Текст
A. H. Колмогоров, А. Г. Драгалин
МАТЕМАТИ ЧЕСКАЯ
ЛОГИКА
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ
Допущено Министерством высшего и среднего
специального- образования СССР в качестве
учебного пособия для студентов вузов, обучаю-
обучающихся по специальности «Математика»
/^
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1984
УДК 517.1
Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. Дополни-
Дополнительные главы: Учеб. пособие. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. — 120 с.
Книга представляет собой вторую часть учебного пособия авторов
«Введение, в математическую .логику» (Изд-во Моск. ун-та, 1982 г.), но
может изучаться и самостоятельно. Излагаются фундаментальные факты
математической логики: начала аксиоматической теории множеств, теория
алгоритмов, теорема о полноте исчисления предикатов, теорема Геделя
о неполноте. Обсуждается программа Гильберта обоснования математики.
Рецензенты,:
кафедра математического анализа МГПИ имени В. И. Ленина;
кавдидат физ.-мат. наук В. Е. Плиско
1702020000—238 .
* 077@2)—84 '
Издательство Московского университета, 1984 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 4
Введение • 6
Глава I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 15
§ 1. Язык наивной теории множеств^ парадоксы наивной
теории множеств 15
§ 2. Язык теории множеств Цермело — Френкеля \ . . 24
§ 3. Отношения,и функции в языке теории множеств . . 26
§ 4. Натуральные числа в теории множеств. Запись матема-
математических утверждений в языке теории множеств . . 34
§ 5. О континуум-гипотезе н аксиоме выбора .... 42-
§ 6. Аксиоматическая теория множеств Цермело — Френкеля 44
Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГОРИФМОВ 56
§ 1. Машины Тьюринга . . . 56
§ 2. Тезис Чёрча . . . .... Л ... 64
§ 3. Рекурсивные и рекурсивно-перечислимые множества и
предикаты .... . . . . ... 65
- § 4. Примитивно-рекурсивные функции, геделева нумерация,
арифметика с примитивно-рекурсивными термами . . 73
§ 5. Некоторые теоремы общей теории алгорифмов . . 81
Глава III. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ . ... 89
§ 1. Неполнота и неразрешимость аксиоматических теорий 89
§ 2. Теорема Геделя о полноте исчисления предикатов . 97
§ 3. Теорема об устранении сечения 104
§ 4. О программе Гильберта обоснования математики . . 112
Литература 119
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга представляет собой вторую часть первоначального
курса математической логики [1], но может читаться и незави
симо, если читатель имеет некоторое предварительное знаком-
знакомство с логико-математическими языками и теорией логического
вывода. Необходимые предварительные сведения можно полу-
получить как в нашей книге [1], так и в первых главах любого из
более подробных курсов математической логики, например [2],|
[3], [4]. Необходимый минимум сведений и терминологию мы на-
напоминаем также во введении.
Книга возникла в результате обработки конспектов лекций
семестрового курса математической логики для студентов пер-
первого курса механико-математического факультета Московского
университета, читавшегося обоими, авторами. В первой книге
мы стремились познакомить читателя с основными понятиями
математической логики, правильным обращением с логической^
символикой, логическими законами, техникой логического выво-
вывода, что составляет, иа наш взгляд, минимум сведений, полезных
в работе математика любой специальности. В настоящей второй
части большее внимание уделяется изложению некоторых фун-
фундаментальных результатов математической логики, представ-
представляющих общематематический интерес. Предполагается, что при,
построении курса лектор может выбрать из предложенного ма-
материала ту или иную тему в зависимости от потребностей учеб-
учебного плана или аудитории. . .
В первой главе излагается теория множеств в стиле аксио-i
магической системы Цермело — Френкеля. Мы стремились по-
показать, как основные математические понятия и структуры мо-
-гут быть введены на базе точного логико-математического
языка теории множеств. Здесь же обсуждаются традиционные
вопросы, относящиеся к основаниям теории множеств: пара-
парадоксы теории множеств, непротиворечивость системы Цермело —
Френкеля, парадокс Сколема, содержательный аксиоматический]
метод и формальный аксиоматический метод в математике. !
Во второй главе излагаются элементы теории алгорифмов.'
Здесь даны точные определения, касающиеся вычислимости ло,|
Тьюрингу, обсуждаются тезис Чёрча и понятия рекурсивного и
рекурсивно-перечислимого мложества. Эта часть главы может!
рассматриваться как обязательный минимум по теории алго-1
рифмов. Далее приводятся основные теоремы общей теории!
I
алгорифмов- относительно существования -неразрешимых мно-
множеств и предикатов и излагается подготовительный материал
по геделевой нумерации конструктивных объектов и выводам
свойств конструктивных объектов в формальной арифметике..
Этот материал может рассматриваться как факультативный по
Ьтношению к обязательному курсу логики, лектор может ис-
использовать его выборочно или перенести часть материала на
семинарские занятия.
Третья глава посвящена теории вывода. Здесь доказывают-
доказываются теорема Геделя о полноте исчисления предикатов,- теорема
Левенгейма — Сколема, теорема о неполноте и неразрешимо-
неразрешимости всякой достаточно выразительной формальной аксиомати-
аксиоматической теории. Доказываются также знаменитая вторая теоре-
теорема Геделя о невозможности доказательства непротиворечивости
достаточно мощной формальной аксиоматической теории сред:
ствами самой этой теории и теорема Генцена об устранении
сечения. Завершается глава обсуждением программы Гильбер-
Гильберта обоснования математики. Материал третьей главы также мо-
может рассматриваться как факультативный. Например, лектор
может ограничиться лишь формулировками некоторых фунда-
фундаментальных теорем.
Сложность изложения многих важных результатов матема-
математической логики состоит в том, что они часто требуют для свое-
своего доказательства большого подготовительного аппарата для
аккуратного проведения 'деталей доказательств. Так, необходи-
необходимо убеждаться, что те или иные предикаты действительно
вычислимы по Тьюрингу или примитивно-рекурсивны, что. рас-
рассматриваемые формулы действительно выводимы в тех или иных
формальных аксиоматических теориях. Такого рода утвержде-
утверждения доказываются обычно путем громоздкого, но в принципе
нетрудного непосредственного построения соответствующих ма-
машин Тьюринга, примитивно-рекурсивных описаний, формальных
выводов и т. п. Разумеется, в коротком курсе нецелесообразно
тратить время на такие построения. Читателя, интересующегося
деталями построений, мы в таких случаях отсылаем к более
подробным руководствам, но все же стремимся к тщательному
изложению всех принципиальных моментов доказательств.
Курс логики предполагает выполнение упражнений на семи-
семинарских занятиях. С этой целью следует использовать специаль-
специальные задачники, например известный сборник [19]. Упражнения,
в тексте не могут заменить такого задачника. Все' упражнения
в тексте легкие, обязательны для выполнения и предназначены
для самоконтроля.
Знак О в тексте отмечает начало доказательства, а знак
П — его окончание. Знаки ?*- , =>, -**- заменяют словесные
обороты «есть по определению», «если..., то», «тогда и только
тогда, когда» соответственно.
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
Напомним некоторые определения и понятия, нужные для
дальнейшего. Подробное изложение имеется, например, в нашей
книге [1], но может быть почерпнуто и из. начальных глав бо-
более подробных учебников, предназначенных для лиц, специа-
специализирующихся по математической логике (см. [2], [3], [4]).
Математические суждения в логике записываются в виде
формул в точно определенных логи.ко-математических языках.
Основными объектами данного логико-математического языка
являются его выражения. Выражения подразделяются на фор-
формулы и термы. Язык Q содержит несколько сортов переменных.
Переменные каждого сорта рассматриваются как пробегающие
некоторую область — множество объектов данного сорта.
Вхождения переменных в выражения языка делятся на свобод-
свободные и связанные. Переменные, входящие в выражение свобод-
свободно, называются его параметрами. Выражение, не содержащее
параметров, называется замкнутым.
Выражения логико-математического языка представляют со-
собой строчки символов-букв из алфавита языка и строятся по
некоторым строго определенным правилам. Так, каждая фор-
формула С данного языка Q может иметь один и только один из
следующих семи видов:
(А/\В) --читается «Л и В»,
(А\/В) —читается «Л или В»,
(ЛгэВ) — «из А следует В»,
~]А — «не Л»,
\хА — «для всякого х имеет место Л»,
Л — «существует х такое, что Л»,
атомарная формула.
Символы Д, V. ^>. называются логическими связками
и имеют соответственно наименования: конъюнкция, дизъюнк-
дизъюнкция, импликация и отрицание. Символы V , j называют^
кванторами (квантор общности и квантор существования). Kati
обычно, считается, что кванторные приставки \/х, ^х связы-
связывают переменную х в последующей формуле, так что в форму-
лу, начинающуюся с такой приставки, переменная х не входив
свободно.
Строение атомарных формул зависит от рассматриваемого
языка. Особенно просто устроены атомарные формулы у языков
первого порядка, которые и составляют основной объект изу-
изучения в математической логике. А именно атомарная формула
языка первого порядка имеет вид P(th ...,tn), где Р — преди-
предикатная буква языка, a U,..,, tn — термы языка. Здесь возможен
и случай я = 0, тогда 0-местная предикатная буква Р- сама по
себе является атомарной формулой и называется в этом случае
пропозициональной буквой, или пропозициональной переменной.
я-местная предикатная буква изображает в языке предикат от
п переменных, в иной терминологии, параметрическое сужде-
суждение, высказывательную форму от п переменных.
Термы также в разных языках устроены по-разному. И здесь
самым простым и важным случаем является случай языков
первого порядка. В языках первого порядка термы строятся из
переменных и констант языка с помощью функциональных сим-
символов, т. е. каждый терм есть либо переменная, либо константа
языка, либо имеет вид f(tj,...,tn), где f — функциональный
символ, обозначающий в языке я-местную операцию. В языках
первого порядка все переменные, входящие в терм, являются
свободными, т. е. являются параметрами этого терма.
При практическом написании формул и термов мы эконо-
экономим скобки, пользуясь хорошо известными соглашениями. Так,
обычно опускаются внешние скобки. Кроме того, мы распола-
располагаем связки и кванторы в определенном порядке, считая, что
те символы, которые в этом порядке находятся правее, «свя-
«связывают сильнее», т.е., что их следует выполнять в первую оче-
очередь. Для конкретности мы придерживаемся следующего поряд-
порядка выполнения операций:
v
л
Здесь =—производная логическая связка, (Л = В) есть сокра-
сокращенное обозначение формулы ({AzdB)/\(BzdA)).
Например, фбрмулу
(V х(Р (х, у) =э ( VzQ (z) AR)) VQW)
можно записать в виде
\?х(Р(х, у):эV2Q(г) AR)VQ(x):
Иногда для дальнейшей экономии скобок мы используем
точку. Если внутри скобок выполняется несколько однородных
(по силе связывания) логических символов, то точкой внизу
У символа мы отмечаем главный логический символ, т. е. тот,
который выполняется в последнюю очередь. Например, фор-
формулу
можно записать в виде
Если Т—выражение языка, xi;...,xn — различные перемен
ные и ti,::., tn — термы соответствующих сортов, то через
{Т(х\ xn\\t\,...,tn)) мы обозначим результат правильной
подстановки термов 1\, ••¦> ^п вместо свободных вхождений
переменных хи ..., хп в Т. Для получения выражения
(Т(хь ..., хп II tu :..,7n)) следует заместить одновременно все
свободные вхождения переменных х\ хп на термы 1и ..., tn
гоответствешю. При этом, если необходимо, следует переиме-
переименовать некоторые связанные переменные выражения Г. А имен-
именно, если некоторая переменная х некоторого терма /,-, будучи
свободной в /',-, оказывается связанной после подстановки (в та-
таких случаях говорят, что терм ti не свободен для подстановки
или что происходит коллизия переменных), то следует в Т пред-
предварительно переименовать некоторые связанные переменные нг
новые, чтобы при подстановке не происходило коллизий. Напри-
Например, результатом правильной подстановки
является формула
CxP(x,y){y\\f{x,y))}
luP(u,f(x,y))
с новой связанной переменной и.
Выражение (Т{хи -, xn\\ti, ..., tn) сокращаем до
Т(хн ..., xn\\ti, ..., tn) или даже до T(fb ...,<„), еслиупо
минание о переменных хи »-, хп несущественно. Следует пом
нить, что в записях вида;Л(*, г) всегда имеется в виду именно
правильная подстановка с необходимым переименованием свя
занных переменных.
Мы предполагаем, что читатель знаком с обычным'и языка
ми первого порядка, такими как язык арифметики, язык теории
групп, язык логики предикатов. Впрочем, язык логики преди
катов и язык "арифметики мы напомним ниже. '
Выражения языка суть просто строчки символов специаль
ного вида и сами по себе не имеют никакого смысла. Для
придания смысла выражениям языка Q необходимо задать
интерпретацию для языка Q (в другой, терминологии, структуру
для языка Q, модель для языка Q). Задать интерпретацию М
для языка О означает, в частности, задать область пробегания
для каждого сорта переменных, фигурирующих в- языке. -Еач
в произвольном выражении языка заместить все его парамет
ры объектами из соответствующих областей пробегания,- то по
лучится то, что называется оцененным выражением языка (точ
нее, выражением, оцененным в данной модели М). В частно'сти
замкнутое выражение само по себе является оцененным в лю
бой модели.
Каждая интерпретация М языка позволяет по естественным
правилам подразделить все оцененные формулы на истинные
в данной "интерпретации и на ложные в данной интерпретации.
Если Л — формула, оцененная в М, то запись М\=А будет
означать, что А истинна в интерпретации М._
Понятие истинности оцененной формулы в структуре М со-
согласовано со строением формулы. Например, М^А/\В тогда и
олько тогда, когда М\=А и М\=В. Далее,.Мt=A\/B тогда
только тогда, когда М\=А или М\=В. М (== ~\-А равносильно
ому, что неверно М\=А. Утверждение М\=А^эВ ложно лишь
в одном случае, а именно когда М\=А и М \=~\В. При осталь-
остальных комбинациях истинностных значений утверждение
=А^В считается истинным (так понимаемую' логическую
связку гэ часто называют материальной импликацией). Далее,
M=V;o4 тогда и только тогда, когда для всякого объекта а
из области пробегания переменной х имеем М\=А(х\\а). Ана-
Аналогично А1|=3 хА равносильно тому, что существует объект.а
из нужной области, такой, что М)=А{х\\а). Коротко можно ска:
зать, что мы придерживаемся классической семантики, где ло-
логические связки трактуются по законам двузначной булевой
алгебры.
Подобным образом интерпретация М позволяет приписать
значение \t\M каждому оцененному терму языка. Значением
\Цм является объект, который выражает терм t при данной
оценке своих параметров. Значение терма зависит 'только от
значений составляющих его подтермов. Это означает, что, если
г — терм, в'котором • оценены все параметры, за исключением,
может быть, х, и t — оцененный терм того же сорта, что и х,
то \r(x\\t)\M совпадает с |r(x|| \t\M) \м.
Аналогично, Mt= A{x\\t) тогда и только тогда, когда
Mi=A(x\\ \t\M). ¦
Таким образом, при фиксированной интерпретации М язы-
языка Q формула А этого 'языка рассматривается как выражаю-
выражающая некоторое параметрическое суждение, зависящее от оценки
параметров.' Как говорят, формула задает в Q высказыватель-
ную форму. В частности, если формула является предложе-
предложением Q, т. е. вовсе не содержит параметров, то в М такая
формула определяет конкретное истинное или ложное высказы-
высказывание. Аналогично терм t задает в' М операцию от своих пара-
параметров. Замкнутый терм задает в интерпретации М некоторый
<онкретный объект.
С точки зрения логики особенно интересны формулы языка,
«тинные в любой интерпретации для Q при любой оценке сво-
своих параметров. Такие формулы называются логическими зако-
законами языка (в другой терминологии — общезначимыми форму-
шми, тавтологиями языка). Понятие логического закона яв-'
ляется некоторым математическим уточнением идеи формулы,
истинной «лишь в силу своей формы, независимо от содержа-
содержания».
Далее, мы говорим, что формула А логически эквивалента
формуле В, и пишем А~В, если формула Л=В является логи
ческим законом. Читатель, несомненно, знаком с некоторым
логическими законами и логическими эквивалентностями, таки
ми как выражение одних логических связок через другие, про
несение кванторов через логические связки и т. п. Логически!
законы позволяют преобразовывать формулы к нужному нав
виду, например, всякую формулу, как известно, можно заме
нить логически эквивалентной формулой, имеющей уже пред
варенный вид, т. е. такой, у которой все кванторы находятс:
впереди формулы, а далее идет бескванторная формула.
Для каждого логико-математического языка Q определяет
ся исчисление предикатов в языке Q. При описании исчислени
предикатов задаются его аксиомы и правила вывода, при это1
в различных учебниках можно найти несколько отличающиес
друг от друга формулировки (эти отличия, конечно, несущее!
венны для развиваемой далее теории). Мы остановимся на еле
дующей формулировке. Аксиомами исчисления предикате
в языке Q называются формулы этого языка, имеющие оди
из следующих видов:
2)
3)
4)
5) AABzdB;
6) (Л=>С)=э.
7) Az>A\/B;
8) В^А\/В;
9) (А=>В)=э..
10) ^\А=зА;
11) V xAzDA(x\\t)\
12) \/(СА())
13)
14)
Здесь А, В, С — произвольные формулы Q. В схемах 12
14) формула С не содержит свободно переменной х. Нетрудн
убедиться, что все аксиомы исчисления предикатов суть лог
ческие законы.
Правилами вывода исчисления предикатов являются фигур
следующих видов:
А, А=>В
В
Здесь А, В — произвольные формулы Q, х — произвольн*
переменная. Первое правило носит традиционное латинское н
звание — модус поненс, второе правило называется правиле
обобщения.
10
Дерево формул есть по определению двумерная фигура, со-
составленная из формул языка по следующим правилам:
1) каждая формула Л сама является деревом формул, ниж-
нижней формулой этого дерева называется сама формула Л;
2) если D\ и D2 суть деревья формул с нижними форму-
формулами вида А и ЛгзВ соответственно, то фигура
01,0,
есть дерево формул; мы говорим, что формула В получена
в этом дереве из Л и AzdB по правилу модус поненс; нижней
формулой результирующего дерева формул является по.опре-
по.определению формула В;
3) если Di — дерево формул с нижней формулой А к х —
переменная, то формула
есть также дерево формул; мы говорим, что нижняя формула
\/ хА этого дерева формул получена из Л по правилу обоб-
обобщения.
Коротко говоря, дерево формул есть конечное дерево', в вер-
вершинах которого расставлены формулы и переходы^сверху вниз
в котором совершаются по правилам вывода исчисления пре-
предикатов.
Верхние, начальные формулы в дереве формул, которые не
имеют вида аксиом исчисления предикатов, называются гипоте-
гипотезами, или открытыми посылками рассматриваемого дерева фор-
формул. Ветвью дерева формул D мы назовем последовательность
Аи...,Ап вхождений формул в D такую, что для всякого i<n
формула Лг+i находится в D непосредственно выше формулы
At и А\ — нижняя формула D\ а Л„ — верхняя формула D.
Пусть А и В — различные вхождения формул в D. Мы гово-
говорим, что формула В расположена выше формулы Л в D, если
существует ветвь А\,...,Ап дерева формул D такая, что А
есть Л; и В есть Л,, причем j>i.
Деревом вывода, или просто' выводом, в исчислении преди-
предикатов назовем дерево формул, удовлетворяющее следующему
структурному требованию: если формула вида \/хА получена
в выводе из формулы А по правилу обобщения, то перемен-
переменная х не входит свободно в гипотезы, расположенные выше
рассматриваемого вхождения формулы у хА.
Если формула вида ухА получена по правилу обобщения
из формулы А и формула В находится выше рассматривае-
рассматриваемого вхождения у хА и содержит свободно х, то говорят, что
переменная х варьируется в формуле В. Наше структурное
требование означает, таким образом, что в выводе параметры
гипотез не варьируются, остаются фиксированными.
11
Если Г — конечный список формул и Л --• формула языка Q;
то будем говорить, что формула А выводима в исчислении пре-
предикатов из списка-формул Г, и писать ГьЛ, если может быть
построен вывод D с нижней формулой А такой, что всякая ги
потеза D является членом списка Г. Разумеется, некоторые
формулы Г могут при этом и не быть гипотезами D. Мы гово-
говорим, что вывод D формулы'Л не зависит от таких членов Г\
Бели список Г пуст, то Г Н А означает, что существует вы-
вывод формулы А вообще без гипотез. В этом случае мы гово
рим, что формула А выводимая исчислении предикатов, и пи-
пишем }— А.
Саму фигуру Г г-А назовем выводимостью, или секвенцией
Таким образом, чтобы установить секвенцию Г Ь- А, следует по-
построить вывод в исчислении предикатов с нижней формулой А,
все гипдтезы которого находятся среди членов Г.
Теорема (о дедукции). Г,ЛьВ тогда и только тогда,
когда T\-AzdB.
Если (—Л, то А является логическим законом. Таким обра.-
зом, на исчисление предикатов можно смотреть как на некото-
некоторый формальный механизм для получения логических законов
Для вывода формул в исчислении предикатов используется
специально подобралная удобная система производных пра
вил, называемая техникой естественного вывода. Читатель мо-
может познакомиться с этими правилами по нашей книге [1J или,
например, по книге [3]. Мы будем предполагать некоторое уме-
умение выводить формулы в исчислении предикатов и иногда- бу-
будем опускать доказательства, того, что та -или иная формула
выводима. Начинающему при этом полезно по крайней мере
убеждаться, что рассматриваемая формула является логиче
ским законом.
Формальная аксиоматическая теория Т задается двуш
объектами: логико-математическим языком Q и множеством У
предложений этого языка. Q называется языком теории Т.
а элементы множества У называются нелогическими аксиома-
аксиомами Т. Подчеркнем, что все нелогические аксиомы суть пред-
предложения, т. е. замкнутые формулы языка <Q..
Мы говорим, что формула А языка Q выводима в теории Т,
и пишем Т I- Л, если существует конечный список Г членов У
такой, что Г ь- А в исчислении предикатов.
Интерпретация М для языка Q называется моделью тео-
теории Т, если М)==А для всякого предложения A^Y, т. е. если
всякая нелогическая аксиома теории Т.истинна в М. Дели М
модель теории Т и Т\— В, где В — предложение, то М\=В
Таким образом, выводимое, в Т предложение оказывается
истинным во всякой модели теории Т.
Опишем кратко некоторые формальные аксиоматические
теории.
Элементарная арифметика Аг.
Язык этой теории содержит один сорт переменных х, у, z, ...
12
константу 0, один одноместный функциональный символ Sx
и два двухместных функциональных символа х+у, х-у. Ато-.
марные формулы Аг имеют вид (t = r), где t, r — произволь-
произвольные термы языка. ¦ . ¦
Нелогические аксиомы Аг делятся на три группы: аксиомы
равенства, аксиомы Пеано, определяющие аксиомы для сло-
сложения и умножения. При формулировке нелогических аксиом
ниже мы будем опускать кванторы общности спереди. Предпо-
Предполагается, конечно, что каждая аксиома является предложением.
Аксиомы равенства:
1) х=х; ¦ ' .
2) x = y/\x=z=>y = z.
Аксиомы Пеано:
3) БхфО;
4)- (Sx=Sy)=x = y;
5) Л@)Д yx(A{x)^A(Sx))zz\ xA(x) (принцип полной ма-
математической индукции).
Определяющие аксиомы для сложения и умножеяия:
6)
7)
8) х-0-0; .-.•¦'.
9) x-Sy — x-y+x.
Аксиоматика теории Аг подобрана таким образом, чтобы
все обычные факты, выразимые в языке теории, были бы в ней
выводимы. Стандартной моделью теории Аг является модель м.
В этой модели переменные рассматриваются как пробегающие
множество всех натуральных чисел; это множество мы также
обозначаем через ы, константа изображает натуральное число
нуль,, функциональные символы интерпретируются очевидным
образом. Как мы увидим далее, существуют и другие модели
теории Аг, не изоморфные gj. В то же время теория Аг являет-
является неполной: можно указать предложение, истинное в моде-
модели to,"но не выводимое в Аг; мы докажем это в гл. III, § 1.
Арифметика второго порядка Аг2.
Язык этой теории содержит два сорта переменных. Пере-
Переменные х, у, 2, ... рассматриваются как пробегающие нату-
натуральные числа, переменные X, У, Z, ... пробегают произвольные
подмножества множества всех натуральных чисел. Константы
и функциональные символы Аг2 те же, что и в языке Аг. Та-
Таким образом, язык Аг2 содержит терм'ы двух сортов; термы
для натуральных чисел и т&рмы для множеств натуральных
чисел, причем термами для множеств натуральных чисел яв-
являются лишь переменные X, У, Z,~.... Атомарные формулы Аг2
имеют один из следующих двух видов: формальные равенства
(t = r), где t и г — термы для натуральных чисел, и. (teX),
где t — терм для -натуральных чисел и X — переменная для
множеств натуральных чисел. Сложные формулы строятся
13
обычным образом с помощью логических связок и кванторов,
причем кванторы используются по обоим сортам переменных.
Нелогические аксиомы Аг2 имеют тот же вид, что и аксио-
аксиомы Аг, но в схеме индукции 5) в качестве формулы А (х) мож-
можно использовать произвольную формулу языка Аг2. Кроме то-
того, добавляется новая схема аксиом, аксиома свертывания:
10) 3X\fx(x^XsaA(x)),
где А(х) — произвольная формула Аг2, не содержащая сво-
свободно переменной X.
Стандартной моделью Аг2 является модель, которую мы,
так же как и в случае Аг, будем называть- моделью <о. В этой
модели переменные х, у, г, ... пробегают множество ш всех на-
натуральных чисел, а переменные X, Y, Z, ... пробегают множе-
множество Ри> всех' подмножеств натуральных чисел. Эта теория
также имеет много других интересных моделей, неизоморф-
неизоморфных со.
Исчисление предикатов в языке Q также можно рассматри-
рассматривать как формальную аксиоматическую теорию в языке Q с пу-
пустым множеством нелогических аксиом. Всякая интерпретация
языка fi является моделью этрй теории.
Чистое исчисление предикатов есть по определению исчисле-
исчисление предикатов в специальном языке с одним сортом перемен-
переменных, без констант и функциональных символов, со счетным
набором предикатных символов для каждого числа аргумент-
аргументных мест.
ГЛАВА I
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
§ 1. ЯЗЫК НАИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ,
ПАРАДОКСЫ НАИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
1. Теперь мы перейдем к изучению некоторого конкретного
языка Aft, предназначенного для описания свойств множеств.
Мы исходим из гипотезы, что имеется некоторая математиче-
математическая структура — семейство множеств. Для каждых двух мно-
множеств а и b определено, когда aeb — а принадлежит Ь,
а когда это неверно. Каковы дальнейшие свойства этой струк-
структуры JC и в какой мере законно ее рассмотрение — мы обсу-
обсудим позднее.
Язык "М+ содержит один сорт переменных х, у, г,. ..., кото-
которые рассматризаются как пробегающие множества — элемен-
элементы структуры Ж.
Понятие формулы и терма языка М+ формулируется в виде
одновременного индуктивного определения. Пункт 1) — базис
этого определения, а' 2)—-5) — индуктивные шаги.
1) переменная есть терм;
2) если t и г суть термы, то (t^r) есть формула;
3) если ф и i|; суть формулы, то
также суть формулы;
4) если х — переменная
суть формулы;
5) если х — переменная, <р
Определение закончено.
Формула ~М+ может быть, например, такой
а <р — формула, то V*<P>
формула, то {jc 1ф} есть терм.
Терм {х|ф} читается так: «множество всех х, для которых
ф(я)». Мы говорим, что этот терм определяет множество свер-
свертыванием, а сам терм называем сверткой по формуле <р. Фор-
Формула ф может быть совершенно произвольной формулой язы-
языка. Говорят, что в языке AI+ имеется неограниченное сверты-
свертывание.
Заметим, что язык М+ не является языком первого порядка,
именно в силу пункта 5) определения, позволяющего опреде-
определять новые термы с помощью формул. Такого эффекта иет
в языках первого порядка, где термы определяются отдельно.
. , 15
Следует иметь в виду, что в терме {х|<р} переменная х —
занная, так что {х\ } играет роль квантора. В языке М+ термь
могут содержать связанные переменные, так что теория пере-1
именования связанных переменных, коллизии переменных
т. п. должна теперь относиться и к термам.
. Введем сокращенные обозначения:
х включено в у
\ )
х равно у
х Не равно у
хфу^~\(х=у); ¦
х не принадлежит у
х строго включено в у
() А()
Разумеется, эти обозначения можно -использовать не толь-
только с переменными- х и у, ноi и с другими термами. При этом
(t^r) следует трактовать, конечно, как (х^у) (х, у \\ t, г). Ана-
Аналогичное замечание относится и к дальнейшим обозначениям.
Пользуясь законами логики, можно установить, что в jft
имеют место некоторые факты. Например, в Ж при любой
оценке хех, т. е. xs есть закон теории множеств. В самом
деле, х<=х имеет вид \jz(z^xz5Z^x) ¦ и вытекает из логиче-
логического закона тождества
Мы будем писать
где точка слева заменяет словесный оборот «следующая фор-
формула является законом теории множеств», т. е. истинна в Ж
при любой оценке свободных переменных.
Упражнение. Докажите:
.х=х\
. 3. Так как структура Ж должна отражать интуитивные свой-
свойства множеств, мы считаем, что в ней законами являются сле-
следующие два вида формул.
1) Аксиома объемности (экстенсиональности)
2) Аксиома свертывания
.ze={i/
Здесь ф(г) есть, разумеется, <р(г/Цг).
Аксиома объемности имеет следствием, что определенное-
[ими равенство х=у_действительно обладает свойствами равен-
;тва. А именно выполняются свойства замены равного на рае-
Ное;'
'. х= (/3 (,ф (х) =ф ((/));
.x = yzD(t(x)=t(y)).
етрудно доказать эти два закона, исходя из аксиома объем-
ости, индукцией по определению п. 1, но мы не будем этим
аниматься и свободно используем эти два последних закона
дальнейшем.
Аксиома свертывания описывает свойства выражения {jc | ф}..
4. Введем понятие неупорядоченной пары:
{х,у}^= {z|z=x\/z=(/}.
Основные свойства этого выражения:
) u{,y}(
2) .х<={х,у};
3) .уе±{х,у};
4) Лх,уУ={у,х).
> Первое следует из аксиомы свертывания. Докажем второе..
Из первого утверждения, в частности,
16
ак как .х<=х (см. п. 2). Следовательно, верна правая часть
квивалентности, а значит, и левая.
Докажем четвертое утверждение. Необходимо показать, что
ля всякого z
Но ввиду первого свойства
zi={y, х}== (z=
правые части логически эквивалентны. ?
5. Понятие одноэлементного множества (синглетона):
Основные свойства:
1) .u^{x)=e(u=x\;
2) .хев{х}.
Доказательство предоставляется читателю в качестве уп-
ажнения.
17
Лемма. 1) . {х} = {</}= (х = у)
2) {х, у} = {и, о}= ((х — и/\у =
3) • {*, у} = {и]= (х = и/\у= и).
Х> Докажем 2). Импликация справа налево вытекает прос
из общих законов равенства п. 3. Допустим {х, (/} = {«, о}. I
определению равенстваэто означает
Vz(zs{x, y}i==ze{u, v}).
Имеем х<^{х, у} и, значит, х^{и, v). Отсюда (п. 4) x=u\Jx —
Разберем два случая и покажем, что в каждом из них вер
(x=u/\y=v)\/(y=uAx = v). .
1) Пусть х = и.
Ввиду vi={u, v] имеем ие{х, i/}, т. е. v = x\/v = y. Если v
то (x=u/\y = v), что и требовалось. Если же v = x, то вви
.х=и имеем u = v. Далее у^{х, у} и, значит, г/е{м, v}, т.
y=u\Jy — v. Ввиду и = v всегда y = v. Таким образом, bhoi
лмеем (x--=u/\y = v).
2) Пусть x = v. Рассматривается симметрично. ?
6. Понятие пустого множества:
1
Основные свойства:
3) Д0}#{0, {0}}.
1) ге0=(г^=2), но правая часть ложна в силу п. 2. Зн
ЧИТ,
2) Имеем 0а^0 и 0е{0}, значит,
т. е. 0,40}, D
Упражнение. Докажите .0Еы и, в частности, 0е
Приведите примеры конкретных множеств А, В, С, D (mi
.жества описываются замкнутыми термами М+) такие,, что
AsB, но А е?В и
Ce=D, ~] (C^D).
7. Пересечение, объединение и разность- двух множеств
xijy^-
)
2)
3)
> Эти утверждения вытекают непосредственно из аксиом»
:вертывания. D
Упражнение. Докажите:
2) .(x(Jj/)ri2= (xC\z)U(yf\'z).
8. Определим теперь объединение и пересечение семейства
множеств.
Для 'формулировки свойств этих- термов введем полезное
бщее определение ограниченных кванторов
Тервое читается как «для всех х, принадлежащих у, имеег
лесто ф(х)», а второе — как «существует х, принадлежащее-
/, такое, что имеет место ф(х)».
Обратите внимание, что для общности используется импли-
гация, а для существования — конъюнкция. При таком онре-
|,елении законы де Моргана верны и для ограниченных кван-
кванторов.
