МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА
И ОСНОВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1972

МАТЕМАТИКА
МЕТАМАТЕМАТИКИ
Е. РАСЕВА
Р. СИКОРСКИЙ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
В. А. ЯНКОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1972

517.1
P 24
УДК 512
Helena Rasiowa and Roman Sikorski
THE MATHEMATICS
OF
METAMATHEMATICS
Polska Akademia Nauk
MONOGRAFIE MATEMATYCZNE
Tom 41
Panstwowe Wydawnlctwo Naukowe
Warszawa 1963
2-2-3
53-71

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9
часть первая
РЕШЕТКИ
Глава I. Предварительные сведения из топологии, алгебры и теории
решеток 17
§ 1. Множества, отображения, прямые произведения 17
§ 2. Топологические пространства 19
§ 3. Отношения эквивалентности 28
§ 4. Универсальные алгебры 30
§ 5. Упорядоченные множества 41
§ 6. Решетки , 44
§ 7. Бесконечные объединения и пересечения 49
§ 8. Фильтры и идеалы 57
§ 9. Дистрибутивные решетки 62
§ 10. Дополнение и псевдодополнение 66
§ 11. Относительное псевдодополнение. Разность 69
§ 12. Импликативные решетки. Псевдобулевы алгебры 73
§ 13. Фильтры в имплйкативных решетках 7S
Глава II. Булевы алгебры 83
§ 1. Определение и элементарные свойства 83
§ 2. Подалгебры 89
§ 3. Булевы гомоморфизмы , . 91
§ 4. Двухэлементная булева алгебра 93
§ 5. Фильтры и идеалы 94
§ 6. Релятивизация 96
§ 7. Произведения булевых алгебр 98
§ 8. Стоуновские пространства булевых алгебр 101
§ 9. Представления, сохраняющие некоторые бесконечные
объединения и пересечения . 103
§ 10. Минимальные расширения булевых алгебр 106
§ 11. Канторов дисконтинуум • 119
Глава III. Топологические булевы алгебры 112
§ 1. Определение и элементарные свойства 112
§ 2. Релятивизация к главным идеалам 115
§ 3. Топологические гомоморфизмы и изоморфизмы. Внутренние
отображения . . 117
§ 4. Расширения и вложения топологических булевых алгебр . . .120
§ 5. Сильно компактные пространства 122
§ 6. Метрические пространства 123
§ 7. Основная лемма о метрических, пространствах . 126

6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 8. Конечные топологические булевы алгебры 131
§ 9. Прямые произведения топологических пространств 135
§ 10. Теорема о представлении для счетных топологических булевых
алгебр 140
§ 11. Полные пространства 141
§ 12. Фактор-алгебры 143
§ 13. Произведения топологических булевых алгебр. Прямые
объединения топологических пространств 145
Глава IV. Псевдобулевы алгебры 147
§ 1. Предварительные сведения .147
§ 2. Псевдобулевы гомоморфизмы и изоморфизмы 151
§ 3. Теоремы о представлении 153
§ 4. Конечные псевдобулевы алгебры , .155
§ 5. Плотные элементы < 156
§ 6. Регулярные элементы 158
§ 7. Бесконечные объединения и пересечения 160
§ 8. Релятивизация 164
§ 9. Вложения и расширения псевдобулевых алгебр 165
§ 10. Счетные псевдобулевы алгебры 168
§ П. Произведения псевдобулевых алгебр 169
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Глава V. Формализованные математические теории 171
§ 1. Понятие о формализованных теориях 171
§ 2. Операции над выражениями 179
§ 3. Формализованные языки элементарных математических теорий 180
§ 4. Интерпретации 188
§ 5. Интуитивное понятие о пропозициональных тавтологиях . . .192
§ 6. Формализованные языки пропозициональных исчислений . . .195
§ 7. Интуитивное понятие о предикатных тавтологиях 200
§ 8. Правила вывода 20£
§ 9. Формальные доказательства 210
§ Ю. Операции присоединения следствий. Формализованные
дедуктивные системы и теории 212
§11. Общее понятие* логики. Классическая логика 219
§ 12. Аксиомы равенства , 222
§ 13. Примеры элементарных формализованных теорий, основанных
на классической логике 224
§ 14. Некоторые основные метаматематические понятия 235
§ 15. Определения в формализованных теориях 240
Глава VI. Алгебра формализованных языков 244
§ 1. Алгебра формул 244
§ 2. Алгебра формул формализованного языка нулевого порядка.
Интерпретация формул как отображений . 245
§ 3. Алгебра термов. Реализации термов 250
§ 4. Алгебра и- Q-алгебра формализованного языка первого порядка 255
§ 5. /-алгебра формализованного языка первого порядка ..... 259
§ 6. Реализации формализованного языка первого порядка .... 262
§ 7. Канонические реализации формализованного языка первого
порядка 271
§ 8. Произведения реализаций 277
§ 9. Алгебра открытых формул . 281
§ 10. Алгебра формализованной теории 282
§11. Q-алгебра формализованной теории первого порядка .... 28^

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
Глава VII. Классические пропозициональные исчисления 295
§ 1. Предварительные сведения 295
§ 2. Полнота пропозициональных исчислений 298
§ 3. Примеры пропозициональных тавтологий 299
§ 4. Алгебра двузначного пропозиционального исчисления .... 301
§ 5. Нормальные формы 302
§ 6. Диаграммы формул 304
§ 7. Непротиворечивость и . существование моделей 310
§ 8. Теоремы о дедукции .' 313
§ 9. Связь между теориями и фильтрами 314
§ 10. Максимальные и простые теории 317
§ И. Проблемы эффективности 318
Глава VIII. Классические элементарные формализованные теории . . 321
§ 1. Предварительные сведения 321
§ 2. Модели 324
§ 3. Канонические модели. Непротиворечивость и существование
моделей 329
§ 4. Семантические модели 332
§ 5. Существование счетных семантических моделей для счетных
теорий 336
§ 6. Полнота предикатных исчислений. Примеры тавтологий . . . 339
§ 7. Диаграммы формул 345
§ 8. Богатые теории 353
§ 9. Существование семантических моделей для произвольных
непротиворечивых теорий 357
§ 10. Теоремы о дедукции 361
§11. Связь между теориями и фильтрами 362
§ 12. Максимальные и простые теории 366
§ 13. Расширение теорий до теорий с равенством 374
§ 14. Несущественность определений 374
§ 15. Открытые теории 377
§ 16. Предваренная форма 381
§ 17. Элиминация кванторов из аксиом теории 385
§ 18. Произведения семантических реализаций по модулю простого
фильтра 390
§ 19. Мощности моделей 393
§ 20. Несчетная арифметика и счетная теория множеств 402
§ 21. Проблемы эффективности 407
§ 22. Канонические семантические модели. Проблемы представления
для Q-алгебр теорий . л 408
§ 23. Топологическая характеристика открытых теорий 416
§ 24. Алгебра двузначного предикатного исчисления 420
§ 25. Теорема о дедукции для открытых теорий 423
§ 26. Эрбрановы дизъюнкции . . . . < . 424
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ЛОГИКИ
Глава IX. Интуиционистские пропозициональные исчисления .... 433
§ 1. Введение 433
§ 2. Предварительные сведения 438
§ 3. Теорема о полноте 443
§ 4. Примеры интуиционистских пропозициональных тавтологий . . 446
§ 5. Связь между тавтологиями и интуиционистскими тавтологиями 448
§ 6. Теорема об интуиционистски доказуемых дизъюнкциях . . 453
§ 7. Алгебра интуиционистского пропозиционального исчисления . . 454

8
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 8. Непротиворечивость и существование моделей .*»*».. 456
§ 9. Теоремы о дедукции 458
§ 10. Связь между теориями и фильтрами 460
§ 11. Максимальные теории 462
§ 12. Простые теории 463
§ 13. Связь между классическими и интуиционистскими теориями . . 468
Глава X. Интуиционистские элементарные формализованные теории . 472
§ I. Предварительные сведения 472
§ 2. Модели 475
§ 3. Канонические модели. Непротиворечивость и существование
моделей 480
§ 4. Полнота интуиционистских предикатных исчислений .... 484
§ 5. Алгебра интуиционистского предикатного исчисления .... 486
§ 6. Примеры интуиционистских тавтологий 487
§ 7. Связь между тавтологиями и интуиционистскими тавтологиями 492
§ 8. Теоремы об интуиционистски доказуемых дизъюнкциях и
экзистенциальных формулах 494
§ 9. Теоремы о дедукции 496
§ 10. Связь между теориями и фильтрами 497
§ 11. Максимальные теории 501
§ 12. Простые теории 504
§ 13. Конструктивные теории 505
§ 14. Устранение начальных кванторов в формулах U-теории . . .512
§ 15. Теории со знаком равенства 513
§ 16. Открытые интуиционистские теории 516
§ 17. Теорема 6 дедукции для открытых интуиционистских теорий . 520
§ 18. Теорема о расширении топологических реализаций .... 521
§ 19. Элиминация начальных кванторов из аксиом интуиционистской
теории 523
Глава XI. Позитивная логика и модальная логика 529
§ 1. Введение 529
§ 2. Позитивная логика 530
§ 3. Позитивные теории нулевого порядка 533
§ 4. Позитивное пропозициональное исчисление 535
§ 5. Позитивные теории первого порядка 536
§ 6. Позитивное предикатное исчисление . 538
§ 7. Модальная логика 539
§ 8. Модальные теории нулевого порядка . 544
§ 9. Модальное пропозициональное исчисление 548
§ 10. Модальные теории первого порядка 552
§ 11. Модальное предикатное исчисление 558
Примечания переводчика 561
Библиография 568
Список символов 579
Именной указатель 581
Предметный указатель 583

Die Mathematiker sind- eine Art Franzo-
sen: redet man zu ihnen, so ubersetzen sie
es in ihre Sprache und dann ist es alsobald
ganz etwas Anderes.
/. W. Goethe*)
Математики — это некоторый род
французов: если говоришь им что-нибудь, они
переводят это на свой язык, и тогда это
становится тотчас же чем-то совсем другим.
Я. В. Гёте
ПРЕДИСЛОВИЕ
Название этой книги — вовсе не каламбур, как это может
показаться на первый взгляд.
Метаматематика — это теория, изучающая формализованные
математические теории. Формализованная теория — это, грубо
говоря, множество некоторых конечных последовательностей
символов, называемых формулами и термами, и множество
некоторых простых операций, производимых над этими
последовательностями. Формулы и термы, получаемые с помощью
нескольких простых правил, служат заменой для предложений и
функций интуитивной математической теории. Операции над
формулами соответствуют элементарным шагам дедукции в
математических рассуждениях. Формулы, соответствующие
аксиомам интуитивной теории, играют особую роль — они являются
аксиомами формализованной теории. Формулы, которые могут
быть выведены из аксиом посредством принятых операций,
соответствуют теоремам теории.
Множество всех формул, и множество всех термов,
рассматриваемые как множества конечных последовательностей с
операциями, в свою очередь могут быть объектом математического
исследования, применяющего заимствованные из математики
более или менее развитые вспомогательные методы. В ранний
период развития математической логики общим стремлением
*) «Ferneres uber Mathematik und Mathematiker», s. Werke, Grosse Wei-
marische Ausg. Abt. II, Bd. 11 (1893), s. 102.

10
ПРЕДИСЛОВИЕ
было использовать только как можно более элементарные
методы, исключив все нефинитные. Предтечей этого направления
был Гильберт, полагавший, что на этом пути можно будет
доказать непротиворечивость математики. Однако результаты Гё-
деля выявили неудачу гильбертовских финитных методов в
отношении непротиворечивости*) 1). Использование финитных
методов для исследования формализованных теорий является,
быть может, естественным в силу очевидного финитного
характера понятия формализованной теории2). Но на практике
ограничение методов доказательства элементарными, финитными
методами значительно усложняет метаматематические
исследования. Оно мешает также полному распознаванию подлинной
природы формализованных математических теорий с точки
зрения методов и идей современной математики. Использование
более развитых, нефинитных методов значительно облегчает
уяснение математической структуры формализованных теорий.
Множество всех термов любой формализованной теории
является алгеброй; вообще говоря, алгеброй с бесконечно многими
операциями. Множество всех формул формализованной теории
также является алгеброй; вообще говоря, алгеброй с
бесконечными операциями. После естественного отождествления
эквивалентных формул множество всех формул становится
решеткой **), а именно: булевой алгеброй, псевдобулевой алгеброй,
топологической булевой алгеброй и т. д. — в зависимости от типа
логики, принимаемой в теории. Эти алгебры, в свою очередь,
связаны с понятиями поля множеств и топологического
пространства. С этой точки зрения представляется естественным
применение в метаматематике методов алгебры, теории
решеток, теории множеств и топологии. Вся совокупность полезных
в метаматематике математических методов и составляет то, что
в заглавии этой книги называется математикой
метаматематики.
*) Арабские цифры относятся к примечаниям переводчика на стр. 561 —
567. — Прим. ред.
**) Из двух конкурирующих в русской литературе терминов-синонимов —
структура, решетка — переводчик выбрал второй. Этот термин все шире
начинает распространяться у нас. В частности, именно он принят в книге
Д. И. Мальцева «Алгебраические системы» («Наука», 1970). — Прим. ред.

ПРЕДИСЛОВИЕ
11
Нефинитные методы делают ясным смысл многих основных
метаматематических теорем. Теорема о полноте
пропозиционального исчисления *) оказывается равнозначной теореме
Стоуна о представлении булевых алгебр. Теорема Гёделя о пол-^
ноте предикатного исчисления оказывается модификацией стоу-
новской теоремы о представлении с учетом некоторых
бесконечных операций в булевых алгебрах. Представляется
удивительным, что теорему Гёделя о полноте можно получить, например,
как результат применения теоремы Бэра о множествах первой
категории в топологических пространствах и т. д.
В этой книге мы полностью отказываемся от финитного
подхода школы Гильберта. Наоборот, предпочтение отдается
нефинитным методам, использующим наиболее глубокие
математические идеи. Это позволяет очень отчетливо выявить
математическую структуру метаматематики. Благодаря этому оказываются
также возможными значительная прост та и ясность в
доказательствах основных метаматематических теорем и
распознавание математического содержания этих теорем.
Название этой книги не вполне точно, так как в ней
изложены не все используемые в метаматематике Математические
методы, а именно опущен гёделевский метод арифметизации.
Точным названием должно было бы быть следующее: Методы
алгебры, теории решеток, теории множеств и топологии в
метаматематике». Арифметизация метаматематики существенно
отличается от этих методов и влечет другую проблематику.
Именно поэтому мы и считаем нецелесообразным включать
сюда эту тему. В итоге мы опустили ту часть метаматематики,
которая естественным образом использует арифметизацию
(проблемы разрешения, существование неразрешимых предложений),
и теорию рекурсивных функций, развиваемую сейчас многими
математиками.
Трудно точно сказать, кто первым начал использовать
нефинитные методы в метаматематике. Тесная связь классической
логики и теории булевых алгебр известна уже довольно давно.
*) В этой книге вместо терминов «исчисление высказываний^ и
«исчисление предикатов» применяются, соответственно, «пропозициональное
исчисление» и (впервые в нашей литературе) «предикатное исчисление». —*
Прим. ред.

12
Предисловие
Логические исследования самого Буля привели к понятию,
которое мы теперь называем булевой алгеброй. Фундаментальная
теорема Стоуна о представлениях булевых алгебр дает
возможность широких приложений теории булевых алгебр к
метаматематике. Метод рассмотрения множества формул или множества
классов эквивалентности формул как универсальных алгебр,
предложенный Линденбаумом и Тарским, оказался важным
орудием исследований. Он устанавливает связь между
метаматематикой теорий, основанных на классической логике, и теорией
булевых алгебр. Работы Стоуна и Тарского о взаимоотношении
между интуиционистской логикой и импликативными
решетками, а также дальнейшие работы Мак-Кинси и Тарского о
методах теории решеток в интуиционистском и модальном
пропозициональных исчислениях установили аналогичную связь для
метаматематики соответствующих неклассических теорий.
Большое значение имеет здесь также и другой подход к
исследованиям: интерпретация формул пропозициональных исчислений
как отображений в некоторых решетках. Эта интерпретация
является обобщением давно уже используемого в логике метода
истинностных Таблиц. Распространение этого метода на
интуиционистское предикатное исчисление впервые было предложено
Мостовским в связи с проблемами невыводимости формул.
Метод интерпретации формул как отображений вместе с методом
отождествления эквивалентных формул и истолкования
множества классов эквивалентности как универсальной алгебры
позволил нам дать алгебро-топологическое доказательство
теоремы Гёделя о полноте и других основных теорем. Понятие
произведения моделей по модулю простого фильтра, введенное
Лосем и широко используемое школой Беркли, является другим
существенным вкладом в математический аппарат
метаматематики.
Исследование нефинитных методов в метаматематике
переживает сейчас время интенсивного развития и далеко от
завершения. Эта книга включает в себя не все исследования,
проделанные в этой области. В частности, она не содержит теорию
полиадических алгебр Халмоша и теорию цилиндрических
алгебр Хенкина — Тарского — Томпсона. Не рассматривается
в ней и теория языков с бесконечно длинными формулами, ко-

ПРЕДИСЛОВИЕ
13
торая — благодаря недавним результатам Ханфа —- нашла
применения в самой математике, а именно в теории простых
фильтров булевых алгебр (Тарский). Оставлены без внимания также
некоторые другие приложения метаматематики к математике
(результаты А. Робинсона и других3)) и общая теория
моделей.
Более того, обсуждаемые в этой книге проблемы изложены
далеко не исчерпывающим образом. Целью книги является
только ввести читателя в круг основных идей нефинитного
подхода к метаматематике, особенно в методику, связанную с
работами самих авторов. Прилагаемая библиография не
претендует на полноту.
Книга написана элементарно в том смысле, что она не
требует математических и метаматематических знаний, кроме
основных понятий теории множеств: операций над множествами,
мощности, трансфинитной индукции. Но, конечно,
предполагается известная математическая искушенность читателя.
Все математические сведения, необходимые для понимания
нефинитных методов в метаматематике, приведены в первой
части (главы I—IV). Читатель найдет здесь краткое изложение
элементарных идей топологии и алгебры, равно как и частичное
изложение теории решеток. Содержащийся в первой части
материал отобран исключительно с точки зрения его приложений
к метаматематике и является минимумом, требующимся для
понимания второй и третьей частей. Тема последних —
метаматематика формализованных теорий, основанных на классической
или неклассической логике. Читатель, интересующийся только
классической логикой, может пропустить главы III и IV. Глава V
представляет собой интуитивное введение в технику
формализации математических теорий. Она содержит также общее
определение логики. Глава VI необходима для понимания всех
последующих глав. Она содержит теорию основных инструментов
исследования в метаматематике: интерпретации формул как
отображений и построения алгебры с помощью отождествления
эквивалентных формул. В главах VII, VIII изучается
классическая логика, в главах IX, X — интуиционистская, в главе XI —
позитивная и модальная логики. Главы IX и X можно читать
независимо от глав VII и VIII (после изучения глав I—VI),

14
ПРЕДИСЛОВИЕ
Чтобы облегчить труд читателя, мы часто даем полные
доказательства в главах IX и X, даже если они подобны
доказательствам аналогичных теорем в классической логике. С другой
стороны, рассмотрение позитивной и модальной логик в главе XI
проводится довольно бегло и доказательства теорем,
аналогичных теоремам для классической и интуиционистской логик,
опускаются.
Книга предназначена только для тех математиков и
изучающих математику лиц, кто интересуется логическими аспектами
математики и математическими аспектами логики. Поэтому
иллюстрации к логическим проблемам, приводимые в § 1 главы V,
заимствованы исключительно из математики. Философские
аспекты логики и математики не рассматриваются, так как они
чужды математическому характеру книги. Только в § 1 главы IX
дается короткая сводка основных идей, приведших к
возникновению интуиционистской логики.
Наличие двух посвященных интуиционизму глав не означает,
что авторы положительно относятся к интуиционистским идеям.
Интуиционизм, как и другие неклассические логики, не имеет
практического применения в математике. Тем не менее
многие авторы посвящают свои работы интуиционистской логике.
С другой стороны, интересен математический механизм
интуиционистской логики: представляется удивительным, что смутно
очерченные философские идеи относительно понятия
существования в математике привели к созданию таких
формализованных логических систем, которые с математической точки зрения
оказались эквивалентными теории решеток открытых
подмножеств в топологических пространствах. Наконец, формализация
интуиционистской логики, осуществленная Гейтингом и
принятая в этой книге, не согласуется с философскими воззрениями
основателя интуиционизма Брауэра, который выступал против
формализма в математике. Поскольку в изучении
интуиционистской логики мы ограничились проблемами, непосредственно
связанными с исцользуемыми в этой книге методами из общей
алгебры, топологии и теориц решеток, мы не включили в книгу
недавние результаты Бета и Крейсела относительно понятий
выполнимости, отличных от принятого нами алгебраического
понятия выполнимости.

ПРЕДИСЛОВИЕ
15
Мы уделили совсем немного внимания
теоретико-множественным и семантическим антиномиям. Мы полагаем, что
антиномии принадлежат теперь истории математики4) и что
включенный в книгу материал должен быть свободен от ошибок
в интерпретации понятия множества и т. д. Аналогично, в
теории функций никто теперь не пользуется смутным и
противоречивым представлением о функциях, выработанным столетия
назад.
Принятая в этой книге терминология иногда отличается от
общепринятой. Мы пытались унифицировать математическую и
метаматематическую терминологию в параллельных проблемах.
Так, например, вместо «полная теория» мы пишем
«максимальная теория», поскольку это понятие параллельно понятию
максимального фильтра в теории решеток. Кроме того, слово
«полный» слишком часто используется в других смыслах.
Обращаем также внимание на то обстоятельство, что слово «модель»
имеет в книге несколько более общий смысл, чем это обычно
принято в логических работах. Следуя Бурбаки, мы говорим
«упорядоченное множество» вместо «частично упорядоченное
множество».
Следуя Нёбелингу, мы пользуемся термином «топологическая
булева алгебра» вместо «алгебра с замыканием» — термина,
употребляемого многими авторами. Ввиду применений к
интуиционистской логике операция взятия внутренности более важна
в данной книге, чем операция взятия замыкания. По этой
причине в качестве аксиоматики топологических пространств и
топологических булевых алгебр нами принята аксиоматика,
двойственная хорошо известной аксиоматике Куратовского.
Поэтому нам казалось неоправданным применять термин «алгебра
с замыканием» к понятию, определенному с помощью слова
«внутренность», а не с помощью слова «замыкание». Термин
«топологическая булева алгебра» представляется более удобным
также и по той причине, что он не вводит асимметрии в
двойственность основных топологических понятий.
Для теоретико-множественных и решеточных операций,
равно как и для соответствующих пропозициональных связок,
мы используем одни и те же символы U, П, желая подчеркнуть
их тесную связь друг с другом. Это не приводит к путанице ц

16
ПРЕДИСЛОВИЕ
очень упрощает перевод логических понятий на язык теории
множеств и теории решеток.
В пределах одной главы ссылка на теорему этой главы
состоит в указании номера. Для теорем из других глав к номеру
приписывается римский номер главы, в которой она находится.
Аналогичным образом, внутри одного параграфа ссылка на
формулу состоит в указании ее номера, для формул из других
параграфов той же главы прибавляется номер параграфа, для
формул из других глав еще прибавляется римский номер главы.
Выражаем благодарность профессору А. Мостовскому за
ценные советы в области библиографии. Хотим также
поблагодарить доктора Бялыницкого-Бирулю, прочитавшего рукопись
книги и помогшего нам своими замечаниями в улучщении текста
книги.-Благодарим также доктора Т. Трачика за помощь в
проверке доказательств.
£. Расёва, Р, Сикорский
Варшава, 1962 г.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
РЕШЕТКИ
ГЛАВА I
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ,
АЛГЕБРЫ И ТЕОРИИ РЕШЕТОК
§ 1. Множества, отображения, прямые произведения
Мы предполагаем, что читатель знаком с основными
понятиями теории множеств*). Мы напомним здесь только главные
обозначения.
Мы пишем аеД если а является элементом множества Л,
и а ф А в противоположном случае. Если каждый элемент
множества А принадлежит множеству Б, то мы пишем А а В и
говорим, что А является подмножеством множества Б.
Отношение cz называется включением.
Пустое множество обозначается символом 0.
Для любых множеств Л, В символ A U В (А П В) будет
обозначать объединение (пересечение) множеств А и В, т. е.
множество всех элементов, принадлежащих по крайней мере одному
из множеств Л, В (принадлежащих обоим множествам Л, В).
Более общо, \J АЛ Q At\ будет обозначать объединение (пе-
t*=T \tezT I
ресечение) множеств Аи где /еГ,т. е. множество всех
элементов, принадлежащих по крайней мере одному из множеств
(принадлежащих всем множествам) At (/gT).
Если А П 5=0, то множества Л, Б* называются
непересекающимися.
Разность множеств Л, Б, т. е. множество таких элементов
из Л, которые не принадлежат В, будет обозначаться
посредством Л — В.
В приложениях мы будем часто рассматривать только
подмножества некоторого фиксированного множества X.
Множество X будет тогда называться пространством, а разность X — Л
(где А а X) будет называться дополнением множества Л и обо-
*) Теория множеств излагается детально, например, в работах
Френкеля [2], Хаусдорфа [1], Куратовского и Мостовского [11,
Серп и некого [1], [3].

18
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
значаться посредством —А. Поэтому, если Л, В cz X, то
А— В=АП— В.
Термины отображение, функция, преобразование всегда
будут иметь один и тот же смысл. Мы пишем
/: X-+Y,
чтобы указать, что f — отображение, определенное на X со
значениями из У. Множество X называется тогда областью
определения функции f. Множество У называется областью прибытия
функции /.
Обычно, если f — отображение, то f(x) используется для
обозначения значения отображения / в точке х. Иногда мы будем
вместо f (x) писать также fx и fx.
Если f — отображение множества X в множество У и Л с X,
В cz У, то /(Л) обозначает множество всех элементов f(x), где
х ^ Л, и f_1 (В) обозначает множество всех элементов х ^ X таких,
что f(x)^B. Множества f(A) и /-1(Я) называются образом
множества Л и прообразом множества В соответственно. Если /(Л) =
=В, то мы говорим, что f отображает множество Л на
множество В. Если f взаимно-однозначно, т. е. если /(я,) =/(*2)
влечет Х\=х2> то f_1 обозначает отображение, обратное
отображению f, т. е. отображение множества f(X) на X такое, что
f-i(y)=x имеет место тогда и только тогда, когда f(x)=y. Если
f: X —► У и g: У —> Z, то gf: X -> Z обозначает композицию
отображений f и g, т. е. g/ (я) =g (/ (лс)) для всех х ^ X. Если / —
отображение, определенное на множестве X, g — отображение,
определенное на множестве Х0 cz Xt и g(x) =f(x) для всех х ^ Х0,
то / называется продолжением отображения g на X и g
называется сужением отображения f на Х0.
Функции, определенные на множестве всех положительных
(или неотрицательных) целых чисел, называются
(бесконечными) последовательностями. Функции, определенные на
множестве целых чисел 1, ..., т, называются конечными
последовательностями или, точнее, m-элементными
последовательностями. Если ап обозначает элемент, соответствующий числу я,
то последовательность в целом обозначается посредством {ап}
или -г- в случае конечной последовательности — посредством
{&ь ..., amY
Более общо, если, для каждого t из непустого множества Г,
at является элементом множества Л, то функция, ставящая
в соответствие каждому /gT элемент at^At будет
обозначаться посредством {at}t^T илу просто посредством {at}.
Символ Р At будет обозначать прямое произведение мно-
жеств At (t^T), т. е. множество всех отображений a = {at}. T

я ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 19
т / оо \
таких, что а,е=Л, для всех /еГ. В частности, Р Ап Р Л„
будет обозначать множество всех m-элементных
последовательностей (всех бесконечных последовательностей) {ап} таких,
что ап*=Ап для n=U 2 т (для лг = 1, 2, ...). Вместо
р д I Р Ап\ мы будем также писать АХХ ...X Лт (Л!ХЛ2Х...)-
Если все множества равны,
At = А при любом t^T,
то мы пишем АТ вместо Р At. Другими словами, Ат является
множеством всех отображений из Г в Л. Мы пишем также Ат
и А*0 вместо АХ ... X А {т раз) и АхАх..^ соответственно.
Отображения f: Am -> Л часто будут называться
операциями в Л.
Если, для каждого t^T, Rt является некоторым классом
*
подмножеств множества Хи то Р Я* будет обозначать класс
всех множеств Р At таких, что At^$t при любом /еГ.
*
По определению Р 5^ является некоторым классом
поджег
множеств множества Р Xt.
Мы предполагаем, что читатель знаком с понятиями
кардинального числа, ординального числа и трансфинитной индукции.
Кардинальное число множества Х_ (т. е. мощность мйожества X)
будет обозначаться посредством X. Кардинальное число счетных
множеств (т. е. взаимно-однозначных образов множества всех
положительных целых чисел) обозначается посредством &о.
§ 2. Топологические пространства*)
Топологическое пространство есть множество X, в котором
каждому множеству A cz X сопоставлено множество \А cz X
таким образом, что
Oi)
(У
Оз)
(и)
1(А[\В) = \А[\1В,
\AczA,
ИЛ = 1Л,
IX = Х.
*) Теория топологических пространств излагается детально, например,
в работах К е л л и [1], Куратовского [3].

20
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
Точнее, топологическое пространство есть пара {X, I}, где Аг —
множество, а I удовлетворяет условиям (Ь) —(i4).
Операция I, удовлетворяющая условиям (ii) — (i4),
называется операцией взятия внутренности. Для каждого множества
A cz X множество \А называется внутренностью множества Л.
Множество — 1 — А (т. е. множество X — 1(Х — А))
называется замыканием множества А и обозначается посредством
СЛ (А аХ). По определению
(1) СЛ=-1-Л и 1Л = -С-Л.
Из (ii) — (i4) непосредственно следует, что операция С
удовлетворяет условиям *)
(сх) С(Л1)В) = СЛиСВ,
(с2) Л с= СЛ,
(сз) ССЛ = СЛ,
(с4) С0 = 0.
Заметим, что имеет место и обратное, т. е. если каждому
множеству A czX сопоставлено множество СЛ cz X таким
образом, что удовлетворяются условия (ci) — (с4), то операция I,
определенная посредством второго равенства в (1),
удовлетворяет условиям (ii) — (ц) и, кроме того, выполняется первое
равенство в (1).
Любая операция С, удовлетворяющая условиям (ci) — (с4),
называется операцией взятия замыкания.
Из (ii) и (ci) непосредственно следует, что для
произвольных подмножеств Л, В топологического пространства X
(2) Лс=В влечет \А cz IB и СЛ с: СВ.
Подмножество Л топологического пространства X называется
открытым (замкнутым) в X, если Л = \А (если Л = СЛ),
В силу (1) множество Л открыто (замкнуто) тогда и только
тогда, когда его дополнение —Л замкнуто (открыто).
В силу (i3) (в силу (с3)) внутренность (замыкание) любого
множества А является открытым (замкнутым) множеством. Из
(i2), (c4) и из (с2), (i4) следует, что пустое множество 0 и все
пространство X одновременно открыты и замкнуты.
Заметим, что если В открыто, то для любого множества Л
(3) В а А тогда и только тогда, когда В с: \А
в силу (i2) и (2). Отсюда следует, что \А — наибольшее
открытое подмножество множества Л. Аналогично, если В замкнуто,
то для любого множества Л
(4) Л с В тогда и только тогда, когда СЛ с: В
*) Аксиомы (ci)—(с4) принадлежат Куратовскому [1].

»4
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
21
в силу (сг) и (2). Из этого следует, что СА — наименьшее
замкнутое множество, содержащее Л.
В силу (ii) (в силу (ci)) пересечение ^объединение) двух
открытых (замкнутых) множеств открыто (замкнуто).
Несложной индукцией доказываем, что пересечение (объединение)
любой конечной последовательности открытых (замкнутых)
множеств открыто (замкнуто).
Если А замкнуто (открыто) и В открыто (замкнуто), то
Л — В замкнуто (открыто), так как Л — В = Л П — В.
Объединение (J At /пересечение Q ЛЛ любого числа
открытых (замкнутых) множеств At открыто (замкнуто). В самом
деле, если At открыто, то в силу (2) At = \At cz 1 (J At и, следо-
t€=T
вательно, (J Atcz\ (J At\ обратное включение следует из (i2).
Аналогичное утверждение для замкнутых множеств может быть
доказано сходным образом или же может быть получено
из только что установленного переходом к дополнениям.
Класс В открытых подмножеств множества X называется
базой (или открытой базой) пространства X, если каждое
открытое подмножество множества X является объединением
некоторых множеств из В.
Класс Во открытых подмножеств множества X называется
подбазой пространства X, если кла.сс В, составленный из
пустого множества 0, всего пространства X и всех конечных
пересечений Bid ... П Вп, где fli, ..♦, SneB0, является базой
пространства X. Разумеется, если подбаза В0 содержит 0 и X и
если Bi, Вг^В0 влечет Вх П В2 е В0, то В0 является базой
пространства Аг.
Следующая простая теорема часто используется для
определения операции взятия внутренности I в произвольном
множестве X:
2.1. Для любого класса В0 подмножеств множества X
существует ровно одна операция взятия внутренности \ в X
такая, что Во является подбазой топологического пространства
{*, I}.
Пусть В — класс, составленный из пустого множества О,
всего пространства X и всех конечных пересечений В\ П ... Л Вп,
где Вь ..., Вп е В0. Для каждого множества А а X пусть \А —
объединение всех множеств В ^ В таких, что В с: Л. Свойства
Ог), Оз), (U) следуют непосредственно из определения
операции I. Свойство (ii) следует из того обстоятельства, что Вх П
П В2 е В для Ви В2&В. Заметим, что В является базой
определенного таким образом топологического пространства X,
Поэтому В0 является подбазой пространства X.

22
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. 1
Обратно, если I — операция взятия внутренности в X такая,
что В0 является подбазой для {X, I}, то определенный выше
класс В является базой. Следовательно, открытое множество \А
представляет собой объединение всех множеств В ^ В таких,
что В cz \А. Но множества из В открыты, а для открытого В
включение В с \А имеет место тогда и только тогда, когда
В cz А (см. (3)). Поэтому \А является объединением всех таких
множеств SeB, что б с: Л, т. е. операция взятия
внутренности I совпадает с операцией взятия внутренности, определенной
в первой части доказательства теоремы 2.1. Это ^доказывает
единственность операции I.
Пусть, например, X — множество всех действительных чисел.
В качестве В0 возьмем класс всех интервалов вида а < I < Ь,
включая пустое множество. По 2.1 существует ровно одна
операция взятия внутренности I в X такая, что В0 является
подбазой. Множество всех действительных чисел мы всегда будем
рассматривать как топологическое пространство с именно этой
операцией взятия внутренности I. Заметим, что В0 является
также базой для X. Множество А открыто в X тогда и только
тогда, когда оно является конечным или счетным объединением
открытых интервалов или же когда оно пусто. Заметим, что
счетный класс всех интервалов вида а < g < Ь с
рациональными а и Ъ (включая пустое множество) также является базой
для X.
Пусть X — топологическое пространство. Для произвольных
множеств Л, В с: X в силу (ii) и (2) мы имеем
ЦА[)В)(\1 — Вс:1А,
т. е.
(5) l{A[)B)czlA[}CB.
Следовательно, в силу (2) и (i3)
I (A U В) = II {A U В) cr I (IЛ U СВ).
Заменяя в (5) А и В на СВ и \А соответственно, получаем
\{\А U СВ) с= ICB U С1Л,
следовательно,
(6) 1(ЛиВ)с:С1Ли1СВ.
Подмножество Л топологического пространства X
называется (всюду) плотным, если СЛ = X. Множество Л
называется граничным, если его дополнение —Л плотно, т. е. 1Л — 0.
Множество Л называется нигде не плотным, если его
замыкание СЛ является граничным множеством, т. е. 1СЛ = 0.
Если множество Л плотно и Л cz S, то В также плотно
в силу (2). Следовательно, каждое подмножество граничного

§я
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
23
множества само является граничным. Каждое подмножество
нигде не плотного множества также нигде не плотно. Каждое
нигде не плотное множество является граничным. Замкнутое
множество нигде не плотно тогда и только тогда, когда оно
является граничным множеством.
Л является граничным множеством тогда и только тогда,
когда оно не включает в себя никакого непустого открытого
множества В (т. е. если В — А Ф О для любого открытого
множества В =7^=0). В самом деле, если В открыто и В а Л, то
В = IB cz 1Л; поэтому, если В Ф 0, то \А Ф 0, т. е. А не
является граничным. Обратно, если А не есть граничное
множество, то В = \А является открытым непустым подмножеством
множества А.
Множество А нигде не плотно тогда и только тогда, когда
СЛ не включает в себя никакого непустого открытого
множества, т. е. когда В — СЛ Ф 0 для любого открытого множества
В Ф0.
Например, для любого множества Л множество Л — \А
является граничным. В самом деле, 1(Л—1А)аА — \А в силу
(i2). С другой стороны, l(A — lA)czlA в силу (2). Отсюда
имеем 1(Л — 1Л)= 0.
Так как СЛ — Л = (—Л)—Г(— Л), мы получаем, что для
любого множества Л множество СЛ — Л является граничным.
Отсюда следует, что для любого открытого множества Л
множество СЛ —Л нигде не плотно, так как оно является
замкнутым граничным множеством.
Из (6) непосредственно следует, что объединение граничного
и нигде не плотного множеств является граничным. Отсюда
в силу (ci) получаем, что объединение двух (а следовательно,
и произвольного конечного числа) нигде не плотных множеств
само нигде не плотно.
Множество Л называется множеством первой категории,
если оно является объединением последовательности нигде не
плотных множеств. Объединение последовательности множеств
первой категории само является множеством первой категории.
Каждое подмножество множества первой категории также
является множеством первой категории.
Топологическое пространство X называется компактным,
если для любого множества {At}t^T открытых подмножеств
(где Г— некоторое множество индексов) равенство Х= (J At
t(=T
влечет существование конечного множества Т0 с= Т такого, что
Х= (J Л/. Заменяя открытые множества их дополнениями,
получаем, что топологическое пространство X компактно тогда

24 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ {ГЛ. I
и только тогда, когда для любого множества {Bt}t€BT
замкнутых подмножеств (где Т — некоторое множество индексов)
равенство f] £, = 0 влечет, что f\ Bt = 0 для некоторого конеч-
ного множества Т0аТ (другими словами, если пересечение
любого конечного числа замкнутых подмножеств Bt не пусто,
то и пересечение всех Bt не пусто).
Если Я— компактное пространство, At — открытые
подмножества и В — замкнутое подмножество, то включение В с: (J Af
влечет, что В a (J At для некоторого конечного множества
Г0с=Г. В самом деле, имеем Х = ( — В)[] (J At. Поэтому в силу
компактности J = (—В)\) (J At для некоторого конечного МНО-
жества Т0 cz Г, т. е. В с (J Л*.
Переходя к дополнениям, мы получаем из последнего
замечания, что если X — компактное пространство, At — замкнутые
подмножества и В — открытое подмножество, то включение
Р| At cz В влечет f) Atcz В для некоторого конечного мно-
жества Т0 с= Г.
Топологическое пространство X называется Т^простран-
ством, если для каждой пары различных точек х, у существует
открытое множество, содержащее в точности одну из них.
Топологическое пространство X называется Т\-простран-
ством, если для каждой пары различных точек х, у существует
открытое множество А такое, что х е Л и у ф А.
Топологическое пространство X является Ti-пространством тогда и только
тогда, когда каждое его одноэлементное подмножество замкнуто
(а следовательно, и все конечные подмножества также
замкнуты). В самом деле, если (у) замкнуто, то А = Х — (у)
открыто и х е А, у ф Л. С другой стороны, если для каждого х
(х ф у) имеется открытое множество Ах такое, что хеЛх и
у ф. Ах, то множество (у) = X — (J Ах замкнуто.
х
Топологическое пространство X называется Т2'Пространством
или хаусдорфовым пространством, если для каждой пары
различных точек jc, у существуют два непересекающихся открытых
множества Л, В такие, что х ^ А и у ^ В.
Топологическое пространство называется вполне несвязным,
если для каждой пары различных точек х, у существуют два
^^пересекающихся открытых множества А, В такие, что х е Л,

м
АПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
25
у^ВиА(]В = Х. Множества А и В являются тогда
открытыми и замкнутыми одновременно.
Очевидно, каждое вполне несвязное пространство является
хаусдорфовым и каждое Т^-пространство является Ti-i-npo-
странством (i = 1,2).
Топологическое пространство называется регулярным, если
для каждого открытого множества А и каждой точки яеЛ
существует открытое множество Л0 такое, что хеЛо и
CAoCzA.
Каждое регулярное Ti-пространство является хаусдорфовым.
В самом деле, если х, j/el и х^у, то множество А = X — (у)
открыто и хеЛ. Пусть А\ — такое открытое множество, что
х ^ Ах и CAxcz А. Множество Л2 = X — СЛ, открыто, у ^А2
нА1[)А2 = 0.
Каждое компактное хаусдорфово пространство X регулярно.
В самом деле, пусть А — открытое множество и jcgA Для
любого j/gX-Л существуют такие открытые множества Ау
и Ау, что х^Ау и у^А'у, причем Ад0Ау = 0. Так как
замкнутое множество X —- А содержится в объединении всех
множеств Ау, то существует конечная последовательность
Уь • • •, Ут такая, что X — А а АУх U ... U АУт. Множество
Л0 = Ау П • • • П Аут открыто и содержит х. Так как Л0 является
подмножеством замкнутого множества В=*X — (Л^ U • • • U ^т),
то мы имеем СЛ0 cz СВ = В, т. е. СЛ0 не пересекается
с АУх [} ... U А'ут. Следовательно, СЛ0 П (X — А) = 0, т. е. СЛ0с= А.
Топологическое пространство называется нормальным, если
для каждой пары Вь В2 непересекающихся замкнутых множеств
существуют такие непересекающиеся открытые множества Ль
Л2, что Bi с= А\ и В2 cz Л2.
Каждое нормальное Ti-пространство регулярно. В самом
деле, если А открыто и х е Л, то множества Вх =(jc) и В2 =
= Х — Л замкнуты и не пересекаются. Если Ль Л2 —
непересекающиеся открытые множества такие, что В1сиЛ1 и В2 а Л2,
то а: <= Л! и СЛ1 с: С(Х — Л2)= X — Л2 с: Л.
Каждое компактное хаусдорфово пространство X нормально.
В самом деле, пусть Ви В2 — два непересекающихся замкнутых
множества. Так как X регулярно, то для каждого х ^ Вх
существует открытое множество Ах такое, что х ^ Ах и СЛ* с:
czX — В2. Так как замкнутое множество Вх содержится в
объединении всех множеств АХ7 существует конечная
последовательность х\9 ..., хп такая, что В\ с= AXl U • • • U Ах<п- Открытые
множества Ах = Axl U ... U АХп и Л2 = X — (СЛ^ U ... U СЛ*л)
не пересекаются, и В1с=Л1, В2с:Л2.

26
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЙ
[ГЛ. I
2.2. Если X — компактное хаусдорфово пространство, то
каждое подмножество А первой категории является граничным,
т. е. X — А плотно *).
Достаточно доказать, что для любого открытого множества
В0 Ф 0 существует точка jcgBo — А.
По условию А является объединением последовательности
[Ап} нигде не плотных множеств. Открытое множество В0— СА{
не пусто, т. е. оно содержит точку х\. Пусть В\ — такое
открытое множество, что х\ ^ В{ и CBi cz В0— СЛЬ Открытое
множество Вх — СЛ2 не пусто, т. е. содержит точку х2. Пусть В2 —
такое открытое множество, что х2еб2 и СВ2 cz B\ — СЛ2.
Продолжая описанную выше процедуру, мы определим
такую последовательность непустых открытых множеств {Вп}, что
СВ^В^-СД,.
Так как {СВП} является убывающей последовательностью
непустых замкнутых подмножеств компактного пространства X, то
пересечение всех СВП не пусто, т. е. существует такая точка х%
что х е СВП для п = 1,2,... Следовательно, х ^ А и х е В0,
так как х ^ СВХ а В0.
Два топологических пространства X и У называются гомео-
морфными, если существует взаимно-однозначное отображение
Ф пространства X на У, которое сохраняет операцию I, т. е.
(7) ф(1Л) = 1<р(Л) для любого множества AczX.
Условие (7) эквивалентно следующему:
(7') ф"1(1В) = 1ф"1(В) для любого множества В с: У.
Доказательство этой эквивалентности можно получить
подстановкой А = у~1(В) или В = ф(Л).
Взаимно-однозначное отображение ф пространства X на У,
удовлетворяющее условию (7) или (7'), называется
гомеоморфизмом пространства X на У. Разумеется, в этом случае ф"1
является гомеоморфизмом пространства У на X
Если, например, В и В' являются подбазами в
пространствах X, У соответственно и если ф — взаимно-однозначное
отображение пространства X на У, обладающее свойством:
(8) ф(Л)еВ' тогда и только тогда, когда А^В,
или эквивалентным свойством:
(8') ф""1(В)^В тогда и только тогда, когда В е В',
то ф является гомеоморфизмом.
*) Это — принадлежащая Чеху [1] модификация хорошо известной
теоремы Бэра (см. III, 11.1).

§2]
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
27
С точки, зрения понятий, введенных в этом параграфе, у го-
меоморфных пространств X, У одни и те же свойства. Если,
например, Ф — гомеоморфизм пространства X на У, а Л,
соответственно, открыто, замкнуто, плотно, нигде не плотно, является
множеством первой категории и т. д. в пространстве X, то ф(Л)
таково же в У. Если X компактно, то У такое же. Заметим, что
гомеоморфизм ф сохраняет также операцию С, т. е.
(9) ф (СЛ) = Сф (А) для каждого множества АаХ
и
(90 Ф""1 (СВ) = Сф""1 (В) для каждого множества В а У.
Каждое из условий (9), (9') необходимо и достаточно для
того, чтобы взаимно-однозначное отображение ф пространства
X на У было гомеоморфизмом.
Если топологическое пространство X гомевморфно
топологическому пространству У и У гомеоморфно топологическому
пространству Z, то X гомеоморфно пространству Z. Ибо если ф —
гомеоморфизм пространства X на У и г|э — гомеоморфизм
пространства У на Z, то композиция фф является гомеоморфизмом
пространства X на Z.
Пусть G — подмножество топологического пространства X.
В силу 2.1 класс В0 всех множеств вида
(10) G П А, где А —открытое подмножество множества X,
определяет операцию взятия внутренности в G. Множество G
становится, таким образом, топологическим пространством с Во
в качестве подбазы. Желая указать, что операция взятия
внутренности в G определена описанным образом, мы будем
говорить, 4tonG является топологическим подпространством
топологического пространства X. Из определения легко следует, что
В0 — не только подбаза, в G, но даже совпадает с классом всех
открытых подмножеств топологического пространства G.
Другими словами, множество BcG является открытым в
топологическом пространстве G тогда и только тогда, когда
существует множество АаХ, открытое в X и такое, что В = G Г) А.
Переходя к дополнениям, мы получаем, что множество В a G
замкнуто в G тогда и только тогда, когда существует множество
АаХ, замкнутое в X и такое, что В = G [) А.
Если В является.подбазой (базой) пространства'X, то класс
всех множеств
(И) G()A, где ЛеВ,
является подбазой (базой) топологического пространства G.
Легко проверить, что последнее условие также и достаточно
для того, чтобы G было топологическим подпространством
пространства X.

28
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
Более детальное исследование топологических
подпространств будет проведено в III, § 2.
Следующая теорема будет полезна в VIII, § 23:
2.3. Если топологическое подпространство G хаусдорфова
топологического пространства X компактно, то G замкнуто в X.
Мы желаем показать, что множество X — G открыто в X.
Поэтому достаточно доказать, что для любой точки х е X — G
найдется такое открытое^ в X множество Gx, что х е Gx а X— G
(ибо это влечет, что X — G является объединением открытых
множеств Gx, х е X — G).
Пусть x^X—G. Так как X — хаусдорфово пространство,
то для каждой точки у е G существуют непересекающиеся
открытые множества Ауу Ву такие, что у е Ау и х е Ву. По
определению G является объединением всех множеств G (] Ау
(y^G). Так как множества G f] Ау являются открытыми
подмножествами компактного пространства G, то существует
конечное множество (уи ..., Уп) такое, что
G = (G(]Ayi)[] ...^(ОПЛ^), т.е. G а АУх\) .. .\)АУп.
Множество Gx = ВУх П . • • П Вуп обладает требуемым свойством.
§ 3. Отношения эквивалентности
Бинарное отношение х ~ у, определенное для произвольных
элементов лс, у непустого множества Л, называется отношением
эквивалентности в Л, если оно рефлексивно, симметрично и
транзитивно, т. е. если для произвольных элементов х, у, z^A
(ех) х~х,
(е2) если х~ у, то у~х,
(е3) если х~у и y~z, то х ~z.
Пусть ~ является отношением эквивалентности в Л. Для
каждого х ^ Л пусть |лг| обозначает множество всех j/еЛ
таких, что х ~ у. Множества |х|, где х &Л, будут называться
классами эквивалентности по отношению эквивалентности ~.
Множество классов эквивалентности \х\ (яе=Л) будет
обозначаться посредством Л/~.
Легко убедиться, что классы эквивалентности обладают
следующими свойствами:
(а{) *е=|*|,
(а2) • если хх ~х29 то | хх \ = \ х2|,
(а3) если jcj — лг2 не имеет места, то классы \х} | и | х2\ не
пересекаются.

§ 3] ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 29
Поэтому отношение эквивалентности ~ определяет
разбиение множества А на непересекающиеся непустые подмножества
(а именно на классы эквивалентности по ~) такие, что два
элемента лг, у ^ А принадлежат одному подмножеству тогда и
только тогда, когда х~у.
Как мы видели, при переходе от элементов х, у, ... к
классам эквивалентности \х\, |(/|, ... отношение эквивалентности
превращается в обычное равенство. Этот метод очень часто
применяется в математике й обычно называется отождествлением
эквивалентных элементов. Особенно часто он применяется при
построении некоторых математических понятий, например
в обычном определении целых чисел как пар натуральных
чисел, в определении рациональных чисел как пар целых чисел
и т. д. В первом случае мы рассматриваем множество всех пар
{т, п} натуральных чисел и отношение эквивалентности
{ши п{}~{т2, п2} тогда и только тогда, когда m1+^2 = ^2 + ^r>
целые числа суть классы эквивалентности по ~, и обычно мы
говорим, что целые числа получаются отождествлением
эквивалентных' пар {т, п). Сходным образом, во втором случае мы
рассматриваем множество всех пар {т, п) целых чисел (пфО)
с отношением эквивалентности
{Щ, П\}~{т2, *ц} тогда и только тогда, когда тхП2-== т2п{\
рациональные числа суть классы. эквивалентности по ~, т.е.
они получаются отождествлением пар, эквивалентных в только
что разъясненном смысле.
В этой книге символы ~, «, ~ всегда будут обозначать
отношения эквивалентности. В таком случае символы |лг|, ||х||,
|*| всегда будут обозначать классы эквивалентности по
отношениям эквивалентности ~, «, ~ соответственно.
Отношение эквивалентности ~, определенное на
множестве Л, называется согласованным с отображением f: Am->B,
если для любых элементов ар ..., ат, а', ..., а'т^А условия
(1) ах~а'19 ..., ат*>а'т
влекут
(2) f(e„ .... am) = f(a\ a'm).
Если ~ согласовано с /, то равенство
Ч3> HUil. .... \am\) = f{au ..., ат)
определяет отображение f: (A/~)m-+ В. Это определение
корректно, так как в силу (2) значение правой части в (3) не

30 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. I
зависит от выбора элементов аи ..., ат в классах
эквивалентности |ai|, ..., |aw|. Отображение /' называется отображением,
ассоциированным с f.
В случае, когда В=Л, т.е. / является операцией в Л,
предыдущее замечание обобщается следующим образом.
Отношение эквивалентности ~, определенное на множестве Л,
называется конгруэнцией по отношению к операции f: Am-+Ay если
условия (1) влекут за собой
(4) /(«, aj~f ft,...,<Q.
Если ~ является конгруэнцией в Л по отношению к
операции f: Am-+A, то равенство
(5) П|а,| Iaw|) = |f(a„ .... am)\
определяет операцию f в Л/~. Это определение корректно, так
как в силу (4) значение правой части в (5) не зависит от
выбора элементов аи ..., ат в классах эквивалентности |#i|, ...
..., |am|. Отображение j7: (Л/~)ш-*Л/~ называется тогда
операцией, ассоциированной с операцией f. Часто f
обозначается тем же символом /.
§ 4. Универсальные алгебры *)
Пусть А — непустое множество. Согласно § 1 каждое
отображение о: Ат-+А, т. е. каждое отображение
а = о{аи ..., am), где а, аи ..., ат <== Л,
называется т-местной операцией в А. Число m называется
числом аргументов операции о. Допускается также случай т=0:
под Q-местной операцией о в Л понимается постоянный элемент
о еЛ.
Если гп=1, т.е. если о — унарная операция, то вместо о(а)
мы часто будем писать оа. Если т=2, т.е. если о — бинарная
операция, то вместо о(аи а2) мы часто будем писать а\оа%.
Множество А' с: А называется замкнутым относительно
m-местной ойерации о в Л, если о(аи ..., аш) еЛ' для всех
аи ..., ат €= А'.
Универсальной алгеброй или просто алгеброй мы будем
называть пару
(1) [А, Юфсзф}.
где Л — непустое множество и, при каждом ф ^ Ф, оф является
операцией в Л. Мощность множества Ф может быть произволь-
*) Основные понятия современной алгебры изложены, например, в
книгах Ван дер Вардена [1], Биркгофа и Маклейна [1], Б и р к-
г о ф а [2], [3].

M
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕЁРЫ
31
ной, конечной или бесконечной. В частности, множество Ф
может быть пустым, тогда алгебра (1) —это просто множество А
без операций.
Наиболее частым является тот случай, когда Ф — множество
целых чисел 1, ..., s. Тогда алгебра (1) будет обозначаться
посредством
(2) {Л, оь ..., о8).
Например, любая группа Л может быть интерпретирована
как универсальная алгебра {Л, •} с одной бинарной операцией
., а именно с групповым умножением. Алгебраические кольца
являются универсальными алгебрами {Л, +> •} с двумя
бинарными операциями: сложением + и умножением •. Любое
линейное пространство Л над алгебраическим полем F может
быть интерпретировано как универсальная алгебра (1), где
ф — это множество F с добавленным элементом г|э и
Оф является сложением в Л,
0<р# = фД для любого ф ^ F.
Алгебра (1) называется вырожденной, если Л содержит
только один элемент (назовем его а). Тогда все операции оф
в Л определяются равенством
а = Оц(а, ..., а).
Упрощая терминологию и обозначения, мы не будем
проводить различия между универсальной алгеброй (1) или (2) и
множеством Л ее элементов и часто будем говорить об
универсальной алгебре Л, имея в виду {Л, {оф}феф| или {Л, оь ..., о5}.
Подмножество А' универсальной алгебры Л называется
подалгеброй алгебры Л, если А' замкнуто относительно всех
операций в Л. Каждая подалгебра А' алгебры А будет всегда
рассматриваться как универсальная алгебра с теми же
операциями, суженными на А'.
Заметим, что если А' — подалгебра алгебры Л и о —
0-местная операция в Л, т. е. фиксированный элемент о е Л, то
о^А\
Пересечение любого класса подалгебр алгебры Л также
является подалгеброй алгебры Л. Следовательно, для любого
непустого множества Л0 элементов из Л имеете* наименьшая
подалгебра Л', содержащая Л0 (а именно, Л' является пересечением
всех подалгебр, включающих в себя Л0). Эта наименьшая
подалгебра А' называется подалгеброй, порожденной множеством
Л0, а Л0 — системой образующих для А'. В соответствии с этим
определением мы говорим, что множество Л0 с: Л порождает А
или является системой образующих для Л, если единственной
подалгеброй алгебры Л, содержащей Л0, является сама Л.

32 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. t
Универсальные алгебры [А, {оф}ф6Еф} и
(3) {* К}феф,}
называются однотипными, если Ф' = ф и при любом <реф
операции оф и оф имеют одно и то же число аргументов.
В частности, алгебра {Л, о1? ..., os} однотипна алгебре
(4) {В,о[,...,о^}
тогда и только тогда, когда s=s' и для любого
фиксированного целого числа /=1, ..., s операции о/ и о^ имеют
одинаковое число аргументов.
Например, каждая подалгебра Л' алгебры Л однотипна
алгебре Л.
В однотипных алгебрах соответствующие операции часто
будут обозначаться одинаковыми символами. Если, например,
алгебра (3) однотипна алгебре (1), то мы будем часто
обозначать ее посредством
(5) {В, Н>феф}
вместо (3). Аналогично, если алгебра (4) однотипна алгебре
(2), то мы будем часто обозначать ее посредством
(6) {В, о„ ..., os}
вместо (4).
Отображение h универсальной аЛгебры (1) в однотипную ей
алгебру (5) называется гомоморфизмом, если оно сохраняет
все операции, т. е. если
А (ощ(а{, ..., ат)) — оф (А(ах)9 ..., h(ат)) для аи ..., ат е= Л,
где т — число аргументов операции оф.
Следующие простые утверждения будут часто
использоваться без явного упоминания.
4.1. Если А, В, С — однотипные алгебры и
h: А->В, g: B-*C
суть гомоморфизмы, то композиция
gh: A-+C
также является гомоморфизмом,
4.2. Если h — гомоморфизм алгебры А в однотипную ей
алгебру В, то образ Л (Л) алгебры А является подалгеброй
алгебры В.

§41
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ
33
4.3. Если гомоморфизм ft алгебры А в алгебру В
отображает некоторую систему образующих алгебры А на некоторую
систему образующих алгебры В, то ft отображает А на В.
Несложное доказательство теорем 4.1 и 4.2 предоставляется
читателю.
Чтобы доказать 4.3, заметим, что h(A) является
подалгеброй алгебры В, содержащей систему образующих алгебры В.
В силу определения образующих имеем B=h(A).
4.4. Пусть А0 является системой образующих алгебры А
и пусть hu ft2 — гомоморфизмы алгебры А в однотипную ей
алгебру В. Если
hx (a) = h2 (а) при всех аеД),
то h{ = ft2, T- e-
hx (a) = h2 (а) при всех а&А.
Другими словами:
Если отображение g: A0-+B может быть продолжено до
гомоморфизма ft алгебры А в В, то это продолжение ft един-
ственно.
Чтобы доказать 4.4, заметим, что множество всех аеЛ
таких, что hi(a) =ft2(a), является подалгеброй алгебры А. Так
как эта подалгебра содержит систему образующих А0, то она
совпадает со всей алгеброй А.
Из 4.4 непосредственно следует, что если Ао порождает А
и ft — гомоморфизм алгебры А в себя, то
(7) из h{a) = a для всех а^Ао вытекает h(a) = a
для всех а ^ А.
Если гомоморфизм взаимно-однозначен, то он называется
изоморфизмом*). Если. существует изоморфизм А алгебры А
на однотипную ей алгебру В, то алгебры А и В называются
изоморфными. Обратное отображение ft"1 является тогда
изоморфизмом алгебры В на А. Например, все однотипные
вырожденные алгебры изоморфны.
Из 4.1 следует, что композиция Двух изоморфизмов сама
является изоморфизмом. Поэтому, если алгебра А изоморфна
алгебре В и алгебра В изоморфна алгебре С, то алгебры А и С
изоморфны.
4.5. Пусть f — взаимно-однозначное отображение системы А0
образующих алгебры А на систему В0 образующих однотипной
алгебры В. Если f может быть продолжено до гомоморфизма
*) В нашей литературе то, что автор назвал изоморфизмом, называют
мономорфизмом. Изоморфизмом у нас обычно называется мономорфизм
одной алгебры на другую. — Прим, ред.

34
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
h: A-+B и f~d может быть продолжено до гомоморфизма g: В -> Л,
то ft является изоморфизмом алгебры А на В и hrl=g.
По условию gft(a)=a при всех а&А0, поэтому в силу 4.1
и (7)
gh(а) = а при всех а£ Л.
Аналогично, hg(b)=b для любого b e В0 и, следовательно,
в силу 4.1 и (7)
hg(b) = b при всех b ^ В.
Это доказывает, что Л—взаимно-однозначное отображение
множества Л на В и g=h~K
Пусть SS — какой-нибудь класс однотипных алгебр. Алгебра
Лей называется ^-свободной (или свободной в классе $),
если она содержит такое множество Л0, что Л0 порождает Л и
любое отображение /: Л0—►В, где В — любая алгебра в Ж,
может быть продолжено до гомоморфизма ft: A-+B. Тогда Л0
называется системой ^-свободных образующих для Л.
4.6. Если А и В суть ^-свободные алгебры с системами
R-свободных образующих Л0 и В0 соответственно и множества Л0,
В0 имеют одинаковую мощность, то А и В изоморфны. Точнее,
любое взаимно-однозначное отображение f множества Л0 на В0
может быть продолжено до изоморфизма алгебры А на В.
В самом деле, f может быть продолжено до гомоморфизма
ft: А-+В и f-1 может быть продолжено до гомоморфизма
g: B-+A. В силу 4.5 ft является изоморфизмом алгебры Л на В.
Отношение эквивалентности ~, определенное на
универсальной алгебре Л (см. (1)), называется конгруэнцией, если оно
является конгруэнцией по отношению ко всем операциям в Л,
т. е. если для каждого (реФ и для произвольных элементов
аи ..., От, Ь[, ..., Ьте А условия
ах ~ Ьи ..., ат ~ Ьт
влекут
0<р(вц •••> <*т)~Оц(Ьи ..., Ьт),
где т — число аргументов операции оф.
Если ~ является конгруэнцией в Л> то равенство
(8) ОфОаН, •••> |aml) = K(ai> ••■> a")l
определяет соответствующую операцию оф на множестве А/~
всех классов эквивалентности |а| (аеЛ) в силу (5) § 3.
Поэтому
(9) И/~. Ыф-ф)
также является универсальной алгеброй, однотипной алгебре Л.
Назовем алгебру (9) фактор-алгеброй алгебры Л по ~. Из (8)

§ 4] УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 35
непосредственно следует, что отображение
(10) h(a) = \a\
является гомоморфизмом алгебры Л на Л/~. Гомоморфизм
(Ю) называется естественным гомоморфизмом алгебры А на
Л/~.
Конечно, если в алгебре А имеется только конечное число
операций ц мы используем обозначение (2), а не (1), то
фактор-алгебру мы будем обозначать символом
(11) М/~, ои ..., oj.
Понятие/ конгруэнции в алгебре тесно связано с понятием
гомоморфизма. С одной стороны, как мы видели, каждая
конгруэнция ~ определяет гомоморфизм (10). С другой стороны,
4.7. Если h — гомоморфизм алгебры А на алгебру В, то
отношение
а{ ~ а2 тогда и только тогда, когда h {a{) = h (а2)
определяет конгруэнцию ~ в А. Алгебра В изоморфна тогда
алгебре А/~, а именно, отображение
(12) Ао(|а|) = А(а) (а<=А)
является изоморфизмом алгебры А]~ на В.
Доказательство теоремы 4.7 получается несложной
проверкой.
Следующая теорема показывает, что результат двух
последовательных построений фактор-алгебры может быть получен
непосредственно с помощью единственного построения фактор-
алгебры.
4.8. Пусть ~—конгруэнция, определенная в фактор-алгебре
Л/ ~, и пусть « — отношение в алгебре Л, определяемое еле-
дующим образом:
(13) ах « а2 тогда и только тогда, когда |ail~|a2|.
Отношение « является конгруэнцией в алгебре Л, и равенство
(14) ЫИа||)Н1а|| при а<=А
определяет изоморфизм алгебры А/& на (А/~)/~.
Пусть h — композиция естественных гомоморфизмов
алгебры Л на Л/~ и алгебры А/~ на (Л/~)/~, т.е. А(я) = ||а||.
В силу (13)
а{ « а2 тогда и только тогда» когда h (aj = h (a2).
В силу первой части теоремы 4.7 « является конгруэнцией
в Л. Остальное следует из второй части теоремы 4.7.

36 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. I
4.9. Пусть ~ является конгруэнцией в алгебре А, и пусть
h — гомоморфизм алгебры А в однотипную алгебру В такой, что
если ах~а2, то h(ax) = h(a2).
Тогда формула
h0(\a\) = h(a) (a<=A)
определяет гомоморфизм h0: А/~ -> В.
Теорема 4.9 легко следует из определения гомоморфизма
и из (3) § 3.
Пусть {An}n€EN — множество однотипных алгебр
Прямое произведение
(16) А=Р4
будет всегда рассматриваться как универсальная алгебра
<17> {Л, {оф}феФ}.
однотипная алгебрам (15), при следующем определении
операций оф:
(18) оф({аьп}пеN, ..., {amtn}nGEN) — {Oy(aUn> ..., amfn)}n€EN,
где {<*unlneN, • • •» {ат,Л}ле^ — любые точки из А и m — число
аргументов операции оф. Грубо говоря, чтобы применить
операцию оф к элементам из А, надо применить ее к координатам
этих элементов. Алгебра (17), определенная таким образом,
называется произведением алгебр (15).
4.10. Если А — произведение однотипных алгебр Ап (п е N)
и при каждом /ie N hn,является гомоморфизмом однотипной
этим алгебрам алгебры А! в Ап, то формула
h{a) = {hn(a)}n^N при ае А'
определяет гомоморфизм алгебры А' в А.
Это непосредственно следует из определения гомоморфизма
и из определения операций в А.
В этой книге будет использоваться следующее обобщение
понятия универсальной алгебры.
Пусть А — непустое множество. Под обобщенной операцией
в А мы будем понимать любое отображение вида
(19) О: 2>->А,
где Ф — некоторый класс непустых подмножеств множества А.
Таким образом, каждому множеству S gJ) О сопоставляет не-

§4]
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ
37
который элемент OS в Л. Класс 3) называется областью
определения обобщенной операции О, что согласуется с общей
терминологией, принятой для отображений. Множества SeJ)
называются допустимыми множествами по отношению к
операции О. Важно не забивать, что множества SeS) могут быть
бесконечными. Желая подчеркнуть этот факт, мы будем назьь.
вать О также бесконечной операцией в А (операции,
определенные на стр. 19 и 30, могут быть названы конечными
операциями). Если S е Ф дано в форме проиндексированного
множества {at}tfBT> то мы будем писать
(20) О at
вместо OS.
Под обобщенной универсальной алгеброй мы будем понимать
любую конечную последовательность {А, ои ..., о8, Oit ..., Ог},
где А — непустое множество, ои ..., os—конечные операции
в А и Ои ..., Ог — бесконечные (т.е. обобщенные) операции,
в А. (Требование, чтобы общее число операций было конечным,
не обязательно, но этого достаточно для целей данной книги.)
Если класс всех непустых подмножеств множества А
является общей областью определения для всех обобщенных операций
Оь ..., On то
{А9 о{ oSi 0{ Or)
называется полной обобщенной алгеброй.
Примером полной обобщенной алгебры является интервал А
действительных чисел 0 sg: х ^ 1 с одной бинарной операцией —
умножением и двумя бесконечными операциями sup и inf,
которые сопоставляют каждому множеству S а А числа sup S
(точную верхнюю границу множества S) и inf S (точную нижнюю
границу множества S). Если определить А как множество всех
рациональных чисел этого интервала с теми же операциями, то
эта обобщенная алгебра А уже не полна, так как в область
определения операции sup входят только такие множества
ScA, точная верхняя граница которых рациональна, и
аналогично для inf.
Подмножество А' множества А называется замкнутым
относительно обобщенной операции О в Л, если для каждого
множества S а А'
SeJ) влечет OS<=A'
(здесь Ф—область определения операции О в Л).
Определение подалгебры — такое же, как определение > на
стр. 31. Множество Л'с: Л называется подалгеброй обобщенной
алгебры {Л, ои ..., o8f Ои ..., Ог}, если А' замкнуто
относительно всех конечных и бесконечных операций в Л. Тогда

38
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
{Л', оь ..., os, Oi, ..., Or} — также обобщенная алгебра,
причем операции в А' получаются сужением на А'
соответствующих операций в Л.
Говорят, что множество А0а А порождает обобщенную
алгебру А, если А является наименьшей подалгеброй, содержащей
Л0. Тогда А0 называется системой образующих для Л.
Две обобщенные универсальные алгебры
{л, ор..., о„ ор ,.., ог) и {в, о;,.... о',, о;,..., о;,}
называются однотипными, если алгебры {Л, оь ..., oj и
{В, Ор ..., с£] однотипны (вследствие чего s' = s) и г' = г.
Если В — обобщенная алгебра, однотипная алгебре Л, то
соответствующие операции в В и Л будут обозначаться
одинаковыми символами.
Пусть {Л, ои ..., oSt Ои ..., От} и {В, оь ..., qSy Ou ...
.., Or} — однотипные обобщенные алгебры. Отображение
Н: А-+В называется гомоморфизмом, если h — гомоморфизм
алгебры {Л, Оь ..., os} в {В, ои ..., os} (в смысле определения на
стр. 32) и если h сохраняет все бесконечные операции, т. е.
(21) A(0,S) = 0,A(S) (/=1, ..., г)
для каждого множества S, допустимого для Oi в Л. Тождество
(21) нужно понимать следующим образом: если S допустимо
для 0{ в Л, то h(S) допустимо для Oi в В и имеет место (21).
Легко убедиться, что при этих определениях теоремы 4.1 и
4.4 проходят и для гомоморфизмов обобщенных алгебр.
Для целей этой книги удобно следующим образом обобщить
понятие свободной алгебры. Пусть А0 — система образующих
обобщенной алгебры Д и й — некоторый класс полных алгебр,
однотипных алгебре Л. Мы говорим, что Л является
обобщенной ^-свободной алгеброй (или обобщенной свободной
алгеброй для класса $) и Л0 — системой свободных образующих
алгебры Л, если для каждой алгебры Вей каждое
отображение g: Aq-+B может быть продолжено до гомоморфизма ft:
А-+В (это расширение единственно в силу 4.4).
В этом определении мы не требуем ни чтобы Л была в $,
ни чтобы Л была полной алгеброй. Поэтому теорема 4.6 не
проходит для обобщенных Si-свободных алгебр.
Обобщенная алгебра {А',о'\, ..., o's, Oj, ..., 0'г) называется
расширением однотипной ей обобщенной алгебры {Л, ои ...., oSf
0\, ..., Ог}, если множество Л является подмножеством
множества А' и
а) при любых аи ..-, am ^ A
о/ (аи • • •, amj) = о] (аи ..., amj) (/ = 1, ..., s);

§ 41 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 3d
б) если множество S а А допустимо для Ог-, то оно также
допустимо для O'i и
OiS = OlS (/=1,..., г).
Заметим, что при г=0 алгебра Л' является расширением
алгебры А тогда и только тогда, когда алгебра А является
подалгеброй алгебры Л'.
Каждая обобщенная алгебра {Л, оь ..., о8у Ои ..., Ог}
может быть расширена до полной алгебры {А', Оь ..., o'Si 0\, ...
...,0'г} различными способами. Отметим следующий метод
расширения. Пусть а0 — некоторый фиксированный элемент,
а0 ф Л, и пусть Л' — Л U (а0). Определим операции в Л
следующим образом:
(О/ (аь ..., ат.), если аь ..., ат е Л,
o'/(ai, ..., am)= ч ;/ '
1 [ а0 в противном случае,
(22)
f O^S, если S а А и S допустимо для Ot,
1 \ а0 в противном случае.
Другими словами, результат применения конечной или
бесконечной операции в А' полагаем равным а<>, если только он не был
уже определен в Л.
В соответствии с соглашением об однотипных алгебрах на
стр. 38, если алгебра Л' является расширением алгебры Л, то
соответствующие операции в Л и А! часто будут обозначаться
одинаковыми символами.
Если О — бесконечная операция в множестве Л, ф
—-область определения операции О и Q — подмножество
множества ф, то О |G будет обозначать операцию О, суженную до
множеств SeU. По определению Q является областью
определения для 0|G.
Пусть {Л, 0\, ..*, os, Оь ..., Or] — обобщенная алгебра, и
при /=1, ..., г пусть С* является подмножеством области
определения операции О*. Тогда {Л, оь ..., о8, Oi|Ctb ...
..., 0,-IDr} также является обобщенной алгеброй. Разумеется,
алгебра {Л, оь ..., о8у Ои ..., Ог} является расширением
алгебры {4, оь ..., os, Oi|Ctb ..., Or\&r}.
Понятие произведения универсальных алгебр также можно
обобщить на случай обобщенных алгебр.
Пусть {An}nfBN — некоторое множество однотипных обобщен*
ных алгебр
(23) {Лп, о1э ..., os, 0lf ..., Or).

40 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [f Л. 1
Прямое произведение
(24) А= Р Ап
всегда будет рассматриваться как обобщенная алгебра
(25) {Л, 0l,..., о„ Оь ..., Ог},
однотипная алгебрам (23), при следующем определении
операций.
Если о —одна из конечных операций ои ..., о5, то
(26) о{аь ..., ат) = {о(аип, ..., а^ n)}n<=N
для любых точек ах = {аи n}n€EN, ..., ат = {аШу п}пеN в Л, где
т—-число аргументов операции о (это определение повторяет
определение (18)).
Если О — одна из бесконечных операций Ои ..., Ог и при
каждом az e N Sn является множеством, допустимым для О
в алгебре Лп, то множество
(27) 5= Р S„
/tew
допустимо для операции О в Л и
(28) OS = {OSn}n = N.
По определению, если Dn — область определения операции О
в Лп, то Р £)л (см. стр. 19) является областью определения
операции О в Л= Р Лп.
nsJV
Определенная таким образом обобщенная алгебра (25)
будет называться произведением обобщенных алгебр (23) *).
Заметим, что по определению только множества (27) допустимы
в произведении Л всех Лп.
Так как допустимые множества в обобщенных алгебрах
обычно будут даны в форме проиндексированных множеств,
мы изложим соответствующим образом определения (27) и (28).
Пусть О — одна из бесконечных операций Оь ..., Ог.
Предположим, что при каждом ne N проиндексированное
множество [att n}te=T допустимо для операции О в алгебре Лп.
Пусть
(29) Т= Р ТПУ
и-при каждом ( = {/n}ftSjver пусть
(30) at = {atwn)n
€=#
') См. Сикорский [15].

§ 51 УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 41
Проиндексированное множество
(31) Ыег
определенное таким путем, допустимо для операции О в А, и
(32) О at={ О at Л .
In n JneJV
Заметим, что теорема 4.10 верна и в случае обобщенных
алгебр.
Так как только множества (27) (т.е. множества (31))
допустимы для бесконечных операций в произведении А алгебр Ап,
то алгебра А, вообще говоря, не является полной, даже если
полны все множители Ап. Однако можно ввести другое
произведение обобщенных алгебр, называемое полным
произведением, которое является полной алгеброй, если полны все ее
множители.
Полным произведением алгебр Ап (п е N) называется
алгебра (25) с тем же самым определением (24) множества
элементов и с тем же самым определением (26) конечных
операций, но с другим определением бесконечных операций. Мы
приведем это определение для случая проиндексированных
множеств.
Пусть О — одна из операций Ои ..., Ог и пусть {at}t^T —
проиндексированное множество элементов at = {at> n}n€EN в А.
Мы назовем его допустимым для операции О в полном
произведении тогда и только тогда, когда для каждого п е N
множество {aty n}t^T элементов Ап допустимо для операции О
в алгебре Ап. Тогда по определению
(33) О at=\0 aUn\ .
Заметим, что полное произведение всех Ап является
расширением их произведения.
В этой книге полные произведения не будут играть
существенной роли.
§ 5. Упорядоченные множества
Бинарное отношение ^, определенное на множестве Л,
называется отношением порядка на А*), если оно рефлексивно,
антисимметрично и транзитивно, т. е. для любых х, у, z^A
(Oi) *<X,
(02) если х^у и у^х9 то х — у,
(03) если х^.у и у ^2, то x^iz.
*) Многие авторы пишут «частичный порядок» вместо «порядок» и
«порядок» вместо «линейный порядок».

42
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
Вместо х^.у мы будем также писать у ^ х. Если х ^ у,
то мы говорим, что у больше или равно х> или х меньше или
равно у, или х включено в у.
Например, отношение включения cz является отношением
порядка на множестве всех подмножеств фиксированного
пространства. Другим примером является отношение f ^ g,
определенное на множестве всех действительных функций на
пространстве X следующим естественным образом:
f^g тогда и только тогда, когда f(x)^g(x) при любом
х<=Х.
Непустое множество Л с фиксированным отношением
порядка называется упорядоченным. Точнее: упорядоченное
множество— это пара {Л, <:}, где Л— непустое множество и ^ —
отношение порядка на А.
Заметим, что каждое подмножество упорядоченного
множества само упорядочено тем же самым отношением порядка ^.
Элемент а упорядоченного множества А называется
наибольшим (наименьшим), если х ^ а (х^а) при всех xsi
В каждом упорядоченном множестве А имеется не более одного
наибольшего и не более одного наименьшего элемента. В
самом деле, если а\ и а2 являются наибольшими (наименьшими)
элементами Л, то по определению ах <: а2 и а2 ^ ах и,
следовательно, в силу (о2) а\ = а2.
Элемент а упорядоченного множества Л называется
максимальным (минимальным), если не существует элемента b в Л,
для которого имели бы место одновременно а^Ь (а^Ъ) и
афЪ. Упорядоченное множество может содержать мйого
максимальных и минимальных элементов. Например, если
отношение порядка определяется следующим образом:
(1) х <; у тогда и только тогда, когда х=у,
то каждый элемент является одновременно и максимальным и
минимальным.
Пусть S — непустое множество элементов упорядоченного
множества Л. Элемент а0 называется верхней (нижней)
границей множества S, если а ^ а0 (а^ а0) при всех ceS. Если
множество всех верхних (нижних) границ множества S
содержит наименьший (наибольший) элемент, то он называется
точной верхней (точной нижней) границей множества S и
обозначается посредством sup S (infS). Обычно множество S будет
дано в проиндексированной форме {at}(<_T, где Т Ф 0. Тогда мы
будем писать sup^f inf аЛ вместо supS(inf S).

$sj
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
43
По определению равенство a0 = supat fa0— inf аЛ имеет
t€=T V teT J
место тогда и только тогда, когда выполнены следующие
условия:
а) at<а0 (а0<at) при всех /еГ;
б) если at<Ь (Ь^at) при всех (еГ, то а0<Ъ (Ь <а0).
Пример отношения порядка (1) показывает, что sup а,( inf ал
не всегда существует, даже если Т содержит только два
элемента. Случай, когда каждое двухэлементное подмножество
множества Л имеет точную верхнюю границу и точную нижнюю
границу, особенно важен и будет рассмотрен ниже (§ 6).
Отношение порядка ^, определенное на множестве Л,
называется отношением линейного порядка, если оно
удовлетворяет следующему дополнительному-условию:
(о4) при произвольных х,^/еЛ либо х <: у, либо у ^ х.
Множество Л с фиксированным отношением линейного
порядка называется цепью. Примерами цепи являются множество
действительных чисел или множество ординальных чисел с их
обычным упорядочиванием. В цепи понятия наибольшего
(наименьшего) и максимального (минимального) элементов
совпадают. Каждое подмножество цепи также является цепью с тем
же самым отношением порядка ^.
Следующая теорема будет называться принципом индукции
для упорядоченных множеств *):
5.1. Если каждая цепь элементов упорядоченного
множества А имеет верхнюю границу, то А содержит максимальный
элемент. Точнее, для каждого а0 е А имеется максимальный
элемент а ^ а0.
Определим по индукции следующую возрастающую
трансфинитную последовательность {а^ элементов множества А:
а0 — это элемент, упомянутый в формулировке теоремы;*
если £ — изолированное ординальное число, т.е. g = ri+l,
то Я| — такой элемент, что а\ ^ ап и а\ ф ац;
если g — предельное ординальное число, то а^ является
верхней границей для цепи ац, где ц < g.
На некотором ординальном числе g0 трансфинитная
индукция обрывается5). Тогда я$0 является максимальным
элементом множества Ли ao< ag0.
Бинарное отношение х ^ у, определенное на множестве Л,
называется отношением предпорядка в Л, если выполняются
только условия (oi) и (оз). Множество Л с фиксированным
*) Куратовский [2], Цорн [1]. (Это утверждение известно в
русской литературе под названием леммы Цорна или теоремы Куратовского —
Цорна. Оно эквивалентно аксиоме выбора. — Прим. ред.)

44 предварительные сёедёнйя [гл. i
отношением предпорядка ^ в Л называется предупорядочен-
ним. Точнее: предупорядоченное множество есть пара {Л, ^},
где ^ — отношение предпорядка в Л.
5.2. Пусть ^—отношение предпорядка на множестве А.
Отношение ~, определенное следующим образом:
(2) х ~ у тогда и только тогда, когда х ^ у и у ^ х,
является отношением эквивалентности в Л. Если для любых
х,у^А положить
(3) \х\ <g: \у\ тогда и только тогда, когда х ^ у,
то отношение ^, определенное таким образом, является
отношением порядка на А/~.
Рефлексивность отношения ~ следует из (oi).
Симметричность отношения ~ следует непосредственно из определения
(2). Транзитивность отношения ~ следует из (о3). Поэтому ~
является отношением эквивалентности в Л.
Из (о3) следует, что если х sg у и х ~ хи у ~ уи то Х\^.у\.
Отсюда следует, что определение (3) отношения < в ^/^
является корректным, т.е. для любых а= |х| еЛ/~ и 6 =
= \у\ £Л/^ неравенство a <g Ь не зависит от выбора
представителей х, у в а и Ь. То, что отношение ^ рефлексивно и
транзитивно в Л/~, следует непосредственно из аналогичных
свойств отношения ^ в Л. Если \х\ < \у\ и \у\ ^ |jc|, то
х^уку^хв силу (3). Поэтому в силу (2) имеем х ~ у,
т.е. \х\ = \у\. Это доказывает антисимметричность
отношения < в Л/^. Итак, (3) действительно определяет отношение
порядка ^ на А/~.
§ 6. Решетки*)
Отношение порядка ^ на множестве А называется
отношением решеточного порядка, если для любых a, ieA
элементы
sup (а, Ь) и inf (а, Ь)
существуют. В этом случае упорядоченное множество А
называется решеткой, точная верхняя граница элементов а, Ь е А
обозначается посредством
а[)Ь
и называется объединением элементов а и Ь\ точная нижняя
граница элементов а, 6еЛ обозначается посредством
а(]Ь
и называется пересечением элементов а и Ъ.
*) Теория решеток детально изложена, например, в работах Б и р к г о-
фа [3] и Хермеса [1].

§ 61 РЕШЕТКИ 45
Следующие свойства объединения и пересечения следуют
непосредственно из определений:
(1) а\)а = а, a(]a = at
(2) a<aUfc, af|b<a,
(3) Ь<а11Ь, af|fc<&,
(4) а<сиКс влекут с^а и с^Ь влекут
a\Jb^c, c^af\b,
(5) a^b тогда и только тогда, когда a\Jb = b,
b^.a тогда и только тогда, когда a()b = b,
(6) а<о и К^ влекут аU b<сUdt
а<£ и &<d влекут
аП&^£Последующие свойства объединения и пересечения также легко
вывести из определений:
(10 a\}b = b\}ay а{\Ь = Ь[\а,
(У а\)(Ъ\}с) = {а\}Ь)\)с, а{](Ь[)с) = (а[) Ь)(\с9
Оз) (af|6)Ub = 6, a[)(a\Jb) = a.
Тождества (1) называются законами идемпотентности.
Тождества (Ь) называются законами коммутативности.
Тождества (12) называются законами ассоциативности. Тождества
(1з) называются законами поглощения.
Благодаря законам ассоциативности мы можем записывать
конечные объединения и пересечения
ах[) ... \}ап, аг(] ... (]ап (я=1, 2, ...)
без скобок (при п = 1, конечно, подразумевается, что оба
выражения просто совпадают с ai). Иногда мы будем записывать
эти конечные объединения и пересечения более коротким СПО-
zt п
собом, а именно как (J at и f\at соответственно. По опре-
делению
y}at — ax\i ... Uan = sup(au ..., а„),
п
Г\а1 = ах[\ ... Лart = inf (au ..., an).
*-i
Каждая решетка А всегда будет рассматриваться как
универсальная алгебра {Л, U, Л}. Тождества (Ь), (12), (U) могут
быть использованы как аксиомы, характеризующие U и _(\-
А именно, имеет место следующая теорема:

46 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. I
6.1. Пусть {A, (J, П} является универсальной алгеброй с
двумя бинарными операциями U, П, удовлетворяющими
тождествам (Ь), (12), (Ь). Тогда при всех а, 6еД
(7) а U Ь = b тогда и только тогда, когда а Л Ь = а.
Считая, что а ^Ь тогда и только тогда, когда имеет место
одно иь равенств (7), мы определим отношение порядка на А.
Оно является отношением решеточного порядка, а именно для
всех а, b e А
(8) sup (а, b) = a[)b> inf(a, b) = a(]b.
Если а [) b = b, то а (] b = а в силу второго закона
поглощения. Обратно, если а [)Ь = а, то a(j b = b в силу первого
закона поглощения. Поэтому равенства (7) эквивалентны.
Применяя вторую из аксиом (13), а затем (h) и первую из
аксиом (1з), получаем первое из тождеств (1):
a U а = а [} (а П (а [} Ь)) = а.
Следовательно, а ^ а. Если а < 6 и 6 < а, то а = 6, так как
а = а[}Ь = (а()Ь)[}Ь = Ь
в силу первого закона поглощения. Если а ^ b и b ^ с, то
a ^ с, так как
a = a{]b = a{](b[)c) = {a[}b){\c = af\c
в силу второго закона ассоциативности. Поэтому ^ является
отношением порядка на А.
Из второго закона поглощения непосредственно следует,
что а ^ a U &. Меняя здесь л и b местами, получаем, что Ь ^
^aU6 в силу (li). С другой стороны, если а^с и b sg с,
т. е. aUc = c и й U с = с, то в силу (h), (Ь) и уже
установленного первого тождества (1) мы имеем
\aUb)Vc=*(a[)b)[)(c[)c) = (al)c)[}(b[)c) = cl)c = c9
т.е. a[Jft<c. Это доказывает первое из равенств (8). Заменяя
в этом доказательстве (J, П, ^ на Г), U, ^ соответственно, мы
получим доказательство второго из равенств (8).
В последующем мы будем рассматривать решетки как
универсальные алгебры {А, и, Л}. Заметим, что, заменяя в (li) — (13)
символы U, Л- на П, U соответственно, мы получим аксиомы,
эквивалентные аксиомам (li) — (13). В самом деле, (h) и (12)
не меняются при этой замене, а аксиомы, полученные из (1з),
эквивалентны (13) в силу (h). Поэтому операции U и П играют
симметричные роли. Следовательно, любая теорема,
доказанная для U и П, остается верной, если U и П заменить на Л и U
соответственно. Это обстоятельство называется принципом двои-

§6]
РЕШЕТКИ
47
ственности для решеток. Если U и П заменить в (7) на Л и U
соответственно, то эти равенства станут эквивалентными а ^ Ъ\
Поэтому, применяя принцип двойственности к утверждениям,
касающимся решеточного порядка, ^ нужно везде заменить
на ^, и наоборот. Мы уже однажды применили принцип
двойственности в доказательстве второго из равенств (8)
теоремы 6.1.
Если элементы решетки Л являются подмножествами
пространства X, a U и П совпадают с теоретико-множественными
объединением и пересечением, то А называется решеткой
множеств. Таким образом, решетка множеств — это такой непу-.
стой класс А подмножеств пространства X, что объединение
и" пересечение двух множеств из А также принадлежат А.
Отношение порядка, определенное на решетке множеств с
помощью теоремы 6.1, совпадает с теоретико-множественным
включением с
Любая цепь и любое упорядоченное множество всех
действительных функций пространства X (см. § 5) также являются
примерами решеток.
В соответствии с общим определением подалгебры (см. § 4)
подмножество А' решетки А называется подрешеткой
решетки Л, если оно замкнуто относительно операций U и П, т. е.
если
a[)b e А' и а[\Ъ^А' при любых а, Ь еЛ'.
Каждая подрешетка А' решетки А сама является решеткой,
так как аксиомы (Ь) — (13) выполняются в А'. Отношение
порядка на А' совпадает с отношением порядка на Л.
Например, множество А' всех таких элементов, которые
больше или равны (меньше или равны), чем данный элемент
а^А, является подрешеткой решетки Л.
Гомоморфизм (в смысле § 4) решетки Л в решетку В, т. е.
такое отображение ft множества Л в В, что
h{a[}b) = h(a)[)h(b) и h(af\b) = h(a)f\h{b) при а, Ье*А
будет называться также решеточным гомоморфизмом.
Гомоморфным образом ft (Л) является тогда некоторая решетка,
являющаяся подрешеткой решетки В.
Каждый решеточный гомоморфизм сохраняет отношение
порядка в решетках, т. е.
(9) а<6 влечет h(a)^h(b).
6.2. Для того чтобы взаимно-однозначное отображение h ре-
Щетки А на решетку В была изоморфизмом {в смысле § 4),~

48
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
необходимо и достаточно, чтобы h и /г1 были возрастающими
отображениями, т. е. чтобы
(90 А(а)<А(Ь) тогда и только тогда, когда а<Ъ (а, 6gA).
Это следует из того обстоятельства, что объединение и
пересечение целиком определены отношением порядка на решетке.
В каждой решетке А понятия наибольшего (наименьшего)
элемента и максимального (минимального) элемента
совпадают. В самом деле, a<aUx при любом хеА Если а —
максимальный элемент, то это влечет а = a U х. Так как х ^
<aUx, то мы имеем х <g а при любом ^еД, т. е. а является
наибольшим элементом. С другой стороны, в любом
упорядоченном множестве наибольший элемент является максимальным.
В силу двойственности мы получаем аналогичное утверждение
для минимальных элементов.
Решетка А равным образом может содержать и не
содержать наибольший или наименьший элемент. Простейшие
примеры даются интервалами действительных чисел с концами или
без них. Наибольший (наименьший) элемент решетки Л, если
он существует, будет называться единичным (нулевым)
элементом и обозначаться посредством V (Л) или \/л (Лл) в
необходимых случаях. По определению
(10) x<V и х>Л
и
(11) *UV = V, *f)V=*,
(12) *11Л=х, *ПЛ = Л
при любом х е А. Разумеется, применяя принцип
двойственности к утверждениям, содержащим V или Л, необходимо
повсюду Л заменить на V и наоборот.
Заметим, что, если мы добавим к решетке А новый
элемент V (или Л) и определим операции U и П в применении
к V (к Л) посредством (11) (или (12)), где х е В = A U(V)
(х е В = A U (Л)), то мы получим решетку В, причем V (Л)
будет в ней единичным (нулевым) элементом. Утверждение
остается справедливым, если мы одновременно прибавим к А
элементы V, Л описанным образом.
Пусть {А„}п е N — множество решеток (N— некоторое
множество индексов), рассматриваемых как универсальные
алгебры
{Ап, U, П>.
В силу общего определения, данного в § 4 (стр. 36),
произведение всех Ап является алгеброй
{A, U, Г)},

§ 71 БЕСКОНЕЧНЫЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ И ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 49
где Л= Р Ап и операции U, Л на Л определяются
слепец
дующим образом:
j 3) Мп е N U (&Л в * = К U U„ в N,
{aj„ е jv П {Ьп}п е ^ = {afl П *>„}„ s лг.
6.3. Произведение А решеток Ап является решеткой. Более
того,
(14) {ajnе^<{&„}„е^ тогда м только тогда, когда ап^Ьп
при любом п е N..
Доказательство первой части теоремы 6.3 получается легкой
проверкой того, что аксиомы (Ь) — (Ц) выполняются на А. Оно
основывается на перестановочности { } с U и П.
Проверим, например, первую из аксиом (l^. Мы имеем
{вЛвЛГ U {*л}яваг = &п U МпеАГ = ibn U Ац}леЛГ — (Ы^* U Ы^ЛГ
Чтобы доказать вторую часть, заметим, что {a„}nf=N*^.
<{bn}n<=N тогда и только тогда, когда {ап}пе^U{йл}„e^ —
= {«/гиЬЛё^ = {&Лелг' т- е- Т0ГДа и только тогда, когда
an (J 6Л = 6„ при любом п е N.
§ 7. Бесконечные объединения и пересечения
Обобщая определение объединения и пересечения двух
элементов (и, следовательно, конечного числа элементов), вводим
следующее определение: пусть S — непустое конечное или
бесконечное подмножество решетки А. Если supS существует, то
он называется объединением элементов множества S и
обозначается посредством [JS. Если infS существует, то он
называется пересечением элементов можества S и обозначается
посредством f)S. Обычно множество S будет дано в форме
проиндексированного множества {at}tf-T, T Ф 0. Тогда (вообще
говоря, бесконечные) объединение и пересечение всех
элементов а% будут обозначаться символами
0) (J at и П <н
t<=f fey

50 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. I
соответственно, а иногда — более точными символами
соответственно.
Как правило, мы будем использовать более простое
обозначение (1). Однако иногда необходимо обозначение (Г). Так,
например, иногда мы будем вместе с решеткой Л
рассматривать различные ее подрешетки Л'. Тогда необходимы верхние
индексы А или А' к (J и Q, чтобы отличать объединения и
пересечения в Л от объединений и пересечений в А'
соответственно. Объединения (пересечения) в решетке Лив подрёшетке Л',
вообще говоря, не совпадают. Действительно, если at e А' при
любом <еГ, то объединение [JA а{ (если оно существует)
является точной верхней границей всех at в решетке Л', а
потому верхней границей всех at в решетке Л. Однако оно не
обязано быть точной верхней границей всех а% в Л.
Следовательно, мы имеем
и в силу двойственности
П4>ГТЧ.
если существуют все рассматриваемые бесконечные
объединения и пересечения. Вообще говоря, неравенства ^, ^ не
могут быть здесь заменены на =. Если, например, Л является
решеткой всех действительных чисел, at=t для 0*</< 1 и
Л' — подрешетка, составленная из всех at и числа 2, то [JA at=
-1 и \JA at = 2.
t
Если множество Г содержит только конечное число
элементов tu • • • у *п» то по определению
U at = at [} ... [)atn_ и [) at = atlf] ... [\щп,
и тогда верхний индекс А к символам (J и f] излишен, так
как объединение и пересечение не зависят от выбора
подрешетки.
Следующая теорема описывает основные свойства
бесконечных объединений и пересечений в произвольных решетках:

§ 7) БЕСКОНЕЧНЫЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ И ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 51
7.1. В любой решетке А, если существуют все
рассматриваемые бесконечные объединения и пересечения, то
(2) ato < (J at при любом t0 e T;
t€=T
(3) П а**^а** ПРИ любом /о^Г;
(4) если а* < 6 при любом t^T, то (J at < 6;
(5) вела b^at при любом t еГ, го 6 ^ f) а,;
(6) П^<и^
(7) если а,<bt при любом t^T, то (J а, < (J Ь,;
(8) вела а*^bt при любом /еГ, го f) я* ^ (") 6*.
£ела объединение (J а, существует, то объединение
i<=T
[J (а U а*) также существует и
/s Г
(9) U («Ua,) = aU (J а<-
£сли пересечение '£\ at существует, то пересечение
Г) (а П я*) также существует и
t<=T
(10) П («Па,) = аЛ Л «*•
£сли все рассматриваемые объединения или пересечения
существуют, го*)
do U U a*>t=U 1)"*,?,
(12) П ГК<=П ГК>*>
(13) и гк*<п u<*s,t,
s^S /sf /еГ se5
*) (14) и (15) справедливы также, если предположить только
существование объединений и пересечений, стоящих в левой части. — Прим. ред.

52 ПРЁДВАРМЕЛЬНЫЁ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. 1
(Н) IKUU b*=U foUM
fsl" *€=Г fsr
(15) Пв<П П bt=f)(at(]bt);
t<=T t^T tesT
Об) ГКиГ) Ь*<П мы
te=T te=T t^T
(i7) 11(а<пм<и ««пи 6<-
(2) и (4) — просто другая формулировка определения
бесконечного объединения, а (3) и (5) — другая формулировка
определения бесконечного пересечения; (6) легко следует,
например, из (2) и (3).
Определяя Ь= \J Ьь мы имеем at^.bt^b в силу (2) и,
следовательно, в силу (4) (J at^b. Тем самым (7) доказано.
В силу двойственности, используя (3) и (5), получаем (8).
Пусть Ь = aU (J at. С одной стороны, при любом /еГ
имеем a\]at^b в силу (2) и (6) § 6. Пусть теперь, с другой
стороны, a (J Of ^ с при любом /еГ, Тогда в силу (2) §6а^с.
В силу (3) § 6 а^с при любом /sT. По (4) (J а*^с.
Из (4) § 6 й^с. Из определения бесконечного объединения
вытекает, что (J (a\jat) существует и равно Ъ, что завершает
доказательство утверждения (9). С помощью двойственности
получаем также (10).
Пусть bt = \J aSt t. Так как aSt t < bt в силу (2), то мы по-
лучаем (J aSi t < (J ft* в силу (7). Отсюда, используя (4), имеем
U IK.*<U *<• т-е.
se5/еГ feT
U LK.*<U UQS(
В силу симметрии получаем противоположное неравенство, что
дает (11). С помощью двойственности имеем также (12).
Пусть bt= (J aStt. В силу (8) [) as,,< f) Ь*. В силу (4)
U П а$><^ П **» чт0 Доказывает (13).

£ ft БЕСКОНЕЧНЫЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ И ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 5$
Так как at^at\jbt при любом /еГ, то мы имеем (J а*<
< U (я* U 6*) в силу (7). Имеем также (J 6, < (J (a, U 6*).
Следовательно,
U ««и U ^<и(^иад.
<еГ ^еГ *€=Г
С другой стороны, a*0U&/0^ (J fl*U U *' ПРИ кажД°м *оеГ
в силу (2). Отсюда, используя (4), получаем противоположное
неравенство
UfouftjXiKuUь*
что доказывает (14). Доказательство (15) получаем, используя
двойственность.
Так как а,^atU bt при каждом /еГ, то мы имеем
f) at < f) (a, U bt). Точно так же [) 6, < fl (a, U bt). Отсюда
следует (16). В силу принципа двойственности получаем (17).
Пусть А' — подрешетка решетки А и пусть at e Л' при
каждом /еГ, Если элемент [JAat существует и принадлежит А\
то [JA' at также существует и
(is) (J4=ITV
Аналогично, f] at^A' влечет
(19) ГУЧ=(ТЧ.
Если для каждого проиндексированного множества {at}t€BT
элементов подрешетки А! решетки А существование \JA at вле-
чет {JAat^Ar и существование f]A at влечет fYfy^A',
то Аг называется полной подрешеткой решетки А.
Пусть h — решеточный гомоморфизм решетки А в
решетку В.
Предположим, что at& А при каждом /еГи что
объединение
(20) a=\JAat
teT

54 предварительные сведения [гл. t
существует. Так как at sg а при каждом /gT, to мы имеем
h(at) <g: h(a) для любого /еГ (см. § 6, (9)) и, следовательно,
(21) h{a)>\JBh{at)
при условии, что существует объединение, стоящее в правой
части.
Символ ^, вообще говоря, не может быть заменен на =.
Если
h{a) = {fh{at\
т. е. если
\te=T I tesT
то мы говорим, что гомоморфизм h решетки А в В сохраняет
(бесконечное) объединение (20).
Предположим теперь, что at^T при каждом (еГ и что
пересечение
(22) a=f\Aat
существует. Так как а ^ аг при любом /еГ, то мы имеем
h (a) ^ h(at) для каждого ?еГ (см. § 6, (9)) и, следовательно,
(23) h(a)^f]Bh{at)
t<=T
при условии, что существует пересечение, стоящее в правой
части. Символ ^, вообще говоря, не может быть заменен на
= . Если
h(a)=0Bh(at)9
т. е. если
\t^T I t^T
то мы говорим, что гомоморфизм h решетки А в В сохраняет
(бесконечное) пересечение (22).
Так, например, любой изоморфизм h решетки А на
решетку В сохраняет все бесконечные объединения и пересечения.
Это следует из того обстоятельства, что бесконечные
объединения и пересечения определяются только с помощью отношения
^, a h сохраняет это отношение в обе стороны (см. 6.2). Это
замечание, однако, неприменимо, вообще говоря, к
изоморфизмам одних решеток в другие.

§ 7] БЕСКОНЕЧНЫЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ И ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 55
Нужно подчеркнуть, что в выражениях типа «гомоморфизм
сохраняет объединение (пересечение)» мы всегда должны
указывать, какая решетка считается областью прибытия
гомоморфизма Л. Например, если h — изоморфизм решетки А на
собственную подрешетку В' = Л(А) решетки В, то h как
гомоморфизм решетки А в В' сохраняет все объединения и
пересечения, но h как гомоморфизм решетки А в В, вообще говоря, не
обладает этим свойством. Воспользуемся, для того чтобы
показать это, примером на стр. 50. Пусть В —решетка всех
действительных чисел, пусть at = t для 0 < t < 1, пусть А — под-
решетка из всех at и 2, и пусть h — тождественное
отображение решетки А на себя. Тогда в А 2 является объединением
всех аи h(2)—объединением всех h(at) в В' = h(A) = А, но
h (2) не является объединением всех h(at) в решетке В.
Поэтому h как гомоморфизм решетки А в В не сохраняет
бесконечное объединение 2=(J* af
t
Решетка А называется полной*), если объединение (J S и
пересечение Q S существуют при любом непустом множестве
ScA
Например, решетка всех действительных чисел (с
добавлением ±оо) полна. Решетка рациональных чисел не полна.
Решетка всех подмножеств фиксированного- пространства полна,
и бесконечные объединения и пересечения всегда совпадают
с теоретико-множественными объединениями и пересечениями.
Каждая конечная решетка полна.
Каждая полная решетка имеет единичный и нулевой
элементы, а именно объединение (пересечение) всех элементов
является единичным (нулевым) элементом.
Обратно, если решетка А имеет единичный элемент и
пересечение Р) S' существует для любого непустого подмножества
S' с: А, то А полна. В самом деле, если S — какое-нибудь
непустое подмножество множества А, то пусть S' будет
множеством всех таких 6еЛ, что а ^ Ь при каждом oeS.
Множество S' не пусто, ибо VeS'. Легко видеть, что пересечение
Р| S' является объединением {JS.
Аналогично доказывается, что если решетка А имеет
нулевой элемент и объединение (J;S' существует для любого
непустого множества S' cz А, то А полна.
Легко убедиться, что каждая полная подрешетка полной
решетки является полной решеткой.
*) Биркгоф [1].

56
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
Каждую решетку можно рассматривать как обобщенную
алгебру
(24) {Л, U. n.U'fl}
с двумя бинарными операциями (J и П (объединение и
пересечение) и двумя бесконечными операциями (J и f)
(бесконечные объединение и пересечение). Областью определения
операции (J (Р|) является класс всех множеств S cz Л, для которых
(j5(Qs) существует. Поэтому, если Л — полная решетка, то
(24) является полной алгеброй в смысле § 4 (стр. 37).
Множество Л' с: Л является полной подрешеткой решетки Л тогда
и только тогда, когда {Л', |J,, fh U' Г\] является подалгеброй
алгебры {Л, U , П, U' Г)} в смысле § 4 (стр. 37).
Иногда бывает нужно ограничить область определения
операций (J и f] меньшими классами &i и &2 множеств S с: Л.
Тогда мы пишем
(25) (л, и, n,UIGi.ni4
вместо (24) в соответствии с соглашением в § 4 (стр. 39).
Обычно объединения и пересечения множеств из Q-i и &2
соответственно будут записываться в форме проиндексированных
множеств:
a.-[fa„t (seS').
t^Tfs
(Q) bs= f)AbSit is^s").
Решеточный гомоморфизм h решетки А в решетку В
называется Q-гомоморфизмом решетки Л в В, если он сохраняет все
объединения и пересечения в (Q). Другими словами, h
называется Q-гомоморфизмом решетки Л в В, если он является
гомоморфизмом обобщенной алгебры {Л, U, П, Ul^-ь Г) 1^4
в обобщенную алгебру {В, U , П , U» Г)) в смысле § 4 (стр. 38).
Такая же терминология вводится для изоморфизмов: под
(^-изоморфизмом решетки Л в В будет пониматься -любой
взаимнооднозначный Q-гомоморфизм, т. е. любой изоморфизм,
сохраняющий все объединения и пересечения в (Q).
Как мы доказали в 6.3, произведение {Л, (J, П} множества
решеток {Ап, (J, (!}„<=# является решеткой. Мы покажем
теперь, что

§ 81 ФИЛЬТРЫ И ИДЕАЛЫ S7
7.2. Для любого проиндексированного множества элементов
at = {atf n}n^N из А= Р тАп
(J a* = ( U at,n) э
<26) П (П 1
П ^= П а^|
Агра условии, что существуют стоящие в правой части
объединения и пересечения.
Поэтому, если все Ап — полные решетки, то и А — полная
решетка.
Проверим только первое из тождеств (26). Второе
доказывается с помощью двойственности.
Пусть для краткости bn= (J au n и b = {bn}ni~N. Так как
аи п^Ьп при любом n^N, то мы имеем at^.b при всех t^T
(см. § 6, (14)). С другой стороны, предположим, что при
каждом /gT at^.c для некоторого с — {с„}пе1Г Тогда аи „<crt
при каждом t^T, и, значит, Ьп^сп. Это доказывает, что
Ь^с в силу § 6, (14). Поэтому b является объединением всех at*
7.3. Предположим, что при любом n^N
(27) [Ап, U, n,UIQbn.n|°»-i}
является решеткой с бесконечными объединениями и
пересечениями, ограниченными классами Di, n, &2, п. Решетка
{ р ап, и, п, UI р сц.».П| р &2.Л
является произведением обобщенных алгебр (27) (в смысле § 4,
стр. 40).
Достаточно проверить, что операции, определенные на
произведении всех Ап при помощи § 4, (28), совпадают с
бесконечными объединениями и пересечениями. Это следует
непосредственно из 7.2.
§ 8. Фильтры и идеалы
Непустое множество V элементов решетки А называется
фильтром в А при условии, что для любых a, b e A
(f) а Г) b e V тогда и только тогда, когда aeV и JeV.
Другими словами, непустое множество V элементов решетки
А является фильтром тогда и только тогда, когда выполнены

58 ГгредварИтельныё ^ведений [tti. i
два следующих условия:
(f j) если a, 6gV, to a О b e V;
(f2) вела а<6 и asV, то 6gV.
Условие (f2) можно Заменить следующим:
(f0 если aeV и йеА, го a U й е V.
Понятие, двойственное понятию фильтра, называется
идеалом. Определение идеала получается заменой в определении
фильтра U, П, ^ на П, U, ^ соответственно: непустое
множество А элементов решетки А называется идеалом *) в А при
условии, что для любых а, Ь & А
(i) aUfteA тогда и только тогда, когда a s А и йеД.
Другими словами, непустое множество А элементов
решетки А является идеалом тогда и только тогда, когда
выполнены два следующих условия:
(ij) если а, 5еД, то a (J Ь е А;
(i2) если а^Ь и 6еД, то а е А.
Условие (i2) можно заменить следующим:
(}0 если аеД и 6еЛ, то а Г) 6 ^ А.
Например, сама решетка А является фильтром (идеалом)
в А.
Для любого фиксированного элемента а0 е А множество
всех элементов а ^ а0 (а^.Ло) является фильтром (идеалом),
называемым главным фильтром (идеалом), порожденным
элементом а0.
Если решетка А имеет единичный элемент V (нулевой
элемент Л), то множество, составленное только из одного V (Л),
является фильтром (идеалом), называемым единичным
фильтром (нулевым идеалом). Это — главный фильтр (идеал),
порожденный элементом V (Л).
Если h — гомоморфизм решетки А в решетку Я, содержащую
единичный элемент V (нулевой элемент Л), то множество
Л-1(\/) (множество Л""1 (Л)) является фильтром (идеалом) в А,
если только оно не пусто.
Более общо, если h — гомоморфизм решетки А в решетку В
и V — фильтр (А — идеал) в В, то множество ft-^V) (множе-
*) Стоун [1]. Многие авторы называют фильтры дуальными идеалами.

§8]
ФИЛЬТРЫ И ИДЕАЛЫ
59
ство /г1 (Д)) является фильтром (идеалом) в В, если только оно
не пусто.
Если Л' — подрешетка решетки Л и V — фильтр (А — идеал)
в Л, то общая часть Л' П V (А' П AJl является фильтром
(идеалом) в Л7, если только она не пуста.
Из (f2) (из (i2)) непосредственно следует, что если Л имеет
единичный (нулевой) элемент.V (Л), то VgV(AgA) для
каждого фильтра V (идеала А) в Л.
Легко убедиться, что пересечение любого непустого класса
фильтров (идеалов) в Л является фильтром (идеалом) в Л,
если только оно не пусто. Это заведомо так, если Л имеет
единичный (нулевой) элемент.
Для каждого непустого множества Л0 элементов из Л
существует наименьший фильтр V (наименьший идеал А),
содержащий Л0. А именно, этот фильтр V (идеал А) является
пересечением всех фильтров (идеалов), содержащих Л0. Наименьший
фильтр V (идеал А) называется фильтром (идеалом),
порожденным множеством Л0. Если в Л есть единичный (нулевой)
элемент V (Л), то условие непустоты множества Л0 может
быть опущено: если Л0 пусто, то единичный фильтр (нулевой
идеал) является фильтром (идеалом), порожденным пустым
множеством.
8.1. Фильтр (идеал), порожденный непустым множеством Л0
решетки Л, является множеством всех таких элементов ае Л,
что а ^ ах П ... П ап (а ^а\ [}...[} ап) при некоторых
элементах а\, ..., ац еЛ0.
В самом деле, множество всех элементов а,
удовлетворяющих этому условию, содержится в любом фильтре, который
содержит Л0. С другой Ьтороны, это множество само является
фильтром (ибо оно удовлетворяет (fi) и (f2)) и содержит Л0.
Поэтому оно является наименьшим фильтром, содержащим Л0.
С помощью двойственности мы доказываем утверждение для
идеалов.
8.2. Для любого фиксированного элемента а0 е Л и фильтра
V в Л класс всех таких элементов а, что
а^ Oof) с для некоторого элемента ceV,
является наименьшим фильтром, содержащим а0 и V, т. е.
фильтром, порожденным множеством (а0) [) V.
Это легко вывести из 8.1, используя (fi). Используя
двойственность, получаем соответствующее утверждение для
идеалов.
Если множество Л0 содержит только один элемент я0, то
фильтр (идеал), порожденный множеством Л0, является главным
фильтром (идеалом), порожденным элементом а&. Более общо,

60
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
если Ло состоит из конечного числа элементов аь ..., ап, то
фильтр (идеал), порожденный множеством Л0, является
главным фильтром (идеалом), порожденным элементом а0= а\ П ...
...П а>п (а0 = ai U ...Uan).
Фильтр (идеал) в Л называется собственным, если он
является собственным подмножеством решетки Л. Если Л имеет
нулевой (единичный) элемент Л (V), то фильтр V (идеал А)
является собственным тогда и только тогда, когда Л ^ V
(V Ф А). Это легко следует из (f2) (из (i2)).
Любой непустой класс фильтров (идеалов) в решетке Л
будет рассматриваться как множество, упорядоченное отношением
теоретико-множественного включения. Поэтому под цепью
фильтров мы понимаем такой непустой класс фильтров, что для
любых фильтров Vi, V2 из этого класса либо Vi cz V2, либо
V2 cz Vi. Применяя двойственность, получаем понятие цепи
идеалов.
8.3. Объединение любой цепи фильтров (идеалов) в
решетке А является фильтром (идеалом) в А. Объединение любой
цепи собственных фильтров (идеалов) в решетке Л, имеющей
нулевой (единичный) элемент, является собственным фильтром
(идеалом).
Доказательство первой части утверждения 8.3 получается
несложной проверкой. Если все фильтры цепи собственные, то
они не содержат Л- Следовательно, и их объединение не
содержит Л, т. е. является собственным фильтром.
Используя двойственность, мы доказываем 8.3 для идеалов.
Фильтр (идеал) называется максимальным в Л, если он
собственный и не является собственным подмножеством какого-
нибудь собственного фильтра (идеала). Другими словами,
собственный фильтр (идеал) максимален тогда и только тогда,
когда он является максимальным элементом в упорядоченном
множестве всех собственных фильтров (идеалов) в Л.
8.4. Если решетка А имеет нулевой (единичный) элемент,
то каждый собственный фильтр Vo (идеал Д0) в А содержится
в некотором максимальном фильтре (идеале).
Пусть А — упорядоченное множество всех собственных
фильтров в Л. В силу второй части теоремы 8.3 каждая цепь
элементов из А имеет верхнюю границу в Л. В силу принципа
индукции 5.1 для упорядоченных множеств для каждого данного
фильтра V0 е А существует максимальный элемент V е Л, т, е,
максимальный фильтр в Л такой, что V0 cz V.
Применив двойственность, докажем 8.4 для идеалов.
8.5. Если решетка А имеет нулевой (единичный) элемент Д
(Y), то для каждого элемента аоФЛ (а0 ф V) в А суще-
ствует максимальный фильтр V (максимальный идеал А) в А
такой, что a0eV (aQ е А).

§8]
ФИЛЬТРЫ И ИДЕАЛЫ
61
Теорема 8.5 непосредственно следует из 8.4, где в качестве
Vo (До) нужно взять главный фильтр (идеал), порожденный
элементом а0.
В соответствии с общим определением для универсальных
алгебр (см. § 4, стр. 31) решетка А называется вырожденной,
если она имеет только один элемент (этот элемент является
тогда одновременно и единичным, и нулевым элементом
решетки Л).
8.6. В каждой невырожденной решетке А, имеющей нулевой
(единичный) элемент, существует максимальный фильтр
(идеал).
Это непосредственно следует из 8.5, где а0 — любой
отличный от Л элемент.
Используя двойственность, получаем 8.6 для идеалов.
Фильтр V (идеал А) называется простым, если он
собственный и условие flUfteV влечет, что либо а е V, либо 6eV
(условие аП^еД влечет, что либо agA, либо 6еД).
Если, например, А есть интервал 0 ^ х ^ 1 действительных
чисел, то интервалы 0^х<х0? где 0<х0^1, и интервалы
О ^ х ^ х0, где 0 <; x0 < 1, являются простыми идеалами.
Интервалы х0 < х ^ 1, где 0 ^ х0 < 1, и интервалы х0 ^ х ^ 1,
где 0<^о< 1, являются простыми фильтрами. Интервал 0 ^
^^< 1 является максимальным идеалом, и интервал О <С
< х ^ 1 — максимальным фильтром. В этой решетке не
существует других простых или максимальных идеалов и фильтров.
8.7. Пусть А и V — два непересекающихся множества,
объединение которых образует всю решетку А. Множество А
является простым идейлом тогда и только тогда, когда V является
простым фильтром.
Пусть А — простой идеал. Если а, Ь е V, то а ф А и Ь ф А.
Так как идеал А прост, то элемент а П Ь не принадлежит А,
т. е. а П * е V. Если ieV и О*, то i^A и в силу (i2)
а ф А, т. е. agV. Таким образом, V является фильтром. V —
собственный фильтр, так как А не пусто. Если a U 6 е V, то
a U Ь ф А и в силу (ii) хотя бы один из-элементов а, Ъ не
принадлежит А, т. е. либо aeV, либо 6eV. Это доказывает, что
V — простой фильтр. Используя двойственность, докажем, что
если V — простой фильтр, то А является простым идеалом.
Теорема 8.7 показывает, что существует естественное
взаимно-однозначное соответствие между простыми идеалами и про-,
стыми фильтрами решетки Л. Мы получим это соответствие,
сопоставив^ каждому простому идеалу А его дополнение V =
= — А = А — А до решетки А. В силу 8.7
теоретико-множественное дополнение —А является простым фильтром и каждый
простой фильтр представим в форме —А, где А — некоторый
простой идеал. Практически это означает, что в известном

62 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. I
смысле все равно, говорим ли мы о простых идеалах или о
простых фильтрах. Этот факт будет использован в доказываемой
ниже теореме о представлении (§ 9).
Заметим, что единичный фильтр в решетке А максимален
тогда и только тогда, когда решетка А имеет ровно два
элемента. Единичный фильтр в решетке А, имеющей хотя бы два
элемента, прост тогда и только тогда, когда решетка А
обладает следующим свойством:
(1) если a U Ъ = V, то либо а = V, либо Ь = V.
Конечно, любая двухэлементная решетка обладает свойством
(1), но существуют такие решетки; удовлетворяющие условию
(1), которые содержат более двух элементов (см. пример на
стр. 61).
§ 9. Дистрибутивные решетки
Решетка А называется дистрибутивной, если при любых а,
й, се А
04) a[\(b[}c) = (a(]b)[)(af\c)) а\}{Ъ(\с) = {а\} Ь) f\(a\Jc).
Заметим, что если при любых а, Ь, сеД выполняется один
из этих законов дистрибутивности, то выполняется и другой.
Следовательно, чтобы установить дистрибутивность решетки А,
достаточно показать, что одно из тождеств (14) выполняется
в А.
В самом деле, предположим, что выполняется первая из
аксиом (Ц). Тогда
(a[)b)(](a\]c) = ((aUb)f]a)U((a[)b)nc) =
*=а\)((аГ\с)[)(ЬПс)) = (аи(а()с))1)(ЬГ1с) = а[)(ЬГ1с)
в силу (h), (12), (1з) и первого закона дистрибутивности.
Используя двойственность, получаем доказательство для второй
части нашего замечания.
Цепи, решетки множеств и решетки действительных
функций, определенных на некотором пространстве, являются
примерами дистрибутивных решеток. Решетка, образованная
следующими пятью точками плоскости:
(1) Ро = (-1,6), л = (0,-1), ft = (0,0), Л-(0,1),
Р4 = (1,0),
с операциями, определенными следующим отношением порядка:
(*i> У\) ^ (*2» Уг) тогда и только тогда, когда либо
(*i> У\) = (*2. У^у либо хх < х2,

§ 9} ДИСТРИБУТИВНЫЕ РЕШЕТКИ «63
не дистрибутивна. В самом деле,
и
(Pif\ P2)U(Pi() Рг) = PoU Ро = Ро¥= рх.
Заметим, что решетка А дистрибутивна тогда и только тогда,
когда при любом ао е Л отображение
(2) М*) = воП*
представляет собой гомоморфизм решетки А на подрешетку
всех элементов у ^ Яо и отображение
(3) M*) = aoU*
представляет собой гомоморфизм решетки А на подрешетку
всех элементов у ^ ао.
9.1. В дистрибутивной решетке каждый максимальный
фильтр V (максимальный идеал Д) прост.
Предположим, что V не прост, т. е. существуют элементы
а, Ь такие, что
allfce=V, a^V, fc<£V.
В силу 8.2 множество Vi всех таких х, что
х ^ а П с при некотором ceV,
является фильтром.
Фильтр Vt является собственным, так как b ф Vt. В самом
деле, предположение 6gVi влечет, что Ь^а{\с при
некотором cgV. Так как a\}b ^ V и clJfc^V, то
й=^(аЛ1с)иЬ=(аий)П(^иЬ)еУ,
что противоречит нашим предположениям.
Очевидно, что VcV, и V^V, так как aeVj и a,§£V.
Поэтому фильтр V не максимален.
Используя двойственность, получаем доказательство для
идеалов.
Пример (1) показывает, что теорема 9.1 не проходит без
предположения о дистрибутивности. Множество V, составленное
из точек /?3, /?4, является максимальным фильтром. Но этот
фильтр не прост, так как рх U р2 ^ V и р{ ф V, р2 ф V.
9.2. Для любых элементов a, b дистрибутивной решетки А,
если b ^z а не имеет места, то существует простой фильтр V
(простой идеал Д) такой, что
(4) a<£V и bezV
(такой, что обД и b фД).

64
предварительные сведения
[ГЛ. I
Пусть Л — упорядоченное множество всех таких фильтров V
в Л, что для них имеет место (4). Множество Л не пусто, ибо
оно содержит главный фильтр, порожденный элементом Ь.
В силу первой части теоремы 8.3 любая цепь фильтров из А
имеет верхнюю границу в Л. В силу принципа индукции 5.1
для упорядоченных множеств, в А существует максимальный
элемент Vo. Так как Vo также удовлетворяет (4), то остается
доказать, что фильтр Vo прост.
Предположим, что V0 не прост, т. е. существуют такие
элементы дь а2 е Л, что .
(5) а{ U а2 ^ V0, но ах & V0 и а2ф V0.
Пусть V* — фильтр, порожденный множеством (a/)UV0, /=1, 2.
По крайней мере один из фильтров Vt и V2 не содержит а.
Ибо если а ^ Vt и а е V2, то в силу 8.2 существуют элементы
си c2gV0 такие, что
а^а{С\с{ и а^а2[\с2.
Определяя c — Ci(]c2, мы имеем cgV0h
а^ах[\с, а^а2()с.
Следовательно,
а>(а, Пс)U(а2Пс) = (ахUа2)Пс<= V0.
Это влечет а е V0, что невозможно.
Пусть / — то из чисел 1, 2, при котором а§£\7*. Фильтр Vt
удовлетворяет (4), т. е. V^ e А. По определению V0 с: V/. Так
как a*eVj, но a^V0, то имеем V* Ф V0. Это противоречит
тому, что V0 является максимальным элементом множества Л.
Теорема 9.2 доказана (доказательство для идеалов получается
с помощью двойственности).
Заметим, что каждая подрешетка дистрибутивной решетки
сама дистрибутивна. Если существует гомоморфизм
дистрибутивной решетки Л на решетку В, то В также дистрибутивна.
В частности, каждая решетка, изоморфная решетке множеств,
дистрибутивна.
Обратно, каждая дистрибутивная решетка изоморфна
некоторой решетке множеств *).
Чтобы доказать это, введем следующие обозначения: ^(Л)
будет обозначать множество всех простых фильтров решетки Л,
h(а) — множество всех таких Уе^(Л), что ogV, и Р(А) —
класс всех множеств ft (a) для аеД.
*) Биркгоф [1].

§9]
ДИСТРИБУТИВНЫЕ РЕШЕТКИ
65
9.3. Если А —- дистрибутивная решетка, то Р (А) является
решеткой множеств, a h — изоморфизмом решетки А на
Р(А)*).
Если а, &еЛ, афЬ, то не выполняется хотя бы одно из
неравенств а ^6, Ь ^ а. В силу теоремы 9.2 тогда существует
простой фильтр, принадлежащий ровно одному из множеств
Л (a), h(b). Поэтому Н(а)Ф h(b), т. е. h является
взаимно-однозначным отображением.
Достаточно доказать, что
(6) h(a[)b) = h(a)[}h(b)9
(7) h(a[\b)^h(a)(]h(b)
для а, 6еА, где символы U, П в правых частях равенств (6)
и (7) обозначают теоретико-множественное объединение и
пересечение соответственно.
Если Vеh{aUЬ), т. е. а[)b eV, то либо asV, либо 6eV,
так как V — простой фильтр. Следовательно, либо VsA(a),
либо VeA(6), что доказывает V^h{a^\Jh(b). Обратно, если
VG/i(a)UA(H т. е. либо ugV, либо (>gV, to в силу (f£)
alJbeV, т. е. VG/i(a[Ji). Этим доказано (6).
Если V е Л (а Г) Ь), т. е. а П 6 ^ V, то в силу (f) a € V и й^У,
т. е. y^h(a)f]h(b). Обратно, если V'e й(а)ПМЬ). т. е. aeV
и 6gV, то а П Ь ^ V в силу (f), т. е. VgA (a f| &)• Этим
доказано (7).
В последующем Л, !?(А) и Р(Л) будут называться стоунов-
ским изоморфизмом, стоуровским пространством и стоуновской
решеткой решетки А.
Мы будем рассматривать стоуновское пространство &(А)
как топологическое пространство, считая, что класс Р(А)
является подбазой (см. 2.1).
9.4. Стоуновское пространство &>(А) любой дистрибутивной
решетки А является Т^-пространством. Если в А есть
единичный элемент V, то &{А) компактно*).
Если V,, V2e^(A) и Vj Ф V2, то существует элемент
аеД, принадлежащий ровно одному из множеств Vi и Уг.
Пусть, например, aeVj и а ф S/* Тогда Vi eft(a) и V2^ ft (я),
т. е. h{a) является открытым множеством, содержащим ровно
одну из точек Vi, V2 пространства #*(Л). Поэтому &(А)
является То-пространством.
Предположим, что в А существует единичный элемент [V
и &*(А) является объединением некоторого семейства открытых
множеств Gu t&T. По определению топологии в &>(А) каждое
множество Gt является объединением некоторых множеств
*) Стоун [4].

бб ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. I
h(au), где и пробегает множество индексов Ut. Следовательно,
!?(А) является объединением всех множеств к(аи)> где и уже
пробегает множество индексов U = (J Ut. Достаточно
покажет
зать, что
P(A) = h(aUl)[) ... Uh(aUm)
при некоторых щ (/mG(/, так как это равенство влечет
9(A) = Gtl\} ... UG,w, где ujsUtj для /=l,...,m.
Предположим противное, т. е. что при всех щ «mG(/
h(aUl\) ... Ua«J = /lK)U ••• Uh(aUm)¥=^(A) = h(V).
Следовательно,
flujU ... ^аитФ V при ии ...у ume=:U,
т. е. (см. 8.1) идеал Д0, порожденный всеми au (u^U), не
содержит единичного элемента V. В силу 8.4 собственный
идеал До содержится в максимальном идеале А, который
является простым в силу 9.1. В силу 8.7 множество V всех таких
аеА, что а ф: А, является простым фильтром в Д т. е. Vg
е#>(Л). По определению аи ф V, т. е. V^h(au) при любых
и^и. Но это невозможно, так как &*(А) является
объединением всех множеств h(au), и е U.
Заметим, что, в силу принципа двойственности и
взаимнооднозначного соответствия между простыми идеалами и
простыми фильтрами (см. § 8), теоремы'9.3 и 9.4 остаются
справедливыми, если в качестве 3*{А) берется множество простых
идеалов решетки Л, h (а) определяется как множество всех
простых идеалов А таких, что а ф А, и Р(А)У как и раньше,
является классом всех множеств Л (а).
9.5. Мощность множества 9>{А) не превосходит 2т, где
т — мощность множества А.
2т является мощностью множества всех подмножеств
множества А. Поскольку каждый простой фильтр является
подмножеством множества Л, то мощность множества всех простых
фильтров не превосходит 2т.
§ 10. Дополнение и псевдодополнение
Из § 9 следует, что понятия (конечных) объединения и
пересечения в любой решетке А являются абстрактными
аналогами понятий объединения и пересечения подмножеств
фиксированного пространства X. Если в решетке А есть единичный
или нулевой элемент, то они являются абстрактными аналогами

§ 10] ДОПОЛНЕНИЕ И ПСЕВДОДОПОЛНЕНИЕ 67
всего пространства и пустого множества соответственно (см.
§6, (10) —(12)).
Теоретико-множественное дополнение —А подмножества А
в пространстве X может быть определено или как наибольшее
подмножество пространства X, не пересекающееся с А, или как
наименьшее подмножество пространства X, дающее в
объединении с А все пространство X. Каждое из этих замечаний
подсказывает определение дополнения элементов в решетках. Но,
к сожалению, эти два определения, вообще говоря, не
эквивалентны. Поэтому мы должны определить два понятия
дополнения элемента а в решетке А.
Предположим, что в решетке А имеется нулевой элемент Л.
Элемент с^А называется [)-дополнением^элемента а в А, если
с — наибольший элемент со свойством а 0 с = Л (т. е. если
с — наибольший элемент в множестве таких лг, что а П х = Л).
Предположим, что в решетке А имеется единичный
элемент V. Элемент сеЛ называется {j-дополнением элемента а
в А, если с — наименьший элемент со свойством a U с = Vj
(т. е. с — наименьший элемент в множестве таких лс, что
aUx = V).
Из определения следует, что П -дополнение (U-дополнение)
элемента а, если оно существует, определено однозначно.
Понятия П -дополнения и U-дополнения двойственны друг другу.
Если элемент аеЛ одновременно имеет П-дополнение с\
и U-Дополнение с2, то они, вообще говоря, не равны. Если
решетка А дистрибутивна, то
так как*
*i = eifl V =c{(]{a[)c2) = (c{(]a)[)(cif]c2) =
= A U (с{ П с2) = сх Г) с2.
Элемент сеЛ называется дополнением элемента а^А,
если он,одновременно является Одополнением и U-дополнением
элемента а. В этом случае
(1) аГк=Л и а\)с=у.
Обратно,
10.1. Если решетка А дистрибутивна и имеет место (1), то
с является дополнением элемента а.
В самом деле, предположим, что а П х = Л. Тогда
x = x()(a\Jc) = (xf\a)\J(x{)c) = x[)c,
т. е. х ^ с. Это доказывает, что с является П -дополнением
элемента а. Аналогично, если a U х = V, то
х = х U (а П с) = (х U а) П {х U с) = хЦ с%

68 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. I
т. е. х^ с. Это доказывает, что с является U-дополнением
элемента а. Поэтому с есть дополнение элемента а.
В этой книге будут играть существенную роль только
понятия дополнения и П -дополнения. Поэтому мы только для них
введем специальные обозначения. П -дополнение (в частности,
дополнение) элемента а в решетке А, если оно существует,
будет обозначаться посредством
— а.
Мы будем всегда считать, что символ «—» связывает сильнее,
чем «О» и «Л», т. е. выражения вроде
— all — &, — a(]b
должны пониматься как
(-a) U (-*), (-а)(]Ь
соответственно и т. д.
Л -дополнение —а будет также называться
псевдодополнением элемента а в А.
По определению
(2) х <; — а тогда и только тогда, когда а Л х = Л.
В частности,
(3) аГ)-а=Л.
В каждой решетке с единичным элементом V и нулевым
элементом Л каждый из них является дополнением другого,
символически:
(4) V=-A, A=-V.
Если элементы a, b имеют псевдодополнения — а, — 6, то
(5) а ^ Ь влечет — Ъ ^ — а,
таккакаП—ft=(afl6)n—b=an(bn— b) = af\ Л = Л.
10.2. Предположим, что решетка дистрибутивна. Если эле-
менты а, Ь имеют дополнения —а, —й, то
(6) а ^ Ь тогда и только тогда, когда — Ъ ^ — а.
Если элемент а имеет дополнение — а, то —а также имеет
дополнение и
(7) а = а,
т. е. а является дополнением элемента —а. Если а, Ь имеют
дополнения, то элементы а[) Ь и а [} b также имеют
дополнения, причем
(8) -(аиЬ) = -аП-&, — (а П 6) = — a U — 6.

§ И] ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПСЕВДОДОПОЛНЕНИЕ. РАЗНОСТЬ 69
Если —а есть дополнение элемента а, то
а[) — а—Л и а (J — a=V,
т. е.
— а{)а=А и — al)a=V*
В силу 10.1 и (1) (с заменой а на —а) отсюда следует, что а
является дополнением элемента —а. Это доказывает (7).
Одна часть эквивалентности (6) содержится в (5). Если
— Ь ^ — а, то в силу (7) и (5) а = а ^ b = b.
Поэтому (6) выполняется.
Так как
(аи&)П(-аП-6) = (аП-аП-&)и(6П-аП-6)=ЛЛЛ=Л
и
(aUft)U(--an-6)-(aU6U-a)n(aU6U-6)-VnV = V,
то мы выводим в силу 10.1 и (1) (с заменой а на all&), что
имеет место первое из тождеств (8). Применив двойственность,
получаем второе.
§11. Относительное псевдодополнение. Разность
Полезно следующим образом обобщить понятия дополнения
и псевдодополнения.
Пусть а, Ь — элементы решетки А. Элемент сеА
называется псевдодополнением элемента а относительно Ь (или по
модулю 6), если с — наибольший элемент со свойством af|c<
sg b. Псевдодополнение элемента а относительно й, если оно
существует, обозначается символом
а^ФЬ.
По определению при каждом х е А
(1) х < az$ b тогда и только тогда, когда а Г) х ^ Ь.
Эта эквивалентность, которую можно рассматривать как другое
определение элемента а =ф 6, будет основой для исследования
относительного псевдодополнения.
Так как а П Ь ^ 6, то мы выводим из (1), что
(2) 6<а#6,
если только а гф й существует.
Элемент a^fc не всегда существует. Например, az^a
существует тогда и только тогда, когда в решетке А имеется
единичный элемент V. В этом случае
(3) a=#a=V.

70 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. I
Если в А есть единичный элемент V, то
(4) а<6 тогда и только тогда, когда a=#&=^V
и
(5) у =»* = &.
Если А имеет нулевой элемент Л, то
(6) -А = а=ФЛ.
Это равенство нужно понимать следующим образом: если
существует элемент, стоящий справа или слева, то существует и
другой, причем они равны. Поэтому относительное
псевдодополнение можно рассматривать как обобщение понятия
псевдодополнения, введенного в § 10.
Существование относительного псевдодополнения имеет
довольно сильные следствия. Две следующие теоремы показывают,
что оно влечет некоторые свойства дистрибутивного характера.
11.1. Если существует а=ф ((а (] b) \J(a П с)), то
а(](Ь[]с) = (а(]Ь)[}(а(]с).
Для краткости положим d = (а П Ь) [)(а П с). Так как a pi
Ob^dnaftc^id, то в силу (1) имеем
b^a=$d и c<a4d.
Следовательно, Ь U с <^ а=ф d, что в силу (1) влечет
а П (& U *)<<*•
С другой стороны, af)b^af){b\Jc) иаГ\с^а(](Ь1)с).
Поэтому
d<af](fclk),
что доказывает 11.1.
Сходным образом мы можем доказать следующий
бесконечный аналог теоремы 11.1:
11.2. Если объединение (J at существует и если а-=$с су-
ществует при каждом сеЛ, то существует также бесконечное
объединение (J {a fl at) и
afl (J at= U («Па*).
Для краткости положим b= (J at. Мы имеем
*€=Г
аП^<аП& при любом /еГ.

§ И) ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПСЕВДОДОПОЛНЕНИЕ. РАЗНОСТЬ 71
С другой стороны, если
йП<Н^с при любом /еГ,
то в силу (1)
at <; а:ф с при любом <еГ,
и, следовательно, b ^ а=ф с, т. е. в силу (1)
af\b^c.
Это доказывает, что а Л Ь = (J (а Л в*).
Из (2) следует, что определение псевдодополнения az^b
элемента а относительно b можно сформулировать следующим
образом: это наибольший из таких элементов с^ а [) Ь9 что
а Л с = а Л Ь.
Предположим, что рассматриваемая решетка А имеет
единичный элемент V. Мы будем говорить, что а=фй является
дополнением элемента а относительно b (или по модулю Ь), если
azbb — это наименьший элемент с ^ а Л b со свойством
а[)с = V.
Чтобы оправдать введенный термин, введем следующее
обозначение. Для каждого элемента §еЛ символ А# будет
обозначать подрешетку всех элементов х ^ g (т. е. порожденный
элементом g главный фильтр). В решетке А? имеется нулевой
элемент, а именно g. Цели в А есть единичный элемент Л, то
он же является единичным элементом решетки А#.
11.3. Элемент с является псевдодополнением элемента а
относительно b тогда и только тогда, когда с — псевдодополнение
элемента а в решетке Aai]b. Элемент с является дополнением
элемента а относительно b тогда и только тогда, когда с
является дополнением элемента а в решетке Аа{]Ь.
Это непосредственно следует из определения относительных
псевдодополнения и дополнения.
Заметим, что если а ^ й, то с является псевдодополнением
(дополнением) элемента а относительно b тогда и только тогда,
когда с является псевдодополнением (дополнением) элемента а
в А*.
11.4. Если элемент а дистрибутивной решетки А имеет
дополнение — а, то при любом Ь е А дополнение a zf> b элемента а
относительно b существует, причем
(7) a=$b = -a\}b.
В силу 11.3 достаточно доказать, что элемент — а[)Ь
является дополнением элемента а в решетке Aaf]b, т. е. (см, 10.1),
что
я Л (— a\Jb) = a()b и a U (— а[)Ь) = \/.

72 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. I
Доказательство этих равенств получается простым вычислен
нием.
Мы определим теперь понятия, двойственные понятиям
относительного псевдодополнения и относительного дополнения. Они
называются псевдоразностью и разностью соответственно.
Элемент с называется псевдоразностью элементов Ъ и а,
если он является наименьшим элементом со свойством а[) с ^
^ Ь. Псевдоразность элементов Ь и а, если она существует,
обозначается символом
Ь — а.
По определению при каждом х е А
(V) х ^ Ь — а в том и только в том случае, если а\] х ^ Ь.
Так как a U b ^ Ь, то мы получаем из (Г), что
(20 Ъ > Ъ - а,
если только 6 — а существует.
Элемент Ь—а существует не всегда. Например, а — а
существует тогда и только тогда, когда решетка А имеет нулевой
элемент Л. В этом случае
(30 а-а=Л.
Если А имеет нулевой элемент Л, то
(40 а ]> Ь тогда и только тогда, когда Ь — а = Л
и
(50 Ь- Л=Ь.
Если А имеет единичный элемент V, то
(60 V—а является U-дополнением элемента а.
Из (20 следует, что определение псевдоразности Ь — а
может быть сформулировано следующим образом: это
наименьший элемент с^аиб со свойством a U с = а \] Ь.
Предположим, что в решетке А имеется нулевой элемент Л.
Мы скажем, что Ь — а является разностью элементов Ь и а,
если Ь — а является наибольшим элементом среди таких с, что
c^a\Jbna[)c = A.
Чтобы разъяснить эти понятия, введем следующие
обозначения. Для каждого элемента §еЛ символ Ag будет обозначать
подрешетку всех элементов х ^ g (т. е. порожденный
элементом g главный идеал). Решетка Ag имеет единичный элемент,
а именно g. Если в А есть нулевой элемент Л, то он является
также нулевым элементом решетки Ag.
Элемент с является псевдоразаостью элементов Ь и а тогда
и только тогда, когда с является (J-дополнением элемента а
в решетке Аа\)ь* Элемент с является разностью элементов Ь и а

§ 12] ИМПЛИКАТИВНЫЕ РЕШЕТКИ. ПСЕВДОБУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 73
тогда и только тогда, когда с является дополнением элемента а
в решетке Aa\jb-
Если а <; й, то с является псевдоразностью (разностью)
элементов ft и а в том и только в том случае, когда с является
U-дополнением (дополнением) элемента а в решетке А&.
Если элемент а дистрибутивной решетки А имеет
дополнение — а, то разность Ъ — а существует и
(70 й-а = ЬП-а.
Доказательство всех вышеприведенных утверждений для
b —■ а может быть получено из доказательств соответствующих
утверждений для a zf> b с помощью двойственности.
Из всех этих замечаний следует, что Ъ — а является
теоретико-решеточной заменой понятия разности множеств. Это
объясняет выбор названия для b — а. Операция az=>b не имеет
аналога в теории множеств6). С точки зрения приложений
к математической логике операция az$b гораздо важнее, чем
b — а. Поэтому два следующих параграфа будут всецело цосвя-
щены исследованию решеток, в которых операция а=ф b всегда
выполнима. Конечно, применяя принцип двойственности, мы
всегда сможем провести аналогичное исследование решеток,
в которых b — а всегда выполнимо. Это здесь не делается, так
как подобные решетки не играют существенной роли в этой
книге.
Если исключить выражения вида а — b (изредка
используемые в этой книге), то символ «—» (понимаемый как теоретико-
решеточная операция) будет всегда обозначать определенное
в § 10 псевдодополнение и, в частности, дополнение в. решетках.
Так же, как и в случае U и П, мы всегда предполагаем, что
символ «—» связывает сильнее* чем =ф, т. е. выражения вида
— az^b нужно понимать как (—- a)zf> b и т. д.
§ 12. Импликативные решетки. Псевдобулевы алгебры
Решетка А называется импликативной *), если az=>b
существует для всех элементов a, JgA, В силу § 11, (3) каждая
импликативная решетка имеет единичный элемент. Однако она,
вообще говоря, не имеет нулевого элемента. Каждая
импликативная решетка с нулевым элементом называется псевдобулевой
алгеброй**).
Напомним основное свойство операции z^ в импликативной
решетке (см. § 11, (1)).
(1) с^а^б тогда и только тогда, когда а П с ^ Ь.
*) См. Б иркгоф [З]7).
**) Двойственные решетки, называемые брауэровыми алгебрами,
изучаются, например, уМак-Кинси и Тарского [2].

74 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. I
Если А — псевдобулева алгебра, то —а существует для
каждого оеДа именно (см. § 11, (6)):
(2) — а = а=$А.
Очевидно, каждая импликативная решетка может
рассматриваться как алгебра
{A, U, Л,=М
с тремя бинарными операциями. Аналогично, каждая
псевдобулева алгебра А может рассматриваться как алгебра
{Л, U, Л,=Ф,-}
с тремя бинарными операциями (J, П, =ф и одной унарной
операцией —.
В качестве примера псевдобулевой алгебры мы приведем
здесь решетку ®(Х) всех открытых подмножеств
топологического пространства X. Для любых подмножеств Л, В, С
множества X включение А [) С а В имеет место тогда и только тогда,
когда С а(Х — А)[) В (X — А является здесь
теоретико-множественным дополнением множества Л). Если С открыто, то
это включение эквивалентно включению С с: I ((X — Л) U В)
(см. § 2, (3), стр. 20). Поэтому при любых Л, Bs®(X)
множество С = 1((Х — Л)U В) является наибольшим открытым
множеством со свойством Л П С с б, т. е.
(3) А=ФВ = Ц(Х-А)[)В).
Класс ®0(Х) всех открытых плотных подмножеств
топологического пространства X является примером имплйкативной
решетки. Исключая некоторые тривиальные случаи, в ®о(Х) нет
нулевого элемента. В главе IV, §§ 3, 9 8) мы увидим, что эти
примеры типичны для импликативных решеток.
12.1. Каждая импликативная решетка является
дистрибутивной.
Это непосредственно следует из 11.1 (см. также замечание
в начале § 9, стр. 100).
Мы соберем основные свойства *) операций =ф и — в
импликативных решетках и псевдобулевых алгебрах в следующие
теоремы 12.2 и 12.3:
12.2. В любой имплйкативной решетке
(4) a#£>=V тогда и только тогда, когда,а ^6,
(5) # = Ь тогда и только тогда, когда а=Фй=\/=6=фа,
(6) a#a=V,
(7) a#V = V,
*) Большая часть нх будет использована только в VII, § 3 и IX, § 4.

§ 12] ИМПЛИКАТИВНЫЕ РЕШЕТКИ. ПСЕВДОБУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 75
(8) y^b = by
(9) (а#а)П& = &,
(10) аЙ(а#6)<6,
(11) если ах^.а2, то a2^b^a{^bf
(12) если fti<ft2> T0 а=Ф&1<а=#62>
(13) b^a=£b,
(14) а Г) (а#6) = аП&,
(15) (a^b)(]b = b9
(16) (а#&)П(а=#с) = а=М&П<0,
(17) (а#с)П(*#*) = (аи*)#*.
(18) а^>(Ь^с) = (аГ\Ь)^с = Ь^(афс),
(19) с=фа<(с#(а=ф6))#(£г=ф6),
(20) (а#&)Г)(&=#с)<а=фс,
(21) (a#6)<(ft#c)=#(a#c),
(22) a<ft#(aflft),
(23) а4(Нс)<(аф6)4(а#с),
(24) с П {(с(]а)^(сГ)Ь)) = сГ\(а^Ь).
(4), (6), (8) доказаны в § И, (4), (3), (5).
(5) следует из (4).
(7) следует из (4).
(9) является переформулировкой (6).
(10) следует из (1) при с = а^6.
(И) и (12) можно вывести из определения операции =# либо
непосредственно, либо следующим образом. В силу (10)
a>2f\(a2:=$b)<^b. Если ai<^a2, то ах 0(а2=$Ь)^Ь, т. е. a2=#ft<
<aj=#& в силу (1). Далее, в силу (10) af)(a=#&iX&i- Если
&!<62> то a(]{a^b{)^b2t т. е. a=#ftj<a=#ft2 в СИЛУ (*)•
(13) следует из (1).
(14) следует из (10) и (13).
(15) следует из (13).
Доказательство (16). В силу (12) a#(Jflc)<a#J и
а=#(&Г)е)<я=ф£. Отсюда я=Ф(&П<0<^, где rf = (а =ф 6) П
П (я # с). Так как d < а # b и d < а # с, то мы имеем a f] d<6
и аПd<с в силу (1). Отсюда af)d<^b(]c, т. е. d<a =#{bf]О-
Это доказывает, что d = a=#(6f|c)«

76 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. I
Доказательство (17). В силу (11) (all ft)#c<a=#>c
и (aUft)#e<ft=£c. Отсюда (a[)b)=$c^d, где d = (a=#c)f]
1Ш=фс). С другой стороны, в силу 12Л и (14) имеем
(a\jb)nd = (a(]d)[}(b(]d) = (a(]c(](b^c))[)((a^c)[\b[]c)K:c.
Отсюда в силу (1) d^{a[}b)=$c, что завершает доказательство
равенства d = (a[)b)=^c.
Доказательство (18). Для любого элемента х каждое
из ниженаписанных неравенств в силу (1) эквивалентно
следующему:
*<а=Ф(й=фс), afl*<&#£i {a(]b)(]x^c9 x^(af\b)^c.
Из эквивалентности первого и последнего неравенств
следует (18).
Доказательство (19). Так как с=ф(аП&)<с=фй
в силу (12), то, используя (14), имеем c=^(af|(a#&)Xc=#&>
и, следовательно,
в силу (16). Из этого следует (19).
(20) имеет место в силу (1), так как ((а#&)П(&#с))Паваа
= af\bn(b=$c) = aObf\c^:C (здесь применено (14)).
(21) следует из (20) и (1).
Доказательство (22). bf\a^.a(]b. Отсюда в силу (1)
а<&#(аП&).
Доказательство (23). Так как а[]{афЬ) f| (a # (6 # с)}»
*=а()Ь()(Ьфс) = аС\Ь()с^с в силу (14), то по (1) имеем
(а=»&)П(а#(&#0)<в#*, т. е. a=#>(ft#(7)<(a=#ft)=#>(a=^c).
Доказательство (24). По (16), (4) и (11) имеем
(с(]а)^(с(]Ь) = ((с[]а)^с)(]((сГ{а)^>Ь) = {с(]а)^Ь>а^Ь7
откуда следует, что
c(]({c(]a))^(c(]b))^c(](a^b).
С другой стороны, в силу (14)
а[)с(){(сГ)а)Ф(с()Ь)) = {с()а)[)(сГ)Ь)^Ь,
что в силу (1) влечет с П ({с П а) =#> {с П &)Х я =# 6. Следовательно,
сП((сПа)#(£?П*))<сП(а=»*),
й доказательство (24) завершено.

§ 12] ИМПЛЙКАТИВНЫЕ РЕШЕТКИ. ПСЕВДОВУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 77
12.3. В каждой псевдобулевой алгебре *)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
если а^.Ь, то — b ^ •
-A = V, - V = A,
а П — а— А,
-(аП-а)= V,
а ^ а,
а — — а,
-~(а\)Ь) = -а{]-Ь,
- a U - Ь < - (а П Ь),
— a[)b*^.a=$b,
а =ф&< — &=# —а,
а =# — 6 = — (af]b) =
а =# — & = (а=ф-
— (а4Ц<а4-
A#a==V.
— а,
&=^
-Ь),
-ь,
(25), (26), (27) доказаны в § 10, (5), (4), (3).
(28) следует из (26) и (27).
Доказательство (29). Так как af\ — a^A (см. (27)),
то мы имеем а ^ —а=#>Л = а по (1) и (2).
Доказательство (30). Так как а ^ а по (29), то
мы имеем а^—а в силу (25). Обратное неравенство
следует из (29), если а заменить на — а.
Доказательство (31). В силу (2) и (17) — (aU^)8538
= (аий)#Л=(афЛ)П(6=^Л) = -аП-6.
Доказательство (32). Так как (— а и — Ь)Г) (а П b)^
<Лв силу дистрибутивности и (27), то мы имеем — а[) — Ь^
< (а (] b)d> Л = —(аП &) по (1) и (2).
Доказательство (33). Имеем (— а11&)Ля<& в СИЛУ
дистрибутивности и (27), что в силу (1) доказывает (33).
(34)^ следует из (2) и (20) при с = Л.
(35) следует из (2) и (18) при с = Л.
Доказательство (36). По (35) и (30) имеем
--(<*=#>-&) = (аП&) = -(аП*) = а=*-&.
*) Хотя псевдобулева алгебра, ввиду 12.1, является дистрибутивной
решеткой и хотя для каждого элемента а псевдобулевой алгебры, ввиду (2),
существует элемент —а, тем не менее применять при доказательстве теоремы
12.3 утверждения 10.2 и 11.4 нельзя, так как элемент —а в псевдобулевой
алгебре является, вообще говоря, только псевдодополнением (а не
дополнением) элемента а. — Прим. ред.

78 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. I
Доказательство (37). По (29) и (12) имеем a=#>ft<
< а =ф Ъ\ отсюда по (25) и (36)
k (а # ft)< (а =ф 6) = а# ft.
(38) следует из (4).
§ 13. Фильтры в импликативных решетках
Сначала мы установим следующий критерий для фильтров:
13.1. Подмножество V импликативной решетки А является
фильтром тогда и только тогда, когда оно содержит единичный
элемент и удовлетворяет следующему условию:
(1) если flGV и a46eV, то 6gV,
Пусть (1) имеет место и VeV. Тогда по § 12, (22) имеем
fl4(H(flfl6))=VGV. Если a, JgV, to b=${a{\b)<=V и
a(]b gV в силу (1). Если aGV и a<ft, т. е. a^^VgV
(см. § 12, (4)), то ft e V по (1). Это доказывает, что V является
фильтром.
Обратно, если V—фильтр, то VgV. Если aeV и а=^
^JgV, to aftb = a[){az$b)<=V (см. § 12, (14)).
Следовательно, JgV.t, е, V обладает свойством (1). Теорема 13.1
доказана.
Пусть V — фильтр в импликативной решетке А. Для любых
элементов a, b e А пишем
a<vft
тогда и только тогда, когда а гф Ь е V.
Отношение ^v является отношением предпорядка на А.
В самом деле, ^v рефлексивно, так как a^.va по § 12, (6).
Чтобы установить транзитивность, вспомним, что по § 12, (20)
(a=$>b)[){b^c)^a=^c для всех а, ft, сеЛ.
Если a^vft и ft^vс, т. е. a#JeV и 6=#ceV,TOfl=#ceV,
т. е. a<vc.
Будем писать
(2) а~Ъ
тогда и только тогда, когда ar^fteV и 6 z^ fl e V,
В силу 5.2 отношение (2) является отношением
эквивалентности. Мы назовем ~ отношением эквивалентности,
определяемым фильтром V, и будем писать A/V вместо А/~ (см. § 3).
Элементы множества A/V будут в соответствии с § 3
обозначаться посредством \а\ (асЛ).В силу 5.2 отношение ^v на
А однозначно определяет отношение порядка ^ на A/V,
а именно:
(3) M^l^l тогда и только тогда, когда a^JeV,

§13]
ФИЛЬТРЫ В ИМПЛИКАТИВНЫХ РЕШЕТКАХ
79
13.2. Для любого фильтра V в импликативной решетке А
отношение ^, определенное посредством (3) на A/V, является
отношением решеточного порядка. Решетка A/V является
импликативной. Более того, отношение эквивалентности (2) является
конгруэнцией в А по отношению к U, П, гф, т. е.
(4) |a|U|ftl = |aUM, \a\[)\b\ = \af\b\,
(5) |a|#|ft| = |a=#6|.
Элемент \b\ является единичным в A/V тогда и только
тогда, когда JeV.
Если А — псевдобулева алгебра, то A/V — также псевдобу-
лева алгебра и \ А \ является нулевым элементом алгебры A/V.
Отношение эквивалентности (2) является конгруэнцией
относительно —, т. е.
(6) _|e|_|_a|.
Так как а ^ -a (J Ъ, то мы имеем a^(a[J6)= VeVb силу
§ 12, (4). Отсюда
laKlaUM
и точно так же
\b\^\a[)b\.
Обратно, если |а|^|с| и |&К|с|, т. е. если a^ceV и
HcgV, to в силу 12, (17)
(aUft)#c = (a#c)n(Hc)eV,
|aU*Kk|.
Это доказывает, что | a U Ь | является объединением элементов
М и |*|.
Таким же образом, используя § 12, (4) и (16), доказываем
второе из тождеств (4).
Если |а|П1*К1*1, т- е- |яП*|<|&|, то (afl*)#*eV.
В силу § 12, (18) (af\x)=$b = x^(a=$b). Поэтому | jc|<|a=#>6 |.
Точно так же устанавливаем, что |дс|^|а=#>й | влечет |a|f|
ПI х К | Ь |. Это доказывает (5).
Так как a=^V = VeV, to имеем |a|<|V| при любом
аеЛ, т. е. |V| является единичным элементом решетки A/V.
С другой стороны, \Ь\ является единичным элементом решетки
A/V в том и только в том случае, если | V | < | Ь \, т. е. & = V ^
z^isV (см. (3), а также § 12, (8)). Это завершает
доказательство первой части 13.2.
Если в А имеется нулевой элемент, то при любом Ь&А
имеем Л=Ф&= V ^V (см. § 12, (4). и, следовательно, |Л|^
^|Ь|, т. е. |Л| является нулевым элементом решетки A/V.

80
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
Поэтому
-1 а 1 = 1 а|#| Л 1 = 1 а^Ф Л 1 = 1 - а |.
Этим завершается доказательство 13.2.
Если V — единичный фильтр, то определяемое фильтром V
отношение эквивалентности является отношением равенства.
Ибо если а :ф ft = V и &=^>a=V, т. е. а ^ Ъ и Ь ^ а, то
а = Ь. Поэтому в этом случае при каждом а^А класс
эквивалентности \а\ содержит только элемент а. Естественно
отождествить \а\ с а. В силу этого отождествления
(7) А = A/V, если V является единичным фильтром в А.
Теорема 13.2 устанавливает, что каждый фильтр в имплика-
тивной решетке определяет отношение эквивалентности,
являющееся конгруэнцией Относительно П, U» =Ф- Мы докажем теперь,
что и, наоборот, каждая такая конгруэнция определяется
некоторым фильтром.
13.3. Если отношение эквивалентности ~ в импликативной
решетке А является конгруэнцией относительно U, П, =^>, то
множество V всех таких а^А, что а ~ V, является фильтром
и ~ является отношением эквивалентности, определяемым
фильтром V.
По определению
agV тогда и только тогда, когда а ~ V.
В частности, VeV,
Если aeV и а<6, то ft = aU&~VUft=V, т. е. ftsV.
Если aeVHieV, т. е. a~V и ft~V, то an&~VDV = V\
т. е. а П Ь е V. Этим доказано, что V является фильтром.
Мы покажем, что
(8) если а~Ь9 то a#6gV и 6=#aeV.
В самом деле, а=фЬ~а^а= V, т. е. a^ftGV, и точно
так же 6=#aeV.
Обратно,
(9) если q#JeV и ft=#aeV, то а~Ъ.
По условию a#ft~V и ft=^a~ \Л Поэтому
а = аП\/~аП(а=фй) = аП&
в силу 12.2, (14). Аналогично,
Ь = Ь[\\/ ~Ь{\{Ь^а) = Ь{\а = а(\Ь.
Следовательно, а ~ Ь в силу транзитивности отношения ~.
Из (8) и (9) следует, что »* является отношением
эквивалентности, определяемым фильтром V. Теорема 13.3 доказана.

§ 13]
ФИЛЬТРЫ В ИМПЛИКАТИВНЫХ РЕШЕТКАХ
81
13.4. Пусть А и В — импликативные решетки (или
псевдобулевы алгебры). Пусть h — гомоморфизм решетки А на В, г. е.
отображение, сохраняющее операции U, П, =^ {или О, U,
^>, —). Пусть V — фильтр всех таких а^А\ что h(a) = V*.
Тогда отображение Ас*.
М|а|) = Л(а) (аеА)
является изоморфизмом решетки А/У на В.
В силу 4.7 отношение ~, определенное следующим образом:
(10) 01 ~ а2 тогда и только тогда, когда h(ai)~ h(a2),
является конгруэнцией в А. По определению
aeV тогда и только тогда, когда а ~ V,
т. е. фильтр V,- определенный в 13.4, совпадает с фильтром V,
определенным в 13.3 для конгруэнции (10). Поэтому А/~ =
= A/V и теорема 13.4 является частным случаем теоремы 4.7
(см. также 13.2).
13.5. Если V — фильтр в импликативной решетке А, а V —
фильтр в импликативной решетке A/V, то множество V" всех
таких asA, что |а\е V, является фильтром в А и VczV".
Отображение
(11) h0(\\a\\) = \\ai\ (веА)
(где || a |f — элемент в A/V", определенный элементом а^А,
а || а || — элемент в (A/V)/V, определенный элементом |a|eA/V)
является изоморфизмом решетки A/V" яя (A/V)V.
Доказательство первой части несложно. Вторая часть 13.5
непосредственно следует из 13.4, где Л(а)=||а||, т. е. h
Является композицией естественного гомоморфизма решетки А
на A/V и естественного гомоморфизма решетки A/V на
WV)/v.
13.6. Если V и V" — фильтры в импликативной решетке А
« Vc V", то множество V всех таких | a | e A/V, что а е V",
является фильтром в A/V.
Доказательство состоит в простой проверке.
13.7. Фильтр V в импликативной решетке А является
собственным тогда и только тогда, когда решетка A/V содержит по
крайней мере два элемента.
Это непосредственно следует из того, что |а| является
единичным элементом решетки A/V тогда и только тогда, когда
QEV (см. 13.2).
13.8. Фильтр V в импликативной решетке является простым
тогда и только тогда, когда в A/V прост единичный фильтр.
Несложное доказательство предоставляется читателю,

82
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
13.9. Пусть V — фильтр в псевдобулевой алгебре А, и пусть
а0 е А. Фильтр, порожденный фильтром V и элементом а0,
является собственным тогда и только тогда, когда — а0 ф. V.
В силу 8.2 и определения псевдодополнения каждое из
приведенных ниже условий эквивалентно следующему за ним:
фильтр, порожденный V и а0, не собственный;
существует элемент ceV такой, что а0 П с = Л;
существует элемент ceV такой, что с ^ — а0;
— а0 е V.
Эквивалентность первого и последнего условия — другая
формулировка теоремы 13.9.
13.10. Для каждого фильтра V в псевдобулевой алгебре А
следующие условия эквивалентны:
(i) V максимален:
(ii) V собственный, и при каждом а^ А либо ceV, либо
(iii) при каждом а^ А ровно один из элементов а, — а
входит в V;
(iv) A/V имеет ровно два элемента.
(Л) влечет (ii). Ибо если —а ф V, то фильтр,
порожденный V и а, собственный по 13.9. Так как он содержит
максимальный фильтр V, то он совпадает с V. Поэтому aeV,
(ii) влечет (iii). Ибо если одновременно aeV и -aeV,
то Л = а П — flEV,a значит, V не собственный.
(iii) влечет (iv). Действительно, (iii) влечет, что при каждом
ае4 либо |a|=V, либо —|а|= V, т. е. |а|=Л, и имеет
место только одна из этих возможностей. Поэтому в A/V
имеется только два элемента: Л и V, и V ф Л.
(iv) влечет (i). Предположим, что V" — фильтр в А, V с: V",
V ф V". Множество V всех | а | е A/V таких, что а е V",
является фильтром в A/V. Так как V ф V", V содержит элемент,
отличный от единичного элемента решетки A/V. Так как в A/V
ровно два элемента, то нуль решетки A/V принадлежит V, т. е.
\а\— A^v для некоторого элемента сеГ, Для
произвольного элемента fteA либо | b |= V A/w, либо \b\=AA(v- В
обоих случаях | а^Ь \ = \а !=Ф| b \= VA/W и, следовательно,
fl=)ftGV. Ввиду aeV" и a^tEV" мы имеем ЬеУ,; в силу
13.1. Это означает, что V" — не собственный фильтр. Поэтому
V максимален.
Заметим, что условия (i) и (iv) эквивалентны также для
дюбой импликативрой решетки9).

ГЛАВА II
БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
§ 1. Определение и элементарные свойства
Решетка А называется булевой алгеброй *), если она
дистрибутивна и каждый элемент а^А имеет дополнение —а. Из
второго условия следует, что в булевой алгебре имеются
нулевой и единичный элементы.
Другими словами, булевой алгеброй является такая
дистрибутивная решетка А, в которой каждому а еЛ сопоставлен
элемент —а со свойствами
(15) (a()-a)Ub = b, (a[)-a)()b^b.
Действительно, (Is) означает, что
а[\ — а=Л и a|J — a=V,
а в силу I, 10.1 отсюда следует, что —а является дополнением
элемента а.
Поэтому булевы алгебры могут быть также определены как
универсальные алгебры {A, U, П, —} с двумя бинарными
операциями U, П и одной унарной операцией —, удовлетворяющими
аксиомам (li) — (Ь)**).
Принцип двойственности остается применимым к булевым
алгебрам, так как аксиомы (\\)— (15) не меняются при замене П
на U и U на П.
Булева алгебра называется полной, если она является
полной решеткой.
В качестве наиболее естественного примера булевых алгебр
мы введем понятие поля множеств. Под полем подмножеств
пространства X мы будем понимать решетку множеств А
(подмножеств множества X), замкнутую по отношению к теоретико-
множественному дополнению, т. е. такой непустой класс А
подмножеств пространства X, что если А\9 А2^А, то А\ U Л2 g Л,
А\ П А2 е А и —Ах = X — А{ е А. В силу формул де Моргана
для множеств 10) достаточно требовать выполнения только од-
*) Систематическое изложение теории булевых алгебр дано в книге
Сикорского [9]. См. также Б и р к го ф* [3], X е р м е с [1].
**) Более простая система аксиом для булевых алгебр дана, например,
в работе Хантингтона [1].

