ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ
СОВРЕМЕННЫЙ УЧЕБНИК
Я.С. Бугров С.М. Никольский
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
2
Дифференциальное и интегральное исчисление
Издание шестое, стереотипное
Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по инженерно-техническим специальностям
врофа
МОСКВА • 2004
УДК 517.2(075.8)
ББК 22.161.1я73
Б90
Рецензенты:
кафедра высшей математики Московского государственного инженерно-физического института (технического университета) (зав. кафедрой проф. А. И. Лрилепко); акад. В. А. Ильин; чл.-кор. РАН С. И. Полежаев; чл.-кор. РАН Л. Д. Кудрявцев
Серия «Высшее образование: Современный учебник» основана в 2001 году
Бугров Я. С.
Б90 Высшая математика: Учеб, для вузов: В 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. — (Высшее образование: Современный учебник).
ISBN 5-7107-8420-6
Т. 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. — 512 с.: ил.
ISBN 5-7107—8449—4 (т. 2)
Учебник (1-е изд. — 1980 г.) вместе с другими учебниками тех же авторов — «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии» (том 1) и «Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного» (том 3) — соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования.
Книга содержит введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, ряды.
Для студентов инженерно-технических специальностей вузов.
УДК 517.2(075.8)
ББК 22.161.1Я73
ISBN 5-7107-8449-4 (т. 2)
ISBN 5-7107-8420-6
© ООО «Дрофа», 2003
Содержание
11 редисловие................................9
Глава 1. ВЕДЕНИЕ ........................... 11
§ 1.1.	Предмет математики. Переменные и постоянные величины, множества........... 11
§ 1.2.	Операции над множествами .......... 13
§1.3.	Символика математической логики.... 15
§1.4.	Действительные числа............... 16
§1.5.	Определение равенства и неравенства. 20
§ 1.6.	Определение арифметических действий. 22
§ 1.7.	Основные свойства действительных чисел... 29
§ 1.8.	Аксиоматический подход к понятию действительного числа..................... 31
§ 1.9.	Неравенства для абсолютных величин.. 33
§ 1.10.	Отрезок, интервал, ограниченное множество................................. 34
§ 1.11.	Счетное множество. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел............ 35
Глава 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ........... 39
§ 2.1.	Понятие предела последовательности.. 39
§ 2.2.	Арифметические действия с переменными,
имеющими предел..................... 47
§ 2.3.	Бесконечно малая и бесконечно большая
величины............................ 50
§ 2.4.	Неопределенные выражения........... 52
§ 2.5.	Монотонные последовательности...... 54
§ 2.6.	Число е............................ 58
§ 2.7.	Принцип вложенных отрезков......... 59
§ 2.8.	Точные верхняя и нижняя грани множества................................  61
§ 2.9.	Теорема Больцано—Вейерпгтрасса..... 66
4
§ 2.10.	Верхний и нижний пределы............. 68
§ 2.11.	Условие Коши сходимости последовательности....................... 71
§ 2.12.	Полнота и непрерывность множества действительных чисел....................... 73
Глава 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ............... 75
§3.1.	Функция................................75
§ 3.2.	Предел функции........................ 88
§ 3.3.	Непрерывность функции ................ 98
§ 3.4.	Разрывы первого и второго рода........106
§ 3.5.	Функции, непрерывные на отрезке.......110
§ 3.6.	Обратная непрерывная функция..........115
§ 3.7.	Равномерная непрерывность функции.....118
§ 3.8.	Элементарные функции..................121
§ 3.9.	Замечательные пределы.................136
§ 3.10.	Порядок переменной. Эквивалентность .139
Глава 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ...................144
§4.1.	Производная...........................144
§ 4.2.	Геометрический смысл производной......148
§ 4.3.	Производные элементарных функций......156
§ 4.4.	Производная сложной функции...........158
§ 4.5.	Производная обратной функции .........160
§ 4.6.	Производные элементарных функций (продолжение) ...........................161
§ 4.7.	Дифференциал функции..................164
§ 4.8.	Другое определение касательной........168
§4.9.	Производная высшего порядка...........169
§ 4.10.	Дифференциал высшего порядка. Инвариантное свойство дифференциала первого порядка..........................171
§4.11.	Дифференцирование параметрически заданных функций..........................174
5
§ 4.12.	Теоремы о среднем значении........174
§ 4.13.	Раскрытие неопределенностей.......182
§ 4.14.	Формула Тейлора...................186
§4.15.	Ряд Тейлора........................192
§4.16.	Формулы и ряды Тейлора элементарных функций..................................195
§4.17.	Локальный экстремум функции.......200
§ 4.18.	Экстремальные значения функции на отрезке...............................205
§ 4.19.	Выпуклость кривой. Точка перегиба.207
§ 4.20.	Асимптота графика функции.........212
§4.21.	Непрерывная и гладкая кривая.......215
§4.22.	Схема построения графика функции...217
§ 4.23.	Вектор-функция. Векторы касательной и нормали..................................222
Глава 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ...........227
§ 5.1.	Неопределенный интеграл. Таблица интегралов...............................227
§ 5.2.	Методы интегрирования..............232
§ 5.3.	Комплексные числа..................239
§ 5.4.	Теория многочлена n-й степени......244
§ 5.5.	Действительный многочлен n-й степени .... 247
§ 5.6.	Интегрирование рациональных выражений................................250
§ 5.7.	Интегрирование иррациональных функций..................................254
Глава 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ..............259
§ 6.1.	Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, и его определение..............................259
§ 6.2.	Свойства определенных интегралов ..267
§ 6.3.	Интеграл как функция верхнего предела ..275
§ 6.4.	Формула Ньютона-Лейбница...........278
6
7
§ 6.5.	Остаток формулы Тейлора
в интегральной форме ...............284
§ 6.6.	Суммы Дарбу. Условия существования
интеграла...........................286
§ 6.7.	Интегрируемость непрерывных	и
монотонных функций.................289
§ 6.8.	Несобственные интегралы............291
§ 6.9.	Несобственные интегралы
от неотрицательных функций .........296
§ 6.10.	Интегрирование по частям несобственных интегралов...............................300
§ 6.11.	Несобственный интеграл с особенностями в нескольких точках........................302
Глава 7.	ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ.................305
§ 7.1.	Площадь в полярных координатах ....305
§ 7.2.	Объем тела вращения................306
§ 7.3.	Гладкая кривая в пространстве.
Длина дуги..........................307
§ 7.4.	Кривизна и радиус кривизны кривой.
Эволюта и эвольвента................316
§ 7.5.	Площадь поверхности вращения ......321
§ 7.6.	Интерполяционная формула Лагранжа..323
§ 7.7.	Квадратурные формулы прямоугольников
и трапеций..........................326
§ 7.8.	Формула Симпсона ..................330
Глава 8.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ..........335
§8.1.	Предварительные сведения...........335
§ 8.2.	Предел функции.....................338
§ 8.3.	Непрерывная функция................345
§ 8.4.	Частные производные и производная по направлению..............................350
§8.5.	Дифференцируемые функции.............356
§ 8.6.	Применение дифференциала в приближенных вычислениях ..................360
§ 8.7.	Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала........................364
§ 8.8.	Производная сложной функции.
Производная по направлению. Градиент ... 366
§ 8.9.	Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка...........................372
§ 8.10.	Формула Тейлора.....................378
§8.11.	Замкнутое множество.................380
§ 8.12.	Непрерывная функция
на замкнутом ограниченном множестве ....386
§ 8.13.	Экстремумы .........................391
§ 8.14.	Нахождение наибольших и наименьших значений функции ............397
§ 8.15.	Теорема существования неявной функции.399
§ 8.16.	Касательная плоскость и нормаль ....404
§ 8.17.	Системы функций, заданных неявно....407
§ 8.18.	Отображения.......................  414
§ 8.19.	Условный (относительный) экстремум .416
Глава 9. РЯДЫ.................................425
§ 9.	1. Понятие ряда ......................425
§ 9.2.	Несобственный интеграл и ряд.........428
§9.3.	Действия с рядами....................430
§ 9.4.	Ряды с неотрицательными членами......432
§ 9.5.	Ряд Лейбница.........................438
§ 9.6.	Абсолютно сходящиеся ряды............439
§ 9.7.	Условно сходящиеся ряды с
действительными членами...............441
§ 9.8.	Последовательности и ряды функций.
Равномерная сходимость ...............442
§ 9.9.	Интегрирование и дифференцирование
равномерно сходящихся рядов...........451
8
§ 9.10.	Перемножение абсолютно сходящихся рядов....................................458
§ 9.11.	Степенные ряды...................462
§ 9.12.	Дифференцирование и интегрирование степенных рядов..........................467
§ 9.13.	Функции e\ sin z, cos z от комплексного переменного .............................474
§ 9.14.	Ряды в приближенных вычислениях .478
§ 9.15.	Понятие кратного ряда............487
§ 9.16.	Суммирование рядов и последовательностей......................496
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.......................502
ПРЕДИСЛОВИЕ
В комплект учебников «Высшая математика» авторов Я. С. Бугрова и С. М. Никольского, выходящий в издательстве «Дрофа» в серии «Высшее образование: Современный учебник», вошли следующие книги:
1.	«Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии».
2.	«Дифференциальное и интегральное исчисление».
3.	«Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного».
Комплект получил широкое признание как в нашей стране, так и за рубежом (все книги переведены на английский, французский, испанский и португальский языки) и был удостоен в 1984 г. премии М В и ССО СССР и ЦИК профсоюзов работников просвещения, высшей школы и научных учреждений, а в 1987 г. — Государственной премии.
За короткий срок эти книги выдержали четыре издания и в настоящее время пользуются огромным спросом и популярностью у студентов вузов.
J (линяя книга является вторым томом комплекта учсьников «Высшая математика». Здесь излагаются следующие p.i щелы: «Введение в анализ», «Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной», «Дифференциальноеисчисление функций нескольких переменных», «Ряды».
Материал, изложенный в учебнике, соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования.
Авторы учли, что в средней школе изучаются начала аналитической геометрии и математического анализа. В главе 1 несколько параграфов посвящено «действительному числу», хотя явно такого материала в программе нет — данные вопросы излагаются в средней школе. Эти вопросы следует повторить во вводных лекциях. Студент должен знать, что действительное число можно рассматривать как десятичное разложение. Умение доказывать лемму 2 о неубывающей ограниченной последовательности десятичных дробей надо считать весьма желательным. Но при изложении материала можно ограничиться только § 1.7 и 1.8. Безусловно, данную книгу и книгу «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии» надо изучать параллельно.
Отметим, что перед главой 8, посвященной функциям многих переменных, читатель должен ознакомиться с понятием m-мерного пространства.
В свою очередь, для изучения самосопряженного оператора и квадратичных форм понадобятся свойства функций, непрерывных на замкнутом множестве (§ 8.12 данной книги). Параграф, посвященный экстремумам функций многих переменных, потребует знания квадратичной формы. В условном экстремуме используется представление об ортогональных подпространствах m-мерного пространства.
Авторы выражают благодарность первому заместителю председателя НМС по математике при Министерстве образования РФ члену-корреспонденту РАН Л. Д. Кудрявцеву и коллективу кафедры высшей математики Санкт-Петербургского государственного технологического института (технического университета) за обсуждение этого учебника и ценные замечания и предложения, которые, несомненно, способствовали улучшению его содержания. Они также признательны Ю. И. Волкову, М. Ш. Коссу, А. М. Полосуеву, Я. М. Тобольцеву, А. Ф. Шапкину и ряду других читателей за ценные конструктивные предложения.
ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1.1. Предмет математики. Переменные и постоянные величины, множества
Среди всех наук математика занимает особое место. Математика определяется как наука о пространственных формах и количественных отношениях реального мира. Конечно, если учесть современное состояние математики и разнообразие изучаемых ею структур, то пространственные формы и количественные отношения необходимо понимать в самом общем виде.
Математика дает другим наукам язык чисел и символов для выражения различного рода отношений между явлениями природы. Но прежде чем применять математику, биолог, физик или экономист должны глубоко понять суть изучаемого явления, расчленить его на части, поддающиеся математической обработке.
Объектами изучения в самой математике являются логические модели, построенные для описания явлений природы и общества. Математика изучает соотношения между элементами этих моделей. Если математическая модель верно отражает суть данного явления, то она позволяет вскрывать и необнаруженные вначале закономерности, т. е. математика способна вскрывать и качественную сторону явле
ния.
12
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
В силу большой абстрактности одна и та же математическая модель может описывать различные процессы. Например, одно и то же дифференциальное уравнение описывает и характер радиоактивного распада, и изменение температуры тела.
При изучении явлений природы и общества мы на каждом шагу сталкиваемся с изменением величин, с зависимостью одной из величин от другой. Поэтому понятие о переменной величине является основным в математическом анализе.
Под переменной величиной мы будем понимать величину, которая в процессе изучения какого-либо явления принимает хотя бы два различных значения. Величина, которая при исследовании данного вопроса принимает только одно значение, называется постоянной.
Ф. Энгельс отмечал, что введение декартовой переменной величины внесло в математику движение и диалектику.
Если все значения, принимаемые переменной величиной, объединить, то мы получиммножес/пео значений этой величины.
Понятиелшожества также является основным в математике, это простое, первичное понятие, которое мы не будем пытаться определить через другие простые понятия.
Множество — это совокупность, собрание каких-либо объектов произвольной природы.
Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве молекул в данном теле, о множестве телевизоров с цветным изображением в данной аудитории и т. д. Объекты, входящие в данное множество, будем называть элементами множества.
Мы будем обычно обозначать множества большими буквами А, В,..., X, Y,а их элементы малыми буквами а, Ъ,..., х, у, ... .
Если элемент х принадлежит множеству А, то этот факт обозначают так: х е А. Если же х не входит в множество А,
S 1.2. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
13
то пишут: х~ё А. Символом А с В (множество А включено в множество В) обозначают тот факт, что еслих е А, то х е В.
Множество А в этом случае называется подмножеством множества В. Употребляется также равносильная запись В 23 А (множество В включает в себя множество А). Символы <2, 23 называются знаками включения.
Если множество не содержит ни одного элемента, то его называют пустым и обозначают символом 0. Ясно, что 0 <2 А, где А — любое множество.
Для обозначения множеств широко употребляют фигурные скобки, внутри которых тем или иным способом
описываются элементы, из которых эти множества состоят. Выражение N = {1, 2, 3, ...} обозначает множество натуральных чисел, {О, 1, 2, ...} — множество целых неотрицательных чисел, aZ = {„., -2, -1, 0,1, 2,...} — множество всех целых чисел.Вот еще пример: А= {1,2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9, 0} — множество, состоящее из цифр десятичной
системы счисления. Очевидно 2 е А,

Говорят, что множества А и В равны, и пишут А = В, если А <2 В и В С2 А На вопрос о том, равны ли данные
множества, далеко не всегда легко ответить. Например, если А = {6, 8, 10,...},В = {р + q} есть множество сумм простых чисел р и q, больших чем 2, то ясно, что В с А. Однако до
настоящего времени не установлено, верно ли, что Ас В, т. е. можно ли любое четное число > 6 представить в виде суммы двух простых чисел, больших двух. В данном курсе мы в основном будем иметь дело с числовыми множества
ми, т. е. элементами их будут числа.
§ 1.2. Операции над множествами
Для множеств можно ввести арифметические операции сложения и умножения, которые обладают свойствами, во многом аналогичными соответствующим свойствам операций сложения и умножения чисел.
Пусть даны два произвольных множестваА и В. Сум-
14
Рис. 1
Рис. 2
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
мой или объединением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов множеств А и В; при этом пишут: С=А + В или С = A U В (рис. 1). Легко видеть, что А + А = А.
Произведением или пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, одновременно принадлежащих множеству А и множеству В. Пересечение множеств обозначается черезАВ илиА П В (рис. 2). Очевидно, чтоА П
Й А = А. Если АВ = 0, то говорят, что множества А и В не пересекаются. Используя понятие равенства множеств, можно доказать, что: 1) А + В = В + А, 2) (А + В) С = АС + + ВС, 3) (АВ) С = А (ВС), 4) (А + В) + С = А + (В + С). Докажем, например, 2). Если х е (А + В) С, то, согласно определению произведения, х е А + В их е С. Из определения суммы следует, чтох е А илих е В. Пусть для определенности х е А. Тогда х с АС, а следовательно, х е АС + ВС. Значит, (А +В) С с: АС + ВС.Если теперь элемент х е АС + + ВС, то выполняется по крайней мере одно из соотношений х G АС, х е ВС, для определенности пусть х G АС. Тогда х с А + В и х е С, т. е. х 6 (А + В) С. Отсюда АС + + ВС с: (А + В) С. Этим равенство 2) доказано.
Разностью множеств А и В называется множество R = А X В, состоящее из элементов А, которых нет в В.
Заметим, что в общем случае (А X В) + ВФ А (рис. 3). Но если В с с А, то (А X В) + В = А (рис. 4).
Множества с введенными операциями сложения и умножения образуют своеобразную алгебру, где нет коэффициентов и степеней.
Рис. 3.
Рис. 4

§ 1.3. СИМВОЛИКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
15
§ 1. 3. Символика математической логики
Для сокращения записи в дальнейшем мы будем употреблять некоторые простейшие логические символы. Если нас интересует не сущность какого-либо предложения, а его связь с другими, то это предложение будем обозначать одной из букв а, Р...Запись а => Р означает: «из предложения а следует
предложение Р». Знаком а <=> Р будем обозначать тот факт, что предложения аир эквивалентны, т. е. из а следует Р и из Р следует а.
Запись Vx 6 А: а означает: «для всякого элемента х е А имеет место предложение а». Символ V называется квантором всеобщности.
ЗаписьЭу е В: Р означает: «существует элемент у е В, для которого имеет место предложение р». Символ 3 называется квантором существования.
Символ а будем понимать как отрицание предложения а или, коротко, «не а».
Построим отрицание утверждения Vx е А: а.
Если данное утверждение не имеет места, то предложение а имеет место не для всех х е А, т. е. существует элемент х е е А, для которого а не имеет места: Vx е А а <=> Зх е А: а.
Совершенно аналогично Vp е В: р <=> Vp е В: р.
Таким образом, чтобы построить отрицание данной логической формулы, содержащей знакиV иЗ, необходимо знакХ/ заменить на 3, а знак 3 на V и отрицание (черту) перенести на свойство, стоящее после двоеточия. Например, отрицание предложения
3Af Vx е A: Дх) < М имеет вид
ЗМ Vx е А Дх) « М <=> VM Зх е А:
Дх) < М <=> VM Зх е А: Дх) > М.
16
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
§ 1.4. Действительные числа
Понятие числа является первичным и основным в математике. Это понятие прошло длительный путь исторического развития. Множество натуральных чисел
N={1, 2, 3, ...,п, ...}
появилось в связи со счетом предметов. Затем под влиянием потребностей практики и развития самой математики были введены целые числа
Z = {..., -3, —2, -1, О, 1, 2, 3, ...} и рациональные числа
Q = {т/п}, где т, п е Z, п * 0.
Для однозначности записи рационального числа будем считать, что дробь т/п несократима, если не будет делаться оговорки на этот счет.
Введение рациональных чисел, однако, полностью не решило важной практической задачи об измерении отрезков. Ведь существует отрезок, длина которого не является рациональным числом. Примером может служить диагональ квадрата, сторона которого равна единице.
В связи с этим возникла необходимость введения, кроме рациональных чисел, и других чисел — иррациональных. Произвольные числа — рациональные или иррациональные — называются действительными иливеществен-ными. Множество действительных чисел обозначают через R. Существуют различные способы введения (определения) действительных чисел. Мы остановимся на способе представления их в виде бесконечных десятичных дробей
а = ± а0, a-fl.2ay...	(1)
Здесь а0 — целое неотрицательное число, ак при k > 0 — десятичные цифры. Таким образом, ак может принимать только одно из значений 0, 1, 2, ... , 9. Знак + часто в этих записях опускают.
Чтобы представить не равное нулю рациональное число ± т/п (т > 0, п > 0) в виде десятичной дроби, производим процесс деления т/ на п по известному способу, которому нас учили в школе:
8 1.4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
17
т\ п	(2)
<%’а1а2"" Заметим, что если этот способ применить к другой записи дроби +тр/пр = ±т/п (р > 0), то получим тот же результат.
Полагаем
±	= ± Др, aja2a3...	(3)
и правую часть (3) называем десятичным разложением числа ± т/п.
Если знаменатель дроби имеет вид п — где s, I — целые неотрицательные числа, то процесс (2) заканчивается после конечного числа шагов и получается конечная десятичная дробь
= ai - ам <ам > °)-	(<)
Конечную десятичную дробь мы будем записывать также в виде бесконечной дроби:
±д0, д,... ам = ±д0, ах ... дм00 ... = ±д0, ах... ам(0). (5) Но пользуются также и другой записью:
±д0, flj... ам = ±Др, дг... aM_i (ам ~ 1) 99 ... =
= ± До, flj... ам_г {ам - 1) (9) (ам > 0), (5') хотя она не возникает из процесса (2).
Итак, имеют место равенства
± д0, flj ... ам = + д0, аг... ам (0) = ± д0, дг... ам_^ (ам — 1)(9) (ам>0).
Дроби ± а0, at ... ам (0) и + д0, ах ... ам_г (ам- 1) (9) могут служить примерами периодических дробей. Первая из них после цифры ам имеет период 0, а вторая после цифры ам - 1 имеет период 9.
Пусть теперь знаменатель несократимой дроби не имеет вид 215<. Тогда процесс (2) бесконечный — на любом шаге возникает положительный остаток. Каждый остаток меньше п, и потому (после того, как цифры числа т снесены)
18
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
уже среди первых п остатков окажутся по крайней мере два, равные между собой. Но как только возникает остаток, который уже был прежде, процесс становится повторяющимся — периодическим. Поэтому десятичное разложение произвольного рационального числа имеет вид
= ±а°’ а1 - амЬ1 -	- &s •• =
= ±а0, аг ... ам (ЬА ... bs) (s < и).	(6)
Разложения (5) и (5') можно рассматривать как частные случаи (6).
Примеры:
=0,166... = 0,1 (6), О | = 0,(142857), f = 0,22... = 0,(2), У
7
= 0,0707 ... = 0,(07),
7
= 0, 00707... = 0,0(07).
(7)
Разложение вида (6) называется бесконечной десятичной периодической дробью.
Итак, каждое не равное нулю рациональное число можно разложить с помощью процесса (2), а в случае (4) и процесса (5) — в бесконечную десятичную периодическую дробь с периодом, отличным от 9. При этом можно доказать, что разным рациональным числам соответствуют разные бесконечные десятичные разложения. Но и обратно: любая бесконечная периодическая дробь (6), с периодом, отличным от 9, порождается при помощи указанных процессов (2), (5) некоторым рациональным числом, которое вычисляется по формуле
±7=±
м 9...9
§ 1.4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
19
Здесь мы позволили себе через Pt ... Ps и 9 — 9 обозна-spas
чить целое число, записанное соответственно цифрами р„ ... ,р,и 9...9.
spas
Например,
1,237 (06) =1,237 + 0,000 (06) =
= 1,237 +	= 1,237+
Кроме периодических десятичных дробей, существуют непериодические, например 0,1010010001...; 0,121122111222... .
Вот еще пример' если извлекать корень квадратный из 2 по известному правилу, то получим определенную бесконечную непериодическую десятичную дробь -J2 = 1,41... . Она определена в том смысле, что любому натуральному числу k соответствует определенная цифра ак, стоящая на А-м месте после запятой и однозначно вычисляемая согласно правилу извлечения квадратного корня.
Математический анализ дает много путей вычисления числа пс любой наперед заданной точностью. Это приводит к вполне определенному бесконечному десятичному разложению л, которое, как оказывается, не является смешанной периодической десятичной дробью
Дадим теперь определение иррационального числа, пока чисто формальное. Иррациональным числом называется произвольная бесконечная непериодическая дробь
а = ±а0,	... ,	(8)
где а0 — целое неотрицательное число, a ak (А = 1, 2,...) — цифры, знак же равенства « = » выражает, что мы обозначили правую часть (8) через а. Впрочем, удобно говорить, что правая часть (8) есть десятичное разложение числа а.
Рациональные и иррациональные числа называются действительными (или вещественными) числами.
Из сказанного следует, что всякое не равное нулю дей
20
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
ствительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби (8). Если оно рациональное, то его десятичное разложение есть бесконечная периодическая десятичная дробь. В противном случае, согласно нашему определению, выражение (8)само определяет иррациональное число.
Не равная нулю десятичная дробь может быть конечной, но она не определяет нового рационального числа: в силу соглашений, выраженных равенствами (5), (5'), она может быть заменена указанными в этих равенствах бесконечными периодическими дробями.
Число а, где не все aft fe=0,1,2,.. .равны нулю, положительно или отрицательно в зависимости от того, будет ли в (8) фигурировать «+ » или «—»; при этом, как обычно, ♦+» будем опускать.
Число 0 тоже может быть записано бесконечной десятичной дробью одного из следующих видов:
0 = + 0, 00... = 0, 00... = -0, 00... .
Действительные числа определены пока формально, надо еще определить арифметические операции над ними, ввести для них понятие «>»и проверить, что эти операции и понятие «>» согласуются с уже имеющимися соответствующими операциями и понятием «>» для рациональных чисел, а также удовлетворяют свойствам, которые мы предъявляем к числам.
§ 1.	5. Определение равенства и неравенства
Зададим два числа а = ±a0,a1a2, b = ±Р0, PjP2... » определяемых бесконечными десятичными дробями, не имеющими период 9. Будем считать, что ониравны между собой тогда и только тогда, когда их знаки одинаковы и
<Ч = Р* (fe-0,1,2,...).
Пусть а и 6 — положительные числа. По определению а <Ь, или, что все равно, Ь >а, еслиОд <ро или, если найдет
§ 1.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА
21
ся такой индекс (целое неотрицательное число) I, чтоаА =Pft (А = 0, 1, ... , I) и ам < рм.
Подчеркнем, что если мы хотим сравнивать десятичные дроби, одна из которых имеет период 9, то ее надо заменить дробью с периодом 0 и затем уже применить указанные правила сравнения.
По определению а > 0 или а < 0 в зависимости от того, будет ли а положительным или отрицательным; далее, по определению а < Ь, если а < 0, & > 0, или если а, Ь < 0 и |а| > |&|.
Если а=±а0,	..., то по определению -а = +а0, otjC^...
и абсолютная величина |а| = +а0, оцо^ = а0, а1а2 ••• • Таким образом,
-g	ff +tf +b
A	0	A	0
Рис. 5
Как мы знаем из школьного курса математики, между действительными числами и точками некоторой прямой можно установить взаимно однозначное соответствие (*-*) по следующему правилу. Числу 0 приводится в соответствие произвольная точка О на прямой, называемая нулевой точкой, и наоборот. Дли
на некоторого отрезка принимается за единицу. Каждому действительному числу + а (а > 0) приводится в соответствие точка прямой, отстоящая от нулевой точки на расстоянии, равном а, справа от точки О для числа +а и слева от точки О для числа—а (рис. 5). Наоборот, если А—произвольная точка прямой, находящаяся на расстоянии а справа от 0, то считают, что она соответствует действительному числу +а (бесконечной десятичной дроби). Если же точка А находится слева от точки О, то она соответствует числу —а. Рассматриваемую прямую будем называтьчпсловой прямой или действительной осью. В дальнейшем точки числовой прямой будем отождествлять с действительными числами, которые им соответствуют, т. е. сами точки будем называть
22
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
соответствующими числами. Отметим, что расстояние между точками а и b равно |а - (определение разности см. § 1-6).
§ 1. 6. Определение арифметических действий
1.6.1. Общие соображения. Для действительных чисел можно определить арифметические действия — сложение, вычитание, умножение и деление. Как это делается, можно узнать из приводимых ниже мелким шрифтом рассуждений. Читатель, который найдет нужным познакомиться с этими рассуждениями, увидит, что арифметические действия над бесконечными дробями сопряжены с необходимостью совершать некоторые бесконечные процессы. На практике арифметические действия над действительными числами производятся приближенно.
На этом пути возможны и формальные определения этих действий. Об этом будет идти речь в § 1.8.
В следующем параграфе перечисляются свойства действительных чисел, вытекающие из сделанных определений. Мы формулируем эти свойства. Их можно доказать, но мы доказываем их лишь в отдельных случаях (полное доказательство см., например, в учебнике С. М. Никольского «Математический анализ», т. I, гл. 2). Эти свойства собраны в пять групп (I—V). Первые три из них содержат элементарные свойства, которыми мы руководствуемся при арифметических вычислениях и решении неравенств. Группа IV составляет одно свойство (Архимеда). Наконец, группа V также состоит из одного свойства. Это свойство формулируется на языке пределов. Оно будет доказано, но позже — в § 2.5.
1.6.2. Стабилизирующиеся последовательности. Пусть каждому неотрицательному целому числу {индексу) п в силу некоторого закона приведено в соответствие число хп. Совокупность
§1.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
23
Хо, X,, Х2,...	(1)
называется последовательностью (чисел). Отдельные числа хп последовательности (1) называются ее элементами. Элементы хп и хт при т^п считаются отличными как элементы последовательности, хотя не исключено, что как числа они равны между собой (xn = хт).
Последовательность называется неубывающей {невозрастающей), если хк < хк+1 {хк > хк+1) для всех k - О, 1, 2, ... .
Будем говорить, чгопоследовательность ( ^ограничена сверху {числом М), если существует число М такое, что хк < М для всех k = 0, 1, 2,... .
Последовательность (1)ограничена снизу{числом т), если существует число т такое, что xft > m для всех k = О, 1, 2...
Если числахк последовательности (1) целые, то будем говорить, что она стабилизируется к числу £,, если найдется такое kQ, что хк = Е, для всех k > k0, и писать хк =:
Лемма 1. Если последовательность целых неотрицательных чисел не убывает и ограничена сверху числом М, то она стабилизируется к некоторому целому числу % < М.
Доказательство. Хотя количество элементов у нашей последовательности бесконечно, но она пробегает конечное число целых чисел. Ведь эти числа не превышают М. Пусть Е, — наибольшее среди этих чисел. Таким образом, Е, < М и существует такое натуральное s, при котором xs = Е,. Но наша последовательность не убывает, и потому хк = xs для всех k > s, т. е. наша последовательность стабилизируется к числу Е, (х„	М).
Рассмотрим теперь последовательность неотрицательных десятичных дробей, не имеющих период 9:
аг = аю» aiiai2ai3 •••> a2 = ot2O, а21а22а23 ..., аз = азо> °-з1аз2азз •••>
(2)
24
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
Правые части в (2) образуют таблицу (бесконечную матрицу)-
Будем говорить, что поел едова тел ьность (2)стабили-зируется к числу а = у0, у^---» и писать
ап =х а,	(3)
если k-й столбец таблицы (2) стабилизируется к yft; каково бы ни было k = О, 1,2, ... , т. е. ctsk п yfc для любого фиксированного k.
Лемма 2. Если неубывающая последовательность (2) десятичных дробей, не имеющих период 9, ограничена сверху числом М, то она заведомо стабилизируется к некоторому числу а, удовлетворяющему неравенствам
an < а < Af (и = 1, 2, ...).	(4)
В самом деле, считаем, что дробь М = т0, пг]/п2... не имеет период 9. Целые числа нулевого столбца матрицы (2)
«ю «20 «зо
также не убывают и ограничены сверху числом М, поэтому, согласно лемме 1, они стабилизируются к некоторому целому неотрицательному числуу0 < М. Пусть эта стабилизация имеет место, начиная с номерап0, т. е. ап =у0, ал1осл2... < М, п > п0.
Докажем теперь, что первый столбец в (2)
«и
«21 «31
также стабилизируется к некоторой цифре % и имеет место неравенство
у0, у, < М.
В самом деле, раз десятичные разложения чисел ап при п > п0 имеют вид
То» «„1«п2«пз- « М (п > п0)
§ 1. 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
25
и, кроме того, ап не убывает, то для указанных п цифры первого столбца ссп1 9) тоже не убывают и, следовательно, по лемме 1 стабилизируются к некоторой цифре уг Пусть эта вторая стабилизация наступает, начиная с номера п1 > п0, т. е. при п > и,
a»=Yo> YiaB2a»3-< М
При этом очевидно, что
Yo>Yi < ап « М (п > И|).
Рассуждая теперь по индукции, допустим, что уже доказано, что столбцы матрицы (2) с номерами, не превышающими k, стабилизируются соответственно к у0, у,,... , уА и
Уо» Yi	У* < м (Уи —, У*— цифры).	(5)
Докажем, что (й + 1)-й столбец в (2) также стабилизируется к некоторой цифре ук+1 и имеет место неравенство
Уо» Yi ••• УЛ+1 « М.	(6)
В самом деле, раз десятичные разложения чисел ап при п > пк имеют вид
ап = Уо. Yi - УД,ы. an.ft+2 ••• « М
и, кроме того, ап не убывает, то для указанных п цифры ал (< 9) не убывают и, следовательно, стабилизируются при и < ил+1, где недостаточно велико, к некоторой цифре yfc+1. При этом очевидно, что
Yo.Yi ••• Y*+j < Af (n > nfc+1),
и мы доказали неравенство (6). Положим а =УО,У]У2.... Очевидно, что an =1 у0,У1У2... .
Докажем первое неравенство (4). Сравним числа
ап ~ ап0’ ал1ал2апЗ“‘. а = Уо» У]УгУз—-
Если все соответствующие компоненты обоих разложений равны (ам =ys, s = 0,1,2,...), тоап = а.В противном случае при некотором s
26
ГЛАВА 1. ВВЕДШИЕ
ani = 7j U = 0, 1,... ,s-l),l ans<ys.	f
При этом, если s = 0, то равенства в (7) надо опустить. Но тогда а„ Yo> Yi> — ys^M и мы доказали первое неравенство (4).
Остается доказать второе неравенство (4). Еслиа =y0,yj ...yN — конечная десятичная дробь, то оно следует из (5) при k — N. Пусть теперь
« =Yo.YiY2-	(8)
— бесконечная десятичная дробь и как условились М = = 7n0,7nj7n2.... Если допустить, что доказываемое неравенство неверно, то найдется такое k, что
у7=т.(у = О, 1,	1
Yk > "h-	J
Если k = 0, то равенства в (9) опускаются. Так как разложение (8) бесконечно, то найдется такое з, чтоуАм > 0. Поэтому
Yo’Yi - Yfc-iYfc - Yfc+e > Yo’Yi — Yfc-iYft = "V1! - "Ч-iY* > > m0,m} ... mfc_1(yft + 1) = m0,ml ...	99... >
> т0,тАт2 ... = M, и получилось противоречие с неравенством (5).
1.6.3.	Определение арифметических действий. Теперь у нас есть возможность дать определение арифметических действий над действительными числами.
Для произвольного числа а =а0,а1а2 ... введем егои-ю срезку а,и) = oCq.C-j ... ап — конечную десятичную дробь. Мы считаем, что операции с конечными десятичными дробями читателю известны.
Зададим два положительных числа
а = (Xo.cqa.,..., Ь = Р0,Р,Р2 ..., разложенные в бесконечные десятичные дроби. Введем последовательность чисел
+ fe'"> = a0,ar.. ал + Р0,р,... Ри= ...^ (п= 1, 2, ... ).
§ 1.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
27
»мевидно, эта последовательность не убывает, кроме того, она ограничена сверху:
а(") + Ь(") (Ио + j) + (ро + i) (п =	2, ...).
По тогда на основании леммы 2 десятичные разложения нашей последовательности стабилизируются к некоторой десятичной дроби — действительному числу —Yo’YiYz • Это число и называется по определению суммой чисел avtly.
а + Ь = у0’У1У2- 
Итак, мы определяем сумму а + Ъ как число, к которому стабилизируется а(л) + Ь(п):
a(n) + b(n)z3 а + Ь.	(10)
Чтобы определить произведение положительных чисел а и Ь, вводим срезку
(А»)м	(П)
— конечную десятичную дробь. Последовательность этих срезок, очевидно, не убывает (при возрастании и) и ограничена сверху:
(Л(П))(П) « (а0 + 1) (Ро + 1) (и = 1, 2, ...).
Поэтому по лемме 2 выражение (11) стабилизируется к некоторому числу, которое и называется произведением dbt
=: ab.
Отметим неравенства
а(л) = a0,aj ... a„ « a^a,... a„... <	... a„ 99... =
... an_1(a„ + l) = a0,a1 ...a„+10 ",
a(n) < a < a(n,+ 10”.
Величина а(л) приближается к а (при возрастании и), не убывая. Что же касается величины а<л) + 10 п, то она приближается к а, не возрастая:
а(л) + 10"=a0,a,... 0*99... > с^сц... a„an+199... = а(л+*’+ 10 ,л+°.
М
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
Это обстоятельство будет использовано при определении разности и частного положительных чисел.
Если а > Ъ > 0, то разность а — Ь определяется как десятичная дробь (число), к которой стабилизируется последовательность конечных десятичных дробей:
а(л)- (&(") + 10 ^ (а _ Ь).	(12)
если а,Ь > 0, то частное а/Ь определяется как десятичная дробь, к которой стабилизируется последовательность конечных дробей:
( gW	а
U(n)+io*nJ	&
(13)
Надо учесть, что а(и) при возрастании п не убывает, а Ь(п) + + 10'" не возрастает, и потому выражения слева в (12), (13) не убывают. Кроме того, они ограничены сверху:
</")_({>(")+ Ю л) <а0+ 1,
дМ УП)	«0 + 1
б(л)+10’п7 " ₽о>₽1-₽, ’
где s таково, что Ps > 0. Поэтому по лемме 2 выражения слева в(12)и(13) действительно стабилизируются.
Положим еще
0 + а = а±0 = а, а-0 = 0=а-а = ^ (а > 0, Ъ > 0). (14)
Мы определили для неотрицательных чисел а, Ь их сумму, разность, произведение и частное, предполагая в случае разности, что а > Ъ, и в случае частного, чтоб > 0. Эти определения распространяются обычными способами на числа а и Ъ произвольных знаков. Например, если а, Ь < 0, то полагаем а+b=Ь + + а = -(|а| + |Ь|). Если же а и Ь — числа разных знаков и |а| > |Ь|, то полагаем a+b=b+a= ±(|а| - |б|), где выбирается знак, одинаковый со знаком а. В частности, имеет место
а + (-а) = 0 для любого а.
Подобные правила можно было бы привести для остальных арифметических действий, но в этом нет необходимости — они хорошо известны из курса алгебры.
{ 1. 7. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
29
§1.7. Основные свойства действительных чисел
I. Свойства порядка.
I, . Для каждой пары действительных чисел а и Ь имеет место одно и только одно соотношение:
а = Ь, а > Ъ, а < Ь.
12. Из а < Ъ и Ь < с следует а < с (транзитивное свойство знака «<»).
13. Если а < Ъ, то найдется такое число с, что а < с < Ь.
П.Свойства действий сложения и вычитания.
Hj.a + &= Ь +а (переместительное или коммутативное свойство).
П2. (а + Ь) + с = а + (& + с) (сочетательное или ассоциативное свойство).
П3. а + 0 = а.
П4. а + (-а) = 0.
П5. Из а < Ъ следует, что а + с < Ь + с для любого с.
Число а + (-Ь) естественно назвать разностью а — Ь, т. е. писать а — Ь = а + (—&), потому что, если его добавить к &, то получим а:
[а + (-6)] + Ъ = а + [(—fe) + &] = а + 0 = а.
Из приведенных свойств легко следует, что разность единственна. Можно доказать, что так определенная разность совпадает с разностью, определенной формулой (12) § 1.6.
1П.Свойства действий умножения и деления.
Шг аЪ - Ьа (переместительное или коммутативное свойство).
Ш2. (аЬ)с—а(Ъс) (сочетательное или ассоциативное свойство).
Ш3. а • 1 = а.
Ш4.а-J = l(a*O).
30
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
Ш5. (а + Ь) с= ас + Ъс (распределительный или дистрибутивный закон).
Шс. Из а < Ь, с > 0 следует ас < Ьс.
Число а £ (Ь Ф 0) естественно назвать частным
потому что, если его умножить на Ь, то получим а:
(ai)b^a(ib)=a(bi)=al = a-
Из приведенных свойств легко следует, что частное от деления а наб единственно. Можно доказать, что так определенное частное совпадает с частным, определенным формулой (13) § 1.6.
IV. Архимедово свойство. Каково бы ни было число с > 0, существует натуральное и > с. В самом деле, если с = а0,а.га2 ... , то можно взять п — а0 + 2.
Из архимедова свойства и некоторых предыдущих свойств следует, что, каково бы ни было положительное число £, всегда можно указать такое натуральное п, что выполняется неравенство ~ < £.
В самом деле, согласно IV для числа 1/£ можно указать натуральное и такое, что 1/£ < п, что в силуШс влечет нужное неравенство.
Заметим, что для данного числа с> О в ряду 0,1, 2,... целых неотрицательных чисел, очевидно, имеется единственное т, для которого выполняются неравенства т < с < < т + 1.
Свойство V. Если последовательность действительных чисел at, а2, а3, ...не убывает и ограничена сверху числом М (ап < М), то существует число а < М, к которому эта последовательность стремится как к своему пределу:
lima„ - а < М.
§ 1.8. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ПОНЯТИЮ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА 31
Это значит, что для всякого как угодно малого положительного числа £ > 0 найдется натуральное число п0, такое, что
\а - ап| = а - ап < £ для всех п > п0.
Доказательство свойства V мы не будем считать обязательным, но оно приведено (см. далее § 2.5, теорема 1). Как мы увидим, свойство V есть непосредственное следствие леммы 2 § 1.6, в которой, в частности, утверждалось, что неубывающая ограниченная сверху числом М последовательность бесконечных десятичных дробей стабилизируется к некоторой десятичной дроби а < М (ап =: а).
Дело в том, что из того, что ап стабилизируется к а, следует, что ап стремится к а как к своему пределу.
§ 1.8.	Аксиоматический подход к понятию действительного числа
Мы назвали бесконечные десятичные дроби действительными числами, ввели для них понятия 0,1, >, = и арифметические операции, и сформулировали их основные свойства I—V, которые могут быть доказаны.
Нужно сказать, что свойства I—V подобраны экономно и полно, настолько, что из них можно получить логически все остальные свойства чисел.
Существует аксиоматический подход к определению действительного числа, заключающийся в том, что действительными числами называются некоторые объекты (вещи) а, Ь, с, ... , удовлетворяющие свойствам I—V. При таком подходе свойства I—V называются аксиомами числа.
При аксиоматическом подходе формулировки свойств (теперь аксиом) должны быть несколько видоизменены. Аксиомы П теперь уже формулируются так: каждой паре чисел в силу некоторого закона соответствует число а + Ь, называемое их суммой, при этом выполняются аксиомыЕ^— П5. АксиомаП3 должна быть сформулирована в виде: суще-
32
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
ствует число О (нуль) такое, что а + 0 -а для всех а. Аксиома П4 формулируется так: для любого числа а существует число, обозначаемое через -а такое, что а + (-а) = 0. Наконец, аксиома Ш3 принимает вид: существует число 1 (единица), отличное от 0, такое, что а • 1 = а для всех а.
Обозначим через В множество всех действительных чисел, т. е. всех вещей, подчиняющихся аксиомам I—V. Тогда в В имеется нуль 0 и единица 1. С помощью аксиом можно доказать, что 0 < 1 и имеют смысл числа 2=1 + 1, 3 = 2 + 1, ... и числа -1, -2, -3, ... . В результате получим множество всех целых чисел (различных между собой!)
... ,-2,-1, 0, 1, 2.
На основании аксиом эти числа можно делить друг на друга, исключая деление на 0. Поэтому в В есть рациональные числа ±т!п = +тр/пр (и > 0,пг > 0, 0). Но тогда в В имеются также и конечные десятичные дроби. Из последних можно построить ограниченные сверху неубывающие последовательности. На основании аксиомы V в В должны существовать пределы таких последовательностей. Некоторые из этих пределов не являются конечными десятичными дробями — это числа, отличные от конечных десятичных дробей. Их удобно записывать в виде бесконечных десятичных дробей. В результате от аксиом с помощью логических рассуждений можно прийти к бесконечным десятичным дробям. Конечно, мы здесь привели только схему рассуждений, которая не претендует на доказательство.
Из сказанного следует, что с формальной точки зрения все равно, исходим ли мы при определении действительных чисел из бесконечных десятичных дробей или из аксиоматического подхода.
Конечно, с философской точки зрения второй подход более приемлем: числа суть абстракции, выражающие количественные отношения реального мира, а десятичные дроби — формальные символы, их представляющие.
§ 1.9. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ АБСОЛЮТНЫХ ВЕЛИЧИН
33
§ 1.9.	Неравенства для абсолютных величин
Неравенство	
|а|<г	(1)
эквивалентно двум неравенствам -£ < а < £.	(П
Отсюда неравенство |а - Ь| < £	(2)
эквивалентно неравенствам Ь-Е<а<Ь+Е.	(2')
Аналогично неравенство |п -&| < Е	(3)
эквивалентно неравенствам а -Е < Ь < а + е. Справедливы также неравенства |п + Ь|^|а| + Н	(4)
|а - Ь\ ||а|-|&||.	(5)
Неравенство (4) можно получить» рассмотрев отдельно четыре случая: 1} a, b 0„ 2} а, О, 3) а< О < Ъ, 4) Ь < 0 =С < а. Например, в случае 2)
а + b < 0-, |<т + bj = -(а + Ь) = —а - Ь —|а| + |б|>
а в случае 3), если допустить, что |fe| > |а|,
|а 4- &| = Ь + а < |а| + |b|.
Случай 3) при допущении |Ь| < |а[ читатель разберет сам, так же, как случай 1). Случай 4) сводится к случаю 3). Далее, в силу (4)
|а| < |&| + |о - Ъ\,	|&| «|а| + |а-Ы,
т е.
|aj - \а - Ь| < |&| < |а| + |а - fe|,
н<» тогда верно (5).
Бугров. Том 2
34
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
§ 1.10.	Отрезок, интервал, ограниченное множество
Пусть числа (точки) а и & удовлетворяют неравенству а < Ь.
Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь, называется отрезком (с концами а, Ь) или сегментом и обозначается так: [а, &].
Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < Ъ, называется интервалом (с концами а, Ь) или открытым отрезком и обозначается так: (а, &).
Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < b илча < х < &, обозначаются соответственно [а, Ь), (а, &] и называются полуоткрытыми отрезками или полуинтервалами. Первый, например, закрыт слева и открыт справа.
Часто рассматривают еще множества, называемые бесконечными интервалами и полуинтервалами: 1)(-°°, оо), 2) (-со, а], 3) (-оо, а), 4) (а, оо), 5) [а, оо).
Первое из них есть множество всех действительных чисел (действительная прямая); остальные состоят из всех чисел, для которых соответственно: 2) х < а, 3) х < а, 4) а < х, 5) а < х.
Символы -оо и+оо удобно называть бесконечными числами, а обычные числа — конечными числами.
Отметим, что, назвав символы +оо и —оо бесконечными числами, мы вовсе не считаем их числами.
Подчеркнем, что у отрезка [а, &] концы — конечные числа, у интервала же (а, &) его «концы» могут быть конечными и бесконечными. У полуинтервала [а, Ь) число а всегда конечное, а Ъ может быть конечным и бесконечным (Ь оо). Аналогично у полуинтервала (а, Ь] число а конечное или бесконечное (-оо < а), а Ь всегда конечное.
Если а и& конечны и а < Ь, то Ь - а называется длиной сегмента [а, &], или интервала (а, Ь), или полуинтервалов (а, &], [а, &).
§ 1.11. СЧЕТНОЕ МНОЖЕСТВО
35
Если а и b — произвольные точки действительной оси, то число |а — Ь| называется расстоянием между точками а и Ъ.
Произвольный интервал (а, &), содержащий точку с (а < с <Ь), мы будем называть окрестностью точки с. В частности, интервал (с - е, с + е) (е > 0) называют Е-окре-стностью точки с.
Пусть X = {х} есть произвольное множество действительных чисел. Говорят, что множествоХ ограничено сверху, если 3 (действительное) числом такое, что Vx е X: х < М; ограничено снизу, еслиЗ числот такое, что Vx е X: х > т; и ограничено, если оно ограничено как сверху, так и снизу. Число М (т) называется верхней (нижней) границей множествах. ЧислоМ называется твкжемажорантой множества X.
Можно еще, очевидно, сказать, что множествоХ ограничено, если 3 число М > 0 такое, что Vx е Х:|х| < М, так как неравенство |х] < М эквивалентно двум неравенствам— М < х < М.
Если множество X не является ограниченным, то его называют неограниченным. Его можно определить следующим образом: множество X действительных чисел неограниченно, если V М > 0 3 х0 е X: |х0| > М. К этой формулировке можно прийти, исходя из правила построения отрицания данной логической формулы.
Примеры. Отрезок [а, &] есть ограниченное множество. Интервал (а, Ь) есть ограниченное множество, если а и & конечны, и неограниченное, если а - -со или & = со.
§ 1.11.	Счетное множество.
Счетность множества рациональных чисел.
Несчетность множества действительных чисел
Выше мы определили понятие равенства множеств. Для характеристики степени насыщенности бесконечных
2*
36
ГЛАВАХ ВВЕДЕНИЕ
множеств элементами удобным является понятие эквивалентности множеств. Множество X называется бесконечным, если Vne N: в множествеХ имеются элементы, количество которых больше п. Два множества АиВ называют эквивалентными, и при этом пишутА ~ В, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие (”), т. е. существует такое правило, закон, по которому Va е А соответствует вполне определенный элемент Ь е В. При этом в силу этого правила двум разным элементам ар а2 е А соответствуют два разных элемента bv b2 G В и каждый элемент b G В соответствует некоторому элементу a G А.
Например, если А — множество точек на окружности радиуса г, В—множество точек на концентрической окружности радиуса R > г, то очевидно, что А ~ В (рис. 6).
Очевидно, что если А = В, то А ~ В.
Если X = {х} ~ N = {и}, то множество X называется счетным. Естественно, что само множество натуральных чисел N является счетным (соответствие устанавливается по схеме п -* п). Множество всех четных натуральных чисел N4 = {2п} эквивалентно всему множеству N, причем соответствие устанавливается по схемеп «-» 2п. Отметим, что здесь№ч^ *N, N4 с N. Таким образом, истинное подмножество (часть) множества
оказалось эквивалентным всему множеству. Это свойство присуще только бесконечным множествам (его можно принять за определение бесконечного множества).
Из определения счетности множества вытекает, что его элементы можно перенумеровать с помощью натуральных чисел, поэтому счетное множество мы часто будем записывать в виде последовательности его элементов:
X = {Х], х2,..., хп,
Счетная (теоретико-множественная) сумма
Рис. 6
$ 1.11. СЧЕТНОЕ МНОЖЕСТВО
37
Е = U Ек = Е1 + Е2 + ...
Л-1
счетных {или конечных) множеств Ек есть счетное множество.^ сажал деле, запишем элементы хк е.Е*0’=1, 2, ... ) в виде таблицы:
Е2 = {х2, х*, х2, ...},
Е3 = {xf, х2, 4,...},
Перенумеруем их в следующем порядке:
112	12	3	1
Хр Х2, Х1( Х3, Х2, X,, х4,
выбрасывая, однако, на каждом этапе нумерации те элементы, которые уже были занумерованы на предыдущем этале: ведь может случиться, что Ек и Ег имеют общие элементы. В результате получим бесконечную последовательность элементов {ух, у2, у3, ...}, очевидно, исчерпывающих множествоЕ.Это доказывает, чтоЕ — счетное множество.
Аналогично доказывается, что конечная сумма Е = = Е1 + ... + En счетных или'конечных множеств, среди которых есть хотя бы одно счетное, счетна.
Теорема 1. Множество всех рациональных чисел счетно.
Доказательство. Рассмотрим сначала положи-ельные рациональные числа Q+ = {p/q}. Назовем натуральное число р + q высотой рационального числа р/«/.Пусть А — множество всех рациональных чисел с высотой, равной п. Множества Аа состоят из конечного числа элементов (рациональных чисел), например
А = 0 А - Щ А - 1И А = U 3 31
38
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
Легко видеть, что Q = U А„.
Перенумеруем числа, записанные в фигурных скобках слева направо, выпуская, впрочем, на каждом этапе нумерации те, которые были уже занумерованы на более раннем этапе. В результате получим последовательность
П = !> гг = |> гз = 2, г4 = г- = 3, ... . о
Так как рациональных положительных чисел бесконечно много, то мы используем все натуральные числа. Значит, Q+ счетно. Далее, очевидно, что Q_ =	счетно. Поэтому
все множество рациональных чисел Q = Q+ U Q U {0} также счетно.
Теорема 2. Множество всех действительных чисел несчетно.
Доказательство. Для доказательства достаточно установить, что множество действительных чисел интервала (0,1) образует несчетное множество. Допустим противное, что интервал (0,1) есть счетное множество, т. е. все его точки можно перенумеровать:
л (п) (п)
*п = °, чЧ ••••
Но это предположение противоречиво. В самом деле, построим вещественное число х = 0, аха2 ..., где цифры ап подобраны так, чтобы 0 < ап < 9 и ап Ф а^- Ясно, что х е (0, 1), однако х не совпадает ни с одним из чисел а^, так как иначе должно было бы быть а = а<По>, что не имеет места.
"0 Пц
ГЛАВА 2
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 2.1. Понятие предела последовательности
Пусть каждому натуральному числу п = 1, 2,3, ... по некоторому закону поставлено в соответствие действительное или комплексное число хп.
Тогда говорят, что этим определена последовательность чисел х2, х3, ... или, короче, последовательность
{#„}= {Х^, Х2, Хд, ...}.
Говорят еще, что переменная хя пробегает значения последовательности {хп}.
Отдельные числа хя последовательности {хп} называются ее элементами. Надо иметь в виду, что хя и хт при пФ т считаются отличными как элементы последовательности, хотя не исключено, что как числа они равны между собой, т. е. может быть хя = хт.
Если положить хя = уп_г, то последовательность
{Xj, х2, х3,...} превратится во множество
{</о> У1> У2> •••}»
которое в § 1.6 тоже было названо последовательностью.
В этой главе мы будем рассматривать последователь-
40
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ности действительных чисел и это обстоятельство не будем оговаривать особо.
Примеры последовательностей:
Пример I. {1.1.1
Пример 2.{1.2,1,2....} = {2,,)').
Пример 3. {1, 2, i, 4, 4, ...J = {г/	.
Пример 4. [б, i, —, —, ...1=	.
Р Р I 2 3 4 J I п J Пример 5. {2, 5, 10, ...} = {п2 + 1}. Пример 6. {-1, 2, -3, 4, ...} = {(-1)”п}.
В примере 2 переменная хп для четных п принимает одно и то же значение:
2 = х2 = х4 = х6=... .
Тем не менее мы считаем, что элементы х2, х4, ... различны.
Если все элементы последовательности {%„} равны одному и тому же числу а, то ее называют постоянной.
Легко видеть, что последовательности в примерах 1, 2 и 4 ограничены (см. § 1.6). В этом случае говорят также, что соответствующие переменные, пробегающие эти последовательности, ограничены. Что касается последовательностей в примерах 3, 5 и 6, то они неограничены. Однако последовательность в примере 3, очевидно, ограничена снизу числом 0, а последовательность в примере 5 ограничена снизу числом 2. Что касается последовательности в примере 6, то она неограничена как снизу, так и сверху.
Введем понятие предела последовательности.
Определение 1. Число а называется пределам последовательности {х„}, если для всякого £ > 0 найдется (зависящее от е) число п0 = п0(е) такое, что выполняется неравенство
§ 2.1. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛВДОВАТЕЛЬНОСТИ
41
|*й-й|<Е	(1)
для всех (натуральных) п > п0.
В этом случае пишут
limx=limx„ -а или х„ -* а п	п	п
п—>ОО
и говорят, что переменная хп или последовательность {хп} имеет предел, равный числу а, или стремится к а. Говорят также, что переменная хп или последовательность {хп} сходится к числу а.
Если хп = a \/п е N, то, очевидно, limx = lim а = а.
П->ао
Замечание. Если lim хп = а, то limхп+1 = а; и обратно. Это следует из того факта, что если
|хв - а| < е Vn > п0,
то
K+i-al<£ Vn>n0-l,
и обратно.
Переменная примера 1 имеет предел, равный 0:
lim 1=0.	(2)
П->0О П
В самом деле, зададим произвольное е > 0 и решим неравенство:
1-0|=1<Е или ^<п.
п I п	е
Этим для всякого Е > 0 найдено число п0 = п0 (е) = 1/е такое, что неравенство
—0|=—< Е
In In
выполняется для всех п > п0, и мы доказали равенство (2).
Пример 7. Переменная примера 4 стремится к 1: lim-—1 = 1.	(3)
п—>оо fl
42
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
В самом деле, составим неравенство
I п I п
Оно, как мы видели, выполняется для любого£> 0, если п > >п0 = 1/£. Это доказывает равенство (3).
Пример 8. Если |g| < 1, то
lim°Qn= 0.	(4)
В самом деле, пусть пока q 0. Неравенство
|д"-0| = М<е
верно, если
и 1g |q| < 1g £, т. е. если
п>ш=п^-
Мы доказали (4) при 0 < |<?| < 1. Если q = 0, то равенство (4) тривиально. Ведь в этом случае переменная есть постоянная,'равная нулю:
{0, 0, 0,
Пример 9. Разложим положительное число а в бесконечную десятичную дробь:
я = а0,	.
Для его n-й срезки
а(П) “ «о> а1 имеет место равенство
lim а<п,= а.	(5)
В самом деле,
|а — а04! = 0, О~.О ап+1а„+2...<10-п.
праз
5 2.1. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
43
Но если задать е > 0, то всегда найдется такое п0, что 10" < £ Vn >nQ,
(см. предыдущий пример, где надо считать q = 10-1). Поэтому
|а - а(п)| < £ Vn > п^, и мы доказали (5).
Замечание. Срезки а<п)(п = 1, 2, ...) — рациональные числа. Из (5) следует, что всякое действительное число является пределом последовательности рациональных чисел.
Таким образом, всякое иррациональное число можно приблизить рациональным числом с любой наперед заданной степенью точности.
В силу этого свойства про множество Q рациональных чисел говорят, что оно всюду плотно в множестве R всех действительных чисел.
Неравенство
\х - а| < £ эквивалентно двум неравенствам
—£ < хп - а < е или а-Е<хп<а + Е, что эквивалентно тому факту, что точка хп принадлежит к Е-окрестности точки а:
хп G (а - Е, а + £) (см. § 1.10).
Тогда определение предела можно выразить следующими словами: число (точка) а есть предел переменной хп, если., каково бы ни былоЕ > 0, найдется такое число п0, что все точки хп с индексами п > п0 попадут в Е-окрестность точки а:
хп G (а - £, а + е) (п> п0).
Очевидно, какова бы ни была окрестность (с, d) точки а, найдется такое е > 0, что интервал (а - е, а + е) содержится в (с, d), т. е. (а - £, а + е) g (с, d) (рис. 7).
Поэтому тот факт, что хп — а, можно выразить еще и так: какова бы ни была окрестность (c,d) точкиа, все точки хп, начиная с некоторого номера п, должны попасть в эту окрестность, т. е. должно существовать такое число п0, что
44
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
хп е (с, d) (п > п0). Что же касается точек хп с индексами п < п0, то они могут принадлежать и могут не принадлежать к (с, d). Таким образом, если вне (с, d) имеются точки хп, то их конечное число.
С другой стороны, если известно, что вне (c,d) имеется только конечное число точек х , х , ..., х , то, обозначив
П1 п2
k = max {Пр п2, ... , nJ,
т. е. максимум среди индексов пр ... , ns, мы можем сказать, что точки хп с индексом n >k попадут в интервал (с, d). Поэтому понятие предела можно сформулировать и так: переменная хп имеет своим пределом точку а, если вне любой. окрестности этой точки имеется конечное или пустое множество точек хп.
Пример 10. Переменная
{(-1Г1} = {1,-1,1,-1,...}	(6)
ни к какому пределу не стремится.
В самом деле, допустим, что эта переменная имеет предел, равный числу а. Рассмотрим окрестность этой точки (a-i, a-f-1).
3	3'
Длина ее равна 2/3. Очевидно, что эта окрестность не может содержать в себе одновременно и точку 1, и точку —1, потому что расстояние между этими точками равно 2 (2 > 2/3). Для определенности будем считать, что точка 1 не принадлежит к нашей окрестности. Но хп = 1 для и = 1, 3, 5, ... , т. е. вне нашей окрестности имеется бесконечное число элементов последовательности.
е-е	g # ? .t
с a if X	о Ъ X
Рис. 7	Рис. 8
Таким образом, точка а не может быть пределом нашей последовательности, и так как эта точка произвольна, то последовательность (6) не имеет предела.
$ 2.1. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
45
Теорема 1. Если переменная хп имеет предел, то он единственный.
В самом деле, допустим, вопреки теореме, что хп имеет два различных предела а и Ь. Покроем точки а, Ь соответственно интервалами (с, d), (е, f) настолько малой длины, чтобы эти интервалы не пересекались (рис. 8). Так как хп —► а, то в интервале (с, d) находятся все элементы хп, за исключением конечного их числа, но тогда интервал (е, f) не может содержать в себе бесконечное число элементов хп и хп не может стремиться к&.Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Теорема 2 .Если последовательность {хп} сходится (имеет предел), то она ограничена.
Доказательство. Пустьlimxn = а. Зададим £ = 1 и подберем натуральное п0 = п0(1) так, чтобы
1> |х„- а1 (п>п0), но тогда 1 > |хп| — |а| и выполняется неравенство
1 + |а| > |хп|
для всех п > п0. Пусть М — наибольшее среди чисел
1 + |«|> W. 1*21.KI’
Тогда, очевидно,
М > |х„| Vn е N.
Теорема доказана.
Замечание. Ограниченность последовательности является необходимым условием сходимости последовательности, но не достаточным, как показывает пример 10.
Теорема 3. Если переменная хп имеет не равный нулю предел а, то найдется такое п0, что
|хп| > |а|/2 для п > п0.
Больше того, для указанных п, если а > 0, то хп > а/2, если же а < 0, то хп < а/2. Таким образом, начиная с некоторого номера, хп сохраняет знак а.
46
ГЛАВА 2. ПРВДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Доказательство. Пусть хп -> а. Тогда для £ = |а| /2 должно найтись число п0 такое, что
|а|/2 > |а - хп\ > |а| - |х„| (п > п0),
 I >1	|а|	1а1
откуда |хп| > [а| —	и первое утверждение теоремы
2	2
доказано. С другой стороны, неравенство |а|/2 >|а — xj эквивалентно следующим двум:
а-^<х„<а + ^1 (п> п0).
2	2	0
Тогда, если а > 0, то
хп>2=а~^ (п>по)> а если а < 0, то
х<а + ^= а- ^= ^ (п > п0), "	2	2	2	0
и этим второе утверждение теоремы доказано.
Теорема 4.Еслихп — а,уп — Ъпхп ^упдлявсех п = = 1, 2, ... , то а < Ь.
Доказательство. Допустим, что b < а. Зададим О <£< (а- Ь)/2 и подберем чис л а и?72так, чтобыа- £< хп (п >А\), уп< Ъ +£ (п >^): это возможно, потому чтохп —• а, ауп - Ь.
Если n0 = max {NvN2], то, очевидно,yn<b+E<a-£<xn (п >п0), и мы пришли к противоречию, так как по условию хп Уп Для всех п-
Следствие. Если элементы сходящейся последовательности {хп} принадлежат [а, Ь], то ее предел также принадлежит [а, Ь].
Доказательство.В самом деле, а < хп < Ь. Если lim хп = с, то по теореме 4 а < с < Ь, что и требовалось доказать.
Замечание. Для интервала (а, Ь) для конечных а и Ь можно утверждать только, что если хп е (а, Ь), то lim хп = с е [а, Ь]. Таким образом, неравенства в пределе
5 2.2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ, ИМЕЮЩИМИ ПРЕДЕЛ
47
сохраняются или обращаются в равенство. Например, хп = 1/(п + 1) 6 (0, 1), но С = О G [0, 1].
Теорема 5. Если переменные хп и уп стремятся к одному и тому же пределу аихП^гп^ уп(п = 1, 2,... ), то переменная zn также стремится к а.
Доказательство. Задав £ > 0, можно найти и N2, такие, что
а-г<хп (n>N1), уп<а + Е (n>N2), откуда для п > п0 = max.{Nlt N2}
a-E<xn^zn<yn<a + E
И
\zn - а|< £ (п> п0), что и требовалось доказать.
Теорема 6.Если хп -» а, то |хп| —•|а|.
Доказательство следует из неравенства | |хп| — |а| | <
§ 2.2. Арифметические действия с переменными, имеющими предел
Пусть хп и уп обозначают переменные, пробегающие соответственно последовательности {хп} и {уп}. По определению сумма хп + уп, разность хп - уп, произведение хпуп и частное хп/уп суть переменные, пробегающие соответственно последовательности {хп + уп}, {xn - уп}, {xnj/n}, {хп/уп}. В случае частного предполагается, что уп 0 для всех п = 1, 2, ... .
Если хп = с для п= 1, 2, ... , то в этом случае пишут с ± Уп’ сУп> С/Уп вместо хп+ уп, хпуп, xjyn.
Справедливы следующие утверждения:
lim (х„ ± уп) = lim хп ± lim уп,	(1)
lim = lim хп- lim уп	(2)
48
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
у lim х
lim =	’если Уп * 0.	(3)
Эти утверждения надо понимать в том смысле, чтоесли существуют конечные пределы хп и уп, то существуют также и пределы их суммы, разности, произведения и частного (с указанной, оговоркой) и выполняются равенства (1)-(3).
Доказательство . Пустьхп аиу„ —► ^.Зададим Е > О и подберем п0 так, чтобы
1*„ - а| < е/2, \уп - Ь| < £/2 (п > п0).
Тогда
К*»± У„) - (а ± Ь)1 < \*П - о| + 1ул ~ Ь| < | + j = £ (п > п0), и мы доказали (1).
Чтобы доказать (2), заметим, что
\хпУп ~ ab\ = \хпуп - ауп + ауп - ab\ <
<клУл “ аУ„\ + 1аУп “ abl = К - а| + И ll/„ “ М- (4)
Так как уп имеет предел, то (по теореме 2 предыдущего параграфа) существует положительное число М такое, что
|yJ<M(n=l,2,...),	(5)
|о| < М.	(6)
Подберем число п0 так, чтобы
|х - а| < —, \у - &| < (n > пп)	(7)
1 n ' 2М п'2М °
Тогда из (4) — (7) следует, что
w=E
Этим доказано равенство (2).
Пусть теперь к условию, что хп -* а и уп -> Ь, добавляется условие, что Ъ 0. Тогда
8 2.2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ, ИМЕЮЩИМИ ПРЕДЕЛ
49
Уп
Хпь-Упа ^»п-а)Ь+ф-уг)а\<
Упь	ll/JIbl
<K~g| |Ь-у„1|д|
|у„1 1у„ПЫ
(8)
Теперь уже удобно использовать теорему 3 предыдущего параграфа, в силу которой
|у„|>|Ь|/2 (n>Nt)	(9)
для достаточно большого^. Зададим £ > 0 и подберемN2 и
N3 такие, чтобы
|х„-а|<Е|&|/4 (п>^,	(10)
|а| \Уп - &| < й»2/4 (n>N3)-	(И)
Тогда, положив п0 = max {А^, N2, N3}, будем в силу (8)— (11) иметь
У, ъ 4 |Ь| 2 что доказывает равенство (3).
Заметим, что пределы переменных, стоящие в левых частях равенств (1)—(3), могут существовать без того, чтобы существовали отдельно пределы хп и уп. Например, если хп = (-1)”, уп = (-l)n+1, то хп и уп не имеют пределов, в то время как lim (хп + уп) = 0, lim хпуп = -1.
Теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного во многих случаях дают возможность узнать, имеет ли переменная предел и чему он равен, если она есть результат конечного числа арифметических действий над несколькими другими переменными, существование и величина пределов которых известны.
Однако часто встречаются случаи, выходящие за границы применимости доказанных теорем, и здесь остается большое поле для инициативы математика.
Пример 1. Пусть хп = 1 + Q + ... + уп, |<?| < 1.
Доказать, что
Иг.пл
П->ОО
50
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Имеем
-1	„п+1	, n+i
„ _l~g = 1________9___
"	1-q	1-q 1-q
Так как lim qn+1 = 0 при |д| < 1, то, применяя формулы (1), (2), получаем
п+1
limx =lim— 5— limg"+1 = —-----------1—0 = —~
п—>оо	п-»го1 — q 1 — q п-»оо	д-1 q—1	q —1
В дальнейшем под символом
1 + дг+...+ ?"+...=
п=0
°о
будем понимать lim £q -Таким образом,
f g" = limx =-1- (]д < 1).
п=0	“ 1-q
§ 2.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины
Переменная ап, имеющая предел, равный нулю, называется бесконечно малой величиной или, короче, бесконечно малой.
Таким образом, переменная ап есть бесконечно малая, если для любого £ > 0 найдется п0 такое, что |ап| < £ (п > п0).
Нетрудно видеть, что для того, чтобы переменная хп имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы хп= а +ап, где ап есть бесконечно малая.
ПеременнаяРп называете я бесконечно большой величиной или просто бесконечно большой, если для любого М > 0 найдется такое п0, что |Р„| > М (п > п0). При этом пишут limpn = оо, или Рп — оо	(1)
и говорят, что Рп стремится к бесконечности.
Если бесконечно большая 0П, начиная с некоторого п0, принимает только положительные значения или только отрицательные значения, то пишут
§ 2.3. БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ВЕЛИЧИНЫ
51
lim Р„ = -и», или Рп -» +со,	(2)
соответственно
Пт Р„ = -<ю, или Р„ — -оо.	(3)
Таким образом, из (2), так же как и из (3), следует (1). Пример переменной {(-1)пп} показывает, что может иметь место соотношение (1), в то время как не имеет места ни (2), ни (3).
Отметим следующие очевидные свойства:
1. Если переменная хп ограничена, а уп бесконечно большая, то хп/уп — 0.
2. Если абсолютная величинахп ограничена снизу положительным числом, а уп — не равная нулю бесконечно малая, то xjyn — со.
Докажем только второе свойство. Дано, что для некоторого числа а > 0 имеет место неравенство |хп| > а (п — 1, 2,... ) и для всякого е > 0 существует п0 такое, что
|j/nl > Е (» > «о)-	(4)
Тогда
^>—=М (п>пЛ.
У„ £ “П
Зададим произвольное положительное число М и подберем по нему е так, чтобы М = а/Е, а по Е подберем такое п0, чтобы имело место свойство (4). Тогда|хп/уп| > М (и > и0), что и требовалось доказать.
Из высказанных двух утверждений получаются следующие следствия:
lim—= 0, lim—= со	(сФ 0).
у^Уп Уп~*°У„
Отметим, что если последовательность {хп} неограни-чена, то она не обязательно бесконечно большая. Например, последовательность
{п(1Г} = {1, 2, |,4...}
* о J неограничена, но она не является бесконечно большой, так как в ней имеются как угодно малые члены с каким угодно большим (нечетным) номером.
52
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Замечание. Любая не равная нулю постоянная величина (последовательность) не является бесконечно малой. Из всех постоянных величин бесконечно малой является только одна — равная нулю. Если про некоторую величину известно, что она постоянна и ее абсолютная величина меньше любого положительного числа £, то она равна нулю.
Теорема 1. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последовательностью, т. е. если Иш хп = Он |у„| < М \fn е N, то lim хпуп = 0.
В самом деле, зададим £ > 0 и подберем п0 так, чтобы
W < Чп> п0.
Тогда
Куп-°1 = KI kl < мм=е Vn > ”о ’ что и требовалось доказать.
§ 2.4.	Неопределенные выражения
1.	Пусть lim хп - lim уп = 0 (уп * 0).
Рассмотрим последовательность {хп/уп}. О пределе этой последовательности заранее ничего определенного сказать нельзя, как это показывают конкретные примеры.
если х„ = 1, п	1	Хп Уп~~9, то —-^ = п —> -юо при п —» со; п	Уп
еслих„=-^, п	1	X	1 и	то — =	► 0 при п-* оо; " п	уп п
если х„ = —, " п	1	х„ у =—, то —°- = а -* а при п —* оо; п п	уп
(-1)" если х=-——, п	и =—, то= (—1)” и предел этойпо-”	Уп
следовательности не существует.
$ 2.4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
53
Таким образом, для нахождения предела {хп/уп} недостаточно знать, что хп —• 0, уп —» 0. Нужны еще дополнительные сведения о характере изменения хп и уп. Для нахождения этого предела в каждом конкретном случае требуются специальные приемы.
Говорят, что выражениехп/уп прихп —• 0,уп —► 0 представляет собой неопределенность вида .
2.	Если хп — оо, уп — оо, то выражение хп/уп также представляет собой неопределенность и ее называют не-
определенностью вида I—].
'оо'
3.	Если хп — 0, уп~* оо, то для выражения хпуп получаем неопределенность вида (0- оо).
4.	Если хп — +оо, уп — -оо, то выражение хп + уп представляет неопределенность вида (оо — оо).
Для каждого из отмеченных случаев можно привести примеры.
Раскрыть соответствующую неопределенность — это значит найти предел (если он существует) соответствующего выражения, что, однако, не всегда просто.
Пример 1. Если
хп = аппт + ... + ахп + а0,
Уп ~ fyn + ... + Ьгп + Ьо, (ат Ф 0, bt Ф 0, т > О, I > 0), то при п —* оо для выражения хп/уп мы имеем неопределенность вида!—). Раскроем эту неопределенность.
'СО'
а)	Если I = т, то, деля числитель и знаменатель на пт, получаем
при п — оо, т. е. lim (x„/yj = ajbm
— отношению коэф-
54
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
фициентов при старших степенях п в выражениях дляхп и Уп-
б)	Аналогично можно показать, что при т > I lim (хп/ /Уп) = «о, а при т < I lim (х„/уп) = 0.
Пример 2. Если хп = -Уп+1, уп = -Уп, то при п — со для выражения хп - уп имеем неопределенность вида (<ю --оо).
Раскроем эту неопределенность:
при п — со. Значит, Ит(-Уп+1 - Vn) = O.
§ 2.5.	Монотонные последовательности
Определение. Последовательность {хп) называется неубывающей (невозрастающей), если Vn е N справедливо неравенство
хп+1 (х,> хп+1)-
Если на самом деле выполняются строгие неравенства хп < хп+1 (хп > х„+1), то последовательность {хп} называется строго возрастающей (строго убывающей) или просто возрастающей (убывающей). Последовательности убывающие и возрастающие, неубывающие и невозрастающие называются монотонными.
Элементы монотонных последовательностей можно расположить в цепочки xt < х2 < ... < хп < хп+1 < ... (хх > х2 > > ... > хп> хп+1 > ...), откуда видно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, а невозрастающая — сверху.
Примеры:
1)	11,1, 1, 1, .... —, 1, ...! — невозрастающая последо-
I 2 2 п п J
вательность.
S 2.5. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
55
2)	{n2} — возрастающая последовательность.
Ниже мы доказываем важную теорему, утверждающую, что монотонная ограниченная последовательность чисел всегда имеет предел. В нашем изложении (в § 1.7) эта теорема фигурировала как одно из основных свойств — свойство V — множества действительных чисел.
Теорема 1.Если последовательность действительных чисел
«!• а2, а3, ...	(1)
не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу) числом М (соответственно т), то существует действительное число а, не превышающее М (не меныиее т), к которому эта последовательность стремится как к своему пределу'.
lima = а < М	(2)
п—>оо "	47
(соответственно lima = а > т).
п-*х>
Доказательство. Пусть последовательность (1) не убывает и пусть пока ах > 0, тогда и все ап > 0 (п = 1, 2, 3, ... ). Каждый элемент последовательности разложим в бесконечную десятичную дробь:
ап = Яп0» ап1ап2апЗ ~ 1» 2’ ••• )•	(3)
Так как последовательность {an} ограничена сверху числом М (ап < М) и не убывает, то на основании леммы 2 § 1.6 десятичные дроби (3) стабилизируются к некоторому числу а < М'.
ап - a = Yo>YiYz- •
но тогда ап стремится к а как к своему пределу:
limaB = а.
п~^х>
В самом деле, для любого £ найдется натуральное т такое, что НТ"1 < е. Так как ап стабилизируется к а, то
~~ Yo> Yl — Ym^n,m+l^n,m+2"“
для всех п > п0, где п0 достаточно велико, но тогда
56
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
|а - ап\ = а - ап < О, 0^0ym+Iym+2 ... < 1О’т < с (п > п0), траэ
т. е. ап — а при и— оо.
Если щ < 0, то прибавим к а, число с настолько большое, что а, + с > 0, и положим Ьп = an + с (n = 1, 2, ... ).
Последовательность {Ьп} не убывает, ограничена сверху числом М + с и ее элементы положительны. Поэтому по доказанному выше существует предел lim bn = b < М + с, но тогда П->00
существует также предел liman = lim (bn — с) = b - с < М, и п—>О0	n-*<X>
теорема доказана для произвольной неубывающей последовательности.
Если теперь последовательность {ап} не возрастает и ограничена снизу числом т, то последовательность чисел {-а„} не убывает и ограничена сверху числом -т, и на основании уже доказанного существует предел Ит(-а„) = — а < — т, который л-»оо
мы обозначили через -а. Следовательно, существует также liman = lim(-a„) = -(-а) = а > т. Теорема доказана.
Л—ХЮ	и—>со
Замечание. Если последовательность действительных чисел {ап} сходится, то их десятичные разложения не обязательно стабилизируются. Например, если
a2t = 1.0...011...,	= 0,9... 911... (А = 1, 2, ... ),
где после запятой стоятА нулей илиА девяток, то последовательность {an} имеет предел, равный 1 (an -* 1), однако, как легко видеть, эта последовательность не стабилизируется.
Пример 1. Приведем новое доказательство равенства (ср. пример 8 § 2.1)
limgn = 0(|g| < 1),	(4)
Л—>оо
Пусть пока q > 0. Тогда переменная qn(n = 1, 2, ... )не возрастает и ограничена снизу числом 0. Но тогда по теореме 1 существует число А => 0, к которому стремится qn:
lim qn = А
n—>00
$ 2.5, МОНОТОННЫЕ. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
57
Имеем также
А = limg"+1 = q limg" = qA,
П~Ъ<Х>	и—ио
откуда А (1 — q) = 0 и А = 0, потому что q < 1.
Если теперь q < 0, то на основании уже доказанного |q"| = |д"|-* 0, и —► оо. Равенство (4) доказано полностью. Это доказательство (4), пожалуй, более элегантное, чем то, которое было приведено в примере 8 § 2,1, но оно не дает возможности судить о скорости стремления qn к нулю — не дается эффективно числопа = па (е), начиная с которого 1?"| <£•
Пример 2. Справедливо равенство
lim^-=0,	(5)
п-»оо П1
где а — произвольное число.
При }а| < 1 оно очевидно. Пуста а > 1. Положим
и =2-п nt
Тогда	— 0 (п — оо). Отсюда следует, что «п+1 < ип
Vn > п0, где п0 достаточно велико.
Таким образом, переменная ип дляп > па, убывает. Кроме того, она ограничена снизу числом О. Но тогда существует предел
limun = А > О.
П-НО
Но также
А = limw j = lim(un-M = Alim n->oo	n—но' rt-bl' rt^->oo
____= А-0 = 0: П->00 п+1
и мы доказали равенство (5) для любого а > 0. Но оно верно и для любого а < О, потому что
Зь =К nF nl
— О при п -* оо.
58
ГЛАВА 2. ПРВДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 2.6. Число е
Рассмотрим последовательность
Покажем, что эта последовательность возрастающая и ограничена сверху. На основании формулы бинома Ньютона
Л 7l(n-l)...(n-fe + l)	к
+	k\ а ъ
имеем
Хп=(1+1)П = 1 + „1+...
п V п п
, п(п-1) I , п(п-1)(п-2) ,
+	2!	31
и!' п> ' п '
Из данного равенства видно, что последовательность хп > 2 Vn. Докажем, что последовательность {хп} ограничена сверху. Из равенства (1) имеем
х_< 2	+ 1 +	... + — < 2 +1	+ ... + -tr	+ ... + -~т	<
п	2! п! 2	2*-1	2 1
« 1+ f1+^+--+i+--l=1+-^T = 3-
V 2	2	)	1-1
2
Покажем, что последовательность {хп} возрастающая.
По аналогии с (1) имеем
"+1	2!'	п+1'	п!'	п+1' '	п+1'
+
(п + 1)!'	п+1' ' n+lJ
(2)
Сравнивая (1) и (2), видим, что xn < xn+1 Vn G N (в (2) каждое слагаемое больше, чем соответствующее слагаемое
в (1), и, кроме того, имеется на одно положительное ела-
§ 2.7. ПРИНЦИП ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ
59
гаемое больше). По теореме 1 § 2.5 последовательность {хп} сходится. Обозначим ее предел буквой е, как это предложил впервые Л. Эйлер*
Ит(1+—) =е.
П—юо' Л'
Из сказанного ясно, что 2 < е < 3. Более точное значение
е = 2,718281 ... .
В будущем (в § 4.16) будет доказана формула, из которой следует, что
е=у±+Л (и >2),	(3)
и!
где Q — некоторое зависящее от п число, удовлетворяющее неравенствам О < 9 < 1. С помощью этой формулы нетрудно доказать, что е есть число иррациональное. Допустим, что е=Р/Ъ гдеР и Q натуральные. Тогда, положив в (3) п = q, будем иметь
-в q ffl-
Умножая на g!, получаем
р (g — 1)! - Z = 0,	(4)
9 J
где/ = д! 2L Т7 —натуральное число. Мы получили противоре-fc=O«!
чие — левая часть (4) есть целое число, а правая, равнаяО, есть правильная дробь.
§ 2.7.	Принцип вложенных отрезков
Теорема 1 (принцип вложенных отрезков). Пусть задана последовательность отрезков (сегментов)
=	(И =1,2,...),
вложенных друг в друга, т. е. таких, что cn+1 c<Jn(n = 1, 2, ... ), с длинами, стремящимися к нулю:
* ТГ.Эйлер (1707—1783) — великий математик, академик Российской академии наук, швейцарец по происхождению.
60
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
dn = Ь„ ~	-* 0 <П °°)-
Тогда существует и притом единственная точка с (число), одновременно принадлежащая всем отрезкам
<с е G„> п = 2> — )•
Доказательство. Очевидно, что
а1 < «2 < «3 < - < Ьт
при любом заданном натуральном т. Это показывает, что числа ап не убывают и ограничены сверху числом Ьт при любом т и, согласно теореме 1 § 2.5, существует число с, к которому стремится переменная an(Iim ап ~ с). При этом аП < с =С Ьт. Так как в этих неравенствах натуральные п и т произвольные, то, в частности, ап < с ^bn(n= 1, 2, ...). Следовательно, с е ап, каково бы ни было п е N.
Найденная точка с — единственная. Допустим, что существует другая точка Cj g стп Vn. Тогда ап < с, с1 < Ьп, откуда
Ьп - ап > |с - cj > О Vn,
но это противоречит тому, что Ьп — ал —* 0.
Замечание.В теореме 1 существенно, что в ней рассматриваются отрезки [an, fen], а не интервалы, как показывает следующий пример. Интервалы (0, 1/п) (п = 1, 2, ...) вложены друг в друга, их длина d — — - 0 = 1 —► 0, но нет п п
ни одной точки, принадлежащей одновременно ко всем этим интервалам.
В самом деле, любая точка с < 0 не принадлежит к любому из интервалов (0, 1/п). Если же с > 0, то найдется такое п, что 1 /п < с и с G (0, 1/п).
§ 2.8. ТОЧНЫЕ ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ МНОЖЕСТВА 61
§ 2. 8. Точные верхняя и нижняя грани множества
Рассмотрим произвольное множество Е действительных чисел х. Может случиться, что в нем имеется наибольшее (максимальное) число, которое мы обозначим через М. В этом случае пишут
М = max Е - max х.
х gE
Может случиться также, что среди чисел х е Е имеется наименьшее (минимальное), равное числу т. Тогда пишут
т = min Е = min х. хе!
Если множество Е конечно, т. е. состоит из конечного числа чисел
^-1» ^2’	’
то среди них всегда есть наибольшее и наименьшее.
Однако это не всегда так, если Е — бесконечное множество.
Приведем примеры:
1) Z = {..., -3, —2, -1, О, 1, 2, ...},
2)N = {1,2,3, ...},
3)N_= {... ,-2,-1},
4)	[a, ft],
5)	[а, Ь),
6)	(а, Ь).
Множество Z не имеет наибольшего и наименьшего чисел. Интервал (а, Ь) тоже не имеет наибольшего и наименьшего чисел. При этом здесь не имеет значения, будут ли числа а, Ъ конечными или бесконечными. Каково бы ни было число с € (а,Ь), т- е. число, удовлетворяющее неравенствам а <с <Ь, всегда найдутся nncnaCj,^; такие, что a<Cj < < с < с2 < Ь.
Множеством не имеет наибольшего элемента, но имеет наименьший х - 1. Множество же N_ имеет наибольший элемент х = -1, но не имеет наименьшего.
62
ГЛАВА 2. ПРВДЕЛ ПОСЛВДОВАТЕЛЬНОСТИ
Очевидно такжепйп [a,b] =a, max [а, Ь] = Ь,min [а, Ь) = = а, однако максимального числа в [а, Ь) нет.
Возникает вопрос о введении для произвольного множества Е чисел, которые по возможности заменяли бы max Е и min Е. Такими числами (конечными или бесконечными) являются точная верхняя грань
sup Е - supx - М
хеЕ
и точная нижняя грань
inf Е - inf х = т хеЕ
множества.
Пусть множество Е ограничено сверху.
Число М (конечное) называется точной верхней гранью множестваЕ, если для него выполняются два условия:
1) х < М \/хеЕ,
2) для любого £ > О существует точка хг g Е такая, что выполняются неравенства
М-£<х1 М.
Говоря другими словами, sup Е =М есть наименьшая из верхних границ (мажорант).
Пусть множество Е ограничено снизу.
Число т (конечное) называется точной нижней гра-нью множестваЕ, если для него выполняются два условия:
1) т < х VxeE,
2) для любого £ > О существует точка хг g Е такая, что т < Xj < т + £,
т. е. inf Е - т есть наибольшая из нижних границ.
Очевидно, если в множестве Е действительных чисел имеется наибольшее (наименьшее) число, т. е. существует max Е (min Е), то
sup Е = max Е (inf Е = min Е).
sup, inf — сокращения латинских слов supremum —
§ 2.8. ТОЧНЫЕ ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ МНОЖЕСТВА
63
наивысший, infimum— наинизший. Эта терминология не совсем удачна, потому что, например, sup Е не всегда есть наивысший элемент в множестве Е.
Пример 1. Множество
имеет наименьшее число, равное 1/2 (min Е = 1/2). Однако оно не имеет наибольшего, потому что -1 << ... .> Все же оно ограничено сверху числом 1 или любым числом, большим 1. Но число 1 играет исключительную роль — оно есть точная верхняя грань Е (sup Е = 1).
В самом деле:
v”eN-
и.
2) для Vc > 0 3rZj g N: 1 - £ <	< 1.
Мы дали определение точной верхней (нижней) грани для множества, ограниченного сверху (снизу).
Если множество^ не ограничено сверху (снизу), то его точной верхней (нижней) гранью естественно назвать символ +со (—со): sup Е = -ко (соответственно inf Е = —со).
Иногда, когда нет опасности путаницы, вместо +оо пишут оо.
Примеры. Для множеств 1)—6), приведенных выше, имеет место
sup Z = +оо,	inf Z = -оо,
sup N = oo,	inf N = min N = 1,
sup N_ = max N_ = -l, infN_ = -oo, sup (a, b) = b,	inf (a, b) = a,
где а и b могут быть конечными и бесконечными числами.
Можно дать общее определение точной верхней (нижней) грани множества, которое годится для любого множества (ограниченного и неограниченного).
64
ГЛАВА 2, ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Число М (соответственно т), конечное или бесконечное, называется точной верхней (нижней) гранью множества Е (рис. 9 и 10), если выполняются условия:
1) х (т < х) Vx е Е;
2) для любого (конечного!) Мr < М (тх > т) существует Xj е £ такое, что < хг < М (т < Xj < mJ.
В этой формулировке не приходится употреблять разность М - £ (сумму т + £), это не имеет смысла при М = +°° (т = -оо).
Справедлива теорема принципиального значения.
Теорема 1. Если не пустое множество Е действительных чисел ограничено сверху(снизу) конечным числом К (соответственно fe), то существует число М < К(т > >fe), являющееся точной верхней (нижней) гранью Е-.
Доказательство. Так как Е — не пустое множество, то оно содержит в себе по крайней мере одну точкух0. Рассмотрим отрезок о0 = [а, Ь], где а< х0, b = К.
По условию правее о0 нет точек Е. Разделим о0 на две равные части (два отрезка) и обозначим через Oj самую правую половину, содержащую в себе хотя бы одну точку.Е. Это надо понимать в том смысле, что если обе половины содержат в себе точки Е, то <5j есть правая из них, а если только одна из них содержит точки Е, то именно она обозначается через Qj.
Обозначим через xt какую-либо точку из Е, принадлежащую кор Таким образом,Xj е о,, но правее о j нет точек Е. Делим теперь о, на два равных отрезка и обозначаем через о.? самый правый из них, содержащий в себе хотя бы одну точку Е, которую обозначим через х2. Правее нет точек Е.
Продолжив этот процесс по индукции, получим
§ 2.8. ТОЧНЫЕ ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ МНОЖЕСТВА
65
последовательность вложенных отрезков сп = [а„, b„](on о„+]), длины которых
Ь-а= Ь^а — 0, п -> со.
2”
При этом при любом пб N правее о„ нет точек Е, но оп содержит в себе некоторую точку xn G Е.
На основании принципа вложенных отрезков существует единственная точка, которую мы обозначим через М, принадлежащая ко всем отрезкам <тп (М е <тп, Vn).
Докажем, что
M = supE.	(1)
В самом деле:
1) имеет место неравенство х < М, Х/х 6 Е, потому что для любой точки х > М найдется отрезок о„ длины меньшей, чем х - М. Так как он содержит в себе точку М, то точка х необходимо находится правееол, но тогда х й Е, потому что правееоп нет точек Е.
2) для любого £ > О	Эх' 6 Е
М — £ < х' ^М.	(2)
Ведь любой отрезок Од длины меньшей, чем£, расположен правее точки М - £ и содержит в себе точку х„ е Е, которую и можно считать точкой х1 (хп = х').
Соответствующая теорема, утверждающая существование точной нижней грани у ограниченного снизу множестваЕ, доказывается аналогично, отправляясь от сегмента с = [а, Ь], содержащего в себе некоторую точку х0 е Е такого, что a = k и х0 < Ь. Делим Од на два равных отрезка и через о j обозначаем теперь самую левую половинку, содержащую в себе точки Е, находим в Oj точкуXj е Е и продолжаем далее этот процесс по индукции.
Сказанное выше приводит нас к следующему утверждению: всякое множество Е имеет точные верхнюю и нижнюю грани. Если Е ограничено сверху, то sup Е < оо, если же Е не ограничено сверху, то sup Е = оо. Аналогично, если
3 — Бугров. Том 2
66
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Е ограничено снизу, то inf Е > -оо, и если Е не ограничено снизу, то inf Е = —оо.
Задачи
1.	Пусть даны множества действительных чисел X = {х}, У = {у}. Под множеством {х+у} будем понимать всевозможные суммы чисел х е X и у е Y. Доказать, что
sup {х + у} =sup {х} +sup {у}, inf {х +у} =inf {х} +inf {у}.
2.	Под множеством {ху} будем понимать всевозможные произведения неотрицательных чиселх е Хиу е У. Доказать, что
sup{xy}=sup{x} sup {у}, inf {ху} =inf {х} inf {у} (х> 0,у>0).
3.	Доказать, что
sup(-x) = -infx, inf(-x) = -supx, хеА	хеА хеА	ХеА
§ 2.	9. Теорема Больцано—Вейерштрасса*
Пусть задана произвольная последовательность действительных чисел {хп}. Выберем из нее бесконечное множество элементов с номерами пг < п2 < ... . Тогда получим новую последовательность {ХП),}’ которая называется подпоследовательностью последовательности {хп}. Таких подпоследовательностей можно выделить из данной последовательности бесконечное множество.
Если последовательность {хп} сходится (к конечному числу, +со или -оо), то очевидно, что и любая ее подпоследовательность тоже сходится и притом к тому же числу (конечному, +оо или -оо).
Последовательность
{1,-1, 1,-1, ...} (1)
может служить примером не сходящейся последователь
* Б. Больцано (1781—1848) — чешский математик, К. Вейерштрасс (1815—1897) — немецкий математик.
§ 2. 9. ТЕОРЕМА БОЛЬЦАНО—ВЕЙЕРШТРАССА
67
ности чисел. Все же мы видим, что эта последовательность содержит в себе подпоследовательность
{1, 1,1,...}, сходящуюся (к 1). Возникает вопрос, всегда ли это так, всякая ли последовательность действительных чисел содержит в себе подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу (конечному, -ко, —со). Положительный ответ на этот вопрос дает
Теорема 1. Из всякой последовательности действительных чисел {хп} можно выделить подпоследовательность {хп*}, сходящуюся к конечному числу, или к +<ю, или к —со.
В случае, когда последовательность {хп} не ограничена сверху (снизу), она, очевидно, содержит в себе подпоследовательность, стремящуюся к -ко (к —оо), что доказывает теорему. Если же последовательность ограничена, то теорема 1 сводится к следующей теореме.
Теорема 2 (Больцано — Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности {хп} можно выделить подпоследовательность {хЛа}» сходящуюся к некоторому числу.
Доказательство. Так как последовательность точек {хп} ограничена, то все они принадлежат к некоторому отрезку [а, 6], который обозначим через ст0. Разделим с0 на два равных отрезка и обозначим через Gj самый правый из них, содержащий в себе бесконечное число элементов хп. Один из этих элементов обозначим черезхп. Правее сУр если есть, то конечное число точенхп. Разделимо! на два равных отрезка и обозначим через <т2 самый правый из них, содержащий в себе бесконечное число элементов хп. Выберем среди этих элементов один хп с номером п2 > пГ Правее О2, если есть точки хп, то их конечное число.
Продолжим этот процесс по индукции. В результате получим последовательность вложенных друг в друга отрезков = [ak, 6ft], длины которых bk - ak -* О, k — оо, и
3*
68
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
подпоследовательность точек нашей последовательности таких, что х^ G (П] < п2 <...). При этом правее каждого из отрезков имеется не более чем конечное число элементов хп.
На основании принципа вложенных отрезков существует точка с, принадлежащая к любому из отрезков^.. Очевидно, что подпоследовательность {хп*} имеет своим пределом с (х —» с), и мы доказали теорему.
7Г
§ 2.10. Верхний и нижний пределы
Если задана произвольная последовательность действительных чисел {хп}, то, согласно теореме 1 § 2.9, возможно рассматривать порождаемые ею различные сходящиеся подпоследовательности.
Пределы этих подпоследовательностей принято называть частичными пределами последовательности {хп}.
По определению верхним пределом последовательности {хп} (или переменной хп) называется число М (конечное, +<» или -оо), обладающее следующими двумя свойствами.
1) Существует подпоследовательность {х } последователь-ности {хп}, сходящаяся кАГ:
limx = М. а-»«. "*
2) Для любой сходящейся подпоследовательности {хп } последовательности {хп}
limx„ < М.
к-+*>
Верхний предел последовательности {хп} обозначают одним из символов
М = limx„ = limx„ = lim supxfc. "	"	n->« k>n
Если последовательность {хп} не ограничена сверху, то, очевидно,
limxn = +°о.
Переменная хп = (-1)"имеет limxn = 1.
Вот еще пример:
§ 2.10. ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ
69
Ы-’П-М, 1,4,1,...}.
I /1’35	/
Эта последовательность (переменная) не ограничена сверху. Следовательно, ее верхний предел
-- (-1)"
limn =-юо.
Для ограниченной сверху последовательности {хп} ее верхний предел М может быть определен также следующим образом: для всякого Е > 0 правее М + е имеется разве что конечное число точек хп, правее жеМ — е заведомо имеется бесконечное число точек хп.
Отметим, что если последовательность {хп} имеет обычный (конечный) предел lim хп = М, то, как мы знаем, для любого е > 0 неравенства М -Е<хп<М + е выполняются для всех хл, за исключением их конечного числа. Таким образом, правее М + е имеется не более чем конечное число элементов хп, а правее М - Е — заведомо бесконечное их число.
Это показывает также, что М = Итхл.
Итак, если М - lim хп, то и limxn = lim xn = М.
Но разница между обычным пределом и верхним пределом заключается в том, что в случае предела левееМ — е имеется не более чем конечное число точек хл, а в случае верхнего предела левее М — е может быть и бесконечное число точек хл.
По определению нижним пределом последовательности {хл} (или переменной хл) называется число т (конечное, +оо или -оо), обладающее следующими двумя свойствами:
1) Существует подпоследовательность {х } последователь-пк
ности {хл}, сходящаяся к т:
lim х„ = т.
2) Для любой сходящейся подпоследовательности { хл } последовательности {хп}
lim х т.
п-кх *
Нижний предел переменной хл обозначают одним из символов
т = limx = limx = lim inf x. • ------- n 7^ n *-*» *>n k
70
ГЛАВА 2 ПРВДЕЛ ПОСЛВДОВАТЕЛЬНОСТИ
Если последовательность {хп} не ограничена снизу, то, очевидно,
lim хп = -оо.
Для ограниченной снизу последовательности нижний предел т можно определить также следующим образом: для всякого е > 0 левее т - £ имеется разве что конечное число точек (элементов) хп, левее же т + е заведомо имеется бесконечное число точек (элементов) хп.
Очевидно, что
lim xn^lim хп.	(1)
Теорема 1. Для того чтобы последовательность {хп} имела предел (конечный, +°о или—<х>), необходимо и достаточно, чтобы limxn = limxn. и тогда lim хп = limx„ = limxn.
Заметим, что если limxn = -со, то в силу (1) lim хп = -<я, и по теореме 1
lim хп = -оо.
Очевидно также, что из равенства limxn = +оо вытекает, что
limxn = lim xn = -ню.
Замечание. Можно показать, что число с, которое мы получили при доказательстве теоремы Больцано—Вейерштрасса, является верхним пределом х„:
limxn = с.
Это вытекает из того, что правее каждого отрезкасп имеется не больше чем конечное число точек хп.
С другой стороны, если бы мы видоизменили процесс, выбирая на каждом этапе деления сп на два равных отрезка не самый правый, а самый левый из них, содержащий бесконечное число точек хп, то мы бы получили, возможно, другую точку с', содержащуюся во всех сп, и эта точка была бы нижним пределом xn(limxn = с').
Если переменная хп не имеет предела, то заведомо с' < с, если же предел хп существует, то оба процесса необходимо приведут к одному и тому же числу с - с'.
$ 2.11. УСЛОВИЕ КОШИ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
71
§ 2.11. Условие Коши сходимости
последовательности
Пусть задана последовательность действительных чисел {хп}, сходящаяся к конечному пределу а:
Итхп = а. п—><х>
Это значит, что для всякого Е > О найдется число п0 - п0 (е) такое, что
\хп - а1 < |	> П0-
А
Наряду с натуральным числом п > п0, можно подставить в это неравенство другое натуральное число т > п0:
К - «I < |	\/т>п0.
Тогда
1х„ -	= |х„ - а + а - х I |х„ - а| + 1хт - а| < + — = Е
। п	пи г п	т* 1 п I I т 1 Q О
Vn, т > п0.
Мы получили следующее утверждение: если переменная хп имеет конечный предел, то для нее выполняется условие (Коши*): для любого Е > 0 найдется п0 = п0 (£) такое, что
\Хт ~Хп\<£	^П, т > П0-
Последовательность чисел, удовлетворяющая условию Коши, называют еще фундаментальной последовательностью.
Оказывается, что имеет место также обратное утверждение: если последовательность действительных чисел {хп} фундаментальная, т. е. удовлетворяет условию Коши, то она имеет предел, т. е. существует число а (конечное) такое, что хп~* а, п -* <х>.
Доказательство. Начнем с того, что докажем, что фун
* О.Л. Коши (1789—1857) — французский математик. В его трудах впервые определены основные понятия математического анализа (предел, непрерывность, интеграл, ...) так, как это принято в современной математике.
п
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
даментальная последовательность ограничена. В самом деле, положим е = 1 и подберем, согласно условию Коши, число л0 = = п0 (1) так, что
|х„ - х I < 1 Vn, т > лп,
I п mi	’	си
откуда
1 > 1*п - хт\ > 1*Л1 - l*ml
ИЛИ
1 + l*ml > l*nl т > «о-	(!)
Зафиксируем т > л0 и обозначим
М=шах {1+ |хт|, |х„|},
т. е. максимум чисел |хп|, где л < л0, и числа 1 + |хт|. Тогда в силу (1)
М > |хп| \/п 6 N,
и ограниченность последовательности {хп} доказана.
По теореме Больцано—Вейерштрасса из ограниченной последовательности {хп} можно выделить подпоследовательность {хп*}, сходящуюся к некоторому (конечному) числу а, т. е.
lim х„ = а.
П->оо
Покажем, что в данном случае не только эта подпоследовательность, но и вся последовательность имеет предел а:
limxn = а.
л->оо
В самом деле, согласно условию Коши, которому удовлетворяет наша последовательность, для любого £ > 0 найдется п0 такое, что
1Хп “ *ml < Е/2 Vn’ т > га0-	(2)
С другой стороны, в силу того что хп* — a, k —» оо, можно указать такое k0, что
1ХЧ - а| < е/2
'Vrao-	(3)
§2.12 ПОЛНОТА МНОЖЕСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
73
В силу (2), где надо положить т=пк°, и (3) имеем
|х„ - а| = |х - х„ + х„ - а| < |х„ - я. I + |х_ - а| < — + ~ = £ “И.	• • п	1 • п	। •	• q Q
Vn > п0, и мы доказали, что последовательность {хп} имеет предел, равный а.
Итак, доказана
Теорема 1 (критерий Коши существования предела). Для того чтобы последовательность действительных чисел{хп] имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной (удовлетворяла условию Коши).
§ 2.12.	Полнота и непрерывность множества действительных чисел
В предыдущих параграфах мы доказали ряд свойств действительных чисел, важнейшие из которых мы перечисляем:
1)	Существование предела у ограниченной монотонной последовательности (§ 2.5, теорема 1).
2)	Принцип вложенных отрезков (§ 2.7, теорема 1).
3)	Существование точной верхней грани у произвольного ограниченного множества (§ 2.8, теорема 1).
4)	Сходимость фундаментальной последовательности к пределу (критерий Коши, § 2.11, теорема 1).
Хотя перечисленные свойства и выглядят различно, на самом деле между ними имеется глубокая внутренняя связь. Не так уж трудно показать, что утверждения 1)—4) (при наличии свойств I — IV числа) эквивалентны между собой, т. е. из любого из них следуют три остальные. В этой книге было показано, что из 1) (или, что все равно, свойства V, см. § 1.6) и свойств!— IV следуют 2), 3), 4).
Свойства 1)—4) называются еще свойствами непрерывности тллтл.полноты множества всех действитель
ных чисел.
74
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛВДОВАТЕЛЬНОСТИ
Чтобы уяснить их роль, рассмотрим множество только рациональных чисел, которое обозначим через Q.
Свойства 1—IV для рациональных чисел выполняются. Однако свойство V и, следовательно, любое из свойств 1)—4) для рациональных чисел, вообще говоря, не выполняются.
Поясним это на примере. Для этого нам будет удобно оперировать также и множеством всех действительных чисел, которое обозначим через R.
Зададим бесконечную непериодическую десятичную дробь о = а0, ata^i3....
Таким образом, а — иррациональное число, т. е. а е R, но а ё Q. Дробь а порождает последовательность срезок
п(п) = а0, щ... ап (n = 1, 2,...)
— рациональных чисел, — не убывающую и ограниченную сверху целым числом а0 +1. Не существует рационального числа, к которому наша последовательность рациональных чисел {н(л)} сходится. В самом деле, мы знаем, что переменная а<л) сходится к а (см. пример 9 § 2.1), т. е. к иррациональному числу, а к другому числу она сходиться не может.
Мы показали, что свойство 1) в Q, вообще говоря, не выполняется.
Нетрудно показать, что и свойства 2), 3), 4) в Q, вообще говоря, не выполняются.
Множество действительных чисел называется полным в силу того, что для него выполняется свойство 4), заключающееся в том, что любая фундаментальная последовательность чисел сходится к некоторому действительному числу.
Множество Q рациональных чисел не является полным. Оно содержит фундаментальные последовательности, не сходящиеся к рациональным числам. Добавляя к Q иррациональные числа, мы получаем пространство действительных чисел, уже полное.
ГЛАВА 3
ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
§ 3.1. Функция
3.1.1. Функция от одной переменной. Пусть Е — множество чисел и пусть в силу некоторого вполне определенного закона каждому числу х из Е приведено в соответствие (одно) число!/, тогда говорят, что на Е задана функция, которую записывают так:
у = /(х) (хеЕ).	(1)
Говорят еще, что у есть функция одной переменной х, заданная на Е, потому что можно, как мы увидим ниже, рассматривать функции многих переменных. Это определение функции предложено Н. И. Лобачевским и Дирихле*). Множество^ называют областью задания или определения функции/(х). Говорят также, что задана независимая переменная х, которая может принимать частные значениях из множества Е, и каждому х 6 Е в силу упомянутого закона приведено в соответствие определенное значение (число) другой переменной!/, называемойфунтощей илпзависимой переменной. Независимую переменную называют аргументом.
Для выражения понятия функции употребляют геометрический язык. Говорят, что задано множество Е точек х
* Н. И. Лобачевский (1792—1856) — великий русский математик, создатель неевклидовой геометрии. Лежен Дирихле (1805—1859) — немецкий математик.
76
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
действительной прямой — область определения или задания функции — и закон, в силу которого каждой точке х е еЕ приводится в соответствие число у = f(x).
Если мы хотим говорить о функции как о некотором законе, приводящем в соответствие каждому числу х G Е некоторое число у, то достаточно ее обозначить одной буквой f. Символ f (х) обозначает число у, которое в силу закона/ соответствует значению х G Е. Если, например, число 1 принадлежит области Е задания функции f, то f (1) есть значение функции f в точке х = 1. Если 1 не принадлежит Е (1G Е), то говорят, что функция f не определена в точке х = 1.
Множество Et всех значений у = Дх), где х G Е, называется образом множества Е при помощи функции f. Иногда пишут в таком случае ЕТ = ДЕ). Но это обозначение надо употреблять с осторожностью, по возможности разъясняя его всякий раз, когда оно употребляется, чтобы не было путаницы с обозначением у = f(x), где х есть произвольная точка (число), принадлежащая множествуЕ, ay — соответствующая ей при помощи функции (закона f) точка множества Ev Говорят еще, что функция f отображает множество Е на множество Ev
Если образ Ej = f (Е) с А, где А — множество чисел, вообще не совпадающее с Ер то говорят, что функция f отображает Е в А.
Для функций f и ф, заданных на одном и том же множестве Е, определяются сумма f + <р, разность f— ср, произведение ftp, частное f/ф. Это новые функции, значения которых выражаются соответствующими формулами
Дх) + ф(х), Дх) - ф(х), f (х) ф(х),	(х g Е), (2)
<р(х)
где в случае частного предполагается, что ф(х) 0 на Е.
Для обозначения функции употребляют и любые другие буквы: Е, Ф, Ч7, ... , так же как вместо х, у можно писать z, и, v, ... .
Если функция/отображает множествоЕ в Ер а функция F отображает множество Ех в множество Е2, то функцию z = F(f (х)) называютфункцией от функции, илислож-
§ 3.1. ФУНКЦИЯ
77
ной функцией, или суперпозицией fviF. Она определена на множестве Е и отображает Е в Е2.
Возможна сложная функция, в образовании которой участвует п функций: z = F.,(F2(F3 (... (Fn(x))...))).
Практика доставляет нам много примеров функций. Например, площадь S круга есть функция его радиуса г, выражаемая формулой S = яг2. Эта функция определена, очевидно, на множестве всех положительных чисел г.
Можно, не связывая вопрос с площадью круга, говорить о зависимости между переменными S и г, выраженной формулой S - пг2. Функция S = <р(г), заданная этой формулой, определена на всей действительной оси, т. е. для всех действительных чисел г, не обязательно только положительных.
Ниже приводятся примеры функций, заданных формулами:
1) У = Vl-x2, 2) у - 1g (1 + х),
2 1
3)у = х-1,	4)у=^—1,
х-1
5) у = arcsin х.
Мы имеем в виду действительные функции, принимающие действительные значения у для действительных значений аргумента х. Нетрудно видеть, что областями определения приведенных функций являются соответственно:
1)	отрезок [-1, 1] = {-1 < х =С 1};
2)	множество х > -1;
3)	вся действительная ось;
4)	вся действительная ось, из которой исключена точка х = 1;
5)	отрезок [—1, 1].
Функции, определяемые в примерах 1) и 2), можно рассматривать как функции от функции: 1) у = Ju, и = 1 — v, v = х2; 2) у = 1g и, и = 1 + х.
Важным средством задания функции является график. Зададим прямоугольную систему координат х, у (рис. 11), на
78
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
осих отметим отрезок [а, Ь] и изобразим любую кривую Г, обладающую следующим свойством: какова бы ни была точках е [а,Ь], прямая, проходящая через нее параллельно оси у, пересекает кривую Г в одной точке А. Такую заданную
а х Ь х в прямоугольной (декартовой) системе координат кривую Г мы будем называть графиком. График определяет функцию у = f (х) на отрезке [а, Ь] следующим образом. Еслих есть произвольная точка отрезка [а, Ь], то соответствующее значение y = f(x) определяется как ордината точкиА (см. рис. 11). Следовательно, при помощи графика дается вполне определенный закон соответствия между хтлу = / (х).
Мы задали функцию при помощи графика на множестве Е, являющемся отрезком [а, Ь]. В других случаях Е может быть интервалом, полуинтервалом, всей действительной осью, множеством рациональных точек, принадлежащих к данному интервалу, и т. д.
Зададим на некотором интервале (а, Ъ) функцию/ (х) и произвольное (постоянное) число а 0. С помощью а и f можно сконструировать ряд функций: 1)а/ (х), 2) f (х) + <х; 3) f (х - а); 4) f (ах). Функции 1) и 2) определены на том же интервале (а, Ъ). Ординаты графика функции 1) увеличены в а раз сравнительно с соответствующими ординатами/ (х). График функции 2) получается из графика / поднятием последнего на величину а, если а > 0, и опусканием на |а|, если а < 0; график же функции 3) получается из графика / путем сдвига последнего вправо на величинуа, если а > 0, и влево на |а|, если а < 0. Наконец, функция 4) при а > 0 определена, очевидно, на интервале (а/а, b/а); график ее получается из графика / путем равномерного его сжатия в а раз.
Функцию / называют четной или нечетной, если она
определена на множестве, симметричном относительно нулевой точки, и обладает на нем свойством / (—х) = / (х) или свойством / (—х) = —/ (х).
График четной функции, очевидно, симметричен отно
§ 3.1. ФУНКЦИЯ
79
сительно оси у, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например, х (k — натуральное), cos х, 1g |х|, >11+х2, f (|х|) — четные функции, а x2*+1 (fe > 0 — целое), sin х, xVl+x2 , xf (|fex|) — нечетные функции.
Нетрудно видеть, что произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной функции на нечетную есть нечетная функ
ция.
Конечно, большинство функций не четны и не нечетны.
График функции у — f (х), хе Е, можно определить еще как совокупность точек (х, f (х)) с абсциссой х и ординатой f (х), где х е Е.
Функция f называется строго возрастающей или возрастающей (неубывающей) на Е, если для любых хх, х2 е Е, для которых хх < х2, имеет место f (хт) < f (х2) Шхт) < f(x2)).
Функция f называется строго убывающей или убывающей (невозрастающей) наЕ, если для любых х19 х2 е Е, для. которых хг < х2, имеет место f (хх) > f (х2) (f (x^)~>f (х2).
Функция f называется ограниченной (неограниченной) на Е, если ее образ Ex = f (Е) есть ограниченное (неограниченное) множество.
Например, функция у = 1/х убывает и не ограничена на (0, со), но ограничена на [1, со).
Функция f, определенная на всей вещественной оси,
называется периодической с периодом Г > 0, если f (х) = = f (х + Т) Vx.
Можно говорить также о функции, периодической с периодом Т на интервале (а, Ь) (сегменте [а, Ь]), если равенство
f(x) = f(x + T)
80
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛФУНКЦИИ
верно для всех таких х е(а,Ь) (или [а, Ь]), для которых X + Т е {а, Ъ) ([а, Ь])
Например, функция sin х периода 2л. Функция sin mx, где m 6 N, тоже периода 2л, но она также имеет меньший период Т = 2л/т.
Пример 6. Функция (сигнум х или знак х)
1, х>0,
у = signx =
0, х = 0,
-1, х<0
задана на бесконечном интервале (—оо, оо). Она нечетная.
Образ ее есть множество, состоящее из трех точек: 1, 0, -1.
Пример 7. Функция
у fx2 + l, х<0,
[sinx, х>0,
имеет график, изображенный на рис. 12. Она убывает на (-оо, 0) и имеет период 2л на (0, оо). Эта функция на различных частях области ее определения задана различными формулами.
Функция может быть задана в виде таблицы. Например, мы могли бы измерять температуру Т воздуха через каждый час. Тогда каждому моменту времени t = 0, 1,2,..., 24 соответствовало бы определенное число Т в виде таблицы:
t	0	1	...	24
т		Т,	...	т 24
Таким образом, мы получили бы функцию Т — f (t), определенную на множестве целых чисел от 0 до 24, заданную таблицей.
Если функция;/ = f (х) задана на некотором множестве Е формулой, то всегда можно считать, что ей соответствует
§ 3.1. ФУНКЦИЯ
81
вполне определенный график, определяющий геометрически эту функцию. Обратное совсем не ясно: если функция задана произвольным графиком, то может ли она быть выражена некоторой формулой? Это очень сложный вопрос. Чтобы ответить на него, надо отдать себе отчет в том, какой смысл мы вкладываем в слово формула. Выше, когда мы говорили, что данная функция!/ = f (х) выражается формулой, мы молчаливо считали, что при этому получается изх при помощи конечного числа таких операций, как сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корня той или иной степени, логарифмирование, взятие операции sin, cos, arcsin и других алгебраических и тригонометрических операций.
Математический анализ дает средства для значительного расширения понятия формулы. Весьма важным таким средством является разложение функции в бесконечный ряд по элементарным функциям.
Многие, а может быть и все, встречающиеся на практике функции могут быть изображены формулой, представляющей собой некоторый бесконечный ряд, членами которого являются элементарные функции, которые будут определены ниже. Но сейчас об этом говорить не время. Мы еще не готовы к этому.
Так или иначе, задана ли функция/1 (х) формулой или же другим каким-либо способом, например при помощи графика, она уже может служить объектом изучения средствами математического анализа, если она удовлетворяет некоторым дополнительным общим свойствам, таким, как непрерывность, монотонность, выпуклость, дифференцируемость и др. Но об этом будет идти речь впереди.
Важнейшим средством изучения функции является понятие предела, являющееся основным понятием математического анализа. Данная глава посвящена этому понятию.
Если каждому числу х, принадлежащему данному множеству Е чисел, в силу некоторого закона соответствует определенное множество ех чисел у, то говорят, что этим законом определена многозначная функция у = f (х). Если
82
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
окажется, что ех для каждого х множество ех состоит из одного числа у, то мы получим однозначную функцию.
Однозначную функцию называют просто «функцией» без добавления прилагательного «однозначная », если только это не приводит к недоразумениям.
Алгебра и тригонометрия доставляют нам примеры многозначных функций; такими являются функции ±-Jx, Arcsin х, Arctg х,... .
Функция ± yfx определена для х > 0. Она двузначна длях > 0: каждому положительномух соответствует два действительных числа (отличающихся друг от друга знаками), квадраты которых равных. Впрочем, символ &c(k = 2, 3, ...) мы будем понимать всюду, если это не оговорено особо, как арифметическое значение корняА-й степени изх> 0, т.е. как неотрицательное число,k-я степень которого равна х (см. § 3.8). Что же касается функции Arcsin х, то она бесконечнозначная. Она приводит в соответствие каждому значению х из отрезка [—1, 1] бесконечное множество значений!/, которые могут быть записаны по формуле
у = (~l)*arcsin х + kn (k = 0, ±1, ±2, ...).
3.1.2.Функции многих переменных .Выше мы говорили о функциях от одной переменной. Но можно говорить также о функциях двух, трех и вообще п переменных.
Функция от двух переменных определяется следующим образом. Рассматривается множество^ пар чисел (х, у). При этом имеются в виду упорядоченные пары. Это значит, что две пары (хг, yj и (х2, у2) считаются равными (совпадающими) тогда и только тогда, когдах! = х2 и уг = у2. Если в силу некоторого закона каждой паре (х,у) е Е приведено в соответствие число 2, то говорят, что этим определена на множестве Е функция z = f (х, у) от двух переменных хи у.
Так как каждой паре чисел {х, у) соответствует на плоскости, где введена декартова система координат, точка с
§ 3.1. ФУНКЦИЯ
83
абсциссой х и ординатой у, и, наоборот, каждой точке, таким образом, соответствует пара (х, у), то можно говорить, что ня та функция^ (х, у) задана на множестве# точек плоскости.
Функцию z = f (х, у) от двух переменных изображают в трехмерном пространстве, где задана прямоугольная система координат х, у, z, в виде геометрического места точек (х, У> f (х, у)), проекции которых (х, у) принадлежат множеству Е определения f.
Например, таким геометрическим местом для функции
z = Jl-x2-y2 (х2 + у2<1),
является верхняя половина шаровой поверхности радиуса 1 с центром в нулевой точке.
В этом же духе можно определить функцию трех переменных. Областью ее определения может теперь служить некоторое множество упорядоченных троек чисел (х, у, г) или, что все равно, соответствующих им точек трехмерного пространства, где введена декартова система координат.
Если каждой тройке чисел (точке трехмерного пространства) (х, у, z) е Е в силу некоторого закона соответствует число и, то говорят, что этим на £ определена функция и = = F (х, у, г).
Аналогично можно рассматривать множество# упорядоченных систем (хр ..., хп) из п чисел, где п — заданное натуральное число. Опять, если каждой такой системе, принадлежащей Е, соответствует в силу некоторого закона число 2, то говорят, что 2 есть функция отп переменных хх, ..., хп, определенная на множестве#, и записывается эта функция в виде 2 = F (хр ..., хп).
В случае и > 3 в нашем распоряжении уже нет реального n-мерного пространства, чтобы использовать его для изображения систем (Xj, хп) в виде принадлежащих ему точек. Но математики выдумали n-мерное пространство, и оно им благополучно служит, и притом не хуже, чем реальное трехмерное пространство. Именно, п-мерным простран
84
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИЙ
ством называется множество всевозможных систем п чисел (X,, ...» Х„).
Если две функции f и (р от п переменных заданы на одном и том же множестве Е систем (х,, хп) — точек n-мерного пространства, — то можно определить сумму f + (р, разность f — (р, произведение Др и частное /7(р как функции, определенные на Е при помощи равенств, аналогичных равенствам (2), где надо только числа х заменить системами (хр хп). Естественным образом определяются также сложные функции, такие, как f (<р (х, у), Т (х, у, z)) = F (х, у, г), где (х, у, г) — тройки чисел, принадлежащих некоторому множеству троек.
Ниже приводится несколько примеров функций многих переменных, заданных посредством элементарных формул.
Пример 8. и =Ах + By +Cz +D, где A, B,C,D — заданные постоянные действительные числа, есть линейная функция от трех переменных (х, у, г). Она задана на всем трехмерном пространстве. Более общая линейная функция от п пере-
п
менных (х,,..., хп) задается формулой и = У. aixi + b, где ар ..., 4=1
ап, b — заданные постоянные числа. Эта функция определена в любой точке (Xj,..., хп) n-мерного пространства, или, как еще говорят, на всем n-мерном пространстве.
Пример 9.2 = Ig-Jl-x2-у2 . Эта действительная функция задана на области, представляющей собой круг радиуса 1 с центром в (0, 0), из которого удалены все граничные точки, т. е. точки окружности радиуса 1 с центром (0, 0). Для этих точек наша функция не определена, потому что 1g 0 не имеет смысла.
Пример 10. Функция
.	(0 для у>0,
2 = / (X, у) = <	“	’
[1 для у<0, геометрически изображается двумя параллельными полуплоскостями, не связанными между собой. Расположение их по отношению к системе координат х, у, г очевидно.
§ 3.1 ФУНКЦИЯ
85
Функция от одной переменной может быть задана неявным образом при помощи равенства
F(x,y) = Q,	(3)
где F есть функция от двух переменных хну.
Пусть на некотором множестве G точек (х, у) задана функция F. Равенство (3) определяет некоторое подмножество О множестваС, на котором функция F равна нулю. Конечно, в частности, Г2 может быть пустым множеством. Пусть О — непустое множество, и пусть Е — множество (очевидно, непустое) таких значений х (чисел), которым соответствует хотя бы одно у так, что парах, у принадлежит Q. Таким образом,£ есть множество всех чиселх, каждому из которых соответствует непустое множество ех чисел у так, что (х, у) е Q, или, что все равно, так, что для указанной пары (х, у) выполняется равенство (3). Этим определена на множестве Е некоторая функция у = <р (х) от х, вообще говоря, многозначная. В таком случае говорят, что функция <р определена неявно при помощи равенства (3). Для нее, очевидно, выполняется тождество
F (х, <р (х)) = 0 для всех х е£.
По аналогии можно также определить функцию х = = 1|/ (у) от переменной!/, определяемую неявно при помощи равенства (3). Для нее выполняется тождество
F (У (у), у) = 0 для всех у е Elt гдеЕ j — некоторое множество чисел. Говорят еще, что функция у = <р (х) (или х = V {у)) удовлетворяет уравнению (3). Функцию х = V (у) называют обратной по отношению к функции у = <р (х).
Пример 11. Уравнение
х2 + у2 = г2,	(4)
где г> 0, неявно определяет двузначную функцию от одной переменной:
у = ±Vr2-x2	(-г < х < г);
впрочем, при х = ±г она однозначна. Естественно считать, что эта двузначная функция распадается на две непрерывные однозначные функции у =+Vr2 -х2 иу =-у1г2-х2 (-г<
86
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
С х < г). Графики их (полуокружности) в совокупности дают окружность радиуса г с центром в начале координат. Эта окружность есть геометрическое место точек, координаты (х, у) которых удовлетворяют уравнению (4). Но можно, пользуясь формулой (4), конструировать различные однозначные (разрывные) функции, удовлетворяющие уравнению (4). Например, такой является функция
-г<х<0,
0<х<г.
3.1.3.Полярная система координат.Впло-скости зададим луч OL (полярную ось), выходящий из точки О — полюса полярной системы координат (рис. 13, а).
Положение произвольной точки А (отличной от точки О) плоскости однозначно определяется парой чисел (0, р) —
Рис. 13
$3.1. ФУНКЦИЯ
87
ее полярными координатами, где р — расстояние А до-О, а 0 — выраженный в радианах угол между ОА и OL. Если угол 0 отсчитывается против часовой стрелки от прямой OL, то он считается положительным и может изменяться от 0 до +оо. Если угол 0 отсчитывается по часовой стрелке, то он считается отрицательным и может изменяться от —оо до 0. ТочкаО исключительная. Она определяется парой (0, 0), где 0 — произвольное число.
Пусть в плоскости, наряду с прямоугольной системой координат х, у с началом в точке О, введена полярная система координат 0, р, так что полярная ось и положительная ось х совпадают. Тогда полярные координаты (0, р) произвольной точкиА плоскости преобразуются в декартовы координаты (х, у) этой точки по формулам (рис. 13, б)
х = р cos 0, у = р sin 0.	(5)
Равенства (5) называют формулами преобразования полярных координат в декартовы.
Функциональную зависимость р = f(0), заданную на некотором множестве Е значений 0, можно интерпретировать как множество точек (0, р) плоскости в полярной системе координат, где 0 е Е, р = /(0).
Многие кривые на плоскости могут быть описаны в полярных координатах соответствующими функциями Р = f (6) (многозначными или однозначными). Ясно, что в область определения функции р = /(0) входят только те значения угла 0, при которых f (0) > 0.
Построение графика функции р = f (0) можно осуществить по точкам. При данном© проводим луч из точкиО под углом 0 к полярной оси и затем на этом луче отмечаем точку А = (0, f (0)) графика функции, находящуюся на расстоянии р = f (0) от точки О.
Простейшей функцией в полярной системе координат является постоянная функция р = с. Очевидно, что ее графиком является окружность радиуса с с центром в точкеО.
Другой пример р = 0 (0< 0 < со) (рис. 13, в). Это спираль, раскручивающаяся из полюса О.
88
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Функция р = 2е (—со < 0 < оо) описывает в полярных координатах спираль Архимеда (рис. 13, г). Отметим, что здесь при 0 —» —оо р —- 0. Стрелка на графике указывает направление движения точки графика при увеличении угла 0.
Функция р = 2 cos 0 (— 2 ^ Q ^ 2)описывает окружность радиуса единица с центром в точке С\ = (0, 1) (см. рис. 13, д). Наконец, функция
Р =-------Г Г0е(бо--> % + -). Р>
р cos(0-6o) I '° 2 ° 2> р описывает такую прямую, что опущенный на нее из полюса О перпендикуляр имеет длину р0 и образует с полярной осью угол 0О (рис. 13, е).
§ 3.2. Предел функции
Число А называется пределом функции f в точке а, если она определена на некоторой окрестности а, т. е. на некотором интервале (с, d), где с < а < d, за исключением, быть может, самой точки а, и если для всякого £ > 0 можно указать зависящее от него 5 > 0 такое, что для всех х, для которых 0 < |х - а| < 6, имеет место неравенство
1/(х)-А|<е.
Тот факт, чтоА есть предел /в точке а, принято записывать следующим образом:
limftx) = А или f (х) -* А	(х -> а).
х~>а
Другое определение предела функции в точке может быть высказано в терминах пределов последовательностей.
Число А называется пределам функции в точке а, если она определена на некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а, и если пре
$ 3.2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
89
дел последовательиести {/(*„)} существует и равен А, какова бы ни была последовательность { хп}, сходящаяся к я и такая, что хп Ф а для всех п. Таким образом,
lim/(xn) = А.
х„->а х„#а
Здесь считается, как и в других подобных случаях, само собой разумеющимся, что сходящаяся к а переменная хп пробегает значения, для которых f (х) определена.
Высказанные определения эквивалентны. В самом деле, пусть функция f имеет предел в смысле первого определения, и пусть задана переменная хп, не равная ни при каком п числу а и стремящаяся к а. Зададим £ и подберем 5 так, как это сказано в первом определении. Затем подберем натуральное п0 так, чтобы |хп — а\ < 5 для п > п0. Но тогда
|/(х„)-А|<£ для п > п0,
а это значит, что последовательность чисел { f (хп)} стремится к Д и так как это свойство верно для любой сходящейся к а последовательности {хп}, лишь бы хп ф а и все хп принадлежали к области определения функции, то доказано, что из первого определения предела следует второе.
Наоборот, пусть функция f (х) имеет предел в смысле второго определения. Допустим, что при этом она не имеет предела в смысле первого определения. Это значит, что существует хотя бы одно £, которое мы обозначим через £0, для которого нельзя подобрать нужное 5, т. е. для любого 5 среди х, удовлетворяющих соотношениям 0 < |х — а] < 8, должно найтись хотя бы одно х = х такое, что для него |f(x(5V^I > ео-
В качестве5 мы берем все числа видай = 1 /k (k = 1,2,...) w	(5)	«
и для каждого из них найдем точку xfc = х , для которой
0< |xft - п| < 1/k (xfc * а)
И
|f(xft)-A| >£0 (fe = 1, 2,...).
Из этих соотношений видно, что xk —► a (хк Ф а), в то время как f (хк) заведомо не стремится к числу А. Таким
90
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
образом, допущение, что из второго определения предела не следует первое, приводит к противоречию.
Эквивалентность двух определений доказана.
Выражение предел функции в точке а часто заменяют выражением предел функции при х, стремящемся к а или, короче, предел функции при х^а. Если угодно, это выражение больше соответствует духу понятия предела потому, что выражение lim f (х) говорит о поведении фун-х—а
кции в малой окрестности точкиа, из которой выбрасывается точка а. Оно говорит о том, что если х приближается к а по любому закону, оставаясь не равным а, то соответствующее значение f (х) в свою очередь приближается к А, т. е. делается как угодно близким кА.
Пример 1. Рассмотрим функцию/ (х) = (х2 - 4)/(х -— 2). Она определена для всех х 2. Попробуем найти ее
предел прих —»2. Для любогох Ф 2
2л А
jr _4	г*
----„ = х +2, атак как х-2
при определении предела прих -* 2 совсем не принимаются во внимание значения / в точке х = 2, то
lim ——~ = lim(x + 2).
х->2 Х-2	х->2
Это равенство пока написано в том смысле, что если один из пределов существует, то существует и второй и равен ему. Таким образом, вместо того чтобы вычислять предел более сложной функции (х2 - 4)/(х - 2), достаточно вычислить предел более простой функции х + 2. Этот последний при х —* 2, очевидно, равен 4. Ведь если подставить в х + 2 вместо х произвольную переменную хп, стремящуюся к 2, то независимо от способа стремления ее к 2
lim (х„ + 2) = 2 + 2 = 4. х„-2	"
Вычисления, связанные с нахождением данного предела, обычно располагают следующим образом:
х2 —4
lim —— = lim (х + 2) = lim х + 2 = 4.
х->2 Х-Л х-^2	х->2
§ 3.2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
91
Подчеркнем, что функции f (х) — {х2 — £)/{х - 2) и <р (х) = = х + 2 являются разными функциями. Первая из них определена для хФ 2, в то время как вторая определена для всех х. Однако при вычислении предела функций прих — 2 нас совершенно не интересует, определены или не определены эти функции в самой точке х = 2, и так как f (х) = <р (х) для х 2, то
lim f(x) - Итф(х) = <р(2).
х-»2	х-»2
Пример 2. Очевидно, чтоlimx2 = 1, потомучто, если х-»1
xn— 1, хп & 1 то limx2 = limxn- limxn =1-1 = 1. Этот факт можно доказать и на языке £ и 5. Определим какой-либо интервал, содержащий точку 1, например (1/2, 3/2). Для любого х, принадлежащего ему, очевидно, выполняется неравенство
.2