Точнее, '
х);
самом деле, "](\/хег/)ф(х) означает ~\\fx(x^yzD(f(x)) и по
югическим законам эквивалентно 3^1 (x^y^><f(x)) и, далее,.
уА]у())
Подобным образом можно определить
( 3Х<= у) ф (X) ^=
выполнением законов
*) )
В языке арифметики можно определить
()/х<у)А(х) ^Ц
(х)).
вновь будем иметь, например,
заметьте, что знак неравенства в законах де Моргаиа «не пере-
переворачивается»! Студент иногда склонен ошибочно утверждать-
Основные свойства объединения и пересечения:
1) .zeU'x=CMe*) t^"); -.
2) . zenxs=(y иея) (геи).
1> Эти свойства имеют место по аксиоме свертывания и в сил
¦определения. ?
9. Универсальное множество (универсум, множество все
множеств) определяется как
V={z\z = z). " '
Имеем: ,V?(zeV).
J> По определению геУ=(г=^г), но правая часть верна (el
л; 2). ?
Общее, дополнение определяется следующим образом
Упражнение.
Лемма.
.U0=0;
.fl0=v.
D> ге110=Cие0)(гек) и правая часть ложна, так к!
\/и (и ft 0). Следовательно, ze?[}0 для всякого г и, значи
110 = 0. геП0= (V ке0) (гек) и правая часть истин!
(в силу ложности посылки импликации). Следовательн
леП0 Для всякого z и, значит, (]0=V. ?
10. Множество всех подмножеств (множество — степея
11. Дадим определение некоторого стандартного бесконе
лого множества.
- Введем теоретико-множественную операцию.следования:
Назовем множество х прогрессивным, если оно содержит
и замкнутоотносительно S. Формально
Prog(x) ^ @ел) AV
Теперь в качестве стандартного бесконечного множества воз
мем пересечение семейства всех прогрессивных множеств:
Интуитивно ю состоит из последовательности элементов:
0, {0}, {0, {0)}, {0, {0}, {0, {0}}}, ...
|Каждый член этой последовательности получается операцией S
из предыдущего члена. Все члены различны, так что <о беско-
бесконечно. Член последовательности с номером я (если считать
: нуля). является я-элементным множеством. Эти интуитивные
идеи можно подтвердить в виде точных фактов:
2)
р. По определению u^u>=\/x(Prog(x)^>u^x). Если сюда
вместо и подставить 0, то правая часть верна (по определению
Prog(x)). Следовательно, 0ею. Далее, если zeto, то гед:
т,ля всех х, Prog(x). Но тогда и 5гех для всех х, Prog(x),
. е. Sze<a. Наконец, докажем 3). Пусть Prog(x), необходимо
становить о)^х, т. е. гешлгед: для всех г. Но если гео,
го, конечно, гех ввиду Prog(x). D
12. Введем теперь два специальных обозначения для неко-
орых термов вида свертки.
Определение множества выделением:
Выражение слева читается как «множество всех х, принадле-
принадлежащих у, такое, что' ф(х)». Здесь переменная х — связанная,
у — свободная. Мы считаем, что х отлично от у. На общих
основаниях вместо у можно, разумеется, правильно подстав-
подставлять термы (переименовывая связанное х, если нужно).
Основное свойство этого обозначения:
Определение множества подстановкой:
и, {х~у), <f(x, у)
20
десь х, у, и — различные переменные, причем х и у — связан-
связанные, а и — свободная. ¦ ¦
Таким образом, слева обозначено некоторое множество Q
акое, что i/eQ *=* найдется хеи такое, что для этого х верно
х, у), причем указанное у единственно. Иными словами, бу-
,ем просматривать различные хек. Для некоторых хек не
айдется вовсе у такого, что ф(х, у). Для некоторых jteu cy-
цествует много у таких, что <р(х, у). А вот для некоторых хеи
существует ровно одно у такое, что ф (х, у). В точности всэ
такие у мы и зачисляем в множество Q.
Эти интуитивные идеи можно оформить в виде точных фак-
фактов. , .
Пусть далее Q обозначает терм .
21
> Утверждение следует непосредственно из определения. ?
Введем сокращение (читается «существует и только одно
такое, что ср(х)»):
Упражнение. хеиДЗ !^ф (•*-', v)/\q(x, y)zDy<=Q.
13. Рассмотрим множество Рассела
Это — конкретное множество, описанное замкнутым терм<
языка М+.
По аксиоме свертывания для любого и имеем
В частности, подставляя вместо и множество R, получим
С другой стороны, очевидно, имеем
Мы пришли к противоречию.
Это короткое рассуждение и является парадоксом Рассе.
в нашем языке.
Обсудим кратко природу парадоксов, к которым относит
и парадокс Рассела.
Рассмотрим следующее высказывание:
«Высказывание, написанное в этой строке, ложно».
Истинно или ложно высказывание, написанное в кавычка
Исходя из его смысла, можно заключить, что оио истинно тс
да и только тогда, когда оно ложно, и мы приходим к прот
воречию.
Причину парадокса можно усматривать в структуре выск
зывания', написанного в кавычках; оно ссылается само на се?
Здесь проявляется абстракция отчуждения, в силу которой i
следователь сам процесс своего исследования, свои мысли, д
лает объектом исследования. Мы видим, что если это дела
неосторожно, то получаются внутренне противоречивые выск
зывания.
В несколько иной форме этот парадокс известен как пар
доке Эвбулида (четвертый век до н. э.). Пусть некто говори
«Я лгу». Истинно или ложно это его высказывание?
Конечно, можно устранить парадоксы, считая приведенн!
высказывания неосмысленными (или неправильно построена
ми). Но возникает трудная проблема, а какие высказывай!
осмыслены? Не окажется ли, что, казалось бы, надежш
утверждения в математике или физике внутренне противор
чивы? Каковы критерии, отличающие осмысленные высказыв
ния от неосмысленных?
Внимательный анализ показывает, что в теории множес'
22
возникает аналогичная ситуация при использовании аксиомы-
свертывания (п. 3). Сначала исследователь формулирует свой-
свойство ф(«/). а затем образует объект исследования — множество
{y\<f(y)}- Свойство ф(г/) может сообщать нечто обо всех мно-
множествах, в том числе и о вновь образуемом {</(ф(#)}- Так про-
происходит ссылка на себя. Например, ф((/) может содержать
кванторы по переменным, которые, естественно, мыслятся как
пробегающие все множества, в том числе и множество (г/|ф(</)}.
В определенном смысле множество {y\(f(y)} нельзя считать
вновь образованным: о нем уже идет речь в формулировке свой-
свойства ф(}/)! Это явление называется непредикативностью теории
множеств.
Полный отказ от непредикативных определений требует
значительной перестройки существующей математики, и поэто-
поэтому обычно используется компромиссный подход. В необходи-
необходимых случаях используется непредикативная аксиома свертыва-.
ния, но ее применение ограничивается, чтобы избежать возник-
возникновения парадоксов.
Рассмотрим теперь еще одну парадоксальную ситуацию. Де-
Деревенский парикмахер бреет тех и только тех в своей деревне,
кто сам не бреется. Бреет ли он сам себя? Несложное рассуж-
рассуждение показывает, что он бреет сам себя тогда и только тогда,
когда не бреет сам себя.
Как следует реагировать на такую ситуацию? Очень просто.
Такого парикмахера просто не существует. Условие, которому
должен подчиняться наш гипотетический парикмахер, внутрен-
внутренне противоречиво, его нельзя выполнить (хотя это сразу и не-
незаметно). Конечно, не следует полагать, что тем самым сни-
снимаются все вопросы, которые вызывает вышеприведенный очень
тонкий пример. Главный вопрос — какие же-условия в таком
случае внутренне противоречивы, а какие — нет? Можно ли
уверенно выделить широкий класс заведомо непротиворечивых
условий?
Аналогично естественно считать, что множество R не сущест-
существует. Однако в таком случае необходимо подвергнуть пере-
пересмотру наши представления о структуре Л теории множеств и
изменить строение языка М+. До сих пор мы полагали, что
всякий замкнутый терм М+ определяет множество, т. е. мы счи-
считали, что любое условие ц>(х) определяет объект {х|ф(;с)}. Ока-.
залось, однако, что такая точка зрен"ия виутреине противоречи-
противоречива. Нужно выделить класс условий, которые заведомо опреде-
определяют множества, и таких множеств должно быть достаточно
Для обслуживания обычных математических рассуждений. В то
же время следует признать, что некоторые условия множеств не
определяют.
Современная математическая логика еще очень далека от
полного решения этой_задачи. Имеется несколько практически
удобных решений. Из них самым популярным, по-видимому, яв-
является подход, предложенный Цермело й усовершенствованный
23
Френкелем. Основная его идея состоит в том, что мы отказе
ваемся от «слишком обширных» множеств неопределенной mod
иости, таких, как например, универсальное множество.
§ 2. ЯЗЫК ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ ЦЕРМЕЛО — ФРЕНКЕЛЯ
1. Мы вновь исходим из гипотезы, что имеется математич^
екая структура Ло — семейство множеств с отношением а
Ее свойства определяются семантическими соглашениями, коте
рые мы (несколько неточно) будем называть аксиомами теори
множеств Цермело — Френкеля.
Язык ZF+ содержит один сорт переменных х, у, z которь*
рассматриваются как пробегающие множества.
Понятие формулы и терма ZF+ определяется одновременно
индукцией:
1) переменная есть терм;
2) если t, r — термы, то (/ел) есть формула;
3) если ф и я|) суть формулы, то
также суть формулы;
4) если х — переменная, а <р — формула, то\/*<р. 3*<Р СУТ
формулы;
5) символы 0 и со суть термы;
6) если t, r — термы, то {t, r} есть терм;
7) если t — терм, то Pt и [)t суть термы;
8) если ф — формула, t — терм, не содержащий свобод»
переменной х, то {хе?|ф} есть терм;
9) если ф — формула, х, у — различные переменные и t
терм, не содержащий свободно переменных х и у, то
{y\x<=t, (ж-н/), ф}
есть терм.
Определение формулы и терма закончено.
Идея языка ZF+ состоит в том, что в него мы включае;
лишь часть конструкций из М+, избегая известных парадоксо:
Теперь 0, ш, U, Р уже не определяются, а являются самосто:
тельными значками. Вместо неограниченной аксиомы свертыв
ния мы имеем лишь ее частные случаи, в том числе определен»
выделением и определение подстановкой.
2. Мы" считаем, что законами.структуры JCo являются еле
дующие формулы:
1) Аксиома объемности:
|/со п 3 § 1). Здесь xSi/ и х=у определяются, как и раньше
1п2§1). ¦ ' '
2) Аксиома пустого множества:
.\/z(zsr0);
1в М^ эт° свойство доказывается, а. знак 0 определяется особым
бразом. В языке ZF+ знак 0 является самостоятельным, и его
свойства следует специально определить. Это замечание ртно-
сится и к другим конструкциям ZF+.
3) Аксиома пары:
.\/z(zee{x, y)=(z=x\Jz=y)).
свойства пары п. 4 и п. 5 § 1 доказываются и в ZF+, так как
все они выводятся только из п. 4 § 1, 1), а это свойство пары
выполняется и B-ZF+. Далее, определим теперь
{х\ ^т (х х\
гогда основное свойство п. 5 § 1, 1) {х} также выполняется
в ZF+.
4) Аксиома суммы:
Существенным для нас является то, что из этой аксиомы (с по
мощью остальных аксиом) выводятся свойства равенства:
24
Основное' свойство объединения п. 8 § 1, 1) тогда выполняется
и в ZF+.
5) Аксиома множества подмножеств:
|<ср. п. 10 § 1). ' • . ¦
6) Аксиомы стандартного бесконечного множества:
.0еа;
(Szeco); . "
|(ср. п. 11 § 1).
7) Аксиома выделения:
ср. п. 12 § 1). •
8) Аксиома подстановки:
( В х.еи) (ф (х,
(ср. п. 12 § 1).
На этом формулировка семантических соглашений ZF+ за-
заканчивается. Заметьте, что в естественном смысле ZF+ есть
часть языка наивной теории множеств М+.
В языке ZF+ уже нет никакой возможности образовать уни-
универсальное множество V={x\x=x) или множество Рассела
25
R = {х\х^х}, для этого просто нет подходящих, языков
средств. Мы считаем, что эти множества отсутствуют в стру]
туре Jt0.
3. Далее нам следует убедиться, что обычные множеств
употребляемые в математике, выражаются в ZF+. Мы начне
с рассмотрения тех конструкций, которые уже встречались в §
Пересечение, объединение и дополнение двух множеств мол
но определить в ZF+:
1
^ BG (x\Jy)
Упражнение. Убедитесь, что свойства п. 7 § 1 этих поняти
выполняются и в новом определении.
Чуть- сложнее обстоит дело с определением пересечения с
мейства множеств. Определить [\х так, чтобы выполнялось опр
деляющее свойство п. 8 § 1
г> Импликация справа налево следует из свойств равенства.
опустим ( х, у ) = ( и, v > и докажем x=u/\y = v.
По допущению {{х}, {х, «/}} = {{«}, {«, и}}. Согласно лемме
. 5 § 2, 2) тогда
= {«} Л {*,»}•= {«г»}
(V
н),
не представляется возможным, так как тогда согласно
п. 9 § 1 было бы [\0=V. Однако в ZF+ можно определи1
очень похожее понятие:
> V z(z<=nx= (V мех) (ге«));
Лемма. Имеем:
1) хф0-.
2) [\0 = 0.
О Если хф0, то существует щ^х. Тогда из (У мех)
следует ге«о и, значит, zm[)x, так что ограничение- в аксиоъ
выделения становится фиктивным. Далее, С]0 — 0,
так
Разумеется, в ZF+ нам придется отказаться от общего д<
полнения, так как тогда было бы 0 = V. Множества- V таког
что Уг(геУ), существовать не может, так как иначе мы bi
делением могли бы определить и-множество Рассела
ли
^ответственно разберем, два случая.
а) {х} = {ы, v), {x, (/} = {«}.
виду п. 5 § 2 тогда x=y = u=v, так что,, очевидно, x=u/\y—v.
1виду п. 5 § 2 тогда х = и.
Далее, имеем два случая:
x = u/\y = v или x—v/\y=u.
\ первом случае мы уже им«ем искомое. Во втором же случае
виду х = и получаем x=u = y==v, т. е. вновь x — uf\y = v. ?
Далее можно определить упорядоченные тройки, четверки
т. п.
(А') = х;
/ „.. \ -_Л \ v v \ \
\Xi, ..., Лп, Лп+1 / —^ //I» •¦*' п/» Лп+1 / •
1з леммы б)'дет следовать и более общее утверждение
. (Xi, ...,Хп) = («1 Ип) =
Заметим, что упорядоченная я-ка при и>0 в нашем опреде-
кг гении есть одновременно и упорядоченная пара.
2. Отношение есть по определению множество, каждый эле-
гент которого есть упорядоченная пара. На нашем языке «быть
>тношением» записывается как
Rcl(х)=
3 uv(z= {и, v )).
§ 3. ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ В ЯЗЫКЕ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
1. Упорядоченная пара (по Куратовскому) определяется сл|
дующим образом:
Основное свойство этого множества выражается следуют
леммой:
Лемма. . (х, у) = { и, о) == (x—uAy = v)-
26
Мы говорим, что и и v находятся в отношении х, если
и, v )ei Последнее записывается также в виде uxv.
Полем отношения х называется множество всех и таких,
то и входит в х в качестве левого члена некоторой пары или в
ачестве правого члена некоторой пары.
Оказывается, что в нашем языке поле отношения может быть
пределено следующим образом:
определение, видно
27
То, что это действительно подходящее
|из следующей леммы:
Лемма. 1) . {и, v }ех:эиеРЫ(х)/\veFld(x);
2) .Rel.(x) A«sFld(x)r?
3U( (u> y )елД/ { у. м ) ex). -
[> 1) Имеем {к, a}e(u, t-')ex, что означает {м, ,y}<
Далее, ue{«, y}elj*, что влечет ueUU#, т. е. ueFld(x). Сщ
метрично i>eFld(x).
2) Пусть Rel(x), ueFld(x). Таким образом, найдется
ueueljx. А значит, найдется z такое, что"иевегех Так кг
Rel(x), то найдутсй уь у2, z= (уь у2 )• Ввиду »е (»i, у2 } имей
v={vi} или и={У!, у2}. Так как иео, то необходимо u—vi ил
Юбласть определения отношения х есть множество всех Л'
вых членов пар из х.
dom(x) =^{«^Fld(x) | ^v((u, v ) ex)}.
Это типичное определение в ZF+ выделением.
Заметим, что. ввиду леммы ограничение ueFld(x) в опред
леиии несущественно:
В обыденной математике дают, более простое определение:
dom(x) = {u\ ^v((u, v)<=x)}.
Но в нашем языке последняя конструкция просто иевозможн
и нам приходиться предложить некоторое, хотя бы и несущее
венное, ограничение. ~
Такое фиктивное ограничение в аксиоме выделения — ос
беиность ZF+ — есть плата за устранение парадоксов.
Основные свойства области определения:' "
1) .(и, v )ex=3!/.edom(x);,
2) .Rel(x)A«eidom(x)=>3 v((u, v
[> 2) Пусть Rel(x) и ((edom(x). Тогда по аксиоме выделен!
непосредственно j с (( и, v )ex). П
Область значений отношения х-есть множество всех прав!
членов пар из х.
rng(*)=== {уeFld(x) | з«( («, v} ех)}.
1) . {и, о '
3)
t> Для доказательства используйте лемму. ?
3. Декартово произведение двух множеств х и у есть некот
рое отношение. А именно это есть множество всех пар ( и, t
таких, что «ex,- t>e</.
"В языке Л1+ декартово произведение можно было бы опр
Делить следующим образом:
языке ZF+ иам придется подобрать некоторое (фиктивное)
эграничивающее условие для определения выделением. Оказы-
Оказывается, что можно определить
В самом деле, покажем, что из условия справа от черты сле-
следует zePP(x[)y). Итак, пусть для некоторых и, v имеем z—
1= {и, v ), мех, vе#.
|Тогда иех(_)г/ и vex[}y. Отсюда
{«}s4Ji/, {v}^x[)y, {и, v}^x[)g.
)то дает {H}eP(x|J(/)", {и, v}^P(x\jy). В свою очередь, отсюда
х. е. (и, v) ?.P(x(Ji/) и, значит, (и, i>)ePP(xLJ(/), т. е. ге
Итак, в аксиоме выделения условие слева от черты выпол-
выполняется, если выполняется условие справа от черты.
Основные свойства декартова произведения предлагается,
доказать в качестве упражнения:
1) . иехДиег/гз-<( и, v) ехх#; . .
Мы говорим, что отношение R задано на множестве z, если
R<=zxz. ' ' 1
Следующая лемма указывает, откуда берется множество г. •
Лемма. Rel(/?)zD#?dom(/?)Xrng(/?). .
Отсюд-а R^zXz, где z = dom(^)Urng (/?).
, Пусть Rel(^) и y^R. Тогда у— {и, v) и из определений
wedom(/?), uerngG?), что ввиду 1) дает.г/={м, t))edom(/?)X
AR). U
4. Для каждого отношения R может быть определено об-
обратное отношение, состоящее из пар, расположенных в обрат-
обратном порядке. Оно обозначается R~l, R или Conv(^). Точное
определение таково
Conv(/?)==={zerng (R) Xuom(R) |
Заметим, что ограничение здесь — фиктивное.
1) .Rel(Conv(#));~
2) . (и, v) e-Conv (R) s= {v, и ) е^.
5. Если даны два отношения, то. может быть определена их
¦омпоэнция
R oS<~r{zedom (S) Xrng (R) |
^uvw(z= (u, w ) A («, v) e5A(», w )^R)}.
Основные свойства композиции:
i) . Rel(^oS);
° ' v )e?.SA(v, w)esRz=> (u, w)eER°S;
28
I
3) . (U,
(, )
u, v)<=S.A(v,
[j> Докажем 3), доказательства остальных свойств предост
жим читателю.
Если (и, w) ^RoS, to по определению (и, w)euom(S)
XrngG?) и, кроме того, существуют и', v', да', {u,w)~(u',wf
•{г/, o')gS, (v', w')eR. Ввиду п. 1 тогда и = и', w = w'. Ecj
определить у = у', то мы видим, что (и, o)eS, (о, ш ) е/?.
6. Введем понятие рефлексивного, симметричного и транз
пивного отношений. '
Напомним, что xRy ^( х, у е/?.
Sym(R) ^\f xy(xRyzDyRx);
Отношение называется отношением эквивалентности, ecj
¦оно одновременно рефлексивно, симметрично и транзитивн
Точное определение:
Упражнение. Докажите:
. Rel (R) ARef (/?)=>Fld (R) = dorh (R) = rng (R).
7. Ограничение отношения R множеством х есть по опред
лению множество таких пар (и, v) из /?, что мех. Точное опр
деление: R\ x--^R(]{xXrng{R)).
.. (u, t))e(i?^) = ({«, f)e«A«ex).
Образ множества х по отношению к R — это множест
всех тех v, для которых найдется и, принадлежащее х
u, v)eR)}.
Упражнение. Докажите:
x).
Симметричное понятие — прообраз множества х по отнои
нию к R — это множество всех тех и, для которых найдется
лринадлежащее х, и такое, что (и, v) e/?. Точное определен*
({и, »
Упражнение.
Подобным образом можно было бы развивать и Teopij
многоместных отношений. Например, трехместное отношен
«сть по определению множество, все элементы которого су
упорядоченные тройки.
8. Функция (от одной переменной) есть по определен^
отношение, которое удовлетворяет- следующему условию: ее
30
и щ) и {", Vz)eR, то yi = f2, т. е. для каждого и из об-
а'сти определения R существует только одно v, находящееся
этим и в отношении R. Точное определение:
Fnc(/?)'== Rel (R) A \i'
и
5торой конъюнктивный член здесь называют иногда условием
,циформности (по второй коорДинате). Таким образом, функ-
ия есть отношение, униформное по второй координате.
Мы говорим,, что функция f отображает множество X в мно-
кество У, и пишем
/: X-+Y,
ели область определения f есть X, а область значений / вклю-
ена в У:
f :X^y===
Мы говорим, что функция f переводит х в у, если (л,
Если xe.dom(f) и f — функция, то существует и только одно-
такое что {х, y)^f- Это у называется значением функции [
а х. Можно дать и явное определение значения функции в
ашем языке:
(х, у) e-f).
Основное свойство этого обозначения:
D> Пусть Fnc(/) и xedom(f). Так как xedom(f), то найдёт-
я и такое, что {х, и)е/. Пусть Q= {(/erng(f) j {x, j/)ef}.
Io определению j(eQ={ x, у }е/. Но по условию униформнос-
и (х, (/}е|А{х, «)е/гэ(/ = м. Таким образом, jeQs (y = u).
)тсюда следует Q={«}. А тогда UQ = U{"}="- Ho UQ есть f%
ак что f'x=u. Если z = f'x, то z = u и, значит, (х, z) e?. Обрат-
o, если (x, z) ef, то ввиду (x, «)ef и условия униформности
u, т. е. z = f'x. ?
He следует путать два обозначения, имеющие совсем разный
мысл:
f(x) ±=f'x — значение функции f в х.
/[х]=^ f"x — образ множества х по отношению к функции f.
Аналогично, различный смысл имеют и формулы:
f: X-+-Y — функция f отображает множество X в мно-
ество У.
f '¦ Xl-*y — функция f переводит х в у.
Заметим, что всякая функция есть в то жевремя и отноше-
ие, так что всё определения, предназначенные для изучения
'Тнощений, могут быть использованы и для функций. Таким
'бразом, задаются область определения функций, область дна-
ениГ^ ограничение функции множеством, композиция функций.
31
Лемма. Композиция двух функций есть функция:
. ¦ . .Fnc(/)AFnc(g)=3Fnc(fog).
!> Пусть Fnc(f), Fnc(g), проверим условие униформно!
.для / ° g. Пусть (и, yi)ef<>g, (и, Vz)^f° g, покажем v
По определению композиции найдутся w{ и Шг такие, что
{и, m>i)eg,. (a)i, vi)^f
и
(ы, W2,~) eg, (^2, ^2/ ^/
Из условия униформности для g имеем wi = W2. Но тогда yi =
из условия унифорности для /. ?
Лемма. Значение композиции равно последовательна
вычислению значений составляющих функций:
.Fnc(f)AFnc(g)A*edqm(g)A
(g'x) edora (f) => (f eg) 'x=f'(g'x).
Обратите внимание, что сначала вычисляется значение фу]
ции g (правой в композиции).
[> Пусть v=(f°g)'x. Тогда (х, v)e({"g) и, значит, hi
.дется w, (x, w) eg, {w, v )e/ по определению композиции,
тогда w = g[x и о=/'ш, т. е. v = f'(g'x). D
Для данной функции f обратное отношение ^* = Соп'
может и не быть функцией. Функция / называется взаим>
•однозначной функцией^ или биекцией, если обратное'отноше:
также является функцией:
(llH/)^Fnc(f)AFnc(Conv(f)).
Множество всех функций из множества X в множество
обозначим через (X-*-Y). Таким образом,
Точное определение выделением:
[таким образом, что
Это .обозначение мы читаем так: «семейство всех ti для i^I».
Аналогично для терма t(i, j) с двумя выделенными перемен-
переменными определяется семейство {tij\i^I, j^I}, так что
Упражнение. Убедитесь, что ограничение f^P(XxY) ф!
тивно и следует из условия f : X-^>-Y.
Можно было бы естественно развивать и теорию функц
нескольких переменных. Так, функция от двух переменных ее
по определению трехместное отношение, униформное по поел*
ней координате. ¦ ¦
9. Пусть t(i) —" терм языка ZF+ с выделенной перемени
I. Мы будем писать иногда ti вместо t{i), чтобы подчерки}
особую роль переменной /. Пусть / — произвольный терм,
содержащий свободно переменную i.
Можно ввести обозначение
.32
. «<={*„¦
(и = ttJ).
[Тогда согласно п. 12 § 1 «e{^j|te/, /e/}
1такое, что в точности для одного и имеем
Подобным образом можно определить семейства множеств
по термам с большим количеством выделенных переменных.
[> Эти обозначения вводятся с помощью определения под-
подстановкой. Пусть, например, t{i, j) терм, i, / — две различные
переменные, а /, / — произвольные термы, ие содержащие сво-
свободно переменных i и /. Определим ~
{tij\ie=I, j<=J}^
существует
Но для всякого хе/Х/ такое и всегда существует, и единствен-
единственно. В самом деле, по л:е/х/ однозначно определяются i и /,
х= (г. /), а тогда и однозначно определяется из равенства
u=tij. Таким образом, ие.{1ц\ ге/, /е/} тогда и только тогда,
когда существует is/, j^J, u — t^. D
Эти обозначения позволяют компактно и наглядно выразить
в языке ZF+ многие популярные конструкции обыденной мате-
математики.
Например, > ,
UxV={{u, и) \uezU, dgF},
здесь и я v — выделенные переменные.
Заметьте, что выделенные переменные связаны в нашем обо-
обозначении.
Определим объединение семейства множеств
Основное свойство:
U
ш
= G и щ {t, | i m I}) B e u) = 3« Ci
(« = «iAz = «)s Qt е/)(г? tt).
I)
Л Н. Колмогоров, А. Г. Драгалнн
33
Определим пересечение семейства множеств
2). П f, = 0. .
D> См. п. 3 § 2. D
Декартово произведение семейства множеств определяем
следующим образом:
10. В обычной математике под функцией иногда понима^
аналитическое выражение, зависящее" от переменной. Наприме
говорят о «функции» х2+х+1. В точном языке такого рода в
ражениям соответствуют не функции, атермы. Терм о
сывает не функцию, а ее значения.
Если по терму t(x) мы желаем образовать функцию с
ластью определения г, то она (функция) будет определят
уже другим термом
t={(x,t(x))\x&).
Для всех хег будет
.f:x-*t(x).
§ 4. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА В ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.
ЗАПИСЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ УТВЕРЖДЕНИИ
В ЯЗЫКЕ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
1. Рассмотрим последовательность множеств:
0, {0}, {0, {0}}, {0, {0}, {0, {0}}},....
Эта последовательность получается, если . начиная с пуст
множества последовательно применять операцию Sx=x\j{x}:.
{0} = S@),{0,'{0}} = 5({0}) и т. д. -
Первый член нашей последовательности вовсе не содер>
элементов, второй содержит один элемент, третий — два и т.|
Обратите внимание на важную особенность нашей после!
вательности: каждый член в ней равен в точности множес|
всех предыдущих членов последовательности. Например, чл4
{0, {0}} предшествуют в точности члены 0 и {0}. Е^
упорядочить члены нашей последовательности, считая,
о<Ь-*=»-о появилось в последовательности раньше, чем ?>,-то
членов нашей последовательности
34
_Гаким образом, отношение принадлежности задает линейный
¦порядок на нашей последовательности.
I фон Нейман предложил определить натуральные числа в
(теории множеств как члены вышеуказанной последовательности:
0^=0, 1-{0},2^{0, {0}},... ' :
|и вообще, если задано натуральное число п, то следующее чис-
|ло есть Sn.
Аксиомы бесконечности (п. 2 § 2) как раз и утверждают,
¦что со есть в точности множество всех натуральных чисел по фон
¦Нейману. В самом деле, первые два утверждения
0еи, (\/ хе
|гласят, что m во всяком случае содержит-все натуральные чис-
|ла, а третье утверждение
V* (Prog {л;):э (»<=*))
гласит, что <(й — «самое маленькое» из множеств, содержащих
все натуральные числа, т. е., интуитивно говоря, состоит только
из натуральных чисел. ' *-¦
Основные свойства натуральных чисел выражаются следую-
следующими тремя утверждениями:
1) . (V хеш) (Sx=?Q);
2) .(^ xt)ea)(Sx=Sy=x=y);
3) для всякой формулы ц>(х) выполняется следующее
утверждение, называемое' принципом полной математической
индукции: ¦ ~ . '
1> 1) Очевидно, x^Sx=x\J{x}. Если было бы 5х = 0, то
д:е0, что невозможно.
3) Допустим <р@) и
¦ и докажем (\/хёй)(р(х). С этой целью рассмотрим множество
|м= {хе(о|ф(л:)}. Из допущений следует, что Prog(w). А тогда
1 по аксиомам бесконечности имеем ш^и, что и означает {\ ^е
¦ 2) Для установления этого факта нам понадобится доказать
|два вспомогательных-утверждения с помощью принципа полной
I математической индукции.
Первое утверждение:
|Для х = 0 это утверждение
Iтривиально в силу ложности посылки ze0. Рассмотрим произ-
1 вольно число хеш и, допустив
|2*
35
докажем
\/ yz
Итак, пусть уег, z<=Sx. Из z&Sx следует z<=jt или z=x. В п<
вом случае уег, гех и, значит, у^х по индуктивному npi
положению. Отсюда y^Sx.
Во втором случае y^Sx ввиду
Первое утверждение доказано.
Второе утверждение:
Ьскому анализу, и мы не будем здесь повторять этого изуче-
W но все же наметим коротко определение множества R всех
Ьйётвительных чисел в стиле Дедекинда.
г ^начала определим множество Rat0 канонических обозначе-
Ший для рациональных чисел. А именно
xeRato= 3 uvw(x= {и, о, w) /\
Очевидно, 0<$0. Допустим для яои, что хе?х, и докаж<
Sx&Sx. Предположим противное, и пусть Sx^Sx. Тогда Sxe
или Sx=x. В первом случае ввиду xeSx и первого утвержд
ния имеем хех, что противоречит индуктивному предполож
нию. Во втором случае ввиду x^Sx непосредственно заключае
хех, что вновь противоречит индуктивному предположению. Вт
рое утверждение доказано.
Установим теперь 2). Пусть Sx—Sy, докажем х=у (обра
ная импликация следует из общих законов равенства). Так
x^Sx, то x^Sy и, значит, хе</ или х=г/. Во втором случ!
утверждение доказано, так что достаточно показать, что случг
х^у невозможен. Из y^Sy заключаем y^Sx, т. е. у^х и;
у=х. Но если х^у и j/ex, то по первому вспомогательнол
утверждению тогда х^х, что противоречит второму утвержд
нию. D
Оказывается, все, что требуется в математике от натурал
ных чисел, вытекает уже только из указанных трех утвержд
ний, называемых аксиомами Пеано. Можно определять нат
ральные числа в теории множеств и по-иному, не обязателы
по фон Нейману, важно лишь, чтобы выполнялись утвержден!
Например, из аксиом Пеано средствами ZF+ можно, уже д
казать существование функций сложения, умножения, возвел
ния в степень для натуральных чисел и вывести все обычнь
свойства этих функций.
Более того, оказывается, что аксиомы Пеано фактичеся
однозна.чно определяют натуральный ряд в ZF+. Точнее, ecj
имеется некоторое множество то*, элемент О*еой* и функци
определенная на и*; 5* :ico*-ko*, причем так, что для О*,
S* выполняются аксиомы Пеано, то существует естественн
изоморфизм между ш и то*, т. е. существует взаимно-одиозна!
ная функция f : ш-мо* на все множество а* такая, что рО = Г
и f'(Sx)=S* (f'x). Кроме того, такая функция / единствен?
