,
то
PRCiRcRC3 = (0).
Доказательство. Без ограничения общности
можно считать, что ct = dtc, где с — прообраз элемента
вц или еь a dt — прообраз элемента а$-1, где at £ А или
соответственно at £ F- Очевидно, элементы dt таковы, что
[с, dt] е д, (с, du dj) е r. (3)
Пусть г £ J?fe-1. Рассмотрим элемент (rq) с2. В силу
центрального тождества Муфанг, (2) и (3) имеем
(rci) С2 = f7* Mi) k2 =
= — [са (cdj] г + (re) (d1c2) + (с2с) (dxr) =
= (re) (d±c2) = (re) (cdk),
где dk — прообраз элемента o^o^-l. Обозначим теперь re
через гг и рассмотрим [гг (cd^)] с3. Аналогично
предыдущему, получим
[гх (cdk)]c3 = (r±c) (cdb).
Но в силу (2) ггс = (гс) с = гс2 = 0 и, следовательно,
rRcRc RCo = 0,
с\ с2 с3
что и доказывает лемму.
Определим теперь для элементов из Сг понятие веса.
Весом р (с) элемента с £Сг\ R назовем наибольшее число
v такое, что смежный класс с + R лежит в С\ и не лежит
в Cj+1. Элементам радикала R припишем бесконечный вес.

298
УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ
[ГЛ8 12
Функция веса обладает следующим свойством: для любых
с, с' £ Сг имеет место неравенство
Р (ее') > р (с) + р (с'). (4)
Весом слова w = RCl ... RCjn будем называть число р (w) =
т
= Sp(ci).
i=l
Однотипные элементы имеют один и тот же вес, поэтому
мы можем говорить о весе типа. Упорядочим типы так,
чтобы тип большего веса был больше. Введем теперь
частичный порядок на элементах множества Т = [_] Ttj
(соответственно Т = {jTt). Будем говорить, что с > с',
если тип элемента с больше типа элемента с'. Однотипные
элементы будем считать несравнимыми.
Слово w = Rc . . . Rc назовем правильным, если
\) ct £ Т, i = l, . . ., пг; 2) либо р (w) = оо, либо ct <
< ct+1 для каждого £ 6 {1, •••> ^ — 1} или ct и ct+1
несравнимы.
Лемма 5. Всякое слово w = Rr.Rr . . . Rr , с, С
с1 с2 cm' l v-
£ Сг, представимо в виде суммы правильных слов
так, что р (wt) ^ р (w).
Доказательство. Очевидно, можно считать,
что сг, с2, . . ., ст £ Г. Пусть ct > ct+1. Тогда представим
слово w следующим образом:
w=-RCi... Rct+Rct... Rcm + RCl • • • #w+i... Rcm.
В первом слове ct и с$+1 стоят уже в нужном порядке,
а вес второго в силу (4) не меньше веса первого, причем
оно имеет меньше операторов. Доказательство леммы
завершается очевидной индукцией.
Закончим теперь доказательство теоремы. Пусть t —
индекс нильпотентности подалгебры Сг и п — количество
типов. Тогда для любого правильного слова w веса более
чем 2 (t — 1) п мы имеем
Pw = (0).

§ з]
УСЛОВИЕ МАКСИМАЛЬНОСТИ
299
В силу леммы 5 это означает, что для т1 = 2 (t — 1) п
(Р, Сдт, = (0).
Итак, число тг найдено, а это, как мы видели, доказывает
теорему.
Упражнения
1 (Ж е в л а к о в). Пусть Л — альтернативная артинова
алгебра, С — ее правый идеал, В — подкольцо. Тогда, если для любого
элемента Ъ £ В существует натуральное число п = п (Ъ) такое, что
Ъп £ С, то и BN ^ С для некоторого натурального числа N.
Подмножество S алгебры Л называется слабозамкнутой
подсистемой, если для любых а, Ъ £ S существует такой элемент
у (а, Ъ) £ Ф, что аЪ + у (а, Ъ) Ъа £ S. Подалгебра S*, порожденная
слабозамкнутой подсистемой S, называется обертывающей алгеброй
для S.
2. Если S — слабозамкнутая ниль-подсистема алгебры Кэли —
Диксона С и у (а, Ъ) Ф 1 для любых а, Ъ £ S, то обертывающая
алгебра S* этой подсистемы нильпотентна. Привести пример
слабозамкнутой ниль-подсистемы в С, обертывающая которой не является
нильпотентной.
3 (Марковиче в). Пусть Л — альтернативная артинова
алгебра, S — ее слабозамкнутая ниль-подсистема такая, что
у (а, Ъ) Ф 1 ни для каких a, b £ S. Тогда обертывающая алгебра S*
этой подсистемы нильпотентна.
4 (Марковиче в). Радикал альтернативной артиновой
алгебры совпадает с пересечением всех ее максимальных нильпо-
тентных подалгебр.
§ 3. Альтернативные алгебры с условием максимальности
Альтернативная алгебра называется нётеровой
{справа), если она удовлетворяет условию максимальности для
правых идеалов. Хорошо известна теорема Левицкого
о том, что в ассоциативной нётеровой алгебре любой
односторонний ниль-идеал нильпотентен [252, стр. 40]. В этом
параграфе мы докажем аналогичную теорему для
альтернативных алгебр с одним небольшим ограничением на
характеристику.
Основные технические трудности вбирает в себя
Лемма 6. Пусть А — альтернативная алгебра, В
и I — ее идеалы, В2 ^ I и идеал I нильпотентен. Тогда,
если алгебра А удовлетворяет условию максимальности для
двусторонних идеалов, содержащихся в В, то В — нилъ-
потентный идеал.

300
УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ
[ГЛ. 12
Доказательство. Индукцией по к докажем
существование такого числа / (&), что
Bf(k)s=Ik.
Лемма таким образом будет доказана, так как Iй = (0) для
некоторого п и, следовательно, Bf{U) = (0).
Основание для индукции имеется: / (1) = 2. Допустим,
что число / (к) существует. Докажем существование числа
/ (к + 1). Предположим, что его не существует, и
приведем это предположение к противоречию.
Введем некоторые обозначения. Пусть Р — некоторый
идеал в А. Положим
Е0 (Р) = {х£В \Рх = /й+1},
Et (Р) = Е0 ((Р, B)t).
Легко видеть, что Et (Р) — идеалы в А. Идеал, на
котором стабилизируется возрастающая цепочка
Е0 (Р) s Ех (Р) = . . . = Е, (Р) «= . . .,
обозначим через Е (Р).
Так как Bf(k) ^ Ik, то сделанное нами
предположение об отсутствии числа / (к + 1) влечет
Е (Ik) фВ.
Пусть Е (С) — максимальный элемент множества идеалов
{Е (Са) | Са ^ Ik, Е (Са) Ф'В). Рассматривая вместо С,
если нужно, идеал (С, B)t для подходящего £, мы можем
считать, что '
Е0 (С) = Е1(С)= ... =Е (С).
Кроме того, взяв идеал С + Ik+1 вместо С, мы можем
еще дополнительно предполагать, что С з Ik+1.
Пусть Ъ е В\Е(С). Тогда (СВ) b<^ Ih+1. Рассмотрим
множество D = (СВ) Ъ + /ft+1. Докажем, что D — идеал
в Л.
Будем писать и = v, если и — v £ 1к+1.
В силу правой альтернативности и тождества Муфанг
для любых с £ С, х, у £ В и а £ А справедливы
соотношения
(сх) у = —(су) х, (5)
[(сх) у] а = — [(са) у] х. (6)

§ 31
УСЛОВИЕ МАКСИМАЛЬНОСТИ
301
Поэтому
1(сх) Ъ] а = — [(са) Ъ] х = [(са) х] Ъ = (сгх) ft,
где сг 6 С. Это доказывает, что D — правый идеал. Далее,
а [(сх) Ъ] = — a [(cb) х] =
= a [(xb) с] — [(ас) Ъ] х — [(ах) Ъ] с = — [(ас) Ъ] х =
s= [(ас) х] Ъ = (с2х) Ь,
где с2 £ С. Это означает, что D — левый идеал в А, т. е.
идеал.
Так как D <= С, то £ (D) => £ (С). Однако 6 £ £ (D),
и потому i? (D) фЕ (С). Следовательно, Е (D) = В. Это
означает, что
(D, B)q <= /ft+1
для некоторого q. Но тогда в силу (5)
(С, в\ь = /*+\
что противоречит выбору элемента Ъ.
Лемма доказана.
Теорема 5 (Ж е в л а к о в). Пусть А —
альтернативная алгебра с условием максимальности для
двусторонних идеалов. Тогда ее радикал Бэра $ (А) нильпотен-
тен.
Доказательство. Пусть В — максимальный
разрешимый идеал алгебры А. Так как фактор-алгебра
А/В не имеет ненулевых тривиальных идеалов, то В =
= $ (А). Рассмотрим цепочку
В ZD В& =Э . . . ID 5<п> = (0).
Ясно, что J5(n_1> — нильпотентный идеал. По лемме 6 мы
можем теперь заключить, что идеал J5("~2) также ниль-
потентен. Применяя лемму 6 еще несколько раз, получим,
что идеал В нильпотентен.
Теорема доказана.
Теорема 6 (Ж е в л а к о в). Пусть А —
альтернативная нётерова алгебра над кольцом Ф, содержащим
элемент 1/3. Тогда всякий ее односторонний ниль-идеал
нильпотентен.
Доказательство. Пусть В — односторонний
ниль-идеал в А. Покажем, что В ^ $ (А), и восполь-

302
УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ
[ГЛ4 12
зуемся теоремой 5. Фактор-алгебра АШ (А) есть подпря-
мая сумма первичных альтернативных нётеровых алгебр,
причем в силу ограничения на характеристику среди них
нет исключительных первичных алгебр характеристики 3.
Остальные же ненулевых односторонних ниль-идеалов
иметь не могут. Следовательно, В ^ $ (А), и теорема
доказана.
Упражнения
1. Доказать, что в ассоциативном нётеровом кольце всякое
ниль-подкольцо нильпотентно.
Указание. Воспользоваться теоремами 4 и 5, а также
теоремой Голди [252].
2. Пусть А — альтернативная нётерова алгебра над
кольцом Ф, содержащим 1/3. Тогда всякое ее ниль-подкольцо
разрешимо. Будет ли оно нильпотентным, неизвестно.
ЛИТЕРАТУРА
Андрунакиевич [16—18], Жевлаков [67, 68, 71, 77, 78], Марко-
вичев [143], Ословский [166], Слейтер [200, 202, 204], Херстейн
[252], Цорн [258, 259], Шафер [261].
Результаты об алгебрах с условиями конечности в других
многообразиях алгебр: Пчелинцев [174], Роомельди [183], Тэди [234].
См. также литературу к главе 15.

ГЛАВА 13
СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
В теории любого многообразия алгебр важную роль
играют свободные алгебры. Настоящая глава посвящена
свободным альтернативным алгебрам. Сначала мы
рассмотрим многообразия, порожденные свободными конечно-
порожденными альтернативными алгебрами. Затем мы
покажем, что свободные альтернативные алгебры могут
содержать ненулевые квазирегулярные и нильпотентные
идеалы, и получим ряд характеризаций радикала Жевла-
кова свободной альтернативной алгебры. Третья тема
данной главы — это центры и подалгебры специального
вида свободных альтернативных алгебр.
§ 1. Тождества конечнопорожденных альтернативных
алгебр
Пусть Ш — некоторое многообразие Ф-алгебр.
Обозначим через Шп многообразие, порожденное ЭДЬсвободной
алгеброй Фэд [#!, . . ., хп] от п свободных порождающих.
Идеал тождеств этого многообразия совпадает с идеалом
тождеств алгебры Ф^ [хг, . . ., хп]. Как легко видеть,
справедливы следующие включения:
Ясно также, что ЭД1 = [_J9ftn. Наименьшее значение п,
п
при котором Шп = ЭД1, называется базисным рангом
многообразия Ш и обозначается через гъ (Ш). Иначе говоря,
Гъ (Ш) — такое наименьшее число &, что каждая алгебра
из ЭД1 удовлетворяет всем тождествам, выполняющимся
в ЗК-свободной алгебре от к свободных порождающих (или
к0» если такого числа не существует).

304 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ4 13
По лемме 3.6 свободная ассоциативная алгебра от
счетного множества порождающих вкладывается в свободную
2-порожденную ассоциативную алгебру. Отсюда,
очевидно, следует, что гъ (Ass) = 2, где Ass — многообразие
ассоциативных алгебр. Аналогично из теоремы Ширшова
(теорема 3.7) следует, что гъ (SJord) = 2, где SJord —
многообразие, порожденное всеми специальными йордано-
выми алгебрами. Ширшов доказал также, что и для
многообразия Lie алгебр Ли гъ (Lie) = 2. В 1958 г. он
сформулировал вопрос о нахождении точного значения
базисного ранга многообразия Alt альтернативных колец.
Из теоремы Артина следует, что гъ (Alt) ^ 3. В 1963 г.
Дорофеев доказал, что гъ (Alt) >4, ав 1977 г. Шестаков
доказал, что гъ (Alt) = к0. Таким образом, всякое конеч-
нопорожденное альтернативное кольцо удовлетворяет
некоторому тождеству, не выполняющемуся в свободном
альтернативном кольце от счетного множества порождающих.
Доказательству этого результата и посвящен данный
параграф.
Пусть Sn — симметрическая группа п-и степени. Для
всякого разбиения п = пх + п2 + .. . . + nk числа п
рассмотрим в Sn подгруппы Sni, Sn^ . . ., Snfe, где Sn. —
группа всех подстановок множества из rij элементов
{пг+ ... + п^г + 1, . . ., п1+ . . . + п^г + Uj},
7 = 1, 2, . . ., к. Ясно, что множество ^1Ц п t п =
= Sn Sn ... Snk является подгруппой группы Sn. Через
Vni% п ..., nk мы обозначим какую-либо полную систему
представителей левых смежных классов группы Sn по
подгруппе S£lt r,2..., nfe.
Если f = f(x1, . . ., хп) — некоторый неассоциативный
многочлен и о £ Sn, то мы положим
f=lf(Xl, • . . ,Xn)]a = f(xG(1), • • • ,£<J(n)).
Определим в произвольной альтернативной алгебре
по индукции счетное семейство кососимметрических
функций. Положим /х (#!, х2, х3) = (хг, х2, х3), и если уже
определена кососимметрическая функция /п_х (хг,. .., #2n-i)» то
fn\xii • • • » х2п+\) =
= S (-l)Sgn<J[/n-l (0*1 > Х2, хъ), Xk, . . . , *2n+l)]a-

§13
ТОЖДЕСТВА
305
Заметим, что, ввиду кососимметричности функций
/n_! (#i, • • ., #2n-i) и (Х1, %%•> хз), значение суммы в
правой части не зависит от выбора множества Vffin—2- В
дальнейшем мы в аналогичных ситуациях не будем специально
оговаривать этот факт. Из определения видно, что
функция fn является кососимметрической функцией своих
аргументов.
Лемма 1. Всякая альтернативная алгебра
удовлетворяет тождеству
fn(xyx, у, хг, . . ., x2Ti-i) = fn (х, уху, хг, . . ., x2n-i)- (1)
Доказательство. Докажем вначале, что
во всякой альтернативной алгебре верно тождество
(г, S, Хух) = X (г, S, у) X + {ху (г, S, х)}, (2)
где {xyz} =. (ху) z + (zy) х = х (yz) + z (ух). Пусть
/ (х, у, z, t) — функция Клейнфелда. Ввиду тождества
Муфанг (г, s, х2) = ж о (г, s, ж) и его линеаризации,
получаем
(г, 5, яуя) = — (г, 5, я2?/) + (г, 5, (яу) о х) =
= (Л/, 5, Г) + Я о (г, S, яу) + (жу) о (Г, 5, я) =
= / (я2, у, 5, г) + у [xo(x,s, г)] + (у, S, г) х*+
+ X о (г, 5, ZJ/) + (яу) о (г, 5, X).
Далее, имеем
/ (х2, у, S, Г) = ([Г*, у], S, Г) + (Г*, у, [s9 Г]) =
= (Ж о [ж, у], 5, Г) + X о (я, у, [5, Г]) =
= хо ([х, у], s, г) + [х, у] о (х, S, г)+Х о (х, у, [s, г]) =
= X о / (х, У, S, Г) + [х, у] о (х, S, Г) =
= X о (ХУ, S, Г) — Хо (у (х, S, Г)) — Хо ((у, S, г) ж) +
+ [Ж, у] о (я, 5, Г).
Подставив полученное выражение для / (ж2, z/, s, г) в
предыдущее равенство, мы получим (2).
Будем доказывать равенство (1) индукцией по п.
Справедливость основания индукции при п = 1 вытекает
из тождества (7.17). Пусть уже доказано, что
/п-1 (ХУХ, У, Xi, . . ., #2л-з) =
== /71-1 (#> 2/ОД> #1» • • •» ^271-з)' («->)

306 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 13
Линеаризуя это тождество по у, мы получим
/п-1 \ХуХ, 2, Xl9 . . ., #2п-з) I
~Т~/п-1 (#2#> */> x\i - • •> ^2п-з) =
= /п-1 (я, {**#}, х19 . . ., я271_3). (4)
Теперь по определению функции fn
fn(zyx,y,xi, . . . ,z2n-i)-= \
= S (- l)sgn a ifn-i (fa, xyx, y), x2l . . . , s^-O]0-
a£K1.2n-2
— S ( — l)Sgn<T t/n-1 ((Si, Я2, I/), S^Z, X9, ... , X2n-l)f +
rV2n-\
+ H ( — l)sgna[/n-i((^i,^2^^),i/,a;3, ... ,^2n-i)]a +
°£V2,2n-3
+ 23 (—l)Sgn(T [/n_! ((z4, Ж2, Z3), ЯДО, y,S4, . . . , ^2п-1)]а =
aeK3,2n-4
= Si (s, */) — ^2 (x, y) + S3 (x, y) + S4 (x, y);
при этом мы считаем, что х° = х, у° = у. В силу (7.17)
и (3) мы имеем
/п-1 ((#1» ХуХ, */), Х2, . . . , X2n-i) =
= —/д-i ((#i, г/#г/, a:), х2, - - - , #2n-i)»
/п-1 ((#1» #2> жз)? ЭД#» I/? #*4> • • • » #2n-l) =
= —/п_1 ((^1, #2> #з)> */ОД> Я"» #4» • • • » #2n-l)>
откуда
^i (х, У) + S4 (*» У) = —5i (»' *) — 54 (», я).
Далее, согласно (4) и (2) получаем
—/ti-i((#1» Х2, У),ХУХ, ХЪ, ..., ^2n-l) +
Л~ fn-l((Xti Х2, Xyx), у, Х3, ..., X2jl-i) =
= — /n_i (a: (a?i, а?2, */) ж, г/, Жз» • • • » #2n-i) —
—/n-l ({^ 0*4, Я2, У)}» ^» Я3, • • • , ^2n-l) +
+ /п_! (Ж (Х{, Х2, У)Х,У,Х3, ... , Х271-{) +
+ fn-i ({ху (Xi, х2, х)}, у, хг, . . . , £2n-l) =
= —/п-1 ({*/# 0*4» Х2, У)}, X, Х$, . . . , #2n-l) +
+ /n-i ({ху 0*4, х2, х)}, у,хг, ... , х2п-{),

§1]
ТОЖДЕСТВА
307
откуда
—S2 (х, у) + S3 (х, у) = S2 (у, х) — S3 (у, х).
Таким образом,
fn \ХУХ1 Mi X\i • • •» ХЪп-\) = —fn \УхУч xi x\i - - -•> х2п-1/ ==
— fn \Xi УХУ-> Х\-> - • -•> Х2п-1/'
Лемма доказана.
Предложение 1 (Шее та ко в). Пусть
А—альтернативная алгебра, М—некоторый Ф-модулъ, и пусть
отображение f для фиксированного натурального числа
поставит в соответствие элементам аг, . . ., ап £ А&
некоторый подмодуль f (аг, . . ., ап) 9= М, причем f
удовлетворяет следующим условиям:
а) / (aa(i) » • • •» а0(П)) = / («1, • • -, ап) для любой
перестановки о £ Sn\
б) / (а, а, аг, . . ., ап_2) = (0);
в) / (1, аг, а2, . . ., ап_х) = (0);
г) / (аа + рб, а1? . . ., ап_х) ^ / (а, а1? . . ., ап_1) +
+ / (6, аг, . . ., ап_х), а, р 6 Ф;
д) / (aba, аг, . . ., ап_х) s / (а, аг, . . ., ап_х) +
+ / (ь, %> • • •» On-l).
Тогда для любых элементов ах, . . ., ап 6 ^4 имеет место
включение
/(olt .... o„) = S/("if). ••-. 4°). (5)
г
где uW — всевозможные правильные гг-слова от некоторого
фиксированного упорядоченного множества X
порождающих алгебры А. Если, кроме того, отображение f
удовлетворяет условию
е) / (а, Ъа, ах, . . ., ап_2) ^ / (а, Ъ, аг, . . ., ап_2),
то для любых элементов аг, . . ., ап 6 А
/ (0lf . . . , fl„) = S / (4°. • • •. *&, "li)). (6)
г
где a#) £ X, u{%) — правильные гГслова, не содержащие
элементов х{1\ . . ., х^ ..
1 7 ' п-1
Доказательство. Обозначим сумму всех
подмодулей вида / (иг, . . ., ип), где их, . . ., ип—правильные
туслова, через М0. Ввиду условия г), для доказательства

308 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 13
включения (5) достаточно показать, что / (vlt . . . , vn)u^
S М0 для любых неассоциативных слов ух, . . ., vn
от порождающих алгебры А. Будем доказывать
это утверждение индукцией по числу т (vl9 . . ., vn) —
п
= И d (vi) + к (vi, • •> vn), гДе к (vlt . . ., vn) — число
г=1
слов среди v±i . . ., уп, не являющихся правильными
^-словами. Очевидно основание индукции: т (vx, ...
. . ., vn) = п. Пусть теперь т (иг, . . ., vn) > п. Если
все vt являются правильными ^-словами, то доказывать
нечего. Пусть, например, слово vx не является
правильным тусловом. Тогда мы имеем согласно предложению 5.3
vt = ± (vt) +Ц ща^м + 2j Pi {a'jby'j},
г з
где atl Р;- £ Ф, аь a], а) —неассоциативные слова длины
меньшей, чем vlt btl Ъ) либо равны 1, либо также есть
неассоциативные слова длины меньшей, чем vx. Заметим
теперь, что в силу условия г) справедлива следующая
линеаризованная форма условия д):
д') / ({abc}, %, . . ., an-i)S / (а, аъ . . ., ап^) +
+ / (Ь, ах, . . ., an_i) + / (с, ах, . . ., ап-г)
Согласно г), д), д') мы получаем
f(Vi,V2, • • ., Vn)^f((Vi),V2, • .., Vn) + Hf(ai^2, ..., Vn) +
г
+ 2 / Фи v2, . . . , vn) + H / (aj, v2, . . . , yn) +
г j
+ Ъ f («j, У2, • • • , УЛ) + 21 / (bj, У2» • • • > ^n),
j j
откуда по предположению индукции и ввиду условия в)
имеем
f(vl9 v2l . . ., vn) <= Af0.
Тем самым включение (5) доказано.
Пусть теперь отображение / удовлетворяет условию е).
Обозначим правую часть включения (6) через Мг. Нам
достаточно показать, что / (v±, . . ., vn) ^ Мг для любых
неассоциативных слов vlt . . ., vn от множества порож-

§1]
ТОЖДЕСТВА
309
дающих X алгебры А. Докажем вначале, что / fa, . . .
. . ., хп-г, v) <=: Мг для любых элементов хг, . . ., хп_г 6
£ X и для любого слова v. Проведем индукцию по d (v).
Очевидно основание индукции: d (v) = 1. Пусть d (v) > 1.
По доказанному выше без ограничения общности можно
считать, что v является правильным ^-словом. Если v
не содержит элементов хг, . . ., хп_х, то все доказано.
Пусть, например, х1 входит в у, и пусть v' = vjX[ —
слово, полученное вычеркиванием элемента хг в слове v.
По предложению 5.3 и ввиду условий г), д), д') и
предположения индукции мы тогда получаем
/ fa, • • ., хп_г, v) <= / fa, . . ., хп_г, v'xj + М19
откуда ввиду условия е) и предположения индукции
следует, что
/fa, . . ., Хп-г, V) <= Мг.
В общем случае мы проведем индукцию по числу т =
= S ^ (vi)- Основанием индукции при т = п — 1 являет-
г=1
ся уже рассмотренный случай. Пусть, например, d fa) >>
> 1, ух = v[vf[. В силу а), г) и е) мы получаем
/fa, v2, v3, . . ., vn) = f (vlv", vn, v3, . . ., v2) =
= / W К + *>*) — ^X,* К + *>*) — *i, "в* • • •» V2) ^
^ / fa, v'[, v3, . . ., y2) + / fa, Уп, y3, . . ., У2) +
+ / (v'iVn, v'[, v3, . . ., v2) = f fa, v2, v3, . . ., v'[) +
+ / fa, v2, v3, . . ., vn) + f fa, ya, y3, . . ., v[vn),
откуда по предположению индукции
/ fa, y2, . . ., vn) <= 71^.
Предложение доказано.
Следствие. 5 условиях предложения 1, ес/ш
алгебра А обладает множеством порождающих из т элементов,
то / fa, . . ., ап) = (0) тг/ж п^>2т для любых элементов
av . . ., ап£А. Если отображение f удовлетворяет
и условию е), то тогда / fa, . . ., an) = (0) при п ^>
>ттг + 2.
Доказательство. Как легко видеть, в данном
случае в алгебре А существует всего не более 2т — 1

310 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 13
различных правильных туслов от порождающих. Значит,
при п ^> 2т среди любых правильных туслов uv . . ., ип
найдутся два одинаковых, и по условию б) мы получаем
/ (uv . . ., ип) = (0), откуда в силу (5) и / (а±, . . ., ап) =
= (0) для любых элементов ах, . . ., ап £ А. Аналогично
из (6) следует второе утверждение следствия.
Пусть Хт = {х19 х2, . . ., хт) и Alt [Хт] —
свободная альтернативная алгебра от множества
порождающих Хт.
Теорема 1 (Шестаков). Алгебра Alt [Хт]
удовлетворяет тождеству
/2m-l (Уи . . ., У2т+1) = 0.
Доказательство. Рассмотрим отображение /,
ставящее в соответствие произвольным элементам ах, . . .
. . ., а2т алгебры Alt [Хт] следующий подмодуль Ф-мо-
дуля Alt [Хт\:
f(a{, .. ., a2m)={/2m-i(ai, .. ., а2т, у) IУ € Alt [Xm]}.
Ввиду кососимметричности и полилинейности функции
/2m-i, отображение / удовлетворяет условиям а), б), г)
предложения 1. Кроме того, из определения функций /п
легко следует, что fn (1, Ъг, . . ., Ь2п) = 0 для любого п
и любых элементов Ьг, . . ., b2n £ Alt [Хт].
Следовательно, отображение / удовлетворяет условию в)
предложения 1. Наконец, линеаризуя соотношение (1) по у, получим
тождество
'п \ХУХ1 2» х\-> • • •» ХЪп-\) ~
~ fn \Xi {yxzfi x\i • • •» #2n-l) ~Ь
"Г /п \l/i х%х-> xli • • •? ^2n-l)?
откуда, ввиду кососимметричности функции /2m-i, следует,
что отображение / удовлетворяет и условию д). По
следствию предложения 1 мы получаем, что / (%, . . ., а2т) =
= (0) для любых элементов а^ . . ., а^т с
Alt [Хт]. Но
это эквивалентно справедливости в алгебре Alt [Хт]
тождества
/2m-i (г/i, . • •» */2m+i) = 0-
Теорема доказана.

§ 1]
ТОЖДЕСТВА
311
Лемма 2. Во всякой альтернативной разрешимой
индекса 2 алгебре справедливо тождество
fn{Xi, . . ., X2n+i) =
= Ф (п) 2 (- l)sgna [(хи х2, х3) Rx RX2n+lf,
aev
2n+l
3,2n-2
где Ф (n) = (n - 1)! (2n - 3)!!.
Доказательство. Заметим прежде всего, что,
ввиду соотношения RxoRy = Rxoy, правая часть
доказываемого равенства кососимметрична по переменным
ж4, • • ., ^2n+i? и поэтому значение суммы в правой части
не зависит от выбора множества Vf^2n-2- Будем доказывать
лемму индукцией по п. При п = 1 утверждение леммы
очевидно, так что основание для индукции имеется. Пусть
уже доказано, что в альтернативной разрешимой
индекса 2 алгебре А верно соотношение
fn-i \xii • • • » x2n-i) ™
= Ф(п-1) 2 (-l)88n<r[(*„ х2, x3)R R f.
^Лп-\ 4 2П-1
ст^З,2п-4
Тогда по определению функции fn для любых жх, ...
. . ., x2n+i 6 ^4 мы имеем
/п (#1, . . . , #2n+l) =
= 2j (—1) [/n-l((#l» ^2> жз)» ^4> • • • » #2n+l)l —
2п+1
а£у3, 2п-2
= ф(п-1) 2 (-i)sgno S (-i)sgno,x
_.2n+l _.2n-2
а€У3, 2n-2 а^^з. 2n-5
#5, #$) RXy . .. Rx^^^R(Xli x2> Хз)]
+ ф(»-1) 2 (-i)sgno 2 (-irno'x
°£v3, 2n-2 ^iG^2, 2n-4
X [((#i, #2> #з)> ^4> #5/ ^x„ • • • ^зс2П+11 *'
при этом мы воспользовались тем, что (хъ х2, х3)° =
= {хх, ж2, ^з)аа1- Как легко видеть, каждое слагаемое
первой суммы равно нулю, поэтому нам остается рассмот-

312 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 13
реть вторую сумму. Так как yRxz = 0 и у (Rx о Rz)
= yRxoz = 0 для любого у £ А2, то мы получаем
2 (-i)8gn<r 2 (-i)sgn<T,x
°£у3, 2п-2 а^У2, 2n-4
X l((xu x2, x3), хь хъ) Rx% ... Rx()n^]GGi =
2П+1
= 2 (-i)sgn<T 2 (-i)sgn<T,x
a£y3, 271-2 ai6y2, 2n-4
x l(xu x2, x2) RXARXbRX9 ... Rx2n+1]GGl =
(2n — 2)!
2!(2rc —4)!
X [(a?! s2, x3)RX4 ... Д*2П+1]а =
2|РД 2 (-!)Sgn<T K*i. *i> **)** • ■ ■ «*>
_„2n+l
а£у3, 2n-2
2/ /i \sgn о (2n — 2)!
^ 1; '2W2w —4N A
а£У3, 2n-2
2n+lJ
Так как ф (л - l)-^3ji = (* ~ 2)! (2" - 5)!! х
X (л — 1) (2и — 3) = (и '— 1)! (2и — 3)!! = ф (л), отсюда
следует справедливость леммы.
Следствие. Пусть в аддитивной группе кольца
операторов Ф wem элементов порядка ^.2п — 1. Тогда
в свободной альтернативной Ф-алгебре Alt I^2n+J от
порождающих хг, х2, . . ., х2п+1 элемент fn (хх, х2, . . .
. . ., x2n+i) отличен от\ нуля.
Доказательство. Пусть А — разрешимая
индекса 2 алгебра над кольцом Ф из примера Дорофеева
(§ 6.2). По определению умножения в алгебре А и ввиду
леммы 3 мы имеем*для элементов х, ег, . . ., е2п алгебры А
In (#» #1» • • • •> ^2п) ==
^(п-1)\(2п-3)П11Ш:щ{Хз в1| ei)Rez ... Re2n =
= п\(2п —1)11 xRtR2 ... i?2n=#=0.
Отсюда вытекает утверждение следствия.
Обозначим через Altm (Ф) многообразие
альтернативных Ф-алгебр, порожденное свободной альтернативной

§ 1]
ТОЖДЕСТВА
313
Ф-алгеброй Alt [Хт] от т порождающих, и через Altm —
многообразие альтернативных колец, порожденное
свободным альтернативным кольцом от т порождающих.
Ясно,, что Altm = Altm (Z), где Z — кольцо целых чисел.
Как легко видеть, справедлива следующая цепочка
включений:
Altx (Ф) £ Alt2 (Ф) <= , . . с= Alt* (Ф) <= (*)
Первые три включения в этой цепочке являются строгими:
строгость включений Altx (Ф) cz Alt2 (Ф) cz Alt3 (Ф)
вытекает из теоремы Артина, а строгость включения
Alt3 (Ф) cz Alt4 (Ф) была установлена в работах
Дорофеева и Хумм и Клейнфелда. Ширшов поставил вопрос
о том, стабилизируется ли цепочка (*) при Ф = Z на
конечном шаге. Ответ на этот вопрос оказывается
отрицательным.
Теорема 2 (Ш е с т а к о в). Пусть в аддитивной
группе кольца Ф нет элементов конечного порядка. Тогда
для любого натурального т включение Altm (Ф) cz
cz Alt2m +1 (Ф) является строгим. В частности, в этом
случае цепочка многообразий (*) не стабилизируется ни
на каком конечном шаге.
Доказательство вытекает из теоремы 1 и
следствия леммы 2.
Полагая Ф = Z, мы получаем
Следствие. гь (Alt) = н0.
Остается открытым вопрос о том, могут ли в цепочке (*)
на некоторых местах быть равенства.
Интересно также найти какие-либо системы
определяющих тождеств многообразий Altm, m >- 3.
Рассмотрим теперь, как соотносятся понятия
разрешимости и нильпотентности в многообразиях Altm (Ф).
Мы знаем (см. § 6.2), что в многообразии всех
альтернативных Ф-алгебр эти понятия не эквивалентны: для
любого кольца операторов Ф существует разрешимая
альтернативная Ф-алгебра, не являющаяся нильпотентной.
Оказывается, что в многообразиях Altm (Ф) ситуация
существенно меняется.
Теорема 3 (Ш е с т а к о в). Пусть Ф — поле
характеристики 0. Тогда всякая разрешимая алгебра из
многообразия Altm (Ф) нилъпотентна.

314 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 13
Доказательство. Докажем вначале, что
всякая разрешимая индекса 2 алгебра А из многообразия
Altm (Ф) нильпотентна. По теореме 1 и лемме 2 в
алгебре А выполнено тождество
2 (-1Гл°[(хи *2, x3)Rx,...R ? = 0.
Полагая здесь х2т +1 = УхУъ, получим тождество
2 (- l)SSn ° lUWa, «1, *г) R*.... R*9J = 0;
CTeV2, 2™-2
при этом мы считаем, что у^ = уг, у% = у2. Так как
yRxz = 0 и у (Rx о i?2) = i/i?^ = 0 для любого у £А2,
то наше тождество приводится к следующему виду:
2m(2m-i) ylU2RXi ... RX2m = 0.
Следовательно, алгебра А правонильпотентна индекса
2т + 2. Ввиду следствия теоремы 5.5, мы получаем, что
алгебра А нильпотентна индекса (2т + 2)2. Пусть теперь
F — свободная алгебра в многообразии Altm (Ф) от
счетного множества порождающих. Из доказанного следует,
что jP(2 +2) ^ F(2). Пусть уже доказано, что для
натурального числа п ^> 2 существует число / (т, п) такое, что
Ff(m,n) <_ р(пк Т()гда ддя любой алгебры А £ AUm (ф)
мы имеем АКп>т) с= А^п\ В частности, (F2)*1"'п) <=
^ (/^2^(п) = /да+1)# Заметим, что по следствию 2
теоремы 1.3 многообразие Altm (Ф) является однородным.
Повторяя теперь дословно рассуждения, приведенные при
доказательстве леммы 8.8 (см. также упражнение 2
к § 8.2), мы получаем, что в качестве / (т, п + 1) можно
взять число [/ (т, тг)]2. По индукции заключаем, что
числа / (т, п) существуют для любого натурального п,
откуда следует эквивалентность разрешимости и
нильпотентности в многообразии Altm (Ф).
Теорема доказана.
Следствие. Пусть А — конечнопорожденная
альтернативная алгебра над полем характеристики 0. Тогда
всякая разрешимая подалгебра алгебры А нильпотентна.

