И.П.Макаров
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
В данном пособии излагаются современная теория множеств и на ее основе теория функций действительного переменного, теория функций комплексного переменного и основы функционального анализа.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	3	множества	
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ	1	§ 10. Точки конденсации.	55
ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО		Мощность несчетного замкнутого множества Упражнения к главе II	58
Глава I. Общая теория множеств	4	Г лава Ш. Функции	61
§ 1. Понятие множества	4	§ 1. Общее понятие функции	61
§ 2. Конечные и бесконечные	5	§ 2. Верхняя и нижняя грани	62
множества § 3. Подмножества, включение	6	функции. Колебание § 3. Непрерывность	66
§ 4. Теоретико-множественные	6	§ 4. Основные свойства	70
операции § 5. Эквивалентность множеств	10	непрерывных функций § 5. Точки разрыва	74
§ 6. Понятие мощности.	И	§ 6. Точки разрыва монотонной	79
Кардинальные числа § 7. Сравнение мощностей	12	функции § 7. Функция с ограниченным	81
§ 8. Существование сколь угодно	15	изменением	
высоких мощностей		Упражнения к главе Ш	88
§ 9. Счетные множества	16	Г лава IV. Непрерывные кривые	91
Упражнения к главе I	22	§ 1. Понятие непрерывной	91
Глава II. Теория точечных	24	кривой	
множеств		§ 2. Кривые Жордана	93
§ 1. Множества рациональных	24	§ 3. Кривые Пеано	93
чисел		§ 4. Кривые Кантора и Урысона	94
§ 2. Множество действительных	25	§ 5. Спрямляемые кривые	96
чисел		Упражнения к главе IV	99
§ 3. Множество мощности	28	Глава V. Мера	100
континуума		§ 1. Мера Жордана для линейных	100
§ 4. Множества пространства Еп	32	множеств	
§ 5. Предельные точки	35	§ 2. Мера Жордана для	100
§ 6. Замкнутые и открытые	40	множества Еп. Квадрируемые и	
множества § 7. Строение линейных	47	кубируемые множества § 3. Мера Лебега для линейных	110
открытых и замкнутых множеств § 8. Множество Кантора и его	52	множеств § 4. Свойства множеств,	116
свойства § 9. Мощность совершенного	54	измеримых но Лебегу § 5. Измеримые функции	122
Упражнения к главе V	124
Глава VI. Интеграл	125
§ 1.	Интеграл Римана	125
§ 2.	Теорема Лебега	131
§ 3.	Интеграл Стилтьеса	135
§ 4.	Интеграл Лебега	139
Упражнения к главе VI	143
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Глава VII. Метрические	146
пространства
§ 1.	Основные понятия	146
§ 2.	Примеры метрических 148 пространств
§ 3.	Полнота метрических	149
пространств
§ 4.	Теорема о замкнутых шарах 152 § 5. Метод сжатых отображений 153 § 6. Применение метода сжатых 155 отображений в теории дифференциальных и интегральных уравнений
§ 7.	Применение метода сжатых 150 отображений в алгебре
§ 8.	Применение метода сжатых 157 отображений в математическом анализе
Упражнения к главе VII	159
Глава VIII. Сепарабельность и 159 компактность
§ 1.	Сепарабельность	159
пространств En, С и 1р
§ 2.	Сепарабельность	161
пространства Lp
§ 3.	Пространство т как пример	162
несепарабельного пространства
§ 4.	Компактность множеств	163
пространства Еп
§ 5.	Общий критерий	164
компактности
§ 6.	Компактность множеств в	165
пространстве С
§ 7.	Компактность множеств в 168 пространстве1р
§ 8.	Компактность множеств в 169 пространстве Lp
Глава IX. Непрерывные	170
функционалы и операторы
§ 1.	Непрерывные функционалы 171
§ 2.	Общие свойства	172
непрерывных функционалов
§ 3.	Равномерная непрерывность 173 функционала
§ 4.	Непрерывные операторы	175
§ 5.	Свойства непрерывных	170
операторов
Упражнения к главе IX	177
Глава X. Линейные	178
функционалы, линейные операторы
§ 1.	Линейные пространства	178
§ 2.	Линейные функционалы	180
§ 3.	Свойства линейных	182
функционалов
§ 4.	Слабая сходимость	184
линейных функционалов
§ 5.	Линейные операторы	187
§ 6.	Свойства линейных	189
операторов
Упражнения к главе X	191
Г лава XI. Применения	191
функционального анализа в вариационном исчислении
§ 1.	Дифференциал, вариация	192
линейного функционала
§ 2.	Экстремум	193
дифференцируемого функционала
§ 3.	Уравнение Эйлера	194
§ 4.	Решение задачи о	196
брахистохроне
§ 5.	Задача о наименьшей	199
поверхности вращения
§ 6.	0 других применениях 200 функционального анализа в
вариационном исчислении
Упражнения к главе XI	201
Глава XII. Применения	202
функционального анализа в теории интегральных уравнений
§ 1.	Вопрос о существовании 202 решения интегрального уравнения.
§ 2.	Вполне непрерывные	204
операторы
§ 3.	Теорема В. В. Немыцкого 204
§ 4.	Линейные интегральные 206 уравнения
§ 5.	Собственные значения,	207
спектр
§ 6.	Метод последовательных	208
приближений, построение резольвенты
Упражнения к главе XII	211
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Г лава ХШ. Г армонические	213
функции
§ 1.	Основные определения	213
§ 2.	Свойства гармонических	215
функций и гармонических пар
§ 3.	Теорема Дзядыка	217
§ 4.	Понятие конформного	217
отображения
§ 5.	Конформность отображения 218 гармонической парой
§ 6.	Коэффициент растяжения	220
Упражнения к главе ХШ	223
Г лава XIV. Комплексные числа, 224 последовательности, ряды
§ 1.	Комплексное число как	224
оператор
§ 2.	Плоскость Гаусса	226
§ 3.	Тригонометрические и	227
алгебраические формы комплексного числа
§ 4.	Действия над комплексными 227
числами
§ 5.	Числовые	230
последовательности и ряды
§ 6.	Признак Коши—Адамара 232
§ 7.	Степенные ряды	233
Упражнения к главе XIV	237
Глава XV. Функции	238
комплексного переменного, аналитические функции
§ 1.	Непрерывность функции	239
комплексного переменного
§ 2.	Дифференцируемость	241
функции комплексного переменного
§ 3.	Определение и свойства	242
аналитической функции
§ 4.	Конформность отображения 243 аналитической функции
Упражнения к главе XV	244
Глава XVI. Элементарные	244
аналитические функции, конформные отображения
§ 1.	Линейная функция	244
§ 2.	Бесконечно удаленная точка 245
§ 3.	Функция f(z)=l/z	246
§ 4.	Дробно-линейная функция	247
§ 5.	Степенная функция.	248
Поверхность Римана
§ 6.	Показательная функция	250
§ 7.	Тригонометрические	253
функции
§ 8.	Гиперболические функции	256
§ 9.	Логарифмическая функция	262
Упражнения к главе XVI	263
Глава XVII. Интеграл. Ряд	264
Тейлора
§ 1.	Интеграл	264
§ 2.	Существование и	265
вычисление интеграла. Свойства интеграла
§ 3.	Теорема Коши	267
§ 4.	Интегральная формула Коши 271
§ 5.	Разложение аналитической 274
функции в степенной ряд		§ 2. О применениях в алгебре	287
§ 6. Ряд Тейлора	276	§3.0 применениях в	288
§ 7. Теорема единственности для	278	картографии	
аналитических функций		§ 4. О применениях в гидро- и	290
§ 8. Понятие об аналитическом	280	аэромеханике	
продолжении		§ 5. Функция Н. Е. Жуковского	293
§ 9. Определение класса	282	§ 6. Критерий Рауса—Гурвица	294
аналитических функций		Упражнения к главе XVIII	300
Упражнения к главе XVII	234	Дополнительная литература	301
Г лава XVIII. О применениях	285	Алфавитный указатель	303
теории функций комплексного переменного §1.0 применениях в	285	Указатель специальных знаков	307
математическом анализе			
алфавитный указатель
Абель 234
—теорема 234
Абстрактное пространство 147
Аддитивность оператора 188
Аксиома непрерывности прямой 28
Алгебраическая форма комплексного числа 227
Александров П. С. 32, 88, 89, 203
Аналитическая функция 242
Аналитическое продолжение 280
Аргумент комплексного числа 127
Архимед 24
Арцела критерий 166
Ассоциативность линейных систем
179
Банах С. 146, 178, 180
Бернулли И. 191
Биркгоф 203 Больцано 39, 42
Борель 47
Бореля—Лебега теорема 47
Брахистохрона 191
Буняковский В. Я. 36 Бэр 78, 171
Валле Пуссен 117, 167
Вариационное исчисление 191
Вариация линейного функционала
192
—функционала 193
Вейерштрасс 39, 42
Вектор 120, 225
Гармоническая пара 215
Гаусс 226
Гейне 78
Гиперболические функции 256
Гипотеза континуума 32
ГливенкоВ. И. 157
Г рань верхняя множества 51
----функции 73
— нижняя множества 51
Гребенча М. К. 89
Дарбу 147
Демидович Б. П. 156, 158
Дзядыка теорема 217
Диаметр множества 126
Дирихле 75, 20
Дистрибутивность для линейных систем 179
Дифференциал линейного функционала 192
—сеть
----конечная 164
----компактная 170
Жордан 95, 108, 115, 117
Замкнутый шар 152
Замыкание множества 45
Извлечение корня из комплексного числа 229
Интеграл Дарбу 147
— Лебега 162
—от аналитической функции 267
—	от функции комплексного переменного 264
—	Римана 146
—	Стилтьеса 157
Интегральная формула Коши 271
Интегральное уравнение 202
Интегрируемость степенного ряда 276
Интервал смежный 55
—	составляющий 53
—	п-мерный 37
Итерированное ядро 209
Квадрируемость 124
Келлог 203
Ковер Серпинского 111
Колебание функции 51
Колмогоров А. И. 169
Контур кусочно-гладкий 268
— простой 268
Конформность отображения
гармонической парой 218
Коммутативность линейных систем 179
Компактности критерии 164
Компактность множества 163
----метрического пространства 163
----значений непрерывного
оператора 176
----ограниченного множества 163
Комплексное число 224
----умножения 227
----деления ,228
----возведение в степень 229
Коши — Адамара признак 232
Коши 271
— неравенства 287
—теорема 271
Кривая Жордана 106
—	замкнутая спрямляемая 268
—	Кантора 106
—	кусочно-гладкая 268
—	Пеано 100
—	спрямляемая 113
—	Урысона 106
Круг сходимости степенного ряда
233
Кубируемость 124
Лебег 152
Лиувилль 287
Лиувилля теорема 287
Лобачевский Н. И. 72
Локсадрома 289
ЛузинН. Н. 86, 108, 138, 139
Люстерник Л. А. 146, 151
Ляпунов А. М. 202
Максимум функционала 192
Мера внешняя 119
—	внутренняя 119
—	Жордана 119
—	Лебега 130
Меркатор Г. 288
Метод итерации 158
—	сжатых отображений 153
Метод последовательных
приближений 156, 208
Метризация 147
Метрика пространства 147
Минимум функционала 192
Мнимая единица 226
—	ось 226
—	часть комплексного числа 227
Многообразие линейное 178
Множества непересекающиеся 6
—	пересекающие 6
—	эквивалентные 8
Множество алгебраических чисел 32
—	бесконечное 2
—	всюду разрывное 57
—	выпуклое 203
Множество действительных чисел 25
—	замкнутое 43
—	значений функции 73
—	измеримое по Жордану 119
—	измеримое по Лебегу 130
—	изолированное 44
—	Кантора 56
—	компактное 163
—	конечное 2
—	линейное 51
—	метрического пространства 163
—	п-мерное 37
—	непрерывное 27
—	несчетное 21
—	нигде не плотное 57
—	ограниченное 38
—	одномерное 107
—	одноэлементное 3
—	открытое 44
—	пар натуральных чисел 17
—	плотное 24
—	плотное в себе 43
—	производное 43
—	пустое 3
—	рациональных чисел 24
—	связное 107
—	совершенное 43
—	счетное 15
Множитель-оператор 224
Модуль комплексного числа 227
Мощность 7
—	континуума 29
—	множества 8
Натансон И. П. 138, 161, 167, 175
Немыцкий В. В. 204, 218
Непрерывность дифференцируемой функции комплексного переменного 239
— линейного функционала 180
— множества действительных чисел 25
— обратного отображения компактного множества 176
— оператора 175
—функции по Бэру 78, 171
-------по Гейне 78
-----комплексного переменного 229
-----по Коши 78
-----слева 88
-----справа 88
— функционала равномерная 123
Неравенство Коши — Буняковского
36
Несчетность множества 28
Норма оператора 187
—функционала 184
Область 127
— замкнутая 127
— значений функции комплексного переменного 238
—	многосвязная 127
Область ограниченная 127
—	односвязная 127
—	определения функции
комплексного переменного 238
Ограниченность линейного
оператора 188
Однородность линейного
пространства 190
Окрестность 38
Оператор 146
—	Вольтерра 206
—	вполне непрерывный 204
—	линейный 183
—	непрерывный 175
—	сопряженный 211
—	Фредгольма 206
Определения аналитической
функции 282
Основная теорема алгебры 237
Остаток ряда 234
Отображение дробно-линейной функцией 247
— конформное 217, 248
—	линейной функцией 244
—	обратное 176
—	показательной функцией 250
— посредством гармонической пары 218
—	регулярное 218
—	сжатое 154
—	функцией 153
Пеано 108
Пересечение множеств 6
Плоскость Гаусса 226
—	расширенная замкнутая 245
Плотность, множества 24
----действительных чисел 24
----рациональных чисел 24
Поверхность Римана 248
Подмножество 4
—	несобственное 4
—	собственное 4
Подпоследовательность сходящаяся 172
Полнота метрического пространства 149
Понятие конформного отображения 217
Последовательность 27
—	сегментов стягивающаяся 27
Поток плоскопараллельный 290
Предел последовательности 232
----верхний 232
Преобразование инверсии 247
—	ряда для точки 23 5
Признак необходимый сходимости
ряда 231
Признак Коши—Адамара 232
Принцип максимума модуля 222
—	Ферма 109
—	Шаудера 204
Приращение функционала 192
Проблема континуума 32
Проекция меркаторская 288
Производная функции комплексного переменного 241
Производный ряд 23 5
Пространство абстрактное 147
—	Банаха 180
—	евклидово 147
—	координатное Гильберта 148
—	линейное нормированное 180
—	метрическое 146
—	полное нормированное 150
—	сепарабельное метрическое 159
Профиль модуля функции
комплексного переменного 238
Прямая числовая 3 5
Равномерная сходимость степенного ряда 234
Резольвента 258
Риман 146
Ряд абсолютно сходящийся 231
—	комплексных чисел 230
—	степенной 233
—	сходящийся 230
—	Тейлора 276
Свойства аналитической функции
242
—	линейных операторов 189
—	тригонометрических функций комплексного неременного 254
Сегмент 37
—	п-мерный 37
Серпинский В. К. 111
Система
—	интервалов, покрывающих множество 47
—	линейная 178
Скачок функции 88
Скелет счетный 159
Сложение комплексных чисел 227
Слудская М. М. 218
Соболев С. Л. 208
Собственные значения линейного
оператора 207
Соответствие взаимно однозначное 8
Спектр линейного оператора 208
Стилтьес 157
Сумма Дарбу 147
Сумма линейных операторов 190
—	множеств 4
— ряда 231
----частная 131
Существование единичного элемента линейной системы 179
Сходимость последовательности комплексных чисел 230
—функционалов сильная 185
----слабая 184
Теорема Абеля 231
—	Больцано—Вейерштрасса 39
—	Бореля—Лебега 47
—	Дзядыка 217
—	Жордана 115
—	Кантора 27
—	Кантора—Бернштейна 14
—	Лузина 138
—	Немыцкого 204
—	об абсолютной сходимости степенного ряда 233
—	о единственности аналитической
функции 278
—	о непрерывности суммы ряда 350
—	о производных рядах 236
—	основная алгебры 237
Точка бесконечно удаленная 245
—	внешняя 44
—	внутренняя 44
—	граничная 44
—	изолированная 3 8
—	кратная 108
—	конденсации 60
—	неподвижная 153
—	нулевая метрического пространства 173
—	предельная 38
—	разрыва 80
Траектория луча света 199
Транзитивность линейного
пространства 179
Умножение комплексных чисел 228
Упорядоченность множества 24
----действительных чисел 25
Уравнение Вольтерра 206
—	интегральное 208
—	Лагранжа 266
—	линейное интегральное 206
Уравнение Фредгольма 208
—	Эйлера 104
УрысонП. С. 106, 110
Условия КРЭ ДА 213
Условия экстремума функционала
193
Фихтенгольц Г. М. 86, 88, 101,217, 265
Фридман А. А. 153
Функция аналитическая 212
—	гармоническая 215
—	гиперболическая 256
Функция голоморфная 242
—	действительного переменного 73
—	Дирихле 75
—дифференцируемая, комплексного переменного 241
—	Жуковского Н. Е. 293
—	интегрируемая по Риману 147
----по Лебегу 164
—	комплексного переменного 238
— логарифмическая комплексного переменного 262
—	моногенная 242
—	примитивная 270
—	равностепенно непрерывная 206
—	равномерно ограниченная 206
—	сопряженно гармоническая 213
—	тригонометрическая, комплексного переменного 253
—	характеристическая потока 29
Функционал 146
—	дифференцируемый 192
—	линейный 180
—	непрерывный 170
Функциональный анализ 191
Фомин С. В. 173
Формула Грина — Остроградского 215
—	Муавра 213
Формула
—	Ньютона—Лейбница 267
Формулы Эйлера 255
Цермело 138
Циклические постоянные 223
Циклоида 198
Черкасов А. Н. 218
Число алгебраическое 20
—	действительное 25
—	иррациональное 25
—	кардинальное 9
—	комплексное 226
—	мнимое 226
—	рациональное 24
—	трансцендентное 32
Тригонометрическая форма
комплексного числа 227
Шаудер 204
Эквивалентность множеств 8
—	определений непрерывности 78
—	Экстремум 192
Ядро 206
—	итерированное 209
Якобиан 218
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга предназначается для студентов педагогических институтов в качестве учебного пособия по новому курсу, введенному в учебный план под названием: «Дополнительные главы математического анализа». Утвержденная Министерством просвещения РСФСР программа этого курса состоит из трех вариантов. Содержание каждого из них включает в себя соответственно материал I и II, I и III, II и III частей книги. Часть I в основном совпадает со вторым изданием книги автора «Теория функций действительного переменного».
Приношу сердечную благодарность проф. В. И. Левину, проф. П. П. Коровкину, доц. М. Л. Смолянскому, доц. В. В. Потлову за просмотр рукописи и ценные указания, использованные мною для исправления многих ее недостатков, и ст. преподавателю кафедры математического анализа Рязанского государственного пединститута Л. С. Шамилиной, взявшей на себя большой труд по подготовке рукописи к печати во время моей длительной заграничной командировки.
Благодарю редактора издательства доц. М. Л. Смолянского за внимание к книге.
Датор
Часть первая. ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Глава I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
§ 1, Понятие множества
В окружающей нас реальной действительности мы наблюдаем как отдельные предметы (дерево, пылинка, автомобиль, живое существо, книга, классная доска, парта), так и их совокупности или множества (совокупность или множество деревьев в лесу, множество книг в библиотеке, множество сельскохозяйственных машин на полях колхоза). Наряду с множествами предметов, взятых непосредственно из окружающей реальной действительности, можно легко представить себе множества более абстрактного содержания, как например множество определенным образом подобранных чисел, множество некоторых векторов, множество функций определенного вида и т. п. При образовании этих последних множеств использованы абстрактные математические понятия, созданные в процессе изучения пространственных форм и количественных отношений окружающей реальной действительности. Понятие множества нельзя определить через другие, более простые понятия. Оно является в этом смысле одним из первичных понятий науки.
Множество считается заданным, если известны, те элементы, из которых оно состоит.
Примеры. Множество страниц учебника. Множество рациональных чисел. Множество звезд и планет. Множество студентов института и всех букв в данной книге. Множество названий геометрических фигур и всех обезьян в Московском зоопарке. Множество треугольников, имеющих вершинами любые три точки плоскости, не лежащие на одной прямой. Множество корней данного алгебраического уравнения и т. д.
Нетрудно видеть, что само название каждого из приведенных в примерах множеств совершенно точно определяет, какие именно элементы включены в данное множество.
Множество задается путем указания закона или правила, согласно которому можно определить элементы множества, например:
множество целых чисел, сумма цифр каждого из которых делится на 7;
4
множество правильных дробей вида , где п — нату-Н —|— п — о
ральное число;
множество прямых, определяемых уравнением у=С (х-\-С), где С — произвольное действительное число.
Иногда закон принадлежности к данному множеству сводится к непосредственному перечислению его элементов, например: множество М вершин А, С, F и L многоугольника ABCDEFGIKL или множество Е элементов а, с, d. Это обычно записывают так:
М = {А, С, F, L}, Е = {а, Ь, с}.
Если хотят показать, что множество Р состоит из элементов определенного вида х, то пишут: Р = {х}.
§ 2.	Конечные и бесконечные множества
Было бы совершенно невозможно изучать все и всякие множества, не классифицируя их. Условимся прежде всего различать множества конечные и бесконечные.
Множество называется конечным, если количество его элементов может быть выражено некоторым числом. Притом совершенно неважно, известно ли это число или нет. Важен лишь факт существования данного числа.
Приведем примеры конечных множеств: множество страниц книги, множество страниц всех книг, имеющихся во всех библиотеках земного шара в данный момент, множество видимых в телескопы звезд и планет, множество деревьев на данном участке леса, множество атомов, из которых состоят планеты солнечной системы.
Часто приходится встречаться с множествами, которые не являются конечными, или, как принято говорить, с бесконечными множествами.
Примерами бесконечных множеств являются множество всех рациональных чисел, множество всех точек плоскости, множество всех точек данного отрезка прямой длиной 0,0001 мм, множество всех непрерывных функций, множество всех прямых, пересекающихся в одной и той же точке плоскости.
Целесообразно в целях общности и простоты формулировок ввести понятие пустого множества, т. е. множества, не содержащего элементов. Пустое множество обозначается знаком 0 или а. Следует заметить, что обозначение пустого множества, несмотря на сходство, не обозначает число 0. Невозможность смешения этих знаков всегда обеспечивается контекстом.
Наряду с пустым множеством мы будем также рассматривать множества, состоящие из одного элемента — одноэлементного множества. Нельзя путать одноэлементное множество с его единственным элементом.
Так, например, рассмотрим алгебраическое уравнение xi — 4x3-j-9x2— — 10x4-6 = 0 и выясним, каково множество его комплексных корней с це-
5
яыми положительными коэффициентами при мнимой части и каково множество его действительных корней. Проделав соответствующие вычисления, установим, что корнями этого уравнения являются числа 1 -j- i, 1 — i, 1	1—i]A2, т. е. что первое множество одноэлементное и единствен-
ным элементом этого множества является число 1 -J-I, а второе множество пусто.
§ 3.	Подмножества, включение
Множество обычно обозначают большими буквами латинского алфавита, а элементы множеств — малыми. Если а является элементом множества А, то это обозначают так: а£А. Если хотят сказать, что элемент а не принадлежит множеству В, то это обозначают так: а С В (или а^В). В том случае, когда все элементы множества А являются одновременно и элементами множества В, т. е. принадлежат множеству В, употребляются знаки включения A Q В и A d В (записи В 2) А и В^) А имеют соответственно тот же смысл, что и приведенные). Знак включения A Q В употребляется тогда, когда предполагается возможной не только принадлежность всех элементов множества А множеству В, но и совпадение множеств А и В.
Если A CZ В или Ad В, то множество А называется частью или подмножеством множества В.
Для любого множества В справедливы следующие включения: В Q В, О d В. Сами множества В и О называются несобственными подмножествами или несобственными частями множества В. Все остальные подмножества (части) множества В называются его собственными подмножествами (собственными частями).
Примеры подмножеств. Множество четных чисел А есть подмножество множества В целых чисел ДсЙ,
Множество рациональных чисел А? есть подмножество множества Z действительных чисел R<^Z.
Множество студентов всех факультетов и курсов института А есть несобственное подмножество множества всех студентов того же института В АЕВ (в данном случае А = В).
Множество А действительных корней данного алгебраического уравнения есть подмножество множества В всех корней этого уравнения АеВ (знак ^показывает здесь, что А может совпадать с В). Множество А может быть, в частности, пустым. Пустое множество О есть несобственное подмножество множества В положительных чисел О СТ В.
Определение. Если множество Ad В, а множество В d А, то мы говорим, что множества А и В совпадают между собой, и записываем в то так: А —В.
§ 4.	Теоретико-множественные операции
Определим теоретико-множественные операции над множествами.
1.	Теоретико-множественное сложение или соединения множеств.
6
Определение. Суммой *)множеств А и В называется множество, состоящее только из тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А или В.
Множества А и В могут при этом иметь общие элементы или не иметь общих элементов. Элементы, принадлежащие и множеству А и множеству В одновременно, входят в сумму только один раз.
Суммой любой совокупности множеств называется множество всех таких и только таких элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из слагаемых множеств. Обозначается сумма двух множеств Если А = 41IJAU • • • т0 эт0
п
кратко записывается так: Л=^ А; если А= AUAU- • -U AU • • •>
х=1
со
то это записывается так: А = (J/4Z. Нетрудно ви-!=1
деть, что на основании определения суммы множеств A(JA = А. Это отличает свойства теоретикомножественного сложения от свойств сложения алгебраического. Если А и В считать множествами точек плоскости, то операция их сложения схематически представлена на рисунке 1.
Примеры сумм множеств.
Множество целых чисел есть сумма множества А четных чисел, множества В нечетных чисел и множества С простых чисел.
Множество треугольников есть сумма множеств
Рис. 1
прямоугольных треугольников, косоугольных треуголь-
ников, равносторонних треугольников, тупоугольных треугольников.
Множество точек сегмента [0,5] есть сумма множества точек сегмента
[0,3] и множества точек сегмента [2,5],
2.	Теоретико-множественное вычитание.
Определение. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы множества А, не входящие во множество В, и не содержащее никаких других элементов.
Обозначается разность множеств А и В либо А — В, либо Л\В. Условимся употреблять первое обозначение только тогда, когда А^В. Второе обозначение будем употреблять во всех остальных случаях. Таким образом, обозначает множество, полученное в результате удаления из множества А всех его элементов, являющихся одновременно элементами множества В, т. е. элементов, общих для множеств А и В. Очевидно, что А — А =0, и если А — В = С, то A = B\JC. Последнее преобразование уже не
*) Отмеченное в тексте различие теоретико-множественного сложения от сложения алгебраического отражается и в терминологии. В настоящее время часто вместо сложения множеств говорят: объединение множеств. Поэтому и символ сложения «-]-» заменяется символом объединения
7
применимо для случая Д\В = С. Полагая А и В множествами точек плоскости, представим разности А — В и Л\В схематически на рисунке 2.
Примеры разностей множеств.
Множество четных чисел есть разность множества целых чисел и множества нечетных чисел.
Множество видимых звезд и планет есть разность множества всех звезд и планет вселенной и множества не видимых нами звезд и планет.
Если А — множество всех прямоугольников, а В — множество ромбов, то Л\В есть множество разносторонних прямоугольников.
Если А — множество всех точек сегмента [0,1], а В — множество всех точек сегмента [2,3], то Л\В есть множество всех точек сегмента [0,1].
Если А — множество всех рациональных чисел, а В — множество всех действительных чисел, то Л\Д — пустое множество.
3.	Теоретико-множественное умножение или пересечение.
Определение. Общей частью или пересечением множеств А и В называется множество, состоящее только из тех элементов, которые одновременно принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Пересечением любой совокупности множеств называется множество, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств, и только из них. Два множества, пересечение которых является
непустым множеством, называются пересекающимися. Два множества, пересечение которых — пустое множество, называются неп ер есе к ающ ими с я. Обозначается пересечение множеств А в В так ЛрВ. Если А = Л^Л^р... рЛ„, т0 это кратко записывается: ЛрЛ,-; еслиЛ = Л^Л^р... р Л„р..., то Л = рЛг. 1=1 /=(
Из определения произведения *) множеств следует, что ЛрЛ = ~А и ДрВ = Д, если ЛрВ. Полагая А и В множествами точек плоскости, представим их пересечение схематически на рисунке 3.
Возвращаясь к вычитанию типа Л\В запишем равенство, вытекающее из определения разности Л\В, которым будем пользоваться в дальнейшем: А'\В = А — ЛрВ.
*) Произведение множеств — устаревший термин; он уже давно заменен более совершенным термином „пересечение11. В связи с этим изменилась и символика: вместо старого знака умножения «х» или « • » введен знак пересечения множеств «f]>.
8
Примеры. Пересечение множества прямоугольников и множества ромбов есть множество квадратов. Пересечение множества четных чисел и множества нечетных чисел есть пустое множество. Пересечение множества точек, принадлежащих всем кругам с центром в начале координат, есть их общий центр — начало координат.
Из определений суммы и пересечения множеств следует, что сложение и умножение множеств обладают свойствами сочетательности и переместительности, т. е. что
лив=вил,
ЛАВ-ВАД (лив)ис-ли(вис), (ЛАВ)АС-ЛА(ВАС).
Можно доказать, что умножение множеств обладает также свойством распределительности как относительно -
сложения, так и относительно вычитания, (	~~~ X
т. е. что	I А )
(лив)пс = (лпои(впс),
(Л —В) ас—лас —вас.	)
\ о У
Докажем, например, справедливость равен-	X. /
ства (Л и В) а С = (Л Q С) и (В ПС). Для этого докажем, что (Л(ДВ) А С (Л АС) Рис. з и (ВАС) И что (Л UB) АСЭ(Л АС) и (ВАС).
Это и будет обозначать совпадение множеств (Л1ДВ)АС== -(ЛАО и (BAQ.
Пусть х— один из элементов множества (A\JB) (~}С, т. е. ^C(^(JB)AC- Отсюда следует, что х одновременно принадлежит множествам Л(ДВ и С. Если х£А и х£С, то xt^Af'yC и, следовательно, х£ (ЛАС) (J (В(^\С). Если же х принадлежит В и одновременно х£С, то х^В(\с и отсюда x£(A{JC) {J (В(~}С). Таким образом, всякий элемент, принадлежащий множеству, стоящему в левой части равенства, принадлежит и множеству, стоящему в его правой части, т. е. (Л(ДВ) AiCCZA AC) (J (В А,С). Пусть теперь х —один из элементов множества (Л AC) (J (В AQ. Если х^ЛАС, то х£А и х^С, тем самым х£Л(ДВ, так как х^С, то, следовательно, х£(Л(ДВ)АС. Если х^ВДС, то соответственно хН (Л(ДВ) и х£С, откуда следует, что хА (Л\JB) АС. Таким образом, всякий элемент, принадлежащий множеству, находящемуся в правой части доказываемого равенства, принадлежит и множеству, находящемуся в его левой части, т. е. (ЛIJB) АСО(Л AC) IJ (ВАС). Отсюда по определению множество (ЛАВ) АС = (Л(ДС) (J (ВАС). Доказательство остальных равенств проводится аналогично.
9
§ 5.	Эквивалентность множеств
Пусть даны два конечных множества А и В. Если множество А состоит из п элементов, а множество В — из т элементов, то между тип возможно только одно из трех соотношений:
п = т, п^>т, п<^т.
Вопрос о том, какое из этих соотношений имеет место, легко решается в каждом случае непосредственным счетом элементов в данных множествах или постановкой их элементов во взаимно однозначное соответствие. Сущность последнего метода заключается в следующем. Если сравнить два конечных множества с одинаковым числом элементов, то с каждым элементом первого множества можно «поставить в пару» элемент второго множества. Например, каждый палец правой руки можно положить на такой же по названию палец левой руки. Тот факт, что при этом все пальцы обеих рук будут составлять пары, очевидно, непосредственно без счета пальцев показывает, что числа пальцев на обеих руках равны.
Если данные множества А и В бесконечны, то говорить о количестве элементов не имеет смысла, а значит, и сравнивать эти множества по числу элементов нальзя. В то же время метод установления взаимно однозначного соответствия (постановки в пары) элементов двух различных множеств можно распространить и на множества бесконечные.
Определение. Если каждому элементу а множества А по некоторому закону поставлен в соответствие один и только один элемент b множества В и если при том каждому элементу Ь^В окажется поставленным в соответствие один и только один элемент а^А, то между элементами множеств А и В установлено взаимно однозначное соответствие*).
Определение. Если между элементами двух различных множеств А и В можно установить взаимно однозначное соответствие хотя бы по одному какому-нибудь закону, то эти множества называются эквивалентными. Это записывается так:
А^В.
Нетрудно видеть, что из самого определения эквивалентности вытекают следующие его свойства:
1)	А ~ А (рефлексивность);
2)	если А^В, то В^А (симметричность);
3)	если А^В и В^С, то А^С (транзитивность).
Приведем примеры эквивалентных множеств.
Множество всех натуральных чисел эквивалентно множеству всех четных чисел, так как каждому натуральному числу п соответствует одно и
*) Порядок расположения элементов в множествах при этом во внимание не принимается.
10
только одно четное число 2п, в два раза большее, чем п, и каждому четному числу соответствует его половина, являющаяся натуральным числом. Множество всех натуральных чисел эквивалентно множеству всех целых чисел. Законом соответствия является соотношение
»= [т] <-»'
где х — элемент множества всех натуральных чисел, у— элемент множества всех целых чисел, — целая часть числа
Множество точек х сегмента [а, Ь] эквивалентно множеству точек у любого другого сегмента [с, d\. Закон соответствия
d— С / XI
§ 6.	Понятие мощности. Кардинальные числа
Пусть дано произвольное множество А. Рассмотрим наряду с множеством А совокупность всех множеств, эквивалентных множеству А.
На основании свойства транзитивности (§ 5) все эти множества будут эквивалентны между собой.
Назовем такую совокупность множеств классом эквивалентных между собой множеств. В дальнейшем (см. §8) будет показано, что существует бесконечное количество различных классов эквивалентных между собой множеств. На основании свойства транзитивности легко показать, что никакие два множества, входящие в различные классы, не могут быть эквивалентны между собой.
Поставим в соответствие каждому классу эквивалентных между собой множеств некоторый символ а, который будем называть кардинальным числом или мощностью.
Таким образом, под мощностью мы понимаем то общее, что присуще всем эквивалентным между собой множествам. При этом мы совершенно отвлекаемся как от конкретной природы множества, так и от того, является ли данное множество конечным или бесконечным.
Символ, приписываемый классу эквивалентных между собой множеств, можно рассматривать как обозначение мощности данных множеств.
Если два множества А] и Д.2 не эквивалентны между собой (А^А,), то мы им относим различные символы aj и a2 (aj Ф а2), т. е. мы говорим, что эти множества неравномощны.
Принято мощность множества А обозначать значком А. Следовательно, если дан класс эквивалентных между собой множеств At, Аг, А, ..., Ап и этому классу множеств приписано кардинальное число а, то а = А, а = Ж, ..., а = Д„, ....
В дальнейшем (см. § 7) мы покажем, что если определенным образом сравнивать мощности, отнесенные к различным множе
11
ствам, по величине, то для двух любых кардинальных чисел аир возможно, как и для натуральных чисел, одно и только одно соотношение: или а = р, или а^>р, или а<^р.
Из всего вышеизложенного следует, что понятие мощности есть обобщение понятия количества (числа) элементов.
Для конечных множеств понятие числа элементов и понятие мощности множества совпадают между собой.
Для бесконечных множеств понятие «число элементов» смысла не имеет. Мы можем говорить только о мощности множества. Понятие мощности есть естественное обобщение понятия числа элементов.
§ 7.	Сравнение мощностей
Рассмотрим два конечных множества А и В, и пусть множество А содержит т элементов, а множество В — п элементов. Числа тип удовлетворяют одному и только одному из трех соотношений:	т = П, 2) пг^>п, 3) т<^п.	(*)
Какое именно из соотношений 1), 2), 3) имеет место, можно установить путем непосредственного пересчитывания элементов множеств А и В.
Заметим теперь, что соотношение 1) т = п выполняется тогда и только тогда, когда между множествами А и В можно установить взаимно однозначное соответствие, т. е. когда множества А и В эквивалентны. Соотношение 2) т^>п выполняется тогда п только тогда, когда между А и В нельзя установить взаимно однозначное соответствие, но такое соответствие можно установить между множеством В и некоторым подмножеством А множества A (Л1О4)- Следовательно, в случае 2) множества А и В не эквивалентны, но множество В эквивалентно подмножеству А} множества А. Наконец, случай 3) т<^п имеет место тогда и только тогда, когда А и В не эквивалентны, но А эквивалентно некоторому В, являющемуся подмножеством В (BjQB).
Таким образом, сравнение конечных множеств можно производить, либо просто пересчитывая их элементы, либо путем установления взаимно однозначного соответствия между этими множествами или их подмножествами.
Для сравнения бесконечных множеств, элементы которых не могут быть пересчитаны, остается только второй путь.
Заметим, что apriori возможны такие случаи:
1)	A^Blt где BjCB, но В не эквивалентно никакому подмножеству А;
2)	В Ai, где А^А, но А не эквивалентно никакому подмножеству В;
3)	Д~ВР где BjCB и В ~ Л1; где
4)	А не эквивалентно никакому подмножеству В и не эквивалентно никакому подмножеству А.
12
Можно доказать, что случай 4) на самом деле невозможен *). Кроме того, по теореме Кантора — Бернштейна (теорема 2.1, § 8) в случае 3) имеет место эквивалентность множеств А и В(ЛссВ).
Введем теперь следующее основное определение.
Определение. Если для множеству А и В имеет место случай 1), то будем говорить, что А<^В. В случае 2) будем говорить, что В<Л. В случае 3) будем говорить, что А—В.
Приведенное определение одинаково распространяется как на конечные, так и на бесконечные множества. Причем для конечных множеств Л и В соотношения А<^В, В<^А, А = В равносильны соответственно соотношениям т<^п, п<^т, т = п, где по-прежнему т— число элементов А, п — число элементов В.
Для неравенств кардинальных чисел можно показать свойство транзитивности, т. е. если а<р и
где а, р, у — некоторые кардинальные числа, то
а у.
В самом деле, рассматривая множества — представители А, В, С соответствующих классов, мы увидим, что А не эквивалентно С (так как иначе в этом случае было бы а = у, откуда следовало бы, что р<л, а это противоречит заданию) и А эквивалентно некоторой собственной части В. Назовем эту часть В*. Установив взаимно однозначное соответствие элементов множеств В и С*, где С*—собственная часть С, эквивалентная В, мы одновременно установим эквивалентность В*^С**, где С** — собственная часть С* и тем более собственная часть С. Таким образом, А не эквивалентно С и эквивалентно некоторой его собственной части. Отсюда следует, что а<д.
Если конечное множество не может быть эквивалентным своей собственной части, то одним из характерных свойств бесконечного множества является эквивалентность его некоторой собственной части. Это будет позднее доказано (см. стр. 22). Примеры эквивалентности множества своей собственной части были показаны ранее (см. стр. 10, примеры первый и второй).
Учитывая возможность эквивалентности некоторого множества его собственной части, сформулируем и докажем следующую теорему:
Т е о р е м-а 1.1. (О м о щ н о с т и промежуточного множества). Пусть ЛД)ЛОЛ3, и пусть при этом Л^Л.>, тогда А^А>.
Доказательство. Установим взаимно однозначное соответствие между элементами множеств А и А2. Пусть по принятому закону соответствия собственной части А3 множества А будет соответствовать некоторая собственная часть множества Л>, которую назовем Л3. Итак, А Л2, Ai^A^, где Л3~Л2. В свою
*) См. [39].
13
очередь по тому же закону соответствия множеству Л2С^1 будет соответствовать множество А^Аа, т. е. Л.2~Л4, где Л4£2Л2. Продолжая этот процесс неограниченно, получим последовательность включенных друг в друга множеств:
ЛЭЛОЛОЛзЭЯО • • • ЗЛО..., таких, что каждое последующее является собственной частью предыдущего, и таких, что
А~ Л3,
Л] Л3, Л.2 ~ Л4,
Кроме того, в силу принятого закона соответствия
Л — Л] А2 — Л3,
Л1 — Л .2 А 2 — Л j,
Аг — Л3^Л4— Лв,	(1)
Л я	А Л ; । Ля_р, Л ,7_3,
Последнее утверждение следует из самого построения множеств Л3, Л4, ... *). Действительно, для любого п по принятому закону взаимно однозначного соответствия элементов множества Ап и элементов множества Ля+3 элементы множества Ля+1, составляющие собственную часть Ля, ставятся в соответствие элементам множества Ля+3, являющегося собственной частью множества A„+i. Значит, и элементы оставшихся частей множеств Ля и Ля+3 после удаления из них друг другу соответствующих множеств Ля+1 и Ля+3 оказываются поставленными во взаимно однозначное соответствие. Обозначим буквой D общую часть всех множеств Л, Л(, А,, ... **). Представив теперь множества Л и Л4 в виде сумм попарно непересекающихся частей:
Л [Л - Л4] U И4 - Л3] U [Л3 — Л3] U [Л3 — Л4] J . . ., л1 = ои [л, - Л2] и [Л3-Л3] и [Лз-Л4Ш [Л4 - л8] и..., убеждаемся в их эквивалентности, так как слагаемые первой строки либо совпадают с соответствующими слагаемыми второй, либо эквивалентны им на основании (1).
Схема, изображенная на рисунке 4, иллюстрирует на некотором частном примере содержание теоремы. Множества Л, Ah Л-2 представляют собой множества точек отрезков ОА, 0AIt 0А3 = О] Л.2. В качестве закона взаимно однозначного соответ-
*) Вообще говоря, из эквивалентности А ~ А2 и Д1~Д3 не следует эквивалентность А — А,^А2 — Д8. Например, пусть А — множество всех натуральных чисел, А2— множество всех положительных четных чисел, At — множество, состоящее из всех положительных четных чисел и чисел I, 3, Д3 —множество, состоящее из всех положительных четных чисел и числа 1. Тогда А ~ А2 и At ~ А3, но А — А,— счетное множество, а А2— А3 — конечное; следовательно, А — 4, не эквивалентно множеству Дг — Аг.
**) D может быть бесконечным, конечным и пустым множеством.
14
ствия элементов множеств на схеме принято проективное отображение отрезков и их частей с центром проектирования в точке 02.
Рис. 4
Т еорема 2.1 (Кантора — Бернштейна). Если каждое из двух данных множеств эквивалентно некоторой части другого, то дан
ные множества эквивалентны.
Доказательство. Пусть даны множества А и В, при этом В~ AiQA.
Части Л] и В} предполагаем собственными, так как в ином
случае справедливость теоремы очевидна. Поставим элементы мно-
жества А по' некоторому закону во взаимно однозначное соответствие с элементами множества В2 и назовем множеством В.г ту собственную часть множества В2, которая составлена из элементов, соответствующих по принятому закону элементам множества Ар Тогда окажется, что В^В^В^; при этом В ~ Alt Al ~ В.2; следовательно, В
теоремы В В}, а так
В«, откуда на основании предыдущей как и A^Bit то значит, что А~В.
Частный случай, иллюстрирующий эту теорему, изображен на рисунке 5.
§ 8.	Существование сколь угодно высоких мощностей
Ранее (стр. 11) было указано, что существуют бесконечные множества различных мощностей. Сейчас это будет доказано и, более того, будет доказано, что, как бы велика ни была мощность некоторого множества, всегда можно построить множество более высокой мощности.
Теорема 3.1. Мощность множества всех подмножеств любого непустого множества А больше, чем мощность данного множества А.
15
Доказательство. Пусть дано непустое множество А. Обозначим множество всех его подмножеств через В. Докажем, что В^>А. Для этого в соответствии с предыдущим покажем, что В^А и A^Bjt^B. Будем считать, что в В вместе с другими подмножествами входят несобственные подмножества множества А, т. е. будем полагать, что множество В состоит из пустого множества О, множества А и всех его неодноэлементных и одноэлементных подмножеств.
Докажем вначале, что Ат^эВ. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что А^В. Тогда каждому элементу а £ А соответствует некоторый элемент b £ В, а — Ь. По способу построения множества В элемент b представляет собой некоторое подмножество множества А: Ь^А, т. е. элемент b есть какая-то совокупность элементов, принадлежащих множеству А.
Из вышесказанного вытекает, что для двух соответствующих элементов аb возможны два случая: либо элемент а принадлежит тому подмножеству, которому он соответствует а £ Ь, либо нет (а £ Ь). Разобьем в соответствии с этим все элементы множества А на два класса: «включенные» элементы и «невключен-гые» элементы. Оба класса не пусты. Так, элемент множества А, соответствующий всему множеству А как подмножеству, является гключенным, а элемент множества А, соответствующий его пустому подмножеству, — невключенным. Рассмотрим подмножество Ьо множества А, составленное из всех невключенных элементов. Пусть этому элементу множества В соответствует некоторый элемент ал^А: a,,--bi,. Покажем, что а0 не может быть ни включенным, ни невключенным элементом. В самом деле, если а0 включенный элемент, то а0£Ь0, но Ьо составлено из элементов невключен-ных;значит, этого не может быть. Если, наоборот, а0 — невключенный элемент, то он входит в Ьо, где собраны все невключенные элементы, а тогда он оказывается принадлежащим соответствующему ему подмножеству, т. е. оказывается включенным. Значит, и этот случай невозможен. Случай, когда а0 С Ьо невозможен, так как все невключенные элементы входят в Ьо. Противоречие (появление третьей категории элементов в то время, как на основании нашего предположения их должно быть только две) доказывает не эквивалентность множеств А и В. Доказательство того, что А ~ В*03, где В* — некоторое собственное подмножество множества В, просто. Если в качестве В* взять все одноэлементные подмножества множества А и поставить каждому из них в соответствие тот же элемент, из которого это одноэлементное подмножество состоит, то справедливость утверждения становится очевидной.
§ 9.	Счетные множества
Из предыдущего § 8 следует, что невозможно построить множество, мощность которого была бы наибольшей (так как множество, составленное из всех частей данного множества, имело бы большую мощность и т. д.).
16
Возникает вопрос: существует ли бесконечное множество наименьшей мощности? Рассмотрим множество всех чисел натураль-ного_ряда А = {1, 2, 3,..., п, обозначим его мощность — через Л. Рассмотрим теперь произвольное бесконечное множество М. Возьмем из него один элемент и обозначим его mlt затем еще один элемент, отличный от ти который обозначим т2, и т. д. В силу бесконечности множества М процесс этот будет продолжаться неограниченно, в результате чего из бесконечного множества М будет выделено подмножество Му (собственное или несобственное, совпадающее с М), элементы которого занумерованы всеми числами натурального ряда. Тогда в силу определения эквивалентности множеств=множество Му с/г А (каждому тп --- и). Если обозначить через М мощность множества М, то в силу сказанного о равенстве и неравенстве кардинальных чисел мы получим:
А^М.
Отсюда мощность всякого бесконечного множества больше или равна мощности множества всех чисел натурального ряда, а следовательно, и мощности любого множества, эквивалентного множеству всех чисел натурального ряда. Таким образом, мощность множества всех чисел натурального ряда есть наименьшая мощность бесконечного множества.
Определение. Всякое множество, эквивалентное множеству всех чисел натурального ряда, называется счетным.
Можно показать, что это определение эквивалентно следующему: множество называется счетным, если его элементы можно пронумеровать индексами натурального ряда, т. е. расположить в виде бесконечной последовательности
Hi, аг,. •., ап,...
так, чтобы при этом каждый элемент множества получил один и только один номер — натуральное число п и каждое натуральное число п было бы дано в качестве номера одному и только одному элементу множества. Мощность счетного множества называется счетной мощностью. Она обозначается буквой (алеф-ноль), как мы уже показали Ко— наименьшая мощность бесконечного множества.
Примерами счетных множеств являются множество четных чисел; множество целых чисел, делящихся на три; множество чисел вида п-10*, где п принимает последовательно значения всех чисел натурального ряда, k — некоторое данное число (не обязательно натуральное); множество чисел вида п-10я, где п принимает последовательно значения всех чисел натурального ряда; множество всех чисел вида nk, где п последовательно принимает все значения чисел натурального ряда, a k — некоторое данное число; множества всех чисел вида/(п), где п последовательно принимает все значения чисел натурального ряда, а/-—строго монотонная функция, определенная для всех натуральных значений аргумента. В частности, при /(п), равной соответственно 2п, Зп, п-10*, п-10я, /г*, из этого примера получаются все предыдущие.
17
Рассмотрим теоремы, характеризующие основные свойства счетных множеств.
Теорема 4.1. Всякое бесконечное подмножество счетного множества есть счетное множество.
Доказательство. Пусть А—данное счетное множество,
— его бесконечное подмножество	Так как А — счет-
ное множество, то его мощность $0. В силу того, что А^А, мощность множества At _
(I)
Но так как множество Aj бесконечно, а Хо— наименьшая из всех мощностей бесконечных множеств, то отсюда следует, что
(2)
Сопоставляя (1) и (2), получим, что Л1 = Х0.
Следствие. Если из счетного множества А удалить конечное подмножество К, то оставшееся множество А\К счетно.
Справедливость следствия очевидна. Множество Л\Л, являясь подмножеством множества А, не может быть конечным, так как если бы это было так, то и множество А как сумма двух конечных множеств было бы множеством конечным. Следовательно, множество Д\К есть бесконечная часть счетного множества и на основании теоремы 4.1 счетно.
Теорема 5.1. Бесконечное множество n-k натуральных чисел счетно*).
Доказательство. Пусть п—данное фиксированное натуральное число. Назовем весом n-ки натуральных чисел (тъ тг,..., тп) сумму входящих в нее натуральных чисел т} Д- Д- ... ... Д-/п„ = й. Поставим в соответствие каждой n-ке (т}, тг, ..., тп) натуральное число следующего вида:
1 0...0 1 0...0 ........... 1	0...0.
тп нулей	нулей	нулей
Оно окажется п Д- /г-значным натуральным числом, состоящим из единиц, разделенных нулями. Например, при п — 3 и h — 4 трой
*) Под парой натуральных чисел подразумевается два натуральных числа, не обязательно различных, данных в определенном порядке. Так, (1,1), (1,3), (3,1) — различные пары натуральных чисел. Соответственно (1,1,3), (3,1,1), (1,3,1), (1,2,3)—различные тройки натуральных чисел. Нетрудно представить себе различные четверки, пятерки натуральных чисел. Каждую пару, тройку, четверку, пятерку натуральных чисел будем, следуя Н. Н. Лузину (Н. Н. Лузин (1883—1950) — академик, основатель московской школы теории функций действительного переменного. См. его книгу «Теория функций действительного переменного», 1948, стр. 17), объединительно называть конечной системой натуральных чисел. Конечную упорядоченную систему натуральных чисел, состоящую из п натуральных чисел в каждой, где п — данное фиксированное натуральное число, будем называть n-кой натуральных чисел.
18
кам чисел будут поставлены в соответствие натуральные числа:
(1, 1, 2)- 1001010;
(1, 2, 1)- 101 0010;
(2, 1, 1)- 1010100.
Нетрудно убедиться в том, что разным n-кам будут соответствовать разные натуральные числа*). В самом деле, натуральные числа, соответствующие n-кам разных весов h2 и Л2, не могут быть равными из-за их различной значности: n-\-hx и Натуральные числа, соответствующие различным n-кам одного веса, различны благодаря различным положениям в них единиц, разделенных нулями. Бесконечное множество различных натуральных чисел по теореме 4.1 счетно. Следовательно, бесконечное множество п-к счетно.
В частности, счетными являются бесконечные множества пар, троек, четверок, пятерок натуральных чисел.
Следствие. Бесконечное множество, состоящее из элементов aiklm ... иЪ, различающихся натуральными индексами**) iklm ... uv, счетно.
Справедливость следствия видна из взаимно однозначного соответствия данного бесконечного множества элементов aiklm...uV и множества n-к натуральных чисел.
Теорема 6.1. Сумма счетного множества счетных множеств есть счетное множество.
Доказательство. Пусть дано счетное множество счетных множеств Alt А.2, А3, ..., Ап, ... . Каждое из данных множеств можно представить в виде бесконечной последовательности:
Д1 = {а]), а12, а13, ..., щт,
А2 — {a.2i, а22, а.2з, ..., aim, ...};	(2)
Ац — {, ап2, а,л, ..., апт, • ••},
Их сумма будет состоять из элементов вида атл, различаемых натуральными индексами. Эта сумма бесконечна независимо от совпадения или несовпадения элементов различных множеств — слагаемых. На основании предыдущей теоремы эта сумма счетна.
Из теоремы 3 вытекает ряд следствий, характеризующих свойства счетных множеств.
Следствие 1. Сумма конечного числа***) счетных множеств есть счетное множество.
Следствие 2. Сумма счетного числа конечных попарно не пересекающихся множеств есть счетное множество.
*) Легко можно показать взаимно однозначное соответствие множества натуральных чисел такого вида и п-к для данного фиксированного п.
**) Под натуральным индексом разумеется индекс, принимающий значения чисел натурального ряда.
***) Выражения «счетное число множеств» и «конечное число множеств» употребляются в смысле соответственно выражений «счетное множество множеств» и «конечное множество множеств».
19
Следствие 3. Сумма конечного и счетного множеств есть
счетное множество.
Справедливость следствий 1, 2, 3 становится очевидной, если принять во внимание, что каждая из сумм, упоминаемых в этих следствиях, есть бесконечнее подмножество счетного множества,
о котором говорилось в теореме.
Теорема 7.1. Множество R всех рациональных чисел счетно.
Доказательство. Известно, что всякое рациональное число может быть представлено в виде отношения двух целых
чисел у. Рассмотрим пока только положительные дроби вида -у, где р и q — натуральные числа. Множество таких положительных
дробей эквивалентно множеству элементов вида ард с натуральными индексами и, следовательно, счетно. Множество отрицатель
ных дробей вида — , где р и q по-прежнему натуральные числа, на основании тех же соображений счетно. Множество R как сумма счетного множества положительных дробей, счетного множества отрицательных дробей и одноэлементного множества, состоящего из числа 0, счетно на основании теоремы 6.1
Следствие. Множество рациональных чисел интервала (0, 1), т. е. множество дробей вида-—, где р и q — натуральные числа и при этом P<Zq, счетно.
Рассматриваемое в следствии множество есть бесконечнее подмножество счетного множества R, откуда и следует его счетность.
Замечание. Теоремы 6.1; 7.1 с их следствиями можно доказать несколько более наглядно, отыскав для каждого из исследуемых множеств фактически хотя бы один способ нумерации всех его элементов.
Так, например, таблица (2) поддается нумерации,	о	о	о	о	о
если ее элементы пронумеровать в порядке, ука-
занном на схемах а и б рисунка 6. Очевидно, что	о	о	о	о	о
возможны и другие способы нумерации элементов
Рис. 6
натуральное, а р— целое, можно поставить в соответствие узлам целочисленной координатной сеткц, у которой абсциссы узлов соответствуют чи-слителям дробей —, а ординаты-—знаменателям их. Нумерация узлов возможна, например, в порядке, указанном па схеме рисунка 6, в, 20
Теорема. 8.1. Множество всех алгебраических чисел счетно. (Из курса алгебры известно, что алгебраическим числом называется действительное или комплексное число, являющееся корнем уравнения с целыми коэффициентами:
апхпа„_1Хя^ + ... 4-а,х4-ао = О,
где п— натуральное число.)
Доказательство. Прежде всего отметим, что уравнений указанного вида степени п имеется счетное множество. Это следует из того, что каждое уравнение определяется (п-(-1)-кой натуральных чисел (ап, ап_х...	а0), а множество таких
(n-j-l)-K на основании теоремы 5.1 счетно. Множество всех алгебраических уравнений является суммой счетного числа алгебраических уравнений различных степеней п, где п пробегает натуральный ряд и, следовательно, на основании теоремы 6.1 есть счетное множество.
Так как каждое уравнение имеет конечное число корней, то множество всех корней рассматриваемых уравнений, а значит, и всех алгебраических чисел является суммой счетного числа конечных множеств, которые могут попарно пересекаться (корни различных уравнений могут быть одинаковыми). Это множество на основании второго следствия теоремы 6.1 не может иметь мощность больше счетной, но так как данное множество является бесконечным, и его мощность на основании теоремы 4.1 не может быть и меньше счетной, что и доказывает теорему.
Из теоремы о существовании различных мощностей бесконечных множеств (см. § 8) вытекает, что существуют бесконечные множества, не являющиеся счетными. Назовем все такие множества несчетными множествами. Мощность каждого несчетного множества больше мощности множества счетного, имеющего наименьшую мощность бесконечного множества. Ниже приводятся теоремы, характеризующие некоторые свойства бесконечных и, в частности, несчетных множеств.
Теорема 9.1. Если к бесконечному множеству А прибавить конечное или счетное множество К, то в результате получится множество, эквивалентное исходному, т. е.
A\JK^A.
Доказательство. Выделим из А счетную часть D, что на основании рассуждений, приведенных в начале параграфа, всегда возможно, и пусть А — D = E; тогда
A = E\JD, A\JK = E\JD\JK.
Так как	по третьему и первому следствиям теоремы 6.1,
а Е^Е, то и A'.JK^A.
Теорема 10.1. Если В — несчетное множество, а К — его конечная или счетная часть, то В — К^В.
21
Доказательство. Множество А —В — К не может быть конечным, так как тогда исходное множество В было бы суммой конечных или конечного и счетного множеств, т. е. конечным или счетным. Следовательно, А—бесконечное множество. Тогда на основании предыдущей теоремы A\JK^A, или В В— К.
Следствие. Всякое бесконечное множество содержит эквивалентную собственную часть.
В самом деле, применяя к бесконечному множеству теорему 4.1, если оно счетно, и теорему 10.1, если оно несчетно, мы убеждаемся в справедливости следствия. Свойством, указанным в следствии, обладают только бесконечные множества, и поэтому бесконечное множество иногда определяется как множество, эквивалентное некоторой своей собственной части.
Упражнения к главе I
1.	Приведите примеры множеств.
2.	Какие из названных вами множеств являются конечными, какие — бесконечными?
3.	Является ли конечное множество, состоящее из числа 0, пустым множеством?
4.	Какая разница в записях: АаВ и а £В?
5.	Можно ли сказать, хчто если АссВ и одновременно Вс:А, то А — В? Докажите правильность вашего ответа.
6.	Приведите примеры подмножеств известных вам множеств. Какие из этих подмножеств являются собственными подмножествами?
7.	Какое множество имеет большую мощность: множество натуральных чисел или множество четных чисел; множество четных чисел или множество простых чисел?
8.	Можно ли сказать, что если А —В, то А ~ В, и, наоборот, можно ли сказать, что если А ~ В, то А = В? Приведите примеры.
9.	Назовите несколько счетных множеств. Покажите их эквивалентность друг другу.
10.	Приведите примеры сумм, разностей и пересечений множеств.
11.	Что представляет собой общая часть (пересечение) множества всех пионеров района и множества всех школьников данной школы, принадлежащей тому же району?
12.	Что представляет собой разность A-В, где А — множество всех учеников 5А класса школы, а В — множество учеников всех классов школы, имеющих только пятерки по всем предметам?
13.	Докажите справедливость равенств:
А U В = в и А (Л US) ис = л U (В U С),
AQB = BQA, (A QB) ПС = А П ПС), исходя из определений суммы и пересечения множеств.
14.	Найдите другие способы нумерации таблицы (2), помещенной на странице 19.
15.	Найдите другие способы нумерации узлов на схеме рисунка 6, в.
16.	Докажите самостоятельно теорему: разность А \ В счетного множества А и конечного множества В есть счетное множество.
17.	Рассмотрите все подмножества некоторого конечного непустого множества и убедитесь, что число этих подмножеств больше числа элементов исходного множества.
18.	Докажите, что множество «рациональных» точек плоскости, т. е. точек, обе координаты которых — рациональные числа, есть счетное множество.
22
19.	Докажите, что множество уравнений вида
апхп + ап^	4-ejX +ао = О,
где коэффициенты рациональные (не только целые!), а п — натуральные числа, есть счетное множество.
20.	Докажите для любых трех множеств А, В, С справедливость равенства (Дрб) U С = (А IJС) Г) (5 U С).
21.	Докажите, что если Асй, то А В = А и A U В = В.
22.	Докажите, что если Л с: В и В с: С, то А с: С.
23.	Докажите, что А В = 0 тогда и только тогда, когда А\В = А либо В\А =В.
24.	Докажите, что всякое конечное множество не может быть эквивалентным своей собственной части.
25.	Докажите, что множество внутренних точек эллипса эквивалентно множеству внутренних точек круга.
26.	Докажите, что всякое бесконечное множество может быть разложено на счетное число бесконечных и попарно не пересекающихся множеств.
27.	Докажите счетность множества квадратов (кубов) чисел натурального ряда.
28.	Докажите счетность множества простых чисел.
29.	Докажите, что множество всех окружностей на плоскости, радиусы которых рациональны и координаты центров которых—рациональные числа, есть множество счетное.
30.	Определите, будет ли счетным или несчетным бесконечное множество всех конечных десятичных дробей.
31.	Докажите, что всякое конечное множество действительных чисел имеет наибольший элемент.
32.	Докажите эквивалентность множества n-k и множества натуральных чисел вида, приведенного в доказательстве теоремы 5.1.
33.	Установите в виде аналитической формулы закон соответствия множества рациональных чисел сегмента [0, 1] и множества всех рациональных чисел.
34.	Сделайте то же для множества рациональных чисел сегмента [а, 6] и сегмента [с, tf], где a<.b<c<.d — различные действительные числа.
35.	Сделайте то же Для множества рациональных чисел сегмента [0, а] и множества рациональных чисел, больших данного числа Ь.
36.	Докажите, что множество всех конечных систем натуральных чисел есть счетное множество.
37.	Определите мощность множества алгебраических чисел сегмента 10, 1].
38.	Докажите следующую теорему: пусть М — конечное множество натуральных чисел и F— множество функций, определенных на Л1, таких, что их значения принадлежат тому же Множеству М. Функции должны удовлетворять условию: если т'^Ьт", то f (т')	(т"). Тогда существуют в/7 две
функции fi (т) и /2 (т), такие, что каждую функцию из F можно получить путем применения функций ft и /2 конечное число раз.
У казание. Если элементы М обозначить 1, 2, ..., k, то из F можно выбрать следующие функции, удовлетворяющие условиям теоремы:
fi (1)==й, fi (т) ~ т—1 для zn^l,
A (k — 1) = fe, Д (k) = k —-1, /2 (т) =. т для т < k — 1.
39.	Докажите, что следующие соотношения между множествами определяют их эквивалентность:
а)	ЛЕВ, A = Af\B, АЦВ = В;
б)	АЕВ, AnB = AUB;
в)	АеВеС, ацв =вцс.
40.	Существуют ли другие соотношения, кроме перечисленных в предыдущем упражнении, которые характеризуют эквивалентность двух множеств? Приведите примеры.
23
41.	Можно ли считать, что функции
у = Зх 5, у = Xs, у = у~х ’У — s'n х
устанавливают взаимно однозначное соответствие между множеством значений аргумента и множеством значений функции? В случаях, когда ответ отрицателен, можно ли получить положительный ответ после соответствующего изменения области определения функции?
42.	Докажите, что всякое множество сегментов, лежащих на прямой и не имеющих общих внутренних точек, конечно или счетно.
Указание. Рассмотрите отдельно случаи, когда наименьшая длина сегмента X > а, \ — а, \<а, где а — данное положительное число.
43.	Можно ли распространить предыдущее доказательство на прямоугольники, лежащие на плоскости, параллелепипеды трехмерного пространства? Как это сделать?
44.	Справедливы ли будут рассуждения упражнения 42 для множества пепересекающихся интервалов на прямой?
45.	Перечислите все подмножества множества корней уравнения х4 — 1=0.
46.	Покажите, что геометрическая конгруэнтность обладает всеми свойствами эквивалентности.
47.	Докажите то же для параллельности прямых.
48.	Покажите, что касание геометрических фигур обладает свойством симметричности, но не обладает, вообще говоря, свойством транзитивности.
Глава II. ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ
§ 1.	Множества рациональных чисел
До сих пор рассматривались некоторые общие свойства множеств независимо от того, из каких элементов они составлены. Теперь мы займемся изучением более конкретного вида множеств, а именно множеств, элементами которых являются числа.
Множество R рациональных чисел, т. е. чисел, каждое из которых может быть представлено в виде отношения двух целых чисел у, как известно, обладает следующими свойствами:
а)	Множество R бесконечно.
б)	Множество R, как было доказано в предыдущей главе (§ 9, стр. 20), счетно.
в)	Относительно любых двух различных его элементов г и г’ можно сказать, что один из них меньше другого или, как мы будем говорить, один из них предшествует другому по величине. При этом из г<г’ и г'<у' следует, что г<^г". Это свойство называется упорядоченностью множества R.
г)	Между любыми двумя его элементами гиг' имеется элемент того же множества —у—. Это свойство упорядоченного множества R называется плотностью.
д)	Если г и г' — два рациональных положительных числа, то всегда найдется натуральное число Р, такое, что Рг^>г’ (аксиома Архимеда).
24
е) Действия сложения и умножения, произведенные над элементами множества R, подчиняются переместительному и сочетательному законам, а действие умножения, кроме того, подчи-
няется распределительному закону относительно сложения.
ж) Любое рациональное число можно изобразить точками на прямой. Для этого на прямой предварительно отмечается нулевая точка — начало счета и точка, изображающая единицу.
Чтобы получить точку, соответствующую числу у, достаточно
разделить отрезок [0,1] на q частей и отложить р таких частей от нулевой точки в направлении точки единичной, если число
-- положительно, и в противоположном направлении,
если оно
отрицательно. Расстояние каждой точки от начала счета окажет-
ся при этом построении равным абсолютной величине соответ-
ствующего числа.
Однако при этом каждому элементу из множества R будет соответствовать точка на прямой, но не каждой точке прямой будет соответствовать элемент множества R. Так, например, точке прямой, расположенной от начала счета на расстоянии, равном диагонали квадрата со стороной в одну единицу, не соответствует никакое рациональное число. Следовательно, между множеством R и множеством всех точек прямой нельзя установить взаимно однозначное соответствие.
§ 2.	Множество действительных чисел
Рассмотрим теперь множество Z всех действительных чисел, т. е. множество, состоящее из всех рациональных и всех иррациональных чисел *). Известно, что множество Z всех действительных чисел обладает всеми свойствами множества R рациональных чисел, перечисленными в предыдущем параграфе, а именно:
а)	оно бесконечно;
б)	упорядочено;
в)	плотно;
г)	в упорядоченном множестве действительных чисел выполнима аксиома Архимеда;
д)	действия сложения и умножения, произведенные над его элементами, подчиняются переместительному и сочетательному законам, а действие умножения, кроме того, подчиняется распределительному закону относительно сложения;
*) Определение действительного (или иррационального) числа дается различными теориями различно (теория Дедекинда, теория Кантора — Мере и др.). Одна из этих теорий известна из курса анализа.
Изложение теории действительного числа по Кантору и Мере дано в книге автора (И. П. М а к а р о в. Теория функций действительного переменного. «Просвещение», 1964, стр. 26; «Высшая школа», 1966, стр. 29).
25
е)	каждый элемент множества Z, так же как и каждый элемент множества R всех рациональных чисел, может быть представлен при данном основании системы счисления единственным образом в виде существенно бесконечной систематической дроби.
Кроме того, множество Z в отличие от множества R обладает свойствами:
ж)	множество Z непрерывно;
з)	множество Z является несчетным и имеет мощность С.
Совокупность всех действительных чисел назовем числовой п р я мо й. Совокупность действительных чисел Z, удовлетворяющих неравенствам a<^Z<^b, где а, b — данные действительные числа, называется числовым интервалом и обозначается (а, Ь).
Совокупность действительных чисел Z, удовлетворяющих неравенствам a^Zs^b, называется числовым сегментом и обозначается [о, Ь]. Число b — а называется длиной сегмента и длиной интервала. Число Z будем называть точкой на числовой прямой.
Теорема 1.2 (Кантора). Пусть дана последовательность [щ, й1]цэ|о.2)	/>з] гэ... [ап> bn]zz>... вложенных друге
друга сегментов, т. е. таких, что каждый следующий является частью предыдущего b^] го [а„, Ьп], и пусть длины этих сегментов по мере возрастания п стремятся к нулю. Тогда существует одна и только одна точка Е (число), принадлежащая всем этим сегментам *).
Доказательство этой теоремы мы приводить не будем**).
Теорема Кантора характеризует свойство множества действительных чисел, называемое непрерывностью. Это соответствует нашим интуитивным представлениям о непрерывности прямой. В самом деле, мы представляем себе, что если бы где-нибудь между точками прямой имелся просвет, то можно было бы построить последовательность стягивающихся к нему сегментов. Тогда не существовало бы точки, принадлежащей всем этим сегментам, ее место занимал бы этот просвет. Теорема Кантора формулировалась нами для числовой прямой, т. е., говоря о точках, мы подразумевали числа и, говоря о сегментах, мы подразумевали некоторые числовые множества. Но утверждения теоремы Кантора можно понимать и в буквальном смысле, как относящиеся к обыкновенным сегментам и точкам на геометрической, а не на числовой прямой. В геометрии непрерывность геометрической прямой принимается за аксиому, так как она не вытекает из других аксиом геометрии. В этом смысле утверждение теоремы Кантора называют аксиомой непрерывности прямой.
*) Последовательность сегментов, удовлетворяющих условиям теоремы Кантора, будем называть стягивающейся последовательностью сегментов.
**) См., например, [13], cip. 6t>.
26
Ранее (гл. I, § 8, стр. 16) было доказано существование множества, имеющего сколь угодно высокую мощность. До сих пор мы изучали только множества счетной мощности. Множество всех действительных чисел является примером множества, имеющего мощность выше счетной.
Теорема 2.2. Множество действительных чисел X, удовлетворяющих неравенствам OsgXsgl, несчетно.
Доказательство. Допустим, например, что множество точек сегмента [0, 1] = Д есть счетное множество. Тогда все принадлежащие ему точки (числа) можно расположить в виде последовательности
-Vj, Л*.,, . • ., Л’д, ....
П	Л	Гл И Г 1	2 1
Разделим сегмент Д на три равные части: 0, у , у, у , Г2	1	z
у, 1 . Выберем из них ту часть, к которой не принадлежит точка хг. Ясно, что хотя бы одна, такая часть из трех найдется. Обозначим ее Дх. Разделим сегмент Дх вновь на три равные части и обозначим через Д2 ту часть, которая не содержит х.>. Продлим этот процесс неограниченно. В результате получим бесконечную последовательность вложенных друг в друга сегментов:
Д=эД1=эД.ггэ...=эДл^...,
которые обладают тем свойством, что сегмент Д„ не содержит точку хп при любом п. Так как длина сегмента Д„ есть ул-и стремится к нулю по мере возрастания п, то получится последовательность стягивающихся сегментов и по теореме Кантора существует точка (число), принадлежащая всем сегментам {Д„}. Обозначим эту точку через L Эта точка принадлежит сегменту Д. Но, с другой стороны, она не входит в последовательность {%„}, так как если бы она принадлежала этой последовательности, то она по построению не входила бы хотя бы в один из сегментов {Дл}. Противоречие доказывает теорему.
Определение. Множество, эквивалентное множеству действительных чисел, принадлежащих сегменту [0, 1], называется 'множеством мощности континуума*) или, короче, мощности с.
Теорема 3.2. Всякий сегмент, интервал и полусегмент являются множествами мощности континуума.
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно показать, что любой сегмент [а, Ь] эквивалентен сегменту [0, 1], так как удаление из сегмента одной или двух точек (чисел) на основании теоремы 9. 1 (гл. I, § 9, стр. 21) не изменяет его мощности.
*) Название «континуум» происходит от латинского слова continuum, что значит «непрерывное».
27
Пусть дан некоторый сегмент [а, Ь]. Докажем, что множество его точек эквивалентно множеству точек сегмента [0, 1].
Пусть точка у^ [а, Ь], а точка хС^ [0, 1]. Установим закон соответствия между у х.
Действительно, соотношение у — а + (й — а)х ставит в соответствие каждой точке сегмента [0, 1] одну и только одну точку сегмента [а, Ь], и, наоборот, каждой точке сегмента [а, £] обрат-
V — а
ное соотношение х =	- ставит в соответствие одну и только
одну точку сегмента [0, 1].
Теорема 4.2. Множество всех действительных чисел имеет мощность континуума.
Доказательство. Установим взаимно однозначное соответствие между элементами у множества всех действительных чисел и элементами х множества чисел интервала (0, 1). Это соответствие устанавливается следующим законом:
у —tg(2x—1)^-.
По принятому закону каждому числу х интервала (0, 1) будет соответствовать одно и только одно действительное число у и, наоборот, каждому действительному числу у по формуле
(2х— l)-J- = arctgz/
будет соответствовать, если рассматривать только главное значение арктангенса, одно и только одно значение х из интервала (0,1). Тем самым установлена эквивалентность множества всех действительных чисел и множества действительных чисел интервала (0,1), т. е. доказано, что множество всех действительных чисел обладает мощностью с.
Теоремы 3. 2; 4. 2 можно доказать и геометрически, что предоставляется сделать читателю в виде упражнения.
§ 3. Множество мощности континуума
Перейдем к рассмотрению некоторых других множеств мощности континуума и их свойств.
Теорема 5.2. Сумма конечного или счетного числа множеств мощности с является множеством мощности с.
Доказательство. Пусть даны множества А1г Л3,..., Ап,... мощности св конечном или счетном числе, и пусть данные множества попарно не пересекаются. ЛР]Л, = 0 при i ]• Возьмем полусегмент [а, &], разобьем его на конечное или счетное число непере-секающихся полусегментов [а, аД; [аъ а2];....Это можно сделать, например, точками:
28
В случае конечного числа данных множеств остановимся на n-м полусегменте, полагая ап = Ь. Точки (числа) каждого из полученных полусегментов поставим во взаимно однозначное соответствие точкам данных множеств Лъ Л2,..., Ап,что сделать возможно, так как каждый полусегмент, построенный нами, имеет мощность с. Тогда сумма данных множеств окажется поставленной во взаимно однозначное соответствие множеству точек полусегмента [а, &]; тем самым теорема доказана для случая, когда множества Ait Л2,  • •, Ап,... не пересекаются.
Снимем теперь условие непересекаемости данных множеств. Возьмем множество Л1; затем построим множества: Л2 = А2\ЛЬ Аз — X3\(X1(JЛ2),..., Ап — Л„\(Л,и1)  •   Множества Ль Л2, Аз,... не пересекаются, множество Аг обязательно не пусто и имеет мощность с. Данная сумма	... (J ЛЯ(Д ....
очевидно, совпадает с суммой	• Выбрав
из множеств А,, Лг,..., Ап,... все множества мощности с и отбросив из них конечные и счетные, как не влияющие на результаты рассуждений на основании теоремы 10.1, мы придем к предыдущему случаю.
Теорема 6.2. Множество всех иррациональных чисел, множество иррациональных чисел, принадлежащих любому сегменту [a, или интервалу (а, Ь), эквивалентны друг другу, и каждое из них имеет мощность.
Д о к а з ат ел ь с тв о. Обозначим данные множества соответственно буквами А, В, С. Множество А получается из множества Z всех действительных чисел удалением из него счетного множества рациональных чисел У?, поэтому на основании теоремы 10.1 его мощность равна мощности исходного множества Z, т. е. является мощностью с. Множества В, С получаются соответственно из сегмента [а, Ь] и интервала (а, Ь) удалением счетного множества рациональных точек (чисел), т. е. на основании тех же рассуждений имеют каждое в отдельности мощность, равную мощности множества чисел сегмента (интервала), т. е. мощность с.
Теорема 7.2. Существуют трансцендентные (неалгебраические) числа. Множество всех трансцендентных чисел имеет мощность с.
Множество всех действительных чисел Z несчетно. Множество алгебраических чисел А, включающее в себя как действительные, так и комплексные числа, на основании теоремы 8.1 счетно. Если из множества действительных чисел Z удалить все действительные числа, являющиеся алгебраическими, то оставшиеся числа окажутся трансцендентными. Так как множество A(~}Z не более чем счетно, то разность Z\X = Z\/1QZ имеет ту же мощность, что и множество действительных чисел. Это значит, что множество трансцендентных чисел не пусто, трансцендентные числа существуют и множество всех трансцендентных чисел обладает мощностью с.
Мощность континуума — первая из несчетных мощностей, с которой мы познакомились. Вопрос о возможности построения мно
29
жества мощности более счетной и одновременно менее континуума до сих пор не решен. Можно доказать *) существование множества, состоящего из действительных чисел наименьшей несчетной мощности jgjsgс. Но, во-первых, эффективно построить такое множество не удается, и, во-вторых, вопрос о том, имеет ли при этом место равенство Igi = с или неравенство Jgi<Xc> остается открытым.
Это последний вопрос, или, иначе говоря, вопрос о возможности построения и существования множества мощности более счетной и менее континуума составляет предмет так называемой «проблемы континуума», которой посвящены многочисленные исследования. Предположение о том, что множеств такой «промежуточной» мощности не существует, называется «гипотезой континуума»**).
Теорема 8.2. Множество всех функций действительного переменного, определенных на сегменте [ОТ], имеет мощность большую, чем с.
Доказательство. Обозначим множество всех функций действительного переменного, определенных на сегменте [0, 1], буквой А, а множество точек сегмента — буквой В. Для доказательства теоремы достаточно показать, что А не эквивалентно В и что В эквивалентно некоторой собственной части А. Докажем, что множества Л и В не эквивалентны. Для этого, пользуясь методом доказательства от противного, предположим, что А~В. Тогда каждому действительному числу zOs^zs^l взаимнооднозначно соответствует некоторая функция /(х), определенная на сегменте [0,1]. Обозначим функцию, соответствующую числу z, ДДх) = = F(x,z). Введем вспомогательную функцию <р(х) = F(х,х)-|-1. Учтем, что <р (х) Л (Osgxsg 1) и что этой функции, по нашему предположению, также соответствует взаимно однозначно некоторое число z0. В принятых обозначениях это запишется так: <p?0(x) = F(x, z0). Значит, F (х, z0) = F (х, х) 1 при всех х [0, 1 |. Положив в последнем тождестве x = z0, приходим к невозможному равенству F (z0, z0) = F(z0, z0) —]— 1, доказывающему неверноеш нашего предположения об эквивалентности множеств Л и В.
Теперь докажем, что В эквивалентно некоторой собственной части множества Л. Для этого рассмотрим семейство функций y = kx-\-c, где k — некоторое данное число, а постоянная с пробегает континуум значений Os^csSl. Каждая функция этого семейства является непрерывной функцией, входящей в множество Л. Рассмотренное семейство функций y = kx-\-c является собственной частью множества В, эквивалентной множеству Л.
*) См. [2], стр. 96.
**) На Международном конгрессе математиков в Москве (август 1966 года) американский ученый П. Дж. Коен в своем докладе показал, что гипотеза континуума не может быть доказана на основании принятой в теории множеств системы аксиом Цермело — Френкеля. Этот результат дополняет известным образом прежние работы Гёделя, доказавшего невозможность опровергнуть эту гипотезу в рамках той же аксиоматики.
30
Эта эквивалентность может быть показана установлением взаимно однозначного соответствия kx-'lr с — с. Отсюда следует, что множество всех функций, определенных на сегменте [0, 1], имеет мощность большую, чем с. Следует учесть, что множество А состоит из функций непрерывных и разрывных. Множество же непрерывных функций, определенных на сегменте [0,1], обладает только мощностью с *).
Теорема 9.2. Множество всех подмножеств счетного множества имеет мощность с.