Как говорят, аксиомы Пеано категоричны в теории, множен
т. е. фактически однозначно определяют натуральный ряд, ес|
позволить себе пользоваться средствами теории множеств.
Основные свойства натуральных чисел, действительных чис|
изучаются в учебниках по числовым системам и по матема!
36
Если х— (и, v, ш), то и назовем знаком х, v — числителем
и w — знаменателем х. Тройку вида @, v, w) будем обозна-
ать через v/w или +и/ш, а тройку вида A, v, w) будем обо-
начать через —v/w.
Определим далее естественное отношение эквивалентности
[ежду каноническими обозначениями для рациональных чисел
аким образом, что
(и, v, ш)=г(и, vu wi)-~v-wi = vl-w,
(О, v, w) =r(l, Vu ffii }^y = fi = 0,
десь умножение справа есть обычное умножение натуральных
исел.
Множество Rat всех рациональных чисел определяется как
[ножество всех классов эквивалентности Rat0 по этому отноше-
:ию эквивалентности. Более формально
Далее, на множестве Rat обычным образом вводятся все ос-
ювные действия над рациональными числами. Например, умно-
сенне рациональных чисел описывается следующим образом,
отражающим известное школьное правило «умножения дроби
ia дробь»:
Разумеется, следует проверить, что эта операция действи-
действительно по рациональным числам хх и х% выдает рациональное
рисдо и удовлетворяет обычным-свойствам умножения р-ацио-
«льных чисел. При желании можно определить и константу,
функцию от двух аргументов — умножение рациональных
чисел:
C
37
Тогда будем иметь
„ ч ч" ¦ I
В таком же стиле можно ввести операции сложения х-
вычитания- х—гУ, взятия модуля \х\г для рациональных чи|
а также отношение х<тц строгого неравенства между paij
нальными числами. ',.
Сечением, в области рациональных чисел называется, как!
вестно, разбиение множества Rat рациональных чисел на
непустых подмножества X и У таким образом, что X вмес-
каждым числом содержит и все меньшие, а У вместе с ка>
числом содержит и все большие. Определение сечения в над
. языке:
=0Л
(V
Сеченне (X, Y ) назовем правильным, если в нижнем кл*
X этого сечения отсутствует наибольшее число. В нашем яз^
понятие правильного сечения можно записать в виде следуюц
формулы:
CorCt(х)-Ct(х)Л V**7(*=(*, У) >
Теперь, следуя знакомой схеме, мы отождествим множес|
R всех действительных чисел со множеством всех правильн
сечений:
Это типичное определение по схеме выделения, где слева]
черты стоит фиктивное ограничение.. I
Далее следует определить на множестве R все обычные д|
ствия над действительными числами. Отношение строгого не|
венства, например, можно ввести следующим образом:
2. Мы не будем заниматься далее развитием теории дей
вительньгх чисел и примем, что в ZF+ могут быть определе
множество R всех действительных чисел и все обычные опе|
ции над действительными числами: сложение, умножение,
тие модуля действительных чисел и т. п.
Напомним определение ограниченных кванторов (см. п|
(V xfEiy)<p(x) ^\
C х
38
Ценность этого определения помимо его компактности со-
гоИт еще и в том, что ограниченные кванторы во многом ведут
»5я аналогично обычным, особенно если уф0. Так, для огра-.
|ичениых кванторов имеет место аналог законов де Моргана.
[алее, •,
•Можно пойти еще -немного далее в употреблении сокраще-
|ий. А именно фиксируем некоторое множество и, иФ0. В язы-
[е ZF+ это множество может изображаться, в частности; некото-
некоторым замкнутым термом. Фиксируем теперь некоторый набор F
[еременных: а, Ь, с,..., которые условимся считать пробегающи-
пробегающими элементы множества и. Более формально это означает, что:
1) во всяком доказательстве, рассматривая элемент а, изо-
изображаемый переменной из набора F, мы автоматически считаем.
|ерным . а^и;
2) во всех-формулах кванторы ч
ледует понимать как ограниченные
(\/аеа)ф(о), (
3) термы вида {а|ф(а)} следует
|)}
рассматривать как
|ф()}
Коротко говоря, мы всюду опускаем ограничение е«, если
|ечь идет о переменных набора F. При аккуратной полной
(аписи это ограничение следует, конечно, восстанавливать.
указанием на то, что следует добавлять ограничение, служит
обстоятельство, что переменная берется из набора F.
Такой способ употребления переменных называется введе-
Хием подчинённых переменных. Мы говорим, что переменные
|з списка F- подчинены условию е«. _
Например, мы согласимся употреблять буквы пг, п, k,...,
|ыть может, с индексами, для обозначения натуральных чисел,
|. е. переменные набора пг, п, k,... подчиним условию ем.
В этих обозначениях принцип полной математической индук-
индукции запишется в виде
Ф(О)Л^*
fro более развернутая запись имеет вид
Ф(О)Л(У
Упражнение. Обдумайте следующие определения:
1) а есть последовательность действительных чисел:
2) Ь есть подпоследовательность последовательности а:
(а :«-+#) Л (Ь :«->#) Л
39
\/m((fm<:f'Sm)A
(ft'm = a'
Согласимся, далее, употреблять буквы а, р, у, 6, е,... 6i
может с индексами, для обозначения действительных чисел, f
переменные этого набора подчиним условию eR.
Отрезок [a, р] действительных чисел:
[а, p]^{Y|a«YAY<0}-
Функция f непрерывна в точке а отрезка [0, 1]:
(/: [0, 1]-И*)Лаё=[0, 1]Л(\/е>0)
C6>O)(Vpe[O, I]) (|o-p|<fi=>| /W'Pl
Функция / непрерывна в,каждой точке отрезка
(}: [0, l]^R)A(Ve>0)(Vae,[0, I])
<Vpe[0, l])(|a-p|<MfWP|<e).
Функция f равномерно непрерывна на отрезке [0, 1]
(/:[0, l]-R)AVe>0)C6>0) (Vae[0, 1])
2) пересечение любых двух открытых множеств вновь от-
.гго; . .
3) объединение любого семейства открытых множеств от-
фыто.
На нашем языке «быть топологическим
>1ожет быть записано формулой:
пространством»
Wyzt=S)
=S)A(V«sS)(U«eS)).
[О, 1]:
Обратите внимание на различие в порядке кванторов ж
и по а в определении непрерывности и равномерной непрер
ности. В этой перестановке кванторов — важное разли
между непрерывностью и равномерной непрерывностью.
Знание логических законов позволяет теперь быстро пре
разовать формулы к нужному нам виду. Сформулируем, нап
мер, утверждение, что функция / на отрезке [0, 1] неравном
но непрерывна, причем так, чтобы отрицание не фигуриров
в этом утверждении. С этой целью в определении равномерн
непрерывности следует поставить отрицание перед вторым ч.
ном конъюнкции, а затем, применяя законы де Моргана и
рицание импликации, пронести отрицание внутрь. В результг
получим:
ae=IO, 1])
4. Язык ZF+, как мы уже отмечали, не является я'зыком пер-
юго порядка ввиду особой структуры своих ^термов. Рассмот-
им язык первого порядка ZF. Этот язык содержит один сорт
временных х, у, z,... для множеств и единственный атомарный
предикат е. Язык ZF не содержит ни констант, ни функцио-
«льных символов.
ZF составляет часть языка ZF+. Тем не менее, как мы уви-
увидим, всякая формула ZF+ эквивалентна некоторой формуле ZF.
В этом смысле термы не являются необходимой принадлеж-
принадлежностью языка теории множеств и введены нами лишь для удоб-
удобства записи математических утверждений. В математической
логике чаще употребляется именно язык ZF. А именно, для
сякой формулы ф языка ZF+ мы определим формулу <р° языка
3. У читателя должно возникнуть правильное впечатлен:
что практически любое- математическое утверждение моя
быть записано формулой ZF+, а имя любого математическс
объекта исследования может быть записано в виде терма этс
.языка.
Приведем еще один пример. Топологическим пространств*
называется, как известно, непустое множество X, на котор
определено семейство 5 его подмножеств, называемых отк
тыми множествами, причем: 1) 0 и X суть открытые м
жества;
40
I? с теми же параметрами такую, что .<р=<р°. Что касается
ермов языка ZF+, то для всякой формулы ZF+ вида y = t, где
— терм иг/ — переменная, не входящая свободно в t, мы
определим ZF-формулу ((/=<)* так, что . (y = t) = (y=i)*. Фор-
ы ф° и (г/=0* определяются одновременной индукцией по
пределению формул и термов п. 1 § 2:
1)
2)
3)
4) (\7*ф)°— V-Хф0;
5) (у = 0)*^\[х
6) (</=
_N (№=
7) (t/ =
A Н. Колмогоров, А. Г. Драгалив
P()))
, (и~о),<р(и,
VW(
8) (у=
-Vz(z
9) (^=
3
Используя эту длинную индуктивную процедуру, можно
всякой гр+-формуле <р получить эквивалентную ZF-формулу
Доказательство эквивалентности проводится непосредствен^
индукцией и мы не будем на нем останавливаться.
§ 5. О КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗЕ И АКСИОМЕ ВЫБОРА
1. Два множества назовем равно мощными, если существу
биекция, отображающая одно множество на другое:
х~У - 3 / (A -1) if) Adom (/) = xA'rng (f) = У) ¦
3. Знаменитую континуум-гипотезу Кантора можно сформу-
|ировать следующим образом: всякое семейство подмножеств
|атурального ряда либо конечно, либо счетно, либо равномощ-
Ф, множеству всех подмножеств натурального ряда. Точная
Формулировка:
(УУ^Ры) (Fin {у) X/Count {у) \/y—i
Множество называется конечным, если оно равномощно н
которому натуральному числу (напомним, что в теории мн
жеств каждое натуральное число отождествляется с множес
вом всех чисел, ему предшествующих):
Множество называется счетным, если оно равномощно мн
жеству всех натуральных чисел:
Count (х)=^*-<о.
2. Теорема (Кантор).
[> Предположим противное, и пусть х—Рх. Тогда сущее
вует биекция /, dom/ = x, mgf = Px. Рассмотрим множество
v =
Очевидно, в?Х, т. е. v^Px. Кроме того, по определению
Так как / — биекция, то существует zo(=x, такое, что /'zo=
Подставляя в вышеописанную эквивалентность вместо
конкретное z0 и замечая, что f'zo = v, получим
что невозможно по законам логики.
Обратите внимание на аналогию между этим рассу>
нием и рассуждением в парадоксе Рассела. О ]
Следствие. Множество всех подмножеств натуральн^
чисел несчетно:
.lCount(Pw).
уть этого утверждения состоит в том, что не существует бес-
нечных множеств, имеющих мощность, строго промежуточ-
ю между мощностями множеств и и Ра.
Как показали Гедель и Коэн, континуум-гипотеза не зависит
остальных аксиом ZF, т. е. средствами логики ее нельзя ни
жазать, ни опровергнуть с помощью остальных аксиом, даже
далекая аксиому выбора.
4. Аксиома выбора утверждает, что для всякого семейства
ножеств х существует функция f такая, что если z^x и гФ0,
{ выдаст элемент z в качестве значения на z. Функцию /
эжно назвать выбирающей функцией, она «выбирает» по эле-
енту (f'z)^z из каждого множества г, гех, гф0.
Точная формулировка аксиомы выбора такова:
V*3/(Fnc(/) Adorn (/)=*A
стинно ли это утверждение? ¦
Особенность этого утверждения такова, что функция / никак
определяется по множеству х — утверждается лишь ее су-
ествование. Теоремы, полученные с использованием аксиомы
>i6opa, часто имеют ту же особенность: доказывается сущест-
жаиие множеств, обладающих теми или иными свойствами, и
то же время не указывается никакого индивидуального при-
фа такого множества, никакого способа его определения. Ти-
1чный пример — доказательство существования неизмеримых
1ожеств. На этом основании многие математики подвергли
штике неограниченное использование аксиомы выбора.
~ем не менее в практических математических рассуждениях
сиома выбора довольно широко используется. Как показали
:Дель и Коэн, аксиома выбора также не зависит от ак-
юм ZF.
В следующем параграфе мы еще уточним общую постанов-
задачи о независимости утверждений, от теории.
5. Мы говорим, что множество х имеет мощность, меньшую
и равную мощности множества у, если х можно взаимно-
¦нозначно отобразить на подмножество у. Точнее:
*?*-3/0A-1)'
Теорема (Кантор — Шредер-
" {/с*, то х—у.
Б ерн ш т ейн). Если
42.
43
[> Достаточно показать, что если а^Ь^а и а\—а,
!>~а. Пусть A-1) (f), do"m(/)=a, rng(/)=ai. Положим
по = а, ai=f"ao, U2=f"ui,...
. . bo=b, bi—f"bo,b2 = f"b{,...
Определим g(x)=f(x), если xeanN?6n для некоторог
В противном случае g(x) =x. Тогда A-1) (g), dom(g)\
Упражнение. Докажите: •
6. Замечание. В практической м.атематике помимо
жеств употребляют иногда еще и классы.'
Рассмотрим произвольную формулу (f{x) языка ZF+, в
торой выделена переменная х. Удобно бывает считать, что
кая формула'всегда определяет некоторый объект исслед|
ния {л:|<р(л:)}. Этот объект называется классом всех множес
удовлетворяющих условию q>(x).
Для некоторых "формул <р(х) специального вида
{лг| ф (х)} оказывается множеством, в общем же случае пон
. класса оказывается шире, чем понятие множества.
{я|д:е?.к} есть класс, не являющийся множеством, собствен
класс. Интуитивно говоря, собственные классы — это «оч
большие» совокупности неопределенной мощности. Элеме
класса всегда суть множества (а не собственные классы),
аналогии с множествами над классами также могут быть oi
делены некоторые теоретико-множественные операции. Hal
мер, если даны классы
Х = {х\<р('х)}, У=
то можно определить класс
Можно образовать класс V всех множеств, это будет
ственный класс, не множество, универсум теории множес
Семейство множеств образует столь мощную структуру,
в практической математике нет реальной необходимости
пользовать собственные классы. Упоминания о классах об:
можно избежать, рассматривая вместо классов условия,
определяющие. Тем не менее исследуются, языки и теории
держащие -классы, такова, например, известная теория г
ля—Бернайса—Неймана.
§ 6. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
ЦЕРМЕЛО -г ФРЕНКЕЛЯ
1. В первом параграфе мы ввели логико-математичеа
язык наивной теории множеств и начали систематически рг
вать теорию множеств в виде серии утверждений в этом яа
рказательства утверждений при этом являлись ердержатель-
¦у\ш, «наивными». Мы исходили "из представления о некоей
¦руктуре Ж, объекты которой называются множествами.
этой структуре выполняются простые и естественные законы,
уносящиеся к множествам. Утверждения мы доказывали, так
|казать, путем непосредственного изучения этой воображаемой
¦руктуры, а точнее условий-аксиом, на нее налагаемых. Такой
одход совершенно естествен для математика-неспециалиста по
атсматической логике.
Однако более внимательный анализ показал, что предло-
енные аксиомы ведут к противоречиям — парадоксам. Приш-
ось признать, что структуры Ж, удовлетворяющей предложен-
ым законам наивной теории множеств, по-видимому, не су-
ествует. Выход из положения мы нашли в том, чтобы рас-
[мотреть более ограничительную структуру Ж^, удовлетворяю-
уго уже некоторым более стеснительным и гораздо менее ес-
[ественным условиям, выражаемы^ в некотором более сложном
зыке ZF+. Доказательства утверждений при этом оставались
:о-прежнему наивными.
Возникает вопрос, в какой мере законно -рассмотрение
труктуры Жй, не придут ли наши рассуждения вновь к пара-
,оксам, не придется ли признать, что и структуры Жа не су-
1ествует? А если даже рассмотрение Жо законно, то верна ли в
(Го, например, аксиома выбора? В современной теоретико-мно-
сественной математике накоплено большое количество проб-
ем, которые упорно не поддаются решению обычными теоре-
ико-множественными средствами, т: е. их не удается ни дока-
ать, ни -опровергнуть. Происходит ли это просто в силу труд-
ости проблемы и недостаточности приложенных усилий, или
ге рассматриваемую проблему принципиально нельзя ни дока-
ать, ни опровергнуть?
Решение такого рода проблем-упирается в трудность изуче-.
ия семантики рассматриваемых теорий, т. е. в трудность изу-
енпя способа понимания формул теории.- Семантика богатых
атемэтических теорий, таких,-как математический анализ,
еорня множеств и др., по необходимости, является недостаточ-
о ясной, носит отчасти философский' характер. Вместо описа-
конкретной модели ¦ теории в таких случаях Часто прихо-
ится ограничиваться лишь формулировкой аксиом-семантиче-
их соглашений, которым должна удовлетворять наша теория.
ля изучения богатых математических теорий со сложной се-
ангикой с успехом может быть применен метод формализации
ильбгрта. Метод состоит в том, что на основании ' семантиче-
К1« соглашений содержательной теории.^" строится формаль-
ая аксиоматическая теория Т. При этом мы. стремимся, чтобы
Кспомы и правила вывода Т были согласованы с семантиче-
Кнчи требованиями. 3~. Тогда формулы, выводимые по фор-
альным правилам теории Т, оказываются содержательно ис-
"нными с точки зрения теории 3" и отражают, таким обра-
44
45
зом, по крайней мере некоторый фрагмент содержательной
рии ?Г. Желательно при этом, конечно, чтобы этот фраг:
был достаточно обширным и охватывал все интересующие
черты теории ?Г*. Фо/рмальную теорию Т можно затем п
нуть точному математическому исследованию и, таким обра
судить о семантике исходной неформальной теории.
Ключевым обстоятельством является здесь то, что для
нимания отношения формальной выводимости Ту-А нет я
ходимости вникать в, может быть, очень сложную семант:
теории У: для установления Т ь- А -достаточно построить н
торое дерево вывода, т. е. описать простой синтакси'чес
объект, составленный из строчек символов, расп'оложенны:
строго определенным правилам. Отношение Т \- А можно
сать, как правило, уже в весьма элементарной теории, нап1
мер в формальной арифметике Аг, теории, имеющей дело л
с натуральными числами.
Формализация теорий позволяет уточнить наши семант:
ские проблемы в виде некоторых уже синтаксических утвер
ний о формальных теориях.
Теория Т в языке Q называется непротиворечивой, если
существует предложения (т. е. формулы без параметров
языке Q), такой, что Т \ А и Т i-~\A.
Упражнение. Покажите, что теория Т непротиворечива
да и только тогда, когда существует формула языка Q, не |
водимая в Т.
Теория Т называется полной, если для всякого предложе!
А в языке Q имеем Т \— А или Т \—~\А.
Будем говорить, что предложение А совместно с теорией\
если из непротиворечивости теории Т следует и непротиворе!
вость теории Т+А, полученной добавлением к теории Т фор!
лы А в качестве новой нелогической аксиомы.
Упражнение. Докажите, что А совместно с Т тогда и тол
тогда, когда из непротиворечивости теории Т следует, что
верно Т \-^А.
Предложение называется независимыми от теории Т, &
оба предложения А и ~\А совместны с Т.
Упражнение. Докажите, что предложение А независимо
теории Г тогда и только тогда, когда из непротиворечиво!
теории Т следует, что в Г не выводимо пи предложение А,
предложение \А.
2. Сформулируем теперь формальную аксиоматическую
рию Цермело—Френкеля. Это теория в языке первого поря,
ZF, т. е. в языке без сложных термов. Саму аксиоматичен
теорию мы также будем обозначать через ZF.
Опишем нелогические аксиомы ZF. Они формулируются
раллельно семантическим соглашениям § 2, п. 2. Если в
мулировке аксиомы ниже присутствуют параметры, то
обычно, следует считать, что аксиомой является замыка:
формулы кванторами общности по всем параметрам. Нелог:'
46
|ская аксиома теории есть всегда предложение, замкнутая .фор-
.формула этой теории.
1) Аксиома объемности (экстенсиональности):
2) Аксиома пустого множества:
3) Аксиома пары:
4) Аксиома суммы:
5) Аксиома множества подмножеств (аксиома степени):
3 и V/г(z&^= (zsx)).
6) Аксиома бесконечности:
3 и {\/ г( ^ х {х<? z) zdzeeu) Д (\/
7) Аксиома выделения:
здесь ф(г) — произвольная формула языка ZF, не содержащая
свободно переменной и.'
8) Аксиома подстановки (аксиома замены):
1uyz{z<E;u=Qx<=v){q>{x, z)Л
здесь формула ф(х, г) не содержит свободно переменных и ни.
9) Аксиома фундирования (аксиома регулярности):
Л (Л)
Формулировка теории ZF закончена.
Аксиомы 2)—8) выражают существование тех множеств,
которые непосредственно изображаются термами языка, ZF+.
Более точно, аксиома 6) говорит, что существует некоторое
прогрессивное множество. Существование w может быть уже за-
затем доказано с помощью аксиомы выделения.
Нслогические аксиомы ZF выбраны таким образом, чтобы
в полученной теории можно было вывести все формулы, содер-
содержательную истинность которых мы установили в предыдущих
параграфах. Точнее, выводить следует, конечно, не сами форму-
формулы ZF+, а их переводы в язык ZF согласно § 4, п. 4г если в
предыдущих параграфах для некоторой формулы ф языка
2F+ мы утверждали хр, то теперь мы можем установить
F ь ср°. Проведение всех таких выводов является длинным, но
47
вполне тривиальным упражнением в применении правил тех;
ки естественного вывода исчисления предикатов. Мы не 6yi|
на этом останавливаться, но надеемся, что читатель приоб|
самостоятельно некоторый опыт в формальных, выводах. 1
Аксиома фундирования утверждает, что в некотором смьЦ
все множества построены исходя из пустого множества. Она|
используется при выводе математических утверждений, не :
пользовали и мы ее, но она упрощает строение универс)
множеств и обычно включается в состав нелогических
сиом ZF. - . а
Следствием аксиомы фундирования является отсутствие «|
мопринадлежащих» множеств, а именно
не существует множеств таких, что '
XGX,
y/\y^/\zex.
Допустим, например, что существуют множества х
такие, что х^у и i/ei Рассмотрим множество Q = {x, у]. Q
пусто и в то же время не существует элемента Q, не nep
кающегося с Q, что противоречит аксиоме фундирования. О
Подобным образом можно установить с помощью аксио\
фундирования, что не существует последовательности м{
жеств, «убывающих по принадлежности», т. е. функции
domf = a), такой, что /(я+1)еДя), для всякого лев.
Следствием аксиомы фундирования является также
дующий принцип индукции по принадлежности:
t> Напомним коротко доказательство этой схемы. "Допу
тим
и предположим противное, т. е. что для некоторого х, ~\<р
Рассмотрим функцию f, dom/r=oj, такую, что f@)={x}
7(n+l)-U/(n). Пусть z=U/(n). - '
- - "€«>
Если uez, то uef(n) для некоторого п, и тогда и^/(л+
и, значит, и^г. Таким образом, (\/«<=z)-(m?z) (это свойст
называется транзитивностью множества г). Кроме того, о^
видно, xez, так как.хе/@). Пусть z' = {msz| ~~]ф(м)}. Мй
жество г' не пусто, так как jeez'. По аксиоме фундирован|
существует x'ez' такое, что x'[\z' = 0. Если i/e/, то уф
т. е. по определению-z' имеем y^z\J<${y). Но первый член эт
дизъюнкции не имеет места, так как у^х' /\x'^.z, а множест
г транзитивно. Таким образом, ср(#). Мы установи,
(V у^х')ц>(у). По допущению отсюда (р(х'). Но, с другой cj
роны, /ег', что влечет ~~|ф(*')> и. мы приходим к противо|
чию. ? -
Часто'к теории ZF добавляют еще и аксиому выбора. Т^
нее, если через АС обозначить точную формулировку аксио!|
48
приведенную в § 5, п. 4 , то к ZF в качестве' новой
[^логической аксиомы следует присоединить формулу АС0. По-
u-ченную теорию обозначают через ZFC.
3. Теория ZFC исключительно богата по своим выразитель-
выразительным возможностям. Практически любая доказанная математик
веская теорема может быть записана на языке ZF и выведена
теории ZFC. В то же время известные выводы парадоксов.
^еории множеств не проходят в ZFC.
В естественном смысле теория ZF содержит все формаль-
е аксиоматические теории, рассмотренные нами в [1]. Уточ-
. м этот факт, например, по отношению к формальной' ариф-
Stemne Аг. Напомним, что язык Аг содержит один сорт пере-
!енных для натуральных чисел, константу 0, функциональные
и.мволы х+у, х-у, Sx для соответствующих арифметических.
операций. В качестве атомарных формул используется лишь,
равенство термов/ = г.
Изобразим теперь элементы языка Аг в языке ZF+, а затем-
помощью стандартного перевода перейдем в язык ZF. Кон-
Константу 0 языка Аг можно изобразить в виде,замкнутого терма-
языка ZF+. Переменные для натуральных чисел языка Аг
изображаются в виде подчиненных переменных, подчиненных
условию дгеа. Функциональные символы языка Аг также вы-
выражаются соответствующими термами ZFt, например, терму
языка Аг соответствует терм х\]{х) языка ZF+.
Таким образом, всякой замкнутой формуле А языка Аг со-
соответствует некоторая замкнутая формула А' языка ZF+4 полу-
полученная путем замены элементов языка Аг на соответствующие
элементы теоретико-множественного языка. Наконец, получен-
полученную формулу А' можно перевести в язык ZF с помощью пере-
перевода, указанного в § 4, п. 4. Далее, нетрудно проверить, что
если А — замкнутая формула Аг и АгьД то ZF \~ А'\ Это-
доказывается, с помощью громоздкой, но вполне тривиальной:
индукции по построению выводов в теории .Аг.
Полученный перевод и является естественной интерпрета-
интерпретацией теории Аг в теории ZF. Это уточнение интуитивно ясно»
идеи, что теория множеств содержит арифметику. Подобным)
образом можно построить в теории ZF интерпретации и других
рассматривавшихся нами в [1] теорий. Теория ZF содержит В'
этом смысле" все остальные изученные нами теории. Заметим,
что понятие интерпретации является чисто синтаксическим: опи-
описывается формальное преобразование формул одного языка в
Формулы другого и доказывается, что это преобразование сох-
сохраняет выводимость. Нет никакой надобности вникать в семан-
семантику формул языка Аг или языка ZF.
Это дает возможность чисто синтаксически доказывать ре*
зультаты об относительной непротиворечивости теорий. Так,
если непротиворечива теория. ZF| то непротиворечива и теория-
^г- В самом деле, если Аг противоречива, то. найдется предло-
предложение А такое, что Аг \-А/\~\А. Но тогда ZFf-УГ" ' "" ""
так что и теория ZF также оказывается противоречивой. По,
ным образом из непротиворечивости ZF следует непротив.
чивость и других рассматривавшихся нами теорий. С тс
зрения оснований математики важно, что такое сведение
непротиворечивости остальных теорий к ZF происходит
обращения' к семантике теорий и само может быть формули
вано в очень скромной теории, например в Аг.
4. Теперь мы можем дать уточненную формулировку не,,
висимости аксиомы выбора и континуум-гипотезы от теор]
множеств. |
Теорема. Аксиома выбора (т. е. формула АС0) не завищ
от теории ZF.
Теорема. Континуум-гипотеза не зависит от теории
Эти замечательные результаты были получены К. Геделем
П. Коэном. А именно в 1939 году Гедсль доказал совместимое*
аксиомы выбора и континуум-гипотезы с теорией. ZF, постро:
замечательную интерпретацию ZFC с континуум-гипотезой
теории ZF, а в 1963 году Коэн показал совместимость отригЙ
ния аксиомы выбора с ZF и совместимость отрицания конт]
нуум.-гипотезы с ZFC, также указав некоторые конкретные d
терпретации. В настоящее время установлена независимость i
ZF и от ZFC многих интересных теоретико-множественных
верждений. Доказательства этих результатов можно найти
книгах [5, 12, 13]. •
Обсудим в связи с вышеупомянутыми теоремами еще pi
«наивный» вопрос, можно ли, например, считать континуум-г|
потезу Н истинным утверждением и в каком, собственно, смЦ
.ле? Из вышеупомянутых результатов следует, что если теор\
ZF непротиворечива, то в ZFC нельзя вывести ни формулу
ни формулу ~~\Н. Так как теория ZFC содержит все традици*
но употребляемые средства доказательства математическ
утверждений, то отсюда следует, что Я нельзя ни доказать,
опровергнуть традиционными математическими средств:
Набор ZFC традиционных математических средств доказате,
ства оказывается существенно неполным..
Но может быть можно предложить более мощные теории,
рамках которых вопрос относительно Я решался бы уже onpi
деленным образом? Ответ тривиален. Конечно, можно. Из в
тнеуказанных результатов следует, что если ZF непротиворе
ва, то непротиворечива и теория ZFC + Я, полученная путем
бавления к ZFC утверждения Н в качестве новой нелогичес»
аксиомы. Непротиворечива также и теория ZFC+ ~~\ Н. Пр
лема состоит, таким образом, в том, какую из этих двух теор!
предпочесть и на каких основаниях. В настоящее время
видно достаточных оснований для выбора одной из этих теор
в качестве «действительно правильной», и практические ма
матики стараются в своих рассуждениях не использовать ни
ни ^Н. Впрочем, некоторые авторитеты, например П. Ко|
50
р2, гл- 'V, § 13], считают, что более естественно рассматривать
континуум-гипотезу как ложное утверждение.
Можно подойти к проблеме и с иной; точки зрения. В параг-
параграфах 2—5 мы рассматривали некую воображаемую структуру
jtti объектов, удовлетворяющих аксиомам ZF. Так вот, истинно
утверждение Н в М§ или нет? Заметим, что все, что нам тре-
требовалось от Ма — это чтобы в ней выполнялись аксиомы ZF.
Ниоткуда не следует, что все такие структуры изоморфны,
вполне возможно, что в одной модели ZFC будет истинно Н, а
в другой — будет истинно утверждение ~\Н. Именно так дело
и обстоит. Если ZF непротиворечива, то непротиворечива и
каждая из теорий ZFC + Я и ZFC+~|tf. По известной теореме
Геделя о полноте каждая из этих теорий им-еет модель и любую
из этих двух моделей можно взять в качестве структуры JCt,-
С точки зрения оснований математики полезно отметить, что
само доказательство теоремы Геделя о полноте в рассматривае-
рассматриваемом случае не требует мощных теоретико-множественных идей,
заложенных в аксиомах ZF, оно может быть естественно фор-
формализовано, например, в рамках арифметики второго порядка
Аг2 (см. [3]).
5. Обсудим еще один вопрос, связанный с теорией ZF и час-
часто вызывающий недоразумения. Из теоремы Геделя о полноте
следует, в частности, что если теория ZF непротиворечива, то
она допускает счетную модель М. Как согласовать это обс-
обстоятельство с тем очевидным фактом, что в ZF выводимо су-
существование несчетных множеств (например, таковым является
множество Ры)? '
Модель М теории ZF имеет вид (X, г), где X — непустое
множество объектов модели и 8 — отношение, е^ХхХ, кото-
которое интерпретирует принадлежность е на множестве X. При
этом все аксиомы ZF истинны в этой интерпретации.
Формула ^х(х = Ра) истинна в М, и поэтому найдется
объект аеХ такой, что М\=(а = Ра). (Здесь и ниже мы пишем
для краткости формулы ZF+, а не ZF. Имеется в виду, конечно,
что их следует перевести в язык ZF с помощью стандартного
перевода § 4, п. 4.)
Формула, утверждающая, что х счетно, имеет вид
В ZF выводимо, что Ра> — несчетное множество, и, значит,
этот факт истинен в М, т. е.
M(=~|Count(a).
По определению истинности в структуре последнее означает,
Что не существует объекта ЬеХ такого, что ,
т е. среди элементов X не существует объекта Ь такого,
что в М было бы истинно, что Ь есть взаимно-однозначная
51
функция с областью определения а и областью значений d
Какой природы само а, при этом совсем не важно, например,!
может быть с внешней точки зрения счетным множеством, та
что существует биекция а на со. Просто среди элементов X н
обходимой биекции с точки зрения модели М не существуе
Истинность утверждений зависит от того; в какой модели эх
утверждения рассматриваются. Один и тот же объект, будуч
элементом различных моделей, в этих моделях может обладат
различными свойствами. ¦ *
Указанное явление обычно называется парадоксом Скол\
ма. Следует иметь в виду, конечно, что никакого парадокса
собственном смысле этого слова здесь нет. Имеется, може
быть, лишь некоторая путаница понятий, сбивающая неспеций
листа. ' , )
Подобное недоразумение часто связано и с категоричность^
некоторых структур, например натурального ряда.
В ZF можно доказать с помощью хорошо известных из те<|
рии чисел рассуждений, что все структуру Пеано, т. е. стр
туры вида {со*, 0*, 5*), где со* — множество, О*есо* и S* -<
операция S*: со*-^ш*,' удовлетворяющие аксиомам Пеано (ci
§ 4, п. 1), изоморфны, т. е. структуры Пеано изображают одия
единственный натуральный ряд с точностью до изоморфизм?