§ 2] РАДИКАЛЫ И НИЛЫЮТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 315
Заметим здесь же, что для йордановых алгебр
аналогичный результат не справедлив — разрешимая нениль-
потентная специальная йорданова алгебра из примера
Жевлакова (§ 4.1) по теореме 3.7 вложима в 2-порожден-
пую йорданову алгебру.
Упражнения
1. Пусть 9$ — многообразие ассоциативных алгебр над полем
характеристики 2, определяемое тождеством х2 = 0. Доказать,
что rh (Щ = н0-
2. Пусть 1/2 £ Ф. Обозначим через Jord(2> многообразие
йордановых разрешимых индекса 2 алгебр над Ф. Доказать, что
rb (Jord<2>) - к0.
3 (Шестаков). Пусть / — конечномерная йорданова
алгебра над полем характеристики 0. Доказать, что в многообразии
Var (/), порожденном алгеброй /, всякая разрешимая алгебра
нильпотентна.
Указание. Достаточно доказать, что для всякой алгебры
А £ Var (/) равенство (Л3)3 = (0) влечет ее нильпотентность..
^"4. Доказать, что для многообразия Jord всех йордановых
алгебр rb (Jord) > 3.
§ 2. Радикалы и нильпотентные элементы
свободных альтернативных алгебр
В этом параграфе мы покажем, что, в отличие от
свободных ассоциативных или свободных неассоциативных
алгебр, свободные альтернативные алгебры над областью
целостности могут содержать ненулевые делители нуля
и нильпотентные элементы. Множество всех нильпотент-
ных элементов свободной альтернативной алгебры
образует в ней двусторонний идеал, совпадающий с радикалом
Жевлакова. Мы приведем ряд характеризаций этого
радикала и дадим некоторое описание фактор-алгебры по
радикалу.
Ниже всюду Ф — произвольная область целостности
с единицей 1; X = {хг, х2, . . .}, Хп = {хи . . ., хп}.
Напомним, что через D (А) обозначается идеал алгебры А,
порожденный всеми ее ассоциаторами.
Лемма 3. Пусть Ш — произвольное однородное
подмногообразие многообразия Alt всех альтернативных
Ф-алгебр; Ф^[Х]— свободная в многообразии Ш алгебра
от множества порождающих X, Тогда f (Фэд \Х\)
является ниль-идеалом, т. е. f- (Ф^[Х]) = JT (Фд#[Х]).

316 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 13
Доказательство. Пусть f£f (Фэд[Х]), f = f(xt,...
.. ., хп). Положим f' = f-xn+i, тогда /' однороден степени
1 по xn+i и f £f ((DsjflfX]). Пусть g — квазиобратный
га
элемент для /', g — 2 gi4 где gt однороден степени i
по жп+1. Мы имеем
m m
i==0 7=0
откуда, ввиду однородности многообразия Ш,
go = 0, f'gm = 0
и, далее,
f + gi = 0. £* = /'g*-i, i = 2, . . ., m.
Следовательно, g^ = —(/')\ откуда (/')™+1 = 0. Полагая
теперь #n+i = / в тождестве (/')m+1 = 0, мы получим
/2<т+1> = 0. Лемма доказана.
Следствие 1. Пусть Ass [X] — свободная
ассоциативная Ф-алгебра. Тогда f (Ass [X]) = (0).
Действительно, алгебра Ass [X] не содержит
ненулевых нильпотентных элементов.
Следствие 2 (Ж е в л а к о в). Радикал Жевла-
кова f- (Alt [X]) свободной альтернативной Ф-алгебры
Alt [X] локально нильпотентен, т. е? ^-'(Alt [Х])"=
= X (Alt [X]).
Д о"к а з а т е л~ьгс т в"о. Предположим, что
f (Alt [X]) с£ X (Alt [X]). Тогда_ образ f радикала
f (Alt [X]) в фактор-алгебре А = Alt [Х]/# (Alt [X])
отличен от нуля. По теоремам 8.8 и 9.11 алгебра А есть
подпрямая сумма первичных ассоциативных алгебр без
локально нильпотентных идеалов и колец Кэли —
Диксона. Так как %■ Ф (0), то существует такое подпрямое
слагаемое Аа, при гомоморфизме алгебры А на которое
образ идеала fr отличен от нуля. В силу следствия 1
f (Alt [X]) <= D (Alt [X]), поэтому f <= D (А), и при
любом гомоморфизме алгебры А на ассоциативную алгебру
идеал if отображается в нуль. Остается рассмотреть
случай, когда соответствующее слагаемое Аа является
кольцом! Кэли — Диксона. Ввиду леммы 3, f- (Alt [X]) —
ниль-идеал, поэтому f- — ниль-идеал алгебры А, и при

§ 2] РАДИКАЛЫ И НИЛЫ10ТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 317
гомоморфизме алгебры А на Аа идеал ^ должен перейти
в ниль-идеал алгебры Аа. Но по следствию предложения
9.3 кольцо Кэли — Диксона Аа ниль-полупросто,
поэтому при любом гомоморфизме алгебры 4 на 4а идеал 'f
отображается в нуль. Полученное противоречие
доказывает, что f = (0), т. е. f (Alt [X]) = X (Alt [X]).
Следствие доказано.
Обозначим через С матричную алгебру Кэли —
Диксона С (Ф) над основным кольцом операторов Ф и через
Т (С) — подмножество алгебры Alt [X], состоящее из
таких тождеств алгебры С, у которых все частичные
линеаризации также являются тождествами в С. Если Ф
бесконечно, то по теореме 1.5 множество Т (С) совпадает с
идеалом всех тождеств алгебры С. В общем случае Т (С) равно
идеалу тождеств матричной Ф-алгебры Кэли — Диксона
С (Фх), где Фх — произвольная бесконечная ассоциативно-
коммутативная Ф-алгебра без делителей нуля; например,
Фх = ф [t] — кольцо многочленов от переменной t. Таким
образом, Т (С) — вполне характеристический идеал
алгебры Alt [X]. Заметим, что по теоремам 1.4 и 1.6 для любой
ассоциативно-коммутативной Ф-алгебры К алгебра С (К) =
= К ®ф С удовлетворяет всем тождествам из Т (С),
Теорема 4 (Ш естаков, Слейте р).
f (Alt [X]) = Т {C)[\D (Alt [X]).
Доказательство. Пусть / = / (хх, . . ., хп) £
6 f (Alt [X]). По следствию 1 леммы 3 f (Ass [Х]) = (0),
поэтому f (Alt [X]) ^ D (Alt [X]). Для доказательства
того, что / 6 Т (С), нам достаточно показать, что
тождество / справедливо в алгебре Сг = С (Ф [t]). Пусть / # 0
в Съ т. е. существуют такие элементы с±, с2, . . ., сп £ Сг,
что/ (сг, с2, . . ., сп) Ф 0. Ввиду конечной порожденности
Ф-алгебры Сг, существует гомоморфизм ф алгебры Alt [X]
на Сг такой, что ф (xt) = ct для i = 1, 2, . . ., п. Так
как по следствию 2 леммы 3 f (Alt [X]) = X (Alt [X]),
то мы имеем
X (Сг) => ф (X (Alt IX})) -
= Ф (f (Alt [X])) Э Ф (/) = /fa, ..., сп) Ф 0,
т. е. X (Сг) ф (0). Но алгебра Сх является, как легко
видеть, кольцом Кэли — Диксона, а по следствию
предложения 9.3 всякое кольцо Кэли — Диксона ниль-полу-

318 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 13
просто. В частности, X (С^) = (0). Полученное
противоречие доказывает, что / = 0 в Сх, т. е. f £ Т (С)
и f (Alt [X]) <= Г {C)[\D (Alt [X]).
Пусть теперь / = / (х±, . . ., хп) 6 Т (С) П D (Alt [X]).
Если / (J ^ (Alt [X]), то существует гомоморфизм ф
алгебры Alt [X] на некоторую примитивную алгебру Л, при
котором
ф (/ (Х±, . . ., Хп)) = / (ф (ХХ), . . ., ф (яп)) =7^ 0.
Так как В(4)Эф (Z) (Alt Ш)) Э ф (/) # 0, то алгебра А
неассоциативна. Следовательно, по теореме 10.1 А
является алгеброй Кэли — Диксона над некоторым полем F.
Напомним, что А является также алгеброй над Ф, поэтому
и центр F алгебры А является алгеброй над Ф. Если F1 —
некоторое расширение поля F, то поле F1 и /^-алгебру
Аг = Fx ®F А также можно очевидным образом
рассматривать как алгебры над Ф. Расширяя теперь, если
необходимо, поле F до его алгебраического замыкания, по
следствию теоремы 2.6 и теореме 2.7 мы получим
матричную алгебру Кэли — Диксона С (F±) над полем F±, в
которой / (сх,. . ., сп) Ф 0 длянекоторыхЪлементов сх,. . .,сп.
8
Пусть с{ = ]>j atjeh где аи 6 Fu i = 1, 2, . . ., п;
7 = 1, 2, . . ., 8; ег, . . ., е8 — матричные
единицы Кэли — Диксона. Рассмотрим кольцо многочленов
Ф [ttj], i = 1, 2, . . ., щ ] = 1, 2, . . ., 8, и матричную
алгебру Кэли — Диксона С (Ф [ttj]). Существует
гомоморфизм Ф-алгебр г|э: Ф [ttj] -^F^ при котором г|э (ttj) =
= <Xij. Пусть е[, . . ., е'8 — матричные единицы Кэли —
Диксона алгебры С (Ф [t^]). Полагая
_ 8 8
i=l г=1
мы получаем продолжение гомоморфизма г|э до
гомоморфизма Ф-алгебр ^: (7 (Ф [ttj]) -> (7 (7^). Пусть у£ =
8 _ _
= И МЬ тогда г|5 (г/О = с* и г|э (/ (уг, . . ., г/п)) =
i=i
= / (q, . . ., сп) ф 0. Отсюда следует, что и / (уг, . . .
• • •» */n) =7^ 0. Напомним теперь, что, как было замечено
ранее, алгебра С (Ф [ttj]) = Ф [£^] ®ф С удовлетворяет

§ РАДИКАЛЫ И НИЛЫ10ТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 319
всем тождествам из Т (С). В частности, алгебра С (Ф [ttj])
удовлетворяет тождеству /. Полученное противоречие
доказывает, что / £ f (Alt [X]), т. е. f (Alt [X]) =>
=>Т {C)[\D (Alt [X]).
Теорема доказана.
Теорема 4 дает нам следующий критерий для
определения принадлежности элемента / алгебры Alt [X]
радикалу f (Alt [X]).
Следствие 1. Элемент f алгебры Alt [X] тогда
и только тогда принадлежит радикалу f (Alt [X]), когда
f вместе со всеми своими частичными линеаризациями
обращается в нуль в свободной ассоциативной алгебре Ass [X]
и в алгебре Кэли — Диксона С
Следствие 2. Пусть / 6 г (Alt [X]). Тогда все
частичные линеаризации элемента f также принадлежат
f (Alt IX}).
В частности, yf (Alt [X]) является однородным идеалом
алгебры Alt [X], т. е. если / 6 ^ (Alt [X]), то и всякая
однородная компонента элемента / принадлежит f- (Alt [X]).
Сформулированный в следствии 1 критерий позволяет
нам установить, что при некоторых ограничениях на
кольцо Ф радикал 'f (Alt [X]) отличен от нуля.
Следствие 3. Пусть в аддитивной группе кольца
операторов Ф нет элементов порядка, меньшего 8. Тогда
f (Alt [X]) Ф (0).
Доказательство. Пусть fn (х±, . . ., #2n+i) —
кососимметрическая функция, определенная в § 1. Ясно,
что fn (х±, . . ., #2n+i) 6 D (Alt [X]) при всех п. С другой
стороны, так как алгебра Кэли — Диксона С является
8-мерным модулем над Ф, то всякая кососимметрическая
полилинейная функция от п ^ 9 аргументов равна нулю
на С. В частности, fn (хг, . . ., х2п+1) 6 Т (С) при п ;> 4.
По следствию леммы 2 мы теперь получаем, что 0 Ф
Ф h К, . . ., *9) 6 Т (С) П D (Alt [X]) = f (Alt [X]),
т. е. f (Alt [X]) Ф (0). Следствие доказано.
В частности, в свободном альтернативном кольце от
девяти и более порождающих есть ненулевые нильпотент-
ные элементы.
Замечание. На самом деле f (Alt [X]) Ф (0) при
любом кольце операторов Ф. Например, ввиду следствия
леммы 2.8, легко видеть, что элементы к = ([х, у]2, г, s)
и кг = ([я, ylojz, £], г, s) принадлежат f (Alt [X]).

320 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЬ! [ГЛ. 13
В то же время для любого кольца Ф существуют
альтернативные Ф-алгебры, в которых к Ф 0, кх Ф 0;
соответствующий пример для элемента к± построил в 1963 г.
Дорофеев, а для элемента к — в 1967 г. Хумм и Клейн-
фелд. Следовательно, элементы к и кг отличны от нуля
в Alt [X]. Так как элемент к зависит лишь от четырех
переменных, то ненулевые нильпотентные элементы
содержатся уже в свободных альтернативных кольцах от четырех
(и более) порождающих. Отметим также, что, как показал
Шестаков, элемент к является абсолютным делителем нуля
в Alt [X].
Лемма 4. Пусть К [X] = Alt [XVТ (С). Тогда
алгебра К [X] не содержит делителей нуля.
Доказательство. Пусть /х, /2 £ Alt [X] и /х -/2 £
6 Т (С). Нам нужно показать, что тогда либо /х 6 Т (С),
либо /2 £ Т (С). Пусть Ф' — поле частных кольца Ф.
По теореме 2.8 существуют бесконечное расширение F
поля Ф' и алгебра Кэли — Диксона А над F, являющаяся
телом. Пусть /^ — алгебраическое замыкание поля F;
тогда алгебра Аг = F± ®F А является матричной
алгеброй Кэли — Диксона над Fx, откуда Ах = С (Fx) =
= F± ®ф С. Всякий элемент из Т (С) является
тождеством алгебры Аг, а следовательно, и алгебры А.
В частности, в алгебре А справедливо тождество
/х (х±, . . ., хп) • /2 (хх, . . ., хп) = 0. А так как в А нет
делителей нуля, то для любых элементов ах, . . ., ап £ А
либо /х (аг, . . ., ап) = 0, либо /2 (аг, . . ., ап) = 0. Пусть
теперь 1г и /2 — идеалы алгебры Alt [X], порожденные
соответственно элементами f± и /2. Тогда в алгебре Л
справедливы все тождества вида /•£ = (), где / 6/19
g1 6 ^2? причем в силу бесконечности поля F все эти
тождества остаются справедливыми в алгебре F' ®F А для
любого расширения F' поля F. Пусть F' = F [ttj], i =
= 1, . . ., щ / = 1, . . ., 8; тогда рассмотрим в алгебре
А' = F' ®F А элементы
8
где e±, е2, . . ., £8 — некоторый базис алгебры А над F.
Пусть /х и /2 — идеалы алгебры А', порожденные
соответственно элементами /х (г/х, . . ., уп) и /2 (ух, . . ., уп).

§ 2] РАДИКАЛЫ И НИЛЫ10ТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 321
Тогда по доказанному выше мы имеем ^-1^ = (0). Но
алгебра А' является кольцом Кэли — Диксона, поэтому
А' первична и либо 1Х = (0), либо /2 = (0).
Следовательно, либо fx (уг, . . ., уп) = 0, либо /а (ух, . . ., уп) = 0.
Допустим, что f1 (ух, . . ., уп) = 0, и пусть а* =
8
= 2 аи^р * = 1» • • •» w»— произвольные элементы
алгебры Л. Рассмотрев специализацию ttj -^ос^, как
и при доказательстве теоремы 4, мы получим гомоморфизм
ф: А' ->Л, для которого ф (z/i) = аг. Но тогда f± (ax, . . .
. . ., ап) = ф (А (ух, . . ., уп)) = 0, откуда в силу
произвольности элементов аь следует, что алгебра А
удовлетворяет тождеству /х. Ввиду бесконечности поля F,
тождеству /х удовлетворяет и алгебра Ах = С (Fx), где Fx —
алгебраическое замыкание поля F. Более того, так как
F± бесконечно, то все частичные линеаризации элемента Д
также обращаются в нуль в алгебре А±. Так как С ^ Аи
отсюда следует, что f± £ Т (С). Лемма доказана.
Следствие 1. Пусть К [Хп] = Alt [Xn]/(Alt[Xn] f|
f] Т (С)). Тогда алгебра К [Хп] не содержит делителей
нуля.
Алгебру S с множеством порождающих Y мы будем
называть свободным кольцом Кэли — Диксона, если S
является кольцом Кэли — Диксона, и для всякой
алгебры Л, являющейся кольцом Кэли — Диксона, любое
отображение множества Y в А можно продолжить
единственным образом до гомоморфизма алгебры S в А,
Следствие 2. Пусть card (У) ^ 3. Тогда алгебра
К [Y] является свободным кольцом Кэли — Диксона от
множества порождающих У.
Доказательство. Так как алгебра К [Y] не
имеет делителей нуля и неассоциативна, то по
теореме 9.9 К [У] является кольцом Кэли — Диксона. Кроме
того, как легко видеть, К [Y] является свободной
алгеброй от множества порождающих Y в многообразии Ф-ал-
гебр Var (С), порожденном матричной алгеброй Кэли —
Диксона С. Для завершения доказательства достаточно
теперь показать, что всякая алгебра А, являющаяся
кольцом Кэли —Диксона, удовлетворяет всем тождествам из
Т (С), Пусть Z—центр алгебры^, и Z1—поле частных
кольца Z; тогда Z и Zx являются алгебрами над Ф, и алгебра

322 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 13
Кэли — Диксона Ах = (Z*)-1 А над полем Z1 является
также и алгеброй над Ф. Рассуждая далее, как во второй
половине доказательства теоремы 4, мы получим, что
Ф-алгебра Аг удовлетворяет всем тождествам из Т (С),
Так как А ^ А±, то тем самым все доказано.
Лемма 5. Алгебра К [X] не содержит ненулевых
квазирегулярных элементов.
Доказательство. Так как Т (С) —
однородный идеал алгебры Alt [X], то в алгебре К [X] имеют
смысл понятия степени многочлена, однородного
многочлена, и т. д. Пусть / — квазирегулярный элемент
алгебры К [X] и g — квазиобратный элемент для /; тогда
f + g = fg. (7)
Если / Ф О, то и g Ф О, и мы имеем
п га
ft=l h=l
где через fk и gk обозначены суммы всех одночленов
степени к, входящих соответственно в многочлены ./ и g.
Сравнивая члены одинаковых степеней в равенстве (7),
получаем fngm = О, откуда в силу отсутствия делителей
нуля в алгебре К [X] либо fn = О, либо gm = 0.
Полученное противоречие доказывает, что / = 0. Лемма
доказана.
Следствие, f (К Ш) = (0).
Докажем теперь следующий результат.
Теорема 5 (Ш естако в, Слейте р).
Радикал Жевлакова f (Alt [X]) свободной аЛътернативной
алгебры Alt [X] совпадает с совокупностью всех нилъпо-
тентных элементов алгебры Alt [X]. Фактор-алгебра
Alt [X] = Alt [X]/f (Alt IX])] изоморфна подпрямой
сумме свободной ассоциативной алгебры Ass [X] и свободного
кольца Кэли — Диксона К [X].
Доказательство. Докажем вначале вторую
половину теоремы. В силу теоремы 4 алгебра Alt [X]
изоморфна подпрямой сумме алгебр Alt [X]/D(Alt [X])
и К [X] = Alt [Х]/Т (С). Ясно, что Alt [X]/D(Alt [X]) е*
^ Ass [X]. С другой стороны, по следствию 2 леммы 4
К IX] — свободное кольцо Кэли — Диксона

§ 21 РАДИКАЛЫ И НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 323
Так как по лемме 3 ^(Alt [X]) — ниль-идеал, для
завершения доказательства достаточно показать, что в
алгебре Alt [X] нет нильпотентных элементов. Но это следует
из уже доказанной второй половины теоремы, так как
в алгебрах Ass [X] и К [X] нильпотентных
элементов нет.
Теорема доказана.
Следствие, f (Alt [Хп] = f (Alt [X]) f] A] t [Xn] =
= T (С) П D (Alt [Xn]).
Доказательство. Заметим прежде всего, что
f (Alt [X]) П Alt [Xn])— ниль-идеал алгебры Alt [Xn];
поэтому f (Alt [X]) f] Alt [Xn] c= f (Alt [XJ). Для
доказательства включения f (Alt [Xn]) ^ ^ (Alt [X])
достаточно показать, что фактор-алгебра Alt [X] =
= Alt [X]lf (Alt [X]) не содержит ненулевых,
квазирегулярных элементов. По теореме 5 алгебра Alt [X]
изоморфна подпрямой сумме алгебр Ass [X] и К [X], каждая
из которых не содержит ненулевых квазирегулярных
элементов (доказательство леммы 5 дословно подходит и для
алгебры Ass [X]). Следовательно, этому же свойству
удовлетворяет и алгебра Alt [X], и мы имеем f- (Alt [Хп]) ^
^ f- (Alt [X]), что доказывает первое из требуемых
равенств. Второе равенство следует из теоремы 5 и
равенства D (Alt [Хп]) = D (Alt [X]) П Alt [Хп]. Следствие
доказано.
Из доказанного следствия и следствий 1 и 2 леммы 4
вытекает, что результаты, аналогичные теоремам 4 и 5,
справедливы и для конечнопорожденной свободной
альтернативной алгебры Alt [Хп] (при п <^ 2 они
тривиальны). В частности, замечание, приведенное после
следствия 3 теоремы 4, показывает, что f (Alt [Хп]) Ф (0) при
п ;> 4. С другой стороны, по теореме Артина Alt [Xn] ^
^ Ass [Хп] при п < 2, поэтому f (Alt [Xn]) = (0) при
п ^2. Остается открытым вопрос о справедливости
равенства f (Alt [Х3]) = (0). По доказанному выше этот
вопрос эквивалентен вопросу о наличии в алгебре Alt [Х3]
ненулевых нильпотентных элементов. Заметим, что из
упражнения 6 к § 7.1 следует, что алгебра Alt [Х3]
содержит ненулевые делители нуля. Более того, как мы увидим
в следующем параграфе, алгебра Alt [Х3] не является
первичной.

324 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 13
В заключение этого параграфа мы получим еще одну
характеризацию радикала Жевлакова^ (Alt 1Хп])
свободной конечнопорожденной альтернативной алгебры Alt [Хп].
Нам понадобится следующая
Лемма 6. Всякий элемент из алгебры правых
умножений R (Alt [X]) алгебры Alt [X] есть линейная
комбинация элементов вида
RuxRu2 ... RunRxi (8)
где х — произвольный элемент алгебры Alt [X], иг, и2У . . .
. . ., ип — попарно различные правильные г^слова от
множества X; при этом операторы RUi, RU2, . . ., RUn
могут и отсутствовать.
Доказательство. Пусть 1п — подмодуль Ф-мо-
дуля R (Alt [X]), порожденный множеством элементов
вида RaiRat • • • #ап> где at £ Alt [X]; тогда R (Alt [X]) =
оо
= S In- Обозначим через Jn подмодуль Ф-модуля /п,
п=1
порожденный всеми элементами вида (8), лежащими
оо
в 1п. Нам нужно доказать, что R (Alt [Х])= 2 Jn- Так
п=1
как 1г = Jl9 для этого достаточно установить, что для
любого п > О
/л+1с=/п+1+2 Ih. (9)
п
Рассмотрим фактор-модуль i?n+1 = J? (Alt [X])/ 2 Ik и ка-
ионический гомоморфизм я: R (Alt [X]) ->i?n+1. Для
любых элементов ах, . . ., ап £ Alt [X] мы положим
/ (ах, . . ., ап) = {п (Rai . . . RanRx) I a: € Alt [X]}.
Легко видеть, что / (%, . . ., ап) — подмодуль Ф-модуля
я (/n+i); при этом
n(In+i)= 2 /(ai> •• .,«п)-
о^.-^адеАПт
Следовательно, для доказательства включения (9) нам
достаточно установить, что / (аг, . . ., ап) ^ я (In+i) Для
любых alf . . ., ап 6 Alt [X]. Покажем, что отображе-

§ 2] РАДИКАЛЫ И НИЛЫЮТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 325
ние / удовлетворяет условиям а) — д) предложения 1.
Ввиду тождества правой альтернативности, мы имеем
Rx = RX2y
откуда следует, что / удовлетворяет условиям а) и б).
Условия в) и г) очевидны. Наконец, из соотношения (7.18)
мы получаем
RyxyRt = RxRyty + RyR{xyt) (mod Л)»
откуда следует, что / удовлетворяет и условию д). По
предложению 1 мы теперь получаем, что / (аг, . . ., ап) ^
^ я (Jn+i). Лемма доказана.
Следствие. Всякий элемент из алгебры
R (Alt [Хт]) есть линейная комбинация элементов вида
(8), где п<2т.
Действительно, в этом случае по следствию
предложения 1 я (7П) = (0) при п > 2™, поэтому R (Alt [X J) =
= 2 л-
Теорема 6 (Шестаков). Всякий элемент f 6
6 ^ (Alt [Хт]) порождает в алгебре Alt [Xт] правый нилъ-
идеал ограниченного индекса.
Доказательство. Обозначим правый идеал,
порожденный элементом /, через /. Тогда / = ф/ + Jlt
где Jt= {fW\W£R (Alt [Xm])}. Так как Л g= /lf To
нам достаточно показать, что правый идеал /х является
ниль-идеалом ограниченного индекса. Пусть иг, . . ., uk—
некоторый упорядоченный набор различных правильных
ггслов из Alt [Хт]. Сопоставим каждому такому набору
порождающий-#;-, отличный от хг, . . ., хт, так, чтобы
разным наборам соответствовали разные порождающие,
и положим
F (щ, и2, ..., uk) = fRUtRUt ... RU}RX.,
2m-l
f= S ЪР{иЧ\*%\ ...,4i}),
где u^>, . . ., и$ — произвольные попарно различные
правильные ггслова от элементов хг, . . ., хт. В силу
следствия леммы 6 всякий элемент идеала Jл является

326 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ, 13
образом элемента F при подходящем эндоморфизме
алгебры Alt [X]. Так как по следствию теоремы 5f (Alt [Xт]) ^
^ f (Alt IX]), то / 6 f (Alt IX]), откуда следует, что
и F £ f- (Alt [X]), поэтому элемент F нильпотентен.
Пусть Fn = О, тогда Jx является ниль-алгеброй
индекса п, а / — ниль-алгеброй индекса 2п. Теорема доказана.
Следствие 1. Радикал Жевлакова f (Alt [Xm])
алгебры Alt 1Хт] равен сумме всех правых нилъ-идеалов
ограниченного индекса алгебры Alt [Хт].
В случае, когда Ф — поле характеристики 0,
справедливо более сильное утверждение.
Следствие 2. Радикал Жевлакова свободной конец-
нопорожденной альтернативной алгебры над полем
характеристики О равен сумме всех разрешимых правых идеалов
этой алгебры.
Действительно, по теореме Жевлакова (теорема 6.2)
всякая альтернативная ниль-алгебра ограниченного
индекса над полем характеристики 0 разрешима.
Перейдем теперь к двусторонним идеалам.
Ниже всюду А — альтернативная алгебра, / —
правый идеал алгебры А и / = А^1 — двусторонний идеал
алгебры А, порожденный множеством /. Как и в главе 12,
для подалгебр В, С алгебры А мы положим (В, С)г = ВС,
(В, C)k+1 = (В, C)h-C. Если В + I = С + I, то мы
будем писать В == С; аналогично, если a, b £ А и а — Ъ £
6 I, то будем писать а = Ь. Заметим, что если~а = Ъ, то
ах = Ъх для любого х 6 А.
Лемма^7. Пусть v (хг, . . ., хп) — произвольный
полилинейный одночлен степени п и v (I) — подмодуль
Ф-модуля А, порожденный значениями v (у±, . . ., уп), где
уг, . . ., уп 6 I- Тогда для любой подалгебры С алгебры А
Cv(I)^(C, /)„.
Доказательство. Проведем индукцию по
степени п одночлена v. Очевидно основание индукции: п = 1.
Пусть^теперь п > 1, тогда v = v^v2, где d (v±) = пг,
d \v2) = n2,) nt <C n, и мы имеем по предположению
индукции
Cv(I) = 0.^(1)4(1))^
с= (CvS(I)) v2 (/)+ (С, v, (I), vt (/))•=
= ((С, /)„„ /)„, + (v, (/), С, vt (/)) » (С, 1)п.

§ 2] РАДИКАЛЫ И НИЛЬПОТБНТНЫБ ЭЛЕМЕНТЫ 327
Те же рассуждения, проведенные в обратном порядке,
показывают, что (С, I)n ^ С -v (I) + /. Лемма доказана.
Следствие. A -I2" = А -1{п).
Лемма 8. 1{п) д= АГ + I.
Доказательство. Проведем вновь индукцию
по п. Очевидно основание индукции: п = 1. Пусть уже
доказано, что
/<"-*> <=АГ~1+1.
Тогда мы имеем
/<п> =/<п_1>/ <= {АГ1'' + 1) (А#1) £/ + (4/"-') (А#1).
Рассмотрим
(АГ~1) (А#1) <= (At*-* .А#\1 + {АГ-1, А#, I) <=
£=(АГ~1.А#)1 + (1, АГ-\ А*) = {А1п-^А*)1.
По лемме 7 получаем
АГ~1 = (А, /)„_ = (A, I)n.z.I^(Ap-z)I,
откуда
А1п~{ -А# = (АР'2-I) A* gz А1п~2.1А# +
+ (А1п~2, /, А#)<= Л/п"2./ + (/, Л#, Л/"'2) —ЛГ1"1.
Следовательно,
(АГ~{) (Л#/) <= (ЛГ1"1 • А#) I + I е ЛГ"1 •/+/ с= Л/п+/.
Лемма доказана.
Предложение 2. Пусть I — правый идеал
альтернативной^ алгебры Ау разрешимый индекса п. Тогда
двусторонний идеал I является разрешимым индекса ^ Ъп.
Доказательство. По лемме 8 и следствию
леммы 7 получаем
2<*n)c=AI2n+Ic=AIW + I = I. .
Теперь по следствию теоремы 5.5 имеем

328 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 13
откуда
/<2">с=/22Пс=/
и далее
Предложение доказано.
Из следствия 2 теоремы 6, предложения 2 и следствия
теоремы 3 вытекает -w
Теорема 7 (Ш естак.ов). Радикал Жевлакова
свободной конечнопорожденной альтернативной алгебры
над полем характеристики О равен сумме всех
двусторонних нилыготентных идеалов этой алгебры.
Следствие. В свободной конечнопорожденной
альтернативной алгебре над полем характеристики О всякий
нилъпотентный элемент порождает нилъпотентный идеал.
В заключение этого параграфа сформулируем еще
несколько открытых вопросов.
1. Найти базис тождеств матричной алгебры Кэли —
Диксона С.
2. Описать f (Alt [X]) как вполне характеристический
идеал.
3. Является ли идеал f- (Alt [Хп]) нильпотентным?!
§ 3. Центры альтернативных алгебр
Одним из важных направлений в изучении свободных
альтернативных алгебр является изучение центров этих
алгебр. Нам уже известен ряд ненулевых элементов из
ассоциативного центра NAn свободной альтернативной
алгебры Alt [X] (см. § 7.2). В этом параграфе мы докажем,
что и центр ZAH алгебры Alt [X] отличен от нуля. Мы
продолжим также исследование вопроса о совпадении
в альтернативной алгебре А центров N (А) и Z (А),
проведенное ранее для простых и первичных алгебр, и
докажем, что если 1/2 £ Ф, то N (А) = Z (А) во всякой чисто
альтернативной алгебре А. Наконец, мы докажем, что
различные центры свободной алгебры произвольного
однородного многообразия являются вполне
характеристическими подмножествами (т. е. выдерживают все
эндоморфизмы этой алгебры).

§ з]
ЦЕНТРЫ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР
329
Ниже всюду Ф — произвольное
ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей 1, А — альтернативная
Ф-алгебра, N = N (A), Z = Z (A), D = D (A), U =
= U (А). Напомним, что через ZN (А) обозначается идеал
алгебры А, порожденный множеством [N, А]. По
лемме 7.4 ZN (А) = [N, А] А* = А# [N, А].
Лемма 9. Пусть п Z N, a, b,c, d £ А. Тогда
элемент [п, а] (6, с, d) является кососимметрической
функцией элементов а, 6, с, d.
Доказательство. Ввиду кососимметричности
ассоциатора, нам достаточно доказать, что для любых
а, 6, с £ А
[п, а] (а, 6, с) = 0.
Согласно следствиям 1 и 2 леммы 7.3 и соотношению (7.4)
мы имеем
[п, а] (а, 6, с) = (а, [п, а] 6, с) =
= (а, [п, ab], с) — (а, а [п, 6], с) =
= —(а, [п, &], с) а = 0.
Лемма доказана.
Лемма 10 (Дорофеев, Шелипов). Пусть
п £ iV, а, 6, с, г, 5, £, и £ .4. Тогда в А верно равенство
2 (а, 6, с) (г, s, £) [п, и] = 0.
Доказательство. Положим d = (а, 6, с), ^ =
= (г, 5, £). Заметим вначале, что в А верны равенства
d [п, и] = [п, du] — [п, и] d. (10)
Действительно, ввиду (7.4) и (7.10), мы имеем
d [п, и] = [п, du] — [п, d] и = [п, du].
С другой стороны, так как [п, и] £ TV, то по (7.10)
d [п, и] = [п, и] d.
Теперь согласно (10) получаем
d1d [?г, и] = dx [тг, du] = [w, du] dx =
= d [rc, u] dx = ddx [n, u].
По лемме 9 произведение x = (a, 6, с) (г, 5, £) [w, и]
кососимметрично по переменным г, s, £, и/ По

330 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 13
доказанному х = (г, s, t) (а, 6, с) [п, и], поэтому
указанное произведение х кососимметрично и по переменным
а, 6, с, и. В результате получаем, что х кососимметрично
по всем переменным а, 6, с, г, s, t, и. В частности, мы
имеем
(г, 5, t) (а, 6, с) [п, и] = — (а, 5, £) (г, 6, с) [п, и] =
= (а, 6, £) (г, 5, с) [п, и] =
= — (а, 6, с) (г, 5, £) [п, и].
Сравнивая это соотношение с доказанным выше, мы
получаем утверждение леммы.
Теорема 8 (Дорофеев). So всякой
альтернативной алгебре А имеет место включение 2D -ZN (А) ^ U.
Доказательство. По предложению 5.1
множество 2D -ZN (А) является идеалом алгебры А, поэтому
нам достаточно доказать, что 2D -ZN {А) ^ N.
Произвольный элемент идеала 2D -ZN (А) является линейной
комбинацией элементов вида 2 (х, у, z)u-v[t, тг], где
п (i N, u, v £ А^, х, у, z, t £ А. Так как [t, п] £ N, то
мы имеем
2 (х, у, z) u-v [t, п] = 2 [(х, у, z) и] v-[t, п] =
= 2 ((х, у, z), и, v) [*, тг] + 2 (х, у, z) (uv)-[t, п].
Первое из получившихся слагаемых равно нулю по
лемме 7.5, а для второго имеем в силу лемм 9, 10 и ввиду (10)
2 ((#, у, z) w-[t, тг], r, s) = 2 ((х, у, z) w, r, s) [t, п] =
= —2 (t, г, s) \{х, у, z) w, п] =
= —2 (t, г, s) (s, у, z) [w, n] = 0.
Следовательно, 2D -ZN (A) ^ N. Теорема доказана.
Следствие 1. Если А — разделенная
альтернативная алгебра, то 2ZN (А) ^ N (А).
Доказательство. Напомним, что алгебра А
называется разделенной, если D (A) fl U (А) = (0).
В условиях следствия из теоремы 8 вытекает, что
2D- ZN (А)'^ D {] U = (0). В частности, для любых
а, Ь, с, d £ Л, п (z N мы имеем
2 (а, 6, [тг, с] d) = 2 (а, 6, d) [тг, cV=0*
откуда следует, что 2ZN (А) ^ N. Следствие доказано.