84
БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
tr\n. it
ного из двух, первых условий и третьего условия, а оставшееся
условие является их следствием. Мы увидим в § 8, что этот
пример типичен для булевых алгебр.
Класс всех подмножеств некоторого пространства X является
простейшим примером поля множеств. Он всегда будет
обозначаться посредством 53(X). Это полная булева алгебра:
бесконечным объединением (пересечением) какого-либо класса
элементов алгебры 93 (X), т. е. подмножеств множества Ху
является теоретико-множественное объединение (пересечение)
этих подмножеств.
Следующая теорема непосредственно следует из I, § 11, (7),
(6) и (Г).
1.1. Любая булева алгебра А является псевдобулевой
алгеброй. При любых а, Ь gA элемент а^Ь является дополнением
элемента а относительно Ь и
(1б) a#fc = -aU&;
кроме того,
(1) -а = а=$Л.
Для всех элементов а, Ь е А существует разность Ь — а и
(2) Ь — а = Ь П — а.
Следующая теорема выводится из I, 12.1.
1.2. Если А — псевдобулева алгебра и при всех а^А
псевдодополнение —а является дополнением элемента а, то А —
булева алгебра.
В силу 1.1 все тождества и неравенства, установленные
в I, 12,2 и I, 12.3 для псевдобулевых алгебр, справедливы также
для любой булевой алгебры. Некоторые из этих неравенств
в случае булевой алгебры превращаются в тождества. Так,
например, для псевдобулевых алгебр было установлено только
—a U b ^.az^b (I, 12.3, (33)), а в булевых алгебрах имеем
(1б). Остальные примеры сведены в следующую теорему.
1.3. В любой булевой алгебре
(3) а ^ Ь тогда и только тогда, когда — Ь ^ — а,
(4) aU-a=V,
(5) а —а,
(6) а =#> Ъ = — Ь =Ф — а,
(7) ~fl4ft = ~ft4fl,
(8) -(аП&) = -аи-&,
(9) а\)Ь = -(-а(\-Ь),
(10) a()b = -(-aU-b),
(И) -{а^Ь) = а[\-Ь,
(12) (а#й)=#а = а.

§ I] ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА $5
(3) доказано в I, 10.2, (6). Заметим, что в случае
псевдобулевых алгебр вместо эквивалентности (3) имеет место только
импликация I, 12.3, (25).
(4) является другой формулировкой второго из законов (Ь),
как было уже установлено. Тождество (4) двойственно
тождеству
(13) аП-а=Л,
которое выполняется в любой псевдобулевой алгебре (I, 12.3,
(27)).
(5) доказано в I, 10.2, (7). В случае псевдобулевых алгебр
символ = нужно заменить на ^ (см. I, 12.3, (29)).
(6) и (7) выводятся с использованием (5) и надлежащих
подстановок из тождества
(14) а=#-& = &=ф-а,
доказанного для произвольных псевдобулевых алгебр (I, 12.3,
(35)). Тождества (6), (7), (14) называются законами контрапо-
зиции. Заметим, что для псевдобулевых алгебр вместо (6) имеем
только неравенство I, 12.3, (34).
(8) следует из тождества
(15) -(a[)b) = -a()-bt
справедливого для псевдобулевых алгебр (см. I, 12.3, (31)).
Достаточно подставить —а и —b вместо а и ft и применить (5).
Так же получаем (9) и (10). Тождества (15), (8), (9), (10)
называются законами де Моргана. Они являются булевыми
аналогами законов де Моргана для множеств.
(11) следует из (1б), (15) и (5).
(12) можно вывести из (1б), (11) и I, § 6, (2), (5)
следующим образом п):
(а =ф ft) =ф а = — (а ф ft) U а = (а Л — &) U я = я.
Теорема 1.3, дополняющая теоремы I, 12.2 и I, 12.3, не
содержит никаких утверждений о разности ft — а. Так как ft—а
двойственно агф ft, то такие утверждения легко получить из 1.3
и I, 12.2, I, 12.3 посредством принципа двойственности. Другой
метод выведения утверждений относительно ft — а из
утверждений относительно az=} ft основан на тождествах
(16) ft_a = -(ft#a),
(17) a=#ft = -(a-ft),
которые легко следуют из (16), (2) и законов де Моргана.
С точки зрения общей теории булевых алгебр операции
ciz^b и ft — а равноправны, так как они двойственны друг
Другу, и поэтому нет никаких оснований оказывать одной из них

86 БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ [ГЛ. II
какое-то предпочтение. Если булевы алгебры исследуются
с точки зрения теории множеств как обобщение понятия поля
множеств, то обычно предпочитается операция Ь — а, так как
она является естественным обобщением известной теоретико-
множественной операции взятия разности множеств, в то время
как аналог операции а :ф Ь в теории множеств не
рассматривается. Однако с точки зрения приложений к математической
логике операция а-^Ь является более важной, так как она
является аналогом понятия логической импликации, а Ь — а не
имеет аналогий в математической логике. Поэтому в этой книге
мы всегда будем понимать булевы алгебры как универсальные
алгебры
(18) {A, U, П,Ф, -}
с тремя бинарными операциями U, П, =^ и одной унарной
операцией —. Тождества (Ь) — (1б) образуют множество аксиом
для булевых алгебр, рассматриваемых как универсальные
алгебры вида (18). Конечно, понимая булевы алгебры таким
образом, мы вводим несколько искусственную асимметрию в
теорию, но эта асимметрия необходима для приложений ко
второй части этой книги.
Система аксиом (Ь) — (1б) не является самой короткой. Эти
аксиомы даже не являются независимыми. Известны более
экономные системы аксиом, но вопросы аксиоматизации теории
булевых алгебр нас не интересуют.
Мы рассмотрим теперь бесконечные операции в булевых
алгебрах.
1.4. В каждой булевой алгебре
(19) - (J а,« П ~аи
(20) -Па'=и-а"
(21) (J <ц = - П -at,
(22) f)at = -[J-at,
(23) аП U а<= llteM,
*€=Г /€=Г
(24) all П *<- П №"*)>
(25) /(J a,W&= П bt^b),

J-1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА 87
(26) l[)at)^b=\J (at=$b),
(27) a#(J bt = (J (a=$bt),
(28) a#> f| bt = f| (a^bt),
t<=T tezT
(29) П(а<=^х(Па<Н(П М-
(30) f) (*<=**«)<[U «<ЖU М-
(19), (20), (21), (22) называются бесконечными законами де
Моргана, Они являются аналогами бесконечных законов де
Моргана для множеств. Их нужно понимать следующим образом:
если существует бесконечное объединение (пересечение) в
левой или правой части тождества, то существует пересечение
(объединение) в другой части и они равны друг другу.
(23) и (24) —это бесконечные законы дистрибутивности.
(23), (24), (25), (26), (27), (28) нужно понимать
следующим образом: если существует бесконечное объединение или
пересечение в левой части равенства, то существует
бесконечное объединение или пересечение в правой части и они равны
друг другу.
(29) и (30) имеют место при условии, что существуют
все фигурирующие в них бесконечные объединения и
пересечения.
Чтобы доказать (19), предположим, что объединение
а = (J at существует. Так как at<^a, то имеем — a^—- at
t<=T
при каждом <gT.C другой стороны, если Ь ^ — at при каждом
^еГ, то at^. — b при каждом (еГ, т. е, а<~М, значит,
Ъ <! — а. Это доказывает, что — а = f] — at. Доказательство
(19) при условии, что существует (~| — аи аналогично. Таким же
способом доказываем (20). Заметим, что (20) можно также
получить из (19), заменяя at на —- at. Тождества (21) и (22)
следуют из (19) и (20) в силу (5).
(23) было установлено в I, 11.2, (24) следует из (23), (5) и
конечных и бесконечных законов де Моргана:
а{) f|a, = -/-an (J -аЛ = - {J(-af) -о,)- ()(а[}щ).
tezT \ t^T I te=T t&T

88 БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ [ГЛ. II
(25) и (28) следуют из (1б), (24) или (23) и бесконечных
законов де Моргана. Докажем, например, (25):
/(J ^=^ = -(11 ФЬ = (Г\ -аЛ[}Ь~
\feT I \/еГ / \fsr /
Аналогично мы доказываем (26) и (27), используя
тождества I, § 7, (9) —(10) вместо (23) и (24).
В силу I, § 7, (15) и I, § 12, (14) имеем
П ifh^h) n П «<- П (**пад< Л ьи
что доказывает (29) ввиду I, § 12, (1).
Вводя обозначения а= (J аь ft=(JftfHC=P) (at=$bt)>
t&T *ef t&T
имеем при каждом /еГ
at П с < at П (at=$ bt) < ft, < b
в силу I, 12.2, (10). Следовательно, ввиду (23)
a(]c = (J (а,П<?)<&,
т. е. с ^ az^ft. Это доказывает (30).
Если рассматривать бесконечные операции, то каждую
булеву алгебру А можно понимать как обобщенную алгебру
(31) {A, U, П,#, -, ЦП}
с четырьмя конечными операциями U, П, =ф, — и двумя
бесконечными операциями (J и Q. Поэтому каждую полную булеву
алгебру, т. е. полную булеву решетку, можно понимать как
полную алгебру {A, (J, П, =Ф, ~~""»U> П} в смысле>
определенном в I, § 4 (стр. 37).
В соответствии с соглашениями конца I, § 7, если мы
пишем (31), то подразумеваем, что областью определения
бесконечной операции (J(f}) B ^^ является класс всех таких
множеств SaA, что (J S (Q 5) существует. Иногда бывает
необходимо ограничить области определения (J и f) более
узкими классами Git и Ог множеств Scz А. Тогда пишем
(32) {A, U, П,=#>, -.Ul^fll^}
вместо (31) (см. аналогичные обозначения для решеток в I,
§7,(25)).

§ 21
ПОДАЛГЕБРЫ
89
§ 2. Подалгебры
С точки зрения общего понятия подалгебры (см. I, § 4,
стр. 31) не имеет значения, понимаются ли булевы алгебры
как универсальные алгебры {A, U, П, =>, —}, как {A, U, Л, —}
или даже как {A, U, —} либо {А, Л, —}. Это следует из того
обстоятельства, что булевы операции U, П, =ф определимы через
U и — или через Пи— (см. § 1, (9), (10) и (1б)).
Поэтому непустое множество А! элементов булевой алгебры
А, удовлетворяющее условию:
(1) если аеЛ', то -аеА',
и одному из двух следующих условий:
(2) если а, Ь бА', то a (J Ь е А',
(3) если a, b ^ А', то a f| b e Л',
удовлетворяет также и другому из условий (2), (3), а также
двум следующим условиям:
(4) если а, Ь^.А\ то а =# Ь е Л',
(5) если а, бе Л', то б-абД'
(см. § 1, (2)). Следовательно, Л' является подалгеброй
алгебры Л для любой возможной интерпретации Л как абстрактной
алгебры *).
В самом деле, предположим, например, что А'
удовлетворяет условиям (1) и (2). Если а, Ь е А', то —а еД'и —ft e А'
в силу (1). Отсюда, применяя (2), получим, что —a U —Ь еА;.
Следовательно, а (] b = — (—а и —Ь) еЛ' по (1). Это
доказывает, что Л' удовлетворяет условию (3). Таким же способом
доказываем, что Л' удовлетворяет (4) и (5), и т. д.
Каждая подалгебра А' булевой алгебры сама является
булевой алгеброй, так как в ней выполняются аксиомы (Ь) — (1б).
Каждая подалгебра А' булевой алгебры Л содержит
единичный V и нулевой Л элементы алгебры А. Действительно, если
аеА', то —аеА', а значит, V = я U — а е А', Л = а(]
П — flG А'. Разумеется, V ji Л являются единичными и
нулевым элементами алгебры А'.
Множество А0, составленное только из единичного V и
нулевого Л элементов алгебры А, является подалгеброй
алгебры А (это наименьшая подалгебра алгебры А).
*) Подалгебры булевой алгебры называются также ее булевыми
подалгебрами. — Прим. ред.

§0 Булевы алгебры [гл: и
2.1. Подалгебра А', порожденная непустым подмножеством
А0 булевой алгебры, является множеством всех элементов а
вида
m ni
(6) a=\J (\aih
где при любых i и ] либо a{j ^ А0, либо —а^ е А0.
Подалгебра А', порожденная множеством А0, является
также множеством всех элементов а вида
m ni
(7) fl=nU%
где при любых i и j либо а^ е А0, либо —ац е А0.
Пусть Ai — класс элементов а вида (6). Ясно, что каждый
элемент aeAi принадлежит А'. Поэтому достаточно доказать,
что А\ является подалгеброй алгебры А. Ясно, что объединение
двух элементов из Ах также принадлежит Аь Если а^Аи то
также —аеАь В самом деле, в силу закона де Моргана, если
а задан равенством (6), то
m ni
-а = П U - аи-
Применяя закон дистрибутивности, мы получаем, что —а
также представим в виде конечного объединения конечных
пересечений элементов, которые либо сами принадлежат А0, либо
имеют принадлежащие А0 дополнения. Поэтому —а е А\ш
Таким же образом доказывается вторая часть теоремы 2.L
2.2. Если А0 — подрешетка булевой алгебры А и V, Л е А0,
то подалгебра А', порожденная множеством А0, является
множеством всех элементов а вида
(8) а = (<*!#*0П ... П(ат=ФЫ>
т. е. вида
(9) e-(-fliU*i)n ... n(-%uu,
где аи ..., ат, Ьи ..., ftme4
В силу 2.1, (7) достаточно показать, что если аи ..., аг,
Ьи ..., bs^A0 (r, 5>0, r + s>0), то существуют такие
элементы аеЛо и b ^ Aq, что
-aiU-flfeU ... \}-ar\}bx\]b2\] ... [)bs=-a\Jb.

