Курс дифференциального и интегрально-интегрального исчисления. В 3 томах. Том II - Фихтенгольц Г.М.

Автор: Фихтенгольц Г.М.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ дифференциальное исчисление высшая математика интегральное исчисление
ISBN: 5-9221-0157-9
Год: 2003
Похожие
Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3.
Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2.
Текст
                    УДК 517.2
ББК 22.161
Ф65
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрально-
интегрального исчисления. В 3 т. Т. II / Пред. и прим. А.А. Флоринского. — 8-е изд. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 864 с. - ISBN 5-9221-0157-9.
Второй том «Курса...» посвящен теории интеграла от функции одной
вещественной переменной и теории рядов и предназначен, прежде всего,
для студентов первых двух курсов негуманитарных вузов. Исключительно
подробное, полное и снабженное многочисленными примерами изложение
включает такие классические разделы анализа, как неопределенный инте-
интеграл и методы его вычисления, определенный интеграл Римана, несобствен-
несобственный интеграл, числовые и функциональные ряды, интегралы, зависящие от
параметра, и др. Подробно излагаются и некоторые мало представленные
или совсем не представленные в элементарных учебниках темы: бесконечные
произведения, формула суммирования Эйлера-Маклорена и ее приложения,
асимптотические разложения, теория суммирования и приближенные вы-
вычисления с помощью расходящихся рядов и др. Являясь одним из лучших
систематических учебников по интегральному исчислению и, одновремен-
одновременно, уникальной коллекцией конкретных фактов, связанных с рядами и
интегралами, данная книга, безусловно, будет полезна как учащимся, так
и преподавателям высшей математики, а также специалистам различных
профилей, использующим математику в своей работе, в том числе, матема-
математикам, физикам и инженерам.
Первое издание вышло в 1948 г.
Редактор: доцент матем.-механич. ф-та
Санкт-Петербургского гос. ун-та А.Л. Флоринский
ISBN 5-9221-0157-9 (Т. II)
ISBN 5-9221-0155-2	© физматлит, 2001, 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава восьмая
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
§ 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления
263.	Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла) .	11
264.	Интеграл и задача об определении площади		15
265.	Таблица основных интегралов 		18
266.	Простейшие правила интегрирования		20
267.	Примеры		22
268.	Интегрирование путем замены переменной		25
269.	Примеры		29
270.	Интегрирование по частям		33
271.	Примеры		35
§ 2. Интегрирование рациональных выражений
272.	Постановка задачи интегрирования в конечном виде		39
273.	Простые дроби и их интегрирование		40
274.	Разложение правильных дробей на простые		42
275.	Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей	46
276.	Выделение рациональной части интеграла		48
277.	Примеры		52
§ 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы
278.	Интегрирование выражений вида R (х, л/ ^+g )• Примеры ...	55
279.	Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры ....	57
280.	Формулы приведения 		59
281.	Интегрирование выражений вида R(x, у <х\;2 + Ъх + с).
Подстановки Эйлера		62
282.	Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок		65
283.	Примеры		66
284.	Другие приемы вычисления		72
285.	Примеры		79
§ 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические
и показательную функции
286.	Интегрирование дифференциалов R(sinx, cosx) dx		81
287.	Интегрирование выражений sinv x • cos^ x		84
288.	Примеры		86
289.	Обзор других случаев		90

4	ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Эллиптические интегралы
290.	Общие замечания и определения		92
291.	Вспомогательные преобразования 		94
292.	Приведение к канонической форме		97
293.	Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода		99
Глава девятая
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение и условия существования определенного интеграла
294.	Другой подход к задаче о площади		104
295.	Определение		106
296.	Суммы Дарбу		108
297.	Условия существования интеграла		111
298.	Классы интегрируемых функций		112
299.	Свойства интегрируемых функций		114
300.	Примеры и дополнения		116
301.	Нижний и верхний интегралы как пределы		118
§ 2. Свойства определенных интегралов
302.	Интеграл по ориентированному промежутку		120
303.	Свойства, выражаемые равенствами		121
304.	Свойства, выражаемые неравенствами		123
305.	Определенный интеграл как функция верхнего предела		127
306.	Вторая теорема о среднем значении		130
§ 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов
307.	Вычисление с помощью интегральных сумм 		133
308.	Основная формула интегрального исчисления		136
309.	Примеры		138
310.	Другой вывод основной формулы		142
311.	Формулы приведения 		143
312.	Примеры		144
313.	Формула замены переменной в определенном интеграле		148
314.	Примеры		149
315.	Формула Гаусса. Преобразование Ландена		155
316.	Другой вывод формулы замены переменной		157
§ 4. Некоторые приложения определенных интегралов
317.	Формула Валлиса		159
318.	Формула Тейлора с дополнительным членом		160
319.	Трансцендентность числа е		161
320.	Многочлены Лежандра		163
321.	Интегральные неравенства		166
§ 5. Приближенное вычисление интегралов
322.	Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций ....	169
323.	Параболическое интерполирование		172
324.	Дробление промежутка интегрирования		174
325.	Дополнительный член формулы прямоугольников		175

ОГЛАВЛЕНИЕ	5
326.	Дополнительный член формулы трапеций		178
327.	Дополнительный член формулы Симпсона 		178
328.	Примеры		181
Глава десятая
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ,
МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
§ 1. Длина кривой
329.	Вычисление длины кривой		186
330.	Другой подход к определению понятия длины кривой
и ее вычислению		188
331.	Примеры		192
332.	Натуральное уравнение плоской кривой		198
333.	Примеры		202
334.	Длина дуги пространственной кривой		204
§ 2. Площади и объемы
335.	Определение понятия площади. Свойство аддитивности		205
336.	Площадь как предел		209
337.	Классы квадрируемых областей		211
338.	Выражение площади интегралом		213
339.	Примеры		216
340.	Определение понятия объема. Его свойства		223
341.	Классы тел, имеющих объемы 		225
342.	Выражение объема интегралом		227
343.	Примеры		230
344.	Площадь поверхности вращения		237
345.	Примеры		240
346.	Площадь цилиндрической поверхности 		243
347.	Примеры		245
§ 3. Вычисление механических и физических величин
348.	Схема применения определенного интеграла		248
349.	Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой ...	251
350.	Примеры		253
351.	Нахождение статических моментов и центра тяжести
плоской фигуры		255
352.	Примеры		256
353.	Механическая работа		258
354.	Примеры		260
355.	Работа силы трения в плоской пяте 		262
356.	Задачи на суммирование бесконечно малых элементов		264
§ 4. Простейшие дифференциальные уравнения
357.	Основные понятия. Уравнения первого порядка		270
358.	Уравнения первой степени относительно производной.
Отделение переменных		271
359.	Задачи		273
360.	Замечания о составлении дифференциальных уравнений		279
361.	Задачи		280

6	ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава одиннадцатая
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
§ 1. Введение
362.	Основные понятия		284
363.	Примеры		285
364.	Основные теоремы		287
§ 2. Сходимость положительных рядов
365.	Условие сходимости положительного ряда		289
366.	Теоремы сравнения рядов		292
367.	Примеры		294
368.	Признаки Коши и Даламбера		298
369.	Признак Раабе		300
370.	Примеры		302
371.	Признак Куммера		305
372.	Признак Гаусса		307
373.	Интегральный признак Маклорена-Коши		309
374.	Признак Ермакова		313
375.	Дополнения		316
§ 3. Сходимость произвольных рядов
376.	Общее условие сходимости ряда		322
377.	Абсолютная сходимость		323
378.	Примеры		325
379.	Степенной ряд, его промежуток сходимости 		327
380.	Выражение радиуса сходимости через коэффициенты 		329
381.	Знакопеременные ряды		330
382.	Примеры		332
383.	Преобразование Абеля 		334
384.	Признаки Абеля и Дирихле		336
385.	Примеры		337
§ 4. Свойства сходящихся рядов
386.	Сочетательное свойство		342
387.	Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов		344
388.	Случай неабсолютно сходящихся рядов		346
389.	Умножение рядов 		349
390.	Примеры		352
391.	Общая теорема из теории пределов 		355
392.	Дальнейшие теоремы об умножении рядов		357
§ 5. Повторные и двойные ряды
393.	Повторные ряды		359
394.	Двойные ряды		363
395.	Примеры		369
396.	Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости ....	377
397.	Примеры		380
398.	Кратные ряды 		382

ОГЛАВЛЕНИЕ	7
§ 6. Бесконечные произведения
399.	Основные понятия		382
400.	Примеры		383
401.	Основные теоремы. Связь с рядами 		385
402.	Примеры		389
§ 7. Разложения элементарных функций
403.	Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора		396
404.	Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических
функций и др		399
405.	Логарифмический ряд		401
406.	Формула Стирлинга		403
407.	Биномиальный ряд		405
408.	Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения ....	407
§ 8. Приближенные вычисления с помощью рядов. Преобразование рядов
409.	Общие замечания 		411
410.	Вычисление числа ж		412
411.	Вычисление логарифмов 		414
412.	Вычисление корней		416
413.	Преобразование рядов по Эйлеру 		417
414.	Примеры		419
415.	Преобразование Куммера		422
416.	Преобразование Маркова		425
§ 9. Суммирование расходящихся рядов
417.	Введение		427
418.	Метод степенных рядов		429
419.	Теорема Таубера		432
420.	Метод средних арифметических		435
421.	Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро . .	436
422.	Теорема Харди-Ландау		438
423.	Применение обобщенного суммирования к умножению рядов ...	441
424.	Другие методы обобщенного суммирования рядов		442
425.	Примеры		447
426.	Общий класс линейных регулярных методов суммирования ....	450
Глава двенадцатая
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 1. Равномерная сходимость
427.	Вводные замечения 		454
428.	Равномерная и неравномерная сходимости 		456
429.	Условие равномерной сходимости		461
430.	Признаки равномерной сходимости рядов		463
§ 2. Функциональные свойства суммы ряда
431.	Непрерывность суммы ряда		466
432.	Замечание о квазиравномерной сходимости		469
433.	Почленный переход к пределу		471
434.	Почленное интегрирование рядов 		473
435.	Почленное дифференцирование рядов		476

8	ОГЛАВЛЕНИЕ
436.	Точка зрения последовательности 		479
437.	Непрерывность суммы степенного ряда		482
438.	Интегрирование и дифференцирование степенных рядов		486
§ 3. Приложения
439.	Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный переход
к пределу		489
440.	Примеры на почленное интегрирование рядов 		496
441.	Примеры на почленное дифференцирование рядов		507
442.	Метод последовательных приближений в теории неявных
функций		513
443.	Аналитическое определение тригонометрических функций ....	515
444.	Пример непрерывной функции без производной		518
§ 4. Дополнительные сведения о степенных рядах
445.	Действия над степенными рядами		520
446.	Подстановка ряда в ряд		524
447.	Примеры		527
448.	Деление степенных рядов		531
449.	Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются ....	534
450.	Решение уравнений рядами		539
451.	Обращение степенного ряда 		543
452.	Ряд Лагранжа		545
§ 5. Элементарные функции комплексной переменной
453.	Комплексные числа		549
454.	Комплексная варианта и ее предел		552
455.	Функции комплексной переменной		554
456.	Степенные ряды		557
457.	Показательная функция		560
458.	Логарифмическая функция		562
459.	Тригонометрические функции и им обратные		564
460.	Степенная функция		568
461.	Примеры		569
§ 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера-Маклорена
462.	Примеры		574
463.	Определения		577
464.	Основные свойства асимптотических разложений		579
465.	Вывод формулы Эйлера-Маклорена		583
466.	Исследование дополнительного члена		586
467.	Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера-Маклорена . .	588
468.	Другой вид формулы Эйлера-Маклорена		592
469.	Формула и ряд Стирлинга		594
Глава тринадцатая
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
470.	Определение интегралов с бесконечными пределами		597
471.	Применение основной формулы интегрального исчисления ....	599
472.	Примеры		600

ОГЛАВЛЕНИЕ	9
473.	Аналогия с рядами. Простейшие теоремы		603
474.	Сходимость интеграла в случае положительной функции		605
475.	Сходимость интеграла в общем случае 		607
476.	Признаки Абеля и Дирихле		609
477.	Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду . . .	612
478.	Примеры		615
§ 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
479.	Определение интегралов от неограниченных функций		623
480.	Замечание относительно особых точек		627
481.	Применение основной формулы интегрального исчисления.
Примеры		628
482.	Условия и признаки существования интеграла 		630
483.	Примеры		634
484.	Главные значения несобственных интегралов		637
485.	Замечание об обобщенных значениях расходящихся интегралов . .	642
§ 3. Свойства и преобразование несобственных интегралов
486.	Простейшие свойства		645
487.	Теоремы о среднем значении		647
488.	Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов . .	649
489.	Примеры		650
490.	Замена переменных в несобственных интегралах		653
491.	Примеры		654
§ 4. Особые приемы вычисления несобственных интегралов
492.	Некоторые замечательные интегралы 		659
493.	Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных
сумм. Случай интегралов с конечными пределами		663
494.	Случай интегралов с бесконечным пределом		666
495.	Интегралы Фруллани 		670
496.	Интегралы от рациональных функций между бесконечными
пределами		672
497.	Смешанные примеры и упражнения		678
§ 5. Приближенное вычисление несобственных интегралов
498.	Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей ...	691
499.	Примеры		692
500.	Замечание по поводу приближенного вычисления собственных
интегралов		696
501.	Приближенное вычисление несобственных интегралов
с бесконечным пределом 		697
502.	Использование асимптотических разложений		700
Глава четырнадцатая
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 1. Элементарная теория
503.	Постановка задачи		704
504.	Равномерное стремление к предельной функции		705
505.	Перестановка двух предельных переходов		708
506.	Предельный переход под знаком интеграла		710

10	ОГЛАВЛЕНИЕ
507.	Дифференцирование под знаком интеграла		712
508.	Интегрирование под знаком интеграла		715
509.	Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра		717
510.	Введение множителя, зависящего лишь от х 		720
511.	Примеры		722
512.	Гауссово доказательство основной теоремы алгебры		733
§ 2. Равномерная сходимость интегралов
513.	Определение равномерной сходимости интегралов		735
514.	Условие равномерной сходимости. Связь с рядами		736
515.	Достаточные признаки равномерной сходимости		737
516.	Другой случай равномерной сходимости		740
517.	Примеры		742
§ 3. Использование равномерной сходимости интегралов
518.	Предельный переход под знаком интеграла		747
519.	Примеры		751
520.	Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру .	765
521.	Интегрирование интеграла по параметру		769
522.	Применение к вычислению некоторых интегралов		772
523.	Примеры на дифференцирование под знаком интеграла		779
524.	Примеры на интегрирование под знаком интеграла		789
§ 4. Дополнения
525.	Лемма Арцела		800
526.	Предельный переход под знаком интеграла		802
527.	Дифференцирование под знаком интеграла		806
528.	Интегрирование под знаком интеграла		806
§ 5. Эйлеровы интегралы
529.	Эйлеров интеграл первого рода		808
530.	Эйлеров интеграл второго рода		811
531.	Простейшие свойства функции Г		812
532.	Однозначное определение функции Г ее свойствами		819
533.	Другая функциональная характеристика функции Г 		821
534.	Примеры		823
535.	Логарифмическая производная функции Г		830
536.	Теорема умножения для функции Г		832
537.	Некоторые разложения в ряды и произведения		834
538.	Примеры и дополнения		835
539.	Вычисление некоторых определенных интегралов 		842
540.	Формула Стирлинга		850
541.	Вычисление эйлеровой постоянной		853
542.	Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г		854
Алфавитный указатель		856

ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
(НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
§ 1. Неопределенный интеграл и простейшие
приемы его вычисления
263. Понятие первообразной функции (и неопределенного ин-
интеграла). Во многих вопросах науки и техники приходится не по
заданной функции искать ее производную, а наоборот — восстанав-
восстанавливать функцию по известной ее производной. В 91, предполагая
известным уравнение движения s = s G), т. е. закон изменения пути
с течением времени, мы путем дифференцирования нашли снача-
сначала скорость v = ^-, а затем и ускорение а = ^. На деле, одна-
однако, часто приходится решать обратную задачу: ускорение а
задано в функции от времени t: a = a(t)9 требуется
определить скорость v и пройденный путь s в за-
зависимости от /. Таким образом, здесь оказывается нужным по
функции а = a{t) восстановить ту функцию v = v(t)9 для кото-
которой а является производной, а затем, зная функцию v, найти ту
функцию s = s(t)9 для которой производной будет v.
Дадим следующее определение:
Функция F(x) в данном промежутке называется перво-
первообразной функцией для функции f{x) или интегралом
от f{x), если во всем этом промежутке f{x) является про-
производной для функции F(x) или, что то лее, f(x)dx служит
для F(x) дифференциалом
F'(x) = f{x) или dF{x) = f{x) dx. *}
*) В этом случае говорят также, что функция F(x) является первообразной
(или интегралом) для дифференциального выражения f(x) dx. (Здесь и далее
звездочкой обозначены примечания автора.)

12	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[263
Разыскание для функции всех ее первообразных, называемое
интегрированием ее, и составляет одну из задач интегрального
исчисления; как видим, эта задача является обратной основной за-
задаче дифференциального исчисления.35^
Теорема. Если в некотором {конечном или бесконечном,
замкнутом или нет) промежутке SC функция F{x) есть пер-
первообразная для функции f{x), то и функция F{x) + С, где
С — любая постоянная, также будет первообразной. Обрат-
Обратно, каждая функция, первообразная для f(x) в промежут-
промежутке ЭС, может быть представлена в этой форме.
Доказательство. То обстоятельство, что наряду с F(x)
и F(x) + С является первообразной для /(х), вполне очевидно,
ибо [F(x)+C]f = F'(x)=f(x).
Пусть теперь Ф(х) будет любая первообразная для f(x)
функция, так что в промежутке SC
Ф'(х) =/(*).
Так как функции F(x) и Ф(х) в рассматриваемом промежутке име-
имеют одну и ту же производную, то они разнятся на постоянную [131,
следствие]:
3>(x)=F(x)+C,
что и требовалось доказать.
Из теоремы следует, что достаточно найти для данной функ-
функции f(x) только одну первообразную функцию F(x), чтобы знать
все первообразные, так как они отличаются друг от друга посто-
постоянными слагаемыми.
В силу этого выражение F{x) +C, где С — произвольная
постоянная, представляет собой общий вид функции, кото-
которая имеет производную f(x) или дифференциал f(x)dx. Это
выражение называется неопределенным интегралом/(х)
' Относительно происхождения слова «интеграл» см. сноску на с. 105. В ин-
интегральном исчислении систематически употребляются несколько терминов, име-
имеющих слово «интеграл» в своем составе: «неопределенный интеграл», «опреде-
«определенный интеграл», «несобственный интеграл» и др. Отвечающие этим терминам
математические понятия, как и задачи, послужившие источником их происхожде-
происхождения, будут подробно рассматриваться в дальнейшем. (Здесь и далее номером
обозначены примечания редактора.)

263]	§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	13
и обозначается символом
Jf(x)dx,36)
в котором неявным образом уже заключена произвольная посто-
постоянная. Произведение f(x) dx называется подинтегральным
выражением, а функция/(х)—подинтегральной функ-
функцией.
Пример. Пусть f(x) = х2; тогда, как нетрудно видеть, не-
неопределенный интеграл этой функции будет
Это легко проверить обратным действием — дифференцированием.
Обращаем внимание читателя на то, что под знаком «интегра-
«интеграла» / пишут дифференциал искомой первообразной функции,
а не производную (в нашем примере: x2dx, а не х2). Такой
способ записи, как будет выяснено ниже [294], создался историче-
исторически; к тому же он предоставляет ряд преимуществ и его сохранение
вполне целесообразно.
Из определения неопределенного интеграла непосредственно
вытекают следующие свойства:
l.d ff(x)dx =f(x)dx,
т. е. знаки d и j, когда первый помещен перед вторым, взаимно
сокращаются.
2. Так как F(x) есть первообразная функция для F'(x), то имеем
JF'(x)dx=F(x)+C9
' Можно сказать, таким образом, что символ J f(x) dx будет служить обозна-
обозначением типовой первообразной функции f(x) на некотором промежутке.
Возможна и несколько иная трактовка (также весьма распространенная) понятия
неопределенного интеграла; она состоит в том, что знак J f(x) dx рассматрива-
рассматривается как обозначение множества всех первообразных функции f[x). Соответ-
Соответственно, равенство //(*) dx = F[x) + С понимается в этом случае как краткая
форма более громоздкой записи J f[x) dx = {F[x) + С: С G ^}; основные
же формулы, связанные с неопределенными интегралами, трактуются при этом
как равенства множеств. Поскольку все установленные в тексте соотношения, от-
относящиеся к неопределенным интегралам, сохраняют свою справедливость как
при одной, так и при другой интерпретации символа J f(x) dx, читатель может,
в принципе, придерживаться любой из них.

14	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[263
что может быть переписано так:
dF(x)=F(x)+C.
Отсюда видим, что знаки d и J, стоящие перед F(x), сокра-
сокращаются и тогда, когда d стоит после J, но только к F(x)
нужно прибавить произвольную постоянную.
Возвращаясь к той механической задаче, которую мы поставили
вначале, мы можем теперь написать, что
v= fa(t)dt
s = / v{t)dt.
Предположим для определенности, что мы имеем дело с равно-
равноускоренным движением, например под действием силы тяжести;
тогда а = g (если направление по вертикали вниз считать положи-
положительным) и — как нетрудно сообразить —
v = Jgdt=
=gt + C.
Мы имеем выражение для скорости l>, в которое кроме вре-
времени t входит еще и произвольная постоянная С. При различных
значениях С мы будем получать и различные значения для скорости
в один и тот же момент времени; следовательно, имеющихся у нас
данных недостаточно для полного решения задачи. Чтобы получить
вполне определенное решение задачи, достаточно знать величину
скорости в один какой-нибудь момент времени. Например, пусть
нам известно, что в момент t = t0 скорость v = t>0; подставим эти
значения в выражение для скорости
откуда
С = vo-gto,
и теперь наше решение принимает уже вполне определенный вид
v =g(t - t0) + v0.
Найдем далее выражение для пути s. Имеем
s = J Ht - t0) + v0] dt = ^g(t- t0J + vo(t - to)+C
[дифференцированием легко проверить, что первообразная функ-
функция может быть взята в такой форме]. Неизвестную нам новую

264]
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
15
постоянную С' можно определить, если, например, дано, что путь
s = s0 в момент t = t0; найдя, что С' = sQ9 перепишем решение
в окончательном виде:
(J + ()+
Значения t09 s09 v0 условно называются начальными зна-
значениями величин t9 s и v.
Мы знаем, что производная функции у = F(x) дает угловой
коэффициент касательной к соответствующему графику. Поэтому
задачу разыскания первообразной F(x) для заданной функции f(x)
можно истолковать так: требуется найти кривую y=F(x),
для которой имел бы мес-
место заданный закон изме- I	^ у=Щх)+С
нения углового коэффици-
коэффициента касательной:
= /(*)•
Если у = F(x) есть од-
одна из таких кривых, то
все остальные могут быть
получены из нее простым	рис j
сдвигом (на произвольный
отрезок С) параллельно оси у (рис. 1). Для того чтобы индивиду-
индивидуализировать кривую в этом множестве кривых, достаточно, напри-
например, задать точку (хо,уо)9 через которую кривая должна пройти;
начальное условие уо = F(x0) +С даст С = у0 —F(x0).
264. Интеграл и задача об определении площади. Гораздо важ-
важнее истолкование первообразной функции как площади криволи-
криволинейной фигуры. Так как исторически понятие первообразной функ-
функции было теснейшим образом связано с задачей об определении
площади, то мы остановимся на этой же задаче уже здесь (пользу-
(пользуясь интуитивным представлением о площади плоской фигуры и от-
откладывая точную постановку этого вопроса до главы X).
Пусть дана в промежутке [а, Ь] непрерывная функция у = f{x)9
принимающая лишь положительные (неотрицательные) значения.
Рассмотрим фигуру ABCD (рис. 2), ограниченную кривой у = /(х),
двумя ординатами х — а и х = b и отрезком оси х; подобную
фигуру будем называть криволинейной трапецией. Же-
Желая определить величину площади Р этой фигуры, мы изучим

16
ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
[264
поведение площади переменной фигуры AMND, заключен-
заключенной между начальной ординатой х = а и ординатой, отвечающей
произвольно выбранному в промежутке [а, Ь] значению х. При
изменении х эта последняя пло-
площадь будет соответственно изме-
изменяться, причем каждому х отве-
отвечает вполне определенное ее зна-
значение, так что площадь криволи-
криволинейной трапеции AMND является
	j.	 Л некоторой функцией от х; обозна-
х+Дх о	тл/ \
чим ее через Р[х).
Поставим себе сначала за-
задачей найти производную
этой функции. С этой целью придадим х некоторое (скажем,
положительное) приращение Ах; тогда площадь Р{х) получит при-
приращение АР.
Обозначим через m и М9 соответственно, наименьшее и наи-
наибольшее значения функции /(х) в промежутке [х,х + Ах] [85]
и сравним площадь АР с площадями прямоугольников, построен-
построенных на основании Ах и имеющих высоты m и М. Очевидно,
Рис.2
откуда
гпАх < АР < МАх,
АР м
т < —— < М.
Ах
Если Ах —)> 0, то, вследствие непрерывности, т и М будут стре-
стремиться к /(х), а тогда и
АР
Р\х)= lim =- =y(jc).
V J A^O Ax	V J
Таким образом, мы приходим к замечательной теореме
(обычно называемой теоремой Нъ ют он а и Ле йбница*^)'.
производная от переменной площади Р{х) по конечной абс-
абсциссе х равна конечной ординате у =/(х).
Иными словами, переменная площадь Р(х) представля-
представляет собой первообразную функцию для данной функ-
функции у = /(х). В ряду других первообразных эта первообразная
выделяется по тому признаку, что она обращается в 0 при х = а.
*> В действительности это предложение — хотя и в другой форме — опуб-
опубликовал еще Барроу (Is. Barrow), учитель Ньютона.

264]
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
17
Поэтому если известна какая-либо первообразная F(x) для
функции f(x) и по теореме предыдущего п°
P(x)=F(x)+C,
то постоянную С легко определить, положив здесь х = а\
О = F(a) + С, так что С = -F(a).
Окончательно
Р(х) =F(x)-F(a).
В частности, для получения площади Р всей криволинейной
трапеции ABCD нужно взять х = Ъ:
P = F(b)-F(a).
В виде примера найдем площадь Р(х) фигуры, ограниченной
параболой у = ах2, ординатой, отвечающей данной абсциссе х9
и отрезком оси х (рис. 3); так как па-
парабола пересекает ось х в начале коор-
координат, то начальное значение х здесь 0.
Для функции f{x) = ах2 легко найти
первообразную: F(x) = Ц-. Эта функ-
функция как раз и обращается в 0 при х = 0,
так что
у=ах2/
ОТ х
Рис.3
[ср. 32, 4)].
Ввиду той связи, которая существует
между вычислением интегралов и нахо-
нахождением площадей плоских фигур, т. е. квадратурой их, стало обыч-
обычным и самое вычисление интегралов называть квадратурой.
Для распространения всего сказанного выше на случай функ-
функции, принимающей и отрицательные значения, достаточно усло-
условиться считать отрицательными площади частей фигуры,
расположенных под осью х.
Таким образом, какова бы ни была непрерывная в промежут-
промежутке [а, Ь] функция /(х), читатель всегда может представить себе
первообразную для нее функцию в виде переменной площади фи-
фигуры, ограниченной графиком данной функции. Однако считать эту
геометрическую иллюстрацию доказательством существова-
существования первообразной, разумеется, нельзя, поскольку самое понятие
площади еще не обосновано.

18	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[265
В следующей главе [305] мы сможем дать строгое и притом чис-
чисто аналитическое доказательство того важного факта, что каждая
непрерывная в данном промежутке функция f{x) имеет в нем
первообразную. Это утверждение мы принимаем уже сейчас.
В настоящей главе мы будем говорить о первообразных лишь
для непрерывных функций. Если функция задана конкретно и име-
имеет точки разрыва, то рассматривать ее будем лишь в промежут-
промежутках ее непрерывности. Поэтому, допустив сформулированное выше
утверждение, мы освобождаемся от необходимости всякий раз ого-
оговаривать существование интегралов: рассматриваемые нами
интегралы все существуют.
265. Таблица основных интегралов. Каждая формула диффе-
дифференциального исчисления, устанавливающая, что для некоторой
функции F{x) производной будет /(х), непосредственно приводит
к соответствующей формуле интегрального исчисления
f{x)dx=F{x)+C.
37)
Перебрав формулы п° 95, по которым вычислялись производные
элементарных функций, а также некоторые формулы, выведенные
дальше (для гиперболических функций), мы можем теперь соста-
составить следующую таблицу интегралов:
2. f Idx = f dx =x +C.
4. [l-dx=[^=
= arcsinx + C.
' Подобная запись всегда предполагает, что функция f(x) рассматривается на
некотором (лежащем в ее области определения) промежутке.

265]	§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	19
7. [axdx = ^+C. [exdx=ex+C.
J	In я	7
sinx dx = — cosx + С
9. / cosx <ix = sinx + С
f 1	f dx
. / —y~ dx = —y~ — ~ c^?x + C.
7 sin x	7 sin x
10.
7 sin
1	f Л
11.
^	[^g
coszx	7 coszx
12.	/ shx<ix = chx +C.
13.	/ chx<ix = shx +C.
Г 1
14.	/ —^dx = -cthx +C.
7 shzx
Г 1
15.	/ -^-dx =thx +C.
7 ch2x
По поводу формулы 4 сделаем пояснение. Она приложима в лю-
любом промежутке, не содержащем нуля. Действительно, если этот
промежуток лежит вправо от нуля, так что х > 0, то из известной
формулы дифференцирования Aпх); = ? непосредственно следует
Если же промежуток лежит влево от нуля и х < 0, то дифферен-
дифференцированием легко убедиться в том, что Aп(-х)); = ?, откуда
Обе эти формулы и объединены в формуле 4.
В добавление к сказанному отметим, что каждая из формул 1 — 15 справед-
справедлива на любом промежутке, лежащем в области определения фигуриру-
фигурирующей в ней подинтегральной функции; в то же время эти формулы не всегда
применимы, если требуется найти все первообразные той или иной функ-

20	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[266
Рамки приведенной выше таблицы интегралов раздвигаются
при помощи правил интегрирования.
266. Простейшие правила интегрирования.
I. Если а — постоянная {а ф 0), то
J a-f(x)dx=a- J f(x)dx.
Действительно, дифференцируя выражение справа, мы полу-
получим [105, I]
d[a- Jf{x)dx] =a-d[Jf{x)dx] =a-f(x)dx9
так что это выражение является первообразной для дифференциа-
дифференциала а • f{x) dx, что и требовалось доказать. Итак, постоянный мно-
множитель можно выносить из-под знака интеграла.
П. f{f{x)±g{x))dx= ff{x)dx± Ig{x)dx.
J	J	J
Дифференцируем выражение справа [105, II]:
d[jf{x)dx±jg{x)dx\ =djf{x)dx±djg{x)dx = [f{x)±g{x)]dx;
таким образом, это выражение является первообразной функцией
для последнего дифференциала, что и требовалось доказать. Не-
Неопределенный интеграл от суммы {разности) дифференциалов
равен сумме {разности) интегралов от каждого дифферен-
дифференциала в отдельности.
ции на всей ее области определения в случае, когда последняя
не является промежутком. Например, функция /(*) = j определена на
множестве всех вещественных чисел, отличных от нуля [т. е. на объединении двух
промежутков ( —оо, 0) и @, оо)]; на этом множестве ее первообразной служит
функция
Г 1 (х > 0),
F(x) = In |*| + sign*, где sign* = < 0 (* = 0),
[-1 (* < 0).
Функция F(x), однако, не может быть представлена в виде In |* | -\-С ни при каком
вещественном С. Таким образом, не все первообразные функции /(*) = j
на ее области определения могут быть найдены по формуле 4.

266]	§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	21
Замечание. По поводу этих двух формул заметим следую-
следующее. В них входят неопределенные интегралы, содержащие каждый
произвольное постоянное слагаемое. Равенства подобного типа по-
понимаются в том смысле, что разность между правой и левой частя-
частями его есть постоянная. Можно понимать эти равенства и букваль-
буквально, но тогда один из фигурирующих в них интегралов перестает
быть произвольной первообразной: постоянная в нем уста-
устанавливается после выбора постоянных в других интегралах. Это
важное замечание следует иметь в виду и впредь.
III. Если
Jf(t)dt = F(t)+C,
то
f(ax +b)dx = - • F(ax + b) + С.
Действительно, данное соотношение равносильно следующему:
dt
Но тогда
— F(ax + Ъ) = F'{ax + Ъ) • а = а • f{ax + b),
так что
т. е. ^ F(ax + Ъ) действительно оказывается первообразной для
функции f{ax + Ъ).
Особенно часто встречаются случаи, когда а = 1 или Ъ = 0:
f{x+b)dx =F(x+b)+Cl9
I
f(ax)dx = - -F(x)+C2.
[На деле правило III есть весьма частный случай правила заме-
замены переменной в неопределенном интеграле, о чем будет речь ни-
ниже, 268.]

22	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[267
267. Примеры.
1)	jFx2 -Зх + 5)dx.
Пользуясь правилами II и I (и формулами 3, 2), имеем
/ (бх2 - Зх + 5) dx = / 6x2dx - / Зх dx + / 5 dx =
= 6 fx2dx -3 fxdx + 5 I dx = 2x3 - - x2 + 5jc + C.
2)	Легко проинтегрировать многочлен и в общем виде:
/ (<*охп + аххп~1 + . . . + ап_хх + ап) dx =
= uq / xndx + ai I xn dx -\- . . . -\-an_x I x dx + an I dx =
_ ao «+1 i ^j_ « i	i a»-l 2 _|_ _|_ ^,	[TT T- 1 21
n+1	«	"' 2	w
3)	/Bjc2 + \fdx = f(8x6 + \2x4 + 6jc2 + l) dx =
о	i ^
= -x1 H	jc5 + 2jc3 + jc + С.	[пример 2)]
Г	4	Г	2
У	У
= dx + 4 x^dx+6 x dx + 4 x^dx + x2dx =
= x+*x32+3x2+*xl+}-Xl+C.	[II, I; 3,2]
353	L'-'J
5) / 	—^	dx = / 	—^	dx =
\x + \-\--x^J-- з
/11	1
jc^/x = -*2 + -* -lnjc + -+C.	[II, I; 3,2, 4]
О	X
/
О	J	X
6) /fr-^A+^
= Ajc^x - Ajc^x = — jc^ - -jc^ +C.	[II; 3]
Дадим ряд примеров на применение правила III:
	=
х -а
	=ln|*-a|+C;	[III; 4]
х а

267]	§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
f dx	[	ъ	1	ъ
(б) / 7	п = / * " * <** = "Т^7 * " аУ
J (х - of J	-k+1
f	!
8)	(а) / sinmx dx =	cosmx -\- С (т ф 0);
J	m
f	1
(б)	/ cos mx dx = — sin wjc + C;
J	m
(в)	J e-3xdx = -^e~3x +C.
, , , f dx	1 /"
9)	(а) у ^_ = -J —
, ( dx	I f dx	1	jc
F) / 2_L 2 = — / —m = -arctg-
J az +xz az J i I (x\ a	a
Примеры на все правила:
10)
dx
23
)•	[Ш; з]
[Ш; 8]
[Ш; 9]
[III; 7]
(a > 0); [III; 6]
[Ш; 5]
/-(g*-l)(g2* + l)	Г
/	dx = I (e —
e + I — e ) dx =
— e + x + e + C.
[II, III; 7, 2]
Разделив числитель на знаменатель, представим подинтегральное выражение
в виде
a be — ad I
с ax + d
Отсюда искомый интеграл равен
a be — ad
-x +
с	cz
- In lex +d\+C.
[П, I, III; 2, 4]
12)
[2X2~3X + Idx= /B,-5+-*-)
J	x + 1	J V	x + \J
= jcz - 5jc + 6 In |
dx =
+ C.
Интегрирование дроби со сложным знаменателем часто облегчается разло-
разложением ее на сумму дробей с более простыми знаменателями. Например,
1	1
х2 — а2 (х — а)(х-\-а) 2а \х — а х-\-а/'
поэтому [см. пример 7), (а)]
/dx	1 г f dx	f dx "I 1
x2 — a2 2a IJ x — a J x + a\ 2a
¦In
С.

24	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
Для дроби более общего вида
1
[267
О + а)(х + Ь)
можно указать, например, такой прием. Очевидно, (х + а) — (х + Ъ) = а — Ъ.
Тогда имеем тождественно
1	1 (х + а) - (х + Ъ)	1/1	1
(х + а){х + b) a — b
Таким образом,
dx
14)
Г	d
J (х+а)
(x+a)(x+b)
¦In
a-b\x+b x+a
а-Ъ'
В частности,
In
- 3
16)
[	*	= !/_
J 4x2 + 4х - 3 4 J (jc
У Ах2 + 2Bx +
+ 3
— 2
= -In
2х - 1
2jc
(при В1 -АС > 0).
Знаменатель следующим образом разлагается на вещественные множители:
А(х — а)(х — р), где
-В
А	7 '	А
А тогда, согласно примеру 14), полагая в нем а = —р, b = —а, получим
С'.
Ах2+Вх+С 2JB2 -АС
Некоторые тригонометрические выражения, после тех или иных элементар-
элементарных преобразований, интегрируются также при помощи простейших приемов.
Очевидно, например,
cos тх =
откуда
17) (а) / cos2
<б)/
1 + cos 2тх
1 — cos 2mx
2
sin тх =
тх dx = — х -\	sin 2mx + С;
2 Am
2 1 1
sin тх dx = - х	sin 2mx + С.
2" 4т
Аналогичным образом имеем
sin тх cos юс = — (sin(m + п) х + sin(w — и) х\,
cos wjc cos we = — (cos(m -\- n)x -\- cos(w — n)x\
sin /ш; sin га = - (cos(m — «) jf — cos(w + n) x^j.

268]	§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	25
Считая т d= n ф О, получим следующие интегралы:
18) (а) / sin mx cos га dx =
/
	 cos(w + ri)x	 cos(w — n) x + C;
г + n)	2(m — n)
F) / cos mx cos we dx =
	 sin(w + n) x + —	 sin(w — n) x + C;
/ si
(в) / sin mx sin we dx =
= 	sin(w — n)x	sin(w + n) x + С
2{m — n)	2{m + n)
В заключение рассмотрим немного более сложный пример.
/sin 2га:
	dx (n= 1,2, 3, ...).
sin*
Так как
sin2rac = N (sin2foc — sinB& — 2)х\ = 2sinjc \ cosB^ — 1) jc,
k=l	k=l
n
то подинтегральное выражение приводится к 2 J^ cos B& — 1) jc, и искомый ин-
k=l
теграл будет равен
^sinB*l)*
к=\
Аналогично,
. . [ sin Bп + 1) х	v^ sin 2^
(б) / 	^	}— dx = х + 2 > 	+ С.
J	k=l
268. Интегрирование путем замены переменной. Изложим
один из сильнейших приемов для интегрирования функций — ме-
метод замены переменной или подстановки. В основе его
лежит следующее простое замечание:
если известно, что
то тогда
jg{t)dt = G{t)+C,
[ g((o(x))(o'(x)dx =G(o)(x))

26	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[268
[Все фигурирующие здесь функции g{t)9 со(х)9 со'(х) предпола-
предполагаются непрерывными.] 39^
Это прямо вытекает из правила дифференцирования сложной
функции [98]
— G(co(x)) = G'(co(x))co'(x) = g(co(x))co'(x),
если учесть, что G'{t) = g(t). To же можно выразить и иначе,
сказав, что соотношение
dG(t)=g(t)dt
сохраняет силу и при замене независимой переменной t на функ-
функцию (о{х) [106].
Пусть требуется вычислить интеграл
f{x)dx.
Во многих случаях удается в качестве новой переменной выбрать
такую функцию от х: t = co(x)9 чтобы подинтегральное выражение
представилось в виде
f{x)dx=g{c>{x))c>'{x)dx9	A)
где g{t) — более удобная для интегрирования функция, чем f(x).
Тогда, по сказанному выше, достаточно найти интеграл
чтобы из него подстановкой t = co(x) получить искомый интеграл.
Обыкновенно пишут просто
Jf(x)dx = jg(t)dt,	B)
подразумевая уже, что в функции от t, которая представлена
интегралом справа, произведена указанная замена.^'
Предполагается так же, что рассматриваемые промежутки изменения пере-
переменных t и х: [а, /3] и [а, Ь] связаны равенством [а, /3] = {со(х) : х G [а, Ь]}.
40 ^ Читателю следует обратить особое bhhiv
bom, ибо без нее равенство B) теряет смысл.
' Читателю следует обратить особое вниминие на фразу, выделенную курси-

268]	§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	27
Найдем, например, интеграл
sin3x cosx dx.
Так как <isinx = cosx dx9 то, полагая t = sinx, преобразуем подин-
тегральное выражение к виду
sin3 х cosx dx = sin3 x d sinx = t3 dt.
Интеграл от последнего выражения вычисляется легко:
Остается лишь вернуться к переменной х, подставляя sinx вместо t:
1
. о	7 sin x
sin x cosx dx = —	\- С.
4
Обращаем внимание читателя на то, что при выборе подста-
подстановки t = co(x)9 упрощающей подинтегральное выражение, нужно
помнить, что в его составе должен найтись множитель co'(x)dx9
дающий дифференциал новой переменной, dt [см. A)]. В предыду-
предыдущем примере удача подстановки t = sinx обусловливалась наличи-
наличием множителя cosx dx = dt.
В этой связи поучителен пример
sin3x<ix;
здесь подстановка t = sinx была бы непригодна именно ввиду от-
отсутствия упомянутого множителя. Если попробовать выделить из
подинтегрального выражения в качестве дифференциала новой пе-
переменной множитель sinx dx или лучше — sinx dx9 то это приведет
к подстановке t = cosx; так как остающееся выражение
- sin2 х = cos2 x - 1
этой подстановкой упрощается, то подстановка оправдана. Имеем
[ . 2 7	[ , о л х 7	t3	COS3 X
/ sm3 x dx = / (r -\)dt = — -t + C = —	cosx + C.
При некотором навыке в производстве подстановки можно са-
самой переменной /ине писать. Например, в интеграле
х cosx dx = / sin3 xd sinx
/ sin3x cosxdx = /

28	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[268
мысленно рассматривают sinx как новую переменную и сразу
переходят к результату. Аналогично,
dx	Г d^	я х
= = arcsin - + С,
f dx	Г d±
J ^a2-x2 ' y/l - (^
f dx	1 f d^	1	x
/ 2 ¦ 2 =- / , x2 =-arctg-+C.
J xz + aA aj (x_Y-\.\ a	a
Подстановка t = ^ здесь подразумевается.
Читатель видит теперь, что правило III, 266, по существу, сво-
сводится к линейной подстановке t = ах + Ь:
[ f{ax +b)dx = - I f{ax + b) d(ax + b) = - ( f(t) dt.
Иной раз подстановка применяется в форме, отличной от ука-
указанной. Именно, в подинтегральное выражение f{x)dx непосред-
непосредственно подставляют, вместо х, функцию х = cp{t) от новой пере-
переменной t и получают в результате выражение
f{q>{t))q>l{t)dt=g{t)dt.
Очевидно, если в этом выражении произвести подстановку
t = со(х)9 где (о{х) — функция, обратная для q>(t)9 то вернемся
к исходному подинтегральному выражению /(х) dx. Поэтому, как
и прежде, имеет место равенство B), где справа, после вычисления
интеграла, следует положить t = оо(х).
Для примера найдем интеграл
dx
Если положить х = t6 (чтобы все корни «извлеклись»), то получим
= t3, J/x = t2, dx = 6t5 dt и
f
J
dx	f t2dt ( f	f dt
6	6{Jd
= 6(t-
Теперь остается перейти к переменной х по формуле t
и окончательно
dx
I

269]	§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	29
Более интересен пример
/ J а2 — х2 dx.
Разность квадратов под корнем (из которых первый постоянен)
подсказывает нам тригонометрическую подстановку х = asint*\
Имеем
\ а2 — х2 — a cos t, dx — a cos t dt
/ у a2 -x2dx = a2 cos21 dt.
Но мы уже знаем интеграл
cos21 dt = а2 ( -1 + - sin 2M +C
[267, 17), (а)]. Для перехода к х подставляем t = arcsin ^; преобра-
преобразование второго слагаемого облегчается тем, что
Окончательно
//	 1 /	 a2	x
\ a2 — x2 dx = - x \ a2 — x2 -\	arcsin —\-C.
v 2 v 2	a
Умение разыскивать выгодные подстановки создается упражнени-
упражнением. Хотя общих указаний по этому поводу дать нельзя, но отдель-
отдельные частные замечания, облегчающие это разыскивание, читатель
найдет в следующем п°. В канонических случаях подстановки бу-
будут просто указаны в курсе.
269. Примеры.
*dx; (б) /-^; (в)	^
J \+Х4
(а) Решение. Полагая t = х , имеем dt = 2x dx, так что
[ex2xdx = - f e'dt = -e' +C=-ex2 +C.
J	2J	2	2
*^ Уместно указать, что х мы считаем изменяющимся между — а и a, a t —
между — ^ и ^. Поэтому t = arcsin |.