Доказательство. Пусть дано счетное множество А. Расположим элементы этого множества в виде последовательности Я1, а2, ...,	... • Они отличаются друг от друга натуральными
индексами. Теорема будет доказана, если мы докажем, что множество последовательностей индексов, т. е. любых строго возрастающих последовательностей натуральных чисел, эквивалентно множеству действительных чисел, принадлежащих полусегменту (0,1]. Каждому действительному числу а полусегмента (0,1] соответствует одна и только одна существенно бесконечная двоичная дробь 0, аь а2,..., и, наоборот, каждой существенно бесконечной двоичной дроби такого вида соответствует одно и только одно число полусегмента (0,1]. Поставим в соответствие каждой дроби 0, аь а2> • •  строго возрастающую последовательность натуральных чи-СеЛ
где в качестве члена последовательности взяты в порядке возрастания те значения к, для которых ап = 1; например, двоичной дроби 0,001010001 поставим в соответствие последовательность 3, 5, 9,... . Таким образом, каждому числу а полусегмента (0,1] будет соответствовать одна и только одна последовательность, и, наоборот, каждая строго возрастающая последовательность натуральных чисел будет определять единственную дробь, например последовательность 2, 3, 7,... будет определять дробь 0,0110001 .... Таким образом, нами установлено взаимнооднозначное соответствие между элементами множества действительных чисел полусегмента (0,1] и множеством всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел, что и доказывает, что множество всех таких последовательностей, а значит, и множество всех подмножеств данного счетного множества имеют мощность.
Теорема 10.2. Множество Q всех последовательностей натуральных чисел имеет мощность с.
Доказательство. Возьмем любую последовательность натуральных чисел щ, пг,... и поставим ей в соответствие строго возрастающую последовательность натуральных чисел • 	<•• • > такую, что kt = nt, k.1 = k1A n-i, k3 = ki~^ п3,... .
Тогда каждому элементу множества Q окажется поставленным в соответствие один элемент множества строго возрастающих
*) Доказательство этого факта см., например, [19], стр. 53.
31
последовательностей натуральных чисел, и, наоборот, каждой строго возрастающей последовательности натуральных чисел окажется поставленной в соответствие одна последовательность натуральных чисел, что и доказывает теорему (см. доказательство предыдущей теоремы).
Теорема 11.2. Если элементы множества А определяются п значками, каждый из которых независимо друг от друга пробегает множество значений мощности с, A~{aX1Xi...Xn}, то множество А имеет мощность с.
Доказательство. Обозначим через Хг (соответственно Хг,... ,Х„) множество значений значка Xi (соответственно х2,..., х„), имеющее по условию мощность с. Поставим во взаимно однозначное соответствие каждому элементу множества Xt некоторую последовательность натуральных чисел:
X] '*-* 11ц, ^12, • • • >
что на основании предыдущей теоремы сделать возможно. То же проделаем для множеств X.,, Х3,... Хп:
х2 — пи, пгг,... ,
Хп Пп\, Н-пЪ, • •.
Теперь поставим элементу aXjXa...Xn множества А в соответствие последовательность натуральных чисел п^пн... пп1п1яугя..., очевидно, входящую в множество Q, рассмотренное в предыдущей теореме. И наоборот, каждой последовательности натуральных чисел «1,	..., па, пп+1,... по тому же закону окажется
поставленным в соответствие элемент множества aX1Xi...x, у которого индексы xlt хг,..., хп соответствуют последовательностям:
fii,	' * -Ч;
«2, П.1+2,	х>',
U/i, п.,п, nin, хп.
Этим установлено взаимно однозначное соответствие между элементами множества Q и элементами множества А, т. е. установлено, что множество А имеет мощность с.
Из теоремы 7 вытекает очевидное следствие.
Следствие. Множество всех последовательностей, состоящих из п действительных чисел щ, «2,..., ая, имеет мощность с.
§ 4.	Множества пространства Еп
Перейдем теперь к изучению множеств «-мерного евклидова пространства.
Числовой прямой мы по-прежнему будем называть множество всех действительных чисел Z; «-мерным пространством
32
будем называть множество всевозможных «-к действительных чисел (см. стр. 18):
(хр х4,...» хл).
Всякую такую «-ку будем называть точкой «-мерного пространства, а числа хь xit..., хп— ее координатами. Расстояние р(х, х') между двумя точками х = (хь х2,..., хп) и х' = (хр х'.,, ..., х„) «-мерного пространства будем определять по формуле
р (х, X') — V (Xi — Xj)‘2 у (х,2 — х.2)- у... у (х„ — хп)\
При любом « пространство с таким определением расстояния между его точками называется «-мерным евклидовым пространством и обозначается Е,г. При « = 1 пространство Еь как уже было отмечено, есть числовая прямая, расстояние между точками которой определяется по формуле
р (х, х') — ]/"(х — х’)- = I X — х' |.
При п — 2 пространство Et называется плоскостью, и формулой для определения расстояния в этом случае является
р (х, х") = V(Xi — xj)J у (х, — x'tf.
Расстояние между точками «-мерного евклидова пространства удовлетворяет трем условиям:
1)	аксиоме тождества р(х, х') = 0 тогда и только тогда, когда точки x = (X;, х.>.. хл)	и х' = (Х)’, Xi,..., х„) совпадают, т. е.
тогда и только тогда, когда ху — xj, х2==Хз>..., х,г = х',1;
2)	аксиоме симметрии р (х, х') = р(л?, х);
3)	аксиоме треугольника р (х, х') У Р (У х") р (х, х").
Выполнение первых двух условий следует непосредственно из формулы определения расстояния, выполнение третьего будет сейчас доказано.
Квадратный трехчлен
у («,х у brf = у а? X2 У 2 у аДх у V У Н	<=1	i=l
где числа а,: и bt действительные, не принимает отрицательных значений ни при каких действительных значениях. Следовательно, дискриминант его не положителен:
п "1 2 п	п
У, OibX — у а} - У bj-xzo.
J 1 = 1	1 = 1
33
Отсюда получаем неравенство, называемое неравенством Коши — Б у н я к о в с к о г о: *)
Прибавив суммы квадратов к удвоенным обеим частям полученного неравенства, будем иметь;
или
Положив здесь а; = х{ — х[ и bt = х[ — xl и извлекая квадратный корень (в арифметическом смысле) из обеих частей неравенства, что в данном случае сделать возможно благодаря неотрицательности обеих частей неравенства, получим:
р (х, х') р (У, х") р (х, х").
или
п-мерным сегментом будем называть множество всех точек х=(Х], хг, ..., хп) «-мерного евклидова пространства, для координат которых выполняются неравенства**);
О] <: Xi SC bl, аг Xi =s
л-мep ным иитерва лом — множество всех точек, для коор-
динат которых выполняются неравенства:
ai <Zxi аг Xi <Zbi,
On хп Ьп.
*) О. Коши (1789—1857) — выдающийся французский математик, один из основателей теории функций действительного переменного.
В. Я- Буняковский (1804—1889)—крупный русский математик.
**) n-мерный сегмент иначе называют и-мерным параллелепипедом; при условии, что а1 = а2 = ... — ап, bi — b2 = ... bn, «-мерный сегмент называют и-мерным кубом; а;, (i = 1, 2, ...)—данные действительные числа.
34
п-м ерный шар с центром в точке хп — (х°, х’, ..х£) радиуса 7? — множество всех точек х = (хр х2,  , хп), для которых выполняется неравенство р (х0, х) «с R.
Множество точек, удовлетворяющих неравенству р(х0, x)<^R, называется внутренностью этого шара. Последовательность «-мерных сегментов Д1( Д2, ..., Д„„ ... называется стягивающейся, если стягиваются для Дг(i — 1, 2, ...) по мере роста i последовательности линейных сегментов
a‘k sg xk b‘k
при всех значениях k— 1, 2, ..., п.
Понятие «точка у лежит левее точки х на прямой» условимся понимать в смысле неравенства у х для действительных чисел х и у.
Множества, принадлежащие одномерному евклидову пространству, или, другими словами, множеству £] — Z, условимся для краткости называть линейными множествами.
Существенно для дальнейшего заметить, что множество всех точек пространства Еп, так же как и множества всех точек «-мерного сегмента и «-мерного интервала, обладает мощностью континуума. Это непосредственно следует из теоремы 11.2 (стр. 32).
Теорема 12.2 (Кантора для «-мерного евклидова пространства). Для всякой последовательности стягивающихся сегментов существует одна и только одна точка, принадлежащая всем этим сегментам.
Ранее (стр. 26) эта теорема была доказана для стягивающейся последовательности линейных сегментов. Обобщим ее на «-мерные сегменты.
Доказательство. Пусть дана стягивающаяся последовательность «-мерных сегментов ДОДО   •	• Тогда при лю-
бом fe=l, 2, ... будут стягивающимися и последовательности:
[аф,	• • • DK>, ^’]D,... (k = 1,2,...),
для каждой из которых по доказанной теореме существует одна и только одна точка <zft, принадлежащая всем этим сегментам. Точка £ =	<zft), имеющая координатами числа аь а»,...,
а„, очевидно, есть единственная точка, принадлежащая всем данным «-мерным сегментам Дь Д2,..., Дг,....
§ 5. Предельные точки
Сформулируем некоторые основные определения.
Множество точек «-мерного пространства называется ограниченным, если существует «-мерный сегмент, содержащий все точки данного множества. Внутренность любого «-мерного шара, содержащая данную точку «-мерного пространства, называется о к р е с тн о с тыо точки.
35
Точка I называется предельной точкой множества А, если любая ее окрестность содержит бесконечно много точек множества А.
Точка Ч может как принадлежать множеству А, так и не принадлежать ему. Очевидно, что конечные множества не могут иметь предельных точек.
Точка а, принадлежащая множеству А и не являющаяся для него предельной, называется изолированной точкой множества А. Для всякой изолированной точки а множества А существует окрестность, не содержащая никаких точек множества отличных от точки а.
Примеры предельных точек.
Множество рациональных чисел вида
где /2=1, 2, 3, ..., имеет
предельную точку 0, не принадлежащую ему.
Множество целых чисел { п } предельных точек не имеет.
Множество рациональных точек (г) сегмента [0,1] имеет в качестве
множества предельных точек все точки сегмента, из них рациональные точки принадлежат множеству (г), иррациональные — нет.
Множество всех точек интервала (0,1) имеет в качестве множества предельных точек все точки сегмента [0,1], из них все, кроме двух концевых, принадлежат множеству (0,1). . .	Г. ' — 1	П + 1 ,	1 1
Множество, состоящее из чисел вида -----, л, 1, —!—, 1— —, — .
п ’	п ’ п ’ п ’
где п — 1, 2, 3,..., имеет предельные точки 0, 1, г., две из которых (1 и я) принадлежат множеству и одна (0) не принадлежит ему.
Множество всех точек n-мерного интервала имеет в качестве предельных точек все точки «-мерного сегмента, линейные сегменты которого ограничены теми же точками, что и линейные интервалы «-мерного интер-
вала.
Из перечисленных примеров видно, что множество может не иметь предельных точек, иметь одну, две, конечное и бесконечное множество предельных точек.
Теорема13.2 (первая Больцан о—В ей ер ш трасса)*1. Всякое бесконечное ограниченное множество имеет по крайней мере одну предельную точку.
Доказательство. Докажем теорему сначала для бесконечного ограниченного линейного множества.
Пусть дано бесконечное ограниченное линейное множество Е. Возьмем сегмент Д = [а,&]дэ£. Такой сегмент по определению всегда найдется для данного ограниченного множества. Разделим сегмент А пополам и ту половину, на которой окажется бесконечно много точек множества, обозначим Др Хотя бы одна такая половина, очевидно, найдется, потому что если бы в каждой из половин Д содержалось лишь конечное множество точек
*) Больцано (1781—1848) чешский математик и философ, профессор Пражского университета.
Вейерштрасс (1815—1897)—-один из крупнейших немецких математиков, вместе с Коши и Дедекиндом основавший так называемое арифметическое направление в анализе.
36
множества Е, то и все множество Е было бы конечным. Разделим А] пополам и вновь выберем ту половину, на которой окажется бесконечно много точек множества Е, назвав ее Д2. Будем продолжать этот процесс неограниченно. В результате получим последовательность сегментов, вложенных друг в друга, с бесконечно уменьшающейся по мере роста номера сегмента длиной:
На основании теоремы Кантора существует единственная точка, принадлежащая всем этим сегментам. Назовем ее ?. Точка £ является предельной для множества Е, так как для любой сколь угодно малой линейной окрестности точки i, т. е. для интервала (; — 8,	где о>0 сколь угодно мало, можно найти при
достаточно больших п такой сегмент Д„, который целиком лежит внутри этой окрестности благодаря стремлению длины Д„ к нулю по мере возрастания п. Следовательно, любая окрестность точки ; будет содержать в себе бесконечно много точек множества Е, расположенных на соответствующем сегменте Д„.
Перейдем теперь к доказательству теоремы для бесконечного ограниченного множества «-мерного евклидова пространства. Пусть дано бесконечно ограниченное множество Е «-мерного евклидова пространства Еп.
Возьмем «-мерный сегмент Д, включающий в себя все точки множества Е, который состоит из точек х = (х1, хг,..., хп) с ко: ординатами х1( xit...,xn, удовлетворяющими условиям:
«1 «CXj &i, а2 Xi bit
® п. хп Ьп.
Такой сегмент по определению ограниченного множества всегда существует. Разделим каждый из линейных сегментов [а/г, &*] (k = 1,2,..., п) пополам. Тогда «-мерный сегмент Д разобьется на 2п «-мерных сегментов, из которых по крайней мере один будет содержать бесконечно много точек множества Е. Обозначим этот «-мерный сегмент, содержащий бесконечно много точек множества Е, через Др Таким же образом разделим на 2“ частей «-мерный сегмент Aj н выберем сегмент Д2, содержащий бесконечно много точек множества Е. Продолжая этот процесс неограниченно, получим стягивающуюся последовательность «-мерных сегментов:
По теореме Кантора существует единственная точка « = (а]; аг,..., у.п), принадлежащая всем этим сегментам. Точка ? будет предельной для множества Е, так как для любой ее окрестности («-мерного интервала, содержащего эту точку) найдется при достаточно большом п сегмент ДЛ из стягивающейся последователь
37
ности, целиком лежащий вместе с бесконечным подмножеством множества Е внутри этой окрестности.
Теорема Больцано—Вейерштрасса является типичной теоремой существования. Никаких указаний о том, где располагается предельная точка и сколько таких предельных точек, теорема не дает, утверждая лишь, что предельных точек у бесконечного ограниченного множества не может быть менее одной.
Из теоремы Больцано—Вейерштрасса вытекает весьма важное следствие, которое мы назовем второй теоремой Больцано—Вейерштрасса.
Для того чтобы упростить ее формулировку и доказательство, введем следующее.
Определение. Последовательность точек п-мерного пространства
х<3> = (хТ,х'Г..
Х(Г) = (х<р, Х(Р, .. х^),...
называется сходящейся, если существует такая точка этого пространства х = (х1,х3,. ., хп), что для любого еД>0 найдется такое ЛДе), что для всех значений l^> N (г) будет выполняться неравенство р (x(Z), х) <Д е. Точка х называется пределом последовательности {x(Z)}, что записывается limx(l) = x, или {х(!)]—-х.
Из определения расстояния между точками «-мерного евклидова пространства непосредственно следует, что точках будет пределом последовательности точек {x(z)} тогда и только тогда, когда
xt — limx(p,
x.2 = limxlp,
1—.ОЭ
хп— lim x(z \
Z —co 11
В самом деле, пусть lim х(/) = х, Z—со
т. е. для любого еД>0 найдется такое N (е), что для всех значений/>ЛДе) выполняется неравенство p(x(Z),x)<4 или подробнее ____________________________________________
V(X(z) — хД2 + (Др ~х.Д2 +. • • + <х(1п} — Хп)г <е.
Так как
I Х'Р - х; | < У(Др - Х1Г + (ДР - х.Д2 +... + (х^ - хД2 <г,
ТО
Итх(р=х!, limx(p = x3,.... limx,z ) = x„.
/—ос	Z—co	I-со
Наоборот, если
limx(p = Xi, limx(p = х.2,..., limx(') = xn, I— co	I— CO	Z-»GO
то для любого e^>0 найдется такое N (e), что для всех значений 1^>N (е) будут выполняться неравенства:
Отсюда следует:
р {х^,х) =	> — *i)2 + (х“} — xif ~г •  • + (х[1п} — хпу < г,
т. е.
Jim х(г) = х.
1~т
Условимся для краткости окрестность точки Е = (х^, лЛ"1,... ..n-мерного евклидова пространства обозначать
Теорема 14.2 (вторая Б о л ь ца н о—В е й е р ш т р а с с а). Из всякой ограниченной последовательности точек пространства Еп можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Предположим сначала, что данная последовательность {x(ft)} состоит из конечного множества различных точек, тогда хотя бы одна из точек в этой бесконечной последовательности будет повторяться бесконечно много раз:
х = х(А) = х(/гг) =.. .-—х^д =....
Тогда подпоследовательность
XS1, хк\. . ., х'Щ..., сходящаяся к точке х, и будет той подпоследовательностью, существование которой утверждает теорема.
Предположим теперь, что последовательность образована бесконечным множеством точек. Это множество точек, являясь по условиям теоремы ограниченным, имеет хотя бы одну предельную точку В. Возьмем некоторую окрестность U (i, Sj) точки В этой окрестности предельной точки ; будет бесконечно много точек данной последовательности, отличных от L Возьмем одну из них и обозначим ее через х(А1). Возьмем теперь новую окрестность U(?, е9) с таким малым е.2<Теь чтобы точка х^д оказалась вне окрестности U е.3). В этой новой окрестности U (t, е2) вновь возьмем одну из точек последовательности х{,!-\ не совпадающую с Ь, такую, что кг^>щ.
Продолжим этот процесс неограниченно, строя все новые и новые окрестности U (z, заставляя е; стремиться к нулю по мере возрастания i. Таким образом, из данной последовательности будет выделена подпоследовательность
х1**’, х(/,-\ ..., х(*«\ ...,
39
очевидно, сходящаяся к точке L Эта подпоследовательность и будет той подпоследовательностью, существование которой утверждает теорема.
Нет надобности отдельно показывать, что вторая теорема Больцано—Вейерштрасса полностью применима, в частности, и к последовательности точек из пространства Ej, т. е. к последовательности действительных чисел.
§ 6. Замкнутые и открытые множества
Введем ряд новых и важных для дальнейшего понятий.
Определение. Назовем множество всех предельных точек к данному множеству Е производным множеством множества Е и обозначим Е'.
Определение. Множество Е называется замкнуты м, если оно содержит все свои предельные точки, или, точнее сказать, если не существует предельных точек этого множества, которые ему не принадлежат. Таким образом, множество Е замкнуто, если ЕрэЕ', где Е' в частном случае может быть и пустым.
Определение. Если Е^Е', т.е. если все точки множества предельные, то множество Е называется плотным в себе.
Определение. Множество, совпадающее со своим производным множеством, называется совершенным. Иначе говоря, множество называется совершенным, если Е = Е', т.е. оно содержит все свои предельные точки ЕжЕ' и одновременно все его точки являются предельными Ес.Е', т.е. когда оно замкнуто и плотно в себе одновременно.
Примеры. Множество Е всех точек сегмента £=[0,1] совпадает со своим производным множеством £' = [0, 1].
Множество
себя производное множество,
состоящее из одной точки 0.
Множество, состоящее из рациональных точек сегмента, имеет в каче-
стве своего производного множества множество всех точек сегмента.
Множество1' всех точек числовой прямой (пространства £\) совпадает со
своим производным множеством.
Всякое конечное множество £ замкнуто, так как £' в этом случае пусто £' = 0, а пустое множество содержится в любом множестве.
Пустое множество замкнуто О р О', у него нет точек и тем более пет
предельных точек, его производное множество пусто; следовательно, у него не существует предельных точек, ему не принадлежащих. Пустое множество плотно в себе ОеО', а значит, и совершенно 0 = 0'.
,,	г. 1 1	2	п	1	„
Множество £ = { — , -тг. , —i—••г не замкнутое, его производ-( 2 ’ 3 ’ п -]- 1 ’ J
состоит из одной точки 1, но 1 не принадлежит множеству
нос множество
Е, так
как ни при каком и дробь -
не становится равной 1.
Множество R всех рациональных точек «-мерного пространства (т. е. точек, все координаты которых — рациональные числа) плотно в себе: R' = Еп и, таким образом, RczR'.
«-мерный сегмент — совершенное множество, т.е. замкнутое и плотное в себе одновременно, «-мерный интервал — не замкнутое, но плотное в себе.
40
Множество Z всех действительных чисел — совершенное множество, так как каждая его точка есть точка, предельная для него: Z = Z'.
Определение. Множество, состоящее только из изолированных точек (не предельных), называется изолированным.
Примеры. Конечное множество есть множество изолированное.
Множество натуральных чисел — множество изолированное.
Множество целочисленных точек пространства т. е. точек Еп, все координаты которых — целые числа, — изолированное множество.
Точка с, принадлежащая множеству Е, называется внутренней точкой множества Е, если она входит в множество целиком с некоторой своей окрестностью U(i, е), т. е. Qt/ (?, е) Q Е.
Точка 5, не принадлежащая множеству Е, называется внешней для Е, если существует окрестность U (щ г), целиком состоящая из точек, не принадлежащих множеству Е.
Наконец, точка £ называется граничной для множества Е, если во всякой окрестности U (1, г) содержатся как точки множества Е, так и точки, не принадлежащие ему. Граничная точка В множества Е может принадлежать и не принадлежать множеству Е.
Примеры. Если дан (а, Ь), то любая точка ? £ (а, Ь) есть внутренняя точка.
Если множество Е = [а, 6], то а и & есть граничные точки.
Множество иррациональных точек «-мерного сегмента состоит только из граничных точек. Граничными точками этого множества будут также и все рациональные точки «-мерного сегмента.
Всякая точка, не принадлежащая re-мерному сегменту, есть внешняя точка для него.
Изолированная точка множества всегда является его граничной точкой.
Определение. Множество, состоящее только из внутренних точек, называется открытым.
Открытое множество, иначе говоря, есть множество, пе содержащее в себе граничных точек; исходя из этого, пустое множество 0 следует считать открытым, хотя оно в то же время является, как это было отмечено выше, множеством замкнутым.
Примеры. Любой «-мерный интервал — открытое множество.
Линейный полусегмент открытым множеством не является, так как концевая точка, ему принадлежащая, не является внутренней.
Конечное множество точек пе является открытым, так как все его точки нс внутренние.
Следует обратить особое внимание на то, что классы замкнутых и открытых множеств не охватывают вместе всех множеств и, кроме того, эти классы пересекаются. Существуют множества, которые не являются ни замкнутыми, ни открытыми, а также множества, которые одновременно являются и замкнутыми, и открытыми.
Примеры. Множество /? рациональных точек Еп не замкнуто и не открыто.
Линейный полусегмент — не замкнутое и не открытое множество.
41
..	[12	п ।
Множество С = 1, -гг,	—т—т, /• не замкнуто, но оно не яв-
12’3’	’ п + 1’ )	‘
ляется и открытым.
Множество всех точек пространства Еп (в частности, при и=1 множество Z) является и замкнутым, и открытым одновременно.
Пустое множество открытое, но оно же является замкнутым.
Докажем теперь теоремы, характеризующие свойства замкнутых и открытых множеств пространства Еп, в частности линейных замкнутых и открытых множеств.
Теорема 15.2. Производное множествоЕ' любого множества Е замкнуто.
Доказательство. Пусть Е — предельная точка множества Е'. В любой окрестности U г) точки В имеются точки множества Е', отличные от В. Возьмем одну из таких точек множества Е' и обозначим ее через Так как точка В' есть предельная точка для Е, то окрестность U (?', е), содержащая точку обязательно содержит точки множества Е. Отсюда точка В должна быть предельной для Е и, следовательно, должна принадлежать Е'. Таким образом, множество Е' содержит все свои предельные точки, т. е. является множеством замкнутым.
Следует и здесь заметить, что в частном случае производное множество £' может оказаться пустым.
Определение. Замыканием множества Е называется сумма этого множества и его производного множества EiJE'. Замыкание множества Е обозначается £.
Лемма. Предельная точка суммы конечного числа множеств п
Е — U Е/г является предельной точкой хотя бы одного из слагав-мых.
Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что точка х предельная для множества Е, но не является предельной ни для одного из множеств £1, £3, ..., Еп. Если это так, то для каждого из слагаемых £ь £.,, ..., Еп существует сферическая окрестность точки х, пе содержащая точек соответствующего множества. Пусть U (х, е,) не содержит точек £,, £ (х, е2)— точек £2, ..., U (х,	— точек
Еп. Возьмем наименьшую из сферических окрестностей U (х, е,), U (X, е.,), ..., U (х, &п). Обозначим эту наименьшую сферическую окрестность U (х, е0), где ee = min (еъ е2, ..., е„).
Окрестность U (х, г0) не содержит в себе точек ни одного из слагаемых множеств £1; £.,, ..., Еп, следовательно, она не содержит точек суммы £ и не может быть предельной для £. Противоречие, к которому мы пришли, доказывает лемму.
Теорема 16.2. Замыкание Ё любого множества Е замкнуто.
Доказательство. Пусть х — предельная точка множества £. Это значит, что в любой окрестности х имеются точки множества £, или, что то же, точки множества E\JE\ т. е. х на основании леммы есть предельная точка или множества £, или мно-42
жсства Е', или того и другого одновременно. В первом случае она принадлежит Е' по определению производного множества, во втором случае она также принадлежит Е' по предыдущей теореме. Отсюда х£Е’, или х^Ё.
Теорема 17.2. Сумма конечного числа замкнутых множеств есть множество замкнутое.
Доказательство. Пусть множества Flt F.2, ..., Fn—дан-п
ные замкнутые множества, и пусть F-~ UFt. Докажем замкну-тость множества F. Всякая предельная точка S множества F является предельной хотя бы для одного из множеств Fit F.2, .... Fn на основании леммы.
Так как £ есть предельная точка хотя бы для одного из множеств /д,/Т, ..., Fn, то, значит, благодаря замкнутости каждого из них она принадлежит тому множеству, для которого она предельна, т. е. принадлежит и их сумме F. Итак, всякая предельная точка % множества F принадлежит ему, и, следовательно, F замкнуто.
На бесконечное число замкнутых множеств теорема 17.2 не распространяется. Например, интервал (0,1) можно рассматривать
Г 1	/2_ | 1
как сумму счетного числа сегментов (0,1)= U —, ---- . Каж-
п=з L « п J
дое слагаемое этой суммы замкнуто, в то время как интервал замкнутым множеством не является, его предельные точки 0 и 1 не принадлежат множеству точек интервала.
Теорема 18.2. Пересечение любого множества замкнутых множеств есть множество замкнутое.
Доказательство. Пусть дано какое угодно множество замкнутых множеств Fa, отличающихся друг от друга значком а. Обозначим их пересечение через F. Докажем, что множество F замкнуто. Пусть х—предельная точка множества F. Тогда в любой окрестности х имеются точки, принадлежащие любому множеству Fa. Следовательно, х—предельная точка для любого Fa. Так как Fa суть множества замкнутые, то х как предельная точка каждого из них принадлежит каждому из них, т. е. принадлежит их пересечению F.
Замечание. В частном случае пересечение F может оказаться пустым, что не противоречит теореме, так как пустое множество замкнуто.
Назовем множество интервалов системой интервалов, покрывающей множество Е, если каждая точка множества Е принадлежит хотя бы одному из интервалов указанной системы.
Теорема 19.2 (Бореля — Лебега)*). Если имеется не
*) Э. Боре ль (род. в 1871 г.) и А. Лебег (1875 — 1941) — знаменитые французские математики, сделавшие крупные вклады в теорию функций действительного переменного.
43
которая бесконечная система интервалов, покрывающая ограниченное замкнутое множество F, то среди интервалов системы можно найти конечную их совокупность, также покрывающую множество F'.
Доказательство. Для конечного F теорема очевидна. Положим, что F — бесконечное множество, и докажем теорему методом от противного (доказательство, которое мы применим, подобно доказательству теоремы Больцано—Вейерштрасса).
Предположим, что из бесконечной системы интервалов й)(, покрывающей ограниченное замкнутое множество F, нельзя выделить конечную систему интервалов, покрывающую это множество. Построим л-мерный сегмент А, включающий в себя множество F, что сделать можно, так как F — ограниченное множество. Разделим сегмент на 2п частей так, как это делалось в' доказательстве теоремы Больцано—Вейерштрасса. Хотя бы в одной его части будет располагаться часть множества F, не покрываемая конечной системой интервалов из Обозначим эту часть сегмента через Aj, а часть множества F, расположенную на Aj, обозначим Д. Разделим Aj вновь на 21 частей. Хотя бы в одной части At будет располагаться часть множества Ft, а значит, и часть множества F, не покрываемая конечной системой интервалов из 9Х. Обозначим эту часть сегмента через А.2, а часть множества F, располагающуюся на ней, обозначим Л и т. д., продолжим этот процесс неограниченно. В результате получится стягивающаяся последовательность вложенных друг в друга сегментов AD^O^O- • • • • 	• • • и стягивающаяся последовательность вложенных
друг в друга множеств	, расположенных со-
ответственно на этих сегментах. Каждое из множеств Fz замкнуто, так как представляет собой произведение замкнутого множества F и сегмента Az. Общая точка всех сегментов Ч является предельной для F*), а следовательно, s ( F. Так как множество F покрыто данной системой интервалов, то в этой системе имеется интервал, включающий в себя и точку ?. При достаточно большом i в тот же интервал будет, очевидно, включен и сегмент А; и тем более пересечение l^F^F}. Таким образом, F, оказывается покрытым одним из интервалов данной бесконечной системы. Это противоречит нашему предположению. Полученное противоречие доказывает теорему.
Определение. Если даны два множества А и В, при этом BQA, то разность А — В называется дополнением множества В относительно множества А и обозначается САВ. В частности, если BQEn, то его дополнение относительно Еп обозначается СВ.
Л) Точка Z, принадлежит каждому из сегментов Дг, на сегменте Д/ по построению бесконечно много точек F.
44
Если Вл суть подмножества множества А, то справедливы равенства:
(1) а	а
СА^Ва=Г}САВх.	(2)
а	а
Эти равенства называются формулами двойственности.
Действительно, если некоторый элемент х £ СА (Д £?„, то х не принадлежит (Д Вл, т. е. не принадлежит хотя бы одному а следовательно, принадлежит А — Вао = САВа1, и тем более принадлежит IJ САВа, откуда следует включение Слр> Д С (J СА ВГ1.
а	а	а
Пусть теперь, наоборот, х g U слВа; тогда х принадлежит хотя бы одному из слагаемых САВаа, а следовательно, не принадлежит Вао и не может быть общим элементом для всех Ва, т. е. не принадлежит Brj или принадлежит дополнению этого пересечения СЛС| Ва, откуда следует обратное включение:
СА(~}ВаЗ>САВа, а. ------
что и доказывает справедливость первого равенства. Справедливость второго равенства устанавливается немедленно, если учесть, что Ва есть дополнение относительно множества А множества САВа. На основании этого можно переписать первое равенство в виде:
а	а
Вычитая эти совпадающие множества из множества А, получим, очевидно, также множества совпадающие:
А-СаС\СаВл = А-У)В„ а	а
что в наших обозначениях равнозначно записи:
C\cABa = cA\jBa, а	а
и второе равенство оказалось доказанным.
Теорема 20.2. Если множество F замкнуто, то его дополнение CF открыто.
Доказательство. Пусть с — одна из точек CF, тогда? не входит в F, а значит, £ не может быть предельной точкой замкнутого множества F. Следовательно, существует окрестность U (£,е), не содержащая точек множества F и состоящая, таким образом, целиком из точек CF. Отсюда следует, что ; есть внутренняя точка CF. Таким образом, всякая точка множества CF есть внутренняя точка, и множество CF, следовательно, открытое.
45
Теорема 21.2. Если множество G открыто, то его дополнение CG замкнуто.
Доказательство. Пусть 5 £ G. Тогда, так как G открыто, существует окрестность U (?, е), целиком заполненная точками G. Эта окрестность не содержит точек CG, а поэтому t не может быть предельной для CG. Следовательно, ни одна предельная точка CG не принадлежит G, и CG содержит все свои предельные точки, т. е. CG замкнуто.
Теорема 22.2. Сумма любого числа открытых множеств ес/пь множество открытое.
Доказательство. Пусть G—IJG, и каждое GK открыто.
Тогда из совпадения множеств G и IJ Ga следует совпадение мно-а жеств
£„-G = En-UGK,
или
CG = C U Ga. а
На основании равенства (2)
C\JGa = C\CG„ о	а
откуда
CG = C\CGa. а
Каждое множество CG., как дополнение к открытому множеству замкнуто, и произведение (Д CG, замкнутых множеств на осно-
вании теоремы 5 замкнуто. Отсюда CG замкнуто, a G как дополнение к замкнутому множеству на основании теоремы 6 открыто.
Теорема 23.2. Пересечение конечного числа открытых множеств есть множество открытое.
Доказательство. Пусть G,, G.2, ..., G/z— открытые мно-п
жсства, 0=/Д0к— их пересечение. Тогда из совпадения мно-Л=1
жеств
G= C\Gk k-=i следует:
En — G = En — r\Gk!
*=i или
CG = CC\Gk= \JCGk,
ft=l	A'-J
последнее на основании равенства (1).
46
Сумма CG конечного числа замкнутых множеств CGk замкнута; следовательно, CG замкнуто, a G открыто. Случай, когда G пусто, пе рассматривается, так как тогда теорема, очевидно, верна.
На бесконечное число открытых множеств теорема 8 не распространяется. Например, множество Е — Q (— ~	, являюще-
еся пересечением бесконечного множества интервалов, состоит из одной точки и открытым не является*).
§ 7.	Строение линейных открытых и замкнутых множеств
Перейдем теперь к изучению специфических свойств линейных множеств, т. е. множеств, составленных из действительных чисел — точек числовой прямой. Все рассматриваемые множества будем предполагать непустыми.
Линейное множество А называется ограниченным сверху (соответственно снизу), если существует такая точка b (а), что есе элементы множества удовлетворяют неравенству х-b (х- - а). Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным. Очевидно, что это новое определение совпадает по существу с данным в § 1 (стр. 4), так как одновременная ограниченность множества сверху и снизу предполагает существование сегмента [а, 6], на котором располагаются все элементы ахХх--хЬ множества А.
Точка М(М^Ь) называется верхней гранью множества А, если правее М нет ни одной точки множества А (в том смысле, что ни одно из чисел, из которых составлено множество А, не превышает М) и если для любого е^>0 найдется хотя бы одна точка х множества А, такая, что х^р>М — е. Точка т называется нижней гранью множества А, если в множестве А пе окажется ни одной точки левее т и если для любого е^>0 найдется хотя бы одна точка х множества А, такая, что v<) т-’- г.
Верхняя грань множества А обозначается **) эирД, нижняя — inM.
Верхняя и нижняя грани множества могут как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему независимо друг от друга.
Примеры. Полусегмент [а, Ь] — множество, ограниченное сверху и снизу. Причем нижняя грань точки а принадлежит ему, а верхняя грань точки Ь не принадлежит ему.
*)Точка.г = 0 принадлежит всем интервалам -, —J(n=l, 2, ...).
Никакой другой точки, принадлежащей всем указанным интервалам, нет, так как для любой точки хМУ можно найти такое п, что — < I х I и п
_/	1 1 \
\ п ’ п]'
**) Обозначения происходят от латинских слов: supremum—наивысшее и infimum — наинизшее.
47
Множество всех целых отрицательных чисел имеет своей верхней гранью число — 1, принадлежащее множеству, снизу оно не ограничено.
Множество всех отрицательных чисел имеет верхней гранью число О, не принадлежащее ему.
Множество всех чисел вида (л == 1, 2,...) имеет верхней гранью число 1
которое ему принадлежит, нижнеи — число 0, которое ему не принадлежит.
Теорема 24.2. Если множество ограничено сверху (снизу), то оно имеет верхнюю (нижнюю) грань.
Доказательство. Пусть множество А ограничено сверху, т. е. существует такая точка Ь, что все элементы х множества А удовлетворяют условию:
х<Ь.
Возьмем какой-нибудь сегмент Л = [я, &], содержащий точки множества А. Благодаря условию (1) справа от точки b нет ни одной точки множества А. Разделим сегмент Л пополам. Если его правая половина содержит точки множества А, то будем ее рассматривать как новый сегмент Д1 = [я], bi\. Если правая половина сегмента Д не содержит точек множества А, то в качестве нового сегмента возьмем левую половину сегмента Д, обозначив ее через Д1 = [а1, &2]. В обоих случаях вправо от точки Ь} нет точек множества А. Длина Z2 сегмента Aj при этом равна Ь —а
Разделив сегмент Aj пополам и повторив те же рассуждения, мы построим сегмент Д2 = [а,, Ьг\, длина которого 1г — Ь-^г- • Этот сегмент содержит в себе точки множества А, обладая тем свойством, что правее точки /т> нет точек множества А. Продолжая процесс неограниченно, мы построим стягивающуюся последовательность сегментов (Аа = [па, Ьк]}, таких, что на каждом из них есть точки множества А и правее их правых концов bk нет точек множества А. Длина Zft сегмента Aft при этом равна: Zft = i-7r/e-.
Точка £, общая для всех сегментов последовательности, принадлежащая или не принадлежащая множеству Е (см. теорему Кантора на стр. 26), и будет верхней гранью множества Е: ? = sup А, так как:
1)	вправо от ? нет ни одной точки множества А. В самом деле, если бы такая точка имелась, то при достаточно большом k длина Zft сегмента ДА = [оА, btl\ оказалась бы удовлетворяющей неравенству 1к = bk — ак<^хй — ?, откуда х0 Ьк (? — ак) и точка л'о оказалась бы правее точки Ьк, что по свойствам сегмента последовательности {АД невозможно;
2)	для любого еД>0 найдется хотя бы одна точка х множества А, такая, что хД>; — г, так как при достаточно большом k сег-43
мент Дй из последовательности {ДА|, содержащий точку £ и точки множества А, одну из которых назовем х, будет иметь длину /Л, <Д; следовательно, I — х -С 1к г, откуда окажется, что х ~^> — е. В частности, может оказаться, что x = i. Это не нарушит хода приведенных рассуждений. В этом частном случае на каждом из сегментов Дй окажется точка принадлежащая множеству А.
Доказательство для нижней грани аналогично.
Теорема 25.2. Если верхняя (нижняя) грань sup А =;, inf А =(. множества А не содержится в нем, то есть предельная точка
множества.
Доказательство. Пусть множество А имеет верхнюю грань.
Применяя определение верхней грани, убеждаемся в том, что в любой окрестности Е(?, е) точки когда? не принадлежит А, окажутся точки хДю— е, принадлежащие множеству А, т. е. точка ? в этом случае является предельной для множества А. Таким образом, грани т и М всякого ограниченного множества
являются концами наименьшего сегмента, содержащего данное множество. Сами концы этого сегмента могут как принадлежать ограниченному множеству А, так и не принадлежать ему.
Доказательство теоремы в случае существования нижней грани
предоставляем сделать читателю.
Следствием теоремы является утверждение, что замкнутое ограниченное множество всегда содержит свои грани, которые являются его самой правой и самой левой точками.
Определение. Пусть G— открытое множество. Если интервал (а, Ь) содержится в О, но его концы а и b этому множеству не принадлежат, то интервал (а, Ь) называется составляющим интервалом множества G.
Теорема 26.2. Если G есть непустое ограниченное открытое множество, то каждая его точка принадлежит некоторому
его составляющему интервалу.
Доказательство. Пусть хй — одна из точек множества G (рис. 7). Рассмотрим множество F — CG(~}[x0, сю), где полусегмент
[х, сю) представляет собой множество всех точек х числовой прямой, удовлетворяющих условию: х д- х0, это множество ограниченное снизу и замкнутое (как произведение замкнутых множеств).
Пусть его нижняя грань — М. Точка М не может быть
Рис. 7
левее х# и не может совпа-
дать с хй, так как л0 не принадлежит СО, а М, наоборот, принадлежит CG и, следовательно, не принадлежит G. Итак, 7И^>х0 и М не принадлежит G. Весь полусегмент [х0, Л1) принадлежит G, потому что, если бы на этом полусегменте были точки, не принадлежащие G, а, следовательно, принадлежащие
49
CQ, то M не была бы самой левой во множестве F. Подобным же образом можно убедиться в существовании полусегмента (т, х0\, принадлежащего G, где т<^х0 и т не принадлежит G. Сумма полусегментов (т, х0] -С [х0, М) и будет одним из составляющих интервалов О. Итак, всякая точка множества G принадлежит некоторому его составляющему интервалу.
Теорема 27.2. Для того чтобы непустое ограниченное множество О было открытым, необходимо и достаточно, чтобы оно являлись суммой конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, концы которых не принадлежат множеству G.
Доказательство. Различные составляющие интервалы множества G, очевидно, не могут иметь попарно общих точек, так как они целиком состоят из точек множества G, и один из них отделяется от другого по крайней мере не принадлежащей им концевой точкой так, что конец одного из них не может быть внутренней точкой другого. Множество составляющих интервалов конечно или счетно потому, что если в каждом из них взять по одной рациональной точке, что всегда возможно на основании плотности множества, и поставить каждый интервал в соответствие этой рациональной точке, то окажется, что множество интервалов эквивалентно некоторому подмножеству множества рациональных точек (чисел), т. е. конечно или счетно.
Обратно: каждый интервал есть открытое множество, а сумма любого числа открытых множеств по теореме 22.2 (§2, стр. 46) есть множество открытое. Следовательно, множество, являющееся суммой интервалов, есть открытое множество.
Теорема 28.2. Всякое непустое ограниченное замкнутое множество F или является сегментом, или получается из некоторого сегмента удалением из него конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, концы которых принадлежат множеству F.
Доказательство. Построим наименьший сегмент Д, включающий в себя множество F. Если множество Д\Е пусто, то F совпадает с сегментом Д. Если же оно не пусто, то множество Д\/? открыто. Действительно, пусть £ £ Д\Е, тогда £ не принадлежит замкнутому множеству F и, следовательно, не может быть его предельной точкой, а тогда существует окрестность U (£, е), целиком состоящая из точек множества Д\Е, т. е. любая точка этого множества есть внутренняя точка. Ограниченно открытое множество Д\Е по предыдущей теореме есть сумма конечного или счетного числа составляющих его интервалов. Удаление этих интервалов из сегмента Д и оставит на сегменте только точки замкнутого множества F.
Справедливо и обратное утверждение: если из некоторого сегмента удалить конечное или счетное множество попарно не пересекающихся интервалов, могущих иметь только общие концы, то в результате получится замкнутое множество. В самом деле,
пусть дан сегмент Д; удалим из него указанное множество интервалов, т. е. открытое множество G. Обозначим оставшееся множество через F. Никакая предельная точка множества F не может принадлежать множеству G, так как для всякой точки £ множества G существует окрестность U (£, е), целиком состоящая из точек множества G, т. е. не имеющая в себе точек множества F. Следовательно, множество F содержит все свои предельные точки.
Отметим, что составляющие интервалы множества Д\Г и два бесконечных интервала (—со, а) и (Ь, со), где а, b — концевые точки наименьшего сегмента Д, включающего F, называются смежными интервалами замкнутого множества.
Для изучения строения совершенных множеств докажем следующую лемму:
Лемма. Для того чтобы точка у, являлась изолированной точкой ограниченного замкнутого множества F, необходимо и достаточно, чтобы она была общим концом двух соседних смежных интервалов.
Доказательство. Очевидно, что точка х0, являющаяся общим концом двух соседних смежных интервалов, удаленных из прямой при построении замкнутого множества F, принадлежит множеству F и является его изолированной точкой. Докажем, что никаких других изолированных точек у множества F быть не может. Допустим, что у, есть изолированная точка множества F. Тогда существует окрестность U (х0, е), не содержащая никаких иных точек множества F. Положим, что эта окрестность (х0 — е, х(| —е) целиком принадлежит смежному интервалу. Но это невозможно, так как в смежном интервале не может лежать точка у, б/7. Остается предположить, что часть рассматриваемого интервала (х0, .ху —j- а) принадлежит одному из смежных интервалов множества F, левым концом которого является точка х0. Точно такие же рассуждения приведут к тому, что х0 является одновременно правым концом некоторого смежного интервала.
Так как всякое ограниченное совершенное множество есть множество замкнутое и одновременно плотное в себе, т. е. не содержащее в себе изолированных точек, то на основании леммы оказывается справедливой следующая теорема:
Теорема 29.2. Всякое ограниченное совершенное множество есть либо сегмент, либо получается из некоторого сегмента удалением конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, не имеющих общих концов ни друг с другом, ни с исходным сегментом.
И обратно: если из некоторого сегмента удалить конечное или счетное множество попарно не пересекающихся интервалов, не имеющих общих концов ни друг с другом, ни с исходным сегментом, то оставшееся множество точек сегмента есть совершенное множество.
51
§ 8.	Множество Кантора и его свойства
Интересным примером совершенного множества, имеющим большое значение в теории, является так называемое канторово совершенное множество.
Рассмотрим множество всевозможных бесконечных троичных дробей вида 0, alt а.,, ..., ап. у которых ak при любом k
равно либо 0, либо 2, допуская при этом периоды, состоящие из нуля, двойки и их всевозможных комбинаций.
Такое числовое множество называется множеством Кантора и обозначается через Ро. Изучим свойства множества Ро.
1.	Очевидно, что всякое число х^Р0 удовлетворяет условиям: ОгСх^сИ откуда вытекает ограниченность множества Ро.
2.	Множество Ро совершенно, т. е. любая его точка есть предельная для него, потому что для любой точки ? = 0,	а2,..., а„,...
и любого е можно найти точки того же множества, не совпадающие с £ и отличающиеся от него меньше чем на е (лежащие в окрестности U (;, е). Это будет достигнуто, если вместо одного из aft = 0 поставить ай = 2 или, наоборот, подобрав при этом k так, чтобы 2-2-*<^г. Все предельные точки Ро принадлежат ему, так как дробь, которая не может быть записана только нулями и двойками, не может быть предельной точкой для дробей, входящих в Ро.
Действительно, возьмем число х = 0, аи аъ ап, ..., принадлежащее сегменту [0, 1] и не принадлежащее множеству Ро. Тогда при некотором k окажется, что я*=1, в то время как aft+j, aft+2, ... не являются все только единицами или только нулями (в противном случае число х принадлежало бы Ро, так как его можно было бы записать при помощи только нулей и двоек). Одновременно окажется, что весь интервал О, di... a^l <х<0, а!... аклЛ 2 будет составленным из чисел, которые нельзя записать при помощи только нулей и двоек. Таким образом, из предположения, что х не принадлежит Ро, следует существование некоторой окрестности U(x, е), целиком состоящей из чисел, не принадлежащих Ро. Следовательно, любая точка (число) х, не принадлежащая множеству Ро, не может быть предельной для множества Ро; следовательно, множество Ро содержит все свои предельные точки и является замкнутым.
Попутно мы доказали, что множество, дополнительное к множеству Ро, относительно сегмента [0, 1] является множеством открытым.
3.	Это множество нигде не плотно*) на прямой, так как между любыми двумя дробями а и Р рассматриваемого вида, как
*) Множество Е называется нигде не плотным на сегменте Д, если в каждом интервале 5, лежащем на Д, имеется такой меньший интервал В’, который не содержит ни одной точки множества Е,
52
угодно близкими, т. е. отличающимися только начиная с очень отдаленного знака ак:
ct — 0,	• • •,
? = 0, a^i ... аЛ„1йА ...,
будут лежать дроби вида 0v ауа-? • • • a*_i 1  • •; 0,	.. alri 11...;
О, а,А,-! ••• П1, образующие (см. 2) промежутки, сплошь заполненные точками, не принадлежащими Ро.
4.	обладает мощностью с. Действительно, поставим в соответствие каждой дроби 0, ащ-з ... а„ ..., принадлежащей Ро, строго возрастающую последовательность {/?,}	  <Z
<Zkt<Z • • •), где в качестве членов последовательности взяты в порядке возрастания те значения k, для которых а/; = 2. Это соответствие взаимно однозначно. Таким образом, Ро эквивалентно множеству всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел, а это множество по теореме на странице 31 имеет мощность с.
5.	Нетрудно видеть, что множество Ро может быть получено из сегмента [О, 1J последовательным делением его на три части
12	/1 2\
точками деления g и удалением среднего интервала l-g, (назовем это первым шагом удаления), затем делением каждого из оставшихся сегментов |\), gj, j-g, 1| вновь на три части и удалением из каждой из них среднего интервала (назовем это вторым шагом удаления) и так далее неограниченно:
п	га	1 , f	l	2\ , !	1 2\	,	7	8\	,	/ 1	2\	.
Ро—[°’	{;.3>	з) I ^9> з) + (э ’ 9,! +	V27’	27/	1
8\	, /19	20\ ,	/25 26'	1
I \27 ’	27/	' /27’	27/ '	\27’ 27/ 1	'	’ J
(схематически это показано на рисунке 8). Действительно, точки интервалов, удаленных из [0, 1] за первые п шагов, харак-
„	±	2	2
О	9	9	3
2	7	8
3	9	9
Рис. 8
теризуются тем, что в троичном разложении они имеют 1 по крайней мере на одном из п первых мест после запятой. Наоборот, все оставшиеся точки сегментов после первых п шагов удаления могут быть изображены троичными дробями, имеющими только нули и двойки на первых п местах после запятой. Так, /1	2\
например, числа удаленного на первом шаге интервала g записываются троичными дробями с 1 на первом месте после запятой. Аналогично на втором шаге будут удалены точки, второй
53
двоичный знак которых I. Наоборот, все числа сегмента с нулем на первом месте после запятой, в том числе и -*
кото-
рая может быть записана в виде 013), 022 и все точки сегмента 1 |, в том числе и единица, которая может быть записана в виде 0(3), 22 ..., будут иметь на первом месте после запятой двойку.
6.	На первый взгляд может показаться, что неограниченное удаление интервалов приводит к тому, что Рп состоит только из концевых точек, не удаляемых вместе с интервалами. Это впечатление обманчиво. Нами показано, что Pit обладает мощностью
континуума, а концевых точек имеется лишь счетное множество, так как множество удаленных интервалов счетно на основании свойства 5. Поэтому Р0\Л, где А— счетное множество, есть множество не только непустое, но даже несчетное мощности с. Тем самым доказано, что Р6 содержит в себе, кроме концевых, и неконцевые (двусторонние) точки.
§ 9.	Мощность совершенного множества
В предыдущем параграфе мы установили, что мощность кан-торова совершенного множества Ро есть с. Оказывается, что эту мощность имеет каждое непустое совершенное множество.
Теорема 30.2. Всякое линейное непустое совершенное множество имеет мощность с.
Мощность всякого линейного множества не может быть, очевидно, больше с, так как всякое линейное множество есть либо вся прямая, либо ее часть, а множество всех точек прямой Z (множество всех действительных чисел) имеет мощность с. С другой стороны, если линейное непустое совершенное множество содержит в себе целиком некоторый сегмент, обладающий мощностью с, то его мощность не может быть меньше с. Таким образом, справедливость теоремы очевидна для всякого совершенного множества, включающего в себя целиком некоторый сегмент. Остается доказать теорему для совершенных нигде не плотных на прямой множеств. Пусть дано некоторое нигде не плотное на прямой ограниченное множество Р. На основании теоремы 29.2 оно получено из некоторого сегмента [а, Ь] удалением из него счетного (не конечного, так как Р нигде не плотно) множества попарно не пересекающихся интервалов, не имеющих общих концов ни друг с другом, ни с исходным сегментом. Для доказательства теоремы покажем, что элементы множества Р можно поставить во взаимно однозначное соответствие элементам канторова множества Рц. Обозначим сегмент [0, 1] через А, а сегмент [а, Ь] — через Д'. Обозначим также через 8 интервал, удаленный из А на первом шаге удаления, и через 8' наибольший из интервалов, удаленный из Д', или самый левый из наибольших, если их несколько. За-
54
тем сегменты, оставшиеся после удаления 8 и 3', обозначим слева направо соответственно через Д0Д,2 и Д'Д', а наибольшие интервалы, удаляемые из каждого из них, соответственно 80, В., и 8'8'. Продолжим этот процесс неограниченно, нумеруя далее сегменты, оставшиеся после удаления интервала 8Я1 а,... а/г из сегмента ДО1Яа...ак, слева направо через ДЯ1 Я2...а<,0 и ДО1 a.,...akS, а сегменты, оставшиеся после удаления интервала 8'О1 й.,... ak из сегмента Д'Я1 а.... ак , слева направо соответственно через Д'а1 ai... а и Д'а1 а2...аА2- Возьмем теперь некоторую точку х£Р0. Очевидно, она обязательно входит в Д, затем только в один из сегментов ^(01 = 0 или Я! = 2), только в один из сегментов ДЯ1 а., (а.2 = О или а, = 2) и т. д.; таким образом, каждая точка О, щ . ак ... множества Ро в принятых обозначениях определится единственной стягивающейся к ней последовательностью сегментов ДЯ1 2} ДОх Яз D D Дй1 ац а3 .... Поставим в соответствие точке 0, alt сц.ак, ...
множества Р6 ту точку множества Р, которая определяется последовательностью стягивающихся сегментов Дя, Z) до1а23 D ДЯ1 а2 «• ZD • • •. Нетрудно видеть, что такое соответствие определяется последовательностью индексов at а.г... ак...; оно взаимно однозначно, что и доказывает теорему.
Теорема доказана для ограниченного совершенного множества. Очевидно, что всякое неограниченное совершенное множество Р или содержит в себе целиком некоторый сегмент, или, если оно нигде не плотно на прямой, содержит в себе некоторую ограниченную ..нигде не плотную совершенную часть и, следовательно, также обладает мощностью с.
§ 10.	Точки конденсации. Мощность несчетного замкнутого множества
Точка Ха, принадлежащая или не принадлежащая множеству Е п-мерного пространства Еп, называется точкой конденсации множества Е, если в любой сколь угодно малой окрестности этой точки имеется несчетное множество точек множества Е. Из определения следует, что всякая точка конденсации множества есть его предельная точка, но не наоборот: предельная точка множества может и не быть его точкой конденсации, если в ее окрестности содержится только счетное множество точек множества Е.
Примеры. Множество точек конденсации для множества точек интервала (0, 1) и множества точек сегмента [0, 1] состоит из всех точек сегмента.
Множество иррациональных точек n-мерного сегмента имеет в качестве множества точек конденсации весь сегмент.
Множество точек конденсации для множества целочисленных точек пространства Еп пусто.
Множество точек конденсации для множества рациональных точек прямой пусто.
Множество, состоящее из иррациональных точек сегмента [0, 1] и точек
—r(n= 1, 2, 3, имеет множеством точек конденсации сегмент [0, 11. П Ч- 1	L
55
Лемма 1. Множество всех п-мерных рациональных окрестностей U* (г, е), т. е. окрестностей с центром в рациональных точках г и с рациональными г, счетно (см. определение окрестности на стр. 35).
Доказательство. Рассмотрим множество окрестностей U* (г, е) с рациональным е, имеющих данную рациональную точку своим центром. Очевидно, что множество таких окрестностей счетно, так как счетным является множество всевозможных значений рационального е. Пронумеруем множество всех рациональных точек пространства гу, г.,, г3, .... Это сделать возможно благодаря счетности множества рациональных точек. Множество М всех п-мерных рациональных окрестностей есть сумма множества окрестностей, имеющих центром точку гь множества окрестностей, имеющих центром точку г.2, и т. д. Следовательно, множество М счетно.
Лемма 2. Для любой точки Р пространства Еп и любой ее окрестности U (Р, а) существует окрестность U* (г, е) с центром в некоторой рациональной точке г и рациональным е, содержащая данную точку Р и целиком содержащаяся в окрестности U (Р, а).
Доказательство. Для доказательства леммы достаточно взять рациональную точку г на расстоянии р (г,	и по-
строить ее окрестность U*(r, е) с рациональным е, удовлетворяю-а .	.2а
щим условию:
Следствие. Всякая окрестность U(P,a) всякой точки пространства Р содержит в себе хотя бы одну (а значит, и бесконечно много) рациональную окрестность, включающую в себя ту же точку.
Теорема 31.2. Если множество Е не имеет точек конденсации, то оно счетно или конечно.
Доказательство. Возьмем некоторую точку х, принадлежащую множеству Е. Построим окрестность U (х, а) этой точки, содержащую конечное или счетное число точек множества Е. Такая окрестность всегда найдется, так как х по условию не является точкой конденсации. Построим внутри окрестности U (х, а) рациональную окрестность U*(r, е), содержащую точку х, что возможно на основании леммы 2. Таким образом, всякая точка х множества Е окажется внутри некоторой рациональной окрестности U* (г, е). Окрестностей Й*(г, е) по лемме 1 существует лишь счетное множество. Некоторая часть этого счетного множества (собственная или несобственная), конечная или счетная, будет включать в себя все точки множества Е. А так как в каждой окрестности U* (г, е) имеется лишь конечное или счетное подмножество точек множества Е, то, следовательно, множество Е как сумма конечного или счетного числа конечных или счетных множеств будет множеством конечным или счетным.
Теорема 32.2. Если множество Е несчетно, то существует несчетное множество точек конденсации множества Е, принадлежащих ему.
56
Доказательство. Пусть точка х множества Е не является его точкой конденсации. Построим для каждой такой точки, как мы это делали в предыдущей теореме, рациональную окрестность, содержащую данную точку х и конечное или счетное множество точек множества Е. Таких окрестностей на основании рассуждений предыдущей теоремы окажется не более счетного числа, а значит, и точек множества, принадлежащих всем этим окрестностям, окажется не более чем счетное множество, все же остальные точки несчетного множества Е являются его точками конденсации; так как множество несчетно, то множество таких точек окажется несчетным.
Теорема 33.2. Множество точек конденсации любого множества есть совершенное множество.
Доказательство. Пусть дано множество Е. Если Е — конечное или счетное множество, то теорема становится тривиальной, так как множество точек конденсации конечного или счетного множества пусто и поэтому совершенно. Положим, что Е несчетно, и положим, что Q есть множество точек конденсации множества Е. Требуется доказать, что Q = Q' (т. е. что Q состоит только из предельных точек) или что Q Z) Q' и Q Q Q'.
Во-первых, докажем, что QDQ'. Пусть некоторая точка x£Q'; другими словами, пусть х есть ' предсльная точка множества Q. Тогда в любой окрестности х имеются точки множества Q, отличные от х, т. е. точки конденсации множества Е, а следовательно, в любой окрестности х вместе с точками множества Q, отличными от х, имеется несчетное множество точек множества Е. Таким образом, х есть точка конденсации множества Е, а поэтому x£Q. Отсюда всякая точка х, принадлежащая Q', принадлежит и Q или QDQ'-
Во-вторых, докажем обратное включение QQQ'. Иначе говоря, докажем отсутствие изолированных точек в множестве Q. Пусть х есть произвольная точка множества Q, т. е. некоторая точка конденсации множества Е. Так как всякая окрестность точки х содержит в себе несчетное множество точек множества Е, то, следовательно, у этого несчетного множества точек на основании теоремы 32.2 имеется несчетное множество точек конденсации множества Е, т. е. точек множества Q. Таким образом, всякая точка множества Q есть предельная точка этого множества; отсюда следует, что QCQ'.
Теорема 34.2. Всякое несчетное замкнутое множество есть сумма совершенного множества своих точек конденсации и не более чем счетного множества остальных точек.
Доказательство. В самом деле, пусть F — несчетное замкнутое множество и пусть Q — множество его точек конденсации. Q — совершенное множество по предыдущей теореме. QQF, так как всякая точка конденсации есть предельная точка, a F замкнуто. Обозначим разность F — Q буквой D. Множество D не может быть несчетным на основании рассуждений, приведенных
57
в доказательстве теоремы 32.2. Отсюда F = Q-\-D, где Q — совершенное и несчетное множество, D не более чем счетно.
Следствием теоремы 34.2 является утверждение: всякое несчетное замкнутое множество имеет мощность с. Это справедливо потому, что F = Q-{-D, где Q — несчетное совершенное подмножество множества F, обладающее по теореме 30.2 мощностью с. Следовательно, и сумма Q-\-D, где D конечно или счетно, обладает мощностью с.
Упражнения к главе II
1.	Докажите, что если между любыми двумя различными рациональными числами г и г' имеется одно рациональное число, 'то таких рациональных чисел между гиг' бесконечно много.
2.	Докажите, что иррациональное число ]/2 не может быть представ-р
лено в виде отношения двух целых чисел —.
3.	Приведите примеры сходящейся и расходящейся последовательностей рациональных чисел.
4.	Приведите пример ограниченной, но расходящейся последовательности рациональных чисел.
5.	Как фактически установить взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел, принадлежащих сегменту [0, 1], и множеством действительных чисел, принадлежащих интервалу (0, 1)?
6.	Являются ли числа pz2 , |/^2—|—|Л2 числами алгебраическими? Докажите правильность вашего ответа.
k /- -1/ 11
7.	Какую мощность имеет множество действительных чисел вида —-  , где п, т и k имеют натуральные значения и корень понимается в арифметическом смысле? Какую мощность имеет множество комплексных чисел вида р -|- iq, где р и q рациональны?
8.	Найдите какой-либо другой закон соответствия множества точек (чисел) интервала (0, 1) и множества всех действительных чисел, отличающийся от указанного на странице 28.
9.	Приведите примеры множеств мощности континуума, кроме множества всех действительных чисел, множества чисел сегмента, множества чисел интервала.
10.	Докажите, что сумма конечного или счетного множества сегментов, полусегментов или интервалов имеет мощность континуума, не предполагая, что данные множества не пересекаются попарно.
11.	Докажите, что действительное число рационально тогда и только тогда, когда его десятичное разложение представляет собой периодическую дробь.
12.	Докажите теорему: убывающая последовательность {ал}, для любого члена которой выполняется неравенство ап > Af, где М — некоторое данное число, сходится.
13.	Покажите равномощность множеств точек интервалов (0, 2) и (1, 6); (1, 3) и (а, Ь) при помощи формул и геометрически.
14.	Покажите равномощность множеств точек прямой и полупрямой.
15.	Покажите, что множество точек произвольной окружности эквивалентно множеству всех точек прямой.
16.	Покажите, что множество всех конечных двоичных дробей есть множество счетное.
17.	Покажите, что геометрическая конгруэнтность обладает всёми свойствами эквивалентности множеств.
58
18.	Докажите, что последовательности периметров правильных вписанных в окружность и описанных около нее многоугольников имеют пределы и эти пределы равны.
19.	Докажите, что множество действительных чисел плотно без использования свойства плотности множества рациональных чисел.
20.	Найдите геометрическое доказательство для теорем 3.2; 4,2 (§ 9, стр. 28).
21.	Приведите примеры различных способов упорядочения множества целых чисел.
22.	Приведите примеры различных способов упорядочения множества действительных чисел.
23.	Можно ли упорядочить множество комплексных чисел и как?
24.	Покажите, что любые два действительных числа удовлетворяют трем из шести следующих отношений:
= , <, >, ^, =£,
25.	Докажите, что среди рациональных чисел г, удовлетворяющих неравенству г2 <2, нет наибольшего.
26.	Докажите, что множество всех систематических двоичных дробей имеет мощность континуума.
27.	Какова мощность множества всех разрывных функций, определенных на сегменте [0, 1]?
28.	Докажите, что множество всех счетных подмножеств континуума имеет мощность континуума.
29.	Докажите, что множество всех аналитических функций имеет мощность континуума.
20.	Докажите, что множество всех (сходящихся и расходящихся) степенных рядов имеет мощность континуума.
• 31. Приведите примеры ограниченных бесконечных множеств. Укажите, из каких точек состоят их производные множества.
32.	Приведите примеры бесконечных ограниченных последовательностей. Выделите из каждой из них сходящуюся подпоследовательность.
33.	Постройте примеры таких бесконечных неограниченных множеств из пространств Еъ Е2, Еп, которые не имеют предельных точек.
34.	Постройте примеры таких бесконечных неограниченных числовых последовательностей, из которых нельзя выделить сходящиеся подпоследо
вательности.
35. Постройте примеры замкнутых, плотных в себе, совершенных и
открытых множеств.
36.	Может ли некоторое множество быть одновременно и замкнутым, и открытым? Существуют ли множества одновременно незамкнутые и неоткрытые? Приведите примеры.
37.	Приведите примеры изолированных множеств.
38.	Могут ли все точки некоторого множества быть его граничными точками?
39.	Приведите примеры множеств, включающих в себя все свои граничные точки, не включающих в себя ни одной граничной точки, включающих в себя часть своих граничных точек.
40.	Дано счетное множество Е = ^0, 1,	, ..., Каждая его
точка включена в некоторый интервал. Как из этой системы интервалов
фактически выделить конечную систему интервалов, покрывающих все это множество? Всегда ли это возможно?
„ /, 1 1 \
41. Можно ли проделать то же самое для множества Е — I 1,	...,	,... 1
2	2 ’ 2	2 /’•”
и для покрывающей его системы интервалов (1 —s
42.	Дапо множество точек 1, 2, 3,, п. Каждая точка данного множества заключена в интервал U (х, е), где е <-g-. Можно ли из этого покрытия выделить конечную систему интервалов, покрывающую данное множество? Постройте подобный пример для пространства.
43.	Приведите примеры линейных несчетных множеств и укажите для каждого из них множество точек конденсации.
44.	Приведите примеры линейных ограниченных множеств. Укажите для каждого из этих множеств верхние и нижние грани.
45.	Существует ли линейное ограниченное множество, такое, что его верхняя грань совпадает с его нижней гранью. Как оно выглядит?
46.	Приведите примеры линейных ограниченных множеств, содержащих обе свои грани, одну из них и не содержащих гранен.
47.	Назовите несколько множеств мощности континуума.
48.	Докажите теорему: конечное множество не может иметь предельных точек.
49.	Докажите теорему: множество, точки которою находятся друг от друга на расстоянии не менее d > 0, не может иметь предельных точек.
50.	Докажите, что множество точек сегмента [О, 1J, десятичное разложение которых возможно без помощи цифры 3, совершенно.
51.	Исследуйте свойства множества точек сегмента [О, 1J, десятичное разложение которых может быть осуществлено только при помощи цифр О, 1, 8, 9.
52.	Докажите, что для любых линейных множеств Ех и £2 справедливо раве,1Стао
53.	Докажите, что множество всех точек пространства Еп обладает МОЩНОСТЬЮ с.
У к а з а и и е. Используйте для доказательства теорему 11.2.
54.	Докажите, что всякое конечное линейное множество имеет наибольший элемент.
55.	Докажите, что если А = СМВ, то В — СМА.
56.	Докажите, что линейное множество, ограниченное снизу, имеет нижнюю грань.
111
57.	Докажите, что множество чисел -g~,	... , —, ... не плотно в себе.
58.	Докажите, что £—предельная точка множества, если для любого е окрестность U (?, г) содержит хотя бы одну точку, отличную от ё и принадлежащую множеству А.
2,7 — 1
59.	Докажите, что верхней гранью множества чисел вида	где
2 п — натуральное число, является
СО. Докажите, что множество всех правильных рациональных дробей , п 1де tn, п — натуральные числа, не имеет наибольшего и наименьшего элементов.. Найдите грани указанного множества.
61.	Поставьте во взаимно однозначное соответствие множество точек стороны квадрата и множество всех его точек?
62.	Сделайте то же для множества точек ребра куба и множества всех точек куба.
63.	Сделайте то же для множества точек окружности и множества всех точек круга, множества точек круга и множества его внутренних точек.
64.	Установите взаимно однозначное соответствие между множеством точек сферы без одной точки и множеством всех точек плоскости.
65.	Распространите теорему о сходимости монотонной ограниченной нос.тедователыюсти точек Ех на случай пространства Еп, обобщив понятие MoHOIOIHIOC III.
6J
66.	Можно ли из всякой сходящейся последовательности пространства Еп выделить «монотонную» последовательность? (См. предыдущее упражнение.)
67.	Каков смысл теоремы: мощность пространства не зависит от числа его измерений (Кантор)? Как ее доказать?
68.	Уравнения xt —ft (t), х2 (х), .... xn=fn(f), где t — монотонно изменяется на сегменте [0, 1], а Д,/2..fn — непрерывные функции, опре-
деляют в пространстве Еп «дугу кривой». Какова мощность множества точек этой дуги?
69.	Какова мощность множества точек пространства Еп, находящихся на данном расстоянии от фиксированной точки этого пространства?
70.	Докажите, что множество всех подмножеств конечного множества с числом элементов п имеет 2" элементов.
71.	Пользуясь аналогичным обозначением 2а, где а — кардинальное число счетного множества, раскройте смысл и докажите справедливость соотношений:
2а > а, 2а = с, 2е > с.
72.	Пусть множество А имеет мощность а, множество В имеет мощность р. Произведением мощностей оф намывается мощность множества всевозможных пар элементов (а, Ь), составленных из одного элемента множества А и одного элемента множества В. Исходя из определения и обозначений предыдущего упражнения, докажите справедливость соотношений 2“. 2^=2а+Р, где а-|-3— мощность суммы множеств A (J В. Пересечение множеств АВ в задаче предполагается пустым.
73.	Докажите, что множество пространства Еп, имеющее лишь конечное число предельных точек, счетно.
74.	Докажите, что множество точек (х„ х2, .,.,л',г) пространства Еп, координаты которых независимо друг от друга пообегают числовые после-. 1 1 1 '
довательности 1,	... , —,... , пеобладает своиством плотности в себе
2’3’	’ п ’	’
ни в какой окрестности начала координат.
75.	Приведите другие примеры множеств пространства Еп, обладающих свойством плотности в себе и не обладающих этим свойством.
Глава 111. ФУНКЦИИ
§ 1. Общее понятие функции
Наблюдая процессы, происходящие в окружающей нас реальной действительности, мы убеждаемся в том, что ни один из этих процессов не происходит в отрыве от других, ни одна величина не изменяется сама по себе без связи с изменениями других величин. Математика, являясь одной из ветвей естествознания в широком смысле этого слова, изучает изменения различных величин в их взаимодействии при помощи понятия функции. Изученное в курсе математического анализа понятие функции непосредственно связано с понятием взаимно однозначного соответствия элементов двух множеств.
Дадим обобщенное в этом смысле определение функции, идея которого принадлежит гениальному русскому математику Н. И. Лобачевскому.
Определение. Если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие по некоторому закону f один или
61
несколько элементов у множества В, то на множестве А определена функция y = f(x).
Функция, определенная на множестве А, называется однозначной, если каждому элементу х по принятому закону соответствует только одий элемент множества В, и двузначной или многозначной, если хотя бы отдельным элементам множества А соответствуют по этому закону два или несколько элементов множества В.
Множество А называется областью определения функции; подмножество Bi множества В, составленное из всех элементов. соответствующих элементам множества А, называется множеством значений функции. В частном случае все элементы множества В могут оказаться поставленными в соответствие элементам множества А, тогда В\ — В. Если множества А и В составлены из действительных чисел, функция называется функцией действительного переменного*). Если при этом элементами множества А являются точки «-мерного евклидова пространства, то функция называется функцией п действительных переменных.
Множества, упомянутые в определении функции, могут быть составленными, вообще говоря, из элементов любой природы. Законы соответствия f могут быть заданными самыми разнообразными способами, и далеко не всегда характеристика функции f в таком ее общем определении может быть записана в виде формулы.
В настоящем курсе мы ограничимся изучением только однозначных функций действительных переменных.
§ 2. Верхняя и нижняя грани функции. Колебание
Будем рассматривать однозначную функцию f (Р) точки Р — = (х1, Х-г, ..., хп), определенную на некотором множестве Е пространства Еп, иначе говоря, функцию п действительных переменных. В частном случае, когда п=1, будем писать f (х).
Функция f(P), заданная на множестве Е, называется ограниченной на этом множестве, если множество значений функции есть множество ограниченное.
Функция f(P), определенная на множестве, называется ограниченной сверху (снизу) на этом множестве, если множество значений функции на множестве ограничено сверху (снизу). Верхняя (нижняя) грань множества значений функции f(P), определенной на множестве Е, называется верхней (нижней) гранью функции на этом множестве и обозначается
МЕ или sup£/ (Р)(тЕ или inf£fP).
Если множество значений функции f (Р), определенной на мно-
Точнее, действительной функцией действительного переменного.
62
жестве Е, не ограничено сверху, условимся писать М£ = оо. Если множество значений функции f (Р), определенной на множестве Е, не ограничено снизу, условимся писать: тЕ =—со.
Из курса математического анализа известно, что функция y = f(x) может, будучи ограниченной па промежутке, достигать или не достигать своих верхней и нижней граней. То же наблюдается и в более общем случае на множестве Е. Функция f(P) может быть ограниченной на множестве Е, и множество Е в одном случае будет включать в себя Р' и Р", такие, что f(P') = tnE, f (Р") = МЕ, а в другом случае таких точек в множестве £ может не оказаться. В первом случае говорят, что функция достигает своих граней на множестве Е, во втором — что она не достигает их. Может быть и так, что f(P) на множестве достигает только одной из своих граней.
Очень важными понятиями теории функций действительного переменного являются понятия колебания функции на множестве и в точке, тесно связанные с понятиями граней функции на множестве.
Колебанием функции f (Р) на множестве Е называется разность МЕ — тЕ. Оно обозначается wEf.
Колебание функции на множестве не отрицательно, так как всегда МЕ^тЕ. Если хоть одно из чисел МЕ или тЕ бесконечно, колебание бесконечно: wEf — co. Чтобы функция f (Р) была постоянной на множестве Е, очевидно, необходимо и достаточно выполнение равенства u>Ef = O.
Примеры. Функция f (Р)	—-——1।—- ограничена на любом
xi + xi + •  • "Г хп
n-мерном сегменте, не включающем в себя начало координат. Данная функция ограничена на сегменте Д, определяемом неравенствами;
е sS л\ sc bt,
О xs so b2,
0 sg xn b„, где e > 0.
В этом случае
wA==^+<+ ... +^’ ^=т> “д=т~й^ь&г+ ••• +
Функция	ограничена на сегментах [е, I] и [—1, —ej, где
0<е<1> Отц,1| = 1' ^[е, !]= —,	“[е, 1] — ~	е] = у,
1 -£
Л1(_| _е] = —1, “[_|г_е] = —-—. На сегментах [0, ]] и [—1, 0] эта функция не ограничена: m[0, = 1, Mo lt = oo, 0] = — оо, jM(_ t 0] = —1.
Функция / (Р) = sin (лдлу. ... хп) ограничена на всем пространстве Ц’л: /п =— 1, М — 1.
СЗ
Функция f(x) = arctgx ограничена на всей числовой прямой т(_г„
Функция /(Р) = 1, если все координаты точки Р суть числа рациональные;/(Р)= О, если хотя бы одна из координат точки Р является иррациональным числом. Эта функция ограничена на всем пространстве а:— Г), Л1,. = 1,	=1. В случае я—1 эта функция называется функ-
Ец	t.nbn	'
цией Дирихле *).
Функция f (х) = sin —, если х^£0,/(х) = 0, если х = 0, ограничена на всей прямой:	га) = —1, От) = Ь “(—а, Ь) — 2, где °> — лю-
бые положительные числа (рис. 9).
Функция f (х) — 1, если х > 0, f (х) = 0, если х = 0, / (х) =—1, если х < 0. Короче, эта функция записывается: /(x) = signx. Функция f (х) = = signx ограничена на всей прямой а] = 0, где е > 0, а > 0, а] = — 2> “[0, а\ = '•
Пусть задана функция f (Р), определенная на n-мерном сегменте А, и Ро — внутренняя точка А. Построим последовательность сегментов A ID Ai ID \ Z) •••> Для каждого из которых Ро— внутренняя точка, стягивающуюся к точке Ро. Тогда, очевидно, числа тд., найденные для всех сегментов, не будут убывать по мере роста номера сегмента:
/Пд=ДЩд1йД •••	....	(1)
а числа не будут возрастать:
” АН АЦ ...	(2)
откуда последовательность
<«д Дз Да Шд2>г.. .Да	• •	(3)
окажется невозрастающей.
*) Дирихле (1805—1859) — немецкий математик. Функцию Дирихле можно записать в виде соотношения
f (х) = lim [lim (cos т\ г.х)2п].
64
Пределы (конечные или бесконечные) рассмотренных монотонных последовательностей всегда существуют и не зависят от того, как будут приближаться границы сегментов Д* к точке Ро. В этом легко убедиться.
Построим произвольно две различные последовательности n-мерных сегментов, стягивающихся к точке Рй:
ADAiDAO--OA„D--->	(4)
(5)
и покажем, что пределы числовых последовательностей {тч}, {т'ьк}
совпадают. Возьмем один из сегментов А* последовательности (5), предполагая при этом, что k достаточно велико: тогда всегда найдутся два сегмента Дг, Дт из последовательности (4), такие, что	Д/Эд;эдт.	(6)
Из этих включений следуют неравенства:
т& <тд .	(7)
I r т	\‘ f
Если теперь индекс k будет принимать последовательно значения 1, 2, 3, ... при наличии включений (6) и сохранении каждый раз наибольшей близости границ сегментов Дг и Дт, то и индексы I и т будут неограниченно возрастать. При этом значения крайних величин в неравенствах (7) будут стремиться к одному и тому же пределу, а следовательно, к тому же пределу будет стремиться и промежуточная величина /Ид . Таким образом, lim mkA = lim тд. Те же рассуждения применим к последовательности {Л4дД. Пределы указанных последовательностей (1), (2), (3) называются соответственно нижним пределом функции f(P) в точке Ро, верхним пределом функции f(P) в точке Ро и колебанием функции f(P) в точке Ро и обозначаются соответственно	т дд ...
. ГПр0, Мр„ <»р0.
Итак, нижним пределом функции /(Р), определенной на n-мерном сегменте, в его внутренней точке Ро называется предел последовательности нижних граней функции f (Р) на сегментах, включенных в данный, для каждого из которых Ро— внутренняя точка, и стягивающихся к точке Ро; верхним пределом функции /(Р) в точке Ро — предел последовательности верхних граней; колебанием в точке Ро — предел последовательности колебаний на тех же сегментах.
п	(	1	\	(	1	\
Примеры. ирД —т—.—--------—— = со,	11  =
р	+ ^ + ...	P*0\-V1+-v2 + ...+-v„)
= 0, где Р = 0 обозначает начало координат.
“v = o(sign *) = 2; (s*gn х) = °-
65
Колебание функции Дирихле в любой точке прямой равняется 1.
... + <) "* "<-»(” ,! + xj|... + x-) = 2:
<“р=а (arctg х) — 0, где а — любое действительное число.
Теперь будем полагать, что f(P) определена не на «-мерном сегменте, а на произвольном множестве Е «-мерного пространства. Множество Е в отличие от множества точек сегмента может иметь в общем случае не только предельные, но и изолированные точки. Предельные точки множества в общем случае могут не принадлежать множеству Е. Условимся при определении колебания функции в точке поступать, как и ранее, т. е. определять ее колебания на сегменте, стягивая его к данной его внутренней точке, но в отличие от предыдущего в этом случае будем рассматривать значение функции только в точках сегмента, принадлежащих множеству Е. Если Рй — изолированная точка множества Е, то существует сегмент, включающий эту точку, на котором никаких других точек множества Е нет; значит, на этом сегменте А окажется, что т& =	— f (Ро), откуда ощ0 = 0. Таким образом,
колебание функции в изолированной точке множества, на котором она определена, всегда равно нулю. Если Ро — предельная точка множества Е, принадлежащая этому множеству, то на всяком сегменте, включающем в себя внутреннюю точку Рп, окажутся точки, принадлежащие Е, на которых f(P) определена. Тогда все рассуждения, касающиеся точки Ро в случае сегмента, повторяются лишь с одним изменением, а именно: точки, не принадлежащие Е, просто не принимаются в расчет. В случае, если Ро не принадлежит Е, но является предельной для него, условимся говорить о верхнем и нижнем пределах функции f(P) в такой точке так, как будто Р0(£Е, хотя в самой точке Ро функция f(P) и не определена. Другими словами, для функции, определенной на множестве Е, мы на основании принятых соглашений сможем определить числа тРо, Мрд, шРд, где Ро — любая точка замкнутого множества Ё = Е-|-Е'.
§ 3. Непрерывность
Повторим известные из курса математического анализа определения непрерывности, применив их теперь к функции, определенной на множестве «-мерного пространства Еп.