§3] БУЛЕВЫ ГОМОМОРФИЗМЫ 91
Элементы
_ f а, П а2 П ... (]ап если г > О,
1 V, если г = 0,
f &i U &2U - .. \)bSi если 5>0,
~~~1 Л, если 5 = 0,
удовлетворяют этому уравнению в силу закона де Моргана § 1,
(8) (см. также § 1, (16)).
2.3. Подалгебра, порожденная множеетвом из г элементов,
содержит самое большее 22Г элементов.
Предположим, что система образующих А0 состоит из
элементов аи ..., 0г. Из 2.1, (6) легко следует, что каждый
элемента а подалгебры А', порожденной множеством А0*), является
конечным объединением элементов вида
(10) f) «/*/•
где ej = +1 или —1 и где для 6еЛ символ Ц-l-b означает 6,
а символ —Ь& означает —ft12). Множество всех элементов
вида (10) содержит самое большее 2Г элементов, так как число
всех последовательностей {ei, ..., ег}, где в,- = ±1, есть 2Г.Так
как число всех множеств из элементов (10) не превосходит
22Г**), то эта оценка справедлива и для числа всех объединений
элементов (10), т.е. для числа всех элементов в А'.
§ 3. Булевы гомоморфизмы
С точки зрения общего понятия гомоморфизма (см. I, § 4,
стр. 32) не имеет значения, как мы истолковали булевы
алгебры: как универсальные алгебры {A, U, П, =^, —}, как
{A, (J, П, —} или даже как {A, U, —} либо {А, П, —}. Это
следует из того, что все операции U, П, =^ определимы
посредством U и—-или посредством Пи— (см. § 1, (9), (10) и (1е)).
Поэтому, если отображение h булевой алгебры А в булеву
алгебру В удовлетворяет тождеству
(1) Л(-а)=-А(а)
и одному из тождеств
(2) h{a\}b) = h{a)\)h(b),
(3) h{a{\b) = h(a) (\h(b),
*) Кроме нулевого элемента А. —Прим. ред.
**) При этом пустое множество элементов (10) соответствует нулевому
элементу (см. предыдущую сноску). — Прим. ред.

92
БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. II
то оно также удовлетворяет и другому из тождеств (2), (3),
а также следующим тождествам:
(4) А(а=ф*) = А(а)=фА(*),
(5) h(a-b) = h(a)-h(b).
h является тогда гомоморфизмом алгебры А в В при любой
возможной интерпретации булевых алгебр как универсальных
алгебр. Иногда мы будем использовать термин булев
гомоморфизм, желая подчеркнуть отличие этого понятия от понятия
решеточного гомоморфизма (см. I, § 6, стр. 47).
Для обоснования сделанных выше замечаний предположим,
например, что h удовлетворяет условиям (1) и (2). Тогда
--(-A (a) U-А (6))-А (а) ПА (ft),
т.е. h удовлетворяет (3). Таким же образом доказываем, что
h имеет свойства (4) и (5), и т. д.
Каждый булев гомоморфизм А булевой алгебры А в булеву
алгебру В отображает единичный элемент на единичный
элемент и нулевой на нулевой, символически:
(6) AfV^-V*. А(ЛЛ)=ЛВ,
таккакА(\/>|) = А(аи — a) = A(a)U — A(a)= Ve, и аналогично
для Д.
Гомоморфный образ А (А) булевой алгебры А сам является
булевой алгеброй, будучи подалгеброй алгебры В.
3.1. Гомоморфизм h алгебры А в В является
взаимно-однозначным тогда и только тогда, когда h(a) = Vв влечет а=\/л
(или когда h(a) ==Лв влечет а = Лд).
Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности
предположим, что h(a{) = Л(а2). Так как h(a\ =ф а2) = h(a\) =$J
^ h(a2) = V*, то мы имеем ах z$> а2 = V л, т. е. ах ^ а2.
Аналогично получаем а2 ^ а\. Следовательно, а\ = а2> т. е. А
взаимно-однозначен.
Используя двойственность, получаем вторую часть
теоремы 3.1.
Взаимно-однозначный булев гомоморфизм одной булевой
алгебры в другую (в соответствии с I, § 4) называется
изоморфизмом или — точнее — булевым издморфизмом. Теорема 3.1
дает необходимые и достаточные условия того, чтобы булев
гомоморфизм был булевым изоморфизмом.
Заметим, что каждый решеточный изоморфизм одной
булевой алгебры на другую является булевым изоморфизмом.
Другими словами, если отображение h одной булевой
алгебры А на другую булеву алгебру В удовлетворяет условиям (2)

§4]
ДВУХЭЛЕМЕНТНАЯ БУЛЕВА АЛГЕБРА
93
и (3), то оно удовлетворяет также условиям (1), (4), (5).
Достаточно показать, что оно удовлетворяет условию (1). Так как
h сохраняет решеточный порядок и является отображением на,
то выполняются равенства (6). Поэтому
А(а)ПЛ(-а) = Л(аП-а) = /г(Лл)=Лв,
Л(а)иА(-а) = А(аи-а) = Л(У„)=Ув.
Поэтому элемент А(—а) является дополнением элемента h(a)
в В (см. I, 10.1), т. е. имеет место (1).
Если А и В- поля подмножеств пространств У и X
соответственно, а ф — отображение множества X в Y такое, что
Ф"1 {А)еВ при любом ЛеЛ,
то отображение А, определенное формулой
А(Л) = ф"1(Л) для А&А,
является гомоморфизмом поля А в В. Мы будем говорить
тогда, что гомоморфизм h индуцирован точечным отображением.
Очевидно, если ф отображает X на У, то h является
изоморфизмом поля А в В. Если ф — взаимно-однозначное отображение
пространства X на У и
Ф*"1^) ^ В тогда и только тогда, когда ЛеЛ,
то гомоморфизм Л, индуцированный отображением ф, является
изоморфизмом поля Л на В. В этом случае поля А и В
называются эквивалентными .*).
§ 4. Двухэлементная булева алгебра
Простейшей решеткой является одноэлементная решетка,
т. е. множество из одного элемента а с очевидной
упорядоченностью а ^ а. Эта одноэлементная решетка является булевой
алгеброй. Она будет также называться вырожденной решеткой
или вырожденной булевой алгеброй (в соответствии с общим
определением для универсальных алгебр, I, § 4). Конечно, все
вырожденные булевы алгебры изоморфны.
Решетка (в частности, булева алгебра) называется
невырожденной, если она содержит по меньшей мере два элемента.
Простейшей невырожденной решеткой является двухэлементная
решетка, т. е. решетка А0, содержащая ровно два элемента.
Один из этих элементов является нулевым элементом Л
решетки Ао, другой — единичным элементом V решетки А&.
*) Марчевский [1], [2].

94
БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. II
Отношение порядка в А0 определяется следующим образом:
Л<Л, A<V, V<V.
Легко удостовериться, что эта решетка А0 является булевой
алгеброй. Поэтому она также называется двухэлементной булевой
алгеброй. Заметим, что булевы операции в А0 удовлетворяют
следующим тождествам:
AUA = A, AUV = VUA = VUV = V,
(1) V П V = V, УПЛ = ЛПУ==ЛПЛ = Л,
справедливым во всех булевых алгебрах. Поэтому
(2) а ^ Ъ тогда и только тогда, когда а^Ь = V,
как и во всех импликативных решетках.
При любом (еГ (где Т — какое-то непустое, конечное или
бесконечное множество) пусть at — элемент алгебры А0. Тогда
из определения бесконечных объединений и пересечений в
решетках (см. I, § 7 и I, § 5) и из (1) следует, что
■ I | V, если существует /еГ такое, что at = V,
/оч *<=г I Л, если at= Л при всех /е=7\
П( V, если at—V при всех /gT,
at —
*€=' I Л, если существует /еГ такое, что а/=Л.
Заметим, что любая двухэлементная (да и вообще любая
конечная) булева алгебра полна.
Любые двухэлементные булевы алгебры А, В изоморфны
(см. изоморфизм, определенный в § 3, (6)).
Поле всех подмножеств одноэлементного пространства
является двухэлементной булевой алгеброй. В силу изоморфизма
каждую двухэлементную булеву алгебру можно поэтому
рассматривать как поле всех подмножеств одноэлементного
пространства.
Двухэлементные булевы алгебры очень просты и не очень
интересны с точки зрения общей теории булевых алгебр.
Однако они будут играть существенную роль во второй части этой
книги (главы V, VII, VIII).
§ 5. Фильтры и идеалы
Из законов де Моргана и § 1, (3) непосредственно следует,
что если V (А) является фильтром (идеалом) в булевой
алгебре А, то множество всех элементов —а, где а (= V (a t= А),
является идеалом (фильтром); этот идеал (фильтр) называется

§Я
ФИЛЬТРЫ И ИДЕАЛЫ
95
идеалом (фильтром), присоединенным к V (А). В силу § 1, (5)
фильтр, присоединенный к идеалу, присоединенному к
фильтру V, совпадает с V, и аналогично для идеала,
присоединенного к фильтру, который сам присоединен к идеалу А.
Поэтому, если мы каждому фильтру сопоставим
присоединенный к нему идеал, то мы получим взаимно-однозначное
соответствие между классом всех идеалов в А и классом всех
фильтров в А. Ввиду этого соответствия практически нет
разницы, говорим ли мы о фильтрах или об идеалах. С точки
зрения приложений к математической логике во второй части
этой книги мы будем предпочитать понятие фильтра.
Естественное взаимно-однозначное соответствие между
фильтрами и идеалами позволяет нам сопоставлять понятиям и
конструкциям, вводимым для фильтров, лх идеаловые аналоги.
Например, в I, § 13 мы определили фактор-алгебру А/Удля
любой импликативной решетки А (а поэтому и для любой
булевой алгебры А) и для любого фильтра V в А. Если А — булева
алгебра и А — идеал в А, то мы можем также построить
фактор-алгебру А/А; по определению А/А является фактор-алгеброй
A/V, где V—присоединенный к А фильтр. Заметим, что А/А не
определяется для псевдобулевых алгебр А и идеалов А в А.
В псевдобулевых алгебрах отсутствует естественное
соответствие между фильтрами и идеалами.
5.1. Если А — булева алгебра, а V — фильтр (А — идеал)
в А, то A/V (А/А) — также булева алгебра.
Действительно, из равенств
|aUft|»|a|UIH |аП*1 = |а|П1Н
|а=ф6|=-|а|=ф|Н |-а|«-|*1.
установленных в I, 13.2, (4), (5), (6), следует, что все
тождества (Ц) — (1е) сохраняются в A/V.
Заметим, что в силу I, 13.2
IV^HV^, \AA\=AA/V.
Мы доказали (см. I, 9.1), что в каждой дистрибутивной
решетке, в частности в каждой булевой алгебре, каждый
максимальный фильтр (идеал) прост. В булевых алгебрах
справедливо также обратное утверждение. Точнее:
5.2. Следующие условия являются эквивалентными для
любого фильтра V (идеала А) булевой алгебры А:
(а) фильтр V (идеал Д) максимален;
(б) фильтр V (идеал А) прост;
(в) фильтр V (идеал А) собственный, и при любом х е А
либо *, либо —х принадлежит V (А);

.96
БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. II
(г) при любых х е А ровно один из элементов х, —х
принадлежит V (Д);
(д) фактор-алгебра A/V (А/А) является двухэлементной
булевой алгеброй.
Мы докажем 5.2 только для фильтров. С помощью
двойственности можно получить соответствующее утверждение для
идеалов.
Эквивалентность (а), (в), (г) и (д) была доказана в I, 13.10
для любых фильтров в псевдобулевых алгебрах, (а) влечет (б)
в силу I, 9.1. (б) влечет (в), так как при любом х имеем
*U — Jc = VeV.
5.3. Пусть V — фильтр в булевой алгебре А, и пусть а<=А.
Фильтр, порожденный фильтром V и элементом —а, является
собственным тогда и только тогда, когда а ^ V.
Это следует непосредственно из I, 13.9 (где а0 = —а) и
тождества а = а (1.3, (5)).
§ 6. Релятивизация
Пусть g— фиксированный элемент в булевой алгебре А.
В соответствии с I, § И, стр. 72, символ Ag будет обозначать
множество всех таких аЕ А, что а ^ g (т. е. порожденный
элементом g главный идеал). Множество Ag является
дистрибутивной решеткой с теми же самыми операциями U и П,
суженными на Ag, т. е. Ag является подрешеткой решетки А.
Решеточное упорядочение ^ в Ag получается сужением отношения
порядка в А на Ag. Нулевой элемент решетки А является также
нулевым элементом решетки Аё\ элемент g является единичным
элементом решетки Аё.
6.1. Решетка Ag является булевой. Для 'любого элемента
а е Ag элемент g — а (т. е. элемент g П — я) является
дополнением элемента а в Ag. При любых ау b e Ag элемет
g f\ (az^b) является дополнением элемента а относительно b
в Ag.
Разумеется, — и z$ обозначают здесь операции в А. С
помощью простого вычисления получаем
а П {g — а) = Л и a |J (g — а) = g,
чем доказывается, что g — а является дополнением элемента а
в решетке Ag (см. I, 10.1). Так как решетка Аё дистрибутивна,
то она является булевой алгеброй. Для любого элемента х е Ag
и фиксированных a, b ^Ag
х(] а <; Ь тогда и только тогда, когда х <; g П (а=$ Ь).
Это доказывает, что g [\ (а=ф Ь) является псевдодополнением
элемента а относительно b в Аё. Так как Аё — булева алгебра,

$ 61 РЁЛяШВЙЗАЦЙЙ S?
то элемент g{] (az$b) является даже дополнением элемента а
относительно b в А*.
Заметим, что Ag не является булевой подалгеброй
алгебры А, кроме тривиального случая g = V.
Если А — поле 23(X) всех подмножеств множества X и ge
е А, т. е. g является подмножеством множества X, то Ag есть
33 (g) —поле всех подмножеств множества g. Заметим, что если
g — одноэлементное множество, то Ag является двухэлементной
булевой алгеброй.
6.2. Если А — булева алгебра и g e А, то отображение
(1) h0(a) = g(]a
является булевым гомоморфизмом алгебры А на Ag.
Гомоморфизм (1) сохраняет все бесконечные объединения и
пересечения в А.
Доказательство первой части 6.2 производится несложной
проверкой. Для доказательства второй части заметим,
во-первых, что при любом множестве {at}t^T элементов алгебры Ag
(2) иЧ-ИЧ, гС*-№**
*е=Г t&T teT t&T
благодаря чему мы можем опускать верхние индексы b(JhP).
Точнее, (2) нужно понимать следующим образом: если
объединение (пересечение) в одной части равенства существует, то
существует объединение (пересечение) и в другой части,
причем они равны.
Для доказательства того, что А0 сохраняет все бесконечные
объединения и пересечения, достаточно продемонстрировать, что
8 Г) U at= U (*Па*), *П П at= П tefla*),
если существуют объединения или пересечения в левых частях.
Но это попросту дистрибутивный закон § 1, (23) и тождество I,
7.1, (10).
6.3. Пусть X — непустое множество, х0 е X, и пусть А0 —
двухэлементная булева алгебра. Равенство
[ V^A0, если х0^А,
^v ' I Л^4 если х0фА,
определяет гомоморфизм поля 33 (X) всех подмножеств множе-.
ства X на двухэлементную алгебру А0. Гомоморфизм А0
сохраняет все бесконечные объединения и пересечения в 33 (X).
Теорема 6.3 может быть получена из 6.2, если взять А =
= 53 (X), g = (х0), а А0 отождествить с двухэлементной

98 ВУЛЁЁЫ АЛГЁЬРЫ (ГЛ. И
алгеброй Ag. Конечно, 6.3 можно получить и непосредственно,
простой проверкой.
Вернемся к случаю произвольной булевой алгебры А.
Нетрудно убедиться, что отображение
(4) h{a) = \a\ (at=Ag)
является изоморфизмом алгебры Ag на A/V, где V — главный
фильтр, порожденный элементом g.
Используя двойственность, мы можем рассматривать
каждый главный фильтр как булеву алгебру с теми же
операциями U и П-
§ 7. Произведения булевых алгебр
Пусть {An}n(=N— множество булевых алгебр, понимаемых
как универсальные алгебры,
(1) fa, U, П. =Ф, Ч
в соответствии с § 1, стр. 86. В силу общего определения
в I, § 4, стр. 36, произведение А всех Ап является алгеброй
(2) {Л, U , П . =Ф. Ч,
где А= Р Ап, а операции в А определены следующим
образом:
{ап}п s N U {bn}n s N = {an U bn}n m N,
(3) {an}n m N П {bX e N = {an П bn}n e „,
7.1. Произведение (2) булевых алгебр (1) салю является
булевой алгеброй.
Доказательство подобно доказательству аналогичной
теоремы I, 6.3 для решеток.
Заметим, что решетка {A, U, П} является в этом случае
произведением решеток {An, U, Л} (см. I, § 6, стр. 49).
Следовательно, утверждение I, § 6, (14) и теорема I, 7.2 также
справедливы для произведений булевых алгебр. В частности, если
все Ап — полные булевы алгебры, то таково же и их
произведение.
7.2. Если, при каждом /ie N9 An является полем
подмножеств множества Хп и множества Хп не пересекаются, то
отображение
w чи-u*)- U д.

§ 7] ПРОИЗВЕДЕНИЯ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР 99
(где Ап е Ап при всех п е N и (J означает
теоретико-множественное объединение) является изоморфизмом произведения
А= Р Ап на поле В всех таких подмножеств В объединения
х= (J *». что
Хп(]В бЛ„ мри каждом n&N.
Если, при каждом n^N, An является полем 93 (Хп) всех
подмножеств множества ХПу то В является полем 58 (X) всех
подмножеств множества X.
Доказательство проводится несложной проверкой.
Изоморфизм (4) дает естественное
теоретико-множественное представление для булевой алгебры А= Р Ап. Поэтому
мы будем часто отождествлять произведение А с указанным
в 7.2 полем В, не проводя различия между {An}n€EN и М Ап.
tl€=N
7.3. Предположим, что все Ап — двухэлементные булевы
алгебры. Пусть для каждого элемента a = {an}n(=N в
произведении А = Р Ап h (а) есть множество всех таких n^N, что
nszN
Яп=\/а . Отображение? h является изоморфизмом алгебры А
на поле 23 (N) всех подмножеств множества N.
7.3 можно вывести из 7.2, полагая, что Ап является полем
всех подмножеств одноэлементного множества Хп = (п).
Изоморфизм Л, указанный в 7.3, дает естественное теоретико-
множественное представление для произведения
двухэлементных алгебр Ап. Поэтому мы будем часто отождествлять
произведение А с полем 93(N), не проводя различия между оеД и
множеством Л (а).
Мы исследуем теперь произведение булевых алгебр,
понимаемых как обобщенные алгебры с бесконечными операциями (см.
замечания в конце § 1, стр. 88).
Пусть
(5) {Ani U, П, =Ф, -, и|&1.»' П|*М (леЛ0
— проиндексированное множество булевых алгебр. С помощью
общего определения в I, § 4, стр. 40, мы можем образовать
произведение всех обобщенных алгебр (5).
7.4. Произведение всех алгебр (5) является булевой
алгеброй
(6) {л, и, п, =Ф, -, и| р ctlfllf п\ р а2,«},
1 w l/ietf ■ II new J

100 БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ [ГЛ. II
где,А = Р Ап и {А, [), П> ^у —} является произведением
ftsJV
алгебр (1).
Это непосредственно следует из 7.1 и I, 7.3.
Рассмотрим теперь случай, когда все Ап — двухэлементные
алгебры, понимаемые как полные булевы алгебры,
(7) . {А„, U, П, =Ф. -. U' ЛЬ
В силу 7.4 их произведение является булевой алгеброй с
бесконечными операциями
(8) {A, U, П, =Ф, -, Ul^o, Dl^o),
где А = Р 4йий3- множество всех множеств 5 = Р Snt
n€=N /г s iV
0 Ф Sn cz An. Алгебра
(9) {А, П , U , =Ф, -}
является произведением алгебр {An, U, П, ^, —}.
При этих обозначениях справедлива следующая теорема:
7.5. Пусть В — полная*) булева алгебра. Каждый
гомоморфизм алгебры (9) в алгебру {В, U, П, =ф, —} является
гомоморфизмом обобщенной алгебры (8) в обобщенную алгебру
[В, U, П, #, U» Л}-
Другими словами: каждый булев гомоморфизм h: A-+B
сохраняет все бесконечные объединения и пересечения
(Ю)
а'= 1К
ае5
а"= П а>
(И)
где Se£t0.
По определению S = Р Sn>0 ф Sncz An. Допустим, что имеет
место равенство (10). В силу I, 7.2 a' = {an}n(BNt где an = \JSn.
Так как А„ ~-двухэлементная алгебра, то мы имеем an^Sn
при всех n^N и, следовательно, a'eS. Отсюда получаем
ft(a')^ U Mfl)« Обратное неравенство h(a')*^ (J А (а) имеет
ass ass
место всегда (см. I, § 7, (21)). Поэтому h{a')= (J Л (а), т. е. h
сохраняет объединение (10).
Доказательство того, что h сохраняет пересечение (И),
получается с помощью двойственности.
*) Это условие излишне и добавляется только для упрощения доказа*
тельства.

§ 8] СТОУНОВСКИЕ ПРОСТРАНСТВА БУЛЕВЫХ АЛГЕБР ЮГ
§ 8. Стоуновские пространства булевых алгебр
Пусть А — булева алгебра. Напомним обозначения из I, § 9,
стр. 64: 3*(А) обозначает стоуновское пространство всех
простых (= максимальных) фильтров в A, h(a) —множество всех
таких Vg^(A), что а е V, и Р(А) —класс всех А(а), аеА
8.1. Каждая булева алгебра изоморфна некоторому полю
множеств.
Точнее: если А — булева алгебра, то стоуновская решетка
Р(А) является полем подмножеств стоуновского пространства
&>(А) и стоуновский изоморфизм h является булевым
изоморфизмом алгебры А на Р{А) *).
В силу I, 9.3 достаточно доказать, что
h(—а) = — h(a) = <?{A) —h{a) при любом сеЛ,
где символ — в правой части означает
теоретико-множественную разность.
Если VE^(A)~A(a), т.е. V^ft(a), то а ф V по
определению А. В силу теоремы 5.2 (в) —aeV, т.е. VEA(-a).
Обратно, если VeA(—а), т.е. —aeV, то в силу 5.2 (г) а ф V.
Отсюда получаем V^A(a), т.е. VE^(A)-ft(a).
Если А — булева алгебра, то Р(А) называется стоуновским
полем алгебры А.
8.2. Стоуновское пространство &(А) любой булевой
алгебры А является компактным вполне несвязным хаусдорфовым
пространством. Стоуновское поле Р(А) является классом всех
одновременно замкнутых и открытых подмножеств
пространства i*(A)**).
!?(А) компактно в силу I, 9.4, так как в А имеется
единичный элемент. Если Vi и V2— различные точки из &*{А)У т.е.
различные простые-фильтры, то существует элемент а^А,
принадлежащий ровно одному из этих фильтров; пусть, например,
aeVj и а ф V2. Имеем Vi e h(a) и V2 Ф h (a), т. е. V2 e
е — h(a) = ft(—а). Множества h(a) и h(—a) открыты, не
пересекаются, и их объединением является все пространство^(А).
Поэтому &>(А) является вполне несвязным хаусдорфовым
пространством. Далее, при любом а открытое множество h(a)
является одновременно и замкнутым, так как оно совпадает с
дополнением открытого множества h(—а). С другой стороны, если
множество Gc^(A) одновременно открыто и замкнуто, то
G = h(a0) для некоторого аоеЛ В самом деле, G является
объединением открытых множеств h(at) (t^T) по
определению топологии в ^(А). Так как G — замкнутое подмножество
*) Стоун [2].
••) Стоун [3].

102 БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ [ГЛ. II
компактного пространства, то существуют /ь ..., ^пеГ такие,
что G = h(at\\j ... U h(at \==Л(а0), где a0 = at {] ... [} at .
Поле Р(А) обладает следующим важным свойством:
8.3*). Каждый гомоморфизм g поля Р(А) в какое-нибудь
поле В подмножеств множества X индуцирован/ некоторым
отображением г|), т. е. существует такое отображение г|): Х-+
-+&>(А), что
g(A) =г|)_1(Л) при любом А(=Р(А).
Композиция gh стоуновского изоморфизма h: A-+P(A) и
гомоморфизма g: Р(А)—+В является гомоморфизмом gh: A-*
-> В. Следовательно, для каждой точки х е X множество Vx
всех таких аеЛ, что х е g(h(a)), является простым фильтром
в Д, т. е. Voc ^ ^(А). Отображение
обладает требуемыми свойствами. В самом деле, по
определению х еg(h{a)) тогда и только тогда, когда aEVX) т.е.
Vx eA(a). Это доказывает, что
ty~l{h(a))*=gh(a) для любого а^А.
Следовательно, заменяя h(a) на Л, мы получаем, что г|)_1(Л) =
—#04) для каждого А е Р(Л).
Пусть Г — бесконечное множество. Если имеет место
равенство
(о
*еГ \ *е=Г I
то h(a) является бесконечным объединением (пересечением)
всех элементов h(at) в булевой алгебре Р(А), т.е. h(a)
является наименьшим (наибольшим) множеством,
принадлежащим Р{А) и содержащим все множества h(at) (содержащимся
во всех множествах h(at)). Однако множество Л (а), вообще
говоря, не является теоретико-множественным объединением
(пересечением) всех множеств h(at). В силу I, § 7, (21), (23) мы
имеем только
(2)
h (a) zd [J h{at) (h{a)cz f) h{at)\
t<BT \ t<=T I
где в правых частях (и далее в этом параграфе) (J и Г) °^0'
значают теоретико-множественное объединение и пересечение.
Символ cz может быть замещен на = в (2) тогда и только
тогда, когда а = at (J ... \J af для некоторой конечной по-
*) Сикорский [1].

§ 9) ПРЕДСТАВЛЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ БЕСКОНЕЧНЫЕ Ш
следовательности tu ..., trT^T. Достаточность этого условия
очевидна, так как h преобразует конечные объединения
(пересечения) в теоретико-множественные объединения
(пересечения). Чтобы доказать необходимость, предположим, что h(a) —
объединение всех h(at). Так как h(a) — замкнутое
подмножество компактного пространства &*(А), то существует такая
конечная последовательность /ь ,.., /п £ Г, что h(a) = h(at\ [} ...
... U h (at ) = h (at \] ... (J аЛ. Поэтому а = at (J • • • U at •
Формулировка и доказательство для пересечений
аналогичны.
8.4. Если выполнено равенство (1), то множество
(3) h (а) - U h (at) 1 П h («<) - h <a>)
является замкнутым, нигде не плотным подмножеством стоу*
новского пространства &>(А).
Мы докажем первую часть теоремы 8.4. Доказательство
второй части аналогично.
Множество # = А(а) — (J h(at) замкнуто, как разность
замкнутого и открытого множества. Предположим, что Н не
является нигде не плотным, т. е. Н содержит непустое открытое
подмножество. Тогда существует элемент а0£^ такой, что
h{a0)c:H, а0Ф Л.
Так как h(a0) czh(a), мы имеем а0<ав силу I, § 6, (9').
Поэтому а — а0Фа. С другой стороны, h(a0) czh(a) —h(at)9 т.е.
h(at) с: h(a) — h(a0)—h(a—-a0). Отсюда в силу I, § 6, (9')
Я/ ^ а — а0 при любом ^еГ. Из (1) а ^ а — я0. Поскольку
а — а0 ^ а, то а — а0=а. Мы пришли к противоречию.
§ 9. Представления, сохраняющие некоторые
бесконечные объединения и пересечения
Пусть А — булева алгебра, a (Q)—некоторое множество
бесконечных объединений и пересечений в А:
(Q) ™
*■<
В соответствии с I, § 7, стр. 56, мы скажем, что булев
гомоморфизм (изоморфизм) х алгебры А в булеву алгебру В

104
БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
(ГЛ. И
является Q-гомоморфизмом (Q-изоморфизмом), если он
сохраняет все бесконечные объединения и пересечения в (Q).
Из общих замечаний в I, § 7, стр. 56, следует, что стоуновский
изоморфизм А, рассматриваемый как отображение алгебры А
в Р(А), является Q-изоморфизмом, потому что это изоморфизм
на Р{А). Из соображений, приведенных в § 8, следует, что
стоуновский изоморфизм Л, рассматриваемый как изоморфизм
алгебры А в поле 23($Р(А)) всех подмножеств стоуновского
пространства !?(А), не является ,Q-изоморфизмом, кроме
некоторых тривиальных случаев. Ибо, вообще говоря, h(as)
не,является теоретико-множественным объединением всех h(a8ft)t
т. е. не является объединением h(aSit) в 33 (^ (А)). Аналогичное
утверждение справедливо для пересечений.
Для приложений во второй части этой книги важно знать,
при каких условиях существует Q-изоморфизм h0 алгебры А
в поле 93 (X) всех подмножеств некоторого пространства X, т. е.
такой изоморфизм h0 алгебры А на поле множеств, что Л0
преобразует все объединения и пересечения из (Q) в
соответствующие теоретико-множественные объединения и пересечения.
Вообще говоря, такого изоморфизма Л0 не существует. Мы
сформулируем необходимые и достаточные условия для
существования А0.
Для этих целей мы введем следующие определения:
максимальный фильтр V (максимальный идеал А) в А называется
Q-фильтром (Q-идеалом), если естественный гомоморфизм
алгебры А на A/V (на А/А) является Q-гомоморфизмом.
Другими словами, максимальный (т. е. простой) фильтр V
тогда и только тогда является Q-фильтром, когда
(а) при любом 5 е 5', если as e у> то существует- такой
индекс t e T's> что as, t ^ V;
(б) при любом s e S", если bs ф V, то существует такой
индекс t е Т", что bs, t & V-
Следующие обозначения представляют собой модификацию
обозначений из § 8 и I, § 9: ^Q (А) будет обозначать
множество всех Q-фильтров в А; при любом а^ А символ hQ {a)
будет обозначать множество всех таких Q-фильтров у, что
аеу; символ PQ{A) будет обозначать класс всех множеств
hQ (а), а^А.
По определению ^Q(A) является подмножеством
стоуновского пространства ^(А) и
(1) hQ(a) = h(a)f\<PQ(A).
Поэтому /?Q является гомоморфизмом алгебры А в поле 23 (^Q (A))

§ 91 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ БЕСКОНЕЧНЫЕ 105
всех подмножеств пространства &Q{A) (а именно на поле PQ(A)).
Более того:
9.1. Отображение hq является Q-гомоморфизМом алгебры А
в 93(^q(Л)), т.е. hQ преобразует все бесконечные объединения
и пересечения из (Q) в соответствующие
теоретико-множественные объединения и пересечения.
В силу I, § 7, (21) для доказательства того, что hq(as)
является объединением множеств hq(aa>t), где /е T's, достаточно
убедиться в том, что из Ve/iQ(as) следует W ^ hQ(aSf t) для
некоторого индекса /. По определению отображения /*q
V е hQ(as) эквивалентно asGV, a V е hQ(a8f t) эквивалентно
a8)feV. Поэтому наше утверждение следует из (а). Так
доказывается, что hQ сохраняет все объединения в (Q). Используя
(б) и I, § 7, (23), аналогично доказываем, что Aq сохраняет все
пересечения в (Q).
9.2. Следующие условия эквивалентны:
(i) каждый ненулевой элемент ag А принадлежит
некоторому Q-фильтру;
(И) hq является (^-изоморфизмом алгебры А в 93(^q{A))\
(Hi) существует Q-изоморфизм h0 алгебры А в поле 93 (X)
всех подмножеств некоторого пространства X.
(i) означает, что к(±(а)Ф0 при аФ/\, т.е. что гомоморфизм
hq является изоморфизмом (см. 3.1). Поэтому (i) в силу 9.1
влечет (и), (и) влечет (iii) тривиальным образом. Если имеет
место (iii) и аф/\, то множество h0(a) не пусто, т.е.
существует точка x0^h0(a). Множество V всех таких 6еЛ, что
x0^h0(b), является Q-фильтром, и agV. Поэтому (iii)
влечет (i).
9.3. Если множество (Q) является не более чем счетным
(т.е. множества S' и S" не более чем счетны), то множество
всех фильтров, не являющихся Q-фильтрами, является
множеством первой категории в стоуновском пространстве 0* (А) и
выполняется условие (i) *).
По определению Q-фильтров максимальный фильтр V не
является Q-фильтром тогда и только тогда, когда он
принадлежит одному из множеств
На,)- (J h(aSit) (se=S')f
*)Расёва и Сикорский [1]. Другое доказательство утверждения
(0 в условиях теоремы 9.3 принадлежит А. Тарскому (см. Ф е ф е р-

106
БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. II
где h — стоуновский изоморфизм, a (J и Q обозначают
теоретико-множественное объединение и пересечение.
Следовательно, множество М всех максимальных фильтров, которые не
являются Q-фильтрами, является множеством первой категории
в &{А), как объединение счетного множества нигде не плотных
множеств (см. 8.4). Если аФ/\, то h(a) является открытым
непустым множеством компактного хаусдорфова пространства
&>(А). В силу I, 2.2 множество ^(А)—М плотно, т.е. М —
граничное, поэтому h(a) —М не пусто, т.е. существует такой
Q-фильтр V, что ае\^
9.4. Если множество (Q) не более чем счетно, то существует
Q-изоморфизм h0 алгебры А в поле ?&{Х) все.х подмножеств
некоторого пространства X. Более того, мы можем предположить,
что мощность множества X не превосходит 2т, где т —
мощность множества А *).
Первая часть теоремы 9.4 непосредственно следует из 9.2 и
9.3. А именно, можно взять X=^Q(A) и /i0=/iq. Оценка
мощности множества &q(A) непосредственно следует из I, 9.5.
Заметим, что если А — полная булева алгебра и (Q) —
множество всех бесконечных объединений и пересечений в А, то
Pq(A) является полем всех подмножеств множества &>q(A).
В самом деле, каждое одноточечное множество (V), где Vg
^^q(A), является образом некоторого элемента из А, а
именно (V) =/tQ(av), где av — пересечение всех элементов qgV13).
Поэтому для любого множества Pc^q(A) мы имеем Р=
=/*Q(a), где а — объединение всех таких а , что VgP.
В § 10 мы приведем пример полной булевой алгебры, не
изоморфной полю всех подмножеств какого-либо пространства.
Для этой булевой алгебры не будет выполняться ни одно из
условий (i), (ii), (Hi).
§ 10. Минимальные расширения булевых алгебр
Каждая булева алгебра А изоморфна подалгебре
некоторой полной булевой алгебры. Так, например, стоуновский
изоморфизм отображает А в полное поле всех подмножеств стоу-
новского пространства !?(А). Этот изоморфизм, вообще говоря,
не сохраняет бесконечные объединения и пересечения. В этом
параграфе мы определим другой изоморфизм алгебры А в
некоторую полную булеву алгебру, сохраняющий все бесконечные
объединения и пересечения.
Пусть X — топологическое пространство. Говорят, что
множество A d X обладает свойством Бэра, если существует такое
*) Ра сё в а и С и к ор с к ц и [1].

§ jo} МИНИМАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ НУЛЕВЫХ АЛГЕБР 107
открытое множество G, что
(1) A — G и G — А являются множествами первой категории.
Объединение двух множеств Л, Л' со свойством Бэра само
обладает свойством Бэра. В самом деле, предположим, что (1)
выполнено, a G' — такое открытое множество, что А' — G' и
G' — А' являются множествами первой категории. Тогда G U G'
также открыто и
(A U Л') - (G U С) с: (Л - G) U (Л' - G'),
(G U G') - (Л U Л0 с: (G - Л) U (С - А')'
Поскольку множества в правых частях являются множествами
первой категории, то таковы же и множества в левых частях.
Дополнение —А = Х — Л множества Л со свойством Бэра
само обладает этим свойством. В самом деле, пусть (1)
выполняется. Множество G0 = —CG открыто, и множество CG — G
нигде не плотно. Имеем
(-Л) - G0 = (-G0) - Л = CG - Л с: (CG - G) U (G - Л),
G0 - (-Л) = G0 П Л = Л П ~CG = Л - CG с: Л - G,
чем доказано, что стоящие в левых частях множества являются
множествами первой категории.
Поэтому класс множеств, обладающих свойством Бэра,
является полем подмножеств пространства X. Разумеется, в нем
содержатся все открытые подмножества.
Рассмотрим теперь стоуновское пространство 3*(А) булевой
алгебры А. Пусть В — поле всех множеств Acz<P(A) со
свойством Бэра, и пусть Д — идеал всех множеств Л а&(А) первой
категории. Булева алгебра А* = В/Д называется минимальным
расширением*) алгебры А. Отображение
h* (а) == | h (a) | e А* при а^А,
где h — стоуновский изоморфизм алгебры А на стоуновское поле
Р(А) всех одновременно открытых и. замкнутых подмножеств
пространства ^(А), является гомоморфизмом. Если h*(a) есть
нулевой элемент алгебры А*, то h(a) еД, т. е. открытое
множество h(a) является множеством первой категории. В силу 1,2.2
множество h(a) пусто. Так как h — изоморфизм, то имеем а =
= ЛЛ. Это доказывает, что h* также является изоморфизмом.
Мы назовем Л* каноническим изоморфизмом алгебры А в А*.
*) Понятие минимального расширения было другим способом определено
Макнейлом [1]. Данное эквивалентное определение принадлежит Сикор-
с к о м у [3].

108 БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ ftVI. It
10.1*). Минимальное расширение А* произвольной булевой
алгебры А является полной булевой алгеброй. Канонический
изоморфизм h* сохраняет все бесконечные объединения и
пересечения, т. е.
(2) если а= \JA аи то A*(a) = [JA*h*(at),
ts=T t<==T
(3) если b= [}Abt, то h*(b) = f)A*h*(bt).
t^T t€=T
В этом параграфе символ (J без верхних индексов будет
обозначать только теоретико-множественное объединение.
Если имеет место (1), то |Л| = |G|. Поэтому каждый
элемент из А* может быть представлен в форме | G |, где G открыто.
Сначала мы докажем, что
(4) |и°<|=1П0'|
для каждого проиндексированного множества {Gt}t(=T открытых
подмножеств пространства ^(А).
Пусть Go —объединение всех множеств G*. Так как Gtc:Go,
то имеем
|G,K|G0| при любом /еГ.
С другой стороны, предположим, что \G\ еЛ* (G открыто)
является таким элементом из А*, что
|G,|<|G| для всех /еГ
Так как | Gt — G | = | Gt | — | G | = Лд*, множество Gt — G
является множеством первой категории. Поэтому множество
Gt—CG является открытым множеством первой категории
(ведь оно — подмножество множества Gt — G); поэтому оно
пусто в силу I, 2.2, т. е.
GfCiCG для всех /еГ,
Значит, Go c= CG = G U (CG — G), и поэтому
|G0|<|CG| = |G|U|CG-G|.
Так как множество CG — G нигде не плотно, то |CG — G\
является нулевым элементом алгебры А* и, следовательно,
|Gol<|G|,
что завершает доказательство равенства {4). Поскольку каждое
проиндексированное множество элементов алгебры А* можно
*) Макнейл [1].

§ 10] МИНИМАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР 10$
представить в форме {| Gt\}tG.T, где все Gt открыты, из (4) еле-
дует, что объединение элементов любого множества всегда
существует, т. е. А*— полная булева алгебра.
Пусть теперь выполнено условие утверждения (2). Мы имеем
(см. §8, (2))
h(a) = (h(a)- (J h(at))\J (J h{at).
В силу 8.4 элемент A (a)— (J h(at)\ является нулевым в А\
I *е=г I
Поэтому
АЧа)«|А(а)|-| U h(at)\= \JA*\h{at)\= IT *•(«,)
в силу (4).
(3) следует из (2) и законов де Моргана (см. § 1, (19) —(22)).
Элемент а0 булевой алгебры А называется атомом, если а0ф
ф А и не существует элемента а ^ а0 такого, что Л ф а Ф а^
Например, если А —поле множеств, то каждое одноточечное
множество, принадлежащее А, является атомом поля А.
Булева алгебра называется атомной, если для каждого
элемента аф Л существует атом а0 ^ а. Например, поле всех
подмножеств фиксированного пространства — атомное. Более общо,
атомным является каждое полное поле множеств (т. е. такое
поле А, что объединение и пересечение любого класса множеств
из А принадлежат А). В самом деле, если множество А е А не
пусто, то пусть Хо е А. Пересечение Л0 всех множеств из А,
содержащих х0, является атомом поля А, и А0с= Л.
Булева алгебра А называется безатомной, если в ней вообще
нет атомов, т. е. при произвольном а Ф Л существует такой
элемент а' ^а, что Л Ф а'фа. Если, например, А0 — поле всех
подмножеств какого-нибудь бесконечного пространства и До —
идеал всех конечных подмножеств, то булева алгебра А = А0/Ао
безатомна. В самом деле, если а= \А\ еЛ (ДеЛ0) не
является нулевым элементом алгебры А, то множество А
бесконечно. Если А' — такое подмножество множества А, что как А',
так и А — А' бесконечны, то а' = | Af |<а и 1\ ф а' ф а.
Свойство безатомности (или атомности) инвариантно
относительно изоморфизмов. Поэтому никакая безатомная булева
алгебра не может быть изоморфной полному полю множеств.
Если булева алгебра А безатомна, то ее минимальное
расширение А* также безатомно. В самом деле, если \G\ eA* =
= В/А (см. стр. 107) не является нулевым элементом алгебры
А*, то можно предположить, что G — непустое открытое
множество. В силу определения топологии в стоуновском пространстве

110
БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. II
&(А) существует такой элемент аФ/\А, что h(a)czG. Пусть
а'^.а, /\ХФ а' ф а. Элемент |Л(я')1 отличается от нулевого
йот |G|, и \Ца')\ < \G\.
Поэтому мы получаем, что если А — безатомная булева
алгебра, то полная булева алгебра А* не может быть изоморфна
какому-нибудь полному полю множеств. А значит, вложение
булевой алгебры А в полную булеву алгебру, определяемое
каноническим изоморфизмом Л*, имеет совсем другой характер, чем
вложение, определяемое стоуновским изоморфизмом (см. начало
параграфа).
§11. Канторов дисконтинуум
Пусть Е— непустое множество, а 2) — прямое произведение:
2D = UB9
где U — двухэлементное множество из целых чисел 0 и 1. По
определению 3) — множество всех таких и = {ыа}ае£, что для
любого а е Е либо иа = 0, либо иа = 1.
Для каждого а еЕ пусть Da — множество всех таких «g®,
что аа=1. Пусть Z)0 — класс всех Da (ae£), а D— поле
(подмножеств множества 2))> порожденное классом Do14). Мы
будем рассматривать Sb как топологическое пространство, в
котором D0 является подбазой (см. 1,2.1). Построенное таким
образом топологическое пространство называется канторовым
дисконтинуумом над Е. По определению поле D является базой
для 2>.
11.1. Каждое отображение g класса Dq в произвольную булеву
алгебру В может быть продолжено до булева гомоморфизма h
поля D в В*).
В соответствии с общим определением свободной алгебры
(см. I, § 4) теорему 11.1 можно сформулировать также
следующим образом:
D является свободной булевой алгеброй с системой свобод-
ных образующих Do,
Так как каждая булева алгебра изоморфна некоторому полю
множеств, то достаточно доказать 11.1 для того случая, когда В
является полем подмножеств некоторого пространства X.
Для каждого a e E полагаем
f 1, если xe=g(Da),
фа(*)-\0, если x&g(Da)
*) См., например, С и к о р с к и й [4].

$ И] КАНТОРОВ ДИСКОНТИНУУМ Ш
и далее полагаем
ф(*) = {<Ра(*)}е0-
В силу определения
<rl(Da) = g(Da).
Поэтому формула
Д(Л) = ф-1(Л) для ЛеВ
определяет гомоморфизм (поля D в В15)), являющийся
продолжением g.
11.2. Канторов дисконтинуум 3) является вполне несвязным
компактным пространством, гомеоморфным стоуновскому про-
странству &(D) булевой алгебры D. Поле D состоит из всех
одновременно открытых и замкнутых подмножеств пространства 2D
и эквивалентно стоуновскому полю P(D) алгебры D.
Из замечаний, сделанных в конце § 3, следует, что
достаточно убедиться в существовании такого взаимно-однозначного
отображения ф пространства &*(D) на iZ), что
(1) Ф"4(^) ^Р{&) тогда и только тогда, когда ЛеЛ
Пусть h — стоуновский изоморфизм поля D на P{D). Полагая
X = &(D) и беря в качестве g сужение отображения h на /)0,
мы тем же самым методом, как в доказательстве теоремы 11.1,
определим отображение ф: ^(D) ->3) такое, что
(2) h(A) = q>-l{A)16) при Лей.
/г"1 является изоморфизмом поля P(D) на поле D подмножеств
пространства 3). По теореме 8.3 существует такое отображение
\|г. £)->&{0), что
(3) h-l{B) = ^-l(B) при любом B<=P(D).
Следовательно,
ф-1 (г|г4 (В)) = В для всех BeeP(D)
и
г|г4(ф-1 (А)) =А для всех ЛеВ.
Так как две любые точки в 3) отделяются некоторым
множеством ДеВ (т. е. ровно одна из них принадлежит А) и
аналогичное утверждение справедливо для точек из !?(D), то имеем
\|) = <р-1. Значит, ф является взаимно-однозначным
отображением пространства ^(D) на iZ). Свойство (1) следует из (2) и (3).
Ф является гомеоморфизмом пространства ^(D) на 2),
реализующим эквивалентность полей P{D) и Л

ГЛАВА III
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
§ 1. Определение и элементарные свойства
Под топологической булевой алгеброй *) мы будем понимать
булеву алгебру А с дополнительной операцией I, которая
каждому элементу а^А сопоставляет элемент laeА таким
образом, что удовлетворяются следующие аксиомы:
(i,) l(af]b) = \a(]lbt
(i2) Ia<a,
(i3) Ha = la,
(i4) IV = V
при любых a, fee А. Другими словами, топологическая булева
алгебра является универсальной алгеброй {A, U, Л, =Ф, —, 1}
такой, что {A, U, П, =Ф, —} есть булева алгебра, а I удовлетворяет
условиям (ii) — (i4).
Любая операция I (в какой-нибудь булевой алгебре),
удовлетворяющая условиям (ii) — (ii), называется операцией взятия
внутренности.
Например, если X— топологическое пространство, а А —
такое поле подмножеств пространства X, что
\А е А при любом ЛеЛ
(здесь \А означает внутренность множества А — см. I, § 2), то А
является топологической булевой алгеброй. Каждая
топологическая булева алгебра такого типа будет называться
топологическим полем множеств (точнее: топологическим полем
подмножеств пространства X). В частности, класс S3(X) всех
подмножеств топологического пространства X является топологическим
полем.
*) Систематическое изложение топологических булевых алгебр имеется
уМак-Кинси и Тарского [l]v С икорского [2], Нёбелинга [1].

§п
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА
113
Вышеуказанные аксиомы (ц) — (i4) тождественны аксиомам
(ii) — (h) из I, § 2. Таким образом, операция взятия
внутренности I в топологических булевых алгебрах имеет, грубо говоря,
такие же свойства, как операция взятия внутренности множеств
в топологических пространствах. Поэтому мы будем
использовать ту же терминологию, что и в случае топологических
пространств.
Например, элемент la будет называться внутренностью
элемента а. в топологической булевой алгебре А. Элемент —I — а
будет называться замыканием элемента аеЛ и обозначаться
посредством Са. По определению
(1) Са = — I — а и 1а = —С —а.
Так же, как и в I, § 2, мы доказываем:
(с,) C{aUb) = Ca[)Cb,
(с2) а ^ Са,
(с3) ССа = Са,
(с4) СЛ = Л
при любых а, 6еЛ. Обратно (см. аналогичное замечание на
стр. 20), если А— булева алгебра с операцией С,
сопоставляющей каждому а^А элемент Са таким способом, что
выполняются (ci) — (С4), то операция I, определяемая с помощью второго
из равенств (1), удовлетворяет (ii)— (и)> т. е. А является
топологической булевой алгеброй*).
Каждая операция С (в какой-нибудь булевой алгебре),
удовлетворяющая условиям (ci) — (C4), называется операцией взятия
замыкания.
Из (ii) и (ci) для произвольных а, Ь е А непосредственно
следует:
(2) а<& влечет 1а<1й и Ca<Cft.
Элемент а^А называется открытым (замкнутым), если a =
= la (если a = Ca). Например, внутренность (замыкание)
любого элемента в силу (\з) (в силу (сз)) является открытым
(замкнутым) элементом. Как и в случае топологических пространств,
мы можем доказать, что а открыт (замкнут) тогда и только
тогда, когда замкнуто (открыто) его дополнение —а.
Пересечение (объединение) конечного числа открытых (замкнутых)
элементов открыто (замкнуто). Объединение (пересечение) любого
числа открытых (замкнутых) элементов, если оно существует,
*) По этой причине многие авторы называют топологические булевы
алгебры алгебрами с замыканием.

114
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. Ill
открыто (замкнуто). В частности, объединение (пересечение)
конечного числа открытых (замкнутых) элементов всегда
открыто (замкнуто). Если элемент а открыт (замкнут), а Ь замкнут
(открыт), то элемент а — Ь открыт (замкнут).
Как и в случае топологических пространств, мы замечаем,
что если Ъ — открытый элемент, то при любом а
(3) Ь ^ а тогда и только тогда, когда Ь ^Ла
в силу Ог) и (2). Поэтому \а является наибольшим открытым
элементом, содержащимся в а. Аналогично, если 6— замкнутый
элемент, то при любом а
(4) а ^ Ь тогда и только тогда, когда Са ^ Ъ
в силу (сг) и (2). Поэтому Са является наименьшим замкнутым
элементом, содержащим а.
Элемент а топологической булевой алгебры А называется
плотным (точнее: плотным в А), если Са = V. Так же, как и
в случае топологических пространств, в произвольных
топологических булевых алгебрах можно ввести понятия граничного и
нигде не плотного элементов, но эти понятия не будут играть
существенной роли в нашем исследовании.
Обобщая определения на стр. 21, скажем, что класс В
открытых элементов топологической булевой алгебры А является
базой для А, если любой открытый элемент алгебры А является
(конечным или бесконечным) объединением некоторых
элементов из В. Класс В0 открытых элементов называется подбазой
алгебры А, если класс В, составленный из нулевого элемента Л,
единичного элемента V и всех конечных пересечений aif) • • • Пвп,
где аи ..., ап е В0, является базой алгебры А. Конечно, если
Во — подбаза, содержащая нулевой и единичный элементы, и
если fci П Ъг е В0 при любых bu b2 e В0, то В0 является базой.
Следующая теорема является обобщением теоремы I, 2.1:
1.1. Для любого класса В0 элементов полной булевой алгебры
А существует ровно одна операция взятия внутренности I в А
такая, что В0 является подбазой топологической булевой
алгебры А с операцией взятия внутренности I.
Доказательство проходит так же, как и доказательство
теоремы 1,2.1.
В соответствии с общим определением в I, § 4 под
топологической подалгеброй топологической булевой алгебры А мы
понимаем любую булеву подалгебру А' (булевой алгебры А),
которая замкнута относительно операции взятия внутренности, т. е.
\а е А' при любом а е А'.
Разумеется, булева подалгебра А' топологической булевой
алгебры А является топологической подалгеброй алгебры Д

§ 2] РЕЛЯТИВИЗАЦИЯ К ГЛАВНЫМ ИДЕАЛАМ 115
тогда и только тогда, когда А' замкнуто относительно операции
взятия замыкания, т. е.
Са е А для любого а е А'.
Мы всегда будем предполагать, что символы I и С
связывают теснее, чем U» П и гф, т. е. что выражения вида 1а=фй,
Са[}Ь нужно понимать как (1а)=фй, (Са)[)Ь и т. д.
§ 2. Релятивизация к главным идеалам
Как мы видели в II, 6.1, главный идеал Agi порожденный
элементом g в булевой алгебре А, также можно рассматривать
как булеву алгебру с теми же объединением и пересечением, что
и в А, и с дополнением для а бЛ^ (т, е. для а ^ g),
определенным как g — а.
Если А — топологическая булева алгебра (с операцией
взятия внутренности I и операцией взятия замыкания С), то Ag
также можно интерпретировать как топологическую булеву
алгебру, причем операция взятия замыкания С* в Ag
определяется с помощью равенства
(1) Cffa = gf|Ca при a<^Ag.
Очевидно, что Cg удовлетворяет аксиомам (с^, (с2), (с4).
Так как CgCga = g П С (g П Са)< g (] ССа = g П Са = Cga =
=g(]Ca^:g(]C(g(]Ca) = CgCga при a<g, то аксиома (с3)
также выполнена.
Операция взятия внутренности lgi определенная в Ag с
помощью Cg по общему правилу § 1, (1), задается тождеством17)
(2) lga = gn\(aU-g) = g()l(g=$a) при аеЛг
Заметим, что элемент a^Ag замкнут в Ag (т. е. а = С^а)
тогда и только тогда, когда он является элементом вида
(3) а = ё[)Ь,
где ft— замкнутый элемент алгебры А (т. е. СЬ = 6, бе А).
В самом деле, если a = C^a, т. е. a = gC\Ca, то достаточно
взять ft = Ca. С другой стороны, если a—-g()b и Ь = Cft, то
Cga = g()C(gnbX:g{)Cb = g()b = a<i Cgaf что доказывает
равенство а = С^а.
Следовательно, если g замкнут в А, то элемент аеЛг
замкнут в Ag тогда и только тогда, когда он замкнут в А.
Если g замкнут, то формула (1) может быть упрощена:
(10 Cga = Ca при любом a^Ag.

116
Топологические булёш алгебры
[гл. ш
Переходя к дополнениям, мы получаем, что элемент a^Ag
открыт, в Ag (т. е. а = 1^а) тогда и только тогда, когда он
имеет вид (3), где Ь — открытый элемент в А (т. е. \Ь = Ь,
Ье-А).
Следовательно, если g открыт в Л, то элемент a^Ag
открыт в Ag тогда и только тогда, когда он открыт в Л. Если g
открыт, то формула (2) упрощается следующим образом:
(2') \gu = \а для любого а е Лг
Действительно, если a^.g и g = lgi то
lga = g(]l(a\j-g) = lgf\l(aU-g) = Kg(](aU-g)) = la.
2.1. Если В —база топологической алгебры А и gGЛ, то
множество всех элементов g(]b9 где Ь е В, является базой
для Av Если В0 — подбаза для Л, то множество всех элементов
g(]b9 где Ь е В0, является подбазой для Ag.
Если а е Ag открыт в Ag1 то а = g f| a0i где а0 открыт в Л.
Так как В— база в Л, то существует такое множество {bt}t€ET
элементов из В, что а0= (J ft*. В силу бесконечного дистрибу-
тивного закона II, 1.4, (23) а= \J (g(]bt). Это доказывает,
что элементы gf|&» где бе В, образуют базу для Ag.
Если В0 — подбаза алгебры Л, то класс всех элементов
Ъх П" • • • П £/i> где 6lf ♦.., bn e B0, вместе с нулевым и единичным
элементами алгебры Л образует базу для Л. В силу уже
доказанной части 2.1 элементы g(]b{(] ... (]bn (bu ..., bn^B0)
вместе с нулевым и единичным элементами алгебры Ag
образуют базу для Ag. Так как
grR&iП ... n*„ = ten*i)n ... DtenU,
то этим доказана вторая часть 2.1.
Если Л — топологическая булева алгебра 93 (X) всех
подмножеств топологического пространства X и G — подмножество
множества X, то ЗЗрОс = 33(G), т. е. G становится
топологическим пространством с операцией взятия внутренности Ig и
операцией взятия замыкания Cg, определяемыми равенствами
\QA = G[)l(AUtX-G)) = G()l(G=>A),
W CQA = G{)CA при A<=G.
Если G открыто, то
(40 \QA = \A при AczG.

§3] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГОМОМОРФИЗМЫ И ИЗОМОРФИЗМЫ Ц7
Из (3) (или из 2.1 и I, § 2, (11)) следует, что топологическое
пространство О с операцией взятия внутренности Ig,
определенной таким образом, является топологическим подпространством
топологического пространства X в смысле I, § 2, стр. 27. Поэтому
равенства (4) являются определениями операций взятия
внутренности и взятия замыкания в топологических
подпространствах топологических пространств.
§ 3. Топологические гомоморфизмы и изоморфизмы.
Внутренние отображения
В соответствии с общим определением из I, § 4 отображение
h топологической булевой алгебры А в топологическую булеву
алгебру В называется гомоморфизмом, если оно сохраняет все
булевы операции и операцию взятия внутренности I, т. е. если
(1) h(a\]b) = h{a)\}h{b\ h(a[\b) = h(a)[\h(b\
(2) h {а =ф Ь) = h (а) =ф h (ft), h (-а) = -Л (а)9
(3) h{\a) = \h{a)
при любых а, Ъ е А. Если к тому же h взаимно-однозначно, то
оно называется изоморфизмом.
Разумеется, (3) можно заменить на условие
(4) ft(Ca) = Cft(a),
которое эквивалентно (3) в силу второго из тождеств (2) (см.
§1,(1)).
Иногда необходимо рассматривать топологические булевы
алгебры только как булевы алгебры и изучать такие
отображения ft, которые удовлетворяют только условиям (1) и (2), т. е.
сохраняют только булевы операции. Во избежание
недоразумений отображение А: А->В, удовлетворяющее только условиям
(1) и (2), будет называться булевым гомоморфизмом (в
соответствии с II, § 3), а отображение Л: А-+В, удовлетворяющее
условиям (1), (2) и (3), будет называться топологическим
гомоморфизмом. Такая же терминология используется и для
изоморфизмов.
Если существует топологический изоморфизм ft алгебры А на
В, то алгебры А и В называются изоморфными или гомеоморф-
ными. Конечно, в этом случае А-1 является топологическим
изоморфизмом алгебры В на А.
Если, например, X и Y — топологические пространства и <р —
гомеоморфизм пространства X на У, то отображение
й(В) = ф-1(Д). при BczY

118 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III
является топологическим изоморфизмом алгебры 93(У) на 93(X).
Можно доказать, что каждый топологический изоморфизм h
алгебры 93(У) на 93(X) имеет этот вид, т. е. индуцирован
некоторым гомеоморфизмом пространства X на У (в самом деле, h
преобразует атомы алгебры 93(Х) в атомы алгебры 93(У), т. е.
устанавливает взаимно-однозначное соответствие <р между
точками пространств X и У, причем ср является гомеоморфизмом).
Поэтому понятие топологического изоморфизма является
обобщением понятия гомеоморфизма между топологическими
пространствами.
Следующая теорема дает важный пример топологического
гомоморфизма:
3.1. Если g— открытый элемент топологической алгебры Л,
то отображение
(5) h(a) = g()a {а<Е=А)
является топологическим гомоморфизмом алгебры А на Аё (см.
§2).
В самом деле, из 11,6.2 следует; что h является булевым
гомоморфизмом. Он сохраняет также и операцию взятия
внутренности, так как в силу § 2, (2') и (Ц)
h(la) = g()la = lg{)\a = \(g{)a) = \fi(a) = lgh{a).
Стоит заметить, что справедливо также утверждение,
обратное 3.1: если (5) —топологическийломоморфизм, то g —
открытый элемент. Действительно, тогда g = \gg = \gh {g) = h (\g) =
= gfi\g = lg.
Пусть <p — отображение топологического пространства X в
топологическое пространство У. Обсудим, при каких условиях
булев гомоморфизм ft, индуцированный отображением ср, т. е.
булев гомоморфизм
(6) А(В) = Ф-1(В) (ВсГ)
алгебры 93(У) в 93(J), является топологическим, т. е.
(7) qr1 (IB) = IqT1 {В) для каждого множества BaY.
Для этой цели введем следующие определения.
Отображение ф называется непрерывным, если для каждого
открытого множества В cz У множество ф"Ч^) открыто в X
(или — переходя к дополнениям — если Ф-1(^) замкнуто в Хдля
каждого замкнутого множества BaY).
Из определения непосредственно следует, что отображение ф
непрерывно тогда и только тогда, когда
(8) Ф"1^) открыто в X для любого множества В в некоторой
подбазе пространства У.

§3] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГОМОМОРФИЗМЫ И ИЗОМОРФИЗМЫ 119
Отображение ф непрерывно тогда и только тогда, когда
(9) ф-1 (IB)cz 1ф-1 (В) для любого множества BaY.
Действительно, если имеет место (9) и В = 1В, то 1ф_1(В)с:
aqrl(B)c\qrl(B) (в силу i2)); это доказывает, что множество
Ф-1(В) открыто. Обратно, если прообраз каждого открытого
множества открыт, то ф-1 (1Б) = 1ф~1 (IB) с: \qrl(B) (см. (i2)),
т. е. (9) имеет место.
Отображение ф называется открытым, если ф(Л) открыто в У
для каждого открытого множества Ad X.
Из определения непосредственно следует, что ф открыто тогда
и только тогда, когда
(10) ф(Л) открыто в У для любого множества А в некоторой
базе пространства X.
Отображение ф открыто в том и только в том случае, когда
(11) <р(1Л)с:1ф(Л) для любого множества АаХ.
Действительно, если выполняется (11) и А = \А, то ф(Л)=
=ф.(1Л)с= 1ф(Л)с=ф(Л), т, е. ф(Л) = 1ф(Л) открыто. Обратно,
если-ф открыто, то ф (L4) = 1ф (\А) cz 1ф (А) (см. (i2)), что
доказывает (11).
Отображение ф открыто тогда и только тогда, когда
(12) 1ф~! (В) cz ф"1 (IB) для любого множества В cz У.
Достаточно доказать эквивалентность (11) и (12). Если для
Л = ф-1(£) имеет место (11), то q>(l(Q-l(B))czl<f(<f-l(B))czlBt
что влечет (12). Обратно, если для В = ф-(Л) имеет место (12),
то Ыс: 1ф-1(ф(Л))с=ф-1(1ф(Л)), что влечет (11).
Отображение ф: X —► У называется внутренним
отображением пространства X в У, если оно непрерывно и открыто.
Из (9) и (12) немедленно следует, что
3.2. Булев гомоморфизм А, определяемый посредством (6),
является топологическим тогда и только тогда, когда ф —
внутреннее отображение *).
Заметим, что в силу определения непрерывности
взаимнооднозначное отображение ф топологического пространства X на
топологическое пространство У является гомеоморфизмом тогда
и только тогда, когда оба отображения ф и ф-1 непрерывны.
Можно доказать, что каждое из следующих условий
необходимо и достаточно для непрерывности отображения ф тополо-
*) Уоллес [1]; см. также Сикорский [5], [7].

120
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
(ГЛ. III
гического пространства X в топологическое пространство Y:
Cq>-l(B)<=:q)-l(CB) при любом BczY,
ф(СЛ)сСф(Л) при любом АаХ.
Кроме того, ф открыто тогда и только тогда, когда
qr^CfiJcCqr1^) при любом BczY.
§ 4. Расширения и вложения топологических булевых алгебр
Следующая лемма будет играть в этом параграфе основную
роль:
4.1. Пусть В0 — подалгебра полной булевой алгебры В.
Каждая операция взятия внутренности 10 в В0 может быть
продолжена до операции взятия внутренности \ в В так, чтобы
открытые элементы из В0 составляли базу для В*).
В силу 1.1 существует такая операция взятия внутренности I
в В, что класс G0 всех открытых элементов из В0 является
подбазой топологической алгебры В. Так как класс G0 содержит
нулевой и единичный элементы алгебры В и Ь{(]Ь2^(г0 при
b{, b2^ G0, класс G0 является даже базой для В (см. стр. 114).
Мы докажем, что I является продолжением операции 10, т. е.
что 1а = 10я при а^В0. По определению 1а есть объединение
всех b^G0 таких, что 6^ а. С другой стороны, 10а есть
наибольший элемент b^GQ такой, что Ь^а (см. замечание после
yтвepждeния^ (3) на стр. 114). Отсюда следует, что 1а = 10а.
4.2. Для каждой топологической булевой алгебры А
существуют такие полная булева алгебра А* и топологический
изоморфизм h алгебры А в Л*, что h сохраняет все бесконечные
объединения и пересечения в А и элементы А (а), где а открыто
в Л, образуют базу для Л* **).
Пусть h — канонический булев изоморфизм алгебры Л в ее
минимальное расширение Л* (см. II, § 10). Из II, 10.1 следует,
что h сохраняет все бесконечные объединения и пересечения
в Л. Применим члемму 4.1, считая, что B0 = h(A) и В —А*.
Изоморфизм h индуцирует в В0 операцию взятия внутренности,
определяемую следующим образом:
(1) \h{a) = h(\a) (a^A)
(в правой части использована операция взятия внутренности
в Л).
Теперь при помощи леммы 4.1 расширим эту операцию
взятия внутренности на всю алгебру Л*. Л* становится полной то-
*) М а к - К и н с и и Тарский [1].
** j P а с ё в а [2].

$ 4] РАСШИРЕНИЯ И ВЛОЖЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР 121
пологической алгеброй, а А — требуемым топологическим
изоморфизмом.
4.3. Каждая топологическая булева алгебра А изоморфна
некоторому топологическому полю множеств, т. е. существует
некоторое топологическое пространство X и топологический
изоморфизм h алгебры в S3 (X). Дополнительно можно
утверждать, что мощность пространства X не превосходит 2т, где
m —мощность множества А, и что класс всех множеств h(a),
где а открыто в А, является базой для X. Более того, при
любом счетном множестве (Q) бесконечных объединений и
пересечений в А можно потребовать, чтобы h было
{(^-изоморфизмом алгебры А в 33(X)*).
В силу II, 9.4 существует булев (Q)-изоморфизм h алгебры Л
на поле В0 подмножеств некоторого пространства X с
мощностью, не превосходящей 2т. Определяем операцию взятия
внутренности I в В0 посредством (1) и расширяем ее на всю
алгебру 93 (X) с помощью 4.1. X тогда становится топологическим
пространством, а множества Л (а), где а — открытый элемент,
образуют открытую базу для X.
Следующая лемма будет полезна в IV, § 9 и XI, § 9:
4.4. пусть А — топологическая булева алгебра, Л0 —
конечное подмножество множества А и А' — булева подалгебра,
порожденная множеством А0. Тогда существует такая операция
взятия внутренности I в А', что для любого а^А'
если \а е Aq, to \'а =? \а.
Алгебра А' содержит самое большее 22 элементов, где' г —
число элементов в Л0 **).
Оценка числа элементов алгебры А' следует непосредственно
из II, 2.3.
Пусть В0 — класс всех открытых элементов алгебры А,
принадлежащих множеству Л0. В силу 1.1 существует такая опе-
рация взятия внутренности Г в Л', что В0 является подбазой
алгебры Л', понимаемой как топологическая булева алгебра
с операцией взятия внутренности Г. А именно, rv = V и, при
а Ф V {а е Л'), У а является объединением конечных
пересечений ftjfl ... Г)&я<а, где ft,, ...,J№gB0, или Га=Л, если
таких пересечений не существует. Поэтому
У а ^ \а при любом а е А'.
*) Первая часть теоремы 4.3 доказана Мак-Кинси и Тарским
[1], вторая — Расёвой и Сикорским[3].
**) Мак-Кинси и Тарский [1].

122
БИОЛОГИЧЕСКИЕ ЁУЛЁЙЫ АЛГЕБРЫ
(ГЛ. ill
Если
1а е Л0, то la е В0 и la < а.
Отсюда следует, что 1а^Га, чем и доказывается, что la = Ya.
§ 5. Сильно компактные пространства
Топологическое пространство X называется сильно
компактным, если для любого множества {Gt}teT открытых
подмножеств пространства X из того, что X является объединением
всех Gty следует, что X = Gto для некоторого t0. Переходя к
дополнениям, получаем, что X сильно компактно тогда и только
тогда, когда пересечение любого класса непустых замкнутых
множеств не пусто.
Поэтому, если X сильно компактно, то пересечение F0 всех
непустых замкнутых подмножеств пространства X не пусто.
F0 является наименьшим непустым замкнутым подмножеством
пространства X, т. е. F0cz F для любого непустого замкнутого
множества F d X. Дополнение G0 = X — F0 является
наибольшим открытым собственным подмножеством пространства Х>
т. е. Gc G0 для любого открытого подмножества G Ф X.
Обратно, если класс всех непустых замкнутых подмножеств
содержит наименьшее множество (или, эквивалентно, если класс
всех собственных открытых подмножеств содержит наибольшее
множество), то X сильно компактно.
5.1. Каждое топологическое пространство X является
открытым подпространством такого сильно компактного
пространства Х0, что Х0 — X является одноточечным множеством и класс
всех открытых подмножеств пространства Х0 составлен из Х0 и
всех открытых подмножеств пространства X.
Пусть Xq — какой-нибудь не принадлежащий X элемент и
пусть Х0 = X U {*}. В силу I, 2.1 существует такая операция
взятия внутренности в X0i что класс В0 всех открытых
подмножеств, пространства X является подбазой в Х0. По определению
класс всех открытых подмножеств пространства Х0 составлен
из множества Х0 и всех открытых подмножеств пространства X.
В частности, X является открытым подмножеством
пространства Х0. Легко убедиться, что X является топологическим
подпространством пространства Х0 (см. I, § 2, (10) и (11)).
Так как Х0 — единственное открытое множество (в Х0)у
которое содержит точку x0i то пространство Х0 сильно компактно.
А именно, X — наибольшее открытое собственное подмножество
пространства Х0> а (х0) — наименьшее непустое замкнутое
подмножество пространства Х0. Пространство Х0, построенное в
доказательстве теоремы 5.1, будет называться одноточечной
сильной компактификацией пространства X.

§6] МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 123
§ 6. Метрические пространства
Под метрическим пространством мы понимаем множество X
с действительной функцией р(дс, у), определенной при всех
х, у е X и такой, что
(rtii) 0 ^ р(дс, у)< <j)o, р(х, у)= О тогда и только тогда, когда
х = у;
(ш2) р(х, У)=р{У, х);
(ш3) р(*, у)< р(*, z)+p(z, у).
Точнее, метрическое пространство — это пара {X, р}, где X —
некоторое множество, р — функция (называемая метрикой),
удовлетворяющая вышеприведенным условиям. Число р(х, у)
называется расстоянием между хну.
Для каждого подмножества А метрического пространства
положим
p(xt Л) =00, если А = О,
и
р(*, Л) = infp(*, у), где jeA,
если А Ф 0. По определению 0^р(*, Л)<оо при Л ^ 0 и
р(лг, А) = 0, если дс е Л.
Из определения непосредственно следует, что
(1) р(х, Л UB)=min(p(*, Л), р(х, В))
и
(2) если Л с: В, то р(х, Л)>р(х, В).
Если Л =# 0, то для любых у ^ А и х, х' ^ X
р(ху Д)<р(х, j)<p(x, *')+р(*', У).
Отсюда
р(х, Л)<р(х, х') + р(*', Л).
Меняя х п х' местами, получим
р(х', Л)<р(*', х) + р{х9 А).
Отсюда в силу (ш2) имеем
(3) | р (х, А) - р (*', А) |< р (*, *') (Л ^ 0).
Последовательность точек хп^Х (я = 1,2,...) называется
сходящейся к точке ^sl (или: * называется пределом
последовательности {хп})у если
lim p^, *) = Q.

124 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ [ГЛ III
Мы пишем тогда
дс = lim xn или хп->х.
Если, например, хп == х при всех п, то хп —► дс.
Заметим, что каждая последовательность {хп} имеет не
более одного предела. В самом деле, если дсп—►* и хп-+у, то
имеем по (mi) — (m3)
0<р{*> у)<р{хп, x) + p{xni */)->0,
откуда следует р(х, у)==0, т. е. # = дс в силу (т{).
Если {хтп} — подпоследовательность последовательности
{хп} и *я->*Ло и хтп->х.
Неравенство (3) влечет:
(4) если хп-+х, то p(jcft, Л)->р(дс, Л),
Каждое метрическое пространство X можно рассматривать
как топологическое пространство с операцией взятия
замыкания, определенной следующим образом: СА есть множество всех
таких дс, что р(дс, Л)=0, т. е. таких #, что имеется
последовательность хп -* х, хп е А для я = 1,2,... Другими словами,
СА есть множество всех пределов последовательностей точек
из Л.
- Непосредственно из определения следует, что С
удовлетворяет аксиомам (с2) и (с4). Аксиома (ci) следует из (1).
Аксиома (с3) следует из равенства
р(*, Л) = р(*, СЛ),
которое очевидно при А = 0 й доказывается следующим
образом при А Ф 0. Пусть е > 0 произвольно, пусть z e СА таково,
что
р(*, z)<p(*, СЛ) + е,
и пусть i/еЛ таково, что р(г, у)< е. Тогда в силу (т3)
р{х, Л)<р(*, #)<р(*, СЛ) + 2е,
что при е-►О дает р(дс, Л)<р(дс, СЛ). Обратное неравенство
следует из (2).
Переходя к дополнениям в определении операции взятия
замыкания, мы выводим, что, для всякого множества АаХ, \А
является множеством всех таких х е X, что р(дс, X — Л)>0,
т. е. таких дс, что inf р(дсп, дс) > 0 для любой последовательности
п
{хп} точек из X — Л. Поэтому, если А открыто, хеЛ и дсп-*дс,
то хп ^ Л при достаточно больших д. Если Л замкнуто и дс ^ Л,
тор(х, Л)>0.

§6]
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
125
Обозначим посредством К(*о, е) (посредством К(*о, е))
множество всех таких х е X, что р (лг, я0) < е (р (х, х0) ^ е).
Из вышеприведенных соображений следует, что х0 е \А
тогда и только тогда, когда существует такое г > О, что
К(*о, 8) с: Л. Поэтому множество Л открыто тогда и только
тогда, когда для любого хо е Л существует такое е > 0, что
К(*о, е)с:Л._В двух последних утверждениях К(*о, е) можно
заменить на К(*о, е).
Беря в (4) в качестве Л одноточечное множество (дс0), мы
получаем, что
(5) если *„->*, то p{xni х0)->р(*, х0).
Легко видеть, что множество К(*о, е) открыто, а множество
К(*о, е) замкнуто. Так как К(*о, е)с:К(*о, е), то мы имеем
(см. (4) из§1)
(6) СК(*о, г)аК(х0, е).
Из определения множества К(*0, е) и (т2), (т3)
непосредственно следует, что
(7) р(*, у)^2г при любых х, |/бК(% е).
Простейшим примером метрического пространства является
множество X всех действительных чисел с обычным
расстоянием р(дг, у) = \х — у\. Множества К(*о, е) тогда представляют
собою открытые интервалы. Из вышеприведенных соображений
легко следует, что операция взятия внутренности, определенная
в X этой метрикой, совпадает с операцией взятия внутренности,
определенной в X в I, § 2, стр. 22.
Каждое метрическое пространство является
^-пространством, т. е. каждое одноточечное множество (у) (а поэтому и
каждое конечное подмножество) замкнуто. Действительно, если
хфу, то р(дг, (у))= р(х, у)>0 в силу (mi), что доказывает
С (</) = (*/).
Каждое метрическое пространство является нормальным
(а потому и хаусдорфовым и регулярным — см. I, § 2). Это
непосредственно следует из доказываемой ниже теоремы:
.6.1. Если F\,..., Fm — непересекающиеся замкнутые
подмножества метрического пространства X, то существуют такие
открытые множества Gu..., Gm, что множества CGU ..., CGm не
пересекаются и Ft a G* при i = 1,..., m. *
Достаточно доказать 6.1 для случая, когда все F{ непусты,
т. е. р(дс, Fi)<C оо. Множество всех таких х^Х, что
р(*. F,)>-5-mIn(p(*, Fy)),

)26 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III
замкнуто, так как если хп -► х и все хп удовлетворяют этому
-неравенству, то х также удовлетворяет ему в силу (4). Поэтому
дополнение G* этого множества, или множество всех таких
ХбХ, ЧТО
р(*, Ft) <Tmin((>{x, Fy)),
открыто. Fi является подмножеством множества G*, так как
если х е Fh то в левой части этого неравенства стоит 0, а в
правой — положительное число, ибо х qk Fj при / ф i. Из (4)
следует, что замыкание CG* множества Gt- содержится в
множестве А{ всех таких х е X, что
р(лг, F,)<imin(p(x, Fj)).
Множества Аи ...,Лт не пересекаются. В самом деле, если
хсЛгИхе Aj при i Ф /, то
p(*f fK{p(^ Fj)
и, симметрично,
р(х, f/X-pU. Л).
Это влечет
р(х, Ft) = 0 = p(*, F/),
т. е. х е С/7; П С/7/ = F* П ^/> что противоречит условию.
Каждое подмножество G метрического пространства X само
является метрическим пространством с той же самой метрикой.
Операция взятия замыкания Cg, определяемая этой метрикой
описанным в данном параграфе способом, удовлетворяет
равенству
CQA = G()CA при AaG,
т. е. совпадает с операцией взятия замыкания CG, определенной
в §2, (4).
§ 7. Основная лемма о метрических пространствах
Мы начнем с замечаний о топологических пространствах,
дополняющих I, § 2.
Если G — открытое подмножество топологического
пространства X, а А — граничное подмножество пространства X, то
(1) C(G-4) = CG.

§?] ОСНОВНАЯ ЛЕММА 6 MEtPtWEcKHx ПРОСТРАНСТВАХ 127
Действительно, l(G f\ A)~IG [\1А —-0. Переходя к дополнениям,
мы получаем, что С — (G Г) А) = X, т. е. что С (— G [} (G—Л))=Х.
Так как — G замкнуто, то имеем — G (J С (G — А) = X, что
влечет G с: С (G .— Л) и, далее, CG с: С (G — Л). Так как
обратное включение C(G — A)czCG тоже верно (см. I, § 2, (2)),
то мы получаем (1).
Для всех подмножеств Л, В топологического
пространства X
(2) СЛ-СВс=С(Л-СВ).
В самом деле, С Л с С ((Л — СВ) [) СВ) = С(Л — СВ) [} СС£=*
= С (Л — СВ) U СВ, что влечет (2).
Подмножество Я топологического пространства X называется
плотным в себе, если
(3) х е С (Я — (дс)) при любом х е Я.
В частности, пустое множество плотно в себе. Все
пространство X плотно в себе тогда и только тогда, когда не существует
одноточечных открытых множеств, т. е. когда каждое
одноточечное множество является граничным. Поэтому каждое
одноточечное множество (а следовательно, и каждое конечное
множество) в плотном в себе Ti-пространстве (в частности, в
плотном в себе метрическом пространстве) нигде не плотно. Каждое
плотное в себе непустое Ti-пространство бесконечно (так как
дополнение каждого конечного подмножества плотно, а поэтому
не пусто).
Каждое открытое подмножество G плотного в себе
топологического пространства X плотно в себе. Действительно, для
любого jcgeG имеем х(=С(Х — (х)) = С(Х — G) \JC(G—(x)) =
= (Х—G)U C(G — (дс)). Так как х ф X—G, то мы получаем,
что *<= C(G— (*)).
Подмножество Я метрического пространства плотно в себе
тогда и только тогда, когда "каждая точка х е Я является
пределом некоторой последовательности xnGfl, хп Ф х (п =
= 1,2,...).
Пусть б > 0. Подмножество Л метрического пространства X
называется е-множеством, если р(дс, у) ^ е для любой пары
различных точек дс, у е Л.
Каждое е-множество Л замкнуто. В самом деле,
предположим, что дсп -* дс, хп е Л для п = 1,2,... Тогда при п^ п0
и, следовательно,
р{хп, *пвХр(дсл, *) + р(*л„, *)<е,

m
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЁУЛЁВЫ АЛГЕБРЫ
(гл. m
чем доказывается, что хп = хщ при п ^ п0. Отсюда х = lim xn —
"—* ДС/to ^^ ■**•
Каждое е-множество А в плотном в себе метрическом
пространстве X нигде не плотно. Действительно, пусть х е А. Тогда
существует такая последовательность хп е А, что хп —> л: и
#п =т^= лг для всех п. При п^ п0 мы имеем р(*п, лс)< е. Значит,
хп^Х— А при п^п0, что влечет дгеС(Х —Л). Этим
доказано А аС(Х — А). Так как также X — AczC(X — А) (см.
(с^)), то X = С(Х — Л), т. е. дополнение множества Л плотно.
Поскольку Л замкнуто, оно нигде не плотно.
Подмножество Л множества В (в метрическом
пространстве X) называется максимальным г-подмножеством
множества В, если Л есть е-множество и Л не является собственным
подмножеством какого-нибудь другого содержащегося в В
е-множества; другими словами, если Л есть максимальный
элемент упорядоченного теоретико-множественным включением
класса К всех е-подмножеств множества В. Так как класс К
удовлетворяет условию теоремы I, 5.1 (объединение любой цепи
е-множеств само является е-множеством), то К содержит
максимальный элемент, т. е. в каждом множестве В имеется
максимальное е-подмножество Л.
Если Л — максимальное е-подмножество множества В, то
(4) р(дс, Л) ^ е для любого лее СВ.
Действительно, если р(х, Л)>е для некоторого яеВ, то
Л с= Л U (*) ¥= Л и Л U (х) является е-множеством в В, что
противоречит условию, по которому Л является максимальным
е-подмножеством множества В. Этим неравенство (4) доказано
для х е В. Применяя § 6, (4), мы получим (4) для любого
хеСВ.
Если G — открытое подмножество плотного в себе
метрического пространства Л', то для любого е > 0 и для любого
положительного целого числа пг существуют такие
непересекающиеся замкнутые нигде- не плотные множества Л^ ...,ЛТО, что
(5) р(х, Ai) < е для любого xgCG (i = 1,..., m).
В самом деле, пусть А\ — максимальное е-подмножество
множества G, и пусть, далее, Ai — максимальное е-подмножество
множества G — (А{ U ... IMi-i) (1 ^ i < m) (Au ..., А{_{ уже
определены). Тогда в силу (4) неравенство (5) имеет место при
xeeC(G—{Ax U ... lM«-i))< В силу равенства (1) C(G—(Ai[)
(J ... U Ai-i)) = CG, так как объединение нигде не плотных
множеств Ль ..., Лг_! нигде не плотно.
Мы используем эти замечания в доказательстве следующей
леммы, которая будет играть основную роль в § 8 при обосно-

§ 7J ОСНОВНАЯ ЛЕММА О МЕТРИЧЕСКИХ TlPOCtPArtCf BAX \$&
вании некоторых теорем о представлении топологических
булевых алгебр:
7.1 *). Пусть G — открытое непустое подмножество плотного
в себе метрического пространства X и пусть г, s —
неотрицательные целые числа. Тогда существуют такие
непересекающиеся непустые множества Gu ..., Gr, В0, Ви ..., В8, что
(6) G = G,U ... UGrUBoUSiU ...S5;
(7) G!,..., Gr открыты;
(8) CG/-G/ = CB/==CG-~(G1U ... U Gr)
для i= 1, ..., г и / = 0,1, ..., $.
Индукцией по п мы определим последовательности множеств
{GUn} (/=1, ..., г) и {Bhn} (/ = 0,1, ..., s)
так, чтобы выполнялись условия (9) — (13):
(9) все множества Git n открыты, и все множества Bj} n
замкнуты и нигде но плотны;
(10) при любом фиксированном п все множества X— G,
CGUn (/=1, ..., г), Bftn (/ = 0,1, ..., s) не
пересекаются;
00 CG/, „crG^-H, 5/,rt сгВ/,л+1;
(12) для любого jcgCG- (GUn[) ... (JGr,n) и п>1
р(*> G/>ft)<— (/=1, ,.., г) и р(лг, £/,„)<- (/=Ю, 1, ..., s),
(13) оигф'0фв!91 (/=1, ..., г; / = 0, 1, ..., s).
А именно, пусть
04) G,,o = 0 = 5/>0.
Предположим, что множества Git n, Bjt n уже определены и уело*
вия (9), (10) выполнены (п^0). В силу (5) существуют такие
непересекающиеся замкнутые нигде не плотные подмножества
Л0,..., Ar+S открытого множества
X„ = G-(CGb/lU ... UCGr,nVB0,n\J ... l)BStn),
что
(15) р(лг, Л^Х-jj-^- для всех х<=СХп {k = Q, ..., r + s).
*) Тарский [8], Мак-Кинси и Тарский [1].

130 Топологические булевы алгебры [tn. Ш
Множества
X-G> Bhn+x = Biin\)A, (/ = 0, 1, ..., s),
СО«.я1М.+« (/=1, ..., r)
замкнуты и не пересекаются. Поэтому существуют такие
открытые множества Git п+ь что
(16) CGltelM,+fC:GliJI+l (/=1, ..., г)
и множества
X— G, CGbft+1, ..., CGr,rt+1, Bo>/i+iU ... [}BStn+i
не пересекаются (см. 6.118). Поэтому (9) и (10)
удовлетворяются для п + 1. В силу (16), (1) и (2) имеем
CG-(Gbft+1U ... UGr,n+l)czCG-
-C(Gbn[) ... [)Gr,n)czCXn.
Это доказывает (см. (15)), что (12) имеет место для /г+ 1.
Из определения (при п = 0) немедленно следует, что (13)
истинно. Поэтому множества
со
Gi=*\jGitn (/=1, .... г),
/1=1
£/=Ufi/.« (/=!...., s),
/1=1
B0 = G-(G,U ... UGrUB.U ... [}Bs)=>\jBo,n
/1=1
не пусты. В силу (10) и (И) они не пересекаются. Из
определения непосредственно следует, что они обладают свойствами
(6) и (7).
Из (12) следует, что
(17) р(х, Gt) = 0 = p{x, В,) (i=l, ..., г; / = 0, 1, .... s)
для любой точки х в множестве
B = CG-(G,U ... UGr) = n(CG-(G1>nU ... UGr>n)).
/1=1
Из (17) следует, что JSczCG,. Так как В не пересекается
с Git то мы получаем BaCGi — Gt. С другой стороны, Gic:
cz CG — (Gi U ... U G/-i U Gm U • • • U Gr). Поскольку
множество, стоящее в правой части, замкнуто, мы заключаем, что
CGj также является его подмножеством. Этим доказывается,
что CGt — Gt с: В, а значит,
CG< — G^ = B (/=1, ..., г).

§8] КОНЕЧНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 131
Из (17) следует, что В с: CBj. Поскольку BjcB и В
замкнуто, имеем также CBj с: В, чем доказано
СВ/ = В (/ = 0,1, ..., s).
Доказательство (8) закончено.
§ 8. Конечные топологические булевы алгебры
Любая конечная булева алгебра А является атомной. В
самом деле, пусть а0 ф Л, а0 е А. Множество всех а <; а0,
а Ф Л, конечно и поэтому содержит минимальный (а смысле
булева упорядочения <;) элемент. Этот элемент Ь является
содержащимся в а0 атомом.
Каждая конечная булева алгебра А изоморфна полю всех
подмножеств некоторого конечного множества X. В самом деле,
пусть X — множество всех атомов алгебры А, и пусть h(a) для
каждого ag А есть множество всех включенных в а атомов.
Легко проверить, что h — булев изоморфизм алгебры А на поле
всех подмножеств множества X 19).
Каждая конечная топологическая булева алгебра изоморфна
(т. е. гомеоморфна) топологическому полю 33 (X) всех
подмножеств некоторого конечного топологического пространства X.
Действительно, пусть h и X имеют тот же смысл, что и выше.
Мы превращаем X в топологическое пространство с операцией
взятия внутренности, индуцированной булевым изоморфизмом Л,
т. е.
\h {а) = h (la) при asi.
По определению h является топологическим изоморфизмом
алгебры А на ЩХ).
С другой стороны, каждое конечное топологическое
пространство порождает некоторую конечную топологическую булеву
алгебру 23 (X). Поэтому конечные топологические булевы
алгебры можно отождествить с конечными топологическими
пространствами. Однако конечные топологические пространства
довольно экзотичны; вообще говоря, они не являются ни
^-пространствами, ни То-пространствами. С точки зрения даваемых
в этой книге приложений представляется более важным
представлять конечные топологические булевы алгебры как
топологические поля подмножеств более естественных топологических
пространств (например, метрических пространств). Такое
представление дается ниже теоремой 8.3.
Конечная топологическая булева алгебра А называется
сильно компактной, если она, рассматриваемая как конечное то*
пологическое пространство, сильно компактна в смысле § 5, т.е.
если класс всех ненулевых замкнутых элементов из А имеет
наименьший элемент.

132 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III
8.1. Для каждой невырожденной конечной топологической
булевой алгебры А существует разложение
(1) V=giU ... [)gr (r>0)
такое, что gu...,gr—открытые ненулевые элементы и все
топологические булевы алгебры Agl, ..., Agf (см. § 2) сильно
компактны *).
Пусть Ь\,. • •, br — минимальные элементы упорядоченного
(булевым отношением ^) множества всех ненулевых
замкнутых элементов в А. Из определения следует, что для каждого
замкнутого элемента Ь в А и для любого целого числа /
(l<i< r)
или bi^.b, или b(]bi = Ay
ибо если ни одно из этих соотношений не выполняется, то b Л Ь{
будет ненулевым замкнутым элементом, меньшим чем bt Ф
Ф b (]bt. Более того, для каждого замкнутого ненулевого
элемента 6еЛ существует такое целое i, что bi <; Ь.
Пусть ai — объединение всех таких замкнутых элементов Ь,
что b П Ь{ = Л, и пусть gi — — а{ (1 < i < г). По
определению,элемент gi открыт и bi ^ gi. Каждый элемент, замкнутый
в Ag., имеет вид gi О Ь, где b замкнуто в А (см. ^ 2, (3)). Если
gi П b Ф Л, то b 0 ЬгФ Л по определению а* и ^. Отсюда
получаем bi ^ ft и, далее, bt ^ gi [) b, чем доказано, что bi —
наименьший замкнутый элемент алгебры Ag.. Поэтому AS( сильно
компактна.
Докажем теперь (1). Предположим, что (1) не выполняется,
т. е. замкнутый элемент b = —(g\ U ... U gr) не равен Л. Тогда
существует такое i, что Ь{ ^ Ь. С другой стороны, bi ^ git Мы
пришли к противоречию.
8.2**). Пусть G — открытое непустое подмножество плотного
в себе метрического пространства X. Для каждой
невырожденной конечной сильно компактной топологической булевой
алгебры А существует такой топологический изоморфизм h
алгебры А в 2)(G), что
(2) CG — G cz Си (а) при любом а ф Л, а^ А.
Доказательство ведется индукцией по числу атомов
алгебры А.
*) Для дальнейшего заметим, что, поскольку gi Ф Л» алгебра Ag
невырожденная. — Прим. ред.
**) М а к • К и н с и и Тарский[1].

§8] КОНЕЧНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 133
Если в А только один атом, т. е. А — двухэлементная булева
алгебра, то отображение
А(Л) = 0, h(V) = G
является требуемым топологическим изоморфизмом.
Предположим, что А имеет k атомов (k > 1) и что теорема
выполняется для топологических булевых алгебр с k — 1 и
меньшим числом атомов. Пусть Ь — наименьший замкнутый
ненулевой элемент в А; тогда g = —Ь — наибольший открытый элемент,
отличный от V. В силу 8.1 существуют ненулевые элементы
gu ... ygr (г ^ 0), открытые в Ag (а поэтому и в А — см. § 2),
такие, что
ff = giU ... \)gr
и топологические булевы алгебры Agl, ...9Agf сильно
компактны (если g = Л, то мы берем г = 0). Пусть 60, Ьи ...
..., b8 (s ^ 0)— все содержащиеся в Ь атомы.
Пусть Gu..., Gr, 50, B\9...9Ba — множества,
удовлетворяющие всем требованиям леммы 7.1. В силу предположения
индукции существует такой топологический изоморфизм Л* алгебры
Agi в 93 (G()9 что
(3) CG( — Gt cz Cht (a) при всех a ф Л, a ^ Ag{ (1 < / < г).
Пусть
(4) hQ(a)*= (J В} при а<6.
Булев изоморфизм h алгебры А в 93(G), определяемый
равенством
(5) A(a)-Mftna)UAi(«rina)U ••• UЛг(grrПа),
является топологическим изоморфизмом, удовлетворяющим
условию (2).
Для обоснования этого заметим сначала, что если а Ф V, то
также \а Ф V и, значит, \а ^ д, поскольку g является
наибольшим открытым элементом Ф V. Поэтому
(6) \а = gПla при любом ag4, аФ\/.
Пусть B = CG — (G^ ... UGr). Если аФ/\, то либо
b П а ФЛ» либо gi(]aФ А при некотором / (1 ^ / <г).
В первом случае существует такое / (О^/^s), что bj^.
^ & П а>, и, следовательно, В/ с= А0 (ft П я)- Тогда СА0 (bf]a)^>
г>СВу = В (см. 7.1, (8)). Поэтому BczCh(a).
Во втором случае В = CG* — G/ с Си* (^ f| я) (см. (3),
а также (8) теоремы 7Л), что влечет BczCh(a).

134 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ [ГЛ4 III
Поэтому
(7) CG-GczCG-(GA{) ... [}Gr)c:Ch(a)
при любом а ФА, а^А.
Этим доказано (2).
Заменяя в (7) а на — а, получим при каждом а ФУ (аеЛ)
\h(a) = G[\\h(a) = G(\ -СЛ(-а)с
cGfl-fCG-fGiU ... \]Gr)) = Gx\] ... \)Gr.
Это влечет
lh(a) = (Gxl) ... UGr)f\lh(a)=:(\G{№(a)){) ...
... U(IGrflIA(a)) = I(Gln/i(a))U ... UI(Grf]A(a)) =
= I*i(ЯГ1 f|a)U ... 1ЛМ£гПа)
при любом а ФУ, а^А.
Значит, при любом а^А, а ФУ имеем
А(1а) = А(*П1а) = МйП1а)и ••• иЫ£гЛ1а) =
-Ai^tei Па)) U ... UArCl^ternflft-IoAtein^U ...
... UIcAterna) = IAiteina)U ... UIArterfla) =
= IA(a) = I0A(a)
в силу (6) и § 2, (2'), (4'). Так как также А(1 V) = A(V)= G =
= IgA(V), то Л — топологический изоморфизм.
8.3*). Пусть ХФО — плотное в себе метрическое прост ран-
ство. Для каждой невырожденной конечной топологической бу-
левой алгебры А существует такое открытое плотное множество
G аХ, что А топологически изоморфна некоторой
топологической подалгебре алгебры 93(G).
Если, сверх того, X вполне несвязно, то можно
предположить, что G = X, т. е. что А изоморфна некоторой
топологической подалгебре алгебры 33 (X).
По теореме 8.1
V=£iU ... Ugr (r>0),
где gi, ..., gr — открытые ненулевые элементы, а Agl> ..., Ag
сильно компактны.
Так как пространство X бесконечно, то в нем существуют
такие г открытых непустых непересекающихся подмножеств Gu .,•
♦.., Gr, что открытое множество
G = G!U ... UGr
*) Мак-Кинси и Тайский [П.

§ 9J ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 'ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ J^5
плотно в X. В самом деле, возьмем г различных точек хи ..., хг
в X. Применив теорему 6.1 к одноточечным замкнутым
множествам Fi = (х{)9 i — 1, ..., г, мы получаем, что существуют
такие г непересекающихся открытых множеств Ни ..., #г, что
дсг- е Hi при 1 = 1, ,.., г и множества CHt, ..., СЙГ не
пересекаются. Множества
GX = HU ..., Gr-x = Hr-u Gr^X-C(H{[} ... U#--i)
обладают требуемыми свойствами.
Если X вполне несвязно, то можно взять G = X, ибо при лю*
бом положительном целом г любое бесконечное вполне
несвязное пространство является объединением г непересекающихся
непустых одновременно открытых и замкнутых множеств (дока*
зывается индукцией по г).
В силу 8.2 существует топологический изоморфизм hi алгебры
Ag( в 93(G/) (t=l, —, г). Булев изоморфизм
ft(a) = Mgina)U ... UftrterfM
алгебры А в 33(G) является топологическим изоморфизмом.
Действительно,
h(la) = hl(gima)[) ... 1)М£-ГЛа) =
= Ai(Igl(fifiПа))U ... иАг^^гПа^Ц^^П^и ...
... и1сЛ(ггПа)^1(01ПА(а))и ... иКОгПА(а)) =
= (G1(1IA(a))U ... U(Grfllh(a)) = G{\lh(a) = lh(a)=*lQh(a)
в силу §2, (20 и (40.
Если А — вырожденная топологическая алгебра и X — какое*
нибудь топологическое пространство, то А изоморфна алгебре
93(G) для некоторого открытого множества GczX, а именно для
пустого множества G = 0.
§ 9. Прямые произведений топологических пространств
Любое прямое произведение XQ = P Xt топологических про*
странств Xt всегда будет рассматриваться как топологическое
пространство с операцией взятия внутренности I, определяемой
посредством I, 2.1 с помощью следующего класса В0 множеств:
(1) Р Ои
t€=T
где Gt = Xt при всех <gjT, кроме некоторого конечного набора
индексов tu ..., tm> й Gti является Некоторым открытым
подмножеством пространства Xti при i = 1, ..., m.

136 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ [ГЛ. lit
Класс Во является даже базой топологического пространства
Xq, так как пустое множество и все пространство Х0 представимы
в виде (1) и пересечение двух множеств формы (1) также пред-
ставимо в виде (1).
Заметим, что если в каждом пространстве Xt выбрана
некоторая фиксированная база Bti то класс всех множеств вида (1),
где Gtt^-Btv также является базой для Хо20). Если мы
предположим, что Bt являются только подбазами для Xt (t^T), то
класс всех множеств вида (1), где G^eB^, является подбазой
для Хо.
Отображение, сопоставляющее каждой точке х = {xt} e Х0 ее
to-ю координату xtu{t0 фиксировано), будет называться
проекцией на U-ю ось и обозначаться посредством я*0.
По определению
я/0 (х) = хи при х = {xt}.
Отображение я*0 является внутренним, т. е.
я£1(1А) — Ыи1(А) Для каждого множества АаХи.
В самом деле, пусть G = \А. Множество пТ91 (G) открыто в Х0,
так как оно имеет форму (1). Следовательно, пТй1 (G) czlnZ1 (А).
С другой стороны, если непустое множество (1) содержится
в я*;1 (Л), то GuCiA. Значит, G*0c=G, откуда следует, что
множество (1) содержится в nfl(G). Этим доказано, что
1я-1(Л)с=я,ТЧО).
Заметим, что в терминах проекций щ открытые
множества (1) могут быть записаны в виде
(2) *?(01)П...П *£((?«)•
где t±9 • • •, tn^T и G±9 ..., Gn — открытые подмножества
пространств Xt 9 ..., Xtn соответственно. Если множества Gu ..., Gn
пробегают только некоторые фиксированные базы пространств
Xt 9 ..., Xtn соответственно, то множества (2) также образуют
базу для Хо. Отсюда следует, что если Bt — подбазы для Xt (t e
е Т), то класс всех множеств
n~l(G), где Gt=Bt (/gI),
образует подбазу для Хо.
С точки зрения имеющихся в этой книге приложений
наиболее важен тот случай, когда Т—множество положительных
целых чисел п и все Хп равны некоторому Y для п = 1, 2, ... Тогда
прямое произведение будет обозначаться посредством К*0. По

§ 01 ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 137
определению У*0 есть множество всех последовательностей у —
= {Уп}, где уп^У для п = 1, 2, ... Класс всех множеств
(3) я = 01Х02Х ... XGmXYXYX ...,
где Gn открыты (или принадлежат некоторой фиксированной
базе пространства У), является открытой базой для У*0.
9.1. Пространство (У*0)*0 гомеоморфно У*0.
Пусть ф — взаимно-однозначное отображение множества всех
положительных целых чисел на множество всех пар
положительных целых чисел. Элементами множества (У*°)*° являются
бесконечные последовательности
X ==: \Х\9 Х2> • • •/>
где для любого m
%m =s \Ут> Ь У ту 2> • • •/
является последовательностью элементов из У. Формула
Ф(*) = {0Ф(1). JW •••}
определяет взаимно-однозначное отображение множества (У*0)*1
на У*. Легко убедиться, что <р отображает множества в базе (3),
построенной для (У*°)*°> на множества в базе (3) для У*°21),
и то же справедливо для qr1. Этим доказывается, что <р —
гомеоморфизм.
Рассмотрим теперь следующее специальное топологическое
пространство У0, состоящее из четырех элементов
Уо — (8и 82> fu /2).
с операцией взятия внутренности, определяемой следующим об*
разом:
г У0, если A = Y0i
М = { {gu g2), если {gl9 g2)^A=£Y0,
[ 0 в остальных случаях.
В пространстве Уо ровно три открытых подмножества;
О, Go = tei> £2)» Y0,
и ровно три замкнутых подмножества:
О, FQ = (fuf2), У0.

138 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III
Отсюда следует, что множества
Я^ОоХКоХКоХ ■■■■
/д\ Н2 = У0 X G0 X У о X • • •»
H3 = Y0XY0XG0X ...,
образуют подбазу для Y*\
Топологическое пространство X называется сепарабельным,
если оно имеет не более чем счетную открытую базу Gu G2, ...
Например, пространство всех действительных чисел сепарабель-
но (см. замечание в I, § 2, стр. 22).
9.2. Каждое сепарабелъное пространство X, мощность
которого не превосходит 2*°, гомеоморфно некоторому
подмножеству пространства К*0.
Так как мощность пространства X не превосходит 2*с, то
существует последовательность {Ап} множеств, разделяющих X,
т. е. такая, что для произвольных различных точек хи x2 в X
хотя бы одно из множеств Ап содержит в точности одну из
них22). Пусть {Gn} — открытая база для X. Отображение
<P(x) = [ynix)}sYo* Для хееХ>
где
gu ecjjH * е= G„ П An,
g2, если х е Gn — An9
flt если x <= An — Gft,
f2f если хфАп\] Gni
является взаимно-однозначным отображением множества X на
некоторое подмножество Y = ер (X) а У*0. Так как множества
Нп П Y образуют подбазу в пространстве У (ем. I, § 2, (11)) и
<p(Gn) = Hn[)Y и q>-4Hn[)Y) = Gn,
то преобразование <р является гомеоморфизмом в силу I, § 2, (8)
или (8').
Метрическое пространство Jf всех иррациональных чисел (с
обычной метрикой р(дг,у) = \х — у\) гомеоморфно пространству
N*\ где N— множество положительных целых чисел с
тривиальной операцией взятия внутренности
1Л = Л при любом AczN.
Действительно, класс всех одноточечных множеств является
открытой базой для N. Поэтому класс всех множеств Nkv .... *г, где
Л^.;...,^ есть множество всех таких {т„}е№,
что тх — ku ..., mr = kn
Уп(*) =

§ 91 ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 139
является открытой базой в N*\ Каждое иррациональное число*
единственным образом представляется как непрерывная дробь
*==TiL + T1L + T11-+...
Взаимно-однозначное отображение
Ф{х)=*{т19 т'ъ ...}
множества JF на #*• является гомеоморфизмом в силу I, § 2,
(8'), так как q>~l(Nki *г) —интервал в Jf и класс всех таких
интервалов является базой для Jf23).
Так как JF гомеоморфно пространству N*\ J?** гомеоморфно
пространству (N**)*\ т. е. пространству N*0, в силу 9.1. Поэтому
пространства JC и ЛР*° гомеоморфны.
9.3. Пространство У*0 является внутренним образом
пространства JP всех иррациональных чисел *).
Так как пространство ИР плотно в себе, то в силу 7.1
существует его разбиение на такие непустые непересекающиеся
множества
что G открыто и CG — G = C/71 = CF2. Поэтому
jf = CJf = (CG - G){} G {) CFl\JCF2 = (CG - G)\) G = CG.
Применяя второй раз теорему 7.1, мы получаем, что существует
разбиение множества G
G = G, U G2
на такие два непустых непересекающихся множества, чтоСв^
= CG2 = CG=./r.
Отображение
Фо
[ gt при х<~С{,
v ' [ ft при х е Ft v '
является внутренним отображением пространства JP на Ко- В
самом деле, если Н — какое-нибудь непустое открытое
подмножество множества Ж, то
/m f (#1>£2)> если Ясб,
Фо(#) = [
Y0, если Н <£ G,
*) То есть существует внутреннее отображение пространства А9 на У*0.^
Прим. ред.

140 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ {ГЛ. Ill
так как d, G2 плотны в Jf (поэтому они пересекаются с Я) и
Fu F2 плотны в подпространстве F = Ж— О (поэтому они
пересекаются с Я, если только открытое в F множество F [) Н — Н —
— G не пусто24)).
Отображение
Ф (*) = (Фо (*«)} при х = {хп} е JT**
является внутренним отображением пространства Jf*u на У*0,
так как оно преобразует каждое множество вида (3) (в
пространстве ИР*1) на некоторое открытое множество в Y**
(см. § 3, (10) )25).
Пусть *ф— гомеоморфизм пространства ИР на И9*0 (см.
стр. 139). Композиция ф(г|)(дс)) является требуемым внутренним
отображением пространства JF на У*0-
9.4*). Для каждого сепарабельного топологического
пространства X мощности, не превосходящей 2*°, существует
некоторое множество Хо иррациональных чисел и внутреннее
отображение ф пространства Хо на X.
По 9.2 существует гомеоморфизм ф0 пространства X на
некоторое подмножество фо(^)~пространства Y*\ В силу 9.3
существует внутреннее отображение ф пространства ИР на Yq\ Пусть
Хо = г|г* (фо(Я)). Отображение
фМ = Фо""1(Ф(^))
обладает требуемым свойством.
§ 10. Теорема о представлении для счетных
топологических булевых алгебр
10.1 **). Для любой счетной топологической булевой алгебры
А и для любого данного счетного множества (Q) бесконечных
объединений и пересечений в А существуют множество Х0
иррациональных чисел и топологический (Q) -изоморфизм алгебры
ЛвЭЗ(Хо).
В силу 4.3 существует сепарабельное топологическое
пространство X с мощностью, не превосходящей 2*°, и тополагиче-
ский (Q)-изоморфизм h алгебры А в 93(Х). В силу 9.4
существуют множество Xq иррациональных чисел и внутреннее
отображение ф пространства Хо на X. В силу 3.2 изоморфизм fti поля
93 (X) в S3 (Хо) i
й1(Л) = ф-1(^) Для АаХ,
*) Швар1г[1]. См. также Сикорский [7] и Пономарев [1].
**) Сикорский [7].

§ Hi
ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
141
является топологическим. Изоморфизм К\ сохраняет все
теоретико-множественные объединения и пересечения. Отсюда следует,
что топологический изоморфизм алгебры А в 23 (Ао):
К (о) = hx (А (а)) для а ^ А,
является (Q)-изоморфизмом.
§11. Полные пространства
Метрическое пространство X называется полным, если для
каждой последовательности хп^Х условие
(1) lim р(хя> **) = 0
k, Я->оо
влечет сходимость последовательности хп, т. е. существование
такой точки х^Х, что lim p(xnt л;) = 0.
Л-»оо
Например, в силу известной теоремы полным является
метрическое пространство всех действительных чисел с обычной
метрикой р(дс,у) = \х — у\.
В пространстве N*° всех последовательностей целых
положительных чисел (см. § 9, стр. 138) можно ввести такую
метрику ф, что операция взятия внутренности, определяемая этой
метрикой, совпадает с топологией, определенной в § 9, стр. 135.
А именно, для любых двух различных точек х = {тр},у = {т'р}
в #*• мы определяем
р (*, у) = 1/ро,
где ро — наименьшее из таких целых чисел /?, что трФ™>'р*
Несложная проверка предоставляется читателю.
Метрическое пространство N** полно. Ибо если
последовательность хп = {тп>и тп, 2, . ..}eAf*» удовлетворяет условию
(1), то при каждом р существуют такие целые пр и mPi что
тп,р = тр ПРИ всех П>Пр.
Следовательно, хп -> х, где х = {ти /п2,...} е N*k
Топологическое пространство называется топологически
полным, если оно гомеоморфно некоторому полному метрическому
пространству.
Например, пространство Jf всех иррациональных чисел (с
обычным расстоянием р(х, у) = \х — у\) не полно, но
топологически полно, так как оно гомеоморфно полному метрическому
пространству N** (см. § 9, стр. 138).
Следующая теорема является аналогом теоремы 1,2.2 для то*
пологически полных пространств:

142
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. III
11.1. Если X— топологически полное пространство, то каждое
множество A cz X первой категории является граничным, т. е.
X — А плотно*).
Так как множества первой категории, плотные множества и
граничные множества инвариантны относительно
гомеоморфизмов (см. I, § 2, стр. 27), то достаточно доказать 11.1 только
в случае, когда X является полным метрический пространством.
Доказательство является легкой модификацией доказательства
теоремы I, 2.2.
Достаточно доказать, что для любого открытого множества
Во ф 0 существует точка А;еВо — А.
По условию А является объединением последовательности
{Ап} нигде не плотных множеств. Так как множество А\ нигде
не плотно, то открытое множество В0 — СА\ не пусто, т. е.
содержит некоторую точку х\. Пусть ei — такое положительное
число, что K(#i, 6i)c:Bo— СЛ4 (см. § 6, стр. 125) и ei < 1.
Открытое множество K(*i, ei) — СЛ2 содержит по тем же причинам
некоторую точку х^_ Пусть ег — положительное число,
удовлетворяющее УСЛОВИЯМ К (*2, 82) CZ K(*l, 8i)— СЛ2, 82 < 72-
Продолжая этот процесс, мы определим такую
последовательность точек хп е X и положительных чисел еп, что
К{хп, вп)сК(*„-ь %-\) — САп при п> 1 и вп<1/п. Так как
(2) хп€ЕК (xk, ek) при п > k,
to имеем р(хп, Хь)^ 2ел < 2/k (см. § 6, (7)). Отсюда следует,
что последовательность {хп} удовлетворяет условию (1), а
поэтому сходится к некоторой точке х е X. Так как^ множества
R(xk, Bk) замкнуты, мы получаем из (2), что дгеК(*А, еь) при
всех k. Отсюда, следует, что х&В0 и х'фА по определению
множеств К(*п, еп). Это доказывает теорему 11.1.
6 I, § 2, стр. 23 мы показали, что в любом топологическом
пространстве
(3) А — \А — граничное множество
при любом АаХ. Докажем, что при любом А аХ множество
(4) А — 1СА нигде не плотно.
В самом деле, множество СЛ — 1СЛ замкнуто и, в силу (3), нигде
не плотно. Множество (4) является его подмножеством, а
потому также нигде не плотно.
Заметим, что, обратно, каждое нигде не плотное множество
имеет вид А — 1СЛ. Ибо если А нигде не плотно, то \СА =0 и
Л = Л — 1СЛ.
*) Это и есть теорема Бэра, упоминаемая на стр. 26.

§ 121 ФАКТОР-АЛГЕБРЫ 143
В силу (4), если {Ап} — последовательность подмножеств не-
которого-топологического пространства X, то объединение
\J(An-lCAJ
является множеством первой категории (и даже любое
множество первой категории можно получить таким путем). В силу 11.1,
если X топологически полно, то дополнение этого множества
полно в X, т. е.
C-[J{An-lCAJ = X9
или эквивалентным образом:
(5) — I U (Л« П — I — I — Лл) = X
для любой последовательности {Ап} подмножеств топологически
полного пространства. Тождество (5) является другой
формулировкой теоремы 11.1.
Заметим, что тождество (5) справедливо не для любых
топологических пространств. Если, например, X — метрическое
пространство всех рациональных чисел с обычной метрикой р(дс, у) =
= \х— у\% все элементы X упорядочены в последовательность
XU *2, ... И Ап = (Хп), ТО
(6) — I U (л- П — I — I — Лп) = 0.
/1=1
Этим, кстати, доказывается., что метрическое пространство всех
рациональных чисел не является топологически полным.
В силу I, 2.2 тождество (5) справедливо также в любом
компактном хаусдорфовом пространстве.
Заметим, что в случае метрических пространств теорема 1,2.2
является частным случаем теоремы 11.1, так как можно
доказать, что всякое компактное метрическое пространство полно.
§ 12-Фактор-алгебры
Фильтр V в топологической булевой алгебре А называется
l-фильтром, если при любом аеД
(1) agV влечет la eV,
12.1. Если V является l-фильтром в топологической булевой
алгебре А, то булева фактор-алгебра Д/V является топологцче-

144
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. III
ской, коль скоро операцию взятия внутренноети I в A/V
определить равенством
(2) 1|а| = |1а| (аЕЛ);
кроме того,
(3) С|а| = |Са| (а<=А).
Заметим сначала, что при любых а, Ъ еЛ
(4) 1(а=ф&)<1а=Ий,
так как
1а П 1(а=ФЬ) = \{а Г) (а=# Ь)) = На П *) <1Ь.
Если |а| = |Н то c#JgV и, следовательно, I(a#6)eV
в силу (1). Отсюда, используя (4), получаем Ia=M6eV. Так
как также ft=#>aeV, то имеем I&=#Ia^V в силу симметрии.
Этим доказано, что
| а | = | Ь | влечет | la | = | \Ъ |.
Поэтому (2) действительно определяет некоторую операцию I
на A/V. Из выраженной в (2) коммутативности I и | | следует,
что I удовлетворяет аксиомам (ii) — (ii). Тождество (3) прямо
следует из (2), так как замыкание С в A/V определяется
равенством
C|a| = -I~|a|
в сответствии с § 1, (1). Поэтому С|а| = |—I — а| = |Са|.
Теорему 12.1 можно сформулировать и иначе.
Мы доказали в I, § 13 и в II, § 5, что если V является
фильтром в булевой алгебре А, то отношение эквивалентности,
определяемое следующим образом:
(5) а~Ъ тогда и только тогда, когда a#ftGV и ft=#aeV,
является конгруэнцией по отношению к булевым операциям U,
П, =^, — и A/V является булевой алгеброй. Теорема 12.1
устанавливает, что если А — топологическая булева алгебра и V —
I-фильтр, то отношение эквивалентности ~ является также
конгруэнцией относительно операции I, т. е. конгруэнцией в
топологической булевой алгебре {A, U, П,=Ф»—,'}. Более того, A/V,t. е.
алгебра А/~, также является топологической булевой алгеброй.
Заметим, что определение (2) было сформулировано в
соответствии с общим правилом в I, § 4, стр. 34.
Требование, чтобы V был I-фильтром, является также
необходимым для того, чтобы отношение эквивалентности было
конгруэнцией относительно I. Ибо если ~ является конгруэнцией
относительно I и а е V, то а ~ V, а значит, la ~ IV = V, т. е.

§ 13] ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР 145
Заметим, что главный фильтр, порожденный элементом ge
бЛ, является I-фильтром тогда и только тогда, когда g—
открытый элемент. В этом случае булев изоморфизм Л(|я|) =
= а Л g (II, § 6, (4)) алгебры A/V на Ag является
топологическим.
Двойственным образом идеал Д в топологической булевой
алгебре А называется С-идеалом, если при любом аеД
(6) asA влечет CaeA.
Двойственная к I2.I теорема относится к фактор-алгебрам
А/А, где А — С-идеал в А.
§ 13. Произведения топологических булевых алгебр.
Прямые объединения топологических пространств
Пусть {A,)neN—проиндексированное множество
топологических булевых алгебр, интерпретируемых, как универсальные
алгебры
(1) {Ап, U , П , #, -, D
в соответствии с § I, стр. 112. В силу общего определения из
I, § 4, стр. 36, произведением А всех Ап является алгебра
(2) {A, U, Г),=Ф, -, О,
где А — Р Ап и операции в А определены следующим образом
{ап}п &N[) {bn}n e N = {an U bn}n e N,
Мп « n П {Ьп)п е * = К Г) bjn e N>
Ыг т N ^ {Ъп)п &N = ian ^ Ьп)п е ЛГ»
\anJn sJV^ I anfn е= W>
13.1 Произведение (2) топологических алгебр (1) является
топологической булевой алгеброй.
Доказательство подобно доказательству аналогичных теорем
I, 6.3 для решеток и II, 7.1 для булевых алгебр.
Заметим, что булева алгебра {A, (J, f) > =Ф> —-} является
в этом случае произведением булевых алгебр {AnJ U , П > =#> —}
(см. II, § 7, (3)). Следовательно, все утверждения из II, § 7
о произведениях булевых алгебр применимы также и к
произведениям топологических булевых алгебр. В частности, если все
Ап являются полными булевыми алгебрами, то это верно и для
их произведения А.

146
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. III
Из двух последних равенств (3) и из § 1, (1) следует, что
(4) Ъ{аЛатМ = {Са,}пт*
при любом WnejveA Последнее из равенств (3) и равенство
(4) имеют следствием теорему 13.2:
13.2. Элемент а = {an}n^N в произведении А топологических
булевых алгебр Ап открыт (замкнут) тогда и только тогда,
когда все ап открыты (замкнуты) в Ап.
Пусть {Xn}n€EN—проиндексированное множество
непересекающихся топологических пространств и X — объединение всех Хп.
Мы будем рассматривать X как топологическое пространство,
считая, что класс всех открытых множеств пространств Хп
является базой для X. Определенное таким образом топологическое
пространство X будет называться прямым объединением
топологических пространств Хп. По определению множество G аХ
является открытым тогда и только тогда, когда пересечение Хп (] G
является открытым множеством в Хп при любом п е N. В
частности, все Хп являются открытыми подмножествами множества X.
Следующая теорема аналогична теореме II, 7.2:
13.3. 'Если, при любом n^N, An является топологическим
полем подмножеств топологического пространства Хп и
пространства Хп не пересекаются, то отображение
(5) h({An}neN) = U К
(где Ап е Ап при любом я е N u\J обозначает
теоретико-множественное объединение) является топологическим
изоморфизмом произведения А= Р 4 на топологическое поле В всех
ne=N
таких подмножеств В пространства Х_ (прямого объединения
всех Хп), что
Хп П В е Ап при каждом n^N.
Если, для любого n^N, An является топологическим полем
93 (Хп) всех подмножеств пространства Хп, то В является
топологическим полем 93 (X) всех подмножеств пространства X.
Доказательство состоит в несложной проверке.
Изоморфизм (5) дает естественное теоретико-множественное
представление для топологической булевой алгебры А — Р Ап.
Поэтому можно отождествить произведение А с упоминаемым
в 13.3 полем В, отождествляя {4}деДГеЛ и (J Ап.

ГЛАВА IV
ПСЕВДОБУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
§ 1. Предварительные сведения
Напомним (см. I, § 12), что решетка А называется
импликативной, если для любых элементов а, Ь еА множество всех
таких х е А, что а П х ^ ft, содержит наибольший элемент. Этот
наибольший элемент обозначается посредством а^Ь и
называется псевдодополнением элемента а относительно Ъ. По
определению
(1) af|*^ft тогда и только тогда, когда х^а^ФЬ.
Многие свойства операции az&b были приведены в теоремах
I, 12.2 и I, 12.3.
Как мы упоминали в I, § 12, стр. 74, каждая импликативная
решетка А может быть истолкована как универсальная алгебра
(2) {A, U , П , =#}
с тремя бинарными операциями. Алгебры (2) могут быть
охарактеризованы с помощью простой системы аксиом. А именно:
1.1. Универсальная алгебра (2) с тремя бинарными
операциями является импликативной решеткой тогда и только тогда,
когда она удовлетворяет аксиомам (Ь) — (U) для решеток (см.
стр. 45), а также следующим аксиомам:
О?) a(](a^b) = a(]b9
08) {а^Ь)ПЬ = Ь,
(19) (a^b)0(a^c) = a^(b()c),
Ою) (афа)(]Ь = Ь.
Если алгебра А удовлетворяет аксиомам (U) — (Ь), то она
является решеткой в силу I, 6.1. Если, сверх того, аксиомы (Ь) —
Ою) также выполняются в А, то А является импликативной
решеткой и операция zf> на А совпадает с определенным в I, § И
относительным псевдодополнением, Чтобы продемонстрировать

148 ПСЕВДОБУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ [ГЛ. IV
это, достаточно показать, что бинарная операция :ф в (2)
удовлетворяет условию (1). Если х ^ а-=} Ь, то
a(]x^a(](a^b) = af\b^b
в силу (Ь). Обратно, если а [) х ^ ft, т. е. х Л а = х П а Л 6, то
в силу (18), (1ю) и (19)
* ^ а =#> дс = (а =Ф дс) П (я =Ф о) = я =#• (а: П а) =
= а=ф(хПаПй)==(а=#>(^Па))П(а=#>й)<а#Ь.
С другой стороны, в силу теоремы I, 6.1 аксиомы (Ь) — (13)
справедливы в каждой решетке. По теореме I, 12.2, (14), (15),
(16), (9) аксиомы (Ь) — (Uo) справедливы в каждой импликатив-
ной решетке.
Напомним, что каждая импликативная решетка имеет
единичный элемент, но не всегда имеет нулевой. Каждая
импликативная решетка с нулевым элементом Л называется
псевдобулевой алгеброй. Если А— псевдобулева алгебра, то каждый
элемент а^А имеет псевдодополнение —а. А именно (см. I, § 11,
(6)),
(3) —а = а=$Л.
Многие свойства псевдодополнения —а в псевдобулевых
алгебрах были сформулированы в теореме I, 12.3.
Как мы упоминали в I, § 12, каждую псевдобулеву алгебру
можно интерпретировать как универсальную алгебру
(4) {A, U , П . =Ф, -}
с тремя бинарными операциями U, П, => и одной унарной
операцией —. Алгебры (4) можно охарактеризовать простой
системой аксиом.
1.2. Универсальная алгебра (4) с тремя бинарными операция-
ми [}; Л, ^ и одной унарной операцией — является
псевдобулевой алгеброй тогда и только тогда, когда она удовлетворяет
аксиомам*) (h) — (Ь), (Ь) —(ho) и следующим аксиомам:
(In) -(a=#a)U& = fc,
(112) а =Ф (— {а =#> а)) = — а.
Это непосредственно следует из 1.1, так как (1ц) утверждает,
что — (az$a) — Л, a (I12) является переформулировкой для
(3)**).
*) Более простую систему аксиом для псевдобулевых алгебр см.,
например, у Монтейро [1].
**) Таким образом, из (Ьг) вытекает, что унарная операция —в (4)
является операцией псевдодополнения. — Прим. ред.

§1]
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Ш
Если в импликативной решетке А нет нулевого элемента, то
ее можно легко расширить до псевдобулевой алгебры А\
добавляя новый элемент, нулевой для А'. Это непосредственно
следует из формулируемой ниже теоремы:
1.3. Пусть А — импликативная решетка, и пусть Л'— какой-
нибудь элемент, Л' ф А. Множество At', состоящее из Л' и всех
элементов из А, является решеткой, если операции [) и Г\ в А
расширить до А' следующим образом:
Л/ия = а = яи Л' и Л/Па=Л/ = аПЛ/ при всех а&А'.
Л' является нулевым элементом решетки А'. А! является
псевдобулевой алгеброй. Если а, Ь е А, то псевдодополнение
а^Ь
элемента а относительно b в А совпадает с псевдодополнением
элемента а относительно b в А'. При любом b e Аг
где V — общий единичный элемент алгебр А и А'. При каждом
а^А псевдодополнение —а для а в А' равно Л';
-а = а=ФЛ'=Л'.
Более того, для любого множества элементов at&A (<еГ)
U a'= U а*> П а*= П а*>
t&T te=T t<=T t^T
Точнее: если существует объединение (пересечение) в левой
части равенства, то существует объединение (пересечение) и в
правой части, причем они равны; если же существует и
принадлежит А объединение (пересечение) в правой части равенства, то
существует и объединение (пересечение) в левой части
равенства и они равны.
Доказательство состоит в несложной проверке.
Заметим, что если в А есть нулевой элемент Л, то Л не
является нулевым элементом в А'.
Основной целью этой главы является доказательство
некоторых теорем о представлениях импликативных решеток и
псевдобулевых алгебр. В силу Г.З можно ограничиться случаем
псевдобулевых алгебр. Поэтому в следующих параграфах говорится
почти исключительно о них.
Для любой топологической булевой алгебры В посредством
©(В) мы будем обозначать множество открытых элементов
из В. Так как объединение и пересечение двух открытых
элементов открыто, то ®(В) является подрешеткой решетки В. Будем
обозначать сейчас относительное дополнение в В посредством
->- и дополнение в В посредством —, сохраняя обычные символы

ISO
ПСЕВДОБУЛЕбЫ АЛГЕБРЫ
1гл. iv
z$ и — для обозначения относительного псевдодополнения и
псевдодополнения в решетке ©(В).
1.4. Решетка ®(В) всех открытых элементов топологической
булевой алгебры В является псевдобулевой алгеброй. Более того,
при любых а, Ь е ®(В)
(5) а#6=*1(а->6),
(6) — а = 1 —-а,
где I — операция взятия внутренности в В.
В частности, если элементы a, b являются одновременно
открытыми и замкнутыми в В, то а^ Ь = а-+Ь =— a U b и —а =
= —а; поэтому элементы а=#>6 а —а также одновременно
открыты и замкнуты в В.
Для доказательства (5) достаточно показать, что при любых
а, Ь, *е=@(В)
а П * ^ & тогда и только тогда, когда х ^ 1(а->Ь)
(см. (1)). Действительно, af]x^b эквивалентно х ^ а -> 6,
так как -►■ является относительным дополнением в В. Поскольку
х открыт, неравенство х^.а-+Ь эквивалентно х ^.Ца-ь-Ь)
(см. III, § 1, (3)). Поэтому а Г) дс ^ b эквивалентно х ^ 1(а-*&),
(6) непосредственно следует из (5), ибо
Теорема 1.4 дает важный пример псевдобулевых алгебр. Этот
примерг типичен, так как в § 3 мы докажем, что каждая
псевдобулева алгебра А имеет вид ®(В) при подходящей
топологической булевой алгебре В.
Если В = 93 (X), т. е. В является полем всех подмножеств
топологического пространства X, то мы будем писать ®(Х) вместо
®(93(Х)). По определению ®(Х) является псевдобулевой
алгеброй всех открытых подмножеств топологического пространства
X. Алгебра ®(Х) была уже описана в I, § 12 (стр. 74).
Относительное псевдодополнение гф и псевдодополнение — в ®(Х)
удовлетворяют тождествам
(7) Л==>В = 1(Л->В), -Л — 1 —Л
для любых открытых подмножеств Л, В в X, где ->» и —
означают относительное дополнение и дополнение в X.
В соответствии с общим определением в I, § 4 подалгеброй
псевдобулевой алгебры А является любое непустое
подмножество, замкнутое относительно операций U, П, =ф, —. Каждая
подалгебра псевдобулевой алгебры сама является псевдобуле*
вой алгеброй.

§ 2] 'ПСЕВДОБУЛЕВЫ ГОМОМОРФИЗМЫ И ИЗОМОРФИЗМЫ 151
Аналогично, под подалгеброй импликативной решетки А мы
будем понимать любое подмножество А, замкнутое относительно
операций U, П, гф. Каждая подалгебра импликативной решетки
сама является импликативной решеткой.
Например, множество ®о(В) Rcex открытых плотных элемен*
тов топологической булевой алгебры В является подалгеброй
импликативной решетки ® (В) всех открытых элементов алгебры
В, ибо если fl,f>G ®o(B), то открытый элемент а=ф Ь также
плотен, поскольку Ъ <^az±?b (см. (18)) и, следовательно, V = СЬ^
^ С(а^Ь). Отсюда мы получаем, что
1.5. Решетка ®о(В) всех открытых плотных элементов в
топологической булевой алгебре В импликативна, причем операция
гф определяется посредством (5).
Если В является топологическим полем 93 (X) всех
подмножеств топологического пространства X, то мы пишем ®о(Х)
вместо ®о(ЭЬ(Х)) (см. I, § 12, стр. 74). Поэтому теорема 1.5
является обобщением замечания о решетке ®о(Х) из I, § 12, стр. 74.
В соответствии с общим определением в I, § 4 импликативную
решетку или псевдобулеву алгебру будем называть
вырожденными, если они содержат только один элемент (т. е. в них
совпадают единичный и нулевой элементы). В противоположном слу-
чае будем называть их невырожденными.
§ 2. Псевдобулевы гомоморфизмы и изоморфизмы
В соответствии с общим определением в I, § 4 отображение/!
псевдобулевой алгебры А в псевдобулеву алгебру А' будем
называть гомоморфизмом, если оно сохраняет все операции U, П,
=Ф> —, т. е.
(1) h{a[)b) = h(a)\)h(b), h{a(\b) = h{a\{\h{b),
(2) h(a^b) = h(a)^>h{b)f
(3) Л(— a) = -h(a).
В соответствии с I, § 4 любой взаимно-однозначный
гомоморфизм называется изоморфизмом. Для того чтобы
взаимно-однозначное отображение псевдобулевой алгебры А на псевдобулеву
алгебру А' было изоморфизмом, достаточно, чтобы h было
решеточным изоморфизмом, т. е. чтобы h удовлетворяло только
условию (1). Это следует из того обстоятельства^, что относительное
псевдодополнение и псевдодополнение полностью определены
заданием объединений и пересечений (см. § 1, (1) и (3)).
Желая отличать только что определенные гомоморфизмы
(изоморфизмы) от булевых и топологических гомоморфизмов
(изоморфизмов), обсуждавшихся в II, § 3 и III, § 3, отображения

152
ПСЕВДОБУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. IV
(взаимно-однозначные отображения), удовлетворяющие
условиям (1), (2), (3), будут также называться псевдобулевыми
гомоморфизмами (изоморфизмами).
Каждый псевдобулев гомоморфизм А алгебры А в А'
отображает единичный элемент алгебры А на единичный элемент
алгебры А' и нулевой элемент алгебры А на нулевой элемент
алгебры А'\
A(V)=V, А(Л) = А(Л).
Это следует из тождеств
Л-(у) = А(а=^а) = А(а)=#А(а)= V,
ti(A) = h{a[)-a) = h(a){)-h{a)=A
(см. I, § 12, (6) и (27)).
Обратно, из § 1, (3) непосредственно следует, что любое
отображение (А в А')> удовлетворяющее условиям (1) и (2) и
переводящее нулевой элемент в нулевой элемент, удовлетворяет
также условию (3), т. е. является псевдобулевым
гомоморфизмом.
Как пример псевдобулева гомоморфизма мы упомянем
естественный гомоморфизм Л (а) = |а| алгебры А на A/V, где V —
какой-нибудь фильтр в псевдобулевой алгебре А (см. I, 13.2).
Другие примеры псевдобулевых гомоморфизмов содержатся
в следующей теореме (см. также теорему 8.2):
2.1. Если Л— топологический гомоморфизм топологической
булевой алгебры В в топологическую булеву алгебру В', то ft,
суженный до ®(В), является псевдобулевым гомоморфизмом
алгебры®(В) в®(Вг).
Это непосредственно следует из определения операций
в® (В) и® (В') (см. § 1, (5), (6), стр. 150).
Следующую теорему немедленно получаем из 2.1 и II, § 3
(стр. 93):
2.2. Если ф — внутреннее отображение топологического про-
странства X в топологическое пространство У, то отображение ft:
(4) ft(fi) = qrL(B) при Be ©(У)
является псевдобулевым гомоморфизмом алгебры ®(Y) в ®(Х).
Если, сверх того, ф отображает X на У, то ft является
псевдобулевым изоморфизмом*).
Можно доказать, что при наложении некоторых условий на
У, если (4) является псевдобулевым гомоморфизмом, то ф
является внутренним отображением.
*) Сикорский [7].

§я
теоремы о представлений
453
§ 3. Теоремы о представлении
Следующая теорема разъясняет связь между псевдобулевыми
алгебрами и топологическими булевыми алгебрами:
3.1. Для каждой псевдобулевой алгебры А существует такая
топологическая булева алгебра В, что А = ©(В)*).
Если А конечна, то и В конечна. Если мощность алгебры А
равна m ^ Ко, то мощность алгебры В также есть т.
Заметим сначала, что для каждой дистрибутивной решетки Л
с нулевым и единичным элементами существует такая булева
алгебра А, что
(а) А — подрешетка алгебры В, причем нулевой
(единичный) элемент алгебры А совпадает с нулевым (единичным)
элементом алгебры В\
(б) если мощность алгебры А конечна, то и мощность
алгебры В также конечна; если мощность алгебры А естьтп^К0-
то и мощность алгебры А есть ш;
(в) каждый элемент алгебры А имеет вид
(1) b = (al^a[)f\ ... ЛК-><),
т. е. вид
(10 6 = (_aiUa;)n ...П(-ал1К),
где а{9 а\, ..., ал, а'п^А. Символы -* и — означают здесь
булево относительное дополнение и дополнение в В
соответственно.
Так как каждая дистрибутивная решетка изоморфна
некоторой решетке множеств (см. I, 9.3), то достаточно доказать наше
утверждение в случае, когда А является решеткой подмножеств
пространства X, причем объединение и пересечение являются
теоретико-множественными, Л = О и V = X. Но это следует
из II, 2.2 (с заменой А0 на А и А на поле 93(X) всех
подмножеств пространства X). В самом деле, в силу II, 2.2 класс всех
множеств вида (1) является полем, порожденным алгеброй А
Поэтому имеют место (а) и (в). Свойство (б) также легко
проверяется.
Пусть теперь А — псевдобулева алгебра, а А — булева
алгебра, удовлетворяющая условиям (а), (б), (в).
При любых а, а' е А имеем
(2) а=$а'^а->а'.
В самом деле, а(\(а*^а')^а' в силу § 1, (17), что влеч,ет
*)Мак-Кинси и Тарский [2]. (На самом деле, доказывается,
что алгебра А изоморфна алгебре ®(В).^-Прим. ред.)

1Й4 Г1СЕВД0БУЛБВЫ АЛГЕБРЫ [М( tV
Мы докажем теперь, что при. произвольных av а[, ..., ап,
а'п> а, а'£Л неравенство
(3) (*,-**;)П ... ПК->0<а-а'
влечет
(30 {а^а[)Г\ ... П(ап#<)<афа',
В самом деле, (3) эквивалентно
(ах->а$[) ... 0(ап-+а%(\а^аГ:
Отсюда в силу (2)
(а,#а1)П ... П(ал#<)Пя<а',
что влечет (3') в силу § 1, (1).
Из (3) и (3') непосредственно следует, что равенство
(а,-*а1)П ... ПК-О^в-аОП ... fl(am-»cQ,
где a,, а{ а^, а£, а,, а,, ..... ат, о^е4, влечет равенство
(а,^оОП -.. Л(а„ ==><) = («, =>«9П ••• D(am=#cQ.
Определим теперь операцию взятия внутренности в В
следующим образом: если b e В имеет вид (1), то
1& = (а1=#>а;)П...П(а„=фа;).
Из наших рассуждений следует, что 16 не зависит от
представления элемента Ь в виде (1). Очевидно,
(4) \Ь е А при каждом b e В,
(5) Ia = a при каждом аеЛ26).
Операция I удовлетворяет всем аксиомам III, § 1, (ц), (i2),
0з)> 0*) (см- СТР- И2). В самом деле, (ii) непосредственно
следует из определения операции I; (i2) следует из (2); (i3) следует
из (4) и (5); (i4) следует из (5).
Свойства (4), (5) влекут А = ©(В). Относительное
псевдодополнение и псевдодополнение в А совпадают с
относительным псевдодополнением и псевдодополнением, индуцированными
в ®(В) операцией взятия внутренности I при помощи способа,
описанного в § 1, стр. 150. Это следует из того, что
относительное псевдодополнение и псевдодополнение, если они существуют,
однозначно определены заданием объединений и пересечений.
3.2. Для каждой импликативной решетки А существует
такая топологическая булева алгебра В, что А = ®0(В), т. е. А
является решеткой всех открытых плотных элементов в В.

§4]
КОНЕЧНЫЕ ПСЕВДОБУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
155
Если А конечна, то В тоже конечна. Если мощность
алгебры А равна m ^ К0, то и мощность алгебры В также есть т.
Пусть А' — псевдобулева алгебра, полученная из А
добавлением нового нулевого элемента методом, описанным в
теореме 1.3. В силу 3.1 существует такая топологическая булева
алгебра В, что А' = ®(В) и мощность алгебры В удовлетворяет
требуемым условиям. Мы докажем, что А = ®о(В), т. е. что все
элементы из А плотны в В.
В силу 1.3 для каждого элемента а^А псевдодополнение
—а элемента а в Л/ = ©(В) равно нулевому элементу
алгебры А', т. е. нулевому элементу алгебры В. Отсюда и из 1.4,
(6) следует, что Са = — I — а=— —-а = V (где — означает
булево дополнение в В).
§ 4. Конечные псевдобулевы алгебры
Пусть А — конечная псевдобулева алгебра. В силу 3.1 можно
предположить, что А = ©(В), где В — подходящая конечная
топологическая булева алгебра. Из III, § 8 следует, что В можно
интерпретировать как топологическое поле ЩХ) всех
подмножеств некоторого конечного топологического пространства X.
Отсюда следует, что А можно представить как алгебру ®(Х) всех
открытых подмножеств конечного топологического
пространства X. Обратно, если X— какое-нибудь конечное топологическое
пространство, то ®(Х)—конечная псевдобулева алгебра.
Однако представление конечных псевдобулевых алгебр как
алгебр всех открытых подмножеств конечных топологических
пространств не интересно с точки зрения этой книги, ибо такие
топологические пространства довольно специфичны (вообще
говоря, они не являются Ti-пространствами 27)). Гораздо важнее
уметь представлять их как подалгебры алгебр всех открытых
подмножеств более естественных топологических пространств,
например метрических пространств. Такое представление дается
следующей теоремой:
4.1 *). Пусть X Ф О— плотное в себе метрическое
пространство и А — невырожденная конечная псевдобулева алгебра.
Тогда существует такое плотное открытое множество G а X,
что А изоморфна некоторой подалгебре алгеры ® (G).
Если, кроме того, X вполне несвязно, можно предположить,
что G = X, т. е. что А изоморфна некоторой подалгебре
алгебры ® (X).
Эта теорема непосредственно следует из 3.1 и III, 8.3.
Конечная псевдобулева алгебра А называется сильно
компактной, если равенство аА U ... U ап = V каждый раз влечет
*) М а к - К и н с и и Т а р с к и й [2]; см. также Т а р с к и й [8].

166
ПСЕВДОБУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. IV
сц = V при некотором /^п28). В силу 3.1 А = @(В), где
В — конечная топологическая булева алгебра. Из определения
непосредственно следует, что А сильно компактна тогда и только
тогда, когда В сильно компактна (см. III, § 8, стр. 131). Отсюда
в силу III, 8.2 получаем следующую теорему:
4.2*). Пусть и — непустое открытое подмножество плотного
в себе метрического пространства X. Для каждой
невырожденной конечной сильно компактной'псевдобулевой алгебры А
существует псевдобулев изоморфизм h алгебры А в ©(G) такой,
что при каждом а Ф Л, ое А множество Ch(a) содержит тео*
ретико-множественную разность CG — G.
§ 5. Плотные элементы
Элемент а псевдобулевой алгебры А называется плотным**),
если — а = Л.
Чтобы пояснить этот термин, рассмотрим случай, когда А
есть ©(В) — алгебра всех открытых элементов топологической
булевой алгебры В. Тогда элемент аеЛ (т. е. открытый
элемент аеВ) плотен в только что определенном смысле тогда и
только тогда, когда он является плотным элементом
топологической алгебры В в смысле III, § 1 (стр. 114), т. е. когда
Са = V. В самом деле, обозначая посредством — дополнение
в В, имеем
--а = 1 — а==— Са при всех аеЛ
(см. § 1, (6) и III, § 1, (1)). Поэтому для всех аеЛ
— а = Л тогда и только тогда, когда Са = V.
5.1. Элемент а псевдобулевой алгебры А плотен тогда и
только тогда, когда —-а = V.
Если а плотен, то —а=Л и, значда, а = — A = V
(см. 1.12.3, (26)). Обратно, если а=\/, то —а= а=
= _ V = Л (в силу I, 12.3, (30), (26)).
5.2. Элемент а псевдобулевой алгебры А плотен тогда и
только тогда, когда а П с Ф Л для любого элемента с Ф Л,
В самом деле, —а = Л тогда и только тогда, когда нулевой
элемент является единственным элементом с со свойством
а П с = Л (см. определение —а в I, § 10).
5.3. Элемент а псевдобулевой алгебры А плотен тогда и
только тогда, когда он имеет вид
(1) a = 6U-6,
где Ь — некоторый элемент из А.
*) Мак-Кинси и Тарский[21.
•*) См. Тарский [8].

§5] ПЛОТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 157
Действительно, если —а = Л, то а имеет вид (1) с Ь = а.
Обратно, для каждого элемента Ь еЛ
в силу I, 12.3, (31), (27).
Каждая псевдобулева алгебра имеет самое меньшее один
плотный элемент, так как единичный элемент плотен.
5.4. Псевдобулева алгебра А является булевой алгеброй
тогда и только тогда, когда единственным ее плотным
элементом является единичный элемент.
В силу 5.3 единичный элемент является единственным
плотным элементом тогда и только тогда, когда
aU — а = V при любом аеЛ,
т. е. когда псевдодополнение —а элемента а является
дополнением элемента а. В силу II, 1.1 и II, 1.2 это имеет место тогда и
только тогда, когда А является булевой алгеброй.
5.5. Если элементы а, Ь плотны, то а [) b также плотен.
Если а плотен и а ^6, то b также плотен.
Другими словами:
Множество всех плотных элементов в псевдобулевой алгебре
А является фильтром в А.
Пусть а и b плотны, и пусть с Ф Л. В силу 5.2 af\c ф Л.
Точно так же b f| (а П с) Ф А, т. е. (а Г) Ь) Г) с Ф А при любом
сФ Л. В силу 5.2 это означает, что элемент а()Ь плотен.
Если а^Ьу то —b ^ —а. Значит, из —а = Л следует
- Ь = Л.
5.6. Если а и az$b плотны, то b также плотен.
Это непосредственно следует из второй формулировки 5.5 и
из I, 13.1.
5.7. Элемент a z^> а плотен при любом а^А.
В силу I, 12.3, (33), (30) имеем
а#а> a(Ja = — a\]a.
Так как — a U а плотен в силу 5.3, то а^ а плотен
ввиду 5.5.
5.8. Если фильтр V в псевдобулевой алгебре А содержит все
плотные элементы, то A/V является булевой алгеброй.
В силу I, 13.2 A/V является псевдобулевой алгеброй.
В силу II, 1.2 для доказательства того, что алгебра A/V булева,
достаточно установить, что для любого |a|eA/V
псевдодополнение — \а\ элемента \а\ является дополнением для него. Но,
действительно,
|a|U~k| = |a|U|-a| = |aU-a|=V4/v,
так как a (J —a e V вследствие 5.3.

158
ПСЕВДОБУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. IV
§ 6. Регулярные элементы
Пусть А — псевдобулева алгебра. Элемент а^А называется
регулярным *), если а = а.
В качестве иллюстрации рассмотрим случай, когда А есть
®(В)—алгебра всех открытых элементов топологической
булевой алгебры В. В этом случае открытый элемент а регулярен
тогда и только тогда, когда а=1Са. Действительно, обозначая
дополнение в В посредством —, будем иметь а = I— I — а=
= 1Са для любого открытого а (см. III, §1, (1)).
Если, например, А = ®(Х), где X — множество всех
действительных чисел, то каждый из бесконечных открытых
интервалов (— оо, 0) и (0, оо) регулярен, однако их объединение не
регулярно.
б.Ь. Элемент а регулярен тогда и только тогда, когда он
имеет вид
(1) а --&,
где Ь — некоторый элемент из А.
Действительно, если а = а, то а = —Ъ при Ь = —а.
Обратно, если имеет место (1), то а = Ъ = —Ь=а
в силу I, 12.3, (30).
6.2. Если а и b регулярны, то a f) b также регулярен. Если b
регулярен, то ad$tb регулярен при любом а.
Действительно, если а и b регулярны, т.е. а=—- а' и 6=—Ь'
для некоторых а[, 6'еА, то а[\ b == — (a' U b') в силу I, 12.3,
(31). Поэтому а П b регулярен по 6.1.
Если b регулярен, т.е. 6=— Ь\ то аф Ь=— (а П Ь') в силу
I, 12.3, (35). Поэтому а^>6^также регулярен.
6.3. Для любых элементов а, Ь элементы а-^b и —b
регулярны.
Это непосредственно следует из 6.1 и 6.2 (или из I, 12.3, (30)
и (36)).
6.4. Для любого элемента а элемент а является
наименьшим из таких регулярных элементов Ь, что а ^ Ь.
Действительно, а ^ а в силу I, 12.3, (29). С другой
стороны, если а ^ b и b регулярен, т. е. b=—b'9 то —b ^ —а,
а значит,
a<--6 = b' = — b' = b
в силу I, 12.3, (30). Это доказывает 6.4.
Для каждой псевдобулевой алгебры А символ 91(A) будет
означать множество регулярных элементов алгебры А. Это
множество не пусто, так как оно содержит единичный и нулевой
*) Исследование регулярных элементов проводится в работе М а к - К и н*
си и Тарского[2].

§6)
РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
159
элементы алгебры А. Мы будем рассматривать ffi(A) как
упорядоченное множество при том же отношении порядка, которое
есть в А. Вообще говоря, 9t(A) не является подрешеткой
решетки А, так как объединение двух регулярных элементов не
обязано быть регулярным (см. пример, приведенный перед
теоремой 6.1).
Однако упорядоченное множество 91(A) является решеткой.
В самом деле, для любых данных элементов а, бе91 (А)
элемент а П b является точной нижней границей элементов а, Ь в
упорядоченном множестве 91(A) (см. первую часть 6.2), а элемент
(а П Ь)— точной верхней границей элементов а/Ьв
упорядоченном множестве 91(A) (см. 6.4). Разумеется, единичный и
нулевой элементы алгебры А являются также, соответственно,
единичным и нулевым элементами решетки 91(A). Так как а=Ф& e9t(A)
при я, бе91 (А) (см, вторую часть 6.2) и так как операция
пересечения в 91(A) является сужением операции пересечения
в А, то элемент а=Ф6 является псевдодополнением элемента
ae9t(A) относительно бе91 (А) в решетке 91(A). Беря б = Л,
мы видим, что псевдодополнение — а для а е 9t (А) в А является
также псевдодополнением элемента а в решетке 91(A). Поэтому
91(A) является псевдобулевой алгеброй с операциями f], =Ф, —,
совпадающими с такими же операциями в А, но, вообще говоря,
с иным объединением. Объединение в 91(A) мы будем
обозначать посредством U*> желая отличить его от объединения (J
в А. Как мы видели,
(2) а\)*Ь = (а[)Ь) при a, 6e9t(A).
Если а, 6 е Ш(А), то а = — a', b = — b'9 где а! = — а, Ъ' = — Ь.
Следовательно,
^_(aU6) = (-a'u.--&/)^^( а'Г) &') =
= ~(~яП-&)
в силу I, 12.3, (31), (30). Поэтому определение (2) для U*
может быть записано в виде
(3) a(j*6 = -(-an-&) при a, 6e9t(A).
Мы докажем теперь, что
6.5. 91 (А) является булевой алгеброй.
В силу II, 1.2 достаточно доказать, что псевдодополнение
—а для произвольного элемента а е 9t (А) является
дополнением элемента а в 91 (А), т. е. что
a(J* — а=\Л
В силу (2) мы должны доказать, что (a U — a)=V. Но это
так, ибо элемент a U *— а плотен {см. 5.3 и 5Л).

160 ПСЕВДОБУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ [ГЛ. IV
6.6. Единичный элемент является единственным плотным ре-
гулярным элементом.
В самом деле, равенства а = V и а == а
выполняются одновременно тогда и только тогда, когда a=V.
6.7. пусть V — фильтр всех плотных элементов в А. Отобра-
оюение
h(a) = \a\e=A/V (ae=9t(A))
является булевым изоморфизмом булевой алгебры Я (А) на бу-
леву алгебру A/V.
Напоминаем, что A/V является булевой алгеброй в силу 5.8.
Сначала докажем, что h отображает 31(A) на A/V. Для
этого достаточно установить, что при каждом |&| еЛ/V
существует такой регулярный элемент а, что |6| = ]а|. Элемента=
— ь обладает этим свойством. В самом деле, так как Ь ^
< Ь (см. I, 12.3, (29)), мы имеем 6=# 6=VeV. По
5.7 6#6eV. Поэтому |6| = | Ъ\.
Очевидно, а^.аг влечет h(a) ^ h(a'). Обратно, если h(a)^
< h(a')> то а< а'. В самом деле, имеем тогда |а=> а'| =
= | а | =Ф> | аг | == N/, т. е. элемент а фа' плотен. Но так как
а=£> а' регулярен в силу второй части 6.2, то получаем отсюда,
что а=ф а' = V (см. 6.6). Это доказывает, что а ^ а'.
Так как при любых а, а' е 9t (A)
а ^ а' тогда и только тогда, когда h(a) ^ h(a')y
h является изоморфизмом (см. I, 6.2).
§ 7. Бесконечные объединения и пересечения
Мы доказали в I, 12.1, что конечные дистрибутивные законы
(Ц) имеют место в любой импликативной решетке и,
следовательно, также в любой псебдобулевой алгебре. Всегда имеет
место также один из бесконечных дистрибутивных законов:
7.1. Если в импликативной решетке А существует
бесконечное объединение [J Ьи то при любом а&А также существует
t&T
и объединение \J a[}bt, причем
(о anU6<=U«nfi,.
Это непосредственно следует из I, 11.2*
Заметим, что двойственное тождество
(10 а\} П »*= П * U 6»

§ 71 БЕСКОНЕЧНЫЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ И ПЕРЕСЕЧЕНИЙ 161
вообще говоря, не имеет места в псевдобулевых алгебрах. Пусть,
например, А — ®(Х), где X— множество всех действительных
чисел, Т — множество всех положительных целых чисел, bt —
открытый интервал —l/t < £ < l/t и а — объединение
открытых интервалов —1 < £ < О и 0 < g < 1. Тогда бесконечное
пересечение всех bt в решетке А есть пустое множество, а
значит, a (J D bt = а. С другой стороны, a U bt есть открытый ин-
тервал —1 < % < 1 при любом /gT, а значит, бесконечное
пересечение всех а [} bt в решетке А равно этому интервалу.
Поэтому а[) fl Ь{ф f) a[)bt.
te=T te=T
Две следующие теоремы будут полезны в главе X, § 6:
7.2. В любой импликативной решетке А
(2) а[) Г) bt^f)(a[}bt),
(3) [J (а*=^Х(Л *<Н*'
fsr \|еГ /
(4) U(a^bt)<a^>\j Ьи
t&T t&T
(5) П(а<=^х(П a<H(fH).
(еГ \fsr /. \/еГ /
(6) Л (*<***<)<( U «*H[UM
при условии, что существуют все упоминаемые бесконечные
объединения и пересечения.
Если существует объединение (J аи то существует также
t&T
пересечение Q (а*=Ф&) при любом бе Л, причем
(7) nto<**)-~fU ъ)^ь-
tezT \t&T I
Если существует пересечение f] bu то существует также пере-
t^T
сечение f] (а*#bt) при любом аеЛ, причем
(8) П (a**bt)**a*$ fj *<•
(2) непосредственно следует из HepafceHCtBa
flU П **^flUfy ПРИ любом /еГ,

162 Псевдобулевы алгебры [ГЛ. tv
Доказательство (3). По § 1, (17) имеем at(](at^b)^b.
Отсюда If] at\f\(at=$>b)^bt т. е. а,=ф&< / f] аЛ=Ф& при
любом /еГ. Последнее неравенство непосредственно влечет (3).
Доказательство (4). Так как af\(a=$>bt)^bt (см. § 1,
(17)), то имеем а Г) (я =#>&*)< (J Ьь т. е. а=ф&, <а=#> (J 6, при
любом /еГ. Это влечет (4).
Доказательство (5). Так как а* Г) (я* =Ф &*)<&// имеем
(см. I, 7.1, (8), (15))
t€=T t^T tezT
что влечет (5) в силу § 1, (1).
Доказательство (6). Так как atfl(at^bt)^.bt> то мы
имеем at{\ П (я*^**)^^* ПРИ любом <еГ. Отсюда по (1) и
I, 1.7, (7)
что влечет (6).
Доказательство (7). Обозначая посредством а
элемент (J аь икеем at ^ а, а значит, а-^Ь <g: а^гф & при лю-
бом /еГ (см. I, 12.2, (11)). Обратно, если с ^ at'z$>b при
любом / € Г, то а* Г) с ^ 6, а значит, сПс<Ьв силу (1) и I, 7.1,
(4). Это влечет с ^ а:ф 6, что завершает доказательство (7).
Доказательство (8). Обозначая fl &* посредством 6,
имеем а=^> b < а^ф &< для любого /g Г (см. I, 12.2, (12)).
Обратно, если c^az^bt при любом /еГ, т.е. а П с < 6(, то
aflc<ft,T.e. c<ar^fc. Это доказывает (8).
Заметим, что (7) и (8) являются обобщениями тождеств
I, 12.2, (17) и (16) соответственно.
7.3. В каждой псевдобулевой алгебре А
О) (J-<*<<-ГК
если существуют эти пересечение и объединение. Если в А су-
ществует объединение (J аь то существует также пересечение
П "~ аь причем
(Ю) П -at = - IK
t^T

§71 БЕСКОНЕЧНЫЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ И ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 163
Доказательство (9), Так как f) at^.ati то имеем —
— я,^ — Г) at для каждого /еГ. Но это влечет (9).
Доказательство (10). Обозначая \J at посредством
а, имеем at ^ а и поэтому —а ^ —я* для каждого t e Г.
С другой стороны, если с ^ — at для каждого ( G Г, то с П я*=
= Л по определению псевдодополнения. Значит, в силу (1)
с П,а=Л, т.е. с ^ —а. Это доказывает (10).
(9) и (10) являются обобщениями I, 12.3, (32) и (31)
соответственно.
7.4. /7#т В — топологическая булева алгебра, А = ®(В) и
at& А при всех t e Г.
Объединение (J at существует тогда и только тогда9 когда
существует объединение (J* at. В этом случае
t&T
UA at = UP a*-
Если существует пересечение ff au то существует также пере-
сечение f] аь причем
i&T
(Xat = \rfat.
t&T t<sT
Предположим, что а — \JA at существует и что ^<йеВ
при всех /еГ. Тогда at = \at ^ 16 е А. Отсюда имеем а ^ 16
и, значит, д,^ 6, чем доказывается а = (J at.
t&T
Предположим теперь, что а = (J at существует. Объедине-
пие любого числа открытых элементов открыто, и поэтому
аеА, что влечет а = (J"4 at.
Предположим, что 6= f] я* существует. Так как at^b,
t€ST *
то имеем 1а*^ 16, т. е. а*^ 16 для всех /еГ. С другой
стороны, если fl/>flGil при всех /еГ, то fc>а, а значит,
16^1а==а. Этим доказано, что 16= fYat-

164 ПСЕВДОБУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ [ГЛ. IV
7.5. Если В — полная топологическая булева алгебра, то
псевдобулева алгебра А = ®{В) является полной решеткой и
для любого проиндексированного множества at^A, t^T,
ЦЧ-иъ. fY4-inv
teT t&T te=T t^T
В частности, ®(X) полна для любого топологического про*
странства X.
Теорема 7.5 следует непосредственно из 7.4.
§ 8. Релятивизация
Пусть g— фиксированный элемент в псевдобулевой
алгебре А. В соответствии с I, § 11, стр. 72, символ А8 будет
обозначать подрешетку всех таких а, что а ^ g. Напомним, что
отношение порядка < и операции (J и П в А и Ag совпадают.
Нулевой элемент алгебры А является нулевым элементом и для Ag.
Единичным элементом алгебры Аё является g. Следующая
теорема является аналогом II, 6.1:
8.1. Решетка Ag является псевдобулевой алгеброй. Для
любого элемента ag Ag элемент g П —а является
псевдодополнением элемента а в Ag. Для любых элементов a, b sAg элемент
£П(а=^&) является псевдодополнением элемента а
относительно Ь в Ag.
Разумеется, — и :ф, здесь обозначают операции в А.
Для доказательства 8.1 заметим, что при произвольных
х, a, b g= Ag
xf\a^.b тогда и только тогда, когда x^gf\(a=^b).
Это доказывает, что g П (а-=$ Ь) является псевдодополнением
элемента а относительно b в решетке Ag. Поэтому Ag —
псевдобулева алгебра. Беря 6 = Л, получаем, что g [\—а является
псевдодополнением элемента ceAg в решетке Ag.
Заметим, что Ag никогда не является псевдобулевой
подалгеброй алгебры А, кроме тривиального случая g=V.
Если А является алгеброй ®(Х) всех открытых подмножеств
топологического пространства X и G — открытое подмножество
пространства X, то AG является алгеброй ®(0) всех открытых
подмножеств множества G.
8.2. Если А — псевдобулева алгебра и g e А, то отобра-
чИсенис
(1) h0(a) = gt)a
является псевдобулевым гомоморфизмом псевдобулевой
алгебры А на псевдобулеву алгебру Ag. Гомоморфизм (1) сохраняет
все бесконечные объединения и пересечения в А.

[§ 9 ВЛОЖЕНИЯ И РАСШИРЕНИЯ ПСЕВДОБУЛЕВЫХ АЛГЕБР 165
Так как А дистрибутивна, то имеем
ho(a\]b) = gn(a[}b) = (gf\a)[)(g(]b) = h0(a)Uh0(b).
Аналогично,
h0(a[)b) = g()(a[)b) = (grta)t)(g()b) = h0(a)()h0(b).
В силу I, 12.2, (24)
fio(a^b) = g[)(h0(a)^fi0(b))y
и в правой части этого равенства стоит псевдодополнение
элемента h0(a) относительно h0(b) в решетке Ag (см. 8.1). Этим
доказывается, что h0 сохраняет также операцию :ф. Так как
й0(Л) = Л, то Ло — псевдобулев гомоморфизм. Очевидно, Ло
отображает А на Ag.
Для доказательства второй части 8.2 заметим сначала, что
для каждого проиндексированного множества {at}teT
элементов в Ag
(2) \fat=\jA'at, n%=fY4>
*еГ *€=Г t&T t&T
чем оправдано опущение индексов в (J и f]. Точнее, (2)
нужно понимать следующим образом: если существует
объединение (пересечение) в одной части равенства, то существует
объединение (пересечение) и в другой части, причем они
совпадают.
Чтобы доказать, что h0 сохраняет все бесконечные
объединения л пересечения, достаточно убедиться в том, что
gn (J <**= (J tena*), #п Г) а*= Л tena*),
если только существуют объединение и пересечение, стоящие
в левых частях. Но это следует из дистрибутивного закона 7.1
низ 1,7.1, (10).
Нетрудно убедиться, что отображение
(3) h(a) = \a\ (as=Ag)
является изоморфизмом алгебры Ag на A/V, где
V—порожденный элементом g главный фильтр.
§ 9. Вложения и расширения псевдобулевых алгебр
Следующая теорема является аналогом III, 4.2:
9.1. Для каждой псевдобулевой алгебры А существует
полная псевдобулева алгебра А* и изоморфизм алгебры А в А%

166 ПСЕВДОБУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ [ГЛ. XV
сохраняющий все бесконечные объединения и пересечения
В силу теоремы 3.1 можно предположить, что А=©(В), где
3—некоторая топологическая булева алгебра. По теореме III,
4.2 существуют такие полная топологическая булева алгебра В*
и топологический изоморфизм А алгебры В в В*, что А
сохраняет все бесконечные объединения и пересечения в В и
элементы Л (а), где абЛ, образуют открытую базу для В*. По 7 5
псевдобулева- алгебра А*=®(В*) полна. По 2.1 изоморфизм Л,
суженный до А, является псевдобулевым изоморфизмом
алгебры А в А*> Мы докажем, что Л сохраняет все бесконечные
объединения и пересечения в А.
Пусть а = УУ at (a, at е А). В силу 7.4 а = \JB at. По-
этому А(а) = \JB* h(at). По теореме 7.4 А(а) = \JA* h(at).
Предположим теперь, что а = f]A at (а, at e А). Имеем
(1) a^.at для всех (еГ.
Отсюда имеем h{a)^.h(at) для всех /еГ, Пусть 6= fY**A(***)•
В силу предыдущего неравенства A (a) ^6. С другой стороны,
b= \JB* h(a's) для некоторого множества элементов а^Л,
так как 6—-открытый элемент и элементы А (с), сеЛ,
образуют открытую базу для В*. Так как A(aQ^A(a^), то имеем
a's ^ а, при всех seS и /еГ. Отсюда получаем a's ^ a и,
значит, A (а£) ^ А (а) для всех s e S. Это доказывает, что
6<А(а). Поэтому 6 = А(а), т. е. А(а)= ПД*А(а^).
Пусть А — псевдобулева алгебра и пусть
(q) ar- \JAaSlt (ssS)
— фиксированное множество бесконечных объединений в А.
Пусть X — топологическое пространство. Псевдобулев
гомоморфизм (изоморфизм) алгебры А в ®(Х) называется (q,
^-гомоморфизмом ((q, П) -изоморфизмом) у если
(2) A {as) = U A (a5t t) при всех 5 е S,
(3) А(6) = 1 П *(*<)
•) Ра сё в а [2].

§ 9] ВЛОЖЕНИЯ Й РАСШИРЕНИЯ ПСЁВДОБУЛЕВЫХ АЛГЕБР 167
для любого такого проиндексированного множества bt e А
(t^T), что пересечение Ь = (У* bt существует. Символы (J
и f] в правых частях (2) и (3) означают
теоретико-множественное объединение и пересечение соответственно.
9.2. Каждая псевдобулева алгебра А изоморфна подалгебре
алгебры открытых подмножеств некоторого топологического
пространства, т. е. существуют некоторое топологическое
пространство X и псевдобулев изоморфизм h алгебры А в (§>(Х) *).
Можно, сверх того, считать, что множества h(a), где ag А,
образуют базу для X и что мощность множества X не
превосходит 2\если мощность множества А не превосходитm (m^> К0).
Более того, при данном счетном множестве (q) бесконечных
объединений в А можно также считать, что h является (q, П)-
изоморфизмом алгебры А в ®(Х) **).
В силу 3.1 можно считать, что А=®(В), где В —
топологическая булева алгебра с мощностью, не превосходящей т. По
7.4 .имеем
(4) а5= \JBaStt для 5 е S.
t^Ts
В силу III, 4.3 существуют некоторое топологическое
пространство X с мощностью, не превосходящей 2Ш, и топологический
изоморфизм h алгебры В в 33 (X). Более того, можно
предположить, что
(5) h (as) = [J8 {X) h (as, t) при всех s e= S
t^Ts
и что класс всех множеств h(a), a&A, образует базу для X.
Из последнего свойства следует, что при любых &* е A, /gT;
Ъ = ft* bt влечет h (b) = I ff{x) h (bt).
t^T t€=T
Точное доказательство этого — как в соответствующем месте
доказательства 9.1. (5) влечет, что
h(as)= (J h(as%t) при всех seS,
t^Ts
Таким образом, изоморфизм 1г, суженный до А, является псевдо*.
булевым (q, П)-изоморфизмом алгебры А в ®(Х) (см. 2.1).
Только что доказанная теорема 9.2 является аналогом III»
4.3. Следующая теорема 9.3 является аналогом III, 4.4:
*) Мак-Кинси и Тарский[2],
*) Расе в а и С и к о р с к ий [3].

168
ПСЕВДОБУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. IV
9.3. Пусть А — псевдобулева алгебра, пусть А0 а А -—
конечное множество, содержащее г элементов. Тогда существует
такая конечная псевдобулева алгебра А\ содержащая не более
22Г элементов, что V s А', А0 с А' и операции в А' являются
расширениями операций в А^ = Л0 (J • V ]> т. е. для любых а, Ь,
(а) если с есть объединение элементов a, b в А, то с есть
объединение элементов а, Ь в А'\
(б) если с есть пересечение элементов а, Ь в А, то с есть
пересечение элементов a, b в А'\
(в) если с является псевдодополнением элемента а относи-
тельно Ь в А, то с является псевдодополнением элемента а
относительно Ь в А'\
(г) если с является псевдодополнением элемента а в А, то с
является псевдодополнением элемента а в А' *).
В силу теоремы 3.1 можно считать, что А=®(В), где В—
некоторая топологическая булева алгебра. Пусть W — булева
подалгебра алгебры 2J/порожденная множеством А0. Ввиду II,
2.3 в В' содержится не более 22 элементов. Вследствие 111,4.4
существует такая операция взятия внутренности V в В\ что при
каждом сеВ'
(6) если кеЛо, то l'c~lc.
Мы будем рассматривать В' как топологическую булеву
алгебру с операцией взятия внутренности Г. Пусть А' = ®(В').
Обозначим относительное псевдодополнение и псевдодополнение
в А' посредством ^ф' и —' соответственно, т. е.
а=Ф'& = Г(— a (J b) и — 'а = Г— а при а, бе А',
Где «*- обозначает булево дополнение в В. Если a, J, cgА$
и с = а=Ф& = 1(— а[)Ь), то в силу (6) с— Г (—а (J b)=a^bt
что доказывает (в). Доказательство (г) аналогично.
(а) и (б) следуют из того, что А и А' — подрещетки
решетки В.
§ 10. Счетные псевдобулевы алгебры
Следующая теорема является аналогом теоремы III, 10.1:
10.1. Для любой счетной псевдобулевой алгебры А и для
любого данного счетного множества^ (q) бесконечных
объединений в А существуют некоторое множество Х0
иррациональных чисел и псевдобулев (q, П) -изоморфизм алгебры А
вЛ(Х0)**)\
*) Мак-К иней и Тарскйй [2].
**) Сикорский [7].

§ 111 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПСЕВДОБУЛЕВЫХ АЛГЕБР 169
Доказательство подобно доказательству III, 10.1:
В силу 9.2 существуют некоторое сепарабельное
топологическое пространство X с мощностью, не превышающей 2*°, и
(q, П)-изоморфизм h алгебры А в ®(Х). В силу III, 9.4
существуют некоторое множество Х0 иррациональных чисел и
внутреннее отображение ср множества Х0 на X. Так как qr1
сохраняет все бесконечные теоретико-множественные операции в
93 (X) и операцию взятия внутренности I (см. III, 3.2), то из 2.2
и 7.5 следует, что псевдобулев изоморфизм h\ алгебры ®(Х)
в®(Х0):
hl(A) = q>~l(A) при Ле=©(Х),
сохраняет все бесконечные объединения и пересечения в ®(Х).
Следовательно, отображение
Л0(а) = ф~1(А(а)) при а^А
является псевдобулевым (а, П) -изоморфизмом алгебры А в
©(Jo).
§11. Произведения псевдобулевых алгебр
Пусть {Ап}п &N — множество псевдобулевых алгебр,
понимаемых как универсальные алгебры
(1) {Ап, U, ГЬ#, -}
в соответствии с § 1, стр. 148. По общему определению в I, § 4,
стр. 36, произведение А всех Ап есть алгебра
(2) {Л, U, П,#.-Ь
где Л= Р Ап и операции в А определяются следующим
образом:
{ап)пs д, U{Ьп)птN = КU Ьп)п.^N>
{anJn <sN~ l anfn s ЛГ
11.1. Произведение (2) псевдобулевых алгебр (1) является
псевдобулевой алгеброй.
Доказательство подобно доказательству аналогичных теорем
I, 6.3 для решеток, И, 7.1 для булевых алгебр и III, 13.1 для
топологических булевых алгебр.
Заметим, что решетка {A, (J, D} является тогда
произведением решеток {An, U, П} (см. I, § 6, стр. 49). Следовательно,
утверждение I, § 6, (14) и теорема I, 7.2 сохраняют Силу и для

170 ПСЕВДОБУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ [ГЛ. IV
случая произведений псевдобулевых алгебр. В частности, если
все Ап — полные псевдобулевы алгебры, то и их произведение
полно.
11.2. Если Ап при каждом n^N является псевдобулевой
алгеброй ®(Вп) всех открытых элементов в топологической
булевой алгебре Вп, то произведение А — Р Ап является псевдо-
булевой алгеброй ®(В) всех открытых элементов в
произведении В= Р Вп всех топологических булевых алгебр Вп.
Это непосредственно следует из III, 13.2 и из тождеств § 1,
(5), (6).
Следующая теорема непосредственно получается из 11.2 и
из III, 13.2:
11.3. Если Ап при каждом п& N является псевдобулевой
алгеброй ®(Хп) всех открытых подмножеств топологического
пространства Хп и пространства Хп не пересекаются, то отобра-
оюение
(4) /*({Л„}„еЛ,)= [J Л„
\где Ап е Ап при любом п^ N и \J обозначает
теоретико-множественное объединение) является псевдобулевым
изоморфизмом произведения Л= Р Ап на псевдобулеву алгебру ®(Х)
всех открытых подмножеств прямого объединения X всех
топологических пространств Хп.
Изоморфизм (4) дает естественное теоретико-множественное
представление для псевдобулевой алгебры А= Р Ап. Поэто-
п е N
му можно отождествить произведение А с псевдобулевой
алгеброй ©(X), отождествляя {An}n€-N и \J An.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
ГЛАВА V
ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
§ 1. Понятие о формализованных теориях
Совсем недавно, вплоть до конца девятнадцатого столетия,
математические теории обычно строились интуитивно или
аксиоматически. Другими словами, они основывались либо на
интуитивных идеях — идеях, почерпнутых из реальности, —
относительно основных понятий теории, либо на свойствах этих
понятий, выраженных системами аксиом.
Однако историческое развитие показало, что чисто
интуитивное понимание таких понятий недостаточно как основа теорий.
Это стало особенно очевидным в теории множеств. Конечно,
основное понятие этой теории — множество — взято из реальности,
ибо нам приходится иметь дело с различными множествами,
которые— все — являются конечными. Но в математике бывает
также необходимо рассматривать различные беконечные
множества, такие, как множество всех целых чисел, множество
всех рациональных чисел, множество всех сегментов, множество
всех треугольников, множество всех подмножеств данного
множества и т. д. Представляется 'даже разумным рассматривать
такие понятия, как множество всех топологических пространств,
множество всех множеств, множество всех объектов. Однако
несложное рассуждение показывает, что все же понятие множества
нужно как-то ограничить. Так, например, понятие множества Z
всех таких множеств А, что А не является элементом множества
Л, ведет к противоречию. Действительно, исследуем, является ли
множество Z своим собственным элементом. Предположим, что
это так. Но тогда Z не может быть своим элементом, ибо Z со-
ставлено только из множеств, не являющихся своими
элементами. Но и гипотеза, что Z не является своим элементом,
влечет, что Z является своим элементом, так как в Z входят все
множества, не являющиеся своими элементами. Этот парадокс*)
*) Открытый Б. Расселом. Другие примеры парадоксов интуитивной
теории множеств см. у Френкеля [2].

172 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
возникает по той причине, что понятие множества недостаточно
точно определено и допускает слишком свободные истолкования.
Рассмотренный пример показывает, что необходимо считать
лишенными смысла такие понятия, как множество всех множеств,
не являющихся своими собственными элементами; их допущение
в теорию множеств невозможно. С другой стороны,
необходимость рассмотрения таких патологических множеств и не
возникает в математике.
Описанный парадокс, равно как и другие подобные
парадоксы, встречающиеся в интуитивной теории множеств, нельзя
избежать обращением к одной интуиции. Но, характеризуя
интуитивное понятие множества подходящей системой аксиом, мы
получаем аксиоматическую теорию множеств без таких
антиномий29). Возникает вопрос: какое множество аксиом нужно взять,
чтобы получить достаточно богатую теорию множеств? Мы не
будем обсуждать этот вопрос. Некоторая система аксиом для
теории множеств будет приведена в § 13. Основанной на этой
системе теории практически хватает, чтобы включить в ее рамки
все актуальные математические теории.
Аксиоматический метод является первым шагом, ведущим
к уточнению построения математических теорий. В интуитивных
математических теориях нет четкой границы между тем, что
очевидно, и тем, что нуждается в доказательстве. В
аксиоматических теориях принимается система элементарных понятий,
характеризуемых некоторым множеством аксиом. Другие понятия
определяются посредством этих элементарных понятий.
Утверждения, являющиеся следствием аксиом, .называются теоремами
теории. Все свойства какого-нибудь понятия, не выраженные
в аксиомах, требуют доказательства.
До недавнего времени этот уровень точности при построении
математических теорий казался достаточным. Однако
выяснилось, что, даже выбирая непротиворечивое множество аксиом,
мы не гарантированы от парадоксов другого рода.
Рассмотрим, например, арифметику, основанную на хорошо
известной аксиоматике Пеано. Пусть А обозначает множество
всех целых положительных чисел, которые могут быть
определены в русском языке посредством фразы, содержащей не более
1000 букв. Множество А конечно, так как конечным является
множество всех фраз, содержащих не более тысячи букв;
поэтому существуют целые числа, не принадлежащие Л. Фраза
(*) п является наименьшим положительным целым числом,
которое нельзя определить посредством фразы русского
языка, содержащей не более 1000 букв,
содержит не более тысячи букв и определяет положительное
целое число /г. Поэтому п принадлежит А. С другой стороны, п

§!)
Понятие о формализованных теориях
173
не принадлежит А по определению п, и мы пришли к
противоречию.
Очевидно, причина этого парадокса *) заключается в том,
что в его построении мы использовали некоторые понятия (как-
то «русский язык», «буквы», «фразы»), которые не принадлежат
чистой арифметике. Обычно мы не вводим в математику
определения, подобные (*). Парадокс всецело является следствием
того, что мы не уточнили, какие понятия и предложения
принадлежат арифметике и какие понятия и предложения только
говорят об арифметике, как о фиксированной и замкнутой
дедуктивной системе. Интуитивно мы понимаем арифметику как
множество предложений, выражающих определенные свойства
положительных целых чисел и других определенных посредством
них понятий. Следующие предложения, например, определенно
принадлежат арифметике:
при любом простом числе р число (р— 1)1 + 1 делится на р\
не существует таких положительных целых чисел х, у, z, п, что
Хп+2 + yn+2 — Zn+29
С другой стороны, мы можем говорить также о самой
арифметике, т. е., считая теперь, что арифметические предложения
сформулированы на русском языке, мы можем формулировать
предложения относительно проблемы, сколь много целых чисел
определимо в арифметике посредством не более 1000 букв.
Однако такие утверждения об арифметике не принадлежат ей
самой и могут только претендовать на право принадлежать другой
теории, которая исследует арифметику как некий новый объект.
Эта теория обычно называется метаарифметикой. В частности,
предложение (*) принадлежит не арифметике, а метаариф-
метике.
В повседневной математической практике мы часто
одновременно формулируем и используем утверждения, принадлежащие
некоторой теории, и утверждения, прнадлежащие ее метатеории
(т. е. теории, исследующей данную). Если, например,
рассматриваемой теорией является теория решеток, то
a U {а Л Ь) == а, а Л (а U Ь) = а
являются теоремами теории решеток, а принцип двойственности
(см. I, § 6) —теоремой соответствующей метатеории..
Этот пример показывает, что иногда метаматематические
утверждения бывают очень полезными в развитии
рассматриваемой математической теории. Однако их всегда нужно отличать
от утверждений, принадлежащих самой теории.
*) Открытого Г. Г. Б е р р и. Другие примеры парадоксов такого рода
(они называются семантическими парадоксами) см., например, у Бета [4],
К я и н и [3].

tU ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ, V
Из приведенного нами парадокса следует, что для
исключения из аксиоматической теории таких противоречий нужно точно
описать ее язык, т. е. множество предложений теории и
множество используемых при их построении символов. Так мы избежим
противоречий, возникающих из коллизии теории и ее
метатеории, т.е.из включения метатеоретических утверждений в теорию.
Это побуждает нас ввести еще большую точность в построение
математических теорий и ведет к понятию формализованной
теории, в которой не только свойства элементарных понятий заданы
точным аксиоматическим способом, но точно определен также
язык теории*). Формализация языка представляет также
следующее преимущество: она позволяет нам дать точное описание
принятых в теории логических средств, т. е. точно определить
процесс дедукции.
В формализованных математических теориях, например
в формализованной арифметике и в формализованной теории
множеств, нельзя получить парадоксы описанного выше типа.
С другой стороны, математик, руководимый правильной
интуицией, не приходит к противоречиям в повседневных
исследованиях, даже если язык теории и применяемые логические
средства не описаны точно. Это объясняется тем, что практически его
исследование всегда можно дублировать в соответствующей
формализованной теории. Так он обходит практические трудности
формализованных теорий, язык которых усложнен и неудобен
в обращении. Поэтому в математической практике мы строим
теории аксиоматически, но всегда таким образом, что их легко
можно формализовать, т. е. дублировать все рассуждения в
соответствующей формализованной теории. Однако формализация
языка и логических средств становится необходимой, когда мы
желаем развивать метатеорию данной теории, потому что только
на этом пути могут быть точно определены такие важные
понятия, как существование доказательства данного утверждения
или множество всех теорем теории (в неформализованных
аксиоматических теориях они далеки от точности).
Для построения формализованного языка теории мы должны
сначала выделить множество знаков, которые составят алфавит
теории и которые, грубо говоря, будут играть такую же роль,
как буквы в разговорном языке. Все понятия, выражения и
предложения теории будут конечными последовательностями
допустимых знаков. Метод формирования последовательностей знаков,
отвечающих понятиям и предложениям интуитивной теории, в
соответствующей формализованной теории задается простыми
правилами.
*) Первая формализованная теория была построена Фреге [3].

§1]
ПОНЯТИЕ О ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ТЕОРИЯХ
175
Знаки алфавита формализованного языка некоторой теории
нужно разделить на несколько категорий.
В любой интуитивной или аксиоматической математической
теории мы исследуем фиксированное множество объектов, или
индивидов (например, положительные целые числа в
арифметике, элементы фиксированной решетки в теории решеток,
элементы фиксированной группы в теории групп и т. д.), отношения
между объектами (например, отношение равенства) и
некоторые отображения (функции) объектов на объекты. Поэтому
в алфавите соответствующей формализованной теории должны
содержаться знаки, символизирующие исследуемые
произвольные объекты (индивиды). Эти знаки называются индивидными
переменными. Другие знаки формализованного языка
соответствуют исследуемым отношениям. Они называются предикатами
или, точнее, m-местными предикатами, если они соответствуют
m-местным отношениям (т=1, 2, ...). Наконец, некоторые
знаки формализованного языка должны соответствовать
исследуемым отображениям и функциям. Они называются
функторами или, точнее, m-местными функторами, если они
соответствуют m-местным отображениям объектов на объекты (т= 1,
2,...). Некоторые индивиды (например, нулевой и единичный
элементы в теории булевых алгебр) играют особую роль и
поэтому требуют введения в формализованный язык специальных
знаков. Знаки, соответствующие таким индивидам, называются
индивидными константами. По чисто техническим причинам
удобно толковать индивидные константы как нульместные — т.е.
постоянные — отображения индивидов на индивиды. Поэтому
индивидные константы в формализованном языке трактуются как
нульместные функторы.
Как правило, удобно ввести в алфавит формализованной
теории некоторые вспомогательные знаки, соответствующие скобкам,
запятым и т. п. разговорного языка. Цель введения этих
вспомогательных знаков заключается в том, чтобы избежать ошибок
в расшифровке очень сложных выражений.
С помощью функторов, индивидных переменных, индивидных
кЬнстант и вспомогательных знаков, используя допустимые
правила образования, мы формируем некоторые конечные
последовательности знаков, соответствующие значениям функций (или —
более общо — композиций функций) при фиксированных или
произвольных значениях их аргументов. Все такие
последовательности вместе с индивидными переменными и константами
называются термами формализованной теории. Например,
1, х, (х + у), ((1+х)-у) и т.п.
суть примеры термов в формализованном языке арифметики.

176 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
Язык интуитивной теории содержит предложения и
пропозициональные функции. В действительности мы имеем дело
гораздо чаще с пропозициональными функциями, чем с
предложениями. Пропозициональные функции являются выражениями,
имеющими структуру предложений и содержащими переменные,
которые пробегают некоторое фиксированное множество объек*
тов. Если все эти переменные заменить именами конкретных
объектов, то пропозициональная функция становится предложением
(истинным или ложным). Например:
х<у, z = x+'y, z = x-y, x^y+l
являются примерами пропозициональных функций в арифметике.
Предложения — также частные случаи пропозициональных
функций; это пропозициональные функции с пустым множеством
переменных.
Используя такие слова, как
(1) «или», «и», «если..., то...», «не»
и
(2) «существует такое £, что», «для каждого £»,
из данных пропозициональных функций а, Р можно
образовывать другие, более сложные.
Для краткости мы заменяем слова (1) символами
(10 U, Г), =#>, -
соответственно и выражения (2) символами
(20 U Г)
г г
соответственно. Символы (1') называются, соответственно,
знаком дизъюнкции, знаком конъюнкции, знаком импликации и
знаком отрицания. Все они называются пропозициональными
связками, а именно U, П, =Ф являются бинарными
пропозициональными связками, а — является унарной пропозициональной
связкой. Символы [J и Р) называются квантором
существования и квантором общности соответственно. Итак, выражения
aUP, <*ЛР, a#p, -a, (Ja, Da
г г
нужно читать, соответственно, как
а или Р; а и Р; если а, то Р; не а;
существует £ такое, что а; для каждого | имеет место а.

§ 1]
ПОНЯТИЕ О ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ТЕОРИЯХ
177
Примерами более сложных пропозициональных функций
в арифметике являются следующие:
(*<y)=#U(*+6«*). ЛП-(Б-ч)#(й^и(ч<Е)),
(3) * 1 ч
(^.jc = 2-t/+ l)U(^ + ^ = 2-y), nU(6e2e4 + *) ит. д.
I ъ
Переменные пропозициональных функций в разговорном
математическом языке совпадают с индивидными переменными
соответствующего формализованного языка. Заметим, что в
примерах (3) роль греческих букв отличается от роли латинских
букв. Греческие буквы g, r\ — это переменные,, связанные
кванторами f]t (J, f), (J, и подстановка фиксированных чисел
вместо |, т| лишена смысла. Латинские буквы лс, у —
свободные переменные: допустимы подстановки име» каких-нибудь
фиксированных чисел вместо х и у\ тогда (3) становятся
истинными или ложными предложениями. Это подсказывает, что в
формализованных языках также нужно различать свободные и
связанные индивидные переменные. В формализованных языках,
хотя и не обязательно, но очень удобно разделить множество
свободных индивидных переменных и множество связанных
индивидных переменных.
Если мы хотим выразить все пропозициональные функции
какой-нибудь математической теории в ее формализованном
языке, то мы должны также иметь в алфавите теории знаки
U, П, =ф, — для пропозициональных связок и знаки (J, П
для кванторов.
Посредством термов, предикатов и других вспомогательных
знаков (например, скобок) в формализованном языке какой-
нибудь теории мы формируем конечные последовательности
знаков, соответствующие простейшим предложениям и
пропозициональным функциям интуитивной теории. Они называются
элементарными формулами формализованного языка. Например,
выражения
(х<(у + г)), (0 + 2) = 3), ((x + z)=y)
суть примеры элементарных формул формализованного языка
арифметики. Говоря упрощенно, элементарные формулы
являются формализацией предложений, утверждающих, что
представленные предикатами отношения выполняются Для
представленных термами индивидов.
Соединяя элементарные формулы с помощью пропоаицио-
нальных связок, кванторов и вспомогательных знаков, мы
формируем другие конечные последовательности знаков, предста-

178 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
вляющие более сложные предложения и пропозициональные
функции теории. Эти последовательности знаков вместе с
элементарными формулами называются просто формулами.
Например, последовательность знаков х, у, |, =, <, +, (J, =Ф, (J,
записанных в следующем порядке:
((x<y)=¥\J((x+l)=y))
г
(некоторые знаки повторяются), является примером
неэлементарной формулы при формализации арифметики, а именно
формулы, соответствующей первой пропозициональной функции
в (3).
Точное определение алфавита Л, множества термов Г,
множества всех формул F, а также точное определение понятия
формализованного языка 3? для некоторой математической
теории будет дано в § 3.
Как мы видели, термы являются формальной заменой
индивидов (включая значения исследуемых функций и их
композиций). Формулы являются заменой пропозициональных функций.
Формулы без свободных переменных называются замкнутыми
формулами. Они играют особую роль в процессе формализации
математической теории, а именно они являются формальной
заменой пропозициональных функций без свободных переменных,
т. е. предложений теории.
Формализация математических теорий требует, далее,
точного описания принятых в теории логических методов. Процесс
дедукции состоит в распознавании того, что одни предложения
или пропозициональные функции являются логическими
следствиями других. Для формализации процесса дедукции мы
должны определить для данного формализованного языка 2
операцию присоединения следствий в 3?, которая каждому
множеству формул S в 5? сопоставляет множество C(S) всех
логических следствий формул, принадлежащих S. Эта операция
должна быть введена таким образом, чтобы она была
формализацией интуитивного понятия следствия. Для этой цели
будет выбираться множество s£{ логических аксиом, т. е.
некоторых формул из 9?, истинных исключительно в силу своего
синтаксического строения, и будут введены некоторые правила
вывода типа операций, сопоставляющих некоторым конечным
последовательностям формул новые формулы, причем последние
являются с интуитивной точки зрения непосредственными
логическими следствиями первых. Для произвольного множества
формул S мы определяем C(S) как наименьшее множество
формул, содержащее S, множество $1Х и замкнутое относительно
правил вывода. Любая пара 9*—{3?, С}, где S? — формализо-

§2]
ОПЕРАЦИИ НАД ВЫРАЖЕНИЯМИ
179
ванный язык, а С — операция присоединения следствий в &,
будет называться формализованной дедуктивной системой или,
короче, дедуктивной системой. Точное определение
дедуктивных систем будет дано в § 10 и § 11.
Под формализованной теорией мы будем понимать любую
тройку <Г—{3?9 С, s&}, где {i?, С} — некоторая
формализованная дедуктивная система, a s4> — множество математических
аксиом этой теории. Формулы, принадлежащие множеству С(*я£),
называются теоремами теории f7~. Точное определение
формализованных теорий будет дано в § 10 и § 11.
В любой формализованной теории предложения и
пропозициональные функции представлены формулами, т. е. конечными
последовательностями знаков, и правила вывода сводятся^ к
некоторым простым операциям над конечными
последовательностями знаков. Поэтому процесс дедукции, т. е. процесс
получения некоторых предложений или пропозициональных
функций как заключений из аксиом теории, сведен к простым
механическим операциям над конечными последовательностями
знаков.
§ 2. Операции над выражениями
Как мы объяснили в § 1, термы и формулы
формализованного языка являются конечными последовательностями
некоторых элементов, называемых знаками, из которых составлен
алфавит языка. Чтобы облегчить описание формализованных
языков и некоторых операций над термами или формулами, т. е.
над конечными последовательностями знаков, мы принимаем
следующие терминологию и обозначения.
Последовательность, сформированная из знаков Si (i=
= 1, ..., п)\ обычно будет записываться следующим образом:
(1) S\S2 • <• • sn.
Конечные последовательности знаков будут обычно
обозначаться греческими буквами а, р, у, б, т, О, в (если нужно, с
индексами) и называться выражениями. Если О обозначает
последовательность SiS2 ... sn и в обозначает последовательность
Uh ... *m, то Фв будет обозначать последовательность S\s2...
... sntit2. + .tm. Аналогичен смысл символов типа Ф1Ф2Ф3, 5<*в»
05в/ (где s и t обозначают знаки, а О, Oi, Ог, 03, ® — конечные
последовательности знаков).
Выражение <h называется частью выражения О, если О имеет
вид
(2)
¥Л

IdO Формализованные математические теории [гЛ. v
где <Ь и <Ь могут быть пустыми. Если О имеет форму (2) и 0 —
какое-нибудь выражение, то выражение
Ъ0®Ъ2
будет называться полученным из д заменой части <h на 0.
В частности, если Ф обозначает выражение вида О^Ог (где
Фь *2 могут быть пустыми), то ^©Ог называется полученным