30	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[269
(б) Указание. Та же подстановка. Ответ: j arctg* + С. В обоих слу-
случаях интегралы имели вид
где g — удобная для интегрирования функция; для таких интегралов естественна
подстановка t = х . Аналогично, интегралы вида
берутся подстановкой t = х и т. д. Под последний тип подходит третий интеграл.
(в) Ответ: ^ tg*3 + С.
Решение. Можно положить здесь t = х ; но проще сразу взять
и = ах + /3, ибо множитель * <i* лишь числовым коэффициентом отличается
от du = 2ax dx. Имеем, таким образом,
¦ z/+1 + С =
({ах2 + pYx dx = — [u»du= —1
J	2a J	la (/л -
2а (}л + 1)
—; (в)
In*
Указание. Все эти интегралы имеют вид
x\nzx
[g(\nx) ^ = [g(\nx)d\v
и берутся подстановкой t = In*.
Ответ: (а) \ In2* + С; (б) In In* + С; (в) -^ + С.
4) Интегралы вида
dx
/ g(sin^) cos^: dx, / g(cos^) sin.* dx, /
берутся, соответственно, подстановками
t = sinx, и = cos.x, и = tgx.
Например,
(a)
f cos^: <ix	f dt
/ 	^— = /	у = arctg^ + С = arctgsin* + C;
J 1 + sinz x J 1 +tz
cos*
= — In | cos*|+C;

269]
(в)
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
dx	f Tzkz	f dv
31
f	dx	_ f J7	f _
J A2sin2x +B2cos2x J A2tg2x+B2 J A
A2sin2x +B2cos2x J A2tg2x+B2 J A2v2 ¦
1	Av	1	(A \
= — arctg	h С = — arctg — tg x + С
AB B В	AB B\B B J
2x
¦ dx; (r)
2x + 1	J sin* cosjc
Решение, (а) Если положить t = xz + 1, то числитель 2* obc дает в точнос-
точности dt; интеграл сведется к
dt	2
Заметим, что всегда, когда предложенный интеграл имеет вид
df(x)
так что в подинтегральном выражении числитель представляет собой
дифференциал знаменателя, подстановка t = f(x) сразу приводит к цели:
По этому образцу имеем:
e2*
= In | sin*| + С;
1(е2х + 1) 1
[ср. 4), (б)]
(r)
I . dX = [fb-=
J smi cos^: J tg^:
ln|tg*| +C.
sm* cos*
6) Из последнего интеграла легко получаются два полезных интеграла:
*
[ dx	[ d\
/ ~	 = / -хх = 1П
J sm^: J sin | cos |
(x + f)
7) (а) / ——=- dx =
J 1+*2	J	-^
f ex dx	f dex	x
J e2^ + 1 J (VJ + 1
C;
(в)
f 1 dx	/ 11 t
/ tg	2 = - / Ч-d- =ln
J x xl	J x x
1
cos -
*
[cm. 4), F)]
Дадим теперь несколько примеров интегрирования выражений, содержащих
двучлены вида а — х , х + а их — а . В этих случаях обычно бывает

32
ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
[269
выгодно заменить х тригонометрической или гиперболической
функцией от новой переменной ;, используя соотношения
• 2	2	1 1	2	2	1
sin t + cos t = 1, 1 + tg t = sec t = —r—
—Qz ,
cosz t
2	2	2
ch f - sh t = 1, 1 - th f =
[_dx_
Подстановка: * = a tg f * \ dx =
b
ch2;
, так что
/1'
/ /9 * 9л9 = T /
7 (^c2 + a1I a5 J
f Л = —T 0 + sin;cost) + С. [см. 267, 17), (a)]
2a J
Перейдем теперь к переменной х, полагая t = arctg | и выражая sin; и cos;
через tg; = |. Окончательно
X	1	JC	1	JC
9\Т = ^ 9 ~~9 ! 9 ~^~ ^ Т аГС^ё	Ь С.
¦ <2Z)Z 2az xz + <2Z 2aJ	a
J ^ ± a^
Здесь удобнее применить гиперболическую подстановку. Останавливаясь, для
примера, на нижнем знаке, положим: х = a ch; (при х и ; > 0), dx = a sht dt,
л/х2 — а2 = a sh;. Интеграл приведется просто к J dt = ; + С. Для перехода к .х
вспомним выражение обратной для гиперболического косинуса функции [49, 3)]
причем в постоянную С' мы включаем и слагаемое — In a.
Г dx	Г dx	f dx
10) ^ J ~~2	2~Т; (б) J ~~2	2~I;	J ~~2	2~Т
В данном случае одинаково просто приводят к цели и тригонометрическая,
и гиперболическая подстановки. Для примера во втором интеграле возьмем
х = a sec;, dx = а smtdt = а\hcf , тогда х —а = a tg t и
p.ns^ f	COS f 7	с
Г dx	_ 1 Г costdt _ 1 1
J ^2_а2)! "^У ^nV""^^
x^J aL — xL
Подстановка: x = a sin;, dx = a cos; <i; приводит этот интеграл к тако-
такому [см. 6), (а)]:
' -с.
а / sin; а
*)
Причем достаточно предположить /^ изменяющимся между — ^ и ^.

270]
Но
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
t 1 -
tg2 ~ sin;
33
так что окончательно
a —
a —
л/а2
X
-Jt2
¦=72
+ С.
В заключение рассмотрим еще два примера интегрирования путем замены
переменной, где подстановка не столь естественна, как в предыдущих случаях, но
зато быстро ведет к цели.
? («г о)-
J
Положим yjx2 + а = t— х и примем t за новую переменную. При возведении
в квадрат, х в обеих частях можно опустить, и в результате
t2 — a
так что
Окончательно
13)
/ dX = I — = In \t\ + С = ln|* + y/x2 + a I + С.	[ср. 9)]
J у х2 + a J t
I
Положим, x = a cos2 <p + p sin2 ф @ < <p < f), где ф — новая переменная;
тогда
х — а = (р — a) sin (р, р — х = (/3 — a) cos
^ = 2(/3 — a) sin <p cos ф б/ф.
Таким образом,
/
dx
= 2
/•
270. Интегрирование по частям. Пусть и = f(x) и v = g(x)
будут две функции от х, имеющие непрерывные производные
и' = /;(х) и f/=g/(x). Тогда, по правилу дифференцирования
произведения, d(uv) = udv + vdu или udv = d(uv) — vdu. Для вы-
выражения d{uv) первообразной, очевидно, будет uv; поэтому имеет
место формула
C)
udv = uv — / vdu.

34	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[270
Эта формула выражает правило интегрирования по
частям. Оно приводит интегрирование выражения udv = uv'dx
к интегрированию выражения vdu = vur dx.
Пусть, например, требуется найти интеграл fxcosxdx. Поло-
Положим,
и = х, dv = cosx dx, так что du = dx, v = sinx *\
и, по формуле C),
/ х cosx dx = / x dsinx = x sinx — / sinx dx =
= x sinx + cosx + С	D)
Таким образом, интегрирование по частям позволило заме-
заменить сложную подинтегральную функцию х cosx на простую sinx.
Попутно для получения v пришлось проинтегрировать выраже-
выражение cosx dx — отсюда и название: интегрирование по частям.
Применяя формулу C) к вычислению предложенного интегра-
интеграла, приходится разбивать подинтегральное выражение на два мно-
множителя: и и dv = v' dx, из которых первый дифференцируется,
а второй интегрируется при переходе к интегралу в правой ча-
части. Нужно стараться, чтобы интегрирование дифференциала dv
не представляло трудностей и чтобы замена и на du и dv на v
в совокупности влекла за собой упрощение подинтегрально-
го выражения. Так, в разобранном примере было бы явно невыгодно
взять, скажем, х dx за dv, a cosx за и.
При некотором навыке нет надобности вводить обозначения щ v
и можно сразу применять формулу [ср. D)].
Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную
область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы
интегралов, например,
xklnmxdx, xksinbxdx, xkcosbxdx, xkeaxdx и др.,
которые вычисляются именно с помощью интегрирования по
частям.
*) Так как для наших целей достаточно представить cos x dx хоть одним спосо-
способом в виде dv, то нет надобности писать наиболее общее выражение для v, содер-
содержащее произвольную постоянную. Это замечание следует иметь в виду и впредь.

271]	§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	35
Повторное применение правила интегрирования по частям при-
приводит к так называемой обобщенной формуле интегри-
интегрирования по частям.
Предположим, что функции и и v имеют в рассматриваемом
промежутке непрерывные производные всех порядков до (п + 1)-го
включительно: и', г/, и", v", ..., и^п\ v^n\ u^n+l\ у(п+1\
Заменяя в формуле C) v на v^n\ будем иметь
/ uv^n^dx = fudvW = uvW - fv^du = uv^ - I u'v^dx.
Аналогично,
fu'v^dx = u'v(»-V - [u"v(»-Vdx9
fu^v'dx =u^v- [u(n
Умножая эти равенства поочередно на +1 или на —1 и склады-
складывая их почленно, по уничтожении одинаковых интегралов в правой
и левой частях придем к упомянутой формуле:
(*+!) dx = ш/") - г/г/") +
uv
E)
Особенно выгодно пользоваться этой формулой, когда одним из
множителей подинтегральной функции служит многочлен. Если и
представляет собой многочлен /7-й степени, то г/"+1) тождественно
равно нулю, и для интеграла в левой части получается окончатель-
окончательное выражение.
Перейдем к примерам.
271. Примеры.
Г з
1) х Ых dx.
Дифференцирование Ых приводит к упрощению, поэтому полагаем
и = Inх, dv = х dx, так что du = —, v = - х
х	4
и
/1 1 Г 1 1
х3 Ых dx = - х4 Inx	/ х3 dx = - х4 Ых	х4 + С.
4 4 У 4 16

36	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[271
2) (а) / Ых dx; (б) / arctgx dx; (в) / arcsin;\; <ix.
Принимая во всех случаях dx = dv, получим
(а)	/ In х dx = х In x — х dlnx = хЫх — / dx = х(Ых — 1) + С;
(б)	/ arctg^: dx = х arctg^: — / x dsirctgx = x arctg^: — / —	dx =
= x arctgjc - - Ы(х2 + 1) + С;	[см. 269, 5), (a)]
(в)	/ arcsin^: dx = x arcsin^: — / x <iarcsin^: =
/ arcsin^: dx = x arcsin^: — /
/x dx
7T^
= x arcsinjc — / —=^ = x arcsinjc + у 1 — x2 + С. [см. 269, 2)]
J yl-72
3)	/ x sin^: dx.
Имеем
/ x d(— cos^:) = —x cos^: — / (— cos^:) dx = — x cos;\; + 2 / x cos^: <ix.
Таким образом, мы привели искомый интеграл к уже известному [270, 4)]; под-
подставляя его значение, получим
х sin^c dx = —х cos.% + 2(х sin^c + cos^c) + С.
В общей сложности здесь правило интегрирования по частям пришлось при-
применить двукратно.
Так же, повторным применением этого правила, вычисляются интегралы
/ Р(х) eaxdx, I P{x) sinbx dx, I P{x) cosbx dx,
где Р(х) — произвольный многочлен с постоянными коэффициентами.
4)	Если воспользоваться обобщенной формулой интегрирования по частям,
то можно получить сразу общие выражения для интегралов этого вида.
Полагая v ^w+ ^ = еах, будем иметь
ах	ах	ах
0?) е	(и-1) е	(и-2) е
VК ' = 	, VУ ' = —т-, VУ ' = —г- И Т. Д.
а	а1	а3
Поэтому, считая Р(х) многочленом п-й степени, по формуле E) получим
Аналогично, если взять v^n+V) = mibx, то
(п\	cosbx (n—l)	sinbx (n—2) cosbx
vK J =	—, vy J =	-г—, vK J =	и т. д.
b	bz	№

271]	§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	37
Отсюда формула
P{x) sin bx dx = sin bx • —г	-j- + . . . — cos bx •	—=- + ... + С
V^ ^	/	V^ bi	J
Подобным же образом устанавливается и формула
fPP"	\	(Р' Р'"	\
Р(х) cosbx dx = sinbx- [	т + . . . + cos bx • ^г	г + • • • +с-
\b b5	J	\bz bq	J
5) /л: In jflfi. Имеем
/¦^^f! = l-xUn2x - - fx4dln2x = -x4ln2x - - jxhnxdx,
J	A A	AJ	A	2J
и мы свели дело к интегралу 1). Окончательно
Так, последовательно, вычисляется интеграл
xk\nmxdx,
где к — любое вещественное число (к ф — 1), a w = 1,2, 3,... Если применить
к этому интегралу формулу интегрирования по частям, положив и = Ыт х, то
получим рекуррентную формулу
/к 1 т j 1 к+1 1 т т / кл т — \ ,
х In х dx = 	х \п х	/ х In jc б/jc,
л + 1 к -\- \ J
по которой вычисление рассматриваемого интеграла сводится к вычислению ин-
интеграла такого же типа, но с меньшим на единицу показателем при \пх.
Впрочем, подстановка t = \пх приводит рассматриваемый интеграл к виду
J tme^ + ^dt, уже изученному в 3) и 4).
6) Любопытный пример представляют интегралы
/ еах cos bxdx, /
Если к ним применить интегрирование по частям (в обоих случаях взяв, скажем,
dv = eaxdx, v = \ еах ), то получим
/ еах cos bx dx = - еах cos bx + - / ea
J	a	a J
/eax sin bx dx = — eax sin bx	/ ea
a a J
cos bx dx.

38	ЕЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[271
Таким образом, каждый из этих интегралов оказался выражением через другой. * ^
Однако если в первую формулу подставить выражение второго интеграла из
второй формулы, то придем к уравнению относительно первого интеграла,
из которого он и определится:
Ъ sin Ъх + a cos Ъх ах
	^	^	е + С.
ах . ^V
е +С .
Аналогично находим и второй интеграл:
a sin Ъх — Ъ cos Ъх
1-
7) В качестве последнего примера применения метода интегрирования по
частям выведем рекуррентную формулу для вычисления интеграла
Применим к нему формулу C), полагая
1	2пх • dx
-—г—, dv = dx, так что rfM = -———~—l-r, v=x.
Мы получим
Последний интеграл можно преобразовать следующим образом:
/х2	f (х2 + а2) — а2
(х2 + а2)^ dX = J (х2 + а2)^ dX =
/dx	2 [	dx	2
(х2 + а2У ~а J (x2 + а2)^ =J"~a J«+l'
Подставляя это выражение в предыдущее равенство, придем к соотношению
X	2
Jn = /2 i а2\п + 2nJn ~ 2па Jn+V
откуда
П-\-\ —	0/0	0\ ~~^~	О П'	V /
Полученная формула сводит вычисление интеграла /й+1к вычислению инте-
интеграла Jn с меньшим на единицу значком. Зная интеграл
1	х
Jx = - arctg -
а	а
*) Если под интегралами разуметь определенные первообразные [ср. за-
замечание в 266], то, желая во второй формуле иметь те же функции, что и в первой,
мы, строго говоря, должны были справа присоединить еще некоторую постоян-
постоянную. Конечно, она была бы поглощена постоянными С и С' в окончательных
выражениях.

272]	§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	39
[267, 9), (б); мы берем одно из его значений], по этой формуле, при п = 1 найдем
I х	I	х
J	+	t
2az xz + a1 2as	a
[что мы выше получили другим путем, см. 269, 8)]. Полагая в формуле F) п = 2,
мы получим далее
I	х	3	I	х	З.х3.х
^	^	B	2J + ^4 Х2 + а2 + ^5 arCtg ~
2J
^ = 4^2 (*2 + а2J + ^2 ^ = ^2 (Л2 + а2)
и т. д. Таким образом можно вычислить интеграл Jn для любого натурального
показателя п.
§ 2. Интегрирование рациональных выражений
272. Постановка задачи интегрирования в конечном виде. Мы
познакомились с элементарными приемами вычисления неопреде-
неопределенных интегралов. Эти приемы не предопределяют точно пути,
по которому надлежит идти, чтобы вычислить данный интеграл,
предоставляя многое искусству вычислителя. В этом и следующих
параграфах мы остановимся подробнее на некоторых важных клас-
классах функций и по отношению к их интегралам установим вполне
определенный порядок вычислений.
Теперь выясним, что именно нас будет интересовать при инте-
интегрировании функций упомянутых классов и по какому принципу
будет произведено самое их выделение.
В 51 было охарактеризовано то многообразие функций, к кото-
которым в первую очередь применяется анализ; это — так называемые
элементарные функции и функции, которые выражаются через эле-
элементарные с помощью конечного числа арифметических дей-
действий и суперпозиций (без предельного перехода).
В главе III мы видели, что все такие функции дифференциру-
дифференцируемы и их производные принадлежат к тому же многообразию. Ина-
Иначе обстоит дело с их интегралами: очень часто оказывается, что
интеграл от функции, принадлежащей упомянутому классу, сам
этому классу не принадлежит, т. е. не выражается через элемен-
элементарные функции с помощью конечного числа названных
выше операций. К числу таких заведомо невыражающихся

40	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[273
в конечном виде интегралов относятся, например,
/ е~х dx, / sinx2dx, / cosx2dx,
f sinx 7 f cosx 7 f dx
/ 	dx, / 	dx, / -—;
J x	J x	J mx
другие примеры подобного рода будут приведены ниже [280; 289;
290 и след.]
Валено подчеркнуть, что все эти интегралы реально су-
существуют^, но они лишь представляют собой совер-
совершенно новые функции и не приводятся к тем функциям,
которые мы назвали элементарными **}.
Известны сравнительно немногие общие классы функций, для
которых интегрирование может быть выполнено в конечном виде;
этими классами мы ближайшим образом и займемся. На первом
месте среди них надлежит поставить важный класс рацио-
рациональных функций.
273. Простые дроби и их интегрирование. Так как из непра-
неправильной рациональной дроби можно исключить целую часть, ин-
интегрирование которой не представляет трудностей, то достаточно
заняться интегрированием правильных дробей (у которых
степень числителя ниже степени знаменателя).
Из них мы остановимся здесь на так называемых простых
дробях; это будут дроби следующих четырех типов:
- А п.—^, ш. Mx+N , iv. Mx+N
х — а '	(х — а)к'	х2 + рх + q' ' {х2 + рх + q)m'
(к=2,3,...)	(т=2,3,...)
где A9M9N9a9 p9q — вещественные числа; кроме того, по отноше-
отношению к дробям вида III и IV предполагается, что трехчлен х2+рх +q
*> См. сказанное по этому поводу в 264. Мы вернемся к этому ниже, в 305.
**> Для того чтобы помочь читателю освоиться с этим фактом, напомним ему,
что интегралы
Г dx_	Г dx
J х > J 1+X2
от рациональных функций сами уже не являются рациональными функция-
функциями. Таким образом, если бы для нас «элементарными» были лишь рациональные
функции, то уже названные интегралы от «элементарных» функций не выража-
выражались бы через «элементарные» функции, представляя собой «неэлементарные»
функции новой природы: Ых и arctg^c!

273]	§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	41
не имеет вещественных корней, так что
Р2	Р2
—— q < О или q —— > 0.
Дроби вида I и II мы уже умеем интегрировать [267, 7)]:
f dx
А / 	=АЫ\х -а\+С,
J х — а
dx	A	1
(х -а)к к-\ (х -а)
Что же касается дробей вида III и IV, то их интегрирова-
интегрирование облегчается следующей подстановкой. Выделим из выражения
х2 + рх + q полный квадрат двучлена
Последнее выражение в скобках, по предположению, есть число
положительное, его можно положить равным а1, если взять
а =
Теперь прибегнем к подстановке
х Н— = t, dx = dt,
х2 + рх +q = t2 +а2, Мх + N = Mt + (n	-^ j
В случае III будем иметь
Г Mx+N 1 fMt+(N-^f)
/ -^	dx — \ 	7z	т;-*-— dt =
J х2 +рх +q	J	t2 + a2
_ M Г ltdt f Mp\ f dt _
-^f) arctg-

42	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[274
или, возвращаясь кхи подставляя вместо а его значение:
Mx+N
I;
х2 + рх +«
-dx =
M , i	, 2N-Mp	2x + p
= — ln(x2 +px +q)+ , \ arctg ,	,+C.
Для случая IV та же подстановка даст
Г Mx+N	_ fMt+(N-%f) _
J (x2 + рх + ^)m Х ~У О2 + а2)»1 '~
_М Г ltdt	/ Мр\ Г dt
2 J (tz + az)m V	2 / J [tz + az)m
Первый из интегралов справа легко вычисляется подстановкой
t2 + а2 = щ ltdt = du:
Г ltdt _ Г du _ 1 1	_
J (t2 + a2)m = J п" =~rn-ltf^T +
Второй же из интегралов справа, при любом т, может быть вы-
вычислен по рекуррентной формуле F), 271. Затем останется лишь
положить в результате t = ^у^, чтобы вернуться к переменной х.
Этим исчерпывается вопрос об интегрировании простых
дробей.
274. Разложение правильных дробей на простые. Остановим-
Остановимся теперь на одной теореме из области алгебры, которая, однако,
имеет фундаментальное значение в теории интегрирования рацио-
рациональных дробей: каждая правильная дробь
может быть представлена в виде суммы конечного числа
простых дробей.
Это разложение правильной дроби на простые дроби тесней-
теснейшим образом связано с разложением ее знаменателя Q(x) на про-
простые множители. Как известно, каждый многочлен с веществен-
вещественными коэффициентами разлагается (и притом единственным обра-
образом) на вещественные же множители типа х — а и х2 + рх + q;

274]	§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	43
при этом квадратичные множители предполагаются не имеющи-
имеющими вещественных корней и, следовательно, не разложимыми на
вещественные линейные множители. Объединяя одинаковые мно-
множители (если таковые имеются) и полагая для простоты старший
коэффициент многочлена Q(x) равным единице, можно записать
разложение этого многочлена схематически в виде
Q{x) = {x-a)k...{x2+px+q)m...,	C)
где к, .. .,т, ... суть натуральные числа.
Заметим, что если степень многочлена Q есть /7, то, очевидно,
сумма всех показателей к, сложенная с удвоенной суммой всех
показателей т, в точности даст п.
J2k + 2j2m = n.	D)
Для доказательства теоремы установим предварительно следу-
следующие два вспомогательных предложения:
1° Рассмотрим какой-нибудь линейный множитель х — а, вхо-
входящий в разложение знаменателя с показателем к ^ 1, так что
Q(x) = (x-a)kQi(x),
где многочлен Q\ уже на х -а не делится. Тогда данная правильная
дробь
Р(х) = Р{х)
Q(x) (x-a)*Qi(x)
может быть представлена в виде суммы правильных дробей*"*
Л	Pi(x)
О -of [x-af-xQx{xy
из которых первая является простой, а знаменатель второй со-
содержит множитель х — а в более низкой степени, чем раньше.
Для доказательства достаточно подобрать число А и многочлен
Рх(х) так, чтобы выполнялось тождество
Определим сначала А так, чтобы левая часть делилась на
х — а, для чего достаточно (по известной теореме Безу), чтобы
*> Буквы Р, Q (с различными указателями) обозначают здесь многочлены,
а буквы А, М, N — постоянные числа.

44	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[274
ее значение при х = а было нулем; это приводит к следующему
выражению для А:
л _ Па)
01 (я)'
Оно имеет смысл именно потому, что (также по теореме Б е з у)
Qx{a) ф 0. При указанном выборе А многочлен Рх определится
просто как частное.
2° Пусть теперь х2+рх +q будет какой-нибудь из квадратичных
множителей, входящий в разложение знаменателя с показателем
т ^ 1, так что на этот раз можно положить
Q(x) = (x2+px+q)mQ1(x),
где многочлен Q\ на трехчлен х2 +рх +q не делится. Тогда данная
правильная дробь
Р{х) _	Р{х)
Q{x) (x2 + px + q)mQx{x)
может быть представлена в виде суммы правильных дробей
Mx+N	Px(x)
(х2+рх +q)m
из которых первая уже будет простой, а вторая содержит в зна-
знаменателе упомянутый трехчлен снова — в низшей степени.
Для доказательства достаточно подобрать числа М, N и много-
многочлен Р1 (х) так, чтобы имело место тождество
Р(х) - {Mx+N)Qx(x) = (х2 +рх
Определим М и N так, чтобы на этот раз левая часть делилась
на квадратный трехчлен х2 +рх +q. Пусть остатками от деления Р
и Qx на этот трехчлен будут, соответственно, ах +/3 и ух +8. Тогда
вопрос сведется к тому, чтобы на х2 + рх + q делилось выражение
ах +р - (Мх +N)(yx +S) = -уМх2 + {а - SM- yN)x + Ц5- SN).
Выполнив здесь деление, на самом деле в остатке будем иметь
[{ру - 8)М -yN+ а]х + [qyM - SN + /3].
Мы должны приравнять нулю оба эти коэффициента и, таким об-
образом, для определения М и N получим систему из двух линейных

274]	§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	45
уравнений; ее определитель
qy —S
отличен от нуля. Действительно, при у ф О его можно написать
в виде
но выражение в квадратных скобках есть значение нашего трехчле-
трехчлена х2 +рх +q в точке х = — - и, следовательно, не может быть ну-
нулем, ибо трехчлен этот не имеет вещественных корней. При у = О
определитель сведется к S2, а в этом случае S заведомо не нуль,
поскольку многочлен Ql на х2 + рх + q не делится.
Установив указанным путем значения М и N, многочлен Р1
и здесь также определим без труда как частное.
Обратимся теперь к доказательству высказанной вначале теоре-
теоремы. Оно сведется к повторному применению предложений 1° и 2°,
которые обеспечивают возможность последовательного выделения
простых дробей из данной правильной дроби, вплоть до ее
исчерпания.
Если множитель х — а входит в Q лишь в первой степени, то,
в силу 1° (при к = 1), мы поставим ему в соответствие единствен-
единственную простую дробь вида
А
х — а
В случае же, если показатель степени х — а есть к > 1, то,
выделив, на основании 1°, простую дробь
(х-а)к'
мы к оставшейся дроби снова применим 1°, выделим простую
дробь
Ак-1
и т. д., пока множитель х — а вовсе не исчезнет из разложения зна-
знаменателя. Таким образом, в рассматриваемом случае множителю

46	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[275
(х — а)к {к > 1) будет отвечать группа из к простых дробей
Ал	Ai	Ah
I	_	i_ jE)
( )z
x - a (x - a)z	(x - a)k
Такое же рассуждение мы поочередно применим и к каждому из
оставшихся еще линейных множителей, пока знаменатель не исчер-
исчерпается или в его разложении не останутся одни лишь квадратичные
множители.
Аналогично этому, пользуясь 2°, квадратичному множителю
х2 + рх + q мы поставим в соответствие одну лишь простую
дробь вида
Mx+N
xz + рх + q
если он входит в первой степени, и группу из т простых
дробей
Mxx+Nx , M2x+N2	Mmx+Nm
x
2+px+q (x2+px+qJ '" (х2 + рх + q)m'
если этот множитель входит с показателем т > 1.
То же можно сделать и с прочими квадратичными множите-
множителями, если они еще имеются; этим и завершается доказательство
теоремы.
275. Определение коэффициентов. Интегрирование правиль-
правильных дробей. Таким образом, зная разложение C), мы тем самым
знаем знаменатели тех простых дробей, на которые разла-
разлагается данная дробь ?. Остановимся на вопросе об определении
числителей, т. е. коэффициентов А9 М9 N. Так как числители
группы дробей E) содержат к коэффициентов, а числители группы
дробей F) — 2т коэффициентов, то ввиду D) всего их будет п.
Для определения упомянутых коэффициентов обычно прибега-
прибегают к методу неопределенных коэффициентов, кото-
который состоит в следующем. Зная форму разложения дроби ^,
пишут его с буквенными коэффициентами в числите-
числителях справа. Общим знаменателем всех простых дробей, очевидно,
будет Q; складывая их, получим правильную дробь *}. Если отбро-
отбросить теперь слева и справа знаменатель g, то придем к равенству
*^ Сумма правильных рациональных дробей всегда представляет собой пра-
правильную дробь.

275]	§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	47
двух многочленов (п — 1)-й степени, тождественному относитель-
относительно х. Коэффициентами при различных степенях многочлена справа
будут линейные однородные многочлены относительно п коэффи-
коэффициентов, обозначенных буквами; приравнивая их соответствующим
численным коэффициентам многочлена Р9 получим наконец систе-
систему п линейных уравнений, из которых буквенные коэффициенты
и определятся. Ввиду того что возможность разложения на про-
простые дроби наперед установлена, упомянутая система никогда не
может оказаться противоречивой.
Больше того, так как упомянутая система уравнения имеет ре-
решение, каков бы ни был набор свободных членов (коэффициентов
многочлена Р)9 то ее определитель необходимо будет отличен от
нуля. Иными словами, система всегда оказывается определен-
определенной. Это простое замечание попутно доказывает и единствен-
единственность разложения правильной дроби на простые дроби. Поясним
сказанное примером.
2х2 + 2х + 13
Пусть дана дробь	-. Согласно общей теореме, для нее име-
[х — 2){х1 + \I
ется разложение
2jc2 + 2jc + 13	A	Вх+С Dx + Е
+	+
(*-2)(*2 + 1J х-2 х2 + \ О2+ 1J'
Коэффициенты А, В,С, D, Е определим исходя из тождества
2х2 + 2х + 13 = А(х2 + IJ + (Вх + СH2 + 1H - 2) + (Dx + Е)(х - 2).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, придем
к системе пяти уравнений
х3
9
X
х
X
А + В = 0,
-2В + С = 0,
2А + В - 2С + D = 2,
-2В + С - 2D + Е = 2,
А-2С -2Е = 13,
откуда
А = \, В = -\, С = -2, D = -3, Е = -4.
Окончательно
2х2 + 2х + 13	1	х + 2 Зх + 4
0 -2H2 + IJ ~ х -2 ~ jc2 + 1 ~ 02 + IJ'
Алгебраический факт, который мы только что установили, име-
имеет непосредственное применение к интегрированию рацио-
рациональных дробей. Как мы видели в 273, простые дроби интегри-
интегрируются в конечном виде. Теперь мы то же можем сказать о любой

48	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[276
рациональной дроби. Если всмотреться в те функции, через кото-
которые выражаются интегралы от многочлена и от правильных дробей,
то можно сформулировать более точный результат:
Интеграл от любой рациональной функции выражается
в конечном виде с помощью рациональной же функции, лога-
логарифма и арктангенса.
Например, возвращаясь к только что рассмотренному примеру и вспоминая
формулы п° 273, имеем
2х2 + 2х + 13	[ dx	[ х + 2	[ Зх + 4
1 3 - Ах 1 (х - 2J
+1п
276. Выделение рациональной части интеграла. Существует
прием, принадлежащий М. В. Остроградскому, с помощью
которого нахождение интеграла от правильной рациональной дроби
значительно упрощается. Этот прием позволяет чисто алгебраи-
алгебраическим путем выделить рациональную часть интеграла.
Мы видели [273], что рациональные члены в составе интегра-
интеграла получаются при интегрировании простых дробей вида II и IV.
В первом случае интеграл сразу можно написать
А •	А	1 Г+С	G)
(х-а)к	к-\{х-а)к-^ '
Установим теперь, какой вид имеет рациональная часть интеграла
[
J
Mx+N	/	р2
dx (т>1 а
(x2+px +q)
Прибегнув к знакомой уже нам подстановке х + ^ = t, ис-
используем равенства A), B) и формулу приведения F), 271, при
п = т — 1. Если вернуться к переменной х, то получим
Mx+N	M'x+N1	Г	dx
Г Mx+N	_ M'x+N1	Г
J (x2+px+q)m X ~ (x2+px +q)m~l +GJ (x2 + px + q)m~l'
где М\ Nf и а означают некоторые постоянные коэффициенты. По
этой же формуле, заменяя т на т — 1, для последнего интеграла

276]	§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	49
найдем (если т > 2)
adx	М"х + N"	Г	dx
+P J
Г	adx	_ М"х + N"	Г
J (x2+px+q)™-1 ~ (x2+px+q)™-2+P J
х2 + рх
и т. д., пока не сведем показатель трехчлена х2 +рх +q в интеграле
справа к единице. Все последовательно выделяемые рациональные
члены суть правильные дроби. Объединяя их вместе, получим ре-
результат вида
f Mx +N	R(x)	f dx
J (x2+px+q)m	(x2+px+q)m~1 J x2 + px + q v J
где R(x) — многочлен, степени низшей, чем знаменатель *},
а Я — постоянная.
Пусть имеем правильную дробь ^, которую будем предполагать
несократимой, и пусть знаменатель ее Q разложен на простые мно-
множители [см. C)]. Тогда интеграл от этой дроби представится в ви-
виде суммы интегралов от дробей вида E) или F). Если к (или ш)
больше единицы, то интегралы всех дробей группы E) [или F)],
кроме первой, преобразуются по формуле G) [или (8)]. Объединяя
все эти результаты, окончательно придем к формуле вида
f
J
p
Рациональная часть интеграла W- получена от сложения выделен-
выделенных выше рациональных частей; следовательно, прежде всего она
является правильной дробью, а ее знаменатель Qx имеет
разложение
Что же касается дроби ^-, оставшейся под знаком интеграла, то
она получилась от сложения дробей вида I и III, так что она также
правильная и
Q2(x) = (х -а)...{х2 +px+q)...
Очевидно [см. C)], Q = QXQ2-
Формула (9) и называется формулой О с тпр оградского.
*)
См. сноску на с. 46.

50	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[276
Дифференцируя, можно представить ее в равносильной форме
Мы видели, что многочлены Ql и Q2 легко находятся, если
известно разложение C) многочлена Q. Но они могут быть опре-
определены и без этого разложения. Действительно, так как производ-
производная Q' содержит все простые множители, на которые разлагает-
разлагается Q, а именно с показателями, на единицу меньшими, то Qx явля-
является наибольшим общим делителем Q и Q1\ так что может быть
определен по этим многочленам, например, по способу последова-
последовательного деления. Если Qx известен, то Q2 определится простым
делением Q на Qv
Обратимся к определению числителей Р1 и Р2 в формуле A0).
Для этого также воспользуемся методом неопределенных
коэффициентов.
Обозначим через /7, щ9 /72, соответственно, степени многочле-
многочленов Q, Ql9 Q2, так что щ + /72 = п; тогда степени многочленов Р9
Pi9 Pi будут не выше /7-1, п\ — \9 /72-1. Подставим в качестве
Р\ и Pi многочлены степеней «i — 1 и «2 — 1 с буквенными
коэффициентами; всего этих коэффициентов будет щ + /72,
т. е. /7. Выполним в A0) дифференцирование
Q Q'
Q\	Q2 Q
Покажем теперь, что первую дробь всегда можно привести
к знаменателю g, сохраняя числитель в виде многочлена. Именно
_	_
Q\	QxQi	Q
если Н означает частное Hj^. Но это частное можно представить
в виде многочлена. Действительно, если {х—а)к, при к ^ 1, входит
в состав Ql9 то (х - а)к~1 войдет в Q[, а (х — а) — в Q2; такое же
заключение можно сделать и о множителе вида (х2 + рх + q)m при
т ^ 1. Следовательно, числитель Н нацело делится на знаме-
знаменатель, и впредь под Н можно разуметь многочлен степени п2 — 1.

276]
§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
51
Освобождаясь от общего знаменателя Q, придем к тождеству
двух многочленов (степени /7—1)
Отсюда, как и выше, для определения п введенных буквенных
коэффициентов получим систему п линейных уравнений.
Так как возможность разложения A0) установлена, каково бы
ни было Р9 то упомянутая система должна быть совместной
при любых свободных членах. Отсюда само собой вытекает, что
определитель ее отличен от нуля, а значит, система необходимо
оказывается определенной и разложение A0) — при указан-
указанных знаменателях Qx и Q2 — возможно лишь единственным
образом. *}
Пример. Пусть требуется выделить рациональную часть интеграла
/
4jc4 + 4x5 + 16jcz + \2x + 8
(x + 1J(*2 + IJ
dx.
Имеем
Qx = Q2 = (x +
4jc4 + 4jc3 + 16jc2 + \2x + 8
+ 1) = х3 + х2 + х + 1,
(х3 +х2 +х + IJ
откуда
12jc + 8 =
<2.X + 6^C + С
JC3 +JC2 +JC + 1
b){x3 + x2
dx
f
х3 +jc2 +х + I''
1).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях, по-
получим систему уравнений, из которых и определятся неизвестные а, Ь, . . ., /:
d = 0 (в последующем уже d в расчет не берем),
-а + е = 4,
-26 + в + / = 4,
а - 6 - Зс+е+/= 16, а = -1, 6 = 1, с = -4,
2а - 2с + е + / = 12,	d = 0, е = 3, / = 3,
* ^ Ср. аналогичное замечание по поводу разложения правильной дроби на про-
простые дроби, с. 46.

52	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[277
Итак, искомый интеграл
Г 4х4 + 4х3 + \6х2 + 12jc + 8 _ х2 - х + 4	Г dx
J	(х + \J(х2 + IJ	* ~ ~jc3 + jc2 + jc + 1 + J х2 + 1 ~
JC
х2 — х + 4
3 +jc2 +jc + 1
3arctgjc + С.
В этом примере вычисление последнего интеграла легко было произвести сразу.
В других случаях приходится снова разлагать на простые дроби. Можно, впрочем,
и этот процесс объединить с предыдущим.
277. Примеры. Приведем дальнейшие примеры на интегрирование рацио-
рациональных функций.
Ы
dx
Разложение на простые дроби здесь достигается путем незамысловатых пре-
преобразований:
1	A+jc2)-jc2	1	1
JC2A+JC2J
Ответ: -
2) [
Ч Bх
Имеем
4*2 + 4х
Bх — \){2х +
Х2{\-
1 1
х 2
4х2 +
- 1)Bх
- 11
3)Bх -
+ ^2J
A+^2)
^2A +
X
1+JC2
4х - 11
+ 3)B^
-5) (.
JC2A
-х2
X2)
3
2
2-*:
+ ^2
A-
)
1
+
3
A-
с2J
С.
11
- т
) (х ~
fjc2J
1
X2
JC —
1
I
1
1
* + 4
1
1+JC2J'
С
i
г 5 '
х 2
откуда следует тождество
2Х +-2Х-Т=А{Х + 2){Х-2) +
,(,_¦)(,. I)+C(,_>)(,+1).
Вместо того чтобы приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях jc
слева и справа, можно поступить иначе. Положим в этом тождестве последова-
последовательно х = ^, — |, |; сразу получим ^4 = ^, В = — |, С = | (ибо всякий раз
справа останется лишь одно слагаемое).

277]
§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
53
Ответ: - In
4
1
2
\
- -In
8
з
х -Ь —
2
3
+ 8
In
х —
5
2
3)
= 8Ь
-5K
2jc + 3
+ с
'*>
Так как
то разложение ищем в виде
1
Ах +В
Сх +D
*4 + 1 jc2 +хл/2 + 1 *2-*л/2+Г
Из тождества
1 = (Ах + В)(х2 -х\/2+ 1) + (Сх +D)(x2 +х\/2+ 1)
получаем систему уравнений
А + С = О,
-л/24 + 5 + л/2С + D = О,
А - л/2В + С + л/2?> = О,
Я+D = 1,
откуда
Таким образом,
dx
А = -С =
1
2л/2'
Г dx _ J_ f x +
J x^TT~2V^J ^T^
-xV2+\
dx -
-л/2
1 jc2+jc\/2+1	1
In —	т=	h
AV2^ x2-xV2+\ ' 2л^-^/2+1) +
H	¦= arctg(jc\/2 - 1) + C.
2v2
Использовав формулу сложения для арктангенсов [50], можно этот результат
представить и в такой форме:
1
In
хл/2	,
arctg	о +С-
1 — xl
4л/2 х2-хл/2+\ 2л/2
Нужно заметить, однако, что это выражение годится лишь отдельно для про-
промежутков ( —со, —1), ( —1, 1), A, +оо), ибо в точках х = ±1 оно теряет смысл.
Постоянная Cf для этих промежутков, соответственно, равна
^ с, ^
Скачкообразное изменение постоянной компенсирует разрывы самой функции
при х = ±1.
*)
Очевидно, постоянная С' разнится от постоянной С на — j In 2.