Рис. 14
1	1 1	"	1	2	''
Зададим теперь произвольное £ > 0 и положим 5 = = min [1, —е).Тогда для всех х, удовлетворяющих не-12 5 J равенству |х -1| < 5, будет иметь место соотношение
— •—£ = £. 2 5
Пример 3. Функция sin (1 /х) определена для всех значений х Ф 0 и является нечетной (график ее для х > 0 изображен на рис. 14). Она определена, таким образом, в окрестности точки х = 0, за исключением самой точки х = 0. Эта функция не имеет предела при х —» 0, потому что последовательность отличных от нуля значений хй = 2/л {2k + 1) {k = 0, 1,2,...) стремится к нулю и в то же время
Г(хл) = (-!)*
92
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
не стремится при k —► оо ни к какому пределу.
Введем еще следующее определение. Будем писать
А = lim f(x)
и говорить, что число А есть предел функции f (х) при х, стремящемся к бесконечности, если f определена для всех х, удовлетворяющих неравенству |х| > К при некотором К > 0, и для любого е > 0 можно найти число М>К такое, что \f (х) — А| < е для всех х, удовлетворяющих неравенству |х| > М.
Можно доказать, что это определение эквивалентно следующему.
Число А есть предел функции f (х) при х —- оо, если функция f (х) определена для всех х с |х| > М при некотором М и
lim f(xn) = А X—СО
для любой сходящейся к оо последовательности {хп}.
Доказательство эквивалентности этих двух определений проводится по той же схеме, что и в разобранном выше случае предела f в конечной точке а.
Вообще, многие свойства пределов f (х) при х —> а, где а — конечное число, и при х —* оо являются аналогичными. Можно изложить эти свойства единым образом, так что изложение будет одновременно относиться как к случаюх—-а, где а — конечное число, так и к случаю х — оо. Для этого под буквой а надо понимать либо число (конечное), либо символ оо. Если а есть число, то под окрестностью точки а понимается любой интервал (с, d), содержащий в себе точку а. Таким образом, окрестностъ(конечной) точки а есть множество всех точек х, удовлетворяющих неравенствам с < х < d. Если же а = оо (или + оо, или —оо), то под окрестностью а мы условимся понимать множество всех х, удовлетворяющих неравенству
|х| > М (или х > М, или х < —М, М > 0).
§ 3.2. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
93
Мы будем писать
lim f(x) = А,
х-*а
где а может быть конечным числом или со (или + со, или -со), если функция / (х) определена на некоторой окрестности а, за исключением, быть может, самой точки а (эта оговорка нужна только в случае конечной точки а), и если для любого £ > 0 найдется такая окрестность точки а, что для всехх, принадлежащих к ней и отличных от а, имеет место неравенство
|/(х)-А|<е.
Это определение объединяет в себе, очевидно, оба ра-обранных выше случая предела f: когда х стремится к конечному числу а и когда х стремится к оо, +оо, — оо.
Функция f, длякоторойКт /(х) =0, называетсябеско-
х—а
нечно малой при х — а.
Приступим к изложению свойств функции/(х), имеющей пределы при х —- а, где а есть число или оо, +оо, —оо. Условимся произвольную окрестность а обозначать символом U (а). Легко проверить, чтопересечение двух окрестностей иг (а) и U2 (а) есть снова некоторая окрестность U (а).
Теорема 1. Если lim /(х) = А, где А — конечное х—а
число, то на некоторой окрестности U (а) функция f (х) ограничена, т. е. существует положительное числом такое, что
\f (х)| < М для всех х е U (а), х? а.
Доказательство. Из условия теоремы следует существование окрестности U (а), такой, что
1 > I/(х) — А| > |/(х)| — |А|	(хбС7(«), х*а).
Отсюда для указанных х
|/ (х)| < 1 + |А|,
где надо считать М = 1 + |А|. Теорема доказана.
Теорема 2. Если lim /(х) = А и А Ф 0 — конечное х-а
число, то существует окрестность U (а) такая, что
94
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
\f (х)| > |А|/2 (х е U (а), х а).
Более того, для указанных х
f (х) > А/2, если А > О, и
f (х) < А/2, если А < О.
Доказательство. Из условия теоремы следует существование для £ = |А|/2 окрестности U (а) такой, что |А|/2 > |А - f (х)| > |А| - |f(x)| (хе U (а), xta), откуда \f (х)| > |А]/2 для указанных х. Первое из этих неравенств можно заменить следующими:
л И4 ч Л |А|
A -J—1 < f (х) < А+ J—1.
2	4 '	2
При А > 0 отсюда следует
~ =A-Jyl<f(x), а при А < 0 следует
что и требовалось доказать.
Теорема 3.Если
lim f1(x)=A1, lim f2(x)=A2, x—a	x—a
и на некоторой окрестности U (а), х + а, А(*)
тоА1 ^Ag.
Доказательство. Пусть хп -» а, хп а-, тогда для достаточно большого п0 имеет место неравенство
fi <хп) < Л? (хп) (п > ло) и после перехода к пределу неравенство Ах =% А2.
Теорема 4.Если
lim /\(х) = A, lim f2(x) = А	(1)
х—а	х—а
и на некоторой окрестности U (а), х^а, fx(x)^<p{x)^f2(x),	(2)
то
lim <р(х)=А
(3)
§ 3.2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
95
Доказательство. Пусть хп —» а, хпФ а; тогда при достаточно большом п0 для п > п0
fi (Хп) Ф(*п) < f2 (*п)
и в силу (1) существует предел <р (хп), равный А, а так как {хп} есть произвольная сходящаяся к а последовательность, то имеет место (3).
Теорема 5(критерий Коши существования предела). Для того чтобы существовал предел (конечный) lim f (х), необходимо и достаточно, чтобы фун-х~*а
кция f (х) была определена в окрестности а, за исключением, быть может, самой точки а, и для всякого £ > О существовала такая окрестность U (а), что, каковы бы ни были точки х', х? eU (а), х', х" Ф а,
\f(x')-f(xn)\<E.
Доказательство. Пустьlim f(x)=A, гцеА— конеч-х—а
ное число; тогда существует окрестность а, где f (х) определена, за исключением, быть может, самой точки а. Кроме того, для любого £ > 0 найдется такая окрестность U (а), что если х е U (а), х а, то |/ (х) - А| < е/2. Пусть х', х" g U (а) и х', х" * а; тогда
|/ (х') - f (х")| < |f (х') - А| + |А - f (х")| < | + | = е, и мы получили, что условие теоремы необходимо.
Докажем достаточность этого условия. Пусть функция/ (х) определена в некоторой окрестностиа, за исключением, быть может, самой точки а, и пусть для любого £ > О можно указать окрестность 17 (а) такую, что (х') — f (х") | < £ для всех х', х" 6 U (а), х', х" а. Зададим произвольную последовательность {хп}, хп Ф а (п = 1, 2,...), стремящуюся к а. Тогда, согласно критерию Коши, для последовательности, стремящейся к пределу, найдется число пй такое, что для п, т > п0 будет х„, хт е 17 (а). Но тогда
I/ (*„) - f (*m)l < £ (п,т> п0),
96
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
и последовательность [f (хи)} удовлетворяет критерию Коши и, следовательно, имеет предел.
Мы доказали следующее свойство рассматриваемой функции/: для любой сходящейся к а последовательности чисел хп * а существует lim / (хи). Из этого свойства автоматически следует, что пределыйт / (хп), соответствующие разным сходящимся к а последовательностям, равны между собой. Но тогда существует lim/(х). В самом деле, пусть хп — а, х'п~* а;
х-^а
хи, x'n a (n = 1, 2, ...). Тогда по доказанному существуют числа А и А' такие, что / (хп) —• А и / (х') — А'. Составим новую последовательность: {хр хр х2, х'г, х3 ...}. Она сходится к числу а. По доказанному выше должна сходиться к некоторому числу и соответствующая последовательность {/ (х 1), / lx,), / (х2), /(х2), ...}. Но это возможно, только если А = А'. Таким образом, А — А'. Теорему доказана.
Теорема 6. Пусть
Ит/(х) — А, Нт<р(х) = В, х-а
где Au В — конечные числа. Тогда
lim [/ (х) ± ф (х)] = А ± В, Кт [/ (х) ф (х)] = АВ х—а	х^а
и при условии, что В ф О,
lim/W = A х-а ф(х) В '
Докажем для примера второе равенство. Пусть хп — а, хп а (п = 1, 2, ...); тогда
lim / (хп) = A, lim <р (хп) = В,
но так как предел произведения двух переменных, пробегающих последовательности, равен произведению их пределов, то
lim [/ (хп) <р (хп)] = lim / (xn) lim ф (хп) = АВ.
Это равенство доказано для любой переменной хп -* а, хп Ф а, поэтому lim[/(x)<p(x)] = АВ.
§ 3.2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
97
По определению lim f (х)=оо, если функция f (х) опре-х—а
делена на некоторой окрестности а, за исключением, быть может, самой точки а, и если для всякого положительного числа М найдется такая окрестность U (а) точки а, что
|/ (х)| > М (xeU (а), х * а).
Функцию, для которой lim f (х) = оо, называютбеско-х—а
нечно большой при х -* а.
Если lim f (х) = оо и в некоторой окрестности точки а х—а
функция f (х) > 0 (соответственно f (х) < 0), то еще пишут lim f (х) = +оо ( соответственно lim f (х) = —оо).
х—а	х—а
Легко доказать следующие теоремы.
Теорема 7. Если функция f (х) удовлетворяет на некоторой окрестности а неравенству
|/(х)|>М>0,
а для функции <р (х) имеет место
lim <р (х) = 0	(<р (х) 0 для х а),
х—а
то
Теорема 8. Если lim f (х) - A, lim <р (х) = оо (А — х—а	х—а
число), то
lim = О.
х—а ф(х)
Следствие. Если <р (х) — 0 (х -» а, <р (х) Ф 0), то lim--L_ = оо, х-а <р(х)
и если <р (х) -* оо (х — а, <р (х) О), то
lim-J— = 0. х—а ф(х)
Можно еще определить предел функции f в точке а (конечной) справа (слева).
4 — Бугров Том 2
98
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
По определению число А называется пределом функции f в точке а справа(слева), если она определена на некотором полуинтервале (а, Ь] ([Ь, а)) и для нее существует
lim f(xn)=А (соответственно lim f(x^ = А )
для любой указанной последовательности {хП}.
Предел справа (слева) функции f в точке а принято обозначать так:
f (a + O) = lim/(x),	(4)
х^а х>а
f(a-O) = limf(x).	(5)
х— а х<а
Если f определена на интервале (а, Ъ), то в точке а может иметь смысл только число/ (а + 0), а в точке Ъ — только число / (Ъ — 0).
Замечание. Равенства
/(а + 0) = /(а-0)=А	(6)
эквивалентны существованию предела
lim / (х) =А.	(7)
х—а
В самом деле, (6) можно выразить так: Ve > 0 38 > 0: |/ (х) - А| <е, Vx: 0< |х - а|< 8, х > а; |/ (х) - А| < е, Vx: 0 < |х -— а| < 8, х < а. Но это можно выразить более кратко: Ve > 0 38 > 0: |/ (х) — -А| < е, Vx: 0 < |х — а| < 8, что эквивалентно (7).
§ 3.3. Непрерывность функции
На рис. 15, а изображен график функции у = / (х) (а < х < Ь). Его естественно назвать непрерывным графиком, потому что он может быть нарисован одним движением карандаша без отрыва от бумаги. Зададим произвольную точку (число) х G [а, Ь]. Близкая к ней другая точка х' G [а, Ь]
$ 3.3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
99
Рис. 15
м  . > >11. нишсппп и виде х'  х + Ах, где Дх есть число  >.. . • и < п.м1м> или 1ггрицптелы1(Х’, называемое приращение Н t I' > IIKXTb
А/ =. Ay = / (х + Ах) - /(х) iui.ii.ищется приращением функции f в точке х, соответ-тну кпцим приращению Ах. Здесь имеется в виду Ах такое, что х * Ах с [а, 5]. На рис. 15, а Ду равно длине отрезкаВС.
Будем стремить Ах к нулю; тогда для рассматриваемом функции, очевидно, и Ду будет стремиться к нулю:
Ау - 0 (Ах - О).	(1)
Рассмотрим теперь график на рис. 15,6. Он состоит из двух непрерывных кусков РА и QR. Однако эти куски не с<х‘динены непрерывно, и потому график естественно нажать разрывным. Чтобы график изображал однозначную функцию у = F (х) в точке х0, условимся, что F (х0) равно длине отрезка, соединяющего А и х0; в знак этого точка А изображена на графике кружком, в то время как у точки Q нарисована стрелка, указывающая, что Q не принадлежит графику. Если бы точка Q принадлежала графику, то функция F была бы двузначной в точке х0.
Придадим теперь х0 приращение Ах0 и. определим соответствующее приращение функции:
ДВ = В(х0+Ах)-В(х0).
Если мы будем Ах0 стремить к нулю, то теперь уже нельзя
4*
100
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
сказать, что AF будет стремиться к нулю. Для отрицательных Дх0, стремящихся к нулю, это так, но для положительных вовсе не так: из рисунка видно, что если Дх0, оставаясь положительным, стремится к нулю, то соответствующее приращение AF при этом стремится к положительному числу, равному длине отрезкаAQ.
После этих рассмотрений естественно функцию f, заданную на отрезке[а, Ь], называть непрерывной в точке х этого отрезка, если приращение ее в этой точке, соответствующее приращению Ах, стремится к нулю при любом способе стремления Ах к нулю. Это (свойство непрерывности f в х) записывается в виде соотношения (1) или еще так:
lim Ay = 0.	(2)
Ax—0
Запись (2) читается так: предел Ау равен нулю, когда Ах стремится к нулю по любому закону. Впрочем, выражение «по любому закону» обычно опускают, подразумевая его.
Если определенная на [а, Ь] функция f не является непрерывной в точкех G [а, Ь], т.е. если для нее не выполняется свойство (2) хотя бы при одном способе стремления Ах к нулю, то она называется разрывной в точке х.
Функция, изображенная на рис. 15, а, непрерывна в любой точке х е [а, Ь], функция же, изображенная на рис. 15, б, очевидно, непрерывна в любой точке х е [а, Ь], за исключением точки х0, потому что для последней соотношение (2) не выполняется, когда Ах -* 0, оставаясь положительным.
Функция, непрерывная в любой точке отрезка (интервала), называется непрерывной на этом отрезке {интервале).
Непрерывная функция математически выражает свойство, с которым нам приходится часто встречаться на практике, заключающееся в том, что малому приращению независимой переменной соответствует малое же приращение зависимой от нее переменной (функции). Прекрасными примерами непрерывной функции могут служить различные
§ 3.3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
101
законы движения тел s = f (t), выражающие зависимости пути s, пройденного телом, от времени*. Время и пространство непрерывны. Тот или иной закон движения s = f (*) устанавливает между ними определенную непрерывную снизь, характеризующуюся тем, что малому приращению времени соответствует малое приращение пути.
К абстракции непрерывности человек пришел, наблюдая окружающие его так называемые сплошные среды — твердые, жидкие или газообразные, например металлы, воду, воздух. На самом деле, всякая физическая среда представляет собой скопление большого числа отделенных друг от друга движущихся частиц. Однако эти частицы и расстояния между ними настолько малы по сравнению с объемами сред, с которыми приходится иметь дело в макроскопических физических явлениях, что многие такие явления можно достаточно хорошо изучать, если считать приближенно массу изучаемой среды непрерывно распределенной без всяких просветов в занятом ею пространстве. На таком допущении базируются многие физические дисциплины, например гидродинамика, аэродинамика, теория упругости. Математическое понятие непрерывности, естественно, играет в этих дисциплинах, как и во многих других, большую роль.
Непрерывные функции образуют основной класс функций, с которым оперирует математический анализ.
Примерами непрерывных функций могут служить элементарные функции (см. ниже § 3.8). Они непрерывны на интервалах изменения х, где они определены.
Разрывные функции в математике отражают скачкообразные процессы, встречающиеся в природе. При ударе, например, величина скорости тела меняется скачкообразно. Многие качественные переходы сопровождаются скачками. Например, зависимость^ = f (*) между температурой одного грамма воды (льда) и количеством Q калорий находящегося в ней тепла, когда* изменяется между-10° и +30°, если принять условно, что при -10° величина Q = 0, выражается следующими формулами:
102
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Q(t) =
0,51+5,
*+85,
-10«*<0, 0<*«30.
Мы считаем, что теплоемкость льда равна 0,5. При t = 0 эта функция оказывается неопределенной — многозначной; можно для удобства условиться, что при t = 0 она принимает вполне определенное значение, например f (0) = 45. Функция Q = f (*), очевидно, разрывная при* = 0, изображена на рис. 16.
Дадим определение непрерывности функции f в точке.
Функция f (х) называется непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе в самой точке х0, и если ее приращение в этой
-10 0 30 t
Рис. 16
точке, соответствующее приращению аргумента Дх, стремится к нулю при Ах -* 0: Ит Ду =	+ Дх) - /(л^)] =0.	(3)
Дх—О Лх—0
Если положить X = х0 + Дх, то получим следующее эквивалентное определение непрерывности f в х0: функция f непрерывна в точке х0, если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе в самой точке х0, и если
Ит f (х) = f (х0);	(4)
или еще на языкеЕ, 5: если для всякого£> 0 найдется^> 0
такое, что
If (х) - /(х0)| < £ Vx: |х - х0| < 5.
Равенство (4) можно еще записать следующим образом:
lim f (х) = f f lim x\	(4')
*~*i>	J
Оно показывает, что под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.
Пример 1. Постоянная у = С есть функция, непрерывная в любой точке х. В самом деле, точке х соответствует значение функции у = С, точке х + Дх соответствует
§ 3.3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
103
то же значение у (х + Дх) = С. Поэтому Ду = у (х + Дх) --у (х) = С - С = 0 и
lim Ду = lim 0 = 0.
Дх^О	Дх—О
Пример 2. Функция у = х непрерывна для любого значения х, потому что Ду = Дх и, следовательно, Ду -► 0 при Дх — 0.
Пример 3. Функция у = sin х непрерывна для любого х. В самом деле,
|Ду| = |sin (х + Дх) - sin х| =
2sin-^-cos(x+Д^)| <
2	*	2 'I
<2 |sin (Дх/2)|.
(5)
Но для любого а имеет место неравенство
|sin а| < |а|.
(6)
Если 0 < а < 71/2, то это следует из рис. 17, где изображена окружность радиуса 1 (дуга длины 2а больше стягиваемой ею хорды, имеющей длину 2 sin а). При а = 0 неравенство (6) обращается в равенство. Если же 0 < |а| <71/2, то |sin а| = sin |а| < |а|. Наконец, если |а| > л/2,то |sin а| < <1 <л/2 < |а|. Из (5) на основании (6)следует
|Ду| < 2|sin^| < 2^ = |Дх|,
т. е.
|Ду| < |Дх|.
Но тогда, очевидно,
lim Ду = 0.
Лх-0
Можно еще сказать, что для всякого Де > 0 можно найти 5 > 0, именно 5 = £ такое, что
|Ду| < е \/Дх:|Дх| < 8 = £.
Отметим важную теорему.
104
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
Теорема 1. Если функции f и ф непрерывны в точке х = а, то непрерывны также в этой точке их сумма, разность, произведение и частное (при ф (а) Ф 0).
Эта теорема непосредственно вытекает из теоремы 6 § 3.2, если учесть, что в данном случае
/(а) = limftx), <р(а) = Нтф(х). х—>а	х->а
Справедлива также важная теорема о непрерывности функции от функции (сложной функции).
Теорема 2. Пусть задана функция f (и), непрерывная в точке и = А, и еще другая функция и = <р (х), непрерывная в точке х = а,и пусть (р (а) = А. Тогда сложная функция F (x) = f [ф (х)] непрерывна в точке х = а.
Доказательство. Заметим, что по определению непрерывности функции f в точке А следует, что она определена в некоторой окрестности этой точки. Поэтому
lim F (х) = lim f [ф (*)] = lim f (и) = f (А) = f [ф (а)] = F (а). х>а	и->А
Здесь введена подстановка и = ф (х) и учтена непрерывность ф в точке х = а: ф (х) -* ф (а) = А.
Пример 4. Функция
Р (х) = аох" + а1хп-1 + . . . + ап, где аП — постоянные коэффициенты, называется многочленом степени п. Она непрерывна для любого х. Ведь чтобы получитьР (х), надо, исходя из постоянных чисел а0,..., ап и функции х, произвести конечное число арифметических действий — сложения, вычитания и умножения. Но постоянная есть непрерывная функция (см. пример 1), а функция у = х тоже непрерывна (см. пример 2), поэтому непрерывность Р (х) следует из теоремы 1.
Пример 5. Функция у cos х непрерывна. Она является композицией двух непрерывных функций: у =sin и.
$ 3.3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
105
Пример 6. Функция
j/ = tgx=sinx	й = 0, ±1, ±2,...),
cosx	2
непрерывна для указанных х, потому что (см. теорему 1) она равна частному от деления непрерывных функций и при этом делитель не равен нулю (при указанных х).
Пример 7. Функция
• 3 5 y = sm х ш-п|м*рывна для любого х, потому что она является композицией непрерывных функций: у = и3, и = sin v, v — х5 (см. теорему 2).
Пример 8. Функция у = |х| непрерывна Vx, потому
что
|Ду| =* I Iх + ДХ1_ И I < Iх + Дх - х| = |АХ1 0 при Дх 0.
Пример 9. Если функция f (х) непрерывна в точке хп, то непрерывна также в этой точке и функция \f (х)|.
Это следует из теоремы 2 и примера 8, потому что функция \f (х)| есть композиция двух непрерывных функций: у = |н|, п = /(х).
Отметим еще две теоремы, которые непосредственно следуют из соответствующих теорем 1 и 2 § 3.2 для предела функции.
Теорема 3. Если функция f непрерывна в точке а, то существует окрестность U (а) этой точки, на которой f ограничена.
Теорема 4. Если функция f непрерывна в точке а и f (а) Ф 0, то существует окрестность U (а) точки а, на которой
|/(х)| > |/(а)|/2.
Больше того, если f (а) > 0, то
/ (а)/2 < / (х) а если f (а) < 0, то
f(x)<f (а)/2
(xg U (а)),
(хе U (а)).
106
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
§ 3.4.	Разрывы первого и второго рода
По определению функция f непрерывна в точке х = а справа (слева), если
f (а) = f (а + 0) (соответственно f (а) = f (а- 0))
(см. конец § 3.2).
Непрерывность f в точке а можно определить также следующим образом: функция f непрерывна в точке х = а,
если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе и в самой точке х = а,и существуют пределы f (а + 0) и f (а - 0) такие, что
f (а) = f (а + 0) = f (а-0).	(1)
Если функция f такова, что для нее существуют пределы f (а + 0), f (а— 0), однако равенства (1) не выполняются, то, очевидно, она разрывна (не непрерывна) в точке а. В этом случае говорят, что функция f в точке а имеет разрыв первого рода.
На рис. 18—23 приведены шесть графиков функций, имеющих разрыв первого рода в точке а. Буква А обозначает точку Л. = (a, f (а)) графика функций. Стрелка на конце куска кривой обозначает, что концевая точка, где находится стрелка, выброшена.
На рис. 18 — 21 даны графики функций, для которых все три числа f (a), f (а + 0), f (а - 0) имеют смысл. На рис. 18 три числа/ (a), f (а +0), f (а -0) попарно различны — функция не только разрывна в а, но разрывна также справа и
§ 3.4, РАЗРЫВЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА
107
(лена. На рис. 19 функция непрерывна слева в а, но разрывна справа. На рис. 21 f {а + 0) = f (а - 0) Ф f (а). В этом случае говорят, что функция f имеет в точке а устранимый разрыв — ведь ее можно видоизменить в точке а, положив f (а) = f (а + 0) = f (а — 0), и она сделается непрерывной в этой точке. На рис. 22 функция не определена в точке а. На рис. 23 функция тоже не определена в точке а, но f (а । 0) = f (а - 0), поэтому, если доопределить f в этой точке, положив f (а) = f (а + 0) = f (а - 0), то функция f станет н<*1ц>ерывной в точке а.
В случаях рис. 22 и 23 функция f определена в окрестности точки, за исключением самой точки а. В таких случаях часто говорят, что f разрывна в а, хотя идея непрерывности и разрывности в точке а есть идея сопоставления f (а) с f (х) при х, близких к а.
Если у функции f не существует правого предела или левого предела в точке а, или не существует как правого, так и левого предела, или же эти пределы бесконечны, то говорят, что она имеет разрыв второго рода в этой точке.
Пример 1. Функция
, sini, х*0, f (X) = X
0, х=0
в точке х = 0 не имеет правого и левого пределов (см. пример 3 § 3.2). Следовательно, она имеет разрыв второго рода в точке х = 0.
108
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Пример 2. Функция
sign х = 0.
-1,
х>0, х=0, х<0,
очевидно, непрерывна для х Ф 0, а в точке х = 0 имеет разрыв первого рода. При этом sign (0 + 0) = 1, sign (0 — 0) = -1.
Пример 3. Функция [х] — целаячастьх — длях > >0 имеет график, изображенный на рис. 24. Она непрерывна для нецелых х, а если х целое, то [х + 0] = х = [х] и [х — 0] = х - 1, и, следовательно, имеет место разрыв первого рода.
Пример 4. Функция sinl/x, х * 0, 2, х = 0
непрерывна для х Ф 0. Правый и левый пределы в точке х = 0 равны бесконечности, поэтому функция имеет разрыв второго рода в этой точке. В этом случае также говорят, что функция имеет бесконечный разрыв в этой точке.
У =
Теорема 1. Если функция f не убывает на отрезке [а, Ь], то существуют пределы f (а + 0) > f (а) и f ( Ъ --0)</(Ь).
Доказательство. Из условия следует, что Г (х) </(*>) Vxe[a,b), т. е. f ограничена сверху числом f (b) на полуинтервале {а, Ь). Но тогда существует точная верхняя грань f на этом полуинтервале:
sup f (х) = f (Ь).
В силу свойства точной верхней грани для всякого £ > 0 найдется х0 е [а, Ъ) такое, что
M-E<f(x0)<Af,	(2)
§ 3.4. РАЗРЫВЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА
109
а в силу того, что f не убывает, имеет место
f (*о) < f (*)	^х: хо < х < ъ-	(3)
Из (2) и (3) следует, что
М -Е < f(x) < М Xfx: х0< х <Ь, и мы доказали, что существует левый предел f в точке Ь: lim/(х) = f(b - 0) = М < f(b).
х~Ь х<Ъ
Аналогично, рассматривая неравенство/ (а) < f (х)для х е (а, Ь], докажем существование
f (а + 0) = inf /(х) > f (а).
хв(а,Ь]
Следствие. Если функция f не убывает на отрезке [a, ft], то в любой точке х е [а, ft) существует правый предел f (х + 0) > f (х) и в любой точке х е (a, Ь] существует левый предел f (х - 0) < f (х).
В самом деле, для точек х = а, Ь это утверждение доказано в теореме 1. Пусть х G (а, Ь). На отрезках [а, х] и [х, ft] функция f не убывает, поэтому по теореме 1 существуют пределы f (х - 0), f (х + 0) и f (х - 0)< f (х) < f (х + 0).
В данном случае, очевидно, что для того чтобы функция f была непрерывной в точкех, необходимо и достаточно, чтобы f (х — 0) = f (х + 0).
Если f (х - 0) <f (х + 0), то функция f имеет в точке х разрыв первого рода.
Теорема 2. Множество точек разрыва функции f, неубывающей на отрезке [а, Ь], не более чем счетно.
Доказательство. Пусть функция/ имеет больше чем одну точку разрыва, и пусть х' и х" (х' < х") — две какие-либо из них. Так как
fix' + 0) = inf / (х), / (х" - 0) = sup / (х), х е (х’.х*)	хе (х*,х*)
ТО
/(х' + 0)</(х"-0)
и интервалы (/ (х' - 0), / (х' + 0)), (/ (х" — 0), (/ (х" + 0)) оси у не пересекаются.
110
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
Каждой точке х' разрыва функции f соответствует интервал (f (х' - О), f (х' + О)). Внутри его выберем одну рациональную точку ах.. После сказанного ясно, что разным точкам разрыва х' соответствуют разные точки ах.. Но множество всех рациональных чисел счетно. Поэтому множество всех точек ах,, так же как и множество всех точек х' (разрыва f), не более чем счетно. Теорема доказана.
§ 3.5.	Функции, непрерывные на отрезке
Функция f называется непрерывной на отрезке [а, &], если она непрерывна во всех точках интервала (а, Ь), непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке Ъ.
Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом замечательных свойств, к изложению которых мы сейчас приступим.
Сначала мы сформулируем теоремы, выражающие эти свойства, и разъясним их на графиках и примерах, а затем докажем их формально.
Теорема 1. Если функция f непрерывна на отрезке [а, &], то она ограничена на нем, т. е. существует константа К> 0 такая, что выполняется неравенство
\f(x)\<K Vx е[а,&].
На рис. 25 изображен график Г непрерывной функции f на отрезке [а, &].- Очевидно, существует число К > О такое, что Г находится ниже прямой у = К, но выше прямой
у = -К. В этом и заключается теорема 1.
Заметим, что если функция непрерывна на интервале (а, Ь) или на полуинтервале [а, Ь) или (а, Ь], то она не обязательно ограничена на нем. Например, функция 1/х непрерывна на полуинтервале (0,1], но не ограничена на нем.
§ 3.5. ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ НА ОТРЕЗКЕ
Ш
Если эту функцию доопределить, положив / (0) = 0, то она будет конечной в любой точке отрезка [0,1], однако, не ограниченной на нем.
Теорема 2 (Вейерштрасса). Если функция / непрерывна на [а, Ь], то существует ее минимум и максимум на [а, Ь], т. е. существуют точкиа, 0 е [а, Ь] такие, что / (а) < / (х) < / (Р) для всех хе [а, Ь]. Иначе говоря,
min / (х) = / (а), max / (х) = / (0).
х<а,6)	х<а,Ь)
Непрерывная функция!/ = / (х), изображенная на рис. 25, достигает своего минимума на [а, Ь] в точке х = а и максимума в точке х = р. В данном случае обе точки аир принадлежат к интервалу (a, b) (а, Р е (а, Ь)). Непрерывная функция y~f (х), изображенная на рис. 26, достигает минимума на отрезке [а, Ь] на левом его конце и максимума — в некоторой внутренней точке 0 этого отрезка.
Замечание 1. По теореме 1 непрерывная на отрезке [а, Ь] функция ограничена на нем. Следовательно, существуют конечные точные нижняя и верхняя грани / на этом отрезке:
inf f (х) < sup / (х). хе[а,6]	xe[a,fe]
Теорема 2 утверждает, что эти грани на [а, Ь] достигаются, т. е. здесь inf и sup можно заменить соответственно на min и max (минимум и максимум).
Замечание 2. Функция!/ = х непрерывна на интервале (0, 1) и ограничена на нем; верхняя ее грань sup х = 1 не достигается, т.е. нет такого х0 е (0, 1), для хе(0,1) которого эта функция равна 1. Таким образом, в теореме 2 условие непрерывности / на замкнутом (содержащем в себе оба его конца а и Ь) отрезке существенно.
Очевидно, что sup arctg х = п/2. Однако нет такого х х>0
112
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
на луче х > О, для которого функция arctg х принимает значение л/2, и она не достигает максимума на х > О.
В данном случае условия теоремы не выполняются: область задания непрерывной функции arctg х неограни-чена.
Если функция f разрывна на [а, Ь], то она не обязательно достигает своей точной верхней грани. Примером может служить функция
Z(x) = Jx’0<x<1/2 (0,1/2 <х<1.
Теорема 3. Если функция f непрерывна на отрезке [а, Ь] и числа f (а) и f (b) не равны нулю и имеют разные знаки, то на интервале {а, Ь) имеется по крайней мере одна точка с такая, что f (с) - 0.
Функция, график Г которой изображен на рис. 27, удовлетворяет условиям теоремы 3. Она непрерывна на [а, Ь] и f (а) < 0, / (Ь) > 0. Из геометрических соображений очевидно, что график Г должен пересечь ось х по крайней мере в одной точке с е (а, Ь). Это и утверждает теорема 3.
Следствие 1.Если функция f непрерывна на [а, Ь], f (а) f (Ь) =В (АфВ) и С — произвольное число, находящееся между числами А и В, то на интервале (а, Ь) найдется по крайней мере одна точка с, для которой f (с) — С.
Это следствие можно сформулировать и так: непрерывная на отрезке [а, Ь] функция принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах отрезка [а, Ь].
$ 3.5. ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ НА ОТРЕЗКЕ
113
Доказательство. Определим новую функцию F (х) = f (х) - С, где С — константа — число, находящееся междуА иВ. Так как f — непрерывная на [а, Ь] функция, то и F — непрерывная на [а, Ъ] функция. При этом, очевидно, F принимает на концах отрезка [а, Ь] значения разных знаков. Тогда по теореме 3 должна найтись на (а, Ь) такая точка с, что F (с) = 0 или f(c) —С =0, т.е./(с) = С. Это и требовалось доказать.
Следствие 2. Непрерывная на отрезке [a, fe] функция принимает все промежуточные значения между ее наименьшим и наибольшим значениями (которые существуют по теореме 2).
Для доказательства достаточно применить следствие 1 к [а, р], где а, р — точки, в которых функция f (х) достигает свое наименьшее и наибольшее значение.
Пример 1. Уравнение х - cos х = 0 имеет корень на интервале (0, л)
В самом деле, функция f (х) = х — cos х непрерывна на отрезке [0, л] и на концах его принимает значения разных знаков: f (0) = -1, f (л) = л + 1.
Ниже мы доказываем теоремы 1—3 формально.
Доказательство теоремы 1. Допустим, что f не ограничена на [а, Ь]. Тогда для каждого натурального числа п найдется точка хп е [а, Ь] такая, что
IWI > П (и = 1, 2,...).	(1)
Последовательность {хп} ограничена (а и b — конечные!) и из нее можно выделить: дпоследовательность { хп* }, сходящуюся к некоторому числу а е [а, fe] (см. следствие из теоремы 4 § 2.1). Но в точке а функция f непрерывна (если а = а (а = Ь), то в этой точке f непрерывна справа (слева)), и потому
Um/fxJ-Aa).	(2)
Свойство (2) противоречит свойству (1). Поэтому f может быть только ограниченной на [а, Ь].
114
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
Доказательство теоремы 2. По предыдущей теореме непрерывная на [а, Ь] функция ограничена, следовательно, она ограничена сверху некоторым числом К:
f(x)< К (хе [а, Ь]).
Но тогда существует точная верхняя грань f на [а, Ь]:
sup f (х) = М.	(3)
хЦа,6]
Число М обладает следующим свойством: для любого натурального числа п найдется на [а, Ь] точка хп такая, что
М-± <f(xJ^M (и = 1,2,...). п
Последовательность {хп}, как принадлежащая к [а, Ь], ограничена, и потому из нее можно выделить подпоследовательность х^, сходящуюся к некоторому числу р, которое заведомо принадлежит [а, Ь]. Но функция f непрерывна в точке Р, и потому
С другой стороны, М —— < f(x) М (k = 1, 2,...) nh
Но так как/ (х) может стремиться только к одному пределу, то М = / (р). Верхняя грань (3), таким образом, достигается в точке р, т. е., как говорят, функция f достигает в точке Р своего максимума на отрезке [а, Ь]. Мы доказали, что существует точка р е [а, Ь], для которой
max / (х) = / (Р).
Доказательство другой части теоремы о минимуме аналогично, но его можно свести к доказательству первой части теоремы, учитывая, что
min / (х) = - max {-/ (х)}.
§ 3.6. ОБРАТНАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ
115
Доказательство теоремы 3.Обозначимотре-»(а, Ь] через <50. Разделим а0 на две равные части. Если п < средине ст0 функция равна нулю, то теорема доказана; ли этого нет, то одна из половинок а0 такова, что на конах ее наша функция принимает значения разных знаков. (Назначим именно эту половинку через Qj и разделим ее н । дне равные части. Может случиться, что в середине мм >i ж функция равна нулю, и тогда теорема доказана. Если шт, то обозначим через о2 ту из половинок, на концах • оторой f принимает значения разных знаков. Рассуждая тик по индукции, мы либо наткнемся на очередном этапе рпссуждештй на точку с е (а, Ь), для которой f (с) = 0, и тогда теорема доказана, либо получим последовательность (бесконечную) вложенных друг в друга отрезковсг0 гэ о0 О > ст() о ..., на каждом из которых/ имеет значения разных таков. Тогда существует точка с, принадлежащая всем ст„, следовательно, и [а, Ь]. Очевидно, / (с) =0, потому что, <•• :ли допустить, например, что / (с) > 0, то нашлась бы окрестность U (с) точки с такая, что для всехх из [а, Ь], принадлежащих 17 (с), функция/ (с) была бы положительной, по этого не может быть, потому что при достаточно большом п отрезок <Зп с U (с), а / не сохраняет знак на стп. Теорема доказана.
§ 3.6.	Обратная непрерывная функция
Рассмотрим непрерывную строго возрастающую на отрезке [а, Ь] функцию у = / (х) (рис. 28). Пусть
/(а) = а, /(б) = Р-
График этой функции есть непрерывная кривая. Из его рассмотрения видно, что еслих непрерывно возрастает от а до Ъ, то у при этом тоже непрерывно возрастает от
116
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
е значения на отрезке [а, р] по одному разу.	Но
тогда каждому значению у е [а, р] соответствует единственное значение х е [а, Ь] такое, что у = f (х).
х Этим определена на отрезке [а, Р]
О а хд-Е	функция
„	х = ё (У), У е [а, р],
Рис. 28
называемая функцией, обратной к функции у = f (х).
Очевидно, функция х = g (у) строго возрастает на отрезке [а, р], отображает этот отрезок на [а, Ь] и выполняют
ся тождества
f[g ('/)] = У Vye[a, р], g [У (*)] = х Vx е [а, Ь],
График функции х = g (у) можно получить, повернув на 180° рассматриваемую плоскость вокруг биссектрисы первого координатного угла системых, у. Так как в результате поворота график остается непрерывным, то это показывает, что функция х = g (у) непрерывна на [а, Р].
Таким образом, пользуясь чисто геометрическими соображениями, мы установили справедливость следующей теоремы.
Теорема 1. Пусть функция f непрерывна на отрезке [а, Ь], строго возрастает на нем ua = f (а), р = / (Ь).
Тогда-. 1) образ отрезка [а, Ь] при помощи f есть отрезок [а, р], 2) существует обратная к f функция х — - g (у), однозначная, строго возрастающая и непрерывная на [а, Р].
Доказательство. Пусть У=f([a, Ь]) есть образ[а, Ь] при помощи функции f. Так как a, Р 6 У и функция f непрерывна на [а, Ь], то функция f пробегает все значения
5 3.6. ОБРАТНАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ
117
между числами а и 0 и других значений принимать не мо-•к. ,, ведь по условию она возрастает на [а, Ь] и а = Да), Р = fib). Поэтому [а, р] = у, т. е. отрезок [а, р] есть образ отрез-i< н |а, Ь] при помощи функции f. Отсюда следует, что каждому у £ [а, р] соответствует и при том единственное значение г [а, Ь] такое, что у = Дх). Единственность следует из того, что f на [а, Ь] возрастает.
Зтим на [а, Р] определена обратная к f функция
*=W)	!/е К Pl-
Графиком ее можно считать трафик f (рис. 28), если < чн-гать, что ось у есть ось независимой переменной.
Функция у непрерывна. Пусть пока у0 е (a, Ь]их0 = ц/(у0). Зададим £ > О так, чтобы а < х0 — £<х0 + £<Ьи положим ух = Дх0 - £), у2 = Дх0 + £). Тогда d < уг < у0 < у2 <  р. Отсюда следует вследствие монотонности и непрерывности /, что для заданного нами£ > 0 нашлась окрестность (у,, У г) С [ct, р] точки у0 такая, что все ее точки у(у е (ylt у,)) переходят при помощи функции!}/ в £-окрестность (х0 -- е, х0 + £) точки х0. А это значит, что функция ц/ непрерывна в точке у0.
Доказательство для точек у0 = а и у0 = р аналогично, оперируя полуинтервалами вместо интервалов.
Незначительно изменяя приведенные выше рассуждения, можно доказать следующий аналог теоремы 1.
Теорема 1'. Пусть функция f непрерывна и строго возрастает на (а, Ь) (или на [а, Ь), или (а, Ь]) и
а= inf Дх), р= sup Дх).
x^a.fc)	хЦа.Ь)
Тогда образ интервала (а, Ь) (соответственно^, Ь), (а, Ь]) есть интервал(а, р) (соответственно [а, Р), (а, р]) и обратная к f функция х = g (у) однозначна, строго возрастает и непрерывна на (а, Р) ([а, Р), (а, Р]).
118
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Замечание. Строго убывающая непрерывная на [а, б] функция f (х) имеет обратную строго убывающую непрерывную функцию на [р, а], где а = f (а), Р = f (Ь). Это легко устанавливается, если рассмотреть функцию — f (х) или же функцию f (-х).
Если же непрерывная на [а, Ь] функция у = f (х) не является строго монотонной на [а, б], то можно определить для нее обратную функцию, но эта последняя уже будет многозначной во всяком случае для некоторых у.
Пример. Функция
у = sin х (хе (-оо, оо)),
непрерывна, но не монотонна. Множество ее значений!/ заполняет отрезок [—1, 1]. Каждому у из этого отрезка соответствует бесконечное число значений х, для которых у — - sin х.
Впрочем, например, на отрезке [-л/2, л/2] функция у = sin х непрерывна и строго возрастает и имеет обратную непрерывную функцию, которая, как мы знаем, обозначается так:
х = arcsin у (—1 < у С 1).
§ 3.7. Равномерная непрерывность функции
Пусть функция f непрерывна на отрезке [а, б] (или интервале, полуинтервале). Тогда для каждой точки х0 этого отрезка (интервала, полуинтервала) по заданному £ > О найдется 5 > 0 такое, что
\f (X) - f (х0)| < £,
как только
|х — х0| < 5, х е [а, б] (или (а, Ь), [а, Ъ), (а, б]).
§ 3.7. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
119
При изменении х0 при по-стоянномЕ число6, вообще говоря, изменяется — оно зависит не только оте, но и от х0. Как видно из рис. 29, числоб, пригодное на участке с пологим графиком, может оказаться слишком большим для участка с круто подни
мающимся графиком.
В связи с этим естественно
J--1--1---1--
Х0~& Х0 Х0*^ хо	х
Рис. 29
выделить те непрерывные функции, для которых при данном £ > 0 можно указатьб > 0, пригодное сразу для всехх, принадлежащих тому множеству, где задана функция.
Начнем с определения.
Определение 1. Функция f, определенная на множестве X, называется равномерно непрерывной на этом множестве, если для всякого е > О найдется б > О, зависящее только от е, такое, что
|/(х')-/(х")|<£
для всех х', х" g X, удовлетворяющих неравенству |х' - х"| < б.
Легко видеть, что если функция равномерно непрерывна на множестве X, то тем более она равномерно непрерывна на любом его подмножестве X' (X' с: X). Обратное, вообще говоря, неверно.
Теорема 1. Если функция f определена и непрерывна на отрезке [а, Ь],то она равномерно непрерывна на нем.
Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда существует такое е > О, что для любого б > 0 найдется пара точек х', х" е [а, Ь], удовлетворяющих неравенству |х' - х"| < б, для которых
|/(х')-Г(х")|>£.
Зададим стремящуюся к нулю последовательность по
120
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
ложительных чисел 5П (п = 1,2,...). Для каждого 5П найдутся точки х/, х" е [а, Ь] такие, что
1<~<1 < бп> но |Л<)-/(О| > е- (1)
Так как точки последовательности {xj,} принадлежат к [а, Ь], то эта последовательность ограничена и из нее по теореме Больцано—Вейерштрасса можно выделить подпоследовательность |х^}, сходящуюся к некоторой точке х0 е е [а, 6]. Так как х^-х" —* 0, k -* оо, то подпоследовательность |х" } тоже сходится к точке х0. По условию функция f непрерывна на [а, Ь] и, следовательно, непрерывна в точке х0. Конечно, если х0 = а или х0 = Ь, то надо считать, что f непрерывна в х0 справа или соответственно слева. Поэтому
*“»/(<) =	= f (х0).
Я—ХЮ	% k—ко Ъ
После перехода к пределу в (1) при fe — оо получим
е < Ип1|/(х;)-Дх")| = |/(х0) - /’(х0)| = 0,	(2)
Л-ХЯ
и мы пришли к противоречию: Е < 0.
Заметим, что в (2) мы воспользовались непрерывнос-
тью функции |н| (см. § 3.3, пример 8). Теорема доказана.
Пример 1. Функция
У = sin (1/х)
непрерывна на отрезке [6,1] V5 > 0, поэтому на основании теоремы 1 она равномерно непрерывна на этом отрезке.
С другой стороны, на полуинтервале (0,1] эта функция хотя и непрерывна, но не является равномерно непрерывной. Это показывает, что требование в теореме 1, чтобы непрерывная функция была задана на отрезке, а не на интервале, существенно.
Убедимся в том, что наша функция яе является равно-
мерно непрерывной на (0, 1]. Точки xk =
2 л(2й+1)
(fe = 0, 1,
§ 3.8. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
121
очевидно, принадлежат полуинтервалу (0, 1], и для них
.. ч ,, ч - л(2А+3)	. л(2А+1)
/ (Х*н)-f(**)l= sin~2------Sin---2	=
= К-1)*"1 - (-1)1 = 2.
Если задать е = 1, то при любом 8 > 0 найдется такое k, что
|Xft+1 ~ *** = it(2fe+3X2*+l) < 5’ между тем как
|/(xfe+1)-/(xfc)| = 2 >£= 1.
Из сказанного следует, что нашу функцию нельзя продолжить на отрезок [0, 1 ], доопределив ее в точке х = 0 так, чтобы она стала непрерывной на [0, 1], потому что тогда, согласно теореме 1, она была бы равномерно непрерывной на [0, 1], а следовательно, и на (0, 1], чего быть не может.
§ 3.8.	Элементарные функции
Функции С (постоянная), х”, ах, loga х, sin х, cos х, tg х. Arcsin x.Arccos x,Arctg х мы будем называтьпростешиими >лсментарными функциями.
Применяя к этим функциям арифметические действия или операции функции от функции (суперпозиции) в конечном числе, мы будем получать новые более сложные функции, которые называются элементарными функциями.
Например, у =ln (еж+sinz х +1) — элементарная функция.
Элементарные функции нам известны из школьной математики. Там уделялось большое внимание их свойствам, но определялись они не всегда строго, полагаясь на интуицию учащегося.
Нам будет полезно уделить некоторое внимание этим вопросам с точки зрения общих фактов математического анализа, которыми мы уже успели овладеть.
а)	Постоянная функция С. Каждому действительному числу (точке) х она приводит в соответствие одно
122
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
и то же число С. График ее есть прямая, параллельная оси х, отстоящая от этой оси на расстояние |С| выше этой оси, еслиС > 0, и ниже, еслиС < 0. Это непрерывная функция на всей действительной оси (см. § 3.3, пример 1).
б)	Степенная функция хп (п — постоянная). При натуральном п е N эта функция определена на всей действительной оси. Чтобы вычислить ее (теоретически!), разлагаем х в десятичную дробь (х = ±а0, а,а2...) и перемножаем эту дробь саму на себя п раз, применяя каждый раз правило умножения десятичных дробей (см. § 1.6, (11)) и правило знаков.
Функциях” непрерывна, потому что она есть произведение непрерывных функций (у = х), взятых в конечном числе. Она строго возрастает на [0, оо), что видно из соотношений
Х2 “ Х1 = (х2 - х1)(х2 1 + Х2 ~2х1 + •- + х""г)> 0
при хх < х2. Кроме того, она стремится к + оо при х — + оо. В самом деле, если х> 1, тох" = х"-1х > х (и > 1) и прих — —* оо, х —» оо, х” —» оо .
Итак функция <р (х) = х” при натуральном п непрерывна, строго возрастает на [0, оо) и для нее (р (0) = 0, sup <р(х) = XefO.co)
= +оо. Но тогда на основании теоремы 1'§ 3.6функцияу=х” отображает полуинтервал X = [0, оо) на полуинтервал У = [0, оо) и существует обратная к ней однозначная непрерывная строго возрастающая функция. Эту функцию обозначают так:
х = у,п = у[у (у > 0)
и яазываютарифметическим значением корня п-й степени из у.
Отметим, что при у >1 (и > 1)
= 1. (1)
Подчеркнем, что если а есть произвольное неотрицательное число (0 < а < оо), то для него на основании ска
§ 3.8. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
123
занного существует и притом единственное неотрицательное число Ь = а, п (арифметическое значение корня п-й степени из а) такое, что Ъп — а.
Мы сейчас доказали существование корня п-й степени из а(а 0).
Этого утверждения в школьной математике не хватало. Там вводилось понятие корня п-й степени из а (а > 0) и изучались свойства корней п-й степени, однако не доказывалось, что такие корни существуют — факт существования считался само собой разумеющимся.
Отметим, что еслип — 2k + 1 — число нечетное (k = 0,1, 2,...), то функция у — х1 нечетная ((—х)” = —хп). Она непрерывна, очевидно, строго возрастает на (-оо, оо) и обладает свойствами
inf х1— -со, sup х" = +оо.
Поэтому на основании теоремы 1' § 3.6 функция у = xZft+1 отображает (-со, оо) на (— оо, оо) и имеет на ( — оо, оо) обратную непрерывную строго возрастающую функцию
х = у/у (у е (-со, оо), и = 2k + 1).
Здесь выражение д/у при у > 0 понимается как арифметическое значение корня п-й степени изу, т. е. как положительное число, n-я степень которого есть у. Если же у < 0, то
11у =-^,
где в правой части корень понимается в смысле арифметического значения.
Для четного п = 2k (k = 1, 2, ...) у = х" есть четная непрерывная функция. Она отображает интервал (-оо, +оо) на полуинтервал [0, оо). Но она не монотонна на (—оо, +оо) и обратная к ней функция двузначна:
х = ±ц[у (уеО).
Значение у = 0 единственное, для которого она одно
значна.
124
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
В школьной математике функция хп определяется и для рациональных п. Пусть р, q е N. Полагают для х > О
xp,q=^
и доказывают, что
x₽/9 = x4’/e,= (Vi)'’ (х>0).
Полагают также
х
(х>0)
и еще
х° = 1
При этом доказывают для любого рационального п свойство, характерное для степенной функции:
(ху)п = ^уп (х, у>0).
Отметим, что функция у — х?/ч (р, q 6 N), как это нетрудно установить, непрерывна и строго возрастает на полуинтервале [0, оо) и отображает [0, оо) на [0, оо), поэтому
$ 3.8. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
125
она имеет обратную непрерывную строго возрастающую функцию, определяемую, очевидно, равенством
х = у9/р (0 < у < оо).
Что же касается функции у = xplq (p,qe N), то она строго убывает и непрерывна на интервале (0, оо) и отоб-I ажает (0, оо) на (0, оо). Поэтому она имеет на (0, оо) обратную строго убывающую непрерывную функцию, определяемую равенством
х-ур/ч (у>О).
Очевидно,
limx”’/p = +оо, limy-’7'’ =+оо. х—О	у-0
х>0	у>0
Степенная функция хп может быть определена (для х 0, а при Оидлях =0) также и для иррациональных п, но это лучше сделать при помощи показательной функции ах (см. ниже в)).
Отметим, что нас интересовали только действительные корни уравнения у = х”. Но если бы мы искали комплексные корни, то для каждого у Ф 0 нягпли бы п различных корней (см. ниже § 5.3).
Пример 1. Покажем, что
limv/n =1.	(2)
В самом деле, функция х = у1/п, у G [0, оо) непрерывна и возрастает. Ведь она есть обратная к непрерывной возрастающей функции у = х", х G [0, оо). Поэтому для у > 1, ух,п> > l1/n = 1.
Положим теперь
v/n = 1+£п»
126
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
где, в силу сказанного, £п > О). Имеем n-(l+e„)"- 1 + пе + el + ... > м+^£:
Откуда
что и требовалось доказать.
в)	Показательная функция ах (а > 0, а* 1). В дальнейшем будем рациональные числа обозначать греческими буквами а, р, у, ... . Пусть пока а > 1.
Что такое ах при х рациональном, нам известно из школьной математики (см. еще б)).
Нам известно также из школьного курса математики, что:
11)аа>0,
3.) аа < а₽ (а < р, а > 1),
4ц) (а У = а р.
Добавим еще
5,) а““ — +°о, ап — +оо, а> 1.
Свойство 5j) мы сейчас докажем. Запишем а в виде а = 1 + X (X > 0!). Тогда
ап= (1 + X)n = 1 + пХ + ... > 1 + пХ,
Правая часть этого неравенства стремится к бесконечности при п -» оо, следовательно, и левая. Далее, считая, что [ап] есть целая часть а„, будем иметь
а" > а1""1, и если а„ +оо, то [ап] — +оо, следовательно, аЫ — +оо. Но тогда а*” -* +оо.
Пусть х — произвольное рациональное число. Дока-
5 3.8. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
127
кем, что число ах можно определить как точную верхнюю .рань
вира" = ах	(4)
а<х
чисел аа, распространенную на все рациональные числа а • х.
В самом деле, на основании 3J
аа <ах \/а<х,	(5)
т. с. выполняется первое свойство точной верхней грани. С другой стороны, построим какую-либо строго возрастающую 1кк ледовательность рациональных чисел ап, стремящуюся к х («„ • х). Для нее а°’ -* ах, п~* оо. Это свойство доказывается ниже (см. (8)). Поэтому для любого £ > О можно найти такое п, что
ах - £ < аа" < ах,	(6)
т. е. выполнено второе свойство точной верхней грани. Из ( >) и (б) следует (4).
Пусть теперьх — произвольное иррациональное чис-ю, и пусть т — натуральное число, большее х (т > х). И мест место очевидное неравенство а т а <а , а<х
т. е. множество чисел аа, распространенное на рациональные числа а < х, ограничено. Но тогда существует точная верхняя грань этого множества
supa“ а<х
Это есть вполне определенное число, которое мы обозначим через ах:
ax=supa“.	(7)
a<x
Этим функция ах определена для всех действительных х (х е (-оо, оо)). Она называется показательной функцией.
Итак, функция ах определяется как точная верхняя грань чисел аа, распространенная на рациональные а < х.
128
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
Если х — рациональное, то это определение совпадает со старым (дает одно и то же число), при иррациональных же х оно дает новые числа ах.
Можно доказать, что функция ах, определенная при помощи равенства (7), обладает следующими важными свойствами:
1)	а > О,
2)	а а* - a*+J/,
3)	ах < ау (х < у, а > 1),
4)	а -> 1, х - О,
5)	ах — оо, х -» оо (а > 1),
6)	ах—- 0, х —► —оо (а > 1),
7)	= (аУ.
Отметим, что из свойств 2) и 4) следует непрерывность функции ах для любого значения х0 е (-оо, оо):
|ax-aJi’|=|aJi’(ax'Ji’-l)|=aJi’|ax"Ji’-l|—0 при х - х — 0 (8)
В	дальнейшем будем считать, что а > 1.
Доказательство 1). Для любого х существует а0 < х, и потому
О < а“" < вира“ = ах, т. е. О < ах. а<х
Доказательство 2). Пустьа<хиР<у; тогдаа +Р < < х + у. С другой стороны, пусть у есть произвольное рациональное число, удовлетворяющее неравенству
У <х +у.	(9)
Покажем, что у можно записать в виде у = а + р, где а < х, р < у.
Из (9) следует, что
Y - У < х.
Подберем рациональное а, для которого
у-у<а<х,	(11)
и положим
Р=у-а.
(12)
5 3.8. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
12»
Тогда из первого неравенства (11) следует, что
Р<у.	(13)
Таким образом, множество всех сумм а + р, где а < х, Р < у, равно множеству всех у < х + у.
{а + р}= {у} . а<х у<х+|/ ₽<у
Поэтому
ax'v - supaY =supa“+₽ = sup(aaap) = supaasupa₽ = а* а1 1<x+y a<x	a<x 4	a<x p<y
P<y P<₽
(cm. § 2.8, задача 2).
Доказательство 3). Пусты < у и Р, и Р2, — какие-шбо рациональные числа, для которых х < Pt < Рг < У’ Тогда а = supa“ < supaa =	< ap2 < supi/ = ay,
a.<x defy	P<J/
и мы доказали, что ax<av.
Доказательство 4). Для натуральногоп > а (а > 1!) l<a1/n<n,/n _ 1
Л-’Оо (см. пример 1 п.б)) и мы доказали пока, что
lima,/n = 1.	(14)
л-’t»
Зададим теперь произвольную последовательность положительных чисел хп < 1, стремящуюся к нулю (хп — 0, хп > 0). Пусть kn = [1/х„] — целая часть 1/хя. Тогда 0 < xn < l/fe„ и
1 = a° < ax" <av*".
Поэтому в силу (14)
lim а" = 1. п—СО
В силу произвольности последовательности {хп }, где хп > 0, этим доказано, что существует правый предел
limax= 1;	(15)
х~0 х>0
5 - Бугров. Том 2
130
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
но тогда существует и левый предел
lima* = lim, х-0	-х-0
х<0	-х>0
1 ах
-1^=1=1 lima" 1
u—О u>0
(16)
Из (15) и (16) следует, что limax=l (см. § 3.2, (6), (7)). Этим х—О
свойство 4) доказано полностью.
Доказательство 5). Зададим как угодно большое числоЛ/ > О. Существует рациональное число а такое, что а“ > > М, поэтому
М < аа < а* \/х > а.
Следовательно, ах — оо при х — оо.
Доказательство 6).
limax = lim -4т-=—-—й=0-х—оо	-x~+ooa Ища
U — +00
Доказательство 7). Отметим, что при натуральном т, в силу 2),
р
Для рационального числа > О
Далее, если у — произвольное положительное число и ап — у, где ап — рациональные числа, то в силу непрерывности показательной функции
а** = lima”" =lim(flf = (ах/, Л— ОО	jl—aA *
и мы доказали 7) для у > О.
f 33. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
131
I Vли у < О, то (у = —1г/|)
n*v _ п-х] у I-1_  1(ахт^ - CaV
а (а)
Если 0 < а < 1, то полагаем
(W
Свойства 1), 2), 4) при этом сохраняются. Свойство 3) имеет вид ах > av (х < у).
Свойство 5): ах -* 0, х -* + ею.
Свойство же 6) имечт вид ах —* + оо, х —* — оо.
г) Ф у и к ц и я logo х. Будем считать а > 1. Так как функция у — а1 непрерывна и строго возрастает на (—оо, оо) и ./гображает интервал (-оо, оо) на интервал (0, оо), то существует обратная к ней функция, непрерывная и строго возрастающая на (О, оо). Ее называют логарифмом у при основании а и обозначают символом
x=logay, z/G(O, оо).
Ил сказанного следует, что (мы заменяем у на х)
lim log„ х = 4-оо, Ит log- x = -oo.
п-* +OO	U	n-*0
n>0
При a < 1 рассуждения аналогичны. Функция ax также отображает действительную ось (-оо, оо) на полуось (О, оо), но строго убывая. Обратная функция loga х, определенная на (0, оо), также будет строго убывать, и теперь
lim log. х = -оо, lim log. x - +oo. л-’+да	л—0
n>0
Имеют место тождества (см. § 3.6)
а*“х=х (0 < х< +оо), loga а*- х (-оо <х<+оо) (17) (а Ф 1). Отсюда на основании свойств функции ах при х,у> > О имеем
alM = xy^aloe-za'°^y
— al°B‘x'iloe‘‘v
5
132
ГЛАВА3.ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
И
loga (ху) = logQ X + loga у.
Если в этом равенстве заменить х на х/у, то получим loga х - loga у = loga (х/у).
Далее (см. 7))
a'°e‘-?'=x!'=:(a,og“Y = a!/,og‘-x (х>0), поэтому
loga х" = у logQ х (а * 1 ,х > 0).	(18)
Наконец, отметим, что для положительных не равных 1 чисел а и Ь имеет место
/ log<1b\'ogSa jjofya а - la I = о	= a,
и, следовательно, logo Ъ log6 a = 1.
Логарифм числа а при основании е называется натуральным логарифмом числа а и обозначается так:1оёе a = In а.
д) Вернемся к степенной функции
у = хп (0 < х < оо).
После изложенного выше мы можем сказать, что эта функция имеет смысл не только для рациональных п, но и для иррациональных. Ее можно записать (см. (17) и (18)) так:
Я	п In X
х =е ,	(19)
откуда видно, что она непрерывна, как суперпозиция непрерывных функций.
При п > 0 она строго возрастает и обладает свойствами
Ишх" “= 0, limxn = +оо. Л — 0	n—fcc
п>0
При п > 0 естественно считать, что 0" = 0, тогда функция делается непрерывной справа в точке х — 0.
t 3.8. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
133
1111 и л О функция хп непрерывна и строго убывает на ки !<• -и.ной полуоси и обладает свойствами
111нх"«1О0, linix" = O.
Л - ♦ «I
II .	iM(l' В । ,1 >-дупт характерное свойство степен-
Ч .l(*v л In s л In у п п Им» •	е е * = х у
!• । «I» у и к ц и я у - и (х)Цх’. Пусть функции и (х) и v (х) м Ыны в окрчтности точки а, за исключением, быть может, гамом «той точки, и (х) > 0 и limn (х) =А > О, limo (х) = В п—а	п-~а
i.t и /J — конечные числа). Тогда
lim u(x)v{x} =АВ.	(20)
х—а
В । амом деле (см. (17), (18)),
1 ini и (x)vM = lim ev(x)hiu(X) = ei^Mx,ln“(x)1
-- С	JTA «
Во втором равенстве этой цепи использована непрерывность функции ег, а в четвертом — непрерывность функции In г.
Если и (х) и v (х) непрерывны в точке х = а и и (а) > 0, то в некоторой окрестности этой точки и (х) > 0 (см. § 3.3, теорема 4) и А = и (а), В = v (а). Поэтому в силу (20) lim и (х)г (х) = и (a)v (а). х—а
Отметим интересные случаи, не предусмотренные равенством (20), когда (при х — а, и> 0) и—» + оо, и — 0; v — оо, и —1; и —"О, и —"О.
В этих случаях не действует теорема о пределе v In и. Заранее, не имея более точной информации о характере стремления и и v к указанным пределам, невозможно дать формулу для lim и . Эти случаи дают для выражения и” в __0 -« окрестности точки а неопределенности вида оо , 1 , и в
134
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
ж) Тригонометрические функции sinх, cos х, tg х и др. известны читателю из курса тригонометрии. Они определяются там из геометрических соображений. Мы будем тоже базироваться на этих определениях.
Можно было бы дать чисто аналитическое определение тригонометрических функций, но мы этого делать не будем.
Отметим, что функция!/ =sin х непрерывна (см. § 3.3, пример 3) и строго возрастает на отрезке [ -л/2, л/2], отображая этот отрезок на отрезок [-1, 1]. Но тогда она имеет обратную однозначную непрерывную функцию
х - arcsin у (у е [-1, 1]).
Однако функция у = sin х, рассматриваемая на всей оси (— оо, оо), имеет многозначную, даже бесконечнозначную, обратную функцию Arcsin у, все значения которой вычисляются по формуле
х = Arcsin у = (-1)* arcsin у + kit (k = 0, +1, ±2, ...),	(21)
т. е. каждому у е [—1, 1] соответствует множество еу значений х, определяемых формулой (21).
Подобным образом для функций
у = cos х (0< х < л), У = tg х (-л/2 < х < л/2)
обратными будут функции
х — arccos у (у е [-1, 1]),
х =arctg у (у е (-со, со)), а для этих же функций, рассматриваемых на действительной оси, обратные функции имеют соответственно вид
х = Arccos у = ±arccos у + 2йл, х = Arctg у = arctg у + йл (fe = 0, ±1,±2,...).
з)Гиперболические функции. Функции
sh х	, ch х =	^~g , th x =	, cth x =
2	2	chx	shx
S 3.8. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
135
называются соответственно гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом ^котангенсом. Начертим их графики (рис. 32 и 33). Функцииsh х, ch х, th х определены на (-оо, оо), acth х — на этом же интервале, за исключением точки х = 0.
Легко проверить, что для этих функций имеют место формулы, подобные формулам обычной тригонометрии (но не всегда совпадающие). Например,
sh (х + у) = sh х ch у +sh у ch х, ch (х + у) = ch х ch у + sh х sh у.
Полагая в последнем равенстве у = —х, получим
ch2x-shz х = 1.
Отметим, что все рассмотренные здесь функции непрерывны в своих областях определения. Для sh х, th х существуют обратные функции ареасинус гиперболический х = = Arsh у и ареатангенс гиперболический х = Arth у, которые однозначны. Обратная функция длясЬ х прих > 0 также однозначна.
136
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
§ 3.9. Замечательные пределы
Теорема 1.
limsinx = 1.
х-0 X
Доказательство. Так как функция у = sin х является непрерывной, Tosin х —* -» sin 0 = 0 прих — 0. Поэтому
выражение представляет х
собой неопределенность вида /0) „
Раскроем эту неопределенность. Из определения тригонометрических функций и геометрических соображений имеем (рис. 34)
0 < sin х < х < tg х
при 0 < х < л/2 (MN = sin х, АМ ± ОМ, AM = tg х, ОМ = 1. Сравните площади треугольникаОЛНУ, сектора ОМ1 и треугольника ОМА). Отсюда, деля на sin х > 0, получаем
—— < —1— или 1 > s*n- > cosx sinx cosx	х
(1)
Неравенства (1) верны и для —л/2 < х < 0, так как функции cos х и slnx четные. Далее функция cos х непрерыв-х на, поэтому
lim cos х = cos 0=1, х-0
и, следовательно, переходя к пределу в (1), в силу теоремы 4 § 3.2 получим, что
limsin£ = Е х-0 X
§ 3.9 ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРВДЕЛЫ
137
Пример 1.
limc2os=lim  О х z-O
2sin2—
2.-
х2
=ilim 2
sin-5
sin—
= 1 lim-—— 2
= 1-1=1 2
Теорема
2.
= е.
(2)
х
\ 2 )
X
2 J
1
2
Доказательство. В силу определения предела функции мы должны показать, что
Vx„ -» оо
(3)
Если хп = п — натуральное, то это уже доказано. Чтобы доказать (2), достаточно убедиться в том, что (2) верно в двух случаях: когда хп -» +оо и когда хп -»—°°, пробегая не обязательно целые значения (см. замечание в конце § 3.2).
Пусть хп — произвольная переменная, стремящаяся к +оо (хп -* +оо), и пусть [rcn] = kn — целая часть числа хп. Тогда kn < xn< kn+ Кхп+1<Л„ + 2и
При хп -» +оо [xn] = kn~* +оо, откуда первый и последний члены цепочки неравенств стремятся к е. Поэтому
и так как при этом 1 + — -* 1, то мы доказали (3) для
х,
+ 00.
138
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
lim
Х„-
Если теперь хп — -оо, то х'п = -хп -* +оо и
т. е. (2) доказано.
Пример 2.
lirn(l + iz)1/u = е.
Получается из (2) заменой 1/х = и.
Пример 3.
lim(l+—) = е“, lirn(l+au)1/u = еа Va.
При a = О это выражение сводится к пределу liml* =
Х'-'ОО
= 1 = е°, потому что по определению считается, что Iх = 1.
Пусть теперь а Ф О. Если х — оо, то — — оо и а
Надо учесть, что степенная функция непрерывна в точке и = е (см. § 3.8, д)).
Пример 4.
.. 1п(1+х)	.. log(l+x)	J
lim—  =1, lim “ - = log е= —. х-о х	«-о х	Ina
Так как In и есть непрерывная функция на (0, оо), то
(см. пример 2)
lim += lim In (1+х)1/х =lnlim(l+x)1/x =lne= 1.
S 3.10. ПОРЯДОК ПЕРЕМЕННОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
139
Пример 5.
(a> 0), Iime ~- = 1. х—о х	х-о х
В самом деле, положим ах - 1 = и. В силу непрерывности показательной функции и -* 0 при х -* 0. Далее, » In а = In (1 + и), поэтому (см. пример 4)
lima -l = lim—~—- Ina=Ina-lim —- =ln a.
x-o x «-o ln(l+u)	и—о ln(l+u)
§ 3.10. Порядок переменной. Эквивалентность
Будем рассматривать две функцииф (х) и у (х), заданные в некоторой окрестности U (а) точки а, за исключением, быть может, самой точки а. Точка а может быть конечная или бесконечная ( +оо, —оо, или оо). Будем считать еще, что ф (х) Ф 0 на U (а). Если
	lim« = 0,	(1) х-о у(х)
то будем этот факт записывать так:
ф (х) = о (ф (х)), х — а,	(Г)
и говорить, что ф (х) есть о-малое от ф (х) при х -» а.
Например:
X2 = 0 (х), х" = о(хт), хп = о(хт), (х- а)4 = о ((х - а)3),	х —0; х —• 0, если т < п; х — оо, если т > п; х-* а;
1 - cos х = о (х),	х -» 0, потому что Hm^~cosx — 0. х-0	X
Выражение о (1), х — а, обозначает бесконечно малую при х -» а, т.е. некоторую функцию ф (х), которая стремится к нулю при х —* а (ф (х)—► 0, х —► а). Например, ф (х) =	= о(1), х -> +00.
1пх
Свойство (1), очевидно, выражает тот факт, что функ-
140
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
циюф (х) можно записать в виде ф (х) =е (х)ф (х), гдее (х) — — О при х-а.
Если функции ф и ф, участвующие в соотношении (1) (или, что все равно, в (!')), суть бесконечно малые прих — а, то говорят еще, употребляя более старинную терминологию, что ф (х) при х а есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к (бесконечно малой)ф (х). Если же ф и ф в (1) бесконечно большие при х — а, то говорят, что ф (х) при х — а есть бесконечно большая более низкого порядка, чем ф (х), или еще чтоф (х) есть бесконечно большая более высокого порядка, чем ф (х)).
Будем еще писать
ф (х) « ф (х), х — а	(2)
и называть функции ф (х) и ф (х) эквивалентными (асимптотически равными) при х — а, если выполняется свойство
= 1. »—о ф(х) Например,	(2')
sin х ~ х, х — 0,	(3)
или еще (см. примеры 1, 4, 5 § 3.9)	
1 - cos х ~ х2/2, х —	0,	(4)
1п(1+х)«х,	х —	0,	(5)
ех - 1 к х,	х —	0,	(6)
ах - 1 ~ х In а, х —	0-	(7)
Отметим, что если	
lirnf (х)=А^0, х—а
то это эквивалентно факту
1пПЛх) = 1, х-а Д
что мы условились обозначать также так:
/(х)«А, х—а (А*О).	(8)
6,3.10. ПОРЯДОК ПЕРЕМЕННОЙ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
141
Терминология, которую мы здесь ввели, нужна для того чтобы упрощать вычисления и сокращать записи формул. 11л кно при этом усвоить несколько простых свойств асимп-ютически равных (эквивалентных) функций, которые вы-I лкены в теоремах ниже.
Теорема 1. Если
<р (х) ~ \|/ (х), х — а то
ф (х) к ф (х), х — а.
(9)
(Ю)
Доказательство. Дело в том, что если ф (х)	0
на U (а) и выполняется (9), то, очевидно, и <р (х)	0, быть
может, на несколько уменьшенной окрестности. Но тогда
= lim—;Ц-=1 = 1.
<р(х) х~а ф(*) 1
V(x)
Теорема 2. Для выполнения свойства (9)необходи-мо и достаточно, чтобы
ф (х) = ф (х) + о (\|/ (х)), х — а.	(11)
Равенство (11) надо читать следующим образом: слагаемое, которое добавляется к V|/ (х), чтобы получить ф (х), обладает следующим свойством: если разделить его нац/ (х), то полученное частное будет стремиться к нулю, если устремить х к а.
Доказательство. Пусть имеет место (9). Тогда
= 1 + е (х), где Е (х) — 0 при х — а. у(х)
Следовательно,
ф (х) =ф (х) +е (х) ф (х) = ф (х) + о (ф (х)), х — а, и мы доказали (11).
Обратно, если верно (11), то
ф (х) = ф (х) + о (ф (х)) = ф (х) + Е (х) ф (х),
142
ГЛАВА 3. ФУНКЦИЯ- ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ
ф(*)
V(x)
где е (х) —> О при х —> а. Поэтому
= 1+е(х) -* 1, х—а
и мы получили (9).
Теорема 3. Если
V(x)«Vi(*)» х~*а
то
lim [ ф (х) ф (х)] = lim [ ф (х) фт (х)], х—а	х—о
ф(х) ф(х)
=hm - 7---х-а у(х) х-о Vi(x)
(12)
(13)
Эти равенства надо понимать в том смысле, что если существует в них предел справа, то существует предел и слева, и они равны, и обратно.
Отсюда следует, что если какой-либо из этих пределов не существует, то не существует и второй.
Доказательство. Приведем только одно из этих рассуждений. Пусть существует предел справа в (12). Тогда
lim[«p(x)v(x)]=Hm <р(х) Vi(x)^| =
=Нт[<р(х) V1(x)]Bta-J^=ton[<p(x) V,W]1 =
= Нт[ф(х) vjx)].
Пример 1. tg х ~ х, х -* О, потому что
lim^^limpte—Ч = 1-х-0 х	' X COSX/
Пример 2.
lim х - Иш 	= lim
^-=т=0.
: +1 1
I 110 ПОРЯДОК ПЕРЕМЕННОЙ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
143
I > и 1> < 11* л I* >1 и е . Если для функции <р (х) можно по-«и ш А и т. где А*О, такие, что
а}т, х — а,
НИ, ♦миI фук к ци 4 А (х а)" «< т ь главный степенной
>»ч«- ф ( • ) я <•«/><. жн<и ши точки а.
мм» w«m •<.г|н..1.11|1ип (3) (7) суть, очевидно, ГТ>»»»<» ••И> •« Irina Л1'1И4Х частей при х —» О.
НМ*|>н 11., что/ на множествеЕ имеет порядок<р
ВМВаин ' •< т» <> би чъшос от ф наЕ и при этом будем писать
/ (х) - О (ф (х)) наЕ,
(14)
и
|/ (х)| « С |ф(х)| VxgE,
не зависящая от х положительная константа. В частности, равенство
7(х) = О(1)наЕ
«Л • тачает тот факт, что f ограничена на Е~.
II римеры:
1)	sin х = О (1), sin х = О (х) на (-оо, оо);
2)	х = О (х2) на [1, оо);
3)	х2 = О (х) на [О, 1].
ГЛАВА 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 4.1.	Производная
Понятие производной — важнейшее понятие математического анализа наряду с понятием интеграла.
Производной от функции f в точке х называется предел отношения ее приращения Ду в этой точке к соответствующему приращению аргумента Дх, когда последнее стремимся к нулю.
Производную принято обозначать так:
„ , .	.. Ду .. f(x+tax)~f(x)
f (х) = lim—=lim---(1)
Дх—О Дх Дх—о	Дх
Но широко употребляются и другие обозначения: у', df(x) dy __ _
—Удобство того или иного из них читатель вносах ах
ледствии оценит сам.
Да
При фиксированном х величина —— есть функция от
<р (Дх) = (Дх Ф О).
$4.1. ПРОИЗВОДНАЯ
145
Для существования производной от f в точке х необ-mvuimo, чтобы функция f была определена в некоторой <<».рсстпости точки х, в том числе в самой точке х. Тогда функция <р (Дх) определена для достаточно малых не равных нулюДх, т. е. дляДх, удовлетворяющих неравенствам ') • |Ах| < 8, где 8 достаточно мало.
Конечно, не для всякой функции f, определенной в ок-1»ч-тности точки х, существует предел (1). Обычно, когда • чнюрят, что функция f имеет в точке х производную f (х), ц> ./уразумевают, что она конечна, т. е. предел (1) конечный. < >диако может случиться, что существует бесконечный пре-да [ (1), равный чоо, —оо, или оо. В этих случаях полезно говорить, что функция f имеет в точке х бесконечную производную (равную ч-оо, -оо, или оо).
Если в формуле (1) предполагается, что Дх— О, принимая только положительные значения (Дх > О), то соответствующий предел (если он существует) называется правой производной от f в точке х. Его можно обозначить так: ^(х)).
Аналогично предел (1), когдаДх — О, пробегая отрицательные значения (Дх < О), называется левой производной от fex (/; (х)).
Конечно, для вычисления f (х) (соответственно (х)) необходимо только, чтобы f была задана в точке х и справа от нее в некоторой ее окрестности (соответственно в х и слева от х).
Типичным является случай, когда f задана на отрезке (а, Ь] и имеет во всех внутренних точках этого отрезка, т. е. в точках интервала (а, Ь), производную, в точке же а имеет правую производную, а в точкеb — левую. В таких случаях говорят, что функция f имеет производную на отрезке [а, Ь], не оговаривая, что на самом деле в точке а она имеет только правую производную, а в точке Ь — только левую.
Нетрудно видеть, что если функция f имеет правую и левую производные в точке х и они равны, то f имеет производную в х:
Гпр(х) = Гя (x) = f (X).
146 ГЛАВА 4-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Но если правая и левая производные вх существуют и не равны между собой (	(х) * fn (х)), то производная в хне
существует.
Пример . Рассмотрим функцию у = |х| (рис. 35). Для нее
Ду _ |х+Ах|—|х|
Дх Дх
Если х > О, то х + Дх > О для достаточно малых Дх и
Ак.х±^хгх=дх_1
Дх Дх Дх '	’
Если х < О, то х + Дх < О для достаточно малых Дх и
Ау = ~(х+Дх)-(-х)	Ах
Ах Дх	Дх
(х<0).
Таким образом,
, , ,. Дв fl, если х>1, |хГ = 1нп^ = < '
а*-°Дх [—1, если х<1.
Пусть теперь х = 0. Тогда
Ду _ I Алс;
Ах Дх
= sign Дх— = sign Дх -Дх
1, если Дх>1,
1, если Дх<1.
Поэтому
lim —= 1, lim-^- = -l.
Дх-о Дх	Дх—о Дх
Дх>0	Дх<0
Таким образом, функция |х| имеет в точкех =0 правую производную, равную 1, и левую — равную -1, что показывает, что в точке х — 0 функция |х| производной не имеет.
Мы знаем (см. § 3.3, пример 8), что|х| есть непрерывная функция для всех значений х, в том числе и в точке х = 0, поэтому она может служить примером непрерывной всюду функции, не имеющей в некоторой точке производной. В
§4.1. ПРОИЗВОДНАЯ
147
математике известны примеры функций, непрерывных на н<. ft действительной оси и не имеющих в любой точке оси
|и>И.1ВОДНОЙ.
С другой стороны, всякая функция, имеющая производную (конечную!') в точке х, непрерывна в этой точке.
R самом деле, пусть предел (1) существует в точке х и м>шечен. Этот факт можно записать следующим образом.
=Г(х) + е(Дх),	(2)
Дх
t д< £ (Дх) -* О при Дх —• О, т.е. е (Дх) есть бесконечно малая при Дх —* О. Из (2) следует:
Ду = Г(х)Дх + Дх - е (Дх).
Переходя в этом равенстве к пределу,когда Дх —»О,помучим
lim Ду = О.
Дх—О
что показывает, что f непрерывна в точке х.
Отметим некоторые важные приложения производной.
Мгновенная скорость. Пусть функцияз = f (t) ныражает закон движения точки на прямой, которая рассматривается как координатная ось з. Здесь з — координата движущейся точки в момент времени t. Путь, пройденный точкой за промежуток времени [t, t + At], равен
Дз = f (t + At) - f (i).
148 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Сила тока. Пусть Q — f (t) есть количество электричества, проходящее через сечение провода за время t. Тогда
AQ
At At
есть средняя сила тока за промежуток времени [t,t + At], А предел
есть сила тока в момент времени t.
Плотность распределения массы. Пусть (рис. 36) на отрезке [а, &] оси х распределена масса вообще неравномерно, так что количество массы, нагруженной на отрезок [а, х], равно
M = F(x) (а^х^Ъ).
Это количество пропорционально площади фигуры аАВх. Таким образом, М есть функция от х (М = F (х)). Количество массы, приходящееся на отрезок [х, х + Ах], очевидно, равно
AF = F (х + Дх) - F(x).
Средняя ее плотность на этом отрезке равна	, а пре-
дел
=F'(x) = li естъистинная плотность распределения массы в точке х.
§ 4.2.	Геометрический смысл производной
Пусть на интервале (а, Ь) задана непрерывная функция у — f (х). Ее график называется непрерывной кривой. Обозначим его черезГ. Зададим наГ точкуА=(х, f (х)) (рис. 37 и 38) и поставим целью определить касательную к Г в этой точке. Для этого введем наГ другую точкуВ = (х + Дх,
s 4.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
149
f (х + Дх)), где Дх Ф 0 (на рис. 37 изображен случай Дх > О, а на рис. 38 — случай Дх < О). Прямую, проходящую через точки А и В, направленную в сторону возрастания х (отмеченную стрелкой), назовем секущей и обозначим через S. Угол, который S образует с положительным направлением оси х, обозначим через р. Мы считаем, что -л/2 < Р < л/2. При Р > О угол отсчитывается от оси х против часовой стрелки, а при Р < О — по часовой стрелке. На данных рисунках Р>0. На рис. 37Дх= АС, Ду = СВ, а на рис. 38Дх =-АС, Ду =
-СВ. В обоих случаях Ду/Дх = tg р.
Если Дх —* О, то Ду —► О и точкаВ, двигаясь по Г, стремится к А. Если при этом угол Р стремится к некоторому значениюа, отличному от л/2 и —л/2, то существует предел
lim—=limtg Р = tga,	(1)
Дх—О Дх Р-а
равный производной (конечной) от f в точке х:
f(x) = tga.	(2)
Обратно, если существует (конечная) производная f (х), то Р — a = arctg f (х).
При стремлении Р к а секущая S стремится занять положение направленной прямой Т, проходящей через точ-< у А и образующей угол а с положительным направлением оси х.
Направленная прямая Т называется касательной к кривой Г в ее точке А.
150 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Определение. Касательной к кривой Г(у = / (х)) в ее точке А =(х, f (х))называетсянаправленная прямая Т, к которой стремится секущая S(направленная в сторону возрастания х прямая), проходящая через А и точку В=(х + + Дх, f (х + Дх)) 6 Г, когда Ах -* 0.
Мы доказали, что если непрерывная функция y = f(x) имеет конечную производную f (х) в точке х, то ее график Г в соответствующей точке имеет касательную с угловым коэффициентом tg а = /* (х) (-л/2 < а < л/2). Обратно, существование предела
Нтр = а (-л/2<а<л/2) влечет за собой существование конечной производной f (х) и справедливость равенств (1), (2).
Может случиться, что f имеет в точке х правую и левую производные, отличные между собой:
Л (х) * Лф (*)•
Тогда А есть угловая точка Г. В этом случае касательная к Г в А не существует, но можно говорить, что суще-
ствуют правая и левая касательные с разными угловыми коэффициентами:
Дх<0
Дх>0
На рис. 39 приведен пример такого случая.
Пусть теперь производная от f в точке х бесконечна:
f (х) = lim^- = оо. ’ Дх-0ДХ
Отметим четыре важных случая:
1) f (*) =	= +оо, р — А (рис. 40).
дх—о Дх	z
s 4.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
151
3) f' (х) = lim-A- = -сю,
Дх<0
/' (х) = lim4^- =+оо Р^ о-
“Рv ’ дх-о Дх	г 2
Дх>0
Левая касательная перпендикулярна оси х и направлена вниз. Правая касательная перпендикулярна оси х и направлена вверх (рис. 42).
4)/;(х)= Ит^=+сю,
Дх<0
/' (х)= lim ^-=-со, р —
npV ' дх-одх	г 2
Лх>0
Левая и правая касательные направлены параллельно оси у, первая вверх, вторая вниз (рис. 43).
Рис. 42
Рис. 43
152 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Примечание. Обычное определение касательной к кривой Г следующее: касательная Т к кривой Г в ее точкеА есть прямая, к которой стремится секущая S, проходящая через точку А и другую точку В е Г, когда последняя, двигаясь по Г, стремится кА.
В этом определении не предполагается, что S и Т — направленные прямые. Это определение вполне корректно в случае касательной не параллельной оси у. Однако если применить его, например, к случаю 4) (см. рис. 43, где А — угловая точка), то получим, что данная кривая имеет в точке А единственную касательную. Это не вяжется с нашим представлением о гладкости кривой, имеющей касательную.
Приведенное нами определение дает в точке А две касательные (сливающиеся), имеющие противоположные направления. Угол между ними равен л.
Из аналитической геометрии известно, что уравнение прямой (в плоскости), проходящей через точку (х0, у0) под углом а к положительному направлению оси х (—л/2 < а < < л/2), имеет вид* у - у0 = m (х - xj (тп = tg а). Отсюда уравнение касательной к кривой у = f (х) в точке (х0, у0) имеет вид
У - Уо = f'o(x ~ хо)>	(3)
где у0 = f (х0), f0 = f (х0).
Прямая, проходящая через точку А е Г перпендикулярно к касательной к Г в этой точке, называется нормалью к Г в точке А. Ее уравнение, очевидно, имеет вид
У - Уо = “Л (х - х0).	(4)
Уо
Пример 1**.
Найти уравнение касательной к кривой
* См. нашу книгу «Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии», § 8.
** Примеры 1, 2, 3 можно рассмотреть в § 4.8 после овладения техникой дифференцирования.
$ 4.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
153
2	2
*-+£-в1
„2	12
а о
(-а < х < а)
(5)
в некоторой ее точке (х0, у^, т. е.
2	2
2	.2
= 1.
Кривая (5) называется эллипсом. Очевидно, что эллипс расположен симметрично относительно осей координат, так как его уравнение не меняется при замене х на (-х) и у на (-у). При выводе уравнения касательной будем считать, что -а < х < а, 0 < у < Ь. Из (5) имеем
Ь П2 у = — у! а -х -а
(S')
Отсюда у' = —г™” • ova -х
Вычислим функцию у и производную у' в точке х0:
Уо = У (*0) = ^а2~хо ’	(*о) = ~’
а	aja -х0
yol/'(Xo) = -^2 Х0*	(6)
а
Уравнение касательной к эллипсу в точке (х0, у0): Y-y^y'txJQL-xJ.	(7)
Умножая (7) на у0/ о, в силу (6) будем иметь
хУо b2 Ь2 )
2	2
хп уп Так как у нас 2+2
а Ь
= 1, то уравнение касательной
запишется:
2 ~Г _5>	“ 1
(8)
154 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Таким образом, чтобы получить уравнение касательной к эллипсу в его точке (х0, у0), нужно в уравнении эллипса (5) заменить х2 на Хх0, и уг на Уу0.
Рис. 44
При отрицательных значениях у (~Ь < у < О) рассуждения те же самые и (8) будет уравнением касательной в любой точке эллипса (х0, z/0). Из уравнения (8) видно, что касательная к эллипсу в его точке (х0, у0) пересекает ось х в точке с абсциссой а2/х0, т. е. при х0 > О эта точка пересечения находится правее эллипса, а при х0 < О — левее (рис. 44).
Пр и м е р 2 . Найти уравнение касательной к кривой
(|х| > а)
О)
в некоторой ее точке (х0, z/0)
г ъ2 ~ а о
Кривая (9) называется гиперболой. Эта кривая также симметрична относительно осей координат.
Проводя рассуждения, как в примере 1, получим уравнение касательной к гиперболе в виде
Хх0 Yy, 2	12
(|х| > а).
Точка пересечения этой касательной с осью х имеет
8 4Л. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
155
Рис. 45
Рис. 46
Пр и м е р 3 . Найти уравнение касательной к кривой у2 = 2рх (х > 0, р > О)	(10)
в некоторой ее точке (х0, у0) (у2 = 2рх0).
Данная кривая называется парабол он. Она расположена симметрично относительно оси х (т.е. в (10) х является четной функцией от у). В силу этого достаточно рассмотреть верхнюю половину параболы (у > 0). Из (10) имеем
y = j2j^.	(10')
Отсюда
У=~1^~^ Уо = ^Рхо , У'ХО = -.Р =£-. у1%Рх	-ftpxo Уо
Уравнение касательной к параболе в точке (х0, у0):
Y~y0= i/(x0)(X-x0)
или
Y - Уо = (х - *о)’ уУо “ Уо =РХ - Рхо-
Уо
Так как у£ = 2рх0, то
УУо=р(х + хо).	(11)
Таким образом, чтобы получить уравнение касатель
156 ГЛАВА 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ной к параболе в ее точке (х0, у0), нужно в уравнении параболы (10) заменить у2 на Yy0, а 2х на X + х0.
Касательная (11) к параболе (10') в ее точке (х0, у0) пересекает осьх в точке с абсциссой (-х0) (рис. 46) независимо от величины/?, т. е. касательные к любым параболам у2 = 2рх в точке (х0, ^2рх0 ) пересекают ось х в одной и той же точке (—х0).
§ 4.3. Производные элементарных функций
Постоянная С — каждому х соответствует одно и то же значение у = С. Таким образом, значению х + Дх соответствует значение функции у +Д.у = С. Следовательно,
С' = lim^=^ = lim-2-=lini0 = 0.	(1)
Дх—0 Дх Дх—0 Дх Дх—0
Степенная функция х" (п = 1, 2, ...).
(xn)' = nxnl,	(2)
потому что
— [(х + Д х)" - х"1 =
Дх1 ' J
_ 1	ли2и.	-
1	« .	Л1 A	'Ч'*'	11	П-£ л £	А = - - х +пх Дх + —		~х Дх h-... + Дх Дх|_	2! л 1 /l( Л 1) п -2 А	, а л-1 = пх ч———х Дхч-...ч-Дх 2!	— X - л-l —*	пх . Дх—0
Справедливы формулы (и ± и)' = и' ± и', (uv)' = uv' + u'v,	(3) (4)
(u\=uv-uv' {v^0) 'V1	V	(5)
Здесь предполагается, что и = и (х), и = и (х) — функции от х, имеющие производную в точке х. В случае (5) дополнительно предполагается, что г (х)^ 0. Утверждается, что в таком случае в точке х существуют производные, стоящие слева в равенствах (3), (4), (5), и эти равенства верны.
§4.3 ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
157
В самом деле, зададим Дх. Новому значению х + Дх аргумента соответствуют новые значения наших функций и + Ди, v + Ди и
Д (и ± и) = [(и + Ди) ± (v +Ди)] - (и ± и) - &и ± Av,
(и ± и)' = lim ^ц~	lim—± lim— = и' ± и'.
Дх-0 Дх Дх-0 Дх Дх—О Дх
Далее (пояснения ниже),
Д(ии) = (и + Ди) (и 4- Ди) - uv = иДи + иДи + ДиДи,
(ии)’ = lim^^ = ЦтЦАЦ+РДи+ДиДЦ =
Дх-0 Дх Дх-0	Дх
= ulim-^+uIim-^ + lim ДиНт-^ =
Дх-0 Ат Дх-0 Дх Дх-0 Дх—О Ат
= ии' + ии' + Ои' = ии' + ии'. 11адо учесть, что функция и, как имеющая производную, непрерывна, и потому Ди — 0 при Дх -* О.
Наконец,
(Ц) = Цтр£±Ди _ М _±_ = Нт-^Ац~цАи =
'и' дх-о\и+Ди и'Ах Дх—°(u+Ди)иДх
уДк_иДу
_ Цщ Ах Дх _uu-uu Дх—0 (и + Ди)и	U2
Снова надо учесть, что Ди — О при Дх —• О, потому что функция и, как имеющая производную, непрерывна.
Рассмотрим функцию sin х.
(sin х)' = cos х,	(6)
потому что
. VI- sin(x+Ax)-sinx 2sin соЦ. (sin x) = lim-—-----------=lim----------
Дх-0	Дх	Дх-0	Дх
- Дх Sin ~ = lim——— limcos|x + Дх—О 1\Х Дх—О \
2 Надо учесть, что функция cos х непрерывна.
1  COS X = COS X.
158 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Аналогично доказывается, что
(cos х)' - -sin х,	(7)
(tg х)' = sec2 х = —,	(8)
cos х
(ctg х)' = -cosec2 х - —.	(9)
sin X
В самом деле, например,
(tg х)* _ (sinxf cosx(sinx),-sinx(cosx)'
'cosx'	cos2x
2-2	,
_ cos x+sin x _ 1	_ sec2x.
cos2x	cos2x
Для функции у = loga x (x > 0) имеем
Ду = log<i(x+Ax)-lognx = M1+*) = 2 logt1 + ")
Дх	Дх	Дх х Дх
X
Используя замечательный предел
.. log (1 + u) , lim—-------- - log е,
«-о и	°
получаем
(logo х)' = —log е=——.	(Ю)
х xlna
В частности,
(lnx)' = i.	(10')
§ 4.4. Производная сложной функции
Теорема 1- Если функция х =<p (t) имеет производную в точке t, а функция у — f (х) имеет производную в точке х, то сложная функция
y = F(t) = f[<pW\	(1)
имеет производную (по t) в точке t и справедливо равен
ство
J 4.4. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
159
=	(2)
или
1ft = «4 х'г	(3)
Доказательство. Зададим t, ему соответствует значение х =<р (t). Придадим t приращение At Ф 0, это вызовет приращение Ах =<р (t + At) -<р (t). Так как функция у = — f (х) имеет производную в точке х, то на основании равенства (2) § 4.1, имеем
Ay = f (х) Дх + £ (Ах) Ах,	(4)
где £ (Ах) -* 0 при Ах -* 0.
Будем считать, что £ (0) = 0. Равенство (4) при этом соглашении выполняется, т. к. если подставить в него Ах = = 0, то получится 0 = 0.
Разделим теперь равенство (4) на At Ф 0:
.	(5)
At At At
Пусть At стремится к нулю. Тогда Ах -* 0, потому что функция х (t) s <р (t) имеет производную в точке t и, следовательно, непрерывна.
Переходим в равенстве (5) к пределу при At -* 0. Тогда Ах -» 0 и £ (Ах) -► 0, поэтому получим
у\ = f (х) х' (t) + 0 • х' (t) = f (х) х' (t) = у; х\.
Теорема доказана.
Формула (1) может быть усложнена. Например, если г = f (у), у = <р (х), х = \|/ (£,) и все три функции имеют производные в соответствующих точках, то г'^ - г'у у'хх'^.
Пример l.y = ln sin2 х (х Ф kn, k — целое).
Полагаем у = In и, и = и2, v = sin х. Тогда
,	... In 2sinxcosx „ ,
у' = lA и' v' = 2ucosx =--?--= 2ctgx.
х v x и	sin2 x
Пример 2. у = sin(x2 + 2x- 1).
Полагаем и = x2 + 2x — 1. Тогда
у' = u'x = cos и  (2x + 2) = 2(x + 1) cos (x2 + 2x - 1).
160 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Обычно при вычислениях вспомогательные переменные и, v, ... не вводят, а только подразумевают их.
В случае примера 1 вычисления выглядят так:
s£=-A~ sin X
sin2x)
1	r Q
—~~ 2sinx(sinx)	—cosx = 2ctgx.
sin x	sinx
Или еще короче
у' = —2 sin х cos x = 2 ctg x. sin x
§ 4.5. Производная обратной функции
Пусть функция у = f (х) строго возрастает, непре рывна на интервале (а, Ь) и имеет конечную не равную нулю производную f (х) в некоторой точке х G (а, Ь). Тогда обратная для f функция х - f ~\y) = g(y) также имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством
т
или
П')
V Ух
Доказательство . Как нам известно, обратная функция х = g (у) строго возрастает и непрерывна на интервале (А, В), где
А= inf f(x), В — sup f(x) хЦа,Ь)	х<\а.Ь)
(см. § 3.6, теорема 1').
Дадим рассматриваемому у приращение Ау 0. Ему соответствует приращение Ах обратной функции, также не равное нулю в силу строгой монотонности f. Поэтому
Ах _ 1
Ay ду ’
Ax
£ 4.6. ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
161
Если теперь Ду — 0, то в силу непрерывности g (у) при-
ращение Дх также -► О; но при Дх 0 — —• f (х) О, Дх
следовательно, существует предел
Иш—=—1— = _L_
^Ду limAK Г(х)-
Ах-0 Дх
Этим формула (1) доказана.
Примечание. Если f 0 непрерывна на (а, Ь),
то g1 (у) непрерывна на (А, В).
Это следует из (1), где можно положить х — g (у):
Ведь сложная функция f [g (у)], состоящая из непрерывных функций f ng, непрерывна.
§ 4.6.	Производные элементарных функций (продолжение)
1.	у = а*. Отсюда х — logo у — обратная функция. Поэтому
у' = 1, = —|— = у In а = ах In а, т. е. (а*)' = ах In а.
v ylna
В частности,
(ех)' = е“,	(е-х)' = -е-\
2.	у =arcsin х (|х| < 1, -л/2 < у < л/2),х =sin у — обратная функция. Поэтому
у' = J-=—1_= , 1	1 -
ху cosy -Ji-sin у vl-x2
т. е.
(arcsin x)' =
1
Vl —x2
6 — Бугров. Том 2
162 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Перед корнем поставлен знак + , потому что cos у > 0 на (-л/2, л/2).
3.	(arccos х)' - arcsinxj
4.	у = arctg х, х = tg у — обратная функция (-оо < х < < оо, -л/2 < у < л/2). Тогда
(arctg х)' = —1— = cos2у =  - Ц- = —1-г , (tgy)	1 + tg у 1 + х
т. е.
(arctg х)' = —Ц.
1 + х
5.	Совершенно аналогично доказывается, что (arcctg х)' = —1-_.
1 + х
6.	Производная от степенной функции х“ (х > 0, а — произвольное действительное число). Имеем
а	cdn х
х = е
Так как функции и а 1п х имеют производную, то по теореме о производной сложной функции получим
(хау = (еа 1п 7 = еа ,п	= а = аха " \
Таким образом, (ха)') = аха1.
Этот результат согласуется с формулой (2) § 4.3 для производной от функции х” (х е (-оо, оо)), где п — натуральное число.
7.	Функция у = и (х)г (х) (и > 0). Если и (х) и v (х) имеют производную, то этим же свойством обладает функция
uD=ev,nu	(1)
5 4.6. ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
163
(u°)' = е 1п “(и In и)' = ии(— и' + v' Inu).	(2)
'u	'
Выражение
[lnf(x))]' = ffi	(3)
fto
называется логарифмической производной функции f.
Так как
In uv = v In и,
то в силу формулы (3)
W-=(vlnu)'=i/lnu+^, и	и
откуда следует (2).
8.	Гиперболические функции.
(shx)'=f-	-1	= - +- =chx,
I 2 )	2
(chx)'==shx, \ 2 j 2
(thx)'=(shx-Y= °h2x-sh2x s-L
'chx' ch2x ch2 x
(cthxy=(^Y= S_h2x-ch2x = ^1	(	0).
'shx' sh2x sh2x v
9.	у = Arsh x — обратная функция для функции х =  eh у. Отсюда
(Arshx)'=-J—=-J- =	2 = у 1 2
(shy) chy 71-shy Vl+x2
(см. далее § 4.12, пример 2).
6*
161 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 4.7.	Дифференциал функции
4.7.1.	Дифференцируемые функции.Пусть функция f имеет производную в точке х (конечную):
lim^ = f(x).
Дх-0 Дх
Тогда
для достаточно малых Дх можно записать в
виде суммы f (х) и некоторой функции, которую мы обозначим через £ (Дх) и которая обладает тем свойством, что она стремится к нулю вместе с Дх:
= f (х) + £ (Дх) (£ (Дх) -* 0, Дх-* 0) Дх
и приращение f в точке х может быть записано в виде
Ду = f(x) Дх + Дх • £ (Дх) (е (Дх) -* 0, Дх — 0) или
Ду = f (х) Дх + о(Дх).	(1)
Дх—О
Ведь выражение о(Дх) понимается как функция от Дх Дх-0
такая, что ее отношение к Дх стремится к нулю вместе с Дх.
Определение. Функция f называется дифференцируемой в точке х, если ее приращение Ау в этой точке может быть представлено в виде
Ау =А  Дх + о(Дх),	(2)
Дх—О
где А не зависит от Ах, но вообще зависит от х.
Теорема 1. Для того, чтобы функция f была дифференцируемой в точке х, т. е. чтобы ее приращение в этой точке представлялось по формуле (2), необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой точке. И тогда А= f (х).
Таким образом, сказать, что f имеет производную в
§ 4.7. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
165
**>чи« х или f дифференцируема в точке х — это одно и то w . Поэтому процесс нахождения производной называют «|Цг дифференцированием функции.
Доказательство теоремы 1. Достаточность , < иония доказана выше: из существования конечной про-м тодной f (х) следовала возможность представления Ау в виде (1), где можно положить f (х) = А.
Н е о бх Од имость условия. Пусть функция f дифференцируема в точке х. Тогда из (2), предполагая Ах Ф 0, получаем
= А +	=А+о(Дх).
Ах Ах	лх-о
П|юдел правой части при Ах -* 0 существует и равен А:
Кт— = А.
Дх-0 Дх
Это означает, что существует производная
f (X) =А.
4.7.2.	Дифференциал функции. Пусть функция y~f (х) дифференцируема в точке х: т. е. для ее приращения Ау в этой точке выполняется равенство (2). Тогда Ау есть сумма двух слагаемых. Первое из них АДх пропорционально Ах, а в таких случаях говорят, что оно есть линейная однородная функция от Ах. Второе — о(Ах) яв-Дх—О ляется бесконечно малой функцией высшего порядка малости сравнительно с Ах. Если А Ф 0, то второе слагаемое стремится к нулю при Ах -* 0 быстрее, чем первое. В связи с этим первое слагаемое А Ах = f (х)Ах называется главным членом приращенияАу (приАх -* 0!. См. определение в конце § 3.10). Это слагаемое называют дифференциалом функции и обозначают символомdy. Итак, по определению
dy = df = f (х)Ах.
На рис. 47 изображен график Г функции у = f (х);
166 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Т — касательная к Г в точке А, имеющей абсциссу х; f (x)—tg а, где а — угол, образованный касательной с осью х;
dy-f (х)Ах = tg а Ах = CD, DB = Ay - dy = o(Ax).
Дх-0
Таким образом, дифференциал функции у в точке х, соответствующий приращению Ах, есть
приращение ординаты точки, лежащей на касательной (dy = CD).
Вообще говоря, dy Ф Ау, ибо Ay = dy + о(Ах), а второй
Дх-0
член этой суммы, вообще говоря, не равен нулю. Только для линейной функции у = Ах + В имеет место равенство Ау =ААх = dy для любого х. В частности, для у - х, dy = dx = = Ах, т. е. дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой (dx = Ах). Поэтому дифференциал произвольной функции f обычно записывают так:
dy = f (х) dx,
откуда
f(*) =
dy dx’
т. e. производная функции f в точке х равна отношению дифференциала функции в этой точке к дифференциалу независимой переменной х.
Это объясняет, что выражение dy/dx (дэ игрек по дэ икс) употребляется как символ для обозначения производной.
Надо иметь в виду, что дифференциал dx независимой переменной не зависит от х, он равен Ах — произвольному приращению аргумента х. Что же касается дифференциала dy функции у (отличной от х), то он зависит от х и dx.
$ 4.7 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ	167
Отметим формулы
d (и ± и) = du ± dv,	(3)
d(u  v) = и dv + v du,	(4)
d (си) = c du(c — постоянная),	(5)
Ju\ vdu-udv ,
4=—2— (u * °) »	(6)
'V' V
где предполагается, что и и v — дифференцируемые функции в рассматриваемой точке х.
Например, формула (6) доказывается так:
Juj_(и^х_ vu' dx-uv dx _ vdu-udv 'IK 'i>'	v2	v2
4.7.3.	Приближенное выражение приращения функции. Если функция у = f (х) дифференцируема в точкех, то на основании формулы (1) ее приращение, соответствующее приращениюАх, можно записать следующим образом:
Ay = dy + о(Ах).
Дх—О
Отсюда следует, что дифференциал функции при достаточно малых Дх может служить хорошим приближением приращения функции. В этом смысле пишут приближенное равенство
~ dy = f (х) dx,	(7)
которым широко пользуются.
Пусть надо вычислить значение функции f в точкех, т. е. число f (х). Однако появилась необходимость заменить х его приближенным значением х + Ах:
х » х + Ах.
Возникает приближенное равенство
f (х) » / (х + Дх).
168 ГЛАВА 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Его абсолютная погрешность равна
|Ду| = 1/(х + Дх)-^(х)|.
Если функция f дифференцируема в точке х, то из формулы (7) следует, что при малых Дх можно считать, что абсолютная погрешность рассматриваемого приближения равна приближенно абсолютной величине дифференциала функции:
|Ду| ~ |с?у|,
вычисленного для соответствующего приращения Дх.
Относительная же погрешность приближенно выражается следующим образом:
Ду
У
dy У
(y = f(x^O).
Пр и м е р 1 . Если считать, что
</8,001 =</8= 2,
то погрешность приближенно равна дифференциалу функции у = х1/3 в точке х = 8, соответствующему приращению Дх =0,001:
dy = -1- х'2/3Дх = 18’2/3 - 0,001 = —-1— 3	3	12000
Вопрос о том, насколько точны эти наши рассуждения, может быть решен методами, которые мы будем еще изучать (см. § 4.14).
§ 4.8.	Другое определение касательной
В случае, когда производная f (х0) конечна, возможно дать другое, эквивалентное определение касательной.
Зададим произвольную прямую L, у — у0 = т (х - х0), проходящую через точкуА = (х0, f (хс)) кривой V-.y = f (х). Пусть В = (х, f (х)) — другая точка кривой Г. Расстояние от В до L в направлении оси у равно
i 4.9. ПРОИЗВОДНАЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
169
lf(x)-у0-7П(Х-Х0)|. (1)
рис. 48 р (х) -BD.
Прямая L называется отельной к Г в точке А, если р(х)= о (х-х0).	(2)
х-Ц)
Если прямая L есть касатель-
•я к Г в точке А в смысле перво- определения, тот = f (х0). Так »к , дифференцируема, то
/ (х) - / (х0) = f (х0) (х -х0) + о (х -х0), х — х0, откуда
р (х) = I/ (х) - f (х0) - f (х0)(х - х0)| = о (х - х0), х — х0, т. е. прямая L является касательной в смысле второго определения.
Обратно, пусть L является касательной в смысле второго определения. Тогда (см. (1) в (2))
р (х) = |/ (х) - /(х0) - т (х - х0)| = о (х -х0), х — х0,
или, что все равно,
/(x)-f(x0) = m(x-x0) + o(x-x0) прих— х0.
Это показывает, что функция / дифференцируема в точке
*о и т = f (х0). Но тогда L есть касательная в смысле первого определения и ее уравнение имеет вид
У~Уо = ? (хо(х~хо)-
Замечание. Из сказанного следует, что кривая y = f(x) имеет касательную в точке (х0, / (x^j) тогда и только тогда, когда функция f дифференцируема в точке х0.
§ 4.9.	Производная высшего порядка
Пусть на интервале (а, Ь) задана функция f. Ее производная, если она существует на интервале (а, Ь), есть некоторая функция f (х). Мы ее будем еще называть первой
170 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
производной. Но может случиться, что первая производная имеет в свою очередь производную на интервале (а, Ь). Эта последняя называется второй производной от f или производной от f второго порядка и обозначается так:
Г (х) = f <2)(х) = (f (х))' или у" = (у')'.
Вообще, производной от функции f порядка п называется первая производная от производной от f порядка и - 1 и обозначается так:
f (n)(x) = (f (п-1)(х))' или так: j/n) =
Если речь идет об определенном фиксированном значении х, то символ /п) (х) обЬзначает производную n-го порядка от f в точке х. Для ее существования необходимо существование производной fnV> не только в х, но и в некоторой окрестности х.
Примеры.
1°. (ех)(п) = е\
2°. (ах)' = a* In а, (ах)" = ах In2 а, ...» (ах)( }= (ах) 1пп а.
3°. (xm)' = тхт1,	(хт)" = т (т - 1) хт2,...
.... (x'n)<n) = т (т - 1) ... (т - п + 1) хт~п.
Если т натуральное, то, очевидно, (xm)(m> = m! и (Хг*)<я) = 0 (п > т).
4°. (sin х)' = cos х = sin(x + ,
(sin x)(n) = sin
(x+n>
5°. (cos x)(n> = cos^x+n^j.
Однако далеко не для всякой функции удается найти общие формулы для их n-х производных.
{ 4.10. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
171
Упражнение. Используя метод математической индукции, доказать формулу (Лейбница) для производной п го порядка от произведения двух функций;
(nv)(n) = ^^u(n‘V),
k=Q где и и v имеют производные до порядка п включительн * = n(n-l)...(n-fe+l) _	к! _
"	й!	й!(п-й)!’ °! Е
§ 4.10.	Дифференциал высшего порядка.
Инвариантное свойство дифференциала первого порядка
Если на интервале (а, 6) задана функция у = f (х), то ее, очевидно, можно представить бесконечным числом способов как сложную функцию
y = cp(z), z=y(x).
Таким образом, у можно рассматривать как функцию от х (х)) и как функцию отз (у = <р (з)), где з в свою очередь есть функция от х (з = ф (х)).
Аргумент х мы будем называть независимым, подчеркивая этим, что на протяжении наших рассуждений х не будет рассматриваться как функция какой-то переменной. Аргумент же z будем называть зависимым (от х!).
Дифференциал от функции у — f (х) в точке х есть, как мы знаем, произведение производной от f в этой точке на дифференциал независимого переменного:
dy = f (х) dx.
Здесь dx есть произвольное число. Оно не зависит от х. Эго сказывается в том, что производная от dx по х равна нулю:
(dx)' — 0.
Дифференциал от функции называют еще первым дифференциалом.
По определению вторым дифференциалом от функ
172 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ции y~f (х) в точке х называется дифференциал от первого дифференциала в этой точке и обозначается так:
d2y = d (dy).
Чтобы вычислить второй дифференциал, надо взять производную по х от произведения f (х) dx = dy, считая, что dx есть постоянная (не зависящая от х!), и результат помножить на dx:
d2y = d[f (х) dx] ~ dx (f'(x)dx)' = f (x) dx2.
Вообще, по определению дифференциалом порядка n функции у = f(x) называется первый дифференциал от дифференциала (п - 1)-го порядка этой функции и обозначается через
dnj/-=d(d',1y).
Очевидно, сГу = /п) (х) dxn,	(1)
потому что эта формула верна при п = 1, а если допустить, что она верна для п - 1, то
dny = d [fn~" (х) dx"'1] = dx^d [/n’1) (x)] = /"»(x) dx".
Конечно, для существования дифференциала порядка п функции у = f (х) в точке х необходимо, чтобы она имела производную /"* (х) порядка п в этой точке.
В силу (1) имеем
(2) dx
т. е. производная п-го порядка от функции у по независимой переменной х равна частному от деления п-го дифференциала у на dxn — (dx)n.
В дальнейшем мы узнаем, что формула (2) неверна, если в ней независимую переменную х заменить на зависимую г (см. далее (4)).
Мы определили дифференциалы первого и, вообще говоря, высшего порядка от функции у = f (х), гдех есть неза-
S 4.10. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
173
висимая переменная. Но функцию у, как это было отмечено выше, можно еще записать в виде
У = ф О),
где z есть некоторая функция от х (г =ф (х), f (х) = ср [\/ (х)|). Возникает вопрос, как выражаются введенные нами дифференциалы на языке (зависимой) переменной г. Для первого дифференциала этот вопрос решается следующим образом:
dy =y’xdx = у’гг'х dx = y'z(z'x dx) = y'dz.
Мы видим, что дифференциал функции у равен произведению ее производной у' на dzt
dy = y'zdz,	(3)
т. е. первый дифференциал функции у выражается по одной и той же формуле независимо от того, будет ли у рассматриваться как функция от независимой переменной х или от зависимой переменной г.
Форма первого дифференциала (см. (3)) сохраняется, поэтому говорят, что первый дифференциал имеет инвариантную форму или еще имеет инвариантное свойство.
С дифференциалом высшего порядка дело обстоит уже не так. В самом деле, если рассматривать у как функцию от z (у = <р (г)), то получим (см. § 4.7, (4)) d2y = d (dy) - d [<p'(z) dz] = dz d (<p' (z)) + <p' (z) d (dz) =
= <p" (z) dz2 + <p' (z)d2z.	(4)
В последнем равенстве мы применили инвариантное свойство первого дифференциала, в силу которого d (ср' (г)) = - ср" (z) dz. Кроме того, учтено что d (dz) = d2z. Величиной d2z, вообще говоря, нельзя пренебрегать, ведь она определяется равенством d2z =	(х) dx2. Правая его часть рав-
на нулю (для всех х!) только, еслиц/ (х) есть линейная функция (\р (х) = Ах + В).
Мы видим, что (выраженная через z) форма второго дифференциала не сохранилась — к числу <р" (z) dz2 доба-пилось слагаемое <р' (z)d2z, вообще говоря, не равное нулю.
174 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 4.11.	Дифференцирование параметрически заданных функций
Пусть зависимость у от х выражена через параметр t:
Х=ф('И,	(1)
Это надо понимать в том смысле, что существует обратная функция для функции х - <р (Г) и можно написать явную форму зависимости у от х:
у=у[<р1(х)].	(2)
Будем искать производную от у по х через производные от х пуnot. Будем употреблять обозначения у'х, у", х\, ..., х" у", где буква внизу означает, по какой переменной берется производная. В силу инвариантности формы дифференциала первого порядка у'х = dy/dx. Но dy — y\dt, dx = x'tdt. Поэтому
< =	(Х;*О)- (3)
Для производной второго порядка получаем
х dxy* dx^x'J dt\x't)dx	(x^3	*	'
Подобным образом можно получить формулы для производных у(х по х порядка п > 2 через производные от х и у по t.
§ 4.12. Теоремы о среднем значении
По определению функция f достигает в точке х = с локального максимума (минимума), если существует окрестность этой точки U (с) = (с - 5, с + 8), на которой выполняется неравенство
f(c)>f(x) XfxeU(c)	(1)
(соответственно f (х) > f (с) Ух е V (с)).	(1')
Локальный максимум или минимум называется локальным экстремумом. Точка с называется точкой локального экстремума.
§ 4-12- ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
176
Замечание 1. Если функция f непрерывна на от-|м »ке [а, б] и достигает на нем максимума (минимума) в |<'Чкес е (а, Ъ), то, очевидно, с является в то же время точ-»<>й локального максимума (минимума) f. Другое дело, если максимум (минимум) f на [а, Ь] достигается в одной из концевых точек отрезка. Такая точка не является точкой ло-
кального максимума (минимума) f. потому что f не определена в полной ее окрестности (справа от »ич* и слева).
На рис. 49 изображен график функции y = f (х), непрерывной на [а, Ь]. Точки хг и х4 — это точки локального минимума f, а । р х3, — точки локального максимума f. Конечно, можно ска-
тть, что Ъ есть точка локального одностороннего максимума f,aa — локального одностороннего минимума f. Но а не есть точка локального минимума, а Ь не есть точка
локального максимума.
Теорема 1 (Ф е р м а*).Если функция/имеет производную в точке с и достигает в этой точке локального кстремума, то f (с) = 0.
Доказательство. Для определенности будем счи-рать, что f имеет в точке с локальный максимум. По определению производной имеем
лх-о Ах
Так как у нас f (с) > / (х) Vx G U (с), то для достаточно малых Дх > 0
Дс+Лх)-/(с) <0 Ах " ’
откуда в пределе при Дх -► 0 получим, что
f (с) < 0.
(2)
П. Ферма (1601—1665) — французский математик.
176 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Если же Дх < 0, то
/(с+Ах)-/(с) >Q
Дх
поэтому, переходя к пределу приДх —* 0 в этом неравенстве, получаем, что
f (с) > 0.	(3)
Из соотношений (2) и (3) вытекает, что f (с) = 0.
Теорема 2 (Ролля*).
Если функция у = f (х) непрерывна на [а, Ь], дифференцируема на (а, Ь) и f(a) = f( b), то существует точка Е, е (а, Ь), такая, что f (4) = 0.
Доказательство. Если f постоянна на [а, Ь], то для всех Е3 е (а, Ь) производная f (£) = 0.
Будем теперь считать, что f непостоянна на [а, Ь]. Так как / непрерывна на [а, Ь], то существует точка хг 6 [а, Ь], в которой/достигает максимума на [а, Ь] (см. § 3.5, теорема 2), и существует точка х2 6 [а, Ь], в которой / достигает минимума на [а, Ь]. Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка [а, Ь], потому что иначе
тах/(х) = “ЙЛ*) = 0 хер.Р]	Х€^а,Ц
и / была бы постоянной на [а, Ь]. Следовательно, одна из точек Xj, х2 принадлежит к интервалу (а, Ь). Обозначим ее через?;. В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, /' (Е,) существует, потому что по условию /' (х) существует для всехх е (а, Ь). Поэтому по теореме Ферма Г Ф = о.
Замечание 2. Теорема Ролля сохраняет силу также для интервала (а, Ъ), лишь бы выполнялось соотношение
lim /(х) - lim /(х).
х—а	х— b
х>а	х<Ь
* М. Ролль (1652—1719) — французский математик, доказавший эту теорему для многочленов.
§ 4.12. ТЕОРЕМЫ О СРВДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
177
Замечание 3. Теорема Ролля теряет силу, если хотя бы в одной точке (a, b) f (х) не существует. Пример: у = |х| на [-1,1]. В теореме также нельзя заменить непрерывность на [а, Ь] на непрерывность на (а, Ь). Примером является функция
fl, х=0,
У [х, 0<х<1.
Точка х = О — точка разрыва.
Замечание 4 . Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике (рис. 50) функции у = / (х) существует точка (%, f (£,)), касательная в которой параллельна оси х.
Теорема 3 (Коши). Если функции f(x)ug (х) непрерывны на [а, Ь] и дифференцируемы на (a, b), ug' (х) 0 в (а, Ь), то существует точка Е, 6 (а, Ъ) такая, что
g(b)-g(a) g'(Q'	1 }
Доказательство. Отметим, что g (b) — g (a) 0, так как в противном случае, по теореме Ролля, нашлась бы точкатакая, что s' (£,) = 0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию
F (х) = / (х) - f (а) - ffg У [Я(х) - g (a)]. g{b)-g{a)
В силу условия теоремы эта функция F непрерывна на [а, Ь], дифференцируема на (а, Ь) и F (а) = 0, F (Ь) = 0. Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка Е, 6 (а, Ь), в которой F' (Е,) = 0. Но
F'(x) = f(x)-^ У /(х), g{b)-g{a)
178 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ поэтому, подставляя вместо х точку получаем утверждение теоремы.
Замечание 5. В формуле (4) Коши, как нетрудно видеть, не обязательно считать а < Ь. Но тогда [а, Ь] и (а, Ь) обозначают соответственно множества точек х, для которых Ь^х^а, Ь<х<а.
Как следствие из теоремы Коши, при g (х) — х получим теорему Лагранжа.
Теорема 4 (о среднем Лагранж а*). Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь] и имеет производную на интервале (а, Ь). Тогда существует на интервале {а, Ь) точка с, для которой выполняется равенство
f(b)-f (а) - (Ь - a)f (с) (а < с < Ь).	(5)
Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если записать ее в виде
(а<с<Ь).
Ь—а
Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси х хорды, стягивающей точки (а, / (а)) и (Ь, f (Ь)) графика функции у = /(х), а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику &'	s'	в некоторой промежуточной точке с
Л 7^1	абсциссой с е (а, Ь). Теорема Лагран-
yf,''	жа утверждает, что если кривая (рис.
[	51) есть график непрерывной на [а, Ь]
---------—1—*. функции, имеющей производную на v 9 С v X .	_ .	ы	..
(а, Ь), то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе с (а < с < &) такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой (a, f (а)) и (Ь, f (Ь)).
Равенство (5) называется формулой (Лагранжа)
* Ж. А. Лагранж (1736—1813) — французский математик.
§ 4.12. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
179
конечных приращений. Промежуточное значение с удобно записывать в виде
с = а + 0 (Ъ — а),
где 0 есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам О < 0 < 1. Тогда формула Лагранжа примет вид
f(b)-f(a)~(b-a)f (а+0(Ь-а)) (О<0<1).	(6)
Она верна, очевидно, не только для а <Ь, но и для а > Ь. Теорема 5. Функция, непрерывная на отрезке [а, Ь], где а <Ь, и имеющая неотрицательную {положительную) производную на интервале (а, Ь), не убывает (строго возрастает) на [а, Ь].
Действительно, пусть а < хг < х2 < Ь, тогда на отрезке [хр х2] выполняются условия теоремы Лагранжа. Поэтому найдется на интервале (xv х^) точка с, для которой
/ (хг) - f (*i) = (хг " xi) f (с)	(*1<с< хг)-
Если по условию f > 0 на (а, Ъ), то f (с) > О и
f(x^-f(Xl) >0;	(7)
если же f > 0 на (а, Ь), то Г (с) > 0 и
/(х2)-/(х1)>0.	(8)
Так как неравенства (7) и (8) имеют место, каковы бы ни были х,, х2, где а < Xj < х2 < Ь, то в первом случае f не убывает, а во втором f строго возрастает на отрезке [а, Ь].
Пример 1. Возвратимся к примеру 1 § 4.7, где надо было оценить величину! = V8.001 Применим формулу Лагранжа к функции у (х) = х1/3. Имеем
X = у (8,001) - у (8) = 0,001 - у' (с) = 0,001 • |х'2/^=г =
О
=-А_ c-v» <_J_8-2/3=—1—
3000	3000	12 000 '
В примере 1 § 4.7 мы получили такой же результат, но сейчас он получил полное обоснование.
180 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Пример 2 . Функция у = sh х = -i(er ~ « *) имеет ил
непрерывную производную
(sh х)' = -1(ех + е~х) = ch х > 0 Vx е (-оо, оо), ил
и обладает свойствами
lim sh х = -оо, lim sh х = +оо, Х—-О0	Х-*+С®
Следовательно, она строго возрастает и непрерывно дифференцируема на (-оо, оо) и отображает интервал (-оо, оо) на (-оо, оо). Поэтому она имеет обратную однозначную непрерывно дифференцируемую функцию, обозначаемую так: х = Arsh у, у G (-оо, оо).
Теорема 6. Если функция имеет на интервале (а, Ь) производную, равную нулю, то она постоянна на (а, Ъ).
В самом деле, на основании теоремы Лагранжа имеет место равенство
f (х) - f (Xj) = (х - Xj) f(c),
где Xj — фиксированная точка интервала (а, Ь), х — произвольная его точка (она может находиться справа и слева от xjи с — некоторая, зависящая отх, их точка, находящаяся междух, и х. Так как по условию /' (х) = 0 на (а, Ь), то /' (с) = О и / (х) = / (х,) = С для всех х 6 (а, &).
Заметим, что в приведенных теоремах ослабление налагаемых в них условий может привести к неверности утверждений (см. замечания 1, 2 к теореме Ролля).
Определение. Будем говорить, что функция у = = / (х) возрастает (убывает) в точке х0, если существует число 5 > О такое, что
— >0 f—— <0^ при 0 < |Дх| < 8
Ах <Дх )
Очевидно, что если функция / (х) возрастает (убывает) на (а, Ь), то она возрастает (убывает) в каждой точкех G (а, Ь).
Теорема 7. Если f (х0) > 0 (< О), то функция у = = / (х) возрастает (убывает) в точке х0.
§ 4.12. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
181
Доказательство. Так как f (х0) = Ит	, то, задав
Е > О, можно найти такое 8 > О, что f (х0) - е < < f (х^ + £ при |Дх| < 8. Пусть f (х0) > О. Взяв Е < f (х0), получаем, что
> О при |Дх| < 8, т. е. функция / возрастает в точке х0. Дх
Замечание 6. Если функция f имеет производную и не убывает на (а, Ь), то f (х) > О на этом интервале. При сказанных условиях невозможно, чтобы в какой-либо точкех е (а, Ъ) производная от /былаотрицательной — это бы противоречило теореме 7.
Если f имеет производную и строго возрастает на (а, Ъ) и если у нас других сведений об f нет, то все равно придется заключить, что /' (х) > О на (а, Ь), потому что строго возрастающая функция в отдельных точках (а, Ь) может иметь производную, равную нулю. Такой, например, является з
функция х , строго возрастающая на (-°0, оо) и имеющая при х — О производную, равную нулю.
Замечание 7. Если функция возрастает в точке х0, то она не обязательно возрастает в некоторой окрестности точки х0.
Примером может служить функция
Е(х) =
О,
X 2-1 ~~х sm, 2 х
х = 0, х*0.
Очевидно, что
тонна, так как производная (х)
La
—-x^sin-l F' (0) = lim-2----—=А,
х-о х 2
и F (х) возрастает в точке х = 0. Однако эта функция немоно-
-2xsin— +cos - в любой X X
малой окрестности нуля принимает как положительные, так и отрицательные значения (см. теорему 5). Для хк = 1/kn (k = 1, 2, ...) при Л четном она равна 3/2, а при к нечетном она равна - 1/2.
182 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Теорема 8. Если функция f (х) четная {нечетная) и дифференцируема на [-а, а], то f (х) нечетная {четная) функция.
Доказательство. Так как/ (х)= / (-х) Vx G [-а, а], то производные левой и правой части также совпадают: f (х) = — f (—х), т. е. f (х) — нечетная функция. (Этот же факт можно доказать, исходя из определения производной.)
§ 4.13. Раскрытие неопределенностей
г	/(х)
Ьудем говорить, что отношение  представляет со-
бой неопределенность вида — при х а, если lim/(x) — О	х~а
= ling (х) = О. Раскрыть эту неопределенность — это зна-
- 1- f(x) чит наити lim— --7, х-п g{x)
если он существует.
Теорема 1. Пусть f {х) и g (х) определены и дифференцируемы в окрестности точки х = а, за исключением, быть может, самой точки a, lim/(x) =limg(x) = O,g (х) х—а	х—а
и £ (х) * 0 в этой окрестности. Тогда, если существует
f'{x)	.. /(х)
lim - , .	то существует lim—и имеет место равен-
х-а g{x)	g{x)
ство
lira® - lira® g(x) g (х)
(1)
Доказательство. Будем считать, что а — конечное число. (В случае а = оо см. ниже замечание 3.) Доопределим функции fug в точке х = а, полагая f {а) ~ g {а) = = О. Тогда эти функции будут непрерывны в точке а. Рассмотрим отрезок [а, х], где х > а или х < а (см. замечание 5 §4.12). На [а, х] функции fag непрерывны, а на (а, х)
S 4.13. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
183
дифференцируемы, поэтому по теореме Коши существует точка такая, что
g(x)-g(a) g'(£)
йе(“’1))ил”^=Яо-
Когда x — а, то и — а, поэтому в силу условия теоремы имеем
lim^t= lim lim-^ х~° g(x) 4-а g (у х-а g (х)
(2)
при условии, что предел в правой части равенства существует.
Этим теорема доказана.
Замечание 1. Если предел справа в (1) не существует, то предел слева может существовать.
Пример 1. Так как sin х » х, то г - 1 X sin *.	
lim------= limxsin— = 0.
х-о sinx х-о	х
Однако
(x2sinl) 2xsini-cos— lim- 2 . iim--------X-----X
x-o (sinx) x-0 cosx
не существует.
f’(x)
Замечание 2. Если выражение „  представляет
неопределенность вида и функции f (х), g' (х) удовлетворяют условию теоремы 1, то
ИтДх| = Ит х-« g(x) х-а
fl*) е'(х)
Нт х—о
т
При этом эти равенства надо понимать в том смысле, что если существует третий предел, то существует и второй и первый.
184 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Теорема 2	. Пусть fug определены и диффе-
ренцируемы в окрестности точки х — а, Ит/ (х) = lim# (х) = х— а	х— а
= g (х) и (х) т* 0 в этой окрестности, тогда, если
-I f'(x)	.. f(x)
В lim , то Э 1мп g (х)	g(x)
U