§ 3] ЦЕНТРЫ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР ,331
Следствие 2 (Дорофеев, Шелипов).
Если А — чисто альтернативная алгебра, то 2N ^ Z.
В частности, если 1/2 £ Ф, то в условиях следствия N = Z.
Действительно, чисто альтернативная алгебра
является разделенной, поэтому 2ZN (А) ^ N. Тогда 2ZN (А) —
ядерный идеал алгебры А, т. е. 2ZN (А) ^ U (А) = (0).
Но это равносильно включению 2N ^ Z.
Теорема 9 (Дорофеев). Во всякой
альтернативной алгебре А справедливо включение 2 (N f| D2)2 ^ Z.
Доказательство. Пусть а, Ъ £ N fl D2, с £ А.
Тогда согласно (7.4)
2 [аЪ, с] = 2а [Ь, с] + 2 [а, с] Ь 6
6 2Z)2 -ZN (А) + 2ZN (A) -D2, (11)
и мы докажем, что 2D2 -ZN (А) = 2Z7V (A) -D2 =±= (0). В
самом деле, для любых я, у, я, £ £ Л, s, w f 4* п £ N,
d £ D получаем согласно следствиям леммы 7.3 и
теореме 8
2 (s [t, п\) ((х, у, z) u-d) = 2s [([t, n] (x, y, z)) u-d] =
= 2s {{x, y, z) [t, n] u-d) £
e A# [(2D -ZN (A)) D]<= U-D = (0),
откуда следует, что 2ZN (A)-D2 = (0). Далее, для любых
с, d £ D имеем
2 (cd) -It, п] s = 2 (cd-[t, п\) s =
= 2 (c-d[t, hi) s £[D -(2D -ZN (A))] A# g= D -U = (0),
откуда 2D2-ZN (A) = (0). Теперь из (11) получаем
2 [ab, с] = 0, т. е. 2 (N f] #2)2 ^ Z, что и требовалось
доказать.
Следствие 1 (Дорофеев, Шелипов). Для
любых х, у, z, t £А элемент [(х, у, z), t]8
принадлежит Z.
Доказательство. Напомним, что по
тождествам Клейнфелда [х, z/]4 6 N для любых х, у £ А.
Следовательно, [(х, у, z), £]8 £ (TV П D2)2. Если Ф содержит 1/2,
то утверждение следствия теперь непосредственно
вытекает из теоремы 9. Докажем, что это утверждение верно

332 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ ГГЛ. 13
и в общем случае. Пусть d = (х, у, z), тогда для любых
t, г £ А мы имеем
[Id, t¥, г] = [d, tY о [W, Я*, г] -
= 2 [d, г]4 [№, AS г] + [И, AS [И, dS г]].
Так как 2 И, *]4 [И, t]\ г] £ 2D2-ZN (А) = (0), то нам
достаточно доказать, что [[d, £]S п] = 0 для любого п £ N.
Ввиду тождества (3.2), мы имеем
[d, t] = (ху, z, t) + (yz, х, t) + (zx, у, t),
откуда, ввиду (7.10), следует, что [[d, t], п] = 0. Ясно,
что тогда и [[d, flS п] = 0. Следствие доказано.
Следствие 2. ZAlt ф (0).
Действительно, как легко видеть, элемент / =
= [(хг, х2, х3), #418 не является тождеством в алгебре
Кэли — Диксона. Значит, f Ф 0 в алгебре Alt [X]. В то
же время по следствию 1 / £ ZA\t-
Замечание. Так как Кап ^ ^Aib то из
следствия 2 вытекает, что Кап Ф (0)- На самом деле в КАп
содержатся ненулевые элементы более простого вида, чем
рассмотренный выше. Например, Шестаков доказал [270],
что если 1/2 £ Ф, то (хг, х2, х3)* £ КАн- Заметим, что
соответствующее тождество [(х, у, z)S t] = Q является
в определенном смысле «двойственным» к тождеству Клейн-
фелда ([х, y]k, z, t) = 0. По следствию 1 леммы 7.1 мы
имеем включение 3 (хх, х2, хзу £ ZAlt. Неизвестно, верно
ли включение (а^, #2, #3)4 б ZAlt. Вообще до сих пор
неизвестно, является ли включение ZAlt с= JSrAlt строгим.
Если ZAlt Ф КАп, т<> легко видеть, что в аддитивной
группе алгебры Alt [X] найдутся ненулевые элементы
порядка 3. Заметим в этой связи, что вопрос о наличии
кручения в аддитивной группе алгебры Alt [X] также является
открытым. Более общая формулировка этого вопроса
такова: является ли алгебра Alt [X] свободным Ф-моду-
лем? Если это так, то интересно было бы указать какую-
либо конкретную базу этого Ф-модуля.
Рассмотрим теперь в алгебре Alt [X] идеалы ZNA\t —
= ZN (Alt [X]) и UAn = U (Alt [X]). Мы имеем 0 Ф
Ф [[хг, x2Y, х3] £ ZNaiu поэтому ZNAn Ф (0). Покажем
теперь, что и C/Alt Ф (0).

§ з]
ЦЕНТРЫ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР
333
Лемма 11 (С л е й т е р). Пусть А — произвольная
альтернативная алгебра. Тогда для любых элементов
т, п Z N (А) элемент [т, п] принадлежит U (А).
Доказательство. Пусть a, b £ А, с £А^.
Тогда согласно лемме 9 мы имеем
([ттг, п] с, а, Ъ) = [т, п] (с, а, Ъ) = —[т, с] (п, а, Ъ) = 0.
Значит, [т, п] А^ ^ N (А), откуда по предложению 8.9
[т, п] £ U (А). Лемма доказана.
Следствие 1. UA\t Ф (0).
Действительно, мы имеем 0ф [[хг, #2]4, [х3, я4]4 ] £
б UАП.
Следствие 2. Свободная альтернативная алгебра
от трех и более порождающих не является первичной.
Доказательство. Рассмотрим свободную
альтернативную алгебру Alt [У], где card (У) ^> 3. Тогда,
очевидно, D (Alt [У]) Ф (0). С другой стороны, для любых
трех| различных элементов у±, у2, y3(iY мы имеем 0Ф
Ф [foi, Р,14, [ft, 0з141 е U (Alt [У]), т. е. U (Alt [У])# (0).
Так как D (Alt [У]) -С/ (Alt [У]) = (0), то тем самым все
доказано.
Отметим здесь следующий интересный открытый
вопрос: является ли алгебра Alt [X] разделенной, т. е. верно
ли, что J7Alt П D (Alt [X]) = (0)? Если это так, то по
следствию 1 теоремы 8 мы имели бы включение 2ZNA\t ^
^ Naiu о справедливости которого пока также ничего
не известно.
Докажем теперь следующее
Предложение 3. Подалгебры NA\u ZA\t и
идеалы UAlt, ZNАц алгебры Alt [X] являются вполне
характеристическими (т. е. выдерживают все эндоморфизмы
алгебры Alt [X]).
Доказательство. Докажем, например, что
подалгебра NA\t является вполне характеристической.
Пусть п = п (#!, . . ., хт) £ N am. Нам нужно показать,
что п (%, . . ., ат) £ Nam Для любых элементов ах, ...
. . ., ат £ Alt [X]. Пусть хь Xj — свободные
порождающие, не входящие в запись элементов ах, . . ., ат и
отличные от х±, . . ., хт. Рассмотрим эндоморфизм ф алгебры
Alt [X], при котором ф (xk) = ak для к =^= 1, . . ., т/г,
Ф (#$) = #$, ф (xj) = Xj. Так как п £ -Л^ан» т0 мы имеем

334 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 13
(n, хи xj) = 0. Применяя к этому равенству эндоморфизм
ф, мы получаем
0 = ф ((гс, хь Xj)) - (Ф (п), ф (я?|), ф (xj)) =
= (п (а1? . . ., ат), Xi, Xj),
откуда п (%, . . ., ат) (zNAu. Аналогично
рассматриваются остальные случаи. При рассмотрении UAn нужно
воспользоваться предложением 8.9. Предложение доказано.
В связи с этим предложением возникает естественный
вопрос о нахождении систем порождающих элементов
вполне характеристических подалгебр iVAit и ZAlt, а
также Г-идеалов ZNAlt и UAn. Неясно пока даже,
существует ли хотя бы в одном из рассматриваемых случаев
конечная система порождающих элементов.
Заметим, что в доказательстве предложения 3 мы
существенно использовали бесконечность множества X. Для
конечнопорожденной свободной алгебры Alt [Хп]
аналогичное утверждение доказывается уже не так просто. Мы
посвятим этому доказательству оставшуюся часть данного
параграфа.
Пусть/ = / fa, . . ., хп) £ Ф [X] — произвольный
неассоциативный многочлен. Для набора натуральных чисел
[г\ = [ru, . . ., riSi; . . . ; rnl, . . ., гтп\
(sj >0, / = 1, 2, . . ., п)
мы обозначим через /^ = рг* (х±, . . ., хп; хп, . . .
. . ., x\8l; . . .; хп1, . . ., хШп) элемент
/А?» (хп) ... А[и> (xUl) ... Д> (хп1) ... Д> (xnsn), (12)
гДе xij б ^\{^1> • • •» Xn'i ^Ш • • ч xUti • • -5 xili • • •
. . ., Xhj-d). Легко убедиться в справедливости
соотношений
/а; ы а? (*,) = /а? (*,) аг ы, (13)
/AJ (xk) М (*,) = /АГ (xk)M (*,), (14)
где xt ф Xj\ хь Xj £ {#!, . . ., xn), xk ф xx\ xh, хг £ Z\
\{#i, . . ., xn}. Из этих соотношений следует, что любой
элемент из множества /А (см. § 1.4) имеет вид /[г] для
подходящего набора [г]. Если {£, . . ., /} — некоторое под-

§ 33 ЦЕНТРЫ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР 335
множество множества {1, . . ., тг}, то через /А{г ^
мы обозначим совокупность всех элементов вида (12),
у которых sk = 0 при к§ {i, ...,/}, а через /A<i,r.!.,)}3 —
совокупность таких элементов /[г]из множества /Д{г j>,
у которых rfl + . . . + ris =ки . . ., rSl + . . . +rj8' =
= ft,.
Лемма 12. Пусть / = / (a^, . . ., #n) —
произвольный неассоциативный многочлен. Тогда для любых
элементов х, г/х, . . ., уп £ Ф [X] справедливо равенство
f (г/4, .. ., уп) А- (х) = 2 /[г] (г/4, . .., уп; г/(Гп), ...
<[m], rr])=fc
(mlsi)e e (mnl) (™п«Д
• • • ? i/1 » • • •» i/n ? • • • ? i/n />
где г/f} = г/уДI (х), [т] = [ти, ..., mUl; ...; тп1, . .., тП8п],
тП>Щ'г> ... >^>0тгрм,^>0,[г1 = [г11,...,г1в1; ...
...; rnl, . ..,rne ], <[т], [г]) = Цт,^.
i, i
Доказательство. Достаточно рассмотреть
случай, когда элемент / является одночленом. Пусть степень/
по переменной хь равна tt. Рассмотрим полилинейный
одночлен v (хи, . . ., xltl; . . .; хп1, . . ., #ntnb Для
которого / (хг, . . ., хп) = v (хг, . . ., хг; . . .; хп, . . ., хп).
По лемме 1.2 имеем
/(tfi, •.... »п)А?И =
Сгруппируем вместе в этой сумме слагаемые, зависящие
от одинаковых наборов аргументов. Пусть в некотором
наборе [т] среди чисел m;4, mj2, ..., яг,*, имеется Sj
различных ненулевых чисел т)\ > ^j2 > • • • > ^b's. > О,
и пусть число т'л встречается г л раз в наборе #1д, .. .
. .., mjt.. Тогда, очевидно, mjt + mj2 + . . . + тц. =
= глтн + rj2m'j2 + • • • -{-r'js .m'js.« Сумма всех тех слагаемых,
в которые для каждого 7 = 1, 2, ...,п входят tj — Sj

336 ^СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 13
элементов г/7«, Гд элементов y{mjO, ...,г$8. элементов
y^8s\ равна в точности
J Vi/1? • • • •> Упч Уi •> • • • •> У \ •> • • ••> i/n •>''"> Уn n l'
Суммируя теперь полученные выражения для всех
различных возможных наборов аргументов, мы получаем
утверждение леммы.
Предположим теперь, что / линеен по хг. Для
произвольной алгебры А положим
Nf{A)= {а еА \g(a, Л, .. ., А) = О
для любого g6/A{2 п}}.
Пусть Фэд = Фэд [Y] — свободная алгебра
однородного многообразия Ш от произвольного (возможно,
конечного) множества порождающих Y = [уъ г/2, . . .}.
Лемма 13. Если п = п (у1э . . ., ут) £ Щ1} (Фэд),
то пАу (z) £ Nlfl) (Фэд) для любого натурального к и любых
yeY,ze <%.
Доказательство. Проведем индукцию по к.
Очевидно основание индукции: к = 0. Предположим
теперь, что лемма верна для всех к' <С.к, и рассмотрим
произвольный элемент g £ /Д{2 n>» £ — £ (#i> #2> • • •
. . ., #п; . . ., xt). По условию для любых элементов
zt б Фэд имеем h = g (п, z2, . . ., zn; . . ., z*) = 0. Но
тогда hAy (z) = 0 по предложению 1.3, поэтому согласно
лемме 12 будем иметь
0 = g(n<h\ z2, ...,zt) +
+ S 8s (*(he), z2, . . ., zt; #\ ..., z?\ . . . j,
s
где k8<k, ^ee^A(2,...f*}S/A{2 n>> ^w> = mAZ1^).
По предположению индукции имеем
gB(niM,4, ....*; *F\ ...,tf\ ...)=of
откуда следует, что g(nik\ z2, . ..,zt) = 0. Следовательно,
wAy(z) ^^^(Фд^). Лемма доказана.

§ з]
ЦЕНТРЫ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР
337
Лемма 14. Пусть I — подмодуль Ф-модуля Ф$$
такой, что гД (z) ^ / для любых i £ I, z £ Фдде (смт
§ 1.4). Тогда It является вполне характеристическим под-
множеством алгебры Фдде.
Доказательство. Пусть i £ /, i = f (уг, . . .
. . ., уп), где / = / (х19 . . ., хп) — некоторый
неассоциативный многочлен. Мы докажем индукцией по п — г, что
ДЛЯ ЛЮбоГО g = g (Х19 . . ., Хг, Яг + 1, . . ., Ж,) б/А{г+1 п}
и для любых Zf 6 Фд# верно включение g (ylt . . ., yr,
zr+!, . . ., zt) (: I. Основанием для индукции при п — г —
= 0 служит включение / (уг, . . ., уп) £ /. Сделав
соответствующее индуктивное предположение, рассмотрим
произвольный элемент ^/А{Г)Г+1 п}. Пусть
h = h(xi1 ...,xr, xr+i, ..., хт) £ /Д(Г>'г+1,".\., п}-
Сделаем второе индуктивное предположение: если &' < &;
5, . . ., Z — произвольные натуральные числа и
g\Xi, ...,#г, #г+1> • • • > Яр) 6 /Д{г, r + i",." 1., п}>
то g(yi,...,yr, zr+1, ..., zp)G/ для любых г^Фди-
Основанием для этого индуктивного предположения при
к = 0 служит первое индуктивное предположение. Пусть
теперь &>0. Ввиду соотношений (13) и (14), мы можем
считать, что
/ъ (#i, ..., хТ1 .. ., #m-i> хт) =
= % (#i, . . . , Хг, . . ., #m-l) Дг (#т)>
где ui£/A{r,~?V,n>a*« По второму предположению
индукции имеем 1; = Му4, •••>*//•, zr+1, . .., Zm-i) £/- Но тогда
и уДу (zTO)£/, откуда по лемме 12
zm-l > zm) ~Г
+ 2 ^s(*/b • • •» Уг, «r+i, . . ., ZTO; 4+1» • • -» 4и-1» • • •) 6 Л
s
где feiG^{?':'.'.;n,':::;m-i}, ?'<?, 4;)=ZfAJr(zTO). ввиду
соотношений (13) и (14), имеем K£fk{$[\\\\n), где к'<к,
откуда по предположению индукции
К{У\, •..» Уг, «r+i, . .., zm; ЗД» '•"' zm-i» ••OGJ

338 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 13
и далее h (уг, . . ., yr, zr+1, . . ., zm) б /. Ввиду
произвольности h тем самым доказано, что для любого g =
= g (Xl9 . . ., Xr, Xr + 1, . . ., Xt) 6/A{r,r+l, ...,n} и для
любых Zj б Фдде верно включение g (г/х, . . ., yr, zr+1, . . .
. . ., zt) б /. Пусть теперь /& имеет степень пт по #г. Без
ограничения общности можно считать, что h однороден
по хг. Мы имеем h (yl9 . . ., уг, zr+1, . . ., zm) Д^ (zr) £
б /, откуда по лемме 12 получаем
h(yu ..., г/г_ь zr, ..., zm) +
1) • • •> Уг-i, Уг, zr+l, • • •» zm> £r»Zr+l» •••)£■*>
s
где u;'G/A{r,r+i n>, zp = zfA^(zr). По доказанному
выше имеем
й'ИУь • ..,»г, zr+1, ...,zm; zr, z^, ...)£/,
откуда и й (ух, . . ., yr_l9 zr, . . ., zm) 6 /. Ввиду
произвольности h, по первому индуктивному предположению
отсюда следует, что / (zlt . . ., zn) £ I для любых z% 6 Фэд.
Лемма доказана.
Заметим, что в процессе доказательства леммы 14 мы
доказали следующее более общее утверждение.
Следствие. В условиях леммы 14 пусть f =
= / (xlt . . ., хп) — такой неассоциативный многочлен,
что для некоторого целого числа г (О ^ г <; п, г <j; card (У)),
для любого g б /A{r+i, ...,n},g = g (#i, . . ., sr, жг+1, . . .
. . ., xn; . . ., xm) и для любых zt £ Фэд справедливо
включение
g (Уц • • •, Уг» Zr + i, • • ., Zm) б /•
ГогЭа / (zx, . . ., zn) £ / для любых zt £ Ф^.
Из лемм 13 и 14 вытекает
Теорема 10 (Шестаков). Пусть Фз# [У]—
свободная алгебра однородного многообразия Ш от
произвольного множества порождающих Y, f (xv . . ., хп) —
неассоциативный многочлен, линейный по хг. Тогда
подмодуль Nfl) (Фд# [Y]) является вполне
характеристическим подмодулем алгебры Ф^де [Y].

§ 4] АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ ОТ ТРЕХ ПОРОЖДАЮЩИХ 339
Следствие. В условиях теоремы 10 подалгебры
N (Фэд [У]) и Z (Ф$# [Y]) являются вполне
характеристическими подалгебрами алгебры Ф$$ [Y\.
Из теоремы 10 следует также, что в конечяопорож-
денной альтернативной алгебре Alt [Хп] идеалы
ZN (Alt [Хп]) и U (Alt [Хп]) являются вполне
характеристическими.
Упражнения
1. Пусть А — альтернативная алгебра, х, г/, z, г, s £ А, п £
£ N (А). Доказать, что
2 (я, у, z) [г, п] [s, п] = 0.
2 (Дорофеев). Доказать, что если п £ N (А), то
2U, п][А, n]A^N (А).
3. Доказать, что D (Alt [X]) является альтернативной Р1-ал-
геброй.
Указание. В D (Alt [X]) выполнено тождество [[#, у]8, t] =
= 0.
§ 4. Альтернативные алгебры от трех порождающих
В этом параграфе мы рассмотрим свободную 3-порож-
денную альтернативную алгебру Alt [Х3] = Alt [х±1 х21 х3].
Мы докажем, что в ассоциативном центре N (Alt [Х3])
и в центре Z (Alt [Xs]) содержатся ненулевые элементы
существенно более простого вида, чем в соответствующих
центрах алгебры Alt [X]. На основе полученных тождеств
мы затем докажем, что в свободной альтернативной
алгебре от трех и более порождающих содержатся подалгебры,
имеющие строение алгебр Кэли — Диксона над своими
центрами.
Предварительно докажем две леммы.
Лемма 15. Во всякой альтернативной алгебре А
справедливы тождества
Цх, у]*, х, z) = 0, (15)
[(*, у, z)\ х] = 0, (16)
((*, у, z)\ х, у) = 0. (17)

340 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 13
Доказательство. Тождество (15) справедливо
в силу соотношения (7.25). Далее, заметим, что в
алгебре А верно тождество
К*2, У, z), (х, у, z)] = 0. (18)
Действительно, в силу тождеств Муфанг имеем
(X2, у, z) (х, у, z) =
= — (я2> У, (х, у, z)) z + (х2, (х, у, z) у, z) +
+ (х2, zy, (х, у, z)) = — (х, у, Хо (х, у, z)) Z +
+ (х, хо (х, у, yz), z) + (х, zy, X о (х, у, z)) =
= — (х, у, (х2, у, z)) z + (х, (х2, у, z) у, z) +
+ (х, zy, (х2, у, z)) = (х, у, z) (х2, у, z).
Следовательно,
[(х, у, z)2, х] = [(х, у, z), (х, у, z) о х] =
= [(х, у, z), (х2, у, z)] = 0,
т. е. (16) доказано. Пусть теперь w = (х, у, z). Согласно
(7.14) и (7.15) получаем
(W2, х, у) = W о (w, х, у) = — W о (w [х, у]) =
= —w2 [х, у] — w [х, у] w = —w (\х, у] о w) = 0.
Лемма доказана.
Лемма 16 (Брак, Клейнфел д)."Пусть А —
альтернативная алгебра с множеством порождающих S.
Тогда элемент z £ А принадлежит центру Z (А) в том
и только в том случае, когда [z, S] = (z, S, S) = (0).
Доказательство. В одну сторону
утверждение очевидно: если z £ Z (А), то [z, S] = (z, S, S) = (0).
Пусть теперь [z, S] = (z, S, S) = (0). Рассмотрим
множество P = {p £ A | (z, p, S) = (0)}. Легко видеть, что
P — подмодуль Ф-модуля А. Далее, для любых р, р' £
(z Р, s £ S мы имеем
(рр', s, z) = р' (р, s, z) + (//, s, z)p'+f (р, р', s, z) =
= f (р, р', s, z)= ([р, р'], s, z) + (р, р', [s, z\) =
= ([р, р'], s, z),
откуда следует, что (z, РР, S) = (0), т. е. Р является под-

§ 4] АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ ОТ ТРЕХ ПОРОЖДАЮЩИХ 341
алгеброй алгебры А. Так как Р ^ S, то Р = А, т. е.
(z, A, S) = (0). Рассмотрим теперь множество Q =
= {q (i А \ (z, A, q) = (0)}. Тогда Q — подмодуль Ф-мо-
дуля А и Q ^ S. Для любых g, q' Z Q, а ^ А мы имеем
(qq', a, z) = q' (g, а, z) + (g', a, z) g + / (g, q'~ a, z) =
= / (g, g', a, z) = f (g', a, g, z) =
= (?4 ?, z) — a (g', g, z) — (a, g, z) g' = 0,
т. e. QQ ^ QjiQ — подалгебра алгебры А. Так как Q ^ S,
то Q = А, и мы получаем, что (z, Л, Л) = (0), т. е,
z (: N (А). Наконец, пусть R = {г Z А \ [z, г] = 0}. Для
любых г, г' £ R мы имеем в силу (7.4)
[rr\ z] = г [г', z] + [г, z]r' = 0,
т.е. R-R^R. Ясно, что R — подалгебра алгебры А,
и так как R ^ S, то R = А. Таким образом, z 6 Z (А).
Лемма доказана.
Теорема 11 (Д о р о ф е е в). Во всякой
альтернативной ^-порожденной алгебре справедливы тождества
Цх, у]\ г, 8) = 0, (19)
(Ь, у] о [z, *], г, s) = 0. (20)
Доказательство. Достаточно доказать, что
тождества (19) и (20) справедливы в свободной алгебре
Alt [хг, х2, х3]. Пусть N = N (Alt [хг, х2, х3]). Докажем
вначале, что [хг, х2]2 6 N для порождающих хг, х2. Для
произвольных элементов г, s £ Alt [xlt x2i x3] обозначим
через / (г, s) идеал алгебры Alt [xl9 x2, x3], порожденный
элементом ([xl9 x2]2, r, s). Тогда отображение /
удовлетворяет условиям а) — е) предложения 1: условия а) — г)
очевидны, д) верно в силу тождества (2), а е) — в силу
тождества Муфанг. По предложению 1 / (г, s) ^
з
— 2/0**» xj) + 2 / (xi> xixb)- Кроме того, легко видеть,
г<; г=1
ЧТО
f(xi9 XjXk)+^jf(Xi, Xf) = f(xi9 X2X3)+yif(xi9 Xj),
i<j i<3
поэтому / (r, s) ^2 / ixi, xi) + f (xi> я2я3). Ввиду (15),

342 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 13
мы имеем / (xh Xj) = f (х1, х2х3) = (0), откуда и / (г, s) =
= (0). Таким образом, [х1ч х2]2 £ N. По теореме 10
подалгебра N является вполне характеристической, поэтому
[х, у]2 б N для любых х, у £ Alt [хъ х2, х3]. Тем самым
доказано тождество (19).
Докажем теперь, что [хг, х2] о [х3, г] £ N для любого
г £ Alt [хг, х2, х3]. Как и в предыдущем случае, для
этого достаточно доказать, что
([#1, х2] о [х3, г], хи Xj) = 0, (21)
([#i, х2] о [х31 г], хг, х2х3) = 0. (22)
Линеаризуя (19) по г/, получаем следующее тождество
В /\.ll L«^i) Х21 ^З-**
([*, у] о [х, z], г, 5) - 0. (23)
Кроме того, во всякой альтернативной алгебре верно
тождество
(1х, у] о z, х, у) = 0. (24)
Действительно, имеем в силу (7.15) и теоремы Артина
([х, у] о z, х, у) = [х, у] о (z, х, у) + z о ([я, у], ж, г/) = 0.
Вернемся к соотношению (21), В силу (24) нам остается
рассмотреть случай, когда либо xt = х3, либо xj = х3.
Пусть, например, xt = х3. Тогда по линеаризованному
(24) и в силу (23) имеем
([хг, х2] о [х31 г], я3, Xj) = — ([#!, #2] о [ж3, Яу], х31 г) = 0,
т. е. (21) доказано. Далее, применяя вновь
линеаризованное тождество (24), получаем, ввиду (23),
([Х^, Х2\ о [Х31 П, Х±, Х2Х3) = \\-Xii Х2Х3\ о [X3l М» #1» ^2/ ==
= (L^i, #2^3J ° 1^1> П» ^3> Х2/ ~Г (1^1» ^2^3J ° 1^3> ^2-»» ^1» W ~Г
~Г Ц#1» ^2^3J ° l^i» ^гЬ ^з» w == (L^i> ^2^з1 ° 1^з> #гЬ ^1» Ч*
Заметим, что во всякой алгебре верно тождество у
[х, yz] + [у, zx] + [z, ху] =
= — (х, у, z) — (г/, z, я)— (z, х, у). (25)

§ 4] АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ ОТ ТРЕХ ПОРОЖДАЮЩИХ 343
Следовательно, согласно (25), (7.15) и (23) мы имеем
[X^j Х2Х3\ ° 1#з» *^2 == L*^2» Х3Х^\ ° 1*^3» ^2* —
[Х3, Х^Х2\ о [Х3, *^2J — " №l» *^2» *^3/ ° ^З» ^2^ ==
= L#2, ^3^1J ° 1^2» ^3J L^3> Х^Х2\ ° L^3> ^2J vl ™f
откуда следует (22). Таким образом, 1^, #2] о [х3, г] £N
для любого г 6 Alt [#!, #2, ж3]. По следствию леммы 14
тогда [х, у] о U, £] 6 TV для любых х, у, z, t 6 Alt [a?!, #2, s8],
что доказывает тождество (20).
Теорема доказана.
Следствие. Для любых элементов х, у, z, t £
е Alt [Х3]
[х, у}\ [х, у] о U, t]£N (Alt 1Х3]).
Найдем теперь некоторые элементы из центра
Z (Alt [Х3]) алгебры Alt [Х3].
Теорема 12 (Ш е с т а к о в). Для любых
элементов х, у, z, г, s алгебры Alt [хг, х2, х3]
(х, у, z)2, (х, у, z) о [г, s] £ Z(Alt [#!, #2, ж81).
Доказательство. 11усть Z = Z (Alt [а^, #2, #31)-
Ввиду леммы 16, для доказательства того, что / =
= / (х1, х2, х3) £ Z, достаточно показать, что [/, xt] =
= (/, xt, Xj) = 0 для любых порождающих хи Xj. Отсюда
и из соотношений (16), (17) следует, что (хг, х2, х3)2 £ Z.
По теореме 10 тогда и (х, у, z)2 £ Z для любых х, у, z £
6 Alt [хг, х2, х3]. Тем самым доказано первое из
включений теоремы 12.
Для доказательства второго включения в силу
следствия леммы 14 (или теоремы 10) достаточно показать, что
х21 х3 ) о [г, s] £ Z для любых г, s £ Alt [хъ х2, х3].
Без ограничения общности элементы г, s можно считать
одночленами от xlt х2, х3, и мы будем доказывать данное
утверждение индукцией по числу п = d (г) + d (s).
Основанием для индукции при п = 2 служит равенство (7.15),
Как мы уже замечали, нам достаточно показать, что для
любых порождающих xu Xj
((#!, Х21 Х3) о [г, S], Xh Xj) = 0, (26)
[(#!, х2, х3) о [г, s], xt] = 0. (27)

344 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 13
Докажем вначале равенство (26). Если d (г) >> 1, d (s) >> 1,
то в силу линеаризованного тождества (24) и по
предположению индукции мы получаем
((#!, Х2, Х3) о [Г, s],XuXj) = — ((xll[x2, Х31) о [XU s], Г, Xj) —
— ((#!, х2, Х3) о [г, Sj], хи s) — {{хг, х21 Х3) о [хь Xj], г, s) = 0.
Пусть теперь, например, г = а^. Ввиду того, что
((#1, Х2, Х3) о [#., s|, д;.? #у) =
= —((si, ж2, я3) о [ж,, xs], хи s) = 0, (28)
нам остается рассмотреть элемент / = ((хг, х2, х3) о
о [хг, s], х21 х3). Повторяя предыдущие рассуждения, мы
видим, что
7 = \№l» *^2» %з) ° 1^2» ^Ь ^1» ^3/ =
= ((#1> #2» ^3/ ° l^3> ^J» ^2» ^1/' \^*V
Далее, из тождеств альтернативности следует, что одно-
3
член s можно представить в виде 5=2 (aixisi + Р*Ф^)>
где^ af,p^ £ Ф, $ь я* — одночлены от хг, х2, х3, d (st) =
= d (si) = d (s) — 1. Мы оставляем доказательство этого
факта читателю. Рассмотрим элемент ft = {{хг, х2, х3) о
о [xl9 XfSf], x2l х3). Применив, если необходимо,
соотношения (29), мы можем считать, что ft = ± ((х19 х2, х3) о
o[xs, xtSi], хи xk), где {i, /, к} = {1, 2, 3}, xj Ф st.
Ввиду (25), мы имеем
(Х1, Х21 Х3) о [Xj, XiSt] =
= [Х^, X2l Х3) о [Xf, SiXjj — (#!, X2l ^3/ ° l^i> %jXi\ —
— 3 (х19 Х2, Х3) о (Xj, хь st)
Из линеаризованного по z включения (х, у, z)2 (i Z
следует, что (хг, х2, х3) о (xj, хи st) £ Z. Далее, согласно (28)
мы имеем
(fo, х2, х3) о [xh StXj], хи xh) = 0.
Наконец, заметим, что либо d (st) > 1, либо st £ {xt, xk},
поэтому по доказанному выше или ввиду (28)
(\Xll X2l Х3) о iSf, XjXi\) Х(, Хь) = U.

§ 4] АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ ОТ ТРЕХ ПОРОЖДАЮЩИХ 345
Следовательно, ft = 0 для i = 1, 2, 3. Аналогично
доказывается, что
/г = \(#1» #2» Х3/ ° №li Si%ih %2i Х3/ == ^
для £ = 1, 2, 3. Значит, / = 0 и соотношение (26)
доказано.
Далее, имеем согласно тождествам (20) и
линеаризованному (7.15)
[(#!, Х21 Х3) о [г, s], Хг] = (ЯГХ, #2, #3Г° ffr» *L #J +
+ [г, 5] о [(#!, #2, #3), xj = (х^ х21 Х3) о [[г, s], хг] +
+ [г, *]> (^, #2, [^, я3]) = (лгх, я2, Я3) о [[г, 5], #J +
+ (#1, #2> 1Г» 51 ° [#1> #3]) — Е^1> #3] ° (ХЪ #2, ^, «]) =
= (#!, #2> #з) ° [fr> *1> #J + (а?!, х2, [г, s]) о [#3, хг] = 0,
что доказывает (27).
Теорема доказана.
Пусть теперь Alt [У] — свободная альтернативная
Ф-алгебра от множества порождающих У, где card (У) ^ 3
и в Ф нет элементов порядка 2. Выберем произвольные
различные элементы а, 6, с б У и положим и = [а, 6],
v = (а, 6, с), w = (и, v, а). Через Аг = Ф [и, v] и А =
= Ф [и, v, w] мы обозначим подалгебры алгебры
Alt [У], порожденные соответственно множествами {и, v}
и {и, v, w}.
Лемма 17. и2, v2, w2 £ Z (А).
Доказательство. Ввиду теоремы 12, остается
проверить лишь, что и2 £ Z (А). По теореме 11 и2 £ N (А).
Кроме того, мы имеем
[и2, v] = [и, и о v] = [и, [а, Ь] о (а, 6, с)] = 0,
[и2, т] = [и, и о w] = [гг, гг о (и, г;, а)] =
= [и, (и2, v, а)] = 0,
откуда в силу леммы 16 следует, что и2 £ Z (А). Лемма
доказана.
Лемма 18. Элементы (uV) wk, где i, /, к —
произвольные неотрицательные целые числа (и0 = v° = w° = 1),
линейно независимы над Ф в алгебре Alt [У]#.

346 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 13
Доказательство. Пусть для некоторых atjk £
2 af,k("V) !£*=(). (30)
г, j, ft
Ясно, во-первых, что а000 = 0. Заметим теперь, что
каждый элемент (uxvd) wk при i + j + к > 0 лежит в
однородной компоненте типа [i + 7 + 3fc, г + 7 + 2&, 7 + &]
свободной алгебры Alt [а, Ь, с]. Как легко видеть, при
разных наборах (i, 7, Щ эти компоненты различны.
Следовательно, в силу однородности многообразия
альтернативных алгебр из (30) вытекает, что
%(ЛУ = о (31)
для любых г, /, к. Соотношение (31) справедливо в
свободной алгебре, поэтому оно верно и в любой
альтернативной алгебре. Но в матричной алгебре Кэли — Диксона
С (Ф) легко найти такие элементы а, Ь, с, что
([а, Ь]1(а, Ь, e)j)([a, Ь], (а, 6, с), 1)кф0
для всех £, /, к. Так как С (Ф) — свободный Ф-модуль,
отсюда следует, что aijk = 0 для всех i, 7, &• Лемма
доказана.
Следствие. Подалгебра Ф = Ф [и2, v2, w2],
порожденная элементами и2, v2, w2, изоморфна алгебре
многочленов Q)[tl9 t2, t3] от независимых переменных tl9 t2, ts.
Лемма 19. Центр Z (Лх) алгебры Аг равен Ф [и2, v2];
при этом алгебра Ах есть алгебра обобщенных
кватернионов над своим центром *).
Доказательство. По лемме 17 Ф [и2, v2] ^
S Z (А^. Обратно, пусть z 6 Z (А^. Ввиду (7.15), мы
имеем vu = —uv, откуда следует, что элемент z можно
представить в виде
z = а + ргг + yv + 8uv,
*) Понятие процесса Кэл и—Диксона естественным образом
обобщается на случай алгебр над произвольным кольцом операторов
Ф. Если в Ф нет элементов порядка 2, то под алгеброй обобщенных
кватернионов над Ф мы понимаем алгебру вида ((Ф, a), Р),
полученную из Ф двукратным применением процесса Кэли — Диксона
с параметрами а, р £ Ф, оф Ф 0. Естественным образом
определяется также алгебра Кэли — Диксона над Ф.

§ 4] АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ ОТ ТРЕХ ПОРОЖДАЮЩИХ 347
где а, Р, у, б £ Ф [и2, v2]. Далее, мы имеем
О = [z, и] = —2yuv — 28u2v.
Пусть 7 = S7u^2i» b = %bhlu*v*9 .где уи, бы£Ф.
г, j k, I
Тогда мы получим
2 2уijU*i+iv2J+i + S 26^2fe+V<+1 = 0.
Легко видеть, что в этих суммах нет общих слагаемых
вида mV, поэтому по лемме 18
2?« = 26ft/ = 0
при любых г, /, &, Z, откуда 7 — 8 = 0. Аналогично
из равенства [z, v] = 0 следует р = 0. Поэтому z = a £
6 Ф [и2, у*], т. е. Z (Л^ = Ф [и2, v2].
Для доказательства леммы достаточно теперь
показать, что элементы I, и, v, uv алгебры Alt [а, Ь, с]#
линейно независимы над Ф [и2, у2]. Пусть
/г, = а + Р^ + yv + бш; = 0,
где а, р, 7> б 6 Ф [и2, у2]- Тогда h £ Z (Аг), откуда по
доказанному выше следует, что р = у = б = 0. Но тогда
и а = h = 0. Лемма доказана.
В алгебре Аг можно обычным образом определить
инволюцию hh~>h: если h = а + Р^ + 7У + бш;, т0
полагаем h = а — ргг — yv — 8uv.
Лемма 20. Пусть аъ а2 — произвольные элементы
алгебры Ах. Тогда верны следующие соотношения:
wai = atw, (32)
at (a2w) = (a^i) w, (33)
(a2w) at = (a2ai) w, (34)
(atw) (a2w) = гу2 (fl^). (35)
Доказательство. Так как и2, v2 £ Z (А), то
w о и = (и, у, а) о и = (гг2, у, а) = 0

348 СВОБОДНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 13
и аналогично w о у = 0. Далее,
w о (uv) = (и, у, а) о (uv) = (и о щ;, у, а) — гг о (г/у, у, а) =
= (и (и о у), v, а) — и о (и, у, av) = —(и2, у, ау) = 0.
Из полученных равенств вытекает соотношение (32).
Заметим теперь, что аг -\- ax^Z (А) для любого ах £ ^i-
Следовательно,
(а2м?) а4 = — (a2ai) w + а2 (и> о а4) =
= — (a2«i) и? + а2гу (а4 + аг) = (a2ai) ">,
что доказывает (34). Аналогично, аг (wa2) = w (а1а2),
откуда в силу (32) следует (33). Наконец, мы имеем в виду (32):
(diw) (a2w) —■ (wai) (a2w) =-- w (а^2) w = w2 (a2ai).
Лемма доказана.
Из леммы 20 следует, что всякий элемент х £ А может
быть представлен в виде
х = а + ргг + yv + 6iy + ^иу + |^шу + ww + а (ш;) iy,
где а, р, у, б, X, \х, v, а б Ф = Ф [и2, у2, и?2]. Как и в
случае алгебры Аг, с помощью леммы 18 легко доказать, что
Z (А) = Ф и что элементы 1, и, у, w, uv, uw, vw, (uv) w
алгебры Alt [a, b, d# линейно независимы над Ф. Кроме
того, соотношения (32) — (35) показывают, что алгебра А
получается из алгебры Аг = Ф ® Аг с помощью
<£[u2,v2]
процесса Кэли — Диксона с параметром w2: А = (Al9 w2).
Ясно, что Аг — алгебра обобщенных кватернионов с
центром Ф, поэтому А — алгебра Кэли — Диксона с
центром Ф.
Таким образом, доказана следующая
Теорема 13 (Дорофее в)* Алгебра Ф [и, у, w]
есть алгебра Кэли — Диксона над своим центром
Ф [и2, У2, 1У2].
Заметим, что если Ф не имеет делителей нуля, то
алгебра Ф [и, у, w] также не имеет делителей нуля (см.
лемму 2.13 и следствие леммы 18).