54
4)
2х4 - Ах3
ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
+ 2Ах2 — 40jc + 20
[277
¦dx.
О - 1H2 -2х +2K
Прибегнем к выделению рациональной части интеграла. Имеем
= (х2 -2х + 2J, Q2 = (х - \){х2 - 2х + 2).
Таким образом,
2х4 - 4х3 + 24jc2 - АОх + 20
(х - 1H2 -2jc+2K
ах3 + bx2 + cx +d\'
О2 - 2х + 2J
- 1
;2 -2jc+2'
причем мы заодно уже разлагаем на простые дроби то выражение, которое еще
подлежит интегрированию (после выделения рациональной части интеграла).
Тождество
2х4 - Ах3 + 24jc 2 - 40jc + 20 = (З^2
	 (пг -\- hr -А- гх -\- ИЛ • ?f?r
приводит к системе уравнений:
2Ъх
-c)(xl -2x +2)(jc - 1) -
— 1) + е (х — 2х + 2) +
—а — бе — 5/ + g = 0,
-а - 2Ъ + 18е + 12/ - 5g = 2,
8а + 2Ъ - Ъс - Ъ2е - 16/ + 12g = -4,
-6а +Ab + 5c -Ad + Ъбе + 12/ - 16g = 24,
-АЪ + Sd- 2Ае - 4/ + I2g = -40,
-2с - Ad + 8e - Ag = 20,
откуда
a = 2, 6 = —6, с =
d=-9, e = 2, /=-2, g = 4.
Ответ:
2x3 - 6x2
-9
(x2 - 2x + 2J
In
~ IJ
/
Х6-Х5+Х4
¦Зх2
х2 -2х + 2
-3 ,
2arctg(jc -
2(JC2
1J(JC
IK
Выделим рациональную часть интеграла. Имеем
IJ,
1).
Разложение ищем в виде
ах4 + foe3 + сх2 + dx
fx2+gx+h
+ 1)(JC2+JC + 1)'

278]
3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
55
Из системы уравнений:
/=0,
-a+g=l,
5a-b-3c + 5g+3h=l,
4а + ЪЪ - Ъс - Ad + 5g + 5/z = 2,
36 + с - 5d - 5е + 3g + 5/z = 3,
2c - d - le + g + 3/z = 3,
d - 3e + /z = 3
находим
a = -1, 6 = 0, с = -2, d = 0, e = -1, / = g = h = 0.
Таким образом, здесь интеграл весь сводится к рациональной функции
х4 -
с.
§ 3. Интегрирование некоторых выражений,
содержащих радикалы
278. Интегрирование выражений вида R (х, л ахЛ8 ) #). При-
Примеры. Выше мы научились интегрировать в конечном виде рацио-
рациональные дифференциалы. В дальнейшем основным приемом инте-
интегрирования тех или других классов дифференциальных выражений
будет разыскивание таких подстановок t = ео(х)9 которые привели
бы подинтегральное выражение к рациональному виду и дали бы
возможность представить интеграл в конечном виде в функции от t.
Если при этом сама функция со(х)9 которую надлежит подставить
вместо t9 выражается через элементарные функции, то интеграл
представится в конечном виде и в функции от х.
Назовем этот прием методом рационализации под-
интегрального выражения.
В качестве первого примера его применения рассмотрим инте-
интеграл вида
/»	/	/	 i О \
ух+8 '™'	A)
где R означает рациональную функцию от двух аргументов,
натуральное число, а а, /3, у, 8
т
постоянные.
*'Условимся раз навсегда буквой R обозначать рациональную функцию
от своих аргументов.

56	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
Положим
t = со(х) = \ I	,
к ' А/ ух+8	ух+8
Интеграл перейдет в
[278
а - yt"
jR(q>(t),t)<p\t)dt;
здесь дифференциал имеет уже рациональный вид, так как R, ср,
ср' — рациональные функции. Вычислив этот интеграл по правилам
предыдущего параграфа, к старой переменной вернемся, подставив
t = со(х).
К интегралу вида A) сводятся и более общие интегралы
/
R [х,
dx,
х+8] \ух+8,
где все показатели г, s, ... рациональны; стоит лишь привести эти
показатели к общему знаменателю гп, чтобы под знаком интеграла
получить рациональную функцию от х и от радикала f/
Примеры.
1)
/5ГТТ
(х + IJ - VxTT
Здесь дробно-линейная функция ахх~+$, в частности, свелась просто
к линейной функции. Полагаем t = \/х + 1, dx = 2tdt; тогда
[
J
IJ -
dx =2
dt =
dt =
2t + \
(t-lJ 2
: In -^	— arctg
t2 + t+\ л/3	л/3
+ C,
где остается лишь подставить t = \/х + 1.
2) /	dx	= [ 3/Х + l dx
J A3/u-i)u + D2 7 V*-i* + i"
Полагаем Г = * ^4, л: =
^Т? ^ = -(^T)i; тогда
1 Г + f + 1
l
- 1
где Г =

279]	§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	57
279. Интегрирование биномиальных дифференциалов. При-
Примеры. Биномиальными называются дифференциалы вида
xm(a+bxn)pdx,
где a, b — любые постоянные, а показатели т,п, р — рациональ-
рациональные числа. Выясним случаи, когда эти выражения интегрируются
в конечном виде.
Один такой случай ясен непосредственно: если р — число
целое (положительное, нуль или отрицательное), то рассматри-
рассматриваемое выражение относится к типу, изученному в предыдущем п°.
Именно, если через Я обозначить наименьшее общее кратное зна-
знаменателей дробей т и /7, то мы имеем здесь выражение вида
R(y/x)dx, так что для рационализации его достаточна подстановка
X — уХ.
Преобразуем теперь данное выражение подстановкой z = хп.
Тогда
хт(а + bxn)pdx = -(a+ bz)pz^-ldz
п
и, положив для краткости
т + 1 1
будем иметь
f хт(а + bxn)pdx = - f(a+ bz)pzqdz.	B)
Если q — число целое, то мы снова приходим к выра-
выражению изученного типа. Действительно, если обозначить через v
знаменатель дроби р9 то преобразованное выражение имеет вид
R(z, у/а + bz). Рационализации подинтегрального выражения мож-
можно достигнуть и сразу — подстановкой
t = У а + bz = </а + Ьхп.
Наконец, перепишем второй из интегралов B) так:
Легко усмотреть, что при p+q целом мы также имеем изученный
случай: преобразованное выражение имеет вид R (z, y^-y^)- Под-
интегральное выражение в данном интеграле рационализируется

58	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[279
и сразу подстановкой
Таким образом, оба интеграла B) выражаются в конечном
виде, если оказывается целым одно из чисел
Р, q, P + q
или (что то же) одно из чисел
т+\ т+\
п	п
Эти случаи интегрируемости, по существу, известны
были еще Ньютону. Однако лишь в середине XIX столетия
П. Л. Ч е б ы ш ё в установил замечательный факт, что других слу-
случаев интегрируемости в конечном виде для биномиальных диффе-
дифференциалов нет.
Рассмотрим примеры.
Здесь т = — \, п = |, р = 4; так как
1 -
= 2,
то имеем второй случай интегрируемости. Заметив, что у = 3, положим (по
общему правилу)
t = л/\ + >^, х = (t3 - IL, dx = \2t2(t3 - \Kdt;
тогда
/
ф
¦dx =
- t3)dt = - t4Dt3 - 7) + С и т. д.
На этот раз т = 0, п = 4, р = — |; третий случай интегрируемости, так как
^^- -\- р = \ — |=0. Здесь у = 4; положим
dx = -t

280]
3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
59
так что
Г dx	Г t2dt 1 Г/ 1	1 \	1 Г dt
= - In
+1
t - 1
- - arctgf ¦
и т. д.
3)
Здесь т = —\,n = 5, p = — ^; второй случай: ^^- = 0, v = 3. Положим
3	I	3 2 3	-4
5
имеем
1 (r - lJ л/3	2^+1
и т. д.
280. Формулы приведения. Так как интеграл от биномиального
дифференциала всегда может быть [см. B)] преобразован к виду
JP,q=
C)
то в дальнейшем ограничимся рассмотрением именно этих инте-
интегралов.
Установим ряд формул приведения, с помощью которых
интеграл C) может быть, вообще говоря, выражен через подобный
же интеграл Jp>,q>, где р1 и q1 разнятся от р и q на произвольные
целые числа.
Интегрируя тождества
{а
= а(а + bz)pzq + b(a
найдем
{a

60	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[280
Отсюда получаются первые две формулы
+l Р + д + 2
которые позволяют увеличить показатель р или q на единицу
(если только он отличен от —1).
Разрешая эти равенства относительно JpJrl q,Jp q+\ и заменяя р
и q соответственно на/?-1ид-1, приведем к формулам
[а + bz) z	ар	/ i „. / 1\
p+q+l	p+q+
aq
которые позволяют уменьшать показатель р или q на единицу
(если только сумма р + q отлична от —1).
Если ни р9 ни q9 ни р + g не будут целым числом (так что
интеграл Jpq не выражается в конечном виде через элементарные
функции), то формулы приведения могут последовательно прила-
прилагаться без всякого ограничения. С их помощью параметры р
и q могут быть сделаны, например, правильными дробями.
Остановимся на более интересном для нас случае, когда инте-
интеграл берется в конечном виде. При этом можно предположить, что
целым оказывается показатель р или q9 так как случай целого p + q
подстановкой z = ^ приводит к случаю целого q.
Тогда последовательное применение выведенных формул позво-
позволяет свести этот целый показатель, р или q9 к 0 (если он был поло-
положительным) или к —1 (если он был отрицательным). Этим обычно
либо заканчивается интегрирование, либо — во всяком случае —
значительно упрощается.
Примеры.
1) Рассмотрим интеграл *^
J
Hm=	j	dx О — Целое).
Аналогично можно исследовать и интегралы
Г —г	dx, Г —г	dx.

280]
3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
61
Здесь п = 2, р = — ^; поэтому при w нечетном оказывается целым числом
т±± _ ш±±^ а ПрИ т четном — число ^^- + р = ^-^- — ^ = ^, так что во
всех случаях интеграл в конечном виде берется. Подстановкой z = х2 сведем его
к интегралу
1 i_l _ 1
Если, считая т > 1, применить к этому последнему интегралу формулу (IV),
то получим
J 1 т-Х =-2-
+
/я- 1
или, возвращаясь к данному интегралу,
Нт =	х VI -х2 +	Нт_2.
т	т
Эта формула, уменьшая значение т на 2, последовательно сводит вычисле-
вычисление Нт либо к
xdx	г	т
я1 =
при w нечетном, либо же к
щ =
1
dx
/Г^с2
= arcsin^: + С
при т четном.
Пусть теперь т < — 1, так что т = — /i, /i > 1. Применим на этот раз фор-
формулу (II)
1 т+\
(l-z)Iz^ т + 2
m+\
откуда
н-, = -
ц-1
С помощью этой формулы мы имеем возможность уменьшать значение ц
на 2 и последовательно свести вычисление Н_ либо к
f^t2
= 1п
С
при /i нечетном, либо же к
«-/;
dx
2.Д372
/Г^^2
при /i четном.

62	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[281
2) Если к интегралу * ^
(и = 1,2, 3...)
применить формулу (I):
то, возвращаясь к Jn, получим уже известную нам [271, F)] формулу приведения
1	X	2/7—1 1
281. Интегрирование выражений вида /?(х, Jax1 -\- bx -\- с).
Подстановки Эйлера. Переходим к рассмотрению очень важного
класса интегралов
R(x, \jax2 + bx +c)dx.	D)
Предполагаем, конечно, что квадратный трехчлен не имеет рав-
равных корней, так что корень из него не может быть заменен рацио-
рациональным выражением. Мы изучим три подстановки, называемые
подстановками Эйлера (L. Euler), с помощью которых все-
всегда можно достигнуть здесь рационализации подинтегрального вы-
выражения.
I подстановка приложима в случае, если а > 0. Тогда по-
полагают
1	**)
у ах2 + Ъх + с = t — л/ах.
Возводя это равенство в квадрат, найдем (по уничтожении чле-
членов ах2 в обеих частях) Ъх + с — t2 — 2^/~atx, так что
t2-c	I—:	;	 J~dt2 + bt
x =	Jax2 + bx +c =
I—:	;
, Jax2 + bx +c =
v
=, Jax + bx +c =	=
2x/at + b v	2x/at
^^t + bt + c^
ax = 2 —, ,—	—^— at.
{lyfat + bJ
^ Аналогично можно исследовать и интеграл
Г	dx
**^ Можно было бы положить и уах2 + bx + с = t + у/ах.

281]	§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	63
Все остроумие эйлеровой подстановки именно в том, что для опре-
определения х получается уравнение первой степени, так что х, а од-
одновременно с ним также и радикал у/'ах1 + Ьх + с выражаются
рационально через t.
Если полученные выражения подставить в D), то вопрос све-
сведется к интегрированию рациональной функции от t. В результате,
возвращаясь к х, нужно будет положить t = у/ах2 + Ьх + с + у/ах.
II подстановка приложима, если с > 0. В этом случае
можно положить
у ах2 + Ьх + с = xt
*)
Если возвести в квадрат, уничтожить с в обеих частях и сократить
на х, то получим ах + Ъ = xt2 + 2y/ct — снова уравнение первой
степени относительно х. Отсюда
ly/ct - Ъ I—г——;— y/ct2 -bt + y/ca
х = —	=—, у ах1 + Ьх + с =	^—-	,
а — tA	v	a — tA
dx = 2	;	^-т^	Л.
Подставив это в D), очевидно, осуществим рационализацию подин-
тегрального выражения. Проинтегрировав, в результате положим
V'ах2 + Ьх + с — Vc
t =	.
х
Замечание I. Случаи, рассмотренные выше {а > 0 и с > 0),
приводятся один к другому подстановкой х = \. Поэтому всегда
можно избежать пользования второй подстановкой.
Наконец, III подстановка пригодна в том случае, если квад-
квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с имеет (различные) вещественные
корни Я и \х. Тогда этот трехчлен, как известно, разлагается на
линейные множители
ах1 + Ьх + с = а{х — Я)(х — /i).
Положим
ах2 + Ъх +с =t{x -Я).
Или у/ах2 + Ьх + с = xt — у/с.

64	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[281
Возводя в квадрат и сокращая на х — Я, получим и здесь уравнение
первой степени а{х — /л) = t2{x — Я), так что
-au + Xt2 I—"	;	 a(X-u)t
х =	?—	, Jax2+bx+c = У и;
,	|	|	у	,
— a	v	tz — a
2a(li-X)tJ
ах = —^-z	гт^— at
[t2 - аJ
и т. д.
Замечание II. При сделанных предположениях радикал
у/а(х — Х)(х — /л) (считая для определенности, скажем, х > Я)
можно преобразовать к виду
так что в рассматриваемом случае
R(x^ax2 + bx+c) =
и мы, в сущности, имеем дело с дифференциалом изученного
в п° 278 типа. III подстановка Эйлера, которую можно записать
в форме
тождественна с подстановкой, уже указанной в 278.
Покажем теперь, что I и III подстановок Эйлера одних до-
достаточно для того, чтобы осуществить рационализацию подинте-
грального выражения в D) во всех возможных случаях.
Действительно, если трехчлен ах2 + Ъх + с имеет вещественные
корни, то, как мы видели, приложима III подстановка. Если же ве-
вещественных корней нет, т. е. Ъ2 + 4ас < О, то трехчлен
ах2 + Ъх +с = — {{lax + bJ + Dac - b:
4а
при всех значениях переменной х имеет знак а. Случай а < 0 нас
не интересует, ибо тогда радикал вовсе не имел бы вещественных
значений. В случае же а > 0 применима I подстановка.
Эти соображения приводят вместе с тем к общему утвержде-
утверждению: интегралы типа D) всегда берутся в конечном виде,
причем для представления их, кроме функций, через которые

282]	§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	65
выражаются интегралы от рациональных дифференциалов,
нужны еще лишь квадратные корни.
282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок. Эйле-
Эйлеровы подстановки, кажущиеся столь искусственными, могут быть
все получены из наглядных геометрических соображений.
Рассмотрим кривую второго порядка
у = ±уах2 + Ъх + с или у2 = ах2 + Ъх + с.
Если взять на этой кривой произвольную точку (хо,уо)9 так что
yl = axl + bxo + c,	E)
то проходящая через нее секущая у - у0 = t{x — х0) пересечет
кривую еще только в одной точке (х,у). Координаты последней
найдутся простым вычислением. Исключая у из уравнений кривой
и секущей, получим
(Уо + '(* - xo)f = а*2 + Ъх+с,
откуда, с учетом E),
2y0t(x - х0) + t2(x - х0J = а(х2- xl) + Ъ{х - х0)
или — по сокращении на х — х0 —
2y0t + t2{x —х0) = а{х +х0) + Ъ.
Таким образом, абсцисса х, ас нею и ордината у второй точки
пересечения выражаются рациональными функциями от
переменного углового коэффициента t. При этом очевидно, что,
надлежаще изменяя t, можно заставить точку (х,у) описать всю
кривую.
Теперь ясно, что зависимость
ах2 + Ъх +с -yo = t(x - х0)
и определит ту подстановку, которая заведомо рационализирует
подинтегральное выражение в случае D).
Пусть трехчлен ах2 + Ъх + с имеет вещественные корни Я
и /л; это значит, что наша кривая пересекает ось х в точках (Я, 0)
и (ц,0); взяв, например, первую из них за точку (хо,уо)9 при-
придем к III подстановке Эйлера
ах2 + Ъх +с =t(x -Я).

66
ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
[283
Если с > О, то кривая пересекает ось у в точках @, ±л/с); взяв
одну из них за точку (хо,уо)9 получим II подстановку Эйлера
у ах2 + Ъх + с ± л/с = tx.
Наконец, в сущности, в том же порядке идей получается и I под-
подстановка Эйлера, лишь за точку (хо,уо) мы принимаем бес-
бесконечно удаленную точку кривой. Именно, предполагая
а > О (в этом случае кривая будет гиперболой), рассмотрим асим-
асимптоту кривой у = ±л/ах и станем пересекать кривую прямыми
у = t±y/ax9 параллельными асимптоте (они будут проходить через
упомянутую бесконечно удаленную точку). Каждая такая
прямая пересекает кривую во второй точке (х,у)9 координаты ко-
которой будут рациональными функциями от t. Отсюда подстановка
ах2 + Ъх + с = t ± л/ах.
283. Примеры. Нам уже известны два основных интеграла [269, 9)
и 12); 268]:
относящихся к рассматриваемому типу. Отправляясь от них, можно вычислить
и другие интегралы.
dx
^=^=. При вычислении этого интеграла будем различать два слу-
v-2 -и /3
чая: а > О и а < 0.
Если а > 0, то интеграл легко преобразуется к первому из основных инте-
интегралов (при ^ = ±я2):
+ С.
Можно еще умножить аргумент логарифма на а, что введет дополнительное сла-
слагаемое -Х= In а и, следовательно, отразится лишь на С. Окончательно получим
Если же а < 0, так что а = — |а\, радикал перепишем в виде л/р — \а\х2.
Для того чтобы радикал вообще мог иметь вещественные значения, необходимо

283]
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
67
предположить здесь /3 > 0. Интеграл преобразуется ко второму из основных
интегралов (при Дг = а2), и
arcsin [\— x +C (a < 0).	G)
/а*2 + /3 Д
К интегралам F) и G) с помощью элементарных приемов приводятся многие
другие. Например,
2)
/
+ 13 dx берется интегрированием по частям:
: + /3 =
: dx = x^/ax2 + /3
Справа у нас снова получился искомый интеграл; перенося его налево и раз-
разделив все равенство на 2, найдем
(8)
Для получения окончательного результата остается лишь вместо последнего ин-
интеграла подставить его выражение F) или G), смотря по тому, будет ли а > 0
или а < 0.
3) (а)
(б)
; (в)
О*2 +/3J
сводятся к уже известным интегралам простой подстановкой х = }, dx = —\dt.
Имеем (для определенности, пусть х и t > 0):
(а)
7 JCa
/
— дальнейшее вычисление производится по формуле F) или G), смотря по зна-
знаку /3. Далее,
_ч [	dx	f tdt	1
(б) / 	/
и, аналогично,
(в)
Г dx	Г
7 (^2 + ^I У О
tdt

68
ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
[283
4) Тождественные преобразования подинтегрального выражения приводят
к уже вычисленным следующие, например, интегралы:
dx.
f ;2dx ' г &2+
J J'ах2 + В « J л /ах
1 Г j-^	 /3 Г
« J	a J
или, воспользовавшись формулой (8),
Затем
и т. д. [см. 1)].
первый из интегралов берется сразу, второй вычислен в 3). Наконец,
(в)
I
J
\_ Г dx	/3 Г
a J Jax2 + В « J
dx
[см. 1) и 3)].
5) Если под радикалом стоит полный квадратный трехчлен ах + Ьх + с,
часто выгодно линейной подстановкой свести его к двучлену. Выделяя полный
квадрат
2
ах2
Ьх +с =
— ({l
4а \
ax + ЪI + Аас
- Ь2) ,
J
полагают t = lax + b. Таким путем, например, из формул F) и G) получается
при а > О
" lax + b + 2у/я(я.х2 + Z?jc + с)
Ъх + с
л/а
1
ОХ + -
а при а < О
dx
\Jax2 -\- bx -\- с
1	2ох + 6
arcsin —;
- Aac
C.
F*)
G*)
6) Обратимся теперь к эйлеровым подстановкам. В 12), 269, мы
фактически применили I подстановку к вычислению интеграла
dx
1

283]	§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Хотя второй основной интеграл
dx
69
нам известен из элементарных соображений, но — для упражнения — мы все же
к нему применим эйлеровы подстановки.
(а) Если воспользоваться сначала III подстановкой л/а2 — х2 =
= t[a — х), то
= arcsin —|	(—a < x < a),
Так как имеет место тождество
/а+х
2 arctg
то этот результат лишь формой разнится от уже известного нам.
Читателю и впредь следует считаться с возможностью для интеграла
получаться в разных формах, в зависимости от примененного для его
вычисления метода.
(б) Если к тому же интегралу применить II подстановку
= xt — а, то аналогично получим
+С.
f dx	f dt
I —,	= — 2 / —	 = — 2arctg^ + C = —2arctg
J у^ГЗ^г	J t2 + \
Здесь мы сталкиваемся с другим любопытным обстоятельством *': этот результат
годится отдельно для промежутка (—а, 0) и для промежутка @, а), ибо
в точке х = 0 выражение
—2 arctg 	—
х
лишено смысла. Пределы этого выражения при х —>> — 0 и при х —>> +0 раз-
различны: они равны, соответственно, ж и —ж; выбирая для упомянутых проме-
промежутков различные же значения постоянной С так, чтобы второе из них было
на 2ж больше первого, можно составить функцию, непрерывную во всем про-
промежутке (—а, а), если принять за ее значение при х = 0 общий предел слева
и справа.
И на этот раз мы получили прежний результат лишь в другой форме, ибо
имеют место тождества
—2 arctg
а +
Г arcsin | — ж для 0 < х < а,
[ arcsin | + jt для — а < х < 0.
*)
Ср. пример 3) в 277.

70
ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
[283
dx
(а) Сначала применим I подстановку: ух2 — х -\- \ = t — х,
- —!— + 21n|f| - - \n\2t - 1| + С.
Если подставить сюда t = х -\- ух2 — х + 1, то окончательно получим
3	1
1	2 2х + 2^/jc2 -jc + 1 - 1
-х + 1 - 1| +21n
С.
(б) Применим теперь II подстановку: ух2 — х + 1 = tx — 1,
.х = -г	, dx = —2
;z - t + 1
(^ - IJ
г-,	 Г - Г + 1
dt, ^x2-x + \ = —-	_,
/	^	 = f^L
J x + Jx2-x + \ J t(t-
t- Г
+ f ~ 2dt =
13 1	3
t 2t-\ 2t+\ (t + \O
2 In И - 1 In |f - 1| - 1 In |
C'.
Остается подставить сюда t = —	; после очевидных упрощений
получим
dx
Зх
х + Jx2 -х + 1 Jx2 -
Это выражение хотя и разнится от ранее полученного по форме, но при
С' = С + | отождествляется с ним.

283]	§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	71
8)/	*
(а) Так как корни подкоренного выражения вещественны, то можно приме-
применить III подстановку \/ а2 — х2 = t(a — х); здесь —а < х < а и t >0.
Имеем
Г — 1	Aatdt
х = а -г	, dx = —г	г-,
Г2 + 1	(Г2+1J
2а; 2 2 2а V
-, * +я = ,.
Г	dx	1 Г Ъ
2t2 + 2
+ 1
¦Л =
1
2^2
+
dt =
Г2-Гл/2+1у
1) + arctg(r\/2 - 1)) + С,
куда еще нужно подставить для получения окончательного результата
1а +х
Воспользовавшись формулой для суммы арктангенсов, а также очевидным
соотношением
arctg — = — arctg a zb — (при а > 0),
а	2
можно придать результату более простую форму
1	Ху/1
а2л/2
arctg
где С\ = С +
(б) Если к тому же интегралу применить II подстановку \/а2 — х2 =
= tx — а, то получим, что
Х

я )v a "" -^
\)t + arctg(A/2 - \)t)
при t = —^	. Этот результат годится в отдельности для проме-
промежутка {—а, 0) и для промежутка @, а); легко сообразить, что, изменяя значение
постоянной С1 при переходе х через 0, можно сделать его пригодным во всем
промежутке {—а, а). Наконец, если преобразовать его по формуле для суммы
арктангенсов, то он отождествляется с предыдущим результатом.
9)
/

72	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[284
I
J (хг i 1\ АЛ i .. ~~ ~ / /4 _|_ 9Г?; — //V2 _и /;2
I подстановка: у/х2 + ja = t — х. Имеем
dx	f	ltdt
(^2 + Я)лДТТ^ J t* + 2BX-ii)t2 + V2
du
2 + 2BЯ - }л)и + 1л2'
Таким образом, вопрос сводится к вычислению элементарного интеграла; в ре-
результате надлежит подставить
284. Другие приемы вычисления. Хотя подстановки Эйлера
принципиально во всех случаях решают вопрос о вычислении ин-
интеграла типа D) в конечном виде, но иной раз — при их приме-
применении — даже простые дифференциалы приводят к сложным вы-
выкладкам. Ввиду важности интегралов рассматриваемого типа мы
укажем и другие приемы их вычисления.
Для краткости положим
Y = ах2 + Ъх + с и у = у/Т.
Рациональная функция R(x,y) может быть представлена в виде
частного двух многочленов относительно х иу. Заменяя у2 всюду
на 7, мы приведем R(x,y) к виду
R{xy)
где Pt(x) — многочлены. Умножая числитель и знаменатель этой
дроби на выражение Р3(х) - Р4(х)у (и снова заменяя у2 на 7),
придем к новой форме для R
R(x,y)=Rl(x)+R2(x)y.
Интеграл от первого слагаемого справа мы уже умеем выра-
выражать в конечном виде: следовательно, нам надлежит заняться лишь
вторым слагаемым. Умножая и деля его на у, окончательно полу-
получим такое выражение:
+ Ъх +с
интегрированием которого мы и займемся.

284]	§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	73
Прежде всего выделим из рациональной функции R*(x) целую
часть Р(х)9 а правильно-дробную часть представим себе разложен-
разложенной на простые дроби [274]. В таком случае интегрирование полу-
полученного выражения сведется к вычислению интегралов следующих
трех типов:
п./—
ах2 + Ъх + с
Adx
(х — a)kJ ах2 + Ъх + с
ттт Г	Mx+N
Ш. / 	-^^^=^^^= ах,
^ (х2 + рх + q)mJах2 +Ъх + с
где все коэффициенты вещественны, а корни трехчлена х2+рх +q —
мнимые. Остановимся на каждом из них в отдельности.
I. Положим (для т = 0, 1, 2, . ..)
/т	р xmdx
I 0	ах = -=-.
Jaxz +bx + с	J V^
Легко установить рекуррентную формулу для этих интегралов.
С этой целью, считая т ^ 1, возьмем производную
vffl-ly/
J. =
2[т- \)хт-1{ах1 + Ъх + с) + хт~х {lax + Ъ)
1 \ у.т— 1	у.т—2
и проинтегрируем полученное тождество
xm~lVY = maVm + (m - ?) й^.х + (m - l)cFw_2.
Беря здесь w = 1, найдем
а	1а
полагая затем т = 2 (и используя выражение для V\)9 получим
V2 = 4^2 Bах -

74	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[284
Поступая так дальше, придем к общей формуле
Vm = pm_x{x)VY + XmVQ,
где pm_i(x) есть многочлен (т — 1)-й степени, а Хт — const. Таким
образом, все интегралы Vm приводятся к Vo.
Если в интеграле I многочлен Р(х) будет п-й степени, то
этот интеграл представит собой линейную комбинацию интегра-
интегралов Vo, Vx, ..., Vn, а значит, по предыдущей формуле, напишется
в виде
где Q(x) — некоторый многочлен (п — 1)-й степени, а Я = const.
Самое определение многочлена Q{x) и постоянной Я обычно
производится по методу неопределенных коэффициен-
коэффициентов. Дифференцируя (9) и умножая полученное равенство на л/Y,
получим
Р(х) = Q'(x)(ax2 + Ъх + с) + 1 Q(x)Bax + Ь) + Я.
Если вместо 2(х) подставить сюда многочлен (п — 1)-й степени
с буквенными коэффициентами, то в обеих частях мы будем иметь
многочлены /7-й степени. Приравнивая их коэффициенты, придем
к системе п + 1 линейных уравнений, из которых и определяется
п коэффициентов многочлена Q(x) и постоянная Я. *)
Замечание. Формула (9) осуществляет выделение ал-
алгебраической части из интеграла
¦Р{х)
1
¦dx.
Подобное же выделение могло бы быть произведено и по отноше-
отношению к интегралу общего вида
R(x)
I
¦dx,
где R — знак произвольной рациональной функции. На этом мы не
останавливаемся.
*) Из доказанного явствует, что эта система будет совместной при любых зна-
значениях свободных членов, а в таком случае ее определитель необходимо отличен
от 0, и система оказывается всегда определенной. Этим попутно устанавливается
и единственность представления (9). [Ср. с. 46 и 51].

284]	§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	75
П. Интеграл
/¦
dx
- a)kVY
приводится подстановкой х - а = \ к только что рассмотренному
типу. Действительно, имеем
dt	2 .	{аа2 + Ъа + c)t2 + {laa + b)t + a
dx = —--, ax + bx + с =
t2
-, ax + bx + с =	=
t2	t2
так что (считая для определенности х > а и t > 0)
dx
I
{х — a)kJ ax2 + bx + с
_ Г	tk~ldt
\jiaa1 + ba + с)/12 + Bаа + b)t + a
Если аа2 + Ъа + с = 0, т. е. а оказывается корнем трехчлена 7, то
дело еще упрощается: мы получаем интеграл типа, рассмотренного
в 278.
III. (а) Обращаясь к последнему интегралу, рассмотрим особо
случай, когда трехчлен ах2+Ъх +с лишь множителем а отличается
от трехчлена х2 + рх + q. Тогда искомый интеграл имеет вид
Mx+N
	ъ^ТТ^х.
(ах2 + bx + с)^~
Его легко представить как сумму двух интегралов:
2ах+Ъ	1 / МЪ\ f	dx
М [	2ах+Ъ	/ МЪ\ Г
W~ I ~ Z	'	N 2m+l ^Х + I TV	^— I /
2a J (ax2 + bx+c)—	V 2a J J
из которых первый сразу берется подстановкой t = ах + bx + с.
Для вычисления интеграла
Г	dx	_ Г dx
I ~, о	'-.	n 2т+1	/	2т+1
J (ax2 + bx+c)— J Y—
всего удобнее так называемая подстановка Абеля (N.-H. Abel)

76	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[284
Возводя в квадрат и умножая на 47, получим равенство
4t2Y = (Г'J = 4а2х2 + 4abx + Ь2,
которое вычтем из умноженного на 4а равенства
Y = ах2 + Ъх +с.
В результате получится
40 - t2)Y = 4ас - Ъ2,
откуда
т_Dас-Ь2\т	1
Дифференцируя теперь равенство
tVf = ах + |,
найдем
f t dx — adx,
так что
" a-t2'
Из A1) и A0)
dx ( 4
Aac -
и, наконец,
4
(a-t2)m-ldx.	A2)
Таким образом, весь вопрос сводится к вычислению интеграла от
многочлена.
В частности, например, при т = 1 имеем
dx	2	2ах + Ъ
/
ax
2 + bx
(б) В общем случае для большей симметрии обозначений по-
положим
ах2 +Ъх +с = а{х2 +рх +q),

284]	§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	77
причем теперь мы можем предположить, что трехчлен в скобках
не тождествен с трехчленом х2 + рх + q. Поставим себе задачей
преобразовать переменную х так, чтобы в обоих трехчленах
одновременно исчезли члены первой степени.
Пусть сначала р ф р'. Тогда нашей цели можно достигнуть
с помощью дробно-линейной подстановки
^±f	A3)
t + l
надлежаще подобрав коэффициенты \х и v. Имеем
х2 + рх +q =
(/i2 + /?/i + g)/12 + [2/iv + /?(/i + v) + 2q]t + (v2 + /?v + q)
и аналогично — для второго трехчлена. Искомые коэффициенты
определяются из условий
2/iv + р(/л + v) + 2q = 0, 2/iv + p\\i + v) + 2qr = О
или
р-р	р-р
Таким образом, \х и v суть корни квадратного уравнения
(р - p')z2 + 2(q - q')z + (p'q - pq') = 0.
Для того чтобы эти корни были вещественны и различны *\ (не-
(необходимо и) достаточно условие
(q-q'J-(p-p')(j>'q-pq')>o;	(и)
удостоверимся в его выполнении.
Перепишем условие в равносильной форме
B(q + q')-PP'J> Dq-P2)Dq>-P>2).	A4*)
Дано, что 4q — р2 > 0 (ибо трехчлен х2 + рх + q имеет мнимые
корни), поэтому неравенство A4*) заведомо выполняется, если од-
одновременно 4qf — р'2 < 0. Остается исследовать случай, когда
*)
При \л = у подстановка теряет смысл, ибо сводится к х = \л.

78	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[284
и Aqr — р'2 > 0. Тогда q > 0, qr > 0 и A^qq' > pp'9 и мы имеем
последовательно *)
B(д + д') - рр'J > DvW - pp'f = (М ~ Р*)М ~ р'2) +
Здесь дважды знак неравенства соединяется со знаком равенства,
но равенство не может иметь место в обоих случаях одновременно:
если q ф q\ то равенства нет в первом случае, а при q = q\
соответственно, — во втором. Таким образом, неравенство A4*),
а с ним и A4), доказано.
Выполнив подстановку, мы преобразуем искомый интеграл
к виду
P(t)dt
/¦
где P(t) есть многочлен степени 2т — 1 (и Я > 0). Снова прибегнув
(при т > 1) к разложению правильной дроби
(t2 + AI»
на простые, мы придем к сумме интегралов вида
At + B
1
{t2
¦.dt (Л: =1,2, .....
В исключенном случае, когда р = р', уничтожение членов пер-
первой степени достигается еще проще — подстановкой х = t — ^,
и мы непосредственно приходим к интегралу только что
указанного вида.
Полученный интеграл, естественно, разлагается на два:
А Г	atdt	+ R Г	dt
aJ ^t2 + X)mJat2 + p J {t2 + X)mJat2 + p
Первый из них легко берется подстановкой и = Jat2 + р. Ко вто-
второму же приложима уже знакомая нам подстановка Абеля
at
и = —
*}
Поскольку

285]	§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	79
Именно, в силу A1), имеем
dt	du
кроме того, как легко вычислить,
9 „ (В — аХ)и2 + Ха2
1 + Я = —	Н	2^	'
Поэтому
(а - и2)т~1
¦ du,
(ЦЗ - аХ)и2 + Ха2)
и искомый интеграл привелся к интегралу от рациональной функ-
функции.
Замечание. Помимо того что мы в настоящем п° указали
ряд новых приемов для вычисления интегралов типа D), совокуп-
совокупность приведенных соображений дает независимое от прежнего до-
доказательство утверждения, сформулированного в конце п° 281.
285. Примеры.
f *
/ —
J v
лагаем
/ * ~* + 1 dx = (ax2 + bx+c)^/x2 + 2x+2 + d [	dx
J ^/x2 + 2* + 2	V	J ^/x2 +
1) / —		dr.
J v^2 + 2* + 2
Полагаем
откуда
x3 - x + 1 = {lax + b)(x2 + 2x + 2) + (ax2 + bx + c)(* + 1) + 5.
Система уравнений
За = 1, 5a+ 2/? = О, 4д + 36 + с = -1, 26 + с + 5 = 1
приводит к значениям а = ^, b = — |, с = ^, д = j. Таким образом, если
учесть пример 5), 283, окончательно получим
B2 5 + 1)/2 + 2+2+
= - Bх — 5х + \)\/х2 + 2х + 2 -\— 1п(^ + 1 + ух2 -\- 2х -\- 2) -\- С.
6	2
Ч
(л: - l)V*2-2x - 1

80	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[285
Подстановка х — 1 = j (если, скажем, х > 1 и t > 0) приводит интеграл
к виду
Г tzdt
~ J Л/Г^2?'
Этот интеграл легко берется элементарными средствами [см. 283,4)].
1 /	 1
Ответ: — t\/\ — м1	— arcsirUVz + С =
4 V	Ал/1
1	г-,	 1	V2
= 77	ттт V х — 2х — \	— arcsin	 + С.
А(х - IJ v	4л/2	^с - 1
Подстановка Абеля
Ах - 1
Г =
2л/2х2 — jc + 2
преобразует интеграл следующим образом:
при этом можно либо повторить для частного случая общие выкладки п° 284
[III, (а)], либо воспользоваться готовой формулой A2).
64 гл	Ах - 1	1 (Ах - IK
Ответ: 	<^ 2 • 	г	—^	—Т +
3375 1	6
3375
1	(Ах - IM
160 /Ov2 _ v _i_ Г
к2 - х + l)^2 +л: + 1
Дробно-линейная подстановка
Л г + 1
дает
2 ,	1 _ (А*2 =Ь ^ + 1У2 + [2^v zb (^ + v) + 2]г + (у2 ± у + 1)
Требования
2/iy zb (/i + у) + 2 = 0
при jd-\-v =0, /iy = —1 удовлетворяются, например, при \х = 1, у = — 1. Имеем
Г - 1 7	2Л	At + 2 2	, ^2 + 3
(Г + 1J' '	f+1 ' 		(Г + 1J
t + \ '

286]
i 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ	81
если — для определенности — считать t + 1 > 0 (т. е. х < 1). Таким образом,
4)dt
Г	(х + 3)dx	_ Г (St +
з^ТТ
Полученный интеграл разбивается на два:
tdt
= +4
Первый легко вычисляется подстановкой и = ^Ъг2 + 1 и оказывается равным
л/8 arctg у ^8+ + ^;- К° второму применим подстановку Абеля
/з^ТТ
которая приведет его к виду
Зл/3 + 2л/2^
7-8^2 л/6 Зл/3 -
Остается лишь вернуться к переменной х.
Hx2 + \)^x2+x + \
У	л/л:2 +л: + 1 -
¦dx.
Указание. Представить подинтегральную функцию в виде
1 2х5 + 2jc4
- 1
, 3 2 ч 4 2jc4+3jc2-3jc + 3
= Bх3 -Х2+3Х-3)+	^^^^ +
к третьему слагаемому применить метод п° 284,1, а к последнему — подстановку
х + 1 = \.
§ 4. Интегрирование выражений, содержащих
тригонометрические и показательную функции
286. Интегрирование дифференциалов/?(sinx, cosx)rfx. Диф-
Дифференциалы этого вида могут быть рационализированы подстанов-
подстановкой t = tg| (-ж < х < ж). Действительно,
smx =
2tg
It
i+tg2f
cosx =
1-tg
.2 x
l-t2
i+tg2f
x = 2 arctg?,
l+t
¦2'

82	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[286
так что
(it \-t2\ Idt
i((sinx, cosx) dx = R\	2» ~л	j ~\	2 *
Таким образом, интегралы типа
i?(sinx, cosx)dx	A)
всегда берутся в конечном виде; для их выражения кроме
функций, встречающихся при интегрировании рациональных
дифференциалов, нужны лишь еще тригонометрические функ-
функции.
Упомянутая подстановка, являющаяся универсальной для
интеграла типа A), приводит иной раз к сложным выкладкам. Ни-
Ниже указаны случаи, когда цель может быть достигнута с помощью
более простых подстановок. Предварительно сделаем следующие
элементарные замечания из области алгебры.
Если целая или дробная рациональная функция R(u, v) не ме-
меняет своего значения при изменении знака одного из аргументов,
например щ т. е. если
R(-u,v) =R(u,v),
то она может быть приведена к виду
R(u,v) =Rx(u2,v),
содержащему лишь четные степени и.
Если же, наоборот, при изменении знака и функция R(u, v) так-
также меняет знак, т. е. если
R(-u,v) = -R(u,v),
то она приводится к виду
R(u,v) =R2(u2,v)u;
это сразу вытекает из предыдущего замечания, если его применить
к функции и .
I. Пусть теперь R(u,v) меняет знак при изменении знака и;
тогда
R(sinx, cosx) dx = Ro(sin2x, cosx) sinx dx =
= —i?o(l — cos2x, cosx)<icosx,
и рационализация достигается подстановкой t = cosx.