Определение (Коши). Функция f(P),. заданная на множестве Е, называется непрерывной в точке Ро множества Е, если для любого положительного е можно подобрать такое 8 О, что для всех точек множества Е, лежащих в окрестности U (Ро> 8), окажется справедливым неравенство
Определение (Гейне)*1. Функция f (Р), заданная на множестве Е, называется непрерывной в точке Р9 множества
*) Гейне — немецкий математик.
66
Е, если для любой сходящейся к Ро последовательности точек Рь Р,_,Рп, ..., принадлежащих множеству Е, соответствующая последовательность значений функции f(Pi), [(Рг),..., f(Pn),‘-' сходится к f(P0).
Определение (Бэра)*). Функция f(P), заданная на множестве Е, называется непрерывной в точке Ро множества Е, если колебание функции f (Р) в этой точке <s>pof (Р) — 0.
Определение. Функция, непрерывная в каждой точке множества Е, называется непрерывной на множестве Е.
Очевидно, что в изолированной точке Рй множества Е функция f (Р) в условиях любого из приведенных определений непрерывна, так как для точки Ро найдется окрестность U (Ро, е), не содержащая никаких других точек множества Е, кроме точки Ро, и, следовательно, неравенство, приведенное в определении Коши, и последовательность, рассматриваемая в определении Гейне, примут соответственно формы:
|/(Ро)-/(Ро)| = О<е И /(Ро), /(Ро),---,
/ (Ро), ...->/(Ро). Колебание же функции /(Р) в точке Ро в этом случае равно нулю на основании рассуждений предыдущего параграфа.
Докажем эквивалентность всех трех определений**) непрерывности.
Теорема 1.3. Определения непрерывности функции в точке по Коши, Гейне и Бэру эквивалентны.
Доказательство. Докажем эквивалентность определений Коши и Гейне. Пусть функция f(P), определенная на Е, непрерывна по Гейне в точке Р0^Е, где Ро — предельная точка множества (для изолированной точки эквивалентность всех трех определений показана). Допустим, что по Коши функция / (Р) не окажется непрерывной в точке Ро. Тогда существует е0Д>(), такое, что, каково бы ни было число 8 Д> 0, можно найти точку Р, принадлежащую окрестности U (Ро, 8), такую, что |/(Р) — /(Ро)|^= ' е0-
Рассмотрим последовательность чисел 8Ъ 82.... 8„, ... ->0.
Для каждого 8А подберем соответствующую точку Pk, такую, что Pk £ U (Ро, 8ft) и в то же время | / (Pft) — / (Ро) |	е0. После-
довательность {РД сходится к Ро, что следует из сходимости (8Д—>0. Последовательность {/(Р*)} не может сходиться к / (Ро), так как любое f(Pk) отличается от f(P{l) не меньше чем на е0. Противоречие, к которому мы пришли, доказывает непрерывность всякой функции в точке Ро по Коши, если она непрерывна по Гейне.
Положим, что функция / (Р), определенная на множестве Е, непрерывна в предельной точке множества Ро, принадлежащей этому множеству, по Коши. Докажем, что тогда она непрерывна
*) Б э р (1874—1932) — французский математик.
**) Коши, Гейне и Бэр впервые дали эти определения в указанной форме для функции, определенной на сегменте.
67
в точке Ро по Гейне. Возьмем любую последовательность точек множества Е: Plt Pit ... , Pk, ... , сходящуюся к Ро. Рассмотрим соответствующую последовательность значений функции / (Pi), /(Р3), ... , f(Pk). Зададим число е и найдем такое число 8, что для всех Р (Ро, 8) справедливо неравенство | / (Р) — / (Ро) | е. Возьмем теперь настолько большое число Л), чтобы все Pk при k^>N оказались внутри окрестности U (Ро, 8). Тогда для всех этих P*(A^>)V) окажется справедливым неравенство |/(Р*) — — f(P)\<Zs’ т- е- Для любой последовательности {РЙ}->РО последовательность {/(Рй)} -> / (Ро).
Этим доказана эквивалентность определений Коши и Гейне.
Теперь докажем эквивалентность определений Коши и Бэра. Пусть /(Р) непрерывна по Коши в точке Ро £ Е, где Ро —предельная точка множества Е. Зададим числое^>0и найдем такое число 82>О, что для всех Р U (Ро, 8) справедливо неравенство |/(Р)— /(Ро)1<^®- Последнее неравенство перепишем в форме / (Ро) — е <Z f (Р) <Х f (Р») + е> откуда следует, что колебание функции на любом сегменте, включенном в окрестность U (Ро, 8), не превышает 2е, е — произвольно малое положительное число; следовательно, разность чисел Мр° — тРо произвольно мала, т. е. Мр —tnD =0, или «)„ =0.
Пусть, наоборот, функция /(Р), определенная на множестве Е, непрерывна по Бэру в предельной точке этого множества Ро, принадлежащей ему. Зададим число е. Так как <оРо = 0, то существует сегмент Д, содержащий внутри себя точку Ро, на котором «)д/ (Р)<^е. Это значит, что для любой точки Р, принадлежащей окрестности U (Ро, 8), где 8^>0 подобрано так, что ^(Ро, 8)СД, выполняется неравенство |/(Р) — /(Po)i<Ce- Тем самым доказано, что функция / (Р), определенная на множестве Е и непрерывная по Бэру в предельной точке этого множества, принадлежащей ему, непрерывна в той же точке по Коши.
Таким образом, доказана эквивалентность всех трех определений непрерывности функции /(Р) в любой точке множества, на котором функция определена.
Определение. Точка Ро, принадлежащая множеству Е, на котором определена функция f (Р), и не являющаяся точкой, непрерывности функции f(Р), называется точкой разрыва.
Ясно, что колебание функции в точке разрыва больше нуля. Например, функции /(Р)= sin (xt  х2 ... хп), f (х) = arctg х непрерывны во всех точках соответственно пространства Еп и Ер Функции	1
/ (Р) = sin	, / (х) = sign х
имеют точку разрыва в начале координат. 68
Рассмотрим еще некоторые примеры непрерывных функций.
Функция _у=|л| непрерывна во всех точках х числовой прямой «х = 0.
Функция f (х) определена на сегменте [0, 1] следующим образом: f (х) — О, если принадлежит канторову совершенному множеству. На каждом же из удаленных интервалов сегмента [0, 11 fix) имеет своим графиком дугу полу-
Рис. 10
окружности, построенную на интервале как на диаметре и расположенную в полуплоскости (рис. 10). Непрерывность функции fix) в любой точке х0, принадлежащей удаленному интервалу, очевидна. Если же х0 является концевой точкой интервала или одной из неконцевых (двусторонних) точек канторова множества, то, задав е > 0, можно всегда найти достаточно малый сегмент [л'о — В, х0-f- 8], такой, что попадающие в него уда-
ляемые интервалы будут иметь длину менее е, а значит, числа М, т и щ в этой окрестности соответственно будут т = 0,
Функция f (х) = х • sin ~, если х^О, /(0) = 0, непрерывна в любой точке прямой (рис. 11). Исследуем эту функцию на непрерывность в точке 0.
На сегменте [— е, е] т — е, М eg е, и> eg 2е, т. е. ! х • sin j = 0.
69
§ 4. Основные свойства непрерывных функций
На функции, непрерывные в точке множества, а также непрерывные на замкнутых, ограниченных и тем более совершенных множествах, распространяются многие теоремы, справедливые для функций, непрерывных в точке сегмента и на сегменте.
Теорема 2.3. Сумма, разность и произведение двух функций f (Р) и ?(Р), непрерывных в точке Ро, множества F, на котором они определены, являются функциями, непрерывными в той же точке Ро. Частное / (Р): <р (Р) также непрерывно в точке Ро при условии, что ср (Ро) # 0.
Доказательство. Для доказательства теоремы следует доказать непрерывность в точке Ро функций /(Р)±<р(Р), / (Р)  ср (Р), /(Р):ср(Р); в последнем случае <?(Ро)^О. В случае, когда Ро — изолированная точка множества Е, теорема очевидна. В случае же, когда Ро — предельная точка множества Е, воспользуемся определением непрерывности по Гейне. Для любой сходящейся к Ро последовательности точек Рь Р3.......Pk, ... ,
принадлежащих множеству Е, последовательности значений функций /(Pi), / (Ра), и ?(^>2)> сходятся соответственно к /(Ро) и ?(Ро). Тогда сумма, разность, произведение и частное этих сходящихся, а следовательно, фундаментальных последовательностей (последнее при условии, что {?(Р*)} не сходится к нулю) суть фундаментальные, а следовательно, сходящиеся последовательности;
(/(₽») ±т(Р,)}->/(Р,)±т(Р,).
что на основании определения Гейне и обозначает непрерывность функций f (Р)±ср (Р); /(Р)-ср(Р); /(Р):ср(Р) в точке Ро.
Пусть функция f (М) определена и непрерывна на множестве Е, а функция ср(Р) определена и непрерывна на множестве Е, при этом значения функции ср (Р) не выходят за пределы множества Е, когда Р изменяется в пределах множества £\, тогда сложная функция*) f [ср (Р)], определенная на множестве Е, непрерывна на нем.
Доказательство сводится к двукратному применению условия непрерывности по Гейне. Зафиксируем точку Ро Рф Построим любую последовательность точек множества {Р„}, сходящуюся к Ро. Соответствующая последовательность точек {Мп = у(Рп)} множества Е благодаря непрерывности функции ср (Р) окажется сходящейся в точке Л40 = <р(Р0). С другой стороны, для последовательности {ЛЦ благодаря непрерывности функции f(M) окажется, что соответствующая последовательность f(Mn) значе
*) Существуют и другие названия сложной функции: функция от функции, суперпозиция функций.
70
ний функции f(M) окажется сходящейся к f (Л40). Следовательно, из того, что {Рп}-+Р0, следует сходимость f [<р (Рл)][<р (Ро)]. Сказанное справедливо для любой точки Ра множества Et, откуда следует непрерывность функции / [<р (Р)] на множестве Ej.
Операции над функциями, перечисленные выше, очевидно, можно повторять и комбинировать любое конечное число раз, и каждый раз при этом мы будем получать функцию, непрерывную в точке Ро.
Рассмотрим теперь свойства функции, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве.
Теорема 3.3. Функция f (Р), определенная и непрерывная на замкнутом ограниченном множестве F, ограничена на нем.
Доказательство. Допустим противное. Пусть MFf(P) = = оо. Тогда существует последовательность Рь Р2, ... , Pk, .... такая, что / (Р>), / (Р3), ... , f(Pk), —>оо. Из этой последовательности {Pk\ на основании теоремы Больцано — Вейерштрасса можно выделить сходящуюся подпоследовательность Р[, Р'%, ... ... , Pk, • • • . Пусть предел этой подпоследовательности Ро. Тогда Ро С Р> так как Р замкнуто и f (Р) непрерывна в Ро, а значение f(P0) — некоторое действительное число. В то же время (Pi)} -> ->оо при {Pi} -> Ро. Полученное противоречие доказывает теорему.
Теорема 4.3. Функция f(P), определенная и непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, достигает на нем своих верхней и нижней граней.
Доказательство. Пусть /(Р) определена и непрерывна на замкнутом ограниченном множестве F. Она ограничена на нем на основании предыдущей теоремы. Пусть гранями функции f (Р) на множестве F будут числа MF и mF. По определению верхней грани для любого е существует то.чка Р, такая, что MF— f(P)<^z. Возьмем последовательность е3.......е*, ...->0. Подобрав для
каждого zk такую точку Pk, что М —	получим после-
довательность Р], Р2, ... , Р/;, ... точек, принадлежащих множеству F. Выберем из этой последовательности сходящуюся подпоследовательность, что возможно сделать на основании теоремы Больцано — Вейерштрасса. Пусть эта подпоследовательность PJ, Р3, ... , Р*, ... -> Ро. Точка Ро принадлежит множеству F, потому что оно замкнуто. Соответствующая последовательность значений функции f (Р{), f (Р3), ... сходится к f (Ро) благодаря непрерывности функции f(P). На основании неравенства MF — ~f(pn)<Zsk имеем: f(Ph)>MF — eh. Откуда
f (Ро) = lim f(Pk)^ lim (MF — zF) = MF, k —► co	ft—► co
t. e. f (P0)2s MF. С другой стороны, P0^f и f (Po) «С MF по определению верхней грани. Сравнивая эти два неравенства, получаем: f (P0) = MF. Доказательство для mF аналогично.
Определение. Функция f (Р), определенная на множестве F, называется равномерно непрерывной на этом множестве.
71
если для любого е^>0 существует такое В^>0, что для любых двух точек Р', Р" множества Е, расстояние между которыми удовлетворяет условию: р(Р', Р")<^8, выполняется неравенство | f(P')_ f(P") |< е.
Замечание. В определении очень существенна зависимость только от е и независимость этого числа от положения точек Р' и Р".
Напомним читателю известный ему из курса математического анализа факт, что функция может быть непрерывной на некотором множестве и не быть равномерно непрерывной на нем.
Приведем примеры функций, непрерывных на некоторых множествах, но не равномерно непрерывных на них.
Функция /(х) = ^ непрерывна на интервале (0, 1) (точка х=0, где эта функция имеет разрыв, концевая, она в указанный интервал не входит), но неравномерно непрерывная на нем, так как абсолютная величина разности значений функции | f (Xi) — — где Xi^>x.2^>0, окажется больше любого числа W, как бы мало ни было расстояние d = Xi — х.2, если число Xi будет удовлетворять условию:
Функция f(P)= sin .	' — . 2 в точке P = 0 имеет коле-
А'1 “Г хч “Г  • • “Г хп
бание о)р = 2, во всех остальных точках пространства она имеет колебание, равное нулю. Это значит, что на интервале 0 <^х2 <^alt О <^хъ<^аъ ... , Q <^хп<^ап функция f(P) непрерывна; кроме того, она, как это легко видеть, и ограничена на нем. Свойством равномерной непрерывности на указанном интервале рассматриваемая функция, несмотря на непрерывность и ограниченность, не обладает. Каким бы малым ни было число 8 на этом интервале, всегда найдутся две точки Р' и Р", такие, что — — f (Р")|==2, хотя расстояние между этими точками не превышает 8 (см. рис. 9 для случая ц=1).
Функция f(x)— sin (х2) непрерывна и ограничена на бесконечном интервале (— оо, оо), но неравномерно непрерывна на нем. Расстояние между соседними максимумом и минимумом этой функции при достаточно большом значении | х\ сколь угодно мало, в то время как разность значений функции в точках максимума и минимума равняется числу 2. Убедиться в этом можно так: /'(х) = 2х cos (х-) обращается в нуль в точках
х = 0, x'k — ± j/” 2/гл 4- , x"k = ± j/” 2£те — ,
где k — натуральное число. Точки х=0 и x'k являются точками минимумов, а точки х).— точками максимумов функции, что легко устанавливается по значению второй производной функции f"(x)
72
в этих точках. Взяв соседние экстремальные точки х'к и хк, получаем расстояние между ними:
\xi- X”k\ = y + l 2^-’- = )/
х {/4F+T - ]/4/Г^Т} = 1/~4-	_____
11	’ Г 2 /4Й4-14-/4Й—1
Таким образом, для любого 8 можно найти такое k, что \хк— х"к | <3> в то же время |/(Хй)—f(x'k)\== 2 (рис. 12).
Рис. 12
Положим, что функция f(x, у) определена на множестве всех рациональных точек (х, у) плоскости формулой
f(x, у) = х*-ХУг-
Функция / (х, у), очевидно, непрерывна на множестве рациональных точек плоскости. Равномерно непрерывной функцией она не является, так как разность значений функций в точках (х', у) и (х", у), где х'>х">0 | /(х7, у) — f(x", у) |, будет больше любого числа W, еслихД>^, как бы мало ни было расстояние d между точками.
Теорема 5.3. Функция f(P), определенная и непрерывная на ограниченном замкнутом множестве F, равномерно непрерывна на нем.
Доказательство. Допустим противное. Тогда найдется такое число е0, что мы не сможем подобрать число 8 так, чтобы из выполнения неравенства р(Р', ₽”)<^8 следовало выполнение неравенства \f(P')— /(Р")|<^е0 для любых двух точек, принадлежащих множеству F. Для найденного е0 построим последовательность 8(, 82..8Ь ... , сходящуюся к нулю. Для каждого 8fe
при нашем допущении найдутся точки P'k^F и Рк F, такие,
73
что p(P'k, Р’ьХ^ь, В то же время | f (Р*) — f (Рь) | 5s е0. Проделав такой выбор для всех 3ft, получим две последовательности:
р;, р;.....Pi рл р;.............pi, ....
Выберем из первой сходящуюся последовательность
Рц> ••• > Pin, • • • ;
выберем из второй последовательности точки с соответственно теми же индексами
Р" Р"
Тогда при любом б* и выполнении неравенства p(Pii, P'kt)<Z(\ будет выполняться неравенство \f(Pki) — f (P'ki)\^s- Предел выбранных последовательностей один и тот же, так как {p(P'ki, Р«)} есть последовательность, стремящаяся к нулю. Обозначим этот общий предел через Ро £ Р. Тогда, по определению Гейне, последовательности значений непрерывной функции /(Р) также сходятся к одному пределу:
f(P'n), Mi).....f(P'ki), .. — f(poy,
цр'„), т ., f^i), ...-m.
Отсюда при достаточно большом k
\f(Pki)-f(P.)\<^-,
\f(P^-f(Pa)\<^,
а следовательно, и |/(P*S)—f(Pki)\<Cev что противоречит неравенству | f (Ри) — f (P£j) j 5s e0. Таким образом, допущение привело к противоречию. Теорема доказана.
Итак, все теоремы о свойствах функций, непрерывных на сегменте, кроме теоремы о промежуточном значении, оказались справедливыми и для функций, непрерывных на ограниченном замкнутом множестве.
Свойством принимать все промежуточные значения между двумя данными функция п действительных переменных, непрерывная на ограниченном замкнутом множестве, вообще говоря, не обладает. Этим свойством обладает функция п переменных, непрерывная на ограниченном совершенном связном множестве*).
§ 5. Точки разрыва
Точки разрыва функции действительного переменного, определенной на множестве Е «-мерного пространства, могут быть разбросаны весьма прихотливо по множеству Е. Несмотря на это, можно привести теорему, характеризующую в некоторой
*) Доказательство см., например, [19], стр. 171, или [36], стр. 413.
74
степени строение множества точек разрыва любой функции действительного переменного, определенной на замкнутом множестве.
Теорема 6.3. Множество Е всех точек разрыва любой функции, определенной на замкнутом множестве F п-мерного пространства Еп, есть либо замкнутое множество, либо представляет собой сумму счетного числа замкнутых множеств.
Доказательство. Пусть функция f (Р) определена на замкнутом множестве F. Обозначим через Ее (Ее CZ Е) множество таких точек разрыва функции принадлежащих F, что в каждой из них колебание функции /(Р) больше или равно е, со/^е. Множество Ес замкнуто. В самом деле, пусть £ — любая предельная точка множества Ее*). В любой окрестности точки £ имеются точки множества Е£, т. е. такие точки, в каждой из которых со/^ге. Значит, и на любой окрестности точки g колебание co/^se, откуда следует, что и в точкеколебание со^Э=е, т. е. что любая предельная точка множества Е. принадлежит ему. Этим доказана замкнутость Е.
п	ill
Пусть е принимает последовательно значения 1, у, у, , у, .... Тогда множество Е всех точек разрыва функции /(Р) будет представлено в виде суммы:
£ = Pi + Pj -J-Ei.-J-... +	_ + -...	/р
2	3	п
Действительно, всякая точка разрыва, в которой колебание cof^>O, войдет в одно из слагаемых этой суммы, для которого — sgcof, и никакая точка непрерывности в указанную сумму не входит.
Число различных слагаемых сумм (1) может быть конечным или счетным.
В первом случае, начиная с некоторого п, все следующие Е i п окажутся совпадающими, и множество Е будет замкнутым множеством; во втором оно будет суммой счетного числа замкнутых множеств, которая может быть как замкнутым множеством, так и незамкнутым.
Большей определенности характеристики множества точек разрыва можно достигнуть для монотонной функции одного действительного переменного, определенной на сегменте (см. § 6).
Правосторонним (левосторонним) пределом функции f(x), определенной на линейном**) множестве Е, в предельной точке этого множества х0, называется общий предел, если он существует для всех последовательностей значений функ
*) Точка принадлежит F, являясь предельной для Е, cz F, она будет предельной и для замкнутого множества F.
**) Линейным называется множество точек, принадлежащих прямой (пространству EJ.
75
ции f(xi)> f(xt\ •••> гДе xu ••• — любая последовательность точек множества Е, расположенных справа (слева) от хй, сходящаяся к хй. Правосторонний предел в точке хй обозначается /(х0-|-О), левосторонний — f(x9 — 0).
Если слева от х0 в некотором интервале (а, хй) нет никаких точек множества Е, левосторонний предел /(х0— 0) считается существующим и равным f(x0).
В изолированной точке множества Е принимается /(хй —0) = = / (х0 —0) = / (х0).
Определение. Пусть функция f(x) определена на множестве Е, и пусть хй £ Ё — точка разрыва. Точка хй называется точкой разрыва первого рода или, короче, разрывом первого рода, если правосторонний f(xo-[-O) и левосторонний Цх0 — 0) пределы функции f (х) в точке х0, конечные или бесконечные, существуют. Если хоть один из этих пределов не существует, точка разрыва хй называется разрывом второго рода*).
Разрыв первого рода в точке хй называется поправимым, если / (х0 — 0) = /(хй4-0) # /(хс), т. е. если левосторонний и правосторонний пределы функции /(х) в этой точке конечны, равны друг другу, но не равны числу /(хй).
Точка х0 поправимого разрыва превращается в точку непрерывности, если изменить значение функции только в этой точке и потребовать выполнения условия:
f(x0) = /(x0 —О) = /(хоН-О).
Разность f (хй -ф- 0) — f(x0 — 0) называется скачком функции в точке разрыва. Если хотя бы одно из значений, /(хо-ф-О), f (х0—0), или оба бесконечны независимо от их знаков, скачок называется бесконечным.
Для функции одного переменного различают также непрерывность справа и слева.
Функция f (х) называется непрерывной справа в предельной точке хй линейного множества Е, на котором функция определена, если / (х0 —0) = / (хс), и непрерывной слева, если f (хй — О) = /(хо). В том случае, когда то или другое из этих соотношений не осуществляется, функция f (х) имеет в точке х0 разрыв соответственно справа или слева.
Функция f(x), непрерывная в предельной точке хй множества Е, является непрерывной справа и слева в этой точке. Справедливо и обратное, т. е. всякая функция /(х), определенная на множестве Е и непрерывная справа и слева в предельной точке этого множества хй, непрерывна в точке хй.
*) Терминология, принятая Г. М. Фихтенгольцем в курсе дифференциального и интегрального исчисления (т. I, 1947, стр. 180), несколько отличается от указанной здесь, где мы следуем учебнику П. С. Александрова «Введение в общую теорию множеств и функций», 1948. Г. М. Фихтенгольц относит к разрывам второго рода случаи, когда хотя бы один из пределов, f (хоф-0) или /(х0 — 0), является бесконечным.
76
скачком. Функция f (х) = —
В изолированной точке линейного множества Е функция непрерывна справа и слева по определению.
Примеры. Функция /(x)=signx (см. примеры на стр. 64) в точке х = 0 имеет разрыв первого рода с конечным при .г/0 и / (0) = О (см. пример на стр. 63) в точке х —0 имеет разрыв первого рода с бесконечным скачком.
Функция f (х) = sin при х ф0 и / (0)= = 0 (см. пример на стр. 64) в точке х = 0 имеет разрыв второго рода.
Функция /(х)=х2, если х 0, и f (х) — = 1, если х = 0, в точке х = 0 имеет поправимый разрыв первого рода (рис. 13).
Функции, приведенные в предыдущих примерах, разрывны слева и справа в точках разрыва.
Функция/(х) = х, если х JsO,/(х) sin —, если х<0, в точке х = 0 имеет разрыв второго рода, она непрерывна в этой точке справа.
Функция / (х) = —г , если х ф 0, / (х)—0, если х = 0, в точке х = 0 имеет разрыв первого рода с бесконечным скачком (рис. 14)*).
Функция /(х) = [х) (целая часть числа точки разрыва первого рода с конечным скачком. В каждой точке разрыва имеется непрерывность справа (рис. 15).
х). Все целые значения х—
Функция /(х)=—sin—, если х/0;
/(х)=0, если х = 0;
точка х = 0 — разрыв второго рода.
*) П. С. Александров в «Введении в общую теорию множеств и функций» (1948, стр. 186) называет этот случай стремлением к бесконечности справа и слева. Многие из приведенных здесь примеров взяты из «Курса математического анализа» М. К. Гребенчи и С. И. Новоселова (1941) и из указанной книги П. С. Александрова. В «Курсе математического анализа» М. К. Гребенчи и С. И. Новоселова читатель найдет много других интересных примеров такого рода (§ 24 — 31, 41).
77
Функция Дирихле (см. пример на стр. 64) в каждой точке имеет раз-
рыв второго рода.
Функция Римана /(х)=0, если х иррационально; /(х) = —, если х рационально и выражается несократимой дробью со знаменателем q. Эта
функция непрерывна во всех иррациональных точках, каждая рациональная точка есть точка поправимого разрыва.
Рис. 16
__J
Функция fix)— lim '	.    Точки х— ±1—разрывы первого рода
п — со х~ т 
(рис. 16).
Функция f (х) = е х , если х^О, f(x) — 0, если х = 0, в точке х = 0 имеет разрыв первого рода с бесконечным скачком, в этой точке функция непрерывна слева (рис. 17).
Функция f (х) = arctg — ,
если х^О, /(х)=у, если х = 0, точка
х = 0 — разрыв первого рода справа в этой точке (рис. 18).
с конечным
Функция /Сх) =у +y}’ если
скачком, функция непрерывна х^О; /(х) = 0, если х = 0,
точка х = 0 — разрыв с бесконечным скачком, функция в этой точке непрерывна слева (рис. 19).
Функция f (х) = <р (х), если х рационально; /(х) = —(х), еслих иррационально, где (х) — функция, непрерывная на всей прямой и не равная нулю ни в одной точке. Каждая точка прямой есть точка разрыва вто-
рого рода.
78
§ 6. Точки разрыва монотонной функции
Класс непрерывных функций является наиболее простым и наиболее полно изученным. Следующим за ним в этом смысле является класс монотонных функций. Мы изучим некоторые свойства монотонных функций одного действительного переменного, имеющих большое теоретическое и практическое применение. Оказывается, как мы это сейчас увидим, что структура множества точек разрыва таких функций и сами разрывы (в отличие от случая произвольного разрыва функции) можно характеризовать вполне определенным образом. Положим, что множество Е, на котором определена функция f(x), линейно и представляет собой сегмент [а, Ь].
Функция /(х), определенная на сегменте [а, Ь], называется возрастающей на нем, если из неравенства Xj<^x2 (где хь х2— любые точки сегмента, удовлетворяющие указанному неравенству) следует: / (xj sS/(х.>), строго возрастающей, если из того же неравенства Х1<^х.2 следует: f (xi)<^/(x2), убывающей, если следует f (xt) 2г f(x.2), и строгоубывающей, если следует: f (х2). Функция f(x) называется монотонной, если она принадлежит одному из этих четырех классов функций.
Примеры. Функция f(x)=x3 монотонна на любом сегменте, строго возрастая на нем.
Функция х— sin х монотонна на любом сегменте [а, 6], строго возрастая на нем (рис. 20).
Функция f (х) = е~х монотонна на любом сегменте [«,&], строго убывая на нем.
79
Функция f(x) = е~ха монотонна на любом сегменте, не содержащем точку ,г = 0 в качестве внутренней точки. Строго возрастает на сегменте
[а, 6], где —оо <а cbC0, и строго убывает на сегменте [с, d|, где OsS с <rf < оо (рис. 21).
Функция f (х) = |х] (целая часть числа л, см. пример на стр. 77) монотонна на любом сегменте, возрастая (не строго) на нем.
Канторова ступенчатая функция /(0) = 0, /(1) = 1, /(х)=хср, если
р у	х принадлежит удаленному интервалу,
ис’ 1	где хср— абсцисса средней точки ин-
тервала; /(х) = Е, если х принадлежит канторову совершенному множеству Ро, где Е—число большее, чем каждое хср, расположенное слева от Е, и меньшее, чем каждое хср, расположенное справа;от Е (рис. 22), является возрастающей (не строго) на у 10, 1).
Теорема 7.3. Множе-	П
ство точек разрыва монотон-	i—
ной функции, определенной на сегменте fa, b], конечно или счетно. Каждый разрыв монотонной функции есть	_______
разрыв первого рода.
Доказательство. До-
казательство приведем для	п
возрастающей функции, что
не уменьшит общности, так I I
как если f (х)— убывающая п | |	_______ _____
функция, то — f(x)— возра- о	%
стающая функция. Очевидно,	Ри 22
что каждый разрыв возра-	и ‘
стающей функции есть раз-
рыв первого рода с конечным скачком. Это следует из того, что для всякой точки разрыва существуют f (х0 — 0) и f (х0 -ф- 0) как пределы монотонных ограниченных переменных. Бесконечных пределов справа и слева монотонная функция ни в одной точке сегмента, на котором она определена, иметь не может, так как если для возрастающей функции f(xt — 0) = со, где%1 — одна из точек сегмента fa, 6], то и f (хф не может иметь конечного значения, так как это нарушило бы монотонность. Следовательно, предположение существования бесконечного предела функции f (х) в точке Xi привело бы к отсутствию числового значения функции в точке хь принадлежащей сегменту, на котором функция по условию теоремы определена. Скачок в каждой точке разрыва х0 возрастающей функции положителен; f (х0 —|-0) — /(х0 — 0)ф>0. Сумма всех положительных скачков возрастающей функции не может превышать разности значений функции на концах сегмента [а, Ь], т. е. положительного числа ~f(b) — f(a).
80
Пусть Н — множество всех точек разрыва функции f(x), а Н\ —множество тех точек, где скачок более чем (k— нату-1г
ральное число). Каждое И i — конечное множество (в частно-k
сти, оно может быть пустым), содержащее в себе элементов не более чем {f (b)—f (а)}:	Значит, H = Ht\J Н\ IJ Н t (J...
Г Т
как сумма счетного числа конечных множеств не более чем счетно.
§ 7. Функции с ограниченным изменением
Наконец, последним классом функций, который мы будем изучать, является класс функций одного действительного переменного с ограниченным изменением.
Эти функции имеют широкое применение. В частности, они будут применяться нами ниже, при изучении вопроса о длине кривой.
Определение. Пусть на сегменте [а, 6] определена функция f(x). Пусть, кроме того, сегмент разбит на п частей точками деления
а = х0<*1<-• .<А-1<Л = 6-
Если существует такое число М, что для любого разбиения сег-п
мента на конечное число частей '^l\f(xi)—f (xt _ s) | M, то
<=i
функция f (х) называется функцией с ограниченным изменением*"1 на сегменте [а, &].
Наименьшее из чисел М, являющееся верхней гранью множе-п
ства сумм sup У, jflxf)—f (x,-_i)| для всевозможных разбиений < = !
сегмента [а, 6]> называется полным изменением или полной вариацией функции f (х) на сегменте и обозначается V£f.
Теорема 8.3. Всякая монотонная на сегменте [а, 6] функция есть функция с ограниченным изменением на этом сегменте.
Доказательство. При любом разбиении сегмента в случае возрастающей функции разности в прямых скобках не отрицательны, и потому п
Ц 7 (*») - f (xt_,)! = If (X,) - f (х0)] + [f (х3) - f (х,)] + ... 1=1
...+ If (Xn) — f (хп_,)] = f (х„) — f (х0) =f(b) — f(a).
*) Введение в математику этого важного класса функций принадлежит виднейшему французскому математику К. Жордану (1838—1922).
81
В случае убывающей функции разности будут неположительными и рассматриваемая сумма для любого разбиения убывающей функции окажется равной f (а)— f(b).
Теор ема 9.3. Всякая функция с ограниченным изменением на сегменте [а, 6] ограничена на нем.
Доказательство. Пусть f(x)— функция с ограниченным изменением на сегменте Га, Ь], и пусть х— точка этого сегмента. Тогда, разбивая сегмент на две части, имеем:
\f (x)—f (а) | -ф-1 f(b)—f (x)| V* f и тем более | f (х)—f (а)| ^Vhaf, откуда f(a) — V^f<f(x)sz V*f + f(a) или |f(x)|<7V, где N превышает каждую из абсолютных величин \f(a) — V^|,	| V^f-\-f(a)\.
Теорема 10.3. Сумма, разность, произведение и частное двух функций с ограниченным изменением, последнее в случае, когда абсолютная величина делителя ограничена снизу некоторым положительным числом, суть функции с ограниченным изменением.
Доказательство. Пусть f(x), <р (х) — функции с ограниченным изменением на сегменте [а, Ь]. Обозначим:
1)	ф1 (х) = f (х) ± ® (х),
2)	Ф2 (х) = f (х) • tp (х),
3)	Ф3 (х) = f (х): <р (х),
в последнем случае будем полагать | у (х) 1k 0 на всем сегменте [а, 6]. Тогда для любого разбиения сегмента на п частей имеем:
1)	s	s I Ш)± <?«)}-
i=i	i=i
— {f(Xi-l)±cP(Xi-l)}l^ S If(Xi) —f(*i-l)i +
i = 1
n
4- S M*i)~ i = 1
2)	ф2(хг-1)|= У, I (a:,) <p (Xi) — f (xz_i)<p(x/_i)i =
X=1	1^1
= S \f(Xi)^(Xi) — /(x/)<p(x/_i) + f (X,)<p(X,-_i) —
J газ 1
—H^-i)?Ui'-ii 1=^ У!!/ (xo I -1 cp (xf) — <p(Xi_i)l +
i = 1
+ S I T (xi-i) I • \f (xi) —f (Xi-l) I *] I • Va <P +
+ M[«, 61Ы- vbaf.
82
Существование верхних граней модулей функций М[а, *]|/| и
*] I <р I при этом вытекает из предыдущей теоремы.
3)	2|Фз(^)-= j I ? W/
I ?(•««)!• I ? I ""
1 п
S I f (**) ? (**-«) ~ f (*^1) 'Р (*'•) I = z = l
1 п
= fer S I f (х‘)  'Р  (**-») — f <xi~l) • ? Ui-l) + f (Xi_t)  <p (x;_i) — *=M
— f (X,-l) ? (Xi) I < jr^la, *1 <P • Vaf-\-^ Mla, b] f ‘ Vba<?.
Теорема 11.3. Если f(x) — функция с ограниченным изменением на fa, й] и если с — внутренняя точка сегмента, то f(x) является функцией с ограниченным изменением на сегментах [а, с] и fc, 6], при этом Vbf = Vcaf -ф- Vbcf.
Доказательство. Разобьем каждый из сегментов [а, с] и [с, й] на части точками деления:
U — Xqj	х$п — с,
с — хп<^хм<ф--<С.х1т = Ь
и составим суммы:
St= 2 \f(xa!)-f(x9,
i= 1
Si= s
i ~ 1
Очевидно, что сумма, составленная для разбиения всего сегмента, равна сумме Sj-j-Sa и что S,-}-S3 sjr Р*/. Производя всевозможные разбиения сегментов [а, с] и [с, й] и наблюдая каждый раз то же неравенство, приходим к заключению:
(О
Это и означает ограниченное изменение функции f(x) на сегментах [а, с] и [с, й].
Теперь, рассматривая Ss-|-S2 как сумму, составленную для некоторого разбиения всего сегмента [а, й], и учитывая, что
Si^f, S^Vbf, получим:
S^S^V'J+Vbf.
83
При этом, однако, мы, разбивая сегмент [а, на части, каждый раз полагали, что с является одной из точек деления. Если взять произвольное разбиение
а — х0<Х1<...<хя_1<х„ = 6	(2)
сегмента [а, &], то присоединением одной точки с(хг <^c<^xi + i) мы получим разбиение избранного нами типа:
а = Хо<х1<...<х1<с<х, + 1<...<хч_1<х„ = &.	(3)
Сумма S, соответствующая разбиению (2), не превышает суммы 5i + <S2, составленной для разбиения (3):
следовательно, и ее верхняя грань Vbf не превышает суммы vu + ^f--
Vbaf^VcJ+Vbf.	(4)
Сопоставляя два полученных нами неравенства (1) и (4), приходим к равенству Vbf=Vcaf-\-Vbf, которое является утверждением теоремы.
Теорема 12.3. Если f(x)— функция с ограниченным изменением на сегментах [а, с] и [с, 6], то она будет функцией с ограниченным изменением и на сегменте [а, Ь], являющемся суммой данных сегментов с единственной общей точкой с; при этом
Vbaf = V'af + Vbf.
Доказательство. Сохраним обозначения Si и S.3 из предыдущей теоремы и обозначим через S аналогичную сумму для сегмента [а, &]. Если точка с есть одна из точек деления сегмента [a, b], то S = Si + S2. Кроме того, так как
S^V'J, St^Vbf,
то, следовательно, в этом случае
или
S^V'af + Vbf.
Полученное неравенство будет справедливым и для произвольного разбиения сегмента [а, 6] на основании соображений, высказанных в доказательстве предыдущей теоремы. Отсюда следует ограниченность изменения функции f(x) на сегменте [а, &]. При этом, очевидно, что верхняя грань S не может превышать суммы Vеf -4- Vbf, т. е.
(5)
Теперь осталось доказать противоположное неравенство.
84
Пусть г — заданное положительное число. В силу определения верхней грани мы можем найти такие разбиения сегментов [а, с] и [с, £>], что
откуда
Si + S2>V^+V^-2s и тем более
или благодаря произвольности е
Vbaf^VCaf+Vbcf-	(6)
Сопоставление неравенств (5) и (6) окончательно доказывает теорему.
Теорема 13.3. Если сегмент [а, 6] можно разложить на конечное число частей, таких, что на каждой из них функция монотонна, то f (х) есть функция с ограниченным изменением на сегменте [а, 6].
Доказательство. В самом деле, пусть [а, аД, [щ, а2],...
[аь 6] — сегменты, на каждом из которых функция f (х) монотонна. Монотонная функция, как это следует из теоремы 8.3, есть функция с ограниченным изменением. Ее полное изменение на соответствующем сегменте [я;, a,.+ i] выражается числом Уя.а‘ + 1 = | f (оц) — f(a/ + 1)|. На основании предыдущей теоремы полное изменение функции f(x) на всем сегменте [а, Ь] будет выражено как сумма полных изменений на его частях:
Условие теоремы достаточно, но не является необходимым. Так, например, функции f(x) — х siny при х^О, f(0) — 0 и <р (х) = х3. sin-^ при х^О, <р(0) = 0 обе непрерывны и обе имеют бесконечное число экстремумов на сегменте [—а, а], где я^>0, но первая из них не является функцией с ограниченным изменением, вторая является такой.
В самом деле, рассмотрим максимумы
’ k = m' m+1> m +
и минимумы
^=^(4fe2+3) ’ k = m’ m+1’ m + 2>---
функции f (x) = x-sin-^- на сегменте [0, а], где m таково, что
2	2
—7-.—г-гг - - а и —г,—г-qt	а.
85
Между своими соседними экстремальными точками xh, x’k функция /(х) на сегменте [х*, х*] монотонна; следовательно,
Vх* f = I f (xZ) - f (xD | > 21 f (Xi) I = 2xZ; xk
изменение функции f(x) на сегменте [0, а]:
Va — v о —
00	,	со
k—m Хк	k--=m
следовательно, на основании предыдущего
со
Va "> 2 У ------•
Полученный ряд, составленный из положительных чисел', расходится (интегральный признак Коши), что и убеждает в неограниченности изменения функции на сегменте [—а, а].
По поводу функции f (k) = х2 • siny см. стр. 87.
Теорема 14.3. Для того чтобы функция f(x) была функцией с ограниченным изменением на сегменте [а, 6], необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена как разность двух монотонных (точнее, двух возрастающих) функций на этом сегменте.
Доказательство. Пусть f(x) — функция с ограниченным изменением на сегменте [а, 6]. Рассмотрим две вспомогательные функции <p(x) = V*f, где х(^[а, 6], иф(х)=К*/ — f (х), разность которых равна данной функции f(x). Покажем, что каждая из вспомогательных функций <р(х) и ф(х)есть функция, возрастающая на сегменте [а, 6].
На основании теоремы 11.3
Vxa+6f=Vxaf+v*+^v*
для В>0, так как V*+e2sO. Откуда следует:
<p(x + 8)Ss®(x)
для 8 )> 0, т. е. функция <р (х) есть возрастающая функция на сегменте [а, 6]. Функция ф(х) также возрастает, так как
Ф(х + 8)-ф(х) = ^+^-Нх + 8)-К^ + /(х) =
= Vxf + Vxx+bf ~ Vxaf ~ {/ (x + 8) - / (x)} =
= ^+ef~{f(x+8)~f(x)}=sO,
где последнее неравенство написано на основании того, что
v:+7^i/u+8)-/(x)i
86
(на рисунке 23 представлены функции V*f и V*— f(x), построенные для f(x) = sinx, имеющей ограниченное изменение на сегменте [0, 2к]). Тем самым необходимость условия доказана, а достаточность его видна из теоремы 8.3 (стр. 81), где показано, что монотонная функция есть функция с ограниченным измене-
нием и что разность монотонных функций есть функция с ограниченным изменением.
Очевидным следствием теоремы 14.3 и теоремы 7.3 является утверждение: всякая функция с ограниченным изменением может иметь не более счетного числа разрывов. Каждый из разрывов функции с ограниченным изменением есть разрыв первого рода с конечным скачком.
Примеры. Функция /(х), определенная на сегменте [а, Ь\ и обладающая на этом сегменте ограниченной производной | f (х) | М, есть функция с ограниченным изменением на сегменте [а, Ь]. Действительно, для любого разбиения
2 !/(*/) — f (xi-d I = 2 I f (5) I • I Xi — xt_! I sg M 2 \xi — Xi-! i = M (b—a). i=l	i=l	1—1
Функция/(x), определенная на сегменте [a, b] и отвечающая условию: |/(х,-)—f(Xi_^) | si L I Xi — Xi-J, где x^ Xi_! — любые точки сегмента, a L — некоторое данное число, есть функция с ограниченным изменением на сегменте [а, Ь], так как для любого разбиения
п
Функция /(x) = x2sin -i- при х^О и /(0)=0 есть функция с ограниченным изменением на сегменте [ — а, а], где а>0, так как производная этой функции на указанном сегменте ограничена (/' (0) = 0, в чем легко убедиться).
87
Функция Дирихле является функцией с неограниченным изменением на любом сегменте.
Функция f (х) == х sin —	при х т^О и/(0) = 0 есть функция с не-
ограниченным изменением на сегменте [ — а, а], где а>0.
Упражнения к главе III *)
1.	Приведите примеры ограниченных и неограниченных функций, определенных на некотором сегменте [а, Ь].
2.	Найдите грани функций _y = sinx иу = х‘ на сегменте [0, л]. Укажите точки сегмента, в которых эти функции достигают своих граней.
3.	Определите колебание каждой из функций двух предыдущих приме
ров на тех сегментах, где они определены.
4.	Приведите примеры функций, непрерывных на некоторых множествах. Покажите, что в каждой точке множества, на котором функция непрерывна, ы = 0.
5.	Приведите примеры функций, разрывных на множествах. Определите грани этих функций в точках разрыва, колебания их в тех же точках.
6.	Докажите, что множество значений непрерывной функции, определенной на замкнутом множестве, есть множество замкнутое.
7.	Докажите, что функция, произвольно определенная на изолированном
множестве, непрерывна на нем.
8.	Докажите, что следующие определения непрерывности функции /(х) в предельной точке х0 замкнутого множества, на котором функция определена, эквивалентны определению Коши:
а)	/(х) непрерывна в точке х0, если для любого е > 0 найдется такое положительное 8, что при выполнении неравенства | h | <8 выполняется неравенство |/(х<> + Л)—/(х0) | <е;
б)	f (х) непрерывна в точке х0, если lim/(x)=/(x0), где х, стремясь
к х0, пробегает по точкам данного множества.
9.	Докажите теорему о достижении функцией f (х), непрерывной на замкнутом множестве F, своих граней методом от противного, заметив, что
вспомогательная функция <f(x) = ^—'/(х) ’ где '—веРхняя грань (нижняя грань) функции /(х) на указанном множестве, непрерывна на нем как отношение двух непрерывных функций при М—f(x)^:0 во всех точках множества F.
10.	Приведите примеры функций, непрерывных на незамкнутом множестве, но неравномерно непрерывных на нем. Покажите, что можно подобрать такое е0, что при любом 5 найдутся две точки указанного множества х' и х", такие, что | х' — х" | с 8, но модуль разности значений функции в этих точках не меньше е0.
11.	Покажите, что функция / (х) =— равномерно непрерывна на сег
менте [а, 1], где а>0; задав число е найдите для него такое 8, чтобы для любых двух точек х', х" сегмента [а, I], удовлетворяющих условию: | х’ — — х" | < 8, выполнялось неравенство |/(х')—/(x'')j<e. Выразите 8 как функцию е и а. Приведите другие примеры функций, равномерно непрерывных на множествах.
12.	Можно ли построить пример функции, равномерно непрерывной на некотором множестве, не являющемся замкнутым?
13.	Покажите для функции у = [х], что она непрерывна только с одной стороны (какой?) в каждой целочисленной точке.
*) Идеи многих из этих задач почерпнуты из книги Б. П. Демидовича «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». ГТТИ, 1954.
88
14.	Изобразите на чертеже несколько ординат функции Римана (см. стр. 78). Возьмите эти ординаты в таком количестве, чтобы понять характер функции, 113	15	7	9
например постройте ординаты в точках: х = -=-, -j-, —	-|S,
2 4	4	о о	о 10
И 13 15	1	3
16’ 16’ 16’ 16’ 16'
15.	Постройте графики функций:
/,(x)==sinx; /2(^)=Л, Л (°) = °; Л (*) = vsinV’ •Л.
/з(0)=0;/4(^)=4{|Т|+т}’ Л(0)=0,
исследуйте, где и какие разрывы они имеют.
16.	Приведите примеры монотонных и строго монотонных функций.
17.	Постройте графики функций V^_\f и V\f—f (х) для функции/(х)= = 1—• х2 на сегменте [ — 1, 1].
18.	Сделайте то же для функций: a) ft(x) — x2—1, б) /2 (х) = 1, если 2/z sgx < 2n-|-1,/2 (х) = О, если 2п—1г£х<2п на сегменте [0, 5].
19.	Докажите, что функция f (х), определенная на сегменте [ — 2, 2] ус-ловиями:	/(х) = 1, если -2^х<1,
Ог<Х С 1;
f(x) =—1, если —IsSxcO,
есть функция с ограниченным изменением на указанном сегменте. Найдите для этой функции / (х) две монотонные функции <р (х) и ф (х), такие, что f (х) = <Р (х) — ф (х) на [ — 2, 2).
[я я 1
---4"’ Т 
21.	Покажите, что функция Дирихле не обладает ограниченным изменением ни на каком сколь угодно малом сегменте.
22.	Исследуйте на непрерывность функцию /(х) =-j- при хубО,
1-Н*
/(х)=0 при х = 0, определенную на всей прямой. Постройте ее график. Покажите, что эта функция на ^егменте [ — а, а], где а > 0, имеет ограниченное изменение. Постройте графики монотонных функций, разностью которых она является.
23.	Постройте на сегменте [ — 1, 1] функцию, которая во всех точках сегмента имела бы разрывы второго рода и лишь в точке х = 0 оказалась бы непрерывной.
Указание. Воспользуйтесь функцией F (х) = / (х) • <р (х), где / (х) — некоторая функция, а <р (х) — функция Дирихле.
24.	Докажите, что если / (Р) непрерывна на «-мерном интервале /, то для любого открытого множества G cz I множество точек, в которых / (Р) £ G, открыто.
25.	Докажите, что существует непрерывная функция / (Р), определенная на открытом множестве G, такая, что множество значений / (Р), для которых х £ G, не является открытым множеством.
26.	Докажите, что производная функция/(х)— х2 sin — при хубО и
/(0) = 0 существует в точке х = 0 и равна нулю в этой точке.
27.	На какое множество В отображается множество А функциями
/ (х) = х3,/(х) = | х |3, у — arctg х,у = j———, если множество А есть интервал ( — 1, 1)?
89
28.	Найдите промежутки монотонности для каждой из следующих функций:/^) =х2, /(х) = 3x-|-sinx, > =
29.	Докажите теорему: если /(х) непрерывна в точке х0, а <р (х) разрывна в этой точке <£(хо)т^О, то функции /(х) ± <р (х),/ (х) • <р (х) разрывны в точке х0.
30.	Докажите, что если/(х) и <р (х) разрывны в точке х0, то алгебраическая сумма этих функций может быть как разрывной, так и непрерывной функцией в точке ха.
31.	Постройте пример всюду разрывной функции, квадрат которой был бы непрерывной функцией.
32.	Докажите теорему: функция/(х) непрерывна на (0, 1) тогда и только тогда, когда для любого k множества точек, в которых/(х) и в которых /(х)>й, являются множествами открытыми.
33.	Докажите теорему: функция f (х) непрерывна на [0, 1] тогда и только тогда, когда множества точек, в которых /(х)гсй и /(х)>й, являются замкнутыми.
34.	Докажите теорему: функция /(х) непрерывна на [а, Ь] тогда и только тогда, когда для любого t, принадлежащего множеству значений функции, множество значений аргумента, для которых f (х) = t, замкнуто и для любых таких двух различных t функция принимает все промежуточные значения.
35.	Сформулируйте определение разрывности функции f (Р) в точке Р пространства исходя из определений непрерывности функции в точке. Докажите эквивалентность полученных определений разрывности.
36.	Пусть для некоторых чисел е > 0 можно найти соответствующие числа 8 = 8 (е, х0) > 0, такие, что |/(Р)—/(Р0)|<е, когда р (Р, Ро) < 8. Можно ли утверждать, что f (Р) непрерывна в точке Ро, если числа е образуют бесконечное множество двоичных дробей: 0,1; 0,01; 0,001;...?
37.	Пусть для каждого достаточно малого 8 >0 существует е = е (8,Р0) > 0, такое, что если р (Р, Ро) < 8, то|/(Р)—/(Р0)|<е- Следует ли отсюда, что функция / (Р) непрерывна в точке Ро? Докажите правильность вашего ответа.
38.	Пусть для каждого е > 0 существует такое 8 = 8 (е, Ро) > 0, что из выполнения неравенства |/(Р)—/(Ро) | <с е следует выполнение неравенства р (Р, Ро) <8. Следует ли отсюда непрерывность функции f(P) в точке Ро и почему?
39.	Пусть для каждого 8 > 0 существует е — е (8, Ро) > 0, такое, что при выполнении неравенства [ f (Р)—f (Ро) | < е выполняется неравенство р (Р, Ро)<8. Следует ли отсюда, что функция / (Р) непрерывна в точке Ро и почему?
40.	Докажите, что абсолютная величина |/(Р) | непрерывной функции f(P) является функцией непрерывной. Справедлива ли обратная теорема?
41.	Докажите, что функция т (x) = inl/($) (a^S^x) непрерывна на [а, Ь] при условии, что/(х) непрерывна на том же сегменте.
42.	Покажите, что функция, непрерывная на открытом ограниченном множестве пространства Еп, может быть равномерно непрерывной на нем.
43.	Докажите теорему: если f(P) не является равномерно непрерывной на замкнутом ограниченном множестве F, то она не может быть непрерывной во всех точках этого множества.
44.	Докажите, что если функция/(х) определена и непрерывна на полусегменте [а, оо) и существует lim/(x), то она равномерно непрерывна на указанном полусегменте. *-’<»
45.	Докажите, что если функция/(х) определена на [а, £], имеет на нем ограниченное изменение и непрерывна в точке х0 £ [а, Ь], то и функция <f (х) = V*f также непрерывна в точке х0.
46.	Ограниченная функция /(х), определенная на [а, £], удовлетворяет условию Липшица, если существует такая постоянная L, что для любых двух точек х', х" £ [a, b] | f (х’)—f (х") | < Z. | х'—х" |. Докажите, что если функция/(х) удовлетворяет условию Липшица, то она имеет ограниченное изменение из [а, Ь].
90
47.	Постройте пример функции с ограниченным изменением на [a, J], которая не удовлетворяет условию Липшица на этом сегменте.
48.	Докажите теорему: для того чтобы функция fix) была функцией с ограниченным изменением на [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы существовала такая возрастающая функция <р (х), что при х' < х”
I/ (х") —f (х’) | <р (х") — <р (х’), где х', х" £ [а, Ь].
Глава IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ КРИВЫЕ
§ 1.	Понятие непрерывной кривой
Понятие непрерывной кривой на плоскости (в пространстве) является одним из понятий, интуитивно кажущихся простыми, но фактически очень сложно определяемых. В разные периоды развития математики крупнейшие представители этой области человеческих знаний по-разному определяли непрерывную кривую. Каждое новое определение исходило из потребностей практической деятельности человека и уровня математических знаний соответствующей эпохи.
Наиболее современными определениями, близко связанными с теорией множеств, являются следующие:
Определение (по Жордану). Плоская кривая есть множество точек плоскости, координаты которых определяются двумя уравнениями:
//=ф(0>
где и ф — две какие-нибудь непрерывные функции переменного t, определенные на сегменте [0, 1].
Избрание сегмента [0,1] не нарушает общности определения, так как соответствующей подстановкой t = где f — непрерывная, например линейная функция переменного't, всегда можно перейти от любого другого сегмента, на котором изменяется параметр т, к данному или наоборот *\
Определение (по Кантору). Кривой на плоскости называется всякое связное, компактное множество Р точек плоскости, не содержащее в себе никакой внутренней точки.
Определение (по Урысону)**’. Кривой называется одномерное связное и одновременно компактное множество.
Поясним термины, употребленные в определениях.
Плоское множество (множество точек пространства £2) называется связным, если при всяком разбиении его на два
*) См. стр. 11.
**) П. С. Урысон (1898—1924) — известный советский математик, работавший в области математического анализа, теории функций, один из создателей теоретико-множественной топологии.
91
подмножества по крайней мере в одном из них найдется предельная точка другого.
Непустое множество М называется компактным, если любое его бесконечное подмножество имеет предельную точку, принадлежащую М.
Связное, компактное множество Е называется одномерным, если для любого е и каждой его точки найдется окрестность этой точки диаметра, меньшего е, такая, что в пересечении с множеством Е граница этой окрестности не содержит никакого связного, компактного подмножества, состоящего более чем из одной точки.
Можно показать, что все кривые, встречаемые в элементарной и аналитической геометрии, соответствуют требованиям каждого из приведенных определений. Сделаем это на примере эллипса. Множество точек эллипса, лежащее в двухмерном евклидовом пространстве, на плоскости, является связным и компактным. Никакая точка эллипса относительно плоскости не будет внутренней, так как внутри любой окружности, описанной около любой из точек эллипса (окрестность в £3), обязательно окажутся не только точки, принадлежащие эллипсу, но и точки, не принадлежащие ему.
Отсюда следует выполнение условий определения Кантора. Эллипс отвечает и требованиям условия Жордана, так как уравнение эллипса, как известно, может быть записано параметрически:
x = asin 2~/, y = b cos 2л/,
где функции, стоящие в правых частях равенств, являются непрерывными функциями параметра /, изменяющегося на сегменте [О, 1]. Эллипс, наконец, отвечает и условиям Урысона, являясь множеством одномерным и связным.
Приведенный пример, однако, не дает нам права прийти к заключению, что всякая кривая в смысле определений Жордана, Кантора и Урысона является столь же простой, как эллипс или как другие кривые элементарной и аналитической геометрии.
В последующих параграфах этой главы мы сравним приведенные определения и убедимся в том, что определение Жордана обладает, с одной стороны, излишней широтой, а с другой стороны, некоторой недостаточностью, так как такая, например, кривая, как i/ = sin—, не охватывается определением Жордана. Более совершенным является определение кривой, сформулированное Кантором. Окончательное решение вопрос об определении кривой получил в работах советского математика П. С. Урысона, который ввел определение размерности множества, дал точное определение компактного, связного множества размерности 1 и тем самым до конца раскрыл сущность понятия как плоской, так и пространственной кривой. Его работы послужили исходным пунктом для определения размерности вообще.
92
§ 2.	Кривые Жордана
В математическом анализе и теории функций действительного переменного имеют большое применение кривые Жордана без кратных точек.
Определение. Пусть дана кривая Жордана: x = <f(t), у = ф (/). Тогда, если для любых двух различных значений I' и t” соответствующие им точки плоскости М' [?(/'), ф(/')] и M"[rf(f"), различны, кривая называется кривой Жордана без кратных точек или простой дугой.
Из определения видно, что всякая простая дуга сама себя не пересекает, или, как говорят, не имеет кратных точек. Каждая из точек простой дуги соответствует одному и только одному значению параметра. Примерами простых дуг могут служить части окружности, эллипса, параболы, гиперболы, синусоиды и других известных нам кривых. Но множество точек всего эллипса, всей окружности простой дугой не является, так как при двух различных значениях параметра (t=0 и /=1) в параметрическом уравнении эллипса мы получаем одну и ту же его точку. Класс кривых, являющихся простыми дугами, не широк, зато достаточно широким является класс кривых, составленных из простых дуг, не имеющих попарно никаких общих точек, кроме своих концов. К этому последнему классу принадлежат, в частности, все алгебраические кривые*1, а также все наиболее употребительные кривые, встречающиеся в приложении.
§ 3.	Кривые Пеано
В то время, когда появилось определение кривой, сформулированное Жорданом (вторая половина XIX в.), оно казалось вполне удовлетворительным. Все известные в то время алгебраические и трансцендентные кривые удовлетворяли требованиям этого определения. Интуитивно казалось, что эти требования определяют собой «тонкий штрих, вьющийся на плоскости»**1, т. е. кривую в обиходном понимании этого слова.
Но вскоре обнаружилась излишняя в этом смысле широта жор-дановского определения кривой. В 1890 г. итальянский математик Пеано построил пример кривой, удовлетворяющей определению Жордана и заполняющей собой все точки квадрата.
Приведем одно из таких построений.
Возьмем некоторый квадрат и сегмент [0, 1] (рис. 24). Разобьем квадрат на четыре четверти первого ранга, сегмент разобьем на четыре сегмента первого ранга. Пронумеруем четверти первого ранга так, как это показано на рисунке, пронумеруем сегменты первого ранга слева направо. Установим соответствие между
*) То есть кривые, определяемые уравнением вида f (х,у) = 0, где f (х,у)— целая рациональная функция относительно х и у.
**) См. [19], стр. 194.
93
четвертями и сегментами первого ранга, имеющими одинаковые номера. Каждую четверть первого ранга разобьем на четыре четверти второго ранга. Каждый сегмент первого ранга разобьем на четыре сегмента второго ранга. Четверти пронумеруем, как показано на рисунке (пунктирная ломаная), а сегменты слева направо в пределах каждого сегмента первого ранга. Четверти и сегменты второго ранга с одинаковыми номерами поставим во взаимно одно-
значное соответствие.
Продлим этот процесс неограниченно. Каждой точке сегмента [О, 1], являющейся пересечением стягивающейся последователь-
ности вложенных друг в друга
сегментов различных рангов, соответствует единственная общая точка стягивающейся последовательности соответствующих четвертей квадрата.
Нетрудно показать непрерывность полученного отображения множества точек сегмента на множество точек квадрата. Пусть t0— какая-нибудь точка сегмента [0, 1]. При любом п всякая точка t этого сегмента, достаточно близкая к точке /0, будет лежать с ней на одном и том же сегменте ранга п или на соседнем сегменте того же ранга. Но тогда и точки
квадрата, соответствующие значениям параметра и t, окажутся принадлежащими одной или соседним четвертям того же ранга; следовательно, если точку t взять достаточно близко к точке на сегменте [0, 1], то соответ-
ствующие им точки квадрата (х0, Уо) и (х, У) будут лежать как угодно близко друг к другу. Иными словами, для любого е найдется такое В, что при выполнении условия \t — 4 К8 будет выполняться неравенство У'(х — х0)'2 ~\~(У — УоУ <Се-
Две непрерывные функции x = <?(t) и у — ф (0, характеризующие установленное соответствие, и будут параметрическими уравнениями жордановой кривой, проходящей при возрастании t от О до 1 через все точки квадрата.
§ 4. Кривые Кантора и Урысона
Итак, класс жордановых кривых, с одной стороны, слишком широк, так как включает в себя кривые, проходящие через все точки квадрата, а с другой стороны, он слишком узок (см. стр. 92).
Более совершенным в этом смысле является определение кривой, сформулированное Кантором. Нетрудно убедиться, что все простые дуги и кривые, составленные из простых дуг, не имеющих по
94
парно общих точек, кроме своих концов, отвечают условиям определения Кантора, а кривые Пеано уже не являются кривыми по определению Кантора.
Самым совершенным определением кривой является определение Урысона; оно, так же как и определение Кантора, охватывает все простые дуги и кривые, составленные из простых дуг, не имеющих попарно общих точек, кроме своих концов. Кривые Пеано, так же как и по определению Кантора, не являются кривыми и в смысле Урысона.
Существуют доказательства *> того, что определения плоских кривых по Кантору и Урысону эквивалентны.
Мы такого доказательства приводить не будем.
Определение Урысона, кроме того, охватывает и пространственные кривые.
Не следует, однако, думать, что кривые, определенные по Кантору и Урысону, всегда являются по своему внешнему виду простыми. Существует немало интересных построений кривых, отвечающих этим определениям и отличающихся большой новизной по сравнению с кривыми, изученными в элементарной и аналитической геометрии.
Приведем интереса ради некоторые из таких примеров. Возьмем квадрат и удалим из него все внутренние точки счетного множества кругов, внешних друг для друга, разбросанных всюду плотно по площади квадрата так, что окружности их не касаются друг друга и сторон квадрата. Оставшееся множество точек квадрата является кривой Кантора.
Разделим квадрат на девять равных квадратов первого ранга. Удалим внутренние точки центрального квадрата первого ранга. С каждым из оставшихся квадратов первого ранга поступим, как с первоначальным. Продлим этот процесс неограниченно. Оставшееся множество точек исходного квадрата есть кривая Кантора, построенная Серпинским и носящая название ковра Серпинского**) (рис. 25).
Примером кривой Урысона в трехмерном пространстве может быть следующий:
Возьмем куб. Разделим его на 27 равных кубов первого ранга. Рассмотрим тело, состоящее из точек центрального куба первого ранга и точек
шести кубов первого ранга, примыкающих к нему по граням. Удалим все внутренние точки этого тела и граничные точки тела, лежащие на поверх-
*)	Подробное доказательство этого можно прочесть в статье А. С. Пархоменко «Что такое линия?» в журнале «Математика в школе», 1951, § 5, или в книге того же автора под тем же названием (М., 1954). Там же читатель найдет прекрасное изложение ряда вопросов, близких к вопросам в §3 — 4.
**	) В. К. С е р п и н с к и й (род. в 1882 г.) — польский математик, работающий в области теории функций действительного переменного.
95
ности куба. С каждым из оставшихся 20 кубов первого ранга поступим, как
с первоначальным, т. е. разделим каждый из них на 27 кубов второго ранга. Удалим из каждого внутренние точки тела, состоящего из центрального куба
второго ранга и всех прилегающих к нему по граням кубов второго ранга, а также граничные точки тела, лежащие на поверхности куба первого ранга. С каждым кубом второго ранга поступим, как с кубами первого ранга, и т. д. Будем продолжать этот процесс
неограниченно. Оставшееся после этого множество точек первоначального куба является кривой, удовлетворяющей условиям определения Урысона (рис. 26).
§ 5. Спрямляемые кривые
Пусть
г/=<р(7),
где ср (/) и ф(Z) — непрерывные функции параметра /, определенные на сегменте [а, Ь]. Когда t возрастает от а до Ь, точка с коор-
динатами (х, у) описывает дугу *) кривой АВ. Рассмотрим разбиение сегмента [а, Ь] точками деления
а = /0<6
(1)
Л-1	— Ь >
и пусть этим точкам деления соответствуют точки кривой
А, А1Г ..., An_lt В.
Соединив последовательно отрезками прямых точку А с точкой Alt точку Ai с точкой А-2, ..., точку Лп_1 с точкой В, построим ломаную, которую будем называть ломаной, вписанной в дугу АВ. Обозначим через а длину наибольшего из элементарных сегментов [Л-1, Л1 разбиения (1) и через Р длину вписанной ломаной. Если а будет стремиться к нулю, то к нулю будет стремиться длина каждого из звеньев вписанной ломаной благодаря непрерывности функций (Z), ф(/).
Определение (первое). Длиной дуги АВ кривой называется предел длины ломаной Р при стремлении а к нулю, если этот предел существует и не зависит от вида разбиения (1).
*) Дальнейшим рассуждениям не помешало бы предположение о замкнутости дуги АВ или существовании на ней кратных точек.
96
Наряду с этим определением, напоминающим нам определения школьного курса *), дадим второе определение.
Определение (второе). Длиной дуги АВ кривой называется верхняя грань множества значений Р для всевозможных ломаных, вписанных в дугу.
Как мы сейчас увидим, первое и второе определения эквивалентны. Для этого докажем следующую теорему, имеющую и самостоятельный интерес.
Отметим предварительно, что дуга, обладающая длиной, называется спрямляемой.
Теорема 1.4. Для спрямляемости дуги необходима и достаточна ограниченность множества значений Р. При этом supP = lim Р.
а —> О
Доказательство. Докажем вначале необходимость. Пусть limP = S независимо от вида разбиения (1). Не может существо-а —* О
вать ни одной ломаной, вписанной в дугу АВ, периметр которой Р, был бы больше S. В самом деле, если бы такая ломаная существовала, то, присоединяя к точкам соответствующего ей разбиения новые точки, мы получали бы новые ломаные с еще большими (или во всяком случае не меньшими) периметрами, чем Р **), следовательно, периметр Р при стремлении а к нулю не мог бы стремиться к S.
Итак, с одной стороны, любое значение Р удовлетворяет неравенству P^P- S. Так что множество значений Р ограничено: С другой стороны, из того, что lim P = S, следует, что для любого г а—>0
найдется такая ломаная, что Р^>8— е. Отсюда и следует: sup Р = lim Р.
а —>0
Достаточность. Пусть S = sup Р. Из определения верхней грани следует, что для любого е найдется такое разбиение
а = Р ti О tm = b,	(2)
что периметр Р' этого разбиения будет удовлетворять неравенству
Д>5-4-.
Рассмотрим теперь любое новое разбиение
a ==/0</i<...</n_i </„==&
(1)
с максимальной длиной элементарного сегмента а, которое мы
*) Например, определение длины окружности как предела периметра вписанного правильного многоугольника при бесконечном удвоении числа его сторон.	______
**) Одно звено ломаной А^А; при присоединении новой точки А* дуги АВ заменяется суммой двух звеньев Д^Д* + А*А,. Из треугольника Д^Д’Д получаем: Д^Д, Д/_1Д*-|-Д*Д/.
97
подчиним лишь одному условию, чтобы из \f — t’\<Za вытекало выполнение неравенства
/[? (О(/")г2 + 1ИО-Ф (ОТ1 < 4^г-гу •	(**)
Такой выбор а благодаря равномерной непрерывности функций (Z) и ф(/) на [а, Ь] всегда возможен. Пусть периметр ломаной, соответствующей разбиению (1), будет Р.
Мы докажем, что |S — Р\<^£, чем и будет доказано, что lim P = S. а—>0
Для доказательства построим разбиение (3), составленное как из точек /о, t'i, так и из точек /0, h, ..., tn одновременно. Пусть Р" есть длина ломаной, соответствующей разбиению (3), и пусть а" —длина наибольшего из элементарных сегментов этого разбиения. Р" не может быть меньше Р', так как разбиение (3) получено из разбиения (2) присоединением к нему точек разбие-
ния (1). Следовательно, P’^>S—
Найдем оценку неотрицательной разности Р"— Р.
Ломаная с длиной Р" может быть получена из ломаной с длиной Р присоединением к ней новых вершин разбиения (2). Присоединено будет таких вершин не более m—1. Присоединение каждой вершины заменяет длину одного звена ломаной суммой двух новых звеньев, а длина каждого из них не превышает
-т-----Гч, так как a" sg
4 (т — 1) ’
няется. Следовательно,
а и условие (**) для
разбиения (3) выпол-

Из неравенств
Р’ — Р
е
Т’
P">S-y, получаем: |S — P| = S — Р<е, откуда и следует: lim P = S. а—>0
Следствие. Верхняя грань множества значений Р и предел Р при а->0 существуют только одновременно, и при этом всегда выполняется равенство sup Р = lim Р, а—>0
Теорема 2.4 (Жордан а) *). Для того чтобы дуга кривой
«/ = ф(0>
*) Предыдущая теорема, не носящая такого названия, также принадлежит
Жордану.
98
где функции ср (/) и ф (I) определены и непрерывны на сегменте [а, &], была спрямляемой, необходимо и достаточно, чтобы функции ср (t) и ф (7) были функциями с ограниченным изменением на сегменте [а, &].
Доказательство. Необходимость. Воспользуемся обозначениями предыдущей теоремы. Из равенства
п
р=£ V[?(6)-?(А-ОГ + [ф&•) -ф-1)]3
1 = 1
вытекает, что п
i = l
п
Р^-% |Ф(/.)-Ф(М1-
i= 1
Следовательно, если множество значений Р ограничено, то ограничены суммы, стоящие в правых частях последних неравенств, т. е. ограничены изменения функций ср (/) и ф(£).
Достаточность. Если "функции ср (/) и ф(/) имеют ограниченное изменение на сегменте [a, Д], то из неравенства *)
п _________________________________
1
п	п
S I ? (^) - ? (^-1) I + S I ф ('<•) - ф (^_1) I 1 = 1	»=1
следует ограниченность множества значений Р, что по предыдущей теореме и обеспечивает спрямляемость дуги.
Замечание. В курсе математического анализа длина дуги определялась в предположении существования и непрерывности производных <;>'(t) и ф' (Р). Нетрудно видеть, что такие условия являются частным видом рассмотренных.
Примерами спрямляемых кривых являются графики всех непрерывных монотонных функций и непрерывных функций с конечным числом экстремумов на данном отрезке.
Пример неспрямляемой кривой: f/ = xsin~.
Упражнения к главе IV
1.	Докажите спрямляемость кривой, являющейся графиком непрерывной монотонной функции.
2.	Докажите, что график непрерывной на сегменте функции с конечным числом экстремумов на нем является спрямляемой кривой.
*) Мы пользуемся здесь очевидным неравенством
99
3.	Докажите спрямляемость кривой у = х2 sin — при хг^О и у> = 0 при х = 0 на сегменте [0, 1].
4.	Докажите неспрямляемость кривой y = xsin — при хг^О иу = 0 при х = 0 на сегменте [0, 1].
5,	Докажите, что длина дуги спрямляемой кривой х = (Т) у — ф (t) есть непрерывная функция t.
6.	Докажите, что если функции <р (Т) и ф (<) имеют интегрируемые производные на сегменте, то дуга кривой х = <р (t), у — ф (t) на этом сегменте спрямляема.
7.	Докажите, что если /' (х) интегрируема на сегменте, то дута кривой j!=/(x) на этом сегменте спрямляема.
8.	Обобщите доказательство теоремы Жордана па случай пространственной кривой, дуга которой задана уравнениями;
х = х (t),
У=У(!),
z = z (t),
где функции х (t), у (t), z(t) непрерывны и t изменяется на сегменте [0, 1].
9,	Опишите процесс построения кривой Пеано при разбиении исходного и всех последующих квадратов на 9 частей.
Глава V. МЕРА
§ 1. Мера Жордана*) для линейных множеств
До сих пор мы изучали точечные множества со стороны их структуры, нигде не давая количественной характеристики той части пространства, которую то или иное множество занимает. Нами не рассматривались никакие обобщения понятия длины, площади, объема на случай любого точечного множества, лежащего на прямой, на плоскости, в пространстве. В этой главе мы займемся изучением некоторых из этих вопросов.
Пусть на прямой дано некоторое ограниченное точечное множество Е. Пусть имеется некоторая единица длины — принятый масштаб. Возникает вопрос: что понимать под длиной той части прямой, которая занята множеством? Например: как измерить длину части сегмента [0, 1], занятую точками канторова множества или множеством рациональных точек сегмента, что называть длиной такого множества, можно ли в этом случае говорить о длине?
*) После открытия Лебегом нового понятия меры (см. § 3, стр. 110) теория меры Жордана утратила свою значимость в математических исследованиях, но педагогическое значение этой теории всегда останется большим, ибо она подготавливает к восприятию более сложной теории меры Лебега и доступна в основном для изучения даже, например, на кружковых занятиях старших классов средней школы. Изложение теории меры Жордана в связи с изложением теории интеграла читатель может найти в книгах [17J, стр. 38, и [4], стр. 265.
100
Условимся о следующем. Построим сегмент [а, Ь\, включающий в себя данное ограниченное множество Е. Такой сегмент для ограниченного множества всегда существует.
Числа а и b выберем при этом так, чтобы они были целыми, что также всегда возможно. Будем считать длину любого сегмента {а, Ь\, так же как и длину интервала (а, Ь), равной числу b — а. Обозначим разность b — a = k, где k — целое число. Разделим 1а, Ь] на k равных частей, назвав каждую из них сегментом первого ранга. Подсчитаем, сколько сегментов первого ранга сплошь заполнены точками множества Е и сколько сегментов первого ранга включают в себя хотя бы по одной точке множества Е (на рисунке 27 точки множества Е изображены выступающими на прямой. Число k на рисунке 27 равно 4). Сегментов первого ранга, сплошь заполненных точками множества Е, не имеется. Сегментов первого ранга, включающих в себя точки множества
Рис. 27
Е, на рисунке имеется 4. Подсчитаем в принятом масштабе общую длину сегментов первого ранга, сплошь заполненных точками множества Е. Такие сегменты условимся впредь называть заполненными. Обозначим эту общую длину заполненных сегментов первого ранга через Подсчитаем также общую длину сегментов первого ранга, включающих в себя хотя бы по одной точке множества. Такие сегменты условимся называть включающими. Обозначим общую длину включающих сегментов первого ранга через Lj. Заметим, что в число включающих сегментов первого ранга необходимо войдут и заполненные сегменты. На рисунке 27 /, = 0, L, = 4.
Разделим каждый сегмент первого ранга на s равных частей, называя каждую такую часть сегментом второго ранга (на рисунке 27 s = 2), и вновь подсчитаем общую длину L3 заполненных сегментов второго ранга и общую длину /2 включающих сегментов второго ранга (на рисунке 27 Z2 = y, L2 = 3). Каждый сегмент второго ранга вновь разделим на s равных частей, называя каждую часть сегментом третьего ранга. Подсчитаем общую длину 13 заполненных сегментов третьего ранга и общую длину L3 включающих сегментов третьего ранга. Будем продолжать этот процесс деления сегментов каждого следующего ранга на s равных частей с подсчетом каждый раз общей длины заполненных сегментов и общей длины включающих сегментов соответствующего ранга неограниченно. В результате получится две последовательности неотрицательных чисел:	.	.	.
Li, L-2, L3, ..Lni ..
(1>	(з> • • •> (л.
101
Первая из них называется верхней последовательностью Жордана, вторая — нижней последовательностью Жордана. Нетрудно видеть, что верхняя последовательность Жордана монотонна и может только убывать, а нижняя монотонна и может только возрастать. Верхняя последовательность Жордана при этом ограничена снизу любым числом, входящим в нижнюю последовательность, а нижняя последовательность Жордана ограничена сверху любым числом, входящим в верхнюю последовательность. Это значит, что каждая из указанных последовательностей имеет предел. Пределы эти могут совпадать, могут и не совпадать. Очевидно, что верхняя и нижняя последовательности Жордана имеют общий предел тогда и только тогда, когда последовательность \Еп — 1п\, являющаяся их разностью, сходится к нулю.
Определение. Предел верхней последовательности Жордана, составленной для множества Е, называется внешней мерой множества Е по Жордану и обозначается тез*Е, предел нижней последовательности — внутренней мерой Е по Жордану и обозначается mesS;E. Если внутренняя*) и внешняя меры по Жордану множества Е совпадают, то множество Е называется измеримым по Жордану и общее значение его внутренней и внешней мер по Жордану mes£' = mes* E = mes.k Е называется мерой множества Е по Жордану.
Разность mes* Е~ mes* E = lim (Ln — 1п), где Ln и ln — члены п ► co
верхней и нижней последовательностей по Жордану, имеет определенный смысл, заключающийся в следующем.
Рассмотрим замыкание разности множества включающих сегментов ранга п и множества заполненных сегментов того же ранга Gn—Fn. Это множество состоит из сегментов, содержащих в себе все граничные точки множества Е.
Суммарная длина промежутков, составляющих множество Gn — Fn, равна числу Еп — 1п для ранга п. При п->оо величина Еп — 1п стремится к пределу, который является внешней мерой множества всех граничных точек множества Е. Нетрудно видеть,.что множество Е измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда этот предел равен нулю, т. е. когда внешняя мера множества всех граничных точек этого множества равна нулю.
Из определения жордановой меры следует, что она всегда не отрицательна и что жордановой мерой сегмента (интервала) является его длина.
Приведем примеры вычисления жордановой меры множеств.
Вычислим жорданову меру канторова совершенного множества. Возьмем сегмент [0, 1] и лежащее на нем канторово совершенное множество.
Сегментом первого ранга будем считать сегмент [0, 1]. Заполненных сегментов первого ранга не окажется. Включающим сегментом первого ранга окажется сегмент [0, 1]. Таким образом, l1 = Q, /•!=].
*) Ниже (см. стр. 108) будет доказано, что внутренняя, внешняя меры и мера множества не зависят от положения множества Е на начальном сегменте и от способа разбиения этого сегмента на части.
102
п—
2	4
— 0, Z-2 — -у ,	Z-3 — -у,
Разделим сегмент первого ранга на три равные части и назовем каждую из них сегментом второго ранга (s в нашем случае принято равным 3). Заполненных сегментов второго ранга вновь не окажется, включающими сегментами второго ранга окажутся сегменты jo, -уj, |~, Следовательно, 2
/г = 0, Ьг = -^-. Разделим каждый сегмент второго ранга на три части, устано-О
вим, что заполненных сегментов третьего ранга тоже не окажется (множество Ро всюду разрывно); значит, /3 = 0, а общей длиной включающих сег-
Гп 11 Г2 11 Г2 71 Г8 11 х	1
ментов третьего ранга 0, -у , -у, -у , -у, -у , -у, I будет число -у. Продолжая этот продесс неограниченно, построим верхнюю и нижнюю последовательности Жордана:
2
3
/t “0, /2 = о, /3 = о, ..., /п = 0.
Обе они монотонны: первая, уменьшаясь, приближается к нулю, вторая постоянна, состоит из повторяющегося числа 0. Общий предел этих последовательностей— число 0 — и следует считать жордановой мерой канторова совершенного множества. Таким образом, mesPo=O.
Для вычисления жордановой меры множества рациональных точек сегмента ,] будем поступать так же, как и в предыдущем случае. При этом мы убедимся, что заполненных сегментов какого бы то ни было ранга для множества рациональных точек сегмента не окажется, т. е. нижняя последовательность Жордана будет состоять из нулей.
Включающими интервалами любого ранга окажутся все интервалы этого ранга с общей длиной их, равной 1. Таким образом, для этого случая
Z.J = 1, £3 = 1, Л3=1, .... £„ = 1,
7,	=0, Z3 = 0, 7.3 = 0, ..., /„ = 0, ... .
Верхняя и нижняя последовательности Жордана не имеют общего предела. Множество рациональных точек сегмента неизмеримо по Жордану.
Множество иррациональных точек сегмента неизмеримо по Жордану, рассуждения те же, что и в предыдущем примере.
Замечание. Из определения внешней меры Жордана и приведенных примеров следует, что внешняя мера Жордана множества Е есть нижняя грань множества значений суммарной длины конечной системы сегментов, включающей данное множество Е (включающее сегменты). Если внутреннюю меру Е определить как разность
mes* Е — длина S — mes* [S — Е ],
где S — сегмент, включающий в себя данное множество Е, что по существу совпадает с прежним определением, то тогда внутренняя мера Жордана mes,, Е окажется верхней гранью множества значений суммарной длины конечной системы неперекрывающихся сегментов, включенных в данное множество.