ЛИТЕРАТУРА
349
Упражнения
1 (Д о р о ф е е в). Доказать, что во всякой 3-порожденной
альтернативной алгебре А верно включение
ZN (А) g= U (А).
Указание. Для фиксированного п £ N обозначим через
F (х, у, 2, t) идеал алгебры Л, порожденный элементом ([#, п[ у, 2, t).
Тогда отображение F удовлетворяет условиям а) — е)
предложения 1.
2 (Шестаков). Доказать, что (х, у, z) о (г, s, t)£Z (Alt [Х3])
для любых х, у, z, г, 5, t £ Alt [Х3].
ЛИТЕРАТУРА
Дорофеев [56, 57, 60], Жевлаков [75], Слейтер [197, 206], Хумм
и Клейнфелд [256], Шелипов [265], Шестаков [269—272], Ширшов
[278, 279].
Свободные алгебры других многообразий изучались в работах
Пчелинцева [171—173], Роомельди [185] и Шестакова [268].

ГЛАВА 14
РАДИКАЛЫ ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБР
Мы ранее уже касались обсуждающегося в этой главе
вопроса. Так, в § 4.5 изучался локально нильпотентный
радикал в йордановых алгебрах; кроме того, ряд
общих результатов о радикалах из главы 8 применим к
радикалам йордановых алгебр
В этой главе вводятся и изучаются еще два радикала
в классе йордановых алгебр, а также исследуются
вопросы наследственности радикалов.
Как всегда при рассмотрении йордановых Ф-алгебр,
мы предполагаем, что 1/2 £ Ф.
§ 1. Радикал Маккриммона
Элемент z йордановой алгебры / называется
абсолютным делителем нуля, если JUZ = (0), т. е. если Uz —
нулевой оператор. Если 0 является единственным
абсолютным делителем нуля в /, алгебра / называется
невырожденной. Через % (J) будем обозначать идеал йордановой
алгебры /, порожденный всеми ее абсолютными
делителями нуля. Очевидно, что алгебра / невырождена тогда
и только тогда, когда % (J) = (0).
Пусть I — тривиальный идеал алгебры /. Тогда для
любых элементов х £ J и z £ I имеем
xUz = 2 (xz) z — xz2 = 0,
т. е. каждый элемент идеала / является абсолютным
делителем нуля в / и, в частности, I ^ % (/). Следовательно,
невырожденность алгебры / влечет ее полупервичность.
Верно ли обратное, неизвестно. Неизвестно даже, будет
ли идеал % (J) локально нильпотентным. Известно лишь,
что % (J) — ниль-идеал.
Таким образом, класс невырожденных йордановых
алгебр — широкий подкласс класса полупервичных йор-

§11
РАДИКАЛ МАККРИММОНА
351
дановых алгебр. Естественность этого класса
подтверждается тем, что он является полупростым классом
некоторого радикала, к построению которого мы сейчас
приступим.
Лемма 1. Пусть J — йорданова алгебра и /# —
алгебра, полученная формальным присоединением к J
единицы 1. Тогда если z — абсолютный делитель нуля в J
и х то zUx — также абсолютный делитель нуля в J.
Доказательство. Так как /# — йорданова
алгебра, тождество Макдональда в ней справедливо.
Поэтому для любого элемента а £ /
aU(zUx) = aUxUzUx = 0,
так как aUx (i J. Лемма доказана.
Лемма 2. Идеал % (J) порождается абсолютными
делителями нуля как Ф-модулъ.
Доказательство. Достаточно заметить, что
для любого абсолютного делителя нуля z и любого
элемента х £ /
2zx = zU1+x — zUx — z,
т. е. элемент zx есть сумма трех абсолютных делителей
нуля и, следовательно, лежит в подмодуле, порожденном
абсолютными делителями нуля. Это означает, что
указанный подмодуль является идеалом. Лемма доказана.
Для произвольной йордановой алгебры / положим
по определению о/Нл (J) = % (/), и пусть идеал Ла (J)
уже определен для всех ординалов а таких, что а < |3.
Если Р — предельный ординал, положим
<^p(/)=U«M-0-
Если ординал |3 не является предельным, определим
о#р («О как такой идеал, что
о#р (/)/^р-1 (/) = % (J/dft-i (J)).
Цепочка идеалов
стабилизируется на некотором ординале у. Положим

352 РАДИКАЛЫ ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБР UJ1S U
Предложение 1. Фактор-алгебра JIS (/)
невырождена и о/Я (J) — наименьший идеал с этим свойством.
Доказательство этого предложения
аналогично доказательству предложения 8.4, и мы не будем
его проводить.
Следствие. Алгебра J не отображается
гомоморфно на невырожденную алгебру тогда и только тогда,
когда J = о/Я (J). *
Класс йордановых алгебр /, совпадающих со своим
идеалом о/Я (J), обозначим через о/Я.
Теорема 1. о/Я — радикальный класс.
Доказательство. В силу следствия
предложения 1 свойство (А) для класса о/Я очевидно. Докажем
свойство (D). Для этого достаточно показать следующее.
Лемма 3. Пусть I—идеал йордановой алгебры J и
х — абсолютный делитель нуля алгебры L Тогда J также
обладает абсолютным делителем нуля, содержащимся в I.
Доказательство. Если JUX = (0), то х —
абсолютный делитель нуля в /, и все доказано. Если же
aUx=£0 для некоторого а £ J, то
JU(aUx) = JUxUaUx = (0),
так как JUxUa ^ /, т. е. aUx — абсолютный делитель
нуля в /. Лемма доказана.
Закончим теперь доказательство теоремы 1. Если
алгебра / такова, что во всяком ее гомоморфном образе
имеется ненулевой с#-идеал, то в силу леммы 3 во всяком
ее гомоморфном образе есть абсолютный делитель нуля,
т. е. алгебра / не отображается гомоморфно на
невырожденную алгебру. Но это значит, что J £ о/Я, что
доказывает условие (D) для класса о/Я, а следовательно, и всю
теорему.
Радикал о/Я называется радикалом Маккриммона.
Теорема 2 (М а к к р и м м о н). Во всякой
йордановой алгебре J справедливы включения
%(J)c=oS(J)c=j^(J). •
Доказательство. Первое включение следует
из предложения 1 и предложения 8.4 в силу того, что
всякая невырожденная алгебра полупервична. Для
доказательства второго достаточно показать, что % (/) —
ниль-идеал; в этом случае очевидной индукцией доказы-

§ 1]
РАДИКАЛ МАККРИММОНА
353
вается, что все идеалы <М$ (J) являются ниль-идеалами.
Так как всякий элемент из % (J) имеет вид z± + . . . + zn,
где zt — абсолютные делители нуля, утверждение можно
доказывать индукцией по п. Основание индукции
очевидно: z\ = z1UZi = 0. Для доказательства индуктивного
перехода достаточно показать, что для любого нильпо-
тентного элемента г/ £ / и любого абсолютного делителя
нуля z элемент у + z также нильпотентен. Рассмотрим
подалгебру J0 в /, порожденную элементами у и z. По
теореме Ширшова она специальна и имеет ассоциативную
обертывающую алгебру А0. Вычисляя в алгебре А0, имеем
(y+z)k = yh+ 2 yV--i + s j^v-'-2,
2=0 2=0
поэтому, если т — индекс нильпотентности элемента у,
то (у + z)2W+1 = 0. Теорема доказана.
Уместно заметить здесь, что факт радикальности
класса .$? в классе йордановых алгебр и не доказан, и не
опровергнут до сих пор.
Перейдем к изучению радикала Маккриммона
специальных алгебр.
Теорема 3 (Слинько). Если специальная йор-
данова алгебра J порождается конечным числом элементов,
каждый из которых является абсолютным делителем нуля,
то ее ассоциативная обертывающая алгебра А нилъпо-
тентна.
Доказательство. Проведем индукцию по
числу порождающих алгебры /. Предположим, что теорема
справедлива, если число порождающих равно к — 1.
Пусть алгебра / порождается множеством R = {%, . . .
. . ., ak}, элементы которого суть абсолютные делители
нуля. Это же множество порождает и алгебру А, Тот
факт, что at — абсолютный делитель нуля алгебры /,
в переводе в ассоциативные термины означает, что
аг] (а19 . . ., ah) а% = 0
для любого йорданова многочлена / (хг, . . ., xk).
Пусть R = {#!, . . ., xk}. Если / = j (хг, . . ., хк) —
некоторый многочлен из Ass [R], то, как обычно, через /
будем обозначать образ /(%,..., ak) элемента / при
гомоморфизме, переводящем хх в at.

354
РАДИКАЛЫ ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБР [ГЛ8 14
Пусть I — максимальная длина ненулевых слов от
элементов множества R\{ak}. Так как а\ = 0, то для любого
^-неразложимого слова а длины более I + 2 имеем
а = 0. Если ^^-неразложимое слово а имеет степень >2
по xk, то также а = 0. Обозначим через Т0 множество
всех ^-неразложимых слов длины <;/ + 2 степени <2
по xk.
Рассмотрим слово а длины (к + 2) (Z + 2).
Предположим, что а Ф 0. Тогда а = Р^Рг» гДе Pi не содержит xk
и имеет длину <;/, Р2 содержит только xk и имеет длину
<3, а у есть Г0-слово, причем Г0-длина его ^>к + 1.
Следовательно,
у = txt2 . . . tkxky\
где ti 6 Т0. Заметим, что «хвост» каждого
^-неразложимого слова tt имеет длину ^>2; в противном случае у = 0.
Значит,
У = fi^ii^2^i2 • • • tkXifoXky »
*i» • • •» ^ 6 ^о> а элементы х\х, . . ., Ж| отличны от xkl
и, следовательно, среди них есть два одинаковых. Между
любыми двумя элементами множества {xit, . . ., Xj }
находится Г-слово, которое по лемме 5.9 является особым;
в частности, особое слово находится между двумя
одинаковыми элементами этого множества.
Мы доказали, что всякое слово а такое, что а Ф 0,
длины (к + 2) (Z + 2) содержит подслово вида хгЬхь,
где б — особое слово. Пусть /б — однородный Йорданов
многочлен, старшим словом которого является б. Ввиду
того, что xtf&Xi = 0, мы имеем
п
где слова бп имеют тот же тип, что и б, но
лексикографически меньше б. Следовательно, если а Ф 0, то а
представляется в виде линейной комбинации образов слов
того же типа, но лексикографически меньших. Получили
противоречие с тем, что слов фиксированного типа в
алфавите R конечное число. Следовательно, а = 0 для всякого
слова а длины (к + 2) (Z + 2), т. е. А нильпотентна
индекса не выше (к + 2) (I + 2).

§ 2] ОБРАТИМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ, ИЗОТОПИЯ И ГОМОТОПИЯ ,355
Теорема доказана.
Теорема 4 (Слинько-Скосырский).
Во всякой специальной йордановой алгебре J имеет место
включение
gM{J)^X(J).
Доказательство. Так как идеал % (J)
является Ф-модулем, порожденным всеми абсолютными
делителями нуля, теорема 3 влечет его локальную
нильпотентность во всякой специальной алгебре /. Рассмотрим
фактор-алгебру / = JIX (/). По следствию теоремы 4.5 она
специальна и, следовательно, % (J) = (0). Но тогда
и оМ (У) = (б). Это означает, что о/Ч (/) ^ X (/), что
и требовалось доказать.
Неизвестно, справедливо ли включение Л (/) ^ X (J)
в общем случае. Этот вопрос тесно связан с проблемой
Ширшова о йордановых ниль-алгебрах ограниченного
индекса (см. упражнение 1).
Упражнения
1. Доказать, что всякая йорданова ниль-алгебра /
ограниченного индекса является ^-радикальной.
Указание. Если в алгебре / справедливо тождество хп =
= 0, то для всякого х £ J элемент хп~1 является абсолютным
делителем нуля.
На протяжении следующих трех упражнений А —
ассоциативная алгебра с инволюцией * иЯ=Я(4, *) — йорданова алгебра
симметричных относительно * элементов алгебры А.
2. Доказать, что 36(A) [)Н<^& (Я).
Указание. Индукцией по а доказать, что $а (А) П Н s
9= $ (Н) для любого ординала а.
3. Доказать, что если а £ Н и аНа £ $ (А), то а £ $ (А).
4 (Эриксон — Монтгомери). Доказать, что & (Н) =
= Ж (Н) = &{А) П Н.
§ 2. Обратимые элементы, изотопия и гомотопия
Пусть / — йорданова алгебра с единицей 1. Элемент
х £ / называется обратимым, если существует такой
элемент у £ /, что
ху = 1, х2у = х.

356
РАДИКАЛЫ ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 14
В этом случае элемент у называется обратным элементом
к элементу х.
На первый взгляд может показаться, что в
приведенном определении х и у неравноправны, однако это не так.
Лемма 4. Следующие условия для элементов х, у £ /
эквивалентны:
а) х обратим с обратным у;
б) у обратим с обратным х;
в) yUx = х, y2Ux = 1.
Доказательство будет проведено по схеме
а) =^ в) =^ б). Этим эквивалентность условий а), б),
в) будет доказана, так как импликации а) => б) и
б) =ф- а) равносильны.
а) =^ в). Прежде всего заметим, что yUx = 2 (ух) х —
— ух2 = 2х — х = х. Далее, в силу (3.27) для элементов х
и у справедливы соотношения
[Дя«, Rv\ = IRy*, Rx] = О, (1)
откуда y2Ux = 2 (у2х) х — у2х2 = у2х2 = у (ух2) = ух = 1.
Это доказывает в).
в) =>- б). В силу тождества Макдональда] (3.48) имеем
U (уЧ7х) = UXU (у») Ux = Е,
и, следовательно, оператор Ux обратим. Заметим теперь,
что [Rx, Ux] = О, и потому
(1 - ух) Ux = x2- (yUx) х = х2-х2 = 0,
(У — У*х) Ux = yUx — (y2Ux) х = ж — ж = 0.
В силу обратимости оператора Ux имеем ух = 1, г/2я = г/,
т. е. б) доказано.
Соотношения из пункта в) леммы 4 иногда берут в
качестве определения обратимости.
Лемма 5. Следующие условия для элемента х £ /
эквивалентны: а) х обратим, б) 1 6 JUX, в) Ux —
обратимый оператор.
Доказательство. а)=^б) следует из леммы 4.
Импликация б) =>- в) тоже| по существу была
доказана. Если 1 = zUx, то по тождеству Макдональда Е =
= JJX = UXUZUX, откуда следует обратимость
оператора Ux.
в) =^ а). Рассмотрим элемент у = xU^1. Тогда
(1 - ух) Ux = x2- yRxUx = х2- yUxRx = х2-х2 = 0

§ 2] ОБРАТИМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ, ИЗОТОПИЯ И ГОМОТОПИЯ 357
и (х — ух2) Ux = х? — yRx*Ux = xz — yUxRX2 = хъ —
— г5 = 0, что, ввиду обратимости оператора Ux, дает
нам ух = 1, г/г* = #.
Эквивалентность условий а), б), в) доказана.
Лемма 6. Элементы х, z 6 J обратимы тогда
и только тогда, когда {xzx} — обратимый элемент.
Доказательство. По тождеству Макдональда
U ({xzx}) = UXUZUX. Линейное преобразование UXUZUX
обратимо в том и только в том случае, когда обратимы
операторы Ux и Uz. Поэтому справедливость леммы 6
вытекает из леммы 5.
Пусть элемент х 6 J обратим с обратным элементом у.
Тогда xUy = у и по тождеству Макдональда Uy =
= UyUxUy, но так как оператор Uy обратим, на него
можно сократить. Получим
UxUy = UyUx = Е. (2)
Оператор Rx коммутирует с оператором Ux,
следовательно, он коммутирует и с обратным к Ux элементом, поэтому
[Д*, Uу] = 0. (3)
В силу (1) это эквивалентно тому, что
\R„ Щ\ = 0. (4)
Подставляя теперь в соотношение (3.25) вместо у
элемент х, а вместо z и t элемент г/, будем иметь ЯХЩ +
+ ЩЯХ + Ry = RxRy> +Ry + Rr что в силу (4)
эквивалентно соотношению 2RXR* — RXRV2 = Ry или,
что то же самое,
Ry = RxUy. (5)
Это соотношение вместе с (3) влечет
[Д*, Ry\ - 0. (6)
Пусть Н — подалгебра алгебры /, порожденная
элементами х и у. Как следует из предложения 3.2, алгебра
R (Н) порождается операторами Rx, Rx2, Ry, i?y2. Так
как RX2 = 2RX — Ux, то алгебра RJ (H) порождается
также элементами Rx, Ux, Ry, Uу. Однако в силу (2),
(3), (6) эти операторы коммутируют. Следовательно,
алгебра R1 (Н) коммутативна, что эквивалентно сильной
ассоциативности подалгебры Н в /.

358 РАДИКАЛЫ ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБР [ГЛ, 14
Отметим теперь, что обратимый элемент х £ / имеет
единственный обратный, так как yUx = х и y'Ux = x
влечет у = у' в силу обратимости оператора Ux. Этот
единственный обратный элемент будем обозначать х'1.
Мы доказали следующую теорему.
Теорема 5. Для всякого обратимого элемента х
йордановой алгебры J подалгебра, порожденная элементами
х и х~г, является сильно ассоциативной.
Если положить х~п = {х'1)71, то степени элемента х
будут умножаться по обычной формуле
xkxm —= xk+m
Заметим, что эти соотношения были бы несправедливы,
если бы мы в определении обратимости ограничились
одним соотношением ху = 1. Другим преимуществом
такого определения является справедливость следующего
предложения.
Предложение 2, Элемент а ассоциативной
алгебры А с единицей 1 обратим тогда и только тогда,
когда он обратим в йордановой алгебре Аш; при этом
обратные элементы в А и А(+) к элементу а совпадают.
Доказательство. Если аЪ = 1 = Ьа, то aQb=
= 1 и a2Ob = а, т. е. если а обратим в А, то он
обратим и в Ai+\
Если же а обратим в Ai+) с обратным 6, то 1 =
=b*Ua=ab*a = -abab + 2ab (о©6) - - (bUa) Ъ + 2аЪ =
= —аЪ + 2аЪ = ab. Аналогично, Ьа = 1 и а обратим
в А с обратным Ъ.
Предложение доказано.
Йорданова алгебра, в которой каждый ненулевой
элемент обратим, называется йордановой алгеброй с делением.
Большое число примеров йордановых алгебр с делением
можно получить с помощью предложения 2: в силу этого
предложения, если А — ассоциативная алгебра с
делением, то А{+) — йорданова алгебра с делением. В
частности, если Q — тело кватернионов над полем
действительных чисел, то Q{+) — йорданова алгебра с
делением. Отметим, что в Q(+) некоторые кватернионы являются
в обычном смысле делителями нуля, например, iQJ = 0.
В частности, это^ означает, что оператор fRx может
не являться обратимым, если элемент х обратим.

§ 2] ОБРАТИМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ, ИЗОТОПИЯ И ГОМОТОПИЯ 359
Имеются принадлежащие Алберту примеры
исключительных йордановых алгебр с делением. Для всякой
алгебры /, из числа указанных Албертом, центр ее F =
= Z (/) является полем и F ®F J ^ Н (С3), где F —
алгебраическое замыкание поля F, а С — алгебра Кэли —
Диксона над F. В частности, размерность алгебры /
над центром F равна 27. Существует гипотеза, что этому
числу равна размерность всякой исключительной алгебры
с делением над своим центром.
Рассмотрим теперь понятие гомотопии.
Пусть / — йорданова алгебра и а £ J. Определим
на аддитивном 'Ф-модуле алгебры / новую операцию
умножения формулой
Обозначим полученную алгебру через J(a) и назовем
ее а-гомотопом алгебры /. В силу следствия 2 теоремы
Ширшова во всякой йордановой алгебре справедливо
тождество
{{{хах} ау} ах} = {{хах} а {уах}}.
Но это значит, что ((х-ах)-а У) 'ах = С*' ах)'а(У'а^)^ т- е-
/<а>_йорданова алгебра.
Допустим теперь, что / специальна и что А — ее
ассоциативная обертывающая алгебра. Рассмотрим
ассоциативную алгебру А(а\ представляющую из себя Ф-модуль
алгебры А с умножением ххаУ = ОДЛ Ввиду того, что
х-ау = {хау} =V2 (хау + уах) = V2 (хХау + */Ха#), мы
имеем равенство
(А<+>)<°> = (Л<а>)<+>.
Следовательно, гомотоп /<а) алгебры / есть подалгебра
в (А{а))(+) и* потому является специальной алгеброй.
Если алгебра / содержит единицу 1 и а — обратимый
элемент в /, то в этом4 случае а-гомотоп J(a) называется
а-изотопом. В силу теоремы 5 х-а а"1 = {хаа"1} =
= (ха) а'1 + (а~га) х — {ха"1) а = х. Следовательно,
элемент а"1 является единицей в изотопе /((Х).
Лемма 7. Для любых а, Ъ £ J
( Т(а)\(Ъ) = т({аЬа})
Изотопия является отношением эквивалентности.

360
РАДИКАЛЫ ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 14
Доказательство. Для того чтобы доказать,
что &-гомотоп а-гомотопа алгебры / есть ее {а&а}-гомотоп,
надо доказать тождество
{х {aba} у} = {{хаЪ} ау) + {{уаЪ} ах) — {{хау} аЪ). (7)
Это тождество является линеаризацией тождества
{х {aba} х) = 2 {{хаЪ} ах) — {{хах} ab}, (8)
которое справедливо в силу следствия 2 теоремы Ширшова,
так как оно от трех переменных и линейно по Ъ.
Транзитивность отношения изотопии следует из
доказанной формулы и леммы 6, в силу которой элемент {aba}
является обратимым, если а и Ъ обратимы. Кроме того,
/j(a)\(a-2) __ j({aa-2a}) __ j
и это отношение симметрично. Следовательно, оно является
отношением эквивалентности.
Следствие. Изотоп J(a) йордановой алгебры J
специален тогда и только тогда, когда алгебра J
специальна.
Пусть D — алгебра с инволюцией d н-> d\ и" А =
= diag {%, . . ., ап} — диагональная обратимая матрица
с симметричными элементами по диагонали, лежащими
в ассоциативном центре N (D) алгебры D. Рассмотрим
алгебру матриц Dn. Отображение
SA: X^A^XfA
является, как легко видеть, инволюцией в Dn. Через
Н (Dn, SA) обозначим алгебру симметричных относительно
SA элементов алгебры Dn. Алгебру Н (Dn, SF), где
Е — единичная матрица, будем обозначать через Н (Dn).
Теорема 6. Пусть Н (Dn) — йорданова алгебра.
Тогда отображение ср: X ь-> ХА является изоморфизмом
изотопа Н (Dn)(A) алгебры Н (Dn) на алгебру Н (Dn, SA).
Доказательство. Легко видеть, что A g N (Dn),
поэтому если X g Н (Dn), то ХА g Н (Dn,s SA), так как
(XA)sa = А-1 (ХА)* А - А-1 АХ*А = ХА.
Далее, Ф (X QAY) - V2 (XAY + YAX) A -
= V2 l(XA) (YA) + (YA) (XA)] = XA &YA = Ф (Х)0Ф(У),
т. е. Ф — гомоморфизм. Так как матрица А обратима, то
ф — изоморфизм, и теорема доказана.

§3J
КВАЗИРЕГУЛЯРНЫЙ РАДИКАЛ
361
Следствие. Пусть С — алгебра К эли — Диксона
над полем F и А = diag {%, а2, а3}, где at £ F. Тогда
Н (С3, SA) — исключительная йорданова алгебра.
Упражнения
1. Пусть элемент z йордановой алгебры / с единицей 1 нильпо-
тентен. Доказать, что в алгебре / найдется обратимый элемент и,
лежащий в подалгебре, порожденной 1 иг, такой, что и2 = 1 — z.
2 (М а к к р и м м о н). Пусть / — йорданова алгебра с
единицей 1 над полем F характеристики Ф 2, каждый элемент которой
имеет вид a«l + z, где а £ F и z — нильпотентный элемент.
Доказать, что множество нильпотентных элементов алгебры / является
идеалом.
Осбори [163] доказал несколько более общий факт, а именно:
если в йордановой алгебре / с единицей всякий элемент либо
обратим, либо нильпотентен, то множество нильпотентных элементов
этой алгебры образует идеал.
§ 3. Квазирегулярный радикал
В классе ассоциативных и в классе альтернативных
алгебр квазирегулярный радикал — единственный радикал,
у которого и радикальный и полупростой класс
удовлетворительно описаны. Естественно ожидать, что
соответствующий аналог этого радикала в классе йордановых
алгебр тоже будет обладать хорошими свойствами.
Квазирегулярный радикал в классе йордановых алгебр был
построен Маккриммоном в 1969 г. [124] и действительно
обладает рядом хороших свойств. Тем не менее о
полупростом классе этого радикала до сих пор ничего не
известно. Недавно Осборн [165] установил, что
квазирегулярный радикал йордановой алгебры может не совпадать
с пересечением ядер неприводимых представлений этой
алгебры, однако надежды на хорошее описание
полупростого класса квазирегулярного радикала^ все равно
остаются.
Элемент а йордановой алгебры / называется
квазирегулярным, если существует такой элемент Ъ 6 /, что в алгебре
J^ = Ф-1 + /, полученной формальным присоединением
к / единицы, элемент 1 — а обратим с обратным
элементом 1 — Ь. Элемент Ъ называется квазиобратным к
элементу а. Так как у обратимого элемента йордановой
алгебры имеется только один обратный элемент, то и!у~ква-
зирегулярного элемента квазиобратный также единствен.

362 РАДИКАЛЫ ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 14
Теорема 7. Следующие условия для элементов а и Ь
йордановой алгебры J эквивалентны:
а) а квазирегулярен с квазиобратным Ь;
б) Ъ квазирегулярен с квазиобратным а;
в) справедливы соотношения
a-\-b — ab = 0,
(а, а, Ь) = 0;
г) справедливо соотношение
а + Ъ — аЪ = О
и подалгебра, порожденная элементами а и Ь, сильно
ассоциативна.
Доказательство. Эквивалентность а) <£=> б)
следует из леммы 4.
а) <=> в). Распишем соотношения (1 — а) (1 — Ь) = 1
и (1 — а)2 (1 — Ь) = 1 — а. Получим соотношения
а + Ь — аЬ = О,
—а — Ь + а2 + 2аЬ — а2Ь = 0.
Преобразовав второе соотношение дважды с помощью
первого, получим 0= — а — Ъ -\- а2 -\-2аЪ — а2Ъ = а2 -\- аЪ— а2Ъ =
=а (а + Ъ) — а2Ъ = а (аЪ) — а2Ъ = — (а, а, &). Таким образом,
эквивалентность условий а) и в) доказана.
а) => г). Так как сильная ассоциативность
подалгебры А, порожденной элементами а и Ь, эквивалентна
коммутативности алгебры RJ (А), достаточно доказать, что
некоторая система порождающих алгебры RJ (А) состоит
из попарно коммутирующих элементов. В силу
предложения 3.2 и того, что аЪ = а + Ь, множество {Ra, Rb, i?a2,
R&} порождает RJ (А). По теореме 5 подалгебра,
порожденная элементами 1 — а и 1 — Ь, является сильно
ассоциативной, поэтому
Ша, Rb] = [i?x_a, R1-b] = 0,
[Ra, R&] = — [i?!_a, i?(i_b)2] — 2 [Ra, Rb] = 0.
Аналогично имеем
[J?02, i?&] = 0.

§ з]
КВАЗИРЕГУЛЯРНЫЙ РАДИКАЛ
363
Далее,
[Ra2, Rb2] = [i?(i_a)2, i?(i_b)2] + 2 [Ra, Rbz] +
+ 2[Ra*, i?b]-4[i?a, i?b) = 0.
Мы доказали, что элементы множества {Ra, i?b, i?a2, /?Ь2}
попарно коммутируют. Следовательно, алгебра RJ (А)
коммутативна, а это значит, что подалгебра А сильно
ассоциативна.
Импликация г) =>- в) очевидна.
Теорема доказана.
Следствие. Если в алгебре J имеется единица 1,
то элемент а квазирегулярен с квазиобратным элементом Ъ
тогда и только тогда, когда 1 — а обратим с обратным
1 - Ь.
Это следует, например, из пункта в) теоремы 7.
Алгебра называется квазирегулярной, если каждый
ее элемент квазирегулярен. Идеал называется
квазирегулярным, если он квазирегулярен как алгебра.
Предложение 3. Пусть I — идеал алгебры J
и а — квазирегулярный элемент с квазиобратным
элементом Ъ. Тогда, если а £ I, то и b £ I. Всякий идеал
квазирегулярной алгебры квазирегулярен.
Доказательство. Первое утверждение
очевидно, ввиду теоремы 7, в). Второе же следует из первого.
Лемма 8. Пусть элемент а принадлежит к
квазирегулярному идеалу I алгебры J и и — обратимый
элемент в /#. Тогда элемент и — а также обратим.
Доказательство. По лемме 6 элемент и — а
обратим тогда и только тогда, когда {(и — а) 1 (и — а)} =
= (и — а)2 обратим. Обратимость элемента (и — а)2
эквивалентна обратимости элемента (и — a)2 Uu-i. Рассмотрим
этот элемент. Имеем
(и — а)2 ии-г = (и2 — 2аи + a2) Uu-i = 1 — а',
где элемент а' = (2аи — a2) Uu-i принадлежит 7. Поэтому
элемент (и — a)2 Uu-i обратим, а вместе с ним и элемент
и — а. Лемма доказана.
Лемма 9. Сумма двух квазирегулярных идеалов есть
квазирегулярный идеал.
Доказательство. Пусть К и L —
квазирегулярные идеалы алгебры /. Рассмотрим произвольный

364 РАДИКАЛЫ ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 14
элемент а = к + I идеала К + L и докажем, что он квази-
регулярен. Действительно, 1 — а = (1 — /с) — I,
элемент Z принадлежит к квазирегулярному идеалу L, а
элемент 1 — к обратим. По лемме 8 элемент 1 — а также
обратим, но это и означает квазирегулярность элемента а.
Лемма доказана.
Лемма 10. Пусть ср: / ->/// — некоторый
гомоморфизм алгебры J, а 6 J и а — образ элемента а при
гомоморфизме ф. Тогда, если а квазирегулярен, то и а тоже.
Если а квазирегулярен и I — квазирегулярный идеал,
то а квазирегулярен.
Доказательство. Если а квазирегулярен
с квазиобратным Ъ, то а будет, очевидно, квазирегулярным
с квазиобратным Ъ = ср (&).
Пусть теперь а имеет квазиобратный элемент с и I —
квазирегулярный идеал в /. Множество / будет
идеалом и в /#. В фактор-алгебре /^ = J^/I имеем
соотношение (1 — с)2 Щ_- =1 и, переходя к прообразам,
получим (1 — с)2 иг_а = 1 — х, где х 6 I* Так как I
квазирегулярен, то 1 — х — обратимый элемент, и в силу
леммы 6 элемент 1 — а также обратим. Следовательно,
а квазирегулярен, и лемма доказана.
Пусть теперь / — произвольная йорданова алгебра.
Обозначим через f (J) сумму всех квазирегулярных
идеалов алгебры /. Ввиду леммы 9, этот идеал будет
квазирегулярным. Кроме того, по лемме 10 фактор-алгебра
J If (J) не содержит ненулевых квазирегулярных
идеалов. Таким образом, мы доказали следующую теорему:
Теорема 8 (Маккриммон). Класс f-
квазирегулярных йордановых алгебр радикален.
Обратимся к свойствам этого радикала.
Предложение 4. f (J) = J (] f (/#).
Доказательство. Включение f (J) ^ J П
П f (J^) верно, так как f (J) — радикальный идеал
алгебры /#. Обратное включение также справедливо в силу
следствия к теореме 7. Предложение доказано.
Предложение 5. Если для некоторого п ^ 1
элемент ап квазирегулярен, то и а квазирегулярен.

§ 3J
КВАЗИРЕГУЛЯРНЫЙ РАДИКАЛ
365
Доказательство. Элемент а квазирегулярен
в / тогда и только тогда, когда 1 — а обратим в /*, а это
в свою очередь по лемме 5 эквивалентно обратимости
оператора их_а. Аналогично, апквазиобратимвтомитолько
в том случае, когда •С71_ п обратим. Однако по теореме
Ширшова
Ui~an = Ul-aUi+a+...+an-1 = U i+a+ . . . Л-а71"1 Ul-a>
откуда следует, что обратимость оператора U\_ п влечет
обратимость оператора U1_a. В силу вышесказанного это
означает, что квазирегулярность элемента ап влечет
квазирегулярность элемента а.
Предложение доказано.
Если элемент а нильпотентен, то ап = О для некоторого
п. Так как 0 — квазирегулярный элемент, то по
доказанному а квазирегулярен.
Заметим, что утверждение, обратное к предложению 5,
неверно. Так, —1 есть квазирегулярный элемент, так как
(—1) + V2 = (—1)в1/2, но (—I)2 = 1 квазирегулярным
элементом не является.
Элемент а йордановой алгебры / называется
регулярным в смысле фон Неймана, если а = xUa для некоторого
x£J.
Теорема 9 (Маккриммон). Если а —
регулярный в смысле фон Неймана элемент йордановой алгебры J
и а £ f (/), то а = 0.
Доказательство. Допустим сначала, что а £
£ f- (J) и а = uUa, где и — обратимый элемент из /#.
Тогда по лемме 8 элемент v = и — aUu обратим, и,
следовательно, по лемме 5 обратимым должен быть и
оператор Uv. Рассмотрим элемент aUv. Мы имеем
aUv = a(Uu- 2U (и, aUu) + U (aUu)) =
= aUu — 2 {ua {uau}} + all (aUu) =
=aUu — 2 {u {aua} u} + aU (aUu) =
= aUu - 2aUu + aUu = 0,
так как по тождеству Макдональда
aU (aUu) = aUuUaUu = uUaUuUaUu =
= u U (uUa) Uu = uUaUu = aUu.

366 РАДИКАЛЫ ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 14
Так как aUv = О и элемент v обратим, то а = 0. В этом
случае теорема доказана.
Пусть теперь a = xUa, где х — произвольный элемент
из /*. Имеем
а = xUa = xU (xUa) = xUaUxUa = x'Ua,
где x1 =xUaUx £ f (J). Поэтому можно считать, что х £
£ f (/). Далее, по тождеству (3.47) получаем
а* = {xUaf = a2UxUa = yUa,
где у = a2Ux £ ^ (/). Рассмотрим теперь обратимый
элемент и = 1 — (z/ — х) и применим к нему оператор Ua.
Получим
иС/а = (1 + # — I/) Ua = а2 + а — а2 = а,
т. е. uUa = а. Но этот случай разобран выше. Отсюда
следует, что а = 0.
Теорема доказана.
Следствие. Радикал f (J) не содержит идемпо-
тентов.
Теорема 10. Если Ф — поле, то всякий
алгебраический над Ф элемент алгебры /, содержащийся в f (/),
является нилъпотентным.
Доказательство. Пусть а — алгебраический
элемент и а £ f (/). Тогда /0 = Ф [а] — конечномерная
ассоциативная подалгебра в /. Рассмотрим цепочку
подпространств
/0 з aJ0a з a2J0a2 ^ . . .
Ввиду конечномерности подалгебры /0, найдется такое
число п, что anJ0an = . . . = a2n+1/0a2n+1. Но тогда для
некоторого х £ J0 будем иметь
a2n+i=a2n+ixa2n+i = xUa2n+u
откуда по теореме 9 a2n+1 = 0. Теорема доказана.
Следствие. Во всякой конечномерной йордановой
алгебре J над полем Ф радикал f (J) является нилъ-идеа-
лом.
Хорошо известно, что радикал Джекобсона
ассоциативной алгебры А состоит в точности из собственно
квазирегулярных элементов, т. е. таких элементов z£A, для

§ з]
КВАЗИРЕГУЛЯРНЫЙ РАДИКАЛ
367
которых все элементы az (или все za) квазирегулярны.
Переформулируем условие собственной
квазирегулярности в других терминах.
Предложение 6 (Маккриммон). Элемент
az ассоциативной алгебры А квазирегулярен тогда и только
тогда, когда элемент z квазирегулярен в гомотопе Л(а).
Элемент z собственно квазирегулярен тогда и только
тогда, когда он квазирегулярен в каждом гомотопе
алгебры А.
Доказательство этого предложения мы
оставляем читателю.
Назовем элемент йордановой алгебры / собственно
квазирегулярным, если он квазирегулярен в любом гомотопе
алгебры /. Маккриммон доказал, что квазирегулярный
радикал f- (J) йордановой алгебры / есть в точности
множество PQI (/) всех ее собственно квазирегулярных
элементов. Доказательству этой характеризации
квазирегулярного радикала мы и посвятим остаток параграфа.
Определим в алгебре умножений йордановой алгебры
еще один оператор:
xVy% z = {xyz} = х (RyRz — RzRy + Ryz).
Операторы в алгебре умножений гомотопа /(а) будут
обозначаться R^\ U^\ Vxa\. Операция возведения в
квадрат в гомотопе /(а) обозначается х2^; единица гомотопа
/(а) — через 1(а). Из определений вытекает, что
x*a> = aUx, Bg> = Va,x. (9)
Кроме того, в силу тождеств (7) и (8)
Vi% = Vxva,y, U^ = UaUx. (10)
Отметим, что в силу леммы 5 обратимость элемента
1 — х в йордановой алгебре /# эквивалентна обратимости
оператора
U,.x = E-2RX + Ux. (И)
На /(а) оператор U(^a)_x действует в силу (9) и (10) как
Е — 2Va, х + UaUx. Введем поэтому в алгебре
умножений произвольной йордановой алгебры / операторы
TXiU = E- 2VX, „ + UxUy.