В этом и состоит свойство категоричности натурального ряд^
Тем не менее в различных моделях могут быть ';
яеизоморфные натуральные ряды! Рассмотрим две модели тес|
рни ZF:Mi=(Xu ei) и Af2 = (Х2, е2). Имеем ZF Ь3*(*; '
так что существуют объекты coieXi и соге-Хг такие, чг
Af1t=coi = cu и Af2t=co2 = co. Можно рассмотреть и «множество кй
туральных чисел» в каждой из моделей:
N2 =
В каждой из моделей Mi имеется свой объект 0, и своя сп|
рация Si .прибавления единицы. Но структура { Ni, Oi, Щ
совсем не обязана удовлетворять аксиомам Пеано с внешн^
-точки зрения.. Необходимо только, чтобы в модели Mi 6e
истинны соответствующие формулы. Структуры ( Л/,-, 0,-, ^
~ могут быть вовсе не изоморфны содержательно понимаемо»
натуральному ряду и не изоморфны между собой. Структур
относительно которой в модели истинно, что она есть структу|
Пеано, может и не быть структурой Пеано с внешней точ|
зрения. Мы. увидим далее, что если теория ZF непротивореч
ва, то она действительно имеет модели с неизоморфными на1
ральными рядами.,
6. В параграфах 2—4 мы рассматривали принципы ZF ^
содержательно истинные, имеющие место в некоторой струи
ре Жо, и пытались показать, что основные математические i'
нятия можно выразить в языке ZF, а многие математичесн
52
утверждения имеют место в ,Jt^. Средства доказательства при
этом никак не уточнялись.
Затем мы определили формальную аксиоматическую теорию
2F, в которой имеется возможность получить наши предыду-
щие результаты в форме точных выводов. Для построения вы-
выводов в теории ZF нет необходимости вникать в семантику
языка ZF, но для изучения самой теории ZF, например для по-
получения результатов о независимости, также нужна, конечно,
некоторая математика. Эта математика вновь будет использо-
использоваться содержательным, неформализованным образом. По отно-
отношению к изучаемой теории . ее называют метаматематикой.
В принципе исследователь может заинтересоваться и метамате-
метаматематикой теории и также попытаться ее формализовать.
Какова же должна быть метаматематика теории? С точки
зрения оснований математики есть стремление сделать ' мета-
метаматематику как можно более бедной, с. тем чтобы рассуждения
в ней были максимально простыми и убедительными. В такой
ситуации можно сказать, что результаты, относящиеся к очень
сложной теории, получены - с помощью очень убедительных
приемов доказательства. Так, результаты, касающиеся незави-
независимости а"ксиомы выбора и континуум-гипотезы, могут быть'
естественно формализованы в рамках арифметики Аг так, что
в этих доказательствах'вовсе не будет фигурировать понятие
множества. Многие другие результаты математической ло-
логики могут быть получены при ограниченном использовании
теории множеств, например в рамках арифметики второго.
порядка. "
С другой стороны, за пределами оснований математики ма-
математическую логику можно развивать как обычную математи- (
ческую дисциплину, подобную топологии или теории функций.
В такой ситуации нет оснований как-то специально ограничи-
ограничивать метаматематику. Можно, например, в качестве метамате-
метаматематики взять саму теорию ZF. Так и поступают во многих ис-
исследованиях по теории моделей, нестандартному, анализу и т. п.
В этом смысле теория ZF выступает в роли «всеобщего мира
множеств» для всех Математиков.
Следует подчеркнуть, что теория ZF отнюдь не является
единственно возможной подходящей базой для развития мате-
математики на точной основе. Ее широкое использование объясня-
объясняется значительными формальными удобствами, а также отчасти
исторической традицией. В настоящее время в логике разра-
разработаны очень интересные и многообещающие подходы к раз-
витию математических теорий, не опирающиеся на понятие мно-
множества. Одним из них является конструктивное направление в
математике, широко разрабатываемое в нашей стране. Кроме
т°го, имеются и другие теоретико-множественные системы, мо-
гУЩие с успехом конкурировать с теорией ZF. Среди них преж-
Де всего можно назвать теорию типов Рассела и .Уайтхеда, а
также теорию множеств Куайна.
53
Согласно известной теореме Геделя, непротиворечивость л
не может быть установлена средствами ZF, т. е. практичес?
не, может быть установлена традиционными математически!
средствами. Поэтому, если мы желаем исследовать непроти?
речивость таких мощных теорий, приходится находить матец
тические средства, с одной стороны, достаточно убедительна
в том или ином отношении, а с другой стороны, выходящие
пределы традиционной математической практики.
Подробное обсуждение многих из затронутых здесь aonj
сов читатель может найти в книге [1.1]. «
7. Сделаем еще несколько замечаний относительно йксиомр
тического метода в математической логике. Термин «аксиома
ческий метод» используется в различных смыслах, что и
ведет к недоразумениям.
Прежде всего это содержательно-аксиоматический метец
Он употребляется, когда изучается род структур, удовлетвори
гощих одйому и тому же списку свойств. Например, один ро,
структур составляют группы, другой род структур — кольщ
третий род структур — структуры Пеано и т. п. Под аксиомам
при этом понимаются просто конкретные условия, которы;
должна удовлетворять любая из структур изучаемого род!
Эти условия понимаются содержательно и записываются н
рабочем математическом языке, например на русском или ащ
лийском. Впрочем, часто аксиомы какого-либо рода структу
записывают и на точном логико-математическом языке, но
нимают содержательно как утверждения о структурах; д4
одних структур эти аксиомы могут быть истинны, а для др|
гих — ложны.
Как пониматв эти аксиомы, зависит от принятой метама!^
матики. Особенно это существенно в тех случаях, когда в фо{1
мулировках аксиом, кроме объектов структуры, фигурируют
другие объекты, например множества. Это так называемые
элементарные аксиомы.
Так, среди аксиом для структуры Пеано (о>, 0, 5} имеется
такая: для всякого подмножества х^ш выполняется принцип
полной математической индукции
Чтобы понимать это утверждение, следует понимать, что такое,
подмножество данного множества и по каким правилам сле|
дует с этими подмножествами обращаться. Если.мы в качества
метаматематики принимаем содержательно понимаемые прин|
ципы ZF( так это и делается в практической математике), Т<|
понимание этой аксиомы в достаточной степени проясняется
можно получать содержательные следствия из нее, наприме|
доказать, что все структуры Пеано изоморфны. Можно пред
ставлять себе ситуацию и так, что мы фиксировали некоторун
воображаемую структуру Jfo, согласованную с принципами ZF
Только из Мч мы и черпаем все объекты математического ис
]едования. После этого можно доказать, что все структуры:
|еано в Ло изоморфны между собой.
Несколько иной подход возникает, при изучении теорий фор-
ально аксиоматическим методом. Основные факты об изучае-
|ых структурах мы оформляем в виде формальной аксиомати-
аксиоматичной теории Т. Новые факты о теории Т извлекаются (по-
тайней мере, в принципе) с помощью аппарата формальной
сводимости. Для их получения первоначальная семантика Т
имеет никакого значения, и нет необходимости привлекать-
[одел и теории Т. Более того, среди моделей формальной аксио-
атической теории Т могут оказаться и такие, которые мы не-
ключали в число подразумеваемых моделей. Так, если теория
непротиворечива, то среди ее моделей имеется и счетная.
одель.
Под аксиомами теории Т теперь/понимаются просто ее нело-
Ьческие аксиомы, т. е. формулы специального вида, смысл этих.
|<сиом в принципе не важен при формулировке самой тео-
ии Т. Но, конечно, если мы стремимся выводить в Т нетриви-
пьные факты, следует снабдить Т достаточно богатым спйс-
эм аксиом. Так, если мы изучаем структуры Пеано, записывая
ринцип индукции на языке ZF, следует добавить в теорию и;
ксиомы, описывающие свойства множеств.
54
ГЛАВА II
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГОРИФМОВ
§ 1. МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
I. Известно, какое большое значение в математике hm«
алгорифмы. Коротко говоря, алгорифм есть точное предш;
яие, в соответствии с которым по любому входному объе
лз данного класса входных объектов можно эффективно по
чать выходные объекты. Например, алгорифм >множения д'й
"тич№ых рациональных чисел «столбиком» позволяет под!
десятичным записям получить некоторую третью согласно >
рошо известному предписанию. Алгорифмами являются сха
Горнера для вычисления значений многочлена, алгор1|
Евклида.для отыскания наибольшей общей меры двух от|
-Ков, алгорифм перемножения двух квадратных матриц и
гие другие.
Чтобы подвергнуть понятие алгорифма точному анал1
следует несколько сузить тот класс алгорифмов, которые
.намерены рассматривать. Прежде всего мы предполагаем,
наши алгорифмы представляют собой дискретные предписав
подобные программам для вычислительных машин, а не пол
яые аналоговым или графическим вычислительным устр
ствам. Предписание должно содержать указания к выполне!
конечного числа элементарных, четко различимых шагов. .
этому и входные данные изучаемых алгорифмов должны пр»
ставлять собой дискретные, конструктивные объекты; та!
как натуральные числа, рациональные числа, целочислен|
матрицы и т. п. Входными данными -не могут быть, напри!
произвольные отрезки прямой или произвольные действип
ные числа, так как их, в общем случае, нельзя задавать ко*
ным образом. ' . i
Заметим, что в математике заметную роль играют и точ|
предписания, перерабатывающие неконструктивные объем
Такого рода алгорифмы также изучаются в математичес|
логике, но для первоначального изучения мы ограничимся ;
мым важным классом чисто дискретных устройств. Таким .i
р.азом, алгорифм умножения десятичных рациональных чи|
схема Горнера для многочленов с рациональными коэффищГ
тами, алгорифм перемножения квадратных матриц с натур*
ныни элементами суть алгорифмы нашего класса, а алтарь
отыскания наибольшей общей меры' двух произвольных от|
"ков остается пока вне нашего рассмотрения.
56
Понятие конструктивного- объекта все еще очень расплыв-
(ато, но разумно предположить, что интересующие нас кон-
труктивные объекты можно эффективно кодировать в виде
ло'в в некотором алфавите. Таким образом, можно считать, что
каждым алгорифмом А связан некоторой алфавит 2 — внеш-
внешний алфавит А, и наш алгорифм получает на вход слова в ал-
алфавите 2 и вырабатывает в качестве результатов также слова
алфавите 2. Мы будем изучать только такие словарные ал-
орифмы.
Алгорифм является единой инструкцией, на вход которой
южпо подавать любое из, вообще говоря, бесконечного списка
ходных слов. В этом состоит свойство массовости алгорифма.
'добно считать, что на вход алгорифму А можно подать любое.
лово во внешнем алфавите 2. Получив входное слово, следует
фименять к нему предписание алгорифма А шаг за шагом. •
Три этом шаги предписания могут обрываться и мы получим
исходное слово как результат работы алгорифма, а может слу-
иться, что предписание ведет к бесконечной последователь-
юсти элементарных действий, и тогда алгорифм А не опреде-
H на данном входном слове.
Далее, мы считаем, что изучаемые алгорифмы обладают
Свойством детерминированности: каждый элементарный шаг
рднозначно определяется предыдущей ситуацией. В наш алго-
алгорифм не встроены случайные или вероятностные механизмы,
частности, если дважды проделать вычисления алгорифма
1тд одним и тем же входом, то результаты также будут оди-
одинаковы.
Наконец, наши алгорифмы должны обладать свойством
Замкнутости^ т. е. выполнение вычислений определяется только
предписанием, и для зычисления не требуется привлекать, кро-
входного слова, каких-либо процессов или вычисляющих
Устройств извне.
Можно предположить, что все действия, которые может про-
производить любой алгорифм указанного типа, можно разложить
'на некоторые канонические элементарные шаги. Такой анализ
привел Тьюринга (в 1936 году) к понятию вычислительных
<1ашин, названных впоследствии сг& именем.
2. Перейдем к точным определениям. Напомним, что алфа-
1вит есть по определению непустое конечное множество симво-
символов, элементы алфавита называются его буквами. Слово в ал-
алфавите 2 есть конечная последовательность (может быть и
пустая) его букв. Слово в алфавите 2 имеет,- следовательно,
рид аоа1... а„, где c,eS. Множество всех слов в алфавите 2
эбозначим через S*.
Основная операция на словах — операция приписывания
|^лова к слову: если дано слово А, имеющее вид ao^i... о.п, и
1ово В вида &0&!... bm, то можно образовать новое слово АВ
аиДа aoci... а„Ьй... bm, полученное приписыванием (в другой
ТеРминологии — соединением, конкатенацией) слов А и В.
Колмогоров, А. Г. Драгалнн*
57
Пустое слово обозначается через" Л. Конечно, ЛЛ=Л
Фиксируем два алфавита 2 и S. 2 назовем внешним
витом, a S — назовем внутренним .алфавитом, или алфавк
состояний. Предположим, что символы -*-, R, L не входятi
2, ни в S.
. Командой назовем слово одного из следующих трех вй
qa-yrb
qa-yrbR
qa-yrbL
(где q, ле5; а, 6е2). Команды, подобно формулам яз|
можно читать по-русски. Команда первого вида читается;:
«находясь а состоянии q и наблюдая букву а, "следует пер
в состояние г и напечатать букву 6». Команда второго
«находясь в состоянии q и наблюдая букву Ь, следует nepfi
в состояние г, напечатать букву Ь и затем передвинуться вй
во». Команда третьего вида читается так же, как и комг
второго вида, но следует только в конце читать «...и затем|
редвинуться влево».
Список команд нли программа (в алфавитах 2, S) есть
определению конечная последовательность команд.
Пусть теперь фиксированы алфавиты 2, S, а также
буквы <7о, <?ieS и одна буква аое2. Мы называем q0 — начй
ным состоянием, q\ — финальным или заключительным сос|
нием, а букву а0 мы назовем бланком (пустой клеткой).
Алфавит SX2 мы назовем алфавитом наблюдаемых
про букву (q, a)&Sx2 мы говорим, что а наблюдается в
тоянии q.
Конфигурацией па ленте (илн машинным словом) назь
ется слово в алфавите 2U(SX2), содержащее в точности
вхождение наблюдаемой буквы. Таким образом, конфигура
всегда имеет вид A {q, а)В, где А, ?е2* и буква а наблн
ется в состоянии q.
Конфигурация называется начальной, если она имеет
(<7о, а.) В. Здесь q0 — начальное состояние, а слово А в даг
случае пусто. Конфигурация называется финальной (или
лючительной), если она имеет вид Л (9ij а) В, т. е. наблю^
мая буква наблюдается в заключительном еостоянии.
Пусть теперь К\ и Кг — конфигурации и k—команда,
ределим, что значит, что команда k переводит конфигурация
в Кг', символически мы записываем это отношение как
k:Kit>K2.
А именно пусть Ki имеет вид A(q, а)В. Если левая, часть
манды k не имеет вида qa, то k:K\ 1>Кг автоматически сч|
ется ложным (команда k неприменима к конфигурации
Пусть левая часть команды k имеет вид qa. Далее разбе
три случая в зависимости от строен"ия команды k.
58
1) k есть qa-+rb. В этом случае k:Ki[> Кг^Къ имеет вид
\(г,Ь)&.
2) k есть qa^r-rbR. Здесь рассмотрим два случая:
2а) слово В непусто, В = сВ', тогда k:K\\> Кг^^Кг есть
\b(r,c)B';
2Ь) слово В пусто, тогда
k\K\>Кг**-К* естьЛб {г,ао);
3) k есть qa-i-rbL. Здесь также рассмотрим два подслучая:
За) слово А не пусто, А—А'с, тогда
k:Ki 1>Кг^К* есть А' {г, с)ЬВ;
ЗЬ) слово А пусто, тогда
k:Ki>Ki<*-K2 есть {г,ао)ЬВ.
Легко видеть, что если k\K\ [> К2, то конфигурация /B опре-
определяется однозначно по команде k и конфигурации К\.
I Можно представлять себе, что конфигурация есть слово, за-
¦исанное на некоторой ленте, разделенной на клеточки, в каж-
|ой клеточке записано по букве алфавита 2. Над одной из букв
¦аписано еще состояние, эта буква наблюдается машиной.
I Перевести К\ в Ki командой k — это значит «выполнить»
¦оманду k, проделать то, что «она требует». После выполнения
¦оманды наблюдаемой может стать уже иная буква-левее или
¦равее исходной. При этом, если приходится выходить за пре-
пределы ленты влево и вправо, то выполнение- команды автома-
автоматически предусматривает добавление новой клеточки, на кото-
loft считается напечатанной буква а0 — «пустая клеточка»,
|бланк».
Машина Тьюринга есть по определению набор
М= B, S, П, q0, qx, aD>,
2 — внешний алфавит,
S — внутренний алфавит,
11 — программа машины, ¦
Ча — начальное состояние,
9i — заключительное состояние,
а0 — бланк.
Команда программы П машины М обычно записывают вер-
вертикально, нумеруя
рверху вниз.
Мы говорим, что машина М переводит конфигурацию Ki в
, и пишем М:К\ \>Къ если
1) существует команда ki программы машины М такая, что
c-/(il>tf2 и -
2) для всех j<i не существует конфигурации Л3 такой, что
59
Таким образом, если М:К\ \> Ki, то конфигурация /С2 опр
деляется однозначно по М и К\. Конечно, вполне может ок
заться, что некоторая конфигурация Ki не переводится маш
ной М ни в какую конфигурацию Кг-
Протокол вычислений машины Тьюринга М есть (конечш
или бесконечная) последовательность конфигураций
Ко, К\,... ,Кп,.-~
такая, что
1) Ко — начальная конфигурация;
2) M:Kt\>KM;
3) если конфигурация Ki входит в протокол и М :Кг [> Ki-
причем Ki не заключительная конфигурация, то Ki+i такя
входит в протокол вычислений (т. е. протокол не оканчивает*
конфигурацией Ки если вычисления можно продолжить дал
ше);
4) протокол вычислений может содержать не более одн<
заключительной конфигурации, и если протокол действителы
содержит заключительную конфигурацию, то этот протоке
конечен и заключительная конфигурация есть последний е
член.
Мы пишем М LKo-j=Kn, если Ко — начальная конфигураци
Кп — заключительная конфигурация и существует протоке
вычислений машины М, начинающийся с Ко и оканчивающийс
Кп- Для данных М и Ко протокол вычислений, если он сущее
вует, может быть только один, так что результат вычислен!
Кп, 'если он существует, определен однозначно. Мы говори:
что М определена на Ко, если соответствующая заключительнг
конфигурация Кп существует.
Машина может быть не определена на начальной конфиг
рации Ко по двум причинам: либо потому, что в процессе п
строения протокола вычислений мы придем к конфигураци
к которой не применима ни одна команда машины, либо п
тому, что протокол вычислений бесконечен и не приводит
заключительной конфигурации. Разумеется, по данной маши
М и конфигурации Ко отнюдь не видно сразу, будет ли М о
ределена на Ко, и если нет, то какой из вышеупомянутых с,
чаев будет иметь место.
Если дано слово Ае2*. то по нему можно стандартным о
разом изготовить некоторую начальную конфигурацию Л° д.
машины М, как говорят, подать слово А на вход машины
А именно если Л не пусто, Л = аЛ', то следует взять Л°
~(qo, а) А'. Если же А пусто, то А°= (q0, а0). Коротко гово
следует «заставить» машину наблюдать первую букву А в н
чальном состоянии. Если же в Л вовсе нет букв, то, конечно,
следует заставить наблюдать пустую клеточку машины.
С другой стороны, по любой конфигурации К машины
можем изготовить некоторое слово /C'sS*. Мы говорим,, ч
слово К1 записано на ленте в конфигурации К.. А именно на,
лежит поступить следующим образом:
1) следует, во-первых, убрать состояние из наблюдаемой
буквы, т. е. заменить наблюдаемую букву (q, с)в конфигура-
конфигурации К на обычную букву а, так что получится некоторое слово
Д в алфавите 2;
2) затем следует в слове Л стереть вей пустые клетки, иду-
идущие подряд, слева и справа, т. е. если A^BCD, где В и D со-
составлены только из буквы ао, а слово С не начинается и не
кончается буквой а0, то следует оставить р качестве К1 сло-
слово С.
Может оказаться, что К1 есть пустое слово (если в К фигу-
фигурировала лишь буква по из 2).
3. Таким образом, машина Тьюринга М с внешним алфави-
алфавитом 2 порождает функцию, перерабатывающую некоторые сло-
слова в алфавите 2 в слова же в алфавите 2. А именно для
А, ?е2*, М(А)=В<=± существуют конфигурации Ко и Кп
такие, что MLK0-, = Kn н (/С0)°=Л, (КпI = В. Коротко говоря,
если на вход подать слово Л, то соответствующий протокол вы-
вычислений заканчивается и на ленте оказывается записанным
слово В.
Заметим, что функция М может быть определена отнюдь не
на всех словах в алфавите 2. Мы говорим, что машина М оп-
определена на слове А, и пишем \М(А), если М определена на
начальной конфигурации Л°.
Машины Тьюринга можно представлять себе как опреде-
определенный тип вычислительных машин, обрабатывающих слова в
алфавитах и имитирующих действие реальных вычислитель-
вычислительных машин или действия человека-вычислителя. Машина рабо-
работает на ленте, разделенной на клеточки—ячейки. В каждый мо-
момент времени рассматривается лишь конечный кусок этой лен-
тьт, но по мере надобности лента продолжается неограниченно
в обе стороны.
Машина может печатать на ленте некоторые буквы алфави-
алфавита и обозревать в каждый момент только одну клеточку лен-
ленты. Ее действия происходят шагами, однозначным образом оп-
определяемыми ее состоянием в данный момент, содержимым
обозреваемой ячейки и программой машины. Машина останав-
останавливается, когда приходит в заключительное состояние. Может
оказаться, что она, стартуя с некоторого слова, никогда не ос-
остановится.
4. Определим теперь, что значит, что функция вычислима с
помощью машины Тьюринга.
Напомним некоторые обозначения. Если Х\,...,Хк суть мно-
множества, то через ХХХ ... xXk мы обозначаем их декартово про-
произведение, т. е. множество всех упорядоченных наборов
...,**,), где х^Х\, ...,х6еХ4. Если X и У — множества, то
через X-+Y мы обозначим множество всех функций с областью
определения X, принимающих значения в множестве У. Вместо
'<5(Л:_>.у) традиционно пишем /:Х-»-У. Функция.от k аргумен-
аргументов есть функция вида }:Х} X ... ХА*->У, так что f((xi,...,
60
xt))ey, Обозначение f((xi,...,Xk)), по традиции, сокраща|
/( )
Через X-+Y обозначим теперь множество всех частичп
функций из X в Y, т. е. f:X-*-Y-*=>- область определения f вкл
чена в X (и не обязательно совпадает со всем множеством
и значения f принимаются из множества Y. В частности, фу|
ция f:X\X ..-.-XXk-*-Y от k аргументов может быть и не оп|
делена для некоторых наборов (х\ хк). Множест
Х{х ... X.Xk-*-Y принадлежит, в частности, и нигде не опре^
ленная функция.
Нас специально интересуют функции, перебатывающие
ва. Если Д — алфавит, то через Д* мы обозначаем множес1
всех слов в алфавите Д. Пусть Дь..., Д*, Д суть алфавиты,
шины Тьюринга можно приспособить для вычисления функю
вида Д|*Х_... ХДь*-»-Д*. С этой целью фиксируем некотор|
новую букву q, не входящую в рассматриваемые алфавиты^
будем изображать наборы слов изДi*X ... ХД** в виде ел
в алфавите AfU... UA^UM- Например, упорядоченную трои
{х\, х2, Хъ) , где д^еД,-*, изобразим в виде одного елс
X\qx2qx3.
Пусть /:Ai*x ... ХД**->-Д* есть (вообще говоря, частичка
функция от к аргументов. Будем говорить, что машина Ть
¦ ринга
М=B, S, И, <7о, qi, a0)
вычисляет f, если .
;
2) для всяких хи-,Хк, XjGeA,*, набор (лц,...,х*}' прина
жит области определения функции /-**¦ \M(Xiq... qxk)
3) для всяких хи...,хк, Xi&Ai*, если \M(Xiq...qxk)
М(xtq ... qxk)e.\*, то f(x{ хк) =M(xtq ...qx^);
4) для удобства потребуем еще, чтобы бланк а0 машиныЦ
был отличен от всех букв алфавита /S.\{J ... UAfeUAU{<7}-
Подчеркнем, что внешний алфавит машины М, вычисли
щей функцию /, может быть существенно шире алфавя
ALJAiU... UA*U{<rt- Как говорят, машина М — над алфавит
Д1)Д|1) ¦•• UA*U{<7}- Мы требуем лишь, чтобы М вела себя «t
функция /» лишь на входах x^q ... qxk. Буквы внешнего ал«]
вита 2, не входящие в AU-UAtUW, м»гут использоваться д.
обработке слов вида x{q... qxk, но только в промежуточных щ
фигурациях протокола вычислений. Функция /: Ai*X ...ХА*.:
-^Д* называется вычислимой (по Тьюрингу), если существ5
машина Тьюринга- вычисляющая /.
5. Рассмотрим теперь функции от натуральных чис
f-.ыХ ... Хш-^ш. Для таких функций также естественно ввод*.
сЯ понятие вычислимости. Будем изображать натуральные чис-
| ла в виде слов в алфавите {|}:
0 12 3/
45
0 I н
Иногда, чтобы отличать так изображаемые натуральные числа
от «обычных» теоретико-множественно понимаемых натураль-:
ных чисел (например, по фон Нейману), слова из палочек на-
называются нумералами соответствующих натуральных чисел.
[ Нумерал числа п обозначают через Я, например 3~= |Ц
Тогда каждая функция на натуральных числах, скажем,
1/:шХ (о-ко, естественно изображается некоторой функцией
|/:{|}*Х{,|}*-Ч|}* на словах-из палочек
и пг2) =
=т3.
Числовая функция называется вычислимой по Тьюрингу,
|если вычислима по Тьюрингу соответствующая функция на
| словах из палочек.
Функции /: озХ ... Хш-»-(о, вычислимые по Тьюрингу, назы-
называются еще частично-рекурсивными функциями (термин «час- -
1тично» напоминает о том, что /не обязательно определена на
|всем множестве иХ ... Хы). Если же. частично-рекурсивная
функция / от ^-аргументов определена на всех наборах нату-
натуральных чисел {пи-.,пк), т. е. / :соХ ... Хш-мо, то она назы-
называется общерекурсивной или даже просто рекурсивной функ-
| цией.
Коротко говоря, частично-рекурсивная функция — это
I функция, для которой существует вычисляющий ее алгорифм,
заданный в виде машины Тьюринга. Для общерекурсивной
функции этот алгорифм для любых входных натуральных чи-
чисел обязательно заканчивает- свою работу и выдает значение
I функции.
Можно показать, что все обычные функции теории чисел
|тииа х\у, ху, ху, [У*] и т. п. являются рекурсивными, не всю-
всюду определенные функции, например х/у, х—у [\g(x—у)] яв-
ряются частично-рекурсивными. Следующая машина М вычис-
]ляет функцию }{т, п)=т + 2п. Внешний алфавит М есть {|, q,
\ао}, где ао — бланк. Внутренний алфавит {q0, <?i,_<?2. 9з. <?4, <7s}>
где q0 — начальное, a q\ — финальное состояние. Программа
| машины имеет вид:
62
.8.
10.
11
Протокол вычислений можно кратко описать следующим
разом. Пусть начальная конфигурация имеет вид (<7о|) III
Под действием команд 1, 2 машина переходит в состояние
{<Ы) I I l^ll и затем под действием 3 и 4 движется вправо
появления пустой клеточки справа ||[|^||{«/2, Go). После эт
машина двигается влево и переходит в состояние
ИИ<7 (<7з, I) (команда 5). Затем машина стирает обозреваем}
палочку, переходит в состояние q* и в этом состоянии движе
ся влево до появления пустой клеточки слева (команды 6, 7,
(<?4, й0) | 111?|. Под действием команд 9 и 10 машина печата
слева две палочки и переходит вновь в состояние
{Яз\) 11111*71 • Далее вновь начинают работать команды 3 и|
и цикл повторяется, машина идет в конец слое
стирает после q одну палочку, идет влево и печатает слева
палочки и т. д., пока правее вовсе не останется палочек. Torj
возникнет конфигурация ||||||М (<7з, я)- Команда 11 сотр
q, и машина остановится в заключительной конфигурации
III II III <*,«<>>.
Упражнение. Постройте машину Тьюринга, вычисляют.)!
функцию f (от, п)=т-п.
§ 2. ТЕЗИС ЧЕРЧА
1. Кажется очевидным, что всякая функция на
f:2*-»-2*, вычислимая по Тьюрингу, эффективно вычислим|
В самом деле, алгорифм для вычисления такой функции и
дается собственно машиной Тьюринга, о которой идет речь
определении вычислимости.
В 1936 году Черч выдвинул тезис о том, что всякая эффе
тивно вычислимая функция является вычислимой по Тьюринг
Точнее говоря, Черч использовал не понятие вычислимости
Тьюрингу, а некоторое иное точное понятие вычислимости (i
нятие лямбда-определимости), математически эквивалент!
нашему определению вычислимости. В свете анализа, npoi
денного в начале предыдущего параграфа, тезис Черча мож|
сформулировать и так: всякий словарный, дискретный, масс
вый, детерминированный, замкнутый алгорифм может 6i
задан в виде машины Тьюринга.
Коротко говоря, машины Тьюринга могут имитировать л^
бой алгорифм указанного типа.
Сразу отметим, что тезис Черча не является математическ^
утверждением, так как в его формулировку входит понят
алгорифма в интуитивном смысле этого слова. Тезис Чер|
нельзя поэтому доказать или опровергнуть в рамках традш
онной математической практики. Это не математический {|
64
¦зультат, а скорее естественнонаучное наблюдение. В пользу,
(тезиса Черча можно привести, однако, сильные доводы есте- •
|сТвенно-научного характера.
Во-первых, за многие столетия развития в математике нако-
накопилось огромное количество алгорифмов. Все они оказались
•вычислимыми по Тьюрингу. Этот экспериментальный материал
(должен убедить нас в справедливости тезиса Черча не меньше,
¦чем, например, соответствующие эксперименты убеждают фи-
|зиков в законе сохранения энергии.
Во-вторых, почти одновременно с понятием вычислимости
¦по Тьюрингу были предложены и другие подходы к понятию
(вычислимости, внешне сильно отличающиеся друг от друга.
|Все они оказались эквивалентными. Упомянем важнейшие из
|этих подходов:
исчисление равенств Эрбрана и Геделя,
частично-рекурсивные функции по Клини,
лямбда-определимость Черча,
канонические системы Поста,
нормальные алгорифмы Маркова,
алгорифмы Колмогорова—Успенского.
В-третьих, эффективно вычислимые функции с интуитивной
|точки зрения должны быть замкнуты относительно некоторых
¦важных операций: композиции, разветвления, итерации и т. д.
[Оказывается, что семейство по Тьюрингу функций, как и ожи^
[дается, замкнуто относительно этих операций.
Наконец, отметим, что тезис Черча не нужен с чисто мате-
математической точки зрения и, собственно, в математических ут-
[верждениях никогда не применяется. Там, где нужна вычисли-
вычислимость в математическом рассуждении, мы всегда можем ис-
|пользовать вычислимость но Тьюрингу.
Тезис Черча важен для приложений математики в естество-
естествознании. Он объясняет ту большую роль, которую играет поня-
|тие алгорифма в точной форме (т. е., например, в форме вы-
вычислимости по Тьюрингу) в современной математике.
Например, иногда удается точно доказать, что некоторая
[конкретная функция /:2*->-2* не вычислима по Тьюрингу.
[Тезис Черча указывает, что бесполезно было бы фактически
[искать алгорифм (в интуитивном смысле этого слова), вычис-
вычисляющий /. '
Функция / и интуитивно будет невычислимой.
Таким образом, открывается ценная возможность точными
[Математическими средствами обнаружить невычислимость не-
некоторых функций.
(§3. рекурсивные и рекурсивно-перечислимые
(Множества и предикаты
, 1. В предыдущем параграфе мы дали определение вычисли-
вычислимой функции. Теперь попытаемся определить, что понимать
[ПоД вычислимым предикатом. При этом следует рассматри-
¦65
вать, конечно, словарные предикаты Р(х\ хь), где *, cj
слова в некотором алфавите, например, хх пробегает слова
алфавите Ai, Хг — слова в алфавите Дг и т. д. Про такой пр
дикат Р мы говорим, что он типа Ai*X ... ХД**, указывая
ласть пробегания каждого аргументного места.
Словарному предикату Р можно сопоставить некоторз;
функцию хр : Ai*X ... ХД**-»-{0, 1}, так называемую характер
стическую функцию предиката, такую, что для всех набор|
(*i...-,xk), где Jc,eAi*:
P(xt, ..., хк) истинно -«- %р(х\, .... xk) = \. С другой сторон|
словарному предикату можно сопоставить множество-огмоь
ние данного предиката, а именно множество Xp^Ai*X ...
такое, что
P(X[, ..., Xk) ИСТИННО <*-(Xi, ..., Xf,
Напротив, если задано множество слов XsS*, то можи
рассмотреть предикат принадлежности этого множества: д|
всякого слова хе2?
Р(х) истинно -<=*¦ х принадлежит X.
Чаще всего рассматривают словарные предикаты, для котор^
алфавиты Ai,...,А* совпадают. Например, предикаты, onpejj
ленные на натуральных числах {арифметические предикать
можно трактовать как словарные предикаты, определенные
нумёралах, т. е. словах в алфавите {|}.