286]	§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ	83
П. Аналогично, если R(u, v) меняет знак при изменении зна-
знака V, ТО
i?(sinx, cosx)dx = Rq(suix, cos2x) cosxdx =
= R^sinx, 1 - sin2x)dsinx,
так что здесь целесообразна подстановка t = sinx.
III. Предположим, наконец, что функция R(u, v) не меняет сво-
своего значения при одновременном изменении знаков и и v
R(-u, -v) =R(u,v).
В этом случае, заменяя w на ^, будем иметь
R(u,v)=r(-v,v) =R*(-,v).
По свойству функции R, если изменить знаки и и v (отношение ^
при этом не изменится),
а тогда, как мы знаем,
Поэтому
R(sinx, cosx) =R*(tgx, cos2x) =R*(tgx,	~—),
V l+tgzxj
т. е. попросту
i?(sinx, cosx) = R(tgx).
Здесь достигает цели подстановка t = tgx [—\ < x < f), ибо
dt
i?(sinx, cosx) dx = R(t)	j и т- д-
Замечание. Нужно сказать, что, каково бы ни было рацио-
рациональное выражение R(u, v)9 его всегда можно представить в виде
суммы трех выражений рассмотренных выше частных типов. На-
Например, можно положить
R(u, у) - R(-u, у) R(-u, у) - R(-u,-у)
R{u, v) =	+	+
R(-u, -у) +R(u,y)

84	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[287
Первое из этих выражений меняет знак при изменении знака щ вто-
второе меняет знак при изменении знака l>, а третье сохраняет значе-
значение при одновременном изменении знака и и v. Разбив выражение
i?(sinx, cosx) на соответствующие слагаемые, можно к первому из
них применить подстановку t = cosx, ко второму — подстановку
t = sinx и, наконец, к третьему — подстановку t = tgx. Таким об-
образом, для вычисления интегралов типа A) достаточно этих трех
подстановок.
287. Интегрирование выражений sinv x • cos^ x. Будем счи-
считать v и \х рациональными числами, а переменную х — изме-
изменяющейся в промежутке @, ^). Тогда подстановка z — sin2x,
dz = 2 sinx cosx dx дает
1-1	о /i-1
sinv x cos^x dx — - sinv x(l - sin x) 2 2sinx cosx dx —
2
так что дело сводится к интегрированию биномиального
дифференциала [279]
/1 f	/i-l v-l	1
sinv x cos^x dx = - / A -z)~z~dz = -JtL-1 v_i. B)
? J	? 2 ' 2
Вспоминая случаи интегрируемости биномиальных дифференциа-
дифференциалов, мы видим теперь, что интересующий нас интеграл берется
в конечном виде, 1) если ^— (или ^уМ есть целое число, т. е.
если \х (или v) есть нечетное целое число, либо же 2) если
^У^- есть целое число, т. е. если /л + v есть четное целое число.
Сюда же, в частности, относится случай, когда оба показате-
показателя \х и v — целые; впрочем, тогда выражение sinv x cos^ x рацио-
рационально относительно sinx и cosx, т. е. принадлежит классу выра-
выражений, уже рассмотренному в предыдущем п°.
В этом случае если показатель v (или \х) будет нечетным,
то рационализация сразу достигается подстановкой t = cosx (или
t = sinx). Если же оба показателя уи/i четные (а также
если они оба нечетные), то можно для той же цели применить
подстановку t = tgx или t = ctgx.
Заметим, что если показатели v и \х оба суть положитель-
положительные четные числа, то предпочтительнее другой прием, осно-

287]	§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ	85
ванный на применении формул
sin 2х о 1 — cos 2х 9 1 +cos 2x
smx cosx = —-—, sm х =	, cos x =	.
2	2	2
Именно, если v = 2/7, \х — 2m, то при v ^ \х пишут
wsin2^-^x =
_ /sin2x\2w /1 -
а при v < /л
sin2"xcos2mx =
_ /sin2x\2" /l+cos2x\m""
2 ) '
В развернутом виде получится сумма членов типа
где v' + // ^ n + m = ^^. Те члены, у которых хоть один из
показателей v', // есть нечетное число, легко интегрируются
по указанному выше способу. Остальные члены подвергнем подоб-
подобному же разложению, переходя к sin Ax и cos Ax и т. д. Так как при
каждом разложении сумма показателей уменьшается по крайней
мере вдвое, то процесс быстро завершается.
Вернемся к установленной выше зависимости B). Мы мо-
можем теперь воспользоваться формулами приведения биномиальных
интегралов [280], чтобы, полагая там а = 19 Ъ — — 1, р — ^—,
q = )Ly~, установить формулы приведения для интегралов рассмат-
рассматриваемого типа.
Таким путем получатся следующие формулы (которые, конеч-
конечно, могут быть выведены и самостоятельно):
г
(I) / sinv х cos^ x dx =
v+1 x cos"+1 x v + fi + 2
sin x cos^ x v
sinv x cos^ x dx =
+ 2 fsinv
J- J
(II) | sir

86	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[288
xcos^xdx =
(III) f sinvx
sinv+1 x cos^ x \i — 1
V + jl	V + jl
)	П	7
X COS X UX =
sin1"! cos^+1x
/ sinv x cos'" x dx (v + \i ф 0),
(IV) /sinv.
+ -	 / sinv~2xcos^xdx (v
V + \1 J
+
V +11	V + \1
Эти формулы вообще позволяют увеличить или уменьшить пока-
показатель v или \i на 2 (за указанными исключениями). Если оба по-
показателя v и /1 — целые числа, то последовательным применением
формул приведения можно свести дело к одному из девяти эле-
элементарных интегралов (отвечающих различным комбинациям из
значений v и /i, равных —1,0 или 1):
1) / dx = х,	6) /	 dx = — In | cosx |,
cosx
dx
tg2
2)	/ cosxdx = sinx,	7) / -— =
J	J smx
_ f dx 1 (x	n\	o4 f cosx 7 -, i . i
3)	/ 	= In tg - +	- , 8) / -— dx = In smi
J cosx	\2	A J	J smx
4)	/ sinx dx — - cosx,	9) /	= In I tgx .
J	J sin x cos x
5)/s,
sin2x
smx cosx dx = —-—.
288. Примеры.
f ¦ 2	3
I) / sin x cos x dx. Подинтегральное выражение меняет знак от замены
cos х на — cos х. Подстановка t = sin x:
/23 B/ 2^ t3 t5 sin3jc sin5jc
sin x cos xdx = t A -t )dt =	h С =	h C.
/sin5;
2) I	— dx. Подинтегральное выражение меняет знак от замены sinjc
на — sin*. Подстановка t = cos*:
/:
— 2t + 1	2 1
¦ dx = - / :	-A	dt = -t	h —т + С =
2	1
= - cos*	1	=	h C.
COS X 3 COSJ *

288]	§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
87
3)
Г
/
J si
sin х cos2 x
. Подинтегральное выражение не изменяет своего значения
при замене sin^c на — sin л- и cos^c на — cos^c. Подстановка t = tg jc:
t2J	2 1	1
^ = ^----3+C = tg^-2ctg^--
t 3P	3
f dx	fU+t2
/ —	— = / л
J sin x cos2 x J t4
4)
/ sin
ф
x cos * d!x. Здесь пригодна та же подстановка, но проще пользо-
пользоваться формулами удвоения угла
sin х cos x = - sin 2x(cos 2x + 1) = - sin 2x cos 2x -\	A — cos 4x)
1
2	4	1 3	!	!
sin x cos x dx = — sin 2x H	x	sin 4x + C.
48	16 64
Г dx	1 f dx
5) / 	 = - / —=	. Пригодна подстановка t = smj, но
J sin x sin 2x 2 J sinz jc cos jc
sin л: cos x
проще прибегнуть к II формуле приведения:
\ Г dx _ 1	1 Г dx
2) sin2jccosjc	2 sin* 2J cos^c
1	1
2 sin jf 2
х ж\\
2 4/1
+ C.
6)
dx
. Пригодна подстановка t = sinjc, но проще дважды прибегнуть
к I формуле приведения:
/dx	sin;\; 3 f
cos5 jc 4 cos4 x 4 J
dx
в свою
/
так что
7)
очередь,
COS3 X
г
si
2c(
J COS5 X
f cos4л
7 sin3 x
-ЛХ.
dx	sin;\;	1
cos x 2 cos2 jc 2
/x jt\\
V 2 4/1
c,
sin^:	3sin^: 3
H	T- + - In
4 cos4
8 cos2 x 8
In T + - +C.
<ijc. Пригодна подстановка t = cosjc, но проще воспользоваться
II и III формулами приведения:
4
/cos4 * cosb^: 3 f co
—-— ^ =	/
snr jc 2sinzjc 2 J si
/cos4 x 7 1 3 /" cos2
	dx = - cos x +
smi 3 J smi
¦rfx,
7 1 3
ax = - cos * + cos^: + In
3
так что (после упрощающих преобразований)
cos4 х
cos x	3
- o^f =	«	cos^:	In
sin *	2 sin x	2
C.

8)
ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
dx
[288
sin x cos 2x J sin x B cos2 x —
Г	dx	Г	dt
J sinjcBcos2jc - 1) ~ J A -^2)A -
-. Подстановка t = cos^c:
V2
In
1 -ty/l
1 \-t
2t2)~
+ С = -^ In
л/2
1 + \/2 cos x
1 - л/2(
ln
Z1 sin2
/
J sin;\;
dx. Так как при изменении знаков у sm;\; и cosx подинте-
9)
J
гральное выражение не терпит изменений, то пригодна подстановка t = tg.x:
/sin л: cos x f t dt
	dx = /	—
smjc + cosjc J (I-\-t)(l-\-1
2J
- 1
- 1
dt =
10)
t + \ 4 t2 + 1 2 (t2 + IJ
1 1+f	1 1+Г
= - In ^.^^	—-r + С =
4 уГ^г 4 1+^2
= - In | sin^: + cosx \	cos^(sin^: + cosx) + C.
9 при ^4C — 5 > 0. Предполагая
A cos2* + 2B smx cos^: + С sinzx
— j < x < j, с помощью подстановки /^ = tg^ приведем интеграл к виду
dt
JTT;
1	С for -\-
Ответ:
/
a + btgx J (a + bt)(l+t2)
Разлагая на простые дроби
1	а
при t = tg^:
Bt + C
	< х < —
2	2
bt
для определения коэффициентов А, В, С получим уравнения
откуда ^=^7т, В =	Л-*, C=^-j.
aLJrbL	aLJrbL	az-\-bz
a b a + bt	,
Ответ:	arctg^ +	In 	 + С =
b In |a cosx -\- bsinx\] -\- С .

288]	§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ	89
12) К тому же интегралу приводятся следующие два:
cos * dx
a cos * + b sin *	J a cos * + b sin *
Впрочем, проще вычислить их, исходя из связывающих их соотношений
ЪТ\ + аТ2 = I dx = * + С\,
/—a sin* + Ь cos*
	—	сЬ
a cos* + Ь sin л:
¦/
cos* + 6 sin*)	.
= In |а cos* + о sin* | + С2,
a cos * + Ь sin х
откуда и получаем
Т\ = —z	« [Ь* ~ а\п\а cos* + Ь sin* |] + С,
Г	[ Zl|
\ Г	\-г2
13) - / 	т- dx @ < г < 1, —л- < * < ж). Применим здесь
2 } \ -2rcos* +r2 v	У
универсальную подстановку t = tg |. Имеем
1	/	L^!	dx = (l-r2) I	*	 =
2	У l-2rcos*+r2	V	JJ A -rJ + (l+rJ;2
\	/1+г *
V + с = arctg A^7tg 2
К этому интегралу приводится и такой:
1 -г cos*	Г /1 1	1 -г2
^ / т + т
l-2rcos*+r2	./ \2 2 1-2rcos*+r2
1
14) / 	, в предположении, что \а\ > \b\ (—ж < х < ж).
J a + b cos*
Пусть сперва \а\ > \b\ и (что не умаляет общности) а > 0. Подстановка
= tg |, как и в только что рассмотренном случае, дает
dx	2
а + Ь cos * ^/a2 _ ?2
Можно преобразовать это выражение к виду
, 1 . a cos* + 6 ,
± —	arcsm	Ь С ,
у^2 _ ?2	<2 + 6 COS*
причем верхний знак берется, если 0 ^ * < ж, а нижний — если — ж < х
и значение постоянной С' возрастает на . ж при проходе * через 0.
\/а 2— Ь2

90
ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
[289
Пусть теперь | а \ < \ Ъ | и b > 0. Та же подстановка:
dx	[	2dt
a + bcosx
b2 - a2
Это выражение легко преобразуется к виду
Интеграл
a cos х
Ь cos л
приводится к предыдущему подстановкой х = f
15) Наконец, к интегралу 14) приводится и интеграл
Если ввести угол а под условием, что
Ь	с
cos а = —	,
л/Ь2 + с2
то интеграл перепишется в виде
dx
h
dx
6 cos;\; + с mix
sin а =
а + у Ь2 + с2 cos(;\; — a)
подстановка t = x —а. И здесь, конечно, интересен случай \а\
289. Обзор других случаев. В 4), 271, мы уже видели, как ин-
интегрируются выражения вида
P(x)eaxdx, P(x) sinbx dx, P(x) cosbx dx,
где Р(х) — многочлен. Любопытно отметить, что дробные выра-
выражения
ех 7 sinx 7 cosx 7 , . ^ _ ч
— dx, 	dx, 	dx (/7=1,2,3...)
хп	хп	хп
уже не интегрируются в конечном виде.
С помощью интегрирования по частям легко установить для
интегралов от этих выражений рекуррентные формулы и свести
их, соответственно, к трем основным:
т [ ех	[ dy	„ч	„
I. / —dx — \ -— = lij ; («интегральный логарифм»);
*^ Подстановка х = \пу.

289]	§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ	91
dx = six («интегральный синус»);
III. / 	dx = cix («интегральный косинус»).
J X
Мы знаем уже [271,6)] интегралы
. . , , a sin их — Ъ cos их „v
sin foe dx =	~	-~	еах + С,
а2 + б2
« cos Ъх dx =
az + bz
Отправляясь от них, можно в конечном виде найти интегралы
fxneaxsinbxdx,	f xneax cosbx dx,
где /7 = 1, 2, 3, ... Именно, интегрируя по частям, получим
п ах - 1 1 nasmbx - bcosbx ax
хпеах smbx dx = xn	^	-~	еах -
2 + Ь2
па
fxn~leax sin bxdx + "Ъ 0 [ xn~leax cosbx dx,
J	az + bz J
n ax i i nbsmbx +a cos их ах
x Vх cosfot <ix = xw	^	-г;	eax -
2 + b2
nb
0 0 [xn~leax sin bxdx - ™ 0 [ xn~leax cosbx dx.
az + bz J	az + bz J
Эти рекуррентные формулы позволяют свести интересу-
интересующие нас интегралы к случаю /7 = 0.
Если под Р{...) по-прежнему разуметь некоторый многочлен,
то, как окончательный результат, можно утверждать, что в конеч-
конечном виде берутся интегралы
/ Р{х, еа х, еа х, . .., sin bfx, sin b"x, .. ., cos bfx, cos b"x, . ..) dx,
где a', a", b', b", ... — постоянные.
Дело сводится, очевидно, к интегрированию выражения
хпеах sink'bfx sink"bnx . .. cos^Vx . ..
*^ Впрочем, во всех трех случаях надлежит еще фиксировать произвольную
постоянную; это будет сделано впоследствии.

92	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[290
Если использовать элементарные тригонометрические формулы
sin bx =	,
sin b'x sin b"x = - (cos (b' - b") x - cos (b' + b") x)
и им подобные, то легко разбить рассматриваемое выражение на
слагаемые типа Ахпеах sin их и Вхпеах cosbx, с которыми мы уже
умеем справляться.
§ 5. Эллиптические интегралы
290. Общие замечания и определения. Рассмотрим интеграл
вида
JR(x,y)dx,	A)
где у есть алгебраическая функция от х, т.е. [205] удо-
удовлетворяет алгебраическому уравнению
Р(х,у)=0	B)
(здесь Р — многочлен относительно переменных х и у). Подоб-
Подобного рода интегралы получили название абелевых интегралов.
К их числу относятся интегралы, изученные в § 3:
Действительно, функции
ах
удовлетворяют, соответственно, алгебраическим уравнениям
(ух + 8)ут - (ах + /3) = 0, у2 - (ах2 + Ъх + с) = 0.
Становясь на геометрическую точку зрения, абелев инте-
интеграл A) считают связанным с той алгебраической кривой,
которая определяется уравнением B). Например, интеграл
/¦
r(x, \Jax2 + bx +c\dx	C)
связан с кривой второго порядка у2 = ах2 + Ъх + с.

290]	§ 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ	93
Если кривая B) может быть представлена параметри-
параметрически
так, что функции rx(t) и r2(t) оказываются рациональны-
рациональными {в этом случае кривая называется унику реальной^),
то в интеграле A) становится возможной рационализация
подинтегралъного выражения: подстановкой х = rx{t) оно при-
приводится к виду
R{rx(t),r2(t))r\{t)dt.
К этому классу и относятся оба упомянутых выше случая. В част-
частности, возможность рационализации подинтегрального выражения
в интеграле типа B) связана именно с тем фактом, что кривая
второго порядка уникурсальна [281; 282].
Очевидно, что переменные х и t связаны алгебраическим урав-
уравнением, так что t является алгебраической функцией отх.
Если расширить класс элементарных функций, включив в него
и все алгебраические функции, то можно сказать, что в случае
уникурсалъности кривой B) интеграл A) всегда выража-
выражается через элементарные функции в конечном виде.
Однако подобное обстоятельство является в некотором смысле
исключением. В общем случае кривая B) не уникурсальна, а тогда,
как можно доказать, интеграл A) заведомо не всегда, т. е.
не при всякой функции R, может быть выражен в конеч-
конечном виде (хотя не исключена возможность этого при отдельных
конкретных R).
С этим мы сталкиваемся уже при рассмотрении важного класса
интегралов:
J
I
r(x, Jax3 + bx2 + ex + д ) dx,
D)
bx3 +cx2 + dx ^
содержащих квадратный корень из многочленов 3-й или 4-й сте-
степени и естественно примыкающих к интегралам C). Интегралы
вида D) — как правило — уже не выражаются в конечном
виде через элементарные функции даже при расширенном по-
понимании этого термина. Поэтому знакомство с ними мы отнесли
*' Можно дать и чисто геометрическую характеристику уникурсальной кривой,
но мы на этом останавливаться не будем.

94	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[291
к заключительному параграфу, чтобы не прерывать основной ли-
линии изложения настоящей главы, посвященной, главным образом,
изучению классов интегралов, берущихся в конечном виде.
Многочлены под корнем в D) предполагаются имеющими ве-
вещественные коэффициенты. Кроме того, мы всегда будем считать,
что у них нет кратных корней, ибо иначе можно было бы вынести
линейный множитель из-под знака корня; вопрос свелся бы к ин-
интегрированию выражений уже ранее изученных типов, и интеграл
выразился бы в конечном виде. Последнее обстоятельство может
иметь место иной раз и при отсутствии кратных корней; например,
легко проверить, что
dx =х\ 2х3 + 1 +С.
Интегралы от выражений типа D) вообще называют эллипти-
эллиптическими [в связи с тем обстоятельством, что впервые с ними столк-
столкнулись при решении задачи о спрямлении эллипса, 331, 8)]. Впро-
Впрочем, это название, в точном смысле, относят обычно лишь к тем
из них, которые не берутся в конечном виде; другие же,
вроде только что приведенных, называют псевдоэллиптическими.
Изучение и табулирование (т. е. составление таблиц значе-
значений) интегралов от выражений D) при произвольных коэффициен-
коэффициентах а,Ь,с, ..., разумеется, затруднительно. Поэтому естественно
желание свести все эти интегралы к немногим таким, в сос-
состав которых входило бы по возможности меньше произвольных
коэффициентов (параметров).
Это достигается с помощью элементарных преобразований, ко-
которые мы рассмотрим в последующих пп°.
291. Вспомогательные преобразования.
1° Заметим прежде всего, что достаточно ограничиться случаем
многочлена 4-й степени под корнем, ибо к нему легко приводится
и случай, когда под корнем многочлен 3-й степени. Действительно,
многочлен 3-й степени ах3 + Ъх1 + сх + д с вещественными
коэффициентами необходимо имеет вещественный корень [81] —

291]	§ 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ	95
скажем, Я — и, следовательно, допускает вещественное разложение
ах3 + Ьх2 +сх +д = а(х - Я)(х2 + рх +q).
Подстановках—Я = t2 (илих—Я = — t2) и осуществляет требуемое
приведение
= f
Впредь мы станем рассматривать лишь дифференциалы, содержа-
содержащие корень из многочлена 4-й степени.
2° По известной теореме алгебры, многочлен четвертой сте-
степени с вещественными коэффициентами может быть представлен
в виде произведения двух квадратных трехчленов с вещественными
же коэффициентами:
ах4 + ЪхЪ +сх2 + дх +е = а{х2 + рх +q){x2 +px +q). E)
Постараемся теперь надлежащей подстановкой уничтожить в обо-
обоих трехчленах сразу члены первой степени. Мы имели уже дело
с подобной же задачей в 284 [III, (б)].
Если р = р\ то наша цель достигается, как указывалось, про-
простой подстановкой х = t — ^. Пусть теперь р ф р'\ъ этом случае
мы воспользуемся, как и выше, дробно-линейной подстановкой
Возможность установить вещественные и притом различные зна-
значения для коэффициентов \х и v, как мы видели, обусловлена нера-
неравенством
{q-q'?-{p-p'){p'q-pq')>V-	F)
Мы уже доказали это неравенство в предположении, что один
из рассматриваемых трехчленов имеет мнимые корни, и это
играло существенную роль в наших рассуждениях. Пусть же теперь
трехчлены E) оба имеют вещественные корни, скажем, первый —
корни аи^а второй — корни у и 8. Подставляя
можно переписать F) в виде
(а - у)(а - 5)(i8 - у)()8 - Д) > 0,	F')

96	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[291
а для осуществления этого неравенства достаточно лишь позабо-
позаботиться, чтобы корни трехчленов не перемежались (например, что-
чтобы было а > /3 > у > 8)9 что в нашей власти. *}
Таким образом, надлежаще выбрав \х и v, с помощью указанной
подстановки мы получим
R(x,
= /ПТТГ• " (, + ip	") GTT? *•
что можно также (если исключить случаи вырождения, когда какой-
либо из коэффициентов М, N9 M\ N' оказывается нулем) перепи-
переписать в виде
J
R(t, ^A(\+mt2){\+mft2)) dt,
при А9 т и т' 9 отличных от нуля.
3° С помощью соображений, совершенно аналогичных тем, ко-
которые были применены в начале п° 284, можно свести этот инте-
интеграл, с точностью до интеграла от рациональной функции, к такому:
v }	dt.
-mt2)(\+m't2)
Разложим теперь рациональную функцию R*(t) на два слагаемых
_ i?*(Q+i?*(-Q i?*(Q-i?*(-Q
W ~	2	+	2	"
Первое не меняет своего значения при замене t на —t9 сле-
следовательно, сводится к рациональной функции от t2: R\(t2);
второе же при указанной замене меняет знак, а потому имеет
*) Заметим попутно, что представление неравенства F) в форме F;) может
быть использовано для доказательства его и в тех случаях, когда корни а, /3, . . .
невещественны. Если лишь первый трехчлен имеет невещественные, т. е. ком-
комплексные сопряженные корни а и /3, а числа у и 8 вещественны, то множи-
множители а — у и /3 — у будут сопряженными, так что их произведение будет,
как известно, положительным вещественным числом; то же относится и к мно-
множителям а — /3 и /3 — 8. Если же как корни а, /3, так и корни у, 8 суть попарно
сопряженные комплексные числа, то сопряженными же будут множи-
множители а — у и /3 — 8, а также а — 8 и /3 — у, и их произведения снова дадут
положительные вещественные числа.

292]	§ 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ	97
вид R2(t2)t.*) Рассматриваемый интеграл представится в форме
суммы интегралов
/
+ ,	R2{t2)tdt
^A{\+mt2){\+m't2)
Но второй из них подстановкой и = t2 сразу приводится к элемен-
элементарному интегралу
R2(u)du
и берется в конечном виде. Таким образом, дальнейшему исследо-
исследованию подлежит лишь интеграл
Rx(t2)dt
1
G)
292. Приведение к канонической форме. Покажем, наконец,
что каждый интеграл типа G) может быть представлен в форме
R{z2)dz
1
= >	(8)
[l-z2)(l-k2z2)
где к есть некоторая положительная правильная дробь: 0 < к < 1.
Назовем эту форму канонической.
Положим для краткости
у =
Не умаляя общности, дозволительно считать здесь А = ±1; кро-
кроме того, для определенности ограничимся положительными зна-
значениями t. Рассмотрим теперь различные возможные комбина-
комбинации знаков А, т9 т' и укажем для каждого случая подстановку,
непосредственно приводящую интеграл G) к канонической
форме.
1) А = +1, т = -/z2, т' = —Ы2 (А > Ы > 0). Для того чтобы
радикал имел вещественные значения, нужно, чтобы было t < \
или t > у. Полагаем
Ы = z, где 0 < z < 1 или z > —.
*)
Ср. замечания по аналогичному поводу в 286.

98
Тогда
ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
[292
dt
dz
ti
так что за к здесь следует принять ^-.
2) А = +\, т = -h2, m' = h12 (A, А' > 0). Для того чтобы
радикал имел вещественные значения, ограничимся значениями
t < т. Полагаем
= л/1 - z2, где 0 < z < 1.
Тогда
dt_
У
И МОЖНО ВЗЯТЬ ^ = —fJL
^h2
3) А = +1, т = А2, т' = А/2 (А > Ы > 0). Изменение t ничем
не стеснено. Полагаем
z
В этом случае
ht =
dt_
у
'\-z2
где 0 < z < 1.
h
4) А — —I, т — —h2, т' — h'2 {h, h' > 0). Изменение t огра-
ограничено неравенством t > |. Берем
Ы =
--, где 0 < z < 1,
так что

293]	§ 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ	99
5) А = -1, т = -/z2, w/ = -/z/2 {h > Ы > 0). Переменная ^
может изменяться лишь между | и ^. Полагаем
h2
т
Имеем
где
и к = ^—g—. Этим исчерпываются все возможные случаи,
ибо в случае, когда А = -1 и оба числа т, т1 > 0, радикал вооб-
вообще не мог бы иметь вещественных значений. О множителе Ri(t2)
мы не говорили ничего, ибо во всех случаях он, очевидно, преобра-
преобразовывался в рациональную функцию от z2.
Отметим еще, что, рассматривая интеграл (8), мы можем огра-
ограничиться значениями z < 1; случай z > | приводится к этому под-
подстановкой kz = j9 где ? < 1.
293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода. Теперь
остается изучить простейшие из интегралов вида (8), к ко-
которым могли бы быть сведены все интегралы этого вида, а сле-
следовательно, в конечном счете, и все вообще эллиптические инте-
интегралы.
Выделим из рациональной функции R(x)9 фигурирующей в
подинтегральном выражении (8), целую часть Р(х)9 а правильно-
дробную ее часть разложим на простые дроби. Если не объеди-
объединять сопряженные комплексные корни знаменателя (как мы это
делали в 274), а рассматривать их порознь, подобно веществен-
вещественным корням, то R(x) представится в виде суммы степеней хп
(п = 0, 1, 2, ...) и дробей вида ^Х1ау {гп = 1, 2, 3, ...), где а
может быть и мнимым числом, умноженных на числовые коэффи-
коэффициенты. Отсюда ясно, что интеграл (8), в общем случае является
линейным агрегатом следующих интегралов:
z2ndz
(п = 0,1,2,...)

100	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[293
и
Нт= I	 dz	(/и = 1,2,...).
J {z2-a)m^{\-z2){\-k2z2)
Остановимся на интегралах /„. Если проинтегрировать (легко
проверяемое) тождество
{In - \)k2z2n - {In - 2){k2 + l)z2" + {In - 3)z2n~4
= Bи-
- z2){\ - k2z2)
то получится рекуррентное соотношение
{In - \)k2ln - {In - 2){k2 + 1)/„_, + {In - ЪIп_2 =
(9)
связывающее три последовательных интеграла /. Полагая здесь
/7 = 2, выразим /2 через /0 и 1Х; если взять /7 = 3 и вместо /2 под-
подставить его выражение через /0 и /1? то и /3 выразится через эти
интегралы. Продолжая так дальше, легко убедиться, что каждый
из интегралов 1п (п ^ 2) выражается через /о и /ь и даже, учиты-
учитывая (9), можно установить и вид связывающей их формулы:
In = anI0+PnI1+q2n_3{z)y/{l-z2){l-k2z2),
где an и jin — постоянные, а #2w-3(z) есть нечетный много-
многочлен степени 2/7 — 3. Отсюда ясно, что если Рп(х) есть многочлен
/7-й степени от х, то
- z2)(l - k2z2)
= aI0+/3Il+zQn_2{z2)^{l-z2){l-k2z2), A0)
где аир — постоянные, a ??w-2 (x) есть некоторый многочлен
(/7 — 2)-й степени от х. Определение этих постоянных и коэффици-
коэффициентов многочлена Q может быть произведено (если многочлен Р
конкретно задан) по методу неопределенных коэффи-
коэффициентов [ср. 284, I].

293]	§ 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ	101
Заметим, что из (9) можно было бы выразить через /0 и 1Х инте-
интегралы 1п и при отрицательных значениях (п = —1, —2, ...),
так что в интегралах Нт достаточно ограничиться случаем а ф 0.
Переходя к интегралам Нт (скажем, при вещественных а), по-
подобным же образом установим для них рекуррентное соотношение
{1т - 1) [-а + {к2 + \)а2 - к2а3]нт -
- {1т - 3) [l - 1а{к2 + 1) + Зк2а2] Нт_х +
+ {1т - 4) [(к2 + 1) - Ък2а] Нт_2 - {1т - 5)к2Нт_3 =
(z2-a)m~l
справедливое и при отрицательных и нулевом значениях т. Отсюда
все Нт выразятся через три из них:
я, =
lid
0 —	I
J v/(l-z
т. e. окончательно через /0, ^ и Hx.
Подчеркнем, что все это сохраняет силу и при мнимых зна-
значениях параметра а; однако мы не станем входить здесь в разъяс-
разъяснения по этому поводу, отсылая читателя к § 5 главы XII.
Итак, в результате всех наших рассуждений мы приходим к та-
такому общему заключению: все эллиптические интегралы с по-
помощью элементарных подстановок — и с точностью до сла-
слагаемых, выражающихся в конечном виде, — приводятся^
*^Хотя выше даны достаточные указания для того, чтобы вопрос о приведе-
приведении произвольного эллиптического интеграла к упомянутым трем мог считаться
принципиально решенным, но на практике на этом пути могут встре-
встретиться трудности. В специальных монографиях, посвященных эллиптическим ин-
интегралам и смежным вопросам, можно найти другие практически удобные приемы
для этой цели.

102	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[293
к следующим трем стандартным интегралам:
z2dz
@<*< 1)
(последний получается из Нх введением, взамен ^/0, нового пара-
параметра h = — ^). Эти интегралы, как показал Лиувилль (J. Liou-
ville), в конечном виде уже не берутся. Их Лежандр на-
назвал эллиптическими интегралами, соответственно, 1-го, 2-го
и 3-го рода. Первые два содержат лишь один параметр к, а по-
последний кроме него еще и (комплексный) параметр к
Лежандр внес в эти интегралы дальнейшие упрощения, вы-
выполнив в них подстановку z = sinср (q> изменяется от 0 до f). При
этом первый из них непосредственно переходит в интеграл
Второй преобразуется так:
sm2(pd<p	If	dq>	1 / .л ,_? • 2
f sin <pd<p	If	ay-	^ , , , . 2 ,
/ /	9 =72 / /	- -72 i \Jl-k2sm2cpdcp,
J Jl-k2sm20 k J Jl-k2sm2w k
т. е. приводится к предыдущему интегралу и к новому интегралу
\-к2sin2q>d(p.	A2)
ит в
A3)
Наконец, третий интеграл при указанной подстановке переходит в
dcp
A + h sin2 cp) J1 — к2 sin2 cp
Интегралы A1), A2) и A3) также называются эллиптическими
интегралами 1-го, 2-го и 3-го рода — в форме Лежандра.
Из них особую важность и частое применение имеют первые
два. Если считать, что эти интегралы при ср = 0 обращаются
в нуль, и тем фиксировать содержащиеся в них произвольные по-
постоянные, то получатся две вполне определенные функции от <р,

293]	§ 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ	103
которые Лежандр обозначил, соответственно, через F(k,cp)
и Е(к, ср). Здесь кроме независимой переменной ср указан также
параметр к, называемый модулем, который входит в выраже-
выражения этих функций.
Лежандром были составлены обширные таблицы значений
этих функций при различных ср и различных к. В них не толь-
только аргумент <р, трактуемый как угол, выражается в градусах,
но и модуль к (правильная дробь!) рассматривается как синус не-
некоторого угла 0, который и указывается в таблице вместо модуля,
и притом также в градусах.
Кроме того, как Лежандром, так и другими учеными были
изучены глубочайшие свойства этих функций, установлен ряд от-
относящихся к ним формул и т. д. Благодаря этому функции F и Е
Лежандра вошли в семью функций, встречающихся в анализе
и его приложениях, на равных правах с элементарными функциями.
Низшая часть интегрального исчисления, которой в основном
мы вынуждены пока ограничиться, занимается «интегрированием
в конечном виде». Однако было бы ошибочно думать, что этим
ограничиваются задачи интегрального исчисления вообще: эллип-
эллиптические интегралы F и Е являются примерами таких функций,
которые плодотворно изучаются по их интегральным выражениям
и с успехом применяются, хотя и не могут быть представлены через
элементарные функции в конечном виде.
Мы еще вернемся к интегралам F и Е в следующей главе и во-
вообще не раз будем с ними встречаться в дальнейших частях курса.

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
С
§ 1. Определение и условия существования
определенного интеграла
294. Другой подход к задаче о площади. Вернемся к задаче об
определении площади Р криволинейной трапеции ABCD (рис. 4),
которой мы уже занимались в 264. Мы изложим сейчас другой
подход к решению этой задачи *).
Разделим основание АВ нашей
фигуры произвольным образом на
части и проведем ординаты, соот-
соответствующие точкам деления; тогда
криволинейная трапеция разобьет-
разобьется на ряд полосок (см. рис. 4).
Заменим теперь приближенно
каждую полоску некоторым прямо-
прямоугольником, основание которого то
же, что и у полоски, а высота совпадает с одной из ординат полос-
полоски, скажем, с крайней слева. Таким образом, криволинейная фи-
фигура заменится некоторой ступенчатой фигурой, составленной из
отдельных прямоугольников.
Обозначим абсциссы точек деления через
х0 = а < %i < х2 < . . . < хг< х/+1 < . . . < хп = Ъ. A)
Основание z-ro прямоугольника (z = 0, 1, 2, ..., п — 1), очевидно,
равно разности xi+l—xi9 которую мы будем обозначать через Axt.
Что же касается высоты, то, по сказанному, она равна yt = f(xt).
Поэтому площадь z-ro прямоугольника будет уг-,Ахt = f(
Рис.4
*^ Обобщая при этом идею, уже однажды примененную в частном приме-
ре [32, 4)].

294]	§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ	105
Просуммировав площади всех прямоугольников, получим
приближенное значение площади Р криволинейной трапеции
п-\	п-\
Р = ^^yjAxj или Р = y^f(xj)Axj.
i=0	i=0
Погрешность этого равенства при безграничном убывании всех Axt
стремится к нулю. Точное значение площади Р получится как
предел:
Р = Um^^yjAxj = lim^^ f(xt) Ax t,	B)
в предположении, что все длины Axt одновременно стремятся к 0.
Тот же прием применим и к вычислению площади Р(х) фигу-
фигуры AMND (см. рис. 2), лишь дробить на части пришлось бы от-
отрезок AM. Заметим еще, что случай, когда у = f(x) принима-
принимает и отрицательные значения, исчерпывается заключенным в 264
условием считать площади частей фигуры под осью х отрицатель-
отрицательными.
Для обозначения суммы вида J2yAx (вернее сказать — пре-
предельного значения этой суммы) Лейбниц и ввел сим-
символ fydx, где ydx напоминает типичное слагаемое суммы, а /
есть стилизованная буква S — начальная буква латинского слова
«Summa»*).
Так как площадь, представляющая это предельное значение, в то
же время является первообразной для функции у, то тот же символ
сохранился и для обозначения первообразной функции. Впослед-
Впоследствии, с введением функционального обозначения, стали писать
f{x)dx,
если речь идет о переменной площади, и
f(x)dx
1
— в случае площади фиксированной фигуры ABCD, отвечающей
изменению х от а до Ъ.
*) Термин «интеграл» (от латинского integer — целый) был предложен уче-
учеником и сподвижником Лейбница Иоганном Бернулли (Ioh. Bernoulli);
Лейбниц первоначально и говорил «сумма».

106	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[295
Мы воспользовались интуитивным представлением о площади,
чтобы естественно подойти к рассмотрению пределов своеобраз-
своеобразных сумм вида B) (которые исторически и были введены в связи
с задачей о вычислении площади). Однако самое понятие площа-
площади нуждается в обосновании, и — если речь идет о криволиней-
криволинейной трапеции — оно достигается именно с помощью упомянутых
пределов. Разумеется, этому должно быть предпослано изучение
пределов B) самих по себе, отвлекаясь от геометрических сообра-
соображений, чему и посвящена настоящая глава.
Пределы вида B) играют исключительно важную роль в мате-
математическом анализе и в разнообразных его приложениях. К тому
же в различных видоизменениях развиваемые здесь идеи будут не-
неоднократно повторяться на всем протяжении курса.
295. Определение. Пусть функция f(x) задана в некотором
промежутке [а, Ь]. Разобьем этот промежуток произвольным об-
образом на части, вставив между а и Ъ точки деления A). Наи-
Наибольшую из разностей Axt = xi+l — xt (z = 0, 1, 2, ..., n - 1)
будем впредь обозначать через Я.
Возьмем в каждом из частичных промежутков [xf, x/+1] по про-
произволу точку х = Ё,г: *)
и составим сумму
/=0
Говорят, что сумма а при Я —>> 0 имеет {конечный) предел I,
если для каждого числа е > 0 найдется такое число 8 > 0,
что, лишь только Я < 8 {т. е. основной промежуток разбит
на части с длинами Axt < 8), неравенство
\о —1\ < е
выполняется при любом выборе чисел |z.
Записывают это так:
/ = lim a.	C)
*)
Выше мы в качестве |г брали во всех случаях наименьшее значение xt.

295]	§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ	107
Этому определению «на языке e-S», как обычно, противопоста-
противопоставляется определение «на языке последовательностей». Представим
себе, что промежуток [а, Ъ] последовательно разбивается на части,
сначала одним способом, затем — вторым, третьим и т. д. Такую
последовательность разбиений промежутка на части мы будем на-
называть основной, если соответствующая последовательность
значений А = Ах, А2> ^-З' • • • сходится к нулю.
Равенство C) можно понимать теперь и в том смысле, что
последовательность значений суммы а, отвечающая любой
основной последовательности разбиений промежутка, все-
всегда стремится к пределу I, как бы ни выбирать при этом |z.
Доказательство равносильности обоих определений может быть
проведено в том же порядке идей, что и в 53. Второе определение
позволяет перенести основные понятия и предложения теории пре-
пределов и на этот новый вид предела.
Конечный предел I суммы о при А —»> 0 называется опре-
определенным интегралом функции f(x) в промежутке
от а до Ъ и обозначается символом
о
= Jf(x)dx;	D)
в случае существования такого предела функция f(x) называется
интегрируемой в промежутке [а,Ь].
Числа а и Ъ носят название, соответственно, нижнего
и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах
определенный интеграл представляет собой постоянное число.
Приведенное определение принадлежит Р им а ну (В. Riemann),
который впервые высказал его в общей форме и исследовал
область его применения. И самую сумму о иногда называют
римановой суммой*}; мы же будем предпочтительно назы-
называть ее интегральной суммой, чтобы подчеркнуть ее связь
с интегралом.
Поставим теперь себе задачей выяснить условия, при которых
интегральная сумма о имеет конечный предел, т. е. существует
определенный интеграл D).
*' На деле еще К о ш и отчетливо пользовался пределами подобных сумм, но
лишь для случая непрерывной функции.

108	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[296
Прежде всего заметим, что высказанное определение в действи-
действительности может быть приложено лишь к ограниченной функ-
функции. В самом деле, если бы функция f(x) была в промежутке [а, Ъ]
неограничена, то — при любом разбиении промежутка на части —
она сохранила бы подобное свойство хоть в одной из частей. Тогда
за счет выбора в этой части точки | можно было бы сделать /(!),
а с ней и сумму <т, сколь угодно большой; при этих условиях, оче-
очевидно, конечного предела для о существовать не могло бы. Итак,
интегрируемая функция необходимо ограничена.
Поэтому в дальнейшем исследовании мы будем наперед пред-
предполагать рассматриваемую функцию f(x) ограниченной
т ^ f(x) ^ М (если а ^ х < Ъ).
296. Суммы Дарбу. В качестве вспомогательного средства ис-
исследования наряду с интегральными суммами введем в рассмотре-
рассмотрение, по примеру Дарбу, еще другие, сходные с ними, но более
простые суммы.
Обозначим через mt и Mt, соответственно, точные нижнюю
и верхнюю границы функции f(x) в z-м промежутке [xj9 xi+l] и со-
составим суммы
л-1	л-1
i=0	/=0
Эти суммы и носят название, соответственно, нижней и верх-
верхней интегральных сумм, или сумм Дарбу.
В частном случае, когда f(x) непрерывна, они являются
просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм, отвеча-
отвечающих взятому разбиению, так как в этом случае функция f(x)
в каждом промежутке достигает своих точных границ, и точ-
точки |, можно выбрать так, чтобы — по желанию — было
/(!,) = т, или /Ш=М,.
Переходя к общему случаю, из самого определения нижней
и верхней границ имеем
Умножив члены обоих этих неравенств на Axt (Axt положительно)
и просуммировав по /, получим
s ^ о < S.

296]	§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ	109
При фиксированном разбиении суммы s и S будут постоянными
числами, в то время как сумма о еще остается переменной ввиду
произвольности чисел |z. Но легко видеть, что за счет выбора |,
можно значения /(!,-) сделать сколь угодно близкими как к mi9 так
и к Mi9 а значит — сумму а сделать сколь угодно близкой к s или
к & А тогда предыдущие неравенства приводят к следующему уже
общему замечанию: при данном разбиении промежутка
суммы Дарбу s и S служат точными, соответственно,
нижней и верхней границами для интегральных сумм.
Суммы Дарбу обладают следующими простыми свойствами:
1-е свойство. Если к имеющимся точкам деления до-
добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу может от
этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма — разве лишь
уменьшиться.
Доказательство. Для доказательства этого свойства доста-
достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся точкам де-
деления еще одной точки деления х'.
Пусть эта точка попадет между точками хк и хк+1, так что
хк<х <ХШ-
Если через Sf обозначить новую верхнюю сумму, то от преж-
прежней S она будет отличаться только тем, что в сумме S промежут-
промежутку [xk, xk+l] отвечало слагаемое
мк(хк+1 -хк),
а в новой сумме S' этому промежутку отвечает сумма двух сла-
слагаемых
где Мк и Мк суть точные верхние границы функции f(x) в про-
промежутках [х^, х7] и [x;,X?+i]. Так как эти промежутки являются
частями промежутка [хк, хк+1], то
так что
' -хк),
Складывая эти неравенства почленно, получим
Щ(.х' ~ хк) + Мк(*к+1 ~ х') < мк(хк+1 ~ хк)-
Отсюда и следует, что S' ^ S. Для нижней суммы доказательство
аналогично этому.