368
РАДИКАЛЫ ЙОРДАПОВЫХ АЛГЕБР [ГЛв 14
а)
б)
в)
г)
*■ х, 0 — -L 0, х ~- & 1 *■ ах, у — ■* х, ау 1 ОС £ Ч
гр гр т т т т
1 х, у '1 -х, у •* х, у ' ■* х ,-у 1 X, xUy l yU,
* х, yUz*- у, х = U \z* у, х)\
■L х, у' *■ у, я ~ Е — 2tiw ~\~ U wi
Для доказательства свойств оператора ТХчУ нам
понадобится принцип Кёхера для йордановых алгебр.
Сформулируем его в удобном для нас виде.
Принцип Кёхера. Если неассоциативный
многочлен / = / (х±, . . ., хп) обращается в нуль во всякой
йордановой алгебре J с единицей при подстановке в него
любых обратимых элементов алгебры J', то / является
тождеством во всех йордановых алгебрах.
Доказательство. Ввиду предложения 1.9,
необходимо только заметить, что элементы вида 1 + х,
где х нильпотентен, являются в силу предложения 5
обратимыми.
Лемма 11. Операторы ТХгУ удовлетворяют
соотношениям
(12)
где w = 2ху — y2Ux.
Доказательство. Соотношение а) очевидно.
Соотношения б) и г) могут быть доказаны с помощью
следствия 2 теоремы Ширшова, однако в) так доказано быть
не может. Применим принцип Кёхера.
Заметим, что для обратимых х и у
Тх, у = UJJx-i-v = Uy-i-xUy. (13)
Действительно, в силу теоремы 5 и соотношений (3.31)
и (3.31') имеем
Ux^x-i, у ~ ^^х^у Uх, у == * х, у»
Uy-^-,xUу — ^^х^у Uи, х== * х, у
Кроме того, в силу (2) UxUx-i = Ux-xUx = Е. Поэтому
UxUx-r-y = UXUX-, -2UxUx-^y + UxUy = Тх%у.
Аналогично доказывается и второе равенство.
Так как в изотопе /(Х) элемент х~г является единицей,
соотношения (13) можно в силу (10) переписать
следующим образом:
Tx.e = U%.v = Ur1U%_xVt. (14)

§ з]
КВАЗИРЕГУЛЯРНЫЙ РАДИКАЛ
369
Теперь имеем
J- х.у1 х,-у — и i(X)-yU i(*)+y ~ U i(x)-y2(x) — и 1(ж)-хц- = 2 х, xUy-
Аналогично,
= Uy-iUi(y)_x2(y)Uy = Uy-iU i(y)_yU и у = туих, у.
Равенство Г*, у^-л, у = ^*, у^х, -у следует из того, что
Г-х, у = Г^ _у. Итак, б) доказано.
Докажем в). В силу (13) и тождества Макдональда
для обратимых элементов х, г/, z имеем
* х, yU-z* у, х == ^xUx-i-yUzUx-1-yUх =
= £7(Z£7sri_//ac) = £/(a2'l„sc).
В силу принципа Кёхера в) доказано.
Соотношение г) следует из в), если положить z = 1:
Лемма доказана.
Лемма 12. Для элементов х, у йордановой алгебры J
следующие условия эквивалентны:
а') х квазирегулярен в J0J)\
б) Ту% х обратим на /;
в) Ту% х сюръективен на /;
г) 2х — yUx лежит в образе Ту, х;
д) 2жу — */2^с лежит в образе Т Уг Х1
е) 2ху — y2Ux квазирегулярен в /.
Если z — квазиобратный элемент к х в /(У), то
операторы Ту^х и Тy,z взаимно обратны.
Доказательство. Если х квазирегулярен в J{V>
с квазиобратным элементом z, то операторы U^V)_x и U^y)_z
взаимно обратны на (/(У))#. Их ограничения TViX и Ty^z
на идеале / = /(У) также взаимно обратны. Таким
образом, а) влечет б) и, кроме того, доказано заключительное
утверждение леммы.
Импликации б) =>- в), в) =>- г) и в) =>- д), очевидно,
истинны. Далее,
1{V)U%)_X= (lM — x)2<n = l<v> — 2z + yUx.

370 РАДИКАЛЫ ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБР ГЛ. 14
Ясно теперь в силу (14), что наличие в образе оператора
TytX элемента 2х— yUx: влечет наличие единицы 1(У)
в образе оператора U^y)_x, что влечет по лемме 5
обратимость элемента 1{У) —х в алгебре (/(Ю)#, а это в свою
очередь означает квазирегулярность элемента х в /(У).
Мы доказали, что г) =^ а).
Пусть теперь w = 2ху — y2Ux лежит в образе Ту%х,
т. е. zTytX = w для некоторого z 6 J- Так как 1Ту,х =
= 1 — w, то (1 + z) Ту%х = 1. В силу (12в) имеем
E=U((l+z)Ty,x) = Tx,yUi+zTy,x,
откуда следует сюръективность оператора Т УъХ. Ввиду уже
доказанной эквивалентности б) <=> в), оператор ТУъХ
обратим на /. Но тогда обратимо произведение TXi yU1+z =
= Ту]х и оператор U1+z, следовательно, сюръективен
на /. Это влечет обратимость оператора С/ц-z, а значит,
и оператора Тх> у = Ty]xU~lz. Теперь в силу (12г)
оператор U\_w = Е — 2RW + Uw обратим на / и,
следовательно, элемент w квазирегулярен. Таким образом,
д) =ф- е). Из соотношения (12г) следует также, что
е) =^ в). Лемма доказана.
В процессе доказательства этой леммы мы
установили, что обратимость оператора TXt у влечет обратимость
оператора ТУг х. Это означает, что справедливо следующее
предложение.
Предложение 7 (принцип симметрии).
Элемент х квазирегулярен в J(y) тогда и только тогда,
когда у квазирегулярен в /(х).
Справедливо также
Предложение 8 (принцип сдвига).
Элемент xUz\ квазирегулярен в /(у) тогда и только тогда,
когда х квазирегулярен в /(2/t/2).
Доказательство. Нам понадобится тождество
Макдональда
yU (xUz) = yUzUxUz (15)
и его линеаризация по х:
yU(xUz, wUz)=yUzUx<wUz. (16)

§ з]
КВАЗИРЕГУЛЯРНЫЙ РАДИКАЛ
371
Допустим, что х квазирегулярен в J^yUz) с
квазиобратным w. Это значит в силу пункта в) теоремы 7, что
х + w = {х {zyz} w},
{{х {zyz} х} {zyz} w} = {х {zyz} {х {zyz} w}}
или, что то же самое,
х + w = yUzUXtW, (17)
yUzU (yUzUx, w) = yUzU (x, yUzUXt w). (18)
Применив теперь к обеим частям равенства (17) оператор
Uz, в силу (16) будем иметь
xUz + wUz = yUzUXt WUZ = yU (xUz, wUz). (19)
Применяя Uz к обеим частям равенства (18), получим,
ввиду (15) и (16),
yU (yU (xUz), wUz) = yU (zUz, yU (xUz, wUz)). (20)
Равенства (19) и (20) можно переписать следующим
образом:
xUz + wUz = (xUz) • у (wUz),
№)** • y (wUz) = (xUz) • y [(xUz). y (wUz)},
но это в силу теоремы 7, в) означает, что xUz
квазирегулярен в гомотопе /(у) с квазиобратным wUz.
Обратно, если xUz квазирегулярен в /(у), то в силу
принципа симметрии у квазирегулярен в /(* z\ откуда
по доказанному выше yUz квазирегулярен в /(х).
Применив еще раз принцип симметрии, получим, что х
квазирегулярен в
Предложение доказано.
Ввиду леммы 12 и принципа симметрии, множество
PQI (/) собственно квазирегулярных элементов алгебры /
можно охарактеризовать тремя следующими способами:
PQI (/) = {z | TXtZ обратим для всех х £ /}==
— {z I TZiX обратим для всех х £ /} =
= {Z | f (/<*>) = /<*>}. (21)

372
РАДИКАЛЫ ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 14
Следующая лемма оправдывает нашу терминологию.
Лемма 13. Всякий собственно квазирегулярный
элемент квазирегулярен.
Доказательство. Пусть z £ PQI (J)- Если в /
есть единица, то все очевидно: z квазирегулярен в /(1),
т. е. в /. В общем случае легко видеть, что элемент я2
квазирегулярен, так как оператор
*7i_2. = Е - 2RZ* + Uz2 = E- 2VZfZ + UZUZ = TZtZ
обратим на /. В силу предложения 5 элемент z также
квазирегулярен. Лемма доказана.
Нам удобно будет рассматривать теперь только алгебры
с единицей. Для этого нам нужна
Лемма 14. Для всякой йордановой алгебры J имеет
место равенство
PQI (/) = PQI (/#) Л /.
Доказательство. Пусть z £ PQI (/#) Л J*
Тогда для любого х £ / этот элемент квазирегулярен
в (/#)(х). Так как / является идеалом в (/#)(х), то в силу
предложения 3 квазиобратный элемент w к z в (/#)(х) лежит
в /. Это значит, что z квазирегулярен в /(х) для любого
х е J, т. е. z е PQI (J).
Пусть теперь z 6 PQI (J)- Покажем, что для любого
х' £ /# оператор TX>%Z обратим на /#. В силу
соотношений (126) имеем
откуда в силу обратимости последнего оператора на /
следует сюръективность 7V,Z на /. В частности, элемент
2z — x'Uz лежит в образе 7Vt2, откуда в силу леммы 12
z квазирегулярен в (/#)(х \ т. е. z б PQI (/#).
Лемма 15. PQI (/) = PQI (J(x)) для любого гомо-
топа
Доказательство очевидно, так как в силу
леммы 7 всякий гомотоп гомотопа есть снова гомотоп:
j{x){y) = jiyUx)
Лемма 16. Если J — йорданова алгебра с единицей
и z £ PQI (/), то элемент и — z обратим для любого
обратимого элемента и.

§ з]
КВАЗИРЕГУЛЯРНЫЙ РАДИКАЛ
373
Доказательство. Элемент и является
единицей в изотопе J^v\ где v = и"1. Так как z квазирегулярен
в J^v\ то и —- z = l(v) — z обратим в J^v\ Это
эквивалентно тому, что оператор Uu-Z — UVUU..Z обратим.
В силу обратимости v оператор Uv обратим.
Следовательно, обратим оператор Uu_z, а это эквивалентно
обратимости и — z в /.
Следствие. Пусть z — собственно
квазирегулярный элемент произвольной йордановой алгебры J. Тогда
элемент и — z обратим в (/(х))# для любого обратимого
элемента и алгебры (/(х))#.
Доказательство. По лемме 15 z £ PQI*(J"<X))t
а по лемме 14 z 6 PQI ((/<ЭС))*)- Теперь остается применить
лемму 16.у
Теорема И (М а к к р и м м о н). f (J) = PQI(J)
для любой йордановой алгебры J.
Доказательство. Если z £ f- (/), то для
любого х £ / элемент 2zx — x2Uz квазирегулярен в /, а это
в силу леммы 12 означает, что z квазирегулярен в /<Х),
т. е. z е PQI (/). Итак, f (/) gz PQI (/).
Остается доказать, что PQI (/) — идеал. То, что
множество PQI (/) замкнуто относительно умножений
на скаляры, следует из (12а) и (21). Докажем, что PQI (/)
замкнуто относительно сложения. Пусть ж, у £ PQI (/).
Тогда в алгебре (7(Z))* элемент
1Ъ-(х + у) = (1<г>-х)-у
обратим в силу следствия леммы 16, а это значит, что
х + у квазирегулярен в /(2). В силу произвольности
элемента z имеем х + у £ PQI (/).
Далее, если х 6 PQI (/) и у 6 /, то для любого z £ /
элемент х квазирегулярен в /(2tV, откуда в силу
принципа сдвига имеем квазирегулярность элемента xUy
во всяком гомотопе /(2), т. е. xUy £ PQI (/). В силу
предложения 4 и леммы 14 мы можем считать, что в
алгебре / есть единица. Но тогда
ху = V2 (xUy+t - xUy - х) е PQI (/),
и мы доказали, что множество PQI (/) — идеал. Теорема
доказана.

374 РАДИКАЛЫ ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 14
Упражнения
1. Элемент а ассоциативной алгебры А квазирегулярен тогда
и только тогда, когда он квазирегулярен в Л(+К Верно также, что
f(A) = f(A<+>).
Указание. Воспользоваться предложением 2 и
упражнением 3.1.5.
2 (Маккриммон). Пусть А — ассоциативная алгебра
с инволюцией * и Н = Н (А, *). Доказать, что если элемент а £ Н
квазирегулярен с квазиобратным 6, то Ъ £ Н. Показать, что элемент
а £ А квазирегулярен тогда и только тогда, когда элементы а + а* —
— аа* и а + а* — а*а оба квазирегулярны. Установить равенство
f(H) = H(]f(A).
3 (Л о в е р). Пусть / — йорданова алгебра и х £ J. Тогда
f{J<*>) = {*\zUxZf(J)).
§ 4. Наследственность радикалов
Мы начнем со следующей теоремы.
Теорема 12 (Слинько). Пусть J — йорданова
алгебра, I — идеал в J, М — идеал в I и фактор-алгебра
ИМ не содержит ненулевых нилъпотентных идеалов.
Тогда М — идеал в /.
Докажем сначала в условиях теоремы 12 ряд лемм.
Лемма 17. МЧ<=М.
Доказательство. Докажем, что М-\-М*ЛМ' ~~
тривиальный идеал в алгебре ИМ. Для этого достаточно
показать, что (M2J) I <= М. Так как М2 — это Ф-модуль,
натянутый на квадраты элементов из М, то достаточно
доказать, что (т2а) i £ М для любых т £ М, а б /, i £ I.
(Этот прием на протяжении доказательства теоремы 12
мы будем использовать в дальнейшем без оговорок.)
Запишем теперь основное йорданово тождество в виде
(х2, у, х) = 0. Линеаризуя его, получим
(ху, z, t) + (xt, z, у) + (yt, z, x) = 0. (22)
Имеем теперь в силу (22)
(т2а) i = т2 (ai) + (га2, a, i) = т2 (ai) — 2 (mi, а, т) £ М.
Ввиду отсутствия в ИМ тривиальных идеалов, M2J ^ М.
Лемма доказана.

§ 4]
НАСЛЕДСТВЕННОСТЬ РАДИКАЛОВ
375
Лемма 18. М + хМ — подалгебра в J для любого
элемента х £ /.
Доказательство. Пусть т, п £ М. В силу
предыдущей леммы (тп) х £ М. Поэтому соотношение
(3.22) влечет
(хт) (хп) =
= у {—я2 (mtt) + [(a;m) я] тг+[(;т) я]яг+а;[(7тг)а;]}(=АГ+ #М.
Лемма доказана, и одновременно установлено, что
для любого х £ / в условиях теоремы 12
(отг) (хп) = -тгЦиш) а:] ж (modM). (23)
Лемма 19. Сх = М + хМ + (хМ) I — идеал в I для
любого х £ /, такой, что С% ^ М + #Af-
Доказательство. Ввиду леммы 18, достаточно
показать, что ((#АГ) /) / ^ ЛГ + #Af. Пусть m £ М, i, / б
б /. Тогда в силу (3.22) имеем
[(oti) i] / = — [(xj) i] т — х [(mj) i] + (xm) (ij) +
+ (#0 (mj) + (xj) (mi) = m' + #^" + (xm) (ij),
где m', m" £ AT. Преобразуем (m) (ij) согласно (22):
(xm) (ij) = x [m (ij)] -f- (я, m, i/) =
= x [m (ij)] — (i, m, #/) — (/, m, xi) £ M + #AT.
Лемма доказана.
Лемма 20. Для любых х, у (z J имеют место
включения:
а) ((IM) М)х<= М\
б) (/АР) a; g= АГ;
в) (((/АГ2) М) х) х с= М;
г) (АРг/) а: с АГ;
д) (((ATM2) у) s) * с= АГ;
е) ((М3х) х) х <=. М.
Доказательство. Пусть i £ I, т, п £ М.
а) В силу тождества (3.22) получаем
I(im) п] х = — [(ix) п] т — i [(тх) п] + (im) (пх) +
+ (in) (тх) + (ix) (тп) £ М.

376 РАДИКАЛЫ ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБР [ГЛ, 14
б) В силу тождества (3.24) имеем
(шг2) х = —2 [i (тх)] т + (ix) т2 -\- 2 (im) (хт) £ М.
Применяя а), б) и тождество (3.22), докажем теперь
пункты в) и г):
(((im2) п) х) х = — (((im2) х) х) п — (im2) ((пх) х) +
+ ((im2) п) х2 + 2 ((im2) х) (пх) £ М,
(у' (т2п)) х =
= —2 ((ут) п) т) х + ((уп) т2) х + 2 ((г/m) (ят)) х £ М.
д) В силу тождества (3.24) получаем
(((/7г2лг2) I/) я) ж = —2 (((т2 (пу)) п) х) х +
+ (((т2у) п2) х) х + 2 (((т2тг) (ш/)) я) я.
Первое слагаемое правой части лежит в f по в), второе
и третье лежат в М по г) ив силу того, что М2 —
идеал в /.
е) В силу г) и тождества (3.22) имеем
((М*х) х) х <= (М3х) х2 + М3х* с м.
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 12. Пусть М
не является идеалом в /. Тогда существует элемент х £ /
такой, что хМ dj= М. В этом случае CJM — ненулевой
идеал в ИМ, Покажем, что (С Х/Щ{3) = (0), т. е. что
идеал CJM разрешим индекса ^ 3. Так как по лемме 19
С%<=: М + хМ, для этого достаточно доказать, что
(хМ)2 (хМ)2 <= М.
Из сравнения (23) следует, что каждый элемент из (хМ)2
представляется в виде линейной комбинации элементов
вида (т2х) х и элементов из М. По лемме 17 т2х £ Л/,
п2х £ М для любых элементов т, п £ М, так что,
применяя еще раз (23), получим
((т/г2;*;) я) ((тг2ж) х) =-«)- (((т2я) (Л)) я) х (mod М).
Отсюда следует, что каждый элемент из (хМ)2 (хМ)2
представляется в виде линейной комбинации элементов из М

§ 4]
НАСЛЕДСТВЕННОСТЬ РАДИКАЛОВ
377
и элементов вида (((т?х) (п2х)) х) х. Покажем, что
последние лежат в М. В силу (3.24)
(((т2х) (п2х)) х) х =
1 1
= —g- (((т2п2) х2) х) х + (((яг2 (п2х)) х) х)х+-^ (((т2х2) п2) х) х.
Первое слагаемое принадлежит М по лемме 20, д), второе
по лемме 20, е) и третье по лемме 20, г).
Итак, мы доказали, что (Сх/М)(3) = (0). Однако
по лемме 4.4 фактор-алгебра ИМ не содержит ненулевых
разрешимых идеалов. Следовательно, CJM = (0) и хМ ^
9= Сх $= М. Но это противоречит выбору элемента х.
Теорема доказана.
Радикал ЗЯ в классе алгебр St называется наднилъпо-
тентным, если все нильпотентные алгебры из St являются
^-радикальными.
Следствие!. Всякий наднилъпотентный радикал
ЗЯ в классе йордановых алгебр удовлетворяет условию (Н).
Доказательство. Допустим, что в ^-полу-
простой йордановой алгебре / идеал I не ^-полупрост.
Тогда ЗЯ (/) ф (0) и по теореме 12 М (I) — идеал в /.
Но тогда он содержится в ЗЯ (/), а это — нулевой идеал.
Противоречие. Следствие доказано.
Недавно Никитин доказал утверждение следствия 1
для произвольного радикала ЗЯ в классе йордановых
алгебр [161].
Следствие 2. Радикалы X, ,#\ оМ, A, f в классе
йордановых алгебр являются наследственными.
Доказательство. Все перечисленные радикалы
наднильпотентны и, ввиду следствия 1, удовлетворяют
условию (Н). В силу теоремы 8.3 остается доказать для
этих радикалов условие (G), т. е. что идеал радикальной
алгебры радикален. Для радикалов X, J/% f- этот факт
тривиален. Условие (G) для радикала Андрунакиевича
доказывается так же, как следствие леммы 8.13.
Докажем условие (G) для радикала Маккриммона.
Пусть / — идеал в /, оМ (J) = J и Л (I) ФI. По
теореме 12 оЖ (I) — идеал в /. Профакторизовав по оМ (/),
можно считать, что оМ (/)=/, оМ (I) = (0). Докажем
теперь, что J fl QM (J) = (0), отсюда будет следовать, что
/ = (0). Пусть z d&ff1 (J) — некоторый абсолютный
делитель нуля. Для произвольного элемента i £ / элемент

378 РАДИКАЛЫ ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. 14
zUi — абсолютный делитель нуля в /. Ввиду сЖ-полупро-
стоты /, имеем zUt^=0 для всех ££/. Тогда {izj} =
--- у (zC/j+j — zUi — zUj) = 0 для любых i, /£/ и,
следовательно,
{Ыл (/) /} = (0).
Если бы идеал J fl ^i (J) был отличен от нуля, то в силу
1 1
тождества (ab) с = у {абс} + у {бас} он был бы ниль-
потентен индекса 3, что противоречило бы с/Ж-полунро-
стоте /. Следовательно, / [\оМл (J) = (0). Этот факт служит
основанием для последующей индукции.
Предположим, что / П 4р (/) = (0) для всех
порядковых чисел р < а. Тогда, если а — предельное
порядковое число, то очевидно, что I f] о#« (J) = (0)- Если а
не является предельным, то о#а (/) есть Ф-модуль,
порожденный всевозможными элементами z £ J такими, что
JUZ ^ оЖа-\ (J)- Пусть z — некоторый элемент такого
сорта. Рассмотрим zUt, где i — некоторый элемент из /.
В силу тождества Макдональда и предположения индукции
JU (zUi) = JUtUtUt <= / fl e#«-i (J) = (0),
но I не содержит абсолютных делителей нуля и,
следовательно, zUi = 0 для всех i £ /. Теперь аналогично
доказательству индуктивного предположения получим, что
/ П °Ла (/) = (0).
Следствие доказано.
ЛИТЕРАТУРА
Маккриммон [114, 117, 124, 125, 128, 134], Никитин [161],
Осборн [163, 165], Скосырский [194], Слинько [208, 209, 211],
Эриксон и Монтгомери [284].

ГЛАВА 15
СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ ИОРДАНОВЫХ АЛГЕБР
С УСЛОВИЕМ МИНИМАЛЬНОСТИ
Развитие структурной теории йордановых алгебр шло
в основном теми же путями, что и развитие структурных
теорий ассоциативных и альтернативных алгебр. Были,
однако, в этом развитии и особенности. Так, после того,
как Албертом были изучены конечномерные йордановы
алгебры, долгое время оставалось непонятным, какие
подмножества в йордановых алгебрах являются аналогами
односторонних идеалов. Это стало ясно в 1965 г. после
введения Топпингом понятия квадратичного идеала.
В 1966 г. Джекобсон рассмотрел невырожденные
йордановы алгебры с условием минимальности для
квадратичных идеалов и доказал для них теорему, аналогичную
теореме Веддерберна-Артина о полупростых артиновых
ассоциативных алгебрах. Однако его классификация
простых алгебр была неполна: не были описаны алгебры
с делением и простые йордановы алгебры емкости 2.
Алгебры емкости 2 впоследствии описал Осборн. Вопрос
об описании йордановых алгебр с делением в настоящее
время не решен.
Так как невырожденные йордановы алгебры есть в
точности с#-полупростые алгебры, возник вопрос, не будет ли
в йордановой алгебре / с условием минимальности для
квадратичных идеалов радикал <М- (J) нильпотентен. Ответ
на этот вопрос оказался положительным. В 1972 г. Слинько
доказал, что радикал f (J) (и тем более оМ (J))
нильпотентен в случае, когда алгебра / специальна. Ограничение
специальности в этой теореме недавно снял Зельманов.
Ранее Морган доказал, что в йордановой алгебре с
условием минимальности для квадратичных идеалов всякий
ыильпотентный идеал конечномерен.

380
СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. 15
Таким образом, структура йордановых алгебр с
условием минимальности оказывается вполне определенной
с точностью до алгебр с делением, так же как и в
ассоциативном случае.
§ 1. Квадратичные идеалы
В этом параграфе йордановы алгебры рассматриваются
над ассоциативно-коммутативным кольцом Ф,
содержащим элемент 1/2.
Пусть / — йорданова алгебра. Подмодуль Q в J
называется квадратичным идеалом, если JUq ^ Q для всех
q £ Q. Ясно, что всякий идеал в / является квадратичным
идеалом; обратное неверно. Если / = ^4(+) для некоторой
ассоциативной алгебры А, то квадратичные идеалы алгебры
/ — это такие Ф-подмодули Q в А, что qAq ^ Q для
всех q £ Q. В частности, все односторонние идеалы алгебрь
А являются в ^4(+) квадратичными идеалами.
Пусть Q — квадратичный идеал в J и q{, q2£Q. Тогда
для любого a£J имеем aUqiiqi = i/2((iUq1+q2—aUQl—aUq2)£
£Q. Это значит, что JUQuq2^Q. Если в алгебре есть
единица, то Q является подалгеброй, так как адг —
= {#il(72}£(?' В общем случае это не так. Однако в силу
соотношения (g4g2) ?з = V2 {?1<Мз} + V2 feMs} можно
утверждать, что Q3 ^ Q.
Пусть Q — квадратичный идеал алгебры / и a£J.
Тогда в силу тождества Макдональда для любого q£Q
JU(qUa)=JU0UqUa<=QUa.
Это значит, что множество QUa является квадратичным
идеалом. В частности, JUa— квадратичный идеал.Он
называется главным квадратичным идеалом, порожденным
элементом а. В силу линеаризованного тождества (3.47)
имеем
{аха) {ауа} = {а {ха2у} а}.
Отсюда можно заключить, что главный квадратичный
идеал всегда является подалгеброй.
Заметим, что если z — абсолютный делитель нуля в /,
то подмодуль Ф -z является квадратичным идеалом.

§11
КВАДРАТИЧНЫЕ ИДЕАЛЫ
381
Еще один естественный способ получения
квадратичных идеалов заключен в следующей лемме.
Лемма! Пусть J — йорданова алгебра, I — идеал
в J и К — идеал в I. Тогда
а) KI — идеал в I;
б) KI — квадратичный идеал в J;
в) цепочка (К, /)х ^ (К, /)2 3 . . . состоит из
идеалов алгебры I и квадратичных идеалов алгебры J.
Доказательство. Утверждение а) очевидно.
Для доказательства б) воспользуемся тождеством
(ху, z, t) + (xt, z, у) + (yt, z, x) = 0.
Имеем
{(KI) J (KI)} s (/ (KI)) (KI) + J (Klf c=
g= KI + (/, KI, KI) <= KI + (K, KI, TI) +
+ (/, KI, KJ)c=KI,
т. е. б) доказано. Утверждение в) следует из а) и б).
Лемма доказана.
Приступим теперь к изучению свойств квадратичных
идеалов.
Лемма 2. Если квадратичный идеал Q алгебры J
является подалгеброй, то элемент q £ Q квазирегулярен в J
тогда и только тогда, когда он квазирегулярен в Q. Кроме
того, f(J) [)Qs=f (Q).
Доказательство. Пусть q квазирегулярен
с квазиобратным элементом р. Надо доказать, что р £ Q.
В силу теоремы 14.7 имеем
0 = p+q — pq = p + q + q2— (p + q)q =
= р + q + Ф — (pq) q = p + q + q2 — pUq,
откуда p = pUq — q2 — q (z Q- Этим первое утверждение
леммы доказано. Второе же очевидным образом следует
из первого. Лемма доказана.
Для главных квадратичных идеалов, порожденных
идемпотентами, играющих в структурной теории важную
роль, можно утверждать больше.
Тео ема 1 (Маккриммон). Для любого идем-
потента е йордановой алгебры J справедливы равенства
f (JUe) = JUe[\f (J) = f (J) v..

382
СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ, 15
Доказательство. Последнее равенство
очевидно. Докажем первое. Заметим сначала, что включение
в одну сторону нами доказано в предыдущей лемме. Пусть
z 6 f {JUe). Тогда по теореме 14.11 z квазирегулярен
в любом гомотопе (JUeYx е) алгебры JUe. В частности,
z квазирегулярен в любом гомотопе J^xUe) алгебры /.
В силу принципа сдвига мы получаем квазирегулярность
элемента zUe в любом гомотопе /(л:). Но так как z =
= zUe, по теореме 14.11 z б f (/). Это дает нам
включение jf- (JUe) ^ JUe 0 f- (J). Таким образом, обратное
включение также доказано, а вместе с ним теорема.
Удобным достаточным признаком наличия идемпотента
является
Лемма 3. Пусть Q — ненулевой квадратичный идеал
йордановой алгебры /, а £ Q и QUa = Q. Тогда Q содержит
идемпотент.
Доказательство. Пусть с £ Q такой, что cUa =
= а. Тогда в силу тождества (3.47) а2 = a2UcUa £ Q.
Обозначим для q £ Q через Uq ограничение оператора Uq
на Q. Тогда в силу тождества Макдональда Ua = UaUcUa,
откуда следует, что UcUa = Е. Поэтому для / = a2Uc
имеем
/з = fUf = a*UcUeUaUaUc = a*Ue = /.
Но тогда /4 = /2, и мы имеем две возможности: 1) /2 —
идемпотент, 2) /2 = 0. Во втором случае / = /3 = 0,
откуда 0 = ZJj = UcUaUaUc, что дает нам UaUc = 0.
Но тогда (UcUa)2 = 0. Это противоречие показывает, что
второй случай невозможен. Лемма доказана.
Теорема 2. Йорданова алгебра J не имеет
собственных квадратичных идеалов в том и только в том
случае, когда J — алгебра с делением, либо J = Ф -х
и х2 = 0.
Доказательство. Если / — алгебра с
делением, то для всякого 0 Ф а £ / оператор Ua обратим,
и поэтому собственных квадратичных идеалов в
алгебре / нет.
Пусть в / нет собственных квадратичных идеалов. Если
в / имеется абсолютный делитель нуля z, то Ф-z —
квадратичный идеал и / = Ф -z. Если же алгебра / невырож-

§1]
КВАДРАТИЧНЫЕ ИДЕАЛЫ
383
дена, то / = JUa для любого а Ф 0. Пусть Ъ £ / таков,
что bUa = а, тогда Ua = UaUbUa, а это означает, что
UbUa = Е. Отсюда следует, что отображение UaUb идем-
потентно и в силу его сюръективности тождественно.
Следовательно, для каждого а Ф 0 отображение Ua
обратимо.
Заметим, что в силу леммы 3 в алгебре / имеется идем-
потент е. Тогда (ех — х) Uе = 0 для любого х g /. В силу
обратимости Ue мы имеем ех = х, т. е. е — единица в /.
Так как единица лежит в образе каждого оператора Ua
при а Ф 0, то по лемме 14.5 каждый ненулевой элемент
в / обратим и / — алгебра с делением.
Теорема доказана.
В свете этой теоремы аналогия между квадратичными
идеалами йордановых алгебр и односторонними идеалами
ассоциативных становится более понятной.
Упражнения
Во всех упражнениях / — йорданова Ф-алгебра.
1. Для любого а £ / множество Ф-а + JUa — квадратичный
идеал в /.
2. Если/ — идеал в JhQ — квадратичный идеал в/, то/+ Q —
квадратичный идеал в /.
3. Показать, что в алгебре Ф£,+) однопорожденные подмодули
Ф -etj являются квадратичными идеалами. Доказать, что сумма
таких квадратичных идеалов может не быть квадратичным идеалом.
4 (Зельманов). Множество § (а) = {х £ / | ах= (а, /, х)=
= 0} назовем аннулятором элемента а £ /, а множество § (А) =
= П Ь (а) — аннулятором подмножества А с= /. Доказать, что
а£А
Ь (А) — квадратичный идеал в /.
Пусть, далее, а, Ъ £ /, А ^ /. Тогда
а) а € ft (Ь) <=>&€* (а);
б) a(*(*W)) = aW;
в) если А — идеал в /, то и j (Л) — идеал;
г) И(И)2ПЧ;
д) если аб = аб2 =0, то Ъ2 £ § (а).
5 (Джекобсон). Если () — минимальный квадратичный
идеал в /, то имеет место одна из следующих возможностей:
1) Q =■ Ф «z, где z — абсолютный делитель нуля;
2) Q = JUq для каждого ненулевого g б () и Q2 = (0);
3) Q = JUe для некоторого идемпотента е £ Q и Q — алгебра
с делением.
6. Пусть элементы а, Ъ £J таковы, что а2 = 0 = Ь2 и 2а6 = 1.
Тогда в / имеется идемпотент е Ф 0, 1.

384
СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. \Ь
7. (Джекобсон). Пусть / — невырожденная йорданова
алгебра с единицей 1, содержащая минимальный квадратичный
идеал. Тогда либо / — алгебра с делением, либо она содержит
идемпотент е Ф 0, 1.
Указание. Воспользоваться упражнениями 5 и 6.
§ 2. Радикальные идеалы йордановых алгебр
с условием минимальности
В этом параграфе все йордановы алгебры
рассматриваются над произвольным полем F, характеристики Ф 2.
Лемма 4 (Маккриммон). Пусть I —
квазирегулярный идеал йордановой алгебры J, удовлетворяющей
условию минимальности для главных квадратичных
идеалов, содержащихся в I, Тогда I ^ Л (/).
Доказательство. В силу наследственности
радикала Маккриммона достаточно доказать, что / =
= оЖ (/). Предположим противное: / Ф оМ (/). Тогда, так
как по теореме 14.12 о/Н> (I) — идеал в /, профакторизовав
по этому идеалу, мы можем считать, что оМ (I) = (0),
т.* е. / — невырожденная алгебра.
Рассмотрим минимальный главный квадратичный идеал
Q = JUa, содержащийся в /. Тогда для любого 0 Ф q б Q,
ввиду о#-полупростоты алгебры /, мы имеем JUq Ф (0)
и, следовательно, JUq = Q. Таким образом, каждый
ненулевой элемент q £ Q регулярен в смысле фон Неймана,
но таких элементов по теореме 14.9 в квазирегулярном
идеале / быть не может. Противоречие доказывает лемму.
Лемма 5 (Морган). Пусть I — разрешимый
идеал йордановой алгебры J с условием минимальности для
квадратичных идеалов, содержащихся в /. Тогда идеал I
нильпотентен и конечномерен.
Доказательство. По лемме 4.4 для некоторого
натурального числа п
/ = /[0]=>/[1]=) ...:э/М = (0),
где /[г+11 = (/[г])3. Так как для любого к множество 1т
является идеалом в /, достаточно доказать, что всякий
идеал L такой, что L3 = (0), конечномерен. Действительно,
тогда все факторы /tk~1]//M будут конечномерными,
а потому и сам идеал / будет конечномерным. Но тогда
по теореме 4.2 он будет и нильпотентным.