Это замечание позволит нам в § 3 заметить, с одной стороны, некоторое сходство, а с другой — принципиальную разницу между определениями меры множества по Жордану и по Лебегу.
Перейдем к изучению основных свойств множеств, измеримых по Жордану.
Теорема 1.5. Пусть даны измеримые по Жордану множества Еи Ei, тогда mes Ei mes Ej, если £\С fa-
103
Доказательство. Пусть £2 czz £ .2. Разобьем сегмент, включающий в себя точки множества £.2, на сегменты и построим последовательности Жордана для £2:
^11,	^-13.  • •,	 • •
и для £>:
^-21 >	^-23..Д>л> • • •>
так как E^^Ei, то интервалы ранга п, содержащие в себе хоть одну точку множества £ь будут содержать в себе точки множества £2, но могут быть включающие сегменты ранга п, содержащие в себе точки множества £2, но не содержащие в себе точек множества £ь
Следовательно, длина всех включающих сегментов ранга п для множества £2, которую мы обозначим Lin, окажется не меньше длины всех включающих сегментов того же ранга Lin, содержащих в себе точки множества £у
Ein =5 Lin.
Отсюда lim lim Lin, или mes* £25smes* Elt а так как мно-л->со	Л—*00
жества Et и £2 измеримы, то mes* £2 = mes£2 и mes* £1 = mes £b откуда mes £2 5s mes £i.
Теорема 2.5. Пусть даны множества Eit Еъ тогда каждая граничная точка любого из множеств Ei £.,, £j >> £2, £t • £2 является граничной точкой по крайней мере одного из множеств Ei и Е.г.
Доказательство. Действительно, если точка х не является граничной точкой ни одного из данных множеств, то возможен один из следующих трех случаев:
1)	х — внутренняя точка множества £] и одновременно внутренняя точка множества £2;
2)	х — внешняя точка для каждого из этих множеств;
3)	внутренняя точка для одного из данных множеств и внешняя для другого.
Легко убедиться, что во всех этих случаях точка х не может быть граничной ни для одного из указанных выше множеств.
В самом деле, в случае 1) существует окрестность Ui(x, е) точки х, которая целиком принадлежит как множеству £ь так и множеству £.2, а значит, целиком принадлежит каждому из множеств £i (J £2, £j Q Еч и не принадлежит множеству £j\£2, т. е. точка х в этом случае является внутренней точкой для множеств £i (J £2, £j Q £2 и внешней для множества £j\£2.
В случае 2) существует окрестность (Л (х. е), состоящая из точек, не принадлежащих ни множеству £ь ни множеству £2. Следовательно, окрестность £.2(х, е) не содержит в себе точек множеств £i (J £2, £ Q £2, £2 \ £2, т. е. точка х в этом случае является внешней для этих множеств.
104
В случае 3) положим для определенности, что х — внутренняя точка множества Et и внешняя точка множества £.2. Тогда существует окрестность £3(х, е), целиком принадлежащая множеству Е} и не содержащая в себе ни одной точки множества £2. Следовательно, окрестность U3(x, в) целиком состоит из точек множеств £1 (J £.2, £j \ Ег и не содержит в себе точек множества Ех • Ег, т. е. точка х в этом случае внутренняя для каждого из множеств £i(J£2, £i\£j и внешняя для множества £iQ£2.
При предположении, что х — внутренняя точка для множества £., и внешняя для множества Et, аналогичные рассуждения приводят к заключению, что х — внутренняя точка для множества £10£2 и внешняя для каждого из множеств Ех \ £2, Ех(\Ег.
Следовательно, каждая граничная точка любого из множеств £i(J£2, £i\£2, £iQ£<j является граничной точкой по крайней мере одного из множеств £2 и £>.
Теорема легко распространяется на сумму £1(Д£2/Д. .-(~}Еп и пересечение Е1(~}Ег(~}.. .(~\Еп конечного числа множеств.
Теорема 3.5. Если множества Elt Еа_ измеримы по Жордану, то и каждое из множеств £iQ£2, ЕХ\Е^, Е\)Е% измеримо.
Доказательство. Так как множества Е1 и £а измеримы по Жордану, то при достаточно большом п сумма длин сегментов, включающих в себя граничные точки каждого из этих множеств, меньше у, а сумма длин сегментов, включающих в себя граничные точки £i и £а, меньше е.
Множество сегментов, включающих в себя граничные точки каждого из множеств Е\\^Ег, Е1\Е3, Et\JEit на основании предыдущей теоремы состоит только из сегментов, включающих в себя граничные точки множеств £j и £2; следовательно, суммарная длина этих сегментов не превышает е, . что и доказывает теорему.
Теорема 4.5. Если множества Ех и £а измеримы по Жордану и не имеют общих внутренних точек, то mes (EdJE.,) = = mes £j mes £a.
Доказательство. Пусть £j и E.2 — данные измеримые множества, и £ = £j-(-£2— их сумма. Множество £ измеримо на основании предыдущей теоремы. Пусть 1п, Гп, Гп представляют собой соответствующие суммы длин заполненных сегментов п ранга и Ln, L'nt L"n — суммы длин включающих сегментов того же ранга соответственно для множеств £, £1; £2. Так как множества £j и £2 являются частями множества и в сумме равны £, то сумма может отличаться от 1п, самое большее, на сумму длин тех сегментов, которые включают в себя точки границ множеств £i и £2. Но эга сумма произвольно мала, если п достаточно велико, так как £] и £.2 измеримы. Отсюда
lim [/„- (/;-<-/’)] = 0.	(1)
«-♦со
105
Множества Е, Ех и £2 измеримы, следовательно,
lim L'n — lim /n = mes£i, /1-+СО	Д-+ОЭ
lim T^ = lim/^ = mes£2, П^СО	П—+СО
lim Ln = lim ln = mes E.
Отсюда, складывая последние равенства и учитывая (1), получаем: lim ln = lim Ln — mes Е\ -ф- mes £а, п—>со	П-+СО
что и доказывает справедливость равенства
mes Е = mes Ех -ф- mes £2.
Очевидными следствиями теоремы 4.5 являются:
Следствие 1. Если множество Е состоит из конечного числа измеримых по Жордану частей, не имеющих попарно общих внутренних точек, то мера множества Е равна сумме мер его частей (свойство аддиГивности меры Жордана).
Следствие 2. Если Е{ и Е^ измеримы и если Е\(^ЕЪ то mes (£2 — Et) = mes £2 — mes £v
В самом деле, пусть £ = £2 — £ъ тогда £ на основании гео-ремы 3 измеримо и £2==£(J£i, где £ и £ не имеют общих внутренних точек. Отсюда
mes £2 = mes £ -ф- mes £ь или	„	„	„
mes £ = mes £2 — mes £ь
Из измеримости по Жордану суммы множеств не следует измеримость слагаемых. Так, множество / иррациональных точек сегмента [0, 1] и множество R рациональных точек того же сегмента неизмеримы, а их сумма — сегмент [0, 1] — измерима. Измеримость суммы непересекающихся измеримых слагаемых не распространяется на счетное число их, или, как принято говорить, свойством полной аддитивности мера Жордана не обладает.
Так, например, множество, состоящее из одной точки, измеримо по Жордану и мера его нуль, но множество рациональных точек сегмента, состоящее из счетного числа точек, неизмеримо.
§ 2. Мера Жордана для множества Еп. Квадрируемые и кубируемые множества
Все теоремы и определения предыдущего параграфа легко обобщаются на множества двух и трех измерений. Так, пусть на плоскости (в трехмерном пространстве) дано некоторое ограниченное множество £. Заключим данное множество в прямоугольник со сторонами, имеющими целочисленную длину (в параллелепипед с ребрами, имеющими целочисленную длину). Разобьем пря
106
моугольник на единичные квадраты (разобьем параллелепипед на единичные кубы) и назовем их сегментами первого ранга.
Подсчитаем, сколько сегментов первого ранга включают в себя точки данного множества Е и сколько сегментов первого ранга сплошь заполнены точками множества Е.
Назовем первые из них включающими сегментами, вторые —заполненными сегментами первого ранга. Подсчитаем общую площадь (объем) включающих сегментов первого ранга и общую площадь(объем)заполненных сегментов первого ранга mlt считая площадь (объем) каждого за единицу. Разделим каждый сегмент первого ранга на s'2 (на s;l) равных частей. Продолжая буквально все рассуждения § 1, имея в виду сегменты двух (трех) измерений'и подсчитывая для каждого ранга их площадь (объем) вместо указанной в § 1 длины, составим последовательности чисел:
Mi, Мг,..., Мп, rrti, тг,, тп......
Первая из этих последовательностей по-прежнему называется верхней последовательностью Жордана, вторая — нижней (отметим их монотонность и ограниченность). Определения внешней меры, внутренней меры и меры Жордана, приведенные на странице 102, буквально применимы к ограниченному множеству точек плоскости и трехмерного пространства. Тогда к множествам плоскости и трехмерного пространства окажутся применимыми как формулировки, так и теоремы 1.5; 2.5; 3.5; 4.5. Измеримые по Жордану множества точек плоскости называются иначе квадрируемыми, а измеримые множества точек трехмерного пространства — кубируемыми.
Приведем примеры вычисления жордановой меры двухмерных и трехмерных множеств, аналогичные прежним.
Вычислим жорданову меру ковра Серпинского (см. пример на стр. 95). Рассмотрим единичный квадрат с лежащим на нем ковром Серпинского. Назовем единичный квадрат включающим сегментом первого ранга. Его площадь М— 1. Заполненных сегментов первого ранга при этом не окажется: т = 0. Разделим сегмент первого ранга на девять равных частей (s = 3;, назвав их соответственно сегментами второго ранга. Включающих сегментов второго ранга окажется 8, а заполненных сегментов второго ранга 0. Продолжая процесс далее, построим последовательности Жордана:
..	,	..	8	„	64	..	,	1.8	8П-2
Л1!	1,	М2	g	, М3 —	Мп	1	g да	• • •	дп-1 > ' •  ’
/и1 = 0,	/«2 = 0, т3 — 0,..., тп = 0,....
Отсюда становится ясным, что жорданова мера множества точек ковра Серпинского равна нулю.
Множество рациональных и множество иррациональных точек квадрата не измеримы по Жордану. Рассуждения такие же, как в предыдущих примерах на странице 103.
Множество рациональных точек и множество иррациональных точек куба неизмеримы по Жордану.
107
Нами уже отмечено, что все определения и теоремы этого § 1 относятся в одинаковой степени к множествам точек, лежащих на прямой, на плоскости и в трехмерном пространстве. Можно сказать более. Если воспользоваться определениями n-мерных интервалов и сегмента (см. определения на стр. 34), то те же теоремы и определения окажутся автоматически распространенными на множества n-мерного евклидова пространства.
Мера измеримого множества Е, состоящего из точек пространства Еп, не зависит от выбора системы координат и числа sn равных частей, на которые разбивается сегмент при образовании сегмента более высокого ранга. Докажем это утверждение.
Теор ема 5.5. Мера ограниченного измеримого множества Е, состоящего из точек К-мерного пространства Eh, не зависит от расположения системы координат и числа sk равных частей, на которые разбивается сегмент при образовании сегмента следующего ранга.
Доказательство. Возьмем некоторый ^-мерный сегмент с целочисленными измерениями, включающий в себя данное множество Е. Разобьем его на единичные /г-мерные кубы — сегменты первого ранга. Разбивая каждый сегмент на s* равных частей, образуем последовательно сегменты второго, третьего и т. д. рангов до ранга п с диаметром d, не превышающим числа ek. Отметим среди последних те, которые имеют в себе хоть одну точку множества, и обозначим их суммарную меру Ln. Отметим также среди сегментов ранга п те, которые целиком принадлежат множеству Е, и обозначим их суммарную меру 1п. Обозначим множество всех Д-мерных сегментов ранга п, которые включают в себя точки границы множества Е, через Rn. Очевидно, тезД„ = = Ln — 1п. Присоединим к сегментам Rn все прилегающие к ним сегменты ранга п, т. е. все сегменты ранга п, имеющие с сегментами множества Rn хоть одну общую граничную точку. Обозначим полученное множество Д-мерных сегментов ранга п, включающих в себя точки границы множества Е, с присоединенными к ним прилегающими сегментами того же ранга п через Sn. К каждому сегменту ранга п прилегает не более 3'' — 1 сегментов. Число 3й — 1 зависит только от размерности пространства К. Сегменты, прилегающие к различным сегментам Rn, могут совпадать, поэтому mes Sn -С 3* • mes Rn.
Всякая точка, находящаяся от границы множества Е на расстоянии меньшем, чем половина диаметра *) сегмента ранга принятого разбиения, будет принадлежать Sn.
Теперь изменим расположение системы координат и вместо числа s возьмем число Sj (Si s). Возьмем Д-мерный сегмент, включающий в себя множество Е в новой системе координат.
*) Диаметром сегмента или любого множества называется верхняя грань расстояний между любыми двумя его точками.
108
Образуем последовательность разбиения на сегменты первого ранга, второго ранга и т. д., /n-го ранга, выбрав т таким большим, чтобы в соответствующем этому построению множестве Rm а
оказались все точки на расстоянии меньшем, чему, от границы множества Е. Это всегда возможно сделать. Тогда Rmc^Sn, mes/?m^mesSn^3ftmes/?n и ln -о Lm -о Ln mes Sn. Так как такое соотношение при достаточно большой величине т справедливо для всякого положения /(-мерного сегмента во втором случае и для любого d и так как множество Е измеримо, а значит, и mes Rn — Ln — 1п может быть сделана меньшей любого сколь угодно малого числа, то из предыдущей системы неравенств получим при переходе к пределу
lim ln — 1 im Ln = lim lm = lim Lm = mes E.
n—*<X>	n—>00	л—»co	n->00
Особенно просто выглядит теорема для случая линейного множества, где Rn и Rm составлены из линейных сегментов.
Теорема 6.5. Область *), состоящая из точек плоскости, измерима по Жордану, если ее граница составлена из конечного числа кусков, каждый из которых представляет собой кривую, определяемую одним из уравнений вида:
y = f(x), as^x^b или
x=(f>(y), c^y^d,
где функции f(x) и <р(у) непрерывны соответственно на сегментах [а, &] и [с, d].
Доказательство. Рассмотрим часть границы данной области, определяемую первым из уравнений. Благодаря равномерной непрерывности функции f(x) на сегменте [а, Ь] (см. теорему на стр. 78) сегмент [а, Ь\ возможно разбить на части точками деления a — х0<^Х], <^..-<^хп = Ь так, чтобы колебание «>г функции /(х) на каждой из этих частей [xh xi+i] было меньше:
<b— а‘
Произведя такое разбиение и построив прямоугольники с вершинами в точках
(X/, /пг), (Xi+l> mib (*<+!» (ХЬ Mi)> г' = °, Ь 2,..., П — 1,
где mt, М, — соответственно нижняя и верхняя грани функции /(х) на сегменте [хг, xt-+1J, мы заключим весь рассматриваемый
*) Связное множество, состоящее только из внутренних точек, называется областью. Область с присоединенной к ней ее границей называется замкнутой областью (определение связности множества см. на стр. 91).
109
кусок границы данной области внутрь этих прямоугольников с общей площадью
л—1	п—1	л—1
(Mi — mi) (xt+i Xi) =	и>;Д,х(-	__a Дх, — e,
i=0	i=0	(=0
что и доказывает квадрируемость данной области.
Теорема 7.5. Область, состоящая из точек трехмерного пространства, измерима по Жордану, если ограничивающая ее замкнутая поверхность составлена из конечного числа кусков, каждый из которых представляет собой поверхность, определяемую одним из уравнений вида:
z = f(x, у), У = <?(х, г), х = $(у, г),
где функции f (х, у), <р (х, г), ф (у, г) непрерывны соответственно в некоторых замкнутых ограниченных областях Glt G3.
Доказательство. Рассмотрим часть ограничивающей поверхности, определяемую первым из уравнений. Благодаря равномерной непрерывности функции f (х, у) в замкнутой ограниченной области Gj, лежащей в плоскости хОу, возможно разбить эту область на п частей Gh, G12,..., Gln так, что колебание функции на каждой из этих чащей Gu окажется менее
wj<— " mes Gi
Произведя такое разбиение и построив ступенчатые поверхности z = mh z = Mi, Где и m; — соответственно верхняя и нижняя грани функции f(x, у) на Gu, мы заключим весь рассматриваемый кусок поверхности внутрь части пространства, лежащей между ступенчатыми поверхностями, с общим объемом
У, (Mi — mi) mes Gu = 2 го,- mes GH • S mes Gn = e> i=i	< = i	1 i = i
что и означает кубируемость или измеримость по Жордану данной области.
§ 3. Мера Лебега для линейных множеств
Подойдем теперь к определению меры ограниченного множества Е, составленного из точек прямой, с иной точки зрения. Мерой сегмента [а, &] и интервала (а, Ь) будем по-прежнему считать одно и то же число b — а, равное длине каждого из них в принятом масштабе. Мерой суммы непересекающихся интервалов будем считать сумму их длин. Условимся рассматривать только ограниченные множества и, кроме того, условимся считать, что
НО
все множества, о которых будет идти речь в § 3 — 4, лежат на сегменте S = [0, 1]. Последнее условие не нарушит общности наших рассуждений. Обозначая какое-нибудь множество, например, через ХЕ, мы через СЕ будем обозначать множество, дополнительное к Е относительно S, т. е. через СЕ будем обозначать*) множество, составленное из точек S, не принадлежащих Е.
Рассмотрим множество Е. Его точки можно различными способами заключить в конечную или счетную систему интервалов
аь а2, .... ап...
т. е. построить такую систему интервалов, чтобы каждая точка Е принадлежала хотя бы одному из интервалов системы. Сумму длин интервалов аь а2, ..., а„, ... обозначим через £а. Очевидно, что £а для любой системы интервалов, покрывающих Е, есть величина положительная: Уа^>0. Следовательно, бесконечное числовое множество значений £а для данного множества Е, соответствующих различным системам интервалов, ограничено снизу и потому имеет нижнюю грань infect. Эта нижняя грань, зависящая только от множества Е, называется внешней мерой множества Е и обозначается т*Е.
Из определения внешней меры следует, что, каково бы ни было положительное число е, всегда можно найти такую систему интервалов alt а.2...ал, ..., .включающих в себя все точки
множества Е, что
т '*Е^ Va<^m*E 4-е.	(1)
Внутренней мерой т*Е множества Е называется разность между длиной сегмента S и внешней мерой дополнительного множества т*Е~ 1 — т*СЕ.
Перечислим некоторые свойства внешней и внутренней мер, вытекающие из их определений:
1.	Внешняя и внутренняя мера произвольного множества не могут быть отрицательными.
В самом деле, пг*Е не отрицательна как нижняя грань положительной величины £а. Внутренняя мера т*Е не отрицательна потому, что сегмент S содержит множество СЕ, так что т*СЕ не превосходит 1 [на основании (1)].
2.	Внутренняя мера множества Е не может быть больше его внешней меры. Это вытекает из следующих простых рассуждений. Запишем правую часть системы неравенств (1):
£а <4 т* Е е.	(Г)
Напишем такое же неравенство для дополнительного множества
2р<т*СЕ4-е,	(2)
*) В общем случае такое множество обозначается CSE.
Ill
где SP обозначает сумму длин интервалов, покрывающих множество СЕ. Сложим неравенства (1) и (2):
т*Е + т*СЕ + 2е > £а +
В свою очередь £а+£Р больше длины сегмента S, целиком покрываемого системами интервалов, длины которых учтены в этих суммах:
Следовательно,
m*E-Lm*CE + 2e> 1, откуда т*Е^> 1 —т*СЕ — 2е, или в связи с произвольной малостью е: т*Е^ 1 —т*СЕ =т*Е.
3.	Внутренняя или внешняя мера части множества Е не может оказаться больше соответственно внутренней или внешней меры всего множества Е.
Докажем это. Пусть Д С Е, и пусть А — множество, состоящее из сумм длин интервалов всевозможных систем, покрывающих данное множество Elt а В — такое же множество для Е. Тогда
m*Ei = inf А, т*Е = inf В.
Рассматривая множества А и В, мы легко убеждаемся в том, что A D В и свойство 3 для внешней меры вытекает из того, что нижняя грань подмножества какого-либо множества не может быть меньше нижней грани самого этого множества. Следовательно, т*Е1 т*Е.
Кроме того, m*CEi т*СЕ,
1 — m*CEi -з 1 — т*СЕ, т^Ех^т^Е.
Определение. Если внешняя и внутренняя мера множества Е равны, то множество Е называется измеримым по Лебегу или, короче, просто измеримым и общее значение мер т*Е и т^Е называется мерой множества Е по Лебегу или, короче, просто мерой Ей обозначается тЕ.
Из основного определения непосредственно вытекает, что измеримость одного из множества Е, СЕ влечет за собой измеримость другого. Действительно, если Е измеримо, то
тЕ = т*Е = 1 — т*СЕ.	(3)
112
С другой стороны, внутренняя мера множества СЕ выразится:
т^СЕ = 1 — т* *Е, откуда
тЕ — т*Е = 1 — т*СЕ.	(4)
Сравнивая (3) и (4), получаем измеримость СЕ:
ггССЕ — т^СЕ.	(4)
Рассмотрим примеры измеримых множеств.
Всякое множество Е, внешняя мера которого не более нуля, измеримо. Действительно, внешняя мера множества т*Е не может быть отрицательной: с другой стороны, по условию т*Е^0, откуда следует: т*Е = 0. Внутренняя мера множества, являясь также неотрицательной, не может превышать его внешней меры. Значит, в данном случае т*Е — т*Е — 0.
Всякое множество Е, состоящее из конечного числа точек, измеримо. Пусть Е состоит из N точек. Построив окрестности каждой точки длиной е./А, получаем совокупность интервалов, покрывающих множество Е общей длиной е, где в сколь угодно мало. Следовательно, внешняя мера т*Е = 0. Внутренняя мера т*Е ^т*Е — Q не может быть отрицательной; значит, и внутренняя мера в этом случае равна нулю: m.i.E = 0, а следовательно, и мера множества Е, состоящего из конечного числа .У точек, равна нулю: тЕ = т*Е = т*Е — 0.
Пустое множество О, являясь частью любого множества, в том числе и конечного, не может иметь внешнюю меру более внешней меры конечного множества, т. е. не может быть больше 0; следовательно, оно измеримо, и мера его 0.
Всякое множество Е, состоящее из счетного числа точек, измеримо. Убедимся в этом. Пронумеруем точки множества Е. Выберем число в. Построим окрестность длиной для первой точки, длиной -----для второй,...,
—для n-й и т. д. Сумма всех этих окрестностей qE включает в себя данное множество Е. Суммарная длина окрестностей не больше чем в. Поэтому т*Е — 0. Следовательно, и т*Е = 0, откуда т*Е = т*Е = 0. Множество рациональных точек сегмента [0, 1], являющееся счетным множеством, измеримо. Мера этого множества, как всякого счетного, равна нулю.
Множество иррациональных точек сегмента [0, 1] измеримо, так как его дополнительное множество (множество рациональных точек) измеримо. Мера множества иррациональных точек сегмента равна единице на основании (4).
Всякое открытое множество есть сумма конечного или счетного числа попарно не пересекающихся интервалов а1; а2, . Его мера есть сумма длин этих интервалов*).
Всякое замкнутое множество F измеримо. Оно является либо сегментом S, либо получается удалением из него конечного или счетного множества интервалов, составляющих в совокупности открытое множество CF. А так как CF измеримо (см. предыдущий пример), то и F измеримо.
Канторово множество как множество замкнутое измеримо.
СО
*)Ряд2 сц сходится, так как множество, состоящее из интервалов, попарно не Пересекающихся, расположено на [0, 1], а поэтому любая частная сумма этого ряда, составленного из положительных чисел, не превышает 1.
113
Приведенные примеры показывают, что класс множеств, измеримых по Лебегу, шире класса множеств, измеримых по Жордану.
Можно доказать, что любое множество, измеримое по Жордану, измеримо и по Лебегу (но не наоборот!) и меры Жордана и Лебега в этом случае совпадают.
В самом деле, пусть множество Е измеримо по Жордану. На основании следствия 2 теоремы 4.5 (см. стр. 106) множество С SE = [а, Ь\ — Е, где [а, Z>] — сегмент, включающий в себя множество Е, также измеримо по Жордану. Рассматривая внешнюю жорданову меру множества Е как нижнюю грань множества суммарных длин конечной системы интервалов, включающей в себя множество Е (см. замечание на стр. 103), мы убедимся в том, что
mes*?? т*Е; с другой стороны,
mes*?? = (Ь — a) — mes*CsE — а) — m*CsE = msE,
откуда получаем:
mes*E^ т*Е т*Е mes#??.
По предположению множество Е измеримо по Жордану, следовательно, его внешняя и внутренняя меры совпадают, и из полученного соотношения следует совпадение внутренней и внешней мер по Лебегу. Это значит, что множество Е измеримо по Лебегу и что его мера совпадает с мерой Жордана.
Замечание. Из определения внешней меры Лебега и приведенных примеров следует, что внешняя мера Лебега т*Е множества Е есть нижняя грань множества суммарных длин системы интервалов, покрывающих множество Е. В этом сходство определения внешней меры по Лебегу и Жордану (см. замечание на стр. 103). Но наряду с этим в определении внешней меры Лебега имеется и принципиальное отличие от определения меры Жордана. Здесь система интервалов, покрывающая множество Е, может быть не только конечной, но и счетной. Именно это обстоятельство и делает определение внешней меры Лебега более общим, чем соответствующее определение Жордана. Внутреннюю меру Лебега т*Е можно рассматривать как верхнюю грань множества мер замкнутых множеств, включенных в данное множество Е, что также, с одной стороны, сходно с определением внутренней меры множества по Жордану как верхней грани множества сумм длин конечного числа сегментов, включенных в множество Е, а с другой стороны, принципиально отличается от него тем, что здесь заранее допускается замкнутое множество, включенное в множество Е, самой общей структуры.
Перейдем теперь к выводу необходимого и достаточного условия измеримости множества по Лебегу, которое удобно применять при изучении свойств множеств, измеримых по Лебегу.
Теорема 8.5. Для того чтобы множество Е было измеримо, необходимо и достаточно, чтобы для любого как угодно малого е множество Е можно было бы представить в виде суммы
E — S-\-e' — e",	(5)
где S есть система конечного числа попарно не пересекающихся интервалов, а ё, е" — множества, у каждого из которых внешняя мера меньше е. При выполнении этого условия мера множества Е заключена между числами mS ±в.
Доказательство. Действительно, пусть множество Е измеримо. Заключим его в систему интервалов аъ а2........ ...... а
114
множество СЕ, которое также измеримо, в систему интервалов
..., р„,... так, чтобы
Sa+S₽<m£+mC£+e=1+e-	(6>
Это на основании неравенств (1) и (2) возможно.
С другой стороны, система интервалов аь а2,... и р2,... покрывает в совокупности весь сегмент S, длина которого равна единице, и поэтому
₽)- (7)
где У (а, обозначает сумму длин пересечений интервалов одной системы с интервалами другой. Переписывая неравенства (6) и (7), получим неравенства:
S«+S₽<i+b.
₽)+1
откуда получим:
У (а. ₽)<?
СО
Рассмотрим ряд Удл. аб, где дл- — длина интервала aft. »=1
Этот ряд состоит из неотрицательных чисел (точнее, из положительных и, может быть, нулей, начиная с некоторого k, когда число интервалов конечно) и сходится потому, что любая его частная сумма меньше 1 + е. п.
Возьмем частную сумму этого ряда У дл. a.k, где п выберем
*=1
настолько большим, чтобы остаток ряда не превышал е (в случае конечной системы интервалов включим их все в эту сумму). Систему интервалов, длины которых входят в частную сумму, обозначим S. Совокупность остальных интервалов системы, покрывающей множество Е, обозначим е. Тогда
E = S-^eE — S (СЕ),
где еЕ— множество точек Е, включенных в интервалы совокупности е, а S (СЕ) — множество точек, не принадлежащих Е, но включенных в систему интервалов S. Очевидно, что внешняя мера т*еЕ<у, так как по построению мера совокупности е интервалов меньше е и так как еЕ <^е. Кроме того, и внешняя мера т*# (СЕ)<У потому, что пересечение S' (СЕ) состоит из пересечений интервалов аъ а2,;.. с дополнительным множеством СЕ, т. е. является частью множества пересечений интервалов системы а2,... с интервалами системы р1( р2,..., сумма длин которых У (а, 0) <4. Обозначив eE — S и S (СЕ)-е1', приходим к равенству
E = S±(S — е",
113
где <S — система конечного числа т попарно не пересекающихся интервалов *), а ё и е"— множества, внешняя мера каждого из которых меньше е. Этим доказана необходимость условия.
Докажем его достаточность.
Пусть дано Е — $-\-ё — е", где обозначения ё, е" имеют прежний смысл, и т*ё <^г, т*е" <^г. Из данного равенства следует, что
ЕС^ + 6
СЕССё-\-ё;
следовательно**),
т*Е<^т$	(8)
m*CE<^mC<S Д-s.	(9)
Отнимая от 1 обе части неравенства (9), получим:
т*Е'>т<о — г.
(Ю)
Из неравенств (8) и (10) следует, что внутренняя и внешняя меры множества Е подчинены условию:
mS — г <^т*Е^т*Е Д-г,
откуда благодаря произвольной малости е следует: т*Е = т*Е.
§ 4. Свойства множеств, измеримых по Лебегу
Теорема 9.5. Если множества Ei и Е.г измеримы, то измеримы и множества
Ei\JEit Е1(~\Е^, Ei \ Е^.
Доказательство. Действительно, Ei и Д на основании предыдущей теоремы можно представить в виде:
Е1==^1 + е;_е;, откуда
EiVJE. =	+ <?г) + (е[ + ei) - е',
где ё" С^Г + е-2- При этом	состоит из конечного числа
интервалов, а внешние меры множеств J-^2,	(следова-
*) Множество § представляет собой открытое множество, получаемое как сумма конечного числа интервалов из системы а»........ ап,... . Оно
состоит из конечного числа т попарно не пересекающихся интервалов {т п).
**) Здесь использовано легко доказываемое соотношение
т* (Д В) sg т*А -j- т*В.
116
дельно, и е'") сколь угодно малы*). Отсюда на основании предыдущей теоремы вытекает измеримость Е,уЕ3. Множество Е^Е3 измеримо, потому что измеримо дополнительное множество С (Eif} Г} Ei) = CE1\JCF.i как сумма двух множеств, дополнительных к измеримым, а значит, измеримых.
Множество	измеримо, потому что измеримо его допол-
нительное множество С (£) \Ei) = CEi{_)CEi как сумма двух измеримых множеств.
Теорема 10.5. Если множества Е2 и Е3 измеримы и не пересекаются, то
т (Ei\JEi) = mEi-\-mEi.
Доказательство. Так как по предыдущей теореме
—+	+	— е"’\ гДе внешняя мера слагаемых
ДД-Й2 и ё" сколь угодно мала, то меру множества (J Е3 можно рассматривать как предел меры множества АД-^Д, состоящего из конечного числа интервалов, при стремлении е к нулю. Мера конечного числа интервалов по определению (см. стр. ПО) равна сумме их длин минус сумма длин их пересечений:
т(^1Д-<^Д) = тА Д-^^2—-m(S2 <£3).
При стремлении е к нулю тйД стремится к тЕ2 и mS3 стремится к тЕ3, что следует из представления и Е3 в виде (5). Остается доказать, что т(ё\^3) при этом стремится к нулю. Заметив, что с?, С Et Д- е" и G Е3 Д- e'i, имеем:
С 4- 4') (А + О = ВД + Ао + 4' (Е3 д- <), где первое слагаемое правой части пусто по условию, а внешние меры остальных двух при стремлении е к нулю стремятся к нулю.
Теоремы 9.5 и 10.5 методом математической индукции могут быть распространены на случаи суммы и произведения любого конечного числа измеримых множеств.
Следствие. Если Et и Е3 измеримы и E.2<^Ei, то
т (Е1\ЕД — mEi — тЕ3.
Равенство, справедливость которого утверждается, можно переписать так:
mEi = т(Е1\ Е3) Д- тЕ.2,
и тогда оно сводится к доказанному в теореме.
*) Множество, е'" может быть только частью	так как оно состоит из точек е“, содержащихся в	но не содержащихся в С2 (а та-
кие, вообще говоря, могут быть), и соответственно из точек е2, содержащихся в <f2-]-e2, ио не содержащихся в Ev Во всяком случае е'" £ е" Д-с2.
117
Теорема 11.5. Сумма Е счетного числа измеримых множеств Ei, Ei,... есть множество измеримое; если при этом слагаемые множества попарно не пересекаются; то
тЕ = mEi -]- тЕ* -]-•••*)
(полная аддитивность меры Лебега).
Доказательство. Предположим сначала, что данные множества попарно не пересекаются. Обозначим:
Sn=£'1U^aU---U
Rn == En+i VJ Епл.% VJ ...,
тогда E — Sn\JRn. Так как SnC2E, то
m*E^m*Sn==mSn = mEi-{-mE.2-\-...-\-mEn,	(1)
00
что доказывает сходимость ряда ^\mEk, имеющего неотрицатель-6=1
ные члены и частные суммы, ограниченные числом т*Е. Каково
СО
бы ни было s > 0, благодаря сходимости ряда У, mEk можно по-t=i
00
добрать такое п, что У mEk <4 е. Заключим каждое множество £=л+1
£п+р(р=1, 2,...), входящее в /?„, в систему интервалов ар так, чтобы тар <4 тЕп_.Р -|- Тогда Rn окажется заключенным в си: стему интервалов, сумма длин которых меньше:
(^тЕп+1-\- j 4”	2s,
Отсюда следует, что m*Rn<^2& и, значит, m*E<mSn-[-2s.	(2)
Из (1) и (2) получаем:
mSn^m*E <zm*E <^mSn-\-2s,
чю при переходе к пределу при п->оо, а затем при е->0 дает: тЕ = тЕу -|- тЕг
Если же множества Еъ Ег,... пересекаются (имеют общие точки), то сумма их Е может быть представлена в виде:
Е = Е, J U з\ (^1 U £-2) 1 U • • • • где слагаемые в правой части измеримы и не пересекаются, откуда следует измеримость Е.
*) Множества Еа,..., как и везде, предполагаются включенными в S=[0, 1].
118
Следствие. Пересечение счетного числа измеримых множеств измеримо.
Действительно, пусть Е = Et Q Ег..., где Еи Eit... измеримы. Тогда СЕ = CEi IJ СЕг J ..., гДе СЕЪ СЕг,... как множества, дополнительные к измеримым, измеримы. Отсюда следует измеримость СЕ, а следовательно, и Е.
Теорема 12.5. Пусть на S дана последовательность измеримых множеств п п г £-1, £-2, • • • > пп,..., из которых каждое содержит все предшествующие
Е^Е^-^Е^---, тогда
m\J Ek = \\ттЕп. k = \	л->со
Доказательство. Действительно, при сделанных предположениях
где слагаемые в правой части не пересекаются. Следовательно, т U Ek — Ит {tnE^ {J т(Е2 —EJU ...{J т (Еп — E„^)} = k =1	n — co
= lim mEn. n-*&>
Теорема 13.5. Пусть на S дана последовательность измеримых множеств	g Е.г,... ,Еп,...,
из которых каждое содержится во всех предыдущих тогда СО т Ek = lim/?iE„. k — l	п — аз
Доказательство. Действительно, в условиях сделанных предположений СО	со
CftEk = UCEk, k=t где с^сс^с-.-сс^с... •
По предыдущей теореме т J CEk = lim тСЕп, Л=1	л—со
ИЛИ тС Р\Ек = Ит тСЕп. k=i п-+<»
119
Вычитая обе части последнего равенства из S, получим:
т Q Eft = lim тЕп.
k—1	п-+<х>
Теорема 14.5 (Лузина). Если Е измеримо и тЕ~^>0, то для любого е > 0 существует такое совершенное множество PQE, что тР тЕ — е.
Доказательство. Так как Е измеримо, то и СЕ измеримо. Из измеримости СЕ следует, чю существует конечная или счетная система интервалов аь а.2,..., включающих СЕ, и такая, чю сумма их длин	^<тСЕ + &.
СО
Замкнутое множество F = S— измеримо и содержится в Е, его мера
mF 1 — тСЕ — е = тЕ — е.
Если из множества F удалить множество D его точек, не являющихся точками конденсации, то множество P = F — D окажется совершенным (см. теорему на стр. 45), имеющим ту же меру, что и F, так как множество D не более чем счетно и мера его равна нулю.
Таким образом, тР^>тЕ — е, где Р — совершенное множество, содержащееся в Е.
На этом мы и закончим изложение теории меры Лебега. Су^ ществуют обобщения этой теории на множества двух и более измерений *), изучение которых не входит в наши задачи.
В заключение укажем, что, несмотря на широту класса множеств, измеримых по Лебегу, существуют даже линейные ограниченные множества, неизмеримые по Лебегу. Правда, построение их основано на применении так называемого принципа произвольного выбора или аксиомы Цермело **), не получившего до сих пор общего и безоговорочного признания в математике, несмотря на необходимое применение этого принципа в доказательствах ряда теорем как теории множеств, так и математического анализа.
Приведем один пример построения множества, неизмеримого но Ле-
бегу ***).
Разобьем все точки
сегмента
1	_2_]
3 ’ 3 J
на классы, относя две точки
х и у к одному классу тогда и только тогда, когда разность х—у есть
*) См. [28], стр. 263 — 287.
**) Аксиома Цермело (аксиома произвольного выбора). Пусть дано множество М, элементами которого являются попарно не пересекающиеся не пустые множества МЛ. Тогда существует множество N, состоящее из элементов, «выбранных по одному» из каждого множества МЛаМ.
***} Излагаемый нами пример взят с небольшими изменениями из книги [28], стр. 71. Кроме того, пример построения множества, неизмеримого по Лебегу, можно найти, например, в изложении Н. Н. Лузина [18], стр. 300.
120
число рациональное. Очевидно, что различные классы К (х) и Д' (у) не пересекаются, так как если предположить, что некоторая точка х0^К(х) |~] Q К (у), то любая точка класса Д’ (х) и любая точка класса К (у) могут быть всегда записаны соответственно в виде: х = х0-|-г' и у = х0 -ф г", где г', г’-—числа рациональные, но тогда разность х—у = г' — г" рациональна, что привело бы к совпадению классов. Выберем из каждого класса по одной точке (здесь-то и применяется принцип произвольного выбора) и назовем множеством А множество всех выбранных точек.
Множество А неизмеримо по Лебегу, что следует вот из каких рассуждений. Пронумеруем все рациональные числа г, удовлетворяющие неравенствам:----у	О = го, г,, г2....и обозначим через Ak множе-
о	о
ство, полученное из множества А сдвигом всех его точек на расстояние г* вправо или влево в зависимости от знака числа г*, иначе говоря, если х £ А, то x-\-rk С Д*, и если х € то х — Г/г £ Д- В частности, Д0 = Д. Очевидно, внешние и внутренние меры всех множеств А^, полученных друг из друга движением всех их точек без изменений расстояний между ними, соответственно совпадают:
mf.Ak = m.fA — а,
m*Ak = т*А = р.
Убедимся, что р > 0. Действительно,
’ "з"]’
к
< Г 1	2 1
так как всякая точка х Нр, -д- попадает в один из классов первоначального разбиения и находится от «представителя» этого класса в множестве А на рациональном расстоянии г/, а значит, совмещается с этим представителем, когда множество А передвигается на расстояние Г/, т. е. попадает в множество А. Из (3) следует: т*Аь3= -g-, или (3Р4~  • 4~?
*
+... j==	, откуда получаем: [3 >0.
О
С другой стороны, можно показать, что а = 0. Действительно, Д* Е k
Е [0,1]. Множества Д* и Д/ при kz£l не пересекаются, так как если бы х0^Д* и х0^Дг, то х0— г, и х0— rft, являясь различными точками множества Д, должны быть представителями различных классов, а этого не может быть, ибо расстояние между ними рационально. Следовательно, а-{-я + =^1, откуда а = 0.
Таким образом, а <[3, что обозначает неизмеримость множества а = 0.
Разбивая на классы точки любого измеримого множества Е положительной меры так, как это сделано в примере, и повторяя те же рассуждения, мы придем к заключению о существовании неизмеримого множества Д i— Е, т. е. к существованию неизмеримой собственной части в любом измеримом множестве положительной меры.
Приведенный пример и связанные с ним рассуждения не умаляют теоретического и практического значения мероопределения по Лебегу. Класс множеств, измеримых по Лебегу, все же остается настолько широким, что в него входят все множества, с которыми приходится практически встречаться при изучении свойств и применений функций действительного переменного.
121
Еще раз отметим, что все изученные факты в равной мере относятся к множествам, заданным на любом сегменте [а, Ь]. Все доказательства § 4—5 автоматически распространяются на этот случай, если сразу вместо 3 взять сегмент [а, Ь] и вместо mS = 1 положить m[a,b] = b — а.
§ 5.	Измеримые функции
В целях применения теории меры Лебега к вопросам интегрирования функций в значительно более общей постановке вопроса познакомимся с измеримыми функциями.
Определение. Функция действительного переменного f(x), определенная на измеримом множестве Е, называется измеримой, если для любого числа А множество E(f(x)'f>A), состоящее из тех точек х, принадлежащих множеству Е, для которых f(x)^>A, измеримо (по Лебегу).
Из определения видно, что функция f(x), определенная на множестве меры 0, всегда измерима. Кроме того, легко установить, что функция f(x), измеримая на множестве Е, измерима на любом его измеримом подмножестве ВСЕ, так как множество В (f > А) = = ВПЕ А) измеримо как пересечение измеримых множеств.
Вместо множества Е(/^>А) в определении можно взять любое из множеств: E(f^A), E(f-szA), E(f<^A), так как Е (fs? А) — 0°	/ .	| \
= Р\ Е \ f)> А—где каждый сомножитель, очевидно, измерим. Кроме того, Е (f А) = Е — Е (f A), E(f<(A) = E — — E(f^A), т. е. измеримость одного из этих множеств приводит к измеримости всех остальных.
Примеры измеримых функций.
Всякая функция /(х), определенная и непрерывная на замкнутом множестве F, измерима, так как множество S(f>zA) замкнуто, а следовательно, измеримо при любом *) А.
f (х) = с, определенная на измеримом множестве Е, измерима. Е (/> А) — = Е, когда А<С; £(/>А)=0, когда А>:С. Множество Е измеримо по заданию, пустое множество измеримо.
Функция Дирихле, определенная на сегменте [a, ft], (см. пример на стр. 64), измерима, так как если 0==:А<1, то £(/>А)=/?, где R — измеримое множество рациональных точек сегмента; если же А^\, то
*) В самом деле, положим, что 5 — предельная точка множества S (/>= А). Она принадлежит F, так как S czF и F замкнуто. Если бы 6 не принадлежала S, то/(Е)<А. Обозначим через е = А—/(E)- Так как функция fix) непрерывна в точке Е> то для г = А—f (Е) существует такое число 8, что при |х —Е|<8 выполняется неравенство
откуда
/(Е)-е</(х)</(Е) + е = А.
Следовательно, f (х) < А для всех точек окрестности U (Е, 8), т. е. эта окрестность не содержит точек множества S (/5= А), или, иначе говоря, Е не может быть предельной точкой для множества S (f^A).
122
E(f>-A) есть пустое, следовательно, измеримое множество; если Л<0, то E(f>A) = [a, Z>1, т. е. вновь измеренное множество.
у(х)=з[х] (см. пример на стр. 77), определенная на сегменте [a, Z>], измерима; если Л >/(ft), тоЕ(/>Л) = 0; если k < A sg k-j- 1 sg/(ft), то E (f > A) = [[£] + 1, b\, а сегмент [[ft] + 1, b] измерим.
Теорема 15.5. Пусть функция f(x) задана на измеримом множестве Е, которое является суммой конечного или счетного числа измеримых множеств Ек, Е = (J Ек.
k
Если f(x) измерима на каждом из множеств Ек, то она измерима на Е.
Доказательство. Для любого А Е (ДД> А) = (J Ек (/> А), k
где каждое множество Ек (f~^> А) по условию теоремы измеримо, а следовательно, измеримо и E(f^>A) как сумма измеримых
множеств.
Теорема 16.5. Если функция f(x), определенная на измери-
мом множестве Е, измерима, то измеримы и функции f(x) + k, kf(x), где k — данное число |/(х) |, [/(х)]2и77-77, последняя в слу-чае, если f(x) 7= О ни в одной точке множества Е.
Доказательство. 1) f(x)-{-k измерима, потому что Etf-\-k>A) = E(f>A— k), а последнее множество измеримо по условию (А — k есть любое число наравне с А).
2)	kf(x) измерима Е (kf^> А) = Е (f^> если k^>Q, и
Л \	/А
Е (kf^> А) = Е (f<^если /г<Д (-у— любое число наравне с А). При k — 0 kf (х) = 0 — con&t и потому измерима.
3)	\f(x)\ измерима, потому чю Е (|/| > А) — Е, если А 0; E(|/|>A) = E(f>A)U£(f<-A), если А^О.
4)	Е(Д>А) = Е, если А<0; Е (Р> А) = Е ( Д >/А), если А ' 0 (см. 3).
5)	при / (х)	0 ни в одной точке множества Е несоизмерима, так как Е Ц Д>А^ = £(/•<	если f(x)^>0 и А>0,
\Т У \ AJ
О знаки
неравенств во вторых скобках заменяются на обратные.
Теорема 17.5. Если на измеримом множестве Е определены две измеримые функции f (х), g(x), то множество E(f^>g) изме
римо.
Доказательство. Перенумеруем все рациональные числа
ГС( — °°> °°): ri>	Тогда
СО
Каждый сомножитель правой части измерим; произведение измери
123
мых множеств измеримо. Сумма счетного числа измеримых множеств измерима (см. теорему 11.5).
Теорема 18.5. Разность, сумма, произведение и в том случае, когда делитель не равен нулю, частное двух измеримых функций есть функция измеримая.
Доказательство. 1) Пусть функции f(x)ng(х) определены и измеримы на измеримом множестве Е. Разность измеримых функций f(x) — g(x) измерима, так как Е (f — g^> А) = E(f^> A ~\~g). Множество, стоящее в правой части последнего равенства, измеримо на основании теоремы 17.5, так как функция A-\-g(x) измерима на основании теоремы 16.5.
2)	Сумма измеримых функций /(х) и g(x) измерима, так как f(x) + g(x) = f(x) — [ — g(x)], а —g(x) = ( —l)g(x) измерима на основании пункта 2 теоремы 16.5.
3)	Произведение f(x)-g(x) может быть представлено как разность квадратов измеримых функций, т. е. функций, измеримых
f(x)-g (х) = -^{ [f (х) g (х)Р — [f (х) — g (х)] ’},
следовательно, оно измеримо на основании пункта 2.
4)	Частное(х)измеримо как произведение измеримых функций, так как—тЦ- при g(x)^0 есть измеримая
S \х) функция на основании теоремы 16.5.
Рассмотрим так называемое С-свойство.
Определение. Функция f (Р), определенная на измеримом множестве Е, имеет на этом множестве свойство С, если для любого е0 существует такое замкнутое множество F(PZE, что т(Е— F)<Zz и f(?) непрерывна на F.
Эквивалентность свойства С и измеримости функции f(P) устанавливается следующей теоремой, которая была доказана в 1913 г. академиком Н. Н. Лузиным.
Теорема 19.5. Если функция f(P) определена на измеримом множестве Е конечной меры и во всех точках множества Е, за исключением, может быть, некоторого подмножества нулевой меры, имеет конечные значения, то для измеримости этой функции необходимо и достаточно, чтобы она на Е обладала свойством С.
Доказательство этой теоремы читатель может найти, например, в книге [28].
Упражнения к главе V
1.	Докажите, что множество I иррациональных точек сегмента [0,1] неизмеримо по Жордану. Определите mes* / и ines.s /.
2.	Как построить совершенное, нигде пе плотное ограниченное множество положительной меры?
124
3.	Докажите, что для измеримости ограниченного множества Е необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > 0 существовало такое открытое множество g~>E, что т* (g—£)<е.
4.	Докажите измеримость функции /(x)=tp(%) sin .г, определенной на I
О, 2 , где <р(х)— функция Дирихле.
5.	Докажите измеримость всякой рациональной (не целой) функции на любом промежутке.
6.	Постройте по примеру рис. 27 произвольное множество. Найдите для него по три члена последовательностей Жордана: Llt Ls, L3 и 7П /2 73.
7.	Найдите меру Жордана для множества, построенного Вами в упражнении 2. Найдите для того же множества и для дополнительного к нему меру Лебега.
8.	Скажите, в чем заключается принципиальное различие мероопределений Жордана и Лебега.
9.	Какие свойства мер Жордана и Лебега одинаковы, какие различны?
10.	Докажите, что всякое измеримое множество положительной меры в смысле Жордана содержит в себе измеримую по Жордану часть.
11.	Докажите то же для множества положительной меры, измеримого по Лебегу, и части, неизмеримой по Лебегу.
12.	Приведите примеры квадрируемых областей на плоскости с конкретным заданием уравнений ограничивающих их кривых.
13.	Приведите примеры кубируемых областей трехмерного пространства с конкретным заданием уравнений ограничивающих их поверхностей.
14.	Как доказать квадрируемость кольца, заключенного между двумя концентрическими окружностями?
15.	Как доказать кубируемость области, заключенной между двумя концентрическими сферами?
16.	Как перенести определение меры по Лебегу на множества, лежащие на произвольном сегменте?
17.	Приведите примеры измеримых функций.
18.	Приведите примеры неизмеримых функций.
Глава VI. ИНТЕГРАЛ
§ 1. Интеграл Римана
Определение интеграла Римана известно читателю еще из курса математического анализа. Напомним его.
Пусть функция f (х) определена и ограничена*) на сегменте [а, Ь]. Разобьем сегмент произвольным образом на части точками деления a = Xo<C%i<C ... <^x„ = b. Обозначим через а наибольшую из разностей хг— x,_i. Выберем в каждом из промежутков [x(_i, Xi] произвольную точку $г,	Xi и составим сумму:
= S ffii)(.Xi — Xi^.
г —i
(О
Если существует предел суммы Sa, при а->0 не зависящий от способа разбиения сегмента и от выбора точек Ег, то этот пре
*) Неограниченных функций мы не рассматриваем, так как легко видеть, что неограниченная на сегменте функция неинтегрируема по Риману.
125
дел называется интегралом Римана функции в промежутке от а до & и обозначается ^f(x)dx.
а
Иными словами, если существует число 1, такое, что для любого е^>0 можно указать число 8 так, что, каково бы ни было разбиение сегмента [а, 6] на части и каким бы способом ни были выбраны точки Е;, лишь бы а8 [а = max (х/— х,^)], и выполняется неравенство
12! f хг_1) —/|<е, ;=!
то число I при этих условиях называется интегралом Римана функции /(х) на сегменте [а, 6] и обозначается:
ь
/ = $/ (*) dx-а
Следует заметить, что постановка вопроса о существовании предела суммы 3, при а —»0 обозначает не что иное, чем просто существование предела носледовательности интегральных сумм 3„ , 3„ , ... , 3„ , где последо-1	2	п
вательность а2, ... стремится к нулю.
Вопрос ставится так. Возьмем некоторое разбиение сегмента [а, Ь\ точками деления a = xo<xi< ... <хл = 6.
Условимся о некотором способе выбора точек fy. Пусть, например, для определенности мы будем выбирать точки в середине каждого промежутка хф Разделив каждый промежуток на три равные части, вновь выберем точки в середине каждого промежутка и т. д. Действуя таким образом, мы построим последовательность интегральных сумм:
Теперь в условиях тех же разбиений будем выбирать точки как-то по-иному, например каждый раз в левом конце каждого промежутка. Мы получим при этом новую последовательность интегральных сумм:
которая, вообще говоря, уже не будет совпадать с предыдущей. Избирая новые способы выбора точек £г, а таких способов, очевидно, имеется бесконечное множество, мы получим бесконечное множество последовательностей интегральных сумм только для одного разбиения.
Если теперь начать изменять способ разбиения сегмента на промежутки и способы дальнейшего измельчения их, то для каждого нового сочетания этих способов (множество которых также бесконечно) мы вновь получим бесконечное множество последовательностей интегральных сумм.
Таким образом, для данной функции, определенной на данном сегменте, существует бесконечное множество бесконечных множеств последовательностей интегральных сумм.
И вот требование существования предела 3, при а—-0 независимо от способа разбиения и выбора точек записанное ранее кратко, сводится к тому, чтобы все последовательности, принадлежащие этому бесконечному множеству бесконечных множеств последовательностей, были сходящимися и имели один общий для всех этих последовательностей предел.
126
Сумма (1) называется интегральной суммой или суммой Римана *).
Если функция f(x) такова, что интеграл Римана для нее существует на сегменте [а, Ь], то она называется интегрируемой в смысле Римана на этом сегменте.
Наряду с интегральной суммой (1) построим для функции на сегменте [а, Ь] более простые суммы:
= 5	—
i = l
называемую нижней суммой Дарбу, и
S М;(х;—хм),
< = 1
называемую верхней суммой Дарбу, где тг- и Л4г обозначают соответственно нижнюю и верхнюю грани функции f(x) на Сом промежутке [x,_i, х,]. Верхняя и нижняя грани функции на каждом Сом промежутке, очевидно, существуют, так как/(х), ограниченная на всем сегменте [а, Ь), ограничена и на каждой из его частей.
Суммы Дарбу обладают следующими свойствами:
1.	Любая интегральная сумма 8„, соответствующая данному разбиению сегмента [а, 6] на части, заключена между суммами Дарбу этого разбиения (последние, очевидно, не зависят от выбора точек Е;):
что следует из неравенств:
после умножения их членов на положительные разности (хг — хг1) и суммирования по индексу I:
У tv-i (Xi — Xi-1) f U) (Xi — Xi-t)	(Xi — Xt_i).
i=1	i=1	UH
2.	Суммы Дарбу 8a, Sa данного разбиения являются соответственно нижней и верхней гранями для множества всех значений интегральной суммы S7 для данного разбиения:
S« = inf Sx, S,= sup Sa.
Это следует из того, что, например, Sx удовлетворяет неравенству 8, -С 8а на основании 1, и, кроме того, так как по опре
*) Коши пользовался пределами указанных сумм для непрерывных функций до Римана. Риману принадлежит приведенное определение интеграла в его общей форме и исследование условий интегрируемости функции.
127
делению грани функции f(x) для любого на сегменте [xz_i, хг] найдется такая точка что
f(^')<m<4“e> то
Sa = 2 f &) (Xi — Xt^ < 2 m, (xt — x^) + e (x; — x^t) = i = 1	i=1	i = 1
= S, + e(b — а), откуда Sa> Sa — г (b — a).
Доказательство для Sa аналогично.
3.	Если к имеющимся точкам деления данного разбиения прибавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу 3Г1 может от этого только возрасти, а верхняя сумма Дарбу Sa может только уменьшиться.
Докажем, что это так. Пусть имеются две точки деления xib Xi сегмента [а, &]. Присоединим к ним третью точку х', лежащую между данными. Тогда вместо слагаемого/И, (хг— x, i), входящего в S„, получится два слагаемых: Mi(xf—
Mi (xt — х'), где M'i, Mi—соответственно верхние грани функции f (х) на промежутках [x;_j, х'], [х', х,]. Ни одно из чисел M'i и М?, очевидно, не может превышать Mit так что
Mi (х' — Xi -J -ф-Mi (Xi ~x'i)^Mi(x' — xi-l) 4-
Д- М; (Xi — x^) = Mi (xf — x.-j).
Доказательство для S„ аналогично.
4.	Каждая нижняя сумма Дарбу не больше каждой верхней суммы Дарбу независимо от того, к каким разбиениям они относятся.
Для доказательства разобьем сегмент [а, Ь] произвольным образом на п частей и составим для этого разбиения суммы Дарбу Sa, и Sa,. Возьмем теперь любое другое разбиение сегмента и вновь составим для него суммы Дарбу Sx., и Sa2. Следует теперь доказать, что Sa,^Sa3. Для этого составим третье разбиение, объединив в нем точки делений первых двух разбиений. Составим для третьего разбиения суммы Дарбу Заз и Sas. Очевидно, что Sa3=cSa3; кроме того, по свойству 3 Sa,^Sa3, Sa3-cSa,, так как третье разбиение получено из первого (второго) разбиения присоединением новых точек. Объединив эти результаты, получим:
Sa, ' Sa3 ' Sa3 ' Sa2.
5.	Существует нижняя грань 7 множества значений верхних сумм Дарбу, верхняя грань I множества значений нижних сумм Дарбу, полученных для всевозможных разбиений сегмента [а, &], при этом	/ < /
128
а следовательно, имеет место система неравенств:
Числа I и I называются соответственно нижним и верхним интегралом Дарбу.
6.	Для всякой функции, определенной на сегменте [а, Ь], существуют пределы limS^ и limS^ и выполняются равенства: а-* 0	а —>0
limSB = 7 и Ит5в = 7. а—*0	а—>0 ~
Проведем доказательство для нижних сумм Дарбу (для верхних сумм оно будет аналогичным). Выберем е^>0 и рассмотрим такое разбиение сегмента [а, на части, чтобы соответствующая этому разбиению нижняя сумма Дарбу оказалась удовлетворяющей неравенству I — ~. Возможность этого вытекает из свойства 2. Пусть построенное нами разбиение состоит из т частей. Положим, что е а = тут—, bkm ’
где
Л = тах (| sup f (х) |, | inf f (х) |), х £ [а, &].
Рассмотрим, кроме того, произвольное разбиение сегмента \а, Ь] на части, такое, чтобы max (х,+1— х^^а. Пусть соответствующая этому разбиению сумма Дарбу будет Sa. Введем еще одну нижнюю сумму Sa", соответствующую разбиению, объединяющему точки деления первых двух разбиений. Так как третье разбиение получено из первого присоединением к нему точек второго, то по свойству 3 Sa"^Sa и, следовательно, S\"2aS,'^>7— т. е. нижняя сумма Дарбу для третьего разбиения окажется удовлетворяющей неравенству	е
Sa" 7 ~~ 2 •	(а)
Оценим разность Sa" — Sa- Присоединение каждой новой точки ко второму разбиению увеличит его нижнюю сумму по абсолютной величине не более чем на 3/га. Для получения третьего разбиения мы присоединили ко второму разбиению не более (т — 1) точек. На основании этого
Sa" —Sas^(m—1)3^а<(^-.	(b)
Из неравенств (а) и (Ь) и свойства 2 получаем, что для любого s и любого разбиения, для которого а достаточно мало, имеют место неравенства: 0=^7— Sa<^s. Следовательно,
lim SB= I. а->0~	“
129
Теорема 1.6 (существования интеграла Римана). Для существования интеграла Римана ограниченной функции f (х) на сегменте [а, необходимо и достаточно, чтобы
lim У (xt — х^д) = О,
где u); = Mi — mt обозначает колебание функции f(x) на Ртом промежутке [x;_i, х(] и а — длина наибольшего промежутка.
Необходимость. Предположим, что интеграл существует, т. е. что существует некоторое число /, являющееся пределом для Sa при а—>0, независимо от способов измельчения промежутков и выбора точек £;. Другими словами, если а достаточно мало и длина каждого из промежутков менее а:
хг — хг_1<^а (t = l, 2, ... , п),
то модуль разности SJ окажется меньше^: или
/-KS«<Z + -2-
Для сумм Дарбу Sa и Sa на основании 2 имеем:
откуда Sa—Sa^e, или
lim(Sa — Sa) = 0. i-i:
Заменяя Sa и Sx их значениями,, получаем:
lim (Sa — Sa) = lim У (Mt — mt) (xt — x,_i) =
a—*0	<x —»0 ।
= lim У ад,- (Xi —	= 0.
a-O^i
Достаточность. Предположим теперь, что
lim У, о)г(х, — х;_1) = lim (Sa — Sa) = 0, a -* 0 г- _ j	a —* 0
или, что то же,
Sa-.Sa<e,
где е — сколь угодно малое положительное число, заданное по нашему произволу, в то время как а — достаточно малое положительное число.
130
Тогда на основании неравенств
S^/^7^S„
(см. 5) можно записать, что 7 — /<Се или благодаря произвольности е [ = 1. Обозначив общее значение / и / через /, получим, с одной стороны,	q .
X' ' X
и, с другой стороны, на основании 1
X ~ 5Я - X,.
Так как суммы и X отличаются друг от друга по условию меньше чем на е, то тем более число I и величина S., отличаются друг от друга меньше чем на е:
Следовательно, / является пределом для X, т. е. интеграл ь
f(x)dx существует и равен /.
а
Доказанную теорему можно непосредственно применить для выяснения классов функций, интегрируемых по Риману. Но все результаты, которые можно получить на этом пути, объединены в фундаментальной теореме, принадлежащей Лебегу, которая совершенно точно определяет границы класса функций, интегрируемых по Риману.
Как известно из курса математического анализа, понятие интеграла обобщается на случаи неограниченных функций и неограниченных промежутков.
§ 2.	Теорема Лебега
Обратим внимание на то, что в последующих доказательствах теоремы Лебега и предшествующей ей леммы мы ограничимся использованием только понятия нульмерного множества (множества меры нуль) по Лебегу, не опираясь на знание других вопросов этой теории меры*1. Такое изложение даст возможность пользоваться приведенными доказательствами и тем читателям, которые теорию меры Лебега не изучают.
Определение. Множество Е называется ну ль ме рныя по Лебегу, если для любого д^>0 существует конечная или счетная система интервалов, покрывающая Е, такая, что сумма длин интервалов системы меньше т).
Примерами нульмерных множеств являются множество, состоящее из конечного числа точек; множество, состоящее из счетного числа точек
*’ Доказательство с некоторыми изменениями взято из статьи A. A. (Ill) Фридмана [37].
131
(см. стр. 113); множество рациональных точек сегмента; множество рациональных точек всей прямой; множество Кантора (см. стр. 113); пустое множество.
Обозначим через Е,- множество точек сегмента [а, &], в которых колебание функции f(x) не меньше 8;	(х)	8. На основа-
нии теоремы 6.3 (страница 75) это множество замкнуто.
Лемма. Дм интегрируемости по Риману ограниченной на [а, 6] функции f (х) необходимо и достаточно, чтобы для каждого положительного 8 множество Е> имело жорданову меру, равную нулю.
Необходимость. Пусть интеграл существует, а внешняя мера жорданона множества Ez, mes*E8 = 7]^>0 (очевидно, что внешней мерой по Жордану множество Е% всегда обладает). Тогда для каждого разбиения сегмента на части [х;, хг+)] сумма длин включающих интервалов для множества Es окажется не меньше ц: п
Построив для фиксированного разбиения сумму У, шДх/ — 1= 1
— x,-_i) (см. стр. 120), разобьем ее на две части: п
У (*» — */-1) = У' wt (Xi — xw) + 2" О)г (Xi — Xi_i), i=\
где к сумме У отнесены части сегмента, не содержащие точек множества Es, а к сумме у"— части, содержащие эти точки. Оба слагаемых правой части последнего равенства не отрицательны, причем у’ о); (х{ — x^i) 8т]. Следовательно,
п
lim У о); (Xi — x;_i) Sa 8т]	0
"-«ьЛ
и интеграл (на основании теоремы о существовании интеграла Римана на стр. 120) не существует. Полученное противоречие доказывает необходимость условия.
Достаточность. Допустим, что для любого 8 внешняя мера mes* Es — 0. Докажем, что при выполнении этого условия интеграл существует. Обозначим через 8 и >] произвольные положительные сколь угодно малые числа. Пусть ЭЛ — некоторая система интервалов, покрывающая множество Es, сумма длин которых меньше т). По условию такая система интервалов существует. Пользуясь замкнутостью множества Es, выберем из системы конечное множество Д интервалов, покрывающих множество Ег, что на основании теоремы Бореля — Лебега сделать возможно. Сумма длин интервалов конечной системы Е подавно меньше т). Построим разбиение сегмента [а, й], такое, чтобы точками его деления были все концы выделенного конечного множества интервалов Д и чтобы, кроме того, оставшаяся вне покрытия Д часть *'
*) На этой части сегмента функция f (х) по условию непрерывна, в каждой точке этой части сегмента колебание функции равно нулю.
132
сегмента [а, &] (эта часть есть замкнутое множество) была разбита новыми точками деления на столь мелкие части [х;, х,+1], чтобы колебание функции f(x) на каждой из них не превышало 8. Последнее на основании теоремы 5.3 на странице 78 о равномерной непрерывности сделать можно. Составим для этого разбиения п
сумму У, о)(- (xt — x(_i) и по-прежнему разобьем ее на два сла-1=1
гаемых:
У, “i (Xi — ^-j) = S' Wi (Xi — Xi-J + S" (Xi — X^-< = 1
К первому из них отнесем части сегмента [а, &], не включающие в себя точки множества Е8, ко второму — остальные. Найдем оценку каждого из слагаемых правой части:
2' 0>г (X; — хг_1) < 8 (Ь — а),
2" О); (Xi — Х,_1) < 2т],
где 2 — колебание функции / (х) на [а, &]. Получение оценок на основании предыдущего очевидно. Из полученного имеем:
У (Xi — х,_1) < 8 (b — а) 4- 2т), i=i
где неотрицательная сумма 8 (Ь — а) 2т] сколь угодно мала, что и доказывает существование интеграла.
Теорема 2.6 (Лебега). Для интегрируемости по Риману ограниченной функции f(x) на [а, 6] необходимо и достаточно,, чтобы множество Е точек разрыва этой функции было нульмерным множеством по Лебегу.
Необходимость. Пусть интеграл существует. Множество на основании теоремы 6.3 на странице 75 есть сумма конечного или счетного числа замкнутых множеств.
Мера Жордана каждого из множеств Е\ (п. = 1, 2, ...) на ос-п
новании леммы равна нулю. Следовательно, всякое множество Е।
п может быть покрыто конечной системой включающих интервалов с общей длиной , где е сколь угодно мало. Множество Е =
— (J Е j может быть покрыто не более чем счетной системой интер-п = 1 п
валов с суммарной длиной меньшей, чем
у + ^ + --- + ^ + --- = £-
Следовательно, Е есть нульмерное множество по Лебегу.
Достаточность. Допустим, что Е — нульмерное множество по Лебегу. Оно покрывается системой интервалов со сколь угодно
133
малой суммарной длиной. Отсюда следует, что каждое слагаемое суммы	£1 + £1 + ... + £1 + ... = £
п	п
тем более покрывается системой интервалов /(„ со сколь угодно малой суммарной длиной. Выделим из каждого Кп конечную систему Кп включающих интервалов, суммарная длина которых будет также сколь угодно мала. Следовательно, внешняя мера Жордана mes*£i=0. Каждое Е i измеримо; таким образом, по
п	п
Жордану и его мера mesEi==0. Отсюда на основании леммы п
интеграл существует.
На основании доказанной теоремы функция f(x), определенная на сегменте [а, Ь] и имеющая на нем конечное или счетное множество точек разрыва, интегрируема. Интегрируема, например, всякая монотонная функция, всякая функция с ограниченным изменением, множество точек разрыва которых не более чем счетно. В то же время функция Дирихле на сегменте [0, 1] (см. пример на стр. 64), множество точек разрыва которой на этом сегменте совпадает со всем сегментом и имеет меру, равную длине сегмента, не интегрируема (верхний и нижний интегралы Дарбу для функции Дирихле на сегменте [0, 1] существуют, верхний интеграл в этом случае равен 1, нижний — 0).
Для того чтобы установить связь между понятиями меры и интеграла, введем в рассмотрение характеристическую функцию множества. Пусть Е — произвольное линейное множество, принадлежащее сегменту [а, Ь]. Положим функцию е(х) равной 1 в каждой точке множества Е и равной 0 во всех остальных точках сегмента [а, 6]. Эта функция, определенная на сегменте [а, Ь], называется характеристической функцией линейного множества Е, расположенного на сегменте [а, &].
Связь между жордановой мерой множества Е и интегралом Римана характеристической функции на сегменте [а, 6] устанавливается следующей теоремой *):
Теорема 3.6. Нижний интеграл Дарбу [ от характеристической функции линейного множества Е, расположенного на сегменте [а, Ь], равен внутренней мере множества Е по Жордану, верхний интеграл Дарбу I равен внешней мере множества Е по Жордану.
Составим верхнюю сумму Дарбу для функции е(х) на сегменте [а, Ь]:	п
Еп ==	, M-h (•^A'+l	%k)’
п— 1
*) Ниже (стр. 143) будет показана аналогичная связь между лебеговой мерой множества и интегралом Лебега от характеристической функции этого множества.
134
Сна будет в точности равна сумме длин элементарных интервалов (хг, xi+1) разбиения, включающих в себя хотя бы одну точку множества Е. Следовательно, при стремлении наибольшей из длин элементарного сегмента а к нулю Sn будет иметь своим пределом внешнюю меру Е по Жордану, а с другой стороны, пределом для Sn при а —> 0 является I. Аналогично доказывается справедливость того, что нижний интеграл Дарбу равен внутренней мере множества по Жордану.
Следствие. Если в условиях теоремы , то множество Е измеримо по Жордану и ь
mes Е = (Е) $ е (х) dx.
а
Попутно следует отметить, что множество М точек разрыва функции е(х) совпадает с множеством граничных точек множества Е. В данном случае mesAI — тМ = 0.
§ 3. Интеграл Стилтьеса
Ближайшим обобщением интеграла Римана является интеграл Стилтьеса *), имеющий широкое применение в теории вероятностей, механике, теории сооружений **).
Пусть на сегменте [а, 6] заданы две ограниченные функции: f(x) и g(x). Разобьем сегмент произвольным образом на части точками деления
а = х0 < X! <... < хл_! < хл = Ь.
Обозначим длину наибольшей из этих частей через а. Выберем в каждой части сегмента [xz_1( xj по точке Ег. Образуем сумму:
= У f (М [g (х;) — g (x;_i)]. i=l
Эта сумма называется интегральной сумммой Стилтьеса. Определение. Если существует предел интегральной суммы Стилтьеса	п
lim = lim 2 f(^i) [g(xi) — g(xi^)] a —» 0	a—
независимо от способа разбиения сегмента и выбора точек то этот предел называется интегралом Стилтьеса функции f(x) по функции g(x) на сегменте [а, Ь] и обозначается ь
\f (x)dg(x).
а
*) Стилтьес (1854— 1894) — голландский математик.
**) Подробно теория интеграла Стилтьеса изложена в книге [6].
135
Если интеграл Стилтьеса функции f(x) по функции g(x) существует, то функция f (х) называется интегрируемой пр функции g(x) на сегменте [а, &].
Как это видно из определения, интеграл Стилтьеса отличается от интеграла Римана тем, что в качестве второго множителя в каждом слагаемом интегральной суммы берется не приращение аргумента, как в случае интеграла Римана, а приращение функции g(x). При g(x) = x интеграл Стилтьеса превращается в интеграл Римана.
Обозначим верхнюю и нижнюю грани функции /(х) на сегменте [x,_i, хг] соответственно через и пц (эти грани на основании теоремы 24.2, стр. 48, существуют). Образуем две суммы:
S« =	[g(x,) — £(*/_!)],
i==]
5?=	Ig(Xi) —
г=1
назовем их соответственно верхней и нижней суммами Дарбу — Стилтьеса.
Эти верхняя и нижняя суммы Дарбу — Стилтьеса для случая монотонного возрастания функции g(x) обладают соответственно свойствами верхней и нижней сумм Дарбу, перечисленными на странице 127, а именно:
1)
2)	Sa = inf 5а = 8ир5а.
3)	При прибавлении новых точек деления нижняя сумма может только возрастать, а верхняя только убывать.
4)	Каждая нижняя сумма не превышает каждой верхней независимо от того, к какому разбиению сегмента они относятся.
5)	Существует нижняя грань I множества всевозможных значений верхних сумм и верхняя грань I множества всевозможных значений нижних сумм для данного сегмента [а, Ь] и данных ограниченных функций f(x) и g(x)', при этом
6)	При стремлении а к нулю нижняя и верхняя суммы любого разбиения, удовлетворяющего условию:
max (х;— х;_ 1) == а, стремятся соответственно к пределам:
lim Sa= I,	Г.
a — 0~	~ a — 0
Доказательство существования этих свойств буквально такое же, как и на странице 127, только всюду вместо х*_ъ х', х*
136
в выкладках учитываются соответственно значения функции: g(xt!_l'), g(xk).
Рассмотрим один из видов достаточных условий существования интеграла Стилтьеса.
Теорема 4.6. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [а, Ь], а функция g (х) имеет на этом сегменте ограниченное изменение, то интеграл Стилтьеса функции f (х) по функции g (х) на сегменте [а, Ь] существует.
Пусть функция g(x) монотонно возрастает. Мы потом снимем это ограничение.
Разность Sa— Sa для любого разбиения сегмента [а, 6] становится сколь угодно малой по мере стремления а к нулю, так как
— 2 = 2 0м(xi) — 8 (x.-i)l
i=l
п
ш 2 te —s ^i-1)]=uVbg, i= 1
где w — наибольшее колебание функции f(x) на промежутках [х'м, хг] разбиения сегмента [a, b], Vbag—полное изменение функции g-(x) на сегменте [а, 6]. Заставляя а стремиться к нулю, мы получим стремление к нулю величины w независимо от расположения точек деления благодаря равномерной непрерывности функции f (х) на сегменте [а, 6]. Иначе говоря, для всякого е найдется такое 8, что при а<^о окажется, что
8а-83^г1-К = г,	(1)
где K=Vbg есть полное изменение функции g(x) на сегменте [а, 6].
На основании свойства 5 имеем:	I I Сравнивая
это с неравенством (1), получаем: I — Isie, или благодаря произвольности е 1 = 1. Обозначив общее значение I и I через I, получим, с одной стороны,
и, с другой стороны, на основании свойства 1
отсюда	ц-sj^
следовательно, I является пределом для Sa при а->0, т. е. инте-ь
грал (f(x)dg(x) существует и равен I. а
Пусть теперь функция g(x) есть функция с ограниченным изменением на сегменте [а, 6] общего вида. Представим g(x) как
137
разность двух монотонных возрастающих функций g, (х) — g.2 (х), что на основании теоремы 14.3 (стр. 86) всегда возможно Тогда
1™ У НЪ) tg(xi') — g(x,-_i)] = lim S/ЧМ [gi CM — £1 (*«-1)1 “
a — 0i = 1	a-»0i==1
— lim 2 ft (fa) [ga (Xt) — g2 (xz_ j)],
а последние пределы по доказанному существуют; значит, суще-ft
ствует и интеграл \f (х) dg(x). а
Ряд свойств интеграла Стилтьеса непосредственно получается из его определения:
*
1)	$ dg(x) = g(b) — g(a). а
b	Ъ	Ъ
2)	$ [ft (х)± fa(х)] dg(x) = <\j fa(x)dg(x)±\fa(x) dg(x). а	а	а
Доказательство. b	п
5 1А W ± А (*)] dg (х) = lim У }fa (fa) ± fa (Sf)} • {g(х;) — g (хг_,)} = a
= !'m У fa (Sf) {g(xf) — g (Xi_j)} ± lim £ fa (S£) {g(xf) — g(x< _j)} = a -* Oj _. i	a — ot-= J
ъ	b
= $ ft (x) dg (x) ± fa (x) dg (x). a	a
b	b	b
3)	5 f (X) d [gi (X) ± g3 (x)J = \ f (x) dgi (x) ± 5 f (x) dgi (x), a	a	a
в чем также убеждаемся, составив интегральные суммы Сгилтьеса и перейдя к пределу.
ft	ь
4)	kf(x) dg(x) = k\f(x) dg(x). а	а
Рассуждения подобны предыдущему.
Укажем на один распространенный элементарный случай, когда вычисление интеграла Стилтьеса сводится к обычному интегрированию по Риману *). Пусть в интеграле
ь
\f(x)dg(x) а
*) Изложение вопросов, связанных с вычислением интеграла Стилтьеса, можно найти в книгах [6], [28], [36].
138
функция f(x) интегрируема по Риману на сегменте [а, &], а функция g (х) в каждой точке сегмента [а, Ь] имеет производную^(х), интегрируемую по Риману; тогда
ъ	ь
$ f (х) dg(x)=\f (x)g'(x) dx, a	a
так как
b	n
5 f (x) dg (x) = lim 2 f fr) [g (X,) — g (x,- _1)] =
= lim 2 f &) g' (°i) (xi — xi-i), a - 0,j
где 9; — некоторая внутренняя точка сегмента [x,_i, х;]. Положим, что£; = 0;; тогда последний предел благодаря интегрируемости функций f(x) и ц'(х), а следовательно, и их произведения по Риману существует и равен интегралу Римана, стоящему в правой части доказываемого равенства *).
§ 4. Интеграл Лебега
В § 2 мы столкнулись с функциями, ограниченными на сегменте и не интегрируемыми на нем по Риману (см. пример на стр. 134). В целях обобщения понятия интеграла на более широкий класс функций применяется определение интеграла, введенное в математику Лебегом.
Пусть на измеримом множестве Е определена измеримая ограниченная функция f(x): ms^f(x)<^M, где М и т— данные числа. Разобьем сегмент [т, М], лежащий на координатной оси Оу (а не на оси Ох!), на части точками деления т — yn<Zyi <С- •  <Zyn = М.
п — 1
Пусть a = max(//i + 1 — у;). Составим сумму: Sa= 2 У1т^ (У1^= i = 0
=sSf<^« + j)> гле mE(yi + i) — мера той части множества Е (эта часть измерима на основании определения измеримой функции), для которой значения функции f во всех точках этой части множества подчинены неравенствам, указанным в скобках.
Составленная сумма называется интегральной суммой Лебега.
Определение. Предел интегральной суммы Лебега ЕГ1 — — У1; У1тЕ (У1	+ i) пРи стремлении а к нулю называется
интегралом Лебега функции f(x) на множестве Е.
*) Изучаемый в курсе математического анализа криволинейный интеграл второго рода сводится к интегралу Стилтьеса (см. [36]).
139
Интеграл Лебега обозначается (Z.) ^f(x)dx, или просто \f(x)dx, Е	Е
если же множество Е есть сегмент [а, &], то эти обозначения принимают вид:
ь	ь
(L) § / (х) dx, или просто § f (х) dx. а	а
Теорема 5.6. Интеграл Лебега измеримой ограниченной функции f (х), определенной на измеримом множестве Е, по этому множеству существует.
Сведем вопрос о существовании интеграла Лебега к вопросу о существовании некоторого интеграла Стилтьеса:
lim У PtmE (yi sS f sS yi+1) = lim 2 \mE (^+1 > /) “
B->0 ( = 0	ct^1 i = 0
n—1	Л1
— mE {tjt > /)} = lim 2 di {ё(У^ — g (0/)} = $ ydg(У)> я-*0 >=о	m
где через g(y) обозначено g(у) = mE (y^> f). Функция f(y) = y, очевидно, непрерывна, а функция g(y) монотонна, так как если т0 тЕ (У1 f) < тЕ (Hi Z> f)- Отсюда существование последнего предела в рассматриваемой цепи равенств становится на основании теоремы о существовании интеграла Стилтьеса (стр. 137) доказанным, чем и заканчивается доказательство теоремы о существовании интеграла Лебега.
Из доказательства теоремы следует, что класс интегрируемых по Лебегу функций так же широк, как широк класс ограниченных измеримых функций. Перечислим следующие свойства интеграла Лебега:
1)	(х) dx = 0, если тЕ — 0. Это очевидно, так как мера
Е
всякого подмножества Е (yi f <Z yi+1) также равна нулю, а значит, любая интегральная сумма Лебега равна нулю. Отсюда следует, что на величину интеграла Лебега не влияют значения, принимаемые подынтегральной функцией f(x) на множестве foG <Л_Е при условии тЕ0 — 0. Такими подмножествами при интегрировании по Лебегу можно просто пренебрегать.
2)	Если A^f-^B, то AmE-<i^f(x)dx-<:BmE.
Е
Справедливость ее видна из рассмотрения интегральных сумм для интеграла Лебега $ <?i(x)dx(i = 1, 2, 3) в случае
Е
<?1(х) = Л, ^(x)~f(x), <р3(х)==В.