из О заменой данного вхождения 5 на 0. Более общо, если Ф
обозначает выражение вида &\S\&2S2... ^n^nOn+i (где О*, t=
= 1, ..., rt+1, МОГуТ бЫТЬ ПуСТЫМИ), ТО 01010202 . . • On0n<Wl
называется полученным из О одновременной заменой данных
вхождений $i, s2i ..., sn на 0i, 02, ..., 0П соответственно.
Выражение, полученное из О одновременной заменой всех
вхождений знака 5i на выражение 0i, всех вхождений знака 52 на
выражение 02, ... и всех вхождений знака sn на выражение 0П,
будет обозначаться посредством
(3) 0(^/0!, ..., sJQn)
и называться результатом подстановки (или просто
подстановкой) 01, ..., 0П вместо 5Ь ..., 5П в О.
Иногда, желая подчеркнуть, что выражение О содержит
определенные знаки Si (/==1, ..., п), мы будем обозначать его
посредством
(4) d(s„ ..., sn).
Тогда подстановка 0Ь ..., 0П вместо знаков su ..., sn в О
будет часто обозначаться посредством
(5) o(elf ...,©„).
Поясним, что (,) никогда не будут обозначать знаки
какого-нибудь формализованного языка. Поэтому обозначения (3),
(4), (5) нельзя будет спутать с обозначением (1).
§ 3. Формализованные языки элементарных
математических теорий
Интуитивные соображения в § 1 показывают нам, что
множество всех знаков в формализованном языке произвольной
формализованной математической теории является
объединением непересекающихся множеств знаков следующих
категорий:
(а) множество V свободных индивидных переменных,
(б) множество S связанных индивидных переменных,
(в) множества Фт т-местных функторов, m = 0, 1,2, ...,
(г) множества Рт m-местных предикатов, m=l, 2, ..,,

§3] ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ЯЗЫКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ТЕОРИЙ 181
(д) множество Lx унарных пропозициональных связок и
множество L2 бинарных пропозициональных связок,
(е) множество Q из двух знаков — кванторов общности и
существования,
(ж) множество U вспомогательных знаков — скобок и т. п.
Это подсказывает следующее точное определение: под
алфавитом элементарной математической теории (или: алфавитом
первого порядка) будет пониматься упорядоченная система
А = {У,ЕЛФт}т^ш {PJMmM9LLL»Q.U}9
где
1° М обозначает множество всех положительных целых
чисел и М0 обозначает множество всех неотрицательных целых
чисел;
2Ь все множества V, S, Ф0, Фи ..., Р\, Лг, ..., ^ь ^2, Q, V
не пересекаются;
3° множества V и S бесконечны;
4° объединение множеств Pit P& ... и объединение множеств
Li, L% не пусты и множество Q содержит два элемента.
Элементы множества V будут называться свободными
индивидными переменными и обозначаться посредством х9 у, z
(если нужно, с индексами).
Элементы множества S будут называться связанными
индивидными переменными и обозначаться посредством |, т), £ (если
нужно, с индексами).
Элементы множества Ф — объединения множеств
Фо, #1, Ф2, • • •
— будут называться функторами и обычно обозначаться
посредством ф, ф (если нужно, с индексами). Точнее, элементы
множества Фт будут называться m-местными функторами.
Элементы множества Ф0 будут также называться индивидными
константами.
Элементы множества Р — объединения множеств
PXf Р2> ...
— будут называться предикатами и обычно обозначаться
посредством р, я (если нужно, с индексами). Точнее, элементы
множества Рт будут называться т~местными предикатами.
Элементы множества L\ будут называться унарными
пропозициональными связками, а элементы множества L2 —
бинарными пропозициональными связками. В главах V—X мы будем
всегда предполагать, что
5° Li содержит ровно один элемент, обозначаемый
посредством — и называемый знаком отрицания; L2 содержит три

182 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. У
элемента, обозначаемые посредством U, П» =Ф и называемые
знаком дизъюнкции, знаком конъюнкции и знаком импликации
соответственно.
6° Q содержит два элемента, обозначаемые посредством
(J и Р| и называемые знаками квантора существования и
квантора общности соответственно.
Как мы позже увидим (стр. 184), в формулах любого
формализованного языка за знаками \J и |~| всегда следуют
знаки связанных переменных |, у\ и т. п., т. е. (J и |~) всегда
появляются в комбинациях вида
<*i(j£d2 или Oif)^,
где di и $2 — некоторые последовательности знаков. По чисто
техническим причинам пары знаков
составленные из квантора и связанной индивидной переменной,
будут всегда обозначаться посредством
U и п
соответственно. Поэтому
— это другие обозначения для fy (J |02 и ^i PI ^2 соответственно.
Пары (J, p) называются кванторами^ связывающими перемен-
l l
ную g. Формулы могут содержать несколько вхождений одного
и того же выражения (J или f].
I l
Элементы множества U называются вспомогательными
знаками. В этой книге всегда принимается, что
7° множество U содержит ровно два элемента,
обозначаемых посредством (,) и называемых скобками алфавита А (или:
рассматриваемого формализованного языка).
Знаки (,), нужно отличать от (,). Первые—это скобки
формализованной теории, вторые — метатеории для этой теории
(см. замечание в конце § 2).
Мы всегда предполагаем, что
8° знаки —, U, Г), =Ф» U» П> С»)-одни и те же во всех
алфавитах (первого порядка), рассматриваемых в этой книге.

§3] ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ЯЗЫКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ТЕОРИЙ 183
Заметим, что некоторые из множеств Фо, Фи Фг, ..., Р\9
Р2, ... могут быть пустыми.
Объединение всех множеств
(1) V, S, Ф, />, Ll9 1Ъ Q, U
называется множеством знаков алфавита Л. Его элементы
называются знаками алфавита Л.
Под примитивным термом мы будем понимать любую
конечную последовательность знаков из Л вида
(2) ф(*1 ••• хт)9
где ф обозначает АП-местный функтор (т= 1, 2, ...), а х\9 ..., хт
обозначают свободные индивидные переменные.
Иногда удобно применять другой метод образования
примитивных термов, согласующийся с обычными математическими
обозначениями. В формализованной арифметике, например, мы
будем в качестве примитивных термов использовать выражения
вида (х~\-у) и (х-у) вместо +(ху) и -(ху), как это нужно
делать по правилу (2). Однако для каждого АП-местного
функтора ф в А (т=1, 2, ..г) правило образования
примитивных термов, составленных из ф и свободных индивидных
переменных х\, ..., хт, должно быть однозначно определенным.
Кроме некоторых конкретных формализованных теорий,
описываемых в § 13, мы будем всегда применять правило
образования (2).
Множеством термов, образованных из знаков алфавита Л,
называется наименьшее множество Т (конечных
последовательностей знаков из Л) такое, что
(ti) все свободные индивидные переменные и все нульмест-
ные функторы (т, е. индивидные константы) принадлежат Г;
(t2) если т — примитивный терм со свободными
индивидными переменными х\9 ..., дст, и п, ..., тт принадлежат Г, то
результат подстановки (см. § 2) Ti, ..., тт, соответственно, вместо
*ь ..., *ш в т также принадлежит Г.
Термы обычно будут обозначаться буквой т, если нужно —
с индексами.
Если в Л нет функторов, то множество всех термов Т
совпадает с множеством свободных индивидных переменных из Л.
Если при т>0 не существует m-местных функторов, то
множество всех термов Т является объединением множества
свободных индивидных переменных и множества всех нульместных
функторов (т. е. всех индивидных констант) в Л.
Под примитивной формулой мы будем понимать любую
конечную последовательность знаков из Л вида
(3) р(хх ... хт),

184 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
где р обозначает m-местный предикат (т=1, 2, ...), а хи ...
..., хт обозначают свободные индивидные переменные.
Иногда удобно применять другой метод образования
примитивных формул, согласующийся с обычными математическими
обозначениями. Например, алфавиты формализованных теорий
обычно содержат некоторый двуместный предикат,
обозначаемый посредством = и представляющий интуитивно понимаемое
отношение равенства. В этом случае мы предпочитаем
использовать в качестве примитивной формулы, образованной из
предиката = и свободных индивидных переменных х, у,
выражение (х=у), а не — (ху), как это нужно согласно (3). Однако
для каждого An-местного предиката р в А правило образования
примитивных формул, составленных из р и. свободных
индивидных переменных хи ..., хт, должно быть однозначно
определенным. Кроме некоторых конкретных формализованных теорий,
описываемых в § 13, мы будем всегда применять для
примитивных формул правило образования (3).
Множеством формул, образованных из знаков алфавита Ау
называется наименьшее множество F (конечных
последовательностей знаков из А) такое, что
(fi) если а — примитивная формула со свободными
индивидными переменными хи ..., дст, а п, ..., тт — термы, то
результат подстановки термов ti, ..., tm вместо x\t ..., xm,
соответственно, в а принадлежит F (в частности, все примитивные
формулы принадлежат F);
(f2) если а принадлежит F и о — знак какой-нибудь
унарной пропозициональной связки, то оа принадлежит F\
(is) если аир принадлежат F и о — знак какой-нибудь
бинарной пропозициональной связки, то (а о р) также
принадлежит F;
(f4) если а(х) (где х обозначает некоторую свободную
индивидную переменную) принадлежит F, то при любой
связанной индивидной переменной |, которая не встречается в а(х),
выражения (Ja(£) и fla(£) принадлежат F.
I 1
Формулы, упоминаемые в (fi), называются
элементарными*).
Буквы a, P, у» в всегда будут обозначать формулы.
Система 2?={Л, Г, F) будет называться элементарным
формализованным языком (или: формализованным языком первого
порядка), основанным на алфавите А.
Из определения термов и формул следует, что в
формализованных языках знаки (,) играют ту же роль, что и скобки в ин-
*) Термы, упоминаемые в (ti), следовало бы называть (по аналогии)
элементарными. — Прим. ред.

§ 3) ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ЯЗЫКИ ЭЛЕМЕ^АРНЫХ ТЕОРИЙ 185
туитивном математическом языке: они обеспечивают
однозначность чтения термов и формул. Без знаков (,) выражения вроде
а П Р U Y» гДе <*, р, у — формулы, будут двусмысленными; в
самом деле, указанное выражение можно истолковать как
конъюнкцию формулы а и дизъюнкции формул р и у и как
дизъюнкцию конъюнкции формул а и р и формулы у. Но в нашей
формализации языка такие выражения не будут формулами.
Вместо них у нас будут выражения вида (а П (р U у)) и
((а П р) U у)> которые истолковываются однозначно.
Как мы уже упоминали, иногда будут использоваться
другие правила образования для примитивных термов и
примитивных формул, чем (2) и (3). Эти правила всегда должны быть
построены таким образом, чтобы каждый терм и каждую
формулу можно было прочитать единственным способом.
Заметим следующее свойство термов и формул:
3.1. Если х—терм, хи ..., хп — свободные индивидные
переменные и ti, ..., %п — термы, то х(х{/х\, ..., хп1хп) есть терм.
Если а —- формула, хи ..., хп — свободные индивидные
переменные и %и • ••> tn — термы, то a(xjxu ..., хп/хп) есть
формула.
В самом деле, множество Т0 всех таких выражений т, что
х(Х\/х\ хп/Хп) является термом, обладает следующими
свойствами:
1) оно содержит все свободные индивидные переменные;
2) если Ti, ..., x'm принадлежат Т0 и ср — яг-местный
функтор, то выражение q>(x[ ... x'm) также принадлежит Г0.
В самом деле, обозначая последнее выражение посредством т,
убеждаемся, что подстановка t(*i/ti, .♦., хп/хп) есть
выражение
и, следовательно, в силу (t2) является термом.
Отсюда в силу (li) и (U) следует, что Т0 содержит все
термы, что доказывает первую часть 3.1.
Доказательство второй части аналогично. Сначала мы
убеждаемся, что множество Fo всех таких выражений а, для
которых а(х\/хи ..., xjxn) является формулой, обладает
следующими свойствами:
1) оно содержит все элементарные формулы;
2) если аир принадлежат F0f то (allPA («ПРА (а=^РА
~-а, []a(xfl)f \Ja(x/Q также принадлежат F0.
I I
Отсюда в силу (fi) — (f4) следует, что Fo содержит все
формулы, и это доказывает вторую часть 3.1.
Доказательства того же типа, как только что проведенное
доказательство для 3.1, называются доказательствами индущцей

IBB ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
по длине терма или формулы. В последующем они часто будут
опускаться ввиду простоты проверки.
Дополним определения этого параграфа следующими
необходимыми замечаниями.
С точки зрения логической и математической точности мы
должны различать математические объекты и их имена. В
разговорном математическом языке мы пользуемся только
именами объектов, но часто формулируем наши предложения
таким образом, что различие между объектом и его именем не
соблюдается. В теории действительных чисел формулируется,
например, следующая теорема:
(4) У2 является иррациональным действительньш числом.
Это предложение не вполне корректно, так как «1/2» —вообще
не действительное число. В самом деле, «j/^2» — это символ
на бумаге, а каждое действительное число (согласно дедекин-
довой конструкции, например) является сечением в области
рациональных чисел, т. е. парой множеств рациональных чисел-,
и т.п. Правильными формулировками для (4) должны быть
следующие:
действительное число, называемое У2, иррационально
или
У2 есть имя некоторого иррационального числа.
Однако точное разграничение между математическими
объектами и их именами практически очень неудобно. С другой
стороны, оно и не является необходимым, так как оно не
приводит к недоразумениям при разумном понимании предложении
и выражений. Именно поэтому в обиходном математическом
языке не принято строгое различение математических объектов
и их имен.
Определение формализованного языка, равно как и другие
определения, теоремы, доказательства и т. п. в этой книге
принадлежат метаматематике и формулируются в обиходном
математическом языке, использующем все обычные идиомы.
Поэтому не проводится строгое различение исследуемых объектов
и их имен. Например, фразы типа «5 есть знак», «формула а»
часто будут использоваться тогда, когда они не вполне
правильны.
Правильными формулировками здесь были бы «s
обозначает знак» (или: «5 — имя знака»), «формула, обозначаемая
посредством а» и т.д. Однако наша манера выражения не
приводит к недоразумениям, ибо, как было замечено, в нашем
языке мы имеем дело почти исключительно с именами
рассматриваемых объектов, и фразы типа «5 есть знак» нужно

§ Г>] ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ЯЗЫКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ТЕОРИЙ 187
всегда понимать как обиходное сокращение точной
формулировки «5 обозначает знак» и т.д.
Нужно подчеркнуть, что знаки формализованного языка не
обязаны быть знаками в обычном смысле слова. В частности,
они не обязаны быть печатными знаками. Множество знаков
формализованного языка — это любое множество
математических объектов, удовлетворяющее приведенным выше условиям.
Природа этих объектов совершенно произвольна; знаки
формализованного языка являются элементарными понятиями
метаматематики или, точнее, метатеории элементарных
формализованных теорий. Во всех выражениях типа «х — индивидная
переменная», «а — формула» и т п. буквы дс, а — только имена
для индивидных переменных и формул соответственно и т. д.
Однако при желании можно предположить, что все знаки
рассматриваемого формализованного языка (или некоторые из
них) являются конкретными печатными знаками (а точнее,
классами эквивалентности знаков одной формы). Например, можно
предположить, что печатные знаки
Х\9 ДГ2, ЛГз, . . .
дают нам все свободные индивидные переменные; знаки
£i> ?2> £з>
дают нам все связанные индивидные переменные и т.д. Формулы
могут тогда пониматься как конкретные последовательности
печатных знаков. Эта конкретная интерпретация также основана
на абстракции некоторого рода и ведет к известным трудностям
(легко, например, определить формулы такой длины, что их
невозможно напечатать ни на каком существующем листе бумаги,
и т. п.). Однако по меньшей мере некоторый фрагмент языка
можно истолковать таким образом.
Эта интерпретация имеет смысл в случае счетных языков, т. е.
языков со счетным множеством знаков. Случай счетных языков
является наиболее важным, так^как все математические теории
можно формализовать средствами счетного языка (заметим, что
процесс формализации интуитивной аксиоматической теории
неоднозначен,— см., например, примеры в § 13). В частности,
теория множеств формализуется с помощью некоторого счетного
языка (см. § 13), а эта формализованная теория содержит всю
математику.
С другой стороны, формализованные теории с несчетными
языками (т. е. с несчетным множеством знаков) с недавних пор
играют все более и более значительную роль в
метаматематических исследованиях. Некоторые теоремы о формализованных
теориях с несчетными языками оказываются сильнее своих счетных

188 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
аналогов (см. VII, § 11 и VIII, § 25) и имеют интересные
применения *).
Поэтому, если специально не оговорено противное, в
последующем не принимаются какие-нибудь дополнительные
ограничения на мощность множества знаков формализованных языков.
Формализованные языки, определенные в этом параграфе,
называются элементарными (или: языками первого порядка),
чтобы отличить их от других возможных формализованных
языков (называемых неэлементарными или языками высшего по-
рядка), имеющих более сложное строение. В элементарных
языках кванторы могут связывать только индивидные переменные.
В неэлементарных языках допускаются также кванторы других
типов (например, кванторы, связывающие предикаты или
функторы). Поэтому в неэлементарных языках имеются выражения,
соответствующие следующим предложениям обиходного языка:
«для каждого отношения р...»,
«существует такая функция ср, что...»
Ограничение формализованных языков элементарными не
очень существенно. Наиболее важные математические теории —
такие, как теория множеств — могут быть формализованы на
основе элементарных формализованных языков (см. § 13).
Формализация на основе формализованных языков первого порядка
является в некотором смысле простейшей, так как она
использует наиболее элементарные логические средства.
Описанный метод формализации языков элементарных теорий
не является единственно возможным. Однако этот метод
наиболее часто применяется в математике.
§ 4. Интерпретации
Пусть 9? = {А, Г, F} — формализованный язык, описанный
в§3.
Термы и формулы языка & являкртся конечными
последовательностями знаков алфавита А. Термы — это выражения,
имеющие вид отображений или функций, но это не конкретные
отображения. Формулы — это выражения, имеющие вид
пропозициональных функций или предложений, но они не
пропозициональные функций. Однако фундаментальным свойством термов и
формул является то, что их можно понимать как конкретные
*) См., например, А. Робинсон [1], Лин дон [1] и библиографию
у Линдона [1]. В последнее время школой Беркли были введены и
исследованы также формализованные дедуктивные системы, построенные на
языках, в которых формулами являются бесконечные последовательности
знаков: см. Скотт и Тарский [1], Тарский [14], Карп [Ц, [2], Хен-
кин[6], Маэхара и Такэути [1].

§41
ИНТЕРПРЕТАЦИИ
189
отображения и конкретные пропозициональные функции
соответственно, если функторы и предикаты языка & интерпретировать
как символы конкретных.отображений и конкретных отношений
в данном непустом множестве /, т. е. если фиксирована
конкретная интерпретация языка SB. Чтобы объяснить это точнее,
введем следующую терминологию.
Пусть / — непустое множество. Сопоставим каждому /п-мест-
ному функтору ф отображение ф3: /т->/ (в частности, каждой
индивидной константе ф сопоставим фиксированный элемент
Ф5 е /). Каждому m-местному предикату р сопоставим /п-мест-
ное отношение р5 в /. Каждое такое сопоставление 3 назовем
интерпретацией *) языка 9? на множестве J, поскольку оно
однозначно определяет
1) интерпретацию каждого терма т в & как конкретного
отображения т3: / X1X ... X /->/ или (в случае индивидных
констант) как конкретного элемента из /;
2) интерпретацию каждой формулы а в & как конкретной
пропозициональной функции а3> определенной на множестве /.
Для получения отображения т^ достаточно
а) интерпретировать каждую свободную переменную в т как
переменную, пробегающую множество /;
б) интерпретировать каждый встречающийся в т функтор ф
как отображение ф3.
Для получения а3 достаточно
а) интерпретировать все свободные и связанные переменные,
встречающиеся в а, как переменные, пробегающие
множество /;
б) интерпретировать каждый встречающийся в а функтор ф
как отображение фз»
в) интерпретировать каждый встречающийся в а предикат р
как отношение рз»
г) интерпретировать все пропозициональные связки и
кванторы как соответствующие связки и кванторы обиходного
математического языка.
Вспомогательные знаки (,), разумеется, интерпретируются
как скобки. Они будут часто опускаться при интерпретации
термов и формул, если будет обеспечена единственность
интерпретаций.
Поясним понятие интерпретации следующим примером.
Пусть & содержит только три функтора: индивидную константу
v и два двуместных функтора а и \i, а также два двуместных
*) То, что в этой книге называется интерпретациями, другими авторами
часто называется псевдомоделями или каркасами.

190 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
предиката р и я. Пусть т — терм
a(a(xy)\k(a(vz)\i(y2)))9
где лс, у, г —свободные индивидные переменные. Пусть а—фор-»
мула
(Ц Р (*° (&)) # ([JP (W (о (vv) х\)) П л (vx))) ,
где х — свободная индивидная переменная, а £, ц — связанные
индивидные переменные. Пусть / — множество всех
положительных целых чисел и пусть *S — следующая интерпретация языка
9? в /: v^ есть число 1; а3 есть операция сложения; р,3 есть
операция умножения; р3 есть отношение равенства =; я3 есть
отношение неравенства <. Тогда т^: /Х^Х/-*/ есть функция
(х + у) + (1+г)уг9
а <х3 есть пропозициональная функция
и(^=5 + 5)^/и^=(1 + 1)л)п(к^)),
где (J, (J, =Ф, П имеют смысл, разъясненный в § 1, стр. 176.
С математической точки зрения интерпретация 3
формализованного языка 2?, описанного в § 3, является некоторым
отображением, определенным на множестве всех функторов и
предикатов. Если ф — га-местный функтор, то образом ф3 для ф,
определенным отображением 3, является преобразование ф3: 1т -►
~>/(т = 0,1,2, ..,). Если р —m-местный предикат, то образом
р5 для р будет га-местное отношение в / (га = 1,2,...).
Отображение 3 имеет ту особенность, что оно может быть естественным
образом расширено на множество всех термов и формул: 3
переводит термы т и формулы а в преобразования т3: /Х^Х...
... X /-»-/ и пропозициональные функции а3 над
/соответственно по вышеописанному способу.
Это естественное расширение отображения 3 на множество
всех термов может быть описано с помощью индукции
следующим образом:
А) если х — индивидная переменная, то дс3 является
тождественным отображением /(*)=* множества / на себя; если
Ф — индивидная константа, то ф$ является постоянным
отображением f(x) = ф3;
Б) если т — терм вида ф(т1... хт), где ф — m-местный
функтор (га =1,2,...) и ti —терм с индивидными переменными

§ 41 ИНТЕРПРЕТАЦИИ 191
Xtu • • -t xitii (*= 1. • • •> m)> то т3 является отображением
Фз(Т13 {X\V " • •» ^l/i,)' - * '» Tm3 (*ml > • •; » Xmnm))>
т. е. т3 является композицией отображения z = ^{yv ..., */m)
и отображений ^ = т/3(хп, ..., д^Л (/=1, ..., m).
Из А) и Б) следует, в частности, что если т имеет вид ср (xi ...
... хт), где ф является яг-местным функтором, a jc±, ..., *m —
индивидными переменными, то т3 есть отображение ф3 (xi,...,Xm)
множества /т в /.
Естественное расширение отображения 3 на множество всех
формул может быть описано с помощью индукции следующим
образом:
В) если а — элементарная формула, т. е. формула вида
р(т, ... тт),
где р — т-местный предикат (т=1,2,...) и т* — терм со
свободными индивидными переменными хц> ..., Xint (/=1, • . ♦
..., m), то а3 является пропозициональной функцией
Г) для неэлементарных формул имеют место следующие
тождества:
(1) rpuv;3=(P3UY3),
(2) (PnY)3 = (P3flY3),
(3) (P=5>y)3 = (P3#Y3),
(4) (-Р)3 = -(Р3).
(5) (Up(d) =Up3(?)>
(6) (ПР(6))-=Г|Р8(6)-
Конечно, символы U, П, =ф, —» U» О в левь1х и в правых
частях этих тождеств имеют разный смысл, В левых частях они
обозначают пропозициональные связки и кванторы
формализованного языка «S7, а в правых частях — пропозициональные связ*
ки и кванторы обиходного математического языка.
Иногда удобно рассматривать такое отображение 3, которое
сопоставляет каждому m-местному функтору <р преобразование
%: 3m->3 (m = 0, l, 2, ...). Тогда 3 называется
интерпретацией или реализацией термов языка «2?. Из наших рассуждений

162 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
следует, что отображение 3 может быть естественным образом
расширено на множество всех термов: каждому терму т оно
сопоставляет преобразование т3: /Х^Х ••• X.J-+J. Точное
индуктивное определение т3 задается посредством А) и Б).
§ 5. Интуитивное понятие о пропозициональных
тавтологиях
Во всех дедуктивных рассуждениях мы используем некоторые
предложения, которые считаются истинными исключительно
в силу своего синтаксиса. Такие предложения, называемые
тавтологиями, играют очень важную роль, так как они помогают
нам точно описать логические стредства, применяемые в
формализованных математических теориях.
В этом параграфе мы будем заниматься такими
тавтологиями, которые считаются истинными только в силу своего
связочного синтаксиса, т. е. тавтологиями, построенными из
предложений а, 6, ... посредством связок U, Л, =Ф, — (см. стр. 176) так,
что мы должны считать их истинными в силу особенностей их
строения и совершенно независимо от того, истинны ли
предложения а, Ь, ... Тавтологии этого типа называются
пропозициональными тавтологиями. Например, наша интуиция
подсказывает нам, что следующие предложения истинны в силу лишь
своего связочного синтаксиса, т. е. являются
пропозициональными тавтологиями:
(1) -(af)-a),
(2) ((а[)Ь)*Ф(-а**Ь)),
(3) (((а**Ь)(\а)**Ь).
Поясним точнее, что мы понимаем под пропозициональной
тавтологией с интуитивной точки зрения. Наша логическая
интуиция побуждает нас связывать с предложениями их
логические значения: истину или ложь. Мы не рассматриваем вопрос,
какие критерии могут быть выдвинуты для истинности или
ложности данных предложений а, Ь, ... Мы не собираемся также
обсуждать, всегда ли в конкретных случаях возможно
сопоставление предложениям а, Ь, ... каких-нибудь логических значений.
Мы интересуемся только тем, что может быть сказано о ложности
или истинности предложений а, р, ..., построенных из
предложений а, Ь, ... с помощью связок U, П, =^, —, если известны
логические значения предложений а, Ь, ...
Пусть а и р — предложения, логические значения которых
нам известны. В соответствии с интуитивным смыслом
пропозициональных связок дизъюнкция (a U Р) истинна в том и только
в том случае, когда истинно хотя бы одно из предложений а, р..

§ 5] ИНТУИТИВНОЕ ПОНЯТИЕ О ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫХ ТАВТОЛОГИЯХ \д$
Конъюнкция (а Г) Р) истинна в том и только в том случае, когда
оба предложения а, р истинны. Отрицание —а .истинно тогда и
только тогда, когда а ложно. Импликация (агфр) считается
ложной в том и только в том случае, когда а истинно, а р ложно.
Во всех остальных ;случаях импликация истинна. Этот способ
понимания импликации, впрочем, отличается от ее понимания в
обиходном языке, поскольку в последнем случае мы склонны
понимать импликацию (а=ф Р) как возможность вывода Р из а.
Поэтому на первый взгляд обычное понимание импликации ничего
не подсказывает нам в отношении логических значений
следующих предложений:
(4) если 1 делится на 4, то 1 делятся на 2,
(5) если 2 делдтся на 4, то 2 делится на 2.
Предлагаемый способ истолкования импликации на самом деле
общепринят в математике. Очевидно, например, что следующее
арифметическое утверждение:
(6) если х делится на 4, то х делится на 2,
истинно при любом положительном целом числе х. Поэтому мы
должны также допустить, что импликации (4) и (5) являются
истинными предложениями, в соответствии с принятыми выше
соглашениями.
Заметим, что импликация в нашем понимании имеет
следующее важное свойство, называемое правилом отделения (modus
ponens):
(7) если (а=ф Р) истинно и а истинно, то р истинно.
Это содержание предложения (3). Можно легко убедиться, что
(3) является тавтологией, в соответствии с установленным выше
значением связок. В самом деле, (3) может быть ложным только
в том случае, если ((а=$ Ь) [) а) истинно и Ь ложно. Но первое
предложение истинно только в том случае, когда а истинно и
(ad}b) истинно. Однако если а истинно и Ь ложно, то (а-^Ь)
ложно. Поэтому предложение (3) всегда истинно независимо от
логических значений а, Ь.
Правила, определяющие истинность или ложность
дизъюнкции, конъюнкции, импликации и отрицания в соответствии с
истинностью или ложностью их компонент, могут быть записаны
в форме следующих схем, где Л и V означают какое-нибудь
ложное и какое-нибудь истинное предложение соответственно:
(8) Л U Л. = Л, Л U V =*= V U Л = V U V = V,
(9) vnv = v, лпу = упл = лпл = л,
(10) v # Л = Л, V=#V = A#A = A=^V = V,
(И) -A = V, ~V = A.

194 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТЙЧЁСкЙЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
Заметим, что эти схемы совпадают с равенствами II, § 4, (1), если
интерпретировать Л и V как нулевой и единичный элементы
двухэлементной булевой алгебры А0, a f|, U, =^, — как
соответствующие булевы операции. Это обстоятельство позволяет нам
решить очень простым способом, истинно или ложно
предложение а, составленное из предложений а, Ьу ..., логическое
значение которых мы знаем, с помощью пропозициональных связок.
Для этого достаточно
а) заменить каждое из элементарных предложений а, Ьу ...,
встречающихся в а, на V, если оно истинно, и на Л, если оно
ложно,
б) интерпретировать Л и V как нулевой и единичный
элементы двухэлементной булевой алгебры,
в) понимать пропозициональные связки U, Г), =^, — как
соответствующие булевы операции в этой алгебре.
Если в результате выполнения булевых операций в булевом
выражении, полученном описанным способом, мы получим V,
то а истинно. Если же мы получим Л, то а ложно.
Предположим, например, что в предложении
(12) (-(a()b)^(-a[)-b))
а —истинное предложение, a b— ложное. Тогда предложение
(12) истинно, ибо
(-cv n л)Ф(- v и - л;;= v =#> v = v.
Этот метод проверки истинности или ложности составных
предложений называется методом истинностных таблиц.
Если предложение а, составленное из а, 6, ... с помощью
пропозициональных связок, всегда истинно независимо от
истинности или ложности а, &, ..., то а называется
пропозициональной тавтологией. Другими словами, а называется
пропозициональной тавтологией, если соответствующее булево выражение
в двухэлементной булевой алгебре AQ принимает значение V при
всех подстановках V и Л вместо а, Ь, ...
Например, (1), (2), (3), (12) являются тавтологиями в только
что определенном смысле.
Чтобы проверить, будет ли тавтологией предложение,
образованное из п элементарных предложений аи ..., ап, нужно
выполнить все возможные подстановки V, Л вместо аи ..., ап,
т. е. всего 2п подстановок. Вообще говоря, излагаемый ниже
метод поиска подстановки, дающей значение Л, более прост, так
как он позволяет избежать большого числа подстановок. Мы
объясним этот метод на двух примерах.
Рассмотрим предложение
(13) ((а1=$(а2=фа3))Ф((а1^а2)*Ф(а1фа3))).

§ 6] ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ЯЗЫКИ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫХ ИСЧИСЛЕНИЙ 195
Предположим, что для некоторых аи а% а$ в двухэлементной
булевой алгебре Ао мы получаем значение Л:
((а{ =Ф (а2 =Ф а3)) =#> ({ах фа2)Ф(ах=$ аг))) = Л.
Это возможно в там и только в том случае, когда
(14) (ai=#(a2#a3))= V и ((aI=#a2)#(a,=#a3))= Л.
Последнее равенство возможно тогда и только тогда, когда
(15) (a1=#a2)=V
и (a1#a3)= Л, т. е.
(16) a, = V и а3=Л.
Из (15) и (16) следует, что аг— V. Отсюда
(^=ф(а2=#а3))= V =#>(V Ф Л)= V => Л = Л
в противоречие с (14). Поэтому не существует подстановки V,
Л вместо аи a2i a3i дающей Л, и (13) является тавтологией.
Рассмотрим теперь следующий пример:
(17) ((ax*-ax)**aj.
Это выражение, будучи интерпретировано в двухэлементной
булевой алгебре, принимает значение Л тогда и только тогда, когда
а2 = Л и (a,# — a,)=V, т. е. если а2=Л и а^ = Л.
Поэтому (17) не есть тавтология.
Пропозициональные тавтологии образуют исходный пункт
всякого дедуктивного рассуждения. Пусть, например, нам нужно
доказать утверждение вида (а=ф Ь). Легко видеть, что
выражение
(18) ((-Ьф-а)*$(а=$Ь))
является пропозициональной тавтологией. Отсюда в силу
правила отделения достаточно доказать (—bz$—а). Этот метод
часто применяется в математической практике.
Сходным образом, пропозициональная тавтология
(19) (((а()-Ь)^(с()-с))^(афЬ))
образует основу для доказательств redudio ad absurdum.
§ 6. Формализованные языки пропозициональных исчислений
Важность пропозициональных тавтологий для дедуктивных
рассуждений подсказывает нам построение формальных
аксиоматических систем, являющихся точным описанием этого отдела
логики. Эти формальные системы называются
пропозициональными исчислениями.

196 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
Языки пропозициональных исчислений отличаются от языков
элементарных математических теорий. Опишем сначала их
алфавиты.
Под алфавитом пропозиционального исчисления (или:
алфавитом нулевого порядка) будет пониматься любая
упорядоченная система
AQ = {V0,Li,L2,Ul
где
1° V0i Li, L2, U — непересекающиеся множества;
2° множество Vo бесконечно, объединение множеств Lu L2
не пусто.
Элементы множества Vo называются пропозициональными
переменными и обозначаются посредством а, Ь, с> если нужно —
с индексами.
Элементы множества Li называются унарными
пропозициональными связками. Элементы множества L2 называются
бинарными пропозициональными связками. В главах V—X мы всегда
будем предполагать (по аналогии с § 3, 5°), что
3° Lt содержит ровно один элемент, обозначаемый
посредством — и называемый знаком отрицания; L2 содержит три
элемента^ обозначаемые посредством U, П, => и называемые знаком
дизъюнкции, знаком конъюнкции и знаком импликации
соответственно.
Элементы множества U называются вспомогательными
знаками. В этой книге всегда принимается (по аналогии с § 3, 7°),
что
4° множество U содержит ровно два элемента, обозначаемые
посредством (,) и называемые скобками в Л0.
Несколько обобщая § 3, 8°, мы всегда будем предполагать,
что
5° знаки —, U, П> =Ф> ($) одни и те же во всех алфавитах
первого или нулевого порядка.
Объединение множеств
(1) V0i Lu 1ъ U
есть множество знаков алфавита Л0. Элементы этого
объединения называются знаками алфавита Ло.
Множество Fq формул, образованных из знаков алфавита
Ло, — это наименьшее из таких множеств конечных
последовательностей знаков в Ло, что
(f) все пропозициональные переменные (рассматриваемые как
одноэлементные последовательности) принадлежат Fo;
(Р) если а принадлежит Fq и о — унарная
пропозициональная связка в Ло, то оа принадлежит Fo;

§ 6] ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ЯЗЫКИ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫХ ИСЧИСЛЕНИЙ 197
(Р) если а, р принадлежат FQ и о — бинарная
пропозициональная связка в Ло, то fa oft) принадлежит Fo.
Пара
(2) <?0 = {A0,Fo},
где Ло—алфавит нулевого порядка и F0 — множество всех
формул, образованных из знаков в А0, называется формализованным
языком нулевого порядка (или: формализованным языком про-
позиционального исчисления,).
Под пропозициональным исчислением мы будем понимать
любую дедуктивную систему {^«{i^o, Q, где
2?о—формализованный язык нулевого порядка, а С — операция присоединения
следствий в 3?о.
Пропозициональные исчисления будут подробно
исследоваться в главах VII, IX и XI. Сейчас мы остановимся только на
некоторых основных свойствах языков i?o нулевого порядка
(см. (2)).
Если а — формула в^ои все пропозициональные
переменные а, Ь9 с, ..., в а интерпретированы как предложения, то и вся
формула а может быть интерпретирована как предложение,
причем знаки U, Л, Ф» — интерпретируются как «или, «и», «если...,
то...», «не» (см. стр. 176).
Формула а в 3?о называется пропозициональной тавтологией
(или просто: тавтологией) у если а — истинное предложение
независимо от того, интерпретируются ли а, 6, с9 ... как истинные
или ложные предложения (см. § 5, стр. 194).
Под интерпретацией языка 2?0 нулевого порядка мы будем
понимать любое отображение 3, которое каждой
пропозициональной переменной сопоставляет предложение, истинное или
ложное. Поэтому каждая интерпретация 3 для 3?о переводит
любую формулу а (в i?o) в предложение а3, истинное или
ложное. Формула а является пропозициональной тавтологией тогда
и только тогда, когда а3 является-истинным предложением при
любой интерпретации 3 для j?0.
С другой стороны, если все пропозициональные переменные
а, Ь9 Су ..., фигурирующие в формуле а, интерпретировать как
переменные, пробегающие множество элементов двухэлементной
булевой алгебры А0, а знаки U, П, Ф, — интерпретировать как
знаки булевых операций в А0, то а можно понимать как
отображение АоХ^оХ ••• ХА) в А0. Это отображение будет
обозначаться посредством ам и называться булевым многочленом^
определяемым формулой а в Ао.
Если, например, а —формула
(((a^b)[)c)(]a)x

198
ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
то а^ —это отображение, сопоставляющее каждой тройке
(а, 6, с) е Ло элемент
ал(а, Ь9 с) = ((а=$Ь)\}с)()а = (Ь\}с)()а.
Используя указанную интерпретацию формул как булевых
многочленов, можно несколько более точно сформулировать
определение пропозициональной тавтологии, а именно: формула
авЗ'о является пропозициональной тавтологией, если
отображение аА : А0 X А0 X ... X А0 -> А0 тождественно равно
единичному элементу алгебры А0.
Эквивалентность этих двух определений тавтологии в i?o
непосредственно следует из рассуждений § 5. Исследование булева
многочлена аА является не чем иным, как описанным в § 5 ме--
тодом истинностных таблиц.
В частности, тавтологиями являются следующие формулы
(а, Ь9 с здесь — различные пропозициональные переменные):
(ti) ((а =#*;=# ((Ь # с) # (а =#> с)))9
(t2) (а*Ф(а[)Ь))9
(t3) (Ь^(а\)Ь))9
(t4) ((а =Ф с) =Ф ((b =# <0 # ((a U Ъ) =Ф с)))9
(t5) ((a(]b)^a)9
(t6) ((a(\b)^b)9
(t7) ^фа^^фб^^^ГаП^т
(t8) ((а =# (& Ф с» # (Га П Ь) =#> cU
(t9) ^enft;=».c^Ca#fft#OU
(t10) к* n-*;#*;,
(t„) ((а^П-а^ф-аЛ
(t12) ^ U-а).
Доказательство получаем несложной проверкой того, что
соответствующие булевы многочлены тождественно равны единице
алгебры Ао. Вычислим, например, значения булева многочлена,
соответствующего формуле (ti):
(а=#>&)=Ф((6#с)=#>(а#с) —
= -(-aUb)U((-(-6Uc))U(-aUc)) =
= (an-b)U(b{)-c)\)(-a{)c)>-aU(ar)(-b{)(b()-c){}c))>
>-а[}{аП(-Ь()(Ь[)(-с\)с)))) =
~ — aU(an(-6UW) = -aUa= V<

$ б) 4>о1>маЛИзоёанИыё языки пропозициональных Исчислений Ю9
Отсюда следует, что
(a#>6)#((6=»c)=#(a#c))=V
при всех а, Ь, с е Ао, т. е. (ti) является тавтологией.
Формула (ti) называется законом силлогизма, формула
(ts)—законом импортации, формула
(tg)—законом'экспортации. Формула (tio) называется законом Дунса Скота. Формула
(ti2) известна под именем закона исключенного третьего или
tertium поп datur.
Мы будем применять к языку j?0 все обозначения и
операции, упомянутые в § 2.
6.1. Если а и pi, ..., pm — формулы в 2?о и аи ..., ат
—пропозициональные переменные, то a(ai/Pi,..., am/$m) — также
формула в 3?о.
Доказательство 6.1 (индукцией по длине формулы а)
аналогично доказательству теоремы 3.1.
6.2. Если а — пропозициональная тавтология в &о, Pi,. • •
...,Pm — формулы в j?0 ti #i,...,am— пропозициональные
переменные, то формула a(^i/Pi,..., aw/pm) —также
пропозициональная тавтология.
Для любых формул a, Pi,..., pm булев многочлен,
определяемый подстановкой у = a(ai/Pi,... ,ят/рт), является
композицией булева многочлена, определяемого а, и булевых
многочленов, определяемых рь ..., рт; символически:
(точное доказательство проводится индукцией по длине фор*
мулы а*)). Если а — тавтология, то аАо принимает только
значение V. Поэтому ул также принимает только значение V,
т. е. у является тавтологией.
6.3. Если а и (агф р)—пропозициональные тавтологии, то
ар — также тавтология.
В самом деле,
Отсюда следует, что Рл — V тождественно (рм. II, § 4, (1)).
6.4. Если а является формулой формализованного языка Я?ъ
нулевого порядка, аи...,аш — все переменные формулы а и
Рь ..., Pm — формулы формализованного языка & первого
порядка, то a(ai/$u... ,am/$m) является формулой в &.
Доказательство (индукцией по длине формулы а) прово*
дится, как и в 3.1.
*) Это тождество Также нейосреДст&енно следует из общей теоре*
мы VI, 2.5.

200 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ (ГЛ. V
§ 7. Интуитивное понятие о предикатных тавтологиях
В § 5 мы ввели понятие тавтологии как предложения,
истинного только благодаря своему синтаксису, и рассмотрели
особый род тавтологий — пропозициональные тавтологии, т. е.
предложения, которые являются истинными в силу того способа,
посредством которого их части соединяются
пропозициональными связками. В этом параграфе мы будем иметь дело с более
сложным понятием предикатной тавтологии, т. е. предложения,
являющегося истинным в силу того способа, посредством
которого его части соединяются пропозициональными связками и
кванторами общности и существования.
Более точное описание этого понятия мы предварим
некоторыми замечаниями интуитивного характера.
Пусть у(хи...9хт) является, пропозициональной функцией
(в интуитивной математике) со свободными переменными
Хи ..., Хт, пробегающими множество 1Ф0.
Пропозициональная функция у называется истинной в множестве /, если
каждое предложение, получаемое из у заменой Jti, ...,Jtm именами
произвольных элементов из /, оказывается истинным.
Для придания более математического характера понятию
истинности пропозициональной функции введем следующее
определение: под характеристикой пропозициональной функции
Y(*i, ..., xm) будем понимать следующую функцию у* (или
y(*i> .. •, xm)*), определенную на прямом произведении Jm и
принимающую значения в двухэлементной булевой алгебре А0:
[ V, если предложение у(/ь •••, /т)
| истинно,
(1) Y(/i, .... JmY= j л> если предложение v(/i, ...,,/m)
I ЛОЖНО,
где /i,...,/m — имена каких-либо элементов в /.
Таким образом, у истинна в / тогда и только тогда, когда у*
принимает только значение V.
Пусть у (*ь • • • * хт) ♦ б (уи • • •»Уп) обозначают некоторые
m-местную и n-местную пропозициональные функции,
определенные в фиксированном множестве / ф 0. Тогда из (1), из
(8) —(11) § 5 и из II, § 4, (1), (3) вытекает, что выполняются
следующие равенства:
(2) (y(*i, ..., xm)\J6(yu ..., уп)У =
= y(*i, ..., xmY\}6{yu ..., уп)\
(3) (y(*i, ..., хт)ШУи .-•> Уп)У =
= у(х19 ..., хт)*{\6(уи ..., уп)\
(4) М*ь •••> хт)=ф6(уи ..., уп)У =
— Y(*b •••» ^тГ=Ф6(«/1, ..-, УпУ>

§ 7] ИНТУИТИВНОЕ ПОНЯТИЕ О ПРЕДИКАТНЫХ ТАВТОЛОГИЯХ 201
(5) (- y (*i, ..., хт))9 = - (у (дг„ ..., хтУ)9
(6) /(Jy(*1i •••> *J-I»£, *J + 1»/--. Xm)\* =
— U Y(*l» • • •» */-!> U Xi + U • • •> *m) >
/е/
(7) /Dv(*i. •••. Xt-ulfXt+u ..., *m)V =
= f| Y(*l» • • •» **-b It xi + \> • • •> *тГ»
/э/
где символы U , f), =Ф> —, (J» П в левых частях равенств
обозначают пропозициональные связки и кванторы
разговорного математического языка, а в правых частях равенств —
булевы операции в двухэлементной булевой алгебре А0.
Тождества (6) и (7) нужно пояснить подробнее.
Пропозициональная фуНКЦИЯ (Jy(*I **-1» I, ** + ! Хт) ЯВЛЯ-
I
ляется истинной с интуитивной точки зрения (при
фиксированных значениях ее аргументов х\у..., Xi-\, х«+ь ..., хт) тогда и
только тогда, когда существует такой элемент / в /, что
у(х\ jc<-i, /, х<+1,.г.»Хт) истинно. В силу (1) это имеет
место в том и только в том случае, когда существует такой / в /,
что у(*ь •••»**-!. /\ х{+и...9хт)*=\/. Это утверждение
в силу II, § 4, (3) эквивалентно следующему условию:
(J у(хи ..., Xi-uliXt+u ..., хт)ш = V.
Тем самым (6) очевидно.
Поясняя (7), заметим, что с интуитивной точки зрения
пропозициональная функция QyUi Xt-u I» xi+i xm) яв-
I
ляется истинной (при фиксированных х\9..., хг_ь дсн-ь •.., хт)
тогда и только тогда, когда при каждом / в /
пропозициональная функция у (*ь • • • • *«-ь /» **+ь •••»*!») истинна. В силу (1)
это имеет место в том и только в том случае, когда
Y(*i>. •. >*г-ь /, Xi+u ..., хт)*= V при всех / в /. В силу II,
§ 4, (3) последнее условие эквивалентно следующему:
П Y(*it •••> *i-b/.**+!• ..., хтУ= V в Д,.
Тем самым (7) очевидно.
Тождества (2) —(7) означают, что U, П , =Ф, — , (J, Q
коммутируют с *,

202
ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
Рассмотрим теперь фиксированный формализованный язык
первого порядка & = {Л, Г, F} (см. § 3). Если 3—
интерпретация языка 3? в непустом множестве /, то, для каждой
формулы а в SB, а3 является пропозициональной функцией в /
(см. § 4). Пропозициональная функция а3 либо истинна, либо
не истинна в /. Она истинна в том и только в том случае, когда
ее характеристика (а3)* тождественно равна единичному
элементу двухэлементной булевой алгебры. Символически:
(8) Ы'-V.
Формула а в & называется предикатной тавтологией (или
просто: тавтологией), если при каждой интерпретации 3 для &
в любом множестве / ф 0 пропозициональная функция а3
истинна, т. е. имеет место тождество (8).
Говоря упрощенно, а является предикатной тавтологией,
если а жтинно без каких-нибудь дополнительных гипотез о
знаках отношений, функций и индивидных констант, фигурирующих
в а. Формула является тавтологией только потому, что все ее
знаки связаны специальным образом, обеспечивающим
истинность формулы в каждой интерпретации. Поэтому введенное
таким образом интуитивное понятие тавтологии согласуется с
нашей интуитивной концепцией пропозициональных функций,
истинных в силу одного своего синтаксиса.
Поясним введенное определение предикатной тавтологии
несколькими примерами.
Пусть а —- формула следующего вида:
(Л (9 (Б) U я (Ш # (П Р (6) U П * ЙШ .
I II
где р и я означают одноместные предикаты. Мы покажем, что
она не является тавтологией. Пусть / — множество всех
положительных целых чисел. Сопоставим с р одноместное
отношение р3 такое, что, для любого положительного целого числа
U Рз(/) имеет место тогда и только тогда, когда / четно.
Сопоставим с я одноместное отношение я3 такое, что я3 (/)
истинно тогда и только тогда, когда / нечетно. Тогда
П(М/*)*ия3(/Г)=у
Г)р3(/)*и ГКог=л.

§ 7) ИНТУИТИВНОЕ ПОНЯТИЕ О ПРЕДИКАТНЫХ ТАВТОЛОГИЯХ 203
Отсюда в силу (2), (4), (7) получаем
K)*=V#A = A.
Поэтому а —не тавтология.
С другой стороны, легко видеть, что следующие формулы
являются предикатными тавтологиями:
i i
В самом деле, при любой интерпретации 3 в любом множестве
/ Ф 0 имеем
р(1)=фр (х))Х = Л р* от # р3 w - v
и
(pw#Up(^sY=P3(*r# U p8w-v.
Пусть теперь а(аи ..., ап) — формула формализованного
языка 3?о нулевого порядка и аи ... ,ап — все
пропозициональные переменные этой формулы. Пусть ось ..., ап — какие-нибудь
формулы формализованного языка SB первого порядка. В силу
6.4 подстановка
(9) a(a,/alf ..., ajaj
является формулой языка 2\ Легко доказать индукцией по
длине а, что при любой интерпретации 3 для 2 в
произвольном множестве / ф 0
(10) (afa/Gp ..., ал/ал)5)* = адв((а13)*, ..., (aj*),
т. е. характеристика интерпретации подстановки (9) является
композицией булева многочлена аА, определяемого
формулой а, и характеристик интерпретаций формул оьь ..., ая *).
При вышеуказанных предположениях относительно а имеем
7.1. Если а(аи ...,ап) является пропозициональной
тавтологией в формализованном языке 3?0 нулевого порядка, то при
любых формулах оы,..., <хп в формализованном языке первого
порядка подстановка a(ai/ai,..., ап/ап) является предикатной
тавтологией в SB.
*) Тождество (10) следует также непосредственно из общей теоремы
VI, 6.9.
№

204 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
В самом деле, ал = V, так как а—пропозициональная
тавтология. Отсюда ввиду (10) следует, что характеристика
любой интерпретации (9) тождественно равна V, т. е. (9)
является предикатной тавтологией.
§ 8. Правила вывода
Любое рассуждение в математических доказательствах
состоит из простых шагов, каждый из которых заключается в
опознавании того, что одни предложения являются
непосредственными логическими следствиями других. Эти шаги имеют аналоги
в математических формализованных теориях. Эти аналоги,
являющиеся формализацией элементарных логических связей
дедуктивного рассуждения, называются правилами вывода.
Под правилом вывода мы понимаем операцию, которая
конечной последовательности формул ai, ..., <хп (az^I)
формализованного языка сопоставляет некоторую формулу р этого
языка, причем в соответствии с нашей интуицией р является
логическим следствием формул at, ..., an. Мы будем
обозначать это обстоятельство следующим образом:
/*\ cti,..., ап
(1) нужно читать так:
р в силу аи ..., а„.
Формулы ai,..., ап будут называться посылками, ар —
заключением правила (1).
Нужно точнее разъяснить, что мы имеем в виду, говоря, чтор
является логическим следствием множества 5 формул. С
интуитивной точки зрения это означает, что если каждая формула S
признана истинной, то р тоже должна быть признана истинной.
Более точное объяснение этого утверждения дается няже
определениями (2) и (3).
Пусть & — элементарный формализованные язык,
описанный в § 3. С интуитивной точки зрения формула р в &
является логическим следствием множества формул 5 (языка j?),
если
при каждой интерпретации 3 языка 3! в любом множестве
J Ф0 из того у что все пропозициональные функции а3,
(2) где aeS, истинны в J (т. е. (а3)*= V), следует, что р3
также истинна в J (т. е. (?$)*= V).
Мы опишем теперь несколько правил вывода, которые будут
придаваться формализованным элементарным языкам первого

**1
Правила вывода
205
порядка. Заметим, что все приведенные ниже правила вывода
сводятся к простым механическим операциям над конечными
последовательностями знаков.
(п) Modus ponens (правило отделения). Рассмотрим какие-
нибудь формулы а, р в & и предположим, что в какой-нибудь
интерпретации 3 на множестве J Ф 0 формулы аир истинны.
Тогда (см. § 7, (8)) мы имеем
(a^V и (fa#p\)*^V.
В силу § 4, (3) и § 7, (4)
Отсюда в силу II, § 4, (1) p* = V, т. е. р.истинна в 1\
Согласно (2) заключаем, что формула р является следствием
формул а и fa^ p)! Метод вывода, ведущий от посылок а, (а=^ р)
к заключению р, является универсальным в дедуктивных
рассуждениях. Поэтому правило вывода
Р •
называемое modus ponens (или: правилом отделения), будет
принято во всех дедуктивных системах, рассматриваемых в этой
книге.
(гг) Правило подстановки вместо свободных индивидных
переменных. Пусть a = <х(*ь • • •»xm) — формула языка-i? и пусть
а' = a(tu ... > tm) —формула, полученная из а подстановкой
некоторых термов п,..., тт вместо свободных индивидных
переменных Х\,..., хт соответственно. Для любой
интерпретации 3 языка & в множестве J Ф0 множество значений
характеристики (aQ* содержится в множестве значений
характеристики (aj\ так как (с^)* является композицией отображения
(<х3)* и отображений т13, ..., тт3. Поэтому, если а истинна
в интерпретации 3, т. е. (аз)* принимает только
значение V, то (<х^)* тоже принимает только значение V, т. е. а'
истинна в интерпретации 3.
Это рассуждение подсказывает следующее правило вывода:
<*(*ь ..., хт)
а(т,,..., хт) *
называемое правилом подстановки вместо свободных
индивидных переменных.
(г3) Правило введения квантора существования. Пусть
а(х)\ р—-формулы языка &. Предположим, что р не содержит

206 формализованные математические теории [гл. v
вхождений х и что в а(х) нет квантора по переменной £. Тогда
формула
является логическим следствием формулы
В самом деле, рассмотрим какую-нибудь интерпретацию 3
языка & на множестве J=£0. Предположим, что (сс(*)=фр)з
является пропозициональной функцией, истинной в /. Тогда ее
характеристика
(faW#P^ = (aWs)4(P3rSV.
Отсюда в силу II, § 4, (2)
(а{х)%у<(рз)* при всех лее/.
Так как в р нет вхождений ху то мы получаем (II, § 4, (3))
LK(/r<(W-
Поэтому ввиду II, § 4, (2) (J a3(/T#(P3)*s V, т. е.
а это означает, что пропозициональная функция (XJa(E)^ft)d
истинна в /.
Правило вывода
е
где р не содержит вхождений х и а(х) не содержит квантора
по переменной |, называется правилом введения квантора су-
ществования.
(г4) Правило введения квантора общности. Пусть а и
Р(лс) —формулы языка S\ Предположим, что в а нет
вхождений х и что в р нет квантора по переменной |. Тогда формула
i
является логическим следствием формулы
(a#P(*)J.

§ 8] ПРАВИЛА ВЫВОДА 207
Действительно, рассмотрим какую-нибудь интерпретацию 3
языка SB в множестве /^0и предположим, что (сеФф(х))9
является истинной пропозициональной функцией в Л Тогда для
ее характеристики имеем
Отсюда в силу II, § 4, (2)
(аз)*<(р(*)з)* при любом ^е/.
Так как в а нет вхождений х, то мы заключаем (II, § 4, (3)),
что
КГ<Г)РаОУ.
Поэтому в силу И, § 4, (2) (а3)*=Ф [) p3(/)*s V, ?. е.
(Ca^nP^V^V,
т. е. (а#Р){КШз также истинно в /.
г
Правило вывода
(а#Р(*))
I
где а не содержит вхождений х, а р(х) не содержит квантора
по |, называется правилом введения квантора общности.
(Г5) Правило удаления квантора существования. Пусть а (лс)
и р — формулы языка S? и в а(х) нет квантора по g. Тогда
формула
является — с интуитивной точки зрения — следствием формулы
i
В самом деле, рассмотрим ее интерпретацию (U a (£)#?)<*
в некотором непустом множестве /. Если эта интерпретация
является истинной пропозициональной функцией в /, то
Ша(|)#р;зу-
V,

208 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
т. е. в силу § 4, (3), (б) и § 7, (4), (6)
U «*</)• "W-v.
Поэтому в силу II, § 4, (2)
Следовательно, в силу II, § 4, (3)
(«W <№*)*•
Отсюда
tfa(x)^p^-V,
чем доказывается истинность пропозициональной функции
(а(*)=ФР)3 в /.
Правило вывода
_i
называется правилом удаления квантора существования.
(re) Правило удаления квантора общности. Пусть а и
р(дс)—какие-нибудь формулы языка Я?. С интуитивной точки
зрения формула
является следствие^ формулы
где I не входит в р (х).
В самом деле, рассмотрим интерпретацию 3 языка j? в
непустом множестве /. Если интерпретация (tf*#f^P(6))3 яв-
S
ляется истинной пропозициональной функцией в множестве /,
то ее характеристика
Т.е. в силу §4, (6), (3) и §7, (7), (4)

§ S] ПРАВИЛА ВЫВОДА 209
Следовательно, в силу II, § 4, (2)
Ы*<Г)р3(/Г-
Отсюда ввиду II, § 4, (3), (2)
Ы<{№£. т.е. K)*#(pwsr=v.
Поэтому
и (а=ФРМ)з является пропозициональной функцией, истинной
в /.
Привило вывода
I
называется правилом удаления квантора общности.
Помимо формализованных языков первого порядка, мы
подвергнем исследованию в качестве вспомогательного материала
формализованные-языки 2?о нулевого порядка, описанные в § 6.
С интуитивной точки зрения формула р в j?0 является логичен
ским следствием множества S формул в 3?о, если
для любой интерпретации 3 языка Sо из того, что все
(3) предложения а3 (см. § 6, стр. 197), где asS, истинны,
следует, что р3 — также истинное предложение.
Интерпретируя формулы в j?0 как булевы многочлены
в двухэлементной булевой алгебре А0, можно следующим
образом переформулировать это определение: формула р в j?0
является логическим следствием множества S формул в «2*0, если
из того, что все булевы многочлены аА , где a —
формула в S, принимают значение V при фиксированном
(3') наборе значений переменных, следует, что и $А также
принимает значение V при этом наборе значений
переменных.
Пусть, например, а и р—некоторые формулы в 2V Если
при фиксированных значениях переменных оба булева
"многочлена аЛо и (а=ФР)л0 (т. е. ад =^Рд|) принимают значение V,
то и р^ также принимает значение V для этих значений
переменных в силу II, § 4, (1). Поэтому формула р является
логическим следствием формул а и (az-^pj. Другими словами,
правило отделения (modus ponens)

210 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
является правилом вывода и для произвольных
формализованных языков нулевого порядка.
Конечно, ни одно из правил (г2) — (гв) не имеет никакого
смысла для языков нулевого порядка.
Из определений (2) и (3) следует, что если все формульцв S
являются тавтологиями, а р — логическое следствие из S, то Р
также является тавтологией. В самом деле, при любой
интерпретации 3 языка, а3 истинно для любого а в S. Поэтому р3
истинно при любой интерпретации 3, т. е. р является тавтологией.
Отсюда по определению правил вывода следует, что
8.1. Если все посылки какого-нибудь правила вывода яв~
ляются тавтологиями, то его заключение также является тав~
тологией.
Подчеркнем важную особенность правил вывода. Они
обосновывались с помощью аргументации, касающейся
интерпретаций формализованных языков. Однако для того, чтобы
проверить, является ли данная формула хр заключением из данных
посылок по одному из правил (т\)— (гв), интерпретации совсем
не нужны. Достаточно только сравнить друг с другом
синтаксическое строение заключения и синтаксическое строение посылок,
т. е. способы их формирования из знаков. Более того, эта
проверка чрезвычайно проста: во всех правилах (п)— (г6)
заключение получается из посылок с помощью простых операций над
формулами, понимаемыми как конечные последовательности
знаков. Этот синтаксический характер и простота практически
требуются от всех правил вывода, принимаемых в
формализованных языках.
§ 9. Формальные доказательства
Процесс выведения одних предложений из других —
наиболее важная часть работы математика. Доказательство
предложения (математической теоремы) состоит в выведении этого
предложения из данного множества предложений, истинность
которых установлена, посредством ряда элементарных шагов,
называемых здесь правилами вывода. В процессе
доказательства мы используем также более или менее сознательно
некоторые логические тавтологии.
Мы определим теперь понятие формального доказательства
в формализованном языке. Это понятие является точным
аналогом процесса вывода в интуитивной математике.
Пусть SB — формализованный язык первого или нулевого
порядка (см. § 3 и § 6). Формула р в & называется
непосредственным следствием формул at, ..., am в & в силу правила
вывода (г), если р имеет форму заключения по схеме,
определяемой правилом (г), а формулы aj, ...,am имеют форму пд-

§91 ФОРМАЛЬНЫЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 211
сылок этой же самой схемы. Так, например, формула р является
непосредственным следствием формул а и (а=^$) в силу
правила отделения (п).
Пусть «s#o— множество формул в 2? и Ru ..., /?ь— правила
вывода. Будем говорить, что формула а выводима из ^ с по-
мощью правил вывода Ru ..., Rh, если существует такая
конечная последовательность формул
alf ..., аПУ
что
1) а совпадает с ап\
2) для каждого / ^ п либо щ принадлежит s&o, либо а*
является непосредственным следствием некоторых из формул
аь ..., аг--1 в силу одного из правил вывода К\,..., /?&.
Последовательность аь ..., ап называется тогда
формальным доказательством формулы а из stQ с помощью правил вы-
вода Ru ..., Rh.
Иногда множество s&o является объединением некоторого
множества зФ\ тавтологий и некоторого множества si> других
формул. Тогда, если а выводима из объединения множеств зФ
и Ж\ с помощью правил /?i, ...,/?*, мы будем говорить, что. а
выводима из Ж с помощью правил вывода Ru ..., %ь. и
тавтологий из s£\.
Поясним эти определения примерами.
9.1. Каждая из следующих формул:
(1) (**&**)),
(2) Га фа)
(где а, р — некоторые формулы), выводима из множества $t>
всех формул вида
(3) <XY,nY2>>=#YL>,
(4) ГГъГШ-ФуЛ.
(5) «TVi П Ъ) =Ф Уз) =#> (Ъ =#> (Ъ =Ф Уз)))
(где Yb Y2» Уз — любые формулы) с помощью правила
отделения.
В самом деле, последовательность формул
«anP)#aJ,
^аПР)=Фа)#(а=ФГР=фа))),
(а=$(^а))
является формальным доказательством для (1), так как первая
формула имеет вид (3), а потому принадлежит j#, вторая —
вид (5), а потому тоже принадлежит зФ% а третья формула
получается из первой и второй с помощью modus ponens.

2|2 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
Формальное доказательство для (2) несколько длиннее:
((а[)а)=фа),
((((*(]*)*¥*){]*)=**),
(((((<* П «) Ф а) П а)=Ф а) =Ф «?« Па)4а)4(а=# а))),
(((аПсО#а)ф(а#сОЛ
(а =Ф а).
Первая и вторая формулы принадлежат s&, так как они
имеют вид (4). Третья формула тоже принадлежит зФ, так как
она имеет вид (5). Четвёртая формула является
непосредственным следствием второй и третьей с помощью modus ponens.
Последняя формула есть непосредственное следствие первой и
четвертой формул с помощью того же правила.
§ 10. Операции присоединения следствий.
Формализованные дедуктивные системы и теории
Пусть SB — формализованный язык первого или нулевого
порядка (см. § 3 и § 6). Мы знаем, что формулы языка SB
являются формальными эквивалентами предложений и
пропозициональных функций. Операция С, которая каждому
множеству S формул в SB сопоставляет множество C(S) всех формул,
являющихся логическими следствиями из S, будет называться
операцией присоединения следствий в SB\ Под дедуктивной
системой, основанной на языке j?f мы будем понимать пару
SB = \&% С}, где С —некоторая операция присоединения
следствий в SB.
Операция присоединения следствий в SB должна быть
формализацией интуитивного понятия следования и потому должна
обладать всеми теми свойствами, которые наша интуиция
приписывает этому понятию. Должны, например, удовлетворяться
следующие условия*):
(С|) SaC(S)t
(с2) если S{czS29 то C(Sx)czC(S2)9
(с3) если S{czC(S2) и S2czC{S3), то S{czC{S3),
при любых множествах S, Su S2i S$ формул языка SB.
Первые два из них не нуждаются в комментариях. Третье
выражает транзитивность следования.
Условие (с3) может быть заменено следующим:
(cj) C(C(S)) = C(S).
*) Тарский [2].

§101
ОПЕРАЦИИ ПРИСОЕДИНЕНИЯ СЛЕДСТВИЙ
213
Условия (Cj), (c2), (cQ эквивалентны условиям (ci), (c2),
(сз). Действительно, с помощью подстановки
S^dCiS)), S2 = C(S), S3 = S
в (сз) получаем
C(C(S))c=C(S).
С другой стороны, из (ci) следует, что
С (5) с С (С (S)),
что доказывает (cQ. Обратно, пусть условие (с£) выполняется.
Если S2dC(Ss)t то в силу (с2) имеем C(S2)cz C(C(S3)) =
= C(SZ), чем доказано (с3).
Нужно ожидать, что будет выполнено также следующее
условие:
(с4) если ре. C(S), то существует такое конечное
подмножество SQ с: S, что реС (S0).
Это условие выражает финитность процесса вывода: если р
выводится из S, то р может быть выведено из некоторого
конечного числа формул из S.
Операция присоединения следствий С в & является заменой
для интуитивного понятия логического следования, если~она
удовлетворяет следующему условию:
(С) Для-любого множества S формул языка & множество
C(S) содержит те и только те формулы р в j?, которые
являются логическими следствиями из S в смысле, разъясненном
в (2) или (3) § 8, т. е. формулы р, истинные во всех
интерпретациях языка SB\ в которых истинны все формулы из S.
Условие (С) влечет, в частности (если множество S пусто),
что
(С) Множество С(0) совпадает с множеством всех
тавтологий в 9?.
Утверждение (С) можно, конечно, рассматривать как
определение операции присоединения следствий С в
формализованных языках первого и нулевого порядка. То есть для любого
множества формул S в формализованном языке первого (или
нулевого) порядка можно определить C(S) как множество всех
формул, для которых выполнено условие § 8, (2) (или § 8, (3)).
Это определение операции присоединения следствий полностью
согласуется с интуитивным пониманием следования. Такая
операция присоединения следствий обладает свойством (С) по
определению.
Однако мы не воспользуемся этим определением операции
присоединения следствий С, так как оно чересчур сложно: для
проверки того, что формула является следствием множества
формул S, мы должны рассмотреть все возможные интерпрета-

214 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ {ГЛ. V
ции языка! Кроме того, это определение довольно далеко от
основных идей формализации. Оно основано на интуитивных
интерпретациях формул формализованных языков, а не на
непосредственном определении этих формул: Формулы суть конечные
последовательности знаков. Является ли формула р следствием
множества формул S, зависит только от синтаксиса
формулы р и формул aeS, т. е. только от способа построения
формул a, p из знаков. Поэтому можно ожидать, что
существует другое эквивалентное определение операции
присоединения следствий, основанное только на синтаксических свойствах
формул, понимаемых как конечные последовательности знаков.
В этой книге будут исследоваться различные операции
присоединения следствий. Все определения этих операций будут
иметь чисто синтаксический характер. А именно, все операции'
присоединения следствий будут определяться с помощью
следующей схемы.
(S). Пусть & — формализованный язык первого или
нулевого порядка. Фиксируем некоторое множество тавтологий зФ\
(называемых логическими аксиомами) и множество Ru ..., Rh
правил вывода. Для каждого множества формул S в & мы
определяем C(S) как множество всех формул (в &), которые
выводимы из S с помощью правил вывода Ru ..., Rh и тавтологий
из j£i (см. § 9, стр. 211).
Операция присоединения следствий С, получаемая в, 3? с
помощью (S), называется операцией, определенной правилами
вывода Ru ... ,Rk и множеством six логических аксиом.
Правила вывода в (S) всегда будут ийеть синтаксический
характер. Заключение по каждому из правил всегда будет
результатом некоторых простых механических операций над
посылками, понимаемыми как последовательности знаков. За
исключением некоторых параграфов главы XI, принимаемое
множество правил вывода будет состоять из правил (п) — (гв)
из § 8 для случая языков первого порядка и из правила modus
ponens для случая языков нулевого порядка. Поэтому
определение операции С с помощью схемы (S) будет иметь чисто
синтаксический характер. В силу определения мы включаем
формулу р в множество C(S) тогда и только тогда, когда
существует формальное доказательство
(1) alf ..., ап
для р из S с помощью Ru ..., Rh и логических аксиом в stu
Проверка того, что (1) является формальным доказательством
для р, — чисто механическая процедура30). Она сводится к
проверке того, что каждая из формул щ либо есть элемент из S,
либо есть элемент из st>\, либо получается из формул a* (i <-/)
посредством механических операций по одному из правил

§10]
ОПЕРАЦИИ ПРИСОЕДИНЕНИЯ СЛЕДСТВИИ
215
Ru ..., Rh. Поэтому процесс образования множества С(S),
являющийся формальным эквивалентом для интуитивного
процесса вывода, состоит в выполнении механических операций над
формулами, понимаемыми как последовательности знаков.
Совсем не очевидно то, что можно определить операцию С
с помощью схемы (S\ так, чтобы было удовлетворено условие
(С). Теорема, утверждающая, что такая формализация понятия
следования осуществима, является одной из важнейших теорем
метаматематики (см. VIII, § 9). Требуемое определение будет
дано во второй части § 11.
Легко видеть, что всегда можно выбрать s4>i и Ru...,Rh
так, чтобы удовлетворялось условие (С'). Если, например, sti
есть множество всех предикатных тавтологий, а правила (т\)—
(re) из § 8 мы примем в качестве правил вывода, то условие
(С) выполняется. Это следует из 8.1. И вообще кажется
естественным принять в качестве множества логических аксиом
множество всех предикатных тавтологий языка &. Однако для
любого описанного в § 3 языка & данное в § 7 определение
предикатной тавтологии чересчур сложно, поскольку оно требует
изучения всех интерпретаций языка 9? в непустых множествах.
У нас нет общего метода, позволяющего за конечное число
шагов решить вопрос, является ли данная произвольная формула
предикатной тавтологией31). Чтобы избежать этого рода
трудностей, во всех определениях операции присоединения следствий
с помощью схемы (S) в качестве зФ\ мы будем брать только
некоторые множества тавтологий, структуру которых легко
можно описать.
Заметим, что иногда исследуются операции присоединения
следствий, определяемые с помощью схемы (S) и не
обладающие свойствами (С), (С). У таких исследований имеются свои
методологические или философские причины*). С
методологической точки зрения интересно бывает знать, какие формулы
выводимы из данного множества S с помощью уменьшенного
множества правил вывода или с помощью меньшего числа
логических аксиом. Некоторые философские соображения,
оправдывающие ограничение операции присоединения следствий, будут
приведены в главе IX, § 1.
Множество С(0) играет особую роль в любой дедуктивной
системе ^ = {i?, С}. Формулы из С(0) называются доказуе-
*) Так, например, убеждение, что истина н ложь — не единственные
логические значения предложений, породило идею многозначных логик. В этом
случае операция присоединения следствий не обладает свойством (С).
Первая многозначная логика (трехзначная) была введена Лукасевичем [1].
m-значные логики (для произвольных натуральных т) обсуждались
Постом [1]; см. также Лукасевич и Тарский [1], Россер и Тюр-
кетт [1].

216 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
мыми в дедуктивной системе 9>. Если С определяется с
помощью (S), то р доказуема в 9* тогда и только тогда, когда она
выводима из st>i с помощью /?ь ..., /?&, т. е. когда существует
формальное доказательство формулы р из s&i с помощью
Ru ..., /?а. Так как предполагается, что все логические аксиомы
в s4>i —тавтологии, и так как во всех правилах вывода от
тавтологий мы переходим к тавтологиям (см. 8.1), то все формулы
из С(0) также являются тавтологиями. Если С не обладает
свойством (С), то С(0) является собственным подмножеством
подмножества всех тавтологий. Так бывает, когда по каким-то
причинам множество логических средств дедуктивной системы
ограничено. С(0) является тогда множеством всех допустимых
в 9* тавтологий.
Если операция присоединения следствий С определима
в формализованном языке 2 с помощью схемы (S), то, вообще
говоря, она определима с помощью (S) различными способами,
т. е. множество допустимых правил вывода и множество
логических аксиом могут быть, вообще говоря, изменены без
изменения операции С. Оба эти множества имеют чисто
вспомогательный характер. С, точки зрения исследований, проводимых
в этой книге, выбор множества логических аксиом и множества
правил вывода для определения операции присоединения
следствий совершенно произволен. Причины, по которым выбираются
аксиомы и правила вывода, обычно имеют дидактический или
методологический характер. Мы можем, например, желать,
чтобы у нас было сравнительно небольшое множество аксиом
и правил или же множество, с помощью которого легко
получить основные свойства операции присоединения следствий.
Применяемые в этой книге системы аксиом не являются
простейшими. Они избраны в основном потому, что с их помощью
легко получить решеточные свойства дедуктивных систем и
формализованных теорий (см. VI, § 10).
Приведем теперь некоторые свойства операций
присоединения следствий, определяемых с помощью схемы (S).
10.1. Операция присоединения следствий С, определяемая
посредством (S), обладает свойствами (cj, (c2), (с3), (с'3) и (с4).
(ci) непосредственно следует из (5), так как для любой
формулы aGS последовательность, образованная из одной
формулы а, является формальным доказательством для а из S с
помощью /?i, ..., Rk и s&\. (с2) также следует непосредственно из
определения, так как если Si с S2, то каждое формальное
доказательство из Si будет также формальным доказательством из
S2 с помощью тех же самых правил вывода Rif ..., Rk и st>\.
Для доказательства (с'3) в силу (Cj) достаточно
продемонстрировать, что C(C(S)) cz C(S).3to включение вытекает из еле-

§10}
ОПЕРАЦИЙ ПРИСОЕДИНЕНИЯ СЛЕДСТВИЙ
й\7
дующего замечания: если at, ..., an есть формальное
доказательство формулы а из C(S) посредством Ru ..., Rh и sti, то
некоторые из формул этого доказательства—скажем, формулы
qPl, a,p2 аРг— принадлежат C(S), а остающиеся формулы —
скажем, а^, а^, ..., а^—либо принадлежат зФ\, либо
являются непосредственными следствиями из предыдущих формул
посредством правил Ru ..., Rk (pi < ... < pr, Qi < ... < <7*, r +
-j- 5 = n). Пусть a/i, ..,, <х/л. — формальное доказательство для
aPj. Тогда последовательность
all> •••» al/i,> a21» •••» a2n2^ •••> arU •••» ar/tr> ^j» •••> ^s» a
является формальным доказательством для а из S посредством
Ru ..., Rh и $$-\. Поэтому, если aEC(C(S)), то a£&(S).
Как мы установили на стр. 213, свойства (ci), (сг), (сз')
влекут (с3).
Для доказательства (с4) заметим, что если aEC(S), то a
принадлежит также С (So), где So — конечное множество всех
принадлежащих S формул из некоторого фиксированного
доказательства для а.
Для получения другой характеристики операции
присоединения следствий С, определяемой посредством (S), введем
следующее определение.
Множество So формул языка SB называется замкнутым
относительно правила вывода R, если все непосредственные следствия
формул из So по правилу вывода R принадлежит S0.
Так, например, в силу теоремы 8.1 множество всех тавтологий
формализованного языка первого порядка замкнуто
относительно каждого из правил вывода (ri) — (re), описанных в § 8.
Множество всех тавтологий формализованного языка нулевого
порядка замкнуто относительно правила modus ponens в силу
теоремы 6.3.
Заметим, что для любого множества S формул (в
формализованном языке SB) и для любых данных правил вывода Ri, ..., Rk
существует наименьшее множество S0 формул языка SB со
свойствами:
а) S является подмножеством множества S0,
б) So замкнуто относительно всех правил /?i, ..., Rk-
В самом деле, множества S0, удовлетворяющие обоим
условиям, существуют, — например, множество F всех формул языка
SB. С другой стороны, пересечение любого класса множеств So
со свойствами а), б) также обладает этими свойствами. Поэтому
пересечение всех множеств S0 со свойствами а) и б) является
наименьшим множеством, удовлетворяющим этим условиям.
10.2, Если операция присоединения следствий С в
формализованном языке SB определяется посредством схемы (S), го, для

218 4ЮРМАЛЙ306АННЫЕ MAtEMATHMECKHE fEOPMM [hfl. V
каждого множества S формул в 2\ C(S) является наименьшим
множеством (формул языка J?), содержащим зФ\ и S и
замкнутым относительно каждого из правил вывода Ru ..., Rh.
Заметим сначала, что-если р— непосредственное следствие
формул ai, ..., am по правилу Ri (l^i^k) и все формулы
ai, ..., am принадлежат C(S), то р также принадлежит C(S).
В самом деле, тогда р принадлежит C(C(S))9 а C(C(S))
совпадает с C(S) в силу (cQ.
Поэтому С (5) замкнуто относительно каждого из правил
Ru ..., Rk и содержит как 5, так и sti. С другой стороны,, все
формулы в любом формальном доказательстве из S посредством
Ru ..., Rk и зФ\ принадлежат любому множеству В, замкнутому
относительно правил вывода Rit ..., Rh и содержащему S и зФи
Отсюда следует, что С (S) содержится в любом таком
множестве В. Это доказывает 10.2. *
Как было указано в § 1 (стр. 179), под формализованной
теорией мы будем понимать любую систему &~ = {i?, С, st}t где
SB — некоторый формализованный язык, С — операция
присоединения следствий в i?, а s4> — множество формул, называемых
математическими (или: специальными) аксиомами теории 9~.
В этой книге мы будем иметь дело в основном с тем случаем,
когда & — какой-нибудь формализованный язык первого
порядка, описанный в § 3. Формализованные теории этого рода будут
называться элементарными по причинам, объясненным в § 3,
стр. 188. В качестве вспомогательного материала мы
рассмотрим также тот случай, когда 2 является формализованным
языком нулевого порядка, описанным в § 6.
Грубо говоря, множество C(s&) играет в формализованных
теориях ту же роль, какую С(0) играет в дедуктивных системах.
Формулы из С(зФ) будут называться теоремами
рассматриваемой теории Т. В одной и той же дедуктивной системе {&, С]
различные множества математических аксиом Ж, s&' могут
давать одно и то же множество теорем: C(s&) =C(s£'). Тогда
с^ интуитивной точки зрения множества математических аксиом
S& и si*' являются эквивалентными, т. е. это различные
аксиоматизации одной и той же математической теории. Поэтому с
математической точки зрения не имеет значения, какое множество
математических аксиом данной теории будет выбрано. Так же,
как и в случае логических аксиом, причины предпочтения,
оказываемого одному множеству st> математических аксиом перед
другими, имеют обычно дидактический или методологический
характер. Например, в качестве множества математических ак-
сиом можно взять класс всех теорем теории, но практически
такая процедура не применяется, ибо этот класс очень трудно опи*
сать, кроме тривиальных случаев. Поэтому в качестве мно*
жества аксиом для формализованной математической теории

§ П] ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ЛОГИКИ. КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 219
обычно принимается некоторое небольшое подмножество
множества всех теорем. Такая процедура принята в интуитивной
аксиоматической математике. В нашем определении формализованной
теории учтена эта процедура.
Если множество математических аксиом пусто, то нет причин
отличать друг от друга теорию {J?, С, 0} и дедуктивную систему
{«£?, С}. Поэтому мы будем их отождествлять.
§11. Общее понятие логики. Классическая логика
Из рассмотрений § 10 и конца § 1 ясно, что мы стремимся
собрать в операции присоединения следствий Св^ все
логические средства, применяемые в любой формализованной теории
У = {SB, С, s$\. Поэтому операция присоединения следствий С
в формализованной теории 9~ = {SB, С, st] будет называться
также логикой теории У.
В приложениях мы не будем определять операцию
присоединения следствий отдельно для каждого формализованного языка.
Вместо этого будет дан общий метод Ф, который каждому
формализованному языку SB первого или нулевого порядка
однозначно сопоставляет операцию присоединения следствий С = <&#
в SB. Такой общий метод будет также называться операцией
присоединения следствий (заметим терминологическое различие: ^
есть операция присоединения следствий; V& есть операция
присоединения следствий в 3?).
В соответствии с нашей интуицией в отношении операции
присоединения следствий каждый такой общий метод <& будет также
называться логикой.
В главах VI—X мы будем рассматривать только логики 9*,
определяемые посредством следующей схемы:
(L) Сначала мы выделяем некоторое множество I
пропозициональных тавтологий в некотором вспомогательном языке
нулевого, порядка. Для каждого формализованного языка SB
(нулевого или первого порчядка) множество s4>\ логических аксиом
в J? состоит из всех формул в SB, являющихся подстановками
в тавтологии из I*). Если ^ — формализованный язык нулевого
порядка, то операция присоединения следствий Ф# определяется
по схеме (S) § 10, где в качестве единственного правила вывода
берется только modus ponens. Если SB — формализованный язык
первого порядка, то операция присоединения следствий 9?г в SB
определяется по схеме (S) § 10, где в качестве множества
правил выводе берется множество правил (п), (г2), (г3), (г4), (г5),
(г6), описанных в § 8.
*) То есть формулы из sti являются результатами подстановок
некоторых формул языка & вместо пропозициональных переменных в
тавтологии из I.

220 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
Поэтому, если S7 — формализованный язык нулевого
порядка, то для каждого множества S формул в 5? множество ff^S)
всех его следствий является наименьшим множеством (формул
языка SB), содержащим все формулы из sti и S и замкнутым
относительно правила отделения. Если SB— формализованный
язык первого порядка, то для каждого-множества S формул вЗ7
множество ^if(S) является наименьшим множеством (формул
языка &), содержащим все формулы из зФ\ и S и замкнутым
относительно правил отделения, подстановки вместо свободной
индивидной переменной, введения и удаления квантора общности,
введения и удаления квантора существования.
В этой книге слово логика будет всегда обозначать операцию
присоединения следствий ^, заданную схемой (L).
В соответствии с общим определением § 10, если 9* —
операция присоединения следствий и SB— формализованный язык, го
&> = {<£, <&#} является дедуктивной системой и, при
фиксированном множестве зФ формул в 2\ *Г = {,2\ V#, Ж} является
формализованной теорией. Для простоты мы будем всегда
писать
{3£у Щ вместо {£\ <8?*}
и
{Й7, V9 si) вместо {£\ <9Ж% Щ.
Более того, если язык SB фиксирован, то мы будем писать
<ff(S) вместо V*(S)
для любого множества формул S, если это не приведет к
недоразумениям (однако нижние индексы # при Ф бывают часто
необходимыми, если рассматриваются одновременно два или
больше языков).
Наиболее важен следующий пример логики: двузначной (или:
классической) логикой будет называться операция
присоединения следствий ^, определяемая по схеме (L), где множество I
составлено из всех тавтологий (ti)—(t42> из § 6 (стр. 198).
До конца этого параграфа ^ всегда будет обозначать
двузначную логику. По определению в любом формализованном
языке SB (нулевого или первого порядка) в качестве множества
six всех логических аксиом мы принимаем множество всех
формул вида *)
(ТО (fa =# Р) =#> <ГР =Ф у) =¥ (а =Ф у)))9
(Т2) (а Ф fa (JPU
(Та) fP#(aUP)),
*) Первая система аксиом для классической логики была дана Ф р е г е
[1]. Известны и многие другие аксиоматики; см., например, Лукасевич [2],
Гильберт и Аккерман [1], Р а с ё в а [1].

§ 11] ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ЛОГИКИ. КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 221
(Т4) ((а = у) =Ф (ХР =Ф Y) # ((a U р; =Ф Ш
(Тв) (ГаПР)#аЛ
(Т6) «аГШФРА
(Т7) ((Y # а) # ГГУ =#> Р,) Ф (Y =Ф (а П РЖ
(Те) «а Ф (Р =# V» =Ф tfa П Р) # YU
(Т9) («а П Ю # Y) =Ф (а # С Р =#> Y)U
(Т10) (ГаП-а)^р),
(Т„) Г(а=»ГаП-а^#-оЛ
(Т12) (aU-аЛ
где а, р, y — произвольные формулы языка SB. Если SB—
формализованный язык нулевого порядка, то для каждого множества
S формул в SB множество ^(S) (т. е. множество ^(5))
является множеством всех формул, выводимых из S с помощью
modus ponens и тавтологий (Ti) — (Ti2). Если ^ —
формализованный язык первого порядка, то для каждого множества S
формул в SB множество ^(S) (т. е. множество ^(5)) является
множеством всех формул, выводимых из S с помощью правил
вывода (г4) —(г6) и тавтологий (Ti) — (T12).
Если 9? — формализованный язык нулевого порядка, то
дедуктивная система
называется двузначным (или: классическим) пропозициональным
исчислением. Так как все формулы вида (Ti) — (T12) являются
пропозициональными тавтологиями в силу 6.2, то из 6.3 мы
получаем, что
11.1. Все формулы, доказуемые в двузначном
пропозициональном исчислении, являются пропозициональными
тавтологиями.
Обратная теорема также справедлива: операция
присоединения следствий Ф = 9?х в SB удовлетворяет условию (С') в § 10.
Это будет доказано позднее в главе VII, где двузначное
пропозициональное исчисление подвергнется систематическому изучению.
Если i?— формализованный язык первого порядка, то
дедуктивная система
9> = {2, #} = {2\ #*}
называется двузначным (или: классическим) предикатным
исчислением. Так как все формулы (Ti) — (Т^) являются
предикатными тавтологиями в силу 7.1, то с помощью 8.1 заключаем,
что
11.2. Все формулы, доказуемые в двузначном предикатном
исчислении, являются предикатными тавтологиями,

222 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
Обратная теорема тоже справедлива, но она будет доказана
позднее в главе VIII, где будет систематически изучаться
двузначное предикатное исчисление. Более общо, мы покажем там,
что операция С = ^удовлетворяет условию (С) из § 10.
Под формализованной теорией, основанной на двузначной
(или: классической) логике, мы будем понимать любую тройку
где ^ является двузначной логикой, j?— формализованным
языком (нулевого или первого порядка) и s& — множеством
формул из 3?.
Прилагательное «двузначный» фигурирует во всех этих
определениях для того, чтобы подчеркнуть, что применяемые
логические средства основаны на предположении двух возможных
логических значений для предложений: истинности и ложности
(см., например, соображения в § 5). Такова классическая точка
зрения на логические проблемы, и поэтому вместо
прилагательного «двузначный» используется иногда прилагательное
«классический». Оба прилагательных добавляются для отличения
рассматриваемых дедуктивных систем и теорий от некоторых
«неклассических» систем и теорий, которые будут исследованы
в главах IX, X, XI и которые не основаны на гипотезе двух
логических значений для предложений.
§ 12. Аксиомы равенства
Обычно формализованные теории первого порядка содержат
в своем языке некоторый бинарный предикат, котррый
соответствует отношению равенства и называется знаком, равенства.
Этот предикат будет обозначаться посредством е или посред-
ством =. Первое обозначение будет использоваться при
исследовании общих формализованных теорий первого порядка.
Поэтому примитивная формула, утверждающая, что некоторые
элементы хих2 (индивидные переменные) равны, будет записываться
в виде
(1) t(xxx2)
в соответствии с общими соглашениями § 3 (стр. 183). Второе
обозначение будет использоваться при исследовании некоторых
конкретных примеров формализованных теорий. В этом случае
примитивная формула, утверждающая равенство элементов хь
*2, будет записываться в виде
(10 (*1 = *2)
в соответствии с дополнительными соглашениями § 3 (стр. 184).
Обозначение (Г) напрашивается, поскольку оно совпадает

§ 12) АКСИОМЫ РАВЕНСТВА 223
с обычным математическим обозначением. Однако в некоторых
теоретических исследованиях общих формализованных теорий
обозначение (1) иногда более удобно.
Пусть & — формализованный язык (первого порядка),
содержащий знак равенства.
Допустим, что принято обозначение (1). Тогда буква 8 будет
обозначать множество, состоящее из следующих формул (ei),
Ы, (е3), (е4), (е5):
(е,) t(xx),
где х — фиксированная свободная индивидная переменная;
(е2) (*(ху)=$г(ух))9
где х, у— различные фиксированные свободные индивидные
переменные;
(е3) (е (ху) =#> (t (yz) =#> е (хг)))9
где х, у, г —различные фиксированные свободные индивидные
переменные;
(е4) (* (Х\У\) =Ф (е (х2у2) =Ф (\.. (е (хтут) =#>
=$t(q>(xx ... хт)(р(ух ... ут))) ...))),
где Хи ..., хт, уи ..., Ут — различные фиксированные свободные
индивидные переменные, а ф пробегает все m-местные функторы
(т=1,2,...);
(е5) (е (ххух) =#> (е (х2у2) =ф(...(г (хтут) =Ф
=#>(p(*i ... хт)=$р(ух ... ут))) ...))),
где хи ..., хт, уи ..., Ут — различные фиксированные свободные
индивидные переменные, а р пробегает все m-местные предикаты
(т = 1,2,...).
Если принято обозначение (Iх), то 8 состоит из следующих
формул:
(еО (х = х),
(е'2) ((х = у)=Ф(у = х))9
(eQ ((х = у)^ ((у - z)^(x = z))),
(О ((хх*=Ух)^((х2 = У2)^(... (хт*=Ут)^
=Ф(у(хх • . . Хт) = ф(ух . . . ут))) . . .)),
=ф(р£хх . •. хт)^р(ух ... ут))) ...)),

254 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
при тех же самых предположениях относительно х, у, г, хи ...
. • • у *т, УU • . . , f/m, ф, р.
Очевидно, если для какого-нибудь функтора ф или предиката
р принят другой способ образования примитивных формул (см.
дополнительные соглашения в § 3, стр. 183—184), то необходимо
соответствующее изменение формул (е4), (е5) или (е4), (е£).
Нужно подчеркнуть, что каждый функтор ф определяет одну
формулу (е4) (или (е4)) и каждый предикат р определяет одну
формулу (е5) (или (е^)). Поэтому, если рассматриваемый
формализованный язык содержит конечное число функторов и
предикатов, то множество 8 конечно.
Множество & называется множеством аксиом равенства для
языка &.
Математическое содержание аксиом равенства очень просто.
Аксиома (е{) (или (е{)) выражает рефлексивность отношения
равенства. Аксиомы (е2) (или (е0) и (е3) (или (eQ) выражают,
соответственно, симметричность и транзитивность отношения
равенства. Аксиома (е4) (или (е4)) утверждает, что любая
представленная функтором функция принимает равные значения при
равных аргументах. Из (е5) (или (е£)) легко следует, что для
любого m-местного отношения р3 (т= 1, 2, .. .)>
представленного предикатом р, pd(/,f ..., jm) эквивалентно р5(/р ..., /£,), если
/, равно \\ для i = 1, ..., m.
Обычно, если в языке SB формализованной теории Т первого
порядка содержится знак равенства, то множество <£ аксиом
равенства для языка & включается в множество математических
аксиом теории £Г. Тогда мы говорим, что Т является теорией со
знаком равенства или содержит знак равенства.
§ 13. Примеры элементарных формализованных теорий,
основанных на классической логике
Все описываемые в этом параграфе теории основаны на
классической логике (см. § 11, стр. 222). В соответствии с § 3
множество всех знаков языка 9? для каждой такой теории всегда
содержит бесконечное множество V свободных индивидных
переменных, обозначаемых посредством х, у, г, ... (если нужно, с
индексами), бесконечное множество 3 связанных индивидных
переменных, обозначаемых посредством Б, л» С» • • • (если нужно,
с индексами), пропозициональные связки О, Л, =ф, —, кванторы
U» П и ск°бки (»)• Поэтому при описании формализованных
языков для различных элементарных теорий мы будем
ограничиваться упоминанием только специальных знаков
рассматриваемой теории, т. е. функторов и предикатов.

§ 13] ПРИМЕРЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ТЕОРИЙ 225
Напоминаем, что множество всех логических аксиом состоит
из всех формул вида (Ti) — (Ti2) (§ 11) в & и что операция при*
соединения следствий в 3? определяется схемой (S) § 10, где
множество допустимых правил вывода состоит из правил (ri) —
(re), описанных в § 8.
А) Теория порядка. Специальными знаками теории являются
бинарный предикат ^ и бинарный предикат =. Так как в
алфавите теории нет функторных знаков, то множество всех термов
в рассматриваемом формализованном языке & совпадает с
множеством V всех свободных индивидных переменных. Следующие
выражения являются примитивными формулами языка &\
(1) (х<у), (х = у)9
где х, у — свободные индивидные переменные. Множество
формул F является наименьшим множеством (конечных
последовательностей знаков в &), содержащим все примитивные формулы
(1) и удовлетворяющим условиям (fi) —(f4) (§ 3, стр. 184).
В качестве математических аксиом для этой теории мы
возьмем аксиомы равенства (см^ § 12), т. е. (ef), (e^), (eQ, и
следующую аксиому вида (е£):
(2) ((хх = ух) =#> ((х2 = у2) =#> ((хх < х2) =#> (ух < у2))))9
а также следующие аксиомы, описывающие отношение порядка
(см. I, §5, (oi), (о2), (о3)):
(АО (х<х)9
(А2) ((*<У)^((У<*)Ф(х = у))К
(Аз) ((х < у) # ((у < zj =^ (* < z))).
Ясно, что эта теория является формализацией той части
математики, в которой мы имеем дело только с исследованием от*
ношения порядка в произвольном непустом фиксированном мно*
жестве (см. I, § 5, (oi), (o2), (о3)).
Опуская аксиому (А2), получаем теорию предпорядка с ра*
венством.
Добавляя к аксиомам теории порядка аксиому
(А4) ((х<у)\}(у<х))9
получаем теорию линейного порядка.
Опуская из перечня специальных знаков теорий Порядка прё*
дикат = и принимая в качестве математических аксиом аксиому
(Аз) и аксиому
(As) ППиеа<е)П(т)<а>,
I ч 6

226 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
получаем теорию направленных множеств. Формализованный
язык этой теории, конечно, беднее языка теории порядка, Теория
направленных множеств является примером одной из немногих
формализованных теорий без знака равенства, которые
изучаются в математической практике. Разумеется, эти теории очень
примитивны и фрагментарны.
Б) Теория решеток. В качестве специальных знаков этой
теории мы принимаем бинарный предикат = и два двуместных
функтора V» Л- Они представляют, соответственно, объединение
и пересечение в решетке (см. I, § 6). Здесь мы применяем другие
символы (V вместо U и Д вместо П) в силу того, что в нашем
формализованном языке О и П означают пропозициональные
связки. Примитивными термами формализованного языка &
теории решеток будут все выражения в & вида
(3) (xV V), (хАу),
где х, у — свободные индивидные переменные. Множество Т всех
термов в & является наименьшим множеством выражений в 2,
содержащим все свободные индивидные переменные и все
примитивные термы и удовлетворяющим условию (t2) § 3. Множество F
всех формул в S определяется посредством (fi) — (f4) § 3, где
в качестве примитивных формул мы берем все выражения в $В
вида (х = у) (х, у обозначают здесь любые свободные
индивидные переменные). Множество математических аксиом для этой
теории состоит из аксиом равенства (е'), (eQ, (eQ, двух
следующих аксиом из группы (е^) аксиом равенства:
((xi = У0 # ((х2 - у2) # ((хг V х2) = (у{ V У2))))>
((х{ = Ух) =#> ((х2 = у2) =ф ((х{ А х2) = (ух А У2))))>
и, сверх того, из следующих аксиом, характеризующих V и Л
(см. I, § 6, (1,), (У, (У):
(Б,) ((xVy) = (yVx))9 ((хАу) = (уАх))9
(Б2) (((хVy)V*) = (xV(yVг))), (((хАу)Аг) = (хА(уА*))),
(Б2) (((xAy)Vy) = y, ((xA(xVy)) = x).
Добавляя к математическим аксиомам теории решеток новую
аксиому:
(Б4) ((х A(yV г)) = ((х Ay)V(xA ?))),
мы получим формализованную теорию дистрибутивных решеток
(см. I, §9).
Добавляя к специальным знакам теории решеток знак —
одноместного функтора и присоединяя к аксиомам теории
дистрибутивных решеток аксиому
((х = у)=$(-х = -у))

§ 13] ПРИМЕРЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ТЕОРИЙ 227
(т. е. (е^) для функтора —), а также следующие аксиомы,
характеризующие функтор —:
(Б5) (((xA-x)Vy) = y), (((xV-x)Ay) = y)9
мы получаем формализованную теорию булевых алгебр (см. § 1
гл. II). Функтор — соответствует дополнению в булевой алгебре.
Мы используем другой символ (— вместо —) для дополнения
в формализованном языке этой теории, так как символ —
обозначает знак отрицания в формализованном языке.
Заметим, что формализованные теории порядка, решеток,
дистрибутивных решеток и булевых алгебр, приведенные выше,
содержат только фрагменты аксиоматических теорий,
обсуждавшихся в первой части этой книги. Так, например, теоремы
представления для дистрибутивных решеток (I, 9.3, стр. 65) и для
булевых алгебр (II, 8.1, стр. 101) не могут быть выражены
в формализованных языках рассмотренных здесь
формализованных теорий.
В) Элементарная теория групп. В качестве специальных
знаков теории мы возьмем бинарный предикат = и двуместный
функтор • (соответствующий групповому умножению).
Примитивными термами в формализованном языке «£? этой теории
являются все выражения в & вида
(4) (х-у),
где х, у — произвольные свободные индивидные переменные.
Множество Т всех термов является наименьшим множеством
выражений в 2\ содержащим все свободные индивидные переменные и
все примитивные термы и удовлетворяющим условию (t2) § 3.
Примитивные формулы в 2? — это все выражения вида (х = у)
для любых свободных индивидных переменных х, у.
Множество F всех формул & определяется согласно (fi) — (f4) § 3.
Мы принимаем следующие математические аксиомы для
рассматриваемой теории: аксиомы равенства (е{), (eQ, (eQ,
следующую аксиому из группы (ej):
(5) ((хх = у{) =#> ((х2 = у2) =#> ((хх • х2) = (ух • у2))))>
и, сверх того,
(В,) ((х-(уг))=*((х-у)-г))9
(в2) ПЛШб'У~пЛ
I г\ С
Заметим, что этот фрагмент теории групп можно также
формализовать и другими способами. Можно, например, к списку

228 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ, V
специальных знаков & прибавить индивидную константу е
(соответствующую единице группы) и одноместный функтор-1
(соответствующий взятию обратного элемента) и
охарактеризовать эти знаки подходящими аксиомами.- Используя обычный
метод образования примитивных термов посредством
функтора*"1:
(х-1),
мы принимаем в качестве математических аксиом для этой
теории аксиомы равенства: (ef), (eQ, (eQ, (5),
((* = У)Ф((х-1) = (у-1))),
аксиому (Bi) и
(В0 ((х-е) = х),
(В0 ((х-(х~*)) = е).
Язык этой теории богаче, но теория только кажется более
сильной. Этот пример показывает, что аксиоматические теории
могут быть формализованы различными способами.
Сходным образом можно построить формализованные теории
абелевых групп, колец,, полей.
Г) Арифметика. Специальными знаками теории являются
бинарный предикат =, индивидная константа 1 и два
двуместных функтора + и •. В качестве математических аксиом мы
принимаем аксиомы равенства: (eQ, (eQ, (e^),
(Y*i = У\) =Ф (Т*2 = У<д =Ф (Y*i + х2) = (У\ + У*))))>
((х\ = Ух) =#> ((Ч = у2) # (Y*i • х2) = (ух • у2))))
и следующие аксиомы, являющиеся модификацией аксиом
Пеано:
(ГО -(l=(x+i))9
(Г2) (((х+ 1) = (у+ 1))=$(х^у)),
(Га) ((х + (у+1)) = ((х + у)+ I)),
(Г4) ((х.1) = х)9
(Г5) ((х-(у+1)) = ((х-у) + х)),
а также схему аксиом индукции:
(Г6) ((а(1)[\Г\(а(1)^а(а+1))))фГ\а(1))9
где ос(*) является произвольной формулой со свободной инди^
видной переменной xt <х(1) —результат подстановки 1 вместо х
в а(х) и a(g), a((g+ О) являются результатом подстановок!,
(| + I) соответственно вместо * э а(х).

§ i$I ПРИМЕРЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ТЕОРИЙ 229
Заметим, что множество математических аксиом
элементарной формализованной арифметики бесконечно *).
Д) Теория множеств. Имеются различные способы
формализации теории множеств. Некоторые из них имеют дело только
с множествами. Другие допускают также существование других
объектов, которые не являются множествами, но служат для
образования множеств объектов, множеств из множеств
объектов и т. д. Имеются также формализации**), содержащие^
понятие более общее, чем понятие множества, и являющееся точным
аналогом таких интуитивных понятий, как класс всех множеств,
класс всех ординалов, класс всех топологических пространств
и т. п. (Эти классы не являются множествами32) в
формализованной теории множеств, а имеют только некоторые из свойств
множеств, так что исключаются антиномии, упомянутые в § 1,
стр. 171—172.)
Мы приведем здесь только один способ формализации
теории множеств ***). В этой формализации мы имеем дело только
с множествами, т. е. индивидные переменные должны
интуитивно пониматься как имена множеств. Множество специальных
знаков теории состоит из двух бинарных предикатов: знака
равенства = и знака е. Примитивные формулы формализованной
теории множеств — это формулы вида
(х = у) и (хгу),
где х, у — свободные индивидные переменные. Интуитивный
смысл формулы (х е у) есть:
х является элементом множества у.
Множество аксиом равенства образовано из аксиом (е{),
(eQ, (eg) из § 12 и следующей аксиомы:
((х\ = У ь) =#> ((х2 = У2) =#> ((хх е х2) =#> (ух е у2))))
(см. (е0 из § 12).
Остальные аксиомы теории множеств довольно длинны и
сложны. Чтобы переписать их в удобной для чтения форме,
необходимо ввести некоторые сокращения.
Для любых формул а, р в формализованном языке теории
множеств
(<*4ФР)
*) Это множество аксиом не может быть заменено конечным. См.
Рылль-Нардзевский [1J.
**) Некоторая формализация такого рода принадлежит Бернайсу [1].
***) Приведенная аксиоматика является незначительной модификацией
аксиоматики Ц е р м е л о [1] и Френкеля [1]33).

230 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
будет сокращением для формулы
Используя это обозначение, .можно сформулировать три первые
аксиомы следующим образом:
(д i) (Л (ft«*) «ф ft«у)) =» (х=у)),
(д2) ип«ч*1)&и((*\*упа*х)))>
(Дз) и()(ы*ю&П(а*ч)=$а*х)))>
Аксиома (Л\) называется аксиомой объемности. Она
утверждает, что два множества равны тогда и только тогда, когда
у них одни и те же элементы. Аксиома (Д2) называется
аксиомой объединения. Она утверждает, что для любого множества х
существует объединение всех множеств, являющихся
элементами множества х. Аксиома (Д3) называется аксиомой степени.
Она утверждает, что для каждого множества х существует
множество всех подмножеств множества х.
Для формулировки четвертой аксиомы нам нужны
следующие сокращения. Символ (х с: у) будет обозначать формулу
Г\(Кгх)^агу)),
;
а х(х) будет обозначать формулу
n(ftie*;=Mjtffe8^n(6ic=y;n-ai=g2W.
Конечно, (х cz у) означает, что х является подмножеством
множества у. Формула %(х) утверждает, что каждый элемент
множества х включен в некоторое более объемное множество,
также являющееся элементом множества х.
Четвертая аксиома:
(Д4) [J(\J(r\*V(\x(b)h
называется аксиомой бесконечности, так как множество £,
существование которого постулируется, бесконечно (существует
строго возрастающая последовательность его элементов!).
Для формулировки пятой аксиомы нам потребуются
следующие сокращения;

§ 13] ПРИМЕРЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ТЕОРИИ 23t
Э (х) будет обозначать формулу
()((li*x)=¥\J(h*li)).
1. h
утверждающую, что х является множеством непустых множеств.
io(*, у) будет обозначать формулу
иксв*жс*»и
утверждающую, что пересечение множеств х и у не пусто,
и (х, у) будет обозначать формулу
П Г) Ш»е ^ П ft 1 в у)) # ffft2 e x) n ft2 е у)) =#> ft, = у;),
I. Et
утверждающую, что пересечение множеств х, у имеет самое
большее один элемент.
6{х) будет обозначать формулу
Л Г) (Xfti«*) n ft2 ^)j#~ io fti, y>
Si Ь
утверждающую, что элементы множества х — непересекающиеся
множества.
Пятая ^ксиома:
(Д5) ((В{х) Пб (x))^{J(]((4\Bx)^ (io(l, Л) П ti (6. r\))))>
называется аксиомой выбора. Она утверждает, что для любого
множества х непересекающихся непустых множеств существует
множество, имеющее ровно одну точку в пересечении с каждым
из элементов множества х. (
Пусть для любой формулы а (я, у) а0 обозначает формулу
Г) Г) Л <Т<* (£> Ч,) П а (£, щ)) => (4l - 42^.
утверждающую, что для каждого х существует самое большее
один такой у, что имеет место а(х, у). Таким образом,
сопоставляя х из фиксированного множества z этот единственный у
(если он существует), мы получаем функцию на некотором под*
множестве множества г. Поэтому, если имеет место а0, то мы
говорим, что а является функциональным отношением.
Каждая формула а(ху у) в формализованном языке теории
множеств определяет аксиому
(д6) (c^un(ftee^U(aez;no(6>4)>p,

§32 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [tA. V
утверждающую, что если а(х, у) -—функциональное отношение,
то для каждого множества z существует множество всех
значений функции, определяемой посредством а{х, у) на
соответствующем подмножестве множества z. Схема аксиом (Дб)
называется аксиомой подстановки (или: замены)*).
Несмотря на то, что язык формализованной теории множеств
так беден (только один специальный знак!), в нем можно
выразить все математические понятия34). Это не удивительно, так
как мы знаем, что все математические понятия определяются
посредством отношения
х является элементом множества у,
которое представлено в нашей формализации примитивной
формулой (хгу).
В качестве примера приведем определение равномощности
множеств х и у. Определение это довольно длинно. Для его
формулирования нам понадобятся некоторые сокращения.
по(х, yt z) будет обозначать формулу
r\(ai**)&(ai~x)uai~y))),
утверждающую, что множество z состоит только из элементов
х и у.
я(х, у, z) будет обозначать формулу
П «h * г) 4Ф ((h = х) U щ (х, у, t2)))>
ь
утверждающую, что z есть множество (*, (х, у)), т. е. что г
является упорядоченной парой (*, у).
р(г) будет обозначать формулу
С I n
утверждающую, что z является множеством упорядоченных пар,
т. е. отношением.
Ф (z) будет обозначать формулу
утверждающую, что z является множеством таких
упорядоченных пар, что если (*, ух) е z и (*, у2) е zt то у\ = у% Другими
словами, Ф(г) утверждает, что z является функцией, которая
каждому х из области определения отношения z сопоставляет
однозначно такое у> что (х, у) принадлежит г.
*) В этой форме она была введена Сколемом [2].

§ 13] ПРИМЕРЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ТЕОРИИ 233
Ф] (*, f/, z) будет обозначать формулу
(Ф(*)()ППП((а*г)Г1л(1,у\Л))^(а*х)Г)(г\*У)))),
I n С
утверждающую, что z является функцией, область определения
которой содержится в а: и область значений которой содержится
в у.
ФгС*, У, z) будет обозначать формулу
(ФЛх, У, г)[)Г\((1ех)^ии(авг)(]л(19 ч, Q))),
утверждающую, что z есть функция, определенная на *, со
значениями из у.
Фз(*> У у z) будет обозначать формулу
(ф2 {х, у, z) n п «г\ *у)ф (J U (ae ^ n ^ (6, л, ш;л
утверждающую, что z есть функция, определенная на х, с об*
ластью значений у.
ф4(х, у, г) будет обозначать формулу
(ф3(*, у, *)пП Л ЛПкл«ж*(&и л, on *(*» л, сш*
утверждающую, что z является взаимно-однозначным отобра*
жением множества х на у.
Поэтому формула
ь
обозначаемая для краткости посредством у(х, у), утверждает,
что множества х, у равномощны.
Все теоремы теории множеств могут быть сформулированы
в этом формализованном языке. Например, хорошо известная
теорема Кантора — Бернштейна формулируется следующим об*
разом:
(6) «Uftls с у) П Y {х9 Щ)) Л (J f& С х) П Y &, if» J # Y (*. у)).
Лз 5s
Теорема 2П =И= и (о мощностях) формулируется так:
(7) (Л <(Ч 8 У>> ^ (Ч <= х)) ф - y (*, у».
•л
Теоремы (6), (7), равно как и другие известные теоремы
интуитивной теории множеств, могут быть доказаны в нашей

234 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
формализации, т. е. они являются следствиями приведенного
нами множества аксиом.
Правда, формулировка теорем в формализованной теории
множеств часто отличается от формулировки в интуитивной
теории множеств. В самом деле, (7) выражает то же
математическое содержание, что и неравенство 2tt Ф п. Поскольку
принятый формализованный язык очень беден, в нем нет символов
для обозначения мощностей. Однако можно формализовать
теорию множеств и с помощью более богатого языка,
содержащего знаки для некоторых мощностей и ординалов, знаки для
некоторых специальных множеств и функций и т. д.
Как мы сказали, все математические понятия могут быть
определены посредством отношения: х является элементом
множества у. Поэтому все математические понятия могут быть
сформулированы в рассматриваемой формализованной теории
множеств, но часто они вводятся по-другому, чем это принято
в интуитивной математике. Например, можно определить такую
последовательность формул v0(*), vi(*), v2(*),..., что vo(x)
означает: «х есть пустое множество 0», vi(*) означает: «х есть
множество (0), т. е. состоит из одного элемента 0», V2(x)
означает: «х есть множество (0, (0))»; v$(x) означает: «х есть
множество (0, (0), (0, (0)))» и т. д. Множества
(8) 0, (0), (0,(0)), (0, (0), (0, (0))),...
являются заменой для целых чисел
0, 1, 2, 3, ...
Точнее, формула vn(x) заменяет собой утверждение:
х есть целое число п.
Можно также определить формулу v(x), утверждающую, что
х — одно из множеств (8). Тогда формула v(x) выражает
утверждение:
х является неотрицательным целым числом.
Можно доказать все известные арифметические теоремы о
неотрицательных целых числах. Используя хорошо известный
метод образования упорядоченных пар, можно определить
формулу, утверждающую, что х является целым числом, и формулу,
утверждающую, что х является рациональным числом. Можно
также определить формулы, утверждающие, что z является
множеством целых чисел, множеством рациональных чисел и т. д.
С помощью дедекиндовых сечений мы можем ввести формулу,
утверждающую, что х является действительным числом, и мо-
}кем воспроизвести в рассматриваемой формализованной теории

§ 14) НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ МЕТАМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 235
множеств весь интуитивный анализ, всю геометрию и другие
отрасли математики.
Как мы уже упоминали, все известные математические
теоремы могут быть выведены из этого множества аксиом
формализованной теории множеств. Мы не будем этого делать в
деталях. Соответствующие доказательства содержатся в любой
книге по теории множеств, принимающей аксиоматику этого типа.
Поскольку в формализованных теориях процесс вывода формул
из аксиом состоит из механических операций над формулами,
т. е. над конечными последовательностями знаков, то основной
результат этого параграфа до некоторой степени смущает: все
известные математические теоремы могут быть выведены из
множества аксиом формализованной теории множеств и из
описанного в § 11 множества логических аксиом с помощью
чисто механических операций, называемых правилами вывода
(см. §8).
С другой стороны, нужно заметить, уто этот механический
метод выведения математических теорем не имеет практической
ценности, потому что на практике он слишком сложен. Мы уже
видели в этом параграфе, что даже формулы, выражающие
очень простое математическое содержание, оказываются
длинными и сложными. Теоретически можно построить машину,
которая будет систематически печатать теоремы, выводимые из
аксиом теории множеств. Печататься будут только истинные
утверждения, но только в редких случаях они будут
интересными, тогда как задача математика не просто получать
истинные утверждения, но открывать интересные истинные
утверждения. Поэтому теоретически возможная механизация
процесса вывода в математике не имеет практической ценности.
§ 14. Некоторые основные метаматематические понятия
Мы пополним эту вводную главу несколькими определениями
очень общих метаматематических понятий. Эти определения
будут применены как к классическим дедуктивным системам и
формализованным теориям, изучаемым в главах VII, VIII, так
и к неклассическим дедуктивным системам и формализованным
теориям, изучаемым в главах IX, X, XI. В этом параграфе мы не
предполагаем, что рассматриваемые формализованные теории
основаны на двузначной логике.
Основным понятием является непротиворечивость теории
3~ = {«2\ С, stf], основанной на формализованном языке &
(нулевого или первого порядка). В соответствии с нашей интуицией
теория ZT называется непротиворечивой, если ни при какой
формуле а формулы а, —а не являются одновременно
теоремами теории Т.

236 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
14.1. Предположим, что множество всех теорем теории £7" =
= {2, С, s&) замкнуто относительно modus ponens и что все
формулы вида
(Т9) (((*№^У)=¥(а^($^у))),
(Т10) (fan-cO^pJ
являются теоремами теории £Г. Тогда $Г непротиворечива в том
и только в том случае, если существует формула в 2, не
являющаяся теоремой теории &~.
Если операция присоединения следствий С обладает
свойствами § 10, (с2) и (с4), то теория Т = {2, С, s&}
непротиворечива тогда и только тогда, когда при каждом конечном
множестве s£>oCzsf> непротиворечива теория {2, С, s&o).
Для доказательства первой части 14.1 заметим сначала, что
если &~ непротиворечива, то не все формулы являются
теоремами теории ZT. С другой стороны, заменяя в (Т9) р на —а,
посредством modus ponens и (Тю) мы находим, что любая
формула вида
0) («=#>(- «=ФУ))
является теоремой в #". Поэтому, если теория &~
противоречива, т. е. если существует такая формула а, что как ос, так
и —а являются теоремами теории £Г, то, дважды применяя
к (1) modus ponens, заключаем, что любая формула у является
теоремой в #".
Чтобы доказать вторую часть 14.1, предположим, что 9~ —
противоречивая теория, а именно, при некотором а обе
формулы: а и —a—являются теоремами. В силу § 10, (с4)
существуют такие конечные подмножества sti, J$2 cz зФ, что a e
eC(ii) и —aeC(i2). Множество s&o — объединение
множеств ii и ^2 — является конечным подмножеством
множества зФ, и в силу § 10, (с2) как а, так и —а принадлежит s&0,
т. е. теория {2, С, s&0} противоречива.
Заметим, что если мы предполагаем только условие § 10,
(с2) для операции присоединения следствий С, то из
непротиворечивости теории {2, С, st) следует непротиворечивость
теории {2, С, s&o} для любого бФо с зФ.
Пусть 2 и 2Г— два формализованных языка одного и того
же порядка. Язык 2Г называется расширением языка 2\ если
множество F формул языка 2 является подмножеством
множества F' формул языка 2'. Поэтому, если 2 и 2' — языки
нулевого порядка, то 9?' является расширением языка 2 тогда
и только тогда, когда множество пропозициональных
переменных языка 2 является подмножеством множества
пропозициональных переменных языка 2'. Если 2 и 2f — языки первого

I 14j НЕКОТОРЫЕ ОСЙОЁЙЫЕ MEfAMAfEMATtt4ECKME ГlOHЯtЙЯ 2$f
порядка, то 2r является расширением языка 2 тогда и только
тогда, когда множество свободных индивидных переменных
языка 2, множество связанных индивидных переменных языка
2, множества всех га-местных функторов в 2 (га = 0, 1,2, ...),
множества всех m-местных предикатов в 2 (ш= 1,2,...) яв*
ляются подмножествами соответствующих множеств знаков
в 2'.
Пусть 2' является расширением языка 2. Теория &*' =
= {2\ С, si*'} называется расширением теории 9~ = {2, С, si},
если, для любой формулы а из 2, из того, что а является
теоремой в ZT, следует, что а является теоремой в У~'\ символически:
(2) С (si) с С (si*).
Теория Т' = {2', С, si'} называется несущественным
расширением теории У~ = {2, С, si}, если, для любой формулы а из
2, а является теоремой в У тогда и только тогда, когда а
является теоремой в 9~'\ символически:
(3) С(*)-С(*')ПЛ
где F — множество всех формул в ЯГ. Расширение называется
существенным, если оно не является несущественным.
14.2. Каждое несущественное расширение непротиворечивой
теории непротиворечиво35).
Ибо если имеется формула а в 2, не являющаяся теоремой
теории 0~, то а не является теоремой в любом несущественном
расширении 9~' для Т. Поэтому Т' непротиворечива.
Расширение Г'*={2', С, si'} теории Т={2, С, si}
называется лингвистически инвариантным, если 2Г совпадает с 2.
Другими словами, %Г' является лингвистически инвариантным
расширением теории 3~, если
(4) С (,*)(= С (^О и 2 = 2'.
Пусть *&—операция присоединения следствий (логика),
определяемая с помощью схемы (L) из § 11. Если ^' —
расширение языка 2, то теория &~'={2', <&, si} является
расширением для &~={2, V, si} (это легко следует из определения
(L) в § 11). Мы говорим тогда, что £Г' является
лингвистическим расширением теории #". В главах VII—X будет доказано,
что для исследуемых в этой книге логик лингвистические
расширения всегда являются несущественными.
В соответствии с § 10, стр. 218, две теории Т = {2, С, si} и
ЗГ'—{2, С, sl'\, основанные на одном и том же
формализованном языке 2, называются эквивалентными, если у них одно
и то же множество теорем:
(5) C(j*) = C'(j*')-

23Й ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
Другими словами, Т и Т' эквивалентны, если 9~' является
расширением для Т и Т является расширением для 0~'.
Теория Т={3?, С, s£) называется максимальной*), если
она непротиворечива и каждое лингвистически инвариантное
непротиворечивое расширение ^Г"'={2\ С, <&'} теории 2Г
эквивалентно ZT (т. е. у Т нет существенных лингвистически
инвариантных непротиворечивых расширений). Применение
прилагательного «максимальный» может быть обосновано
следующим образом. Рассмотрим множество всех теорий, основанных
на одном и том же языке 2\ Отношение
(6) У~' является расширением теории Э~
является отношением предпорядка на этом множестве.
Отождествим две теории в том и только в том случае, когда они
эквивалентны. В силу I, § 5 после этого отождествления
отношение (6) становится отношением порядка. Теория 0" является
максимальной, если она является максимальным элементом
в упорядоченном множестве всех непротиворечивых теорий,
основанных на «S7.
Вообще говоря, если дизъюнкция (a U Р) является
теоремой теории ?Г, то ни а, ни р не обязаны быть теоремами
теории #". Например, в каждой теории &~% основанной на
двузначной логике, любая дизъюнкция
(Т12) (aU -а)
является теоремой, но, вообще говоря, неверно, что либо а, либо
—а является теоремой.
Непротиворечивая теория £Г нулевого порядка называется
простой, если она обладает следующим свойством:
,рч если (a U р) —- теорема в &~, то либо а — теорема в Т> либо
* ' р —теорема в Т.
Сходная терминология применяется для непротиворечивых
теорий первого порядка: теория 9~ называется простой, если
она удовлетворяет условию (Р) для любых замкнутых формул
а, Р; она называется сильно простой, если она удовлетворяет
условию (Р) для всех формул а, р.
Прилагательное «простой» оправдывается здесь аналогией
с понятием простого фильтра (см. VIII, § 12, IX, § 12 и X,
§ 12 36)).
Сформулируем теперь несколько определений, относящихся
к формулам.
*) Другими авторами максимальные теории называются полными.

§ 14] НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ МЕТАМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 239
Формула а называется опровержимой в теории #", если —ot
является теоремой в 9~. В противоположном случае а назы*
вается неопровержимой в 0~.
Для любой конечной последовательности формул
(7) <хь ..., ат (т>1)
т
формализованного языка S мы определяем формулы (Jot/ и
/~i
т
Р)<х/ следующей индукцией:
/=1
1 т
При m=l (Ja* есть формула с^. При т>\ \}щ есть
m-I
формула ( {J щ U am).
/=i
1 m
При m=lf\ai есть формула at. При т>\ (\щ есть
m-l
формула ( f) a< Л О •
/=1
m m
(J а/ называется дизъюнкцией формул (7), и {\щ назы-
/=i /-1
вается конъюнкцией формул (7). Если /п = 2, то
2 2
(J a/ = (a! (Jets), П ^ == fai Па2).
/=i £=i
Пусть i? —язык нулевого порядка. Формула р называется
непосредственной подформулой формулы а, если а имеет одну из
следующих форм:
m CPU у), (vUPJ, СРГЫ ГуПРЛ
W fP#Y). fY#P), -ft
где у — формула. Формула p называется подформулой
формулы а, если существует такая последовательность формул
Рь ..., рт (т > 1), что Pi есть р, рт есть а и, при 1=2, ...
..., т, р^! является непосредственной подформулой формулы
Pi. Можно доказать, что р является подформулой формулы a
в том и только в том случае, когда а имеет вид опРоог, где
<*>i, (02 — некоторые последовательности знаков, возможно,
пустые.

240 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. V
Сходным образом определяется понятие подформулы, если
S является языком первого порядка. Единственное различие
состоит в том, что к (8) мы прибавляем формы (Jp(*/£) и П$(х/1)>
I l
Напоминаем, что формула формализованного языка 2£
первого порядка называется замкнутой, если она не содержит
свободных индивидных переменных. Если а —формула языка Я?
и Х\, ..., хп — все свободные индивидные переменные
формулы а, то любая формула вида
f)... Г\а(х{/11У ..., хпЦп)
*i «и
называется замыканием формулы а. Обычно мы будем
обозначать замыкание формулы а посредством а.
Формула в формализованном языке 9?={А, Т, F) первого
порядка называется открытой, если она не содержит
кванторов, т. е. не содержит связанных индивидных переменных.
Множество F0 всех открытых формул в & является таким
наименьшим множеством, что
(ft) каждая элементарная формула принадлежит F°\
(f2) если ае?°ио- унарная связка, то оа е F0;
(f3) если аир принадлежат F0 и о — бинарная связка, то
(а о р) е= F°.
Тройка 2?0={Л°, Т, F0}, где А0 — алфавит, получаемый из А
отбрасыванием кванторов и связанных индивидных переменных,
будет называться языком открытых формул в 2. 9?° также
является формализованным языком некоторого рода, но он
отличается от языков, обсуждавшихся в § 3 и § 6. Язык j?°
служит вспомогательным средством при исследовании языка SB.
Теория ^={2\ С, sf] первого порядка называется
открытой, если все аксиомы в s& — открытые формулы.
Формула а называется экзистенциальной, если она имеет
вид Up, т- е- ее пеРвым знаком является квантор существо-
вания.
§ 15.. Определения в формализованных теориях
Образование новых математических понятий с помощью
принятия определений является очень полезным в интуитивной
математике. Очень часто его цель состоит в том, чтобы
подчеркнуть важность и существенность определенных
математических объектов или их свойств. Введение определений имеет
также большое практическое значение. С помощью подходящего
определения можно заменять длинные предложения коротким^.

§ 15]
ОПРЕДЕЛЕНИЯ В ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ТЕОРИЯХ
241
Поэтому обиходный язык интуитивной математики становится
более ясным и доступным пониманию.
С другой стороны, в известном смысле определения в
математике излишни, поскольку мы всегда можем заместить defi-
niendum (т. е. определяемое понятие) посредством definiens
(т.е. определяющего утверждения). Поэтому, не вводя новых
определений, можно выразить то же математическое
содержание, только гораздо более длинным и сложным образом. Как
видим, введение определений имеет большое практическое и
психологическое значение, но не вводит в теорию нового
математического содержания.
Введение определений возможно также в случае
формализованной теории, но, вообще говоря, оно требует добавления
новых знаков к языку и перехода к расширению теории. Мы
приведем здесь три типичных случая определений, применимых
к любой теории ^~={2\ Ф, Щ первого порядка.
1) Предположим, что формула
(1) а(хи ..., хт) (т>0)
является формулой в SB и последовательность хи ..., хт
содержит все свободные индивидные переменные этой формулы.
Пусть SB' — расширение языка SB, содержащее /л-местный
предикат ра, не фигурирующий ни в (1), ни в формулах из «я£.
Пусть ж — множество, образованное из всех формул $t> и
формул
/л\ (Ра (х1 • • • хт) =^в \х1» • • •» хт))>
(а{х{, ..., хт)=$ра(хх ... хт)).
Теорию 0~'={SB', &, st**} называют тогда теорией, полученной
из 0~ принятием определения (2) предиката ра.
Если обе формулы (Pz^ у) и (yz$ Р) признаны истинными,
то с интуитивной точки зрения р эквивалентна у, т.е. обе
формулы выражают одно и то же содержание. Включение каких-
нибудь формул в аксиоматику теории означает, что они
признаются истинными с точки зрения этой теории. Поэтому,
принимая определение (2), мы утверждаем, что pa(xi ... xm) и
а(*ь ..., хт) имеют один и тот же смысл; они представляют
собой два различных формализованных аналога одного и того
же утверждения какой-нибудь интуитивной интерпретации
теории. Но, конечно, pa(*i ... хт)—более короткая, а поэтому
более удобная формула, чем а{х\, ..., *т).
2) Предположим, что замкнутая формула
(3> П DUPdi 6». ч> («>Q)

242 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ГГЛ. V
является теоремой в У~. Пусть SB' — расширение языка SB,
содержащее m-местный функтор срр, не фигурирующий ни в (3),
ни в формулах из s&. Пусть Ж' — множество, образованное из
всех формул st и формулы
(4) fl—flPdi, •••> U qpjfli ...EJ).
Теорию ^'={2", #, ,я£'} называют тогда теорией, полученной
из 9" принятием неявного определения (4) функтора фр.
Интуитивный смысл принятия определения (4) заключается
в том, что фо признается символом некоторой m-местной
функции, удовлетворяющей (4).
На практике определение (4) применяется в том случае,
когда теория ff~ содержит знак равенства е и, кроме (3), в ЗГ
теоремой является следующая формула:
(5) Л---ЛЛЛм^ •••■*». 4i>np(6^
Тогда с интуитивной точки зрения фр является символом
однозначной функции, удовлетворяющей (4).
3) Предположим, что 2Г содержит знак равенства е и что
(6) т(*„ ..., xm) (т>0)
является термом в Т, причем последовательность хи ..., хт
содержит все свободные индивидные переменные в т. Пусть
SB'—расширение языка SB, содержащее m-местный функтор
i|)t, не фигурирующий ни в (6), ни в формулах из s4>. Пусть
ж-*- множество, образованное из всех формул s& и формулы
(7) е (Ч|)т (х{ ... хт) х (хи ..., хт)).
Теорию 9~'={9?\ V% s&'} называют тогда теорией, полученной
из ST принятием явного определения (7) функтора i|)t.
С интуитивной точки зрения каждый функтор является
символом некоторой функции, а термы представляют собой
композиции иа этих функций. Поэтому интуитивный смысл
определения (7) состоит в Том, что г|зт принимается как
сокращенное обозначение для функции, представленной термом (6).
Очевидно, мы можем одновременно ввести произвольное
число определений типа 1), 2) и 3). Для этого предположим, что
у нас имеются некоторое множество S\ формул (1), некоторое
множество S2 формул (3) и некоторое множество S3 термов (6),
причем выполняются условия, упоминаемые в 1), 2), 3).
Некоторые из множеств Si, S2t S3 могут быть пустыми. Если %Г не
содержит знака равенства, то S3 всегда предполагается пустым.
Пусть SB' — расширение языка 2\ содержащее множества
предикатов р^ и функторов фр, я|эт, соответствующих формулам

§ 15] ОПРЕДЕЛЕНИЯ В ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ТЕОРИЯХ 243
(1), (3) и термам (6) и удовлетворяющих условиям, упоминае*
мым в 1), 2), 3) соответственно. Помимо этого, предположим,
что предикаты ра отличаются друг от друга, функторы фр, tyx
отличаются друг от друга и что ни один из знаков ра, фр, i|)t
не фигурирует ни в формулах из s&, ни в формулах множеств
Si, S2, ни в термах множества S3. Пусть st>' — множество,
образованное из s4> и из всех формул (2), (4), (7). Теорию 9~'=
={&', *&, st>'} называют тогда теорией, полученной из 3~
одновременным принятием всех определений (2), (4), (7).
Заметим, что иногда можно положить S?'=2\ Это возможно
в том случае, когда 2? имеет достаточное число знаков, которые
можно использовать для выражения предикатов и функторов
Ра» ФЭ» "Ф*- Вообще же говоря, для принятия определений этого
типа нам нужно расширить язык & добавлением некоторых
новых предикатов и функторов.
Разумеется, введение определений может быть повторено
несколько раз, шаг за шагом.

ГЛАВА VI
АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ
§ 1. Алгебра формул
В этой главе формализованные языки будут изучаться с
точки зрения теории универсальных алгебр*. Основой для этого
будет следующее замечание:
1.1. Множество F всех формул формализованного языка
нулевого или первого порядка является универсальной алгеброй
{F, U, П, #, -}
с тремя бинарными операциями U, П» 4 и одной унарной
операцией —. А именно, формулы
(aUP), (аПРЛ (а#Р), -а
являются результатами операций U, П, =ф>, —, примененных
к формулам а, р.
Это непосредственно следует из определения множества
формул в формализованных языках (см. стр. 196 и стр. 184).
Алгебра {F, U, П, =^, —}, определенная в 1.1, будет
называться алгеброй формул формализованного языка 2? *).
Несмотря на то, что некоторые из операций в F
обозначаются символами U, П, обычно используемыми для операций на
решетках, алгебра F не является решеткой по отношению к U
и П. Если, например, а и р — различные формулы, то (a Up)
и (р U а) — различные формулы в F. Поэтому операция U не
удовлетворяет закону коммутативности (см. I, § &, (Ь)).
Равным образом операция П не удовлетворяет закону коммута-
*) Идея истолкования множества формул формализованного языка как
универсальной алгебры с операциями, соответствующими логическим связкам,
была впервые использована А. Линденбаумом и А. Тарским. В
последние годы она часто применяется многими авторами (см. примечание на
стр. 283—284).
Изложение в §§ 1—7 совпадает со статьей С ик о рек о го [11], за
исключением небольших изменений.

$ 2) АЛГЕБРА ФОРМУЛ ЯЗЫКА НУЛЕЙОГО ПОРЯДКА 245
тивности в F. В F не имеют места также законы
ассоциативности (см. I, § 6, (12)).
Пусть SB и SB'— формализованные языки одного и того же
порядка. Следующее замечание очевидно:
1.2. Если SB'— расширение языка SB, то F — подалгебра
алгебры F'.
§ 2. Алгебра формул формализованного языка нулевого
порядка. Интерпретация формул как отображений
Рассмотрим сначала случай формализованного языка 2?oz=z
—{Дь ^о} нулевого порядка, описанного в V, § 6.
2.1. Алгебра {F0, U, Г), :ф, —} формул языка SB о нулевого
порядка является свободной в классе К всех универсальных
алгебр {А, ои о2, 0з, о4} с тремя бинарными операциями ои о2, 03
и одной унарной операцией о4, причем множество V0 всех
пропозициональных переменных языка j?o является системой
свободных образующих в F0.
Любое отображение f: V0—*A9 где А является алгеброй
класса $, может быть расширено до отображения h: F0-+A9
определяемого индукцией по длине формул следующим образом
(ha обозначает значение отображения h для aEf0):
1) для любой пропозициональной- переменной а пусть /ш=
2) предположим, что для некоторых формул a, Befo
элементы ha и ftp уже определены. Определим теперь h(a U Р),
h(a П Р), h(az$ (3), h — а равенствами
m h(aUP>= haoxh$, А(аПР) = Aao2ftp,
h (a =# p) = ha o3 /ip, h — a = o4 ha.
Однозначность отображения h следует из того основного
свойства формул, что каждая формула из Fo имеет ровно один из
следующих видов: пропозициональная переменная, дизъюнкция
двух формул, конъюнкция двух формул, импликация от
формулы к формуле, отрицание формулы, причем такое
представление единственно.
Из 1) следует, что h — продолжение отображения /.
Из (1) следует, что h — гомоморфизм. Это завершает
доказательство 2.1.
Пусть теперь SB— другой формализованный язык (первого
или нулевого порядка), и пусть F — множество всех формул
языка 2\ Под подстановкой языка 9? в £Bq мы будем понимать
любое отображение
(2)
s: V0-+F,

246 АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ [ГЛ. VI
где Vo по-прежнему обозначает множество всех
пропозициональных переменных языка So. Если а — какая-нибудь
формула в So и fli, ..., ап — все пропозициональные переменные
формулы а, то пусть sa обозначает формулу
a(ax/sau ..., ajsan),
где sa — значение отображения s при а е V0. Обозначая а для
большей наглядности посредством а(аи ..., an), мы можем
переписать определение sa в форме тождества:
(3) sa(au ..., an) = a(sau ..., san).
Для каждой формулы а в So sa является формулой языка S
(см. V, 6.1 и 6.4). Поэтому (3) определяет отображение
(4) s: FQ->F,
являющееся естественным продолжением отображения (2) и
поэтому обозначаемое той же буквой s.
2.2. Отображение (4) является гомоморфизмом, г. е.
(5) s(a\)$) = (sal}st)9 s(af)$) = (saf}s$),
s (a # Р) = (sa =#> sp), s — a = — sa
при всех формулах a, p в So. Отображение (4) является
единственным гомоморфным продолжением отображения (2).
(5) доказывается индукцией по длине формул в So.
Единственность гомоморфного продолжения (4) для (2) следует из
того, что множество V0 порождает алгебру F0 (см. I, 4.4).
Заметим, что существование гомоморфного продолжения
отображения (2) на всю алгебру F0 непосредственно следует из 2.1.
Теорема 2.2 разъясняет, что с алгебраической точки зрения
операция подстановки в формулы совпадает с гомоморфизмом.
Пусть (A, U, П» =Ф. —} — фиксированная универсальная
алгебра с тремя бинарными операциями U, П, =^> и одной
унарной операцией —.
Под оценкой языка S'o в А мы будем понимать любую
точку v = {va}aeV(t прямого произведения Av\ где, как прежде,
V0 — множество всех пропозициональных переменных языка So
нулевого порядка. Другими словами, оценка в А — это
отображение
(6) v: V0->A.
Каждая формула ав^0 единственным образом определяет
некоторую операцию (или: может быть интерпретирована как

§ 2] АЛГЕБРА ФОРМУЛ ЯЗЫКА НУЛЕВОГО ПОРЯДКА 247
операция) аА в Л, а именно отображение (алгебраический
многочлен) *)
(7) аА: AV*->A,
где Va — множество всех пропозициональных переменных,
фигурирующих в а. Чтобы получить аА> достаточно
интерпретировать
а) знаки (J, П, =^, — в а как знаки соответствующих
операций в А;
б) пропозициональные переменные ai, ..., ат в а как
переменные, пробегающие элементы из А.
Знаки (,) нужно, конечно, интерпретировать.как скобки.
Если, например, а — формула
(8) ((а=¥Ь)\)-(а(\с))9
где а, 6, с — пропозициональные переменные, то аА есть
отображение, которое каждой тройке (а, 6, с) е А3 сопоставляет
элемент аА (а, 6, с) = (а =ф> Ь) [) — (a f) с).
Заметим, что если {A, (J, П, =Ф, —}—двухэлементная булева
алгебра, то определенное таким образом отображение <хА
совпадает с отображением, определяемым в V, § 6, стр. 197.
Каждое отображение f: АУ'->А. где V' — (au ..., aj
—конечное подмножество множества V0f может быть истолковано
как отображение /: АУ*-*А, если мы примем
f(v) = f(vai, ..., van)
для каждой оценки v = {va}a e Ko e ЛУ\ Элемент f(v) зависит,
конечно, только от координат va{9 ..., van точки v.
В частности, для каждой формулы ав^о отображение аА
может быть интерпретировано как отображение
(9) аА: А^о->А.
Эта интерпретация отображения аА по чисто техническим
соображениям удобнее, чем (7), потому что тогда все отображения
ад (a e F0) оказываются определенными на одном и том же
множестве Ак° и некоторые тождества могут быть записаны более
*) Отображения аА воплощают в алгебраической форме метод
истинностных таблиц, применявшийся многими авторами для исследования
классических и неклассических пропозициональных исчислений. Эти отображения
впервые были определены Лукасевичем и Тарским [1], применявшими,
термин «матрица» вместо «универсальная алгебра».

248 АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ [ГЛ. VI
простым способом. Поэтому начиная с этого момента мы всегда
будем понимать аА как отображение (9).
Если, например, а — формула (8), то для каждой оценки
где va, Vby vc являются а-й, 6-й и с-й координатами оценки v.
Несколько более точное определение отображения (9) можно
дать с помощью индукции по длине формулы а:
аА (у) — Va>
fpnvJ>) = P>)UY>),
(Ю) (tH\y)A(v) = VA(v){\yA(v),
(^v)A(v) = VA(v)^yA(v),
(~P)>)"(P>))
для любых пропозициональной переменной а, формул р, у в <?о
и для любой оценки v = {va}a€= Vo e Av\
Другое точное определение отображения аА может быть дано
на основе теоремы 2.1. Каждая оценка
v: V0->A
вследствие 2.1 может быть расширена до гомоморфизма
множества Fq в А. Обозначим этот гомоморфизм посредством vA.
Тогда для каждого aef0 vA (a) является вполне определенным
элементом алгебры А. Если а фиксирована, а v — переменная,
то элемент vA(a) является функцией оценки v. Обозначим эту
функцию посредством аА. По определению
(11) aA{v) = vA{a).
Отображение аА: Av*-+A, так определенное, удовлетворяет
тождествам (10). Поэтому оно совпадает с отображением (9),
определенным выше.
Мы сформулируем основные результаты вышеприведенных
рассмотрений в виде следующей теоремы:
2.3. Для каждой фиксированной оценки v выражение aA(v)f
рассматриваемое как функция от а, является гомоморфизмом
алгебры формул F0 в А таким, что aA(v) = va для любой
пропозициональной переменной а и любой оценки v = {Va}ae.v.
Значение aA{v) зависит только от vav ..., van, где а^ ...
ч ♦. ? #?* — все пропозициональные переменнще в ц.

§ 21 АЛГЕБЙА ФОРМУЛ ЯЗЫКА НУЛЕВОГО ПОРЯДКА 249
Первая часть теоремы 2&3 полностью характеризует аА {v) и
может быть принята как эквивалентное определение
отображения aA(v).
Пусть {В, U, П,=ф,—} — алгебра, однотипная алгебре {A, U,
Л,=^>>—}, и пусть ft: А->В — некоторый гомоморфизм. Для
каждой оценки v = {va}a^Vo в А пусть hv — оценка {h(va)}aGVt в В.
hv будет тогда композицией отображений v: Vo-+A и ft: А-+В.
2.4. Для каждого гомоморфизма ft: А->В, каждой оценки v
в А и каждой формулы а в j?0
(12) aB(hv) = haA(v).
Для каждой фиксированной оценки у обе части (12),
рассматриваемые как функции от а, являются гомоморфизмами F0
в В в силу 2 3. Они совпадают на множестве всех
пропозициональных переменных, т. е. на системе образующих алгебры Fd.
Поэтому они равны при каждом aef0 (см. I, 4.4).
Теорему 2.4 можно доказать также непосредственно
индукцией по длине а, без ссылки на теорему 2.3. На самом деле мы
имеем две формы одного и тогф же доказательства.
Вышеприведенное доказательство для 2.4 короче (непосредственное
доказательство по индукции требует, проверки нескольких случаев по
числу возможных видов а). Подобное замещение индукционных
доказательств этого типа на алгебраические доказательства
будет сделано еще несколько раз в этой главе.
Пусть теперь 5 — подстановка языка 3?о в 2?о. Подстановка
s индуцирует отображение
sA: AV°->AV>,
определяемое следующим образом: для каждой оценки v s*s
= {оа}аеу в A sAv является оценкой {$ал(сО} .Напоминаем,
что sa есть значение отображения s при agFo (т. е. sa есть та
формула, которая подставляется вместо пропозициональной
переменной a), saA есть отображение, определяемое формулой sa.
Поэтому sAv является точкой в Av\ у которой a-я координата
равна значению отображения saA в точке а.
2.5. Для любой формулы а, каждой подстановки s языка j?o
в 3?о и каждой оценки v в А
(13) saA (v) *= аА ($ло)>
Левая часть (13) является, разумеется, значением отображу
ния saA, определяемого формулой sa (т. е. результатом подста*
новки 5 в а), в точке v.
Доказательство аналогично доказательству для 2.4.

250 АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ [ГЛ. VI
В качестве алгебры А при алгебраической интерпретации аА
формул а можно взять, в частности, алгебру Fq всех формул
языка 3?0 или — более общо — любую фактор-алгебру Fo/~,
где » — конгруэнция в F0.
Рассмотрим последний случай, т. е. предположим, что А
является фактор-алгеброй
A = FJ~.
В соответствии с соглашением в I, § 3 (стр. 29) элементы
алгебры А будут обозначаться посредством ||а||, где а —
какая-нибудь формула из Fo.
Каждая подстановка 5: Vo-+F0 индуцирует
соответствующую оценку v в А:
(14) * = {l|M|l>eelv
Если 5 — тождественное отображение, то соответствующая оценка
(15) *° = {ll«IIUv.
называется канонической оценкой в А = /у».
Используя эти обозначения, имеем следующую теорему:
2.6. Если А = /у», то для каждой подстановки s
(16) аА (v) = || sa||,
где v — соответствующая оценка (14). В частности,
(17) ал И = || а ||
для канонической оценки v°.
Для каждой фиксированной подстановки 5 обе части (16),
рассматриваемые как функции от а, являются гомоморфизмами
Fo в А в силу 2.3 и 2.2. Ввиду (14) оба гомоморфизма совпадают
на множестве всех пропозициональных переменных. Так как VQ
порождает F0, то в силу I, 4.4 эти гомоморфизмы совпадают, т. е.
имеет место (16).
§ 3. Алгебра термов. Реализации термов
Пусть теперь & ={А, Г, F) — формализованный язык первого
порядка. Пусть Ф — множество всех функторов в 2\ а V —
множество всех свободных индивидных переменных.
3.1. Множество Т всех термов языка & образует
универсальную алгебру
{Т> {ф}фегф}>
если для любого m-местного функтора ср в Ф (пг = 0,1,...) терм
ф(т1... Хщ) понимать как результат выполнения т-местной
операции ф над термами п, ..., хш\ символически:
(1) ф(Т!, ..., Тт) = ф(Т! ... Хт).

§ 31 АЛГЕБРА ТЕРМОВ. РЕАЛИЗАЦИИ ТЕРМОВ 251
Это непосредственно следует из определения множества Т
всех термов (см. V, § 3, стр. 183).
Алгебра {Г, {ф}феф} называется алгеброй термов языка &.
Это универсальная алгебра типа, описанного в I, § 4, стр. 30.
Если Ф бесконечно, то алгебра Т имеет бесконечное число
конечных операций. Случай, когда Ф пусто, также учтен в общем
определении. Тогда алгебра термов является просто множеством
всех индивидных переменных без всяких операций. Если Ф
состоит только из индивидных констант, то Т—множество всех
индивидных констант и свободных индивидных переменных без
всяких m-местных операций (т > 0), но с множеством
выделенных констант: индивидных констант.
Пусть $(Ф)—класс всех таких универсальных алгебр
V* {°<р}ф€=ф}> что, для каждого m-местного функтора феФ, оф
является m-местной операцией в / (т = 0, 1, 2, ...). Конечно,
{Мф}феф}входитвЯ(Ф.)
3.2. Алгебра {Г, {ф}феф} термов языка & свободна в классе
$(ф), причем множество V всех свободных индивидных
переменных является системой свободных образующих.
Мы должны показать, что каждое отображение
v: V-+J
(т.е. точка v = {vx}xsveJv) может быть расширено до
гомоморфизма
h: T-+J.
Определение отображения h дается индукцией по длине термов
(посредством hx обозначается значение отображения h при
tEf),
1) Для любой индивидной переменной х положим hx = vx.
2) Предположим, что т имеет вид (p(ti... tm), где ср — какой-
то m-местный функтор (ш = 0,1,2,...), и что ftti, ..., h%m уже
определены. Определим тогда h равенством
(2) Лф (т{ ... О = оф (Ат„ ..., hrm).
В частности, если ф — индивидная константа (случай m = 0), то
/*Ф есть константа оф.
Однозначность отображения h следует из того обстоятельства,
что каждый терм либо является индивидной переменной, либо
единственным образом представляется в форме ф(т1... тт).
Из 1) следует, что h является продолжением отображения v.
Из (2) следует, что h является гомоморфизмом. Поэтому алгебра
Т свободна в &(Ф).

252 АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ [ГЛ. VI
Под подстановкой в языке 3? мы будем понимать любое
отображение
(3) 5: У-*Г,
где V обозначает, как и раньше, множество свободных
индивидных переменных языка &. Если т — какой-нибудь терм в Г и
Хи ..., хп — все его свободные индивидные переменные, то sx
будет обозначать терм
x(xjsxu . ♦., xjsxj,
где sx обозначает значение отображения s при x^V. Обозначая
для большей наглядности т посредством x(xit ... ,*п), мы можем
переписать определение sx в виде следующего тождества:
.(4) sx{хи ...у хп) = х{sxu ..., sxn).
Другими словами, sx является термом, полученным из т
подстановкой термов sxit ..., sxn вместо переменных хи ..., хп
соответственно (см. V, § 2 и V, 3.1). Поэтому (4) определяет ото
бражение
(5) s: Т-+Т,
являющееся естественным продолжением отображения (3) и
обозначаемое поэтому той же самой буквой s.
3.3. Отображение (5) является гомоморфизмом, т. е. для: лю*
бого ш-местного функтора ф и термов хи ...» xm Х^=0, 1,
2,...)
(6) scp(x{ ... хт) = ф (sxx ... sxm).
Отображение (5) — единственное гомоморфное продолжение
отображения (3).
(6) доказывается простой проверкой. Единственность
гомоморфного продолжения (5) для (3) следует из того, что
множество V порождает алгебру Т (см. I, 4.4).
Заметим, что существование гомоморфного продолжения
отображения (3) на всю алгебру Т непосредственно следует
из 3.2.
Под оценкой языка S в непустом множестве J мы будем
понимать любой элемент v = {vx}XGV прямого произведения Jv,
т. е. любое отображение
v: У-*/,
где V, как и раньше, обозначает множество всех свободных
индивидных переменных в SB.
Напоминаем (см. V, § 4), что под интерпретацией, или реа~
яизацией, термов в множестве J^O мы понимаем любое отобрав

$ 3] АЛГЕБРА ТЕРМОВ. РЕАЛИЗАЦИИ ТЕРМОВ 253
жение /?, которое -каждому m-местному функтору в &
сопоставляет m-местную операцию фд в /, т. е. отображение
Фл: Jm->J
(m = 0, l, 2,...).
Напоминаем также (см. V, § 4), что при данной реализации
R термов мы можем рассматривать каждый терм т как
отображение xr: J X ...XJ-+J. Более точно, если Vx — множество
всех фигурирующих в т свободных индивидных переменных, то
Xr есть отображение
(7) xR: JV*-*J.
Каждое отображение f: /к'->/, где V'=(xu ..., хп)
—конечное подмножество множества V, может быть
интерпретировано как отображение /: /к->/, если мы примем
f(v)=*f(vXl,...9 vXn)
для любой оценки v={vv}x&v. Элемент f(v) зависит,
конечно, только от координат vX{t ..., vXn точки v.
В частности, для любого терма т в & отображение xr можно
интерпретировать как отображение
(8) Xfii Jv-+J.
По чисто техническим причинам удобнее интерпретировать
xr как отображение (8). Таким способом мы избегаем
некоторых трудностей, связанных с тем, что для различных термов
т, ti отображения xRi Хш в интерпретации (7) определены,
вообще говоря, на различных множествах. В интерпретации (8)
можно удобнее записывать некоторые тождества, в частности
формулы для композиций (см. ниже (9)). Поэтому далее в этом
параграфе мы всегда будем интерпретировать xR как
отображение (8).
В этой интерпретации довольно сложное индуктивное
определение отображения Xr из V, § 4 (см. стр. 190, А), Б)) можно
переформулировать следующим простым способом:
(9) Xr(v) = vx>
Ф(Ч, ... xm)R(v) = q>R(xlR(v),...y xmR(v))
при любых индивидной переменной х, m-местном функторе
ф (т=0, 1, 2, ...) и-термах п, ..., хт и при любой оценке
v = {vx}xev.
Другое точное определение отображения xr можно дать
посредством 3.2. Каждая реализация термов R однозначно
определяет некоторую универсальную алгебру из ft (Ф):

254
АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ
[ГЛ. VI
обозначаемую для краткости посредством JR. Каждая оценка v:
V—► / может быть расширена до гомоморфизма алгебры Г в
алгебру /д в силу 3.2. Обозначим этот гомоморфизм посредством
vR. Тогда, для каждого терма т, vR(x) является вполне
определенным элементом в /. Если т фиксирован, a v меняется, то
элемент vR(x) является функцией оценки v. Обозначим эту
функцию посредством xR. По определению
xR(v) = vR(x).
Отображение xR: Jv-+J, определенное таким способом,
удовлетворяет тождествам (9). Поэтому оно совпадает с
отображением (8), определенным на стр. 253.
Основной результат этих соображений может быть
сформулирован в виде следующей теоремы:
3.4. Для каждой фиксированной оценки v = {vx}x&v
выражение xR(v), рассматриваемое как функция от т, является
гомоморфизмом алгебры \Т, {ф}феф} в алгебру {/, {фДреф)
таким, что xR(v)=vx для каждой индивидной переменной х.
Из определения xR(v) непосредственно следует:
3.5. Элемент xR(v) зависит только от qpiH, ..., Фпд и от
vXl, • • •, vXm, где фЬ ..., фп и хи ..., хш — все функторы и
свободные индивидные переменные, входящие в т.
Пусть теперь R — реализация термов на множестве 1ф0 и
пусть 5 — подстановка в &. Эта подстановка индуцирует
отображение
(10) sR: JV-+JV,
определяемое следующим образом: для каждой оценки и =
= {vx)x<=:v SrV является оценкой {sxR(v)}x^v. Напоминаем, что
sx является значением отображения 5 при х (т.е. sx — тот терм,
который подставляется вместо свободной индивидной
переменной #)> а sxr — отображение, определяемое термом sx в
реализации R. Поэтому sRv является точкой в Jv, у которой х-я
координата равна значению отображения sxR при v.
3.6. Для каждого терма т, каждой подстановки s в 9? и
каждой оценки v
(11) sxR{v) = xR(sRv).
Левая часть (11) является, конечно, значением
отображения sxr, определенного термом sx (т. е. результатом
подстановки s в т), в точке у.
Доказательство аналогично доказательству для 2.4. При
любом фиксированном v левая часть (11), рассматриваемая как
функция от т, является гомоморфизмом алгебры Т в /я, так как
рна является композицией гомоморфизмов, упомянутых в 3,3

§ 41 АЛГЕБРА Й Q-АЛГЁЁРА ЯЗЫКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА 255
и 3.4. Правая часть (11) также является гомоморфизмом
алгебры Т в Jr в силу 3.4. Так как оба гомоморфизма
совпадают на порождающем алгебру Т множестве К, то они равны
(см. 1,4.4).
Пусть теперь R и /?А — две реализации термов языка &
в непустых множествах / и J\ соответственно. Предположим, что
отображение
/: /->/,
является гомоморфизмом алгебры JR в J\r1% т. е. / обладает
свойством
(12) /(ФЛ(А У) = Ф«,(/(/.)> •••>/(/»))
для любого m-местного функтора ф (т = 0, 1,2,...) и для всех
/ь •••» /т^^- Для каждой оценки v = {vx}xev^ Jv символ fv
обозначает оценку fv = {f(vx)} ^ /J\ т. е. fv: V -* Jx является
композицией отображений v: V->/ и /: J->J{.
При этих предположениях имеем:
3.7. Для любого терма т и любой оценки v о Jv
(13) /(М°>)-**>>•
Доказательство аналогично доказательству для 2.4 и 3.6.
Для каждого фиксированного ое/7 обе части (13),
рассматриваемые как функции от т, являются гомоморфизмами. Так
как эти гомоморфизмы совпадают на множестве V,
порождающем алгебру Г, то они равны.
Мы доказали теоремы 3.6 и 3.7 алгебраическим способом,
интерпретируя (11) и (13) как равенства между
гомоморфизмами. Разумеется, можно также доказать 3.6 и 3.7
непосредственно индукцией по длине т. Оба способа доказательства,
по сути дела, одинаковы, но алгебраическое доказательство
короче.
§ 4. Алгебра и Q-алгебра формализованного языка
первого порядка
Пусть 2?={А, Г, F} — фиксированный формализованный
язык первого порядка, описанный в V, § 3. Пусть V обозначает
множество всех свободных индивидных переменных языка &.
В силу § 1 можно образовать алгебру {F, {], Л, =ф, —}
формул языка &. Эта алгебра будет чисто вспомогательной, так
как она учитывает только логические связки (J, Л, гф, — и не
учитывает кванторов J^J и (^| (которые также можно
рассматривать как операции, ведущие от одних формул к другим).

256 АЛГЕБЙА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ [ГЛ. VI
Поэтому данная алгебраизация не полна. Чтобы пополнить ее,
введем следующие определения.
Будем говорить, что формулы а, р языка & конгруэнтны,
и записывать это в виде
О) а~р,
если существует такая формула y в & и такие связанные
индивидные переменные \и ..., \п, т]ь ..., v\n, £ь ..., £п, что а есть
результат подстановки |i, ..., £п вместо £i, ..., £п в y и р есть
результат подстановки г\и ..., г\п вместо ti, . ••, in в y- Грубо
говоря, формулы аир конгруэнтны в том и только в том
случае, когда одна из них может быть получена из другой
изменением некоторых связанных переменных. Если, например,
а(хкУ) — некоторая формула, то
[Jaihy) и (Jafa, у)
конгруэнтны, но
U*(t,y) и (>(*>£)
I I
не конгруэнтны. Равным образом, формулы
конгруэнтны, но формулы
UU*(e.i)' UU<*(£.ч>
не конгруэнтны.
Легко убедиться в том, что ~ является отношением
эквивалентности в F. Более того, если
а!^а2 й Pi — р2*
то также
(a, U Pi) ~ (<h U Р2), Г«1 П Pi) ~ (а2 П Р2),
C«i =Ф Pi) ~ (а2 =# Р2)> "*- «1 ~ — «2-
Поэтому ~ является конгруэнцией в алгебре {F, U, Л, =ф> —},
и мы можем образовать фактор-алгебру
F = FI~>
элементами которой являются классы |&| пб отношению *>
(см. I, § 4). Соответствующие операции U, П, :ф> — на F опре*
Деляются равенствами
|a|UIPI = l(aUP)l, |а|ШР1-1(аПР)|,
() |а|=ф|р| = |(а#р)|, -|а|-|-а|.

§ 4] АЛГЕБРА И Q-АЛГЬБРА ЯЗЫКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА 257
Мы будем всегда рассматривать F (если не оговорено
противное) как обобщенную алгебру
(л и, п,=ф, -,ЦП)
с четырьмя конечными операциями (2) и двумя бесконечными
операциями (J, П» определение которых следует ниже.
Обе бесконечные операции имеют одну и ту же область
определения Ф (см. I, § 4, стр. 36). Множество S является эле*
ментом множества ф тогда и только тогда, когда существует
такая формула а(х), что S состоит из всех элементов
(3) | а (т) | е F, где т — любой терм.
Иными словами, единственными допустимыми для (J и f\
множествами являются множества, состоящие из всех
подстановок вместо фиксированной индивидной переменной х в фиксиро^
ванную формулу а(х) 37). Естественно считать т индексом для
элементов (3) допустимого множества SeD. Поэтому резуль-
таты операций (J и f] над множеством S всех элементов (3)
будут обозначаться посредством
(J |а(т) | и Г) |а(т)|
в соответствии с I, § 4, (20). Эти результаты определяются
равенствами
(4) (J |a(T)| = |Ua(S)|. П laMHfN*)
S
I
где £ — какая-нибудь связанная индивидная переменная, не
фигурирующая ва(х).
Обобщенная алгебра
(5) [F9 U, П,=», -.ЦП}
называется кванторной алгеброй языка 9? или, короче, Q-ал*
геброй языка & *).
Следующая теорема является аналогом теорем 2.1 и 3.2:
4.1. Q-алгебра (5) является обобщенной свободной алгеброй
для класса всех полных алгебр {A, Oi, о2, о3, о4, Ои Ог} с тремя
бинарными операциями ои о2, о3, одной унарной операцией о4
и двумя бесконечными операциями Ои Ог. Класс всех
элементов | а |, где а — элементарна^ формула, является системой сво*
бодных образующих алгебры F.
•) Сикорский [11].

258
АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ
[tvt. VI
Доказательство 4.1 (индукцией по длине формулы) —такое
же, как доказательство 21. Оно основано на том, что каждая
формула а либо является элементарной, либо однозначно
представляется как дизъюнкция двух формул, ити как конъюнкция
двух формул, или как импликация двух формут, или как
отрицание некоторой формулы, либо же, наконец, однозначно
представляется как результат навешивания квантора на некоторую
формулу.
Для полноты мы приведем также следующий аналог
теоремы 4.1 для алгебры F формул языка &\
4.2. Алгебра [Ft (J, О, =^>> —} является ^-свободной
алгеброй для класса к всех алгебр {А, о\, о2, о3, о4} с тремя
бинарными операциями ои о2, о3 и одной унарной операцией о4. Класс
всех элементарных формул и всех формул, начинающихся
с квантора, является системой ^-свободных образующих.
Доказательство аналогично.
Следующий аналог 4.3 теорем 2.2 и 3.3 справедлив для
алгебры F и не справедлив для Q-алгебры F.
Чтобы сформулировать теорему 4 3, примем следующие
обозначения. Если 5 — подстановка в j?, т. е. отображение
(6) s: V-+T,
а— формула и Х|, . ., хп — все свободные индивидные
переменные формулы а, то s'a будет обозначать формулу
a(xx/sxu ..., xjsxn),
где sx обозначает значение отображения s при хбК
Обозначая для большей наглядности-а посредством а(х\, ..., хп),мы
можем записать определение s'a в виде тождества:
(7) s'a {хи ..., хп) = a (sxu ..., sxn).
Для каждой формулы а в SB s'a также является формулой
в 9? (см. V, 3.1). Поэтому (7) определяет отображение
(8) s': F-+F.
Формула s'a называется результатом подстановки sea.
4.3. Отображение (8) является гомоморфизмом алгебры
формул F в себя.
Доказательство ведется индукцией по длине формулы а.
Равенство
(9) s"(|a|) = |s'a|
определяет отображение s" множества F в себя, s" является
гомоморфизмом алгебры {F, U, П, =ф, —} в себя, но не
сохраняет бесконечные операции (J и f\> а потому не является
гомоморфизмом Q-алгебры (5) в себя.

§ 5] f-АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННОГО ЯЗЫКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА 259
§ 5. /-алгебра формализованного языка первого порядка
Как вспомогательное понятие для §§ б, 7 мы введем также
другой тип алгебры формул с бесконечными операциями,
соответствующими логическим кванторам.
Пусть i?={/4, Г, F)— формализованный язык первого
порядка. Добавляя к языку 3? множество индивидных констант /,
получаем новый язык первого порядка, обозначаемый
посредством
По определению Л/ — алфавит расширения S£i языка S7, Ti —
алгебра всех термов в j?j, a F/ — алгебра всех формул в 2?i.
Разумеется, предполагается, что множество / не пересекается
с множеством всех знаков в &.
В соответствии с § 4 посредством Fi мы будем обозначать
фактор-алгебру /?,/=/'///^, где ~—отношение ^эквивалентно-
сти § 4, (1), определенное в &%. Таким образом, Ft получено из
Fi отождествлением конгруэнтных формул в 2V Мы
рассматриваем Fi (если не оговорено противное) как обобщенную
алгебру
[Ъ, и, п,#, -, и»П)
с четырьмя конечными операциями U, П, =^> —* определяемыми
посредством § 4, (2), и с двумя обобщенными операциями (J,
f], определениечсоторых следует ниже.
Обе обобщенные операции (J, (^| имеют одну и ту же
область определения 5E>j. Множество S принадлежит Ф/ тогда
и только тогда, когда существует формула а(х) из Fj такая,
что S состоит из всех элементов
(1) |a(iO|€=?/t где i'e=/.
Грубо говоря, допустимыми для U и П множествами
являются множества, состоящие из всех подстановок индивидных
констант i е / вместо фиксированной переменной х в
фиксированную формулу а(х) из Ft. Естественно считать i индексом
элемента (1) в Допустимом множестве Se5)j, Поэтому
результаты операций [J и f4) над множеством S всех элементов (1)
будут обозначаться посредством
Ui«wi и Лмо1
IS/ IS/

260
АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ
[ГЛ. VI
в соответствии с I, § 4, (20). Эти результаты определяются
равенствами
(2) ииоНи^)!* П 1«(0!=|п«ш
te/
I
ie/
I
где £ — какая-нибудь связанная переменная, не фигурирующая
в а{х).
Определение (2) является корректным, если в / имеется по
меньшей мере два элемента, так как множество (1) в этом
случае однозначно определяет правую часть равенств (2). Если /
содержит только один элемент i0, то нужны дальнейшие
разъяснения. Если, например, р — двуместный предикат, то |lJp(£io,)|
I l I
является результатом операции (J, примененной к множеству
S, состоящему из одного элемента |p(4oio,)|> когда мы рассма
триваем это множество как {lp(llo) l}ie/> а элемент |(Jp(ioL)
является результатом операции {J, примененной к S, когда мы
рассматриваем S как {|p(ioOI}lG=/- Так как мы не хотим
затемнять основную идею определения (2) частным случаем
одноэлементного множества, мы всегда будем предполагать, что в /
имеется по крайней мере два элемента.
Обобщенная алгебра
О) [К и, л,=#,-,U. П}
с бесконечными операциями (2) будет называться 1-алгеброй
языка S*). Заметим, что /-алгебра языка S не совпадает
с Q-алгеброй языка Si. Обе алгебры имеют одно и то же
множество элементов и одни и те же конечные операции, но у них
различаются операции (J и П*
Следующая теорема является аналогом 4.1:
5.1. I-алгебра (3) является обобщенной свободной алгеброй
для класса $ всех полных алгерр {Л, о и о2, оз, о4, Оь 02} с
тремя бинарными операциями ои о2, о3, одной унарной операцией о4
и двумя бесконечными операциями Ох и 02. Класс всех
элементов |а|, где а— элементарная формула в Si, является
системой свободных ^-образующих для алгебры (3).
Доказательство — такое же, как и для 4.1.
В отличие от Q-алгебры языка S, операция подстановки
является гомоморфизмом в /-алгебре языка S. А именно, имеет
место следующая теорема (здесь к языку Si применяются
обозначения из § 4, (6) —(9)):
*) /-алгебры были введены С и к о р с к и м [11].

§ 5| /-АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННОГО ЯЗЫКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА 261
5JJ. Для каждой подстановки s: V—>Tj в Sj отображение
s"\ Fi —► Ft является гомоморфизмом I-алгебры языка S в себя.
Доказательство состоит в несложной проверке.
Предположим теперь, что v является отображением
множества / на множество Т всех термов языка S.
Если т — терм в Si и последовательность и, ..., in
содержит все встречающиеся в Т индивидные константы из /, то
равенство
(4) v*t = т (ti/v (ц), ..., ijv (ij)
определяет терм v*t в 2\ а именно терм, получаемый из т
заменой всех вхождений ц на v(i<), *=1, ..., п (см. V, § 2).
5.3. Отображение
(б) Vе: Г7->7\
определяемое посредством (4), является гомоморфизмом алгебры
[Tj, {ф}феф} всех термов в Sj на алгебру {7\ {ф}феф} всех тер-
мое в S. Кроме того,
(6) v*t = t для любого терма % в Я?.
Доказательство состоит в легкой проверке.
Отображение (5) будет называться естественным гомомор-
физмом (алгебры Tt на Г), определяемым отображением v.
Если а — какая-нибудь формула в Si, а последовательность
и, ...» in содержит все индивидные константы из~ /,
встречающиеся в а, то равенство
(7) v'a = a(ц/v(ц), ..., t„/v(i„))
определяет формулу v'a в S, а именно, v'a получается заменой
в а всех вхождений ц на v(ii), *=1> 2, ..., п (см. V, § 2).
Можно убедиться в том, что отображение
(8) v': Р,-+Р,
определенное посредством (7), является гомоморфизмом
алгебры Fj на F. Очевидно следующее его свойство:
если <х~Р, то v'a~v'|3.
Следовательно, формула
(9)* V"(|a|) = |v'a|
определяет ртображение
(10) v": Fj^F,

262 АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ [ГЛ. VI
5.4. Отображение (10) является гомоморфизмом [-алгебры
\Fh U, П > =Ф, —> Ц П) языка & на Огсглгебру [F, [}9 П, =Ф,
""■» U» П] языка &. Кроме того,
(И) Vapfa ... rm)\) = \9(v\ ... v4J|
для каждой элементарной формулы р(х\.. . тт) в J?i и
(12) v"(|a|) = |a| для каждой формулы а в 2!.
Доказательство проводится несложной проверкой. Заметим,
что существенно, чтобы v было отображением множества / на Т.
Именно благодаря этому условию множества, допустимые для
(J и р) в /-алгебре Fu преобразуются посредством v" в
множества, допустимые для JJ и (^| в Q-алгебре F.
Отображение (10)_ называется естественным
гомоморфизмом (алгебры Fi на F), определяемым отображением v.
§ 6. Реализации формализованного языка первого порядка
Продолжая рассмотрения § 3, мы исследуем в этом
параграфе некоторый фиксированный формализованный язык i? =
={Л, Г, F} первого порядка, множество всех свободных
индивидных переменных которого будет обозначено посредством V.
Буква А будет всегда обозначать некоторую полную алгебру
(О [а. и, п,=>, -, и>П)
с тремя бинарными операциями U, П, =ф, одной унарной
операцией — и двумя бесконечными операциями (J и Q» общей
областью определения которых является класс всех непустых
подмножеств множества А.
Под реализацией языка & в непустом множестве J и в
полной алгебре А (см. (1)) мы будем понимать любое
отображение /?, которое
а) каждому m-местному функтору ф в & сопоставляет
m-местную операцию фя в / (т=0, 1, 2, ...), т.е. отображение
б) каждому m-местному предикату р в 3? сопоставляет
m-местную функцию, определенную на / со значениями в А
(т=1, 2, f,.)» т- е- отображение
pR: /т->Л.
Таким образом, реализация языка & является
отображением, определенным на объединении множества Ф всех функтс*-

§ 6j РЕАЛИЗАЦИИ ФОРМАЛИЗОВАННОГО ЯЗЫКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА 26$
ров и множества Р всех предикатов. Грубо говоря, реализация
R состоит из двух компонент: реализации tepMOB и
реализации предикатов. Реализация термов — это отображение R,
суженное на Ф. Оно совпадает с некоторой реализацией термов
в смысле § 3. Реализация предикатов — это отображение R>
суженное на Р.
Для простоты, если /? — реализация языка 2\ а т — терм
в &\ то тд будет обозначать отображение xR/ (см. § 3, (7) и
(8)), где R' — сужение отображения R на Ф.
При данной реализации R для 9? в множестве 7=^=0 и в
полной алгебре А каждую формулу а в & можно рассматривать
как отображение *)
aR: /X ... XJ-+A;
точнее, ее можно рассматривать как отображение
(2) а/?: А->А,
где Va — конечное множество всех встречающихся в а
свободных индивидных переменных (если а — замкнутая формула,
т. е. множество Va пусто, то ад является постоянным элементом
в А). Для этого достаточно:
а) интерпретировать все свободные и связанные
индивидные переменные в а как переменные, пробегающие
множество /;
б) интерпретировать каждый функтор ф в а как
отображение фД: /X ...Х'-*Л
в) интерпретировать каждый предикат рва как
отображение р*: /Х...Х'-»Д;
г) интерпретировать логические связки >U, Л, =>, — как
знаки соответствующих операций (J, П, =ф, — в А\
д) интерпретировать кванторы (J, Л как знаки соответ-
l l
ствующих бесконечных операций (J , Л в А.
Пусть, например, а — формула
(U р (** (<*> ш ш п Л ft о оь>) # U p (v№ «ф av ))))>
где p-—двуместный предикат, а ф — двуместный функтор.
Предположим, что А—двухэлементная булева алгебра,
рассматриваемая как полная алгебра вида (1), причем (J и Л яв"
ляются бесконечными объединением и пересечением
соответственно. Пусть / — множество всех целых положительных чи-
*) Интерпретация формул (в языке первого порядка) как отображений
была впервые использована Мостовским [4].

264 АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ [ГЛ. VI
сел, a R — такая реализация языка, что фД является
сложением в /, а рд — характеристикой для отношения равенства
в /, т. е.
если /!=/2,
если }х ф /2,
Р/г (/1э /2) = [ д лл„„ , _х.; Для /lf /2eE/.
Тогда легко убедиться, что функция aR: J-*A является
следующей:
делится на 3,
{ V, если /
а*{1) = \Л впрот
противоположном случае.
Точное определение отображения ад дается индукцией по
длине формулы а. Если а—формула и Va=(xu ..., хт), то
(20 ctR(vXi> ..., 0*J
будет обозначать значение отображения aR в точке у =
"{^Дсек e/V Если г—-терм и Vx = (xu ..., xm) —
множество встречающихся в т свободных индивидных переменных
(см. § 3, стр. 253), то xR(vX{> ..., vXn^ будет обозначать
значение отображения tR в точке v — {vx}x€;£V, причем функция т^
рассматривается как отображение xR: Jv*->1 (см. § 3, (7)
и V, § 4).
Можно теперь следующим образом сформулировать индук*
тивное определение отображения aR:
А) если а — элементарная формула вида p(t!... xk)t где
р—-предикат и т1э ..., rk — термы, то aR есть композиция
a* (vXl, ..., vXm) = pR (xlR (vXn, ..., vXmiy ...
ГДе Va — (*b . . ., *m) И Vti — (*П, • • •, **m,), *' = 1, . . ., k\
Б) если Р и у ~~ формулы и а имеет одну из форм (Р (J yA
(РПуЛ (Р^уЛ ~~Р> то ад определяется соответствующим
из следующих равенств:
а* (V • • • • оО - р« (°-; ° v)u Y* (Ч • • •' Ч) •
а« (v • • • • W*J=р* (ч • • • •w v)n v« (ч Ч«) •
а* (\ Ч)= 4*4 Ч) ■* Y« (Ч • • • ■ °v)'
e«(V""eO"p«(V"-'4>

§ 6] РЕАЛИЗАЦИИ ФОРМАЛИЗОВАННОГО ЯЗЫКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА 265
где Va = {xl9..., хт) и в трех первых равенствах
Кр = (х\, ..., *«')» ^y = W> ..., х'^У,
В) если р есть формула, V^ = (x0t xu ..., xw) и а имеет одну
из форм
(JP(*o/& flP<*o/6).
то a# определяется одним из следующих равенств:
а*К гО-,()/«('• "«.•••••-"О-
Одним из наиболее важных- случаев является тот, когда
А — двухэлементная булева алгебра. Любая реализация в
множестве 1ф0 и в двухэлементной булевой алгебре называется
семантической реализацией языка & в /. Понятие
семантической реализации родственно исследованному в V, § 4 понятию
интерпретации. Чтобы выяснить связь между семантическими
реализациями и интерпретациями языка 2? на множестве /,
примем следующее обозначение. Если 3 — интерпретация, то пусть
3* обозначает следующую семантическую реализацию:
Фз*== *Рз для ЛК)бого функтора <р,
Рз* = Рз для любого предиката р.
Таким образом, 3 и 3* дают одну и ту же реализацию термов
(см. V, § 4, стр. 191). Для каждого предиката р р^* является
характеристикой р^ отношения р3 (определение характеристики
см. в V, § 7). Легко видеть, что эти равенства устанавливают
взаимно-однозначное соответствие между интерпретациями и
семантическими реализациями.
Связь интерпретаций и семантических реализаций дается
следующей теоремой,1 которая непосредственно следует из
индуктивных определений для olr и для характеристики oj
пропозициональной функции а3 (см. V, § 7):
6.1. Для любой интерпретации % языка 5? на множестве J
аз==аз* для любой формулы а,
т3 = т^ для любого терма т.
Вернемся к исследованию реализаций в произвольной цо,д-
ЯРй алгебре А типа (1).

266
АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ
[ГЛ. VI
Каждое отображение /: /К'->Л, где V' = (xu ..., *OT)czV,
можно интерпретировать как отображение /: ]у —►Л, если мы
примем
f(v) = f(vXl,...,vXm)
для любой оценки v = {vx)xeV. Элемент f(v) зависит,
разумеется, только от координат vXl, ..., vXm точки v e/k.
В частности, для каждой формулы а в 9? и для фиксиро*
ванной реализации R для & в / и А отображение ад (см. (2))
можно интерпретировать как отображение
(3) aR: Я->А.
В этом случае значение ад в точке dg/7 будет обозначаться
посредством
(30 а* (о).
Аналогично §§ 2, 3 по чисто техническим соображениям
часто удобнее интерпретировать aR как отображение (3), так как
таким способом мы избегаем трудностей, связанных с тем
обстоятельством, что при различных а, а' отображения а^, а^
в интерпретации (2) определены, вообще говоря, на различных
множествах.
Поэтому с настоящего момента, если не оговорено
противное, aR всегда будет интерпретироваться как отображение (3).
Подобным образом, для каждого терма т соответствующее
отображение тд, если не оговорено противное, будет всегда
интерпретироваться как отображение rR: Jv —► / (см. § 3, (8)),
При этой интерпретации следующим образом упрощаются
формулы, дающие индуктивное определение отображения ад
(0 == ivx)x e= у ~~ 3Десь произвольная оценка в /):
РС^1 • •• *kh (V) = Р* (*1Я (V), ...,TkR {V) ),
Wy)*{v) = fo(v)\)V*(v)9
(РПу)*(0)вР*(*)ПУл(«О.
(4) (P=»VM«»-P*(°)#Y*(*).
(-РЫ<0=-(Р*(<0>.
/UPta/a) (°>-Up*(»/>.
(ПмЩ (*)=Г1р*(Ы
w /* /6/
где шу = {аУу*}х e v ^ /к — следующая. оценка:
^4') wfx = vx при хфх0, ад/^=/,

§6] РЕАЛИЗАЦИЙ ФОРМАЛИЗОВАННОГО ЯЗЫКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА 26?
Два последних равенства могут быть также записаны в
следующем виде:
(Up(*«/») (*>- U р*(«о.
\S /д шег
здесь W — множество всех таких оценок w = {wx}xeV^Jvf что
уу = Vx Wx = Vx ,
где jci, ..., xm — все встречающиеся в р свободные индивидные
переменные, не считая х0.
Из определения отображения aR непосредственно следует, что
6.2. Если формулы а и а' конгруэнтны, то aR = а^, т. е.
aR(v) = a'R(v) для любой оценки v.
6.3. Элемент aR(v) зависит только от ф1/?, ..., q>nR, от plR, ...
• • •> PkR и от \> ■ • •■ vxm> где Фр • • •. Фп- Рр • • •. Р* « *i, • • •
• • • > *т"~ бс^ функторы, предикаты и свободные индивидные
переменные,/встречающиеся в а.
Предположим, что &' является расширением языка &.
Реализация /?' языка 2" в / и 4 называется расширением
реализации* 7? языка 2? в / и А, если
Ф#,===Ф# для кажД°Г0 функтора фв^,
Р/?,===Р/? для каждого предиката р вЙ'.
Из 6.3 непосредственно следует, что
6.4. Если 2?' — расширение языка &, R' — расширение
реализации R и а — формула языка &, то
aR,(v') = aR(v) для каждой оценки v' в 92',
где v обозначает сужение оценки v' на множество всех
свободных индивидных переменных в 2\ В частности, если 9? и SB'
имеют одно и то же множество свободных индивидных пере-
менных, то
aR,{v) = aR(v)
для каждой формулы а в 9? и для каждой оценки v.
Определение отображения aR, сформулированное выше,
является аналогом описательных определений отображений аЛ
и тя, приведенных в §§ 2, 3 (стр. 247, 253). В этих параграфах
мы сформулировали также другие, алгебраические определения
для аА и тя при помощи понятия гомоморфиама (см. 2.3 и 3.4).

268
АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ
[ГЛ, VI
Можно сформулировать также аналогичное алгебраическое
определение и для ал, тем более что оно полезно при
доказательстве теорем относительно ад.
Для этой цели прибавим к языку S множество новых
индивидных констант / такое, что мощность множества / больше