Доказательство этой теоремы мы не приводим.
Замечание 3 . Если а = оо, то замена х = I/t сводит дело к а = О:
.. /(х)	/(I/р	(/g/оу.	/'(У^-У*2).
х™£(х) ^gfl/t) ^(g(l/t))'	™g'(l/t)(_l/t2)
=ШпШ
Выражаемые теоремами 1, 2 правила, в силу которых вычисление предела отношения функций может быть сведено к вычислению предела отношения их производных, называют правилом Лопиталя, по имени математика, который сформулировал это правило, правда, для весьма простых случаев. Впрочем, это правило было известно И. Бернулли до Лопиталя*.
Пример 2.
lim-- - 0 Va > 0, а > 1.
Х-ОО а
Здесь мы имеем неопределенность вида • Применяя правило Лопиталя k раз (А > а, при а натуральном k = а), получим
* Г. Ф. Лопиталь (1661—1704)— французский математик. И. Бернулли (1667—1748)—швейцарский математик.
8 4.13. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
185
а	а-Л
lim— = lim-„ = 0.
Х-О0 а Х-ОО а ЦПО)
Пример 3.
Ит—^ = 0 Уа > 0. Х-~ Х
Функции ха и In х удовлетворяют всем условиям теоремы 2, поэтому
lim—= lim
Х-*со	X—©о
1/Х
_а-1
= lim
X—со
1
а ах
=0.
Кроме рассмотренных неопределенностей, встречаются неопределенности вида 0  оо, 0°, оо°, оо — оо, 1°°, определение которых очевидно. Эти неопределенности сводятся к
неопределенностям — или — алгебраическими преобра-и оо
зованиями.
&. Неопределенность 0  со (f(x)g(x), f(x) -» 0,g(x) -► оо при х -» а). Ясно, что

Пример 4.
lim ха In х = 0 Х/а > 0; х—О
lim ха In х = Ит-^^ = (—) = lim—Итха - 0. х-0	х-0 х“° \оо/ х-0 -дх а *-о
б. Неопределенности вида 1“ , 0°, оо° для выражения водятся к неопределенности О  оо. Согласно определению этой функции fs =eebl z (f > 0).
Если
lim g In f = k, x—fl
ГО
lini f = ek.
186 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
в. Неопределенность со -со (f(x) -g(x), f — +оо, g —•+оо при х — а). Легко видеть, что
f-g =
1_1
1_Х=Х
1 1 1.1W' f g f g
§ 4.14.	Формула Тейлора*
Рассмотрим произвольный многочлен степени п:
Рг.М = Ьо +Ьгх + ... +bnxn = ^Ъкхк,
*=0
где, таким образом, Ък — постоянные числа — коэффициенты многочлена. Пусть х0 —любое фиксированное число. Полагая х = (х — х0) + х0, получим
*п(х)-£м(*-*о) + *о]\	(1)
*=0
откуда, возводя в степени квадратные скобки и приводя подобные по степеням х - х0, получим выражение дляРп(х) в следующей форме:
Pn(x) = ао + а1(* ~ х0) + ... + ап(х - х0)" = Хаь(х - Хо?> (2) к=0
называемое разложением многочлена РП(х) по степеням (х - х0). Здесь а0, av.... ап — числа, зависящие от bt и х0 — коэффициенты разложения Рп по степеням х - х0. Например, а0 = Ь0 + Ьхх0 + ... + ЬгХр. Из (1) очевидно, что Рп(х) на самом деле от х0 не зависит.
Найдем последовательные производные Рп(х):
Р'п(х) = ai + 2а2(х - хо) + — + Пап(х - Х(У ~ ’»
Pn"(x) = 1  2аг + 3 • 2а3(х - х0) + ... + п(и - 1)а„(х - х0У* 2,
* Б. Тейлор (1685—1731)—английский математик.
S 4.14. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
187
Р**’(х) = 1 • 2 ... kak + ... + n(n - 1) ...
...(п-Л + ПаДх-х/Л
............................................. (3)
P(:,(x)= 12...nan.
Производные порядка выше n равны нулю. Полагая в формулах (2) и (3) х = х0, получаем
рп(*о) = ао, Л(хо) = а1>
ЭД = 1 • 2а2....pW(x0) = Мак, .... Р^ = п!а„,
или
ak =	(ft = о, 1, .... n),	(4)
kl
где мы считаем 0! = 1, Р(„(х) - Рп(х).
Формулы (4) показывают, что многочлен Рп(х) степени п можно разложить по степеням х - х0 единственным обрядом, т. е. если для всех значений х верно равенство
рп(х> = £Р*(* “ хо)* = ХР*(х ~ хо)*> k=Q	k=0
где РА и Р* — постоянные, то pfc = р* (k = 0,1 п). Ведь как числа рл , так и Р' вычисляются по одной и той же формуле (4).
В силу (4) формулу (2) можно переписать так:
Рп (X) = рп (х0) + (х _ Хо) +... +	(Х _ Хо)" =
= £^)(х_хо)*.
k=0
Формула (2') называется формулой Тейлора для многочлена Р„(х) по степеням (х - х0). Отметим, что правая часть  ') фактически не зависит от х0.
Пример 1. Пусть Рп (х) = (а + х)" и х0 = О. Тогда в
г илу (2')
188 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
где в данном случае
Р™ = n(n-l)...(n-k + 1) (а + х)л *,
Р^’(О) = п (п - 1) ... (п - k + 1) ап \
и мы получили известную формулу бинома Ньютона
(а 4 х)л = £ n(n-l)...(zt-fe+l)	(5)
fc=o
Рассмотрим теперь любую функцию f (х), которая имеет непрерывные производные всех порядков до (п.+ 1)-го в некоторой окрестности точки х0. Мы можем формально составить многочлен
Qn(*) =	<6)
который называетсял/ногочленолг Тейлора п!-й степени или п-м многочленом Тейлора функции f по степеням х — х0.
Многочлен Qn (х) совпадает с функцией f (х) в точке х0, но для всех х он не равен f (х) (если / (х) не является многочленом степени п). Кроме того,
Qn(x0) = f (х0),	= f (х0), ...» Q^(^) = f<n‘ (x0). (7)
Положим
f(x) = Qn (x)+r„(x).	(8)
Формула (8) носит название формулы Тейлора для функции f(x); гп(х) называется остаточным членом формулы Тейлора, — подробнее, п-м остаточным членом формулы Тейлора функции f по степеням х - х0. Функция гп (х) показывает, какую погрешность мы допускаем при замене f (х) на многочлен Тейлора (6).
Найдем выражение для гп (х) через производную ^л+,,(х).
В силу (7) и (8) гп(х0) = гп' (х0) = ... =	(х0) = 0. Поло-
ЖИМф (х) = (х- Х0)Л+1. Ясно, что <р (Хд) =(р' (х0) = ... =<р<л) (х0) =
§ 4.14. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
189
= 0. Применяя теорему Коши к функциям гп (х) и <р (х), будем иметь
г„(х) = r„(x)-rn(*b) = /-/(Хд) _ г/(х1)-г;(х0) = Гп"(х2) =
<р(х)	ф(х)-<рЦ)) tp'(Xj) <p'(*i)-<p'(*b)	ф"(х2)
_	_ гГУ,.,)
Ф(п)(х„)	ф^-ф^	Ф(п+1)(х„+1)
(Х1 е (х0, х) и хА+1 G (х0, хл), k = 1, 2, ... n).
Но <p("+1) (х) = (n + 1)!, r<n+1) (x) = f+1)(x) - О = f(вИ) (x).
Следовательно,
где с = хв+1 — некоторая точка, лежащая между х0 и х. Таким образом, формулу (8) можно записать в виде
f (X) = ±	(х - ХО)‘ + (X - х0)"+1.	(8')
*to k\	(п+1)!
Формула (8') называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Мы доказали важную теорему.
Теорема 1. Если функция f имеет в окрестности точки х0 непрерывную производную /л+7 (х), то для любого х из этой окрестности найдется точка с G (х0, х) такая, что f (х) можно записать по формуле (8').
Здесь с зависит от х и п.
Если точка х0 = О, то формулу (8) называют формулой Маклорена.
Известны и другие формы остаточного члена формулы Тейлора. Так, большое значение имеет форма Коши
г. W -	,< . » (1о , в (х - xj), (10)
где 0 (0 < в < 1) зависит от п и х. Вывод этой формулы будет дан в §6.5.
190 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Уменьшая окрестность точки х0, получим, что производная /п+1)(х) есть непрерывная функция от х на замкнутом отрезке [х0 - 5, х0 + 8]. Но тогда она ограничена на этом отрезке:
(х)| < Мп (х0 - 8 < х < х0 + 8)	(11)
(см. §3.5, теорема 1). Здесь Мп — положительное число, не зависящее от указанных х, но, вообще говоря, зависящее от п. Тогда
* «I |ж -	-xj =81 (12)
Неравенство (12) можно использовать в двух целях: для того чтобы исследовать поведение гп (х) при фиксированном п в окрестности точки х0 и для того, чтобы исследовать поведение гп (х) при п — оо.
Из (12), например, следует, что при фиксированном п имеет место свойство
гп (х) = о ((х - х0)л), х — х0,	(13)
показывающее, что если гп (х) разделить на (х - х0)п, то полученное частное будет продолжать стремиться к нулю при X — х0.
В силу (13) из (8') следует:
f (*) = 1	~ хо)* + о ((* - *о)”) •	(14)
*=о
Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в смысле Пеано*.
Она приспособлена для изучения функции f в окрестности точки х0.
Теорема 2 (единственности). Пусть одна и та же функция f из различных соображений оказалась представленной в окрестности точки х0 в виде
* Д. Пеано (1858 — 1932) — итальянский математик.
191
s 4.14. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
f(x) = °O + <h(X~Xo) +™+ an(X - *0)" + ° I (X “ Хо)П
/(*) = + t\(x-xj +...+ bn(x-x0')n+o| (x- xj1 \ *-*o	>
(15)
Тогда
ak = bk (* = 0, 1,.... n).	(16)
Доказательство. Если приравнять правые части (15) и перейти к пределу при х -» х0, то получим а0 = Ьо. Теперь в этом равенстве можно сократить на (х — х0) (х * х0) и опять перейти к пределу при х— х0. Тогда получим aj = bt . И так продолжаем до тех пор, пока получим ап = Ъп.
Пример 2 . Мы знаем, что
п к 1 _ „п+1
Е* (**1)-
*=0	1~Х
Поэтому

= Ex*+f^=Ex‘+o(x").
*=о	1 х *=0
(17)
С другой стороны, функция \/ имеет в окрестности точки х = 0 производные любого порядка, поэтому для нее имеет место формула Тейлора с остатком в форме Пеано
V(x)=f^x*+O(xn).	(18)
*=0	"	х-Ю
Сопоставляя формулы (17) и (18), на основании теоремы единственности получим
1 = У О (й = 0, 1,.... п).	(19)
Поведению остаточного члена формулы Тейлора при п -» оо посвящен следующий параграф.
192 ГЛАВА4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§4.15. Ряд Тейлора*
Выражение a0 + ai +...	(1)
или еще
(Г)
*=о где ак — числа, зависящие от индекса k, называетсярядол. Конечные суммы
(и = О, 1,2,...)
*=о
называются частичными суммами ряда (1) (или (1')). Если существует конечный предел
limSn =S,	(2)
п—оо
то говорят, что ряд (1) сходится к числу S и называют S суммой ряда. При этом пишут
S =	= ак + С4+ а2+ ...
*=о
Если предел частичных сумм Sn (при п -* оо) ряда (1) не существует или равен оо, то ряд (1) называется расходящимся.
Пусть теперь функция f имеет производные любого порядка в окрестности точки х0. Для такой функции можно составить ряд следующего вида:
f (*о) + (X - Хо) + (X - я0)2 + ...	(3)
А»
или короче
Z^^hx-XoA	(3')
fc=O
* И. Бернулли получил ряды, которые мы связываем с именем Тейлора, в 1694 г., а Тейлор получил их позднее — в 1715 г. (см. Известия ИМИ АН, 1896, VII, № 4, Н. Я. Сонин).
§4.16. РЯД ТЕЙЛОРА
193
Для каждого отдельного значения х этот ряд может сходиться или расходиться. Множество точек х, для которых ряд (3) сходится, называется областью сходимости этого ряда. Независимо от того, сходится или расходится этот ряд, он называетсярядом Тейлора функции f по степеням х - х0. Если х0 = 0, то соответствующий ряд называют иногда рядом Маклорена.
Особый интерес представляет тот случай, когда ряд Тейлора функции / по степеням (х - х0) сходится в некоторой окрестности точки х0 и притом к самой функции f (х). Если это имеет место, то
f (*) =	G ~ 5’ Х° + 5^’
т. е. функция f (х) есть сумма ее ряда Тейлора в некоторой окрестности точки х0, иначе говоря, для любого значения х е (х - 8, х0 + 5). В этом случае говорят, что функция f (х) разлагается в ряд Тейлора по степеням (х - х0), сходящийся к ней.
Теорема 1. Если функция f имеет на отрезке[х0 — 8, х0 + 5] производные любого порядка и остаток ее формулы Тейлора стремится к нулю при п~* оо
Ишг (х)=0	(х е [х0 - 5, х0 + 5])	(4)
п—ОО
на этом отрезке, то f разлагается в сходящийся к ней ряд Тейлора на этом отрезке.
Доказательство. Пусть функция f имеет на отрезке [х0 — 8, х0 + 8] производные любого порядка. Тогда эти производные непрерывны на [х0 — 8, х0 + 8], потому что, если / имеет производную/w на [х0 - 8, х0 + 8], то производная /(*-1) непрерывна на [х0 - 8, х0 + 8].
Поэтому для нашей функции имеет смысл формула Тейлора
f (х> = Е (х ~ хо)к + гп (*) х G [хо ~ 5» хо + б]-
7 — Бугров. Том 2
194 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Тогда в силу (4)
п /к\хЛ
iim £ ' W (х _ Хоуг = цт у (х) _ Гп (х)] =
n~'OQk={) я!	п—©о
= f (х) - lim rn(x) = f (х),
П—оо
т. е. в этом случае многочлен Тейлора функции f (х) (по степеням х - х0) стремится при п —• с® к самой функции:
lim £ / (х - Жо)* = f (х) (х е [х0 - 5, х0 + 5]). (5)
"-oofe=0 «I
А это означает, что ряд Тейлора функции f (х) сходится на [х0 — 8, х0 + 8] и имеет своей суммой f (х):
/ (х) = £ ~ $ (х - х0)* (х 6 [х0 - 8, х0 + 8]).
*=0	«*
Теорема доказана.
Следующая теорема дает простой достаточный критерий сходимости остатка формулы Тейлора к нулю.
Теорема 2. Если функция f имеет на отрезке [х0 -8, х0 + 8] производные любого порядка, ограниченные одним и тем же числол(|/п)(х)| < М, п = 0,1, 2, ...,х0-8 < х< х0 + 8), то остаток ее формулы Тейлора на этом отрезке стремится при п —» оо к нулю:
limrn(x)=0.	(6)
п-’оо
Доказательство. Воспользовавшись формулой Лагранжа остаточного члена, получим
(с G (х0, х), М > I /п+1)(х)| Vn и [х - Хр) < 8).
Так как правая часть (7) стремится к нулю при п — оо (см. §2.5, (5)), то имеет место (6).
§4.16. ФОРМУЛЫ И РЯДЫ ТЕЙЛОРА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
195
§4.16. Формулы и ряды Тейлора элементарных функций
1.	f (х) = е\ Эта функция бесконечно дифференцируема (имеет производные любого порядка) на (-оо, оо). При этом
/(А)(х) = ех, /*’(0) = 1 (Л = 0, 1, ...), f(п+1) (с) = е.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид
п к	с п+1
«'-^^.(х),	Г.(х) = ^, ее (0.x),	(!)
где х может быть положительным и отрицательным. На отрезке [-А, А], А > О,
< • - °-" - <2’
Это показывает (см. теорему 1 §4.15), что функция е* разлагается на [-А, А] в сходящийся к ней ряд Тейлора по степеням х (ряд Маклорена):
Но А > 0 — произвольное число, поэтому это равенство имеет место на всей действительной оси (х 6 ( —оо, оо)). В данном случае |/ (Ч(х) = |ех| < б4 (ft = 0, 1, 2, ...) на отрезке [-А, А], и чтобы получить равенство (3), можно было бы воспользоваться теоремой 2 §4.15.
Вычислим число е с точностью до 0,001. Имеем (см. (1))
e=X~+rnW’	(4)
fe=0«'
где
-5)
Надо подобрать п настолько большим, чтобы
196 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Г"(1)=(Й1)! <0’001 (0<с<1)'
Так как е < 3, то для этого достаточно решить неравенство 3/(п + 1)! < 0,001. Оно выполняется при п=б.Следовательно, e“2+ii+ii + - + 6!=2-718 с точностью до 0,001.
Примечание. Так как 1 < ес < 3 при 0 < с < 1, то при п > 2 ес/(п + 1) = 0, где 0 < 0 < 1. Поэтому равенство (4) можно записать в следующем виде:
е=У±Д nl
Эта формула была использована (в §2.6, формула (3)) для доказательства иррациональности числа е.
2.	у = sin х. Данная функция имеет производную любого порядка и
Vfc.
Поэтому по теореме 2 §4.15 функция sinx разлагается в сходящийся к ней на (-оо, оо) ряд Тейлора по степеням х:
3	5
sinx = x- — + —
Надо учесть, что
(-1)V*+1 Д (2fe+l)! '
(sin х)(п)|ж=0= йпу-
О Z -IX*
при п=2Л, при п=2Л+1.
Формула Тейлора функции sin х по степеням х имеет вид
2v-l
X____
з
sin х = х -	+ ... + (-1)	+ r2v<X)’	<6)
где
§4.16. ФОРМУЛЫ И РЯДЫ ТЕЙЛОРА Э ЕМЕНТАЫШХ ФУНКЦИЙ
197
2v-l	.	.
r2v (*) = * sin 0Х+(2v +1)^1 (О < 0 < 1).
Отсюда следует, что
М*) = o(x2v) х-0
и з	2v-l ,
sin X = х - “ + ... + (-l)v+1 7#—,v. о(* )• 3!	(2V—1)!
3.	у = cos х. Совершенно аналогично можно получить, что
2	4	оо	2*
cosx=1-^+^-...= E(-1)A^-.
2!	4! fc=0 (27г)!
Пример 1 . Найти lim х-оо хл
Имеем х3 з sin х = х -	+ о (х ),
О I
(7)
поэтому
smx-x
з
1
3!