140
Л—I
Действительно, У, у^тЕ	y^i) для <pt (х) = А окажется
«=о
состоящей из одного слагаемого:
yilmE(yoszA<^y1) = ynmE, так как E(yosz А <^у1) = Е, у0 = А и, таким образом, в этом случае
$ tf>! (х) dx — A- тЕ. Аналогично § ср3 (х) dx = B- тЕ. В то же время
Е	Е
интегральная сумма, составленная для функции ср2 (х) = f (х), удовлетворяет соотношениям
п—\	л—1
= У АтЕ(у{^1<^У,+1)^Ху1тЕ (yt^ 0	i=0
и—1
f < У,+1~) «s s ВтВ (У( < f < yt+i) = ВтЕ-i—0
Переход к пределу убеждает нас в справедливости утверждения. Отсюда следует: если f(x) = C, то J f(x)(dx)—СтЕ.
Е
3)	Если Е = Ei 4" Е.г, где £1f)£2 = 0, то \tf(x)dx= $ f(x)dx-]- § f(x)dx. Е	El	Е%
Это видно из следующих рассуждений:
л—1
5f(x)cfx = lim	(«/,-< f<yz+1) =
Е	“—° i=l
и—1	и—1
= lim 2 z/;m£i (у,- f < у^) + lim //гт£3 (yt f < a—*0 i=0	а—-° i = 0
4.	Если на множестве £ определены две функции f(x) и ср (х), такие, что тЕ (f ср) — 0, то § f (х) dx — $ ср (х) dx. Для обосно-
Е	Е
вания последнего равенства обозначим: E(f <f) = El: ^f(x)dx= f (*) + $ f W ^х> E	E-Et	Ei
cp (x) dx = J cp (x) dx 4- cp (x) dx.
E	E-Ei	Et
Сравнивая правые части равенства, убеждаемся в том, что первые слагаемые в них равны благодаря совпадению функций f (х) и ср (х) на множестве £ — £ь вторые слагаемые — нулю на основании 1.
5.	Если функция f (х) интегрируема по Риману на сегменте [а,6], то она а) интегрируема по Лебегу на сегменте и б) интегралы функции на сегменте по Риману и по Лебегу равны.
141
Докажем справедливость этого утверждения.
Действительно, пусть Е — множество точек разрыва функции f (х) на сегменте S = [а, Ь]. Пусть мера этого множества тЕ = 0. Докажем, что в этом случае множество
M = S(f^A),
представляющее собой часть сегмента S, в точках которого f А (Л — произвольно действительное число), измеримо. Очевидно, что
М = М — M'(S — М),
где М — замыкание множества М, М’ — множество предельных точек множества М.
Для доказательства леммы нужно доказать только, что множество М'(S — М) измеримо, так как М замкнуто, а следовательно, измеримо. Множество М как разность двух измеримых множеств окажется тогда множеством измеримым.
Докажем, что множество М’ (S — М) измеримо. Нетрудно видеть, что
M'(S — M)(ZE,
так как всякая предельная точка М, не принадлежащая множеству М, принадлежит Е. В самом деле, пусть '£ — предельная точка М. Допустим, что в точке Е функция f(x) непрерывна. Тогда f(^)<^A, и это неравенство остается справедливым для некоторой окрестности U (?, е) точки. Следовательно, Е не может быть предельной для М. Отсюда, если Е — предельная точка М, не принадлежащая ему (/(;)<^Л), то 5 есть точка разрыва, т. е. точка, принадлежащая Е. Так как мера mE = Q, то всякая его часть, в том числе и М' (S — М), есть измеримое множество нулевой меры.
Разобьем сегмент [а, 6] точками деления а = Хо< *!<?•• .= 6 и обозначим через М, и mt верхнюю и нижнюю 1рани функции f(x) на сегменте [лу, х/+1]. Тогда на основании 2
mt (х,-+1 — х) (Z.) f (х) dx «S 2Иг — х().
Просуммировав по индексу i, имеем на основании 3: и—1	b	и—1
У mt (х,+1 — х>) (L) V W dx «S У Mi (xi+1 — Xi). i=0	a	i =0
b
Между теми же суммами заключен и (R) f (х) dx. а
Переходя к пределу при а->0, получаем: ь	ь
(L) $ f (х) dx = (R) (x) dx. a	a
142
Примеры.
Функция Дирихле <?(х) (см. пример на стр. 134) интегрируема по Лебегу, так как J <р (х) dx — j ср (х) <р (х) dx, где/—множество ирраци-о	I	R
опальных точек сегмента [0, 1], /?— множество рациональных точек сегмента [0, 1]. Но	г
\ <р (х) dx — О
/
на основании 5, так так <р (х) = 0 па множестве /, j<p(x)dx = 0 на основа-
нии 1, так как mR — Q. Функция Римана (см. пример на стр. 78) интегрируема по Лебегу, и интеграл ее на любом сегменте равен нулю. Рассуждения те же, что и в предыдущем примере.
Любым образом определенная на множестве Кантора и равная, например, 1 вне его, функция f (х) интегрируема по Лебегу на сегменте [0, 1], и интеграл ее на этом сегменте равен 1.
В заключение изложения теории интеграла Лебега отметим, что интеграл Лебега от характеристической функции е(х) по измеримому множеству Е равен лебеговой мере этого множества
dx = mE,
Е
что непосредственно следует из рассмотрения интегральной суммы Лебега, в которой в этом случае все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного, равного тЕ для любого разбиения.
Это позволяет, во-первых, установить некоторую аналогию между интегралами Римана и Лебега, с одной стороны, и мерами Жордана и Лебега — с другой, а именно: жорданова мера множества связана с интегралом Римана соотношением
ь
mes E = (R) е (х) dx, а
а лебегова мера множества — аналогично
mE = (L) ^e(x)dx, Е
и, во-вторых, отметить принципиальную разницу в самом построении теории интеграла Лебега, которая никак не исчерпывается бросающимся на первый взгляд различием в разбиении сегмента не на оси Ох, как это делается для вычисления интегральной суммы Римана, а на оси Оу.
Интеграл Лебега имеет широкое применение *).
Упражнения к главе VI
1.	Докажите, что функция f(x)—0, если х £ Ро, где Ро — канторово множество, f (х) — хср, где хср—абсцисса середины смежного интервала, если х принадлежит смежному интервалу, интегрируема по Риману.
*) Понятие интеграла Лебега некоторым предельным переходом обобщается на случай неограниченной измеримой функции (см. [4], [28]).
143
2.	Какой особенностью отличается множество точек разрыва ограниченной функции, которая является интегрируемой по Лебегу, но не интегрируемой по Риману? Приведите примеры таких функций.
3.	Почему всякая функция с ограниченным изменением интегрируема по Риману?
4.	Составьте интегральную сумму Лебега для функции /(х) = [х], проведя фактически все подсчеты для сегмента OsgxsgS. Убедитесь в том,
5
что предел этой суммы совпадает с (R) f (х) dx.
о
5.	Составьте интегральную сумму Лебега для функции /(x) = sinx на сегменте [0, 1]. Покажите, какой площади на чертеже соответствует составленная сумма.
6.	Вычислите интеграл Лебега функции/(х) =ср (х), если х рационально, /(х) =	(х)]2, если х иррационально, где <? (х) — некоторая непрерывная
функция на множестве точек сегмента [0, 1].
7.	Вычислите интеграл Лебега функции, построенной Вами в упражнении 4 предыдущей главы на множество точек сегмента [j),
8.	Приведите примеры функций, интегрируемых по Лебегу, но не интегрируемых по Риману.
9.	Найдите для последних верхние и нижние интегралы Дарбу.
10.	Постройте несколько интегральных сумм Лебега для функции _у = = х[1—<р(х)], гДе ? (х)— функция Дирихле, на [0, 1]. Вычислите этот интеграл.
ь	ь
11.	Докажите, что (L) j f (х) {1 — у (х)] dx =	(х) dx, где tp (х) — функ-
а	а
ция Дирихле, a f (х) — любая функция, интегрируемая по Лебегу.
Часть вторая. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
В первой части книги мы изучили точечные множества пространства Еп и определенные на них функции, значительно обобщив тем самым основное понятие математического анализа — понятие функциональной зависимости. Современная практика применения математики требует еще больших обобщений.
Раздел математики, который мы теперь начинаем изучать, называется функциональным анализом.
Функциональный анализ изучает конечномерные и бесконечномерные пространства, состоящие из функций, векторов, матриц, последовательностей и других более сложных математических объектов. В функциональном анализе соединяются воедино математический анализ, теория функций и теория множеств, алгебра и геометрия. Здесь дается самое полное, самое глубокое представление о функциональной зависимости.
Представьте себе материальную точку, которая двигается в вертикальной плоскости по некоторой кривой, совершая путь между двумя данными точками А, В данной плоскости (рис. 28). Очевидно, что время движения материальной точки зависит от вида кривой, по которой совершается движение. Таким образом, здесь мы встречаемся с видом функциональной зависимости, более общим, чем изученные ранее. В качестве аргумента здесь выступает кривая, значениями функции являются числа, определяющие время движения.
Количество материала, нужного для сооружения башни, представленной на рисунке 29, зависит от того, какую поверхность вращения мы выберем в качестве поверхности, соединяющей два заданных основания М и N. Здесь в качестве аргумента уже берутся поверхности, значения функции — числа, определяющие количество необходимого материала.
Возникает вопрос: можно ли вообще на множестве А, состоящем из элементов произвольной природы, определить некоторую функцию? Другими словами, можно ли отобразить множество А на некоторое числовое (пока мы этим ограничимся) множество и как это сделать так, чтобы введенная функциональная зависи
145
мость могла быть использована для практических применений? Можно поставить и такой вопрос: как сделать так, чтобы достаточно близким в определенном смысле значениям аргумента соответствовали бы сколь угодно близкие значения функции?
Нетрудно видеть, что последнее свойство является чрезвычайно важным. Множество А целесообразно рассматривать как область определения функции тогда, когда в нем будут введены какие-то правила, определяющие близость его элементов, или правила, позволяющие совершить предельный переход.
Задачами этой части книги являются, во-первых, изучение множеств, для которых (по какому-либо закону) установлено рас
стояние между элементами (ме-трические пространства, линейные пространства), и, в о-в то-
Рис. 29
Рис. 28
рых, изучение свойств отображений пространств на числовую прямую (функционалы) и пространства на пространство (операторы).
В дальнейшем мы увидим, что непрерывный функционал обладает многими свойствами, присущими непрерывным функциям, а операторы играют роль самого современного, самого общего понятия функции.
Как самостоятельная ветвь математики, функциональный анализ сложился в конце XVIII—начале XIX в. Первые работы по функциональному анализу принадлежат итальянскому математику Вольтерра, французскому математику Пуанкаре и немецкому математику Гильберту. Метрические пространства введены в науку французским математиком Фреше в начале XX в., нормированные пространства — в 1922 г. польским математиком Банахом и независимо от него американским математиком Н. Винером. В Советском Союзе пропаганда идей функционального анализа началась со статьей Л. А. Люстерника и В. В. Немыцкого ([20], [29]).
Глава VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1.	Основные понятия
В математическом анализе, как известно, одним из самых важных понятий было понятие предельного перехода. То же относится и к функциональному анализу.
146
Определение. Множество, состоящее из элементов любой природы, для которого установлено понятие предельного перехода, называется абстрактным пространством.
Самым простым, но не единственным способом введения предельного перехода в множество является его метризация, т. е. введение закона определения расстояния между элементами множества.
Определение. Метрическим пространством называется произвольное множество R некоторых элементов, называемых точками, в котором для любых двух точек х, y^ R определено число р(х,у)—расстояние от х до у (метрика) так, что выполняются следующие условия (аксиомы):
1°.р (х, у) = р (у, х) для любых х и у (аксиома симметрии);
2°. р (х, у))>0 при х у, р (х, х) = 0 для любого х (аксиома тождества);
3°. р (х, у} -J- р (у, z) р (х, z) (аксиома треугольника).
Так, например:
1)	евклидовы пространства £,, £а, ..., Еп являются метрическими пространствами;
2)	пространство, составленное из непрерывных функций у— у (х), определенных на сегменте [а, Ь], при условии
p(A/i, У-2)= sup I у, (х) — у, (х) |
х £ [а. *|
является метрическим пространством. Условимся впредь обозначать это пространство С\а, Ь] или С;
3)	множество 'точек земной поверхности в горной местности, расстояние между которыми определяется промежутком времени движения путешественника от течки к точке, метрическим пространством не будет, так как здесь не будет выполняться аксиома симметрии*).
Замечание 1. Очевидно, имея одно множество и метризуя его различными способами (определяя расстояние между элементами множества по-разному), мы получим различные метрические пространства.
Замечание 2. Всякое подмножество^ метрического пространства R в свою очередь является метрическим пространством с той же ме!рикой, что и в R.
Определение. Последовательность xlt ха, ..., хп, ... точек метрического пространства R имеет своим пределом точку a£R:
lim хп = а, п -* со
если числовая последовательность р(хь а), р(х>, а), ... сходится к нулю-.
Пптр(хя, а) = 0.
п -* со
*) Примеры метрических пространств см., кроме того, в § 2.
147
§ 2.	Примеры метрических пространств
Кроме примеров, перечисленных в § 1, рассмотрим ряд метрических пространств, имеющих широкое применение.
1)	Координатное пространство Гильберта /а определяется как множество числовых последовательностей x(xlt ха, ...), для кото-
СО
рых ряд ^х* сходится; метрика определяется по аналогии с ев-
1 = 1
клидовым пространством: если x(xlt ха, ...) и z/a, ..•) суть точки гильбертова пространства, то
/ОО
2)	Пространство	есть множество всех числовых по-
следовательностей х(х{, хг, ...), для которых ряд У, сходится i=i
и расстояние определяется по формуле
со	1
?(х> y) = {H\xi — yi\P}P i = l
(в частности, при р = 2 получаем гильбертово пространство). Расстояние, определенное в этом примере, а следовательно, в частности, и в предыдущем примере, удовлетворяет всем аксиомам метрики. Справедливость этого утверждения для аксиом симметрии и тождества очевидна. Справедливость аксиомы треугольника вытекает из известного неравенства Минковского *):
:== 1	i = l	i=l
Положив в неравенстве аг = х;— z/,-, bi — yi— zh учтя его справедливость для любого п и перейдя к пределу, получим:
00	1 СО	1 ОО	_£
{2 IX,- - г,- |р}р { У | Xi - yi |₽}р + {У | У1 -	.
i= 1	i = 1	i = 1
3)	Пространство La есть множество всех измеримых функций х(/), определенных на сегменте [а, Ь\, для которых существует интеграл в смысле Лебега:
ь
а
*) Вывод неравенства Минковского см., например, [36].
148
метрика в La определяется формулой
р(х. У)=у $1* V) — У (OP dt, а
функции х(/), Я (7), отличающиеся друг от друга на множестве меры нуль точек сегмента [а, Ь], считаются совпадающими.
4)	Пространство Lp есть множество всех измеримых функций x(t), определенных на сегменте [а, &], для которых существует интеграл в смысле Лебега:
ь
dt,
а
метрика в Lp определяется формулой
ь	1
Р(М i/) = {S [I	- y(t) Н dt}p
а
(в частности, при р = 2 получаем пространство Д). Функции x(t) и x(f), отличающиеся друг от друга лишь только на множестве меры нуль точек сегмента [а, Ь], считаются совпадающими. Для доказательства того, что расстояние, определенное в двух последних примерах, удовлетворяет всем аксиомам метрики, примем во внимание неравенство Минковского в интегральной форме:
ь	1 ь кь J_
{^\f + s\pdt}p ^{\\f\pdt}p +{\\g\pdt}p. a	a	a
При помощи рассуждений, подобных приведенным в примере 2, легко убедиться в выполнении аксиом треугольника. Выполнение аксиом симметрии и тождества очевидно.
5)	Пространство т есть множество всех ограниченных последовательностей действительных чисел х (хь хг, ...). Расстояние определяется формулой
р(Х, Z/) = SUp|X; — уф i
Выполнение аксиом метрики очевидно.
§ 3.	Полнота метрических пространств
Определение 1. Последовательность {хп} точек метрического пространства R называется фундаментальной, если р (хт, хп) -> О при т, п-+оо.
Определение 2. Метрическое пространство R называется полным, если в нем каждая фундаментальная последовательность сходится, т. е. если для каждой фундаментальной последовательности {хя} существует такая точка x^^R, что lirnx„ = x0.
п ОО
149
На основании этих определений легко обобщается на полные метрические пространства необходимый и достаточный признак Коши сходимости последовательности.
Теорема 1.7. Для сходимости последовательности точек полного метрического пространства необходима и достаточна ее фундаментальность.
Доказательство. Докажем сначала необходимость. Пусть {xn}-+x<,£R. Тогда для любого сколь угодно малого е^>0 найдется таксе N, что для всех т, п^> N будут выполняться неравенства:
Р (^ni *о)	2 ’
Р (^1л> Хо)	~2 •
Складывая эти неравенства и применяя аксиому треугольника, получаем:
р(хя, хт)^р(х„, х0) + р(хт, х0)<е.
Достаточность следует из определения 2.
Все рассмотренные ранее метрические пространства £„(nSsl), С, L, 1Р, Ц, Lp полны. Проверим это.
1)	Пространство Еп. Сходимость последовательности точек этого пространства, как известно*), равносильна сходимости по координатам. Таким образом, из сходимости {xk(x(^, х)2’......х("’)}->
~>хп(х''', хф....х^), что мы предполагаем данным, следует
сходимость xW->xW, 1—1, 2, ..., п. Так как предел каждой сходящейся последовательности координат {х^} (как последовательности действительных чисел) является числом действительным, то точка х0(х*|1>, х^>, , х^)£Е , а это и означает полноту пространства Еп.
2)	Пространство С. Как следует из определения расстояния в пространстве С, сходимость последовательности точек пространства С сводится к равномерной сходимости последовательности непрерывных функций. Пределом такой последовательности является непрерывная функция **), т. е. элемент того же пространства С.
3)	Пространство 1р. Для доказательства полноты пространства /р будем считать, что некоторая последовательность точек {х4 фундаментальна, и докажем, что она сходится, т. е. что в пространстве 1р существует точка х0, такая, что
limxft —х0 Е 1Р-
k-r<X>
*) См., например: Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциальных уравнений, т. I, 1947, стр. 401.
**) См. там же, т. II, 1947, стр. 453.
150
Возьмем произвольное е^>0. Так как данная последовательность является фундаментальной, то для этого е найдется такое число N, что для всех k, N расстояние p(xft,	или
ОО	1
{S14"	IT < «	<|)
i= 1
Отсюда для любого i и любых k, 1^>N\ x'j'' — х<1) |р ер. Следовательно, последовательности {%<')}, i=l, 2, ... фундаментальны, каждая из них сходится к действительным пределам. Обозначим lim х<*> = х(ог) и рассмотрим последовательность x0W”>	•••)•
k —♦со
Докажем, что эта последовательность является элементом пространства 1р. Из (1) следует:
1р<еР-
1 = 1 откуда
т
21Чг'-х<г> Г<ер i = l
при любом т. Пусть в последнем неравенстве	Тогда в пре-
деле получим: т
Ъ\^-^\Р^Р
1 = 1
при любом т, а следовательно,
оо
S14"
1=1
оо
Отсюда и из сходимости ряда У, |х,|р следует сходимость ряда <=1
СО
У, |	|р, что и доказывает принадлежность последовательности
г — 1
Ло(4"> 42!. •••) к пространству 1р.
Полнота пространства /9 следует из доказанного как частный случай.
4)	Пространства Lp, Ц полны *>.
5)	Пространство т полно. Пусть х" — фундаментальная последовательность элементов пространства т. Это значит, что для любого еУ 0 существует такое N, что для всех п, m^>N выполняется неравенство р(х(т), х(Л))<У Так как
p(x(m), x(zz)) = suр |	— W | <4,
*) Доказательство этого читатель найдет в учебнике Л. А. Люстерника и В. И. Соболева [21], стр. 35.
151
то
) 5(7) — 5(7) I <Г®	(2)
для любого I. Отсюда следует, что последовательность действительных чисел фундаментальна, т. е. существует предел
k -+ со
Заставив п стремиться к бесконечности в неравенстве (2), полу-
чим:	1^) —£<1<Л
откуда
Следовательно,	^т) с	। с,
т. е. последовательность (5г, £а,...) = limxt-'I) ограничена и, зна-п-*со
чит, она принадлежит пространству т.
§ 4. Теорема о замкнутых шарах
Для полных метрических пространств оказывается справедливой теорема, аналогичная известной теореме Кантора о стягивающейся последовательности сегментов. Прежде чем формулировать и доказывать эту теорему, введем определение замкнутого шара.
Определение. Множество всех точек метрического пространства R, находящихся от данной точки x ' R на расстоянии Р (х, х), меньшем или равном заданному числу г, называется замкнутым шаром. Точка х называется центром зтого шара.
Теорема 2.7. Последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров	Д-з ZD Дз О • • •, принадлежащих полному мет-
рическому пространству R:
Кп~ {хп, Р(х, кп)^гп}, п = 1, 2,..., радиусы которых стремятся к нулю при п ->оо, имеет единственную общую точку.
Доказательство. Последовательность {хп} центров шаров фундаментальна, так как всякий следующий шар лежит в предыдущем вместе со своим центром. Для любого е
при достаточно большом k. Предел фундаментальной последова-тельности	limx„ = x0	(1)
благодаря полноте пространства R существует и принадлежит/?. Рассмотрим любой шар Кт последовательности {Д„}. По определению внутри этого шара лежат шары Km+i, Кт^ ••• и их центры. Следовательно, внутри шара Кт лежит и предельная точка х0 множества центров хт, хт+1, ... шаров благодаря замкнутости
152
шара Кт. Так как взятый нами номер т произволен, точка х0 принадлежит всем шарам последовательности. Двух точек, общих для всех шаров последовательности, быть не может, так как две точки, находящиеся на конечном расстоянии друг от друга, не могут одновременно- принадлежать одному и тому же шару диаметра меньшего, чем расстояние между точками.
§ 5. Метод сжатых отображений
Большое применение в математическом анализе, алгебре, теории дифференциальных и интегральных уравнений имеет метод сжатых отображений. Описание его сущности начнем с примеров.
1) На числовой прямой дан сегмент [а, Ь] (рис. 30). Проведем его сжатие. Это значит, что его концы переместятся в новые точки at, b}. Точки, ранее занимавшие положение alt Ьъ переместятся в точки а2, Ь.> и т. д. Интуи-
тивно можно предположить, что на сег-	, , ,	,	.  ,  
менте [а, Ь] существует точка с, которая	а а, аг с b2 b, b
при его сжатии останется неподвижной.
Точнее говоря, сегмент [а, Ь] лежит	Рис. 30
на числовой прямой. Каждой точке х, принадлежащей сегменту [а, Ь], мы ставим в соответствие некоторую точку f (х)	[а, Ь\, которая является отображением точки х.
Неподвижная точка, если она существует, удовлетворяет ра-
венству
x = f(x).
2) Пусть на сегменте [а, Ь] задано множество Е функций
<р (х), таких, что |ср(х) | где х С [a, b], М — некоторое задан-
ное положительное число. Функцию ср £ Е мы
«точкой» множества Е. Если каждой точке <Р С Е поставлена в соответствие некоторая точка Лер того же множества, то будем говорить, что задано отображение А множества Е на себя. Примеры таких отображений:
а)	пусть на сегменте [0,1] задано множество Е функций ср, Е: 1, х, х-, .... Поставим функции хк в соответствие функцию xfc+\ Тогда Лер = х2ср;
б)	положим, что на сегменте
задано множество Е функций ср, Е: {ахл}, где а — данное действительное число, п =
будем
называть
— 1, 2, 3, ... . Поставим в соответствие каждой функции ax’1 функцию kax^1. Тогда Лер = ср'.
Пусть на сегменте [а, Ь} задано некоторое ограниченное множество Е функций ср (х) (рис. 31) и задано отображение Л, такое, что Л ср g Е.
153
Например, отображение А таково, что оно кривую 1 отображает в кривую Г, а кривую 2 в кривую 2' (рис. 31). Неподвижной точкой отображения А, если она существует, является такая функция ср $ Е, которая удовлетворяет равенству ср = Дер.
Определение. Отображение А, заданное в метрическом пространстве R, называется сжатым, если:
1) Ах С R;
2) для любых двух точек х', х" пространства R выполняется неравенство
Р (Ax', Ах") sS 9р «Г), где 0 <4 9 <Д.
Теорема 3.7 (Каччиопполи — Банаха). Сжатое отображение А полного метрического пространства R в себя имеет одну и только одну неподвижную точку.
Доказательство. Пусть х0 — произвольная точка пространства R. Положим, что
х1 = Ах0, Хч = Ахъ .... xn — Axn_i,... .
Покажем, что последовательность {х„} фундаментальна. Пусть т~^>п. Тогда
р (хл, хт) = р (Axn_j, c4tm„i)' : 9р (хл_1, xm_i) =
— ®Р (Ахп_э, 2) ; ® Р	'
~ ® Р (хо. ^т~п) ; ® [Р (-Го>	~Ь Р	~"F • • • Р ^т-п)! " Т
9"р (х0, Х1) [ 1 + 9 + 9'^ + ... 4- б'»—Ч < 9"Р (х0, Х1)	=
Г1)-
Следовательно, при достаточно больших тип число р (хп, хт) сколь угодно мало. Другими словами, для любого е^>0 существует такое N, что для всех п, m^>N расстояние р(хл, xm)<Ze-Из полноты пространства R следует, что предел фундаментальной последовательности {хл} существует и принадлежит R. Обозначим:
lim хп = х. со
Докажем, что х — неподвижная точка отображения А, или
х = Ах.
Это непосредственно следует из перехода к пределу в равенстве
при п—оо.
Докажем единственность неподвижной точки. Предположим, что существуют две неподвижные точки х и х. Тогда
Ах = х, Ах = х.
Расстояние
р(х, х)~ р(Ах, Ах)«^0р(х, х).
154
Это возможно только при р(х, х) = 0. Следовательно, точки х и х совпадают, что опровергает наше предположение и доказывает единственность неподвижной точки.
§ 6. Применение метода сжатых отображений в теории дифференциальных и интегральных уравнений
Пусть в пространстве С, составленном из непрерывных функций у = у(х), задано отображение
= + \ f(x, y)dx„
где f (х, у) — непрерывная функция, удовлетворяющая в области G (as^x^b, M<^y-S:N, где a, b, М, N — заданные числа) условию Липшица, т. е. для любых двух точек (х, уд, (х, уч) области G выполняется условие:
\f(x, yi)—f(x, Уч) | -S L I Z/! — Уч I,
где L — некоторое неотрицательное число, определяемое областью G и не зависящее от положения точек (х, z/J, (х, z/.2) С G. Покажем, что рассмотренное отображение является сжатым при условии достаточной малости |х — х0|.
Действительно, пусть у и гд — произвольные точки пространства С:
Р [Ау, А уд = sup \Ау — Ауд^
х е [a, Z>]
«S sup \ \f(x, y)—f(x, уд\ -\dx\^ x e i«.
X
-C sup L | у — z/!|-|dx| =
X t *1 x„
= L-\x — x0| sup |у — z/j| = 9p(y, yd, x e [a, ft]
где 9 = L | x — x01 < 1 при | x — x01 < y-.
Из полноты пространства С вытекает существование единственной неподвижной точки сжатого отображения А, т. е. существование единственного непрерывного решения уравнения у=Лг/или интегрального уравнения
У=Уо+\f(x, y)dx,	(1)
Л'о
при выполнении условий:
a) fix, у) удовлетворяет условию Липшица с константой L;
б)|* — (2)
155
Так как интегральное уравнение (1) эквивалентно дифференциальному уравнению
(/=/(%, у)	(3)
с начальными условиями у0 = у(х0), то тем самым нами доказана теорема существования и единственности решения для дифференциального уравнения (3) при выполнении условий (2).
Рассматривая решение дифференциального уравнения (3) как предел последовательности функций:
г/1 = Ду0> yi = Aylt ...,
мы можем считать функции yit у.2, ... последовательными приближениями решения. Вытекающий отсюда метод построения последовательных приближений решения уравнения (3) был введен в математику французским ученым Пикаром * **)) на основе несколько иного подхода к этому вопросу. Нетрудно найти оценку модуля разности:
I у W - Уп (х) |	* *>,
где у (х) — искомое решение, уп (х) — его п-е приближение, М = — max (| Л4 j, |7V|) — число, удовлетворяющее условию:
М 2г max\f (х, у)\.
§ 7. Применение метода сжатых отображений в алгебре
Рассмотрим алгебраическое или трансцендентное уравнение x — f(x)=0.	(1)
К такой форме приводится любое уравнение вида F (х) = 0. Предположим, что функция f(x) непрерывна, дифференцируема в промежутке [а, 6] и удовлетворяет в этом промежутке условиям:
f (х) ЕАа> b] при х £ [a, b] f (х) | -с k 1.
В этих условиях уравнение (1) имеет в промежутке [а, 6] единственный действительный корень. Доказывается это также методом сжатых отображений. Рассмотрим множество действительных чисел как полное метрическое пространство с метрикой р(х’, х") = \х' — х"|, отображаемое в себя, и положим, что отображение Ax = f(x). Если мы докажем сжатость этого отображения, то тем самым будет доказано существование единственной неподвижной точки х, или, другими словами, существование единственного действительного корня уравнения х — Ax = f (х).
*) Pirard Emile, Traite d’Analyse, 3 d. ed. 3 vol., Paris, 1922 —1928.
**) Получение этой оценки см., например, [10].
156
Для доказательства сжатости отображения Ах найдем, как и прежде, выражение для расстояния р(Ах', Ах") через расстояние р (У, х"):
Р (Ax', Ах") = | Ax' — Ах" | = | f (х') — f(x") | =
= \f — x"\^k\x'- x"\ = kP(x', x"),	(2)
так как k 1 по условию отображение сжатое. Следовательно, уравнение (1) имеет единственный действительный корень.
Пусть х0— произвольная точка. Нетрудно видеть, что последовательность точек Х1 = /(Хо)> Х2 = НХ1))...
является фундаментальной и ее предел x=limx„ (а он сущест-
вует благодаря полноте [а, Ь]) есть искомый корень, а числа последовательности {хп} —его последовательные приближения. Можно найти и оценку точности этих приближений. Подставляя в (2) xf — xn, х" = хп + р, получим:
I %п — хп+р | kn | х0 — хр | -С kn | х0 — 1 (1 -j- й -J- /г2 kp). Переходя к пределу при р—>оо, будем иметь:
\xn-x\^k^-x{2Xk1[-
§ 8. Применение метода сжатых отображений в математическом анализе
Из многочисленных применений метода сжатых отображений в математическом анализе укажем только одно. Пусть функция f(x, у) определена в области	—оо <^у <С + оо,
непрерывна по х и имеет ограниченную производную по у, такую, что	(у) Тогда уравнение
f(x, у) = 0
имеет единственное непрерывное решение на сегменте [а, 6].
Рассмотрим полное метрическое пространство С всех непрерывных функций у — у(х), определенных на сегменте [а, 6], и отображение этого пространства в себя:
Ау = у — ^f(x, у).
Повторяя тот же прием, что и ранее, докажем сжатость этого отображения. Пусть ух, у.2 — точки пространства С. Тогда
?(Ayi, Ayi)=.\Ay1 — Ayi\ =
= I [yi — ЛГ f — [f/2 — f (Xiу,)] | =
= | (f/i — У-i) [*> У1 +9 (У-i ~ У1)) (У1 — №) | <
—№l = 9P(Z/i> У*)> где 0<^9<4.
157
Следовательно, для любой точки уа £ С последовательность У1 = Ау0, у* = Ауъ ...
сходится и limz/„ = z/ есть единственное непрерывное решение
уравнения (1), определенное на сегменте [а, Ь], и его последовательными приближениями являются функции у», yi, у^, .... Рассуждая так же, как и в предыдущих случаях, получим оценку:
совпадающую по форме с оценкой, приведенной в предыдущем параграфе.
Доказанная теорема существования неявной функции находит себе следующее практическое применение: пусть требуется вычислить значение непрерывной функции у = <р(х) для данного значения аргумента в том случае, когда непосредственное вычисление этого значения затруднительно. Тогда записывают данную функцию в неявном виде f(x, у) —0, и если /(х, у) непрерывна и имеет ограниченную производную по у:
0<т^|Д|<М, то
f(x, yn) = f(x, yn)—f(x, y) = (yn — y)f'y(x, £„), где = z/4~ a (z/— yn), 0<^a<4, откуда получают:
Значение неизвестно, его заменяют приближенным значением ^n — Уп и далее пользуются итеративной формулой *):
уп+1 = !/п Гу(х,Уу1) ’	П==1, 2............. (1)
Так, например, для вычисления квадратного корня из числа рассматривают функцию
F(x, у) = у* — х = 0, формула для которой приобретает вид:
Уп + 1 — (уп v) > П—1, 2, ...
х Уп '
(процесс Терона). Если в этой формуле положить у0—1, 4, то уже на втором шаге получается результат с точностью до 10’. Метод итерации широко применяется в вычислительной практике.
Обращаем внимание читателя на общность методов последних трех параграфов, несмотря на различие областей применения метода сжатых отображений. Перечисление применения метода сжатых отображений можно было бы продолжить, но это уже далеко выходило бы за пределы задач книги.
*) Различные применения этой формулы см., например, [9].
158
Упражнения к главе VII
1.	Ввести на прямой {—оо<х<оо} метрику по формуле р (х, у) = = | arctg х— arctgy |. Проверить выполнение всех аксиом метрического пространства. Будет ли это пространство полным?
2.	Является ли полным пространство всех числовых последовательностей
X — (£ь	•••> £п» •••)>
У = (11, 12...1П,	•••)>
где	т]п —► 0 при п —► оо , с метрикой по формуле р (х, у) = max | — In I ?
3.	Рассмотреть три пространства функций на прямой:
а)	всех ограниченных непрерывных функций;
б)	всех непрерывных функций, у которых lim f (х) — 0;
I X | — со
в)	всех непрерывных функций, каждая из которых равна нулю вне некоторого интервала.
В этих пространствах вводится метрика по формуле
Р(Л g-) = sup|/(x) — g(x)
X
Будут ли указанные пространства полными?
4.	Введите в трехмерное пространство метрику, отличную от евклидовой, удовлетворяющую аксиомам метрики.
5.	Сделайте то же самое для «-мерного пространства и для множества действительных чисел.
6.	Можно ли ввести метрику для множества, состоящего только из двух элементов, как проверить аксиомы метрики?
7.	Может ли быть, что при введении метрик в множество различные элементы в одной метрике окажутся совпадающими в другой метрике? Приведите примеры.
8.	Постройте самостоятельно метрические пространства, обладающие и не обладающие свойством полноты.
Глава VIII. СЕПАРАБЕЛЬНОСТЬ
И КОМПАКТНОСТЬ
В главе II мы перейдем к изучению таких свойств метрических пространств, которые подчеркивают их сходство с одномерным евклидовым пространством.
§ 1. Сепарабельность пространств Еп>С и 1Р
Дадим ряд определений.
Определение I. Счетное множество D точек метрического пространства R называется счетным скелетом этого пространства, если для любого е0 и любой точки х t^R найдется такая точка x^D, что р(х, х)<^е.
Определение 2. Метрическое пространство R называется сепарабельным, если оно обладает счетным скелетом.
Из определений 1 и 2 следует, что для любой точки х £ R можно построить последовательность точек счетного скелета, сходящуюся к х. Кроме того, из тех же определений следует, что
159
множество D является счетным скелетом пространства R тогда и только тогда, когда его замыкание D совпадает с R: D = R.
Все пространства, рассмотренные ранее в качестве примеров, за исключением пространства т, сепарабельны.
В самом деле, счетным скелетом для Еп является множество рациональных точек пространства. Счетным скелетом для пространства С является множество всех алгебраических многочленов с рациональными коэффициентами *). Сепарабельность пространства 1р мы сейчас докажем.
Доказательство сепарабельности пространства 1Р сводится к доказательству существования счетного множества D последовательностей
СО
*(*!, х2, У, х£<оо,
ft = l
таких, что замыкание D этого вим в соответствие элементу пространства 1Р вида:
множества совпадает с 1р. Поста-х £ 1Р счетное множество точек
0, 0, ...),
(л?!, х2, 0,0,...),
х(л) (лг1( х2................... 0, 0, ...),
Расстояние
1
С	03 А р
р(х, хп) = { Xki
V? = п + 1	/
может быть сделано сколь угодно малым при достаточно большом п как остаток сходящегося ряда. Одновременно с множеством точек рассмотрим множество точек
0, 0,
х12)(Г!, г2, 0, 0, ...),
х'лДг1, г2, •••, гп, 0, 0, ...),
*) Доказательство этого факта основано на известной теореме Вейер-штрасса, вытекающей из теории тригонометрических рядов. См., например, [13], стр. 348.
160
где rlt гг, rn — рациональные числа, такие, что
|ха —г2|
Этот подбор всегда можно сделать. Расстояние
С другой стороны, расстояние
р(х. х(/г))<у
при достаточно большом п. Возьмем всевозможные конечные последовательности рациональных чисел г2,..., гп. Известно, что таких последовательностей существует только счетное множество. Следовательно, множество точек x'ri'> пространства 1Р счетно и в то же время для любой точки х £ 1р
р(х,	х<'1)) + р(*('1).	+ т =
Счетный скелет гильбертова пространства 1р (в частности, и пространства /2) построен.
§ 2. Сепарабельность пространства Lp
Рассмотрим множество ограниченных измеримых функций:
( x(t), если \x(t)\^N, Хл ( N, если \x(t)\^>N.
Очевидно, что для любого е и любой функции х (t) £ Lp можно найти (при достаточно большом Л/) функцию xN(t), такую, что
ь	।
р (х (t), xN (0 = {$ | х Ю -	(t) |р dt]p < ±-.
а
161
Из свойства С следует, что для любого е и любой функции xN(t) среди непрерывных на сегменте [а, &] функций у (/) найдется такая, что
р(М').
И наконец, для любой непрерывной на сегменте [а, 6] функции y(t) найдется многочлен р (t) с рациональными коэффициентами *), такой, что
р(т PW)<i-
Учитывая счетность множества многочленов p(t), найдем оценку:
p(x(0,	//(0) + Р (У (0> Р(0Хр(*(0. хМ +
у (0) 4~ р (у (0> Р (?)) у 4~ у ~г •
Отсюда ясно, что множество многочленов p(t) образует счетный скелет пространства Lp, что и доказывает сепарабельность этого пространства и его частного случая — пространства Д.
§ 3. Пространство т как пример несепарабепьного пространства
Для доказательства несепарабельности пространства т рассмотрим множество М его элементов х(х{, х>, ...), где хг равно 0 или 1. Очевидно, что все эти элементы действительно принадлежат т по определению. В то же время расстояние между любыми двумя элементами множества М равно 1. Так как множество М эквивалентно множеству всех двоичных дробей вида:
0, й! а.2 ... а, ...,
где at равно 1 или 0, то оно несчетно. Зададим -^>е> 0. Предположим, что существует множество D^m, такое, что расстояние
р(х, х)<е<у, где x£D.	(1)
Тогда разным точкам х будут соответствовать различные точки множества D, удовлетворяющие условию (1), так как в противном случае
р(х,
р(Х, Х2)<у, откуда
р(*1, ^)<р(Х, Xi)-^p(X, хг)<^^-,
*) См. сноску на стр. 160.
162
в то время как р(хь х3)=1. Таким образом, мощность множества D не может быть меньше мощности множества М. Следовательно, множество D несчетно, и пространство т счетным скелетом обладать не может.
§ 4. Компактность множеств пространства Еп
Из ограниченности последовательности точек евклидова пространства, как известно, следует возможность выделения из этой последовательности сходящейся подпоследовательности (теорема Больцано — ВейерштрасСа). Однако этот факт наблюдается далеко не во всех метрических пространствах. Так, например, последовательность точек
х,(1. О, 0, ...),
ха(0, 1, 0, ...),
в пространстве т располагается в замкнутой сфере радиуса 1, следовательно, она ограничена. Но из этой последовательности нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность из-за того, что расстояние между любыми двумя точками последовательности
р(х;,	i^k.
Определение. Множество А, содержащееся в метрическом пространстве R, называется компа кт ным, если из любой бесконечной последовательности точек множества можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Если пределы указанных подпоследовательностей принадлежат А, то множество А называется компактным в себе, если же эти пределы принадлежат пространству R, не принадлежа, . может быть, множеству А, то множество А называется компактным в пространстве (относительно пространства).
Из определения следует, что, для того чтобы множество было компактно в себе, необходимо и достаточно, чтобы оно было компактным в пространстве R и замкнутым.
Рассмотрим некоторые свойства компактных множеств.
Теорема 1.8. Всякое бесконечное ограниченное множество точек п-мерного евклидова пространства компактно.
Доказательство этой теоремы сводится к доказательству теоремы (13.2), изложенной в первой части данной книги.
Теорема 2.8. Всякое компактное множество ограничено.
Доказательство. Предположим, что данное множество не ограничено. В этом случае всегда можно построить последовательность точек {.«„} данного множества, такую, что
Р(*1, Хп)^П,
?{Xk, ^+i)Ss 1, k= 1, 2, ....
163
Никакая подпоследовательность такой последовательности не может быть фундаментальной. Полученное противоречие доказывает неправильность предположения.
Таким образом, в качестве примеров компактных множеств можно привести любые ограниченные множества точек и-мерного евклидова пространства, так как для множеств пространства Е„ необходимым и достаточным условием компактности является их ограниченность.
§ 5. Общий критерий компактности
Рассмотрим теперь общий критерий компактности множества метрического пространства, справедливый в любом метрическом пространстве. Ниже будут рассмотрены отдельные критерии компактности для множеств конкретных метрических пространств.
Определение. Множество Е метрического пространства R называется г-сетью для множества М C2R, где е — заданное положительное число, если для каждой точки х^М в множестве Е найдется такая точка х, что р (х, х) <Д е.
Теорема 3.8 (Хаус дор фа). Для компактности множества М метрического пространства R необходимо, а в случае полноты R и достаточно, чтобы для любого е существовала конечная е-сеть.
Доказательство. Докажем сначала необходимость. Пусть множество М компактно. Зададим е. Возьмем точку хг М. Тогда либо точка Xt представляет собой е-сеть, т. е. р(х, хг)<^&, где х — любая точка множества М, либо найдутся точки множества М, находящиеся от xt на расстоянии, большем или равном &. Возьмем одну из таких точек и назовем ее х2. Тогда либо точки Xi и Хч представляют собой е-сеть для множества М, либо найдутся точки множества М, такие, что расстояния от них до каждой из точек больше или равны е. Продолжая эти рассуждения, построим последовательность точек хь х2, ..., х/г. Эта последовательность необходимо оборвется на некотором конечном шаге, так как в противном случае в компактном множестве М содержалась бы бесконечная последовательность, из которой нельзя было бы выделить сходящуюся подпоследовательность. (Расстояние между любыми двумя точками последовательности по построению больше или равно г!) Построенное конечное множество х1г х.2.......х*
является конечной е-сетью для заданного произвольного г.
Достаточность. Пусть для любого е существует конечная е-сеть. Зададим монотонно убывающую последовательность еъ е2, ...->0.
Построим соответственно для каждого ez, /=1, 2, ... из этой последовательности егсеть:
Х(, Х2, .... Х^,
Xj, Xi.... xj2.
164
Возьмем теперь произвольную бесконечную последовательность {хт} точек множества М и докажем, что из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Окружим каждую точку егсети сферой радиуса sr с центрами этих сфер в точках егсети: х[, х'2, ..Тогда все точки последовательности {хт} окажутся внутри построенных сфер. Так как точек последовательности бесконечно много, а сфер имеется лишь конечное число, то по крайней мере одна из построенных сфер будет содержать в себе бесконечно много точек последовательности {хт}. Назовем эту сферу 7\, а бесконечное множество точек последовательности, включенных в 1\, обозначим через ТИр Рассмотрим точки е2-сети, заключенные в сфере Т2. Окружим каждую из них сферой радиуса е2 с центром в этой точке. Все точки множества окажутся внутри сфер радиуса е.2. Хотя бы одна из таких сфер, обозначим ее Т2, будет заключать в себе бесконечное подмножество М2 множества Мр Продолжая этот процесс, получим последовательность сфер Т2 22)	22)- • • >
последовательность радиусов которых стремится по условию к нулю. Выберем теперь точки последовательности {хт} так, чтобы выполнялись условия:	Л v С
-W. (£ Т3,
Тогда последовательность {xmJ окажется искомой фундаментальной подпоследовательностью последовательности {лет}, предел которой благодаря полноте пространства R принадлежит ему, следовательно, последовательность {хт } сходится.
§ 6. Компактность множеств в пространстве С
В пространстве С существуют ограниченные бесконечные множества непрерывных функций, из которых нельзя выделить сходящиеся (в смысле метрики С) последовательности. Так, например, рассмотрим множество функций
х, х\ х3, ...,
пространства С [0, 11. Нетрудно видеть, что эта ограниченная на сегменте [0, 1] последовательность имеет своей предельной функцией разрывную функцию
( 0, О-Сх< 1,
[ 1, х= 1,
которая не принадлежит пространству С. Всякая подпоследовательность рассмотренной последовательности будет сходиться к той же разрывной функции, т. е. не будет сходиться в пространстве С[0, 1].
Рассмотрим критерий компактности в пространстве С. Введем предварительно два определения.
165
Определение 1. Функции f(х) некоторого множества М называются рае номе рно ограниченными, если для всех функций этого множества существует единая константа k, такая, что
Определение 2. Функции f(x) некоторого множества М называются равностепенно непрерывными, если для любого еД>0 существует такое 8^>0, что
— f(Xi)\ <е, если
| Xf — Хч |	8
для любых Xi, и для любой функции f (х) £ М.
Теорема 4.8 (критерий Арцела компактности в пространстве С). Для того чтобы множество М функций f (х) в пространстве С было компактным, необходимо и достаточно, чтобы функции множества М были равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.
Доказательство. Необходимость. Пусть множествоМ функций f (х) пространства С компактно. Докажем, что функции f (х) £ М равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. Равномерная ограниченность вытекает из ограниченности множества М на основании теоремы 2.2, так как ограниченность множества функций по метрике пространства С обозначает равномерную ограниченность для этого множества функций. Для доказательства равностепенной непрерывности зададим г и построим для множества М конечную у-сеть: Д(х), f-i(x), ..., fk (х). Все функции пространства С, а следовательно, и все функции, входящие £
в у сеть, непрерывны, и каждая из них равномерно непрерывна на сегменте [а, Ь], т. е. для любого е и любого i из набора 1, 2....k найдется такое 8Z, не зависящее от х, что
— А(х2)|<у
при условии | Xi — х^ | <^8Z, где*!, х3— любые точки сегмента [а, £>]. Теперь достаточно взять 8 = min8;, и тогда для любой функции у-сети будет выполняться условие:
\fi W-AMKl,
где Xi, х-2 — любые точки сегмента [а, Ь], удовлетворяющие условию:	— Xi | <^8. Отсюда для любой функции f(x)QM и соот-
ветствующей функции ft(x), входящей в у-сеть, и такой, что
|/(х)—fz(r)|<y,
163
будут справедливы соотношения:
I / 1*1) — f М | = | f (Xj) — Д (Xj) -f- ft (Xj) — ft (r.3) + ft (x2) — f (x2) j • '
I f (-*1) — fi (Xt) | + | ft (xt) — fi (Xi) | +1 fi (Xi) — f (X.) |
e । e . e T 1 7Г У
Достаточность. Доказательство достаточности сводится к доказательству того, что из равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности множества функции М вытекает существование для любого заданного s^>0 конечной s-сети для множества М, откуда по основному критерию и будет следовать компактность множества М. Выберем произвольное s и подберем для него 8 так, чтобы для любой функции f (х) £ М

при |xj — хД<^8. Прямоугольник а^х^Ь, —K^y = f(x)^'K на плоскости хОу разделим на равные прямоугольники параллель-
ными прямыми, проходящими через точки, деления (рис. 32):
а = х0 <Д Xi <Д х-2 <Д... <Д хп — Ь,
— К==Уй<.!к<.---<.Уп==К,
выбранные так, чтобы
1 */с-1 Xfc | <Д 8, I УVk I 
Проведем всевозможные непрерывные ломаные ср_(х), составленные из диагоналей малых прямоугольников. Нетрудно видеть, что таких ломаных будет
конечное число. Покажем теперь, что множество построенных нами ломаных образует s-сеть для М. В самом деле, возьмем из множества М произвольную функцию f(x). Пусть ср(х)— ломаная, на-
именее уклоняющаяся от нее, тогда
I f (X) — <р (X) | = | f (х) — f (х,,) + f (xk) — ср (хД H- <? (Xk) — т (x) \ < \f (x) — f (хк) I +1 f (x^ — ср (хД | + | ср (хД — <? (x) |,
где xft — ближайшая к точке x точка деления слева. Очевидно, что
Д(х) —/(хД|<т в силу равномерной непрерывности функции f(x), так как |х — хД <8 и |/(хД — ср (хД|<у, а | ср (хД — ср (х) j <^-
по построению. Следовательно, ломаные образуют конечную s-сеть, чем и заканчивается доказательство теоремы.
167
§ 7. Компактность множеств в пространстве 1Р
Теорема 5.8. Для компактности ограниченного множества М элементов пространства 1р
x={xlt ........хл, ...}
необходимо и достаточно существование для любого е^> О номера п9, зависящего только от е, такого, что
2 \xi\p<y
i=N+l
для N^sn0 и любого х^М.
Доказательство. Необходимость. Пусть множество М компактно. Построим для него конечную егсеть:
xw, х(2), х(л\ 1
где si = е • 3 р . Для любого х найдем х{1\ такое, что р (х, хД1) < или
2 I*,-—V₽<ef« 1=1
где ряд
2lVp i= 1
сходится при любом 1=1, 2, ..., k.
Рассмотрим интересующий нас остаток ряда (1):
со	со	N
2 iv= 2 IV-2
;=ЛЧ-1	i = l	» = 1
Путем несложных преобразований
от	N	со	со	ЛГ
2 IV- 2 Юр= 2 IV- 2 W+ 2 I Vp-
i = \	i = 1	i = 1	i = 1	i = 1
ЛГ	co	co
-2IV+ 2 iV^2k-Vp+2 V-V+ i=l	i=.V+l	i = l	i = l
168
убеждаемся в том, что
co	.V	со
2	2	2 |х;-х/)|(1+0гГ)+
i= 1	i = 1	i = 1
+ 2 КТ Of О + 6sf) + sf = 2sf + e(sf)2 < sP> 0<9<l, » = w+l
co
так как остаток сходящегося ряда (2) V | xV ]р при N, боль-i=A^+i 1
шем некоторого п0, будет меньше ер, то для остатка ряда (1) окончательно получаем оценку:
2 юор-
»=ЛГ_|_1
Достаточность. Рассмотрим множество М. элементов пространства 1р:
Х={Х!, х2, ... },
удовлетворяющих для любого е условию:
2 \ъ\р<^ i=N-\-\
если N достаточно велико, N п0, где п0 зависит только от s. Покажем, что для этого множества можно построить конечную е-сеть. Поставим в соответствие каждой точке x—{xit х-,, ... } множества М точку x* — {xt, х2,	, хп, 0, 0, ... } некоторого
множества ЛКС2-М, где п подберем так, чтобы расстояние между этими соответствующими точками оказалось меньше:

р(х, х*)=
Xi \р <
е
где x* = xt при /=1, 2, ... , п, х, = 0 при i^>n, что на основании условия теоремы всегда возможно. Для множества Mlf являющегося ограниченным множеством пространства En<ZJp, а следовательно, компактным, для любого данного г существует конечная -сеть, которая является конечной e-сетью для множества. Итак, для множества М доказано существование конечной e-сети для любого е, т. е. доказана компактность множества М при выполнении условий теоремы.
§ 8. Компактность множеств в пространстве Lp
Для установления необходимого и достаточного критерия компактности множества в пространстве Ьр мы приведем теорему, принадлежащую в ее окончательном виде А. Н. Колмогорову.
169
Теорема 6.8 (А. Н. Колмогорова). Множество М пространства Lp компактно тогда и только тогда, когда выполняются два условия:
1) существует постоянная k, такая, что
1
| х (О dt ss; kp о
для всех элементов x(t) £М;
2) для любого числа е^>0 найдется число 5^>0, такое, что p(x(t), xh(ty)<^& при /г<^8, где x(t)£M — любой элемент множества М
1 т
*л(0==2й \ x(s)ds.
t — h
Ограничимся изложением идеи доказательства этой теоремы *). Необходимость первого условия очевидна, она вьпекает из ограниченности компактного множества (см. теорему 2.2). Для доказательства необходимости второго условия строится конечная у -сеть из непрерывных функций и доказывается, что функции xh (t), приведенные в условии 2, при достаточно малом h распо-лагаются (в смысле метрики пространства L„) не далее чем
от функций - -сети. Для доказательства достаточности условий показывается, что функции xh(t} образуют множество равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных функций при любом фиксированном h. Отсюда следует, что функции xh(t) образуют компактную e-сеть для множества М, что и устанавливает компактность последнего.
Глава IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ
Во введении ко второй части книги (см. стр. 147) мы уже указывали, что метрические пространства и множества, принадлежащие этим пространствам, можно отобразить на множество действительных чисел — пространство Ei. Функциональные зависимости такого общего вида носят название функционалов. Ниже мы дадим определение функционала, непрерывного функционала и перейдем к изучению их свойств, в частности покажем, что свойства непрерывного функционала во многом аналогичны свойствам непрерывной функции одного переменного.
*) Изложение доказательства см. [21] или [28].
170
§ 1. Непрерывные функционалы
В данном параграфе мы рассмотрим понятие функционала и его свойства.
Пусть нам дано произвольное множество £ = {x}.
Определение. Если каждому элементу х множества Е поставлено в соответствие некоторое действительное число
У —U х,
то Uх называется функционалом от х, определенным на множестве Е.
Приведем примеры функционалов.
1) Ux = (x, а) — скалярное произведение произвольного вектора х = (х!, х^....хп) и данного вектора а = (а,аг ...).
2) U х=\х\, где х — элемент пространства Еп.
Положим теперь, что R— метрическое пространство. Тогда, как это известно из главы II, становится возможным говорить о сходимости некоторой последовательности х1; х3, ... элементов этого пространства, или, другими словами, о предельном переходе в этом пространстве. А это в свою очередь позволит ввести определение непрерывного функционала.
Определение. Функционал U, определенный на множестве М <^R метрического пространства R, называется непрерывным в точке хй £ М, если для любой последовательности xt, л.2> . .. точек множества М, сходящейся (в смысле метрики R) к точке хй(^М, соответствующая числовая последовательность
У\ - U Х\, у% = U Xi, ...
сходится к числу Уп — Ь' х0.
Функционал, непрерывный в каждой точке множества М, называется непрерывным на множестве М.
Замечание. Для непрерывности функционала можно употреблять и определения Коши и Бэра, эквивалентные приведенному.
Функционалы, приведенные в примерах 1), 2), являются непрерывными на соответствующих пространствах, что легко доказать. Однако нетрудно представить себе функционал, определенный на метрическом пространстве и не являющийся непрерывным в некоторых точках этого пространства. Так, например, функционал
’ 0, если sup | х (t) j 1,
1, если sup	1,
0==/г=1
где	и, будет разрывным в каждой точке сферы
171
sup x(?) = l пространства С [0, 1J. Разрывным в каждой точке 0</<1
пространства CIO, 1] является и функционал
1
и х = \/1 +(V(0)3 dt. о
§ 2. Общие свойства непрерывных функционалов
Из определения непрерывного функционала непосредственно следует, что непрерывный функционал обладает, принципиально говоря, всеми свойствами непрерывной функции, хотя формулировки многих теорем о функционалах выглядят иначе, более общо, чем формулировки соответствующих теорем о функциях.
Первая теорема о непрерывных функционалах является просто повторением соответствующей теоремы о непрерывных функциях.
Теорема 1.9. Сумма, разность, произведение двух функционалов Upc и Upc, непрерывных в точке множества М, на котором они определены, являются функционалами, непрерывными в той же точке х0. Частное Upc.Upc также непрерывно в точке х() при условии, что U3x0 Ф 0.
Доказательство этой теоремы приводить не будем, так как оно свелось бы к повторению доказательства теоремы 2.3 (из первой части).
Теорема 2.9. Функционал U х, определенный и непрерывный на компактном в себе множестве М метрического пространства R, ограничен на этом множестве.
Доказательство. Докажем эту теорему методом от противного. Положим, что функционал Ux не ограничен. Тогда, взяв неограниченно возрастающую последовательность натуральных чисел (NI,	.., мы сможем построить последовательность точек
Х!,х2,..., множества М, удовлетворяющих условиям:
t/xi2s2Vi, Uxv^Nz,
т. е. таких точек, что числовая последовательность
{Uxn}-— со.
Так как множество М компактно, то из последовательности {хп} можно выделить сходящуюся подпоследовательность
{*«} —*о>
предел которой х0 принадлежит множеству М. В точке х0 функционал Ux по условию определен и непрерывен, следовательно {Uxn}-~Ux9,
а по построению последовательности
{Дхл} — оо.
172
Полученное противоречие опровергает наше предположение и доказывает теорему.
Теорема 3.9. Функционал U х, определенный и непрерывный на компактном в себе множестве М метрического пространства R, достигает на этом множестве своих верхней и нижней граней.
Доказательство. Пусть А — sup Uх (существование верхней грани supC'x на множестве М вытекает из предыдущей теоремы). Возьмем убывающую последовательность положительных чисел
1 L 1 . . L ’ 2 ’ 3 ’	>«’••• ’
сходящуюся к нулю. По определению верхней грани числового множества для любого члена взятой последовательности , п=1, 2, ... найдутся такие значения Uх, х^М, что
А — -CUxCA.
Обозначим одну из точек, удовлетворяющих последним неравенствам хп, тогда окажутся справедливыми неравенства:
A-X-<Uxn<A.	(1)
Заставив в (1) число п пробежать значения чисел натурального ряда п = 1, 2.....построим последовательность
xit хг, ...
точек множества М. Выберем из этой последовательности сходящуюся подпоследовательность \хп\хя(^ М, что благодаря компактности в себе множества М возможно. В точке хй функционал U х определен и непрерывен, следовательно,
U ха= lim Uxn = A.
Замечание. В специальных курсах функционального анализа вводится понятие полунепрерывности (сверху, снизу) и рассматриваются полунепрерывные функционалы *).
§ 3. Равномерная непрерывность функционала
Обобщим теперь на функционал понятие равномерной непрерывности.
Определение. Функционал U х, определенный на множестве М метрического пространства R, называется равномерно непрерывным на нем, если для произвольного еД>0 существует
*) См., например, [21], стр. 79.
173
такое 8	0, что для любых двух точек х', х" £ М, расстояние
между которыми в смысле метрики R удовлетворяет условию-.
р(х', х")<^8,
выполняется неравенство \ U х — U х" | <Д.
Замечание. В данном определении, так же как и в определении равномерной непрерывности функции, очень существенна зависимость 8 только от е и. независимость 8 от выбора точек х', х".
Нетрудно видеть, что равномерно непрерывный на некотором множестве М функционал U будет непрерывным на нем.
В самом деле, пусть Хо —точка множества М. Построим любую последовательность {х„} точек множества М, сходящуюся к х0. Тогда для любого s^>0 найдется такое 8	0, что из выпол-
нения неравенства
Р(Хп, Хо)<8
при достаточно большом п для последовательности {хя} будет следовать выполнение неравенства
| U хл — U Хо | <^ s.
Итак, из сходимости любой последовательности (х„}->хв следует СХОДИМОСТЬ {U Хп} -> U Х(|.
Обратное предположение неверно, что легко доказывается примерами непрерывных, но неравномерно непрерывных функций (частный вид функционала). Функционал U х=у будет непрерывным в множестве М точек окрестности нулевой точки метрического пространства, считая, что самая нулевая точка 0 пространства множеству М не принадлежит: 0 £ М, но, очевидно, равномерной непрерывности в этом случае наблюдаться не будет.
Достаточные условия равномерной непрерывности функционала дает
Теорема 4.9. Функционал, непрерывный на компактном в себе множестве метрического пространства, равномерно непрерывен на нем.
Доказательство. Предположим, что функционал U х непрерывен на компактном множестве М метрического пространства Л?, но неравномерно непрерывен на нем. Зададим е и подберем две такие точки xb xj множества М, что
р(хь	\Uxi- Ux^i.
Мы исходим из предположения, что такие две точки найдутся, так как в противном случае функционал U х будет равномерно непрерывен. Найдем далее такие две точки х2, xj М, что р(х2, x.i)<^j и | U Xi — U Xj|S= s. Это в рамках наших предполо
174
жений опять возможно. Будем продолжать неограниченно процесс выбора пар точек, таких, что
р(хл,	\и хп — Uxn\^e, п=1, 2........
Получим две последовательности точек ,{%„} и {*„}. Из полученной последовательности {хп} точек компактного в себе множества М выберем сходящуюся подпоследовательность ->х0 Af. Подпоследовательность с теми же номерами {х'п } точек второй последовательности окажется сходящейся к тому же пределу х0, и так как
S \ U Xn U Хп \ ' | U Хп	U Х(1 | —|— I U Ху U Хп ),
то хотя бы одна из разностей правой части последнего неравенства должна быть не меньше независимо от п, что противоречит условию непрерывности функционала U х в точке д. Это противоречие доказывает теорему.
§ 4. Непрерывные операторы
Переходим теперь к изучению самого общего понятия функциональной зависимости.
Определение. Пусть даны два множества Е и М. Если каждому элементу х множества Е поставлен в соответствие по некоторому закону А один или несколько элементов у множества N, то на множестве Е определен оператор у = Ах с областью значений из N.
Читатель видит, что определение оператора отличается от определения функционала (см. стр. 171) отсутствием требования, ч/обы множество N состояло из действительных чисел. Множество N в определении оператора есть множество элементов любой природы. Мы ограничимся рассмотрением операторов, определенных только на метрических пространствах и множествах, принадлежащих метрическим пространствам с множествами значений, принадлежащими также метрическим пространствам. Положим, что множества Е и N в определении оператора — множества, принадлежащие соответственно метрическим пространствам 7? и Rt. Введем понятие непрерывного оператора.
Определение. Оператор А, определенный на множестве Е CLR метрического пространства R с областью значений во множестве N метрического пространства Rit называется-непрерывным в точке xv £ R, если для любой последовательности '/„} точек множества Е, сходящейся (в смысле метрики R) к точке Ху^Е, соответствующая последовательность {уп}
yl = Axi,	у* = Аху,...
точек множества N сходится (в смысле метрики Ri) к точке у^ = Аху множества N.
175
Приведем примеры операторов.
1)	Интеграл
а
с переменным верхним пределом является оператором, определен-ным в пространстве непрерывных функций со значениями в том же пространстве. Нетрудно убедиться в непрерывности этого оператора.
2)	Пусть на сегменте [а, Ь] задана суммируемая функция f (х). Неопределенный интеграл Лебега
а
является оператором, заданным на пространстве суммируемых функций с множеством значений в пространстве абсолютно непрерывных функций. Непрерывность этого оператора зависит от того, как ввести метрику в пространстве суммируемых функций *).
§ 5. Свойства непрерывных операторов
Вообще говоря, на непрерывные операторы не распространяются теоремы о непрерывных функциях, но, как мы это увидим позднее, для некоторого частного вида непрерывных операторов (линейные операторы) такое распространение в некоторой степени проходит.
Сейчас мы докажем ряд теорем, относящихся к непрерывным операторам (а следовательно, и к непрерывным функционалам и непрерывным функциям). Эти теоремы характеризуют ряд свойств непрерывных операторов, определенных на компактных множествах метрических пространств. Мы не доказывали эти теоремы отдельно для непрерывных функций и непрерывных функционалов, хотя это легко можно было бы сделать. Из существа этих теорем следует, что при рассмотрении только непрерывных функций эти теоремы ответили бы на такие практически важные вопросы:
а)	является ли множество значений функции, непрерывной на замкнутом множестве, замкнутым;
б)	является ли функция, обратная непрерывной, также непрерывной?
Теорема 5.9. Множество значений непрерывного оператора,, заданного на компактном в себе множестве метрического пространства, является компактным в себе множеством.
Доказательство. Пусть дан непрерывный оператор А, определенный на компактном множестве метрического про
*) О суммируемых функциях см., например, [28].
176
странстве Еп. Пусть W— множество значений оператора в метрическом пространстве Rt. Чтобы доказать, что N — компактное множество, надо на основании теоремы Бореля — Лебега (компактное множество по определению замкнуто) доказать, что из всякой бесконечной системы открытых в Rt множеств ga, покрывающих множество М, можно выделить конечную систему множеств ga, покрывающих множество М. Система открытых множеств Ga, являющихся прообразами множеств ga = AGa, покрывает множество М. Из системы благодаря компактности в себе множества М можно выделить конечную систему открытых множеств, покрывающих множество М, но тогда соответствующая конечная система открытых множеств ga покрывает множество АС
Следствие. Непрерывное отображение ограниченного замкнутого множества, принадлежащего евклидову пространству Еп, в евклидово пространство Еп ограничено и замкнуто.
Известная теорема о непрерывности обратной функции *) на основании данной теоремы может быть обобщена следующим образом:
Теорема 6.9. Отображение, обратное всякому взаимно однозначному непрерывному отображению компактного в себе множества, непрерывно.
Доказательство. Пусть дан непрерывный оператор А, отображающий компактное в себе множество М метрического пространства R однозначно на множество W метрического пространства Rr, что мы обозначим: W = AM. Рассмотрим обратное отображение М = A~XN. Оно по условию также однозначно. На основании теоремы 5.9 множество W компактно в себе. Докажем, что отображение компактного множества Л-1 на компактное в себе множество непрерывно. Для этого нужно доказать замкнутость всякого множества, отображаемого оператором Лч в замкнутое множество. Но всякое замкнутое множество М имеет своим прообразом при отображении Л-1 множество Af, полученное отображением AM, а множество N замкнуто**).
Упражнения к главе IX
1.	Непрерывны ли на пространстве С (а, Ь) функционалы:
a) Uy=y{a)\ б) Uy = max [у (х) |; в) бу = шах_у (х); г) Uy = ь
— \y(x)dx-, а
( 0, если у (х) принимает хотя бы одно
{отрицательное значение,
-i-, если у (х) = О,
{ 1, если у (л-)	0, причем у (л:) ф. О?
*) См., например, [36], т. 1, стр. 204.
**) Доказательство теорем 5.9 и 6.9 в иных терминах дано П. С. Александровым в его книге [2], стр. 320.
177
2.	Непрерывна ли функция р (х, В) = inf р (х, _у)? у(В
3.	Непрерывна ли функция d (х, В) = sup р (х, _у)?
у£В
Г	1
4.	Проверить, что функционал Uy=\y(x) dx=\ у (х) dx
о	1
2
непрерывен в пространстве С (0, 1); показать, что точная верхняя грань его значений в замкнутом единичном шаре пространства С (0, 1) равна 1, но эта верхняя грань не достигается ни на каком элементе единичного шара.
Глава X. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ, ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Понятие линейного пространства является непосредственным обобщением понятия «-мерного векторного пространства. В линейных пространствах, так же как и в векторных, например в пространстве Еп, рассматривается линейная зависимость элементов пространства. Это дает возможность перенести на линейные пространства понятия прямой, отрезка, выпуклого множества, линейного многообразия. Кроме того, при рассмотрении отображений одного линейного пространства на другое вводится понятие линейного оператора. Линейные непрерывные операторы, несмотря на большую общность этого понятия, обладают целым рядом свойств непрерывной функции. Очень важным и наиболее хорошо изученным классом линейных пространств является класс линейных нормированных полных пространств, введенных в науку С. Банахом*).
§ 1.	Линейные пространства
Линейной системой называется множество Е, над элементами которого можно производить сложение и умножение на скаляры, принадлежащие некоторому коммутативному кольцу**)
*) С. Банах — польский математик (1892—1945).
**) Кольцом называется непустое множество Е, если для любых его элементов X, р, ч определены действия сложения и умножения, обладающие следующими свойствами:
+	(X + р) + ч = Xф-(р4-ч), Х-)-р = р + Х.
Существует нулевой элемент 0, такой, что
Х-|~О = Х, Хф-(— Х)==0,
где X—противоположный элемент для элемента X, который всегда существует, и —Х£А?. Могут существовать единичные элементы. Имеет место дистрибутивный закон:
X (р -)-ч) = Xp-j- Хч, (p-j-ч) X = рХ-|-чХ.
Кольцо называется коммутативным, если умножение в нем коммутативно.
178
с единственным единичным элементом I, так. что при этом выполняются следующие условия:
1)	(а-]-Ь)-\-с — а-Д (b-Rc) (ассоциативность сложения).
2)	а -Д b = b -Д а (коммутативность сложения).
3)	1а —а, где 1 — единичный элемент кольца /?.
4)	Х(аД £>) = Xq-|—Х&, где Х££.
5)	(X-ДДа = Ха-j-р.а, где X, pGR (дистрибутивность).
6)	Х(ра) = (Хр)а, где X, рДЕ (ассоциативность умножения).
7)	Существует нулевой элемент 9 множества Е; для любого элемента а£Е справедливо а-\-в — а. Для каждого элемента а^Е существуе! противоположный — а£Е, такой, что аД--Д(—а) = а — а = а-0 — 9, где ОС R— нулевой элемент кольца R, 9 — нулевой элемент множества Е. Очевидно, что Х9 — X (а — — а) = Ха-0 = 9.
Определение. Если линейная система является одновременно метрическим пространством, то оно называется линейным пространством.
Определение. Линейное пространство А называется нормированным, если каждому его элементу а?- А соответствует некоторое неотрицательное число || а ||, называемое нормой, удовлетворяющее условиям:
Г. Если || а || = 0, то а = 9.
2'. || Ха|| — | X)• ||а ||.
3'. || а-Д Ь ||	|| а || -Д || b ||.
4'. р(а, Ь) = || а — Ь\\, где —b = t.b при Х = —1.
Метрика, определенная таким образом, удовлетворяет всем аксиомам метрики. В самом деле, р (а, Ь) = 0 обозначает || а — Д| = = 9, что по условию Г равносильно a — b — д, а это эквивалентно а = Ь. Симметрия расстояния следует из 4'. Из 3' следует выполнение неравенства треугольника. Действительно,
р (а, Ь) = || а — b || = || (а — с) -Д (с — Ь) || <
=$Д|я — с||-Д||с — Ч = р(а, с)-Др(с, Ь).
Кроме того, метрика линейного пространства обладает дополнительно еще двумя свойствами: свойством транзитивности [р(а-Д ~)—с, Ь-\-с) = р(а, Ь)] и свойством однородности [р (Ха, Х/>) = = Хр(а, &)]. Свойство транзитивности вытекает из 4'. Действительно,
Р (а -Д с, b -Д с) = П (а -Д с) — (Ь -Д с) || = || а - b ||, отсюда
p(a-|-a, b 4- с) = р(а, Ь).
Свойство однородности метрики вытекает из 2' и 4' свойств нормы.
Можно доказать, что если в метрическом пространстве, которое является одновременно линейной системой, ввести метрику так, чтобы она обладала перечисленными свойствами, то это пространство можно рассматривать как нормированное пространство, считая, что || а || = р (а, 9),
179
Отметим, что существуют метрические пространства, в которых нельзя ввести норму так, чтобы сходимость по норме совпала с определенной для этого пространства сходимостью по расстоянию.
Полное нормированное пространство называется пространством Банаха или В-пространством.
В дальнейшем изложении всюду, за исключением специально оговоренных случаев, будут иметься в виду линейные пространства Банаха.
Примерами нормированных пространств являются все те пространства, которые мы до сих пор рассматривали.
1)	В пространстве Еп = || х |) — j/' 2 Хг? ПРИ«=1 )|х|) = |х|.
2)	В пространстве С || у\\ = max | y(t) I.
п	1
3)	В пространстве lp || х || — I х;-	•
i=l
* L
4)	В пространстве Lp \\x(t)\\ = (\\x(t)\pdt)p. а
5)	В пространстве т || xj| = max | х|.
В связи с тем что каждое из этих пространств является полным, все они суть В-пространства.
§ 2. Линейные функционалы
Перейдем теперь к изучению отображений линейного нормированного пространства Е на линейное нормированное пространство В] (в пространство Et), где Et — одномерное евклидово пространство — числовая прямая.
Определение. Линейным функционалом называется непрерывный функционал, определенный на линейном нормированном пространстве и обладающий свойством аддитивности:
U (%] —J— хр == UXi —Uх>.
В том случае, когда множество значений U (Е) линейного функционала совпадает с пространством Е, мы будем говорить об отображении пространства Е на пространство ВР Если U (Е) является собственной частью В] : U (Е)С2 Е}, будем говорить об отображении пространства В в пространство ВР
Замечание. Существует другое определение линейного функционала — как линейной функции от координат вектора х. Определенный таким образом линейный функционал в конечномерном пространстве всегда непрерывен. Но в бесконечномерных пространствах бывают определенные таким образом линейные функционалы как непрерывными, так и не непрерывными. Мы будем 180
соответственно введенному нами определению рассматривать только непрерывные линейные функционалы.
Приведем примеры линейных функционалов. ь
1)	Ux = x(t) dt, где х(/)€ С. а
Здесь Е — С. Аддитивность функционала вытекает из аддитивности интеграла: ь	ь	ь
и “I" #2)= 5 (0 4“ (01 dt==	(0 Ч" 5 %* (0
а	а	а
=uXi+uX2.
Непрерывность следует из возможности предельного перехода под знаком интеграла благодаря равномерной сходимости последовательности непрерывных функций х„(7) по метрике пространства С. Действительно, пусть последовательность (/)} равномерно сходится к функции x(t), т. е. пусть для заданного е существует такое число N, не зависящее от t, что для всех п^> N и всех [я, &] выполняется неравенство
I хп (t) X (t) |	_а = е-р
Тогда b	b	ь
15 хп (/) dt — $ X (t) dt) = I $ [x„ (/) —x(/)] dt I < a	a	a
b
' $ | xn (0 — x(t) \dt^&i(b — a) = e a
при достаточно большом n N, где M не зависит от t.
2)	Пусть каждому элементу х=(хи xit  .) пространства /а поставлено в соответствие неотрицательное число:
СО
Ux= i = 1
Свойства аддитивности и непрерывности функционала этого примера очевидны. Множество £ здесь совпадает с /а, множество У— полусегмент [0, оо).
3)	Ux = (a, х), где а — заданный вектор из Еп, х—произвольный вектор того же пространства. Нетрудно убедиться в аддитивности и непрерывности функционала.
4)	То же относится к скалярному произведению (а, х), где а и х — соответственно данный и произвольный векторы пространства /2.
Однако непрерывный функционал £7x = |J х || не является линейным, так как не выполняется свойство аддитивности, что следует из определения нормы, — может быть меньше, чем сумма II М II + II Х2 II-
181
§ 3.	Свойства линейных функционалов
Рассмотрим свойства линейного функционала:
Г. U (xi4-x2) = C'xi4-C'x2.
2°. (70£ = О, где 0 — нулевой элемент пространства Е.
3°. U (— х) — — Ux (нечетность').
4°. U (ах) = aUx, где а — действительный скаляр (однородность), п	п.
5°. U ( akXk)= У, <*k(Uxk), где aft — действительные скаляры k = 1	k = i
(дистрибутивность).
Докажем, исходя из определения линейного функционала, справедливость утверждения 2° — 5°.
В самом деле, на основании 1° имеем:
Ux = U (х -ф- 0£) = Ux -ф- иьЕ,
откуда следует, что UbE — Q, т. е. свойство 2° справедливо.
На основании 1° и 2° мы можем написать:
Ux -ф- U (— x) — U(x — х) — UbB = О, отсюда вытекает, что U (— х) — — U (х), т. е. мы показали справедливость 3°.
Докажем теперь свойства 4° и 5°. Действительно, на основании 1° имеем:
U (пх) = U (х 4~ х 4~ • • • + х) = Ux-^Ux-^ ...-\-Ux- nUx, п слагаемых	п слагаемых
где п — натуральное число.
Далее Ux = U [п • — йА = nU (— x'l. \ п ]	\п/
Отсюда
u(- x\ = ~Ux. \п / п
Пусть теперь а.=~, где т, п — целые числа. Тогда
U (ax) = U (т — х^ = mU (— х\ — m~Ux~—Ux = aUx. ' 7	\ п ) \п ) п п
При а = 0 свойство 4° имеет место на основании 2°. Выполнение равенства 4° при иррациональном а следует из непрерывности функционала. Мы доказали справедливость 4° для любого Ux.
Свойство дистрибутивности вытекает из 1° и однородности из 4°.
Кроме того, линейные функционалы, естественно, обладают всеми свойствами непрерывных функционалов, связанными с непрерывностью и равномерной непрерывностью (см. теоремы 1.3, 2.8, 3.3). Однако теорема 1.3. утверждающая непрерывность суммы, разности, произведения и частного (в случае неравенства нулю
182
делителя) двух непрерывных функционалов, не может быть распространена на сохранение линейности произведения и частного двух линейных функционалов. Линейность же суммы конечного числа и разности двух линейных функционалов легко может быть установлена читателем самостоятельно.
Кроме свойств, общих для всех непрерывных функционалов, линейные функционалы обладают рядом специфических для них свойств, к изучению которых мы сейчас и перейдем.
Теорема 1.10. Если аддитивный функционал непрерывен в какой-либо одной точке линейного пространства, на котором М определен, то он непрерывен во всех точках этого пространства и, следовательно, линеен.
Доказательство. Пусть линейный функционал Ux непрерывен в точке х0С Е, где Е—нормированное линейное пространство. Пусть хп—~х, где х — произвольная точка пространства Е, не совпадающая с х0. Тогда хп — x-j-x0—>х0- Вследствие непрерывности функционала Ux в точке х0
U (хп — х х0) = Uxn — Ux 4- UXf, — Ux9,
откуда Uxn— Ux—>0, или Uxn — Ux.
Определение. Функционал Ux, определенный на линейном нормированном пространстве Е, называется ограниченным, если существует такое число а., что
| Ux | а || X || для всех х£ Е.
Теорема 2.10. Всякий линейный функционал ограничен, и есякий ограниченный аддитивный функционал линеен.
Другими словами, для линейности аддитивного функционала, определенного на линейном нормированном пространстве, необходима и достаточна его ограниченность; условия линейности и ограниченности аддитивного функционала, определенного на линейном нормированном пространстве, эквивалентны.
Доказательство. Пусть Ux — линейный функционал, определенный на линейном нормированном пространстве Е. Это значит, что он непрерывен в любой, в частности в нулевой, точке, ЬР пространства Е. Положим, что Ux не ограничен, т. е. отношение
| Ux\ II х ||
может быть сколь угодно большим. Найдем точки х3,... пространства Е, в которых соответственно
I Uxi I \ ] I Ux21 . „	| Uxn |
ИМ ’ НМ .............. НМ '  •
Рассмотрим новую последовательность точек пространства:
, _ 1 , _ 1 , _ 1
Xl ~ II II Х1’ Х2 ~ '2 || хг || Х» • • •’ Х“ — п ||	|| Х“-
183
Нормы элементов этой последовательности соответственно равны: |Ы|=4> •••> И4И=4................................
Следовательно, последовательность {х„} —»в£:
В силу непрерывности функционала Ux и свойству 2° мы .должны были бы иметь:
Ux'n—* U ($E) = Q.
Однако
Ux’n= U \ —т.-п х„) =——л Ux„
И1М / и mi п
и
по построению последовательности хп.
С другой стороны, пусть функционал Ux аддитивен и ограничен на линейнбм нормированном пространстве Е. Тогда при х—* вЕ
\Ux\<^a.\\x\\-^0,
или Ux-^0. Откуда функционал Ux непрерывен в точке 6£, а следовательно, на основании теоремы 1.10 он непрерывен во всех точках пространства Е.
§ 4.	Слабая сходимость линейных функционалов
Для изучения так называемой слабой сходимости линейных функционалов познакомимся с двумя определениями.