или равна мощности множества /. Тогда существует
отображение v множества / на /. Фиксируем в дальнейшем какое-нибудь
такое отображение v. Если v(i)=/e/ при ie/, to
индивидная констан1а i будет называться именем элемента /38). Таким
образом, расширение SI={AJ, TJt Fi} для S получается из S
добавлением множества имен для элементов из /.
Каждая реализация R языка S в / и А естественным
образом расширяется до реализации (обозначаемой той же
буквой R) языка Si в / и А при помощи определения:
(5) i^ = v(i)g/ для любого i e/.
Тогда для любой формулы а в Si отображение
aR: JV~»A
вполне определено равенствами (4)^
Для каждой фиксированной оценки v выражение aR(v)
можно рассматривать как функцию а, т. е. как отображение
множества Ft в А. Из 6.2 следует, чтс^ад(а) можно также
рассматривать как функцию от \a\^Fit т.е. как отображение
множества Fj=Fi/~ в А (а именно как отображение в смысле
I» § 3, (3), стр. 29). В последующем будет часто использоваться
эта последняя интерпретация. Каждая оценка v e Jv
однозначно определяет отображение
где Ei — множество элементарных формул в Si, именно:
для любого m-местного предиката р (т=1, 2, ...) и любых
термов Ti, . . . , Тт.
В силу 5.1 отображение vR можно_единственным образом
расширить до гомоморфизма алгебры Fi в А. Обозначим этот
гомоморфизм тем _же самым символом vR, а его значение при
аргументе \a\^Fi посредством уд(|а|). Если
а—-фиксированная формула, то элемент vR(\a\) ^ А является функцией
от tiE Jv. Обозначим эту функцию посредством aR. По
определению
(6) а*(*) = 0*(|а|).
Так определенное отображение ан: Jv-+A удовлетворяет
тождествам (4). Доказательство состоит в несложной проверке.

$6l РЕАЛИЗАЦИИ ФОРМАЛИЗОВАННОГО ЯЗЫКА ЙЕРВОГО ПОРЯДКА 2бЗ
Условие, что v отображает / на /, играет существенную роль
в доказательстве двух последних тождеств (4) 39).
Так как отображение ад, определяемое посредством (6),
удовлетворяет тождествам (4), то оно совпадает с отображением,
определенным ранее на стр. 266. Поэтому основной результат
наших рассуждений можно сформулировать следующим
образом:
6.5. Для каждой фиксированной оценки v в Si выражение
ал (у), рассматриваемое_как функция от |а| eFj, является
гомоморфизмом алгебры FI в А таким, что
(7) р(т! ... xm)R(v) = pR(xlR{v)9 ..., rmR(v))
для любого гп-местного предиката р (т=1, 2, ...) и для
любых термов ть ..., tm в Si *).
Тождество (6) является алгебраическим определением
введенного ранее отображения <хп. Единственное различие между
определением (6) и аналогичными алгебраическими
определениями отображений аА и т^ в §§ 2, 3 состоит в том, что мы
должны были ввести вспомогательное множество имен /.
Однако основной результат не зависит от вспомогательного
множества / и отображения v (см. 6.4): определение (6) применяется
в этом случае к формулам а из S.
Основные свойства отображений ад выражены в следующих
ниже теоремах 6.6, 6.7, 6.8, последние две из которых являются
аналогами теорем 3.6 и 3.7 для реализаций термов. Теоремы 6.6,
6.7, 6.8 могут быть доказаны непосредственно индукцией по
длине формулы а. Однако мы приведем здесь алгебраические
доказательства.
Пусть {В, U, П» =Ф> —» U» ГН —полная алгебра, однотипная
алгебре А (см. (1)), и пусть h: A-+B является гомоморфизмом.
Если R— реализация языка S в / и А, то следующие формулы
определяют другую реализацию (обозначаемую посредством hR)
языка S в / и В:
q>hR = q>R для каждого функтора ф,
* ' phR = hPR для каждого предиката р.
Таким образом, R и hR дают одну и ту же реализацию термов.
Если р — m-местный предикат, то р/ш является композицией
отображений h и рд:
Рля Ни •-•»/«) = А (Ря Ни • • •» im) )•
*) Сикорскйй [11].

270 АЛГЕЁРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ (М. V*
6.6. Для любого гомоморфизма h: A-+B и любой реализации
R для S в J и А имеем
(9) <*hR(v) = h(aR(v))
для любой формулы а в & и любой оценки v.
Мы докажем, что (9) имеет место для любой формулы в Si
при расширении реализации R на Si с помощью (5).
Для любой фиксированной оценки v обе части (9),
рассматриваемые как функции от |а|, являются гомоморфизмами
обобщенной алгебры Fi в В. В силу (8) эти гомоморфизмы совпадают
на множестве всех элементарных формул в Su а это множество
порождает Fi. Поэтому они равны.
Для каждой подстановки s в S пусть s'a имеет смысл,
разъясненный в §4, (6) — (8), a sRv — смысл, разъясненный в §3, (10).
6.7. Для каждой подстановки s и каждой оценки v
(10) <*R{sRv) = s'aB(v).
Очевидно, выражение в правой части (10)—это значение
отображения s'aR, определяемого формулой s'a, в точке v.
Мы докажем более общее утверждение, что тождество (10)
выполняется для любой данной подстановки 5: V-+Ti и для
любой формулы а в F/. В самом деле, при фиксированном v обе
части (10), рассматриваемые как функции от |а|, являются
гомоморфизмами обобщенной алгебры Fi в А (см. 5.2 и 6.5). В силу
3.6 (в применении к языку Si) эти гомоморфизмы совпадают
на множестве всех элементарных формул. Так как это
множество порождает Fj, то гомоморфизмы равны.
Пусть теперь R —реализация языка S в / и А и пусть /?i —
реализация языка S в /4 Ф 0 и А. Пусть / — такое отображение
множества / на /i, что
(Н) /(<P*(/i. ...,/т)) = Ф/?,(/0и ..../(/«))■
(12) pp(/i, ..., /«) = ?*, (f(/i), ...,/Gm))
для всех т-местных функторов^ ф (гп = 0, 1,2,....), всех т-мест-
ных предикатов р (т = 1,2,...) и для всех /ь |2,...е/
(заметим, что (11) совпадает с § 3, (12)). Как и в § 3, стр. 255, для
любой оценки v = {vx}xGV^Jv символ fv будет обозначать
оценку fv = {f(vx)}xGV<=JVx.
При этих условиях мы имеем:
6.8. Для любой формулы а и любой оценки v^Jv
(13) «*, (fa) = <**(»)■
Мы докажем более общее утверждение, что тождество (13)
выполняется для всех формул а в Si, где / — множество мощ*
носта ^ 7. Символ v по-прежнему обозначает отображение мно-

§ 71 КАНОНИЧЕСКИЕ РЕАЛИЗАЦИИ ЯЗЫКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА 271
жества / на /, и реализация R расширяется до реализации языка
S\ посредством (5). Так как / отображает / на /i, то
композиция vi = fv отображает / на /ь Отображение vi будет играть ту
же роль по отношению к множеству /4 ц реализации Ru какую
отображение v играет по отношению к / и R. В частности, мы
расширяем реализацию R\ до обозначаемой той же буквой
реализации языка Si в /4 и А, принимая
^, =vI(t) = /(v(t))
для каждого ie/. Поэтому f(iR)=-.iRl9 т. е. расширенные
реализации R и Ri также удовлетворяют соотношениям (11) и (12).
Дальнейшая аргументация — как в доказательстве теорем 6.6 и
6.7. Для каждой фиксированной оценки v обе части (13),
рассматриваемые как функции от |а|, являются гомоморфизмами
обобщенной алгебры Fi в А. Из (11), (12) и 3:7 следует, что
равенство (13) выполняется для всех элементарны* формул а. Так
как множество всех элементарных формул порождает
обобщенную алгебру Fi, то (13) выполняется для всех а.
Пусть теперь^.£?о = {А0, F0)— формализованный язык
нулевого порядка и Vo — множество всех пропозициональных
переменных языка «2*0. Пусть 5: Vq-+F— подстановка языка 3
в 3?о (см. § 2, (2)). Напоминаем, что для каждой формулы а
в 3?о s<x обозначает результат подстановки s в а, т. е. формулу
языка 2\ определенную посредством § 2, (3).
При этих предположениях
6.9. Для каждой оценки v и для каждой формулы а в 3?о
(14) saR (v) = ал (sv),
где sv является оценкой sv = {saR(v)}aE.v e Av\
Очевидно, solr и saR обозначают здесь отображения,
определяемые формулами sa и 5а в &, а аА обозначает отображение,
определяемое формулой ав^0 (см. § 2, (9)).
Чтобы доказать (14), заметим, что обе части (14),
интерпретируемые как функции от а, являются гомоморфизмами алгебры
Fo всех формул языка 2?0 в алгебру А (см. 2.2 и 2.3). Эти
гомоморфизмы совпадают на множестве Vo всех пропозициональных
переменных. Так как Vo порождает алгебру F0, то они равны,
т. е. (14) справедливо.
§ 7. Канонические реализации формализованного языка
первого порядка
Мы обсудим теперь некоторые специальные реализации R
языка & = {A,T,F} первого порядка, которые будут играть
важную роль в применениях (главы VIII, X, XI).

272
АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ
[ГЛ. VI
Множество /, в котором задана реализация R языка i?, не
ограничено никакими условиями, кроме непустоты. В частности
в качестве / можно взять множество Т всех термов в 2\ В
самом деле, Т не пусто, поскольку оно содержит бесконечное
множество V всех свободных индивидных переменных.
В 3.1 мы видели, что каждый m-местный функтор ф в ?
можно истолковать как m-местную операцию в Т (пг = 0,1,2,...).
Эта операция, определенная посредством § 3, (1), обозначается
той же самой буквой ф.
Реализация R языка 3? называется канонической
реализацией термов, если R — реализация на множестве Т всех термов,
причем каждому m-местному функтору ф реализация R
сопоставляет соответствующую m-местную операцию ф в Т; символически:
(1) Фя = ф.
Точнее (см. § 3,, (1)), R является канонической реализацией
термов, если для каждого m-местного функтора ф в 3? (ш = О,
1,2,...)
(V) «Pflfrl, ...» *т) = фОч---*тЛ
где п, ..., Xm — любые термы.
Под тождественной оценкой i: У-»Г мы понимаем
тождественное отображение множества V в Т:
Любая оценка иеГ является отображением v: V-+T, т. е.
также является и подстановкой. Поэтому для каждой формулы
а и для каждого терма т определены символы v'a и vx, а именно,
это — результаты подстановки v в а и т соответственно (см. § 4,
стр. 258 и § 3, стр. 252). В частности,
t'a = a и ix = x
для каждой формулы а и каждого терма т, где t —
тождественная оценка.
7.1. Если R — каноническая реализация термов, a v: V-+T,
то для Каждого терма х
(2) Тя(у) = ут.
В частности, для тождественной оценки i
(20 М0 = т.
Для каждой формулы р {х0)
(3) /1/Р(Ю) ({)= (JPW*(0>
V & /R тег
(30 fflP(S)) (0= Г)РМ*(0.

§ 7] КАНОНИЧЕСКИЕ РЕАЛИЗАЦИИ ЯЗЫКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА 273
Действительно, обе части (2), рассматриваемые как функции
от т, являются гомоморфизмами алгебры {7\ {ф}ф«=ф} в себя (см.
3.4 и 3.3). Легко удостовериться в том, что (2) выполняется, если
т—свободная индивидная переменная, т. е. на системе
образующих алгебры Т. Поэтому (2) выполняется и для всех термов т
в Г. (2') непосредственно следует из (2).
В силу § 6, (4)
l\j№) (0= (JP(*o)*K),
где (см. § 6, (4')) wx = {w%x)xev определено равенствами
а>т* = ** = * при хфх0, wXX(t = x.
Интерпретируем оценку w% как подстановку в 9?. По
определению
^Р(*о) = РМ-
Кроме того, используя обозначения из § 3, стр. 253, получим
(wx)R i ={(wxx)R (%)}х<= v = w%
в силу (2'). Отсюда ввиду 6.7
Р (*о)я (Щ) = Р (*о)я ((wx)R I) = (ш'р (х0) )R (t) = p (r)R (i), #
откуда следует (3). Доказательство для (3') аналогично.
В § 6 мы ввели понятие реализации формализованного языка
9? = {А, Г, F] первого порядка в множестве J ф 0 и в полной
алгебре А вида § 6, (1). Условие полноты алгебры А
использовалось только для того, чтобы были выполнимы все бесконечные
операции, фигурирующие в индуктивном определении
отображения ан(у) (см. § 6, (4)), т. е. чтобы существовал гомоморфизм,
упоминаемый в 6.5. Однако может случиться, что для данного
отображения/?, удовлетворяющего условиям §6, а), б) (стр.262),
где А — обобщенная алгебра типа § 6, (1), все бесконечные
операции, фигурирующие в определении отображения ад (у) (при
помощи § 6, (4) или 6.5), будут выполнимы, хотя алгебра А и не
является полной. В этом случае отображение R также будет
называться реализацией языка & в множестве /ив неполной
обобщенной алгебре А. Это расширение понятия реализации не
является существенным. Действительно, любую обобщенную
алгебру А можно расширить до полной однотипной ей алгебры А'
(см. I, § 4, стр. 39). Поэтому любую реализацию R в неполной
алгебре А можно рассматривать как реализацию в полной
алгебре А'. Другими словами, каждую реализацию в только что
определенном смысле можно рассматривать как реализацию
в смысле § 6. Однако если при вычислении ад (v) используются
только бесконечные операции в А и значениями ал (v) являются

274
АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ
(ГЛ. VI
только элементы из А, то нет причины вводить расширение А'
для А и естественнее рассматривать R как реализацию в А.
Возможность истолкования реализации в неполной алгебре А
как реализации в полном расширении А' для А имеет важные
следствия, ибо она позволяет нам применять к реализациям
в неполных обобщенных алгебрах А теоремы, доказанные в § 6
для реализаций в полных алгебрах.
Иногда удобно брать в качестве А' расширение алгебры А,
описанное в I, § 4, (22), стр. 39. Это расширение получается из А
добавлением нового элемента а0 к А (т. е. А' = А Щао)) и
принятием а0 в качестве значения для всех конечных и бесконечных
операций в А', если рассматриваемая операция невыполнима в А.
Отсюда следует, что если R— реализация языка S в / и А' и
olr (v) e А для любой формулы авЗ'и для любой оценки v, то
R является реализацией языка S в / и А. Это замечание будет
полезно при доказательстве теорем 7.2 и 7.3. Не оговаривая этого
явно, мы истолкуем сначала упоминаемое в 7.2 отображение R
и упоминаемое в 7.3 отображение R0 как реализации в А' и
установим, что aR (v) и ая* (v) всегда принадлежат А; отсюда и
следует, что R и /?° суть реализации в А.
Приведем теперь примеры реализаций в обобщенной алгебре
А без предположения о ее полноте.
Кроме языка S = {А, Г, F) мы одновременно будем
рассматривать вспомогательный язык Si = {AIf TJy Fj}y получаемый из
S добавлением множества / индивидных констант (см.
§5),причем мощность множества / должна быть не меньше мощности
множества Т всех термов в &. Буква v будет обозначать
фиксированное отображение множества / на Г. В соответствии с
соглашениями в § 6, стр. 268, если v(i) = т, то i иногда называется
именем терма т. Таким образом, Si получается из S
включением множества / имен для термов. _ ,
Пусть g —гомоморфизм /-алгебры \ph U > Л ,=#,—> (J> П)
в обобщенную алгебру {A, U > Л > =Ф,—> (J> ГН типа>
описанного в § 6, (1). Пусть /? —отображение, определенное на
объединении множества всех функторов и множества всех предикатов
языка Siy причем
а) R является канонической реализацией термов языка Si,
т. е.
для любого т-местного функтора у в Si для всех термов ti, ...
..., XmbSi (m = 0, 1,2, ...);
б) для любого m-местного предиката р (т= 1,2,...) и для
всех термов ti, ..., tm в Si

§ 7\ КАНОНИЧЕСКИЕ РЕАЛИЗАЦИИ ЯЗЫКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА 275
Используя эти обозначения, формулируем следующую
теорему:
7.2. R является реализацией языка Si в множестве всех
термов языка Si и в обобщенной алгебре А. Кроме того, для
каждой формулы а в Si и для каждой оценки v
(4) aR(v) = g(\v'a\).
В частности, для тождественной оценки г
(40 Mt)==g(l<x|).
Выражение в правой части (4) может быть_переписано в виде
g(a"(|a|)), где v" — гомоморфизм алгебры Fi в себя,
индуцированный подстановкой v (см. § 4, (9) и 5.2). Поэтому при
фиксированном v правая часть (4), интерпретируемая_как функция
от |a|eF/, является гомоморфизмом /-алгебры Fi в А. Если
a — элементарная формула p(ti...tm), где р — m-местный
предикат, а ti, ..., %m — термы в Si, то в силу 7.1 и б)
g(\v'a\) = g(\v'p(xl...xm)\) = g{\p(vxl...vxm)\) =
= g(\ P (*\R fa) • • •*«* (V))\) = PR (Т1Я (y)» ' ' • >xmR (V) )•
Поэтому гомоморфизм в правой части (4) удовлетворяет
условиям теоремы 6.5. Следовательно, он равен ад (у), т. е. имеет
место (4). (4') непосредственно следует из (4).
Следующая модификация теоремы 7.2 является важной для
приложений:
Пусть ^ — некоторое отношение эквивалентности на
множестве F всех формул языка S = {А, Г, F}y причем для любых
формул a, p в S
в) если а ~ р, то а « р.
Тогда равенство
(5) M|a|)«||a||€=F/~
определяет отображение hi множества F = F/~ на F/«.
Предположим, что в F/ж мы определили некоторые бинарные
операции (J, П» =Ф. унарную операцию — и две обобщенные операции
(J, ("J так, что
г) отображение h{ является гомоморфизмом Q-алгебры
(Л U, П,=Ф, —• (J> Л) в обобщенную алгебру (f/«, U, fit
Пусть А —гомоморфизм алгебры [Ff**, [), П » =Ф, —•, [J, P|}
в обобщенную алгебру А типа § 6, (1). Пусть /?° — отображение,
определенное на множестве всех функторов и всех предикатов
в S, причем

2?6 АЛГЕБРА ФбРМАЛЙЗОЁАНЙЫХ ЯЗЫкОЙ [ГЛ. V*
A) R0 является канонической реализацией термов языка S\
Б) для каждого m-местного предиката рв^ (т= 1,2,...)
и для произвольных термов п, ..., тт в S
(6) Р/?о(т„ ...,тт) = Л(||р(1Г1...гт)||).
При этих условиях мы имеем:
7.3. R0 является реализацией языка S = {А,Т, F} в
множестве Т всех термов и в обобщенной алгебре А. Кроме того, для
каждой формулы а в & и для каждой оценки v
(7) aR*(v) = h(\\v'a\\).
В частности, для тождественной оценки t
(8) а*о(0 = h (|| а Ц).
Пусть v"— естественный гомоморфизм /-алгебры Fj на
Q-алгебру F (см. § 5, (10) и 5.4). Отображение g:
g(\a\) = h(h{(v"(\a\))) при a<=Fh
является гомоморфизмом алгебры Fi в А. Пусть R —
реализация (для Si в множестве Всех термов языка Si и в алгебре А),
определяемая посредством а) и б). Из 7.2, (4) следует, что
aR(v) = g(\v'a\)
для любой формулы а в S и для любой оценки v e Ту. Однако
v^di/aj) = |a'a| g^b силу § 5, (12), поскольку v'a
принадлежит F. Поэтому
М*) = М1Ь'а||)
по определению g и h{.
Чтобы завершить доказательство теоремы 7.3, достаточно
показать, что
aRo (v) = aR (v).
Это следует из 6.8, где / — множество Tj всех термов в Si,
/i — множество Т всех термов в S и f — естественный
гомоморфизм v* алгебры Tt на Т (см. § 5, (5)). В качестве языка S для
6.8 мы возьмем язык S, упоминаемый в 7.3. В качестве
реализации R для 6.8 мы возьмем только что определенную реализацию
R, суженную на язык S, и в качестве реализации Ri для 6.8
возьмем реализацию /?°.
Условие § 6, (11) для теоремы 6.8 выполняется в силу 5.3,
Условие § 6, (12) также выполнено, так как при любых термах
ti, ..., Tm в Ti и при любом m-местном предикате р мы имеем
р*о (/(тО, ..., /(тт)) = МН ptf(Ti). • ./(тт))||) =
^h(hl(vff(\p(xl...xm)\))) = g(\p(i:l...rm)\) = pR(xu ..., тт)

$*J ПРОИЗВЕДЕНИЯ РЕАЛИЗАЦИЙ 27?
в силу (5) и § 5, (11). Отсюда вследствие 6.8
а# (fv) = aR(v).
Так как v e Tv9 имеем fv = v. Следовательно,
адо (v) = aR {v) = h (|| v'a ||) e A.
Реализация R°9 определенная посредством А), Б), будет
называться канонической реализацией языка SB, определенной
гомоморфизмом h *).
В случае, когда А = F/« и h — тождественное отображение,
R0 называется канонической реализацией языка & в алгебре
Л = /7». По определению каноническая реализация языка &
в Л = F/« задается равенствами
ф/?° (l\> • • •, *m) — Ф (*1 • • • О»
где ф — любой m-местный функтор (т = О, 1, 2, ...), р — любой
га-местный предикат (т = 1, 2, ...), a tt, ..., хш — любые термы
в &. Следующая теорема является непосредственным
следствием 7.3:
7.4. Если отношение эквивалентности яг в F и обобщенная
алгебра А = F/ж удовлетворяют условиям в) и г) и R0 является
канонической реализацией (9) формализованного языка & =
= (Л, Г, F\ в множестве Т и в алгебре А, то для каждой
формулы as S?
(10) а*, (о) = Hob||
(Эля любой оценки v: V-+T. В частности,
(11) а* № «|| а И,
где х — тождественная оценка.
§ 8. Произведения реализаций
В этом параграфе мы приведем другой полезный пример
реализаций языка & первого порядка в неполной обобщенной
алгебре.
Пусть N — непустое множество. Предположим, что, при
каждом n^N, Rn является реализацией языка & в множестве /я и
в полной алгебре
(1) №„. U, П,=#, —, U>fl)
*) Канонические реализации и теоремы 7.3, 7.4 были сначала
использованы Хенкиным [2] и, независимо (в несколько отличной форме), Расё-
в о й [2]. Позднее они применялись Расёвой и Сикорским [1], [2J.

2?g АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ {ГЛ. VI
с тремя бинарными операциями U, П, =Ф> одной унарной
операцией — и двумя бесконечными операциями (J, (T Пусть
(2) /= Р К
И
(3) А= Р А„.
В соответствии с I, § 4, стр. 36, А можно рассматривать как
алгебру, однотипную алгебре (1), а именно как произведение
(4) U, U, П, ^-, ЦЩ
всех алгебр Ап.
Пусть
/l = Ни n}n€=N> • • • > jm = {lm9 nJnezN
— произвольные точки из /.
Реализации Rn однозначно определяют отображение /?о,
определенное на множестве всех функторов и всех предикатов, такое,
что
Г 7?о сопоставляет каждому m-местному функтору ф (т = О,
1,2,...) функцию фдо: Jm—>], определенную равенством
ф/?0 UU • • • у Jm) = 1Ф/?„ О'ь п> • • •» 1т, п))п& N\
2° Rq сопоставляет каждому m-местному предикату р (т = 1,
2,...) функцию ря„: Jm -> А, определенную равенством
P#0(/l> • • •» /m) =e{P*w(/l. /г» • • • > /m, /i)]rt€=jv.
7?о называется произведением реализаций /?л*).
Пусть V обозначает, как обычно, множество всех свободных
индивидных переменных языка &. Оценки v = {vx}x€=v ^JV в У
являются отображениями, которые каждой свободной
индивидной переменной х сопоставляют точку vx = {vXt n}n^N^ J- По
определению vx>n^Jn. Поэтому, для каждого
фиксированного n^N, vn = [vx, n}xev ^ Jn является оценкой в Jn. Обратно,
если, при каждом n^N, vn = {vXtn}xev является оценкой в Jnt
то, полагая vx = {vXtn}n^Ni мы определяем оценку v =
= {Vx)x^V В /.
Используя эти обозначения, сформулируем следующую
теорему:
*) Произведения семантических реализаций по модулю простого фильтра
впервые были применены Лосем [7] (см. VIII, § 18, стр. 390). Изложение
теории произведений реализаций в этом параграфе следует статье С и к о р-
ского [15].

§81
ПРОИЗВЕДЕНИЯ РЕАЛИЗАЦИЙ
279
8.1. Произведение Ro реализаций Rn является реализацией
термов в множестве /, и для каждого терма % в 3?
(5) iR0(v) = {rRn(vn)}n^N.
Рассмотрим множества / и Jn {n^N) как универсальные
алгебры /до и JnRn соответственно, т. е. как алгебры (см. § 3,
стр. 253)
где Ф — множество всех функторов в S. Из Г следует, что
алгебра /#о является произведением алгебр Jur , n^N (см. I,
§ 4, стр. 36). При любом фиксированном v левая сторона (5),
рассматриваемая как функция от т, является гомоморфизмом
алгебры Т всех термов в алгебру /#о в силу 3.4. Подобным же
образом, правая часть (5), рассматриваемая как функция от т,
является гомоморфизмом алгебры термов Т в алгебру /#0 в силу
3.4 и I, 4.10. Оба гомоморфизма совпадают на порождающем
алгебру Т множестве V. Поэтому в силу I, 4.4 они равны.
8.2. Произведение R0 реализаций Rn языка S в Jn и Ап
является реализацией языка S в произведении J множеств Jn и в
произведении А алгебр Ап. Более того, для каждой формулы а
в S .
(6) aR0(v) = {aRn{vn)}neN.
В соответствии с замечанием из § 7, стр. 274, будет полезно
на некоторое время заменить неполную алгебру А расширением
А', определенным в I, § 4, (22), стр. 39, для того, чтобы избежать
трудностей, связанных с неполнотой алгебры А. Другими
словами, Ro будет пониматься как реализация языка j? в / и А'.
Мы докажем, что (6) выполняется для любой формулы а
в расширенном языке Si, описанном в § 5. Напоминаем, что Si
получается из S добавлением к S множества / индивидных
констант I, причем 7<g:7. Пусть, как и раньше, v — отображение
множества / на /. По определению
(7) v (i) = {v„ (i)}n<=N Для i e /,
где vn(i)^/n есть /г-я координата точки v(i). Разумеется, vw
является отображением множества / на /п.
Мы расширим реализации R0 и Rn до реализаций языка Si
(обозначаемых теми же буквами Ro и Rn), принимая
(8) i/?0 = v (i), iRn = vn (i) для любого i <= /
в соответствии с соглашениями в § 6, (5), стр. 268. Из (7) и (8)
следует, что расширенная реализация Ro является
произведением реализаций /?n, n^N,

280
АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ
[ГЛ. VI
Для каждой фиксированной оценки v левая часть (6),
рассматриваемая как функция от |<х|_, где а — формула в j?j,
является гомоморфизмом /-алгебры /^формализованного языка«2?
в алгебру А' в силу 6.5. Сходным образом, правая часть
(6),рассматриваемая как функция от |а|, является гомоморфизмом
злгебры Fi в А и, следовательно, в А! в.силу 6.5 и I, 4.1040). Из
2° и теоремы 8.1 (примененных к расширенным реализациям /?о,
Rn) следует, что эти гомоморфизмы совпадают на множестве
всех элементарных формул языка Si. Это множество порождает
алгебру Fiy а поэтому гомоморфизмы равны.
Так как правая часть (6) всегда принадлежит произведению
А, то это же справедливо и для левой части. Это доказывает,
что /?<> является реализацией языка З'в/ив произведении Л, и
завершает доказательство 8.2.
Пусть теперь
{в, и, n,#,-,U>fl)
— алгебра, однотипная алгебрам (1) и (4). Пусть h —
гомоморфизм произведения А (см. (4)) всех алгебр Ап в алгебру В.
Пусть /?о, как и прежде, — произведение реализаций Rn языка &
в/п и Ап. В силу 8.2 /?0 является реализацией языка & в / и А.
В соответствии с § 6, стр. 269, посредством hR0 мы будем
обозначать следующую реализацию в / и В:
фй#о — Ф*о для любого функтора ф,
рл^о==ЛРо^о Для любого предиката р.
При этих условиях имеет место следующая теорема:
8.3. Для каждой формулы а •
ahRo(v) = h(aRo(v)).
Это — непосредственное следствие теоремы 6.6. Правда, 6.6
была доказана в предположении, что область определения
отображения Л, т. е. А, является полной алгеброй. Однако в § 7 мы
видели, что все теорему § 6, в частности теорема 6.6, остаются
справедливыми в неполных алгебрах, если только все
бесконечные операции, фигурирующие в индуктивном определении
отображения aRo(v), выполнимы. В предположениях теоремы 8.3 это
выполняется в силу 8.2.
Все замечания и теоремы, доказанные в § 8, остаются
верными, если произведение всех алгебр Ап всюду заменить на
полное произведение всех Ап. Доказательства теорем 8.2 и 8.3 будут
тогда проще, так как полное произведение полных алгебр Ап
само является полной алгеброй. Однако случай произведения
алгебр Ап более важен для приложений, чем случай полного
произведения алгебр Ап (см., например, VIII, § 18).

$91
АЛГЕБРА ОТКРЫТЫХ ФОРМУЛ
281
§ 9. Алгебра открытых формул
Пусть 2 = {А,Т, F}— формализованный язык первого
порядка. Напоминаем, что формула языка 2 называется открытой,
если она не содержит знаков кванторов. Пусть А0 обозначает
алфавит, получаемый из алфавита А удалением кванторов и
связанных индивидных переменных. Пусть F0 обозначает
множество всех открытых формул языка 2\
В соответствии с V, § 14, стр. 240, тройка j?° = {А0, Г, F0}
называется языком открытых формул языка 2.
9.1. Множество F0 .всех открытых формул языка 2 является
подалгеброй алгебры F всех формул языка 2, а именно
подалгеброй, порождаемой множеством всех элементарных
формул Е.
Это непосредственно следует из индуктивного определения
множества F0, приведенного в V, § 14, стр. 240.
Заметим, что две открытые формулы конгруэнтны в том и
только в том случае, когда они равны. Поэтому F0 можно также
рассматривать как подалгебру алгебры {F, U, Л, =Ф, —}.
9.2. Алгебра {770, U, Л» =^i —} открытых формул является
свободной в классе всех алгебр {А, ои о2, о3, о4} с тремя бинарными
операциями ои ог, Оз и одной унарной операцией о4- Множество Е
всех элементарных формул является системой свободных
образующих для F0.
Доказательство 9.2 — такое же, как для 2.1.
9.3. Пусть R — реализация языка 2 в множестве J Ф0 и
в алгебре А. Для каждой фиксированной оценки v выражение
ал (у), рассматриваемое как функция открытой формулы а в F°t
является гомоморфизмом алгебры F0 в алгебру А, причем
(1) P^.-.t^W —ря(т1Я(о), ...9%mR(v))
для каждой элементарной формулы p(ti...Tm).
Теорему 9.3 можно доказать непосредственно, как и
аналогичную теорему 2.3. Ее можно также вывести из 6.5,
интерпретируя F0 как подалгебру алгебры {FIt U, П,=ф, —}.
Пусть j?0 = {Ао, ^о} —такой формализованный язык нулевого
порядка, что множество V0 всех пропозициональных переменных
в 20 имеет ту же самую мощность, что и множество Е всех
элементарных формул языка 2*. Пусть s0 — взаимно-однозначное
отображение множества V0 на £. По определению s0 является
подстановкой языка 2 в 2Q (см. § 2, стр. 245). В силу § 2, (2),
(3), (4) (см. также 2.2) отображение s0 можно однозначно
продолжить до гомоморфизма 5 алгебры Fo в F. Для каждой
формулы а в F0 sa обозначает образ формулы а при отображении s,
т. е. результат подстановки s0 в а,

U8U
алгебра Формализованных языкоё
[t-л. vt
9.4. Если So — взаимно-однозначное отображение множества
V0 на Я, то его гомоморфное продолжение s является
изоморфизмом алгебры F0 на F0.
Из определения легко следует*, что sa не содержит кванторов.
Поэтому гомоморфизм s отображает F0 в Р. С другой стороны*
ScT можно также расширить до гомоморфизма алгебры F° в Fo
в силу 9.2. Вследствие I, 4.5 s является изоморфизмом алгебры
F0 на Z70.
Пусть So = {Ao, Fo} и s имеют тот же смысл, что и раньше, и
пусть v = {va}a<=vo —оценка языка So в полной алгебре А типа
§ 6, (1). Мы определяем следующим образом реализацию R
для & в множестве Т (всех термов в &) и в алгебре А:
R является канонической реализацией термов. Для любого
m-местного предиката р (т = 1,2,...) и любых термов tt, ..., хт
пусть а есть такая пропозициональная переменная, что sa есть
элементарная формула p(ti...tm). Тогда полагаем
(2) pR(ru ..., rm) = va.
Пусть t — тождественная оценка в 3?. При этих условиях имеет
место следующая теорема:
9.5. Для каждой формулы а в 2?о
(3) aA(v) = saR(i).
Теорема 9.5 непосредственно следует из 6.9, так как в
обозначениях 6.9 имеем si = у41).
§ 10. Алгебра формализованной теории
Пусть & — формализованный яаык нулевого или первого
порядка или же язык открытых формул в языке первого порядка.
Пусть 3~ = {2\ С, А} — формализованная теория, основанная
на языке &\ Пусть F — множество всех формул языка &.
Операция присоединения следствий С ъ & может быть совершенно
произвольной. В этом параграфе мы предполагаем только, что
множество C(s4>) всех теорем в ^"замкнуто относительно modus
ponens, т. е. что
если а и (а=фр) являются теоремами в Т*
'*' то и р является теоремой в Т.
Во всех последующих теоремах предполагается условие (1).
Для произвольных формул а и р мы будем писать
(2) а<Р,
если формула (агф р) является теоремой в Т.

§ Щ АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННОЙ ТЕОРИИ 283
10.1. Если все фор/гулы вида
(То) ГафаЛ
где а, р, у — произвольные формулы, являются теоремами в &~,
то отношение (2) является отношением предпорядка в F.
Из (То) следует, что
а^а для любой формулы а.
Если а sg р и р ^ y> то а ^ Y- В самом деле, тогда
(3) (a#p)f
(4) (P#Y)
являются теоремами. Применяя modus ponens (1) к (3) и (Tt),
получаем, что
(5) ((^у)=ф(а^у))
является теоремой. Применяя modus ponens (1) к (4) и (5),
получаем, что (<х^ у) является теоремой, т. е. а ^ у.
Будем говорить, что формулы a, p эквивалентны в У~9 если
обе формулы
fa^p) и (рфсО
являются теоремами в вГ9 т. е.
а<р и р<а.
Мы будем тогда писать
(6) a « р.
Если ^—предпх>рядок в F, то в силу I, 5.2 отношение
(6) является отношением эквивалентности в F/B соответствии
с I, § 3, стр. 29, класс эквивалентности, содержащий а, будет
обозначаться посредством || all. Иногда мы будем использовать
вместо || а || более точное обозначение II а И^..
В силу I, 5.2 отношение предпорядка (2) в F
индуцирует отношение порядка ^ в /7~. Напоминаем, что <;
определяется в Р/ж следующим образом: для любых формул а, р в Fa
/7ч II а || ^ || р || тогда и только тогда, когда a ^ р,
' ' т.е. когда (az^p) является теоремой.
Множество F/« обозначается посредством %(ЗГ)*).
*) В силу доказываемых далее теорем 10.5, 10.6 Щ(#") можно
истолковать как универсальную алгебру с четырьмя операциями, соответствующими
логическим связкам. Алгебра Ш(2Г) была сначала введена А. Линденбаумом
и (в несколько отличной форме) А. Тарским. В последнее время она широко.

284 АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ [ГЛ. VI
Мы установили следующую теорему:
10.2. Если Т удовлетворяет условиям теоремы 10.1, то 91 (ЗГ)
упорядочено отношением ^ и имеет место (7).
Мы докажем теперь следующую теорему:
10.3. Если все формулы вида (То), (Т4) и все формулы вида
(Т2) fa#(aUPU
(Т3) (P=H<xUPU
(т4) r(a#Y>)#r(P#Y>)=#rraup;#Ym
(Т5> (ГаПР)=^а),
(Т6) ГГаПР)#РЛ
(Т7) ((y^a)^>((y^t)^(y^(am))
являются теоремами в 0~, то отношение ^ является в %(ЗГ)
отношением решеточного порядка и, следовательно, % (3~)
является решеткой. Более того, для любых формул а, р
(8) Ha||UIIPII = liraUP)ll, Ца||П11Р11 = 11ГаПр;||,
г. е. отношение (6) является конгруэнцией по отношению к
операциям (J и П в алгебре формул F.
Заметим, что U, П в левой части (8) обозначает
объединение и пересечение в 31 (SH, индуцированные порядком <.
В правой части (J, П обозначают знак дизъюнкции и знак
конъюнкции.
применяется и исследуется многими авторами. См., например, Хенкин [2],
Лось, Расёва и Мостовский [1], [2], Мостовский [1], Мак-
Кинси [1], Мак-Кинси и Тарский [3], Расёва [2], [4]—[10],
Расёва и Сикорский [1]—[7], [9], Ригер [1], [3], Сикорский [6]—[8]
и [10Ы15].
А. Линденбаум — выдающийся польский математик, преждевременно
погибший (был убит нацистами во время второй мировой войны),
многочисленные результаты которого не были опубликованы. В честь Линденбаума
польские логики обычно называют Ш,(&~) алгеброй Линденбаума. Этот термин
для %(0~) использовался также авторами этой книги. Нас побудило к этому,
между прочим, то обстоятельство, что Мак-Кинси [1], близкий сотрудник
Тарского, называл такую трактовку множества всех формул
формализованного языка нулевого порядка «неопубликованным методом Линденбаума*
(стр. 222, строка 12), «объясненным мне профессором Тарским»
(примечание 7). Мы должны здесь привести также следующее замечание Хенкин а
и Тарского [2] (стр. 85, примечание 4): «Если не считать отличия в
трактовке понятия равенства, фактор-алгебры F/ « были явно введены
Тарским в [5], стр. 510»; «исторические аргументы, приводимые Расёвой и
Сикорским [6], стр. 143, примечание I, для наименования этих алгебр
алгебрами Линденбаума, по-видимому, некорректны». (Ссылки в данном
примечании нумеруются э соответствии с нумерацией, принятой ц ацо£
книге.)

§ 10J АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННОЙ ТЕОРИИ 285
Для доказательства 10.3 рассмотрим ||а||, 11(311—любые
элементы из %(Т). В силу (Т2) (Т3) и (7)
■ alKllfoUPJII и || РКЦ Га U 011.
Предположим теперь, что \\у\\ —еще один элемент из %(&~)
такой, что
llalKUvll и HPIKIlYll,
т. е. формулы
(9) (а#уЛ
(Ю) (P#Y>>
являются теоремами. Применяя modus ponens (1) к (9) и (Т4)>
получаем, что формула
(Н) (TP#Y)#tfaUPJ#YX>
является теоремой. Применяя modus ponens (1) к (10) и (11),
мы получаем, что формула ((a U р):=> y) является теоремой,
т. е. что
HfaUPJIKIlYll
в силу (7). Этим доказано, что ||(aUp)|| является
объединением ||а|| и ПРИ в «(«Г).
Используя (Т5), (Т6), (Т7) вместо (Т2), (Тз), (Т4), мы
доказываем исходным образом, что ||(а П Р)И является пересечением
Hall и ПРИ в «(П.
Поэтому (8) выполняется. Поскольку объединение и
пересечение всегда существуют, то %(&~) является решеткой.
10.4. Если все формулы вида (Tt) — (T7) и все формулы
вида
(Те) со # гр # у)) # ((* п р; # у))9
(Т9) ((Га П Ю # V) # (« =#> (Р # Y^>
являются теоремами в 9~, то и все формулы вида (Т0) также
являются теоремами. Следовательно, %(&~) является решеткой
и имеют место (7), (8). Более того, 41 (9~) является тогда им-
пликативной решеткой, а именно:
(12) ЦаИ#11Р11-ИГа*ФР)11
для всех формул а, р, т. е. отношение (6) является
конгруэнцией в Р по отношению =ф. Элемент ||а|| является единичным
элементом решетки %(&~) тогда и только тогда, когда а
является теоремой в Т.
Заметим, что z^> в левой части равенства (12) обозначает
относительное псевдодополнение в решетке %\3~), В правой
части =^ обозначает знак импликации.

286 АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ [ГЛ. VI
Для доказательства 10,4 напомним, что (Т0) выводимо из
формул вида (Т5), (Т6), (Т9) средствами одного modus ponens
(см. V, 9.1). Так как ЗГ замкнута относительно modus ponens,
все формулы в таком формальном доказательстве для (То)
являются теоремами в #". Поэтому и (То) —теорема в 9~.
В силу выполнения условий 10.3 %{Т) —решетка и имеют
место (7), (8).
Пусть теперь ||а||, IIРII — какие-нибудь элементы в 21 (Т).
Формулы
являются теоремами, так как они имеют вид (То) и (Т8). В силу
modus ponens (1) формула
tf(a#p;n<0#p;
также является теоремой, т. е.
Iltfa#pjnaj||<||pi
В силу (8) это неравенство можно переписать в виде
(13) llalinilfa^pJIKHPII.
Мы докажем теперь, что для каждого элемента ||-у11 в %(&~)
(14) если HaimilYlKliPII, то ||Yll<ll(a#p)||.
В самом деле, если ||а|| Г) llyll < ПРИ, то в силу (7) и (8)
формула
(ТуПсОфр;
является теоремой. Формула
(tfvna;#p;#rv#(a#p^
— также теорема, так как она имеет вид (Т9). В силу modus
ponens (1) формула
(У=$(а^Ю)
— теорема, т. е. \\у\\ < ||(а=#> р)||.
Тождество (12) непосредственно следует из (13), (14) и
определения операции => на решетках (см. I, § И, (1)). Поэтому
%(3~) является импликативнои решеткой и, следовательно,
имеет единичный элемент V.
Из (12) и I, § 11, (3) следует, что
(15) VH|a||#lla|l=ll(a#aJH
для каждой формулы оь

§ 16] АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННОЙ tEOPHH 2&t
Мы доказали в V, 9.1, что любая формула вида
(16) (о =>(р=#> а))
выводима из множества всех формул вида (Ts), (Те) и (Тд)
посредством modus ponens. Так как C(s4>) замкнуто
относительно modus ponens, то все формулы в таком формальном
доказательстве формулы (16) принадлежат C(s£). Таким
образом, в частности, (16) принадлежит С(«я£), т. е. все формулы
вида (16) являются теоремами в 3~. А значит, и всякая
формула вида
(a#tfa=#aj#aj)
— также теорема. Если a — теорема в £Г, то посредством
modus ponens (1) получаем, что ((az^ a)z^> a) также является"
теоремой. Поэтому в силу (7) и (15)
V=»II(a#cO||<||a|f
т. е. ||a||=V. Обратно, если Ца|| = V, то ||(а:ф а)||< ||а||
в силу (15), т. е. формула
является теоремой. Так как (az$> а) — также теорема, то а
является теоремой в силу modus ponens (1"). Этим доказывается
последняя часть 10.4.
10.5. Если все формулы вида (Tt) — (Tg) и все формулы вида
(Tie) ffafl-<0#p)f
(Т„) ((а^(а()-а))ф-а)
являются теоремами в 3~, то % (&~) является псевдобулевой
алгеброй и имеют место (7), (8) и (12). Более того, для каждой
формулы а
(17) - ||а || =||- а J],
т. е. отношение эквивалентности (6) является конгруэнцией
в алгебре {F, (J» Л, =>, —} формул теории Т.
Заметим, что в левой части (17) символ — обозначает
псевдодополнение в 91 (^Г). В правой части он обозначает знак
отрицания.
В силу 10.4 %(Я~) является импликативной решеткой, и (7),
(8), (12) выполняются. Из%(Тм) и (7) следует что
llfan-aJIKHpH
для любой формулы р, т. е. при любом а элемент ||(а Л —а)II
является нулевым элементом Л в % {$~):
В(аП-<0||«Л.

288 АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ [ГЛ. VI
Следовательно, в силу (8)
Ца||П1|-а||=Л.
Это в силу определения псевдодополнения в решетке (см. I,
§ 10, стр. 68) влечет, что
1|-а||<-||а||.
С другой стороны,
Н|а|| = ||а||^Л=||а||#||(аП~а)|| = ||(а#(аП--а>)>)|К||--а||
в силу I, § 11, (16), а также (12) и (Гц). Этим доказано (17).
10.6. Если все формулы вида (ТА) — (Гц) и все формулы
вида
(Т12) (aU-а)
являются теоремами в 0~, то %(Т) является булевой алгеброй
и имеют место (7), (8), (12), (17).
В силу (Tt2) и последней части 10.4 имеем
l|a||U-||a||=V
по (8) и (17). Это доказывает, что псевдодополнение —||а||
элемента ||а|| (см. 10.5) является дополнением элемента ||а||
согласно I, 10.1 и I, 12.1. В силу II, 1.2 % (&~) является булевой
алгеброй.
Мы закончим этот параграф следующими простыми
применениями теорем 10.4, 10.5 и 10.6:
10.7. Предположим, что все формулы вида (Tt) — (Tg)
являются теоремами в Т. Тогда теория 2Г является
непротиворечивой в том и только в том случае, когда решетка % (2Г) не
вырождена, т. е. когда она содержит по меньшей мере два
элемента.
В самом деле, в силу последней части 10.4 ||а|| = V тогда
и только тогда, когда a — теорема. Поэтому в *&(&~) имеется
отличный от V элемент в том и только в том случае, когда
существует формула а, не являющаяся теоремой*).
10.8. Предположим, что все формулы вида (Tt>— (Т9)
являются теоремами в &~. Если а и р — теоремы в £Г, то
(а 0 р) — также теорема в 9". Если р — теорема в Т, а а —
произвольная формула, то (a U p), (p U а), (а=ф р) — также
теоремы в <Г.
*) На самом деле доказано несколько более слабое утверждение: если
все формулы вида (Ti)~(Т9) являются теоремами в Ту то решетка Ш(£Г)
тогда и только тогда не вырождена, когда существует формула а, не
являющаяся теоремой теории Т. Ввиду V, 14.1 для верности теоремы 10.7 надо
добавить (Тю). — Прим. редч

§ 11] Q-АЛГЁБРА ФОРМАЛИЗОВАННОЙ ТЕОРИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 289
Если ||а|| = llpll = V, то ||(аПР)И = 1Ы1Г1 llpll = V, что
доказывает первую часть 10.8. Если ||р|| = V, то имеем также
HfaUP)l-llfPUa)|| = ||o||UIPI==Vf
l(a#p)|| = ||al#||piHla||=»V-V,
что доказывает вторую часть 10.8.
Конечно, теорема 10.8 может быть доказана и чисто
логическими средствами с помощью modus ponens и теорем (Ti) —
(Т9).
10.9. Если все формулы вида (Ti) — (Тп) являются
теоремами в £Г и a — теорема в Э~, то a — также теорема в Т.
Если все формулы вида (Ti) — (T12) являются теоремами
в $~, то формула а является теоремой в ZT тогда и только тогда,
когда a — теорема в <Г\
В условиях первой части 10.9 %(0~) является псевдобулевой
алгеброй. Поэтому ||а|| ^ ||а|| = 11 all в силу I; 12.3,
(29) и в силу (17). Если а — теорема, то ||а|| = V. Поэтому
|| а|| = V, т. е. а также является теоремой.
В условиях второй части 10.9 %(3~) является булевой
алгеброй. Поэтому || а|| = ||а|| = Hall в силу (17) и
II, L3 (5). Следовательно, ||а|| = V в том и только в том
случае, когда || all = V, т. е. а является теоремой тогда и
только тогда, когда а является теоремой.
10.10. Если все формулы вида (ТА) — (Тн) являются
теоремами в &~у то формула а является опровержимой
(неопровержимой) тогда и только тогда, когда ||а|| = Л (|| а || ф Л).
а опровержима, т. е. —а является теоремой, в том и только
в том случае, когда || —а \\ = V. В силу (17) и I, 12.3, (26) это
эквивалентно ||a|j = Л.
Остающаяся часть 10.10 следует из доказанной уже части.
10.11. Если все формулы вида (Ti)— (Tt2) являются
теоремами в ZT, то формула а (формула —а) неопровержима в том
и только в том случае, когда формула —а (формула а) не
является теоремой в Т.
Так как %($Г)—булева алгебра, то ||а|| ф Л
эквивалентно — || а || ф V, т. е. || —a II ф V, что в силу 10.4 (последнее
утверждение) и 10.10 доказывает одну часть теоремы 10.11.
Остающаяся часть устанавливается аналогичным образом.
§11. Q-алгебра формализованной теории первого порядка
В этом параграфе мы изучим фиксированный
формализованный язык & = {А, Г, F} первого порядка и фиксированную
теорию 9~ =■ {&, С, $4). Мы будем всегда предполагать, что
множество С(я£) всех теорем в ff~ замкнуто относительно всех

290 АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ [ГЛ. VI
правил вывода (п), (г2), (г3), (г4), (г5), (г6) из V, § 8. Мы
принимаем также обозначения § 10.
11.1. Если все формулы вида (То) и (Т4) являются
теоремами в Т и Т0 — любое такое множество термов, что в Т0
содержится бесконечно много свободных индивидных переменных,
то для любой формулы р (х)
(1) ||UP№)|==supJ|P(t)||,
(2) ПРЙ)|=;пИ1Р(т)||
в упорядоченном множестве % (<Г) *).
Формула
является теоремой, ибо она имеет вид (То). По правилу (rs)
удаления квантора существования формула
i
где х не фигурирует в Р(|), также является теоремой. Отсюда
по правилу (г2) подстановки вместо свободной индивидной
переменной формула
(Р(т)#ир(ш
тоже теорема, т. е.
IIPWIKIUP®! Для любого терма т в Т0.
II l II
Предположим теперь, что || а || — другой элемент в 21 (<Г) со
свойством:
IIР(т)II ^11 а II для каждого терма т в Т0.
Так как а содержит только конечное число свободных
индивидных переменных, а Т0 содержит бесконечно много свободных
индивидных переменных, то существует свободная индивидная
переменная х' из Г0, не встречающаяся в а. Так как || Р(*')Н ^
< II а ||, т. е.
является теоремой, то формула
*) Р а с ё в а [2], [4] и X е н к и н [2]. Ср. также Чандрасекхаран [1J.

§ и] Q-АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННОЙ ТЕОРИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 291
является теоремой по правилу введения квантора
существования (г3). Поэтому
||урШ|<Ца||,
что доказывает (1).
Доказательство (2) проводится двойственным образом.
Вместо (г5) и (г3) применяются соответственно (гб) и (г4) и везде
пишется ^ вместо ^.
В качестве простого следствия 11.1 и 10.3 мы приведем
теорему
11.2. Если все формулы вида (Т0) — (Т7) являются
теоремами в Ту то для каждой формулы §(х)
(Q)
|ур(!)| = Уг11РМ11.
|фР(б)|=Л_ирм1
в решетке % (&~).
В этой книге мы будем в основном иметь дело со случаем,
когда либо все формулы вида (Ti) — (T12) являются теоремами
в &* (глава VIII), либо все формулы вида (Ti) — (Тц) являются
теоремами в %Г (глава X). Тогда %(&~) будет булевой или
псевдобулевой алгеброй и будут иметь место тождества (Q). Мы
будем всегда интерпретировать %(&~) как обобщенную алгебру:
3) {*(Л. U, П,#, -, (Jl^'fll^
где (J и П являются бесконечными объединением и
пересечением. В качестве общей области определения Q для (J и П
в %{Т) будет браться класс всех проиндексированных
множеств
(4) {IIPMIIW
где р(дс)—любая формула. Другими словами, (J и Г) СУ"
жаются в %(&~) только на бесконечные объединения и
пересечения (Q), т. е. на бесконечные объединения и пересечения,
соответствующие кванторам. Другие бесконечные объединения и
пересечения, существующие в 4L{9")9 не будут приниматься во
внимание.
Обобщенная алгебра (3) часто будет называться кванторной
алгеброй теории Т или, короче, Q-алгеброй теории Т.
11.3. Если все формулы вида (Ti)—(Тц) являются
теоремами в Т и формулы а, а', в 2? конгруэнтны, то
(5) II а || =11 а'И.

292 АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ [ГЛ. VI
Поэтому равенство
(6) Л(|а|) = ||а|1
определяет отображение h\ F_—* %(&~). Отображение h является
гомоморфизмом Q-алгебры F в Q-алгебру 91 (<Г).
Доказательство равенства (5) ведется индукцией по длине
формулы а. Если а — элементарная формула и а ~ а', то а!
и а совпадают, а потому имеет место (5). Если а — дизъюнкция
(Р U y) и а ~ а'> то а' имеет вид ($' U у'), причем р ~ р',
Y ~ y'- Если (5) выполняется для р и y, то оно справедливо
также для а, так как
II «ж II — IIРIIUII v II—IIР^ IIU lh< II—II «^ и.
Сходным образом мы проверяем случаи, когда а — конъюнкция
или импликация двух формул или же отрицание формулы. Если,
для некоторой формулы Р(*)> « имеет вид (Jp(£) и а ~ а'> то»
для некоторой формулы Р'(*)~Р(*)> а' имеет вид (JP'Cn)-
■л
Если (5) выполняется для р(х), то оно выполняется также и
для а, ибо
lla|| = |UP(6)|= U HPWII= U IIP'WlHiUP'^IHlla'll.
II I II геГ тег И t] II
Сходным образом проверяем тот случай, когда формула а имеет
вид ПРИ)-
1
Доказательство того, что (6) — гомоморфизм, получается
несложной проверкой.
Гомоморфизмы и изоморфизмы Q-алгебры %(&~) в другую
обобщенную алгебру Я, однотипную алгебре (3), будут
называться Q-гомоморфизмами и Q-изоморфизмами соответственно
для того, чтобы подчеркнуть, что они сохраняют также
бесконечные операции (Q), соответствующие кванторам.
В приложениях В всегда будет решеткой, а (J, fl в В
будут бесконечными объединением и пересечением. Поэтому
такая терминология согласуется с терминологией, введенной
в I, § 7, стр. 56.
Две следующие теоремы дополняют 10.8:
11.4. Предположим, что все формулы вида (Tt)—(То)
являются теоремами в Т. Если формула р(дс) является теоремой
в Т, то и формула Р)Р(£) является теоремой в Т.
\

$ II] Q-АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННОЙ ТЕОРИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 293
Другими словами:
Множество всех теорем в Т замкнуто относительно правила
вывода:
Ш
Пэ(В)"
I
Это правило вывода называется правилом обобщения.
Для доказательства 11.4 заметим, что если р(х)—теорема,
то р(т) также является теоремой для любого терма те Г, т. е.
II Р(т)II = V для любого тбГ. Отсюда
Лр(6>|-Л iiPMii-v
в силу (2), чем.доказано, что Р)Р(1)— теорема.
I
Заметим, что множество всех теорем в Т замкнуто также
относительно обратного правила удаления квантора общности:
Леи)
_i
Действительно, формула
является теоремой, как формула вида (Т0) (см. 10.4). С
помощью правила (re) удаления квантора общности (§ 8 гл. V)
получаем, что формула
(ЛР<6)"»РМ)
i
также является теоремой. Отсюда с помощью modus ponens
получаем, что р(х) —теорема.
Напоминаем, что формула называется замкнутой, если она
не содержит свободных индивидных переменных. Формула а
называется замыканием формулы а, если она имеет вид
Л Л • • • Л а (*i/b» *2/£2 *«/£*)>
«1 h h
где хи...,хп— все свободные индивидные переменные,
встречающиеся в а, т. е. если а есть замкнутая формула, полученная
из а несколькими применениями правила обобщения.
Из наших рассуждений непосредственно вытекает
следующая теорема:

294
АЛГЕБРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ
(ГЛ. VI
11.5. Предположим, что все формулы вида (Tt) — (Т9)
являются теоремами в 3~. Формула а является теоремой в 0~
тогда и только тогда, когда ее замыкание а является теоремой
в Т.
Из первого тождества (Q) в 11.2 следует, что
l|aWII<|Ua^)|-
Поэтому, если элемент, стоящий в левой части, не является
нулевым элементом в % (&~)> то элемент, стоящий в правой части,
также не является нулем в %{&~). В силу 10.10 это замечание
можно также сформулировать следующим образом:
11.6. Предположим, что все формулы вида (Tt) — (Гц)
являются теоремами в $Г. Если формула а(х) неопровержима, то
формула \J a (£) также неопровержима.
I
Имеет место также несколько более общее утверждение:
Если формула а(хи ..., хп) неопровержима, то формула
(J ... (Jа(11, ..., 1п) также неопровержима.
Нижеследующая теорема 11.7 непосредственно получается из
(1) и (2) (где Г0 = Т) индукцией по длине формул:
11.7. Если все формулы вида (Т0), (Л) являются
теоремами в Т (в частности, если все формулы вида (Tt) — (Т9)
являются теоремами в %Г) и р, у — конгруэнтные формулы, то
(7) IIPII = llYll.
Следовательно, если р и у суть замыкания одной и той же
формулы а, то имеет место (7) *).
*) По-видимому, теорема 11.7 в полном объеме не верна. Однако
справедлив указанный в формулировке частный случай. — Прим. перев. и ред.

ГЛАВА VII
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Предварительные сведения
В этой главе мы будем иметь дело с фиксированным
формализованным языком 2?о = Но, ^о} нулевого порядка. Алфавит
А0 языка j?0 и множество F0 всех формул языка j?0 были
описаны в V, § 6. Буква Vo будет всегда обозначать множество
всех пропозициональных переменных а, 6, с,... в 3?q. В этой
главе под формулой, если не оговорено противное, будет всегда
пониматься формула из j?0.
Буква Ч? будет во всех случаях .означать классическую (или
двузначную) операцию присоединения следствий, определенную
в V, § 11, стр. 220.
В этой главе мы подробно исследуем классическое (т. е.
двузначное) исчисление высказываний, основанное на j?0, т. е.
дедуктивную систему
определенную в V, § И.
Нам уже известны основания для введения дедуктивной
системы 9*q: она помогает нам уточнить понятие
пропозициональной тавтологии, т. е. предложения, истинного только благодаря
своему связочному синтаксису. 9>о может быть также
использована для изучения вопроса: в каких случаях предложение а
может рассматриваться как логическое следствие некоторых
предложений ai, аг,..., исходя из одного только связочного
синтаксиса предложений а, аь о&2,...?
Конечная последовательность ai,..., ап называется
формальным выводом формулы а в <?о из множества S формул, если ап
есть а и при всех / ^ п либо щ — логическая аксиома, либо
olj — формула из S, jjh6o же щ выводима из некоторых формул
a/i> a/2 Ни J2<l) посредством modus ponens*). Формула a
*) Формальный вывод из пустого множества формул называется
формальным доказательством. — Прим. ред.

296 КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VII
называется выводимой из S в 9*о9 если существует формальный
вывод формулы а из S в ^о. В соответствии с V, § 11 символ
^(S) или, точнее, символ ®^e (S) будет обозначать множество
всех формул, выводимых из S в &0. Формула а называется
доказуемой в Ро, если она принадлежит Ф (0).
Иногда в этой главе мы будем рассматривать
формализованные теории $Г = {j?0, V, $А нулевого порядка, где s& —
некоторое множество формул (математические аксиомы теории Т).
Формулы из ^(зФ) называются теоремами теории Э~. В
соответствии с соглашением на стр. 219 формализованная теория
{3?о, *&> 0} с пустым множеством математических аксиом будет
отождествляться с дедуктивной системой &о = {i?o, ^}.
Под теорией, если не оговорено противное, в этой главе мы
всегда будем понимать теорию нулевого порядка, основанную
на языке 2?о.
Напомним (см. VI, § 10), что алгебра %(Т) теории
ЯГ = {j?o, ®*, Щ есть алгебра /У», где « — следующее
отношение конгруэнтности в {F0, U, П» =Ф> —}•
а «* р тогда и только тогда,
когда (а=ФР) и (р=фа) являются теоремами в fT.
В частности, 51 (^0) есть алгебра F0I&, где « есть
следующая конгруэнция в {F0, (J, 0, =ф, —}:
( . а « р тогда и только тогда,
когда (<х#р) и (р=фа) доказуемы в #V
Из VI, 10.4— 10.7, 10.10 следует:
1.1. Алгебра %(Т) является булевой алгеброй. Более того,
для любых формул а, р
(3) H«IIU IIPII = 11 (аUРЛ1, Ца||П1РЯ-ИГаПРЛ1,
1|а||#||Р1| = ||(а=ФРЛ1, — II <х 11 — И — сх Ц.
Отношение
(4) 1|а|К||р11
имеет место тогда и только тогда, когда (а =£ р) — теорема
в <Г. Формула а является теоремой в ZT в том и только в том
случае, когда элемент \\ а II является единицей А в % (Т).
Формула а неопровержима в 2Г в том и только в том случае, когда
|| а || ф Д. Теория Т непротиворечива тогда и только тогда,
когда булева алгебра % (Т) не вырождена.
Пусть {A, U, П, =>, —} — универсальная алгебра с тремя
бинарными операциями U, П, =ф и одной унарной операцией —.

§ г] ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 297
Как было установлено в VI, § 2, каждая формула а в F0
однозначно определяет отображение
(5) аА: АУ*->А,
где V0 — множество всех пропозициональных переменных в 2V
Каждый элемент v = {va}aEBVo прямого произведения Av\ т. е.
каждое отображение
(6) v: VQ-»A,
называется оценкой в А.
В этой главе мы всегда будем предполагать, что
{A, U, П» =Ф» —} является невырожденной булевой алгеброй.
В частности, в качестве А мы иногда будем брать алгебру
51 (ЗГ) некоторой формализованной непротиворечивой теории
gr _ {g0t <&y jty Тогда оценка
(7) o°-{llflBWis«(nVi
называется канонической оценкой для Т (см. VI, § 2). Из VI,
2.6 следует:
1.2. Если v°— каноническая оценка для &", то для каждой
формулы а
(8) аШ)^) = \\а\Ш%(Г).
Оценка не/0 в невырожденной булевой алгебре А
называется моделью для множества формул о, если
аА (v) = V для каждой*формулы а е S.
В частности (если S состоит точно из одной формулы а),
оценка v называется моделью для формулы а, если aA(v)= V.
Оценка v называется моделью для теории 9~ = {&ъ% <&, s4),
если v является моделью для множества $t> аксиом теории ST.
Формула а называется общезначимой в булевой алгебре А,
если каждая оценка v e Av* является моделью для а в А, т. е.
если отображение а^ тождественно равно единичному
элементу V в А. Мы пишем тогда
(9) aA=*V.
Формула называется общезначимой, если она общезначима
в каждой булевой алгебре.
1.3. Каждая формула, доказуемая в 9>ь общезначима.
С помощью несложных выкладок убеждаемся, что каждая
ИЗ логических аксиом (Т^ — (Ti2) общезначима.

298 КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VII
Проверим, например, формулы вида' (Т2). Для любой
оценки pvb булевой алгебре А имеем
(а =# (а U Ю)А («О = *А (*) ^ К W U Рд И -
= -aA(t;)Uay|(t;)UP^H===VUPA(y)=V
в силу VI, § 2, (10).
Если ад и V и (а =Ф Р)д = V, то тогда и рл в V, так как
для любой оценки у
P^W=V=#P^(t;) = a>1(t;)=#p>1(t;) = (a#p^(t;)=V
в силу I, § 12, (8) и VI, § 2, (10). Поэтому класс всех
общезначимых, формул замкнут относительно modus ponens. Так как он
содержит все логические аксиомы (Ti) — (Т42), то он содержит
также все доказуемые формулы. Это доказывает 1.3.
Обратная к 1.3 теорема будет установлена в § 2. Мы
рассмотрим сейчас вкратце случай двухэлементной булевой алгебры
До, которая будет играть особую роль в наших исследованиях.
В силу V, § 6 (см. стр. 198) формула а в 3?о является
тавтологией в том и только в том случае, когда она общезначима
в двухэлементной булевой алгебре A0i т. е. когда
(10) aA=V.
Любая модель для множества формул (соответственно, для
формулы или для теории) в двухэлементной булевой алгебре А0
называется семантической моделью.
Следующее утверждение выводится из 1.3:
1.4. Исчисление высказываний 9*о непротиворечиво.
В противном случае существовала бы такая формула а в &ъ,
что обе формулы а, —а были бы доказуемы в &0. В силу 1.3
они являлись бы тавтологиями. Пусть v — какая-нибудь оценка
в двухэлементной булевой алгебре Л0. Так как a — тавтология,
то мы имеем аЛо (v) = V • Отсюда Л = — ал (v) = (— а)А (v).
Так как —a — тоже тавтология, то мы получаем отсюда, что
(•— а)А (i>) = V- Поэтому Л = V, что не имеет места в А0.
§ 2. Полнота пропозициональных исчислений
Теорема 1.3 влечет, что каждая доказуемая формула
является тавтологией. Это утверждение уже было непосредственно
доказано в теореме V, 11.1. Обратное утверждение также
справедливо. Мы можем доказать следующую теорему, называемую
теоремой о полноте для (классических) пропозициональных
исчислений;

§ 3) ПРИМЕРЫ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫХ ТАВТОЛОГИЙ 299
2.1. Формула а в 9*о = {3?о, *&} является пропозициональной
тавтологией тогда и только тогда, когда она доказуема в ^о*).
Теорема 2.1 является частью следующей теоремы:
2.2. Для каждой формулы а в Ф0 следующие пять условий
эквивалентны:
(i) а доказуема в <?0-%
(и) а общезначима;
(Ш) а общезначима в каждом поле множеств В\
(iv) ttyn<y*)(v°) = V, где v° есть каноническая оценка для 9*ъ\
(v) а — тавтология.
В силу 1.3 (i) влечет (и). Очевидным образом (и) влечет
(Hi) и (iv). В силу 1.2 и 1.1 (iv) влечет (i). (Hi) влечет (v),
поскольку двухэлементную булеву алгебру можно
интерпретировать как поле всех подмножеств одноэлементного
пространства.
Для завершения доказательства достаточно показать, что (v)
влечет (i).
Предположим, что (i) не выполнено, т. е. что а не доказуема
в &о- В силу 1.1 || а II ф V. В силу I, 8.5 существует такой
максимальный идеал Д в 51 (^0), что || а II е Д. Пусть Л
—естественный гомоморфизм алгебры 9Х (5^о) на двухэлементную
булеву алгебру А0=21(£:о)/А (см- И, 5.2). Оценка v — hv°, где
v° — каноническая оценка в 51 (&о), т. е. оценка v = [h (\\ а \\)}а е v,
обладает свойством
«Л(«) = Л(аЯ(^)(У")) = А(||а||) = Л/,0
в силу 1.2 и VI, 2.4. Поэтому а не является тавтологией, т. е. (v)
не выполняется.
Из 2.1 следует, что для установления доказуемости в 9*о
формулы а из F0 достаточно показать, что она является тавтологией,
т. е. что аА = V- Поэтому мы имеем общую процедуру для
распознавания того, доказуема ли данная формула в 5V Эта
процедура состоит в проверке того, является ли аЛ тождественно
равным V. А это есть метод истинностных таблиц, описанный
в V, § 5.
§ 3. Примеры пропозициональных тавтологий
В силу 2.1 выражения « пропозициональная тавтология» и
«доказуемая в 9>о формула» равнозначны. Практически мы чаще
будем использовать первое из них.
*) Эта теорема принадлежит Лукасевичу [2]. Другое
доказательство см., например, в книге Гильберта и Аккермана [1]. Первое
доказательство булевым методом принадлежит авторам (см. Расёва и Си*
к о р с к и й [1], стр. 200). См. также Лось [2].

300 КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VII
3.1. Следующие формулы являются тавтологиями (а, р, Y-
произвольные формулы языка &0) •
(То) Са#с0,
(Т,з) (а=Ф(р#сОЛ
(Т14) Саф(р^СаПр;и
(Т15) ССа=Ф(Р=И»Ф(Р=Ка#уД
(Т16) ((а^(^у))^>((а=$Ю=*(а=$>у))),
(Т„) (а^>--а),
(Ti8) С а=фс0,
(Т|9) -(аП-сО,
(Т20) СГа=#.р;^С-аирД
(Т21) ((-аир^Са^рД
(т22) с-Саир;#с-ап-ри
(т23) сг-ап-р)#-гаир;л
(Т24) Г-ГаПР,)=И-аи-РД
(т25) (-аи-р;#-гапр;л
(Т26) СГафр^Г-рф-аи
(Т27) С(а#-р;ф(РФ-аД
(TW СГ-а=#рМГ-Р#аД
(Тгэ) ((-а=#-р,)=Кр#а,)Л
(Тзо) (ССа^рМ^фа;.
Тавтология (Т13) называется законом упрощения.
Тавтология (Т15) есть закон перестановки посылок. Формула (Ti6)
известна как закон Фреге. Формулы (Т[7) и (Tis) суть законы
двойного отрицания. Формула (Тю) известна как отрицание
противоречия. Формулы (Тгг) — (Т2в) суть законы де Моргана.
Формулы (Т26) — (Т29) — законы контрапозиции. Формула (Т3о)
известна как закон Пирса.
Теорема 3.1 может быть доказана методом истинностных
таблиц. Несложная проверка предоставляется читателю. Можно
также проверить общезначимость каждой из формул (То),
(Ти) — (Тзо) в любой булевой алгебре, используя
соответствующие законы из теории булевых алгебр. Ниже мы указываем
номера утверждений из глав I, II, из которых следует
общезначимость наших формул:
(То) I, § 12, (6); (Т,з) I, § 12, (13); (Т14) I, §12, (22); (Т15)
I, § 12, (18); (Т16) I, § 12, (23); (Т17) и (Т18) II, § 1, (5); (Т19)
I, § 12, (28); (Та,) и (Т21) II, § 1, (16); (Тя) и (Тгз) II, § 1, (9),

§4] АЛГЕБРА ДВУЗНАЧНОГО ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 301
(5); (Т24) и (Т25) II, § 1, (8); (Т»).и (Т29) II, § 1, (6); (Т27) I,
§ 12/(35); (Т28) II, § 1, (7); (Т30) II, § 1, (12).
В силу 2.1 все формулы (Т0), (Ti3) —(Т30) имеют
формальное доказательство в ^о, т. е. они выводимы из (Ti) — (T12)
посредством modus ponens.
Здесь мы не приводим формальные доказательства для них.
В § 6 мы объясним общий метод нахождения формального
доказательства для любой тавтологии.
§ 4. Алгебра двузначного пропозиционального исчисления
Следующая теорема характеризует алгебру 51 (^0) в классе
всех булевых алгебр:
4.1. 51 (^о) является свободной алгеброй в классе всех
булевых алгебр, причем множество всех элементов \\ а \\ при ае V0
является системой свободных образующих в 51 (^о).
Из строения формул в 9>о непосредственно следует, что все
элементы вида || а ||, где а — какая-нибудь пропозициональная
переменная, порождают 51 (^о).
Пусть / — произвольное отображение, определенное на
множестве всех элементов || а ||, где ag V0, со значениями в
булевой алгебре А. Отображение / индуцирует отображение v:
V0 —>А, а именно v определяется следующим образом:
Va — f (IIа II) Для любого а е V0.
Отображение v = {va}a e v является оценкой в алгебре А.
В силу теоремы VI, 2.1 v может быть продолжено до
гомоморфизма vA алгебры F0 в А. Более того, в силу VI, § 2, (11)
для каждой формулы y-
Пусть а, р — любые такие формулы в Уо, что II а II = II р II.
Тогда формулы (агф Р) и (Pz^ а) доказуемы в <?0. В силу 1.3
они общезначимы и, в частности, общезначимы в алгебре А.
Поэтому для оценки v
^(«)#^(р) = ал(1;)#рл(с;) = Га#р)д(1;)=У,
Значит, условие || а \\ = || р || влечет vA (a) = vA (p) (см. I, 12.2,
(5)). Поэтому равенство
h{\\a\\) = vA(a)
определяет отображение h: 51 (^0) —►А. Отображение h
является продолжением отображения fy потому что
h(\\a\\) = vA{a) = f{\\a\\)

302 КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VII
для каждой пропозициональной переменной а. Так как vA
является гомоморфизмом алгебры F0 в А, то отображение к
является гомоморфизмом алгебры 5l(^0)= F0/tt в А в силу 1,4.9.
Следующее простое замечание будет полезно при
доказательстве теоремы о представлении алгебры 51 (9>о) -
4.2. Для любых различных пропозициональных
переменных а, Ь
\\а\\Ф\\Ъ\\.
Это следует из того, что (агф Ь) не является тавтологией.
Пусть 2D — прямое произведение
2> = UV*,
где U — множество, составленное только из целых чисел 0 и 1.
Другими словами, 2) является множеством всех u = {ua}a^v
таких, что иа = 0 или иа = 1 для каждого а е Vo.
В соответствии с II, § 11 пусть Da — множество всех и е 2)
таких, что иа = 1. Пусть D0 — класс всех множеств Da (a e Vo)
и пусть D — поле подмножеств множества 2), порожденное
множеством Do- Множество 2) будет рассматриваться как
топологическое пространство с Do в качестве подбазы. По
определению в II, § 11 2) является канторовским дисконтинуумом над Ко.
Известно (см. II, 11.2), что поле D состоит из всех подмножеств
пространства 2), являющихся одновременно открытыми и
замкнутыми, и эквивалентно стоуновскому полю P(D) алгебры Z).
Из этих замечаний, из 4.1, 4.2 и из I, 4.6, II, 11.1 мы
получаем следующую теорему о представлении для 91 (^о):
4.3. Алгебра 91(^о) двузначного пропозиционального
исчисления 9*о изоморфна полю D всех одновременно открытых и
замкнутых подмножеств канторовского дисконтинуума над Vq.
Стоуновское поле Р(%(9>о)) эквивалентно полю D.
§ 5. Нормальные формы
Формула р называется находящейся в дизъюнктивной
нормальной форме, если она имеет вид
m ni
(О U П ft/.
где pij — либо пропозициональная переменная, либо отрицание
пропозициональной переменной (i = 1,..., m, / = 1,..., щ).
Формула р называется дизъюнктивной нормальной формой
формулы а, если р находится в дизъюнктивной нормальной
форме и обе импликации (а=ф р) и (Ргф а) являются
пропозициональными тавтологиями.

§ 5) НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 303
Формула y называется находящейся в конъюнктивной нор-
мальной форме, если она имеет вид
m ni
(2) П U Yi/,
где Yij — либо пропозициональная переменная, либо отрицание
пропозициональной переменной (i = 1,..., m, / = 1,..., щ).
Формула у называется конъюнктивной нормальной формой
формулы а, если y находится в конъюнктивной нормальной
форме и обе импликации (az^y) и (yz^a) являются
пропозициональными тавтологиями.
5.1. Каждая формула а имеет дизъюнктивную нормальную
форму и конъюнктивную нормальную форму.
Рассмотрим булеву алгебру Slj^o) двузначного
пропозиционального исчисления 9>о = {«£?о, Щ- В силу 4.1 множество всех
элементов || а ||, где а — какая-нибудь пропозициональная
переменная, порождает 51 (^0). В силу II, 2.1 каждый элемент
II а II е Я (^о) имеет вид
m ni
n«ii=U Пим.
где p2j есть либо пропозициональная переменная, либо
отрицание пропозициональной переменной. Отсюда следует, что (1)
является дизъюнктивной нормальной формой для а.
Доказательство остающейся части 5.1 аналогично.
Заметим, что для данной формулы а легко найти ее
дизъюнктивную и конъюнктивную нормальные формы с помощью
законов де Моргана, законов дистрибутивности и тождества
И, § 1, (16), выражающего =#> через U и —. Поясним это на
примере формулы
(3) (аП-((афЬ)Г) -с)).
В ЗЦ^о) мы имеем
\\(a(]-((a^b)Ci^c))\\ = \\a\m-((-\\a\\mb\\)(]-\\c\\)^
==llalin((lla|inil-ftlDUIkl|) = aia||nil-&e)U(Nlinik||)-
==l|a||n(ll--fe|IUIIa||)n(l|a||Ulkll)n(ll-fe|IUIkll).
Поэтому формула
((an-b)U(a()c))
является дизъюнктивной нормальной формой для (3), а
формула
(((аП(-Ьиа))П(а\)с))П(-Ьис))
является конъюнктивной нормальной формой для (3),

304 КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VII
Если мы знаем какую-нибудь конъюнктивную нормальную
форму (2) для формулы а, то мы можем легко выяснить,
является ли а пропорциональной тавтологией.
В самом деле, а будет пропозициональной тавтологией в
том и только в том случае, когда (2) является
пропозициональной тавтологией. С другой стороны (2) является
пропозициональной тавтологией тогда и только тогда, когда каждая из
формул
(J Уи 0'=1, •■■» т)
п
— тавтология. Но легко убедиться, что дизъюнкция (J у/, где
/=i
Уз (/= 1> ...,я)—либо пропозициональная переменная, либо
отрицание пропозициональной переменной, будет
пропозициональной тавтологией в том и только в том случае, когда для
какой-либо пропозициональной переменной а как а, так и —а
встречаются в последовательности уь • • •, Y"-
§ 6. Диаграммы формул
В этом параграфе мы приведем другой способ распознавания
того, является ли данная формула пропозициональной
тавтологией. Этот способ состоит в разложении формулы на части, из
которых она построена. Его можно рассматривать как другую
формализацию метода, описанного в конце § 5.
Пусть i?o — какой-нибудь язык нулевого порядка.
Буква Г (если нужно, с индексами) будет всегда обозначать
конечные последовательности
(1) aIf ..., ат
формул в 3?q. Допускается также случай пустой
последовательности (т. е. случай т = 0).
Если Г есть последовательность (1), Р—
последовательность
Pi» • ••> Р«>
а а, р — произвольные формулы, то Г, а, Г' и Г, а, р, Р будут
обозначать последовательности
<*i» ..., am, a, plf ..., Ря
и
«1, ..., am, a, p, pu ..., рд
соответственно.

§ 6] ДИАГРАММЫ ФОРМУЛ 305
Формула в 2?0 называется неразложимой, если она является
либо пропозициональной переменной, либо отрицанием
пропозициональной переменной.
Последовательность (1) называется неразложимой, если она
состоит из одних неразложимых формул.
Последовательность (1) называется фундаментальной, если
она одновременно содержит некоторую формулу а и ее
отрицание —а.
Под схемой мы будем понимать пару {Г, Г0} или тройку
{Г, Г°, Г1} (непустых последовательностей формул), обычно
записываемую в виде
(2) F
ИЛИ
(3) =Е=
4 ' Г°; Г1
соответственно. Г называется заключением схемы, а Г°, Г1
называются ее посылками. Если мы имеем схему вида (3), то Г° и Г1
называются левой и правой посылками соответственно.
В дальнейшем мы будем рассматривать только следующие
схемы, в которых Г' всегда будет обозначать какую-нибудь
(возможно, пустую) неразложимую последовательность:
(D)
(-D)
(С)
Г, (аир). Г»
Г. а, р, Г" »
Г,-foUP), Г*
Г, -а, Г"; Г, -§, Г" »
Г, ГаПР), Г"
Г, а, Г"; Г, р, Г" •
Г-О Г',-(аПР),Г"
Г', - а, - р, Г" »
(D
(-D
(-N)
I". (а=»Р), Г"
Г',-а, р. Г" '
Г, - (а=»Р), Г"
Г', а, Г"; Г, - р, Г" '
Г, а, Г"
Г, а, Г" •
Заметим, что схемы
(4) (D), (-C), (I), (-N)
являются схемами типа (2), т. е. имеют только одну посылку,
Схемы
(5) (-D), (С), (-1)

306 КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VII
являются схемами типа (3), т. е. имеют две посылки. Если
последовательность формул Г не является неразложимой, то Г
является заключением по одной из схем (4) или (5). В силу
условия, по которому Г' всегда обозначает в схемах неразложимую
последовательность, Г в этом случае являются заключением
точно по одной из схем (4), (5).
Буквы *, / будут всегда обозначать конечные
последовательности
(6) ib ..., in
целых чисел 0 и 1. Мы будем писать: / ^ *, если / является
начальным (собственным или несобственным) отрезком
последовательности и Если i — последовательность (6), то 2, 0 и i, 1
будут обозначать последовательности
h> •••»'/!> 0 и *i» • • •» *п» 1
соответственно. Допускается также пустая последовательность
(случай п = 0 в (6)), которая будет обозначаться
посредством О. По определению О <; i для любого L
Пол диаграммой формулы ао в 3?0 мы будем понимать
отображение, которое некоторым4 последовательностям i сопостав-.
ляет непустые конечные последовательности формул Г, и
которое следующим образом определяется по индукции:
1) Та есть последовательность, образованная из одной
формулы ао.
2) Если Г, определена, но является либо фундаментальной,
либо неразложимой, то Г/0 иГп не определяются.
3) Если Г, определена и не является ни фундаментальной,
ни неразложимой, то Г, является заключением точно по одной
из схем (4), (5). Если Г, является заключением по одной из
схем (4), то Г, 0 является единственной посылкой этой схемы,
а Г, 1 не определяется. Если Г, — заключение по схеме (5), то
Г/0 и Г, ! являются левой и правой посылками этой схемы.
4) Если Г, не определена, то Г/ 0 и Г/ { также не
определяются.
Заметим, что диаграмма {Г,} для а однозначно определяется
формулой а. Диаграмма {Г,} для любой формулы всегда
конечна, т. е. Г, определена только для конечного числа
последовательностей.
Г, называется концевой последовательностью диаграммы а,
если Г, фундаментальна или неразложима, т. е. если Г, 0 и Г, х
не определены.

§ Ь] ДИАГРАММЫ ФОРМУЛ 307
6.1. Формула ао является пропозициональной тавтологией
в том и только в том случае, когда все концевые
последовательности в диаграмме формулы а0 фундаментальны.
Рассмотрим булеву алгебру ^(^о) двузначного
пропозиционального исчисления &о = {j^o, ^}.
Для любой непустой последовательности Г формул (1) пусть
m
бг обозначает дизъюнкцию (J at всех формул из Г. Если Г
фундаментальна, то
II М-V.
С другой стороны, если непустая последовательность Г
неразложима, но не фундаментальна, то
l|6rll^V,
так как бг в этом случае не является тавтологией. В самом
деле, бг является дизъюнкцией пропозициональных переменных
аи ...,ар и отрицаний пропозициональных переменных
—ар+1,..., —ctp+q, причем переменные аи •. •, ap+q различны 42).
Любая оценка v = \va} в двухэлементной булевой алгебре До,
удовлетворяющая условию
Va f Л при /=1, ..., /?,
а* (V при / = /? + 1, .♦., p + q,
дает (6г)Ло(у)= Л.
Пусть {Г,} — диаграмма для ао. Легко убедиться, что если Г
является заключением по одной из схем (4), то
1<Ч-1Ч.1-
Если же Г, является заключением по одной из схем (5), то
|<Ч-1Чо|п|Ч||-
Отсюда следует, что ао является тавтологией, т. e.||a0|| = |6rJ|=
= V, в том и только в том случае, когда |ДГ||=а V для каждой
концевой последовательности Г,, т. е. все концевые
последовательности фундаментальны.
В качестве примеров мы приведем здесь диаграммы формул
(((а^Ь)Г\(Ь^с))^-(а(\-с))9
(((а^Ь)(](сфЬ))Ф-(аП-с)).
Последовательности Г, 0 и Г, х пишутся ниже Г, и
присоединяются к Г, чертой.

308 КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ (ГЛ. VII
Первая формула является тавтологией, так как любая из ее
концевых последовательностей фундаментальна:
(((а =¥ Ь)П(Ь =ф с)) =#> -(а(\-с))
I
-((а=$Ь)(\(Ь=$>с)), -(а(]-с)
~(а=$>Ь), -(Ь^с), -(а[]-с)
!
а, -(Ьфс),-(а[\-с) -Ь,- (Ь^с), -(а(]-с)
I I
а, Ь, — (аГ) — с) а,—с,—(аГ\ — с) — Ь,Ь,—(а(] — с), —Ь,—с,—(а(] — с)
I I I
а, Ь, — а, с а, — с, — а, с —Ь, —с, —а, с
Вторая формула не является тавтологией, так как две из
концевых последовательностей ее диаграммы не являются
фундаментальными:
(((а =Ф Ь) П (с =#> Ь)) =ф - (а Л - с))
I
-((а^Ь)П(е^Ь)), -(аП-с)
I
-(а^фЬ), -(c^b), ~(af\-c)
!
а, ~(с=$Ь), -(а(\-е) - Ь, - (с =#> Ь), - (аП-с)
I I > I
а, с, — (а Г) — с) a,—b,—(af] — c) — b,c,—(a[] — c) — b,—b,—(a[\ — c)
I I I.I
a, c, — a, с a, — b, — a, с — b, с, — a, с —b,—b,—a, e
I I
— b, c, — а, с —b,—b,—a,c
Легко убедиться, что если
Г Г
(7) =р= или -рг^г
является одной из схем (4) или (5) соответственно, то
бГо бГо, бг,
<8) If или ~б7"
является правилом вывода в смысле V, § 8, стр. 204. Мы
введем обозначения
(9) (D*), (-D*), (С), («С), (Г), (-Г), (-Ю
для правил вывода, соответствующих схемам (D), (— D), (С),
(— С), (I), (— I), (— N) соответственно.

§61
ДИАГРАММЫ ФОРМУЛ
309
Формула в 3?q называется фундаментальной, если она имеет
форму бг, где Г—фундаментальная последовательность.
6.2. Множество всех пропозициональных тавтологий является
наименьшим множеством, содержащим все фундаментальные
формулы и замкнутым относительно правил вывода (9) *).
Действительно, каждая фундаментальная формула является
пропозициональной тавтологией. Так как правила вывода
переводят тавтологии в тавтологии (см. V, 8.1), то любая формула
в наименьшем множестве, содержащем все фундаментальные
формулы и замкнутом относительно правил вывода (9),является
пропозициональной тавтологией.
С другой стороны, если ао — пропозициональная тавтология,
то все концевые последовательности в диаграмме {Г,} для ао
являются фундаментальными. Мы можем таким образом
расположить в последовательность
(Ю) I, h
все индексы *, встречающиеся в диаграмме, чтобы из г ^ / («=#=/)
следовало, что / предшествует i в последовательности (10).
(Другими словами, чтобы из ip ^ iq следовало q ^ р.) По
определению h является пустой последовательностью О. Из построения
последовательности (10) следует, что последовательность формул
(11) 6rv ..., бГ/^
является формальным выводом формулы ао из множества
фундаментальных формул с помощью правил вывода (9). Это
доказывает, что ао является элементом наименьшего множества,
содержащего все фундаментальные формулы и замкнутого
относительно правил вывода (9).
Из второй части доказательства теоремы 6.2 видно, что для
данной пропозициональной тавтологии ао мы можем эффективно
построить формальный вывод формулы ао из множества всех
фундаментальных формул посредством правил вывода (9).
Точнее, диаграмма формулы а0 является ее формальным выводом
(из фундаментальных формул посредством (9)), записанным
способом, отличным от (11). Нужно подчеркнуть важную
особенность выводов, представленных диаграммами. Процесс дедукции
всегда ведет от более простых формул к более сложным, и все
формулы в формальном выводе являются частями или
дизъюнкциями частей формулы ао.
*) Теоремы 6.1, 6.2 являются модификацией теоремы Ген цен а [1]. Эта
модификация принадлежит Шютте [1]. См. также Кангер [1].
Приводимое доказательство принадлежит Расёвой и Сикорскому [8]. Другую
модификацию см. в работах Бета [2] и [4].

310 КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VII
В 2.2 мы установили, что если формула ао является
пропозициональной тавтологией; то она доказуема в ^о = {2\>, ^}, т. е.
существует формальный вывод формулы ао из аксиом (Ti) — (T12)
(см. стр. 299) посредством modus ponens. Однако мы не привели
способа для построения такого вывода. Его можно осуществить,
используя диаграмму формулы ао.
Это построение основано на том, что для каждой
фундаментальной формулы р можно эффективно дать формальный вывод
формулы р из (Ti) — (T12) с помощью modus ponens. Далее, если
6г получается из бг» или из бг» и бг» (см. (7) и (8))
посредством одного из правил (9), то можно эффективно построить
формальный вывод формулы бг из (Т4) — (Т^) и формулы бг«
или же из (Ti) — (Ti2) и формул бг», бг» посредством modus
ponens. Мы не будем описывать в деталях эти формальные выводы
ввиду их длинноты.
Если ао — тавтология, то мы можем написать ее диаграмму
{Г,}. Для каждой концевой последовательности Г, мы можем
написать формальный вывод формулы бг, из (Ti) — (Т42) с
помощью modus ponens. Если Г, — не концевая
последовательность, то мы можем написать формальный вывод формулы бг,
из (ТО — (Ti2) и бГ/о или же из (Т,) —(Ti2) и бГ/0, бГ/> х
с помощью modus ponens. Подходящим упорядочением всех
формул, встречающихся в этих формальных выводах, мы с помощью
(11) получим формальный вывод формулы ао из (Ti) — (Ti2)
посредством modus ponens.
§ 7. Непротиворечивость и существование моделей
Мы исследуем теперь теории нулевого порядка.
7.1. Если а — теорема теории 9~ = {i?o, ^ s4]y то каждая
модель для ЗГ является моделью для а.
Пусть v e Av* является моделью для Э~ в булевой алгебре А.
В силу 1.3 каждая логическая аксиома общезначима; в
частности, общезначима в А. Поэтому v является моделью для любой
логической аксиомы. По самому определению модели для теории
v является моделью для каждой формулы asi. Кроме того,
если v является моделью для формулы а и для формулы (az^> pj,
то v является моделью для формулы р. В самом деле, если
*А (v) = V и аА (v) =ф Рл И = («=Ф Юл (<0 = V> T0 Рл (») -
= V в силу I, § 12, (8) или (4). Поэтому множество всех
формул, для которых v является моделью, содержит все логические
аксиомы, все формулы из $Ф и замкнуто относительно modus
ponens. Следовательно, оно содержит &{$£), т. е, множество всех
теорем теории iSF. Это доказывает 7.1.

§7] НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И СУЩЕСТВОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ 311
7.2. Если для теории Т = {i?o, ^, .5^} существуете модель
av^Av* в невырожденной булевой алгебре А, то Т непротиво*
речива.
Доказательство такое же, как для 1.4:
Если обе формулы а, —а являются теоремами теории 0", то
аД (v) = V и (—а)^ (v) = V в силу 7.1. Поэтому аА (v) = V
и ад (v) = —V = Л. Значит, Л = V, что неверно в
невырожденной булевой алгебре А.
Модель v е Л7° для теории Т в булевой алгебре А
называется адекватной моделью для 9~, если для каждой формулы а
в J?o а является теоремой теории 0~ тогда и только тогда, когда
v есть модель для а.
7.3. Каждая непротиворечивая теория Т = {«S^, ^, «я£} шмеег
адекватную модель, а именно, адекватной моделью является
каноническая оценка.
Если 9~ непротиворечива, то в силу 1.1 ее алгебра % (9~)
является невырожденной булевой алгеброй. Пусть v°={\\a ||}aeKo—
каноническая оценка в %(^). В силу 1.2 мы имеем
(1) %(<Г)(^0) —Hall Для всех формул а.
Из 1.1 и (1) следует, что
(2) ax{j-)(v°)— V тогда и только тогда, когда а£?(4
Так как, для любой формулы а из бФ, с^ (<n (t>°) = V (см. (2)),
то оценка v° является моделью теории 9~. В то же самое время
(2) показывает, что v° — адекватная модель теории Т.
7.4. Если формула р неопровержима в теории Э~ ={3?о, Ф, бФ),
то существует семантическая модель теории д~% являющаяся так-
же моделью для р.
Так как р неопровержима, то имеем ||р||=^ Лщ(<7.} в силу 1.1.
По I, 8.5 существует такой максимальный фультр V в 91 (^Г), что
HpileV. Пусть h — естественный гомоморфизм алгебры *к{ЗГ)
на двухэлементную булеву алгебру Aq = %(T)IV (cm. II, 5.2).
Оцейка v = hv°> где v° является канонической оценкой в % {<Э~),
т. е. оценка
* = {A||a||>eelv
есть требуемая модель. В самом деле, для любой формулы а
вследствие 1.2 и VI, 2.4. Отсюда в силу 1.1
a/lj(t») = A(||a||) = A(Vst(r,)=VeA0

312 КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ГГЛ. VI?
для каждой формулы ав^. Аналогично,
РЛ(*) = Л(11Р11)=У^А0,
так как HplleV. Это означает, что v является моделью
для Т и р.
7.5. Если формула а. не является теоремой вТ = {3?^,s4),
то существует семантическая модель теории ЗГ, не являющаяся
моделью для а.
Теорему 7.5 можно доказать аналогично теореме 7.4 (вместо
II Р II е V нужно/ теперь требовать || а \\ ф V). Ее можно также
вывести из 7.4, беря в качестве р формулу —а (при помощи
VI, 10.11 и тождества (— а)А (v) = — (аА (у))). Заметим, что 7.4
можно получить из 7.5, беря в качестве а формулу —р.
7.6. Каждая непротиворечивая теория Т = {3?о9 &, $4>) имеет
семантическую модель*).
Теорема 7.6 непосредственно следует из 7.4 или 7.5.
Мы суммируем основные результаты этого параграфа в двух
теоремах. Первая разъясняет связь между непротиворечивостью
теории и существованием моделей для нее.
7.7. Для каждой теории 0~ = {3?о, *&, бФ) следующие условия
являются эквивалентными:
(i) 0~ непротиворечива;
(и) для 3~ существует модель;
(iii) для £Г существует адекватная модель;
(iv) для Т существует семантическая модель.
В самом деле, (i) влечет (iii) в силу 7.3. (iii) тривиально
влечет (и), (и) в силу 7.2 влечет (i). В силу 7.2 и 7.6 (i)
эквивалентно (iv).
Вторая теорема дает необходимые и достаточные условия
для того, чтобы формула была теоремой теории:
7.8. Аля каждой формулы а в непротиворечивой теории
Т = {i?o> Ф9 Щ следующие условия являются эквивалент-
ными:
(i) ос является теоремой теории 9~;
(и) каждая модель для Т является моделью для а;
(iii) ащ(<п (v°) = V для канонической оценки v° в алгебре
% (Т) теории Т;
(iv) каждая семантическая модель для 9~ является моделью
для а.
Условие (i) влечет (и) в силу 7.1. Условие (и) влечет (Hi),
так как вследствие 7.3 каноническая оценка v° в 91 {9~) является
моделью теории £Г. Из 7.3 следует, что (iii) влечет (i), поскольку
каноническая оценка в %(!Г) является адекватной моделью тео-
*) Мальцев [1].

$S)
ТЕОРЕМЫ О ДЕДУКЦИЙ
313
рии Т. Поэтому условия (i), (ii), (iii) эквивалентны. С другой
стороны, условия (i) и (iv) эквивалентны в силу 7.1 и 7.5.
7.9. Каждое лингвистическое расширение теории ZT =
= {3?о, *&> st) несущественно.
Пусть язык 5?i является расширением языка 9?ъ и пусть
*7~i= {&и *&> s$\- Мы должны доказать, что если формула а
в So не является теоремой в ^, то она не является теоремой
В силу 7.5 существует оценка v: V0—►Д, являющаяся
моделью теории дГ% для которой аА (v) Ф V. Пусть Vi —
множество всех пропозициональных переменных в 3?^ Расширим
отображение v: Vq-+A до отображения V\: Vt-+A. Имеем
для каждой формулы рв^о (см. вторую часть VI, 2.3). Отсюда
следует, что Vi является моделью для ёГи но не для а. В силу 7.1
а не является теоремой в ^~.
§ 8. Теоремы о дедукции
Это имя присвоено двум следующим теоремам *):
8.1. Формула р является теоремой в теории ZT' = {i?o, #,
si- U [а]} в том и только в том случае, когда формула (а =ф $)
является теоремой в теории ZT = {i?o, %?, s4].
Если формула (афр)— теорема в 9~% то она является
также теоремой в 9~\ Так как а является аксиомой
теории Т\ то с помощью modus ponens получаем, что р— теорема
теории 9~'.
Если (а=ФР) —не теорема теории &~9 то в силу 7.5
существует семантическая модель v для 0~ в двухэлементной
булевой алгебре Aq, причем v не является моделью для (а=ФР).
Поэтому
«Л (<0 =» К («О = (а =Ф Р)л0 («О = Л,
т. е.
а4§(и)-у и рЛ(^)=Л.
Значит, у является моделью для а, но не для р. Так как v
является моделью для 9~\ но не для р, то в силу 7.1 р не является
теоремой теории flT\
8.2. Формула р является теоремой в теории 0~ = {i?o, У, ^}
с непустым множеством аксиом $& в том и только в том
*) Эрбран [1], [2] и Та реки й [1].

314 КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. Vtl
случае, когда существует такая конъюнкция а конечного числа
аксиом из st>, что импликация (а =ф р) является
пропозициональной тавтологией.
Предположим, что р —теорема теории Т, т. е. р
принадлежит Ф{Щ. Тогда существует конечное непустое множество
s&{czs& такое, что р^ф^) (см. V, 10.1). Пусть а
—конъюнкция всех формул в «я^. В силу modus ponens, (Т5) и (Тб)
^! <= ^ ([а]). Значит, р принадлежит ^([сф, т. е. р является
теоремой в теории {3?09 &, [а]}. В силу 8.1 (с пустым s4>)
импликация (а=ФР) является теоремой в \S£^ <ё>9 0}, т. е.
пропозициональной тавтологией.
Обратно, если существует такая конъюнкция а аксиом из *s^,
что (а=#р) является пропозициональной тавтологией, то а
является теоремой теории 9~ (см. VI, 10.8), а значит, в силу
modus ponens р также является теоремой теории $~.
§ 9. Связь между теориями и фильтрами *)
В этом параграфе ||а|| будет обозначать элемент из %(&0),
определяемый формулой а.
Для каждого множества Ж формул в j?0 пусть V0<* будет
множеством всех элементов ||а||е51(^0) таких, что og^,
и пусть V* будет множеством всех элементов || а || е 51 (<?0) таких,
что а является теоремой теории ^" = {^0> ^> $Й- Последнее
определение может быть сформулировано следующим образом:
(1) ||a||eV^ в том и только в том случае,
когда a — теорема теории Т.
9.1. 1л является фильтром в булевой алгебре 9Ц^о)>
a VW — его системой образующих.
Теория Т = {i?0> ^> <&} непротиворечива в том и только в том
случае, когда фильтр V<& является собственным.
В силу теоремы о дедукции 8.2 а является теоремой теории 0~
в том и только в том случае, когда существует такая конъюнк-
m m
ция fla* формул at из ^, что ([\щ^а) является пропози-
циональной тавтологией, т. е.
i-1 II
Другими словами, а является теоремой теории &~ в том я
*) Результаты этого параграфа принадлежат Тарскому [5], [7].

§9]
СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕОРИЯМИ И ФИЛЬТРАМИ
315
только в том случае, когда существуют такие формулы
аи ..., ат из s&, что
т
П n«£iKii«ii-
В силу I, 8.1 это доказывает первую часть 9.1. Вследствие V,
14.1 теория 9~ непротиворечива в том и только в том случае,
когда существует формула, не являющаяся теоремой теории д~.
В силу (1) это эквивалентно утверждению, что фильтр V^
является собственным. Этим завершается доказательство 9.1.
Мы вывели первую часть 9.1 из 8.2. Легко видеть, что, обратно,
8.2 непосредственно следует из первой части 9.1. Поэтому первая
часть 9.1 является всего лишь алгебраической формулировкой
для теоремы о дедукции 8.2. Этим разъясняется алгебраическое
содержание понятий множества аксиом и множества всех теорем
теории.
9.2. Формула а неопровержима в Т = {i?o, ^, Щ тогда и
только тогда, когда теория {3?о, ff^sf-U [а]} непротиворечива.
Формула р не является теоремой теории ZT тогда и только
тогда, когда теория {j?0, ^«s^U [—р]} непротиворечива.
Фильтр, порожденный Vo<* и ||а|| (т. е. порожденный Ул
и ||а||), является собственным в том и только в том случае,
когда —||a||^V^ (см. I, 13.9). Аналогично, фильтр,
порожденный Vo^ и — llpll (т. е. порожденный V^ и —Ир II), является
собственным в том и только в том случае, когда ||p||^V^
(см. II, 5.3).
Легко видеть, что вторая часть 9.2 непосредственно следует
из первой (достаточно заменить а на —Р) и аналогично первая
непосредственно следует из второй. Теорема 9.2 может быть
также непосредственно выведена из 7.4, 7.5 и 7.2.
9.3. Теория ЗГ' = {9?^ *&, si*'} является лингвистически
инвариантным расширением теории Т = {i?o, #, si) в том и только
в том случае, когда S/л a Ул'-
По определению 0~' является лингвистически инвариантным
расширением теории & в том и только в том случае, когда
щ^)с?(#). Но в силу (1) это эквивалентно включению
Ул <= V^'.
9.4. Теории Т = {2?ъ <&, Ж} и Т' = {2£^ Ч?, Ж'} эквивалентны
в том и только в том случае, когда ^л — ^л'-
Это непосредственно следует из определения эквивалентных
теорий и (1) (или из 9.3).
Мы дополним первую часть 9.1 следующим замечанием:
9.5. Для каждого фильтра V в 2Ц<?0) существует теория
T = {2?q, &, s4) такая, что V = VC*. Более того, для каждой
системы образующих V0 для V можно выбрать такое
множество аксиом s4> для Т* что Vq = Vq^,

316 КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VII
Для каждого элемента eGV0 пусть ае будет такая
формула, что ||я*|| = е, и пусть s& — множество всех формул ае,
е е V0. По определению V&* = V0. Следовательно, V^ = Vb силу
первой части 9.1.
Теоремы 9.1, 9.4 и 9.5 утверждают, что имеется естественное
взаимно-однозначнЬе соответствие между фильтрами в 51 (^0) и
формализованными теориями, основанными на ^о, при условии,
что эквивалентные теории отождествляютсял
Для доказательства следующей теоремы мы используем
более точные обозначения, введенные в VI, § 10, стр. 283: для
каждой формулы а символ ||а||^о будет обозначать
соответствующий элемент в алгебре 51 (9*о) пропозиционального исчисления
д>о == {3?0у <&}, а символ || а Ц^ будет обозначать
соответствующий элемент алгебры %(&~) теории ЗГ = {j?0, ^ «я£}.
Если формулы (агф р) и ($z$ а) доказуемы в ^о, то они
являются также теоремами теории £Г. Отсюда следует, что
равенство
AfllalW-llalU
определяет отображение h алгебры ?t(5^o) на %{ЗГ). Легко
убедиться, что h является булевым гомоморфизмом (это следует из
1.1, (3)). По определению ft и V^ элемент А(||аЦ^) является
единичным элементом алгебры % (&~) в том и только в том
случае, когда а является теоремой в 9~, т. е. когда || а ||^ е V^.
Отсюда ввиду I, 13.4 следует:
9.6. Алгебра %{Т) теории 2Г = {S0i*&,$&} изоморфна
алгебре %{9>о)1ЧЛ.
Теорема 9.6 дает способ построения алгебры 51 {Т) из 51 (^о).
9.7. Для любой булевой алгебры А существует теория Фо =
= {i?o, Ф, <&} нулевого порядка такая, что А изоморфна алгебре
Я(^о).
Пусть Ао — система образующих для А и пусть ш— мощность
множества Ао. Возьмем такой формализованный язык So
нулевого порядка, что мощность множества V0 всех
пропозициональных переменных в So есть ш. Пусть f — отображение множества
Vo на Ао. По теореме 4.1 (см. также 4.2) существует
гомоморфизм h: 51 (^о) -> А, для которого
h{\\ a\\) = f(a) при любом аеУ0.
Так как Aq порождает Л, то гомоморфизм h отображает 51(<?0)
на Л. В силу I, 13.4 алгебра Л изоморфна алгебре 5l(S^0)/V,
где V есть фильтр всех таких || а || е 51 (S?0), что А(||а||) = \/еЛ.
В силу теорем 9.5 и 9.6 существует такое множество зФ
формул в 2?0, что алгебра 5l(^0)/V изоморфна алгебре 51 (^~0), где
<Г0 = {SQj <&} $£,}. Следовательно, Л изоморфна алгебре ЩТ^).

§ Ю]
МАКСИМАЛЬНЫЕ И ПРОСТЫЕ ТЕОРИИ
317
§ 10. Максимальные и простые теории*)
Напомним, что непротиворечивая теория 9~ называется
максимальной, если каждое лингвистически инвариантное
непротиворечивое расширение теории 3~ эквивалентно теории 9~%
Следующая теорема характеризует максимальные теории:
10.1. Следующие условия эквивалентны для любой теории
(i) T максимальна;
(ii) V^ является максимальным фильтром в 91 (^о);
(Ш) для каждой формулы а в 3?q точно одна из формул а и
—а является теоремой в ЗГ\
(iv) % {9~) является двухэлементной булевой алгеброй,
(i) эквивалентно (ii). Это следует из естественного
взаимнооднозначного соответствия между фильтрами алгебры % (9*о) и
классами эквивалентных теорий (см. § 9, стр. 315) и из 9.3, 9.4.
Условие (Hi) означает, что для любого элемента II а II в 9Х (5^о)
в точности один из элементов II а ||, —1| а II принадлежит V^.
Поэтому в силу II, 5.2 (ii) эквивалентно (iii).
(iv) эквивалентно (ii) в силу 9.6 и II, 5.2.
Следующая теорема дает другую характеристику
максимальных теорий при помощи моделей:
10.2. Для каждой теории Т = {i?o, <&, $6} следующие условия
эквивалентны:
(i) 9~ максимальна;
(ii) 9~ непротиворечива, и каждая семантическая модель для
0~ является адекватной;
(iii) 0~ имеет адекватную семантическую модель.
Пусть А0 означает двухэлементную булеву алгебру.
Предположим, что Т максимальна и v есть семантическая
модель для £Г. Если а не является теоремой теории f7~, то в силу
10.1, (iii) формула —а является теоремой, т. е. (— а)А (v)=\/
или аА {v)— А- Это доказывает адекватность модели у.
Поэтому (i) влечет (ii). Так как (ii) тривиально влечет (iii)
(см. 7.6), то достаточно доказать, что (iii) влечет (i). Пусты; —
адекватная модель для 9~ в А0. Для каждой формулы а точно
один из элементов аА (v), (— а)^ (v) равен единичному элементу
алгебры А0. Так как модель v адекватна, то мы заключаем, что
ровно одна из формул а, —а является теоремой теории 9~и
Поэтому в силу 10.1 ЗГ максимальна.
10.3. Если v — оценка в двухэлементной булевой алгебре А0
и sto— множество всех таких формул а, что аД (а)= V, то
*) Результаты этого параграфа, кроме 10.4, принадлежат А. Тарско*
м у [51 17].

318 КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ГГЛ. VII
каждая теория (Г, эквивалентная теории {J?o, *&, «я£о},
максимальна.
Действительно, v является тогда адекватной семантической
моделью теории 9~.
10.4» Каждая непротиворечивая теория Т = {i?o, ^, $&}
может быть расширена до некоторой максимальной теории <Го =
= {57о,«?,^о}*).
Так как Т непротиворечива, то фильтр V^ в 51 (^0) является
собственным (см. 9.1). В силу I, 8.4 фильтр V^ может быть
расширен до максимального фильтра V в % ОД). Пусть s&o — такое
множество формул, что V = V^0 (см. 9.5). В силу ЮЛ теория
Tq = {i?o, И?, s&o} является максимальной. Она является
расширением теории £Г в силу 9.3.
Другим доказательством для 10.4 является следующее. Пусть
v — семантическая модель для 0~ и пусть s&o — множество всех
таких формул а, что ал(и)=\Л Теория То = {^о, ^, sto}
является расширением теории 3~ и максимальной теорией в
силу 10.3.
Напомним, что непротиворечивая теория 9~={2?ь Ф, бФ)
называется простой, если для любых формул а, Р формула
(a U Р) является теоремой теории 9~ в том и только в том
случае, когда хотя бы одна из формул а, fJ является теоремой
тебрии^ (см. V, § 14).
10.5. Следующие условия являются эквивалентными для
любой теории Т={3?о, &, $£}:
(i) T проста;
(ii) V^ является простым фильтром в 91 (^о);
(Hi) 3~ максимальна..
Эквивалентность (i) и (ii) следует непосредственно из
определения. Так как простые идеалы в булевых алгебрах
совпадают с максимальными (см. II, 5.2), то в силу 10.1 (ii)
эквивалентно (iii).
§11. Проблемы эффективности43)
Рассмотрим следующие утверждения, являющиеся частными
случаями теорем I, 8.4, I, 8.5 и I, 8.6:
. (Fi) Каждый собственный фильтр в булевой алгебре может
быть расширен до максимального фильтра.
(F2) Каждый элемент еФА в булевой алгебре принадлежит
некоторому максимальному фильтру.
(F) Каждая невырожденная булева алгебра имеет
максимальный фильтр.
*) Эта теорема принадлежит А. Линденбауму (см. Тарский [1]).

§111
провлёмы эффективности
319
Рассмотрим также следующие теоремы, доказанные в § 7,
7.6 и в § К), 10.4:
(Мо) Каждая непротиворечивая теория нулевого порядка
имеет семантическую модель.
(Мо) Каждая непротиворечивая теория нулевого порядка
может быть расширена до максимальной теории.
Теорема (Fi) была получена с помощью принципа индукции
для упорядоченных множеств I, 5.1 (см. доказательство 1,8.4),
который является следствием аксиомы выбора (точнее, он
является другой формулировкой аксиомы выбора*)). Поэтому
наше доказательство для (Fi) не эффективно, ибо оно основано
на аксиоме выбора. Известно, что (Fi) не является эффективно
эквивалентным аксиоме выбора**). Однако (Fi) эффективно
влечет некоторые более слабые формы аксиомы выбора и
некоторые следствия аксиомы выбора, например существование
неизмеримых по Лебегу множеств ***).
Очевидно, что (Fi) эффективно влечет (F2) и ^(F2)
эффективно влечет (F) (именно так мы и вывели теорему I, 8.5 из
I, 8.4 и I, 8.6 из I, 8.5). Мы покажем, что (F) эффективно
влечет (Fi). Если V0 — собственный фильтр в булевой алгебре Л,
то алгебра A/Vo—невырожденная и, в силу (F), содержит
максимальный фильтр V. Множество V всех таких элементов
ееЛ, что |£|eV, является максимальным фильтром, и
V0c:V.
Поэтому утверждения (Ft), (F2) и (F) эффективно
эквивалентны****). Мы покажем, что они также эффективно
эквивалентны каждому из утверждений (Мо) и (Мо) *****).
Действительно, утверждение (М0), т.е. теорема 7.6, было
выведено из несколько более сильной теоремы 7.4, которая
эффективно следовала из (F2) (заметим также, что 7.6 может быть
непосредственно выведена из (F) тем же способом, каким 7.6
выводилась из (F2)). Утверждение (Мо), т.е. теорема 10.4, было
эффективно выведено из 7.6, т.е. из (М0) (см. второе
доказательство для 10.4 на стр. 318). Поэтому достаточно показать,
что (Мо) эффективно влечет (F).
В силу теоремы 9.7 достаточно доказать, что каждая булева
алгебра 51 (ЗГ) содержит максимальный фильтр (здесь Т-~»
*) См., например, Б и р к г о ф [3], стр. 45. Заметим, что теорема 1,8.4
эффективно эквивалентна аксиоме выбора. См., например, Скотт [1],
Мрувка[1], [2].
**) Этот неопубликованный результат принадлежит Дж. Гальперну.
Эквивалентность (Fi) и различных других утверждений см., например, в
работах: Лось и Рылль-Нардзевский [1], Хенкин [3], [4], Лось[3],[8],
Рабин и Скотт [1], Скотт [1], Мрувка [1], [2], Тарский [11], [12], ИЗ].
***) С е р п и н с к и й [2].
****) С т о у н [2].
*****) См. Хенкин [3] и Лось [8].

320 КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VII
произвольная непротиворечивая теория нулевого порядка).
В силу (Мо) Т можно расширить до максимальной теории Т'.
Легко убедиться, что множество всех элементов tlall^^(^)»
где а — теорема теории 9~\ является максимальным фильтром
в.Я(^~).
Заметим, что если язык j?0 исследуемых в §§ 7—10
формализованных теорий счетен (т. е. счетно множество всех формул
в i?o), то наши доказательства для (М0), (Мо) и всех других
теорем будут эффективными. Это следует из того, что тогда
может быть эффективно доказана фундаментальная теорема
I, 8.4 о существовании максимальных фильтров (с помощью
небольшой модификации доказательства, приводимого в I, § 8).
Следовательно, теоремы (Fi), (F2), (F) для счетных булевых
алгебр являются эффективными.

ГЛАВА VIII
КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ
§ 1. Предварительные сведения
В этой главе мы будем иметь дело с фиксированным
формализованным языком i?={/4, Г, F} первого порядка.
Алфавит Л, множество всех термов Т и множество всех формул F
были описаны в V, § 3. Буква V будет всегда обозначать
множество всех свободных индивидных переменных х, у, г, ...
языка &. Под формулой, если не оговорено противное, мы будем
понимать в этой,главе формулу языка SB. .
Буква <& будет обозначать здесь только классическую (т. е.
двузначную) операцию присоединения следствий, определенную
bV, § 11, стр. 220.
В этой главе мы будем изучать классическое (т. е.
двузначное) предикатное исчисление, основанное на 2\ т. е.
дедуктивную систему
и классические элементарные теории, основанные на 2\
где бФ — любое множество формул.
Конечная последовательность формул ai, ..., ап
называется формальным выводом формулы а в предикатном исчис-.
лении У = {&, &} из множества формул 5, если ап есть а и для
любого / ^ п либо а^ есть логическая аксиома (т. е. формула
одного из видов (Ti) — (Т12) —см. V, § 11, стр. 220—221), либо
а, е S, либо же а,- является непосредственным следствием
некоторых формул afi ciy (/р /2<У) в силу одного из правил
(ri)-(re) (см. V, §8).
Формула а принадлежит ^(5) в том и только в том случае,
когда существует формальный вывод формулы а из S в У.

322 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИЙ [ГЛ. Vttl
В этом случае формула а называется выводимой из S в 9*
(см. V, 10.2).
Множество ^(бФ) играет особую роль в теории ^Г=
={i?, V, s4\\ формулы из ^(зФ) называются теоремами
теории Ф~.
Напомним, что если бФ пусто, то теория {2, <&, 0}
отождествляется с предикатным исчислением 9Р={3?, &}> описанным
в V, § 11. Теоремы в {&, Я2, 0} называются доказуемыми
формулами или, точнее, формулами, доказуемыми в 9. По
определению формула а является доказуемой в 9 в том и только
в том случае, когда существует формальное доказательство
формулы а в ^, т. е. формальный вывод формулы а в У из
пустого множества формул.
Если явно не оговаривается противное, то под теорией мы
будем понимать в этой главе какую-нибудь формализованную
теорию первого порядка 5Г'={57, Ф, si}.
Напоминаем (см. VI, § 10, стр. 283), что алгебра SI (T)
теории 0~ является алгеброй F/«, где « есть следующая
конгруэнция в алгебре формул {F, U, П, =ф, —}:
(1) а«Р в том и только в том случае, когда формулы (a=>P)
и (р z=> а) суть теоремы теории <Г.
В частности, %(9*) —это алгебра F/», где « является
следующей конгруэнцией в {F, U, П, =>, —}:
(1') а«р в том и только в том случае, когда формулы
(а =ф Р) и (р :ф а) доказуемы в £>.
Из VI, 10.4, 10.6, 10.7, 10.10, 11.2 следует:
1.1. Алгебра {51 (Т), U, П, =ф, —} теории Т является
булевой алгеброй. Для всех формул а, р
llallUIIPMfaUPJII, 1|а||П11Р11=11(аГШ,
( ' 1|а||#||Р|| = |1Га#р)||, — Цеж|| —1| — а||.
Кроме того,
II all ^ IIPII в том и только в том случае,
(°>) когда (а гф Р) является теоремой теории Т.
Для каждой формулы а
||a|| = V тогда и только тогда,
(4) когда а является теоремой теории ЗГ,
||а||¥=Л тогда и только тогда,
\у) когда а неопровержима в 9~>

§11
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
323
Таким образом, булева алгебра %(ЗГ) является
невырожденной в том и только в том случае, когда теория Т
непротиворечива.
Для каждой формулы $(х)
(Q)
Up№)|- U ирми.
6 II тег
Пр(б)|- П нрми.
£ II т е Г
В соответствии с VI, § 11 %{Т) мы всегда будем
интерпретировать как обобщенную алгебру
(6) щт\ и, п, #, ~>и1й>ПН'
где U и Р| обозначают бесконечные объединение и
пересечение. В качестве общей области определения D для (J и ^\
принимается класс всех множеств вида
(7) {11РМИ>твГ,
где $(х) —какая-нибудь формула в SB. Другими словами, [J
и Р) ограничиваются в %{Т) только бесконечными
объединениями и пересечениями (Q), т.е. бесконечными объединениями
и пересечениями, соответствующими кванторам. Обобщенная
алгебра (6) будет называться кванторной алгеброй теории Э~>
или, сокращенно, Q-алгеброй теории 0~.
Под (^-гомоморфизмом алгебры %{2Г) в какую-нибудь
булеву алгебру мы будем всегда понимать любой булев
гомоморфизм, сохраняющий все бесконечные объединения и
пересечения (Q). Максимальный (т.е. простой) фильтр V в %{Т)
называется Q-фильтром, если естественный гомоморфизм алгебры
51 {Т) на двухэлементную булеву алгебру Sl(^)/V является
Q-гомоморфизмом. В силу II, § 9 (стр. 104) максимальный
фильтр V является Q-фильтром, если
(а) для любой формулы а(х)9 для которой ||(Ja(g)|eV,
существует такой терм т, что ||а(т)||еУ;
(б) для любой формулы а(*), для которой ||f}a(£)|| £= V,
II ft II
существует такой терм т, что ||а(т)||^ёУ.
Легко видеть, что условия (а) и (б) эквивалентны
(заменяем а на —а и применяем законы де Моргана и II, 5.2, (г)).
Поэтому максимальный фильтр является Q-фильтром, если он
удовлетворяет одному из условий (а), (б).

324 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VII!
§ 2. Модели
Напоминаем читателю, что под реализацией
формализованного языка 3?={А, Г, FJ первого порядка в множестве 1Ф0
и в полной алгебре {Л, U, Г), =ф, —, (J, П) (с тРемя
бинарными операциями U, П, =Ф, одной унарной операцией — и двумя
бесконечными операциями (J, П) мы понимаем
отображение /?, определенное на множестве всех функторов в & и на
•множестве всех предикатов в $£, такое, что (см., VI, § 6)
(а) R сопоставляет каждому m-местному функтору ср в &
m-местную функцию фД в /, т.е. отображение фя*. /т—»/;
(б) R сопоставляет каждому m-местному предикату р в &
m-местную функцию, определенную на- /, со значениями из Л,
т. е. отображение pR: /m—► Л.
Как было объяснено в VI, §* 6, если дана реализация R для
$£ в / и Л, то каждая формула ав^ однозначно определяет
отображение
(I) a*: JV->A,
где V — множество всех свободных индивидных переменных
в S7. Значение отображения ан в точке v = {vx}x€BV прямого
произведения Jv обозначается посредством aR(v).
В определении реализации R для & в /=й=0 и Л (VI, § 6)
мы предполагаем, что Л — полная алгебра, только для того,
-чтобы обеспечить выполнимость всех бесконечных операций,
фигурирующих в индуктивном определении aR{v). Однако может
случиться, что для некоторой неполной обобщенной алгебры Л
и для данного отображения /?, удовлетворяющего условиям (а)
и (б), все бесконечные операции, фигурирующие в определении
aR(v), окажутся выполнимыми в Л для каждой формулы а из
& и для каждого не/7. В этом случае отображение R также
называется реализацией языка j? в / и Л в соответствии с VI,
§ 7, стр. 273.
В этой главе мы будем всегда предполагать, что
{Л, Ui П, =Ф» —i (J» П} является невырожденной булевой
алгеброй,
a (J, fl"~ бесконечными объединением и пересечением в ней.
Заметим, что для каждой булевой алгебры Л существует
изоморфизм Л* алгебры Л в некоторую полную алгебру,
сохраняющий все бесконечные объединения и пересечения в-Л (см.
II, 10.1). Другими словами, Л может быть расширена до полной
алгебры Л* с сохранением всех бесконечных объединений и
пересечений. Поэтому всякую реализацию R в /=^=0 и в какой-

§ 2] МОДЕЛИ 325
нибудь неполной булевой алгебре Л можно рассматривать как
реализацию в / и в соответствующей полной булевой
алгебре Л*. Однако если значениями a^(v) являются только
элементы из Л и для вычисления аА (v) используются только
бесконечные операции в Л, то нет надобности привлекать такое
расширение Л* для Л и естественнее рассматривать R как
реализацию в/и А.
Пусть 3? — фиксированный формализованный язык, a R —
фиксированная реализация для & в /#0 и в булевой алгебре Л.
Напомним, что любой элемент v = {v>х}х s v e Jv, т.е. любое
отображение v: V—►/, называется оценкой языка & в /. Иногда
мы будем говорить об оценке языка & в R, так как R
определяет множество /.
Мы говорим, что оценка v: V —► / выполняет формулу а в
реализации R, если
(2) *r(v)=V.
Формула а называется выполнимой в /?, если существует
оценка v в /?, которая выполняет а, т.е. для которой имеет место
(2). Формула а называется общезначимой*) в R, если каждая
оценка в R выполняет а, т. е. если (2) выполнено для
любого v: V—>/. В этом случае мы говорим, что реализация R
является моделью для формулы а. Заметим, что в случае
замкнутой формулы а (т. е. формулы без свободных индивидных
переменных) понятия выполнимости и общезначимости
совпадают, так как ад тогда является постоянной • функцией, т. е.
фиксированным элементом алгебры Л. Отметим также
следующую простую связь между выполнимостью и общезначимостью
формул:
а выполнима тогда и только тогда,
когда —а не общезначима;
—а выполнима тогда и только тогда,
когда а не общезначима.
Это непосредственно следует из тождества (—а)я(а) =
= — {aR(v)).
Множество Ж формул в S называется общезначимым в /?,
если каждая формула a Gi-общезначима в R. В этом случае
мы будем также говорить, что R является моделью для
множества формул s4- в множестве J и в алгебре Л.
*) В случае, когда А — двухэлементная булева алгебра, понятия
выполнимости и общезначимости, определенные так (Расёва и Сикорский [3])х
эквивалентны аналогичным понятиям у Тарского [4\.
(3)
(4)

326 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
Пусть Т={&, *&, ^ — формализованная теория.
Реализация R языка & в / и А будет называться моделью*) для Э~
в J и А, если R является моделью для множества si
математических аксиом.
Другими словами, R является моделью для Т в том и
только в том случае, когда каждая математическая аксиома
теории 9~ общезначима в R. В частности, каждая реализация R
языка & является моделью для {&\ &, 0}.
Под мощностью модели R для %Г в / и А мы будем
понимать мощность множества /. В частности, каждая модель в
счетном (конечном) множестве будет называться счетной (ко-
нечной) моделью.
Рассмотрим формализованный язык j?0 нулевого порядка
с множеством V0 пропозициональных переменных. Пусть 5 —
произвольная подстановка формализованного языка 3? первого
порядка в язык j?0. Напомним (см. VI, § 2), что для любой
формулы а в 3?о формула 5а принадлежит 2\
2.1. Для каждой пропозициональной тавтологии а в So
формула sa языка j? общезначима в любой реализации R
языка &.
Это непосредственно следует из VI, 6.9 и VII, 2.2.
2.2. Пусть R — модель для теории Т={9?> <&> si). Тогда
каждая формула ае^(^) {т.е. каждая теорема теории ЗГ)
общезначима в R.
Пусть F(R)—множество всех общезначимых в R формул
языка &. Покажем, что W(si) a F(R).
Так как каждую логическую аксиому теории Т можно
трактовать как результат подстановки 5 языка & в язык 3?0
нулевого порядка, а именно в одну из пропозициональных тавтологий^
вида (tt) — (ti2), приведенных в V, § 6 (см. V, § 11, стр. 220—221),
то множество F(R) содержит в.себе множество six всех
логических аксиом (в силу 2.1). Из определения модели следует, что
F(R) содержит множество si. Для обоснования включения
<S{si) czF(R) достаточно показать, что F(R) замкнуто
относительно правил вывода (п) — (гб).
Правило (п) отделения. Пусть а и (а гф Р) принадлежат
F(R). Пусть v — какая-нибудь оценка в /. По предположению-
Ми):-V и aR(v)^$R(v) = (a^)R(v)=V.
Поэтому $R(v)=V, т.е. р принадлежит F(R).
Правило (г2) подстановки для индивидных переменных.
Пусть а принадлежит F(R). Пусть s: V-+T — произвольная
подстановка в &. Пусть s'a — результат подстановки s в а (см.
.*) Это общее понятие модели было введено Ра сё в ой [4] под
названием алгебраической модели.

§ 21 МОДЕЛИ 32?
VI, § 4, (7), (8)). При данной произвольной оценке v: V-+J
пусть sRv будет оценкой \sxR{v)} eV^Jvt определенной в VI,
§ 3, стр. 254. В силу VI, 6.7
s'aR(v) = a,R{sRv)= V,
так как <x^F(R). Этим доказывается, что s'asF(/?).
Правило (г3) введения квантора существования.
Предположим, что формула (Pz^a) принадлежит F(R)9
x0—свободная индивидная переменная, встречающаяся в р, но не в а, и
£ — связанная индивидная переменная, не встречающаяся в р.
Пусть v = {vx}xf3V--любая оценка в / и пусть для каждого
/ е / Wj = {wix}x & v будет оценкой
wjx — vx при хфх0 и WfX% = ]
(см. VI, § б, (4')). Так как х0 не встречается в а, то мы имеем
ан(ау,-)=ад(о). Поэтому
Ря (»/) =Ф ад (v) = рд (ю,) =ф aR (wf) = (р =# а^ (го,) = V,
ибо (p#aj €=/?(/?). Значит,
Рд (^/) ^ aR (v) Для любого / е /,
и, следовательно, в силу VI, § 6, (4)
VS 1R /е/
т. е»
г
Это доказывает, что формула UP(*0/g)=#a принадлежит F(/?).
I
Правило (г4) введения квантора общности.
Доказательство аналогично доказательству для случая (г3).
Правило (г5) удаления квантора существования. Пусть
формула ([1$(х0/Ъ)Фа) принадлежит F(/?), т. е. в силу VI.
§ 6, (4)
/ U Р* М ^ «л (*) - (\J P (*о/6) ^ <0л (<0 - V
для каждой оценки v, причем оценка го/ определяется, как
раньше. Для /0=t^ имеем wh — v. Отсюда
Ря («О - Ря (»/.) < U Рл (»/) < «/г («0.

32В КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIП
т. е.
(Р =# *h (о) = Р* (v) ==> a* (t;) = V
для каждой оценки v в У. Это доказывает, что fP#aj€F(/?).
Правило (re) удаления квантора общности.
Доказательство аналогично доказательству для случая (Гб).
2.3. Каждая формула, доказуемая в предикатном исчислении
<?—{&, <&}, общезначима в любой реализации R.
Это непосредственно следует из 2.2 (случай, когда $4> пусто).
2.4. Если теория 0" имеет модель R в множестве 1Ф0 и
в невырожденной булевой алгебре А, то Т непротиворечива.
Действительно, предположим, что формула а является
теоремой в 9~. В силу 2.2 an(v) = V для любой оценки v в R.
Поэтому (—а)н(а)=Л. В силу 2.2 формула —а не является
теоремой теории 9~.
2.5. Предикатное исчисление 9?={&, V} непротиворечиво.
Это непосредственно следует из 2.4, поскольку каждая
реализация является моделью для теории 9>={3>, Ф, 0}.
Пусть В — некоторая невырожденная полная булева
алгебра и пусть А: А —>В — гомоморфизм алгебры А в В,
сохраняющий все бесконечные объединения и пересечения в А. Если R -—
реализация языка 2? в /Ф0 и в Л, то следующие равенства
определяют другую (обозначаемую посредством hR)
реализацию языка ^в/ивВ (см. VI, § 6, (8), стр. 269):
Флд = Фд Для любого функтора ср в j?,
PhR = hpR для любого предиката р в ^.
Таким образом, R и hR дают одну и ту же реализацию
термов. Если р — какой-нибудь m-местный предикат, то
PAflO'lt ..., /m) —Л(рл(/"ь •••> /m))«
При этих предположениях имеет место следующая теорема:
2.6. Если R— модель для теории 2T={S?y <&, s&}, то hR—
также модель для 3~. Более того, для любой формулы а в &
(6) cx,hR{v)=h(aR(v)) для любой оценки v.
Тождество (6) было доказано в VI, 6.6. Если а е $£, то а
общезначима в /?, т.е. aR(v)=V. Поэтому из (6) следует
ahR(v)= V для любой оценки v в hR. Значит, hR является
моделью для Э~.
Пусть формализованный язык &' является расширением
языка & (см. V, § 14), а /?' —реализацией языка &' в
множестве /Ф0 и в булевой алгебре Л, причем R' — расширение
реализации R для 3? в том же самом множестве /ив той же
самой булевой алгебре А. При этих условиях имеет место
следующая теорема:

§3]
КАНОНИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
329
2.7.,/? есть модель для теории &~={2?, *&, $&} в том и только
в том случае, когда R' есть модель для теории 3~'={&г ,91?УЩ,
являющейся лингвистическим расширением теории Т. Точнее^
для любой формулы а в & выполнены следующие условия:
(i) а выполнима в R в том и только в том случае, когда а
выполнима в /?',
(и) а общезначима в R в том и только в том случае, когда
а общезначима в R'.
(i) и (и) следуют непосредственно из VI, 6.4. Отсюда,
согласно определению модели, R является моделью для 0~ в том
и только в том случае, когда /?' является моделью для 9~\
поскольку М есть множество формул в &.
2.8. Пусть R — реализация языка 9? в множестве 1ф0 и
в полной булевой алгебре А. Пусть f — отображение множества
J на /', a R' — реализация языка 3? в У и А такая, что
4V(f(/i). •••> f(/m)) = /(<P*(/i. ■••> /m))
для любого m-местного функтора ф в 3? (т=0, 1, ...),
РЯ' (/ (I'll • • • , f (D) = РЛ (/l, • • •. im)
для любого m-местного предиката р в & (т=1, 2, ...).
Тогда для любой формулы а в 2? а общезначима в R в том
и только в том случае, когда а общезначима в R'. А именно:
aR'(fv)= V тогда и только тогда, когда aR{v)—\/.
Следовательно, R является моделью для теории д~—{9?, <ё>, sit}
в J и А тогда и только тогда, когда R' является моделью для
Т в Уи А.
Это выводится непосредственно из VI, Q.8.
§ 3. Канонические модели. Непротиворечивость
и существование моделей
Пусть ЗГ={2?, &, бФ) — непротиворечивая теория и % (Т) —
Q-алгебра теории д~. В силу 1.1 % {У) имеет по меньшей мере
два элемента. Пусть h — Q-гомоморфизм (см. VI, § 11) алгеб^
ры %{3?~) в невырожденную булеву алгебру А. Пусть /?° —
отображение, определенное на множестве всех функторов в ^ и
множестве всех предикатов в 9? такое, что
(а) /?°, суженное на множество всех функторов в SB,
совпадает с канонической реализацией термов в SB, т. е.
(и
^.==ф

330 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
для любого m-местного функтора ср (т = 0, 1, ...); точнее (см.
VI, § 3, (1)), отображение ср^: Гт->Г определяется
равенством
где ti,..., %т — любые термы в &\
(б) для любого m-местного предиката рв^ (т=1, 2, ...)
и для произвольных термов ti, ..., хт в &
(2) Р*.(*>. •••.•0 = A(||p(V..Tjf).
По определению /?° является реализацией для 9? в
множестве Т всех термов и в булевой алгебре Л. Из VI, 11.3 следует,
что /?° является реализацией типа, описанного в VI, §7, стр. 275—
276 (в VI, § 7 в качестве » берем отношение эквивалентности
из § 1, (1), т. е. из VI, § 10, (6)). (В соответствии с VI, § 7,
стр. 277, реализация R0 будет называться канонической
реализацией для теории &~> определяемой Q-гомоморфизмом Л.)
Поэтому к /?° можно применить теорему VI, 7.3.
Напомним для этого, что любую оценку v: V—>T в
множестве Т всех термов языка 9? можно рассматривать как
подстановку в S7. Поэтому для каждого терма т в & и для каждой
формулы а в i? символы vx и v'a будут обозначать результаты
подстановки v в х и а в соответствии с VI, § 3, стр. 252, и VI,
§ 4, стр. 258 (см. также VI, § 7, стр. 272). В частности, для
тождественной оценки г = {х}х е v (т. е. для тождественного
отображения i: V—>T) имеем
(3) tr = т, t'a = a
для каждого терма т и каждой формулы а в S7.
Следующая теорема, в силу VI,, 11.3, является частным
случаем теоремы VI, 7.3:
ЗА. Если R0 — каноническая реализация для
непротиворечивой теории Т, определяемая Q-гомоморфизмом h алгебры
% {3~) в булеву алгебру А, то
(4) a^0(t;) = A(||t;'a||)
для каждой оценки v: V-+T и для каждой формулы а. В
частности, для тождественной оценки г
(5) а«о(1) = Л(Ца||).
Если а — теорема теории &~, то формула v'a — также
теорема теории iT", поскольку множество всех формул замкнуто
относительнее правила подстановки (гг). Таким образом, ||*/а||=:
=V Для каждой оценки v. Ввиду (4) это влечет;

§3]
КАНОНИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
331
3.2. Каноническая реализация для непротиворечивой теории
£Г9 определяемая Q-гомоморфизмом h, является моделью для ЗГ.
В определении отображения /?° мы можем, в частности,
положить А = 51(^), а в качестве h взять тождественное
отображение. Тогда R0 называется канонической моделью для Т
в % {{Г) (R0 — модель в силу 3.2). Напомним, что каноническая
модель /?° для ЗГ в % {ЗГ) определяется посредством (а) и
следующего условия (б'), являющегося частным случаем
условия (б):
(б') для каждого m-местного предиката рв^ (/я=1,2,...)
и для любых термов ti, ..., tw в SB
р«.(т. 0=lpfTi ••• *jls*on-
Модель R для теории У называется адекватной, если
формула а является теоремой теории ЗГ тогда и только тогда,
когда а общезначима в /?. Каждая непротиворечивая теория
имеет адекватные модели; так, например,
3.3. Каноническая модель для ЗГ в %(ЗГ) адекватна.
Более общо:
Если h — Q-изоморфизм алгебры % {ЗГ) в булеву алгебру А,
то каноническая реализация для £Tf определяемая
гомоморфизмом Л, является адекватной моделью для £Г.
Достаточно доказать вторую часть теоремы 3.3, ибо первая
часть является ее частным случаем.
Если а общезначима в /?°, то Л(||а||)=\/л в силу (5). Так
как h — изоморфрзм, то имеем ||а||== V^(<r)> т.е. а является
теоремой в силу 1.1. Обратно, если а — теорема, то а
общезначима в R0 в силу 2.2 и 3.2.
•Следующие утверждения получаются из 3.2, 3.3, 2.4 и 2.2:
3.4. Теория ЗГ непротиворечива в том и только в том
случае, когда для ЗГ существует модель.
3.5. Для любой формулы а в непротиворечивой теории ЗГ—
={3?, &, s4) следующие условия являются эквивалентными:
(i) а является теоремой теории ЗГ\
(ii) а общезначима в каждой модели теории ЗГ\
(iii) a^o(i)=V в канонической модели R0 для ЗГ в 51 {Т).
Как непосредственное следствие 3.3 и 2.3, 2.5 получаем:
3.6. Для любой формулы а языка & следующие условия
эквивалентны:
(i) а доказуема в 9p={S>i Щ\
(ii) a общезначима в каждой реализации R для S£\
(iii) a^0(t)= V в канонической модели R0 для 9> в 51 (^).
Пусть формализованный язык &' является расширением
формализованного языка SB. При наших предположениях имеет
место следующая теорема:

332 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
3.7. Формула а в 2 является теоремой теории &"={2,<&,з$)
в том и только в том случае, когда она является теоремой
в 9~' = {«2", &, бФ), т. е. всякое лингвистическое расширение
теории 3~ несущественно.
Следовательно, 9~ непротиворечива в том и только в том
случае, когда Э~г непротиворечива.
Если а—теорема в Т, то, очевидно, а — теорема и в 9~'.
Допустим теперь, что а не является теоремой в 9~. В силу 3.5
а не общезначима в канонической модели R0 для £Г в %(ЗГ).
Пусть R — расширение реализации R0 для 2 до реализации
языка 2Г в том же самом множестве Г и в той же самой
алгебре 51 (&~). В силу 2.7 R является моделью для Г и а не
общезначима в R. Поэтому а не является теоремой в 9~' в силу 3.5.
Вторая часть 3.7 следует из первой.
§ 4. Семантические модели
В соответствии с VI, § 6 реализация R языка 2 в
множестве 1Ф0 и в двухэлементной булевой алгебре А0 будет
называться семантической реализацией языка 2 в /. Если
семантическая реализация R для 2 в J является моделью для теории
У = {2, &, s$\, то R называется семантической моделью
для 9~ в J.
Семантические реализации языка 2 и семантические модели
для теорий 9~ играют важную роль в метаматематических
исследованиях, потому что, грубо говоря, понятие семантической
реализации совпадает с понятием интерпретации языка 2, об-
сужДавшимся в V, § 4. Точнее, имеется естественное
взаимнооднозначное соответствие между интерпретациями языка 2
в / и семантическими реализациями языка 2 в /. А именно,
мы видели в VI, § 6, стр. 265, что для каждой интерпретации 3
языка 2 в множестве / равенства
Ф3* = Фз для каждого функтора ср,
Рз* ~ Рз для кажД°Г0 предиката р
(где р^ является характеристикой пропозициональной функции
р3) определяют семантическую реализацию 3* для 2 в /.
С другой стороны, для каждой семантической реализации R
для 2 в / существует в точности одна такая интерпретация 3
для 2 в /, что
(1) /? = 3*.
В силу VI, 6.1, если выполняется (I), то для каждого терма т
и для каждой формулы а в 2
*
ТД — Т3' aR — а3»

§4)
СЕМАНТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
333
т. е. функция ah равна характеристике пропозициональной
функции а3, сопоставленной а посредством 3. Поэтому (см. V, § 7,
стр. 200) для любой формулы а (*i,..., хп), где хи ..., хп — все
свободные индивидные переменные, встречающиеся в а, и для
каждой оценки v: V-+J предложение
аз (vx » • • •» vx ) кстинно тогда и только тогда, когда
Следовательно, оценка v выполняет а в реализации R в том и
только в том случае, когда предложение a3 (vx * ..., vx \
истинно,* и а общезначима в R в том и только в том случае, когда
пропозициональная функция а3 истинна в /. R является
семантической моделью для £Г в том и только в том случае, когда для
любой математической аксиомы а теории £Г (т. е. для любой
формулы а щ si) пропозициональная функция а3 истинна в /,
г. е. когда 3 является моделью для & в
интуитивно-математическом смысле.
Из V, § 7, стр. 202, и VI, 6.1 следует:
4.1. Формула а в & является предикатной тавтологией в том
и только в том случае, когда ан = V для каждой семантической
реализации R в любом множестве J Ф 0, т\ е. в том и только
в том случае, когда а общезначима в любой семантической
реализации.
Семантические реализации имеют следующее свойство,
которого, вообще говоря, нет у других реализаций:
4.2. Формула а(х) выполнима в семантической реализации
R в том. и только в том случае, когда формула (Ja(|) выпол-
нима в R.
Несколько более общо: формула а(хи ..., хп) выполнима
в семантической реализации R в том и только в том случае, когда
формула [J ... (Ja(|!, ..., ln) выполнима в /?.
Первая часть 4.2 легко следует из индуктивного определения
отображений $ц (см. VI, § 6, (4)) и из того, что объединение
элементов в двухэлементной булевой алгебре равно V в том и
только в том случае, когда хотя бы один из этих элементов
равен V. Вторая часть непосредственно следует из первой.
В соответствии с соглашениями в V, § 12, стр. 224, мы
говорим, что теория 9~ = {&, <&, Щ содержит знак равенства е, если
с является двуместным предикатом в^и все аксиомы (et), (ег),
(е3), (е4), (е5) из V, § 12 содержатся в множестве бФ
математических аксиом теории ST.
Пусть 9~ содержит знак равенства е.

334 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VHI
Пусть R — семантическая модель для д~ в множестве / ФО.
Реализация R, ограниченная на множество Ф всех функторов
языка j?, однозначно определяет универсальную алгебру
У> {Фя}ф€=ф} (см- VI> § 3Ь Для любых /t, /2 e / полагаем:
(2) /х — /2 в том и только в том случае, когда tR(jlt /2)=v.
tR является тогда характеристикой отношения ~ в /. Мы
докажем:
4.3. Отношение ~ в J является отношением конгруэнтности
в алгебре {/, {фд}феф}. Более того, для любого пг-местногд
предикату р в 2? (т= 1, 2, *..) выполняется следующее условие:
(3) если Ji^Ji для /—1, ..., т, то
Р*(/р •■•■ /«) = P«(/i» —» I'm)-
Пусть /-—произвольный элемент из / и пусть v: F->/ —
любая такая оценка, что vx~j. Так как формула t(xx)
принадлежит «я£, то
'*(/. I) = *(*x)r{o)= V.
Поэтому при любом /е/ имеем /~/.
Пусть для каких-нибудь /,, /2е/ имеем /i~/2. Пусть
у: F-*/ —некоторая оценка со свойствами vx = j{ и vy = j2-
Так как формула (t(xy)^t(yx)) принадлежит ^, то
е* (/i. /2) «Фея (/2» /i) = (е (**/,) =Ф е (у*!)* {v) = V.
Ввиду h —/2 имеем ел(/i» /2)= V- Значит, ел(/2,/1)=V, т. е.
/2 — /i, что доказывает симметричность отношения ~.
Пусть теперь для /lf /2, /3 в / выполняются /i~/2 и /2~/3*
Поэтому
(4) e^(/„/2)=V и e^(/2,/3)=V.
Пусть у: V->/ —произвольная оценка со свойствами vx = j{$
Vy = j2 и у2 = /3. Так как (е3), т. е. формула (г(ху)^(г(уг)^
^t(xz))), входит в зФ, то
е* (/i> /2) =#> (ея (/2. /з)# е (/!, /з)) =
= (е (ху) =Ф С е ft,*; # е (^^ (?) = V
Следовательно, в силу (4)
е/г(Ь/з)= V, т. е. /,~/3,
что доказывает транзитивность отношения ~ в /. Итак,
~ является в / отношением эквивалентности.

§4]
СЕМАНТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
335
Для обоснования того, что ~ — конгруэнция в алгебре
{Л Ыфеф}» осталось показать, что для любого т-местного
функтора фвй' (/7t=0, 1, ...)
(5) если /,-/{, ..., /т~4, то Vr(Iv ..., /т)~Ф*(/{, ..., 4).
Доказательство (5) и (3) может быть проведено совершенно
аналогично нашему доказательству того, что ~ является
отношением эквивалентности в /. Вместо (ei), (e2), (ез) должны
применяться аксиомы (е4), (е5). Предоставим все это читателю.
Из 4.3 и (2) следует, что в семантической модели R в / Ф О
для теории &~ = {«SP, ®\ s£) со знаком равенства е отображение
ед, сопоставляемое знаку е посредством /?, является
характеристикой некоторой конгруэнции ^удовлетворяющей условию (3).
Вообще говоря, отношение ~, определяемое посредством (2), не
обязано быть отношением равенства. Если в семантической
модели R в / ФО для теории &~ с равенством функция tR является
характеристикой отношения равенства (т. е. если определяемое
посредством ~ отношение является отношением равенства в /),
то R называется ординарной семантической моделью для ЗГ*)и
Имеется тесная связь между семантическими моделями и
ординарными семантическими моделями. А именно, каждая
семантическая модель R в J для теории ^естественным образом
определяет некоторую ординарную семантическую модель /?' в
множестве /' = //~, причем произвольная формула а выполнима
в R в том и только в том случае, когда а выполнима в R'. Точнее:
4.4. Пусть R — семантическая модель в множестве J ф О
для теории 0~ = {S, Я!?, s£} со знаком равенства е. Пусть R'
будет семантической реализацией в J' = //~ (где ~ является
отношением (2)), определяемой равенствами:
(6) <М|/,| |/т|)"-|ф*(/, /т)|
для любого т-местного функтора ср в & (ш = О,1,...) и для
любых /t, ..., /т в /;
(7) P*(|/l|» ••- l/m|)-P*(/l. ••- L)
для любого m-местного предиката р в SB (ш = 1,2, ...) и для
любых /i, ..., jm s /. Тогда R' является ординарной
семантической моделью для £Г, Более того, произвольная формула р в &
выполнима (общезначима) в R в том и только в том случае,
когда она выполнима (общезначима) в R'.
В соответствии с определением R' для любых /i, /2 e /
V(|/iM/2|)=^(/V/2)-
*) Многие авторы называют ординарные семантические модели просто
моделями.

336 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
Заметим, что |/i| = |/г| в том и только в том случае, когда
/i ~ /2, т. е. когда e^jj/jj, |/2 !) — **(/,• /2)= \Л Поэтому
функция е^, является характеристикой отношения равенства в /' =
Из 4.3 следует, что определения (6) и (7) являются
корректными. Пусть / — следующее отображение множества / на J/~:
f(j)~\j\^J/~ ДЛЯ ЛЮбоГО /G/.
Отображение f удовлетворяет условиям VI, § 6, (11) и (12).
Поэтому в силу VI, 6.8 для любой формулы ав^и любой оценки
v: V->/ выполняется следующее равенство:
где fv = {fvx}x€EV = {\ vx\}x€EV. Поэтому произвольная
формула а в & выполнима в R в том и только в том случае, когда она
выполнима в /?'. Аналогичным образом, произвольная
формула а в 2 общезначима в R в том и только в том случае, когда
она общезначима в R'. Итак R' является ординарной
семантической моделью для Т.
Так как /' ^ /, то из 4.4 следует, что существование
семантической модели R с мощностью ^ ш для теорийке равенством
эквивалентно существованию ординарной семантической модели
Rr с мощностью ^ ш для 0~. Более того, можно считать, что
произвольная формула а выполнима (общезначима) в R в том
и только в том случае, когда она выполнима (общезначима) в/?'.
<■ Для наших целей удобнее применять семантические, а не
ординарные семантические модели; это приводит к некоторым
упрощениям в доказательствах. Однако все теоремы о существовании
семантических моделей с мощностью ш или же с мощностью
^ ш, которые будут доказаны, могут быть также
сформулированы как теоремы о существовании ординарных семантических
моделей с мощностью ^ т.
§ 5. Существование счетных семантических
моделей для счетных теорий
В этом параграфе мы рассмотрим случай счетных теорий, т. е.
теорий Т = {&, <g7, si), основанных на не более чем счетном
множестве аксиом. Мы докажем, что любая непротиворечивая
счетная теория имеет семантическую (счетную) модель.
Аналогичная теорема может быть доказана для любой (даже-несчетной)
теории. Однако доказательство этой теоремы без ограничений
на мощность множества математических аксиом будет
проведено другим, более сложным способом. Поэтому случай
счетных теорий изучается отдельно. Более того, теорема о существо-

§ 5] СУЩЕСТВОВАНИЕ СЕМАНТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ СЧЕТНЫХ ТЕОРИЙ 337
ванки семантических моделей для счётных теорий будет
использована при доказательстве общей теоремы о существовании
семантических моделей для произвольных непротиворечивых
теорий.
5.1. Пусть Т = {2, *&, $&} — непротиворечивая
формализованная теория с не более чем счетным множеством зф
математических аксиом. Если формула а неопровержима в д~у то
существует такая счетная семантическая модель R для Т, что а
выполнима в R.
Рассмотрим сначала случай, когда язык 2 теории Т
является счетным, т. е. когда алфавит 2 содержит не более чем
счетное множество знаков и поэтому множество всех термов Т и
множество всех формул F являются счетными. В этом случае
счетно также множество (Q) всех объединений и пересечений,
соответствующих логическим кванторам в Q-алгебре 91 (^F). Так
как а неопровержима, то имеем || а II ф А. В силу II, 9.3
существует такой Q-фильтр V в % {Т), что|| а || &V. По определению
Q-фильтров (см. § 1, стр. 323, и II, § 9, стр. 104) естественный
гомоморфизм h алгебры % (ЗГ) на двухэлементную булеву
алгебру Ло = ^(ST)jSJ является Q-гомоморфизмом. Пусть R0 будет
канонической реализацией языка 2\ определяемой
гомоморфизмом h (см. § 3, стр. 330). По определению R0 является
реализацией в счетном множестве Т всех термов теории ff~. В силу 3.2
R0 является семантической моделью для 9~. В силу 3.1, (5)
имеем для тождественной оценки i
a^(i) = A(||a||)=Vi|l,
ибо Hall e V. Поэтому а выполнима в /?°.
Рассмотрим теперь случай произвольного языка 2 первого
порядка. Пусть множество всех математических аксиом бФ
теории У~ = {2,9?, М} не более чем счетно. Тогда существует
счетный подъязык 2' языка 2 такой, что 2Г содержит все знаки,
входящие в формулу айв формулы из $Ф. Теория Т' =
= {2\ &, $£) является счетной, и а неопровержима в Тг. В силу
уже доказанной части теоремы существует такая счетная
семантическая модель /?° для &~\ что а выполнима в /?°. Пусть R —
такая реализация языка 2\ что R является расширением для R0.
В силу 2.7 R является семантической моделью для ?"иа
выполнима в R.
5.2. Пусть Т = {2, &, $£} — непротиворечивая
формализованная теория с не более чем счетным множеством Ы>
математических аксиом. Если формула $ в 2 не является теоремой в 0~у
то существует такая счетная семантическая модель R для &~9
что р не общезначима в R.
Теорема 5.2 непосредственно следует из 5.1, если в качестве a
взять формулу —р (см. § 2, (3), (4) и VI, 10.11). Заметим, что

338 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
5.1 также следует из 5.2 (в качестве (J берем —а). У этих двух
теорем одно и то же математическое содержание.
5.3. Каждая непротиворечивая теория Т = {&, &, sf) с не
более чем счетным множеством s4> математических аксиом имеет
счетную семантическую модель *).
Это непосредственно следует из 5.1 или 5.2.
Следующая теорема обстоятельно освещает связь между не-
противорчивостью теории и существованием моделей разных
видов:
5.4. Для любой теории Т = {2\ Ф, si) с не более чем счетным
множеством математических аксиом следующие условия
являются эквивалентными:
(i) 0~ непротиворечива;
(и) для Т существует модель;
(Hi) для 9~ существует модель в некотором множестве J ФО
и в поле 33 (X) всех подмножеств некоторого множества X Ф 0;
(iv) для ZT существует адекватная модель;
(v) для 0~ существует семантическая модель;
(vi) для 3~ существует семантическая модель в счетном
множестве /**).
В самом деле, (i), в силу 5.3, влечет (vi). (vi) тривиально
влечет (v). (v) влечет (iii), поскольку двухэлементная булева
алгебра изоморфна полю всех подмножеств одноэлементного
множества X. (iii) очевидным образом влечет (и), и, в силу 2.4,
(и) влечет (i). Поэтому условия (i), (ii), (iii), (v), (vi)
эквивалентны. С другой стороны, (iv), в силу 2.4, влечет (i), a (i),
в силу 3.2 и 3.3, влечет (iv).
Сформулируем необходимые и достаточные условия для того,
чтобы формула была теоремой в счетной теории.
5.5. Для любой формулы а в непротиворечивой теории 9~ =
= {2\ 93, st) с не более чем счетным множеством аксиом
следующие условия являются эквивалентными:
(i) а является теоремой теории ЗГ;
(ii) а общезначима в любой модели для 8Г;
(iii) а общезначима в любой модели для &~ в полной булевой
алгебре;
(iv) а общезначима в любой модели для &~ в поле © (X)
всех подмножеств множества X Ф 0;
*) Эта теорема принадлежит Гёделю [1]. Ср. также Эрбран [2],
Гильберт и Бернайс [1]. Приведенное здесь доказательство
принадлежит Расёвой и Сикорскому [1], [2]. На сходных идеях основаны
доказательства в работах: Хенкин [1], Ригер [3], Лось [5], Бет [1],
Хазенъегер [1], Р а й х б а х [1].
**) Теорема о том, что (v) влечет (vi) (для ординарных семантических
моделей), была доказана Сколемом [2] и является обобщением, одного
результата Лёвенгейма (теорема Лёвенгейма — Сколема).

§ 6] ПОЛНОТА ПРЕДИКАТНЫХ ИСЧИСЛЕНИЙ. ПРИМЕРЫ ТАВТОЛОГИЙ 339
(v) а общезначима в любой семантической модели для Т
в счетном множестве;
(vi) существуют такие невырожденная булева алгебра А и
бесконечное множество. /, что а общезначима в любой модели
для Т в J и А\
(vii) a^o(i) = V для канонической модели /?° теории 0~ в
% {Т) и тождественной оценки t.
(i) влечет (ii) в силу теоремы 2.2.
(И) влечет (Ш), и (Hi) влечет (iv) очевидным образом.
(iv) влечет (v), ибо двухэлементную булеву алгебру можно
рассматривать как поле 33 (X), где X— одноточечное множество.
(v) влечет (i); в самом деле, если (i) не имеет места, то ввиду
5.2 не может выполняться и (v).
(ii) влечет (vi), это очевидно.
(vi) влечет (v). В самом деле, предположим, что при условии
(vi) (v) не выполняется, т. е. существует такая модель R для Т,
в счетном множестве /о и в двухэлементной булевой алгебре До,
что а не общезначима в /?. Можно считать, что А0 состоит из
единичного и нулевого элементов алгебры А. Поэтому R можно
рассматривать как модель для 9~ в /0 и А. Так как / бесконечно,
а /о счетно, то существует отображение f множества / на /о. Так
как f есть отображение на, то существует такая реализация
R' в / и А, что
f (Ф* (Iv • • • ■ /m)) = Ф« (f (/i)» ''' • f (/«))•
для каждого m-местного функтора ф (m = 0,1,2,...), для
каждого m-местного предиката р (т=1,2,...) и для всех /t, ...
..., jm e /. В силу 2.8 /?7 является моделью для 9~ в / и А, но a
не общезначима в #', т. е. (vi) не выполнено.
(i) эквивалентно (vii), поскольку a^0(i) = ||а||е91 (ЗГ) для
любой формулы а (см. 3.1, (5), где в качестве h нужно взять
тождественное отображение) и поскольку || a II = V в том и
только в том случае, когда а является теоремой (см. 1.1).
§ 6. Полнота предикатных исчислений. Примеры
тавтологий
В этом параграфе мы исследуем предикатное исчисление У =
= {i?, ^}. В соответствии с нашими замечаниями в § 1, и в V»
§ 10 предикатное исчисление У = {З?,**?} будет отождествляться
с теорией & ={3?, *&, 0}. Поэтому мы можем применить к 9> ре«
зультаты относительно теорий, полученные в предыдущих
параграфах.

340 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
Так как множество математических аксиом теории 9 пусто,
то из определения модели для теории следует, что каждая
реализация R языка «S7 является моделью для 9. Поэтому для
случая предикатного исчисления 9 понятие модели совпадает
с понятием реализации. С другой стороны, понятие теоремы
совпадает с понятием доказуемой в 9 формулы (см. § 1, стр. 322).
Заметим, далее, что в силу 4.1 формула а в & является
предикатной тавтологией в том и только в том случае, когда она
является общезначимой в любой семантической реализации при
любом множестве J Ф0.
Следующая теорема характеризует формулы, доказуемые
ъ 9 ={£,<&}:
6.1. Для каждой формулы а в предикатном исчислении 9 =
=*{3?,Щ следующие условия являются эквивалентными:
(i) а доказуема в 9\
(и) а общезначима в каждой реализации языка &\
(Ш) а общезначима в каждой реализации языка & в полной
булевой алгебре;
(iv) а общезначима в каждой реализации языка & в поле
33 (X) всех подмножеств какого-нибудь множества X Ф 0;
(v) а общезначима в каждой семантической реализации
языка 9? в каком-нибудь счетном множестве;
(vi) существуют такие невырожденная булева алгебра А и
бесконечное множество /, что а общезначима в каждой
реализации языка & в J и А\
(vii) а^0 (i) = V для канонической реализации /?° языка &
в % {9) и тождественной оценки \;
(viii) а является предикатной тавтологией.
Так как эквивалентность условий (i) — (vii) является частным
случаем теоремы 5.5, то для доказательства 6.1 достаточно
заметить, что (iii) влечет (viii), a (viii) влечет (v).
Эквивалентность (i) и (viii) называется теоремой о полноте
для предикатных исчислений*) и является одной из наиболее
важных метаматематических теорем м). Эта эквивалентность
показывает, что классическая операция присоединения следствий ^
удовлетворяет условию (С) из V, § 10. В § 9 мы докажем, что ®*
удовлетворяет также более сильному условию (С) из V, § 10.
В силу эквивалентности (i) и (viii) выражения «предикатная
тавтология» и «доказуемая в 9 формула» имеют один и тот же
смысл. Практически мы будем чаще употреблять первое из них.
Мы приведем сейчас примеры тавтологий. В силу V, 7.1 (или
в силу 2.1), если б является пропозициональной тавтологией
языка 9?ъ нулевого порядка, а 5 — подстановка языка & в $£§>
*) Теорема, устанавливающая эквивалентность (i) и (v), является другим
вариантом теоремы Гёделя о полноте [1].

§ б] ПОЛНОТА ПРЕДИКАТНЫХ ИСЧИСЛЕНИЙ. ПРИМЕРЫ ТАВТОЛОГИЙ 341
то формула 5б (т. е. результат подстановки 5 в б) является
предикатной тавтологией. Отсюда следует, что все формулы (То),
(Ti3) — (Т30), указанные на стр. 300, при произвольных формулах
а, р, у из 9? являются предикатными тавтологиями и,
следовательно, доказуемы в Р7.
Мы дополним это замечание двумя следующими теоремами:
6.2. Если подстановка s является взаимно-однозначным
отображением множества Vo всех пропозициональных переменных
языка «2?о нулевого порядка в множество всех элементарных фор-
мул языка & первого порядка, то, для любой формулы б в So,
б является пропозициональной тавтологией в том и только в том
случае, когда s8 является предикатной тавтологией.
Достаточно доказать, что если б не является
пропозициональной тавтологией, то s6 не является предикатной тавтологией.
В силу VII, § 1, (10) существует такая оценкаv° = W}flehe
е Л^° (где AQ — двухэлементная булева алгебра), что
4,.(°°>вЛ.
Мы определим реализацию R для & в множестве Т всех термов
языка & следующим образом. R является канонической
реализацией термов, т. е.
для любого m-местного функтора ф (т = 0, 1, 2,...). Для
каждого m-местного предиката р (т = 1,2,...)
v°a, если, для некоторого а,
Ря (т1э ..., тт) = < sa есть элементарная формула р (хх ... %т),
[ V в противном случае.
Пусть i: V-+T — тождественная оценка в 2?. Имеем
saR(i) = vl
и поэтому
(s6)R(i)=6Au(si) = 6AQ(v°)=A
в силу VI, 6.9, ибо
Поскольку s6R не равно V тождественно, то s6 в силу 4.1 не
является предикатной тавтологией.
Заметим, что в этой теореме достаточно предполагать
взаимную однозначность подстановки 5 только на множестве всех
пропозициональных переменных, входящих в б.

342 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
Каждая открытая формула а формализованного языка 5?
первого порядка имеет вид s6, где 5 — некоторое
взаимно-однозначное отображение счетного множества Vo всех
пропозициональных переменных языка &§ нулевого порядка в множество
всех элементарных формул языка &. Поэтому из 6.2 следует:
6.3. Открытая формула в формализованном языке первого
порядка является предикатной тавтологией в том и только в том
случае, когда она получается подстановкой в некоторую
пропозициональную тавтологию.
Укажем теперь предикатные тавтологии, не являющиеся
результатами подстановки в пропозициональную тавтологию:
6.4. Все формулы одного из следующих видов являются
предикатными тавтологиями-.
(Тз,)
(Т32)
(Тзз)
(Т34>
(Т35>
(Тзе)
(Т37)
(Тзе)
(Т39)
(Т«)
(Т41)
(Т42)
(Т43)
(Т44)
(П а (1) =Ф а (ТХ) » гДе т — произвольный терм,
\
(a(T)=^(Ja(D) » гДе т — произвольный терм,
1
cn«(&)^Ua®)'
1 \
(-П«(£)^и-а(Ш»
\ 1
1 1
1 1
Т \
((f)а (?) ■» р)-» U с« (1) =$• ю) >
1 Ъ
(\J(a^Hi))=$>(*^W®))>

§ 61 ПОЛ'НОТА ПРЕДИКАТНЫХ ИСЧИСЛЕНИИ. ПРИМЕРЫ ТАВТОЛОГИИ 343
(tj ((а#ир(ш#ис°^Р(Ш>).
(т«) (Лс°пр(|)^галЛР(ш;,
i i
(Т47) ССа Л Л Р ®) "» Л <а Л Р Ш .
сг«) (Лс«ир(Ш^с«иЛР(Ш).
(Т«) С(а U Л Р (Ш =» Л (« U Р (I))) .
(Tso) (1К«ПР(бМ#(аП1|Р(бШ.
$ I
(Т51) (аПиР(б)^и^ПР(бШ,
I I
(Т52) (U^UP(l))#(aUUP(D))'
(т53) сгаиир(Ш=Фи^иР(1Ш,
S I
(ти) (ЛС«Ш^Р(1)>>^СЛ«(1)^ЛР(5Ш'
(Ти) гЛс«(|)^р(Ш=Ф('иа^)^ир^ш»
(Ти) (Л(г«(|)пр(Ш#сЛа(|)лЛР(5Ш'
(т57) «Л«(s) л Л р (&)) ^ Л с° (6) п р аш.
(Tee) (UCa(l)UP(iW=#CU°(l)uUP(^).
(т59) ((U°(i)uUP(^^Uca^)up(iw.
(Tj ггЛ««) и Л Р(ш =ф Л («(&) и рпш ,
1 i i
(Т61) (Uf«(!)np(!))=HUa(£)nUP(&W>
(тв) CUЛ«(!• ч) =^ЛU°(l ч».
(Тез) СЛЛа(|, г,)ФППа(|, г,)),
(тм) (UU«(E. 4)#UU°(6. ч)^«

344 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
Тавтология (T3i) называется законом dictum de omni.
Формулы (Тм)— (Т37) — законы де Моргана. Тавтологии (Тзв)— (Т«)
суть законы пронесения кванторов сквозь =ф, а тавтологии
(Т4в) — (Т53) суть законы пронесения кванторов сквозь П и U.
Формулы (Tw) — (Tei) суть законы, дистрибутивности; формулы
(Тег) — (Тв4) — законы перестановки кванторов.
Общезначимость каждой из формул (Т31)— (Тм) в любой
реализации в произвольных множестве J ФО а булевой алгебре А,
в которых такая реализация может быть определена, легко
устанавливается с помощью соответствующих законов теории
булевых алгебр. Ниже мы указываем номер утверждений из глав I,
II, из которых следует общезначимость данных формул:
(Т31) 1,7.1,(3);
(Т34) 11,1-4,(20);
(Т37) 11,1.4,(19);
(Т40) 11,1.4,(28);
(Т43) 11,1.4,(26);
(TJ 1,7.1,(10);
(Т49) 11,1.4,(24);
(Ти) 1,7.1,(9);
(Т55) 11,1.4,(30)
(Т58) 1,7.1,(14)
(Т61)' 1,7.1,(17)
(Т^) 1,7.1,(11)
(Т32) 1,7.1,(2);
(Т^) 11,1.4,(20);
(Тзв) П. 1-4, (25);
(Т41) 11,1.4,(28);
(Т44) 11,1.4,(27);
(Т47) 1,7.1,(10);
(Tso) 11,1.4,(23);
(Т53) 1,7.1,(9);
(Tse) 1,7.1,(15);
(Т59) 1,7.1,(14);
(Т62) 1,7.1,(13);
(Тзз) 1,7.1,(6);
(Т^ 11,1.4,(19)
(Тзэ) 11,1.4,(25)
(Т42) 11,1.4,(26);
(Т45) 11,1.4,(27)
(Т48) 11,1.4,(24);
(Т51) 11,1.4,(23)
(Т54) 11,1.4,(29)
(Т57) 1,7.1,(15)
(Тво) 1,7.1,(16)
(Тез) 1,7.1,(12)
В силу 6.1 все формулы (T3i) — (Т64) имеют в 9" формальные
доказательства, т. е. они могут быть выведены из (Ti) — (T12)
с помощью правил вывода {rt)—(г6) (см. V, § 8). Мы не
приводим здесь эти формальные доказательства. В § 7 мы объясним
общий метод нахождения формальных доказательств для любой
тавтологии.
6.5. Если формулы а и 6 конгруэнтны, то импликации (а^ В)
и (В =ф а) являются предикатными тавтологиями.
В самом деле, для любой реализации R в произвольной
булевой алгебре имеем aR(v) = Вк(а) в силу VI, 6.2. Поэтому
(а=фВ)д(1>) = ал(о)#Вл(1>)= V.
Значит, (а:ф В) общезначима в любой реализации, т. е.
является предикатной тавтологией. Другое доказательство 6-5 можно
получить из VI, 11.3, (5).

§71
ДИАГРАММЫ ФОРМУЛ
345
Теорема 6.1 дает простой способ проверки того, доказуема ли
данная формула а в ^*). Для доказательства недоказуемости
формулы а в ^достаточно найти реализацию, в которой а не
общезначима. Для доказательства доказуемости формулы а
достаточно доказать, что а является предикатной тавтологией или
же что а удовлетворяет одному из условий (И) — (vii) в 6.1.
Однако, хотя последний метод и позволяет нам установить
доказуемость формулы а, он не дает нам формального доказательства
для ав^. В конце следующего параграфа мы приведем общий
метод, позволяющий находить формальное доказательство в Р7
для любой предикатной тавтологии а.
§ 7. Диаграммы формул
В этом параграфе мы докажем теоремы, аналогичные
теоремам VII, 6.1, 6.2. Первую теорему, подобно теореме VII, 6.1,
можно рассматривать как (бесконечный) метод проверки того,
является ли данная формула а0 предикатной тавтологией.
Мы рассмотрим фиксированный язык первого порядка со
счетным множеством термов. Это условие не является
существенным ограничением, так как, исследуя конкретную формулу ао,
всегда можно заменить весь язык на подъязык со счетным
множеством термов, содержащий нашу формулу ао.
Пусть
(1) xlf т2, ...
будет фиксированной последовательностью, содержащей в
точности по одному разу все термы языка 5\ В частности,
в (1) входит каждая индивидная переменная, и притом только
один раз.
Следующие обозначения и определения аналогичны
обозначениям и определениям в VII, § 6.
Буква Г (если нужно, с индексами) будет всегда обозначать
конечные последовательности
(2) а„ ..., ат
формул в SB, Допускаются также пустые последовательности
(т. е. случай т = 0).
Если Г является последовательностью (2), то бг будет обо-
m
значать дизъюнкцию \J щ.
*) Однако не существует никакой разрешающей процедуры, позволяющей
за конечное число шагов определить, доказуема ли данная формула в &
(Чёрч [1]).

346 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
Если Г есть последовательность (2), Г' — последовательность
Pl> •••> P/i>
и а, Р — произвольные формулы, то посредством Г, а, Г"; Г, а ,р, Г';
Г, а, Г", р будут обозначаться, соответственно, следующие
последовательности:
а1> •••» am> a> Pl> •••> Рп>
<*1> •••, «т» «» Р> Pl> • • •» Р/Г>
«1> • ••> «т> СС> Р1э . . ., Prt, P.
Формула а называется неразложимой, если она является либо
элементарной формулой, либо отрицанием элементарной
формулы. В противоположном случае она называется разложимой.
Последовательность формул Г называется неразложимой,
если она состоит только из неразложимых формул. В
противоположном случае она называется разложимой.
В частности, пустая последовательность неразложима.
Последовательность Г называется фундаментальной, если она
одновременно содержит как некоторую формулу а, так и ее
отрицание —а.
Под схемой мы будем понимать пару {Г, Г0} или тройку
{Г, Г°, Г1} (непустых последовательностей формул), обычно
записываемую в виде
(3) «fr
или
(4)
соответственно. Г называется заключением схемы, а Г°, Г1 — ее
посылками. Если мы имеем схему (4), то Г° и Г1 называются,
соответственно, левой и правой посылками.
В последующем мы будем рассматривать только следующие
схемы, где Г' всегда будет обозначать какую-нибудь (возможно,
пустую) неразложимую последовательность:
т\ Г (а[Щ, Г".
Vu> Г, а, р, Г" »
I т\\ Г, -(а[Щ, Г" ,
\-~и1 г', - а, Г"; Г, - р, Г" '
<С\ Г', (аПР), Г"
<С) Г', а, Г"; Г', р, Г"

§ 7] ДИАГРАММЫ ФОРМУЛ 347
w Г, - а, р, Г" •
(-D
(-N)
Г, -f«=>PJ, Г" .
Г', а, Г*; Г, - р, Г" »
Г, а, Г" .
Г', а, Г' ♦
T\{Ja(%),T"
(Е) 6 , . , где т — некоторый терм;
Г', а (т), Г", (J а(ё)
(-Е)
I
Г'. -0<^ Г"
I
Г', f)-aG),r»'
(U) t" ?а (*) Г" ' где * — некотоРая свободная
' * индивидная переменная, не
фигурирующая в формулах
заключения;
(-U)
г',-П«(1). г"
T',\J-a(l),T"'
i
Заметим, что схемы
(б) (D), (- С), (I), (- N), (Е), (- Е), (U), (- U)
имеют вид (3), т. е. у них одна посылка. Схемы
(6) (-D), (С), (-1)
имеют вид (4), т.е. у них две посылки. Если последовательность
формул Г разложима, то Г является заключением по одной из
схем (5) или (6). Условие, по которому Г' всегда означает
неразложимую последовательность, влечет, что Г является
заключением в точности по одной из схем (5), (6).
Буквы *", / будут всегда обозначать конечные
последовательности
(7) i\, ..., in
или же бесконечные последовательности
(8) lu i2, ...,
состоящие из чисел 0, 1.

348 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
Мы будем писать i ^ /", если г является начальным
(собственным или несобственным) отрезком последовательности /\
т. е. если / является продолжением последовательности *. Если г
есть последовательность (7), то i, 0 и *, 1 будут обозначать
последовательности
*]> • • •> J/l> " И l\, . . «у ln9 I
соответственно. Допускается также пустая последовательность
(случай п=0 в (7)). Она обозначается посредством О. По
определению О <g: / для любого /.
Под диаграммой формулы ао в SB мы будем понимать
отображение, которое некоторым конечным последовательностям i
сопоставляет непустые конечные последовательности формул Г/
и которое определяется по индукции следующим образом:
1) Т0 является последовательностью, состоящей из одной
формулы а0.
2) Если Г/ определена, но является либо фундаментальной,
либо неразложимой, то Г/, о и 1\\ не определяются.
3) Если Г/ определена и разложима, но не фундаментальна,
то Г/ является заключением точно по одной из схем (5), (6).
Если Г/ является заключением по одной из схем (6), то Г/,о
и I\ i будут левой и правой посылками этой схемы. Если f i
является заключением по одной из схем (5), то Г/, о является
единственной посылкой этой схемы, а Г/, i не определяется.
Кроме того, если мы имеем дело со схемой (Е), то мы
дополнительно принимаем, что упоминаемый в (Е) терм т является
первым из таких термов в последовательности (1), что формула
а(т) не встречается в какой-нибудь последовательности Tj при
j^L Если эгой схемой является (U), то мы дополнительно
принимаем, что упоминаемая в (U) переменная х является
первой из таких переменных в последовательности (1), которые не
встречаются в какой-нибудь формуле из Yi.
4) Если Г/ не определена, то Г/, о и 1\ i также не
определяются.
Диаграмма {Г/} формулы ао однозначно определяется
формулой ао» Диаграмма {Г/} называется конечной (бесконечной),
если конечно (бесконечно) множество всех последовательностей
/, для которых определена Ti.
Fi называется концевой последовательностью в диаграмме
формулы ао, если Г/ либо фундаментальна, либо неразложима,
т. е. если не определены Г/, о и Ti, i.
7.1. Формула ао является предикатной тавтологией в том и
только в том случае, когда диаграмма для ао конечна и все
концевые последовательности фундаментальны.
Пусть {Г/} — диаграмма формулы а0.

§7]
ДИАГРАММЫ ФОРМУЛ
349
Легко видеть, что если Г/ является концевой
последовательностью, то дизъюнкция 6г, (см. стр. 345) является
предикатной тавтологией в том и только в том случае, когда Г/
фундаментальна.
С Другой стороны, если Г* не является концевой
последовательностью, то Г/ является заключением в точности по одной
из схем t (5), (6). Если Г/ является заключением по одной из
схем (5J, то 6ri является предикатной тавтологией в том и
только в том случае, когда 6г, 0 является предикатной
тавтологией. Если же Г/ является заключением по одной из схем (6),
то б^ является предикатной тавтологией в том и только в том
случае, когда как бг/ 0, так и 6г, { являются предикатными
тавтологиями. Простое доказательство этих утверждений
может быть получено, например, переходом к алгебре 51 (<?*)
предикатного исчисления 5?={57, Щ (см. сходную
аргументацию в VII, стр. 307).
Из всех этих соображений следует, что если диаграмма для
ао конечна, то формула ао является предикатной тавтологией
в том и только в том случае, когда все концевые
последовательности в ее диаграмме являются фундаментальными.
Для завершения доказательства теоремы достаточно
показать, что если диаграмма для ао бесконечна, то ао не является
тавтологией.
Пусть диаграмма для ао бесконечна. Тогда существует такая
бесконечная последовательность /", что Г/ определена для
каждой конечной последовательности i ^ /". Пусть F' будет
множеством всех неразложимых формул, встречающихся по
крайней мере в одной из Г/, I ^ /. Заметим, что если I ^ V sg: / и
какая-нибудь неразложимая формула встречается в Г/, то она
встречается также и в IV. Так как-ни одна из
последовательностей Г/ (i ^ /) не является фундаментальной, то для каждой
элементарной формулы р самое большее одна из формул р, —р
принадлежит F'.
Пусть R — каноническая семантическая реализация языка 9?
в множестве Т всех термов, определяемая следующим образом:
|Л, если элементарная формула
р(Ч'т"...)е=Р,
V в противном случае.
Пусть t — тождественная оценка. По определению (см,
VI, 7.1, (20)
(9) МО "Л
для каждой неразложимой формулы р в F'.

350 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
Для того чтобы показать, что ао не является тавтологией,
нам достаточно установить, что
(Ю) Оад(1)»Л.
Для этой цели введем следующее индуктивное определение
порядка ord а формулы а. Если а — элементарная формула, то
orda=l. Если orda=ra, то ord — а=я+1- Если ordain и
ord p<n к хотя бы в одном случае мы имеем здесь
равенство, то ord (a U p) = ord (а Г) P)=ord (a==> p)=n+l. Если
orda(A:)=n, то ord(Ja(|) = ordf)a(Q = n+ 1.
Предположим, что (10) не выполняется, т. е. что аоя(г)= V.
В этом случае множество F" всех таких формул а, что а
встречается в одной из последовательностей Г* при i ^ / и
*И) Mt)=V,
не пусто, ибо ао £ F''. Пусть а'—такая формула из F'\ что
ord of ^ ord a для всех формул a e F". Тогда существует такое
i < /, что Г/ имеет форму Г', а', Г" с неразложимой Г'.
Можно предположить, что а! не имеет вида
(12) -ОФ кли -(>(£)>
так как если (12) входит в F'\ то формула f4) — a(|) или
\
[J —а(|) также входит в F", причем порядки этих двух формул
I
равны.
Далее, а' не может иметь ни одного из следующих видов
(aUP), -CaUP,), (аПР), -faflP,),
<13> (a=#>p), -С<х=#РЛ а, Г) <*(&)•
I
Действительно, в противном случае, если V будет наследником
последовательности i в / (т. е. V будет такой
последовательностью, полученной из i добавлением к ней 0 или 1 в конце,
что *'^/), то Г> имеет вид Г', а", Г", причем а;/ЕР и
ord a" < ord а', что противоречит определению формулы а'*).
Наконец, формула а! не может иметь вида
(14) U a(&
I
*) При а' вида fa =^ a) рассуждение авторов не проходит, если aR(i) =
= pR (i) = дэ ord a = л, ord p ^ л. В этом случае в качестве новой а' надо
взять формулу —а из Г^,. —Прим. перев, и ред,

§71
ДИАГРАММЫ ФОРМУЛ
351
ибо тогда существуют такие терм т и *", что г" ^ /, а(т)
встречается в Г> и формула а(т) удовлетворяет условию (11).
Поэтому а(т) еР и orda(t) < orda', что противоречит
определению формулы а'.
Так как а! не имеет ни одного из видов (12), (13), (14), то
а! неразложима. Поэтому а! принадлежит F' и имеет место (9).
С другой стороны, а! является одной из формул а,
удовлетворяющих (11). Поэтому предположение о том, что (10) не
выполняется, ведет к противоречию.
Этим завершается доказательство теоремы 7.145).
Выскажем теперь несколько замечаний, аналогичных замечаниям во
второй части VII, § 6.
Если
Г Г
(15) j?? или Г0;Г1'
является одной из схем (5) или (6), то
(16) -т- ИЛИ
г °г
является правилом вывода в смысле, определяемом в V, § 8,
стр. 204. Символами
(D*), (-D*), (С), (-С), (Г), (-Г), (-Ю,
(17' (Е*), (-Е*), (Щ, (-Щ
мы будем обозначать правила вывода, соответствующие
схемам (D), (-D), (С), (-С), (I), (-1), (-N), (Е), (-Е), (U),
(-U).
Формула языка & называется фундаментальной, если она
имеет вид бг, где Г — фундаментальная последовательность.
7.2. Множество всех предикатных тавтологий является
наименьшим множеством, содержащим все фундаментальные
формулы и замкнутым относительно правил вывода (17) *).
В самом деле, каждая фундаментальная формула является
предикатной тавтологией. Так как правила вывода ведут от
тавтологий к тавтологиям (см. V, 8.1), то каждая формула
в наименьшем множестве, содержащем все фундаментальные
формулы и замкнутом относительно (17), является
предикатной тавтологией.
С другой стороны, если ао является предикатной
тавтологией, то все концевые последовательности в диаграмме {Г/}
*) Теоремы 7.1, 7.2 являются модификацией теоремы Генцена [1]. Эта
модификация принадлежит Шютте [1]. Ср. также Кангер [1].
Приведенное доказательство принадлежит Расёвой и Сикорскому [8]. Другую
модификацию см. у Бета [2], [4]. См. также К р е й г [1].

352 Классические элементарные формализованные tEOPHH [ГЛ. vm
формулы ао являются фундаментальными. Можно упорядочить
все индексы i, фигурирующие в диаграмме, в конечную
последовательность
(18) *!,...,**
так, чтобы из I ^ / (i¥=J) следовало, что / предшествует г в
последовательности (18). По определению ih является пустой
последовательностью О. Из способа упорядочения
последовательности (18) следует, что последовательность формул
(19) 6rv ..., бг^
является формальным выводом формулы ао из множества
фундаментальных формул с помощью правил вывода (17). Этим
доказано, что каждая предикатная тавтология ао принадлежит
наименьшему множеству, содержащему все фундаментальные
формулы и замкнутому относительно (17).
Из второй части доказательства теоремы 7.2 мы видим, что-
для данной предикатной тавтологии ао можно эффективно
найти формальный вывод формулы ао из множества всех
фундаментальных формул с помощью правил вывода (17). Более
точно, диаграмма формулы ао является формальным выводом,
формулы ао (из фундаментальных формул посредством (17)),
записанным способом, отличным от (19). Подчеркнем важное
свойство выводов, представленных диаграммами: процесс
дедукции ведет здесь от более простых формул к более сложным,
и все появляющиеся в формальном выводе формулы являются
частями формулы ао или подстановками в такие части.
В § 6 мы доказали, что если формула ао является
предикатной тавтологией, то она доказуема в 9>={2?> И?}, т. е. существует
формальный вывод формулы ао из аксиом (Ti) — (Ti2) (см.
стр. 321) посредством правил вывода (ri) — (г6), указанных
в V, § 8. Однако мы не дали там способа построения такого
доказательства. Такое построение может быть осуществлено
с помощью диаграммы.
Это построение основано на том, что для каждой
фундаментальной формулы р мы можем эффективно найти формальный
вывод формулы р из (Ti) — (Ti2) посредством (п)— (Гб). Более
того, если бг получена из бг^ или из бг° и бг> (см. (15) и (16))
с помощью одного из правил вывода (17), то мы можем
эффективным образом построить формальный вывод формулы бг из
(Ti) — (Т12) и бго или из (Ti) — (T12) и из бг° и бг*
соответственно посредством (ri) — (r6). Мы не приводим здесь
детальных доказательств для этих утверждейий ввиду того, что они
довольно длинны.

§8]
ВОГАТЫЁ ТЕОРИИ
353
Если ао — тавтология, то диаграмма формулы а0 конечна и
каждая ее концевая последовательность фундаментальна.
Поэтому для каждой концевой последовательности Г/ можно
найти формальный вывод формулы бг£ из (Ti) — (Ti2) посредством
(ri) — (гб). Если Г/— не концевая последовательность, то мы
можем написать формальный вывод формулы 6Г, из (Ti) — (Ti2)
и бг. 0 или из (Ti) — (Т12) и дг, и бг^ , посредством (ri) — (г6).
С помощью подходящего упорядочения всех формул, входящих
в эти формальные выводы, используя (18), мы получим
формальный вывод формулы ао из (Ti) — (T12) посредством
(ri)-(re).
§ 8. Богатые теории
Напомним, что формула а (в формализованном языке
первого порядка) называется экзистенциальной, если ее первым
знаком является квантор существования (J, т* е- если она имеет
вид up (а.
Формализованная теория Т'={&', в\ si-'} первого порядка
называется богатой, если для любой экзистенциальной
формулы UP(£) языка &' существует такой терм т языка «£?', что
формула
rUPftJ^Pfr»
\
является теоремой теории Т'.
Целью первой части этого параграфа является
доказательство того, что каждая непротиворечивая теория &~={3>, 98, s&)
обладает несущественным богатым расширением #"'=
= {5", 9, Ж*} (см. ниже теорему 8.3).
Сначала мы построим язык &'. Для этой цели мы
определим по индукции счетную последовательность
формализованных языков 2?п={Ап, Tny Fn} (az=0, 1, 2, ...) и счетную
последовательность функций г|зп (п=0, 1,2,...) следующим образом:
1) 2?q совпадает с &\
2) &п+\ является расширением языка &п, получаемым
добавлением некоторого множества Ч'п функторов так, чтобы Ч'п
не пересекалось с множеством Ап всех знаков в &п (п =
= 0, 1,2, ...);
3) г|эп является взаимно-однозначным отображением
множества Еп на множество Vn (En — это множество всех
экзистенциальных формул языка &п, не встречающихся в 9?п-\)
таким, что если а££п — экзистенциальная формула с m свобод-

554 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. Vltt
ными индивидными переменными, то образ ф£ формулы а
является m-местным функтором.
Грубо говоря, S' является объединением всех языков «2V
Точнее, язык 3?' = {А\ Т\ F'} получается из 3? добавлением
объединения Ч? множеств
* 0> * 1» * 2> • • •
к множеству Ф всех функторов языка &. По определению
множество Е' всех экзистенциальных формул языка &' является
объединением непересекающихся множеств Епу д=0, 1, 2, ...;
в силу 3) все отображения фп (п=0, 1, 2, ...) совместно
определяют взаимно-однозначное отображение -ф множества Е' на
ЧР", причем
4) г|) отображает Еп на 4fn\
5) если а—экзистенциальная формула языка &' с m
свободными индивидными переменными, т. е. а имеет вид
(1) UP(S» *и •••> *«).
то образ г|)а формулы а является m-местным функтором в ЧР,
не встречающимся в (1).
Определенный таким образом язык &' называется богатым
расширением языка 3?. Легко видеть, что язык &' является
богатым расширением языка S\ если &' получается из 3?
добавлением некоторого множества W функторов, причем существует
взаимно-одйозначное отображение ф множества Е' на W со
свойством 5), и каждый подъязык языка 3?', обладающий
указанным свойством (с тем же отображением -ф), совпадает с 2".
Для каждой экзистенциальной формулы а языка &' вида (1)
пусть а! обозначает формулу
(2) Р0Фа(*1 ••• Хщ)> *1."...| Хт\
а а" обозначает импликацию
Пусть 38 — множество всех формул а", где а — произвольная
экзистенциальная формула в 2?\ а бФ' — объединение
множеств si и 9И.
Теория
Г' = {3?'9 <g>, ^'}
обладает нужными свойствами. Для доказательства этого
докажем сначала две следующие вспомогательные леммы:
8.1. Каждая семантическая реализация R языка 3? в
множестве 1ф0 может быть расширена до семантической
реализации R' языка SS' в множестве J таким образом, чтобы все

§8]
БОГАТЫЕ ТЕОРИИ
355
формулы из 38 были общезначимы в /?'. Следовательно, если
экзистенциальная формула а из & общезначима в R\ то
общезначима и формула а'.
Мы определяем по индукции такую последовательность
реализаций Rn (д=0, 1,2,...), что
6) Rn является семантической реализацией языка 9?п в /
(п=0, 1,2,...), причем RQ совпадает с R\
7) Rn+i является расширением реализации Rn.
Предположим, что Rn уже определено. В силу 2) и 7) для
полного определения реализации Rn+\ достаточно определить
Фд„ + 1 для любого функтора фе¥п. В силу 3) и 4) имеем
Ф=г|?а, где а — некоторая экзистенциальная формула вида (1),
причем формула p(x, хи ..., хт) принадлежит языку 5?п.
Поэтому, по предположению индукции, $Rn является вполне
определенным отображением множества /m+1 в двухэлементную
булеву алгебру (мы используем здесь определение $#п в VI, § 6,
(2)). В силу 5) ф является m-местным функтором. Если для
данных элементов /ь ..., /то е / существует такое / е /, что
Р*Я(Л Ь ...» /ffl)=V, то мы принимаем
Ф*Я+1(Ь •••» /«) = /•
В противоположном случае определяем элемент 4>Rn+l(j\> • •.» ]т)
произвольным образом.
Из этого определения непосредственно следует, что
а*я(/1. ...» /m)=^V влечет aift+I(/lf ..., /m)= V- Поэтому при
любом а из Еп
(3) а" общезначима в Rn+\.
В силу 6) и 7) все реализации Rn совместно определяют
некоторую реализацию R' для &', а именно следующую:
Р*'~Рд для кажД°г0 предиката р из 3?,
qy — Фд для каждого функтора ф из &,
Ф/?'===Ф/? Для каждого функтора ф из у¥п (я = 0, 1, 2, ...).
По определению, если формула у принадлежит Я?п, то VR, — yR .
Поэтому, в силу (3), а" общезначима в /?' для любой
экзистенциальной формулы а в &г.
8.2. Если формула у из £ не является теоремой в Т, то у
не является теоремой в 9~\
Предположим, что у является теоремой в Э~'. Тогда, в силу
V, 10.1, существуют такие конечные множества бФ\а$£ и
Jic Jf, что y принадлежит 9!?(s6i U^i). Так как у не является
теоремой теории ST^ то у не может быть также теоремой теории

356 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
^"i = {57, ®\ бФ\). В силу 5.2 существуют такие счетное
множество /, семантическая модель R для fi в/и оценка у, что
Уд(у)=Л. В силу 8.1 реализацию R можно расширить до
такой реализации R' для 9?' в множестве /, что каждая формула
из 38 будет общезначимой в /. Поэтому R' является
семантической моделью для теории £Г{ = {,2", <g\ s&{[)&\}-
Следовательно, в силу 2.2 yR>(v)=V. С другой стороны, должно быть
yR,(v) = \R(v)=- Л, так как R' является расширением для R.
Мы пришли к противоречию.
8.3. Каждая теория T—{S£, ^, s4) имеет такое богатое
несущественное расширение 2Г'={&', И?, si> U Jf}, что множество
всех термов языка 5?', множество всех формул языка SB' и
множество всех формул языка & равномощны. При этом из
непротиворечивости теории Т следует непротиворечивость
теории Т'.
Действительно, теория ЗГ\ определенная в начале
параграфа, удовлетворяет этим условиям.
8.4. Если $Г—{&, ¥>, бФ\ — богатая теория, то каждый
гомоморфизм h Q-алгебры *&,{Т) в какую-нибудь булеву алгебру А
является (^-гомоморфизмом, т. е.
Л(1^Р(1)||)===тУгЛ(11Р(Т)")'
л(|ПР(1)|)=ПглЛ(нр(т)||).
В силу 1.1, (Q)
(5) IIP(t)II<|UP(I)|
для любого терма т. Так как теория Т богата, то существует
такой терм т0, что формула ((JP(|)=#P(t0),) является теоре-
\
мой теории Т> т. е. |(JP(g)|<||P(T0)||. Поэтому
(6) 11Р(то)11 = |уР(1)|.
Из (5) и (6) следует, что
A(IIP(t)II)<A/||UP(S)|) Для любого терма т
A(IIP(to)II) = /*(|UP(&)|)-
Это доказывает первое из тождеств (4). Доказательство
второго тождества получается переходом к дополнениям.
(4)

§ 9] СУЩЕСТВОВАНИЕ СЕМАНТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ 357
8.5. Пусть 9^={S>i *&, s£\ — непротиворечивая богатая
теория. Если формула а неопровержима в ЯГ, то существует такая
семантическая модель R для ЯГ в множестве всех термов Т, что
а выполнима в R.
Так как а неопровержима, то имеем ||а||=#=Л. В силу I, 8.5
существует такой простой (т. е. максимальный) фильтр V, что
И ос I! gV. В силу 8.4 естественный гомоморфизм h алгебры 51 {<Г)
на двухэлементную булеву алгебру A0=^i(3r)/V является Q-ro-
моморфизмом. Каноническая реализация /?° для ЯГ*
определяемая Q-гомоморфизмом Л, является семантической моделью для
ЯГ в силу 3.2. Более того, в силу 3.1 мы имеем для
тождественной оценки i
V(i) = A(lla||)=V^,
так как ||а[| е V. Поэтому а выполнима в R0.
8.6. Пусть ЯГ = {SB, <g7, si-} — богатая непротиворечивая
теория. Если формула р не является теоремой теории Т, то
существует такая семантическая модель R для 3~ в множестве Т
всех термов, что р не общезначима в R.
Теорема 8.6 следует из 8.5, если в качестве а взять —р.