110	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[296
Замечание. Так как разностиМк—Мк иМк—Мк, очевидно, не
превосходят колебания Q функции f(x) во всем промежутке [а, Ь]9
то разность S — S' не может превзойти произведения QAxk. Это
остается справедливым и в том случае, если в к-м промежутке взято
несколько новых точек деления.
2-е свойство. Каждая нижняя сумма Дарбу не превос-
превосходит каждой верхней суммы, хотя бы отвечающей и другому
разбиению промежутка.
Доказательство. Разобьем промежуток [а,Ь] произволь-
произвольным образом на части и составим для этого разбиения суммы
Дарбу
sx и Sv	(I)
Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с пер-
первым, разбиение промежутка [а, Ь]. Ему также будут отвечать его
суммы Дарбу
s2 и S2.	(П)
Требуется доказать, что sx ^ S2. С этой целью объединим те
и другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомо-
вспомогательное разбиение, которому будут отвечать суммы
s3 и S3.	(Ill)
Третье разбиение мы получили из первого добавлением новых
точек деления; поэтому, на основании доказанного 1-го свойства
сумм Дарбу, имеем
Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же
заключаем, что
^з < S2.
Но ^з ^ $з> так что из только что полученных неравенств вы-
вытекает
что и требовалось доказать.
Из доказанного следует, что все множество {s} нижних сумм
ограничено сверху, например, любой верхней суммой S. В таком
случае [11] это множество имеет конечную точную верхнюю
границу

297]	§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ	111
и, кроме того,
i*<s,
какова бы ни была верхняя сумма S. Так как множество {S} верх-
верхних сумм, таким образом, оказывается ограниченным снизу чис-
числом 4, то оно имеет конечную точную нижнюю границу
/* = inf{S},
причем, очевидно,
Сопоставляя все сказанное, имеем
s ^ 4 ^ I* ^ S	E)
для любых нижней и верхней сумм Дарбу.
Числа 4 и /* называют, соответственно, нижним и верхним
интегралами Дарбу [ср. ниже 301].
297. Условия существования интеграла. С помощью сумм
Дарбу теперь легко сформулировать это условие.
Теорема. Для существования определенного интеграла не-
необходимо и достаточно, чтобы было
lim(S-5) = 0.	F)
А—И)
Сказанное в 295 достаточно для уяснения смысла этого преде-
предела. Например, «на языке е-8» условие F) означает, что для любо-
любого е > 0 найдется такое 8 > 0, что лишь только Я < 8 (т. е. про-
промежуток разбит на части с длинами Axt < 8), тотчас выполняется
неравенство
S-s < е.
Доказательство необходимости. Предположим, что
существует интеграл D). Тогда по любому заданному е > 0 най-
найдется такое 8 > 0, что лишь только все Axt < 8, тотчас
\G — 1\ < ? ИЛИ /— ? < О < I + ?,
как бы мы ни выбирали |z в пределах соответствующих промежут-
промежутков. Но суммы s и S, при заданном разбиении промежутка, явля-
являются, как мы установили, для интегральных сумм, соответственно,
точными нижней и верхней границами; поэтому для них будем
иметь

112	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[298
так что
Hm s =1, lim S = /,	G)
А^О	А^О
откуда и следует F).
Доказательство достаточности. Предположим, что
условие F) выполнено; тогда из E) сразу ясно, что Д = /* и, если
обозначить их общее значение через /,
s^/^S.	E*)
Если под о разуметь одно из значений интегральной суммы, отве-
отвечающей тому же разбиению промежутка, что и суммы s9 S9 то, как
мы знаем,
s < о < S.
Согласно условию F), если предположить все Axt достаточно ма-
малыми, суммы s и S разнятся меньше, чем на произвольно взя-
взятое е > 0. Но в таком случае это справедливо и относительно
заключенных между ними чисел а и /:
\о-1\< е,
так что / является пределом для о9 т. е. определенным интегралом.
Если обозначить колебание Mt - mt функции в z-м частичном
промежутке через eoi9 то будем иметь
п-\	п-\
S-S = ^{Щ~Щ)^г = Е^АХ^'
/=0	/=0
и условие существования определенного интеграла может быть пе-
переписано так:
п-\
lim У ^Ах, =0.	(8)
В этой форме оно обычно и применяется.
298. Классы интегрируемых функций. Применим найденный
нами признак к установлению некоторых классов интегри-
интегрируемых функций.
I. Если функция f(x) непрерывна в промежутке [а, Ь], то
она интегрируема.
Доказательство. Раз функция f(x) непрерывна, то на осно-
основании следствия из теоремы Кантора [87] по заданному е > 0

298]	§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ	113
всегда найдется такое S > О, что лишь только промежуток [а, Ь]
разбит на части с длинами Axt < S, то все оэг < е. Отсюда
п-\	п-\
5>,Дх, <?^Дх, =ф-а).
/=0	/=0
Так как Ъ — а есть постоянное число, а е произвольно мало,
то условие (8) выполняется, а из него и вытекает существование
интеграла. Можно несколько обобщить доказанное утверждение.
П. Если ограниченная функция f(x) в [а,Ь] имеет лишь
конечное число точек разрыва, то она интегрируема.
Доказательство. Пусть точки разрыва будут хг, х", ..., х ^к\
Возьмем произвольное е > 0. Окружим точки разрыва окрестно-
окрестностями
(л' _ €'9 х' + €')9 (*" _ ?", х» + Е»)9 . . ., (х W _ €(к)9 х(к) + ?W)
таким образом, чтобы длина каждой была меньше г. В оставших-
оставшихся (замкнутых) промежутках функция f(x) будет непрерывной,
и мы можем применить к каждому из них в отдельности следствие
из теоремы Кантора. Из полученных по г чисел 8 выберем наи-
наименьшее (его мы также будем обозначать буквой S). Тогда оно бу-
будет годиться для каждого из указанных выше промежутков. Ничто
нам не мешает взять при этом S < е. Разобьем теперь наш проме-
промежуток [а, Ь] на части так, чтобы их длины Axt все были меньше S.
Полученные частичные промежутки будут двух родов:
1)	Промежутки, лежащие целиком вне выделенных окрестно-
окрестностей около точек разрыва. В них колебание функции сог < е.
2)	Промежутки, либо заключенные целиком внутри выделен-
выделенных окрестностей, либо частью на эти окрестности налегающие.
Так как функция f(x) предположена ограниченной, то колеба-
колебание ее Q во всем промежутке [а, Ь] будет конечно; колебание же
в любом частичном промежутке не превосходит Q.
Сумму
разобьем на две:
^(d^Axj, и
V	i"
распространенные, соответственно, на промежутки первого и вто-
второго рода.

114	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[299
Для первой суммы, как и в предыдущей теореме, будем иметь
j/Axj/ < е ^^Axj/ < е{Ъ — а).
v
Что касается второй суммы, то заметим, что длины промежут-
промежутков второго рода, целиком попавших внутрь выделенных окрестно-
окрестностей, в сумме < ке; промежутков же, лишь частично налегающих
на них, может быть не больше 2к9 и сумма их длин < 2к89 а значит,
и подавно < 2кг. Следовательно,
У^ ojjffAxjff < Q V^ Ах,-// < Q • Ъке.
i"	i"
Таким образом, окончательно при Axt < S имеем
tjAxj < e[(b-a) +ЗШ].
Это и доказывает наше утверждение, так как в квадратных скоб-
скобках содержится постоянное число, а е произвольно мало.
Наконец, укажем еще один простой класс интегрируемых функ-
функций, не покрывающийся предыдущим.
III. Монотонная ограниченная функция f(x) всегда инте-
интегрируема.
Доказательство. Пусть f(x) — монотонно возраста-
возрастающая функция. Тогда ее колебание в промежутке [xf, x/+1] будет
Зададимся любым е > 0 и положим
Как только Axt < 8, тотчас будем иметь
+1) -/(х,)] = 8[f{b)-f{a)\ = е,
откуда и следует интегрируемость функции.
299. Свойства интегрируемых функций. Из признака п° 297
можно вывести и ряд общих свойств интегрируемых функций.
I. Если функция f(x) интегрируема в промежутке [а, Ь],
то и функции \/(х)\ и kf(x) {где k = const) интегрируемы
в этом промежутке.

299]	§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ	115
Доказательство проведем для функции \f(x)|. Так как для
любых двух точек х', х" промежутка [xj9 xi+l] имеем [17]
\Л*")\ - \А*')\ < \f(x") - Л*'I
то и колебание cof функции |/(х)| в этом промежутке не превос-
превосходит coi [85]. Отсюда
так как последняя сумма стремится к нулю (при Я —>> 0), то первая
и подавно, что влечет интегрируемость функции |/(х)|.
П. Если две функции f(x) и g(x) интегриуемы в проме-
промежутке [а, Ь], то их сумма, разность и произведение также
интегрируемы.
Доказательство ограничим случаем произведения f{x)g{x).
Пусть \f{x)\ < К, \g(x)\ < L. Взяв в промежутке [xj9 xi+l] лю-
любые две точки х',х", рассмотрим разность
f(x")g(x") - /(x')g(x') =
Очевидно,
\f{x")g{x") - f{x')g{x')\ < L^
если через (ot, 1Б1 обозначить, соответственно, колебания функ-
функций /(х), g(x) в промежутке [xj9 xi+l]. Но тогда [85] и для ко-
колебания Qt функции f(x)g(x) в этом промежутке будем иметь
Qt ^L(ot +Kcoi9
откуда
Х)ЦД*/ ^L^cOiAxi+K^atiAxi.
Так как две последние суммы стремятся к нулю (при Я —>> 0),
то первая и подавно, что и доказывает интегрируемость функ-
функции f(x)g(x).
III. Если функция f{x) интегрируема в промежутке [а,Ь],
то она интегрируема и в любой части [a, J5] этого промежут-
промежутка. Наоборот, если промежуток [а, Ь] разложен на части,
и в каждой части в отдельности функция f(x) интегрируема,
то она интегрируема и во всем промежутке [а, Ь].
Доказательство. Предположим, что функция f(x) инте-
интегрируема в промежутке [а, Ь], и построим для этого промежутка
сумму Yl °)iAxi (считая, что а и /3 входят в состав точек деления).

116	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[300
Аналогичная сумма для промежутка [а, /3] получится отсюда, если
опустить ряд (положительных) слагаемых; она наверно стремится
к нулю, если стремится к нулю первая сумма.
Пусть теперь промежуток [а, Ь] разложен, скажем, на две
части [а, с] и [с, Ь] (где а < с < Ь) ив каждой из них функ-
функция f{x) интегрируема. Возьмем снова сумму ^2согАхг для про-
промежутка [а, Ь]; если точка с оказалась в числе точек деления, то
названная сумма составится из двух подобных же сумм для проме-
промежутков [а, с] и [с, Ъ] и вместе с ними стремится к нулю. Заключение
это остается в силе и для случая, когда с не является точкой деле-
деления: присоединив эту точку, мы изменим лишь один член суммы,
который сам, очевидно, стремится к нулю.
IV. Если изменить значения интегриуемой функции в ко-
конечном числе (= к) точек, то интегрируемость ее не нару-
нарушится.
Доказательство очевидно, ибо упомянутые изменения кос-
коснутся не более чем к членов суммы ^cOjAxj.
Легко понять, что и значение самого интеграла при этом не по-
потерпит изменения. Это вытекает из того, что для обеих функций —
исходной и измененной — точки |, в интегральной сумме всегда
можно выбирать так, чтобы они не совпадали с теми точками, для
которых значения их разнятся.
Замечание. Благодаря этому свойству мы получаем возмож-
ъ
ность говорить об интеграле ff(x)dx даже тогда, когда функ-
а
ция f(x) не определена в конечном числе точек промежутка [а, Ь].
При этом можно приписать в этих точках нашей функции совер-
совершенно произвольные значения и рассматривать интеграл от функ-
функции, определенной таким образом во всем промежутке. Как мы
видели, ни существование этого интеграла, ни величина его не за-
зависят от значений, приписанных функции в точках, где она не была
определена.
300. Примеры и дополнения. В качестве упражения приведем еще примеры
применения признака п° 297 к конкретным функциям.
1) Вернемся к функции, рассмотренной в 8), 70: f(x) = -, если х есть
несократимая правильная дробь |, и равно 0 в прочих точках промежутка [0, 1].
Пусть промежуток [0, 1] разбит на части с длинами Axt ^ Я. Возьмем про-
произвольное натуральное число N. Все частичные промежутки распределим на два
класса:
(а) К первому отнесем промежутки, содержащие числа | со знаменателя-
знаменателями q ^ N; так как таких чисел существует лишь конечное число к = kN, то

300]	§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ	117
и промежутков первого рода будет не больше 2k9 а сумма их длин не превзой-
превзойдет 2кЛ.
(б) Ко второму отнесем промежутки, не содержащие указанных чисел; для
них колебание coi9 очевидно, меньше ^.
Если соответственно этому разложить сумму ^(OjAxj на две и оценить
каждую порознь, то получим в результате
^ 2м
Взяв сначала N > ^, а затем Я < ^f- = S, будем иметь J^ cOjAxj < e, что дока-
доказывает интегрируемость функции.
Пример этот интересен тем, что функция здесь имеет бесчисленное
множество точек разрыва и все же интегрируема. [Впрочем, примеры такого рода
можно построить и на основе теоремы III.]
2)	Теперь рассмотрим вновь функцию Дирихле [46; 70, 7)] %(х) = 1,
если х — рациональное число, и %(х) = 0? если х иррационально. Так как в лю-
любой части промежутка [0, 1] колебание этой функции со = 1, то и J^ ool-Axt = 1,
так что функция заведомо не интегрируема.
3)	Критерий существования определенного интеграла, выведенный в 297, мо-
может быть представлен в следующей форме:
Для существования определенного интеграла^ необходимо и доста-
достаточно, чтобы по заданным числам е > 0 и о > 0 можно было найти
такое 8 > 0, что, лишь только все Axt < 8, сумма
длин тех промежутков, которым отвечают колебания
сама < а.
Необходимость ясна из неравенства
если за счет выбора 8 сделать первую сумму меньшей, чем со.
Достаточность же вытекает из оценок:
[Здесь Q, как всегда, означает колебание функции во всем рассматриваемом
промежутке; значком i" отмечены частичные промежутки, в которых колеба-
колебания сог„ < с]
От ограниченной функции.
^ Данное предложение, установленное (около 1854 года) Б. Риманом, пред-
представляет собой один из исторически наиболее ранних критериев интегрируемости
функций.

118	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[301
4)	Применим критерий в этой новой форме к доказательству следующего
предложения:
Если функция f(x) интегрируема в промежутке [а, Ь], причем зна-
значения ее не выходят за пределы промежутка [c,d], в котором непре-
непрерывна функция (р(у), то сложная функция (р (/(*)) также интегрируема
в [а, Ь].
Возьмем по произволу числа е > 0 и о > 0. По числу е, в силу непрерыв-
непрерывности функции <р(у), найдется такое ц > 0, что в любом промежутке значений у
с длиной < г\ колебание функции (р будет < е.
Ввиду интегрируемости функции /, по числам г\ и о теперь найдется та-
такое 8, что лишь только промежуток разбит на части с длинами Axt < 8, сум-
сумма ^2Axt, длин тех из них, для которых колебания функции /: &у [/] ^ г/, сама
/'
меньше о [см. 3)]. Для прочих промежутков имеем coitt\f\ < т], а следовательно,
по самому выбору числа г], &>г//[<р(/)] < ?• Таким образом, для сложной функ-
функции (р (/(*)) колебания могут оказаться ^ е лишь в некоторых из промежутков
первой группы, сумма длин которых заведомо < о. Применяя к сложной функции
критерий 3), убеждаемся в ее интегрируемости.
5)	Если и относительно функции (р предположить лишь интегрируемость, то
сложная функция может оказаться и неинтегрируемой. ' Вот пример:
В качестве функции f{x) возьмем ту, которая была уже изучена выше в 1);
она интегрируема в промежутке [0, 1], причем значения ее также не выходят
за пределы этого промежутка. Далее, пусть
(р(у) = 1 для 0 < у < 1
и
<р@) = 0.
Функция (р(у) также интегрируема в [0, 1].
Сложная же функция (р (/(*)), как легко видеть, совпадает с функцией
Дирихле [см. 2)]: она не интегрируема в [0, 1].
301. Нижний и верхний интегралы как пределы. В заключение мы вернем-
вернемся к нижнему и верхнему интегралам, которые в п° 296 были определены как
точные границы сумм Дарбу s и?. Мы покажем теперь, что вместе с тем
они являются и пределами названных сумм.
Теорема Дарбу, Какова бы ни была ограниченная функция f(x), для нее
всегда
L = lim s, /* = lim S.
0	0
Доказательство проведем, например, для верхних сумм.
Прежде всего, по наперед заданному е > 0, возьмем такое разбиение проме-
промежутка [а, Ь], что для отвечающей ему верхней суммы Sf будет
S' < Г + t	(9)
это возможно, так как /* служит точной нижней границей для множества
верхних сумм. Пусть это разбиение содержит т (внутренних) точек деления.
Даже если функция / непрерывна.

301]	§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ	119
Положим теперь
8 ~ 2т1'П'
где Q означает колебание функции f(x) во всем промежутке [а, Ь], и рассмотрим
произвольное разбиение промежутка, для которого все Axt < 8; пусть ему
отвечает сумма S.
Для того чтобы оценить разность между S и /*, введем еще третье разбиение
нашего промежутка, объединив точки деления первых двух разбиений. Если соот-
соответствующая ему верхняя сумма есть S", то, по 1-му свойству сумм Дарбу [296],
Sff ^ Sf, так что и подавно [см. (9)]
S" <!*+"-.	A0)
С другой же стороны, по замечанию п° 296, разность S — Sff не превосходит
произведения Q на сумму длин Axt тех промежутков второго разбиения, внутрь
которых попали точки деления первого разбиения. Но число таких промежутков
не больше т', а длина каждого из них меньше S, так что
S-S" < тШ = -,
откуда, в связи с A0),
S </* + ?.
Так как, с другой стороны, S ^ /*, то, лишь только Axt < 8,
0 < S -/*<?,
так что, действительно, S —> /*.
Из доказанной теоремы непосредственно следует, что всегда
limOS'-s) =/* -4.
Это соотношение позволяет высказать критерий существования интеграла в сле-
следующей форме [ср. 297]:
Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно,
чтобы нижний и верхний интегралы Дарбу были между собой равны:
/, = /*.
При выполнении его, очевидно, их общее значение и дает величину определенного
интеграла.
Новая форма условия имеет некоторое преимущество перед прежней. Для
того чтобы убедиться в равенстве интегралов Дарбу, достаточно установить,
что неравенству
S-s < е
при произвольном е удовлетворяет хоть одна пара сумм s и S. Действительно,
в силу E), тогда будет также
0 < /* - 4 < ?,
откуда, ввиду произвольности е, и вытекает требуемое равенство.
Легко сообразить, как в соответствии с этим может быть облегчено и условие
интегрируемости, высказанное в предыдущем п° [см. 3)].

120	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[302
§ 2. Свойства определенных интегралов
302. Интеграл по ориентированному промежутку. До сих пор,
говоря об «определенном интеграле в промежутке от а до Ъ»9 мы
всегда подразумевали, что а < Ъ. Устраним теперь это стеснитель-
стеснительное ограничение.
С этой целью мы прежде всего введем понятие направлен-
направленного, или ориентированного, промежутка. Под ориен-
ориентированным промежутком [а,Ь] (где может быть и а < Ъ9
и а > Ъ) мы будем разуметь множество значений х, удовле-
удовлетворяющих неравенствам, соответственно,
а ^ х < Ъ или а^х^Ъ
и расположенных, или упорядоченных, от а к Ъ9 т. е.
в порядке возрастания, если а < Ь9 или убывания, если а > Ъ. Та-
Таким образом, мы различаем промежутки [а,Ь] и [Ь,а]: совпа-
совпадая по своему составу (как числовые множества), они разнятся
по направлению.
То определение интеграла, которое было дано в 295, относится
к ориентированному промежутку [а, Ь]9 но лишь для случая,
когда а < Ь.
Обратимся к определению интеграла в ориентированном про-
промежутке [а, Ь] в предположении, что а > Ъ. Можно повторить для
этого случая обычный процесс дробления промежутка путем встав-
вставления точек деления, идущих в направлении от <я к 6:
а = х0 > Xi > х2 > . . . > хг > xi+i > . . . > хп = Ъ.
Выбрав в каждом частичном промежутке [xj9 xi+l] по точке |z, так
что xt ^ |, ^ */+!> составим интегральную сумму
/=0
где — на этот раз — все Axt = xi+1 — xt < 0. Наконец, предел
этой суммы при Я = тах|Дх,| —»> 0 и приведет нас к понятию
интеграла
и
I
f(x)dx = lim о.
А—)>()
а
Если для промежутков [а, Ь] и [Ь, а] (где а ^ Ь) взять те же
точки деления и те же точки |, то отвечающие им интегральные

303]	§ 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	121
суммы будут разниться лишь знаками. Отсюда, переходя к пре-
пределам, получаем такое предложение:
1° Если f(x) интегрируема в промежутке [Ь, а], то она
интегрируема и в промежутке [а, Ъ], причем
Ъ	а
Jf(x)dx = -Jf(x)dx.
а	Ъ
Впрочем, можно было бы именно это равенство принять за
определение44^ интеграла / при а > Ъ в предположении, что
а
а
интеграл / существует.
ъ
Заметим еще, что по определению же полагают
а
/
f{x)dx = 0.
303. Свойства, выражаемые равенствами. Перечислим даль-
дальнейшие свойства определенных интегралов, выражаемые равен-
равенствами.5^
2° Пусть f(x) интегрируема в наибольшем из промежут-
промежутков [а,Ь]9 [а, с] и [с, 6].**} Тогда она интегрируема в двух дру-
других, и имеет место равенство
Ъ	с	Ъ
Jf(x)dx=Jf(x)dx+Jf(x)dx,
а	а	с
каково бы ни было взаимное расположение точек а,Ь,с.
Доказательство. Положим сначала, что а < с < Ъ и функ-
функция интегрируема в промежутке [а, Ь].
То, что функция интегрируема в промежутках [а, с] и [с, Ь]9
следует из 299, III.
ъ
*) Здесь и впредь, если речь идет об интеграле J, мы считаем возможным (при
а
отсутствии специальной оговорки) оба случая: а < Ъ и а > Ъ.
**) Вместо этого можно было бы предположить, что функция f(x) интегриру-
интегрируема в каждом из двух меньших промежутков: тогда она была бы интегрируема
и в большем.
Такое определение сейчас наиболее распространено.

122	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[303
Рассмотрим разбиение промежутка [а, Ь] на части, причем точ-
точку с будем считать одной из точек деления. Составив интегральную
сумму, будем иметь (смысл обозначений ясен)
а	а	с
Переходя к пределу при Я —»> 0, мы и получим требуемое ра-
равенство.
Другие случаи расположения точек а,Ь,с приводятся к этому.
Пусть, например, Ъ < а < с и функция f(x) интегрируема в про-
промежутке [с, Ъ\ или — что то же ввиду 1° — в промежутке [Ь,с]. В
этом случае, по доказанному, будем иметь
с	а	с
Jf(x)dx=Jf(x)dx+Jf(x)dx,
Ъ	Ъ	а
откуда, перенося первый и второй интегралы из одной части равен-
равенства в другую и переставив пределы [на основании свойства 1°],
придем опять к прежнему соотношению.
3° Если f(x) интегрируема в промежутке [а, Ь], то и kf(x)
(где k = const) также интегрируема в этом промежутке,
причем
ъ	ъ
fkf(x)dx =k ff{x)dx.
a	a
4° Если f(x) и g(x) — обе интегрируемы в промежутке
[а,Ъ], то и f(x) ±g(x) также интегрируема в этом проме-
промежутке, причем
ь	ь	ь
f\f[x) ± g[x)\ dx = f f[x) dx ± fg[x) dx.
a	a	a
В обоих случаях доказательство строится аналогично, исходя
из интегральных сумм и переходя к пределу. Проведем его, напри-
например, для последнего утверждения.
Разобьем промежуток [а, Ь] произвольно на части и составим
интегральные суммы для всех трех интегралов. При этом точки |,
в каждом частичном промежутке выбираем произвольно, но для
всех сумм одни и те же; тогда будем иметь
A,.) ±§D,)} Ах, = ?/(|г) Ах, ± 5>(|г) Ах,.

304]	§ 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	123
Пусть теперь Я —>> 0; так как для обеих сумм справа пределы
существуют, то существует предел и для суммы слева, чем устана-
устанавливается интегрируемость функции f(x) ±g(x). Переходя в пре-
предыдущем равенстве к пределам, приходим к требуемому соотно-
соотношению.
Замечание. Обращаем внимание на то, что при доказатель-
доказательстве двух последних утверждений не было надобности опирать-
опираться на предложения п° 299, I и II: интегрируемость функций kf(x)
и f(x) ± g(x) устанавливается непосредственно переходом к пре-
пределу.
304. Свойства, выражаемые неравенствами. До сих пор мы
рассматривали свойства интегралов, выражаемые равенствами; пе-
перейдем теперь к таким, которые выражаются неравенствами.
5° Если функция /(х), интегрируемая в промежутке [а, Ъ],
неотрицательна и а < Ъ, то
Доказательство очевидно.
Труднее доказать более точный результат:
Если функция /(х), интегрируемая в промежутке [а, Ь],
положительна и а < Ъ, то
) dx > 0.
Доказательство проведем от противного. Допустим, что
f(x)dx = 0.
/
Тогда при Я —)> 0 и верхняя сумма Дарбу S также стремится
к нулю [297, G)]. Взяв произвольное ех > 0, можем сделать эту
сумму меньшей, чем гх{Ъ — а). При этом хотя бы одна из верхних
границ Mt окажется меньшей ?1? иными словами, найдется в [а, Ь]
такая часть [а\, Ь\]9 в пределах которой все значения f(x) < ?v

124	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[304
Так как и	^
1 f(x)dx = 0 *)
то, аналогично, из [а1? Ъ^\ выделится часть [а2, Ь2]9 в пределах ко-
которой f(x) < ?2? где ^2 — любое положительное число < ?1? и т. д.
Взяв последовательность положительных чисел ек —>> 0, мож-
можно определить такую последовательность вложенных один в дру-
другой (и — если угодно — убывающих по длине до 0) промежутков
0 < f(x) < ek, если ак ^ х < Ък (к = 1, 2, 3 ...).
Тогда по лемме п° 38 существует точка с, общая всем этим
промежуткам; для нее должно быть
0 < /(с) < ек при к = 1, 2, 3, ...,
что невозможно, ибо г^ —»> 0. Теорема доказана.
Простым следствием отсюда [и из 4°] является
6° ?а/ш д#е функции f(x) и g(x) интегрируемы в проме-
промежутке [а, Ь] и всегда f(x) ^ g(x) [или f(x) < g(x)}, то и
ъ	ъ	ъ	ъ
J f(x)dx^ Jg(x)dx \или J f(x)dx< Jg(x)dx]
а	а	а	а
в предположении, что а < Ъ.
Нужно лишь применить предыдущее свойство к разности
g{x) — f(x). Так же легко получается:
7° Пусть функция f(x) интегрируема в промежутке [а, Ь]
и а < Ъ, тогда имеем неравенство
ъ	ъ
Jf(x)dx^J\f(x)\dx.
а	а
Существование последнего интеграла следует из 299, I. Свой-
Свойство 6° применяем затем к функциям
*)
Действительно, по 2°:
= / + / + / и, так как / ^ 0, / ^ 0, то 0 < / < / = 0.
Oj a

304]	§ 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	125
Впрочем, неравенство легко получить и непосредственно, исхо-
исходя из интегральных сумм *)
и переходя к пределам.
8° Если f(x) интегрируема в [а, Ъ], где а < Ъ, и если во всем
этом промежутке имеет место неравенство
т ^ f{x) ^ М,
то
ъ
г{Ъ-а) ^ f f(x)dx ^M(b-a).
m[b —
a
Можно применить свойство 6° к функциям rn, f{x) и М, но про-
проще непосредственно воспользоваться очевидными неравенствами
и перейти к пределу.
Доказанным соотношениям можно придать более удобную фор-
форму равенства, освобождаясь в то же время от ограничения
а < Ъ.
9° Теорема о среднем значении. Пусть f{x) интегриру-
интегрируема в [a, b] (a ^ b) и пусть во всем этом промежутке
т ^ f{x) ^ M; тогда
ъ
J
f(x)dx=v(b-a),
а
где т ^ \х ^ М.
Доказательство. Если а < Ь9 то, по свойству 8°, будем
иметь
о
г(Ь-а) ^ f f(x)dx ^M(b-a),
а
откуда	ъ
т^-	 / f(x)dx
Ъ — i
*)
Так как а < Ь, то все Axt > 0.

126
Положив
ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ъ
[304
Ь-<
получаем требуемое равенство.
а
Для случая, когда а > Ь9 проводим то же рассуждение для /,
ъ
а затем, переставив пределы, приходим к прежней формуле.
Только что доказанное равенство принимает особенно простой
вид, когда функция f(x) непрерывна. Действительно,
если считать, что т и М суть наибольшее и наименьшее значе-
значения функции, существующие по теореме Вейерштрасса [85],
то и промежуточное значение /i,
по теореме Больцано-Коши
[82], должно приниматься функ-
функцией f(x) в некоторой точке с
промежутка [а,Ь]. Таким обра-
образом,
ъ
f(x)dx = (b-a)f(c),
D
А
К
? а
/(с)
L
с
Рис.5
i
1
с
в
b
О
где с содержится в [а, Ь].
Геометрический смысл последней формулы ясен. Пусть f(x) ^ 0.
Рассмотрим криволинейную фигуру ABCD (рис. 5) под кривой
у = f(x). Тогда площадь криволинейной фигуры (выражаемая
определенным интегралом) равна площади прямоугольника с тем
же основанием и с некоторой средней ординатой LM в качестве
высоты.
10° Обобщенная теорема о среднем значении. Пусть 1) f(x)
и g(x) интегрируемы в промежутке [а, Ь]; 2) т ^ f(x) ^ М;
3) g(x) во всем промежутке не меняет знака. g(x) ^ 0
[g(x)
Тогда
*)
о	о
Jf(x)g(x)dx=vjg(x)dx,
где т < \л < М.
* ^ Самое существование интеграла от произведения f(x )g(x) следует из 299, П.
Впрочем, можно было бы вместо интегрируемости функции f(x) непосредственно
предположить интегрируемость самого произведения f(x)g(x).

305]	§ 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	127
Доказательство. Пусть сначала g(x) ^ 0 и а < Ь; тогда
имеем
mg(x) ^ f(x)g(x) ^ Mg(x).
Из этого неравенства, на основании свойств 6° и 3°, получаем
ъ	ъ	ъ
т
а
jg{x)dx ^ J f{x)g{x)dx ^М J g(x)dx.
Ввиду предположения о функции g(x)9 по 5°, имеем
ъ
g{x)dx
а
Если этот интеграл равен нулю, то из предыдущих неравенств ясно,
что одновременно также
'' f(x)g(x)dx=Q,
а
и утверждение теоремы становится очевидным. Если же интеграл
больше нуля, то, разделив на него все части полученного выше
двойного неравенства, положим
Jf(x)g(x)dx
Jg(x)dx
а
и придем к требуемому результату.
От случая а < Ъ легко перейти к случаю а > Ь9 равно как
от предположения g(x) ^0 — к предположению g(x) ^ 0: пере-
перестановка пределов или изменение знака g(x) не нарушает равен-
равенства.
Если f(x) непрерывна, то эта формула может быть запи-
записана следующим образом:
и
f{x)g{x)dx=f{c) fg{x)dx,
где с содержится в [а, Ь].
305. Определенный интеграл как функция верхнего предела.
Если функция f(x) интегрируема в промежутке [a, b] (a ^ Ъ), то
[299, III] она интегрируема и в промежутке [а, х], где х есть любое

128	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[305
значение из [а, Ь]. Заменив предел Ъ определенного интеграла пе-
пе)
ременной х, получим выражение *)
X
= Jf(t)dt,	A)
которое, очевидно, является функцией от х. Эта функция обладает
следующими свойствами:
11° Если функция f(x) интегрируема в [а, Ь], то Ф(х) будет
непрерывной функцией от х в том лее промежутке.
Доказательство. Придав х произвольное приращение
Ах = h (с тем лишь, чтобы х + h не выходило за пределы рассмат-
рассматриваемого промежутка), получим новое значение функции A)
x+h	х x+h
Ф(х + И)= I f(t)dt = J
a	a
[см. 2°], так что
x+h
Ф(х+Ь)-Ф(х)= I f{t)dt.
Применим к этому интегралу теорему о среднем значении 9°
Ф{х+К)-Ф{х)=цЫ	B)
здесь \х содержится между точными границами т1 и М1 функции
f{x) в промежутке [х,х + /z], а следовательно, и подавно меж-
между (постоянными) границами ее т и М в основном промежутке
[а, ?].**>
Если устремить теперь h к нулю, то, очевидно,
Ф(х + И) - Ф(х) -» 0 или Ф(х + И) -)> Ф(х),
что и доказывает непрерывность функции Ф{х).
12° Если функцию f(t) предположить непрерывной
в точке t = х, то в этой точке функция Ф(х) имеет про-
производную, равную f(x)
Ф'(х) =/(*)•
*) Переменную интегрирования мы обозначили здесь через t, чтобы не смеши-
смешивать ее с верхним пределом х; разумеется, изменение обозначения перемен-
переменной интегрирования не отражается на величине интеграла.
**^ Напомним, что интегрируемая функция ограничена [295].

305]	§ 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	129
Доказательство. Действительно, из B) имеем
Ф(х+Н)-Ф(х)	,	.
—	-^ = и, или т < и < М .
/2
Но, ввиду непрерывности функции fit) при /^ = х, по любому г > 0
найдется такое S > 0, что при |й| < <5
Дх)-?< ДО </(*)+?
для всех значений t в промежутке [х, х + А]. В таком случае имеют
место и неравенства
/0) -е^т'^/л^М*^ /0) + е,
так что
\И-Лх)\<е.
Теперь ясно, что
.{ Ф{х+К)-Ф{х) у	г{ л
Ф'(х) = lim —^	'-	у— = lim /л = fix),
что и требовалось доказать.
Мы пришли к заключению, имеющему огромное принципи-
принципиальное и прикладное значение. Если предположить функцию fix)
непрерывной во всем промежутке [а,Ь]9 то она интегриру-
интегрируема [298, I], и предыдущее утверждение оказывается приложимым
к любой точке х этого промежутка: производная от инте-
интеграла A) по переменному верхнему пределу х везде равна
значению fix) подинтегралъной функции на этом пределе.
Иными словами, для непрерывной в промежутке [а,Ь]
функции fix) всегда существует первообразная; примером ее
является определенный интеграл A) с переменным верхним
пределом.
Таким образом, мы наконец установили то предложение, о ко-
котором упоминали еще в 264.
В частности, мы теперь можем записать функции F и Е Лежандра [293]
в виде определенных интегралов
F(k, <р)=	, d6 =, E(k, q>) = / л/l - k2 sin2 в d6.
J л/l-k2 sin2 в	J V
0 v	0
По доказанному только что, это будут первообразные функции, соответственно,
для функций
1
у 1 — к2 sin2 (p
и притом обращающиеся в 0 при ср = 0.
1 — к2 sin cp

130	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[306
Замечание. Утверждения, доказанные в настоящем п°, легко
распространяются на случай интеграла с переменным нижним
пределом, так как [1°]
Ь	х
t = -Jf(t)dt.
х	Ъ
Производная от этого интеграла по х9 очевидно, равна —f(x)
(если х есть точка непрерывности).
306. Вторая теорема о среднем значении. В заключение уста-
установим еще одну теорему, относящуюся к интегралу от произведе-
произведения двух функций	ъ
1 = j f{x)g{x)dx.
а
Ее представляют в разных формах. Начнем с доказательства
следующего предложения:
13° Если в промежутке [а, Ъ] (а < Ъ) f(x) монотонно убы-
убывает (хотя бы в широком смысле) и неотрицательна, a g(x)
интегрируема, то
ъ	I
Jf(x)g(x)dx=f(a)Jg(x)dx,	C)
а	а
где | есть некоторое значение из названного промежутка.
Разбив промежуток [а, Ъ] произвольным образом на части с по-
помощью точек деления xt (i = 0, 1, ..., /7), представим интеграл /
в виде
п-\ Xijl	п-\
/ 	 >	/ / I Y I Pi Y I ПY 	 > / I Y •
1 — /_^ / J \Л)&\Л)аЛ — Z_^J \Л1;
i=0 i	i=0
+ Е / №) - /МЫ*) dx=o+p.
Если через L обозначить верхнюю границу для функции \g(x) |, а че-
через (Dj (как обычно) колебание функции f(x) в z-м промежутке
[xj, Xj+i] длины Axj9 то, очевидно,
п-\ Хг+1	п-\
^ Е / l^(x) ~ f(xi)\ ' \s(x)\dx ^ L У^ cpjAxj.
i=0 r	i=0

306]	§ 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	131
Отсюда, ввиду интегрируемости функции f(x) [298, III], ясно, что
р —^ 0 при Я = max Axt —»> 0, так что
/ = lim о.
Введем теперь функцию
G(x) = jg{t)dt
а
и с ее помощью перепишем сумму о так:
п-\
i=0
или, наконец, раскрывая скобки и иначе группируя слагаемые,
п-\
a =
Непрерывная функция G{x) [305, 11°] при изменении х в про-
промежутке [а, Ь] имеет как наименьшее значение т9 так и наибольшее
значение М [85]. Так как все множители
/0/-0 - /0/) (при / = 1,2	« — 1) и /(*„_!),
в силу сделанных относительно функции f(x) предположений, не-
неотрицательны, то, заменяя значения G, соответственно, через т
и М, мы получим два числа:
mf(a) и Mf(a),
между которыми содержится сумма о. Между теми же числами,
очевидно, содержится и интеграл / как предел этой суммы, или
иначе
где т < \х < М Но, по непрерывности функции G(x), в промежут-
промежутке [а, й] найдется такое значение |, что ^ = GD) [82]. Тогда
что равносильно формуле C).

132	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[306
Аналогично, если функция /(х), оставаясь неотрицатель-
неотрицательной, монотонно возрастает, то имеет место формула
ъ	ъ
Jf(x)g(x)dx=f(b)Jg(x)dx,
а	|
где а ^ | ^ Ъ. Эти формулы обычно называют формулами
Бонне (О. Bonnet). Наконец,
14° Если сохранить только предположение о монотонно-
монотонности функции /(х), не требуя ее неотрицательности, то моле-
молено утверждать:
Ь	|	Ь
j f{x)g{x)dx=f{a) j g(x)dx+f(b)Jg(x)dx. D)
Действительно, пусть, например, функция f(x) монотонно убы-
убывает; тогда, очевидно, разность f(x) — f(b) ^ 0, и стоит только
к этой функции применить формулу C), чтобы после легких пре-
преобразований получить D).
Доказанная теорема и носит название второй теоремы о сред-
среднем значении [ср. 304, 10°].
Следующее простое замечание позволяет придать ей несколько
более общую форму. Если изменить значения функции f(x) в точ-
точках а и Ь, взяв вместо них любые числа А и В под условием лишь
А ^ /О + 0) и В < /(* - 0) (если / убывает),
А ^ f(a + 0) и В ^ f(b — 0) (если / возрастает),
то не только значение интеграла / не изменится, но и сохранится
монотонность функции Лх)? так что по образцу D) можно утвер-
утверждать	ъ	I	ъ
Jf(x)g(x)dx=Ajg(x)dx+BJg(x)dx.	E)
а	я	|
В частности,
Ъ	I	Ъ
f f{x)g[x) dx = f(a + 0) fg[x) dx + f[b - 0) fg[x) dx. E*)
a	a	|
Здесь, как и выше, | означает некоторое число из промежутка [а, Ь]9
но оно, вообще говоря, зависит от выбора чисел Аи В.

307]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	133
§ 3. Вычисление и преобразование определенных
интегралов
307. Вычисление с помощью интегральных сумм. Приведем
ряд примеров вычисления определенного интеграла, непосред-
непосредственно как предела интегральных сумм — в согласии с его опре-
определением. Зная наперед, что интеграл для непрерывной функции
существует, для вычисления его мы можем выбирать разбие-
разбиение промежутка и точки |, руководствуясь исключительно сообра-
соображениями удобства.
ъ
1) I х dx (a, b — произвольные вещественные числа, а к — натуральное
/
число).
Сначала вычислим интеграл J x dx (а ф 0). Промежуток [0, а] разобьем на
п равных частей, а в каждом частичном промежутке функцию хк вычислим для
его правого конца, если а > 0, и для левого — при а < 0. Тогда интегральная
сумма
• — = а •
п
и, если учесть пример 14), 33,
^+1
I
к	•
х dx = Km о,, =
к+1
о
Отсюда уже нетрудно получить и общую формулу
Ъ	Ь	а	7 л
к+\
D
2) / x^dx {b > a > 0, /i — произвольное вещественное число).
а
На этот раз мы разобьем промежуток [а, Ь] на неравные части, а именно
между а и b вставим п — 1 средних геометрических. Иными словами, положив
q = q =n[^
п \ а'
рассмотрим ряд чисел
a, aq, . . ., aq\ . . ., aqn = b.
Заметим, что при п —>> оо отношение q = qn -л 1, разности же aql^~ — aq1 все
меньше величины b(q — 1) —>> 0.

134	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[307
Вычисляя функцию для левых концов, имеем
и-1	и-1
оп = У^ (aqiy (aql+l — aql) = a^+l(q — 1) Y^ (У*+1у.
Предположим теперь \i ф — 1; тогда
/?\,U + 1
//-1-1 x . ч 1 77 )	^ /, //-1-1 //-1-1 \ Q 1
и, используя же известный предел [пример 5), (в), 77], получим
ъ
!•
dx = lim on = (b^1 - а^1) lim
В случае же \л = — 1 будет
и на основании другого известного результата [там же, (б)]
— = lim а = lim п\ \j	1 ) = In b — In a.
X	n^-oo	n^-oo \\ a	J
a
b
3) sinx dx. Разделив промежуток [a, b] на п равных частей, положим
a
h = ^p-; функцию sinx вычислим для правых концов, если а < Ь, и для
левых — при а > Ь. Тогда
п
ап = h V^ sin(a + ih).
i=\
Найдем сжатое выражение для суммы справа. Умножив и разделив ее
на 2 sin |, а затем представляя все слагаемые в виде разности косинусов, лег-
легко получим
П	1	П	h
Y^ sin(> + ih) = j—j ^ 2 sin(a + ih) sin 2 =
i=\
1 ^ / / 1 \ / 1
—— > cos [a -\- i — — h) — cos [ a -\- i -\— ,
cos (a + \ h) - cos(a + n + \ h)
Таким образом,
°n =
\ ( ( 1 Л	fr l
—^-r cos [a + - h) -cos H-
sin? \ V 2 /	V 2

307]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	135
Так как h —>> 0 при п —>> со, то
ъ
/sin;\; dx = lim 2 , ( cos ( а -\— h ) — cos ( b -\— h ) I = cos a — cos b.
h^O sin § V V 2 ^	V 2 ')
ih)
b
sin^
cos jc <ix
+ n +
= sin/?
^/z) -sin(a
2sin|
— sin a.
_!_ I
A)
B)
zsm -j
легко установить, что
4) Чтобы дать менее тривиальный пример, рассмотрим интеграл
л
\п{\ — 2r cosх + г ^jdx,
0
обычно связываемый с именем Пуассона (S.-D. Poisson). Так как
A — |г|J < 1 — 2r cosjc + г2,
то, предполагая \г\ ф 1, видим, что подинтегральная функция непрерывна и ин-
интеграл существует.
Разделив промежуток [0, ж] на п равных частей, имеем
п
Ж ^-—\ /	Ж	2\
ол = — > In 1 — 2r cos к	\- г =
п ^ V	п	)
к=\
где \\ есть знак произведения. С другой стороны, из алгебры известно
разложение**^
к=\
*) Которая получается из A) заменой а на a + |.
**) Учитывая значения корней степени 2^ из единицы, имеем такое разложение
z п — 1 на линейные множители:
"П (* - cos ^ - z sin ^),
где z есть мнимая единица. Если выделить множители (z d= 1) (отвеча-
(отвечающие к = —п и & = 0) и собрать вместе сопряженные множители, то мы

136	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[308
Используя это тождество при z = г, представим оп в виде
+ 1 / гп
Пусть теперь \г\ < 1, тогда г
JT
I
- 2r cosjc + r2)dx = lim an = 0.
0
Если же \г\ > 1, то, переписав оп так:
-In
_ 1 Г2п
найдем
г\,
/¦
— 2r cos^: + г )
Читатель видит, что прямой способ вычисления определенно-
определенного интеграла как предела сумм требует даже в простых случаях
значительных усилий; им пользуются редко. Наиболее практичным
является прием, излагаемый в следующем п°.
308. Основная формула интегрального исчисления. Мы виде-
видели в 305, что для непрерывной в промежутке [а, Ь] функции f(x)
интеграл
г
\t) dt
оказывается первообразной функцией. Если F(х) есть лю-
бая первообразная для f(x) функция (например, найденная мето-
методами §§1-4 предыдущей главы), то 263
Ф(х) =F(x)+C.
2п 1
и получим, что z — 1 равно
(z2 - О П {z -cos Щ- -l sin Щ) (z -cos ? +l sin 4) =
)
k=l

308]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	137
Постоянную С легко определить, положив здесь х = а, ибо
Ф(а) = 0; будем иметь
0 = Ф(я) = F(a) + С, откуда С = -F(a).
Окончательно
В частности, при х = b получим
ъ
<ВД = Jf(x)dx=F(b)-F(a).	(A)
а
Это — основная формула интегрального исчисления.^
Итак, значение определенного интеграла выражается
разностью двух значений, при х = Ъ и при х — а, любой
первообразной функции.
Если применить к интегралу теорему о среднем [304, 9°]
и вспомнить, что f{x) — F'{x), то получим
F{b) - F{a) = f{c) -{b-a)= Ff{c) • {b - a) (a ^ с ^ b);
читатель узнает в этом формулу Лагранжа [112] для функ-
функции F(x). Таким образом, с помощью основной формулы (А) уста-
устанавливается связь между теоремами о среднем в дифференциаль-
дифференциальном и интегральном исчислении.
Формула (А) дает эффективное и простое средство для вычи-
вычисления определенного интеграла от непрерывной функции f(x).
Ведь для ряда простых классов таких функций мы умеем выра-
выражать первообразную в конечном виде через элементарные функ-
функции. В этих случаях определенный интеграл вычисляется непосред-
непосредственно по основной формуле. Заметим лишь, что разность справа
обычно изображают символом F(x)\ba («двойная подстановка от а
до Ь») и формулу пишут в виде
ь
*f(x)dx=F(x)\ .	(A*)
*) Эту формулу называют также формулой Нъ ют он а -Ле йбница. Чи-
Читатель видит, что рассуждения здесь вполне аналогичны тем, которыми мы поль-
пользовались в 264 при вычислении функции Р(х) и площади Р. Сама формула (А)
легко могла бы быть получена сопоставлением результатов пп° 264 и 294.