§ 2]
РАДИКАЛЬНЫЕ ИДЕАЛЫ
385
Рассмотрим подпространство L2. Так как любой его
элемент является абсолютным делителем нуля, это
подпространство конечномерно: L2 = F-хг + . . . + F-хр.
Рассмотрим теперь подпространство Lx = L2 + L2J и
докажем его конечномерность. Пусть a, b £ /, х 6 ^2. Тогда
по тождеству (3.22)
2 (sa) (sb) = - (аЪ) х* + 2 [(ет) 6] ж + а (Л) = О
и, следовательно, (ха) (xb) = 0. Заметим теперь, что
тождество (3.23) можно переписать в виде
(х, yt, z) = (х, у, z)t+ (х, t, z) у.
В силу этого тождества для любых x^L2, a, b £ J
bUxa = 2 [b (ха)] (ха) = 2 (Ь, ха, ха) =
= 2 (6, .х, ха) а + 2 (Ъ, а, ха) х — 0.
Мы установили, что каждый элемент множества xJ
является абсолютным делителем нуля и, следовательно,
dimF xJ < оо. В частности, множества xtJ конечномерны.
Так как
Ьг = F -хг + . . . + F -хр + xxJ + . . . + xpJ,
то dimF Lx << оо.
В силу тождества (3.22) подпространство Ьг — идеал
в /. Так как в фактор-алгебре ЛЬг идеал ЫЬг равен в
квадрате нулю, то dimFLIL1 << оо, откуда и dimFL < оо.
Лемма доказана.
Лемма 6. Пусть I — идеал йордановой алгебры J'.
Тогда
а) 3 (I) = {z е J I z/2 - (z/) J = (0)} - идеал в /;
б) ес/ш /2 = /, то Ann (/) — идеал в J.
Доказательство. Пункт а) следует из
тождеств (3.23) и (3.24). Пункт б) вытекает из пункта а).
Лемма доказана.
Лемма 7 (Слинько). Пусть L — локально ниль-
потентный идеал йордановой алгебры J, а I —
минимальный идеал в J. Тогда, если J удовлетворяет условию
минимальности для квадратичных идеалов, содержащихся в /,
то / с= 8 (L).
Доказательство. Ввиду леммы 1в) цепочка
(/, Ь)г = (/, L)a => . . . => (/, L)h=>...

386
СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ4 15
состоит из квадратичных идеалов. Пусть к — такое число,
что (J, L)k = (J, L)k+1 = ... Если (J, L)k = (0),
то I П 8 (L) Ф (0) и по лемме 6 /g^ (L)-
Пусть (/, L)k Ф (0). Тогда множество М квадратичных
идеалов Q таких, что 1) Q ^ /, 2) Q — идеал в L и 3)
<?L = Q, непусто. Пусть Р — минимальный элемент в нем.
Возьмем произвольный элемент р £ Р. Множество pR (L)
является ненулевым идеалом в L, поэтому в силу леммы 1
множество Р' = pR (L) L — квадратичный идеал в /
и идеал алгебры L, содержащийся в /. В силу локальной
нильпотентности идеала L и теоремы 4.1 Р' § р и,
следовательно, Р' cz Р. Так как свойства 1) и 2) для идеала
Р' и для всех членов цепочки
Р' = (/>', /,)!=>... = (Р\ £),= ...
выполнены, то эта цепочка может стабилизироваться только
на нуле, т. е. (Р\ L)t = (0) для некоторого Z. Но в этом
случае мы опять имеем / П 8 (L) ^ (0) и» следовательно,
Лемма доказана.
Лемма 8 (Слинько). Пусть L —локально нилъ-
потентный идеал йордановой алгебры /,
удовлетворяющей условию минимальности для квадратичных идеалов,
содержащихся в L. Тогда идеал L нилыготентен и
конечномерен.
Доказательство. В силу леммы 5 достаточно
доказать разрешимость идеала L. Допустим, что он
неразрешим. Тогда цепочка
L^LtU^ _ d№]d ...
идеалов алгебры / стабилизируется на ненулевом члене:
Так как L\ = Ll9 то и L\ = Ьг. В силу лемм 6 и 7
заключаем, что Ann (1^) — ненулевой идеал в /. У идеала Lx
в фактор-алгебре / = //Ann {Lx) имеется ненулевой
образ Ьг. Пусть / — минимальный идеал алгебры /,
содержащийся в Ьг, и / — его полный прообраз в /.
Так как / строго содержит Ann (Lt), мы имеем 1Ьг Ф (0).

§ 21
РАДИКАЛЬНЫЕ ИДЕАЛЫ
387
Докажем теперь, что IL\ = (0); тем самым мы придем
к противоречию с тем, что Ьг = L\. В самом деле, по лемме 7
(ILJ Lx ^ Ann Ll9 IL\ ^ Ann Ll9
поэтому
((ILJ L,) Lx = (Щ) Lx = (0).
Но теперь в силу тождества (3.23) имеем
Щ = ((ILJ LJ Lt + (Щ) Lx = (0).
Лемма доказана.
Для специальных алгебр мы можем уже доказать
основной результат данного параграфа.
Следствие (Слинько). Пусть I —
квазирегулярный идеал специальной йордановой алгебры J,
удовлетворяющей условию минимальности для квадратичных
идеалов, содержащихся в /. Тогда идеал I нильпотентен
и конечномерен.
Доказательство. В силу леммы 4 1^ Л (/).
Однако так как / специальна, по теореме 14.4 Л (J) ^
^ X (/), и наше утверждение следует из леммы 8.
Следствие доказано.
Чтобы избавиться от ограничения специальности, надо
провести еще некоторые рассуждения, идея которых
принадлежит Зельманову.
Лемма 9. Пусть А — конечнопорожденная
ассоциативная алгебра над полем F и В — ее идеал конечной
коразмерности. Тогда алгебра В также конечнопорождена.
Доказательство. Пусть аг, . . ., ak —
порождающие элементы алгебры А. Без ограничения общности
можно считать, что А имеет единицу 1. Пусть {ut, . . ., ип}
— базис алгебры А по модулю В такой, что щ = 1, и V —
подпространство, натянутое на элементы этого базиса.
Имеем соотношения
WrWe=5jP«w* + bre» (1)
где а^\ $rs(zF> ЬЬ,ЬГ8£В. Рассмотрим подалгебру С,
порожденную элементами вида utbjUt и Ujfrrsi^. В силу

388
СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. 15
соотношений (1) С —идеал в А, так как afi £ и Cat ^
^ С. Индукцией по степени многочлена /(xt, ...,xk)
легко показать, что, каков бы ни был этот многочлен,
/(а4, ..., «ft) = S УРиР+с,
где yP£F, с£С. Если f (аи ..., ah)=zb£B, то 2<урир£
£5 П F. Таким образом,
В = (В П F) + С
и алгебра 5 конечнопорождена, так как идеал С конечно-
порожден, а подпространство В f] V конечномерно. Лемма
доказана.
Лемма 10. Пусть w, z— абсолютные делители ну ля
йордановой алгебры J. Тогда все элементы множества
JUWtZ являются абсолютными делителями нуля.
Доказательство. Заметим, что UWt г = XUUW+Z,
так что достаточно доказать, что для любого a £J элемент
aUw+z — абсолютный делитель нуля. Обозначим w + z
через v. Покажем, что для всех а, Ъ £ / имеет место
равенство
{v {avb} v) = 0. (2)
Действительно, {v{ava}v}=2{z{a(z-\-w) a} w}~2 {ziaza} w}-\-
+ 2{z{awa}w} = 2{{zaz}aw} + 2 {zajwaw}} = 0.
Соотношение (2) следует теперь из полученного
соотношения линеаризацией по а. Заметим, далее, что в силу
результата Ширшова — Макдональда во всех йордановых
алгебрах справедливо тождество
{{сас} Ъ {сас}} = 2 {{с {асЪ} с) ас} — {сЬ {с {аса} с}}, (3)
так как оно верно во всех специальных алгебрах.
Подставляя в (3) элемент v вместо с, мы получим в силу (2), что
{{vav} Ъ {vav}} = 0,
а это означает, что aUv — абсолютный делитель нуля в У.
Лемма доказана.
Пусть А — ассоциативная алгебра над полем F
характеристики Ф 2. Обозначим через Аа+)) алгебру,
векторное пространство которой совпадает с векторным
пространством алгебры А, а умножение задается формулой
аоЪ — ab + Ьа. Легко видеть, что алгебра ^4((+)) йорда-

§ 21
РАДИКАЛЬНЫЕ ИДЕАЛЫ
389
нова. Всякая подалгебра / этой алгебры вкладывается
изоморфно в алгебру Л(+), где Л — ассоциативная алгебра,
получающаяся из алгебры А введением нового
умножения: а-b = 2аЪ. Поэтому / специальна. Эти
рассуждения нам будут нужны в доказательстве следующей
леммы.
Лемма 11 (Зельманов). Пусть йорданова
алгебра J порождается конечным набором абсолютных
делителей нуля и каждый ее главный квадратичный идеал
конечномерен. Тогда J нилъпотентна.
Дока з~а тельство. Рассмотрим в алгебре
умножений R (J) алгебры / идеал W = {w £ R (J) |
AimFJw < оо}. Так как JUat ъ ^ JUa+b + JUa + JUh,
то dimF JUa9 ъ < °° и Ua% ь £ W для любых a, b £ J.
Ввиду того, что Uat ъ = Ra°Rb — Rab, отображение
ср: й^ RaJrW есть гомоморфизм алгебры / в (R(J)/W)((+)\
Таким образом, /ф — специальная йорданова алгебра,
порожденная конечным числом абсолютных делителей
пуля. По теореме 14.3 алгебра R (J)IW нилъпотентна
и конечномерна. Так как алгебра R (J) конечнопорож-
дена, то по лемме' 9 W— также конечнопорожденная
алгебра. Пусть %, . . ., ап — порождающие алгебры /,
vr, . . ., us — базис алгебры R (J) по модулю W
и юъ . . ., wt — порождающие алгебры W. Тогда R (J) =
= W + Fv1 + ... + Fv8v
п t
J2=Yj aiR(J)*=yZF.aivj+JW = ^F.aivj+ S /mV
i=l i, i i, j q=\
Отсюда следует, что квадрат алгебры / конечномерен.
По следствию к теореме 4.3 и теореме 14.2 идеал J2 ниль-
потентен. Следовательно, / — разрешимая
конечнопорожденная алгебра, которая'по теореме Жевлакова 4.2
нилъпотентна.
Лемма доказана.
Теорема 3 (Слинько — Зельманов).
Пусть I — квазирегулярный идеал йордановой алгебры /,
удовлетворяющей условию минимальности для
квадратичных идеалов, содержащихся в I. Тогда идеал I нилъпотен-
тен и конечномерен.
Доказательство поведем от противного. По
теореме 14.12 локально нильпотентный радикал X (I) идеала I

390
СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. 15
является идеалом в /. По лемме 8 он нильпотентен и
конечномерен. Профакторизовав по нему, без ограничения
общности можно считать, что X (I) = (0). С другой стороны,
по лемме 4 / ^ о/И (/). Покажем, что 1г = / П 2 (/) есть
ненулевой идеал. В силу наследственности радикала Мак-
криммона / = о/И (I) и алгебра / имеет абсолютный
делитель нуля z. Либо JUZ = (0) и z — абсолютный делитель
нуля в /', либо zx = aUz Ф 0 для некоторого а £ J.
Но тогда JUZ ^ IUZ = (0) и zx — ненулевой элемент
из 1г. В обоих случаях 1г Ф (0).
Пусть х — произвольный элемент из 1г. Тогда х =
= % + ...+ z-n •> гДе zi — абсолютные делители нуля в /.
Рассмотрим главный квадратичный идеал JUX= ^JUZ. z..
В силу условия минимальности и леммы 10 каждое из
подпространств JUZ. z. конечномерно. Следовательно,
главный квадратичный идеал JUX конечномерен. Тем более
конечномерен и квадратичный идеал /х?7х алгебры 1г.
Теперь в силу леммы 11 мы можем заключить, что идеал
1г локально нильпотентен. Это противоречит тому, что
X (/) = (0).
Теорема доказана.
Упражнения
1 (С л и н ь к о). Пусть / — йорданова алгебра над кольцом
Ф Э 1/2, I — ее идеал и / ^ & (/). Доказать, что если /
удовлетворяет условию максимальности для квадратичных идеалов,
содержащихся в /, то идеал / нильпотентен и конечнопорожден как
Ф-модуль.
Указание. Рассуждать по аналогии с доказательством
леммы 5.
2 (Зельманов). Пусть / — йорданова алгебра над
кольцом Ф Э 1/2 и / — ее ниль-идеал. Доказать, что если /
удовлетворяет условию максимальности для квадратичных идеалов,
содержащихся в /, то / — нильпотентный идеал, являющийся конечно-
порожденным Ф-модулем.
Указание. Ввиду предыдущего упражнения достаточно
показать, что JT (I) ф (0) влечет / \\ & (J) ф (0). Сначала с
помощью упражнения 4 § 1 доказать, что оМ (/) (] I ф (0). Затем
с помощью леммы 11 показать, что X (/) {] I ф (0).
Заключительный этап доказательства проводится также с помощью
упражнения 4 § 1.
3. Пусть / — конечнопорождепная йорданова алгебра над
полем F характеристики ф2 и В — ее идеал конечной
коразмерности. Доказать, что В — конечнопорожденная алгебра.
Указание. Воспользоваться леммой 4.5.

§ 3] ПОЛУПРОСТЫЕ ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ 391
§ 3. Полупростые йордановы алгебры
с условием минимальности
На протяжении этого параграфа все йордановы алгебры
рассматриваются над полем F характеристики Ф 2. Наша
цель — определить структуру йордановой алгебры,
удовлетворяющей условию минимальности, в случае, если она
полупроста, т. е. не содержит нильпотентных (или,
что то же самое, квазирегулярных) идеалов. Ключевую
роль здесь будет играть тот факт, что полупростая йорда-
нова алгебра с условием минимальности содержит
«достаточно много» идемпотентов. Мы докажем это в следующей
лемме.
Лемма 12. Пусть Q — квадратичный идеал
йордановой алгебры J с условием минимальности для
квадратичных идеалов. Тогда либо каждый элемент в Q нильпотентен,
либо Q содержит идемпотент.
Доказательство. Пусть х — ненильпотент-
ный элемент в Q. Рассмотрим"! цепочку квадратичных
идеалов
QUX => QUX2 =>...=> QUxn => . . .
В силу условия минимальности QU (xk) = QU (xk+1) = . . .
для некоторого числа к. Квадратичный идеал QU (xk)
отличен от нуля, так как x2k+1 = xU (xk) 6 QU (x )
и, кроме того, QU (a*) U (x2k+1) = QU (x*k+1) = QU (xk).
По лемме 3 в квадратичном идеале QU (ж*) имеется
идемпотент. Лемма доказана.
Рассмотрим теперь йорданову алгебру / с идемпотен-
том е. Присоединим, если необходимо, к алгебре /
формально единицу 1. Тогда элементы е и 1 — е
удовлетворяют соотношениям
е + (1—е) = 1, в (1 — в) = 0. (4)
Поэтому Ue + 2Uet w + tfi-e = Ue+{1_e) = Е —
тождественное отображение алгебры /# и для любого
элемента х 6 J
х = xUe + 2xUe, t_e+ xUi-e. (5)
Введем обозначения: Xi = xUe,
Элементы х^ х\/2, х0 лежат в алгебре /. Определим также
подпространства Jt = JUe, Ji/2 = JUe,t-ei Jo=JUi-e. Ясно,
что в силу (5) J=Ji~\-J\/2 + Jo-

392
СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. 15
Если в ходе доказательства будут фигурировать
несколько идемпотентов, то мы вместо xt и Jt будем писать
xt (е) и Jt (е).
Заметим теперь, что
Ue = Re(2Re-E), Ue.^ = Re(Re-E),
Ui.e = (Re-E)(2Re-E)
и что в силу тождества (3.25)
Re (Re- Е) (2Re - Я) = 0. (6)
Поэтому
UeRe=Ue, UeA-eRe = y[/ei i_e, Ui-eRe—0.
Отсюда следует, что xtRe = ixt, i = О, 1/2, 1. Легко
видеть теперь, что сумма подпространств Jt — прямая:
/ = /i0/i/2©/o- (7)
Это разложение в сумму подпространств называется пир-
совским разложением, а подпространства Jt — пирсовскими
компонентами.
Теорема 4 (Алберт). Пусть J — йорданова
алгебра с идемпотентом е. Тогда J раскладывается в
прямую сумму пирсовских компонент
/ = /i® /l/2® /о»
где Jt = {х 6 J I хе = ix}, i = О, 1/2, 1, причем Jx =
= JUр, J1/2 = JUe> 1_e, J0 = JUx-e [единица здесь из
алгебры /#). Компоненты J0 и Jx являются в J
квадратичными идеалами. Таблица умножения для пирсовских
компонент такова:
А^4 JiJo=(0), Jq$=J0, ,g.
JqJ\/2 ^ «/*l/2» J\J\I2 ^ «/*l/2» J\/2^ Jo{ Jl-
Доказательство. Осталось установить только
правила умножения для пирсовских компонент. В силу
тождества (3.22) для любых х, у £ J
(ху) е = (яу) е2 - —2 (хе) (уе) + 2 ((яе) у) е + х (уе).
Если х £ Ji, у £ «/"./, это соотношение влечет
(2» - 1) (*у) в = / (2* - 1) *у. (9)

§ 3] ПОЛУПРОСТЫЕ ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ 393
При i = 1 мы получаем, что J\Jj ^ Jj, а при i = О
имеем J0Jj^Jj. Отсюда следуют все соотношения из (8),
кроме второго и последнего. Но /4/0 = JQJi(=^Ji f| /0=(0),
поэтому остается доказать последнее соотношение. В
силу (3.22) для любых х, у £ /х/2
((яу) ё) е = — ((яе) ё)у — х ((уе) е) + (ху) е +
+ 2 (яе) (уе) - (яу) е.
Это значит, что (ху)г + V4 (ху)1/2 = (ху)г + V2 (ху)1/2.
Следовательно, (ху)1/2 = О и ху = (од)! + (ж1/)0. Таким
образом, и последнее из равенств (8) доказано.
Теорема 5 (Маккриммон). Если J — йорда-
нова алгебра с идемпотентом е, то
f {Jг) = /| П У (/), < = 0, 1.
Доказательство. Так как J\{e) = JUe,
утверждение в случае i = 1 следует из теоремы 1. Если
алгебра / обладает единицей, то и второе утверждение
верно, так как J0 (е) = Jx (1 — е).
Чтобы доказать утверждение для i — 0 в общем
случае, рассмотрим алгебру /#, полученную формальным
присоединением единицы 1 к /. Ввиду того, что J0 — идеал
в /#, мы имеем
f (Jo) = /о П f (/ft = /о П (/? П У (J*)) = /о П f (/)•
Теорема доказана.
Напомним, что идемпотенты ей/ называются
ортогональными, если е/ = 0. Идемпотент е алгебры /
называется главным, если в / нет идемпотентов, ортогональных
к е. Это равносильно тому, что компонента J0 (е) не
содержит идемпотентов.
Лемма 13. Всякий ненилъпотентный идеал Н йор-
дановой алгебры J с условием минимальности для
квадратичных идеалов содержит главный идемпотент е, для
которого Н0 (е) — нилъ-алгебра.
Доказательство. В силу леммы 12 в идеале Н
имеется идемпотент; обозначим его через ег. Рассмотрим
компоненту Н0 (ег), которая, как нетрудно видеть, является
в / квадратичным идеалом. Если все элементы в Н0 (ег)
нильпотентны, то идемпотент е — главный и все
доказано. Если же в Н0 (е-^ есть ненилъпотентный элемент,

394
СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. 15
то в Н0 (ех) есть также идемпотент е2. Рассмотрим теперь
компоненту Н0 (ег + е2). Так как 1 — ег — е2 б Jf (ег),
то #0 (ег + е2) = HU1_e _е ^ Н0 (ег). Это включение
является строгим, так как е2 (J Н0 (ег + е2)- Проделаем
с Я0 (ег + е2) те же процедуры, что и с Я (ег), и т. д.
Так как цепочка квадратичных идеалов
#0 (ег) =) Я0 (^ + е2) zd . . .
не может быть бесконечной, отсюда следует, что в Н есть
главный идемпотент е, для которого Н0 (е) — ниль-алгебра.
Лемма доказана.
Теорема 6 (Джекобсон). Полупростая йор-
данова алгебра J с условием минимальности для
квадратичных идеалов обладает единицей и разлагается в конечную
прямую сумму простых йордановых алгебр с единицей,
удовлетворяющих условию минимальности.
Доказательство. Пусть Н — минимальный
идеал алгебры / и е — главный идемпотент в Н, который
существует в силу леммы 13. По той же лемме Н0 (е) —
ниль-алгебра и по теореме 5
f (Я) э;#„ (е).
Ввиду полупростоты алгебры / и наследственности
квазирегулярного радикала, это означает, что Н0 (е) = (0).
Рассмотрим произвольный элемент h1/2 — {eh (1 — е)}
из Л^ (е). Так как подалгебра, порожденная е и h,
специальна, вычисляя в обертывающей алгебре, имеем
h\t2 = i- [eh (1 — ё) eh (1 — е) + (1 — е) he (1 — е) he +
+ (i — e) he2h (i — e) + eh (1 — e)2he] =
= -j eh (1 — e) he = -j {e {h (1 — e) h) e).
Поэтому для любого элемента х d J
xU(h\l2) = -±rxUeUhUi-eUhUe^HoUhUe--={0),
т. е. h\f2 — абсолютный делитель нуля в /. По теореме 14.2
мы заключаем, что hl/2 = 0 для любого h £ Н и,
следовательно, [#i/2 (е)]2 = (0). Из соотношений (8) теперь
вытекает, что Нц2 (е) — тривиальный идеал в Н. Поэтому
он равен нулю.

§ 3] ПОЛУПРОСТЫЕ ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ 395
Легко заметить теперь, что J±/2 (ё) = Н1/2 (е), поэтому
Н = Н1 (е) = Jx (е) и J1/2 (е) = (0). Идемпотент е является
единицей в Н и алгебра / разлагается в прямую сумму
идеалов
J = H®K,
где К = J0 (е). Каждый идеал алгебры Н является
идеалом в /, поэтому Н — простая алгебра. Очевидно, что
Н и К удовлетворяют условию минимальности для
квадратичных идеалов.
Обозначим Н через Нх и К через Кг. Рассмотрим,
далее, минимальный идеал Н2 алгебры Кг. Те же
рассуждения, что и выше, дают нам разложение
J = Ht®H2®K2
и т. д. Так как цепочка идеалов Кг zd К2 zd . . . не может
убывать бесконечно, для некоторого числа s мы будем
иметь Ks = (0), т. е.
J = Hi®H2® ... e#s.
Теорема доказана.
Структуру простых йордановых алгебр с условием
минимальности описывает
Теорема 7(Джекобсон — Осборн). Пусть
J — простая йорданова алгебра с условием минимальности
для квадратичных идеалов. Тогда она — одна из следующих:
1) J — алгебра с делением;
2) J — алгебра невырожденной симметрической
билинейной формы, определенной на векторном пространстве V
над некоторым расширением К основного поля, таким, что
dimK V > 1;
3) / = Н (Dn, SA), где п >- 2, и (D, /) есть либо
А 0 А0, где А — ассоциативная алгебра с делением,
j — инволюция, переставляющая компоненты, либо D —
ассоциативная алгебра с делением, / — ее инволюция, либо
D — расщепляемая алгебра кватернионов над некоторым
расширением основного поля, / — стандартная инволюция,
либо D — алгебра Кэли — Диксона над некоторым
расширением основного поля, / — стандартная инволюция
и п = 3.

396
СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. 15
Доказательство этой теоремы довольно громоздко,
оно хорошо изложено в книге Джекобсона [47], где
мы и рекомендуем его читателю прочесть.
Особенно просто устроены конечномерные простые
йордановы алгебры над алгебраически замкнутым полем;
мы опишем их в упражнениях к этому параграфу.
Упражнения
п
1. Пусть / — йорданова алгебра с единицей 1 = У[ еь разла-
гающейся в сумму попарно ортогональных идемпотептов et. Тогда
/ разлагается в прямую сумму подпространств /= 0 Jtj, где
Jii = {x£J\xei = x},
1
причем компоненты J у связаны соотношениями
гдп индексы г, /, к, l различны. Это разложение называется пирсов-
спим -разложением относительно системы идемпотентов Е =
= {«1» • • •» еп)-
2. Пусть индексы г, /, к, I различны и xpq, yrs, zti —
произвольные элементы компонент-/^, /rs, Jti соответственно. Тогда
а) (xijet) хц = (xijej) хц\
б) (xjbyij) zij + (xjbZij) yij = xjb (UijZij);
в) (xij, yJh, zw) = 0;
r) (xij, yjh, zhi)ei^0.
3. Пусть H (Dni Sa) — йорданова матричная алгебра.
Доказать, что если п ^ 4, то D ассоциативна.
Указание. Воспользоваться упражнением 2в).
Идемпотент е йордановой алгебры / над полем F называется
примитивным, если он не разлагается в сумму двух ортогональных
идемпотентов, и абсолютно примитивным, если каждый элемент
пирсовской компоненты /х (е) имеет вид а-е + z, где а £ F ж z —
нильпотентный элемент.
4. Абсолютно примитивный идемпотент примитивен.
Пусть теперь / — конечномерная йорданова алгебра над полем
F характеристики Ф 2.
5. Доказать, что всякий идемпотент е £ J (и, в частности,
единица 1) разлагается в сумму попарно ортогональных примитивных
идемпотентов.

§ 3] ПОЛУПРОСТЫЕ ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ 397
6. Доказать, что минимальный аннулирующий многочлен
каждого элемента пирсовской компоненты /х (е) для примитивного идем-
потента е является степенью неприводимого над F многочлена.
7. Если F алгебраически замкнуто, то каждый примитивный
идемпотент абсолютно примитивен.
Поле F впредь будем предполагать алгебраически замкнутым,
а алгебру / полупростой.
8. Единица алгебры Jn разлагается в сумму попарно ортого-
п
нальных идемпотентов 1 = J\ et таких, что Ju = F -et для всех i.
г=1
Указание. Воспользоваться упражнением 2 к § 14.2,
а также теорвхмами 3 и 5.
9. Пусть х, у £ 1ф i ф j. Тогда
ху = a (et + ej), a£F.
Указание. Используя упражнение 2а), доказать это
утверждение в случае у = х и заметить, что этого достаточно.
10. Пусть х£ Jtj. Тогда или х обратим в /й (et + ej) =
= J и + Jtj + /y-y, либо xJtj = (0). В последнем случае х —
абсолютный делитель нуля в /.
11. Если Jjj Ф (0), то существует u^^Jtj такой, что
"?,• = «* + «/•
12. Для любого xjk £ Jjk из того, что utjXjh = 0, следует,
что xjh = 0.
13. Пусть stj = dim Jtj. Доказать, что если stj > 0 и sjh > 0,
то sij = sjh = sih.
Пусть теперь / — простая алгебра.
14. Размерности всех компонент Jtj для i Ф j одинаковы.
15. Если п = 1, то / = FA. Если п = 2, то / = FЛ + V ~
алгебра невырожденной симметрической билинейной формы.
Указание. В случае п = 2 в качестве V можно взять
подпространство F {е1 — е2) + J12.
В дальнейшем предполагаем, что п ^ 3.
16. Пусть xtj £ Jц- В силу упражнения 9 х\- = ftJ (x(J) (et + ej),
где fij (xtj) £ F. Доказать, что fy — строго невырожденная
квадратичная форма на Jtj.
17. fih (2xuyjb) = fij (Xij)fjh (yJh).
Yi lyi 1)
18. Существует —K——- элементов etj £/j7-, i <;, таких, что
еЬ = ei + eP 2eUeib = eik-
19. Доказать, что форма /12 допускает композицию
/l2 (^12) /l2 (2/12) = /l2 (8 (*12*2з) (У12«13))«
Указание. Двукратно применить 17.
20. Пусть Pij — 1 — et — ej + е^. Тогда отображение
U(H) — U-d есть автоморфизм алгебры / порядка 2 со следую-
J yij
щими свойствами:

398
СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. 15
а) U(ij) меняет местами идемпотенты е^ и ej и переводит одно
в другое подпространства JH и /у7-, а подпространство Jtj — само
в себя;
б) U(ij) тождественно на любом Jhi при {£, ;} П {^, 0 = 0\
в) U(ij) меняет местами подпространства Jih и Jjh при к Ф i, j
и совпадает с 2/?е на этих подпространствах.
U
21. Пусть 2 — группа автоморфизмов алгебры /,
порожденная автоморфизмами £7(ф. Тогда мы имеем единственный
изоморфизм л; ->- Un симметрической группы Sn на 2 такой, что (ij) -»•
-»■ ^(jp- Мы имеем ^£7^ = е-^ для всех i=l, ..., 7гия££п.
Если л; и я' таковы, что г л; = г л/ и /я = /л/ (in/ могут быть
одинаковы), то л и я' одинаково действуют на Jtj.
Указание. Для доказательства существования
гомоморфизма из Sn в 2 воспользоваться тем фактом, что ядро
гомоморфизма 6 свободной (п — 1)-порожденной группы с порождающими
#2, #з» • • •> хп на ^п такого, что 6 (xt) = (li), есть нормальная
подгруппа, порожденная элементами
a?j, (#/#&) , (xjXhXjx{) ,
где /, /с, Z различны.
22. Пусть Z) — пирсовское подпространство /12. Определим
на этом подпрострапствс умпожение формулой
х-у = 2xU(23)yU(l3).
Доказать, что D — композиционная алгебра относительно этого
умножения, е12 — ее единица, d -> d = dU(12) — ее инволюция.
Указание. Воспользоваться упражнениями 19 и 20.
23. Для каждой пары индексов £, ; определим отображение
х н—*■ xtj алгебры D в Jtj. Если i Ф], пусть я — подстановка такая,
что 1л; = £, 2л = ;, и если i = ;, то л; — подстановка такая, что
1л; = i. Положим
xij == x^ni 1 Ф ] 1
XU = (Хе12) е1^Я-
Доказать, что xit = xit и х^ = Xjt.
24. Доказать, что
2xijyjk = (x-y)ik-
Указание. Заметить, что в силу определения операции
умножения в D мы имеем (х*у)12 = 2x13z/32. Применить к обеим
частям этого равенства автоморфизм Un, где 1л; = i, 2л; = &,
Зл; = /.
25. Доказать соотношения
хнУц = ((х + *)-У)&
(xijyji) ei = (x-y)ii>
xh= (*+*)n-
Указание. Доказать эти соотношения для i = 1, / = 2,
а потом применить подходящий автоморфизм Un.

ЛИТЕРАТУРА
399
26. Доказать теорему:
Теорема (Алберт). Всякая простая конечномерная йор-
данова алгебра над алгебраически замкнутым полем F
характеристики^ не равной 2, изоморфна одной из следующих алгебр:
1) F Л — основному полю]
2) F Л -\- V — алгебре симметрической невырожденной
билинейной формы на векторном пространстве V\
3) йордановой матричной алгебре Н (-Оп), где п ^ 3, D —
композиционная алгебра, ассоциативная при п > 3.
ЛИТЕРАТУРА
Алберт [2, 5], Джекобсон [47], Зельманов [82], Маккриммон
[117, 124], Морган [155], Осборн [162], Слинько [209, 212, 213],
Топинг [228].

ГЛАВА 16
ПРАВОАЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
Наряду с альтернативными алгебрами в математике
часто встречаются алгебры с более слабыми условиями
ассоциативности. Важнейшим из этих условий является
ассоциативность степеней, т. е. ассоциативность всякой
однопорожденной подалгебры. Изучение этого обширного
класса алгебр (он содержит, в частности, все
антикоммутативные алгебры) встречает пока непреодолимые
препятствия. Однако некоторые его подклассы, также
содержащие альтернативные алгебры, изучены достаточно хорошо.
Наиболее интенсивно изучаются правоальтернативные
алгебры, возникающие при изучении некоторого класса
проективных плоскостей. В этой главе мы кратко
изложим основные факты о правоальтернативных алгебрах,
известные к настоящему времени.
§ 1. Алгебры без нильпотентных элементов
Алгебра называется правоалыперпативной, если она
удовлетворяет тождествам
(ху) у = ху2, (1)
{(ху) z)y = х ((yz) у). (2)
Напомним, что тождество (1) называется тождеством
правой альтернативности, а тождество (2) — правым
тождеством Муфанг. В силу предложения 1.4 во всякой пра-
воальтернативной алгебре справедливы также
линеаризации этих тождеств
(ху) z + (xz) у = х (г/о.), (1')
{(ху) z) t + ((xt) z)y = х ((yz) t + (tz) у). (2')

§ i] АЛГЕБРЫ БЕЗ НИЛЫ10ТЕНТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 401
Если в аддитивной группе алгебры отсутствуют
элементы порядка 2, то правое тождество Муфанг является
следствием тождества правой альтернативности. В самом
деле, имеем 2 (yz) у = (z о у) о у — % о у2, откуда в силу (1')
и (1)
2х [(yz) у] = X [(Z о у) о у] — X (Z о у2) =
= [х (zo у)] у + (ху) (z о у) — (xz) у2 — (ху2) Z =
— [(xz) у] у + [(ху) z]y + [(ху) z] у + [(ху) y]z — (xz) у2 —
— (ху2) z = 2 [(ху) z] у.
Заметим, что правое тождество Муфанг эквивалентно
тождеству
(х, »z, у) = (х, z, у) у. (3)
Действительнот мы имеем
0 = [(ху) z] у — х [(yz) у] - (х, у, z) у + (х, yz, у) =
= (s, yz, у) — (х, z, у) у.
Теорема 1. Всякая правоалътернативная алгебра
является алгеброй с ассоциативными степенями.
Доказательство. Достаточно доказать, что
для произвольных неассоциативных слов ut = ut (х),
i = 1, 2, 3, и произвольного элемента а правоальтер-
нативной алгебры А верно (ии и2, и3) = 0, где ut =
= ut (а). Доказательство будем вести индукцией по
суммарной длине d (иг) + d (и2) + d (и3). В силу того, что
в любой алгебре имеет место равенство
(ху, z, t)— (х, yz, t) + (х, у, zt)=x (у, z, t) + (x, у, z) t,
мы можем считать, что и3 (х) = х. Далее, в силу
индуктивного предположения можно считать, что и2 = х-и'2.
Теперь очевидно, что, ввиду (3),
(щ, иг, иг) = (ии а-и2, а) = 0.
Теорема доказана.
В целях компактного изложения выкладок будем
использовать обозначения, введенные в обиход Смайли.
Оператор правого умножения Rc обозначим через с'.