Заметим, что взаимное отношение 8.5- и 8.6 такое же, как в случае
теорем 5.1 и 5.2 (см. замечание на стр. 337—338).
§ 9. Существование семантических моделей
для произвольных непротиворечивых теорий
Следующая теорема является обобщением теоремы 5.1:
9.1. Если формула а неопровержима в непротиворечивой
теории &~={9?> &, «я£}, то существует такая семантическая модель
R для ЯГ,_что а выполнима в R и мощность модели R равна
max (Ко, «я^).'
Пусть m = max(K0, s&).
Мы докажем сначала 9.1 для случая, когда множество
всех формул теории &~ имеет мощность т. В силу 8.3
существует богатая теория Т' = {S£\ <&; $f> U $}> являющаяся
несущественным расширением теории ^ и такая, Что
множество V всех термов теории ЯГ' имеет мощность пк Так как У
является несущественным расширением теории ЯГ', то формула а
неопровержима в Я~\ В силу 8.5 существует такая
семантическая модель R' для Я~' в множестве Т'9 что d выполнима
в /?'. Сужение R' до реализации R языка 3£ является
семантической моделью для ЯГ в множестве Т' мощности rti, причем а
выполнима в R.
Рассмотрим теперь случай произвольной теорий ^7" —
^{S?, W, s4>}. Пусть а неопровержима в Т- Найдетсй такой

358 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
подъязык S£x языка i?, что 2?v содержит все знаки,
встречающиеся в а и во всех математических аксиомах из $4>> причем
множество всех формул языка i?, имеет мощность га. В силу
уже доказанной части 9.1 существует семантическая модель Rx
для теории Тх = {3?\, V, <&} такая, что а выполнима в /?, и Rx
имеет мощность т. Пусть R будет реализацией языка й7,
являющейся расширением реализации Rx. В силу 2.7 R
является семантической моделью для Т, и а выполнима в R.
Следующая теорема является обобщением 5.2:
9.2. Если формула р не является теоремой в
непротиворечивой теории Т={&, *&, s£}y то существует такая семантическая
модель R для ZT, что_р не общезначима в R и мощность
модели R равна шах (Ко, «я£).
Теорема 9.2 следует из 9.1, если взять —р в качестве а (см.
§2, (3), (4) и VI, 10.11).
Из любой из этих теорем следует:
9.3. Каждая непротиворечивая теория ЗГ=.{2>у <&у sQ имеет
семантическую модель с мощностью, равной тах{80, ^}*).
Теоремы 9.1—9.3 являются одними из важнейших теорем
метатеории элементарных формализованных теорий. Из 9.2 и
2.2 следует, что операция присоединения следствий *&,
определенная в V, § 11, стр. 220, обладает свойством (С) из V, § 10,
т. е. является правильной формализацией интуитивного понятия
следования. В самом деле, учитывая естественное
взаимно-однозначное соответствие между интерпретациями и семантическими
реализациями (см. § 4), условие (С) из V, § 10 можно
сформулировать следующим образом: для любого данного
множества формул бФ формула а принадлежит H>{s4>) в том и только
в том случае, когда она истинна в каждой семантической
модели для s£. Последнее утверждение непосредственно следует
, из 2.2 и 9.2.
Интуитивный смысл теоремы 9.3 состоит в том, что
непротиворечивость теории равнозначна ее семантической
реализуемости, т. е. существованию множества /Ф0 элементов и системы
отношений в / и функций в / со значениями из /, которые
обладают свойствами, выражаемыми математическими аксиомами
рассматриваемой теории. Доказательство аналогичной теоремы
5.3 о существовании моделей для счетных теорий
эффективно**), т.е. в этом доказательстве не применяется аксиома вы-
*) Это обобщение (Мальцев [1], Хенкин [1], Д. Робинсон [1])
теоремы Гёделя [1]. См. также Бет [1] и Лось [5]. Идея введения
множества формул & принадлежит Хазенъегеру [1].
**) Приведенное в этой книге доказательство основано на теореме
Бэра 1,2.2. В случае счетных теорий теорема Бэра применяется к
компактным пространствам со счетной базой. В этом случае доказательство теоремы
Бэра эффективно.

§ 9] СУЩЕСТВОВАНИЕ СЕМАНТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ 359
бора. Доказательство теоремы 9.3 не эффективно, так как оно
основано на принципе полного упорядочения (использованном
при доказательстве 8.1 и 8.4). Эта неэффективность имеет
место по существу, ибо теорема 9.3 эффективно эквивалентна
нескольким известным, не доказуемым без помощи аксиомы
выбора утверждениям. Эта проблема будет обсуждаться в § 21.
Аксиоматические математические теории обычно
формализуются посредством не более чем счетного множества аксиом.
Поэтому случай счетных теорий представляется наиболее
естественным. Однако в некоторых применениях теоремы о
существовании моделей к математическим вопросам удобно
рассматривать формализованные теории, основанные на несчетном
множестве аксиом. Теорема 9.3 представляет собой поэтому
мощный и важный аппарат в математических доказательствах.
Так, например, значительное число интересных теорем
современной алгебры может быть доказано средствами
теоремы 9.3*).
Теоремы 5.3 и 9.3 приводят также к некоторым
результатам, которые кажутся довольно парадоксальными. Примеры
будут обсуждены в § 20.
Следующая теорема обстоятельно освещает связь между
непротиворечивостью теории и существованием моделей разных
видов. Она является обобщением теоремы 5.4:
9.4. Следующие условия являются эквивалентными для
любой теории Т={2, <&, $t>}\
(i) У непротиворечива;
(и) существует модель для дГ\
(Hi) существует модель для ЭГ в некотором множестве /=#=0
и в поле 33 (X) всех подмножеств некоторого множества
ХФО;
(iv) существует адекватная модель для Т\
(v) существует семантическая модель для 2Г в множестве /,
мощность которого равна тах(К0, •*£)■
В самом деле, (if влечет (v) в силу 9.3; (v) влечет (iii),
поскольку двухэлементная булева алгебра изоморфна полю всех
подмножеств одноэлементного множества Х\ (iii) влечет
очевидным образом (и) а (и), в силу 2.4, влечет (i). Поэтому
условия (i), (ii), (iii), (v) эквивалентны. С другой стороны,
(iv) влечет (i) в силу 2.4 и (i) влечет (iv) в силу 3.2.
Следующая теорема является обобщением теоремы 5.5:
9.5. Для каждой формулы а в непротиворечивой теории &~=
— {9?9 Ф\ зФ) следующие условия являются эквивалентными-.
(i) а является теоремой в 9~\
(ii) а общезначима в каждой модели для 9~\
*) См., например, А. Робинсон [1].

360 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИЙ [ГЛ. Vltl
(iii) а общезначима в каждой модели для Т в полной
булевой алгебре;
(iv) а общезначима в каждой модели для 9~ в поле 33 (X)
всех подмножеств какого-нибудь множества ХФО;
(v) а общезначима в каждой семантической ^модели для Т
в произвольном множестве мощности тах(Ю0, sl)\
(vi) существуют такие невырожденная булева алгебра А и
множество J мощности ^ тах(К0, ^), что а общезначима в
каждой модели для Т в J и А\
(vii) aRyi (t) = V для канонической модели R0 теории Т в
51 {3~) и тождественной оценки t.
Доказательство 9.5 — такое же, как доказательство 5.5
(вместо 5.2 используется 9.2).
Мы закончим этот параграф следующими замечаниями:
9.6. Для любых теорий T={S, <&, s4) и T'={S, <g7, зФ'\
следующие условия эквивалентны:
(i) Т и Т' эквивалентны;
(п) 0~ и ?Г' иМеют одни и те же модели;
(iii) (Г в ЗГ' имеют одни и те же семантические модели.
(i) влечет (и) в силу 2.2. (И) очевидным образом влечет
(iii). (iii) влечет (i) в силу эквивалентности 9.5,(i) и 9.5,(v).
Мы докажем сейчас теорему, показывающую, что иногда
мощность max (К0, &) может быть заменена в 9.1, 5^2, 9.3 и 9.5
некоторой другой мощностью, меньшей max(tf0, s&)- Сначала
нам нужно доказать одну вспомогательную лемму:
9.7. Если подъязык 3?0 языка 2? содержит все предикаты
и функторы, встречающиеся в множестве аксиом эФ теории
£Г = {«2\ ^, s4>), то существует такое множество s&' формул
в 2?0i что теория Т' = {3?> <&, s&'} эквивалентна теории &~.
Построение множества si' осуществляется следующим
образом. Пусть Vo и Зо—множество всех свободных и,
соответственно, множество всех связанных индивидных переменных
в 3?о. Для каждой формулы а е бФ пусть а* будет формулой,
конгруэнтной формуле а и такой, что все связанные
индивидные переменные формулы а* принадлежат Е0. Пусть s&* —
множество всех таких формул a*(«si).B силу 6.5 обе формулы
(а^а*) и (а*=>о0 являются предикатными тавтологиями.
Поэтому, в силу modus ponens, aG?(a*) cz<8(s&*) и a* ^ ^(a)cz
cz^^). Значит, a^<&(s&*) и ^*с=^(^) и, далее, «>(^)с
cW{sf) = V №*) а <&<&{&) = <&{s4>) (см. V, § 10, (с2) и (с5),
стр. 212), чем доказано
<в №) = <&{&).
Пусть теперь а! будет формулой, получаемой из а*
взаимно-однозначной подстановкой некоторых свободных индивидных пе-

§ ю]
ТЕОРЕМЫ О ДЕДУКЦИИ
361
ременных из V0 вместо свободных индивидных неременных в а*.
Так как эта подстановка взаимно-однозначна, то а* является
результатом обратной (тоже взаимно-однозначной)
подстановки в а'. Пусть si' — множество всех формул а! (а е $£). В силу
правила подстановки (г2) a! <=lH?{o?) cz&ist*) и a'e^fa') сз
с <&{$&'). Отсюда, как и выше, получаем
«?(^*) = У
(последовательно V (st) = <& (st>')% т. е. теории Т и Т' = {2\ Vt M'}
эквивалентны. _
9.8. В теоремах 9.1, 9.2, 9.3, 9.5 мощность_тах(К0, sf)
может быть заменена мощностью max (к о» Рл, Ф«А где Рл, Фл
являются, соответственно, множествами всех предикатов и всех
функторов, встречающихся в формулах из sf>.
Пусть 3?0—такой подъязык языка 3?, что Sq содержит
только счетное множество V0 свободных индивидных
переменных, счетное множество S0 связанных индивидных переменных,
функторы из множества Фл и предикаты из множества Я<*.
В силу 9.7 существует такое множество s4-' формул языка j?o,
что теория Т = {&, V, si) эквивалентна теории Т^_ = {&, *&, зФ'}.
Легко видеть, что max(tf0, .s£') = max(tt<h Рл, Ф^). Применяя
перечисленные в 9.8 теоремы к теории #", мы получаем в
силу 9.6, (i), (Hi) требуемые утверждения относительно теории Т.
§ 10. Теоремы о дедукции
Так называются две следующие теоремы *):
10.1. Пусть а —замкнутая формула в 2?. Формула р
является теоремой в теории Т' = {3?, <ё?, s4>\][а]} в том и только
в том случае, когда формула (а=>Р) является теоремой
в теории Т = {ЗБ, <&, s4).
Если формула (a =^J3) является теоремой в Т, то она
является также теоремой и в 3~'. Так как а — аксиома в ЗГ', то
в силу modus ponens формула р является теоремой в ЗГ'.
Если формула (а=Ф$) не является теоремой в £Г\ то в силу 9.2
существуют такие семантическая модель R для 0~ и оценка v,
что (a=$>$)R(v)= А, т. е. aR(v)=$>$R(v)= Л. Поэтому
oR(v)=V и -**(*)= Л.
Так как a — замкнутая формула, то функция aR является
константой. Поэтому ад тождественно равна V, т.е. R является
моделью для а. Следовательно, R — модель для Т\ в которой р
*) Э р б р а н [1], [2)иТарский [1],

362 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
не общезначима. В силу 2.2 это доказывает, что р не является
теоремой в &*'.
10.2. Формула р является теоремой теории Т={9?, <&, $6)
с непустым множеством аксиом s& в том и только в том случае,
когда существует такая конъюнкция а замыканий конечного
числа аксиом из si, что импликация (а =ф р) является
предикатной тавтологией.
Предположим, что р является теоремой теории ЗГ, т. е. что
ft^ffisfj. Тогда существует такое конечное непустое
множество si>x cz sty что Pg?(j^i) (cm. V, 10.1). Пусть а
—конъюнкция замыканий всех формул и^ s4>{. В силу modus ponens,
тавтологий (Т5), (Т6) и VI, 11.5 si>x cz<&([a\). Поэтому
pG?([a]), т. е. Р является теоремой в теории {&\ <&, [а]}.
В силу 10.1 (где st — пустое множество) импликация (а=ФР)
является теоремой в {«£?, св, 0}, т. е. предикатной тавтологией.
Обратно, если существует такая конъюнкция а замыканий
аксиом из s&, что (а=ф Р) является предикатной тавтологией,
то а является теоремой в 9~ (см. VI, 11.5 и VI, 10.8) и, в силу
modus ponens, p также является теоремой в !Г.
§ 11. Связь между теориями и фильтрами *)
В этом параграфе (который аналогичен VII, § 9) символ ||а||
будет всегда обозначать элемент булевой алгебры 91 (9>),
определяемый формулой а. Напоминаем, что 9*={3?, Щ является
предикатным исчислением, основанным на &<
Фильтр V в %{9>) называется {^-фильтром, если он
обладает следующим свойством:
если ||a(x)||eV, то элемент
£ I V
е. пересечение
П II a Mil) также принадлежит V.
теГ /
Другими словами, фильтр V в 91 (У) называется f]
-фильтром, если он обладает следующим свойством:
если ||a||j= V и а есть замыкание формулы а, то ||a||eV.
Символ 91 (9>) будет обозначать множество всех элементов
||a|| e 91 (У), где а —замкнутая формула. Легко видеть, что
%(9>) замкнуто относительно булевых операций U, П, гф, —
в 91 (У)у т.е. 91 (У) является подалгеброй булевой алгебры
Для произвольного множества s4> формул в 2 символ Vo^
будет обозначать множество всех ||a|| e 91 (^), где a^st,
а символ Vo<* будет обозначать множество всех ||a|| e 91(57).,
*) Результаты этого параграфа см. в работах Тар с ко го [5] и [7].

§ II] СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕОРИЯМИ И ФИЛЬТРАМИ 363
где а—замыкание формулы а е Ж (в силу 6.5 все замыкания
формулы а определяют один и тот же элемент из 51 (9*)).
Символ ¥л будет обозначать множество всех ||а|| е 51(57), где а
является теоремой теории ^={«2\ <&, $£), a Мл будет
обозначать множество всех j|a||, где а является замкнутой формулой
и теоремой теории Т. Определение S/л может быть
сформулировано следующим образом:
|| а || gV^ в том и только в том случае,
когда а является теоремой в ZT.
Множество V^ является следующим пересечением:
(2) ^ = ^П«(П
Говорят, что множество 5 элементов из 21(5?) Р)-порождает
Q-фильтр V в 51 (9) (или: множество 5 является системой
{^-образующих для V), если V — наименьший Р)-фильтр,
содержащий 5.
11.1. Множество 1Л является [^-фильтром в 21 (9>).
Множество V0t* (^-порождает [^-фильтр Чл. Множество Vo^
порождает фильтр V^ в 21 (Р).
Множество Ул является фильтром в 21(5?). Множество Vo^
порождает фильтр ¥л в %(9>).
По теореме о дедукции 10.2 а является теоремой теории Т
в том и только в том случае, когда существует такая конъюнк-
m
ция f] at замыканий ct/ некоторых формул а/ из s4>, что
/ = i
m
импликация (f) а/=ф а) является предикатной тавтологией,
т. е. если
ffla^aj
i = \
= V e=5l(^).
Другими словами, а является теоремой в ЗГ в том и только
в том случае, когда существуют такие формулы оы, ..., amGi,
что
m
Пиа*И<11а11.
где ct/ является замыканием формулы а*. В силу (1) и I, 8.1 это
доказывает первую часть 11.1 4б).
Вторая часть следует из первой части и (2).

364 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VlII
Мы вывели первую часть 11.1 из теоремы о дедукции 10.2.
Легко видеть, что и, обратно, 10.2 следует непосредственно из
первой части 11.1. Поэтому первая часть 11.1 является просто
алгебраической формулировкой теоремы о дедукции 10.2. Она
разъясняет также алгебраический смысл множества аксиом и
множества всех теорем в теории.
11.2. Теория Т—{&, <ё?, зФ) непротиворечива в том и только
в том случае, когда фильтр У Л является собственным, т. е.
когда фильтр S/л является собственным.
Замкнутая формула а неопровержима в теории Т в том и
только в том случае, когда теория {g, Ф, s£(J [а]}
непротиворечива.
Замкнутая формула р не является теоремой в ЗГ в том и
только в том случае, когда теория {&\ (ё>, $& U [—р]}
непротиворечива.
Первая часть теоремы 11.2 непосредственно следует из
определения S/л или V^ (см. V, 14.1).
Остающаяся часть 11.2 следует из уже установленной части,
так как фильтр, порожденный Vo^ и ||а|| (т.е. порожденный S/л
и ||а||), является собственным в том и только в том случае,
когда —1| а || ^ V^ (см. I, 13.9). Аналогично, фильтр,
порожденный Ум и — ||рII (т.е. порожденный S/л и — ПРИ), является
собственным в том и только в том случае, когда || р [| ф S/л (см.
11,5.3).
Без условия замкнутости рассматриваемой формулы р третья
часть 11.2, в силу VI, 11.5, может быть сформулирована
следующим образом: формула р не является теоремой в &~ в том
и только в том случае, когда теория {&, &, s£>[) [— p]}
непротиворечива (здесь р —замыкание формулы р).
Замещая в этом утверждении р на —а, мы получаем
следующее обобщение второй части 11.2: формула а(хи ..., хп)
(где хи ..., хп — все свободные индивидные переменные этой
формулы) неопровержима в У в том и только в том случае,
когда теория Гj?f <&, «^UfU • • • Ua(£i» •••» £«)]) непротиво-
I U ** J/
речива.
11.3. Теория g~r—{&, ®\ $£*} является лингвистически
инвариантным расширением теории &~={2?) И?± si) £ том и только
в том случае, когда \/л с: V^, т. е. когда S/л <= Ул'.
По определению 9~' является лингвистически инвариантным
расширением теории Э~ в том и только в том случае, когда
^(бФ) с: <e?(s^/). В силу (1) это эквивалентно включению
V^czV^'. В_силу (2) и 11.1 это последнее включение
эквивалентно Чл с= V«r. .

§ 111 СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕОРИЯМИ И ФИЛЬТРАМИ 365
11.4. Теории Т={&, &, зФ) и Т'={2?> <&у si) эквивалентны
в том и только в том случае, когда V^==V^', г. е. когда V^ =
Это непосредственно следует из 11.3.
Мы дополним теорему 11.1 следующим замечанием:
11.5. Для каждого фильтра V в 51 (У) существует такая
теория ЗГ={2?> <S>i si}, что у—Ул- Более того, для каждой
системы Vo образующих для_у можно выбрать множество si аксиом
для Т так, чтобы V0=V0,#.
Для каждого [^-фильтра V в 51 (<?) существует такая теория
gr={S?y <g7, si), что V=Vc/?. Более того, для каждой системы Vo
Pj -образующих для V можно выбрахь множество si аксиом для
Т так, чтобы V0=V0^.
Для каждого элемента .е е V0 пусть ае будет такой
формулой, что ||ае||=е, и пусть si будет множеством всех ае, eeV0.
Теория iF={J?, ff, si} обладает нужными свойствами.
Аналогично мы доказываем вторую часть 11.5.
Теоремы 11.1, 11.4 и 11.5 устанавливают, что существует
естественное взаимно-однозначное соответствие между
{~|-фильтрами в 51 (9*), фильтрами в %(9>) и формализованными теориями,
основанными на ^, при условии отождествления эквивалентных
теорий.
В доказательстве следующей теоремы мы будем
пользоваться более точными обозначениями из VI, § 10, стр. 283: для
каждой формулы а символ ||а||^ будет обозначать
соответствующий элемент алгебры Я(^) предикатного исчисления
&={&., ^}, а символ ЦаН^ будет обозначать соответствующий
элемент алгебры 51 (9~) теории ЗГ={Э?, <&, s&\.
Если формулы (а^>Р) и (р^фа) выводимы в ^, то они
являются также теоремами в ЗГ. Отсюда следует, что
равенство
Л (И a U= II* It
определяет отображение множества 51 {&) на 51 (ЗГ). Легко
убедиться, что h является булевым гомоморфизмом и даже Q-гомо-
морфизмом (это следует из 1.1, (2) и (Q)). По определению h
и Vл элемент ft(||a||^) является единичным элементом алгебры
51 (ЗГ) в том и только в том случае, когда а является
теоремой теории 9Г% т. е. если ||a||^ e V^. Отсюда, в силу I, 13.4,
следует:
11.6. Алгебра Ъ(Т) теории ЗГ={3?, <g>9 si) изоморфна
алгебре Я(^)/Ул.

366 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
§ 12. Максимальные и простые теории
В соответствии с V, § 14 непротиворечивая теория ^~ =
={2, 9, s4] называется максимальной, если каждое
лингвистически инвариантное непротиворечивое расширение теории ЗГ
эквивалентно теории ЗГ.
При нашем первом описании свойств максимальных теорий
Мы используем обозначения V^, VL* из § 11. Напомним, что
%(9>) является булевой алгеброй предикатного исчисления 9*=
={3?у *&, 0}. /")-фильтр V в 51 (9>) называется максимальным
{^-фильтром, если он является собственным (т.е. не совпадает
с 51 (&)) и не является собственным подмножеством
какого-нибудь собственного Q -фильтра.
12.1. Следующие условия являются эквивалентными для
любой теории ЗГ={3?,Ф, s&} первого порядка:
(i) У максимальна-,
(и) V^ является максимальным (~) -фильтром в 51 (9>);
(Hi) 1Л является максимальным <{т.е. простым) фильтром
в Й(^).
Теорема 12.1 легко следует, во-первых, из естественного
взаимно-однозначного соответствия между р| -фильтрами в
Я(^), фильтрами в %(9)) и классами эквивалентных теорий и,
во-вторых, из теоремы 11.3.
12.2. Теория Т максимальна в том и только в том случае,
когда для каждой замкнутой формулы а в точности одна из
формул а и —а является теоремой теории 3". Другими словами,
gr максимальна тогда и только тогда, когда в Q-алгебре. i&(3r)
класс всех элементов || а || е 51 {ЗГ), где а — замкнутая формула,
является двухэлементной подалгеброй алгебры 91 (3Г), т. е.
состоит только из А, V е 21 (Т), Л Ф V .—
Первая часть теоремы 12.2 следует непосредственно из 12.1,
(i), (Hi) (см. II, 5.2). Вторая часть следует из первой.
12.3. Для каждой теории 3~ следующие условия являются
эквивалентными:
(i) ЗГ максимальна-,
(ii) 3~ непротиворечива, и каждая семантическая модель для
Т адекватна;
(iii) 3~ имеет адекватную семантическую модель.
Пусть R— семантическая модель для максимальной теории
ЗГ. Пусть si' — множество всех общезначимых в R формул. По
определению теория У = {2\ &, s&'} является расширением
теории 3~. 3"' непротиворечива, поскольку R является моделью
для Т'. Так как 3~ максимальна, то ЭУ эквивалентна теории Т.

§ 12]
' МАКСИМАЛЬНЫЕ И ПРОСТЫЕ ТЕОРИИ
367
По определению У- R является для нее -адекватной моделью.
Значит, R является адекватной моделью и для эквивалентной
теории У.
Таким образом, (i) влечет (и). Так как (ii) тривиальным
образом влечет (iii), то остается доказать, что (111) влечет (i).
Предположим, что R является адекватной семантической
моделью для 9~. Для каждой замкнутой формулы а либо ал
является константой V, либо aR является константой Л, т. е.
(—а)я является константой V. Так как R адекватна, то мы
получаем, что в точности одна из формул а, —а является теоремой
теории 9Г. Поэтому Т максимальна.
12.4. Если R является семантической реализацией
формализованного языка первого порядка и s&o есть множество всех фор-
мул, общезначимых в R, то каждая теория (2?9W9sf),
эквивалентная теории {Sfy'S'yS&o}, максимальна.
Действительно, R является тогда адекватной семантической
моделью для {2', Ф, s£).
12.5. Если теория ё~ со знаком равенства = имеет
ординарные семантические модели с мощностями nun, причем п Ф п и
п < Ко, то д" не максимальна.
Пусть у будет конъюнкцией двух следующих формул:
U---'U«6i^wnrt6i^68)n... rufti^Bjn
П((U Ф Ба) П • • • П(Бя-1 Ф In)...)) -.)),
где (li ф gj) является сокращением для —{\\ = £j). Первая
формула утверждает, что имеется по меньшей мере п элементов.
Вторая формула утверждает, что имеется самое большее п
элементов. Поэтому замкнутая формула y утверждает, что имеется
в точности п элементов. Ни y, ни —y не являются теоремами
теории 0". Предположим, например, что y — теорема. Тогда \R = V
для каждой ординарной семантической модели. Но это
невозможно, ибо уп = Л в ординарной семантической модели
мощности п. Аналогично доказываем, что —y не является теоремой,
поскольку (—y)h = Л в ординарной семантической модели
мощности п.
12.6. Каждая непротиворечиваяУеория Т = {i?,?7,^} может
быть расширена до максимальной теории &~о,= {i?, ^, .s^o} *).
Так как 3~ непротиворечива, то фильтр V,* в_31(^) является
собственным (см. 11.2), В силу 1,8.4 фильтр V,* может быть
*) Этот результат принадлежит А. Линденбауму (см. А. Тарский [1]).

368 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
расширен до максимального фильтра V в 31 (S*7). Пусть s£o —
какое-нибудь множество формул, для которого V = V^0 (см. 11.5).
В силу 12.1 теория 3Tq= {5",^, ^^максимальна. Она является
расширением теории Т, ибо V,* cz V^0.
Другим доказательством для 12.6 является следующее:
Пусть R — семантическая реализация языка & и пусть s&o —
множество всех общезначимых в R формул. Теория &~о =
= {&, *&, s£g} является расширением теории 3~ и максимальна
в силу 12.4.
Теорема 12.6 имеет только теоретическое значение. Она
никогда не применяется в математической практике, несмотря на
то что формализованные математические теории максимальны
только в исключительных случаях. Так, например, ни одна из
приведенных в V, § 13, А)—Д) формализованных теорий не
является максимальной.
Это не представляется удивительным в случае теории
порядка, теории решеток, теории булевых алгебр и теории
групп (доказательство легко получить с помощью 12.5). Грубо
говоря, все формализованные математические теории
разбиваются на две следующие группы:
1) теории, имеющие целью формализацию и аксиоматизацию
некоторых общих математических понятий (примеры:
упорядоченное множество, решетка, булева алгебра, группа), — понятий,
имеющих много существенно различных моделей в интуитивной
математике;
2) теории, имеющие целью формализацию и
аксиоматизацию некоторых специальных математических понятий
(пример:, множество целых чисел), — понятий, имеющих только
одну модель в интуитивной математике (с точностью до
изоморфизма).
В случае теории первой категории можно ожидать, что
некоторые замкнутые формулы имеют истинные
интерпретации в одним моделях и ложные интерпретации в других.
Следовательно, нц эти формулы, ни их отрицания не являются
теоремами и поэтому теория не будет максимальной.
Бессмысленно превращать ее в максимальную добавлением новых
аксиом по 12.6.
Если, например, мы аксиоматизируем теорию произвольных
булевых алгебр, то бессмысленно добавлять аксиомы,
выполняющиеся не для всех булевых алгебр, а только для некоторых
из них.
С этой точки зрения представляется удивительным как раз
то, что некоторые формализованные теории первой группы
оказываются максимальными. Добавим, например, к аксиомам
(At) — (А4) формализованной теории линейного порядка (см. V,

§ 12]
МАКСИМАЛЬНЫЕ И ПРОСТЫЕ ТЕОРИИ
369
§ 13, А)) три следующие аксиомы:
Такая формализованная теория, т. е. формализованная
теория плотного линейного порядка без первого и последнего
элемента, максимальна *). Известны также другие примеры
математически интересных максимальных теорий из первой группы.
Можно было бы ожидать, что теории второй группы являются
максимальными. Формализованная арифметика (V, § 13, Г))
является типичным примером теории второй группы. Поразительно,
что она не максимальна**). Открытие этого — очень важный
результат метаарифметики. Доказательство этой теоремы
придется здесь опустить, посйольку оно требует совершенно других
методов, чем методы, используемые в этой книге.
С одной стороны, приведенная в V, § 13, Г) аксиоматизация
арифметики кажется вполне удовлетворительной, поскольку
теоремы, обычно включаемые в интуитивную арифметику, являются
теоремами и в формализованной арифметике. В интуитивной
арифметике мы не используем других свойств целых чисел,
нежели свойства, описываемые в этой системе аксиом, и их
следствия. В самом деле, аксиоматика V, § 13, Г) является хорошо
известной аксиоматикой Пеано для интуитивной
аксиоматической арифметики. С другой стороны, существует такая
замкнутая формула а, что ее естественная интерпретация в множестве
всех положительных целых чисел представляет собой истинное
утверждение, но ни а, ни —а не являются теоремами
формализованной арифметики. Среди этих формул а мы не знаем
формулы, смысл которой был бы непосредственно интересен с точки
зрения чистой арифметики. Все они отнюдь не имеют характера
забытых или опущенных аксиом теории положительных целых
*) См. Л е н г.ф о р д [1], Т а р с к и й [7].
**) Эта теорема принадлежит Г ё делю [2]. Другую форму теоремы Гё-
деля о неполноте см. у Россера [1]. Различные доказательства теоремы
Гёделя см., например, у Т а р с к о г о, М о с т о в с к о г о, Р. Робинсона [1],
К л и н и [3], Поста [2], Московского [2], Гжегорчика [1].
Изложение теории К. Гёделя можно найти у Мостовского [5]. См. также
работу Шмульяна [1].

370 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
чисел. Поэтому с математической точки зрения нет
необходимости добавлять их к множеству аксиом формализованной
арифметики. Незачем, используя 12.6, превращать арифметику в
максимальную теорию.
Кроме того, строение известных формул а такого сорта очень
сложное;, они очень длинны, и практически было бы трудно
присоединять их к множеству аксиом. Однако нужно заметить, что
среди этих формул а существуют такие, которые, будучи
надлежащим образом переведены на язык математики, выражают
собою важные метаарифметические теоремы. Читатель может
найти это в подробностях в специальных работах на данную
тему*). Заметим также, что некоторые формализованные
фрагменты арифметики, например арифметика сложения, являются
максимальными теориями **).
Легко понять, почему формализованная теория множеств не
является максимальной теорией. Напомним, что мощность п > fc*0
называется недостижимой, если п является такой предельной
мощностью, что _
если тк<п для всех ке/С и /С<п, то 2 тк<п;
если m<*t, то 2m<n.
В формализованной теории множеств (V,§ 13, Д)) существует
формула Р(*), интуитивный смысл которой таков:
мощность множества х недостижима.
Ни формула
О) Up «)•
I
ни ее отрицание не являются теоремами формализованной
теории множеств. В самом деле, добавляя (1) к системе аксиом
теории множеств, мы получаем непротиворечивую теорию47).
Поэтому отрицание формулы (1) не может быть теоремой в системе
V, § 13, Д). С другой стороны, если в естественной модели для
теории множеств в интуитивной математике мы ограничимся
множествами мощностей, не превышающих любой недостижимой
мощности, мы получим модель для формализованной теории
множеств, в которой естественная интерпретация формулы (1)
является ложным утверждением. Поэтому (1) не может быть
теоремой формализованной теории множеств.
Вернемся теперь к исследованию произвольной теории ЗГ =
*) См., например, работы, указанные в сноске **) на стр. 369,
**) Пресбургер [1].

§ 12]
МАКСИМАЛЬНЫЕ И ПРОСТЫЕ ТЕОРИИ
371
Напоминаем, что 0~ называется простой (см. V, § 14), если
для любых замкнутых формул р, у
из того, что (р U у) является теоремой в £Г\
' ' следует, что либо р, либо у является теоремой в ЯГ.
Т называется сильно простой теорией, если (2) выполняется
для.всех (не обязательно — замкнутых) формул (3, у*).
Заметим, что утверждение, обратное к (2), истинно всегда:
если р или у является теоремой в ЯГ, то (р (J у) является
теоремой в ЯГ в силу VI, 10.8.
12.7. Следующие условия являются эквивалентными для
любой теории Т = {&,&,&}:
(i) ЯГ— простая теория-,
(и) фильтр ЧЛ прост;
(Hi) ЯГ— максимальная теория.
Эквивалентность (i) и (И) следует непосредственно из
определения. В сил'у 11,5.2 понятия простых и максимальных
фильтров совпадают в булевых алгебрах. Поэтому, в силу 12.1, (Н)
эквивалентно (Hi).
12.8. Для каждой непротиворечивой теории T = {S^,s4]
следующие условия являются эквивалентными:
(i) ЯГ— сильно простая теория;
(Н) фильтр ЧЛ прост;
(иг) для каждого m-местного предиката р (т=1,2,...)
либо формула
(3) p(xi...xm)9
либо формула
(4) —P(xi...xm)
является теоремой теории ЯГ (здесь хи ..., хт — различные
свободные индивидные переменные).
Эквивалентность (i) и (П) следует непосредственно из
определения. Ясно, что (i) влечет (Hi), поскольку (p(xit. .хт) \J
U — p(A'i ... Хщ)) является тавтологией (Ti2) и поэтому теоремой
теории ЯГ.
Предположим, что имеет место (Hi). Пусть R — какая-нибудь
модель для Т. Если (3) является теоремой ъТ,то рд —постбян-
ная функция, равная V. Если (4) является теоремой в ЯГ, ю
ря — постоянная функция, равная Л. Поэтому ая для любой
формулы а является функцией-константой, равной V или Л, и
значения функции аЛ при этом не зависят от модели R. Отсюда,
в силу 9.5, следует, что а является теоремой в ЯГ в том и только
*) В обоих понятиях подразумевается также, что У~ непротиворечива
(см. V, § 14). — Прим. ред.

372 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
в том случае, когда ося = V. Если (Р U у) — теорема в £Г, то
(Р U у)и = V, и поэтому либо Рд == V, либо ун = V, т. е. либо
Р, либо y является теоремой теории #".
Теорема 12.8 показывает, что сильно простые теории,
основанные на классической логике, не представляют интереса с
математической точки зрения (в X, §§ 12, 13 мы увидим, что в
теориях, основанных на неклассической логике, дело обстоит
не так).
Разумеется, каждая сильно простая теория является простой,
т.е. максимальной. Обратное утверждение не справедливо.
Предположим, например, что теория Фъ = {i?,^, s&o} содержит
только две аксиомы:
(5) (>(£) и U-P(£)>
где р — некоторый одноместный предикат. ЗГ0 непротиворечива
и, в силу 12.6, может быть расширена до максимальной теории
ST. Так как формулы (5) являются теоремами теории <Г, то ни
одна из формул р(Х), —р(х) не является теоремой
непротиворечивой теории Т. В силу 12.8 простая теория 3~ не является
сильно простой.
Это замечание разъясняет, что, в силу 12.1, 12.7, 12.8,
утверждения
V —максимальный Q-фильтр в 91(£Р)
и
V —максимальный фильтр и (^фильтр в 31 (&)>
вообще говоря, не эквивалентны.
Экзистенциальную формулу (Jp(£) c интуитивной точки
i
зрения можно понимать как бесконечную дизъюнкцию всех
предложений Р(т), где т — произвольный терм. Поэтому следующее
понятие можно трактовать как бесконечный аналог понятия
сильно простой теории: теория Т = {&, (g7, s&} называется
[J-теорией, если для каждой экзистенциальной формулы (Jp (£)
I
если (1р(£) является теоремой в 9~,
то существует такой терм т, что р (т) является теоремой в 0~.
Фильтр V в алгебре 31 (&) предикатного исчисления У =
- {2?,(й7} называется [j-фильтром, если для каждой экзистен-

§ 12]
МАКСИМАЛЬНЫЕ И ПРОСТЫЕ ТЕОРИИ
373
циальной формулы (Jp(|)
(7)
из
; V следует, что
Up (6)1
i I
|| Р(т) || е V для некоторого терма т.
Следующая теорема выводится непосредственно из
определений:
12.9. Теория Т = {&, *&, st} является (J -теорией в том и
только в том случае, когда V<& является (J -фильтром в 91 (9>).
Каждая сильно простая теория Т является U -теорией.
В самом деле, пусть Т — сильно простая теория, a R —
каноническая модель для Т. При доказательстве 12.8 мы установили,
что aR для каждой формулы а является функцией-константой,
равной V или Л. а есть теорема теории 9~ тогда и только тогда,
когда ай = V. Если {J${Q — теорема в ЗГ, то /(Jp (l)\ = V.
I \ £ JR
В силу индуктивного определения отображения aR (см. VI, 11.2)
элемент /UP(£)1 является объединением элементов (р(т))я,
V I /R
равных V или Л (т—произвольный терм). Поэтому
существует такой терм т, что P(t)r = V, т. е. р(т) является
теоремой в f7".
Обратное утверждение, вообще говоря, не верно. Существуют
(J -теории, не являющиеся сильно простыми теориями и даже не
являющиеся простыми (т. е. максимальными) теориями. Так,
например, любое богатое несущественное расширение
немаксимальной теории (см. 8.3) не является максимальной теорией.
Но оно является (J-теорией в силУ первой части следующей
теоремы:
12.10. Если теория T={S,<&,s4) богата, то она является
(J -теорией, т. g. V^ есть (J -фильтр.
Более общо, каждый фильтр V в 91 (^) такой, что ЧЛ с: V,
является [)-фильтром.
Достаточно доказать вторую часть 12.10.
Предположим, что V^ с V и IIU <*(£)[
II I II
тая теория, то существует такой терм т,
IV. Так как 9Г—бога-
ku «(£)=»
что
Фа(т))
V^. Поэтому II (J а (I)
=^||а(т)||^У. Отсюда (см. I,
13Л) следует, что ||а(т)||еУ, т. е. V является и~ФильтР0М«

374 (КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VII!
12.11. Максимальный фильтр в 91 (У) является (J -фильтром
в том и только в том случае, когда он является Q-фильтром.
Это непосредственно следует из определения Q-фильтров
вЯ(^) (см.§ 1, (а), стр. 323).
§ 13. Расширение теорий до теорий с равенством
Пусть ^~ = {S\<iP, s&)—произвольная теория. Пусть &'—
формализованный язык, получаемый из 9? добавлением нового
знака с бинарного предиката, соответствующего отношению
равенства. Пусть зФ'—множество формул языка 9?\ состоящее из
всех формул множества s& и всех аксиом V, § 12, (ei) — (es) для
равенства. Теория &~' = {&', ff, s&'} называется расширением
теории 3~ до теории с равенством.
13.1. Для любой теории 0~ = {&, Ф, s&} расширение Т' =
= {&', ff, s&'} теории 9~ до теории с равенством является
несущественным расширением теории Т. Следовательно, %Г
непротиворечива в том и только в том случае, когда Т' непротиворечива.
Для каждой семантической реализации R для 9? в
множестве / ФО пусть R' будет такой семантической реализацией
языка 3" в /, что R' является расширением реализации R и для
каждых /1, /г е /
f V, если /,=/2,
е«'(Ь/2)=1 Л, если /,*=/,.
.Легко видеть, что R' является моделью для аксиом V, § 12, (ei) —
,(е5). Более того, в силу VI, 6.4 для каждой формулы а из 2 и
для каждой оценки v в / мы имеем
((1) . aR{v) = aR>(v).
Из этих замечаний следует, что R является моделью для %Г в том
и только в том случае, когда R' является моделью для ZT'. Если
формула а языка 2 не является теоремой теории 0~, то для Т
существует семантическая модель R, в которой а не является
общезначимой (см. 9.2). Тогда R' является моделью для Э~' и, в
силу (1), а не общезначима в R'. Поэтому, в силу 2.2, а не есть
теорема теории 2Г'. Обратно, каждая формула языка 2,
являющаяся теоремой теории Э~, будет также теоремой теории Т\
так как Т' есть расширение теории Т. Поэтому Т' является
несущественным расширением теории ^7"\
§ 14. Несущественность определений
Предположим, что Т={2><&,$£\ является
формализованной теорией первого порядка.
Пусть S] будет некоторым множеством формул
(1) a to,..., *,„) (т>0),

§ М] НЕСУЩЕСТВЕННОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ 375
где последовательность хи ..., хт содержит все свободные
индивидные переменные, встречающиеся в (1). Пусть S2 будет
некоторым множеством замкнутых формул вида
(2) fl — flUPtei Ь»'Ч> (т>°)>
являющихся теоремами в Т. Пусть S3 будет некоторым
множеством термов
(3) у(хи...9хт) (т>0),
где последовательность хи ..., хт содержит все свободные
индивидные, переменные, встречающиеся в (3). Некоторые из
множеств Si, S2, S3 могут быть пустыми. Если 9~ не содержит знака
равенства е, то S3 предполагается пустым.
Образуем расширение &' для 3? добавлением к 3?
множества предикатов ра и функторов ф$, г|)т, не встречающихся в «S7.
А именно, для каждой формулы (1) из S{ pa будет некоторым
m-местным предикатом. Для каждой формулы (2) из 5г ф&
будет некоторым m-местным функтором. Для каждого терма
(3) из S3 г|)т будет некоторым m-местным функтором.
Все предикаты ра различны. Все функторы фр, t|?T различны.
Пусть s&' — множество, составленное из всех формул
множества s& и всех формул .
(Ра(х* ■ • • хт)-фа{х{ хт))9
( (а(хх *m)#Pa(*l---*mU
(5) п flPfti» ...,U9Pai...gj),
(6) е (^х(хх ...хт)т(х{ хт)).
Конечно, формулы (6) включаются только в том случае, если У~
содержит знак равенства.
В соответствии с V, § 15 говорят, что теория &~'= {&',<&, st>*)
получена из ?Г одновременным принятием определений (4), (5),
(6). При этих предположениях докажем:
14.1. Каждая семантическая модель для ZT в множестве J
может быть расширена до модели для Т' в J.
Пусть R — семантическая модель для ZT в /. Пусть
(7) ря' = ря и ф*' = фд
для всех предикатов р и всех функторов ф из 2*. Ниже дается
определение реализации для остальных предикатов и
функторов из &' (применяются обозначения VI, § 6, (2) и VI, § 3, (7)),
Отображение pa/r определяется равенством
(8) Pa/?'0*1»- • *t Jm) = <*Д {ju •••>//»)

376 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
для каждой формулы (1). Для каждой формулы (2), если ju ...
..., /те/,то существует такой элемент / е /, что
(9) M/i> ■■.,/«,/HV.
(Это следует из того, что (2) является теоремой теории У и
поэтому (2) общезначима в R.) Мы определяем
(Ю) ФЭ*'(/1> •••> 1т) = 1
Для каждого терма (3) отображение г|)тя' определяется
равенством
(11) 'Фг*' (/l> • • •> !т) = *R (Ь • • •, /m).
Реализация R' является расширением реализации R в силу (7).
Поэтому R' есть модель для s&. Из (8), (9), (10) и (11) следует,
что R' является также моделью для формул (4), (5), (6).
Поэтому Rr есть семантическая модель для 9~'.
Легко убедиться, что если Rr является расширением
реализации R и моделью для Т\ то R' нужно определять равенствами
(7), (8), (10) и (11). Отсюда следует, что pa# и tyXR'
однозначно определяются посредством R. Однако имеется некоторый
произвол в выборе фря', так как при данных/i, ..., /m, вообще
говоря, существует много элементов /, удовлетворяющих (9). Как
мы поясняли в V, § 15, определения (5) на практике вводятся
только в том случае, если, помимо формулы (2), формула
П■•■nnnffpfci. •••> ь». 4i)np(6i, •••> е-.. %))#^w,>
также является теоремой теории £Г\ В этом случае, если R
является ординарной семантической моделью для ZT, то
существует в точности одно /, удовлетворяющее условию (9), и,
следовательно, <рр#' также однозначно определяется посредством R.
В V, § 15 мы заметили, что с интуитивной точки зрения
принятие некоторых определений не вводит в теорию нового
математического содержания. Следующая теорема является точной
формулировкой этого утверждения. При наших предположениях
и в наших обозначениях имеем:
14.2. Теория Тк\ получаемая из &~ принятием определений (4),
(5), (6), является несущественным расширением теории 9Г.
Так как s4>a$& то теория Э~' является расширением
теории 9~. Для завершения доказательства достаточно показать, что
если y в & не является теоремой теории Э~, то у не является
также теоремой теории 9~'ш
В силу 9.2 существуют такие семантическая модель R для ф~
3 множестве / ф 0 и оценка v, что

§ 15]
омытые теории
37?
В силу 14.1 можно расширить R до модели R' для Т' в
множестве /. Так как R' является расширением модели R, то имеем
yR'(v) = yR{v)¥= V,
что в силу 2.2 доказывает, что у не есть теорема теории 9~'л
§ 15. Открытые теории
Напомним, что теория Т = {2y<e,,s^} называется открытой;
если все формулы из зФ открыты, т. е. если математические
аксиомы теории не содержат кванторов.
Если 2 = {А,Т, F}— формализованная теория первого
порядка, то 2° = {Л°, TtF0} будет обозначать язык открытых
формул языка 2 в соответствии cV, § 14 и VI, § 9 (стр. 240 и 281).
Напоминаем, что s£° — алфавит, полученный из алфавита А
языка 2 опусканием кванторов и связанных индивидных
переменных, а множество F0 формул языка 2° совпадает с
множеством открытых формул языка 2\
Символ Ф0 всегда будет обозначать операцию присоединения
следствий в 2°, определяемую (см. V, § 10, (S), стр. 214) с
помощью modus ponens (п) и правила подстановки вместо
свободных индивидных переменных (г2), а также с помощью
множества «я£? логических аксиом, состоящего из всех формул вида V,
§ 11, (Ti) — (Ti2), где а, р, Y — какие-нибудь формулы из F0.
В соответствии с этим определением для любого множества S
формул языка 2° множество ^(S) состоит из всех формул,
выводимых из S с помощью (п), (г2) и логических аксиом из s4>\
(см. V, § 9). В силу V, 10 2 ^°(S) является наименьшим
множеством (формул языка 2°), содержащим S и $4\ и замкнутым
относительно правил вывода (п), (г2) в 2°. По определению
в ^(S) входят только открытые формулы языка 2. Более того,
(1) #° (S)o<g?(S).
Произвольное множество s4> открытых формул языка 2
однозначно определяет две теории, а именно открытую теорию
Т = {2, <&, Л} первого порядка и теорию (Г0 = {209 ^°, $$),
имеющую вспомогательный характер. Формулы из ^(зФ)
называются теоремами теории ^~°.
В соответствии с VI, § 10 алгебра % (3го) теории <Г° есть
фактор-алгебра F°/~,nie ~ является определяемой ниже
конгруэнцией в алгебре открытых формул {F°, U, П,=>,—}:
а ~ р в том и только в том случае,
/2ч когда обе формулы: (az^>P) и (ргфа) —
* ' являются теоремами теории <Г°,
т. е. принадлежат ^°(,5#).

378 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
Следующая теорема получается непосредственно из VI, 10.4,
10.6 и 10.7:
15.1. Алгебра *&(TQ) теории 9го = {5?0,<g70,^} является
булевой алгеброй. Более того, для любых формул а, р из 3?°
|а|ШР1 = |(аирЛ. МП1Р1 = 1(аПРД
1 ' |а|=Ф1Р1 = 1(а=ФРД -|а| = |-а|.
Отношение
(4) |а|<|р|
имеет место в том и только в том случае, когда (а =ф р) является
теоремой теории Т*. Элемент |а| является единичным
элементом алгебры % (0~Q) тогда и только тогда, когда а есть теорема
теории &~°. Булева алгебра 91 (£Г°) не вырождена в том и только
в том случае, когда теория 9го непротиворечива, т. е. ^(s^) =£F°.
Пусть теория £Г° непротиворечива. Пусть h — булев
гомоморфизм алгебры % (TQ) в полную булеву алгебру А. Пусть R0 —
реализация языка & в множестве Т всех термов и в булевой
алгебре А, определяемая следующим образом:
(а) /?°, суженная до множества всех функторов, является
канонической реализацией термов, т. е. (см. VI, § 7, (1))
(5) Ф*о (Ti тт)-= ф (х{... хт)
для любого т-местного функтора ф в 3? (т = 0,1,2,...);
(б) для любого /поместного предиката р в ^ (т = 1,2,...)
(6) 9ro(x{ тт) = А(|р(т1...тт)1),
где ti, ..., Tm — произвольные термы.
Напомним, что любая оценка v: V-*T является также и
подстановкой в &. Для каждого терма т и для каждой формулы а
символы vx и v'a будут обозначать результат подстановки ивт
и а соответственно. В частности, для тождественной оценки t
имеем \х = т и i'a = а. При этих условиях и обозначениях
имеет место следующая теорема:
15.2. Для каждого терма х и для каждой открытой формулы
ав£
(7) T*o(a) = UT,
(8) aR*(v) = h{\v'a\)
для любой оценки v: 1/->Г. В частности, для тождественной
оценки х
(9) a*o(t) = /i(|a|).

§ 15]
ОТКРЫТЫЕ ТЕОРИИ
379
Тождество (7) было доказано в VI, 7.1.
В силу VI, 9.3 при фиксированном v обе части (8),
рассматриваемые как функции от а, являются гомоморфизмами
алгебры открытых формул F0 в А. Из (6) и (7) следует, что эти
гомоморфизмы совпадают на множестве всех элементарных формул.
Так как элементарные формулы порождают F^ то гомоморфизмы
равны, т. е. имеет место (8).
(9) следует непосредственно из (8).
Из 15.2, (8) получаем:
15.3. R0 является моделью для открытой теории 2Г в
множестве Т всех термов и в булевой алгебре А.
Применяя терминологию из VI, § 7 для канонических
реализаций, мы назовем /?° канонической моделью, определяемой
гомоморфизмом /г.
Как приложение 15.3 мы докажем* следующую теорему:
15.4. Каждая непротиворечивая открытая теория Т =
=^{2>,<e>is^} имеет семантическую модель мощности ^7\ где
Т — множество всех термов теории 9Г. Точнее, 9~ имеет
семантическую модель мощности m = max(K0, Ф«#)> где Ф^ —
множество всех функторов, встречающихся в формулах из s&.
Рассмотрим сначала случай Г = тп. Так как теория Т' =
= {&, ^, s4) непротиворечива, то алгебра 91 {3~Цу
соответствующей вспомогательной теории Т* = {3?°, «5ю, sf\ не вырождена
и поэтому имеет максимальный фильтр V. Пусть А
—естественный гомоморфизм алгебры % (#"°) на двухэлементную булеву
алгебру А0 = 91 (!T0)/Y. .Каноническая модель R°t определяемая
гомоморфизмом А, обладает требуемыми свойствами.
Если Г > тп, то пусть &\ — такой подъязык языка &, что
&х содержит все функторы и предикаты, встречающиеся в
формулах из $&, и тп = ?,, где Тх — множество всех термов в Й?,.
В силу 9.7 существует такое множество $ФХ формул в i?,, что
Vx(st>) = Vx{st>\). Так как 0" непротиворечива, то открытая
теория Зг, = {«2?1, ^, $4>х) также непротиворечива. В силу уже
установленной части 15.4 для Э~х существует семантическая
модель мощности ш. Любое расширение этой модели до
реализации для SB является семантической моделью для 9~
мощности тп.
Теорема 15.4 дополняет теоремы 9.3 и 9.8. Она не является
следствием этих теорем, ибо дает другую оценку для мощности
рассматриваемой семантической модели. Вообще говоря,
теорема 15.4 устанавливает существование семантической модели
меньшей мощности, чем модели в 9.3 и 9.8, но делает это только
в случае открытых теорий,
Модификации теоремы 15.4, аналогичные теоремам 9.1 ц 9.2.
будут доказаны позже (17-5 и 17.6).

380 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
15.5. Открытая формула р является теоремой в открытой
теории Т—{2, *&, s&] в том и только в том случае, когда она
является теоремой в теории ^7"°={j?0, 9°, j^}*).
Символически:
(10) V°(st) = V(st)()F0t
где F0 — множество всех открытых формул языка 2\
В силу (1) достаточно, доказать, что если открытая формула
Р не является теоремой теории #"°, то она не является теоремой
теории 9~. Если р^^0^), то |р| не является единичным
элементом булевой алгебры % (&~°) в силу 15.1. Вследствие I, 8.5
существует такой максимальный идеал А в % (&~°)у что |р| еД.
Пусть h — естественный гомоморфизм алгебры 51 (<Г°) на
двухэлементную булеву алгебру A0=4l(gr0)/& и пусть ^ —
каноническая модель для iT\ определяемая гомоморфизмом /г. Так как
|р| еД, имеем
рЛо(1) = /г(|р|)=Л-Л0
в силу (9). Этим доказано, что р не есть теорема теории 9~
(см. 2.2).
Теорема 15.5 называется теоремой об элиминации кванторов
в формальных доказательствах. Поясняя это название,
напомним, что формула а является теоремой теории ^7~, если
существует последовательность оы, ..., ап, являющаяся формальным
доказательством формулы а в f7". Теорема 15.5 \ устанавливает,
что если 9~ открыта, а открыта и имеет формальное
доказательство в ?", то а имеет также формальное доказательство
ось •. •, an, состоящее целиком из бескванторных формул.
Пусть % (Т) — алгебра теории Т—{&, &, stf). Напомним,
что элементами алгебры %{0Г) являются классы
эквивалентности ИosИ для определяемого ниже отношения «:
п n a « p в том и только в том случае, когда обе формулы
' ' (а=^> р) и (Ргфа) являются теоремами теории £Г.
Из определений (2) и (11) и из теоремы 15.5
непосредственно следует, что для любых открытых формул а, р
(12) а ~ р в том и только в том случае, когда а « р.
Пусть 51° (&~) обозначает подалгебру алгебры % {&~)>
состоящую из всех элементов ||а||, где а — какая-нибудь открытая
формула.
15.6. Отображение
(13) /г0 (| ос |) ===== i|oc|| (а —открытая формула)
*) Гильберт и Бернайс [1], т. II. Приводимое доказательство
принадлежит Р а с ё в о й [6], 17J.

§ 161
ПРЕДВАРЕННАЯ ФОРМА
381
является изоморфизмом булевой алгебры % (!Г0) на булеву
алгебру %*(Т).
Действительно, из (12) непосредственно следует, что А0
является взаимно-однозначным отображением алгебры 51 (#"°) на
51° {2Г). Из определений булевых операций в 51 (#~°) и 51° (Т)
(см. (3) и § 1, (2)) сразу видно, что Л0 сохраняет все эти
операции, т. е. ho является изоморфизмом.
§ 16. Предваренная форма
Чтобы упростить обозначения в следующих параграфах,
удобно ввести следующие сокращения:
Буквы х, у, ..., |, т|, ... (если нужно, с индексами) будут
обозначать конечные последовательности различных
(соответственно, свободных или связанных) индивидных переменных:
X = {х{, . . ., Хт}> У = {Уи • v у Уп)>
Xi — {xil ХШ^, Vi = [Уп> ; . ., yint}9
§=T{£i> •••> Sm>. Ч = {Л1» ■■•> Ля)»
5/ = {1п. •••» limt}y Ч*={Лп» • ••> Л*л,}-
Поэтому выражения вида
Х\, ...» Xmt 5ц> • • • > Slmj» • • • > £rl> • • • > brmf)
будут сокращенно обозначаться посредством
Р(*> §i> • — > 5г)«
Конечно,
UD Up(*. 5i. — ел
будет сокращением для
и и n n и и
*11 ^lmj &21 $2m2 Sri ^rmr
•^1» • • •» *т> fell» • • • > felmi» • • • » ъг\* • • • > ?гтг)
И Т. Д.
дс, jf,... называются составными свободными переменными,
а |, т|, ... — составными связанными переменными.
Мы будем говорить, что составные свободные переменные х
и у не пересекаются, если ни одна свободная индивидная
переменная не встречается одновременно в последовательностях х
и jf. Та же терминология применяется для составных связанных
переменных | и ц. С этого момента мы всегда будем считать,
р
н

382 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
что все составные переменные, обозначаемые различными
символами, не пересекаются.
Иногда допускается случай, когда некоторые из чисел т, п%и
п, П{ равны нулю. Это означает, что составная переменная
вообще отсутствует в том месте, где она написана.
Аналогичные обозначения будут использоваться для термов
и функторов. Буквы т и ф (если нужно, с индексами) будут
обозначать конечные последовательности термов или функторов
соответственно:
т-={ть ..., т^}, ф = {фь ..., ФРЬ
** = {t*i. •••> ***,}, Ф* = {Фп> •••> Ф^,}.
Смысл символов вроде
ф(*)>
ф(*1...**).
Р(*. Ф1(*|). <М*1*2>).
Р(*1> #2> *1> *2/
очевиден; они являются сокращениями для
[<Pi(Ti...xg)> ..., ФрСтр.-тД
{ф1 (х\\- • "Kim,- • -*kl' • -xkmk)> • • ., Чр(Х\\. . ..Kim,- ••**!•• • *femfe)},
P(*l, • . ., Xm, фп(^ц. . .^lm,)» • • »Ф1р, (*П- • -^lm,),
Ф21 (*11- • -X\mxX2\' • .X2m2), • • • » ф2р2(*ц. • -X\miX2\> . . *2m2)),
P(#ll> • • •» «Kim,» *21> • • •» «^2m2> ^ll» • • •» ^1<7,> ^2b • ■ •» T2<72)
соответственно.
t и ф будут называться составными термами и составными
функторами соответственно.
Символ Q| всегда будет обозначать некоторую конечную
последовательность знаков
где, при 1=1, ..., т, S*— либо знак (J, либо знак |")
(допускается случай т=0). Поэтому, если р(л:) — какая-нибудь
формула, то QiP(l) означает формулу
Я1 Н2 Em fife. £ ^
Если Q i означает последовательность (1), то Q& означает по*
следовательность
с?1 o2 5m
fit ult . . . at .

§ 161 ПРЕДВАРЕННАЯ ФОРМА 383
где, для /=1, ..., т, 2* есть знак P)((J)> если "* есть
знак U (Л)
Символы Qtt и Q1 также будут обозначать
последовательности кванторов вида (I).
Формула а называется предваренной, если она имеет вид
(2) QtP(g).
где р(х) — некоторая открытая формула (Р(дс) может
содержать также и другие, не встречающиеся в х, свободные
индивидные переменные).
Грубо говоря, а является предваренной, если все
встречающиеся в а кванторы собраны (вместе с соответствующими
связанными переменными) в начале формулы, а остальная часть
формулы а является выражением, полученным из некоторой
открытой формулы подстановкой связанных индивидных
переменных (соответствующих кванторам) вместо некоторых
свободных индивидных переменных. В частности, каждая открытая
формула является предваренной (Q — пустая
последовательность!).
Предваренная формула а называется предваренной
формой формулы y, если обе импликации
(3) (а=ФуЛ (У=Фа>>
являются предикатными тавтологиями. В частности, каждая
предваренная формула является предваренной формой для себя
самой.
16.1. Каждая формула у в формализованном языке первого
порядка имеет некоторую предваренную форму а.
Доказательство теоремы 16.1 ведется индукцией по длине
формулы y-
Утверждение истинно, если у — элементарная формула, ибо
тогда y открыта и сама является своей предваренной формой.
Если формула а вида (2) является предваренной формой
для Y» то формула а':
является предваренной формой для —у. В самом деле, (3)
означает, что для каждой реализации R языка & в произвольной
полной булевой алгебре
«я = Vr-
Из законов де Моргана для булевых алгебр (см. II, 1.4, (19),
(20)) легко следует, что
а* = — ал

384 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
для любой реализации /?. Поэтому
<** = (- V)*
для любой реализации R, т. е. обе импликации
являются предикатными тавтологиями (см. 6.1).
Пусть теперь Q*fPi(5i) и й'&Мбг) являются предваренными
формами формул Yi и у2 соответственно. Мы всегда можем
считать, что g, и §2 не пересекаются (в противном случае
можно заменить 0^02 (g2) на такую конгруэнтную ей формулу,
что множество связанных индивидных переменных этой новой
формулы не пересекается с §j и она также является
предваренной формой для Y2)- Тогда
Q*i &t (Pi (§i) U 02 (fe)) является предваренной формой
для Cvt U Y2-).
QsiQ£CPi(5i)nfe(52)) является предваренной формой
для (yi П У2Л
QiiQbfPi (§i) =^p2 (У) .является предваренной формой
для (Yi=#Y2)-
Доказательство аналогично доказательству для случая
отрицания. Оно основано на булевых законах Ц, 1.4, (23) —(28) и
I, 7.1, (9), (10).
Если а(х) — предваренная форма для PC*), то f)a(£) n(Ja(£)
l I
являются предваренными формами для [~)р(£) и (JP(E)coot-
ветственно.
Другое доказательство для 16.1 может быть получено
применением тавтологий (Т34) — (Т53) вместо соответствующих
булевых тождеств.
Мы обычно будем записывать предваренную форму а для y
либо в виде
(4) иП-'-иПн*'*!»*. > i,чг).
где г^О и (см. обозначения на стр. 381)
т>0; /П!>0; т2, ..., тг>0; д1э ..., мг_1>0; лг>0,
либо в виде
(б) nU---nUP<*.5i.4i вг»чЛ
где г, т, ть щ удовлетворяют тем же самым условиям.

§ 17) ЭЛИМИНАЦИЯ КВАНТОРОВ ИЗ АКСИОМ ТЕОРИИ 385
Разумеется, т=0, или mi = 0, или пг=0 означает, что
соответствующие переменные и кванторы вообще не входят в формулу.
В (4) и (5)
Р(*, «ь Уи ..., *г> У г)
является открытой формулой.
§ 17. Элиминация кванторов из аксиом теории
Открытые теории обладают многими специальными
свойствами, отсутствующими у произвольных теорий. В известном
смысле они являются самыми простыми и регулярными среди
теорий первого порядка. В § 15 мы, например^ видели, что
фундаментальная теорема 15.4 о существовании семантических
моделей для открытых теорий доказывается гораздо проще, чем
общая теорема 9.3 о существовании семантических моделей для
произвольных теорий. В §§ 23, 26 мы приведем еще некоторые
особенности, характерные только для открытых теорий.
Основная цель этого параграфа — показать, что в некотором
смысле разница между открытыми теориями и произвольными
теориями не существенна. А именно, каждая теория первого
порядка может быть превращена в открытую теорию добавлением
некоторого множества новых функторов и заменой аксиом
открытыми формулами, выражающими, грубо говоря, то же самое
математическое содержание..Несколько точнее: мы докажем, что
каждая теория 2Г имеет несущественное расширение #"*,
являющееся открытой теорией, причем математические аксиомы
теории 3~* получаются из математических аксиом теорий 3~
некоторой подходящей элиминацией кванторов (см. 17.3 ниже).
Пусть SB—{A, 7\ F] — формализованный язык первого
порядка, а 3?'—{А\ Т'9 F'} — богатое расширение языка SB (см. § 8,
стр. 354). Напомним, что язык SB' получается из SB добавлением
некоторого множества Ч? функторов. Более того, существует
отображение г|э множества Ег экзистенциальных формул языка
SB' на *Р такое, что если а — экзистенциальная формула с m
свободными индивидными переменными, т. е. а имеет вид
(1) UP(i, *ь ..-,*«).
I
то г|)а является m-местным функтором, не встречающимся в а.
Тогда а! будет обозначать формулу
(2) P(4af*l-••*!»)> *1. •••> *т)>
а а" будет обозначать импликацию (агфа'). Множество всех
формул а", где а е £', обозначается через &. Основное
свойство богатого расширения языка SB выражено теоремой 8.1,
утверждающей, что каждая семантическая реализация R для SB

386 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. Vtlt
может быть расширена до семантической реализации R' для SB'
такой, что все формулы из $ общезначимы в R'.
Пусть а — формула языка &', начинающаяся с квантора.
Если это квантор существования, т.е. а имеет вид (1), то а'
(т.е. формула (2)) будет называться формулой, полученной из
а элиминацией первого квантора. Если первый знак формулы
а — квантор всеобщности, т. е. а имеет вид
Г)Р(£> *i х*п)>
то каждая формула вида
Р \Х> Х\> • • • > Xjn)>
где х — свободная индивидная переменная, не встречающаяся
в а, называется формулой, полученной из а элиминацией пер*
вого квантора.
17.1. Если у— формула, полученная из а элиминацией
первого квантора, то
(i) а принадлежит ^^(у);
(и) если реализация R' для &' является моделью для 3S и
а общезначима в R', то у также общезначима в R'.
Если первый квантор в а — квантор всеобщности, то (i)
следует из правила обобщения (см. VI, 11.4), а (и) следует из
индуктивного определения отображения а,ц (см. VI, § 6, (4)).
Если а — экзистенциальная формула, то формула (у=Фа)
является предикатной тавтологией (см. § 6, (Т32)). С помощью
modus ponens получаем (i). Так как (агфу) е & имеем
<**' (v) =#> Ys' («О = (а =Ф YV («О = V
для каждой оценки v. Следовательно, если a^'(y)=V при
любом v, то и \r'(v)= V при любом v9 т. е. имеет место (и).
Пусть а — формула языка SB'. Открытую формулу а*
называют формулой, полученной из а элиминацией кванторов, если
существует такая последовательность формул
(3) ai, . г., ест
что
1° ai является предваренной формой для а;
2° afe+i получается из аъ, элиминацией первого квантора
(Л- 1 я— 1);
3° ап есть формула а*.
В силу 16.1 можно предположить, что а\ имеет вид
f)U --ПиР(*. 5i. 4i. •••. Br.*).

§ 17] ЭЛИМИНАЦИЯ КВАНТОРОВ ИЗ АКСИОМ ТЕОРИИ 387
Тогда формула а* имеет вид
где составные индивидные переменные дс, х\, ..., хг не
пересекаются, а составные функторы Ф* —{фп, •••, Ф*т,.} образованы
из различных функторов из 4я.
Для каждой формулы а из &г существует такая
последовательность (3), что выполняются условия Г и 2° и ап является
открытой формулой. Поэтому для каждой формулы а
существует открытая формула а*, полученная из а элиминацией
кванторов. Если а открыта, то можно считать, что а*
совпадает с а.
17.2. Если а* получается из формулы а элиминацией
кванторов, то
(i) а принадлежит <gV (а*);
(и) если реализация R' для 3?' является моделью для $ и
а общезначима в R't то а* также общезначима в R'.
Теорема 17.2 непосредственно следует из 17.1.
Пусть теперь $Ф — некоторое множество формул в языке
2£. Сопоставим каждой формуле а в i открытую формулу а*
(в 3!'), получаемую из а элиминацией кванторов. Пусть s&*—
множество всех формул а* (а е <я£). Пусть 3£* — наименьший
подъязык языка & такой, что 9?* является расширением
языка 9? и S£* содержит все формулы из s&*. Другими
словами, S?* — это язык, получаемый из 9? добавлением
множества ^F* всех функторов из Ч*", встречающихся в формулах
из зФ*. Заметим, что
(4) max (К о» 7*)<тах(К0, Ш).
Говорят, что теория {i?*, V, sf>*} получена из теории Т =
= {2\ V, s4) элиминацией кванторов из аксиом теории Т'.
17.3. Открытая теория Т* = {2?*, <&, s&*} является
несущественным расширением теории ZT = {S, %?, <&} *).
Каждая семантическая модель R теории &~ может быть
расширена до семантической модели R* теории 9"*. Обратно, для
каждой модели R* теории Т* сужение R реализации R* до
языка 9? является моделью теории Т'.
Из 17.2, (i) следует, что Ж с <&#* (*я£*). Поэтому V^(sf)cz
cVjp(st)czV#*(sl*). Значит, теория Т* является расширением
теории 0~. Более того, если R* есть модель для i7~*, то
сужение R реализации /?* до 9£ будет, в силу 2.2, моделью для Т.
*) Гильберт и Бернайс [1], т. II. Вышеописанный метод элиминации
кванторов принадлежит Сколему. Приводимое здесь доказательство является
модификацией алгебраического доказательства Р а с ё в о й [7\.

388 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
Предположим, что R является семантической моделью для
Т. Пусть R' — такое расширение реализации /?, что R' является
реализацией языка &' и все формулы из & общезначимы в /?'.
Сужение /?* реализации R' до языка 3?* является расширением
реализации R и моделью для 9~*. Это следует из 17.2, (и), так
как р#' (v) = р#* (v) для каждой формулы р в 3? (см. VI, 6.4).
Если формула р языка S не является теоремой теории fT,
то, в силу 9.2, существуют такие семантическая модель R для
£Г и оценка v, что $r(v)= Л. В силу уже доказанной части 17.3
R может быть расширена до модели R* для &~*. Так как
Ря* (*>) = Рд (*>) = Л (см. VI, 6.4), то, в силу 2.2, р не будет
теоремой теории £Г*. Этим доказано, что Т* является
несущественным расширением теории 9~ш
В данном доказательстве теоремы 17.3 мы применили
теорему 9.2 о существовании семантических моделей для
произвольных (не обязательно — счетных) непротиворечивых теорий.
Однако с помощью небольшой модификации этого
доказательства можно доказать 17.3, пользуясь ослабленной формой
теоремы 9.2, а именно теоремой 5.2 о существовании семантических
моделей для счетных теорий. В самом деле, мы можем
следующим образом доказать несущественность расширения 9~*: пусть
формула р языка 3? является теоремой теории #"*, но не
теоремой теории 9~. Тогда существует такое конечное
подмножество s&*0czs&*t что р принадлежит W #•(£/>%), т. е. является
теоремой теории {i?*,«??, <я£*}. Обозначим посредством s£o
соответствующее конечное подмножество множества $Ф. Так как р не
есть теорема в {«S7, ^, s&0}, то, в силу 5.2, существуют такие
семантическая модель R для {«S7, ф, s&o} и оценка v, что $r(v) =
= Л. Модель R может быть расширена до модели /?* для
теории {i?*, Ф, «$£*}. Более того, р#* (v) = Рд (v) = Л. Это
противоречит условию, что р является теоремой в {i?*, %?, <я£*}.
Из этого замечания следует, что теоремы 15.4 и 17.3 могут
быть (совместно с теоремой 5.2) использованы как основа для
другого доказательства *) фундаментальной теоремы 9.3 о
существовании семантических моделей для непротиворечивых (не
обязательно — счетных) теорий. Это новое доказательство
таково: предположим, что^ <T={j?, <g>, ^ — непротиворечивая
теория. В силу первой части 17.3 открытая теория Т* =
={«27*, (й7, зФ*} также непротиворечива (см. V, 14.2). В силу 15.4
для ^* существует семантическая модель R* в множестве 1ф0.
В силу 17.3 реализация /?, являющаяся сужением реализации
#* до 2\ является семантической моделью для %Г в
множестве /.
*) Л ось [5].

§ 17] ЭЛИМИНАЦИЯ КВАНТОРОВ ИЗ АКСИОМ ТЕОРИИ 389
Новое доказательство теоремы 9.3 дает, вообще говоря,
более низкую оценку_для мощности множества /, так как,
в силу (4), тах(К0, ^)>тах(«0> <£**)> где Фл* — множество
всех функторов, встречающихся в формулах из si>*.
Точнее, мы имеем:
17.4. Предположим, что множество s& формул языка 3S
состоит из множества s&0 открытых формул и множества s4>x
неоткрытых формул. Если теория Т = {3!> ff, s4)
непротиворечива, то jona имеет семантическую модель мощности
max(No>«^i, Ф^Х г^е Ф**о *"" множество всех функторов в
формулах из
Неповторим нашу аргументацию. Для каждой а е s&{ пусть
а* будет некоторой открытой формулой, полученной из а
элиминацией кванторов. Пусть st\ — множество всех формул а*
(аЕ^,) и пусть s&*=a0 U s*\. В силу 17.3 теория T*={S*^, Ж*}
непротиворечива. В силу 15.4 открытая ^теория f7~* имеет
семантическую модель мощности max(S*0» Фл*)> где Ф<** является
множеством всех функторов в формулах из «я£*. Эта мощность
равна max (Ко, Жь Фл9)- Поэтому сужение R реализации R*
до i? является, в силу 17.3, искомой семантической моделью
для Т.
Теперь мы в состоянии дать следующие дополнения к
теореме 15.4:
17.5. Если а — неопровержимая формула в открытой теории
Т = {&> V, s4), то существует такая семантическая модель R
для Т мощности m = max(fcto> Ф-е) (где Фл— множество всех
функторов, встречающихся в формулах из si>), что а
выполнима в /?.
Предположим, что хи ..., хш — все свободные индивидные
переменные формулы а; обозначим а посредством а(хи ..., хп).
В силу VI, 11.6 замкутая формула
обозначаемая для краткости через у» также неопровержима.
В силу 11.2 теория {j?, 9, ^ U М) непротиворечива. В силу 17.4
(где J&o — это s4>, и s£i состоит из одной формулы у) эта теория
имеет семантическую модель R мощности ш. Отсюда следует,
что R является семантической моделью для Э~ и у выполнима
в R. В силу 4.2 а также выполнима в R.
17.6. Если формула Р не является теоремой в открытой
теории &~ = {3?, <&, S&}, то существует такая семантическая
модель R для Т мощности m = max(KQ, Ф^) {где Фл — мно-

390 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
жество всех функторов, встречающихся в формулах из s4),
что р не общезначима в R.
17.6 получается из двойственного утверждения 17.5, если в
качестве а взять —р (см. § 2, (3), (4) и VI, 10.11).
§ 18. Произведения семантических реализаций
по модулю простого фильтра
Пусть & — формализованный язык первого порядка. Пусть
V—простой фильтр в булевой алгебре всех подмножеств
некоторого непустого множества N и пусть для каждого n^N Rn
будет семантической реализацией языка & в множестве Jn Ф 0.
Под произведением реализаций Rn no модулю простого
фильтра*) V мы будем подразумевать определяемую ниже
семантическую реализацию R для & в двухэлементной булевой алгебре А0
и в множестве / = Р Jn. А именно, для произвольных точек
nfzN
/l = {/l, n}n €= ЛГ, . • • , jm = {/m, п)п €= JV В /
1) если ф —m-местный функтор (т = 0, 1, 2, ...), то
Фд 0*1» у jm) = (ф/?Л (/ь п> • • > /m, n))n^N ^ J\
2) если р —т-местный предикат (т=1,2, ...), то
_ ( V, если NJy ..., im e= V,
P*(/i, ••-/»)= J Л| если Niv.aulm^Vf
где Nj,...,/ —множество всех таких n^N, что
Р*я(/!.л» ■ • ■» /т. я)— V"
Другими словами, для каждого n^N p# является
характеристикой некоторого m-местного отношения (назовем его гп).Тогда
ря является характеристикой составного отношения г, которое
выполняется для точек /i, ..., jm^J в том и только в том
случае, когда существует такое множество N' е V, что для каждого
п е N' отношение гп выполняется для /г-х координат точек /i, ...
...» ]m>
Определение произведения R реализаций Rn по модулю V
можно также сформулировать другим способом с помощью
понятия произведения реализаций, введенного в VI, § 8. По
определению Rn является реализацией языка & в Jn и в
двухэлементной булевой алгебре Ап, n^N. Пусть Ro — произведение
всех реализаций Rn (см. VI, § 8, 1° и 2°). Напомним, что /?о яв-
*) Это понятие и теорема 18.2 принадлежат Лосю [7]. См. также
Фрейн, Скотт, Тар с кий [1], Фрейн, Морель^ Скотт [1], [2], Мо-
рел1> и, Т а р с к, и й [7], Фрейн и Скотт [Ц,

§ i#} Произведения семантических реализаций &Н
ляется реализацией языка & в множестве У и в произведении
А= Р Ая двухэлементных полных булевых алгебр
U„, и, л, =#, -, и> П)
В соответствии с замечанием, сделанным нами вслед за
теоремой II, 7.3, можно интерпретировать А как поле 33 (N) всех
подмножеств множества N. Поэтому V можно истолковать как
простой фильтр в А. Пусть h — естественный гомоморфизм
булевой алгебры А на двухэлементную булеву алгебру A0=A/V.
Из 1) и 2) и из определения, реализации R0 в VI, § 8, 1°, 2° (см.
также VI, § 8, (9)) следует, что
R = hR0.
Таково второе, эквивалентное определение произведения R
семантических реализаций Rn по модулю простого фильтра V.
Пусть V, как и обычно, обозначает множество всех
свободных индивидных переменных языка &. Напомним (см. VI,
§ 8, стр. 278), что оценки v = {vx}x<=v^ JV в / являются
отображениями, которые каждой свободной индивидной
переменной х сопоставляют точку vx = {vx,n}n:<=N^ J- По определению
vXitl^Jn. Поэтому vn = {vXtt$x&v& № является оценкой в Jn
для любого фиксированного п^ N. Обратно, если vn =
= {я*,/|}*Ик является оценкой в Jn для каждого n^N9 то,
полагая vx = {vXtn}n<=N, мы определяем некоторую оценку и =
= {vx}Xes'v В /.
При этих обозначениях имеем следующую теорему:
18.1. Для каждой формулы а в S
ад (в) = V в том и только в том случае,
когда N (а, v) e V,
где N (а, v) является множеством всех таких га е N, что
В силу VI, 8.3 и II, 7.5 ад (v) = анъ (v) = h (aR,(v)). В силу
VI, 8.2 aRo(v) = {aRn{vn)}n<=N. Поэтому
aR(v) = h({aRn(vn)}n€=N).
А . это тождество является другой формулировкой
теоремы 18.1*).
Теорему 18.1 можно доказать также и непосредственно,
индукцией по длине формулы а.
*) Это доказательство теоремы 18.1 дано Сикорским [J5].

392 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИЙ [ГЛ. VIП
18.2. Для каждой формулы а из того, что множество N(a)
всех п, при которых Rn является моделью для а, принадлежит
V, следует, что R есть модель для а.
В самом деле, N (а) с: N (a, v) для любой оценки v. Так как
N(a) e V, то мы имеем также N(a, ti) 6 V. В силу 18.1 aR{v) —
= V для любой оценки v, т.е. R является моделью для v.
Другим применением теоремы 18.1 явится третье
доказательство фундаментальной теоремы 9.3 о существовании
семантических моделей для непротиворечивых теорий 9~={&, ^, зФ\
с произвольными (конечными, счетными или несчетными)
множествами аксиом зФ.
Легко доказать эту теорему для случая, когда s4> конечно
или счетно. У нас это доказательство было получено (см. 5.2)
с помощью общей теоремы И, 9.3 о существовании Q-фильтров
для любого счетного множества (Q) бесконечных объединений
и пересечений в булевой алгебре 48). Фигурирующие в этом
доказательстве бесконечные объединения и пересечения были
объединениями и пересечениями, соответствующими логическим
кванторам алгебры непротиворечивой теории. Общая теорема
II, 9.3 о существовании Q-фильтров, однако, не может быть
обобщена на случай несчетного множества (Q) бесконечных
объединений и пересечений, и поэтому данный метод непригоден
для доказательства существования семантических моделей
в случае непротиворечивых теорий с несчетным множеством
аксиом. Поэтому для этого случая в § 9 был применен другой
метод, который, грубо говоря, основан на тривиализации или
элиминации кванторов. Другое доказательство существования
семантических моделей для непротиворечивых теорий с
произвольными множествами аксиом было дано в § 17. В его основе
лежала идея перехода к открытым теориям, т. е. также
элиминация кванторов. Однако оба доказательства общей теоремы
о существовании семантических" моделей для {2, ^, бФ) были
основаны на теореме о существовании семантических моделей
для непротиворечивых теорий {2\ &9 Ж'\ с конечными
множествами аксиом зФ'. Это тесно связано с тем, что теория {2\ %?, s£\
является непротиворечивой в том и только в том случае, когда
непротиворечивы все теории {2, *&, s&'}, где $&' — какое-нибудь
конечное подмножество множества s&. Напомним, что
последнее замечание есть непосредственное следствие конечности
операции присоединения следствий, — см. V, § 10, (С4), стр. 213.
Доказательство*), которое мы сейчас изложим, не основано
на элиминации кванторов. Но, как и в первых двух
доказательствах, мы будем пользоваться тем, что каждая
непротиворечивая теория {2у Ф, зФ'} с конечным множеством аксиом $&' имеет
*) Оно принадлежит Скотт.

§ m
мощности моделей
393
семантическую модель. Точнее, мы построим семантическую
модель для Э~ = {2\ &, si) из семантических моделей для теорий
{2\ ^, sir\, где si' пробегает все конечные подмножества
множества si. Это сделано в нижеследующей теореме 18.3. Мы
предварим ее несколькими определениями.
Пусть 9~ = {&> Ф, s4>] — непротиворечивая теория. Пусть
N — множество всех конечных подмножеств множества si. Для
того чтобы сохранить введенные в начале этого параграфа
обозначения, конечные подмножества множества si (т. е. элементы
множества N) мы будем обозначать посредством буквы п. Для
каждой формулы asi пусть Na будет множеством всех таких
п е N, что а е п. По определению
(1) n^Na тогда и только тогда, когда а еп.
Имеем
(2) Л^П-.-ПМ^О
для любых ai, ..., aft6i, В самом деле, пусть п—множество,
образованное из формул ai,..., а&. Так как a* e м, то имеем
йе Na. для i = 1,..., k в силу (1), что доказывает (2).
Из (2) следует, что фильтр, порожденный всеми
множествами Ма(аеЛ), в булевой алгебре всех подмножеств
множества N является собственным. В силу I, 8.4 этот фильтр
может быть расширен до максимального (т. е. простого) фильтра V.
По условию каждая из теорий Тп = {«S7, V, п} (п е N)
непротиворечива. Поэтому в силу 5.3 существуют семантические
модели Rn для 9~п в множестве Jn Ф 0. Используя эти
обозначения, мы докажем:
18.3. Произведение R реализаций Rn no модулю простого
фильтра V является семантической моделью для
непротиворечивой теории Т в множестве / = Р /„*).
Для каждой формулы ав^из определения N и Rn следует,
что
NaczN(a)t
где N(a) определено, как в 18.2. Поэтому N(a) gV. В силу 18.2
R есть модель для а. Поэтому R есть семантическая модель
для Т в /.
§ 19. Мощности моделей
Напомним, что если R—модель непротиворечивой теории W
в множестве / мощности ш и в булевой алгебре А, то тп
называется мощностью модели R (см. § 2, стр. 326); говорят
также, что R — модель мощности тп.
*) См. Морель и Тарский [1].

394 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
19.1. Если теория &~ = {9?, <&, $6} имеет модель мощности m
в полной булевой алгебре А и п^т, то $~ имеет также модель
мощности п в алгебре А.
В частности, если у Т есть семантическая модель мощно-
сти т и п ^ т, то Т имеет также семантическую модель
мощности п.
_Допустим, что Rx является моделью для 0" в множестве /1
и J{ = ш. Пусть / — некоторое множество мощности и и пусть
/ — отображение множества / на Jx. Можно определить
некоторую реализацию R в / и А таким образом, чтобы R удовлетворяла
условиям теоремы VI, 6.8. Действительно, для каждого
данного m-местного функтора <р (т = 0, 1, 2, ...) и произвольных
элементов /,, ..., jm^J пусть фд (Д, ..., /от) будет
произвольным элементом множества /'^^(/(А)» •••, f(im))) (это
множество не пусто, ибо / отображает / на Jx). По определению
0) /fo,(/, и-фд,(/(/0 f(L))-
Для каждого m-местного предиката р (т = 1, 2, ...) пусть pR
будет функцией
(2) P*(/l> •••» /m) = P*,(/(/l), ...> fijm))-
Так как (1) и (2) —условия, при которых выполняется теорема
VI, 6.8, то имеем
aR(v)=---aRl(fv)
для .любой оценки v: V -* / и для любой формулы а. В
частности, ад (v) = V для любой оценки v: V-+J и для любой
формулы а из зФ, ибо R\ —модель для 9~. Поэтому R — также
модель для Т.
Обозначим через card^T" наименьшую из мощностей моделей
для 2Г, через card а $~ — наименьшую из мощностей моделей
для ZT в полной булевой алгебре А и через
сагс^^Т—наименьшую из мощностей семантических моделей для Я~. По
определению
(3) card £Г ^card^^T для любой полной булевой алгебры А\
в частности,
(4) card^~<card2^~.
Теорему 19.1 можно теперь сформулировать следующим
образом:
19.2. Непротиворечивая теория Т имеет модель мощности п
в полной булевой алгебре А в том и только в том случае,
когда n^card^fT. В частности, непротиворечивая теория Т
имеет семантическую модель мощности п в том и только в том
случае, когда n^card2^.

§ 191
МОЩНОСТИ МОДЕЛЕЙ
395
НепротивореЧибая теория ?Г имеет модель мощности п в том
и только в том случае, когда n^card£T.
Теоремы 3.3, 9.3, 15.4 дают следующие оценки (Т обозначает
здесь множество всех термов теории 9~):
19.3. Для любой непротиворечивой теории 3~ — {S£> V, si\
(5) card Т<, Т,
(6) card2^~<max(Ko> «**)•
Для любой открытой теории &~
(6') card2 Т < max (К0f f) *).
Все эти оценки являются точными, т. е. их нельзя заменить
на лучшие.
Пусть, например, 3? — формализованный язык первого
порядка, содержащий счетные множества свободных и связанных
индивидных переменных, цричем множество функторов языка &
состоит из п индивидных констант (п ^ Ко), а множество всех
предикатов языка & состоит только из одного знака равенства е.
Пусть бФ — множество, состоящее из аксиом равенства (V, § 12,
(ei), (ег), (е3)) и всех следующих аксиом:
(7) -efacj),
где си с2 — различные индивидные константы. Легко видеть,
что теория 9~ = {«S7, W, st) непротиворечива, ибо У имеет
естественную ординарную семантическую модель в множестве всех
индивидных констант. Если R — модель для Э~ в множестве
/^Оив полной булевой алгебре А, то
ед (/> /)= V для любого / е /
в силу аксиомы равенства V, § 12, (ei) и
ед (c\r> c2r) ~ Л
для каждой пары различных индивидных констант с\, с2 в
силу (7). Отсюда следует, что cXR Ф c2R при сх Ф с2. Значит,
множество / имеет по меньшей мере мощность п. Это
показывает, что _
card T = \\=T
и _
card2^ = n = max(K0, <я£~) = max(K0> ^)»
т. е. во всех оценках (5), (6), (6') имеют место равенства.
в *) По-видимому, это описка. Так_как_уеГ и V ^ щ (V, § 3), имеем
Т ^ «о и, следовательно, max (Ко, Т) = Т. Это замечание следует иметь
в виду и впредь. — Прим. перев. и ред.

396 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
Неравенство (6) нельзя заменить неравенством carc^^ ^ st>.
В самом деле, пусть & — формализованный язык первого
порядка со счетными множествами свободных и связанных
индивидных переменных, пустым множеством функторов и
множеством предикатов, состоящим только из знака равенства е и
другого бинарного предиката р. Пусть s& состоит из четырех аксиом
для равенства V, § 12, (ei), (e2), (е3), (е5) и трех следующих
аксиом:
(8) П П П (р (*о ^ (9 (пу =» р (Ю»>
I ч с
I ч
(ю) fill? fo).
I ч
Теория 9~ = {«S7, Ф, S&] имеет счетную ординарную
семантическую модель (например, в множестве всех целых чисел при
интерпретации предиката р как характеристики
арифметического отношения <), поэтому она непротиворечива.
Множество s& аксиом для 3~ конечно. Однако теория У не имеет
семантической модели в конечном множестве. В самом деле, если
R — семантическая модель для 3~ в множестве /, то, записывая
/i</2, если рд (/ь /2)=V, имеем в силу (8), (9), (10) для
всех /1, /2, /з е /:
если /1 < /2 и /2 < /з, то /1 < /У,
если /1 < /2, то /1 Ф /2;
для каждого \\ существует такое /2, что \\ < /V
Таким образом, / должно быть бесконечным, ибо в нем
содержится последовательность \\ < /2 < /з < • • • различных
элементов.
Заметим также, что неравенство (6'), вообще говоря, не
выполняется для неоткрытых теорий. Пусть, например, & — такой
формализованный язык первого порядка, что множества
свободных и связанных индивидных переменных являются счетными,
множество функторов пусто, множество предикатов состоит из
знака равенства е и множества одноместных предикатов
мощности п > &*о. Пусть si состоит из аксиом равенства, всех
формул вида
I ч
где pi и р2 — любые различные одноместные предикаты, и из
всех формул вида
U рал
г

§ !9) МОЩНОСТИ МОДЕЛЕЙ 397
где р — произвольный одноместный предикат. Теория 0~ =
= {«2\ 97, Щ имеет; семантические модели только в множествах
мощности ^п, а Т— К0<п- Заметим, что, с другой стороны,
эта теория, в силу 3.3, имеет адекватную, но не семантическую
модель в счетном множестве.
Неравенство (4) нельзя заменить равенством. Действительно,
в только что приведенном примере имеем card ^— Ко49) (см-(5))
и card2^~ = n> Ко-
Теорема 19.2 вполне разъясняет строение класса всех таких
мощностей и, что данная непротиворечивая теория &~ имеет
модель (или семантическую модель) мощности п: этот класс
состоит из всех мощностей, больших или равных некоторой
фиксированной мощности. Строение класса всех таких мощностей п,
что данная теория Э~ имеет ординарную семантическую модель
мощности п, несколько более сложно. Из 4.4 следует, что
card2^~ является наименьшей мощностью в этом классе.
Однако может случиться, что весь класс состоит из одного только
card2^T\
Пусть, например, & — формализованный язык первого
порядка, содержащий только знак равенства е. Пусть ап — фор-
.мула
(и) ии---ис-е№Ж-егшл...
...ПС- efoU П ... Л —е (!„-,!„) . • ■))),
утверждающая, что существует по меньшей мере п элементов;
пусть рп — формула
(12) ии — иГк'Шигеаии... иеаи..-u
утверждающая, что существует самое большее п элементов. Их
конъюнкция уп
(13) КПЮ
утверждает, что существует в точности п элементов.
Пусть s& — множество, состоящее из четырех формул: аксиом
равенства V, § 12, (ei), (e2), (е3) и формулы уп, где п —
фиксированное положительное целое число. Теория 5Г = {&\ W9 s4>\
имеет ординарные семантические модели только в п-элементных
множествах.
Этот пример показывает, что для ординарных семантических
моделей у нас нет теоремы, аналогичной 19.1. Вместо этого
имеются только три следующие теоремы:

3§8 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕ^APHblE ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. Vltl
19.4. Если теория 3~ = {2\ 92, Щ имеет бесконечную
ординарную семантическую модель, то она имеет ординарную
семантическую модель любой мощности п^ max (К0, s4>) *).
Если открытая теория &" имеет бесконечную ординарную
семантическую модель, то она имеет ординарную семантическую
модель любой мощности n^max(K0, T)t где Т — множество
термов теории £Г.
Пусть 2\ — формализованный язык, получаемый из 2
добавлением множества С индивидных констант, причем С = п.
Пусть s&o — множество всех формул (7):
— *(с{с2),
где сх и с2 — различные индивидные константы из С. Каждая
теория {2\, 92, М- U^i), где $Ф\ — произвольное конечное
подмножество множества s&o, непротиворечива, ибо она имеет
модель. В самом деле, Э~ имеет ординарную семантическую
модель R в некотором бесконечном множестве /. Так как /
бесконечно, то мы можем расширить реализацию R языка 2 до
реализации языка 2\ (мы будем обозначать ее той же буквой R)
так, чтобы все элементы сйб/ для сеС, встречающиеся в
какой-нибудь формуле из s&\, были различными. Поэтому
расширенная реализация R является также моделью и для всех
формул из $Ф\, т. е. она является моделью для {2\> 9?, s& (J s£\}.
Из второй части V, 14.1 следует, что теория Т\ =
= [2и V, $6 U s&o} непротиворечива.
Если и ^ max (fc*o, «5$), то 9~± имеет п аксиом, а значит,
3~\ имеет ординарную семантическую модель R\ в некотором
множестве /4 мощности ^ п (см. стр. 336). в
Если £Г—открытая теория и n ^ max (S*0, f), то ^"i также
открыта и множество всех термов в ?Г\ имеет мощность п.
Следовательно, 9~\ имеет ординарную семантическую модель R\
в некотором множестве J\ мощности ^ п (см. 15.4 и 4.4).
С другой стороны, с помощью той же аргументации, как на
стр. 395 (см. (7) и ниже), убеждаемся, что каждая
семантическая модель для fTi имеет мощность ^п. Отсюда следует, что
Л = п.
19.5. Если теория 9~ = {2, 9?, Щ имеет ординарную
семантическую модель мощности m ^ К0, то она имеет также
ординарную семантическую модель любой мощности и ^2п.
Достаточно доказать 19.5 для случая, когда 2 имеет счетные
множества свободных и связанных индивидных переменных
(в случае, когда хотя бы одно из этих множеств несчетно,
*) Это замечание принадлежит Тарскому; см. Сколем [3], Bemerkungen
der Redaktion. См. также Хенкин [1].

§ 19]
МОЩНОСТИ МОДЕЛЕЙ
399
можно заменить рассматриваемую теорию 9~ на
вспомогательную теорию Tv = {9?и *&, «^i}, где i?i получается из 9?
исключением некоторого множества свободных и связанных
индивидных переменных так, что остающиеся множества свободных и
связанных индивидных переменных в 9?\ счетны, а аксиомы
в s4>\ получаются из аксиом в s& подходящим переименованием
свободных и связанных индивидных переменных, — см. 9.7; Т
и ?Г\ имеют одни и те же модели).
Пусть R— ординарная семантическая модель для 9~ в
множестве / мощности т ^ Ю0. Пусть Т* = {«S7*, 92, s£*} —
открытая теория, получаемая из 0~ элиминаций кванторов из аксиом
теории Э~ (см. § 17), причем &* получается из SB добавлением
некоторых функторов. В силу 17.3 модель R можно расширить
до ординарной семантической модели R* теории &~* в том же
множестве /.
Два m-местных функтора ф и ф] в S7* (т = 0, 1, 2, ...)
назовем эквивалентными, символически:
(14) <P~<Pi>
если фд* = ф1/?*, т. е. если
(15) фд* (/ь ..., jm) = Фи?* (/ь • • •, im) Для всех }ь ..., /те=/.
Выберем по одному функтору ф из каждого класса
эквивалентности по отношению (14). Пусть J?** — формализованный язык,
получаемый из 2?* опусканием всех остальных функторов. Мно-
жество^всех термов в S7** имеет мощность, не превосходящую
2т, поскольку множество всех операций в / имеет мощность 2т.
Для каждой формулы а* из «S7* пусть а** — формула,
получаемая из а* заменой каждого функтора в а* на эквивалентный
ему функтор языка 2?**. По определению а** есть формула
языка «S7**. Обозначая через R** сужение реализации R* до
функторов и предикатов в S7**, имеем
(16) а^* (v) = a**** (v) для каждой оценки v
в силу (15). Пусть s4>** — множество всех формул а**, где а* —
формула из s&\ В силу (16) R** является ординарной
семантической моделью для теории !Г** = {2?*\ <&, s&**} в множестве/.
Пусть п^2ш. В силу второй части 19.4 открытая теория &~**
имеет ординарную семантическую модель Ro в множестве /0,
где 70 = п. Расширим реализацию Ro для & до реализации
Ro для S?* следующим образом: для произвольного т-местного
функтора ф! в 3?* (т = 0, 1, 2, ...) пусть ф —тот единственный
функтор из 3?**, что имеет место (14) (т. е. (15)); полагаем
i =ф .

400 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
Из этого определения легко следует, что
a* (v) = а** (v)
для каждой формулы а* в 3?* и для каждой оценки v. Поэтому
Rl является ординарной семантической моделью для £Г*. В силу
17.3 сужение R0 реализации Ro до функторов и предикатов
язьнса & является ординарной семантической моделью для ЗГ
в множестве /0 мощности п.
Для каждой непротиворечивой теории ЗГ пусть N?
обозначает множество всех таких целых положительных т, что 3~
имеет ординарную семантическую модель мощности т.
19.6. Если множество Nj- бесконечно, то теория Т имеет
ординарную семантическую модель в бесконечном множестве
некоторой мощности ^ 2**° *).
Пусть гп\ < гп2 < ... — бесконечная последовательность
целых положительных чисел из N?. По определению £Г имеет
ординарную семантическую модель Rn в множестве
'п = (In* 1> • • • > In, mn)>
содержащем в точности тп элементов, га=1,2,...
Пусть N—множество всех положительных целых чисел и
пусть V — какой-нибудь простой фильтр в булевой алгебре всех
подмножеств множества N такой, что ни одно конечное
подмножество множества N не принадлежит V (существование V
следует, например, из I, 8.4, где V0 содержит все множества вида
N — N0c конечным N0).
Пусть R — произведение всех Rn по модулю V. В силу 18.3
R является семантической моделью для Я~ в множестве /= Р/„
n^N
мощности 2*°. В силу § 4, (2) и 4.3 tk является
характеристикой некоторого отношения эквивалентности ~ в /.
Отождествляя точки /, /' в / в том и только в том случае, когда / ~ /'
(т. е. когда tk (/, /') = V), мы в силу 4.4 получаем ординарную
семантическую^ модель /?' теории Т в множестве J' = J/~. По
определению /'<[2*0. Остается доказать, что /' бесконечно. Для
этой цели заметим, что для точек / = {/' ) е/и/7 = (/') е
e / мы имеем / ~ /' в том и только в том случае, когда
множество всех таких n^N, что jn = j'n, принадлежит V (см.
§ 18, 2)). Поэтому, обозначая
/ === U1» 1> • • • > /я— I) 1» 1п> п> /я+Ь пу //i+2> пу • • • J
для п= 1, 2, ..., мы получаем, что при пфт неверно, что
]п ^ jm 50) Этим доказана бесконечность множества Л
*) Эта теорема была сообщена нам А. Эренфойхтом.

§ 19]
МОЩНОСТИ МОДЕЛЕЙ
401
Следующая теорема, являющаяся заменой теоремы 19.2 для
теорий со знаком равенства, непосредственно следует из 19.4,
19.5, 19.6 и обобщенной гипотезы Кантора 2*v= Kv+i:
19.7. Для каждой непротиворечивой теории ЗГ выполняется
одно из следующих утверждений:
(i) множество N? не пусто и конечно, и ЗГ не имеет
бесконечных ординарных семантических моделей;
(И) множество Nj- конечно, и существует такая бесконечная
мощность ш, что Зг имеет ординарную семантическую модель
бесконечной мощности п в том и только в том случае, когда
(111) множество Nj- бесконечно, и существует такая
бесконечная мощность тп ^ 2*°, что ЗГ имеет ординарную
семантическую модель бесконечной мощности п в том и только в том
случае, когда п^тп.
Мы завершим этот параграф тремя примерами,
показывающими, что теорема 19.7 точна.
Для каждого непустого конечного множества N0
положительных целых чисел существует такая теория ЗГ, что N? = N0 и ЗГ
не имеет бесконечных ординарных семантических моделей.
Пусть, например, 9? содержит знак равенства еи^ состоит из
трех аксиом равенства V, § 12, (ei), (e2), (ез) и четвертой
формулы, являющейся дизъюнкцией формул уп (см. (13)), где
п е No. Напомним, что уп утверждает, что существует в
точности п элементов. Тогда ЗГ = {&, ^в, s4>) имеет ординарные
семантические модели мощности п в том и только в том случае,
когда п е N0.
Если N0 — какое-нибудь конечное множество целых
положительных чисел, am — данная бесконечная мощность, то
существует такая теория 9~% что ЗГ имеет ординарную
семантическую модель мощности п в том и только в том случае, когда
либо nGJV0, либо nl>m. Действительно, пусть ^ —
формализованный язык (со счетным множеством индивидных
переменных), содержащий множество из m индивидных констант и три
предиката: знак равенства с и два бинарных предиката р и я.
Пусть yo — конъюнкция формул (8), (9), (10), а б —формула
(уо^ПГ\(*(ъч)^-*ау\))).
Пусть si состоит из четырех аксиом равенства V, § 12, (ei), (e2),
(е<з), (ее)51)» всех формул
л(схс2),
где С\ и с2 — различные индивидные константы, формулы б и
дизъюнкции всех формул уп, где п = 0 или n^NQ (см. (13)).
Теория ЗГ = {2\ ^, s4) обладает нужными свойствами52).

402 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
Для Каждого бесконечного множества N0 целых
положительных чисел существует такая теория £Г\ что N? = N0 и Э~ не
имеет бесконечной семантической модели с мощностью, строго
меньшей 2*°. В самом деле, предположим, что множеством всех
индивидных констант языка & является множество всех
действительных чисел и & содержит знак равенства е. Пусть
формулы ап и уп определены посредством (11) и (13), т. е. они"
утверждают, что существует по меньшей мере п элементов или
в точности п элементов соответственно. Пусть {wn} —
последовательность, образованная из всех рациональных чисел. Пусть
зФ состоит из аксиом равенства V, § 12, (ei), (e2), (ез), всех
формул вида
— у„, где п ф Л/о,
и, при любом целом положительном /г, всех формул вида
(<*„+!=#— с(с{с2))у
где с\9 с$ — любые действительные числа (т. е. индивидные
константы), для которых сх < wn < с2. Теория Т = {2, Ф, Щ
является искомой *)53).
§ 20. Несчетная арифметика и счетная теория
множеств
Теоремы и оценки, данные в предыдущем параграфе, иногда
приводят к заключениям, которые на первый взгляд
представляются парадоксальными.
В качестве первого примера рассмотрим формализованную
арифметику, подробно описанную в V, § 13, Г). Эта
формализованная арифметика, разумеется, имеет счетную ординарную
семантическую модель, а именно естественную модель в
множестве всех положительных целых чисел. Но в силу теоремы 19.4
формализованная арифметика имеет также ординарную
семантическую модель в каждом несчетном множестве /**). Грубо
говоря, в каждом несчетном множестве / можно определить
сложение и умножение с теми же свойствами, какими обладают
сложение и умножение в области всех положительных целых
чисел. Более точно, существует интерпретация 3 языка
формализованной арифметики в множестве /, которая превращает J
в алгебру с двумя бинарными операциями + и •, обладающими
свойствами сложения и умножения положительных целых чисел;
соответствующая реализация 3* (используются обозначения § 4,
(1), стр. 332, и VI, § 6, стр. 265) является ординарной
семантической моделью для формализованной арифметики в множе-
*) Этот пример принадлежит А. Эренфойхту.
**) См. сноску на стр. 398.

$ 20] НЕСЧЕТНАЯ АРИФМЕТИКА И СЧЕТНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 403
стве /. Существует элемент, являющийся интерпретацией
арифметической единицы 1 (т. е. константы 1 в формализованной
арифметике). Мы обозначим его тем же самым символом 1.
Элемент 1 + 1 соответствует числу 2; элемент 1 + 1 + 1
соответствует числу 3. Если / несчетно, то элементы
(1) 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, ...
не исчерпывают всего множества Л Однако каждый элемент
/е/ имеет своего наследника /+1, а сложение и умножение
удовлетворяют схемам индукции
/i + (/2+l) = (/i + /2)+l,
/l-(/2+ l) = /l-/2 + /b
зафиксированным в аксиомах V, § 13, (Г3) и (Г5). Этот
результат является тем более парадоксальным, что множество аксиом
для формализованной арифметики содержит принцип индукции
(см. V, § 13, (Г6)), который, следовательно, справедлив в
алгебре Л Грубо говоря, принцип индукции позволяет нам
заключить, что
Р(/) имеет место для каждого / е/,
если
Р(1) имеет место
и
импликация Р(/)=^ Р(/+ 1) имеет место при всех / е/.
Точная формулировка принципа индукции выявляет
некоторые ограничения: (i) этот принцип справедлив только для
пропозициональных функций р(х) вида аз (*), где а(х) —формула
формализованной арифметики, т. е. только для тех
пропозициональных функций, которые являются интерпретациями формул
формализованной арифметики; (ii) слова «имеет место»,
применяемые в этом принципе индукции к интерпретации у%
формулы y, означают: у является теоремой формализованной
арифметики.
Первое ограничение является существенным.
Пропозициональные функции в /, являющиеся интерпретациями формул, не
исчерпывают множества всех пропозициональных функций в /,
т. е. существуют пропозициональные функции, не
формализуемые в формализованном языке арифметики. Например, если /
содержит элементы, отличные от элементов (1), то
пропозициональная функция р(*), утверждающая, что х — один из
элементов (1), не имеет вида аз (х). В самом деле, к $(х) не
применим принцип индукции, поскольку утверждения
P(i),
-для каждого / е/, если р(/), то Р(/+ 1)

404 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИЙ [ГЛ. Vltl
истинны, но утверждение
Р(/) для каждого /е/
ложно.
Второе ограничение также существенно. В нашей схеме
индукции слова «имеет место» нельзя интерпретировать как
«является общезначимым». Действительно, формализованная
арифметика не является максимальной теорией, а поэтому у нее нет
адекватных семантических моделей (см. 12.3 и стр. 369).
Заметим, что существует также такая ординарная
семантическая модель арифметики в счетном множестве /, что
элементы (1) не исчерпывают /. Прибавим, например, к
формализованному языку арифметики новую индивидную константу с,
а к множеству аксиом арифметики все следующие формулы:
-(с=1),
(2) -(с = (1+1)),
-(c = ((l + l)+l)),
Полученная таким образом формализованная теория имеет
модель, поскольку каждую ординарную семантическую модель /?о
для арифметики в несчетном множестве /0 можно расширить до
модели этой теории, если в качестве cRo взять элемент из /, не
имеющий вида (1). В силу 19.3, (6) эта теория имеет
ординарную семантическую модель R в счетном множестве /. Эта
модель, суженная до функторов и предикатов формализованной
арифметики, явится также моделью и для нее. В силу (2)
элемент cn&J не равен ни одному из элементов (1). Поэтому
элементы (1) не исчерпывают множества /.
Другое построение счетной семантической модели для
арифметики, не совпадающей с естественной моделью, может быть
основано на том, что формализованная арифметика не является
максимальной теорией, т. е. что существует замкнутая
формула а, для которой ни а, ни —а не есть теорема
формализованной арифметики. Одна из этих формул, например а,
общезначима в естественной интуитивно-математической модели для
формализованной арифметики. Добавим формулу —а к
аксиомам формализованной арифметики. Полученная таким образом
формализованная теория, в силу 11.2, является
непротиворечивой. По 19.3, (6) она имеет ординарную семантическую модель
R в некотором счетном множестве /. / содержит все элементы
(1), т. е. всех представителей для положительных целых чисел,
причем операции сложения и умножения для элементов (1)
в модели R совпадают с обычными. Так как —а общезначима

§ 20] НЕСЧЕТНАЯ АРИФМЕТИКА И СЧЕТНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 405
в /?, но не общезначима в естественной интуитивной модели, то J
должно также иметь элементы, отличные от элементов (1).
Мы видим, что существование многих существенно
различных моделей для формализованной арифметики имеет по
меньшей мере две причины: немаксимальность и общие теоремы
о существовании моделей произвольно больших мощностей.
Формализованная арифметика не является полным описанием
множества всех положительных целых чисел. Эта неполнота
вовсе не является специфическим свойством формализованной
арифметики. Это общее явление в метаматематике
формализованных теорий первого порядка, и причины его таковы же, как
и в случае формализованной арифметики. В § 12 (стр. 368) мы
констатировали, что формализованные математические теории
практически бывают двух видов: формализованные описания
некоторого класса моделей из интуитивной математики
(подобно формализованной теории булевых алгебр или групп) и
формализованные описания некоторых специальных моделей из
интуитивной математики (подобно арифметике). Из цели
формализации следует, что теории первого вида должны иметь
много существенно различных моделей. Но в случае
формализованных теорий второго вида можно было ожидать, что они
будут иметь только одну ординарную семантическую модель
(с точностью до изоморфизма), а именно модель, являвшуюся
отправным пунктом рассматриваемой формализованной теории.
Мы видели, что, вообще говоря, это не имеет места.
Немаксимальность теории, как источник существования
существенно различных моделей, всегда может быть устранена, по
крайней мере теоретически, если мы с помощью 12.6 перейдем
к ее максимальным расширениям. Но явления, коренящиеся
в теоремах предыдущего параграфа, всегда сохранятся: если
теория имеет бесконечную ординарную семантическую модель,
-то она имеет много существенно различных моделей
произвольно больших мощностей. Поэтому в некотором смысле
формализованные теории первого порядка никогда не являются
полным описанием какой-нибудь фиксированной бесконечной
модели из интуитивной математики.
Причина этой неполноты лежит в бедности
формализованных языков первого порядка. Лучшее описание может быть
получено с помощью упоминаемых в V, § 3 неэлементарных
языков, которые не изучаются в этой книге.
Мы обсудим сейчас еще один, другого рода парадокс,
возникающий, если применить оценку 19.3, (6) к формализованной
теории множеств, описанной в V, § 13, Д). Напомним, что эта
теория содержит только две специальные константы, а именно
два бинарных предиката: е и знак равенства. Множество всех
аксиом формализованной теории множеств счетно. В силу

406 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ?ЕОРЙИ [ГЛ. Vtlt
19.3, (6) (или в силу теоремы 5.3) для формализованной теории
множеств существует счетная семантическая модель*)54).
Хотя это непосредственно и не следует из 19.3, (6) и 5.3, но
другим способом можно доказать, что существует ординарная
семантическая модель R для формализованной теории множеств
в некотором множестве /, которая удовлетворяет следующим
условиям:
1) / счетно;
2) все элементы / е / являются конечными или счетными
множествами;
3) 8Д является характеристикой теоретико-множественного
отношения }\ е /2 между элементами (множествами) /ь /г
в /55).
Переформулируем эту теорему следующим образом. Пусть
3 — интерпретация, которая сопоставляет
знаку равенства — отношение равенства в множестве /,
знаку е — теоретико-множественное отношение е в множестве/.
Так как R = 3* (см. обозначения в § 4, стр. 332, или VI, § 6,
стр. 265), все аксиомы, а поэтому и все теоремы
формализованной теории множеств истинны в интерпретации 3
формализованного языка теории множеств в множестве /.
Таким образом, / является счетным множеством множеств,
удовлетворяющим всем аксиомам формализованной теории
множеств. Более того, все множества /е/ являются не более чем
счетными!
Последнее Утверждение кажется парадоксальным. В V,
§ 13, Д) мы установили, что в формализованной теории
множеств мы можем воспроизвести всю интуитивную теорию
множеств. В частности, мы можем доказать существование
несчетных множеств! В самом деле, аксиома бесконечности (V, § 13,
(Д4)) утверждает существование бесконечного множества А.
Аксиома множества-степени (V, § 13, (Дз)) утверждает
существование множества В всех подмножеств множества А. В
формализованной теории множеств можно доказать также, что не
существует взаимно-однозначного отображения множества А
на В (см. V, § 13, (7)), т. е. что В имеет большую мощность,
чем Л, а поэтому В несчетно.
Но это только видимый парадокс. В счетной модели R для
формализованной теории множеств В не есть класс всех
подмножеств множества /4е/; В содержит только те
подмножества множества Л, которые принадлежат /. Так как
множества А, В счетны, то, разумеется, существует
взаимно-однозначное отображение (т, е. множество С упорядоченных пар — см.
*) Сколем [2].

§21]
ПРОБЛЕМЫ ЭФФЕКТИВНОСТИ
407
V, § 13, Д)) множества А на В. Но это отображение (т. е. это
множество С) не принадлежит /! В самом деле, мы имеем
общую теорему формализованной теории множеств (см. V, § 13,
(7)), что не существует множества упорядоченных пар,
являющегося взаимно-однозначным отображением множества А на В,
а эта теорема общезначима в любой модели для
формализованной теории множеств (см. 2.2). Поэтому в данной модели R
множество В имеет большую мощность, чем Л, и в модели R
множество В несчетно.
Мы видим, что в этом примере нужно различать два разных
понятия: (абсолютную) мощность множеств Л, Be/ и
мощность множеств Л,Ве/в модели R. Подобная же
релятивизация необходима и для других теоретико-множественных понятий.
Если мы вспомним, что R является моделью для
формализованной теории множеств только при условии релятивизации
всех понятий до класса /, то обсуждаемый нами парадокс
вообще перестает быть парадоксом. Остается только
впечатляющая теорема о том, что формализованная теория множеств
имеет счетную модель.
§ 21. Проблемы эффективности
Рассмотрим три следующие теоремы, установленные в § 9,
§ 15 и в I, § 8:
(F) Каждая невырожденная булева алгебра имеет
максимальный фильтр.
(М) Каждая непротиворечивая теория первого порядка
имеет семантическую модель.
(М°) Каждая непротиворечивая открытая теория первого
порядка имеет семантическую модель.
Как мы объяснили в VII, § 11, теорема (F) не является
эффективной, поскольку ее доказательство основано на аксиоме
выбора. Теорема (М) была выведена в § 9 из (F) без
использования аксиомы выбора (см. 9.1 и 9.2). Точнее, мы вывели (М)
из (F) и 8.3, а 8.3 является следствием теоремы 8.1 в
применении к счетным множествам /. Теорема 8.1, вообще говоря, не
эффективна, но эффективна для случая счетного /56). Поэтому
мы эффективно вывели (М) из (F).
Разумеется, (М) эффективно влечет (М°).
Мы докажем сейчас, что (М°) эффективно влечет (F), т. е.
что вСе утверждения (F), (М) и (М°) эффективно
эквивалентны.
В силу VII, § 11 достаточно доказать, что (М°) эффективно
влечет аналогичное утверждение для теорий нулевого порядка:
(Мо) Каждая непротиворечивая теория нулевого порядка
имеет семантическую модель.

408 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
Пусть То = {20, <?7, s£o} — непротиворечивая теория
нулевого порядка, a Vo — множество всех пропозициональных
переменных языка 2о. Пусть 2 — такой формализованный язык
первого порядка, что множество Е0 всех элементарных формул
языка 2 без индивидных переменных имеет мощность Fo
(можно, например, в качестве 2 взять формализованный язык,
содержащий Vo индивидных констант и один предикат и больше
не имеющий никаких специальных знаков). Пусть
5—какое-нибудь взаимно-однозначное отображение множества V0 на £0. По
определению 5 является подстановкой языка 2 в So. Для
каждой формулы б в 2о пусть sd обозначает результат
подстановки 5 в б. По определению sd является одновременно
открытой и замкнутой формулой языка 2.
Пусть зФ — множество всех формул s6, где б е бФ0.
Для каждой формулы б в So, если s6 — теорема открытой
теории Т = {2\ *&, s4), то б является теоремой теории То-
В самом деле, по теореме о дедукции 10.2 существует такая
конъюнкция а аксиом из $Ф, что (а=ф s6) является предикатной
тавтологией. Формула а имеет вид sy, где у — конъюнкция
нескольких аксиом теории То- Так как формула (sy^sa), т. е.
формула s(yd$>a), является предикатной тавтологией, то
формула (у =$> а) — пропозициональная тавтология в силу 6:2. По
теореме о дедукции VII, 8.2 отсюда следует, что б — теорема
теории То.
Открытая теория Т непротиворечива; поскольку если б —
формула языка 2о, не являющаяся теоремой теории То, то
s6 — формула языка 2, не являющаяся теоремой теории Т.
В силу (М°) существует модель R для Т в некотором
множестве /^Оив двухэлементной булевой алгебре А0. Формула
f V, если saR= V,
t>2 — 1 А А СЕЙ
а I Л, если saR= Л,
определяет оценку а°={а°} . В силу VI, 6.9
6Ao(v») = s6R(v)=V
для каждой формулы б е $$>о- Поэтому v° является
семантической моделью для То.
§ 22. Канонические семантические модели. Проблемы
представления для Q-алгебр теорий
Можно видеть, что все модели в установленных нами
теоремах существования были построены в множестве всех термов
некоторой теории. Точнее, они были каноническими
реализациями термов или же гомоморфными образами канонических

§221
КАНОНИЧЕСКИЕ СЕМАНТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
409
реализаций термов, т. е. они были получены из канонических
реализаций термов посредством отождествления термов по
модулю некоторой конгруэнции в алгебре термов. Это указывает
на важность упомянутого типа моделей в метаматематике
формализованных теорий первого порядка.
Если семантическая модель для теории 0~ в множестве Т
всех термов теории Э~ является канонической реализацией
термов (см. § 3 и VI, § 7), то она называется канонической
семантической моделью. Эта терминология согласуется с § 3 и с VI,
§ 7. Действительно, пусть А0 — двухэлементная булева алгебра.
Если R — каноническая семантическая модель для Э~ в только
что определенном смысле, то в силу VI, 6.2, VI, § 6, (4) и VI,
7.1, (3), (3') формула
A(||a||) = Mt),
где х —^тождественная оценка, определяет Q-гомоморфизм h
алгебры F = F/~ в А0, где F, F, ~ имеют тот же смысл, что
и в VI, § 4 (стр. 255—256). R совпадает с канонической
реализацией (в смысле, определенном в VI, § 7, стр. 277, где «
нужно заменить на ~), определяемой Q-гомоморфизмом А.
Темой этого параграфа является проблема существования
канонических семантических моделей. Они не всегда
существуют. Действительно, в § 19, стр. 397, мы дали пример такой
теории 2Г, что Т < card2 Т. Эта теория не имеет семантической
модели в множестве Г, а поэтому не имеет канонических
семантических моделей.
Напомним (см. VI, § 3), что алгебра термов — это по
определению алгебра
[Т> {ф}фвф}.
где Ф — множество всех функторов и каждый m-местный
функтор ф интерпретируется как m-местная операция
(1) фОч Тт) = ф(\ •-. T/J
(т = 0, 1, 2, ...). Если R— реализация в множестве / Ф 0,
то /д обозначает алгебру
{Л {ф/г}Феф}-
22.1. Если теория 9~ имеет семантическую модель R в
множестве J ф 0 и если существует гомоморфизм f алгебры Т
термов теории Э~ на алгебру /д, то 3~ имеет такую каноническую
семантическую модель /?0, что, для каждой формулы а, а
выполнима в R тогда и только тогда, когда а выполнима в /?0.
А именно:
Щ (fo) = V в том и только в том случае^ когда aRo (v) = V
для каждой оценки v: V-+T;

410 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИЙ [ГЛ. VIII
Пусть /?о — каноническая реализация термов, т. е. для
каждого ^п-местного функтора qp операция ф#0 совпадает с
отображением, определяемым посредством (1). Для любого т-мест-
ного предиката р (т = 1,2,...) пусть
(2) Р*о 0ч> ..., хт) = рд (/ (т^, ..., / (тт)).
Так как f: Т —► JR является гомоморфизмом, имеем
(3) /(ф*.(*1, •••, *m)) = <P*(/(Tl)» ..., /(Тт))
для каждого т-местного функтора ф (т = 0, 1, 2,...).
Тождества (2) и (3) являются условиями теоремы 2.8, из которой
непосредственно следует 22.1. _
Если существует гомоморфизм / алгебры Т на /д, то Г^ Т.
Заметим, что в теореме 22.1 нельзя заменить существование
гомоморфизма / более слабым условием / ^ Т: существование
семантической модели в множестве / мощности Г, вообще
говоря, не влечет существования канонической семантической
модели в Г. Предположим, например, что & — язык первого
порядка, содержащий счетное множество свободных индивидных
переменных, несчетное множество индивидных констант (и этим
исчерпывается множество функторов языка J?), знак
равенства с, один одноместный предикат р и один двуместный
предикат я. Множество s4> математических аксиом теории Т =
= {&) Ф, #£} состоит из аксиом равенства (см. V, § 12),
формул
ПОапЛ
(я(ху)*Ф — р(у))9
((- е (ххх2) П (я (хху{) П я (х2у2))) =# - с (уху2)),
всех формул
где си с2 — любые различные индивидные константы, и всех
формул
р(с)>
где с — любая индивидная константа. Множество всех термов Т
состоит из счетного множества V свободных индивидных
переменных и несчетного множества индивидных констант. Грубо
говоря, аксиомы теории 9~ утверждают существование
взаимнооднозначной функции (которая каждому элементу х
сопоставляет такой элемент у\ что имеет место п(ху)), причем значения
этой функции отличаются от элементов, соответствующих
индивидным константам. Легко видеть, что &" имеет
семантическую модель в каждом множестве / мощности Т (и даже в мно*

§221
КАНОНИЧЕСКИЕ СЕМАНТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
411
жестве Т). Однако у &~ нет канонических семантических
моделей в. Г. Действительно, предположим, что такая модель R су*
ществует. Так как она каноническая, то имеем cR = с, т. е.
индивидные константы должны реализоваться индивидными
константами. Но не может быть такой взаимно-однозначной
функции на Т со значениями в Г, значениями которой были бы не
индивидные константы, а свободные индивидные переменные,
ибо _ _
7<Т.
Для любой теории 9~ = {«S7, У, s4) пусть т? обозначает
мощность объединения множества V всех свободных
индивидных переменных языка SB и множества G>i всех функторов, не
встречающихся в аксиомах из s&.
22.2. Если теория Э~ имеет семантическую модель R в
множестве J Ф О мощности ^ nv, то 3~ имеет каноническую
семантическую модель R0. Более того, для каждой данной
формулы а, выполнимой в R, можно таким образом выбрать /?0,
что aRo (t) = V, где i — тождественная оценка *).
Пусть хи •.., хп — все свободные индивидные переменные
формулы а и пусть /i,..., jn — такие элементы множества /,
что
(4) aR(Ju •••> /»)= V-
Пусть Ф[ — множество всех функторов, не встречающихся
ни в а, ни в аксиомах из М-. Пусть Тх — множество всех термов
формализованного языка SB и получаемого из SB заменой
множества Ф всех функторов на подмножество Ф\. Другими
словами, Т\ является множеством всех термов языка SB\ не
содержащих функторов из Ф —Фь _
Без ограничения __общности_ можно считать, что / = тп<т-
(см. 19.1). Поэтому 7,1 = тп<7- = /, и, следовательно, существует
взаимно-однозначное отображение /0 множества Тх на /. Более
того, можно считать, что
fo(*k) = Jk Для k— 1, ..., /г.
Поэтому в силу (4)
М/о0= V-
Пусть R' — следующая модификация реализации R:
Pr' = Pr ДлР каждого предиката р,
Фя'=== Фя Для каждого функтора фЕф-Ф!
и
(5) Ф^(Уо(т|), .... /о(тт)) = /о(Ф^ ... тт))57)
*) Теоремы 22.2, 22.3, 22.4, 22.5, 22.6 см. в работах: Ра сев а и Сикор-
ский[6]иСикорский [12], [131.

412 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
для каждого m-местнрго функтора <р е Ф{ (т = О, 1,2,...).
Так как реализация R' отличается от R только на функторах,
не встречающихся ни в аксиомах из зФ, ни в формуле а, то Rr
тоже является семантической моделью для Т и
<V(/oO= V.
В силу (5) /о является гомоморфизмом алгебры \ТЬ {ф}феф'1
на алгебру |/, {фд'} "ф'1- Отображение /0 может быть
продолжено до гомоморфизма / алгебры {Г, {ф}феф} на алгебру
•^д' —{^> {ф/Дрегф}- В самом деле, сужение отображения /0 на
множество V всех свободных индивидных переменных, в силу VI,
3.2, может быть продолжено до гомоморфизма / алгебры
термов \ТУ {ф}феф} в JR>. Так как отображение /, суженное на Ти
является гомоморфизмом алгебры JTU {ф}ф€_ф'} в |/, {ф^} Л
и совпадает на V с /0» то / совпадает с /0 и на Г^ т.е. f
является продолжением отображения /0. Так как /0 отображает ^
на /, то к / отображает Т на /.
Поскольку f — продолжение отображения /0, имеем
a*-(fi)=V.
Теперь теорема 22.2 непосредственно следует из 22.1 (где
в качестве R нужно взять /?').
Из 22.2 и 9.3 следует, что, добавляя к теории ЗГ некоторое
множество свободных индивидных переменных или некоторое
множество функторов, мы можем получить теорию 3~\ которая
явится несущественным расширением теории Ф~ и будет иметь
каноническую семантическую модель. Можно на этом пути
получить также теорию 2Г\ у которой будет так много
канонических семантических моделей, что для каждой неопровержимой
формулы а существует каноническая семантическая модель,
в которой а выполнима.
Существует естественное взаимно-однозначное соответствие
между каноническими семантическими моделями и Q-фильтрами
в (Эталгебре 91 (ZT) (см. § 1, стр. 323). Это соответствие
устанавливается в следующей теореме:
22.3. Для каждой канонической семантической модели R
множество S/r всех || а || е Я {Т), для которых
<**(*)= V,
где i—тождественная оценка, является Q-фильтром в 41 (£Г).
Обратно, для каждого Q-фильтра V в % ((Г) формула
[ V, если ||p(ti ... rm)||e=V,
P^(Tl tw,"IA, если Цр^...-T^II^V,

§22]
КАНОНИЧЕСКИЕ СЕМАНТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
413
определяет каноническую семантическую модель Rv для &~.
Более того, для любой канонической семантической- модели R и
любого Q-фильтра V
V = Vr в том и только в том случае, когда R = 7?v.
Первая часть доказывается нетрудной проверкой (см. VI, §6,
(4) и VI, 7.1, (3), (3')).
Вторая часть непосредственно следует из VI, 7.3, где h —
естественный гомоморфизм алгебры 91 \9~) на двухэлементную
булеву алгеОру ££(&~)/Ч. Действительно, реализация R0,
упоминаемая в этой теореме, совпадает с /?v. В силу VI, 7.3, (7)
все аксиомы теории &~ общезначимы в /?v, т. е. #v является
моделью для Т.
Для доказательства последней части 22.3 предположим
сначала, что V = VR. Тогда каждое из написанных ниже условий
эквивалентно следующему за ним:
P*v (ть • • •, О =■ V.
Ир(*1 ••• Oll^v,
Р(*1 ... Tm)j,(t)=- V,
pR(xu ..., тт)= V,
чем доказывается /?v = R. Обратно, пусть R = /?v. Тогда
каждое из написанных ниже условий эквивалентно следующему за
ним:
llpfa ••• Tj||eVPf
р(хх ... тт)д(1)= V,
рЫ ... тт)яу(0 = v,
\\р(хх ..,тт)||е=У.
Это доказывает, что естественные Q-гомоморфизмы алгебры
%(&~) на 91(#")/Уя и на $^7")/V совпадают на множестве
элементов || а ||, где а — элементарная формула. Так как элементы
этого вида порождают Q-алгебру 91 (9~), то оба Q-гомомор-
физма совпадают. Отсюда следует, что VR = V.
Символом &(Т) мы будем обозначать множество всех
Q-фильтров в 91 (Т). Другими словами, применяя обозначения
из II, § 9, стр. 104, получим
^(^) = ^д(Я(^-)),
где (Q), как обычно, обозначает множество всех бесконечных v
объединений и пересечений в % (^"), соответствующих
логическим кванторам (см. § 1, стр. 323, и VI, § 11, стр. 291). Для
каждого элемента || а II е 21 {Т) посредством ||| а ||| (или,
точнее, посредством ||| а ||| j- ) мы будем обозначать множество всех

414 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
таких Уе^(Я» что Ha||eV. По определению для каждого
Q-фильтра V в % (Т)
Vg III a HI тогда и только тогда, когда |] a || e V.
Символом Р(Т) мы обозначим класс всех |||а|||, где || а || е
efl(f). Из определения и из II, 9.1 следует, что Р(£Г)
является полем подмножеств множества &(3~) и что
отображение И?:
(6) #И||а||)=|||а|||
является Q-гомоморфизмом алгебры % (Т) в поле всех
подмножеств множества &[$Г) и на Р(&~). Поэтому #j- преобразует
бесконечные объединения и пересечения, соответствующие
логическим кванторам, в теоретико-множественные объединения
и пересечения соответственно.
22.4. Следующие условия являются эквивалентными:
(i) существует (^-изоморфизм алгебры %(£Г) в поле всех
подмножеств некоторого множества;
(ii) H? является изоморфизмом;
(iii) для каждого \\ а \\ ф А в % (Т) существует такой
Q-фильтр V, что || a || е V;
(iv) для каждой неопровержимой формулы а существует
каноническая семантическая модель R для 3~, в которой а
выполняется при тождественной оценке.
Эквивалентность (i), (ii), (iii) следует из II, 9.2.
Эквивалентность (iii) и (iv) непосредственно следует из 22.3.
Мы дополним теорему 22.4 двумя следующими теоремами:
22.5. Если m<7- = 7, = m, то каждое из условий (i) — (iv)
эквивалентно условию:
(v) для каждой формулы а, неопровержимой в Т,
существует такая семантическая модель R мощности ^ т, что а
выполнима в R.
(iv) непосредственно влечет (v). Обратная импликация
следует из 22.2.
22.6. Если множество аксиом теории Т имеет мощность, не
превосходящую т?, то Н? является изоморфизмом.
В частности, если множество аксиом теории не более чем
счетно, то Нз- является изоморфизмом.
Это следует из эквивалентности (ii) и (v) и из 9.1.
Символом Ро(&~) мы будем обозначать класс всех ||| а |||,
где a — произвольная открытая формула. Очевидно, Ро(&~) —
поле подмножеств множества &(2Г).
Множество 9>(Т) будет всегда рассматриваться как
топологическое пространство с Ро(&~) в качестве открытой базы. По
определению все множества в Pq(&~) одновременно открыты и

§22]
КАНОНИЧЕСКИЕ СЕМАНТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
415
замкнуты в 9>(Т) *). Множество S<zz&(9~) открыто в том и
только в .том случае, если оно есть объединение некоторых
множеств из Ро(^).
22.7. Пространство 9>(&~) вполне несвязно. Точнее, для
любой пары различных Q-фильтров Vi, V2e^(^) существует
такая элементарная формула а, что множество ||| а |||
одновременно открыто и замкнуто, содержит Vi, но не содержит Уг**).
Пусть hb h2 — естественные Q-гомоморфизмы Q-алгебры
31 (<Г) на двухэлементные булевы алгебры Ao=^(0r)/Vl=%(^m)/V2
соответственно. Предположим, что для каждой элементарной
формулы а либо || а || е V! и || а || е V2, либо || а || ф. V, и || а || ф V2.
Тогда Л1(||а||) = А2(11а11) Для каждой элементарной формулы а.
Так как множество всех элементов ||а||, где а —элементарная
формула, порождает Q-алгебру 91 (fT), то гомоморфизмы hu h2
совпадают. Отсюда следует, что V1 = V2.
Предположим, что теория W является лингвистически
инвариантным расширением теории 0~г. В соответствии с VI, § 10
элементы алгебр % (£Г) и 31 (^')> определяемые формулой а,
будут обозначаться посредством ||а||^ и ||а||^, соответственно.
Отображение, которое любому || а ||^, сопоставляет элемент II а И^,
является Q-гомоморфизмом h алгебры %(ЗГ') на %(Т). Отсюда
следует, что для каждого Q-фильтра VG^(f) его прообраз
V' = h-l(V) (т.е. множество всех таких ||а||^„ что ||а||^еУ)
является Q-фильтром в 31 {Т')у т.е. V ^&(ТГ). Легко видеть,
что отображение, сопоставляющее Q-фильтру V Q-фильтр V,
взаимно-однозначно. Поэтому V можно отождествить с V7.
После этого отождествления
(7) &{T)cz&{T')>
Более того, для каждой формулы а
(8) |а|,»1а|,,П*<<Г)-
Беря в качестве а открытую формулу, мы заключаем, что
множества из Р0(#") являются пересечениями множеств из Р0(!Г')
с множеством &{Т) и обратно. Поэтому открытые множества
в £Р(&~) являются пересечениями открытых множеств в д*{$Гг)
с множеством &{Т)% и обратно.
Значит, в силу I, § 2, (11) (см. также III, § 2, стр. 117),
имеем:
*) Если а — открытая формула, то —а —- тоже открытая формула. Так
как II сх П = II ——-а || = —||—а ||, имеем ||| а ||| = ||| —а |||. Следовательно,
III а ||| — замкнутое множество. — Прим. перев: и ред.
**) Теоремы 22.7, 22.8 и 22.9 были доказаны Сикорским [12], [13].

416 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. Vltl
22.8. Если 0~ — лингвистически инвариантное расширение
теории ЗГГ, то £Р (!Г) — топологическое подпространство
пространства &{Т'\
Мы дополним эту теорему следующей:
22.9. Пусть Т — лингвистически инвариантное расширение
теории Тг.
Если Н?' — изоморфизм и & {&~) — плотное подмножество
множества !Р(Т'), то каждая открытая формула, являющаяся
теоремой в 2Г', будет также теоремой в Т'.
Обратно, если Н? — изоморфизм и если каждая открытая
формула, являющаяся теоремой в Т, будет также и теоремой
в 2Г', то 3>{$Г) является плотным подмножеством множества
&>{Г').
Для доказательства первой части предположим, что
открытая формула а является теоремой теории ЗГ, т. е. что ||а||^ —
единичный элемент алгебры 21 (Т). Поэтому ||| a |||J- = ^,(5r),T. е.
9s (£Г) с: ||| а \г в силу (8). Следовательно,
^ (<Г') = с* (Г) с С | a HU = ||| а Ц^с 9 (Т%
поскольку &(Т) плотно в &(Т'), a ЩаИ^, одновременно
открыто и замкнуто (С обозначает здесь операцию взятия
замыкания в &(Т')). Так как Иг является изоморфизмом, то
установленное только что тождество
влечет, что ИаЦ^ является единичным элементом алгебры 21 (£Г'),
т.е. а —теорема в Тг.
Для доказательства второй части предположим, что &({Г)
не плотно в Ф{ТГ). Тогда из определения топологии в &(Т')
следует, что существует такая открытая формула а, для
которой
9{Г) с ||| а %, ФРу-*)*).
Значит, а не является теоремой в Т'. В силу (8)
Я^оу- |а|^-^(Л.
Так как Нт — изоморфизм, то || а 1^ — единица алгебры 51 (Т\%
т. е. а—-теорема в Т.
§ 23. Топологическая характеристика открытых теорий
Пусть $Г — теория первого порядка. Обозначим посредством
%°(!Г) подалгебру алгебры 91 {ЗГ), состоящую из всех элементов
вида || а ||, где а —открытая формула. Пусть ^°(£Г) — стоунов-

§ 23] ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОТКРЫТЫХ ТЕОРИЙ 417
ское пространство булевой алгебры 31°(iT), т. е. (если
использовать обозначения из II, § 8)
По определению 3>*(Т) является компактным пространством
всех простых (т. е. максимальных) фильтров Vo B булевой
алгебре 31° {Т). Для каждой открытой формулы а пусть ||| а |||°
(или, точнее, ||| а |||^) обозначает множество всех таких v0 ^ ^°(£Г),
что || а || е Vo- По определению для каждой открытой формулы а
и для каждого простого фильтра Vo в %°(!Г)
(1) || а || ^ Vo в том и только в том случае, когда Voelllalll°-
Отображение, которое каждому элементу ||а||^310(<Г) (а
открыто) сопоставляет множество ||| a |||°, является стоуновским
изоморфизмом булевой алгебры 31°(ЯГ) на поле Р°(Т) всех
одновременно открытых и замкнутых подмножеств стоуновского
пространства SPQ(3T).
Для каждого Q-фильтра Vе &(ИГ) пересечение фильтра V
с подалгеброй 31° (Т) является простым фильтром Vo в 31° (<Г),
т. е. элементом алгебры 0>*(0~). Отображение (только что нами
определенное), которое фильтру s/^.&{&~) сопоставляет фильтр
Vo^^°07~), является взаимно-однозначным (это легко следует
из доказательства теоремы 22.7). Поэтому можно отождествить V
и Vo^ Ввиду этого отождествления
(2) &>(Г)с:&>0(Г).
Из (1) легко следует, что для каждой открытой формулы a
(3) |||а||| = |||а|||<>Л^0Г).
Поэтому в силу I, § 2, (11) (см. также III, § 2, стр. 117) имеем}
23.1. &($Г) является топологическим подпространством
компактного стоуновского пространства 9*> (ЗГ).
Вообще говоря, знак включения в (2) нельзя заменить
знаком равенства. Это возможно только в некоторых специальных
случаях. Например:
23.2. Если Т —открытая теория, то &{Т) =^{Т).
Следовательно, пространство 9>{ЗГ) компактно для любой
открытой теории ЗГ<
Достаточно показать, что для каждого У0е^°(^)
существует такой фильтр Ve^(J'), что фильтр Vo является
пересечением фильтра V и подалгебры 31° (ЗГ) алгебры %(Т).
Пусть R — такая семантическая реализация языка теории ЗГ,
что R является канонической реализацией термов и
f V, если ||p(Ti ... T,J||eVo.
P*l*i. ■■•. т*>-\л, если Hpfa.-.TjII^Vo

418 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
для каждого m-местного предиката р и произвольных термов
ть...,тт. Так как алгебра 51°(Т) может быть отождествлена
с алгеброй % (&~°), определенной в § 15 (см. 15.6), то R
является канонической моделью для f7", определяемой
естественным гомоморфизмом алгебры 91 (9го) на двухэлементную булеву
алгебру А0 = 91(^Г0)/Уо, в смысле, определяемом в § 15, стр. 379
(см. также 15.3). Таким образом, R является семантической
моделью для открытой теории Я~. В силу 22.3 множество V всех
таких IIосII е 91 ОТ), что <xr(\) = V, является простым Q-филь-
тром, т. е. элементом пространства &>(&"). Этот фильтр обладает
требуемыми свойствами.
Напомним, что т? обозначает мощность объединения
множества V всех индивидных переменных и множества Ф4
функторов, не встречающихся в аксиомах теории 3", Как обычно, Т
обозначает множество всех термов теории i7~, a Н?
—отображение, определенное в § 22, (6). _
23.3. Если 9~ — открытая теория и Т = nv, то гомоморфизм
Н? является изоморфизмом.
В силу 17.5 и 22.2 для каждой неопровержимой формулы р
существует такая каноническая семантическая модель R для f7",
что МО = V.
Этим, в силу 22.4, доказано, что #«г является изоморфизмом.
Условие Т = rtij- в 23.3 нельзя опустить. Если &~ — открытая
теория, то У имеет много канонических семантических моделей.
А именно, для каждой неопровержимой открытой формулы а
в 3~ существует каноническая семантическая модель, в которой
тождественная оценка выполняет а (этот результат может быть,
например, получен несложной модификацией доказательства
15.5). С другой стороны, для каждой неопровержимой
формулы а в 2Г существует семантическая модель теории ЗГ в
множестве мощности Г, в которой а выполнима (см. 17.5, стр. 389).
Однако, вообще говоря, неверно, что для каждой
неопровержимой формулы а существует каноническая семантическая модель,
в которой а выполнима. В этом случае Hj- не является
изоморфизмом в силу эквивалентности (и) и (iv) в 22.4.
Требуемый пример является несложной модификацией
примера теории из § 22, стр. 410. А именно, пусть & — такой язык
первого порядка, что 3£ содержит счетное множество
свободных индивидных переменных, несчетное .множество индивидных
констант (причем больше в 9? функторов "нет), знак равенства е,
один одноместный предикат р и один бинарный предикат я.
Множество s4> математических аксиом теории 3~ = {J?, W, s£>}
состоит из аксиом равенства (см. V, § 12), открытых формул
(п(ху)=$—р(у))*
((-е (х{х2) П (л (х{у{) П я (х2у2))) =ф — е (уху2))9

§ 23J ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОТКРЫТЫХ ТЕОРИЙ 419
всех открытых формул
—t(c{c2),
где си с2 — любые различные индивидные константы, и всех
открытых формул
9(c),
где с — произвольная индивидная константа. Пусть а —
формула
В принятых обозначениях теория, исследуемая в примере § 22,
стр. 410, является теорией {&, V, бФ U [а]}. Так как эта теория
имеет семантические модели, то она непротиворечива. В силу
11.2 замкнутая формула а неопровержима в теории 3~ =
= {i?, ф, s&), но нет такой канонической семантической модели
для 2Г, в которой а выполнима. В самом деле, предположим,
что такая каноническая семантическая модель R существует.
Так как а замкнута, то отображение aR постоянно. Так как а
выполнима в R, то ал принимает значение V. Значит, ад
тождественно равно V, т. е. R является моделью для а. Отсюда
следует, что R есть каноническая семантическая модель для
теории {i?, Ф, М- U [а]}. Но, с другой стороны, в § 22, стр. 411, мы
показали, что теория {5?, %?,££[) [а]} не имеет канонических
семантических моделей. Противоречие!
Напомним, что две теории Т = {&, «\ s4) и Т' = {S£, <&> Ж%
основанные на одном и том же языке 9?, называются
эквивалентными, если у них совпадают множества теорем:.92(s&)=
23.4. Предположим, что множество свободных индивидных
переменных и множество всех термов теории Э~ равномощны.
Тогда для того, чтобы &~ была эквивалентна некоторой
открытой теории, необходимо и достаточно, чтобы пространство &{!Г)
было компактным и отображение Н? было изоморфизмом *).
Предположим, что теория Э~ эквивалентна некоторой отк-
Г1той теории Т1\ основанной на том же самом языке. Условие
=*F влечет шг=7. В силу 23.2 и 23.3 пространство 0>{Т')
компактно и Нг является изоморфизмом. Так как 2Г и &"'
эквивалентны, то имеем % {Т) = % (V'). Поэтому &{&")=& ЦТ')
и #^=/7^,. Это доказывает необходимость.
*) Теоремы 23.1—23.4 были доказаны Сикорским [12], [13], [10]. См.
также Бет [4], Эренфойхт и Мостовский [1]. Другая характеристика
открытых теорий средствами подмоделей была дана Лосем [5], [6] (она
была также известна Тарскому — см. примечание 31 в работе Лося [5]).

420 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
Для доказательства достаточности определим У как теорию,
основанную на том же языке, что и 0~, с множеством
аксиом зФгу состоящим из всех открытых формул, которые
являются теоремами теории Т. По определению ^'-—открытая
теория и ^(бФ') с: ^(j^), т. е. Т является лингвистически
инвариантным расширением теории Тг. В силу § 22, (7) ^(УУесть
подмножество пространства ^(£TV)- Так как все открытые
теоремы теории ?Г являются теоремами теории Тг, то множество
&(2Г) плотно в &{$Г') в силу второй части 22.9 и того, что
Нт — изоморфизм. Так как &(ЗГ) компактно, то в силу I, 2.3
^(£Г) — замкнутое подмножество пространства !?(Т'). Этим
доказано, что
Пусть а —теорема в Т, т. е. ||| а \\\^ = &>(Т) = &(&~'). В силу
§ 22, (8) тогда имеем |||а \\\^ =&>(&"). Так как ^--открытая
теория и rrij-' = Т (это следует из V = Г), в силу 23.3
гомоморфизм Иг является изоморфизмом. Поэтому Я(7,(||а||^.,)=
= |||а Щ^, = & ({Г") влечет, что|| а \г — единичный элемент алгебры
3107~')> т« е. а —теорема теории W~r. Это доказывает, что
9?(st) с: Ч?(зФ'). Поскольку обратное включение уже
установлено, мы заключаем, что <&(s4>) = (i!?(s&')i т. е. теория Т
эквивалентна открытой теории Тг.
§ 24. Алгебра двузначного предикатного исчисления
Пусть У = {«S7, ^} = {2\ <?7, 0} — предикатное исчисление
с множеством формул F. Буква Е будет обозначать множество
всех элементарных формул исчисления &.
24.1. Q-алгебра 51 (&) является обобщенной свободной
алгеброй в классе всех полных булевых алгебр, а множество всех
элементов || а ||, где а4— элементарная формула, является
системой ее свободных образующих *).
Доказательство аналогично доказательству соответствующей
теоремы VII, 4.1 об алгебре пропозиционального исчисления.
Пусть f — отображение, определенное на множестве всех
|| а || е SI (5^), где а е £, со значениями в полной булевой
алгебре Л. Отображение / индуцирует отображение /0,
определяемое следующим образом:
Ы1а|) = /(11а11) ДЛЯ as£
Напомним, что F обозначает Q-алгебру языка &, а |а|
обозначает элемент алгебры F, определяемый формулой а (см. VI, § 4,
*) Р и г е р [4].

§24] АЛГЕБРА ДВУЗНАЧНОЮ ПРЕДИКАТНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 421
стр. 256). Поскольку F является обобщенной свободной
алгеброй (VI, 4.1), отображение fo может быть продолжено до
гомоморфизма g Q-алгебры F в булеву алгебру А.
Пусть R — такая реализация языка 3? в множестве всех
термов Г и в полной булевой алгебре А, что R является
канонической реализацией термов и для каждого m-местного
предиката р \т = 1,2,...) и любых термов ti,..., тт
В силу VI, 7.3, (8) для каждой формулы у
О) Y*(i) = g(M),
где t — тождественная оценка.
Пусть а и р — такие формулы, что II а || = || р ||, т. е. обе
формулы (а=фр) и (pz^aj являются предикатными
тавтологиями. В силу 6.1 имеем
Отсюда, в силу (1), следует, что
g(|a|)=^(|P|) = (a=^(i)=V
и подобным образом
g(IPl)=»g(|a|) = (p=^a^(t)=V.
Этим доказано, что
II а || = ||р|| влечет g(|a| )= g(|p|).
Поэтому формула
A(Ha|l) = g(|a|) при asF
определяет отображение А: % (У) ->А. Легко убедиться, что
отображение h является Q-гомоморфизмом и, сверх того,
продолжением отображения f.
Мы доказали, что каждое отображение /, определенное на
множестве всех II a || (ае£), со значениями в полной булевой
алгебре А может быть продолжено до гомоморфизма
А: 51 (&) -> А. Поэтому %(9?) является обобщенной свободной
булевой алгеброй в классе всех полных булевых алгебр, а
множество всех || а|| (где a e E) является системой свободных
образующих.
Мы применим теперь основные результаты из §§ 22, 23
к случаю, когда Т = {2, <&, 0}. Как и в общем случае, SP(9>)
будет пространством всех простых Q-фильтров в булевой
алгебре 21 (9?)* Для каждой формулы а символ ||| a ||| и символ
#^(11 a II) обозначают множество всех таких Q-фильтроа
Ve^(^), что Hall eV. Непосредственно цз 23.3 следует;

422 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
24.2. Q-гомоморфизм Н#> является изоморфизмом,
Н# является изоморфизмом алгебры Я(^) на поле Р{9>)
всех множеств ЩаЩ, где а —любая формула. Как и в § 22,
пусть символ Ро(&) обозначает класс всех множеств |||а|||,
где а — открытая формула. В соответствии с § 22 ^(д7) будет
рассматриваться как топологическое пространство с Ро(9>) в
качестве базы. Так как 9> можно рассматривать как открытую
теорию {2\<?7, 0} с пустым множеством аксиом, то из 23.2 мы
заключаем, что пространство &(9>) компактно. Опишем теперь
подробнее топологическую структуру пространства ^(У).
Пусть 2) — канторов дисконтинуум
(2) £>=иЕ,
где множество U состоит из чисел 0 и 1. Другими словами, ЗУ —
множество всех таких и = {и^а^Еу что иа = 0 или 1 для
каждого а е Е (здесь Е, как и раньше, обозначает множество всех
элементарных формул).
24.3. Пространство д*(9>) гомеоморфно канторову
дисконтинууму (2)*).
Напомним, что (см. § 23) W^) обозначает подалгебру
алгебры 31 (£*), состоящую из всех элементов ||а||, где
а.—открытая формула, а ^(Ф) обозначает стоуновское пространство
булевой алгебры %°{9), В силу 23.2 & (^) = 550 (9>). Поэтому
достаточно показать, что &®(ф) гомеоморфно 3).
Пусть 9>о— такое пропозициональное исчисление, что
множество Vo всех пропозициональных переменных в^0и множество Е
имеют одинаковую мощность. Пусть s — взаимно-однозначное
отображение множества V0 на Е. Для каждой формулы 6в%
пусть s8 обозначает результат подстановки 5 в б. По
определению 55 является открытой формулой исчисления б. Так как s
отображает Vq на £, то каждая открытая формула из У имеет
вид 5б с подходящей формулой б в 5V По теореме 6.2 б является
пропозициональной тавтологией в том и только в том случае,
когда 5б является предикатной тавтологией. Заменяя б на (б^
Фбг) и на (62Ф61), получаем, что для любых формул 6i, 62
исчисления &0 из || б41| = || б2 II €= 21 (Уо) следует || s8i || =
= || 5бг II ^ 51°(^) и обратно. Поэтому равенство
A(l|6||) = ||s6||
определяет изоморфизм алгебры 51 (^0) на %°(&). Это позволяет
нам отождествить обе эти булевы алгебры, а поэтому и их
стоуновские пространства 5*(£Р0) и ^°(^)- В силу VII, 4.3 ^(^0)
*) Ригер [4], Расёва и Сикорский [6], Сикорский [13].

§ 25] ТЕОРЕМА О ДЕДУКЦИИ ДЛЯ ОТКРЫТЫХ ТЕОРИЙ 423
гомеоморфно канторову дисконтинууму Uv\ т. е. канторову
дисконтинууму 3) = UB, если aeF0 отождествить с
элементарной формулой sa, a V0 отождествить с Е. Этим доказано,
что iP0^) гомеоморфно Ф.
§ 25. Теорема о дедукции для открытых теорий
Как простое применение топологических исследований в
последних параграфах, мы приведем топологическое
доказательство следующей теоремы о дедукции для открытых теорий:
25.1. Открытая формула р является теоремой открытой теории
9~ = {S7, V, бФ) в том и только в том случае, когда существует
такая конъюнкция а подстановок в аксиомы из s&9 что формула
(а =ф р) является предикатной тавтологией.
Если существует такая формула а, что а является
конъюнкцией подстановок в аксиомы из st и (а =ф р) — предикатная
тавтология, то а — теорема в 9~ (в силу правила (г2)
подстановки вместо свободных индивидных переменных и в силу
VI, 10.8), а значит, р — теорема теории 3~ (по правилу modus
ponens).
Обратно, пусть р — теорема теории 3~. По теореме о
дедукции 10.2 существует такое конечное множество аксиом из s£
(1) at(xu ..., Xmt) (*=1, .... п),
что импликация (ао^Р) является предикатной тавтологией,
где ао — конъюнкция замыканий
Р) ... Р}оф. .... Ц)
формул (1). Отсюда следует, что соответствующие элементы
в алгебре $ (9*) предикатного исчисления У = {«S7,<?7,0}
удовлетворяют неравенству || ао II ^ II Р II. Следовательно, в
пространстве &>(&) имеет место включение ||| а01|| с: ||| р |||, т. е.
(2) П П •• Г) Ш^(т^.., тт/)|||с=|||р|||,
где Q обозначает теоретико-множественное пересечение. Так
как все формулы в (2) открыты, все множества ||| |||
одновременно открыты и замкнуты по определению топологии в ^(У).
Так как множества ||| <ц (ti, ..., tm/) III замкнуты, множество
I PHI открыто и пространство &(9>) компактно, существует
конечный набор множеств в левой части (2) такой, что их пере-

424 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
сечение содержится в множестве ||| р ||| (см. I, § 2, стр. 24).
Другими словами, существует такая конечная конъюнкция а
формул, фигурирующих в левой части включения (2), что
III а ||| с: ||| р |||. Но это включение эквивалентно неравенству
II а II ^ II Р II (см. 24.2). Поэтому импликация (azf>p) является
предикатной тавтологией (см. 1.1, (3)).
Теорема 25.1 может быть также доказана другим способом,
без использования топологических понятий. Например, она
может быть доказана так же, как и аналогичная теорема X, 17.1.
§ 26. Эрбрановы дизъюнкции
В случае пропозиционального исчисления у нас есть простой
способ проверки, является ли данная формула
пропозициональной тавтологией. Это описанный в V, § 5 (см. также VII, § 2)
метод истинностных таблиц. В силу 6.2 этот метод может быть
легко распространен на случай открытых формул предикатного
исчисления 9 = {«S7, %?}. Но в случае произвольных формул
исчисления 9 такого простого метода уже не существует. В этом
параграфе мы установим теорему, утверждающую, что любой
формуле а из 9 можно эффективно сопоставить (с помощью
некоторых простых операций над формулами) такое множество А
открытых формул, что а является тавтологией в том и только
в том случае, когда одна из формул множества А—тавтология.
Так как к открытым формулам применим метод истинностных
таблиц, эту теорему можно рассматривать как способ выяснения
того, является ли данная (не обязательно — открытая)
формула а из 9 предикатной тавтологией. Однако этот способ не имеет
практической ценности, поскольку если a — не открытая
формула, то соответствующее множество А открытых формул
бесконечно (можно всегда считать, что оно счетно). Несмотря на это,
упоминаемая теорема интересна с теоретической точки зрения.
Мы докажем ее в наиболее общей форме, а именно для
произвольных открытых теорий.
В этом параграфе мы рассмотрим фиксированный
формализованный язык 9? первого порядка и фиксированную формулу а
в SB. Без потери общности можно считать, что a—формула
в предваренной форме. Если это не так, то заменим а на какую-
нибудь ее предваренную форму а'. В силу доказательства 16.1
а' можно найти эффективно, посредством некоторых простых
операций над знаками формулы а.
Поэтому мы с этих пор будем считать, что а находится в
предваренной форме
(1) Ufl ■•■ иЛр(*а> §ь 4if •-, **• %)>

§ 26] ЭРБРАНОВЫ ДИЗЪЮНКЦИИ 425
где р (*о,...) — некоторая открытая формула. Мы используем
здесь те же сокращения, что и в § 16, стр. 381, а именно:
, . х0 = (•%> • • • » х0п)>
tt = (hv->hmd> Ч« = (Л«..-.. *Ц.) ДЛЯ *=1, ...,*,
где Xoi, ..., х0п — все свободные индивидные переменные,
встречающиеся в a, a l^ih *to— связанные переменные. Мы будем
использовать также обозначения:
(3) xi=*{xiu ..., xin^
где Xij — любые свободные индивидные переменные, и
(4) ** = fai» •••» Т*т*)>
где Tij — любые термы (i = 1, ...,&).
Обозначим посредством Z0 множество, состоящее из одной
формулы а. При г= 1, ..., k пусть Zr будет множеством всех
формул
(5) U П •■• UPI^*0' Tlf*1' "",tf9*r»5r+i.Пг+i. • -.5*. %)•
В частности, Z& является множеством всех открытых формул
вида
(6) Р(*0> Т„ *lf ..., ТЛ, ДСА).
Пусть Z — объединение множеств Z0, Zi, ..., Z&.
Под эрбрановой дизъюнкцией для а мы будем понимать
любую дизъюнкцию б различных формул
(7) on, ..., Щ>
принадлежащих Z.
Пусть дизъюнкция б формул (7) является эрбрановой
дизъюнкцией для а. Предположим также, что <Xj имеет вид (5) с г>0.
Пусть a'j — формула
(8) (JD UflP(*o> *i> хх т,_„ *г_„ §г, п,, .... 5*>%).
Если с^ не совпадает ни с одной из формул alf ..., a^,
a/+1, ..., ап то дизъюнкция б7 формул
называется прямой наследницей дизъюнкции б. Если a'f
совпадает с одной из формул а{9 ..., а^{9 а/+1, ..., а/, то
дизъюнкция б' формул
aj, ..., a/-!, (fy+1, ..., щ

426 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
также называется прямой наследницей дизъюнкции б. Заметим,
что каждая прямая наследница какой-нибудь эрбрановой
дизъюнкции для а сама является эрбрановой дизъюнкцией для а.
Формула 6' называется наследницей эрбрановой дизъюнкции
б для а, если существует такая последовательность формул бь ...
..., бд, что 6i совпадает с б, 8q совпадает с б7, a 6j+i является
прямой наследницей дизъюнкции 8j для /= 1, ..., q—1. Тогда
6х тоже будет эрбрановой дизъюнкцией для а.
Пусть дизъюнкция б формул (7) является эрбрановой
дизъюнкцией для а. Если существует такое целое число /, что щ
имеет вид (5) при г > О, причем
(а) все индивидные переменные хп, ..., хгп отличны друг
от друга;
(б) все индивидные переменные хги ..., хгп отличны от всех
индивидных переменных х^, где / = 1, ..., п\ и I == О, ..., г— 1
(см. (3)), а также отличны от всех свободных индивидных
переменных, встречающихся во всех формулах oti, ..., осы, <^з+и • ••
..., а; и термах ti, ..., тг, то эрбранова дизъюнкция б
называется сводимой.
26.1. Если у— замкнутая формула, б — сводимая эрбранова
дизъюнкция для а и (yz$8)— тавтология, то существует такая
дизъюнкция б', что б' — прямая наследница дизъюнкции б и
(у :z> &') — тавтология.
Пусть б — дизъюнкция формул (7) и otj удовлетворяет
условиям (а) и (б). Поскольку (yz$S) является тавтологией, мы
имеем в алгебре 91 (У)
llYlKKIIU ... UHil-
Отсюда следует, что
llYlKNiHU ... Ullay-iPUIIaJIIUIIoz+iHU ••• UN/II,
где~a^ есть формула (8). Пусть б7 будет прямой наследницей
дизъюнкции б, описываемой в определении на стр. 425.
Поскольку II у II ^ II б' II, формула (y=> б7) является тавтологией.
Эрбранова дизъюнкция б для а называется наследственно
сводимой, если б и все ее наследницы либо сводимы, либо
совпадают с а.
26.2. Если у — замкнутая формула, б — наследственно
сводимая эрбранова дизъюнкция для а и (yz$>8) — тавтология, то
импликация (у =ф а) также является тавтологией.
В силу 26.1 можно определить по индукции такую
последовательность {8q} эрбрановых дизъюнкций для а, что 6i
совпадает с б, 8q+i является прямой наследницей дизъюнкции 8q и
(у=ф &q) является тавтологией (q = 1,2,...). Если бд не
совпадает с а, то мы всегда можем определить б^+i. С другой стороны,

§ 26] ЭРБРАНОВЫ ДИЗЪЮНКЦИИ 427
каждая последовательность {8д}, где 6g+i является прямой
наследницей дизъюнкции 8д, должна быть конечной. Поэтому
процесс нашего индуктивного определения должен остановиться на
каком-то шаге, например на qo. Тогда б^0 будет совпадать с а,
а поэтому (yz^a) будет тавтологией.
Эрбранова дизъюнкция б для а называется собственной,
если она наследственно сводима и является открытой формулой.
Если б — дизъюнкция формул (7), то второе условие означает,
что все формулы (7) открыты, т. е. они имеют вид (6).
26.3. Если б — собственная эрбранова дизъюнкция для а и
б — замыкание дизъюнкции б, то (б^а)—тавтология.
Теорема 26.3 непосредственно следует из 26.2, где в качестве
у нужно взять замкнутую формулу б.
Напомним, что, для любого множества S, Sm обозначает
прямое произведение SX ••• XS (m раз). Таким образом, в силу
(3) и (4)
Xt&V"* (/ = 0, 1, ..., ft), Xi&T"1* (i=l9 ..., ft),
где V и Г, как обычно, обозначают множество всех свободных
переменных и множество всех термов соответственно.
Символ Si будет обозначать множество всех отображений
Н Тт*Х ... XTmi-»V\
а символ %\ будет обозначать множество всех отображений
Ui Tm*X ... XTmi-+Tnt
(/=1, ..., ft). В силу определения
Пусть
(9) ffe$ (/=1,..., *)
— некоторые фиксированные функции. Под эрбрановой
(fи ..., fa)-дизъюнкцией для а мы будем понимать любую
дизъюнкцию конечного числа различных формул вида
(10) р(*ь, *i, M*i). хъ h(*u T2)> .... **> Ы*1. ...» **))•
По определению каждая эрбранова (/i,.. .,fa) -дизъюнкция для
а является эрбрановой дизъюнкцией для а в смысле,
определенном на стр. 426, ибо все формулы (10) имеют вид (6)*).
26.4. Если а — теорема открытой теории !Г = {3?,V, si), то
для любых данных функций (9) существует эрбранова
(ft, ...» fa) -дизъюнкция для а, являющаяся теоремой теории 3".
*) Это утверждение верно только в том частном случае, когда fi e 3*.—
Прим. перев. и ред.

428 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
Для доказательства 26.4 рассмотрим алгебру %(TQ)
вспомогательной теории {Г* = {i?0, (й70, .я£}, ассоциированной с теорией
&~ в § 15, стр. 377. Предположим, что а является теоремой
теории Т, но что ни одна эрбранова (fu... ,fk) -дизъюнкция для а
не есть теорема теории fT\ а следовательно, не есть теорема
теории Т* (см. § 15, (10)). Это означает, что единичный элемент
алгебры Я(#"°)^не принадлежит идеалу До, порожденному всеми
элементами Ме^(^~°)> гДе Y — какая-нибудь формула (10).
Тогда идеал Д0 будет собственным. В силу I, 8.4 Д0 содержится
в некотором максимальном идеале Д. Пусть h — естественный
гомоморфизм алгебры 91 (£Г°) на двухэлементную булеву алгебру
Л0 = ЭД(^°)/Д и пусть R0—каноническая семантическая
реализация (в множестве всех термов Г), определяемая
гомоморфизмом h (см. § 15, стр. 378). Напомним, что в силу 15.2,' (8)
(И) Y*<°>-A(I*'VI>.
где v'y есть результат подстановки v (т. е. оценки v в Г) в
формулу у. Так как /?°— модель для Т в силу 15.3 и а — теорема в Тл
то формула а общезначима в R0 (см. 2.2). В силу индуктивного
определения отображения а^0 имеем
**•©- U П ••• U П М*о> тр ар ..., г,, а,),
tj e Tml ах а Г*! tft в Tmk ak а Г**
где t — тождественная оценка, <тг = (<тп, ..., <т/л ) e TUi и
р^0(х0, ...)—очевидное сокращение для значения отображения р^0
(записанного в форме VI, § 6, (2)) в надлежащей точке
множества Г X • • • X Т. Поскольку а общезначима в R0, имеем
a/?o(t)=V. Поэтому существует такой терм хи что
п и п •• и п м**»*!*!--
^енГ"! t2€=rW2 o2<=Tn2 tftsrmfe tjer**
•■•■ Tfc. <**) = V.
Отсюда имеем
U П ••• U П М*о« Ti. №)> v a2. • ••
••-.**. **)= V.
Повторяя эту процедуру & раз, мы убедимся, что существуют
такие термы тп, ... ,т&, что
(12) М*с тр /i(Ti)> т2> №> *2)> •••> r*> /*(ri' •••■ T.))=V.
Пусть у — формула р(*0, ti, fi(ti),... ,ть,Mn,.. .,т*)). Мы
имеем Л(|у|) = V, поскольку А(М) равно элементу в левой

§ 26] ЭРБРАНОВЫ ДИЗЪЮНКЦИИ 429
части (12) (в силу (11)). С другой стороны, \у\ ^Дос:Д и
поэтому A(|y|) = Л. Противоречие!*)
В случае, когда Т = V, мы дадим для 26.4 другое, более
короткое, топологическое доказательство**), которое покажет
тесную связ*> с компактностью определенного в § 22 пространства
Пусть ||| HI имеет тот же смысл, что и в §§ 22, 23
(см. стр. 413). Поскольку а —теорема теории Т> имеем |||а||| =
=&(ЗГ). Поэтому
^on= U П U П ip(*6.*i.*b ...,т„**)|ц=
- Г) П U •
... (J inр(«о» Т1» лfa)» •••»**. /л^ь •.., **))hi
в силу законов дистрибутивности для множеств. Отсюда следует,
что для любых фиксированных функций fu ..., h
(13) <?(Г) = (J ... (J Iflfo, tlt /,(*,), ...
• •• . tAt /*(*i> ..., т*))|||.
Поскольку пространство &(&") компактно, в силу 23.2, и
множества в правой части (13) открыты, &(0~) должно быть равно
объединению некоторого конечного набора из них. Другими
словами, существует такая эрбранова (fu . ., fu) -дизъюнкция б для
а, что ^(^)= III 6 I =#^(116у (см. стр. 414). В силу 23.3 Н?
является изоморфизмом. Поэтому || б ||j- будет единичным
элементом алгебры & (&~), т. е. б есть теорема теории Т.
26.5. Если множества V и Т равномощны, то существуют
такие функции
/fe& (i=l ft),
что каждая эрбранова (fu ..., fu)-дизъюнкция для а будет
собственной.
Пусть тп — общая мощность множеств V и Т и пусть ViP
(р = 1,..., т, i = 1,..., ft) — какие-нибудь непересекающиеся
подмножества множества V — (хои ..., x0rto), каждое из которых
*) Это доказательство принадлежит Лосю, Расёвой,
Московскому [1], [2].
**) Это доказательство принадлежит С и к о р с к о м у [6], [12].

430 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИЙ [ГЛ. VIII
имеет мощность ш . Пусть < —такое отношение полного
порядка в V, что упорядоченное с помощью < множество V имеет
наименьший порядковый тип мощности ш. С помощью
трансфинитной индукции мы определим некоторое взаимно-однозначное
отображение
fip: Г*Х:.. XTm*->Vip
со свойством: для всех ti, ..., п свободная индивидная
переменная fip(tu . ••, ti) больше (в смысле упорядочения <), чем все
свободные индивидные переменные,встречающиеся в п, ..., ti59).
Отображения
fi(*u ••> **) = (M*i, ..-, */) finfix хд)
(где i = 1, ..., k) обладают нужными свойствами.
Действительно, fi e Si. Каждая наследница эрбрановой (fiy ...,
fa)-дизъюнкции для а является дизъюнкцией нескольких формул (7),
каждая из которых имеет вид
(И) U П .--UflPta' *i>fi (ti),...
*r+i V+i h 4
..•» rn fr(ru .-•> rr)> 5r+l» 4r+l> •-.» lk> *\k\
Поэтому для завершения доказательства достаточно
продемонстрировать, что каждая дизъюнкция б формул (7) вида (14)
сводима (исключая тот случай, когда б совпадает с а).
Рассмотрим множество всех свободных индивидных переменных,
которые встречаются во всех ti, ..., %н формулы б. Возьмем х —
наибольший элемент этого множества. Среди формул (7), содержа^
щих х в каких-нибудь ti, возьмем ту из них (назовем ее otj),
которая имеет вид (14) с наибольшим возможным г. Пусть
/г \^1» • • • у хг) ==s [Xrl> • • • > xrnr)>
т. е.
Из определения fiP следует, что формула aj и переменные
хг\> •••» хт удовлетворяют условиям (а), (б) (стр. 426).
Поэтому б сводима.
26.6. Если а — теорема в открытой теории 3~, то некоторая
собственная эрбранова дизъюнкция для а также является
теоремой теории Э~.
Рассмотрим сначала случай, когда множество всех термов и
множество всех свободных индивидных переменных счетны.
Пусть (9)—такие функции, что каждая эрбранова (fi, ...,/*)"
дизъюнкция для а будет собственной. Такие функции (9) суще-

§26]
ЭРБРАНОВЫ ДИЗЪЮНКЦИИ
431
ствуют в силу 26.5. Применим к этим функциям fu ... ,fk теорему
26.4. В силу этой теоремы существует эрбранова (ft fk)
-дизъюнкция б, являющаяся теоремой теории i7~. Собственная
эрбранова дизъюнкция б удовлетворяет требованиям теоремы.
Пусть теперь мощности множеств V и Т произвольны. Если
а— теорема в &~, то существует такое конечное множество s£'
открытых аксиом в 0Г, что осе^ДО'). Пусть SB'— такой
формализованный язык, что SB — расширение языка SB\ SB'
содержит все знаки формулы а и всех формул из s£', и множество
всех знаков языка SBf счетно. По определению а будет теоремой
открытой теории &*' = {SB\ *&, s4>'}. Применяя к теории 2Г' уже
доказанную часть 26.6, получаем, что некоторая собственная
эрбранова дизъюнкция б для а будет теоремой в ЗГ\ а значит,
HBf.
Мы сведем основные результаты этого параграфа в виде
следующей теоремы:
26.7. Пусть 3~ — открытая теория. Формула а является
теоремой теории 9~ в том и только в том случае, когда некоторая
собственная эрбранова дизъюнкция для а является теоремой
в Г*).
Действительно, если некоторая собственная эрбранова
дизъюнкция б для а является теоремой теории 9Г9 то ее замыкание б
также будет теоремой теории iT\ В силу 26.3 (бгфа) является
тавтологией, а значит, и теоремой теории £Г\ С помощью modus
ponens получаем, что а — теорема теории &~.
Остающаяся часть 26.7 является непосредственным
следствием 26.6.
26.8. Для того чтобы теория Т — {SB, <&, s&] была
эквивалентна некоторой открытой теории, необходимо и достаточно,
чтобы каждая формула а (в предваренной форме) была
теоремой теории Э~ в том и только в том случае, если некоторая
собственная эрбранова дизъюнкция для а оказывается теоремой в &~.
Легко видеть, что теорема 26.7 справедлива также для
теорий, эквивалентньГх некоторой открытой теории. Это доказывает
необходимость. Для доказательства достаточности сопоставим
каждой теореме а в Э~ такую ее собственную эрбранову
дизъюнкцию ба, которая является теоремой теории ^7". Пусть бФ' —
множество всех таких формул ба. Из 26.3 легко следует, что %Г
эквивалентна открытой теории Т' — {«S7, <<?, $£'}.
Применяя теорему 26.7 к открытой теории {«S7,^, 0}, мы
получаем теорему
26.9. Формула а является предикатной тавтологией в том и
только в том случае, когда некоторая собственная эрбранова
дизъюнкция для а является тавтологией.
*) Э р б р а н [2].

432 КЛАССИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. VIII
Для данной формулы а пусть 3?г — такой подъязык языка
&\ что &г содержит все встречающиеся в а знаки и множество
знаков в &г счетно. Пусть А — множество всех собственных
эрбрановых дизъюнкций для а из языка S7'. По определению
множество А не более чем счетно. Так как а — предикатная
тавтология в том и только в том случае, когда а — теорема
в {«S77,<?7,0}, мы заключаем, что а является предикатной
тавтологией тогда и только тогда, когда одна из открытых формул в А
является предикатной тавтологией. Заметим, что теорема 26.5
может быть доказана эффективно, если рассматриваемый
формализованный язык содержит только счетное множество знаков.
Тогда упоминаемое выше множество А строится эффективно для
каждого фиксированного а60). Это доказывает наши замечания,
сформулированные в начале этого параграфа.

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ЛОГИКИ
ГЛАВА IX
ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ
ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Введение
В V, § 11 мы ввели общее понятие логики как отображения
92, которое каждому формализованному языку 2 нулевого или
первого порядка сопоставляет некоторую операцию
присоединения следствий 92у в 2\ Была введена также общая схема (L)
для определения логик ^: выбирается некоторое множество \
тавтологий некоторого формализованного языка нулевого
порядка; для каждого формализованного языка 2 в качестве
множества логических аксиом в 2 берется множество s&\ всех
подстановок в формулы из (, и Я? <е (S) определяется как
наименьшее множество, содержащее $6\ и S и замкнутое относительно
modus ponens, если 2 — язык нулевого порядка, или же
замкнутое относительно правил V, § 8, (г4) — (г6), если 2 — язык
первого порядка.
В главах VII, VIII мы исследовали тот случай, когда I
состоит из тавтологий (U) — (ti2) из V, § 6 (стр. 198). Было пока-,
зано, что операция присоединения следствий <g7, определенная
таким путем (и называемая классической или двузначной логикой),
удовлетворяет условию (С) из V, § 10, т. е. является правильной
формализацией логических средств, применяемых в интуитивной
математике. С другой стороны, очевидно, что условие (С) в V,
§ 10 однозначно определяет логику ^Р, так что классическая
логика является единственной логикой, удовлетворяющей этому
условию. Таким образом, классическая логика — единственная
логика, используемая в математике.
Однако с чисто теоретической точки зрения можно
подвергнуть изучению также и другие логики, получаемые с помощью
выбора других множеств тавтологий I в общей схеме (L). Если
они отличаются от классической логики, то они называются
неклассическими логиками или же неклассическими операциями
присоединения следствий.

434 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. IX
Исследование неклассических логик может быть полезным и
интересным по методологическим причинам. Если, например,
в качестве t мы берем некоторое собственное подмножество
множества (ti) — (Ъг), то мы получаем некоторую
неклассическую логику <&'. Исследование логики <вг может прояснить роль,
которую играют не включенные в I аксиомы, и т. д.
Причиной исследования неклассических логик может быть
также принятие другой интерпретации смысла
пропозициональных связок U, П, =Ф, — и кванторов U» П и пРинятке ДРУг°й
точки зрения на проблемы истинности и ложности предложений
и т. п.
Хотя математические теории, основанные на неклассических
логиках, не имеют большого значения для математики61),
метатеория некоторых неклассических формализованных теорий
представляет интерес ввиду ее связи с топологией и теорией решеток.
В главах IX и X мы исследуем одну неклассическую логику,
называемую интуиционистской логикой. В главе XI мы обсудим
другие неклассические логики.
Интуиционистская логика была развита как результат
некоторых философских воззрений на основания математики,
известных под именем интуиционизма*). Интуиционистская точка
зрения на смысл основных используемых в математике логических
и теоретико-множественных понятий отличается от точки зрения
большинства математиков.
Основное различие коренится в интерпретации слова
«существует». Пусть, напирмер, <х(х)—пропозициональная функция
в арифметике целых положительных чисел. Для математика
утверждение
(О U «(5)
г
истинно, если оно является теоремой арифметики, т. е. если оно
может быть выведено из аксиом арифметики средствами
классической логики. Если математик доказывает предложение (1), то
это не означает, что он в состоянии дать способ построения
такого положительного целого числа /и, что имеет место а(п).
В противоположность этому для интуициониста утверждение (1)
будет истинным только в том случае, когда он умеет построить
такое число п.
Математик часто получает доказательство экзистенциального
предложения (1), обосновывая сначала предложение
(2) -f)-«(&)•
1
*) Интуиционизм ведет свое происхождение от Л. Э. Я. Б р а у з р а [1].
Изложение основ интуиционизма см., например, у Г е ц т и н г з [3], К л и-
ни и Весли [1].

§ 11
ВВЕДЕНИЕ
435
Затем он использует тавтологию
(3) Г-П-а(Б)^ув(Б».
Применяя modus ponens к (2) и (3), он получает (1). Для ин-
туициониста такой метод рассуждения неприемлем, поскольку
в нем не содержится метода для построения такого числа га,
что имеет место а (га). Поэтому интуиционисты отвергают
истинность тавтологии (3).
Последнее замечание связано также с тем, что интуиционисты
по-другому истолковывают смысл пропозициональных связок.
Импликация (Pz^y) считается истинной, если существует
метод, посредством которого из доказательства для р можно
вывести доказательство для у. В случае импликации (3) не
существует общего метода, который при наличии доказательства
утверждения (2) позволял бы нам получить интуиционистское
доказательство утверждения (1), т. е. построить
соответствующее число га.
По другому понимаются интуиционистами также отрицание
и дизъюнкция. Утверждение —а считается истинным, если
принятие предложения а ведет нас к противоречию62). Благодаря
такому пониманию отрицания и импликации, тавтология
(4) (а=Ф а)
принимается интуиционистами как истинная, но тавтология
(5) ( афа)
не признается.
Интуиционист считает дизъюнкцию (a U Р) истинной, если
истинно хотя бы одно из предложений а, р и существует
способ, позволяющий распознать среди этих двух предложений
истинное. Вследствие такого понимания истинности дизъюнкции
тавтология
(6) (a U-а)
не принимается интуиционистами, поскольку нет общего метода
Ёаспознавания по данному предложению а, истинно а или —а.
[нтуиционисты поэтому отвергают тавтологию tertium поп
datur.
Интуиционистская точка зрения на понятие бесконечного
множества также отличается от точки зрения большинства
математиков. Интуиционисты отвергают идею бесконечного
множества как замкнутого целого. Они смотрят на бесконечное
множество как на нечто, постоянно находящееся в состоянии
образования. Поэтому, например, множество всех положительных
целых чисел не рассматривается ими как замкнутое целое. Оно

436 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. IX
бесконечно в том смысле, что к каждому данному конечному
множеству положительных целых чисел всегда можно добавить
превосходящее их всех целое положительное число. Понятие
множества всех подмножеств множества всех положительных
целых чисел не считается имеющим смысл. Интуиционисты
отвергают общую идею множества и всю современную теорию
множеств 63).
Точное изложение основных идей интуиционизма не может
войти в эту книгу. Но и вообще математикам трудно
адекватно понять идеи интуиционистов64), поскольку уровень точности
в формулировке интуиционистских идей далек от того уровня
точности, к которому привыкли математики в~их повседневной
работе.
Предметом наших исследований будет не сам интуиционизм,
а интуиционистская логика*), являющаяся как бы отражением
интуиционистских идей при их формулировке в
формализованных дедуктивных системах. Точное определение
интуиционистской логики не представляет трудностей. Определение будет
дано в соответствии с общей схемой (L) в V, § 11 так же, как
и в случае классической логики, с той разницей, что множество
принимаемых тавтологий I будет другим, чем для классической
логики.
Конечно, множество принимаемых тавтологий I желательно
выбрать TajaiM способом, чтобы для каждого языка Я?
нулевого или первого порядка соответствующая операция <&i# bj?
обладала следующим свойством:
(I) Множество ^i^(O) совпадает с множеством всех
интуиционистски истинных тавтологий в 3?.
Из предыдущих рассмотрений следует, что множество ^#(0)
является собственным подмножеством множества всех
тавтологий ^#(0), где <$? обозначает классическую логику.
Мы принимаем следующее определение интуиционистской
логики Фь (называемой также интуиционистской операцией
присоединения следствий)-, это — операция присоединения
следствий, определяемая с помощью схемы (L) из V, § 11, где
множество t состоит из всех • тавтологий (ti) — (tn) из V, § 6
(стр. 198).
Единственное различие в определении интуиционистской и
классической логик состоит в том, что опускается тавтология
(ti2), rie являющаяся истинной с интуиционистской точки
зрения (см. (6)),.
По определению для каждого языка & нулевого или первого
порядка множество Mi всех логических аксиом для интуицио-
*) Формализация интуиционистской логики принадлежит А. Г е й т и н-
гу[П, [2].

§ 1]
ВВЕДЕНИЕ
43?
нистской логики *) состоит из всех формул вида
(Т.)
(Т2)
(Та)
(Т4)
(Т.)
(Т.)
(Т7)
(Те)
(Т.)
(Т,о)
(Т„)
((а ^ р) ф (СР 4Y)4(o4 YM
fa Ф (а UP)),
(P^CaUPU
((^vWQ^WfaW^V))).
С(аПР)#аЛ
(ГаПР)=ФРЛ
«Y =# а) ^ ((У =#> Р) =Ф CY ^ Га П РЖ
ССа =#> (р Ц> Y)) =#> (Га П Р) =#> YU
((ГаПР)=^)=>(а=КР=^Ж
(fan-a)=#p),
((аФГаП-а))=#-аЛ
где а, р, у — произвольные формулы языка «S7. Если 2" —
формализованный язык нулевого порядка, то для каждого
множества S формул языка SB множество ^^(S) всех
интуиционистских следствий множества S является наименьшим множеством,
содержащим six и S и замкнутым относительно modus ponens,
Если SB — формализованный язык первого порядка, то для
каждого множества S формул языка SB множество 92\,<e(S) всех
интуиционистских следствий множества S является наименьшим
множеством, содержащим $Ф\ и S и замкнутым относительно
правил вывода V, § 8, (ri) — (г6).
В соответствии с соглашениями V, § 11 (стр. 220) мы будем
обычно опускать индекс se в ®\. Мы всегда будем писать
{2^} вместо {^,^1*},
{^,«\, s4) вместо {2\ V&, st].
Мы будем также писать
<g\(S) вместо ^i^(S),
если рассматривается только один язык SB.
Желая подчеркнуть, что дедуктивные системы {SB, fft} и
теории {SB, *&и «я^} основаны на интуиционистской логике Vit мы
часто будем называть их интуиционистскими дедуктивными
системами и интуиционистскими теориями соответственно.
Определенная таким образом интуиционистская логика V%
обладает свойством (I), но мы не будем здесь это доказывать.
*) Эта система аксиом отличается от первоначальной системы аксиом
Гейтинга, но эквивалентна ей.

438 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. IX
Мы не можем сделать это, ибо мы не определили точно, что
нужно понимать под словами «интуиционистски истинная
тавтология»*). Мы не будем также исследовать проблему
интуиционистской интерпретации пропозициональных связок и
кванторов, потому что точность данной выше интерпретации
недостаточна. И мы вообще не будем исследовать здесь философские
аспекты интуиционистской логики.
Темой глав IX и X будут только математические аспекты
интуиционистской логики. Ее философское происхождение не
играет никакой роли в наших исследованиях. Позднее мы
увидим, что с математической точки зрения метатеория
интуиционистской логики ffi совпадает с теорией псевдобулевых алгебр
в том же смысле, в каком метатеория классической логики
совпадает с теорией булевых алгебр. Из установленной в главе IV
теоремы о представлении следует, что теория псевдобулевых
алгебр есть теория решеток открытых подмножеств
топологических пространств. Поэтому изучение интуиционистской логики
состоит в исследовании решеток открытых подмножеств
топологических пространств. Представляется поразительным, что
некоторые философские идеи привели к формулированию логики,
математическое содержание которой совпадает с теорией
решеток открытых подмножеств топологических пространств! **)
§ 2. Предварительные сведения
В этой главе мы будем иметь дело с некоторым
фиксированным формализованным языком &о={А0, Л)} нулевого
порядка. Алфавит А0 и множество F0 всех формул в j?0 были
описаны в V, § 6. Буква V0 будет всегда обозначать множество
всех пропозициональных переменных а, 6, с, ... в 3?0. В этой
главе под формулой, если не оговорено противное, мы будем
понимать формулу из «2V
В этой главе мы подробно исследуем дедуктивную систему
называемую интуиционистским пропозициональным
исчислением, основанным на языке 2V В соответствии с § 1 символ
^t будет обозначать интуиционистскую операцию
присоединения следствий. Иногда мы будем использовать ,и классическую
операцию присоединения следствий. В соответствии с V, § 11 и
VII, VIII она всегда будет обозначаться посредством V. Ино-
*) См. исследование этой проблемы в работах: Бет [3], [4], Крей-
сел [1], [2], [3], Дайсон и Крейсел [1].
**) Первые результаты относительно связи между интуиционистской
логикой и алгебрами открытых множеств топологических пространств были
установлены Стоуном [4] и Т а р с к и м [8].

§21
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
439
гда мы также будем иметь дело с классическим
пропозициональным исчислением, основанным на языке 3?о. В соответствии
с VII, § 1 оно будет обозначаться посредством 9*о.
Следующие определения являются интуиционистскими
аналогами определений из VII, § I для классического
пропозиционального исчисления.
Конечная последовательность он, • • •, <*п формул
называется формальным выводом формулы а в 9>oi из множества
формул S (или: интуиционистским формальным выводом
формулы а из S), если ап есть а и для каждого / ^ п либо щ есть
одна из логических аксиом (Ti) — (Гц) (§ 1), либо щ —
некоторая формула в S, либо а$ — непосредственное следствие
формул afi ah (/p j2<j) в силу modus ponens. Формула а
называется выводимой в 9*01 из S (или: интуиционистски