2. Наше первое определение вычислимости таково: предии
Р типа \i*X ... Х-\к* рекурсивен (или разрешим), если вычй
лима по Тьюрингу соответствующая характеристическая фуи
Ция хр-
Интуитивно предикат Р рекурсивен, если существует ал
рифм, выясняющий для каждого набора {х\,^^хк) слов,
тинно Р(х\,...,Хк) или нет.
. Повторим еще раз определение рекурсивного предиката
посредственно в терминах машин Тьюринга. Предикат Р те
Ai*X ... ХД** называется рекурсивным (или разрешимы»)
если существует машина Тьюринга Ц.= (S, S, П, <7о, <7ь
такая, что '
1) AiU-'llA*U{0, 1}1){<7)?2
(здесь, как и раньше, q — новая буква, которая служит
записи наборов слов);
2) для -всяких Х\,...,Хк (Jti-eAi*) определено значен
М(xiq ...qxk), и это значение равно 0 или 1;
- 3) Р(хи...,Хк) истинно тогда и только тогда,
M'(xxq ...qxk) = 1.
Множество XsS* назовем рекурсивным, если рекурсий
соответствующий предикат принадлежности xel, где х прс
гает множество 2*. ¦
Обычные арифметические предикаты х<у, x+y = z «лс
простое число», «я делит у» являются рекурсивными. Аккур!
цое доказательство этого факта состоит в непосредственном по-
построении соответствующих разрешающих машин Тьюринга, Но
л без такого построения разрешимость этих предикатов должна
быть очевидной читателю. В самом деле, очевидно, что сущест-
' вует эффективный метод проверки, верни или нет, например,
что х делит у для натуральных х и у. В дальнейшем изложе-
изложении мы будем обычно опускать конкретное построение необхо-
необходимых машин Тьюринга в случаях, когда ясно, что нужный ал-
алгорифм существует. Методы построения машин Тьюринга рас-
рассматриваются на семинарских занятиях, о них можно-прочесть
и в более подробных учебниках' математической логики ^ (см.
список литературы).
Аналогично, рекурсивными являются многие обычные мно-
множества натуральных чисел: множество- четных чисел, множе-
множество простых чисел, множество чисел, делящихся на 7. Число
называется совершенным, если оно равно сумме своих делите-
делителей (отличных от него самого). Множество всех нечетных со-
совершенных чисел рекурсивно, так как есть простой способ вы-
выяснять по данному числу; является ли оно нечетным и совер-
совершенным. Тем не менее неизвестно, пусто это множество или нет,
так как до сих пор неизвестно, существуют ли указанные чис-
числа. .' .
3. Второе определение вычислимости — рекурсивная пере-
перечислимость предиката накладывает меньшие требования на
соответствующий алгорифм. »
Интуитивно, предикат Р рекурсивно перечислим, если су-
существует процедура, позволяющая устанавливать истинность
Р(х\,...,хн) в случае, когда Р(х\, ...,хк) истинно. Если же
Р{х\, ...,Xk) ложно, то наша процедура иногда будет это уста-
устанавливать, а иногда процесс будет продолжаться неограничен-
неограниченно. Таким образом, проверяя данный набор xi,...,jc* на истин-
истинность, мы не полностью уверены, что получим ответ.
Точное определение таково: предикат Р типа Ai*x... ХД**
называется рекурсивно-перечислимым, если существует "машина
Тьюринга М= {2, S, П, q0 qit a0) такая, что
1) AiU.»UA*U{0, 1}U{<7)SS;
2) для всяких Xu-,Xk(xi^Ai*), если определено значение^
M(*i<7... qxk), то это значение равно 0 или 1;
3) Р(хи.:.,хк) истинно тогда и только тогда, когда
M(Xlq...qxk) = \.
Множество XeS* назовем рекурсивно-перечислимым, если
рекурсивно-перечислим соответствующий предикат принадлеж-
принадлежности. _ -
4. Непосредственно из определений видно, что всякий рекур-
рекурсивный предикат (множество) является и рекурсивно-перечис-
ли.чым.
Лемма. Если предикат Р(хи...,хк, у) рекурсивно-перечис-
рекурсивно-перечислим, то рекурсивно-перечислим и предикат ~^уР(х\,...,Хи, у).
| [> Пусть у пробегает множество А* и пусть .М — машина,
I ,67-
66
фигурирующая в определении рекурсивной перечислимости пр|
диката Р (хи..., Xk, у) ¦ Убедимся, что существует соответствуй
щая машина М' для предиката ^уР(хи...,Хк, у)- Мы не буд^
выписывать программу М', а лишь опишем в содержательнь
терминах, как М' работает. Мы надеемся, что после этих поя
нений построение М' не составит принципиальных затруднена
(хотя останется довольно громоздким делом). Пересчитаем в|
слова в алфавите Д в виде определенной эффективно задг
ной последовательности
Уь Ya, Гз,...
Рассмотрим набор Х\,..., Хк и опишем процесс получения знача
ния M'(x{q... qxk). . J
Вычисление происхЪдит этапами. На первом этапе маши|
М'образует набор x\q ...qxuY\ и делает один шаг в вычисл
нии значения M{x\q ... qxkqY\). Если за один шаг обнару»
лось M(xiq ...qxkqYl) = l, то работа М' заканчивается, и по;
гаем M'(xiq ... qXk) = \.
На втором этапе (если на первом этапе работа не закону
лась) машина М' производит уже два шага в вычислении дв|
значений:
M(xiq...qxkqYx)
и
M(X\q...qxkqY2).
Если за два шага вычислений М обпаружится, что хоть одь
из значений равно единице, то работу Ш заканчиваем и пол|
гаем М'(х\Ц... qx_h) — 1.
На третьем этапе (если на предыдущих этапах работа,
закончилась) машина М' производит уже три шага в вычис;
нии трех значений:
быть построен рекурсивный предикат Р такой, что пре-
предикат ^уР уже только рекурсивно-перечислим, но не рекурси-
рекурси...qxkqY2),
M(Xiq...qxnqY3). ,(
Если за три шага вычислений,М обнаружится, что хоть од!
из этих значений равно единице, то работу М' заканчиваем!
полагаем М'(X\q... qxk) =1 И так далее, выполняем этап
этапом. . i
Если на некотором этапе вычислится значен|
M(Xiq... qxuqYj) =0, то мы вычеркиваем набор xtf ...qXkqYj
списка подвергаемых испытанию, но из-за этого набора рабе,
не заканчиваем, а переходим к следующему этапу в поиска
набора, для которого М {x^q... qXkqYj) = 1. Машина М' и буд|
подтверждать рекурсивную перечислимость '-^yP(xi, ...,Xk, i
Заметим, что М' принимает лишь значение 1 или не onf
делена. Поэтому даже если Р(хи...,Хк, у) -*¦ рекурсивный п{
дикат, машина М' подтверждает лишь рекурсивную перечим
мость ^yP(xi, ...,Хь, у). И действительно, как мы увидим ни>
68
вен.
?
Лемма. Для всякого рекурсивно-перечислимого предиката
Q(xu ..., Xk) существует рекурсивный предикат Р(х\ xk, у)
такой, что
Q(Xi,..,Xk)<=> ^yP(Xi,...,Xk, у).
Г> Пусть М — машина, фигурирующая в определении ре-
рекурсивной перечислимости Q. Рассмотрим следующий, преди-
предикат: P(xi Xk, у) истинно, ¦**• у есть конечный протокол вы-
вычислений машины М такой, что в начальной конфигурации у
на ленте записан набор X\q...qxk, а в конечной конфигурации у
на ленте записана единица. Конечные протоколы М мы рас-
рассматриваем как слова в подходящем алфавите А так, что
*
Можно убедиться, что предикат Р разрешим. Интуитивно
очевидно, что по данному слову у можно эффективно выяснить,
действительно ли у является протоколом вычислений машины М
и что записано на ленте в различных конфигурациях протокола
у. Аккуратное доказательство, которое мы опустим, состоит в
громоздком построении соответствующей распознающей ма-
машины.
Теперь по свойству машины М имеем
..,xh,y). U
Последняя лемма оправдывает термин «перечислимый» в
отношении рекурсивно-перечислимого предиката Q. Чтобы убе-
убедиться в истинности Q(xi,...,Xu), следует последовательно пере-
перечислять все слова Yu У2,... в некотором алфавите А и последо-
последовательно проверять на истинность рекурсивный предикат Р:
P(xh...,xh, УО
Если Q истинен, то этот процесс закончится и мы найдем со-
соответствующее Yim Если же Q ложно, то процесс будет продол-
продолжаться неограниченно и мы можем так и не узнать, что Q
ложно.
5. Отметим еще, что применение логических связок AV^ ~l
к рекурсивным предикатам дает рекурсивные же предикаты.
Доказательство состоит в непосредственном построении рас-
распознающих машин для сложных предикато,в по данным маши-
машинам составляющих предикатов. С интуитивной точки зрения
метод распознавания истинности, например предиката Р{х\,...
—> xh) VQ(*i, :-,Xh) .очевиден, если известен метод распознава-
распознавания истинности для Р и Q.
Что касается рекурсивно-перечислимых предикатов, то при-
применение связок AV к ним ведет вновь к рекурсивно-перечис-
лимым предикатам. Однако в общем случае это уже неверно
Для связок :з и ~]. Позже мы обсудим пример рекурсивно-
69
перечислимого предиката, отрицание которого не рекурсив*
перечислимо. '.
Если рассмотреть отношения, соответствующие предиката!
то из предыдущих замечаний следует, что объединение и пега
сечение любых двух рекурсивных (рекурсивно-перечислимы|
множеств-вновь рекурсивно (рекурсивно-перечислимо). Допа
нение рекурсивного множества слов в некотором алфавите (}
множества всех слов в этом алфавите) вновь рекурсивно. Н
дополнение рекурсивно-перечислимого множества может быз|
и не рекурсивно-перечислимо.
В языке арифметики Аг естественно определить
Если дан арифметический предикат Р(х, у\,...,уп); то моли
определить новые предикаты, полученные путем применен!
ограниченных кванторов:
(Vx*cz)P(x, yi,...,yn) =^
(^x<z)P(x,y ,уп)^^х(х^г/\Р(х, уи...,уп));
(\/x<z)P(x, уи-,Уп) ^\/x(x<z=>P(x, уи...,У«));
Gx<z)P(x, у,,...,Уп)^^х(х<г/\Р(х,уи...,уп)).
Результирующие предикаты уже от аргументов г, уи..'.,уп. 31
метим
1 {\/х<г)Р(х, (/,,.-, Уп) <=
Упражнение. Укажите аналогичные законы для преобраз"!
вания отрицаний остальных ограниченных "кванторов. * f
Применение ограниченного квантора к рекурсивному (р|
курсивно-перечислимому) предикату приводит к рекурсивно*
же (рекурсивно-перечислимому) предикату. Доказательство с
стоит в непосредственном построении соответствующих машь
Тьюринга для результирующих , предикатив по данным мацц
нам Тьюринга. '
6. Теорема Поста. Если предикаты Р и ~\Р одновр
менно рекурсивно-перечислимы, то они необходимо оба и
курсивны.
[> Пусть Р и ~~\Р — предикаты типа Ai*X... ХДь* и пус|
Mi и М2 — машины Тьюринга, фигурирующие в определен^
рекурсивной перечислимости для Р и ~\Р соответственн!
Определим машину М', распознающую истинность, наприме;
предиката Р. Как и раньше, мы не будем выписывать nporpas
му М', а лишь опишем, как М' работает. Рассмотрим набо
(xu...,Xh} и опишем процесс получения значения М'\х{q\
...qxu). Вычисление происходит этапами. На первом этапе м|
шина М' производит один шаг в вычислении значений М, {хщ
... qxk) и Mu(x\q ... qxk). На втором этапе производятся дв
70 • -
щага вычисления M\(xiq ... qXk) и Af2(-«i9 - 9хь)- На третьем
|этапе —три шага вычисления этих двух значений и так далее,
|рычисление заканчивается, как только вычислится одно из
значений Мх(х^ -... qxk) или M3(xiq ... qxk). Если обнаружится,
[что Mi=l или М2 = 0, то положим М'=\. Если же окажется,
оЛ1, = 0 или М2=1, то М' = 0.
Из определения машин*Mi и М2 следует, что не может быть
[одновременно Mi = l и М2=1 (это означало бы, что для набо-
набора (*i xh) истинны одновременно Р и ~]Р). Также не мо-
может быть одновременно Mi=0 и М2 = 0 (.что означало бы, что
| набор {хи ...,хц) не удовлетворяется ни Р, ни "~| Р). В то же
время необходимо Mi(xi<i ... qxu) = 1 или M2(xiq ... qx/г) = 1, так
как Р(х\ xh) или ~1 Р(хъ...,хк). Отсюда следует, что алго-
алгорифм М' действительно распознает истинность предиката Р. ? -
7. Упомянем теперь предварительно о некоторых результа-
результатах теории алгорифмов, относящихся собственно к логике.
Ясно, что формулы и термы такого логико-математического
языка, как ZF+, можно трактовать как слова в подходящем ал-
алфавите 2. В самом деле, как видно из определения гл. I, § 2, -
п. 1, выражения ZF+ строятся с помощью символов: , (фор-
(формальная запятая), (,), е, Л, V. =>, . \Л В. Ы. I, 0. «. р<
U, •-* и бесконечного набора переменных. Но переменные в
свою очередь, можно рассматривать как слова, составленные
из двух символов v и | и скобок, если положить х=(и|), у =г=
=s(u||),zs=(p||}) и т. д.
Аналогично выражения языков Ar, Ar2, ZF также можно
трактовать как слова в некоторых алфавитах. Это происходит
потому, что выражения рассматриваемых языков строятся из
конечного числа явно указанных символов по строго фиксиро-
фиксированным правилам. Такие языки назовем явно заданными. Мы
не будем давать точного математического определейия явно за-
заданного языка. Читатель, если угодно, под явно заданным язы-
языком может понимать просто один из конкретных логико-мате-
логико-математических языков, описанных в книге [1] или в этой книге,
хотя изложенные общие результаты верны и по отношению ко
многим другим языкам. Следует иметь в виду, однако, что в
принципе рассматриваются и логико-математические языки,
выражения.которых заданы некоторым косвенным теЬретико-
множественным способом. Для них представление выражений
в виде слов некоторого алфавита может быть и невозможным.
Таковы, например, языки, содержащие несчетное множество
констант. Однако языки, используемые для построения фор-
формальных аксиоматических теорий, обычно оказываются явно
заданными. ¦ ~ .
Таким образом, явно заданный язык Q определяет алфавит
^а такой, что выражения Q суть специальные слова в этом ал-
алфавите. Мы считаем, что множество FmQ всех формул языка й
и множество ТгПо всех термов языка Q суть рекурсивные под-
подмножества множества So* всех слов алфавита 2В- По отноше-
7!
нию к конкретному языку, например ZF+, это может быть с'тра
го доказано путем построения соответствующей распознающа
машины Тьюринга. Впрочем, интуитивно соответствующая ра^
познающая процедура должна быть ясной и без этого громоз^
кого построения: по каждому слову в алфавите языка всегд^
можно судить, является ли это слово формулой ZF+ или не яЯ
ляется. |
¦ Далее, множество Аха всех аксиом исчисления предиката!
явно заданного языка Q также является рекурсивным подмн<^
жеством 2О*, так как по формуле всегда можно судить, и'мее
ли она вид аксиомы исчисления предикатов или нет (напр!
мер, имеет ли рассматриваемая формула вид Azd(BzdA)). щ
Дерево формул в языке Q мы определяли (см. введение!
как некоторую двумерную фигуру, но должно быть ясно, чт|
дерево формул явно заданного языка можно трактовать и ка|
слово в некотором алфавите. Так, вместо
Для явно заданной теории Т рассмотрим предикат Ргг(х)^
|где х—слово в алфавите So- А именно Ргг(*) истинно тогда к
только тогда, когда х есть формула, выводимая в теории Т..
Очевидно,
можно писать (Du D2/A) и т. п. Существенно при этом, чт
множество всех деревьев выводов является рекурсивным под
множеством множества всех слов атого алфавита, так как гь
слову можно эффективно выяснить, является ли оно дерево^
формул и выполняется ли в этом дереве необходимое структу|
ное требование.
Заметим теперь, что множество нелогических аксиом в рас
смотренных нами формальных аксиоматических теориях, та
ких, как Ar, Ar2, ZF, также является рекурсивным множес
вом, и это теории в явно заданных языках. Мы назовем таки
аксиоматические теории явно заданными. Опять-таки не буде|
давать строгого математического определения явно заданно
аксиоматической теории, читатель может считать, что это прс
сто одна из рассмотренных нами теорий.
Фиксируем некоторый обширный алфавит So такой, что выа
воды во всех явно заданных (интересующих нас) формальны!
аксиоматических теориях записываются в виде слов в алфавк
те 20. '
Для явно заданной формальной аксиоматической теории
рассмотрим предикат PrfT(y, х), где х, у суть слова в-алфавви
те 20. А именно Prfr(</, x) истинно тогда и только тогда, когд|
у есть, дерево вывода теории Т с нижней формулой х. Важны!
факт состоит в том, что это рекурсивный предикат. Для кон|
кретной теории, например для ZF, это 'может быть аккуратн|
проверено, путем построения соответствующей машины Тыс
ринг-а, но процедура распознавания истинности этого предикЕ
та должна .быть и без того ясной: по данному слову у следуе
сначала выяснить, является ли это слово выводом теории Т,
затем нужно определить, верно ли, что нижней формулой эте
го вывода является формула х.
72
Отсюда следует
Теорема. Множество формул, выводимых в явно задан-
заданной формальной аксиоматической теории Т, рекурсивно-пере-
числимо. В частности, рекурсивно-перечислимо множество фор-
формул, выводимых в исчислении предикатов явно заданного*
языка,
О См. § 3, п. 4. ?
Множество всех предложений, выводимых в теории 7", обоз-
обозначим через.[Г]. Для явно заданных теорий это — рекурсивно-
перечислимое множество. Теория называется разрешимой, если,
это множество оказывается рекурсивным. Известно, что теории
Ar, Ar2, ZF неразрешимы. Замечательно, что некоторые важ-
важные формальные аксиоматические теории разрешимы. Такова,.
например, элементарная теория действительных чисел (см. [5]).
Обозначим через Тпаг(о>) множество всех предложений язы-
языка Аг, истинных в стандартной модели со. Известно, что это-
множество не является даже рекурсивно-перечислимым.
В силу известной теоремы Геделя о полноте множество всех
логических законов языка Q совпадает с множеством формул,,
выводимых в исчислении предикатов этого языка. Таким обра-
образом, для явно заданного языка множество всех его логических-
законов оказывается рекурсивно-перечислимым. Для рассмот-
рассмотренных нами до сих пор языков множество логических законов-
не является рекурсивным. Но можно указать простые языки,.
для которых это множество рекурсивно. Таким например, бу-
будет язык с одним сортом переменных, без констант и функцио-
функциональных символов и с конечным набором одноместных преди-
•катов (так называемая теория одноместных предикатов).
§ 4. ПРИМИТИВНО-РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ,
ГЕДЕЛ ЕВА „НУМЕРАЦИЯ, АРИФМЕТИКА
С ПРИМИТИВНО-РЕКУРСИВНЫМИ ТЕРМАМИ
1. Определим теперь важный класс общерекурсивных ариф-
арифметических функций. Функции этого класса называются лры-
митивно-рекурсивными.
С этой целью введем индуктивно понятие примитивно-ре-
кУрсивного (п. р.) описания. Каждое п. р. описание представ-
представляет собой слово вида (k, l,...), где k, I — натуральные числа.
Число I называется количеством аргументов описания, />0.
Каждому п. р. описанию одновременно .сопоставляется ариф-
арифметическая функция — примитивно-рекурсивная функция, имею-
Щая данное описание. Определение содержит семь пунктов,
7а.
первые три пункта составляют базис индукции, а последи!
представляют собой индуктивный шаг, показывая, как мож|
строить новые п. р. описания из уже имеющихся. •
1) A, l),F(x)=x+l.
2) B, 1), F(x)=*x.
3) C, 1,'m), F(x)=m для произвольного натурального 41
ла т.
4) Пусть />0, 1<J|,..., «8</ и g — п. р. описание с s арг
ментами, причем g сопоставлена" функция G. Тогда мол
определить новое п. р. описание D, /, g, ii,...,is), которому
поставляется функция
F(xi,...,Xi)=G(Xit,...,xis).
Мы говорим, что F получена из G путем перестановки,
дествления и введения фиктивных аргументов.
5) Пусть g — п. р. описание с / аргументами, которому,с
поставлена функция G, и h — п. р. описание с р аргументам!
которому сопоставлена функция Н. Тогда можно определи!
ловое п. р. описание E, 1-\-р—1, g','h), которому сопоста|
ляется функция^
F(yuZ,,yv, x2,...,x,) = G(H(yi,...,yp), X2,...,Xi)..
Мы говорим, что F получена из G и Я подстановкой.
' 6) Пусть g—п. р. описание с двумя аргументами, которой
сопоставлена функция G, и т—произвольное натуральное
ло. Тогда можно образовать новое п. р. описание {6, 1, g, n\
которому сопоставляется функция F, удовлетворяющая следуй
щим тождествам:
( F@)=m,
\F(x+l)=G{x,F(x)).
Мы говорим, что F получается из Сите помощью примити
Ной рекурсии. :
7) Пусть h — п. р. описание с т аргументами и g — п. p. on
сание с т+2 аргументами. Тогда можно определить нов!
п. р. описание G, .ю+1, g, h), которому сопоставляется фу
дня F такая, что
i'Fj@, xi,-,xm)=H(xi х-т),
\ F(x+l, xb...,xm) = G(x, F{x, Xi xm), xu...,xm).
В этой ситуации мы также говорим, что F получена из функщ|
G и Н примитивной рекурсией. . - . - %
Арифметическая функция называется примитивно-реку|
сивной, если она сопоставлена по указанным выше правил*
какому-либо п. р. описанию. 1
Упражнение. Обозначим через + примитивно-рекурсивну!
функцию от двух аргументов, имеющую следующее п. р. оп|
сание:
G,2, D,3, A, 1),2), B, 1)).
74
[убедитесь, что выполняются следующие тождества:
IДостройте естественное п. р. описание для функции умноже-
ния Двух натуральных чисел.
Совершенно ясно, что всякая п. р. функция.является вычис-
ли'мой, так как процесс определения такой функции с помощью
примитивно-рекурсивного описания дает одновременно и спо-
способ вычисления значений функции для любых числовых значе-
значений ее аргументов. Точный математический факт состоит в
том, что всякая примитивно-реку-рсивная функция — общере-
курс'ивна. Доказательство состоит в том, чтобы указать соот-
соответствующую машину Тьюринга для каждого примитивно-ре- .
курсивного описания. Это построение осуществляется индук-
индукцией по длине рассматриваемого п. р. описания.
Обратное, как мы увидим дальше, неверно: существуют об-
общерекурсивные функции, не являющиеся примитивно-рекур-
примитивно-рекурсивными. Тем не менее п. р. функции образуют весьма обшир-
обширный класс вычислимых функций, замкнутый относительно мно-
многих естественных операций: все практически определяемые об-
общерекурсивные функции, как правило, оказываются примитив-
примитивно-рекурсивными. ' ._
Арифметический предикат P(xi,...,xn) назовем примитивно-
рекурсивным, если существует примитивно-рекурсивная функ-
функция f(X],...;xn), принимающая в качестве значений лишь 0 и 1,
и такая, что . -
Мы часто будем опускать громоздкую проверку того, что>
те или иные конкретные функции или предикаты являются
примитивно-рекурсивными. Подробные методы для такой про-
проверки развиваются, например,' в книгах [3, 4, 18].
2. С помощью примитивно-рекурсивных функций можно
определить взаимно-однозначное соответствие между парами
натуральных чисел и натуральными числами.
Точнее, можно.определить три п. р. функции j(x, у), /i(z),.
h(г) такие, что выполняются следующие тождества:
Л
/(*. у))=у,
Например, можно определить
1(х, У) = (max2(x, y)+y}+J(max(x, у) —х).
Тогда дополнительно выполняются соотношения: •
./(О, 0)=0, x<j(x,-y
75
Далее, нумерация n-ок натуральных чисел при каждое
может быть введена, например, с помощью следующих прщ
тивно-рекурсивных функций:
Vi(x)=X,
v2(*i, Xi)=j(xu x2),
Vn+i(Xu X2,...,Xnj-l)=j(Xi, Vn(X2,...,Xn)),
для которых имеются соответствующие обратные п. р. функи
где , <<«.
Наконец, можно ввести единое примитивно-рекурсив^
взаимно-однозначное соответствие между я-ками натуральн
чисел при всех п и натуральными числами. А именно для кг
дого натурального «>1 определим
С(Х0, ...,Xn-i)=j(n— 1, Vn
"а пустому набору натуральных ' чисел, при я = 0, сопоста!
число 0.
Таким образом, натуральные числа в зависимости от спо.
¦ба кодирования можно отождествлять с парами, тройками^
произвольными кортежами натуральных чисел. ¦ ?
Упомянем еще несколько примитивно-рекурсивных функ
в связи с нашей нумерацией. Двухместная п. р. функция
•соединения кортежей такова, что
c(xo,...,Xm-l)* С (г/о, ..., Уп-l) = С (Хо, ...,Хт-1, Уо, -, Уп-l),
Двухместная п. р. функция [x]z «высекает» элемент кортежа
[0]2 = 0,. [с(х0, xu...,xn-i)]z = xz при z<n и [с(х0, X1,...,xn-.,)]zi
при z>n. Примитивно-рекурсивная функция lh(дт) определ|
длину кортежа:
lh@)=0, lb(c(xo,xl,...,Xn~i))=n.
3. Мы намерены систематическим образом нумеровать
туральными числами слова в различных алфавитах, и пре>
вс'его нас интересуют слова в алфавите 20 (см. § 3, п. 7),
торый мы назовем основным алфавитом. Будем считать,
•основной алфавит содержит буквы q и |, так что в нем мой
- естественно записывать наборы натуральных чисел, если ото
дествлять натуральный числа со словами в алфавите |..
Фиксируем- бесконечную последовательность различи
символов-букв: а0, аь аг,..., которую назовем основной пос%
¦довательностью букв' Алфавит назовем простым, если он '
стоит из конечного числа букв основной последовательное
Простой алфавит назовем приведенным, если он содержит б|
вы основной последовательности лишь с нечетными номера!
Будем считать, что алфавит 20 содержит ровно k букв и I
, буквы встречаются в основной последовательности в качес^
76
ер k букв с нечетными номерами, т. е. алфавит 20 состоит
точности из букв а\, аг,...,п2к+1. Таким образом, основной ал-
алфавит является приведенным.
Пусть А — слово в простом алфавите, имеющее вид OjO^...
t.uim. Сопоставим этому слову натуральное число yA = c(ii,--
т('„,). Для пустого слова положим уЛ=0. Натуральное число
,'а назовем геделевым номером слова А. Отображение у уста-
устанавливает взаимно-однозначное соответствие между всеми сло-
словами в простых алфавитах и натуральными числами.
Далее мы желали бы нумеровать натуральными числами
машины Тьюринга. Нас интересуют главным образом машины,
обрабатывающие слова в основном алфавите, т. е. вычисляю-
вычисляющие функции типа 2о*-»-2о*, н0 некоторая сложность возникает
из-за того, что такие машины, могут содержать и другие бук-
буквы, используемые, например, в промежуточных вычислениях.
Машину Тьюринга назовем приведенной, если ее внешний ал-
алфавит и алфавит ее внутренних состояний суть приведенные
алфавиты.
Лемма. Для каждой машины Тьюринга М, вычисляющей
Iфункцию f: 2o*-»-2o*, может быть построена приведенная ма-
машина Тьюринга М', вычисляющая ту же самую функцию.
[> Достаточно взаимно-однозначным образом заменить все
Iбуквы внутреннего и внешнего алфавитов машины М, отличные
от букв основного алфавита, на некоторые буквы из основной
лоследовательности с нечетными номерами. ?
В частности, если Дь Д2 As, А суть алфавиты, включен-
включенные в основной алфавит 2о и не содержащие буквы q, а ма-
машина М вычисляет функцию f: Ai*X ... ХДь*-»-Д*, то мджет
быть построена приведенная машина М', вычисляющая ту же
функцию.
Пусть теперь М — приведенная машина Тьюринга,
М= B, S, П, q0, <7Г, а0).
Можно трактовать тогда М как слово в простом алфавите.
А именно будем' считать, что буквы -*¦, R, L, участвующие в на-
написании команд машины, входят в основную последователь-
последовательность в качестве букв с четными номерами. Например, это
есть соответственно буквы по, аг, а\. Машина М как слово в
простом алфавите' получится, если написать подряд друг за
Другом следующие слова:
1) последовательность букв 2 (для определенности можно
считать, что буквы записываются в порядке возрастания номе-
номеров в основной последовательности);
2} разделительная буква с четным' номером (например, это
может быть а6);
3) последовательность букв S;
4) разделительная буква а^\ ,
5) последовательность команд П, k^k^ ...km;
* 77
6) разделительная буква ав;
', 7) слово <7o<7iflo-
Таким образом, каждую приведенную машину ТьюриЕ
можно рассматривать как слово в простом алфавите, и, сле|
вательно, каждая такая машина имеет определенный гедед
номер. - - ,
Далее, конечные протоколы работы приведенных Mai
Тьюринга также очевидным образом можно трактовать ™
слова в простом алфавите и, следовательно, приписать так|
протоколам геделевьл номера. .. - - '
4. Пусть Дь ...,Ль, Д — алфавиты, включенные в ochobj
алфавит и не содержащие разделительной буквы q. Пусть
функция типа Д]*Х ...X ДА*->Д*. Определим тогда функ!
/v : шХ ... Хы—ко, «моделирующую» работу функции на геде
вых номерах. А именно: ,
1) если набор т.\,...,тк натуральных чисел таков, что х|
одно из.т,- не является геделевым номером слова алфав*
Ai,Tof(mu...,mh)=0;
2) для всякого набора слов Аи..., Ah, А,- где Ai^At*, Ai
имеем f(Au ..., Ak) =А-**р(уАи .... уАк)=уА.
Аналогично для всякого словарного предиката Р т*
Ai*X ... ХДл* можно ввести моделирующий арифметичес(
предикат Ру такой, что '
1) если набор mt тк таков, что хоть одно из натург_
ных чисел /п( не является геделевым номером слова алфав!
Д,, то Р(ти ...,тк) ложйо;.
2) для всякого набора слов Ah...,Ak, Л;еД**: Р(А%
...,Аш)РЧуАъ...,уАк).
Лемма. Функция / вычислима тогда и только тогда, кс
вычислима функция fv.
Предикат Р рекурсивен (рекурсивно-перечислим) тогдс
только тогда, когда рекурсивен (рекурсивно-перечислим)
диках Ру.
Громоздкое доказательство, состоящее в построении необ
димых машин по исходным машинам, мы опускаем.
5. Отождествим натуральные числа со словами в алфа
те |. Тогда геделев номер яатурального числа как слова
нюдь не совпадает с самим этим натуральным числом (за
ключениём нуля). Но соответствие между натуральным чи«5
и его геделевым номером является примитивно-рекурсивна
Точнее, могут быть построены две одноместные примитивной
курсивные функции Gd и Gd~' такие, что для всякого на|
рального числа тп:
Gd(m)=7tfi, G(HXym) = m.
6. Геделева нумерация открывает возможность говорит!
сложных конструктивных объектах на языке арифметики. |
хотели бы записывать различные свойства этих объектов'
языке Аг, а затем доказывать их в формальной аксиома™
78
[ской теории Аг. Основная трудность при осуществлении этой
[„рограммы состоит в том, что в теории Аг мало функций —
лишъ сложение и умножение. Поэтому мы сформулируем бо-
более выразительную аксиоматическую теорию Аг+, в которой,
грубо говоря, имеется функциональный символ для каждой
примитивно-рекурсивной функции.
Язык Аг+ содержит один сорт переменных х, у, г,.,., кон-
константу 0 и для каждого примитивно-рекурсивного описания р
от I аргументов — функциональный символ от / аргументов.
Для конкретности можно считать, что само п. р. описание р,
как слово в алфавите (,), , , |, и является функциональным
символом Аг+. В частности, в Аг+ имеются и все функциональ-
функциональные символы Аг (см. введение). Например, S имеет п. р. опи-
описание A, 1), + имеет п. р. описание G,2, .D,3, A,1), 2), B,1)).
Термы языка Аг+ строятся последовательно из переменных
и константы 0 с помощью функциональных символов. Точнее,
индуктивное определение терма! языка Аг+ состоит из следую-
следующих трех пунктов:
1) всякая переменная есть терм;
2) константа'0 есть терм;
3) если / — функциональный символ от / аргументов и уже
построены некоторые термы t\,...,ti, то можно построить новый
терм f(ti, ...,</).
Атомарные формулы Аг+ имеют вид (<=/"),' где t, г — про- "
извольные термы языка Аг+. —-
Таким образом, язык Аг естественно рассматривать как
часть языка Аг+: всякое выражение Аг является в то же время
и выражением языка Аг+,
Нелогические аксиомы Art, так же как и нелогические ак-
аксиомы Аг, делятся на три группы: аксиомы равенства, аксиомы
Пеано и определяющие аксиомы, для п.р. описаний. Аксиомы
равенства и аксиомы Пеано имеют тот же вид, что и в Аг, с
той лишь разницей, что в схеме аксиом индукции теперь до-
допускается произвольная формула языка Аг+. Определяющие
же аксиомы для п. р. описаний просто копируют те тождества,
которым должны по определению удовлетворять те п. р. функ-
функции, которые имеют эти описания.