Определение. Наименьшее из чисел а в определении ограниченности для линейного функционала называется его нормой. Иначе говоря,	|^|
11 и" мТо я* и' ь
Примеры. 1) I — $ х (0 dt^ где х (f) — непрерывная функция, является а
линейным функционалом в пространстве С. Его норма b — а.
Действительно, ь
111 = | j х (t) dE sg max | x (t) | b — a. a
При x = const выполняется равенство.
2)	Функционал более общего вида также в пространстве С:
ь
Ах — j х й)Уа (0 dt, а
где х (t), у0 (if) — непрерывные функции на [а, &], из них_у0 (if) фиксированная. Норма этого функционала
J I Уо (!) I dt. а
184
Действительно,
ь	ь
I Ax I = ($ x (t) y0 (t) dt x [|  $ | y0 (0 I dt. a	a
Определение. Последовательность линейных функционалов, определенных на линейном нормированном пространстве Е:
игх, игх,..., Unx,...,
называется слабо сходящейся к линейному функционалу Ux, если-.
1°. || Un || равномерно ограничены, т. е. существует такое число М, что || Un ||
2°. Unx~^Ux для всякого х £ Е.
Обратим внимание на то, что сходимость последовательности UnX—Ux не обозначает сходимости последовательности функционалов по норме || Un || —* || U ||.
В случае если одновременно со сходимостью Unx—+ Ux наблюдается сходимость || Un || —- || U ||, то сходимость последовательности функционалов называется сильной.
В практике применения функционального анализа иногда именно слабая сходимость играет значительную роль.
Приведем пример, связанный с вычислением приближенного значения интеграла непрерывной функции. Рассмотрим последовательность функционалов, определенных в пространстве С [О, 1]:
UPn = \Pn(t)dt, о
где Рп (t) — полином степени п, совпадающий с функцией х (!) в п-j-l точке. Обозначим:
UP = \x(f) dt, о
где x(t) С С [О, 1]. Последовательность полиномов Pn(t) при приближенном интегрировании, как известно, подбирают так, чтобы
UPn^UP.
Но при этом может оказаться, что последовательность полиномов Pn(t) не сходится равномерно к x(t). Таким образом, здесь практически используется именно слабая сходимость последовательности функционалов UPn к функционалу UP.
Для слабой сходимости функционалов существует теорема, напоминающая по форме теорему Больцано—Вейерштрасса для ограниченных последовательностей конечномерного пространства (см. также определение компактности множества метрического пространства на стр. 163).
Теорема 3.10. Если линейное нормированное пространство Е сепарабельно, то из любой ограниченной по норме последователь
185
ности линейных функционалов, определенных на Е, можно выделить слабо сходящуюся последовательность*).
Доказательство. Возьмем счетный скелет пространства
Х3, хг, ... .
Пусть — произвольная ограниченная по норме последовательность линейных функционалов, определенных на Е. Следовательно, при любом фиксированном х и при любом п
|)ад^|Ш|||х||,
где || Un\\ что следует из определения нормы. Положив x = xit взятому из счетного скелета, получим ограниченную числовую последовательность
UiXi, U^x\, .. ., UnXi, ... .
Выберем из нее сходящуюся числовую подпоследовательность
EKXi, . . .,	....
Рассмотрим теперь последовательность функционалов
Unx, UKx, ..., Ulnx,	.
Положив в ней х = х^, получим ограниченную числовую последовательность	UnXi......иыХг.......
Из этой последовательности вновь выберем сходящуюся подпоследовательность	г г v т, .. П „
С/21Л2, <-/22Л2, . .	С/2ЛЛ2,....
Рассмотрев последовательность функционалов
U^x, Unx,... , и<1Пх,...
и положив х = х3, продлим этот процесс неограниченно. В результате мы получим таблицу последовательностей функционалов:
£7цХ и1гх Ui9x ...Uinx,
ЕЕЛх Unx Ui9x ... 1Епх,
Е-цХ Uy>x UVix ... U%nx,
из которых каждая следующая последовательность является подпоследовательностью предыдущей**). Составим теперь последовательность функционалов, стоящих по диагонали таблицы:
Е\\Х, ЕЕгх, U^x,..., Uппх, ...,	(1)
которая сходится в любой точке счетного скелета. Докажем, что последовательность (1) сходится в любой точке пространства Е.
*) Доказательство теоремы взято с несущественными изменениями из книги [12].
**) Очевидно, что каждая следующая последовательность при этом сходится на каждом элементе, на котором сходятся предыдущие последовательности.
186
Найдем оценку абсолютной величины разности:
I UппХ Uп+р, п+рХ I z= I UппХ иnnXi Unn-X-l Uп+р, п+рХ -|-~I- п+р, n+pXl	Uп+р, п+рХ[ I ^== I UппХ	UппХ[ | ~Н | UnnXi ™
UП+р, п+р%1 I ~Г | ип+р, п+рХ[ UП+р, п+рХ |	| Unn (X Xi) j ф-
Ч- IUnnXi Uп+р, n+pXi | "j-1 Uп+р (Xi х) | si ||t7пп || || х Х[ || ф-Ф" I UnnXi	Uп+р, п+рХ I ф- II Uп+р || II Xi	X ||,
где п, р — натуральные числа, xt — одна из точек счетного скелета, достаточно близкая к точке х. Первое и третье слагаемые в последней правой части системы неравенств сколь угодно малы из-за ограниченности нормы функционала и сколь угодной малости расстояния р (х, xz) = ||x— xz||, второе слагаемое сколь угодно мало при достаточно большом п из-за сходимости последовательности { U nnxt}.
Таким образом, для последовательности (1) имеем выполнение признака Коши:	IZ/ r_z/
1 <> ппЛ u п+р, п+р* I \
где еф>0 сколь угодно мало, а п достаточно велико. Числовая последовательность (1) сходится. Следовательно, последовательность {£/„„} функционалов слабо сходится, а эта последовательность есть подпоследовательность исходной ограниченной по норме последовательности линейных функционалов.
§ 5. Линейные операторы
При изучении отображения одного линейного нормированного пространства на другое (но уже не обязательно евкли-
дово пространство £\) мы приходим к понятию линейного оператора. Оно является более общим, чем понятие непрерывного оператора. На схеме рисунка 33 представлены «взаимоотношения» понятий, с которыми мы последовательно познакомились. Более
187
высокое положение на схеме обозначает большую общность понятия. Соединительные линии характеризуют принадлежность более частного понятия к классу более общих. Цифры в кружках обозначают порядок, в котором мы знакомимся с понятиями. Этот порядок отличается от порядка изложения в других учебниках, но кажется автору книги соответствующим педагогическому принципу: «от простого к более сложному».
Определение. Линейным оператором называется непрерывный оператор, заданный на линейном нормированном пространстве, обладающий свойством аддитивности:
1°. /1	-ф- х2) = Ах\ -ф- Ах.2.
Определение. Линейный оператор А называется ограниченным, если существует такое число а 0, что
||Ах||<а||х||.
Определение. Наименьшее из чисел а в определении ограниченного оператора называется его нормой:
(Х^О).
Из данных определений следует, что линейный ограниченный оператор отображает ограниченное множество в ограниченное.
t
Примеры. 1) Оператор Ax=\x(x)dx, где a^t^b, опре-а
делен на пространстве С. Множеством Y в этом примере является то же самое пространство С. Аддитивность оператора вытекает из аддитивности интеграла:
t	t
A (Xi -ф- х2) = J [Xi (т) -ф- х2 (т)] dx = J Xi (т) dx Ц-а	а
t
-ф- $ (т) dx = Axi -ф- Ax>. а
Непрерывность его проверяется переходом к пределу под знаком интеграла:	t	t
J хп (т) dx — J х (т) dx, а	а
что возможно, так как последовательность {х„(0} сходится к x(t) по метрике пространства С, т. е. равномерно. Оценивая
t
[хя (т) — х (т) ] dx,
а
получим:
t	t
| $ [х« (т) — х (т)] dx I	51 хп (т) — х (т) | dx = 61 (t — а) ^(b — a) = е,
а	а
где е зависит от п и не зависит от t.
188
2) Аддитивный оператор
где х(0€ С, не является непрерывным. Известно, что производная от предела равномерно сходящейся последовательности функций может и не равняться пределу производных функций этой последовательности. Аддитивность оператора очевидна. Этот оператор не ограничен. Положим, что %„(/) = sin nnt. Тогда
i-
Далее
Ахп — (sin nnt)' = пл cos nnt
и || Ахп || = пп. При п—• оо |]х„||= 1, а ||Ах„|| неограниченно возрастает, единой постоянной М, такой, что || Ах||<;ЛТ|х||, для всех х из С не существует. Отметим, что в примере оператор определен не на всем пространстве С, а лишь на его части, составленной из функций, имеющих непрерывную производную.
3) Оператор у=Ах, где А — постоянная матрица аффинного преобразования пространства Еп в себя. В координатной форме это преобразование записывается:
У\ — ЯцХ} -ф- Й12Х2 -ф-
У>----Ц.21Л4 —|—	-ф-
• • "ф" СУпХп.  • -ф- OirAn.
Уп----ап\Х\ -ф- ClnvXl -j~ . .. -ф- Ctnnxn.
Оператор линеен. Аддитивность его очевидна. Непрерывность легко доказывается применением неравенства Буняковского:
1/ hy^-y^^l/'
Г i = 1	F i — 1 i — 1 Т i — I
из которого следует, что сходимость
х<*),—х(хъ хг, ..., х„) влечет за собой сходимость
yk yf}, •••> У%}) — У(У1, Уг.Уп).
§ 6. Свойства линейных операторов
Изучение свойств линейных операторов для нас облегчается тем, что мы предварительно изучили свойства линейных функционалов. Оказывается, что, несмотря на значительно большую общность понятия линейного оператора по сравнению с линейным функционалом, линейный оператор обладает почти теми же свой
189
ствами, что и линейный функционал. Перечислим эти свойства, общие для линейных операторов и линейных функционалов.
0°. Непрерывность: из — х следует, Ахп — Ах, где хп, х — элементы линейного нормированного пространства х, А— линейный оператор, Ахп, Ах — элементы линейного нормированного пространства Y. Непрерывность линейного оператора заложена в самом его определении. Оно может быть сформулировано и на языке «е, б»: для любого еф>0 найдется такое 6^>0, что из
\\х'-х” К 6 следует:
|| Ax’ — Ах” lly <ф е,
где буквы около обозначения нормы указывают принадлежность нормы соответствующему пространству.
1°. Аддитивность: A (%i -ф- х2) = Axi -ф- A x.lt свойство, также заложенное в определении.
2°. Соответствие нулевых элементов: /10^ = 0^, где 0Х— нулевой элемент пространства х, 6у— нулевой элемент пространства У.
3°. А(—х) = — Ах (нечетность).
4°. А(ах) = аАх, где а — действительное число (однородность).
(п	\ п
У, ал = ^^kAxk.
*=1	'	* = 1
где а* — данные действительные числа (дистрибутивность).
6°. Всякий линейный оператор ограничен, и всякий ограниченный аддитивный оператор линеен.
7°. || Ах||<|| А||-||х||.
8°. Аддитивный оператор А, непрерывный в какой-либо точке х0 С Е, непрерывен и в любой точке х g Е, т. е. линеен.
Доказательство существования этих свойств проводится буквально так же, как и для линейного функционала (см. § 3, стр. 173), только вместо абсолютной величины функционала в доказательствах употребляется норма ||Лх||. Мы их приводить не будем.
Следует заметить, что свойства 0° — 5° присущи в одинаковой степени линейным функциям (точнее, линейным формам), линейным функционалам и линейным операторам. Это важное обстоятельство и было причиной введения в математику теории линейных функционалов и линейных операторов, имеющих теперь широчайшие практические применения.
Кроме свойств 0° — 7°, линейные операторы обладают, естественно, свойствами непрерывных операторов, частным видом которых они являются.
9°. Множество значений линейного оператора, определенного на компактном в себе множестве, компактно в себе.
Определение. Суммой двух линейных операторов Аг -1- А называется оператор Ах = Ах-ф- А3х.
190
Теорема 4.10. Сумма линейных операторов есть линейный оператор.
Доказательство. В самом деле, если из хп ->х следует: А.хп —>А.х и — Агх, то отсюда А.хп-]- Л2х„-> А.х-^-АъХ, т. е. Ахп—Дх. Этим доказана непрерывность суммы. Далее, из того, что Л1 (лу —j— х%) — A .х —j— А .х% и А2 (Xj —= A^Xj —А%х%. следует:
A (Xi х2) = А\ (Xj -j- х2) —Д2 (лу —х2) = А.х. А.х..	А.х.. —|—
Ах>=== Ах. —1~ Ах%,
т. е. аддитивность оператора суммы.
В заключение главы отметим, что множество всевозможных линейных операторов, определенных на одном и том же линейном нормированном пространстве х, с областью значений в линейном нормированном пространстве У, можно в свою очередь рассматривать как линейное нормированное пространство.
Упражнения к главе X
1.	Пусть R— n-мерное нормированное пространство. Доказать, что последовательность
xm = (V1'”), ..., (т = 1, 2, ...) сходится к нулю тогда и только тогда, когда каждая из координат при т—-сс стремится к нулю.
2.	Оператор А*, удовлетворяющий условию: (Алуу) = (х.А*у), называется сопряженным к оператору А. Показать, что у всякого линейного оператора А в гильбертовом пространстве имеется сопряженный.
3.	Показать, что || А* || = || А ||.
4.	Если оператор А обладает ограниченным обратным В, то А* обладает ограниченным обратным 5*. Доказать.
5.	Пусть R. и Rs—произвольные собственные части нормированного пространства, на котором определен оператор А. Верно ли равенство А (/?, и RA = AR. и А/?а?
6.	Пусть R.RS C1R, где R.RS и А имеют тот же смысл, что и в предыдущей задаче. Верно ли равенство A (R. Q Rs) = AR. f] А/?2?
Глава XI. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО
АНАЛИЗА В ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ
Впервые методы вариационного исчисления были сформулированы И. Бернулли (1696 г.), при решении следующей задачи.
«Какова должна быть кривая, соединяющая точки А и В, принадлежащих вертикальной плоскости и не лежащие на вертикальной прямой, чтобы материальная точка Л1 скатывалась под действием силы тяжести по этой кривой от одной точки до второй в наименьшее время». Искомую кривую И. Бернулли назвал брахистохроной. В начале седьмой главы мы уже говорили об этой задаче. Сейчас мы покажем, как решать эту и некоторые другие подобные ей задачи. Мы уже ясно представляем себе,
191
что в задаче о брахистохроне отыскивается минимум функционала, определенного на множестве непрерывных кривых, соединяющих точки А и В вертикальной плоскости. Вариационное исчисление изучает общие методы исследования экстремумов функционалов. Более широко в последнее время определяют вариационное исчисление как дифференциальное исчисление в бесконечномерных пространствах. Мы, знакомясь с применениями функционального анализа в вариационном исчислении, ограничимся изучением только основных вопросов, связанных с отысканием экстремума некоторого часто встречающегося функционала.
§ 1.	Дифференциал, вариация линейного функционала
Положим, что на линейном нормированном пространстве Е определен функционал U. Мы будем говорить, что в точке x0 Е пространства Е функционал имеет максимум, если существует окрестность ||х — х0||<С8 точки х0, такая, что для любой точки х этой окрестности выполняется неравенство
Ux№>Ux.	(1)
Аналогично определим точку х0 минимума функционала как точку, имеющую окрестность, в которой выполняется противоположное неравенство
Ux0 Ux.	(2)
Точку, в которой наблюдается максимум или минимум функционала, мы, как и в математическом анализе, будем называть точкой экстремума.
Рассматривая неравенства (1) и (2), мы убеждаемся в том, что здесь, как и в математическом анализе, решающее значение имеет приращение функционала в окрестности точки х0:
\U = Ux, — Ux.
Если существует окрестность ||х — Хо ]| <^ ^ точки х0, такая, что приращение функционала в этой окрестности сохраняет знак, точка л'о является точкой экстремума.
Идя далее по пути аналогии с математическим анализом, естественно поставить вопрос о выделении главной части приращения функционала, определяющей знак этого приращения.
Определение. Если приращение
AUx = Ux— Ux^ — U (х0-\-1г) — Uxd
функционала U в окрестности
I!* —М<8
точки х0, где 8^>0 достаточно мало, можно записать в виде:
\Ux — L{x^, h)-\-r(xa, 1г),
192
где L — линейный функционал смещения h, а г — бесконечно малая высшего порядка по сравнению с h: \r(x0, 1г) | — о (|| h ||), то функционал U называется дифференцируемым в точке хй, а главная линейная часть приращения линейного функционала L(x0, h) называется дифференциалом или, чаще, вариацией функциона-лаи в точке х0 и обозначается bU (х0, h).
Примером дифференцируемого функционала является
ь
Ux—\f(t, x(t))dt, а
определенный на пространстве С [а, 6], где f(t, х)— непрерывная функция, обладающая непрерывными частными производными (в обычном смысле). Его приращение выражается:
ь
\U = U(x-\-h) — Ux = <\){f[t, x(t)-\-h(t)] —f [t, x’(/)]} — a
b	b
=	4“ r (^> A'- dt.
a	a
Главной частью приращения, вариацией функционала Ux является линейный функционал
ь
W (х, /г)= § dt fxx}h(t)dt. а
Модуль второго слагаемого в выражении приращения, очевидно, является бесконечно малой более высокого порядка, чем \\1г\\, r	° df
благодаря непрерывности производной
§ 2.	Экстремум дифференцируемого функционала
Для выяснения вопроса о необходимом условии экстремума функционала Ux в точке х0 удобно рассматривать функционал как функцию F (t) = U (х0 th) переменного t при любом фиксированном h. Как известно, необходимым условием экстремума функции F (t) в точке t = d является равенство нулю ее производной F' (0), если эта последняя существует. Приняв это во внимание, сформулируем и докажем следующую теорему:
Теорема 1.11. Необходимым условием наличия экстремума дифференцируемого функционала Ux в точке х() является равенство нулю его вариации W (х0, h) в указанной точке при любом h, норма || h || которого достаточно мала.
Доказательство. Пусть функционал Ux дифференцируем в точке х0 и имеет в этой точке экстремум. Это эквивалентно тому, что функция F (t) = U (x0-)-th), если она дифференцируема в точке t = Q, при любом h имеет в этой точке экстремум. Убе
193
димся в том, что производная F' (t) существует в точке t — 0, найдем эту производную и приравняем ее нулю. Такое равенство и будет необходимым условием экстремума функционала:
F (Г) — F (0)  U (х„ -|- th) — Ux0	W (х„, th) + г (х„, th)
t =	t	t
 tW (x„, h) । r (x0, th) 	r (x0, th)
При стремлении /-—0 последнее слагаемое*)
Г (-Гр, th) t
стремится к нулю, так как
|г(х0, th) | = о || th ||, а следовательно,
I г (Х„, th) I „
1ИН
при / — О и любом h. Таким образом, необходимым условием экстремума функционала является
F' (0) = 8£/ (х0, h) = 0
при любом достаточно малом по норме h.
Точки, в которых это условие выполняется, называются, как и в анализе, стационарными. В них возможен экстремум. Но, так как условие, найденное нами, является лишь необходимым, могут быть стационарные точки, в которых экстремума функционала нет, и приращение функционала в любой окрестности такой стационарной точки имеет в разных точках различные знаки.
§ 3.	Уравнение Эйлера
В различных приложениях часто встречается функционал вида:
ь
Uy=\F(x, у, t/)dx, а
где F — данная функция своих аргументов, непрерывная вместе со своими производными в некоторой области g плоскости хОу при любых значениях у’.
Функционал Uy определен на некотором множестве М дифференцируемых функций нормированного линейного пространства С. Покажем, что он дифференцируем. Для этого рассмотрим прира
*) При преобразовании мы воспользовались свойством однородности линейного функционала:
U (л01 th) — tU (%0, h).
194
щение функционала, дав аргументу у приращение h(x), обладающее непрерывной производной:
ь
У U) + К W) ~ F (х, у, У)] dx — а b	Ь
=S h (х)++ V(х> у’ h> h'} dx’
а	а
где первое слагаемое линейно относительно /г(х), а последний интеграл благодаря непрерывности частных производных есть бесконечно малая более высокого порядка, чем max {| h (х) |, \h' (х) |}. Вариация функционала выражается:
ь
Ъи (у, Л) = $ [Fyh.-\- Fy’h.'] dx. а
Рассмотрим случай, когда множеством состоит из функции у (х), значения которых совпадают в концевых точках сегмента [а, &]. Геометрически мы рассмотрим интересующий нас функционал на множестве кривых, соединяющих точки А (а, у (а)) и B(b,y(b)) на плоскости хОу. Возьмем вариацию функционала
ь
$ [^/z(x)+^/i'(x)]dx=0 а
и проинтегрируем по частям второе слагаемое в квадратных скобках: ь	ь
J ^dX = ^	TX\dy\h(X)dX’
a	a
dF . I» „ учитывая, что Л(х) =0.
Так как h (о) — h (a) = 0 (смещения в концевых точках нет, эти точки являются общими для всех кривых), получаем:
ь
bU(x,h)= J	h(x)dx.
а
Приравнивая вариацию нулю, получим*):
d_F_ d_dF_ дх dx ду' ’
*) В самом деле, если при произвольной непрерывной функции Л (х) рассматриваемый интеграл равен нулю, то, предположив, например, что МЛ d dF I .	r . , r ,,
L o(y—dxdy’j 0 Ha нек0Т0Р0М сегменте [e1( oj c [а, о], мы взяли бы непрерывную функцию h(x), положительную на [aIt&J и равную нулю вне сегмента [a,,&J, что привело бы к тому, что ZU(x, Л) > 0.
195
Это уравнение носит название уравнения Эйлера. Итак, стационарную точку—функцию у (х), удовлетворяющую уравнению Эйлера, мы теперь, принципиально говоря, сумеем найти, найдя решение уравнения Эйлера. Следует учесть, что общее решение уравнения Эйлера содержит две произвольные постоянные, подбор
которых, если он возможен, и обеспечит выполнение концевых условий. Однако неясно, будет ли найденная стационарная точка (их может быть несколько), полученная кривая, кривой экстремума, или, как говорят, экстремалью функционала, и если да, то какого именно: максимума или минимума. В подробных курсах
функционального анализа изучаются аналитические соотношения, позволяющие во многих случаях (но далеко не во всех!) решать этот вопрос. Практическое решение вопроса, как мы увидим в следующих параграфах этой главы, во многих случаях вытекает из смысла задачи и свойств кривых, близких к экстремали.
§ 4. Решение задачи о брахистохроне
Рис. 34	Перейдем к решению задачи о бра-
хистохроне, сформулированной выше (стр. 191). Поместим начало координат в точку А, как это показано на рисунке 34. Из курса физики известно, что материальная точка, двигаясь от А без начальной скорости, будет иметь скорость

(1)
где g—ускорение силы тяжести. Пусть г/= г/(х)—кривая, по которой движется точка. Тогда
__ds___J/T -j-У2 dx
V clt	dt ’
где ds — дифференциал дуги кривой. Отсюда
dt=.V4^dx v ’
или, принимая во внимание (1),
Интегрируя, получим, что искомое время движения материальной точки Т по кривой у = у(х) от точки А до точки В будет равным:
у J Г Zgy (Х) О
196
Таким образом, задача о брахистохроне свелась к отысканию экстремума функционала Ту, определенного, как мы это будем полагать, на множестве функций у=у(х), непрерывных вместе со своими первыми и вторыми производными, из пространства *) С (0, л?1). Составим уравнение Эйлера для функции
F(x, у,у’) = УЦ^-.
Функция F в рассматриваемом случае не содержит х, поэтому, рассматривая уравнение Эйлера для нее в подробной записи:
Fy’ = Fy	Fxy' Fyy' • У Fyy - у = О,
мы обнаруживаем, что F^y = 0, и поэтому уравнение Эйлера для рассматриваемой подынтегральной функции в общем виде запишется:
Fy Fyy’ - у	Fу'у' • У = 0.	(2)
Первый интеграл для этого уравнения будет иметь вид:
F — t/F'y — C.
В самом деле,
^{F ~t/F'^ = F'yy -\-F'y..y"-F'y’-у”-Fy’y.tf^-
- Fy’y, • у tj = У (Fy Fyy tj Fyy • z/).
Выражение, заключенное в скобки, является левой частью уравнения (2) и согласно (2) равно нулю. Следовательно,
fx{F-y'.Fy’) = 0.
Пользуясь этими соображениями, напишем первый интеграл уравнения Эйлера для нашей задачи:
V1 +у2 _ у у’ —с= 1 V^gy У y2gy(l+y^	V2gC1‘
Умножая обе части на и приводя левую часть к общему знаменателю, получим:
1 _ 1 Vy^+y'r)~vc;’
Откуда С! — у (1 -ф-у'*'), или
<3)
Полученное дифференциальное уравнение первого порядка (3)
*) Эти условия могут быть ослаблены. В рассматриваемой задаче можно ограничиться требованием только существования и непрерывности у', но доказательство тогда было бы более сложным.
197
является уравнением Лагранжа. Как известно*), оно всегда интегрируется в квадратурах методом дифференцирования по параметру. В целях сокращения вычислений перейдем сразу к параметрическому представлению искомой функции у.
У=у (1 —cos0) **),
тогда
Подставив выражение для у и у в (3), после упрощения получим: у (1 —cos 0)d0 = ± dx, откуда
х = ± у (0 — sin 0) Сг, z/ = y (1 — cos 0).
Таким образом, экстремалями функционала Ту оказались циклоиды. Определим, исходя из условий задачи, произвольные постоянные Ci и Са^. Из того факта, что кривая проходит через начало координат, следует, что С2 = 0. Для того чтобы циклоида проходила через точку В (хъ yt) при 0 = 0Ъ достаточно положить р ____________________________	2х,
1	— SinBI ’
где 0j удовлетворяет условию:
9, — sin 6, xt 1 — cos 0i уц ’
Несложная проверка показывает, что выполнение последнего условия при любом подборе Xi и ух всегда возможно.
Отметим, что функционал, экстремум которого мы отыскивали, выражается в рамках поставленных нами условий несобственным интегралом, подынтегральная функция которого обращается в бесконечность в начале координат, но если сразу сделать подстановку х = С(д — sin 0), у = С(\ —cos0)
и интегрировать по новому переменному 0, то подынтегральная функция будет теперь ограниченной.
Из физических соображений ясно, что найденные нами условия определяют минимум, так как кривой, по которой движение длилось бы наибольшее время, вообще не существует. Интересен и такой вопрос. Из анализа известно, что экстремум носит ло
*) См., например, [35].
**) К тому же результату привела бы и подстановка у' = tg <р.
198
кальную форму. Функция может иметь несколько экстремумов, и при этом ни один из них может не быть ни минимальным, ни максимальным значением функции. Как решается этот вопрос здесь? При решении данной задачи из множества функций у = у(х), где у, У и у" непрерывны, мы не нашли другой стационарной «точки» — экстремали другого вида. Следовательно, в данном случае задача решается однозначно. Возможно рассмотрение и других классов кривых, например ломаных различных видов, но это уже другая задача, которой мы заниматься не будем.
Чтобы покончить с задачей о брахистохроне, отметим интересную аналогию. Оказывается, что эта задача по математическим методам решения близка к следующей физической задаче: в прозрачной среде с непрерывно меняющейся оптической плотностью, даны две точки А и В. Найти траекторию луча света, идущего от точки А к точке В. На основании известного из физики принципа Ферма *) эта оптическая задача сводится к отысканию экстремума функционала:
г, =
У J v (xi у) о
В частном случае, когда скорость v есть непрерывная функция только у и пропорциональна Vy, мы получим тот же функционал, что и в задаче о брахистохроне. Траекторией луча в случае v = xVy окажется также циклоида.
§ 5. Задача о наименьшей поверхности вращения
Положим, что на плоскости хОу даны две точки А (х0, Уо) и В(%1, yi). Среди всех кривых у = у(х), где г/, у" непрерывны **), соединяющих эти точки, найти такую, которая при вращении ее вокруг оси Ох образует поверхность минимальной площади. Как известно из курса математического анализа***), площадь поверхности вращения есть функционал
S5, = 2- У Vi + У'2 dx. хо
Мы опять, как и в предыдущем параграфе, имеем дело с экстремумом функционала вида:
ъ
Uy = ^F(x, у, t/) dx, а
*) Принцип Ферма формулируется так: из всех кривых, соединяющих точки А и В, траекторией луча света является линия, по которой луч из А в В проходит в кратчайшее время.
**) См. сноску в начале § 4, стр. 197.
#**) См., например, [36], т. 2, стр. 252.
199
где в подынтегральной функции в явном виде отсутствует х. Следовательно, уравнение Эйлера перепишется в виде (2), и первый интеграл этого уравнения будет иметь вид:
F-y'Fy’^C,
или, подставляя значение F,
У /1+у'2 — У'У	С’
Упрощая это дифференциальное уравнение, получим: у=сУн^.
Ради сокращения вычислений положим, что r/ = sh <р. Тогда
г/ = С 4-sh9 <р = С ch ср,
tj = С shcp^-,
J	т dx’
или так как z/ = sh ср, то
1=С^, dx’
откуда
х = Сч>-\-С1	и ^ = Х~СС~.
Следовательно, окончательно получим уравнение цепной линии: у = СсЬ? = СсЬ^=Л.
Итак, поверхность вращения, проходящая через две взятые точки (а следовательно, через две заданные окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси z, с центрами на этой оси), есть поверхность, образованная вращением цепной линии. Такая поверхность называется катеноидом.
Нетрудно видеть из условий задачи, что здесь мы так же, как и в задаче о брахистохроне, имеем дело с экстремумом — минимумом функционала. Однако здесь рассмотрение различных положений точек показывает, что в зависимости от того, как точки А и В располагаются относительно координатных осей, найденных экстремалей может быть две, одна или ни одной.
§ 6, О других применениях функционального анализа в вариационном исчислении
Ограничиваясь приведенными примерами, перечислим в заключение главы некоторые основные задачи вариационного исчисления, решаемые методами функционального анализа.
а)	Задача о нахождении геодезических линий (линий наименьшей длины, соединяющих две данные точки) на поверхности. В частности, для сферы такими геодезическими линиями являются
200
окружности большого круга, что имеет большое практическое значение в мореплавании и авиации.
б)	Задача о движении материальной точки с начальной скоростью под действием сил тяготения, возникающих в процессе взаимодействия с другой неподвижной материальной точкой. Решения этой задачи используются при определении орбит планет, искусственных спутников и космических кораблей *).
в)	Задача о равновесии тяжелой нити, натянутой между двумя точками подвеса (электрические провода между столбами, канаты подвесной дороги и т. д.). Оказывается, что здесь экстремалью соответствующего функционала является цепная линия**).
Кроме того, многие уравнения механики и математической физики выводятся единообразно путем отыскания экстремума некоторого функционала на основании принципа Остроградского —• Гамильтона. Так, например, этим методом можно вывести уравнения колебаний струны, мембраны, упругого стержня, упругой пластины, крыла самолета, укрепленного на лонжеронах, основные уравнения динамической теории упругости и т. д.
Наконец, существуют так называемые прямые методы вариационного исчисления, сущность которых сводится к отысканию экстремумов функционалов без построения дифференциального уравнения, определяющего экстремаль функционала, путем построения некоторых последовательных приближений к искомой функции. Это построение исходит непосредственно из вида рассматриваемого функционала.
Упражнения к главе XI
1.	Проверить дифференцируемость следующих функционалов:
a)	Uy—у (а)	в	пространстве	С (а,	Ь);
б)	Uy—у2 (а)	в	пространстве	С (a,	by,
в)	Uy=\y(a)\	в	пространстве	С (а,	Ь).
2.	Проверить, что функционал U‘2y дифференцируем, если дифференцируем Uy. Написать вариацию 1Ру.
3.	Доказать, что линейный функционал, отличный от тождественного нуля, не имеет экстремумов.
4.	Найти экстремали и исследовать условия разрешимости экстремальной задачи для следующих функционалов:
1 ____________
а)	5 Ку ('+/)	,	у(—1)=у(1) = &>0;
— 1
ь
б)	§ 1 ~уГ- dx, у (а) = А, у (&) = В. а
5.	Проанализировать экстремальные задачи для данных функционалов: 1
a)	\y'dx, _у(0) = 0,	у»(1) = 1;
о
*) См. [15], стр. 26.
**) См. [34], т. 4, стр. 231.
201
б)	yy'dx, у (0) — 0, у (1) = 1;
1
в)	j xyy'dx, з>(0)=0,	з»(1) = 1.
Глава XII. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА В ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИИ
Уравнения, содержащие искомую функцию под знаком интеграла, называются интегральными. Они имеют весьма широкое применение потому, что к интегральным уравнениям сводится большинсто задач физики, механики, техники. Интегральное уравнение, как известно (см. стр. 156), заменяет собой соответствующее обыкновенное дифференциальное уравнение вместе с начальными условиями. При этом следует отметить большую общность теории интегральных уравнений: различным типам дифференциальных уравнений соответствует один тип интегрального уравнения. Существует прямая связь между дифференциальными уравнениями в частных производных с интегральными уравнениями: к интегральным уравнениям сводятся предельные задачи математической физики.
Примером интегрального уравнения может служить нелинейное интегральное уравнение общего вида:
?(х) = ЦК[х, у, <?(y)]dy,	(1)
о
где ср (х) — искомая функция, 1( — данная функция своих аргументов, О— данная область интегрирования, X — числовой параметр.
§ 1. Вопрос о существовании решения интегрального уравнения
Первый вопрос, который возникает при изучении интегральных уравнений, — это вопрос о существовании решения при фиксированном значении параметра Хо. Если уравнение имеет решение при л=Л, то интересно выяснить, будут ли существовать решения при значениях X, близких к Хо, будут ли эти решения единственны при каждом фиксированном значении X, как они зависят от X и т. д. Эти вопросы (при решении специальных классов интегральных уравнений) были поставлены еще знаменитым русским математиком А. М. Ляпуновым*) в связи с решением задачи о фигурах равновесия вращающейся жидкости. Все они решаются в наше время методами функционального анализа.
*) См. [22].
202
Вопрос о существовании решений для определенных классов функциональных уравнений связан с исследованием действия оператора
Л?(х) = у, <?(y)]dy	(2)
о
в различных пространствах. Оказалось, что, в том случае, когда оператор А ср (х) обладает свойством полной непрерывности, доказательство теоремы существования решения осуществляется применением метода сжатых отображений, подобного тому, который описан в главе 7, § 5.
Рассмотрим уравнение (1). Обозначив его правую часть через Л<р(х) (2), мы получим уравнение
(х) = <р (х),
из которого следует, что его решением, а следовательно, и решением уравнения (1) является некоторая функция, преобразуемая сама в себя под действием оператора А, иными словами, инвариантная функция в этом преобразовании — неподвижная точка преобразования. Таким образом, теорема о существовании решения будет доказана, если для данного конкретного преобразования будут найдены условия, достаточные для того, чтобы при преобразовании семейства функции ср (х) в семейство функции А'р(х) нашлась инвариантная относительно преобразования функция. Впервые эта идея была высказана Биркгофом и К ел логом *) в 1922 г. Однако они указали лишь только частные условия для существования инвариантной функции. В 1926 г. известные советские ученые В. В. Немыцкий и П. С. Александров получили некоторый весьма общий принцип для обнаружения существования инвариантных функций. Независимо от них в 1927 г. польский математик Ш а уд ер**) получил еще более общий принцип. Если в линейном полном нормированном пространстве оператор переводит всякое выпуклое***) множество в его компактную часть, то всегда существует неподвижная точка.
Мы не будем приводить доказательство теоремы Шаудера, утверждающей этот общий принцип ****). Обратим внимание на то, что практическое применение принципа Шаудера связано каждый раз с изучением свойств конкретного оператора и решением вопроса о соответствии свойств оператора требованиям этого принципа. В следующем параграфе будет указан широкий класс упоминавшихся выше вполне непрерывных операторов, которые этим требованиям удовлетворяют.
*) См. [31.
**) См. [41].
***) Множество функций М называется выпуклым, если для любых двух функций /, g £ М этого множества и любых а > О, Р>0 при условии а 4- ₽ = 1 функция «/+₽£ принадлежит М.
****) Это доказательство читатель может найти, например, в [29].
203
§ 2. Вполне непрерывные операторы
Дадим следующее определение.
Определение. Линейный оператор А, заданный на линейном нормированном пространстве X с областью значений в линейном нормированном пространстве Y, называется вполне непрерывным, если он отображает всякое ограниченное множество пространства X в компактное множество пространства Y.
Выше было указано (см. стр. 188 — 190), что всякий линейный оператор отображает ограниченное множество в ограниченное, компактное множество — в компактное. Но для отображения всякого ограниченного множества в компактное недостаточно только линейности оператора. Действительно, возьмем любое ограниченное некомпактное множество М в бесконечномерном пространстве (в конечномерном пространстве все ограниченные множества, как мы знаем из теоремы Больцано — Вейерштрасса, компактны) и отобразим пространство тождественно само на себя линейным оператором
Ах — х.
Тогда ограниченное множество М перейдет в ограниченное, но не компактное множество М.
Из определения вполне непрерывного оператора почти очевидно следует другая, более современная формулировка принципа Шаудера, эквивалентная приведенной в предыдущем параграфе:
Если оператор А вполне непрерывен и преобразует в себя ограниченное замкнутое выпуклое множество М, то уравнение у (х) = А'-р (х) имеет в множестве М. по крайней мере одно решение (единственность решения не гарантируется).
В случае компактности множества М для применения принципа Шаудера достаточно, чтобы оператор А был непрерывен.
§ 3. Теорема В. В. Немыцкого
Условия полной непрерывности оператора (2) были сформулированы впервые В. В. Немыцким *). Им были найдены конкретные условия для оператора (2), выполнение которых достаточно для существования решения (1). Эти условия, как это видно из дальнейшего изложения, являются условиями того, чтобы оператор был вполне непрерывным и строго сжимающим. Последнее требование не входит в принцип Шаудера. Доказательство теоремы проводится без использования теоремы Шаудера.
Теорема 1.12 (В. В. Немыцкого). Если функция К (х, у, у) непрерывна по х и у в некоторой области О и если для всех | <р | sg L, где L — константа, выполнены неравенства:
\К(Х, у, У1) —/<(х, у, <р3) I < С I — <f>2
См. [30].
204
где С — константа, то при достаточно малом X существует единственное непрерывное решение ф уравнения (1), удовлетворяющее условию: | ф (х) | «С L, причем, если ф! — произвольная непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству | ф! | «с L, и
<fn=^\K(x, у, чы-Jdy, п=1, 2,..., о
то !?п равномерно сходится к ф.
Доказательство*). Рассмотрим оператор
Ау = \\К.(х, у, <f)dy, о
определенный в сфере | ф (х) | «С L пространства непрерывных функций, в котором
р(фь фа) = тах|ф1 —фа|.
Очевидно, Лф есть непрерывная функция, причем
| Лф | < X $ | /С (х, у, ф) | dy. О
На основании условия теоремы
\К(х, у, <?)\<К(х, у, О)|-Ыф|,
следовательно,
I ^Ф | «5 X {| К. (х, у, 0) dy -|- С | ф | dy}. о	о
Так как К (х, у, 0) по условию—непрерывная функция, то
\\К(х, у, 0)\dy<S о
для х £ G, и мы имеем:
| Дф | X (S -ф- CLmG).
Следовательно, | Лф | при достаточно малом X меньше L, т. е. сфера | ф (х) |sg;L преобразуется в свою часть, и так как, кроме того,
max | Дф1 — Лф21 X max | /< (х, у, ф1) — (х, у, ф2) J dy G
v 'l ХС гпах |ф1 —ф21 dy — \C max | ф1 — ф2| -mG о
то при достаточно малом X
р(Лфь Лф2) «£ вр (ф1, фа),
т. е. на основании теоремы Каччиопполи — Банаха (см. гл. 7, стр. 154) теорема доказана.
*) Доказательство взято без изменений из статьи В. В, Немыцкого 129].
205
Неравенства
\(S-\-CLmG)<^L и ICmG <1
(3)
дают нам связь между входящими постоянными.
§ 4.	Линейные интегральные уравнения
В пространстве С обширный класс вполне непрерывных линейных операторов Л? может быть записан в виде:
Л<р = $К(х, y)<?(y)dy,	(4)
а
где К (х, у) — непрерывная функция, называемая ядром. На операторах этого вида построены классические, широко применяемые интегральные уравнения следующих видов:
уравнение Фредгольма:
ь
? (х) = f (х) + X К (х, y)y(y)dy;	(5)
а
уравнение Вольтерра:
'р(*) = Нх)4-Х$ К(х, у) <р (у)dy.	(6)
а
Уравнения (5), (6) в случае /(х) = 0 называются однородными уравнениями соответствующих типов.
Оператор	ь
А^ = ’к\К(х, y)y(y)dy, а
определенный в пространстве С (он называется оператором Фредгольма), очевидно, линеен.
1°. Он аддитивен, ибо
ь
Л (?i + = X $ К (*, У) [?i (у) + Q/)l dy = а
b	b
= X $ К (х, у) ®1 (у) dy 4- X $ к (х, у) (у) dy = Л^ -j- А а	а
2°. Он непрерывен. Действительно, если <р„(х) сходится к ? (х) в смысле сходимости в С, т. е. равномерно на [а, Ь], то под знаком интеграла можно перейти к пределу и получить:
ь	ь
lim К (х, у) (у) dy = \K (х, у) <р (у) dy, п-><х а	а
ИЛИ
lim Ауп—Ац>.
п-*со
206
3°. Линейный оператор Фредгольма ограничен (см. свойство 6° в § 6, гл. 10). В этом можно убедиться непосредственно:
|| А? || = sup | А? (х) | =С sup | К (х, у) | sup | <р (х) | • | b — а | а^~х<Ь	а^х, у^Ь	а^у^Ъ
sup | <р (х) | = М • || ? ||, а^х^Ь
где
M = (b — d) sup \К (х, у) |. а^х^Ь
4°. Наконец, нетрудно убедиться в том, что оператор Фредгольма вполне непрерывен. Пусть А®(х)— ограниченное множество функций из С. Очевидно, что
*
м? w ।=| И d& I MN (b ~ а}> а
где M = supK(x, у) в квадрате а^х, у^Ь. Функции А®(х), кроме того, равностепенно непрерывны. Для любого г^>0, очевидно, найдется такое 8^>0, что при выполнении условия |xj — — х3|<ДВ для любых у£ [а, Ь]
\K(xlt y) — K(xit y)\<-ff.
Тогда ь
) А<р (хО — А? (ха) | J | К(ХЬ у) — К (ха, у) I • I <Р (у) I dy<e. а
В силу теоремы Арцела множество функций {А<р(х)} компактно.
Рассматривая линейный оператор А® как частный случай нелинейного, мы убедимся, что если ядро К (х, у) непрерывно в квадрате а^х^б, а^у^Ь и ®(х) непрерывна на сегменте [а, 6], то все условия теоремы В. В. Немыцкогодля уравнения (5) окажутся выполненными. Следовательно однородное интегральное уравнение Фредгольма при достаточно малом X имеет единственное непрерывное решение ?(х), удовлетворяющее условию: | ф (х) | sC L, если | ф1 (х) | L, где <j>i (х) — произвольная непрерывная функция, и если
ь
ЧпН=ЦК(х, y)^n-i(y)dy, п — 2, 3, .... а
то равномерно сходится к ф,
§ 5.	Собственные значения, спектр
Рассмотрим уравнение
Аф (х) — |х<р(х) = f(x),	(7)
или
(А — р./) ф =	(7)
207
где А—линейный оператор, преобразующий линейное нормированное пространство в себя, / — единичный оператор, р — числовой параметр*). Наряду с уравнением (z) рассмотрим уравнение
(Л —р/)ср = 0,	(8)
где 0 — нулевой элемент пространства. Уравнение (8) называется однородным уравнением, соответствующим уравнению (7). Уравнение (8) всегда имеет тривиальное решение: ср — 0. Если для некоторого р. наряду с оператором А — р/ существует обратный ему (Л — р/)"1 = /?11, т. е. такой, что последовательное применение операторов А — р/ и (Л—р/)1 в любом порядке к одной и той же функции оставляет ее неизменной, то для этого р уравнение (7) имеет при любом f единственное решение:
?Гх)=ЯрЛ	(9)
а уравнение (8) имеет в этом случае только тривиальное решение. Действительно, применим к обеим частям уравнения (7') оператор /?„ тогда-	^[(Л-р^ср]^^,
или по определению обратного оператора
<р=^А
а для уравнения (8)	y = R 0 = 0
Оператор /?и называется резольвентным оператором для уравнения (7) или просто резольвентой. Из приведенных рассуждений следует, что для нахождения решения уравнения (7) при соответствующих значениях р следует найти резольвенту
Такие значения р, при которых уравнение (7) имеет единственное решение при любом f, называются регулярными для уравнения (7) или для оператора А.
Если уравнение (8) при данном р имеет, кроме тривиального, некоторое другое решение, то такое значение р называется собственным значением оператора А, а соответствующее ему решение уравнения (8) — собственной функцией оператора А. Совокупность всех значений р, не являющихся регулярными для оператора А, называется спектром оператора А. В частности, все собственные значения оператора А принадлежат его спектру.
§ 6.	Метод последовательных приближений, построение резольвенты
Исходя из теоремы Немыцкогодля уравнений (5) и (6), построенных на вполне непрерывных операторах, применим метод последовательных приближений. Возьмем в качестве нулевого
*) Примененная здесь операторная запись охватывает различные интегральные уравнения, в частности уравнения (5), (3), где р. = -у.
208
приближения для уравнения (5) функцию f(x) и положим, что <Ро (x) = f(x),
у1(х) = Г(х) + ЦК(х, y)-f{y)dy,
а
(х) = f (х) + X j К(Х, у) (у) dy,
ъ
(X) = f (X) 4- х$ к (х, у) '?n-! (у) dy
В более подробной записи:
^n{x)~f(x) + ^K(x,y)f(y) dy-{-^K(x, у)Х а	ъ	а
Х$К(*> t)f(y)dtdy + ... + )/\\...\K(x, а	а а а
 К {tn-1, y)f (у) dt, dti... dy.
Обратим внимание на то, что
?1(*) = Лсро (х),
?2 (*) =	(ЛГ),
?з(*) = А-^(х),
?п(х) = Л?„_1(х),
ИЛИ	<ря(х) = Л [Л [Л ...Л<р0(х)].
Введем обозначение:
?„(х) = An^(X) = f (х) + \\к(х, у)<?п-1(у) dy. а
Тогда окажется, что
п b	п
S 'xm\Km[x,y)f(y)dy= 2 т = 0 а	т = 0
где ь ь ь
КпЛх, у)=\\...\К(х, ti)K(t1A)...K(tn_i, y)dti-dti...dtn_1dy — а а а
так называемое итегрированное ядро, и
со
m=Q
209
Существуют доказательства того, что степень оператора Фредгольма есть также линейный, вполне непрерывный оператор Фредгольма, если ядро k (х, у) и данная функция f (х) непрерывны, и что ряд (11) при достаточно малом X сходится*). Обратим внимание на другое обстоятельство, очень интересное с точки зрения приложения функционального анализа к теории интегральных уравнений. Ряд (11) моментально получается из совершенно формальных построений в обозначениях функционального анализа.
Из определения R^ имеем:
£
1
1 —— Р
=—;('+т+-?+-}=м+м+км’+--
Последний ряд сходится при условии, что 11 \А 11 — | Х| • 11А11 1, или при |Х|<^ ||А'|Т~’ или	откуда, используя это,
получаем тот же результат, что и ранее, но значительно более простым путем:
?(x) = f + XAf4-№AV + ...= 2 XmAmf. т = 0
Теорема 2.6. Уравнение Вольтерра (6) при условиях непрерывности ядра и функции f(x) имеет единственное решение при любом заданном X.
Доказательство **). Пусть даны две функции ?i(х) и ?2(х) на сегменте [а, Ь], рассмотрим их отображение, полученное применением оператора Вольтерра:
Д?1 = f (X) + к $ Я (X, у) (у) dy, а
Л?2 = f (X) + к $ R (х, у) (у) dy. а
Оценим модуль разности: ь
|Л?1 — Л<раI X51 /с(х, у)\- |?1(г/) — ?2(г/) \dy^\Mm(x — а), а
где
м= sup \К.(х, у)\, пг= sup |?1(г/) —ыж а^х, у^~Ь	а^у^Ь
Оценим также модуль разности повторного применения оператора
А к тем же функциям:
| А2?! (х) — А‘2?.2 (х) ( №Мт <'х~а—',
*) Подробное доказательство этих фактов см., например, [27], [21].
**) Мы следуем доказательству, данному в книге [12], стр. 63.
210
продолжая этот процесс, получим:
| 4VW - Ап^ (х) | \пМт {^}П-.
Очевидно, что при любом данном X можно подобрать число п настолько большим, что окажется справедливым неравенсгво
\п(х — а)п .. .
п!
Следовательно, отображение, даваемое оператором Ап, сжатое, и тогда, значит, последовательность {Л*яср}
ср, ср = Л "ср, ср2 = Дяср1 = Лзяср, . . .
сходится. Пусть
lim Л^ср == ср0, k —* оо
тогда
Лср0 = lim ЛЛЬяср. k -* оо
Так как отображение Ап сжатое, то
P(AknAs, Л'гяср)^ер(Л('г-1)'гЛср1Л(*“1)ср)^...^вьр(Лср, ср).
Следовательно,
lim р (ЛыЛср, Л*яср) = 0,
k—-w
р (Лср0, сро) = О,
сро =
Этим мы и заканчиваем ознакомление с некоторыми применениями функционального анализа.
Упражнения к главе XII
1.	Является ли единичный оператор Е вполне непрерывным?
2.	А и В—вполне непрерывные операторы; доказать, что Д-]-В—вполне непрерывный оператор.
3.	А — вполне непрерывный оператор, В—ограниченный; доказать, что АВ и ВА вполне непрерывны.
4.	Если А и Д*— сопряженные операторы, то А + Д*, ДД*, Д*Д — симметричные операторы и || ДД*|| = ]| Д*Д j( = ||Д||а- Доказать.
Часть третья. ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
В теории функций действительного переменного мы изучали функции как отображения множеств евклидова пространства Еп в евклидово пространство В функциональном анализе понятие функциональной зависимости было доведено до предельной общности в рассмотрении отображений одного функционального пространства в другое. Теория функций комплексного переменного изучает сравнительно частый вид оператора, отображающего евклидово пространство £2 в себя. Роль оператора играет здесь аналитическая функция.
Теория наиболее изученных функций комплексного переменного — аналитических функций — имеет плодотворные практические применения. В качестве примеров применения теории аналитических функций в курсе будут показаны приложения в области гидро- и аэромеханики, в анализе (вычисление интегралов), в алгебре, в теории устойчивости. Для учителя математики теория функций комплексного переменного имеет и служебное значение в том смысле, что отдельные элементы этой теории (комплексные числа, формула Муавра) уже проникли непосредственно в школьную программу, часть материала (вопрос о логарифмах для отрицательных и комплексных чисел, показательная и тригонометрические функции комплексного аргумента и др.) с успехом и заслуженным интересом изучается в школьных математических кружках. В современной математической литературе аналитические функции и их свойства описываются также часто, как понятие функции действительного переменного, множества, функционала, оператора.
Изложение теории функций комплексного переменного ведется в этой книге несколько иначе, чем в существующих учебниках. В целях последовательности изложения в книге кратко повторены, но с новой точки зрения отдельные вопросы, уже известные читателю из курса математического анализа.
212
Глава XIII. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Изучение теории функций комплексного переменного мы начнем с материала, в какой-то мере известного читателю и пока не связанного с комплексными числами, затем используем изученный материал непосредственно в теории функций комплексного переменного. Мы рассмотрим отображение множества точек плоскости на множества другой или той же самой плоскости, реализуемое посредством действительных функций двух действительных переменных с соблюдением некоторых специфических условий этого отображения. Это даст нам возможность познакомиться с элементами стройной теории гармонических функций, на основании которой будет построено дальнейшее изложение.
§ 1. Основные определения
Положим, что задано некоторое множество М. пар действительных чисел х, у и заданы две действительные функции и (х, у), v(x, у) двух действительных переменных. Рассмотрим отображение множества М на плоскость и, v. Для этого введем ряд определений.
Определение. Действительная функция двух действительных переменных и(х, у), обладающая непрерывными частными производными первого и второго порядка в некоторой области G *), называется гармонической в этой области, если она удовлетворяет в ней уравнению Лапласа-.
д'-и даи „ йР ' ду? ''
Пример гармонических функций:
1) и = х~— у2,	2) v — x3 — Зху2.
Определение. Функции и(х, у) и v(x, у), гармонические в области G, называются сопряженными гармоническими в области Gt~^G, если для их производных в области G} выполняются соотношения-.
ди _dv ди dv дх ду ’ ~ду	дх
Эти соотношения называются условиями Кош и—Р и м а н а или условиями Эйлера — Даламбера. Мы будем их кратко называть условиями КРЭДА.
Условимся также, краткости ради, две сопряженные гармонические в области Gj функции называть гармонической парой в области G.
*) Здесь и всюду далее рассматриваются только односвязные области, если не будет особых оговорок.
213
Гармонические функции и, v предыдущих примеров не образуют гармонической пары. Гармонические функции u = xi— yi и v = 2xy образуют гармоническую пару.
Теорема 1.13. Сумма, разность двух гармонических в области G функций и (х, у) и v (х, у), а также их произведение в том случае, когда функции и и о образуют гармоническую пару в области G, есть функция гармоническая в той же области.
Доказательство данной теоремы весьма простое и непосредственно вытекает из приведенных определений. Предлагая читателю самому доказать эту теорему для суммы и разности двух гармонических функций, мы докажем справедливость теоремы для произведения двух функций, образующих гармоническую пару.
Действительно, применяя условие Лапласа к функциям и и о, получим:
д2 [uv] । д2 [и«|	д р (uw) ] । д |” д (и«П
дх2 ' ду2	дх [ дх ] ду [ ду J
д Гди	, dv	1 ,	д	Г du	,	dv	1
= -ч— ~г~ V —j— -х- U —т— -ч- | -ч- V -ч— U I — дх \_ах	1 дх	J 1	ду	|_ ду	1	ду	J
д2и , п	ди dv	। d2v	, d2u	, n	du	dv .
дх2 1	dx dx	1 дх2	1 ду2	1	ду	ду
। d2v __ (д2и । д2и\ , ^[диду ,
' ду2 U V * ду2)	дх
, ди dv\ , )d2v , d2v\__n
~r ~dy dy ) ~l~ “ \dx2 + dy2j~ U‘
Так как каждое из выражений, заключенных в скобки, равно нулю (первое и третье из-за того, что функции и и v соответственно удовлетворяют уравнению Лапласа, второе в силу выполнения условия:
ди dv  ди dv\ дх дх	ду ду)'
Теорема 2.13. Если и, v и щ, Vi — гармонические пары функций в области G, то функции щ = и±и1, vi = v±v1', и3(х, у) — = ищ — vvx, и3(х, г/) = ыщ-|-и1у; «4(х, у)=	п4(х, у) =
__u,v — uvt uf-j-vf
также составляют гармонические пары в той же области, если гармоническая пара щ, не обращается в нуль в области G, иначе говоря, если выполняется условие
u*s + О
во всех точках области G.
Доказательство этой теоремы ввиду его простоты предоставляется читателю.
214
§ 2. Свойства гармонических функций и гармонических пар
Теорема 3.13. Каждый из интегралов
^и(х, y)dx— v(x, y)dy, ^v(x, y)dx-}-u(x, y)dy
L	L
no любому замкнутому кусочно-гладкому контуру L*), лежащему в области G, где функции и и v образуют гармоническую пару, равен нулю.
Доказательство. Из условий КРЭДА следует, что под знаками рассматриваемых интегралов содержатся полные дифференциалы некоторых функций. А это, как известно из курса анализа**), является необходимым и достаточным условием равенства нулю интеграла по произвольному замкнутому контуру.
Теорема 4.13. Если и(х, у)—функция, гармоническая в области G, L — произвольный замкнутый контур в этой области и если
ди ди , - . ди , ' .
= т- cos (п,х\ + л- cos (п,у) —
дп dx ’ ' 1 ду х производная функции и по направлению нормали к контуру L, то
№ds = O.
J ОП L
Доказательство. Применяя условия КРЭДА к данному интегралу, получим:
^ + ^.'^lds==
J дп у |_dx \ ds 1 dy ds J
L	L
С ди i . du , f C fd2u . d2u\ , , Л = \-didy+didx=) }\d^ + ^)dxdy=0-
L	о
Теорема 5.13. Если и (х, у) — гармоническая функция в замкнутой области G, то ее значения внутри области G однозначно определяются значениями на контуре L, ограничивающем область G.
Доказательство. Рассмотрим разность и — щ — щ и докажем, что гармоническая в области G функция и (см. теорему 2.13), обращающаяся в нуль на контуре L, тождественно равна нулю во всей области G. Для этого преобразуем интеграл
, С С (ди до , ди до\ ,	,
а
*) Здесь и далее рассматриваются только кусочно-гладкие контуры без самопересечения (Z. • х — <р (/), у — ф (t), <р, ф непрерывны, <?', ф' кусочно-непрерывны).
**) См., например, Г. М Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. III. М., Физматгиз, 1964.
215
где v (х, у) — пока произвольная вспомогательная функция, , С С Г d [ dv\ d-v . д [ dv\ d2v~\ , , ~	“ Udx^dy \U dy) dxdy~
a
Шд [ dv\ . d f cto\l , , f f ГЛ , <92tH , , dx \U dx] + dy \U dy )] dx dy ~ JJ U [dx2 + d/J dx dy' a	о
Преобразовав дополнительно первое слагаемое правой части по формуле Грина-Остроградского, получим:
(’ (* Ida dv , du dv\ , ,	(* Г dv , ;
u U ^+o^rxdy=\ul~^dx+
+ У u[3^ + d^]dxdy’ a
.или при v — u
У K£)2+Ш]dx dy = У [~ dx+Sdy]= G	L
f P r<3at> , d2ul , , ~ J j Ь*2 d/Jdx dy' a
Правая часть последнего равенства есть нуль, потому что ы = 0 ,	д'-и , д2и n	,
на контуре L и ^2 = О, так как и — функция гармоническая по предположению. Следовательно, и левая часть равенства du du п
равна нулю, откуда	= 0, т. е. и = const в области О,
включая и ее границу. А так как на границе ы = 0, то во всей области выполняется тождество и~0.
Следствие. Если две гармонические в области G функции и иг имеют на контуре области L одни и те же значения, то они тождественны во всей области G.
У 1	Рассмотрим задачу, иллюстрирующую
доказанную теорему. Дана материальная ------------- пластинка в форме единичного квадрата со сторонами, расположенными на коорди-г=0----------натных осях Ох и Оу. Задана температура
на границе квадрата так, как это указано -----на рисунке 35. Найти распределение температуры внутри квадратной пластины, Рис. 35	подобрав для этого гармоническую функ-
цию распределения температуры по площади (последнее соответствует теории теплораспределения). Для решения задачи нужно подобрать (других способов в нашем распоряжении пока нет) гармоническую функцию, удовлетворяющую граничным условиям. Такая функция, если мы ее подберем, по
216
теореме единственна. Нетрудно убедиться в том, что гармонической функцией, удовлетворяющей условиям задачи, является функция t = xy.
§ 3. Теорема Дзядыка
Рассмотрим в трехмерном пространстве х, у, z три поверхности: z — u(x, у), z — v(x, у) и z = Vиг (х, у) v* (х, у), где функции и и v образуют гармоническую пару. Интересная геометрическая связь между этими поверхностями была установлена советским математиком В. К. Дзядыком.
Теорема 6.13 (Дзя дык а) *). Если две гармонические функции и, v образуют гармоническую пару в области G, то площади поверхностей
z = u(x, у), z = v(x, у), г==Уи\х, у)-\-ог(х, у),
расположенные над любой частью Gj области G, равны.
Не приводя полностью доказательства этой теоремы, укажем, что оно легко получается, если воспользоваться известной формулой для определения площади поверхности **), а затем, использовав выполнение условия КРЭДА, получим систему равенств:
/1 + (и'ху + dx dy = 55 /1 + (уД3 + (уД3 dx dy =
О1	_____________О1____________
= 55 /i+dx dy.
a,
§ 4.	Понятие конформного отображения
Если даны две функции:
и = и(х, у), v=v(x, у),
позволяющие переходить от одной точки плоскости А (х, у) к другой точке плоскости В (и, о), то мы говорим, что функции и (х, у) и v (х, у) позволяют производить отображение плоскости в себя (или в другую плоскость).
Определение. Отображение называется регулярным в некоторой замкнутой области G плоскости хОу, если:
*) В. К. Дзядыком доказана в несколько иной терминологии более сильная теорема, из которой следует необходимость и достаточность выполнения указанных в теореме равенств площадей для гармоничности пары и и v («Успехи математических наук», т. XV, 1960, стр. 191 — 194).
**) См. [36], т. Ill, стр. 315.
217
I)	функции u(x, у) и v(x, у) определены, непрерывны и обладают непрерывными частными производными до второго порядка включительно в области G;
2)	якобиан в области G отличен от нуля'.
да ди
дх ’ до
дх ’
ду до Эу
*0.
Рассмотрим основные свойства, присущие регулярным отображениям *).
1°. Регулярное отображение непрерывно в обе стороны, т. е. достаточно близким точкам при отображении в одну (х, у-+и, v) и в другую сторону (и, о->х, у) соответствуют сколь угодно близкие точки.
2°. Обратное отображение А-1 регулярного в области G отображения А регулярно на множестве A (G).
3°. При регулярном отображении внутренние точки области G переходят во внутренние точки области A (G) и граничные точки области G в граничные точки области A (G) и наоборот при обратном отображении.
4°. Кривая отображается в кривую.
5°. Абсолютная величина якобиана при отображении равна пределу отношения площадей отображаемой фигуры и ее образа при стягивании их в точку.
Если якобиан больше нуля, то направление обхода по контуру отображаемой площади сохраняется. Если якобиан меньше нуля, то направление обхода при отображении изменяется на противоположное.
Рассмотрим частный вид регулярного отображения — конформное отображение.
Определение. Регулярное отображение называется кон-фо р мн ым, если оно сохраняет углы между отображаемыми кривыми (между касательными к кривым в точке их пересечения).
§ 5.	Конформность отображения гармонической парой
Пусть функции
и = и(х, у), v = v(x, у), реализующие отображение множества М плоскости хОу на множество N плоскости uOv, образуют гармоническую пару. Нетрудно видеть, что это отображение будет тогда регулярным при J # О, так как функции о(х, у) и и(х, у) непрерывны и обладают
*) Более подробно о регулярных отображениях см., например, [36], т. 111, стр. 222; [31], т. 11, стр. 230.
218
непрерывными частными производными до второго порядка включительно по определению гармонической пары. Исходя из условий КРЭДА, якобиан отображения
ди ди
дх’	ду ___du dv	ди dv___fduV1 , fdu\^_____fdvV1 . /ду\*
dv	dv	dx dy	dy dx	\dx J \dy J	\dx J \dy ]
dx’ dy
больше нуля всюду, где хбтя бы одна из частных производных и'х, u'v, v'x, Vy не равна нулю.
Более того, оказывается, что справедлива теорема.
Теорема 7.13. Отображение посредством гармонической пары и(х, у), v(x, у) конформно (при 7^0).
Доказательство. Пусть в области G плоскости хОу
задана дуга некоторой кривой, опре-
деляемая уравнениями:
У =y(i), x = x(t).
(1)
Пусть задана гармоническая пара, определенная на всей плоскости хОу и отображающая данную дугу в дугу кривой на плоскости:
v = u(t), u — v (/).
При этом точке х0, у0, лежащей на
кривой (1), соответствует точка и0, v0, лежащая на кривой (2) *). Если касательная к кривой (1) образует с осью Ох угол <р, а касательная к кривой (2) образует с осью Ои угол ф, то угол а поворота кривой (1) при отображении окажется равным разности ф — <р и
tgot==...
g l + tg¥-tg+
Тангенсы углов, составленных касательными, соответственно равны:
Следовательно,
dy , dv
do dy
, du dx a = arctg_^., 'du dx
*) См. рис. 36, на котором ось Ох совмещена с осью Ои и ось Оу — с осью Ov.
219
или, заменяя дифференциалы функций и, v их выражениями (так как функции и и v по условию дифференцируемы), получим;
a = arctg
/dv , , dv .
I л— dx —I— “ч— dy
dx dy
du , i du , \ --.-ax 4- *- dy
\dx dy
dx
Значения всех частных производных берутся в точке (х0, z/0). После преобразований имеем:
dv 2 । dv . , du , , ди , „ a = arct d^rfx
dxs 4- dx dy 4- dx dy -ф dys dx 1 dy 1 dx y 1 dy y
Применяя условия КРЭДА, получим:
	d^dxdy-d/xdxdy = O, d^dxdy^^dxdy = O.
Отсюда	dv i i п j j Q\	du , dx^dx +	)	dx	, dy a = arctg g-	= arctg -j- = —arctg dx'	1 y 1	dy	dx
Следовательно, угол поворота а между кривыми при отображении в точке (х0, у^ зависит только от значений частных производных функций и (х, у) и v(x, у) в этой точке и не зависит ни от уравнения кривой (1), ни от уравнения кривой (2).
Возьмем теперь две кривые 1Х и /2, пересекающиеся в точке (х„, z/o) на плоскости хОу под углом р. Пусть им соответствуют на плоскости uOv две кривые Lit Ц, пересекающиеся в точке («о, «о)- На основании предыдущего угол между кривыми 4 и Ls равен а и угол между кривыми /2 и Ьг также равен а. Отсюда кривые /j и /2 поворачиваются при отображении на один и тот же угол а, и, следовательно, угол р, под которым они пересекаются, не меняет при отображении своего значения.
§ 6.	Коэффициент растяжения
Представим себе, что географическую карту земного полушария мы отобразим конформно на плоскость uOv так, чтобы образы меридианов и параллелей при этом пересекались на плоскости uOv под прямыми углами (так называемая меркаторская проекция).
220
Спрашивается, можно ли считать, что при этом все расстояния между отдельными пунктами полученной географической карты окажутся пропорциональными (в соответствующем масштабе) расстояниям между ними на местности. Интуитивно можно себе представить, что ответ на поставленный вопрос отрицателен. В самом деле, «прямоугольник», составленный двумя меридианами и двумя параллелями и расположенный близко к северному полюсу, при отображении на плоскость uOv перейдет в прямоугольник (рис. 37). При этом происходит растяжение его северной стороны или сжатие южной или то и другое одновременно. Рассмотрим теперь общую постановку вопроса.
Положим, что на плоскости хОу дан отрезок прямой АВ, который отображается гармонической парой на плоскость uOv в дугу кривой MN (рис. 38). Предел отношения длины Да дуги MN к длине Дз отрезка АВ при стремлении точки В к точке А назовем коэффициентом растяжения отрезка прямой в точке А:	д„
k— lim Т-,
где k-—коэффициент растяжения.
Покажем, что коэффициент растяжения k не зависит от расположения точки В относительно точки А, а целиком определяется значениями первых частных производных в точке одной из функций гармонической пары.
Теорема 8.13. Коэффициент растяжения k для точки А (х0, у0) при отображении гармонической парой функций и(х, у), v (х, у) определяется по формуле
k =	+	= 1/+
У \дх) \dy ) У \дхJ \ду J ’
221
Доказательство. Учитывая дифференцируемость функций гармонической пары и последующий предельный переход, мы можем положить с точностью до бесконечно малых более высокого порядка
Д а = Vdul + dvi = У dx+dyj* ^^Ldx + ^ dyj , откуда	______________________________
ч / [ди , , ди , у2 , [dv , , ди , \2
Да. У \dJcdx + djdV) + \d^dx + fydY
As~	Vdx^ + dy*
После преобразований с использованием условий КРЭДА получим:
, -.Л [ди\2 . [ди\2  Г (ди\3 . (до\й k~ V \дх) ~ЦЭ7,) — V \dxj ~'\ду) ’
Интересно отметить, что k — YJ (см. стр. 219).
Таким .образом, конформное отображение, реализуемое гармонической парой, есть отображение, подобное в «малом», т. е. любой достаточно малый многоугольник, отображаясь гармонической парой, превращается в подобный ему многоугольник с точностью до бесконечно малых второго порядка с коэффициентом подобия k, подсчитанным для любой из точек этого малого многоугольника. Но коэффициент растяжения, вообще говоря, различен для различных точек плоскости хОу, и поэтому преобразования подобия в общем случае получиться не может, а следовательно, нет и сохранения пропорциональности расстояний.
К вопросу о конформных отображениях и их применениях мы еще вернемся в 16 главе.
Как видно из предыдущего изложения, отображение, реализуемое гармонической парой, обладает всеми свойствами регулярного отображения, так как оно осуществляется непрерывными функциями и = и(х, у) и v = v(x, у), имеющими непрерывные частные производные до второго порядка включительно с положительным якобианом преобразования J^>0 всюду, где хотя бы одна из частных производных функций и и v отлична от нуля. Следовательно, на основании свойства 3° регулярного отображения внутренние точки области G отображаются также во внутренние точки области 6Ь
Из вышеприведенных рассуждений следует чрезвычайно важный вывод, именуемый принципом максимума модуля для гармонической пары функции.
Теорема 9.13 (о принципе максимума модуля для гармонической пары функций). Если функции и(х,у) и v(x,y) образуют гармоническую пару в области G, то модуль любой из них не достигает своего максимума ни в одной из внутренних точек области Gr.
Доказательство. В самом деле, пусть внутренней точке (х0, у») (Е G соответствует по свойству 3° внутренняя точка (и0,
222
у0) Gt области, являющейся отображением для G. Тогда в области Gj обязательно найдутся точки, где абсцисса и и ордината v будут соответственно больше и меньше ы0 и у0, следовательно, точки, в которых |«|>|«0| и |С»|>|ио|.
Упражнения к главе XIII
1. Проверить выполнение условий КРЭДЛ для линейной комбинации п
гармонических функций 2 С, и, (х,у), где иг (х,у) — гармонические функции, «=1
С[ — комплексные числа.
2. а) Доказать, что всякая гармоническая в односвязной области G функция «(х, у) имеет семейство сопряженных гармонических функций, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое:
(х, ,	, С	, да . . „
V(x,y)= ^—dx + ^dy + C.
(*о.Уо)
б) Доказать, что если область G многосвязна и ограничена внешним контуром Го и внутренними контурами Гп Г2,..., Г„ (рис. 39), каждый из которых может вырождаться в точку, то функция v (х, у) может оказаться многозначной и общая формула иметь вид:
<х,у)	п
,	, С ди ,	. да . . VI . _
»(х, у) = \	dx 4-^ dy + 2, mkKk + С.
(х0 , Vo)	A = 1
Интеграл берется по пути, лежащему в области Q, mk — целые числа, и
С ди . . ди .
= J “ д? + У’
Ч
где th — простые замкнутые контуры, каждый из которых содержит внутри себя одну связную часть границы Г/г (числа называются периодами интеграла или циклическими постоянными).
Для однозначности функции v (х, у) необходимо и достаточно, чтобы все числа были равны нулю.
Примечание. Контур Го может и отсутствовать, если только функция и (х, .у) гармонична в бесконечно удаленной точке. По определению это означает, что функция и (?, Л), полученная из функции и (х, у) преобразованием инверсии, будет гармонической в начале координат. Можно доказать, что
п.
в этом случае У, nk — 0.
k = 1
3.	а) Будет ли гармонической функция и2, если и — гармоническая функция?
б)	Пусть «— гармоническая функция. Для каких функций f функция /(«) будет гармонической тоже?
4.	Дана функция и. Найти, если это возможно, функцию v, такую, чтобы пара и, v была гармонической:
а)	и — <р (х);
223
б)	и — !f> {ах -f- by) {an b — действительные числа);
\	(У\
в)	« = ¥ Ш;
г)	и = <р(х,>);
д,	u = <f {xs + у2);
е)	“ = ? \-~ х р
ж)	и = <р {х -f- Ух2 4-У9;
з)	и = ^{х2-\-у).
5.	Убедиться, что	(№—у2) dx— 2ху dy = Q, где L: х2 -\-y2 = R2.
6.	Подсчитать для поверхностей z = х2—у2, z=2xy, z=]Z{х2—у2) -j-4x2y2 равенство их площадей над единичным квадратом, кругом.
7.	Подсчитать площадь поверхности г = рЛи24-т'2, учитывая, что и, v — гармоническая пара: а) и = ху; б) а = еху.
X	у
8.	Для отображения, даваемого парой п =	; о==---->
найти образы следующих линий: а) семейства окружностей х2-\-у2 = ах; б) семейства окружностей x2Jj-y2 = by; в) пучка параллельных прямых у = х-i-Ь', г) пучка прямых y — kx; а) пучка прямых, проходящих через заданную точку х0,у0 {х0 =£0, у0 т^О); е) параболы у = х2.
Глава XIV. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, РЯДЫ
Перейдем теперь к рассмотрению комплексных чисел и их основных свойств. Этот материал частично знаком читателю еще из курса средней школы. Однако мы несколько изменим методику изложения, для того чтобы упростить в дальнейшем изучение многих вопросов теории функций комплексного переменного.
§ 1. Комплексное число как оператор
Пусть на плоскости задана числовая ось Ох. Выберем на числовой оси Ох точку и примем ее за нулевую точку и возьмем единичный вектор 1 с началом в нулевой точке и концом в точке, соответствующей числу 1. Этим самым будет задан масштаб и положительное направление на числовой оси. Условимся обычное построение вектора на числовой оси, соответствующего данному положительному числу а^>б, рассматривать как операцию растяжения (а^> 1) или сжатия (<з<С 1) единичного вектора 1 в а раз. Построение вектора, соответствующего данному отрицательному числу &<^0, условимся рассматривать как поворот единичного вектора на угол it против часовой стрелки и растяжение (сжатие) его в \Ь\ раз. Таким образом, запись
la = al,
где a — любое действительное число, обозначает, что задан радиус-вектор длиной в |а| единиц, расположенный на числовой оси Ох
224
в ту или иную сторону от нулевой точки в зависимости от знака
числа а.
Для того чтобы иметь дело с точками, расположенными на всей плоскости, а не только на числовой оси Ох, введем понятие
оператора множителя i. Оператор i мы зададим как оператор поворота вектора на угол против часовой стрелки. Это значит, что вектор 1, умноженный на i справа или слева, представляет собой вектор lz = zl, перпендикулярный вектору 1 (рис. 40), а вектор lii = ili = iil = z”2l = ~ lz2, где к единичному вектору 1 оператор i применяется дважды (два
поворота на угол у против часовой стрелки или один на угол к), перпендикулярен вектору 1г или противоположен вектору 1:
lz2= — 1.
Оператор i можно применять к единичному вектору многократно, получая при этом векторы, соответствующие числам:
г, г2 = — 1, г3 — — г, z4 = 1...
Введем теперь оператор-множитель более общего вида:
Р (cos —|- г sin ср),	(1)
где р2>0, который будем рассматривать как оператор-множитель поворота вектора в плоскости на угол ср против часовой стрелки
и растяжения вектора в р раз. В частном случае при Ф = у,
р—1 оператор-множитель (1) является оператором т. Вектор 1, умноженный на оператор-множитель (1),
есть вектор длины р, повернутый относительно оси Ох на угол ср против часовой стрелки (рис. 41). Введенный оператор-множитель (1) позволяет поставить в соответствие каждой данной точке плоскости радиус-вектор, идущий из начала координат в данную точку. Каждая точка плоскости, таким образом, определяется числа-
ми р, ср, входящими в выражение оператора-множителя (1). Нетрудно видеть, что числа р и ф являются обычными полярными координатами точки с полярной осью Ох и полюсом в точке О.
Условимся впредь при записи выражений
или
Ip (cos ср i sin <р)
li, li2, li3, lz1, ...
225
не писать в качестве множителя единичный вектор 1, но подразумевая его присутствие всякий раз, когда будет идти речь об изображении на плоскости соответствующих векторов. Иначе говоря, условимся раз и навсегда скалярные величины вида
р (cos ср - i sin ср), и, az3 и т. д.
(где р2> 0, а — действительные числа) считать соответствующими векторам
Ip (cos ср Ц- i sin ср), lai, lai2 и т. д.
при изображении этих скалярных величин на плоскости.
Таким образом, мы каждой точке плоскости поставили в соответствие некоторый вектор. Тем самым введен в рассмотрение класс чисел, изображаемых векторами на плоскости, более широкий, чем множество действительных чисел.
Определение. Назовем символ (1)
р (cos ср -|- i sin ср) комплексным числом.
Совершенно очевидно, что действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Из вышенаписанного следует, что всякое комплексное число изображается на плоскости в виде вектора. Комплексное число, если оно является множителем, мы рассматриваем в случае надобности как оператор-множитель, что не приводит к каким-либо неудобствам.
Определение. Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда соответствующие им векторы совпадают по величине и по направлению.
§ 2.	Плоскость Гаусса
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью Гаусса. Введем на плоскости Гаусса декартову систему координат. Тогда наряду с осью Ох появится вспомогательная, или, как ее называют, мнимая, ось Оу. Легко видеть, что векторы, соответствующие комплексным числам вида <j.i, изображаются отрезками на оси Оу.
Числа типа at, где a — произвольное действительное число, называются чисто мнимыми числами. Мнимые числа az при положительном а откладывают вверх от оси Ох — на оси Оу, при отрицательном — вниз.
Будем теперь ранее введенный оператор-множитель ij называть мнимой единицей. Учитывая употреблявшиеся ранее записи (см. стр. 225):
lz3=l(— 1), lz3 = l(—l)z, lt*= 1 (— 1)(— 1) = 1, мы будем полагать
I1 = — 1, i = V — 1, z'3 = — z, z1 — 1 и т. д.
226
§ 3.	Тригонометрическая и алгебраическая формы комплексного числа
Если обозначить комплексное число через z, ю приведенная выше форма записи комплексного числа
z = р (cos <р-J—Z sin <р)	(1)
называется тригонометрической формой комплексного числа. Притом число р>0 называется модулем, а число р— аргументом комплексного числа. Часто модуль комплексного числа z обозначают |z|, а аргумент комплексного числа z — через argz, т. е. p = |z|, a <? = argz. Нетрудно заметить, что если обозначить действительные числа р cos да и р sin соответственно через х и у:
(pcos<p = x,
.	(2)
lp sm <р=у,
то комплексное число (1) можно записать в форме:
z = x-f-Z//,
где х и у — действительные числа, имеющие указанные значения. Такую форму комплексного числа называют алгебраической, при этом действительное число х называют действительной частью комплексного числа, а действительное число у — мнимой частью комплексного числа. Часто употребляют и такие обозначения: действительную часть комплексного числа обозначают x=Rez, а мнимую у~ Imz. Обозначения эти происходят от начальных букв французских слов: reel—действительный и imaginaire — воображаемый, мнимый. Из соотношения (2) легко получить соотношения: р = Ух'1 у1,
<p = arctgy = arccos —.—- = arcsin	(3)
х	у %- 4- у2	у х2 -р у2
Соотношения (2) и (3) позволяют от одной формы комплексного числа переходить к другой его форме.
§ 4, Действия над комплексными числами
1.	Рассмотрим операцию умножения комплексных чисел. При умножении комплексных чисел
Zi — Pi (cos cpj -j- i sin pj и z2 = p2 (cos <p.2 -j- I sin <p.2) естественно в принятом плане изложения рассматривать один из сомножителей, например первый, как вектор
1Р1 (COS + Z Sin «fi),
а другой сомножитель естественно рассматривать как оператор
227
растяжения в р2 раз и поворота на угол <р2 против часовой стрелки. Тогда окажется, что
[Р1 (cos ?! + i sin • [p2 (cos <p2 + i sin <p2)] =
= P1P2 Icos (?1 + ?2) + i sin (?1 -j- ?2)].	(4)
Формулу (4) мы и будем считать правилом умножения комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Следовательно, при умножении двух комплексных чисел мы получаем новое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей. От формулы (4) можно перейти к умножению чисел, записанных в алгебраической форме:
(at 4- Ь^) (а2 4- Ьг1) = Vai + b\- V	bi /cos [ arccos 17== ф-
	I \	Vai + b'i ' 4- arccos —	-	4-1 sin arccos ,	4- + arccos 1/ 2	bib^ + l (аЛф-аД). r ^2 "1	/S
Нетрудно увидеть, что полученная нами формула
(ах + Ьх1) (аг ф- b.d) = (gjGj — bybi) 4- i (a^bi 4- а Д)	(5)
получается, если данные числа в алгебраической форме перемножать как двучлены.