выводимой из S), если существует формальный вывод формулы а из
S в 5^oi.
В силу этого определения и определения .®\ из § 1
множество Vi (S) всех интуиционистских следствий множества
формул S является множеством всех формул, выводимых из S
в ^oi.
Формула а называется доказуемой в 9>ъ\, или
интуиционистски доказуемой, если ае^(0). В силу этого определения
имеем:
2.1. Каждая формула, доказуемая в интуиционистском
пропозициональном исчислении ^0i ={i?o, ^i}, доказуема также и
в классическом пропозициональном исчислении 570={с27о, ^}»
основанном на том же языке 3?0 нулевого порядка.
Другими словами:
Каждая интуиционистски доказуемая формула доказуема и
классически.
В этой главе мы иногда будем рассматривать
формализованные интуиционистские теории
г ^{Zo,^, а},
где зФ — некоторое множество формул (множество аксиом
теории 0Г). Формулы из в\ (st) называются теоремами теории ST.
В соответствии с принятыми на стр. 219 соглашениями
формализованная теория {3?о, *&%, 0} с пустым множеством аксиом
будет отождествляться с интуиционистским пропозициональным
исчислением 9>0l =*= {3?0, VJ.
Под теорией, если не оговорено противное, в этой главе
всегда будет пониматься теория нулевого порядка, основанная на
языке 5\).
Пусть 9~ = {i?o, S\, $&} — интуиционистская теория и пусть
{^о, О, Л, =ф, —} —алгебра формул языка j?0. В силу VI, § 10

440 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. IX
отношение «, определяемое следующим образом:
а « р в том и только в том случае,
(1) когда обе формулы (а =ф> Р) и (р =ф а) — теоремы
теории ЗГ,
является конгруэнцией в алгебре {F0t [), П, =ф, —}. Напомним,
что фактор-алгебра F0/& называется алгеброй теории 9~ и
обозначается посредством %($Г). В частности, 91 (^oi)—это
алгебра F0/&, где « —отношение конгруэнтности в {F0i U, П,
z^>, —}, определяемое следующим образом:
. . а » р в том и только в том случае,
W когда обе формулы (a=^p) и (р =т> а) доказуемы в ^о,,.
Из VI, 10.2—10.5, 10.7, 10.10 следует:
2.2. Алгебра %(9~) является псевдобулевой алгеброй. Более
того, для любых формул a, P
l|a||UIIPII = ll(aUP)ll, 1|а||ПИРН = 11(аПР)11,
() 1|а||#||Р1| = ||(а=ФР)||, -||а|| = ||-а||.
Отношение
(4) 1|а|К||р||
имеет место в том и только в том случае, когда (а гф р)
является теоремой в £Г\ Формула а будет теоремой в ЯГ в том и
только в том случае, когда ||а|| есть единица V в 51 (2Г).
Формула а неопровержима в 9" в том и только в том случае, когда
|| а || ф Л. Теория Э~ непротиворечива в том и только в том
случае, когда псевдобулева алгебра % {{Г) не является
вырожденной.
Пусть {A, U, П, =ф, —} — универсальная алгебра с тремя
бинарными операциями U, Л, =ф и одной унарной операцией —.
Как мы объяснили в VI, § 2, каждая формула а в F0
однозначно определяет отображение
(5) аА: Av*-+A.
Каждый элемент y = WaeVo прямого произведения Av\ т. е.
каждое отображение
(6) v: V0-+Ay
называется оценкой в А. В этой главе мы будем считать, что
{A, U, П, =^, —} является невырожденной псевдобулевой
алгеброй.

§ 2} ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЙ 44t
В частности, в качестве А мы иногда будем брать алгебру
% (Т) формализованной теории Т = {2?^ *&* &}• Тогда оценка
(7) *° = {NIIWo
в % (&~) называется канонической оценкой для ^7". Следующая
теорема является частным случаем теоремы VI, 2.6:
2.3. Если v° — каноническая оценка для Э~> то для каждой
формулы а
(8) %(^°) = Ца||.
Оценка v e AVo называется моделью для множества формул
зФ, если
aA{v)—V для каждой формулы aEi,
В частности (s& состоит из одной формулы), оценка v
называется моделью для формулы а, если a,A(v)=*\^. Оценка-а
называется моделью для теории Т = {i?o, ®\, ^}, если v является
моделью для множества Ж аксиом теории 9~ш Каждая модель
в двухэлементной булевой алгебре называется семантической.
Формула а называется общезначимой в псевдобулевой
алгебре А, если каждая оценка v e AVo является моделью для
а, т. е. если отображение аА тождественно равно единице V
в А. Мы пишем тогда
(9) ** —V.
Формула а называется интуиционистски общезначимой *) или
интуиционистской пропозициональной тавтологией, если она
общезначима в любой псевдобулевой алгебре.
Поскольку двухэлементная булева алгебра также является
псевдобулевой алгеброй, из последнего определения
непосредственно следует:
2.4. Каждая интуиционистская тавтология является
тавтологией в смысле V, § 6.
Следующая теорема представляет собой интуиционистский
аналог для VII, 1.3:
2.5. Каждая интуиционистски доказуемая формула является
интуиционистской тавтологией.
Убедимся сначала, что все логические аксиомы (Ti) — (Тц)
интуиционистски общезначимы. Обозначим для краткости
*) Другую интерпретацию общезначимости см. у Бета [3]. Имеется
также подход к этому вопросу, связанный с принадлежащим Клини
понятием реализуемости. См. Роуз [1]. . .

442 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. IX
Тогда
((а =# р; яф <ТР # у) =К<х =Ф Y^ (о) - (а =ф ») =>
#((Hc)4(a#c))=V
в силу I, 12.2, (21) и (4). Поэтому (Т^ интуиционистски
общезначима. (Т2) также интуиционистски общезначима, поскольку
ro-»faup;Ai(°)-ei»(eu»)-v
в силу I, 12.2, (4). Аналогичным образом убеждаемся, что (Т3),
(Тб), (Т6) интуиционистски общезначимы. (Т4) также
интуиционистски общезначима, поскольку
((а # у) =Ф Щ$ # Y) # tfa U Р^ у)))А (v) =
= (а#с)*Ф((6=фс)Ф(аи *#*)) =
=((а # с) П (& =#> с)) =Ф ((a U Ь) =#> с))—((« U *)=#>*) =# ((aJJ 6)#c)=V
в силу I, 12.2, (18), (17), (6). (Т7) интуиционистски общезначима,
поскольку
= (c#a)^((c#6)#(c#(an*))) =
~((с ^а)ПИ *» #(*#<« П »))—(* =»<а П *)) =#> (с Ф (а П Ь))=V
в силу I, 12.2, (18), (16), (6). Интуиционистская
общезначимость (Т8) и (Т9) аналогично следует из I, 12.2, (18), (6). (Т10)
интуиционистски общезначима, поскольку
((an-a)=$$)A{v) = (an-a)^b= A=#>*=V
в силу I, § 12, (27), (4). (Ти) интуиционистски общезначима,
поскольку
((а=$(аО-а))^-а)А(и) = (а=$(аП-а))тф-а =
= (а=#Л)=ф — а = — а=ф — a=v
в силу I, § 12, (27), (2), (6)
Множество всех интуиционистски общезначимых формул
замкнуто относительно modus ponens, ибо если aA(v) = V и(а#
=#РЛ|(0)— V, то рд(а)= V- Действительно,, мы имеем в этом
случае
$A(v)=V^A(v) = aA(v)^$A{v) = (a^VA(v)=V
в силу I, 12.2, (8).
Этим доказано, что множество всех интуиционистски
общезначимых формул содержит все интуиционистски доказуемые
формулы.

§31
ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ
443
Теорема, обратная к 2.5, будет доказана в § 3.
2.6. Интуиционистское пропозициональное исчисление S?oi
непротиворечиво.
Теорема 2.6 может быть выведена из 2.5 тем же способом,
каким теорема VII, 1.4 была выведена из аналогичного
утверждения VII, 1.3. Теорему 2.6 можно также получить
непосредственно из VII, 1.4. В самом деле, рассмотрим классическое
пропозициональное исчисление Уо = {5*о, ^}, основанное на
том же самом языке && В силу 2.1 9\ (0) с: <g? (0). Вследствие
VII, 1.4 <g>(0)=^/V Поэтому <g\(0)^F<b т. e. S?0l
непротиворечива.
Следующая теорема является аналогом теоремы V, 6.2 для
классических пропозициональных исчислений:
2.7. Если а-т-интуиционистская тавтология us —
подстановка языка 3?о в izPo, то формула sa (т. е. результат
подстановки s в а) также является интуиционистской тавтологией.
Действительно, для каждой оценки v в любой
псевдобулевой алгебре А в силу VI, 2.5 имеем
saA(v) = aA(sAv)= V,
где sA v — оценка, индуцированная подстановкой s (см. VI, § 2,
стр. 249).
§ 3. Теорема о полноте
Теорема 2.5 устанавливает, что каждая интуиционистски
доказуемая формула является интуиционистской тавтологией.
Справедливо также и обратное утверждение. В самом деле, мы
можем доказать следующую теорему, называемую теоремой
о полноте для интуиционистских пропозициональных
исчислений, поскольку она аналогична теореме о полноте VII, 2.1 для
классических пропозициональных исчислений:
3.1. Формула языка j?0 является интуиционистской
тавтологией в том и только в том случае, когда она доказуема в
интуиционистском пропозициональном исчислении &щ =={«27о, ^i}.
Теорема 3.1 является частью следующей теоремы:
3.2 *). Для каждой формулы а, в 2?0 следующие условия
эквивалентны:
(i) а доказуема в 9*оь;
(ii) а интуиционистски общезначима;
(ш) а общезначима в каждой псевдобулевой алгебре
открытых подмножеств топологического пространства Х\
*) Тарский [8], Мак-Кинси и Тарский [2], [3]. См. также
Риге р [1] (частичные результаты) и Стоун [4].

444 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. IX
(iv) (% ,#> v (v°) = V, где v° — каноническая оценка для 9V,
(v) а общезначима в каждой конечной псевдобулевой ал-
гебре\
(vi) а общезначима в каждой псевдобулевой алгебре с
самое большее 22 элементами, где г — число всех подформул
формулы а;
(vii) а общезначима в псевдобулевой алгебре всех
открытых подмножеств какого-нибудь плотного в себе метрического
пространства.
В силу 2.5 условие (i) влечет (ii). (ii) очевидным образом
влечет (iii). Поскольку каждая псевдобулева алгебра (в
частности, алгебра 910?oi)) изоморфна подалгебре алгебры всех
открытых множеств некоторого топологического пространства
(см. IV, 9.2), то условие (iii) влечет (iv). Мы докажем теперь,
что (iv) влечет (i). Предположим, что формула а не доказуема
в PV В силу 2.2 элемент ||аЦ в % (^oi) не является единичным.
Отсюда, вследстйие 2.3, а>л.^ Ли°)Ф V. Итак, мы установили
эквивалентность условий (i) — (iv).
Очевидно, (ii) влечет (v) и (v) влечет (vi). Мы докажем,
что (vi) влечет (iv). Предположим, что для формулы а не
выполняется (iv), т.е., в силу 2.3, с^/^ ч(г>°) = ||а||Ф V. Пусть а
содержит г подформул. Пусть Л0 —- множество всех таких ||р||,
что р — подформула формулы а. Из IV, 9.3 следует, что
существует такая конечная псевдобулева алгебра Л, что А
содержит не более 22 элементов, V еЛ, Л0 cr Л и операции в А
являются расширениями операций в Ло = A)U(V), т. е. для
любых ПРИ, Hvll, !1б||еЛ$: '
(а) если ||р|| является объединением \\у\\, ||б|| в 91 (^oi), то
[|р|| будет также объединением \\у\\ и ||б|| в Л;
(б) если ||р|| — пересечение ||у|| и Цб|| в 91 (9>(л), то ||р|| —
пересечение \\у\\ и ||бII в Л;
(в) если ||р|| — псевдодополнение для HyII относительно ||б!1
в 9l(^oi), то ||р|| — псевдодополнение для ||у11 относительно ||б|]
в Л;
(г) если НрН — псевдодополнение для HyII в 91(^oi), то
ПРИ —также псевдодополнение для ||у|| в А.
Пусть v — следующая оценка языка S?q в Л:
( v^ = || а || для каждой пропозициональной переменной а в а,
va — \ V для каждой пропозициональной переменной а,
| не встречающейся в а.
Заметим, что для любой пропозициональной переменной а,
которая встречается в a, va будет элементом множества Л0. Мы

§ 3] ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ 445
докажем, что для любой подформулы р формулы а
(1) рд (о) = || piles Л£.
Доказательство ведется индукцией по длине формулы р. Если
р — пропозициональная переменная, встречающаяся в а, то (1)
следует из определения оценки v. Предположим, что р есть
дизъюнкция (y^J б.) (конъюнкция (уОЬ), импликация (yz^6),
отрицание —у) и
(2) Уд(о) = 1М|еД£, 6д(0) = ||6||е=Л£.
Тогда, в силу (2), (а) ((б), (в), (г)) и 2.2, (3), имеем
(vl)b)A(v) =Y>)U64(f) = ||YllUH6|| = |ieYU6;i|eA;,
((ynb)A(v) = yA(v)[\6A(v) = \\y\mn\\ = \\(y(\b)\\^A'0,
(y^b)A{v) = yA{v)^bA(v) = \\y\\^\\b\\ = \\(y^6)\\<=A'0,
(~y)A(v) — (Y, <*))--II Ylle^.
Поэтому во всех случаях равенство (1) выполняется для р.
В частности, имеем
аА&) = \\а\\Ф V,
т. е. (vi) не имеет места для а. Значит, условие (vi) влечет
(iv). Следовательно, условия (i) — (vi) эквивалентны.
Заметим, что (iii) влечет (vii). Для завершения
доказательства 3.2 достаточно продемонстрировать, что (vii) влечет (v).
Предположим, что
(3) aA(v)=£V
для некоторой оценки v в конечной псевдобулевой алгебре А.
Пусть ХфЬ — некоторое плотное в себе метрическое
пространство. В силу IV, 4.1 существуют некоторое плотное открытое
множество G cz X и изоморфизм Ао алгебры А в алгебру ©(G)
всех открытых подмножеств множества G. Из VI, 2.4 и (3)
следует, что
(4) а© (о {h0v) = А0ад (v) Ф G,
где оценка h0v: V0-*®(G) является композицией v: V0-+A и
h0: A-+®(G).
С другой стороны, в силу IV, 8.2 отображение
h(A) = A[)G (Л<=@(Х))
является гомоморфизмом псевдобулевой алгебры ®(Х) всех
открытых подмножеств множества X на ©(G). Для каждой

446 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. IX
пропозициональной переменной asl/o пусть Аа будет такое
открытое подмножество множества X, что
h{Aa) = ho(va).
Тогда v' = Я)аеКо является оценкой в ®(Х) и оценка hv'
(т. е. композиция v'\ V0->®(X) и h: ©(£)->©(G)) совпадает
с оценкой hQv. Поэтому в силу (4) и VI, 2.4 мы получаем
h (a© (x) (v')) = а© ((3) (ftt>') = a© <0) (ft0t>) ^ G.
Значит, a©(*> (у')ФХ% т.е. a не общезначима в ®{Х). Этим
завершается доказательство 3.2.
Из эквивалентности условий (i) и (vi) непосредственно еле-,
дует, что для распознавания доказуемости формулы а в ^oi
достаточно вычислить аА (v) во всех конечны* псевдобулевых
алгебрах А с мощностью, не превосходящей 22 , где г — число
всех подформул формулы а. Поэтому у нас есть общая
разрешающая процедура для определения того, доказуема лиг
формула а в i^oi*). Действительно, этот способ состоит в
проверке того, будет ли аА (v) тождественно равно V в каждой
псевдобулевой алгебре А с мощностью <22Г. Если a —
формула, построенная из п пропозициональных переменных ад, ...
..., йп, а А состоит из т элементов, то мы должны вычислить
значение ал (а) = ал (y<v • • •» van) B тП точках.
В силу 3.1 словосочетания «интуиционистская тавтология» и
«формула, доказуемая в ^0i» имеют один и тот же смысл:
Практически мы почти всегда будем использовать первое из них.
§ 4. Примеры интуиционистских пропозициональных
тавтологий
Чтобы проиллюстрировать, какие тавтологии являются
интуиционистскими тавтологиями, докажем следующую теорему.
Нумерация тавтологий такая же, как в VII, 3.1.
4.1. Для любых формул a, р, y следующие формулы
являются интуиционистскими тавтологиями:
(Т0) (а#а),
(Т13) (аФСРФа)),
(Т14) (аФГр=НаГШи
(Т15) ((а =Ф (р =Ф у)) =Ф (Р =# (а =Ф у)))9
(Т16) ((а =Ф (Р =Ф Y)) # ((а # Р) # (а # Y))),
*) Яськовский [1]. Это следует также из результатов Г е н ц е н а [1].
См. также Вайсберг [1], Мак-Кинси и Тарский [2], Ригер [1],
Пильчак [1], [2].

§ 41 ПРИМЕРЫ ИНТУИЦИОНИСТСК. ПРОПОЗИЦИОНАЛЬН. ТАВТОЛОГИИ 447
(Т,7) (<х# а),
(Т19) ~(а[\-а),
(Т21) ((-*\)&=¥(о*¥Ю).
(Та) (-(aliP)=H-an-PU
(Т23) CC-ofl-P)#-(oUP)),
(Т25) (Т-а1)-р)=#-(аПРД
(Т26) (Га#р)=#>(-р#-аи
(Т27) ((а=#-рМ(-рф-а)),
(Tes) (-• а#-аЛ
(Tee) (-«=#> а),
(Т67) f--f«4P)4(a4-- Р)),
(Тй) ((y^<t)=¥((y=¥(a^fl))^(\^)))-
Мы ограничимся указанием номеров тех утверждений из I,
§ 12, из которых следует интуиционистская общезначимость этих
формул (точное доказательство аналогично первой части
доказательства 2.5): (То) (6); (Т13) (13); (Т14) (22); (Т15) (18);
(Т16) (23); (Т17) (29); (Т19) (28); (Т21) (33); (Т22) (31); (Т23)
(31); (Tss) (32); (Т26) (34); (Т27) (35); (Т65) (30); (Т66) (30);
(Тв7) (37); (Т68) (19).
Дополним теорему 4.1 следующим замечанием:
4.2. Следующие тавтологии-не являются'интуиционистскими
тавтологиями:
(t12) (с U-аЛ
(tie) С а=$а),
(W ((а^Ь)=$(-а[)Ь)),
(t24) (~(а(\Ь)^(-а[)-Ь)),
(W ((-а + Ь)**(-Ь*Фа)),
(U ((-а^-Ь)^(Ь^а)),
(tso) (f(fl#*)#fl)#4
где а, Ь — различные пропозициональные переменные.
Все эти формулы являются пропозициональными
тавтологиями в силу VII, 3,1.
Для доказательства того, что некоторая формула а из
перечисленных в 4.2 не является интуиционистской тавтологией,
достаточно найти такие псевдобулеву алгебру А и оценку v в А,
что аА (v)=£V. В качестве алгебры А мы возьмем здесь
алгебру открытых множеств действительной прямой. Формула a

448 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. IX
содержит либо одну пропозициональную переменную а, либо
две пропозициональные переменные а и Ь. Поэтому аА (v)
зависит только от значения va или от значений va и vb
отображения v: Vq—>А соответственно. Поэтому достаточно определить
va или va и vb. Мы приведем ниже такие значения va и vbi что
o,A(v)=f^V. Несложные выкладки предоставляются читателю.
Пусть для краткости А обозначает бесконечный открытый
интервал (0, оо), В обозначает бесконечный открытый интервал
(—оо, 0) и С обозначает множество всех вещественных чисел:
(tI2): va = A;
(t18): va = AVB;
(t2o)-' va = A9 vb = A\
(t24): va = A, vb = B;
(t28): va = A\)B, vb = 0;
(t29): va = A{lB, vb = C\
(t3o): va = A[)B, t;, = 065).
В силу теоремы о полноте 3.1 все приведенные в 4.1
формулы доказуемы в интуиционистском пропозициональном
исчислении высказываний Ф^, т. е. имеют формальные выводы из
аксиом (Ti) — (Тц) посредством modus ponens. Мы не будем здесь
приводить эти формальные выводы. Упомянем только, что
имеется общий метод для нахождения интуиционистских
доказательств интуиционистских тавтологий*). Этот метод
аналогичен методу VII, § 6 для классических исчислений.
В силу 3.1 все приводимые в 4.2 формулы не доказуемы
в ^oi.
§ 5. Связь между тавтологиями и интуиционистскими
тавтологиями
Напомним, что элемент а псевдобулевой алгебры А
называется плотным, если —а = Л или, эквивалентно, если а =
= V (см. IV, §5).
5.1 **). Для любой формулы а следующие условия
эквивалентны:
(i) а — пропозициональная тавтология-,
(ii) для любой псевдобулевой алгебры А элемент ад (v)
плотен при любой оценке v в А;
(iii) в некоторой невырожденной псевдобулевой алгебре А
элемент аА (v) плотен при любой оценке v в А.
*) Ген цен [1], Бет [3].
**) Т a p с к и й [8].

§ 51 ТАВТОЛОГИЙ И ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ТАВТОЛОГИИ 449
(i) влечет (И). В самом деле, предположим, что а —
пропозициональная тавтология, a v —■ оценка в псевдобулевой
алгебре Л. Пусть V — фильтр всех плотных элементов алгебры Л
и пусть h — естественный гомоморфизм алгебры А на фактор-
алгебру Л/V. Поскольку Л/V является булевой алгеброй (см.
IV, 5.8), имеем
cu/v(M= \/д/у-
Отсюда, в силу VI, 2.4,
ha a (v) = cu/v (hv) = V д/v»
т. е. аА (v) e V, что и требовалось доказать.
(и) влечет (ш). Это очевидно.
(Ш) влечет (i). Пусть (iii) имеет место. Пусть V—фильтр
всех плотных элементов алгебры А и пусть h — естественный
гомоморфизм алгебры А на Л/V. Поскольку h является
отображением на, каждая оценка в Л/V имеет вид hv, где v —
некоторая оценка в Л. В силу VI, 2.4
q.aiv {hv) = haA {v) = V д/v,
т. е. а общезначима в булевой алгебре Л/V. Поскольку Л
невырожденная, нулевой элемент алгебры Л не плотен. Таким
образом, V — собственный фильтр, и, следовательно, алгебра
Л/V невырожденная. Так как а общезначима в невырожденной
булевой алгебре, а общезначима и в двухэлементной булевой
алгебре, т. е. а является пропозициональной тавтологией.
5.2. Формула а является пропозициональной тавтологией
в том и только том случае, когда элемент ||а|| е 51 (<?oi) плотен.
Если а — пропозициональная тавтология, то ||а|| плотен
в силу 5.1, (i), (ii), поскольку (см. 2.3)
где v° — каноническая оценка. Обратно, если ||а|| плотен, то
|| а||= ||a|| = V. В силу 3.2 и 2.2 а тогда является
интуиционистской тавтологией, а значит, в силу 2.4, и просто
тавтологией. Отсюда, ввиду VI, 10.9, следует, что a —
пропозициональная тавтология.
5.3. Формула а является пропозициональной тавтологией
в том и только в том случае, когда-.
a—интуиционистская пропозициональная тавтология*).
В силу 5.2 a — пропозициональная тавтология тогда и
только тогда, когда элемент ||a|| ^ 9l(^0i) плотен, т.е. когда
|| a||= ||a|| = V. В силу 2.2 и 3.1 последнее условие вы-
полцяется в том и только в том случае, когда
a—интуиционистская тавтология»
*) Гливенко[1]иТарский [8].

4S0 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. IX
5.4. Формула —а является пропозициональной тавтологией
в том и только в том случае, когда —а является
интуиционистской пропозициональной тавтологией.
Элемент ||—а||= — ||а|| е 5l(^0i) регулярен в силу IV, 6.3.
По IV, 6.6 регулярный элемент ||—а|| плотен в том и только
в том случае, когда ||—a|| = V, т.е. когда —а является
интуиционистской тавтологией (см. 2.2 и 3.1). Это в силу 5.2
влечет 5.4.
5.5. Формула. (ad$—Р) является пропозициональной
тавтологией в том и только в том случае, когда она является
интуиционистской пропозициональной тавтологией.
Доказательство 5.5 аналогично доказательству 5.4.
Элемент \\(ad$ — P)il = lla|| z$ — ||р|| g= 5l(^0i) регулярен в
силу IV, 6.3. Поэтому в силу IV, 6.6 элемент || (a z£>—р)||
плотен в том и только в том случае, когда ||(а=ф—P)II = V, т.е.
если (а гф —Р) — интуиционистская тавтология. По 5.2 это
влечет 5.5.
5.6. Формула а, не содержащая связок, кроме [) и —,
является пропозициональной тавтологией в том и только в том
случае, когда а — интуиционистская пропозициональная
тавтология *).
Доказательство проводится индукцией по длине формулы а.
Если а — пропозициональная переменная, то теорема 5.6
выполняется, поскольку а не будет ни тавтологией, ни
интуиционистской тавтологией. Пусть a — не пропозициональная
переменная. Если а не содержит U и зф, то а должна иметь один из
видов (р П у), —б. В первом случае р и у не содержат U и =ф
и, по предположению индукции, будут тавтологиями в том и
только в том случае, когда они являются интуиционистскими
тавтологиями. С другой.стороны, (0 Л y) является тавтологией
(интуиционистской тавтологией) в том и только в том случае,
когда обе формулы р, у являются тавтологиями
(интуиционистскими тавтологиями) согласно общей теореме VI, 10.8. Таким
образом, (р П у) — тавтология в том и только в том случае,
когда (Р П y) — интуиционистская тавтология. Во втором
случае, т. е. когда а имеет вид —6, формула —6 будет тавтологией
тогда и только тогда, когда она — интуиционистская
тавтология в силу 5.4.
Пусть, для любой формулы а в Я?о, а' —формула,
определяемая следующей индукцией:
1) если a — пропозициональная переменная, то а! есть а;
2) если а —дизъюнкция (Р Uу), то а' есть — (—р' Л —у')',
3) если а — конъюнкция (р Л у), то а! есть (Р' Л у')\
4) если а —импликация (P=£>y)> то «' есть — (Р'Л — у')\
*) Гёдель [4].

§ 5] ТАВТОЛОГИИ И ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ТАВТОЛОГИИ 451
5) если а-—отрицание —р, то а' есть — р'.
Сопоставленная формуле а формула а' обладает
следующими свойствами:
(а) а' не содержит связок V и -ф;
(б) формулы (оифа') и (a'z$ а) являются
пропозициональными тавтологиями.
(а) непосредственно следует из определения формулы а'.
Для доказательства (б) достаточно убедиться в том, что для
каждой оценки v в булевой алгебре А
<»л («О = ад («О-
Несложное доказательство (индукцией по длине формулы а)
предоставляется читателю.
5.7. Формула а является пропозициональной тавтологией
в том и только в том случае, когда формула о! является
интуиционистской тавтологией *).
Если а — пропозициональная тавтология, то а' — также
пропозициональная тавтология в силу (б) и modus ponens. Отсюда,
в силу (а) и 5.6, следует, что а' — интуиционистская
пропозициональная тавтология.
Обратное утверждение непосредственно следует из (б) и 2.4.
Напомним (см. IV, § 6), что для любой псевдобулевой
алгебры А символ 91 (А) обозначает булеву алгебру всех регулярных
элементов в А (т. е. всех таких элементов а е А, что а=
= а). Операции П, ==>, — в булевой алгебре 91(A) —те же,
что ив А Объединение U* в 91(A) определяется тождеством
aU** = --(eU*)--(-afl-6) («, ЬеЩА))9
где U, как обычно, обозначает объединение в А.
Оценка v = {Va}aevo в А называется регулярной, если
va^9t(A) для каждой пропозициональной переменной а, т.е.
если v — оценка в 91 (А).
5.8. Если формула а не содержит связки U > то
для каждой регулярной оценки v в псевдобулевой алгебре А.
Доказательство (индукцией по длине формулы а)
предоставляется читателю.
Для каждой формулы а в S'o пусть а0 — формула,
определяемая следующей индукцией:
Г если a — пропозициональная переменная, то а0 есть а;
2° если а —дизъюнкция ({$ U у), то а0 есть формула
—Г—Р°П—y°J);
*) Гёдель [4].

452 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. IX
3° если а — конъюнкция (р П у), то а0 есть (р° П Y0)»
4° если а — импликация (Р:фу)> т0 а0 есть (р° гф у0) *>
5° если а — отрицание —р, то а0 есть —р°.
Формула а0, сопоставленная формуле а, обладает
следующими свойствами:
(в) а0 не содержит связки (J;
(г) формулы (агфа0) и (а0 :ф а) — пропозициональные
тавтологии.
(в) непосредственно следует из определения.
Доказательство (г) такое же, как и для (б) на стр. 451.
Пусть s — подстановка языка &§ в i?o, определяемая
равенством:
sa= а для любой пропозициональной переменной а.
В соответствии с VI, § 2, стр. 246, для каждой формулы а
символ 5а обозначает результат подстановки s в а. Подстановка s
обладает следующим свойством, которое непосредственно
получается из VI, 2.5 и II, 1.3, (5):
(д) формулы (az^sa) и (sazz^a) являются
пропозициональными тавтологиями.
Для каждой формулы а мы будем посредством а*
обозначать формулу sa°, т. е. результат подстановки 5 в формулу а0.
Разумеется, а* можно также определить индукцией по длине
формулы а аналогично Г—5°. Для этой цели достаточно
заменить в 2°—5° повсюду ° на *, а 1° заменить на
1* если a — пропозициональная переменная, то а* есть
а.
Из (в), (г) и (д) следует, что а* обладает следующими
свойствами:
(е) а* не содержит связки U;
(ж) формулы (а^а*) и (a*z^>a) являются
пропозициональными тавтологиями.
5.9. Формула а является пропозициональной тавтологией в
том и только в том случае, когда формула а* является
интуиционистской пропозициональной тавтологией*).
Пусть а — пропозициональная тавтология. В силу (г) а0 —
также пропозициональная тавтология. Пусть А — псевдобулева
алгебра и пусть v — какая-то оценка в Л. В силу VI, 2.5
aA(v) = saQA(v) = a°A(sAvl
где sAv определено, как в VI, § 2, стр. 249, т. е.
(sAv)a=(sa)A(v)= va для любой пропозициональной
переменной а.
*) К л и н и [3], стр. 437 русского перевода.

§ 6) ТЕОРЕМА ОБ ИНТУИЦИОНИСТСКИ ДОКАЗУЕМЫХ ДИЗЪЮНКЦИЯХ 453
Из последнего тождества следует, что оценка sAv является
регулярной (см. IV, 6.3). Поэтому, в силу 5.8 и (в),
<{sav) = <{a){sav) = V>
поскольку 9? (А) — булева алгебра и а0 — пропозициональная
тавтология. Этим доказано, что
aA(v)=V
для каждой оценки v9 т. е. а* — интуиционистская тавтология.
Обратно, если а* — интуиционистская тавтология, то она
является также тавтологией в силу 2.4. Отсюда, в силу (ж), а
является тавтологией.
§ 6. Теорема об интуиционистски доказуемых дизъюнкциях
В классическом пропозициональном исчислении может
случиться, что дизъюнкция (a U Р) будет тавтологией, но ни а, ни
р не будут тавтологиями (простейший пример дается
тавтологией (aU-a)), В случае интуиционистского
пропозиционального исчисления это не так.
6.1. Дизъюнкция (a U Р) является интуиционистской
тавтологией в том и только в том случае, когда или а, или р —
интуиционистская тавтология *).
Если интуиционистски доказуема одна из формул а, р, то
доказуема и (a U Р) с помощью modus ponens и (Т2) или (Т3)
(эта часть теоремы 6.1, конечно, справедлива и для
классических пропозициональных исчислений).
Пусть теперь (a U Р) — интуиционистская тавтология. В силу
IV, 9.2 существует изоморфизм h алгебры Sl(^oi) в алгебру
®(Х) всех открытых подмножеств некоторого топологического
пространства X. В силу VI, 2.4 имеем для любой формулы а
где v° — каноническая оценка в 2t (^0i) (см. § 2, стр. 441) и
оценка hv° является композицией v°: К0-* 91 (^oi) и A: 5l(#V)->
->©(Х).
В силу III, 5.1 X является открытым подмножеством
некоторого сильно компактного пространства Х0. В силу IV, 8.2
отображение
h0(A) = X[)A при Ле©(10)
*) Эта теорема без доказательства была сформулирована Гёделем [5].
Она следует также из работы Г е н ц е н а [1]. Приводимое доказательство
является несложной модификацией доказательства Мак-Кинси и Тар-
ского [3], [2]. См. также Ригер [1], Клин и [4] и ссылки в Клин и [4].

454 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. IX
является псевдобулевым гомоморфизмом алгебры ®(Х0) на
Для каждой пропозициональной переменной а пусть Ga
будет таким открытым подмножеством множества Х0, что
ho(Ga) = hvl = h(\\a\\).
Оценка v = {Ga}aE.v^ в ®(Х0) удовлетворяет равенству
(2) h0v = hv°.
Поскольку (a (J P) ~ интуиционистская тавтология, имеем
а<М*.) W U WtO = (a U РW*>) = J0.
Ввиду того, что Х0 сильно компактно, по крайней мере один из
членов объединения совпадает с Х0.
Примем, например, что
a®(x«)(v) = X0.
Отсюда с помощью (1) и (2) получаем
К КоО{х)0) = % т (hv°) = %{х) (V) = ArfVo){V) = А°(Хо) = Хш
Так как h — изоморфизм, из последнего тождества выводим,
что
awo(t;0) = v-
Этим в силу 3.2 доказывается, что a — интуиционистская
тавтология.
§ 7. Алгебра интуиционистского пропозиционального
исчисления
Следующая теорема, аналогичная теореме VII, 4.1,
характеризует алгебру SI(^oi) в классе всех псевдобулевых алгебр:
7.1. 5l(^oi) является свободной алгеброй в классе всех
псевдобулевых алгебр, причем множество всех элементов ||а||
(a g V0) является системой свободных образующих*).
Доказательство такое же, как и для VII, 4.1.
Пусть f—произвольное отображение, определенное на
множестве всех элементов ||a|| (ae V0)t со значениями в
псевдобулевой алгебре Л. Отображение f индуцирует отображение
v: Vo-+At а именно, v определяется следующим образом:
va=f\\a\\ для любого а е V0.
Отображение v является оценкой в алгебре А. В силу VI, 2.1 v
может быть продолжено до гомоморфизма vA: F0-+A.
*) См., например, Ригер [1].

4 71 АЛГЕБРА ИНТУИЦИОНИСТСКОГО ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНОГО 455
Пусть а, р — любые такие формулы в F0, что ||а|| = ||р||.
Тогда формулы (оифр) и (Pz^>ot) доказуемы в ^oi. В силу 2.5
они интуиционистски общезначимы. В частности, они
общезначимы в Л. Поэтому для оценки v
«x(*)^P*(°)-(«^PAi(<0-V,
M°)^M°)-tf^<Oji(<0eV.
Значит, ад (t>) = рд (t>) в силу I, 12.2, (5). Поскольку yA{v)*=*
:=VA(y) Для любой формулы у ъ F0 (см. VI, § 2), мы
получаем равенство гм(а) = 0д(р). Поэтому из условия ||а|| = ||р||
следует ил(а) = ад(Р). Этим доказано, что равенство
ft || а || = Уд (а) для любого || а || е 91 (^0i)
однозначно определяет отображение А: 31(^01)->Л.
Отображение h является продолжекием отображения f. Действительно,
имеем
h\\a\\ = VA(a) = f\\a\\ для любого agK0.
Поскольку Уд— гомоморфизм алгебры F0 в Л, то
отображение h — гомоморфизм алгебры 9t(^0i) = fo/^ в Л (см. § 2, (1)).
7.2. Для любых различных пропозициональных переменных
Ы\Ф\\Ь\\.
Это следует из того, что (az=$b) не является интуиционистской
тавтологией (см. аналогичное утверждение VII, 4.2).
Следующая теорема является переформулировкой
теоремы 6.1:
7.3. Единичный фильтр алгебры ^(^oi) прост.
Другими словами (см. I, 8.7):
7.4. Множество всех элементов, отличных от единичного
элемента, является максимальным идеалом в псевдобулевой
алгебре %(9>0l) *).
Рассмотрим теперь, помимо псевдобулевой алгебры 91 (^oi),
булеву алгебру 31 (^0), где 9 о = {&0, *&) — это классическое
пропозициональное исчисление, основанное на языке J?0
исчисления ^oi. В соответствии с более точными обозначениями из
VI, § 10, стр. 283, для произвольной формулы а, НаЦ^ будет
обозначать соответствующий элемент в 91 (^оО, а ||а||^ будет
обозначать соответствующий элемент в 91 (<?0).
Если (а=т>р) и (Р=т>а) доказуемы в £oi> то они также
доказуемы ив^о (см. 2.1). Отсюда следует, что равенство
Н||а|к)=||а||^о
*) См. Ригер [1].

456 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. IX
определяет отображение h алгебры 31 (^оО на 31 (^0). Легко
убедиться, что 4г — псевдобулев гомоморфизм (это
непосредственно следует из 2.2, (3) и из аналогичных тождеств в VII, 1.1»
(3)). По определению отображения A, h (\\ а^ \ является
единичным элементом алгебры 91 (^0) в том и только в том случае,
когда а — тавтология, т. е. в том и только в том случае, когда
|| а ||^ — плотный элемент алгебры % (^ot ) (см. 5.2). ОтсюДа,
в силу I, 13.4, следует:
7.5. Булева алгебра % (9*о) изоморфна алгебре 9l(<?0i)/V, где
V — фильтр всех плотных элементов алгебры % (^0i).
Из 7.5 и IV, 6.7 следует:
7.6. Булева алгебра % (^0) изоморфна булевой алгебре
9J (91 (i?oi)) всех регулярных элементов алгебры 91 (^0i).
§ 8. Непротиворечивость и существование моделей
Этот параграф содержит теоремы о связи между
непротиворечивостью некоторой теории нулевого порядка, основанной на
интуиционистской логике, и существованием моделей (см. § 2)
в псевдобулевых алгебрах.
8.1. Если у— теорема интуиционистской теории Т = {9£^, ф^
s&}, то каждая модель для &~ в любой псевдобулевой алгебре
А является моделью для у.
Пусть v e Av* (где Vo обозначает множество всех
пропозициональных переменных языка SBq) — модель для #" в псердо-
булевой алгебре А. В силу 2.5 каждая логическая аксиома
интуиционистски общезначима; в частности, она общезначима
в А. Значит, v — модель для каждой логической аксиомы.
Кроме того, если v — модель для формулы а и для формулы
(а=^> р), то V — модель и для формулы р. Действительно, если
aA(v)=V и V =(*=¥ftA(v) = aA(v)=$$A(v)9 то У=ал(у)<
<Рл(и), а поэтому Рл(у)= V- Следовательно, множество всех
формул, для которых v — модель, содержит все логические
аксиомы, все формулы из s& и замкнуто относительно modus po*
nens.- Поэтому оно содержит <g?l(*s^), т. е. множество всех теорем
теории Т.
8.2. Если для интуиционистской теории Т' = {S&0s<&lf зФ)
существует модель v е Av* в псевдобулевой алгебре А, то Т
непротиворечива.
Доказательство то же, что и для аналогичной теоремы VII,
7.2. Если обе формулы а и ^-а — теоремы в #", то в силу 8.1
аА (t>) = V и (—а) А (v)=—aA(v)=V Поэтому A =V, a
этого не может быть в невырожденной псевдобулевой
алгебре.

§8]* НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И СУЩЕСТВОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ 457
Модель v е Av* для теории Т = {3?0i 9!?i9 si) называется
адекватной моделью для 9"', если, для каждой формулы а в j?0,
а — теорема в £Г в том и только в том случае, когда v —
модель для а.
8.3. Каждая непротиворечивая интуиционистская теория
!Г = {2?0, Vlf $£) имеет адекватную модель. А именно,
каноническая оценка является адекватной моделью.
В самом деле, если 9" непротиворечива, то в силу 2.2
алгебра %(Т) будет невырожденной псевдобулевой алгеброй.
Пусть у0 —каноническая оценка, т. е. v0a = \\a\\^%(9~) для
аЕУ0, В силу 2.3 имеем <%(<г)(а0)=||а|| для любого aeF0.
Отсюда, в силу 2.2, следует, что
a?r(<r)(a°)= V в том и только в том случае,
когда aG^fi),
Этим доказано, что v° — адекватная модель для Т.
Следующая теорема — аналог теоремы VII, 7.7 относительно
классических теорий нулевого порядка:
8.4. Для каждой интуиционистской теории $~ = {3?0i 9SV s4>}
следующие условия эквивалентны:
(i) T непротиворечива-,
(и) существует модель для &~\
(iii) существует адекватная модель для*&~\
(iv) существует адекватная модель для Т в псевдобулевой
алгебре открытых подмножеств некоторого топологического про-
странства Х\
(v) существует семантическая модель для 9~\
(vi) классическая теория Т^ = {3?0, &> <&} непротиворечива.
В самом деле, (i) влечет (Hi) в силу 8.3. Очевидно, (iii)
влечет (У). Из (ii), в силу 8.2, следует (i). Поэтому (i), (ii), (iii)
эквивалентны. Из IV, 9.2 следует, что (iii) эквивалентно (iv).
Пусть теория ZT непротиворечива. Вследствие 2.2
псевдобулева алгебра %{Т) не является вырожденной. В силу I, 8.6
в 31 (£Г) существует максимальный фильтр V. Пусть А
—естественный гомоморфизм алгебры %ф~) на двухэлементную
булеву алгебру Ло = Я(^)/У (см. I, 13.10 и И, § 4). Оценка
v = hv°9 где v°—каноническая оценка в Ч1(9~)> т е. опенка
v = {h(\\a\\)}a^V(ii является семантической моделью.
Действительно, для любой формулы a
ад0 (у) = Н (л (у°) = А (II«И)
ввиду 2.3 и VI, 2.4. Отсюда в силу 2.2
a^(t;) = A(||a||) = A(Y)=Y

458 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. IX
для каждого aei, т. е. и будет семантической моделью для
Т. Этим доказано, что (i) влечет (v).
По определению любая семантическая модель для i7~ = {i?o,
Vlt s4>) является также семантической моделью для &~0 = {&0,
W, s4]. Поэтому, вследствие VII, 7.2, &~0 непротиворечива, т. е.
(v) влечет (vi). Поскольку каждая теорема в Т будет также
теоремой и в ^Го, мы заключаем, что (vi) влечет (i).
Доказательство 8.4 завершено.
Сформулируем теперь необходимые и достаточные условия
для того, чтобы формула была теоремой теории Т= {i?o, <&„ $4):
8.5. Для любой формулы а в непротиворечивой
интуиционистской теории Т = {2?0, <8V sf] нулевого порядка следующие
условия являются эквивалентными:
(i) a — теорема теории !Г\
(ii) каждая модель для Ф~ будет моделью и для а;
(Ш) каждая модель для ?Г в псевдобулевой алгебре всех
открытых подмножеств любого топологического пространства
является моделью и для а;
(iv) а^)(а°)= V для канонической оценки v°.
Условие (i) влечет (ii) ввиду 8.1. (ii) влечет (ш) очевидным
образом, (iii) влечет (iv) в силу IV, 9.2. Из 8.3 следует, что
(iv) влечет (i).
8.6. Каждое лингвистическое расширение теории Т =
«= {i?o> ®\> <&} несущественно.
Пусть язык i?! — расширение языка 3?0 и ^i={S?i,(??l, s4).
Мы должны доказать, что если формула а в 2?0 не является
теоремой теории 9~, то она не является также теоремой
теории Т\.
По 8.5 существует оценка v: V0->At являющаяся моделью
для 5"", но не моделью для а, т. е. ал&)Ф V. Пусть Vx —
множество всех пропозициональных переменных языка 9?х.
Расширим отображение v: V0->A до отображения v{: VX->A.
Имеем
РдМ^Р»
для каждой формулы р в 3?^ (см. вторую часть VI, 2.3).
Отсюда следует, что vx будет моделью для 0~ь но не для а.
В силу 8.5 а —не теорема теории Тх.
§ 9. Теоремы о дедукции
Так называются две следующие теоремы.
9.1. Формула р является теоремой в интуиционистской теории
g~r = {3?0i <g\, j^ U [a]} в том и только в том случае, когда
формула (a=>ft) — теорема интуиционистской теории Т=\9?^ <&v s4)4

§9]
ТЕОРЕМЫ О ДЕДУКЦИИ
459
Если (а =Фр) —теорема теории Ту то (а=#р) —также
теорема и теории Тг. Так как а— аксиома теории Т*\ то по
правилу modus ponens формула р —теорема теорий £Г'\
При доказательстве остающейся часГи 9.1 мы, как обычно,
посредством Hyll будем обозначать элемент псевдобулевой
алгебры А=Ъ(!Г), определяемый формулой у. Предположим, что
Р — теорема теории &~'. В силу 2.2 мы должны показать, что
||(а=»р;Ц = ||а||=»||р||= V, т. е. что ||а||< ||р||. Это тривиаль-
но, если элемент g=||a|| является нулевым элементом. Поэтому
достаточно рассмотреть случай, когда g Ф Л. Тогда
псевдобулева алгебра Ag (см. IV, § 8) всех элементов sgg не вырождена.
Пусть 0° — каноническая оценка в А=%(&~). Так как
отображение
(1) A(||Y||)=l|a||nilYll
является гомоморфизмом алгебры А на Аё (см. IV, 8.2), то для
каждой формулы у имеем тождество
(2) yAg{hv*) = hyA{v«)
в силу VI, 2.4. Если у —формула из «5$, то yA(v°)=\/, и
поэтому уА (/w°) = A(V) = g = единичному элементу алгебры А0.
к
Если y есть формула а, то подобным образом аА (/до0) —
s
BSas h (§)= ё = единичному элементу алгебры Ag. Поэтому оценка
/до°в Ag будет моделью для теории Т'. Поскольку р —теорема
теории Т', то /до0— модель и для р в силу 8.1, т. е. рл (hv°) = g.
Отсюда, в силу (2), h$A(v0) = g, а значит, в силу (1) и 2.3,
1|а|КРд(а°) = ||р||, что и требовалось доказать.
9.2. Формула р является теоремой в интуиционистской
теории Т= {i?(b в\, зФ) {где яФ—непустое множество формул)
в том и только в том случае, когда существует такая
конъюнкция а конечного числа аксиом из зФ, что импликация (а :ф р)
будет интуиционистской тавтологией.
Пусть р —теорема теории Т, т.е. ft s 9\ (•$£). Тогда
существует такое конечное непустое множество аксиом $ФХ cz s&, что
Pg^^i). Пусть а —конъюнкция всех формул из зФх. В силу
modus ponens и (Т6) имеем ~зФх cz <&>l ([а]). Значит, р е <f?x ([a]),
т. е. р является теоремой теории {i?o> Ф19 [а]}. В силу 9.1 (с
пустым зФ) импликация (а=#р,) будет теоремой в {i?0, Wlt 0}, т. е.
интуиционистской тавтологией.
Обратно, если существует такая конъюнкция а аксиом из зФ,
что (а гф р) — интуиционистская тавтология, то a — теорема
теории Т (см. VI, 10.8) и по правилу modus ponens .{$ тоже
будет теоремой теории У~.

460 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. IX
§ 10. Связь между теориями и фильтрами
В этом параграфе ||а|| всегда будет обозначать элемент
алгебры 31 (^oi), определяемый формулой а.
Для каждого множества формул s£ в интуиционистском
пропозициональном исчислении JP<x = {i?o, #J пусть VW—
множество всех элементов ||а|| в 31 (^оО, где а^зФ, и пусть V^ —
множество всех элементов ||а|| из 31 (^оЛ гДе а —теорема
теории ^~ = {i?0, «g^, $ф}. Последнее определение может быть
сформулировано следующим образом:
(1) || а || е Ч.л в том и только в том случае, когда a — теорема в Т.
Все теоремы этого параграфа являются интуиционистскими
аналогами теорем из VII, § 9.
ЮЛ. VU представляет собою фильтр в псевдобулевой алгебре
21 O^oi), и Vq^ является системой образующих для фильтра V^.
Теория &~ = {Я?ъ,(81, s4>) непротиворечива в том и только
в том случае, когда фильтр V^ — собственный.
По теореме о дедукции 9.2 а будет теоремой теории Т
тогда и только тогда, когда существует такая конъюнкция
,tn пг
f]at формул с^е«я£, что (f|a^#aj является интуиционист-
17» II
(П Щ=$<*>) = V ^31(^01). Другими сло-
i=\ II
вами, а будет теоремой в 3~ тогда и только тогда, когда
существуют такие формулы оц,..., am из зФ, что
m
П II «ПК II«II.
В силу I, 8.1 это доказывает первую часть 10.1.
В силу V, 14.1 теория ?Г непротиворечива в том и только
в том случае, когда существует формула, не являющаяся
теоремой теории ^. Вследствие (1) это эквивалентно утверждению,
что фильтр S/л — собственный.
Напомним, что формула a < называется неопровержимой
в теории 3~ тогда и только тогда, когда —а не будет теоремой
в Т, т. е. когда — IIall^V^.
10.2. Формула а неопровержима в теории Т = {i?o> ®\, <&}
в том и только в том случае, когда теория {i?o, Vit Ж U [a]}
непротиворечива.
Поэтому формула Р не является теоремой теории 3"
в том и только в том случае, когда теория {S?0, Vit s& U [— Р]}
непротиворечива.

§ 10]
СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕОРИЯМИ И ФИЛЬТРАМИ
461
Первая часть следует из 10.1, поскольку фильтр,
порождаемый V0t* и ||осЦ (т.е. V^ и ||а||), будет собственным в том и
только в том случае, когда —||a||^V^ (см/1, 13.9).
Вторая часть следует из первой, если в качестве а взять —р.
10.3. Теория ЗС' = {3?0i<S>lt s&'} будет лингвистически
инвариантным расширением теории 0"' = {2?о» ^i> &) в том и только
в том случае, когда S/л с: V^'.
По определению ^' — лингвистически инвариантное
расширение теории ?Г тогда и только тогда, когда <S>1 {s4>) с: Ф1 (^').
Ввиду (1) это эквивалентно включению V^czV^'.
10.4. Теории ^ = {^0,^1»^} и T' = {Sq, <в„ st'}
эквивалентны в том и только в том случае, когда V^ = V^'.
Это непосредственно следует из определения эквивалентных
теорий и из (1) (или из 10.3).
Мы дополним теорему 10.1 следующим замечанием:
10.5. Для каждого фильтра V в 31 (&0i) существует такая
интуиционистская теория ЗГ = {2?b<ffVi s4), что V = V^. Более
того, для каждой системы V0 образующих для V мы можем
выбрать такую систему аксиом эФ для Т', что V0=VW-
Для каждого элемента eeV0 пусть ае — такая формула,
что 1|аЛ = е, и пусть ^ — множество, состоящее из всех
формул ае, где 6gV0. По определению Vo^ = V0. Следовательно,
V<rf = V в силу первой части 10.1.
Теоремы 10.1, 10.4 и 10.5 констатируют, что имеется
естественное взаимно-однозначное соответствие между фильтрами
в 3l(^oi) и формализованными интуиционистскими теориями,
основанными 'на ^0i, при условии отождествления
эквивалентных теорий.
При доказательстве следующей теоремы мы используем
более точные обозначения,, введенные в VI, § 10, стр. 283: для
произвольной формулы а символ ||a|| = ||a||^ будет обозначать
соответствующий элемент в алгебре 31 (9>0l) интуиционистского
пропозиционального исчисления 9*0l = {3?0, <g\}, а символ Hall^
будет обозначать соответствующий элемент алгебры 31 ($Г)
интуиционистской теории ^" = {^0, ®\, $4).
Если формулы (а=$ Р) и ($z$a) доказуемы в ^0i, то они
также доказуемы и в ZT. Отсюда следует, что равенство
A(ll«l|*0l) = ll«llr
определяет отображение алгебры 3t (<?*0l) на 31 {Т). Легко
убедиться в том, что h — псевдобулев гомоморфизм (это следует
из 2.2, (3)). По определению h и V<* элемент A(||a||^ \ является
единичным элементом алгебры 3t (T) в том и только в том
случае, когда а —теорема теории £Г, т. е. когда || a ||~ ^V^.
** 0t
Отсюда, в силу I, 13.4, следует:

462 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. IX
10.6. Алгебра %(&~) интуиционистской теории Т* основанной
на 9*01, изоморфна фактор-алгебре St(^oi)/V^.
Теорема 10.6 дает способ построения алгебры 31 (Т) исходя
из Я(^).
10.7. Для любой псевдобулевой алгебры А существует такая
интуиционистская теория &~ = {3?0i(&lt s&} нулевого порядка,
что А изоморфна алгебре 31 (^).
Пусть Aq — система образующих для А и пусть ш
—мощность множества А0. Возьмем такой формализованный язык SQ
нулевого порядка, что мощность множества V0 всех
пропозициональных переменных языка i?0 равна тп. Пусть / —
отображение множества V0 на А0. По теоремам 7.1 и 7.2 существует
такой гомоморфизм А: 31 (<?>0l)-* А, что h(\\a\\) — f(а) для
любого aeV0. Поскольку А0 порождает А, гомоморфизм h
отображает 31 (^Qi) на А. В силу I, 13.4 алгебра А изоморфна
Я (^oJA7, где V — фильтр, составленный из всех таких || a || e
e3l(^0t), что A(||a||)= V^ А. По теоремам 10.6 и 10.5
существует такое множество зФ формул языка S^ что алгебра
3l(^0l)/V изоморфна алгебре %{Т\ где T = {S0i <g\, $!>}.
Значит, А изоморфна алгебре 31 (Т).
§11. Максимальные теории
Напомним, что непротиворечивая теория &~ называется
максимальной, если каждое лингвистически инвариантное
непротиворечивое расширение теории %Г эквивалентно теории #~.
Следующая теорема характеризует максимальные
интуиционистские теории:
11.1. Следующие условия эквивалентны для каждой
интуиционистской теории Т = {&ъ, Vv s4) нулевого порядка:
\) &~ является максимальной теорией;
ii) V<# является максимальным фильтром в % (<?oi);
(Ш) для каждой формулы а в «SPo в точности одна из
формул: а и —a — является теоремой в ЗГ\
(iv) 31 (Т) является двухэлементной булевой алгеброй.
(i) эквивалентно (ii). Это следует из естественного
взаимно-однозначного соответствия между фильтрами в 31 (^<н) и
классами эквивалентных теорий (см. § 10, стр. 461) и из
теоремы 10.3.
Условие (ш) означает, что для произвольного элемента ||а||
в 3l(^0i) в точности один из элементов ||а|| и —||а||
принадлежит V^. Поэтому, в силу I, 13.10, (ill) эквивалентно (ii).
(iv) эквивалентно (ii) в силу 10.6 и I, 13.10.
Следующая теорема дает другую характеристику при
помощи моделей:

§12]
ПРОСТЫЕ ТЕОРИИ
463
11.2. Для каждой интуиционистской теории ^~ = {i?0, 9\, s4)
следующие условия эквивалентны:
(i) T максимальна-,
(ii) $Г непротиворечива, и каждая семантическая модель
для $Г адекватна\
(iii) T имеет адекватную семантическую модель.
Пусть Л0 обозначает двухэлементную булеву алгебру.
Предположим, что Т максимальна и v — семантическая
модель для ЗГ. Если а не есть теорема теории ^Г, то в силу 11.1,
(iii) формула —а является теоремой, а значит, (— a)Ao(v) =
= V, т.е. «Ло(у)=Д. Это доказывает, что v адекватна.
Поэтому (i) влечет (ii). Так как (ii) тривиально влечет
(iii) (см. 8.4, (v)), то остается установить, что (iii) влечет (Г).
Пусть v — адекватная семантическая модель для 3~ в Л0. Для
любой формулы а в точности один из элементов аЛо(и),
(—а)Ло(у) равен единичному элементу алгебры Л0. Поскольку
v адекватна, мы получаем, что в точности одна из формул а,
—а будет теоремой в З'.
Поэтому в силу 11.1 3~ максимальна.
11.3. Если v — оценка р двухэлементной булевой алгебре Ло
и s&o — множество всех таких формул ос, что aAo(v)=\/, то
каждая теория Т, эквивалентная теории {&ъ, 9ъ «я£0},
максимальна.
Действительно, v будет тогда адекватной семантической
моделью для 3~.
11.4. Каждая непротиворечивая теория 3' = {2><)y<e>li s4>}
может быть расширена до максимальной теории 3~0 = {3?Qi 9$v s&0}.
Поскольку 3~ непротиворечива, то фильтр V^ в 91 (5^oi) —
собственный (см. 10.1). В силу I, 8.4 фильтр 1Л может быть
расширен до максимального фильтра V в 91 (S^0t)- Пусть s&0 —
любое множество формул такое, что V = V^0 (см. 10.5).
В силу 11.1 теория 3~Q = {3?0i <&lf s4><h максимальна. Она,
вследствие 10.3, является расширением теории 3~'.
Другим доказательством для 11.4 является следующее. Пусть
v — семантическая модель для 3~ и пусть s&o — множество всех
таких формул а, что си0(а) = \Л Теория <Г0 = {«^о, ®\. <&о)
является расширением теории 3~ и максимальна ввиду 11.3.
§ 12. Простые теории
В любой (классической или интуиционистской) теории, если
одна из формул а, Р является теоремой, то дизъюнкция
(а U Р) — также теорема (это легко следует с помощью modus
ponens из (Тг), (Тз)). Обратное утверждение, вообще говоря,
несправедливо: может оказаться, что дизъюнкция (a U р) будет

464 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. IX
теоремой в некоторой (классической или интуиционистской)
теории, но ни а, ни р не будут теоремами. В соответствии с V,
§ 14, стр. 238, непротиворечивая теория 9" называется простой,
если справедливо обратное утверждение, иными словами, если
дизъюнкция (a U Р) оказывается теоремой в Т тогда и только
тогда, когда одна из формул а, р — теорема теории Т.
12.1. Интуиционистская теория <Г = {j?0, в\, $4) нулевого
порядка проста в том и только в том случае, когда фильтр
Чл в % (^01) (см. § 10) прост.
Действительно, У~ проста тогда и только тогда, когда для
произвольных формул а, р
|| а || UIIРII ^V^ в том и только в том случае,
когда либо || а || € Ул, либо || Р || <= V<*
(cmv 2.2 и § 10, (1)), т.е. когда фильтр V^ прост.
Аналогичная теорема была доказана для классических
теорий (VII, 10.5, (i), (ii)).
Поскольку в булевых алгебрах простые фильтры совпадают
с максимальными, классическая теория проста тогда и только
тогда, когда она максимальна (VII, 10.5, (i), (Hi)). В
псевдобулевых алгебрах понятия простых и максимальных фильтров
не совпадают, поэтому существуют простые интуиционистские
теории, не являющиеся максимальными. Простейший пример
дается интуиционистским пропозициональным исчислением ^oi,
рассматриваемым как формализованная теория {j?0, ^i, 0} с
пустым множеством аксиом. Простейший пример непростой
интуиционистской теории дается теорией {2?0t %?„ s&Q}t где s£Q —
множество всех тавтологий (Tj2), т. е. всех тавтологий вида
(a U —а). Действительно, легко видеть, что
®\ («я^о) = ^ (0) = множеству бсех тавтологий,
т. е. интуиционистская теория {3?& <&^ st>0} эквивалентна
классическому исчислению ^0, рассматриваемому как теория
{i?o> ^> 0} с пустым множеством аксиом.
Поскольку каждый максимальный фильтр в псевдобулевой
алгебре прост, из 11.1 и 12.1 мы заключаем, что
12.2. Каждая максимальная интуиционистская теория проста.
Из 12.2 и 11.4 легко следует:
12.3. Каждая непротиворечивая интуиционистская теория
может быть расширена до простой теории.
Мы дадим сейчас некоторую характеристику простых теорий.
Сначала мы введем понятие характеристической оценки для
теории.
Пусть ^r={i?o, *&и $&} — непротиворечивая интуипионист-
СК£Я теория. В силу IV, 9.2 существует изоморфизм h ал-

§ 12] ПРОСТЫЕ ТЕОРИИ 465
гебры Sl(^) в алгебру ®(Х) открытых подмножеств
некоторого топологического пространства X. В силу 2.3 и VI, 2.4 для
каждой формулы а
(1) А(1|а||) = Аод(л(^°) = а@ш(ЛА
где v°—каноническая оценка в 31 (Т) (см. § 2, (7)). По III, 5.1
X является открытым подпространством одноточечной сильной
компактификации Х0 пространства X. В силу сильной
компактности пространства Хо для любых открытых подмножеств
GuG2czX0
(2) если G\ U G2 = X0, то либо G\ = X0t либо G2 = Х0.
Поскольку X — открытое подмножество множества Х0,
отображение
(3) h0(G) = Xf]G или Gg®(I0)
является псевдобулевым гомоморфизмом алгебры ®(Х0) на ®(Х)
(см. IV, 8.2).
Оценка v = {va}ae 7o, определяемая следующим образом:
| Х09 если /*(t>o) = X, т. е. если t>°=||a|| = \/s=%{T\
(4) °в=1Л(^), если A(t>°)^*,
называется характеристической оценкой для Э~. Из (3) и (4)
следует, что
(5) h0v = hv°.
В этих обозначениях имеет место следующая теорема:
12.4. Для каждой формулы а
(6) либо а&{хь) {v) = X0i либо а© ш (v) = h (|| а ||).
Кроме того,
(7) если а® да (v) = Z0f го Л (|| а ||) = X, г. е. || а || = V е «(£Г).
Из VI, 2.4, из (5) и § 2, (8) следует, что А0(авш,(о)) =
= а© (л (VO = % <*> (hv°) = А (ая (*■> (t>°)) = А (|| а||). Отсюда, в
силу (3),
(8) 0|W(*)n*-A(l|a||).
Поскольку а® (Хо) (^) — открытое подмножество множества Х0 и
класс всех открытых подмножеств множества Х0 состоит из Х0
и всех открытых подмножеств множества X, то (8) влечет (6)
и (7).
12.5. Если характеристическая оценка v для Т является
моделью для непротиворечивой интуиционистской теории 2Г,
то ЗГ просто,,

466 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. IX
Пусть (aUP) — теорема теории Т. Поскольку v — модель
для £Г, имеем, в силу 8.1,
а® да (v) U Р© да (v) = (а [) р)@ №) (v) = Х0.
Значит, по крайней мере одно из открытых множеств а© да (t>),
Р©да(^) равно Х0. Пусть, например, а®да(а) = *о- В силу (7)
А(||а||)==Х, т. е. И ос || ===== V *=Ъ{Т). В силу 2.2 а —теорема
теории ЯГ.
Рассмотрим следующее свойство формул а в
интуиционистской теории 2Г:
(р) если а —теорема теории ЯГ, то
(9) a®(Xo)(v) = X0,
где v — характеристическая оценка.
12.6. Множество S всех формул в интуиционистской теории
д~, обладающих свойством (р), удовлетворяет следующим ус-
ловиям:
(а) каждая пропозициональная переменная принадлежит S;
(б) если р, у ^ S, то конъюнкция (р П у)^ 5;
(в) для каждой формулы р отрицание — peS;
(г) если у е S, то для любой формулы р импликация
($z$y)s=S.
(а) непосредственно следует из (4).
Для доказательства (б) предположим, что р и у входят в S
и что конъюнкция (Р П у) —теорема. Тогда р и у — также
теоремы и, в силу (р), р@да(г;) = Х0 = у@(Х.)(^). Отсюда
(Р Л У)% да (*) = Р® да (*) П Y@ да (V) = Х0.
Для доказательства (в) заметим, что если — р является
теоремой, то || — р||=\Д Значит, А (ИР 11) = О- В силу 12.4
Р® да (°> - °- Поэтому (- р)@ ш (v) = Х0.
Для доказательства (г) предположим, что (Р=> у)-~те°рема
и y^S. Для краткости обозначим (р=ф\) через а. Мы должны
доказать (9). В силу 12.4 нужно рассмотреть три случая:
1° Ye(W(*)-*o-
Тогда имеет место (9) (см. I, 12.2, (7)).
Тогда из (7) и 2.2 следует, что р —теорема. В силу modus
ponens у — также теорема. Поскольку y^S, имеем y@ да(у)=^ов
Тогда (9) выполняется в силу уже разобранного случая 1°.
3° P@(W(f) = MIIPI|) и Ye(J(» = ft(llYll),

§ 12]
ПРОСТЫЕ ТЕОРИИ
467
Поскольку а —теорема, имеем HPIKHyII- Отсюда А(||р||)^
<A(||Yll). Это влечет (9).
12.7. Все формулы простой интуиционистской теории
обладают свойством (р).
Мы докажем, что если теория проста, то множество S
(см. 12:6) удовлетворяет также условию:
(д) если р, Vе5» то дизъюнкция (р U у) е S.
В самом деле, предположим, что (Р U у) — теорема и р, у
обладают свойством (р). Поскольку теория проста, то одна из
формул р, у, например р, является теоремой. Так как р
удовлетворяет (р), то имеем р@ {Xq) (v) = X0, откуда следует, что
Ввиду того, что множество S обладает свойствами (а), (б),
(в), (г), (д), оно совпадает с множеством всех формул.
Из 12.5 и 12.7 следует, что
12.8. Непротиворечивая интуиционистская теория 3~ проста
в том и только том случае, когда характеристическая оценка
является моделью для &~ *).
Переселение F* всех множеств S, удовлетворяющих
условиям (а), (б), (в), (г), также удовлетворяет этим условиям.
Это наименьшее множество формул, удовлетворяющих
условиям (а) — (г). Из 12.5 и 12.6 непосредственно следует:
12.9. Если множество s4> аксиом некоторой непротиворечивой
интуиционистской теории Т= {3?0, <8К, зФ) содержится в F*,
то теория $Г проста,
В частности, если ни одна аксиома теории не содержит
знака дизъюнкции, то теория проста.
Теорема 12.9 дает простой метод построения простых теорий.
Если, например, st> состоит из тавтологии (см. (Т3о))
где а, Ь — пропозициональные переменные, то эта теория проста.
Однако если зФ составлена из всех тавтологий
(Ю) (((а^$)фа)фа),
где а, Р — произвольные формулы, то полученная теория не
проста, ибо она эквивалентна классическому
пропозициональному исчислению.
Для доказательства последнего утверждения заметим, что
если бФ состоит из всех формул (10), то множество всех теорем
в ZT = {2?q> ^i» <&) содержится в множестве всех
пропозициональных тавтологий, потому что последнее замкнуто относи-
*) Теоремы 12.4—12.9 аналогичны теоремам, установленным Ра сев ой
[4] для элементарных интуиционистских теорий.

468 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. IX
тельно modus ponensu содержит все аксиомы из зФ и все
логические аксиомы теории Т. С другой стороны, для любых
формул а, р имеем
(1|а||#НРИ)#11а|К||а||
в псевдобулевой алгебре %{Т). Поэтому для ||р||= Л
-||а||#||а|К||о||
и, в силу I, 12.2, (12),
--||а||=-||а||#Л<-||а||#||а|К||а||.
Заменяя здесь а на faU -a), получаем, в силу 5.3,
V = II Г«U -cOIKIIfaU -a) ||.
Поэтому формула (a U —а) для любого а — теорема теории У.
Поскольку все формулы вида (Ti) —r(Ti2) —теоремы теории !ГЩ
то все пропозициональные тавтологии — также теоремы
теории £Г.
12.9 дает достаточное, но не необходимое условие простоты
теории. Если, например, множество аксиом $t> состоит из всех
формул
где a, p, y — произвольные формулы, то теория проста*), но
не удовлетворяет признаку из 12.9. Аналогично, если множество
аксиом зФ состоит из всех формул
где a — произвольная формула, то теория также проста**).
Простота этих теорий доказывается другими методами, чем
методы этого параграфа.
§ 13. Связь между классическими и интуиционистскими
теориями
Пусть si- — любое множество формул в формализованном
языке J?o нулевого порядка. Мы исследуем связь между
интуиционистской теорией
и классической теорией
Го = {3?0, <&, а}
с общими системами аксиом и с общим языком.
*) Крейсел и Путнам[1].
**) Этот результат принадлежит Д. С. Скотт (см. Крейсел и Пут-
нам [1]).

§ 13] КЛАССИЧЕСКИЕ И ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ТЕОРИИ 469
Из определения классической и интуиционистской операций
присоединения следствий немедленно следует:
13.1. Каждая теорема теории Т— {$£§, 9$к, s4] является
также теоремой и в &"§ = {&§, 9?, s4>}\ символически:
(1) Vx(s4)aV(s4).
Мы докажем сейчас следующую фундаментальную теорему:
13.2. Формула а— теорема теории &~0 = {3?0, св, зФ} в том
и только в том случае, когда формула а — теорема теории
Пусть а — теорема теории &~о. По теореме о дедукции VII,
8.2 существует такая конъюнкция р формул из s£t что
импликация (р =ф а) является тавтологией. В силу 5.3 формула
(Р z^> a) — интуиционистская тавтология. Поскольку
( (р =т> а) => (р =#► а)) — также интуиционистская
тавтология (см. 4.1, (Тб7)), с помощью modus ponens доказываем,
что (Р^ф а) является интуиционистской тавтологией. По
теореме о дедукции 9.2 формула а есть теорема теории Т.
Обратно, если а является теоремой теории #", то, в силу
13.1, эта формула является также теоремой теории Ф~^
Поскольку ( а=#>а)—тавтология, то по правилу modus ponens
а будет теоремой теории iTV
13.3. Формула а— теорема теории ^0=={«27о» ^» <&} в том
и только в том случае, когда для каждой модели v теории
&~=*{3?о, Ф^ $$} в любой псевдобулевой алгебре А элемент
ал (v) является плотным в Л.
Пусть а —теорема в Т& В силу 13.2 а будет
теоремой в Т. Поэтому ( a)A{v)=\/ в силу 8.1, т. е.
o.a(v)= V- Этим доказано, что ад (я) плотно в А.
Для доказательства остающейся части 13.3 достаточно взять
в качестве А двухэлементную булеву алгебру и
применить VIL, 7.5.
13.4. Формула а будет теоремой в Tq = {5?q, <ё>, Щ в том
и только в том случае, когда элемент \\а\\^%(&~) является
плотным в алгебре %{&~) теории T = {2?q, Ф19 $4<}.
Если а — теорема в 2Г0, то а будет теоремой в ЗГ
в силу 13.2, т.е. ||а|| = || а|[ = V. Этим доказано,
что ||а|| — плотный элемент в %(Т).
Обратно, если || а || — плотный элемент в 31 {Т), то
|| а 11= V, т. е. а —теорема в ST, В силу 13.2
а является теоремой теории Т§.
13.5. Формула —а является теоремой в &~0 — {3?0, W, $4)
в том и только в том случае, когда она является теоремой
в Т = {3?о> Ъ, ^1
Элемент || —а || = —1| а || е *&(Т) регулярен в силу IV, 6.3.
По IV, 6.6 элемент || —а II будет плотным в %(&~) в том и только

470 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. IX
в том случае, когда || —а || = V, т. е. когда —а будет теоремой
в 0~ (см. 2.2). В силу 13.4 это немедленно влечет 13.5.
13.6. Формула (а=$ — $)— теорема в &~Q = {£?0i V, s4)eroM
и только в том случае, когда она является теоремой
в r={S^ vv ay
Элемент ||(а =ф —р)|| = || а || гф — И р II е Я(^) регулярен
в силу IV, 6.3. Поэтому, ввиду IV, 6.6, элемент ||(а=^>—р)||
плотен в том и только в том случае, когда ||(агф—р)|| = V, т. е.
когда (а =ф —р) —теорема теории Т. Вследствие 13.4 это
влечет 13.6.
Обозначим символом $$>' множество всех формул а, где
13.7. Формула а —теорема в 5r"0 = {«2?o» Vf s4] в том и
только в том случае, когда а является теоремой в Э~' =
Классические теории £Г0 и Tq = {S^ <&, s4>'} эквивалентны
в силу VII, 9.4, поскольку V(ur=V0^, а значит, V^ = V^'
в булевой алгебре 51 (9*0) классического пропозиционального
исчисления 9*0 = {3?0, &}. Поэтому а есть теорема теории #"0
в том и только в том случае, когда а —теорема в #"£• В силу
13.2 а является теоремой теории Т'ъ в том и только в том
случае, когда а будет теоремой теории Т', Этим доказано
13.7.
Для каждой формулы а пусть а* обозначает формулу,
определяемую в § 5, стр. 452. Пусть j$* — множество всех формул а*,
где аеЛ
13.8. Фсрчула а является теоремой в &~0 = {2?0, 92, зФ) в том
и только в том случае, когда формула а* — теорема теории
&-* = {3?0, V„ .*•}**)■
Пусть а — теорема в 3~ъ. По теореме о дедукции VII, 8.2
существует такая конъюнкция р формул из si>, что (р =ф> а)
является тавтологией. Вследствие 5.9 формула (р=фа)* будет
интуиционистской тавтологией. С другой стороны, (р=^> а)* есть (р*1ф
z)a*j, а р* — конъюнкция формул из s&*. По теореме о
дедукции 9.2 формула а* является теоремой теории Т*.
Доказательство обратного утверждения аналогично.
При доказательстве следующей теоремы мы используем
обозначения, введенные в VI, § 10, стр. 283: для каждой
формулы а || a 11^. будет обозначать соответствующий элемент в
псевдобулевой алгебре 21 {Т), а || а Ц^. будет обозначать
соответствующий элемент в булевой алгебре % (^о)- Если (а=Фр) и
(р=ф а)— теоремы в Т = {2?0, <&v ^}, то они также теоремы
*) См. Гливенко [1].
'*) Ср. Клин и [3], стр. 437 русского перевода.

§ 13] КЛАССИЧЕСКИЕ И ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ТЕОРИИ 471
и в ^о = {^о> Я?9 <&} в силу 13.1. Отсюда следует, что
равенство
/г(Цау = ||а||^
определяет отображение алгебры %{&~) на 31 (#"0)« Легко видеть,
что h — псевдобулев гомоморфизм (см. 2.2, (3) и аналогичные
тождества в VII, 1.1, (3)). По определению отображения ft,
h (|| а ||^) является единичным элементом алгебры 21 ({Г0) в том
и только в том х случае, когда а —теорема теории Т^ т. е.
в том и только в том случае, когда || а ||^—-плотный элемент
в %(Т) (см. 13.4). Отсюда, в силу I, 13.4, следует:
13.9. Алгебра 21 (&~0) классической теории &~0 = {3?0, <&, s4>)
изоморфна алгебре 2t (^~)/V, где V — фильтр всех плотных
элементов в алгебре %{Т) интуиционистской теории ^={270, ф19 si).
Из 13.9 и IV, 6.7 следует:
13.10. Булева алгебра % {&~0) изоморфна булевой алгебре
9*(21(<Г)) всех регулярных элементов в % (£Г).
Обозначим символом s£0 множество всех формул (aU—а),
где а — произвольная формула в 2?Q. Из определения
классической и интуиционистской операций присоединения следствий
^ и <g?l непосредственно следует, что
13.11. Формула а является теоремой в классической теории
{3?0, <g\ s4) в том и только в том случае, когда а — теорема
в интуиционистской теории {2£& ®\, «s^U^o)-
Мы закончим этот параграф двумя замечаниями:
13.12. Если теория Т=={i?o> ^i» Ф максимальна, то теория
<Г0 = {2>0, <&, $4) максимальна и Фь (si) = <& (si).
Теория &~о максимальна в том и только в том случае, когда
для любой формулы а в точности одна из формул —а, а
есть теорема теории &~.
.Заметим сначала, что Т непротиворечива в том и только
в том случае, когда непротиворечива {Го в силу 8.4, (i), (vi).
Первая часть 13.12 непосредственно следует из (1) и 13.11.
Вторая часть непосредственно следует из 13.2, 13.5 и VII, 10.1.

ГЛАВА X
ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТЕОРИИ
§ 1. Предварительные сведения
В этой главе мы будем иметь дело с фиксированным
формализованным языком 9? = {Л, Г, F} первого порядка* Алфавит Л,
множество Т всех термов и множество F всех формул в & были
описаны в V, § 3. Буква V будет всегда обозначать множество
всех свободных индивидных переменных х, у, г, ... в SB. В этой
главе под формулой, если не оговорено противное, будет
подразумеваться формула языка &.
Для упрощения рассмотрений мы будем предполагать, что
язык & счетен,
т. е. что множество всех знаков языка & счетно*). Поэтому
множество Т всех термов и множество F всех формул языка &
будут,счетными. Будут счетными и все другие формализованные
языки, рассматриваемые в этой главе.
Мы исследуем теперь дедуктивную систему
*\ = {#.«\},
называемую интуиционистским предикатным исчислением,
основанным на языке i?, и элементарные интуиционистские теории,
основанные на 3?\
Г = {&,&„ а},
где s4> — произвольное множество формул. В соответствии с IX,
§ 1 символ 9ь будет всегда обозначать интуиционистскую
операцию присоединения следствий. Иногда мы будем использовать
*) Многие теоремы из главы X могут быть доказаны без этого
предположения, которое, по-видимому, является существенным только при
использовании теорем IV, 9.3 (последняя часть) и IV, 10.1, т. е. при переходе от
цсе§дрбул.евых алгебр к топологическим пространствам,

§n
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
473
также классическую операцию присоединения следствий. Она
всегда будет обозначаться посредством W в соответствии с
V, § 11, VII и VIII. Иногда мы будем иметь дело также с
классическим предикатным исчислением, основанным на 2. Оно
будет обозначаться посредством 9>.
Следующие определения являются интуиционистскими
аналогами определений из VIII, § 1 для классического предикатного
исчисления:
Конечная последовательность формул ai, ..., aw называется
формальным выводом формулы а в интуиционистском
предикатном исчислении ^t из множества формул S (или:
интуиционистским формальным выводом формулы а из S), если ап есть а и
при каждом / ^ п осесть либо одна из логических аксиом (Ti) —
(Ти) (IX, § 1), либо является одной из формул множества S,
либо является непосредственным следствием некоторых формул
a/t> a/2 (/i» /г</) посредством одного из правил вывода (r/i) —
(г6) из V, § 8. Формула а называется выводимой в £\ из 5
(или: интуиционистски выводимой из S), если существует
формальный вывод формулы а из S в 5\.
В силу этого определения и определения 9\ из IX, § 1
множество Vi (9*) интуиционистских следствий множества формул S
является множеством всех формул, выводимых из S в #V
Из определения интуиционистской и классической операций
присоединения следствий ^и? немедленно следует, что
(1) 9%(SlczV(S)
для каждого множества формул S в SB.
Множество ffiist) играет особую роль для теории <Г' =
=*{9?, &„ s4>}\ формулы из Vx(st) называются теоремами
теории &~*
Напомним, что если множество s4> пусто, то интуиционистская
теория {5?, Vi9 0} отождествляется с интуиционистским
предикатным "исчислением £\= {i?f в\} *). Теоремы в {S, V, 0}
называются интуиционистски доказуемыми формулами или, точнее,
формулами, доказуемыми в £\. По определению формула а
интуиционистски доказуема в том и только в том случае, когда
существует формальное доказательство для а в Л, т. е.
формальный вывод из пустого множества формул.
Если явно не оговорено противное, то под теорией мы
будем понимать на протяжении этой главы какую-нибудь
интуиционистскую формализованную теорию первого порядка
Т = {J?, ^ь, st>\. Напомним (см. VI, § 10, стр. 283), что алгебра
*) Гейтинг [1]. Наша формализация интуиционистского предикатного
исчисления отличается от гейтинговской, но эквивалентна ей.

4?4 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
%(&~) теории Т — это алгебра /7«, где « —конгруэнция в
алгебре формул {F, (J, П, =Ф>, —}, определяемая так:
(С). а « р в том и только в том случае, когда
^' формулы (а => Р) и (р => а) суть теоремы теории 0Г.
В частности, Я(0\)—это алгебра F/«, где «—'следующая
конгруэнция в {F, U, (!,=>,—}:
<с)г\ а ^ Р в том и только в том случае,
'^ * когда формулы (а=ф Р) и (р =ф а) доказуемы в £\.
Из VI, 10.4, 10.5, 10.7, 10.10, 11.2 следует теорема
1.1*). Алгебра {31 (Т), U, П, =#>, —} любой
интуиционистской теории ?Г является псевдобулевой алгеброй. Для любых
формул а, р
1|а||иИР11 = 11(аиРД 1|а||П11РН = 11(аПР)Н,
Ца||=Ф11Р11 = 11(а=#р)||, —1| еж || —1| — <ж ||.
Кроме того,
( IIос|| ^ ПРИ в том и только в том случае,
'4' когда (а => р) — теорема теории Т.
Для каждой формулы а
(5)
|| аII ■= V в том и только в том случае,
когда а— теорема теории Т.
( ||а|| Ф /\ в том и только в том случае,
W когда а неопровержима в &~.
Таким образом, псевдобулева алгебра % ЦТ) будет
невырожденной тогда и только тогда, когда теория 2Г непротиворечива.
Для каждой формулы р(дс)
[Up(&)1=Uiip(t)ii(
(Q) * " теГ
II £ II tef
В соответствии с VI, § 11 мы всегда будем
интерпретировать %{&~) как обобщенную алгебру
(7) {щг), и, п, =#>, —, Ui^ fli**
где (J и П являются бесконечными объединением и
пересечением соответственно. В -качестве общей области определения
для U и П в *(^) возьмем класс всех множеств
(8) {IIPMIIW
*) Р а с ё в а [4]. Ср. также Хенкин [2] и Расёва [2].

§2]
МОДЕЛИ
475
где p(x)—произвольная формула в &. Другими словами,
U и П сУжены в 1(#") до бесконечных объединений и
пересечений (Q), т. е. до бесконечных объединений и пересечений,
соответствующих кванторам. Обобщенная алгебра (7) называется
кванторной алгеброй теории &* или, короче, Q-алгеброй
теории Т.
В соответствии с VI, § 11 под Q-гомоморфизмом алгебры
% (&~) в какую-нибудь псевдобулеву алгебру мы всегда будем
понимать любой псевдобулев гомоморфизм, сохраняющий все
бесконечные объединения и пересечения (Q).
Каждое множество формул зФ в i? определяет две теории:
интуиционистскую теорию {&, 9\, si) и классическую теорию
{&, <8, Щ. Из (1) следует, что f\(.$tf) с: #(,#), т. е. каждая
теорема в {&, *&и Щ является также теоремой и в {5\ <&, $£}.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т. е. эти две
теории не обязаны быть эквивалентными.
С другой стороны, каждую классическую теорию {i?, V, stf]
можно истолковать как интуиционистскую теорию. Точнее,
каждая классическая теория {<2\ <&, s4>) эквивалентна некоторой
теории {2\ f\, s&'}, т. е. существует такое множество si'
формул в S7, что V (s&) = ®\ (^')- В самом деле, из определения
операций присоединения следствий V и <8К непосредственно
следует, что в качестве з4>' достаточно взять объединение
Ж' = зФ U s£0i
где s&o — множество всех формул (Ti2), т. е. всех формул вида
(a U —а) (а — произвольная формула в 3?).
§ 2. Модели
Напоминаем читателю, что под реализацией
формализованного языка & = {А, Г, F} первого порядка в множестве / Ф О и
в полной алгебре {A, U • Г), =Ф, —, \J, [)} мы понимаем (см.
VI, § 6) любое отображение R, определенное на множестве всех
функторов языка & и на множестве всех предикатов языка й7,
для которого выполняются следующие условия:
(а) R сопоставляет каждому m-местному функтору ср в j?
m-местную функцию фд в /, т.е. отображение фд: /т-*/;
(б) R сопоставляет каждому m-местному предикату р в &
m-местную функцию рд, определенную на'/, со значениями в А,
т. е. отображение рд: /т-*А.
Как мы объяснили в VI, § 6, для данной реализации R языка
SB в / и А каждая формула авй7 однозначно определяет
отображение .
(1) aR: JV-*A,

476 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
где V — множество всех свободных индивидных переменых в 2?.
Значение отображения aR в точке v = {vx}xeEV прямого
произведения Jv обозначается посредством ая(г>).
Если для данного отображения /?, определенного на
множестве всех функторов и всех предикатов в & и удовлетворяющего
условиям (а), (б), где А— неполная обобщенная алгебра, все
бесконечные операции, встречающиеся в определении
отображения ад (у), для любого а в & и для любого t)E/v выполнимы
в А, то R также называется реализацией языка & в / и А (см.
VI, § 7).
В этой главе мы будем всегда предполагать, что {A, (J, П,
=#>, —, (J, Г№ является невырожденной псевдобулевой алгеброй
и (J, Q являются бесконечными объединением и
пересечением *).
Заметим, что, ввиду IV, 9.1, для каждой псевдобулевой
алгебры А существуют полная псевдобулева алгебра А* и изоморфизм
алгебры А в А*, сохраняющий все бесконечные объединения и
пересечения в А. Другими словами, А может быть расширена до
полной псевдобулевой алгебры А* с сохранением всех
бесконечных объединений и пересечений. Поэтому любую реализацию R
в/#0ив неполной псевдобулевой алгебре А можно
рассматривать как реализацию в / и в некоторой полной псевдобулевой
алгебре А*, которая будет полным расширением алгебры А,
сохраняющим все бесконечные объединения и пересечения в А.
Однако если значения ад(v) всегда принадлежат А и для
вычисления an(v) используются только бесконечные операции в А, то
нет оснований вводить алгебру А*, расширение алгебры А;
естественнее тогда рассматривать R как реализацию в А.
Пусть & — фиксированный формализованный язык и пусть
R — фиксированная реализация языка 3? в множестве /^=0 и
в псевдобулевой алгебре А. Произвольный элемент v—{vx}x(=v e
е Jvy т. е. произвольное отображение v: V—>/, называется
оценкой языка 3? в /. Иногда мы также будем говорить, что v
является оценкой языка 2? в /?, поскольку R определяет
множество /.
Говорят, что оценка v: V-+J выполняет формулу а в
реализации /?, если
(2) aR(v)=V.
Формула а называется выполнимой в R, если существует оценка
v в /?, выполняющая а, т.е. оценка, для которой имеет место (2).
*) Идея интерпретировать формулу а интуиционистского предикатного
исчисления как отображение aft, где R — реализация в некотором непустом
множестве /ив полной псевдобулевой алгебре, принадлежит Мостов-
с к о м у [4]. См. также Расёва [2] и Хенкин [2].

§21
МОДЕЛИ
477
Формула а называется общезначимой в R, если каждая оценка
в R выполняет а, т. е. если (2) имеет место для любой оценки v
в R. В этом случае мы будем говорить, что R — модель для а.
Заметим, что для замкнутой формулы а понятия выполнимости
и общезначимости совпадают, поскольку ая — фиксированный
элемент алгебры А.
Множество s& формул языка & называется общезначимым
в R, если каждая формула а из $4> общезначима в R. В этом
случае мы будем также говорить, что R является моделью для
si или что R является моделью для интуиционистской теории
Т = {&, %\, st) *). По определению каждая реализация
является моделью для ^ь = {&, &ь, 0}.
Реализация (или модель) R языка 3? в множестве / ф 0 и
в псевдобулевой алгебре А называется счетной, если счетно
множество /.
Модифицируя определение из IX, § 2, стр. 441, мы будем
говорить, что формула а интуиционистски общезначима или что
она является интуиционистской предикатной тавтологией, если а
общезначима в любой реализации R в любой псевдобулевой
алгебре**). ч
Пусть i?o — формализованный язык нулевого порядка, a Vo—
множество его пропозициональных переменных. Напомним (см.
VI, § 2), что если 5 — подстановка языка 9? в So, то для
каждой формулы р в^о результат s§ подстановки s в р есть
формула языка SB.
2.1. Если р — интуиционистская пропозициональная
тавтология, a s — подстановка языка SB в £Во, то sp — интуиционистская
предикатная тавтология.
Предположим, что R — реализация языка SB в / Ф 0 и в
псевдобулевой алгебре А. Если v: V'->■ / — оценка языка SB в /, то
равенство
(3) v0(a) = {sa)R{v) при а<=К0
определяет оценку v0: Vo-*A. В силу VI, 6.9 для каждой
формулы р в «2V
(4) (*РМо) = Рд(о„).
Поэтому, если р — интуиционистская пропозициональная
тавтология, то Рд(^о) = V. В силу (4) (spMfl) = V для каждой
оценки v, т. е. sp общезначима :в каждой реализации /?. Этим
доказано 2.1.
*) Эти понятия выполнимости, общезначимости и модели принадлежат
Р а с ё в о й [2], [4]; см. также Расёва и Сикорский [3].
**) Другое определение см. у Бета [3]; см. также Крейсел [1], [2], [3]
и К л и н и [2],

478 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
2.2. Если реализация R является моделью для
интуиционистской теории 9~ = {&, Фъ бФ), то каждая теорема а в Ф~
общезначима в R.
Мы должны показать, что множество F(R) всех формул,
общезначимых в R, содержит множество Ф^бФ) всех теорем.
Поскольку каждая логическая аксиома интуиционистской
теории 9~ является результатом некоторой подстановки 5 в
некоторую интуиционистскую пропозициональную тавтологию, то, в
силу 2.1, все логические аксиомы теории Т принадлежат F(R).
Поскольку R — модель для &~, F{R) включает в себя
множество s&. Для того чтобы обосновать включение <&y(s^)ciF(R)i
достаточно показать, что F{R) замкнуто относительно правил
вывода V, § 8, (г4) — (г6). Доказательство такое же, как и
доказательство аналогичного утверждения для классических теорий
(см. VIII, 2.2), и поэтому мы его опустим.
2.3. Каждая формула, доказуемая в интуиционистском
предикатном исчислении, является интуиционистской предикатной
тавтологией.
Это непосредственно следует из 2.2 (в случае пустого s&).
Справедливо также утверждение, обратное 2.3; оно, будет
доказано позднее (см. § 4).
2.4. Если интуиционистская теория Т имеет модель R в
невырожденной псевдобулевой алгебре, то 3~ непротиворечива.
Доказательство такое же, как и для аналогичного
утверждения VIII, 2.4. Предположим, что а —теорема в Т. В силу 2.2
aR{v) = V для любой оценки в R. Поэтому (—a)R(v) = Л.
В силу 2.2 формула —а не является теоремой теории Ф~.
2.5. Интуиционистское предикатное исчисление £\ = {S, ffi)
непротиворечиво.
Это непосредственно следует из 2.4, ибо каждая реализация
является моделью для теории 9?l = {2>, V„ 0}.
Пусть В — некоторая невырожденная полная псевдобулева
алгебра и пусть А — гомоморфизм невырожденной псевдобулевой
алгебры А в В, сохраняющий все бесконечные объединения и
пересечения в А. Если R — реализация языка ^ в / # 0 к в Л, то
следующие равенства определяют некоторую другую реализацию
(обозначаемую посредством hR) для & в / и В:
Ф^г^Фя для каждого функтора фв ^,
I ' phR = hpR для каждого предиката р в^.
При этих условиях имеет место следующая теорема:
2.6. Если R —модель для теории Т = {2?, <g\, s4), то hR>—
также модель для Т. Кроме того, для каждой формулы а
(6) а*д (v) = h (aR (v)) для любой оценки v e R.

§2)
МОДЕЛИ
т
Тождество (6) следует из VI, 6.6. Если ае^, то ая(я)= V.
В силу (6) алл(и) = V для любой оценки а. Поэтому ft#
—модель для S^.
Пусть 2'— формализованный язык, являющийся
расширением языка 2 (см. V, § 14), и пусть R!— реализация языка 2'
в/^Ои псевдобулевой алгебре А, являющаяся расширением
реализации R языка 2 в J и А. При этих условиях имеем:
2.7. R является моделью для теории ?Г = {2\ fft, $$>} в том и
только в. том случае, когда R' — модель для лингвистического
расширения Т' = {2\ 41 ^ $$>} теории Т. Точнее: для
произвольной формулы а в 2 выполняются следующие условия:
(i) а выполнима в R тогда и только тогда, когда она
выполнима в /?';
(и) а общезначима в R тогда и только тогда, когда она
общезначима в R'.
(i) и (И) следуют из VI, 6.4. Значит, согласно определению
модели R является моделью для 2Г в том и только в том случае,
когда R' — модель теории 9~\ ибо st> состоит из формул
языка 2,
2.8. Пусть R — реализация языка 2 в множестве J ФО и
в полной псевдобулевой алгебре А. Пусть f — отображение
множества J на множество J' и пусть R' — такая реализация языка
2 в J' и А, что
«V(f(/i) f(L))^fMiv •••• L))
для каждого m-местного функтора ср в 2 (ш = 0, 1, 2, ...) и
P*(f(A)' •••■ f(/m))"P*(/l. ••- D
для каждого m-местного предиката р в 2 (т=1,2,...).
Тогда для любой формулы а в 2
а общезначима в R тогда и только тогда,
когда а общезначима в R'.
Следовательно, R является моделью для интуиционистской
теории Т ={2, Vu s&) в J и А тогда и только тогда, когда R'
является моделью для £Г в У и А.
Это непосредственное следствие VI, 6.8.
Под топологической реализацией языка 2 мы будем
понимать произвольную реализацию языка 2 в некотором
множестве / ф О и в псевдобулевой алгебре ®(Х) всех открытых
подмножеств некоторого топологического пространства X. Модель
интуиционистской теории Т = {2, Ф^ Щ в множестве / и
в псевдобулевой алгебре ®(Х) называется топологической
моделью для Т.
В соответствии с VI, § 6 под семантической реализацией
языка 2 мы будем понимать произвольную реализацию в не-

480 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
котором множестве J Ф 0 и в двухэлементной булевой
алгебре А0. Естественным образом каждая модель для
интуиционистской теории Т = {&, 9\, бФ) в множестве / Ф 0 и в
двухэлементной булевой алгебре А0 называется семантической
моделью для Т.
§ 3. Канонические модели. Непротиворечивость
и существование моделей *)
Пусть &~ = {&, ®\, s4>\ — непротиворечивая
интуиционистская теория и пусть 31 (Ф~) — Q-алгебра теории Т. В силу
1.1 31 (Т) имеет по меньшей мере два элемента. Пусть h —
Q-гомоморфизм (см. VI, § И) алгебры 31 (Т) в некоторую
невырожденную псевдобулеву алгебру А. Пусть /?° —
отображение, определенное на множестве всех функторов в & и на
множестве всех предикатов в j?, для которого выполняются
следующие условия:
(а) #°, суженное до множества всех функторов, является
канонической реализацией термов в &, т. е.
(1) Фдо = ф Для любого m-местного функтора ф в ^
(т = 0, 1...).
Точнее (см. VI, § 7, (Г))» отображение ф^0: Tm—>f
определяется следующим образом: Ф^(тР ..., тт) = ф^т, ... тт>),
где ti, . ♦., %m — любые термы языка 2\
(б) Для любого m-местного предиката р в 9? (т = 1,2,...)
и для произвольных термов п,..., хт в &
(2) P*(V .... *m) = b{\\p(b-'-*J\\)-
В силу VI, 7.3 и 11.3 отображение R0 является реализацией
языка 9? в множестве Г всех термов языка 3? и в алгебре А.
В соответствии с VI, § 7 отображение R0 будет называться
канонической реализацией для &, определяемой
(^-гомоморфизмом h.
Напомним, что произвольную оценку v: V -> Г для & в
множестве Т всех термов языка 2? можно интерпретировать как
подстановку в &. Поэтому для произвольных терма т в SB и
формулы а в & vx и v'a будут обозначать результаты
подстановки овтиа соответственно. В частности, для тождественной
оценки i = {x}xf=v (см. VI, § 7) имеем
(3) к = т и t'a = <x
для любых терма т и формулы авЗ'.
•у-Основные результаты этого параграфа получены Расёвой [2], [4],
Расёвой и Сикорским [3], Сикорским [7].

§3)
Канонические модели
481
Следующая теорема, в силу VI, 11.3, является частным
случаем теоремы VI, 7.3:
3.1. Если R0 — каноническая реализация, определяемая
(^-гомоморфизмом h алгебры %(&~) в псевдобулеву алгебру А, то
для каждой оценки v: V-+T и для каждой формулы а в &
имеем
(4) а^(!0 = А(||о'а||).
В частности, для тождественной оценки \
(5) а/?0(г) = А(||а||).
Модель R для теории &~ называется адекватной, если, для
любой формулы а в SB, а является теоремой теории Т в том и
только в том случае, когда а общезначима в R.
3.2. Если &~={3?, Vlf s4] — непротиворечивая интуицио*
нистская теория, то любая каноническая реализация R°t
определяемая (^-гомоморфизмом h алгебры %{&~) в некоторую невы*
рожденную псевдобулеву алгебру А, является моделью для Т
в множестве Т всех термов языка & и в Л.
Если h является Q-изоморфизмом (в частности, если А =*
= Я (3~), a h — тождественное отображение), то R0 — адекват*
ная модель для Т. Кроме того, для любой формулы а в ЗР.
а является теоремой в &~ в том и только в том случае,
(6) когда aR,{\)= V,
где i — тождественная оценка.
Из 3.1 и 1.1 следует, что для любой формулы а из i
o.Rii(p) = h{\\v'a\\)=\/ при любой оценке v: V-+T, поскольку
подстановка v'a является теоремой теории Э~ общезначима в R°t
т. е. R0 является моделью для Т. Если h — Q-изоморфизм
алгебры 31 {Т) в псевдобулеву алгебру Л, то А(||а||) == V в том и
только в том случае, когда ||а|| = V. Отсюда, в силу 1.1 и (5),
получаем (6). Значит, R0 — адекватная модель для Т.
3.3. Каждая непротиворечивая интуиционистская теория
?Г = {<2\ в\, s4] имеет адекватную счетную топологическую
модель в множестве Т всех термов и в псевдобулевой алгебре
®(Xq) всех открытых подмножеств некоторого множества Xq
иррациональных чисел.
Поскольку теория Т непротиворечива, Q-алгебра 31 (<Г)
является невырожденной. Множество (Q) всех бесконечных
объединений и пересечений в 31 (&~), соответствующих кванторам,
счетно, поскольку счетно множество всех формул. В силу IV,
10.1 существуют некоторое множество Х0 иррациональных
чисел и Q-изоморфизм h алгебры %(Т) в ®(Хо). В силу второй

482 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
части 3.2 каноническая реализация для Т, определяемая
гомоморфизмом А, является адекватной моделью для 3"вГи ®(Х0).
.3.4. Если формула а неопровержима в интуиционистской
теории &~ = {&, ffi, s4>), то существует такая счетная
топологическая модель R0 в псевдобулевой алгебре ®(Х) всех открытых
подмножеств некоторого множества X иррациональных чисел,
что а выполнима в /?°.
Пусть h и Х0 имеют тот же смысл, что и в доказательстве 3.3,
пусть X = h(\\a\\)^®(X0) и пусть
h'(Y) = Y(}X для всех Ге®(Х0).
Поскольку а неопровержима, имеем ||а||# Л и, значит, ХФО.
Композиция hQ = h'-h Q-изоморфизма h\ %(&~)-*®(X0) и
гомоморфизма h'\ ®(Х0)->®(Х), сохраняющего все бесконечные
операции (см. IV, 8.2), является Q-гомоморфизмом.
Каноническая реализация /?°, определяемая Q-гомоморфизмом h0t
обладает нужными свойствами. Действительно, в силу 3.2 она
является моделью для Т. Более того,
«*.(0=Mll«ll)=*=v.m
для тождественной оценки t (см. 3.1, (5)). Поэтому а
выполнима в /?°.
3.5. Если формула а не является теоремой интуиционистской
теории ЗГ — {&, ^^ зФ\, то существует такая счетная
топологическая модель R в псевдобуле,вой алгебре ®(Х0) всех открытых
подмножеств некоторого множества Х0 иррациональных чисел,
что а не общезначима в /?.
Теорема 3.5 непосредственно следует из 3.3. В качестве Х0
можно взять упоминаемое в 3.3 множество Х0. Поэтому к
формулировке теоремы 3.5 можно добавить, что пространство Хо не
зависит от формулы а.
Теорему 3.4 также можно дополнить замечанием, что
упоминаемое в 3.4 пространство X может быть выбрано таким
образом, чтобы оно было одним и тем же для всех неопровержимых
формул а. Это не следует из приведенного нами
доказательства 3.4, но может быть дополнительно получено следующим
образом. Пусть S — множество всех неопровержимых в £Г
формул. В силу 3.4 для каждого asS существует такое
множество Ха иррациональных чисел, что а выполняется в ®(Ха).
Пусть Х= Р Ia. Поскольку проекщ;,! ла множества X на Ха
ae-s
является внутренним отображением (см. III, § 9, стр. 136),
равенство
ha(A) = nal{A) для А <= © (Ха)
определяет псевдобулев изоморфизм ha алгебры ®(Ха) в ®(Х)
(см. IV, 2.2). Если R — реализация в ®(^a), a v—такая

§3]
КАНОНИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
483
оценка, что aR(v) = Ха, то ahaR{v) = X в силу 2.6. Поэтому
каждая «неопровержимая формула выполнима в ©(X).
Обозначим посредством У пространство всех иррациональных чисел.
Поскольку Ха cz У, имеем X a Y8. Поскольку множество S
счетно, пространство Ys гомеоморфно У (см. Ill, 9.1)66).
Поэтому множество X может быть истолковано как подмножество
пространства всех иррациональных чисел.
Следующая теорема выявляет некоторые связи между
непротиворечивостью теории и существованием моделей
различного рода:
3.6. Для любой интуиционистской теории Т = {&, ®\, зФ\
следующие условия являются эквивалентными:
(i) Ф непротиворечива;
(И) для $Г существует модель;
(Ш) для Т существует модель в полной псевдобулевой
алгебре;
(iv) для 0~ существует топологическая модель\
(v) для ?Г существует адекватная счетная топологическая
модель в псевдобулевой алгебре ®(Х0) всех открытых
подмножеств некоторого множества Х0 иррациональных чисел.
Все это — прямое следствие из 3.3 и 2.4.
Мы сформулируем теперь необходимые и достаточные
условия для того, чтобы формула была теоремой счетной теории:
3.7. Для каждой формулы а в непротиворечивой
интуиционистской теории &~ = {й7, 9\, s&) следующие условия
эквивалентны:
(i) а — теорема теории $Г;
(и) ос общезначима в каждой модели для &~;
(iii) а общезначима в каждой модели для &~ в полной
псевдобулевой алгебре;
(iv) а общезначима в каждой топологической модели
дляТ;
(v) а общезначима в каждой модели для &~ в счетном
множестве hue псевдобулевой алгебре ®(Х0), где Х0 —
произвольное множество иррациональных чисел;
(vi) имеется такое бесконечное множество /, что а
общезначима в любой модели для У в J и в псевдобулевой алгебре
®(Х0), где Х0 — произвольное множество иррациональных чи-
чисел;
(vii) вдв(0= V для канонической модели R0 теории ЗГ
в %(?Г) и для тождественной оценки и
(i) влечет (И) в силу 2.2. Очевидно, (и) влечет (iii) и (vii),
(iii) влечет (iv), (iv) влечет (v) и (v) влечет (vi). В силу 3.5
(v) влечет (i). По второй части 3.2 (vii) влечет (i) (случай
Л = «(<Г)).

484 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
(vi) влечет (v). Действительно, пусть (v) не имеет места,
т. е. существует такая модель R для 0~ в счетном множестве /о
и в псевдобулевой алгебре ®{Х0) (где Х0 — некоторое
множество иррациональных чисел), что а не общезначима в R. Пусть
/ — произвольное бесконечное множество. Поскольку /
бесконечно, а /о счетно, то существует отображение / множества /
на /о. Ввиду того, что / есть отображение на, существует такая
реализация R' в / и © (Х0), что
f(qv(/i> •••> /m)) = <P*(/(/i)' •••> f(L))>
P*'(/l' ••" /m) = P/?(/(/l> •••» f(L))
для любого m-местного функтора ф (т = 0,1,2,...), для
любого m-местного предиката р (т = 1, 2, ...) и для всех /i, ...
..., /т е /. Вследствие 2.8 Я7— модель для #" в / и ®(Х0) и а не
общезначима в /?', т. е. (vi) не имеет места.
Пусть &' — формализованный язык, являющийся
расширением языка «2\ При этих условиях имеет место следующая
теорема:
3.8. Формула а в 3? является теоремой интуиционистской
теории 3~ = {SB, в\, s&) в том и только в том случае, когда она
является теоремой теории 9~' = {2"\ W» si) у т. е. каждое
лингвистическое расширение 3~' теории 0~ несущественно (см. V,
§ 14). Поэтому д~ непротиворечива в том и только в том
случае, когда У~' непротиворечива.
Если а — теорема в &~, то очевидно, что а — также теорема
и в Т'. Обратно, если а — не теорема теории <Г, то, в силу 3.5,
а не общезначима в некоторой модели R для Т в некотором
множестве J ф 0 я в некоторой полной псевдобулевой алгебре А.
Пусть R' — расширение реализации R (в / и А) до реализации
языка 3?'. В силу 2.7 R' является моделью для Г и а не
общезначима в R'. Ввиду 2.2 а не является теоремой теории ?Г'.
Вторая часть 3.8 следует из первой.
§ 4. Полнота интуиционистских предикатных исчислений
В соответствии с соглашением в § 1, стр. 473, и в V, § 10,
стр. 219, интуиционистское предикатное исчисление 9*х =
= {&, ffi} отождествляется с теорией {&, 9\, 0}, имеющей
пустое множество математических аксиом. Поэтому мы можем
приложить к 9^1 результаты предшествующих параграфов.
Поскольку 9>у, имеет пустое множество математических
аксиом, то каждая реализация Я для 9? в множестве /#0 и
в псевдобулевой алгебре А является моделью для 5\. Поэтому
понятие модели для 9*\, совпадает с понятием реализации. По
рринят(?й в § 1 терминологии формула языка 9? является теоре*

§ 4] ПОЛНОТА ИНТУИЦИОНИСТСКИХ ПРЕДИКАТНЫХ ИСЧИСЛЕНИИ 485
мой в {S7, 9lf 0} в том и только в том случае, когда она
доказуема в £\. Поэтому следующая теорема является частным
случаем теоремы 3.7:
4.1. Для каждой формулы а в интуиционистском
предикатном исчислении £\ = {&, fft} следующие условия являются
эквивалентными:
(i) а доказуема в <?\;
(ii) а общезначима в каждой реализации языка 9?\
(iii) а общезначима в каждой реализации языка 9? в
полной псевдобулевой алгебре;
(iv) а общезначима в каждой топологической реализации
языка &\
(v) а общезначима в каждой реализации языка & в
счетном множестве /0 и в псевдобулевой алгебре ®(^о), где Х0 —
произвольное множество иррациональных чисел;
(vi) существует такое бесконечное множество /, что а
общезначима в каждой реализации языка SB в J и в псевдобулевой
алгебре © (Х0), где Х0 — произвольное множество
иррациональных мисел;
(vii) а^0 (t) = V для канонической реализации /?° в % (<?L)
и для тождественной оценки t *).
Теорема 4.1, являющаяся интуиционистским аналогом
теоремы VIII, 6.1, называется теоремой о полноте для
интуиционистского предикатного исчисления <?\. Теорема 4.1 утверждает,
что выражения «интуиционистская предикатная тавтология» и
«формула, доказуемая в i?\» имеют один и тот же смысл.
Практически мы чаще будем использовать первое из них.
Следующая теорема немедленно вытекает из 3.3:
4.2. Существует такое метрическое пространство Хо> что
формула а доказуема в 9?1 в том и только в том случае, когда а
общезначима в любой реализации в счетном множестве J и
в псевдобулевой алгебре ©(X0)**).
Из доказательства 3.3 следует, что в качестве Х0 можно
взять любое такое множество, что существует Q-изоморфизм
алгебры 31 (£\) в ®(Х0). Можно взять в качестве Х0 некоторое
*) Импликация (i) -> (iii) была доказана Мостовским [4]. Обратное
утверждение доказано Р а с ё в о й [2]. Независимо от нее X е н к и н [2] доказал
эквивалентность (i) и (ii). Оба автора использовали эквивалентность (i) и
(vii). Эквивалентность (i) и (iv) установлена Расёвай и Сикор-
ским [3]. Эквивалентность (i) и (v) доказана Сикорским [7].
Из результатов Бета [3] (см. также Бет [4]), в соответствии с его
замечанием на коллоквиуме в Амстердаме (1957), следует, что интуиционистское
предикатное исчисление остается полным, если ограничиться реализациями
в топологических пространствах, являющихся замкнутыми подмножествами
канторова дисконтинуума; доказательство см. у Дайсона и Крейсе-
л а [1].
**) Сикорский [7J. См. также Расёва и Сикорский [3].

486 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
множество иррациональных чисел. Неизвестно, можно ли в 4.2
в качестве Х0 взять множество всех иррациональных чисел или
множество всех действительных чисел.
Из 4.1 следует, что если формула а является интуиционист-.
ской предикатной тавтологией, то существует формальное
доказательство формулы а в 5\. Теорема 4.1 не дает метода для
построения этого формального доказательства. В случае
классического предикатного исчисления такой метод был описан в VIII,
§ 7. Сходный метод существует также и для интуиционистского
предикатного исчисления, но мы его здесь опустим.
§ 5. Алгебра интуиционистского предикатного исчисления
Пусть Е — множество всех элементарных формул в
интуиционистском предикатном исчислении ^ = {2", ®\} = {i?, <g\, 0}.
5.1. Q-алгебра % (5\) является обобщенной свободной
алгеброй для класса всех полных псевдобулевых алгебр, а
множество всех элементов ||а||, где а е £, является системой
свободных образующих.
Доказательство подобно доказательству аналогичной
теоремы VIII, 24.1 об алгебре двузначного предикатного исчисления.
Пусть / — отображение, определенное на множестве всех
|| а || е ^(^i), где ае Е, со значениями в полной
псевдобулевой алгебре Л. Отображение / индуцирует отображение f0: F-* Л,
определяемое следующим образом:
Ы1а|) = Ша11) Для ае=£. ^
Напомним, что F обозначает Q-алгебру языка &, a \<x\
обозначает элемент алгебры F, определяемый формулой а (см. VI,
§ 4) Поскольку F — свободная обобщенная алгебра (см. VI,
4.1), отображение /0 может быть продолжено до гомоморфизма
g алгебры {?, U, Г), =Ф, -, [), Г)> в iA>Ji > Г), #, -, f|, Ц}.
Пусть R — реализация языка 3? в множестве Т всех термов
и в полной псевдобулевой алгебре Л такая, что R —
каноническая реализация термов и для каждого m-местного предиката р
(т = 1,2,...) и произвольных термов п,..., тт
P*(ti, ..., rm) = g(\p(x{ ... тЛ)<=Л.
В силу VI, 7.3 для каждой формулы у
(I) Y*(0 = ff(lYl).
где i — тождественная юценка.
Пусть а и р —такие формулы, что II а || = || р ||, т. е. что
(а^ Р) и (Ргфа) являются предикатными интуиционистскими
тавтологиями (см. 4.1). Тогда

§6]
ПРИМЕРЫ ИНТУИЦИОНИСТСКИХ ТАВТОЛОГИЙ
48?
Отсюда, в силу (1),
g(|a|)=#g(|p|) = (a#p^(t)=V
и, сходным образом,
в(|Р|)=фйГ(|а|)-Грфа)в(0-У.
Этим доказано, что
llalHIpi влечет *(|a|)«ff(|p|).
Поэтому формула
A(l|a||) = g(|a|) ДЛй asF
определяет отображение h\ % (#\ ) -* Л. Легко видеть, что Отб*
бражение А является Q-гомоморфизмом и продолжением
отображения f.
Мы доказали, что каждое отображение /, определенное на
множестве всех || a || (ае£), со значениями в некоторой
полной псевдобулевой алгебре А может быть расширено до
гомоморфизма h: 31 (^Y)—► А. Поэтому ЩУ,) — обобщенная
свободная алгебра для класса всех полных псевдобулевых алгебр, а
множество всех ||а|| (ае£)—система свободных образующих.
§ 6. Примеры интуиционистских тавтологий
Наиболее простые примеры интуиционистских тавтологий
даются теоремой 2.1, утверждающей, что все формулы языка 2\
получающиеся в результате подстановки в интуиционистские
пропозициональные тавтологии, будут интуиционистскими пре*
дикатными тавтологиями. В частности, все формулы вида (То),
(Tw)-(Tit), (Ти), (T2i)-(T23), (T25)-(T27), (Тб5)-(Тб8)
(см. IX; 4.1) где а, р, у — произвольные формулы языка j?,
суть интуиционистские предикатные тавтологии.
Мы дополним теорему 2.1 двумя следующими теоремами:
6.1. Если подстановка s является взаимно-однозначным
отображением множества V0 всех пропозициональных
переменных языка 3?о нулевого порядка в множество всех
элементарных формул языка 9? первого порядка, то формула б в S?Q
является интуиционистской пропозициональной тавтологией в том
и только в том случае, когда s6 — интуиционистская
предикатная тавтология.
В силу 2.1 достаточно доказать, что если б не есть
интуиционистская пропозициональная тавтология, то sb не будет
интуиционистской предикатной тавтологией.
В силу IX, 3.2 существует такая оценка v = {va}a & Vq e Av
(где А — некоторая полная псевдобулева алгебра, а Vq —

488 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
множество всех пропозициональных переменных языка i?o), что
Ьа&)Ф V.
Мы определим некоторую реализацию R для & в множестве Т
всех термов языка 9? следующим образом. R будет
канонической реализацией термов, т. е.
Фя(*1> •••> **/») —ф(*1 ... О
для каждого т-местного функтора ф (т = 0,1, 2,...). Для
каждого т-местного предиката р (т = 1,2,...)
| i>a, если, для некоторого a, sa есть
P*(ti, ..., тт)=1 элемецтарная формула р^ ... %т\
\ V в противоположном случае.
Пусть t: V-*T — тождественная оценка в 3?. Имеем
saR(i) = va,
и поэтому
(s6)R(i)*=6A{si) = 6A(v)¥*V
в силу VI, 6.9, так как
si = {saR (t)}e e Vo = {t; Ja e Vo = o.
Поскольку s6« не равно тождественно V, s6 не является
интуиционистской предикатной тавтологией.
Заметим, что в теореме 6.1 достаточно предполагать, что s
является взаимно-однозначным отображением на множестве
всех встречающихся в б пропозициональных переменных.
Каждая открытая формула а формализованного языка &
первого порядка имеет вид s6, где s — некоторое
взаимно-однозначное отображение языка 2?0 нулевого порядка (со счетным
множеством V0 пропозициональных переменных) в множество
всех элементарных формул языка «2\ Поэтому из 6.1 следует:
6.2. Открытая формула формализованного языка 2? первого
порядка является интуиционистской предикатной тавтологией
в том и только в том случае, когда она является результатом
подстановки в некоторую интуиционистскую пропозициональную
тавтологию.
Следующая теорема является интуиционистским аналогом
теоремы VIII, 6.4:
6.3. Все формулы любого из следующих видов доказуемы
(?3i) (T}a(£)=^aOrXb где т — произвольный терм,

§ 6] ПРИМЕРЫ ИНТУИЦИОНИСТСКИХ ТАВТОЛОГИИ 489
(Тзг) (а (т) =Ф U а (&)) t г^е т "~ произвольный терм.
г
(Тзз) <Л«(^и«(Ш,
(Тзб) С-иа(6)^П-«(Б))»
(Taj) (П~а^)^-и«(Ш,
(Tae) сЛмй^р^ЛМ^р» •
(т39) ((U««)^P)^n^(i)=^P>)).
* г
(T40) ГП^^Р(Ш=Ф(а#ЛР(Ш) .
(t4i) cr а=ФПР(б)^Л^#р(ш;.
(T42) (U c« (a # p) # rfl«(»=* p» •
(T44) rUce#p(6»^c«#UP(a^.
(т46) (Л^пр(1);=Ф(апПР(ш;,
(T47) ((аППР(Ш=ФПГаПР(Ш),
(T49) Г(аиПР(Б)^П^ир(1Ш,
(Tso) rUf«np(i);#(anUP(6W>.
(T5i) «аПиРФ^и^ПРШ.
& e
(T52) (и^ир(ш#(«иир(ш;,
(Т5з) aaUUP(6»#UC«UP(lW>,
(V (Л^а)^Р(ШФ(Па(1)^ЛР(Ш)?

490 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
(Тя) <Л (* №) -Ф Р ft» =Ф (U «(i) ^ U Р ft») .
(Тм) (no*ft)nP№))#tfVft)n Лр(&ш.
(Т57) ((П«(1)ППР(6))^П^«)ПР(1Ш.
s i i
(Ти) (Uc«(i)up(i))^rU«ft)uUP(i)^,
(Т59) гси«(|)ииР(|))^Ш«(|)ир(1Ш,
i i г
(Тео) «Л«(б>иПР(&)=»По»<б>ир(бШ,
s £ i
(т61) cUc«ft)npft))=#(U«(?) n (Jpft))),
(т«) (Un«ft»ii)^nU«ft»ii)),
(Тез) (nn«ft.4)^nn»ft.i))»
(т64) (UU«ft.4)#UU«ft.4)).
Мы укажем только номер утверждений из I, § 7 и IV, § 7,
с помощью которых доказывается интуиционистская
общезначимость рассматриваемых формул:
(Т„) I, 7.1, (3); (Тм) I, 7.1, (2); (Т33) I, 7.1, (6);
(Те) IV, 7.3, (9); (Т*) IV, 7.3, (10); (Т37) IV, 7.3, (10);
(Т») IV, 7.2, (7); (Т39) IV, 7.2, (7); (Т40) IV, 7.2, (8);
(Т41) IV, 7.2, (8); (Ti2) IV, 7.2, (3); (Т44) IV, 7.2, (4);
(Т46) I, 7.1, (10); (Т47) I, 7.1, (10); (Т49) IV, 7.2, (2);
(Ти) IV, 7.1, (1); (Т51) IV, 7.1, (1); (Тв) I, 7.1, (9);
(Тда) 1,7.1,(9); OW) IV, 7.2, (5); (Тк) IV, 7.2, (6);
(Тм) i; 7.1, (15); (Т57) I, 7.1, (15); (Т53) I, 7.1, (14);
(Те) I, 7.1, (14); (Т^) I, 7.1, (16); (Т61) I, 7.1, (17);
(Те) I, 7.1, (13); (Тю) I, 7.1, (12); (Тм) I, 7.1, (11).
Список интуиционистских предикатных тавтологий,
приведенный в 6.3, содержит не все классические тавтологии,
упоминаемые в аналогичной теореме VIII, 6-4. А именно, он не содержит

§ 6j ПРИМЕРЫ ИНТУИЦИОНИСТСКИХ ТАВТОЛОГИЙ 4Й1
тавтологий (Т34), (T43), (T45) и (Т4в). Действительно, если я
и р — одноместные предикаты, то следующие формулы:
i i
(2) (([\na)^9(x))^\J(n(l)^9(x))) ,
(3) an (х) # и р а)) # U с* w =» р о))).
(4) (f| о* w и р а» =# г* w и П р (V)).
имеют вид (Т34), (Т43), (T45), (Т4в) соответственно, но не
являются интуиционистскими тавтологиями*). Для
доказательства этого достаточно продемонстрировать, что они не
общезначимы в некоторой реализации R в множестве / ф О и в алгебре
®(Х) открытых подмножеств некоторого топологического
пространства X. В качестве / возьмем множество всех
положительных целых чисел /, а в качестве X — пространство всех
действительных чисел w. Пусть {Wj} — последовательность,
составленная из всех рациональных чисел.
Если
Яд (/) = множеству всех w ф w\ (w e X),
то формула (1) не общезначима в R.
Если яд(/) определена, как выше, a pR(/)= 0 для всех /, то
формула (2) не общезначима в R.
Если
Яд (/) = множеству всех w Ф О,
Рд (/) = множеству всех таких w, что |ау|>1//,
то формула (3) не общезначима в R.
Если
Яд(/') = множеству всех w Ф О,
Рд (/) — множеству всех таких w, что \w\<l/j,
то формула (4) не общезначима в R.
Заметим, далее, что ни одна из тавтологий
(5) П(ра)и-ра)),
(6) --Гкрфи-ра»
*) Первое алгебраическое доказательство того, что (4) не является
интуиционистской тавтологией, было дано Мостовским [4].

492 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
не является интуиционистской тавтологией*). Действительно,
пусть а обозначает формулу (5). Если
(7) Рд(/) = множеству всех действительных чисел тфт^
то
(8) <хя = 0,
и поэтому
(9) (-«)*-*,
(10) (__«),«.<).
Формула а совпадает с (6).
§ 7. Связь между тавтологиями и интуиционистскими
тавтологиями
Этот параграф аналогичен IX, § 5, где та же проблема
исследовалась для пропозициональных исчислений. Однако между
пропозициональными исчислениями и предикатными
исчислениями нет полной аналогии. Вместо эквивалентности условий
(i) и (ii) в IX, 5.1 мы имеем только следующие результаты:
7.1. Пусть а — формула языка & первого порядка. Если для
каждой реализации R в множестве J Ф 0 и в невырожденной
псевдобулевой алгебре А и для каждой оценки v элемент aR(v)
плотен в А, то а — предикатная тавтология.
Для доказательства достаточно взять в качестве А
двухэлементную булеву алгебру. Поскольку единичный элемент —
единственный плотный элемент алгебры А, имеем aR(v)=\/ для
каждой реализации R в А и для каждой оценки vt чем
доказывается, что а — предикатная тавтология.
Обратное утверждение, вообще говоря, несправедливо.
Существуют такие предикатные тавтологии а, что ая(а) не будет
плотным для некоторой реализации R в некоторой
псевдобулевой алгебре А и для некоторой оценки v (см., например, § 6, (5)
и (7), (8)).
Мы докажем теперь теорему, являющуюся частичным
обращением теоремы 7.1. Для этой цели введем некоторую
вспомогательную операцию присоединения следствий <&* в 3?. А именно,
для каждого множества S формул в i?, <g7*(S) будет обозначать
наименьшее множество формул в 2\ содержащее все формулы
в S и все логические аксиомы для классического предикатного
исчисления (т. е. все формулы вида (Ti) — (Ti2) —см. V, § 11)
и замкнутое относительно правил вывода (п), (гг), (г5), (гб).
Другими словами, определение %?* получается из определения
*) Г е й т и н г [2], К л и н и [2] вместе с работой Нельсона [1].

§ f\ f АВТОЛОГИИ И ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ТАВТОЛОГИЙ 4§3
классической операции присоединения следствий выкидыванием
правил введения кванторов существования и общности. По
определению
<&*(S)cz<&(S).
7.2. Если формула а в & принадлежит <&* (0), то при каждой
реализации R для & в множестве J Ф 0 и в невырожденной
псевдобулевой алгебре А элемент aR(v) плотен в А при любой
оценке v.
Пусть D — множество всех таких а, что aR(v) всегда плотен.
Из VI, 6.9 и из IX, 5.1 следует, что D содержит все формулы,
получаемые подстановкой в пропозициональные тавтологии.
В частности, D содержит все логические аксиомы классического
предикатного исчисления. Из IV, 5.6 и из тождества
(|5:=f> у)я(^)= $R(v)z$ yn(v) следует, что D замкнуто
относительно modus ponens (n). D замкнуто также относительно
правила (гг) подстановки вместо свободных индивидных
переменных в силу VI, 6.7, (10). Поскольку
(\J${1)^4)r{v)^(H*)^4)r{v)
и
в силу I, 12.2, (11) и (12), то множество D замкнуто
относительно правил (г5) и (re) удаления кванторов существования
и общности ввиду IV, 5.5. Этим доказано, что <g?*(0) cz D.
7.3. Для произвольной формулы а в Я? из того, что а е
е <&* (0), следует, что а является интуиционистской
предикатной тавтологией *).
Предположим, что ае?*(0). Тогда в силу 7.2 — aR(v) = A
для каждой реализации R языка & в любом множестве / Ф 0
и в любой псевдобулевой алгебре А. Поскольку —Л = V,
имеем ая(а)= V. Этим доказано, что а является
интуиционистской предикатной тавтологией.
7.4. Для произвольной формулы а в & из того, что
—а е ^* (0), следуету что —а является интуиционистской
предикатной тавтологией.
Предположим, что —as^*(0). Вследствие 7.2 —aR(v)
плотен при каждой реализации R в любых множестве / Ф 0 и
псевдобулевой алгебре А. Ввиду IV, 6.1 и IV, 6.6 —aR(v) = V, чем
доказано, что —a — интуиционистская предикатная тавтология.
7.5. Для любых формул а, р в SB из того, что (а:ф —р) е
е <?7* (0), следует, что (а гф —Р) является интуиционистской
предикатной тавтологией.
*) Ср. Клин и [3], стр. 435 русского перевода.

494 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
Если (а=ф—р)^^*^), то, согласно 7.2, при любой
реализации R в любых множестве / Ф О и псевдобулевой алгебре А
элемент (azf>—Р)я(^) = a«(a) гф — Рн(а) плотен в А. В силу
IV, 6.3 и IV, 6.6 (а=ф—P)h(^)=V, чем доказано, что
(а гф —Р) является интуиционистской предикатной тавтологией.
§ 8. Теоремы об интуиционистски доказуемых
дизъюнкциях и экзистенциальных формулах
В классическом предикатном исчислении может случиться,
что дизъюнкция (a U Р) является предикатной тавтологией, но
ни одна из формул a, p не является таковой. Приведем в
качестве примера дизъюнкцию (p(x)\J—р(Х))> гДе Р —
одноместный предикат. В случае интуиционистского предикатного
исчисления, как и в случае интуиционистского пропозиционального
исчисления (см. IX, 6.1), такая ситуация не может встретиться.
8.1. Дизъюнкция (р U у) является интуиционистской
предикатной тавтологией в том и только в том случае, когда хотя бы
одна из формул р, у является интуиционистской предикатной
тавтологией *).
Если хотя бы одна из формул р, у будет интуиционистской
предикатной тавтологией, т. е. будет доказуема в
интуиционистском предикатном исчислении 5\ = {2\ *?\} (см. 4.1), то,
в силу VI, 10.8, дизъюнкция (р U у) также будет доказуема
в ^i, а значит, явится интуиционистской предикатной
тавтологией (эта часть теоремы 8.1, конечно, выполняется и для
классических предикатных исчислений).
Предположим теперь, что (р U у) — интуиционистская
предикатная тавтология, т. е. что она доказуема в
интуиционистском предикатном исчислении.
В силу IV, 10.1 существует Q-изоморфизм h алгебры 51 (£\)
в алгебру ®(Х) всех открытых подмножеств некоторого
топологического пространства X. Согласно III, 5.1 X является
открытым подмножеством подходящего сильно компактного
пространства Х0. В силу IV, 8.2 отображение
(1) h0{A) = A[]X при As=®{X0)
является псевдобулевым гомоморфизмом алгебры ®(Х0) на
®{Х) и сохраняет все бесконечные объединения и пересечения.
Кроме того,
(2) h0{A) = A при Л <=©(*).
*) Расёва и Сикорский [5]. Эту теорему можно также вывести из
работы Ген цен а [1]. Другие доказательства для 8.1 см. в работе Кли-
н и [4]; см. также ссылки в этой работе.

§8]
ИНТУИЦИОНИСТСКИ ДОКАЗУЕМЫЕ ДИЗЪЮНКЦИИ
495
Пусть R0 — каноническая реализация языка S7,
определяемая гомоморфизмом А. По определению R0 — реализация в
множестве Т всех термов и псевдобулевой алгебре ®(Х). В силу 3.2,
(6) и 4.1 для каждой формулы а
.„. а является интуиционистской предикатной тавтологией
'**' в том и только в том случае, когда aRQ{i) — X,
где t — тождественная оценка.
Поскольку ®(Х)— подалгебра алгебры ®(Х0), R0 можно
также рассматривать как реализацию в Г и в псевдобулевой
алгебре ®(Х0). Обозначим последнюю реализацию посредством
R. Реализации R и R0 совпадают, как функции, определенные
на множестве всех функторов и предикатов языка й7, но для
формул а языка & они определяют. различные отображения
а^ и а^о, поскольку они интерпретируются как реализации
в различных псевдобулевых алгебрах.
Используя обозначения теоремы VI, 6.6, мы имеем
R°=h0R
ввиду (2). Отсюда, в силу VI, 6.6, следует, что
(4) «/?o(i) = ftoK(i)) = ^n^(t)
для каждой формулы а и для тождественной оценки г.
Поскольку (р U у) — интуиционистская .предикатная тавтология,
имеем (р О у)я(0 = %о* Т- е-
Ml)UY*(i) = *o.
Так как Х0 сильно компактно, одно из открытых множеств в
левой части равенства должно быть равно Х0. Пусть, например,
$R(i) = XQ. В силу (4) $R0(i) — X. Отсюда, в силу (3), получаем,
что р — интуиционистская предикатная тавтология.
В классическом предикатном исчислении может случиться,
что экзистенциальная формула, т. е. формула вида (Ja(g), яв-
I
ляется предикатной тавтологией, т. е. доказуема, но не
существует такого терма т, что формула а(т) является предикатной
тавтологией, т. е. "доказуема. В случае интуиционистского
предикатного исчисления положение совсем другое.
8.2. Экзистенциальная формула (Jp(|) языка 9? первого
\
порядка является интуиционистской предикатной тавтологией
q том и только в том случае, когда существует такой терм %

496 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
в 3?, что формула р(т) является интуиционистской предикатной
тавтологией *).
Предположим, что р(т)—интуиционистская предикатная
тавтология, т. е. формула, доказуемая в #\ = {&\ Ф^. В силу
6.3, (Тзг) и правила modus ponens (п) формула (Jp(£) также
ft
доказуема, в SP, т. е. является интуиционистской предикатной
тавтологией.
Пусть X, Х0, ft, h0y /?°, R и t имеют тот же самый смысл, что
и в доказательстве теоремы 8.1. Пусть $(х0) —такая формула,
что (JP(i) —интуиционистская предикатная тавтология. В силу
4.1 и VI, 7.1, (3)
(5) Ul^M0 = (UP(S)) (0 =
Jots Г \ ft /R
Поскольку пространство Х0 сильно компактно, то по крайней
мере одно из слагаемых в левой части (5) должно быть равно
Х0. Другими словами, существует такой терм т, что
Поэтому, ввиду (4), р (т)л. (t) = X f] Р (r)R (i) = X. В силу (3)
Р(т) является интуиционистской тавтологией.
§ 9. Теоремы о дедукции
Так называют две Следующие теоремы:
9.1. Пусть а —замкнутая формула языка 5\ Формула р
является теоремой интуиционистской теории Тг = {2\ Vl9 s4> U
U (а)} в том и только в тому случае, когда формула (агфр)
является теоремой интуиционистской теории Т = {2\ 9\, s&).
Если (агфР)—теорема теории Т, то эта формула будет
также теоремой в {Г'ш Поскольку а — аксиома теории 9~\ то
с помощью modus ponens получаем, что р — теорема в 9~'ч
Если faz) р) — не теорема теории Т, то, в силу 3.5,
существует такая модель R для Т в некотором множестве /^=0 и
в некоторой полной псевдобулевой алгебре А, что (az^>p) не
общезначима в /?, т. е. для некоторой оценки v
(1) MtO#p*(tO = (a#p;p(tO^ V.
*) Расёва и Сикорский [5]. Эту теорему можно также вывести из
работы Ген цен а [1]. Другие доказательства см. в работе Клин и [4]; см.
также ссылки в этой работе^

§ Ю]
СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕОРИЯМИ И ФИЛЬТРАМИ
497
Поскольку а — замкнутая формула, aR — функция-константа.
Пусть, например, aR тождественно равно g^A. В силу (1)
g ф А (см. I, 12.2, (4)), т. е. псевдобулева алгебра Agi
описанная в IV, § 8, не вырождена. Из (1) следует, что g не
предшествует Ря(у) в А, т. е. что
(2) g()fa(v)^g-
В силу IV, 8.2 отображение
h{a) = g[\a{aeEA)
будет гомоморфизмом алгебры А на Agi сохраняющим все
бесконечные объединения и пересечения в А. Согласно 2.6
реализация hR для 3? в / и в псевдобулевой алгебре Аё является
моделью для 2Г. Более того, она будет моделью также и для а,
поскольку а/ш тождественно равно h(g) (см. 2.6, (6)), т. е. gt
являющемуся единичным элементом для Аё. Поэтому hR —
модель для 5Г"/. Формула р не общезначима в hR, поскольку
рлнИ = h($R(v)) =; g f] ряИ ф g согласно (2) и 2.6 (6).
Значит, в силу 2.2, р не есть теорема теории 9~\
9.2. Формула р является теоремой интуиционистской теории
Т = {&, Ф\, Щ с непустым множеством аксиом s4> в том и
только в том случае, когда существует такая конъюнкция а
замыканий конечного числа аксиом из $Ф, что импликация
(а:ф Р) является интуиционистской предикатной тавтологией.
Предположим, что р — теорема теории У% т. е. что р
принадлежит (??1(^). Тогда существует такое конечное непустое
множество зФ\ с: зФ, что р е ^ (rfi) (см. V, 10.1). Пусть а —
конъюнкция замыканий всех формул из s&\. В силу: правила
modus ponens, (Т6) и VI, 11.5, бФ\ cz <g\ ([a]). Значит, ре
е ®\ ([а]), т. е. р является теоремой теории {2?, <g\, [а]}. В силу
9.1 (где в качестве s& нужно взять пустое множество)
импликация (az^p) является теоремой в {J?, <ви 0}, т. е.
интуиционистской предикатной тавтологией.
Обратно, если существует такая конъюнкция а замыканий
аксиом из s4>, что (а^р)—интуиционистская тавтология, то
a — теорема в $Г (см. VI, 11.5 и VI, 10.8), а поэтому, в силу
правила modus ponens, p — тоже теорема в Т.
§ 10. Связь между теориями и фильтрами
В этом параграфе (который аналогичен VII, § 9, VIII, § 11
и IX, § 10) символ || a || всегда будет обозначать элемент
псевдобулевой алгебры % (5*\ ), определяемый формулой а.
Напомним, что 9>у, = {2\ в\} — это интуиционистское предикатное
исчисление, основанное на языке ^

498 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
Фильтр V в 51(9>i) называется (^-фильтром, если он
обладает следующим свойством:
если || а (х) || eV, то элемент ||Р)а(|)|| /т. е. пересечение
fl IIа Mil) также принадлежит V.
тег /
Другими словами, фильтр V в 21 (0\) называется
[^-фильтром, если он обладает свойством:
если || а II е V, а а есть замыкание формулы а, то || а II е V.
Символ 51 (9*\) будет обозначать множество всех элементов
|| а || е 51 (^t), где а —замкнутая формула. Очевидно, что 51 (0\)
замкнуто относительно псевдобулевых операций (J> П, =Ф> —
в 51 (<?\), т. е. 51 (^t) —подалгебра псевдобулевой алгебры 51 (<?\).
Для каждого множества s4> формул языка 3? символ Vo^ будет
обозначать множество всех ||а||е 5t(^t), где_ае^, а символ
Vo«* будет обозначать множество всех || а ||е 51 (<?\), где а —
замыкание формулы ав^ (все замыкания формулы а, в силу VI,
11.7, определяют один и тот же элемент в 51 (ФУ )). Символ Ул
будет обозначать множество всех || а || € Я (^ ), где а —
теорема в интуиционистской теории ЗГ = {i?, Я?%9 s4), a V,* будет
обозначать множество всех II а ||, где а — замкнутая формула,
являющаяся теоремой в Т. Определение V<* может быть
сформулировано следующим образом:
(1) ||a||eV^ втом и только в том случае, когда а —теорема в Т.
Множество V,* является пересечением:
(2) V^ = V^n«(^).
Скажем, что множество S элементов алгебры 5t(<?\)
^порождает (^фильтр V в 51 (0\) (или: является системой [^образую-
щих для V), если V — наименьший Q-фильтр, содержащий S.
10.1. Множество S/л является [\фильтром в 51 (<?\).
Множество Va# (^порождает {^-фильтр 1Л- Множество V0<* порождает
фильтр Ул в Я^).
Множество Ул — фильтр в 51 (0\). Множество Уол порождает
фильтр Ул в Я(£\).
По теореме о дедукции 9.2 а будет теоремой в £Г в том и
m
только в том случае, когда существует такая конъюнкция f]at
(-1

%щ
связь между теориями и фильтрами
49Э
замыканий формул аь из s&, что импликация
является предикатной тавтологией, т. е.
|(ns^«)|=ve*($\).
Другими словами, а будет теоремой в У~ в том и только в том
случае, когда существуют такие формулы ai ат в j$, что
т
Пи«<и<1И>
где с^—замыкание формулы a* (i = 1,..., гп). Этим
доказывается (в силу (1) и I, 8.1) первая часть теоремы 10.1.
Вторая часть следует из первой части и из (2).
Мы вывели первую часть 10.1 из теоремы о дедукции 9.2.
Дегко показать, что и, обратно, 9.2 немедленно следует из
первой части 10.1. Поэтому первая часть 10.1 является всего лишь
другой, алгебраической формулировкой теоремы о дедукции 9.2.
Она вскрывает алгебраический смысл множества аксиом и
множества всех теорем в интуиционистской теории.
10.2. Элементарная интуиционистская теория 9~ =
= {5", Wi, зФ\ непротиворечива^ в том и только в том случае,
когда фильтр Ул является собственным, т. е. когда фильтр V&
собственен.
Замкнутая формула а неопровержима в интуиционистской
теории $Г в том и только в том случае, когда интуиционистская
теория {&, ffi, s& U [а]} непротиворечива.
Поэтому замкнутая формула р не является теоремой
в &~ в том и только в том случае, когда теория {&, Vit si (J
U [—р]} непротиворечива. _
Первая часть 10.2 следует из определения S/л или Ул (см.
V, 14.1).
Вторая часть 10.2 следует из_ уже установленной части,
поскольку фильтр, порождаемый V0<* и || а || (т. е. V^ и ||а||),
собственен в том и только в том случае, когда —II a || ф. V^
(см. I, 13.9).
Третья часть 10.2 следует из второй, если в качестве а взять
формулу —р.
Можно сформулировать следующим образом вторую часть
теоремы 10.2, не требуя замкнутости рассматриваемой
формулы а: формула а(хи ..., хп) (здесь хи...,хп— все
свободные индивидные переменные этой формулы) неопровержима
в £Г тогда и .только тогда, когда интуиционистская теория
m
/=1

500 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН, f ЕОРИИ [ГЛ. X
S\ <&lt st>\)\\J ... (Ja(£i> •••» %п)]\ непротиворечива. Это ут-
верждение следует из второй части 10.2 и из того, что формула
a(Jti,... ,*п) неопровержима в Т тогда и только тогда, когда
формула (J...(Ja(ii, •••> £«) неопровержима в Т. Послед-
нее следует из определения формулы, неопровержимой в #~, и
из Пае), (Т37) (см. 6.3).
Беря в^последнем утверждении формулу —р(хь ..., хп) в
качестве a(xi,..., хп), мы получим следующее обобщение третьей
части 10.2: формула р(*ь ..., хп) (где х{, - -., *п — все
свободные индивидные переменные этой формулы) не является
теоремой теории Т в том и только в том случае, когда
интуиционистская теория J S£, <g\, a U [(J ... (J — Р(6Ь ..., g„)l}
непротиворечива.
10.3. Элементарная интуиционистская теория Т' — {9?, <&„
s4>'} является лингвистически инвариантным расширением
элементарной интуиционистской теории 3~ = {&', <&v s$>) в том и
только в том случае, когда Чл a V^, т. е. если Ул cz V^.
По определению Э~' является лингвистически инвариантным
расширением теории Т в том и только в том случае, когда
<g\ (s£) cz <g\ («s^')- В силу (1) это эквивалентно включению 1Л <= V^.
В силу (2) и 10.1 последнее включение эквивалентно V^czV^.
10.4. Интуиционистские теории Т = {&,<&„ Щ и 9~' =
= {«2?, *&„ s£'} эквивалентны^ том и только в том случае, когда
Ул = ^л', т. е. когда УЛ = УЛ,.
Это непосредственно следует из 10.3.
Мы дополним теорему 10.1 следующим замечанием:
10.5. Для каждого фильтра V в 31 (£\) существует такая
элементарная интуиционистская теория ST = {2'i<&>li S&}, что
V = V^ Более того, для каждой системы V0 образующих для V
можноjaK шбрать множество $Ф аксиом для Т', чтобы имело
место Vo = Va*.
Для каждого (^-фильтра V в % (£\) существует такая
элементарная интуиционистская теория 0~ = {3£, Wlt s&}> что V = V^.
Более того, для каждой системы V0 (^-образующих для V можно
так выбрать множество $6 аксиом для У', чтобы выполнялось
Vo = Vo.*.
Для каждого элемента eeV0 пусть ае — такая_ формула,
что ||aj|==e, и пусть $4< — множество всех ае (eGV0). Теория
<7":={ji?, «g^, s£\ обладает требуемыми свойствами.

§ 1Ц МАКСИМАЛЬНЫЕ ТЕОРИЙ S01
Теоремы 10.1, 10.4 и 10.5 устанавливают, что существует
естественное взаимно-однозначное соответствие между
[^-фильтрами в SI (0\), фильтрами в 31 (0\) и интуиционисткими
элементарными формализованными теориями, основанными на 5V,
эквивалентные теории при этом отождествляются.
При доказательстве следующей теоремы мы используем
более точные обозначения, введенные в VI, § 10, стр. 283: для
каждой формулы а символ ||а||^ будет обозначать
соответствующий элемент в алгебре 31 (£\) интуиционистского
предикатного исчисления 0\ = {i?, <&X а символ || а || <г будет
обозначать соответствующий элемент в алгебре 31 (ЗГ)
интуиционистской теории ^Г —{S7, SB„ s&}.
Если формулы (а=ф>р) и (р=ф>а) доказуемы в ^\, то они
также являются теоремами в &~. Отсюда следует, что равенство
h (|| а ||^) = || а Ц,
определяет отображение алгебры 31 (<?\) на 31 (Т\ Легко видеть,
что h — псевдобулев гомоморфизм и даже Q-гомоморфизм (это
следует из 1.1, (3) и (Q)). По определению h и V^ элемент h (\\ а ||^> \
является единичным элементом алгебры %{ЗГ) в том и только
в том случае, когда а —теорема теории Т, т. е. когда ||а||^ eV^.
Отсюда, в силу I, 13.4, следует:
10.6. Алгебра %(Т) интуиционистской теории Т = {&, <g\, s4)
изоморфна алгебре 31(<?\)/V^.
Теорема 10.6 дает метод построения алгебры 31 (^) из 31^).
§11. Максимальные теории
Напомним, что, в соответствии с V, § 14, непротиворечивая
теория Т — {2£, Фи s4] называется максимальной, если
каждое лингвистически инвариантное непротиворечивое расширение
теории &~ эквивалентно теории &~.
При первой характеристике максимальных теорий мы
используем обозначения V<*, S/л из § 10. Напомним, что 31 (£\)
является псевдобулевой алгеброй интуиционистского
предикатного исчисления 9?l=^{S>i <&19 0}. (^-фильтр V в 31 (<?\)
называется максимальным f^-фильтром, если он собственный и не
является собственным подмножеством никакого собственного
Р|-фильтра.
11.1. Для любой интуиционистской теории первого порядка
Т — {g, <g\, s&} следующие условия эквивалентны:
(i) &~ максимальна;

502 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
(и) ^л — максимальный [^-фильтр в 31 (£\);
(iii) Vл — максимальный фильтр в 31 (#\).
Теорема 11.1 следует из существования естественного
взаимнооднозначного соответствия между Р|-фильтрами в 51 (^t),
фильтрами в 51 (<?\) и классами эквивалентных теорий и из того,
что теория {<2\ Wl9 s4>'} является расширением теории {«S?, Ф^^Ф]
в.том и только в том случае, когда V^ с: V^', т. е. когда V^ с: V^-
11.2. Интуиционистская теория ЗГ = {2?, 9$^ s4>) является
максимальной в том и только в том случае, когда для каждой
замкнутой формулы а в точности одна из формул а и —а
будет теоремой теории Т. Другими словами, 9'является
максимальной в том и только в том случае, когда в Q-алгебре 31 (9~)
класс всех элементов || а II е Я Ц3~), где а — замкнутая
формула, является двухэлементной подалгеброй алгебры 31 (&~),
т. е. подалгеброй, состоящей только из А, V е 51 {Т), А Ф V.
Требование, чтобы для каждой замкнутой формулы а в
точности одна из формул а, —а была теоремой теории Т,
означает, что для любого элемента || а || в 91 (5\) в точности один
из элементов II а || и —1| а || принадлежит Vл- Поэтому, в силу I,
13.10, (п),_оно эквивалентно условию, что V^ — максимальный
фильтр в 31 {9*у), и, значит, в силу 11.1, условию, что 9"
максимальна. Вторая часть теоремы 11.2 следует из первой.
11.3. Если Т — {&, Ф\, $4*}—- максимальная интуционист-
ская теория, то каждая семантическая модель для Ф~
адекватна.
Предположим, что R есть семантическая модель для
максимальной теории ZT. Пусть si*' — множество всех формул,
общезначимых в R. По определению теория $~' — {9?, Ф^яФ'}
является расширением теории Т. 9~' непротиворечива, поскольку
R — модель для дГ\ Ввиду максимальности теории 9~ теория Т'
эквивалентна ей. По определению Э~\ R есть адекватная
модель для 9~'. Значит, R — также адекватная модель для
эквивалентной теории #"\
Заметим, что не каждая максимальная теория имеет
семантическую модель (см. 11.7).
11.4. Если интуиционистская теория 0~={&, 9if s4)
имеет адекватную семантическую модель, то ?Г — максимальная
теория.
Предположим, что семантическая реализация R языка &
является адекватной моделью для ЗГШ Для каждой замкнутой
формулы а в точности один из элементов aR, —ан равен единичному
элементу V. Поскольку модель R адекватна, мы заключаем
отсюда, что в точности одна из формул а, —а будет теоремой
теории Т. Значит, в силу 11.2 Т максимальна.

§ 11]
МАКСИМАЛЬНЫЕ ТЕОРИИ
503
11.6. Если R — семантическая реализация формализованного
языка 3! и «s^o — множество всех формул, общезначимых в R,
то каждая теория {&, V„ st], эквивалентная теории {<2\ Wlt «s$0}>
максимальна.
Действительно, R тогда является адекватной семантической
моделью для {&, <80 s&}.
11.6. Каждая непротиворечивая интуиционистская теория
ЗГ = {i?, V0 s4] может быть расширена до некоторой
максимальной теории Тъ = {&, <&„ «s^q}- __
Поскольку Т непротиворечива,_то, в силу 10.2, фильтр V^
собственный. В силу I, 8.4 фильтр V^ может быть расширен до
некоторого максимального фильтра V в 91 (£\). Пусть
$£о—какое-нибудь множество формул, для которого V = Ve*0 (см. 10.5).
В силу 11.1 теория Tq = {&, в\, s&o] максимальна. Ввиду 10.3
она является расширением теории £Г\
11.7. Существует максимальная интуиционистская теория
Т — {2?,9$„ s&}, не имеющая семантической модели.
Пусть Тц — {92, <&if [— а]}, где а — формула
П(ра)и-р<т
I
(р — некоторый одноместный предикат). Теория ^о имеет
модели, например описанную в § 6, (7), стр. 492,
топологическую реализацию /?. Поэтому Тъ непротиворечива. Пусть
ZT={&,c8y„s$\ — некоторое максимальное расширение теории Тъ
(см. 11.6). Теории Тъ и Т не имеют семантических моделей.
В самом деле, а является предикатной тавтологией. Поэтому,
в каждой семантической реализации R> olr(v) = V и, значит,
(—ol)r(v) = Л; это доказывает, что R не будет моделью ни для
^о, ни для Т.
Пример теорий &~q и Т показывает также, что
11.8. Существует такая непротиворечивая интуиционистская
теория {&, Я?„ s£}> что соответствующая классическая теория
{9£, <g?, зФ) противоречива.
Заметим также, что
11.9. Интуиционистская теория Т = {i?,®\, s4) имеет
семантическую модель в том и только в том случае, когда
соответствующая классическая теория &~о = {&, <ё7, s4] непротиворечива.
Пусть s&o — множество всех ^формул (Т12) в «S7, т. е.
множество всех формул (a U —а), где а — формула в &. Легко видеть,
что каждая семантическая реализация будет моделью для s&o.
Поэтому, если реализация R является семантической моделью
для ^, то она также является семантической моделью для
теории {&, 9\, $& U s£o}. Поскольку последняя теория эквивалентна

504 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
теории &~о (см. замечание в коцце § 1), R будет семантической
моделью для £Г0. В силу VIII, 2.4 <Г0 непротиворечива.
Обратно, если Тъ непротиворечива, то 3TQ имеет
семантическую модель R (см., например, VIII, 5.3). Реализация R
является также моделью для &~.
§ 12. Простые теории
В соответствии с V, § 14 непротиворечивая интуиционистская
теория Т = {3\У1Э s&) называется простой при условии, что
для любых замкнутых формул р, у
m если (р U у)— теорема теории Т,
' ' то либо р, либо у — теорема в ^.
Если (1) выполняется для всех (не обязательно — замкнутых)
формул, то ?Г называется сильно простой теорией. Ясно, что
каждая сильно простая теория проста.
Из определения немедленно следует, что (мы используем
обозначения § 10)
12.1. Интуиционистская теория Т = {&, ®\ ,_s&] будет
простой в том и только в том случае, когда фильтр V^ прост.
12.2. Интуиционистская теория Т = {&, <efl, s4>\ будет сильно
простой в том и только в том случае, когда f^-фильтр V<# прост.
Обобщая определение из VIII, § 12, стр. 372, мы будем
говорить, что интуиционистская теория Т = {&, Vt, s4>) является
[J-теорией, если для любой экзистенциальной формулы (Jp(|)
если (Jp(|)—теорема теории Т,
то существует такой терм т, что р(т) — теорема в 3".
Фильтр V в алгебре 31 (0\) интуиционистского предикатного
исчисления 9?1 = {2',<ё>1} называется {^-фильтром при условии,
что для каждой экзистенциальной формулы (Jp(|)
если
(3)
UP<a
V,
то существует такой терм т, что llp(t) II е V.
Из этого определения немедленно следует:
12.3. Интуиционистская теория Т-={&, *?\, s&) является
М -теорией в том и только в том случае, когда фильтр Vл
является [J-фильтром.
Теорема 8.1 утверждает, что интуиционистское предикатное
исчисление #\ является сильно простой теорией. Теорема 8.2
утверждает, что 5\ будет также [J -теорией,

§13)
КОНСТРУКТИВНЫЕ ТЕОРИЙ
505
Теорема 12.1 является интуиционистским аналогом части
теоремы VIII, 12.7. Остальная часть этой теоремы не находит здесь
аналогии: 9*1 является примером простой, но не максимальной
теории.
Теорема 12.2 является интуиционистским аналогом части
теоремы VIII, 12.8. Остальная часть этой теоремы также не имеет
здесь аналогии. Пример исчисления 9?1 показывает, что в
отличие от случая классических теорий, существуют интересные
сильно простые интуиционистские теории. Другие интересные
примеры получаются с помощью теоремы 13.6.
Теорема 12.3 является интуиционистским аналогом теоремы
VIII, 12.9.
В VIII, § 12 (стр. 373) мы доказали, что каждая
классическая сильно простая теория является [J -теорией. Это
утверждение не выполняется для интуиционистских теорий. Пример будет
приведен в § 13, стр. 510—512. В VIII, стр. 373, мы заметили, что
существуют классические (J-теории, не являющиеся ни
простыми, ни сильно простыми. Истолковывая эти теории как
интуиционистские теории (см. § 1, стр. 475), мы убеждаемся, что имеются
интуиционистские (J-теории, не являющиеся ни простыми, ни
сильно простыми. Подобным же образом мы получаем, что
существуют простые теории, не являющиеся сильно простыми (см.
VIII, § 12, стр. 372).
Поскольку любой максимальный фильтр в псевдобулевой
алгебре является простым (см. I, 12.1 и I, 9.1), то из 11.1 и 12.1
следует:
12.4. Каждая максимальная интуиционистская теория проста.
Отсюда вследствие 11.6 имеем:
12.5. Каждая непротиворечивая интуиционистская теория
может быть расширена до некоторой простой теории.
§ 13. Конструктивные теории
Интуиционистская теория называется конструктивной, если
она одновременно является и сильно простой теорией и (J
-теорией. Из теорем 8.1 и 8.2 следует, например, что интуицибнист-
ское предикатное исчисление (интерпретируемое как теория с
пустым множеством аксиом) является конструктивной теорией.
Из 12.2 и 12.3 немедленно следует:
13.1. Интуиционистская теория Т = {J?, ^, ,я£} является кон*
структивной в том и только в том случае, когда Р| -фильтр Vл
в алгебре % (5\) интуиционистского предикатного
исчисления £\ = {&, 9\} будет одновременно простым фильтром и
[J-фильтром.

506 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
Мы дадим сейчас характеристику конструктивных теорий
посредством моделей некоторого рода.
Пусть Т = {&, ff^stf) — непротиворечивая
интуиционистская теория. Пусть h — Q-изоморфизм алгебры %{Т) в алгебру
®(Х) всех открытых подмножеств некоторого топологического
пространства X (см. 1.1 и IV, 9.2) и пусть /?°—каноническая
реализация для Т, определяемая изоморфизмом h (см. § 3). По
определению R0—реализация в множестве всех термов Т и
в алгебре ®(Х). Согласно 3.2 /?° является адекватной моделью
для <Г\ Кроме того, в силу 3.2, (6) для любой формулы а
. а — теорема в Т в том и только в том случае,
'*' когда aR<>(i) = X,
где t — тождественная оценка.
В силу III, 5.1 X является открытым подпространством
одноточечной сильной компактификации Х0 пространства X. Ввиду
IV, 8.2 отображение
(2) hQ(A) = X(]A при Л<=©(*0),
где ®(Хо) —псевдобулева алгебра всех открытых подмножеств
пространства Х0, является псевдобулевым гомоморфизмом
алгебры ®(Хо) на ®(Х), сохраняющим все бесконечные
объединения и пересечения. Пусть R— реализация языка 3? в множестве
Т всех термов и в ®(Х0), определяемая следующим образом:
(3) Фд"Ф#о Для каждого m-местного функтора
(т = 0, 1,2, ...);
(4) pp(Ti, ..., тт) = \ f ч
\ / yr\ i> > m/ у Рд.(тр ..., тш) в противном случае
для любого m-местного предиката р (т = 1, 2, ...) и для
произвольных термов ti, ..., Tw.
Поэтому R также является канонический реализацией
термов. Как реализация предикатов, R является некоторой
модификацией реализации R0: в определении p#> нужно X везде заменить
на Х0.
Определяемая равенствами (3), (4) реализация R называется
характеристической реализацией для 9Г. По определению
R° = h0R
(здесь использованы обозначения из VI, § 6, стр. 269). Отсюда
следует (согласно VI, 6.6), что
(5) ^о(0 = ЛоК(0) = ^П^(0

§ 131 КОНСТРУКТИВНЫЕ ТЕОРИИ 507
для каждой формулы а и для тождественной оценки t.
Поскольку класс всех открытых подмножеств пространства Х0 состоит из
А'о и из открытых подмножеств пространства X (см. III, 5.1), то
для любой формулы а имеем
(6) либо aR(i) = X0, либо а^ (i) = а^0 (t);
(7) если а^о (0 Ф X, то а^ (t) = c^f (t);
(8) если aR(i) = XQt то aR.{i) = X.
13.2. Если характеристическая реализация R для Т является
моделью для 0~, то теория %Г конструктивна.
Доказательство является повторением доказательств 8.1 и 8.2.
Пусть R — модель для Т. Если (Р U Y) — теорема теории ё~% то
P*(i)UY*(i)«(PUv)*(i)-*o-
Поскольку Х0 сильно компактно, то по крайней мере одно из
открытых множеств P#(t), yR(i) равно Х0. Пусть, например,
$R(i) = XQ. В силу (8) р^о(:) = *, т. е., в силу (1), р будет
теоремой теории 9~.
Пусть теперь (Jp(g) —теорема теории Т. Ввиду VI, 7.1, (3)
г
Поскольку Х0 сильно компактно, по крайней мере одно из
открытых множеств Р(т)я(() равно Xq. Для соответствующего
терма т, согласно. (8), имеем р (т)^(0 = X, т. е., в силу (1),
Р(т)~ теорема теории Т.
Рассмотрим следующее свойство фррмулы а в
интуиционистской непротиворечивой теории Т\
(р) если а — теорема в Т, то
(9) Mi) = *o.
13.3. Множество S всех формул а интуиционистской теории
9~, обладающих свойством (р), удовлетворяет следующим
условиям:
(а) каждая элементарная формула принадлежит S;
(б) если р, y^S, то конъюнкция (р П y) e^;
(в) для любой формулы р отрицание —р е S;
(г) если v^S, то для любой формулы р импликация (р:ф
(д) если для любого терма х формула р(т) eS, to формула
ПР<б>е5-
(а) непосредственно следует из (1) и (4).

508 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
Для доказательства (б) предположим, что р, yeS и что
конъюнкция (р П y) является теоремой. Тогда р и у — также
теоремы теории Т и, в силу (р), ря(г) = Х0 = ун(г). Значит,
Для доказательства (в) заметим, что если — р — теорема,
то — p/?0(i) = X в силу (1). Значит, p/?0(t) = 0, а поэтому P^(t) = 0
согласно (7). Отсюда имеем (— р)д (i) = Х0.
Для доказательства (г) предположим, что (P=^y)—теорема
и yeS. Для краткости обозначим (Р=#^) посредством а. Мы
должны доказать (9). В силу (6) нужно рассмотреть три
следующих случая (i), (ii), (iii):
(0 Y*(i) = *o.
Тогда (9) имеет место (см. I, 12.2, (7)).
(И) Ы0 = *о.
Тогда из (8) и (1) следует, что р — теорема. Посредством modus
ponens получаем, что y — также теорема. Поскольку у ^ S,
имеем yh(1) = Хо. В силу уже разобранного случая (i) (9) имеет
место и в этом случае.
(iii) Ps(t) = P*o(t), Y*(0 = Y*.(t).
Поскольку а — теорема, то Р^0 (i) =Ф Y/^o (t) = СР =Ф Y>)^o (t) = X, т. е.
P^ofKv^fi)' Но это влечет (9).
Для доказательства (д) предположим, что для формулы
Р(дсо) при любом терме т имеем P(t)gSh что формула Р)р(|) —
теорема теории £Г. Тогда для любого терма т формула Р(т),
в силу modus ponens и (ТзО (см. стр. 488), является теоремой
теории fT\ Значит,
Р(т)л(0==^о для любого терма т.
Отсюда с помощью VI, 7.1, (3') получаем
(Г)Ш) (i)= Г) Р(*ЫО = *о.
13.4. Все формулы конструктивной интуиционистской теории
&~ обладают свойством (р).
Докажем сначала, что в случае конструктивности теории 9~\
определенное в 13.3 множество S удовлетворяет также
следующим условиям:
(е) если р, y ^ S, то дизъюнкция (р U у)^ 5;
(ж) если для каждого терма х формула р(т) eS, to
формула (Jp(|)eS,
I

§ 13] КОНСТРУКТИВНЫЕ ТЕОРИИ 509
В самом деле, пусть (р U y) —теорема теории Т и р, у
обладают свойством (р). Поскольку У~ — конструктивная теория, то
по крайней мере одна из формул р, у, например р,— теорема
теории Т. Ввиду того, что р обладает свойством (р), имеем
Mt) = Xo> откуда.следует, что (Р(J y)R(t) = *о-
Пусть теперь формула (Jp(g)—теорема и при каждом
терме т формула Р(т) е S. Поскольку <Г конструктивна, то, при
некотором терме т, Р(т) —теорема, а значит,
р(т)я(г) = Х0.
Ввиду того, что /yp(g)) (f)=UPW*W (В С*ЛУ VI, 7.1, (3)),
\ l IR ter
мы получаем, что (UP(£)) (*) = ^о-
Поскольку множество S удовлетворяет условиям (а), (б),
(в), (г), (д), (е), (ж), оно совпадает с множеством всех формул.
В самом деле, из (б) — (ж) следует, что множество всех__эле-
ментов |а|, где aeS, является подалгеброй Q-алгебры {Z7, U,
П, =ф, —, (J* Г)} языка & (см. VI, § 4). В силу (а) это
множество содержит все элементы |а|, где а — элементарная
формула, т. е. содержит систему образующих для Q-алгебры F.
Значит, это множество совпадает с F. Если aeS и р конгруэнтно
а, то Р также принадлежит S. Отсюда следует, что все формулы
содержатся в S.
13.5. Непротиворечивая интуиционистская теория У =
= {&, Фи £&\ конструктивна в том и только в том случае, когда
ее характеристическая реализация R является моделью для &~*).
Ввиду 13.2 достаточно показать, что если 9" конструктивна,
то все аксиомы из s£ общезначимы в R.
Пусть v: V-+T—какая-нибудь оценка. Интерпретируя v как
подстановку, имеем, в силу VI, 6.7,
MiO — o'Mt),
где v'a — результат подстановки v в а.
Если ае.9/, то формула v'a — теорема теории ^.Поскольку,
в силу 13.4, формула v'a удовлетворяет условию (р), имеем
v'aR (t) = X0. Значит,
ад {v) = Х0
для каждой оценки v, чем доказывается общезначимость
каждой аксиомы аЕ^вЛ
*) Понятие конструктивных теорий и теоремы 13.2—13.6 принадлежат
Р а с ё в о й [4], [5].

510 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
Пересечение F* всех множеств S, удовлетворяющих условиям
(а), (б), (в), (г), (д), также удовлетворяет этим условиям. Это
наименьшее множество (формул), для которого выполнены
условия (а) —(д).
13.6. Если система stf> аксиом непротиворечивой
интуиционистской теории &~ = {S7, Фи s&] содержится в F*, то &~
конструктивна.
В частности, если аксиомы теории &~ не содержат знака
дизъюнкции и квантора существования, то 0~ конструктивна.
Заметим сначала, что если формула asf* и v: V-*T —
какая-нибудь оценка, то подстановка v'a также принадлежит
F*, а значит, в силу 13.3, удовлетворяет условию (р).
Предположим, что s&cnF*. Если aei, то формула v'a—
теорема теории ^Г\ Значит,
aR(v) = v'aR (t) = Х09
так как v'a обладает свойством (р). Последнеегтождество
доказывает, что характеристическая реализация R является.моделью
для Т. В силу 13.2 теория Т конструктивна.
Вторая часть теоремы 13.6 следует из первой, поскольку
множество Т7* содержит все формулы без знака дизъюнкции и
квантора существования.
Теорема 13.6 дает простой способ построения конструктивных
теорий. Однако признак в 13.6 является достаточным, но не
необходимым условием для конструктивности теории. Так, например,
теория ^~ = {«2\ Фи £&}, где зФ — множество всех
интуиционистских тавтологий, не подходит под этот признак, но является
конструктивной ввиду ее эквивалентности интуиционистскому
предикатному исчислению #\ = {«2\ Фи 0}.
В V, § 13 мы определили классические теории Т = {5?, Ф, s4]
для порядка, предпорядка, линейного порядка, решеток, дистри-.
бутивных решеток и булевых алгебр. Заменяя в этих
определениях классическую операцию присоединения следствий Ф на
интуиционистскую операцию, присоединения следствий Фь и
оставляя неизменными язык & и множество аксиом j^, мы
получим интуиционистские теории порядка, предпорядка и т. д.
Из 13.6 немедленно следует, что все эти теории являются
конструктивными. То же замечание справедливо для теории групп,
основанной на аксиомах V, § 13, (В,), (Вг), (Вз).
Интуиционистская теория ^"={57, Фи Щ, где & — язык формализованной
арифметики из V, § 13, Г), а si — множество всех аксиом для
арифметики, но с ограничением схемы индукции до формул
из Т7*, —также конструктивная теория.
Мы можем теперь привести пример сильно простой теории
0" ~{3?, Фи <&}у которая не будет конструктивной, т. е. не
является N-теорией (этот пример был анонсировал в конце § 12,

$13}
КОНСТРУКТИВНЫЕ ТЕОРИИ
511
стр. 505). Пусть & — формализованный язык первого порядка,
содержащий единственный одноместный предикат р и не
содержащий функторов. Теория ^ = [i?, ®\, |"ljp(i)l] обладает
нужными свойствами.
В самом деле, термы в Т исчерпываются свободными
индивидными переменными. Однако ни одна из формул р(дс) не
является теоремой в ЗГ, ибо легко определить семантическую
модель для If, в которой р(л:) не будет общезначимой
формулой. С другой стороны, теория ?Г сильно проста. Для
обоснования этого введем вспомогательную теорию Т' = {9?', <g\, [p(c)]},
где i?' — язык, получаемый из 9£ добавлением индивидной
константы с. Несложно построить семантическую модель для Т'.
Поэтому Т' непротиворечива. Поскольку (Jp(£) ~~ теорема в Т\
теория Т' является расширением теории Т. Более того,
У — несущественное расширение теории Т. В самом деле,
предположим, что формула а в ^-не теорема теории (Г. По
теореме о дедукции 9.2 формула ((J р Ш =Фа) не является
S
интуиционистской тавтологией, т. е. неравенство
не выполняется в псевдобулевой алгебре 51 (0\)
интуиционистского предикатного исчисления £\ = {&, ^J (V, как обычно,
обозначает множество всех свободных индивидных переменных
языка &). Поэтому для некоторой свободной индивидной
переменной х0 неравенство
(Ю) IIP Ы II < II а ||
не выполняется. Пусть /?° — каноническая реализация языка SB
в алгебре 51 (0\) (см. § 3 или VI, § 7). Расширим R0 до
реализации R' для i?', определяя cR' = x0. Тогда имеем p(c)R,=
=Нр(*о)И к> далее,
(р {с) =# a)R, (0 = р (c)R, (О =Ф *# (0 =
= llp(^o)ll=#a/?o(0 = llp(^o)ll#llall^V
в силу 3.1, (5) (где в качестве h нужно взять тождественное
отображение) и (10). Этим доказано, что импликация (р(с)=$>а)
не является интуиционистской тавтологией, т. е. (в силу теоремы
о дедукции 9.2) а не будет теоремой теории &~'. Это доказывает
несущественность расширения У теории Э~. Пусть теперь
формула (р U у) —теорема в &~. Тогда она также является теоремой

512 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
и в Т'. Поскольку, ввиду 13.6, 3~г— конструктивная теория, то
одна из формул р, y» например р, является теоремой теории Тг.
Так как 3~г — несущественное расширение теории £7", то р —
теорема теории Т. Значит, Т — сильно простая теория.
§ 14. Устранение начальных кванторов в формулах (J -теории
Пусть
(1) Xq9 Х\, ЛГ2, . . .
— фиксированная последовательность различных свободных
индивидных переменных в языке & первого порядка.
Если первый знак формулы а в языке SB — квантор, то пусть
2(a) означает множество формул в ^определенное следующим
образом:
1) если а имеет вид f)p(£), то 2(a) состоит из одной фор-
*
мулы Р(*г), где Xi — первая свободная переменная в
последовательности (1), не встречающаяся в а;
2) если а имеет вид (Jp(|), T0 ^{а) состоит из всех формул
Р(т), где т — любой такой терм, что все свободные индивидные
переменные, встречающиеся в т, входят в а, если такие термы
вообще существуют; если же термов с таким свойством нет, то
2') 2(a) состоит из всех, формул р(т), где т — любой такой
терм, что хо — единственная свободная индивидная переменная,
встречающаяся в нем.
14.1. Формула а, начинающаяся со знака квантора, является
теоремой (J -теории 9~ — {2?, Wlt s£) в том и только в том
случае, когда по крайней мере одна из формул в 2(a) является
теоремой теории Т.
Если первым знаком формулы а является квантор общности,
то 14.1 следует из VI, 11.4 и (T3i), см. стр. 488 (условие, что 9~Л
является (J-теорией, в этом случае излишне).
Пусть теперь а имеет вид (Jp(|). Если одна из формул
Б
в 2(a) будет теоремой теории #", т. е. если при некотором терме
т, удовлетворяющем условиям, описанным в 2) или 2'), формула
Р(т) является теоремой теории £Г, то по правилу modus ponens
и в силу интуиционистской тавтологии (Т32) (JP (£) тоже является
теоремой теории 3". Обратно, если (Jp(|) — теорема, то суще-
ствует такой терм т', что р(т')—тоже теорема. Пусть терм т
получается из %' замещением всех свободных индивидных пере*

§ 151
ТЕОРИИ СО ЗНАКОМ РАВЕНСТВА
513
менных, не встречающихся в а, некоторой фиксированной инди*
виднбй константой или некоторой свободной индивидной пере*
менной, встречающейся в а, — в случае 2) и переменной дсо —
в случае 2'). Тогда Р(т) получается из р(т') описанной только
что подстановкой. Поскольку р(т')—теорема, то р(т)—тоже
теорема по правилу (г2) подстановки вместо индивидных
переменных. По определению р(т) gZ(«).
Рассмотрим теперь формулу из & вида
(2) ai.-'-ayb^i.—. it).
где В1, ..., Ek — кванторы общности или существования. Мы
определим множества формул Z0, ..., Zfc следующей индукцией:
ZQ содержит только формулу (2); при i < k Z*+i является
объединением всех множеств Z(a), где a — произвольная
формула из Z*.
14.2*). Формула (2) является теоремой [^-теории 0~—
= {&, ffi, si] в том и только в том случае, когда по крайней
мере одна из формул в Zh будет теоремой теории 3~.
Если Ро — открытая формула, то все формулы в Zh открыты.
Если 3? содержит только конечное число индивидных
констант и не содержит никаких m-местных функторов при m > О,
то множество Zk конечно.
Из 14.1 индукцией по i легко следует, что (2) есть теорема
теории 0~ ув том и только в том случае, когда в Z\ имеется
теорема теории Т. При i = k получаем первую часть 14.2.
Остальные части 14.2 следуют непосредственно из
определения Zi_.
§ 15. Теории со знаком равенства
Предположим, что Т = {S7, Vif s4] — формализованная
теория со знаком равенства е. Напомним, что, в соответствии с V,
§ 12, стр. 224, это означает, что аксиомы равенства (см. V, § 12,
(ei) — (65)) содержатся в множестве $£ математических аксиом
для Т.
Пусть R — модель для $Г в некотором множестве / ф О и
в некоторой псевдобулевой алгебре A. R называется
семантической реализацией знака равенства е, если для любых /ь /2 е /
(1) tR{jltj2)=V или Л.
R называется ординарной реализацией знака равенства е, если
(2) ед(/ь/2)—V в том и только в том случае, когда /i—/2.
*) Расёва и Сикорский [5], Расёва [4], [5].

§14 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
Таким образом, R называется ординарной семантической
реализацией знака равенства е, если
( V,
(3) tRQu /2)=j л>
если ]Х = Ь
если ji¥*i2.
15.1. Если интуиционистская теория Т = {3?t Wy., s4) со
знаком равенства е имеет модель R в некоторых псевдобулевой
алгебре А и множестве J Ф О, то W имеет ординарную модель
R' в А и в множестве //~, где ~ определяется следующим
образом: для произвольных ju /2 ^ /
(4) h~h в том и только в том случае, когда tR{ju /2) = V
Из аксиом V, § 12, (ei) — (ез) следует, что отношение ~,
определяемое посредством (4), является отношением
эквивалентности. Обозначим посредством |/| тот элемент из //~,
который определяется элементом / е/. Из аксиом V, § 12, (е4),
(es) следует, что равенства
(5) Ф*'(|Л| |/т|) = |ф/?(/р ••- /J|.
(6) P«'(|/l|» ••- |/m|)-Pi?(/p ••- /m).
где ф — произвольный m-местный функтор (т=0, 1, 2, ...),
а р — произвольный т-местный предикат (т=1, 2, ...),
определяют реализацию R' для i?. Поскольку функция ц/) = |/|
отображает / на //~, причем выполняются условия (5), (6),
то из 2.8 следует, что R' — модель для 9~. В силу (6) и (4)
*Я'(|Л|» | /21)=== V в том и только в том случае, когда е^^, /2) =
= V, т.е. когда ^(^/г!. Поэтому R'— ординарная
реализация знака е.
В силу 3.6 и 15.1 каждая непротиворечивая
интуиционистская теория со знаком равенства е имеет модель (и даже
адекватную топологическую модель), являющуюся ординарной
реализацией знака е..Однако непротиворечивая интуиционистская
теория со знаком равенства е не всегда имеет модель,
являющуюся семантической реализацией знака е.
Пусть, например, SB— такой язык первого порядка, что
в SB нет функторов и имеется единственный предикат, а именно
знак равенства с. Пусть si содержит все аксиомы равенства
V, § 12, (ei) —(е3) и формулу а:
^ПЛ(е^и-еаг1)).
Теорий £Г = {«2\ Я?и <&} непротиворечива, ибо она имеет
модель R в множестве / всех рациональных чисел и в псевдобу*

§15]
ТЕОРИИ СО 3HAKOM-PABEHCTBA
515
левой алгебре ®(А"), где X — пространство всех действительных
чисел. А именно, равенство
е/г (/i, /2) = I (X — I <Л, /2»,
где (/ь /г) — интервал с конечными точками /ь /2 е /, задает
требуемую модель. С другой стороны, у &~ нет модели, которая
была бы семантической реализацией знака е, поскольку для
каждой реализации R, удовлетворяющей условию (1), имеем
OLr = Л.
Пусть теперь 9~ = {&, Vi9 s&}—- какая-нибудь
интуиционистская теория без знака равенства. Пусть &'—формализованный
язык, получаемый добавлением к SB двуместного предиката с.
Пусть $6' — множество, состоящее из всех формул
множества $£ и из всех формул языка SB', являющихся аксиомами
для равенства V, § 12, (ei) — (es). Па определению ЗГ' =
= {<2>/, ^i, зФ'} является интуиционистской теорией со знаком
равенства с. В этих обозначениях имеем следующую теорему:
15.2. Каждая модель R для Т может быть расширена до
такой модели теории &~г, которая является ординарной
семантической реализацией знака е. Теория &~' является несущественным
расширением теории %Г. Следовательно, 0~г — непротиворечивая
теория в том и только в том случае, когда непротиворечива 3~.
Если Т конструктивна, то 0~' также конструктивна.
Если R — реализация языка SB в множестве /=£0 и в
псевдобулевой алгебре А, то пусть R' — следующее ее расширение:
принимаем дополнительно
,. .* f V, если Л —/2,
*R>[)vh)~\ Л> если ]хФ]ъ
для всех /ь /г е /.
Легко видеть, что R' будет моделью для всех аксиом V, § 12,
(ei) — (es). Кроме того, если а — произвольная формула
языка 2\ то
(7) afl(t>) = a#'(u) для любой оценки v: K->/,
поскольку реализация R' является расширением реализации /?.
Из этих замечаний следует, что R будет моделью для 0~
в том и только в том случае, когда Rr — модель для ЗГ'. Если
формула а в SB—теорема теории ?Г, то, разумеется, она будет
теоремой и в ЗГ\ Обратно, если формула а в SB не является
теоремой теории #~, то существует такая модель R для #", что
а не общезначима в R (см. 3.5). Тогда R' будет моделью для
Ф~\ причем а не общезначима в R'. Следовательно (ввиду 2.2),
а не есть теорема теории ST'. Итак, {Г'«=* несущественное
расширение теории Т*

516 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
Если применить первую часть 15.2 к характеристической
реализации теории $Г (см. теорему 13.5), то мы докажем вторую
часть этой теоремы.
§ 16. Открытые интуиционистские теории
Напомним, что теория Т = {SB, Vu s£) называется
открытой, если открыты все формулы из $$>, т. е. если все
математические аксиомы теории не содержат кванторов.
Если SB—{А, Т, /^ — формализованный язык первого
порядка, то 2?°={А°, Т, F0} будет, в соответствии с V, § 14 и VI, § 9
(стр. 240 и стр. 281), обозначать язык открытых формул
языка SB* Напомним, что А0 — это алфавит, получаемый из
алфавита А языка SB опусканием кванторов и связанных
переменных, а множество 7го формул языка j?° — это множество всех
открытых формул языка SB.
Символ <&\ будет обозначать интуиционистскую операцию
присоединения следствий в 2>0, определяемую (см. V, § 10, (S),
стр. 214) правилом modus ponens (т{) и правилом подстановки
вместо свободных индивидных переменных (г2), а также
множеством бФ\ логических аксиом, состоящим из всех формул
вида IX, § I, (Ti) —(Тп), где а, р, у — произвольные формулы
из F0. В соответствии с определением, для любого множества S
формуй языка i?° множество ^(S) состоит из всех формул
языка SBQ, выводимых из S с помощью (г<), (г2) и логических
аксиом из st>\ (см. V, § 9). В силу V, 10.2 Vf(S) — это
наименьшее множество (формул языка SB®), содержащее S и зФ\
и замкнутое относительно правил вывода (г^, (г2). По
определению V\{S) состоит только из открытых формул языка SB.
Кроме того,
(1) ^(SJcze^S).
Произвольное множество открытых формул s4> однозначно
определяет две интуиционистские теории, а именно открытую
теорию Т = {SB, Фи s4) первого порядка и вспомогательную
теорию ^°={i?0, Ф*>, s&}. Формулы из ^(st) называются
теоремами теории £ГЧ
В соответствии с VI, § 10 алгебра % (9го) теории &~° — это
фактор-алгебра Т70/^, где ~—следующее отношение
конгруэнтности в алгебре открытых формул {F°9 U, П, =>, —}:
а ~ р в том и только в том случае,
(2) когда обе формулы (оь^фр) и (р=#><х) являются теоремами
теории £Г°, т. е. принадлежат ^°(«я£).
Теорема 16.1 немедленно вытекает из VI, 10.4, 10,5 и 10.7;

§ 161 ОТКРЫТЫЕ ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ТЕОРИИ 517
16.1. Алгебра %{Т°) теории Т°={3?ъу <&*, s4>) является
псевдобулевой алгеброй. Кроме того, для любых формул а, р в i?°
I«| UI РI = I Г« U Р; I, |а|П1Р1 = 1ГаПР)|,
() |а|=Ф1Р1 = 1(а=ФР)1, — I «| = | — сх |.
Отношение
(4) |а|<|р|
имеет место в том и только в том сл\$яае, когда (ad$ p) —
теорема теории !Г°. Элемент \а\ является единицей алгебры
91 (&~°) в том и только в том случае, когда а — теорема теории
9~*. Псевдобулева алгебра 91 (#"°) будет невырожденной тогда
и только тогда, когда теория ЗГ° непротиворечива, г. е. когда
Предположим, что теория &~° непротиворечива. Пусть h —
псевдобулев гомоморфизм алгебры % (£Г°) в полную
псевдобулеву алгебру А. Пусть /?° — реализация языка & в множестве Т
всех термов и в псевдобулевой алгебре Ау определяемая
следующим образом:
(a) R0 — каноническая реализация термов, т. е. (см. VI,
§7, (1))
(5) Ф*о(ТР '•" Т«) = Ф(Т1 •'• Хт)
для любого m-местного функтора ф в 9? (т = 0, 1, 2, ...);
б) для каждого m-местного предиката р в 3! (т= 1, 2, ...)
(6) Рл.(тР ..., *J==4KTi •••'0|).
где хи ..., ' хт — произвольные термы.
Напомним, что любая, оценка v: V-+T является также
подстановкой в 9?. При любых терме т и формуле а символы vx
и v'a обозначают результат подстановки v в т и а
соответственно. В частности, для тождественной оценки t имеем (т=т
и t'a=a. При этих условиях и в этих обозначениях
справедлива следующая теорема:
16.2. Для произвольных терма х и открытой формулы о, в 3?
(7) •xr*{v) = vx,
(8) a*(v) = h(\v'*\)
при любой оценке v: V-*7\ В частности, в случае тождествен-*
ной оценки х
(9) aR,(i) = h(\a\).
Тождество (7) было доказано э VI, 7.1,

518 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
В силу VI, 9.3 для каждого фиксированного v обе части (8),
рассматриваемые как функции от а, являются гомоморфизмами
алгебры открытых формул F0 в А (см. VI, § 9). Из (6) и (7)
следует, что оба гомоморфизма совпадают на множестве всех
элементарных формул, а это множество порождает алгебру F0.
Значит, гомоморфизмы равны, т.е. имеет место (8).
(9) немедленно следует из (8).
Из 16.2, (8) получаем:
16.3. /?° является моделью для открытой интуиционистской
теории ?Г в множестве всех термов Т и в псевдобулевой
алгебре А.
Применяя терминологию VI, § 7 для канонических
реализаций, назовем /?° канонической моделью, определяемой
гомоморфизмом h.
16.4. Открытая формула является теоремой в открытой
интуиционистской теории Т = {2£, %\9 $4) в том и только в том
случае, когда она является теоремой теории &~°= [2?°, #£, ^} *).
Символически:
(10) ^(^) = <g?l(^)n/70,
где /^—множество всех открытых формул языка 9?.
В силу (1) достаточно доказать, что если открытая
формула а не является теоремой теории ^Г°, то она не будет также
и теоремой теории *#"*. В силу IV, 9.1 или 9.2 существует
изоморфизм h алгебры % (&~°) в некоторую полную псевдобулеву
алгебру А. Если а — не теорема теории ^Г°, то |а| не является
единичным элементом алгебры 91 (^°). Из (8) следует, что
формула а не общезначима в канонической модели R0 для 0~,
определяемой изоморфизмом h. Значит, в силу 2.2 а — не
теорема теории 3~.
Теорема 16.4 называется теоремой об элиминации кванторов
в формальных доказательствах. Поясняя это название,
напомним, что а — теорема теории W, если существует
последовательность ai, . • •» ап, являющаяся формальным
доказательством формулы авГ. Теорема 16.4 утверждает, что если У~ —
открытая теория и открытая формула а имеет в Э~ формальное
доказательство, то а имеет также формальное доказательство,
состоящее из бескванторных формул.
Пусть % (Т) — алгебра теории Т = {&, Ч?и s4}. Напомним,
что элементами алгебры 91 (&~) являются классы
эквивалентности ||а|| следующего отношения «:
,.|v а«рв том и только в том случае, когда обе формулы
•I11) (а:ф Р) и (р=фа) являются теоремами теории <Г.
*) Ра сев а [6], Щ.

§ 16] ОТКРЫТЫЕ ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ТЕОРИИ 5lS
Из определений (2) и (11) и из теоремы 16.4 следует, что
для любых открытых формул а, р
(12) а~р в том и только в том случае, когда а « р.
Пусть 51°(Т) обозначает подалгебру алгебры % {&~)>
состоящую из всех элементов ||а||, где а — открытая формула.
16.5. Отображение
uo(|a|) = ||a|| (a открыта)
является изоморфизмом псевдобулевой алгебры % (&~°) на
псевдобулеву алгебру %°(ЗГ).
Теорема 16.5 следует прямо из (12).
16.6. Каждая непротиворечивая открытая интуиционистская
теория '£Г = {2\ Vi, s&} имеет семантическую модель в
множестве всех термов.
Пусть V — максимальный фильтр в псевдобулевой алгебре
% (<Г°) и пусть ft — естественный гомоморфизм алгебры 51 (f7~°) на
A==$(<T°)/V. Каноническая модель R0, определяемая
гомоморфизмом- ft, обладает нужными свойствами. В самом деле, она
является моделью в множестве Т всех термов и в Л. В силу
I, 13.10 и II, § 4 А является двухэлементной булевой алгеброй,
т. е. R0 — семантическая модель.
В соответствии с общим замечанием в § 1, стр. 475,
классическое предикатное исчисление {i?, ^, 0}, можно
интерпретировать как интуиционистскую теорию {3?, Ф\, «s#0}, где s&q —
множество всех формул вида (a U — а) (а — произвольная
формула языка j?).
16.7. Классическое предикатное исчисление,
рассматриваемое как интуиционистская теория, не эквивалентно никакой
открытой интуиционистской теории.
Предположим, что открытая интуиционистская теория
Т = {$?, Vi9 s4) эквивалентна теории {&, <g\, s&0}. Формулы из зФ
должны быть открытыми классическими тавтологиями.
Пусть X — пространство всех рациональных чисел и пусть
/ — множество всех положительных целых чисел.
Предположим, что язык 9? содержит одноместный
предикат я. Пусть R — следующая реализация языка З'в/кв ®(Х\:
(13) Фя(/ь ..., /т)=1 Для всех ju ..., /те/,
и при любом т-местном функторе <р (т==0, 1, 2,...)
Яд(/) = множеству всех таких xsJf, что
(14) т/Т VI
-1--£р<*<1+-^ для всех /е-/;
(15) p*(/i, ..., /m) = * для всех /»..., /m^S
и для всех m-местных предикатов р, отличных от я (т = 1,2, .. .)•

§20 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИЙ [ГЛ. X
По определению значениями отображения рн являются при
любом предикате р одновременно открытые и замкнутые под*
множества пространства X. Поэтому (см. последнюю часть IV,
1.4) для любой открытой формулы а и для любой оценки v
множество ад (а)'одновременно открыто и замкнуто в X. Если
а — открытая классическая тавтология, то aR(v)=X для
каждой оценки у, поскольку aR(v) является замкнутым и
плотным подмножеством пространства X (см. 7.2). Этим доказано,
что R — модель для i7"\
Пусть р — формула f]n(l). Согласно (13) и (14)
1
Ря=множеству всех таких х ^ X, что —1 < х < 1
Значит,
—рй=множеству всех таких х е X,
что либо х < —1, либо х > 1.
Отсюда следует, что (Р U — Р)д = X — [— 1, 1] Ф X.
Следовательно, (Р (J — pj не общезначима в модели R и не является
теоремой теории Т. Это противоречит предположению, что Т
эквивалентна теории {&, f\, s&o}.
Если SB не содержит одноместных предикатов, то в качестве
я можно взять любой другой предикат. Определение (14) и
некоторые детали доказательства требуют тогда очевидных
модификаций.
§ 17. Теорема о дедукции для открытых
интуиционистских теорий
Так называется следующая теорема:
17.1. Открытая формула а является теоремой открытой
интуиционистской теории Т — {&\ <&ч s4>) в том и только в том
случае, когда существуют такие подстановки $и ..., sn в
аксиомы ось ..., ап из зФ, что импликация
(1) rfW,#a;
является интуиционистской предикатной тавтологией.
Если <Xi — аксиомы из «я£, то формулы s^a* суть теоремы
теории 9~ в силу правила (г2) подстановки вместо свободных
индивидных переменных. Поэтому конъюнкция в левой части
импликации (1) также является теоремой теории ST (см. VI,
10.8). Если (1)—интуиционистская тавтология, то (I) будет
также теоремой теории £Г; посредством modus ponens
получаем, что и a — теорема теории #"■.

§ 18) ТЕОРЕМА О РАСШИРЕНИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ РЕАЛИЗАЦИИ 521
С другой стороны, множество S0 таких открытых формул а,
что для некоторых подстановок s\, •.., sn и некоторых аксиом
ai, .... an из rf импликация (1) является интуиционистской
тавтологией, содержит все математические аксиомы а из st>
(берем /i=l, a в качестве ai и тождественную подстановку в
качестве Si). S0 содержит также все логические аксиомы (Ti) —
,(Тц) (берем произвольные Si, ..., sn и ai, ..., an^s&).
Множество S0 замкнуто относительно правила (г2) подстановки
вместо свободных индивидных переменных, ибо если s —
произвольная подстановка, а (I)—интуиционистская тавтология, то
формула
п
*-i
— также интуиционистская тавтология как результат
подстановки s в тавтологию (1). Множество S0 замкнуто также по
отношению к правилу modus ponens (n). В самом деле,
предположим, что а и (а =£> Р) принадлежат So, т. е. существуют
такие подстановки s\, ..., sn* ..., sm и аксиомы ai an, ...
... t am € •*£, что как (1), так и формула
т
являются интуиционистскими тавтологиями. Пусть y — конъюнк-
tn
ция f^S/a,. В силу 2.1, IX, 4.1, (Ti3) и modus ponens фор-
мулы
(Y=#a) и (Y=#Ca=#p))
являются интуиционистскими тавтологиями. Используя
интуиционистскую тавтологию (Т68) (см. JX, 4.1) и правило modus
ponens, заключаем, что формула (yd$> p) — интуиционистская
тавтология. Значит, р ^ So.
Поскольку S0 содержит бФ и все логические аксиомы (Ti) —
(Тп) и замкнуто относительно (п), (гг), мы заключаем, что
<&Q(s4>)cz S0. В силу 16.4 ^($6) является множеством всех
открытых формул — теорем теории ЗГ. Поэтому каждая открытая
теорема теории 9~ принадлежит So, что и завершает доказатель-
ство 17.1.
§ 18. Теорема о расширении топологических реализаций
Теорема этого параграфа является интуиционистской
заменой теоремы VIII, 8.1 о расширении семантических реализаций
языка 5? до реализаций богатого расширения &' языка 3?.

522 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ X
Напомним, что под богатым расширением языка SB первого
порядка мы понимаем язык SB', построенный следующим
образом (см. VIII, § 8, стр. 353—354):
Возьмем в качестве SBq язык SB\ Предположим, что язык SBn
уже определен и Еп — множество всех экзистенциальных
формул языка &т не принадлежащих &п-\. Тогда 2?n+i —это
расширение языка &п, получаемое добавлением такого множества
*¥„, новых функторов, что существует взаимно-однозначное
отображение \|)п множества Еп на Ч'п со следующим свойством:
если формула а е Еп содержит ровно т свободных
индивидных переменных, то ее образ ^ является m-местным функтором.
Язык SB' является объединением всех языков j?n, т. е. SB'
получается из SB добавлением объединения ЧР" множеств функторов
То. Vb W2i ...
Множество Е' экзистенциальных формул языка SB' является
объединением непересекающихся множеств E0i £If E2, ..., а
значит, функции г|)п совместно определяют взаимно-однозначное
отображение г|) множества Е' на 4f. Для каждой экзистенциаль*
ной формулы а в SB' с т свободными индивидными
переменными, т. е. для каждой формулы вида
(1) (JP(6. *!.•••.*«).
I
образ г|)а формулы а является m-местным функтором. В
соответствии с VIII, § 8 формулу
(2) Р(Фа(*1 ••• *т), *и -", Хт)
мы будем обозначать посредством а'.
18.1. Пусть R — топологическая реализация языка SB в
множестве 1ф0 и в алгебре ®(Х) всех открытых подмножеств
топологического пространства X и пусть р — фиксированная точка
пространства X. Реализация R может быть расширена до
реализации Rp (в J и ©(^)) богатого расширения SB' языка SB,
причем так, что для каждой экзистенциальной формулы а в SB'
и для каждой оценки v
(3) если рбай (v), то pGaJ (а).
Мы определим по индукции последовательность
реализаций Rn языков SBn в J в ®(Х) так, что при этом Rn+l будет
расширением реализации Rn и R0 совпадает с /?. Пусть Rn уже
определена. Для определения /?п+1 достаточно определить Ф/?/г+1
для каждого m-местного функтора ср из Ч'„ (т = 0, 1,2,...).
Имеем Ф=='Фа Для некоторой экзистенциальной формулы a
вида (1), где $(х, хи ..., хт) — формула языка SBn. По
предположению индукции aRj% и р^ уже определены. Мы используем

§ 19J ЭЛИМИНАЦИЯ НАЧАЛЬНЫХ КВАНТОРОВ ИЗ АКСИОМ ТЕОРИИ 523
обозначения из VI, § 6, стр. 264, для значений отображений <хл
и р^. Пусть /ь ..,, jm — произвольные элементы из /. Если
P-&aRn (/i> •*•> /«)» т0 мы определяем <рЛ/г+1 (Ju ..., jm)
произвольным образом. Если же
(4) р €= aRJjb ..., jm)= \J Рдя(/, /ь ..., /т),
то существует такое /0*=/, что рерЛя(/0> Д, ..., /т). Тогда мы
определяем:
Флп+1(/1> •••> 1п) = к'
По определению
(5) РеРлл(ф*,,+ |(/1 /т). /l, •••, /m) = a/?n+1(/l> ..., /т).
Поскольку /?ft+1 является расширением реализации Rn
(л = 0, 1, 2, ...), то все реализации /?0, /?i, /?2> • • • совместно
Определяют реализацию /?р для <2\ которая, в силу (4) и (5),
обладает свойством (3).
Только что установленная теорема 18.1 сильнее теоремы VIII,
8.1. Чтобы получить VIII, 8.1 из 18.1, достаточно взять в
качестве X одноточечное пространство.
§ 19. Элиминация начальных кванторов из аксиом
интуиционистской теории
В VIII, 17.3 мы доказали, что каждая классическая теория
первого порядка имеет несущественное расширение, являющееся
открытой теорией. Аналогичное утверждение для
интуиционистских теорий не верно. В самом деле, пусть ЗГ = {3?, <&„ ^} —
непротиворечивая интуиционистская теория, не имеющая
семантических моделей. Теория Т не может быть расширена до
непротиворечивой открытой теории Т' = {£", Фи зФ'}, ибо если
бы такое расширение 3~' существовало, то ZT' имело бы
семантическую модель /?' в силу 16.6 и сужение R реализации /?'
до языка & было бы семантической моделью для Т.
В этом параграфе мы докажем интуиционистский аналог (см.
ниже теорему 19.5) теоремы VIII, 17.3; этот аналог, однако,
слабее теоремы VIII, 17.3. Наши рассуждения в VIII, § 17 были
основаны на том факте, что для каждой формулы а (в
частности, для каждой аксиомы рассматриваемой теории)
существует такая предваренная формула р, что
(1) (а=>р) и (Р=фа)
являются классическими тавтологиями. Но это не выполняется
в случае интуиционистской логики: для некоторых формул а

524 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
не существует таких предваренных формул р, что импликации
(1) являются интуиционистскими тавтологиями (пример будет
приведен в конце этого параграфа). Поэтому наш результат