402 ПРАВОАЛЬТБРНАТИВНЫБ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 16
Положим cd = (cd)' — c'd' и cd = (cd)' — d'с1. Тождества
(1), (1'), (2), (2') влекут соотношения
с* с' = (с2)', (cd + dc)' = c'd' + d'c',
cc = 0, cd + dc = 0,
c'd'с' = [(cd) c]\ c'd's' + s'd'c' = [(cd) s + (sd) c\.
Теорема 2 (Михеев). Во всякой правоалътер-
нативной алгебре справедливо тождество (тождество
Михеева)
(х, х, г/)4 = 0.
Доказательство. Пусть а, Ъ, с —
произвольные элементы правоальтернативной алгебры А\ положим
q = [а, Ъ] и р = (а, а, Ъ). Докажем соотношения:
р = -аа\ (4)
аъаъ = О, аъас + асаъ = О, (5)
аъаь = —(q, а, Ъ)', (6)
аъа'аъ = — (qa, а, Ъ)'. (7)
Соотношение (4) очевидно. Далее,
аьаъ = (аЪ)'(аЪ)' - (аЪ)' Ъ'а - а'Ъ' (аЪ)' + а'Ь'Ъ'а' =
=--- [(аЪ) (ab)]' - [((аЪ) Ъ) а - (аЪ) (ab)]' - [(ab2) а]' - 0.
Вторая часть (5) есть линеаризация первой. Докажем
теперь (7):
а^а'а =
= (ab)' a' (ab)' - (ab)' а а'Ъ' - Ъ'а a (ab)' + Ъ'а а'а'Ъ' =
= {[(ab) а] (аЪ) - [(ab) а2] Ъ - (Ъа2) (аЪ) + (bas) Ъ}' -
= — (qa, а, Ъ)'.
Соотношение (6) доказывается аналогично. Теперь в силу
(4), (5), (6), (7)
p(q, а, Ь)= —ааъ (q, а, Ъ)' =аа°аъаь — О, (8)
p(qa, а, b)= —ааь (qa, а, Ъ)' = ааьаъа'аь = 0. (9)
Кроме того, справедливы соотношения
р' = аЬа-а'аь = аЪа-аъа'. (10)

§ 1] АЛГЕБРЫ БЕЗ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 403
Докажем только первое:
р' = _ (а, Ь, а)' = [(а (Ьа) - (аЪ) аУ = [a (ba)Y ~ а'Ъ'а' =
- [а (Ьа)]' + а'а'Ъ' — а\Ъа)' - a'(ab)' = аЪа — а'а\
Применяя последовательно (10), (5), снова (10), (6), (7),
(8), (9), имеем
аър'р'р' = аь (аЪа - аъа') (аЬа -а'аь) (аЪа - аьа') =
= аьаЪа (аЬа — а'аъ) (аЪа — аьа') = — аьаЪааЬааъа' —
— аъаЪаа'аъаЪа --= — аЪааъаъаЪаа' + аЬааъа'аъаЪа =
= — р'аъаъаЪаа' + р'аъа'аьаЪа = — p'ababp'o.f + р'аъа'аьр' =
= // (д, а, Ъ)' р'а' — р' (qa, а, Ь)'р'=
Теперь /)4 = —ааьр'р'р' = 0. Теорема доказана.
Следствие 1 (Клейнфелд). Всякая право-
алътернашивная алгебра без нилъпотентных элементов
альтернативна.
Для конечномерных алгебр справедливо гораздо более
сильное утверждение, принадлежащее Алберту [3, 7].
Он доказал, что всякая конечномерная правоальтернатив-
ная алгебра над полем характеристики, не равной 2,
не содержащая ниль-идеалов, является альтернативной.
Это доказательство технически сложно, и мы не будем
его здесь приводить.
Следствие 2 (Скорняков). Всякая право-
альтернативная алгебра с делением альтернативна.
С помощью этого результата Скорняков доказал, что
выполнение малой теоремы Дезарга на двух прямых
проективной плоскости влечет ее проективное выполнение
в этой плоскости.
Вопрос о строении простых правоальтернативных
алгебр пока до конца не ясен. Тэди доказал, что при
некоторых дополнительных ограничениях простые правоаль-
тернативные алгебры альтернативны [232, 233]. Например,
это так, если простая алгебра А содержит идемпотент
е ф 0, 1, для которого (е, е, А) = (0). Существовала
гипотеза, что простых правоальтернативных
неальтернативных алгебр не существует. Однако недавно Михеев
[152] опроверг эту гипотезу, построив соответствующий
пример. Интересно, что алгебра из примера Михеева удов-

404 ПРАВОЛЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 16
летворяет тождеству хъ = 0, т. е. является ниль-алгеброй
ограниченного индекса. Остается надежда, что правоаль-
тернативные алгебры, не содержащие ниль-идеалов, все-
таки альтернативны. Некоторым основанием для такой
гипотезы является упомянутый выше результат Алберта.
Изучим теперь несколько более детально
альтернативные (а следовательно, и правоальтернативные) алгебры
без нильпотентных элементов.
Лемма 1. Во всякой альтернативной алгебре без
нильпотентных элементов
(аЪ)с = 0<=>а (be) = 0. (И)
Доказательство. Если (аЪ) с = 0, то,
используя центральное тождество Муфанг, имеем
[а (Ьс)]3 = a (be-(a-be-a)-be) = a (be-(ab-ca)-be) =
= a ((bc-ab) (ca-bc)) = a ((bc-ab) (c-ab-c)) = 0,
откуда a (be) = 0. Обратная импликация доказывается
аналогично.
Алгебры, удовлетворяющие условию (11), называются
ассоциативными по нулю; они введены в рассмотрение
Рябухиным. Легко видеть, что если в ассоциативной
по нулю алгебре произведение некоторых п элементов
равно нулю при одной расстановке скобок, то оно равно
нулю и при любой другой расстановке.
Лемма 2. Во всякой ассоциативной по нулю алгебре
без нильпотентных элементов
аЪ = 0 <=> Ъа = 0. (12)
Доказательство. ab = 0 =4> b (ab) = 0 =>-
=> (Ъа) Ъ = 0 => [(Ъа) Ь] а = 0 => (baf = 0=>ba = 0.
Лемма 3. Пусть v = v (хг, . . ., хп) —
полилинейное не ассоциативное слово. Если для элементов аг, а2, . . .
. . ., ап ассоциативной по нулю алгебры А без
нильпотентных элементов v (%, а2, . . ., ап) = 0, то и v ((%), а2, . . .
. . ., ап) = (0),^ где (аг) — идеал, порожденный
элементом аг в А.
Доказательство. Пусть v = хгх2 я а —
произвольный элемент А. В силу (11) и (12) а (а1а2) = 0 =>■
=>- (ааг) а2 = 0 и (а2а1) а = 0 =>- а2 (ага) = 0 =>- (аха) а2 =
= 0. Повторяя аргумент, получим (аг) -а2 = (0).

§ 1] АЛГЕБРЫ БЕЗ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 405
Проведем индукцию по длине слова v. Пусть d (v) =
= п > 2. Рассмотрим один из возникающих тут
случаев: v = {vxv2) v3- Если хх входит в у3, то в силу
предположения индукции доказывать нечего. Пусть хг
входит в v1 (рассуждения для v2 аналогичны). Индуктивное
предположение позволяет нам считать, что d (v2) =
= d (vs) = 1. Пусть v2 = хп_ъ vs = xn\ тогда
0*= v (%, . . ., ап) = (v± (аг, . . ., ап_2) ап_х) ап =
= Vi{au . . ., ап_2) (ап^ап).
В силу предположения индукции
(0) = Vl ((%), а2, . . ., ап.2) (ап-гап) -
= (*>Г(Ю» «2. • . •» an_2)art-i) ап = у ((%), а2, . . ., ап),
что и требовалось доказать.
Лемма 4. Если'для некоторого полилинейного
неассоциативного слова v (хг, . . ., хп) и элементов аг, . . ., ап
ассоциативной по нулю алгебры А без нилъпотентных
элементов v(a1, . . ., ап) = 0, то и для любого
однотипного с v неассоциативного слова и (хг, . . ., хп) верно
и (%, . . ., ап) = 0.
Доказательство, и = и (%, . . ., ап) лежит
в идеале (at) для любого i = 1, 2, . . ., п. Поэтому в силу
леммы 3 0 = v (и, и, . . ., и) = ип, откуда и следует
утверждение.
Теорема 3 (Рябухи н). Алгебра А является
подпрямой суммой алгебр без делителей нуля тогда
и только тогда, когда А — ассоциативная по нулю алгебра
без нилъпотентных элементов.
Доказательство. Допустим, что А
ассоциативна по нулю и не имеет нилъпотентных элементов.
Тогда мультипликативный подгруппоид, порожденный
ненулевым элементом а £ А, не содержит нуля и по лемме
Цорна содержится в некотором максимальном
подгруппоиде, не содержащем нуля. Обозначим этот группоид
Ga. Докажем, что Ia = A\Ga — идеал в А. Покажем,
что множество Iа замкнуто относительно вычитания. Пусть
х 6 /а. Тогда подгруппоид (Ga, х) содержит 0, и,
следовательно, существует такое неассоциативное слово
v (#!, . . ., хп) и такие элементы /г1? fe2, . . ., hn £ (Ga, х),
не все принадлежащие Ga, что v (fe1? . . ., hn) = 0. В силу

406 ПРАВОАЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 16
леммы 4 отсюда вытекает, что xxg = 0 для некоторых
i^l и7# 6 Ga- В силу той же леммы xxg = 0 влечет
(xgY = 0,^откудаЦ получаем xg = 0. Если у — другой
элемент из /а, то для него найдется g' 6 Ga такой, что
IJg' = 0. В силу леммы 2, имеем gxg' = gyg1 = 0, откуда
g (х — у) g' = 0, а это означает, что х — у (£Ga,
т. е. х — у £ Ia.
Кроме того, из леммы 3 следует, что х £ 1а влечет
(х)^ 1а, так что 1а — идеал в А.
}■■■■ Алгебра А/1а, как легко видеть, не содержит делителей
нуля и a (J 1а. Очевидно, что алгебра А является подпря-
мой суммой алгебр А/1а, что доказывает теорему в одну
сторону. В другую сторону доказательство очевидно.
Следствие (Львов). Всякая альтернативная
алгебра без нилъпотентных элементов является подпрямой
суммой алгебр без делителей нуля.
Ранее Андрунакиевич и Рябухин доказали эту теорему
для ассоциативных алгебр.
§ 2. Ниль-алгебры
Рассмотрим свободную правоальтернативную алгебру
RA [X] от множества свободных порождающих X =
= {хг, х2, . . .}. Элемент алгебры RA [X] назовем право-
альтернативным j-многочленом, если он выражается через
элементы множества X с помощью сложения, умножения
на элементы из Ф, возведения в квадрат и «квадратичного
умножения» xUy= (ух) у. Множество всех правоальтерна-
тивных /-многочленов обозначим через Jra\.X]. Если
я — канонический гомоморфизм алгебры RA [X] на
свободную ассоциативную алгебру Ass [X], то, очевидно,
М/каРП) =/[Х].
Л е м м а 5. Пусть f = f (хг, . . ., хп) 6 /ra [-Х1-
Тогда
Rf(xlt...1xn) = f3l(Rx1, •••» Rxn)-
Доказательство дословно повторяет доказательство
леммы 5.12, где используется только тождество правой
альтернативности и правое тождество Муфанг.
Пусть А — правоальтернативная |£ алгебра и М =
= {mi} — подмножество в Л. Обозначим через /ra \.М]
множество элементов вида / (гпц . . ., mh), где/ 6 /ra \Х].

§ 2]
ШШЬ-АЛГЕБРЫ
407
Элементы* множества /Ra [М] будем называть
/-многочленами от элементов множества М.
Лемма 6. Пусть в правоалътернативной Ф-алгебре
А все j-многочлены от элементов некоторого конечного
множества М = {%, а2, . . ., ak} нилъпотентны, причем
их индексы нильпотентности ограничены в
совокупности. Тогда подалгебра М* алгебры правых умножений,
порожденная операторами Ra , Ra , . . ., Ra , нилъпо-
тептна.
Доказательство. Пусть / £ /ra [X] и /w(ax, . . .
. . ., ak) = 0. Тогда в силу леммы 5
(/*Г(Да„ ..., Rak) = Rf^ai,...,ah) = 0.
Таким образом, все /-многочлены от Ra , . . ., Ra
нилъпотентны с ограниченными в совокупности индексами
нильпотентности, откуда в силу следствия теоремы 5.3
следует нильпотентность подалгебры М*. Лемма
доказана.
Будем говорить, что подмножество М алгебры А
правонилъпотентно, если для некоторого числа N все
ту-слова от элементов множества М длины N (а
следовательно, и большей длины) равны нулю. Алгебру назовем
локально г^нилъпотентной, если любое ее конечное
подмножество правонилъпотентно.
Теорема 4 (Ш и р ш о в). Всякая правоалътерна-
тивная нилъ-алгебра ограниченного индекса локально гг-
нилъпотентна.
Доказательство состоит в применении леммы 6.
Эта теорема имеет ряд важных следствий.
Следствие 1. Всякая правоалътернативная
конечномерная нилъ-алгебра А над произвольным полем Ф
является правонилъпотентной.
Доказательство. Пусть а £ А и п — индекс
нильпотентности элемента а. Цепочка подпространств
A zd ARa zd ARa2 =э ... zd ARa7l= (0)
имеет длину не более размерности алгебры А, и,
следовательно, индексы нильпотентности всех элементов
ограничены в совокупности числом 1 + (Нп1ф А. По теореме 4
алгебра А локально тунильпотентна; в часты: сти, базис

408 ПРАВОАЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ, 16
ее правонильпотентен, но это значит, что и алгебра сама
правонил ьпотентна.
Следствие 2. Всякая простая конечномерная пра-
воалътернативная алгебра над полем является
альтернативной.
Доказательство. В силу следствия 1 простая
конечномерная правоальтернативная алгебра не может
быть ниль-алгеброй. Следовательно, она не содержит ниль-
идеалов и по упоминавшейся нами в § 1 теореме Алберта
является альтернативной.
Естественно спросить, не будет ли всякая
конечномерная правоальтернативная ниль-алгебра и нильпотентной?
Оказывается, что не будет. Следующий пример
пятимерной правонильпотентной, но не нильпотентной алгебры
принадлежит Дорофееву [58]. Базис ее — {a, ft, с, d, ё),
а умножение задается таблицей (нулевые произведения
базисных векторов опущены):
аЪ = —Ъа = ае = —еа = db = —bd = —с,
ас = d, be — е.
Утверждение следствия 1 можно усилить. Как показал
Шестаков, всякая правоальтернативная Ф-?лгебра, конеч-
ночорожденная как Ф-модуль с нильпотентными
порождающими элементами, является правонильпотентной.
Свойство локальной ^-нильпотентности изучал Михеев.
Он доказал, что это свойство радикально в смысле Амицу-
ра—Куроша и отлично от обычной локальной правониль-
потентности, которая не является радикальным
свойством [151].
Упражнения
1 (III и р ш о в). Определим на неассоциативных словах
свободной алгебры Ф [X] операцию ( ), которая стирает
имеющуюся на неассоциативном слове расстановку скобок и расставляет
их вновь правонормированным образом. Например: (х3 {{х-^х^) х2)) =
= {{х^хг) х4) х2. По линейности распространим операцию и на
многочлены. Пусть Tra есть Г-идеал многообразия правоальтерна-
тивных алгебр. Доказать, что (T'ra) — (0)> и тем самым показать,
что операция ( ) корректно определена для свободной право-
альтернативной алгебры RA [X] = Ф [ХУТ^. Доказать, что для
любого /-многочлена / £ ]ЯА [X] имеем / = (/>.

§ 2]
НИЛЬ-АЛГЕБРЫ
409
2 (Михеев). Доказать, что для любых натуральных чисел
п и t существует такое натуральное число М = М (п, £), что для
любых М элементов х{ , х{ , . . ., х{ G {#i> • • •> #и) — X в алгебре
правых умножений свободной правоальтернативной алгебры RA [X]
имеет место равенство
где jk (х) есть /-многочлен степени > *.
3 (Михеев). Если идеал / и фактор-алгебра АН право-
альтернативной алгебры А локально т^-нильпотентны, то и А —
локально т^-нильпотентная алгебра. Доказать это утверждение
и вывести отсюда наличие в классе правоальтернативных алгебр
локально ^-нильпотентного радикала.
Указание. Используйте упражнения 1 и 2.
4 (Скосырский). Доказать, что правоальтернативная
алгебра А локально ^-нильпотентна тогда и только тогда, когда
алгебра А(+) локально нильпотентна.
5. Доказать, что во всякой правоальтернативной алгебре
справедливы соотношения
и> (х<Эу)' = (w®x) у' + (wQy) х' — {xwy},
wx'y' + w (xy)f =
= 2 (wQx) у' + 2 (wQy) х' + 2wQ(xy) — 4 (wQy)Qx,
где и' — смайлиевское обозначение для оператора правого
умножения Ru.
6. Пусть А — правоальтернативная алгебра над кольцом Ф,
содержащим 1/2, и пусть 1т — ее правый идеал, порожденный
множеством (Л<+))т, где степень понимается относительно
операции умножения алгебры Л<+>. Доказать, что для любых элементов
alt а2, а3, а4 £ А
Jmaia2a3ai — ^m+i*
Указание. Используйте соотношения упражнения 5.
7 (Скосырский). Правоальтернативная алгебра А над
кольцом Ф, содержащим 1/2, правонильпотентна тогда и только тогда,
когда присоединенная йорданова алгебра Л<+> нильпотентна.
Указание. Воспользоваться предыдущим упражнением.
8. Доказать, что если / — идеал правоальтернативной алгебры
Л, то AI — также идеал в А.
9 (С л и н ь к о). Доказать, что лево- и правонильпотентная
правоальтернативная алгебра нильпотентна.
10. Доказать, что для всякого натурального числа к существует
натуральное число h (д, к) такое, что в алгебре правых умножений
свободной правоальтернативной алгебры RA [хг, . . ., хп] любое
слово степени h (п, к) представляется в виде линейной комбинации

410 ПРАВОАЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 16
слов, каждое из которых содержит оператор RUix)-> гДе и (х) —
одночлен степени > к.' I
Указание. См. доказательство леммы 4.2.
11 (Слинько). Всякая левонильпотентная правоальтерна-
тивная алгебра с конечным числом порождающих нильпотентна.
Указание. Воспользоваться упражнениями 8—10.
ЛИТЕРАТУРА
Алберт [3, 7], Андрунакиевич и Рябухин [19], Дорофеев [58],
Клейнфелд [91, 98, 99], Маккриммон [138], Михеев [147—152],
Пчелинцев [174], Рябухин [187], Скорняков [191,492], Скосырский
[194], Слинько [207], Смайли [218], Тэди [232—234], Хенцель [245],
Хумм [255], Шестаков [267], Ширшов [276,* 279].

ЛИТЕРАТУРА
1. Алберт A. (Albert A. A.), Quadratic forms
permitting composition, Ann. Math. 43 (1942), 161 — 177.
2. Албepт A. (Albert A. A.), A structure theory for
Jordan algebras, Ann. Math. 48 (1947), 546—567.
3. Албepт A. (Albert A. A.), On right alternative algebras,
Ann. Math. 50 (1949), 318—328.
4. Алберт A. (Albert A. A.), Almost alternative algebras,
Portug. Math. 8 (1949), 23—36.
5. Алберт A. (Albert A. A.), A theory of power-associative
commutative algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 69 (1950),
503-527.
6. Алберт A. (Albert A. A.), On simple alternative
rings, Canad. J. Math. 4 (1952), 129—135.
7. Албepт A. (Albert A. A,), The structure of right
alternative algebras, Ann. Math., 59, № 3 (1954), 408—417.
8.* Албepт A. (Albert A. A.), Studies in modern algebra.
Studies in Mathematics, v, 2, Math. Assoc, of America;
distributor, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1963.
9. Алберт А., Пeйдж Л. (Albert A. A., Paige L. J).,
On a homomorphism property of a certain Jordan algebras,
Trans. Amer. Math. Soc. 93 (1959), 20—29.
10. Аллен X. (Allen H. P.), Jordan algebras and Lie algebras
of type £>4, J. Algebra 5, № 2 (1967), 250—265.
11. Аллен X., Феррар Дж. (Allen Н. P.,
Ferrar J. С), Jordan algebras and exceptional subalgebras of the
exceptional algebra £6, Pacific J. Math. 32, № 2 (1970), 283—
297.
12. Амицуp Ш. (Amitsur S.), A general theory of radicals.
I, II and III, Amer. J. Math. 74 (1952), 774—786; 76 (1954),
100-125; 76 (1954), 126-136.
13. Андepсон T. (Anderson Т.), The Levitski radical
in varieties of algebras, Math. Ann. 194, № l (1971), 27—34.
14. Андерсон'T. (Anderson Т.), On the Levitzki radical,
Canad. Math.1 Bull. 17, № i (1974), 5—11.
15. Андepсон Т., Дивинский H., Сулинский А.
(Anderson Т., Divinsky N., Sulinski А.),
Hereditary radicals in associative and alternative rings, Canad.
J. Math. "17, № 4 (1965), 594—603.
16. Андрунакиевич В. А., Антипростые и сильно идемпо-
тентные кольца, ИАН СССР, сер. матем. 21' 1957), 125—144.

412
ЛИТЕРАТУРА
17. Андрунакиевич В. А., Радикалы ассоциативных
колец. I, Матем. сб. 44, № 2 (1958), 179—212.
18. Андрунакиевич В. А., Радикалы ассоциативных
колец. II, Матем. сб. 55 № 3 (1961), 329—346.
19. Андрунакиевич В. А., Рябухин Ю. М., Кольца
без нильпотентных элементов и вполне простые идеалы,
ДАН СССР 180, № 1 (1968), 9—11.
20. Бабич А. М., О радикале Левицкого, ДАН СССР 126,
№ 2 (1959), 242—243.
21. Белкин В. П., О многообразиях правоальтернативных
алгебр, Алгебра и логика 15, № 5 (1976), 491—508.
22. Блок P. (Block R. Е.), Determination of 4<+> for the
simple flexible algebras, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 61 (1968),
394-397.
23. Блок P. (Block R. E.), A unification of the theories of
Jordan and alternative algebras, Amer. J. Math. 94 (1972),
389-412.
24. Брак P., Клейнфелд Э. (Bruck R. H.,
Kleinfeld E.), The structure of alternative division rings, Proc.
Amer. Math. Soc. 2, № 6 (1951), 878—890.
25. Браун P. (Brown R. В.), On generalized Cayley—Dickson
algebras, Pacific J. Math. 20 (1967), 415—422.
26.*Браун Х.Дёхер M. (Braun H., Koecher М.),
Jordan-Algebren, Berlin — Gottingen — Heidelberg, Springer-
Verlag, 1966.
27. Бриттен Д. (Britten D. J.), On prime Jordan rings
H (R) with chain condition, J. Algebra 27, № 2 (1973), 414—
421.
28. Бриттен Д., (Britten D. J.), On semiprime Jordan
rings~# (R) with ACC, Proc. Amer. Math. Soc. 45, № 2 (1974),
175-178.
29. Бpиттeн Д. (Britten D. J.), Prime Goldie-like
Jordan matrix rings and the common multiple property, Communs
Algebra 3, № 4 (1975), 365-389.
30. Бpиттeн Д. (Britten D. J.), On prime Goldie-like
quadratic Jordan matrix algebras, Canad. * Math. Bull. 20,
№ 1 (1977), 39-45.
31. Гайнов А. Т., Монокомпозиционные алгебры, Сиб. матем.
гж. 10, № 1 (1969), 3-30.
32. Гайнов А. Т., Некоторые классы монокомпозиционных
алгебр, ДАН СССР 201, № 1 (1971), 19-21.
33. Гайнов А. Т., Подалгебры невырожденных коммутативных
#М-алгебр, Алгебра и логика 15, № 4^(1976), 371—383.
34. Гейн В. (Hein W.), A connection between Lie algebras of
type F4 and Cayley algebras, Indag. Math. 38, № 5 (1976),
'419—425.
35. Глени К. (Glennie С. M.), Some identities valid in
special Jordan algebras but not"*Valid in all Jordan algebras,
Pacific J. Math. 16, № 1 (1966), 47-59.
36. Глeни К. (Glennie С.М.), Identities in Jordan
algebras, Computational Problems in Abstract Algebra (Proc. Conf.,
Oxford, 1967), Oxford, Pergamon, 1970, 307—313.

ЛИТЕРАТУРА
413
37. Голод Е. С, О ниль-алгебрах и
финитно-аппроксимируемых группах, ИАН СССР, сер. матем. 28 (1964), 273—276.
38. Гордон С. (Gordon S. R.), On the automorphism
group of a semisimple Jordan algebra of characteristic zero,
Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969), 499-504.
39. Гоpдон С (Gordon S. R.), The components of the
automorphism group of a Jordan algebra, Trans. Amer. Math.
Soc. 153 (1971), 1-52.
40. Гоpдон С (Gordon S. R.), An 'integral basis theorem
for Jordan algebras, J. Algebra 24, № 2 (1973), 258—282.
41. Гоpдон С (Cordon S. R.), On the structure group
of a split semisimple Jordan algebra, I and II, Communs Algebra
5, № 10 (1977), 1009—1024, 1025—1056.
42. Гордон С. (Gordon S. R.), Associators in simple
algebras, Pacific J. Math. 51, № 1 (1974), 131—141.
43. Джекобсон H. (Jacobson N.), A Kronecker
factorization theorem for Cayley algebras and exceptional simple
Jordan algebras, Amer. J. Math. 76 (1954), 447—452.
44. Джекобсон H. (Jacobson N.)r Structure of
alternative and Jordan bimodules, Osaka Math. J. 6 (1954), 1—71.
45. Джекобсон H. (Jacobson N.), Composition algebras
and their automorphisms, Rend. Circ. Mat. Palermo 7 (1958),
55-80.
46.*Джекобсон H., Строение колец, М., ИЛ, 1961.
47.*Джекобсон Н. (Jacobson N.), Structure and
representations of Jordan algebras, Amer. Math. Soc. Colloq.
Publ., v. 39, Providence, R. I., 1968.
48. Джекобсон H. (Jacobson N.), Structure groups
and Lie algebras of symmetric elements of associative algebras
with involution, Advances in Math. 20, № 2 (1976), 106—150.
49. Джекобсон H., Маккриммон К.
(Jacobson N., McCrimmon K.), Quadratic Jordan algebras
of quadratic forms with base points, J. Indian Math. Soc. 35
(1971), 1-45.
50.* Дивинский H. (Divinsky N.), Rings and radicals,
Toronto, Ontario, Canada, 1965.
51. Дивинский H., Кремпа Я., Сулинский A.
(Divinsky N., Krempa J., Sulinski A.), Strong
radical properties of alternative and associative rings, J. Algebra
17, № 3 (1971), 369-388.
52. Дивинский H., Сулинский A. (Divinsky N.,
Sulinski A.), Kurosh radicals of rings with operators,
Canad. J. Math. 17 (1965), 278—280.
53. Диксон Л. (Dickson L. Е.), On quaternions and
their generalization and the history of eight square theorem,
Ann. Math. 20 (1919), 151—171.
54.*Днестровская тетрадь, нерешенные проблемы теории колец
и модулей, Новосибирск, 1976.
55. Дорофеев Г. В., Пример разрешимого, но не нильпотент-
ного альтернативного кольца, УМН 15, № 3 (1960), 147—150.
56. Дорофеев Г. В., Альтернативные кольца с тремя
образующими, Сиб. матем. ж. 4, № 5 (1963), 1029—1048.

414
ЛИТЕРАТУРА
57. Дорофеев Г. В., Один пример к теории альтернативных
колец, Сиб. матем. ж. 4, № 5 (1963), 1049—1052.
58. Дорофеев Г. В., О нильпотентности правоальтернатив-
ных колец, Алгебра и логика 9, № 3 (1970), 302—305.
59. Дорофеев Г. В., О локально нилыютентном радикале
неассоциативных колец, Алгебра и логика 10, № 4 (1971),
355—364.
60. Дорофеев Г. В., Центры неассоциативных колец, Алгебра
и логика 12, № 5 (1973), 530—549.
61. Дорофеев Г. В., О многообразиях обобщенно
стандартных и обобщенно достижимых алгебр, Алгебра и логика 15,
№ 2 (1976), 143—167.
62. Дорофеев Г. В., Объединение многообразий алгебр,
Алгебра и логика 15, № 3 (1976), 267—291.
63. Дорофеев Г. В., О некоторых свойствах объединения
многообразий алгебр, Алгебра и логика 16, № 1 (1977), 24—
39.
64. Дорофеев Г. В., Пчелинцев СВ., О
многообразиях стандартных и достижимых алгебр, Сиб. матем. ж. 18,
№ 5, (1977), 995—1001.
65. Дорфмейстер Дж., Кёхер М. (Dorfmeister J.,
Koecher М.), Relative Invarianten und nichtassociative
Algebren, Math. Ann. 228, № 1 (1977), 147—186.
66. Жeвлаков К. А., Разрешимость альтернативных
нильколец, Сиб. матем. ж. 3, № 3 (1962), 368—377.
67. Жевлаков К. А., О радикальных идеалах
альтернативного кольца, Алгебра и логика 4, № 4 (1965), 87—102.
68. Жевлаков К. А., Альтернативные артиновы кольца,
Алгебра и логика 5, № 3 (1966), 11—36; 6, № 4 (1967), 113—
117.
69. Жевлаков К. А., Разрешимость и нильпотентность йор-
дановых колец, Алгебра и логика 5, № 3 (1966), 37—58.
70. Жевлаков К. А., Замечания о простых альтернативных
кольцах, Алгебра и логика 6, № 2 (1967), 21—33.
71. Жевлаков К. А., Ниль-идеалы альтернативного кольца,
удовлетворяющего условию максимальности, Алгебра и логика
6, № 4 (1967), 19-26.
72. Жевлаков К. А., О радикалах Клейнфелда и Смайли
в альтернативных кольцах, Алгебра и логика 8, № 2 (1969),
176-180.
73. Жевлаков К. А., Совпадение радикалов Смайли и
Клейнфелда в альтернативных кольцах, Алгебра и логика 8, № 3
(1969), 309—319.
74. Жевлаков К. А., О радикалах и неймановских идеалах,
Алгебра и логика 8, № 4 (1969), 425—439.
75. Жевлаков К. А., Квазирегулярные идеалы в конечно-
порожденных альтернативных кольцах, Алгебра и логика
11, № 2 (1972), 140—161.
76. Жевлаков К. А., Радикал и представления
альтернативных колец, Алгебра и логика 11, № 2 (1972), 162—173.
77. Жевлаков К. А., Замечания о локально нильпотентных
кольцах с условиями обрыва, Матем. заметки 12, № 2 (1972),
121-126.

ЛИТЕРАТУРА
415
78. Жевлаков К. А., Нильпотентность идеалов в
альтернативных кольцах с условием минимальности, Тр. Моск. матем.
о-ва 29 (1973), 133-146.
79. *Жевлаков К. А., Альтернативные кольца и алгебры,
Математическая энциклопедия, т. 1, М., 1977, 237—240.
80. Жевлаков К. А., Шестаков И. П., О локальной
конечности в смысле Ширшова, Алгебра и логика 12, № 1
(1973), 41-73.
81. Желябин В. Н., Теорема об отщеплении радикала для
альтернативных алгебр над кольцом Гензеля, Тезисы сообщ.
14-й Всесоюзной алгебраической конф., ч. 2, Новосибирск,
1977, с. 28.
82. Зельманов Е.И., Йордановы алгебры с условием
конечности, Тезисы сообщ. 14-й Всесоюзной алгебраической конф.,
ч. 2, Новосибирск, 1977, с. 31.
83. Йордан П., фон Нейман Дж., Вигнер Е.
(Jordan P., von Neumann J. and Wigner E.), On
an algebraic generalization of the quantum mechanical
formalism, Ann. Math. 36 (1934), 29-64.
84. Йорданеску P., Поповичи И. (Iordanescu R.,
Popovici I.), Sur les representations des algebres de
Jordan et leur interpretation geometrique, Rev. roum. math,
pur. appl. 13, № 3 (1968), 399-416.
85. Иорданеску P., Поповичи И. (Iordanescu R.,
Popovici I.), On representations of special Jordan
algebras, Rev. roum. math. pur. appl. 13, № 8 (1968), 1089—
1100.
86. Камбepн M. (Camburn M. E.), Local Jordan
algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 202 (1975), 41—50.
87. Капланский И. (Kaplansky I.), Semisimple
alternative rings, Portug. Math. 10 (1951), 37—50.
88. Капланский И. (Kaplansky I.),
Infinite-dimensional quadratic forms permitting composition, Proc. Amer.
Math. Soc. 4 (1953), 956—960.
89. Кёxep M. (Koecher M.), Imbedding of Jordan
algebras into Lie algebras. I and II, Amer. J. Math. 89, № 3 (1967),
787-816; 90, № 2 (1968), 476-510.
90. Клейнфелд Э. (Kleinfeld E.), An extension of
the theorem on alternative division rings, Proc. Amer. Math.
Soc. 3, № 3 (1952), 348—351.
91. Клейнфелд Э. (Kleinfeld E.), Right alternative
rings, Proc. Amer. Math. Soc. 4 (1953), 939—944.
92. Клейнфелд Э. (Kleinfeld E.), Simple alternative
rings, Ann. Math. 58, № 3 (1953), 545-547.
93. Клeйнфeлд Э. (Kleinfeld E.), On simple
alternative rings, Amer. J. Math. 75, № 1 (1953), 98—104.
94. Клейнфелд Э. (Kleinfeld E.), Generalization of
a theorem on simple alternative rings, Portug. Math. 14, № 3—4
(1955), 91-94.
95. Клейнфелд Э. (Kleinfeld E.), Primitive rings and
semisimplicity, Amer. J. Math. 77 (1955), 725—730.
96. Клейнфелд Э. (Kleinfeld E.), Standard and
accesible rings, Canad. J. Math. 8 (1956), 335—340.

416
ЛИТЕРАТУРА
97. Клейнфелд Э. (Kleinfeld Е.), Alternative nil
rings, Ann. Math. 66 (1957), 395—399.
98.*Клeйнфeлд Э. (Kleinfeld E.), On alternative
and right alternative algebras, Report of a Conference on Linear
Algebras, Nat. Acad. Sci.-Nat. Res. Council Publ. 502 (1957),
20-23.
99. Клейнфелд Э. (Kleinfeld E.), On right alternative
rings without proper right ideals, Pacific J. Math. 31 (1969),
87-102.
100. Клейнфелд Э., Клейнфелд M., Косьер Ф.
(Kleinfeld Е., Kleinfeld М. and Kosier F.),
A generalization of commutative and alternative rings, Canad.
J. Math. 22 (1970), 348—362.
101.*Кон П., Универсальная алгебра, M., «Мир», 1968.
102. Кремпа Я. (К гетра J.), Lower radical properties for
alternative rings, Bull. Acad. Pol. Sci., ser. sci. math, astron.
phys. 23, № 2 (1975), 139—142.
103. Кузьмин E. H., О теореме Нагаты — Хигмана, Труды,
посвященные 60-летию академика Л. Илиева, София, 1975,
101—107.
104. Курош А. Г., Проблемы теории колец, связанные с
проблемой Бернсайда о периодических группах, И АН СССР, сер.
матем. 5 (1941), 233—240.
105. Курош А. Г., Радикалы колец и алгебр, Матем. сб. 33
(1953), 13-26.
106. Линник Ю. В., Обобщение теоремы Фробениуса и
установление связи ее с теоремой Гурвица о композиции
квадратичных форм, И АН СССР, сер. матем. № 1 (1938), 41 —
52.
107. Лус О. (Loos О.), Existence and conjugacy of Cartan
subalgebras of Jordan algebras, Proc. Amer. Math. Soc. 50
(1975), 40-44.
108. Лусто Дж. (Loustau J. A.), Radical extensions of
Jordan rings, J. Algebra 30, № 1—3 (1974), 1—11.
109. Лусто Дж. (Loustau J. A.), The structure of algebraic
Jordan algebras without nonzero nilpotent elements, Communs
[algebra 4 (1976), 1045—1070.
110. Львов И. В., О многообразиях ассоциативных колец. I,
Алгебра и логика 12, № 3 (1973), 269—297.
111. Львов И. В., О некоторых конечнобазируемых
неассоциативных кольцах, Алгебра и логика 14, № 1 (1974), 15—
27.
112. Лю Шао-сюэ, О расщеплении бесконечных алгебр,
Матем. сб. 42 (1957), 327—352.
113. Макдональд И. (MacDonald I. G.), Jordan
algebras with three generators, Proc. London Math. Soc. 10
(1960), 395-408.
114. Маккриммон К. (McCrimmon К.), Jordan
algebras of degree 1, Bull. Amer. Math. Soc. 70, № 5 (1964),
702.
115. Маккриммон К. (McCrimmon К.), Norms and
noncommutative Jordan algebras, Pacific J. Math. 15, № 3
(1965), 925—956.

ЛИТЕРАТУРА
417
116. Маккриммон К. (McCrimmon К.), Structure and
representations of noncommutative Jordan algebras, Trans.
Amer. Math. Soc. 121, № 1 (1966), 187—199.
117. Маккриммон К. (McCrimmon К.), A general
theory of Jordan rings, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 56, № 4
(1966), 1072—1079.
118. Маккриммон К. (McCrimmon К.), Bimodules for
composition algebras, Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1966), 480—
486.
119. Маккриммон К. (McCrimmon К.), A proof of
Shafer's conjecture for infinite-dimensional forms admitting
composition, J. Algebra 5, № 1 (1967), 72—83.
120. Маккриммон К. (McCrimmon К.), Generically
algebraic algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 127 (1967), 527—
551.
121. Маккриммон К. (McCrimmon К.), Macdonald's
theorem with inverses, Pacific J. Math. 21, № 2 (1967), 315—
325.
122. Маккриммон К. (McCrimmon К.), Jordan
algebras with interconnected idempotents, Proc. Amer. Math. Soc.
19 (1968), 1327—1336.
123. Маккриммон К. (McCrimmon К.), The Freuden-
thal-Springer-Tits constructions of exceptional Jordan algebras,
Trans. Amer. Math. Soc. 139 (1969), 495—510.
124. Маккриммон К. (McCrimmon К.), The radical
of a Jordan algebra, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 62 (1969), 671 —
678.
125. Маккриммон К. (McCrimmon К.), On Herstein's
theorems relating Jordan and associative algebras, J. Algebra
13 (1969), 382—392.
126. Маккриммон К. (McCrimmon К.), The Freuden-
thal-Springer-Tits constructions revisited, Trans. Amer. Math.
Soc. 148 (1970), 293-314.
127. Маккриммон К. (McCrimmon KJ, Koecher's
principle for quadratic Jordan algebras, Proc. Amer. Math.
Soc. 28 (1971), 39-43.
128. Маккриммон К. (McCrimmon К.), A
characterization of the radical of a Jordan algebra 18 (1971), 103—111.
129. Маккриммон К. (McCrimmon К.), Speciality of
quadratic Jordan algebras, Pacific J. Math. 36, № 3 (1971),
761—773.
130. Маккриммон К. (McCrimmon К.), Homotopes
of alternative algebras, Math. Ann. 131, № 4 (1971), 253—262.
131. Маккриммон К. (McCrimmon К.),
Noncommutative Jordan rings, Trans. Amer. Mat. Soc. 158, № 1 (1971),
1-33.
132. Маккриммон К. (McCrimmon К.), A
characterization of the Jacobson-Smiley radical, J. Algebra 18 (1971),
565-573.
133. Маккриммон К. (McCrimmon К.),
Noncommutative Jordan division algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 163
(1972), 215-224.