Если m — натуральное число, то через пг или через гп~ обо-
обозначим терм Аг вида SS...SO, где функциональный символ S
берется m раз. Это естественное изображение числа m в-языке
Аг. Примерами аксиом теории Аг+ являются следующие фор-
формальные равенства: '
B, 1) (*)=*;
C, 1, m)(x)=m;
F, 1, g,m)@)=m;
F, l,g, m)(Sx)=g(x,F, 1, g,m)(x)),
гДе g — произвольное п. р. описание с двумя аргументами.
79
Таким образом, теория Аг составляет часть теории Агн: вс
что выводится в Аг, выводится и в'Аг+.
Аг+ является уже весьма выразительной теорией и позв
ляет записать и доказать практически все обычные факты, с,
носящиеся к теории чисел. В частности, при наличии некотор!
го навыка в построении формальных выводов несложно уст|
новить выводимость в Аг+ всех необходимых нам свойств гед|
левых номеров слов в простых алфавитах.
. 7. Замечательно, что, как .обнаружил Гедель, теории Аг «
Аг+ оказываются по существу эквивалентными. Это объя|
няется тем, нто, используя некоторые теоретико-числовые сое
ражения, удается равенства сложных термов языка Аг+ изо
разить формулами теории Аг, т. е. формулами, содержащш
лишь сложение и умножение.
Точнее, для всякой формулы А языка Аг+ определяется
перевод — формула А0 языка Аг, содержащая те же параме
ры, что и формула А. Далее, для каждого терма t языка А
и переменной у определяется формула (y = t)* языка Аг с те»
же. параметрами, что и формула y=t. Этот перевод облада
-многими свойствами, которые и следует от него ожидать,
перечислим их в следующих шести леммах. %
Лемма 1. Если А —'формула Аг, t — терм Аг, то в Аг е|
водимы эквивалентности:
Лемма 2. Если А — формула Аг,+ и t — терм Аг+, то
Аг+ выводимы эквивалентности:
А«=А,
(y=t)*=(yt).
Лемма 3. Если А —формула Аг+, t — терм Аг+, то име4
место следующие эквивалентности:
Аг+ Ь-
Ar+ь (y = t
(-
Л е м м а 4. 'Если А — формула Аг, то
Аг+ н Л
Последняя лемма показывает, что относительно узкого яз|
ка Аг обе теории эквивалентны. Дополнительно можно от*
тить, что указанный перевод сохраняет логическую структу
формул. Это обстоятельство проявляется в том, что имеют
сто следующие две леммы.
Лемма 5. В теорий. Аг выводимы эквивалентности
°=\f x"A°,
{\f
Здесь А, В — произвольные формулы языка Аг+.
Лемма 6. В теории Аг выводимы следующие эквивалент-
эквивалентности
Здесь А — формула Аг+, t, г — термы Аг+ и переменная у не
входит свободно в А, г, t.
Мы не будем заниматься точной формулировкой перевода и
доказательством лемм 1—6. Необходимую технику для этого
заинтересованный читатель может найт.и в руководствах [3],
[4]-
Заметим в' заключение, что теория Аг+, так же как и тео^
рия Аг, является явно заданной. Формулы, термы, выводы тео-
теории Аг+ естественно трактуются как слова в основном алфа-
алфавите и, следовательно, имеют геделевы номера.
[ § 5. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ АЛГОРИФМОВ
1. Универсальная функция. Для каждого я>1 рассмотрим
(л+2) -местный предикат Клини, определенный на натураль-
натуральных числах: Тп(е, х\,...,хп, г).
А именно Тк(е, хи—,хп, z) истинно тогда и только тогда,
когда е есть-геделев помер некоторой (приведенной) машины
Тьюринга М, a z есть гедслев номер конечного протокола вы-
вычислений Z для машины М, на вход которой подан набор чи-
чисел Xi хп (т. е. подано слово Xiq... qxn, где натуральные чис-
числа рассматриваются как слова в алфавите |), причем Z содер-
содержит заключительную конфигурацию.
Довольно очевидно, что Тп — разрешимый предикат, так
Как по данным е, Х\,..., хп, z можно судить, верно Тп или нет.
Важный факт (который мы оставим без проверки, детали чи-
читатель может найти, например, в [2]) состоит в том, что этот
предикат примитивно-рекурсивен, т. е. существует примитивно-
Рекурсивная функция tn(e, xu...,xn, г), принимающая в каче-
качестве значений лишь 0 и 1, и такая, что
Т„{е, хь ..., хп, г)^Ц{е, дзь ..., х„, г) = 1.
Может быть построена также одноместная примитивно-ре-
Курсивная функция 0(г) такая, что если z — геделев номер ко-
конечного протокола вычислений Z некоторой (приведенной) ма-
80
-81
шины Тьюринга М и Z содержит заключительную конфигу!
цию К такую, что на ленте К записано натуральное число|
то U (г) —к. Если же z не имеет указанного вида, то U(z) =s
Если Р(у, xlt...,xs)—общерекурсивный (в частности, пр
митивно-рекурсивный) предикат, то можно определить частц
но-рекурсивную функцию f(xu ...,xs) следующей инструкций
для данного набора х\,...,ха выясняем последовательно, иетя
но ли Р@, xu...,xs), P(l, xu..,xs), РB; х, xs) Как
ко дойдем до наименьшего т такого, что Р{т, *i,...,*s) hctij
ио, положим f(xu...,xs)=m. Если же такого т не существу!
то функция /(*i,...,*s) по определению на наборе хи..., х„
тается неопределенной. Приведенную инструкцию можно с
мить в виде программы некоторой машины Тьюринга и, так|
образом, доказать частичную рекурсивность /.
Будем говорить, что функция / получена из предиката
операцией минимизации, а значение f(xu...,xB) обозначим че
\iyP(y, xu-,xs) (читается: «наименьшее у такое, что Р(у,
Уточним еще понятие подстановки для частично опредсг
ных функций. Пусть, например, g — одноместная, а / — s-ме
ная частичные функции. Рассмотрим функцию /г, определяем
следующим образом: h(xu...,xs) определено тогда и толе
тогда, когда: 1) определено f(xi,.,.,xa) и 2) определено зна|
_ние g(f(xi,...,xs)), и в этом случае
В такой ситуации мы говорим, что функция h получена
становкой функции f в функцию g. Такое определение поде
новки для частичных функций обеспечивает, что функция
оказывается частично-рекурсивной, коль скоро таковы функп
f и g.
Кратко определение h можно записать в виде
Знак — (условное равенство) здесь и далее означает, что
ражение слева-'определено тогда и только тогда, когда опре
лено выражение справа, и в случае определенности эти вь
жения совпадают.
Определим теперь для каждого я>1 (л+1)-местную част
но-рекурсивную функцию <Un таким образом, что
<Un(e, xi,...,xn)~U{nzTn(e, xu...,xn, z)).
Основное свойство Шп выражается следующей класса
ской теоремой Клини о нормальной форме.
Теорема. Для всякой частично-рекурсивной функций
найдется натуральное m такое, что для всех х^ хп:
f(xu..., хп) —<
i,..., xn).
[> В качестве такого m можно взять геделев номер маши-
|ны Тьюринга, вычисляющей функцию f.. Требуемое утвержде-
утверждение вытекает из определения предиката Тп и функции /. ?
Пусть К—произвольный класс я-местиых (вообще говоря,
|Частичных) функций. Функция g(x, X\,...,xn) называется уни-
ереальной для класса К, если:
1) для всякого натурального m соответствующая я-местная
[функция g(m, Xi, .... хп) принадлежит К;
2) для всякой функции f(#i xn) из К найдется натураль-
натуральное m такое, что я-местная функция g(tn, X\, ...,хп) совпадает
1с/-
Непосредственным следствием предыдущей теоремы яв-
|ляется следующая
Теорема об. универсальной функции. Частично-
\рекурсивная функция <Un является универсальной для класса
I всех n-местных частично-рекурсивных функций.
Укажем сразу же и некоторый отрицательный результат.
Теорема. Не существует (и+1)-местной частично-рекур-
частично-рекурсивной функции, универсальной для класса всех n-местных об-
\щерекурсивных функций.
> Ограничимся случаем я=|. Допустим, что такая функ-
[ция G(x, x{) существует. Так как при каждом m функция
|G(m, x\) общерекурсивна, то функция G(x, х{) определена при
{всех х, х\ и, таким образом, также является общерекурсивной.
[Но тогда общерекурсивна и функция g(х) = G {х, х) +1. Рас-
{смотрим m такое, что g (х) — G (m, х). Имеем
G(m,x)^g(x)=G(x,x) + l.
\ Подставляя сюда вместо х число т.- получим противоречие. ?
Идею этого доказательства можно использовать для по-
| строения общерекурсивной функции, не являющейся примитив-
примитивно-рекурсивной.
Определим функцию g(y, x) следующей инструкцией: если
\у не есть геделев номер п.р. описания, то g(y, х) =0; если же
\у есть геделев номер п.р. описания функции F, то g(y, x) =
4)
Указанную инструкцию можно преобразовать в машину
Тьюринга и, таким образом; доказать, что g — общерёкурсив-
ная функция. Рассмотрим теперь общерекурсивную функцию
F такую, что F(x)=g(x, x) + \.'
Лемма. Общерекурсивная функция F не является прими-
примитивно-рекурсивной.
\> Предположим противное, и пусть m — геделев номер п. р.
описания функции F. Тогда
82
g(m,x)=F(x)=g(x,x)
Подставляя вместо, х натуральное т, получим противоре-
противоречие. ? •
83
Для каждого натурального т соответствующую и-местн^
частично-рекурсивную функцию U(\izTn{tn, xu...,хп,г))
обозначим через {т}п. Число т назовем геделевым номер\
частично-рекурсивной функции {пг}п. Таким образом, всякая
стично-рекурсивная функция имеет некоторый геделев номе
Индекс п в обозначении {т)п будем иногда опускать (и
надеемся, что читатель не спутает это традиционное обознач
ние частично-рекурсивной функции с обозначением одноэл
ментного множества в теории множеств).
Из определения предиката Тп очевидно, что
! [т}п (х-1,..., хп) -*=" 3 zTn (т, хь ..., х„, г).
Напомним, что выражение слева означает, что функц|
{т}п определена на наборе х\,..., х„.
Лемма. Для всякого рекурсивно-перечислимого множе^
ва А натуральных чисел существует частично-рекурсивн
функция g такая, что g принимает лишь одно значение 1, и
всякого х
I рскурсивно-перечислимое множество Wm- и предположим, что»
I ,\=Жт. Тогда для всякого х
> Если А рекурсивно-перечислимо, то существует маши
Тьюринга М, вычисляющая предикат хеЛ согласно опреде
нию § 3, п. 3. Определим теперь функцию g инструкций
g (х) = 1 тогда и только тогда, когда М (х) = 1; во всех оста^
ных случаях g не определена. Эту инструкцию можно оф<|
мить в виде некоторой машины Тьюринга, вычисляющей g.
Если m — геделев номер функции g-t о которой идет речь
лемме, то, очевидно,
3
, х, г).
Натуральное ш, для ^которого выполняется эта эквивалеч
ность, мы назовем геделевым номером рекурсивно-перечисА
мого множества А. Рекурсивно-перечислимое множество с
делевым номером m обозначим через Жт. Таким образом,
определению
m, х, z).
2. Невычислимые множества и функции.
Теорема. Множество натуральных чисел [х\ 3 zTx (x, х,
рекурсивно-перечислимо, но не рекурсивно,
> Рекурсивная перечислимость рассматриваемого мноя
ства следует из леммы в § 3; п. 4 и рекурсивности предика
Т\. Если бы наше множество было рекурсивным, то рекурс^
но было бы и его дополнение Л = {х| ~~\^zT\(x, x, г)}, а сле,й
вательно, А было бы и рекурсивно-перечислимым. Покажв
однако, что множество А отлично от всякого рекурсивно-nej
числимого множества. В самом деле, рассмотрим произволья
/n, х, z)<
¦«- ~| ^zTj{x, x, z).
| Подставляя в эту "цепочку эквивалентностей вместо х число /я,
приходим к противоречию. ?
Следствие. Множество натуральных чисел ;
| [х\ i^zTi (x, х, г)} не является рекурсивно-перечислимым.
1> Фактически это уже доказано нами выше, но следует
| также и непосредственно из формулировки предыдущей теоре-
теоремы и теоремы Поста § 3, п. 6. ?
Следствие. Существует всюду определенная невычисли-
невычислимая функция.
!> Определим функцию g следующим образом: для каждо-
Iго натурального х положим g(#) = l, если ^zT{(x, x, г), и
Ш*)=0, если ~}lzTi(x, х, z). g — всюду определена и если
1 бы была вычислимой, то оказалась бы общерекурсивной функ-
функцией. Но g{x) — I-**- ^zTi (x, х, z) и предикат справа оказался
' бы рекурсивным. ?
3. Проблема остановки. Мы говорим, что проблема оста-
остановки для машины Тьюринга М разрешима, если существует
|общерекурснвная функция h, принимающая лишь два значения
или 1, и такая, что h(x) = \ тогда и только тогда, когда ма-
машина М, работая на входе х, дает конечный протокол вычис-
I лений.
Неформально говоря, проблема остановки разрешима, если.
I существует «распознаватель остановки» п, узнающий по х, ос-
остановится машина М на х или нет.
Теорема. Существует машина Тьюринга М с неразреши-
[ мой проблемой остановки.
Пусть а(х) —-общерекурсивная функция, тождественно-
I равная нулю. Рассмотрим частично-рекурсивную функцию
\8(х), равную а(цгГ,(х, х, г)).-Тогда' !#(*)-**- JzT^x, х, г) и-
!g (x) =^g (х).= 0. Пусть М' — приведенная машина Тьюринга,
I вычисляющая g. «Подправим» программу машины М' и полу-
получим машину М такую, что
1) М также вычисляет g,
2) если машина М' на входе х дает конечный протокол вы-
I Числений без заключительной конфигурации или конечный
протокол, в заключительной конфигурации которого на ленте
записано непустое слово, то машина М на входе х не остано-
I Вится, т. е. порождает бесконечный протокол вычислений.
Такую модификацию машины М' всегда можно произвести,.
| Дописав несколько команд снизу в программе М', изменив ее
заключительное состояние и расширив алфавит.
Тогда ^zTi(x, х, z)<=>M остановится на х. Теперь невоз-
невозможность соответствующей функции h для М следует из тео-
теоремы п. 2. ?
84
Подчеркнем, что для М неразрешима именно массово
проблема остановки: не существует единого алгорифма h, к|
торый бы узнавал, остановится ли М на х для всякого нат|
рального числа х. Если же исследователю предложить коц
кретное натуральное число т и спросить, верно ли, что М ост|
новится на входе пг, то нет оснований полагать, что наш иссг
доватеЛь не спр.авится с этим вопросом по некотором размыв
лении. Невозможен .лишь единый механический способ pel
ния этого вопроса для всех т сразу.
4. Рекурсивно-неотделимые множества. Напомним, что чер
со мы обозначаем множество всех натуральных чисел. Два mf
жества Ло, Л&й назовем рекурсивно-отделимыми, если суд
ствуют два рекурсивно-перечислимых множества Во. В\ такй
что -\ . '
Про множества Во и В{ мы будем говорить, что они рекурси
но отделяют множества Ло и А\. По Теореме Поста (§ 3, п.
множества Во и В\ в этом случае нербходимо являются и
курсивными.
Упражнение. Если множества Ло, Л] рекурсивно-неотдели^
и не пересекаются (т. е. Aof\Ai = 0), то оба они не рекурсией
Более того, всякое множество С такое, что А^С, С[\В = 0 т«|
же не рекурсивно.
Определим два предиката:
W0(x, y)^T1(i2X, х, y)AW*<y) 1
^Ыпх, х,
х, х, г)-
х, x,z). .
Можно проверить, что оба предиката примитивно-рекурсивв
Определим теперь два рекурсивно-перечислимых множест
х, у)};
Теорема. Рекурсивно-перечислимые множества Vo, V\
пересекаются и являются рекурсивно-неотделимыми.
|> Допустим, что xeV0 и x^Vt. Тогда найдутся у0 и ух
кие, что W0(x, j/o) н Wi(x, y{), т. е.
1) - Г, Цгх, х, мб);
2) {/*<^oIri(/ix, ж, г);
3) TidiX, х,ш);
4) (\/z<yl)^Ti{j!lx,x,z).
Из 1) и 4) следует, что у\<уо, в то время как из 2) и 3)
дует'(/0<#1, и мы приходим к противоречию.
Итак, множества Vo и Vi не пересекаются.
Рассмотрим теперь произвольные перечислимые множес|
B0Bi такие, что Vo^Bo, V'i^Bi, Bof\Bi = 0, и покажем, чщ
этом случае необходимо Bo[)
Ж
Пусть Во имеет геделев номер /п0 и Bi—номер тЛ. Поло-
Положим m = j(mo, nti). Мы утверждаем, что -тб^В0 и mdrBi. До-
Докажем, например, т~?Ва (m.F? В, доказывается аналогично).
С этой целью предположим противное и пусть т^В0. Тогда
=Jf, т.' е.ЗыГ,(т0, т, у), и ввиду тй=\\т
Далее, ввиду
3yTi(jim, m, у).
и ВоПВ, = 0 имеем
| т. е. т^Жт1, что означает
очередь, ввиду mi=j2m означает
Из A) и C) следует
hm, m, у)
т<
A)
B)
что, в свок>
C)
~\Ti{j2m, m,z)),
[т. е. 3yWi(m, у) и, следовательно, msB]. Однако это проти-
противоречит утверждению B). ?
Теорема о неисполнимой функций. Существует
частично-рекурсивная функция f, принимающая в качестве зна-
\ чений лишь 0 и 1, и такая, что не существует 'общерекурсивной
\ функции h, пополняющей f, т. е. такой функции п, что для вся-
[ кого х, для которого^ определено [(х), имеет место f(x)—h(x).
1> Согласно лемме § 5 п. 1 найдутся частично-рекурсивные
[функции go agi такие, что хеУ**=Н?{(;с). Определим теперь
частично-рекурсивную функцию / следующей инструкцией: для
данного х вычисляем одновременно go (x) и g\(x). Если опре-
определено go{x), то положим /(#)=0, если же определено g\(x)>
то положим f(x") = \. Если же не определены обе функции, то
считается неопределенной и f(x). Заметим, что не могут быть
одновременно определены оба значения go(x) и gi(x), так как
V(]V] = 0.
Мы утверждаем, что функция f — искомая.
Предположим, что существует общерекурсивное пополнение
функции /. Пусть_ это будет общерекурсивная функция п. Пусть
а—примитивно-рекурсивная функция такая, что а@)=0, л(х-\-
+ 1)=1. Определим h'(x)-a(h(x)). Тогда А' является общере-
общерекурсивной функцией, принимающей лишь значения 0 и 1 и так-
также пополняющей f. Определим, далее, рекурсивные множества:
Из определений легко видеть, что Во, Вх рекурсивно отделяют
множества VV V\, что невозможно па предыдущей теореме. ?
5. Теорема о рекурсии. Фиксируем набор натуральных чисел
л= (е, ifei, ...,km )
и определим для этого набора натуральное число ta следую-
следующим образом. Построим приведенную машину Ма. А именно
' 87
для всякого набора уи..., Уп натуральных чисел значен
-Ma(yiq ...упЧ) определено тогда и только тогда, когда onpej
лена универсальная функция <Uni+n{e, ki,...,km, уи---,Уп), и
.гда Ма(у\Щ...qyn)=cUm+n{e, ku...,km, yu...,yn). Теперь в ка<|
стве ta возьмем геделев номер машины Ма.
Заметим теперь, что наша инструкция дает способ вычис
яия по набору а соответствующего ta. Эту инструкцию моя
оформить в виде машины Тьюринга. Таким образом, функция
S?(e,iCu.:,Xm)=tie,x1 хт)
•является общерекурсивной. Более тщательный анализ показ
вает, что 5" является даже примитивно-рекурсивной фук
:цией. Таким образом, имеет место
Лемма. Может быть построена примитивно-рекурсивн
•функция 5/Г от (т+1) аргументов такая, что для всякого
¦бора натуральных чисел е, X\,...,xm, yi,...,yn имеем
{e){xu...,xm,yl,...,yn)-{Sn (е, *,,..-.,xm)}(i/i уп).
Теорема Клини о рекурсии. Для всякой частичк
рекурсивной функции -ф (г, Х\, ...,хп) можно построить на|
ральное число е такое, что
{e}(*i, ...,*„)— г|з(е, хи...,хп).
[> Рассмотрим частично-рекурсивную функцию
<р(у, хи ..., хп) — -ф(S J (у, у), хи..., хп).
Пусть f — ее геделев номер и e=Sn(f, f). Мы утверждаем,
это е — искомое. В самом деле,
, xlt...,xn). ?
ГЛАВА III
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ
, f),
$ 1. НЕПеЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
АКСИОМАТИЧЕСКИХ ТЕОРИИ
Мы установим неполноту и неразрешимость некоторых ак-
аксиоматических теорий. Большую часть доказательств мы про-
проводим для" конкретной аксиоматической теории' Аг+, но разви-
развитые методы, как мы увидим, будут применимы и ко многим
другим теориям.
1. Теорема о неподвижной точке. Напомним, что если А —
слово в простом алфавите, то через уА мы обозначаем его ге:
делев номер (гл. II, § 4, п. 3). Далее, если m — натуральное
число, то через гп~ или через >п мы обозначим терм языка
Аг+, естественно изображающий натуральное число в языке
Аг+, т. е. терм вида 55 ... 50, где функциональный символ S
берется пг раз (гл. II, § 4, п. 6). Таким образом, для каждого
слова в простом алфавите можно определить терм — естествен-
естественное изображение этого слона в Аг+:
Пусть t(xi;...,xn), r(x\ хп) — термы Аг+, где хх хп —
список различных переменных, среди которых содержатся все
параметры~ термов t и г. Функциональные символы t и г за-
задают примитивно-рекурсивные описания некоторых примитив-
примитивно-рекурсивных функций и, таким образом, сами термы есте-
естественно определяют некоторые примитивно-рекурсивные функ-
функции: F (хи..., хп) и G(xi,..., хп) соответственно.
Лемма. Для всяких натуральных ku ..., kn
1) если F(ki,...,kn) = G(ki,...,kn), то
2)ecAuF(k ,kn)?=G(ku...,kn),ro
Мы не будем доказывать эту техническую лемму (см., на-
например, [3], [4]). Суть ее состоит в том, что система Аг+ обла-
обладает достаточными выразительными возможностями: произ-
произвольное примитивно-рекурсивное вычисление с конкретными
натуральными числами выразимо в Аг+..
Заметим, что мы отнюдь не утверждаем, например, "что если
F(kl,...,kn)=G(ki,...,kn) для всех натуральных чисел k\ kn,
Л. Н. Колмогоров, А. Г. Драгал^н
89
то Ar+h t(xl,...,xn)=r(xu...,xv) со свободными переменный
Х\,...,хп. Как мы увидим позже, это и неверно в общем случ|
Речь идет лишь о выводимости формальных равенств с кс"
кретными натуральными числами kk
Вышеприведенную лемму называют леммой о нумерическс
выразимости примитивно-рекурсивных функций в Аг+. С^
«нумерической» как раз подчеркивает, что речь идет о вывод^
мости конкретных числовых равенств. Если t, r — замкнуть"
термы, то в стандартной модели ш они имеют определенна
числовое значение. Из предыдущей леммы следует, что:
¦ если bp=-t = r, то Ar+ h t = r;
если a \=~\t=r, то Ar+ h~^t = r.
Теорема о неподвижной точке. Пусть А — фо
мула Аг+ и х — переменная. Тогда может быть построена
мула В такая, что
Аг+ь- В =
Здесь А(\В])^А(х\\[В]).
> Фиксируем переменную х._Рассмотрим примитивно-р|
курсивную функцию SUB (у, z) такую, что если, у есть гедел!
•номер некоторой формулы С, то SUB (у, г) есть геделев ном<|
формулы C(x\\z), Функция SUB имеет определенное примите
но-рекурсивное описание, и, следовательно, можно' определи!
соответствующий ей терм Sub (у, z) теории Аг+.
Теперь по данной формуле А построим формулу
A'^A(Sub(x, x)) A
и определим
Отсюда следует, что
и по предыдущей лемме тогда
Ar+ь [B]=Sub{[A'l [A']).
Далее, мы видим, что в Аг+ выводима следующая цепочка э|
вивалентностей:
Здесь первая эквивалентность вытекает из определения (Z
формулы В. Вторая эквивалентность имеет место ввиду ощ
деления A) формулы А'. Третья эквивалентность следует
выводимости C). О
2. Теорема Геделя о неполноте. С помощью геделевой нум
рации выводимость в теории Аг+ может изучаться в рамках с
мой формальной теории Аг+ (см. по этому поводу гл. II, §
п. 7 и § 4, п. 6). В частности, может быть построен примитй!
uo-рекурсивный предикат PRF(y, x), истинный тогда и толь?
90
тогда, когда у есть геделсв номер вывода в Аг+ для формулы с
геделсвым HOMepoMv x. Как всякий примитивно-рекурсивный
предикат, он может быть выражен в форме F{y, x) = \ для не-
некоторой примитивно-рекурсивной функции F, принимающей
лишь значения 0 и 1. Если f — п. р. описание функции F, то
предикату PRF в Аг+ естественно соответствует формула
f(y, x) —SQ, которую мы обозначим через Prf(y, x).
Рассмотрим теперь формулу
Pr(x) -lyPrf(y,x),
которая утверждает, что х есть геделев номер формулы Аг+,
выводимой в Аг+.
Пусть Ао — конкретная формула, отрицание которой выво-
выводимо в Аг+. Например, можно взять в качестве AQ формулу
0=«S0. Рассмотрим замкнутую формулу
, [0=50]).
Эта формула утверждает, что теория Аг+ непротиворечива.
.С помощью теоремы о неподвижной точке определим теперь
замкнутую формулу Геделя v таким образом, что
Исходя из этой эквивалентности, можно Сказать, что форму-
формула v «утверждает, что она сама не выводима».
Лемма 1. Если теория Аг+ непротиворечива, то формула
v не выводима в Аг+. ч
[> Предположим противное, и пусть р — геделев номер вы-
вывода формулы v в теории Аг+. Тогда имеет место PRF(p, yv),
и по лемме п. 1 отсюда Аг+ ь- Prf(p, [v]) и, далее, Аг+ Ь Pr([v]),
что ввиду A) влечет Ar+ f- ~|v. С другой стороны, по допуще-
допущению Аг+ 1- v, и мы заключаем, что теория Аг+ противоречива
вопреки предположению. П
Замечание. Напомним, что теория Т называется непро-
непротиворечивой, если не существует формулы А теории Т такой,
что одновременно Т ь А и Т \-~] А. Теория Т непротиворечива
тогда и только тогда, когда существует формула, не выводимая
в Т. Читателю может показаться, что допущение о непротиво-
непротиворечивости излишне в формулировке предыдущей леммы. Ка-
Кажется очевидным, что это допущение и так имеет место. Теория
Аг+, конечно, непротиворечива. В самом деле, все выводимые в
Аг+ формулы истинны в стандартной модели в в то время,
как, например, формула 0=50 ложна в стандартной модели и,
следовательно, не выводима в Аг+.
Дело в том, что мы хотели бы, чтобы и формулировка, и
доказательство леммы 1 естественно формализовались в теории
Аг+, а, как мы увидим ниже, формула Con как раз не выводи-
выводима в Аг+. Только что намеченное нами выше доказательство
непротиворечивости Аг+ использует некоторые теоретико-мно-
5* . 91
жественные соображения из теории моделей и не может быт
непосредственно переведено в язык^Аг+.
Пусть Т — теория в языке Аг+. Будем говорить, что теорн
Т ^-непротиворечива, если не существует формулы А (у) с од
ной свободной переменной такой, что
1) Т .-ЗуА(у), . . -
2) для всякого натурального m имеет место Т (- \A(in).
Упражнение. Докажите, что. если Т «-непротиворечива,
теория Т и просто непротиворечива.
Лемма 2. Если Аг+ ^-непротиворечива, то в Аг+ не выве.
Зима формула ~\-\.
'•> Предположим противное, и пусть Arf l-~| v. Соглас
A) тогда Аг+ ь- Pr(\v]), т. е. Аг+ ь 3 УРгИУ, М). С другой с
роны, возьмем произвольное натуральное т. Имеем \PRF(n
yv), так как по лемме 1 формула v не выводима. По лемме;.
п. 1,отсюда Аг+ \~~] Prf(mt [v]), и мы получаем ы-противор(|
чие в Аг+. П
Теорема Геделя о неполноте. Если теория Аг
m-непротиворечива, то формула v и формула ~| v не выводи,
в этой теории.
[> Это следствие лемм 1 и 2. D
Замечание: Напомним, что теория называется полно
если для всякой замкнутой формулы А имеем. Т ь А ил
Т* j— | А. Теория Аг+ оказывается, таким образом, неполной.
Формула v истинна в стандартной модели со, таккак. в сш*
леммы 1 не существует вывода v в Аг+ и, следовательно, исти|
на формула ~\Pr([v]). Таким образом, v — пример чистиннс
предложения, не выводимого в Аг+.
Далее, неверно, что Ar+ \-~^Prf(y, [v]) со свободной пер
менной у, так как иначе было бы нетрудно получить и Аг+ |—J
В то же время для всякого конкретного натурального числа
имеем Ar+ i-~\Prf(fh, [v])\ Теории Аг+ как бы не хвата!
«обобщающей абстракции», в силу чего и возникает ее непо|
нота.
Рассмотрим теорию 7"=Ar++~|v, получаемую добавление
к Аг+ в качестве новой нелогичеекой аксиомы (ложного!) р^
ложения ~\v. Теория/ непротиворечива, так как если бы в']
выводилось противоречие, то по законам логики АИ >-. v. T^
не менее теория Т ы-противоречива. Действительно, ~]v эке
валентно JyPrf(y, [v]), так что Т |- ^yPrf(y, M). В то же в|
мя, для всякогр натурального m по лемме 1 \PRF(m, уу),"%
значит, в Аг+ и тем более в Т выводимо ~\Prf(m, [v]).
3. Вторая теорема Геделя. Как формулировка, так и док
зательство леммы 1 предыдущего пункта касаются лишь ко|
структивных объектов и после перехода к геделевым номера
¦ допускают естественную формализацию в рамках теории Atf
Проводя такую формализацию, мы получим, что имеет мес|
утверждение
Ат+h-
92 • ,
Далее, имеет место следующее утверждение:
~]^yPRF(у, yv)=*-(Ar+ непротиворечива).
Р В самом деле, пусть Аг+ противоречива. Тогда в Аг+
выводима всякая формула и, в частности, v. Если D — вывод v
в Аг+, то имеет место PRF(yD, yv) и, следовательно,
^t/PRF(yt yv) вопреки предположению. П
Только что проведенное доказательство допускает неслож-
несложную формализацию внутри теории Аг+, в результате чего полу-
получаем утверждение
Аг+ ь- ~| 3 yPrf {у, [v]) гзСо/г,
т. е. ' ¦
- Ar+hl^r{[у]) =>Соп.
Сопоставляя две полученные выводимости, заключаем ;
С другой стороны, по построению^ имеем
Таким образом, окончательно
Теорема (вторая теорема Геделя). Если теория
Аг+ непротиворечива, то формула Con не выводима в Аг+.
l> Это следствие предыдущей выводимости и леммы 1
предыдущего пункта. ?
Вторая теорема Геделя утверждает факт принципиальной
важности:-непротиворечивость рассматриваемой теории не мо-
может быть доказана средствами самой теории. Для доказатель-
доказательства непротиворечивости теории необходимо привлекать поня-
понятия, выходящие за ее рамки. Так, выше нам удалось установить
непротиворечивость теории Аг+, привлекая теоретико-модель-
теоретико-модельные соображения. Подобным образом можно показать, что не-
непротиворечивость ZF не может быть установлена в рамках са-
самой теории ZF. Очень интересной задачей является отыскание
достаточно убедительных средств, выходящих за пределы ZF.
4. Теорема о неполноте в форме Россера. Как показал Рос-
сер, с помощью подходящего подбора формулы в теореме о не-
неполноте можно заменить' требование «-непротиворечивости на
более слабое требование простой непротиворечивости.
Рассмотрим примитивно-рекурсивную функцию NEG(x) та-
такую, что если х — геделев номер формулы А, то NEG(x) есть
геделёв номер формулы ^А По примитивно-рекурсивному
описанию этой функции можно построить соответствующий
терм Neg(x) теории Аг+.
С помощью теоремы о неподвижной точке построим форму-
формулу р так, что
z, Neg(\p]))).
93
Теорема Россера о неполноте. Если теория Аг
непротиворечива, то в ней не выводимы ни формула р, ни фор
мула ~~\р.
[> Предположим, что Ar+Ь-р. Тогда найдется пг такое, ч-
PRF(m, -ур). Если бы для некоторого I было бы PRF(i
у( р))> то теория Аг+ оказалась бы противоречивой вопрек|
предположению.