138
ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[309
Так, например, сразу находим:
ъ
1)
/'
аГ+1
2) I — =\пх b =ЫЬ -Ыа (а > 0, 6 > 0),
/
3) / sin.* dx = — cos* I = cos a — cos/?,
/
cos * fibf = si
= sin 6 — sin a
— результаты, не без труда полученные нами в предыдущем п° [ср. примеры 1),
309. Примеры. Приведем дальнейшие примеры использования форму-
формулы (А):
4) (а) / sin mx sin nx dx = -
I
— JT
JT
I
sin(m — п)х sin(w + п)х
2 у т — п
1 / sin 2mx
т -\- п
= 0 (п^ т);
(б) / sin mxdx = - lx- ^
= ж.	[см. 267, 17), 18)]
— JT
Аналогично,
(в) / sin mx cos nx dx = 0;
—jt
JT
(r) / cos mx cos nx dx = 0 или я, смотря по тому, будет ли п ф т
—ж
или п = т.
5) Найти значения интегралов (m, n — натуральные числа):
(а)
sin л
*^ Пример 4) предыдущего п° уже не может быть исчерпан так просто, ибо
соответствующий неопределенный интеграл в конечном виде не выражается.

309]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	139
/Vsinrax2
(б) /	 dx.
J V smjc /
о
Указание, (а) Из формулы B), полагая в ней а = 0, h = 2xnn = m — 1,
можно вывести, что
1 v-ч	sinBm — 1)х
+ > cos 2** = У
+ > cos 2**	..
2 *-^	2 sin л:
Отсюда, так как отдельные слагаемые легко интегрируются по формуле (А),
сразу получается
ж.
I-
sinBw — l)x	ж
¦& = -.
0
(б) Из формулы A), полагая а = — х, h = 2x, найдем
J^	I — cos 2га: sin2 ж
У sinBm — \)х = 	 = 	.
*-^	2 sin jc	sin x
772=1
Отсюда, если использовать предыдущий результат,
6)
Вычислить
интеграл
1
-l ^
/
0
( sin weN
2ш; + а
) dx
— H
- 2Цх + P2
где 0 < a, /3 < 1.
Если в формуле [283, F*)]
</jc	1
= —-Щах + - + y/a\/ax2 + bx +c\+C
отождествить
ajc2 + Ъх + с = A - 2ах + а2) A - 2/Зх + уб2),
то, дифференцируя, найдем
ах + - = -аA — 2;0jc + /З2) - j3(l - 2«jc +a2).
Отсюда легко вывести, что при jc = 1 выражение, стоящее под знаком логарифма,
получит значение
-«A - /ЗJ - /3A - аJ + 2у^ф{\ - а){\ - /3) =
= -(V5(i - р) -

140	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[309
а при х = — 1 — значение
Таким образом, окончательно для искомого интеграла получается простое выра-
выражение
1 ^ 1 +
у/сф П 1 -
зависящее только от произведения ар *\
Заметим, что при выводе основной формулы нам на деле не было надобно-
надобности требовать, чтобы функция F(x) была для f(x) первообразной в замкнутом
промежутке [а, Ь]. Опираясь на следствие п° 131, достаточно было бы предполо-
предположить это для открытого промежутка (а, Ь), лишь бы только и на концах
его функция F(x) сохраняла непрерывность.
Поэтому, например, мы имеем право писать [268]
Г~1	9 а1 ¦ х\\°	жа2
а1 — х1 -\	arcsm — ) = 	,
2	а)\-а 2
—а
хотя при х = d=<2 вопрос о производной найденной первообразной еще требовал
бы исследования.
Некоторое затруднение мы встречаем при вычислении интеграла
8) /	1-—^	у dx (О < г < 1),
J J I -2rcosjc +r2	v	J
—jt
так как найденная в 13), 288, первообразная
'1+г
не имеет смысла при х = ±я\ Однако существуют, очевидно, пределы
lim F(x) = —ж,	lim F(x) = ж,
x^jt+0	x^-jt—0
и если, как обычно, положить F(—jt) и F(n) равными именно этим пределам, то
функция F(x) будет не только определена, но и непрерывна на концах промежут-
промежутка. Поэтому все же имеем
/
1-г2
1 — 2r cos^: + г2
—jt
= F(x)
= F(n) - F(-jt) = 2л.
9) Аналогично вычисляется и интеграл
f
/	±
J A cos2х + 2В cos;\; sin^: + С sin x
(АС-В2>0).
*^ Наши выкладки безупречны лишь при а ф /3, но легко видеть, что результат
верен и при а = /3.

309]
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
141
Мы уже имели [288, 10)] выражение первообразной
F(x) = -
1
/AC - В2
пригодное для — ^ < * < ^. Отсюда
dx
arctg
Ctgx +B
I
1г
A cos2 х + 2В cos х sin x + С sin x
f-0
-f+0
причем значки — ^ + 0, f — 0 символизируют необходимость брать соответству-
соответствующие предельные значения функции F(*).
10) Если при вычислении интеграла
1 л
исходить из формально вычисленной первообразной
1	3jc(jc2 - 1)
arCtg
и подставить сюда * = 0 и * = 1, то для интеграла получится парадоксальное
значение 0 (интеграл от положительной функции не может иметь нулевое
значение!).
Ошибка в том, что это выражение испытывает скачок при * = у 2 — л/3 =
= *0. Если порознь вычислять интегралы от 0 до *0 и от *0 до 1, то получится
правильный результат
1
*0-° !	_ Л
о хо+о 3
/¦
о
11) Легко вычислить, с помощью первообразных, интегралы
2
= 1п2,
dx
— = In*
*
I
dx
= arctg*
0
Если вспомнить о стремлении к ним соответственных интегральных сумм, то
можно получить, например, такие предельные соотношения:
lim
lim
оо\п+ 1 П + 2
1	1
+
+ . . . Н
2п2
п = —.
4

142	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[310
310. Другой вывод основной формулы. Установим теперь
основную формулу (А) при более общих предположениях. Пусть
функция/(х) интегрируема в промежутке [а, Ь]9 а непре-
непрерывная в [а, Ъ] функция F(x) имеет f(x) своей производной
F'(x)=f(x)	C)
повсюду в (а, Ь) или даже лишь повсюду, исключая конечное
число точек.
Разобьем промежуток [а, Ь] произвольным образом на части
точками
а = х0 < %i < х2 < . . . < хг < Xj+i < . . . < хп = Ъ
[позаботившись лишь о том, чтобы в их числе были все те
точки, где не имеет места соотношение C), если
такие точки есть]. Очевидно, будем иметь
/=0
Применим к каждой из разностей, стоящих под знаком суммы,
формулу конечных приращений, — условия для ее применения все
выполнены. Тогда получим
/=0
где |, есть некоторое определенное (хотя нам не известное) значе-
ниех между хг и xi+l. Так как для этого значения F\E,t) =/(!,),
то мы можем написать	п_х
/=0
Справа получилась интегральная сумма о для функции f(x).
Мы предположили, что для суммы а при Я —»> 0 существует опре-
определенный предел, не зависящий от выбора чисел |z. Следователь-
Следовательно, в частности, наша сумма, сохраняющая (при указанном выборе
этих чисел) постоянное значение, также стремится к интегралу,
откуда и вытекает, что	ъ
F(b)-F(a) = Jf(x)dx.
а
В предыдущем п° мы с помощью основной формулы вычисляли
определенный интеграл. Но она может быть использована и в дру-

311]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	143
гом направлении. Заменив в основной формуле Ъ на х9 a f(x)
на F'(x)9 можно написать ее в виде
X
F(x)=F(a) + fF'(t)dt.
Таким образом, с помощью предельного процесса (ибо определен-
определенный интеграл есть предел), по заданной производной F'(x) «вос-
«восстанавливается» первообразная функция F(x).
Впрочем, это предполагает, что производная не только ограни-
ограничена, но и интегрируема в согласии с римановым определением,
что осуществляется не всегда.
311. Формулы приведения. Мы видели, что основная форму-
формула при благоприятных условиях сразу дает значение определенного
интеграла. С другой стороны, с ее помощью различные формулы
приведения в теории неопределенных интегралов преобразуют-
преобразуются в аналогичные формулы уже в определенных интегралах, сводя-
сводящие вычисление одного определенного интеграла к вычислению
другого (вообще более простого).
Мы имеем в виду прежде всего формулу интегрирования по
частям
udv = uv — vdu
и ее обобщение [270, C) и E)], а также другие формулы приведе-
приведения [271, F); 280; 287], частично на ней же основанные. Общая
форма их такова:
'(*) dx = ф) - j g{x) dx.	D)
Если областью применения подобной формулы является промежу-
промежуток [а,Ь]9 то ей в определенных интегралах отвечает формула
ъ	ъ
Jf(x)dx=<p(x)\ba-Jg(x)dx.	E)
а	а
При этом функции /, g будем считать непрерывными.
Для доказательства обозначим последний интеграл в форму-
формуле D) через Ф(х). Тогда
ь
7(х)^ = (ф(*)-<вд)| =ф) -ф(х) .

144	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[312
Так как в то же время
а
то мы и приходим к доказываемой формуле.
В частности, формула интегрирования по частям примет теперь
вид
ъ	ъ ъ
udv = uv — vdu,	F)
а
а обобщенная формула перейдет в такую:
ъ
ъ
fu(n+^vdx;	G)
а
при этом по-прежнему функции м, v и все встречающиеся их про-
производные предполагаются непрерывными.
Формула E), устанавливающая соотношение между числа-
числами, принципиально проще формулы D), в которой участвуют
функции; она особенно выгодна, если двойная подстановка равна
нулю.
312. Примеры.
1) Вычислить интегралы
f	f
Jm = sin777x dx, /m = / cos777x dx
0	0
(при натуральном т).
Интегрируя по частям, найдем
f	f
T_f.m-l ,,_	ч __•»-!	f^/_n/-»-2	2 .
U 1/y/y — / Sill	Jx Ct\ OOS ^C J — S1H	Jx OOS Jx	I /77 1 J / S1H	Jx OOS ^C C&C •
и У	о v JJ
о	о
Двойная подстановка обращается в нуль. Заменяя cos х через 1 — sin x, получим
Jm = (m- \)Jm_2 -{m- \)Jm,
откуда рекуррентная формула:
т- 1
Jm = 	Jm-2>

312]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	145
по которой интеграл Jm последовательно приводится к Jo или J^. Именно, при
т = 2п имеем
¦/-
2
J2n = I sin х dx =
2/2. B/2 - 2) ... 4 . 2 2
о
если же w = 2w + 1, то
¦/-
. 2И+1 ,	2/i ¦ B/i - 2) ... 4 ¦ 2
sin ^ x dx =
Bя + 1)B/2- 1)...3- 1
о
Такие же точно результаты получаются и для Jm.
Для более короткой записи найденных выражений воспользуемся симво-
символом т}\*\ Тогда можно будет написать
!	!	((/и-1)!! я
1	— (при т четном),
/• т г	I m г
sin х dx = / cos x dx =
т\\	2
q	q	i 		(при т нечетном).
2) Доказать формулы
ж.
(а)	/ cos777 jc cos(w + 2)x dx = 0;
0
ж.
(б)	/ cos777 x sin(w + 2)jc dx =
m+ Г
/sin —
sin777 x cos(w + 2)x dx =
+ Г
0
/ sin777 x si
/
sin777 jc sin(w + 2)jc <ijc =
i^i-
m+ 1
0
(где m — любое положительное число).
Рассмотрим интеграл
/со,-
х cos(w + 2)x dx
*^ Напомним, что т\\ означает произведение натуральных чисел, не превосхо-
превосходящих т и одной с ним четности.

146	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[312
и дважды произведем в нем интегрирование по частям:
ж.
/ cos777 х cos(w + 2)x dx =
О
= 	 (cos777 x sin(w + 2)х — cos777 x sinx cos(w + 2)x ) +
w + 2 V	v J	/0
f
H	/ \-[m - 1) cos777x sin2jc + cos777^^ ] cos(w + 2)x dx.
m+2J \	J
0
Двойная подстановка обращается в 0. Заменяя под знаком интеграла sin2 x через
1 — cos х, придем к равенству
cos777 х cos(w + 2)x dx =
f	f
— / cos777 x cos(w + 2)x dx + cos777+2 jc cos(w + 2)x dx,
m + 2
0	0
откуда и следует (а).
Аналогично устанавливаются остальные равенства.
3) Вычислить (при натуральном п) интегралы
2	2
Кп = I cos77 * sin we dx, Ln = / cos77 jf cos we dx.
0
Интегрируя по частям, будем иметь
f
К =	/ cos77 * sin
« J
x sin x cos гас ajc.
0
Если к обеим частям прибавить по Кп, то, преобразуя выражение под знаком
интеграла справа, легко получить
1
2Кп = —Ь Кп-\ или
По этой рекуррентной формуле легко уже найти
1 /2 22 23
Аналогично

312]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	147
4) Найти интеграл
НКт = xk\nmxdx,
О
где к > О, а т — натуральное число.
Интегрирование по частям [ср. 271, 5)]
1	1
/кл т 1 1 ?+1 1 т 1 т f к л т-\ ,
х In х ах = 	х т х	/ х In .x ал:
? + 1 +0 ? + 1 J
о	о
приводит к рекуррентной формуле
откуда и получается
л. =(-if	±
1±к,т V L) /7 , лх>
Особенность этого примера в том, что в точке х = 0 значения как подин-
тегральных функций, так и функций под знаком подстановки определяются как
предельные при х —>> +0.
5) По формуле (III), 280, имеем (считая р и q натуральными числами)
что при переходе к определенным интегралам в промежутке от 0 до 1 дает
1	1
f(l-x)pxqdx = 	^	 j{\-
J	P + q+1 У
x)p-lxqdx.
о	о
Последовательно применяя эту формулу, получим
)хЧх
J
О	О
и окончательно
/а-.
О
6) Если в формулах (IV), 287, при натуральных /i и у перейти к опреде-
определенным интегралам, то, используя результат примера 1), можно получить более
общую формулу
/¦
l)!!Qi-l)!! jt
	 • — (при четных и и v),
(v_1)!!( ш
		(во всех прочих случаях).
(v + )u)!!

148	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[313
313. Формула замены переменной в определенном интегра-
интеграле. Та же основная формула (А) позволит нам установить правило
замены переменной под знаком определенного интеграла.
ъ
Пусть требуется вычислить интеграл / f(x)dx9 где f{x) — не-
а
прерывная в промежутке [а, Ь] функция. Положим х = q>(t)9 под-
подчинив функцию cp(t) условиям:
1)	cp(t) определена и непрерывна в некотором промежут-
промежутке [а, /3] и не выходит за пределы промежутка [а, Ь] *\ когда t из-
изменяется в [а, /3];
2)	ср{а) = а, <р(р) = Ь;
3)	существует в [а, /3] непрерывная производная q>'(t).
Тогда имеет место формула
ъ	р
jf{x)dx=jf{<p{t))q>'{t)dt.	(9)
а	а
Ввиду предположенной непрерывности подинтегральных функ-
функций существуют не только эти определенные интегралы, но и со-
соответствующие им неопределенные, и в обоих случаях можно вос-
воспользоваться основной формулой. Но если F{x) будет одной из
первообразных для первого дифференциала f(x)dx9 то функция
ФG) = F(q>(t))9 как мы знаем, будет первообразной для второго
дифференциала f(cp(t)) cp'(t)dt [ср. 268]. Поэтому имеем одновре-
одновременно	ъ
j f(x)dx = F{b) - F(a)
/
= F(<p(f}))-F(<p(a))=F(b)-F(a),
откуда и вытекает доказываемое равенство.
Замечание. Отметим одну важную особенность форму-
формулы (9). В то время как при вычислении неопределенного инте-
интеграла с помощью замены переменной, получив искомую функцию
выраженной через переменную t, мы должны были возвращаться
*) Может случиться, что функция f(x) определена и непрерывна в более ши-
широком, чем [а, Ь], промежутке [А, В], тогда достаточно потребовать, чтобы значе-
значения cp(t) не выходили за пределы промежутка [А, В].

314]
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
149
к старой переменной х9 здесь в этом нет надобности.
Если вычислен второй из определенных интегралов (9), который
представляет собой число, то тем самым вычислен и первый.
314. Примеры.
а
1) Найдем интеграл J yja2 — х2 dx с помощью подстановки х = asint;
О
роль аир здесь играют значения Ои |. Имеем
а	1	?	к
Т ,	2 / 2 , а ( Sin2^\ 2
х2 dx = a I cos tdt = — (М	1
f 2 г а
cos tdt = -
j
О
о	о
[ср. 268].
2) Вообще при п натуральном с помощью той же подстановки получим
а	2
f(a2-x2)"dx=a2n+1 Л
s2"+1
Bи+ 1)!!
[см. (8)], и аналогично
, 2 2Л^1	2п Bп - 1)!! ^г
3) Вычислим интеграл
? Г~1 9
dx.
Подстановка л: = a sec f; пределам а и 2а переменной л: отвечают пределы О
и j переменной t. Находим
3
1 [ ¦
— /sl
.2	,	1 Sin3l
sin t cost dt = ^r
a1 3
7 = лЛ
о 8fl2
4) Рассмотрим интеграл
JT
/x sin^c
1 + COS2 X
0
Подстановка x = ж — t (где /^ изменяется от ж до 0) приводит к равенству
JT	JT
/х sinjc f (ж — t) sint
	г- dx = /	Цг— Л
1 + cos21 J 1 + cos2 f

150
ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[314
JT	JT	JT
/x sinx f sint f tsint
-	=— dx = jt I	=- dt - I	=- dt.
1 + COS2 X J 1 + COS2 t J 1 + COS2 t
0 0 0
Перенося последний интеграл (в котором вместо t снова можно написать х) на-
налево, получаем
JT	JT
/х sinjc	I f sin/	jt
	— dx =	— / 	r— dt = —	— arctgfcos t)
1 + cos2jc	2 J 1 + cos2/	2 5V У
о о
[Ср. ниже 11), где этот пример будет обобщен.]
1
5) Вычислить интеграл J = / 	т— dx.
J 1 +х2
о
Подстановка х = tgq> (где (р изменяется от 0 до ^) переводит его
ж
4
в /ln(l + tg(p)d<p. Но
tg ф =
cosg)
так что
4	4
J = — In 2 + / In sin f	V (p\ dcp — / In cos ф d<p.
0	0
Так как оба интеграла равны (например, второй приводится к первому подстанов-
подстановкой ср = j — -ф, причем -ф изменяется от ^ до 0), то окончательно
Заметим, что то же значение имеет и интеграл J
0
диться интегрированием по частям.
6) Установить, что
x, в чем легко убе-
[
2 J sint
о
Указание. Подстановка х = tg ^.
7) Преобразовать один в другой интегралы
JT
/<
— 1
считая х > 1 и п — натуральным.

314]
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
151
Это достигается путем преобразования переменной по формуле
(х + л/х2 — 1 cos(p) (х — л/х2 — 1 cos#) = 1.
Отсюда
— \ х2 — 1 + х cos О
cosq) =
х - л х2 - lcos#
причем выражение справа по абсолютной величине не превосходит единицы,
и каждому 0 в промежутке [0, ж] однозначно отвечает некоторое (р в том же
промежутке. При 0 = 0 или ж также и (р = 0 или ж. Имеем
(х —
- lcosfl)
и так как
sin 0
то
х — ух2 — 1 cos 0
так что окончательно
( . А^	Г "\w /
х — ух2 — 1 cos О
^ — ух1 — 1 cos#j
откуда и следует требуемое равенство.
[Заметим, что оба интеграла (с точностью до множителя ж) выражают
п-й многочлен Л е ж а н д р а Рп (х), 118, 6).]
8) Какова бы ни была непрерывная в промежутке [0, а] (а > 0) функция f(x),
всегда
f(a - t) dt
О	О
(подстановка х = а — t, a ^ t ^ 0). В частности, так как cosjc = sin Г^ — х\
то при любой непрерывной функции F(u) будет
f	!
/ F(sinx)dx = / F(cosx)dx.
О	О
9) Пусть f(x) непрерывна в симметричном промежутке [—а, а] {а > 0).
Тогда в случае четной функции [99, 25)]
а	а
f(x)dx,
-а	0
а в случае нечетной
а
f(x)dx=0.

152	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[314
а
В обоих случаях интеграл J представляется в виде суммы интегралов
О а	-а
J + J и к первому из них применяется подстановка х = — t.
-а О
10) Пусть имеем непрерывную периодическую функцию f(x) с перио-
периодом со, так что при любом х: f(x + со) = f(x). Тогда в любых промежутках
с длиной со, равной периоду, интеграл от этой функции имеет одно и то же зна-
значение
а+со	со
\x)dx = / f{x)dx.
j
а	0
а-\-со	0 со а+со
Для доказательства разлагаем: J = J + J + J и, применяя к третье-
а	а 0	со
му интегралу справа подстановку х = t + со, убеждаемся, что он лишь знаком
разнится от первого.
11) Доказать, что
JT	JT
/ xf(smx)dx = - I
/(sinx) dx,
0	0
где f(u) — любая непрерывная в промежутке [0, 1] функция.
Указание. Воспользоваться подстановкой х = ж — t.
12) Доказать, что
2ж	ж
/ <р(а cos 0 + b sin 0)d0 = 2 / ср(\/а2 — b2 cos A) dX,
0	0
где (р(и) — любая функция, непрерывная для \и
Определяя угол а соотношениями
cos a =
имеем
В силу 10), можно написать
2jt	a-\-jt
/ <p(acos6 + bsm6)d6 = / (p(\fa2 + b2
0	a-jt
или, если положить 0 — a = X и использовать 9),
cos A) dX.

314]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	153
13) Доказать, что
!	f
/ g(sin 2м) cos udu = I g(cos v) cos v dv,
0	0
где g(z) — любая непрерывная функция от z в промежутке [0, 1].
Iff
Представив первый интеграл в виде суммы интегралов J = / + /, подста-
0 0 f
новкой и = § — и приводим и второй из них тоже к промежутку [0, f ] и получаем
ж.
/ g(sin 2м) (cos и + sin и) du.
О
Здесь мы делаем замену переменной, исходя из соотношения sin2w = cos v;
возрастанию и от 0 до j, очевидно, отвечает убывание v от ^ до 0. Дифферен-
Дифференцируем cos ludu = — sin v cos u di>; учитывая, что
cos 2м = V 1 — sin 2м = у 1 — cos4 и = sin v у 1 + cos2 и
и
1 + cos v = 1 + 2 sin г/ cos и = (sin г/ + cos г/) ,
находим окончательно
(sin и + cos u)du = — cos и di>.
Теперь уже нетрудно получить требуемый результат.
14) В заключение вернемся к интегралу Пуассона
1{г) = I 1пA - 2r cosjc + г2) dx
о
[ср. 307, 4)]. Мы уже знаем, что при \г\ ф 1 подинтегральная функция непре-
непрерывна и интеграл существует. Мы наново вычислим его с помощью некоторого
искусственного приема, в котором замена переменной будет играть существенную
роль.
Заметим предварительно, что из очевидных неравенств
A - ИJ < 1 - 2r cosjc + г2 < A + ИJ,
логарифмируя и затем интегрируя от 0 до я, получаем (при \г\ < 1)
2л-1пA - |г|) < /(г) < 2л-1пA + |г|).
Отсюда ясно, что при г —>> 0 и /(г) —>> 0.
Рассмотрим теперь интеграл
ж
/(-г) = / ln(l + 2r cosjc + г2) dx.

154	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[314
Если в этом интеграле положить х = л — t, причем t изменяется от л до 0, то
окажется, что
О	я-
/(-г) = I\n(\+2rco^-t)+r1)d^-t) = An(l-2rcos; + r2)^ = /(r).
л-	О
В таком случае
ж
2/(г) = /(г) + /(-г) = / 1п(A - 2r cosjc + г2) (l + 2r cosjc + r2)\ dx
-
2/(r) = / ln(l - 2r2cos2jc +r4) dx.
0
Полагая x = ? (где /^ меняется от 0 до 2л), получаем
2jt	ж	2jt
2/(r) = I f\n(\-2r2cost + r4)dt= ± f+± f
О	0	я-
Последний из полученных интегралов подстановкой t = 2л — и (где г/ меня-
меняется от л" до 0) приводится к первому, так что у нас получается
2/(г) = /(г2), откуда /(г) = \l{r2).
Заменяя здесь г на г и т. д., легко получить общую формулу
7(г) = 1/(г2") («=1,2,3...).
Пусть теперь \г\ < 1, так что г -Л 0 при и —>> со; так как при этом [со-
[согласно замечанию вначале] 1{г ) —>> 0, то должны иметь тождественно
/(г) = 0 при \г\< 1.
Легко теперь вычислить этот интеграл и при |г| > 1. В самом деле,
1 — 2r cos;\; +г = г A — 2 • - • cos;\; Н—т-
V	г	rz
и
lnfl - 2r cosjc +г2) = 21пИ +lnfl - 2 • - • cosjc + -Л,
\	!	\	Г	Г1)
так что, интегрируя от 0 до ж, будем иметь
/(г) = 2лЫ\г\ (
Но, по предыдущему, / G) = ^5 следовательно, при |г| > 1 имеем
/(г) = 2л\п\г\.
Те же результаты мы получили и в 307.

315]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	155
315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена. В качестве еще одного при-
примера на замену переменной рассмотрим замечательную формулу, установленную
Гауссом (СЕ Gauss) для преобразования интеграла
!
= I
у a2 cos2 (р + Ъ2 sin2 ср
Положим здесь
2а sin в
(a > b> 0).
(a + b) + (a - 6)sin2#'
легко видеть, что при изменении в от 0 до ^ и (р растет в тех же пределах.
Дифференцируем
(а + Ь) - (а - Ъ) sin2 в
cos cpdcp = 2а	=	 cos в dO.
((a + b) + (a -b)sin26J
Но
J{a + bJ - (a - bJ sin2 в
cos (p = —	5	 cos в,
(a + b) + (a - b) sin2 в
так что
(g + 6)- (a-?)sin2fl	de
dcp = 2a	—
+ Ъ) + (а- Ъ) sin^ в ^(д + ьJ _ (д _ bJ ^
С другой стороны,
у a2 cos2 ср + Ъ2 sin2 ср =
и окончательно
dcp
(a-
(a-
-{a
+ (a
d9
- b) sin2
- b) sin2
в
в
la2 cos2 (p + b2 sin ф у (^y^) cos2 9 + ab sin2 0
Если положить ai = ^--^, b± = y/ab9 то
f
G =
{ Ja2 cos2 (р + Ъ2 sin2 ф ^ у а\ cos2 0 + Z?^ sin2 в
Это и есть формула Гаусса.
Применяя это преобразование повторно, получим, что
ж.
f
г f	d(p	( 1 о а л
G = / I	(w = 1, 2, 3, . . .),
J у a2 cos2 ф + Z?2 sin2 ф

156	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[315
где варианты ап, Ъп определяются рекуррентными соотношениями
—	, °п — \/"n-lun-V
Мы уже знаем [35, D)], что эти варианты стремятся к некоторому общему пре-
пределу /i = /i(я, b), который мы назвали средним арифметико-геометри-
ч е с к и м чисел а и Ъ. Из легко получаемых неравенств
л л
	 < G < 	,
2ап	2Ъп
переходя к пределу, находим теперь, что
G = - ц{а, Ь), откуда ц{а, Ъ) = —.
2	2G
Таким образом, каждое из чисел G и /i просто выражается одно через другое.
Пусть, например, требуется вычислить интеграл
I	f
dO	_ Г	dO
+ cos2fl J л/2 cos2 в + sin2 в
у/+	л/2
0 v	0 v
Здесь а = л/2 и b = 1; варианты ап и bn, определенные выше, стремятся к \i
быстро: уже а4 и 54 оба приближенно равны 1,198140, и можно \л положить
равным этому числу. Тогда получаем приближенно
G= — = 1,3110288.
2jd
Обратно, интеграл G приводится к полному*^ эллиптическому интегралу
первого рода
-I
a J
1	5— S111
2
и легко может быть вычислен по таблицам; а уже отсюда получается \х.
Рассмотрим теперь полный эллиптический интеграл первого рода
§
dcp
К(к) =
q \l 1 — /cz sin (p
при любом значении модуля &он получается из G при
а = 1 и Ь = л/l — к2 = к .
^Полными называют интегралы F(k, ср) и Е(к, ср) Л е ж а н д р а [293; 305]
при ср = ^: в этом случае в их обозначении обычно опускают второй аргумент
и пишут К (А:), Е(&). Для полных интегралов существуют особые таблицы.

316]
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
157
Желая применить к нему формулу Гаусса, вычисляем прежде всего
1 + л/1 -к2 1 + к'
ах =
так что
- к\ sin2 в
Эта формула, равносильная формуле Гаусса, на деле была получена до
Гаусса и представляет частный случай так называемого преобразования Л а н -
дена (Landen). Последовательно применяя ее, получим
К(к) = A + *!)A + к2) . . . A + к„) К(к„),
где значение кп определяется индуктивно
так что 0 < кп < 1 и кп < кп_1, чем обеспечивается быстрое стремление кп
к 0 при п —>> оо. В то же время
О < К(к}
п) 9 — / /
2 I \\-
=!
откуда
w) —>- ^ при п
О V1 ~^sin Я>
оо и, наконец,
К(*) = - Дгп^С! + кх){\ + к2). . . A + *„).
A0)
На этом основывается метод приближенного вычисления интеграла К (А:), кото-
который — при достаточно большом п — попросту полагают равным
316. Другой вывод формулы замены переменной. Мы дадим
теперь другой вывод формулы (9) при измененных предположе-
предположениях.

158	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[316
Прежде всего (и это самое важное), мы не станем предпола-
предполагать функцию f(x) непрерывной, а только лишь интегриру-
интегрируемой. Зато от функции q>{t) мы дополнительно потребуем, чтобы
при изменении t от а до /3 она переходила от значения а = q>(a)
к значению Ъ = q>(P)9 монотонно изменяясь.
Для определенности допустим, что а < Ъ и а < /3, так что
функция cp(t) монотонно возрастает.
Разобьем промежуток [а, /3] произвольно на части с помощью
точек
a = to<tl<t2< ... <tt< ti+l < ... <tn = P;
если положить xt = (p{tt) (z = 0, 1, 2, ..., /7), то одновременно бу-
будем иметь
а = Xq < Xi < %2 < - - - < xt < Xj+i < • • • < хп = b.
Если наибольшая из длин Att = ti+l — tt (обозначим ее через Я)
стремится к нулю, то, ввиду (равномерной) непрерывности функ-
функции х = q)(t)9 то же будет справедливо относительно наибольшей
из длин Axt = xi+l - xt = q>{ti+l) - q>(tt) [см. 87].
Возьмем теперь по произволу число rt в каждом промежутке
[tt, ti+1] и составим интегральную сумму для второго из интегра-
интегралов (9)
Положим |z = (p(Tj)9 так что xt ^ |z ^ xt+\- Если к функ-
функции cp(t) в промежутке [ti9 ti+l] применить формулу конечных при-
приращений, то получим
A*i = *,-+i - xt = <p{ti+x) - cp(tt) = v'tT^Ati,
где также tt < Tt < ti+1, но Tt (нам не известное) вообще отлично
от наудачу взятого значения rt. Вместе с тем интегральной сумме
для первого из интегралов (9)
теперь можно придать вид

317]	§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	159
Эта сумма при Я —>> 0, очевидно, имеет своим пределом интеграл
ъ
J f(x)dx. Для того чтобы показать, что к тому же пределу стремит-
а
ся и сумма о", достаточно установить, что разность о — ~о стремится
к нулю.
Задавшись произвольным числом е > 0, ввиду (равномерной)
непрерывности функции q>f(t)9 можно найти такое S > 0, чтобы при
Я < S выполнялись неравенства
\<р\т,)-<р'(т,)\<е
[см. 87, следствие]. Тогда
\о - °\ < Е \/Ыт,))\ ¦ \<р'(т,) - <p'(T,)\At, < L(P - a)e,
i
если через L обозначить верхнюю границу для |/(х) | и сумму Yl ^
заменить через J5 — а.
Теперь ясно, что при Я —>> 0 сумма о стремится к пределу
ъ	р
/ f(x)dx9 а это значит, что существует интеграл / f{(p{t))(p'{t)dt
а	а
и имеет место формула (9). Доказательство завершено.
Замечание. Подчеркнем особо, что на основании доказанно-
доказанного простые и часто полезные формулы, установленные в упражне-
упражнениях 8), 9), 10), 314, распространяются теперь на случай любой
интегрируемой функции/(х).
§ 4. Некоторые приложения определенных интегралов
317. Формула Валлиса. Из формулы (8), 312, легко вывести знаменитую
формулу Валлиса (J. Wallis).
Предполагая 0 < х < ^, имеем неравенства
• 2п-\-\	• 2п	• 2п—\
sin х < sin х < sin х.
Проинтегрируем эти неравенства в промежутке от 0 до ^:
iff
/• 2п+\ г	f ¦ 2п г	f ¦ 2п-\ г
sin х ах < / sin х ах < sin х ах.
О	0	0
Отсюда, в силу (8), находим
Bи)!!	Bп - 1)!! л Bп - 2)!!
Bя+ 1)!!	Bw)!! 2 Bя - 1)!!

160	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[318
2 \Bn-\)\\J In
Так как разность между двумя крайними выражениями
1	/ B«)!!
2wBw+l) \Bи-1)!!/ 2я 2'
очевидно, стремится к 0 при п —>> со, то ^ является их общим пределом. Итак,
л-	2 • 2 • 4 • 4 • . . . • 2и • 2и
— = lim
2 п^оо 1 . 3 . 3 . 5 . . . . . Bw - 1) . Bw + 1)'
Это и есть формула Валлиса. Она имеет исторический интерес как первое
представление числа ж в виде предела легко вычисляемой рациональной вариан-
варианты. В теоретических исследованиях ею пользуются и сейчас [см., например, 406].
Для приближенного вычисления числа ж теперь существуют методы, гораздо бо-
более быстро ведущие к цели [410].
318. Формула Тейлора с дополнительным членом. ^ Положим в обобщен-
обобщенной формуле интегрирования по частям G), 311, v = (b — х)п. Тогда
/	а	\П—\	11	/	1\/т	\П — 2
V = —п(Ъ — X) , V = П\П — \)(Ъ — X) , ...,
(п) ( л\П (	1 \	^1	(и+1) л
vy J = (—1) п(п — 1) • . . . • 2 • 1, vK J = 0;
при х = Ь все функции v, v', . . ., v^n~ ' обращаются в нуль. Пользуясь для
и, и , и", . . . функциональным обозначением /(*), ff(x),fff(x),..., перепи-
перепишем G) в виде
П±/\а){ЪаJ
0 = {-
{-\)n(n\f{b) - n\f{a) - n\f\a){b -а)- П±/\а){Ъ-аJ
Отсюда получается формула Тейлора с дополнительным членом в виде
определенного интеграла
f{b) = f{a) + —^- {Ъ-а) + —^— {Ъ-а) + . . .
' В этом п° все встречающиеся функции предполагаются непрерывными.

319]	§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	161
Переходя к обозначениям пп° 124-126, заменим здесь Ъ через х, а через х$:
г( \ г( \ , / (*о) /	\ | / (*о) /	\2 ,
/(*) = f(x0) + —^— (х - х0) + 2| 0 -*о) + • • •
X
n\ J
Новое выражение для дополнительного члена, в отличие от изученных в 124
и 126, не содержит никаких неизвестных чисел.
Если угодно, из этого выражения можно было бы вывести и уже знакомые
нам формы дополнительного члена. Например, воспользовавшись тем, что мно-
множитель (х — t)n подинтегральной функции не меняет знака, можно применить
к последнему интегралу обобщенную теорему о среднем [304, 10°]
X	X
- U"+l\t){x-t)ndt = -Jn+l\c) \{x-tfdt =
п\ J	п\	J
( о) '
где с содержится в промежутке [хо,;к]. Таким образом, мы вновь получили ла-
гранжеву форму дополнительного члена.
319. Трансцендентность числа е. Та же формула G), 311, может послужить
отправным пунктом для доказательства одной замечательной теоремы Э р м и т а,
относящейся к числу е.
Все вещественные (а также и вообще комплексные) числа распределяют-
распределяются на два класса — алгебраические и трансцендентные. Число
называется алгебраическим, если оно является корнем алгебраического
уравнения с рациональными коэффициентами (очевидно, не умаляя общности,
эти коэффициенты можно считать целыми); в противном случае число называют
трансцендентным.
Примером алгебраического числа может служить любое рациональное чис-
число или иррациональное число, выражающееся через рациональные в радикалах:
число — yi служит корнем уравнения 17* + 11 = 0, а число у 1 + л/5 — корнем
уравнения х6 — Зх4 + Ъх1 — 3 = 0 и т. д.
Эрмит установил, что е является трансцендентным числом. *' Мы
приведем доказательство этой теоремы.
Допустим, что е служит корнем уравнения
с0 + с^е + с2е + . . . + стет = 0,	A)
где все коэффициенты с$, с±, . . ., ст — целые числа.
*) Вслед за этим Линдеман (F. Lindemann) доказал трансцендентность чис-
числа л", чем впервые установил неразрешимость исстари знаменитой задачи о квад-
квадратуре круга.

162	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[319
Пусть в формуле G), 311, и = f(x) будет произвольный многочлен
п-и степени, аи = ( — \)п+1е~х\ тогда, если взять а = О, эта формула примет вид
Ъ
f(x)e~x dx = -е~х
/¦
О
w+ \х) =
х) = 0. Полагая для краткости
имеем отсюда
ъ
ebF@) = F{b) +eb f(x)e~x dx.
0
Возьмем здесь последовательно b = 0, 1, 2, . . ., m; умножая получаемые
равенства соответственно на с0, с1? с2, . . ., ст и складывая, в силу A), придем
к окончательному равенству
0 = c0F@)+c1F(l) + ...+c/wF(m) + 2^czez f(x)e x dx, B)
/=0	Q
которое, напомним это, должно иметь место для любого многочлена f(x).
Теперь мы покажем, что этот многочлен можно выбрать так, чтобы равенство B)
стало невозможным; этим теорема и будет доказана.
Положим с этой целью
где р — простое число, большее т и |со|. Производные этого многочлена поряд-
порядка /? и выше имеют целые коэффициенты и притом делящиеся на р; это вытекает
непосредственно из того, что произведение р последовательных натуральных чи-
чисел делится на р\. Поэтому при любом целом значении х все эти производные
имеют целые значения, кратные р. Так как при х = 1, 2, . . ., т многочлен f(x)
и его первые р — 1 производных обращаются в 0, то F(l), FB), . . ., F(m) будут
целыми числами, кратными р.
Иначе обстоит дело с F@). При х = 0 многочлен f[x) обращается в 0 лишь
с р — 2 своими производными, так что
Все слагаемые, начиная со второго, как мы видели, суть целые числа, кратные р;
но f^p~l\0) = ( — \)р(т\)р, а с ним и F@), на р не делится. Так как при сделан-
сделанных относительно р предположениях и с0 не делится на р, то приходим к заклю-
заключению, что первая сумма, стоящая в равенстве B) справа, есть целое число, не
делящееся на р и, следовательно, заведомо не равное нулю.
Обратимся ко второй сумме в B). В промежутке [0, т], очевидно,
-—-
О - 1)!

320]
Поэтому
i 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
f(x)e~x dx
„тр+р-\
7+Р-1 Г
тр+р-1
о	'	о
и, если сумму |cq| + \с\ | + . . . + \ст\ обозначить через С,
163
?
i=0
,//.
с,е' I f(x)e x dx
О
<Се"
ттр+р-1
(р ~ 1)!
т+1)р-1
= Сетт"
Но мы знаем [35, 1)], что последний множитель при р —>> со стремится к 0,
так что вторая сумма в B), при достаточно большом р, будет по абсолютной
величине меньше первой. В таком случае их сумма не может равняться 0, и мы
пришли к противоречию.
320. Многочлены Лежандра. Поставим себе задачу — найти такой много-
многочлен п-и степени Хп(х), чтобы для любого многочлена Q[x) степени ниже п
выполнялось равенство
и
1
Xn{x)Q{x) dx = 0,
C)
где а и Ъ — произвольные, но фиксированные числа.
Каждый многочлен п-и степени Хп[х) можно рассматривать как я-ю произ-
производную от некоторого многочлена R{x) степени 2п, который из Хп(х) получается
«-кратным последовательным интегрированием. Если при каждом интегрировании
произвольную постоянную выбирать так, чтобы при х = а интеграл обращался
в 0, то для многочлена R(x) окажутся выполненными еще условия
(a) = 09 R'(a) = 09 ..., R{n~l\a) = 0.
D)
Итак, задача наша сводится к нахождению такого многочлена R(x) степе-
степени 2п, чтобы было
R{n\x)Q{x)dx =0
E)
для любого многочлена Q(x) степени ниже п и, кроме того, выполнялись равен-
равенства D). Но, по формуле G), 311, если заменить в ней п на п — 1,
D
Rin\x)Q{x) dx = \Q(x)R{n~1) (x) - Q'{
•.. ±
){x)R{x)
ь
\\ =F /Q
Q{n\x)R{x)dx.