ограничен такими интуиционистскими теориями ЗГ={2?У «g^, si),
что каждая аксиома в s& является предваренной формулой. Но
и при этом ограничении этот результат все же слабее, чем
VIII, 17.3. Мы докажем, что любая интуиционистская теория
с предваренными аксиомами имеет расширение, являющееся
несущественным только для открытых формул. Доказательству
будет предшествовать ряд определений и лемм.
Пусть 9? — формализованный язык первого порядка и пусть
2?' — определяемое в § 18 богатое расширение языка &. Для
каждой экзистенциальной формулы а в S' символ а! будет
иметь тот ще смысл, что- и в § 18. Еслц R— реализация языка
2? в множестве 1ф0 и в алгебре ®(Х) всех открытых множеств
топологического пространства X и если /?gI, to Rp будет
обозначать расширение реализации R до такой реализации языка
&', что Rp обладает свойством (3) из теоремы 18.1.
Пусть а — такая формула языка 3?\ что первым знаком
формулы а является квантор. Если это квантор существования,
то а! будет называться формулой, полученной из а
элиминацией первого квантора. Если первый знак формулы а —
квантор общности, т. е. если а имеет вид
(2) Л Р & *!.•••. *т),
I
то любая формула вида
(3) Р(*, хи ..., хт),
где свободная индивидная переменная х не встречается в а,
также будет называться формулой, полученной из а
элиминацией первого квантора.
19.1. Если у —формула, полученная из а элиминацией пер-
вого квантора, то
(i) aG^(v);
(ii) для каждой топологической реализации R языка 3? в
множестве 1ф0 и в алгебре ®(Х) открытых подмножеств
топологического пространства X и для каждой точки реХ, если
р<=ад (v) для каждой оценки v,
то
p^yR (v) для каждой оценки v.
Доказательство для (i) —такое же, как и для аналогичной
части теоремы VIII, 17.1.

§ 19] ЭЛИМИНАЦИЯ НАЧАЛЬНЫХ KBAHtOPOB ИЗ АКСИОМ tEOPtftt 525
Если а — экзистенциальная формула, то (и)
непосредственно следует из 18.1.
Если а имеет вид (2), то у есть формула (3) и
a*„(/l» •••• /m) = I П Р*п(/. /b •••• /m)
ввиду VI, § 6, (4) и IV, 7.5. Здесь f\ обозначает теоретико-
множественное пересечение. Если реал (j{ jm) для всех
/i. ...,/« е /, то также /? г рдр(/, /, /т) для всех /, jl9...
..., /те/. Этим завершается доказательство (И).
Каждая формула а в 9?' имеет вид
(4) 2^ ...В£яр(£ь ..., gftf xlf ..., xm),
где Sl, ..., Sn — кванторы, а р(#ь ..:., yn, xu ..., *m) — фор-
мула,.лервым знаком которой не является квантор.
Допускается случай п=0.
Формула а* называется формулой, полученной из формулы
(4) элиминацией всех начальных кванторов, если существует
такая последовательность
(5) а0, аь ..., ая,
что
1) а0 есть формула (4);
2) cci+i получена из а< элиминацией первого квантора (/=
= 0, ...,л — 1);
3) ап есть а*.
По определению первый знак формулы а* не является
квантором. Более точно, а* является некоторой подстановкой в
Р(#ь •••> Уп, Хи ..., хт). Если, например, а —- это формула
П11---ПиР(*» Ei, 4i 6г. лД
то а* имеет вид р(*, xlf 4i(xxx)t ..., *r, qvfx*! ... хг)).
Пусть а— формула языка &' вида (4). Заметим, что
если а — предваренная формула,
W то а* —открытая формула;
если а—замыкание формулы а,
(7) то а* является также и формулой, получаемой
из а элиминацией всех начальных кванторов.
19.2. Если а* получается из а элиминацией всех начальных
кванторов, то
(i) oe^fal;

526 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
(п) для каждой топологической реализации R для & в
множестве 1Ф§ и в алгебре ©(X) открытых подмножеств
топологического пространства X и для любой точки реХ, если
реал (v) для каждой оценки v,
то
peajj (v) для каждой оценки v.
Теорема 19.2 непосредственно следует из 19.1.
Пусть теперь зФ — некоторое множество формул языка 2\
Сопоставим каждой формуле asi формулу а* (в 2"),
полученную из а элиминацией всех начальных кванторов. Пусть
$t>*'—множество всех формул а* (ае^). Пусть &* —
наименьший из таких подъязыков языка &'\ которые являются
расширениями для SB и содержат все формулы из s&*. Скажем
тогда, что интуиционистская теория iT* = {J?*, Vl9 s£*} получена
из интуиционистской теории Т = {&, %\, s4) элиминацией всех
начальных кванторов в аксиомах теории &~.
19.3. Теория 0~* является расширением теории ЯГ.
Это немедленно следует из 19.2, (i).
19.4. Пусть aj, ..., ап — произвольные формулы из s4>, p —
произвольная формула языка &% a s\, ..., sn — произвольные
подстановки в 3?*. Если импликация
(в) (ГК<-*р;
является интуиционистской тавтологией, то импликация
О) (f)s,-»p;
также является интуиционистской тавтологией (5ь ..., an —
это замыкания формул ai, ..., an).
Обозначим формулы (8) и (9) посредством y и в
соответственно.
Предположим, что 6 не является интуиционистской
тавтологией, т.е. что она не доказуема в 5\ = {i?, 3\, 0}, В силу 4.1
существуют такая топологическая реализация R для 2? в
некотором множестве /ив алгебре ®(Х) открытых подмножеётв
некоторого топологического пространства ХФО и такая оценка
v°: Vr+J, что
(Ю) * ЬЯ№)ФХ.
Поскольку все а* — замкнутые формулы, то функции aiR
являются константами, т. е. фиксированными открытыми под-

§ lSfl ЭЛИМИНАЦИЯ НАЧАЛЬНЫХ КВАНТОРОВ ИЗ АКСИОМ ТЕОРИИ 527
множествами пространства X. Неравенство (10) означает, что
п
множество f)aiR не содержится в множестве Рд(а°),
т. е. что существует точка ре^, для которой выполняются
следующие условия:
(11) реа/я для /=1, ...,я
и
(12) P<£Vr(v%
Возьмем расширение Rp реализации R. Из (7), (11), 19.2,
(и) и VI, 6.4 следует, что
реа!р (v) для каждой оценки v
и /== 1, ..., п. В частности,
где, в соответствии с yi, § 3, стр. 254, символ siR v° означает
оценку {stxR (a0)} • В силу VI, 6.7
Поскольку Rp — расширение реализации R, мы имеем (см. VI,
6.4)
Поэтому
p^(f)Sia}) (о0) и р^Ро(4
i = 1 Rp P
п
Этим доказано, что множество (f] sfi*)^ (v°) не является
подмножеством множества Рд (v°), т. е. что
Уяр(ъ°)ФХ.
В силу 4.1 V не является интуиционистской тавтологией.
19.5. Если все формулы в зФ являются предваренными,, то
теория Т* = {3?\ <&и s&*}9 полученная из теории Т = {£, Wi9 Щ
элиминацией всех начальных кванторов в аксиомах теории &~щ
открыта*

528 ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛИЗОВАН. ТЕОРИИ [ГЛ. X
Для любой открытой формулы р в S? р будет теоремой в &~
в том и только в том случае, когда р — теорема в 2Г*.
Следовательно, ST непротиворечива в том и только в том
случае, когда ЗГ* непротиворечива *).
Первое утверждение следует непосредственно из (6).
В силу 19.3 для доказательства второго утверждения
достаточно продемонстрировать, что если открытая формула р языка
& — теорема в ЗГ*, то р будет также теоремой в 3я0. В силу
теоремы о дедукции 17.1, если р — открытая теорема теории ЗГ*,
то существуют такие формулы а*, ..., а* в s&* и такие
подстановки Si в 3?*, что импликация (8) является интуиционистской
тавтологией. В силу 19.4 импликация (9) — также
интуиционистская тавтология. По теореме о дедукции 9.2 р будет тогда
теоремой теории 9~.
Третье утверждение немедленно следует из второго.
В качестве приложения теоремы 19.5 мы докажем следующее
обобщение теоремы 16.6:
19.6. Каждая непротиворечивая интуиционистская теория
д~={3?у <g\ , s$), все аксиомы которой являются предваренными
формулами, имеет семантическую модель в некотором счетном
множестве **).
В силу 19.5 открытая теория ЯГ* непротиворечива. В силу
16.6 ^7~* имеет семантическую модель R* в счетном множестве
всех термов языка j?*. Сужение R реализации R* до языка S,
в силу 19.3, является семантической моделью для ^7".
Мы можем теперь привести пример такой формулы а, что не
существует предваренной формулы р, для которой обе
импликации (1):
Сафр) и fp=#>a),
были бы интуиционистскими тавтологиями. Пусть р
—некоторый одномерный предикат и пусть а будет формулой
~~(](p(V\) — 9(V)- Предположим, что существует такая пред*
I
варенная формула р, что обе импликации суть интуиционистские
тавтологии. Тогда теории {3£, <&и [а]} и {3!, ®\, [p]} эквива?
лентны. С другой стороны, у первой теории нет семантических
моделей (см. доказательство теоремы 11.7). Вторая же теория,
в силу 19.6, имеет семантические модели. Но поскольку
эквивалентные теории имеют одни и те же модели, мы приходим к
противоречию.
*) Ра сё в а [6], [7]. Приведенное здесь доказательство является
модификацией доказательства Р а с ё в о й [7].
**) Это замечание было сообщено нам Лосем.

ГЛАВА XI
ПОЗИТИВНАЯ ЛОГИКА И МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА
§ 1. Введение
В главе V мы фиксировали некоторый тип
формализованных языков нулевого и первого порядка. Мы ввели также
общее определение логики как отображения, которое каждому
формализованному языку & сопоставляет операцию
присоединения следствий в 9?. Мы дали общую схему (L) для_построе-
ния логик. Схема (L) основана на выборе множества I формул
во вспомогательном языке нулевого порядка. Всевозможные
подстановки в формулы из I образуют множество логических
аксиом «я£{ _ в произвольном языке 9 нулевого или первого
порядка. Операция присоединения следствий в 9 определяется
множеством логических аксиом s&i и принятыми правилами
вывода (см. V, § 10, (S)). Поэтому в принятой схеме (L)
логика однозначно определяется множеством I и множеством
правил вывода R.
Мы применили схему (L) для того, чтобы определить
классическую и интуиционистскую логики. Классическая логика
играет особую роль в метаматематических исследованиях,
поскольку она является формализацией используемых в
интуитивной математике логических средств. Интуиционистская логика
была введена изменением принятого для классической логики
множества I. Конечно, изменяя множество I другими способами,
можно получать логики, отличные как от классической, так и
от интуиционистской. Обычно они слабее классической логики.
Логиками были исследованы многочисленные примеры таких
неклассических логик *).
Другие неклассические логики могут быть введены
посредством модификации определения формализованных языков
нулевого и первого порядка. Обычно такая модификация состоит
в изменении множества логических связок. В главах V—X мы
*) Например, минимальная логика Иоганссона [1], v-логика Р а с ё-
вой и Сикорского [3], трехзначная логика Лукасевича [1], т-знач-
ные логики Лукасевича и Та р с кого [1] (см. также Россер и Тюр-
кетт [1]) и т. д.

530 ПОЗИТИВНАЯ ЛОГИКА И МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА [ГЛ. XI
принимали, что все языки содержат знак дизъюнкции U, знак
конъюнкции П, знак импликации z^> и знак отрицания —.
Опуская один или более чем один из этих знаков, мы можем полу*
чить другие типы формализованных языков. Один пример
неклассической логики, основанной на языках со связками (J, ГЬ
гф, будет обсужден в §§ 2—6. Эта логика называется
позитивной*). Имеются также типы формализованных языков,
содержащих больше связок, чем U, П, =ф, —, или же вообще связки,
отличные от этих **). Один пример неклассической логики,
основанной на языках, содержащих больше связок, чем U, П, =ф>
—, будет обсужден в §§ 7—11. Эта логика называется
модальной***). Разумеется, введение новых логических связок может
быть связано с принятием некоторых новых правил вывода.
Как и в случае двузначной и интуиционистской логик,
обсуждение различных типов неклассических логик приводит к
исследованию некоторых адекватных типов универсальных алгебр.
Обычно этими алгебрами являются решетки с некоторыми
дополнительными операциями. Мы увидим, что исследование
позитивной и модальной логик можно свести к изучению импликатив-
ных решеток и топологических булевых алгебр соответственно.
Теория позитивной и модальной логик, являющихся
предметом этой главы, может быть разработана столь же подробно,
как и представленная в этой книге теория классической и
интуиционистской логик. Однако мы не будем обсуждать в
деталях позитивную и модальную логики, поскольку общие методы
исследования аналогичны методам исследования классической
и интуиционистской логик. Мы ограничимся теоремами о
полноте для позитивной и модальной логик, некоторыми смежными
вопросами и вопросами связи с классической и
интуиционистской логиками.
Символы ^ и (g7l будут, как и ранее, обозначать
классическую и интуиционистскую операции присоединения следствий,
определенные в V, § 11 и в IX, § 1, соответственно.
§ 2. Позитивная логика
В §§ 2—6 буквы i?o и 3? будут всегда обозначать
формализованные языки (нулевого и первого порядков
соответственно), определенные, как в V, § 6 и в V, § 3, со следующим
изменением:
*) Гильберт и Бе р н а й с [1], т. I.
**) Например, конструктивная логика Нельсона [2] и Маркова [1]
с сильным отрицанием была исследована Воробьевым [1], [2] и — с
алгебраической точки зрения — Расёвой [9], [10], Бялыницким-Бируля и
Р а сев ой [1]. '
***) Льюис и Ленгфорд [1]. В этой книге под модальной логикой
мы понимаем логику, соответствующую системе S.4 модального
пропозиционального исчисления, в терминологии Льюиса и ЛенпЬордз,

$21
Позитивная логика
531
Множество всех связок содержит только знак дизъюнкции U,
знак конъюнкции П и знак импликации z^.
Как мы отметили в § 1, формализованные языки j?0, 3?
такого типа служат основой для определения некоторой
неклассической логики, называемой позитивной логикой. А именно,
позитивная логика — это отображение 9^, которое каждому такому
языку 3?о (или 9?) сопоставляет операцию присоединения
следствий посредством общей схемы V, § 11, (L) (см. стр.- 219),
причем ( состоит только из тавтологий (ti) — (t9) (см. V, § 6,
стр. 198). Допускаемые правила вывода — те же, как и в случае
классической или интуиционистской логик: modus ponens для
языка 3?о нулевого порядка и правила (п)— (гв) из V, § 8 для
языка 9? первого порядка.
В соответствии с общим соглашением в V, § 11, стр. 220,
позитивная операция присоединения следствий У**. (*&**)>
сопоставляемая логикой Фл языку 2?0 (&), будет обозначаться
просто посредством 9^, если это не будет приводить к
недоразумениям. Поэтому для любого множества S формул в 3?q{9?)
через ^(S) мы будем обозначать множество всех
позитивных следствий из S в языке &0 (S7). Дедуктивные системы
(1) *ая = {#о.»я>. ** = {#.»*>
будут, называться позитивным пропозициональным исчислением,
основанным на языке й^о, и позитивным предикатным
исчислением, основанным на языке &\ соответственно.
Помимо позитивных пропозиционального и предикатного
исчислений мы будем также исследовать позитивные теории
нулевого порядка
(2) {5>о. *„, si),
где $$■ — произвольное множество формул языка So, и
позитивные теории первого порядка
(3) {2, *я, si),
где s4> — произвольное множество формул языка &. В
соответствии с общими соглашениями в V, § 10, стр. 218, формулы из
9Я(&) называются теоремами теории (2) или (3)
соответственно.
Разумеется, ^0я и &Л будут отождествляться с позитивными
теориями {i?o, ^л» 0} и {2\ Фл, 0} соответственно. Формулы из
^я(0) называются доказуемыми в У0я или Уп соответственно
или же формулами, позитивно доказуемыми.
Мы применим к формализованным языкам 3?о и &
результаты главы VI. Разумеется, все определения и теоремы
главы VI требуют теперь очевидных модификаций, вызванных
отсутствием знака отрицания в алфавитах языков j?0 и &. Так,

§32 ПОЗИТИВНАЯ ЛОГИКА И МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА [ГЛ. XI
например, множество F всех формул языка 3?0 или 9? нужно
понимать как алгебру с тремя операциями
(4) {/\ и,П,=Ф}
и т.д. Читатель легко убедится, что все результаты главы VI
сохраняются, исключая те, которые непосредственно связаны
с операцией отрицания.
В частности (см. VI, 10.3, VI, 10.4), если ^ — позитивная
формализованная теория нулевого или первого порядка, то
отношение « в f, определяемое следующим образом:
/сч а « р в том и только в том случае,
W когда (а =#> р) и (р =#> а)— теоремы теории Т,
является конгруэнцией в алгебре (4) всех формул теории Т.
Фактор-алгебра F/ж будет обозначаться посредством *&{&~) и
называться алгеброй теории ЗГ в соответствии с VI, § 10.
Непосредственно из VI, 10.3—10.4 следует:
2.1. Алгебра %{&~) является импликативной решеткой.
Кроме того, для любых формул а, р
(6) llallUIIPII- IIГ«UP;II, 11а||П11Р11 = ИГаПР)||,
1|а||#||р|| = ||Га#р)||.
Отношение
(7) 1|а||<||РН
выполняется в том и только в том случае, когда (а=ф р) —
теорема теории Т. Элемент ||а|| является единицей V в 21 ($Г) в
том и только в том случае, когда а — теорема теории 0~.
Если Т — позитивная теория первого порядка, а Г —
множество всех термов в 2Г, то для произвольной формулы р(я)
(Q)
Up®1= U hpwii.
Пр«)|= Г) iipwii
\ II т е= Г
в импликативной решетке 51 {Т) (см. VI, 11.2). В этом случае
мы всегда будем понимать 21 \$~) как обобщенную алгебру
{21 {Г), U, П, #,и|а>П|а)> гДе U и Г) СУТЬ бесконечные
объединение и пересечение. В качестве общей области
определения Ct для (J и П в 1(^") мы всегда будем брать класс
всех множеств {|1Р(т)||}Х€_г, где р(дс) — произвольная формула
языка 2£. Эта обобщенная алгебра называется кванторной
алгеброй теории Т или, короче, Q-алгеброй теории Т'.

§ 3] ПОЗИТИВНЫЕ ТЕОРИИ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА S33
§ 3. Позитивные теории нулевого порядка
В этом параграфе мы исследуем фиксированный язык
нулевого порядка i?o описанного в § 2 типа.
Пусть
(1) {Л, и,П,=Н
— универсальная алгебра с тремя бинарными операциями U,
D,:z>. В соответствии с VI, § 2 каждый элемент v =
= {vja€=v еЛк°, где Vo — множество всех пропозициональных
переменных языка 3?о, называется оценкой в Л. Согласно VI, § 2,
стр. 247, каждая формула а в 3?о определяет отображение
аА: АУ>->А.
В §§ 3, 4 мы всегда будем считать, что алгебра (1) является
импликативной решеткой. Иногда в качестве Л мы будем брать
алгебру. 51 [Т) формализованной теории . Т = {3?^ «g^, s&].
Напомним, что оценка
(2) o° = {llallUKi
в Щ&~) называется канонической оценкой для Т. В силу
VI, 2.6
(3) о,(ЛИ = ||о||.
Оценка dgAv« называется моделью для множества
формул <&, если
аА (v) = V для каждой формулы а е ^.
В частности (случай, когда s& состоит из одной формулы),
оценка v называется моделью для формулы а, если аА (v) =
= V. Оценка v называется моделью для теории <7~={j?0, ^д,
s4), если v — модель для множества зФ аксиом теории Ф~.
Формула а называется общезначимой в импликативной
решетке Л, если каждая оценка v e Ли° является моделью для
а, т. е. если отображение аА тождественно равно единице V
алгебры Л.
Формула называется позитивно общезначимой или
позитивной пропозициональной тавтологией, если она общезначима
в каждой импликативной решетке.
Так, например, все логические аксиомы, т. е. все формулы
языка J?o, имеющие один из видов (Ti) — (Т9) (см. стр. 220—221),
являются позитивными пропозициональными тавтологиями (до-

534 позитивная логика и модальная логика [гл. xl
казательство такое же, как и в случае интуиционистских
пропозициональных исчислений; см. IX, 2.5).
3.1. Для любой формулы р в позитивной формализованной
теории ЗГ={2?о, Фп, sty следующие условия являются
эквивалентными:
(i) р — теорема теории 9~\
(и) каждая модель для Т является моделью для р.
Действительно, если оценка v e Ау° является моделью для
^7~, а р — теорема в Т, то v — также модель и для р, поскольку
класс всех формул а, для которых aA(v) = V, содержит все
аксиомы из s& и все логические аксиомы и замкнут
относительно modus ponens (точное доказательство этого аналогично
доказательству VII, 7.1 и IX, 8.1). С другой стороны,
каноническая оценка v° для Т является моделью для Т в силу 2.1 и
(3). Если р — не теорема в Э~, то v° по тем же причинам не
будет моделью для р (см. аналогичное доказательство
соответствующих частей теорем VII, 7.8 и IX, 8.5).
Обозначим теперь посредством «2?* язык, полученный из 3?о
включением знака отрицания в алфавит языка j?0. i?* будет
языком (нулевого порядка) типа, изученного в главах VII и IX.
Все формулы,языка 3?0 являются формулами языка «2^*. Каждое
множество s& формул языка j?0 однозначно определяет две
теории нулевого порядка: позитивную теорию ^={i?o, ^л» Щ и
интуиционистскую теорию Sr* = {27*, Vi9 ^}.
3.2. Для каждой формулы р языка i?o следующие условия яв«
ляются эквивалентными:
(i) р—- теорема теории Т — {3?%, ^л» *&У>
(и) р — теорема теории ЗГ* = {3?*, <8V s&).
Другими словами,
(4) <г?^0(^)=«?1^(^)П/7о,
где F0 обозначает множество всех формул языка SQ.
Поскольку все формулы языка 3?q вида (Ti) — (Т9), т. е.
все логические аксиомы позитивной логики, являются также
логическими аксиомами интуиционистской логики, мы имеем
^пх (-^) ^ ^lJ?* (*^)• Поэтому (i) влечет (и).
Предположим теперь, что формула р в j?0 не является
теоремой теории iT\ В силу 3.1 существуют такие импликативная ре;
шетка А и оценка v е Лк<>, что v будет моделью для ЗГ, но не
будет моделью для р, т. е. $A(v) Ф V. В силу IV, 1.3 решетка А
может быть расширена до псевдобулевой алгебры А*
добавлением нулевого элемента, причем операции U, П, =Ф в Л*,
суженные на А, совпадут с операциями в А. Поэтому оценку v мы мо-

§ 4] ПОЗИТИВНОЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 535
жем интерпретировать как оценку в А*. Легко видеть, что
ал*(у)==ал(у) для Л1°бой формулы а в 3?0.
Отсюда следует, что у, интерпретируемая как оценка в А*,
является моделью для Ф* и не является моделью для р. В силу
IX, 8.1 р не будет теоремой в Т*.
Теорема 3.2 показывает, что исследование позитивных теорий
3~ нулевого порядка легко можно свести к исследованию
соответствующих интуиционистских теорий &~* нулевого порядка.
Объяснение этого с точки зрения теории решеток состоит в
возможности расширения любой импликативной решетки до
псевдобулевой алгебры с сохранением операций U, П> =Ф (см. IV, 1.3).
§ 4. Позитивное пропозициональное исчисление
Беря в теореме 3.1 в качестве зФ пустое множество, мы
получаем следующую теорему о полноте для позитивных
пропозициональных исчислений tfon = {3?о, &п} (2?о всегда обозначает язык
нулевого порядка описанного в § 2 типа):
4.1. Для любой формулы р в 3?о следующие условия
эквивалентны:
(i) p доказуема в ^0л;
(ii) p является позитивной пропозициональной тавтологией.
Напомним, что любая формула языка 5?q будет также
формулой языка i?o, полученного из 3?ъ добавлением знака
отрицания —=-. Следующая теорема является прямым следствием
теоремы 3.2 (случай пустого множества $&) в силу 4Л и IX, 3.1:
4.2. Для любой формулы р в 3?о следующие условия являются
эквивалентными:
(i) p — позитивная пропозициональная тавтология;
(ii) p — интуиционистская пропозициональная тавтология.
Грубо говоря, изучение позитивного пропозиционального
исчисления можно свести к исследованию части интуиционистского
пропозиционального исчисления, состоящей из формул без знака
отрицания. В качестве применения упомянем здесь следующую
теорему, которая немедленно получается с помощью 4.2 и
аналогичного утверждения IX, 6.1:
4.3. Дизъюнкция (a U Р) в 3?о является позитивной
пропозициональной тавтологией в том и только в том случае, когда одна
из формул а, р является позитивной пропозициональной
тавтологией.
Из 4.2 и IX, 4.1 следует, что все формулы вида (Т0), (Ti3),
(Ti4), (Ti5), (Tie), (T6s) (см. стр. 446—447) являются позитивными
пропозициональными тавтологиями. Из 4.2 и IX, 4.2 следует, 4TQ

536 ПОЗИТИВНАЯ ЛОГИКА И МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА ГГЛ. X!
тавтология
(Тзо) (((афЬ)^>а)Фа),
где а, Ь — различные пропозициональные переменные, не есть
позитивная тавтология67).
Следующая теорема может быть доказана аналогично
утверждениям VII, 4.1 и IX, 7.1:
4.4. Алгебра % (Рол) позитивного пропозиционального
исчисления является свободной в классе всех импликативных решеток
{A, U, Л>=>1> причем класс всех элементов ||а||, где а —
произвольная пропозициональная переменная, является системой
свободных образующих,
§ 5. Позитивные теории первого порядка
В этом и в следующем параграфах мы будем изучать
фиксированный язык & первого порядка описанного в § 2 типа. Для
упрощения наших рассмотрений мы, как и в главе X (см.
стр. 472), всегда будем предполагать, что язык 9? счетен.
Определение реализации R языка & в множестве /#0 и
полной алгебре
(1) U, U, П, #,(J» П)
с тремя бинарными операциями (J, R, # и двумя
бесконечными операциями (J, f\ такое же, как и в VI, § 6: это
отображение, сопоставляющее каждому гаместнЬму функтору ср
в 9! функцию фл: Г->/ и каждому m-местному предикату р
в S функцию р#: /т->Л. В силу VI, § 6, если фиксирована
реализация R для 9? в / и Л, то каждая формула а в 9?
однозначно определяет отображение
(2) aR: /^->Л,
где V — множество всех свободных индивидных переменных в 2\
Точки v = {vx}x^v из Jv называются оценками в /. В соответствии
с VI, § 7 мы будем также допускать реализации в неполных
обобщенных алгебрах (1) при условии, что все бесконечные
операции, фигурирующие в индуктивном определении отображения
ад, всегда выполнимы. В §§ 5, 6* мы всегда будем предполагать,
что Л — импликативная решетка.
В частности, в качестве алгебры (1) можно взять Q-алгебру
51 (Т) некоторой позитивной теории ^T = {i?, #я, s&}.
Определение канонической реализации R0 языка 9? в множестве Т всех
термов языка 9? и в алгебре %{2Г) такое же, как и в VI, § 7,
Стр. 277. Напомним основное свойство канонической реализации

»fl
позитивные Теорий йейвого г*оРядкА
53?
R0 (см. VI, 7.4): для каждой формулы а в &
(3) аЛ.(10«||о'а||еИ(^),
где v'a обозначает результат подстановки v в а. В частности,
для тождественной оценки t имеем
(30 МО = 11 <* II.
Реализация R для ^в/#0 ив импликативной решетке А
называется моделью для множества s& формул языка 2£ (или:
моделью для теории Т = {«2\ ^я, s4>}), если для каждой ае^
и для каждой оценки v: V->J
(4) Mfl)=V.
В частности, /? является моделью для формулы а (случай, когда
$t> состоит из одной формулы), если для каждой оценки v: V-+J
выполняется условие (4). В этом случае мы будем также
говорить, что а общезначима в R.
Формула называется позитивно общезначимой или же
позитивной предикатной тавтологией, если она общезначима в любой
реализации R в любых J Ф0 и импликативной решетке А.
Так, например, все логические аксиомы, т. е. все формулы
вида (Ti) — (Т&) (см. стр. 220—221), являются позитивными
предикатными тавтологиями (доказательство такое же, как для
случая интуиционистских предикатных исчислений, — см. X, 2.3).
5.1. Для каждой формулы р в позитивной формализованной
теории Т = {&, ^л, Щ следующие условия являются
эквивалентными-,
(i) р — теорема теории Т\
(ii) p общезначима в каждой модели для$~.
Действительно, если реализация R является моделью для 0~^
а Р — теорема теории ^Г, то р также общезначима в /?,
поскольку класс всех общезначимых в R формул а содержит все
аксиомы из si- и все логические аксиомы, а также замкнут
относительно правил вывода (г4) — (г6) (точное доказательство
аналогично VIII, 2.2 и X, 2.2). С другой стороны, каноническая
реализация R0 для 9~ в Т и 51 ф~) является моделью для Т
в силу 2.1 и (3). Если р не является теоремой теории ^, то
p/?0(i) = ||p||=^ V в силу (3') и 2.1. Поэтому р не общезначима
в R0 (ср. аналогичное доказательство соответствующих частей
теорем VIII, 3.5 и X, 3.7).
Обозначим теперь посредством &* язык, полученный из &
включением знака отрицания в алфавит языка &. По
определению &* является языком (первого порядка) типа, исследован?
ного в главах VIII и X. Все формулы языка SB являются также
формулами языка й7*. Любое множество s& формул языка 3?

638 ПОЗИТИВНАЯ ЛОГИКА И МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА [ГЛ. X!
однозначно определяет две теории первого порядка: позитивную
теорию Т = {3?, %?п, $&} и интуиционистскую теорию Т* =
= {<T,<g\, si).
5.2. Для каждой формулы р в & следующие услсгвия
являются эквивалентными:
(i) р — теорема в Т = {£, 9?ю Щ\
(и) р — теорема в Т* = {3?\ V\9 Щ.
Другими словами,
(5) V*,{st) = Vi**(st)f\F,
где F обозначает множество всех формул языка «S7.
Поскольку все формулы из & вида (Ti) — (Т9), т. е. все
логические аксиомы позитивной логики, являются также аксиомами
интуиционистской логики, мы имеем Wn^(si)czVi^*(si).
Поэтому (i) влечет (ii).
Предположим теперь, что формула р языка & не является
теоремой теории Зг. В силу 5.1 существуют такая реализация R
языка & в некоторых множестве/ ^Ои импликативной решетке
А и такая оценка v0 е /v, что R является моделью теории Т и
рд(^о) ф V. В силу IV, 1.3 решетка А может быть расширена
до псевдобулевой алгебры А* добавлением нулевого элемента Л.
Операции U > Л, =Ф и (J, fl в А совпадают с сужением
операций в А* на А. Поэтому можно интерпретировать R как
реализацию R* в псевдобулевой алгебре А*. Легко видеть, что
ол»(о) = ал(о)
для каждой формулы а в 3? и для каждой оценки а. Отсюда
следует, что R* — модель для интуиционистской теории #""*.
Поскольку Рд* (vQ) — Рд (vq) Ф V, формула р не является теоремой
теории Т* ввиду X, 2.2.
Теорема 5.2 показывает, что исследование позитивных
теорий Э~ первого порядка можно легко свести к изучению
соответствующих интуиционистских теорий &~* первого порядка.
§ 6. Позитивное предикатное исчисление
Беря в теореме 5.1 в качестве si пустое множество, получаем
следующую теорему о полноте для позитивных предикатных
исчислений 9>п = {£, 9?^ (2? всегда обозначает язык первого
порядка описанного в § 2 типа):
6.1. Для каждой формулы р в SB следующее условия
эквивалентны:
(i) p доказуема в 9*^
L(ii) p — позитивная предикатная тавтология.

§71
МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА
539
Напомним, что каждая формула языка & будет также
формулой и в языке S7*, полученном из SB добавлением знака
отрицания—. Следующая теорема, в силу 6.1 и X, 4.1, является
прямым следствием теоремы 5.2 (случай пустого зФ):
6.2. Для каждой формулы р в & следующие условия
являются эквивалентными-.
(i) р — позитивная предикатная тавтология-,
(ii) p — интуиционистская предикатная тавтология*).
Грубо говоря, исследование позитивного предикатного
исчисления можно свести к исследованию части интуиционистского
предикатного исчисления, состоящей из формул без знака
отрицания. В качестве применения мы приведем здесь следующую
теорему, получающуюся из 6.2 и аналогичных утверждений
X, 8.1—8.2:
6.3. Дизъюнкция (a U Р) в & является позитивной
предикатной тавтологией в том и только в том случае, когда одна из
формул а, р является позитивной предикатной тавтологией.
Экзистенциальная формула (J P(g) является позитивной предикаг-
l
ной тавтологией в том и только в том случае, когда существует
такой терм т, что р(т) является позитивной предикатной
тавтологией.
В качестве другого применения дадим следующую теорему,
вытекающую непосредственно из 6.1 и X, 6.2:
6.4. Открытая формула языка 3? является позитивной
предикатной тавтологией в том и только в том случае, когда она
получается подстановкой в некоторую позитивную
пропозициональную тавтологию.
Следующая теорема может быть доказана аналогично
VIII, 24.1 иХ,5.1:
6.5. Алгебра % (^я) позитивного предикатного исчисления
является обобщенной свободной алгеброй в классе всех полных
импликативных решеток. Множество всех элементов || а ||, где
а — элементарная формула, является системой свободных
образующих.
§ 7. Модальная логика
В §§ 7—11 буквы З'оиЗ' будут всегда обозначать
формализованные языки (нулевого и первого порядка соответственно),
определенные в V, § 6 и V, § 3 соответственно, со следующим
видоизменением:
Множество бинарных связок содержит знак дизъюнкции U,
знак конъюнкции (] и знак импликации^; множество одномест-
*) Р а с ё в а и С и к о р с к и й [3].

540
ПОЗИТИВНАЯ ЛОГИКА И МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА [ГЛ. XI
ных связок содержит знак отрицания — и другой знак,
обозначаемый через I и называемый знаком необходимости.
В силу V, § 6, (Р) и V, § 3, (f2), если а —формула в j?0 или
2\ то 1а — также формула в i?o или & соответственно. Формула
1а читается: а необходимо*).
Формализованные языки S^o, & описанного типа будут
называться модальными языками нулевого или первого порядка.
Как мы отметили в § 1, модальные языки 5?^ & образуют
область определения неклассической логики ф^ называемой
модальной логикой. Модальная логика определяется посредством
общей схемы (L) из V, § 11 со следующим видоизменением: к
допустимым правилам вывода присоединяется следующее правило:
/г \ (<*=»Р)
для любого модального языка нулевого или первого порядка.
Вспомогательный язык, упоминаемый в схеме (L), должен
быть модальным. Множество формул (I), упоминаемое в (L),
состоит из формул (ti) — (ti2) из V, § 6 (стр. 198) и из
следующих формул:
(т,) ((1аП1Ь)^\(а(]Ь))9
(т2) (1а=Фа),
(т3) (la^lla),
(т4) KaU-а).
Поэтому в модальном языке 3?о нулевого порядка (в
модальном языке & первого порядка) множество s£i логических
аксиом состоит из всех формул вида (Ti) — (Ti2) из V, § 11,
стр. 220—221, где а, р, у — произвольные формулы в j?0 (в J?),
и из всех формул вида
(МО tftanW=#I(anPU
(М2) (Ia^a),
(Me) (Ia=MIaA
(М4) I (a U ~a),
где a, p — произвольные формулы в S^ (в SB).
По определению модальная логика Ф^**) сопоставляет
каждому модальному языку 3?0 нулевого порядка (каждому модаль-
*) Формула I(a =ФР) обычно обозначается посредством (а •< Р) и
называется строгой импликацией формул а и Р (Льюис и Ленгфорд [1]).
Модальная логика.называется иногда логикой строгой импликации.
**) Формализация модальной логики в этой книге отличается от
формализации Льюиса и Л е н г ф о р д~а [1], но эквивалентна ец.

$7]
МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА
541
ному языку S первого порядка) операцию присоединения
следствий ^^з в 3?q (&»<? в 2?\ определяемую следующим
образом: для произвольного множества S формул этого языка
множество ^n^0(S) (множество Ht^z (S)) — это наименьшее
множество, содержащее все формулы из S и все только что описанные
логические аксиомы из stf>\ и замкнутое относительно правил
вывода (п) и(Гц) (относительно правил вывода (п) — (г6) и (гц)).
В соответствии с общими соглашениями в V, § 11, стр. 220, мы
обычно будем опускать индексы ^и^в обозначениях, если
это не будет приводить к недоразумениям.
Дедуктивные системы
(1) &Ор = {^0> ^ц/» ^ц = {^» ^ц}
будут называться модальным пропозициональным исчислением,
основанным на 2?о, и модальным предикатным исчислением*),
основанным на &.
Помимо модальных пропозиционального и предикатного
исчислений (1) мы будем также исследовать модальные теории
нулевого порядка
(2) {&о> V» <&)>
где «я£ — произвольное множество формул в &ъ, и модальные
теории первого порядка
(3) {<?, *„ Ж),
где зФ — произвольное множество формул в &. В соответствии
с общим определением в V, § 10, стр. 218, формулы множества
^и(^) будут называться теоремами теории (2) или (3)
соответственно.
Разумеется, 0*О|1 и ^ будут отождествляться с модальными
теориями {2*0, <&„, 0} и {2, <g?lA, 0}. Формулы из 9^(0) будут
называться доказуемыми в ^0ц или ^ соответственно или же
формулами, модально доказуемыми.
Мы применим к модальным языкам j?0 и & все результаты
главы VI. Конечно, определения и те<?ремы главы VI требуют
теперь очевидных модификаций ввиду добавления знака
необходимости I к алфавиту языков 3?о и &. Поэтому к множеству
операций рассматриваемых в главе VI алгебр нужно добавить
одноместную операцию I. В частности, множество F всех формул
языка 9?о или SB нужно теперь интерпретировать как алгебру
(4) {F, U, П, =#>, -, 1}
*) Р а с б в а [2]. Другие системы модальных предикатных исчислений см?,
в работах: Баркан [\] и Карнап [2].

542 ПОЗИТИВНАЯ ЛОГИКА И МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА [ГЛ; XI
с тремя бинарными операциями U, П» =Ф и двумя одноместными
операциями —, I. Читатель легко может убедиться, что
результаты главы VI сохраняются и при этих модификациях.
В частности (см. VI, 10.6), если Т — модальная теория
нулевого или первого порядка, то отношение « в F, определяемое
следующим образом:
(5) а « р в том и только в том случае,
когда (а =ф Р) и (р =#> а) являются теоремами теории {Г",
является конгруэнцией относительно операций U, П» =^t —• Если
а « р, т. е. если (а =#> р) и (РФа) суть теоремы теории Т, то
формулы (Iaz^ip) и (1р=ф1а)—также feopeMbi теории Т по
правилу (гр,), т. е. выполняется la « ip. Это доказывает, что
отношение эквивалентности « является также конгруэнцией и
относительно операции I, т. е. конгруэнцией в алгебре (4). В силу
I, ,§ 4 множество %{£Г) =F/« можно рассматривать как
алгебру {% {Т), U , П > =Ф, —. I}, называемую алгеброй теории Т.
Операция I в %(Т) определяется равенством I||a|| = ||Ia|| (см.
I, §4, (8)).
7.1*). Алгебра %{Т) является топологической булевой
алгеброй. Для произвольных формул a, p
l|a||UIIPII = ll(aUP)ll, 1|а|1ПИР11 = И(аПРД
() 1|а!|=Ф||рМ(а=>рД — II а || -—1| — €ж Щ а ||-И 1а ||.
Кроме того,
/уч 1|а||^||р|| в том и только в том случае,
* ' когда (а =ф р)—теорема в &~.
Для каждой формулы а
/лч ||а|| = V в том и только в том случае,
' ' когда а — теорема теории ЗГ,
/дч || а II ф А в том и только в том случае,
' ' когда а неопровержима в 0ги
Топологическая булева алгебра %{Т) невырождена в том и
только в том случае, когда теория ЗГ непротиворечива.
Нужно только доказать, что I является операцией взятия
внутренности в 91 (ЗГ). То обстоятельство, что %(&~)—булева
алгебра, а также все остальные части теоремы 7.1
непосредственно следуют из VI, 10.4, 10.5, 10.6, 10.7, 10.10. Из (7) и (г^)
следует, что
(10) || а || < ||р || влечет I||a||<I||p||.
Поскольку llalinilPIKIIall и. ||а||П11Р1К11РН, мы имеем
*) Мак-Кинси [1].

§fj МоДаЛьнАЯ ЛогйкА 543
К1|а||П||Р11)<1||а||и1(||а||П11Р11)< HIП Поэтому 1(||а||ПНР11)<
< III а IIП III PII- Из (7), (6) и (МО непосредственно следует, что
1||а||ПИ1Р1К1(1|а||П11Р11),
чем доказано
I(l|a|inilPIO = I||a||nHIPII,
т.е. I удовлетворяет условию (ц) из III, § 1 (стр. 112)^ Из (М2)
и (7) следует, что
(И) HI а || < || a ||,
т. е. I удовлетворяет условию fa) из III, § 1. Из (Мз) и (7)
следует, что I||a||^II||a||. С другой стороны, в силу (11) и (10)
имеем II||a||^la. Поэтому
ИII«11 = HI«II,
чем доказано выполнение условия (i3) из III, § 1. Поскольку
V=||(aU —a)ll (см. (8)), из (М4) и (8) следует, что
IV = V,
т. е. выполняется также условие (i4) из III, § 1. Этим
доказано, что I является операцией взятия внутренности в булевой
алгебре 31 {Т).
Если Э~ — модальная теория первого порядка, а Т —
множество всех термов теории ^7~, то для любой формулы р(х)
|UP(g)|hUiiPWii>
и м -г
к ||Прш = П11РМГ
II I II тег
в булевой алгебре 31 (Т) (cm^VI, 11.2). В этом случае мы
будем интерпретировать %ф~) как обобщенную алгебру
(12) [ЩГ\ U, Л, =Ф, -, I, UK/IN'
где (J и Р) суть бесконечные объединение и пересечение. В
качестве общей области определения & для JJ и П в ^ (&~) мы
будем брать класс всех множеств вида
{IIР to IIW,
где р(х)—произвольная формула языка 2\ Другими словами,
(J и f] ограничиваются в %{0~) только бесконечными
объединениями и пересечениями (Q), соответствующими кванторам.
Обобщенная алгебра (12) называется кванторной алгеброй тео*

544 ПОЗИТИВНАЯ ЛОГИКА И МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА [ГЛ/Х1
рии дг или, короче, Q-алгеброй теории Т. В соответствии с VI,
§ 11 под ^гомоморфизмом алгебры 51 (Т) в топологическую
булеву алгебру мы будем понимать топологический
гомоморфизм (см. III, § 3), сохраняющий все бесконечные объединения
и пересечения (Q).
§ 8. Модальные теории нулевого порядка
Пусть &о — модальный язык нулевого порядка и пусть
И, U. П. #, -,1)
— универсальная алгебра с тремя бинарными операциями U, П,
:ф и двумя унарными операциями —, I. В соответствии с VI, § 2
любой элемент v = {va}aeV^Av\ где Vo — множество всех
пропозициональных переменных, называется оценкой в А. В силу VI,
§ 2 каждая формула а в 3?о определяет отображение
(1) аА: АУ*->А
(к индуктивному определению отображения аА в VI, § 2, (10),
стр. 248, нужно добавить тождествоД1а)л (v) = I (aA (v)) для
каждой формулы а и каждой оценки v).
В §§ 8, 9 мы будем всегда считать, что алгебра А — это не*
вырожденная топологическая булева алгебра. Иногда в качестве
А мы будем брать алгебру 41 (ЗГ) некоторой непротиворечивой
модальной теории Т нулевого порядка. Напомним, что оценка
(2) «° = {IMIW„
в 21 (iF) называется канонической оценкой для &~ (см. VI, § 2,
стр. 250). В силу VI, 2.6
(3) 0^(0°) Н| а ||.
Оценка v e AVi> называется моделью для множества формул
А, если
аА{v) = V для любой формулы oei.
В частности (если зФ состоит из одной формулы), оценка v
называется моделью для формулы а, если aA(v) = V. Оценка v
называется моделью для теории T = {&^ V^ s&}, если v — модель
для множества зФ аксиом теории.
Формула а называется общезначимой в топологической
булевой алгебре А, если каждая оценка v e Av* является моделью
для а. Формула называется модально общезначимой или мо^
бальной пропозициональной тавтологией, если она общезначима
В каждой топологической булевой алгебре.
Так, например, все логические аксиомы, т. е. все формулы
языка So вида (Ti)~-(Т12) (см. стр. 220—221) или же вида (Mi)-—

$8]
МОДАЛЬНЫЕ ТЕОРИИ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА
545
(М4) (см. стр. 540), являются модальными пропозициональными
тавтологиями. Доказательство этого факта для формул (Ti) —
(Т12) точно такое же, как доказательство аналогичного
утверждения для классических пропозициональных исчислений (см.
доказательство теоремы VII, 1.3). Общезначимость формул (Mi) —
(М4) в произвольной топологической булевой алгебре легко
следует из III, § 1, (ii) — (и) (см. также I, 12.2, (4)).
8.1. Если а — теорема модальной теории Т = {2*о9 Фц, si}
нулевого порядка, то каждая модель для &~ в произвольной
топологической булевой алгебре А является моделью для а.
Это следует из того, что множество всех формул а в i?o, для
которых aA(v) = V, содержит все аксиомы из s& и все
логические аксиомы, а также замкнуто относительно правила modus
ponens и правила вывода (гд). Точное доказательство такое же,
как и для аналогичного утверждения VII, 7.1 для классических
теорий. Поясним здесь только, почему это множество замкнуто
относительно (гд). Если (а =ФР)л (v) = V, то аА (v) <[ fJA (v).
Поэтому
1ал(у)<1рл(у), т.е. (la^l$)A(v)=\/.
Модель v для теории Т в А называется адекватной, если для
любой формулы а равенство aA(v) = V выполняется в том и
только в том случае, когда а — теорема теории 0~.
Под топологической моделью мы будем понимать
произвольную модель в топологической булевой алгебре 53 (X) всех
подмножеств некоторого топологического пространства X.
8.2. Для любой модальной теории Т—{2^ Я?^ s4>) нулевого
порядка следующие условия являются эквивалентными:
(i) Я~ непротиворечива;
(ii) для ЗГ существует адекватная модель;
(Ш) для Т существует адекватная топологическая модель;
(iv) для Т существует модель.
Доказательство подобно доказательству аналогичных
утверждений VII, 7.7 и IX, 8.4 для классических и интуиционистских
теорий. Если £Г непротиворечива, то каноническая оценка *(2)
для 0~ является адекватной моделью теории 0~ в силу (3) и 7.1,
(8). Поэтому (i) влечет (ii). Пусть теперь v — адекватная
модель для &~ в топологической булевой алгебре Л. В силу III, 4,3
существует топологический изоморфизм h алгебры А в 33 (X)
для некоторого топологического пространства X. Композиция hv
отображений v и А является адекватной моделью для Т в 33 (X).
Поэтому (ii) влечет (iii). (iii) влечет (iv) очевидным образом.
То, что (iv) влечет (i), доказывается точно так же, как в случае
классических или интуиционистских теорий.

546 АбЗЙ-ГИЁЙАЯ ЛОГИКА И МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА [ГЛ. XI
8.3. Для каждой формулы р в непротиворечивой модальной
теории Я~ = {^о, "SV Щ нулевого порядка следующие условия
являются эквивалентными:
(i) р— теорема теории 0~\
(ii) каждая модель для 2Г является моделью для р;
(iii) каждая топологическая модель для ST является моделью
для р;
(iv) $%(?)№)= V для канонической оценки v°.
Доказательство подобно доказательству аналогичных
утверждений VII, 7.8 и IX, 8.5 для классических и интуиционистских
теорий.
(i), в силу 8.1, влечет (ii). (ii) тривиально влечет (iii).
Обратно, (iii) влечет (ii), поскольку каждую топологическуюхбулеву
алгебру можно рассматривать как подалгебру алгебры 23 (X)
для некоторого топологического пространства X (см. III, 4.3).
(ii) влечет (iv), поскольку v° является моделью для ЗГ в силу
(3) и 7.1, (8). Наконец, в силу (3) и 7.1, (8) (iv) влечет (i).
В качестве приложения 8.3 докажем следующую теорему:
8.4. Формула р в 3?о будет теоремой модальной теории Ь~ =
= {9?о, ^ц, Щ тогда и только тогда, когда формула 1р является
теоремой теории Т.
Пусть а — модель для fT" в алгебре А. Если р — теорема
теории Т, то рл(а)= V согласно 8.3. В силу III, § 1, (i4) имеем
ipA(t>)= V. Таким образом, каждая модель v для Т является
моделью и для ip. В силу 8.3 ip —теорема теории Т.
Обратно, предположим, что ip —теорема теории Т. Для
любой модели v теории Т в топологической булевой алгебре А
имеем \$A(v)= V согласно 8.3. В силу III, § 1, (i2) рл(а) = V-
Поэтому каждая модель v теории &~ является также моделью
для р. В силу 8.3 р —теорема в Т.
Обозначим теперь посредством 3?о формализованный язык
(нулевого порядка), получаемый удалением связки I из
алфавита языка 3?0. 2?1 является языком исследованного в главах
VII и IX типа. Множество всех формул языка 2?0 совпадает
с множеством всех формул языка SQ без знака I.
Произвольное множество s4> формул в i?0 однозначно определяет две
теории нулевого порядка: модальную теорию T = {3?Qi 4?^, Щ
и классическую теорию ЗГ* = \S\, <&, зФ). Теорема 8.5
устанавливает, что Т является несущественным расширением теории 2Г*:
8.5. Для любой формулы р в 3?0 следующие условия являются
эквивалентными:
(i) р — теорема в Т == {S^ V^ sf};
(ii) p — теорема в Т* = {&1, <&, яб).

|8l
МОДАЛЬНЫЕ ТЕОРИИ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА
54?
Другими словами,
(4) V*>-«Wjon/';
где F*0 — множество всех формул в i?o, s&czF0.
Непосредственно из определения ^ и ? следует, что
V*(s()czV (<я£). Поэтому (ii) влечет (i).
Предположим, что формула р в S'o не является теоремой
в f7~*. В силу VII, 7.8 существует такая модель v0 для Т* в
некоторой невырожденной булевой алгебре Л, что рл (&о) ф V.
Булеву алгебру Л можно рассматривать как топологическую булеву
алгебру, если операцию взятия внутренности в Л определить как
тождественное отображение. Для каждой формулы а в 3?0 и
для каждой оценки v e AVo значение аА (v) не зависит от того,
интерпретируется ли а как формула в 3?о, а Л —как булева
алгебра или же а интерпретируется как формула в i?o, а Л —
как топологическая булева алгебра. Поэтому, используя вторую
из этих интерпретаций, видим, что v0 — модель для 9Г% но не
модель для р. В силу 8.1 р не есть теорема теории Т.
Чтобы установить связь между интуиционистскими и
модальными теориями, мы определим сейчас отображение 3\ которое
каждой формуле а в 3?о сопоставляет некоторую формулу За
в 3?о. Определение отображения 3 дается индукцией по длине
формулы следующим образом:
За —это формула \а для каждой пропозициональной
переменной а\
3(aUP) — это формула (За\]3$);
ЗЧаПР) — эт0 формула (За[)3$);
^(афр) —это формула \(3а=$3$);
3 — а — это формула I — За.
Здесь аир обозначают произвольные формулы языка 3?q.
Если s& — произвольное множество формул в ЗВ\, то 3s4>
обозначает множество всех формул За, где aei. По
определению ЗзФ является множеством формул языка i?0. Поэтому
произвольное множество s& формул в 3?q однозначно
определяет две теории нулевого порядка: интуиционистскую теорию
Т* = {£?о, в\, si] и модальную теорию ST = {i?o, 9V, &<&}•
8.6. Для любой формулы р в 3?q следующие условия
эквивалентны:
(i) 3$ есть теорема теории Т = {3?Ql V^ 3sf};
(ii) p есть теорема теории ЗГ* = {3?1, <$?„ s4>).

548 ПОЗИТИВНАЯ ЛОГИКА И МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА [ГЛ. XI
Напомним, что если А является топологической булевой
алгеброй, то ©(A) обозначает псевдобулеву алгебру всех
открытых элементов алгебры Л. Следующее тождество является
основой для доказательства 8.6: для каждой формулы а в Sq
и для каждой оценки v e Av*
(5) a%{A){\v) = 2faA{v\
где lv есть композиция v: V0-+A и I: A->®(A). Разумеется,
а@(Л) —это отображение, определенное в IX, § 2. Несложное
доказательство (5) (на основе теоремы IV, 1.4), проводимое
индукцией по длине формулы а, мы здесь опускаем.
Если 5^р не является теоремой теории ЗГ% то существуют
топологическая булева алгебра А и оценка v e Av\ которая
является моделью для Т> но не для 2f$ (см. 8.3). Беря в качестве
а произвольную формулу из st>, мы получаем с помощью (5),
что оценка la e © (A)Vo является моделью для
интуиционистской теории (Г* (в смысле IX, § 2). Заменяя а на р, выводим
из (5), что 1а не является моделью для.р. В силу IX, 8.1 р не
есть теорема в Зг*.
Пусть теперь р не является теоремой теории 5Г*. В силу IX,
8.5 существует такая модель v для &~* в некоторой
псевдобулевой алгебре, что v не является моделью для р. В силу IV, 3.1
можно предположить, что эта псевдобулева алгебра является
алгеброй ®(А) всех открытых элементов некоторой
топологической булевой алгебры Л. Оценку v: Vo->®(A) можно
интерпретировать как оценку v: К0->Л. Более того, lv = v, поскольку
ig = g для всех открытых элементов g е Л. Беря в качестве а
произвольную формулу из «5#, получаем из (5), что v является
моделью для вГ. Заменяя а на р, получаем из (5), что v не
является моделью для З'р. В силу 8.1 2f$ не является теоремой
теории 3~.
Из 8.5 и 8.6 следует, что исследование классических и
интуиционистских теорий всегда можно свести к исследованию
некоторых частей соответствующих модальных теорий.
§ 9. Модальное пропозициональное исчисление
Следующая теорема, называемая теоремой о полноте для
модальных пропозициональных исчислений 9>0ll = {9?0, ^J, является
модальным аналогом теоремы о полноте VII, 2.1 для
классических пропозициональных исчислений и теоремы о полноте IX, 3.1
для интуиционистских пропозициональных исчислений.
9.1. Для каждой формулы р в j?0 следующие условия
являются эквивалентными:
(i) р доказуема в ^0ц = {^о> ^ц);

§ 9] МОДАЛЬНОЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 549
(И) р — модальная пропозициональная тавтология;
(Ш) р общезначима в каждом топологическом поле множеств
(iv) Pgj^ v (fl°) = V, где v° — каноническая оценка для 9*0[1;
(v) р общезначима в каждой конечной топологической
алгебре;
(vi) p общезначима в каждой топологической булевой
алгебре мощности ^22 , где г — мощность множества всех
подформул формулы р;
(vii) p общезначима в топологическом поле 33 (X) всех
подмножеств какого-нибудь плотного в себе метрического
пространства ХфО*).
Доказательство подобно доказательству для IX, 3.2.
Эквивалентность (i), (ii), (iii), (iv) следует из 8.3 (случай пустого^).
Очевидным образом (ii) влечет (v) и (v) влечет (vi).
Докажем, что (vi) влечет (iv). Предположим, что (iv) не
выполняется для формулы р, т. е. Ри(<£>0|А) (о0) = || РII Ф V.
Предположим, что р содержит г подформул. Пусть А0 — множество,
состоящее из всех таких || а ||, что а является подформулой
формулы р. Тогда А0 является подмножеством алгебры ^(^оц)»
содержащим самое большее г элементов. Из III, 4.4 следует, что
существует такая конечная топологическая булева алгебра А,
содержащая не больше 22 элементов, что Л0сЛк операции в А
являются расширениями операций в А0. Более того, А является
булевой подалгеброй алгебры 51 (#%*)• Пусть v — такая оценка
в Л, что
va = || а|| для каждой пропозициональной переменной а в р.
Легко доказать индукцией по длине формулы а, что для любой
подформулы а формулы р
aA{v) = \\a\\z=A0.
В частности, имеем
P»-IIPII*V.
т. е. (vi) не выполняется для р. Поэтому (vi) влечет (iv). Сле*
довательно, условия (i)—(vi) эквивалентны.
Заметим, что (iii) влечет (vii). Для завершения
доказательства 9.1 достаточно продемонстрировать, что (vii) влечет (v).
Действительно, предположим, что
(1) $А^)ФЧ
*) Мак-Кинси [1], Мак-Кинси и Тарский [1], [3]. Первые шаги,
ведущие к установлению связи между топологией и модальной логикой, были
сделаны ЦаоЧеном [1].

650 ПОЗИТИВНАЯ ЛОГИКА И МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА [ГЛ. XI
для некоторой оценки v в некоторой конечной топологической
булевой алгебре А. Пусть X Ф 0 — некоторое плотное в себе
метрическое пространство. В силу III, 8.3 существуют некоторое
открытое множество G cz X и изоморфизм h0 алгебры А в
топологическое поле 33(G). Из VI, 2.4 и из (1) следует, что
(2) WV) = W°>^Gf
где оценка h0v: V0->33(G) является композицией v: V0-*A и
А0: Л->33(G). С другой стороны, в силу III, 3.1 отображение
h(A) = A()G (Ле=33(*))
является гомоморфизмом топологического поля 33 (X) на
топологическое поле 33(G). Для каждой пропозициональной
переменной аеУо пусть Аа будет таким подмножеством множества X,
что
h{Aa) = ho{va).
Тогда o, = {i4e}esv, является оценкой в 33(Х) и оценка hv' (т. е.
композиция v': V0->93(X) и Л: 33 {Х)->33(G)) совпадает с
оценкой Л01>. Поэтому, в силу (2) и VI, 2.4,
h {Кю Щ = h{G) №') = few (V) ^ G-
Следовательно, PS(;0(f') =# ^, т.е. р не общезначима вй(1).
Это завершает доказательство 9.1.
Непосредственно из эквивалентности (i) и (vi) следует, что
для выяснения вопроса, доказуема ли формула р в ^оц,
достаточно вычислить $A(v) во всех конечных топологических булевых
алгебрах А мощности < 22\ где г — число подформул формулы
р. Таким образом, у нас есть разрешающая процедура *) для
распознавания доказуемости формулы р в 9*^- Эта процедура
состоит в выяснении, будет ли $A(v) тождественно равно V во
всех топологических булевых алгебрах мощности <22 . Если
Р — формула, построенная из п пропозициональных переменных,
а А состоит из т элементов, то мы должны вычислить значение
Рл(а) в тп точках ое/1, чьи координаты va, определяемые
пропозициональными переменными а из р, принимают
всевозможные значения в Л.
9.2. Формула р является модальной пропозициональной
тавтологией в том и только в том случае, когда формула ip являет-
ся модальной пропозициональной тавтологией,
*) Мак-Кинси [1].

§,91 МОДАЛЬНОЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 551
Это непосредственно следует из 8.4 и 9.1, (i), (ii) (или же
может быть выведено из III, § 1, Ог), (к) и определения модаль-
йых тавтологий).
Напомним (см. § 8, стр. 546), что 3?о обозначает язык,
получаемый из i?o элиминацией знака I. Следующая теорема
непосредственно вытекает из 8.5 (случай пустого зФ) и теорем 9.1,
VII, 2.1:
9.3. Для каждой формулы р в 3?о следующие условия
эквивалентны:
(i)P — классическая тавтология;
(ii) р — модальная тавтология *).
Для каждой формулы а в 2?\ пусть За будет формулой
(в i?o), определенной в § 8, стр. 547. Следующая теорема
получается из 8.6 (случай пустого зФ) и из теорем 9.1, IX, 3.1:
9.4. Для каждой формулы р в 3?1 следующие условия
эквивалентны:
(i) p — интуиционистская тавтология;
(ii) 2f$ — модальная тавтология **).
Интуитивный смысл теорем 9.3 и 9.4 состоит в том, что как
классическое, так и интуиционистское пропозициональное
исчисление можно интерпретировать как часть модального
пропозиционального исчисления.
Следующая теорема, аналогичная теореме IX, 6.1,
выполняется для модальных пропозициональных исчислений:
9.5. Для любых формул а, р в j?0 дизъюнкция (1а U 1р)
является модальной тавтологией в том и только в том случае,
когда одна из формул а, р — модальная тавтология***).
Доказательство аналогично доказательству IX, 6.1.
Если а — модальная пропозициональная тавтология, то,
в силу 9.2, la, a значит, и (la U ip) тоже будут модальными
пропозициональными тавтологиями. Таким же образом мы
докажем, что если р — модальная тавтология, то и (la U 1р)
будет модальной тавтологией.
Предположим, что (la U IP) — модальная тавтология. В силу
III, 4.3 существует изоморфизм h алгебры 51 0?%а) в
топологическое поле 33(X) всех подмножеств некоторого
топологического пространства X. В силу VI, 2.4 для любой формулы у
(3) hv4#0il)(v°) = y*m(hv°)>
где v° — каноническая оценка в % (£%) (см. § 8), а оценка hv°
является композицией v°: V0->«(^0jx) и h: 2l(^0jl)-*23 {X).
*) Льюис и Л ен гф op д [1].
**) Мак-Кинси и Т а р с к и й [3].
***) Мак-Кинси и Тарский [3] и [1]. Наше доказательство
является модификацией доказательства из этих статей,

552 ПОЗИТИВНАЯ ЛОГИКА И МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА [ГЛ. XI
В силу III, 5.1 X является открытым подмножеством
некоторого сильно компактного пространства Х0. В силу III, 3.1
отображение Ао(4)= X П А при А е 93 (Х0) является
топологическим гомоморфизмом алгебры 93 (Х0) на 93 (X). Для любой
пропозициональной переменной а пусть Sa будет таким
подмножеством пространства Х0, что A0(Sa) = hv°a = h (|| а ||). Оценка
a = {Sa}a€=7 в 93(Jf0) удовлетворяет равенству hQv = hv°.
Поскольку (la (J ip) является модальной пропозициональной
тавтологией, мы имеем
Ц№) (°) U 4W.) (о) = ГЬ U WeUi) (о) = *0.
Ввиду того, что Х0 сильно компактло, по крайней мере одно
из слагаемых равно Х0. Пусть, например, Iog(jr)(0) = -Yo. Тогда
а%(х ) (v)~ ^<г Следовательно,
К(*0|1) (°°) = <*»(*> <Ао°> = атх) (V) = V* (jr.) (*)<= Ло (*о) = *•
Поскольку Л — изоморфизм, последнее тождество влечет
а&(<р \(o°)=V- Этим, в силу 9.1, доказывается, что а
—модальная тавтология.
9.6. Алгебра % (^оц) модального пропозиционального
исчисления является свободной в классе всех топологических
булевых алгебр. Класс всех элементов ||а||, где а — любая
пропозициональная переменная, является системой свободных
образующих*).
Доказательство теоремы 9.6 такое же, как и для
аналогичных утверждений VII, 4.1 и IX, 7.1.
§ 10. Модальные теории первого порядка**)
В §§ 10, 11 & будет всегда обозначать фиксированный
модальный язык первого порядка. Для облегчения наших
рассуждений мы, как и в главе X (см. стр. 472), будем считать, что
язык 2? счетен.
Определение реализации R для 9? в множестве 1Ф0 и в
полной алгебре
(1) {Л, U. П, #. -. I.U' П)
с тремя бинарными операциями (J, П, =^>, двумя унарными
операциями—, I и двумя бесконечными операциями (J, P) такое
же, как в VI, § 6: это отображение, которое сопоставляет
*) Ср. Мак-Кинси и Тарский [1].
**) Изложение модальных теорий первого порядка см. в работе Р а с ё-
вой [11].

§-10]
МОДАЛЬНЫЕ ТЕОРИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
553
каждому m-местному функтору ср в SB функцию <рл: /т->/ и
каждому т-местному предикату р в ^ функцию рд: /т— >А.
В силу VI, § 6 для данной реализации R языка SB в / и в
алгебре (1) каждая формула авй' однозначно определяет
отображение
(2) aR: JV->A,
где V — множество всех свободных индивидных переменных
языка SB (конечно, к индуктивному определению отображения
ал на стр. 266 мы должны добавить тождество (1а) в (а) =
= 1(ад(1>))). Точки v = {vx}xeV из Jv называются оценками в /.
В соответствии с VI, § 7 мы будем также допускать(
реализации в неполных обобщенных алгебрах (1) при условии, что
все бесконечные операции, фигурирующие в индуктивном
определении отображения aRy всегда выполнимы.
В §§ 10, 11 мы всегда будем предполагать, что (1)
—невырожденная топологическая булева алгебра*).
В частности, мы можем брать в качестве алгебры (1)
Q-алгебру 51 (Т) некоторой непротиворечивой модальной
теории ^~={i?, ^ц, Щ первого порядка. Определение
канонической реализации RQ для SB в множестве Г всех термов языка SB
и в алгебре 51 (Т) такое же, как и в VI, § 7, стр. 277. Напомним
основное свойство канонической реализации R0: для каждой
формулы а в SB
(3) а^) = ||а'а||е=Я(<Г),
где v'a обозначает результат подстановки v в а. В частности,
для тождественной оценки г мы имеем
(30 ало(т) = ||а||.
Реализация R для SB в множестве /=^0 и в невырожденной
топологической булевой алгебре называется моделью для
множества'формул s£ (или: моделью для теории Т = {SB, 9?^ s4>}),
если для каждого ае^ и для каждой оценки v: V-+J
(4) aR(v)=V.
В частности, R является моделью для формулы а, если для
каждого v: V—► / выполняется условие (4). В этбм случае мы
говорим также, что а общезначима в R.
*) Реализации модальных языков первого порядка в полных
топологических булевых алгебрах были впервые исследованы в работе Р а с ё в о и [2].
В силу 111,4.2 каждую реализацию в топологической б>левой алгебре
можно понимать как реализацию в полной топологической булевой алгебре.

554 ПОЗИТИВНАЯ ЛОГИКА И МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА [ГЛ. XI
Формула называется модально общезначимой или модальной
предикатной тавтологией, если она общезначима в каждой
реализации R в любых / ф 0 и топологической булевой алгебре А,
в которых R определима.
Так, например, все логические аксиомы, т. е. все формулы
языка 9? вида (Ti) — (Ti2) или (Mi) —(M4) (см. стр. 220—221 и
540), являются модальными предикатными тавтологиями. Точное
доказательство основано на таких же^аргументах, как
доказательство аналогичных утверждений для модальных
пропозициональных исчислений (см. стр. 545) и VI, 6.9.
10.1. Если а —теорема модальной теории Т = {2?, 9?^ s4]
первого порядка, то каждая модель R для 3~ в произвольной
топологической булевой алгебре А является моделью для а.
Доказательство основано на тех же аргументах, что и
доказательство аналогичных утверждений 8.1 для модальных
теорий нулевого порядка и VIII, 2.2 для классических теорий
первого порядка.
Модель R для теории ЗГ = {£, 9?^, s4>) называется
адекватной, если, для любой формулы а в &, а будет теоремой
теории ЗГ в том и только в том случае, когда а общезначима в R.
Под топологической реализацией (топологической моделью)
мы будем понимать любую реализацию (модель) в
топологическом поле S(Z) всех подмножеств некоторого топологического
пространства X Ф 0.
10.2*). Для каждой модальной теории Т = {&, V^ s4>}
первого порядка следующие условия являются эквивалентными:
(i) ЗГ непротиворечива-,
(ii) существует модель для 9Г\
(Ш) существует модель для ЗГ в полной топологической
булевой алгебре;
(iv) существует топологическая модель для ЗГ\
(v) существует адекватная счетная топологическая модель
для ЗГ в топологическом поле 23 (Х0) всех подмножеств
некоторого множества Х0 иррациональных чисел.
Доказательство подобно доказательству аналогичной
теоремы X, 3.6 для интуиционистских теорий.
Сначала мы докажем, что (i) влечет (v). Действительно,
если ЗГ непротив.оречива, то Q-алгебра 51 (3~) невырождена.
В силу III, 10.1**) существует топологический Q-изоморфизм h
алгебры 9107~) в топологическое поле всех подмножеств
некоторого множества Х0 иррациональных чисел. Пусть /?° —
каноническая реализация языка & в счетном множестве Г всех
термов и в %(Т). Реализация tiR° (см. VI, § 6, стр. 269) является
*) Ра сё в а [2], [4], Расёва и Сикорский [3], Сикорский [7],
*-) См. также III, § Ъ. — Прим. ред<

§ ю]
МОДАЛЬНЫЕ ТЕОРИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
555
адекватной моделью для 3~ в множестве Г и в 33 (Х0).
Действительно, из (3), 7.1, (8) и VI, 6.6 (или VI, 7.3) следует, что для
каждой аксиомы а ^ si
ahR*(v) = h(aR>(v)) = h(\\v'a\\) = ti(V) = X0.
Поэтому hR° — модель для Т. С другой стороны, если
формула а общезначима в А/?0, то в силу (3') и VI, 6.6
(5) h (|| а ||) = h Ко (i)) = ahR* (i) = Х0.
Поскольку h — изоморфизм, имеем
|| а || = Vs«(D,
т. е., ввиду 7.1, (8), а является теоремой теории Т.
Очевидным образом из (v) следует (iv), из (iv) следует
(iii) и из (III) следует (и). То, что из (и) следует (i), доказы-*
вается так же, как аналогичные утверждения VIII, 2.4 и X, 2.4
для классических и интуиционистских теорий.
10.3. Для каждой формулы р в непротиворечивой модальной
теории Т = {3!, ф^, s4>) первого порядка следующие условия
являются эквивалентными:
(i) p — теорема теории Т;
(ii) p общезначима в каждой модели для Т;
(iii) p общезначима в каждой модели для 3~ в
произвольной полной топологической булевой алгебре;
(iv) р общезначима в каждой топологической модели для ЗГ;
(v) p общезначима в каждой модели для ЗГ в счетном,
множестве Jo и в любом топологическом поле 33 (Х0), где Х0 —
некоторое множество иррациональных чисел;
(vi) существует такое бесконечное множество /, что р
общезначима в каждой модели для ЗГ в J и в любом
топологическом поле 33 (Х0), где Х0 — некоторое множество
иррациональных чисел;
(vii) P#o(i)=V для канонической модели R0 теории ЗГ в
% (ЗГ) и для тождественной оценки i.
Доказательство подобно доказательству аналогичного
утверждения X, 3.7 для интуиционистских теорий.
(i), в силу 10.1, влечет (ii). Очевидным образом из (ii)
следует (iii), из (iii) следует (iv) и из (iv) следует (v).
(v) влечет (vii). Для доказательства этого предположим,
что h и Х0 имеют тот же смысл, что и в доказательстве
теоремы 10.2. Поскольку hR° является моделью теории ЗГ в
счетном множестве Т термов и в топологическом поле 33 (Xq) (cm.
доказательство теоремы 10.2), р общезначима в НЦ°. Из (5) nQ?
мучаем тогда рд<> (() = у,

556 ПОЗИТИВНАЯ ЛОГИКА И МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА [ГЛ. XI
(vii) влечет (i). Это немедленно следует из (3') и 7.1, (8).
(v) тривиальным образом влечет (vi). (vi) влечет (v).
Доказательство последнего утверждения такое же, как и для
аналогичного утверждения в X, 3.7.
10.4. Формула р в SB является теоремой модальной теории
Т = {«2\ ^д, s4) в том и только в том случае, когда формула
ip — теорема теории Т.
Доказательство (на основе 10.3) подобно доказательству
аналогичного утверждения 8.4 для модальных теорий нулевого
порядка.
Обозначим теперь посредством SB* формализованный язык
(первого порядка), получаемый из языка SB отбрасыванием
знака I из алфавита языка SB. SB* является языком типа,
исследованного в главах VIII и X. Множество всех формул языка SB*
совпадает с множеством всех формул в S7, не содержащих
знака I.
Произвольное множество Ж формул в SB* однозначно
определяет две теории первого порядка: модальную теорию
Т = {SB, ^, s4>) и классическую теорию T* = {SB\ <&9 s4).
Следующая теорема, утверждающая, что ЗГ является
несущественным расширением теории £Г*, может быть выведена из 10.1 и
VIII, 5.5 точно таким же способом, как аналогичное
утверждение 8.5 для теорий нулевого порядка было выведено из 8.1 и
VII, 7.8:
10.5. Для каждой формулы р в SB* следующие условия
являются эквивалентными-.
(i) р — теорема в Т = {&, <&», зФ}\
(и) р — теорема в T* = {Se\~<&, $6}.
Другими словами,
(6) ?1'Н = ?^(^)ПЛ
где F* — множество всех формул в SB*, s& с: F*.
Чтобы установить связь между интуиционистскими и
модальными теориями первого порядка, мы должны определить
отображение 9\ которое каждой формуле ав ^ сопоставляет
формулу Уа в SB. Определение отображения У дается
индукцией по длине формулы следующим образом:
&ъ есть формула 1а для каждой элементарной формулы а;
«S^aUP) есть формула (&ъ\)&§)\
ЗЧаПр) есть формула (&ъ[\&§)\
^(a=#>p) есть формула \(Уъ^У$)\
& — о. есть формула I — Sfa\
^{J^(D есть формула (J^a(g);
?Г\а{Ъ) есть Ф°РмУла ifl^G)-

$ 10] МОДАЛЬНЫЕ ТЕОРИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 557
Если s& — произвольное множество формул в 3?*, то &зФ
обозначает множество всех формул 5^а, где og^, По
определению &S& ~ множество формул в 2. Поэтому произвольное
множество $4> формул языка 2\ однозначно определяет две теории
первого порядка: интуиционистскую теорию tr* = {2\ <?\, Ж}и
модальную теорию Т = {2, Ф^, УЩ.
Ш.6*). Для каждой формулы $ в 2* следующие условия
эквивалентны:
(i) З'р — теорема в Т = {2, <&„, У$4<}\
(и) р~ теорема в Т* = {2\ <&„ s4).
Доказательство подобно доказательству аналогичной теоремы
8.6 для теорий нулевого порядка. Оно основано на следующем
тождестве:
(7) (^a)R(tO = aIR(t>)
для каждой реализации R в некоторых множестве J ФО и
полной топологической булевой алгебре Л, для каждой оценки v
в / и для каждой формулы а в 2*. Здесь символ IR, очевидно,
обозначает реализацию языка 2* в / и в алгебре ®(Л) всех
открытых элементов алгебры Л, определяемую следующим
образом:
Ф,д = Фд для каждого функтора ф в 2*\
Pifl~*Pfl для кажД°г0 предиката р в й'*
(см. аналогичные обозначения в VI, § 6, стр. 269).
Отображение alR понимается здесь, как в X, § 2, стр. 475.
Доказательство (7) (индукцией по длине формулы а) опускается. Оно
основано на теоремах IV, 1.4 и IV, 7.5.
Если 3$— не теорема теории Т, то,.в силу 10.3, существует
модель R для &~ в некоторых множестве /^0 и полной
топологической булевой алгебре Л и существует такая оценка vo,
что (5гР)н(^о)¥= V. Беря в качестве а произвольную формулу
из «я£, получаем из (7), что I/? —модель для Т*. Заменяя a
на р, получаем из (7), что Pi* (v0) Ф V/т. е. что р не
общезначима в IR. Поэтому, согласно X, 2.2, р не есть теорема
теории т*.
Пусть теперь р не есть теорема теории ЗГ*. В силу X, 3.7
существуют модель R для интуиционистской теории &~* в
подходящем множестве / ф 0 и в псевдобулевой алгебре ®(Х)
всех открытых подмножеств подходящего топологического
пространства Хи такая оценка v0, что ^и^0)Ф V (здесь символ рд
*) РасёваиСикорский[3].

SS8 ПОЗИТИВНАЯ ЛОГИКА И МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА [ГЛ. XI
имеет смысл, разъясненный в X, § 2). Отображение R можно
интерпретировать как реализацию R для 9? в / Ф 0 и в
топологическом поле 23 (X). Более того, \R = R, поскольку IG = G
для всех открытых множеств G cz X. Беря в качестве а
произвольную формулу из бФ, получаем из (7), что реализация R
для 9? в / и в 33 (X) является моделью для модальной
теории 9Ги Заменяя а на р, получим из (7), что «Ур не
общезначима в модели R для ЗГ. В силу 10.1 2f$ не является теоремой
теории &~.
Из 10.5 и 10.6 следует, что исследование классических и
интуиционистских теорий всегда можно свести к исследованию
некоторых частей соответствующие модальных теорий.
§11. Модальное предикатное исчисление
Следующая теорема называется теоремой о полноте для
модальных предикатных исчислений 9*$. = {£, Ф^, 0}. Она
является модальным аналогом теорем о полноте VIII, 6.1 для
классических предикатных исчислений и X, 4.1 для интуиционистских
предикатных исчислений.
11.1 *). Для каждой формулы р в модальном языке 2?
первого порядка следующие условия являются эквивалентными:
(i) р доказуема в 9*^ = {&, ^ц};
(ii) p общезначима в каждой реализации языка 9?\
(iii) p общезначима в каждой реализации языка 9? в
произвольной полной топологической булевой алгебре;
(iv) p общезначима в каждой топологической реализации
языка 9?\
(v) p общезначима в каждой реализации языка & в
счетном множестве Jo и в каждом топологическом поле 33 (X), где
X — какое-нибудь множество иррациональных чисел;
(vi) существует такое бесконечное множество Jf что р
общезначима в каждой реализации языка 9? в J и в любом
топологическом поле 23 (^), где X — какое-нибудь множество
иррациональных чисел;
(vii)P^o(i)= V для канонической модели R0 в 51 (0^) и для
тождественной оценки t.
11.1 непосредственно следует из 10.3 (случай пустого s4>).
Мы дополним теорему 11.1 следующим замечанием:
11.2**). Существует такое метрическое пространство Х0, что
произвольная формула р в 9? является модальной тавтологией
в том и только в том случае, когда р общезначима в каждой
реализации языка 9? в счетном множестве J и в 33 (Х0).
*) Р а с ё в а [2], Расёва и Сикорский [3], С и к о р с к и и [7].
'*) Сикорский [7]. См. также Расёва и Сикорский [3].

SHI
МОДАЛЬНОЕ ПРЕДИКАТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
559
Теорема 11.2 непосредственно следует из 10.2, (i), (v) и 11.1.
Из 10.2 следует, что в качестве Х0 можно взять некоторое
множество иррациональных чисел. Однако упоминаемое в 11.2
пространство Х0 не может быть полным метрическим
пространством или же топологически полным пространством (см. III,
§11). Поскольку пространство всех вещественных чисел полно,
а пространство всех иррациональных чисел топологически полно
(см. III, § 11, стр. 141), они не могут быть взяты в качестве
пространства Х0 в 11.2.
Действительно, рассмотрим следующую формулу*):
(1) -iU<wn-i-i-p(m
где р — одноместный предикат. Из III, § 11, (5) немедленно
следует, что (1) общезначима в каждой реализации R в любом
счетном множестве и в любом топологически полном
пространстве. Однако (1) не является модальной тавтологией, поскольку
пример III, § 11, (6) показывает, что (1) общезначима не во всех
реализациях.
11.3. Формула р является модальной тавтологией в том и
только в том случае, когда формула ip является модальной
тавтологией.
Это непосредственно следует из 10.4. и 11.1 (или же может
быть немедленно выведено из III, § 1, (i2), 00 и определения
модальных тавтологий).
Напомним (см. § 10, стр. 556), что &* обозначает язык,
получаемый из & выбрасыванием знака I. Следующая теорема
непосредственно следует из 10.5 (случай пустого $Ф) и из 11.1,
VIII, 6.1:
11.4. Для каждой формулы р в 2?* следующие условия
являются эквивалентными:
(i) p — классическая тавтология-,
(и) р — модальная тавтология.
Для каждой формулы а в 3?* пусть Sfa — формула (в S),
определенная в § 10, стр. 556. Следующая теорема немедленно
получается из 10.6 (случай пустого s&), 11.1 и X, 4.1:
11.5. Для каждой формулы р в 2?* следующие условия
являются эквивалентными:
(i) p — интуиционистская тавтология;
(и) «Ур — модальная тавтология **).
Интуитивный смысл теорем 11.4 и 11.5 состоит в том, что как
классическое, так и интуиционистское предикатные исчисления
*) Этот контрпример был дан Расёвой и Сикорским [3] с учетом
замечания К у р а т о в с к о г о [3] (т. I, стр. 427) о теореме Бэра.
**) Расёва и С и к о р с к и й [3].

560 ПОЗИТИВНАЯ ЛОГИКА И МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА (ГЛ. XI
можно рассматривать как части модального предикатного
исчисления.
Следующие теоремы являются модальными аналогами
теорем X, 8.1 и X, 8.2 для интуиционистских предикатных
исчислений:
11.6. Для произвольных формул а, р в & дизъюнкция
Па U IP) является модальной предикатной тавтологией в том и
только в том случае, когда а или р является модальной
предикатной тавтологией.
11.7. Экзистенциальная формула (Jip(£) в & является мо-
l
дальной предикатной тавтологией в том и только в том случае,
когда существует такой терм т в &, что Р(т) является
модальной предикатной тавтологией *).
Доказательство 11.6 и 11.7 является несложной модификацией
доказательств X, 8.1 и X, 8.2-соответственно. Способ
модификации был проиллюстрирован при доказательстве аналогичной
теоремы 9.5 (о модальном пропозициональном исчислении), ибо
это доказательство было сходной модификацией доказательства
соответствующей теоремы IX, 6.1 об интуиционистском
пропозициональном исчислении.
11.8. Q-алгебра 91 (^ц) модального предикатного исчисления
является обобщенной свободной алгеброй в классе всех полных
топологических булевых алгебр. Класс всех элементов \\ а \\, где
а — произвольная элементарная формула, является системой
свободных образующих.
Доказательство теоремы 11.8 такое &е, кате и для
аналогичных утверждений VIII, 24.1 и X. 5.1.
*) Теоремы 11.6 и 11.7 были доказаны Расёвой и Сикорским [5].

ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
1 (стр. 10). В то же время работы Генцена и других авторов (Аккер-
ман, Шютте, Лоренцен, Спектор) выявили существование методов, близких
к финитным и позволяющих все же обосновать непротиворечивость ряда
формализованных теорий, не поддающихся финитным методам.
2 (стр. 10). Основной причиной применения финитных методов в
метаматематике является недостоверность нефинитных методов; обоснованием
последних и должны были служить финитные доказательства
непротиворечивости.
3 (стр. 12). См., например, вышедшую недавно в русском переводе
монографию А. Робинсона [1].
4 (стр. 14). Поскольку непротиворечивость аксиоматической теории
множеств до сих пор не обоснована, по крайней мере не вызывающими сомнения
методами, данное заявление авторов представляется странным.
5 (стр. 43у. Здесь используется теорема Цермело, например, в
следующей форме: для любой мощности т существует такое ординальное число |,
что множество всех ординальных чисел ц ^ | имеет мощность т.
Проведение индукции во всяком случае должно оказаться невозможным при |,
соответствующем любой мощности, большей, нежели мощность множества А\
в качестве £о берем наименьшее |, при котором индукция не проходит.
6 (стр. 73). Это, по-видимому, означает, что для соответствующей
операции —- a (J Ь нет специального названия.
7 (стр. 73). Термин «импликативная решетка» принадлежит Карри.
В оригинале используется термин «relatively pseudo-complemented lattice» из
книги Биркгофа [3]. В русском переводе этой книги Биркгофа [3]
употребляется термин «структура с относительными псевдодополнениями».
8 (стр. 74). Учитывая также III, § 4.
9 (стр. 82). В самом деле, вывод (i) из (iv) сохраняется, a (iv) можно
вывести из (i) следующим образом. Пусть V — максимальный фильтр.
Поскольку V — собственный, в Л/V существуют по меньшей мере два элемента.
Пусть Л/V содержит более двух элементов, т. е., кроме V^/y» имеются еще
элементы | а \ Ф \ Ь |. Пусть, далее, неверно, что | а |< | Ь \ (оба неравенства
|а|"<|6| и |&|<|а| совместно не могут быть выполнены). Берем в Л/V
главный фильтр Vjfl|, порожденный элементом | а |. Элемент | Ь | не
принадлежит этому фильтру. В силу 13.5 множество V всех таких с& Л, что
|c|eV|flj, является фильтром в А и V с V. V — собственный фильтр, так
как элемент Ь ему не принадлежит. V —- собственное подмножество
множества V, так как а ф. V и а е Vх. Мы пришли к противоречию.
10 (стр. 83). То есть теоретико-множественных тождеств
-(XUK) = -*n -Y и -(X()Y) = -XU-Y.
11 (стр. 85). Заметим, что в псевдобулевых алгебрах, вообще говоря,
тождество (12) не выполняется. Это следует из IX, § 12.

562
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
12 (стр. 91). Если в слагаемое (объединения (6)) d = С\ац одновре-
/=i
менно входит несколько ak (1^£<г) с общим £, то можно оставить одно
из них (в силу идемпотентности (I, § 6, (1)).То же имеем и при повторении
— afe. Если в него одновременно входят ак и — а., то в силу а. П — й. = Л
все слагаемое равно Л и его можно отбросить (Л[)с=*с). Если же в
слагаемое при фиксированном k не входят ни ак, ни — а^, то заменяем d на
(d(]ak)U(d(] — aky В самом деле, (d(\ak)[)(d() — ak) = d[\(ak[) — ak)=*
s= d П V e d. Наконец, в объединении (6) можно зачеркнуть повторяющиеся
слагаемые (все, кроме одного).
13 (стр. 106). Если бы av содержалось в отличном от V Q-фильтре V, то,
поскольку av — наименьший элемент из V, мы имели бы Vc V, в то время
как V — максимальный фильтр, а V, будучи максимальным фильтром,
является собственным.
14 (стр. ПО). То есть наименьшее поле подмножеств, содержащее D0-
15 (стр. 111). См. конец § 3. Утверждение «Если А е О, то <р-1 (А) е В»
вытекает, во-первых, из того, что каждый элемент из D выражается через
конечное число элементов из D0 при помощи операций U, П» —» во-вторых,
из равенства <р~l (Da) = g (Da) и, в-третьих, из того, что g(Da)sB при
любом a e E.
16 (стр. 111). Поскольку Do порождает D, то стоуновский гомоморфизм Л
совпадает с отображением Л, однозначно (см. I, 4.4) определяемым через g
по теореме 11.1.
17 (стр. 115). Напомним, что в определении. I* через Cg по § 1, (1) знак
«-—» означает дополнение в Ag (см. первый абзац этого параграфа).
18 (стр. 130). Теорему 6.1 нужно применить к замкнутым множествам
s
J-G, CGun[)As+l,..., CGr,n\JAs+r, (jB/.n+i.
/-о
19 (стр. 131). Доказать последовательно, что h(a(]b) = Л (a)flh(b);
h(— а) = — h (a); если афЬ, то Н(а)Ф h (b); если ЛсХиа=*Мдг, то
h (а) = А.
20 (стр. 136). Пусть И = Р #*еВ0, и пусть tu ..., *m —полный набор
индексов, при которых fft ф Xf. По определению базы при каждом
i (l</^m)
s s Sf
Пусть Яс в —множество вида (1), где
sv .... sm
Gtp=Xt при 1ф1ъ ..., tm и Gti = GtiSi
для /= 1, ..., т. Множества Н принадлежат той системе множеств,
1* ***' т
для которой мы доказываем свойство быть базой. Имеем
я- U U U 4....W
Поскольку Н -г произвольное множество из В0, а В0 — база пространства Х0,
то утверждение доказано.

ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА £63
21 (стр. 137). Сначала с помощью (3) из некоторой базы для У строим
базу для У*°; -затем из последней базы строим по (3) базу для (уИо)*°.
22 (стр. 138). Можно считать, что X —некоторое подмножество
множества всех подмножеств натурального ряда. Пусть Вп—множество всех
таких х (подмножеств натурального ряда), что лея. Пусть Ап = X О Вп.
Если х,у^Х, то хотя бы в одном из множеств х, у найдется такое число л,
что либо пех и пф у, либо пф х и п&у. Пусть имеет место первый
случай. Тогда *еЛп, уф Лп-
23 (стр. 139). Изложение содержит некоторые ошибки и пробелы. Если
mi, ..., mkt ... — положительные целые числа, то в виде
(А) ,= iL+_!i+r!L+...
у I mi | m2 | m3
представляются все иррациональные числа интервала 0 < х < 1 и только
они. Поэтому функция ф взаимно-однозначно отображает пространство ЛР«*, i>
всех таких иррациональных чисел на N*\ Пусть ku ..., kr фиксированы.
Рассмотрим, что представляет еобой ф-"1 (Nk k V yeip-1 (Affe t #^ k
^означает, что # = -r~- + ... + . . \—, где x — некоторая бесконечная не-
I *! I ttf "T* #
прерывная дробь вида (А). Поскольку х пробегает все иррациональные
значения между 0 и 1, то у пробегает все иррациональные значения между
Интервалы вида (уо, у\) действительно образуют открытую базу
топологического пространства Я9®, i>.
В силу I, § 2, (8') ф является гомеоморфизмом пространства Jf^ ^ на 1У*Ч
С другой стороны, например, отображение
( {~ТТ2 при *>0>
\Т=7 при у<0
является гомеоморфизмом пространства Jf на ЛР(о, i>.
24 (стр. 140). Таким образом, ф0 является открытым1 отображением. С
другой стороны, прообраз множества Go = (gu g2) при отображении ф0 есть &,
а прообраз множества У0 — все JC. Поэтому ф0 — непрерывное отображение.
25 (стр. 140). Этим доказывается, что ф — открытое отображение.
Используя (8) из § 3, можно доказать, что ф непрерывно.
26 (стр. 154). Поскольку а = \/->аиа=\/=фя.
27 (стр. 155). Однако всегда можно в качестве такого пространства
выбрать Го-пространство.
28 (стр. 156). В работе Мак-Кея «On finite logics» (Indag. Math. 29
(1967), 363—365) дается чисто алгебраическая характеристика сильно
компактных псевдобулевых алгебр.
29 (стр. 172). Непротиворечивость построенных в настоящее время
аксиоматических систем для теории множеств (система Цермело — Френкеля (см.
§ 13), система Куайна и др.) остается пока под вопросом. Для системы
Цермело —- Френкеля имеется ультра интуиционистское обоснование непротн-

564
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
воречивости, принадлежащее А. С. Есенину-Вольпину, но мало кто признает
удовлетворительность средств, примененных в этом обосновании.
30 (стр. 214). При условии, что существует механическая процедура для
распознавания, является ли формула элементом множества S и является ли
формула элементом множества s4>x (последнее, впрочем, в этой книге всегда
выполняется).
31 (стр. 215). В этом состоит теорема А. Чёрча (с учетом теоремы
VIII,6.1) —см., например, Клини [3], § 76, теорема 54.
32 (стр. 229). А именно, они не могут выступать в роли элементов
других множеств.
33 (стр. 229). См. формулировку аксиом Цермело — Френкеля в книге
Френкеля и Бар-Хиллела [1]. В данной формулировке опущена
аксиома пары (см. аксиому II на стр. 50 русского перевода цитированной
книги), которая выводится из аксиом IV, VIII (см. примечание Есенина-
Вольпина к стр. 51 русского перевода цитированной книги).
34 (стр. 232). Речь идет о традиционной математике.
35 (стр. 237). На самом^ деле дальше доказано несколько более слабое
утверждение: если теория У является несущественным расширением
непротиворечивой теории 9~ = {i?, С, s4), то в языке 2? существует формула, не
являющаяся теоремой теории Т' (ср. с 14.1).
36 (стр. 238). А также VII, § 10.
37 (стр. 257). С точностью до конгруэнтности.
38 (стр. 268). У / может быть, вообще говоря, несколько имен.
39 (стр. 269). Докажем, например, первое из них:
(yws))«(»)=°*(|yPK/£)|) =
- U "* (|Р(*аЛ)1) " U (Р(*оЛ))* <"> " U Р*Кп>) = U M<"A
IS/ IS/ IS/ /€=/
причем именно в последнем переходе используются свойства отображения v.
40 (стр. 280). Точнее, в силу обобщения 1,4.10 на обобщенные
универсальные алгебры (см. стр. 41).
41 (стр. 282). Заметим, что в 6.9 v обозначает оценку свободных
индивидных переменных языка J?, а в 9.5 — оценку пропозициональных
переменных языка SB*-
42 (стр. 307). Однако в Г переменная а* или отрицание —а\ может
встретиться несколько раз.
43 (стр. 318). Как видно из последующего изложения, под
эффективностью авторы понимают ограничение средств рассуждения так называемыми
конструктивными аксиомами теории множеств с отказом от аксиомы выбора.
Такие рассуждения формализуются, например, в системе V, § 13, Д) без'
аксиомы (Дб).
44 (стр. 340). Заметим, что доказательство этой теоремы не финитно.
Впрочем, существует также и некоторый финитный ее вариант (см. Клини
[3], § 72, теорема 36°).
45 (стр. 351). По сути дела, это доказательство является также
независимым доказательством эквивалентности (i) и (v) в теореме VIII, 6.1, т. е.
доказательством теоремы Гёделя.
Метод доказательства может быть распространен и на эквивалентность
(i) и (v) в теореме VIII,5.5 (для счетных языков). А именно, диаграмму
для формулы а0 нужно строить, как в основном случае, равномерно добавляя
на каждой ветви диаграммы отрицания замыканий аксиом из бФ одно за
другим. Бесконечная ветвь диаграммы дает нам опять желательную
семантическую реализацию, в которой аксиомы из «я£ будут общезначимы, а ао не
общезначима.

ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
565
ЛП-
46 (стр. 363). А именно, это доказывает, что Vq^ порождает фильтр V^,
откуда следует, что V0^ [(-порождает V^.
47 (стр. 370). Эта непротиворечивость остается под вопросом, как и
непротиворечивость самой системы V, § 13, Д). Неизвестно даже, существует
ли сведение первой проблемы ко второй. Впрочем, и в этом случае
существует ультраинтуиционистское доказательство непротиворечивости А. С. Есе-
нина-Вольпина (см. примечание 29).
48 (стр. 392). См. также примечание 45. Теорема о существовании
моделей для непротиворечивой теории с конечным числом аксиом легко может
быть получена с помощью чисто синтаксических средств (а именно с
помощью доказанной синтаксически второй теоремы о дедукции) из теоремы
Гёделя.
49 (стр. 397). Точное неравенство card#~<K0 не может быть выполнено,
ибо если в / имеется п элементов, то кванторы в формулах II р (|) и
I
JCCPi (Wr\P2(v\))=¥--t(lv\)) сведутся к конечным дизъюнкциям и
конъюнкциям и мы придем к противоречию.
50 (стр. 400). Поскольку /п и jm совпадают только на конечном
множестве координат, а такое множество не принадлежит V.
51 (стр. 401). Собственно говоря, здесь будут две аксиомы (es) (а всего
пять аксиом). ^ ^
52 (стр. 401). В самом деле, при любом n&N0 ординарная
семантическая реализация /?я> где р^ определено произвольным образом, a nR (jv /2) = V
для любых /ь /2, является моделью теории i7~. В самом деле, Yo всегда
принимает в этой реализации значение Д, а потому б общезначима. Далее, для
любой мощности п^т существует реализация Rn мощности п, задаваемая
следующим образом: л интерпретируется как отношение неравенства, ар —
как порядок произвольного полного упорядочения множества / (/ —•
множество реализации Rn).
Пусть теперь R — произвольная ординарная семантическая модель
теории #*. Если мощность модели R конечна, то yQR гз Д, и если п ф NQi то
последняя аксиома принимает значение Д. к
Если мощность модели R бесконечна, то ynR s=s д при любом конечном
п Ф 0. Из общезначимости последней аксиомы теории 9* следует, что Yqd= V,
и из общезначимости 6 следует (f^iJOrc^'n,)^— ^(^)W^3V. Отсюда
I п
получим, что прГи различных cv c2 имеем c]R ф c2R, и в реализации имеется m
различных элементов.
53 (стр. 402). Если п е N0t то следующая реализация является ординарной
семантической моделью теории W мощности я. Пусть w{ <wt < ... <wf
суть числа wu ..., wn-\, упорядоченные по возрастанию. Пусть аь ..., an —
все элементы л-элементного множества / (в котором строится реализация).
Тогда
cRss=zav если c^wi>
с0=*аь (2<£<я— 1), если wit <с<аь,
к к *л —1 "я
cD = a* если w{ <c.
При т^п посылка аксиомы (am+i=^— e(схс2)) ложна и все аксиомы
общезначимы. При т<п имеем — е (схс2)к~ V.

566
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
Пусть теперь R — некоторая бесконечная ординарная семантическая
модель теории #"*. Тогда посылка всех аксиом (an+i=^—с (ciC2)) принимает
значение V, а значит, и заключение принимает это же значение. Отсюда
следует, что c{R=£c2R при с{Фс2 и что мощность модели R равна по
меньшей мере мощности континуума.
54 (стр. 406). Если, конечно, теория из V, § 13, Д) непротиворечива, что
остается пока под вопросом.
55 (стр. 406). Существование моделей такого рода (при условии
непротиворечивости теории из V, § 13, Д)) доказывается, в частности, в книге Коэна
«Теория множеств и континуум-гипотеза» («Мир», 1969), гл. II, § 7.
56 (стр. 407). В этом случае множество / можно считать совпадающим
с множеством положительных целых чисел и <p^ (/j, ..., /m) (см. стр. 355)
можно определить следующим образом:
наименьшему / такому, что fiR (/, /р ..., /m)=V,
если такие /ь ..., /т, / существуют,
1 в противном случае,
т. е. без использования аксиомы выбора.
57 (стр. 411). Здесь ть ..., хт — произвольные термы из Т\.
58 (стр. 416). Если # \Т) не плотно в & (#"")> то существует такое
открытое множество G Ф 0, что & (Т) П 0 = 0. G есть объединение некоторых
III P III j"» гДе Р ~~ открытые формулы. Возьмем из них любое такое 0, что
1(1 р I j"/¥=0. Тогда — $ может служить в качестве а.
59 (стр. 430). Поскольку взаимная однозначность отображения /,-р не
используется, то целей, к которым стремятся авторы, можно добиться
следующим образом.
Пусть < — полное упорядочение множества Т$° (по мощности равного Т
и V) с наименьшим возможным порядковым типом. Это упорядочение
индуцирует упорядочение множества V (а именно, а<Ь для а, Ь е V, если
(а, ..., а, ...) < (6, ..., bt ...)), а также упорядочение множества 7" = ТШх X...
... ХГт' (а именно, т'<т" для т', т" е= Г, если (т', т', ...)<(т", т", ...)).
Пусть /tp определено для всех т'<т" (т/, т/; е Г). Мощность множества
этих т' заведомо меньше ш, равно как и мощность множества V
индивидных переменных, входящих в т'^т". Пусть а —первая индивидная
переменная из не входящих в V и в fiP(T"), где Т" состоит из всех т'<т".
Определяем ftp (т") = а.
60 (стр. 432). Здесь речь может идти не только об эффективности в
смысле VII, § 11 (см. примеч. 43), но и об обычной эффективности.
Существует порождающая процедура для перечисления собственных эрбрановых
дизъюнкций. Конструктивное доказательство теоремы Эрбрана см. в статье:
Минц Г. Е., Теорема Эрбрана, сб. «Математическая теория логического
вывода» («Наука», 1967).
61 (стр. 434). Речь идет,, разумеется, о классической математике.
Представители интуиционизма, например, считают, что математика имеет
другое содержание.
62 (стр. 435). Неясно, почему данное понимание отрицания будет иным,
нежели классическое. Различие здесь в том, что в понимание отрицания
классик дополнительно включает утверждение (5) (стр. 435), чего не признает
интуиционаст.
63 (стр. 436). Однако в интуиционистской математике имеется
параллельная теория видов и потоков.
«4+1('i '«)■"

ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
567
64 (стр. 436). Это не совсем так. Любой математик при изучении
интуиционистских работ скоро научается распознавать, что интуиционизм признает
правильным, а что — нет.
65 (стр. 448). Легко заметить, что, по сути дела, здесь использована
конечная (а именно пятиэлементная) псевдобулева алгебра А\ с элементами
О, Л, В, D = A U В, С.
Все тавтологии, кроме (t24), не общезначимы также на подалгебре А2
алгебры Ль состоящей из элементов О, D, С.
Ниже следуют соответствующие оценки:
(tl2)
(tie)
(tie)
(tM)
(Ы
(tao)
va=*D;
Oa=*D;
ов = Д
va = D,
va = D,
»o="A
vb *=D;
o» = 0;
fft = C;
»*=o.
Кроме (t24), примером тавтологии, общезначимой на Л2, но не
общезначимой на Ль может служить формула — а V а. Существует способ
построения формул, для опровержения которых, приходится строить сколь
угодно сложные конечные псевдобулевы алгебры.
66 (стр. 483). См. также замечание перед 111,9.3.
67 (стр. 536). Можно показать, что добавление к множеству $4>х
логических аксиом позитивного пропозиционального исчисления всех формул вида
(Тзо) дает нам исчисление, в котором доказуемы все позитивные формулы,
являющиеся классическими пропозициональными тавтологиями, и только они.

БИБЛИОГРАФИЯ
Аккерман (Ackermann W.)
См. Гильберт и Аккерман.
Баркан (Barcan R. С.)
[1] Л functional calculus of the first order based on strict implication,
J. Symbolic Logic И (1946), 1—16.
Ьар-Аиллел (Bar-Hillel Y.)
См. Френкель и Бар-Хиллел.
Б е р н а й~с (Bernays P.)
[1] A system of axiomatic set theory, J. Symbolic Logic 2 (1937), 65—77;
6 (1941), 1—17; 7 (1942), 65—89, 133—145Г 8 (1943), .89—106; 13
(1948), 65—79; 19 (1954), 81—96.
См. также Гильберт и Бернайс.
Бет (Beth E. W.)
[1] A topological proof of the theorem of Lowenheim—Skolem—Godel,
Koninkl. Nederl. Akademie van Wetenschappen, Amsterdam, Proceedings,
Series A, 54, No. 5 и Indagationes Math. 13, No. 5 (1951), 436—444.
[2] Semantic entailment and formal derivability, Mededelingen der Kon.
Ned Akad. v. Wet, new series 18, No. 13 (1955), 309—342.
[3] Semantic construction of intuitionistic logic, там же 19, No. 11 (1956),
357—388.
[4] The foundations of mathematics, Amsterdam, 1959.
Биркгоф (Birkhoff G.)
[1] On the combination of subalgebras, Proc. Cambr. Phil. Soc. 29 (1933),
441—464.
[2] On the structure of abstract algebras, там же 31 (1935), 433—454.
[3] Lattice theory, revised edition, New York, 1948 (воспроизведение, 1960).
Русский перевод с издания 1948 года: Г. Биркгоф, Теория
структур, ИЛ, 1952.
Биркгоф и Маклейн (Birkhoff G., Mac Lane S.)
[1] Л survey of modern algebra, New York 1941 (и более поздние издания).
Б р а у э р (Brouwer L. E. J.)
[1] De onbetrouwbaarheid, der logische principes, Tijdschrift voor wijsbe-
geerte 2 (1908), 152—158.
Бялыницкий-Бируля и Расёва (Biaiynicki-Birula A., Rasiowa H.)
[1] On constructive falsity in the constructive logic with strong negation,
Colloquium Mathematicum 6 (1958), 287—310.
Вайсберг (Wajsberg G.)
[1] Untersuchungen iiber den Aussagenkalkul von A. Heytingt Wiadomosci
Matematyczne 46 (1938), 45—101.
Ван дер Варден (Van der Waerden B. L.)
[1] Moderne Algebra, Berlin, 1930-1931, vol. 1, 2 (также второе издание,
Berlin, 1937). Русский перевод: Б. Л. Ван дер Варден,
Современная алгебра, тт. I и II, ИЛ, 1947.

БИБЛИОГРАФИЯ 569
Весли (Vesley R. E.)
См. Клини и Весли.
Воробьев Н. Н.
[1] Конструктивное исчисление высказываний с сильным отрицанием,
ДАН СССР 85 (1952), 456—468.
[2] Проблема выводимости в конструктивном исчислении -высказываний
с сильным отрицанием] там же, 689—692.
Г ё д е л ь (Godel К.)
[1] Die Vollstandigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalkuls, Mo-
. natsh. f. Math, und Phys. 37 (1930), 349—360.
[2] Ober formal unentscheidbare Sdtze der Principia Mathematica und ver-
wandter Systeme, I, там же 38 (1931), 173—198.
[3] Zum intuitionistischen Aussagenkalkul, Ergebnisse eines mathematischen
Kolloquiums 4 (1931—1932, опубл. 1933), 40.
[4] Zur intuitionstischen Arithmetik und Zahlentheorie, там же, 34—38.
[5] Eine Interpretation des intuitionistischen Aussagenkalkuls, там же,
39^-40.
Г е й т и н г (Heyting A.)
[1] Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik, Sitzungsber. Preuss.
Akad. Wiss., Phys.-math. Rl., 1930, 42—56.
[2] Die formalen Regeln der intuitionistischen Mathematik, там же, 57—71,
158—169.
[3] Intuitionism, an Introduction, Studies in Logic and Foundations of
Mathematics, Amsterdam, 1956. Русский перевод: А. Гейтинг,
Интуиционизм, «Мир», 1965.
Генцен (Gentzen G.)
[1] Untersuchungen uber das logische Schliessen, Math. Z. 39 (1934—
1935), 176—210, 405—431. Русский перевод: Г. Генцен,
Исследования логических выводов, сб. «Математическая теория логического
вывода», «Наука», 1967, стр. 9—74.
Гжегорчик (Grzegorczyk A.)
[1] Some proofs of indecidability of arithmetics, Fundam. Math. 43 (1956),
178—189.
Гильберт и Аккерман (Hilbert D., Ackermann W.)
[1] Grundzuge der theoretischen Logik, Berlin, 1928 (3-е издание: Berlin—Got-
tingen—Heidelberg, 1949). Русский перевод второгоиздания:
Д.Гильберт и В. Аккерман, Основы теоретической логики, ИЛ, 1947.
Гильберт и Бернайс (Hilbert D., Bernays P.)
[1] Grundlagen der Mathematik, т. I, Berlin, 1934 (воспроизведение Ann
Arbor, Mich., 1944), т. II, Berlin, 1939 (воспроизведение Ann Arbor,
Mich., 1944).
ГливенкоВ. И.
[1] Sur quelques points de la logique de M. Brouwer, Acad. Roy. Belgique,
Bull. cl. sci., ser. 5, 15 (1929), 183—188.
Дайсон и Крейсел (Dyson V. H., Kreisel G.)
[1] Analysis of Beta's semantic construction of intuitionistic logic, Applied
Mathematics and Statistics Laboratories, Standford University,
Technical report, 3, Jan. 27, 1961 (мимеография), 39—65.
Иоганссон (Johansson L)
[1] Der Minimalkalkul, ein reduzierter intuitionistischer Formalismus, Com-
positio Math. 4 (1936).
Кан rep (Kanger S.)
[1] Provability in Logic, Acta univ. Stockholmiensis, Stockholm, Studies in
Philosophy 1 (1957), 1—47.
К а р н а п (Carnap R.)
[1] Logische Syntax der Sprache, Wten, 1934. Английский перевод
(расширенный): The Logical Syntax of Language, New York — London, 1937.

570
БИБЛИОГРАФИЯ
[2] Modalities and Quantifications, J. Symbolic Logic 11 (1946), 33—
64.
Карп (Кагр С.)
[1] Languages with expressions of infinite length, Doctoral dissertation,
University of Southern California, Los Angeles, 1959.
[2] Independence proofs in predicate logic with infinitely long expressions,
Lecture in Int. Congr. for Logic, Methodology and Philosophy of
Science 1960, Stanford.
Келли (Kelley J. L.)
[1] General topology, 1957. Русский перевод: Дж. Л. Келли, Общая
топология, «Наука», 1968.
К л и н и (Kleene S. С.)
[1] Recursive predicates and quantifiers, Trans. Amer. Math. Soc. 53 (1943)»
41—73.
[2] On the interpretation of intuitionistic number theory, там же 61 (1947)»
307—368.
[3] Introduction to metamathematics, New York — Toronto, 1952. Русский
перевод: С. К. Клин и, Введение в метаматематику, ИЛ, 1957.
[4] Disjunction and existence under implication in elementary intuitionistic
formalismus, J. Symbolic Logic 27 (1962), 11—18.
Клини и Весли (Kleene S. С, Vesley R. E.)
[1] Foundations of intuitionistic mathematics, Studies in Logic and
Foundations of Mathematics, Amsterdam, 1965.
Крейг (Craig-W.)
[1] Linear reasoning — A new form of the Her brand — Gentzen theorem,
J. Symbolic Logic 22 (1957), 250—268.
К р е й с е л (Kreisel G.)
[1] Elementary completeness properties of intuitionistic logic with a note on
negations of prenex formulas, J. Symbolic Logic 23 (1958), 317—330;
errata, p. vi.
[2] A remark on free choice sequences and the topological completeness
proofs, там же, 369—388.
[3] On weak completeness of intuitionistic predicate logic, Applied
Mathematics and Statistics Laboratories, Stanford University, Technical
report 3, Jan. 27, 1961 (мимеография).
Крейсел и Путнам -(Kreisel G., Putnam H.)
[1] Eine Unableitbarkeitsbeweismethode fur den intuitionistischen Aussa-
genkalkul, Institute for Advanced Studies, Princeton, New Jersey,
January, 1957 (мимеография).
См. также Дайсон и Крейсел.
Куратовский (Kuratowski С.)
[1] Sur Voperation A de VAnalysis situs, Fund. math. 3 (1922), 182—199.
[2] Une methode d'elimination des nombres transfinis des raisonnenments
mathematiques, там же, 76—108.
[3] Topology, Monografie Matematyczne, Warszawa, т. I, 1958, т. II, 1961.
Русский перевод: К. Куратовский, Топология, т. I, «Мир», 1966;
т. II, «Мир», 1969 — переработан автором.
Куратовский. и Мостовский (Kuratowski С, Mostowski A.)
[1] Teoria mnogouci, Monografie Matematyczne, Warszawa — Wroclaw,
1952. Русский перевод: К. Куратовский, А. Мостовхкий,
Теория множеств, «Мир», 1970.
Лёвенгейм (Lowenheim L.)
[1] Vber Moglichkeiten im Relativkalkul, Math. Ann. 76 (1915), 447—470.
Ленгфорд (Langford С. Н.)
[1] Some theorems on deducibility, Ann. Math. Sec. JSer. 28 (1927), 1(5—40.
См. также Льюис и Ленгфорд.

ЁИВЛИОГРАФЙЯ
571
Линдой (Lyndon R. С.)
[1] Properties preserved under algebraic constructions, Bull. Amer. Math.
Soc. 65 (1959), 287—299.
Лось (Los J.)
[1] О matrycach logicznych, Prace Wroslawskiego Towarzystwa Naukowe-
go, Seria B, No. 19, Wroclaw, 1949.
[2] An algebraic proof of completeness for the two-valued propositional
calculus, Colloq. Math. 2 (1951), 236—240.
[3] Sur le theoreme de Godel pour les theories indenomb rabies, Bull. Acad.
Polon. Sci., CI. Ill, 2 (1954), 319—320.
[4] On the categoricity in power of elementary deductive systems and
some related problems, Colloq. Math. 3 (1954), 58—62.
[5] Algebraic treatment of the methodology of elementary deductive
systems, Studia Logica 2 (1955), 151—212.
[6] On the extending of models, I, Fundam. Math. 42 I (1955), 38—54.
[7] Quelques remarques, theoremes et problemes sur les classes definis-
sables d'algebres, Mathematical Interpretation of Formal Systems,
Studies in Logic and Foundations of Mathematics, Amsterdam, 1955, 98—
113.
[8] Remarks on Henkin's paper: Boolean representation through
propositional calculus, Fundam. Math. 44 I (1957), 82—83.
Лось, Расёва и Мостовский (Los J., Rasiowa H.. Mostowski A.)
[1] A proof of Herbrand's theorem, J. math, pures et appl. 35 (1956), 19—24.
[2] Addition au travail «A proof of Herbrand's theorem», там же 40 (1961),
129—134.
Лось и Рылль-Нардзевский (Los J., Ryll-Nardzewski С.)
[1] Effectiveness of the representation theory for Boolean algebras,
Fundam. Math. 41 (1954), 49—56.
Лукасевич (Lukasiewicz J.)
[1] О logice trojwartosciowej, Ruch filozoficzny 5 (1920), 169—170.
[2] Elementy logiki matematycznej, Warszawa, 1929 (воспроизведение War-
szawa, 1958).
Лукасевич и Тарский (Lukasiewicz J., Tarski A.)
[1] Untersuchungen iiber den Aussagenkalkul, Compt. rend. Soc. Sci. Lettres
Varsovie, CI. HI, 23 (1930), 30—50.
Льюис н Ленгфорд (Lewis С I., Langford С. Н.)
[1] Symbolic logic, New York, 1932.
Мак-Кинси (McKinsey J. С. С.)
[1] A solution of the decision problem for the Lewis systems S. 2 and S. 4
with an application to topology, J. Symbolic Logic 6 (1941), 117—134.
Мак-Кинси и Тарский (McKinsey J. С. С, Tarski A.)
[1] The algebra of topology, Ann. Math. 45 (1944), 141—191.
[2] On closed elements in closure algebras, там же 47 (1946), 122—162.
[3] Some theorems about the sentential calculi of Lewis and Heyting,
J. Symbolic Logic 13 (1948), 1—15.
M а к л е й н (MacLane S.)
См. Биркгоф и Маклейн.
M а к н е й л (MacNeille H.)
[1] Partially ordered sets, Trans. Amer. Math. Soc. 42 (1937), 416—460.
Мальцев А. И.
[1] Untersuchungen auf dem Gebiete der maihematischen Logik, Матем.
сб. 1 (1936), 323—335.
V\ 2 D К О B A A.
Ш Конструктивная логика, УМН 53 (1950), 187—188.
Марчевский (Marczewski E.)
[1] Sur Vequivalence des suites dyensembles et Vequivalence des fonctions,
Fundam. Math. 26 (1936), 302—326.

672 БИБЛИОГРАФИЯ
[2] On the isomorphism and the equivalence of classes and sequences of
sets, там же 32 (1939), 133—148.
Маэхара и Такэути (Maechara S., Takeuti G.)
[1] A formal system of first order predicate calculus with infinitely long
expressions, J. Math. Soc. Japan 13 (1961), 357—370.
Монтейро (Monteiro A.)
[1] Axiomes independants pour les algebres de Brouwer, Revista de la
Union Matematica Argentina у de la Asociaci6n Fisica Argentina 27
(1955), 149—160.
Морель и Тарский (Morel А. С, Tarski A.)
[1] Reduced products and the compactness theorem, Notices 5 (6) 1958,
674, Abstracts 550-9.
См. также Фрейн, Морельи Скотт.
Мостовский (Mostowski A.)
[1] Abzahlbare Boolesche Korper und ihre Anwendung auf die allgemeine
Metamathematik, Fundam. Math. 29 (1937), 34—53.
[2] On definable sets of positive integers, там же 34 (1946), 81—112.
[3] Logica matematyczna, Monografie Matematyczne, Warszawa —
Wroclaw, 1948.
[4] Proofs of non-deducibility in intuitionistic functional calculus, J.
Symbolic Logic 13 (1948), 204—207.
[5] Sentences undecidable in formalized arithmetic. An exposition of the
theory of Kurt Godel, Studies in Logic and Foundations of
Mathematics, Amsterdam, 1952.
[6] Models of axiomatic systems, Fundam. Math. 39 (1952), 133—158.
См. также Куратовский и Мостовский; Лось, Расёва,
Мостовский; Расёва и Мостовский; Тарский,
Мостовский и Р. Робинсон.
Мрувка (Mrowka S.)
[1] On the ideaVs theorem and its equivalence to the axiom .of choice,
Fundam. Math. 43 (1956), 46—49.
[2] Two remarks to my paper. On the ideal*s theorem and its equivalence
to the axiom of choice, там же 46 (1958), 165—166.
Нёбелинг (Nobeling G.)
[1] Grundlagen der analitischen Topologie, Berlin — Gottingen —
Heidelberg, 1954.
Нельсон (Nelson D.)
[1] Recursive functions and intuitionistic number theory, Trans. Amer.
Math. Soc. 61 (1947), 307—368.
[2] Constructible falsity, J. Symbolic Logic 14 (1949), 16—26.
Пильчак Б. Ю.
[1] О проблеме разрешимости для исчисления задач, ДАН СССР 75
(1950), 773—776.
[2] Об исчислении задач, Укр. матем. журнал 4 (1952), 174—194.
Пономарев В. И.
[1] Аксиомы смежности и непрерывные отображения, Bull. Acad. Pol. Sci.
8 (1960), 127—133.
Пост (Post E. L.)
[1] Introduction to a general theory of elementary propositions, Amer. J.
Math. 43 (1921), 165—185.
[2] Recursively enumerable sets of positive integers and their decision
problems, Bull. Amer. Math. Soc. 50 (1944), 284—316.
Пресбургер (Presburger M.)
[1] uber die Vollstandigkeit eines gewissen Systems der Arithmetik ganzer
Zahlen, in welchem die Addition als einzige Operation hervortritt,
Comptes rendus du I Congres des Mathematiciens des Pays Slaves
(Warszawa, 1929), Warszawa, 1930, 92—101, 395.

БИБЛИОГРАФИЯ
573
Путнам (Putnam H.)
См. Крейсел и Путнам.
Рабин и Скотт (Rubin J. E., Scott D. S.)
[1] Some topological theorems equivalent to the Boolean prime ideal
theorem, Bull. Amer. Math. Soc. 60 (1954), 389.
P а и x б a x (Reichbach J.)
[1] On the completeness of the functional calculus of first order, Studia
Logica 2 (1955), 245—250.
Расёва (Rasiowa H.)
[I] Siir un certain systeme dyaxiomes du calcul des propositions, Norsk
Matematisk Tidsskrift, 1949, 1—3.
[2] Algebraic treatment of the functional calculi of Hey ting and Lewis,
Fundam. Math. 38 (1951), 99—126.
[3] A proof of the compactness theorem for arithmetical classes, там же
39 (1952), 8—14.
[4] Algebraic models of axiomatic theories, там же 41 II (1954), 291—310.
[5] Constructive theories, Bull. Acad. Pol. Sci., CI. Ill, 2 (1954), 121—124.
[6] A proof of E-theorems, там же З (1955), 299—302.
[7] On e-theorems, Fundam., Math. 43 II (1956), 156—164, Errata, там же
44 III (1957), 333.
[8] Sur la methode algebraic dans la methodologie des systemes deductifs
elementaires, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Phys. R. P. R. 1 (49), No. 2,
1957, 223—231.
[9] Algebraische Characterisierung der intuitionistischen Logik mit starker
Negation, Constructivity in Mathematics, Proc. of the Colloq. held
at Amsterdam 1957, Studies in Logic and Foundations of Mathematics,
1959, 240—244.
[10] N-lattices and constructive logic with strong negation, Fundam. Math.
46 (1958), 61—80.
[II] On modal theories, Acta Philosophica Fennica 16 (1963).
Расёва и Мостовский (Rasiowa H., Mostowski A.)
[1] A geometric interpretation of logical formulae, Studia Logica 1 (1952),
1—22.
Расёва и Сикорский (Rasiowa H., Sikorski R.)
[1] A proof of the completeness theorem of Godel, Fundam. Math. 37
(1950), 193—200.
[2] A proof of the Skolem — Lowenheim theorem, там же 38 (1951), 230—
232,
[3] Algebraic treatment of the notion of satisfiability, там же 40 (1953),
62—95.
[4] On satisfiability and deducibility in non-classical functional calculi.
Bull. Acad. Pol. Sci., CI. Ill, 1 (1953), 229—231.
[5] On existential theorems in non-classical functional calculi, Fundam.
Math. 41 (1954), 21—28.
[6] On isomorphism of Lindenbaum algebras with fields of sets, Colloq.
Math. 5 (1958), 143—158.
[7] Formalisierte intuitionistische elementare Theorien, Constructivity in
Mathematics, Proc. of the Colloq. held in Amsterdam 1957, Studies in
Logic and Foundations of Mathematics, 1959, 241—249.
[8] On Gentzen theorem, Fundam. Math. 48 (1960), 57—69.
[9] An application of lattices to logic, там же 42 (1955), 83—100.
См. также Бялыницкий-Бируля и Расёва; Лось, Расёва
и Мостовский.
Р и г е р (Rieger L.)
[1] On the lattice theory of Brouwerian propositional logic, Acta facultatis
rerum naturalium Univ. Carolinae 189 (1949), 1—40.

574 библиография
[2] A note on topological representations of distributive lattices, Casopis
pro pestovani matematiky a fysiky 74 (1949), 55—60.
[3] On countable generalized o-algebras, with a new proof of GodeVs
completeness theorem, Czechoslovak Math. J. 1 (76), 1951, 29—40.
[4] On the free Ш-complete Boolean algebras, Fundam. Math. 38 (1951),
35—52.
Робинсон A. (Robinson A.)
[1] On the metamathematics of algebra, Studies in Logic and
Foundations of Mathematics, Amsterdam, 1951 (These. Londres, 1949). Русский
перевод переработанного и расширенного второго издания: А. Р о-
б и н с о н, Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры,
«Наука», 1967.
[2] Theorie metamathematique des ideaux, Paris, 1955.
Робинсон P. (Robinson R. M.)
См. Тарский, Мостовский и Р. Робинсон.
P о с с e p (Rosser J. В.)
[1] Extensions of some theorems of Gogel and Church, J. Symbolic Logic
1 (1936), 87—91.
Россер и Тюркетт (Rosser J. В., Turquette A. R.)
[1] Many-valued logics, Studies in Logic and Foundations of Mathematics,
Amsterdam, 1952.
Роуз (Rose G. F.)
[1] Pro positional calculus and realizability, Trans. Amer. Math. Soc. 75
(1953), 1—19.
Рылль-Нардзевский (Ryll-Nardzewski C.)
[1] The role of the axiom of induction in elementary Arithmetik, Fundam.
Math. 39 (1952), 239—263.
См. также Лось и Рылль-Нардзевский.
Серпинский (Sierpinski W.)
[1] Zarys teorii mnogo§ci, Warszawa, 1928.
[2] Fonctions additives, поп completement additives et fonctions поп me-
surables, Fundam. Math. 30 (1938), 96—99.
[3] Algebre des ensembles, Warszawa-Wroclaw, 1951.
Сикорский (Sikorski R.)
[l] On the inducing of homomorphisms by mappings, Fundam. Math. 36
(1949), 7—22.
2] Closure algebras, там же 36 (1949), 165—206.
3] Cartesian product of Boolean algebras, там же 37 (1950), 25—54.
4] On an analogy between measures and homomorphisms, Ann. Soc. Pol.
Math. 23 (1950), 1—20.
[5] Closure homomorphisms and interior mappings, Fundam. Math. 41
(1954), 12—20.
[6] On Herbrand's theorem, Colloq. Math. 6 (1958), 55—58.
[7] Some applications ox interior mappings, Fundam. Math. 45 (1958),
200—212.
[8] Der Heytingsche Pradikatenkalkiil und metrische Raume,
Constructive in Mathematics, Proc. of the Colloq. held at Amsterdam, 1957,
Studies in Logic and Foundations of Mathematics, Amsterdam, 1959,
250—253.
[9] Boolean algebras, Berlin — Gottingen — Heidelberg, 1960. Русский
перевод: P. Сикорский, Булевы алгебры, ИЛ, 1968.
[10] A topological characterization of open theories, Bull. Acad. Pol. Sci.,
CI. Ill, 9 (1961), 259—260.
Algebra of formalized languages, Colloq. Math. 9 (1962), 1—31.
On open theories, там же 9 (1962), 171—182.
On representation of Lindenbaum algebras, Prace Mathematyczne 7
(1962), 97-105.

БИБЛИОГРАФИЯ 575
[14] Applications of topology to foundations of mathematics, Proc. of the
topological Symposium in Prag, 1961, 322—330.
[15] Products of generalized algebras and products of realizations, Colloq.
Math. 10 (1963), 1—13.
См. также Расёва и Сикорский.
Сколем (Skolem T.)
[1] Logisch-kombinatorische Untersuchungen uber die Erfullbarkeit oder
Beweisbarkeit mathematischer Satze nebst einem Theoreme uber dichte
Mengen, Skrifter utgit av Videnskapsselskapet i Kristiania, I. Mat.-
naturv. kl., 1920, No. 4, 36 стр.
[2] Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begriindung der Mengenlehre,
Wissenschaftliche Vortrage gehalten auf dem Funften Kongress der
Skandinavischen Mathematiker in Welsingfors vom 4. bis 7. Juli 1922,
Helsingfors, 1923, 217—232.
[3] Vber die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder
abzahlbar unendlich vieler Aussagen mit ausschliesslich Zahlenvariablent
Fundam. Math. 23 (1934), 150—161.
Скотт (Scott D. S.)
[1] Prime ideal theorems for rings, lattices and Boolean algebras, Bull.
Amer. Math. Soc. 60 (1954), 390.
Скотт и Тарский (Scott D. S., Tarski A.)
[1] The sentential calculus with infinitely long expressions, Colloq. Math.
8 (1958), 165—170.
См. также Рабин и Скотт; Фрейн, Морель и Скотт; Фрейн и
Скотт; Фр ей н, Скотт и Тарский.
Стоун (Stone М. Н.)
[1] Boolean algebras and their relation to topology, Proc. Nat. Acad. Sci.
20 (1934), J97—202.
[2] The theory of representations for Boolean algebras, Trans. Amer. Math.
Soc. 40 (1936), 37—111.
[3] Applications of the theory of Boolean rings to general topology, там
же 41 (1937), 321—364.
[4] Topological representation of distributive lattices and Brouwerian
logics, Cas. Mat. Fys. 67 (1937), 1—25.
Такэути (Takeuti G.)
См. Маэхара и Такэути.
Тарский (Tarski A.)
[1] Vber einige fundamentale Begriffe der Metamathematik, Compt. rend.
Soc. Sci. Lettres Varsovie, CI. Ill, 23 (1930), 22—29.
[2] Fundamentale Begriffe der Methodologie der deduktiven Wissenschaf-
tent I, Monatsh. f. Math. u. Phys. 37 (1930), 361—404.
[3] Unter suchungen uber den Aussagenkalkiil, Ergebn. Math. Kolloq. 2
(1932), 13—14.
[4] Pojecie prawdy w jezykach nauk dedukcyjnych, Travaux Soc. Sci.
Lettres Varsovie, CI. Ill, 34 (1933), VII + 116 стр.
[5] Grundzilge des Systemenkalkiils, Erster Teil, Fundam. Math. 25 (1935),
503—526.
[6] Vber die Erweiterungen der unvollstandigen Systeme des Aussagen-
kalkuls, Ergebn. Math. Kolloq. 7 (1936), 283—401.
[7] Grundziige des Systemenkalkiils, Zweiter Teil, Fundam. Math. 26
(1936), 283—301.
[8] Der Aussagenkalkiil und die Topologie, там же 31 (1938), 103—134.
[9] A representation theorem for cylindric algebras, Bull. Amer. Math.
Soc. 58 (1952), 65—66, Abstract 86.
[10] Some notions and methods on the borderline of algebra and met a*
mathematics, Proc. of the Intern. Congress of Mathematicians, Cam-

576 БИБЛИОГРАФИЯ
bridge, Mass., 1950, публикация: A. M. S., Providence, R. I, 1952, I,
705—720.
[11] Prime ideal theorems for Boolean algebras and the axiom of choicef
Bull. Amer. Math. Soc. 60 (1954), 390—391, Abstract 562.
[12] Prime ideal theorems for set algebras and ordering principles, там же,
391, Abstract 563.
[13] Prime ideal theorems for set algebras and the axiom of choice, там
же, 391, Abstract 564.
[14] Remarks on predicate logic with infinitely long expressions, Colloq.
Math. 8 (1958), 171—176.
Тарский, Мостовский и Р. Робинсон (Tarski A., Mostowski A.,
Robinson R. M.)
[1] Undecidable theories, Studies in Logic and Foundations of Mathematics,
Amsterdam, 1953.
Тарский и Томпсон (Tarski A., Thompson F. B.)
[1] Some general properties of cylindric algebras, Bull. Amer. Math. Soc.
58 (1952), 65, Abstract 85.
См., также Лукасевич и Тарский; Мак-Кинси и Тарский;
Морель и Тарский; Скотт и Тарский; Фрейн, Скотт и
Тарский; Хенкин и Тарский.
Томпсон (Thompson F. В.)
См. Тарский и Томпсон.
Т ю р к е т т (Turquette A. R.)
См. Россер и Тюркетт.
Уоллес (Wallace A. D.)
[1] Some characterization of interior transformations, Amer. J. Math. 41
(1939), 757—763.
Феферман (Feferman S.)
[1] Review of the paper: H. Rasiowa and R. Sikorski, A proof of the
completeness theorem of Godel (Fundam. Math. 37 (1950), 193—200),
J. Symbolic Logic 17 (1952), 72.
Фреге (Frege G.)
[1] Begriffsschrift, eine der mathematischen nachgebildete Formelsprache
des reinen Denkens, Halle, 1879.
[2] Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau, 1884.
[3] Grundgesetze der Arihmetik begriffsschriftlich abgeleitet, Jena, 1891,
1903.
Фрейн, Морель и Скотт (Frayne Т. Е., Morel А. С, Scott D. S.)
[1] Set-theoretical properties of reduced products, Notices 5 (6) (1958),
Abstract 550-8
[2] Reduced direct products, Fundam. Math. 51 (1962), 195—228.
Фрейн и Скотт (Frayne Т. E., Scott D. S.)
[1] Model-theoretical properties of reduced products, Notices 5 (6) (1958),
Abstract 550-10.
Фрейн, Скотт и Тарский (Frayne Т. Е., Scott D. S., Tarski A.)
[1] Reduced products, Notices 5 (6) (1958), Abstract 550-7.
Френкель (Fraenkel A.)
[1] Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre, Math. Ann.
86 (1922), 230—237.
Френкель и Бар-Хиллел (Fraenkel A. A., Bar-Hillel Y.)
[1] Foundations of set theories, Studies in Logic and Foundations of
Mathematics, Amsterdam, 1958. Русский перевод: А. А. Френкель,
И. Бар-Хиллел, Основания теории множеств, «Мир», 1966.
Хазенъегер (Hasenjaeger G.J
[1] Eine Bemerkung zu Henkin's Beweis fur die Vollstandigkeit des Pjra-
dikatenkalkuls der ersten Stufe, J. Symbolic Logik 18 (1953), 42—
48.

БИБЛИОГРАФИЯ 577
Халмош (Halmos P.)
[1] Algebraic logic, I: Monadic Boolean algebras, Compositio Math. 12
(1955), 217—249.
[2] Algebraic logic, II: Homogeneous locally finite polyadic algebras of
infinite degree, Fundam. Math. 43 (1956), 255—325.
[3] Algebraic logic, III: Predicates, terms and operations in polyadic
algebras, Trans. Amen Math. Sac. 83 (1956), 430—470.
[4] Algebraic logic, IV: Equality in polt/adic algebras, там же 86 (1957),
1—27.
[5] Polyadic Boolean algebras, Proc. Nat. Acad. Sci. 40 (1954), 296—301.
[6] Predicates, terms, operations, and equality in polyadic algebras, Proc.
Nat. Acad. Sci. 42, No. 3 (1956), 130—136.
[7] The basic concepts of algebraic logic, Amer. Math. Monthly 63, No. 6
(1956), 363—387.
[8] Free monadic algebras, Proc. Amer. Math. Soc. 10 (1959), 219—227.
[9] The representation of monadic Boolean algebras, Duke Math. J. 26
(1959), 447—454.
Хантингтон (Huntington E. V.)
[1] A new set of independent postulates for the algebraic logic, Trans.
Amer. Math. Soc. 35 (1933), 557—558, 971.
X а н ф (Hanf W.)
[1] Models of languages with infinitely long expressions, Intern. Congr.
for Logic, Methodology and Philosophy of Sciences, Abstract of
contributed papers, Stanford University, 1960 (мимеография), 24.
Хаусдорф (Hausdorff F.)
[1] Grundzuge der Mengenlehre, New York, 1949. Русский перевод,
комбинирующий издания 1914 и 1927 гг.: Ф. Хаусдорф, Теория
множеств, ОНТИ, 1937.
Хенкин (Henkin L.)
[1] The completeness of the first order functional calculus, J, Symbolic
Logic 14 (1949), 159—166.
[2] An algebraic characterization of quantifiers, Fundam. Math. 37 (1950),
63—74.
[3] Boolean representation through propositional calculus, там же 41
(1954), 89—96.
[4] Metamathematical theorems equivalent to the prime ideals theorems for
Boolean algebras, Bull. Amer. Math. Soc. 60 (1954), 387—388.
[5] The representation theorem for cylindrical algebras, Mathematical
interpretation of formal systems, Studies in Logic and the Foundations
of Mathematics, Amsterdam, 1955, 85—97.
[6] Some remarks on infinitely long formulas, Infinitistic methods, Proc.
of the Symp. on Foundations of Mathematics, Warsaw, 2—9 Sept. 1959,
Oxford — London — New York — Paris — Warszawa, 167—183.
Хенкин и Тарский (Henkin L., Tarski A.)
[1] Cylindrical algebras, Summaries of talks presented at the Summer
Institute of Symbolic Logic in 1957 at Cornell Univ., мимеографирова-
ho, vol. Ill, 332—340.
[2] Cylindric algebras, Proc. of Symposia in Pure Mathematics II (1961),
Lattice theory, 83—113.
X e p м е с (Hermes H.)
[1] Einfuhrung in die Verbandstheorie, Berlin — Gottingen — Heidelberg,
1955.
Ц а о Ч е н (Tsao-Chen, Tang)
[1] Algebraic postulates and a geometric interpretation for the Lewis
calculus of strict implication, Bull. Amer. Math. Soc. 44 (1938), 737—
744.

578 БИБЛИОГРАФИЯ
Цермело (Zermelo E.)
[1] Untersuchungen iiber die Grundlagen der Mengenlehre, Math. Ann. 65
(1908), 261—281.
Ц о р н (Zorn M.)
[1] A remark on method in' trans finite algebra, Bull. Amer. Math. Soc. 41
(1935), 667—670,
Чандрасекхаран (Chandrasekharan K.)
[1] The logic of intuitionistic mathematics, Mat. Student 9 (1941), 143—
154.
Ч ё р ч (Church A.)
[1] A note on the Entscheidungsproblem, J. Symbolic Logic 1 (1936), 40—
41. Correction, там же, 101—102.
4ex.(Cech E.)
[1] On bicompact spaces, Ann. Math. 38 (1937), 823—844.
Ш в а р ц А. С
[1] К одной задаче Сикорского, УМН 12, № 4 (74) (1957), 215.
Шмульян (Smullyan R.)
[1] Theory of formal systems, Ann. Math. Studies 47, Princeton, 1961.
Шютте (Schutte K.)
[1] Schlussweisen Kalkule der Pradikatenlogik, Math. Ann. 122 (1950—51),
47—65.
Э р б р а н (Herbrand J.)
• [1] Sur la theorie de la demonstration, Compt. rend. Acad. Sci. (Paris)
186 (1928), 1274—1276.
[2] Recherches sur la theorie de la demonstration, Travaux Soc. Sci. Lettres
Varsovie, CI. Ill, 33 (1930).
Эренфойхт.и Мостовский (Ehrenfeucht A., Mostowski A.)
[1] A compact space of models of axiomatic theories, Bull. Acad. Pol. Sci.,
CI. Ill, 9 (1961), 369-373.
Яськовский (Jaskowski S.)
[1] Recherches sur le systeme de la logique intuitioniste, Actes du Congres
International de Philosophic Scientifique, VI. Philosophie des mathema-
tiques, Actualites scientifiques et industrielle 393, Paris, 1936, 58—61.

список символов
€= 17 ф \7 lG 116 CG 116
с 17* 230 Ag 71 Л 72
U 17 44, 176, 182, П 17, 44, 176, _ ^ 18>68>72>73> J m ш
*УЬ 1ЙА 1УЬ 150, 176, 181, 196
U* 159 Л =ф 69, 150, 176, -» 124, 149
II 17, 49, 176, 182П17, 49, 176, 182 182, 196
п л
ф^ 229
М 45, 239 П 45, 239 ~ 28> 256> 377> 516 ~ 29
iZi Ц А/~ 34 */~ 28
I/50 ^5° U,228283 ,„29
(J 176, 182 f) 176, 182 I« I 256 II « II 250, 283,
6 1
Р| 257 f) 257
362
II х || 29 || а 1^ 283
||| а ||| 413,421 HI а I ^413
(J 259 П ™ ■ а '" ° 417 ■ а ■ * Ш
te/ is/ = 222 П 222
у 48 Л 48 ( 182» 196 J 182» 196
Ул 48 Лл 48 f'- X->Y-l*
V 226 Л 226 !(A118
Л
0 17 1 228
tx 18 f* 18
0 306, 348 e228 t (A) 18 f г (Л) 18
< 41 > 42 tf 18 Г1 18
<v 78 К 540 Ы 18 {а, am} 18
sup 42 inf 42 («*> 18 (аЛёГ 18
V 57 A 58 0» (Л) 64 P (Л) 64
A/V 78 Л/Д 95 &Q(A) 104 PQ(A) 104
V0<?€ 314, 362, 460, V0t/t 362, 498 9(T) 413 P(^) 414
498 &*(T) 416 Po(^) 414
^314, 363, 460, ^363,498 ' <*> ™ *<£«
1 19, 112, 540 С 20, 113 P At 18 P Л„ 19
1г 115 Cg 115 isr я = 1

580
список символов
оо
Р Ап 19
п=*1
Ат 19
Л*° 19
^iX ... XAm 19
х 19
0|£t 39
Ъ(Х) 84
©(В) 149
©о (В) 151
Ч 219, 295
^ 437, 438,
^я531
^540
#° 377
<в\ 516
^ 473
0\ 472
^„531
^541
472
Я (Л 283, 532,
542
Я°(<Г1 380,
519
JV 138
fl(s,/e,, • ••,
180
416,
Snfin)
*
Р Л/ 19
t€=T
Am 19
Л,ХЛ2Х... 19
«о 19
fit (A) 158
©(-У) 74, 150
©о W 74, 151
^ 219
#lJ2, 436
*п* 531
«W 541
<&* 492
^о 295, 439
?ь 438
^оя 531
*<* 541
Щ (^) 362
Щ (W0) 314
^ 138
^(si, •••, sn) 180
^(вь --sert) 180
а0 231
F° 240
v° 250, 533, 544
card J" 394
q>3 189, 191
т3 189, 190
Y* 200
<P* 262
xR 253, 254
vR 268
hR 269, 478
st 252
s' 258
s" 258
«л„ 197
ял 248
h(a) 64
Я^414
Л0 93
At 259
Г/ 259
К (*о. е) 125
C(S) 178, 212, 214
а 240
&° 240
Л° 240
cardA/ 394
card2J' 394
Рз 189
а3 189,191
9* 262
а^ 263, 264, 266,
268
sR 254
sRv 254
sa 246
v' 261
v" 261
v* 261
aA 247, 248
sA 249
hQ (a) 104
я^ 136
i 272
Si 259
/v 259
К (хо, e) 125
Jt{ 178
<T 223

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аккерман [Ackermann W.] 220. 299. 561
Баркан [Barcan R. С] 541
Бар-Хиллел [Bar-Hillel Y.] 564
Бернайс [Bernays P.] 229. 338, 380, 387, 530
Бернштейн [Bernstein F.] 233
Берри [Berry P.] 173
Бет [Beth E. W.] 14, 173, 309, 338, 351, 358,
419, 438, 441, 448, 477, 485
Биркгоф [Birkhoff G.] 30, 44, 64, 73, 83,
319, 561
Брауэр [Brouwer Lt E. J.] 13, 434
Буль [Boole G.] 11
Бурбаки [Bourbaki N.] 14
•Бэр [Baire R.] 10, 26, 106, 107, 142, 358, 559
Бялыницкий-Бируля [Biatynicki-Birula A.]
15, 530
Вайсберг [Wajsberg G.] 446
Ван дер Варден [Van der Waerden В L.l
30
Весли [Vesley R. E.] 434
Воробьев Н. H. 530
Гальперн [Halpern J.] 319
Гёдель [G6del K.] 9 — 12, 338, 340, 358, 369,
450, 451, 453, 564, 565
Гейтинг [Heyting A.] 13, 434, 436, 437, 473,
492
Генцен [Gentzen U.] 309, 351, 446, 448, 453,
494, 496, 561
Гёте [Goethe J. W.] 9
Гжегорчик [Grzegorczyk A.] 369
Гильберт [Hilbert D.] 9, 11, 220, 299, 338,
380, 387, 530
Гливенко В. И. 449, 470
Дайсон [Dyson V. Н.] 438, 485
Коэн [Cohen P. J.l 566
Крейг [Craig W.] 351
Крейсел [Kreisel G.] 14, 438, 468, 477, 485
Куайн [Quine W. V.] 563
Куратовский [Kuratowski C] 14, 17, 19, 20,
43, 559
Лёвенгейм [Lowenheim L.] 338
Ленгфорд [Langford С. Н.] 369, 530, 540,
551
Линденбаум [Lindenbaum A.] 11, 244, 283,
284, 317, 367
Линдон [Lyndon R. C] 188
Лоренцен [Lorenzen P.] 561
Лось [Los J.] 12, 278, 284, 299, 319, 338,
358, 388, J390, 419, 429, 528
Лукасевич [Lukasiewicz J.] 215, 220, 247,
299 529
Льюис [Lewis C. I.] 530, 540, 551
Мак-Кей [МасКеу С G.] 563
Мак-Кинси [McKinsey J. С С] И, 73, 112,
120, 121, 129, 132, 134, 153, 155, 156, 158,
167, 168, 284, 443, 446, 453, 542, 549—552
Маклейн [MacLane S.] 30
Макнейл [MacNeille H.] 107, 108
Мальцев А. И. 10, 312, 358
Марков А. А. 530
Марчевский [Marczewski E.] 93
Маэхара [Maehara S.] 188
Минц Г. Е. 566
Монтейро [Monteiro A.] 148
Морель [Morel А. С] 390, 393
Мостовский [Mostowski A.] 11, 15, 17, 263,
284, 369, 419, 429, 476, 485, 491
Мрувка [Mr6wka S.] 319
Нёбелинг [N6beling GJ 14, 112
Нельсон [Nelson D.] 492, 530
Есенин-Вольпин А. С. 564, 565
Иоганссон [Johansson I.] 529
Кангер [Kanger S.] 309, 351
Кантор [Cantor G.j 233, 401
Карнап [Carnap R.] 541v
Карп [Кагр С] 188
Карри [Curry H. В.] 561
Келли [Kelley J. L.] 19
Клини [Kleene S. С] 173, 369, 434, 441,
452, 453, 470, 477, 492-494, 496, 564
Пильчак Б. Ю. 446
Пономарёв В. И. 140
Пост [Post E. L.] 215, 369
Пресбургер [Presburger M.] 370
Путнам [Putnam H.] 468
Рабин [Rubin J. E.] 319
Райхбах [Reichbach J.] 338
Расёва [Rasiowa H.] 15, 105, 106, 120, 121,
166, 167, 220, 277, 284, 290, 299, 309, 325,
326, 338, 351, 380, 387, 411, 422, 429, 467,
474, 476, 477, 480, 485, 494, 496, 509, 513,
518, 528-530, 539, 541, 552-554, 557^560

582 Именной
Рассел [Russell В.] 172
Ригер [Rieger L.] 284. 338. 420. 422. 443. 446.
453—455
Робинсон A. [Robinson А.] 12, 188, 358,
359, 561
Робинсон P. [Robinson R. М.] 369
Россер [Rosser J. В.] 215, 369, 529
Роуз [Rose G. F.] 441
Рылль-Нардзевский [Ryll-Nardzewski С]
229, 319
Серпинский [Sierpinski W.] 17, 319
Сикорский [Sikorski R.] 15, 40, 83, 102,
105-107, 110, 112, 119, 121, 140, 152, 167,
168, 244, 257, 260, 269, 277, 278, 284, 299,
309, 325, 338, 351, 391, 411, 415, 419, 422,
429, 477, 480, 485, 494, 496, 513, 529, 539,
554, 557-560
Сколем [Skolem Т.] 232, 338, 387, 398, 406
Скотт [Scott D. S.] 188, 319, 390, 392, 468
Спектор [Spector С] 561
Стоун [Stone M. Н.] 10, 11, 58, 65, 101, 319,
438, 443
Такэути [Takeuti G.] 188
Тарский [Tarski A.] 11, 12, 73, 105, 112, 120,
121, 129, 132, 134, 153, 155, 156, 158, 167,
168, 188, 212, 215, 244, 247, 283, 284, 313,
314, 316, 317, 319, 325, 361, 362, 367, 369,
390, 393, 398, 419, 438, 443, 446, 448, 449,
453, 549, 551, 552
Томпсон [Thompson F. В.] 12
Трачик [Traczyk Т.] 15
Тюркетт [Turquette A. R.] 215, 529
Уоллес [Wallace A. D.] 119
УКАЗАТЕЛЬ
Феферман [Feferman S.] 105
Фреге [Frege G.] 174, 220, 300
Фрейн [Frayne Т. Е.] 390
Френкель [Fraenkel А. А.] 17, 172, 229, 563,
564
Хазенъегер [Hasenjaeger G.] 338, 358
Халмош [Halmos P.] 12
Хантингтон [Huntington E. V.l 83
Ханф [Hanf W.] 12
Хаусдорф [Hausdorff F.] 17
Хенкин [Henkin L.] 12, 188, 277, 284, 290,
319, 338, 358, 398, 474, 476, 485
Хермес [Hermes H.] 44, 83
Дао Чен [Tsao-Chen Tang] 549
Цермело [Zermelo E.] 229, 561, 563, 564
Цорн [Zorn M.] 43
Чандрасекхаран [Chandrasekharan K.I 290
Чёрч jChurch A.] 345, 564
Чех [Cech E.] 26
Шварц А. С 140
Шмульян [Smullyan R.] 369
Шютте [Schutte K.] 309, 351, 561
Эрбран [Herbrand J.] 313, 338, 361, 431, 566
Эренфойхт [Ehrenfeucht A.] 400, 402, 419
Яськовский [JAskowski S.] 446

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адекватная модель [adequate model] 311,
331, 456, 481, 545, 554
Аксиома [axiom] бесконечности [of
infinity] 230
— выбора [of choice] 231
— замены [of replacement] 232
— логическая [logical] 178, 214
— математическая [mathematical] 218
— объединения [of union] 230
— объемности [of equality] 230
— подстановки [of substitution] 232
— специальная [specific] 218
— степени [of power-set] 230
Аксиомы равенства [axioms for equality]
224
Алгебра [algebra] 30
— брауэрова [Brouwerian] 73
— булева [Boolean] 83
— вырожденная [degenerate] 31
— кванторная [quantifier] 257, 291, 323, 475,
532, 543
— Линденбаума [Lindenbaum] 284
— обобщенная [generalized] 37
полная [complete] 37
— псевдобулева mseudo-Boolean] 73
— с замыканием [closure] 113
— свободная [free] 34
— теории [of a theory] 282, 532, 542
— термов [of terms] 251
— универсальная [abstract] 30
— формул [6f formulas] 244
— ^-свободная [it-free] 34
обобщенная [generalized] 38
Алгебраическая модель [algebraic model]
326
Алгебры [algebras] гомеоморфные
[homeomorphic] 117
— изоморфные [isomorphic] 33, 117
— однотипные [similar] 32, 38
Алфавит [alphabet] нулевого порядка [of
the zero order] 196
— первого порядка [of the first order] 181
— пропозиционального исчисления [of a
propositional calculus] 196
— элементарной теории [of an elementary
theory] 181
Арифметика [arithmetic] 228
Atom [atom] 109
Атомная булева алгебра [atomic Boolean
algebra] 109
База [basis] 21, 114
— открытая 21
Безатомная булева алгебра [atomless
Boolean algebra] 109
Бесконечная [infinite] диаграмма {diagram]
348
Бесконечная операция [operation] 37
— последовательность [sequence] 18
Бинарная пропозициональная связка
[binary propositional connective] 176, 181,
196
Богатая теория [rich theory] 353
Богатое расширение [rich extension] 354
Больше или равно [greater] 42
Брауэрова алгебра [Brouwerian algebra]
73
Булев [Boolean] гомоморфизм [homomor-
phism] 92, 117
— изоморфизм [isomorphism] 92, 117
— многочлен [polynomial] 197
Булева [Boolean] алгебра [algebra] 83
атомная [atomic] 109
безатомная [atomless] 109
вырожденная [degenerate] 93
двухэлементная [two-element] 94
полная [complete] 83
топологическая [topological] 112
— подалгебра 89
Верхняя граница [upper bound] 42
Включение [inclusion] 17
Включено [is included] 42
Внутреннее отображение [interior mapping]
119
Внутренность [interior] 20, ИЗ
Вполне несвязное пространство [totally
disconnected space] 24
Вспомогательный знак [auxiliary sign] 182,
196
Всюду плотное множество [dense set] 22
Вывод формальный [formal proof] 295, 321,
439, 473
Выводимая формула [derivable formula]
211, 296, 322, 439, 473
Выполнимай формула [satisfiable formula]
325, 476
Выполнять [satisfy] 325, 476
Выражение [expression] 179
Вырожденная [degenerate] алгебра
[algebra] 31
— булева алгебра [Boolean algebra] 93
— импликативная решетка [relatively pseu-
do-complemented lattice] 151
— псевдобулева алгебра [pseudo-Boolean
algebra] 151
— решетка [lattice] 61, 93
Главный [principal] идеал [ideal] 58
— фильтр [filter] 58
Гомеоморфизм [homeomorphism] 26
Гомеоморфные [homeomorphic] алгебры
{algebras] 117

584
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Гомеоморфные пространства [spaces] 26
Гомоморфизм [homomorphism] 32, 38, 117
— булев [Boolean] 92, 117
— естественный [natural] 35, 261, 262
—, индуцированный точечным
отображением [induced by the point-mapping] 93
— псевдобулев [pseudo-Boolean] 152
— решеточный [lattice] 47
— сохраняет [preserves] объединение
[join] 54
пересечение [meet] 54
— топологический [topological] 117
Граница [bound] верхняя [upper] 42
— нижняя [lower] 42
— точная верхняя [least upper] 42
нижняя [greatest lower] 42
Граничное множество [boundary set] 22
Двузначная логика [two-valued logic] 220
Двузначное [two-valued] предикатное
исчисление [predicate calculus] 221
— пропозициональное исчисление [proposi-
tional calculus] 221
Двухэлементная булева алгебра
[two-element Boolean algebra] 94
Дедуктивная система [deductive system]
179, 212
интуиционистская [intuitionistic] 437
формализованная [formalized] 179
Диаграмма [diagram] 306, 348
— бесконечная [infinite] 348
— конечная [finite] 348
Дизъюнктивная нормальная форма
[disjunctive normal form] 302
Дизъюнкция [disjunction] 239
— эрбранова [Herbrand] 425
Дисконтинуум канторов [Cantor disconti-
nuum] 110
Дистрибутивная решетка [distributive
lattice] 62
Доказательство формальное [formal proof]
211, 295, 321, 439, 473
Доказуемая формула [derivable formula]
216, 296, 322, 439, 473, 531, 541
Дополнение [complement] 17, 67
— относительно элемента [relative to an
' element] 71
— по модулю элемента [modulo an
element] 71
Допустимое множество [admissible set] 37,
41
Дуальный идеал [dual ideal] 58
Единичный [unit] фильтр [filter] 58
— элемент [element] 48
Естественный гомоморфизм [natural
homomorphism] 35, 261, 262
Заключение [conclusion] 204, 305, 346
Закон [law] ассоциативности [associative]
45
— двойного отрицания [of double negation]
300
— де Моргана [De Morgan] 85, 300, 344
бесконечный [infinite] 87
— дистрибутивности [distributive] 62, 344
бесконечный [infinite] 87
— Дунса Скота [Duns Scotus] 199
— идемпотентности [idempotent] 45
— импортации [importation] 199
— исключенного третьего [of the excluded
middle] 199
Закон коммутативности [commutative] 45
— контрапозиции [of contraposition] 85,300
— перестановки кванторов [on alterations
of quantifiers] 344
посылок [of interchange of premises]
300
— Пирса [Peirce] 300
— поглощения [absorption] 45
— пронесения кванторов [on a transfer of
quantifiers] 344
— силлогизма [syllogism] 199
— упрощения [simplification] 300
— Фреге [Frege] 300
— экспортации [exportation] 199
— dictum de omni 344
Замена [replacement] одновременная
[simultaneous] 180
— части [of the part] 180
Замкнутая формула [closed formula] 178
Замкнутое множество [closed set] 20, 30,
37, 216
Замкнутый элемент [closed element] 113
Замыкание [closure] 20, 113, 240
Знак [sign] 174, 183, 196
— вспомогательный tauxiliary] 182, 196
— дизъюнкции [disjunction] 176, 182, 196
— импликации [implication] 176, 182, 196
— конъюнкции [conjunction] 176, 182, 196
— необходимости [necessity] 540
— отрицания [negation] 176, 181, 196
— равенства [of equality] 222
— специальный [specific] 224
Идеал [ideal] 58
— главный [principal] 58
— дуальный [dual] 58
— максимальный [maximal] 60
— нулевой [zero] 58
—, порожденный [generated] множеством
[by a set] 59
—, — элементом [by an element] 58
—, присоединенный к фильтру [the adioint
of a filter] 95
— простой [prime] 61
— собственный [proper] 60
Изоморфизм [isomorphism] 33, 117
— булев [Boolean] 92, 117
— канонический [canonical] 107
— псевдобулев [pseudo-Boolean] 152
— решеточный [lattice] 151
— стоуновский [Stone] 65
— топологический [topological] 117
Изоморфные алгебры [isomorphic
algebras] 33, 117
Импликативная решетка [relatively pseu-
do-complemented lattice] 73
вырожденная [degenerate] 151
Импликация строгая [strict implication] 540
Имя [name] 268
Индивид [individual] 175
Индивидная [individual] константа
[constant] 175, 181
— переменная [variable] 175
свободная [free] 181
связанная [bound] 181
Индукция по длине [induction on the
length] 185
Интерпретация [interpretation] термов [of
terms] 191
— языка [of a anguage] на множестве
[in a set] 189
нулевого порядка [of the zero order]
197
первого порядка [of the first order]
189

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
585
Интуиционизм [intuitionism] 434
Интуиционистская [intuitionistic]
дедуктивная система [deductive system] 437
— логика [logic] 434, 436
— операция присоединения следствий
[consequence operation] 436
— предикатная тавтология [predicate
tautology] 477
— пропозициональная тавтология [proposi-
tional tautology] 441
— теория [theory] 437, 439, 472
Интуиционистски [intuitionistically]
выводимая формула [derivable formula] 439, 473
— доказуемая формула [derivable formula]
439, 473
— общезначимая формула [valid formula]
441, 477
Интуиционистский формальный вывод
[intuitionistic formal proof] 439, 473
Интуиционистское [intuitionistic]
предикатное исчисление [predicate calculus] 472
— пропозициональное исчисление [proposi-
tional calculus] 438
— следствие [consequence] 439, 473
Исчисление [calculus] предикатное
[predicate] двузначное [two-valued] 221
интуиционистское [intuitionistic] 472
классическое [classical] 221
— — модальное [modal] 541
позитивное [positive] 531
— пропозициональное [propositional] 196,
197
двузначное [two-valued] 221
-~ — интуиционистское [intuitionistic] 438
— — классическое [classical] 221
— — модальное [modal] 530, 541
— — позитивное [posiiive] 531
Каноническая [canonical] модель [model]
331, 379, 518
— оценка [valuation] 250, 297, 441, 533
•— реализация [realization] для теории [for
a theory] 330
— — термов [of terms] 272
— — языка [of language] 277, 480, 536
*- семантическая модель [semantic model]
409
Канонический изоморфизм [canonical
isomorphism] 107
Канторов дисконтинуум [Cantor disconti-
nuum] 110
Каркас [frame] 189
Квантор [quantifier] общности [universal]
176, 182
*—, связывающий переменную [binding a
variable] 182
— существования [existential] 176, 182
Кванторная алгебра [quantifier algebra]
257, 532
— — теории [of a theory] 291, 323, 475, 543
Класс эквивалентности [equivalence class]
28
Классическая логика [classical logic] 220
Классическое [classical] предикатное
исчисление [predicate calculus] 221
— пропозициональное исчисление
[propositional calculus] 221
Компактификация [compactification] 122
Компактное пространство [compact space]
23
Композиция [superposition] 18
Конгруэнтные формулы [congruent
formulas] 256
Конгруэнция [congruence] 34
— по отношению к операции [with respect
to an operation] 30
Конечная [finite] диаграмма [diagram] 348
— модель [model], 326
— операция [operation] 37
— последовательность [sequence] 18
Константа индивидная [individual constant]
175, 181
Конструктивная [constructive] логика
[logic] 530
— теория [theory] 505
Концевая последовательность [end
sequence] 306, 348
Конъюнктивная нормальная форма
[conjunctive normal form] 303
Конъюнкция [conjunction] 239
Левая посылка [left premis] 305, 346
Лемма Цорна 43
Лингвистически инвариантное расширение
[linguistically invariant extension] 237
Лингвистическое расширение [linguistic
extension] 237
Логика [logic] 219, 220
— двузначная [two-valued] 220
— интуиционистская [intuitionistic] 434, 436
— классическая [classical] 220
— конструктивная [constructive] 530
— минимальная [minimal] 529
— модальная [modal] 530, 540
— неклассическая [non-classical] 433
— позитивная [positive] 530, 531
/ — строгой импликации [of strict
implication] 540
— теории [of theory] 219
— трехзначная [3-valued] 215, 529
— m-значная [m-valued] 215, 529
Логическая аксиома [logical axiom] 178, 214
Логическое следствие [logical consequence]
204, 209
Максимальная теория [maximal theory] 238
Максимальное е-подмножество [maximal
e-subset] 128
Максимальный [maximal] идеал [ideal] 60
— фильтр [filter] 60
— элемент [element] 42
— П-фильтр [fl-filter] 366, 501
Математическая аксиома [mathematical
axiom] 218
Меньше или равно [less] 42
Метаарифметика [met a arithmetic] 173
Метатеория [metatheory] 173
Метод истинностных таблиц [truth-table
method] 194
Метрика [metric] 123
Метрическое пространство [metric space] 123
полное [complete] 141
Минимальная логика [minimal logic] 529
Минимальное расширение [minimal
extension] 107
Минимальный элемент [minimal elementl 42
Многочлен булев [Boolean polynomial] 197
Множества непересекающиеся [disjoint sets]
17
Множество [set] аксиом равенства [of
axioms for equality] 224
— всюду плотное [dense] 22
— граничное [boundary] 22
— допустимое {admissible] 37, 41
— замкнутое [closed] 20, 30, 37, 216
—, — относительно [under] операции [an
operation] 30, 37
—, — — правила [a rule] 216
— знаков алфавита [of all signs of an
alphabet] 183, 196
— нигде не плотное [nowhere dense] 22

586
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Множество, общезначимое в реализации
[valid in a realization] 325, 477
— открытое [open] 20
— первой категории [of the first category]
23
— плотное [dense] 22
в себе [in-itself] 127
— предупорядоченное [quasi-ordered] 44
— пустое [empty] 17
— счетное [enumerable, countable] 19
— термов [of all terms] 183
— упорядоченное [ordered] 42
— формул [of all formulas] 184, 196
Модальная [modal] логика [logic] 530, 540
— предикатная тавтология [predicate
tautology] 554
— пропозициональная тавтология [proposi-
tional tautology] 544
— теория [theory] нулевого порядка [of
the zero order] 541
— — первого порядка [of the first order]
541
Модально [modally] доказуемая формула
[derivable formula] 541
— общезначимая формула [valid formula]
544, 554
Модальное [modal] предикатное
исчисление [predicate calculus] 541
— пропозициональное исчисление [proposi-
tional calculus] 541
Модальный язык [modal language] 540
Модель для [model for] множества формул
[a set of formulas] 297, 325, 441, 477, 533,
537, 544, 553
— семантическая [semantic] 298,
441
теории [a theory] 297, 326, 335, 441, 477,
533, 537, 544, 553
адекватная [adequate] 311, 331, 456,
481, 545, 554
_ — —. алгебраическая [algebraic] 326
— — — каноническая [canonical] 331, 379,
518
— семантическая [semantic] 409
конечная [finite] 326
_ одинарная семантическая [ordinary
semantic] 335
— — — семантическая [semantic] 298, 332,
441, 480
**. — — счетная [enumerable] 326, 477
«. — — топологическая [topological] 479,
545 554
— — формулы [a formula] 297, 325, 441, 477,
533, 537, 544, 553
— — — семантическая [semantic] 298, 441
Мономорфизм [monomorphism] 33
Мощность [cardinal] модели [of a model]
326
Ha [onto] 18
Наибольший элемент [greatest element] 42
Наименьший элемент [least element] 42
Наследница [derivative] 426
— прямая [direct] 425, 426
Наследственно сводимая эрбранова
дизъюнкция [hereditarily reducible Herbrand
disjunction] 426
He пересекаются [are disjoint] 381
Невырожденная решетка [non-degenerate
lattice] 93
Недостижимая мощность [inaccessible
cardinal] 370
Неклассическая [non-classical] логика
[logic] 433
— операция присоединения следствий
[consequence operation] 433
Необходимо [it is necessary] 540
Неопровержимая формула [irrefutable
formula] 239
Непересекающиеся множества [disjoint
sets] 17
Непосредственная подформула [direct sub-
formula] 239
Непосредственное следствие [immediate
consequence] 210
Непрерывное отображение [continuous
mapping] 118
Непротиворечивая теория [consistent
theory] 235
Неразложимая [indecomposable]
последовательность [sequence] 305, 346
— формула [formula] 305, 346
Несущественное расширение [inessential
extension] 237
Неэлементарный язык [non-elementary
language] 188
Нигде не плотное множество [nowhere
dense set] 22
Нижняя граница [lower bound] 42
Нормальная форма [normal form]
дизъюнктивная [disjunctive] 302
конъюнктивная [conjunctive] 303
Нормальное пространство [normal space]
25
Нулевой [zero] идеал [ideal] 58
— элемент [element] 48
Область определения [domain] 18, 37
— прибытия [counter-domain] 18
Обобщенная [generalized] операция
[operation] 36
— свободная алгебра [free algebra] 38
— универсальная алгебра [abstract
algebra] 37.
— полная [complete] 37
— tf-свободная алгебра [#-free algebra]
38
Образ [image] 18
Общезначимая [valid] в булевой алгебре
формула [in a Boolean algebra formula"]
297
— в импликативной решетке формула [1п
a relatively pseudo-complemented lattice
formula] 533
— в псевдобулевой алгебре формула [in
a pseudo-Boolean algebra formula] 441
— в реализации формула [in a realization
formula] 325, 477, 537, 553
— в топологической булевой алгебре
формула [in a topological Boolean algebra
formula] 544
— формула [formula] 297
Общезначимое в реализации множество
[valid in a realization set] 325, 477
Объединение [join] 44, 49
— [union] 17
— прямое [direct] 146
Одновременная замена [simultaneous repla*
cement] 180
Однотипные алгебры [similar algebras] 32,
38
Одноточечная сильная компактификацйя
[one-point strong compactification] 122
Одноэлементная решетка [one-element
lattice] 93
Операция [operation] 18
—, ассоциированная с данной операцией
[corresponding to a fixed operation] 30
— бесконечная [infinite] 37
— взятия внутренности [interior] 20, 112
замыкания [closure] 20, 113
— конечная [finite] 37

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
587
Операция обобщенная [generalized] 36
—, определенная правилами вывода и
множеством логических аксиом
[determined by rules of inference and a set
of logical axioms] 214
— присоединения следствий [consequence]
178, 212, 219
— интуиционистская [intuitionistic]
436
неклассическая [non-classical] 433
Опровержимая формула [refutable
formula] 239
Ординарная [ordinary] реализация знака
равенства [realization of the sign of
equality] 513
— семантическая [semantic] модель [model]
335
реализация знака равенства
[realization of the sign of equality] 514
Открытая [open] база [basis] 21
— теория [theory] 240
— формула [formula] 240
Открытое [open] множество [set] 20
— отображение [mapping] 119
Открытый элемент [open element] 113
Отношение линейного порядка [linear
ordering] 43
— порядка [ordering] 41
— предпорядка [quasi-ordering] 43
— решеточного порядка [lattice ordering]
44
— [relation], согласованное с
отображением [consistent with a mapping] 29
— функциональное [function] 231
— эквивалентности [equivalence] 28
, определяемое фильтром [determined
by a filter] 78
Отображение [mapping] 18
—, ассоциированное с [corresponding to]
операцией [an operation] 30
—, отображением [a mapping] 30
— внутреннее [interior] 119
— непрерывное [continuous] 118
— открытое [open] 119
Отрицание противоречия [denial of
contradiction] 300
Оценка [valuation] для теории [for a theory]
каноническая [canonical] 297, 441, 533, 544
характеристическая [characteristic}
465
— языка [of a language] в алгебре [in
an algebra] 246, 297, 440, 533, 544
каноническая [canonical] 250
регулярная [regular] 451
в множестве [in a set] 252, 476, 536, 553
тождественная [identity] 272
в реализации [in a realization] 325,
476
Парадокс семантический [semantic
paradox] 173
Первой категории множество [set of the
first category] 23
Переменная [variable] индивидная
[individual] 175
— — свободная Tfree] 181
связанная [bound] 181
— пропозициональная [propositional] 196
— свободная составная [complex free] 381
— связанная составная [complex bound] 381
Пересечение [intersection] 17
— [meet] 44, 49
Плотное [dense] в себе множество [in-itself
set] 127
— множество [set] 22
Плотный элемент fdense element] И4, 156
Подалгебра [subalgebra"] 31, 37
— булева 89
—, порожденная множеством [generated by
a set] 31
— топологическая [topological] 114
Подбаза [subbasis] 21, 114
Подмножество [subset] 17
Подпространство топологическое
[topological subspace] 27
Подрешетка [sublattice] 47
— полная [complete] 53
Подстановка [substitution] 180
— в языке [in a language] 252
— языка L в язык L0 [from language L0
into language L] 245
Подформула [subformula] 239, 240
— непосредственная [direct] 239
Позитивная [positive] логика [logic] 530, 531.
— предикатная тавтология [predicate
tautology] 537
—- пропозициональная тавтология
[propositional tautology] 533
— теория [theory] нулевого порядка [of the
zero order] 531
первого порядка [of the first order}
531
Позитивно [positively] доказуемая формула
[derivable formula] 531
— общезначимая формула [valid formula]
533, 537
Позитивное [positive] предикатное
исчисление [predicate calculus] 531
— пропозициональное исчисление
[propositional calculus] 531
Поле [field] множеств [of sets] 83
полное [complete] 109
топологическое [topological] 112
— подмножеств [of subsets] 83
— стоуновское [Stone] 101'
Полная [complete] булева алгебра [Boolean
algebra] 83
— обобщенная алгебра [generalized
algebra] 37
— подрешетка [sublattice] 53
— решетка [lattice] 55
— теория [theory] 238
Полное [complete] метрическое
пространство [metric space] 141
— поле множеств [field of sets] 109
— произведение алгебр [product of
algebras] 41
Получена одновременным принятием
определений [is obtained by simultaneously
assuming definitions] 243
Поля эквивалентные [equivalent fields]. 93
Порождает алгебру [generates an algebra}
31, 38
Порядок формулы [order of a formula] 350
Последовательность [sequence] 18
— бесконечная [infinite] 18
— конечная [finite] 18
— концевая [end] 306, 348
— неразложимая [indecomposable] 305, 346
— разложимая [decomposable] 346
— фундаментальная [fundamental] 305, 346
— m-элементная [m-element] 18
Посылка [premis] 204, 305, 346
— левая [left] 305, 346
— правая [right] 305, 346
— схемы [of the scheme] 305, 346
Правая посылка [right premis] 305, 346
Правило [rule] введения [of introduction}
квантора общности [of a universal
quantifier] 207
существования [of an existeattel
quantifier] 206

588
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Правило вывода [of Inference] 178, 204
— обобщения [of generalization] 293
— отделения [of detachment] 193, 205, 209
— подстановки вместо свободных
индивидных переменных [of substitution for free
individual variables] 205
— удаления [of elimination] квантора
общности [of a universal quantifier] 209
— — _ существования [of an existential
quantifier] 208
— modus ponens 193
Предваренная [prenex] форма [form] 383
— формула [formula] 383
Предел [limit] 123
Предикат [predicate] 175, 181
— m-местный [m-argument] 175, 181
Предикатная тавтология [predicate
tautology] 200, 202
— — интуиционистская [intuitionistic] 477
модальная [modal] 554
позитивная [positive] 537
Предикатное исчисление [predicate
calculus] двузначное [two-valued] 221
интуиционистское [intuitionistic] 472
— — классическое [classical] 221
модальное [modal] 541
« позитивное [positive] 531
Предупорядоченное множество
[quasi-ordered set] 44
Преобразование [transformation] 18
Примитивная формула [primitive formula]
183
Примитивный терм [elementary term] 183
Принцип двойственности [duality principle]
46
— индукции для упорядоченных множеств
[induction principle .or ordered sets] 43
Продолжение [extension] 18
Проекция [projection] 136
Произведение [product] алгебр [of algebras]
36
— — полное [complete] 41
— обобщенных алгебр [of generalized
algebras] 40
— прямое [Cartesian] 18
— реализации [of realizations] 278
—• — по модулю простого фильтра [modulo
the prime filter] 390
Прообраз [counter-image] 18
Пропозициональная [proposiional]
переменная [variable] 196
— связка [connective] бинарная [binary]
176, 181, 196
унарная [unary] 176, 181, 196
— тавтология [tautology] 192, 194, 197, 198
интуиционистская [intuitionistic] 441
— — модальная [modal] 544
позитивная [positive] 533
Пропозициональное исчисление [proposi-
tional calculus] 196, 197
— — двузначное [two-valued] 221
интуиционистское [intuitionistic] 438
классическое [classical] 221
модальное [modal] 541
. позитивное [positive] 53Г
Простая теория [prime theory] 238, 504
Простой [prime] идеал [ideal] 61
— фильтр [filter] 61
Пространства гомеоморфные [homeomorphic
spaces] 26
Пространство [space] 17
— вполне несвязное [tottally disconnected]
24
— компактное [compact] 23
— метрическое [metric] 123
— нормальное [normal] 25
Пространство регулярное [regular] 25
— стоуновское [Stone] 65
— топологическое [topological] 19
— хаусдорфово [Hausdorff] 24
Прямая наследница [direct derivative] 425,
426
Прямое объединение [direct union] 146
— произведение [Cartesian product] 18
Псевдобулев [pseudo-Boolean] гомоморфизм
[homomorphism] 152
— изоморфизм [isomorphism] 152
Псевдобулева алгебра [pseudo-Boolean
algebra] 73
вырожденная [degenerate] 151
— — сильно компактная [strongly compact]
155
Псевдодополнение [pseudo-complement] 68
— относительно элемента [relative to an
element] 69
— по модулю элемента [modulo an element]
69
Псевдомодель [pseudo-model] 189
Псевдоразность [pseudo-difference] 72
Пустое множество [empty set] 17
Разложимая [decomposable]
последовательность [sequence] 346
— формула [formula] 346
Разность [difference] 17, 72
Расстояние [distance] 123
Расширение [extension] 38, 236, 237
— богатое [fich] 354
— минимальное [minimal] 107
— реализации [of arealization] 267
— теории [of a theory] 237
'до теории с равенством [to a theory
with equality] 374
лингвистически инвариантное
[linguistically invariant] 237
> лингвистическое [linguistic] 237
— — несущественное [inessential] 237
существенное [essential] 237
— языка [of a language] 236
Реализация [realization] знака равенства
[of thi sign of equality] ординарная
[ordinary] 513
— — семантическая [semantic] 514
семантическая [semantic] 513
— теории [of a theory] каноническая
[canonical] 330
• характеристическая [characteristic]
506
— термов [of terms] 191
каноническая [canonical] 272
— языка [of a language] 262, 273, 475, 476,
536, 552
— — каноническая [canonical] 277, 480, 536,
553
семантическая [semantic] 265, 479
счетная [enumerable] 477
топологическая [topological] 479, 554
Регулярная оценка [regular valuation] 451
Регулярное пространство [regular space]
25
Регулярный элемент [regular element] 158
Результат подстановки [result of
substitution] 180
Решетка [lattice] 44
— вырожденная [degenerate] 61, 93
— дистрибутивная [distributive] 62
— импликативная [relatively pseudo-corn*
plemented] 73
— множеств [set] 47
— одноэлементная [one-element] 93
— полная [complete] 55
— стоуновская [Stone] 65

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
589
Решеточный [lattice] гомоморфизм [homo-
mo r phis m] 47
— изоморфизм [isomorphism] 151
Схема [schema] 305, 346
Сходиться [converge] 123
abh *
Счетная [enumerable] модель [model] 326,
477
— реализация [realization] 477
Свободная [free] алгебра [algebra] 34 — теория [theory] 336
— индивидная переменная [individual va- Счетное [enumerable, countable] множе-
riable] 181 ство [set] 19
— переменная [variable] составная [complex] Счетный язык [enumerable languige] 187,
381 337
Сводимая эрбранова дизъюнкция
[reducible Herbrand disjunction] 426
Свойство Бэра [Baire property] 106
Связанная [bound] индивидная переменная Тавтология [tautology] 192, 197, 202
[individual variable] 181 — предикатная [predicate] 200, 202
— переменная [variable] составная [comp- интуиционистская [intuitionistic] 477
lex] 381 модальная [modal] 554
Семантическая [semantic] модель [model] позитивная [positive] 537
298, 332, 441, 479 — пропозициональная [propositional] 192,
каноническая [canonical] 409 194, 197, 198
— — ординарная [ordinary] 335 интуиционистская [intuitionistic] 441
— реализация [realization] 265, 479 модальная [modal] 544
знака равенства [of the sign of equa- позитивная [positive] 533
lity] 513 Теорема [theorem] 179, 218, 296, 322, 377, 439,
Семантический парадокс [semantic paradox] 473, 531, 541
173 — Бэра [Baire] 26, 142, 358
Сепарабельное топологическое простран- — Гёделя о неполноте [Godel incomplete-»
ство [separable topological spece] 138 ness] 369
Сильно [strongly] компактная конечная о полноте [Godel comrleteness] 340
[comopact finite] псевдобулева алгебра — Кантора — Бернштейна [Cantor — Bern*
[pseudo-Boolean algebra] 155 stein] 233
топологическая булева аглгебра [to- — Куратовского — Цорна 43
pological Boolean algebra] 131 — Лёвенгейма — Сколема [Lowenheim —
— компактное топологическое пространство Skolem] 338
[compact topological space] 122 — о дедукции [deduction] 313, 361, 423, 458,
— простая теория [prime theory] 238, 504 496, 520
Система дедуктивная [deductive system] — о полноте [completeness] для интуицио-
179, 212 нистских [for intuitionistic] предикатных
— [set] образующих [of generators] 31, 38 исчислений [predicate calculi] 485
— свободных образующих [of free genera- пропозициональных исчисле-
tors] 34, 38 ний [propositional calculi] ,443
— П -свободных образующих [of П-free ge- для модальных [for modal] преди-
nerators] 34, 38 катных исчислений [predicate calculi]
— П-образующих [of П-generators] 363, 498 558
Скобки алфавита [parentheses of an alpha- пропозициональных исчисле-
bet] 182, 196 ний [propositional calculi] 548
Следствие [consequence] интуиционистское для позитивных [for positive] преди-
[intu'itionistic] 439, 473 катных исчислений [predicate calculi] 538
— логическое [logical] 204, 209 пропозициональных исчисле-
— непосредственное [immediate] 210 ний [propositional calculi] 535
Собственная эрбранова дизъюнкция [pro- — для предикатных исчислений [for
per Herbrand disjunction] 427 predicate calculi] 340
Собственный [proper] идеал [ideal] 60 для пропозициональных исчисле-
— фильтр [filter] 60 ний [for propositional calculi] 298
Составная [complex] свободная переменная — об элиминации кванторов в формальных
[free varable] 381 доказательствах [on elimination of quan-
— связанная переменная [bound variable] tifiers in, formal proofs] 380, 518
381 — Цермело 561
Составной [complex] терм [term] 382 Теории эквивалентные [equivalent theories]
— функтор [functor] 382 237
Сохраняет [preserves] объединение [the Теория [theory] 296, 322, 439, 473
join] 54 — богатая [rich] 353
— пересечение [the meet] 54 — булевых алгебр [of Boolean algebras]
Специальная аксиома [specific axiom] 218 226
Специальный знак [specific sign] 224 -— групп Tof groups] элементарная [elemen-
Стоуновская решетка [Stone lattice] 65 tary] 227
Стоуновский изоморфизм [Stone isomor- — дистрибутивных решеток [of distributive
phism] 65 lattices] 226
Стоуновское [Stone] поле [field] 101 — интуиционистская [intuitionistic] 437, 439,
— пространство [space] 65 472
Строгая импликация [strict implication] 540 конструктивная [constructive] 505
Структура с относительными псевдодопол- — конструктивная [constructive] 505
нениями 561 — линейного порядка [of linear ordering]
Сужение [restriction] 18 225
Существенное расширение [essential exten- — максимальная [maximal] 238
sion] 237 — множеств [set] 229

590
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Теория модальная [modal] нулевого
порядка [of the zero orderl 541
первого порядка [of the first order] 541
— направленных множеств [of directed
sets] 226
— непротиворечивая [consistent] 235
—, основанная [based] на двузначной
логике [on two-valued logic] 222
—, — на классической логике [on classical
logic] 222
— открытая [open] 240
— позитивная [positive] нулевого порядка
[of the zero order] 531
первого порядка [of the first order] 531
— полная [complete] 238
—, полученная [obtained] одновременным
принятием определений [by
simultaneously assuming all the definitions] 243
—, — принятием [by assuming] неявного
определения функтора [the implicit
definition of the functor] 242
—, определения предиката [the
definition of the predicate] 241
—, явного определения функтора [the
explicit definition of the functor] 242
^, — элиминацией [by he elimination] всех
начальных кванторов из аксиом [of all
initial quantifiers from axioms] 526
—, кванторов из аксиом [of quantify
. ers from axioms] 387
— порядка [of ordering] 225
— предпорядка [of quasi-ordering] 225
— простая [prime] 238, 504
— решеток [lattice] 226
— сильно простая [strongly prime] 238, 504
— со знаком равенства [with the sign of
equality] 224
— содержит знак равенства [contains the
sign of equality] 224
— счетная [enumerable] 336
— формализованная [formalized] 174, 179
— элементарная [elementary] 218
Терм [term] 175, 183
— примитивный [elementary] 183
— составной [complex] 382
— элементарный 184
Тождественная оценка [identity valuation]
272
Топологическая [topological] булева
алгебра [Boolean algebra] 112
^_ — _- сильно компактная [strongly
compact] 131
— модель [model] 479, 545, 554
— подалгебра [subalgebra] 114
— реализация [realization] 479, 554
Топологически полное топологическое
пространство [topologically complete
topological space] 141
Топологический гомоморфизм [topological
homomorphism] 117
— изоморфизм [isomorphism] 117
Топологическое [topological] подпростран,:
ство [subspace] 27
— поле [field] множеств [of sets] 112
-= подмножеств [of subsets] 112
-— пространство [space] 19
сепарабельное [separable] 138
сильно компактное [strongly compact]
122
топологически полное [topologically
complete] 141
Точная верхняя граница [least upper
bound] 42
— нижняя граница [greatest lower bound]
42
Трехзначная логика [3-valued logic] 215, 529
Унарная пропозициональная связка [unary
propositional connective] 176, 181, 196
Универсальная алгебра [abstract algebra]
30
обобщенная [generalized] 37
полная [complete] 37
Упорядоченное множество [ordered set] 42
Фактор-алгебра [quotient algebra] 34
Фильтр [filter] 57
— главный [principal] 58
— единичный [unit] 58
— максимальный [maximal] 60
—, порожденный [generated] множеством
[by a set] 59
—, — элементом [by an element] 58
—, присоединенный к идеалу [the adjoint
of an ideal] 95
— простой [prime] 61
— собственный [proper] 60
Форма предваренная [prenex form] 383
Формализованная [formalized] дедуктивная
система [deductive system] 179
— теория [theory] 174, 179
, основанная [based] на двузначной
логике [on two-valued logic] 222
, — на классической логике [on
classical logic] 222
Формализованный язык [formalized
language] нулевого порядка [of the zero order]
197
первого порядка, основанный на
данном алфавите [of the first order based
on an alphabet] 184
пропозиционального исчисления [of
a prorositional calculus] 197
Формальное доказательство [formal proof]
211, 295, 321, 439, 473
Формальный вывод [formal proof] 295, 321,
439, 473
интуиционистский [intuitionistic] 439*
473
Формула [formula) 178, 183, 184, 196, 295;
321, 438, 472
— выводимая [derivable] 211, 296, 322, 439,
473
— выполнимая [satisfiable] 325, 476
— доказуемая [derivablej 216, 296, 322, 439,
473, 531. 541
— замкнутая [closedl 178
— интуиционистски [intuitionistically]
выводимая [derivable] 439, 473
доказуемая [derivable] 439, 473
общезначимая [validl 441, 477
— модально [modally] доказуемая [derivab*
le] 541
общезначимая [valid] 544, 554
— неопровержимая [irrefutable] 239
— неразложимая [indecomposable] 305, 346
— общезначимая [valid] 297
— в булевой алгебре [in a Boolean
algebra] 297
, — в импликативной решетке [in a
relatively pseudo-complemented lattice] 533
— в псевдобулевой алгебре [in a
pseudo-Boolean algebra] 441
— в реализации [in a realization] 325,
477, 537, 553
в топологической булевой алгебре
lin a topological Boolean algebra] 544
— опровержимая [refutable] 239
— открытая [open] 240
— позитивно [positively] доказуемая [deri*
vable;] 531
общезначимая [valid] 533, 537

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
591
Формула полученная элиминацией
[obtained by elimination] всех начальных
кванторов [of all initial quintifiers] 525
—, кванторов [of quantifiers] 386
—, первого квантора [of the first
quantifier] 386, 524
— предварённая [prenex] 383
— примитивная [primitive] 183
— разложимая [decomposable] 346
— фундаментальная [fundamental] 309, 351
— экзистенциальная [existential] 240
— элементарная [elementary] 177, 184
Формулы [formulas] конгруэнтные
[congruent] 256
Фундаментальная [fundamental]
последовательность [sequence] 305, 346
— формула [formula] 309, 351
Функтор [functor] 175, 181
— составной [complex] 382
— m-местный [m-argument] 175, 181
Функциональное отношение [function
relation] 231
Функция [function] 18
Эрбранова [Herbrand] дизъюнкция
[disjunction] 425
— — наследственно сводимая [hereditarily
reducible] 426
сводимая [reducible] 426
собственная [proper] 427
- (/P •••. Д)-дизъюнкция [(/j
/^-disjunction] 427
Язык [language] высшего порядка [of
higher order] 188
— модальный [modal] 540
— неэлементарный [non-elementary] 188
— нулевого порядка [of the zero order] 197
— открытых формул [of open formulas] 240
— первого порядка [of the first order] 188
— пропозиционального исчисления [of a
propositional calculus] 197
— счетный [enumerable] 187, 337
— элементарный [elementary] 188
— — формализованный [formalized] 184
Характеристика [characteristic] 200
Характеристическая [characteristic] оценка
[valuation] 465
— реализация [realization] 506
Хаусдорфово пространство [Hausdorff
space] 24
Цепь [chain] 43
— идеалов [of ideals] 60
— фильтров [of filters] 60
Часть [part] 179
Число аргументов [number of arguments]
30
Эквивалентные [equivalent] поля [fields] 93
— теории [theories] 237
Экзистенциальная формула [existential for*
mula] 240
Элемент [element] 17
— единичный [unit] 48
— замкнутый [closed] 113
— максимальный [maximal] 42
— минимальный [minimal] 42
— наибольший [gi eat est] 42
— наименьший [least] 42
— нулевой [zero] 48
— открытый [open] 113
— плотный [dense] 114, 156
в алгебре [in an algebra] П4
— регулярный [regular] 158
Элементарная [elementary] теория [theory]
218
« групп [of groups] 227
— формула [formula] 177, 184
Элементарный [elementary] терм 184
— формализованный язык, основанный на
алфавите [formalized language based on
an alphabet] 184
— язык [language] 188
Элиминация [elimination] всех начальных
кванторов [of all initial quantifiers] 525
в аксиомах [in axioms] 526
— кванторов [of quantifiers] 386
из аксиом [from axioms] 387
— первого квантора [of the first
quantifier] 386, 524
С-идеал [C-ideal] 145
(/|. •••. /^-дизъюнкция эрбранова \fy ...
.... /^-disjunction Herbrand] 427
/-алгебра [/-algebra] 260
/-фильтр [/-filter] 143
m-значная логика [m-volued logic] 215, 520
т-местная операция [m-argument
operation] 30
m-местный [m-argument] предикат
[predicate] 175, 181
— функтор [functor] 175, 181
m-элементная последовательность [m-ele-
ment sequence] 18
modus ponens 193, 205, 209
Q-алгебра [Q-algebra] 257
— теории [of
543
an theory] 291, 323, 475, 532,
Q-гомоморфизм [Q-homomorphism] 56, 292,
323, 475, 543
Q-идеал [Q-ideal] 104
Q-изоморфизм [Q-isomorphism] 56, 292
Q-фильтр [Q-filter] 104, 323
(Q. П) -гомоморфизм [(q, П)-пототог-
phism] 166
(fl» П)-изоморфизм [(q, П) -isomorphism]
166
То-пространство [То-space] 24
Ti-пространство m-space] 24
Та-пространство [Тг-эрасе] 24
tertium поп datur 199
Я-свободная алгебра [tf-free algebra] 34
обобщенная [generalized] 38
е-множество [e-setl 127
— максимальное [maximal] 128
v-логика [v-logic] 529
0-местная операция [0-argument operation]
30
у-дополнение Г U-complement] 67
Л-дополнение [Л -complement] 67
Ц-теория [U-theory] 372, 504
Q-фильтр [U -filter] 372, 504
Q-образующие [fl-generators] 363, 498
П порождает [fl-generates] 363, 498
Л-Фильтр [ П filter] 362, 498
«— максимальный [maximal] 366, 501

Елена Расёва, Роман Сикорский
Математика метаматематики
(Серия: «Математическая логика и основания
математики»)
М., 1972 г., 592 стр.
Редакторы Л. Я. Плюснина и В. В. Донченко
Техн. редактор В. Я. Кондакова
Корректоры Т. С. Плетнева, Л. С. Сомова
Сдано в набор 20/VIII 1971 г. Подписано к печати
I5/II 1972 г. Бумага 60X907,6, тип. № 2. Физ. печ. л. 37.
Условн. печ. л. 37. Уч.-изд. л. 38,16. Тираж ПОООэкз.
Цена книги 2 р. 89 к. Заказ 1251
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Измайловский проспект, 29,

2 p. 89 к.
Серия «Математическая логика
и основания математики» состоит
из публикаций, посвященных
вопросам теории математического
доказательства, теории
алгоритмов, логическим исчислениям
(классическим и конструктивным),
истории математической логики
и оснований математики, а также
приложениям математической
логики к вопросам автоматики и
лингвистики. В серию входят
монографии, обзорные работы и
сборники статей на определенную
тему, принадлежащие перу как
отечественных, так и зарубежных
ученых. Они носят различный
характер: некоторые из них
рассчитаны на широкий круг
научных работников, преподавателей
и студентов, между тем как
другие имеют в виду более узкие
круги специалистов различных
профилей.
<
х
и
гяв
XX
«о
МАТ МАТИКА
ME A-
М ТЕМАТИК
Е.РАСЁВА
Р.СИКОРСКИЙ
Метаматематика — раздел
математической логики, изучающий
основания математики и теорию
доказательств при помощи
построения символических языков
(формальных систем,
исчислений). Метаматематика изучает
также формализованные
математические теории, т. е.
математические теории, построенные в
виде символических языков, и
вообще возможность построения
различных разделов математики в
виде символических языков.
Кроме того, метаматематика изучает
и сами символические языки.
В предлагаемой вниманию
читателей книге излагаются
алгебраические и топологические
методы, применяемые в
метаматематике. Все необходимые
сведения из алгебры и топологии
излагаются в самой книге, в первой
ее части. От читателей требуется
только знание основных понятий
теории множеств.
Книга будет интересна
специалистам по математической
логике, а также тем математикам,
которые желают ознакомиться
с математическим аппаратом
метаматематики.