т. е.
Umsin^x=_l х—О XS 6
На самом деле в (7) остаток имеет вид • Но для наших
х-0
целей достаточно о(х3). Надо иметь в виду, что если некото-х-Ч)
рая функция от х есть o^x4j, то она есть также (но во-
х-0	х-0
обще не наоборот!).
198 ГЛАВА 4, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
4.	Функция f (х) =ln (1 + х) определена и сколько угодно раз дифференцируема для х > -1. Поэтому для нее формулу Тейлора можно написать для любого п = 1, 2, ... при х > —1. Так как
f(П) (х) =	’ f<П) (0) = (-Dn+1 (п - 1)!,
(1+х)
то формула Тейлора имеет вид
2	п
In (1 + х) = X -	+ ... + (-l)n+1	+ Г„(х).
п
Используя формы Лагранжа и Коши остаточного члена, можно показать, что
lim г (х) = 0 при -1 < х < 1.
П— оо
В самом деле, используя форму Лагранжа остаточного члена, имеем для 0 < х < 1:
-----£----- ag .1
'	"	п+1 (1+6х)	п+1
( п — оо, 0 <0 < 1);
— 0
используя форму Коши остаточного члена (см. §4.14, (10)), имеем для -1 < х < 0:
(*)1 =
(-1) X
(1-е)п (1 + 6х)п+1
I |П+1 /	\ п
|*г (1-е у 1-|х| 11+6x7
Ixr1
1-|х|
( п — оо, о <0 < 1).
0
Поэтому функция In (1 + х) разлагается в указанном промежутке в ряд Тейлора по степеням х:
1п(1 + х) = £(-1)*+1^	(-1<х<1).
tel	«
5.	Функция f (х) = (1 + х)т. Для этой функции /п,(х) = т (т - 1) ... (тп - п + 1)(1 + x)m n, /п)(0) = т (т - 1) ... (т - п + 1).
§4.16. ФОРМУЛЫ И РЯДЫ ТЕЙЛОРА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
199
Формула Тейлора по степеням х имеет вид
(1 + х)т = 1 + тх +
2 i 2!

Можно доказать, что при любом т
lim г (х) = 0	(-1 < х < 1).
П—оо
Поэтому для любого действительного т имеет место разложение функции (1 + х)т в ряд Тейлора по степеням х
(1 + х)т = 1 +	(-1<х<1). (8)
*=1
Если т натуральное, то функция (1 + х)т есть многочлен. В этом случае г„ (х) = 0 для п > т, и ряд справа в (8) представляет собой конечную сумму — многочлен Тейлора (см. §4.14).
При х = ±1 исследование поведения остаточного члена (в форме Коши или Лагранжа) требует больших усилий. Отметим лишь, что при х = 1 ряд Тейлора (8) сходится при т > -1, а при х = -1 для т > 0.
Приведем частные случаи ряда (8) при т — — 1; т = ^:
у^ = 1-х-х2-... + (-1)"хп + ...	(—1 < х < 1)
— обыкновенная геометрическая прогрессия, расходящаяся прих = ±1;
1	1 2 1 3
-^х-^-х +—х -
2	8	16
—х4 +	(2га-3).1!х" +
128	’ 2пП
(-1 < х < 1):
здесь ряд справа сходится при х = ±1.
200 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Пример 2 . Вычислить предел (тп Ф п, т 0, п * 0)
.. 'tfTz-tfUx ,	l+^+o(r)-(l + ^ + O(r)j
lim -	—- ---- = lim----------------------=
х-->0	X	х->0	х
.	. lim[(X_l)+o(1)l, Х-Х.
х-->о	х	х-Аут пГ wj т п
Пример 3.
1п(1 + х)-х(1 + х)“	х-^ + о(х2)-х(1+ах + о(х))
*-и> X	хЮ	г2
-(1 + а)х2 + о(х2) г 1
= lim—2-----Ц-------= lim[-~-a + oi
х—>0	%	х—>0 L Л
§ 4.17. Локальный экстремум функции
Определение локального экстремума было дано в начале §4.12. Очевидно, ему можно придать и следующую форму.
Функция y = f (х)достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое & > 0, что ее приращение Ау в точке с удовлетворяет неравенству
Ay = f (х) - f (с) < 0 Vx е (с - 3, с + 3)
(соответственно Ay = f (х) — f (с) >0 Vx п (с — 3, с + 8)).
По теореме Ферма (см. §4.12), если функция f достигает в точке х0 локального экстремума и в этой точке производная f (х0 ) существует, то она равна нулю:
f(xo)=O.
По определению точка х, называется стационарной для функции f, если в ней производная от f существует и равна нулю (f (х0) = 0).
Если задана на некотором интервале (а, Ь) функция f и надо найти все ее точки локального экстремума, то их, оче
f 4.17. ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
201
видно, надо искать среди, во-первых, стационарных точек, т. е. таких, в которых производная /' существует и равна нулю и, во-вторых, среди точек, где /не имеет производной, если таковые на самом деле имеются. Стационарные точки находятся из уравнения
f(xo) = O,	(1)
которое надо решить. Конечно, не всякая стационарная точка функции / есть точка локального экстремума /.
Условие (1) является необходимым для того, чтобы д фференцируемая функция / имела в точке х локальный экстремум, но недостаточным. Например, х = О есть стационарная точка функции х3, но в ней эта функция возрастает.
Очевидно также, что не всякая точка, где / не имеет производной, есть точка локального экстремума /.
Так или иначе, если нам уже известно, что х0 есть стационарная точка или точка, где производная от / не существует, нам нужны критерии распознавания, будет ли действительно эта точка точкой локального экстремума, а если будет, то какого — максимума или минимума.
Ниже мы приводим достаточные критерии локального экстремума.
Теорема 1. Пустьх0 —стационарная точка функции/(т. е. /' (х0) = О) и /имеет вторую непрерывную производную в окрестности х0. Тогда’.
если f (х0) < 0, то х0 есть точка локального максимума /;
если же f (х0) > О, то х0 есть точка локального минимума /.
Доказательство. Разложим / по формуле Тейлора по степеням (х - х0) при п = 1. Так как /' (х0), то формула Тейлора функции / в окрестности точки х0 имеет вид
f (х) = / (ХО) +	/" (с) (с е (^, X)).	(2)
В этой формуле может быть х^ х0.
202 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Пусть f (х0) < О. Так как производная f" по условию непрерывна в окрестности х0, то найдется 3 > 0 такое, что
f (х) <0 Vx е (х0 - 3, х0 + 8).
Но тогда остаточный член в формуле (2)
у-/"(с)<(» Vх G (хо - 3, х0 + 8), что показывает, что
Ду = f (х) - f (х0) «0 Vx е (х0 - 8, х0 + 8). т. е. f имеет в х0 локальный максимум.
Аналогично, если f (х0) > 0, то f (х) > 0 в некоторой окрестности х0 и f (с) > 0. Поэтому остаточный член формулы (2) в окрестности х0 неотрицательный, а вместе с ним и Ду = f (х) - f (х0) > 0, т. е. f имеет в х0 локальный минимум.
Пример 1. у = х2 + 5, у' = 2х, х = 0 — стационарная точка; у" = 2 > 0 для всех х, следовательно, и в точке х = 0. Значит, в точке х = 0 — локальный минимум.
Замечание 1. Если
f(xo) = O и Г'^ = 0,	(3)
то функция f может иметь и не иметь экстремума в х0. Например, функции х3 и х4 удовлетворяют условиям (3) в точке х0 = 0, но первая из них не имеет экстремума в этой точке, а вторая — имеет, а именно, минимум.
Теорема 2.Пусть f (х0) = f (х0) =... = /п>(х0) = 0и fn+r> (х0)^ 0, и непрерывна в окрестности точких0, тогда'.
если (п + 1) — четное и /п+1) (xq) < 0, то f имеет в х0 локальный максимум',
если (и + 1) — четное и /п+1> (xq) > 0, то f имеет в х0 локальный минимум-,
если (п + 1) — нечетное uf(n+iy (х0) Ф 0, то / заведомо не имеет в х0 локального экстремума.
Доказательство этой теоремы снова основано на применении формулы Тейлора. Имеем
$ 4.17. ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
203
/ (х) - f (х0) =	/п+1)(с) (с G (х0, х)).	(4)
В случае, если (и + 1) — четное, рассуждаем в точности так же, как в случае формулы (2). Пусть теперь (п + 1) — нечетное, и пусть, как было предположено, /п+1) (х0) * 0. Вследствие непрерывности /л+1) в окрестности х0 существует интервал (х0 - 8, х0 + 8), на котором /п+1)(х) сохраняет знак /п+1) (х0). Если х будет возрастать в окрестности х0 слева направо, то (х - Xo)n+1 при переходе через х0 переменит знак, а /п+1> (с) будет сохранять один и тот же знак. Это показывает, что правая часть (4) и, следовательно, &y=f (х) - f (х0) при переходе х через х0 меняет знак и экстремум в х0 невозможен.
Теорема 3. Пусть функция f непрерывна на отрезке [х0 - 8, х0 + 8] и имеет производнук^ (х) отдельно на интервалах (х0 - 3, х0) и (х0, х0 + 8). При этом
f (х) > О (<0) на (х0 - 8, х0) ,	(5)
f (х)<0 рО)на(хо,х(| + 8).	(6)
Тогда х0 есть точка локального максимума {минимума) функции f.
Здесь не обязательно предполагается, что f (х0) существует.
Доказательство. Из непрерывности f на отрезке [х0 - 8, х0] и свойства (5) следует (см. теорему 5 §4.12), что f не убывает (не возрастает) на этом отрезке и, следовательно,
f (*о) “ f (х) > 0 (<0) Для х е [х0 - 8, х0].	(7)
А из непрерывности f на [х0, х0 + 8] и свойства (6) следует (см. ту же теорему 5 §4.12)
/ (х) - 7 (х0) « О (>0) для х G [х0, х0 + 8].	(8)
Но тогда из (7) и (8) следует:
/(х)</(х0) (/(х)>Г(х0)) Vx g [х0-8, х0+ 8],
и мы доказали теорему 3.
204 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Теорема 3 утверждает, что если первая производная функции f при переходе через точку х0 меняет знак, то f имеет в точке х0 минимум (рис. 52), если знак меняется (при возрастании х!) с - на + , и максимум (рис. 53), если он меняется с + на При этом не обязательно, чтобы f (х0) существовала. Но требуется, чтобы / была непрерывна в
1	
Пример 2. Функция у --------»; у'=-----ъ • Мы ви-
1+*	(1 + х2)
дим, что у' > 0 при х < 0, у' < 0 при х > 0 и, кроме того, у непрерывна в точке х = 0, поэтому по теореме 3 функция у имеет локальный максимум в точке х-0. Других локальных экстремумов функция не имеет.
2	1
Пример 3 . Функция у = 2 - х (1 -sin ^) (х* О), у (0) = = 2, непрерывна в точке X = 0 и имеет локальный максимум: у (х) < 2 = у (0), Vx. Однако нельзя выделить окрестность точки х = 0 так, чтобы в ней при х < 0 функция возрастала, а при х > 0 убывала.
В самом деле,
у' - -2х (1 - sin ) - cos ~ (х * 0), 2-xz(l-sin-)-2
у' (0) = lim--------—---= -limx(l-sm—1 = 0.
х +0	X	x-iO ' х'
5 4.18. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ
205
При малых х слагаемое 2х ( 1 - sin ^) как угодно мало, поэтому знак производной «/ зависит от cos —. При х — О cos принимает значения ±1 сколько угодно раз. Значит, во всякой окрестности точки х = 0 функция колеблющаяся.
Теорема 4. Пусть функция f удовлетворяет условиям f (х0) = 0 и f (х0) > 0 (<0). Тогда f в точке х0 имеет локальный минимум (максимум).
Доказательство. Так как
f (х0) = lim	= Иш > о,
X — хо	х->х^Х — хо
то на основании теоремы 2 §3.2 —> 0 в достаточно ма-х-х0
лой окрестности точки х0, т. е. f (х) < 0 для х < х0 и /' (х) > 0 для х > х0. По теореме 3 заключаем, что в точке х0 локальный минимум. Случай f (х0) < 0 исследуется аналогично.
Замечание 1. Теорема 4 содержит в себе теорему 1 как частный случай, потому что в ней не предполагается, что f (х) непрерывна в окрестности точки х0. Требуется лишь существование f" (х0).
§ 4.18. Экстремальные значения функции на отрезке
Пусть надо найти максимум (минимум) функции f, непрерывной на отрезке [а, Ь]. Тот факт, что f достигает максимума (минимума) на [а, Ь] в некоторой точке х0 е [а, Ь], доказан в теореме 2 §3.5.
Могут быть только три возможности: 1) х0 = а, 2) х0 = Ь, 3) х0 е (а, Ь).
Если х0 G (а, Ь), то, согласно сказанному в предыдущем §4.17, точка х0 будет точкой локального экстремума, и
206 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ее следует искать либо среди стационарных точек, либо среди точек, где производная не существует.
Если указанные точки образуют конечное множество
х,, .... хт, то
1	’ т*
max f(x) = max{/(a), f(b\ ..., f(xj}
(та №=1Ilin	•
Uw]	7
Отметим, что нет необходимости выяснять характер стационарных точек, если мы поставили себе только задачу найти максимум (минимум) функции f на [а, &].
Пример 1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции
у (х) = sin х + cos х на [0, л].
Находим производную:\|/ (х) =cos х -sin х. Приравни-
ваем ее нулю:
cos х - sin х = О.
Это уравнение имеет на отрезке [0, л] единственное решение х = л/4. Так как (0) = 1, (л/4) = -J2 , (л) = -1, то
max \ii(x)=-J2,
min w(x) = -l. хс[0,п]
Пример 2 . Пусть электрическая лампа может пере
двигаться по вертикали ОВ (оси Л). На плоскости, пер
Рис. 54
пендикулярной ОВ, возьмем точку А (на оси х). На какой высоте надо подвесить лампу, чтобы в точке А была наилучшая освещенность (рис. 54).
Решение. Поместим лампу в точку В, и пусть АВ = г, ОВ = h, ОА=а, Z.OAB = <р. Известно, что освещенность I в точке А определяется по за-
$ 4.19. ВЫПУКЛОСТЬ КРИВОЙ. ТОЧКА ПЕРЕГИБА
207
кону I = с S11^(P , где с — коэффициент пропорциональнос-г
ти. Примем h за аргумент функции f. Так как г2 = h2 + а2,
Bin ф = —, то 1(h) = с-.
(Л2+О2)'
По смыслу задачи 0 < h < оо. Найдем наибольшее значение этой функции. I (0) = /(оо) = о*.
Далее
2	2
г (ft) = с =0 п₽и h = • (Л +а I
Так как I (с/-^) = 2с/3>/3а2 > 0, то наибольшее зна-
чение функция I (Л) принимает в точке Л = а/^2.
Таким образом, лампу надо подвесить на высоте h =
= аД/2.
§ 4.19. Выпуклость кривой. Точка перегиба
Говорят, что кривая у = f (х) обращена в точке х0 выпуклостью кверху (книзу), если существует окрестность х0 такая, что для всех точек этой окрестности касательная к кривой в точке х0 (т. е. в точке, имеющей абсциссу х0) расположена выше (ниже) самой кривой (на рис. 55 в точ-
ке Xj кривая обращена выпуклостью книзу, в точке х2 — кверху). Вместо слов «выпукла кверху (книзу)» употребляются слова «вогнута книзу (кверху)».
Говорят, что точка х0 есть точка перегиба кривойу=f (х), если при переходе х через х0 точка кривой (имеющая абсциссу х) переходит с
В данном случае I (оо) = Игл 1(h). h—>-Ko
208 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
одной стороны касательной на другую (на рис. 55 точка х3 — точка перегиба). Иначе говоря, существует достаточно малое 5 > 0 такое, что для всех хе (х0 - 5, х0) кривая находится с одной стороны касательной в х0, а для всех х G (х0, х0 +5) — с ДРУГОЙ.
Указанные определения выделяют возможные расположения кривой относительно касательной к ней в достаточно малой окрестности точки касания. Но не нужно думать, что эти определения исчерпывают все возможные случаи такого расположения. Для функции
f(x) =
0, 2 .	1
X Sin- 2 ,
Х = 0, х^О,
ось х пересекает и касается графика функции в точке х = 0 и х = 0 не есть точка перегиба.
Теорема 1. Если функция f имеет в точке х0 вторую непрерывную производную uf" (х0) > 0 (< 0), то кривая y = f (х) обращена в х0 выпуклостью книзу (кверху).
Доказательство. Разлагаем f в окрестности х = х0 по формуле Тейлора
f (х) = f (х0) + f (х0)(х - х0) + Fj (х),
rl(x) = ^^f'(xo+Q(x-xo))	(О<0<1).
Запишем уравнение касательной к нашей кривой в точке, имеющей абсциссу х0:
Y = f(x0) + f (х0) (х - х0).
Тогда превышение кривой f над касательной к ней в точке х0 равно
Г(х)-У=г1(х).
Таким образом, остаток г, (х) равен величине превышения кривой f над касательной к ней в точке х0 . В силу непрерывности f, если f (х0) > 0, то и f (х0 + 0 (х - х0)) > 0
§4.19 ВЫПУКЛОСТЬ КРИВОЙ. ТОЧКА ПЕРЕГИБА
209
для х, принадлежащих достаточно малой окрестности точки х0, а потому, очевидно, и Fj (х) > 0 для любого отличного от х0 значения х, принадлежащего к указанной окрестности.
Значит, график функции лежит выше касательной и кривая обращена в точке х0 выпуклостью книзу.
Аналогично, если f (х0) < 0, то г\ (х) < 0 для любого отличного от х0 значения х, принадл жащего к некоторой окрестности точки х0, т. е. график функции лежит ниже касательной и кривая обращена в х0 выпуклостью кверху.
Следствие. Если х0 есть точка перегиба кривой у = / (х) и в ней существует вторая производная f" (х0), то последняя необходимо равна нулю (f" (х0) = 0).
Этим пользуются на практике: при нахождении точек перегиба дважды дифференцируемой кривой у = / (х) ищут их среди корней уравнения /"(х) = 0.
Достаточное условие для существования точки перегиба у кривой дается следующей теоремой.
Теорема 2. Если функция/такова, что производная f" непрерывна вх0, a f (х0) = Ouf" (х0	0, то кривая
y-f (х) имеет в х0 точку перегиба.
Доказательство. В этом случае
/ (х) = / (х0) + /' (Хо)(х - х0) + г2 (х), г2(х) = ^^-/"' (х+0(х-хо)).
В силу непрерывности/'" в х0 и того факта, что/'" (х0) Ф Ф 0, следует, что /"' (х0 + 0 (х - х0)) сохраняет знак в некоторой окрестности точки х0; он один и тот же справа и слева от точки х0. С другой стороны, множитель (х - х0)3 меняет знак при переходе х через х0, а вместе с ним и величина г2(х) (равная превышению точки кривой над касательной в х0) меняет знак при переходе х через х0. Это доказывает теоре-му-
Сформулируем более общую теорему:
210 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Теорема 3.Пусть функцияf обладает следующими свойствами:
Г (хо) = - = Г(хо) = О,
Г (х0) непрерывна в окрестности х0 и /л+1)(х0) * 0.
Тогда, если п — нечетное число, то кривая у = Дх) обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли /л+1) (х0) < 0 или /л+1) (х0) > 0, а если п — четное, то х0 есть точка перегиба кривой.
Доказательство основано на том, что при указанных условиях имеет место разложение по формуле Тейлора
г (*) = f (*о) + (*- х0) f (ХО ) +	f(П+1) (х0 + е (X - х0)).
В заключение заметим, что говорят также, что кривая y = f (х) имеет точку перегиба в точке х, где производная /' равна +оо или -оо (см. рис. 40 и 41 §4.2).
По определению кривая y = f (х) называется выпуклой кверху (книзу) на отрезке [а, &], если любая дуга этой кривой с концами в точках с абсциссами хр х2 (а <	< х2 < Ь)
расположена не ниже (не выше) стягивающей ее хорды (рис. 56 и 57).
Замечание. Если f дифференцируема на [а, Ь], то приведенное определение выпуклости на отрезке эквивалентно следующему: кривая у = f (х) называется выпуклой кверху (книзу) на отрезке [а, Ь], если она выпукла кверху (книзу) в каждой точке х интервала (а, Ь).
Рис. 56
Рис. 57
$ 4.19. ВЫПУКЛОСТЬ КРИВОЙ. ТОЧКА ПЕРЕГИБА
211
Теорема 4. Пусть функция f непрерывна на [а, Ь] и имеет вторую производную на {а, Ь).
Для того чтобы кривая у = f (х) была выпуклой кверху {книзу) на [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство f (х) < О {/" (х)	0)
для всех х е (а, Ь).
Эту теорему мы не будем доказывать.
Пример 1. Функц ия у =sin х имеет непрерывную первую производную и вторую производную (sin х)"=-sin х < 0 на [0, л/2]. Поэтому хорда ОА, стягивающая дугу кривой у =sin х на [0, л/2], ниже синусоиды (рис. 58). Так как уравнение хорды у - (2/л) х, то мы получили неравенство
—х < sin х	(0 < х < л/2),
л
часто употребляемое в математическом анализе.
Пример 2 .у = х3 + Зх2 = х2(х + 3); = Зх2 + 6х, у' = 0 при х — Q, х ~ -2, у" = 6х + 6, р"(0) = 6 > 0, р"(-2) = -6 < 0, у" = 0 при х = -1, у'" = 6^0. Так как у"' (х) = 6 * 0, то в точке х = -1 — перегиб. Далее у" (х) > 0 при х > -1, у"{х) < 0 при х < -1. Значит, график функции (рис. 59) выпуклый кверху на ( —оо, -1) и выпуклый книзу на (-1, оо); х = 0 — точка минимума, х = -2 — точка максимума.
212 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 4.20.	Асимптота графика функции
Говорят, что прямая х = а является вертикальной асимптотой графика непрерывной функции y = f (х), если хотя бы один из пределов
lim f(x)	или lim f(x)
х->а	x—>a
x>a	x<a
равен co.
Если функция у = f (х) задана для х > М (х < М), то говорят, что прямая Y = kx + Ь является наклонной асимптотой непрерывной кривой y = f (х) при х —► +оо (% —► -оо), если f (х) = kx + b + а (х), где lim a(x) = 0, т. е. \f (х) - kx -Х->+00 (х<-оо)
- Ь| — бесконечно малая функция при х —» оо (х —► -оо )).
Пример 1. у = 1/х(рис. 60); х = 0 — вертикальная асимптота, так как
lim —= +о°,	liml=-oo.
х—>0 X	х-Я) X
х>0	х<0
Пример 2 . у — х +	(х#0). Так как lim = 0,
то прямая Y-х (рис. 61) есть наклонная асимптота при х -* +оо (и при х — -оо).
Пример 3 . у — 4х (х > 0). Ясно, что -Ух — kx - Ь не стремится к нулю при х — +оо ни при каких k и Ъ, значит, функция у = Jx наклонных асимптот не имеет.
Рис. 61
Рис. 60
S 4.20. АСИМПТОТА ГРАФИКА ФУНКЦИИ
213
Теорема. Для того чтобы график функции y = f (х) имел прих -* +оо (х —► -оо) наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы
lim ^ = k, X
lim[f(x)-kx] = b9
Х->+со
(1)
и тогда прямая Y = kx + b есть асимптота.
Доказательство. 1) Пусть функция f (х) имеет наклонную асимптоту при х +<х>, Y = kx + Ь. Тогда f (х) = kx + b + а (х), где а (х) -► 0, х — +оо. Отсюда
lim 1йпЬг+-^-+^
х-»+со X х->+«£ X X
= k,
lim [/(x)-fex] = lim[b + a(x)] = b. X~>+ao	x—>+oo
2) Пусть указанные в теореме пределы при х +оо существуют, тогда из второго равенства, по определению предела, имеем
f(x) - kx - b = a (x), гдеа(х)-»0 прих-'+оо,
т. е. f (х) = kx + b +а (х). Значит, прямая Y = kx + Ъ — наклонная асимптота при х -* +оо. Такое же рассуждение и при х -> -оо.
Если k = 0, то асимптота называется горизонтальной.
Замечание. Существование двух конечных пределов (1) существенно, ибо для функции у = -Ух (х > 0), lim = 0 = k, но Um Г-Ух-O-xl = °0, т. е. b ~ оо, и эта х-хко X	х-->+хД	-I
функция асимптот не имеет.
Можно дать также следующее эквивалентное определение наклонной асимптоты.
Если расстояние р (х) от точки А (х, f (х)) непрерывной кривой у = f (х) до прямой у = kx + b стремится к нулю при х -» +оо (х -* -оо), то данная прямая называется наклонной асимптотой этой кривой при х — +оо (х —> -оо).
214 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
В самом деле, из аналитической геометрии известно, что расстояние от точки (х, f (х)) до прямой y = kx + b выражается формулой
р (х) = |/ (х) - kx - &|/л/1+й2,
откуда из того, что \f (х) - kx - &| —* 0, следует, что р (х) — 0, и наоборот.
Пример 4 . Выяснить, имеются ли асимптотыу гиперболы
2L._1L = 1
а Ь2
(|х| > а, а^Ъ>0).
Разрешая данное уравнение относительно у, будем
иметь
у=±~у!х2-а2. а
Отсюда
Um у=±ъ Цта.^-а2=±&<
*->+«> х	а х->+оо х	а
Далее,
lim L-(±Mxl=
х->+«>L	' a' J
= ±— lim [Vx2-a2 -x] = ±— lim ,~^a у-= 0.
ax->+4	J	ax-»+«j^x2_ cl +x
Таким образом, на основании доказанной теоремы прямые
являются асимптотами нашей гиперболы, причем знак + относится к правой верхней половине гиперболы, а знак - относится к правой нижней половине гиперболы.
§4.21. НЕПРЕРЫВНАЯ И ГЛАДКАЯ КРИВАЯ
215
В силу симметрии ясно, что эти прямые являются асимптотами и при х -* -оо. В этом случае знак + отвечает части гиперболы, находящейся в третьей четверти, а знак — относится к части гиперболы, находящейся во второй четверти (рис. 62).
§4.21. Непрерывная и гладкая кривая
Уравнения
х=ф(^.1
z/ = v(t)J {a<t<b),	(1)
где ф и ф — непрерывные функции на (а, Ь), определяют непрерывную кривую, заданную при помощи параметра t, т. е. геометрическое место точек (ф (t), у (t)), упорядоченных при помощи параметра t е (а, Ъ). При возрастании t точка (ф (t), ф (О) Движется по плоскости. Не исключено, что разным t (tj и t2) — соответствует одна и та же точка плоскости: (ф (tj, ф (tL)) = (ф (t2), ф (t2)).
Непрерывная кривая (1) называется гладкой на (а, Ъ) {на [а, 6]), если функции ф (t) и ф (t) имеют непрерывную производную на (а, Ъ) (на [а, Ь]) и выполняется неравенство
ф' (t)2 + Ф' (t)2> 0 Vi е (a, b) (Vt е [а, Ь]).	(2)
Обозначим кривую (1) через Г. Пусть toe (а, Ь). В силу условия (2) одно из чисел ф' (t0), ф' (t0) отлично от нуля. Пусть для определенностиф' (t0) Ф 0. Но тогда в силу непрерывности ф' (t) существует интервал (t0 — 8, t0 + 8), на котором ф' (t) сохраняет знак ф' (to). Следовательно, ф (t) строго монотонна на [t0 - 8, t0 + 8] и, кроме того, как мы знаем, непрерывно дифференцируема. В таком случае функция х = ф (t) имеет обратную
t = ф'’(х) = g (х) (х е (с, d)),	(3)
строго монотонную и непрерывно дифференцируемую на некотором интервале (с, d) — окрестности точки х0 = ф (to).
216 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
J'l	Подставляя выражение для t
—— -У во второе уравнение (1), получим, (	&	что кусоку нашей кривой Г, соответ-
"V 0	J ствующий интервалу (t0 - 8, t0 + 8),
описывается непрерывно диф-£	ференцируемой функцией (см. §4.4,
Рис. 63	теорема 1)
у = F (х) = v [ф \х)] (х G (с, d))«	(4)
и потому в любой точке у существует касательная, не параллельная оси у. Очевидно, точки у взаимно однозначно проектируются на ось х.
Если теперь ф' (t0) т5 0, то, рассуждая аналогично, получим, что кусоку, кривой Г, соответствующий достаточно малому интервалу (t0 - 8, t0 + 8), описывается непрерывно дифференцируемой функцией
X = Ф (у) = Ф [ф-1(1/)] (у € (Cj, d,)).	(5)
Отсюда следует, что и в этом случае в любой точке у, существует касательная, но теперь она не параллельна оси х.
Таким образом, в любой точке гладкой кривой Г существует касательная, которая может быть параллельной одной из осей координат.
Пример. Уравнения x=acost,l S-bsmtf (-««<«>) определяют в параметрической форме кривую — эллипс с полуосями а и b (рис. 63).
Это гладкая кривая, потому что функции х - a cos t и у = b sin t имеют непрерывные производные, одновременно не равные нулю:
(х' (Z))2 + (У (t))2 = (й sin t)2 + (b cos t)Z > b2 (sin21 + cos2 t) = b2> 0	(0 < b < a).
Точки А, В, C, D (см. рис. 63) делят эллипс на четыре
И.22. СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
217
гладких куска, каждый из них проектируется взаимно однозначно либо на ось х, либо на ось у.
§4.22. Схема построения графика функции
Если нужно в общих чертах представить себе график функции у = f (х), могут помочь следующие указания.
1.	Найти область О значений х, где функция f определена.
2.	Найти точки хи х2,где f (х) = 0 или производная не существует, в частности равна оо. Вычислить значения f в этих точках: f (хД f (хД ..., если они существуют, и определить, не являются ли они точками максимума, минимума. Если f не определена в какой-либо из точек хк, то важно знать пределы f (хк - 0), f (хк + 0), важно также определить пределы
f (-°°) = Hm Дх), f (+оо) = lim Дх), X->-OD	X—>+оо
если они имеют смысл.
3.	Область Q разделяется точками хк на интервалы (а, Ь), на каждом из которых f (х) * 0. Среди них могут быть бесконечные интервалы (вида (-оо, с) или (d, оо)).
Будем считать, что производная f (х) непрерывна на каждом таком интервале (а, Ь). Тогда f (х) на (а, Ъ) сохраняет знак. Важно выяснить этот знак, тогда будет известно, будет ли f возрастать или убывать на (а, Ь).
4.	Важно отметить на каждом интервале (а, 6) точки
Хк. 1’ хн, 2’ •••	= И. 1» 2, ...),
где f (х) = 0, и определить соответствующие значения функции
f (х*. 1)’ f (xk, г)» ••• •
В этих точках могут быть точки перегиба кривой у = - f (х). Эти точки в свою очередь делят (а, Ь) на интервалы,
218 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
на которых вторая производная, если она существует, сохраняет знак.
Выяснение знака f (х) дает возможность узнать направление выпуклости кривой (вверх или вниз).
5.	Если возможно, надо решить уравнение f (х) = 0 и выяснить интервалы, на которых /"сохраняет знак (/" (х) > О или f (х) < 0).
6.	Выяснить вопрос о существовании асимптот, т. е. найти пределы
Нш^ = Л, х->±со х
limГ/(х)- kx] = b . х-»±оо
если они существуют.
На основе этих сведений желательно составить таблицу, примерно следующего вида:
X	(-оо, -2)	-2	(-2, -1)	-1	(-1. 0)	0	(0, оо)
у'	> 0	0	< 0	—	< 0	0	> 0
У	возрастает, асимптота у = х - 1	-4	убывает	вертикальная асимптота	убывает	0	возрастает, асимптота У = х - 1
у”	< 0	< 0	< 0	—	> е	> 0	> 0
У	выпукла кверху	шах	выпукла кверху		выпукла книзу	min	выпукла книзу
X
Эта таблица составлена для функции y-f(x)~ ----
На основании данных этой таблицы график функции у = f (х) имеет вид, как на рис. 64.
§4.22. СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
219
x=te,
. t y=te .
Пример. Построить кривую, заданную параметрически:
(-оо < t < оо). (1)
Решение. Построим сначала график функции х=te. Ога функция задана на всей оси, неограниченная, непрерывная и дифференцируемая на (-оо, оо); х > 0 при t > О; х < О при t < 0; х = О при t = 0. Далее х' = (1 + t) е‘. Уравнение х' (t) = О имеет единственный корень t = -1. При этом, очевидно, х* > О при t > -1; х' < 0 при t < -1. Таким образом, функция х (*) возрастает при t > -1 и убывает при t < -1. В точке t = -1 функция х (t) имеет локальный минимум, х (—1) = -е-1. На самом деле это, очевидно, минимум на (-оо, оо).
Исследуем функцию на выпуклость: х" = (2 +1) е; х" > О при t > -2; х" < 0 при t < -2;х"(-2) = 0. Значит, на (-оо, -2) график выпуклый кверху, а на (-2, оо) выпуклый книзу, t = -2 — точка перегиба.
Далее,
lim —-0, lim[te'-ol=O.
t. e. x = 0 — горизонтальная асимптота.
На основании этого график функции имеет вид как на рис. 65. Область значений функции X = [-е-1, оо].
Совершенно аналогично можно построить график функции у = te~‘ (рис. 66). Область значений этой функции
220 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
У - (оо, е '). На (-оо, 1) функция у = te ‘ строго возрастает от -оо до у = е 1 в точке t = 1 достигает максимума (локального и на (-оо, оо)). На интервале (t, оо) она строго убывает к нулю при t —► +оо и имеет, таким образом, асимптоту у = О при t -» +оо. Отмечена еще точка t = 2, в которой кривая имеет перегиб. На (-оо, 2) кривая обращена выпуклостью кверху и на (2, оо) — книзу.
Теперь мы переходим к более трудной задаче — начертить схематический график кривой (1). Обозначим ее через Г. Функции, определяющие Г, непрерывно дифференцируемы сколько угодно раз. Мы используем только тот факт, что эти функции дважды непрерывно дифференцируемы. Отметим, что Г гладкая кривая, потому что производные (по t) от функций х = <р (£) = te и у = у (t) = te одновременно не равны нулю.
Обозначим через Г, и Г2 ветви Г, на которых соответственно х\ < 0 и x't > 0. Таким образом (см. рис. 65 и 66),
Г! соответствует изменению t е ( -оо, -]),
Г2 соответствует изменению t е (-1, оо).
Рис 67
54.22. СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
221
На Гц функция х = <р (t) строго убывает от ф (-оо) = О до ф (-1) = -е-1, и ее можно обратить, а функция у = ф (t) строго возрастает от ф ( -оо) = -со до ф (-1) = -е. Отсюда следует, что ветвь Гх описывается явной функцией
У = V [ф-1 (*)] (х е (-е-1, 0)).
Она изображена на рис. 67 — ниже точки А. Когда t возрастает от—со до-1, абсциссах точки Г, убывает отОдо-е-1, а ордината у возрастает от -оо до -е. Так как х' (-1) = 0 и у' (-1) Ф 0, то касательная в точке А параллельна оси у. К тому же Г расположена правее касательной — ведь из рис. 65 видно, что все точки Г имеют абсциссу х > —е1.
В любой точке t кривой Г, отличной от А, т.е. при t Ф — 1 производная х' (/) * 0 и
	y>=vL=l-te-\ Ух х; 1+/ /1 ““ t * dx	(1 + i)3	(2) (3)
Отсюда		
		(4)
Нас сейчас интересует значение t = —J2, которому соответствует точка В =	-л/2е^) е Гх.
Из (3) видно, что если t < -л/2 (т. е. на части Гх ниже точки В), тоУж" < 0 и Г, обращена выпуклостью кверху. Если же -V2 < t < -1 (т. е. на дуге АВ), то Ух"> 0 и Гх обращена выпуклостью книзу. Таким образом, В есть точка перегиба Гг
Переходим теперь к Г2 (-1 < t < со). Как видно из рис. 65 и 66, на интервале -1 < t < 1 функции х = ф (t) и у = ф (i) строго возрастают, но тогда и функция от х
У = V [ф1 (*)]	(~®-1 <х<е)
222 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
строго возрастает. К тому же ее график на этом интервале обращен выпуклостью кверху (см. (3)). Это изображено дугой АС а Г2. Что же касается точки С, то в ней у/ = О | ух'(е) = ^^ = —р—=0 ], и так как в ней к тому же график \ х (1) х (1) /
обращен выпуклостью кверху, то С есть точка локального максимума функции у (х). При х > е (т. е. t > 1) х (t) возрастает, а у (t) убывает к нулю. Это показывает, что у (х) -* 0 убывая. При этом х (-72) =	— точка перегиба графика
у (х). Слева от этой точки график обращен выпуклостью кверху, а справа — книзу (см. (3)).
§ 4.23. Вектор-функция. Векторы касательной и нормали
В плоскости зададим прямоугольную систему координат (х, у). Уравнения
,Ти’}	(1)
где х (/) и у (t) — непрерывные функции на интервале (а, Ь) определяют непрерывную кривуюТ — геометрическое множество точек (х (Z), у (t)) плоскости, где t е (а, Ь). Говорят еще, что кривая Г задана при помощи параметра i. Ее уравнение можно задать в векторной форме
г (t) = X (t) i + у (t)j (a<t<b),	(Г)
где i, j — единичные орты соответственно осей х, у, а г — — г (t) — радиус-вектор точки Г, соответствующей значению t параметра (рис. 68).
Вектор г (i) называют вектор-функцией (определенной для t 6 (а, Ь)).
Говорят в связи с этим, что кривая Г есть годограф вектор-функцииг (t) — геометрическое место концов векторов г (t), выходящих из нулевой точки О.
{ 4.23. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ. ВЕКТОРЫ КАСАТЕЛЬНОЙИНОРМАЛИ
223
Рис. 68
Кривая Г называется гладкой на (а, Ь), если функции х (t) и у (t) имеют непрерывные производные на (а, Ь), одновременно не равные нулю.
Если t придать приращение At, то вектор г получит приращение (рис. 69)
Ar = г (t + At) - г (t) = [х (t + At) - х (t)J i + [у (t + At) - у (t)J j = = Axi + Ayj,
откуда, деля на скаляр At, получим
Ar _ Ах. , Ay .
At At At7'
Для гладкой кривой
lim~ = x’,	lim^ = y'.
At—>o At	л<->° At
Вектор x'i + y'j называют производной от г (в точке t) и записывают так:
г = x'i + y'j.
Можно производную г определить также как такой вектор, для которого
1^-rUo, At-* 0.
I At I
В самом деле,
"-о.
Пишут
г = lirn —
At—>0 At
224 ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЁНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ВРЕМЕННОЙ
и говорят, что вектор г есть предел вектора Ar/At при At — 0. Из рис. 69 видно, что вектор г направлен по касательной к Г в точке t в сторону возрастания t.
Вектор г называют вектором касательнойк Г. Длина его равна
Единичный вектор касательной есть
cosai + sina/
cosa = -г , since =
-Jx' +y
(2)
где a — угол между T и положительным направлением оси х.
Единичный вектор нормали к Г, т. е. единичный век тор перпендикулярный к Т, определяется равенством
v (vt, v2)
v, =+sina, v2=±cosa	(3)
или
Т1 Т2
Vl V2
Определитель
cosa sina +sina ±cosa
Верхние знаки соответствуют случаю, когда пара векторов (Т, v) ориентирована так же, как оси (i, j) (рис. 70), а нижние — когда пара (Т, v) ориентирована противоположным образом (рис. 71).
Рис. 70
Рис. 71
i 4.23. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ. ВЕКТОРЫ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ
225
Вторая производная от вектор-функции г (t) (см. (1')) определяется как предел
г (t) = limr-+A*) = х" (t)i + у" (t)j. At—О	At	v / » v Л
На рис. 72 изображена кривая Г; точкаА соответствует значению t, а точка В — значению t + At. К этим точкам приложены касательные векторы г (t) и г (t + At). Второй вектор мы перенесли так, чтобы он был приложен к точке А. На рисунке обозначена разность Ar = г (t + At) -г (t) и вектор hr/hi, имеющий то же направление, что и Аг. Наконец, отмечен предельный вектор г = г (t). Вектор г направлен в сторону вогнутости Г. Точно эти слова надо понимать следующим образом: вектор г образует острый угол с вектором v
нормали к Г, направленной в сторону вогнутости Г.
Пример. В векторной форме уравнение (см. § 4.21) эллипса имеет вид
г - ia cos t + jb sin t (-co < t < oo).
Соответственно вектор касательной г = -ia sin t +jb cos t, а вектор нормали n = +ib cos t + ja sin t.
В данном случаен, вообще говоря, не единичный вектор.
Вектор-функцию г = г (t) в окрестности точки t0 можно разложить по формуле Тейлора (или разложить в векторный ряд Тейлора). Пусть
r(t) = x(t)i + y(t)j, где х (t) и у (t) имеют необходимое число производных в окрестности точки t0. Тогда, разлагая эти функции по формуле Тейлора, получаем
Рис. 72
8 — Бугров. Том 2
226	ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
х (0 = х (i0) + (t - /0) + ... + (t - t0)n + Rn (t),
(4)
у <f) = v Go) + (t-to) + - + ~^ G-V + ^nG). (5)
где Rn (t), Rn (t) — остаточные члены в какой-либо форме (Лагранжа, Коши и т. д.). Умножая (4) Hai, а (5) на j и складывая, получим формулу Тейлора для вектор-функцииг (t):
r G) = Г (*0) +	- t0) + ... + (t - t0)n + r„ (t),
где остаток
rBG) = ^„G)i+tf„G)j-
Отметим, что если остатки Rn (t) и Rn (t) записываются в форме Лагранжа или Коши, то входящие в них производные (п + 1)-го порядка функций х (t) т/iy (t) вычисляются, вообще говоря, в разных точках.
Глава 5
Неопределенные интегралы
§ 5.1. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов
В предыдущей главе мы ввели понятие производной и научились находить производную от элементарных функций. Здесь мы будем решать обратную задачу, а именно; известна производная f (х) от функции f (х), требуется найти саму функцию f (х).
С точки зрения механической это означает, что по известной скорости движения материальной точки необходимо восстановить закон ее движения.
Определение. Функция F (х) называется первообразной функцией для функции f(x) на интервале (а, Ь), если F (х) дифференцируема на (а, Ь) и F' (х) = f (х).
Аналогично можно определить понятие первообразной и на отрезке [а, Ь], но в точках а иЬ надо рассматривать односторонние производные.
Пример 1. F (х) — л/х есть первообразная для функции /(х) = —1— на (0, оо), так как (Vx) =—т—.
2Vx	2vx
Пример 2. F (х) = sin 2х есть первообразная для функции /(х) = 2 cos 2х на (-оо, сю), так как (sin 2х)' = = 2 cos 2х.
8*
228
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Теорема 1. Если F (х) — первообразная для функции f (х) на (а, Ъ), moF (х) + С — также первообразная, где С — любое постоянное число.
Доказательство. Имеем (F (х) + С)' = F* (х) = f (х).
Теорема 2. Если Ft (х) и F2 (х) — две первообразные для f (х) на (а, Ъ), то FT (х) - F2 (х) = С на (а, Ь), где С — некоторая постоянная.
Д оказ ате л ьство. По условию Т7*! (x)=F2 (х)= /(х). Составим функцию Ф (х) = Fx (х) - F2 (х). Очевидно, что Ф' (х) = F, (х) - F2 (х) = f (х) - /(х) = 0 Vx е (а, Ь).
Отсюда по известной теореме (см. теорему 6 § 4.12) заключаем, что Ф (х) s С, т. е. F, (х) - F2 (х) = С, что и требовалось доказать.
Таким образом, из теорем 1, 2 вытекает, что если F (х) — первообразная для f (х) на (а, Ь), то любая другая первообразная Ф (х) для f (х) на (а, Ь) имеет вид
Ф (х) = F (х) + С,	(1)
где С — некоторая постоянная (рис. 73).
Определение. Произвольная первообразная для f (х) на (а, Ь) называется неопределенным интегралом от функции f (х) и обозначается символом
J/(x) dx.	(2)
Знак J называется интегралом, f (х) dx — подынтегральным выражением, f (х) — подынтегральной функцией.
Если F (х) — одна из первообразных для f (х), то согласно сказанному
J/(x) dx = F(x) + С,	(3)
• где С — соответствующим образом подобранная постоянная.
Операцию нахождения неопределенного интеграла будем называть интегрированием функции f (х). Она противоположна операции дифференцирования — нахождения производной.
§ 6.1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ
229
Рис. 73
Отметим, что если F (х) есть первообразная для функции f (х), то подынтегральное выражение f (х) dx = = F' (х) dx = dF (х) является дифференциалом первообразной F (х).
Позже мы докажем (см. § 6.3), что если f (х) непрерывна на (а, Ь), то для нее существует первообразная на
(а, Ь), а следовательно, и неопределенный интеграл.
Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вы
текающих из его определения.
1°. dj f (х) dx = f (х) dx. В самом деле, J/(x)dx = F(x) + + С, отсюда
dj f (х) dx = d(F (х) + С) = dF (х) = Г (х) dx = f (х) dx.
2°. J dF (x) = F (x) + С, t. e. J и d также взаимно сокращаются, но к F (х) нужно добавить некоторую постоянную С. Имеем j dF (х) = j F' (х) dx = (по определению) = F(x) + C.
3°. jAf (х) dx = A j f(x) dx + C, где A — постоянное число, С — некоторая постоянная.
4°. J [/ (х) + g (х)] dx = J f (x) dx + Jg (x) dx + С, где C — некоторая постоянная.
В самом деле,
(jAx)dx+Jg(x)dx)'=(j^x)dx)'+{jg(x)dx)'=
= (по определению)  - f (х) + g (х).
С другой стороны,
(J[/(x)+g'(x)]dx) = (по определению) = f (х) + g(x).
Таким образом, функция j fdx+Jgdxn функция J [f + + g] dx являются первообразными для одной и той же функции f+g. Но тогда они отличаются на некоторую постоянную С, что и написано в равенстве 4°.
230
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
5°. Если F (х) есть первообразная для f (х), то
Г f (ах + b) = 1F (ах + Ь) + С. J	а
В самом деле,
[ifYax+b)! = 1  аГ' (ах + b) = f(ax + Ь).
(а 1а
Запишем таблицу интегралов, вытекающую из основных формул дифференциального исчисления.
1.	Jo • dx = С.
2.	f х“ dx =	- + С Ча* -1.
J	а + 1
3.	J х-1 dx = J “ = In |х| + С, на интервале, не содержащем х = 0.
4.	faxdx =	+ С (0 < а, а * 1), fex dx = ех + С.
J	Ina	J
5.	J sin x dx = —cos x + C, J cos x dx = sin x + C.
6.	f = tg x + C, [	= -ctg x + С на интервале,
J cos x , J sin x
где подынтегральная функция непрерывна.
г	Г arcsinx + C,
7-	= -arccosx + C (-!<*< D-
8	f dx = J arctgx + C, ’•'1 + x2 [-arcctgx+C.
9.	Jsh x dx = ch x + C, Jch x dx = sh x + C.
10.	= th x + С, Г-— = -cth x + C (x * 0).
J ch2x	J sh2x
= In |x + Vx2+11 + C = Arsh x + C,
f = In x + Vx2
J / 2 Г 1
vx -1
-11 + C - Arch x + C (|x| > 1).
i2. J= |ln||±J| + C (|x| * 1).
§ 5.1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ
231
Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определенная) первообразная функция для соответствующей подынтегральной функции, справа же — одна определенная первообразная, к которой еще прибавляется константа С такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями.
Докажем формулу 3. Так как при х Ф 0 |х|' = sign х и х sign х = |х|, то
(In |х| + Q' = х (]х|)' =	=1 (х * 0),
|х|	|х| X
и формула 3 доказана.
Докажем еще формулу 11:
и формула 11 доказана.
С другой стороны, Г .^х	= Arsh х + С, поэтому по
J vx2+l
теореме 2 Arsh х = In |х + -Jx2+11 +С. Но так как Arsh 0 = 0, то In |х + Vx2+1 ] = Arsh х (см. § 4.6, п. 9).
Применяя свойство 5°, можно написать более сложную таблицу интегралов. Например:
f sin (ах + b) dx =	cos (ах + b) + С.
а
Отметим, что если операция дифференцирования элементарных функций снова приводит к элементарным функциям, то операция интегрирования уже может привести к неэлементарным функциям, т. е. функциям, которые не выражаются через конечное число арифметических операций и суперпозиций элементарных функций.
232
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Например, доказано, что следующие интегралы не интегрируются в элементарных функциях:
je х dx — интеграл Пуассона,
J cos х2 dx, J sin x2 dx — интегралы Френеля,
Г-^----интегральный логарифм,
J Inx
Гсо8х^х — интегральный косинус,
J х
|Sinx^x — интегральный синус.
J х
Указанные интегралы хотя и существуют, но не являются элементарными функциями. Имеются другие способы для их вычисления. Например, интегральный синус можно представить в виде бесконечного степенного ряда (см. § 4.16)
3	Ё
х х
J х
3-3! 5-5!
§ 5.2. Методы интегрирования
Основную роль в интегральном исчислении играет формула замены переменных (или подстановки)
j f (х) dx = Jf (ф (t)) ф' (t) dt + С = Jf (ф (t) dtp (t) + C. (1)
В этой формуле предполагается, что х = ф (t) есть непрерывно дифференцируемая (имеющая непрерывную производную) функция на некотором интервале изменения t, a f (х) — непрерывная функция на соответствующем интервале или отрезке оси х. Первое равенство (1) утверждает, что левая его часть тождественно равна правой, если в ней (после интегрирования!) сделать подстановку х = ф (t) и подобрать соответствующую константу С. Докажем это ут
S 5.2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
233
верждение. Слева в (1) стоит функция, которая является первообразной от/ (х). Ее производная по t равна
J/(x) dx = ^-(j/(x)dx)^ = /(Ф(0) ф’ (О-
Следовательно, если ввести в этой функции подстановку х = ф (t), то получится первообразная от функции f (ф (0) ф’ (0- Интеграл же справа есть, по определению, некоторая первообразная от f (ф (i)) ф' (i). Но две первообразные для одной и той же функции отличаются на некоторую постоянную С. Это и записано в виде первого равенства (1). Что касается второго, то оно носит формальный характер — мы просто уславливаемся писать
jF(i)V'(t)dt= jF(i)dV(t).	(2)
Например,
х dx = i 2x dx + C = ~ Je* dx? + C =
= du + C, =	+ C2 =	+ C2 (u = x2).	(3)
Ct	Ct	Ct
Первое равенство написано в силу 3° § 5.1, второе в силу (2), третье — в силу (1) (постоянная изменилась) и четвертое — в силу формулы из таблицы (постоянная изменилась). Однако в практике вычислений в членах, содержащих неопределенный интеграл, константы С не пишут, и тогда цепочка (3) упрощается:
je*2 х dx = | Je' 2x dx = ~ Jex dx2 = e + C, Ct	Ct	Ct
к тому же мы опустили очевидные 3-е и 4-е равенства.
Вот еще пример: I = J -Ja2-x2 dx, а > 0. Такого интеграла нет в таблице. Если положить х = a sin t, то Ja2-x2 = aVl-sinzt = a cos t и dx = a cos t dt. Следовательно,
234
ГЛАВА S. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
I = J a cos t a cos t dt = a2 j cos2 t dt = a2j^+cPs^t dt =
2.	2
= dJ + “-sin 2t + C.
2	4
Ho t = arcsin—, поэтому a
I = ~ arcsin— + —sin t cos t + C - —arcsin— +
2 a 2	2 a
2	|	2	2	/-
—	+ c = —arcsin— + %-Ja-x2 + C.
2 a V W ? a 2
Итак
f 'Ja —x2 dx = ^~Ja-x2 + arcsin— + C.
3	2	2 a
Приведем еще примеры, которые все равно нам понадобятся в теории интегрирования рациональных дробей:
f-dx- = Гй&~а) =--- 1------+ с (m * 1);	(4)
J (x-a) J(x-a)m (x-a)ml(l-m)
r_dx_=fd^ = ln|x_o| + c.	(5)
3 x-a 3 x-a
[—^Хг= — {	!arctg— + C;
J x2+a2 aJl+(x/a)2 a a
I 2X z ~ J “ ---—Vx =
3 x2-a2 2a3'x-a x+a3
= i Iх " al " 111 Iх+a|)+C=ilnlfT7l+C;
L-АЛ | д, -j- fj, |
г dx _ f dx _ ^x2+px+q ’ (x+(p/2))2
_ fd(x+(p/2))_	1 c ( _ P_ = 0).
^(х+(р/2)Г x+(p/2)+C	4	°’’
$ 5.2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
235
dx______ г________dx__________
x+px+q J(^+(p/2))2 + (9-(p2/4))
/х+(р/2)А d(x+(p/2)) =1 f 4 Q J (x+(p/2)f + a2 flJ1|fx+(p/2)Y
= ^arctgx+^/2^ + C ( q -	= a2, a > 0);	(6)
_ dx г d(x+(p/2) :x?+px+q ' (x + (p/2)2+a2
1 u. x+(p/2)-a
2a ]x+(p/2)+a
2
(q-^~ = -a2, a 4
>0);
+ C
r(2x+p)dx rd(x2+px+q) , ^x^q= J-kpx+g = m |x2 + px + 9| + C;
f Ax+B dx = A	dx= A J (^±p)dx +
J x+px + q	^JxT + px+q	2J x+px + q
+ дг(2ВМ) Pdx = A jn |x2 + pX + g| +	, (7)
2J лг+px+q 2	r ™ J3T+px+q
(A*0, £)="2(^~p)) (далее см. (6)).
Для теории интегрирования рациональных дробей важно, что вычисление интегралов типа (4) — (7), где а, А, В, р, q — константы, приводит к элементарным функциям (рациональным, In и arctg).
Перейдем к формуле интегрирования по частям:
j uv' dx = uv- J vu' dx + C	(8)
или, что все равно,
j и dv = uv - J v du + C.
Так как в (8) справа есть неопределенный интеграл, то постоянную С обычно опускают.
236
ГЛАВА 6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В данной формуле предполагается, что и (х) к v (х) — непрерывно дифференцируемые функции. Справедливость формулы (8) вытекает из того факта, что производные от левой и правой частей равны:
uv' = (uv)' — vu'.
Формула (8) сводит вычисление интеграла J и dv к вычислению интеграла J v du. Вычисление по формуле (8) носит название метода интегрирования по частям.
Пример 1. Вычислить J х In х dx. Положим
u(x) - Inx, du = xdx = dv, v=jdv=jxdx = ^.
Тогда
f х In х dx = Inx - Jv> 4? = Inx -	+ C.
Пример 2. Вычислить интегралы I = Jeax sin bx dx, 1г = J eox cos bx dx, где a, b — постоянные числа. В данном случае подынтегральное выражение можно представить в виде произведения и (х) и dv (х) двояким образом: и = е™, dv = sin bx dx или и = sin bx, dv = e“ dx.
Итак, пусть
и = eax, du = ae^dx,
• ь j j	cos bx
sin bx dx = dv v = —-r—.
b
Тогда по правилу интегрирования по частям имеем
I = -leai cos bx + je“cos bx dx = -^еох cos bx + ^Iv (9)
К интегралу Ir снова применим метод интегрирования по частям, полагая и = еах, dv = cos bx dx. Тогда
§ 5.2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
237
I1 = |еах sin Ьх - ^1	(10)
Из (9) и (10) получаем систему для определения I и 1Х
I - ¥-1 = -ie1* cos bx, b b
y-I + I, = ^-eax sin bx. b 1 b
Решая эту систему, получим
г _ asinbx-fecosfex <& п т — bsinbx—acosbx ах „ а+Ъ2	1	а2+Ъ2
Пример 3. Вычислить интеграл I - J arcsin х dx. Полагая и = arcsin х, dv = dx, получим
I = х arcsin х -[	= x arcsin x + Vl-x2 + C.
J Vl-x2
Пример 4. Приведем еще пример, который будет нужен для теории интегрирования рациональных дробей. Пусть k > 1 — натуральное и а > 0; тогда
dx _ 2 г dx . 1 rx-2xdx (x2+a2f’	J(x2+o2)* 2 (x2+a2)*
u=x, dv=
\
2xdx
_ д2 Г dx .1 _________x_________1 f dx
]{x?+a^ 2l(l-feXx2+a2f‘ ^^(xWf
откуда
a2 f dx ________x______+ 2A-3 г dx
\х2 + а2)к ^k-l^ + a2)^
Теперь (если k > 2) к интегралу в правой части можно применить тот же процесс, приводящий к понижению на единицу показателя степени в знаменателе подынтегральной
238
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
дроби. В конце концов придем к интегралу от (х2 + а2)-1 (приводящему к arctg).
Таким образом, при q - (р2/4) = а2 > 0 и натуральном к интеграл
____dx--- (_du+c (xf+px+q)	(х? + а2)
р и~х+2
(П)
берется в элементарных функциях.
Пример 5. Вычислить интегралы
К(*>
еЬх cosbx sinbx
dx,
где Рп (х) = апхп + ... + а^х + а0 — алгебраический многочлен степени п.
Данные интегралы вычисляются n-кратным применением метода интегрирования по частям, последовательно полагая и = Рп(х), затем и = Р'(х)....Получающиеся
интегралы будут упрощаться, так как производная от алгебраического многочленаРп (х ) будет алгебраическим многочленом степени, на единицу меньшей.
Так как характер первообразной для рассматриваемых здесь функций легко угадывается, то эти интегралы можно вычислять так называемым методом неопределенных коэффициентов.
Например, для j Рп (х)еЬх dx первообразная имеет вид Qn (х)еЬх + С, где Qn (х) = Ьпхп + ... + Ьгх + Ьо и Ьо, ..., ЬП — пока неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты мы находим из условия, что
(Qn (х)еЬх + С)' = Рп (х)еЬж или Q'n (х) + bQn (х) = Рп (х).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, мы и найдем все числа Ъо, ..., Ъп. Этот способ назы-ваетсяметодом неопределенных коэффициентов. Здесь мы воспользовались тем фактом, что два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях х (см. § 4.14, теорема 2).
§ 5.3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
23»
Проиллюстрируем сказанное на конкретном примере:
J (х2 + 1) ех dx = (ах2 + Ьх + с) ех + С.
В данном случае
Р2 (х) = х2 + 1, Q2 (х) = ах2 + Ьх + с, где коэффициенты а, Ь, с надо найти. Имеем (Q2 (х) ех)' = [ах2 + (2а + Ь) х + b + с] ех = (х2 + 1) е\ откуда ах2 + (2а + Ь)х + Ь + с = х2 + 1. Так как это равенство должно быть верно для всех х, то коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой его части равны между собой (§ 4.14, (15)): а = 1, 2а + Ь = О, Ъ + с = 1. Таким образом,
J (х2 + 1) ех dx = (х2 - 2х + 3) е + С.
§ 5.3.	Комплексные числа
Комплексными числами называются выражения
z = а + Ы = а + ib, где а, b — действительные числа, az — специальный символ; при этом для комплексных чисел z1 = a1 + ibu z2 = а2 + + ib2 введены понятия равенства и арифметические операции по следующим правилам:
1)	гх = г2 тогда и только тогда, когда ах = а2 н bx = b2; а + Oz = а, О + Ы = Ы, 1 • i = z.
2)	Zi ± г2 = (ах ± а2) + z (Ь, ± Ь2).
3)	«1 * z2 = (а,а2 - bjb2) + i (bxa2 + axb^.
4)	(af+^O).
Из 1) и 3) следует, что .2	,
Z = -1.
240
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Таким образом введенные операции сложения и умножения обладают свойствами коммутативности (zt + z2 = = z2 + Zj, ZjZ2 = z2Zj), ассоциативности ((zt + z2) + z3 = Zj + + (z2+ z3), (z,z2) z3 = z, (z2z3)), дистрибутивности ((Zj + z2) Z3 = = ZjZ3 + Z2Z3).
Можно еще сказать, что с комплексными числами можно оперировать в точности так же, как мы привыкли оперировать с буквенными выражениями в алгебре, но при .2 ч этом операции упрощаются тем, что i = —1.
Из свойства а + Oi = а следует, что множество комплексных чисел содержит в себе как часть множество всех действительных чисел. При этом легко видеть, что применение арифметических действий 2), 3), 4) к выражениям Zj = Oj + Oi, z2 = a2 + Oi приводит соответственно к at ± a2 +
+ Oi = aj ± a2, ага2 + Oi - ага2,
+ Oi =	* o).
a, a/ 2	7
Число z = a — ib называется сопряженным к комплек-
сному числу г = а + ib. Действительное число |z| = 4а2+Ьг
называется модулем комплексного числа z. Очевидно, что
2'2 — |Z|2, |Zj • Z2| = |zj  |Z2|, \2t + Z2| < Если комплексное число z = a + ib трактовать как точку (вектор) М (a, b) плоскости хОу, то |z| равен расстоянию точки М (а, Ъ) от начала координат (рис. 74).
Если на плоскости ввести полярные координаты (р, <р), то
a = р cos ф = |z| cos tp, b = р sin ф = |z| sin ф
(1)
(И) > 0).
В силу этого комплексное число z можно записать в форме
z = ф (cos ф + i sin ф),	(2)
где р — модуль числа z, ф — угол (в радианах), который составляет вектор ОМ с положительным направлением оси
$ 5.3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
241
х. Этот угол называют еще аргументом комплексного числа z и обозначают символом <р = arg г (0 < ф < 2л).
Очевидно, ф = arg г есть однозначная функция от г * 0. Вводят еще и многозначную функцию (аргумент z с большой буквы)
ф = Arg z = arg z + 2Ал (k = 0, ±1, +2, ...),
которая дает все значения ф, для которых для данного z 0 удовлетворяются два равенства (1).
Число z = 0 единственное, для которого не имеет смысла его аргумент, но зато его можно определить как число, модуль которого равен нулю (|z| = 0).
arg z (с малой буквы) называют еще аргументом в приведенной форме. Иногда бывает удобно считать аргументом в приведенной форме угол, принадлежащий к другому полуинтервалу [а, а + 2л) длины 2л, например [-л, л).
Числа а и Ь называют действительной и мнимой частями z и обозначают символами а = Re z, Ь = Im г. Таким образом,
z = Re z + i Im z.
Если z = x + iy, то множество точек z плоскости хОу, удовлетворяющих равенству |z| = R (-Jxf + i? = R), есть окружность радиуса R с центром в начале координат.
По определению
е1ф = cos ф + i sin ф (-оо < ф < оо).	(3)
Очевидно, что е9 есть комплексная функция* (принимающая комплексные значения) от действительного аргумента ф. Ясно, чтое9— периодическая функция периода 2л: е^+2п>= е‘ф.
Так как |е,<р| = 7сО82ф + 81п2ф = 1, то при непрерывном изменении ф на полуинтервале 0 < ф < 2л, точка е,<₽ непре-
См. нашу книгу «Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного», § 6.1.
242
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
рывно описывает окружность радиуса 1 с центром в точке 2=0.
Справедливы равенства
e^^e'V’2, 6^=	(4)
В самом деле,
е«<я+92) _ cos (ф + ф \ + j	(ф^ + ф^ _ (cos ф1СОЗ ф^ _
- sin tpjsin ф2) + i (sin ф1соэ ф2 + sin ф2соэ <Pj) = (cos ф1 +
+ i sin фх) (cos ф2 + i sin фг) = e^e92,
1 _ 1 _ - -e‘v cos9 + isin9 cos Ф
= cos (-ф) + i sin (-ф) = e~l<s>.
Для произвольной комплексной переменной z = x + iy функция ех определяется при помощи равенства
е2 = exe,J/, г ф 0.
Отсюда в силу (3)
е2 = ех (cos у + i sin у).	(5)
На основании (2), (3) всякое комплексное число г можно представить в форме
г = pei<p (р > 0),	(6)
где неотрицательное число р = |z| для данного 2 единственно, а при р > 0 угол
ф = Arg 2 = arg 2 + 2fen
определен с точностью до 2кк (k = 0, ±1, ±2, ...).
Выражения (2) и (6) называются соответственно тригонометрической и показательной формами комплексного числа 2.
Приведем примеры комплексных чисел, записанных в показательной форме (считая ф = arg z):
i = 0 + 1 • i = е‘п/2, 1 = eOi, -1 = e”.
$ 5.3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
243
Из равенств (3), (4) легко получаем формулу Муавра (cos ср + i sin ф)п = е1Пф = cos тир + i sin тир. (7) Справедливо также равенство
21z2 = |zj |z2|e”^,
т. е. при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются независимо от того, в какой форме они взяты — в приведенной или нет. Операция построения сопряженного комплексного чис-
ла обладает следующими простыми свойствами:
2j±2^ = Zj + z2, ^-Z2 = 2г22,	=	(z2	0).	(8)
\zzJ Zz
В самом деле,
(al+b1i)+(a2+b2i) = (c^ + a^+^+b^i =
= (щ ± a2) - i (&! ± Ь2) = (щ - feji) ± (a2 - b2i) =
= (ai+bli)+(a2+bj) ;
далее, так как
ре19 = p(cos<p+isin<p) = р (cos ф — i sin ф) = ре”‘ф, то
= p/W”2== PtPae*^ -
= zt • 22.
Подобное доказательство имеет место и в случае частного.
Рассмотрим задачу о вычислении корня п-й степени из числа а - ре10 (р > 0). Требуется, таким образом, найти все чцсла b = ге,ф такие, что Ьп = а. Но тогда Ие‘пф = ре1 (г, р > 0) и, вследствие единственности представления комплексного числа в показательной форме, р = И1, пф = 0 + 2kn, k = 0, +1, ±2, ... . Из первого равенства следует г = л/р (г — арифме
244
ГЛАВА5Л1Е0ПРВДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
тическое значение корня л-й степени из положительного
числа р). Из второго же, что ф =	(* = 0, +1, ...).
Так как функция е/<р периодическая с периодом 2л, то значения ф, дающие существенно различные корни n-й степени из а, соответствуют только п значениям k:
ф _ 6 + 2kn А п п
(k = 0, 1, ...» п - 1).	(9)
Остальным целым k соответствуют значения ф, отличающиеся от одного из значений (9) на величину, кратную 2л.
Мы доказали, что у комплексного числа а * 0 существует п (и только п) корней степени п, записываемых по формуле
i/a = ^Jp^ = ^Jpei'fk (k = 0, 1, ..., п - 1), где фА определяются равенствами (9).
Примеры:
г. 1/1=№=е[г з)	(k = 0, 1, 2).
2°. Vi = Ve2 =	3 J	(А = 0, 1, 2)..
г/ р	i(jL-+2kn\
3°. ’cT+i = ’-^'Ve4 =х$2еы 6 (A = 0, 1, ..., 5).
,_ г—
4°.	= Ve"1 = е2	= ±i (fe = 0, 1).
§ 5.4. Теория многочлена ге-й степени
Многочленом n-й степени называется функция вида
Qn (2) = «о + «I2 + — + А2" = ZX2*’
*=0
где ah — постоянные коэффициенты действительные или комплексные, a z — переменная, вообще говоря, комплексная, которая может принимать любые комплексные зна
S 5.4. ТЕОРИЯ МНОГОЧЛЕНА n-й СТЕПЕНИ
245
чения (г =х + iy) или, выражаясь геометрическим языком, z может быть любой точкой комплексной плоскости.
Каждой точке г комплексной плоскости при помощи формулы (1) приводится число Qn (z), вообще говоря, комплексное. В дальнейшем будем считать, что ап 0. Если Qn (а) = 0, то число а называется корнем или нулем многочлена
Рассуждая в точности так же, как в начале § 4.14, где рассматривался многочлен от действительного переменного, можно показать, что, каково бы ни было комплексное число z0, многочлен Qn (z) разлагается по степеням z - z0 и притом единственным образом, т. е. представляется в виде
е»(2)= 1А
k=O
где Ьк — постоянные числа, вообще говоря, комплексные. Очевидно, Q„ (z0) = Ьо. Отсюда следует, что для того, чтобы точка z0 была корнем многочлена Q„, необходимо и достаточно, чтобы нулевой коэффициент Ьо разложения Qn по степеням z — z0 был равен нулю (Ьо = 0). Но если Ьо = 0, то Qn можно представить в виде
Qn (z) = (z - z0) Qnl (z) Vz,	(2)
где Qnl есть некоторый многочлен степени п - 1. Наоборот, если Qn можно представить в виде (2), иначе говоря, если Qn (г) можно разделить на z — z0 без остатка, то, очевидно, z0 есть корень Qn.
Мы доказали теорему Безу:
Для того чтобы многочлен Qn (z) имел (комплексный) корень z0, необходимо и достаточно, чтобы он делился на z — z0, т. е. чтобы его можно было представить в виде произведения (2), где Qn_t — некоторый многочлен степени п - 1.
Пусть г0 есть корень Qn, и, таким образом, имеет место представление (2). Если при этом Qnl (z0) Ф 0, то на основании теоремы Безу, примененной к Qn^, многочлен Qn_i (z) не делится на z - z0, a Qn (z) хотя и делится на z -
246
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- z0, но не делится на (z - z0)2. В этом случае говорят, что z0 есть простой корень (нуль) многочлена Qn. Пусть теперь Qn_i (z0) = 0, тогда по теореме Безу, примененной к Qn l (z), многочлен Qn_x (г) делится на z - z0, и мы получим равенство Qn (z) = (z - z0)2 Qn 2 (z), где Qn_2 (z) есть некоторый многочлен степени п - 2. Если Qn_2(z0) * 0, то Qn (z) делится на (z — z0)2, но не делится на (z - z0)3, и тогда число z0 называется корнем (нулем) кратности 2. В общем случае для некоторого натурального з < п имеет место
Qn (z) = (z — z0)e Qn_8 (z), Q„_s (z0) * 0,
где Qn_, (z) — многочлен степени n — s, и тогда говорят, что z0 есть корень (нуль) многочлена Qn кратности з.
Справедлива теорема существования комплексного корня у многочлена.
Основная теорема. Всякий многочлен n-й степени имеет по крайней мере один комплексный корень (нуль).
Мы не даем здесь доказательства этой теоремы.
Из нее вытекает важное следствие.
Следстви е. Многочлен n-й степени Qn со старшим не равным нулю коэффициентом (ап Ф 0) имеет п комплексных корней с учетом кратности, иначе говоря Qn(z) представляется в виде произведения
Qn {z) = an(z- zj\z -	..(г - z/',	(3)
Р1+Р2 + — +Pi = n>
где zlt ..., z, — различные корни Qn кратностей, соответственно р1г ..., рг
Доказательство. Согласно основной теореме многочлен Qn имеет по крайней мере один корень. Обозначим его через z,, а его кратность — через рг. Таким образом,
Qn(z) = (z-z^Q^fe) (Qn_ft(z) * 0).
Если п - р, = 0, т. е. Pi = п, то необходимо Q„-Pl(.z) = ап, и теорема доказана. В этом случае Qn (z) = ап (z - zj".
$5.5. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ МНОГОЧЛЕН n-й СТЕПЕНИ
247
Если же Pi < п, то Q„_P1(Z) есть многочлен степени п - рг, не делящийся наг - гр и его старший коэффициент не равен нулю. К нему можно применить основную теорему, в силу которой он имеет комплексный корень. Обозначим' его через z2, а его кратность — через р2. В результате получим
Q„ (z) = (z - zj\z - z^Q^^z)
Ц)* О, /=1, 2).
Если n - Pj - p2 = 0, то Q	(z) = an. Если нет, то процесс
можно продолжить. Однако этот процесс после конечного числа (не большего ri) этапов закончится, и мы получим формулу (3). Если в правую часть (3) подставить вместо z число, отличное от 2,, ..., zp то она не обратится в нуль. Это показывает, что других корней, кроме найденных, многочлен Qn не имеет и представление (3) единственно.
§ 5.5. Действительный многочлен п-й степени
Многочлен
со = t^k («„ * о) (1) Л=0
называется действительным, если его коэффициенты ак — действительные числа. Это название объясняется тем, что действительный многочлен, если его рассматривать только для действительной переменной z=х, принимает действительные значения. Конечно, для комплексных z действительный многочлен принимает, вообще говоря, комплексные значения.
Лемм а. Для действительного многочлена Qn (г)име-ет место равенство
Qn (*) = ад Vz.
248
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Доказательство. Наши рассуждения будут базироваться на равенствах (8) § 5.3 и том факте, что для действительных ак имеет место ак = ак. Имеем
Qn © =	= Q.(z)> (2)
*=0	М	М	Ь=0
что и требовалось.
Теорема 1. Если z0 = а + ф(00)есть комплексный корень vu кратности действительного многочлена Qn, то z0 = а - ф есть тоже корень Qn и той же кратности, и тогда
Qn (*) = [(И - а)2 + 02]v Qn_b (z),	(3)
zdeQn.-2v (г) — действительный многочлен степени п - 2v, не равный нулю при z = zQu z = zQ.
Доказательство. Пусть z0 = а + ф (0 Ф 0) есть корень Qn. Тогда z0 = а - ф — тоже корень Qn, потому что в силу (2) Qn (z0) = Qn(z0) = 0 = 0. Числа z0 и zQ не равны друг другу и Qn (z) делится на
(z - а - i0) (z - а + ф) = (z - а)2 + 02,	(4)
т. е. на действительный многочлен второй степени. Таким образом,
Qn(z) = [(z- а)2 + 02]Qn_2(z),
где Gn-2 (2) — многочлен степени п - 2, очевидно, действительный. Ведь частное от деления действительных многочленов есть действительный многочлен.
Если z0 — корень Qn кратности v и v> 1, то г0 — корень Qn_2 кратности v - 1, поэтому, повторяя наши рассуждения в отношении Qn_2 (z), можно из него выделить множитель (4). Второй же множитель будет действительный многочлен 4 степени п - 4. Повторив этот процесс v раз, получим представление Qn (z) в виде (3), где Qn_2v (z) — действительный многочлен степени п - 2v, обладающий свойством Q„_2v (z0) 0. Но тогда и Q„_2v (z0) * О.Ведь если
$ 5.5. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ МНОГОЧЛЕН п-й СТЕПЕНИ
249
бы г0 был корнем действительного многочлена Q„_2v. то неминуемо z0 тоже был бы корнем этого многочлена.
Задача. Доказать, что многочлен Q5 (z) = z5 - 3z2+ 2z имеет не менее трех действительных корней.
Т е о р е м а 2. Действительный многочлен Qn (z) со старшим коэффициентом ап / О может быть представлен в виде произведения
Qn (z) = an(z-Ciy... (z-cry[(z - aj2 + tfp...
... [(z - а/ + p2]v* = ant[(z-cfy П[(2 - а.)2 + pjf', (5) >i	j-i
где P; > 0, p-j + ... + pr + 2(Vj + ... + ve) = n, cv .... cr — действительные корни Qn кратностей соответственно |ip ..., |ir, a (*i + Рг1, ..., ag ± Pei — попарно сопряженные комплексные корни Qn кратностей соответственно vp ..., vs.
Замечание. Действительные многочлены второй степени, входящие в произведение (5), можно преобразовать так:
(z - ау)2 + р2 = z1 - 20.^2 + (а2 + р2) = z + p-z + qjt
Pj = -2ajt 9,= а2 + р2.
Поэтому формулу (5) можно записать еще в следующем виде:
Qn = a„fl(- С,Г П(г2 + Pjz + 9УЛ <5') /=1 /=1
где г2 + р^г + q, — действительные многочлены второй степени, имеющие комплексные корни a; + iP; (Р;- > О, р2- 4q; =-4р2 < 0).
Доказательство. На основании формулы (3) § 5.4
<М*) = Й(г-с,ГОи(г), /=1
где Qm (z) — действительный многочлен степени т = п --j-Ц - ... - |1г. Если т == О, то, очевидно, Qm (z) - ап‘ в общем
250
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
случае применяем последовательно теорему 1 к комплексным корням Qm.
Отметим, что основная теорема доказывает только существование корня (вообще комплексного) у многочлена n-й степени, не давая эффективных методов нахождения его в общем случае. Впрочем, доказательство этой теоремы проводится методами математического анализа, а не алгебры. Мы не доказываем здесь эту теорему. Она связана органически с теорией функций комплексного переменного.
Существуют формулы решения общих уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Для уравнений степени п > 4 таких формул нет. Абель* доказал, что они не могут существовать. Это надо понимать в том смысле, что при п > 4 корни уравнения апхп + ... + а^х + а0 = 0 (ап 0) не выражаются через коэффициенты ак посредством функций от этих коэффициентов, представляющих собой результат конечного числа операций только следующего вида: сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня.
§ 5.6. Интегрирование рациональных выражений
Отношение двух алгебраических многочленов
Г(ж)==ад’	(1)
Ри(х) = Ь0+Ь1х + ... + Ьтхт, Q„ (х) = а0 + atx + ... + апхп,
Ьт, ап 0, т > 0, п 1, называется рациональной функцией и еще рациональной дробью.
Будем считать, что рациональная дробь /действительная, т. е. Рт и Qn — действительные многочлены. Кроме того, будем считать, что х — действительная переменная.
* Н. Г. Абель (1802-1829) — выдающийся норвежский математик.
S 5.6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
251
Рациональные функции вида
-Л, -^Ц.(й>2), -,^х+В
х-а (х-а)	х +px+q
(2)
Ах+В
(А >2),
где А, В, а, р, q — действительные числа, k — натуральное 2
число, а трехчлен х + рх + q не имеет действительных корней, будем называть простейшими дробями.
В § 5.2 мы показали, как вычисляются интегралы от простейших дробей (см. (4), (5), (6), (7), (11) § 5.2).
Пусть надо найти неопределенный интеграл от рациональной функции f (х) (см. (1)). Если т > п, то простым делением выделяем из f целую часть:
f (х) = многочлен +
ад
(тг < п).
Интегрирование многочлена не Представляет труда и трудность свелась к интегрированию рациональной дроби, у которой степень числителя меньше степени знаменателя.
Будем поэтому считать, что наша рациональная дробь f (х) правильная, т. е. степень ее числителя меньше степени знаменателя (т < п).
Теорема 2. Пусть знаменатель правильной действительной рациональной дроби разложен по формуле (5') §5.5:
(*) = ап(?(z-s)"r (г2 + Piz + 51)''- (z2 +	+ Q«)V'-
Тогда дробь (1) можно представить и притом единственным образом в виде следующей суммы простейших дробей:
. 4.1 , А., , , А.и , Qn(x) (х-су4 (х-с^1 x-q
252
ГЛАВА 5 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
j_____Сл!_ j-----Ц?---j- -|-Ciit. 4.
(х-сГ (х-сгГ* " х-е
A,1X+^I,I + A,2X + G,2	+ + А,у(Х + ^1.у| +
(х2 + ргх+gj ‘ (х2 + PjX + 9]) 1	х + Р\х+91
4- 'A.1X + Q,1 +	^».2Х + ^».2	+ + Дг,у,Х + ^»,у,
(х2 + psx+gs)' (х2+рх+ qy	х +Psx + tL,
где А, В, С (с соответствующими индексами) — постоянные числа.
Эта теорема утверждает, что для любой правильной рациональной действительной дроби существуют постоянные числа А. В, С с указанными индексами так, что имеет место тождество (3) для всехх, исключая значения х = ср .... .... сг, для которых обе части (3) не определены. Эту теорему можно аккуратно доказать, но мы здесь ее доказывать не будем.
Поясним формулировку теоремы 1 на примере. Согласно теореме 1 имеет место равенство
2х3 + х2 + х+2 _ А + А 4- Mx+N (х - 1)2(х2 + х+1) х-1 (х-1)2 х2 + х + 1’
где Ар -А»	— вполне определенные постоянные чис-
ла. Чтобы найти их, приводим (4) к общему знаменателю и приравниваем числители левой и правой частей:
2х3 + х2 + х + 2 = Aj (х — 1) (х2 + х + 1) +
+ А2 (х2 + х + 1) + (Мх + N) (х - I)2.	(5)
Раскрывая скобки в правой части (5), группируем члены с одинаковыми степенями х и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х обеих частей (см. § 4.14, теорема 2);
j 5.6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
253
2 =Д +М,
1 = А2 + N - 2М, 1 = A2 + M-27V, 2 = -Aj+A2 + ^
(6)
Мы получили четыре линейных уравнения с четырьмя неизвестными An А& М, N. Эта система по теореме 1 имеет решение и притом единственное. Решая систему (6), получим Aj = 1, А2 = 2, N = М = 1, и потому
2х3+х2+х+2 „ 1 ,	2	, х+1	/гг.
(х-1)2(х2+х+1) х-1 (х-1)2 х2+х+1‘	к>>
В общем случае, если мы нашли коэффициенты А. В, С в (3), для интегрирования дроби Pm/Qn у нас все готово: неопределенный интеграл от левой части (3) равен сумме неопределенных интегралов от всех членов правой плюс Некоторая постоянная С. Выше уже было отмечено, что интегралы от любого из членов (3) мы умеем вычислять.
В случае примера (7)
J 2х +х+х+2 dx=f_dx^+2J_dx^+[ x±l dx=
,'(x-l)2(x2+x+l) J х-1	J(x-1)2 •’х2+х+1
= In |х - 1|-—+1пл/х2+х+1 +
х-1