164	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[320
Если принять во внимание D), а также то, что Q^n\x) = 0, то условие E)
приведется к виду
Q(b)R{n~l\b) - Q'\b)R{n~2\b) + . . . ± Q{n~l\b)R(b) = 0.	F)
Ввиду полной произвольности многочлена (п — 1)-й степени Q(x), значе-
значения Q(b), Qf(b), . . ., 2 (b) этого многочлена и его последовательных произ-
производных при х = b можно рассматривать как произвольные числа, а тогда
условие F) равносильно следующим:
R(b) = 0, R'(b) = 0, . . ., Я("-1}0) = 0.	G)
Из D) и G) видим, что многочлен R(x) должен иметь числа а и Ь корнями
п-и кратности и, следовательно, лишь постоянным множителем может отличаться
от произведения (х — а)п(х — Ъ)п. Таким образом, окончательно
Если, в частности, взять а = — 1 и b = +1, то придем к уже знакомым нам
многочленам Лежандра
Мы условились в 6), 118, обозначать многочлены Лежандра через Рп(х),
если постоянные сп выбраны так:
1	1
" 2" • п\ Bи)!!'
для этих многочленов имеем РпA) = I, Рп( — 1) = ( — \)п. Обыкновенно полага-
полагают еще Pq(x) = 1. Все члены многочлена Рп имеют показатели одинаковой с п
четности.
Старший коэффициент, очевидно, будет
2п{2п - 1)... (и + 1) _ (In - 1)!!
B/7)!!	п\
По самому определению многочленов Лежандра имеем всегда
1
Pn(x)Q(x) dx = 0,	(8)
-1
каков бы ни был многочлен Q{x) степени ниже п. В частности, если пит — два
неравных неотрицательных числа, то
1
Pn(x)Pm(x)dx=0.	(9)
-1
/¦

320]	§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	165
Найдем значение интеграла J Р„(х) dx; он лишь множителем с\ = , * 2 отли-
отличается от интеграла
)dn{x1-\)n dn(x2-\)n
J	dxn	dxn
-1
¦dx.
Если применить к последнему снова формулу G), 311, заменив п на п — 1 и по-
положив
и =
dxn
то он сведется к интегралу
I 2 ,\и
-1	0
[все внеинтегральные члены исчезают, потому что функция v и ее производ-
производные до (п — 1)-й включительно при х d= 1 обращаются в 0]. Полагая здесь
х = sin Г [ср. 314, 2)], получим
2 . Bя)! . W = ^_ [{2пщ\
К J Bп+ 1)!! 2п + 1 LV ; J
так что окончательно
-1
В заключение, используя свойства многочлена Лежандра, выведем рекур-
рекуррентное соотношение, связывающее три последовательных таких многочлена.
Заметим предварительно, что степень хп может быть представлена в виде ли-
линейной однородной функции от Pq, Р±, . . ., Рп с постоянными коэффициентами;
тогда то же справедливо и для любого многочлена степени п. Поэтому
хРп = а0Рп+х + ахРп + а2Рп_х + а3Рп_2 + . . .,
где uq, ах, а2, а^, . . . — постоянные коэффициенты. Легко установить, что
аз =я4 = ... =0. Например, чтобы определить а^, умножим обе части это-
этого равенства наХй_2 и проинтегрируем от —1 до +1:
1	1	1
У Рп ' xPn-2d* =a0j Pn+\Pn-2dX + *1 у РпРп-2^ +
-1	-1	-1
-1	-1

166	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[321
1
/
Ввиду (8) и (9) все интегралы, кроме одного, будут нулями, и мы получим
1
Рп-2 dx — О, откуда я3 = 0.
-1
Коэффициент а^ также равен 0, ибо левая часть равенства не содержит вовсе
члена с хп. Для определения я0 приравняем коэффициенты при хп+ в обеих
частях равенства
B/z-l)!!	B/z+l)!!	и + 1
()	u 2/i+Г
Наконец, чтобы найти я2, приравняем обе части равенства при х = 1:
2' так что
^ а0	•
Подставляя найденные значения коэффициентов, окончательно получаем
(и + 1)Л,+1 - Bи + 1)^„ + пРп-\ = О-	(И)
Это и есть искомое рекуррентное соотношение, которое позволяет находить мно-
многочлены Лежандра последовательно, отправляясь от Pq = 1 и Р1 = х:
Зх2 - 1	5jc3 — Зх	35jc4 - 30jc2 + 3
^	^	^
321. Интегральные неравенства. В пп° 133 и 144 был выведен ряд нера-
неравенств для сумм; покажем теперь, как подобные же неравенства могут быть
установлены для интегралов. Все рассматриваемые здесь функции р(х), <р(х),
гр(х) будем считать интегрируемыми.*^
1) В п° 133 мы имели неравенство D), которое можно переписать так:
Е/?. In а.
е~^Г ** ~ц?"	A2)
Рассмотрим в промежутке [а, Ь] положительные функции р[х) и (р(х). Раз-
Разделив промежуток точками
а == х л ""С х 1 ""С ... *<~. х; ^ ^ у _|_ I "^ ... ""С х у, ^= t?
на части, с длинами Axt = xiJrl—xt, положим теперь в написанном неравенстве
pt = p(xt) • Axi9 ai = (p(xt); мы получим
*^ Из этого предположения вытекает уже интегрируемость и других встреча-
встречающихся ниже функций: для обоснования этого достаточно сослаться на п° 299, II,
и п° 300, 4).

321]	§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	167
Все суммы здесь имеют вид интегральных сумм и при Ахt —>> О стремятся
к соответствующим интегралам. Таким образом, в пределе получим «интеграль-
«интегральный аналог» неравенства A2):
ъ
J p(x)\n<p(x)dx
—ъ	 ь
jP(x)dx	/P{x)q>{x) dx
е а	<
ь
Jp(x)dx
В частности, при р(х) = 1 будем иметь:
-^ f\ncp(x)dx	1	*
<	 / <p(x)dx.
Ъ - a J
а
Выражение справа называется средним арифметическим значений функции ср{х)
в промежутке [а, Ь], а выражение слева — их средним геометрическим.
2) Выведем теперь интегральные аналоги неравенств Коши-Гёльдера
и Минковского [133, E) и G)]:
/	1 1 \
к, к > 1; - + — = 1).
к к' )
Пусть в промежутке [а, Ь] даны положительные функции (р(х) и ip(x); разделив,
как и выше, этот промежуток точками xi9 положим в A3)
а в A4)
i	I
аг = q>[xt) • Axtk, bt = ip(xt) • Axf.
Будем иметь:

168
ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[321
Переходя к пределу, при Axt —>> 0 получаем окончательно
ъ	ъ
j cp^dx = ij срЧхУ Aj/dxX
A3*)
\	b	i	b
{ ( q>k
A4*)
Отметим частные случаи этих неравенств при к = к' = 2:
ъ
j <р • ip dx <	cp2dx •	ip2
\
A3')
\
О
f[
0	0
f(p2dx+ fip2dx.
\
Первое из них принадлежит В.Я. Буняковскому. Второе легко приводится
к первому возведением в квадрат.
3) Перейдем, наконец, к неравенству И е н с е н а [144, A2*)]:
Я
A5)
здесь функция /(*) предполагается выпуклой в некотором промежутке ЗС,
которому принадлежат точки xt; pt — положительные числа. Пусть в некото-
некотором промежутке [а, Ь] задана функция ф(х), значения которой содержатся в SC,
и положительная функция р(х). Теперь xt будут означать точки деления
промежутка [а, Ь]; прежние xt в A5) заменим на (p(xt), a pt положим равны-
равными p(xj)Axj. Переходя, как и выше, от интегральных сумм к интегралам, полу-
получим интегральное неравенство Иенсена:
f
'ь	\
f p{x)(p{x)dx
jp{x)dx
\ а	/
fp(x)-f(<p(x)) dx
а
Jp(x)dX

322]	§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
§ 5. Приближенное вычисление интегралов
169
322. Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций. Пусть тре-
ъ
буется вычислить определенный интеграл Jf(x)dx, где f(x) есть некоторая
а
заданная в промежутке [а, Ь] непрерывная функция. В § 3 мы имели много при-
примеров вычисления подобных интегралов либо с помощью первообразной, если
она выражается в конечном виде, либо же — минуя первообразную — с по-
помощью различных приемов, большей частью искусственных. Нужно отметить,
однако, что всем этим исчерпывается лишь довольно узкий класс интегралов;
за его пределами обычно прибегают к различным методам приближенного
вычисления.
В настоящем параграфе мы познакомимся с простейшими из этих методов,
в которых приближенные формулы для интегралов составляются по некоторому
числу значений подинтегральной функции, вычисленных для ряда (обычно рав-
равноотстоящих) значений независимой
переменной.	yh
Первые относящиеся сюда фор-
формулы проще всего получаются из
геометрических соображений. Ис-
Истолковывая определенный интеграл
ъ
J f[x) dx как площадь некоторой
а	1 I ' ' ' I ' ' ' ' '
фигуры, ограниченной кривой у = ™ I d .. а	'.. а 1	L >' х
= f(x) [204], мы и ставим перед со-
собой задачу об определении этой
площади.
Прежде всего, вторично используя ту мысль, которая привела к самому поня-
понятию об определенном интеграле, можно разбить всю фигуру (рис. 6) на полоски,
скажем, одной и той же ширины *) Axt = ^=^, затем каждую полоску прибли-
приближенно заменить прямоугольником, за высоту которого принята какая-либо из ее
ординат. Это приводит нас к формуле
о
I
f(x) dx =
b-a
/(!„-!)]-
где xt < |z <*/+i (i = 0, 1, . . ., n — 1). Здесь искомая площадь криволинейной
фигуры заменяется площадью некоторой состоящей из прямоугольников
ступенчатой фигуры (или — если угодно — определенный интеграл заменяет-
заменяется интегральной суммой). Эта приближенная формула и называется формулой
прямоугольников.
*)
Мы сохраняем обозначения п° 294.

170
ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[322
На практике обычно берут |z = l 2/+1 = х. i; если соответствующую
среднюю ординату /(|z) = f(x ^) обозначить через у 1? то формула пере-
пишется в виде
о
/
f(x)dx=
A)
Впредь, говоря о формуле прямоугольников, мы будем иметь в виду
именно эту формулу.
Геометрические соображения естественно приводят и к другой, часто при-
применяемой, приближенной формуле. Заменим данную кривую вписанной в нее
ломаной с вершинами в точках (х^уг\ где yt = f(xt) (i = 0, 1, ...,«— 1).
Тогда наша криволинейная фигура заменится другой, состоящей из ряда тра-
трапеций (рис. 7). Если по-прежнему
считать, что промежуток [а, Ь] раз-
разбит на равные части, то площади этих
трапеций будут
-<* Уъ+У\
Ъ — а ух +у2
У\
xi
Рис. 7
Ь — а у
Уп-\
Складывая, придем к новой приближенной формуле
B)
Это так называемая формула трапеций.
Можно показать, что при возрастании п до бесконечности погрешности фор-
формулы прямоугольников и формулы трапеций безгранично убывают. Таким обра-
образом, при достаточно большом п обе эти формулы воспроизводят искомое значение
интеграла с произвольной степенью точности.
Для примера возьмем известный нам интеграл
—^г = - = 0,785398 . . .
1 +jc2 4
и применим к нему обе приближенные формулы, беря п = 10 и вычисляя на
четыре знака.

322]
§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
171
По формуле прямоугольников имеем
xL = 0,05 yL= 0,9975
xl
X 5
Xl
X 9
2
Т
х^
Т
X 19
= 0,15
= 0,25
= 0,35
= 0,45
0 55
= 0,65
= 0,75
= 0,85
= 0,95
Уз
У\
Уг
у9
У11
Уп
Уц
Уп
У\9
= 0,9780
= 0,9412
= 0,8909
= 0,8316
0 7678
— и, / и / о
= 0,7030
= 0,6400
= 0,5806
= 0,5256
7,8562
10
— 0 78562
сумма 7,8562
По формуле же трапеций
х0 = 0,0 у0 = 1,0000
хю = 1,0 Ую = 0,5000
сумма 1,5000
1 /1,5000
То v 2
хх = 0,1	ух = 0,9901
х2 = 0,2	у2 = 0,9615
х3 = 0,3	у3 = 0,9174
х4 = 0,4	у4 = 0,8621
7,0998 = 0,78498
= 0,5
= 0,8
= 0,8000
= 0,7353
= 0,6711
= 0,6098
х9 = 0,9 у9 = 0,5525
сумма 7,0998
Оба полученных приближенных результата обладают примерно одинаковой
степенью точности — они разнятся от истинного значения (в ту и другую сторо-
сторону) меньше чем на 0,0005.
Читатель, конечно, дает себе отчет в том, что погрешность мы смогли оце-
оценить здесь лишь потому, что наперед знали точное значение интеграла. Для того
чтобы наши формулы были действительно пригодны для приближенных вычисле-
вычислений, нужно иметь удобное выражение для погрешности, которое позволяло бы не
только оценивать погрешность при данном п, но и выбирать п, обеспечивающее
требуемую степень точности. К этому вопросу мы вернемся в п° 325.

172	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[323
323. Параболическое интерполирование. Для приближенного вычисления
ъ
интеграла J f(x) dx можно попытаться заменить функцию f(x) «близким» к ней
многочленом
у = Рк{х) = аохк + аххк 1 + . . . + ак_хх + ак	C)
и положить
ь
jf(x)dx=Jpk
{x)dx.
Иначе можно сказать, что здесь — при вычислении площади — данная «кри-
«кривая» у = f(x) заменяется «параболой к-то порядка» C), в связи с чем этот про-
процесс получил название параболического интерполирования.
Самый выбор интерполяционного многочлена Рк{х) чаще всего производят
следующим образом. В промежутке [а, Ь] берут к + 1 значений независимой пе-
переменной |q, |1? . . ., |д. и подбирают многочлен Рк(х) так, чтобы при взятых зна-
значениях х его значения совпадали со значениями функции f(x). Этим условием,
как мы знаем [128], многочлен Рк{х) определяется однозначно, и его выражение
дается интерполяционной формулой Лагранжа:
Р (X) -
к(> ~
- j2)... (x - $k)
L
(*&)(*li)---(*&-i) f( ,
••' Dl)Dl)D4)
При интегрировании получается линейное относительно значений
/Aо), . . ., f(?k) выражение, коэффициенты которого от этих значений уже не
зависят. Вычислив коэффициенты раз навсегда, можно ими пользоваться для лю-
любой функции f(x) в данном промежутке [а, Ь].
В простейшем случае при к = 0 функция f[x) попросту заменяется пос-
постоянной /Aо)? где |0 — любая точка в промежутке [а, Ь], скажем, средняя:
|0 = ^y~. Тогда приближенно
D
D)
а
Геометрически — площадь криволинейной фигуры заменяется здесь площа-
площадью прямоугольника с высотой, равной средней ее ординате.
При к = 1 функция f(x) заменяется линейной функцией Р\{х)9 которая
имеет одинаковые с ней значения при х = |0 и х = |j. Если взять |0 = а,
4\ = Ь, то
f(a) + ^№	E)
а — Ъ	Ъ — а

323]	§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
и, как легко вычислить,
173
Таким образом, здесь мы приближенно полагаем
о
I
f{x)dx = {b-a)
/(*)+/(*)
F)
На этот раз площадь криволинейной фигуры заменяется площадью трапеции:
вместо кривой берется хорда, соединяющая ее концы.
Менее тривиальный результат получим, взяв к = 2. Если положить |0 = а$9
|j = ^-^-, |2 = Ь, то интерполяционный многочлен i^M будет иметь вид
- а) (л - е
С помощью легкого вычисления установим
(х - Ц^) (х -Ь)	2	(
(х -by b-a (x - Ъ)<
и, аналогично,
(b-aJ
-b)
b-a
f (,x-a)(x
J B±» -a) fa
b - a
-b)
J (Ь-а)(Ь-Ц
Таким образом, приходим к приближенной формуле
ъ
h " П \ Па)
Г
f{b)
(8)
Здесь площадь фигуры под данной кривой заменяется площадью фигуры,
ограниченной обыкновенной параболой (с вертикальной осью), проходящей через
крайние и среднюю точки кривой.

174	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[324
Увеличивая степень к интерполяционного многочлена, т. е. проводя парабо-
параболу C) через все большее число точек данной кривой, можно рассчитывать добить-
добиться большей точности. Но более практичным оказывается другой путь, основанный
на сочетании идеи параболического интерполирования с идеей дробления
промежутка.
324. Дробление промежутка интегрирования. При вычислении интегра-
ъ
ла J f(x) dx можно поступить так. Разобьем сначала промежуток [а, Ь] на не-
а
которое число п равных промежутков
[х0, хх], [xi,x2], ..., [xn-i,xn] (хо = a,xn = b),
в связи с чем искомый интеграл представим в виде суммы
х\	Х2	хп
J f{x)dx + J f{x)dx + ...+ j f(x)dx.	(9)
X0	X\	Xn-\
Теперь же к каждому из этих промежутков применим параболическое интерпо-
интерполирование, т. е. станем вычислять интегралы (9) по одной из приближенных фор-
мул D), F), (8), ...
Легко сообразить, что, исходя из формул D) или F), мы таким путем вновь
получим уже известные нам формулы прямоугольников и трапеций,
A) и B).
Применим теперь к интегралам (9) формулу (8); при этом, для краткости,
положим, как и выше,
Мы получим
xl
f{x) dx = —^— (у0 + Ау
Ло
Л2
Г
I
4j/3 +у2),

325]	§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ	175
Наконец, складывая почленно эти равенства, придем к формуле
-¦¦¦+yn-i) +
• (Ю)
Она носит название формулы Симпсона (Th. Simpson); этой формулой поль-
пользуются для приближенного вычисления интегралов чаще, чем формулами пря-
прямоугольников и трапеций, ибо она — при той же затрате труда — дает обычно
более точный результат.	1
Для сравнения вычислим снова интеграл / y^i [см. 322] по формуле
о
Симпсона. Мы возьмем п = 2, так что число использованных ординат на этот
раз будет даже меньшим, чем раньше. Имеем (вычисляя на пять знаков)
v 	 (Л.	v 	 1 .	v 	 1 .	v 	 3 .	v 	 1
Xq — U, X i — 4,	X± — 2'	^3 - 45	X2 — 1ш
yQ = l; Ayx = 3,76471; 2y, = 1,6; Ay 3 = 2,56; y2 = 0,5.
4	2
— A + 3,76471 + 1,6 + 2,56 + 0,5) = 0,78539 . . .
— все пять знаков верны!
Конечно, по отношению к формуле A0) могут быть повторены замечания,
сделанные в конце п° 322. К оценке погрешности приближенных формул мы
сейчас и переходим.
325. Дополнительный член формулы прямоугольников. Начнем с форму-
формулы D). Предположим, что в промежутке [а, Ь] функция f(x) имеет непре-
непрерывные производные первых двух порядков. Тогда, разлагая f(x) [по формуле
Тейлора, 126, A3)] по степеням двучлена х — ^^- вплоть до квадрата его, бу-
будем иметь для всех значений х в [а, Ь]
/(*) =
где | содержится между х и ^^~ и зависит от х.
' Зависимость | от х может быть достаточно сложной; вместе с тем функция
(от*)	_	2
очевидно, непрерывна, так как совпадает с функцией
В частности, интегрирование функции (А) допустимо.

176	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[325
Если проинтегрировать это равенство в промежутке от а до Ь, то второй
член справа исчезнет, ибо
(и)
Таким образом, получаем
а	а
так что дополнительный член формулы D), восстанавливающий ее точ-
точность, имеет вид
ъ
1
Р =
У
Обозначив через т и М, соответственно, наименьшее и наибольшее значения
непрерывной функции /"(х) в промежутке [а, Ь] [85] и пользуясь тем, что
второй множитель подынтегрального выражения не меняет знака, по
обобщенной теореме о среднем [304, 10°], можем написать
, (Ь-а)ъ
24 "'
где /i содержится между т и М. По известному свойству непрерывной функ-
функции [82], найдется в [а, Ь] такая точка |*, что ja = //;(|*), и окончательно
р = {Ь Т,а) /"(!*)•	A2)
Замечание. Естественно было бы, разлагая функцию f(x) по степеням
х — ^y~, оборвать разложение уже на первой степени этого двучлена, т. е. вос-
воспользоваться формулой
Это привело бы нас при интегрировании к равенству
J
J
f(X)dx = (b-a)
а	а
так что дополнительный член выразился бы интегралом
ъ
Р =
//(?)(* —
содержащим лишь первую производную ff(x). Но здесь второй множи-
множитель подинтегралъного выражения меняет знак в промежутке [а,/?],

325]	§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ	177
и применение обобщенной теоремы о среднем — в целях упрощения выраже-
выражения для р — оказывается невозможным. Продвижение в тейлоровом разложении
еще на один член, в связи с равенством A1), обеспечило нам успех.
Если теперь разделить промежуток [а, Ь] на п равных частей, то для каждого
частичного промежутка [*/,*/_|_i] будем иметь точную формулу
Т
fix) dx = —— f(xi+l_) + 24из / (I/ ) [Xi < I/ < xi+1).
Сложив эти равенства (при i = 0, 1, ...,«— 1) почленно, получим при
обычных сокращенных обозначениях
ъ
I
f(x)dx =
а
где выражение
{ь _ д)з
24п2	п
и есть дополнительный член формулы прямоугольников A). Так как выражение
/"Aо) + ••
также содержится между m и М, то и оно представляет одно из значений функ-
ции/"(*).
Поэтому окончательно имеем
При возрастании ^ этот дополнительный член убывает примерно как -\.*'
1
Вернемся для примера к вычислению интеграла J 2, произведенному
в 322. Для подинтегральной функции f(x) = 1 2 имеем f"(x) = 2 -р—^Ti;
эта производная в промежутке [0, 1] меняет знак, но по абсолютной величи-
величине остается меньшей 2. Отсюда, по формуле A3), |Я10| < 0,85 • 10~3. Мы
вычисляли ординаты на четыре знака с точностью до 0,00005; нетрудно ви-
видеть, что погрешность от округления ординат может быть включена в при-
приведенную выше оценку. Истинная погрешность, действительно, меньше этой
границы.
*' Мы говорим: примерно, ибо и | может изменяться с изменением п. Это
следует помнить и впредь.

178	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[327
326. Дополнительный член формулы трапеций. Займемся теперь форму-
формулой F) при прежних предположениях относительно функции /(*). Восполь-
Воспользовавшись интерполяционной формулой Лагранжа с дополнительным чле-
членом [129, G)], можем написать [см. E)]
/(*) = Р,{х) + l-f"{n){x - а)(х -Ь) {а<ц< Ъ).
Интегрируя эту формулу от а до Ь, найдем
ъ	ъ
Jf(X) dx = {b- a) /(a)+/W + \ jf"(n)(X - а){Х - Ь) dx.
так что дополнительный член формулы F) будет
ъ
ъ
Рассуждая, как выше, и пользуясь тем, что второй множитель подинте-
гральной функции и здесь не меняет знака, найдем
1 „	Г	(Ъ - аK „
Р = г Л*) / ^ " а^х ~b)dx = ~ 12 f (У/*} (й ^ ^* ^ ^'
Наконец, для случая деления промежутка на п равных частей
(а^Ч^Ь).	A4)
^
Таков дополнительный член формулы трапеций B). При возрастании п он
также убывает примерно как \. Мы видим, что применение формулы трапеций
приводит к погрешности того же порядка, что и для формулы прямоугольников.
327. Дополнительный член формулы Симпсона. Обратимся, наконец, к фор-
формуле (8). Можно было бы, аналогично тому, как это было сделано только что,
снова воспользоваться интерполяционной формулой Лагранжа с дополнитель-
дополнительным членом [129, G)] и положить [см. G)]
±±y-b) (a<J<b). A5)
Но мы сталкиваемся здесь снова с таким положением вещей, какое имели в п° 325
[см. замечание]. Именно, проинтегрировав равенство A5), мы не могли бы упро-
упростить интегральное выражение для дополнительного члена с помощью теоремы

327]	§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ	179
о среднем, так как выражение (х — а) (х — ^у^) {х — Ь) в подынтегральной
функции уже меняет знак в промежутке [а, Ь]. Поэтому мы поступим
иначе.
Выражение
R2(z) + K(z - a)(z - Ц^уг - Ь),
каково бы ни было число К, в точках z = а, ^^-, Ь принимает те
же значения, что и функция f(z). Легко подобрать теперь число К так, что-
чтобы и производная этого выражения при z = ^y^ совпадала с производной
/; (^j^)- Таким образом, при этом значении К мы имеем в лице написанно-
написанного выражения не что иное, как интерполяционный многочлен Эр ми та [130],
отвечающий простым узлам a, b и двукратному узлу ^-^-. Воспользовавшись
формулой Эрмита с дополнительным членом [130, A1)] — в предположении
существования для функции f(x) производных до четвертого порядка включи-
включительно, получим:
= Р2(х) + К(х -а)(х- ^)(х -
Теперь проинтегрируем это равенство от а до Ь; мы найдем, что
/(*) * = Ц1 (/(а) + 4/
а
так как
ь
f(x - а)(х - ^j^j(x - b)dx =
Если предположить производную /^ '(х) непрерывной, то, как и в предыдущих
случаях, дополнительный член формулы (8)
(x-a)dx,

180	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[327
пользуясь тем, что второй множитель в подынтегральном выражении не
меняет знака, можно представить в такой форме *):
P = irJ iS ) (x-a)[x	— {x-b)dx =
—)
180 • 24
Если промежуток [а, Ь] разделен на п равных частей, то — для формулы
Симпсона A0) — получим дополнительный член в виде
При возрастании п это выражение убывает примерно как -^; таким об-
образом, формула Симпсона действительно выгоднее двух предшествующих
формул.	х
Обратимся снова к примеру интеграла J у^2- Для того чтобы избежать
вычисления четвертой производной, фигурирующей в формуле A6), мы заметим,
что функция f(x) = 1 2 сама является производной от j/ = arctgjc, так что мы
можем воспользоваться готовой формулой из 8), 116. В согласии с ней,
/D)М =УE) = 24 cos5.у • sin 5 (у + -) = 24 cos5;; • cos 5.y;
это выражение по абсолютной величине не превосходит 24, так что, по форму-
формуле A6), |^21 < тещ < 0,0006. Истинная погрешность, как мы видели, значи-
значительно меньше этой границы.
Замечание. На этом примере бросается в глаза, что граница погрешно-
погрешности, найденная по нашей формуле, оказывается довольно грубой. К сожалению —
и в этом практический недостаток выведенных формул, — подобное обстоятель-
обстоятельство встречается нередко.
Тем не менее именно с помощью этих формул, позволяющих все же оцени-
оценивать погрешность наперед, можно осуществлять приближенное вычисление опре-
определенных интегралов. Обратимся к примерам.
*) Если f(x) есть многочлен степени не выше третьей, то, очевидно, р обра-
обращается в 0. Значит, для такого многочлена формула (8) будет точной (в чем
легко убедиться и непосредственно).

328]	§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ	181
328. Примеры.
2
1) Вычислим интеграл J -Цг = 1п2 с точностью до 0,001, воспользовавшись
1
формулой прямоугольников.
Так как для f(x) = j имеем 0 < f"{x) = \ ^ 2 (если 1 ^ х ^ 2), то по
формуле A3)
1
0<*и< 12^"
Если взять п = 10, то дополнительный член нашей формулы будет
^10 < ТШ < ^'^ ' ^ • ^ам пРиДется внести еще погрешность, округляя зна-
значения функции; постараемся, чтобы границы этой новой погрешности разнились
меньше чем на 0,16 • 10. С этой целью достаточно вычислять значения функ-
функции j с четырьмя знаками, с точностью до 0,00005. Имеем:
х 3
Х1
Х9_
т
х^
Т
= 1,05
= 1,15
= 1,25
= 1,35
= 1,45
= 1,55
= 1,65
= 1,75
У\
У 5
Ух
У 9
У11
Уп
У 15
= 0,9524
= 0,8696
= 0,8
= 0,7407
= 0,6897
= 0,6452
= 0,6061
= 0,5714
6,9284
	 = 0,69284.
хп = 1,85 уп = 0,5405
хХ9 = 1,95 у19 =0,5128
т	т
сумма 6,9284
Учитывая, что поправка к каждой ординате (а следовательно, и к их среднему
арифметическому) содержится между d= 0,00005, а также принимая во внимание
оценку дополнительного члена R^q, найдем, что In 2 содержится между границами
0,69279 = 0,69284 - 0,00005 и 0,69373 = 0,69284 + 0,00005 + 0,00084, а следо-
следовательно, и подавно между 0,692 и 0,694. Таким образом, In 2 = 0,693 zb 0,001.
2) Провести то же вычисление по формуле трапеций.
В этом случае по формуле A4)
Попробуем и здесь взять п = 10, хотя тогда гарантировать можно лишь, что
< щ| < 1,7 • 10 . Ординаты (вычисленные с той же точностью, что

182	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[328
и выше) будут
хх = 1,1	ух = 0,9091
х2 = 1,2	у2 = 0,8333
х3 = 1,3	уъ = 0,7692
*4 = М	у4 = 0,7143	jc0 = 1,0	у0 = 1,0000
jc5 = 1,5	у5 = 0,6667	хт = 2,0 З^ю = 1,5000
х6 = 1,6	j/6 = 0,6250	сумма 1,5000
х7 = 1,7	у7 = 0,5882
*8 = 1,8 ys = 0,5556
1 /1,5000	\
jc9 = 1,9 у9 = 0,5263	— (	+ 6,1877 J = 0,69377.
сумма 6,1877
Учитывая все поправки, найдем, что In 2 содержится между границами
0,69202 = 0,69377-0,00005-0,00170 и 0,69382 = 0,69377 + 0,00005, т. е. снова
между 0,692 и 0,694 и т. д.
3) С помощью формулы Симпсона при том же числе ординат можно
получить более точный результат. Так как четвертая производная подинтеграль-
ной функции есть Щ, то, по формуле A6),
Rn<0
И
24	2
'180- {InL 15- {InL'
При п = 5 (тогда число ординат то же, что и в предыдущем случае) имеем
| < 1,4 • 10~ . Вычисление проведем на пять знаков, с точностью до 0,000005:
хх = 1,2 ух = 0,83333	* 1 = 1,1 ух_ = 0,90909
х2 = 1,4 у2 = 0,71429	*з	= U	уъ_= 0,76923
х3 = 1,6 у3 = 0,62500	*5	= 1,5	у5_ = 0,66667
х4 = 1,8 у4 = 0,55556	х7_	= 1,7	у 7_ = 0,58824
сумма 2,72818 -2	*2	= 1,9	3^9= 0,52632
5,45636	сумма 3,45955-4
13,83820
х0 = 1,0 у0 = 1,00000
jc5 = 2,0 у5 = 0,50000
сумма 1,50000
— A,50000 + 5,45636 + 13,83820) = 0,693152.

328]
5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
183
Отсюда In 2 содержится между границами
0,693133 = 0,693152 - 0,000005 - 0,000014
и
0,693157 = 0,693152 + 0,000005,
так что, например, можно положить In 2 = 0,693 15±q 00002-
В действительности In 2 = 0,69314718 . . ., и истинная погрешность оказыва-
оказывается меньшей, чем 0,000005 [ср. замечание в конце предыдущего п°].
4) Поставим себе задачей вычислить полный эллиптический интег-
интеграл 2-го рода *)
f
с точностью до 0,001 по формуле Симпсона.
|/
4) |
Для функции f[x) = л /1 — j sin х при изменении х от 0 до ^ имеем
12**}, поэтому [см. A6)]
\Rn\ <
1 и1
• 2 < - •
3
л 2 < - • 	-г,
180- BпL	3 BпL
Возьмем п = 3, так что \R^\ < 0,00052. Тогда
х0 = 0 @°) у0 = 1,0000
х 1 = ^ A5°) 4у 1 = \/12 + л/Т2 = 3,9324
^ = 1,8708
так как
—\ < 10.
2/
= J C0°) 2У1 = ^
6	2
= - D5°) Ауъ_ = л/12 = 3,4641
= f F0°) 2у2 =
= U5063 ...
JC5 = — G5°) 4у5_ = л/12- л/12 = 2,9216
/о"
= — =0,7071
сумма 15,4771
К полученному результату кроме поправки R^ следует добавить еще (неот-
(неотрицательную) поправку на округление, которая не превосходит ' 36 'ж < 0,00003.
* ^ См. сноску на с. 156.
**) Очевидно, у = f(x) ^ А=; дифференцируя тождество у = 1 — j sin л:,
легко последовательно получить оценки (сверху) абсолютных величин произвол-

184
ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[328
Таким образом,
1,35011 < е
D=
=) < 1,
35118,
и можно утверждать, что E(-^J = 1,351±0001.
[На деле в полученном результате все знаки верны.]
5) Вычислить интеграл
1
"'=/•
с точностью до 0,0001 по формуле Симпсона.
Непосредственно вычислив четвертую производную от подинтегральной
функции, убеждаемся, что по абсолютной величине она не превосходит 12; по-
поэтому
1 п
180.B/1L"
Достаточно взять п = 5, ибо \R5\ < 0,7 • 10~5. Имеем
х0 = 0,0 у0 = 1,00000
х5 = 1,0 у5 = 1,36788
i = 0,1 yL= 0,99005
сумма 1,36788
хх = 0,2	ух= 0,96079
х2 = 0,4	у2 = 0,85214
х3 = 0,6	у3 = 0,69768
х4 = 0,8	з;4 = 0,52729
хъ_	=0,3	уъ_ =0,91393
*5	= 0,5	у1 = 0,77680
х 7	=0,7	у7 =0,61263
2	2
= 0,9
= 0,44486
сумма 3,74027 • 4
14,96108
сумма 3,03790 • 2	1,36788 + 6,07580 + 14,96108
6,07580
30
= 0,746825
0,746813 < W < 0,746837
W = О,7468+о5ОООО5.
[И здесь в полученном результате верны все шесть знаков!]
6) Найдем интеграл
G =
/SLYCtgX
X
dx

328]
5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
185
[ср. 314, 6)] по формуле Симпсона при п = 5, вычисляя на пять знаков:
Уо = !
у5 = 0,78540
сумма 1,78540
ух	=	0,98698
у2	=	0,95127
у3	=	0,90070
у4	=	0,84343
ух	=	0,99668
2
уъ_	=	0,97152
у5	=	0,92730
у\
= 0,87246
сумма 3,68238-2 у2 = 0,81424
7,36476
1,78540 + 7,36476 + 18,32880
30
сумма 4,58220 • 4
18,32880
= 0,915965.
В полученном результате все знаки верны. Предоставляем читателю оценить
погрешность по формуле A6).
Значение G иногда называют постоянной Каталана (Е. Catalan) [см. так-
также 440, 6), (а)].
Замечание. Последние три примера интересны в том отношении, что со-
соответствующие первообразные функции в конечном виде не выражаются, так что
ими воспользоваться для вычисления определенных интегралов было бы невоз-
невозможно.
Наоборот, если эти первообразные представить в виде определенных инте-
интегралов с переменным верхним пределом, то можно было бы вычислить значения
этих интегралов, отвечающих ряду значений верхнего предела. Этим, с принци-
принципиальной стороны, выясняется возможность составления для функций, заданных
лишь их интегральными выражениями, таких же таблиц, какие известны читателю
для элементарных функций.
На этом пути можно также получить для упомянутых функций и приближен-
приближенные выражения.

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
§ 1. Длина кривой
329. Вычисление длины кривой. Пусть на плоскости параме-
параметрическими уравнениями
x=<p(t), y = rl>(t) (to^t ^ T)	A)
задана непрерывная простая кривая АВ. В первом томе [247] бы-
было установлено понятие длины кривой как точной верхней
границы S периметров вписанных в кривую ломаных
S = sup{p}.	B)
В предположении, что функции A) имеют непрерывные производ-
производные, было доказано [248], что кривая спрямляема, т. е. дли-
длина дуги конечна. Больше того, если рассмотреть переменную
дугу AM, где М — любая точка кривой, отвечающая значению t
параметра, то было установлено, что длина
АМ= s = s(t)
есть дифференцируемая функция от t9 производная которой выра-
выражается так:
или — короче —
]	C)
[248, A0)] и, очевидно, тоже непрерывна.

329]	§ 1. ДЛИНА КРИВОЙ	187
Владея понятием интеграла, мы можем теперь перейти и к в ы -
числению длиныs кривойАВ. По основной формуле интеграль-
интегрального исчисления, сразу получим
т
s(T) — s(t0) = s'tdt
'о
или
т	т
AB = S= JXp+y'2dt= / J[q>'(t)]* + [nt)]2dt- D)
Длина переменной дуги AM, о которой выше шла речь, как
легко понять, выразится формулой
AM=s=s{t)= J ^Jx't2+y't2dt.	E)
'о
Может случиться, что за начальную точку отсчета дуг берется
какая-либо внутренняя точка Мо. Если t0 по-прежнему опре-
определяет именно эту точку (в этом случае t0 уже не будет концом
промежутка, где изменяется t)9 то формула E) дает, очевидно,
величину дуги AM со знаком, именно — со знаком плюс,
если t > t0 и точка М лежит с положительной стороны от начала
отсчета дуг Мо, и со знаком минус, если t < t0 и точка М лежит
с отрицательной стороны от Мо.
Если кривая задана явным уравнением в прямоугольных ко-
координатах
y=f(x) (х0О^Х),
то, принимая х за параметр, из формулы D), как ее частный случай,
получим
X 		X
S=J y/l+y'x2dx = I y/l + \f'(x)]*dx.	Da)
xo	xo
Наконец, случай полярного задания кривой

188	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[330
как известно, также приводится к параметрическому с помощью
обычных формул перехода
х = г cos в = gF) cos в, у = г sin в = gF) sin в;
роль параметра здесь играет в. Для этого случая
S= / Jr> + r'e>d0= / JW)\2 + W)\2de. D6)
во	во
Легко для этих двух частных случаев задания кривой написать
и выражения для величины переменной дуги AM, если М отвечает
абсциссе х или полярному углу в:
х
= s =ф) = J ^Jl+yrx2dx	Ea)
AM=s =
х0
или, соответственно,
в
AM=s =sF)= / уr2 + r'e2 de.	E6)
330. Другой подход к определению понятия длины кривой
и ее вычислению. При определении самого понятия длины не-
непрерывной простой кривой A) мы исходили из равенства B). До-
Докажем теперь, что — в случае незамкнутой кривой — ее
длина S является не только точной верхней границей
для множества длин {р}, вписанных в кривую ломаных, но
и попросту пределом для р — при условии, что стремятся
к 0 длины всех сторон ломаной (р) (или, точнее, длина Я*
наибольшей из этих сторон):
S = lim p.	F)
Впрочем, удобнее исходить из значений параметра t\
tQ<tx<...<tt< fm <...<tn = T,	G)
определяющих положение на кривой вершин ломаной (/?), и пред-
предположить, что стремятся к нулю все приращения Att = ti+1 — tt
(или, точнее, наибольшее из них Я = max А^). Две леммы п° 245

330]	§ 1. ДЛИНА КРИВОЙ	189
обеспечивают равносильность обеих характеристик предельного
процесса. Итак, подлежит доказательству предельное соотношение
5= limp.	F*)
Сначала отметим следующее важное свойство периметра р.
Если он отвечает некоторому способу G) разложения промежут-
промежутка [/q, T] и затем мы вставим еще одну точку деления 1\
то периметр р разве лишь увеличится, причем увеличение его не
превзойдет удвоенной суммы колебаний функций q>(t) nip(t) в про-
промежутке [tk, tk+l]. Действительно, добавление новой точки t заме-
заменяет в сумме р одно слагаемое (длину стороны):
]2 + №k+1)-tp(tk)]*	(8)
суммой двух слагаемых (суммой длин двух сторон):
которая во всяком случае не меньше, чем слагаемое (8).
С другой стороны, вся сумма (9) не превосходит суммы
и, следовательно, увеличение периметра р и подавно не пре-
превосходит этого числа, которое, очевидно, меньше упомянутой удво-
удвоенной суммы колебаний.
В дальнейших рассуждениях ограничимся случаем конечного S.
Для произвольно малого числа е >0, по определению точной
верхней границы, найдется такой способ разбиения промежут-
промежутка [/q, T] на части точками
tl=tQ<t\<tt<...<t*m = T,	A0)
что для соответствующего периметра /?* будет выполняться нера-
неравенство
p*>s--.	(и)
Ввиду равномерной непрерывности функций q>(t) и ip(t) существует
столь малое число S > 0, что

190	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[330
лишь только \t" —1'\ < S. Разобьем же промежуток [t0, T] на части
точками G) под единственным условием, что Я < S (т. е. что все
Atj < 8), и составим соответствующую сумму р.
Рассмотрим третий способ дробления промежутка [t0, T] на ча-
части, при котором точками деления служат как все точки tt спосо-
способа G), так и все точки t\ способа A0); пусть ему отвечает пери-
периметр р0. Так как этот способ получен из A0) путем добавления
новых точек, то, в силу сказанного вначале,
Ро>Р*-	A2)
С другой стороны, тот же способ получен и из G) добавлени-
добавлением точек t\. Добавление каждой точки t\ увеличивает р не бо-
более, чем на удвоенную сумму соответствующих колебаний функ-
функций cp{t) и ip(t), т. е. меньше чем на ^. Так как этот процесс
повторяется меньше чем m раз, то р0 превзойдет р меньше чем
на §:
Ро<Р+2'	A3)
Из неравенств A3), A2), A1) следует, что
р> S-?,
так что 0 < S — р < е, откуда вытекает доказываемое утвержде-
утверждение F*), а значит, и F).
Так как из F) обратно вытекает B), то равенство F) можно
рассматривать как новое определение длины кривой, равносильное
прежнему.
Замечание. Однако, как нетрудно видеть, в случае зам-
замкнутой кривой такое определение не может быть применено
безоговорочно: ведь даже при со-
соблюдении указанного условия ни-
ничто не мешало бы ломаной стяги-
стягиваться в точку, а ее периметру —
стремиться к 0 (рис. 8). Суть де-
дела в том, что при незамкнутой
с#	кривой одно убывание всех зве-
звеньев ломаной (р) до нуля уже
обеспечивает все более тесное примыкание их к соответствующим
частичным дугам; поэтому-то и естественно предел ее периметра р
принять за длину всей дуги. В случае же замкнутой кривой дело
обстоит уже не так.

330]
§ 1. ДЛИНА КРИВОЙ
191
[Отметим, что если вместо стремления к 0 длин всех сторон
ломаной потребовать того же относительно диаметров соответ-
соответствующих дуг, то новое определение было бы в равной мере
приложимо как к незамкнутым, так и к замкнутым кривым.]
Покажем теперь, как из определения F) или — что то же —
F*) непосредственно вывести выражение D) для длины S кривой.
Будем исходить из готового выражения для периметра р ломаной
[см. 248, G)]:
л-1 ,
/=0
где rt, Tt — некоторые значения t из промежутка [tt, f/+1].
Если заменить во втором слагаемом под знаком корня везде Tt
на ri9 то преобразованное выражение
л-1
/=0
очевидно, представит собой интегральную сумму как раз
для интеграла D). При стремлении Я к нулю эта сумма и будет
иметь своим пределом упомянутый интеграл *}. Для того чтобы
показать, что к тому же пределу стремится и периметр р ломаной,
достаточно обнаружить, что разность р — о стремится к нулю.
С этой целью произведем оценку этой разности
•Дт,,
Элементарное неравенство
**)
*) Существование его не вызывает сомнений, ибо подинтегральная функция
непрерывна [298, I].
**^ Неравенство это очевидно при а = 0; если же а ф 0, то оно непосредствен-
непосредственно вытекает из тождества
b+b< (b-bl).
так как множитель при разности в скобках по абсолютной величине меньше еди-
единицы.