Таким образом, имеем
PRF{m, yp)/\{\/z<m) ~\PRF(z, NEG(yp)).
Это примитивно-рекурсивное соотношение может быть выведе,
но в Аг+, и мы получаем
Аг+ \-Prf(m, [p\)/\{\Jz<fh)~\Prl(z, Neg([p])).
Отсюда
Ar+y-ly(Prf(y,lp])A(Vz<y)-\Prf(z,Neg{[p]))).
Но эта последняя формула логически эквивалентна ~| р. 1Щ
ким образом, Аг+ н~| Р> чт0 противоречит допущению Ar+ h j
¦ Допустим теперь, что Аг+ \—~~\ р. Тогда найдется патураль
ное m такое, что PRF(m, NEG(ур)), и по лемме п. 1 тогд
Ar+t~Prf(m, Neg([p])).
Отсюда по законам формальной арифметики получим
Аг+ h(\/y>m) (Jz<^.y)Prf(z, Neg({p])),
и, далее, ослабляя это утверждение,
Ат+\-(\/ys>m)(Prf(y, [р])zpC z<y)Prf(z, Neg([p]))). (l|
Кроме того, имеет место содержательное утверждение
(jy<m)(PRF(y, yp)^(lz<y)PRF(z, JVEG(yp))). B
просто в силу того, что для всякого у преди-кат PRF (у, vp) л<1
жен (иначе было бы Ar+[— p и Аг+ оказалась бы противорщ
чивой).
Примитивно-рекурсивное соотношение B) может быть вё
ведено в Аг+, и таким образом:
Ar+r4V«/<m)(/Vf(j/, [p])=>(lz<y)Prf(z, Neg([p]))).
Сопоставляя A) и C), по законам формальной арифметик
получим
Ar+h\/y(Prf(y, [p]) = Cz<ir)Prf(z, Neg([p]))),
что есть не что иное, как Аг+ Ь р. Таким образом, Аг+ |— р]
Аг+ Ь~|р, и мк опять приходим к противоречию. ?
5. Теорема Леба. Так называется следующая
Теор ем а. Если Ar+h Рг([А]IэА, то Аг+нА
[> По теореме о неподвижной точке найдем формулу »|з т|
кую, что
94
Лемма. Аг+ н- г|5=?-Аг+ f- A.
fc> Пусть Аг+ \— -ф и m — соответствующий вывод. Тогда
PRF(m, y-ty) и, значит, Ат+[-Рг{(т, [ij:]), отсюда Аг+ ь Рг{[^]).
Ввиду A) тогда Аг+Ы|з=Л. По допущению отсюда Аг+
г-А П
Формализуя доказательство этой лез1мы, получим
Ar+h Pr(№)ziPr([A]). B)
Далее, по допущению теоремы имеем
Ar+h Pr([A])Z3А. C)
Из C) и B)
что ввиду A) дает Аг+ h г|). Но тогда по лемме имеем Аг+
ьА ?
6. Неразрешимость. Обозначим через [Аг+]° множество всех
геделевых номеров предложений, выводимых в Аг+ и через
[Аг+]' — множество всех геделевых номеров предложений, опро-
опровержимых в Аг+, т. е.
[Аг+]'^:{7В|Аг+ Ь ~~\В, В — предложение}.
Теорема. Множества [Аг+]° и [Аг+J1 всех номеров выво-
выводимых и соответственно опровержимых предложений Аг+ ре-
рекурсивно-неотделимы.
D> Рассмотрим примитивно-рекурсивные предикаты
W0(x, у) и Wx(x, у) (гл. II, § 5, п. 4). Они задаются арифме-
арифметическими формулами, которые мы также будем обозначать
через Wo и Wlt Как было показано во второй главе, множества
Vo={x\ JyWo(x, у)} я' Vi = {x\JyWi(x,'y)} не пересекаются,
т. е.
x, //)
о{ж, у).
Доказательство этого утверждения можно формализовать в
Аг+ и получить
Ar+ h 3yWi(x, y)zi ~$yWa(x, у). A)
Определим теперь формулу В{х) ^^^yW0(x, у).
Если m^Vo, то существует k такое, что W0(m, k), значит,
Av+h W0(m, k), следовательно, Ar+i-Ji/ Wa(in, у), т. е. Аг*
\- B(m) и, значит, ¦yfi(m)e[Ar+]°. Итак,
m^Vu^yB(m)^[AT+]ty. B)
Пусть теперь
( k) О
тогда существует k такое, что
Щ А+Ь 3 W( )
Wi(m, к). Отсюда Ar+h- W^m, Щ и, далее, Аг+h З Wi(m, у).
Ввиду A) тогда Ar+h~ld yW0(m, у), т. е. Ar+ h \B(m), и,
таким образом, B(m)e[Ar+]'. Итак,
m^Vi^yВ (in) ЩАг+]К C)
95
Предположим противное, и пусть В$, -"В] рекурсивно отде
Ляют множества [Аг+]°, [Аг+]\ т. с. Во, В, — рекурсивно-пер^
числимы,
Определим тогда рекурсивно-перечислимые множества
= {т\yB{ih)<=Bi}. Ввиду B) —D) имеем К{ЕЙ/, а в силу E|
BQ'{\Bi' = 0, Bo'i]Bi' = ti>. Таким образом, оказывается, что ищ
жества Vo, V\ также рекурсивно:отделимы, что невозможно.
Теорема о неразрешимости. Пусть Т — непротивс
речивая теория в языке Аг+, в которой выводятся все нелогй
ческие аксиомы Аг+. Тогда Т неразрешима.
[> Все, что выводится в Аг+, выводится и в Г, так чт
[-7]°=[Аг+]°. Ввиду непротиворечивости Т очевидно [7]0Л[Аг+]Ч
— 0. Если Т была бы разрешимой, то множество [7"]° было б|
рекурсивным. Тогда рекурсивным оказалось бы и дополнени
<в;\[7]° этого множества. Но тогда множества |Т]° и wN?[7
рекурсивно отделяют множества [Аг+]° и [Ar+J1. D
Следствие. Если Аг+ непротиворечива, то Аг+ — нера
решимая теория.
[> Достаточно в теореме взять Аг+ в качестве Т. П
7. Распространение результатов на другие теории. Мы njf]
дробно исследовали теорию Аг+, но все теоремы настоящей
параграфа имеют место и по отношению ко многим Други|
теориям. Достаточно, чтобы рассматриваемая теория Т обла
дала следующими двумд свойствами:
1) она должна быть явно заданной. Это нужно для тог
чтобы на языке арифметики можно было бы говорить о выв
димости в теории, например, чтобы был общерекурсивен пр
дикат PRFT(y, x), и можно было построить соответствующую
арифметическую формулу PrfT(y, x), утверждающую, что
есть геделев номер вывода в теории Г формулы с геделевь
номером х;
2) теория Т должна содержать арифметику Аг+. Это пуж!|
для того, чтобы в рамках теории Т можно было бы вывести н|
обходимые свойства арифметических предикатов и, значит, щ
казать внутри Г необходимые свойства предиката выводимое!
самой теории Т. Понятие «содержать арифметику» при, этом <ы<й
жет трактоваться очень широко. Достаточно, чтобы теория А^
в том или ином смысле интерпретировалась бы в теории Т~, nk
пример, достаточно, чтобы существовал некоторый перевод /|
формул языка Аг+ в формулы теории Т, перевод, обладаюи
свойствами, аналогичными указанным в гл. II, § 4, п. 7.
Теории Аг, Ar+, Ar2, ZF удовлетворяют этим требования^
Следовательно, все эти теории, в-случае их непротиворечив
сти, неполны, неразрешимы и множества их выводимых и оп{
вержимых предложений рекурсивно-неотделимы. Для кажд|
из указанных теорий Т можно рассмотреть арифметически
формулу СопТ, утверждающую, что теория Т непротиворечива:
ConT*=T]lyPrfT(y, [Л]),
где Ае — фиксированное предложение Т, отрицание которого
выводимо в Г.
Если теория Т непротиворечива, то формула СопТ {точнее,
ее перевод в теорию Т) не выводится в Т. В этом,_ и состоит
вторая теорема Геделя, сформулированная применительно к
теории Т.
Мы не будем заниматься далее уточнением класса теорий,
для которых имеют место наши теоремы, а упомянем еще об
одном классическом результате.
Внимательный анализ показывает, что результат о неразре-
неразрешимости Аг+ в п. 6 получается, если вместо всей теори^ Аг+
взять лишь фрагмент Аг~ теории Аг, содержащий лишь конеч-
конечное число нелогических аксиом из Аг. Обозначим конъюнкцию
всех аксиом Аг~ через А. Это — предложение языка Аг. Из
определения выводимости следует, что
где справа стоит выводимость в логике предикатов.
Теорема о неразрешимости исчисления пре-
предикатов. Множество формул, выводимых в исчислении пре-
предикатов {в языке Аг), не рекурсивно.
\> Предположим, что это множество рекурсивно. Тогда су-
существует общерекурсивная функция /такая, что }(уВ) — 1-**-
¦*=*¦ h В для всякой формулы В. Определим тогда общерекур-
общерекурсивную функцию h следующей инструкцией: h\x) равно 0 или 1
и h(x)=l<^~x есть геделев номер некоторой формулы В языка
Аг и f(y(Az=>B)) = \. Тогда ЦуВ) =l^Ar- h-B, и теория Аг~
оказывается разрешимой. ?
§ 2. ТЕОРЕМА ГЕДЕЛЯ О ПОЛНОТЕ
ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ
1. Нетрудно проверить, что всякая формула, выводимая в
исчислении предикатов, является общезначимой, т. е. логичес-
логическим законом. Теорема Геделя о полноте утверждает, что верно
и обратное, т. е. всякий логический закон необходимо "выводит-
"выводится в исчислении предикатов. Таким образом, исчисление пре-
предикатов является адекватным инструментом для, получения ло-
логических законов.
Напомним, что теория Т в языке Q называется непротиворе-
непротиворечивой, если Тне существует формулы С языка Q такой, что одно-'
временно ThC, T \-~\C.
Основным результатом этого параграфа является следую-
следующая ниже фундаментальная теорема о существовании модели,
также, по существу, доказанная Геделем.
97
Теорема. Всякая непротиворечивая теория Т в языке
первого порядка имеет модель.
[> Пусть Q — язык первого порядка и Г — непротиворечн
вая формальная аксиоматическая теория в языке Q. Мы onri
шем некоторую модель М для теории Т.
Ограничимся случаем, когда язык. Q содержит лишь счетно|
или конечное множество символов. Теорема верна и для произ'
вольных языков первого порядка, причем и метод доказатель
ства в основном остается тем же, но возникает необходимост|
в использовании некоторых специфически теоретико-множест;
венных средств, например в так называемой трансфинитм
индукции. * .
Пусть X — множество всех нелогических аксиом теорий
Фиксируем счетное множество V констант, не входящй
в язык Q, и рассмотрим язык W, получающийся Q добавление^
множества V в качестве множества новых констант. Чере
SW обозначим множество всех предложений в языке W. Фикс|
руем некоторое предложение С языка Q и определим т^С
~\С и J_^sCAiC. Пусть Г и Д — конечные множества форм}
языка Ч', Г = {ЛЬ ..., Ат}, А = {Ви ..., Bk}. Через Г->-Д обозначи|
формулу
Если ?>0, m>0, то эта формула эквивалентна Ai/\.../\An
z=)Bi\/...\/Bk. Если т>0, k = G, то Г-»-Д эквивалентна ~\{Ai
,../\Ат). Если m = 0, k>Q, to эта формула эквивалентна В{\
...\JBk- Наконец, при т = 0, k — О эта формула эквивалентна
Пару множеств Y, Z^Stv назовем совместной,' если дл
всяких конечных ГеК, AsZ формула Г^-Д не выводила в и<|
числении предикатов.
Пару множеств Y, Z^Stv назовем полной, если
1) (Af\B)€EY=>A<=Y и Be У;
2) (А/\В) <eeZ=>A<=Z или B^Z;
3) (A\JB)<^Y=$*A<^Y или ВеУ;
4) (A\/B)<=Z^A<=Z и BeZ;
6) (AzdB)zeZ=>AseY и B&Z;
7) ~]A(=Y=>Ae^Z;
8) ~]^4eZ=wl<=F;
9) \/^Л(х)еУ=Ф- для всякого замкнутого терма t языка
A{t)<=Y;
10) \/xA{x)<^:Z=$- существует константа ceV, A(c)^Z;
11) 3•*¦ А{х)еУ=ф- существует ^константа сеV, A(c)^Y;
12) Jx/?(x)eZ=^ для всякого замкнутого терма t языка
A{t)<=Z.
Лемма. Существует полная и совместная пара множес
Y, Z такая, что X^Y.
[> Множества Y, Z будем строить постепенно. На кажда
этапе будут возникать множества Yn, Zn и мы определим ?ш
= U Yn, Z= \}Zn. При переходе к следующему этапу мы увели-
чиваем запас формул, так что Yn^Yn+i, Zn^Zn+\. Добавление
формул производится таким образом, чтобы обеспечить условия
полноты 1) —12) в окончательных множествах Y, Z. Чтобы сис-
систематически обрабатывать все формулы, входящие в Yn, Zn,
удобно занумеровать формулы натуральными числами и рас-
рассматривать их в порядке номеров.
Перейдем теперь к точным определениям. Нумерованным
множеством формул назовем всякое множество F пар вида
{п, А), где п — натуральное число и А — предложение языка
*F. При этом выполняются условия:
a) (л, A)esF, (n, В) t^F=>A = B;
b) существует лишь конечное число нечетных п таких, что
{A)F
{)
Если (п, A)^F, то число п назовем очередью формулы А
в множестве F. По условию, очередь полностью определяет
формулу А в F. Кроме того, лишь конечное число формул име-
имеет нечетную очередь.
По нумерованному множеству F можно образовать множе-
множество формуд
¦ F' = {Ae=Stv\(^nEiai)((n, A)e=F)}._
Нумерованная пара множеств есть по определению пара
нумерованных множеств F, G такая, что из (л, А) е/%
(щ. В) eG следует пфш. В этом случае FUG есть нумерован-
нумерованное множество. Элемент (л, A)eF[jG с наименьшей очередью
назовем очередным в F, G. Вес пары F, G есть натуральное
число К, -определяемое следующим образом. Если FUG не со-
содержит элементов с нечетной очередью, то'А = 0. Если же 2&—1
есть наибольшая нечетная очередь в FUG, то определим h=k.
Таким образом, если h вес F, G, то FUG заведомо не содержит
элементов с очередями 2/j-f-l, 2Л+3 и т. д.
Занумеруем все замкнутые термы языка \F в единую после-
последовательность:
t\
2. —, in
а также все константы из V — в последовательность
С\, Сг, .... Сп, ••••
Приступим к доказательству леммы. Построим нумерован-
нумерованную пару Fit Gj такую, что Ft'=X, G/^CA^C}, перенумеро-
перенумеровав все формулы из F/, G/ четными числами. Вес hx этой пары
равен нулю. Кроме того, каждая из формул F\'\]G\ не содер-
содержит констант, из V, так как принадлежит языку Я. Пара мно-
множеств F\, G{ совместна, так как множество X непротиво-
непротиворечиво.
Далее, индуктивно определим последовательность нумеро-
нумерованных пар Fu Gu F2, G2', ...; Fn, Gn; ... таким образом, что
98
каждое множество формул Fn'[)Gn' содержит лишь конечно
множество констант из V и пара /V, Gn' совместна. Вес парь
Fn, Gn обозначим через hn.
Итак, пусть уже построена пара Fn, Gn, покажем, как следуе
определить Fn+u Gn+i- Пусть (т, А) есть очередной элемен^
пары Fn, Gn. Выбросим элемент (т, А) из того множества F\
или Gn, куда (т., А) входит, и добавим в это же множеств^
новый элемент BЛ„+1, Л). Полученную пару обозначим чере|
Рп, Qn- Очевидно,
/V=/Y, Qn'=Gn'..
Далее, разберем случаи в зависимости от вида элемент!
(т., А) .
1) ( т, A)^Fn, А = АХ/\А2. Тогда Fn+l = Pn\J{ B/in+3, Л,;
{2hn + 5, A2)}, Gn+i = Qn.
Заметим, что пара F'n+i, G'n+i совместна, так как в против
ном случае нашлись бы конечные множества T^F/, Д
такие, что h {Ль Л2}|_1Г-*-Д. Тогда по правилам исчисления пре-|
дикатов К^ДЛгЩГ-^Д и, так как A{f\A2^.Fn', пара Fn',
оказалась бы несовместной.
2) (т, A)^Gn, А = А{/\Аг.
Заметим, что одна из пар
" "" Fn', Gn'[}{Ai}
или
Fn', G/U{A2}
необходимо совместна. Действительно, в противном случае на|
дутся конечные множества Ге/V и AsGn' такие, что t Г-
-*-AUMi} и |- Г-^Ди{Лг}. А тогда по правилам исчисления пр|
дикатов |- Г-^Ди^ДЛг}, и, так как Ai/\A2^Gn', пара Fn', ff|
оказалась бы несовместной. Пусть совместна пара Fn', G/\J{/
Положим Fnii=Pn, Gn+i = QnU{ {2hn+3, Л;}}.
3) (m, Л) efn, A = AX\/A2.
Заметим, что одна из пар
или
необходимо совместна! Действительно, в противном случа
найдутся конечные множества Г и Д, T^F/, Д^С/, такие, чт
1-{Л}иГ-»-Д и ь{Л2}иГ-»-Д! А. тогда 1- {/liV^lUr-wX и пар|
Fn, G,! оказалась бьц несовместной. Пусть, совместна пар
{Ai}\jFn', Gn'. Определим Fn+I =Р„[){ Bhn+3, Л,}}, Gn+,=
4) (от, Л)еОп, А = А1\/А2. Тогда Fn+i=^Pn, Gn+i = (
[}{ Bhn+3, Ai), {2hn+5, Л2)}.
5) (от, A)mFn, A=A\~zdA2. '
Заметим, что одна из пар
• {ЛгЮ/Y, G/
или
Fn',
необходимо совместна. В противном случае для некоторых
T^Fn', A^Gn было бы ь- {Л2}иГ->-Д и i- T-^A[]{Ai}. Но тогда
|— {Ai^>A2}\jr-+& и пара'/7/, Ь„' оказалась бы несовместной.
Если совместна пара {A2}\]Fn, Gn, то определим Fn+i=-
= Pn\J{Bhn+3, Л2)}, Gn+\ = Qn- Если же совместна пара
Fn', Gn'\]{Ay}, то определим Fn+i = Pn, Gn+i = QnU{ Bhn+3, Л,)}.
6)- (m, А)ебл, A = A[zdA2. Тогда
Fn+l = PnU{Bhn+3,Al)}, ¦
Gn+i = QnV{Bhn+b, Аг)}.
¦ 7) (от, A)<=Fn, A=~\AX. Тогда
Fn+l = Pn, Gn+t^QnUi Bhn+3, Л,)}.
8) {in, A)<=Gn, A=~\Al. Тогда
Fn+i = Pn[){Bhn + 3, At)}, Gn+i = Q*.
9) (m, A)^Fn, A=\fxAi(x). Пусть tu ..., tn — первые п
термов в последовательности всех замкнутых термов языка х?.
Тогда
i) + l, Al(ti))\j=\i ..., п), Gn+i=Qn.
10) (т, А) еО„, А=\хА\(х). Выберем первую константу
V, не встречающуюся в F,,'\jGn'. Положим Fn+i = Pn, Gn+i =
= QnU{B/in+3, Л[(с)> }. Заметим, что пара F'n+i, G'n+i совме-
совместна. В противном случае для некоторых T^F/, AsG/ было
бы (— T-+A[){Ai(a)}. Та,к как константа а не встречается в Г и
Д, то в выводе Ь Г->А[]{А1(а)) ее можно заменить на новую
переменную г, не входящую в вывод, и получить вывод I- Г—*¦
ДЦ{Л](г)} и затем по правилам исчисления предикатов полу-
получить ь Г-»-Ди{ V *-4iМ}> что влечет, ввиду \/xAi(x)<=Gn' несов-
несовместность пары Fn', Gn'- ¦
11) (т, A)^Fn, Л=З^Л1(д;). Выберем, первую константу
oeF, не встречающуюся в Fn'\]Gn". Положим /7«+i = PnU{ Bhn +
+ 3, Ai(a))}, Gn+i = Qn- Заметим, что пара F'n+i, G'n+i совме-
совместна.
12) (т, Л)еОя, Л=ЗхЛ1(х). Пусть U, ..., U — первые п
термов в последовательности всех замкнутых термов языка W.
Тогда Fn+i=Pn, Gn+l = Qn\J{B(hn+j) + l, Л,(<;) ) |/ = 1, ..., п).
Наконец, если для элемента (от, Л ) не выполняется . ни
один из случаев 1)—12), то определим Рп+1 = Рп, Gn+i = Qn. Та-
Таким образом, по сравнению с Fn и Gn в этом случае происходит
лишь изменение очереди у очередного элемента, в то время как
F'wF* G'n+l = Gn'.
Теперь остается положить
У= U Fn', Z= U Gn.
100
101
Каждая пара F/, G/ была совместной, откуда и следует совме-|
стнесть Y, Z. Нетрудно проверить и полноту У, Z. Проверим*!
например, выполнение требования 6) полноты.
Пусть (AziB)^Z. Тогда {т, AznB)^Gn для некоторых
и п. Увеличивая в случае необходимости номер п, можно- д^j
биться, чтобы элемент {т, Az^B) был очередным в Gn. По по-|
построению тогда ЛеРв+ь BeC'n+i, т. 6. ЛеУ и BsZ. Лемма|
доказана. П .
Теперь мы можем опирать искомую модель М. В качестве!
объектов модели возьмем множество всех выражений вида pj,j
где t — произвольный замкнутый терм языка Т. Константе с|
языка Q сопоставим объект [с] модели М. Далее,' т-местному|
функциональному символу f языка Q сопоставим функцию Щ
в модели. А именно для произвольных объектов [Щ, ..., [tm] мо*
дели М определим f{[U], ..., [tm])=[f(h, -. tm)\ где справа|
в квадратных скобках стоит замкнутый терм языка \F.
Наконец, m-местному предикатному символу Р языка
сопоставим предикат Р модели М. А именно P([/i]..., j^m])
тинно тогда и только тогда, когда формула P(tu —, tm) принад-j
лежит множеству У, указанному в лемме.
Описание М закончено. Необходимо проверить, что предлс
жения из множества X истинны в Ж С этой целью докаже»
следующие два утверждения, устанавливающие связь множеств
Y, Z с истинностью в модели М. Пусть
А — формула, 'оцененная в модели М, и
А* — предложение языка W, которое получается из А сти|
ранием всех квадратных скобок. Тогда
a) A*eY=>M\=A,
b) A*gZ=>- неверно, что М\=А.
Оба утверждения будем доказывать одновременно индук|
цией по построению формулы А.
Если А — атомарна и Л*еУ, то М\^А по определению ис
тинности в М. Если A*^Z, то ввиду совместности Y, Z имее*|
A* e?Y, и значит, не М\=--А.
Пусть Л=Л1Д^2- Если Л*еУ, то ввиду полноты А{*, Л2*«
еУ. Тогда по индуктивному предположению М\=Аи М|Л
т. е. М\=А\/\А2. Если A*^Z, то, опять-таки ввиду полис
или A2*<^Z. По индуктивному предположению тогда нЦ
{ или не Мк=А2, что означает не M\=Ai/\A2.
Подобным образом рассматриваются и остальные случая
строения А. Рассмотрим еще, например, случай, когда А*=Щ
= ^xAi(x). Если Л*еУ, то ввиду полноты Л1*(а)еУ для н^
которой константы из V. По индуктивному предположенк
Mt=Ai([a]),,T. e. AH=JxAi(x). Если A*<^Z, то йвиду полно-
Ai*(t)^Z для всякого замкнутого терма t языка Т. По
тивному предположению не M\=Ai{[t]) для всякого t и, следв
вательно, не М(= 3 xAt (х). , Г
Теперь, так как Xs.Y, из утверждения а) следует, что Ml-
А для всех ЛеХ и, значит, М есть модель теории Т. П
102
2. Отметим некоторые следствия основной теоремы п. 1.
Теорема (Мальцева о компактност_и). Пусть
X — множество предлоо/сений языка Q. Если каждое конечное
подмножество множества X имеет модель, то и все множество
X также имеет модель.
1> В самом деле, в условиях теоремы X образует непроти-
непротиворечивую Аксиоматическую теорию, так как если бы в X вы-
выводилось противоречие, то нашлось бы конечное множество
Г^Х, Л(- С/\~] С и конечное множество Г не имело бы моде-
модели. По основной теореме X имеет модель. ?
Теорема (о полноте исчисления предика-
предикатов). Если формула А есть логический закон, то А выводится
в исчислении предикатов.
|> Можно считать; что А есть предложение, замыкая в слу-
случае необходимости А кванторами общности. Если А не выво-
выводится в исчислении предикатов, то теория Т с единственной не-
нелогической аксиомой ~\А непротиворечива (так как из П ^ Ь-
С/\~]С следует |— А). По основной теореме тогда ~|А име-
имеет модель М. Но тогда неверно, что М t=A, и, значит, Л не есть
логический закон: ?
3. Добавим к языку Аг новую константу с и к теории Аг
добавим бесконечную серию нелогических аксиом 0<с, 1~<с,
2<с, ... . Здесь h есть терм вида SS ...'SO, соответствующий на-
натуральному числу п.
Каждая конечная подтеория полученной теории Т имеет
модель. В самом деле, если в конечную подтеорию входят
лишь аксиомы п<Сс с числами п, меньшими /, то достаточно
взять стандартную модель ы и сопоставить константе с чис-
число (/+1).
По теореме о компактности вся теория Т имеет модель. Эта
модель будет, конечно, и моделью Аг,'но это будет нестан-
нестандартная модель, неизоморфная &. Действительно, константе с
в этой модели соответствует объект, больший, чем все стан-
стандартные объекты, соответствующие обычным натуральным
числам 0, 1, 2, ... .
Заметим, что это имеет место, несмотря на известную тео-
теорему о категоричности натурального ряда. Мы уже обсуждали
этот эффект в главе о теории множеств.
4. Если язык первого порядка Q содержит не более чем
счетное множество символов, то модель М для непротиворечи-
непротиворечивой теории Т, описанная в основной теореме, оказывается счет-
счетной. Отсюда следует факт, являющийся вариантом так назы-
называемой теоремы. Левенгейма—Сколема.
Теорема. Пусть Q — язык первого порядка со счетным
множеством символов и Т — непротиворечивая теория в языке
Я. Тогда теория Т имеет модель со счетным носителем.
В частности, если- Q — язык первого порядка со счетным
множеством символов и М — произвольная модель для языка
103
Q, то существует и счетная модель М' такая, что
Здесь через Tho(M) мы обозначаем множество всех предложу
ний языка Q, истинных в модели М.
В общепринятой терминологии это замечание можно сфор|
мулировать следующим образом: всякая модель в счетное язь'
ке элементарно-эквивалентна счетной модели.
5. Из полученных результатов следует, что если теория мне
жеств ZF непротиворечива, то она имеет счетную модель. И эт
несмотря на то, что в ZF можно доказать существование не|
счетного множества! Это и есть так называемый парадокс Скщ
лема, который мы уже обсуждали (гл. I, § 6, п. 5). Еще ра
подчеркнем, что указанное обстоятельство не является пара
доксом в собственном смысле этого слова и никакого протя
воречия в полученном результате нет.
§ 3, ТЕОРЕМА ОБ УСТРАНЕНИИ СЕЧЕНИЯ
1. Ключевую роль в теории доказательств играет поняти
выводимости в исчислении предикатов. Поэтому важно преоё
разовать выводы в исчислении предикатов к виду, удобно»
для обнаружения выводимости. Это существенно и потому, чт
в настоящее время актуальна задача автоматического пойся
вывода в аксиоматических теориях с привлечением вычисли
тельных машин. Основой большинства методов поиска выво
в исчислении предикатов является знаменитая теорема Г. Ге|
цена об устранении сечения, полученная в 1934 году, вариан
которой мы изложим в этом параграфе.
Фиксируем некоторый логико-математический язык Q..
Набором формул мы назовем конечное множество форму
языка Q, в котором допускаются повторения формул. Поряди
формул в наборе Г не имеет значения, но для каждой формул
указано, в скольких экземплярах она присутствует в Г- В сое
ветствии с этим следует трактовать и операции над набррам|
Например, при объединении TLJA наборов количество экземш
ров каждой формулы суммируется. Объединение Г11Д мы
дем коротко записывать в виде ГД, так что ГД и ДГ есть од
и тот же набор. Набор AT получается из набора Г присоедин
нием одного экземпляра формулы А
Секвенцией назовем фигуру вида Г-»-Д, где Г и Д — набор
формул. *
Сформулируем теперь некоторое исчисление, в котором
дут выводиться секвенции, Аксиомы, этого исчисления суть пр
извольные секвенции вида
АГ-+АА,
где А .— произвольная атомарная формула Q.
Правила вывода исчисления секвенций построены весьма
симметрично и вводят логические связки слева и справа:
, ВГ-ч-Д;1Г->- АЛ . ч ЛГ->-ДВ
(Л->)
(V-)
(Л =э В) Г — i
АВГ -»-А
(А Л В) Г - Д
ЛГ-»А;ВГ->А.
:) 1Г-Д^' ¦
1 ЛГ->-Д ¦ '
; (-*¦ л)
(-*- V)
Г -»- А (Л =, В)
> АЛ; Г -*- Afi
- А (А Д В)
-+-ААВ
г —д(лув) '
"D-
Гч-Д -] А '
\3 Г
^А . _. Г-^А-
Д Г
Здесь в правилах (-»-V). C-*-) переменная х не входиг
свободно в нижнюю секвенцию рассматриваемого правила вы-
вывода.
Выводы в исчислении секвенций мы будем записывать
в виде деревьев аналогично выводам в исчислении предикатов
(см. введение). Высота вывода по-прежнему есть количество
секвенций в наиболее длинной ветви вывода. Кроме того, мы
не будем делать различия между формулами и секвенциями,,
отличающимися лишь переименованием связанных переменных.
Таким образом, если имеется вывод с нижней секвенцией S^
то этот Же вывод считается автоматически и выводом любой,
секвенции, полученной из S переименованием связанных пере-
переменных.
Будем писать (- Г-^Д, если секвенция Г-кД выводима в на-
нашем исчислении секвенций.
Выводы в исчислении секвенций имеют замечательную осо-
особенность: секвенции, расположенные выше всякого правила
|! вывода, .состоят лишь из подформул формул в секвенции, рас-
расположенной в заключении правила вывода. Коротко говоря,
при рассмотрении,правил вывода «снизу вверх» 'формулы в сек-
секвенциях лишь дробятся, никакие посторонние формулы не по-
появляются. В этом и состоит так называемое свойство подфор-
мульности исчисления секвенций. Это обстоятельство во мно-
многих случаях чрезвычайно облегчает поиск вывода данной сек-
секвенции. ,
.Основной результат параграфа состоит в том, что описан-
описанное исчисление секвенций эквивалентно обычнодау исчислению»
предикатов, и таким образом поиск вывода в исчислении пре.-
дикатов эквивалентен поиску вывода в нашем исчислении сек-
К венций. Для доказательства основного результата нам придет-
придется подробно исследовать исчисление секвенций. Ключевым
104
105-
фактом здесь является теорема об устранении правила сечет
Так называется следующее правило вывода:
Г.-» АЛ ; AV ->- А
Теорема утверждает, что это правило допустимо в исчислен^
¦секвенций, т. е. если в исчислении секвенций выводимы посы;
ки Г->-ДЛ и ЛГ-*-Д этого правила,- то необходимо выводима;
¦секвенция Г->-Д, являющаяся заключением рассматриваемо!
правила/ Таким образом, если в выводах использовать наряд
¦с другими и правило сечения, то теорема утверждает, что ^
применения правила сечения можно, затем устранить и noj
чить вывод без сечений. -t
Заметим, что наша версия исчисления секвенций несколь|
¦отличается от той, которую использовал Геицсн (см. [15]).
2. Лемма. Для всякой формулы А языка Q имеем
h AT-+AA
> Доказательство проведем -индукцией по количеству
тических символов в А. Если А — атомарная .формула,
наша секвенция является просто аксиомой." Рассмотрим ,
сколько случаев индукции, оставляя остальные случаи чш
-гелю. .
Пусть А=В/\С. По индуктивному предположению у-
~-*-АВ и У-ВСГ-^АС. Тогда по правилу (->-Л) имеем ь
-+А(В/\С) и затем по правилу (Д->-) н (ВДС)Г-кДEД
Пусть А=\/ хВ(х). Пусть z — переменная, не входяш^
¦свободно в секвенцию V ХВ (х) Г->-Д У хВ (х). По индуктивно^
предположению |— В (г) V' хВ (х) Г-+АВ (z). По правилу (V"
¦отсюда имеем ь- \/ хВ (х) Г—+АВ (г) и затем по правилу (-
•окончательно получаем h\/хВ(х)Г—А\/хВ(х). ? ¦ .
3. Если 5 — секвенция, то через .S(#|IO обозначим резул
тат правильной подстановки терма t вместо свободных bxoj
денйй переменной х в каждую формулу, член этой секвенщ!