2х+1
+С.
?3
Замечание 1. Равенство (5) верно для любого х^ 1. Но оно тогда верно и при х = 1, потому что слева и справа в (5) стоят непрерывные функции от х. Подставив в (5) х = 1, получим 6 = ЗА2, т. е. А^ = 2 и, положив х = О, получим 2 = -Aj + А2 + N, т. е. N = Аг Эти данные (А2 = 2, N = AJ сильно упрощают систему (6). На практике подобными соображениями не надо пренебрегать.
Замечание 2. Принципиально всякая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях. Практически полное интегрирование (1) можно довести до конца в случае, если известны все корни Qn и их кратности.
254
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Но мы уже говорили в § 5.5, что это не всегда удается узнать. В связи с этим всякого рода упрощения интеграла от рациональной дроби (1) являются очень ценными.
С этой точки зрения заслуживает большого внимания метод Остроградского*, обычно излагаемый в более полных учебниках**.
§ 5.7. Интегрирование иррациональных функций
Рассмотрим случаи, когда заменой переменной можно свести интегрирование нерациональных функций к интегрированию рациональных функций (т. е., как говорят, рационализировать интеграл).
Пусть R (х, у) — рациональная функция своих аргументов х и у, т. е. над х и у совершаются только арифметические операции, чтобы получить R (х, у). Например,
2
R (х, у) = io — рациональная функция, а сх+х у
f (х, у) = -Jx + y + х2 — не является рациональной.
I. Вычислить f.R|х, Jax+b |dx, где a, b, с, d —
J \ Vcx+dJ постоянные числа, т — натуральное число, ad — be Ф О, R (х, у) — рациональная функция.
Функцию вида 2?| х,	1 называют дробно-ли-
k Vcx+dJ
нейной иррациональностью.
Покажем, что замена t = da-~b- рационализирует
Vcx+d
интеграл. В самом деле, tm = —, откуда х =	---
cx+d	ct —а
рациональная функция от t. Далее,
* В. М. Остроградский (1801-1861) — выдающийся русский математик.
** См., например, «Курс математического анализа» С. М. Никольского, т. 1, § 8.7.
§ 5.7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
255
.	mtm \ad — bc] ,
dx = ——А----r^dt.
(ctm — а)
Поэтому
J Uf-a J (ctm-a) J
где 7?1 (t) — рациональная функция no t, интегрировать которую мы умеем.
Пример 1. Вычислить Г —1—з/^±1 dx. Здесь J (х-1) »х—1
R (х> У) = —7- Полагая 3	= t, получим х = А.+ ,
(х-1)2	Vx-1	*	t3-l
dx -
-6t2dt
(‘’-if
x - 1 =
Таким образом,
= 6 f (t2 - t + 1) dt - In |1 + t| = 2t3 - 3t2 + 6t - In |1 + t| + C.
П. Вычислить J R(x, -Jax2 + bx + c) dx, где a, b, c — постоянные числа. Функцию R (x, -Jax2 + bx + c) будем называть квадратичной иррациональностью.
256
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Если трехчлен ах2 + Ъх +с имеет действительные корни хг, х2, то ах2 + Ьх + с *= а(х - хг) (х - х2) и
R (х, >lax2+bx+c) = R
I X \х~хг х, (х-х.) /--4а
ух-а^
-Я
и дело сводится к случаю 1.
Поэтому будем считать, что ах2 + Ьх + с не имеет действительных корней и а > 0. Тогда рационализация интеграла может быть достигнута с помощью подстановки Эйлера*:
t = -Jax2+bx+c + x-Ja .
Отсюда ах2 + bx + с = t2 - 2xJa + ах2, т.
e-X~2t^b
рациональная функция от t. Но тогда
•Jax2 + Ьх + с = t — Xyfa = t-— Ja
2t-Ja+b
— также рациональная функция от t. Поэтому
J R (х, -Jax2 + Ъх+с) dx = j Rr (i) dt.
Замечание. Если a < 0, a c > 0 (ax2 + bx + c 0), to можно сделать замену
4ax2+bx + c = xt + -Jc .
Пример 3. Вычислить j Vaz + x2 dx. Бином x2 + a2 не имеет действительных корней. Поэтому полагаем
t = ylx2 + а2 + х, х2 + а2 = t2 - 2tx + х2, х = -—
2t и
г—.-- Л 2
V?T7 = #-x = ^-
2t
* Эту подстановку можно применять и в случае действительных корней при а > 0 на интервале, где ах~ + Ьх + с > 0.
S 5.7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
2S7
Отсюда
х^х+а = * ~f , dx = t — dt.
2t
В силу этого
f>/777dx= f^
J	J 2t
.2 .	2
t +a
2Г
dt = if t+ 4J
2дг , a t Vj
4"
r dt =
2	.2	4	2	.4	4
= ^1П |t| +	^=-+ C >= ^-ln |t| + t-^-+ C =
2	8 8t 2 1 8t
= -^-lnlx+Vx2+a2|+—Vx2 + a2 +C. 2 1	12
III. Интегрирование выражений R (cosx, sin x). Рационализация J R (cos x, sin x)dx достигается c помощью подстановки t = tg (x/2) (-7t < x < л), которая называется универсальной. В
sinx^-2W2)-=-2Lt
l + tg(x/2) 1+t2
самом деле
cosx- 1~tg2^2> -
l + tg(x/2) 1 + t2
x = 2 arctg t,
dx -
2dt
1 + t2'
поэтому
J R (cos x, sin x) dx = J R j 1—
2t
1 + t J
2dt 1+7
= /^(t) dt.
Если функция R (x, у) обладает свойствами четности или нечетности по переменным х или у, то могут употребляться и другие подстановки, также рационализирующие интеграл.
Пусть
„,	.	Р(и, и) .	.	4
R (и, v) = —;----(и = cos х, v - sin х),
Q(U, V)
где Р и Q — многочлены от и и и.
1)	Если один из многочленов Р, Q четный по V, а дру-
9 — Бугров. Том 2
258
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
гой — нечетный по V, то подстановка t = cos х рационализирует интеграл.
2)	Если один из многочленов Р, Q четный по и, а другой — нечетный по и, то подстановка t = sin х рационализирует интеграл.
3)	Если Р и Q: а) оба не изменяются при замене и, v соответственно на -и, —v или б) оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой t =tg х (или t =ctg х).
Примеры:
1°.	f— = In |t| + С =	+ С.
J sinx '	2' J t	121
2°. fsi^dx=_J“IL^M=_flr^xd(cosx) =
J COS X J COS X	J COS X
= (t = cos x) = J-^-dt.
3	3
В данном случае R(u, v) =	= Чго» т- e- числитель
u и v
нечетный относительно v, а знаменатель четный no v, и мы имеем дело со случаем 1).
3°. j
______dx______
2	2	-2.2
a cos x+d sin x
2 COS X
— (t — tg x) — J 2	2 2 -
J a + b t
Здесь числитель P (и, v) = 1, а знаменатель Q (u, v) = = агиг + bzv2. Оба не меняются при замене и, и соответственно на -и, —V, т. е. мы имеем дело со случаем За).
Глава 6
Определенный интеграл
§ 6.1.	Задачи, приводящие к понятию
определенного интеграла, и его определение
а)	Зададим на отрезке [а, Ь] (а и b — конечные числа) неотрицательную непрерывную функцию f (х). График ее изображен на рис. 75. Поставим задачу: требуется определить понятие площади фигуры, ограниченной
Рис. 75
кривой у = f (х), осью х, прямыми х = а и х = Ь, и вычислить эту площадь. Поставленную задачу естественно решить так.
Произведем разбиение отрезка [а, Ь] на п частей точками
а = х0 < xt < ... < хп = Ъ,
(1)
9*
S60
ГЛАВА в. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
выберем на каждом из полученных частичных отрезков
x,J О' = О, 1, ..., п - 1)	(2)
по произвольной точке G [х?, xyj, определим значения функции f в этих точках и составим сумму
Sn = £/ Ьх, (Лх, = xhX - х.),	(3)
7=0
которую называют интегральной суммой и которая, очевидно, равна сумме площадей заштрихованных прямоугольников (см. рис. 75).
Будем теперь стремить все Дх;. к нулю и притом так, чтобы максимальный (самый большой) частичный отрезок разбиения стремился к нулю. Если при этом величина Sn стремится к определенному пределу S, не зависящему от способов разбиения (1) и выбора точек на частичных отрезках, то естественно величину S называть площадью нашей криволинейной фигуры. Таким образом,
S= lim TjF (£р Дх-	(4)
шахДх,—0 yZo
Итак, мы дали определение площади нашей криволинейной фигуры (трапеции). Возникает вопрос, имеет ли каждая такая фигура площадь, иначе говоря, стремится ли на самом деле к конечному пределу ее интегральная сумма Sn, когда Дх?. -* 0? В дальнейшем будет доказано, что этот вопрос решается положительно: каждая определенная выше криволинейная фигура, соответствующая некоторой непрерывной функции f (х), действительно имеет площадь в смысле сделанного определения, выражаемую, таким образом, зависящим от этой фигуры числом S.
Другой возникающий здесь вопрос, насколько естественно данное определение площади, как всегда в таких случаях, решается практикой. Мы скажем только, что практика полностью оправдала это определение. У нас будет много случаев убедиться в правильности сделанного определения.
$ 6.1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА	261
б)	Дан линейный неоднородный стержень, лежащий на оси х в пределах отрезка [а, Ь]. Требуется определить массу этого стержня. Пусть плотность распределения массы вдоль стержня есть некоторая непрерывная функция от х: р (х).
Для определения массы стержня разобьем его на п произвольных частей точками а = х0 < х, < ... < хп = Ь. В пределах каждой части [х,, xj+1] выберем по произвольной точке
Так как в пределах [х,, xj+1] функция р (х) изменяется мало, то массу части стержня, соответствующей отрезку [х„ х,+1], можно считать приближенно равной р (EJ Дх,, где Дх, = хм - xt.
Масса же т всего стержня приближенно равна
п-1
р й0) Дх0 + р (£;,) Дх, + ... + р (^,) Дхп_, = Хр (Q
у-о
Точное значение массы, очевидно, получим в пределе, когда наибольший частичный отрезок стремится к нулю, т. е.
т = lim £р (Q Дх, .	(4')
max Джу—О
Обе рассмотренные задачи привели нас к одной и той же математической операции над функциями различного происхождения, заданными на отрезке [а, Ь]. Нам встретится много других конкретных задач, решение которых сводится к подобной операции над функцией, заданной на отрезке. Эта операция называется операцией интегрирования функции на отрезке, а ее результат — число — называется определенным интегралом от функции на отрезке.
Определение 1. Пусть на отрезке [а, Ь] задана функция f. Разделим [а, Ь] на части произвольными точками:
а = х0 < х, < х2 < ... < х„ = Ь,
и будем говорить, что этим произведено разбиение R от
262
ГЛАВА в. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
резка [а, Ь]. На каждом частичном отрезке [Xj, х;.+1] раз-биения выберем произвольную точку е [ху, х?+1] и составим сумму
ся =	=	(^) Ах,	= xhi ~ xi>’
i=o
называемую интегральной суммой функции f, соответствующей разбиению R.
Обозначим через
= max Дх;
максимальную длину частичных отрезков (xjt xJ+1) разбиения R.
Предел (если он существует), к которому стремится интегральная суммаок, когдаХд -* 0, называется определенным интегралом от функции f на отрезке [а, Ь] и обозначается следующим образом:
л-1	Ь
lim = lim У / $$ Дх; = f / (х) dx (а < ь)-	(5)
Хд—0	шахДху-’О	а
Число а называется нижним пределом определенного интеграла, а число Ь — верхним его пределом.
Определение 1 эквивалентно следующему.
Определение 1'. Определенным интегралом от функции f на отрезке [а, Ь] называется число I, удовлетворяющее следующему свойству: для всякого £ > 0 можно найти число 8 > О такое, что для любого разбиения R отрезка [а, Ь], у которого = тахАху < 8, выполняется неравенство
7=0
< Е
при произвольном выборе точек е [xjr х>+1].
Понятие определенного интеграла так, как мы его оп
S 6.1. ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА	263
ределили, было введено для непрерывных функций французским математиком Коши и в общем случае Риманом* — для функций не обязательно непрерывных (интегрируемых по Риману). Обычно предел (5) называют интегралом Римана и функцию, для которой этот предел существует, называют интегрируемой в смысле Римана.
Если функция f непрерывна на [а, Ь], то для нее всегда, как мы узнаем, предел (5) существует.
Говорят также, что непрерывная на отрезке [а, Ь] функция интегрируема на нем в смысле Коши.
В п. а) мы определили (см. рис. 75) площадь плоской фигуры, ограниченную сверху графиком непрерывной функции у = f (х) 5= 0, снизу осью х и с боков прямыми х = а и х = Ъ. Мы можем теперь сказать, что площадь этой фигуры равна определенному интегралу от f на отрезке [а, Ь]:
ь
S = j f (х) dx.
а
Мы можем еще сказать, что масса стержня, о котором шла речь в п. б), равна определенному интегралу от его линейной плотности р (х) в пределах [а, б]:
ъ т = J р (х) dx.
а
Итак, по определению определенным интегралом от функции f на отрезке [а, Ь] называется предел интегральной суммы (5), когда максимальный частичный отрезок разбиения R стремится к нулю.
В этом определении, которое теперь уже не связано с задачей о нахождении площади, функция f не обязательно непрерывна и неотрицательна на [а, Ь]. Надо отметить, что это определение не утверждает существование определенного интеграла для всякой функции f, заданной на [а, &], т. е. существования предела (5). Оно только говорит, что если этот предел существует для заданной на [а, &] функ
* Б. Ф. Риман (1826-1866) — выдающийся немецкий математик.
264
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ции f, то он называется определенным интегралом от f на [а, Ц.
Следует иметь в виду также, что когда говорят, что указанный предел J существует, то подразумевают, что он не зависит от способов разбиения отрезка [а, Ь] на части и выбора на полученных частичных отрезках точек
Непосредственное вычисление определенного интеграла по формуле (5) связано с трудностями — интегральные суммы сколько-нибудь сложных функций имеют громоздкий вид и зачастую не легко преобразовать их к виду, удобному для вычисления пределов.
Во всяком случае, на этом пути
не удалось создать общих мето-	_.	X*
дов. Интересно отметить, что	/ у >
впервые задачу этого рода решил	/ у J
Архимед. При помощи рассуж-	—j——1—
дений, которые отдаленно напо-
минают современный метод пре-	Рис. 76
делов, он вычислил площадь сег-
мента параболы. В дальнейшем на протяжении веков многие математики решали задачи на вычисление площади фигур и объемов тел. Все же еще в XVII веке постановка таких задач и методы их решения носили сугубо частный характер. Существенный сдвиг в этом вопросе внесли Ньютон и Лейбниц*, указавшие общий метод решения таких задач. Они показали, что вычисление определенного интеграла от функции может быть сведено к отысканию ее первообразной.
Как было отмечено выше, непрерывная на [а, б] функция интегрируема на [а, Ь]. Это будет доказано в § 6.7.
Будет также доказано, что монотонная на отрезке [а, б] функция интегрируема на нем. Надо учесть, что монотонная функция может иметь разрывы в конечном или даже счетном числе (см. теорему 2 § 3.4).
* И. Ньютон (1643-1727) — гениальный английский физик и математик. Г. В. Лейбниц (1646-1716) — великий немецкий матема-
тик.
«6.1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА	265
На рис. 76 изображен график функции у = /(х), заданной на отрезке [0, а]. Эта функция непрерывна на [0, xj, убывает на [xlt xj и возрастает на [х2, а]. Следовательно, она интегрируема на каждом из этих отрезков. Но тогда, на основании аддитивных свойств интеграла, о которых речь будет впереди, наша функция интегрируема на всем отрезке [О, а] (см. § 6.2, теорема 3).
Таким образом, если отрезок [а, б], на котором задана функция у — / (х), можно разрезать на конечное число частичных отрезков, на каждом из которых она непрерывна или монотонна, то такая функция интегрируема на [а, б].
Ньютон и Лейбниц доказали теорему, связывающую два важных понятия математического анализа — интеграла и производной. Эта теорема выражается соотношением формулой Ньютона-Лейбница)
F(6)-F(a)= Jf(x) dx.	(6)
а
Здесь f (х) есть произвольная непрерывная на [а, б] функция, a F (х) — какая-либо ее первообразная на [а, б] (Г(х) = /(х)).
Таким образом,для того чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции /на отрезке[а, б], надо узнать ее первообразную функцию F (х) и взять разность F (b)-F (а) значений этой первообразной на концах отрезка [а, Ь].
Если уже считать известным, что непрерывная на отрезке [а, б] функция / (х) интегрируема на нем и что для этой функции существует первообразная F (х), то формулу (6) можно вывести без труда.
Пусть R есть произвольное разбиение
а = х0 < Xj < ... < хп = б
отрезка [а, б] на части. Тогда (пояснения ниже)
F (б) - F (а) = F (х„) - F (х0) = F (х„) - F (хп1) + F (х„_т) - ...
... —F (xj + F (х.) - F (х0) = g[F (хъ1) - F (х,г)] =
fe-0
266	ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
= Е^ (£*) (х*+1 - хь) = £/ (U ДхА—• J f (*) dx, (7) to	to	^~° a
откуда и следует формула (6).
В четвертом равенстве (7) мы применили теорему Лагранжа о среднем
F (xfc+1) - F (х*) = F' (xfc+1 - xk),
в силу которой^ есть некоторая точка интервала (хА, хА+1). Последнее соотношение следует из того факта, что функция f непрерывна на [а, Ь], следовательно, интегрируема на [а, Ь], и потому ее любая интегральная сумма и, в частности, полученная нами применением теоремы Лагранжа, стремится при -* О к определенному интегралу от f на [а, Ь].
Справедлива теорема.
Теорема 1. Неограниченная на отрезке [а, Ь] функция не интегрируема на этом отрезке.
Таким образом, для того чтобы функция f была интегрируемой на отрезке [а, Ь], необходимо, чтобы она была ограниченной на этом отрезке.
Однако это условие не является достаточным.
Пример. Функция
1,	если х рациональное,
-1, если х иррациональное,
ограничена: |у (х)| = 1, но не интегрируема на любом отрезке [а, Ь] (а < Ъ).
В самом деле, если в ее интегральной сумме за точки выбрать рациональные числа, то
сн = EV Й/> ДХ; = Е1 ‘	= Ь ~ а-
i=o	j=o
Если же выбрать иррациональными, то
Од = £(-1) Дху = -(Ь - а).
/=о
у(х) =
§8.2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	267
Это показывает, чтостд не может иметь один и тот же предел при любом выборе и, следовательно, функция у не интегрируема на [а, 6].
Доказательство теоремы 1. Пусть
1=0
есть интегральная сумма функции f, соответствующая некоторому разбиению R: а = х0< ху< ... < хп=Ь. Если допустить, что функция f не ограничена на [а, Ь], то она необходимо не ограничена на одном из частичных отрезков, пусть на . Зафиксируем е [хр xi+1] для всех i * i0, а будем пока считать переменной. Слагаемое Д^)(х^+,— не ограничено на [х, хъ+1], а сумма остальных слагаемых есть определенное число. Но тогда |сгй| можно сделать как угодно большим при соответствующем подборе точки G [х^, х^+1] и функция f не может быть интегрируемой на [а, 6]. Ведь из интегрируемости функции / на [а, Ь] следует, что ее интегральные суммы ограничены при любом выборе
Впрочем, в дальнейшем будет введено понятие несобственного интеграла. Некоторые неограниченные на отрезке функции интегрируемы в несобственном смысле. Но об этом будет речь позднее.
§ 6.2. Свойства определенных интегралов
В этом параграфе мы будем изучать свойства интегрируемых функций. Выше уже отмечалось, что непрерывные и монотонные на отрезке [а, Ь] функции интегрируемы на нем. Это будет доказано позднее в § 6.7.
Теорема 1. Если М — константа, то
ь
$М dx=M(b-a).	(1)
tea
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
В самом деле, интегральная сумма функции f(x) = M для любого разбиения R отрезка [а, Ь] равна
Дху = м£Дх. = М (Ь - а).
j=n	i=o
Отсюда
Инг Од = М (Ь - а).
Хв-0
Теорема 2. Для функции
{О, хе [а, Ь], х*с, А, х-с,
J Vc (*) dx = °-а
В самом деле, зададим произвольное разбиение R отрезка [а,Ь]:
а = х0 < х, с ... < х„ = Ь.
Один из отрезков этого разбиения, пусть [xm, хт+1], содержит в себе точку с: хт < с < хт+1. Поэтому интегральная сумма
П-1
Cr (Vc) = EVe (U Дхк = Vc ftm) ^Хт
*=0
(остальные слагаемые заведомо равны нулю). Так как |\gc (х)| < < |А|, то
1°я (ЧЛ < |А| Дхт -> О
при Хд —► 0, и теорема доказана.
Теорема 3. Если функция f интегрируема на каждом из отрезков [а, с], [с, Ь] (а < с < Ь), то она интегрируема на [а, б] и
jf(x)dx= j f (х) dx = J f (x) dx	(2)
a	a	c
(аддитивное свойство определенного интеграла).
§ 6.2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
269
Доказательство. Зададим произвольное разбиение отрезка [а, Ь]
R: а = х0 <, хг < ... < хп = Ь,
однако такое, что одна из точек R, пусть хт, совпадает с точкой с (хт= с). Тогда./? индуцирует (наводит) на отрезках [а, с] и [с, Ь] определенные разбиения Rl и _й2:
Rx: а = х0 < xt < ... < хт — с, Л2: с = хт< xm+i <---<хп~Ь И n—I	т-1	п-1
Лх, = Лх, + Lf&j) Лх} = °v°4’ т-е-/=0	j=0	j-m
cR'-= aBl+cRi- Пусть
Хв = max |AxJ -► 0.
Тогда и подавно ХЛ1 — 0 и — 0. Следовательно,
с	Ь
limo„ = lim о„ + lim <л_ = f f (х) dx + [ f (x) dx.
Ap-0 Л KR-0 А» —О	j ' ’	J V J
1	*	a	c
Это равенство доказано пока для разбиений R, содержащих в себе точку с. Но тогда оно верно и для любых разбиений R (см. лемму 1 ниже). Следовательно, интеграл
ь
J f (х) dx существует и имеет место (2).
По определению
J f (х) dx - 0, а
b	а
j f (х) dx = - J f (x) dx a	b
(b < a),
(3)
(4)
где f интегрируема на [&, а].
Нетрудно видеть, если учесть соглашения (3), (4), что равенство (2) верно для любых чисел а, Ь, с, лишь бы / была
270
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
интегрируема на максимальном из отрезков [а, Ь], [а, с], [с, Ь].
Например, в случае, если с < а < Ь, на основании теоремы 3
J f dx = J f dx + J f dx c	c	a
ИЛИ
^fdx= J f dx - J f dx = J f dx + j f dx, а	с	c	a	c
и мы получили (2).
Теорема 4. Если функции fx и /2 интегрируемы на [а, Ь] и А, В — произвольные числа, то
ь	ь	ь
J (А1\ + Bf2) dx = A J ft dx + В J f2 dx. (5) a	a	a
В частности, при В = 0 получим равенство
ь	ь
J Aft dx = A J ft dx,	(6)
a	a
показывающее, что постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
При А = 1, В = ±1 получим ъ	ь	ь
J (ft ± f2) dx = J ft dx ± J f2 dx.	(7)
a	a	a
Доказательство. Для произвольного разбиения R имеем
£[АЛ (Q + Bf2 (^)] Дх,- = а£л (fy Дх. + в£/ (Q ДХГ 7=0	7=0	7=0
Отсюда, перейдя к пределу при -» 0, получим равенство (5). Оно, очевидно, верно и при Ъ < а.
§ 8.2. СВОЙСТВАОПРВДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
271
Теорема 5. Если интегрируемую на [а, Ь] функцию /видоизменить в точке с е [а, Ь], то для полученной после видоизменения функции /г имеет место равенство
ь	ь
J Д (х) dx = J f (х) dx. а	а
Доказательство. Видоизменение функции f только в точке с сводится к тому, что к f (х) прибавляется функция вида
44 (*) =
О,
А,
х е [а, &], хФс,
х = с,
где А — некоторое число. Тогда
Л (*) = /(х) +	(х).
При этом по теореме 2
ь
J Vc (*) dx = °-а
Поэтому в силу теоремы 4
ь	ь	ь	ь
J /j (х) dx = J f (х) dx +	J Ve	(x) dx =	J/(x)	dx,
a	a	a	a
что и требовалось доказать.
Замечание 1. Из теоремы 5 мы видим, что интегрируемость функции f не зависит от того, какие значения она принимает в некоторой определенной точке.
Например, функция 1|/ (х) = (sin х)/х определена на полуинтервале (0, 1]. Если положить ее равной 1 при х = О (у (0) = 1), то она будет непрерывной, следовательно, интегрируемой на отрезке [0, 1]. Но она останется инте-
1
грируемой, и ее интеграл j \|/ (х) dx будет равен тому же о
значению, если положить, что (0) = А, где А — любое число.
272
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Теорема 6. Если функции f и <р интегрируемы на отрезке [а, Ь] и удовлетворяют на нем неравенству f(x) < ф(х),
то
^f(x)dx^ J <р (х) dx (а < Ь).	(8)
а	а
Доказательство. Для любого разбиенияR
7=0	7=0
потому, что Дх; > 0. Поэтому после перехода к пределу при
— 0 получим (8).
Теорема 7. Справедливо неравенство
ь	ъ
jf(x)dx <J|/(x)|dx (а < b)	(9)
а	а
или, если а не обязательно меньше Ь, то
ь
Jf(x)dx а
jlf(x)\dx а
О')
где f и |/1 интегрируемы на [а, Ь].
Доказательство. Очевидно,
Н/ 0)1 < /(х) < |/(х)| Vx 6 [а, Ь].
Но тогда на основании теоремы 6
ь	ъ	ь
J (~|/ (x)l) dx < J f (х) dx « j I/ (х)| dx (а < b) а	а	а
VJIH. b	ь	ь
-J |/| dx «£ J / dx < J |/| dx, аса
1ЛЛИ b	b
]fdx<]\f\dx (a < b), a	a
что и требовалось доказать.
§ 6Л-СВ0ЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
27S
При а < Ь правые части (9) и (9') равны •между собой. Если же b < а, то в силу (4)
Ь	а	а	b
abb
т. е. имеет место (9').
Наконец, случай а - Ь сводится к очевидному соотношению О < 0. Этим доказано (9).
Замечание 2. Интегрируемость f на [а, Ь] влечет за собой интегрируемость |/| на [а, Ь] (см. ниже § 6. 7, замечание 2). Для конкретных функций это всегда очевидно. Например, если функция f кусочно-непрерывна на [а, Ь] (она, как будет доказано, интегрируема), тогда и |/| кусочно-непрерывна.
Обратно, из интегрируемости |/ (х)|, вообще говоря, не следует интегрируемость f (х) на [а, Ь].
Например, функция (х), приведенная в примере § 6.1,
(	1, для рациональных х,
[ -1, для иррациональных х,
не интегрируема на [а, Ь]. Между тем |\р (х)| = 1 на [а, Ь] и есть интегрируемая на [а, Ь] функция.
Теорема 8. Если функция f интегрируема и неотрицательна на [п, Ь] и существует точка се [а, Ь] непрерывности f, для которой f (с) > 0, то
ь
j f(x) dx> О (а < b).	(10)
а
Доказательство. Будем считать, что с е (а, Ь). Так как f непрерывна в точке с и f (с) > 0, то существует отрезок [с - 5, с + S] такой, что (см. § 3.3, теорема 4)
f (х) >	= т] > 0 Vx е [с - 8, с + 8].
Ct
Тогда
b	с-6	с+8	Ь
j / (х) dx = j f(x) dx+ j f (x) dx + J f (x) dx > 0,
a	a	c-6	c+8
274
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
потому ЧТО
с-5	Ь
J /(х) dx > О, J f (х) dx > О, а	с+5
j f(x)dxs* j rjdx = 28т] > 0.
с-6	с-5
Если с = а или с = Ь, то вместо [с - б, с + 8] придется рассматривать отрезок [а, а + 8], соответственно [Ь - 8, Ь].
Лемма 1. Пусть для ограниченой на [а, Ь] функции f выполняется равенство
lim = I,
ЧД,>-0
где R* разбиение отрезка [а, Ь], содержащее в себе точку с (а<с < Ь). Тогда это равенство верно и для произвольных R:
lim о„
Х(Л)-0 Н
ь
= I = J/(x)dx. а
Доказательство. Пусть R есть произвольное разбиение отрезка [а, Ь], не содержащее точку с.
R: а = х0 < X! < ... < хт < хт+х < ... < хп = Ь,
где хт < с < хт+].
Добавляя к R точку с, получим разбиение Я*. Если	—► 0,
тоих. -» 0.
К*
Если выбросить из Од слагаемое f (%m) (хт+1 — хт) и прибавить f (^) (с - хт) + f (£") (хт+1 - с), то получим интегральную сумму р„ . При этом
Од = стЯ* + р,
где И = f (£m) (xm+1 - xj - f (^'„) (c - xm) - f (xm+1 - c), Xm <	< C, c <	< Xm+1. Очевидно,
§ 6.3. ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА
275
iMl < м (хт+1 - Хт) + М (С - Хт) + М (хт+1 - С) =
= 2M(xm+I-xm)—-О. Ая~*и
Следовательно,
lim ст„ = limo„ + lim u = I + 0 = I.
§ 6.3. Интеграл как функция верхнего предела
Заметим, что
ь	ъ
jf(x)dx = J f (и) du, а	а
т. е. не имеет значения, по какой букве — х или и — интегрировать на отрезке [а, Ь]. Ведь в обоих случаях любая интегральная сумма f имеет вид
Пусть задана интегрируемая на отрезке [а, Ь] функция f. Тогда, каково бы ни было х, удовлетворяющее неравенствам а < х < Ь, функция f интегрируема также на отрезке [а, х].
Это утверждение требует доказательства, но мы не будем его доказывать. В конкретных случаях, как правило, это утверждение очевидно. Например, непрерывная (монотонная) функция на отрезке [а, fe] в свою очередь непрерывна (монотонна) на [а, х], следовательно, интегрируема на [а, х].
Зададим произвольное значение х G [а, Ь]. Нас будет интересовать определенный интеграл от f на отрезке [а, х]. Это есть некоторая функция отх. Обозначим ее через F (х).
Итак
ь
F(x) =	(u) du.	(1)
276
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Мы употребляем букву и в качестве переменной интегрирования, чтобы отличить ее от верхнего предела интегрирования х.
На рис. 77 изображен график ограниченной кусочно-непрерывной функции f с точкой разрыва с. Число F (х) для заданного х выражается
на рисунке площадью фигуры АВха. При изменении х на [а, Ь] изменяется F (х).
Рис. 77
Теорема 1. Если функция f интегрируема на отрезке [а, Ь], то функция F, определенная по формуле (1), непрерывна в любой точке х g [а, Ь].
Доказательство. Зададим произвольную точкух и придадим ей приращениеh (на рис. 77 изображено положительное h). Имеем
|F (х + й) - F (х)| =
Vu G [a, fc]).
(М > ]f (u)|
Мы получили неравенство
|F (x + й) - F (x)| < M |й|
из которого следует:
lim[.F (х + й) - F (х)] = О,
Л-»0
т. е. F непрерывна в точке х.
Подчеркнем, что х может быть точкой непрерывности и точкой разрыва f, и все равно функция F (х) непрерывна в этой точке.
Теорема 2.Если интегрируемая на [а, й]функция f непрерывна в точке х g [а, Ь], то в этой точке существует производная от F (см. (1)):
F'(x) = /(x).	(2)
§6.3. ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА
277
Доказательство. Пусть х — точка непрерывности /. Имеем
= й ]f^)du-]f(u)du = | j flu) du = La	a J x
х+Л
= I f {/(x)+[/(u)-f(x)]} du =
1	1 Х+Л
= 7^(х)Л+ i J [/(«)- Z(X)] du =
= f (x) + |T [f (u) - f (x)] du.	(3)
n J
X
При получении (3) мы использовали доказанные выше свойства определенного интеграла. В четвертом равенстве мы воспользовались тем фактом, что f (х) не зависит от и и при интегрировании по и надо считать f (х) как постоянный множитель (см. теорему 1. § 6.2).
Докажем, что
1 х+Л
И [/(и)-f (X)] du —. 0.	(4)
п J	л-о
X
Функция f непрерывна в точке х, поэтому для любого Е > 0 можно указать такое 8 > 0, что если |й| < 8, то
I/ («) - f (х)| < е Vu е [х, х + й].
Поэтому для |й| < 6
х+Л
/(x)]du
и мы обосновали свойство (4).
Из (3), переходя к пределу при h -* 0, на основании (4) получим, что существует производная F' (х), равная F{x+h)-F(x)
F (х) = lim-1-	= /(х).
Этим теорема 2 доказана.
Обратим внимание на то, что в теореме 2 хотя и позволялось функции f быть разрывной на отрезке [а, 6], но в
х+Л
х+Л
278
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
той точке х, в которой утверждалось существование производной от F, предполагалось, что функция f непрерывна. Иначе теорема, вообще говоря, была бы неверна.
Теорема 2, в частности, утверждает, что если f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то F (х) имеет производную на этом отрезке, равную /(х) (F' (х) = /(х) Vx е [а, Ь]).
Таким образом, если функция f непрерывна на отрезке [а, Ь], то для нее существует первообразная на этом отрезке. При этом в качестве одной из первообразных можно взять интеграл (1).
Отсюда следует, что неопределенный интеграл от функции f, непрерывной на [а, Ь], равен
J f(x) dx = J f(u) du + C, x g [a, b], a
где C — некоторая постоянная.
§ 6.4.	Формула Ньютона—Лейбница
Эта формула имеет вид
р(и) du = Ф (Ь) - Ф (а) = Ф (х) р. (1) а
Здесь f (и) — непрерывная на отрезке [а, Ь] функция, а Ф (и) — какая-либо ее первообразная на этом отрезке.
Формула Ньютона—Лейбница была уже доказана в § 6.1. Там предполагалось известным, что непрерывная на [а, Ь] функция f интегрируема и имеет первообразную на [а, Ь].
Теперь мы уже знаем из § 6.3, что интегрируемость непрерывной на [а, Ь] функции влечет за собой существование у нее первообразной на [а, Ь].
Приведем другое доказательство формулы Ньютона-Лейбница. Вернемся к функции
X
F (х) = J f (и) du.
(2)
§ 6.4. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
279
Заметим, что
а	Ъ
F (а) -	(u) du = 0 и F (Ь) = J f (и) du. (3)
о	а
Кроме того, мы знаем, что F (х) есть первообразная для f (х) на [а, Ь]. Поэтому, если Ф (х) есть какая-либо, вообще другая, первообразная, то существует константа С такая, что
Ф (х) = F (х) + С Х/х е [а, Ь].	(4)
Из (2), (3), (4) получим
Ф (Ь) - Ф (а) = F (Ь) - F (a) = ]f(u) du, а
и мы доказали формулу (1).
Пример 1. (F(b)-F(a) = F(x)[*)
1	я
[x2dx = ^-H = 1
J	3 |х=0	3
Это показывает, что площадь (рис. 78) заштрихованной фигуры, лежащей под параболой у = х2, равна 1/3.
Пример 2.
Л
J sin х dx = -cos xf = 1 + 1 = 2. о
Таким образом, площадь фигуры (рис. 79), ограниченной сверху синусоидой у =sin х и снизу — осью х, равна 2.
Пример 3. Функция
ф (х) = sign х = 
-1, -1 < х < О, О, х = О, 1, 0 < х < 1.
непрерывна на отрезке [—1, 1], за исключением точки х = 0. Отрезок [-1, 1] можно разрезать на два отрезка [-1, 0], [О, 1],
280
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Рис. 78
Рис. 79
где она монотонна, следовательно, интегрируема. Поэтому
<р (х) интегрируема на [-1, 1]. Справедлива формула
F (х) = J sign и du = -1 + |х|	(-1 < х < 1).	(5)
-1
В самом деле, на полуинтервале [-1, 0) функция <р (х) непрерывна: <р (х) = —1. Ее первообразная на этом полуинтервале равна —х. Поэтому, применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим
Jsign и du = J(- 1) du = -и|*! = -1 - х (-1 < х < 0). (6) -1 -1
В силу теоремы 1 F (х) непрерывна, в частности, в точке х = 0, поэтому
F (0) = Нт(-1 -х) = -1.	(7)
х—О
Для х > 0
х	О	х
F (*) = Jsign и du = Jsign и du + Jl  du = -1 + u|* =
-1	-1	о
= - 1 + x. (8)
Из (6), (7), (8) следует (5).
Более элегантная формула получится, если интегрировать от точки х = 0:
J sign и du = |х|.	(9)
о
Под интегралом в (9) стоит разрывная в точке х = 0 ограниченная функция, интеграл как функция верхнего предела F (х) = |х|, есть непрерывная функция, в том числе
§ 6.4. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
281
и в точке х = 0, что согласуется с теоремой 1 § 6.3. Однако производная F' (0) не существует, и это не противоречит теореме 2 § 6.3, которая гарантирует существование производной F' (х), только если f непрерывна в точке х.
Теорема 1 (о замене переменной). Имеет место равенство
ь	а
jf(x)dx = J f [ср (t)] ф' (t) dt,	(10)
а	с
где функция ф (t) непрерывно дифференцируема на [с, d], а = ф (с), b = ф (d) и f (х) непрерывна на [А, В| = ф ([с, d]) —- образе отрезка [с, d] при помощи функции ф.
Доказательство. Пусть F (х) и Ф (t) — первообразные функции соответственно f (х) и f [ф (<)1ф* (t)- Тогда (см. § 5.2, (1) и ниже) справедливо тождествоФ (t)=F [ф (£)] + + С, с < t < d, где С — некоторая постоянная. Поэтому
F (b) - F (а) = В [ф (d)] - F [ф (с)] = Ф (d) - Ф (с). (11) Но на основании формулы Ньютона—Лейбница левая часть (11) равна левой части (10), а правая часть (11) — правой части (10), а это доказывает формулу (10).
Пример 4.
цЙ ___________
J у/а2 —x2sin2t a cos t dt = о
dt=—[i+ 2 L
sin 2/1 па2 i-и 4
2
о
rJ2
„2 f__2 , j. 2 f 1 + COS 2t
= a J cos t dt = a ----------
0	0	2
Замечание. Верхний предел интегрирования по t можно взять равным а результат будет тот же, и это согласуется с теоремой 1.
Пример 5.
sin3 t dt = - J (1 - cos2 t) d (cos t) = (x - cos f) = о	о
282
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
потому что в полученном интеграле нижний предел равен верхнему.
Пр и м е р 6. Если f — четная функция (/ (-и) = f (и)), то
J f (и) du = 2 j f (и) du, ~а	а
потому, ЧТО
J7 (и) du = (и = -х) = - j f (-х) dx = J f (—x) dx -
-a	a	О
= J f (x) dx = J f (u) du. о	о
Пр и м e p 7. Если f — нечетная функция (f (-и) = = -/(и)), то
J f (х) dx = 0.
-а
Пример 8. Если f — периодическая функция периода 2л (/ (х + 2л) = f (х)), то
а+2л	2л
J /(x)dx= J/(x)dx а	О
потому, ЧТО
2л+а	а	о
J f (х) dx = (х = t + 2л) = J f (t + 2л) dt = J f (t) dt =
a	0	0
О = -J/(t)dt, a
и, следовательно,
2л+а	o	2л	2л+а	2л
J f (x) dx = J/ (x) dx	+	J/ (x)	dx	+ j f (x)	dx =	Jf (x) dx.
а	а	О	2к	0
§ 6.4. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
283
Пример 9.
Зп	- 1	1
Jsin3 t dt = (х = cos t) = - J (1 - x2) dx = J(1 - x2) dx = о	1	-1
-ajd-x^x^x-^fu.
Пример 10. Решим пример 5, используя примеры 8, 7:
Jsin3 t dt = Jsin3 t dt + Jsin3 t dt ~ 2 Jsin3 t dt — 0,
О	О	2л	-л
так как функция sin3 t нечетная.
Теорема 2. Справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла:
ъ	ь
Jи' (х) v (х) dx = и (х) v (х)£ - Ju (х) v' (х) dx, (12) а	а
где ии v — непрерывно дифференцируемые на [a, fe] функции.
Доказательство. Произведение и (х) v (х) имеет на [а, Ь] непрерывную производную
(и (х) v (х))' = и (х) v' (х) + и' (х) о (х).
Поэтому по теореме Ньютона—Лейбница
ь
и (х) v (х)|* = J [u (х) и' (х) + и' (х) v (х)] dx =
а
b	Ъ
= Jи (х) v' (х) dx + Ju' (х) v (х) dx, а	а
откуда следует (12).
Пример 11.
1
J In (1 + х) dx = (u = In (1 + х), do = dx) = о
284
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
х In (1 + x)t -	= In 2 - ) Idx +	=
1° Jol+x I	ll + x
= In 2 - 1 + In (1 + x)j‘ = -1 + 21n 2.
Теорема 3 (о среднем для определенного интеграла). Для непрерывной на отрезке [а, Ь] функции f существует точка £ е (а, 6) такая, что
ь J/(x)dx = /ft)(b-a).	(13)
а
Доказательство. Так как f непрерывна, то для нее существует первообразная Ф, поэтому
ь
j / (х) dx = Ф (Ь) - Ф (а) = Ф' (£) (Ь - а) =
= f(&(b-a),	£ 6 (а, Ь). (14)
Первое равенство в (14) есть формула Ньютона-Лейбница для непрерывной на [а, Ь] функции f. Второе равенство есть формула Лагранжа для Ф. Наконец третье следует из того, что Ф’ (х) = f (х) Vx е [а, 6].
§ 6.5. Остаток формулы Тейлора
в интегральной форме
Пусть функция f (х) имеет непрерывные производные до порядка п + 1 включительно. Тогда в силу формулы Ньютона-Лейбница
f(x)^f(a)+]f(t)dt=[U
J	\av = at
a	4
du = f"(t)dt v = t-x
= f (a) + (t -x) f (i)|^ - J(f - x) f (f) dt = f (a) + a
8 6.5. ОСТАТОК ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ ZM
+ f (а) (х - а) + J(x - t) f (О dt
«=/"(*) du=f"(t)dt 5
(x-t)dv=dt v=~~~2i~
= /(а) + ^(x - а) + ®(x-a)2+Jf" (i)	dt.
Продолжая дальше процесс интегрирования по частям, йолучим
f (*) = £	(* - «)* + гп (х),	(1)
*=0 XI
где
r„(x)=ij(x-t)”/n+1>(t)dt.	(2)
Формула (1), (2) называется формулой Тейлора с остатком в интегральной форме.
Применяя к интегралу (2) (по fl) теорему 3 (о среднем)
§ 6.4, будем иметь
Г» (Х) = ж (Х -	/Л+1) (О - «). е (а, х).
Полагая
£ = a + 6(x-a), 0 < G < 1, получаем
Г (X) =	- (1 - 6)в /"+1) (a + G (х - а)),
т. е. остаточный член формулы Тейлора по степеням х-а в форме Коши (см. § 4.14, (10)).
286
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 6.6. Суммы Дарбу*. Условия существования интеграла
Пусть на отрезке [а, Ь] задана ограниченная функция f (I/ (х)1 АО- Введем разбиение
R: а = х0 < х, < ... < х„ = Ь.
Пусть
= inf	f (х),
Mt = sup f (x).
Наряду с интегральными суммами
х-0 рассмотрим суммы
Sr = Ёт- , SR = Axt’ i=0	i=Q
которые называют нижней и верхней суммами Дарбу. Очевидно, что sR < SR.
Суммы Дарбу не обязательно являются интегральными суммами. Однако если f(x) — непрерывная функция, то sR и SR являются соответственно наименьшей и наибольшей из интегральных сумм, отвечающих данному разбиению, так как по теореме Вейерштрасса f (х) достигает минимума и максимума в каждом [хр хи1], и поэтому можно выбрать точки
е [Хр х1+1] так, что f (Q = тп, и f (Jj'J = Mt.
Так как ml < f (Е,) < Mt и Дх,- > 0, то
3д < Од < Й’д .	(1)
При фиксированном разбиении sR и SR — постоянные числа, а интегральная сумма Од остается переменной в силу произвольности чисел Е,,. Легко видеть, что за счет выбора точек сумму Од можно сделать как угодно близкой к sR и SR, т. е. при данном разбиении sR и SR являются точной нижней и точной верхней гранями для интегральных сумм:
sr = Ёт/ = 4?f Ё^ Axp SR = Ax«= su₽ Ё^ Axe 1=0	J=0	i=0	i=0
* Г. Дарбу (1842-1917) — французский математик.
§ 6.6. СУММЫ ДАРБУ. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИНТЕГРАЛА
287
Пусть Л,, R2, R3 — разбиения [а, б]. Если же точки R} принадлежат R2, то будем писать Rx с R2 и говорить, что R2 есть продолжение Если множество точек, из которых состоит R3, есть теоретико-множественная сумма множеств точек, из которых состоят Rj и R2, то будем писать Кл = Ry + R2.
Свойства сумм Дарбу:
1°. Если к имеющимся у разбиения R точкам деления добавить новые точки, то верхняя сумма Дарбу (SR) не возрастает, а нижняя (SjJ не убывает:
SR < sr> sr < VR c K-
Таким образом,
Sr’ — SR’ RR ~ SR-
Доказательство. Для доказательства, очевидно, можно ограничиться случаем, когда добавляется одна новая точка деления х' е (х(, xi+1). Пусть SR — верхняя сумма Дарбу для разбиения R и SR — для разбиения R. Тогда SR отличается от SR тем, что вместо слагаемого MlAxi в сумме 5?д. будут два слагаемых:
(х' - xf) + М" (xj+1 - х'), где
М'. = sup / (х),	М". = sup f (х).
*4»,. И	х,.,]
Так как отрезки [хр х'], [х', xi+1] являются частью [хр xi+1], то М\ < Mt, M"t < Mt (при уменьшении области рассмотрения sup может только уменьшиться). Поэтому
М\ (х' - х4) + М" (xj+] - х') <	(х* - х, + хм - х') = М, (xi+1 - xj,
т. е. SR < SR, что и требовалось доказать.
Для нижних сумм доказательство аналогично.
2°. Каждая нижняя сумма Дарбу не больше каждой верхней суммы Дарбу, хотя бы отвечающей другому разбиению промежутка: sR
Доказательство. Пусть R3 = /?, + R2. Учитывая свойство 1°, получим	.
Таким образом, мы доказали, что множество нижних сумм
288
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГР АЛ
Дарбу {вд} ограничено сверху какой-либо верхней суммой (вй < SR), и потому существует точная верхняя грань нижних сумм:
I* = sup sR^SR. R
К тому же мы доказали, что всякая верхняя сумма SR не меньше числа Z*. Это показывает, что существует точная нижняя грань верхних сумм
/ = infS„
К R
Итак Z. < I . При этом для любого разбиения R выполняются неравенства
8д < Д < I* < SR.	(2)
Числа I„ I называются нижним и верхним интегралами Дарбу.
Теорема 1 (существования интегра л а). Для того чтобы определенный интеграл ограниченной функции f (х) существовал, необходимо и достаточно, чтобы
~ sk) = Ji™ = °-	<3>
где число со,	называется колебанием функции/ (х) на
^11-
Доказательство. 1. Необходимость условия. Допустим, что определенный интеграл I функции / (х) существует: т. e.Ve>0 38 > 0 такое, чтокактолькоХ.д<8,будет I - е < Од< I + е, как бы мы ни выбирали точки е [хр х/+)].
Выше мы установили, что sR и SR при данном R являются точной нижней и точной верхней гранями для интегральных сумм Сд, если варьировать точками е [хр х1+1]. Поэтому
1-£<Зд<Од<5д</ + £ VZ? с Хд < 8,
т. е.
lim srr = I, limS„ = Z
Ая-0 п	Хд-о к
и
Ji™ (5д - sa) = °-
§ 6,7. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ НЕПРЕРЫВНЫХ И МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ
289
II.	Достаточность. Пусть условие (3) выполнено. Тогда из неравенства (2) следует, что It = I. Обозначим общее значение этих двух чисел через I = = Г). Тогда
вд < Z < SR.	(4)
Из (3) следует, что для любого £ > 0 35 > 0 такое, что — зл| < е при Хя < 5. Но тогда из (1) и (4) получаем
|1 - Од| < £ при < 5,
т. е. I является пределом для oRnf (х) интегрируема.
Замечание. Из доказательства теоремы видно, что если
функция f(x) интегрируема на [а, Ь], то lim. зл = ИтБд =
ъ
= j f(x) dx, и обратно, а
если lim s„ = lim S„ = I, то Хд-0 я Хд-0 к
§ 6.7.	Интегрируемость непрерывных и монотонных функций
Теорема 1. Если функция/ (х) непрерывна на [а, Ь], то она интегрируема на [а, &].
Доказательство. Так как функция/(х) непрерывна на [а, Ь], то она равномерно непрерывна на [а, Ь] и, следовательно, Ve > 0 35(e) > 0 такое, что как только [а, Ь] разбит на части с Хд < 5, то все колебания со, < £. Отсюда
< Е ЁАх/ = £ (Ь - а).
i=0	i=0
п-1
В силу произвольности £ заключаем, что lim Vсо. Дх, = 0, и to
по теореме 1 § 6.6 функция f (х) интегрируема.
Теорема 2. Монотонная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. Будем считать, что f (а) < f (Ь), иначе функция постоянна и теорема тривиальна.
Так как f(d)^f (х) < / (ft) Vx е (а, &], то наша функция ограничена на [а, &]. Введем разбиениеRотрезка [а, Ь] сХл <5. Так как в данном случае со, = f (x,+J) - f (х,), то
10 — Бугров. Том 2
290
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Е^Ах, « 5	= 5[/ (Xj) - f (х0) + f (х2) - f (хх) + ...
1=0	1=0
- + f (xj - / (xn.,)] = 5[/ (ft) - f (a)],
x0 = a, xn = b. Выберем теперь 5 = £/[f (b) - f (a)]; тогда
n-1
^jc^AX; < E, 1=0
и по теореме существования (теорема 1 § 6.6) заключаем, что / (х) интегрируема. Теорема доказана.
Замечание 1. Отметим, что монотонная функция может иметь счетное множество точек разрыва. Например, фун-
кция у = х+—, —— < х< —, n = 1, 2,..., у (0) = 0, монотонно п п+1 п
возрастает на [0, 1], имеет счетное множество точек разрыва, Следовательно, по теореме 2 она интегрируема.
Замечание 2. Если f (х) интегрируема на [а, b] (а < &), то |/ (х)| также интегрируем.
В самом деле, Vx' и х" из [хр xl+J] имеем
II/ (х')| - \f (х")| | < |/(х')-/(х")|.
(1)
Если со*, tOj — колебания |/ (х)|, соответственно / (х), на [х;, xi+1], то из (1) следует, что <в* < со, и
п-1	л-1
Axi < 1=0	1=0
Так как / (х) интегрируема, то
п-1
^Гсо, Ах,- — 0 при	—• 0,
ьо
но тогда
Х®ГАх, — 0,
1=0
и, следовательно, |/ (х)| интегрируем.
§ 6.8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
291
§ 6.8. Несобственные интегралы
Зададим на конечном полуинтервале [а, Ь) функцию /. Допустим, что она интегрируема (например, непрерывна или кусочно-непрерывна) на любом отрезке [а, Ь'], где b' < b и не ограничена в окрестности точки Ь. Тогда ее интеграл на [а, Ь) или, что все равно, на [а, Ь] в обычном смысле (Римана) не может существовать, потому что интегрируемая на [а, Ь] по Риману функция необходимо ограничена. Однако может случиться, что существует конечный предел

Если это так, то этот предел называют несобственным интегралом от f на отрезке [а, Ь] и записывают в виде
ь'	v
(1)
ь'
В таком случае говорят, что интеграл J f dx сходится.
В противном случае говорят, что он расходится или не существует как несобственный риманов интеграл.
Допустим теперь, что функция f задана на луче [а, со) и интегрируема на любом конечном отрезке [а, Ъ'], где а < Ь' < оо. Если существует предел
к
то он называется несобственным интегралом от f на [а, оо) и обозначается так:
ь'
Условимся в следующей терминологии. Выражение J7(x) dx
(2)
10*
292
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
будем назътатъинтегралом (от f) с единственной особенностью в точке Ь, если выполняются следующие условия: если Ъ — конечная точка, то функция f интегрируема на [а, Ь'] при любом Ь’, удовлетворяющем неравенствам а < Ъ' < Ь, и, кроме того, не ограничена в окрестности точки Ь. Если же Ь - +оо, то про функцию f предполагается липп», что она интегрируема на [а, Ь'] при любом конечном Ъ' > а.
ь
Подобным образом определяется интеграл jf(x) dx с а
единственной особенностью в точке а. Теперь b — конечная точка. Если точка а < Ь тоже конечна, то f в окрестности а не ограничена и интегрируема на любом отрезке [а', Ь], где а < а' < Ь. Если же а — -со, то функция f предполагается интегрируемой на [а', Ь] для любого а' < Ъ.
В дальнейшем мы будем для определенности рассматривать интеграл (2) с единственной особенностью в точке Ь, конечной или бесконечной. Все выводы по аналогии могут быть перенесены на случай интеграла с единственной особенностью в точке а.
Теорема. Пусть задан интеграл (2) с единственной особенностью в точке Ь. Для его существования необходимо и достаточно выполнение условия (Коши): для всякого Е > 0 существует b0< b такое, что
ь"
ь'
<
(3)
каковы бы ни были Ъ', Ь", удовлетворяющие неравенствам Ь0<Ъ' < Ь" < Ь.
Доказательство. Рассмотрим функцию
F (х) = Jf (t) dt (а < х < Ь).
а
Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела limF (х), что в свою очередь эквивалентно выпол-х—Ь х<Ъ
§ 6.8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
293
пению условия Коши: для любого £ > 0 существует Ьо, где а < Ьо < Ь, такое, что выполняется неравенство |F(b") -- F (Ь')| < £ для всех Ь' и Ь", удовлетворяющих неравенствам Ьо < Ь' < Ь" < Ь. Но
ь" F{b")~F(b') = \f(t)dt, V
и теорема доказана.
Пример 1. Интеграл
1 , f dx
(4)
где а > 0—постоянное число, имеет, очевидно, единственную особенность в точке х = 0. Чтобы выяснить, сходится ли он, надо вычислить предел
lim—— = lim £-° 1—а	е-о 1—а
[1 - Б1"] =
1
- 1-а’
а<1,
оо, а>1.
Таким образом, интеграл (4) сходится при а < 1 и равен (1 - а)-1, и расходится при а > 1. Если же а = 1, то он расходится:
— = -lim In £ = +00. х e-о
Пример 2. Интеграл
оо	N
f^=lim Г^ = —1—limx1
J xu N-o>' X	1 — a N-co
—-—, a>l (сходится), =sa-l
+oo, a<l (расходится);
интеграл
co	N
J~=lim	= lim ln.iV = + оо (расходится).
294
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример 3. Интеграл je~xdx имеет единственную о
особенность в точке х - +со. Он сходится и равен
оо	N
[ezdx - lim le zdx = lim (-e*)
J	N—»+oo *	N—+co
0	0
Пусть снова задан интеграл
= lim [1 - е N] = 1.
N—'-ко
О
b
J/(x) dx,	(5)
a
имеющий единственную особенность в точке Ь. Тогда интеграл
ь
J f (х) dx,	(6)
где а < с < Ь, также имеет единственную особенность в точке Ь. Условие Коши существования интегралов (5) и (6) формулируется совершенно одинаково. Поэтому эти интегралы одновременно сходятся или одновременно расходятся. Кроме того, при а < с < Ъ, очевидно, имеет место
где J — обычный риманов собственный интеграл, а интег-
ь ь
ралы | и J несобственные. а с
Отметим равенство v + Bcp)dx = lim f (Af + Bcp)dx = Ь'—'Ъ *
а	а
ь’	ь’	ъ	ъ
= Alim J fdx + Blim J <p dx = A J f dx + В J tp dx, (8) a	a	a	c
§ 6.8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
295
где А и В — постоянные. Его надо понимать в том смысле, что если существуют интегралы в правой части, то существует также интеграл в левой и имеет место равенство (8).
Говорят, что интеграл (5) (имеющий особенность в точке Ь) сходится абсолютно, если сходится интеграл
ь
J|/(x)|dx	(9)
от абсолютного значения \f (х)|.
Абсолютно сходящийся интеграл сходится. В самом деле, из сходимости интеграла (9) следует, что для любого Е > 0 на интервале (а, Ъ) найдется точка Ьо такая, что если Ьо < Ь' < Ь" < Ь, то
Ъ"
е > JI/ (Х)| dx >
Ъ'
tr
$f(x)dx
т. е. для интеграла (5) выполняется условие Коши. Так как
V \f{x)dx а
Ь'
< J \f (х)| dx,
то после перехода к пределу при Ъ' —► Ь для абсолютно сходящегося интеграла (5) получим
ь
^f(x)dx < J \f (х)| dx.
(10)
Замечание. Неравенство (10) верно и для неабсолютно сходящегося интеграла — в этом случае справа стоит со, а символ оо мы считаем большим любого конечного числа. Этим широко пользуются в технике вычислений. Если надо узнать, сходится или нет интеграл ь
j f dx, мы пишем неравенство (10) и исследуем на сходи-
ь
мость интеграл j |/j dx. Если этот последний сходится, т. е. а
296
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
6	Ь
если J |/| dx < со, то сходится и наш интеграл J f dx. Конеч-а	а
Ь
но, если j |f| dx = со, то придется к нашему интегралу а
применить более тонкие методы. Возможно все же, что он сходится, но только не абсолютно (см. примеры в конце § 6.9).
§ 6.9. Несобственные интегралы от неотрицательных функций
Пусть задан интеграл
ь
J f (х) dx,	(1)
а
имеющий единственную особенность в точке Ь, и на промежутке [а, Ь) интегрирования f (х) > 0. Тогда, очевидно, функция
у
F (b') = J f (х) dx (а <Ь' < Ъ) а
от Ь' монотонно не убывает. Поэтому, если она ограничена
(F (Ь') < М, а < Ъ' < Ъ), то существует интеграл (1)
ь	v
j f (х) dx = lim j f (x) dx < M.
a	a
Если же F(b') неограничена, то интеграл (1) расходится:
dx = lim ь'-ь
а	а
Если f (х) > 0 на [а, Ь), то пишут
ь	ь
jf(x)dx< оо или j f (х) dx = ©о а	а
в зависимости от того, будет ли интеграл сходиться или расходиться.
ь'
jf(x) dx = 4-СО.
16.9, НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 297
Теорема 1. Пусть интегралы
ь
J/(x) dx,	(1)
J <р (х) dx,	(2)
а
имеют единственную особенность в точке Ъ и на промежутке [а, Ь) выполняются неравенства
О < f (х) < ср (х).	(3)
Тогда из сходимости интеграла (2) следует сходимость интеграла (1) и имеет место неравенство ь	ь
jfdx < J ср dx, а	а
а из расходимости интеграла (1) следует расходимость интеграла (2).
Доказательство. Из (3) следует, что для а < V < Ь
Ь’	V
jfdx < Jcpdx.	(4)
а	а
Если теперь интеграл (2) сходится, то правая часть (4) ограничена числом, равным интегралу (2), но тогда ограничена и левая. И так как левая часть при возрастании Ь’ монотонно не убывает, то она стремится к пределу (интегралу):
ь	Ь'	ь
jfdx = limjfdx < Jcpdx. о	a	a
Наоборот, из расходимости интеграла (1) следует, что предел левой части (4) при Ь' —» b равен со, а следовательно, и предел правой равен со.
Теорема 2. Пусть интегралы (1)и (2) имеют единственную особенность в точке Ъ, подынтегральные функции положительны и существует предел
Шп-ф^ = А > 0.	(5)
ф(х)	' ’
298
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Тогда эти интегралы одновременно сходятся или одновременно расходятся.
Доказательство. Из (5) следует, что для положительного £ < А можно указать такое с G [а, Ь), что
А - е <	< А + £ (с < х < Ь),
<р(х)
и так как <р (х) > 0, то
(А - Е)ф (х) < f(x) < (А + Е)(р (х) (с < х < Ь).	(6)
ь
Из сходимости интеграла j <р dx следует сходимость а
Ь	Ь
интеграла J <р dx и сходимость интеграла | (А + Е) <р dx, но
тогда по предыдущей теореме сходится также интеграл ь	ъ
J f dx, а вместе с ним интеграл J f dx.	Обратно, из	сходимо-
с	а
b	Ь
сти J f dx следует	сходимость	J (р dx	потому, что	наряду с
а	с
(5) имеет место равенство
ЦшД4.ь>0.
Замечание. Равенство (5) означает, что функция f эквивалентна функции Аср при х -» Ь. В этом случае также говорят, что функции/ и <р имеют одинаковый порядок при х — Ь.
Пр и м е р 1. Исследовать на сходимость интеграл со
J sin kxe~xdx.
о
Имеем
Je *sinArxdx < J|e х sin kx\ dx < je Xdx = 1 < co.
0	0	0
6 6.9. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
299
Мы применили неравенство (10) § 6.8 и замечание к нему.
Значком ~ между интегралами будем обозначать тот факт, что эти интегралы в силу теоремы 2 одновременно сходятся или одновременно расходятся.
1 1
Пример 2.	—Г^х = оо.
Jsmx J х
Пример 3. [—-------< со.
Ь sin Дх I -Jx
Пример 4. j£^le~xdx ~Je*dx < °°. ix	i
Интегралы примеров 2 и 3 имеют единственную особенность в точке х = 0. Надо учесть, что sin х « х, sin Дх » » Дх, х -» 0.
Интеграл примера 4 имеет единственную особенность в х = оо. Надо учесть, что —ех ~ ех, х —► +оо.
х
Пример 5. J(xz—Зх+ 5)е Xdx сходится, потому о
что
J(x2 - Зх + 5)e*dx
О
< J|(x2 - Зх + b)ex/2\ex,2dx < О
« М J ex,2dx < со. О
Дело в том, что lim(x2 - Зх + 5)е ж/2 = О, поэтому найдется N > 0 такое, что |(х2 - Зх + 5)е~ж/2| < 1 Vx > N.
С другой стороны, функция |(х2 - Зх + 5)е х/2| непрерывна на [О, N], следовательно, ограничена на [О, N] некоторым числом Мг Таким образом, она ограничена на [0, оо) числом М = max {1, MJ.
300
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 6.10. Интегрирование по частям несобственных интегралов
Пример 1. Несобственные интегралы
со
J^dx, 1 X
fcQsx dx (а > 0) х
сходятся. В самом деле, интегрируя по частям, получим
f sinx	_ cosx-A rcosxjx
I x	x |a J x2 '
для всех конечных A > а. Переходя теперь к пределу при А — оо, получим
7 sinxdx = cosa _ fcosXdx, j х a J X
где интеграл в правой части сходится и даже абсолютно:
JcpsXdx <J^|^dx<J^ = i<oo.
{ х 1 х2 Зх a
Пример 2. Интеграл f s-0x dx сходится не абсолют-3 x a
но (условно), ибо интеграл l^dx = ОО (а> 0),	(2)
х
т. е. расходящийся. В самом деле, в силу неравенства sin2 х < |sin х| несобственный интеграл
ео I • I	со . 2	©о	„
r|smx] dx rsinxdx =	fl-cos2xdx =
Iх	Iх	«	?х
= (2х = в) = |	du = 1-if cosu du
2	3	и	23	и 2.3 и
at	2a	2a
Но интеграл Ju 1 cos и du сходится, а интеграл Ju du pac-
L	2“
i 6.10. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
301
ходится. Следовательно, несобственный интеграл (2) расходится.
Замечание. Сходимость интеграла (1) объясняется тем, что функция sin х периодически колеблется, принимая последовательно положительные и отрицательные значения. Накопление площади, вызываемое положительными значениями sin х, компенсируется соответствующим накоплением, вызываемым отрицательными значениями.
Это явление получит объяснение в теории рядов (см. ряд Лейбница и условно сходящиеся ряды).
Приведенные примеры показывают, что интегрирование По частям может оказаться полезным средством исследования сходимости несобственных интегралов.
Ниже приводятся общие соображения, которые лучше поясняют механизм этого метода.
Пусть функция ф (х) непрерывна на [а, оо) и Ф (х) — ее первообразная. Пусть, кроме того, g(x) непрерывно дифференцируемая функция на [а, оо). Тогда
л	А
]ф(*) g (х) dx = g (х) Ф (х)|^ - ]ф(х) g' (х) dx =
= g (А) Ф (А) - g (а) Ф (а) - f ф(х) g' (х) dx. (3) а
Если
1) lim g (А) Ф (А) = 0,
А—«>
2) интеграл |ф(х) g' (х) dx сходится, то, очевидно, суще-а
ствует несобственный интеграл
“	А
]ф(х) g (*) dx = lim J<p(x) g (х) dx = -g (а) Ф (a) -
-/ф(х) g’(x) dx. (4)
302
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Отсюда, в частности, вытекает
Признак Дирихле сходимости интеграла (4). Если функция Ф (х) ограничена (Ф (х) < М), a g (х) убывает и стремится к нулю прих -» со, то интеграл (4) сходится.
Ясно, что эти условия влекут свойство 1). Далее
p’(x)g'(x)dx </|Ф(ас)^'(лс)|<гж«ЛГJ|g'(x)|dx=
со	А
= -М J^'(x) dx = -М lim Jg’ (x) dx = -M ton [g (A) - g (a)] =
= g(a)M.
Пример 3.Интеграл
оо
f suix dx (a > 0),
J -V
имеющий единственную особенность в x = оо, сходится при а > 0. Это следует из признака Дирихле, где надо считать# (х) = = х~“ и <р (х) = sin х, Ф (х) = -cos х (|Ф (х)| < 1). Абсолютная же его сходимость имеет место только при a > 1, что доказывается, как в примере 2 § 6.9.
§ 6.11. Несобственный интеграл с особенностями в нескольких точках
Пусть задан интеграл j/(x) dx,	(1)
а т. е. пока формальное выражение (рисунок), где под зна-ъ
ком | стоит функция f (х), определенная на интервале (а, а
Ь). Таким образом, а может быть конечным числом или —оо и Ь — конечным числом или +оо.
Допустим, что интервал (а, Ь) можно разбить на конечное число интервалов точками а = с0 < с, < с2 < ... < cN= Ь так, что каждый интеграл
И 11 НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ОСОБЕННОСТЯМИ В НЕСКОЛЬКИХ ТОЧКАХ 303
fftx) dx (k = О, 1, .... N - 1)	(2)
ч
имеет единственную особенность либо в точке ск, либо в точке сА+1.
Если все несобственные интегралы (2) сходятся (абсолютно сходятся), то интеграл (1) называется несобственным сходящимся (абсолютно сходящимся) и символу (1) приписывается число
]f (х) dx = £ J f(x) dx.
а	*=0 с*
Но если хотя бы один из интегралов (2) расходится, то интеграл (1) считается расходящимся.
Если f (х) > 0, то, так же как в случае интегралов с одной особенностью, для интеграла (1) условимся писать
ь
|7(х) dx < оо, а
если он сходится и
ь
]У(х) dx = сю, а
если он расходится.
Пример 1.
г -х °	“
Je dx = [e~xdx + Je Xdx = oo + 1 = co.
о
Этот интеграл имеет две особенности в точке х=—оо и х = оо = +ОО. Соответственно мы его представили формально в виде суммы двух интегралов, каждый из которых имеет одну из указанных особенностей. Очевидно,
0	со
Je х dx = со, je xdx = 1.
-со	о
Мы позволили себе считать, что оо + 1 = сю.
304
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример 2. (а > 0)
rsinxdx_ о х“
сходится условно при 0<а<1, сходится абсолютно при 1<а<2, расходится при а>2.
(3)
В самом деле, этот интеграл имеет две особенности — в х = 0 и х = оо, поэтому для его исследования рассмотрим формальную сумму
о х Jox
dx + [sln/-dx 1 х
1
Под интегралом | стоит положительная функция, о
поэтому он либо расходится, либо, если сходится, то абсолютно. Для его исследования нам помогут неравенства (см.
§ 3.3, (6) и § 4.19, пример 1)
2 х1-о S1I1X ж1-а (0 < х Л	X
откуда
J^^dx С jxtadx < оо при а <2, О X	о
j^~~dx > — jxladx = оо при а > 2.
0 х	71 о
Следовательно,
rsinx	(абсолютно сходится при а<2,
о ха	{расходится при а>2.
Далее (см. § 6.10, пример 2)
pinx^ _ (сходится при а>0,
J х“ 1 абсолютно сходится только при а>1. * '
Глава 7
Приложения интегралов. Приближенные методы
§ 7.1. Площадь в полярных координатах
Площадь S фигуры, ограниченной двумя выходящими из полярного полюса О лучами 0 = 00,0 = 0* и кривой Г, заданной в полярных координатах непрерывной функцией
Рис. 80
Р = /(6)> может быть определена следующим образом (рис. 80). Производим разбиение отрезка [0О, 0J:
0О < 0! ... <0„=0*.
Элемент площади фигуры, ограниченной кривой Г и лучами 0 = 0Л, 0 = 0ft+1, приближенно выражаем площадью
306
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
кругового сектора, ограниченного теми же лучами и окружностью радиуса рк = f {Qh), равной
|Р:дел, деА = еА+1-еА.
Естественно считать, по определению, п-i	о*	е.
S -	2§р*Дв‘- 1/Р<,в " ty®”-	<»
Мы получили формулу площади фигуры в полярных координатах. Для непрерывной функции f (0) интеграл (1), как мы знаем, существует и, следовательно, предел любой интегральной суммы равен этому интегралу.
Пример. Изображенная на рис. 81 окружность в полярных координатах определяется уравнением р = 2R cos 0. В силу (1) площадь круга
8=21? Jcos2© d& = 4Я2 |2l+cos2e dQ = -n/z	J 2
§ 7.2. Объем тела вращения
Пусть Г есть кривая, описываемая в прямоугольной
системе координат х, у непрерывной положительной функцией у — f (х) (а < х < Ь). Вычислим объем V тела враще
ния, ограниченного плоскостямих = а, х= Ь и поверхностью вращения кривой Г вокруг оси х.
Производим разбиение отрезка [а, Ь] на части: а = х0 < < Xj < ... < хп = Ь — и считаем,
Что элемент ДУ объема тела, ограниченного плоскостями х= хк, х = хА+1, приближенно равен объему цилиндра высоты ДхА= =	“ xk и Радиуса ук = f (хА):
ДУк ~ пукЛхк = nf (хк)‘гЛхк.
§ 7.3. ГЛАДКАЯ КРИВАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ДЛИНА ДУГИ
307
” ~	2
Сличила Vn - тс (xjAx^ приближенно выражает V и k=O
V= lim лУ/2(хА)Дхл = д (fz(x)dx.	(1)
тахДх*-0
Мы получили формулу объема тела вращения (рис. 82).
Пример. Эллипсоид вращения (вокруг оси х)
есть тело, ограниченное поверхностью вращения кривой
I %
у = bJl-^2	х ^а)
V а
вокруг оси х, поэтому на основании формулы (1) его объем равен
9 гА	2 ( A Cl Л .2
V = nb Г 1-^v dx = 7tb x-^2 =^тшЬ .
a) k 3a)~a 3
§ 7.3. Гладкая кривая в пространстве. Длина дуги
В § 4.21 было введено понятие плоской непрерывной кривой, заданной параметрически, в частности гладкой кри-
вой. Мы хотим пополнить эти сведения. Но заодно будем рассматривать более общую кривую в пространстве. Три уравнения (рис. 83)
х=<р(0, y=v(t). г = Х(О .
(1)
(а < t < б).
где функции <р, А|/, % непрерывны на [а, б], определяют непрерывную кривую, которую мы обозначим через Г. Если к тому же функции <р, \|/, % не только непрерывны, но имеют на [а, б] непрерывные производные, одновременно не обращающиеся в нуль, тоГ называетсягладкой кривой. на[а,Ь].
308
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
Тот факт, что производные ф' (t), ф' (/)> X' (<) для любого значения te [а, Ь] одновременно не обращаются в нуль, можно выразить так: имеет место неравенство
(ф'(П)2 + ф'(*))2+Х'(0)2>0	(2)
для всех t е [а, Ь].
Если мы зададим определенное значение t = t0, то в силу (2) одно из слагаемых <р' (/0), ф' (t0), %' (t0) — пусть первое — не равно нулю (ф' (ip) & 0). Вследствие непрерывности ф' существует интервал (t0 - 8, t0 + S), на котором ф' (t) имеет тот же знак, что и ф' (t0). Но тогда на этом интервале функция х = ф (/) строго монотонна и существует обратная к ней непрерывно дифференцируемая функция 7 =ф ' (х), х е (с, d), где (с, d) — некоторая окрестность точки х0 = ф (t0). В результате мы получим, что некоторый малый кусок у кривой Г, содержащий в себе точку Ло = (ф (t0), ф (t0), X (*о))’ описывается двумя непрерывно дифференцируемыми функциями от х:
г/=ф[ф-1 (х)]=Ф1(х), z = X [ф 1 (*)1 = Xi (*)
(с < х < d, х < х0 < d, х0 = ф (t0)). Если, на самом деле, ф' (t0) * Ф 0 или %' (70) Ф 0, то, рассуждая подобным образом, получим, что некоторый кусок у с Г записывается уравнениями
^ = <Р1(1/)> z=Xr(Z/) (X < у < ц, X < у0 < Ц, у0 = ф (*0))
или соответственно
* = Ф1 (2),У = Ф1 (z) (р < 2 < q, р < z0 < q, 20 = X (i0))-
Уравнения (1) гладкой кривой Г не только задают Г (как геометрическое место точек (ф (t), ф (t), % (/)), t е [а, Ь]), но и определяют ориентацию Г, т. е. направление, вдоль которого возрастает параметр t. На рис. 83 изображена гладкая кривая Г, соответствующая изменению параметра t на отрезке [а, б] (а < Ь): А = (ф (а), ф (а), X (а)) — начальная
$ 7.3. ГЛАДКАЯ КРИВАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ДЛИНА ДУГИ
309
точкаГ, В — (ф (Ь), ф (&), % (Ь)) — конечная точкаГ, стрелка указывает ориентацию Г.
Когда параметр# непрерывно возрастает от а до Ь, точка (ф (#), ф (t), % (#)) непрерывно двигается по Г от начальной точки А =(ф (а),ф (п),Х (а)) ДО конечной точки В = (ф (Ь), Ф №)» X (РУ). Движущаяся точка может возвратиться в прежнее положение, т. е. может случиться, что tlt t2 G [а, Ь], #i < #2 и ф (#i) = ф (#2), ф (#i) = ф (t2), х (*i) = X О и тогда кривая Г называется самопересекающейся. Кривая Г называется замкнутой, если точки А и В совпадают.
Введем функцию t = X (т), с < т < d, имеющую непрерывную не равную нулю производную на [с, d] и отображающую [с, d] на [а, 6]. Так какХ' (т) не меняет знак на [с, d], то может быть только два случая:
1) X' (т) > 0, и тогда X (с) - а, X (d) = b, 2) X' (т) < 0, и тогда X (с) = b, X (d) = а.
Наша гладкая кривая Г может быть задана уравнениями
х=ф[Х(т)] = ф1(т), у = ф [X (т)] =V1 (т), z = X ЕМ*)] = Xi СО
(П
при помощи параметра т (с < т < d). Одна и та же гладкая кривая Г может быть задана параметрически посредством разных параметров #, т....
Заметим, что условия (2) на языке т сохраняются, потому что согласно формуле производной функции от функции
(ф'1 (О)2 + (Ф'1 (т))2 + (х\ (т))2 =
= КФ’ (О2 + (V' (О2 + (X' (*№ (х))2 > 0.	(3)
Однако при введении нового параметрах может измениться ориентация Г. Если X' (т) > О на [с, d], то функция t = X (т) строго возрастает и X (с) = а, X (d) = b. В этом случае с возрастанием т возрастает t от X (с) = а до X (d) = 6, т. е. ориентация Г не меняется — уравнения (1) и (1') определяют одну и ту же гладкую кривую с той же ориентацией, только при
310
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
Рис. 84
помощи разных параметров. Если же X' (т) < 0 на [с, d], то X (с) = b и X (d) = а и при возрастании т параметр t убывает. В этом случае уравнения (1') определяют ту же кривую Г, что и уравнения (1), но с противоположной ориентацией.
В тех вопросах, где нужно учитывать ориента
цию кривой, под буквой Г понимают не только самую кривую (геометрическое место точек), но и ее ориентацию. Надо
помнить, что уравнения (1) определяют как саму кривую, так и ее ориентацию (движение точки Г в направлении возрастания t). Если заменить параметр t на другой параметр т (t = X (т)), то получим ту же ориентированную кривую Г, если X' (т) > О. Если же X' (т) < 0, то получим ту же кривую, но ориентированную противоположно — ее уже (как ориентированную кривую) надо обозначить другим символом, удобно через Г_.
Если задана ориентированная кривая Г посредством уравнений (1), то I можно, например, задать уравнениями
X = <Р (-Т), ^И), г = ХИ),
(-6 < т < -а).
Введем понятие длины дуги непрерывной кривой Г. Пусть задана непрерывная криваяГ посредством уравнений (1). Разобьем отрезок [а, Ь] значениями а = t0<t1<t2<...< <tN~b. Каждому tk соответствует точка Ак е Г (Aq=A, AN = = В). Соединим точки Ак последовательно отрезками А^к+1 (рис. 84). В результате получим ломаную Гд, = А0А1... AN, вписанную в Г. Длина равна сумме длин |:
|ГЛ,| = g|AAJ-
(4)
8 7.3. ГЛАДКАЯ КРИВАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ДЛИНА ДУГИ
311
Предел длины	когда максимум tj+1— tj стремится
к нулю
limjr„|=|r|,	(5)
если он существует (есть конечное число), называется длиной дуги Г. Мы его обозначили через |Г|.
Можно доказать, что для любой непрерывной кривой (1) предел (5) конечный или бесконечный (+°°) существует. В случае, если этот предел конечный, кривая называется спрямляемой.
Теорема 1. Гладкая на [а, б] кривая Г, определяемая равенствами (1), спрямляема. Ее длина дуги равна
|Г| = fVkWf+[v'(Of +[x'(Of dt.	(6)
а
В этой формулировке важно, что уравненияГ заданы на отрезке [а, б]. Если бы они были заданы на интервале (а, Ь), где <р, \|/, х непрерывно дифференцируемы на (а, б) и их производные одновременно не равны нулю, мы тоже сказали бы, что уравнения (1) определяют гладкую на (а, б) кривую, но она могла бы и не быть спрямляемой. Однако любой ее кусок, соответствующий некоторому отрезку [с, d] с. с (а, б) спрямляем.
Доказательство теоремы 1. Применяя теорему Лагранжа к функциям ср, А|/, %, будем иметь (At = tk+1 — tk, = max At*)
Дф = Ф (*fc+l) - Ф (*fc) = <P* (f'M’ Ду = v (ffc+i) - v (**) = v' (tnkwk, Дх = x (**+i) - x (**) = x' (f и следовательно (пояснения ниже),
И\| = Ё^Дф^+СДф^+^х)2 =
= Х-Лф'(^)]2 +[v'(t/')]2+[z'(4'")f Ч =
312
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
= Ё^фЧ'ДМуЧ')]2+[x'(t*')]2 At* +
k=O
+ rN - JVjcp'W]2+[v'(t)]2 +[x'(t)]2 dt	(7)
(здесь t'k, t"h, t"'h & (th, it+1) — вообще различные точки), т. е. справедлива формула (6).
В самом деле, в силу непрерывности подынтегральной функции в (6)
Хл/[ф'(**')]2 + [v'(**')f +[Х'(**')]2 А** =
= f-^vXt)]2 +[v'(t)f +[x'(t)f dt.
Кроме того, заметим, что выполняется неравенство
Сг е2 , t2 / 2 , 2~ 2 b1+^2 + ^-VnI+T12 + n3
<7(^1 - П1)2+(§2 - П2)2 + Йз - Пз)2 ’
выражающее, что разность длин двух сторон треугольника не превышает длины третьей стороны.
Далее, так как функции \|/' и %' непрерывны на [а, Ь], то они й равномерно непрерывны на [а, &]. Поэтому, если Хл< 8, то
IV' (*"*) - V' (t'*)l < lx' (t'"*) - х' (t'*)l < и, следовательно,
1^= ШрЧ')Г+[v'(t*")f+[x'(t*'")f -
-	+k'M2+[x'(t*')]2 ]дф
«^'(tn-v'rf+bcXV^-x'^TAt* *=0
ZAf. <—g—(b-a) =E.
2(b-a)^o b-a
Это показывает, что rN — 0 при Хя — 0.
§ 7.3. ГЛАДКАЯ КРИВАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ДЛИНА ДУГИ
313
Применим формулу (6) к вычислению длины дуги Г, когда она задана уравнениями (1'), при помощи параметра Т. Имеем (см. (6))
irj = f 7(ф/ W)2+(К (т))2+(х/ СО)2
С
= J7(ф'(^(т)))2+(v'(^(-r)))2+(z'(^W))2 X' (т)а’т = С
= f д/(ф'(*))2+(v'W)2+(xW dt	(V (т) > 0).
а
В последнем равенстве этой цепи мы произвели замену переменной t = X (т) в интеграле.
Следовательно, |Г1| = (Г|.
Мы видим, что формула (6) длины дуги выражается инвариантно через параметр дуги.
Введем функцию
я = Ц (f) = /7(ф'(и))2 + (ф'(и))2 + (Х'(и))2 du (a <t<b) (8) а
от^ верхнего предела интеграла. Она выражает длину дуги АС, гдеС — переменная точка дуги АВ =Г, соответствующая значению параметра t. Под интегралом в (8) стоит непрерывная функция от и, поэтому производная длины дуги s по t равна
^=7(ф'И)2+(ф'(«))2+(х'(0)2. о)
Так как ср' (t), \|/' (t), %' (t) непрерывны, rods/dt в свою очередь есть непрерывная функция от t, при этом положительная (см. § 7.3, (2)). Но тогда s = ц (t) строго возрастает на [а, Ь] и имеет обратную непрерывно дифференцируемую функцию
t = ц 1 (я)	(0 < я « |Г|),	(10)
обладающую свойством
4т = К<р' (О)2 + (V' (О)2 + (х' (*))2Г1/2 > 0.
314
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
Но тогда переменная s может служить параметром нашей гладкой кривой Г — уравнения Г можно записать в виде
х = ф [g'(s)] = ф* (s), У = V [ц 1 (s)] = V* (8), 2' = X[g'1(s)]=X*(s)>
(О < з < |Г|),
где функции ф*, ф*, х* непрерывно дифференцируемы на [О, |Г|].
Чтобы получить соответствующие результаты для плоской кривойГ = АВ, надо в предыдущих рассуждениях положить z = х (<) = 0. Тогда гладкая плоская кривая Г определяется двумя уравнениями
x=<p(t), У = V (*).
(а < t < b),
где ф и vp — непрерывно дифференцируемые функции, подчиняющиеся условию
(<₽' (t))2 + (ф' (О)2 >0 (t е [а, Ь]).
Длина Г равна
|Г| = p(<P'(t))2+(v'(t))2dt.	(6')
а
Длина дуги AC d Г, где С есть точка Г, соответствующая значению параметра t G [а, &]
s = J 7(ф'(и))г +(v'(u))2 du,	(8')
а
дифференциал дуги равен
ds = -J(<p'(t))2+(v'(t))2dt.	(9')
Если Г задана при помощи непрерывно дифференцируемой функции
y^f(x) (а<х<Ъ),
то можно считать, что Г определяется параметром х:
У=Цх)} (а<х«Ь).
8 7.3. ГЛАДКАЯ КРИВАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ДЛИНА ДУГИ
315
Тогда в силу (6')
Дифференциал ясе дуги Г выражается формулой
ds = -Jdx2+dy2.
Пример 1. Найти длину дуги кривойГ: i/=ch х, 0 < <х«2.
Имеем
|Г| = J^l + (shx)2<Zx-JchxcZx=shx^=sh2 = -c	.
оо
Пример 2. Найти длину окружности Г радиуса R. Окружность в параметрическом виде можно задать следующим образом:
х = R cos t, y-R sin t,
(О < t < 2л).
Тогда
|Г| = jV/?2 sint+R? cos2tdt = Rjdt = 2TtR. о	о
Пример 3. Найти длину дуги кривой Г: у = = jV2i+t2 dt, когда х изменяется в пределах от 0 до 2. о
Отметим, что явную зависимость у от х можно найти, если мы вычислим интеграл, используя подстановку Эйлера или рассматривая этот интеграл как дробно-линейную иррациональность. Но в данном случае нам не нужна эта явная зависимость. Имеем у' = ^2х + х2. Поэтому
|Г| = ]Vl+2x+x2 dx=|(x+l)dx=-~^-|^=4 . О	о
316
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
§ 7.4. Кривизна и радиус кривизны кривой. Эволюта и эвольвента
Кривизной окружности радиуса R называется число \/R. Это число можно также получить как отношение угла между касательными в концах какой-нибудь дуги окружности к длине дуги. Угол а между касательными к окружности в точках А и В равен центральному углу а между радиусами ОА и ОБ. Длина [АВ| дуги АВ равнаЛа. Поэтому (рис. 85)
а _ а _ 1
|ав| Ra R
Последнее определение кривизны окружности дает идею определения кривизны произвольной гладкой кривой Г.
Рассмотрим плоскую гладкую кривую Г. Как мы показали в § 7.3, она спрямляема и имеет смысл говорить о длине любой ее дуги АВ. Угол а (0 < а < л) между касательными кГ в точкахА и В называется углом смежности дуги АВ. Отношение угла смежности дугиАВ к ее длине называется средней кривизной дуги АВ (рис. -86). Наконец, кривизной кривой Г в ее точке А называется предел (конечный или бесконечный) отношения угла смежности а дуги АВ кривой к ее длине |АВ| = |As|, когда последняя стремится к нулю:
К = lim-^Ц.
(1)
§ 7.4. КРИВИЗНА И РАДИУС КРИВИЗНЫ КРИВОЙ. ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТА 317
Таким образом, О < К < оо. По определению, величина R = \/К (где считается, что 0 = 1/оо, оо = 1/0) называется радиусом кривизны Г в точке А.
Точка Ор лежащая на нормали кГ в точкеА на расстоянии R = 1/К от А в сторону вогнутости Г, называется центром кривизны Г в точке А (рис. 87 и 88). Очевидно, что центр окружности совпадает с центром ее кривизны.
Рис. 88
Рис. 87
Кривая у, являющаяся геометрическим местом центров О, кривизны плоской кривой Г, называется эволютой Г. Сама кривая Г называется эвольвентой у.
Пусть кривая Г задана функцией y = f (х) (с < х =% d), имеющей непрерывную вторую производную. Найдем ее ривизну в точке A = (x,f (х)). Пусть <р, и <р2 — углы, которые составляют касательные к Г в точках А и В = (х + Дх, f (х + Дх)) с положительным направлением осих (см. рис. 86)
tg Ф1 = f (*)> tg ф2 = f (х + Дх),
а - |arctg f (х) - arctg f (х + Дх)|.	(2)
Далее,
х+Дх .-----------
Дз = |АВ| = |	du.
(3)
318
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
Поэтому из (1), применяя правило Лопиталя (по Дх), получаем
arctg f (x) - arctg f (x+Дх)