2.	Рассмотрим теперь операцию сложения комплексных чисел. Если записать комплексное число в виде:
Zi = Ipt (cos <pi 4-t sin <p0= 1 (aj-ф-^г),
то на основании вышесказанного вектор z имеет длину, равную Р1, и его проекции на оси Ох и Оу плоскости Гаусса равны соответственно: p1cos<p1 = a1 и pi sin <рд = &1- Определим сумму z, : z>, где z^ = lp2 (cos 4- i sin <p2) = (a.34- ^2), как сумму двух векторов с заданными проекциями на оси, а следовательно, по правилам сложения векторов
(flj 4- ib\) 4* Ч~ = (fli Ч~ ai) Ч-	Ч- ^)-
Таким образом, при сложении двух комплексных чисел мы получаем опять комплексное число, причем его действительная и мнимая части соответственно равны сумме действительных и мнимых частей слагаемых чисел.
3.	Операция деления и вычитания. Определим операции вычитания и деления как действия, обратные соответственно сложению и умножению, получим формулы:
(G14- ibi) — (а2 4- ib-г) = (Gj — а,) 4- i (bi — 62), -PjJCOSCftj- t sin tfi) _ |-cos _	) sin (	— <?)].
Pa (cos -;2 4-1 sin <p2) p2	1	T/
228
с материалом, изложенным в этом
Очевидно, что при этом будут выполняться коммутативность и ассоциативность сложения и умножения, а также дистрибутивность умножения относительно сложения. Это следует* из того, что сложение и умножение комплексных чисел мы определили через сложение и умножение действительных чисел.
Следует отметить,. что введенное нами умножение не является умножением векторов, изображающих комплексные числа, ни в скалярном, ни в векторном смысле. В результате умножения комплексных чисел вновь получается комплексное число. Поэтому и удобно считать один из сомножителей, как мы это сделали, оператором растяжения и поворота. Геометрически умножение двух комплексных чисел интерпретируется как построение треугольника, подобного данному с заданным коэффициентом подобия. На рисунке 42 представлено умножение двух комплексных чисел:
= pi (cos cpi —i sin ©j),
Z-2 ==: p2 (COS i SIH Фо).
Легко видно, что заштрихованные треугольники на рисунке 42 подобны между собой.
Сопоставляя ранее данное определение равенства комплексных чисел (см. стр. 226)
разделе, мы можем дать новое определение равенства комплексных чисел, эквивалентное старому.
Определение. Два комплексных числа zx и гг равны тогда и только тогда, если их разность есть нулевой вектор, следовательно, два комплексных числа аг -ф- ib\ и а.г -ф- ib2 равны тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные и мнимые части-. ai = a1 и bx = b^.
Обобщая формулу умножения комплексных чисел, легко получить формулу для возведения комплексного числа в n-ю степень:
[р (cos	/ sincp)]” = р п (cos П'^Д-i sin пу).
При р=1 мы получаем формулу Муавра:
(cos <р —z sin ©)re~cos пчрД-i sin пу.
Рассмотрим извлечение корня п-й степени из комплексного числа. Пусть z = р (cos ср —i sin ср). Извлекая корень n-й степени из z, мы опять получим комплексное число:
п ,- п г —--------------
У z — ур (cos <р -ф-1 sin ©) = г (cos ф -ф-г sin ф),
229
где г, ф — неизвестные действительные числа. Для их определения возведем обе части равенства в п-ю степень:
p(cos <р -j- isin <р) — rn (cos пф-|- i sin пф).
Используя условия равенства комплексных чисел, имеем: р = гп ,	.	•	,	П/—	ф ‘2/2Z	f Л
П COS Ср = COS Sin ср = Sin И’Ф ИЛИ Г = у р И Ф = —!-, где k = О,
— 1.
§ 5. Числовые последовательности и ряды
Определение. Последовательность комплексных чисел zi = xi-\-iyl, гг = хт, -j- it/з, ..zn = хп -j- iyn, • • • называется сходящейся к комплексному числу z„ = -|- iyu, если i — z01 — О при п — оо.
Из этого определения следует, что для сходимости последовательности {?„}—>?() необходима и достаточна сходимость двух последовательностей действительных чисел {хп} —>х0, {//«}—*//<)• В самом деле, из неравенства
\zn — следует:	___________________
V -М2 Ч- (Уп у»У г> (хге — x0)J -j- (уп — Уй\ <Се'> или |х„ —х0|<е и \уп — z/ol<Ce> и' наоборот, из последних неравенств следуют предыдущие неравенства.
Необходимый и достаточный признак Коши сходимости последовательности переносится на последовательность комплексных чисел, так как из условий
I Хп-,р ^re|<CE,	(1)
I Уп-р> Уп | <Ч £ следует:
I %прр ?n | = j (%п±р	%n) ' i (jjn+p Уп) I ' '
== / (xn+p -^n)" ~i~ (уп+р Уп)<^£11/Г^  E>	(2)
где eI; e — сколь угодно малые положительные числа, р — любое натуральное число, п — достаточно большое натуральное число, и, наоборот, из выполнения условия (2)
I ZfC-p I Е следует выполнение условий (1).
Рядом комплексных чисел называется символ
21 + Z-2 4“ • • •	 г • • • .	(3)
230
Определение. Ряд (3) называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм:
Si = Zi, S2 = Zj 4- z>, ... , Sn — Zi + z2 . Ц- zn, .. •>	(4)
и предел последовательности частных сумм называется суммой ряда.
Сходимость ряда (3), очевидно, эквивалентна сходимости двух рядов:
4 4 • • • 4-г« 4- • •>	(^)
У\ 4 Ул- 4 •  • 4 Уп Ч—, что следует из эквивалентности сходимости последовательности частных сумм ряда (4) и частных сумм рядов (5).
Теорема 1.14. Необходимым признаком сходимости ряда
Zi 4 г-з 4 • • • 4 zn Ч-
является выполнение условия:
limz„ = 0.
Zl— СО
Доказательство. Действительно, пусть последовательность сумм (4) сходится к комплексному числу 3. Тогда lim 3Ч = 3 п -+ со
и limS„+i = S. Вычитая два последних равенства одно из другого п -* 00
получим:
lim (S„+1 — 3„) — lim z„ = 0. п — оо	п-*оо
Определение. Ряд (3) называется абсолютно сходящимся, если ряд
4i 141 г214’ • • 44« 14- • •>	(б)
составленный из модулей его членов, сходится.
Абсолютно сходящийся ряд сходится в обычном смысле, так как в случае сходимости ряда (6) ряды
41! 41 14..
4i 14 \у* 14 • • •
сходятся, а следовательно, сходятся и ряды (5).
Из всего вышеизложенного следует, что сходимость ряда (3) сводится к сходимости двух рядов, составленных из действительных чисел. Выполнение абсолютной сходимости сводится к решению вопроса о сходимости действительного числового ряда (6), к которому применимы все существующие признаки сходимости рядов с положительными членами. В связи с этим мы не будем подробно останавливаться на рассмотрении достаточных условий сходимости ряда (3). Теоремы о сложении и вычитании сходящихся рядов, об умножении ряда на число, об умножении абсолютно
231
сходящихся рядов, о необходимом признаке сходимости ряда но существу без изменения переносятся из действительной области в комплексную область.
§ 6.	Признак Коши — Адамара*)
Теорема 2.14. Ряд, составленный из комплексных чисел Zi 4" ~Г • • • zn — •,
сходится абсолютно, если lim z„ | <4, и расходится, п со
если
lim yr\ zn О 1**). п -* со
Доказательство. Пусть верхний предел последовательности действительных чисел | zx |,	| z2 ], ... ,	1 zn | меньше еди-
ницы: limy^l zn | = L<^ 1. Возьмем e столь малым, чтобы L Д-e п—*со
<Д1. Тогда по определению верхнего предела для этого е найдется такое N, что для всех n~j>N будет выполняться неравенство
ZI +
Обозначив LJrt = q, получим:
V \zn\<q, где 9<^1 для всех n^>N. Возведя обе части неравенства в степень п, получим:
\zn\<qn, т. е. ряд, составленный из положительных чисел |z1i + |z.2| + ... + |zrtl+... , мажорируется геометрической прогрессией со знаменателем <7<Д, следовательно, он сходится, и исходный ряд сходится абсолютно.
Пусть теперь Т^>1. Возьмем е^>0 столь малым, чтобы L — еД>1. Обозначим: L — г = г. Тогда по определению верхнего
*) Адамар J. Hadamard — французский математик, род. в 1865 г.
**) В теореме употребляется понятие верхнего предела последовательности lim zn\. Напомним, что число М называется верхним пределом последовательности действительных чисел alt а.>, ..., ап, ..., если:
1) для любого е>0 найдется такое N, что для всех п> N выполняется неравенство ал=<Л1-|-е;
2) для любого е > 0 и любого натурального п„ найдется такое п > п0, что ап > М — е.
Верхний предел последовательности действительных чисел, конечный или бесконечный, всегда существует.
232
предела для сколь угодно большого найдется такоеп^>п0, что пГ---------------------------i \
V !| >г,
или \гп\>г"> 1, что противоречит необходимому условию сходимости ряда.
§ 7.	Степенные ряды
Перейдем теперь к рассмотрению степенных рядов.
Степенным рядом называется символ
। Ck (z го) = Саz0) -J- C.J(z — z„)j ...
... 4-сл(г-го)"+... .	(i)
Очевидно, что при всяком фиксированном значении z этот ряд превращается в числовой ряд. Найдем множество тех значений z, при которых ряд (1) сходится.
Теорема 3.14. Степенной ряд (1) сходится абсолютно для всех значений z, удовлетворяющих условию:
|2-Zo|<r,
и расходится для всех значений z, удовлетворяющих условию:
еде L = lim / | Сп |.
Доказательство. Справедливость теоремы непосредственно следует из применения к степенному ряду теоремы Коши—Ада-мара. В самом деле, пусть z — фиксированное число, тогда числовой ряд, полученный из (1), сходится абсолютно, если
lim уг\ Сп 11 z — zn р <4, л-*-GO
или если	___ п____
\Z — Z„| lim К I Сп К 1.
п -* со
Следовательно, если |z—z„| удовлетворяет условию:
то ряд (1) сходится абсолютно. Аналогично убеждаемся в справедливости второго утверждения теоремы.
Следствие. Множество точек абсолютной сходимости степенного ряда образует открытый круг с центром в точке г0 и радиусом Я = Этот круг называется кругом сходимости
233
степенного ряда (1). В частности, при L — 0 областью абсолютной сходимости ряда является вся плоскость Гаусса.
Определение. Степенной ряд (1) сходится равномерно, если для каждого е'Д>0 существует такое N, зависящее только от е и не зависящее от z, что
I У, Ck(z — Z0)fe|<® k = n^ 1
для всех n>N.
Характер сходимости степенного ряда внутри круга сходимости определяется теоремой Абеля*).
Теорема 4.14 (Абеля). Если ряд
СО
У C^z-ztf
сходится в точке Zj г0, то он сходится абсолютно для всех г, удовлетворяющих условию'.^ | z |<Д zt |.
Доказательство. Так как точка Zj является точкой сходимости ряда (1), то на основании теоремы 3.2 она лежит внутри круга сходимости или на его границе. В обоих случаях точки, удовлетворяющие условию: | z I | zt |, суть точки круга сходимости ряда, что и требовалось доказать.
Следствие. Степенной ряд (1) сходится равномерно внутри круга радиуса r<^R, целиком вместе со своей границей, лежащей внутри круга сходимости степенного ряда.
Действительно, пусть точка zt такова, что
r<jzi — z01 = р </?.
Тогда неравенство
[ <z — zo)" |	] С„ (г, — г0)" |
выполняется для каждой точки круга |z — z0|=^r. Числовой ряд
СО
£ |C„(z1-z0)'l|	(*)
«---О
сходится, так как z, лежит в круге сходимости ряда, следовательно, ряд	от
У \Cn(z — z0)n\ п--0
для |z — z0|sgr сходится на основании признака сравнения, и его остаток
S |Cfc(z —z0)fe| fe = n+l
не превышает остатка числового ряда (*). Следовательно, для
*) Абель—Abel N. Н. (1802—1829)—норвежский математик.
234
любого е существует такое N, не зависящее от Z, что остаток ряда при п^> N меньше любого заданного е и тем более
СО
k == п 4-1 при тех же значениях п.
Следуя Гурвицу*), введем сразу же необходимое в дальнейшем понятие производной степенного ряда, хотя понятие производной функции комплексного переменного будет дано только в следующей главе.
Рассмотрим ряд
Р (z, а) = СоД-С] (г— а)Ст(z — а)!-'~ ... ,	(2)
радиус сходимости которого R отличен от нуля. Возьмем в круге сходимости этого ряда некоторую точку b и положим, что
z — а = (Ь — а)	(г — Ь) = 8 -Д s,
где 8 = й — а, ; = г— Ь. Ряд (2) примет вид:
P(z, а)=сод-с1(8Д-е)Д-с3(8д-^+...=сод-(С18д-с1е) +
Д- (С282 Д- 2С& Д- С&) Д- ... .	(.3)
Поставим вопрос о возможности перестановки членов в правой части равенства (3). И если эта операция законна, то расположим члены ряда (3) по степеням: £ = z — b. Для этого докажем, что ряд, составленный из модулей ряда (3):
1C0H-|C18|4-|C1S| + |CJ8'2l + |2C.i8;i-L|C.^|+ ... ,	(4)
сходится.
Легко видно, что при выполнении условия:
Н +	(5)
т. е. если \z— b\<^R— \b — а\, то ряд (4) сходится.
Условие (5) выполняется для всякой внутренней точки круга с центром в точке Ь, касающегося из-	---—
нутри окружности круга сходимости ряда
P(z, а).	/	( • N
Таким образом, если точка z располо- /	\	\
жена внутри этого круга (рис. 43), то пра- I	\
вую часть равенства (3) можно располо- 1	•	)
жить по степеням: ; = z— b.	\	i
Определение. Если в степенном \	J
ряде Р (г, а) заменить z — a на (Ь — а)Д- X.	/
Д- (г — Ь} и расположить весь ряд по степеням (z — b), то полученный таким	рис 43
образом степенной ряд Pt (г, b) называется преобразованием ряда Р (г, а) для точки Ь.
Следовательно, доказана следующая теорема:
*) См. [8].
235
Теорема 5.14. Ряд Pi(z, &), являющийся преобразованием ряда Р (г, а) для точки Ь, сходится внутри круга с центром в точке Ь, который касается изнутри круга сходимости ряда Р (z, а).
Внутри малого крута имеет место соответственное равенство коэффициентов этих рядов, что называется равенством рядов и обозначается: Р (г, a) = Pi(z, Ь). Рассмотрим коэффициент при члене z— b = 'i в преобразовании Pt (z, b) степенного ряда:
P(z, а) = С0 + Ct(b — а + ^) + С,(Ь — а 4-В)2 + ... .	(6)
Он равен
С1 + 2С2(&-а) + ЗСз(&~Ф)2+	+ пСп (Ь - а)п1 4~ ... . (7)
Ряд (6) будет сходиться в каждой точке b внутри круга сходимости ряда Р (г, а). Иначе говоря, ряд
Ci 2С3 (z - а) ЗС3 (z - а)3 4- ... 4- пСп (г ~ аГ> -ф- ... , (8) имеет радиус сходимости не меньше, чем радиус сходимости R ряда Р (г, а). Нетрудно убедиться в том, что радиусы сходимости рядов (2) и (8) совпадают, это очевидно, так как
lim уД С„| Нт п\Сп\ п—* со	л — со
Ряд (8) называется производным рядом ряда Р (г, а) и обозначается P'(z, а).
Теорема 6.2. Ряды
Р (z, а), Р'(z, a), P"(z, а), Р"'(z, а), ... , из которых каждый последующий является производным предыдущего, имеют тот же круг сходимости, что и ряд Р (г, а). Доказательство теоремы сводится к многократному повторению проведенных выше рассуждений.
Ряд Р{-п> (г, а) будем называть производным рядом и-го порядка.
Докажем теперь важную для дальнейшего теорему *).
Теорема 7.2. Степенной ряд Р (z, а) внутри его круга сходимости определяет функцию от г, имеющую производные любого порядка.
Доказательство. Если правую часть равенства (3) расположим по степеням: ; = z— b, то для преобразованного ряда получим:
Р (г, а) = Рг(г, Ь) = Р(Ь, а)ф-Р'(Ь, а) (г— &)4~
+(г _ 6)-2 +...+ГМ. (г _	+ ....	(9)
Мы здесь употребляем понятие функции комплексного переменного и производной от функции комплексного переменного. Эти понятия подробно разбираются в следующей главе.
236
Это разложение, как мы видели, имеет место внутри круга с центром в точке Ь, касающегося изнутри окружности круга сходимости ряда P(z, а). Если z = b-\-h, то из равенства (9) получим для всех значений 1т, достаточно малых по модулю,
Р(г, + Л, a)^(bla1==pr(bt a] + P^h+ ... +
Р<л>(Ь, а) п\
Нпл +
Переходя к пределу *), получим:
ИтР(& + л^-Р(М) = р,(й) л-»о	п
Таким образом, степенной ряд P(z, а) внутри его круга сходимости определяет такую функцию, которая является дифференцируемой, причем сумма производного ряда равна производной от суммы ряда. Производная Р'(z, а) от P(z, а), будучи степенным рядом, в свою очередь дифференцируема в круге сходимости ряда Р (z, а), имеет производную Р" (г, а) и т. д.
Упражнения к главе XIV
1.	Рассмотрите умножение 1 (1—i) и скажите, во сколько раз растянется единичный вектор и на какой угол он повернется в результате действия на него оператора-множителя (1 —i).
2.	Найдите аргументы комплексных чисел !—}—£, ——1—I-
3.	Будет ли справедлив дистрибутивный закон умножения относительно вычитания? Докажите.
4.	На какие комплексные числа надо перемножить комплексные числа О, 1, 1-|--^-, чтобы из треугольника с вершинами в точках 0, 1, получить треугольник с вершинами в точках 0, 21, —1 —2i?
5.	Доказать, что если z2-|-z2-j-z3 = О и | z2 | = | z31 = | z,1 = 1, то точки zn z2, z3 являются вершинами правильного треугольника, вписанного в единичную окружность.
6.	Доказать, что если z4 z2 z3 ф- z4 = 0 и | z41 = | z31 = | z31 = j z41, то точки zn z2, z3, z4 либо являются вершинами прямоугольника, либо попарно совпадают.
7.	Выяснить геометрический смысл указанных соотношений;
а)	| z — z01 < R, | z — z01 > /?, | z — z0 | = 7?;
6)	|z —2| + |z4-2| = 5; в) | z — 2 | — | гф-2 | > 3;
r) [z — zj | = | z — z31; д) Re z
e) Im z < С; ж) 0 < Re (tz) < I.
*) Предельный переход здесь возможен благодаря непрерывности функции
ЛЛ) = Р' (&, п)+^§^Л+... ,
что будет доказано в главе Ill (стр. 240).
237
В задачах 8—14 определить радиусы сходимости рядов.
9.
11.
8.
10.
12.
14.
13.	z"!-
л = 0
Глааа XV. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Определение. Пусть дано некоторое множество М комплексных чисел, например некоторая область на плоскости Гаусса. И пусть каждому элементу z из этого множества по некоторому закону f поставлено в соответствие некоторое, вообще говоря, комплексное число «) = /(г). Тогда мы будем говорить, что на множестве М определена функция комплексного переменного.
Так же, как и в действительной области, можно рассматривать однозначные и многозначные функции комплексного переменного.
Прежде чем переходить к изучению свойств функций комплексного переменного, отметим одну специфическую особенность этих функций. Геометрическим образом функции одного действительного переменного во многих случаях являлась кривая, и область значений функции была множеством точек оси Оу. Областью определения функции комплексного переменного является множество точек плоскости Гаусса, а множество значений функции есть также множество точек плоскости Гаусса той же самой или для удобства рассуждений некоторой другой, но такой же плоскости Гаусса. Таким образом, функция комплексного переменного является оператором отображения плоскости в себя или в другую плоскость. Условимся называть плоскость, в которой располагается область определения функции, плоскостью г, а плоскость, в которой располагается множество значений функции, плоскостью w. Смиримся с тем, что ни с какими иными геометрическими представлениями функция комплексного переменного не будет' связана, кроме одного (которым мы будем пользоваться) профиля модуля функции.
Профилем модуля функции в пространстве х, у, N называется поверхность У = |/(г)|, каждая аппликата которой равняется
238
модулю функции в данной точке с координатами х, у плоскости Гаусса.
Рассмотрим строениефункции f(z). Для данного значения независимого переменногоz=x-^-iy функция f (г) имеет некоторое, вообще говоря, комплексное значение f(z). Комплексное число f (г), как и всякое комплексное число, состоит из действительной и мнимой частей. Обозначая первую из них через и, а вторую — через v, получим: f(z) — u-\-iv. Числа и и v— действительные числа. При переходе от точки z к точке zit вообще говоря, меняются координаты х, у точки z на плоскости Гаусса, следовательно, меняется (в общем случае) значение функции f (г), т. е. изменяются действительные числа и и v. Таким образом, величины «и» являются функциями двух действительных переменных х и у. Итак’	f(z) = f (х + iy) = и (x,y) + iv (x,y).
Мы пришли к важному для последующего изложения заключению: функция комплексного переменного z определяется двумя функциями и и v, каждая из которых есть действительная функция двух переменных х и у.
§ 1. Непрерывность функции комплексного переменного
Одним из главнейших свойств, которым может обладать функция комплексного переменного, является непрерывность. Непрерывность функции комплексного переменного определяется так же, как и непрерывность оператора.
Определение. Функция f (г) называется непрерывной в точке г0, принадлежащей области ее определения, если для любой последовательности комплексных чисел {гп\, сходящейся к точке zn, соответствующая последовательность значений функции {/(zn)} сходится к числу
Функция, непрерывная в каждой точке некоторого множества, называется непрерывной на этом множестве.
Теорема 1.15. Для непрерывности функции комплексного переменного f (г) необходима и достаточна непрерывность составляющих ее функций.
Не доказывая данную теорему, укажем только, что справедливость ее следует, во-первых, из эквивалентности сходимости последовательности (zn}->z0 и сходимости двух последовательностей {хп}-+ха, {Уп}~+У<1 и, во-вторых, из эквивалентности сходимости последовательности {/ (г„)} ->/(ze) и сходимости последовательностей {и(хп, уп)}-+и(хп, уа) п {о(х;1, у„)}-+(х0, уй).
Итак, непрерывность функции комплексного переменного f (г) определяется непрерывностью составляющих ее действительных функций и (х, у) И V (х, у).
Из теоремы 1.15 следует непрерывность суммы, разности, произведения и частного (последнее в том случае, когда делитель не равен нулю) двух непрерывных функций комплексного пере
239
менного. На доказательстве этих фактов мы останавливаться не будем, так как оно сводится к известному доказательству непрерывности суммы, разности, произведения и частного для непрерывных функций двух действительных переменных.
В главе 14 (стр. 237) указывалось, что сумма равномерно сходящегося степенного ряда является функцией непрерывной. Докажем это.
Теорема 2.15. Если члены ряда
^ + 1^4-... + ^ + ...
являются непрерывными функциями комплексного переменного z в области G и если этот ряд сходится равномерно в области G, то сумма ряда S будет также непрерывной функцией в области G.
Доказательство. Действительно, пусть е — произвольно малое наперед заданное положительное число. Число N выберем так, чтобы в равенстве
S (z) = Sn(z)-[-Rn(z),	(1)
где Sn (z) — частная сумма ряда, Rn (z) — остаток,
в каждой точке области G. Пусть z0 — определенная точка области G. Подставляя в предыдущее равенство z = z0, получим:
S(ze) = S„(z0)4-/?n^).	(2)
Вычитая из (1) и (2), получим:
‘ S (z) - S (z0) । =) Sn(z) - S„ (z0) + Rn (z) - Rn (z0) | < =c!S„(z)-S„(z0)| + l^ (г)| + |Лл(z0)|.
Пусть Wn (z) = un (x, y) ivn (x, у), где un и vn — непрерывные функции, образующие на основании предыдущего непрерывную функцию 1Гга(г). Тогда
S„(z) = 1F)(z)4-1F2(z)4-...4-1F„(z) = [«1(x, у)-фи3(х, z/)4-...
. ..-'-«„(х, wl ~гl" lyi(ч у)~Фиъ(х, у)4-• • • 4-vn(х> у)]-
Выражения, заключенные в квадратные скобки, представляют собой суммы конечного числа непрерывных функций действительного переменного и на основании этого являются непрерывными функциями. Из непрерывности S„ (z) следует, что при достаточно малом \h\ = \z — z0| модуль разности
|S„(z)-S„(z0)j<l-
Следовательно,
|S(z)-S(z0)K|+i + i = e.
откуда и следует непрерывность суммы ряда (1) в произвольной точке zu области G.
210
§ 2. Дифференцируемость функции комплексного переменного
Введем понятие производной от функции комплексного переменного.
Определение. Пусть г — определенное значение комплексной переменной в некоторой области G. Рассмотрим отношение
&Z	’
где kz = Дх-j-iky, приращения аргумента в G. Если существует конечный предел	. /(z-l-Az)f(z)
независимо от того, как kz стремится к нулю, то функция f (z) называется дифференцируемой в точке и обозначается f'(z). Функция f(z) в этом случае называется дифференцируемой в точке z. Если функция f (z) дифференцируема в каждой точке некоторой области G на плоскости Гаусса, она называется дифференцируемой в области G.
Теорема 3.15. Для того чтобы функция f (z) = f (хД- iy) = — u(x, y)-\-iv(x, у), определенная в некоторой области G, была дифференцируема в точке z этой области, необходимо и достаточно, чтобы функции и(х, у) и п(х, у) были дифференцируемы в точке х, у и чтобы выполнялись условия КРЭДА.
Доказательство. Докажем вначале необходимость. Пусть предел отношения (1) существует. Тогда
и (х Д- Дх, у - Ду) — и (х, у) Д- iv (х Д- Дх, у Д- Ду) — iv (х, у) Дх-j-iAy	' ’
= А + Д/Д-аД-pz,
где а, р стремятся к нулю при Az->0 (Ах, Ду->0). Отсюда и (х -j- Ах, у -j- Ay) — и (х, у) -j- iv (х Д- Ах, у Д- Ау) — iv(x, у) —
— АДх — ВДу-Д i (АДу Д- ДЛх) Д- аДх — ₽Ду Д- i (аДу Д- Р^х),
или
Ди = А Дх — Вку Д- аДх — рДу,
Ду = ДДх Д- АДу Д- рДх Д- аДу,
что и доказывает дифференцируемость функций и и v в точке х, у и то, ЧТО
дх ду ’
ди  dv  R ду	дх
Достаточность. Пусть
Ди = Л4Дх — АДу -j- -[Дх Д- ВДу,
Ап = АДх Д- Мку Д- 7,Дх Д- ДДу,
241
где i, 8, fj, 8, стремятся к нулю при Дх, Дг/->0 (Дг->0). Тогда
Пт/:(2 + дг)/(2)= Ит Ди-HAv =
Аг—>0	Az	Av-.O Ал'^гД-У
Дд>->0
1: Л1Дх— //Ду 4~ /ЛтД.г4~ M l Ду	+	+ П1^х + ^1Ду
-"  11111		: :	---
Д >0
Ду_О ди . .dv	dv	.ди ди	.ди dv	, .	dv
= Л4 - /А = -А г	------= -------------г = г
1 дх 1 дх ду ду Ох ду ду 1 дх
Sx-faiAy
Замечание. Очевидно, что- дифференцируемая в точке (в области) функция комплексного переменного /(z) = «(x, у)-у-+ iv (х, у) непрерывна в точке (в области), что следует из непрерывности дифференцируемых функций и(х, у) и v (х, у) в этой области и теоремы предыдущего параграфа.
Таким образом, для вычисления производной мы получили следующие формулы:
„ . . ди	, . dv dv	. ди ди	. ди dv , . dv
z (z) = 3--h < г- = а--г л — -----г -т- = т- + t .
' - ’ дх	' дх ду ду дх	ду ду 1 дх
§ 3.	Определение и свойства аналитической функции
Определение. Функция комплексного переменного f (z) = ~u~'\-iv, образованная гармонической парой функций и(х, у) и v (х, у) в области G, называется аналитической*) в этой области.
Из определения аналитической функции и свойств гармонической пары функций следуют свойства аналитической функции:
1°. Аналитическая в области G функция дифференцируема, а следовательно, и непрерывна в этой области (см. предыдущий параграф).
2°. Сумма, разность и произведение аналитических в области G функций, а в случае, если делитель не равен нулю, то и частное от деления двух аналитических функций, есть функция аналитическая в той же области (см. § 1, гл. 13).
3°. Если f(z) — аналитическая функция в замкнутой области G, ограниченной контуром L, то ее значения внутри области G однозначно определяются ее значениями на контуре L. Иными словами, если две аналитические функции f (z) и fa (z) имеют на контуре L одни и те же значения, то они тождественны во всей области G.
4°. Если f (z) = и (х, у) Д- iv (х, у) — аналитическая в области G функция, то площади поверхностей z = m(x, у), z = v(x, у), z = = ф(с)|, расположенных в трехмерном пространстве х, у, z над любой частью Gi области G, равны (см. теорему Дзядыка, § 3, гл. 13).
*) Аналитические функции иначе называются голоморфными, регулярными, моногенными.
242
5°. Максимум модуля аналитической в области G функции не может располагаться во внутренней точке области G.
6°. Отображение посредством аналитической функции при условии J 0 конформно (об этом подробно в следующем параграфе).
§ 4.	Конформность отображения аналитической функции
Положим, что в области G на плоскости z задана аналитическая функция W = f(z). Проведем через точку z0 G кривую z = \(t) = x(t)-\-iy(t'). Эта кривая отображается функцией f (к (/)) в кривую W =	= u (х (f), у (0) -Н io (x(t), у (t)) на плоско-
сти W. Сравним этот процесс со следующим. Пусть в некоторой области G плоскости хбу задана параметрическими уравнениями кривая % = %(/), y=g(t), и пусть заданы функции и — и(х, у), v — v (х, у), непрерывные вместе со своими частными производными до второго порядка включительно, образующие гармоническую пару. Тогда кривая отобразится на плоскость uOv в кривую:
и — и[х (/), у (/)],
t» = v[x(i), у (01-
Таким образом, процесс отображения кривой на плоскости хОу посредством гармонической пары функций и (х, у) и v (х, у) целиком совпадает по существу с процессом отображения кривой посредством аналитической функции f (г) = и (х, y)-}-iv(x, у), так как те же функции и (х, у), и (х, у) образуют, как известно, гармоническую пару.
Следовательно, все свойства отображения посредством гармонической пары, выведенные нами в главе 13 (§ 5), имеют место и при отображении, реализуемом аналитической функцией. Перечислим эти свойства, используя теперь уже терминологию теории функций комплексного переменного.
Отображение, даваемое аналитической функцией, обладает на основании § 4, 5 главы 13 следующими свойствами:
1°. Оно конформно всюду, где
г w * о (l/'WI = /(|)*+(gy).
2°. Угол а поворота *) кривой при отображении определяется:
<x=argf (z).
3°. Коэффициент растяжения k = \f(z)\.
*) arg/' (z) обозначает аргумент функции f' (z), т. е. угол, образуемый радиусом-вектором на плоскости uOv с осью и.
243
Упражнения к главе XV
1.	Докажите сопряженность гармонических функций ии,—vvt и avi~j-u,v, если и, v и ut, v,— гармонические пары.
2.	На основе предыдущей задачи докажите аналитичность произведения аналитических функций.
В задачах 3—7 требуется определить линии, заданные указанными уравнениями.
3.	z = 1 — it, 0 sS t eg 2.
4.	z — t-\- it2, — co < t < co.
5.	z = t2 4- it*, — co < £ < co.
3
6.	z = a (cos t i sin t), ^ft c' -^r,, a > 0.
7.	z = i +	, — co < 7 < 0.
8.	Для отображения W = ~ найти:
а)	образы линий x — С, у = С, | z | = 7?, arg z = а, | z — 1 | = 1;
б)	прообразы линий и = С, V — С.
9.	Для отображений Ц7 = г —- и W=z------— найти образы окружно-
стей I z | = 7?.
1
10.	Для отображения П'/=г-]~— найти на z-плоскости прообраз прямоугольной сетки (и — С, v — С) плоскости 117.
11.	Доказать, что у функции f (г) — ху | в точке z = 0 производная не существует.
Глава XVI. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 1.	Линейная функция
Самой простой аналитической функцией является линейная функция W = az-\-b, где а = + iai 0, = +	— данные
комплексные числа.
Проверим, является ли данная функция аналитической. Для этого найдем действительную и мнимую части функции W и покажем, что они образуют гармоническую пару.
Действительно,
= az —b = (й] —{- /тД (х —iy) —pi —j-	=
«i* —	+ Pi Д- i (ajX 4- ai/7 4- р3).
Следовательно, действительная часть функции W = az-\-b будет:
«(х, у) = а-ух — а3г/4-?1> а мнимая часть:
v(x, z/) = a2x4-a1z/4-
Нетрудно убедиться в том, что, во-первых, функции и(х, у) и 244
v (х, у) образуют гармоническую пару и, во-вторых, выполняются следующие равенства:
ди___dv___
дх ду я’
ди	dv
ду	дх	'
Производная от функции W — az-^-b отлична от нуля, так как W' = (az -j- b)' — а Ф 0.
Таким образом, мы получили, что отображение, реализуемое линейной функцией, конформно на всей плоскости Гаусса. Рас
смотрим некоторые частные случаи. Будем считать, что плоскости z и W и оси координат совпадают (рис. 44).
а) Пусть W = f (z) = z-lrb, т. е. а — 1. В этом случае преобразование сводится к сложению переменного вектора z с данным вектором Ь, т. е. к параллельному переносу плоскости z на вектор Ь. Легко видеть, что при этом
поворота плоскости не проис- чч.
ходит, так как а = arg f' (z) =	Рис. 44
— arg 1=0. Все особенности
преобразования отчетливо видны, если записать выражение функции W=z-\-b в координатной форме:
W — z-'-b — х 4- iy -р — (х + Pi) 4~ i (у ~г $ъ)-
б)	Пусть а Ф 0, Ь = Ъ. Тогда f(z) = tiz и /г = \а\. Отсюда f(z) = a#0. Так как k = \f (z)\ = \a\ и a = arg/'(z) = = arga, то в этом случае (если а — действительное число) поворота не происходит и вектор всякого комплексного числа просто растягивается в \а\ раз; например, окружность единичного радиуса на плоскости z превращается в окружность радиуса | а | и все точки окружности перемещаются в соответствующие точки по радиусу. Если же а — комплексное число, то. происходит и растяжение, и поворот одновременно.
в)	Общий случай, представляющий сочетание двух предыдущих преобразований, реализует движение плоскости как целого при помощи вращения растяжения и параллельного переноса.
§ 2.	Бесконечно удаленная точка
Рассмотрим сферу, касающуюся плоскости Гаусса хОу в точке 2=0 (рис. 45). Обозначим на сфере две точки: одну наиболее удаленную от плоскости хОу точку N и точку касания — S. Назовем их
*) Ввиду простоты вывода предлагаем читателю все выкладки проделать самостоятельно.
245
полюсами сферы: северный полюс — N и южный полюс — S. Северный полюс изберем в качестве центра проектирования точек сферы на плоскость Гаусса. Такая проекция называется стереографической. Каждая точка сферы Z отобразится при этом в точку z, лежащую в плоскости хОу, за исключением северного полюса N. Чем ближе точка сферы будет располагаться к северному полюсу N, тем дальше ее проекция будет удаляться от начала координат. Условимся считать, что северный полюс сферы соответствует единственной бесконечно удаленной точке плоскости Гаусса, которую мы обозначим /г N \	z = оо и окрестностью которой бу-
/	\	\ дем считать внешность любого сколь
/	\	\ угодно большого круга с центром
I_________\_____I_____ в начале координат. Бесконечность
’ в комплексной области знака не имеет. Плоскость Гаусса, пополненная бесконечно удаленной точкой, называется расширенной, замкнутой. Введение точки z = co дает возможность считать, что всякая последовательность {z„} комплексных чисел, модуль которых неограниченно возрастает, сходится к оо.
Очевидно, что введенное таким образом новое комплексное «число» со не может участвовать в арифметических операциях, так как последние определены только для конечных точек плоскости Гаусса. Будем полагать, что для любого конечного г и бесконечности существуют следующие правила соглашения относительно действий;
2
q
— = 0,
(z.^0).
Условимся, что записи 0-со, со — со,
О тг- смысла не имеют.
§ 3.	Функция /(z) =у
Покажем, что функция /(z) = -|- есть аналитическая функция. Выделим, как и в предыдущем случае, действительную и мнимую части функции / (z):
., .__ 1 __	1	____ х — iy_ х_______. у
I \z)	z	x-}-iy	л:2-|-у2	х24-у2	lx2-\-y2’
= v(x> =
246
Очевидно, что в данном случае выполняются условия КРЭДЛ: да dv у-х~ тт да dv	2ху
дх ~ду ~ (х- -|-_у2)2 И ду дх (х2 у2)2 ’
Вычислив производную от данной
функции W — —мы видим,
что она не обращается в нуль ни при каком конечном значении z и существует всюду, кроме точки z = 0. Следовательно, отображение, реализуемое данной функцией, всюду конформно на плоскости Гаусса, кроме, может быть, начала координат и бесконечно
удаленной точки.
Если положить /(0) = оо и /(оо) = 0 и считать, что угол между прямыми в начале координат отображается в такой же
угол в бесконечно удаленной точке, то отображение окажется конформным во всей расширенной плоскости Г аусса.
Рассмотрим геометрический смысл данного отображения. Пусть нам дана точка z = p(cos<р-[-гsin ср), ее образом будет:
= y [c°s( —cp) + i sin ( —ср)].
Следовательно, если точка z лежит
внутри единичной окружности на плос-
кости хОу, то ее образ точка лежит вне единичной окружности на плоскости uOv (плоскости на рисунке 46 совмещены). Если аргумент точки z равен ср и точка располагается выше оси Ох, то ее образ имеет аргумент — ср (формально принято писать 2тс — ср) и располагается ниже оси Ои. Окружность радиуса г отображается в окружность радиуса Единичная ок
ружность остается на месте, но зеркально отображается относительно диаметра, лежащего на оси Ох. Происходит инверсия: внутренность единичного круга отображается в его внешность и, наоборот, при одновременном симметрическом отображении относительно оси Ох. Начало координат отображается в бесконечно удаленную точку; бесконечно удаленная точка отображается в начало координат.
§ 4.	Дробно-линейная функция
Рассмотрим отображение, даваемое функцией
г/х)=^±*
' W	cz 4- d ’
где a, b, c, d — комплексные числа, причем с # 0 и ad — Ьс^О.
247
В указанных условиях рассматриваемая функция может быть преобразована к виду:
где Л = -~, B = bc e2ad, С=~. Нетрудно установить аналитичность этой функции на всей расширенной плоскости Гаусса, кроме точки z =— С. Если принять во внимание на основании соглашений (1) § 2 данной главы, что /(—С) = оэ, f(oa) = A, и договориться о равенстве углов между кривыми при переходе от точки z =— С к оо и наоборот, то отображение, даваемое функцией, окажется конформным на всей расширенной плоскости Гаусса. Очевидно, что геометрический смысл данного отображения следующий: параллельный перенос, инверсия с полюсом в точке г =— С и зеркальное отображение относительно прямой, проходящей через г =— С параллельно действительной оси, и линейного преобразования, а именно: ^ = ?А-С, т = W — = A^-Bz.
§ 5.	Степенная функция. Поверхность Римана
Степенная функция f(z) = zn, где п>А— натуральное число, является непрерывной и однозначной на всей плоскости Гаусса. Доопределим эту функцию в бесконечно удаленной точке f(co) = tx>. Рассмотрев многочлен (х--1уУ1 и определив его действительную и мнимую части, можно убедиться в аналитичности степенной функции на всей плоскости Гаусса. Производная функции f(z) = nzre"1 отлична от нуля всюду, кроме начала координат, следовательно, отображение, даваемое функцией, конформно всюду, кроме начала координат.
Отображение, реализуемое степенной функцией, отличается по своим свойствам от уже рассмотренных отображений. Рассмотрим луч z — At, где А—комплексное число и 0	<С°°, выходящий
из начала координат на плоскости z под утлом ср = arg А к оси Ох. Образом этого луча на плоскости W окажется луч W = Bt, arg В = n-arg Л, выходящий из начала координат под углом пер к оси Ои (это вытекает из того, что если z = р (cos ср -J- i sinep), то W — рп (cos пер 1 sin пер). Заставим теперь луч z = At двигаться против часовой стрелки вокруг начала координат, как бы «прометая» плоскость z. Тогда луч W = Bt будет двигаться с угловой скоростью, в п раз большей, по плоскости W. Следовательно, когда луч z = At «прометет» на плоскости z, начиная от
2те
оси Ох, угловой сектор раствором в—, луч W = Bt «прометет» в это время всю плоскость W, начав от оси Ои и закончив этой осью. Итак, сектор раствором ~ плоскости z конформно отобра-
248
зился на всю плоскость W. Куда же будут отображаться точки плоскости z, не лежащей внутри этого сектора? Либо они будут отображаться в точки плоскости W, уже занятые отображениями точек рассмотренного сектора, и тогда нарушится взаимная однозначность отображения, либо для следующего сектора того же раствора, примыкающего к первому, придется построить новую плоскость Wлежащую над плоскостью W. Идя по второму пути, Риман *) предложил п-слойную поверхность для рассматриваемого отображения вида, деталь которого для случая п = 3 показана на рисунке 56 (стр. 261). Луч, начинающий движение от оси Ои, обходит весь первый слой поверхности, переходит во второй ит. д., а пройдя все п слоев, снова переходит в первый слой поверхности Римана. Последнюю склейку можно осуществить только в абстракции, изображению на рисунке она не поддается. Точки 0 и от для всех листов поверхности Римана также предполагаются общими для всех слоев. Они называются точками ветвления римановой поверхности.
Геометрически отображение W = zn характеризуется тем, что лучи, выходящие из начала координат, отображаются в лучи. Окружность с центром в начале координат и радиусом R отображается в спираль (проекцией которой на основную плоскость W является окружность радиуса 7?"), переходящую постепенно из одного листа поверхности Римана в следующий и из верхнего листа вновь переходящую в нижний.
В качестве примера отображения, реализуемого степенной функцией, можно указать, что в случае \V — zi = xl— y1^r2ixy прямоугольная сетка на плоскости г отображается в сетку взаимно перпендикулярных парабол (рис. 47). Покажем это. Рассмотрим на плоскости семейство прямых, параллельных оси Оу:
z = C-\- it,
где С — произвольная действительная постоянная, t — переменный параметр. Тогда от = С'2— t'lJ\-i2Ct и
и = С- -- f\	(1)
v = 2Ct.	(2)
Исключив из (1) и (2) t, например выразив его из (2) и подставив в (1), получим соотношение между и и v:
ц'2 = 4С'‘— 4C'2u, определяющее семейство парабол, направленных в отрицательную сторону оси Ои, аналогично для семейства прямых, расположенных параллельно действительной оси Ох:
z = t-\- iC,
*) Риман — Riemann G. F. В. (1826—1866) — немецкий математик.
249
получим в качестве отображения семейство парабол: о2 — 4С14С2и,
направленных в положительную сторону оси Ои и перпендикулярных предыдущим. При этом благодаря неоднозначности,
точнее двузначности отображения, каждая парабола первого семейства является образом двух прямых z — ± С -j- it, каждая парабола второго семейства—образом двух прямых г = /±г’С, в чем легко убедиться непосредственными подсчетами.
§ 6.	Показательная функция
Рассмотрим степенной ряд
+ + + (1)
Он сходится на всей плоскости Гаусса, так как для него
L = lim = R = oo, V п\ ’
или сходится абсолютно и равномерно на множестве точек круга сколь угодно большого радиуса.
Определение. Назовем сумму ряда (1) показательной функцией комплексного переменного г:
Покажем целесообразность этого определения. 250
а)	Если z— действительное число, то из курса анализа известно, что сумма ряда (1). является показательной функцией действительного переменного z.
б)	Определенная таким образом показательная функция комплексного переменного z обладает всеми свойствами показательной функции, определенной в действительной области, что будет доказано ниже.
в)	Введенная нами функция является естественным обобщением показательной функции на всю комплексную плоскость.
Напомним, что показательная функция, определенная в действительной области, обладает следующими свойствами:
1°. eZieZ2 —
2°. ег Ф 0 ни при каком конечном значении z;
3°. (егу = г;
4°. (г’);=о = 1.
Докажем, что показательная функция
f (z) = e2
комплексного переменного обладает всеми этими свойствами.
1°. Возьмем два ряда:
1 Н-Zi	= ег>,
^•2
1 + Z.2 + 4 + - - • = eZ2.
Так .как они сходятся абсолютно, то эти ряды можно перемножить. Будем группировать члены от полученного ряда по степеням г:
г0: 1-1 = 1,
z1: 1Z] —j—1 z.2 = Zi —Z-2,
z'2; 1 уут Н~ ziz-2 Н~ 1 ~ "2! (2’ “Ь 2ziZ.2 -р z|) = —	,
ч 1	। г1 ।	। 1	(г1 + гз)3
га ' га — 1	-га — 1	га
=i(z"+nz"_lz2 + ••• + "(W2i~1) z”~2z2+---+z”)
_ (г,+г2)» п!
В результате получим:
= 1 + (Z1 + + IMpL* + - - • + +п^)П + - - - = +4 2°- ег==^ = Л1у = е^1 + ^_У_1-£ + ^ + 1.^_^_ —+	д +	+	5! “•••]}==
= е' (cos у i sin у),
251
где х, у — действительные числа. Первый множитель ех не обращается в нуль ни при каком конечном значении х, второй (cos уi sin у) не обращается в нуль ни при каком значении у, так как косинус и синус одного и того же угла не могут быть одновременно нулями. "Отсюда е2 Ф 0.
3°. Вычислим производную от ряда (1).
Мы уже знаем, что степенной ряд можно дифференцировать и при этом радиус сходимости у производного ряда равен радиусу сходимости ряда (1). По правилам дифференцирования имеем: (е?)' ~ez.
4°. Подсчитаем значение ряда (1) в точке z — Q:
(е*Л=о — (е2)г = о = ev(cosz/yz' sin y)x=Q = 1.
Наряду co свойствами 1° — 4°, общими и для действительного, и для комплексного переменных, функция f(z)=ez обладает специфическим свойством, проявляющимся только в комплексной области.
5°. Функция f(z) = e~ является периодической функцией с мнимым периодом, равным 2тц. Докажем это.
ег+2Ы	ev+i l,v+2n) = е.е1 (уу^ = ек [cos (у + 2я)	• sin +	=
= е' (cos у i sin у) — ег,
где г — любое комплексное число и 2^ — период функций cos у, sin у. Итак, ег+'ити; = ег, где k — целое число.
6Э. Нетрудно убедиться в том, что функция е* ~ ех+1у = ех cos у 4- iev sin у
является гармонической на всей плоскости с производной, отличной от нуля на всей плоскости. Следовательно, отображение, осуществляемое этой функцией, конформно.
Пустьиамдана прямая, расположенная на плоскости z параллельно мнимой оси:
z = C^-it,	(2)
здесь С — произвольная действительная постоянная, t — переменный действительный параметр. Найдем образ этой прямой на плоскости:
W = ег = ес+и = ес (cos t \-i sin /).
Мы получили уравнение окружности с радиусом ес. Следовательно, когда точка z проходит прямую г = СД-^ на плоскости г, то точка IF при изменении параметра t от 0 до оо обходит бесконечно много раз окружность W = ес (cos/ J-z sin /).
Рассмотрим теперь прямую на плоскости
z = /4-iC,	(3)
параллельную действительной оси Ох. Ее образ на плоскости W W = е‘+‘с =ez(cosC4-i sin С)
252
является лучом, идущим из начала координат под углом С к действительной оси Ох. Если, меняя С, заставить прямую (3) двигаться параллельно самой себе, то при изменении С от 0 до 2л соответствующий этой прямой луч «прометет» всю плоскость W, начав с оси Ov и вернувшись к исходному положению, совпадающему с осью Ov. Таким образом, при изменении С от 0 до оо здесь опять нарушается однозначность отображения. Следовательно,
Рис. 48
для однозначного отображения нужно строить бесконечнолистную поверхность Римана и вниз, и вверх от основной плоскости W, склеивая слои по положительной полуоси Ov. Точки 0 и оо будут общими для всех слоев.
Прямоугольная сетка, нанесенная в полосе между прямыми г = /, г — /-|-2та, отобразится в систему концентрических окружностей и пересекающих их лучей (рис. 48).
§ 7. Тригонометрические функции
Рассмотрим степенные ряды:
г—+	С)
+	(2)
Эти ряды сходятся абсолютно и равномерно на всей плоскости Гаусса, потому что ряды, составленные из модулей их членов, являются частичными рядами для ряда
1 + И + Ц^+	(3)
253
который сходится при любом z и суммой которого, как известно, является е
Определение. Назовем сумму ряда син у сом комплексного переменного z:
Z3 , Z5 .
S i П Z — 2-ъ——ё—г" « • • •
о 1 Э 1
Определение. Назовем сумму ряда (2) косинусом комплексного переменного z:
, г2 , г1 z° , COS г 1 ~ г] + 4( — 6i + • • • •
Целесообразность определений sin z и cos z будет вытекать из того, что все свойства синуса и косинуса справедливы в области действительного переменного, кроме ограниченности их по модулю, а именно:
1°. sin (хЦ-2л)== sin х, cos (х Jr2-) = cosx;
2°. sin (xj ± x3) = sin Xt cos x3 ± cos xt sin x3;
3°. cos (xj ±x3) = cosXj gosx3 4- sin x3 sin x3;
4°. (sinx)' = cosx;
5°. (cosx)' = —sinx.
Как известно, из этих формул выводятся все остальные формулы тригонометрии; в частности,
sin3 г-у-cos2 г = 1, cos(—z) = cosz, sin (—z) =—sin z
будут справедливы и для sin z, и для cosz. Мы сейчас докажем это утверждение. Однако прежде выведем чрезвычайно важную зависимость, получившую название формулы Эйлера.
Мы уже знаем, что ~2	~3	~П
ег=1+*+21+3[+••• + тп+••• •
Подставляя вместо г его значение z = x-f-it/и приравнивая х —О, получим:
ео_i _Lit.	_ i У1 _L У1 I i £ _£ _i У1 I ...
e — 1 ; 1У 2!	1 3! ‘ 4! I 1 5!	6!	1 7! ।	’
ИЛИ
e — J 2I14!	6!	’ r 1 \y 31 1 51	7! '	/ ‘
Используя (1) и (2), получим:
e’3’ —cos y-j- i sin y.	(4)
Так как ez — eXJ'iy — exe'y, то, используя формулу Эйлера (4), получим:
г = ех (cos y-\-i sin у).	(5)
Докажем теперь, что соотношения 1° — 5° выполняются для МП Z и COS Z.
254
1. Используя формулу Эйлера (4), получим: e'* = cosz-|-i sin z, е iz = cos z — i sin z, откуда имеем:
е,г — e lz
Sin z =--------o-----
(6)
В частности, при z/ = 0, т. e. при z=x, эта формулы приобретают вид (формулы Эйлера);
е'х 4- е~,х cos х =-----7,----,
pix__„-ix
sin Х =-----.
2/
Используя формулы (6), непосредственно получаем:
COS (z 4~ 2 л) =-----L------- = 4--------= cos z,
где 2~i —-период показательной функции.
Аналогично устанавливается периодичность синуса.
2° и 3° получаются непосредственно из подстановки аргумента функции z, Ф z.2 в формулы (6), например:
eiZl _J_	/Л’-' I g-l^i
COS Zj COS Z3 —- SIH Zi sin z.2 =------------U--------
4° и 5° доказываются дифференцированием рядов, суммами которых по определению являются функции sin z и cosz.
Модуль функций sin z и cos z, являясь ограниченным на действительной оси, по мере удаления от нее неограниченно возрастает. Это будет показано в следующем параграфе.
Функции sin z и cos z являются аналитическими функциями на всей плоскости Гаусса, что следует хотя бы из формул (6), где sin z и cos z представлены как суммы и разности аналитических функций. Производные функций от sin z и cos z обращаются в нуль там, где сами функции обращаются в ztl. Очевидно, что в этих точках конформность нарушается. Отображения, реализуемые этими функциями, приводят к бесконечнолистным поверхностям Римана (в силу периодичности этих функций). Отображения, реализуемые функциями sin z и cosz, будут подробно рассмотрены в конце следующего параграфа. Функция tg z определяется как отношение sin z к cosz. Эту функцию мы отдельно рассматривать не будем.
§ 8. Гиперболические функции
Гиперболические функции в комплексной области определяются
равенствами:
ch z =
ez -р
, ег — е~г sh z — -—9;— zt
(1)
Сопоставление формул (1) и (6) предыдущего параграфа дает соотношение между функциями тригонометрическими и гиперболическими:
У cosz = chiz, chz —cos;?;
sinz = —ishzz, shz =— i sin iz. (2)
Ч	Пользуясь этими соотношениями,
/	можно легко установить свойства ги-
'	перболических функций комплексного
переменного, в частности показать справедливость соотношения между гипер-/	болическими синусом и косинусом:
Л о	7	ch2 z — sh2 z = 1.
Покажем теперь, что модуль функций sin z и cos г неограниченно возрастает при неограниченном возрастании модуля аргумента.
Напомним читателю графики гиперболического косинуса и гиперболическо-
Рис. 49	го синуса действительного переменного
(рис. 49). Из них непосредственно видно, что при неограниченном возрастании модуля аргумента неограниченно возрастает модуль функций sh z и ch z.
Рассмотрим функции I sin z |, |cosz|.
Используя свойства 1° — 5° предыдущего параграфа, получим: | cos z )== | cos (х-\- iy) I = I cos % ch у -[- i sin x sh у | =
= ]^cos2xch2 z/ф- sin'\vsh2^ = ]/sh2^-4-cos2%S=|sh y\.
Аналогично
| sin z | = V sh2у-j- sin2x Ss | sh y\,
откуда и следует, что по мере удаления от действительной оси, по мере роста у, модуль каждой из функций | sin z |, | cos z | неограниченно возрастает. Например, | sin (1О) = 1,42; | sin (1 -!~ -рЗг) 10,0.
Познакомимся с отображением, реализуемым функцией IF=sin z. Рассмотрим на плоскости хОу полосу, заключенную между пря
25S
мыми z = ±y + it. Возьмем в этой полосе две прямые, параллельные оси Оу.
z = ±x-\-it,
где х^>0— фиксированное действительное число. Образом этих прямых на плоскости IF будет:
W = f (z) — и (х, y)-\-iv(x, у) = sin (± х -ф- it) = == ± sin х cos tV-f-cos х sin tt = ± sin xch t-\- i cosxsh^.
Следовательно, здесь
или
и(х, у) = ± sin x-ch t, v (х, у) = cos х sh t,
и2 v2 j
sin2 x cos2 x ’
t. e. образом взятых нами двух прямых на плоскости z является гипербола на плоскости W с полуосями | sin z |, | cos z | и фоку
сами в точках ± 1 (рис. 50). Так как при хф>0 и = sin xch /ф>0, а при х<0 и = sin xch t <ф0, то, следовательно, левой прямой I на рисунке 51 соответствует левая / ветвь гиперболы, правой // — правая //. Если взять верхнюю полупрямую I, т. е. те точки прямой /, для которых t^>0, то окажется, что
v = cosxsh />0.
257
Следовательно, верхняя полупрямая отображается в верхнюю полуветвь гиперболы.
Положим теперь, что х=—, тогда и = — sin у ch t = — ch t, v = cos ~ sh t = 0.
Таким образом, прямая г = —у-}-it отображается в полупрямую W = — ch t.	(3)
Так как при —oo<^t<^oo —со — ch / <1—1> т0 полупрямая (3) располагается на оси OU слева от точки — 1 (рис. 52). Отображение на полупрямой (3) не однозначное: точкам Zi, 3 = — у± их, ti^> 0 соответствует (благодаря четности функции ch t) одна и та же точка = — ch (± ti). Чтобы достигнуть здесь однозначности, разрежем плоскость W вдоль полупрямой (3)
и поставим точкам прямой г =— y + # при 0 в соответствие верхний край разреза, а точкам г =—И при I '^0 — нижний.
Рис. 52
258
Заставим теперь х возрастать от —-Д до нуля. На рисунке 53 показаны три положения прямой z = х —iV при xt --— -^-(Ш), x.i = — у (IV), х3 — — ~ (V) и соответствующие им положения ветви гиперболы. Верхним полупрямым при этом соответствуют верхние полуветви гиперболы, нижним — нижние.
Рис. 53
При возрастании х ветвь гиперболы все более и более распрямляется, приближаясь к оси Ov на плоскости W. При х = 0 прямой z = it соответствует ось Ои:
U7 = sin it = i sh t.
При дальнейшем возрастании х от нуля до ветвь гиперболы движется, все более и более смыкаясь в положительную сторону оси Ои. На рисунке 54 показаны прямые при x4 = y(VI), r8 = y (VII), х6 = у (VIII) и соответствующие им ветви гиперболы.
При х = ~ прямой z=-^-{-it соответствует полупрямая
IF=ch/,	(4)
т. е. часть оси Ои от точки и = \ до сю (рис. 55). На полупрямой (4) отображение так же, как и на полупрямой (3), неоднозначно. Для достижения однозначности сделаем и здесь разрез вдоль полупрямой (4) п отнесем точкам прямой z = ^-\-it при
259
положительных t верхний край разреза, при отрицательных / — нижний.
Подведем итог сказанному. В то время как прямая z — x-\-it «промела» слева направо полосу от х = — у до х = у, соответствующая ей ветвь гиперболы «промела» всю плоскость IF.
При дальнейшем движении прямой параллельно самой себе в сторону возрастания х мы для сохранения однозначности ото-
определенности представления, более высокий слой IFj поверхности Римана, который имеет также два разреза по полупрямым: —1, г=0; z/j 1, ц = 0.
Остается решить вопрос о склеивании римановых поверхностей.
Дело в том, что при и t^>0
v = cos xsh I <0.
260
Следовательно, на промежутке у <_ х <_ у верхняя полуплоскость плоскости г(п<^0) будет отображаться в нижнюю полуплоскость плоскости IF (у 0), и наоборот. Поэтому склейку первоначального слоя IF поверхности Римана со следующим слоем придется производить «в перекрест», как это показано на рисунке 56.
Получающаяся поверхность Римана, как это легко видеть, окажется бесконечно многослойной в обе стороны от основной плоскости IF. Точка IF = оо является общей для всех слоев поверхности Римана, точки ± 1 попеременно являются общими для двух соседних слоев.
Рис. 56
При рассмотрении отрезка прямой, параллельной действительной оси плоскости г, заключенного в полосе —y«S/<^y, z — t± iy,
где у — пока фиксированное действительное число, мы получим ее образ на плоскости IF:
IF = sin (t-\-iy) — sin t cos iy ± cos / sin ty — = sin t ch у ± i cos t sh y.
Здесь
и = sin t ch y, v=± cos t sh y,
или
U2 , V2 _____ ,
ch2 у о sh у >
т. e. образом прямых z = t±iy на плоскости IF является эллипс с полуосями | ch у | и | sh у | и фокусами в точках ±1. При этом верхняя (п^>0) половина эллипса соответствует прямой z = t + iy, где г/>0, нижняя — соответственно прямой z — t— iy. По мере возрастания у эллипсы растягиваются, сохраняя те же фокусы.
261
При стремлении у к нулю эллипсы стягиваются к отрезку [ — 1, -J— 1J на оси Ои. Прямоугольной сетке в рассматриваемой на плоскости z полосе между прямыми z = ±-^-ф-г7 соответствует сетка, составленная из софокусных гипербол и эллипсов, пересекающихся под прямыми углами.
§ 9. Логарифмическая функция
Можно показать, что все рассмотренные нами функции при определенных условиях, налагаемых на область значений аргумента, имеют обратную функцию. Так, функция, обратная сте-п .----------------------
пенной, будет W— у г; функция, обратная показательной, будет: 1¥/ = 1пг; функции, обратные тригонометрическим, будут: U7 = arcsinz, W— arccos г, W = arcctg г и т. д. Однако подробно мы рассмотрим из них только функцию 1К = 1пг. Это незначительно сократит объем общей информации об элементарных функциях комплексного переменного (при значительном сокращении объема учебника). Мы особо выделяем логарифмическую функцию потому, что все выше перечисленные обратные функции выражаются через логарифмическую (в огличие от действительного переменного, где это сделать не удается), а именно:
arcsin z = — i In (iz ф- У I — г'-),
arccos г = — i In (z 4- |/ г2 — 1),
arctg г = 1 In
arcch z = In (г ф- У г2 — 1), arcsh z = In (г ф- У г2ф- 1),
arcth г = -х- In -г—!—.
2	1 — г
Сюда же мы отнесем и степенную функцию W = z* (в частности, № =y"W), где а — любое комплексное число. Изучение этой функции сводится к изучению показательной функции на основании очевидного равенства
2 сс , gij. 1 n z
Конечно, непосредственное изучение обратных функций раскрывает многие их специфические особенности, в частности и некоторые особенности реализуемых ими отображений. Однако эти вопросы уже выходят за рамки задач книги.
Итак, приступим к изучению логарифмической функции как функции, обратной функции показательной.
Пусть U^ = lnz. Это равенство мы условимся понимать как соотношение, эквивалентное соотношению z — ew. Обозначая, как это мы делали раньше, W = u-\~ iv, получим:
г — е"+,и — eue,v ~ еп (cos v ф- i sin о).
262
Отсюда |z| = e", или и = 1п]г] и arg г = d2&гс, где k — любое целое число, или v — arg г 4- 2/ггс. Следовательно,
W = и --f- iv = In | z | 4- i (arg г 4~ 2Атс).	(1)
Следовательно, в комплексной плоскости функции UC = in г есть функция многозначная.
Таким образом, мы получили, что любое комплексное число (отличное от нуля и бесконечности) имеет бесконечное множество значений логарифмов, отличающихся друг от друга на целое число слагаемых вида 2тЛ.
Примеры.
Ill (— 1) = In I — 1 I + m 4-2йад = (2k + 1), _	7
In (I — <) = In jC 2 4* i “• 4*2/5tci,
In I = In | I | 4~ «0 4* 2/гл< = 2/гш.
Докажем, что целый ряд свойств, присущих логарифмической функции, в действительной области переносится и в область комплексного переменного, несмотря на многозначность функции W = In z.
1°. In (ZxZs) = In | ZjZ21 4- i arg (ziZ0 4-	= In jZj | 4~ i arg 2т 4~
4- 2/e~ f -4 In | z.>14- i arg z3 -4- 2йтс( = In Zj 4- In z.3.
Аналогично можно показать, что
2°. In — = In Zj — In z.2. ^2
Следует заметить, что бесконечнозначность обеих частей последних равенств заставляет понимать сами равенства как совпадение множеств значений левой и правой частей.
Отображение, реализуемое логарифмической функцией, мы будем рассматривать в § 3 1лавы 18.
Упражнения к главе XVI
1.	Доказать, что отображение <а=г-\-Ь сохраняет расстояние.
2.	Доказать, что треугольники (образ и прообраз) подобны при отображении ы==аг-ф&.
3.	Доказать, что отображение <n-az~\-b окружность переводит в окружность.
4.	Доказать, что для « = — прямая переходите прямую или окружность и наоборот (другая формулировка: окружности конечного или бесконечного радиуса переходят в окружности конечного или бесконечного радиуса).
5.	Найти в случае дробно-линейного отображения образы луча, окружности, прямой.
6.	Рассмотреть профиль синуса.
7.	Выяснить, во что преобразуются при отображении « = ег;
а)	прямоугольная сетка х = с, у/ = с;
б)	прямые у = kx-\-b.
8.	Выяснить, во что преобразуется при отображении ш —созл прямоугольная сетка х — с,у — с.
263
Глава XVII. ИНТЕГРАЛ. РЯД ТЕЙЛОРА
Основная теория аналитических функций завершае!ся настоящей главой, посвященной интегралу комплексной функции и ряду Тейлора. В этой главе более точно очерчиваются границы класса аналитических функций, до конца выясняются связи между различными определениями аналитической функции и подготавливается почва для краткого изложения вопроса об области применения теории функций комплексного переменного.
§ 1. Интеграл
Пусть на плоскости z- задана дуга АВ спрямляемой кривой L, уравнение которой z — x(f)-}-iy(f), где a^t-Ab. Будем считать, что на кривой задано направление (ориентация) следующим образом: при возрастании параметра t точка перемещается из положения А к положению В. Кривую противоположного направления условимся обозначать—L. Пусть, кроме того, на кривой задана однозначная и непрерывная функция комплексного переменного f(z). Разобьем дугу АВ на элементарные дуги точками деления A = z0, Zj, z.>, ..., zn=B, соответствующими значениям параметра а — = 4<C^i<C <С^п = Ь. Выберем на каждой элементарной дуге по точке С* и составим сумму:
Sn — f	(zi — zo) + f (^a) (zt — zi) ~i~  • • 4~ f Gn) (zn — zn ib
которую назовем интегральной суммой и будем кратко обозначать п
s„= 5 HW(zA-zft_J.	(1)
k=i
Обозначив X = max|zft — zk+1\, заставим >• стремиться к нулю. При k
этом значение п будет стремиться к бесконечности.
Определение. Если существует предел интегральной суммы lim S„, л->0
(П -* 00)
независимый от способа разбиения сегмента [а, Ь] или, что все равно, дуги АВ на части и независимый от выбора точек. \k на элементарных дугах, то такой предел называется интегралом функции f(z) по дуге L и обозначается
$ f (г) dz. L
Как всегда, при введении нового определения возникает целый ряд вопросов, основными из которых являются следующие:
Когда интеграл \j(z')dz существует?
L
264
Как его фактически вычислять?
Какое значение он имеет для излагаемой теории и практических применений?
Ответам на все эти вопросы и посвящены последующие параграфы данной главы.
§ 2. Существование и вычисление интеграла.
Свойства интеграла
Для решения вопроса о существовании интеграла рассмотрим еще раз более подробно интегральную сумму (1). Введем следующие обозначения:
/ (Сй) = и (Д.	4- iv (С*,	=
£й = х* Ч~ гй — гй-1 = (xk — xk-i) 4“ i (Уь — Ук-i) = Д*й 4~ i^yk-
В этих обозначениях сумма Sn запишется так:
, f (tk) (Zk Zk [)— У , (ll/t 4“ ivl{) (Ax* 4- i^y/г) =
Й=1	,ft=l
— 2 (Uit ^X/i —Vk г S (!1* ^y^ "ЬVk (2) ft = 1	ft = 1
Вспомним, что в курсе математического анализа мы рассматривали криволинейные интегралы второго рода *):
J и (х, y)dx — v (х, у) dy,
'	(3)
j u (х, у) dy 4- v (x, у) dx,
L
где дуга Ь была задана на плоскости хОу параметрическими уравнениями x = x(t), y=zy(t) и соответствующие интегральные суммы для этих интегралов выражались следующим образом:
У, uk bxk — vk ±yk.
kl'	(4)
। Д//й 4~ ^^k-ft=l
Сравнивая выражения (2) и (4), мы видим полную аналогию между интегральной суммой для криволинейного интеграла 2-го рода (4) и интегральной суммой для интеграла в комплексной области (2). Таким образом, существование и вычисление интеграла ^[(z)dz __________ 4
*) См. £36], т. 11J, стр. 21.
265
сводится к существованию и вычислению интегралов (3), связанных с ним равенством
f (z) dz = $ и (х, у) dx — v(х, y)dy-\-i\u (х,. у) dy 4-
L	L	L
v (х, у) dx.	(5)
Криволинейные интегралы в правой части равенства на спрямляемой кривой x~x(t), y~y(t), как известно из курса математического анализа*), существуют, если функции x(Z), y(t), и(х, у), v (х, у) непрерывны на кривой L, а функции х' (0 и у'(t) хотя бы кусочно непрерывны на сегменте [а, Ь] ихвычисление их сводится к вычислению определенных интегралов:
\и(х, y)dx—v(x, y)dy=
L
b	b
= jjzz[x(4, z/(/)] x'(/) dt — $ц[х(0, у (t)] у'(t) dt, a	a
соответственно
$ и (x, tj) dy v U, У) dx —
L
b	b
=	y(t)]y(t)	ytt)]^ (t)dt.
a	a
Таким образом, вопросы существования и вычисления интеграла ^f(z)dz решены полностью. Полезна мнемоническая схема: L
t = b
\f(z)dz = J (и 4- iv) (dx-\- i dy).
L	t =a
b
Примеры. 1) dz = dx 4- idy = j x' (t) dt 4- iy' (t) dt = [x (b)—x(a)]-|-L I	a
-H\y(b) — у (a)] = [x (b)-j-iy (b)] — [x (a) -j-iy (a)] = z^6 — zt~a.
В частности, когда L — замкнутая кривая, <^>c?z = 0. (Знаком ф обозначают интеграл по замкнутой кривой L. Замкнутую кривую условимся обходить так, чтобы ее внутренность оставалась слева; для контура, близкого к окружности, это направление будет совпадать с направлением против часовой стрелки. Такое направление будем считать положительным.)
ох С dz .	.
2) \ -----, где L—окружность с центром в точке а — а и радиусом р,
L
уравнение которой z = а «3 4~ Р (cos t 4" !S'n О-
Из уравнения окружности находим:
х = а 4- р cos t, I dx — — p sin tdt,
у = 3p sin Z, I z/y = pcosZaT.
*) См. сноску на предыдущей странице.
266
Следовательно,
2n
£ dz _ C — P sin 14- Zp cos t dt =
J z — a J p (cos 14- i sin t)
L	0
2k	2k
= J (— sin t 4-i cos t) (cos t — i sin i) dt = i j dt = 2л/. b	о
На основании предыдущего мы легко определим свойства интеграла jj/ (z) dz, так как они совпадают со свойствами криволиней-
L ных интегралов: 1°. \)f(z]dz = — \f(z)dz.
L	— L
2°. $ kf(z) dz — k у (z) dz.
I.	L
3°. $ [f (z) ± <P (z)] dz = 5 f (z) dz ± $ <P (z) dz. L	L	L
4°. \f(z)dz= \f(Z)dz-\- $ /(z)dz + ..-+ $ f(z)dz,
где дуги Llt ..., Lk имеют попарно только общие концы и составляют в сумме дугу L = Li 4~Е.2 +	+
5°. \ \f(z)dz\^\\f(z)\-\dz\, L	L
что непосредственно вытекает из сравнения модуля интегральной суммы (1) с суммой модулей ее членов и с последующим переходом к пределу.
6°. | У (z) dz |	• дл. L, где M^\f(z)\, если z (= L и дл. L
L
обозначает длину дуги Л. Свойство 6° вытекает из 5°, если учесть, что j Azft | &sk (hsk — длина элементарной дуги) и, следовательно, I dz | г jj cis = дл. L.
L	L
1°, | $ f(z) dz I sup | f (z) | • дл. L. Свойство 7° является естест-l	L
венным уточнением оценки 6°.
§ 3. Теорема Коши
Если рассматривать интеграл jj f (z) dz, где f (z) — аналитиче-L
ская функция, a L — кусочно-гладкая спрямляемая кривая, то очевидно, что все условия существования интеграла, изложенные в предыдущем параграфе, выполняются и интеграл от аналитической функции /(z) будет обладать свойствами 1°—7°. Но наряду с этими свойствами интеграл jj f (z) dz от аналитической функции
L
f (z) обладает еще одним чрезвычайно важным свойством:
267
8°. Интеграл jj/(z)dz, где f (z)— аналитическая функция, не L
зависит от пути интегрирования, т. е. интеграл ^f(z)dz не зависит L
от вида кривой L. Это свойство интеграла доказывается в основополагающей теореме теории аналитических функций, принадлежащей одному из основателей этой теории — французскому математику О. Коши.
Теорема 1.17 (Коши). Если G — односвязная область конечной части плоскости и f (z) — однозначная аналитическая функция, определенная в этой области, то для кусочно-гладкой замкнутой спрямляемой кривой L, лежащей в области G, справедливо равенство *)
(z) dz — 0.
L
Доказательство. На основании (5) напишем:
ф f (z) dz — ф и (х, y)dx — и (х, у) dv
L	I.
-|- iф и (х, y)dy-Jrv (х, у) dx.
L
В силу аналитичности функции f (z) функции и(х, у) и v(x, у) образуют гармоническую пару.
Из теоремы 2.13 следует, что для гармонической пары функций и(х, у), v(x, у), определенных в области G, и замкнутого контура L, лежащего в той же области, справедливы следующие равенства:
фы(х, y)dx — v{x, y)dy — 0,
L
ф и (х, у) dy v (х, у) dx = 0.
L
Следовательно,
ф f (z) dz — ф и (х, y)dx — v (х, у) dy -|-i	L
4- i ф и (х, y)dy-{-v (х, у) dx = 0. L
Из доказанной теоремы вытекают следствия, имеющие первостепенное значение в теории аналитических функций.
Следствие. Интегралы от аналитической функции вдоль любых двух кусочно-гладких спрямляемых кривых с общим началом z0 и концом z равны.
*) Можно доказать данную теорему в случае, когда L— любая замкнутая спрямляемая кривая (см. [26], стр. 137).
268
Действительно, две различные кривые, удовлетворяющие этим условиям, образуют замкнутый контур Д-(— L2). Интеграл ф f(z)dz = O. Следовательно, на основании свойств 1° и 4° М +	L%)
имеем: § f (z) dz = $ f (z) dz.
Следствие. Интеграл от аналитической функции, заданной в односвязной области, зависит только от начальной и конечной точек пути интегрирования.
Действительно, используя свойства криволинейных интегралов, имеем:
Z lf(z)dz=\f(-)d^, L	«о
где zn и z — начальная и конечная точки пути интегрирования, а С — переменная интегрирования.
г
Следствие. Интеграл § f(QdC при фиксированном г0 яв-«0
ляется функцией верхнего предела:
$ f(C)< = F(z). «О
Z
Теорема 2.17. Интеграл F(z) = f (QdC от аналитической
•го
функции f(z), заданный в односвязной области G, является дифференцируемой функцией и F (z) = f (z).
Доказательство. Возьмем значение функции F(z) в точках z и гД-Дг и рассмотрим отношение разности значения F(z) в этих точках к величине Дг. Используя свойства интеграла 1°, 4° (см. стр. 267), получим:
z-j-Лг	z	z-}-bz
F(z + hz)-F(z) J	j /(С)Л
_ «о	*0	... г
kz	kz	&Z ’
Определим разность:
/ДгД-Дг) —F(*)	/(С) Л —/(z) Дг +$ [/(C)—/(z)]c?C
—	f (z) =	= j- .
Функция f(z) аналитическая, следовательно, непрерывная. Поэтому для любого е^>0 найдется такое 8	0, что при |Дг|<^8
269
будет выполняться неравенство |/(Д— f(z)|<^e, где — любая из точек 3 — окрестности точки г. Найдем оценку:
F [г -}- Дй) — F (z)
J~z
/(z)
z-}-kz
5 [/(0-/(2)]^ z
Az
z-\-bz
l/(C)-/(2)|-|rfC| е|Дг|
<- _£____________________________ — e
|Az|	\ | Az |
Следовательно, llm Az-0	dZ
или F’ (z)~f (z ).
Если, так же как в курсе математического анализа, под первообразной (или примитивной) функцией функции f(z) мы будем понимать такую функцию F (z), что выполняется уело-
Z
вие F’(z) — f(z), то теорема 2.Г7 утверждает, что j/(£)(/£, рас-
*0
сматриваемый как функция своего верхнего предела, является одной из первообразных для функции f (z).
Доказанная теорема дает возможность распространить на аналитические функции известную формулу Ньютона — Лейбница. Докажем это.
Теорема 3.17. Если f (г) аналитична в односвязной области G, то интеграл, взятый от этой функции, удовлетворяет
равенству
Z
$ Ш d:=o(z) — Ф(г0), го
где Ф (г)—одна из первообразных функций для f(z).
Доказательство. Действительно, пусть Fi (z) и F2(z) — две первообразные функции для f(z). Покажем тогда, что они отличаются лишь постоянным слагаемым. Построим вспомогательную функцию <p(z) = /?1(z) — F3(z). Ее производная <р'(z) = 0, так как (z) = F' (z) — F' (г) = f (г) — f (z) = 0. Итак, если у (г) = = и(х, y)--iu(x, у), то
,,,	ди , .dv	dv	.ди л
Ф (z) — а-= ---------« S О,
” ' ’	dx 1 dx	ду	ду
или
ди ди dv dv q
дх	ду	дх ду ~~
Отсюда сразу же следует, что и и v не зависят ни от х, ни от у, т. е. и(х, у)~Ci, v(x, у) = Сг, ... . Следовательно, '•?(Д = Ci+ -]-iC2 = C.
Таким образом,
F1(z) = E2(z) + C.
270
Возьмем некоторую первообразную функцию Ф (г) для функции f(z); так как по доказанному Ф (z) = F(z) -ф- С, то имеем:
$Ш^ = Ф(г)-ф-С,
•го
при г = z0 окажется, что Ф(2о)ф-С = О, или С =— Ф (z0).
Следовательно,
£/: = Ф(г)-Ф(г0),
г0
где Ф(г) — любая примитивная функция.
Пример. При условии —ic<argz<7t
Z
\ — = In z — In 1 — In z, г
1
так как (In ?)' = — . Мы получим так называемое интегральное представ-
ление
логарифмической функции
1 С dz In z = \ —.
§ 4. Интегральная формула Коши
В § 3 главы 15 (свойство 3°) было отмечено, что значения аналитической функции внутри замкнутой области однозначно определяются ее значениями на контуре, ограничивающем область, без указания на то, как зависят значения внутри замкнутой области от значений функции на границе. Сейчас мы получим формулу, дающую возможность вычислить значение аналитической функции в любой внутренней точке области по заданным ее значениям на границе области. Эта формула называется интегральной формулой Коши.
Теорема 4.17. Значение функции f (z), аналитической в односвязной области G, в точке z0^ G определяется ее значениями на любом замкнутом спрямляемом кусочно-гладком контуре L, целиком лежащем вместе со своей внутренностью внутри G, по формуле
Доказательство. Опишем окружность у с центром в точке z0 настолько малого радиуса, чтобы эта окружность целиком лежала внутри контура L (рис. 57). Построим две перемычки Ki, Къ соединяющие две из точек контура L соответст-
271
венно с точками окружности и рассмотрим область, ограниченную частью контура L, перемычкой Ki, частью окружности у и перемычкой Kt (заштрихованная область на рисунке 58). Так как
„	,	,	f (г)
внутри этой области и на ее контуре функция	является
2 Zq
аналитической, то по теореме Коши имеем:
?	^ = 0.
V	£ ^0
Li + A"i —ц + Л'а
Аналогично получим:
С /(О«п
J С —*0
La — Kt — та — К2
Складывая эти два интеграла, получим:
С /К)К С
' С— г0 J Z —г0
L1 + L2 —11 —12	L —1
откуда	следует,	что
С	/(QrfC =	С	/(С) л
J	С — 2»	3	го
L	J
Таким	образом,	для	доказательства	теоремы достаточно убедиться
в справедливости равенства
1
или, что эквивалентно, в справедливости равенства
/К) rfC
С —Zo
2кг / (г0) = 0.