Лемма. Если h S, z — переменная и t — герм,
\-S(z\\i), причем вывод результирующей секвенции имеет ту *
высоту и то же количество секвенций, что и данкый вывод. 1
О Доказательство проведем индукцией по построению да
¦ного вывода f-S. Если 5 — аксиома, ro.S(z\\t) — также
сиома. ;•
Далее следует рассмотреть все случаи, когда 5 получе!
по одному из правил вывода. Рассмотрим для примера члщ'
случай, когда 5 получена по правилу (-*-\f). Тогда 5 име
вид Г->Д Vу А и получена из секвенции вида Г-^>-АА(у\\х),
переменная х не входит свободно в 5.
Выберем переменную и, отличную от всех переменных,
турирующих в рассматриваемых формулах и термах. По ^
дуктивному предположению из выводимости Г-»-ДЛ(«/||х) с|
дует выводимость секвенции Г->-А(А(у\\х) (х\\и)), т. е. сека
106
ции Т-*АА(у\\и). Вновь используя индуктивное предположение,.
получим, что выводима секвенция r(z\\t)-*-A(z\\t)A(y\\u)(z\\t).
Применяя затем правило (^V). заключаем, что ,|- Г(гР)->-~
^A(z\\t)\/ и(А(у\\и) (z\\t)). Но с точностью до переименования,
связанных переменных формула V и(А(у\\и) (z\\t)) совпадает
с {\/уА) (z\\t). Таким образом, полученный вывод доставляет »
вывод секвенции
r(z||0^AB||t)(V^)(zll0- ?
4. Лемма. В исчислении секвенций допустимы следующие-
^правила добавления: - t
ЛГ-»Л ' Г-»ДА '
Допустимость означает, что из выводимости секвенции Г-»-Д.
[вытекает, что и обе секвенции ЛГ^-Д и Г-»-ДЛ также выводи-
выводимы. Более того, можно утверждать при этом, что результирую-
гщие выводы имеют не большую высоту и не больше секвен-
1,ций в своем составе, чем данный вывод.
и [> Доказательство ведем индукцией по высоте данного вы-
вывода f- Г->-Д. Если Г-*-Д — аксиома, то аксиомами являются и
обе секвенции ЛГ-кД, Г->-ДЛ. Далее -следует разобрать все-
случаи, когда Г^-Д получена по одному из правил вывода..
Пусть, например, Г^-Д получена по правилу C~^)- В этом-
случае Г-»-Д имеет вид 3 уВГ'-*-А и получена из секвенции;
вида В(у\\х)Т'->-А. Выберем новую переменную и, не фигури-
фигурирующую в рассматриваемых секвенциях. По предыдущей лемме
|имеем h В(у\\х) {х\\и)Г'-*-А, т. е. J- В (у\\и)Т'-^А, причем высота
и количество секвенций в полученном выводе не меняются. По»
индуктивному предположению далее 1-В(//||и)ЛГ"^>-Д и.
I- В(у\\и)Т'-+АА. Отсюда по правилу C->-) выводим
j и(В(у\\и))АТ'~>-А, 3 и(В(у\\и))Т'-+АА, что с точностью до^
в переименования связанных переменных -совпадает.с искомыми
|! секвенциями. Переименование переменной х в новую перемен-
| ную и в этом рассуждении нам понадобилось, чтобы после до-
*¦ бавления формулы Л выполнялись бы ограничения на пере-
переменные в применении правила C ¦**¦)¦ П
15. Лемма. В исчислении секвенций обратимы все правила
.; вывода. Это означает, что если выводимо заключение какого-
i либо правила вывода нашего исчисления секвенций, то выво-
выводимы и (обе) его посылки. При этом вновь можно утверждать,,
что результирующие выводы имеют не большую высоту и не
большее количество секвенций, чем данный вывод.
> Для. правил (у -*¦) и (-> 3) это следует непосредствен-
непосредственно из допустимости правила добавления (п. 4). Для каждого-
из остальных правил, вывода лемму доказываем отдельно ин-
индукцией по высоте вывода заключения.
; Рассмотрим, например, правило (=>->). Пусть дано ь- (Лгэ
¦ В) Г->-Д, докажем, что h- BT-+A и h Г-^-ДЛ индукцией по вы-
10Г
«соте данного вывода. Если исходный вывод есть аксиома, j
•обе результирующие секвенции также являются, аксиома!
(здесь существенно, что формула AzdB не атомарная, в то в|
мя как формулы, фигурирующие явно в формулировке акс'
•ом, атомарны). Далее следует рассмотреть случай, когда сё
венция (л^>В)Г->Л получена по одному из правил Bbmoj
Здесь существенны дв,а подслучая: а) указанное правило
¦относится к явно выписанной формуле Az^B;-b) когда это пр
вило относится к указанной формуле. - ¦,
В случае а) рассуждения однотипны. Пусть, ¦ иаприма
(Лг>В)Г-»-Д получена по правилу '(->-¦; ). Тогда эта секвенц|
имеет вид (AzdB)T —А' \-уС и получена из секвенции (А
z^B)T-*-A'C(y\\x). По индуктивному предположению выводи»]
секвенции ВТ-+А'(С (у\\х)) и Г-+А'А(С(у\\х)).. Применяя к н|
- правило (-»-у ), получим искомые секвенции. |
В случае Ь) утверждение тривиально. Искомые секвенц|
лвЛяются посылками правила вывода {zd—*-) и, следователь^
выводимы. П
6. Лемма. В исчислении секвенций допустимы, правь
сокращения'
' ' А4Г-*-Л Г-+ДЛЛ
ЛГ — Д ' Г -, АЛ '
т. е. из выводимости посылок этих правил следует и вывс„
жость их заключений, причем опять-таки высота и количес^
секвенций в выводах заключений не превосходят этих же Щ
казателей в выводах' соответствующих посылок. ¦
> Для всякого натурального п установим следующее .
верждение: если дан вывод секвенции 5 такой, что либо сле|
либо справа, в 5 повторяется некоторая формула А (т. е|
имеет вид ААГ^А или Г->-ЛЛЛ), причем данный вывод им
высоту <я, то выводима и секвенция 5', полученная заме1
двух отмеченных экземпляров формулы А,одним экземпляр
(т. е. S' щлеет вид ЛГ-*-Д .или соответственно Г-»-ДЛ); Ц
этом вывод 5' имеет не- большую высоту и не большее колий
ство секвенций, чем данный вывод 5. \
Указанное утверждение докажем индукцией по п. При л«
секвенция S оказывается аксиомой. Но тогда 5' также, очевя
но, является аксиомой. »
Далее следует разобрать все случаи, когда секвенция |
лолучена по одному из правил вывода. Здесь существенны
подслучая:
а) правило, по которому получена 5, не касается ни однс™
из рассматриваемых экземпляров сокращаемой формулы |
Ь) правило, по которому получена 5, касается одного из
земпляров сокращаемой формулы А.
В случае а) рассуждения однотипны. Пусть например,.
имеет вид» ЛЛГ-*-Д'(Сг)О) и получена по правилу -{->-гэ)
секвенции AACT_^*-A'D. Из выводимости этой последней
108 -
|венции и индуктивного предположения следует, что выводима
секвенция ACT-*-A'D. Затем, применяя правило (-»-:э) к этой
секвенции, получим вывод секвенции 5'.
В случае Ь) существенна обратимость правил вывода. .До-
.Допустим, например, что Л имеет вид (С=>?>) и секвенция S имеет
вид (С=>?>) (С=эЬ)Г—>-Д и получена по правилу вывода. (=>-*-)
из двух секвенций D (С:э?>)Г->Д и (С:э?>)Г-»-ДС. Используя
^обратимость правила (,^>->-), из выводимости последних Двух
! секвенций заключаем, что выводимы и. секвенции DDY->-&. и
Г—>-ДСС, причем с помощью выводов не'большей сложности,
чем соответствующие выводы предыдущих секвенций. По ин-
индуктивному предположению отсюда заключаем, что выводимы
и секвенции DT~>-A и Г-*-ДС. По правилу (:э-*-) отсюда полу-
получим вывод (С1э/))Г->Д.
Рассмотрим еще'случай, когда секвенция 5 имеет видТ-*-
& ЗуВ (у) 3 У В (у) и получена из секвенции Г-*-
AB(t) JyB(y) ^yB(ij) по правилу вывода (-»3)- Твг,да по
индуктивному предположению Ь- Г-+АВ (t) 3 у В (у) и к этой
последней секвенции достаточно применить правило (->- J).
чтобы получить вывод S'. ? ¦
7. Теорем'а Ген цен а. В- исчислении секвенций допус-
допустимо правило сечения:
Г-*АЛ; ЛГ->А - ' .
г-»д '
|> Утверждение докажем индукцией по количеству логиче-.
| ских связок в формуле А. При фиксированной сложности А
\ утверждение будем доказывать индукцией по сумме высот
данных выводов Т-+АА и ЛГ-*-Д.
Начало этой двойной индукции состоит в рассмотрении
• случая, когда Л — атомарная формула и.обе выводимые сек-
секвенции суть аксиомы. Мы утверждаем, что в этом случае Г->-Д
также является аксиомой. В самом деле-, если ЛеГ и ЛеД,
то это очевидно. Пусть, например, Ае?Т. Тогда ввиду того что
Г-*-ДЛ является аксиомой, найдется атомарная формула В
такая, что ВеГ и ВеД. Но тогда Г-+-Д является аксиомой.
Разберем теперь несколько случаев индукции.
Пусть А имеет вид (Сз?>) и дано Ь Г-»-Д ^?:ol>) и
Ь (Cz^D)T->-A. Ввиду обратимости правил (*-*-^) и (=>-*-)
выводимы секвенций СГ-кДД КГ-»-Л, Г-*-ДС. Применяя прави-
правило добавления к ?>Г->Д, получим Т ЬсГ->-Д. Из F- СГ-»-Д?> и
¦ t- ?>СГ-*-Д по правилу сечения (его можно применить в силу
индукции по сложности формулы) получим >- СГ-»-Д. Затем
применим правило сечения с секвенцией Ь Г—>-ДС и получим
¦ Ь- Г-^Д'. ¦
Пусть А имеет вид 3 ХВ (*) и дано f- Г->-Д 3 х& (х) и
1~ 3 ХВ {х) Г-»-Д. Если Т-*-А^хВ(х) есть аксиома, то Г->-Д —
также аксиома, и поэтому г- Г->Д (мы пользуемся тем, что
3 хВ(х) — не атомарная формула). Пусть r-*-A3*S(*) полу-
109
ченапо некоторому правилу вывода. Здесь следует разобрг
два подслучая: а) это правило вывода не относится к рассма
риваемому вхождению ^хВ(х) и Ь) это правило вывода ее
(—>-3")> относящееся к рассматриваемому вхождению 3 xB{i
В случае а) рассуждения однотипны для всех прави!
Пусть, например, Г->-Л 3 *# (*) имеет вид Г-*-Д'~|?>3*#(х) I
получена из DT-^-A'^xB(x) по правилу (-*-"~1)- Из данной bi|
водимости 1~3*?(#)Г-*-Д'П D ввиду обратимости правил
(-»-^) заключаем \-^хВ(х)пТ-+А', причем высота этого по
леднего вывода не больше, чем высота вывода секвенци
3 хВ(х)Т-*А'~] D. По индуктивному предположению (индукця
по сумме высот выводов) применим сечение к DT-+-A' ^хБ
и 3 хВ (х) DT—>~A' и получим в результате — DT-+A'. После
го применим (-*-"]) и получим (- Г—>-Д.
В случае Ь) секвенция Г-*-Д ^хВ(х) получена по правил
(->-3) из секвенции Г->-ДВ(<) ^хВ(х). Из данного выво|
|— ~^хВ(х)Т-*А по правилу добавления получим ь ^хВ(х)Г1
-*-AB(t), причем высота результирующего вывода не увеличу
вается. По индуктивному предположению (индукции по сумь
высот выводов) применим сечение к
и получим h Г-нДЙ (t).
Далее, из |—'3хВ(х)Г-э-Д ввиду обратимости правила
получим у- В (у) Г-*Д с новой переменной у. Затем по ^
о подстановке (п. ) отсюда получим)— В(t)T-*~A. По предп|
ложению индукции (индукции по сложности формулы) моха!
применить сечение к T-^AB(t) и В(/)Г->Д и таким образом тщ
лучить (— Г->-Д. ?
8. Теперь мы готовы установить эквивалентность исчислени|
предикатов и нашего исчисления секвенций. Эта эквивален!
ность формулируется в двух следующих леммах.
Лемма. Если в исчислении предикатов выводится
А, то в исчислении секвенций выводится секвенция -гА.
!> Доказательство проведем индукцией по построению
вода \- А в исчислении предикатов. Сначала следует .вывес
в исчислении секвенций все аксиомы исчисления предикато]
Это несложное упражнение на выводимость в исчислении cei
венций. Рассмотрим лишь два примера.
Установим ь -с(А =>С) =>. (ВгзС) => (А\/В=>С).
В самом деле, по лемме п. 2 ь (AzdC),(BzdC)-*~(AzdC)
Ввиду обратимости правила (-э-з) тогда
У-А-=>С, ВгэС, А-+С.
Аналогично имеем
Ь AzdC, Br)C, B-+C.
Из этих двух секвенций по правилу (V~*") выводим
Ь AzdC, В=>С, A\JB-+C.
Применяя несколько раз правило (-*:э), выведем требуемую
секвенцию.
Установим 1—*-\/x(C=>A(x))i3, Czd\xA(x), где С не со-
содержит свободно х. По лемме п. 2
\ По правилу (У->-) отсюда
Ввиду обратимости правила
имеем
Применяя (-
-V). получим
i-\fx(Cz3A(x)),
(заметим, что ограничения на переменные в этом правиле вы-
выполнены именно потому, что С не содержит свободно х). При-
Применяя к последней секвенции несколько раз правило (—>-z5),
получим выводимость требуемой секвенции.
Далее необходимо проверить, что правила вывода исчисле-
исчисления предикатов сохраняют выводимость в исчислении секвен-
секвенций. Пусть, например, I >А и \ >(AzdB). Покажем, что
в этой ситуации i—+В.
Ввиду обратимости правила (-*-^>) из I—>-(Л:эВ) следует
\- А-+В. Из Ь—>-А по правилу добавления получим | >В, А.
Теперь остается применить сечение к выводимым секвенциям
->-В, А и А-^-В, в результате чего и получим секвенцию ->~В. П
Для каждой секвенции Г-»-Д определим некоторую формулу,
(Г->-ДH i— перевод секвенции в формулу исчисления предика-
предикатов. А именно перевод Аи -.., Ап-*-В\, ..., Вт есть по определе-
определению формула Ax/\...f\An^B{\J...\JBm. Перевод секвенции
->-Bi,...,Bm есть формула B\\J...\jBm- Перевод секвенции
Аи ,.., Ап~>- есть формула ""КЛЛ-ЛАО- Наконец, перевод
секвенции -*¦ есть формула А/\ /) А для некоторой фиксирован-
фиксированной формулы А.
Лемма. Если секвенция S выводится в исчислении секвен-
секвенций, то формула S° выводится в исчислении предикатов.
[> Необходимо убедиться, что перевод всякой аксиомы ис-
исчисления секвенций выводится в исчислении предикатов и что
перевод всякого правила вывода допустим в исчислении преди-
предикатов. Проверить все эти факты можно С помощью техники ес-
естественного вывода в исчислении предикатов (см. нашу книгу
[1]), но можно воспользоваться и теоремой о полноте исчисле-
исчисления предикатов и убедиться, что если переводы посылок не-
некоторого правила вывода исчисления секвенций являются логи-
логическими законами, то логическим законом является и заклю-
заключение. ?
110
111
§ 4. О ПРОГРАММЕ ГИЛЬБЕРТА ОБОСНОВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
1. Пример наивной теории множеств показывает, что прж
влекательная математическая теория может оказаться внутрея
не противоречивой. Причины этого можно искать в своеобр|
зии
а) объектов исследования в математике, .
б) способов рассуждения относительно этих объектов.
Объекты исследования в математике не являются, как npjj
вило, экспериментально наблюдаемыми, это мысленные объе!
ты, возникающие как результат сложной" многоступенчато
абстракции действительности. В самом деле, в каком имени
смысле, существуют иррациональные числа, неизмеримые мн|
жества действительных чисел, функция Дирихле, нигде
плотное совершенное множество Кантора и т. п.?
Способ рассуждения относительно таких сложных объекте
также получается путем сложной экстраполяции способ|
рассуждения, применяемых в обыденной жизни или по крайнч
мере в обычном научном обиходе. ~ L
Однако так применяемые способы рассуждения по отнЦ
шению к мысленным объектам могут вести к неожиданнв
следствиям. Например, математик, склонен, по-видимому, сч
тать, что множество точек в трехмерном координатном евкл
довом пространстве {(х, у, z)\yxz+y2+z2<\] служит хорош|
моделью геометрического тела — шара в трехмерном простра|
стве. Т«м не менее в ZFC можно доказать, что этот «ша|
можно разбить на четыре подмножества, из которых с
мощью, движений в евклидовом пространстве можно сложв
два шара, равных первоначальному!
Такого рода следствия вызывают подозрение, что ряд
тов", полученных в рамках определенной математической те
рии, даже непротиворечивой, просто не имеет никакого ,
шения к физической реальности и является результатом сли|
ком далеко зашедшей экстраполяции! Это, в свою очередь,
зывает ряд трудных философских вопросов, касающихся це
ности математического рассуждения, убедительности математ
ческого рассуждения, соответствия между установленными м_
тематическими фактами и законами окружающего нас мирЦ
Далее, может вызывать беспокойство принципиальная и
полнота математических теорий- Как мы уже отмечали, дон
зано, что многие- интересные теоретиков множественные утверз
дения- (например, континуум-гипотеза) не могут быть ни выв
дены, ни опровергнуты в системе ZFC. При этомне видно
¦каких интуитивно очевидных принципов, которые следовало
добавить к ZFC, чтобы решить вопрос об истинности таких
верждений. Напротив, эксперименты показывают, что моя
предложить равно содержательные и математически интер<|
ные аксиоматики, расширяющие ZFC, в которых вопрос об
П2
тинности рассматриваемых утверждений решается по-разному.
Это вновь наводит на мысль, что принципиально неверно ста-
ставить вопрос о том, истинна ли континуум-гипотеза «на самом
деле». Никакого «самом деле» нет. Континуум-гипотеза есть
' утверждение о мысленных объектах, и вопрос об ее истинности
существенно зависит от способов рассуждения, применяемых
, к таким объектам.
Гедель доказал, что всякая достаточно богатая и эффектив-
эффективно аксиоматизированная формальная аксиоматическая теория
необходимо неполна. Таким образом, невозможно эффективно
описать в виде формальной аксиоматической теории даже та-
такую сравнительно узкую область математики, как теория нату-
натуральных чисел. Более того, при попытке такого описания най-
найдутся суждения, независимые от построенной теории, т. е. та-
такие, что без противоречия можно присоединить как суждение,
гак и его отрицание. По теореме о существовании модели
(§ 4) тогда и теория с присоединенным суждением, и теория
с отрицанием суждения обе имеют модели, что вновь можно
рассматривать как довод в пользу отсутствия некоторой «нас-
«настоящей, единственно правильной» теории.
Наконец, классический способ рассуждения часто ведет
к тому, что доказывается существование объектов и в то же
время не указывается никакого способа построения этих объ-
объектов, даже если речь идет об объектах простой природы,
которые в принципе можно было бы эффективно задавать.
Например, доказывается, что всякая непрерывная на отрезке
функция достигает максимума в некоторой точке, однако пред-
предлагаемое доказательство не дает никакого способа .отыскания
этой точки. В пользу этой теоремы часто приводят два следую-
следующих довода: во-первых, эта теорема кажется . геометрически
очевидной, во-вторых, никому не удалось пока придумать при-
пример непрерывной функции, не имеющей на отрезке максимума,
и тем самым опровергнуть теорему^ На первый довод можно
ответить, что он не имеет отношения к делу. Факт может быть
геометрически и очевиден, но мы в этой теореме имеем дело
не с интуитивной геометрией, а с некоторой точной теоретико-
множественной моделью непрерывности, и вопрос состоит
в том, достаточно ли соответствует эта модель интуиции. При-
Приводимое "довольно хитроумное теоретико-множественное дока-
доказательство как раз и призвано убедить нас, что модель выбра1
на удачно. Но мы оспариваем сейчас именно это доказательст-
доказательство, а не интуитивную очевидность факта. Что касается второго
довода, то мы и без этой теоремы знаем, что некоторые непре-
непрерывные функции имеют максимум. Весь смысл теоремы состоит
в том, что для всякой непрерывной функции найдется точка,
в которой достигается максимум. Но что значит слово «найдет-
«найдется» р этой теореме и в чем ценность такого доказательства су-
существования объекта, когда не дается никакого способа его по-
построения?
¦у ' из
2. Мы видим, что как объект исследования, так и споса
рассуждения традиционной математики, и прежде всего теор|
тико-множеетвенной математики, вызывают серьезную критику
Неограниченное использование теоретико-множественны;
концепций ведет к парадоксам. ;
Неясно, в какой мере объект исследования в математик
адекватно соответствует реальности- ;
Способ рассуждения в математике приводит к нёэффектш
ным доказательствам существования даже в случае простьй
объектов исследования. I
Причины парадоксов можно видеть в способах образован^
понятий, например в использовании неограниченной аксиом!
свертывания. , «
Чтобы избежать парадоксов, достаточно пользоваться <щ
раниченной теорией множеств, например в рамках системы' Це
мело—Френкеля. Труднее справиться с остальными возраж
ниями. Кроме того, остается неясным, будет ли система Це
мело—Френкеля непротиворечивой. Пока у нас имеется ли
прагматическое наблюдение, что известные парадоксы обычн
образом не выводятся в этой системе.
Неэффективность в математике связана с тем обстоятел-
ством, что способы рассуждения, относящиеся "к конечным мне*
жествам, были экстраполированы на бесконечные совокупное
ти. Действительно, пусть, например, Р(х) некоторый предикат1
где переменная х рассматривается как пробегающая натураль
ные числа. Утверждение 3 хР (х) V 3 хР {х) рассматриваете^
как безусловно верное (это частный случай закона исключен»
ного третьего), но как узнать, что именно верно ^хР(х) ил*
~| 3 хР(х)? Мы можем последовательно перебирать натуралй
ные числа 0, 1,2, ... и убеждаться последовательно, что -\Р@У
"^P(l), ..., но ввиду бесконечности множества натуральных чи
сел таким способом невозможно-убедиться ~]^хР(х). Надеж
да может состоять лишь в удачном отыскании натурального
для которого Р(п).
Можно отметить также, что современные физические пре
ставления не дают оснований считать, что в природе имеют*
актуально существующие бесконечные множества. Математ
ка же довольно часто оперирует с бесконечными множествам
такими, как ш, Р(ш) и т. д., как с некоторыми законченными
данными объектами исследования. В этом состоит применен
абстракции актуальной бесконечности в математике. Мног..
математики, начиная с Гаусса, возражали против применени
этой абстракции, тем не менее актуально бесконечные множ
ства широко и существенным образом используются в совр1
менной математике..
Более осторожным является применение в математике абст
ращии потенциальной осуществимости, когда мы признае
лишь возможность неограниченного продолжения построени
отвлекаясь от технических, временных трудностей, но не счи
114
ем, что существует множество всех результатов этого построе-
построения. Такого рода абстракции вполне достаточно, например, для
построения большей части теории натуральных чисел.
3. Радикальный подход к решению обсужденных выше труд-
трудностей был предложен Гильбертом в серии работ 1926—1928 гг.
Он предложил разделить суждения классической математи-
математики на действительные (или реальные) и идеальные. Только
действительные Предложения рассматриваются как имеющие
содержательный смысл. Действительные предложения должны
относиться только к простым конструктивным объектам, не
должны использовать актуальной бесконечности. Понимание,
в каких случаях действительное предложение истинно, не долж-
должно вызывать возражений с точки зрения предыдущей критики.
Идеальные же предложения могут быть сколь угодно сложны-
сложными, они присоединяются к действительным только с целью си-
систематизации теории, для облегчения выводов действительных
предложений. Сами по себе идеальные предложения могут и
не иметь содержательного смысла.
Рассматриваемая математическая теория позволяет выво-
выводить как идеальные, так и реальные суждения. Важно лишь,
чтобы для теории выполнялся следующий принцип корректнос-
корректности: всякий раз, когда в рассматриваемой теории выводится
действительное суждение, оно оказывается истинным с точки
зрения содержательного смысла.
Конкретизируем эту идею следующим образом. Рассмотрим
формальную аксиоматическую теорию ZF. Это очень богатая,
выразительными возможностями теория, имеющая дело с очень
сложными объектами исследования, в том числе и с актуально
бесконечными множествами.
Как нам хорошо известно, в теории ZF интерпретируется
теория Аг — формальная арифметика. Фиксируем в языке Аг
класс 5 предложений вида
¦ y*i - х„А(хи ..., х„),
где А — разрешимый предикат. Например, А может иметь вид
равенства (t = r) или более сложный вид, но допускающий эф-
эффективную проверку для конкретных натуральных чисел. Так,
хорошо известно, что в языке Аг можно построить формулу
А(п, х, у, z) с четырьмя параметрами, естертвенно выражаю-
выражающую предикат' хп+я+уп+3Фгп+3. Тогда великая теорема Ферма
V хугп (х"+3 + (/n+3#2n+3) ,
может быть элементом 5.
Каждому предложению BeS соответствует формула В*
языка ZF,- полученная интерпретацией В в языке ZF. Формулы
вида В* для BeS и назовем реальными предложениями ZF.
Реальным .предложениям можно приписать содержательный
смысл естественным образом. Если В = V*i — хпА(хи ..., х„),
то В содержательно истинно, если для всех натуральных чисел
115
nil, ..., mn результат проверки оцененной формулы А[гп\, ..., т,
на истинность всегда дает истину. Указанное определение
держательной истинности реальных предложений полность
формулируется в терминах натуральных чисел, не требует пр
влечения актуально бесконечных множеств и использует лиц
абстракцию потенциальной осуществимости: требуется, чтоб
для всякого осуществимого набора -гп\, ..., т„ можно было д<
веста процесс вычисления значения А(ти ..., т„) до конщ
Множество всех натуральных чисел как актуально заверите]
ная совокупность при этом не используется. Элементарное!
этого определения подтверждается и тем, что оно легко фо
мализуется в теории Аг. Таким образом, логические средств
используемые для определения содержательной истинности р
ильных суждений, не вызывают, по-видимому, предыдущ*
критики.
Отметим теперь важный факт. Если теория ZF непротищ
речива, то она удовлетворяет принципу корректности, т. е. ее
кое выводимое в ZF реальное предложение содержательно ц
тинно. ' . -
В самом деле, пусть ZF — непротиворечивая теория. Во?
мем произвольный набор чисел ть ..., шп и вычислим истинй
стное значение A(nii т„). Мы утверждаем, что это окаж?
ся истина. В самом деле, иначе разрешимый предикат ~]А J
наборе ть ..., 1пп принимает значение «истина». Путем rpl
моздкого, но в принципе несложного рассуждения (привлека!
щего машину Тьюринга, участвующую в определении разрещ
мого предиката Л) можно показать, что тогда в Аг выводит)
~\А(ти ..., fhn) и, значит, 3*i ...х„~\А(хи ..., х„) (здесь пц ей
S...S0 nit раз) и затем ~| у х{ ...хпА(хи ...,хп). Используя и
терпретацию в ZF, получим вывод ^(\/х, ...хпА(хи ..., хп)}
Если (\f Xi...х„А{хи ..., хп))* было бы выводимо в ZF, то 2
оказалось бы противоречивой теорией.
Подобное.рассуждение применимо и ко многим другим те|
риям. Таким образом, особое значение приобретает непротин
речивость рассматриваемой теории.
Отметим- еще/ что внимательный анализ показывает, что yi
верждение о непротиворечивости ZF (и многих других теорий!
может быть само, записано как реальное утверждение. Поэтом^
даже если мы не в состоянии доказать непротиворечивости
теории, мы можем понимать это утверждение в некотором Ы
держательном смысле и, следовательно, искать содержательно
основания для того, чтобы доверять ему или не доверять.
4. Каким же образом можно доказывать непротиворечивое
теорий?
Классическим методом здесь является метод интерпретац
с помощью которого вопрос о непротиворечивости одной теор
сводится тс такому же вопросу относительно другой теори:
Фактически метод этот возник задолго до развития точных с
собов описания теорий методами математической логики. А;
116
литическая геометрия Декарта A619) может рассматриваться:
как интерпретация геометрии средствами анализа. Кэли и
Клейн A871) предложили известную интерпретацию геометрии
Лобачевского в геометрии Евклида.
С современной точки зрения метод интерпретаций состоиг
в построении относительной интерпретации одной формальной
аксиоматической теории в другой. При этом, как мы уже от-
отмечали, из непротиворечивости второй теории вытекает непро-
непротиворечивость первой.
Но как доказывать непротиворечивость мощных теорий, та-
таких, как ZF и арифметика высокого порядка, для которых уже-
трудно найти надежную математическую теорию для их обос-
обоснования?
Гильберт предложил метод доказательства непротиворечив
вости, не требующий непосредственно применения интерпрета-
интерпретаций. "
Можно заметить, что хотя ZF описывает и сложную теорию,
сама формулировка этой формальной аксиоматической теорий
требует очень элементарных средств. Кроме того, само по'нятие'
непротиворечивости формальной аксиоматической теории ZF
очень элементарно и не требует упоминания об актуально бес-
бесконечных множествах: непротиворечивость ZF означает просто,,
что всякая строчка символов языка ZF не является выводом
формулы вида> С/\~]С. Но если формулировка проблемы столь
элементарна, то можно надеяться и доказать ее столь же эле^
ментарными средствами, не вникая в содержание теории, а изу-
изучая лишь формальную структуру выводов теории.
Суть программы Гильберта обоснования математики состо-
состоит в том, что сн'ачала изучаемую, теорию следует формализо-
формализовать, а затем уже^ установить ее непротиворечивость логичес-
логическими средствами, не вызывающими сомнений, финитными ме-
методами.
Например, непротиворечивость ZF можно выразить в языке
Аг, и было бы заманчиво вывести это утверждение в формаль-
формальной теории Аг. Тогда вопрос о непротиворечивости ZF свелся
бы к вопросу о приемлемости гораздо более простой теории Аг.
К. сожалению, эта программа не осуществима в полной ме-
мере. Как показал Гедель в 1932 г., непротиворечивость всякой
достаточно богатой и эффективно аксиоматизированной теории
не может быть доказана средствами самой этой теории.
Отсюда следует, з частности, что непротиворечивость ZF
нельзя установить даже в ZF и подавно нельзя установить
в Аг (при условии, конечно, что эти теории непротиворечивы).
Для доказательства непротиворечивости теорий следует ис-
искать логические средства, достаточно убедительные, но не фор-
формализуемые в рамках .исходной теории. Такие логические сред-
средства должны иметь интуитивный смысл с некоторой содержа-
содержательной точки зрения. Необходимые логические средства были
разработаны в рамках теории неклассических логик, и, лрежде
' ИГ
всего, математического интуиционизма [16]. В настоящее врем|
непротиворечивость теорий Аг или Аг2 можно считать надежа
.установленной. Непротиворечивость такой теории, как ZF,
.раздо более проблематична. s
Независимо от проблемы установления непротиворечивост]
метод формализации математических теорий, предложенные
Гильбертом, является центральным методом в современно!
теории доказательств.
ЛИТЕРАТУРА
1. Колмогоров А. Н., Драгалии А. Г. Введение в математическую»
логику. — М.: Изд-во Моск. уи-та, 1982.
2. Клиии С. К. Математическая логика. — М.: Мир, 1973.
3. К л и ни С. К. Введение в метаматематику. — М.: ИЛ, 1957.
4. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. — М.: Наукаг
1976.
5. Шенфнлд Дж. Математическая логика. ¦— М.: Наука, 1975.
6. Гудстейн Р. Л. Математическая логика. — М.: ИЛ, 1961.
7. Гильберт Д., Бериайс П. Основания математики, т. 1, 2. — М.:
Наука, 1979, 1982.
8. Псгвикрв П. С. Элементы математической логики. — М.: Физматгиэ,-
4 1959.
9. Ершов Ю. Л., П а л ю т и н Е. А. Математическая логика. — М.: Нау-
Наука, 1979.
10. Бур баки Н. Теория множеств. •— М.: Мир, 1965.
11. Френкель А., Бар-Хил л ел И. Основания теории множеств. —
М.: Мир, 1966.
12. Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. — М.: Мир,.
1969.
13. йехТ. Теория множеств и метод форсинга. — М.: Мир, 1973.
14. Такеути Г. Теория доказательств. — М.: Мир, 1978.
15. Математическая теория логического вывода. Сборник переводов. — М.:
Наука, 1967.
16. Драга лин А. Г. Математический интуиционизм. Введение в теорию-
доказательств. — М.: Наука, 1979.
17. Мальцев А. И. Алгоритмы н рекурсивные функции. —'М.: Наука,.
1965.
18. Роджерс X. Теория рекурсивных функций и эффективная вычисли-
вычислимость. — М.: Мир, 1972.
19. Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, ма-
математической логике и теории алгорифмов. — М.: Наука, 1975.