= lim
Ax—О
f"(x+Ax) l+(f(x+Ax))2 Vl+(f(x+/\x))2
Мы получили формулу для кривизны
(4)
Если гладкая кривая Г задана параметрически
!/ = ¥(<) I
где <р и V — дважды непрерывно дифференцируемые функции, то, пользуясь правилом дифференцирования параметрически заданных функций, получим (см. § 4.11)
Г(х)=£, гю=х^х", xt	(*/)
Найдем параметрическое уравнение эволютыу кривойГ, заданной уравнением (рис. 87, 88) у = /(х). Имеем (см. (4))
1 =	|/"(х)|	_ f"(x) sign Г (х)
<С>|
$ 7,4. КРИВИЗНА И РАДИУС КРИВИЗНЫ КРИВОЙ. ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТА 319
Центр кривизны Oj кривой Г в ее точке А = (х, f (х)) пусть имеет координаты (^, Г|). Он определяется вектором
р = г + jRv,	(7)
5де г — радиус-вектор точки А е Г, а v — единичный вектор нормали, направленный в сторону вогнутости Г. Кривая Г имеет векторное уравнение
г = (х, у).
Отсюда
гх=(1,у'х), гх = (О,у"Л
Далее (см. § 4.23, (3'))>
Знак надо выбрать так, чтобы вектор v был направлен в сторону вогнутости Г, т. е. чтобы скалярное произведение (v, гх) имело положительный знак:
(V,	= у" (sign у") (1+У'х2) V2 
V + Ух
Итак
v = sign у"
-У'х	1	)
1+У'х2 aA+Vx2 J
(8)
Переходя в равенстве (7) к проекциям, учитывая (6) и (8), получим
(1+у'Л . -y>jgny" _ У'х(1+У'х2) y;'signj£ (l + z/'r2)1/2	У"
h . , 2\3'2 signu
П = У +	= У + 1+^х
yxSign^ (1+^У Ух
О)
Докажем, что нормаль к кривой. (эвольвенте) в точке А = (х, f (х)) является касательной к эволюте у в точке Oj = (%, Т|). Достаточно для этого доказать, что касательные
320
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
к кривой Г и к эволютеу в соответствующих точках ортогональны (перпендикулярны):
Х'£х + У'х^'х = 1
Другое важное свойство эволюты заключается в следующем. Приращение радиуса кривизны эвольвенты равно с точностью до знака приращению длины соответствующей дуги эволюты:
/?2 — = i|<^2 ^11"
На доказательстве этого свойства мы не останавливаемся.
Представим себе нить, навернутую на эволюту. Пусть она сматывается с последней, будучи все время натянутой.
—г—Отделяясь от эволюты, она, очевидно, все / // \ время будет касаться эволюты. Свободный / /	же ее конец будет описывать эвольвенту
/ /(рис. 89). Так как длина нити может быть произвольной, то эволюта порождает бес-w	конечно много эвольвент. Длина, на кото-
।	рую сматывается нить с эволюты, равна,
Рис. 89 очевидно, приращению радиуса кривизны эвольвенты. Если криваяГ задана параметрически: х = х (t), у = у (i), то эволюта определяется уравнениями
,2 ,	,2	,2	,2
<10)
(см. § 4.11).
Пример 1. Эволюта циклоиды х = t - sin t, у = t — -cos t есть кривая£, = t +sin t, -q = -1 +cos t. Полагая t =x + + л, получим уравнения
- л = т - sin т, т] + 2 = 1 - cos т.
$ 7.5. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
321
определяющие исходную кривую, но только сдвинутую (эволюта циклоиды есть циклоида, конгруэнтная исходной, рис. 90).
Пример 2. Эволюта эллипса х = a cos t, y = b sin t (а> b> 0) есть астроида (рис. 91)
2	,2	2.2
V. о ~Ъ „„„з .	„ а -Ь  з .
t '	COS Г, Т1 ~	SU1 с«
а	а
§ 7.5. Площадь поверхности вращения
Пусть Г есть кривая, описываемая в прямоугольной системе координат х, у положительной функцией у - f(x) (а < х < Ь), имеющей на [a, fe] непрерывную производную. Вычислим площадь S Поверхности вращения Г вокруг оси х. Для этого произведем разбиение а - х0 < хг < ... < хп = Ь, впишем в кривую Г ломаную Гв с вершинами (хк f (хк), вычислим площадь поверхности вращения последней вокруг оси х (сумма площадей боковых поверхностей усеченных конусов):
Sn = £[/(%*) + f (Xft+1)l	,
k=0
byk = f(xk+i)~f<xo')-
Числов, равное пределу Sn при —• 0, если он существует,
11 — Бугров. Том 2
322 ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
называется площадью поверхности вращения. Применяя теорему Лагранжа к разности ДрА, получим
S„ = л £[/(х*) + f (xft+1)] ,/l+(f(Q)2 Axft =
= 2л gf(Q Jl+(/'(Q)2 k=0
— 2 л j7(x) Vl+(f(x))2 dx
приХд = max Axk -> 0; согласно теореме Лагранжа точка£,Ае е (xk, xft+1). В самом деле, так как /и f непрерывны на [а, Ь], Tof(x)Vl + (/'(x))2 интегрируема, поэтому
lim 2л£	+ (/' (Q)2 Axk = 2л J f(x)y]l+(f (х))2 dx.
Далее
’tS[^) + ^+i)-2/(^)]71 + (f(Q)2AxJb k=0
< TtVl+^g [ I/ (xk) - f (Q| + \f (xft+1) - f (QI ]Axft < k=Q
< 2n Jl+Mft <»k (f)bxk 0,
k=Q
так как / интегрируема. Здесь М. = max|/' (х)|. Таким обра-о<х<Ь
зом, площадь поверхности тела вращения равна
ъ ------------
S =	= 27tM*) Vl+(/'(x))2dx.
(1)
Пример. Найти площадь S поверхности вращения эллипса
2	2
=1
а2 Ь2
(а>Ь)
вокруг оси х (площадь поверхности эллипсоида вращения).
8 7 6. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА
323
Решение. Уравнение верхней половины эллипса
arcsin-^
2 cl
4ло
2/2	,2 I 9
а у! а — Ь
= 2^2+ 2л&а2 у/а-Ь2	а
При b —► а в пределе получим, что S = 4ла2 — площадь поверхности шара радиуса а.
§ 7.6. Интерполяционная формула Лагранжа
Поставим задачу. Требуется найти алгебраический многочлен Ln (х) степени не выше, чемп, который совпадал бы с функцией f (х) в заданных точках х0, хп .... хп. Таким образом, должны выполняться условия
/(xa) = L„(xa) (fe = О, 1, ..., п).
Многочлен Ln (х) единственный. Если предположить, что существует еще один многочлен Ln (х) с теми же свойствами, то разность Ln (х) — Ln (х) обратится в нуль в п + 1 точке х0, ..., хп и будет алгебраическим многочленом степени не выше, чемп, значит, разность тождественно равна нулю и Ln (х) = £п (х).
Из единственности следует, что если исходная функция f (х) сама является алгебраическим многочленом степени п, то она совпадает с Ln (х) для всех х (/ (х) э Ln (х)).
11*
324
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
Сначала найдем алгебраический многочлен степени п к (х), который в точках х/ Ф хк равен нулю, а в точке хк равен единице. Очевидно, что
Qn, к (*) = А(х - х0)...(х - хк_г) (х - хА+1)...(х - х„), где постоянная А находится из условия
1 = Сл. к К) = А ПК - х). т. е. А = ПК - х) 1. i=0	i=0
Mt	Мг
Таким образом, искомый многочлен имеет вид
Если ввести в рассмотрение символ Кронекера я _ Г 0, k Ф i, °ы~ 1 л ,	.
I 1, k = i, то
0„.аК) = 5а/.
Поставленную задачу решает многочлен
I„W = £qm(x)/K),	(1)
/г=0
ибо
Ln Ю “ XQn, к (Х) HXk) =	(Хк) = f (х^
*=о	*=0
(i = 0, 1, ..., п).
Многочлен (1) называется интерполяционным многочленом Лагранжа.
Так же как при получении формулы остаточного члена в формуле Тейлора можно показать, что если f (х) имеет производную (п + 1)-го порядка, то
/П+1)(Е)
f(x)-Ln(x) = ^^on+1(x),	(2)
где
(*) = П(^-^)
i=0 и — некоторая дочка, принадлежащая к наименьшему
$ 7.6. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА
325
отрезку, содержащему точки х0, xv хп, х. В самом деле, положим для фиксированного х
/(х)-Ьп(х) = Коп+1(х),	(3)
где К — величина, зависящая от х. Обозначим
ф (z) = f (z) - Ln (z) - К(йм1 (z),
где К имеет то же значение, что и в (3), это величина, не зависящая от2. Ясно, что(р (х) = 0, (р (х,) = 0 (i = 0, 1,..., п). Пусть, например, х0 < х < Xj < ... < хп, тогда, применяя теорему Ролля к функции (р на отрезках [х0, х], [х, xj,..., [хп1, хп], получим, что производнаяф' (х) обращается в нуль внутри каждого из них. Затем, применяя теорему Ролля последовательно к функциям ср', ..., (р(п) получим, что существует точка £,, принадлежащая наименьшему отрезку, содержащему в себе точки х, х0, хр..., хп, в которой <р(п+1) (£,) = = 0, но
<р(п+1) (г) = /п+1) (z) - К(п + 1)!.
Полагая z = %, получим К =
/П+1,(Е)
----ТГ7 . ПОЭТОМУ (п+1)!
/П+1)(Е) f(x)-Ln(x) = -J^-con+1(x),
и равенство (2) доказано.
Интерполяционный многочлен Лагранжа находит применение в приближенном вычислении производных функции f (х), когда ее значения известны только в точках х0, Xj, ..., хп. А именно, полагают
/А>(х)«^(х).
Например, если f(x) известна в точках х0, х1г то, построив по этим точкам многочлен Лагранжа Lr (х), найдем, что
Г (*)«
Xj —XJo
326
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
В последующих параграфах мы укажем применение многочлена Лагранжа при приближенном вычислении определенного интеграла.
§ 7.7. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций
Пусть надо вычислить определенный интеграл от непрерывной на отрезке [а, Ь] функции /. Если известна ее первообразная, то для этого естественно применить формулу Ньютона-Лейбница. Но далеко не всегда первообразная известна, и возникает задача о приближенном вычислении интеграла.
Простейший способ приближенного вычисления определенного интеграла вытекает из определения последнего, Делим отрезок [а, Ь] на равные части точками
xk = a + k~~^ (й = 0, 1,..., TV)	(1)
и полагаем
(2)
где знак ~ выражает приближенное равенство.
Выражение (2) называется квадратурной формулой прямоугольников. В случае рис. 92 искомая площадь фигуры, ограниченной кривой у = f (х), осью х и прямыми х = а, х = Ь, приближенно равна сумме площадей изображенных там прямоугольников.
Рис. 92
5 7.7. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ И ТРАПЕЦИЙ
327
Мы знаем, что для непрерывной на [а, Ь] функции предел при N -» оо правой части приближенного равенства (2) точно равен левой, что дает основание считать, что при большом N ошибка квадратурной формулы (2), т. е. абсолютная величина разности правой и левой ее частей, мала. Однако возникает вопрос об оценке ошибки. Ниже мы узнаем, как эту оценку получить, если потребовать, чтобы функция f, кроме непрерывности, удовлетворяла некоторым условиям гладкости (т. е. имела бы некоторое число производных).
Очень важно заметить, что если функция f (х) = Ах + В есть линейная функция, то для нее формула (2) точка — правая часть (2) в точности равна левой. Так как линейная функция есть многочлен первой степени, то мы можем сказать, что квадратурная формула прямоугольников точна для всех многочленов не выше первой степени.
Дадим еще второй естественный способ приближенного вычисления определенного интеграла, приводящий к квадратурной формуле трапеций. Он заключается в том, что отрезок [а, Ь] делится на равные части точками системы (1) и полагается приближенно, что
~ b~a(A*o) + ffc)  ^)+Л^)  ,	+
} ~ N V 2	2	2 J
a	v	х
=	[f (*о) + 2/ (*i) + 2/	+ ... + 2f (х^ + f (xj].
В формуле трапеций площадь рассмотренной выше криволинейной фигуры приближенно исчерпывается площадями трапеции (рис. 93). Важно отметить, что формула трапеций точна для линейных функций Ах + В (А, В — постоянные), т. е. для многочленов не выше первой степени; если подставить такую функцию в (3) вместо f (х), то
получится точное равенство. В этом смысле формула трапеций не имеет преимущества перед формулой прямоугольников, обе они точны для линейных функций.
Рис 93
328
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
Разность между левой и правой частями квадратурной формулы обозначим через RN (f) и будем называть остаточным членом квадратурной формулы.
Если функция / имеет кусочно-непрерывную производную f, удовлетворяющую неравенству l/* (х)| < М\, то остаточный член формулы прямоугольников (2) подчиняется неравенству
l^(Z)l<	(3)
а остаточный член формулы трапеций (3) подчиняется неравенству
(4)
Нужно сказать, что здесь константы вычислены точно — их нельзя уменьшить. Вывод оценки (2) приведен ниже. Остальные оценки мы даем без доказательства.
Мы видим, что в обоих случаях для класса функций, имеющих ограниченную производную |/' (х)| < Мр остаточные члены имеют порядок О (№*) (см. § 3.10, (14)).
Для класса же функций, имеющих ограниченную вторую производную If (х)| < М2 на [а, Ь], имеет место оценка
верная для формул прямоугольников и трапеций. Теперь уже порядок приближения посредством обеих рассматриваемых квадратурных формул есть О (№2).
Оказывается, что для класса функций, имеющих ограниченную производную порядка Z > 2, порядок приближения посредством формул прямоугольников и трапеций не улучшается — порядок остается равным О
Объяснение этого явления тесно связано с тем фактом, что обе квадратурные формулы — прямоугольников и трапеций — являются точными для многочленов первой степени, но они неточны для многочленов степени выше чем 1.
Если функция/имеет третью ограниченную производную, то можно придумать квадратурную формулу, дающую погрешность приближения порядка О (№3). Эта формула должна быть точной для многочленов второй степени. Но если она не точна для многочленов третьей степени, то для функций, имеющих
S 7.7. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ПРЯМОУГОЛЬНИК!) И ТРАПЕЦИЙ
329
ограниченную производную четвертого порядка, погрешность приближения остается имеющей порядок О (ЛГ3).
Явление, которое здесь описывается, будет проиллюстрировано на примере квадратурной формулы Симпсона* в § 7.8.
Приведем доказательство оценки (3). Введем обозначения:
h =	, E,k = xf+^k+1, xk — точки системы (1). Тогда
irn(di= jf(x)ax-hXf(Q а	®
о
О f л ^~2
J f(x)dx-hf(£„)
И
J [/(*)-и
так как
t Iй
^*2
J f(^)dx = hf(^.
f -к
2
Применяя теорему Лагранжа под знаком интеграла и учитывая, что If (х)| < Мj, получаем
< £ J If (e^ix-gdx^M^ J |x-Udx, 0 0
где 0ft — точка, лежащая между x и E^. Производя замену переменной х — %к = t, получаем
LRw(fl|=€Mi X J \t\dt=2MA-N J tdt =
о -h/2	О
t2 = 2M.N
MxNh? M^b-af 4	“ 4N
* T. Симпсон (1710-1761) — английский математик.
330
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
§ 7.8. Формула Симпсона
Пусть требуется приближенно вычислить интеграл от непрерывной функции f (х):
Jf(x)dx.	(1)
а
Будем искать приближенное значение интеграла в виде суммы
(х) dx » $>/(xfc) Pkf (xft),	(2)
a	k=V
где p0, px, .~,pn и x0, xv .... xn 6 [a, b] — заданные числа.
Формула (2) называется квадратурной формулой с узлами хк и весовыми коэффициентами рк.
При построении конкретных приближенных формул мы выставляем требование, чтобы формула (2) была точной для алгебраических многочленов степени п. Это условие будет выполнено, если в качестве приближенного значения интеграла (1) мы возьмем определенный интеграл от интерполяционного многочлена Лагранжа п-й степени функции ft ь	ь
jf(x)dx~jLn(x)dx = а	а
п	п
= ]tiQn.k^f(xk)dx = ^ipllf(x>), (3) а k-0	fc=0
г (х-х)
Pk = ]Qn,k(.x)dx(k = O,l, ...» n), fc(х) =
потому что, если f (х) — многочлен степени п, то f (x)=Ln (х).
Получим формулу (3) для случая п = 2 и узлов х0 = а,
х, = а + Ь , х, = Ь. В этом случае 1	2
п м _ (х-х^х-х2) = (х-Ь\2х-а~Ь) = 2(х-Ь)2 х-ь W2-oW (х0-^0-^)	(b-a)2	(b-a)2 b-a’
$ 7.8. ФОРМУЛА СИМПСОНА
331
(х-х0)(х-х2) —4(х —ct)(x—b) _ 4(x-b)2 ^х-Ь
Q2.1W- (xl-x0)(xt-x2)	(b-a)2	(b-a)2 b-a’
О (х\ =	= (х-а)(2х-а-Ь) = 2(х-а)2 _х=а
2,2	(^2-^)(х2~^)	(Ь-а)2	(b-а)2 Ь-а'
Поэтому
ъ
Ро = jQ2,o(*)dx = а
%x-b)3 t (х-Ь)2
3(Ъ-а)2 2(Ь—а)
Ь-а
6 ’
Аналогично рассуждая, получим
ь _ ,	%Ъ-а)	‘ ч ,	%Ъ-а)
Pi = JQг, 1 («) dx = —§— >Рг = JQ2.2(х) dx = —g
а	а
В силу этого формула (3) при и = 2 имеет вид
J f (х) dx «	^а)+4/(^±Ь)+/(&)].	(4)
а
Эта простейшая квадратурная формула Симпсона, соответствующая отрезку [а, Ь].
С геометрической точки зрения формула (4) означает, что мы заменили площадь криволинейной трапеции, определяемой функцией f (х) на [а, Ь], на площадь, находящуюся под графиком параболы (рис. 94):
у = L2 (х) = f (a) Q2 о (х) + f Q2> j (х) + / (Ь) Q2 2 (х).
Еще раз отметим, что по построению формула (4) точна для многочленов второй степени. Однако оказывается, что она точна и для многочленов третьей степени. В самом ь деле, Jx3 dx = а
кции f (х) = х3 также равна этому числу:
, а правая часть формулы (4) для фун-
332
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
Ь — а
6
=	(a+b)[a2-ab+V^
(а+Ь)3
2
6	2
,4 4
_ о -а 4
Таким образом, формула (4)точна для многочленов не выше третьей степени.
Если разделить отрезок [а, Ь] на 2N равных частей точками
xk = a + ^k (k = 0, 1, .... 2N)
и к отрезкам [х0, х2], [х2, х4],... применить формулу (4), то в результате получим (усложненную) квадратурную формулу Симпсона
ь
J7(x) dx я {f (х0) + 4/ (х.) + 2f (х2) + 4f (х3)+ ...
а	UJV
... + 2/ (х2„_2) + 4/ (х2ЛЧ) + f (x2JV)}. (5)
С точки зрения практических вычислений сложность вычислений по формуле Симпсона и прямоугольников одинакова. Но если функция f достаточно гладкая, то погрешность приближения по формуле Симпсона при больших.М' значительно меньше соответствующей погрешности при приближении методом прямоугольников.
Если функция f (х) имеет на отрезке [а, Ь] первую или вторую непрерывную производную, удовлетворяющую неравенству
If (х)| < М, или |Г(Х)|<М2,
ъ
а третью не имеет, то при вычислении интеграла Jf(x)dx реко-а
мендуется применить формулу прямоугольников или трапеций.
Погрешность приближения по формуле прямоугольников или трапеций (§ 7.7, (3)) будет порядка №’.
§ 7.8. ФОРМУЛА СИМПСОНА
333
А по формуле Симпсона — порядка М~2 в случае второй производной и N"2 в случае третьей производной.
Если же функция f (х) имеет на [а, Ь] четвертую непрерывную производную, удовлетворяющую неравенству
|/4)(х) < М4,	(6)
то в этом случае рекомендуется применить формулу Симпсона. При этом погрешность приближения будет:
1 (b-af
-2880 N4
М<.
(7)
Если бы мы в этом случае применили формулу трапеций, то погрешность приближения по-прежнему имела бы порядок N~\ т. е. была бы хуже чем (7).
Пример 1. Вычислить интеграл
I = jVl+x4 dx.
о
Данный интеграл (от биномиального дифференциала) не вычисляется в элементарных функциях.
Вычислим этот интеграл приближенно, деля отрезок [0,1] на десять равных частей, используя различные квадратурные формулы.
Обозначим точки деления [0, 1] через х0= 0, х, = 0,1,.... х9 = 0,9, х10 = 1. Вычислим приближенно значения функции f (х) = V1 + х в этих точках:
Г(0)= 1, /(х3) = 1,00404, /(х6)= 1,06283,
/(Xi) =1,00005, f(x4)= 1,01272, /(х7)= 1,11360, /(х9)= 1,28690,
f(x2)= 1,00080, /(х5) = 1,03078, /(х8)= 1,18727, /(х10)= 1,41421.
Согласно квадратурной формуле трапеций
[/(х0) + 2/(х1) + ... + 2/(х9) + /(х10)] = 21^)219 =1,09061.
Функция f (х) = Vl+x4 имеет сколько угодно непрерыв-
334
ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
вых производных на промежутке [О, 1]. Погрешность формулы трапеций определим, исходя из факта существования второй непрерывной производной
f (х) = 2х2 (3 + х4)/(1 + х4)3/2.
Так как М2 = max f" (х) = 2 72 , то остаточный член форму-лы трапеций
Д/Г 9 /9 ^<^=7^0,002357.
Итак,
1= 1,0906 ±0,0024.
По формуле Симпсона (2N =10)
I ~	[/ (х0) + 4/ (xj + 2f (х2) + 4/ (xg) + 2f (х4) + 4/ (х5) ±
OV
+ 2f (х6) + 4/ (х7) + 2f (х8) + 4/ (х9) + f (х10)] =	= 1>08949.
ои
Остаточный член формулы Симпсона можно определить, учитывая, что / (х) имеет непрерывную производную четвертого порядка (наличие производных порядка выше четвертого не влияет на точность формулы Симпсона)
/4) (х) = 12(1 - 14х4 ± 5х8)/(1 + х4)7/2.
Так как = max |/4) (х)| < 15 72, то
Мл 15-72
°’000012 < °’00002-
Таким образом,
1= 1,08949 ±0,00002,
т. е. формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций для достаточно гладких функций и большого N.
Замечание. Все вычисления производились при помощи ручного микрокалькулятора «Электроника БЗ-18М».
Глава 8
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
§ 8.1. Предварительные сведения
Понятие функции многих переменных введено в § 3.1.2. Нам предстоит построить дифференциальное исчисление для функций многих переменных. Основные сведения мы излагаем для функций двух переменных. Полученные результаты легко распространяются по аналогии на случай большего числа переменных. Мелким шрифтом излагается n-мерный случай.
Итак, мы будем рассматривать пространство (плоскость) Н2 точек (х, у). Зададим в R2 точку (х0, у0).
Множество точек (х, у), координаты которых удовлетворяют неравенству
(х - х0)2 + (у - у0)2 < а2 (а > 0), называется открытым кругом радиуса а с центром в точке (х0, у0).
Множество же точек (х, у), координаты которых удовлетворяют неравенствам
|х - х0| < а, |у - г/0| < Ь (а,Ь> 0), называется открытым прямоугольником.
Если а = Ь, то открытый прямоугольник обращается в
336 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
открытый квадрат с центром в точке (х0, у0) с длиной стороны 2а:
\х—х0\<а,	\у-у0\<а.
Любой открытый круг радиуса £ > О или квадрат со стороной длины 2е с центром в точке (х0, у0) называется окрестностью кянЕ-окрестностьк^этой точки.
Если задана последовательность точек
(«1» У1). (х2. У2)> (х3> Уз)> то будем еще говорить, что переменная точка
(xk’ Уь) = 1» 2» 3, ...)
пробегает значения этой последовательности.
Говорят также, чгопоследователъность точек {(хА, уА)} или переменная точка (хА, у^ стремится к точке(х0, у0) при k —» со, если расстояние между этими точками стремится к нулю при k —• оо;
V(x*-^)2 + (yk-y0)2 — О (fe — со). (1)
При этом пишут
(хл> Ул) — (хо> Уо) (fc °0)-
Свойство (1) эквивалентно, очевидно, следующим двум свойствам:
хо)>У* Уо (fc °0)’	(г)
которые должны выполняться одновременно.
Свойство (1) можно выразить еще такими словами: для всякого £ > 0 найдется натуральное число N такое, что точка (хА, у^ окажется в открытом круге радиуса £ с центром в (х0, Уо) ЛЯ® всех k>N.
Свойство же (Г) можно выразить так: для всякого £ > О найдется натуральное число N такое, что точка (xfc, i/ft) окажется в открытом квадрате со стороной длины 2е и центром (хс, у0) для всех k > N.
Обе эти формулировки можно объединить, сказав, что
8 8.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
337
для всякого £ > 0 найдется натуральное число N такое, что точка (хА, у^ окажется в е-окрестности точки (х0, у0) для всех k > N.
В n-мерном евклидовом пространстве Ra расстояние между точками х = (хр .... х„) и у = (ур у„) определяется по формуле
I* - »1 =	•
В Rn множество точек х = (хр..., х„), для которых выполняется неравенство
fc=l
называется п мерным открытым шаром радиуса а с центром о/о о\
в точке х = Iх1, хп).
Множество же точек х, координаты которых удовлетворяют неравенствам
|^-^°|<ар ...»|х„-х°| < а„,
где а,, а2,..., ап — заданные положительные числа, называется п-мерным открытым прямоугольником (параллелепипедом).
Если
а1 = а2 = ... = а„ = а,
то параллелепипед превращается вп-мерный открытый куб с центром в точке х° = (х^°,...,хл) и ребром длины 2е.
Любой открытый n-мерный шар радиуса Е или куб с центром в точке х° и длиной ребра 2е называется п-мерной ^.-окрестностью точки х°.
Последовательность точек в Rn
х1 = (^.....х^), х2 = (4..х*), х3 = (х®....х®), ...
определяет переменную точку
xk={xkl,...,xk) (k = 1,2,3,...).
т-r	k	о / о 0\
Переменная точка х стремится к точке х =
338 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
если расстояние между этими точками стремится к нулю при k — со:
Iх* - x°i=^Ё(х*~х°)2 -* ° (fe °°)-	(2)
Свойство (2) эквивалентно следующим п свойствам, которые должны выполняться одновременно:
х^х°г,..., х*->х°л, (fe - ОО). (2')
Свойство (2) или (2') можно выразить еще словами: для всякого £ > 0 можно указать натуральное число N такое, что для всех/? > N переменная точках* окажется принадлежащей о £-окрестности точки х .
§ 8.2. Предел функции
В § 3.2 рассматривалось понятие предела функции одной переменной. Здесь это понятие обобщается на случай функции многих переменных.
Ограничимся случаем двух переменных х, у. По определению функция f (х, у) имеет предел в точке (х0, у0), равный числу А, обозначаемый так:
lim f(x,y)=A
У^Уц
(1)
(пишут еще f (х, у)-* А при (х, у) (х0, у0)), если она определена в некоторой окрестности точки (х0, у0), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел
lim f(xk,yk')=A,
Xk—XQ
Ук-Уо
(2)
какова бы ни была стремящаяся к (х0, у0) последовательность точек (хк, у^.
Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х0, у0) пре-
18.2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
339
дел, равный А, если она определена в некоторой окрестности точки (х0, у0) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого Е > 0 найдется такое 5 > 0, что
\f(x, у)-Л|<Е	(3)
для всех (х, у), удовлетворяющих неравенствам
О < ^(х-х0)2+(у-у0)2 < 5.	(4)
Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого £ > 0 найдется 5-окрестность точки (х0, у0) такая, что для всех (х, у) из этой окрестности, отличных от (х0, у0), выполняется неравенство (3).
Так как координаты произвольной точки (х, у) окрестности точки (х0, у0) можно записать в виде х = х0 +Дх, у = у0+ + Ду, то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:
lim f (х0 + Дх, у0 + Ду) = А.
Ду—4)
Рассмотрим некоторую функцию, заданную в окрестности точки (х0, у0), кроме, быть может, самой этой точки.
Пусть (П = (юх, ©р — произвольный вектор длины единица (|ю[2 = со2 +о2 - 1) и t > 0 — скаляр. Точки вида
(х0 + tox, yQ + tav) (0 < t) образуютлуч, выходящий из(х0, у0) в направлении вектора св. Для каждого со можно рассматривать функцию
f (х0 + t(Dx, у0 + toj,) (0 < t < 5)
от скалярной переменной t, где 5 — достаточно малое число.
Предел этой функции (одной переменной t) limf(x0 + tax,y0 + t(i>y), «>о
если он существует, естественно называть пределом f в точке (х0, у0) по направлению ю.
340 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пример 1. Функции
3	3	2	2
f{x, у) = х2+у2, <р (х, у) = -2 у2
х +у	X +у
определены на плоскости (х, у) за исключением точки х„ = О, у0 = 0. Имеем (учесть, что х3 < (х2 + у2)3/2 и у3 < (х2 + у )3/2):
2	2\3/2
2(х+у)
If (х, У)1 < —г- / = 2(х2 + y)v — 0 (х — 0, у — 0).
X +у
Отсюда
lim f(x,y) = O
у—О
(для £ > 0 полагаем 5 = е/2 и тогда \f (х, у)| < £, если Jx2 + у2 < <5).
Далее, считая, что k — постоянная, имеем для у = kx равенство
1  ь2
из которого видно, что предел <р в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча
у = kx, х > 0, имеет вид (О = I -г — . 11 .
Wl + fe2 Vl + fe2JJ
Пример 2. Рассмотрим в JZ2 Функцию
f(x, у)= -Ху 2	(х4 + у2*0).
х +у
Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой у = kx, проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:
f {x, kx) = --4—^2-2 =  2	2 -* 0 при X -* 0.
X +КХ X +к
Однако эта функция не имеет предела в точке (0,0), ибо при
У = х2
8 8.2, ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
341
4	1
f (х, х2) = 4Х 4 = I и lim/ (х, х2) = 1. х +х 2 х->о	2
s=*2
Будем писать
lim/(х, у) = оо,
X-Jj)
v~y0
если функция f определена в некоторой окрестности точки (х0, у0), за исключением, быть может, самой точки (х0, у^ и для всякого N > 0 найдется 5 > 0 такое, что
|f(x, y)\>N,
коль скоро 0 < ij(x- *о)2+(г/-уо)2 <б-
Можно также говорить о пределе f, когда х, у — оо;
lim/(х, у)=А.	(5)
X—00 у—00
Например, в случае конечного числа А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого Е > О найдется такое N > 0, что для всех х, у, для которых [х| > N, |у| > N, функция / определена и имеет место неравенство
|/(х, у)-А| <Е.
Справедливы равенства
Ит[/ (х, у) ± <р (х, у)] = Ит/ (х, у) ± Итф (х, у), х-л^	х-х^	Х-Хц
У^Уц	У^Уо	У^Уо
Ит (/ (х, у) • ф (х, у)) = Ит/(х, у) • Итф (х, у),
X~*Q	X^Xq	X~Xq
У-Уо	У^Уо	У^Уо
Ит/(х,у) lim/(^=S________________
х-^(р(х,у) hm<p(x,y)
У-Уо	х-ло
У~УО
(6)
(7)
(8)
(Ит ф(х, у)*0),
где может быть х -* оо, у -* оо. При этом, как обычно, пределы (конечные) в их левых частях существуют, если существуют пределы / и ф.
Докажем для примера (7).
342 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть (хк, у„) -» (х0, у0) ((хк,	* (х0, у0)); тогда
lim (f (xk, yk) -<{> (xk, yk)) = lim f(xk,yj*
x lim <p (xk, yk) = limf (x, y) • limip (x, y). (9)
У~Уо	У~Уо
Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность (хк, ук) стремится к (х0, у0) по любому закону, то этот предел равен пределу функции f (х, у)  <р (х, у) в точке (х0, у0).
Теорема 1. Если функция f (х, у) имеет предел, не равный нулю в точке (х0, у0), т. е.
Umf (х, у) = A О,
Х-Зй
У-Уи
то существует 5. > 0 такое, что для всех х, у, удовлетворяющих неравенствам
0 < л1(.х~хо/+(У-Уо)2 < 5’	(10)
она удовлетворяет неравенству
\f (X, у)| >	.	(И)
Больше того, она сохраняет там знак числа А.
1-А|
В самом деле, положив £ =	1 > 0, найдем 5 > 0 такое,
чтобы для (х, у), удовлетворяющих неравенствам (10), выполнялось
|/(х,у)-А|<^.	(12)
Zu
Поэтому для таких (х, у)
> |А - / (х, у)[ > |А| - |/ (х, у)|,
т. е. имеет место (11). Из (12) для указанных (х, у) следует
И И	Ч Л И
а~2 <f(x’ У)<А+ 2 ’
$ 8.2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
343
откуда
~<f(x, у) при А > О
и
приА<0
Cl (сохранение знака).
Замечание.В § 8.12 будет дано более общее определение предела функции, заданной на произвольном множестве.
По определению функция f (х) = f (хи.... хп) имеет предел в точке х° = (х°,...,х°), равный числу А, обозначаемый так:
lim f (х) = lim / (хр ..., х„) = А х^х	xf~xi
(пишут еще/ (х) — А (х -► х0)), если она определена на некоторой окрестности точки х°, за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел
lim f(xk)=A,
|xfc-x°|—О х‘«°
какова бы ни была стремящаяся к х последовательность точек х* из указанной окрестности (k = 1, 2, ...), отличных отх° (см. § 8.1).
Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция f имеет в точке х° предел, равный А, если „	о
она определена в некоторой окрестности точки х , за исключением, быть может, ее самой, и для любого £ > 0 найдется такое 3 > 0, что
|/(х)-А|<£	(13)
для всех х, удовлетворяющих неравенствам О < |х - х°| < 3.
Это определение в свою очередь эквивалентно следующему: для любого £ > 0 найдется окрестность U (х ) точки х° такая, что для всех х е U (х°), х х°, выполняется неравенство (13).
344 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Очевидно, что если число А есть предел / (х) в х°, то А есть предел функции f (х°+ Л) от h в нулевой точке:
lim/(x° + h)-A,
и наоборот.
Рассмотрим некоторую функцию f, заданную во всех точках окрестности точки х°, кроме, быть может, точки х°; пусть (д = (а>1, ...,соп)— произвольный вектор длины единица (|(д| = 1) и t > 0 — скаляр. Точки вида х° + to (0 < i) образуют выходящий из х° луч в направлении вектора со. Для каждого со можно рассматривать функцию
/ (х° + /со) = f (х° +	..., хп + ton) (0 < t < 3J)
от скалярной переменной t, где8ш есть число, зависящее от со. Предел этой функции (от одной переменной i)
lim f (х° + tco) = lim f (x + tea,, ..., x + to), если он существует, естественно назвать пределом f в точкеxv по направлению вектора со.
Будем писать lim / (х) = со, если функция / определена в некоторой окрестности х , за исключением, быть может, х , и для всякого N > О найдется 3 > 0 такое, что |/ (х)| > N, коль скоро 0 < |х - х°| < 3.
Можно говорить о пределе f, когда х —► оо:
limf('x)=A.	(14)
X —ОО
Например, в случае конечного числаА равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого е > О можно указать такое N > 0, что для точек х, для которых |х| > N, функция f определена и имеет место неравенство |/ (х) - А| < £.
Итак, предел функции / (х) = f (хр ..., хп) от п переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных.
Равенства (6), (7), (8) и теорема 1 непосредственно распространяются на n-мерный случай.
$ 8.3. НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ
345
§ 8.3. Непрерывная функция
По определению функция f (х, у) непрерывна в точке (х0, у0), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х0, у0) и если предел f (х, у) в этой точке равен ее значению в ней:
lim / (х, у) = / (х0, у0).	(1)
У-Уа
Условие непрерывности / в точке (х0, у0) можно записать в эквивалентной форме:
lim f (х0 + Дх, у0 + Ду) = f (х„, у0),	(1')
Дх—
т. е. функция /непрерывна в точке (х0, у0), если непрерывна функция f (х0 + Дх, у0 + Ду) от переменных Дх, Ду при Дх = = Ду = 0.
Можно ввести приращение Ди функции
u = f(x,y)
в точке (х, у), соответствующее приращениям Дх, Ду аргументов
Ди = /(х + Дх, у + Ду) - f (х, у).
и на этом языке определить непрерывность f в (х, у): функция f непрерывна в точке (х, у), если
lim Ди = 0.	(Г)
Из формул (6) — (8) § 8.2 непосредственно следует
Теорема 1. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х0, у0) функций f и <р есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного <р (х0, у0) Ф 0.
Постоянную с можно рассматривать как функцию
/(х, у) = с
346 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
от переменных х, у. Она непрерывна по этим переменным, потому что
|/ (х, у) - f (х0, у0)| = |с - с| = О 0.
У^Уа
Следующими по сложности являются функции f (х,у)=X и f (х, у) =у. Их тоже можно рассматривать как функции от (х, у), и при этом они непрерывны. Например, функция f (х, у) = х приводит в соответствие каждой точке (х, у) число, равноех. Непрерывность этой функции в произвольной точке (х, у) может быть доказана так:
|/(х + Дх, у + Ду) - /(х, у)| = |(х + Дх) - х| = |Дх| <
< у1лх+куг 	>0.
Aj/—0
Если производить над функциями х, у и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами отх, у. На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных х, у суть непрерывные функции от этих переменных для всех точек (х, у) е R2.
Отношение Р/Q двух многочленов от (х, у) есть рациональная функция от (х, у), очевидно, непрерывная всюду на R2, за исключением точек (х, у), где Q (х, у) = 0.
Функция
Р (х, у)—х3 - у2 + х2у — 4 может быть примером многочлена orf х, у ) третьей степени, а функция
Р (х, у) = х4 - 2х2у2 + у4
есть пример многочлена от (х, у) четвертой степени.
Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций.
Теорема 2. Пусть функция f (х, у, z) непрерывна в точке (х(), у0, z0) пространства R3 (точек (х,у,г)),а функции
x=ip(u, v), y = \i/(u,v), z = x(u,v)
8 8.3. НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ
347
непрерывны в точке (и0, v0) пространства R2 (точек (и, v)). Пусть, кроме того,
х0 = Ф (и0, и0), у0 = V (и0, и0),	20 = X (и0, v0).
Тогда функция
F (и, v) = f [ф (и, v), ф (и, v), х (и, и)] непрерывна (по (и, и)) в точке (и0, v0).
Доказательство. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то
<в.Ли/ = Л f t<P V	=
у(и. u)-sb 3t(4, u)-2b
= f (x0, y0, 20) = f [ф (u0, v0), V (u0, VJ, X (u0, Uo)] = F (u0, VJ.
Функцию мы будем называть элементарной функци-ейот переменныххр.... хп, если она может быть получена из этих переменных и констант с при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и операций ф, где ф — элементарная функция от одной переменной (см. § 3.8). Функции
1) sin In Jl+x2 +уг =flt 2)sin2x + cos3 (x + y) = f2,
могут служить примерами элементарных функций.
Легко проверить, пользуясь теоремами 1 и 2, что функции fx и f2 непрерывны на плоскости (х, у), функция же /3, очевидно, определена и непрерывна в тех точках (х, у), для которых дробь (х - у)/(х + у) положительна и конечна.
Из теоремы 1 § 8.2 и определения непрерывности функции в точке непосредственно следует
Теорема 3. Функция f (х, у), непрерывная в точке (х0, у0) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа f (х0, уо) в некоторой окрестности точки (х0, у0).
По определению функция f (х) = f (хп ..., х„) непрерывна в
348 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
точке х° = (хр...,х^), если она определена в некоторой ее о
окрестности, в том числе и в самой точкех , и если предел ее о
в точке х равен ее значению в ней:
lim/ (х) = /(х°).	(2)
х—хи
Условие непрерывности f в точке х° можно написать в эквивалентной форме:
lim/ (х°+й) =/(х°),	(2')
Л—О
т. е. функция / (х) непрерывна в точке х°, если непрерывна функция / (х° + Л.) от h в точке h = 0.
Можно ввести приращение / в точке х°, соответствующее приращению Л = (ftp ftn),
Ah/(x°) = /(x°+h)-/(x0) и на его языке определить непрерывность / в х°; функция f непрерывна в х°, если
1ппДЛ/(х°) = lim [frf +ft,.х° + ftn)-/(x”, ...,х°)]=0. (2")
Л *0	’И
Из формул (6) — (8) § 8.2 непосредственно следует
Теорема 1'. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точкех0 функций f (х) и ф (х) есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного ф (х°) 0.
Замечание. Приращение ДЛ/ (х°) называют также пол-ным приращением функции / в точке х .
В пространстве Rn точекх = (хр..., хп) зададим множество точек G.
u _	о.оо.
По определению х = (^ , ..., хп) есть внутренняя точка множества G, если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к G.
Множество G с йл называется открытым, если все его точки внутренние.
Говорят, что функции
х^фДО, .... х„=ф„ (0
S 8.3. НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ
349
непрерывные на отрезке [а, Ь], определяют непрерывную кри-вуювКп, соединяющую тонких1 = (xj, ....х1) их2=(^2, ...,x„), гдеxf = фг (а), ..., х1 = фп (а), xf = Ф1 (Ь),..., х* = ф„ (Ь). Букву t называют параметром кривой.
Множество G называетсясвязным, если любые его две точ-12	„
ки х , х можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей G.
Связное открытое множество называется областью.
Теорема 4. Пусть функция f (х) определена и непрерывна HaRn (во всех точках Rn). Тогда множество G точек х, где она удовлетворяет неравенству / (х) > с (или f (х) < с), какова бы ни была постоянная с, есть открытое множество.
В самом деле, функция F (х) = f (х) — с непрерывна на Rn, и множество всех точек х, где F (х) > 0, совпадает с G. Пусть х° е G; тогда существует шар
|х — х°| < 5,
на котором F (х) > 0, т. е. он принадлежит к G и точках0 е G — внутренняя для G.
Случай f (х)< с доказывается аналогично.
Пример. Функции
/1 (*) =	> 0); /2 (X) = Ski,
пределены и непрерывны наВ„.
В таком случае множества значений х, для которых выполняются неравенства (х) < с (i = 1, 2), — открытые множества. Первое из них есть внутренность эллипсоида в п-мерном пространстве; второе при п = 2 есть внутренность квадрата, изображенного на рис. 95.
Неравенства ft (х) > с > 0 определяют внешности указанных фигур.
Можно установить, что указанные множества связны, т. е. они являются областями. При п = 2, 3 это непосредственно видно.
350 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 8.4. Частные производные и производная по направлению
Назовем приращением функции f (х, у) в точке (х, у) по переменной х с шагом h величину
~f(x + h,y)-f(x, у),
где h — действительное число, достаточно малое, чтобы эта величина имела смысл.
Частной производной по х в точке (х, у) называется предел
х дх ду	h
если он существует. Частная производная
8L дх
есть обычная
производная от функции f (х, у), рассматриваемой как функция только от переменной х при фиксированном у.
Функция z = f(x,y)m двух переменных изображает
ся в трехмерном пространстве, где задана прямоугольная система координатх, у, г, поверхностью — геометрическим местом точек (х, у, f (х, у)), где (х, у) принадлежит области задания функции/ {х, у). Очевидно, чтовеличинаГ х (х0, у0) (если она существует)равна тангенсу угла наклона к оси х касательной к сечению этой поверхности плоскостью у = у0 в точке, имеющей абсциссу х0.
Совершенно аналогично можно определить частную производную по у в точке (х, у ):
дх h *-о h
Если функция z=f (х, у), заданная на множестве Gc Rz,
имеет частные производные , ~~ во всех точках (х, у) е G, дх ду
то эти производные можно рассматривать как новые функ-
ции, заданные на G.
§ 8.4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
351
Поэтому можно поставить вопрос о существовании частных производных у этих функций по какому-либо переменному в точке(х,у) е G.
Если у функции — существует частная производная дх
снова по переменнойх, то ее называютчастной производной второго порядка от функции f (х, у) по переменной х и
обозначают —4. Таким образом, по определению
дх
^ =_.а га/i
дх дх ISx-l
Если существует частная производная от функции
дх по переменнойу, то эту производную называют смешанной частной производной второго порядка от функции f (х, у) и обозначают символом
=д ГдП ду дх ду lSxJ
Для функции от двух переменных f (х, у) можно рассматривать четыре производных второго порядка
а2/ а2/	а2/ а2/
ах2’ дудх’ дхду’ ду2'
Если производные второго порядка (все или какая-либо одна) существуют для всех (х, у) G G, то может возникнуть вопрос о существовании частных производных третьего порядка.
Вообще, частной производной п-го порядка будем называть частную производную по какому-нибудь переменному от некоторой производной (п - 1)-го порядка. Например,
а Г а7 L
дх [дх дуJ дх3ду
Частные производные будем называтьчнсткы-дх ду
352 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ 1ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ми производными первого порядка, а саму функцию f — частной производной нулевого порядка.
Для частных производных будем также употреблять символику:
DJ = дх	дхду'"” дх2 -	дхду Т
Назовем приращением f в точке х = (х 1, ..., хп) по переменной х{ с шагом, h величину
= f ’ Vi’ xi+ h' xi^' XJ ~ f <xi’ XJ'
где h — действительное число, достаточно малое, чтобы эта величина имела смысл. Частной производной от f по X; в точке х называется предел
Sf дх.
= lim——
'< -0 h
если он существует. Частная производная —— есть обычная дх.
производная от функции/ (xv.... хп), рассматриваемой как функция только от переменной х^ при фиксированных хр ..., хм, *7+1’ •••’ Хп‘
Если г = (гр .... г„) — вектор с неотрицательными целыми координатами, то пишут
Drf=Dr' ...Dr:f = -^-r-4- .
1	“	д^...дх^
Пример. Найти , от функции f (х, у) = х + дх ду
+ sin ху.
Имеем
df	2 .
— = х cos ху, —% = -х sin ху,
Sy	у ду2
----= -2х sin ху *- х2у cos ху.
дхду
Естественно возникает вопрос, будут ли равны между
$ 8.4 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
353
собой частные производные, если они взяты по одним и тем же переменным, одно и то же число раз, но в разном порядке. Например, равны ли
. и_?2_?
дх ду2дх дх2 ду2
В общем случае ответ на этот вопрос отрицательный. Однако имеет место следующая теорема, которую мы сформулируем для функции от двух переменных.
Теорема (о смешанных производных). Пусть функция и = f (х, у) определена вместе со своими частными производными	в некото-
дх ду дх ду ду дх
рой. окрестности точкиР0 = (х0, у0), причем °' и —— дх ду	ду дх
непрерывны в точке Ро; тогда
^(Po) _ дхду дудх *
т. е. в этом случае результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.
Доказательство. В самом деле, дхл[дул/ (хо> Уо)] = дхл[/ (хо> Уо + h)-f (х0, у0)] = = [/ (х0 + h, у0 + й) - f (х0 + й, у0)] - [f (х0, y0 + h)-f (х0, р0)] = = ДДДхЛГ(х0,1/0)] Уй. (1)
Отсюда, применяя теорему Лагранжа по переменной» к функции f (х, y0 + h)~f (х, у0) на промежутке [х0 + й, х0], получаем:
(*о> Уо)] = h Wx (*о + Qfl> Уо + h)- fx (х0 + Ой, у0)] (о<е<1). (2)
Законность применения теоремы Лагранжа обусловлена существованием частной производной f в достаточно малой окрестности точки (х0, р0).
Так как по условию теоремы существует частная сме-12 — Бугров. Том 2
ЗМ ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
шанная производная f в окрестности точки (х0, у0), то снова применяя теорему Лагранжа, из (2) получаем:
(хо> Уо) = hZf'yx (хо + 0/7’ Уо + 01л) (° < 0i < !)• (3)
Кроме того, по условию f" непрерывна в точке (х0, у0), поэтому из (3) имеем
\hl\kf (*о> Уо)] = Ь21Гух (хо> Уо) + £Ъ <4) где Е —* О при h — 0.
Из (4) следует, что
(5)
Совершенно аналогично, пользуясь непрерывностью f' в точке (х0, у0), доказывается равенство
На основании (5) и (6), в силу равенства (1), заключаем, что утверждение теоремы верно.
Замечание 1. По индукции легко распространить эту теорему на любые непрерывные смешанные частные производные, которые отличаются друг от друга только порядком дифференцирования. Например,
а8/ а [е\sf
дхду дх [<9i/ ду
#7 = 5 [ Л Гdfft дудхду ay[aylaxJj
cf ду2 дх
Замечание 2. Если условие непрерывности отсутствует, то смешанные производные могут быть различными в точке Ро. Рассмотрим функцию
3
f (х> У) =	, если х2 + / / 0 и / (0, 0) = 0.
х +у
Легко подсчитать, что
Л . о. 2 2
f,(x,V) = V~----i лри»г+1,!»о
g 8.4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ	ЗДб
И
fs (О* 0) =	Q=О;
»~о х
fy <х, у) = х3 -;Хг~^2 при х2 + у2 * О и f (О, 0) = О. (х+у)
Далее, по определению,
Г„ (О, у	х—°	х	х
г (0 0)_ibnZMzZM.lbnibO.o.
' У*' ’ ' х-0	у	у—О у
т. е.
Гх/О, О^Гух(О, О).
Отметим, что частные производные	и f 'ух разрывны в точ-
6 . - 4 2 о 2 4
ч X +ЪХу -ОХУ	2
ке (О, О), например, f (х, у)=--ч -*- при x + у* О,
откуда видно, что
lim/"j,x (х, у) = ~ * f'yx (0, 0) = О. х—О	<5
х«у
Можно еще ввести понятие производной по направлен нию.Ъ случае функции от одной переменной оно не употребляется.
Пусть со = (сох, соу) есть произвольный единичный вектор. Производной от функции f в точке (х, у) по направлению со называется предел
а/ =	У)
Эсо ‘-о	t
«>0
(если он существует). Подчеркнем, что при вычислении этого предела предполагается, что4 стремится к нулю, принимая положительные значения, поэтому можно еще сказать, что б/(х, у)
—— есть правая производная в точке t = О от функции f {х + tcox, У + tCOj,) ПО t.
12*
356 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Можно, как в случае функций от одной переменной, говорить о правой и левой частных производных пох. Надо учесть, что производная по направлению положительной оси х совпадает с правой частной производной по х, однако производная по направлению отрицательной оси х имеет знак, противоположный знаку левой производной по х.
§ 8.5. Дифференцируемые функции
Для простоты будем рассматривать трехмерный случай; в n-мерном случае рассуждения аналогичны. Случай п = 1 был специально рассмотрен в § 4.7.
Пусть на открытом множестве Gd R3 (определение открытого множества см. § 8.3, мелкий шрифт) задана функция и = f (х, у, z), имеющая в точке (х, у, г) 6 G непрерывные частные производные первого порядка. Отсюда автоматически следует, что эти частные производные существуют в некоторой окрестности (х, у, z), хотя, быть может, они в точках, отличных от (x,y,z), не являются непрерывными. Рассмотрим приращение fn(x,y,z),соответствующее приращению (Дх, Ду, Аг), где |Дх|, |Ду|, |Дг| меньше 5 и 5 достаточно мало, чтобы точка (х + Дх, у + Ду, z +\z) не выходила из указанной окрестности. Имеют место равенства (пояснения ниже):
Ди = f (х + Дх,	у + Ду, z + Дг) - f (х, у, z) =	(1)
= f (х + Дх,	у + Ду, г + Дг) - / (х, у + Ду,	г	+ Дг)	+	(2)
+ /(х, у + Ду, г + Дг)-/(х, у, г + Дг) +	(3)
+ f(x, у, z + Дг)	-	/ (х,	у, z) = (4)
= f х (х + 0(Дх, у + Ду, г + Дг)Дх +
+ f'y (*> У + 02Ау, 2 + Аг)Ду +	(х> У’ 2 + 03Az)Az =	(5)
= (fx (х, у, г) + Е,)Дх + (fy (х, у, z) + £2)Ду +
+ (А (х, у, г) + £3)Дг = (6), = f х (х, у, г)Дх + f (х, у, г)Ду + f г (х, у, г)Дг + о (р) (7) (Р - 0),
0 < 0J, 02, 03 < 1, р = ->/Ах2 +Ду2 + Дг2, Si, е2, е3 0	(8)
(р-0).
18.5. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
357
Переход от (2) к первому члену (5) обосновывается так: функция f (Е,, у + Ду, z + Ди) от Е, (при фиксированных у + + Ду, г + Дг) имеет по условию производную (по на отрезке [х, х + Дх], и к ней применима теорема Лагранжа о сред нем. Аналогичные пояснения ко второму и третьему членам (5). Переход от (5) к (6) чисто формальный: мы положили, например,
Гх (х + 0jAx, у + Ду, г + Ди) = f х (х, у, г) +
Но не формален здесь факт, чтоЕ] 0 прир -* 0. Он следует из предположенной непрерывности fxe (x,y,z). Наконец, переход от (6) к (7) сводится к утверждению, что имеет место равенство
Ej Дх + £2Ду + Е3Д2 = О (р)	(Р — 0).
В самом деле, так как |Дх|, |Ду|, |Аг| < р, то при р -* 0
|EjAx + в2Ду + Е3Дз|/р < IeJ + |е2| + |е3| - 0.
Мы доказали важную теорему:
Теорема 1. Если функция и —f имеет непрерывные частные производные (первого порядка) в точке (х, у, z), то ее приращение в этой точке, соответствующее достаточно малому приращению (Дх, Ду, Аг), можно записать по формуле
Ьи = Дх + |{Ду + Аг + о(р) (р - 0),	(9)
дх ду дг
р = 7а’с2+д«/2+Д22 »
где частные производные взяты в точке (х, у, г).
Так как значения частных производных в правой части (9) не зависят от Дх, Ду, Дг, то из условий теоремы 1 следует, что приращение f в (х, у, г), соответствующее приращению (Дх, Ду, Аг), может быть записано по формуле
Ди =АДх + ВДу + САг + о (р) (р — 0),	(10)
где числа А, В, С не зависят от Дх, Ду, Дг.
358 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Сделаем следующее определение: если приращение функции / в точке (х, y,z) для достаточно малых (Дх, Ду, Az) может быть записано в виде суммы (10), где А, В, С — числа, не зависящие отДх, Ду, Да, то говорят, что функция /дифференцируема в точке (х,у, г/Таким образом,дифференцируемость функции f в (х, у, г) заключается в том, что ее приращениеAf в этой точке можно записать в виде суммы двух слагаемых: первое слагаемое есть линейная функция ААх + ВДу + САг от (Дх, Ду, Да) — она называется главной линейной частью приращения Af, второе же слагаемое вообще сложно зависит от приращений Ах, Ау, Az, но если стремить их к нулю, то оно будет стремиться к нулю быстрее, чем р = -Jax2 + Ду2+Дг2 •
Легко видеть, что если функция / дифференцируема в точке (х, у, в), т. е. представляется равенством (10), то она имеет в этой точке частные производные первого порядка,
равные
< = в, ^=С.
дх ду дг
(Н)
Например, первое равенство (11) доказывается так. Пусть приращение / в (х, у, а) записывается по формуле (10). Если считать в последней Дх = h, Ay = Аг — 0, то получим равенство Axhu = Ah + о(Л) (h —► 0). После деления его на h и перехода к пределу получим
л-о h дх
Из сказанного следует
Теорема 2. Для того чтобы функция f была дифференцируемой в точке, необходимо, чтобы она имела в этой точке частные производные, и достаточно, чтобы она имела в этой точке непрерывные частные производные.
Напомним, что для функции f одной переменной существование у нее производной в точке х является необходимым и достаточным, чтобы она была дифференцируемой в этой точке.
8 8.5. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
359
Из (10) следует, что если функция дифференцируема в точке, то она обязательно непрерывна в этой точке.
Пример 1. Функция f (х, у, г), равная нулю на координатных плоскостяхх = 0, i/ = 0, г = 0и единице в остальных точках Rs имеет, очевидно, частные производные, равные нулю в точке (0,0,0), но она, очевидно, разрывна в этой точке и потому не может быть в ней дифференцируемой. Таким образом, одного существования частных производных в точке недостаточно для дифференцируемости и даже непрерывности в этой точке.
Отметим отличие многомерного случая от одномерного. При л = 1 свойство дифференцируемости f в х записывается в виде равенства Af = ААх + о (Ах), следовательно, еслиА * 0, то остаток стремится к нулю при Ах -* 0 быстрее главной части. При п > 1 это уже не так, например при п — 3, каковы бы ни были числа А, В, С, одновременно не равные нулю, всегда можно стремить Ах, Ay, Az к нулю так, чтобы при этом постоянно выполнялось равенство ААх + ВАу + CAz = 0, но тогда в (10) остаточный член о (р) вообще больше главного. Впрочем, если мы заставим Ах, Ay, Az стремиться к нулю так, чтобы выполнялась пропорциональность Ах : Ay : Az = А : В : С, то тогда главная часть приращения будет величиной, имеющей строго порядок р, и остаток будет стремиться к нулю быстрее главной части.
Пример 2. Функция и = |х| (у +1) непрерывна в точке (0, 0). Однако легко видеть, что не существует в этой точке. Следовательно, и не дифференцируема в точке (0,0).
Если функция f дифференцируема в точке (х, у, г), то главная линейная часть ее приращения в этой точке называется еще дифференциалом f в этой точке, соответствующим приращениям (Ах, Ay, Az) независимых переменных. Он записывается так:
df = &Ax + ~-Ay + ^-Az. дх ду * дг
О других обозначениях мы будем еще говорить в § 8.9.
360 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 8.6. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Рассмотрим для примера функцию z = f (х, у)
от двух переменных, которую будем предполагать дифференцируемой .
Мы хотим вычислить эту функцию в точке (х, у), где
х = +ап,а1,а2...,
У = ±P0.Pt.P2 •••>
Приближенные значения этих чисел запишем в виде конечных десятичных дробей
х + Дх = ±a0,aj,a2 .... а4, у + Ду = ±Р0,ррр2 Р*.
Таким образом, имеют место приближенные равенства
х ~ х + Дх, у~у + Ду
с абсолютными погрешностями приближения, удовлетворяющими неравенствам
|Дх| < 10"*, |Ду| < ЮЛ
Подставив в функцию f вместо х, у соответственно х + + Дх, у + Ду, получим приближенное равенство
f (х, у) ~ f (х + Дх, у + Ду) с абсолютной погрешностью
|Дг| = \f (х + Дх, у + Ду) -f (х, у)|, которую при достаточно малыхДх, Ду можно приближенно заменить дифференциалом функции f в точке (х, у):
IAz| ~ \dz\,	dz = ~t\x + ^~txy.
’	дх	ду
Отсюда получаем неравенство
ьм «If
ду
(1)
8 8.6. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ 361
На самом деле это неравенство приближенное, потому что мы получили его, пренебрегая некоторой величиной, правда, значительно меньшей, чем Дх, Ду.
Обратим внимание на тот факт, что конечные десятичные дроби х + Дх, у + Ду при уменьшении |Дх|, |Ду| становятся все более и более громоздкими. Поэтому при вычислении числа f (х + Дх, у + Ду) мы должны беспокоиться не только о том, чтобы оно приближало f (х, у) должным образом, но и чтобы производимые при этом вычисления совершались возможно экономно. В силу этого замечания из неравенства (1) следует, что если нужно, чтобы абсолютная погрешность |Дз| не превышала данную малую величину, которую мы обозначим через 2Х, то этого мы достигнем, взяв числа |Дх|, |Ду| такими, чтобы выполнялись неравенства
If Ч
(2)
т. е. чтобы погрешность |Дз| распределялась между слагаемыми в правой части неравенства (1) поровну.
Из неравенств (2) видно, что вычисления будут наиболее экономными, если в качестве |Дх|, |Ду| (на самом деле 10'*, 10-/) взять наибольшие возможные числа, удовлетворяющие этим неравенствам.
Пример 1. Функция z=In (ху) имеет для х> 0, у>0 непрерывные частные производные, равные
5z _ 1 8г_1
Sx х' ду у'
Поэтому приближенное равенство
z = In ху я In [(х + Дх) (у + Ду)]
имеет абсолютную погрешность, которая при малых приращениях Дх, Ду, если пренебречь величинами, значительно меньшими этих приращений, удовлетворяет неравенству
|Дг| « |~|+
Ду
у
(х, у > 0).
362 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Если требуется, чтобы гарантированная погрешность была меньше 2Х, надо подобрать Дх, Ду так, чтобы
Мы видим, что числа Дх, Ду не обязательно должны быть равными. Если, например,х значительно меньше, чем у, то соответственно надо взятьДх меньшим, чем Ду. Иначе наши вычисления были бы неэкономными. Если бы, например, было, что
I Дх1
I х I
Ду у
< Х2,

где Xj < 0,1, Х2 < 0,0001, то оказалось бы, что
1—1
I х I
Ду У
<0,1001,
и при этом на вычисление второго слагаемого
Ду У
, ввиду
излишней малости Ду, мы потратили бы излишнюю работу. Между тем вычисления упростятся, если взять возможно большие |Дх|, |Ду|, удовлетворяющие неравенствам
I—I « 0,05, —
1x1	у
< 0,05.
Пример 2. Функция г = ху имеет непрерывные ча
стные производные = у, “ = х. Поэтому приближенное
равенство
г = ху ® (х + Дх) (у + Ду)
имеет абсолютную погрешность |Дх|, которая при малых приращениях Дх, Ду, если пренебречь величинами, значительно меньшими этих приращений, удовлетворяет соотно
шениям
|Дз| « |dz| < |уДх| + |хДу|.
8 8.6. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ 363
Соответственно относительная погрешность удовлетворяет соотношениям
lAzl я I dzUl Ах |+ Ау I г Г1 z Г| х I у
Мы видим, что при малых Дх и Ду можно считать, что относительная погрешность произведения не превышает сумму относительных погрешностей сомножителей.
Пример 3. Функция z = — для у Ф О имеет непре-У
рывные частные производные
9z _ 1 дг_-_х.
дх у’ ду уI 2’
Поэтому приближенное равенство
2_ хх+Ах у~у+Ау
имеет абсолютную погрешность |Az[, которая при малых приращениях Ах , Ду, если пренебречь величинами, значительно меньшими, чем Ах, Ду, удовлетворяет соотношениям
|Az|« |dz| <
A® + Af
V V
Соответственно относительная погрешность удовлетворяет соотношениям
I Azl-ldzl.g-l Axl t Ау
I z ГI z I I х I у
Таким образом, при малых Ах и Ау можно считать, что относительная погрешность частного не превышает сумму относительных погрешностей делимого и делителя.
Примечание. Вопрос о точных оценках величин, которыми мы пренебрегали, решается на основании формулы Тейлора для функций многих переменных. Об этом будет идти речь в § 8.10.
364 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 8.7. Касательная плоскость.
Геометрический смысл дифференциала
Пусть задана поверхность S, описываемая функцией
z = f(x, у),
(1)
имеющей непрерывные частные производные на некоторой области плоскости х, у (можно считать, что f дифференцируема в каждой точке области).
Касательной плоскостью к поверхности S в ее точке Мо = (х0, у0, г0), г0 = f (х0, у0) называется плоскость, имеющая уравнение
(Х-х0) + [ЭД (Y-у.),	(2)
kdxA> \ду)о
гдеХ, Y, Z — текущие координаты, а| ~	] — значе-
\.dxJo \ду)0
ния частных производных от f в точке Ро = (х0, у0).
Обозначим плоскость (2) через П. Она проходит через точку Мо поверхности S и обладает свойством, отличающим ее от других плоскостей, проходящих через Мо.
Пусть Р = (х, у) есть точка плоскости х, у, близкая к Ро= (хо» Уо) (Рис- 96). Прямая, проходящая через Р параллельно оси z, пересекает П в точке Т, а поверхность S — в точке М. Аппликата М равна
z = f(x, у),
аппликата же Т равна
Z = f (Хо, у0) + (ЭД (х- х„) + [ЭД (у-у0). vox/о	\dyjo
Расстояние между точками М и Т равно
|М Т| =
/U Уо)-(ЭД	(У-Уо)
\oxJo \uyJo
. (3)
Расстояние же между точками Р и Ро равно
р = 7(x-V+(y-y0)2 •
§ 8.7. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
365
Так как функция f по условию имеет непрерывные частные производные в точке (х0, у0), то она дифференцируема в этой точке, поэтому правая часть (3) стремится к нулю быстрее, чем р, т. е.
|МТ| = о (р) (р - О).
Мы доказали, что касательная плоскость П
к поверхности S в ее точ-кеМ0=(х0, у 0, z0) проходит через эту точку и обладает свойством: расстояние в направлении оси г от произвольной точки (х, у, f (х, у)) поверхности S до П есть о (р) (р -♦ О), где р — расстояние между точками (х, у) и (х0, у0) плоскости х, у.
Это свойство является характерным для касательной плоскости, потому что если некоторая плоскость П' вида
Z-z0 = a(x-x0) + 6(y-p0)	(20 = f(x0, у0У)
обладает этим свойством, т. е. если для нее выполняется равенство
f(x, y)-f (х0, y0)-a(x-х0)-Ь(у-у0) = о(р) (р — 0) или, что все равно, равенство
f (х, у) - f (х0, у0) = а(х- х0) + Ъ (у-у0) = о (р) (р — 0), то, как мы знаем, f дифференцируема в (х0, у0) и
\dxJo \dyjo
т. е. плоскость П' есть касательная плоскость к S (П' = П).
Таким образом, для того чтобы поверхность S имела касательную плоскость в ее точке (х0, у0, f (х0, у0)), необ-’ ходимо и достаточно, чтобы функция f была дифференцируемой в точке Ро = (х0, у0).
366 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Правая часть уравнения (2) есть дифференциал f в точке (х0, у0)
соответствующий приращениям (х - х0, у - у0). Левая же часть (2) есть соответствующее приращение аппликаты касательной плоскости П.
Таким образом, с геометрической точки зрения дифференциал функции f в точке (х0, у0) для приращений (х -— х0, у — у0) есть приращение аппликаты точки касательной плоскости к поверхности z = f(x, у) в точке (х0, у0) для тех же приращений.
Замечание. Если функция z = f (х, у) не дифференцируема в точке (х0, у0), хотя и имеет в ней частные производные, то плоскость (2) не имеет смысла называть касательной плоскостью к поверхности z = f (х, у) в указанной точке — для нее разность f (х, у) - Z не стремится к нулю при р — О быстрее р. Например, если функция z = f (х, у) равна нулю на осях х и у и единице в остальных точках плоскости х, у, то fx (О, О) = f (О, О) = 0 и уравнение (2) есть Z = О и разность f(x, y)-Z=f(x,y)-0=l для всех точек (х, у), не лежащих на осях х и у. Таким образом, эта разность даже не стремится к нулю при р —► 0.
§ 8.8. Производная сложной функции.
Производная по направлению. Градиент
8.8.1. Производная сложной функции Ограничимся рассмотрением функций трех переменных, определенных на открытом множестве Gcz R3 (определение открытого множества см. § 8.3, мелкий шрифт). Распространение излагаемых здесь фактов на n-мерный случай производится аналогично.
Теорема 1. Пусть функция
и = f (x.y.z)	(1)
8 8 А ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ 367
ифференцируема в точке (x,y,z)eG,a функции
x = <p(t),	y=y(t), z = %(t),	(2)
зависящие от скалярного параметра t, имеют производную в t. Тогда производная по t от сложной функции (производная от f вдоль кривой (2)) и — F (t) =/ (<р (t), \|/ (t), X (t)) вычисляется по формуле
F' (О = fx (Ф (О» V (*)> X (О)ф' (') +
+ fy (Ф (О, Ф (О, X (*))ф' (О + Л (Ф (О» V (О. X (О)Х' (О-или, короче,
du _ df dx f df dy f df dz .
dt dx dt dy dt dz dt	>
В самом деле, вследствие дифференцируемости f в (х, у. г), каково бы ни было достаточно малое приращение (Дх, Ду, Аз),
Au = / (х + Дх, у + Ду, г + Аз) - f (х, у, з) = Дх + ^-Ау + '	*	dx ду
+ ^Аз + о (р)	(р = -<]лх2+&у2+&г2 -* 0).	(4)
dz
Значению t, которому при помощи равенств (2) соответствует точка(х, у, г), придадим приращениеДЛ Оно вызовет приращения Дх, &у,&г функций (2). Если именно их подставить в (4), то получим приращение F (t + At) - F (t) = Au функции F в точней После деления (4) HaAt и перехода к пределу получим
Г (t) = lim-Aiz = д^о At
lim( Ax i 8t i 8t Az I	i i 8t dz
M~<\dx At T dy At dz At At) dx dt dy dt dz dt ’
t. e. (3), потому что функции (2) имеют производные, а
=е(р)
At tlH7VAt/ VAtJ 'At'
- 0-^ + y'2 + z^ =0	(At - 0)
(At О влечет p —* 0).
368 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Замечание 1. Если функции х, у, г зависят от многих переменных, например от двух:
х = (р (t, т), y = \|/(t,T), z = x(t,T), то, фиксируя сначалат, а затем t, на основании (3) получим
Эп _ gf Эх t gf 5у | gfdz ди ^df дх df ду df дг dt дх dt ду dt dz dt ’ дх дх дх ду дх дг дх
8.8.2.	Произвол ная по направлению
Теорема 2. Если функция f дифференцируема в точке (х, у, г), то для нее имеет смысл производная по направлению любого единичного вектора п = (cos a, cos Р, cos у), выражаемая формулой
df df	df	о df
-^- = ~cosa+-L-cos^+-^-cosy	(5)
дп дх	ду дг	v 1
(а, Р, у — углы, которые вектор п составляет с осями х, У, z).
Доказательство. Согласно определению производной по направлению (см. § 8.4) и в силу предыдущей теоремы
gf _lin^/^+tcosa, y + tcosp, z + tcosy)-f(x,y,г)_ дп ‘~о	t
/>0
= -y-f(x + tCOSa, y + tcosp, 2 + tat
= — cosa+—^-cosP+-~-cosv, dx dy dz
где частные производные взяты в точке (х, у, г).
Замечание 2. Теорема 2 не обратима, т. е. если функция f имеет производную в точке (х, у, г) по всем направлениям, то она не обязательно дифференцируема в этой точке. В качестве примера можно рассмотреть функцию f
8 83. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ 369
от двух переменных, равную нулю всюду, кроме точек у *» = хг (х > О), где она равна единице.
Если х = ф (з), у = у (s), z = х (в) — уравнения гладкой кривой Г, где параметр з — длина дуги, то величины
dx ,, „ dy , dz ,, .
суть направляющие косинусы вектора касательной к Г. Поэтому величина
Ц- = Ф' (8) +	(«) +	(s) = y-f (ф («), V (8), х (s),
ds дх ду dz ds
где f — дифференцируемая функция, есть производная по направлению указанного касательного вектора. Говорят еще,
что есть производная от f вдоль Г.
ds
8.8.3.	Градиент функции. Введем вектор
, , (df df df\
gradf = -Ч ,	(6)
\дх ду дгJ
называемый градиентом функции f в точке (х, у, г).
Формула (5) говорит, что производная omfe точке (х, у, г)по направлению единичного вектора правна проекции градиента в этой точке на направление п:
= (grad f, п) = grad„ f.	(7)
дп
Имеет место очевидное неравенство
|£«|gradfl	(8)
ип
для любого вектора п. Если grad f = О, что обычно бывает
df _	,
только в исключительных точках, то ~г~ = О для любого
дп
вектора п. Если же grad f * О (одна из частных производных от f не равна нулю), то (8) есть строгое неравенство для
370 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
всех единичных векторов п, за исключением единичного вектора n0= (cos u(), cos Ро, cos у0), направленного в сторо-
ну grad f - |grad f\ > 0). Таким образом, ди,,
cosy0 =
(9)
Из сказанного следует, что градиент функции f в точке (х. у, г) можно определить как вектор, обладающий следующими двумя свойствами:
1)	длина его равна максимальной величине производ-нои по направлению в (х, у, г) (для дифференцируемой
СИ.
в (х, у, г) функции этот максимум существует и есть число неотрицательное);
2)если его длина не равна нулю, то он направлен в ту же сторону, что и вектор п, вдоль которого производная df
—— максимальна, on
Пр и м е р 1. Пусть температура и тела G есть функция от точки (х, у, г):
u = f(x, у, г),	(х, у, z) е G (Gc Б3)
и пусть grad и * 0 в некоторой определенной точке (х, у, г). Выпустим из этой точки вектор, равный grad и. Вдоль это
18Я. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ ТО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ 371
го вектора скорость возрастания температуры и в (х, у, г) наибольшая, равная положительной величине |grad u|.
Если же в рассматриваемой точке grad и = 0, то в любом направлении, выходящем из этой точки, скорость изменения температуры равна нулю.
Задача. Найти градиент функции и = хг+у6 в точках (1, О), (О, 1), (1/72, 1/72).
8.8.4.	Однородные функции. Введем в рассмотрение так называемые однородные функции. Пусть задан вектор Х=(Хр ...,/„), где\—произвольные числа. Функция/(хр ...,х^, заданная на Rn, нязъгвается'к-однородной степени т, если для всякого t > 0 и любых х = (хр ..., х„) е Нп выполняется равенство:
ц
f(t\,.... tSJ = tmn f (Гр ..., х„),	(10)
где |Х| =
i=i
Если Z.J = ... = Хп = 1, то / называется просто однородной функцией степени т. Ниже будем считать, что частные производные f*. (i = 1,.... п) непрерывны в Rn.
Теорема 3. Для того чтобы функция f была "к-однород-ной степени т, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
T^ixfXi •••> xJ = ^f <*i’ —	<п)
Если функция f однородная степени т, то мы получаем известную теорему Эйлера.
Доказательств о. Необходимость. Пусть /является /.-однородной функцией степени т; тогда, дифференцируя тождество (10) по t как сложную функцию, получим
df^x^ ...
дх,
/(Хр ...,Х„).
п
Полагая в этом равенстве t = 1, получаем равенство (11).
372 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Достаточность. Пусть теперь имеет место равенство (11). Зафиксируем точку х = (хр.... хл) и составим функцию
<р (t) = t nf[t 'хр ...» t "хл).	(12)
Дифференцируя эту функцию по t, находим:
t пХ4’(^1х1’	* ~
ф' (О = —---------------------+
t п
.... Лх„) +
t "
...^-m^f^x., .... iS„) ^
= J.j	__	0.
t n
Последнее равенство имеет место в силу (11) для точки (^х,..... Лх„).
Таким образом, ф' (t) = 0 иф (t) = с. Постоянную с находим из условия, что при t = 1 ф (1) = /(Xj, .... х„). Значит, из (12) имеем
f (t 'Хр .... t -Xn) = t n f(xlt .... x„), т. e. функция f является X-однородной степени тп.
§ 8.9. Дифференциал функции.
Дифференциал высшего порядка
Основные рассуждения в этом параграфе ведутся в n-мерном пространстве. Мы думаем, что это не затруднит читателя.
Рассмотрим функцию
W^f(x) = f(x1,...,xn),	(1)
заданную на некотором открытом множестве G G Нп
I 8.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА	373
(см. § 8.3). Ее можно бесконечным числом способов записать в виде
Т7 = ф (и) = ф (ир ..., ит),	(2)
где
и;= у;(х) (j - 1,.... т: х е G).	(3)
Ниже мы будем употреблять следующую терминологию: переменная W есть функция от независимой векторной переменной х; эта же переменная W есть функция от зависимой векторной переменной и. Последняя зависит от независимой переменной х: каждому вектору х из G соответствует вектор и = (ц/j (х),..., фт (х)).
Таким образом, роль векторной переменнойх здесь носит исключительный характер — она в приводимых ниже рассуждениях будет фигурироватьтполько как независимая переменная.
Пусть функция f имеет непрерывные частные производные первого порядка в точкех g G. Тогда, как мы знаем из § 8.5, она дифференцируема, т. е. приращение ее в этой точке может быть записано в виде
Дх,+ о(р) (р - О),	(4)
/=1 ОХ)
Й\1/2
AxJJ ,
и ее дифференциал равен
=	(5)
i^dxi
Для независимых xt,..., х„ полагают
Дху= dXj (j = 1,..., n)	(6)
и называют эти величины не только приращениями независимых переменных но и их дифференциалами. Мы будем их называтънезависимыми дифференциалами в знак того, что они не зависят отх=(хр ..., хл). Формально «независимость» величин dXj будет проявляться в том, что при
374 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
дифференцировании (по хрхп) они будут рассматриваться как постоянные (d (dx^ = О).
В силу соглашения (6) дифференциал W может быть записан в форме
dW=Y^-dXj.	(7)
и dxt 1 Ясно, что<Гй7 есть величина, зависящая, вообще говоря, от хг...хп и dxp ..., dxn.
Для любых двух функций и и v, имеющих непрерывные частные производные в точке х, справедливы свойства d(u + v) = du± dv,	(8)
d (uv) = udv + vdu,	(9)
= vdu-udv	(Ю)
'V'	V
и при этом частные производные от функций, стоящих в скобках, непрерывны в точке х.
Докажем, например, третье из этих равенств
Непрерывность ) видна из третьего члена цепи.
oxj
Дифференциал от функции W называют еще дифференциалом первого порядка, потому что приходится еще рассматривать дифференциалы высших порядков.
Пусть теперь функция W имеет вторые непрерывные частные производные. По определению второй дифференциал от нее, соответствующий независимым приращениям (дифференциалам) dxx,..., dxn, определяется равенством
d2W=d(dW),	(11)
где считается, что обе операции^ в правой части (Ц) берут
8 8.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 375
ся для указанных независимых dxv dxn, которые должны рассматриваться как постоянные (не зависящие от xv..., хп). Таким образом,
(12)
Так как -	, то второй дифференциал пред-
дхрх} 8xjdxi
ставляет собой квадратичную форму относительно независимых дифференциалов dxt,..., dxn. Квадратичной формой от переменных .... называется функция вида
ti/h£^rneaik = aki. j=l ы
Вообще дифференциал порядка I от W для независимых дифференциалов dxt, ..., dxn определяется по индукции при помощи рекуррентного соотношения
dlW= d (d^W) (I = 2, 3, ...),	(13)
где dl, d, d11 берутся для указанных независимых дифференциалов dxv .... dxn, которые к тому же рассматриваются при вычислениях как постоянные (не зависящие ОТ Xj..хл).
Рассуждая, как в (12), легко получим, что
<ЙГ-	dx^xt
Так как мы предполагаем, что функция f имеет непрерывные частные производные, то запись дифференциалов можно упростить.
Например, для функции от двух переменных u = f(x, у) имеем
d2u = f"2dx’ + 2f'dx dy + fldy2, X	xv	у J
376 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
d3u = d (d2u) =
, 3	, # j2.	, о 5V , . 2	, 3
= rW + 3T~2Z~dx dy + 3“ л 2djcdy +	
dx ox dy	ox dy	oy
Применяя метод математической индукции, легко получим, что
rf"“^>r,"s?Vx'"dw+-
„(и-1) (-fe+1) ay dx.-.d . +... + Дй ..
kl дхпкдук	ду
Символически это можно записать так:
dnu = dnf= < dx+ —dy\ f, |5x dy J
где в правой части мы сначала возводим выражение в степень п, а затем подписываем f при символе Э”.
В многомерном случае имеет место аналогичная символическая формула
(14)
Мы определили понятие дифференциала функции W в терминах независимых переменных хр .... х„ (или независимой векторной переменнойх). Но пусть, как это было объяснено в начале этого параграфа,!^рассматривается теперь как функция от зависимой векторной переменной и = (ир um). Возникает вопрос, как выражаются дифференциалы первого и высшего порядков в терминах этой переменной и. Начнем изучение этого вопроса в случае дифференциала первого порядка.
Будем предполагать, что функции <р (и) и (х) 0 =1, ...» т), о которых шла речь в начале параграфа, имеют непрерывные частные производные. Тогда
8W ди,' dut dXjj
dx- -
8 8.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 377
и мы получили, как в случае одной переменной, что первый дифференциал от W выражается через зависимые переменные так же, как через независимые. В этом проявляется инвариантность формы первого дифференциала.
Чтобы исследовать поставленный вопрос в случае второго дифференциала, будем предполагать, что функции ср и ^ имеют непрерывные частные производные второго порядка.
Дифференцируя обе части (15), приняв во внимание свойства (8) и (9), получим (пояснения ниже)
d2W = d (<BF) =
4 7 ы I
du
dW dut
(16)
<=1 /=1	/-1 U-U.	v z
Во втором равенстве этой цепи мы воспользовались свойством (8), в третьем же — свойством (9), и, кроме того, тем фактом, что форма первого дифференциала сохраняется и для зависимых переменных Ну. Мы видим, что второй дифференциал от ТГ, выраженный в терминах зависимых переменных Up существенно распадается на два слагаемых Первое слагаемое представляет собой квадратичную форму, аналогичную форме (12), где d2W выражалось через независимые переменные. Второе же слагаемое представляет собой некоторый добавок, с которым надо считаться: если zz; (/ = 1,..., zn) не является линейной функцией от Хр то этот добавок отнюдь не равен нулю.
Отметим, что из наших рассуждений следует, что если выражение (16) взято для dxv ..., dxn, которые фигурируют в выражении (12), то оба эти выражения тождественно равны, каковы бы ни были х, для которых существуют указанные непрерывные частные производные второго порядка и каковы бы ни были независимые dxL.
378 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Вычисление дифференциалов d3W, d*W, ... через зависимые переменные и{ производится подобным образом последовательно. Приходится считаться с тем фактом, что выражения для них становятся все более громоздкими.
§ 8.10. Формула Тейлора
Ограничимся рассмотрением функции от двух переменных. Пусть и = f (х, у) имеет в окрестности точки Ро = (х0, у0) непрерывные производные всех порядков до 1-го включительно. Возьмем в этой окрестности точкуР,=(х0 + Дх, у0 + Ду). Соединим точки Ро и Р( отрезком прямой, уравнение которого можно записать в параметрической форме следующим образом:
х = х0 + t&x, y=y0 + t&y (0 < t =£ 1).
Тогда вдоль этого отрезка наша функция и = f (х, у) будет функцией от одного переменного tt
f (х, у) = f [х0 + (Дх, у0 + tky = F (t).	(1)
Легко видеть, что разность
AZ (Ро) = f (*о + Уо + &y)-f («о* Уо) = F (1) - F (0). (2)
Формула Маклорена для функции F (() в окрестности точки t0 = 0 имеет вид
ТГ +“ (1-1)! И
(О < G < f).
Полагая t = 1, получим
F(l)-F(0) = 2^P+^^, гдеО<0<1.	(3)
*=i Kl 11
Вычислим производные функцииР (() через f (х, у). Из соотношения (1) имеем
F(t) ~ M*+tbx, V0 + tAy)Ax + df^+tAx, yQ + thy)^
$ 8.10. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
379
откуда при t = 0 получаем
Р'(0) =	+ ^(^Уо)Ау = df (ро)
Совершенно аналогично
Р" (0 “ (хо + /Ах, у0 + /Ау) Ах2 +
+ 2 Су (*о + <Лх- У о + ttyfaxty +
+ Г" (х0 + /Ах, у0 + /Ду л	F" (0) = d2f (Ро).
Продолжая этот процесс, получим
Г" (0) = d2f (Ро),.... г™ (0) = ^7(Р0)-
В силу этого из (2) и (3) имеем
ДГ (Ро) = ^1Я+-+4^+ n^f (х° + 0А*’ У° + 0Ау)-
(4)
Формула (4) называется формулой Тейлора для функции и — f (х, у). По внешнему виду она такая же, как и для функции от одного переменного, но в развернутом виде она гораздо сложнее.
Для случая функции от п переменных (п > 2) формула Тейлора записывается в том же виде (4).
При I = 1 формула Тейлора для функции f от п переменных имеет вид
/(х)-/(х°)=1;Й	(*,-л) (o<e<i),
7,0^0)
где символ( )а означает, что функция в скобках вычисляется в точке х = а. Эта формула представляет собой обобщение теоремы Лагранжа о среднем на многомерный случай.
При I = 2 и п - 2 формула (4) в развернутом виде записывается так:
f (х, у) = f (х0, у0) + |£(х0, у0) (х - х0) + ^(х0, Уо) (У ~Уо) +
2 Lax2
(х0 + 0 (х - х0), Уо + 0 (у - Уо)) (х - х0)2 +
380 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
+2-~{- (х0 + 0 (х - х0), у0 + 0 (у - у0У) (х - х0) (у - у0) + дхду
+ Оо + 6 (* - хо)> Уо + 6 (У - Уо)) (У-УоИ-Sy	J
При I = 2 и произвольном п формула (4) выглядит следующим образом:
где х = (X!.........х„),	х° = (xf,...» х°).
§ 8.11. Замкнутое множество
МножествоА с Rn =R называется ограниченным, если существует число М > 0 такое, что
|х| < М \/х е А, иначе говоря, если существует шар вй с центром в нулевой точке, содержащий в себе А.
Множество А называется замкнутым, если из того, что какая-либо последовательность точек xft(A = 1,2,...), принадлежащих кА, сходится к точке х° 6 R (х* -* X , хке G А) следует, что х° принадлежит к А (х° G А).
В этом определении не утверждается, чтоА содержит в себе сходящуюся последовательность. В нем говорится только, что если в А существует сходящаяся последовательность, то точка, к которой она сходится, принадлежит кА.
Это показывает, что надо считать, что пустое множество замкнуто. Все пространство Rn тоже, очевидно, замкнуто, но неограничено.
§ 8.11. ЗАМКНУТОЕ МНОЖЕСТВО
381
Рассмотрим в качестве примера эллипсоид в трехмерном пространстве
2	2	2
^+^+^ = 1	(а, b ,с > 0),	(1)
а о с
т. е. множество точек (х,у, z), удовлетворяющих уравнению
(1). Обозначим это множество через В. Это ограниченное множество, потому что для любой его точки (г, у, г) выполняется неравенство
( 2	2
х + у2 + z2 < ml 2 +^2 + I = т ’ 1 - т>
Va Ъ с )
где т а2, Ъ2, с2. Оно также замкнуто, потому что если задать произвольную последовательность точек (xk, ук, е В, стремящуюся к точке (х0, у0, z0), то эта последняя тоже принадлежит к В. Ведь из равенства
2	2	2
4+^+4 = i (fe=i>2,...)
а b с
после перехода к пределу при Л —► оо следует равенство
показывающее, что (х0, у0, z0) G В.
Рассмотрим теперь более обширное множество А, состоящее из точек (х, у, г), координаты которых удовлетворяют неравенству
2	„2 г
< 1.	(2)
а b с
МножествоА, очевидно, тоже ограничено. Оно и замкнуто, потому что если
(**>	**) е A (k = 1, 2, ...),
т. е.
382 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
и (ха> Ук’ z>) (хо» Уо> zo>> то очевидно,
т. е. (х0, у0, z0) е А.
В связи с этим интересно рассмотреть еще третий пример множества А' точек (х, у, г) с координатами, удовлетворяющими строгому неравенству
2	2	2
< 1.	(3)
а Ъ с
Множество А' открытое (см. § 8.3), оно не замкнуто. Возьмем, например, последовательность точек (afc, 0,0), где ак стремится к числу а, строго возрастая. Тогда (aft, О, 0) е е A' (k = 1, 2,...) и (aft, 0, 0) -* (a, 0, 0). Однако предельная точка (а, 0, 0) не принадлежит кА'.
Рассмотренные примеры легко обобщаются. Пусть на всем пространстве Rn задана непрерывная функция F (х) = F (х,, ..., хп). Тогда множество В всех точек х = (хр ...»хп), для которых выполняется равенство
Р(х) = Р(хр„., хп) = С,	(4)
где С — произвольное число, замкнуто.
В самом деле, может случиться, что нет вовсе точекх, удовлетворяющих равенству (4), т. е. В — пустое множество, но пустое множество замкнуто. Пусть теперь В не пустое множество и некоторая последовательность точек {х*}, принадлежащих к В, сходится к точке х° е Rn (если В состоит даже из одной тонких0, то можно уже построить сходящуюся последовательность точек, принадлежащих кВ, а именно, {х , х ,...}). Тогда F (х*) = С (fe - 1, 2, ...), и в силу непрерывности F в о точке х
limp (хк) = F (х°) = С.
fe—
Но тогда х° е В, т. е. множество В замкнуто.
Подобным образом множество всех точекх, удовлетворяющих неравенствуВ (х) < С, где С — произвольное число, аР —
5 ail. ЗАМКНУТОЕ МНОЖЕСТВО
383
функция, непрерывная наВп> замкнуто, потому что из соотношений
F (х*) « С (* - 1, 2, ...), х* - х°
вследствие непрерывности F на Rn следует: F (х°) < С. В силу сказанного n-мерный эллипсоид
(5)
есть замкнутое множество в Rn.
Замкнутым множеством в Rn является также «-мерный объемный эллипсоид
(6)
Однако множество
которое естественно назвать n-мерным открытым объемным эллипсоидом, не замкнуто. В этом можно убедиться, рассуждая, как в случае формулы (3), Это множество открытое (см. § 8.3).
Пусть А есть произвольное множество, принадлежащее к Rn, их0 — произвольная точка Rn (Acs 7?п, х° е 7?п). Может быть только три взаимно исключающих друг друга случая:
1.	Существует шар Уо (открытый) с центром в точке х°, *
полностью принадлежащий кА (Уо с А). В этом случае х° по
определению есть внутренняя точка множества А (см. § 8.3).
2.	Существует шар Vo с центром в х°, все точки которого не принадлежат к А (У 0 <= БП\А). В этом случае о
х по определению есть внешняя точка множества А.
3.	В любом шаре Vo с центром в о
х имеются точки, принадлежащие и
384 ГЛАВА 8, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
не принадлежащие к А. В этом случае х° по определению есть граничная точка множества А.
МножествоА' всех внутренних точек множестваА называ-етсяоткрытым ядром А.Это — открытое множество (см. § 8.3). ЕслиА' не пусто, то каждую точку А' можно покрыть шаром с центром в ней, полностью принадлежащим к А Если А' — пустое множество, то оно формально считается открытым.
Множество Г = дА всех граничных точек А называется границей множества А Это — замкнутое множество, потому что, если х* -► х° и х* 6 Г (k = 1, 2, ...), то всякий открытый шар Vv с центром в х° содержит в себе некоторую точку х*.
X
Последнюю можно покрыть шаром Vh с .центром в ней, пол-X
ностью принадлежащим к Уо (VA с Уо). Но в V k имеются XXX	X
точки, принадлежащие и не принадлежащие кА, но тогда и в Vo имеются точки, принадлежащие и не принадлежащие к А. Следовательно, х° 6 Г.
Множество А' всех внешних точек множества А, очевидно, открытое.
Граничные точки А могут принадлежать и не принадлежать к множеству А.
На рис. 97 МножествоА с jR2 состоит из точек (хр х2):
2	2 , ,
х1 +хг «£ 1.
Открытое его ядро состоит из точек
х, +хг< 1.
Внешность А’ множестваА:
х1 +хг> 1.
Граница Г множестваА:
2	2,
х1 +хг — 1.
А и А' открытые, Г и А' + Г = А = А замкнутые.
Итак, если задано произвольное множество А с: Вп, то по отношению к нему пространство Rn можно представить в виде суммы множеств, определенных выше, попарно не пересекающихся:
R = А'+Г + А".
S 8.11. ЗАМКНУТОЕ МНОЖЕСТВО
385
Если в качестве множества А рассмотреть n-мерный замкнутый объемный эллипсоид (6), тоА' есть открытый объемный эллипсоид (7), а Г есть эллипсоид (5).
Если А — открытое множество, то Rn\A замкнутое, и обратно. В самом деле, пустьА — открытое, и пусть хк —» х°, хк 6 КП\А Если бы точка х° принадлежала к А, то в силу того, что А — открытое множество, нашелся бы шар Vo (с центром в х°), полностью принадлежащий кА. Но это невоз-ь
можно, потому что в Vo имеются точки х , которые принадлежат к/?п\А.Таким образом,»0 g Rn\Аи7?„\А замкнуто.
Пусть теперь А замкнуто и точка х° G Rn\A. Если бы точка х° была граничной точкой А, то в любом шаре Vo с центром вх° были бы точки А. Тогда можно было бы построить последовательность точек хк е А, сходящуюся к х°. Но тогда вследствие замкнутости А точка х° принадлежала бы к А, что противоречит предположению, что х° е Rn\A. Мы доказали, что произвольная точках 6 ЯП\А есть внутренняя точка 7?П\А, т. е. что К„\А — открытое множество.
МножествоА+Г называетсязамыканиемАи обозначается так:
А=А+Г.
Очевидно,
А' +Г=А+Г,
потому что, с одной стороны,А' с А, и, следовательно, А' +Г с: с: А + Г, а с другой, если х 6 А + Г, то либо х е Г, и тогда х е е А' + Г, либо х 6 А и х 6 Г, но тогда х е А' с А! + Г.
Далее, А = А + Г — замкнутое множество, потому что внешность А + Г=А'+Г — открытое множество.
Таким образом, чтобы получитьА, надо добавить кА все не принадлежащие к множествуА его граничные точки.
Если А замкнуто, то
А=А+Г=А,
т. е. все граничные точки А принадлежат кА Ведь 7?П\А открыто и каждая точках0 G 7?П\А может быть покрыта шаром Vo, не содержащим в себе ни одной точки А. Но и обратно, если
А=А + Г=А,
13 — Бугров. Том 2
386 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
то А замкнуто, потому что если хк —► х°, х* е А и если предположить, что х° G А, то получится противоречие, потому что тогда х° G Г G А + Г = А.
Таким образом, для того чтобы множество А было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы с ним совпадало его замыкание (А=А). В частности, А всегда замкнуто, и потому А — А.
Наконец, отметим, что пустое множество и все пространство Rn являются одновременно открытыми и замкнутыми множествами. Можно доказать, что в остальных случаях, если множество А открыто, то уж не замкнуто, а если замкнуто, то не открыто.
§ 8.12.	Непрерывная функция
на замкнутом ограниченном множестве
ПустьА есть пока произвольное множество пространства R = Rn, и пусть на А определена функция / (х) = f (хр .... х„). Может случиться, чтофункция f определена не на всей окрестности тонких0 6 А (А — замыкание А), а только на некоторой ее части. В этом случае возникает понятие предела функции f в точке х° G А по множеству А.
Число В называется пределом функции f в точке х° е Апо множеству А, если
f(xk) = B,
х -*х ,х сА
какова бы ни была последовательность точек хк е А, схо--	о
дящаяся к х .
По определению, функция f непрерывна в точке х° е е Апо множеству А, если имеет место равенство
lin^ f(^ = f(x°),	(1)
X—х ,х еА
какова бы ни была последовательность точек хк е А, схо-дящаяся к х .
Приведенное определение непрерывности можно сфор
I М2. НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ НА ЗАМКНУТОМ ОГРАНИЧЕННОМ МНОЖЕСТВЕ 387
мулировать и на языке Е, 8: функция f непрерывна в точке ж0 G А, если для любого Е > О найдется 8 > О такое, что
|/(х) - / (х°)| < Е Vx g А, |х-х°|<8.
Теперь мы будем предполагать, что А есть ограниченное замкнутое , множество пространства R и заданная на А функция f (х) непрерывна на этом множестве. В этих предположениях можно доказать следующие замечательные свойства:
1)	Функция f ограничена на множестве А
2)	Функция f достигает на множестве А максимума и минимума, т. е. существуют в А точки х° и у° такие, что
f (х°) = шах/ (х),	f (у0) = шах/ (х).
хеА	хеА
3)	Функция / равномерно непрерывна на множестве А, т. е. для всякого е > 0 найдется такое 8 > 0, что
|f(x'W(x")|<E
для любых х', х" G А, удовлетворяющих неравенствам |х' - х"| < 8.
Как мы видим, свойства 1), 2), 3) обобщают известные уже нам свойства непрерывной функции f (х) от одной переменной х, заданной на отрезке [а, &]. Подчеркнем, что отрезок [а,Ь] есть ограниченное замкнутое одномерное множество. Ведь если какая-либо последовательность точек (чисел) хл, принадлежащих к отрезку [а, Ь], сходится к некоторой точке (числу) х0, то эта точка принадлежит к [а, Ь] (х0 е[щ&]).
Доказательство свойств 1), 2), 3) совершенно аналогично доказательству их для отрезка [а, &], приведенному в § § 3.5 и 3.7. Оно всецело базируется на следующей лемме, обобщающей соответствующую одномерную теорему Боль-цано-Вейерштрасса из § 2.9.
Лемма. Из всякой ограниченной последовательности точекхк = (xf,..., x*J (k — 1, 2,...) можно выделить под
13*
388 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
последовательность {ж*1} (I = 1, 2, ...), сходящуюся к некоторой точке х°:
|ж* - х°| - О (Г- оо).
Доказательство. Так как последовательность {ж*} ограничена, то существует число М такое, что
М > |ж*| > |х*|	(j= 1, ..., и; й= 1, 2, ...).
Это показывает, что координаты точек ж* также ограничены. Первая координата образует ограниченную последовательность
(й= 1, 2,...), и на основании одномерной теоремы Больца-но-Вейерштрассанайдется подпоследовательность^ натураль-
0	*'1	° z,
ных чисел и некоторое число ж) такие, что ж) — х1	— оо).
_	k
Вторую координату х^ рассмотрим только для найденных натуральных^. Подпоследовательность ограничена, поэтому из нее также можно выбрать подпоследовательность {ж^2J и число х° такие, что ж^2— х^. Так как	есть подпоследова-
Wkl. О 	2
, то имеет место одновременно ж) — ж^, х2 ~^х0.
Продолжая этот процесс, на п-м его этапе получим подпосле-довательность натуральных чисел к, = hl и систему чисел Ж) , о о
х2,.... хп такие, что одновременно
fc О fc/ О	fc/ о Z7 .
Ж)'-Ж), х2'-х2.. хп~хп (Z-00).
Полагая х° = (ж),..., х°), получим утверждение леммы.
Доказательство свойства 1).Допустим,что/не ограничена на замкнутом ограниченном множестве А. Тогда для каждого натурального числа т существует точка ж 6 А такая, что
|/(xm)|>zn (т = 1, 2, ...).
(2)
I 8.12, НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ НА ЗАМКНУТОМ ОГРАНИЧЕННОМ МНОЖЕСТВЕ 389
Так как множество А ограничено, то последовательность точек {х”1} также ограничена и, в силу леммы, из нее можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке х°. По условию множество А замкнуто, поэтому точка х° g А. Но в точке х° функция f непрерывна и потому
<3>
Свойство (3) противоречит свойству (2). Поэтому f может быть только ограниченной на замкнутом ограниченном множестве А.
Доказательство свойства 2). По свойству 1) непрерывная на замкнутом ограниченном множестве А функция ограничена, следовательно, она ограничена сверху некоторым числом К:
f(x)^K (хе А).
Но тогда существует точная верхняя грань f на А;
sup f (х) = М.	(4)
хсА
Число М обладает следующим свойством: для любого натурального т найдется в множестве А точках”1 - (х™, ..., х") такая, что
М~т <f^ (т = 1, 2, ...)•
Последовательность {хт}, как принадлежащая к ограниченному замкнутому множеству А, ограничена:
^Ki (m = 1, 2,...),
и потому из нее можно выделить подпоследовательность {хт*} • сходящуюся к некоторой точке х° G А. Последнее заключение вытекает из замкнутости множества А
390 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Но функция/непрерывна на множестве А, следовательно, она непрерывна в точке х°, поэтому
хп‘еА
С другой стороны,
</(«'"*)	(й=1, 2, ...).
k
Переходя к пределу в этом неравенстве прий -* оо, получаем
М </(х°) т. е.
f(x°) = M.
Таким образом, верхняя грань (4) достигается в точке х° G G А, т. е. функция f достигает в точке х° 6 А максимума на множестве А.
Итак, мы доказали, что существует точка х° е. А, для которой
max f (x) = f (х°).
хеА
Другая часть свойства 2) о минимуме доказывается аналогично.
Доказательство свойства 3). Допустим, что свойство неверно. Тогда существует такое £ > О, что для любого 8 > О найдется пара точек х = (хр ..., xn), y-(yt, Уп) 6 G А, удовлетворяющих неравенству
|ж-у| = ^Е(х;-^)2 <5’ для которых
If (х) - f (у)| > Е.
Зададим теперь последовательность положительных чисел 8т — О при zn — оо. Для каждого 8т, найдутся точки хт = = (хр, ..., х„т), ут = (у", ..., у") G А такие, что
!*" ~ Ут1 < Sm. но |/ (хт) - / (ум)| » £.	(6)
Так как точки последовательности {хт} принадлежат к
S 8.13. ЭКСТРЕМУМЫ
391
ограниченному множеству А, то эта последовательность ограничена, и из нее, по лемме, можно выделить подпоследовательность {*”*}, сходящуюся к некоторой точке х° е А (в силу замкнутости множества А).
Imk mk I _	ж
х -у -> 0 при k — оо, то подпоследователь-
(т*1	О
у j также сходится к точке х , потому что
Im* 0| I m* т* т. 0] _| т* т. I I т* 01
У —х = у — х +х —х -х + х —х .
По условию функция f непрерывна наА и, следователь-о но, непрерывна в точке х .
Поэтому
ж"*еА	F"*eA
Теперь, переходя к пределу в (5) при k —► оо, получаем lim |f(xm<I)-/(ym<I)|=IHx0)-/(x0)l = 0
и мы пришли к противоречию: £ < 0.
§ 8.13.	Экстремумы
Пусть на области (открытое связное множество) G задана функция u = f (х), х — (хр ..., хп) и х° = (xj1, ..., х°) — точка G. Говорят, что функция u — f (х) имеет локальный максимум (минимум) в точке х°, если 3 окрестность этой точки такая, что V х из этой окрестности имеет место неравенство
f(x)^f(x°)	(f(x)>f(x°)).	(1)
Точку х° будем называть точкой локального максимума (минимума), а соответствующее значение функции/ (х°) максимальным (минимальным) значением функции. Локальные максимум и минимум объединяются общим названием «локальный экстремум». Из определения экстремума вы-
392 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
„	О
текает, что в достаточно малой окрестности точки х приращение функции Ли — f (х) — f (х°) не меняет знака:
Ди О в случае локального минимума (min);
Ди < 0 в случае локального максимума (max).
Теорема 1 (необходимое условие экстремум.а). Пусть функция и = f (х) имеет локальный экстремум в точке х°. Тогда, если существуют част
ные производные первого порядка
(i= 1, ...,п)
в точке
х°, то все они обращаются в нуль в этой точке:
д№\
-^=0	(i=l, ...,п).	(2)
5х,
Доказательство. Докажем, что—s—- = 0. Зафик-Зх,
сируем переменныех2 = х°,..., хп = х°. Тогда получим фун-,, о о.
кцию и — f (хр х2,хп) от одного переменного Xj причем эта функция имеет локальный экстремум в точке xj1. Поэтому в силу необходимого условия экстремума для функции от одной переменной, заключаем, что производная от этой функции по переменнойхг должна быть равна нулю в точке x°t. Но эта производная является частной производной функции f (х) по переменной хт в точке х°, т. е.
а/(4 х°,..., х°) = а/(х°)=о дх1	дх1
Другие случаи рассматриваются аналогично.
Следствие. Если функция u = f(x) имеет экстремум в точке х° и дифференцируема в точке х°, то df (х ) = 0 или grad/ (х°) = 0.
Данное следствие вытекает из определения дифференциала и градиента.
$ 8.13. ЭКСТРЕМУМЫ
393
Замечание. Условие (2) не является достаточным для того, чтобы в точке х° был экстремум функции f.
Например, функция и = х2у имеет частные производ
ные = 2ху, = х, которые обращаются в нуль в точке
(О, 0). Однако точка (0, 0) не является точкой экстремума, так как в любой окрестности этой точки Ли = х2у — 0 = х2у
принимает как положительные, так и отрицательные зна
чения.
В дальнейшем точки, в которых существуют непрерывные частные производные от f, удовлетворяющие системе (2), будем называть стационарными точками.
Перейдем к получению достаточных условий экстремума. Пусть функция и = f (х) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно по всем переменным, и пусть х° — стационарная точка, т. е. df (х°) = 0. Тогда, разлагая функцию и = f (х) по формуле Тейлора в окрестности точки х°, получим
Af (х°) = df (х°) + j-d2f (х° + еДх) = l<ff (х° + еДх) =
* /=1 /=1 1