41S
ЛИТЕРАТУРА
134. Маккриммон К. (McCrimmon К.), Quadratic
Jordan algebras whose elements are all regular or nilpotent,
Proc. ,Amer. Math. Soc. 45, № l (1974), 1—27.
135.*Mаккpиммон К. (McCrimmon К.), Quadratic
methods in nonassociative algebras, Proc. of the International
Congress of Math., Vancouver, 1974, 325—330.
136. Маккриммон К. (McCrimmon К.), Malcev's
theorem for alternative algebras, J. Algebra 28, №3(1974), 484—495.
137. Маккриммон К. (McCrimmon К.), Absolute zero
divisors and local nilpotence in alternative algebras, Proc.
Amer. Math. Soc. 47 (1975), 293—299.
138. Маккриммон К. (MoCrimmon К.),
Finite-dimensional left Moufang algebras, Math. Ann. 224, № 2 (1976),
179—187.
139. Маккриммон К. (McCrimmon К.), Malcev's
theorem for Jordan algebras, Communs Algebra 5, № 9 (1977),
937—968.
140. Маккриммон К. (McCrimmon К.), Speciality and
reflexivity of quadratic Jordan algebras, Communs Algebra 5,
№ 9 (1977), 903-936.
141. Маккриммон К. (McCrimmon К.), Axioms for
inversion in Jordan algebras, J. Algebra 47, № 1 (1977), 201 —
222.
142.*Mальцeв А. И., Избранные труды, т. 1, Классическая
алгебра, М., «Наука», 1976.
143. Марковичев А. С, Ниль-системы и радикал в
альтернативных артиновых кольцах, Матем. заметки 11, № 3 (1972),
299—306.
144. Марковичев А. С, О кольцах типа (у, 6), Тезисы
сообщ. 14-й Всесоюзной алгебраической конф. ч. 2,
Новосибирск, 1977, 55—56.
145. Медведев Ю. А., Локальная конечность периодических
подлуп альтернативного PI-кольца, Матем. сб. 103, № 6 (1977),
309-315.
146. Медведев Ю. А., Конечная базируемость многообразий
с двучленным тождеством, Тезисы сообщ. 14-й Всесоюзной
алгебраической конф., ч. 2, Новосибирск, 1977, 59—60.
147. Михеев И. М., Об одном тождестве в правоальтернативных
кольцах, Алгебра и логика 8, № 3 (1969), 357—366.
148. Михеев И. М., Локально правонильпотентный радикал
в классе правоальтернативных колец, Алгебра и логика
11, № 2 (1972), 174-185.
149. Михеев И. М., Теорема Веддербарна об отщеплении
радикала для (—1,1)-колец, Алгебра и логика 12, № 3 (1974),
298—304.
150. Михеев И. М., О первичных правоальтернативных
кольцах, Алгебра и логика 14, № 1 (1975), 56—60.
151. Михеев И.М., О правой нильпотентности в
правоальтернативных кольцах, Сиб. матем. ж. 17, № 1 (1976), 225—227.
152. Михеев И. М., О простых правоальтернативных
кольцах, Тезисы сообщ. 14-й Всесоюзной алгебраической конф.,
ч. 2, Новосибирск, 1977, с. 61.

ЛИТЕРАТУРА
419
153. Монтгомери С. (Montgomery S.), Chain
conditions on symmetric elements, Proc. Amer. Math. Soc. 46, № 3
(1974), 325-331.
154. Монтгомери G. (Montgomery S.), Rings of quo-
tiens for a class of special Jordan algebras, J. Algebra 31, № 1
(1974), 154-165.
155. Морган Д. (Morgan D. L.), Jordan algebras with
minimum condition, Trans. Amer. Math. Soc. 155 (1971), 161 —
173.
156. Муфанг P. (Moufang R.), Zur Struktur von Alterna-
tivkorpern, Math. Ann. 110 (1935), 416—430.
157. Нагата M. (Nagata M.), On the nilpotency of nil-
algebras, J. Math. Soc. Japan 4 (1952), 296—301.
158. Невечежаль Д., Терликовская Б.
(Niewieczerzal D., Terlikowska В.), A note on alternative
semiprime rings, Bull. Acad. Pol. Sci., Ser. sci. math, astron.
phys. 20, № 4 (1972), 265—268.
159. Никитин А. А., О наднильпотентных радикалах (—1,1)-
колец, Алгебра и логика 12, № з (1973), 305—311.
160. Никитил А. А., Почти альтернативные алгебры, Алгебра
и логика 13, № 5 (1974), 501—533.
161. Никитин А. А., Об идеальной наследственности
радикалов в йордановых кольцах, Тезисы сообщ. 14-й Всесоюзной
алгебраической конф., ч. 2, Новосибирск, 1977, 61—62.
162. Осборн Дж. (Osborn J. М.), Jordan algebras of
capacity two, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 57 (1967), 582—
588.
163. Осборн Дж. (Osborn J. M.), Jordan and associative
rings with nilpotent and invertible elements, J. Algebra 15,
№ 3 (1970), 301—308.
164.*Осборн Дж. (Osborn J. М.), Varieties of algebras,
Advances in Math. 8 (1972), 163—369.
165. Осборн Дж. (Osborn J. M.), Representations and
radicals of Jordan algebra, Scripta Math. 29, № 3—4 (1973),
297-329.
166. Ословский Б. (Oslowski В. J.), A note on
alternative antisimple rings with finiteness condition, Bull. Acad,
pol. sci., ser. sci. math, astron. phys. 23, № 12 (1975), 1241—
1245.
167. Патил К., Расин M. (Patil К. В., Racine М. L.),
Central polynomials for Jordan algebras, II, J. Algebra 41,
№ 1 (1976), 238-241.
168. Петерсон X. (Petersson H. P.), Borel subalgebras of
alternative and Jordan algebras, J. Algebra 16, № 4 (1970),
541—560.
169. Полин СВ., О тождествах конечных алгебр, Сиб. матем. ж.
17, № 6 (1976), 1356—1366.
170.*Прочези К. (Procesi С), Rings with polynomial
identities, Dekker, № 17, N.Y., 1973.
171. Пчелинцев С. В., Свободная (—1,1)-алгебра с двумя
порождающими, Алгебра и логика 13, № 4 (1974), 425—
449.

420
ЛИТЕРАТУРА
172. Пчелинцев С. В. Нильпотентность ассоциаторного
идеала свободного конечнопорожденного (—1,1)-кольца,
Алгебра и логика 14, № 5 (1975), 543—571.
173. Пчелинцев С] В., Определяющие тождества одного
многообразия правоальтернативных алгебр, Матем. заметки
20, № 2 (1976), 161—176.
174. Пчелинцев СВ., О локально нильпотентном радикале
в некоторых классах правоальтернативных колец, Сиб. матем.
ж. 17, № 2 (1976), 340—360.
175. Размыслов 10. П., Тождества со следом полных
матричных алгебр над полем характеристики 0, И АН СССР, сер.
матем. 38, № 4 (1974), 723—756.
176.*Расин М. (Racine М. L.), The arithmetics of
quadratic Jordan algebras, Mem. Amer. Math. Soc. № 136, Providence,
R. I., 1973,
177. Расин M. (Racine M. L.), On maximal subalgebras,
J. Algebra 30, № 1_3 (1974), 155-180.
178. Pасин M. (Racine M. L.), Central polinomials for
Jordan algebras. I, J. Algebra 41, № 1 (1976), 224—237.
179. Pасин M. (Racine M. L.), Maximal subalgebras of
exceptional Jordan algebras, J. Algebra 46, № 1 (1977), 12—21.
180. Расин M. (Racine M. L.), Point spaces in exceptional
quadratic Jordan algebras, J. Algebra 46, № 1 (1977), 22—36.
181. Роббинс Д. (Robbins D. P.), Jordan elements in
a free associative algebra, J. Algebra 19, № 3 (1971), 354—
374.
182. Pоомeльди Р. Э., Нижний ниль-радикал (—1,1)-колец,
Алгебра и логика 12, № 3 (1973), 323—332.
183. Роомельди Р. Э., Нильпотентность идеалов в (—1,1)-
кольцах с условием минимальности, Алгебра и логика 12,
№ 3 (1973), 333—348.
184. Роомельди Р. Э., Разрешимость (—1,1)-ниль-колец,
Алгебра и логика 12, № 4 (1973), 478—489.
185. Роомельди Р. Э., Центры свободного (—1,1)-кольца,
Сиб. матем. ж. 18, № 4 (1977), 861—876.
186. Рябухин Ю. М., Об одном классе локально нилыютентных
колец, Алгебра и логика 7, № 5 (1968), 100—108.
187. Рябухин Ю. М., Алгебры без нильпотентных элементов.
I и II, Алгебра и логика 8, № 2 (1969), 181—214; 215-240.
188. Рябухин Ю. М., Несравнимые ниль-радикалы и
неспециальные наднильпотентные радикалы, Алгебра и логика 14,
№ 1 (1975), 86—99.
189. Рябухин Ю. М., О счетно порожденных локально 2й-ал-
гебрах, И АН СССР 40, № 6 (1976), 1203-1223.
190. Скорняков Л. А., Альтернативные тела, Укр. матем. ж.
2, № 1 (1950), 70-85.
191. Скорняков Л. А., Правоальтернативные тела, ИАН
СССР, сер. матем. 15 (1951), 177—184.
192. *Скорняков Л. А., Проективные плоскости, УМН 4,
№ б (1951), 112—154.
193.*Скорняков Л. A. (Skornjakov L. A.), Alternative
rings, Rendiconti di Matematica 24, № 3—4 (1965), 360—372.

ЛИТЕРАТУРА
421
194. Скосырский В. Г., О нильпотентности в йордановых и
правоальтернативных алгебрах, Тезисы сообщ. 14-й
Всесоюзной алгебраической' конф., ч. 2, Новосибирск, 1977, 68—69.
195. Скрибнер Д. (Scribner D. R.), Lie admissible,
nodal, noncommutative Jordan algebras, Trans. Amer. Math.
Soc. 154, (1971), 105—111.
196. Скрибнер Д. (Scribner D. R.), Infinite nodal non-
commutative Jordan algebras, differentially simple algebras,
Trans. Amer. Math. Soc. 156 (1971), 381—389.
197. Слейтер M. (Slater M.), Nucleus and center in
alternative rings, J. Algebra 7, № 3 (1967), 372—388.
198. Слейтер M. (Slater M.), Ideals in semiprime
alternative rings, J. Algebra 8, № 1 (1968), 60—76.
199. Слейтер M. (Slater M.), The open case for simple
alternative rings, Proc. Amer. Math. Soc. 19 (1968), 712—715.
200. Слейтер M. (Slater M.), Alternative rings with
D. С. С. I, J. Algebra 11 (1969), 102-110.
201. Слейтер M. (Slater M.), The socle of an alternative
ring, J. Algebra 14 (1970), 443—463.
202. Слейтер M. (Slater Щ.), Alternative rings with
D. С. С, II, J. Algebra 14 (1970), 464—484.
203. Слейтер M. (Slater M.), Prime alternative rings.
I and II, J. Algebra 15 (1970), 229-243; 244-251.-
204. Слейтер M. (Slater M.), Alternative rings with D. С. С.
HI, J. Algebra 18 (1971), 179-200.
205. Слейтер M. (Slater M.), Prime alternative rings.
HI, J. Algebra 21, № 3 (1972), 394-409.
206. Слейтер M. (Slater M.), Free alternative rings,
Notices Amer. Math. Soc. 21, № 5 (1974), A-480.
207. Слинько А. М., Об эквивалентности некоторых ниль-
потентностей в правоальтернативных кольцах, Алгебра
и логика 9, № 3 (1970), 342—348.
208. Слинько А. М., [О радикалах йордановых колец, Алгебра
и логика 11, № 2 (1972), 206—215.
209. Слинько А. М., О радикале Джекобсона и абсолютных
делителях нуля * специальных йордановых алгебр, Алгебра
и логика 11, № 6 (1972), 711—723.
210. Слинько А. М., Замечание о радикалах у.
дифференцированиях колец, Сиб. матем. ж. 13, № 6 (1972), 1395—1397.
211. Слинько А. М., Радикалы йордановых колец,
связанных с альтернативными, Матем. заметки 16, № 1 (1974),
135—140.
212. Слинько А. М., Йордановы алгебры без нильпотентных
элементов, удовлетворяющие условиям конечности, Матем.
исследования 38 (1976), Кишинев, «Штиинца», 170—176.
213. Слинько А. М., Нижний ниль-радикал в йордановых
алгебрах с условием максимальности, Алгебра и логика 16,
№ 1 (1977), 98—100.
214. Слинько А. М., Шестаков ИЛП., Правые
представления алгебр, Алгебра и логика 13," №"5 (1974), 544—587.
215. Смайли М. (Smiley М. F.), The radical of alternative
ring, Ann. Math. 49, № 3 (1948), 702—709.

422
ЛИТЕРАТУРА
216.*Смайли М. (Smiley М. F.), Some questions concerning
alternative rings, Bull. Amer. Math. Soc. 57 (1951), 36—43.
217. Смайли M. (Smiley M. F.), Kleinfeld's proof of the
Bruck-Kleinfeld-Skornyakov theorem, Math. Ann. 134, № 1
(1957), 53—57.
218. Смайли M. (Smiley M. F.), Jordan homomorphism
and right alternative rings, Proc. Amer. Math. Soc. 8 (1957),
668—671.
219. Смит Б. (Smith В. D.), A standard Jordan polynomial,
Communs Algebra 5, № 2 (1977), 207—218.
220. Смит К. (Smith К. С), Noncommutative Jordan
algebras of capacity two, Trans. Amer. Math. Soc. 158 (1971), 151 —
159.
221. Смит К. (Smith К. С), Extending Jordan ideals and
Jordan homomorphisms of symmetric elements in a ring with
involution, Canad. J. Math. 24, № 1 (1972), 50—59.
222. Tафт Э. (Taft E. J.), Invariant Wedderburn factors,
Illinois J. Math. 1 (1957), 565—573.
223. Tафт Э. (Taft E. J.),' The Whitehead first lemma for
alternative algebras, Proc. Amer. Math. Soc. 8 (1957), 950—956.
224. Tафт Э. (Taft E. J.), Invariant splitting in Jordan and
alternative algebras, Pacific J. Math. 15, № 4 (1965), 1421 —
1427.
225. Tафт Э. (Taft E. J.), On the Whitehead first lemma for
Jordan algebras, Math. Z. 107, № 2 (1968), 83—86.
226. Титс Дж. (Tits J.), Une classe d'algebres de Lie en
relation avec les algebres de Jordan, Nederl. Akad. Wetensch. Proc.
Ser. A 65, Indag. Math. 24 (1962), 530-535.
227. Титс Дж. (Tits J.), Algebres alternatives, algebres de
Jordan et algebres de Lie exceptionnelles, I, Construction,
Proc. Koninkl. nederl. akad. wet. A69, № 2 (1966), 223—237.
228. *Tопинг Д. (Topping D. M.), Jordan algebras of self-
adjoint operators, Mem. Amer. Math. Soc, №*53,*Providence,
R. I., 1965.
229. Тэди A. (Thedy A.), Mutationen'und polarisierte Funda-
mentalformul, Math. Ann. 177 (1968), 235—246.
230. Тэди АЛ (Thedy А.),ч Zum Wedderburnschen Zerlegung-
satz, Math. Z. 113 (1970), 173—195/;
231. Тэди A» (Thedy A.), On'rings with^completely alternative
commutators, Amer. J. Math. 93 (1971), 42—51.
232. Тэди A. (Thedy A.), Right alternative rings, J. Algebra
37, № 1 (1975), 1—43.
233. Тэди A. (Thedу A.), Right alternative rings with Pierce
decomposition, J. Algebra 37, № 1 (1975), 44—63.
234. Тэди A. (Thedy A.), Right alternative rings with
minimal condition, Math. Z. 155, № 3 (1977), 277—286.
235.*Фолкнер Дж. (Faulkner J. R.), Octonion planes
defined by quadratic Jordan algebras, Mem. Amer. Math. Soc,
№ 104, Providence, R. I., 1970.
236. Фолкнер Дж. (Faulkner J. R.), Orbits of the
automorphism group of the exceptional Jordan algebra, Trans.
Amer. Math. Soc. 151 (1970), 433—441.

ЛИТЕРАТУРА
423
237. Фостер Д. (Foster D. М.), On Cartan subalgebras of
alternative algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 162 (1971), 225 —
238.
238. Фостер Д. (Foster D. M.), Generalizations of nilpo-
tence and solvability in universal classes of algebras, J. Algebra
26 (1973), 536—555.
239.*Фрейденталь Г. (Freudenthal H.), Oktaven,
Ausnahmegruppen und Oktaven-geometrie, Utrecht, 1951.
Русский перевод в ж. «Математика» 1, № 1 (1957), 117—154.
240. Хельвиг К. (Helwig К. Н.), Uber Mutationen von
Jordan-Algebren, Math. Z. 103, № 1 (1968), 1—7.
241. Хельвиг К. (Helwig К. H.), Halbeinfache reele
Jordan-Algebren, Math. Z. 109, № 1 (1969), 1—28.V*
242. Хельвиг К. (Helwig К. H.), Involutionen von
Jordan-Algebren, Manuscr. math. 1, № 3 (1969), 211—229.
243. Хельвиг К. (Helwig К. H.), Jordan-Algebren
und symmetrische Raume. I, Math. Z. 115 (1970), 315—349.
244. Хельвиг К., Хирцебрух У. (Helwig К. Н.,
Hirzebruch U.), Uber regulare Jordan-Algebren und eine
Aquivalenz-Relation von M. Koecher, Proc. Koninkl. nederl.
akad. wet A71, № 5 (1968), 460-465; Indag. Math. 30, № 5
(1968), 460-465.
245. Хенцель И. (Hentzel I. R.), Right alternative rings
with idempotents, J. Algebra 17, № 3 (1971), 303—309.
246. Хенцель И. (Hentzel I» R.), Nil semi-simple (—1,1)-
rings, J. Algebra 22, № 3 (1972), 442—450.
247. Хенцель И. (Hentzel I. R.), The characterization of
(—l,l)-rings, J. Algebra 30, № 1—3 (1974), 236—258.
248. Хенцель И., Каттанео Дж. (Hentzel I. R.,
Cattaneo G. M.), Simple (y, 6)-Algebras are Associative,
J. Algebra 47, № 1 (1977), 52—76.
249. Хенцель И., Слейтер M. (Hentzel I. R.,
Slater M.), On the Andrunakievich lemma for alternative rings,
J. Algebra 27 (1973), 243—256.
250. Херстейн И. (Hersteinl. N.), Sugli anneli semplici
alternative, Rend. Mat. e Appl. 23 (1964), 9—13.
251. Херстейн И. (Herstein I. N.), Anneli alternativi ed
algebre di compozisione, Rend. Math, e Appl. 23 (1964), 364—
393.
252.*Xерстейн И., Некоммутативные кольца, (M.t «Мир»,
1972.
253. Xигман Г. (Higman G.), On a conjecture'of Nagata,
Proc. Cambridge Phil. Soc. 52 (1956), 1—4.
254. Холгейт П. (Holgate P.), Jordan algebras arising
in population genetics, Proc. Edinburgh* Math. Soc. 15, № 4
(1967), 291-294.
255. Хумм M. (Humm JVL), On a class of right alternative
rings without nilpotent elements, J. Algebra 5, № 2 (1967),
164-175.
256. Хумм M., Клейнфелд Э. (Humm M.,
Kleinfeld E.), On free alternative rings, J, Combin. theory 2,
№ 2 (1967), 140—144.

424
ЛИТЕРАТУРА
257. Цай Ч. (Tsai С. Е.), The Levitzki radical in Jordan rings,
Proc. Amer. Math. Soc. 24 (1970), 119-123.
258. Цорн M. (Zorn M.), Theorie der alternativen Ringe,
Abh. math. Seminar Hamburg Univ. 8 (1930), 123—147.
259. Цорн M. (Zorn M.), Alternative rings and related
questions. I. Existence of the radical, Ann. Math. 42 (1941), 676—
686.
260. Шафер P. (Schafer R. D.), On forms of degree n
permitting composition, J. Math. Mech. 12 (1963), 777—792.
261*. Шафер P. (Schafer R. D.), An introduction to nonas-
sociative algebras, N.Y., Academic Press, 1966.
262. Шафер P. (Schafer R. D.), Generalized standard
algebras, J. Algebra 12, № 3 (1969), 376—417.
263. Шафер P. (Schafer R. D.), Forms permitting
composition, Advances in Math. 4 (1970), 127—148.
264. Шафер P. (Schafer R. D.), A coordinatization theorem
for commutative power-associative algebras, Scripta math. 29,
№ 3-4 (1973), 437—442.
265. Шeлипов А. Н., Некоторые свойства ядра
альтернативного кольца, Матем. исследования 28 (1973), Кишинев, «Шти-
инца», 183—187.
266. Шестаков И. П., Конечномерные алгебры с ниль-базисом,
Алгебра и логика 10, № 1 (1971), 87—99.
267. Шестаков И. П., О некоторых классах некоммутативных
йордановых колец, Алгебра и логика 10, № 4 (1971), 407—
448.
268. Шестаков И. П., Обобщенно стандартные кольца,
Алгебра и логика 13, № 1 (1974), 88—103.
269. Шестаков И. П. Радикалы и нильпотентные элементы
свободных альтернативных алгебр, Алгебра и логика 14, № 3
(1975), 354-365.
270. Шестаков И. П., Центры альтернативных алгебр,
Алгебра и логика 15, № 3 (1976), 343—362.
271. Шестаков И. П., Абсолютные делители нуля и радикалы
конечнопорожденных альтернативных алгебр, Алгебра и логика
15, № 5 (1976), 585—602.
272. Шестаков И. П., Об одной проблеме Ширшова, Алгебра
иТлогика 16, № 2 (1977), 227—246.
273. Шестаков И. П., Радикал Жевлакова и представления
альтернативных алгебр, Тезисы сообщ. 14-й Всесоюзной
алгебраической конф. ч. 2, Новосибирск, 1977, 83—84.
274. Ширшов А. И., О специальных /-кольцах, Матем. сб. 38,
№ 2 (1956), 149—166.
275. Ширшов А. И.,^ Некоторые теоремы о вложении для колец,
Матем. сб. 40 (82) (1956), 65—72.
276. Ширшов АлИ., О некоторых неассоциативных ниль-коль-
цах и алгебраических алгебрах, Матем. сб. 41 (83) (1957),
381-394.
277. Ширшов А. И., О кольцах с
тождественными-"соотношениями, Матем. сб. 43, № 2 (1957), 277—283.
278. Ширшов А. И., О свободных кольцах Ли, Матем. сб.
45, № 2 (1958), 113—122.

ЛИТЕРАТУРА
425
279.*Ширшов А. И., Некоторые вопросы теории колец, близких
к ассоциативным, УМН 13, № 6 (1958), 3—20.
280. Шпрингер Т. (Springer Т. A.), Jordan Algebras
and Algebraic Groups, Ergebnisse der Math. 75, Berlin, Springer-
Verlag, 1973.
281. Штраде X. (Strade H.), Nodal nichtkommutative
Jordan-Algebren und Lie-Algebren bei charakteristic p > 2,
J. Algebra 21, № 3 (1972), 353-377.
282. Эйленберг С. (Eilenberg S.), Extensions of
algebras, Ann. Soc. Pol. Math. 21 (1948), 125-134.
283. Эриксон Т., Мартиндейл У., Осборн Дж.
(Erickson Т. S., Martindale W. S., Osborn J. M.),
Prime nonassociative algebras, Pacific J. Math. 60, № 1 (1975),
49-63.
284. Эриксон Т., Монтгомери С. (Erickson Т. S.,
Montgomery S.). The prime radical in special Jordan
rings, Trans. Amer. Math. Soc. 156 (1971), 155—164.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютный делитель нуля 216 , 350
Алгебра 9
— алгебраическая 126
— — ограниченной степени 126
— альтернативная 38
квазирегулярная 244
невырожденная 216
примитивная 237
— антиассоциативная 142
— артинова 292
— ассоциативная обертывающая 67
— — по нулю 404
— йорданова 67
исключительная 67
квазирегулярная 363
невырожденная 350
— — свободная специальная 75
— — с делением 358
— — симметрической билинейной
формы 68
специальная 67
— квадратичная 52
— композиционная 37
— — расщепляемая 59
— конечная над Z 130
— Кэли — Диксона 44
— матричная 62
— локально конечная над Z 130
— локально нильпотентная 102
— — ограниченной высоты 129
разрешимая 102
— — г , -нильпотентная 407
— нётерова 299
— нильпотентная 101
— обобщенных кватернионов 44
— ограниченной высоты 127
— первичная 193
— подпрямо неразложимая 200
— полупервичная 193
— , полученная^формальным
присоединением единицы 29
— правоальтернативная 267 , 400
— правонильпотентная (левонильпо-
тентная) 101 }
— правых (левых) умножений 8
— разделенная 204
— разрешимая 102
— с ассоциативными^Гстепенями 52
— свободная 11
— — в многообразии 9л (9л-свобод-
ная 13
— — с единицей 29
— с делением 182
Алгебра умножений 85
— универсальная для правых
^"представлений 259
правых умножений 265
— центральная 165
— чисел Кэли 48
— чисто альтернативная 204
— — неассоциативная 204
— ^-радикальная 184
— «59-полупростая 184
— эластичная 50
Аннулятор 201 , 383
— алгебры 32
— левый 201
— правый 201
Ассоциативное ядро 204
Ассоциатор 49
Базисный ранг многообразия 303
Бимодуль 266
Бипредставление 266
Бэровская цепочка идеалов 192
Высота алгебры 127
— одночлена 77
— — относительно множества
многочленов 127
Гомоморфизм Ф-алгебр 9
Гомотоп алгебры 359
Гурвица проблема 36
Длина неассоциативного слова 10
— слова в алгебре правых
умножений 105
Идеал ассоциаторный 203
— бэровский 192
— главный квадратичный 380
— квадратичный 380
— квазирегулярный 244 , 363
— минимальный 202
— первичный 193
— правый модулярный 236
— примитивный 239
— тождеств алгебры (класса алгебр)
12
— тривиальный 192

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
427
Идеал ядерный 204
— Д-тождеств 258
— Q-характеристический 261
Идемпотент абсолютно примитивный
396
— главный — 393
— примитивный 396
Изотоп алгебры 359
Инволюция 39
Индекс нильпотентности 101
— правонильпотентности (левониль-
потентности) 101
— разрешимости 102
Йорданов многочлен (j-многочлен) 76 ,
133 , 134
— — альтернативный 145
— — правоальтернативный 406
Йорданово произведение 49
тройное 87
Класс алгебр , замкнутый
относительно расширений 186
— — полупростой 184
радикальный 184
Кольцо Джекобсона 253
— Кэли — Диксона 228
— свободное 321
— операторов (скаляров) 9
— частных 219
— Ф-операторное 9
Коммутатор 49
Компонента бипредставления 266
Лемма Андрунакиевича 203
— Шевлакова о нормальной форме
105
— Кона 80
— Ширшова 122
Линеаризация полная 27
— частичная 21
Матричные единицы Кэли —
Диксона 62
Многообразие 12
— однородное 17
— сильно однородное 30
— тривиальное 13
— унитарно замкнутое 29
Многочлен неассоциативный 11
— однородный 15
по переменной 15
— полилинейный 16
— стандартный 125
Модуль ассоциативный справа
(слева) 270
— неприводимый 259
— почти точный 258
— точный 258
— унитальный 259
Мультипликативное подмножество
219
Неассоциативное слово 10
Неассоциативный многочлен
(одночлен) 11 , 12
Ниль-алгебра ограниченного
индекса 125
Ниль-радикал 199
верхний (Кёте) 199
нижний (Бэра) 194
Норма элемента 52
Однородная компонента многочлена
16
Однотипные одночлены
(многочлены) 15
Оператор правого (левого)
умножения 85
Определяющие тождества
многообразия 12
— Д-тождества многообразия 262
Ортогональные идемпотенты 393
Пирсовское разложение 392 , 396
Правочильпотентное множество 407
Правый модуль 258
Представление 258
— впопне регулярное 284
— неприводимое 259
— почти точное 258
— регулярное 264
— точное 258
— унитальное 259
Принцип Кёхера 32
— — для йордановых алгебр 368
— сдвига 370
— симметрии 370
Процесс Кэли — Диксона 41
Радикал 184
— Андрунакиевича 206
— антипростой 206
— Бэра 194
— Шевлакова 236 , 248
— квазирегулярный 236 , 248 , 361
Кёте 199
— Клейнфелда 236 , 240
— Левицкого 194
— локально конечный над Z 133
— — нильпотентный 114 , 194
— Маккриммона 352
— наднильпотентный 377
— наследственный 187
— Смайли 235 , 245
Расщепляемое нулевое расширение
266
Сердцевина алгебры 200
Сильно ассоциативная подалгебра 87
След элемента 52
Слово в алгебре правых умножений
105
— неассоциативное 10
— нормальное 105
— особое 134
— п-разбиваемое 121
— я^-неразложимое 120
Состав слова в алгебре правых
умножений 105
Степень алгебраичности 126

428
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Степень многочлена (одночлена) 12
— — по переменной 16
— слова в алгебре правых
умножений 105
Тело 182
Теорема Алберта 72 , 114 , 399
— Алберта — Жевлакова 112
— Андерсона — Дивинского — Су-
линского 190
— Артина 51
обобщенная 55
— Брака — Клейнфелда — Скорня-
кова 182
— Джекобсона 394
— Джекобсона — Осборна 395
— Дорофеева 341
— Жевлакова 111 , 161 , 248
— Клейнфелда 181 , 216 , 238
— Кона 76
— Михеева 402
— Нагаты — Хигмана 152
— Рябухина 405
— Скорнякова 403
— Слейтера 211 , 214 , 229
— Фробениуса обобщенная 55
— Цорна координатизационная 66
— Ширшова 90 , 138 , 147 , 407
— — о высоте 128
Тождества Дорофеева 341
— Клейнфелда 177
Тождество алгебры 12
— левой альтернативности 49
— Макдональда 99
— Михеева 402
— Муфанг 50 , 51
левое 50
правое 50 , 400
— — центральное 50
— отображения 258
— полиномиальное допустимое 124
существенное 137 , 146
— правой альтернативности 49 , 400
Форма билинейная 35
— — симметрическая 35
— — — невырожденная 35
— квадратичная 36
Форма квадратичная , допускающая
композицию 36
— — невырожденная 36
— — строго невырожденная 36
Функция Клейнфелда 167
Центр алгебры 57 , 163
— — ассоциативный 57 , 163
— — коммутативный 163
Централизатор модуля 280
Элемент алгебраический 126
над Z 130
— вполне обратимый 182
— допустимый 124
— квазиобратный 243 , 361
— — правый (левый) 243
— квазирегулярный 243 , 361
— — справа (слева) 243
— обратимый альтернативной
алгебры 242
— — йордановой алгебры 355
— регулярный в смысле фон
Неймана 365
— собственно квазирегулярный 366 ,
367
— существенный 137 , 146
Ядро представления 258
^-представление 258
n-разбиваемое слово 121
п-разбиваемость 121
PI-алгебра 125
— альтернативная 146
— йорданова 137
Я-тождество 258
rj-слово 141
— правильное 141
г2-слово 141
— правильное 141
s-тождество 99
Т-идёал 12
Т-слово 121
я^-неразложимое слово 121
х ^-разложение 121
Ф-алгебра 9

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
V [X] — множество неассоциативных слов от элементов
множества X 10
d (v) — длина слова v 10
Ф [X] — свободная алгебра над кольцом Ф от множества
порождающих X 11
Т (А) — идеал тождеств алгебры А 12
Т (Щ — идеал тождеств многообразия ffl 12
1(A) 13
Ф^т [X] — свободная алгебра многообразия 50? от множества X
пор ож дающих 14
Ass [X] — свободная ассоциативная алгебра 15
Alt [X] — свободная альтернативная алгебра 15
RA [X] — свободная правоальтернативная алгебра 15
J [X] — свободная йорданова алгебра 15
А (у) 18
А- (У) 18
fi (х± , . . . , хп ; xj) — частичная линеаризация многочлена / по
Xi степени к 21
/А 21
L\ 26
Л* — алгебра , полученная формальным присоединением
единицы к алгебре А 29
А' 30
Ra (La) — оператор правого (левого) умножения на элемент а
37 , 85
(А , а) — алгебра , полученная с помощью процесса Кэли —
Диксона 41
К (ix) 44
Q (\х , р) — алгебра обобщенных кватернионов 44
С (Мч Р» У) — алгебра Кэли — Диксона 44
В1 45
(# , z/ , z) — ассоциатор элементов # , г/ , z 49
[# , у] — коммутатор элементов х , у 49
х о у — йорданово произведение элементов х , у 49
e\j — матричные единицы алгебры Кэли — Диксона 62
С (F) — матричная алгебра Кэли — Диксона над кольцом F 62
а о Ъ 67
Л<+> 67

430
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Н (Uу *) — алгебра симметричных относительно инволюции
* элементов 68
Н (Dn , S) , Н (J9n) , Н (С3) 69
SJ [X] — свободная специальная йорданова алгебра от
множества порождающих X 75
Н [X] 76
/ — идеал , порожденный множеством I 80
\xyzt) 81
R (Л) — алгебра правых умножений алгебры Л 85
L (А) — алгебра левых умножений алгебры А 85
М (А) — алгебра умножений алгебры А 85
RB (Л) , LB (Л) , Мв (А) 85
{абс} 87
Ua , Ua , b 87
& (а) — высота слова а 89
[а] 90
8д 99
Лп , Л<п> 101
Л(п) 102
А[п] 109
X (А) — локально нильпотентный радикал алгебры А 114
[хъ . . . , хп] — стандартный многочлен степени п 125
/ [X] — множество всех /-многочленов от элементов
множества X 133
^z (А) — локально конечный над Z радикал алгебры А 133
Р (I) 141
Т (7)441
(v) 142
yA|t [X] — множество альтернативных /-многочленов 145
In (А) 150
/п(4) 151
Sn (аи . . . , ап) 151
N (А) — ассоциативный центр алгебры А 163
i£ (А) — коммутативный центр алгебры А 163
Z (А) — центр алгебры Л 163
/ (и ; , х , z/ , 2) — функция Клейнфелда 167
ZN [А] 168
Nm> Km> zm 173
М (А) — ^-радикал алгебры Л 184
^в (Л) — бэровский идеал алгебры Л 192
J# — нижний ниль-радикал или радикал Бэра 194
X — локально нильпотентный радикал или радикал
Левицкого 194
Л/%— верхний ниль-радикал или радикал Кете 199
Н (Л) — сердцевина алгебры Л 200
Аппг (X) — правый аннулятор множества X 201
Ann ; (X) — левый аннулятор множества X 201
Ann (X)j , — аннулятор множества X 201
D (А)а— ассоциаторный идеал алгебры Л 203
U (А)\—^ассоциативное ядро алгебры Л 204
<£ — радикал Андрунакиевича или антипростой радикал 207

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ 431
d& (А) — радикал Андрунакиевича алгебры А 207
(1 : Л) 210
/ — наибольший идеал , содержащийся в множестве / 210
S-1!* 219
g%* (А) — радикал Клейнфелда алгебры А 240
$> (А) — радикал Смайли алгебры А 245
^ (А) — квазирегулярный радикал алгебры А 248 , 364
г?р (X) 249
Т (V) — тензорная алгебра модуля V 257
Т (ф) 257
Кегр (Л) , Кй (А) 258
1Ш(А) 259
Msqi {А) — универсальная алгебра для правых
^-представлений алгебры А 259
М%х> (А) — универсальная алгебра правых умножений
алгебры Л в многообразии Ш 265
[т , а , Ъ] 269
§ (М) — централизатор модуля М 280
(X , Y)h 285 j
гъ (Щ — базисный ранг многообразия дЯ 303
nv . . . tnk
К [X] 320
ZiVAlt 322
UAlt 332
iV/1} (Л) 336
X (J) 350
g# (/) — радикал Маккриммона алгебры / 352
х *ау 359
Иа) 359
VUfZ 367
PQI (/) 367
i?<g\ U<$\ V<$> 367
TXt у 367
; RA [X] — множество правоальтернативных /-многочленов 406

Константин Александрович Шевлаков
Аркадий Михайлович Слинъко
Иван Павлович Шестаков
Анатолий Илларионович Ширшов
Кольца , близкие к ассоциативным
(Серия : «Современная алгебра»)
М . , 1978 г . , 432 стр . с илл .
Редактор В . Л . Попов
Техн . редактор И . Ш . Акселърод
Корректоры 3 . В . Автопеева , Н . Д . Дорохова
ИБ № 11076
Сдано в набор 23 . 02 . 78 . Подписано
к печати 23 . 08 . 78 . Т-13056 . Бумага 84x1081/32 ,
тип . № 1 . Обыкновенная гарнитура . Высокая
печать . Условн . псч . л . 22 . 68 . Уч . -изд . л . 2 ; i , 48 .
Тираж 44 00 экз . Заказ № 0623 . Цена
книги 2 руб . 70 коп .
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071 , Москва , В-71 , Ленинский проспект , 15
Ордена Трудового Красного Знамени Московская
типография № 7 «Искра революции»
Союзполиграфпрома при Государственном
комитете Совета Министров СССР по делам
издательств , полиграфии и книжной торгопли
Москва , К-1 , Трехпрудный пер . , 9 .