(2)
272
Так как ® г—— = 2ш (см, пример 2 на стр. 266), то равенство (2) J t го
эквивалентно равенству-
J Ъ Z0	J b Z0 J	Ь Z0
7	7	7
Докажем выполнимость условия (2'). Рассмотрим функцию
*	*0
Эта функция определена, непрерывна, а следовательно, ограничена в замкнутой области, расположенной внутри контура L, при условии, что
lim ? (г) = lim/(^~{(Z|>- = f (г0),
благодаря дифференцируемости функции /(г). Итак, существует такое число М, что
I г—z0 |~~-
для всех точек внутри контура Ь и на нем. Благодаря этому становится очевидной следующая оценка интеграла:
I £ /(9-/(го) | к м 4! d; ।=2кРм,
I J	го I J
1	1
где р — радиус окружности у.
Следовательно,
J zo 7
так как р можно считать сколь угодно малым.
Интеграл J-.	называется интегралом Коши. Он равен,
Z 7t ( J С, Z 0
L
как показывает теорема, f (z0) для z0, принадлежащего внутренности L. Если г0 находится вне L, то тогда но теореме Коши
± —о
2м с—?; ~ и-
L
Если рассматривать переменную точку г, лежащую внутри контура, то для нее интегральная формула Коши запишется:
£ — Z
L
Таким образом, аналитическая внутри контура и на нем функция представима интегралом Коши по контуру.
273
Из интегральной формулы Коши, если контур Ь есть окружность G: ^==z-\-pe'fi, получаем:
2it
о
Следовательно, значение функции f (г) в точке z равно среднему арифметическому ее значений, взятых по окружности С с центром в точке г.
§ 5.	Разложение аналитической функции в степенной ряд
Интегральная формула Коши позволяет представить аналитическую в области G функцию в виде суммы степенного ряда в окрестности любой точки z0 £ G.
Возьмем степенной ряд
У, сп (г — z0)" = Со Ci (z — z0) —(z — z0) Д-... + о
-|-C„(z — z0)n.	(1)
Для него справедлива следующая теорема:
Теорема 5.17. Степенной ряд (1) можно почленно интегрировать по любой кусочно-гладкой кривой L, лежащей внутри области его сходимости. Если сумма ряда (1) равна f(z), то ряд, полученный из ряда (1) путем формального интегрирования вдоль кривой L его членов, окажется степенным рядом с суммой j\ (г), равной интегралу
h (z) = \f(z)dz.
L
Доказательство. Составим степенной ряд
C + C0(z-z0) + §(z-z0)-2 + y(2-z0)3 + ...,	(2)
где С — произвольная постоянная. Степенной ряд (2) обладает тем же кругом сходимости, что и ряд (1). Обозначим сумму ряда (2) через (г). Продифференцируем ряд (2) (это возможно в силу свойств степенного ряда, изложенных на стр. 236). Легко видно, что функция f2(z) удовлетворяет условию:
^Д=Д(г). dz ' ' '
Отсюда	,.
A (г) = А (г) = 5 / dz + С-
Правая *) часть последнего равенства представляет собой общее выражение всех первообразных для функции f(z). В случае
*) Интеграл в этом случае существует, так как функция f (z) непрерывна.
274
интегрирования вдоль кривой L с концами в точках г0 и z получим:
А (г) — А (г0) = \f (г) dz = \f (г) dz, го	L
где А(го) благодаря произвольности выбора точки играет роль произвольной постоянной интегрирования.
Теорема 6.17. Если функция f (г) однозначная аналитическая в области G, то она является суммой некоторого степенного ряда
f (z) = Со -|- Ci (г — z0)	• • • Ч_ Сп (г — z0)n —J— ...
в достаточно малой окрестности любой точки г0 £ G.
Доказательство. Построим окружность 7 с центром в точке г0 настолько малого радиуса, что вся она целиком лежит в области G. Пользуясь интегральной формулой Коши, напишем:
Аг) = Д^ ' ' ' 2т j С — z
7
где точка z — любая внутренняя точка круга, ограничивающего окружность 7. Подынтегральную функцию
/(0
С — z
разложим в ряд по степеням z — г0 следующим образом:
1 __ 1  1 1 _ _
С —2 С-20 + 20 - 2	С-20
=^7j‘+R+(S:y+-+}=2^>«. «о
Л = 0
Этот ряд сходится абсолютно и равномерно относительно С £ 7, так как он мажорируется геометрической прогрессией
1 + Ч + Ч1 2 +  • • >
I 2_2 I
где q — -А—44- <4 1 , потому что J z — гп | <4 | С — z01 по условию. I 20 I
Если все члены ряда (1) умножить на величину / (Q, ограниченную благодаря непрерывности функции /(г) на 7, и разделить на 2 кг, то его сходимость не изменится.
Итак,
1 /(Q _/(Q	____L./4) 4-г.)	I	I___/4) (г-г.)'1
2 т С — г	2и С — z0	’ 2 да (С — г0)а	।	।	2и	’
(2)
275
Проинтегрировав ряд (2), получим:
f(z)
или, короче,
^^+(2_21)^
..4(2_2,§_^;..„
со
f(z) = ^С^г — z„)*, k = 0
где
f Л (C-z0)ft + 1
,/г = 0, 1............

§ 6. Ряд Тейлора
Представим себе, что функция f (г) является суммой некоторого степенного ряда
f (г) = Со Н- Ci (г — z0) 4~ G (г —z0)‘2 С„ (z — г0)"	(1)
который сходится в круге радиуса R. Мы уже знаем (см. стр. 234), что в любом круге радиуса	этот ряд сходится абсолютно
и равномерно. Мы также ранее доказали (см. стр. 236), что степенной ряд можно дифференцировать сколь угодно раз, получая при этом опять степенной ряд с теми же свойствами и с тем же кругом сходимости. При этом суммы последовательно получаемых рядов соответственно запишутся:
/(г), f (г), Г (2), ..., Л (г), ....
Воспользовавшись этими обстоятельствами, представим себе процесс последовательного дифференцирования ряда (1):
/ (г) == С» Ci (г — ге) С2 (г — z0)2	(z — г0)л
(г)= С,	-|-2C<2(z— г0) + ЗС8(г—z0)3 —
4-nC„(z—zof'1-)-...,
f'(z) —	2C2	-|-3-2Сз(г — z0) ——|—
—zi(zi—1) Cn(z — z0),
f',!(z) =
n\ Cn (z — z0) +...
Положив z = z0, получим:
f(Zo) = Co, f (?<,) = Съ r(z0) = 2!G, Г(г0) = 31Сз, ..., r’(z0) = n!C„....
Откуда
C0 = /(z0), C1=f'Uo). CS=^,...,C„=^^
276
Подставив эти значения коэффициентов в ряд (1), получим ряд, называемый рядом Тейлора:
f(z)=f (г0) + f (г0)(г — г0) (г — г0)'2 -ф- •  • + +qj£_o)(z_Zo)4_...)
или, короче,
М =
k = 0
Все проделанное в этом параграфе пока ничем не отличается от соответствующих рассуждений в курсе математического анализа. Однако далее в изложении нетрудно заметить некоторое отступление от того порядка, который был в математическом анализе. Там возникал вопрос о сходимости ряда Тейлора, полученного, как там говорилось, формально для данной функции. Заранее для такого ряда не было известно, сходится ли он, и если он сходится, то неизвестно к какой функции. Для решения этих вопросов исследовался остаточный член ряда в различных формах. Все эти операции были необходимы в связи с существованием в действительной области функций, которые не разлагаются в ряд Тейлора. Примером таких функций является хотя бы функция
_i
f (л) — е х ’ если х 0> О, если 0.
Она не разлагается в ряд Тейлора в том смысле, что сама функ* ция ни при каком конечном значении х = х,, не обращается в нуль, но все коэффициенты ее формального разложения в ряд Тейлора оказываются нулями.
Такой ситуации нет в теории функции комплексного переменного. Мы ограничиваем наше изучение довольно узким классом аналитических функций, каждая из которых, как показано в предыдущем параграфе, разлагается в ряд, сходящийся в породившей его функции. Этот ряд получается интегрированием некоторого ряда, равномерно сходящегося и мажорируемого геометрической прогрессией со знаменателем q<C^-
Так как коэффициенты ряда вполне определяются функцией, порождающей его, то разложение в степенной ряд единственно, иначе говоря, если ряды У, bn(z — z^n и (г— г0)п
/г = 0	/г—'0
имеют одну и ту же сумму в окрестности 0 <^ | г — г01 <Z р, то сп = Ьп, п=1, 2, .... Отсюда следует теорема:
Теорема 7.17. Производная п-го порядка фп> (г) функции f(z), аналитической в точке z области G, выражается соотношением
Р’О iz\  п- £	/(Q  
1 1!	2ni Д (С—-z)n + 1 >
277
где L — кусочно-гладкий замкнутый контур, внутри которого лежит точка z и который целиком принадлежит области G.
Справедливость теоремы для фиксированной точки z G устанавливается сравнением двух степенных рядов для одной и той же функции f (z) в окрестности точки z0 £ G:
f (z) = f (z0) + f' (z0) (z — z0) 4-... + (z — z0)n -j-...,
,, .	1	£/(OrfC	, .	.	1	£	,
f (z) = -i5—7- (V)	 C	(z	—	z0)	-9—- Ф	/Д 7 vr 4-  •	•
' v '	2 nt j c —	1 x	17	2m	j	(4 •—z0)“ 1
• •-Hz—zo)"-^- j	.
Произвольность выбора точки z0 £ G доказывает правильность теоремы.
§ 7. Теорема единственности для аналитических функций
Хорошо известно, что прямая полностью определяется двумя точками, парабола (в общем случае) и окружность — тремя точками. Эти заключения легко получаются при рассмотрении уравнения типа F (х, у)~0, где функция F (х, у) — многочлен относительно х, у первой или второй степени. Количество независимых искомых коэффициентов многочлена равно количеству точек плоскости, определяющих кривую. Труднее ответить на вопрос, как выглядит множество точек, которое нужно знать для определения единственным образом синусоиды или показательной кривой, проходящей через все точки этого множества. Еще более сложным кажется на первый взгляд вопрос о множестве' точек на плоскости Гаусса, определяющих ту или иную функцию комплексного переменного. Для аналитических функций этот вопрос решается неожиданно просто *).
Теорема 8.17. (единствен ноет и). Существует единственная аналитическая в области G функция, имеющая данные значения на, любом множестве Е точек, принадлежащих области G, обладающем хотя бы одной предельной точкой, принадлежащей той же области G.
Другими словами, теорема утверждает, что две аналитические в области G функции f (z) и (г), значения которых совпадают на множестве Е с предельной точкой z0 £ G, тождественно совпадают друг с другом в области G.
Доказательство (первая часть доказательства теоремы единственности). Так как множество Е бесконечное (у конечного множества не может быть предельной точки), то выберем из него последовательность точек {zfc}-^z0, zk Ф z0, k Ф 0, что всегда
*) Кстати сказать, теорема единственности целиком относится и к аналитическим (представимым рядом Тейлора) функциям действительного переменного, чго можно заметить в ходе ее доказательства.
278
возможно. Рассмотрим разложение функций f(z) и <р (?) в степенной ряд в окрестности точки ?0:
f (г) = с0 + й (? — z0) -j- Са (z — z0)2	(z — ?0)"
cp(z) = b. 4- b^z — ?0) + b^z — ?0)3 +.. • 4- bn(z — ztf 4-... .
Во всех точках последовательности {zk} функции cp (z) и f (?) по условию совпадают: f (zk) — <р (?fc), k=i, 2, ....
с» + ci (z* — ?0) 4- c.2 (?fc — ?„)- 4-... = be 4- (zk — ?0) 4-+ ^(гл го)2 +   • •	(1)
Заставим в равенстве (1), справедливом для любой точки ?/г из последовательности {гк}, индекс k неограниченно возрастать, что приведет к стремлению z„—-?0. В пределе все члены (1), кроме с0 и 60, окажутся равными нулю и, следовательно, с0 окажется равным Ьи\
со== ^о-
Вновь вернемся к равенству (1), отбросим из его обеих частей равные слагаемые с0 и &0, разделим оставшиеся части равенства на общий множитель zk — ?0. Это возможно, так как zk — ?0	0
по условию. После этого вновь совершим предельный переход 2/; • ?„ по точкам построенной последовательности. В результате повторения прежних рассуждений окажется, что
С1=Л
и т. д. Предположим, что мы доказали сп = Ьп. Рассмотрим равенство (1) после удаления из его обеих частей соответственно равных друг другу слагаемых: с0 и &0, Cj(?fc — ?0) и bx (zk — z0),..., cn(zk- г0)" и /)„(?/,	?(,)". Оно будет иметь вид:
cn+i — z0)"+1 4“ cn+-2 (zfc — ?of+'2 -4... = bnJti (zk — ?of+14-4~^+-?(z*— z0)n+24-"- •	(1')
Разделив обе части равенства (Г) на общий множитель (?/г — ?0)га+1 Ф 0, получим:
С/г + 1 Сп + з (?*	?р) —|— Сп + з (?/,	?(,)' 4- . . . = Ьпд_ 1 —-- Ьпдд (Zk ?,,) 4-
+ Ьп+з(гк — ?0)34-... .
Переходя, как и ранее, к пределу по последовательности, получим:
сп.+ 1 == ^п+1-
Следовательно, мы, используя метод математической индукции, доказали совпадение всех соответствующих коэффициентов двух рядов для всех точек, входящих в окрестность точки ?0. А из этого следует совпадение сумм этих рядов. Вторая часть доказательства теоремы (для точек области G, не входящих в рассмотренную окрестность точки ?0) дается в следующем параграфе.
279
§ 8. Понятие об аналитическом продолжении
Прежде чем перейти ко второй части доказательства теоремы единственности, введем определение аналитического продолжения.
Определение. Пусть даны две функции:	аналити-
ческая в области Git и ft(z), аналитическая в области Сг, и пусть Gfiit общая часть областей G'i и G.,, является также областью, которую мы обозначим G9. Если функции fi (z) и ft (z) тождественно совпадают в области G>:
Л(г) = Л(г), z С G3,
то функция (z) называется аналитическим продолжением функции fx(z) на область G,, а функция fx(z) называется аналитическим продолжением функции f^fz) на область G{.
В результате построенного продолжения рассматривается аналитическая функция на области Gx Ga == Gi GaG3, определяемая так называемыми элементами {Gi, fi(z)}, {G^f^tz)}.
Пример. Функция f(z) —--------— представима в окрестности начала
координат рядом
l+z + ^ + ..,	(1)
она является аналитической внутри единичного круга с центром в начале координат. Рассмотрим разложение этой функции в ряд Тейлора в окрестности точки i:
>f” У
(11)
2!
или после вычисления производных
G (г) — 1 _ ; (г ') /|_____,-v
(Ill)
Радиус сходимости этого ряда У? = = lim уД!—i)rt+1 — У 2. Таким образом, п—со
функция/(г) оказалась определенной двумя элементами {G,, Л (г)}, {G2, /2(z)},
где G,— единичный круг с центром в начале координат, G2 — круг с центром в точке i и радиусом Е—У2 (рис. 59). В любой внутренней общей части Ill этих кругов, заштрихованной на рисунке 59, ее можно определить как сумму любого из двух полученных рядов. Однако в части 1 ряд второй расходится, так же как в части 11 расходится ряд первый. В нашем примере в любой точке плоскости, кроме точки z=l, рассматриваемая функция может быть вычислена по конечной формуле f(z) = ----------. Но это далеко
1 — z
не всегда бывает так. Аналитические, неэлементарные функции, применяемые на практике, большей частью представлены с помощью рядов.
280
Следует отметить, что аналитическое продолжение функции не может совершаться в сторону так называемой особой точки функции, т. е. точки, в которой хотя бы одно из свойств, определяющих аналитичность функции, не наблюдается. В рассмотренном примере такой особой точкой является точка z=l, где нарушается непрерывность рассматриваемой функции /(г). Интересно, что если бы мы попробовали разложить функцию f (г) = =—в ряд в окрестности, например, точки z = 2, то получили бы ряд
— Н-(г — 2) — (г — 2)2 + (г — 2)3 — Д-... (IV)
с радиусом сходимости А? = 1 и центром в точке г —2. Из рисунка 59 видно, круг сходимости ряда (IV) не имеет общих внутренних точек с кругом сходимости ряда (I).
Из изложенного ясно, что смысл аналитического продолжения заключается в том, что одна и та же аналитическая, в области G функция на разных частях области G опре-	- ч.
деляется различными рядами. При этом про-	)
цесс продолжения по области G, где особых Л о 1 точек нет, может совершаться в любую сто- I	I
рону до любой внутренней точки области G.	|	л-"?/'	I
Перейдем теперь ко второй части доказа-	| [ _fin)	I
тельства теоремы единственности.	I J' ~Т'Ы/ I
Доказательство (вторая часть дока-	/ п	I
зательства теоремы единственности).	/ I (\Q// /
В первой части мы доказали совпадение I двух степенных рядов (I), являющихся со-ответственно разложениями функций f (z) и о (г) в окрестности точки z0, представляющей	Рис- 60
собой внутренность круга с центром в этой
точке радиуса /?(|{>0, т. е- доказали совпадение элементов {Кп, {К», <р0(г)} функций /(г) и <р(г). Выберем в области G произвольным образом внутреннюю точку г. Соединим точку zn с точкой 2 непрерывной кривой L, состоящей из внутренних точек области G (рис. 60). Возьмем на кривой L одну из внутренних точек zu) круга 7(0, близкую к его окружности. Построим разложения в ряды в окрестности точки z(1) функций f (z) и ©(z):
fz = Со ’ -ф- ci1’ (z — z(1)) -L с)11 (z — zll))2	(2)
[р(г) = ад1 + ^'(г-г‘|)) + &21,(г-г(1))2-|-... .
Ряды (2) окажутся сходящимися в некотором круге Ki радиуса /?!. При этом функции f (z) и © (z) совпадают на общей части кругов /<„и Ki- Повторяя рассуждения первой части доказательства, убедимся в совпадении элементов {Ki, n{AV?i(z)} аналитического продолжения функций f (z) и <р (z) на круге К^ В круге Kt выберем точку z(2), близкую к границе круга Ki, и вновь повторим рассуждения. Через конечное число шагов точка z
281
окажется внутренней точкой соответствующего круга Kt и элементы продолжений {Gz, и {Gb ©z(z)} совпадут и в этой точке. Произвольность выбора точки z доказывает справедливость теоремы для всей области G.
Из теоремы единственности следует, что функцию, аналитическую на всей плоскости Гаусса, достаточно определить, например, в точках сколь угодно короткого отрезка прямой или сколь угодно малой по длине дуги, лежащих в плоскости Гаусса, чтобы она оказалась определенной на всей плоскости Гаусса. В частности, следствием теоремы является, например, утверждение, что аналитическая функция, совпадающая своими значениями с показательной функцией ех на действительной оси, единственна. Если известно, что функция F (z), ср (z)] аналитическая на всей плоскости, и если, кроме того, на действительной оси F [f(x), <р(л)] = А, где А — данное действительное число, то К [/(z), ср (г)] = А на всей плоскости Гаусса, потому что иначе существовала бы другая аналитическая функция Ф(г) = Л на всей плоскости Гаусса, совпадающая с F[/(z), ср (г)] на действительной оси. Так, например, если задана функция f (л) — sin3Ac—cos\r, то из того факта, что f(x~)=l для всех значений х, следует, что функция F(z) = = sin2z -f- cos'2z = 1 для всех z, принадлежащих плоскости Гаусса.
§ 9. Определение класса аналитических функций
Из принятого в главе 15 (§ 3) определения аналитической функции и теоремы Коши следует, что:
1°. Аналитическая функция разлагается в степенной ряд в окрестности всякой точки z0, принадлежащей области аналитичности.
2°. Аналитическая функция представима интегралом Коши.
Сейчас мы покажем, что для аналитической функции выполняются также и следующие условия:
3°. Аналитическая функция обладает во всей области аналитичности производными любого порядка, являющимися также аналитическими функциями.
4°. Функция, являющаяся суммой степенного ряда, есть функция аналитическая.
5°. Функция, обладающая производными любого порядка, есть функция аналитическая.
6°. Всякая непрерывная функция, представимая в области интегралом Коши, есть функция аналитическая в этой области.
Замечание. Фактически мы определили аналитическую функцию f (z) как функцию, обладающую двумя непрерывными производными f (z), f" (z). Однако можно было бы ограничиться требованием существования одной непрерывной производной, но такое определение аналитической функции значительно усложнило бы доказательство теоремы Коши, а класс аналитических функций при этом никакого расширения пе получил бы.
Переходим к доказательствам.
282
3°. Аналитическая функция обладает во всей области аналитичности производными любого порядка.
В теореме 6.15 доказано, что аналитическая функция разлагается в степенной ряд в окрестности любой точки области аналитичности. Исходя из того, что ряд
- f (2) — С» Cj (z — z0) Сг (г — z^y	Cn (z — z9)n 4~•• 
сходится в этой окрестности равномерно, мы можем его продифференцировать и получить степенной ряд, равномерно сходящийся в той же окрестности:
/ (?) - Q 2С2 (z — z0) зс3 (z — г0)~ 4-... 4- (z г»)”14~ • • • •
Повторяя дифференцирование произвольное число раз, мы убедимся в существовании производных аналитической функции любого порядка в окрестности произвольной точки z0, принадлежащей области аналитичности.
Производная функция f(z) = u-\-iv, аналитичной в области G, есть функция аналитическая в той же области.
Для доказательства аналитичности производной f (z) представим ее в виде
f (z) = th (х, у) 4- iщ (х, //)
и докажем, что функции их (х, у) и Oj (х, //) составляют гармоническую пару. Действительно, из условия 2° вытекает существование и непрерывность частных производных любого порядка. Покажем теперь, что каждая из функций uit vt удовлетворяет уравнению Лапласа:
и для производных этих функций выполняются соотношения:
dut dv1 dUi  dvL дх ду ’ ду	дх'
Заметим, что ди	dv	dv	ди
1 д.г	ду * 1 ох	ду
Дифференцируя по х и по у, получим:
диг___ d‘-v ____dvt
~дх дх ду~~ ду ’
dtti___ д'-и ___ dvt
ду дх ду дх '
(2)
(3)
(3')
283
Мы показали выполнимость условия (2}.
Для доказательства выполнимости соотношений (1) продифференцируем (3) и (3') по х и по у и составим уравнения Лапласа для функции и (х, у):
д-и, । д2и,__д3и । д3и   д !д2и .	„
дх'2 1 ду'2 дх3	дх ду2	дх \дх2 ~ду'2)
Выражение, стоящее в скобках, равно нулю, так как функция и(х, у) является гармонической функцией. Аналогично доказывается, что и v} удовлетворяет уравнению Лапласа.
4° — 5°. Функция f (г) = и (х, у) -ф- iv (х, у), являющаяся суммой степенного ряда, обладает производными любого порядка. Определение аналитической функции, которым мы пользуемся, требует наличия только двух непрерывных производных f (z), Г (z). Действительно, существование этих производных влечет за собой существование непрерывных частных производных функций и (х, у) и v(x, у) первого ш второго порядка, выполнение условий КРЭДА и тождеств Лапласа.
6°. Из представимости функции / (г) интегралом Коши следует разложимость ее в степенной ряд, а следовательно, аналитичность.
Резюмируя содержание последних параграфов, мы можем сказать, что класс аналитических функций состоит из функций, характеризуемых одним из следующих эквивалентных друг дру1у определений.
1°. Функция f (z) = u(x, у)-\-iv (х, у) является аналитической, если и (х, у) и v (х, у) образуют гармоническую пару.
2°. Функция f(z) является аналитической в области, если она в некоторой окрестности каждой точки области разлагается в степенной ряд.
3°. Функция f (z) является аналитической в области, если она представима в этой области (в любой точке по любому кусочногладкому окружающему точку контуру, принадлежащему области) интегралом Коши.
Существуют и другие определения аналитической функции, эквивалентные приведенным.
Упражнения к главе XVII
5. Пусть С — простой замкнутый контур, ограничивающий площадь S. Доказать следующие равенства:
\ xdz — iS, ydz — — iS, \ zdz = 2iS. c	c	c
2.	Вычислить интегралы
I, = J xdz, Л = j ydz по следующим путям:
а)	по радиус-вектору точки z = 2-\-i;
б)	по полуокружности | z | = 1, 0 sg arg z sg я (начало пути в точке z = 1); в) по окружности | z — а | = R.
284
3.	Вычислить интеграл \	— по следующим контурам:
J У z
а)	по	окружности | z j	= 1,
б)	по	полуокружности	! Z | = 1,	_у	3:0,
в)	по	полуокружности	\г | = I,	х >;0,
г)	по	полуокружности	I Z | — 1,	у	О,
д)	по окружности | Z | = 1.
4.	Доказать следующие утверждения:
а) Если / (z) непрерывна в окрестности начала координат, то
lim ( f (г, e"f ) dy = 2к • f (0).
В задачах 5—10 указанные функции разложить в степенной ряд
У Спгп п найти радиус сходимости. л=0 '
5.	chz.
7.	site z.
9.	j e'dz.
6. shz.
8. ch2 z.
11. Найти первые пять членов разложения в ряд по степеням z функции е г sin z
Глава XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Перейдем к описанию некоторых наиболее простых и одновременно интересных применений теории функций комплексного переменного.
§ 1. О применениях в математическом анализе
Из многочисленных применений методов теории функций комплексного переменного в математическом анализе мы рассмотрим лишь только вычисление несобственных интегралов от действительных функций действительного переменного.
При вычислении несобственных интегралов вводится вспомогательная функция комплексного переменного, которая интегрируется по контуру, включающему в себя некоторый сегмент действительной оси, концевые точки которого при неограниченном растягивании контура неограниченно удаляются друг от друга.
П р и м е р ы. 1) Вычислить интеграл
Введем вспомогательную функцию комплексного переменного/^) =— .
Функция эта является аналитической на всей плоскости, за исключением начала координат. Выберем контур, как это показано па рисунке 61. Так как функция /(?) аналитична в замкнутой области, ограниченной этим контуром, то имеем:
мсмся
пли подробнее
С eizdz ' z
АВ
ei:
BCD
Z J 2
DE
F.FA
Z
но порядку
слагаемые в данной сумме
Обозначим вычислением каждого из них в отдельности:
АВ
/lt /,,,	/4 и зай
R .	R .	R
e‘ ,A'H0> (dx -j- i0)   I* e,x dx  I* cosx-J-i sin x
j xJ-iO	x ~ J x X’
etz dz С
ei(/?cosy + >/?slny) iR (cos? + i-sin
о
Я (cos 4" * sin ?)
^n/?coscp + i/?sin^)
0
cos Л' — i sin х
X
R
, f cos х — i sin х dx = — \ ------------------
L
—R о
• Г * ;2cos p-|-«2sin^

Найдем
пределы /ъ Л, /3
и /4:
.	С cos-V
lim	/.= \ ---------
»со	J
г->0	0
sin х
lim /2 — О,
cos х
Jim /3 =
7?—> co r-^0
Л + 4 + Л + Л = 0, то, подставляя
I sm X , \ -----dx,
J x о
О
--- nl.
их значения, получим:
со	со
п. [• sin х '	.	„ С sin х .
2t \ -------dx — th = 0, или \--------------dx
А	х	J	х
о	о
2) Вычислить интеграл
со
j е~ Хл“ cos (2Хах) dx (А > 0, а >. 0). — со
286
Используя вспомогательную функцию/(z) = е~'* и производя интегрирование по контуру, изображенному на рисунке 62, попробуйте самостоятельно провести все вычисления.
3) Вычислить интегралы:
СО	00
) cos .v2 dx, j sin Xs dx. b	о
Данные интегралы встречаются в теории дифракции. Для их вычисления вводится вспомогательная функция f (z) = е1г'. Интегрирование происходит по контуру, представленному на рисунке 63.
§ 2.	О применениях в алгебре
Основная теорема алгебры получает изящное доказательство при применении методов теории функций комплексного переменного. Мы приведем это доказательство, но предварительно докажем две теоремы, имеющие и самостоятельный интерес.
Теорема 1.18. (неравенства Коши для производных аналитическихфункций). Если функция f (z) является аналитической в замкнутом круге К с центром в точке z и радиусом R, то	, ,
где М = sup | f(z)
z g k
Доказательство. Действительно (см. стр. 276),
I Нп) /7\ । I I	f Ед	| я! М q п п- М
'I	\2r.i	3	—2)л+1	Дп+1	•
|C-z;==^
Теорема 2.18. (Л и у в и л л я) *). Если функция f (z) является аналитической и ограниченной на всей плоскости, то она равна константе.
Доказательство. Пусть | f (z) j •< M. на всей плоскости. Рассмотрим разложение функции f (z) в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки z0:
/(z) = f(z0) + f (z0)(z — z0)4-^-~(z — z0)?
*) Ли у билль Жозеф (1809—1882) — французский математик.
287
Коэффициенты ряда на основании теоремы 1.18 удовлетворяют условиям:
\Г1' Л1 п\ ~~= Rn ’
где радиус R может быть сколь угодно большим. Следовательно, все коэффициенты ряда, начиная со второго, — нули, и f (z) = / (z0) на всей плоскости.
Теорема 3.18 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен
Р (z) — Со CiZ
• + C„z'! (n==l, C„#0)
имеет по крайней мере один нуль.
Доказательство. Докажем теорему методом от противного.
Пусть Р (г) не имеет нулей. Тогда функция, удовлетворяющая условию:
f (г) —	— аналитическая
lim /(z) = 0.	(1)
Разобьем плоскость Гаусса на две части: 1) внутренность круга радиуса R с центром в начале координат и 2) внешность этого круга. При достаточно большом R, очевидно, исходя из (1), |/(z) | удовлетворяет неравенству | f (z) j <( 1. На круге непрерывная действительная функция | f (z) | по условию ограничена. Пусть max \f(z)\ — M. Тогда | / (z) | <Д Л4 —1 на всей плоскости. Следо-вательно, / (z) = const = 0, что противоречит ее определению.
Доказанная теорема имеет более сильную формулировку, чем в курсе высшей алгебры, так как здесь коэффициенты многочлена, вообще говоря, комплексны и z принимает любые комплексные (в частном случае действительные) значения.
§ 3.	О применениях в картографии
Основная задача картографии состоит в том, чтобы отобразить некоторую часть земной поверхности на плоскость. Это отображение' может быть конформным или масштабным, в последнем случае равным по площади участкам земной поверхности должны соответствовать равные по площади участки отображения. Мы рассмотрим конформную картографическую проекцию.
В 1569 г. знаменитый голландский картограф Герард Меркатор (1512—1594) опубликовал карты, на которых параллели и меридианы земного шара были изображены в виде прямых, соответственно перпендикулярных друг другу. Подробного теоретического обоснования этому Меркатор не дал. С нашей современной точки зрения, однако, можно себе интуитивно представить, что меркаторская проекция представляет собой конформное отображение, так как прямые углы между меридианами и парал
288
лелями на земном шаре переходят при отображении в прямые углы между соответствующими прямыми на карте.
Вспоминая отображение, даваемое показательной функцией (см. § 6, гл. 16), мы легко представим себе, что обратная ей логарифмическая функция отобразит систему лучей, исходящих из начала координат и пересекающих концентрические окружности, в прямоугольную сетку. Это отображение дается формулой
W = lnz, гДе	.._____
In z = In j z | -j- i arg z = In V x'1 if -p i arg .
Нетрудно проверить, что действительная и мнимая части функции Inz отвечают всем условиям определения аналитической функции. Всякому меридиану argz = a (или z = t-fiat, где a = tga) на плоскости будет соответствовать прямая
W = In аЧ1 —гя. = In  t j -j- In 1Z1 -j-a'2 -(-ra.	(1)
Всякой параллели )z| = r, где г мы положим равным tg|-на плоскости W будет соответствовать прямая
4
U7 = intgi44-4''!4- и.
° \ 2 1 4 ; 1
(2)
Прямая (1) параллельна оси Ои, прямая (2) параллельна оси Оу, они перпендикулярны друг другу. Нулевой меридиан отобразится в ось Ои, экватор отобразится в ось Ov. Полюсам, где широта
ф = ±~, будут соответствовать значения л: = ±сю или бесконечно
удаленная точка г = сю. Поэтому картами описанного типа пользуются для ср, заключенного в пределах*) —	где
?!<
7-
Рассмотренная нами меркаторская проекция обладает одним очень важным свойством. Когда предполагается вести корабль по постоянному курсу, т. е. когда направление движения составляет постоянный угол со стрелкой компаса (а следовательно, приближенно с меридианом), то говорят, что движение совершается по локсодроме (название происходит от греческих слов: Хо^оз — косой, Оропез — бег). Локсодрома в проекции Меркатора изображается прямой. Это, очевидно, можно доказать, так как для точек, близких к экватору или близких к одному и тому же меридиану, локсодрома практически совпадает с геодезической линией сферы, являющейся кратчайшим расстоянием между двумя точками поверхности земного шара.
*) Для карт околополярных областей применяется стереографическая проекция с центрами проектирования в Южном полюсе для северной около-полярной области и в Северном полюсе для южной околополярпой области. Можно доказать, что это отображение конформно. См., например, [23], стр. 456.
289
§ 4.	О применениях в гидро- и аэромеханике
Рассмотрим установившийся (не изменяющийся во времени) плоскопараллельный поток несжимаемой жидкости *) без источников, стоков и завихрений. Ограничения, которые мы налагаем и смысл которых будет сейчас же выяснен, направлены к наибольшей простоте постановки задачи, а их математическое содержание будет определено в процессе дальнейшего изложения. Наличие свойства плоскопараллельности обозначает возможность рассматривать поток только в одной плоскости, так как в плоскостях, параллельных ей, движение будет происходить по тем же законам. Отсутствие источников и стоков обозначает выполнение на рассматриваемой плоскости правила; количество жидкости, втекающей на плоскости внутрь любой области, равно количеству жидкости, вытекающей из этой области. Отсутствие завихрений понимается в смысле' отсутствия движений частиц жидкости по окружностям и спиралям.
Для полного описания движения жидкости в ограниченной области и при выполнении данных условий достаточно задать в каждой точке изучаемой области скорость жидкости как функцию координат точки.
Пусть в области G плоскости хОу заданы две непрерывные функции: Р (х, у), Q (х, у), обладающие непрерывными частными производными первого порядка, которые мы будем считать проекциями скорости соответственно на ось Ох и ось Оу. Для любого замкнутого кусочно-гладкого контура L, исходя из поставленной задачи, будут выполняться условия:
§Rnds — O,	(1)
L
§Rsds = Q,	(2)
L
где Rn — проекция вектора скорости на нормаль к контуру, Rs — проекция вектора скорости на касательную к контуру. Условие (1) соответствует отсутствию источников и стоков, условие (2) — отсутствию завихрений. Зная, что
Rn = Rcos (п, R) **),
RS = R cos (s, R), где R — модуль вектора скорости, подсчитаем интегралы (1) и (2):
§Rnds = §Rcos(n, R) ds = § R cos ((/?, x) — (n, x)]ds —
I.	L	L
= §R cos(R, x)cos(n, x)ds Д- ф R sin (/?, x) sin (n, x) ds =
L	L
= § P cos (n, x) ds 4-Q sin (n, x)ds, L
*)	Здесь и далее мы будем говорить о жидкости. Однако это же справедливо и для газов при соответствующих скоростях.
**	) Знак типа (я, R) обозначает угол между направлениями нормами к контуру и R.
290
Исходя из того, что
dx — — cos (s, г) ds = — sin (n, у) ds, dy = cos (s, z/) ds = cos (л, x)ds
(рис. 64), получаем:
ф P dy — Qdx = 0.
L
Аналогичные преобразования интеграла (2) дают:
§Qdy^-Pdx = 0.
Следовательно, в данной области (см. стр. 268) существует такая гармоническая пара функций ? (х, у) и у 9 (х, у), что	у
d*=d^=R,	=	dy
дх ду	ду дх	?
А следовательно, существует аналитическая функция в области G: /Ц2) = ?(х, //)4-гф(х, у),	(3)	°
которая называется характер и ст и-	Рис. 64
ческой функцией потока. Про-
изводная ее действительной части по х является проекцией скорости на ось Ох, производная мнимой части по х — проекцией скорости на ось Оу. Скорость R на плоскости Гаусса будет выражаться в новых обозначениях: R — Р iQ — f (г), где f (z)— величина, сопряженная производной f (z).
Семейство кривых <!?(х, у) = С есть семейство траекторий потока. Действительно, исходя из обозначений: °^—Р(х, у),
~=Q(x, у), получим дифференциальное уравнение
Су_ Q (х, у)	...
dx Р (_г, у) ’	'
которое является уравнением семейства траекторий движения. Преобразуя его, получаем:
Р dy — Qdx — 0, или
+ dx — О, ду 1 дх '
или
dty(x, y) — Q,
откуда ф(х, у) —С есть общий интеграл уравнения (4), т. е. уравнение семейства траекторий потока. Нетрудно убедиться аналогичными рассуждениями, что семейство кривых <р (х, у) = С есть
291
Рис. 65
семейство кривых, ортогональных полученным траекториям, или, как их называют, линией уровня потока.
Таким образом, нами показано, что траектории потока жидкости в рассмотренных условиях полностью характеризуются найденной нами характеристической функцией потока. Нетрудно показать и обратное: всякая аналитическая функция
f(z) = u(x, y)-\-iv(x, у) характеризует плоскопараллельный установившийся поток жидкости без источников, стоков и завихрений, семейство траекторий которого имеет вид:
v(x, у) = С
и семейство линий уровня:
и(х, у) —С.
Проекции скорости движения имеют вид:
П р н меры. 1) f(z) = az, а = а ф- ф, тогда
« (-х, У) = « — ?У, V (х, у') = Зх 4- ау.
Семейство траекторий рх-|-оу = С. Семейство линий уровня ах — Ру = С. Скорость имеет проекции соответственно ан —р. На рисунке 65 изображены траектории, исходя из предположения: а > 0, 3 > 0.
292
2) /(z) = z2 = .k2—у2 i2xy. Семейство траекторий и (х, у) = = х2 — у2 = С. Семейство линий уровня v (х, у) = 2ху = С. Проекции скорости соответственно 2х, —2у (рис. 66).
§ 5. Функция Н. Е. Жуковского
Важную роль в теории крыла самолета играет функция
W =l(z-b-i,
2 \ ' z ]’
которая из-за приложений, данных ей в аэродинамике Н. Е. Жуковским, называется ф у н к ц и е й Жуковского. Найдем действительную и мнимую части функции:
1F = v(хЧ~iy Ч—-г-г-') = vIх Ч—si. >') Ч~ v1 (у — j.	•
Рассмотрим функцию Жуковского как характеристическую функцию потока. Семейством траекторий окажется:
у----^ = С,
J -р У“
или	у^+у*- 1)==С(х3 + ^).
В частности, при С —О
Скорость	_	1
W = 1-----5-.
2-
При И = 1 скорость равна нулю. Поток, характеризуемый функцией Жуковского, представляет собой поток, обтекающий круго
вой цилиндр единичного радиуса, представленный на рисунке 67. Если, применяя функцию Н. Е. Жуковского, отобразить замкнутую область, заключенную между двумя окружностями на плоскости г, одна из которых проходит через точки ± 1 и касается второй изнутри в точке 1 (рис. 68), то на плоскости W мы получим фигуру, которая называется профилем Жуковского — Чаплы-
293
гина (профиль крыла самолета) (рис. 69). На основании расчета потока, обтекающего такое крыло, который мы приводить не будем, в теории расчета самолета получена знаменитая теорема
Н. Е. Жуковского: подъемная сила крыла ортогональна к скорости потока в бесконечно удаленной точке и по величине равна произведению этой скорости на циркуляцию и па плотность жидкости (газа).
§ 6. Критерий Рауса — Гурвица
Для исследования поведения ре-
шений систем дифференциальных
Рис. 69
уравнений с постоянными коэффи-
циентами и близких к ним широко применяется критерий Ра\-са — Гурвица, получаемый методами теории функций комплексного переменного.
Известно, что необходимое условие неположительности действительных частей всех корней многочлена заключается в том, чтобы все его коэффициенты имели бы одинаковый знак. В последующем будет предполагаться, что все коэффициенты исследуемого многочлена положительны. Доказательству теоремы будут предпосланы две почти очевидные леммы *
Рассмотрим многочлен
Pi(x) = allxn-^-a2!xn~t-j~a12xn 2-:га22хп 3-f- ... -{-an	(1)
с положительными коэффициентами. Составим для него схемы Рауса соответственно для случаев четности и нечетности степени многочлена п:
п — 2k
«и а12 а13 ... alk
(?.>[ а,, а.23 ... а.2/, «з! «:н «зз • • • «з, i<i
«и al2 al3 ... щ.ц
an.1.1
ani
n = 2k -f-1
«и ai3 ... Яц. «i fc;) a2i a12 ai3 ... a.2!1 «31 «32 «33 • •  «3/?
«41 «42 «43 • •  «4, A-l
«/11.1
«//. 1,
*) Данное доказательство принадлежит автору и публикуется впервые.
294
где
\аГ-^9 v 11	ar-2, l^r-b S+l
°rs~
(2<r^n, l^s^/e+l-E^ + A^.
В случае отсутствия в схеме при подсчете по этой формуле элемента ari- 5+) он заменяется свободным членом многочлена ап. В дальнейшем будет использовано известное свойство схемы Рауса:
~*п — «n«3i ... ctnyCtn>	(2)
где Д/ (/ = 1, 2, ..., п) — главные миноры порядка I определителя
Гурвица порядка п для многочлена Р2(х), т. е. определителя
Дл =
п = 2k
а.21	о.,,	о.23	...	а2, к]	а2к	О	О	ООО.
«и	ar2	а,3	...	ai,^	а1к	ап	О	ООО.
О	a.2i	а.м	...	а.2, *_2	а2_ к_х а.2к	О	ООО.
О	он	ot2	...	aLk __.2	а1к	ап	ООО.
О 0 (!« ...аи-зйи-!ам1«24 ООО. О 0 ai2 ... atк_3 di к_.2 а2 к ап 0 0 .
. О
. О . О . О . О . О
О	0	0	... О	a.2i	а.,.2 ... а.2< к_ j а2к О
О	0	0	... О	он	о12 ... alk_i а1к ап
п = 2k + 1
о2] a.2i	a.l3	...	a.2t k_j	a.2k	a:i	О	О	0	0	...	0
ati ai2	ню	...	Oi/fe.i	alk	alt k+i	О	О	0	0	...	0
0 a21	a.22	...	a2i k,2	ait k_t	a.2k	an	О	0	0	...	0
0 On	On	...	o]>ft_2	alik_t	aik	alt Л+1	О	0	0	...	0
д _ 0 0	o.21	...	о,. Л.з	о.,, k_2	alk^	aik	an	0	0	...	0
0 0	oH	...	olt * з	o1t	01,^1	a2k	ahk+1 0	0	...	0
О	0	0	...	0	0	o2)	a22	...	a.2k	an	0
О	0	0	...	0	0	o,j	o13	...	aIft	«!,*+!	0
О	0	0	...	О	0	0	o>i	...	0.2,	aik	an
Существование свойства (2) легко доказывается приведением определителя Гурвица Дп к треугольной форме с нулями ниже главной диагонали. После такого приведения на главной диагонали определителя Д„ в принятых обозначениях окажутся элементы
«21, «31. «41, «Л1> Ял-
295
Построим, начиная с исходного многочлена Pj (х), последовательность многочленов:
Р] (х) =	4~ ацХп~1 4~ ацХ4 2 4~ аггхп 3 ап,
Рг (л ) =	«21 v" '1 -j- Рз!*"'2 + Pipe" + • • • 4~ ап,
Р3 (х) =	Ph-v"’ 2 + ацХп-3 4-... ап,
Pit(x) =	altixn-ltA' -5rakJrlxn-k-\- ... 4-ая.
Процесс построения этой последовательности будем считать законченным на многочлене Р/г (х), если в нем при втором слагаемом, содержащем хп появится нулевой коэффициент, где ars — элементы соответствующей («четной» или «нечетной») схемы Рауса в зависимости от четности или нечетности числа п. Заметим, что в каждом многочлене Рг+1(х) сохраняются неизменными коэффициенты, стоящие в предшествующем многочлене Pz (х) на четных местах, и что во всех многочленах построенной последовательности сохраняется неизменным свободный член ап исходного многочлена Pj (х). Нетрудно видеть, что каждый многочлен Р;+1 (х) (/ = 1, 2, .... /г) получается из предыдущего многочлена последовательности
Pz (х) = oz]x"-z+1 + az+i, }хп-‘ 4- pax""'"1 4-... 4-ая преобразованием
Pt (х, с) = (Pi — 4+1. i) х’1~1 + az + i,i*ra~Z 4~ <aii — lai из) 4--- + «я	(3)
3	011
при возрастании параметра X от нуля до величины —---------.
Преобразование (3) можно представить в другой форме:
Р,(х, X) = Pz(x) — Xx[az+1> 1xn'z4-o^i, ,x'!~ZH(3') где в последнюю скобку входят все члены многочлена, стоящие на четных местах, в том числе и свободный член многочлена для нечетных п.
Лемма 1. Никакой из многочленов последовательности Pt(x), Рм (х), ... , Р/г (х) (k в процессе преобразования (3) не имеет нулевых корней, не приобретает вновь и не теряет чисто мнимых корней независимо от значений, принимаемых в процессе преобразования параметром. Последний многочлен последовательности имеет только чисто мнимые корни, являющиеся одновременно чисто мнимыми корнями исходного многочлена Ру (х).
Доказательство. То, что многочлены последовательности ни при каком значении параметра X не имеют нулевых корней, очевидно, так как свободный член каждого из многочленов остается в процессе преобразования по условию постоянным и положительным. Перейдем к доказательству утверждения леммы относительно чисто мнимых корней. Для этого применим к многочлену Pz(x)
296
подстановку х — zi, где z — действительное переменное, a i = У — 1, Тогда многочлен Pl{zi) представится в виде;
Р, (zi) — u (г) 4- iv (z), где «(z), v (z) — многочлены от z с действительными коэффициентами. Многочлен Pt(zi, X), полученный из многочлена Pz(x) преобразованием (3) и последующей подстановкой x = zt (заметим при этом, что X — действительное число), окажется представленным одним из двух следующих выражений в зависимости от четности или нечетности числа степени многочлена
Pi(zi, X) = u(z)±Xzt>(z)4-it>(z),	,4ч
Pt (zi, X) = и (z) 4- i (?) qz Xzu (z)J.	' '
Для делимости многочлена Pt (zi) на действительный делитель (—z--'- b'1), где&— произвольное действительное число, как известно, необходима и достаточна делимость на этот делитель мнимой и действительной частей многочлена в отдельности. Из (4) получаем, что из делимости Pz(zi) • (—z34~&4) следует делимость P;(zi,X) (—z34-63),T.e. из делимости Pt (х) • (х3-4&3) следует делимость Р}(х, X) : (х2-4^‘) независимо от значения параметра X. Таким образом, чисто мнимые корни ± Ы многочлена Рг (х) в процессе преобразования при переходе к многочлену Pz+1(x) сохраняются. Нетрудно видеть, что справедливо и обратное. Рассматривая соотношения (4), убеждаемся в том, что в первом случае из делимости v (г) \ (—z^-yb-) и делимости [u(z)4-Xzt> (г)] ; (—z34~^2) следует делимость и (г) J (—z'-~yb-), во втором случае из делимости и (г) : (—г--)-^’) 11 делимости [у (z) др Xzu (г)] ' (—г*~уЬ*) следует делимость v (г) ; (—г34~^2) независимо от значения параметра X. Таким образом, переходя к прежнему переменному х, получаем, что из делимости Pz+1 (х) • (х^у-Ь') следует делимость Р[ (х) ; (х-у-Ь*). Следовательно, чисто мнимые корни многочленов Pi (х), Р«(х), ..., Pk(x) и многочленов Рх (х, X), Ра(х, X), ..., Р/.-+1 (х, Г) совпадают при всех значениях параметра X, принимаемых им в процессе преобразования. Последнее утверждение леммы очевидно. Многочлен Pk (х), который не подвергается преобразованию, будет многочленом наименьшей степени, имеющим те же чисто мнимые корни, что и многочлен Р{ (х), т. е. многочленом, обладающим только этими чисто мнимыми корнями. Легко видеть, что при наличии у многочлена Pt(x)m пар сопряженных чисто мнимых корней k = n — 2т 4-1.
Лемма 2. При возрастании X от 0 до величины -~1— в преобразовании (3) к любому из многочленов последовательности Рг(х), 1=1, 2, ..., k—1 один и только один из его корней монотонно возрастает по абсолютной величине, стремясь при этом к оо или —оо, не пересекая мнимую ось плоскости Гаусса.
Доказательство. Как известно, многочлен Pz (х, X) может быть с точностью до постоянных множителей единственным обра
297
зом представлен в виде произведения неприводимых над полем действительных чисел множителей:
Pi (*, х) = (bix + ls) (bpc + 1г)... (bmx + /m)	+ (/m+ix + cm
• • • (ЬтлрХ ^т.урХ —Cm+p),
где bt, Cj (i = 1, 2,	m-f-p), di(i = m-j-1,	m-\-p)
суть действительные функции параметра X. Из тождественности последнего равенства при любом X следует:
aii — lal_.Xi = bibi...bm.p,
Cl ' С^2 • • • Cm+p &п*
Так как при возрастании X от нуля до величины — левая часть первого из тождеств (5) стремится к нулю, то хотя бы один из коэффициентов
bi, bit , bm,p
стремится к нулю. Интересно рассмотреть два случая: первый, когда bt стремится к нулю, и второй, когда bm.vi стремится к нулю. Эти предположения благодаря произвольности нумерации не нарушают общности рассуждений. В первом случае корень многочлена
монотонно стремится к 4~ <х> или — сю в зависимости от знаков Ci(X) и bi(~X) благодаря тому, что функции c,(X), i=l, 2, ..., I ограничены и произведение их положительно. Во втором случае при (1тЛ1^0 и	один из корней многочлена
i чЬт.,1ст_.^1 х=
неограниченно возрастает по модулю, стремясь к -ф- °о или — оо, а другой стремится к конечному пределу--------^д±£_# Случай, когда
^m-vp
dmi] — 0, рассмотрению не подлежит, так как чисто мнимые корни, как это следует из леммы 1, в процессе преобразования (3) не изменяются.
Предположение о возможности неограниченного возрастания по модулю еще одного из корней многочлена Pz(.v, X) приводит к противоречию, а именно: пусть, например, b; (X) ->0 и bj (X) ->0, где i, j (i имеют любые фиксированные значения из набора i, j = 1, 2, ... , т-\- р.
Обозначим коэффициенты, которые по предположению стремятся к нулю, через аир. Тогда, раскрыв скобки в правой части выражения для Pt (х, X), мы убедимся в том, что в этом случае коэффициент при х'г1 будет иметь вид:
11,1а/4 -ф- рВ —арС,
298
где А, В, С — дополнительные ограниченные множители, составленные из сумм произведений остальных коэффициентов. Таким образом, коэффициент а,+1., должен в условиях предположения стремиться к нулю, что по смыслу преобразования (3) невозможно.
Теорема 4.18 (Рауса — Г у рвица). Для того чтобы действительные части всех корней многочлена Pt (х) с положительными коэффициентами были отрицательными, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих двух эквивалентных условий:
&к Д>0 (£=1,2........п),
ак1 Д>0 (.£=1,2,..., п).
Эквивалентность условий теоремы вытекает из равенства (2).
Доказательство. Необходимость. Пусть действителы» ные части всех корней многочлена отрицательны, т. е. все его корни лежат в левой полуплоскости Гаусса в узком смысле (исключая мнимую ось). Так как преобразование (3) оставляет все корни многочлена в левой полуплоскости (корни по лемме 1 не могут пересекать мнимую ось), то все коэффициенты всех многочленов РДх), Рг(х), ..., Р„(х) необходимо положительны, а следовательно, положительны и коэффициенты akl(k= 1,2.п).
Достаточность. Пусть все ак]р>0 (£=1, 2..............п).
Многочлен РДх), как уже отмечалось в лемме, не может иметь нулевых корней. Он не может иметь и мнимых корней, так как тогда на основании леммы 1 один из коэффициентов aki как сумма нескольких пар сопряженных чисто мнимых корней должен был бы равняться нулю. На каждом шаге преобразования (3) один и только один корень многочлена в условиях теоремы уйдет в оо или в — оо. На основании формулы Виета при переходе от многочлена Pi (х) к многочлену Р2 (х) один из корней Pi (х, ).) уйдет из конечной части плоскости именно в — оо, так как
Xi (X) + х. (X)	. + хп (>•) = — у —,
где Пл^>0, 0<^Цц — ^П21<С°п при любом X, при этом только один из корней неограниченно возрастает по модулю, а остальные корни многочлена Pi (х, X) остаются в конечной части при любом значении X. Так как корень, ушедший в —оо, не мог ври своем движении пересечь мнимую ось (лемма 1), то, следовательно, он, будучи корнем многочлена Pi (х), находился в той же левой полуплоскости Гаусса. Остальные корни многочлена Pi (х, X) в процессе преобразования (3) могут передвигаться лишь па конечные расстояния, не пересекая мнимой оси, становясь приХ = -Д1- корнями многочлена Р2(х). Применяя к многочлену Р.2(х, X) те же рассуждения и учитывая, что его первыми двумя коэффициентами будут положительные по условию числа ац и а3), получим тот же результат для многочлена Р.> (х) нт. д. Следовательно, если все коэффициенты аА1(/г=1, 2....п) положительны, то
299
все корни многочлена Pt (х) в процессе преобразования (3) уйдут по очереди в —со, не пересекая мнимой оси либо непосредственно, как это происходит с первым из них, либо предварительно изменяя свое положение в конечной части левой полуплоскости Гаусса, также не пересекая мнимой оси и становясь корнями следующего многочлена построенной последовательности, что и показывает на отрицательность действительных частей всех корней исходного многочлена. Теорема полностью доказана.
Этим мы закончим ознакомление с некоторыми применениями теории функций комплексного переменного. Читатель понимает, что мы далеко не исчерпали этот вопрос.
Упражнения к главе XVIII
1.	Вычислить интеграл е'-*2 cos (2Xa.v) dx, К > 0, а > 0.
2. Вычислить интегралы: j cos х2 dx, j sin х2 dx. о	о
3. Доказать конформность отображения при стереографической проекции сферы на плоскость.
4. Найти семейство траекторий потока и семейство линий уровня для характеристической функции /(z) = z3.
5. Доказать, пользуясь критерием Рауса — Гурвица, что действительные части всех корней многочлена х11 4- 20х3 132х4 5 6 -ф 400х3 494ха Д- 570х-|-234 отрицательны.
6. То же самое для многочлена х4-|" 12х34~ 18ха-|-22х + 12.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
[1]	М. А. Айзерман. Лекции но теории автоматического регулирования Физматгиз, 1958.
[2]	П. С. А л е к с а п д р о в. Введение в общую теорию множеств и функций. Гостехиздат, 1948.
[3]	Birkhoff and К е 11 о g. Invariant points in function space. Trans. Amer. Math. Soc. 23, 1922.
[4]	Ш. Ж. Валле Пуссен. Курс анализа бесконечно малых. ОНТИ, 1933.
[5]	Ф. Р. Гантмахе р. Теория матриц. Физматгиз, 1953.
[6]	В. И. Г л и в е и к о. Интеграл Стилтьеса. ОНТИ, 1936.
[7J М. К. Г р е б е п ч а и С. И. Новоселе в. Курс математического анализа. Учпедгиз, 1941.
[8]	А. Гурвиц. Теория аналитических и эллиптических функций. ОНТИ, 1933.
[9]	Б. П. Демидович, И. А. Марон. Основы вычислительной математики. Физматгиз, 1962.
[10]	Б. П. Демидов» ч, И. А. Маро и, Э. 3. Ш у в а л о в а. Численные методы анализа. Физматгиз, 1962.
[И] В. К. Д зя дык. Геометрическое определение аналитических функций. Успехи математических наук, XV, 1, 1960.
[12]	А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. Физматгиз, 1954.
[13]	П. П. Коровкин. Математический анализ. Учпедгиз, 1963.
[14]	А. Г. К у р о ш. Курс высшей алгебры. Гостехиздат, 1946.
[15]	М. А. Лаврентьев и Л. А. Л ю с т е р н и к. Курс вариационного исчисления. ОНТИ, 1938.
[16]	М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат. Методы теории функции комплексного переменного. Физматгиз, 1958.
[17]	Н. Лебег. Интегрирование и отыскание примитивных функций. ОНТИ, 1934.
[18]	И. Н. Лузин. Прибавление к книге А. Лебега «Интегрирование и отыскание примитивных функций». ОНТИ, 1934.
[19]	И. Н. Лузин. Теория функции действительного переменного. Учпедгиз, 1948.
[20]	Л. А. Л ю с т е р н и к. Основные понятия функционального анализа. Успехи математических наук, 1, 1936.
[21]	Л. А. Л ю с т е р н и к, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа. Физматгиз, 1951.
[22]	А. М. Ляпунов. Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости (магистерская диссертация, 1884).
[23]	А. И. М а р к у ш е в и ч. Элементы теории аналитических функций. Гостехиздат, 1944.
301
[24]
[25]
[26] 1'27] [28] [29]
[30]
[31]
[32] [33 [34] [35
[36]
[37]
[38]
[39]
40
41
А. И. M а р к у ш е в и ч. Действительные числа и основные принципы теории пределов. Гостехиздат, 1948.
А.	И. Марк у шеви ч. Теория аналитических функций. Физмаггиз, 1950.
А. И. М а р к у ш е в и ч. Краткий курс теории аналитических функций. Физматгнз, 1957.
С. Г. Михлин. Лекции по линейным интегральным уравнениям. Фяз-матгнз, 1959.
И. П. Н а т а и с о н. Теория функций вещественной переменной. Физ-матгиз, 1950; 1957.
В.	В. Немы цк ий. Метод неподвижных точек в анализе. Успехи математических наук, I, 1936.
В. В. Н е м ы ц к и й. Sur les equations integrales non lineares. C. r. Acad. Sci., 196, 1933.
В. В. H e м ы ц к и й, M. И. С л у д с к а я, А. Н. Черкасс в. Курс математического анализа. Гостехиздат, 1944.
Ю. С. О ч а и. Сборник задач и теорем ио ТФДП. «.Просвещение», 1965.
А.	С. Пархоменко. Что такое линия. Учпедгиз, 1954.
В.	И. Смирнов. Курс высшей математики. Гостехиздат, 1951.
В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. Гостехиздат, 1953.
Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Гостехиздат, 1947—1949.
А. А. Фридман. О необходимых и достаточных условиях существования интеграла. «Ученые записки Рязанского государственного педагогического института», т. XXIV, 1950.
Б. А. Фукс, В. И. Левин. Функции комплексного переменного н некоторые их приложения. Гостехиздат, 1951.
Ф. Хаусдорф. Теория множеств. ОНТИ, 1937.
Н. Г. Ч е т а е в. Устойчивость движений, 1946.
Schander. Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen. Math. Zeitschrift, 26, 1927.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель 231
— теорема 234
Абстрактное пространство 147
Аддитивность оператора 188
Аксиома непрерывности прямой 28
Алгебраическая форма комплексного числа 227
Александров П. С. 32, 88, 89, 203
Аналитическая функция 242
Аналитическое продолжение 280
Аргумент комплексного числа 127
Архимед 24
Ариела критерий 166
Ассоциативность линейных систем 179
Банах С. 146, 178, 180
Бернулли И. 191
Биркгоф 203
Больцано 39, 42
Борель 47
Бореля — Лебега теорема 47
Брахистохрона 191
Буняковский В. Я. 36
Бэр 78,- 171
Валле Пуссен 117, 167
Вариационное исчисление 191
Вариация линейного функционала 192
—функционала 193
Вейерштрасс 39, 42
Вектор 120, 225
Гармоническая пара 215
Гаусс 226
Гейне 78
Гиперболические функции 256
Гипотеза континуума 32
Гливенко В. 14. "157
Грань верхняя множества 51
— —функции 73
—	нижняя множества 51
Гребенча М. К. 89
Дарбу 147
Демидович Б. П. 156, 158
Дзядыка теорема 217
Диаметр множества 126
Дирихле 75, 20
Дистрибутивность для линейных систем 179
Дифференциал линейного функционала 192
—	сеть
	конечная 164
----- компактная 170
Жордан 95, 108, 115, 117
Замкнутый тар 152
Замыкание множества 45
Извлечение корня из комплексного числа 229
Интеграл Дарбу 147
—	Лебега 162
— от аналитической функции 267
•—от функции комплексного переменного 264
— Римана 146
	— Стилтьеса 157
Интегральная формула Коши 271
Интегральное уравнение 202
Интегрируемость степенного ряда 276
Интервал смежный 55
	— составляющий 53
—	и-мерный 37
Итерированное ядро 209
Квадрируемость 124
Келлог 203
Ковер Серпинского 111
Колебание функции 51
Колмогоров А. Н. 169
Контур кусочно-гладкий 268
—	простой 268
303
Конформность отображения гармонической парой 218
Коммутативность линейных систем 179
Компактности критерии 164
Компактность множества 163
---метрического пространства 163
---значений непрерывного оператора 176
——ограниченного множества 163
Комплексное число 224 -
—	• —умножения 227
---деления ,228
---возведение в степень 229
Коши — Адамара признак 232
Коши 271
—	неравенства 287
—	теорема 271
Кривая Жордана 106
—	замкнутая спрямляемая 268
—	Кантора 106
—	кусочно-гладкая 268
—	Пеано 100
—	спрямляемая 113
—	Урысона 106
Круг сходимости степенного ряда 233
Кубируемость 124
Лебег 152
Лиувилль 287
Лиувилля теорема 287
Лобачевский Н. И. 72
Локсадрома 289
Лузин Н. Н. 86, 108, 138, 139
Люстсрник Л. А. 146, 151
Ляпунов А. М. 202
Максимум функционала 192
Мера внешняя 119
—	внутренняя 119
—	Жордана 119
— Лебега 130
Меркатор Г. 288
Метод итерации 158
—	сжатых отображений 153
Метод последовательных приближений 156, 208
Метризация 147
Метрика пространства 147
Минимум функционала 192
Мнимая единица 226
—	ось 226 t
—	часть комплексного числа 227
Многообразие линейное 178
Множества непересекающиеся 6
—	пересекающие 6
—	эквивалентные 8
Множество алгебраических чисел 32
—	бесконечное 2
—	всюду разрывное 57
—	выпуклое 203
Множество действительных чисел 25 — замкнутое 43 — значений функции 73 — измеримое по Жордану 119 — измеримое по Лебегу 130 — изолированное 44 — Кантора 56 — компактное 163 — конечное 2 — линейное 51
—	метрического пространства 163
—	п-мерное 37
—	непрерывное 27
—	несчетное 21
—	нигде не плотное 57
—	ограниченное 38
—	одномерное 107
—	одноэлементное 3
—	открытое 44
—	пар натуральных чисел 17
—	плотное 24
—	плотное в себе 43
—	производное 43
—	пустое 3
—	рациональных чисел 24
—	связное 107
—	совершенное 43
—	счетное 15
Множитель-оператор 224
Модуль комплексного числа 227
Мощность 7
—	континуума 29
	—множества 8
Натансон И. П. 138, 161, 167, 175
Нсмыцкий В. В. 204, 218
Непрерывность дифференцируемой функции комплексного переменного 239
—	линейного функционала 180
— множества действительных чисел25
— обратного отображения компактного множества 176
— оператора 175
— функции по Бэру 78, 171
---— по Гейне 78
---комплексного переменного 229
• — по Коши 78
-- слева 88
- - — справа 88
—функционала равномерная 123
Неравенство Коши — Буняковского 36
Несчетность множества 28
Норма оператора 187
—функционала 184
Область 127
— замкнутая 127
— значений функции комплексного переменного 238
— многосвязная 127
304
Область ограниченная 127
—	односвязная 127
— определения функции комплексного переменного 238
Ограниченность линейного оператора 188
Однородность линейного пространства 190
Окрестность 38
Оператор 146
—	Вольтерра 206
—	вполне непрерывный 204
—	линейный 183
—	непрерывный 175
—	сопряженный 211
—	Фредгольма 206
Определения аналитической функция
282
Основная теорема алгебры 237
Остаток ряда 234
Отображение дробно-линейной функцией 247
— конформное 217, 248
— линейной функцией 244
— обратное 176
— показательной функцией 250
—	посредством гармонической пары 218
—	регулярное 218
—	сжатое 154
—	функцией 153
Пеано 108
Пересечение множеств 6
Плоскость Гаусса 226
—	расширенная замкнутая 245
Плотность, множества 24
—	— действительных чисел 24
—	— рациональных чисел 24
Поверхность Римана 248
Подмножество 4
—	несобственное 4
—	собственное 4
Подпоследовательность сходящаяся 172
Полнота метрического пространства 149
Понятие конформного отображения 217
Последовательность 27
—	сегментов стягивающаяся 27
Поток плоскопараллельный 290
Предел последовательности 232
--- верхний 232
Преобразование инверсии 247
—	ряда для точки 235
Признак необходимый сходимости ряда 231
Признак Коши — Адамара 232
Принцип максимума модуля 222
—	Ферма 109
—	Шаудера 204
Приращение функционала 192
Проблема континуума 32
Проекция меркаторская 288
Производная функции комплексного переменного '241
Производный ряд 235
Пространство абстрактное 147
—	Банаха 180
—	евклидово 147
—	координатное Гильберта 148
—	линейное нормированное 180
—	метрическое 146
—	полное нормированное 150
—	сепарабельное метрическое 159
Профиль модуля функции комплексного переменного 238
Прямая числовая 35
Равномерная сходимость степенного ряда 231
Резольвента 258
Риман 146
Ряд' абсолютно сходящийся 231
—	комплексных чисел 230
—	степенной 233
—	сходящийся 230
—	Тейлора 276
Свойства аналитической функции 242
—	линейных операторов 189
—	тригонометрических функций комплексного переменного 254
Сегмент 37
—	п-мерный 37
Серпинскнй В. К. 111
Система
— интервалов, покрывающих множество 47
—	линейная 178
Скачок функции 88
Скелет счетный 159
Сложение комплексных чисел 227
Слудская М. М. 218
Соболев С. Л. 208
Собственные значения линейного оператора 207
Соответствие взаимно однозначное 8
Спектр линейного оператора 208
Стилтьес 157
Сумма Дарбу 147
Сумма линейных операторов 190
—	множеств 4
—	ряда 231
—	—частная 131
Существование единичного элемента линейной системы 179
305
Сходимость последовательности комплексных чисел 230
—	функционалов сильная 185
—	— слабая 184
Теорема Абеля 231
—	Больцано — Вейерштрасса 39
Бореля — Лебега 47
—	Дзядыка 217
—	Жордана 115
—	Кантора 27
—	Кантора — Бернштейна 14
—	Лузина 138
—	Немыцкого 204
—	об абсолютной сходимости степенного ряда 233
—	о единственности аналитической функции 278
—	о непрерывности суммы ряда 350
—	о производных рядах 23S
—	основная алгебры 237
Точка бесконечно удаленная 245
—	внешняя 44
—	внутренняя 44
—	граничная 44
—	изолированная 38
—	кратная 108
—	конденсации 60
—	неподвижная 153
— нулевая метрического пространства 173
•	— предельная 38
—	разрыва 80
Траектория луча света 199
Транзитивность линейного пространства 179
Умножение комплексных чисел 228
Упорядоченность множества 24
—	— действительных чисел 25
Уравнение Вольтерра 206
—	интегральное 208
	— Лагранжа 266
—	линейное интегральное 206
Уравнение Фредгольма 206
—	Эйлера 104
Урысон П. С. 106, ПО
Условия КРЭДЛ 213
Условия экстремума функционала 193
Фихтенгольц Г. М. 86, 88, 101, 217, 265
Фридман А. А. 153
Функция аналитическая 212
—	гармоническая 215
	—гиперболическая 256
Функция голоморфная 242
— действительного переменного 73
—	Дирихле 75
— дифференцируемая, комплексного переменного 241
—	Жуковского Н. Е. 293
—	интегрируемая по Риману 147
---по Лебегу 164
—	комплексного переменного 238
—	логарифмическая комплексного переменного 262
—	мопогенпая 242
—	примитивная 270
—	равностепенно непрерывная 206
—	равномерно ограниченная 206
—	сопряженно гармоническая 213
— тригонометрическая, комплексного переменного 253
—	характеристическая потока 29 Функционал 146
—	дифференцируемый 192
—	линейный 180
—	непрерывный 170
Функциональный анализ 191
Фомин С. В. 173
Формула Грина — Остроградского 215
— Муавра 213
—	Ньютона —Лейбница 267
Формулы Эйлера 255
Цермело 138
Циклические постоянные 223
Циклоида 198
Черкасов А. Н. 218
Число алгебраическое 20
	— действительное 25
—	иррациональное 25
—	кардинальное 9
—	комплексное 226
	— мнимое 226
—	рациональное 24
—	трансцендентное 32
Тригонометрическая форма комплексного числа 227
Шаудер 204
Эквивалентность множеств 8
—	определений непрерывности 78
	— Экстремум 192
Ядро 206
— итерированное 209
Якобиан 218
УКАЗАТЕЛЬ СПЕЦИАЛЬНЫХ ЗНАКОВ
£—знак включения элемента в множество
с — знак включения множества в множество
с — знак включения множества в множество, который показывает что множества могут совпадать
£ —знак того, что элемент не принадлежит множеству
с — знак того, что множество не включено в множество
U—знак суммы множеств
["] — знак пересечения множеств
\,------знаки разности множеств
-С, > — знаки «меньше», «больше»
= — знак равенства, знак совпадения множеств
~— знак эквивалентности
— знаки «меньше или равно», «больше или равно»
—> — знак стремления к пределу
ф—знак неравенства
==—знак тождественного равенства
—* — знак взаимно однозначного соответствия
(/.) \—знак интеграла в смысле Лебега
ф— знак интеграла по замкнутому контуру
со — знак бесконечности
А — знак для обозначения мощности множества А
Хо — знак для обозначения мощности счетного множества
р (х, у) — знак расстояния от х до у
sup — знак верхней грани
inf — знак нижней грани
{хл}—знак последовательности xlt х2, ..., х,г, ...
lim хп— знак верхнего предела последовательности {.гя}
и-* со
lim хп — знак нижнего предела последовательности
и—*оо
Еп— знак «-мерного евклидова пространства
С [a,	— знак метрического пространства, состоящего из непрерывных на
[с, ii] функций с метрикой
= sup |/(х) — <?(л')|
х g [а, £>1
1р — знак координатного гильбертова пространства, элементами которого являются числовые последовательности {хп}, для которых
ряды У | х,- \р сходятся с метрикой р (х, у) = < У |.ц—yjM
<=1	U=1 J
307
Lp — знак пространства, состоящего из всех измеримых функций л- (t), определенных па [а, Ь] с метрикой р (х, j’) = = |(£)J|xW-3’ (t) \р dt\{/P
I a	)
m — знак пространства, состоящего нз всех ограниченных последовательностей х = {хя} действительных чисел с метрикой р(х,у<) — = sup |л-г—[
i
(х, у)— знак скалярного произведения векторов х и у (под знаком тригонометрической функции знак угла между векторами х, у)
А"' — знак отображения, обратного отображению А
|j ti || — знак нормы элемента а
8U (Л'о, ft)— знак вариации функционала U в точке х0 при приращении аргумента h
1 — знак единичного вектора
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...................................................... 3
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Глава I. Общая теория множеств.................................. 4
§ 1.	Понятие множества....................................... 4
§ 2.	Конечные и бесконечные множества........................ 5
§ 3.	Подмножества, включение................................. 6
§’4.	Теоретико-множественные операции........................ 6
§ 5.	Эквивалентность множеств............................... 10
§ 6.	Понятие мощности. Кардинальные числа................... 11
§ 7.	Сравнение мощностей.................................... 12
§ 3.	Существование сколь угодно высоких	мощностей. . ....... 15
§ 9.	Счетные множества...................................... 16
Упражнения к главе I........................................... 22
Глава II. Теория точечных множеств............................. 24
§	1.	Множества	рациональных чисел......................... 24
§	2.	Множество	действительных чисел....................... 25
§	3.	Множество	мощности континуума........................ 28
§	4.	Множества	пространства Еп............................ 32
§ 5.	Предельные точки...................................... 35
§ б.	-Замкнутые и открытые множества....................... 40
§ 7.	'Строение'линейных открытых и замкнутых множеств....	47
§ 8.	Множество Кантора и его свойства...................... 52
§ 9.	Мощность совершенного множества....................... 54
§ 10.	Точки конденсации. Мощность несчетного замкнутого множества .................................................... 55
Упражнения к главе II.......................................... 58
Глава III. Функции............................................. 61
§ 1.	Общее понятие	функции.................................. 61
§ 2.	Верхняя и нижняя грани функции. Колебание.............. 62
§ 3.	Непрерывность.......................................... 66
§ 4.	Основные свойства	непрерывных функций ................. 70
§ 5.	Точки разрыва	...................................... 74
§ 6.	Точки.разрыва монотонной функции....................... 79
§ 7.	Функции с ограниченным изменением...................... 31
Упражнения к главе III......................................... 88
Глава IV. Непрерывные кривые.................................... 91
§ 1.	Понятие непрерывной	кривой.............................. 91
§ 2.	Кривые Жордана......................................... 93
§ 3.	Кривые Пеано........................................... 93
§ 4.	Кривые Кантора и Урысона............................... 94
§ 5.	Спрямляемые кривые..................................... 96
Упражнения к главе IV.......................................... 99
Глава V. Alepa.................................................. Ю0
§ 1.	Мера Жордана для линейных множеств.................... 100
§ 2.	Мера Жордана для множества Еп. Квадрируемые и кубнруе-мые множества ............................................. 106
309
§ 3.	Мера Лебега для линейных множеств.......................... 11)
§ 4.	Свойства множеств, измеримых ио Лебег}'.............. 1 io
§ 5.	Измеримые функции......................................... 122
Упражнения к главе V............................................... 124
Глава VI. Интеграл................................................. 125
§ 1.	Интеграл Римана............................................ 125
§ 2.	Теорема Лебега............................................. 131
§ 3.	Интеграл Стилтьеса......................................... 135
§ 4.	Интеграл Лебега............................................ 139
Упражнения к главе VI.............................................. 143
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Глава VII. Метрические пространства................................ 146
§ 1.	Основные понятия.......................................... 146
§ 2.	Примеры метрических пространств........................... 148
§ 3.	Полнота метрических пространств........................... 149
§ 4.	Теорема о замкнутых шарах................................. 152
§ 5.	Метод сжатых отображений.................................. 153
§ 6.	Применение метода сжатых отображений в теории дифференциальных и интегральных уравнений......................... 155
§ 7.	Применение метода сжатых отображений в алгебре......	156
§ 8.	Применение метода сжатых отображений в математическом анализе................................................... 157
Упражнения к главе VII............................................. 159
Глава	VIII. Сепарабельность и компактность....................... 159
§ 1.	Сепарабельность пространств Еп, С и 1р..................... 159
§ 2.	Сепарабельность пространства Lp............................ 161
§ 3.	Пространство т как пример несепарабельного пространства . .	162
§ 4.	Компактность множеств пространства £„...................... 163
§ 5.	Общий критерий компактности................................ 164
§ 6.	Компактность множеств в пространстве С..................... 165
§ 7.	Компактность множеств в пространстве 1р.................... 168
§ 8.	Компактность множеств в пространстве Lp.................... 169
Глава	IX. Непрерывные функционалы и операторы.................... 170
§ 1.	Непрерывные функционалы.................................... 171
§ 2.	Общие свойства непрерывных функционалов.................... 172
§ 3.	Равномерная непрерывность функционала...................... 173
§ 4.	Непрерывные операторы...................................... 175
§ 5.	Свойства непрерывных операторов............................ 176
Упражнения к главе IX.............................................. 177
Глава	X. Линейные функционалы, линейные операторы..........	178
§ 1.	Линейные пространства..................................... 178
§ 2.	Линейные функционалы ...................................... 180
§ 3.	Свойства линейных функционалов............................ 182
§ 4.	Слабая сходимость линейных функционалов.................... 184
§ 5.	Линейные операторы........................................ 187
§ 6.	Свойства линейных операторов.............................. 189
Упражнения к главе X............................................... 191
Глава XI. Применения функционального анализа в вариационном исчислении............................................ 191
§ 1.	Дифференциал, вариация линейного	функционала............... 192
§ 2.	Экстремум дифференцируемого	функционала.................... 193
§ 3.	Уравнение Эйлера........................................... 194
310
§ 4.	Решение задачи о брахистохроне.......................
§ 5.	Задача о наименьшей поверхности вращения.............
§ 6.	О других применениях функционального анализа в вариационном исчислении..............................
Упражнения к главе XI........................................
Глава XII. Применения функционального анализа в теории интегральных уравнений ......................................
§ 1.	Вопрос о существовании решения интегрального уравнения. .
§ 2.	Вполне непрерывные операторы.........'...............
§ 3.	Теорема В. В. Немыцкого..............................
§ 4.	Линейные интегральные уравнения......................
§ 5.	Собственные значения, спектр.........................
§ 6.	Метод последовательных приближений, построение резольвенты ....................................................
Упражнения к главе ХП....................'...................
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Глава ХШ. Гармонические функции . . Г........................
§ 1.	Основные определения.................................
§ 2.	Свойства гармонических функций и гармонических пар. . . .
§ 3.	Теорема Дзядыка......................................
§ 4.	Понятие конформного отображения......................
§ 5.	Конформность отображения гармонической нарой.........
§ 6.	Коэффициент растяжения...............................
Упражнения к главе XIII......................................
Глава XIV. Комплексные числа, последовательности, ряды ....
§ 1.	Комплексное число как оператор.......'...............
§ 2.	Плоскость Гаусса ....................................
§ 3.	Тригонометрические и алгебраические формы комплексного числа.....................................................
§ 4.	Действия над комплексными числами....................
§ 5.	Числовые последовательности и ряды...................
§ 6.	Признак Коши — Адамара...........................  .
§ 7.	Степенные ряды ......................................
Упражнения к главе XIV.......................................
Глава XV. Функции комплексного переменного, аналитические функции......................................................
§ 1.	Непрерывность функции комплексного переменного.......
§ 2.	Дифференцируемость функции комплексного переменного . .
§ 3.	Определение и свойства аналитической функции.........
§ 4.	Конформность отображения аналитической функции.......
Упражнения к главе XV........................................
Глава XVI. Элементарные аналитические функции, конформные отображения..................................................
§ 1.	Линейная функция ....................................
§ 2.	Бесконечно удаленная точка...........................
§ 3.	Функция f(z) = —.....................................
§ 4.	Дробно-линейная функция..............................
§ 5.	Степенная функция. Поверхность Римана................
§ 6.	Показательная функция................................
§ 7.	Тригонометрические функции...........................
§ 8.	Гиперболические функции..............................
§ 9.	Логарифмическая функция..............................
Упражнения к главе XVI...................,...................
196
199
200
201
202
202
204
204
206
207
208
211
213
213
215
217
217
218
220
223
224
224
226
227
227
230
232
233
237
238
239
241
242
243
244
244
244
245
246
247
248
250
253
256
262
263
311
Глава	XVII. Интеграл. Ряд Тейлора........................... 264
§ 1.	Интеграл............................................... 264
§ 2.	Существование п вычисление интеграла. Свойства	интеграла. 265
§ 3.	Теорема Коши........................................... 267
§ 4.	Интегральная формула Коши.............................. 271
§ 5.	Разложение аналитической функции в степенной	ряд....... 274
§ 6.	Ряд Тейлора............................................ 276
§ 7.	Теорема единственности для аналитических функций.......278
§ 8.	Понятие об аналитическом продолжении................... 280
§ 9.	Определение класса аналитических функций............... 282
У применения к главе XVII...................................... 284
Глава XVIII. О применениях теории функций комплексного переменного.................................................... 285
§ 1.	О	применениях	в	математическом	анализе................ 285
§ 2.	О	применениях	в	алгебре............................... 287
§ 3.	О	применениях	в	картографии........................... 288
§ 4.	О	применениях	в	гидро- и аэромеханике................. 290
§ 5.	Функция Н. Е. Жуковского.............................. 293
§ 6.	Критерий Рауса — Гурвица.............................. 294
Упражнения к главе XVIII....................................... 300
Дополнительная литература ..................................... 301
Алфавитный указатель.........................................   303
Указатель специальных знаков................................... 307