р
2 =|§ЕС5(ж°)Ах1Дх/+ *|а 0*)»
гдеО<0< 1,Ах=(Ахр .
...Дхп),р = |Дх|=^Дх2
а (Дх) — 0
при р -» 0.
Так как вторые производные непрерывны, то величины Ец, зависящие от Дх, стремятся к нулю при р = |Дх| —» 0,
394 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
но тогда и max IeJ = Е — О при р — О. Поэтому, учитывая, L Г '
 м 1
что < 1, получаем
п " дх Дх |а(Дх)|= Z2X—1—1
i=l >1 Р Р
(Р - 0).
Итак, мы доказали, что
££1-1 = и2е-.о ₽1>=1
А/ (х°) = f (х° + $ - f (х°) = ±а	+ Р-а
z i-1 у=1	z
где
ai,=ар=с*0)*	£=ftp • • • > и
и
а© - 0 при р = |Е,| = ^Е^ — 0.
Выражение
А ft) = ЕЕа = afi)
Ы 7=1
(3)
есть квадратичная форма относительно Е, = (£х, ..., По знаку этой формы можно узнать с помощью формулы (3) знак А/ (х°) для достаточно малых р.
Справедливо следующее утверждение:
1)	Если формаА (£,) строго положительно определенна, т. е. А (^) > 0 для всех £, т5 0, то функция f имеет в точке х локальный минимум.
2)	Если формаА (£,) строго отрицательно определенна, т. е. А (£,) < 0 для всех % Ф 0, то функция / имеет в точке х локальный максимум.
3)	Если А (Е,) > 0 для всех Е, или A (Е,) «£ 0 для всех Е, и имеется £ Ф 0, для которогоА (Е,) = 0, то вопрос о локальном экстремуме функции / в точке х° остается открытым.
4)	Если формаА (%) не определенна по знаку, т. е. существуют векторы^' и для которыхА (^') > 0, А (^”) < 0, то функция f в точке х° не имеет локального экстремума.
$ 8.13. ЭКСТРЕМУМЫ
395
Доказательство утверждения 1). Равенство (3) запишем следующим образом:

+ <*(£) =
2
2
=	=3-[л(п)+а©],
Z L*=! j=l	J z
(5)
где мы ввели новые переменные “ ^>/Р (i = 1. 2.................n).
Легко видеть, что
1л1 = ,Еч2 =	=1-
р
Таким образом, точка Г] при любых % находится на поверхности n-мерного единичного шара. Функция А (т]) непрерывна на этой поверхности, представляющей собой ограниченное замкнутое множество, и по условию положительна на этой поверхности. Но тогда А (т]) достигает своего минимума т в некоторой точке этой поверхности, который больше нуля (гп > О) (см. § 8.12, свойство 2)). Так как а(£,) -» О при р = |£,| —► 0, то при достаточно малом 6 > О
|ай)|<т V£&<6.
Следовательно,
Д7<*о;-Г(*о + $-Г(*°)=
2	2
Zj	&
и функция f имеет локальный минимум в точке х°.
Утверждение 2) доказывается аналогично.
Доказательство 3). В данном случае формаА (^) для некоторого Ф 0 обращается в нуль, но тогда для соответствующего т]' значение А (т]') = а[ 1 = -^А (£') = 0 и, kPj Р
396 ГЛАВА 8, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
следовательно, f(x° + Е,') - f (х°) = 1р2а (£,') Но знак а (^') Zu , о неизвестен, поэтому мы не можем сказать, имеет f вх экстремум или нет.
Доказательство 4). Здесь опять удобно обратиться к равенству (5). В этом случае по условию существует точка для которой форма положительна и существует точка Е>", для которой форма отрицательна, но тогда для соответствующих им точек rf «= %7р, т)" = Е>"/р будут выполняться неравенства А (rf) > О, А (ц") < 0 и при малых р окажется, что А (и') + а(^') > О, A (rf') + а (£,") < 0, т. е. в и	и	0	f	ft
любой малой окрестности х имеются точки х и х , для которых f (х’) > f (х°) и f (х") < f (х°), а это означает, что заведомо нет экстремума.
Известны* условия (Сильвестра), выражаемые на языке коэффициентов atj, при которых квадратичная форма (4) удовлетворяет перечисленным выше условиям 1) — 4). Здесь мы отметим только вытекающие из теоремы Сильвестра критерии в случае функции и = f (хр х2) от двух переменных.
Если а.. = Г'г (х°) > 0 и ч
У У = «п«22 - <£ = см f^°) - [t:iX2 (x°)]z > о
“21	“22	12
(в этом случае форма (4) строго положительно определенна), то функция и — f (Хр х2) имеет локальный минимум в о / о о\
точке х =ЦХ], х2).
Если
£(х°) < о. Л(х°) Г(х°) - [^(х0)]2 > о
(в этом случае форма (4) строго отрицательно определенна), то функция и — f (хр х2) имеет локальный максимум в точ-о
ке х .
Если апа22 -	< 0, то d2f (х°), как квадратичная фор
* См. нашу книгу «Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии», § 21.
§ 8.14, НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
397
ма, не является определенной по знаку при изменении Ахр поэтому в этом случае Af (х°) также не сохраняет знак в любой окрестности тонких0, и, следовательно, экстремум в о
точке х отсутствует.
Если выражение апа22 - а^2 = 0, то вопрос об экстремуме остается открытым.
Пример 1. Для функции и = х3 - Зх + у2 точки (±1, 0) являются стационарными. Исследуем их на экстремум. Имеем
= 6х, и" (±1, 0) = ±6,	и", = 0, и" = 2.
Таким образом, для точки (1,0) апа22 — а22 = 6 - 2 — 0 = 12 > 0, ап = 6 > 0. Поэтому в точке (1, 0) наша функция имеет локальный минимум. Для точки (-1,0):пи = -6 < 0, апа22 — - о^2 = -12 < 0, поэтому функция экстремума в точке (-1,0) не имеет.
Пример 2. Для функции и = х4 + у2 точка (0, 0) является стационарной, и легко видеть, что в этой точке функция имеет локальный минимум. Между тем u"2 = 12xz, иху — 0,	— 2» т. е. alt = 0, а12 — 0, вг2= 2 и аиаг2~ °12 ~ 0-
Пример 3. Для функции и =х3 +у2 в стационарной точке (0, 0) ап = 0, а12 = 0, а22 = 2, т. е. сноваапа22- а^2 = 0, но в данном случае функция и = х3 + у2 в точке (0, 0) экстремума не имеет, так как на прямой!/ = 0 приращение Ап = х2 меняет знак при переходе через точку х = 0.
§ 8.14.	Нахождение наибольших
и наименьших значений функции
Пусть задана непрерывно дифференцируемая функция и = f (х) на множестве G С Вп, представляющем собой замыкание ограниченной области, т. е. области, к которой присоединена граница dG. Тогда f достигает максимума и
398 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
минимума в некоторых точках х е
<	е G (см. §8.12, свойство 3)). Этиточ-
X.	ки могут быть внутренними и гра-
х.	личными. Если точках внутренняя,
G х.	то функция f (х) имеет в ней л окал ь-
___________X г ный экстремум. Поэтому, чтобы най-
й	7 а ти наибольшее (наименьшее) значе-
рис 98	ние функции, необходимо найти все
стационарные точки, вычислить значение функции в этих точках и сравнить их со значениями функции на границе 8G. Наибольшее из этих значений и будет наибольшим значением функции на G.
Если G е R2 и dG является плоской непрерывной кривой х = ф (t), У = ф (t)>то вдоль этой границы наша функция является функцией от одного переменного t: / [ф (t), V (*)]• Находить наибольшее значение этой функции мы уже умеем.
Пример. Найти наибольшее значение функции z—1 — - х + х2 + 2у в замкнутой области G, ограниченной прямыми: х = О, у = 0, х + у = 1 (рис. 98).
Решеиие. ^ = -1 + 2х = О, = 2 О, т. е. стационарных точек нет. Исследуем функцию z на dG.
1)	Пусть х - 0, тогда г = 1 + 2у, 0 < у < 1. На [0, 1] функция z = 1 + 2у стационарных точек также не имеет, и z (0) = 1, z (1) = 3.
2)	Пусть у = 0, тогдаг = 1 — х + х2, (X х < 1. Далее, z'x = = - 1 + 2х - 0 при х = 1/2, т. е. х = 1/2 — стационарная точка. Вычисляя значение функции в этой точке и на границе в точках х = 0 и х = 1, получим: z (1/2) = 3/4, z (0) = 1, z(D=1.
3)	Пусть х + у= 1, тогда z = 3-3x + x,0<x<l. Так как z* = -3 + 2х = 0 в точке х = 3/2 ё [0, 1], то в нашем промежутке [0, 1] нет стационарных точек. Далее z (0) = 3, 2(1)= 1-
Сравнивая все наибольшие значения функции по частям границы, мы видим, что наибольшее значение функции z (х, у) на G равно 3 и достигается в точке х° = (0,1).
$ 8.15. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
399
§ 8.15. Теорема существования неявной функции
Зададим произвольную функцию f{x, у) от двух переменных х и у. Приравняем ее нулю:
f(x,y) = O.	(1)
Множество всех точек (х, у), для которых выполняется равенство (1), обозначим через ЯН. Пусть (х0, у0) е ЯН, т. е. f(xo,y{) = O.
Если не накладывать никаких условий на f, то множество ЯН может иметь самую различную природу. Например, в случае f (х, у) — (х — х0)2 + (у - у0)2 множество ЯН состоит из одной-единственной точки (х0, у0), а в случае/ (х, у) = х2 + у2 + 1 множество ЯЛ пусто, в случае же f (х, у) = (х - х0)2 - (у - уof = (х + у - х0 - Уо) & “ У “ х0 + у „У ЯН есть пара прямых, проходящих через (х0, у0). Однако часто имеют место случаи, когда ЯН, по крайней мере в достаточно малой окрестности (х0, у0), представляет собой кривую, описываемую непрерывной (однозначной) функцией
У = V (*) (х е (х0 -5, х0 +5)) (таким образом, V есть функция, определяемая неявно уравнением (1), см. также § 3.1).
Возникает вопрос, как по свойствам функции f узнать, что имеет место именно этот случай?
Ниже доказываются две общие теоремы, отвечающие на поставленный вопрос.
Теорема 1. Пусть задано уравнение
f(x,y) = O,	(1)
удовлетворяющее следующим свойствам.
Функция f определена на некоторой двумерной окрестности Q точки (х0, у0) плоскости х,уи непрерывна там вместе со своими частными производными первого порядка; при этом
fy (хо’ Уо) ~	* 0	№
400 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
u f (х0, у0) = 0. Пусть, далее, ЯП есть множество всех точек (х, у), удовлетворяющих уравнению (1) (в частности, точка (х0, у0) 6 ЯП).
Тогда, каково бы ни было Ьо> О, найдется прямоугольник
Д = {|х - х0| < а, |у — у0| < Ъ} (Ъ < Ъо), (3) принадлежащий^., такой, что множество ЯЛА описывается непрерывно дифференцируемой функцией(неявной функцией)
у = у (х), х 6 Д°,	(4)
Д° = {|х - х0| < а}.	(5)
Другими словами, прямоугольник Д обладает тем свойством, что на его проекции Д° на осьх можно определить непрерывно дифференцируемую функцию (4), являющуюся решением уравнения (1), т. е. удовлетворяющую уравнению (1)
f (х, \|/ (х)) = 0 (хе Д°).	(6)
График ее полностью принадлежит Д. Эта функция единственна в том смысле, что любая точка (х, у) е ЯЛА имеет координаты, связанные уравнением (4). В частности, у0 — = V (хо)* потому что (х0, у0) е ЯЛА (рис. 99).
Доказательство теоремы 1. Пусть для определенности f (х0, у0) > 0. Так как f непрерывна на Л, то существует окрестность точки (х0, у0), которую мы снова обозначим через Л, такая, что в ней fy(x, у) > 0. Введем замкнутый прямоугольник
Д = {|х-х0|<а,	|</ - у0| < Ь] (z. Л (b < Ъо).
Тогда f у (х, у) > 0 на Д и
in inf' (х, у) = т > 0.	(7)
(х.у)еД У
Функция f (х, у), рассматриваемая на отрезке Q/o _ Ъ У <у0+ х~ хо]’как Функция от у непрерывна, строго возрастает и обращается в нуль в точке у = у0 (по условию теоремы f (х0, у0) = 0). Значит,
f (хо> Уо- ь) < f (хо> Уо + fe) > °-
S 815. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
401
Вследствие непрерывности f найдется достаточно малое число а, 0 < а < а, такое, что
f у0- Ь) < 0, f(x, yo + b)>O Vx 6 Д° = {|х — х0| < а}. Обозначим через Д = {|х - х0|_< а, |у - у0| < Ъ} открытый прямоугольник. Очевидно, Д с Д с П и Д° есть проекция Д на ось х.
Рис. 99
Рассмотрим теперь для произвольного и фиксированного х е Д° функцию f как функцию от у на отрезке [г/0 - Ъ, у о + Ь]. Она непрерывна, строго возрастает (fy > 0!) и имеет противоположные знаки на его концах. Но тогда по теореме о промежуточном значении существует и притом единственное число у, принадлежащее интервалу (у0 -Ъ, у0 + Ъ), мы его обозначаем через у = \|/ (х), для которого f (х, \|/ (х)) - 0.
Этим доказано существование определенной на Д° функции \|/ (х), удовлетворяющей уравнению (6).
Докажем, что функция \|/ (х) непрерывна на Д°. Пусть
402 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
' х, х + Дх е Д°, у = \|/ (х), Ду = \|/ (х + Дх) - \|/ (х). Тогда на основании формулы Тейлора (§ 8.10) имеем:
О = f( х + Дх, у + Ду) - f (х, у) =
= fx (х + 0Дх, у + 0Ду)Дх + fy (х + 0Дх, у + 0Ду)Ду,
где 0 < 0 < 1. Отсюда
ду= 4'(х+едх, у+еду) Ах jF'(x + 6Ax, у+6Ау)
где точка (х + 0Дх, у +0Ду) 6 Д. В силу условия теоремы на замкнутом прямоугольнике Д, а следовательно, и на прямоугольнике Д с Д, функция fx ограничена (|/’х| < М), а по (7) функция f ограничена снизу числом т > 0, поэтому из (8) получаем, что
Ду М
Ах т ’
т. е. Ду —* 0 при Дх -* 0, что означает непрерывность функции у =	(х) в точке х. Так как точка х — произвольная
точка Д°, то функция \|/ (х) непрерывна на Д°.
Теперь, переходя к пределу в (8) при Дх -» 0, получаем (по доказанному Ду также — 0)
lim	(У = V (х)).	(9)
Ах fy(x, у)
Мы доказали существование производной \|/ (х) в точке х и равенство
(Ю)
£(*» v(*))
Непрерывность \|/ (х) непосредственно видна из (10); потому что fx и f непрерывны на прямоугольнике Д, а кривая у = \|/ (х) не выходит за его пределы и является непрерывной, как мы доказали выше.
Сформулируем теорему, аналогичную теореме 1, в случае, когда неявная функция зависит от п переменных.
5 8.15. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
403
Теорема 1'. Пусть задано уравнение
f (ж, у) = f (xv .... хп, у) = О,	(Г)
удовлетворяющее следующим условиям.
Функция f определена на некоторой окрестности П точки (х°, у°) = (х*.х°п, у°) пространства Нп+1 точек (х,
у) = (xvхп, у) и непрерывна там вместе со своими частными производными первого порядка; при этом
Гг,(Лу°) = М * 0, f(x°,y°) = O. (2') v	\ду)0
Пусть, далее, ЗЛ есть множество всех точек, (х, у), удовлетворяющих уравнению (1') (в частности, (х°, у0) е ЗЛ).
Тогда, каково бы ни было Ьо > 0, найдется в Л прямоугольник
А = {|ху-х°| <а, j = 1, ..., п, |у-у°| < Ъ} (Ь < Ьо), (3') принадлежащий П, такой, что множество ЗЛА описывается непрерывно дифференцируемой функцией(т. е. имеющей непрерывные частные производные')
у = у (х) = \|/ (хт.х„), х е А0,	(4')
А0 = {|ху-хУ| <а, j= 1,.... п}.	(S')
Частные производные ст функции А|/ вычисляются по формуле
=	U=l.-.n).	(10')
дх, oxj ду
Если функция f (в случае теорем 1 и 1') имеет непрерывные производные более высокого порядка I, то и неявная функция имеет производные порядка^, которые можно найти, дифференцируя I раз формулу (10) или (10').
Пример. Пусть известно, что функция f (х, у), рассмотренная в теореме 1, имеет непрерывные частные про
404 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
изводные второго порядка. Будем исходить из равенства (10). Дифференцируя его по х, получим
,„.м
Мы использовали формулу дифференцирования сложной функции.
§ 8.16. Касательная плоскость и нормаль
Пусть поверхность <S задана уравнением
F (х, y,z) = 0	(1)
в неявном виде. Будем считать, чтоГ (х0, у0, z0) = 0 и в некоторой окрестности точки (х0, у0, z0) функция F имеет непрерывные частные производные, одновременно не равные нулю. Тогда
grad0F = ((ГД, (F'y)0, (ГД) * 0.	(2)
Мы пишем (Ф)о вместо Ф (х0, у0, z0~).
Для определенности предположим, что (ГД Ф 0. Тогда на основании теоремы о неявной функции существует окрестность точки (х0, у0, z0), в которой поверхность S описывается явно непрерывно дифференцируемой функциейг = f (х, у). Уравнение касательной плоскости к S в точке (х0, у0, z0), как мы знаем, имеет вид
г - z0 = (ГД (х - Хо) + (fjo (у - Уо), где
(ГД = -Ч** Д/(ГД, (Qo = -(Г'ДДГД -
В силу этого уравнение касательной плоскости к S в точке (х0, у0, z0) запишется так:
(ГД (х - Хо) + (ГД (у - Уо) + (ГД (г - «о) = °>	(3)
а уравнение нормали к S в точке (х0, у0, z0) — так:
х~х„ _ у-у0 ^2-z0 та та та 
£ 8.16. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ
405
Те же уравнения (3), (4) мы получим, если предположить, что (F1 х)0 Ф 0 или (F's)0 Ф 0. В этих случаях в окрестности (х0, у0, z0) поверхность «S описывается явно соответственно уравнениями
X = (р (у, z), у = \|/ (х, z).
Мы видим, что при условии (2) поверхность^ в любой точке (х0, у0, z0) имеет касательную плоскость, непрерывно изменяющуюся при непрерывном передвижении точки (х0, У o' zo)- Такую поверхность называют гладкой поверхностью S.
Другое дело, если grad0 F = 0, В этом случае нельзя гарантировать, что в точке (х0, у0, z0) существует касательная плоскость к£>. Она может существовать, а может и не существовать.
Пример. Уравнение
z2 + y2-x2 = 0	(5)
определяет круговой конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью х (рис. 100).
Левая часть уравнения (5) имеет частные производные Fx = -2x,	F'y=2y,	F'2=2z,
одновременно не равные нулю, если точка (х, у, z)* (0,0,0). В любой такой точке, которую обозначим через (х0, у0, z0), касательная плоскость определяется уравнением
-х0(х - х0) + у0(у - у0) +z0(z - z0) = 0.
В начале же координат касательная плоскость к нашей конической поверхности не существует. В этом случае grado F = 0.
Рис. 100
406 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Точки (х0, у0, z0~), лежащие на поверхности^, в которых grad0 F = 0, называют особыми точками поверхности S.
Рассмотрим непрерывно дифференцируемую функцию и = f (х, у, z)	(6)
на некоторой области fl точек (х, у, z). Пусть в точке (х0, у0, z0) е (lee значение равно числу А:
А = f (,хо> Уо-zo)-
Если частные производные от f в точке (х0, у0, z0) одновременно не равны нулю, то уравнениеА = f (х, у, г) определяет в окрестности этой точки некоторую гладкую поверхность S, называемую поверхностью уровня функции (6).
Касательная плоскость к S в точке (х0, у0, Zq) имеет уравнение
'ап
<бХ7о
(х - х0) +
zo) = O.
Нормаль к S в точке (х0, у0, z0), т. е. прямая, проходящая через эту точку, перпендикулярно к касательной плоскости, очевидно, имеет уравнение
X хр = Y Ур _ Z zp (дЦ ГЩ  \дх)0 ^ayJo 'д2'0
Мы видим, что вектор
grad f0 =
аН
ду)0’ \8zJp)
направлен по нормали к поверхности S.
Уравнение z = f (х, у), где функция f имеет непрерывные частные производные, определяет некоторую гладкую поверхность <S. Положим, А = f (х0, у0). Если в точке (х0, у0) частные производные) —) , 1[ — |, I | I одновременно не \8xJp \\dxJp удуJ0J
8 8.17. СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НЕЯВНО
407
равны нулю, то уравнениеА =f (х, у) определяет в окрестности этой точки некоторую гладкую кривую Г (линию уровня функции z-f(x, у)).
Уравнение касательной к Г в (х0, у0) имеет вид

направлен по нормали к Г (в плоско
сти Г) в точке (х0, у0).
§8. 17. Системы функций, заданных неявно
Выше мы рассмотрели вопрос о существовании непрерывной и дифференцируемой неявной функции, определяемой одним уравнением.
Здесь мы рассмотрим аналогичный вопрос для совокупности неявных функций уи ут, определяемых системой уравнений
A(*i....-.ym) = o,
/m(Xj, ...,x„.yP ...,Ут) = 0.
(1)
Таким образом, мы ищем функции^, ...,рт отх1, ...,хп как решения системы (1): yt - (хр ..., xj (i = 1,...’ т).
Выясним те условия, которые обеспечивают существование решения системы (1) и дифференцируемость функций yt.
Теорема 1. Пусть задана система уравнений (1), удовлетворяющая следующим свойствам.
Функции fj определены на некоторой ((л + т) мерной) окрестности Q точки (х°, у°) = (х°, ..., х°п; у°, .... у°) пространства Нп+тточек(х,у)=(х1г ...,хп;у1.у^и непре
408 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
рывны там вместе со своими частными производными первого порядка с якобианом {определителем Якоби*)
%. д£
ау. Дур..., Ут)
8Ух 5Ут
Кроме того, точка {х, у0) удовлетворяет системе (1).
Пусть ЯЛ есть множество всех точек (х, у), удовлетворяющих системе (1) {в частности, (х°, у0) е ЗЛ).
Тогда, каково бы ни было Ьо > 0, найдется прямоугольник
Д={]х;-х“| <а(/=1, ..., п), (/=1.............................m)}	(3)
принадлежащий Q, такой, что множество ЗЛА описывается непрерывно дифференцируемыми функциями
Vt = Vi (*) (i = 1.	m), x e A0,	(4)
Д0 = {|x -xj*| < a, j = 1,...» n }.	(5)
Другими словами, прямоугольникА обладает тем свойством, что на его проекции А° на координатное подпространство (Xj,..., xj можно определить непрерывно дифференцируемые функции (4), удовлетворяющие уравнениям (1):
ft (х,	(х),....	(х)) = О, (х е A0, i = 1, ..., т)
и неравенствам |\|/; (х) - у° | < Ь. Эти функции единственны в том смысле, что любая точка (х, у) 6 ЗЛА имеет координаты, связанные уравнениями (4).
В частности у° =	(х°) (j = 1,...»т), потому что (х°, у0) е
е ЗЛА.
* К. Г. Якоби (1804-1851) — немецкий математик.
S 8.17. СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НЕЯВНО
409
Замечание 1. В теореме можно считать, что прямоугольник Д и его проекция Д° определяются неравенствами
Д = {]х.-х°| <а>,	0=1.-.п);
\угУ°| < bt (i = 1.m) },	(3*)
Д° = Цх.-х“| < a-, j = 1,.... п },	(5*)
с различными, вообще говоря, числами^, bt. Ведь если теорема верна для прямоугольника (3*) при некоторых ajs bt, то, положив b = min bt, можно вследствие непрерывности функций указать такое число а < a^j = 1,и), что точки
(х, Vi (х),V|/m (»))> х е {|ху-х°| < a, j= 1, п }
окажутся в прямоугольнике (3).
Заметим, однако, что вообще невозможно добиться, чтобы а и b в (3) были равными, в чем легко убедиться на примере одного уравнения F (х, у) = у - х2 = 0, х0 = у0 = 0.
Приведем доказательство теоремы 1 только для частного случая двух уравнений
f1(x1,x2,j/I,j/2) = 0> j /2(х1,х2,у1,у2) = 0. J
Нам надо доказать, что если функции ft и /2 непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки = (х°, 0- о 0ч	„	,-.»х	-
х2 > » У2 ) е	Удовлетворяющей уравнениям (1 ), и якобиан
ёУ1 8Уг df2 Sf2 Ф/i 61/2
*0
в М°, то для любого Ьо > 0 найдется прямоугольник Д = {]^-Х1| <а,|х2-х°| < ct,|i4 —141 < b,|y2-y2| < Ь }
(2')
Ф<ь0).
(3')
410 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
принадлежащий указанной окрестности, и существуют непрерывно дифференцируемые функции
!/, = V, (хр х2) 1
У2= Уг(х1’ *г) J
(Хр х2) е Д°,	(4')
определенные на его проекции
A = {]x^-xf| <а.
|*>-^°| <а)
такие, что они удовлетворяют уравнениям (1') и обладают свойствами
При этом для (X], х2) е Д°
(Хр х2, Vi (Хр х2), у2(Хр х2)) е Д.	(6)
Указанные функции у,, у2 — единственные, описывающие все решения уравнений (1') в прямоугольнике Д; иначе говоря, если какая-либо точка (х,, х2, yv у2) е Д удовлетворяет уравнениям (1'), то ее координаты связаны соотношениями (4').
Из того, что якобиан (2') не равен нулю в М°, следует, что один из его элементов не равен нулю вМ°. Не нарушая общности, считаем, что
f^*0.	(7)
К этому неравенству всегда можно прийти, соответственно перенумеровав в случае необходимости Д, f2 и yv уг.
Так как частные производные от fy и f2 по условию непрерывны, то существует достаточно малая окрестность точки М°, на которой не только якобиан (2'), но и производная
тт ,,
—L не равны нулю. Но тогда для первого уравнения (1 ), если дУх
его рассматривать относительно неизвестной функции у} от (х]р х2, р2), выполняются условия теоремы 1' § 8.15. Поэтому для любого Ъо существует прямоугольник (у < Ьо)
Al = {]<«• |*>-*°| <«• |у2-%| <Р-<8>
$ 8.17. СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НЕЯВНО
411
и непрерывно дифференцируемая функция
У1=Ч(хих2,у2),	(9)
(ХрХ2,У2) е д° =	<а, |х2-х2| <а, |у2-у°| <Р),
удовлетворяющая первому уравнению (1'):
Д(ХрХ2,ф(ХрХ2,у2),у2) = 0,	(10)
где
(Хр х2, J/г) 6 д°,	(х„ х2, Ф (Хр х2, у2), у2) е Лг	(11)
При этом функция ф единственна в том смысле, что любая точка (хр х2, ур у2), принадлежащая к Aj и удовлетворяющая первому уравнению (1'), имеет координаты, связанные равенством (9); в частности,
У1=ф(хр х°, yty.	(12)
Замечание 2. Отметим, что в (8) мы могли бы на первом этапе рассуждений считать а = р. Но в дальнейшем придется числа а, Р несколько уменьшить, вообще говоря, непропорционально. Уменьшенные аир пригодны и для рассматриваемого первого этапа рассуждений.
Итак, мы получили тождество (10), верное, каковы бы ни были независимые (хр х2, у2) е Д° . Но это тождество остается верным и если считать, что у2 есть любая непрерывно дифференцируемая функция у2 = ф2 (хр х2), такая, однако, чтобы
(хрх2, ф2(хрх2)) е	(13)
Но таких функций ф2 бесконечное множество. Цель наша выбрать среди них такую, чтобы функции
= ф (хр х2, ф2 (хр х2)) = ф1 (Хр х2), У2=^2^,х2)
тождественно удовлетворяли второму уравнению (1'). Первому уравнению (1') они уже удовлетворяют. Итак, подставим найденную функцию ф во второе из уравнений (I'):
/2 (Хр х2, ф (Хр х2, у2), Уг) = 0	(15)
(14)
412 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
и будем искать функцию у2 от (хр х2), ему удовлетворяющую. Положим
Ф (хр х2, у2) = f2 (хр х2, <р(х,, х2, у2). у2).
Функция Ф непрерывно дифференцируема для любых (хр х2, у2) е Д° (см. (11)). Она удовлетворяет равенствам
Ф (xf, х2, у°) = f2 (х°, х°,<р(х,°, х£ у°)у2) = f2 (xf, х2, у°, у°) = О
(см. условие теоремы и (12)). Кроме того,
<^0.
8Уг
В самом деле, для точек (хи х2, у2) е Д® (пояснения ниже)
ЗФ = д£ 5<р | g/2 = Г	, 8fz =
ду2 ду,ду2 ду2 йуД dyj dyj ду2
ккЁк-Ёккк ду, ду2 ду, ду2
(16)
В первом равенстве (16) применено правило о производной сложной функции, во втором надо учесть, что, согласно (10),
аср	/8ft
8У2 dyj Sy, ’
Конечно, там где мы пишем частные производные от /, и f2. считается, что они вычисляются в точках х, = хр х2 = х2, у, = = (р (Хр х2, у2), у2=у2.В последнем соотношении (16) надо учесть (2') и (7). ‘
Мы видим, что левая часть уравнения (15) удовлетворяет всем условиям теоремы 1' § 8.15. Поэтому в прямоугольнике Д° (см. (9)) найдется новый, вообще говоря, меньший прямоугольник, который мы снова обозначим через Д® (см. выше замечание 2), и найдется непрерывно дифференцируемая функция
у2 = У2(ХрХ2), (ХрХ2) е =	<а,	{|х2-х°|<а},
(Хр х2, у2(ХрХ2)) 6 д°,
8 8.17. СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НЕЯВНО
413
удовлетворяющая уравнению (15):
Ф (х,, х2, у2 (хр х2)) = f2 (х1, х2, ф (Хр х2, ф2 (*i> х2)), \|12 (Хр х2)) = = fz (xp х2» Vi (жр xzh Уг(хр хг)) = О’ (Хр х2) е Д°, (Хр х2, \|/2(Хр х2)) е д°, у2 (xf, x°) = i/2.
При этом любая точка (хр х2, у?) е Д°, удовлетворяющая уравнению (15), имеет координаты, связанные равенством у2=ф2 (хр х2). Но тогда выполняется такое соотношение (см (11)):
(Хр х2, у, (Хр х2), Х|/2 (xi> хг)) е Ai-
Итак, доказано существование непрерывно дифференцируемых функций
J'i = 'Mxi’x2)’ 1 (хрХ2)еД°, !/2=W2(Xl’X2) J 1	2
удовлетворяющих обоим уравнениям (1') и притом так, что
% =	*?)’ %° = Vi(*i» хг)-
При этом
(Xj, х2, ф, (Xj, х2), ф2 (Xj, х2)) е Д,	(17)
и любая точка (хр х2, yv е Др удовлетворяющая уравнениям (Г), имеет вид, как в (17).
Переход от Д} к Д можно осуществить с помощью замечания 1.
Замечание 3. Укажем способ нахождения частных
производных — дхк
Пусть все условия теоремы 1 выполнены. Тогда, подставляя функции ys = \|/у (х) в (1), получим систему тождеств:
/i(x, Vi(x),~-.Vm(x)) = O,
/т(х, \|/!(х), .... Vm(x))= О.
(18)
414 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Дифференцируя по х* каждое тождество системы (18) как сложную функцию, получим:
df. df. cty.	df. dw	_
dx* dyt dx*	dym dx*
(19)
J’4+f?4^L+
дУ1 dxk дУт dx*
Система (19) является линейной относительно неизве-
стных производных —L = —- 0 = 1, ..., m). Определителем dx* дх*
ее является якобиан
D(yt, ....
^-*0 • Уп)
Поэтому система (19) имеет единственное решение:
8у1=	/D^.^fn)
dx* D(x*, у2,.... ут)/ D(yv,.... yj’
дУт- Щ.........О /	-> 4) .
SX* D(ylt .... ym_v X*)/ D(yt.ym)
§ 8.18. Отображения
Пусть задана система непрерывно дифференцируемых функций
1/у = <Р>(^) = ф;(^1 хп), жеЙ(/ = 1,..., m), (1) где £1 — открытое множество точек х = (хр .... х„). Будем говорить, что система (1) определяет непрерывно дифференцируемое отображение
у^Ах, х с £1,	(!')
множества Q на некоторое множество £1' точек у = (yt, ..., у,*). Будем еще писать £1' = A (Q) и называть Q' образом £2, а £2 — прообразом £2' (посредством отображения А).
5 8.18. ОТОБРАЖЕНИЯ
415
Наряду сА рассмотрим другое непрерывно дифференцируемое отображение В:
Zj = ¥;(</) = V; (Уу : Ут)> У 6 Л (j = 1, .... 771), открытого множества Л точек у на некоторое множество точек z = (zpz^). Таким образом, z = By, у е Л.
Замечание. Отметим, что еслих° е Q иу° = Ах° е е Л, то в силу непрерывности А найдется окрестность Уо точки х °, образ которой посредством А принадлежит к Л. Уменьшая О, положив Q = VB, получим тогда, что fl' G Л.
Если£1' с Л, то имеет смысл сложное непрерывно дифференцируемое отображение z = ВАх, х 6 Q, определяемое равенствами zy- = \yf (ф! (х),..., <pm (х)), х е Q (j = 1,.... m).
Якобианы отображений А, В, ВА связаны замечательными равенствами
D(^ ZJ = dzt = ф dzt дув
...,
I I I s i ду, dXj j
8у,
ду, dXj
-»zn) D(yv -»yJ
D<V1...yJD^.......xm)’
доказательство которых, как мы видим, основано на применении формулы производной от сложной функции и правила умножения определителей.
В частности, еслиВ обращаетА на множестве точекхб g £1, т. е. х =ВАх, х е Q, есть тождественное отображение, то в силу того, что его якобиан равен 1, получим формулу
= D(^ ...,xm) J>(yt, -, 1/^
D^,ут) D(Xl,хтУ Хе“-
(3)
Будем теперь считать, что определяемое равенствами (1) непрерывно дифференцируемое отображение у = Ах имеет якобиан
-Р(УР Ут)
..., xj
* О,
х е Q,
416 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
т. е. не равный нулю всюду на открытом множестве £2.
Приведем без доказательства следующие свойства:
1)	£1' = А (£2) — открытое множество (вместе с £1!),
2)	если £2 — область, то и £2' — область,
3)	отображение А локально взаимно однозначно, т. е. какова бы ни была точках0 е £2, найдется шар V с £2 с центром в ней такой, что отображение А, рассматриваемое только на V, взаимно однозначно.
Свойство 3) утверждает только локальную взаимную однозначность. Глобальной взаимной однозначности может и не быть. Например, преобразование х = р cos в, у = р sin 6 полярных координат точек плоскости в декартовы при р > О и произвольном 6 непрерывно дифференцируемо и имеет положительный якобиан, равный р. Оно отображает точки (р, 6) (р > 0, -оо < 0 < оо) плоскости (р, 0) в точки (х, у), отличные от нулевой точки, локально взаимно однозначно. Однако каждой такой точке (х, у) соответствует хотя и одно р, но бесконечное число различных значений 0, отличающихся между собой на 2/гтг (k = ±1, ±2,...).
§ 8.19. Условный (относительный) экстремум
Рассмотрим в пространстве R2 функцию и = F (х, у) =
2	2	~
= х + у . С геометрической точки зрения эта функция пред-
ставляет собой квадрат расстояния точки Р = (х, у) от начала прямоугольной системы координат х, у. Она не имеет наибольшего значения вй2. Но если ее рассматривать только для точек (х, у)
х2 U
эллипса G (х, у) = —2+2 — 1 = О (Ь > а), а Ъ
то ясно, что она достигает наибольшего значения в точках Ро - (0, Ь) и Рг = (О, -Ъ) (рис. 101).
Таким образом, функция u=F (Р), рассматриваемая во всей плоскостиR2,
§ 8.19. УСЛОВНЫЙ (ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ) ЭКСТРЕМУМ
417
не имеет наибольшего значения, но эта же функция при условии, что точка Р находится на эллипсе, принимает наибольшее значение (два раза).
Эта ситуация приводит нас к задаче об отыскании экстремума функции при условии, что ее аргументы удовлетворяют некоторым дополнительным ограничениям. Итак, пусть дана функция
и = F (Р) = F (хг.хп, у„ .... Ут)
от п + т переменных. Требуется найти экстремум функции F (Р) при условии, что переменные xt, уь связаны т соотношениями
(xv ..., хп, V1,..., ут) = О,
Gm(xp ...,х„, У1,	= О,
(1)
которые обычно называются уравнениями связи.
Система уравнений (1) определяет в пространстве2?п+т, вообще говоря, некоторое множество, которое мы будем называть поверхностью.
Определение. Будем говорить, что точкаР0 = (af, ..., х°, у,0, .... у°п), удовлетворяющая уравнениям (1), является точкой локального условного (относительного) максимума (минимума), если в Pn+m 3 окрестность точки Р° такая, что VP из этой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи (1), выполняется неравенство
F (Р) < F (Р°) (F (Р) > F (Р°)).
Точка локального условного максимума или минимума называется точкой локального условного (относительного) экстремума.
В рассмотренном выше примере точка Ро = (О, Ъ) является точкой условного локального максимума, так как для всех точек Р, лежащих на эллипсе, и (Р) < и (Ро).
Займемся сначала выяснением вопроса о необходимых условиях, чтобы точка Р° была точкой локального относительного экстремума. ПустьР0 — точка условного экстре-
14 — Бугров. Том 2
418 ГЛАВА 8	ФФЕРЕНЦЕ АЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
мума и функции Gp .... Gm, имеют непрерывные частные производные и якобиан
(2)
в окрестности этой точки.
Как нам известно, система (1) разрешима относительно переменных у*,..., ут в некоторой окрестности точки Р°:
Vi = <Pi (*v —» *n)	(i = 1,	m),
где функцииф, (xv ...,хп) имеют непрерывные частные производные в точкеМ° = (х^*, ..., х°п).
Подставляя эти функции ф, в F, получим, что F будет функцией только от п переменных хи ..., хп, независимых между собой:
F (хР ..., х„, ф, (хр ..., х„), фт(хр .... х„)) =
= Ф (хр ..., х„). (3)
Очевидно, что если F достигает локального условного экстремума в точкеР0, то Ф (хр..., х„) достигает в точкеМ° = = (х,0...х°)	обычного локального экстремума, или, как
говорят, абсолютного локального экстремума, и обратно.
Но тогда, как мы знаем, должны выполняться равенства
=0 (4=1,П) или ФФ (М°) = £= 0, (4) 8xt	f^dx1 ‘
где dxt (i = 1, .... n) — дифференциалы независимых переменных.
m	r»0 z • 0	00	0 \
Точку Р = (х19 хл, , ...» ут)> для которой в силу (1) (или (3)) выполняются (4), будем называть стационарной точкой функции F при наличии связей (1).
Мы доказали, чтодля того, чтобы точка Р° = (xf,...,
0	0	Ох-.
хл, , ...» ут) была точкой локального условного экстре-
§ 8.19. УСЛОВНЫЙ (ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ) ЭКСТРЕМУМ
419
мума, необходимо, чтобы она была стационарной точкой F при наличии связей (1).
Дальнейшие наши рассмотрения относятся к вопросу о том, как найти указанную стационарную точку, не разрешая систему (1) относительно переменных yt, .... ут, хотя существование функций фр..., <pm мы будем предполагать. Будем писать (F)o, (q>()0 вместо F (Р°), <р, (М*).
В силу инвариантности формы дифференциала первого порядка условия (4) эквивалентны условиям
аФ(м0)=аг(р0) = £[^-Ъх|+=	(5)
>A8xJ0 mVs/Jo
где входящие BdF зависимые дифференциалыdyt,.... dym, соответственно равны
dVk =	dxi = 1......т)-
« k oxi Jo
Эти дифференциалы вместе с независимыми дифференциалами dxp..., dxn связаны соотношениями
dxi+	dyk= 0 (i = 1.т),	(6)
iAdxi)o ^XfyJo
которые мы получаем из уравнений связи.
Итак, стационарная точка функцииР при наличии связей (1) может быть определена также как такая точка Р° =
= (х,,..., xn, Pj,..., ут), удовлетворяющая уравнениям (1), что для нее выполняются равенства (5) для Bcexdxj,.... dxn, dyr,.... dym, для которых имеют место равенства (6).
Введем (п + т)-мерные векторы
grado G, = grad G, (P°) =
ЭОЛ (dG,) (dG,) (dGt)
8xi Jo..(8xJo’ I fy Jo ° = b m)’
grado F = grad F(P°) =
dz = (dxp .... dx„, dyv ..., dy^.
14*
420 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
На языке этих векторов уравнения (5) и (6) можно записать через скалярные произведения
(grad0F, dz) = O,	(5')
(grad0 Gj, dz) = 0 (j = 1, .... m).	(6')
Мы получили, что точка P =(х,, ...,xn,	, ...,ут)есть
стационарная точка при наличии связей (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям (1), и если из того, что какой-либо вектор dz ортогонален к градиентам grad0 Gj,..., grad0 Gm, следует, что он ортогонален Kgrado F. Но в таком случае (пояснения ниже) существует и притом единственная система чисел ...»Хт такая, что
grado F = ZX б1*1© Gk •	(7)
Обратное утверждение тоже верно. Если известно, что grad0F при некоторых числах .... может быть представлен в виде (7), т. е. в виде линейной комбинации градиентов grado Gk(k = 1,.... т), то отсюда немедленно следует, что как только какой-либо вектор dz ортогонален к градиентам grad0 Gk, он автоматически ортогонален к grad0 F.
Убедиться в верности обратного утверждения не представляет никакого труда: из (7) и (6') следует, что
(grad0 F, dz) = ^A.fcgrad0Gfc, =
m	m
- 2>»(gradoGk, dz) =	0 = 0.
fe=i
Что же касается прямого утверждения, то мы сошлемся на теорему из линейной алгебры*. Все же сделаем пояснения.
ПустьL есть линейное подпространствоRn+m, натянутое на векторыgrad0 Gj (j = 1,..., т), т. е. множество линейных
* См. нашу книгу «Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии», § 19, теоремы 1, 2 и следствие 1.
§ 8.19. УСЛОВНЫЙ (ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ) ЭКСТРЕМУМ
421
комбинаций вида (7), соответствующих всевозможным системам чиселXj, ...,Xm. Введем подпространство!/ векторов dz, ортогональное к L, т. е. К состоит из всех векторов dz, ортогональных к L, или, что все равно, ортогональных к векторам grad0 (?.(/= 1,..., т). Если* L' ортогонально к L, то и, обратно, L ортогонально к L', т. е. L состоит из всех векторов, ортогональных к L'. Как было сказано в стационарной точке Р°, градиент F ортогонален ко всем векторам dz, ортогональным к градиентам Gjt т. е. градиент!" ортогонален к L'. Но тогда по указанной теореме градиент F принадлежит к!, таким образом есть некоторая линейная комбинация из градиентов Gjt единственная линейная комбинация, потому что градиенты G} (j — 1, ..., m) образуют линейно независимую систему в !?п+т. Дело в том, что матрица из частных производных функций Gj
SGy	dG^ dGy	dGj
8x!	дхп дУ1	8Ут
8G_	8G 8G	8Gm
SX1	дХп 8У1
(8)
nP
имеет в окрестности точки Р ранг т, потому что мы пред
положили верным условие (2), но тогда строки этой матрицы определяют векторы (градиенты), образующие линейно независимую систему**.
Из сказанного следует, что стационарную точку функции!1 при наличии связей (1) можно определить еще и так;
это такая точка Р° =	, ..., х°, у®,), удовлетворя-
ющая уравнениям (1), для которой градиент F есть линейная комбинация из градиентов G} (j = 1, ..., m)
m
grad0 F = grade Gj •	(7)
7=1
Можно еще сказать так: для того чтобы точка
п0 / О 0	0 о.
р = .............х„>	У1 ’ •••> yj
* См. теорему 1 § 19 указанной выше книги.
** См. § 13 указанной книги.
422 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
была стационарной для функции F при наличии связей (1), необходимо и достаточно, чтобы для нее существовали числа Xj,.... Хт, для которых выполняется равенство (7).
Так как ранг матрицы (8) в точке Р° равен т, то каждой стационарной точке соответствует единственная система чисел Xj, ..., Хт, для которых имеет место равенство (7). Равенство (7) эквивалентно следующему:
grade F-fffi =0.	(9)
Функцию, стоящую под знаком градиента в (9)
т
L (Р, X) = F (Р) -	(Р), X = (Хр ...»
м
называют функцией Лагранжа, а числа множителями Лагранжа.
Запишем условия (9) в развернутом виде:
дх. дх} и 1 дх.
5L 5F yL dyk дук & ' дук
(7 = 1....п),
(fe=l, .... m).
(9')
Вопрос о нахождении стационарных точек F при наличии связей (1) свелся к решению системы, состоящей из уравнений (1) и (9')-
Резюмируем сказанное.
Чтобы найти стационарную точку
—о , о оо о.
Р =0q, ..., хп, ylt...,ym)
функции F при наличии связей, надо составить функцию Лагранжа и систему уравнений (9') и решить эту систему совместно с уравнениями связи (1). Всего здесь будет + 2т уравнений сп + 2т неизвестными ..., хп, уг,.... ут,..., Хт. При этом решение системы относительно xjt и у} даст точку (х°, ..., х°п, у°, ...,	), которая будет стационарной
точкой. Точки локального условного экстремума находятся среди стационарных точек. Выяснение вопроса о том,
8'8.19. УСЛОВНЫЙ (ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ) ЭКСТРЕМУМ
423
будет ли на самом деле стационарная точка Р° точкой условного экстремума, удобно проводить, рассматривая второй дифференциал функции Лагранжа. При выяснении знака d2L (Р°, А) нужно учитывать, что дифференциалы dyk зависят от дифференциалов dxr
Пример. Пусть на плоскости хОу дана фигура, ограниченная осями координат и параболой у + х2 - 3 = О (О < х < -Уз). Вписать в эту фигуру пря- у моугольник со сторонами, параллельны- 3 ми осям координат, одна из вершин М = / = (х, у) которого находится на этой параболе, так, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей (рис. 102).
Решение.Пустьхиу— координа-ты вершины М. Тогда площадь прямоугольника S = ху.Далее, так как точкам лежит на параболе, то ее координаты,должны удовлетворять уравнению параболы: у + х2 - 3 = 0. Таким образом, мы должны исследовать на условный экстремум функцию S = ху при наличии связи у + х2 - 3 - - 0. Составим функцию Лагранжа L (х, у, А) = ху - А (у + х2 - 3). Найдем стационарные точки задачи из уравнений
^=у-2Хх=0, дх "
 6L=x-X = 0, у+х2 — 3 = 0.
Решая эту систему, находим, что х = 1, у = 2, А = 1. Таким образом, точка (1, 2) стационарная и ей отвечает множитель Лагранжа А = 1. Исследуем в стационарной точке второй дифференциал функции Лагранжа
L (х, у, 1) = ху - у - х2 + 3.
Имеем
(Pl (х, у, 1) = L" dx2 + 2L" dx dy + Ljdy2 + L'xd2x + Г d2y, где последние двачлена в правой части возникают потому, что
424 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
дифференциалы dx и dy зависимы и, вообще говоря, d2x Ф О, d2y Ф 0. Однако в стационарной точке (1, 2) — =	— 0.
дх ду
Поэтому
d2L (х, у, 1) = £"2dx2 + 2L" dx dy + L"2dy2 = 2dx (dy - dx). x	у
Если считать dx и dy как дифференциалы независимых переменных, то d2L (х, у, 1) не является определенным по знаку. (Однако из уравнения связи видно, что dy = — 2xdx и в точке (1, 2) dy = —2dx. Таким образом,
d2L (1, 2, 1) = -6dx2 < 0 (dx2 * 0),
а следовательно, и приращение функции!, (х, у, А) в точке х = 1, у = 2, А = 1, соответствующее приращению х, равному dx * 0, меньше нуля (AL (1, 2, 1) < 0). Значит, функция S = ху имеет в точке (1, 2) локальный условный максимум.
Итак, из всех прямоугольников указанного вида наибольшую площадь имеет прямоугольник со сторонами ОД = 1, ОВ=2.
ГЛАВА 9
РЯДЫ
§ 9. 1. Понятие ряда
Выражение
Uo + Uj + и2 + ...,	(1)
где числа ик (члены ряда), вообще комплексные, зависят от индексов k - 0, 1, 2, называется рядом. Этому выражению мы не приписали никакого числа, потому что сложение бесконечного числа слагаемых не имеет смысла. Ряд (1) еще записывают так:
(2) *=о о
Эта чисто формальная запись часто более удобна, чем запись (1).
Числа
Sn=u0+Uj+ ... + u„ (п = 0, 1, ...) называются п-ми частичными суммами ряда (1). По определению ряд (1) сходится, если существует
limS = S. п
426
ГЛАВА 9. РЯДЫ
В этом случае пишут
S = и0 + и. + и„ + ... =	(3)
v 1 г fe_0
и называют S суммой ряда, т. е. выражениям (1) или (2) приписывается число S. Говорят еще, что ряд (3) сходится к S.
Замечай и е. Равенство limSn = S, где SnsS — комплексные, определяется так же, как для действительных Sn, S, т. е. оно обозначает, что Vs > O32V.‘ |Sn - S| <£ Vn >N. Здесь |Sn - <S| — модуль разности двух комплексных чисел Sn, S. Для комплексных переменных доказывается в точности так же, как для действительных переменных, что предел суммы, разности, произведения и частного переменных un, ип равен соответственно сумме, разности, произведению, частному пределов этих переменных с обычной оговоркой в случае частного (lim vn Ф 0).
В силу условия Коши (верного и для последовательностей комплексных чисел), для того чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого Е > 0 нашлось таков N, чтобы для всех натуральных п> N и любого натурального р выполнялось неравенство
|un+1 + ... + u„+p| = |S„+p - S„| < £.
Отсюда в частности (полагая р = 1), следует, что если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю:
Нтц, = 0.
П —оо
(4)
Но условие (4), будучи необходимым, не является достаточным для сходимости ряда, как это будет видно из дальнейших примеров.
Рассмотрим еще ряд
оо
Un+1+ Ып+2 +	~ 1,ип+к
(5)
§ 9.1. ПОНЯТИЕ РЯДА
427
Так как условие Коши сходимости рядов (1) и (5) формулируется совершенно одинаково, то они одновременно либо сходятся, либо расходятся (не сходятся). Если они сходятся, то сумма ряда (5) равна
lim = lim (Sn+m -Sn) = S- Sn. m-*a>TT	m — co
Ряд (5) назывампостатком илиостаточным членом ряда (1)-
Если члены ряда (1) неотрицательны (таким образом, действительны), то его частичные суммы образуют неубывающую последовательность Sv < S2< S3 <, ..., поэтому, если эта последовательность ограничена
Sn<M
(п = 1, 2,...),
то ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравенству
lim S=S^M.
П-а> "
Если же она неограничена, то ряд расходится:
lim S„ = оо.
В этом случае пишут
*=о
Пример. Ряд
1 + z + z2 + ...	(6)
имеет (при z * 1) частичную сумму S„ (z) = (1 - zn+1)/(l - z). Если |z| < 1, то |zn+1| = |z|"+1 и z"+1 -* 0 (л -* оо). Таким образом, ряд (6) сходится и имеет сумму, равную (1 - z)'J-Ha открытом круге |z| < 1. Если же |z| > 1, то ряд (6) расходится, потому что в этом случае его общий член, имеющий модуль, не меньший единицы |z"| > 1, не стремится к нулю при п -» оо.
428
ГЛАВА 9. РЯДЫ
§ 9.2. Несобственный интеграл и ряд
Рассмотрим интеграл
ь \f(x)dx,
а
(1)
имеющий единственную особенность в точке Ъ. Пусть
а = Ьо< Ъг< Ь2< ... < Ь, Ьк — Ъ.
Тогда можно определить ряд
Jf(x)dx + Jf(x)dx +
а, fc*±l
У, jfdx,
*=°
(2)
й-й член которого равен
b*±i
ufc - Jfdx.
Теорема 1. Если интеграл (1) сходится, то сходится также ряд (2) и имеет место равенство
(3)
0
Действительно,
п Ь*+1
Ь,
ь
Если f неотрицательна на [а, Ь), то и, наоборот, из сходимости ряда (2) следует сходимость интеграла (1). В самом деле, пусть ряд сходится и имеет сумму, равную S. Для
S 9.2. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И РЯД
429
любого Ъ', где а < Ь' < Ь, можно указать такое п' = п (6')» что Vn > п', Ь' < Ьп. Поэтому, учитывая, что f (х) О,
ь'	bf	п-1Ь*±1
J/dx < jfdx - jr Jf a	a	k=o
dx
т. e. интеграл в левой части ограничен и, следовательно, несобственный интеграл (1) существует. Но тогда, как доказано выше, справедливо равенство (3).
Если же функция f не сохраняет знак на [а, Ь), то из сходимости ряда (2) вообще не следует сходимость интеграла.
Например, ряд
X J sin х dx = У О = О *=0 2*я	л
ОО
сходится, интеграл же Jsinx dx расходится потому, что фун-о
кция ОТ X
Jsint dt = 1 - cos х о
не стремится к пределу при х —* оо.
Теорема 2. Если функция f (х) 0 непрерывна и не возрастает на [0, оо), то интеграл
со
Jf(x)dx	(3')
О
и ряд
Xf(*) = f(O) + f(l) + /(2) + ...	(4)
Jt=O
одновременно сходятся или одновременно расходятся.
430
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Доказательство. Имеют место неравенства
fc+i
f (k + 1) < J7(x) dx < f (k) k
(fe = 0, 1, ...)•
Суммируя их no k, получим
n+1	n	nt\	n
YfW =	+ D fr(*)dx 2Ж
10	О	о
Отсюда, учитывая, что все члены в этих соотношениях при возрастании п монотонно не убывают, следует утверждение теоремы.
Из доказанной теоремы следует, что ряд
1+-J-+4-+...	(5)
2	3
сходится при а > 1 и расходится при а < 1 потому, что функция 1/(1 + х)а при а > 0 непрерывна и монотонно убывает на [0, оо), а
f dx f<0° («>!)» i(l + x)al=°° (a<l).
Ряд (5) при 0 < а < 1 может служить примером расходящегося ряда с общим членом (ип = п"“), стремящимся к нулю.
В случае а < 0 непосредственно видно, что ряд (5) расходится (общий член не стремится к нулю).
§ 9.3.	Действия с рядами
Если ряды ^uku^vk сходятся и а — число, то ряды о о
У aufc, У(щ ± vk) также сходятся и о о
Xauft = a£X,	(1)
О	о
s 9.3. ДЕЙСТВИЯ С РЯДАМИ
431
± V*) = 1>*±	(2)
О	0	0
Действительно,
£auft = lim £auft = alim Juft = a£ uk, 0	о	0	0
S(ufc ± vk) = IimZM ± 14) = 0	0
g	n	CO	co
= Hm£uft ±И“1и* = 1>* ±2>v о "" о о о
Подчеркнем, что из сходимости ряда, стоящего слева в (2), вообще не следует сходимость каждого из рядов, стоящих справа в (2). Например, ряд
(1-1) + (1-1) + .-	(3)
сходится (все его члены равны нулю), но выражение ^1 — о
—1 не имеет смысла—ряды, входящие в него, расходятся, о
Если ряд
u0 + Uj + и2 +...	(4)
сходится и имеет сумму S, то члены его можно любым образом сгруппировать скобками (однако не переставляя их), например,так:
“о + (“1 + «г) + («з + u4 + и5) + ...,
образуя новый ряд, члены которого равны суммам чисел, стоящих в скобках. Новый ряд будет сходящимся и притом к S, потому что его частичные суммы образуют подпоследовательность сходящейся последовательности частичных сумм ряда (4).
432
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Наоборот, раскрывать скобки в ряду, вообще говоря, незаконно, например, после раскрытия скобок в сходящемся ряду (3) получается расходящийся ряд 1 — 1 + 1 —	.
Впрочем, если внутри скобок всюду стоят только неотрицательные или неположительные числа, то раскрытие в таком ряду скобок не изменяет сходимости ряда и величины его суммы.
§ 9.4.	Ряды с неотрицательными членами
Теорема 1 (признак сравнения рядов). Пусть даны два ряда:
1)	±ик, 2) 2Х О	о
с неотрицательными членами.
а)	Если uk < vk(k = 0, 1, ...), то из сходимости ряда 2) следует сходимость ряда 1), а из расходимости ряда 1) следует расходимость ряда 2).
б)	Если
Ит—=Л>0,	(1)
то ряды 1) и 2) одновременно сходятся и расходятся.
Доказательство. Пусть ряд 2) сходится и S — его сумма. Тогда
±ик<±ик<8	(п-0,1,...),
о о
т. е. частичные суммы ряда 1) ограничены и ряд 1) сходится. Его сумма S' удовлетворяет неравенству S' < S.
Пусть теперь ряд 1) расходится: тогда (см. § 9.1) его частичная сумма неограниченно возрастает вместе сп.что в силу неравенства
(n-0,1, ...)
О о
§9.4. РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
433
влечет также неограниченное возрастание частичных сумм ряда 2), т. е. расходимость последнего. Этим доказано утверждение а).
Пусть теперь имеет место (1). Зададим положительное число £, удовлетворяющее неравенству А - £ > 0. Из (1) следуют неравенства
А-<А + е (k> N),
верные при достаточно большом N, или неравенства
(А - E)vk < ик< (А + E)vk (k > N).	(2)
Если ряд 2) сходится, то сходится также ряд £ (А + + E)vk, и на основании второго неравенства (2), сходится ряд ик, а тогда и ряд 1). Обратно, сходимость ряда 1) влечет k=W+l
сходимость ряда (А-е)нли, следовательно, сходимость *=N+1
ряда 2).
Но тогда из расходимости одного ряда вытекает расходимость другого. Этим доказано утверждение б).
Теорема 2 (признаки Даламбер а*). Пусть дан ряд
оо
о
(3)
с положительными членами.
а) Если
(ft = 0,1,2,...),
Uk
(4)
Ж. Даламбер (1717-1783) — французский математик.
434
ГЛАВА 9. РЯДЫ_________________________
то ряд (3) сходится; если же
> 1 (fe = O, 1, 2, ...),	(5)
то расходится.
б) Если
hm—411 к~“ ин
(6)

то ряд (3) сходится при q< 1 и расходится при q > 1.
Доказательство. Имеем
и„ = “о

и
(п = 0, 1, 2, ...),
(7)
поэтому из (4) следует, что
Un < UqQ",
9 < 1
(п = 0,1, ...),
и так как ряд ^uogn сходится, то вместе с ним сходится и 1
ряд (3). Из (5) в силу (7) следует, что ип > и0 (п = 0, 1, 2,...), и так как м0 > 0, то ряд (3) расходится (общий член не стремится к нулю).
Если теперь выполняется свойство (6) и q < 1, то для положительного е такого, чтод+£ < 1, ик+1/ик <q + E<l(k > > N), rp,eN достаточно велико. В силу признака (4) в таком случае ряд ^ик сходится, а вместе с ним сходится и ряд (3).
N
Из свойства же (6) при q > 1 вытекает, что ик+х/ик > l(k>N) при достаточно большом N, и тогда в силу признака (5) ряд ^ик расходится, а вместе с ним расходится и ряд (3).
N
§ 9.4. РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
435
Теорема 3 (признаки Коши). Пусть дан ряд (3) с положительными членами.
а)	Если
<q<l (k = 0, 1, ...),	(8)
то ряд (3) сходится; если же
(fe=o, 1,...),	(9)
то ряд (3) расходится.
б)	Если
lim ^4 = 9»	(Ю)
ft-» 00
то ряд (3) сходится при g < 1 и расходится при q > 1. в) Если
я—со
(11)
то ряд (3) сходится при q < 1 и расходится при q> 1 и при этом члены ряда неограничены.
Доказательство. Из неравенства (8) следует, что
uk < q (q < 1, k = О, 1,...), и так как в этом случае ряд ^jq о
сходится, то сходится и ряд (3). Из неравенства (9) следует, что ик > 1 (й = О, 1, ...), т. е. не выполняется необходимое условие сходимости, и поэтому ряд (3) расходится.
Далее из свойства (10) при q < 1 следует, что
<q+E<l (k> N)
(12)
при достаточно большом N, откуда
Uk< (? + £)* (k>N).
436
ГЛАВА 9. РЯДЫ
и так как ряд + е)* сходится, то сходится и ряд а W	N
вместе с ним ряд (3). Из свойства (10) при q > 1 вытекает, что > 1, т. е. ик > 1 (Л > 2V) при достаточно большом N, откуда следует расходимость ряда (3).
Из свойства(П) (так же как из свойства (10)) при# < 1 следует (12), откуда, как уже доказано, вытекает сходимость ряда (3).
Наконец, пусть выполняется свойство (11) при q > 1. Подберем конечное число qx так, чтобы l<q1<q.На основании свойства верхнего предела (см. § 2.10) существует подпоследовательность < fe2 < ... такая, что
>g1>l(e=l,2,...),
т. е.

Но тогда члены неограничены и ряд (3) расходится.
Замечание. Ряд с общим членом ип - rf0 (а > 0) сходится при а > 1 и расходится при а < 1 (см. § 9.2, (5)).
При этом в обоих случаях
lim—— = 1, ип
(13)
так же как
= 1.	(14)
Л-»со
Таким образом, существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды с признаками (13) и (14).
Ряд 1 + g + ^ + ... называется гармоническим рядом
(он расходится, см. § 9.2, (5)).
§ 9.4. РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
437
Примеры.
оо 'Л
11 Sir
5) 2> 1
(<7>0)-
1 «
3) £(е1/к-1).
Ряд 1) сходится Vx > 0. При х = 0 это очевидно, а при х > 0 это следует из того, что ик+1/ик = х/(й +1) — 0, k — со. Более того, мы знаем, что этот ряд является рядом Тейлора функции ех и сходится Vx к сумме, равной ех.
Ряд же 2) сходится при 0 < х < 1 и расходится для х > > 1, потому что при х > 0 для него ик+1/ик — х (k/(k + 1))“ -* —х, k — оо, при х - 1 см. выше замечание. Случай х = О тривиален.
Ряды 3) и 4) расходятся в силу теоремы 1 § 9.4, потому что е/к - 1 и 1/Л (Л - со) и In (1 + (1/fe)) ~ 1/Л (k — со) («~» — знак асимптотического равенства, см. § 3.9, § 3.10),
со а гармонический ряд расходится.
1
Ряд 5) сходится при О < q < 1 и расходится при q > 1, потому что для него = q1^^ -* q (k —> со). При q = 1 он тоже расходится — общий член ряда в этом случае равен 1.
Теорема 4. Пусть ряд
и0 + Щ + и2 + ...
(15)
с неотрицательными членами сходится и имеет сумму S. Тогда полученный в результате произвольной перестановки его членов новый (заново перенумерованный) ряд
и'о + и\ + и' 2 + ....	(16)
также сходится и имеет ту же сумму S.
438
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Доказательство. Пусть
S'n = и'О + и'1 + - + и'п
— частичная сумма ряда (16). Члены ее находятся в ряде (15) под некоторыми номерами к0,..., кп. Пусть N — наибольшее число среди них и SN есть N-я частичная сумма ряда (15). Очевидно, S'n < SN < S, и так как п произвольно, то ряд (16) сходится и имеет сумму S' < S. Но теперь приведенное рассуждение можно провести еще раз, поменяв ряды (15) и (16) местами, и получить, что S < S'. Поэтому S = S'.
§ 9.5.	Ряд Лейбница
Ряд вида
а0 а1 + а2 а3 +
(1)
где числа ак > О, монотонно убывая, стремятся к нулю (ак ак+г", ак -* О, к -* оо), называется рядом Лейбница. Покажем, что ряд Лейбница сходится и его сумма S<a0.
В самом деле, частичная его сумма «S2n+J с нечетным номером 2п + 1 может быть записана в виде
®2п+1 “ ао (°1 аг) (“з	“4)	(а2п-1 а2п) а2п+1»
откуда, очевидно, следует, что она ограничена сверху числом а0:
®2п+1 ао-
С другой стороны, она может быть записана в виде
&2п+1 ~ (°0	а1) + (°2 аз) + -•- + (а2п а2п+1)’
§ 9.6. АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ
439
откуда следует, что она монотонно не убывает. Но в таком случае существует предел 1нпЯ2п+1 = Я < а0. Очевидно так-же, что
= ^<S2n+l - a2n+l) = S - О = Я.
Теорема доказана.
Пример. Ряд 1~тг + о
Z о
+ ...есть, очевидно, ряд Лей-
бница. Таким образом, он сходится и его сумма Я не превышает 1 (на самом деле, Я = 1п 2, см. § 4.16, п. 4).
§ 9.6.	Абсолютно сходящиеся ряды
Ряд с комплексными членами
и0 + и1 + и2 +
(1)
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
|Uol + InJ + |u2| + ...
(2)
модулей его членов.
Абсолютно сходящийся ряд сходится.
В самом деле, пусть ряд (1) абсолютно сходится; тогда сходится ряд (2) и в силу признака Коши для любого Е > О найдется такое N, чтое > |мп+1| + ... + ) untp| для всехр и п > N. Тем более, тогдаЕ > |мп+1 +... + мпч,|. Поэтому в силу признака Коши ряд (1) сходится.
Сходящиеся ряды с неотрицательными членами три-
виальным образом сходятся абсолютно. Ряд 1 -	+
Ci
(а > О) сходится, потому что он есть ряд Лейбница.
Однако абсолютно он сходится только при а > 1.
440
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Теорем а. Если ряд абсолютно сходится, то при любой перестановке его членов сходимость полученного нового ряда не нарушается и его сумма остается прежней.
Доказательство. Сначала докажем теорему в случае, когда члены ряда иь — действительные числа.
Положим (для действительных uk)
если i4>0, если 14 < О,
-и., если и.^0, . 0, если Ч>0; <3>
числа 14 и 14, очевидно, неотрицательные и
м*= Ч -«V
(4)
Наряду с рядом (1) будем рассматривать два ряда,
и ZX о о
(5)
(с неотрицательными членами).
Пусть ряд (1) абсолютно сходится и члены его — действительные числа 14. Тогда ряды (5) также сходятся, потому что, очевидно, 14 < |ил|, 14 < |uj.
Пусть ряд, полученный после перестановки исходного ряда (1), имеет вид 14 + v2 + v3 + .... Для его членов введем, как выше, числа 14 и 14. Тогда (пояснения ниже)
W	СИ
2ч = Ё(ч-ч)=Ё14-Е14 =
0	0	0	0
ОО ОО	ОО	00
=ZX -Ёч = ЁН - и*)=Ёч. ООО	о
Первое равенство в этой цепи следует из (4), второе — из § 9.3, (2), если учесть, что ряды (5) сходятся, третье еле-
s 9.7. УСЛОВНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
441
дует из того, что сходящиеся ряды с неотрицательными членами перестановочны, четвертое из § 9.3, (2), и, наконец, пятое — потому, что vk = и* - v~. Теорема для действительных ик доказана.
Пусть теперь uk = afc +	— комплексные числа, а
числа и* имеют прежний смысл. Так как |aj < |uj, |P*| < |uA|, то ряды с (действительными членами) Ха* и ХР* ьбсолют-о о
но сходятся, и члены их, как сейчас было доказано, можно переставлять. Поэтому, считая, что vk = yk + i8fc, получим
Хч = X<a* + *₽*) = Xa* + ZX₽* =
0	0	0	0
= £Y*+i£s* = £(Y* + ^) = &*-0	0	0	0
Теорема доказана полностью.
§ 9.7.	Условно сходящиеся ряды с действительными членами
Из предыдущего параграфа мы знаем, что абсолютно сходящийся ряд с действительными или комплексными членами после перестановки членов остается абсолютно сходящимся и имеющим прежнюю сумму.
Оказывается, это свойство — не менять сумму после перестановки членов — присуще только абсолютно сходящимся рядам.
Рассмотрим ряд
Ud + i^ + Uj-i-...	(1)
с действительными членами сходящийся, но не абсолютно.
Можно доказать, что, каково бы ни было число S, ко
442
ГЛАВА 9. РЯДЫ
нечное или бесконечное, т. е. удовлетворяющее неравенствам -оо S < +оо, существует перестановка членов ряда (1), в результате которой получится ряд, сходящийся к S. Поэтому неабсолютно сходящиеся ряды называют условно сходящимися.
Сделаем еще следующее замечание. Пусть задан ряд (1) из действительных чисел, условно сходящийся. В ряде (1) имеется бесконечное множество положительных и отрицательных членов, и, очевидно, они в отдельности образуют расходящиеся ряды (в противном случае исходный ряд был бы абсолютно сходящимся).
§ 9.8.	Последовательности и ряды функций.
Равномерная сходимость
Рассмотрим последовательность функций {fk (х)}, определенных на некотором множестве точек х = (хг, .... xj n-мерного пространства. Они могут принимать комплексные значения (fk (х) =ак (х) + iPt (х)). Можно считать также, что х — комплексные точки (х = ^ + 4т]), пробегающие некоторое множество Е точек комплексной плоскости, и тогда fk (х) — функции комплексной переменной х.
Пусть для каждого значениях G Е последовательность {fn (х)} стремится к числу f (х) (функции от х).
По определению последовательность fn (х) сходится (стремится) к f (х) равномерно на Е, если существует сходящаяся к нулю последовательность неотрицательных чисел рл (не зависящих от х) такая, что
\f (X) - fn (Х)| < рл VxgE.	(1)
Это определение эквивалентно следующему: для любого е > О найдется такое, что при n > N
\f(x)-fn(x)\<£ \fxeE.
$ 9.8. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙ. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 443
В самом деле, если выполнено первое определение, то для любого £ > О найдется N такое, что
е>Рп > If (х) - fn (x)f Vx g E, n>N
t. e.
£>\f(x)-fnW\ VxgE, n>N.	(2)
Обратно, по второму определению для любого Е > О найдется N так, что выполняется (2). Но тогда
£ > аир|/ (х) - /„ (х)| = р„ (п > N).	(3)
дсеЕ
Мы видим, что неотрицательные числа рп не зависят отх и < рп, р„ -* 0, т. е. выполняется первое определение.
В первом определении в качестве рп можно взять точную верхнюю грань
sup|/(x)-/„(x)| = pn.
хсЕ
Если она стремится к нулю при п — оо (рп -+ О), то fn (х) стремится к f (х) равномерно наЕ, если не стремится, то не равномерно.
Можно еще дать третье определение равномерной сходимости в духе Коши: последовательность {fn (х)} равномерно сходится наЕ, если для любого £ > О найдется такое N, что выполняется неравенство
4 (*)!<*	(4)
при любых п > N ир> О к для всех х g Е.
Из того, что последовательность равномерно сходится в смысле второго определения, следует, что для всякого £
444
ГЛАВА 9. РЯДЫ
найдется такое N, что для п > N и любых р выполняется неравенство
IU (*) - fn (*)1 < 14+, (*) - f (*)1 +1/ (*) - fn (*)l < 2е Мх g Е,
т. е. выполняется третье определение. С другой стороны, пусть выполняется третье определение; тогда для каждого отдельного значения х <= Е выполняется, очевидно, обычный признак Кохпи сходимости последовательности, поэтому она сходится к некоторой функции / (х). Зададим теперь Е > О и подберем N так, как указано в третьем определении. В неравенстве (4), гдеп >N фиксировано, перейдем к пределу прир — оо; в результате получим
IZ(x)-	(*еЕ).
И так какп >N можно взять любым, то мы получим второе определение.
Изобразим в прямоугольной системе координат график функции у — f (х) (предельной функции), которую мы считаем непрерывной на отрезке [а, Ь] (рис. 103). ЗададимЕ > 0 и определим Е-полоску толщиной 2е, окружающую график. Произвольная точка е-полоски с абсциссой х G [а, Ь] имеет ординату у, удовлетворяющую неравенствам
Рис. 103
§ 9.8. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙ. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 445
Если последовательность функций {fn (х)} стремится к f (х) равномерно на [а, Ь], то по заданному £ > О можно указать такоеТТ, что для любого n>N график у =fn (х) окажется внутри £-полоски. Если же fn (х) стремится к / (х) неравномерно на [а, Ъ], то, хотя для каждого значения х fn (х) стремится к/ (х), все же Ve > 0 невозможно указать такоеМ чтобы для каждого п > N все графики у = fn (х) попали в Е-полоску (см. ниже пример 3).
Нетрудно видеть, что если а — число, а {/к(х)} и {<pft (х)} — две последовательности функций, равномерно сходящиеся на Е, то последовательности {afk (х)} и {fk (х) ± ± ф* (х)} также равномерно сходятся наЕ. Нетрудно также видеть, что если последовательность функций равномерно сходится на Е, то она равномерно сходится и на Е' с Е. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Заметим, что каждой последовательности функций {/* (х)} соответствует ряд
/о (*) + (А (х) “ А (х)] + (А (х) - А (х)] + ....
п-е частичные суммы которого соответственно равны fn (х).
Пусть теперь задан ряд
н0 (х) + иг (х) + и2 (х) + ...»	(5)
члены которого, вообще говоря, комплексные функции от хе Е, где Е — по-прежнему некоторое множество точек n-мерного пространства или комплексной плоскости.
По определению ряд (5) равномерно сходится на множестве Е к функции S (х), если последовательность {<St (х)} его частичных сумм равномерно сходится на Е к S (х).
В частности, определение равномерной сходимости ряда, очевидно, можно высказать так: ряд (5) равномерно сходится на множестве Е, если для любого £ > 0 найдется такое N, что для n>N ир > О и всякого х е Е выполняется неравенство
Ki (х) + - + и„+р(х)| <£.
Следующая теорема дает важный критерий равномерной сходимости ряда.
446
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Теорема 1 (Вейе р штрас с а). Если члены ряда (5) удовлетворяют неравенствам
|п*(х)|«а* (fe = O, 1, ...),	(6)
где х g Е, а ак — числа (не зависящие от х), и если ряд с членамиак сходится, то ряд (5) сходится на множестве Е абсолютно и равномерно.
В самом деле, из сходимости ряда с членами ак и из (6) следует, что для любого Е > О найдется такое N, что при любых n>Nnp>OH произвольном х 6 Е
£>an+i + ...+a„+p>
> |ил+1 (*)! + ••• + К+Р (*)1 > 1“и+1 (*) + ••• Ml, а это и значит, что ряд (5) равномерно сходится на£. Абсолютная его сходимость очевидна.
Теорема 2. Если последовательность функций {fn (х)1 равномерно сходится на множестве Е к функции f и fn непрерывны в точке х° (относительно Е), то f также о непрерывна в х .
На языке рядов эта теорема гласит: сумма равномерно сходящегося на Еряда функций, непрерывных в точкех1 е Е, есть непрерывная функция в этой точке*.
Доказательство. Зададим £ > О и подберем натуральное так, чтобы |f (х) - fN (х)| < е/3 для всех х е Е, что в силу равномерной сходимости fnK.f возможно. Имеем, далее,
If (х) - f (Х°)|.« If (х) - fN (х)| + \fN (х) - fN (x°)| +
+ lfN (*°) - f (*°)l < + Ifn M - fN (*°)l (7)
для любой точки х G Е. Но функция fN непрерывна в х°, и можно указать такое 5 > 0, что |fN (х) - fN (х°)| < £/3 для всех
* См. замечание в § 9.12.
§ 9.8. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙ. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 447
х е Е таких, что |х - х0| < 5; поэтому из (7) следует, что для таких х
|/(x)-/(x°)|<^ + f =Е, О о
и теорема доказана.
Пример 1. Ряд
1 + (х - 1) + (х2- х) + (х3- х2) +...	(8)
сходится на отрезке [0,1], но неравномерно. На отрезке [О, д], где О < q < 1, он сходится равномерно.
В самом деле, п-я частичная сумма ряда (8)
Sn(x) = xn
Го, 0<х<1, n-“ > (I,	х=1.
Абсолютная величина разности S (х) - Sn (х) (остатка ряда) равна
|S(x)-Sn(x)| =
xn, 0=ех<1,
.0,	х=1.
О)
На отрезке [0, д], где 0 < q < 1,
|S(x)-S„(x)| = xn«gn.
Правая часть этого неравенства не зависит отх е [0,9] и стремится к нулю прип —► оо (д" —► 0 ). Это показывает, что ряд (8) равномерно сходится на отрезке [0, д], где 0 < g < 1.
С другой стороны, из равенства (9) видно, что
sup |S(x)-S„(x)| = l.
«40.1]
Таким образом, число 1 есть самое малое число, превышающее |<S (х) - Sn (х)| для всех х е [0, 1]. Но постоянное
448
ГЛАВА 9. РЯДЫ
число 1 не стремится к нулю при п - оо, поэтому ряд (8) хотя и сходится на [0, 1], но неравномерно.
Пример 2. Ряд
sinx , sin2x , sin3x ,
-.2	+ о2 + о2 +
(Ю)
имеет п-й член, удовлетворяющий неравенству
Isinnxl 1 w	.
J---2-- ^*^2	G (“°0. °°)>
п п
и при этом ряд
< оо
сходится. Поэтому по теореме Вейерштрасса ряд (10) равно
мерно сходится на всей оси (— оо, оо).
Так как члены ряда (10) суть непрерывные функции, то
по теореме 2 сумма этого ряда есть непрерывная функция.
Далее, очевидно, что
Пример 3. На рис. 104 изображена функция fn (х) (п = 1, 2, ...). Она линейна на каждом из отрезков [0, 1/п], [1/п, 2/п], [2/n, 1] в отдельности. Кроме того, /„ (0) = f (2/п) = 0 и fn (х) = 0 на[2/n, l],fn(l/n)= 1.Очевидно, limf (х) = f(х) = 0 Ухе [0,1], потому что fn (0) = 0 -* 0, а если 0 < х < 1, то fn (х) = 0 Уп > 2/х.
SUP 1/„ (х) ~ f (х)| = sup f (х) = 1, x<0.1] "	х<0.1] "
и при этом постоянное число 1 не стремится к нулю при п —► оо, т. е. fn (х) — / (х) = 0 на [0, 1], но неравномерно.
f 8.8. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙ. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 449
На рис. 104 пунктиром изображена Е-полоска, окружающая предельную кривую/ (х) = 0 (0 < х < 1). При любом п график функции /л (х) не попадает весь в £-полоску. Это не мешает тому, что /„ (х) -* / (х) = 0 Vx е [0, 1].
Приведем еще более тонкие признаки равномерной сходимости рядов, основанные на применении к ряду так называемого преобразования Абеля (аналога операции интегрирования по частям).
Рассмотрим ряд
аО»Ро+ “1Р1 + а2₽2 + ••••	di)
где aft, — функции от х е Е (или постоянные числа). Положим Вк = рп+1 + рп+2 + ... + Pn+fc и к усеченной сумме ряда (11) применим преобразование Абеля:
^®п+*Рп+* ~ К+1Рп+1 ••• "* “n+рРп+р ~ *=1
= K+iBi + <WB2 - в1) + - + ап+Р Фр - Bp-t) = = (an+l ~K+2)BiHan+2-an+3)B2 + ...Han+P-i ~anV)Bp-l +апч>Вр =
= g(K+> - a„+A+1)Bft + Bp- (12) fe=i
Теперь легко установить следующие два критерия равномерной сходимости (в случае постоянных aft, pfc — просто сходимости) ряда (11).
Теорема 3 (признак Дирихле равномерной сходимости ряд а). Если частичные суммы ряда
Po + Pi + P2+-	(13)
ограничены в совокупности, а действительная функция ak(x) (с возрастанием k) равномерно (относительно х) на Е стремится к нулю, убывая, то ряд (11) сходится равномерно.
В самом деле, пусть константаМ превышает модули частных (частичных) сумм оп ряда (13). Тогда при любых п и k
IKI = К+* - Kl < KJ + KI < 2М.
13 — Бугров. Том 2
450
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Поэтому в силу (12) и того факта, что as равномерно стремится к нулю убывая, выполняется неравенство
I&U*J < 2М	- ал+*+1) + апч 2М = 2Ма^ < 5
I 1 I *=>
для любыхп >Nupn любых х е Е, если tobbkoN достаточно велико. Следовательно, ряд (11) равномерно сходится. Последнее неравенство в этой цепи верно для всех х е Е в силу равномерного стремления ап+1 (х) к нулю.
Теорема 4 (признак Абеля равномерной сходимости ряда). Если действительные функции afc не возрастают (с возрастанием k) и ограничены в совокупности, а ряд (13) равномерно сходится на Е, то и ряд (11) сходится равномерно на Е.
В самом деле, пусть М > |aj (fe = О, 1,...) (функции ак могут быть и отрицательными!). В силу равномерной сходимости ряда (13) для любого £ > О можно указать такое N, что |BJ < £ для любых п > N и k. Поэтому в силу (12) и монотонности а, для любых п > N и р
1
< е Ё(ап+» - Ц„*ц) + Е|ап+р1 =
*=1
= <(i -	+ еК+р1 < ЗеМ,
т. е. ряд (11) равномерно сходится.
Пример 4. Ряды
у cos kx у, sin kx
Г ka ’ v ka
(a > 0)
(14)
при a > 1 равномерно и абсолютно сходятся на всей действительной оси (—оо < х < оо), потому что абсолютные величины их k-x членов не превышают fe~“, а при a > 1 ряд сходится. Мы применили признак Вейерштрасса. При a < 1 он уже не
§ 9.9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 461
применим, так как в этом случае ряд расходится. Однако при 0 <а < 1 наши ряды равномерно сходятся на отрезке [е, 2л - £], каково бы ни было е > О, где 0 < £ < л. В самом деле, частные суммы рядов
1 + cos х + cos 2х + cos Зх +..., sin х + sin 2х +..., 2
соответственно равны

sin(n+Mx	cos^-cos(n+-^\x
-------, Кп (х) =-----2---------2Z_
2sin —	2sin *
2	2
(n = l, 2,...).
(15)
В этом можно убедиться, если частные суммы рассматриваемых рядов умножить и разделить на 2sin (х/2) и в числителе произвести соответствующие тригонометрические преобразования. Функции (15) ограничены в совокупности на [£, 2р — е]

кроме того, > (п + 1)”“ и п““ — О, поэтому по признаку Дирихле ряды (14) равномерно сходятся на [£, 2л - £].
§ 9.9. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов
Теорема 1. Пусть на отрезке [а, Ь] задана последовательность {fn (х)} (комплекснозначных) непрерывных функций, сходящаяся к функции f. Если сходимость равномерна на [а, Ь], то
limjfn (t) dt = jf(t) dt a	a
(1)
15*
452
ГЛАВА 9. РЯДЫ
равномерно на [а, 6}. В частности (при х = Ь),
ъ	ь
limJ/n(Z) dt - Jftt) dt.
a	a
(2)
Доказательство. Из условий теоремы следует (см. § 9.8, теорема 2), что предельная функция f непрерывна на [а, 6] и
max |/n (t) - f (0| = rn -< 0 (n — оо).
аЖЬ
Поэтому
dt-J/(t) dt < J|f „ (0 -f (t)| dt < Jrndt - (b - a) rn, a	a	a	a
где правая часть не зависит от х и стремится к нулю при п —* оо, а это доказывает теорему.
Теорема 2. Равномерно сходящийся на отрезке [а.
Ь] ряд (комплекснозначных) непрерывных функций
S (х) = и0 (х) +	(х) + и2 (х) + ...	(3)
можно почленно интегрировать (а < х0 < Ъ):
js(t) dt= ju0(t) dt + J и j (t) dt + ... .
Хц	*b	A)
(4)
Полученный при этом ряд (4) равномерно сходится на [а, 61.
В частности,
ь	ь	ь
jS(t) dt = Juo(0 dt + Juj (0 dt + ... .
(5)
§ 9.9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 453
Доказательство. Заметим, что S (х), как сумма равномерно сходящегося на отрезке [а, Ь] ряда непрерывных функций, есть в свою очередь непрерывная функция на [а, Ь]. Пусть
Sn (х) = £«* (х). О
Так как ряд (3) равномерно сходится к S (х), то
sup |Sn (X) - S (х)| = rn - О (n — ОО).
Поэтому
Ao	° «о	«о	«о
< (ft - a) rn — 0 (n — oo),
и теорема доказана.
Теорема 3. Пусть на отрезке [а, Ь] задан ряд
м0 (х) + (х) + и2 (х) + ...	(6)
(комплекснозначных) функций, имеющих непрерывную производную.
Если ряд (6) сходится в некоторой точке х0 G [а, Ь] и, кроме того, формально продифференцированный ряд
“о (*) + u'i (*) + и2 (*) + —	(7)
равномерно сходится на [а, 6], то ряд (6) равномерно сходится на [а, Ь] и производная от его суммы S (х) есть сумма ряда (7).
454
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Таким образом,
S (X) = и0 (х) + щ (х) + и2 (х) + ...»	(8)
S' (х) = iz'o (х) + и\ (х) + и'2 (х) + ... (а < х < Ь). (9)
Доказательство. По условию ряд (7) равномерно сходится на [а, Ь] и его члены — непрерывные функции на [а, 6], поэтому его сумма, которую мы обозначим пока через ф (х), непрерывная функция на [а, Ь]. На основании теоремы 2 ряд (7) можно интегрировать почленно и получить равномерно сходящийся на [а, Ь] ряд
|ф (t) dt = Ju'Q (t) dt + J iz'j (t) dt + ...
*0
(a < x < b).
Применяя теорему Ньютона-Лейбница, будем иметь
J Ф (t) dt = £[ и„ (х) - ик (х0)].	(10)
-о	°
Ряд справа в (10) с членами, равными функциям в квад-
ратных скобках, равномерно сходится на [а, 6], ряд	(х0)
о
по условию сходится, и так как его члены постоянны, то его надо рассматривать как равномерно сходящийся ряд на [а,
Ь]; но тогда ряд	(х) также сходится и притом равномер-
о
но на [а, Ь] как сумма двух равномерно сходящихся рядов; обозначим его сумму через S (х). Тогда равенство (10) можно переписать так:
S (х) = S (х0) + j ф (t) dt.
Но функция S (х) имеет производную, равную S' (х) =ф (х), и теорема доказана.
S ад. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 455
Пример 1. Ряд
S(x) =
coax . cos2x , соаЗх ,
—~~   z-----1	~ «
1“	2	3
(П)
при а > 1 равномерно сходится на всей действительной оси по признаку Вейерштрасса потому, что
In-” cos пх\ < п~“
Х/х е (-оо, оо)
и
1
(а > 1).
Продифференцируем ряд (11) формально:
<р(х) =
sinx
sin2x sin3x
2“-1	да-1
(12)
Этот ряд сходится равномерно на (-оо, оо) уже при a > 2. Но тогда при а > 2
S' (х) =<р (х).
(13)
Рассмотрим случай 1 < a < 2. В этом случае признак Вейерштрасса к ряду (12) неприменим. Однако ряд (12) равномерно сходится на отрезке [е, 2л - е] при любом е > О (см. § 9.8, пример 4). Так как к тому же сходится на этом отрезке и ряд (11), то можно утверждать на основании теоремы 3, что имеет место равенство (13) на отрезке [е, 2л - Е], как бы ни было мало е > О, но тогда, очевидно, и на интервале (О, 2л).
Если учесть, что члены ряда (11) имеют период 2л, то мы доказали, что при условии 1 < a < 2 ряд (11) законно дифференцировать почленно для всех значений х~е (-оо, оо), исключая точки xfc = 2kn (k = О, ±1, +2, ...).
Пример 2. Пусть функция fn(x) является непрерывной на [0,1], линейной на каждом из отрезков [О, 1/2п]
456
ГЛАВА 9. РЯДЫ
и [1/2га, 1/п] и такой, что fn (О) = f (1/п) = О, fn (1/2га) = ап, fn (х) = О на [1 /п, 1], где ап — любая последовательность чисел (рис. 105). Тогда, очевидно, lim f (х) = 0 для всех
х е [О, 1], а
1	1/2п	1/„
$fn(x)dx = J 2nanxdx + J 2na„(--x] о	О	1/2п	П
dx =
ап
2га’
Очевидно, далее, что
rn = sup |/„ (х) - 0| = а , 0«х«1
поэтому последовательность {/п (х)} равномерно сходится
тогда и только тогда, когда ап — 0. Равенство
Jfn (х) dx-jf (х) dx	(f (x) s О (14)
о	о
выполняется тогда и только тогда, когдаап/2га — 0 (п -» со). Мы видим, что из равномерной сходимости fn к /= 0 на [0, 1] (т. е. когда ап —► 0) следует сходимость интегралов т	(14), что согласуется с теоремой 2.
- ____	Но последовательность {/п} может
А
сходитьсякеравнол«ерно, в то вре-
/А	мя как свойство (14) все же со-
/ t\	блюдается, например, приап= 1.
I । \	Это показывает, что равномерная
/ । \	сходимость последовательности
у J J 1	* является достаточным, но не не-
2л п	обходимым условием сходимости
Рис. 105	последовательности интегралов к
интегралу от предельной функции. Далее, при ап = га последовательность {/п} не только сходится к нулю неравномерно, но и свойство (14) не соблюдается.
S 9,9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 467
Таким образом, если последовательность {/п} сходится неравномерно, то возможно, что последовательность интег-ъ
ралов j fn (х) dx сходится к интегралу от предельной функ-а
b
ции J f (х) dx, а возможно, что сходится к другому числу а
(при ап = п сходится к 1/2, а не к нулю) или же не сходится вовсе.
Пример 3. Из равенства (1 - г)-1 = 1 + z + z2 + ... (г=ре‘°, р < 1) следует, что
1 + ре 1 . л je . 2 2iQ .
,	i9\ = „+Pe +Ре +-
а отделяя действительную и мнимую части, получим
Р (Р. 0) = I;	-—г = | + р cos 6 + р2 cos 20 + ..., (15)
21-2pcos0+p	2
Q (р, 0) =	д—2 = р sin 0 + p2sin 20 + .... (16)
l-2pcos0+p
ФункцияР (р, 0) называется ядром Пуассона*, a Q (р, 0) — ему сопряженной функцией
Эти функции являются гармоническими функциями (для р < 1), т. е. удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа** в полярных координатах
Ди =
tfu , 1 ди , 1 ои др2 рдр р2ае2
= 0.
* С. Д. Пуассон (1781-1840) — французский математик и физик.
** П. С. Лаплас (1749-1827) — французский математик и физик.
(17)
458
ГЛАВА 9. РЯДЫ
В самом деле, каждый член ряда (15) является гармонической функцией
(pncos п0)'р = пр"1 cos пВ, (p"cos п0)"р=п(п- l)pn 2cos П0, (рп cos п0)"е = — пгр" cos пВ,
A (рп cos п0) = pn2 cos n0 [n(n - 1) + п - и2] = 0.
Аналогично Д (рп sin п0) = 0.
Законность почленного дифференцирования рядов (15) и (16) обусловлена тем, что эти ряды и формально продифференцированные (один или два раза) рады равномерно сходятся при 0 < р < р0, где р0 — любое положительное число, меньшее единицы.
Заметим, что функция и (х. у), гдех му — декартовы координаты, называется гармонической в области £1 точек (х, у), если она удовлетворяет в этой области дифференциальному уравнению
Дп = -^ + А=0. дхг дуг
В полярных координатах это уравнение имеет вид (17).
§ 9.10. Перемножение абсолютно сходящихся рядов
Рассмотрим два абсолютно сходящихся ряда
5 =	=
Л=0	1=0
(1)
с действительными или комплексными членами. Перенумеруем пары (k, Z), где k = 0, 1, 2, ..., I = 0, 1, 2, ..., каким-нибудь способом
(^i> ^i)« (^2> ^г)’ (*з- У-
(2)
$ 9.10. ПЕРЕМНОЖЕНИЕ АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
459
Здесь важно, что каждая указанная пара (ft. I) входит в последовательность (2) в качестве ее элемента один раз. Она имеет в этой последовательности определенный номер. Докажем, что
So = £ Vi’	(3)
1=0
и при этом ряд справа в (3) абсолютно сходится.
Таким образом, если из всевозможных произведений ukvp взятых в любом порядке, составить ряд, то этот ряд абсолютно сходится и имеет сумму, равную So.
Чтобы доказать это утверждение, составим ряды из модулей |ил| и |и,|
= И™(l“ol' W + l“ol ’ luil + l“il' luil+ l“il ‘ W + l“ol' N + l“il х х ч + 1иг1  1иг1 + 1“г1 ' l»il + l“2l' 1ио1 + — + IunI ' luoD- Ю
Это показывает, что сумма справа стремится при N —► оо к пределу, равному So, и так как члены ее неотрицательные, то число So есть сумма ряда
So = |u0| • |и0| + |u0| • |uj + [nJ • |i>i| + ... .
(5')
460
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Так как члены этого ряда неотрицательные, то их можно переставлять как угодно, не изменяя его сходимости и суммы S5.
Мы доказали наше утверждение пока для рядов (I'). Пусть теперь
N	N
Л-0	1=0
Как в (4') в силу сходимости рядов (1) будем иметь
So = lim(S\.CTA,) =
= lim(uouo +	+ UjUj + UiU0 + ... + uNv0) (4)
Таким образом, существует предел справа в (4) npnN — оо, равный Sty. Но мы уже доказали, что ряд (5') сходится. Это показывает, что и ряд
uovo + “oui + uivi + uivo + -	(5)
сходится и притом абсолютно.
В силу же (4) сумма этого ряда равна So:
SO = U0V0 + U0V1 + UlVl + ЩПр + ... .
Мы, таким образом, доказали равенство (3) пока для одного определенного способа нумерации пар (k, Z). Но в силу абсолютной сходимости ряда (5) равенство (3) сохранится и при любом другом способе нумерации.
Пример. Ряд
2	3
Y(2)=l + z + |- + |-...	(6)
абсолютно сходится для любого комплексного значения z или, как говорят, абсолютно сходится на всей комплексной плоскости. В этом легко убедиться, если к ряду с общим членом |г|п/л! применить признак Даламбера.
§ 9.10. ПЕРЕМНОЖЕНИЕ АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
461
Для любых двух комплексных чисел и и и имеем (пояснения ниже)
( 2 2
у (и)у (и)= 1 + и+^-+... 1 + и+^- + ...
2	2	3	2	2
HU+O+^.1+U.V+1.§+^	1+^ + ^ +
3	1
+ 1 - -^7 + ... = 1 + (и + v) + -^:(ц2 + 2uv + иг) + о!
+ т|;(к3 + Зи2и + Зии2 + и3) + ... = О I
.	,	.	(и+и)2	(и+и)3	,	.
= 1 + (и + v) + ~~ +	* + ... = у (и + и).	(7)
Z!	о I
Во втором равенстве мы расположили произведения
* ,1 и I —— в порядке, который мож-К1II
но усмотреть из рис. 107, и воспользовались равенством (3) для абсолютно сходящихся рядов. Полученный при этом ряд, как было доказано в общем случае, абсолютно сходится. От
дельные группы членов сходящегося ряда законно объединить скобками, не нарушая его сходимость. Это и сделано в
последующих равенствах.
Мы доказали важное равенство
у (и + и) = у (и) • у (о)
(8)
для любых комплексных и и V. О нем еще будет идти речь в §9.13.
462
ГЛАВА 9. РЯДЫ
§ 9.11. Степенные ряды
Ряд вида
а0 + arz + a2z2 + а3г3 +...,	(1)
гдеаА — постоянные числа, az — переменная, называется степенным рядом. При этом ак и z могут быть комплексными, мы так и будем считать в дальнейшем, иногда только переходя в область действительного переменного. Бук-ваг будет обозначать, вообще говоря, комплексное переменное число (точку комплексной плоскости), а буква х — действительное переменное число (точку действительной оси х).
В теории степенных рядов центральное место занимает следующая основная теорема.
Теорема 1 (основная). Для степенного ряда (V) существует неотрицательное число R, конечное или бесконечное (0 < Ж оо), обладающее следующими свойствами:
1) Ряд сходится и притом абсолютно в открытом круге комплексной плоскости |z| < R и расходится в точках z с |z| > R.
2) Число R определяется по формуле
где в знаменателе стоит верхний предел (см. § 2.10).
Мы позволяем себе при этом считать, что
1 = оо, X = 0.
О оо
Таким образом, если указанный верхний предел равен О, то R = оо, если же он равен оо, то R = 0.
Открытый круг |z| <R называется кругом сходимости степенного ряда. При/? = оо он превращается во всю комп
§ 9.11. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
463
лексную плоскость. При R = 0 степенной ряд имеет только одну точку сходимости, именно точку z = 0; R называют радиусом сходимости ряда (1).
Замечание 1. Число R, удовлетворяющее утверждению 1) теоремы 1, очевидно, единственно.
Замечание 2. Если для степенного ряда(1) существует обычный предел lim^/la I, то он равен верхнему пре-п— со
делу lim^/jaj. Поэтому

Читатель, не ознакомившийся с понятием верхнего предела, может проследить за ходом доказательства теоремы 1, предположив, что для рассматриваемого степенного ряда указанный предел существует. В этом случае всюду в производимых ниже рассуждениях надо заменить lim на lim.
Доказательство теоремы 1. Пусть число R определяется по формуле (2). В точке г = 0 степенной ряд сходится. Будем далее считать, что |з| > 0. Наряду с рядом (1) введем второй ряд, составленный из его модулей,
|а01 + К2! + la2z2l + — •	GO
Общий член ряда (Г) обозначим через
“n = |aZl (п = 0, 1, 2, ...).	(3)
Согласно обобщенному признаку Коши сходимости ряда (см. § 9.4, теорема 3, в)),
если lim < 1, то ряд (1') сходится,
И—со
если же liras/u~ > 1, то ряд (1') расходится
464
ГЛАВА 9. РЯДЫ
и при этом переменная ип неограничена, но
Здесь мы вынесли за знак верхнего предела конечное число |2|>0.
Из сказанного следует: если |z| <R,r. е. |z|//? < 1, то ряд (1') сходится, а вместе с ним сходится и притом абсолютно ряд (1); если же |z| > R, т. е. |z|//? > 1, то ряд (1') расходится и его общий член |anz"| неограничен, поэтому общий член ряда (1) anzn не стремится к нулю при п -» оо и для него не выполняется необходимый признак (см. § 9.1). Это показывает, что ряд (1) расходится.
Итак, мы доказали, что определяемое из равенства 2) число R обладает следующим свойством:
если |z| <R, то ряд (1) сходится и притом абсолютно,
если же |z| > R, то ряд (1) расходится.
Основная теорема доказана.
Будем в дальнейшем для краткости обозначать через Gq замкнутый круг |z| < д комплексной плоскости.
Заметим, что степенной ряд сходится на открытом круге |z| < R, вообще говоря, неравномерно. Однако верна следующая теорема.
Теорема 2. Степенной ряд (1) абсолютно и равномерно сходится на любом круге <3q = {z :|z| < g}, где q<R,a R — радиус сходимости ряда (1).
Д о к азате л ьство. В самом деле, пустьg <R, тогда q есть действительная, т. е. лежащая на оси х точка, принадлежащая открытому кругу сходимости ряда (1). Поэтому в этой точке наш степенной ряд абсолютно сходится, т. е.
X|angn| < оо. л«=0
§ 9.11. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
465
С другой стороны, для г G имеем
l«Zl < K<fl (п = 0, 1, 2, ...).
Так как правые части этих неравенств не зависят от z е од и ряд, составленный из правых частей, сходится, то по признаку Вейерштрасса (см. § 9.8, теорема 1) степенной ряд (1) сходится на абсолютно и равномерно.
Теорема 3. Сумма
S(z)-a0 + axz + a2z2 + ...
степенного ряда есть непрерывная функция на его открытом круге сходимости |z| < R.
В самом деле, члены нашего ряда — епрерывные функции от z, а сам ряд равномерно сходится на круге csq, q <R Следовательно, по известной теореме из теории равномерно сходящихся рядов (см. § 9.8, теорема 2) сумма ряда S (z) есть непрерывная функция на <5q, но тогда и на всем круге |z|< < R, потому что q <Л произвольно.
Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда в нашем распоряжении имеется формула (2), но часто на практике при вычислении R удобно бывает воспользоваться признаком Даламбера.
Пусть существует предел (конечный или бесконечный)
а lim л-» д
(4)
который мы пока обозначим через 1/Л,. Тогда (см. (3))
lim = lim
CL .
=|z|lim -a±L
_1£1
и, согласно признаку Даламбера (§9.4, теорема 2), если
|z| < Rv то ряд (1'), а вместе с ним и ряд (1), сходится, если
466
ГЛАВА 9. РЯДЫ
§ 9.12. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ	467
же |z| > Нг, то |un| -» оо и ряд (1) расходится. Но число R с такими свойствами может быть только единственным, поэтому^ = R (см. теорему 1).
Итак, мы доказали, что если существует предел (4), то он равен 1/JK:
Сумма ряда (6) (геометрическая прогрессия) в открытом круге |z| < 1 равна (1 - z)1, а остаток
ОС	П+1
i+1	1	4
(п оо).
lim =i a R п
(5)
Однако сходимость на указанном круге неравномерна. Неравномерность сходимости имеет место уже для положительных z = х на интервале 0 < х < 1; неравенство
где R — радиус сходимости степенного ряда (1).
Заметим, что мы окольным путем доказали, что если предел (4) (конечный или бесконечный) существует, то он равен верхнему пределу lim .
Замечание З.В нашей учебной литературе обычно начинают изложение теории степенных рядов с теоремы Абеля, которая гласит:
Теорема Абеля. Если степенной ряд (^сходится в точке z0 = 0 комплексной плоскости, то он сходится абсолютно и равномерно в замкнутом круге\г\ < q, где q — любое число, удовлетворяющее неравенствам 0 <q< |z0|.
Доказательство. Эта теорема теперь уже является следствием из теорем 1 и 2. В самом деле, так как г0 есть точка сходимости ряда (1), то |z0| не может быть большим, чем R. Поэтому |z0| < R, 0 < q < |z0| < R и q < R. Но тогда по теореме 2 степенной ряд (1) сходится на круге |z| < q абсолютно и равномерно.
и+1
£ > ----
1-Х
(9)
при любом заданном п нельзя удовлетворить для всех указанных х.
Ведь если х взять очень близким к 1, то числитель в правой части будет тоже близок к 1, а знаменатель близок к нулю и дробь в правой части (9) можно, таким образом, сделать большей чем £.
Ряд (7) при а > 1 равномерно сходится на замкнутом круге |z| < 1 его сходимости, так как при |z| < 1
|z“fe~“| < k~a и " < 00 •
Если a = 1, то в точке z — 1, лежащей на границе круга сходимости, ряд (7) расходится.
Ряд (8) сходится только в точке z = 0.
Примеры.
1 + z + z2... ,	(6)
1 + ^г+^ +J-...(a>0),	(7)
1 + z + 2!z2 + 3!2z3 + ... .	(8)
§9.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Теорема 1. Радиусы сходимости степенного ряда а0 + ajZ + a2z2 + ...	(1)
С помощью формулы (2) или (5) заключаем, что радиус сходимости рядов (6) и (7) равен 1; для ряда (8) он равен 0.
и ряда
а^ ~ь 2a2z + 3o2z + ... ,
(2)
468
ГЛАВА 9. РЯДЫ
полученного из него формальным дифференцированием, совпадают.
Замечание. Определение непрерывности и производной от функции комплексного переменного f (2) такое же, как и в случае функции от действительной переменной. Необходимо лишь иметь в виду, что 5-окрестность точки z0 есть открытый круг радиуса 5 с центром в точке z0. Исходя из этого определения, производная от степенной функции zn вычисляется по формуле (г")' = nznl.
Доказательство теоремы 1. Будем считать, что/? есть радиус сходимости ряда (1), a R' — радиус сходимости ряда (2). Докажем теорему в предположении, что предел
П—со	jfC
(3)
конечный или бесконечный существует. Имеем
XI	п~-CD	п-СО	Xi. XI
следовательно, R = R'.
В общем случае, когда предел (3) не существует, имеет место
П—СО	/X
и тогда
=lim = lim Vn lim	= 1 - -J- = J-.
R' n-а. •> nl „-<»	nl R R
Но требуется обоснование второго равенства — надо доказать, что если ап, р„ > 0 и ап — 1, то
1пп(а„рп) = limPn.
(4)
§ 9.12. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 469
В самом деле, существует подпоследовательность {nt} такая, что
limpn = lim Pn> = Пт ап>. lim р^ = lim (%₽ J < lim(a„P„). (5)
Существует также подпоследовательность такая, что
___	.	.	lim (а В )	----
lim(a„p„) = lim(a p ) =	? J = limp < limp„. (6)
Л к	шд ct
Из (5) и (6) следует (4).
Теорема 2. Степенной ряд
f (z) = а0 + аг2 + a2z2 + ...	(|z| < R)	(7)
законно формально дифференцировать в пределах его (открытого) круга сходимости |z| < R, т. е. верна формула
f (z) = ах + 2a2z + 3a3z2 + ...	(|z| < R).	(8)
Доказательство. Эту теорему мы докажем только в предположении, чтог = х есть действительная переменная, что даст нам возможность свести вопрос к хорошо известному факту из теории действительных рядов.
Итак, степенной ряд (7) для действительной переменной имеет вид
f (х) = а0 + агх + а2х2 + ...	(~R<x<R).	(7')
Этот ряд теперь уже имеет не круг, а интервал сходимости (-R, R). Соответствующий формально продифференцированный ряд имеет вид
ф (х) = Oj + 2агх + За3х2 + ...	(8')
Его сумму мы пока обозначили через ф (х). Он сходится на интервале (-R, R) на основании предыдущей теоремы. Оба
470
ГЛАВА 9. РЯДЫ
ряда, как мы знаем, равномерно сходятся на отрезке [-д, д], г де q < R. При этом члены второго ряда непрерывны и являются производными от соответствующих членов первого. Но тогда на основании теоремы из теории равномерно сходящихся рядов (см. § 9.9, теорема 3) выполняется равенство
ф(х) = Г(х)	(9)
на отрезке [—q, g], следовательно, и на интервале (-R, R), потому что g <R произвольно.
Отметим, что в силу доказанной теоремы 2 ряд (1) законно почленно дифференцировать сколько угодно раз. На k-м этапе мы получим равенство
(z) = k\ak + (fe + 1) fe...2aA+1z + ... ,
справедливое для всехг с |z| <R.Если положить в немг= 0, то получим
(0) = fc!at
или
=	(ft = 0,1,2,...).
nl
Отсюда, в частности, следует, что разложение функции f (z) в степенной ряд (см. (1)) в некотором круге |z| < R (или в интервале(-ЧК, < х <R), если речь идет о функции f (х) действительного переменного х) единственно.
Таким образом, сумму f (z) степенного ряда (7), имеющего радиус сходимости R > 0, можно записать еще следующим образом:
+	+ =	(10)
II Z1	kl
j 9.12. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ	471
Ряд справа в (10) называется рядом Тейлора функции f (z) по степеням z.
Мы получили, чтоесли степенной ряд (1) имеет радиус сходимости R > 0, то он является рядом Тейлора своей суммы f (г).
Вопрос о почленном интегрировании степенных рядов во всей его полноте потребовал бы введения криволинейного интеграла от функции комплексного переменного. Мы ограничимся рассмотрением этого вопроса только для степенных рядов
f (х) = а0 + агх + а2х2 4-...	(11)
от действительной переменной х (z = х).
Зададим степенной ряд (11), имеющий интервал сходимости (-Я, R), где 0 <R < оо. Числа ak могут быть действительными и комплексными. Зададим фиксированную точку х0 G (—R, R) и переменную точку х G (—Я, R) и подберем q > 0 так, чтобы
-R < -q < х0, х < q <R.
Степенной ряд (11) равномерно сходится на отрезке [-g, д], находящемся строго внутри интервала сходимости ряда, и, следовательно, его можно почленно интегрировать (см. § 9.9, теорема 2) от х0 до х:
Jf(t) dt = а0(х - х0) + ^(х2-л^)+^(х3-^) + ... (12) „	Z	о
(R < х, х0 < R).
В частности, при х0 = 0 получим
J/(t) dt = ajc + |xz + |х3 + ...	(-R < х < Я). (13)
472
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Пример 1. Очевидн >, что
1+t
Этот ряд сходится на интервале (-1, 1) (R = 1). Поэтому, если х е (-1,1), то законно почленное интегрирование этого ряда от нуля дох (ряд равномерно сходится на любом отрезке, принадлежащем к интервалу сходимости):
/-?+	3	5	7
+ ...	(-1<х<1).
Полученный ряд сходится и при х = + 1 (как ряд Лейбница). Можно доказать, что он сходится к arctg 1 = л/4, т. е. -j = 1 - i + 1 - i + ... (см. далее § 9.14).
О О I
Пример 2. Ряд Тейлора для функции е имеет вид (см. § 4.16)
причем для негой = оо. Поэтому этот ряд можно почленно интегрировать:
Te"'2dt=x-^+-^____
f Х 3 +5-2! 7-3!
т. е. мы получили выражение интеграла Пуассона через степенной ряд.
Пример 3. Ряд Тейлора функции у = sin х имеет вид (см. § 4.16)
sin х = х - — +х—.... 3! 5!
§ 9.12. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ	473
Он сходится на всей оси. Отсюда при х # О имеем
sin* ! х2 [ х4 х6 [ х 3! 5! 7!
(14)
Считая, что-----	= 1, получаем, что равенство (14) верно
*	х=0
и прих = 0. Ряд (14) равномерно сходится на любом конечном интервале действительной оси. Интегрируя этот степенной ряд, получаем:
3	5	7
X___, X X
3-3! 5-5! 7-7!
Пример 4. Ряд Тейлора для функции у = cos х2 имеет вид (см. § 4.16)
„	4	8	12
cosx= 1 -	-х-
COSX 1 2! 4! 6!
Он сходится на (-со, оо). Интегрируя этот степенной ряд, получим интеграл Френеля
13 х
*	„	5	9
[cost2 dt = х ———I—х j	5-2! 9-4! 13-6!
Пример 5. Так как
(shx)<B,=
(ch x.
если n = 2k, если n = 2k + 1,
то
(sh x)<n)
x=0
[ 0, I 1.
если n = 2k, если n- 2k + 1,
474
ГЛАВА 9. РЯДЫ
поэтому ряд Тейлора функции sh х запишется так:
3	5
вЬх = х +। +....
(15)
Так как этот степенной ряд сходится на всей действительной оси (применить признак Даламбера), то можно его почленно дифференцировать:
2	4
chx= 1 + 2?+4?
(16)
(ряд справа в (16) равномерно сходится на любом конечном интервале).
§ 9.13. Функции ег, sin z, cos z от комплексного переменного
Функциие*, sin x.cos х от действительной переменной х определены на всей действительной оси (-оо < х < оо).
Из § 4.16 мы знаем, что эти функции разлагаются в степенные ряды:
з з
Sinx = x-|y + ^-..., 2	4
COSX = X-~ + —---...,
2! 4! J
(1)
сходящиеся на (-оо, оо).
Это есть ряды Тейлора этих функций по степеням х.
В § 5.3 было дано определение функции ех, где х — действительная переменная, посредством формулы Эйлера
е1Х = cos х + i sin х.
(2)
§ 9.13. ФУНКЦИИ е‘, SIN Z, COS Z ОТ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
475
Подставим в правую часть (2) вместо cos х и sin х их степенные ряды, тогда получим разложение е1Х по степеням х
г г 4 h-^+x_
V 2! 4!
5!
=l+ix+M+M+...
1!	2!	3!
Функцию ег для любого комплексного z = х + iy естественно определить следующим образом:
= е^У = е*е*
Отсюда
ег

1+—+—-+—
1! 2! 3!
(см. § 9.10, (6), (8)).
Мы получили, что функция ez от комплексного переменного z разлагается в степенной ряд по степеням z
ег
2 з
1! 2! 3!
(3)
сходящийся к ней на всей комплексной плоскости.
Ряд (3) есть ряд Тейлора функции ег по степеням г.
Радиус сходимости ряда (3) R = оо, и уже из общих свойств степенных рядов (см. § 9.10) следует, что ряд (3) абсолютно сходится для любого комплексного z, при этом он равномерно сходится (к ez) на круге |z| < д как бы ни было велико положительное число д.
Функции cos z и sin z от комплексной переменной z естественно определить как суммы следующих степенных рядов:
2	4
COS2=l-^ + J-...,
476	 ГЛАВА 9. РЯДЫ
3 sinz = z- —+—	.
Оба эти ряда имеют радиус сходимости/? = оо и, таким образом, обе соответствующие функции определены для любого комплексного г.
Легко проверяется сравнением соответствующих степенных рядов, что
-lz
cos z = —-—-,	sin z = —“—	(4)
для любого комплексного z.
Теперь, пользуясь свойствами показательной функции е“ (от комплексного и), легко получаем формулы
cos (и + и) = cos и  cos v - sin и  sin v, sin (и + v) = sin и  cos v + cos и  sin v,
верные для любых комплексных и и у.
Эти формулы, таким образом, обобщают хорошо известные формулы тригонометрии, где считалось, что и и и — действительные переменные. Отметим, что функции sin z и cos z в комплексной плоскости обладают не всеми свойствами обычных функций sin х и cos х. В частности, эти функции неограничены на комплексной плоскости.
В силу (4) при действительном х
ех + ех
cos ix = —-— = chx-»oo,	х — оо, (5)
е~х-рх
sin ix = ——— = i sh x -* oo, x -» co. (6) zx
Формулы (5) и (6), между прочим, устанавливают связь между «комплексной тригонометрией» и «гиперболической тригонометрией ».
______§ 9,13. ФУНКЦИИ еж, SIN Z, COS Z ОТ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО	477
Функция z = Into от комплексной переменной со определяется как обратная функция к функции
a = ez.	(7)
Если записать со Ф 0 в показательной форме со = pei0 (р = |со| > 0), то равенство (7) запишется в виде peffl = exeiy (z = х + iy).
откуда
р = ех, в = у - 2kn, т. е.
х = In р, у = 0 4- 2йл (к = 0, +1, ±2, ...).
Поэтому
z = In со = х + iy = ln р + i(0 + 2kn) =ln |со| + i Arg co =
= In |co| + i arg co + i 2kn (k = 0, ±1, ±2, ...), (8)
где In |co| (|co| > 0) понимается в обычном смысле. Из (8) видно, что In со (со 0) есть многозначная функция от со вместе с Arg со, независимо от того, будет ли со действительным или комплексным.
Например, с точки зрения этой теории (функций комплексного переменного) In 1 равен одному из чисел 2km (k = = 0, ±1, ±2,...). В действительном анализе для выражения In 1 выбирается среди этих чисел единственное действительное число 0.
Но мы не будем углубляться дальше в теорию функций комплексного переменного — это не наша задача. Сделаем только замечание по поводу формулы
2	3
1п (1 + х) — х —	(-1 < X < 1).
Z о
478
ГЛАВА 9. РЯДЫ
которая была выведена в § 4.16 для действительных*. Если подставить в ряд в правой части вместо х комплексное z с
И < 1,
то ряд останется сходящимся. Можно сказать, что его сумма равна In (1 + z), так как мы его определили выше, точнее, равна одной из однозначных ветвей многозначной функции
In (1 + z).
Функции комплексного переменного, разлагающиеся в степенные ряды (ряды Тейлора), называются аналитическими функциями.Они изучаются в разделе математики, называемом теорией аналитических функций или теорией функций комплексного переменного*. Наконец отметим, что если в степенном ряде по степеням и
2 а0 + аги + а2и + ...
с кругом сходимости |u| < R положить и = z — z0, где z0 — фиксированное число (вообще говоря, комплексное), то получим ряд
а0 + ai(Z - Zo) + a2<Z - Zo)Z + — •
называемый степенным рядом по степеням z - z0.
Он сходится в круге (сходимости) |z — z0| < R и расходится для z, удовлетворяющих неравенству |z - z0| > R
§ 9.14. Ряды в приближенных вычислениях
В этом параграфе мы будем заниматься приближенным вычислением значений элементарных функций.
Простейшая элементарная функция — это многочлен
р„(х) = «о + а1х + — + апхП-
* См. нашу книгу «Дифференциальные уравнения. Ряды. Кратные интегралы. Функции комплексного переменного».
§ 9.14. РЯДЫ В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
479
Вычисление этой функции при х = х0 сводится к производству конечного числа сложений и умножений. Значение этой функции в точке х0 может быть легко найдено с любой степенью точности. Если использовать ЭВМ (электронную вычислительную машину), то это можно сделать весьма быстро.
Другие элементарные функции, такие как sin х, arctg х,..., как мы показали выше, разлагаются в ряд Тейлора по степеням х.
Погрешность, которую мы допускаем при замене функции (суммы ряда), на многочлен Тейлора, можно узнать, оценивая остаточный член ряда.
Рассмотрим степенной ряд
f (х) = с0 + CjX + с2х2 + ...	(—R < х < R)	(1)
с интервалом сходимости (—R, R). Строго внутри интервала сходимости он сходится к/ (х) со скоростью убывающей геометрической прогрессии.
В самом деле, пусть q1 и q — произвольные числа, удовлетворяющие неравенствам 0 < qt <.q < R. Тогда ряд (1) сходится в точке х = q и его члены образуют ограниченную последовательность (|cng"| < М, Vn)- Поэтому для всех х е е [-дг gj
IV"I =
J
rp,eq1/q< 1.
Мы видим, что степенным рядом выгодно пользоваться для вычисления значений функции / (х) в точках, лежащих строго внутри интервала сходимости.
Если же точках есть один из концов интервала (— R, R), то в этой точке, если ряд и сходится, то медленнее, чем убывающая геометрическая прогрессия. Обычно настолько медленнее, что нецелесообразно пользоваться непосредственно
480
ГЛАВА ». РЯДЫ
степенным рядом (1) для вычисления значения f в указанной концевой точке. Ниже мы проиллюстрируем эти факты на конкретных примерах.
Начнем с вычисления числа it.
В § 9.12 в примере 1 показано, что
3	5
arctg х = х - ~+^-- ...	(-1<х<1).	(2)
о 5
Рассмотрим тождество
1	4	2	4	f 1 хп 2л f -«хЛ+1 X
~ =l-x +Х -... + (-1)х +(-1)	Т~2.
1+х	1+я
Интегрируя это тождество на [0, 1], имеем
j-^2 ~ arctg l = ^= Jdx-J x2dx + ... + (-1)" J x2ndx +
0 1 + 3C	0	0	о
1	2л+2	-•	-	"I
+ <’,Г ft? *  1 ’ з+ 5 - ••+	2^7 +
где
}2nti x ,dx.
Д+Х
Легко видеть, что
|an| < | x2n+2dx = -J— - 0, n - oo.
1 nl J	2n+3
Отсюда следует, что
arctgl-gan -°-
т. е. arctg 1 является суммой ряда
6 9.14. РЯДЫ В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
481
ИЛИ
arctg 1 =7=S
4
(-1)*
2Л+1
(-1)*
2А+Г
со
Л = 4]Г л=о
(3)
Мы видим, что этот ряд сходится медленнее любой убывающей геометрической прогрессии.
Для того чтобы вычислить число п с помощью ряда (3), с точностью до IO45, надо взять столько слагаемых ряда (3), чтобы остаток был меньше 106. Так как ряд (3) есть ряд Лейбница, то его остаток меньше модуля первого его члена
4у Н/
^2Л+1 2п+3
Отсюда видно, что при п — 2 - 10е, |R„| < 10-6. Таким образом, нужно взять два миллиона слагаемых ряда (3), чтобы гарантировать значение числа Л с требуемой точностью.
Вручную такую работу выполнять бессмысленно. На ЭВМ эту работу можно выполнить, но и на ЭВМ эта работа будет непроизводительной, если мы будем пользоваться рядом (3).
Укажем ряд, более быстро сходящийся к числу л. С этой целью рассмотрим число а такое, что
tg а - 1/5.
Тогда
tg 2а =
2tgq _ 2/5	5
1—tg2a 1-1/25 12 ’ 1
1 — Бугров. Том 2
462
ГЛАВА 9. РЯДЫ
tg 4а =
2tg2a 120
l-tg22a 119
te(4a - = tg^-W4) = _J_
'	4' l+tg4atg(n/4) 239
Отсюда
4a - — = arctg (1/239), 4
n = 16a - 4arctg (1/239) = 16 arctg (1/5) - 4arctg (1/239).
Используя теперь ряд (2), получаем
Л = 1бУ..Н)*______4у____НУ_____
й(2Л+1)239а+1 ’
Последние два ряда сходятся довольно быстро (быстрее убывающей геометрической прогрессии).
Легко проверить, что остаток первого ряда уже при л = 4 меньше КГ6. Поэтому, вычисляя четыре слагаемых первого ряда и два слагаемых второго ряда (с точностью до седьмого знака), в результате получим
л-3,141592,
причем первые пять десятичных знаков точные.
Вычисление логарифмов. Ряд Тейлора для функции у =1п (1 + х) можно получить, интегрируя тождество
= 1 - х + х2 - х3 + ... (|х| < 1),
* .	2	3	4
b(l+x) = f^=x-f+f+f+....	(4)
jl+x 234
S 9.14. РЯДЫ В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
483
При х - 1 данный ряд сходится и притом к In 2. В самом деле, интегрируя тождество
1,	п+1
-1	.2	. / 1	 / 1 \Л+1 X
з--= 1-х + х ”...+ (-1)х +(-1)	3--
1+х	v v '	1+х
по [0, 1], получаем
где
и+1
О
f xn+1dx = -1- — 0, л — оо
о	л+2
Ряд (4) при х = 1, так же как и ряд (3), сходится медленно.
Заменяя в (4) х на -х, получаем
1п(1-х) = -£^-. г?
(5)
*=i
Вычитая (5) из (4), имеем
1П1±-^
1-х
2fe+l X
2§2А+1 '
(6)
Это равенство и используется для вычисления логарифмов от натуральных чисел. Например, полагая х = 1/3, получаем
In 2 = 2У------L
(7)
где ряд справа сходится даже быстрее геометрической прогрессии.
16*
4М
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Для вычисления In 2 с точностью до 10 ° достаточно взять пять слагаемых ряда (7):
In 2 * 0,693146
(каждое слагаемое ряда вычисляем с шестью знаками после запятой).
Вообще, полагая
2т + 1 ’
т — натуральное число, получим
1 + х _ т + 1
1-х т ’
1л(т+1) = 1пт + 2§(а+1)(^+.
(8)
Полагая последовательно т = 2, 3, .... найдем In 3, In 4..Ряд справа в (8) сходится очень быстро.
Вычисление корней. Ряд Тейлора для функции f (х) = (1 + х)“ мы получили в § 4.16:
(1 + х)“ = 1 +
^q(a-l)...(g-fe+l)
й fe! Х
(9)
Ряд (9) называютбпнолшальнылг.Известно, что ряд (9) при х=±1 не всегда сходится, а если сходится, то медленно. Поэтому, если, например, надо вычислить-У2, то не рационально воспользоваться формулой (9) прих = 1, a = 1/2. Но вот как можно поступить. Обычно преобразуют подкоренное выражение так, чтобы оно мало отличалось от единицы:
/2-25-49 _ 7 /50 = 7А +_1?/2
V 25-49	5V49 5' 49'
6 9.14. РЯДЫ В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
485
ИЛИ
-/9 — 7	1	_7А 1 Г1/2_.7/-|. 2 \~1/2 .
5 749/50 5' 50'	5' 100'
(Ю)
Нахождение чисел 25 и 49 можно производить так: выписываем квадраты натуральных чисел
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ...,	(11)
затем выписываем ряд чисел, получаемых из (11) умножением на подкоренное выражение, в данном случае на два:
2, 8, 18, 32, 50, 72, 98, 128,....	(12)
В строках (11) и (12) ищем числа таким образом, чтобы их отношение было близким к единице. Среди выписанных чисел это и будут числа 49 и 50 = 2 • 25.
Если эти строки продолжить, то можно найти еще близкие числа 289 и 288, т. е.
jx /2-144-289 _ 17 /288 ^176, 1 \~1/2 V 144-289	12V289 12' 288'
(13)
Теперь уже можно использовать ряд (9). Например, в силу (13), при х = 1/288 получаем
12^	/г!	288
(14)
Ряд справа в (14) сходится очень быстро. Кроме того, он знакочередующийся, т. е. остаток ряда меньше модуля первого члена этого остатка.
Запишем ряд (14) в развернутом виде:

i _ 1 +	1-3	_ 1-3-5
2-288 2г-2!288i 2 23-З!2883
(15)
486
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Третий член ряда (15) меньше 8-106<105, поэтому
'fi’H(1“576)"W14207-
с точными четырьмя знаками.
Отметим, что вычисление -J2, исходя из (10), очень удобно, так как в знаменателе мы сразу получаем степени 10. Если взять три первых слагаемых этого ряда, то Л. «« 1,41421.
Пример 1. Вычислить ^5 с точностью до 0,01.
Выпишем кубы натуральных чисел
1, 8, 27, 64,125, 216, ...
и ряд этих чисел, умноженных на 5,
5, 40,135, 320, 625, 1080.
Отсюда
J5-27-1.25 _ 5,/1+_10_?/3_ 5./1+_8_\,/3 _
V 27-125	3' 125'	3' 100'
_ 5 L , 8	2 82 | 2 5 83	1
3[ З-Ю2 32-2!104 33-3!106
третий член ряда
5-82 33104
<0,01,
поэтому
с точностью до 0,01.
s 9.16. ПОНЯТИЕ КРАТНОГО РЯДА
487
§9.15. Понятие кратного ряда
Выражение
zz^.
(1)
k=0 1=0
где аы — числа (действительные или комплексные), зависящие от пар индексов k, I = 0, 1, 2, ..., называется двойным или двукратным рядом. Числа аы называются членами ряда, а числа
т п
^тп = Z Z^l k=0 1=0
(2)
частичными (частными) суммами ряда (1).
Пары целых неотрицательных индексов (k, I) можно
рассматривать как точки плоскости с целыми неотрицательными координатами. Тогда в частную сумму Smn входят члены ряда (1) с индексами k, I, соответствующими точкам (fe, I) прямоугольника [0 < k < т, 0 < I < п] (рис. 108). В силу этого частичные суммы Smn называют ещепрямоуголъными частичными суммами ряда (1). Коли
Рис. 108
чество членов ряда (1) в Smn будет N - (т + 1) (и + 1).
По определению ряд (1)сходится по прямоугольникам к числу S, называемому суммой ряда (1), если существует
•= s,
lim S
m»n—«j
тп
(3)
т. е. если для любого £ > 0 найдется такое число No (£), что |Smn-S|<£
для всех т, п > No (е). В этом случае пишут
s=ZZv k=0 1=0
468
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Остановимся на случае, когда члены ряда (1) — неотрицательные числа (аы > 0). Положим
А = supSmn.	(4)
т, п
Если А < оо — конечное число, то для любого Е > 0 найдется пара т0, п0 такая, что А — Е < Л, а вследствие неотрицательности atl
S < Sm„, т, п> Nn = max (тп, nA.
Поэтому Л - е < Smn < Л + Е, т, п> No, и существует предел
lim Sm„ = Л.
m, л^сс тп
Если же Л = оо, то, очевидно (при akl > 0!),	=
= А = оо. В этом случае пишут
ЁЁаМ =
/г-0 z=o
оо.
Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится (по прямоугольникам) ряд
Е Е W-
fe=0 2=0
Как и в случае обычных рядов, доказывается, что абсолютно сходящийся ряд сходится. Доказательство базируется на критерии Коши: для того чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого £ > 0 существовало число N (е) такое, что
\smn-spg\<E,
каковы бы ни были т, п,р, g> N (е).
§ 9.15. ПОНЯТИЕ КРАТНОГО РЯДА
489
Обоснование критерия Коши производится так же, как и в случае обычных однократных рядов.
Наряду с рядом (1) можно рассматривать еще выражение
которому естественно приписать число А (если только оно существует), получаемое следующим образом: если для каждого k = 0, 1, ... ряд, заключенный в скобки, сходится и
имеет сумму Ак и ряд Ak сходится к числу А, то полагаем
*=о
k=Q
.1=0
(5)
Теорема 1. Если ряд (1) абсолютно сходится, то имеет место равенство
ЕЕ“м = 2
/=0.
(6)
Доказательство. Допустим сначала, что аы неотрицательны. Пусть левая часть (6) равна числу S.
Для любых неотрицательных з и п при з *£ т
п	т п
Еа»г < Е гЛ < я
1=0	*-0 1=0
(7)
откуда ряды Easi (s = 0, 1, ...) сходятся; поэтому, если во 1=0
втором неравенстве в (7) зафиксировать т и перейти к пре-
делу при п —- оо, получим, что
fe=0\l=0
490
ГЛАВА 9. РЯДЫ
для любого т, откуда следует существование числа А (см.
(5)) и тот факт, что А < S.
С другой стороны, если число А конечно, то при любых т, п
™ п	т ( п	\
t=0 Z=0	k=O k/=0	/
и потому
S = sup S__ <A. r mn
m, n
Равенство (6) при аы > 0 доказано.
Пусть теперь аы — действительные произвольные числа. Положим
+ К/ (Чи>0).
10	(Цм<0),
-Нм [0 (^>0).
Тогда
аы ~	lakll — аы + аМ-
Поэтому из сходимости ряда 2L5Lla/d следует сходимость рядов 2222°^’ 2222ам с неотрицательными членами и потому
-	- zfcxl - sfoU-
k k i 7	* kl z IV/ /
Наконец, если аы = а.ы + фы — комплексные числа и ряд 2LEK/I сходится, то сходятся также ряды 2^1ам1» 22221Ры1» гДе аы и Рн — действительные числа; поэтому
S 9.15. ПОНЯТИЕ КРАТНОГО РЯДА
491
ЕЕ«И = EE«W + »ЕЕ₽М =
=е(е J+*е(ер*1)=еШ.
Теорема доказана полностью.
Пример 1. Исследовать, при каких а > 0 сходится двойной ряд
ЕЕ(М'
*=0 fc=O
Решение. В силу теоремы 1 исследование можно свести к сходимости обычных (однократных) рядов
Е(/г + О“=А ы
и
оо
*3=1
Как мы знаем (см. § 9.2, теорема 2), сходимость первого ряда
СО
Е(* + 0”° эквивалентна сходимости несобственного интег-ы
00
рала J(fe + y^dy, который сходится при а > 1: о
А = E(fc + 0"“ < J(fe + t^dy =	+ !/)1а “ = -i-fe1-0
1=1	J	1—а	0	л—а
(а > 1).
Далее,
Последний интеграл сходится при а-1 > 1, т. е. приа> > 2. Поэтому исходный двойной ряд сходится по прямоугольникам при а > 2.
492
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Рассмотрим еще новый вопрос. Пусть двойной ряд (1) сходится и притом абсолютно. Его сумму S, так же как сумму S' ряда, составленного из его абсолютных величин, можно записать в виде пределов последовательностей
S = ШпЙ^=Шп8лв, S' = ihn££|aw|=Hins;n
обычных, зависящих только от одного индекса п. Последовательностям {Snn}, {S'nn} соответствуют сходящиеся ряды
S = аоо + (“10 + ап + а01) + (а20	а21 + а22 + а12 + а02^ +
+ («зо+ -••) +••» (8)
= 1«оо1 + <1«ю1 + 1а111 + l^Oll) +
+ (|а20| + |а21| + |а22| + |а12| + |а02|) + ... (9)
с членами, равными суммам чисел, стоящих в скобках. Но в скобках второго ряда стоят неотрицательные числа, поэтому сходимость его не изменяется, если в нем скобки вычеркнуть:
|aOol + laiol + lanl + l«oil + 1«2о1 + — -	(10)
Но тогда ряд
аоо + «10 + «11 + «01 + «20 + •••’
полученный вычеркиванием в (8) всех скобок, абсолютно сходится, следовательно, сходится, очевидно, к S.
Мы доказали, что если двойной ряд (1) сходится к числу S и притом абсолютно, то полученный из него обычный (однократный) ряд (И) сходится тоже к 8 и тоже абсолютно. Но члены абсолютно сходящегося ряда можно переставлять как угодно, не нарушая его сходимости и не изменяя суммы.
Этим доказана следующая
S 9.15. ПОНЯТИЕ КРАТНОГО РЯДА
493
Теорема 2. Если члены двойного ряда (1), сходящегося к числу S и притом абсолютно, перенумеровать любым способом (и0, Uj, v2, .„) при помощи одного индекса и составить ряд v0 + Vj + v2 + .... то последний будет сходиться к тому же числу S абсолютно.
Докажем следующую теорему:
Теорема 3. Пусть заданы два абсолютно сходя-
со 00
щихся(однократных) ряда 2Чг’ ^Pyt пусть всевозможные о о
произведения ukvt (k, 1=0,1, 2, ...) перенумерованы: ю0, со,, to2, ... любым способом при помощи одного индекса. Тогда справедливо равенство
со	оо	оо
х Ёч = £«’*> ООО
где ряд справа абсолютно сходится.
Доказательство. В самом деле, пусть EI^J = о
21 ч1 ~ N- Двойной ряд 2 2и*и« абсолютно сходится пото-0	Аг=О 1=0
му, что при любых т, п
2ЁМ = 2 l“*l х 2И < м • я. 0 0	о	о
Поэтому
Ё“* х Ёч =Н“ Ё“*х !™Ёч=1ДП1 Ё2"Л =
Л=0	1=0	к=0	"	1=0	"	*=0/=0
со со	оо
= ЁЁад=Ё^.
k=oi=o	j=o
где последнее равенство справедливо в силу предыдущей теоремы.
494
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Замечание 1. Отметим, что теорема 3 по сути дела доказана в § 9.13. Здесь мы привели доказательство, использующее понятие сходимости двойного ряда.
В заключение заметим, что можно рассматривать n-кратные ряды (п > 3)

Замечание 2. Выше мы ввели понятие прямоугольных частичных сумм8тп, coflep»amnxN членов ряда (1) (N = (тп + 1) (и + 1)). Любую сумму, состоящую из конечного числа N слагаемых ряда (1), принято также называть частичной суммой этого ряда.
В случае кратного ряда (1) частичные суммы, содержащие N членов ряда, которые мы будем обозначать через SN, можно строить различными способами. Например, можно взять частную сумму, содержащую члены ряда с индексами k, I, отвечающими точкам плоскости (fe, I), принадлежащим кругу радиуса R с центром в начале координат (рис. 109)
Отметим, что числаМ и В связаны coOTHonieHneMN = = О (Rz) (можно доказать, что количество точек (fe, Z) с це
S 9.15. ПОНЯТИЕ КРАТНОГО РЯДА
496
лочисленными координатами, находящихся в круге радиуса R, пропорционально площади этого круга).
Сумма SR называется круговой (сферической) частичной суммой ряда (1).
Для n-кратного ряда (п > 3) сферическая сумма имеет
ВИД

Е %,

Если в частичную сумму включить члены ряда (1) с индексами (fe, I), удовлетворяющими условию
О < k + I < М (k>0,l>0),
то соответствующая частная сумма£^ = SM (N=O (М2)) называется треугольной (рис. 110) частичной суммой ряда (1)-
В зависимости от характера частичных сумм можно определить различные виды сходимости ряда (1) (по сферам, треугольникам, и т. п. ).
Ряд (1) называется сходящимся к числу S по сферам, если Ve > 0 HN0 (е) такое, что при R > No (е) выполняется неравенство
|5Л — S| < Е.
Аналогично определяется сходимость по треугольникам. Представляет интерес вопрос о том, как связаны между собой различные виды сходимости кратного ряда (1), но мы не будем на этом останавливаться.
Задачи
1.	Исследовать, при каких а > 0 сходится тройной (трехкратный) ряд
+1 + т)““.
EEE<fe
Ответ: а> 3.
496
ГЛАВА 9. РЯДЫ
2.	Исследовать, при каких а > 0 сходится n-кратный ряд
СО со
X -	+ •••+ *пГ-
М> Ml
О т в е т: а > и.
3.	Исследовать, при каких а > 0 сходится двойной ряд
ОО оо
Е2>2-и2га. ы
Ответ: а > 1.
4.	Исследовать, при каких а, Рр Рг > О, сходится двойной ряд
ttrf' +
Ответ: а> — +—.
Р. Рг
5.	Исследовать, при каких а, Рр .... [3„ > 0, сходится п-кратный ряд
М> Mi
Ответ: а >
7’1 Р/
§ 9.16. Суммирование рядов и последовательностей
Пусть задан числовой ряд
Ио+^ + Иг4-—	(О
и последовательность его частичных сумм
sn = “о + “1 + - + ип-	(2)
j Ряд (1) может быть сходящимся или расходящимся.
S 9.16. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
497
Последовательность
dl [-SO + S1 + ... + SJ (п = о,1,...)	(3)
называется последовательностью средних арифметических последовательности {£>„} или ряда (1). Легко подсчитать, что
а,

Таким образом, члены суммы оп отличаются от соответствующих членов частной суммы ряда (1) тем, что пос-
ледние умножаются на числаА^ = 1
---, меньшие едини-п+1
цы. Поэтому, если последовательность {Sn} расходится, то может случиться, что последовательность {оп} все же схо
дится.
По определению ряд (1) (или последовательность {Sn}) суммируется методом средних арифметических к числу с, если существует предел
Ито„ = а.
(4)
Теорема. Если ряд (1) сходится к числу S, то он суммируется методом средних арифметических и притом к тому же числу S.
Доказательство. Пусть ряд (1) сходится; тогда существует такое число М, что
|5;.|<М	(/ = 0,1,2,...),	(5)
и такое достаточно большое натуральное число п, которое мы будем считать фиксированным (a k, и в дальнейшем р — переменными), что
|Sn+i-S|<E (Л = 1,2,...).
(6)
498
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Имеем, далее,
® - О,„ = (в - - £*«« J +(- - „+р+1)	» - „+р+1 gS* -
откуда, учитывая, что
1 1	_	п+1
р п+р + 1 р(п+р+1)’
получим
|S-crnJ<£ +
-П.+1 М+-_п+1 М <е + е + е = зе п+р+1	п+р+1
(р>р0).
если Ро достаточно велико. Следовательно, <Уп+р S(p оо) или, что все равно, <5^ —» S (J -* оо), т. е. теорема верна.
Пример 1. Рассмотрим сходящийся ряд ^2 * = 2.
*=о
Здесь
«0=1, «. = 1 + 1  «„= 1+ i+...+i = 2-i. и ’ i 2	П 2	2	2
Отсюда
2*7
= -=L- 2(n+l)-2+-l- =2----^-+-—---------- 2 fn — оо).
n+ll 1	2 J n+1 2 (n+1)	1	7
Пример 2. Ряд 1 - 1 + 1 - ... расходится, но он суммируется к числу 1/2 методом средних арифметических.
$ 9.16. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
499
В самом деле, для данного ряда So - 1, Sj = 0, ..., S2„ -= 1, S2n+1 = 0, ... .
Поэтому
с,_ ~ [Sn + ... + SLJ = <-> 1 -,’fl + 0 + ... + О + 1J —
2rt 2n+lL 0 2rtJ 2n+ll
= 2„’+1 ЙЛ - + ®2n + SM] =	= H
Наряду с последовательностью {сп} средних арифметических ряда (1) можно рассматривать произвольные средние {£„} ряда (1), определяемые равенством
(7)
*=о
где (fe = О, 1, ..., п) — произвольная последовательность действительных чисел, вообще говоря, зависящая от п. Эти
числа можно было бы обозначить через Однако ради краткости будем писать вместо
Если Z. = 1 - ,то t = СУ.
*	п+1	"	"
Если существует предел
=	(8)
п-*со
то говорят, что ряд (1) суммируем методом средних {£„} к числу Т.
Естественно возникает вопрос, при каких сходящийся к S ряд (1) суммируется методом {tn} к числу S.
Чтобы ответить на этот вопрос, будем считать, htoXq — 1;
= О при k > п + 1; ДХА =	- Хл+1.
500
ГЛАВА 9. РЯДЫ
Тогда
£ AXft = (к0- X.) + (X, - Х2) + ... + (Хп - Хп+1) = Хо = 1. (9) л-о
Имеет место преобразование Абеля следующего вида (см. также § 9.8):
£аЛ =	- аьА
где = &0 + ... + &А, ап+1 = 0.
Тогда
*п ~	’
*-0
(Ю)
где Sk — частичные суммы ряда (1). Далее, используя (9), имеем
fn-S = ^AXft(Sft-S).
О
(И)
Применяя в (11) неравенство Буняковского, получим

,	п	xl/2z	п	U/2
= (п+1)£|ДХ/ -T7Z(S*-S)2 .(12)
k	о	J \Л.Т1 о	J
Теперь, если ряд (1) сходится к числу S (сумме ряда), то последовательность {(Sft — S)2} сходится к нулю. Средние арифметические этой последовательности, по доказанному выше, также сходятся к нулю.
S 9.16. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 501
Поэтому из (12) получаем следующее утверждение: если числа таковы, что
(п + 1) £|ДХ*|2 < с, О
(13)
то сходящийся ряд (1) суммируется методом средних {£п} к своей сумме.
Заметим, что для средних арифметических {сгп} условие (13) выполнено:
I2
'	п+1' п+1
п -fl
о (п+1)2
предметный указатель
Абеля преобразование 449 — теорема о сходимости степенного ряда 466 — теоремы о рядах 450 Абсолютная величина
числа 21, 33
Абсолютно сходящийся интеграл 295
---- ряд 439
Аддитивность интеграла 268
Аксиоматический метод 31
Аналитическая функция 478 Аргумент (независимая переменная) 75
—	комплексного числа 241
Арифметические действия над числами 22, 26
Архимедово свойство чисел 30 Асимптота 212
Асимптотическое равенство 140
Ассоциативный закон сложения чисел 29
----умножения чисел 29
Бесконечная десятичная дробь 17, 18
Бесконечно большая величина (последовательность) 50 — малая величина (последовательность) 50
Бесконечный интервал 34
—	полуинтервал 34
—	предел 50
Бином Ньютона 58,188
Вейерштрасса признак равномерной сходимости 446 — теорема 111
---об ограниченности непрерывной функции 111
-----экстремальных
значениях непрерывной функции 111
Вектор касательной 222, 224
— нормали 222
— n-мерный, единичный 344
Вектор-функция 222
Величина (последовательность) бесконечно большая 50
—	( — ) — малая 50
Верхний интеграл Дарбу 288
Верхняя грань точная 61
—	сумма Дарбу 286
Вложенных отрезков принцип 59
Внутренняя точка множества 348,383
Выпуклость кривой в точке 207
---на отрезке 210
Гармонический ряд 436
Гипербола 154
Главный линейный член приращения функции 166, 358
— степенной член функции 143
Градиент функции 369
Граница множества 384
Грань точная верхняя 61
---нижняя 61
График функции 78
Даламбера признак сходимости ряда 433
Дарбу суммы 286
503
Действительная часть комплексного числа 241
Действия над числами арифметические 26
Десятичная дробь 17
---бесконечная 18
Дирихле признак 302
— ядро 449
Дифференциал функции 164, 359
Дифференциалы высших порядков 171
Дифференцирование параметрически заданных функций 174
— рядов 451, 467
Длина дуги кривой 310, 311
Достаточные условия экстремума функции 200-203
Дробно-линейная иррациональность 254
Дробь простейшая 251
Зависимая переменная 75
Замена переменных 232
Замечательные пределы 136
Замкнутое множество 380
Замыкание множества 386
Знаки включения 13
Инвариантность формы первого дифференциала 173
Интеграл Дарбу верхний 288
---нижний 288
—	неопределенный 229
—	несобственный 291
—	определенный 259
—	от монотонной функции 289
---непрерывной функции
289
— с переменным верхним пределом 275
—, сходящийся абсолютно 295
Интегральная сумма Римана
260,263
— теорема о среднем 284
Интегральный признак сходимости рядов 429
Интегрирование иррациональных выражений 254
— подстановкой 232, 281
— по частям 236
— рациональных выражений 234, 250
— рядов 250, 467
— тригонометрических выражений 257
Интервал 34
Интерполяционный многочлен
Лагранжа 323
Иррациональное число 19
Касательная к кривой 150 — плоскость 364
Квадратичная иррациональность 255
— форма 375
Квадратурная формула 326
Квантор всеобщности 15
— существования 15
Колебание функции на множестве 288
Комплексное число 239
----сопряженное 240
Комплекснозначная функция
241
Корень (нуль) многочлена 245
Коши вид остаточного члена формулы Тейлора 285 — критерий для несобственных интегралов 292
SIM
------- последовательностей 73
------- рядов 426
-------функций 443
---равномерной сходимости 443
— признак сходимости ряда 435
—	теорема о среднем 177
Кривая гладкая 215,307
—	замкнутая 309
---непрерывная 307
—	непрерывная 215
—	плоская 215
— самонепересекающаяся 309
—	самопересекающаяся 309
—	спрямляемая 311
Кривизна кривой 316 ---радиус кривизны 317 ---центр кривизны 317
Критерий Коши для несобственных интегралов 292
---существования предела 73
Круг сходимости степенного ряда 462
Куб 337
Лагранжа вид остаточного члена формулы Тейлора 189
— теорема о среднем 178
Лапласа уравнение 457, 458
Линия уровня 407
Локальный экстремум 174, 391
---относительный 417
Лопиталя правило 184
Мажоранта 35
Максимум локальный 174
Масса стержня 261
Мгновенная скорость 147
Метод множителей Лагранжа 422
— неопределенных коэффициентов 238
—	суммирования 496
Минимум локальный 174
Мнимая часть комплексного числа 241
Многочлен 104, 244, 346
—	действительный 247
—	Лагранжа 323
—	Тейлора 187
Множества эквивалентные 36
Множество 11, 12
—	бесконечное 36
—	всюду плотное 43
—	замкнутое 380
—	неограниченное 35
—	несчетное 38
—	ограниченное 34, 35
—	, — сНерху 35
—	, — снизу 35
—	открытое 348
—	пустое 13
—	связное 349
—	счетное 35
Множителей Лагранжа метод 422
Модуль комплексного числа 240
Независимая переменная 75
Необходимое условие интегрируемости функции 266
---сходимости ряда 426
---экстремума функции
201
Неопределенностей раскрытие 52
505
Непрерывная вектор-функция 222
—	кривая 222
—	функция 98,345
Непрерывность множества действительных чисел 73 — функции в точке справа, слева 106
Неравенство треугольника 312 — чисел 20
Несчетность действительных чисел 35
Неявная функция 85
Нижний интеграл Дарбу 288 — предел последовательности 68
Нижняя грань точная 61
— сумма Дарбу 286
Нормаль к кривой 407
----поверхности 406
Ньютона-Лейбница теорема 278
Область 349
— определения функции 75 — сходимости ряда 442
Образ посредством функции 76
Обратная функция 115
Обратные тригонометрические функции 134
Объединение (сумма) множеств 14
Объем тела вращения 306
Однородная функция 371
Окрестность точки 35, 92, 336, 337
Операция дифференцирования 165,228
— интегрирования 228, 261
Ориентированная кривая 308
Остаточный член квадратурной формулы
--- ряда 427
---формулы Тейлора 188
в форме интегральной 284
--------------Коши 189,
285
--------------Лагранжа 189
--------------Пеано 190
Отображение 414
Отрезок (числовой) 34
Отрицание утверждения 15
Парабола 155
Первообразная 227
Переменная величина 12,
335, 337
—	зависимая 75
—	независимая 75
Переместительный
(коммутативный) закон сложения 29
— ( — ) — умножения 29
Пересечение множеств 14
Плоскость касательная 364
Площадь в полярных координатах 305
— криволинейной фигуры
259
— поверхности вращения 322
Поверхность уровня 406
Подмножество 13
Подпоследовательность 66
Подстановки Эйлера 256
Показательная форма
комплексного числа 242
Полином (многочлен) 104,
244,346
Полнота действительных
чисел 73
Полуинтервал 31
Полярные координаты 87
506
----, график 87
Полярные координаты,
площадь 305
Порядок переменной 143
Последовательность 23, 39
—	бесконечно большая 50
---- малая 50
—	монотонная 54
—	неубывающая 23, 54
—	ограниченная 40
		сверху 23
		снизу 23
-— стабилизирующаяся 23
— фундаментальная 71
— функций (функциональная) 442
----равномерно сходящаяся
442
Правило Лопиталя 184
Предел по направлению 339,
344
— последовательности 39, 40
----верхний 68
----комплексных чисел 426
----нижний 68
— функции 75, 88, 338
---- слева 98
----справа 98
— частичный 68
Преобразование Абеля 449
Признак равномерной
сходимости Абеля 450
-------Вейерштрасса 446
-------Дирихле 449
— сходимости ряда Даламбера
433
-------интегральный 428
-------Коши 435
Приращение аргумента 99
— функции 99, 348, 350
----, главный линейный член 165, 358
Произведение комплексных чисел 239
—	последовательностей 47
—	скалярное 420
—	функций 76
Производная 144
—	бесконечно большая 150
—	вектор-функции 222
—	в параметрическом виде 174
—	высшего порядка 169
—	левая 145
—	обратной функции 160
—	по направлению 355
—	правая 145
—	суперпозиции функции от функции 158, 366
—	частная 350
— элементарных функций 156
Пространство п-мерное 83, 337
Прямоугольник 335, 337
Равенство действительных чисел 20
Равномерная непрерывность 118
Равномерно сходящаяся последовательность 442 — сходящийся ряд 442 Радиус кривизны 317 — сходимости степенного ряда 463
Разность комплексных чисел — множеств 14 — последовательностей 47 — функций 76
Разрыв второго рода 106 — первого рода 106
507
Расстояние между точками 22, 35
Рациональная функция 250,
346
Рациональное число 16
Римана интегральная сумма 260
Ролля теорема о среднем 176
Ряд 192
—	биномиальный 484
—	гармонический 436
—	кратный 487
—	Лейбница 438
—	равномерно сходящийся 442
—	с неотрицательными членами 432
— степенной 462
---сходящийся 425
---, теорема о сходимости 462
—, сходящийся абсолютно 439
—, — по прямоугольникам 494
—,-----сферам 495
—,-----треугольникам 495
---условно 441
— Тейлора (Маклорена) 193, 471
— функций 442
Свойство Архимеда вещественных чисел 30
Система функций, заданных неявно 407
Скалярное произведение 420
Скорость мгновенная 147
Сложение чисел 22
Сочетательный (ассоциативный) закон сложения 29
— ( — ) — умножения 29
Спрямляемая кривая 311
Средние арифметические 497
Средняя скорость 147
Срезка действительных чисел
26
Степенная функция 122,156
Степенной ряд 462
Строго возрастающая функция 79
—	убывающая функция 79
Суммы Дарбу 286
—	(объединение) множеств 14
—	последовательностей 47
—	Римана интегральная 260
—	ряда 426
---частичная 425
—	функций 76
Суммирование рядов и последовательностей 496
Суперпозиция функций 77, 104
Существование корня арифметического 123 ---многочлена 246 Сходимость несобственного интеграла 291
—	последовательности 41
—	ряда 425
—	степенного ряда 462
-------, круг сходимости 462
Счетное множество 35
Таблица интегралов 230
—	производных 156, 161
Тейлора многочлен 187
—	ряд 192
—	формула 186
Теорема Безу 245
—	Больцано-Вейерштрасса 66
—	Вейерштрасса о равномерной сходимости 446
508
---об ограниченности
непрерывной функции 111 — Коши о промежуточных
значениях непрерывной
функции 112
-------среднем 177
— Лагранжа о среднем 178
— Ньютона-Лейбница 278
— о смешанных производных 353
---среднем интегральная
284
-------Ролля 176
— Сильвестра 396
— Ферма 175
Теоремы Абеля о рядах 450
Точка выпуклости кверху 207 — — книзу 207
— множества внутренняя 348
---граничная 384
Точка перегиба 207
— разрыва 106
---второго рода 107
---первого рода 106
— стационарная 200, 393, 419
—	устранимого разрыва 107
—	п-мерного пространства 83, 337
Тригонометрическая форма комплексного числа 242
Умножение последовательностей 47
—	рядов 458
—	чисел 27
Уравнения связи 417
Условие необходимое интегрируемости функции 266
---сходимости ряда 426
Формула бинома Ньютона
188
—	квадратурная 326
—	Ньютона-Лейбница 278
— прямоугольников 326, 328
—	Симпсона 330
—	Тейлора 186
— трапеций 327, 328
Функции эквивалентные 139
Функция 75
—	аналитическая 478
— бесконечно большая 97
--- малая 93
— гармоническая 457, 458
— гиперболическая 163
— дифференцируемая 165,358
— комплексного переменного 442
— комплекснозначная от действительного переменного 241
— Лагранжа 422
— логарифмическая 131,158
—	многих переменных 335
—	многозначная 81
—	монотонная 79
—	неограниченная 79
— непрерывная 98, 102, ПО
---в точке 99
---------по множеству 386
--------- слева 106
---------справа 106
---на замкнутом ограниченном множестве 386
------множестве 386
—	нечетная 78
—	неявная 85
—	обратная 115
Функция обратная 115 тригонометрическая 103
—	ограниченная 79
—	однородная 371
—	периодическая 79
—	показательная 126
509
— постоянная 12, 121, 156
— предельная 444
— разрывная в точке 100
— рациональная 250
— сложная 77, 158
— степенная 122,156
— строго возрастающая 79
---убывающая 79
— тригонометрическая 134, 157
— четная 78
— элементарная 81, 101, 121
Центр кривизны 317
Частичная сумма ряда 425, 487
Частное действительных чисел
—	последовательностей 47
—	функций 76
Чисел аксиомы 29
—	свойства 29
Число, величина абсолютная
—	действительное 16, 19
—	иррациональное 19
—	комплексное 239
---, аргумент 241
---, действительная часть 241
Число комплексное, мнимая часть 241
---, модуль 240
---, сопряженное 240
—	конечное (бесконечное) 34
—	рациональное 16
—	е 58
Числовая ось 21
Член ряда 425,487
---остаточный 427
Эвольвента 316
Эволюта кривой 316
Эйлера подстановка 256
Эквивалентные предложения
— функции 140
Экстремум локальный 174
— относительный (условный)
416
Элемент множества 12
----наибольший 61
----наименьший 61
— последовательности 23, 39
Элементарная функция 81,
101, 121, 347
Эллипс 153
Эллипсоид 383
Ядро Дирихле 451
— открытое 384
— Пуассона 457
Якобиан 408
Шар 337
Учебное издание
Бугров Яков Степанович Никольский Сергей Михайлович
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В трех томах
Том 2
Дифференциальное и интегральное исчисление
Учебник для вузов
Заведующий редакцией Б. В. Панкратов
Ответственный редактор Ж. И. Яковлева Разработка серийного оформления
Т. Е. Добровинская-Владимирова
Художник Е. А. Адамов
Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.02.953.Д.006315.08.03 от 28.08.2003.
Подписано к печати 28.04.04. Формат 84х 1О8’/32. Бумага типографская. Гарнитура «Ньютон». Печать офсетная.
Усл. печ. л. 26,9. Тираж 4000 экз. Заказ № 3965.
ООО «Дрофа».
127018, Москва, Сущевский вал, 49.
По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа» обращаться по адресу: 127018, Москва, Сущевский вал, 49.
Тел.: (095) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (095) 795-05-52. Торговый дом «Школьник».
109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А.
Тел.: (095) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76.
Магазины «Переплетные птицы»:
127018, Москва, ул. Октябрьская, д. 89, стр. 1.
Тел.: (095) 912-45-76;
140408, Московская обл., г. Коломна, Голутвин, ул. Октябрьской революции, 366/2.
Тел.: (095) 741-59-76.
Отпечатано с готовых диапозитивов на ФГУП ордена «Знак Почета» Смоленская областная типография им. В. И. Смирнова.
214000, г. Смоленск, пр-т им. Ю. Гагарина, 2.
НОВЫЕ КНИГИ ЖИТЕЛЬСТВА «ДРОФА»
Одно из ведущих в России издательств учебной литературы предлагает вашему вниманию литературу для высших учебных заведений.
Комплект для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки бакалавров и магистров «Полиграфия», «Металлургия», «Химическая технология и биотехнология», «Технология изделий текстильной и легкой промышленности», «Материаловедение и технология новых материалов», «Технология продуктов питания», «Защита окружающей среды» и направлениям подготовки дипломированных специалистов «Химическая технология полимерных волокон и текстильных материалов», «Технология и проектирование текстильных изделий».
УЧЕБНИК: Н. Н. Павлов.
• «Общая и неорганическая химия». 2-е изд., перераб. и доп.
Учебник состоит из двух частей. В первой части рассмотрены основы теоретической химии, необходимые для понимания свойств неорганических веществ и материалов, а также изложены современные взгляды на строение веществ (от атомов и молекул до кристаллов и комплексных соединений), закономерности протекания обменных и окислительно-восстановительных процессов, возможности осуществления которых объяснены с позиций термодинамики.
Во второй части описаны свойства неметаллов, полупроводников, металлов и их соединений. Приведены данные о токсичности наиболее распространенных веществ.
Второе издание учебника (1-е — 1986 г.) переработано с позиций современной химии: устранены устаревшие понятия и термины, приведены новые сведения о свойствах элементов и их соединений. Каждый раздел книги завершается вопросами для самопроверки.
< ПОСОБИЕ: Под редакцией Н. Н. Павлова, В. И. Фролова.
•	«Практикум по общей и неорганической химии». 2-е изд., перераб. и доп.
Практикум состоит из двух частей. В первую часть входят работы, связанные с основами теоретической химии. Во второй части приведены лабораторные работы, знакомящие студентов с химическими свойствами элементов и их соединений.
Во второе издание практикума (1-е — 1986 г.) включены новые оригинальные работы по исследованию строения веществ, а также введена глава, посвященная охране окружающей среды и контролю качества воды.
Описанию лабораторных работ предшествуют небольшие теоретические введения, а завершают их контрольные вопросы для самопроверки.
ПОСОБИЕ: В. И. Фролов, С. В. Фролов. Под редакцией Н. Н. Павлова.
•	«Сборник задач и упражнений по общей и неорганической химии».
Учебное пособие содержит вопросы, задачи, упражнения по основным разделам курса «Общая и неорганическая химия», унифицированные и программированные задачи для индивидуальной самостоятельной работы студентов.