192
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[331
если применить его к каждому слагаемому написанной выше сум-
суммы в отдельности, даст нам
Ввиду непрерывности функции i/)'(t)9 по любому заданному
е > О найдется такое 8 > О, что \ip'(t) — i/)'(t)\ < e, лишь только
\t —1\ < 8. Если взять Я < 8 (т. е. все Att < 8), то и \rt —Tt\ < 8,
так что \ф'(тг) — ip'(ji)\ < ? и
Это доказывает формулу D).
331. Примеры.
х
1) Цепная линия: у = a ch — (рис. 9). Мы имели уже в 1), 252:
Тогда по формуле Eа), если за начало
отсчета дуг принять вершину А кривой:
s =АМ =
i — dx = a sh —.
a	a
Рис.9
Вспоминая, что tga = у'х = sh |,
имеем также s = a tga. Таким обра-
зом, в AMPS (рис. 9) катет MS = a tg a
в точности равен (по длине) дуге s. Мы
получили простой способ графического
спрямления цепной линии.
2) Парабола: у = —.
2р
Приняв за начало отсчета дуг вершину О (х =0), для произвольной точки М
с абсциссой х имеем
s = ОМ
P J

331]
§ 1. ДЛИНА КРИВОЙ
193
3) Астроида: х = a cos3 t, у = a sin3 t.
Пользуясь уже вычисленными [224, 4)] значениями х\ nyft, имеем
y'z = За sin t cos t ( если 0 < Г<
Длина четверти астроиды между точками А (а, 0) и В@, а), по формуле D), равна
АВ = За / si
За .
sint cost dt = — sin
. 2
in i
Ъа
T'
так что длина всей кривой будет 6а.
4) Циклоида: х = a(t — sint), j/ = а{\ — cost).
Здесь (при 0 ^ t ^ 2ж)
lx't2 +y't2 = ay A - cos О2 + sin2
длина одной ветви циклоиды, по формуле D), будет
= 2a sin-;
2а
sin - dt = —4a cos -
2	2
2л-
= 8а.
5) Эвольвента круга: х = a(t sint -\- cost), у = a(sint — t cost).
Имеем (при t > 0)
y/xft2 +y't2 = а л/(t costJ + (tsintJ = at,
так что переменная дуга AM от точки A (t = 0) до любой точки М (t > 0) выра-
выразится так:
При t < 0 в предшествующей формуле справа нужно лишь поставить знак
минус.
6) Архимедова спираль: г = аО.
По формуле E6), отсчитывая дугу от полюса О до любой точки М (отвеча-
(отвечающей углу в), получаем
ОМ
Любопытно, что, подставив здесь в = §, мы придем к выражению, формально
сходному с выражением для длины дуги параболы [см. 2)].
7) Логарифмическая спираль: г = ает (рис. 10).
Так как г'в = тг, то г = ^^,и для дуги М0М между двумя точками с ко-
координатами (г0, #0) и (г, 0) будем иметь, по той же формуле E6),
в		 в
^2~
s =М0М=

194
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[331
Если вспомнить, что для логарифмической спирали tg со = ^, то полученный ре-
результат можно написать так:
Рис. 10
г = М0М =
Приближая точку Mq к по-
полюсу О, т. е. устремляя г0 к ну-
нулю и принимая получае-
получаемый при этом предел
длины дуги М0М за длину
дуги ОМ, мы придем к еще
более простому результату:
s = дм= -?—.
cos со
С помощью этой формулы
из /\МОТ (см. рис. 10) уже лег-
легко усмотреть, что дуга s рав-
равна полярному отрезку касатель-
касательной tp [см. 232]:
ОМ= ТМ
*)
Мы получили весьма простой способ графического спрямления нашей кривой.
8) Эллипс: — + Ч- = 1.
а1 Ъ1
Удобнее, впрочем, взять уравнения эллипса в параметрической форме
х = a sin t, у = Ъ cos t. Очевидно,
Ъ2 sin21 =
= ^a2 - (a2 - b2) sin2t = a^l-
- sin
v
где e = ——	 есть численный эксцентриситет эллипса.
Вычисляя длину дуги эллипса от верхнего конца малой оси до любой его
точки в первом квадранте, получим
t
s = a
= aE(e,t).
*) Это свойство логарифмической спирали позволяет легко установить такое
предложение: когда эта кривая катится без скольжения по прямой МТ, то
полюс О (если считать его неизменно связанным с кривой) описывает некоторую
прямую. Предоставляем читателю доказательство.

331]	§ 1. ДЛИНА КРИВОЙ	195
Таким образом, длина дуги эллипса выражается эллиптическим интегра-
интегралом 2-го рода [293; см. также 305]; как указывалось, этот факт послужил поводом
для самого названия «эллиптический».
В частности, длина четверти обвода эллипса выражается через полный
эллиптический интеграл *)
— e2 sin21 dt = aE(e).
0
Длина же всего обвода будет
Интересно отметить, что для длины одной волны синусоиды у = с sin |, где
с = yja2 — b2, получается в точности такой же результат. Геометрически это
совпадение объяснить легко. Вообразим прямой круговой цилиндр; в пересече-
пересечении его поверхности с плоскостью, наклонной к образующим, получится эллипс.
Если разрезать поверхность цилиндра по образующей, проходящей через вершину
малой оси, и развернуть, то обвод эллипса перейдет в синусоиду.
Аналогично к эллиптическим интегралам (обоихродов) приводится
и вычисление дуги гиперболы.
9) Улитка: r = acos6 + b.
Здесь r'e = —a sin# и
г2 + г'в2 = а1 + 2ab cos в + Ъ1 = {а + ЪI (\	—у sin2 -
V [а + оI 2
Поэтому (при Ъ ф а) для длины дуги от точки, для которой в = 0, до точки
с любым 0 < л получим выражение в виде эллиптического интеграла
B-го рода)
f I	4ab Г" Bл/~аЪ в
= 2(а + Ь) / Wl-	sm2tdt = 2(a + b)E(-Z—, -
J у	(а + ЪI \а + Ъ 2
О
Длина всей кривой выразится полным эллиптическим интегралом:
Однако для частного случая — кардиоиды {Ь = а) — дело значительно
упрощается. В этом случае
2 /2 л 2 2 "
г + г q = 4а cos —,
*)
См. сноску на с. 156.

196	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
так что @ < 6 < ж)
[331
s = 2а
и
Г в
/cos-
6
dO = 4а sin -.
Если (рис. 11) из полюса О радиусом 2а описать дугу AL до пересечения с
продолженным радиусом-вектором ОМ, то хорда AL, очевидно, будет равна
дуге s = AM.
Длина всей кардиоиды будет 8а.
10) Лемниската: г = 2а cos26.
Вычислим длину дуги лемнискаты от
вершины, отвечающей 6 = 0, до любой точ-
точки с полярным углом 0 < ^.
Имеем
гге = —2а sin 26,
откуда
2а sin 26
В таком случае
Рис. 11
и, по формуле E6),
V2
s =
•*}¦
dO
v/i_2sin26>
мы снова приходим к эллиптическому интегралу A-го рода). Так как
таблицы вычислены для интегралов, в которых множитель к при sin 6 меньше
единицы, то прибегаем к замене переменной. Положим 2 sin 6 = sin cp (так как
6 < j, то 2 sin 6 < 1, и угол q.
тогда
1
sin# = —= sin(p,
\/2
отсюда определить действительно можно);
cos 6 d6 = —= cos
л/2
1
cos (p dcp
1—2 sin ф = cos (p
и окончательно
s = a / —
— 4 sin

331]
§ 1. ДЛИНА КРИВОЙ
197
Полагая в предельном случае *^ ^ = |, а<р = |, для длины четверти лем-
лемнискаты получим выражение через полный эллиптический интеграл
[	dcp
I л/l-Ui
длина всей лемнискаты будет S = 4аК(-К=).
Замечательно, что задача спрямления дуги кривой столь часто приводит имен-
именно к эллиптическим интегралам.
11) В заключение приведем пример использования формулы для длины дуги
при построении эвольвенты кривой [256].
Рассмотрим цепную линию. Если текущие координаты ее точки обозна-
обозначить через |, ц (применительно к обозначениям п° 256), а дугу ее, отсчитываемую
от вершины, — через а, то уравнение кривой напишется в виде
г\ = a ch -,
а
а дуга представится формулой [см. 1)]
о = a sh -.
а
Отсюда можно выразить | и ц непосредственно в функции от а\
Теперь, по формулам A7), 256, учитывая, что здесь [см. там же A8)]
cos/З = —	¦, sin/3 =
можно написать параметрические уравнения произвольной эвольвенты
а
х = a [ln(cr + л/сг2 + а2 ) — In я] + (с — о)
а2 + (с - а)
Остановимся на той из эвольвент, которая отвечает с = 0; она исходит из
вершины цепной линии и имеет в ней точку возврата (рис. 12). Исключая а, эту
кривую (называемую трактрисой) можно выразить и явным уравнением
х = ± \а\п
*) Мы вынуждены рассматривать этот случай именно как предельный, переходя
в полученном выражении для s к пределу при 0 —>> ^ или ф —>> ^, так как
при 0 = ^ производная rj = oo и формула E6) непосредственно не
приложима.

198	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Если вспомнить выражение «отрезка» касательной [230, D)]
[332
t=
= у\ /1+ "г
то отсюда легко получить, что t = а. Этим выражено замечательное свойство
трактрисы: отрезок касательной для нее имеет постоянную величину *\
У
О
Рис. 12
Этот результат легко получается и непосредственно из свойств цепной линии
[см. в 1) ее спрямление, рис. 9].
332. Натуральное уравнение плоской кривой. Представле-
Представление кривой с помощью уравнения между координатами ее то-
точек (по отношению к какой-либо системе координат), несмотря
на всю полезность такого представления, часто носит искусствен-
искусственный характер, поскольку координаты не являются существенны-
существенными геометрическими элементами кривой. Такими существенными
элементами, наоборот, являются дуга кривой s9 отсчитывае-
отсчитываемая в определенном направлении от некоторой начальной точ-
точки, и радиус кривизны R (или сама кривизна к = ^)
[см. 250; 251].
*) С этим связано и самое название трактриса (происходящее от латин-
латинского глагола trahere — влечь, тащить): если движущаяся по горизонтали
точка Т при помощи нити ТМ тащит за собой точку М, то последняя будет
описывать как раз трактрису.

332]	§ 1. ДЛИНА КРИВОЙ	199
Для каждой кривой между этими элементами можно установить
зависимость вида
F(s,R) = 0,
которая и называется натуральным уравнением *} кривой.
Докажем, что кривые, имеющие одно и то же натураль-
натуральное уравнение, могут отличаться только своим положением
на плоскости, так что форму кривой натуральное уравнение
определяет вполне однозначно.
Пусть же две кривые (I) и (II) имеют одно и то же натуральное
уравнение, которое мы возьмем в виде
Для того чтобы доказать их конгруэнтность, сначала перенесем од-
одну из кривых так, чтобы совпали точки, от которых на обеих кри-
кривых отсчитываются дуги, а затем повернем эту кривую так, чтобы
совпали положительные направления касательных в этих точках.
Отметим указателями A и 2) соответствующие одному и тому
же значению s элементы обеих кривых:
координаты переменной точки: (xl,yl) и (х2,у2);
угол касательной с осью х: ах и а2;
радиус кривизны: Rx и R2.
В силу A4), будем иметь при всех s: ^- = -^-, т. е. [250, B)]
^1 = ^2.	A5)
as as
Кроме того, как предположено, при s = 0
хг=х2, Ух=У2	A6)
и
ах=а2.	A7)
Из A5), по следствию п° 131, вытекает, что ах и а2 могут раз-
разниться лишь на постоянную; но, как мы видели, при s = 0 эти
*) Перевод немецкого термина: nattirliche Gleichung; не менее выразителен
и французский термин: equation intrinseque (т. е. «внутреннее уравнение»).

200	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[332
величины совпадают, следовательно, равенство A7) имеет место
всегда. В таком случае для всех значений s будет [249, A5)]
с1хл	dx0
—— = cosai = cosa2 = —r^,
as	as
d\\	.	dy0
—— = sin ax = sin a2 = —^,
as	as
откуда аналогичным образом заключаем, что и равенства A6) име-
имеют место всегда, т. е. кривые совпадают.
Покажем теперь, как по натуральному уравнению A4) кривой
восстановить координатное представление ее. Прежде всего из A4)
имеем ^ = g(s)9 так что
S
а = J g(s)ds + а0,	A8)
о
где а0 — постоянная. Затем, исходя из равенств
dx = cos ads, dy = sinads,	A9)
интегрируя, находим
s	s
x	d +
о	о
s	s
= cos ads +x0, у = sinads +у$,	B0)
где х0 и у0 — новые постоянные.
Нетрудно понять, что вращение кривой влечет за собой изме-
изменение постоянной а0, а параллельное перенесение ее связано с из-
изменением постоянных х0, з;о-*) Равенство этих постоянных нулю
означает, очевидно, что кривая расположена так, что начальная точ-
точка для отсчета дуг совмещена с началом координат, а положитель-
положительное направление касательной в ней совпадает с положительным
направлением оси х.
Пусть теперь уравнение A4) взято произвольно [лишь функ-
функцию g(s) мы будем предполагать непрерывной]. Тогда, опреде-
определив сначала а формулой A8), а затем х иу — уравнениями B0),
получим параметрическое представление некоторой кривой. Диф-
*^ Обращая эти утверждения, легко получить новое доказательство того пред-
предложения, которое было высказано выше.

332]
§ 1. ДЛИНА КРИВОЙ
201
ференцируя B0), вернемся к A9), откуда прежде всего усматрива-
усматриваем, что
ds2 = dx2 + dy2,
так что ds, действительно, является дифференциалом дуги этой
кривой, a s — дугой (если надлежаще выбрать начальную точку
отсчета). Затем те же равенства A9) приводят к заключению, что а
служит углом касательной к той же кривой с осью х. Наконец,
дифференцируя A8), найдем, что кривизна будет равна
da
и, таким образом, уравнение A4) действительно оказывается на-
натуральным уравнением для
нашей кривой. Итак, каждое урав-
уравнение вида A4), где функция g(s)
непрерывна, может быть рас-
рассматриваемо как натуральное
уравнение некоторой кривой.
Обращаем внимание читателей
на то, что за счет выбора началь-
начальной точки и направления отсчета дуг
на кривой в ее натуральное уравне-
уравнение можно вносить (впрочем несу-
несущественные) изменения.
В заключение заметим еще, что
две симметрично расположенные кривые*) (рис. 13) имеют
натуральные уравнения вида A4), разнящиеся лишь знаком пра-
правой части
Рис. 13
1
и — =
B1)
Действительно, при согласном выборе начальных точек и направ-
направления для отсчета дуг на обеих кривых радиусы кривизны их бу-
будут иметь противоположные знаки. Обратно, две кривые, имеющие,
соответственно, уравнения B1), передвижением по плоскости мо-
могут быть приведены в симметричное положение. Можно не считать
и такие две кривые существенно разнящимися по форме.
*^ Совместить их перемещением по плоскости нельзя; для этого понадо-
понадобилось бы вращение в пространстве.

202	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[333
333. Примеры.
1) Наш
Имеем
1) Найти кривую, отвечающую натуральному уравнению R = las.
da	I	12s	a 2
a = \ — , s = - a ,
ds V2as	V a	2
так что ds = a a da. Выбирая а в качестве параметра, получим затем
dx = cos a ds = аа cos a da, dy = sin ads = aa sin a da,
откуда
x = a (cos a + a sin a), у = a (sin a — a cos a).
Кривая оказалась эвольвентой круга [225, 8)].
2) То же для натурального уравнения R2 + s2 = \6а2. Здесь
• s	л .
а = arcsm —, s = Аа sin a, <is = 4а cos a da.
ds ^I6a2 -s2
Тогда
dx = cos ads = 4a cos a da, dy = sin a ds = 4a sin a cos a da
и отсюда, интегрируя,
2a (a -\— sin 2a ) = a Ba + sin 2a),
у = —a cos2a = a — a(\ + cos2a).
Если перейти к параметру t = 2а — ж, то уравнения полученной кривой примут
вид
^ = л-<2 + a(t — sin Г), j/ = а — а(\ — cost),
и мы узнаем циклоиду [225, 6)], лишь сдвинутую и перевернутую по сравне-
сравнению с обычным ее расположением.
3) То же для натурального уравнения R = ms.
Очевидно,
da I	Ins	ma
— = —, а = 	, s = е , ds = me da,
ds ms	m
dx = cos a • memada, dy = sin a • memada
и, наконец,
л: = 	r- (mcosa + sin a) ema, у = 	r- (msina — cos a) eWQ!.
1 + mz	1 + mz
Перейдем к полярным координатам. Прежде всего
т
*) Так как нам нужно восстановить хоть одну кривую, то выбирать постоян-
постоянные интегрирования мы будем лишь по соображениям удобства. Это замечание
следует иметь в виду и впредь.

333]	§ 1. ДЛИНА КРИВОЙ	203
Затем, вводя постоянный угол со под условием tg со = ^, будем иметь
у т sin a — cos a tg a — }-
~ = 	 = 	л	— = tg(« — СО),
х т cos a + sina I -|- ± tg a
так что полярный угол в можно принять равным а — со, откуда а = со + в. Окон-
Окончательно полярное уравнение найденной кривой будет таково:
т	тсо тв
" -	-.ее:
это — логарифмическая спираль [226, 3)]. Величина коэффициента
при етв роли не играет, его можно свести к 1 поворотом полярной оси.
4) Займемся теперь задачей другого рода: станем по заданной кривой уста-
устанавливать ее натуральное уравнение.
х
(а) Для цепной линии у = a ch - имели [331, 1); 252, 1)]
а
отсюда R = а + s—.
(б) Для астроиды х = a cos t, у = a sin t, если за начало для отсчета
дуг выбрать середину ее ветви в первом квадранте, будет [ср. 331, 3)]
3B . 2 3B	„
5 = 	 SHI Г	, Я = 3B SU1 Г COS Г.
Поэтому
„9 . 3B . 9 3B 9	./3B \ /3B	\ 9B2 . 9
Я	4	sm ,	CQS , ^ + s j ^	^ j	^^
и окончательно натуральное уравнение астроиды может быть написано в виде
R2 + 4s2=94-
(в)	В случае кардиоиды г = а(\ + cos#) у нас было [331, 9); 252, 6)]
.в	4	в
s = 4а sin —, R = - a cos —;
согласно, 9R -\- s — 16а .
(г)	Последние два результата содержатся как частные случаи в следующем.
Для эпи- и гипоциклоиды [225, 7)] натуральное уравнение будет
A + 2mJR2 + s2 = 16w2(l + т2) а2.
(д)	Нетрудно вновь получить натуральные уравнения эвольвенты
круга, циклоиды и логарифмической спирали, известные нам
из 1)-3).
5) По натуральному уравнению кривой можно установить натуральное урав-
уравнение ее эволюты. Мы имели соотношение [255, A5)]
Если начало для отсчета дуг на эволюте выбрать так, чтобы было R = о
[см. 255, 2°], то, исключая R и s из этих двух соотношений и натурального

204	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[334
уравнения данной кривой, придем к зависимости между р и а, т. е. к нату-
натуральному уравнению эволюты.
(а)	Для логарифмической спирали R = ms; тогда р = mR = та.
С точностью до обозначений мы вернулись к прежнему уравнению, отсюда за-
заключаем, что эволютой будет такая же логарифмическая спираль, которая от
исходной может отличаться лишь положением [ср. 254, 5)].
(б)	Для эвольвенты круга
о = R = V2as, s = —,
2а
dR	Га 1 а	а
— = \ /	т= = —, р = о • — = а
ds у 2 y/s о	о
[результат, который следовало предвидеть].
(в)	Если натуральное уравнение кривой имеет вид R + к s = с , то ее эво-
эволюта будет такой же кривой, но в к раз увеличенной по линейным размерам.
Действительно, имеем
а = R = л/с2 - k2s2, ks =
dR	k2s
ds
и, наконец,
p = —o • —-	 = —kyc1 — <72 или p + к о = (кс) .
о
Отсюда и вытекает сделанное утверждение.
Полученный результат применим к циклоиде [ср. 254, 4)], к эпи- и ги-
гипоциклоиде, в частности к кардиоиде и астроиде [254, 3)].
Замечание. Указанный метод во всех случаях позволяет судить лишь
о форме эволюты, оставляя открытым вопрос об ее положении.
334. Длина дуги пространственной кривой. По отношению
к простой пространственной кривой
x=cp(t), y=\j){t), z=x(t)
определение длины дуги может быть дано в таком же виде, как
и для плоской кривой [249, замечание]. Здесь также для длины дуги
получается формула, аналогичная D):
S =АВ= / y/x'2+y>2+z>2dt
'о
и т. д. На этот случай почти без изменений переносится все ска-
сказанное относительно случая плоской кривой. Не задерживаясь на
этом, приведем примеры.

335]	§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ	205
1) Винтовая линия: х = a cos^, у = a sirU, z = c/\
Так как здесь
то длина дуги кривой от точки ^4 [t = 0) до точки М [t — любое) будет
t
s = AM
0
— результат очевидный, если вспомнить, что при разворачивании цилиндрической
поверхности винтовая линия на ней превратится в наклонную прямую.
2) Кривая Вивиани: ^:=^sin t, y=Rsintcost, z = Rcost.
Имеем
ф>г+У>г + гп =
В таком случае длина всей кривой выразится полным эллиптическим
интегралом 2-го рода
S = 4R / у 1 + sin2 tdt = AR I \/1 + cos21 dt =
j	j
0	0
\- -sir^tdt = 4V2Re(-^-\
§ 2. Площади и объемы
335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности.
Многоугольной областью, или — короче — много-
многоугольником, мы будем называть произвольную конечную (воз-
(возможно, и несвязную) плоскую фигуру, ограниченную одной или
несколькими замкнутыми ломаными. Для такой фигуры понятие
площади было достаточно изучено в школьном курсе геометрии,
его мы положим в основу.47^
47^ Поскольку общее определение площади плоской фигуры будет
опираться далее на понятие площади многоугольника, остановимся ко-
коротко на этом последнем.
Прежде всего уточним определение многоугольника. Если нет специальных
оговорок, то подразумевается наиболее широкое возможное толкование дан-

206	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[335
Возьмем теперь произвольную фигуру (Р) на плоскости, пред-
представляющую собой ограниченную и замкнутую область.
ного термина; это значит, что под многоугольником понимается лю-
любая ограниченная фигура на плоскости, граничные точки которой со-
содержатся в некотором конечном наборе отрезков (тем самым допус-
допускаются в качестве граничных различного рода самопересекающиеся и выро-
вырожденные ломаные; кроме того, пустое множество также может условно счи-
считаться многоугольником). Отметим, что граничные точки могут, в принципе,
как принадлежать, так и не принадлежать многоугольнику или принадлежать
ему частично (например, треугольник может быть открытым, замкнутым, вклю-
включать внутренность и одну из своих сторон, внутренность и половину стороны
и т. д.).
В курсах элементарной математики доказывается (читатель может прове-
провести самостоятельное доказательство), что фигура на плоскости являет-
является многоугольником в том и только в том случае, когда она
представима в виде объединения конечного количества треугольников
(возможно, вырожденных). Это предложение и лежит в основе «элементар-
«элементарных методов» вычисления площадей. Из определений легко выводится также,
что объединение, пересечение и разность двух произвольных многоугольни-
многоугольников являются многоугольником. Этот факт неоднократно используется в даль-
дальнейшем.
Согласно школьному курсу геометрии площадью многоугольни-
многоугольника (Р) называют неотрицательное число S(P), обладающее следующими
свойствами:
1)	Если многоугольник (Р) разбит (или разложен) на два многоугольни-
многоугольника (Pi) и (Р2) [это значит, что многоугольники (Р±) и (Р2) в объединении
дают (Р) и не имеют общих внутренних точек], то S(P) = S(PX) + S(P2)
(свойство аддитивности площади).
2)	Если (Р) — прямоугольник со сторонами а и Ъ, то S(P) = ab; если
же (Р) = 0 (пустое множество), то S(P) = 0.
3); Если многоугольник (Р) содержится в объединении многоугольников
(Pi) и (Р2), то S(P) < S(PX) + S(P2); если же (Р) содержится в (Рх),
то S(P) < ^(^i) (свойства полу аддитивности и монотонности
площади).
4)' Площади равных многоугольников равны.
[Здесь свойства 3) и 4) отмечены штрихом, поскольку они могут быть выведены
из свойств 1) и 2), и поэтому их включение в определение необязательно.]
Корректность приведенного определения (другими словами, сущест-
существование и единственность площади многоугольника) может быть устано-
установлена с помощью триангуляции (разбиения произвольного многоугольника
на треугольники); подробное доказательство проводится обычно в (достаточно
полных) курсах элементарной математики.
В дальнейшем все сказанное о многоугольниках и их площадях используется
без специальных оговорок.

335]	§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ	207
Ее границу, или контур, (К) мы всегда будем себе представ-
представлять в виде замкнутой кривой *) (или нескольких таких кривых) 48\
Станем рассматривать всевозможные многоугольники (А), це-
целиком содержащиеся в (Р), и мно-
многоугольники (В), целиком в себе со-
содержащие (Р) (рис. 14). Если А и В
означают, соответственно, их пло-
площади, то всегда А ^ В. Множест-
Множество чисел {А}, ограниченное сверху
любым В, имеет точную верх-
верхнюю границу Р^ [11], причем Р^ ^ В.
Точно так же множество чисел {В},	ш"
ограниченное снизу числом Р^, име-
имеет точную нижнюю границу Р*; очевидно, что Р* ^ Р*. Эти
границы можно было бы назвать: первую — внутренней, а вто-
вторую — внешней площадью фигуры (Р).
Если обе границы
P*=sup{A} и Р*=Ы{В}
совпадают, то общее их значение Р называется площадью
фигуры (Р). В этом случае фигуру (Р) называют квадриру-
емой.
Как легко видеть, для существования площади необходимо
и достаточно, чтобы для любого е > 0 нашлись такие два
многоугольника (А) и (В), что В — А < г.
Действительно, необходимость этого условия вытекает из
основных свойств точных границ [11]: если площадь Р существует,
то найдется А > Р — | и 2? < Р + |. Достаточность сразу же
следует из неравенств
*^ В этом параграфе, говоря о кривой, мы всегда будем иметь в виду
непрерывную простую кривую, допускающую параметрическое представле-
представление. Как доказал Жор дан (C.Jordan), замкнутая кривая этого типа всегда раз-
разбивает плоскость на две области, внутреннюю и внешнюю, для которых и служит
общей границей.
' При определении площади фигуры (Р) существенно лишь предположение
о ее ограниченности; предположения о замкнутости (Р) и о виде ее границы —
контура (К) — служат лишь для повышения наглядности изложения.

208
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[335
Пусть теперь фигура (Р) разложена на две фигуры G^)
и (Р2) *); можно себе представить, например, что это осуществлено
с помощью кривой, соединяющей две точки ее контура, или цели-
целиком лежащей внутри (Р) (рис. 15, а и б). Докажем, что
квадрируемость двух из этих трех фигур (Р), (Рх), (Р2)
влечет за собой квадрируемость третьей, причем всегда
P = Pi+P2>	A)
т. е. площадь обладает свойством аддитивности.
Рис. 15
Предположим для определенности, что имеют площади фигу-
фигуры (Рх) и (Р2). Рассмотрим соответствующие им входящие и вы-
выходящие многоугольники (Ах), (Вх) и (А2), (В2). Из взаимно не
налегающих многоугольников {А^)9 (А2) составится многоугольная
область (А) с площадью А = Ах +А2, целиком содержащаяся в об-
области (Р). Из многоугольников же (Вх) и (В2), возможно и взаим-
взаимно налегающих, составится область (В) с площадью В ^ Вх + В2,
содержащая в себе область (Р). Очевидно,
АХ+А2=А ^В ^Вх+В2;
так как при этом Вх отАхиВ2отА2 могут отличаться произвольно
мало, то это же справедливо относительно В иА, откуда и вытекает
квадрируемость области (Р).
С другой стороны, имеем одновременно
Ах +А2 =А^Р ^В ^Вх+В2
и
Ах +А2 ^Р1+Р2^В1 +В2,
так что числа ?и Рх + Р2 содержатся между одними и теми же
и притом произвольно близкими границами Ах +А2 иВх + В2, сле-
следовательно, эти числа равны, что и требовалось доказать.
*^ Они могут иметь частично общую границу, но не налегают одна на
другую, т. е. не имеют общих внутренних точек.

336]
§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
209
Отметим, в частности, что отсюда Рх < Р9 так что часть фи-
фигуры имеет меньшую площадь, чем вся фигура.
336. Площадь как предел. Условие квадрируемости, сформу-
сформулированное в предыдущем п°, может быть перефразировано так:
1)	Для того чтобы фигура (Р) была квадрируема, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы существовали такие две последо-
последовательности многоугольников {(Ап)} и {(Вп)}, соответствен-
соответственно, содержащихся в (Р) и содержащих (Р), площади которых
имели бы общий предел
ПтАп = ПтВп=Р.	B)
Этот предел, очевидно, и будет площадью фигуры (Р).
Иногда вместо многоугольников выгоднее использовать другие
фигуры, квадрируемость которых уже установлена:
2)	Если для фигуры (Р) молено построить такие две по-
последовательности квадрируемых фигур {(Qn)} и {(Rn)},
соответственно, содержащихся в (Р) и содержащих (Р), пло-
площади которых имеют обший предел
HmQn = limRn = P,	C)
то фигура (Р) таклее квадрируема, причем упомянутый
предел и будет ее площадью.
Это сразу вытекает из предыдущего утверждения, если заме-
заменить каждую фигуру (Qn) содержащимся в ней многоугольни-
многоугольником (Ап)9 а фигуру (Rn) — содер-
содержащим ее многоугольником (Вп)9
настолько близкими к ним по пло-
площади, чтобы одновременно выпол-
выполнялось и B).
Хотя на практике выбор фи-
фигур (Ап), (Вп), (&,), (Rn), упоми-
упоминавшихся в двух сформулирован-
сформулированных выше признаках, и не создает
затруднений, но все же предста-
представляет принципиальный интерес устранение связанной с этим вы-
выбором неопределенности. С этой целью можно поступить,
например, так.
Заключив рассматриваемую фигуру (Р) внутрь некоторого пря-
прямоугольника (R) со сторонами, параллельными координатным
осям, разобьем его на части с помощью параллельных отрезков
(Я)
у/
щ
\
А
W.
®.
У/у.
х«
У/у
'&
y//t
<^
У/
А
¦со
К''у
Рис. 16

210	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[336
(рис. 16). Из прямоугольников, целиком содержащихся в облас-
области (Р), составим фигуру (А) (на рис. 16 она заштрихована), а из
прямоугольников, имеющих с (Р) общие внутренние точки, но мо-
могущих частично и выходить из этой области, составим фигуру (В).
Эти фигуры представляют, очевидно, частный случай тех много-
многоугольников (А) и (В), о которых была речь в определении понятия
площади; их площади АиВ зависят от способа разложения на части
прямоугольника (R). Будем через d обозначать длину наибольшей
из диагоналей частичных прямоугольников.
3) Если при d —>> 0 обе площади АиВ стремятся к общему
пределу Р, и только в этом случае, область (Р) будет
кеадрируема; при выполнении этого условия упомянутый пре-
предел и будет площадью фигуры (Р).
Читатель легко сам выразит понятие предела, которое здесь фи-
фигурирует, как «на языке e-S», так и «на языке последовательностей».
В доказательстве нуждается только необходимость ука-
указанного условия. Допустим же, что площадь Р существует, и уста-
установим, что тогда
Нш = А = lim В = Р	D)
d^O	d^O
По заданному г > 0 найдутся [335] такие многоугольники (А)
и (В), что В — А < е; при этом можно предположить, что их
контуры не имеют общих точек с контуром (К)
фигуры (Р).49) Обозначим через S наименьшее из расстояний
между точками контуров обоих многоугольников, с одной стороны,
и точками кривой (К) — с другой. *) Если взять теперь d < S, то
*) Пусть имеем две конечные непрерывные кривые на плоскости; предпо-
предположим, например, что они заданы параметрически
(I)	х = <p(t), у = ф{1), to^t < Г;
(II)	х=<р*(и), y = ip*(u), uq^u^U,
где ф, ip, ф*, ^* — непрерывные функции, каждая от своего аргумента. Тогда
расстояние между двумя произвольными точками этих кривых
будет непрерывной функцией от (t,u) в замкнутой области [t$, Т;щ, U] и, сле-
следовательно, достигает там своего наименьшего значения [173]. Если кривые не
пересекаются, то это наименьшее расстояние будет отлично от нуля.
' Формальная проверка корректности этого дополнительного предположения
может потребовать от читателя некоторых усилий.

337]	§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ	211
каждый частичный прямоугольник, хотя бы в одной точке задеваю-
задевающей кривую {К)9 заведомо лежит вне многоугольника (А) и внутри
многоугольника (В). Отсюда следует, что
так что Р — А < е и В — Р < г, что и приводит к D).
Ясно, что на равенстве D) можно было бы построить и самое
определение понятия площади, очевидно, равносильное прежнему.
Такое определение представляется весьма простым и естествен-
естественным; недостатком, однако, является его (конечно, кажущаяся) за-
зависимость от ориентации координатных осей.
337. Классы квадрируемых областей. Кривая (К) — контур
области (Р) — играет существенную роль в вопросе о квадри-
квадрируемости этой области.
Если квадрируемость налицо, то, как мы видели в 335, по за-
заданному е > О кривая (К) может быть заключена в некоторую
многоугольную область (В —А), содержащуюся между контурами
обоих многоугольников (А) и (В) (см. рис. 14) и имеющую пло-
площадь В — А < е.
Допустим теперь, обратно, что контур (К) может быть заклю-
заключен в многоугольную область (С) с площадью С < е9 где г — любое
наперед заданное положительное число. При этом без умаления
общности можно предположить, что (С) не покрывает всей фигу-
фигуры (Р). Тогда из точек области (Р)9 не попадающих внутрь (С), со-
составится многоугольная область (А)9 содержащаяся в (Р); если же
к (А) присоединить (С), то получится многоугольная область {В)9
уже содержащая в себе (Р).50^ Так как разность В — А = С < е9
то — по критерию п° 335 — отсюда следует квадрируемость об-
области (Р).
Для облегчения речи условимся говорить, что (замкнутая или
незамкнутая) кривая (R) имеет площадь 0, если ее можно
покрыть многоугольной областью с произвольно малой площадью.
50^ Легко проверить (пользуясь определением граничной точки), что граница
как области (А), так и области (В) является частью границы области (С). Отсюда
следует [поскольку граница (С) содержится в конечном объединении отрезков],
что (А) и (В) действительно являются многоугольными областями [см. примеч. 47
на с. 205].

212
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[337
Тогда приведенное выше рассуждение позволяет сформулировать
следующее условие квадрируемости:
для того чтобы фигура (Р) была квадрируема, необходимо
и достаточно, чтобы ее контур (К) имел площадь 0.
В связи с этим приобретает важность выделение широких
классов кривых с площадью 0.
Прежде всего, легко показать, что этим свойством обладает лю-
любая непрерывная кривая, выражаемая явным уравнением вида
y=f(x) (a
или х = g(y) (с
d)
E)
(/ и g — непрерывные функции).
Пусть, например, мы имеем
дело с первым из этих уравнений.
По заданному е > 0 можно про-
промежуток [а, Ъ] разложить на час-
части [xf,
+] (/ = 0, 1, ..., п — 1) так, чтобы в каждой из них коле-
колебание ojj функции / было < -j^ [87]. Если обозначить, как обыч-
обычно, через mt и Mt наименьшее и наибольшее значения функции /
в /-М промежутке, то вся наша кривая покроется фигурой, состав-
составленной из прямоугольников
(рис. 17) с общей площадью
что и требовалось доказать. Значит, кривая E) имеет площадь 0.
Отсюда следует:
Если фигура (Р) ограничена несколькими непрерывными
кривыми, каждая из которых порознь выражается явным
уравнением E) {того или другого типа), то эта фигура квад-
квадрируема.
Действительно, поскольку каждая из упомянутых кривых име-
имеет площадь 0, то и весь контур, очевидно, также будет иметь пло-
площадь 0.
Из этого критерия можно получить другой, более частный, кри-
критерий, который на практике, однако, оказывается более удобным.

338]	§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ	213
Назовем кривую, заданную параметрическими уравнениями
x=<p(t), у=И<) (fo^t^T),	F)
гладкой, если 1) функции ср и гр имеют непрерывные произ-
производные во всем промежутке [to, T] изменения параметра и 2) на
кривой нет ни кратных, ни вообще особых точек. В случае
замкнутой кривой потребуем еще равенства
Ф'('о) = ср'(Т), ф%) = ф'(Т).
Установим теперь, что гладкая кривая имеет площадь 0.
Возьмем на кривой любую точку М9 определяемую значением 1
параметра. Так как эта точка — не особая, то, как мы видели [223],
существует такой промежуток:
W= (t-S, t + 8),
что соответствующий участок кривой может быть выражен и явным
уравнением.
Применим теперь лемму Боре ля [88] к промежутку [to, T]
и к покрывающей его системе S = {а} окрестностей; весь проме-
промежуток перекроется конечным числом таких окрестностей, так что
кривая распадается на конечное число частей, каждая из которых
выражается явным уравнением E) (того или другого типа). Оста-
Остается лишь сослаться на доказанное выше. Итак,
если фигура (Р) ограничена одной или несколькими глад-
гладкими кривыми, то она заведомо квадрируема.
Заключение это сохраняет силу даже в том случае, когда кри-
кривая имеет конечное число особых точек: выделив эти точки
с помощью окрестностей произвольно малой площади, мы будем
иметь дело уже с гладкими кривыми.
338. Выражение площади интегралом. Обратимся теперь к вы-
вычислению площадей плоских фигур при помощи интегралов.
На первом месте рассмотрим, впервые — в строгом изло-
изложении, уже встречавшуюся нам задачу об определении площа-
площади криволинейной трапеции ABCD (рис. 18). Эта фигура
ограничена сверху кривой DC, имеющей уравнение
где f(x) есть положительная и непрерывная в промежутке [а, Ь]
функция: снизу она ограничена отрезком АВ оси х, ас боков —
двумя ординатами AD и ВС (каждая из которых может свестись

214
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[338
к точке). Собственно, существование площади Р рассматри-
рассматриваемой фигуры ABCD следует из доказанного в предыдущем п°,
и речь идет лишь об ее вычислении.
С этой целью разобьем промежуток [а,Ь]9 как обычно, на части,
вставив между а и b ряд точек:
1 < ... < х = Ъ.
а = Х
<
<
п ^ л2 <
Обозначив через mt и Mt, соответственно, наименьшее и наи-
наибольшее значения функции f(x) в z-м промежутке [^-,х/+1]
(/ = 0, 1, ..., п — 1), составим суммы (Дарбу)
Рис. 18
Они, очевидно, представляют со-
собой площади ступенчатых фигур,
составленных, соответственно, из
входящих и выходящих прямо-
угольников (см. рис. 18). По-
Поэтому
s < Р < S.
Но при стремлении к нулю наибольшей из разностей Axt обе сум-
ъ
мы имеют своим пределом интеграл ff(x)dx*\ следовательно,
ему и равна искомая площадь
ъ	ъ
Р= fydx = f f(x)dx.
G)
Если криволинейная трапеция CDFE ограничена
и снизу и сверху кривыми (рис. 19), уравнения которых
то, рассматривая ее как разность двух фигур ABFE и ABDC, полу-
получим площадь названной трапеции в виде
о
= J[f2{x)-fx{x)} dx.
(8)
*) В силу 1), 336, это само по себе доказывает квадрируемость криволинейной
трапеции ABCD; чтобы получить упоминавшиеся там последовательности
фигур, можно было бы, например, делить промежуток на равные части.

338]
§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
215
Пусть теперь дан сектор АО В (рис. 20), ограниченный кри-
кривой АВ и двумя радиусами-векторами ОА и ОВ (каждый из ко-
которых может свестить и к точке). При этом кривая АВ задается
полярным уравнением г = g@), где gF) — положительная непре-
непрерывная в промежутке [а, /3] функция. И здесь вопрос стоит лишь
о вычислении площади Р сектора, так как существование
площади обусловлено свойствами контура фигуры.51^
Вставив между а и /3 (см. рис. 20) значения
а =
62
проведем соответствующие этим углам радиусы-векторы. Если вве-
ввести и здесь наименьшее и наибольшее из значений функции g@)
в
Д
Рис. 19
Рис. 20
в [0t, 0/+i]: fit и Mi9 то круговые секторы, описанные этими ради-
радиусами, будут, соответственно, входящими и выходящими для фигу-
фигуры АО В. Составим отдельно из входящих секторов и из выходящих
секторов две фигуры, площади которых будут
и Е = 1
и, очевидно, о < Р < S.
В этих суммах а и Т, легко узнать суммы Дарбу для интегра-
р
ла \ f[gF)]2d6; при стемлении к нулю наибольшей из разностей
^ Действительно легко проверить, что граница криволинейного сектора имеет
площадь, равную 0 (аналогично тому, как это сделано для границы криволинейной
трапеции).

216	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[339
A6t обе они имеют пределом этот интеграл *\ так что и
(9)
339. Примеры.
1) Определить площадь Р фигуры, ограниченной цепной линией у =
= a ch —, осью х и двумя ординатами, отвечающими абсциссам 0 и.х (см. рис. 9).
а
Имеем
/х	i х
a ch — dx = a sh — = as,
а	а
где s — длина дуги AM цепной линии [331, 1)]. Таким образом, искомая пло-
площадь АОРМ оказалась равной площади прямоугольника, построенного на отрез-
отрезках PS и SM (ибо SM = AM).
2 2
X у
2) Даны эллипс —г- Н—« = 1и точка Mix, у) на нем (рис. 21). Определить
az bz
площадь криволинейной трапеции В О КМ и сектора О MB.
Из уравнения эллипса имеем у = ^ х
У-
х2, так что по формуле G)
Рх = пл.ВОКМ= / - xja2 -x2dx =
^х
аЪ	х Ъ
= — arcsm —|	x\J a
2	а 2а
аЪ х ху
= — arcsm —|	.
2	а 2
Так как последнее слагаемое представляет площадь А ОКМ, то, отнимая ее,
для площади сектора получим выражение
аЪ	х
Рг, = пл. О MB = — arcsin —.
2	а
При х = а для площади четверти эллипса найдем значение ^р, так что
площадь всего эллипса Р = лаЪ. Для круга а = Ъ = г и получается известная
формула Р = лг2.
х2 у2
3) Пусть даны гипербола —г	г = 1 и на ней точкаМ(х,у) (рис. 22).
az bz
Определить площадь криволинейных фигур АКМ, О AM и OAML.
*) Здесь можно было бы сделать замечание, аналогичное замечанию *^ на
с. 214, но со ссылкой на 2), 336.

339]	§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ	217
Из уравнения гиперболы имеем у = ^ у-*2 — а2, и, по формуле G),
X
7	/»
Pi = пл.АКМ = - / Jx2 - a2 dx =
a J
Ъ \\ /—,	т а2 л ,
а 2	~а У V^ +
Так как v л
ной форме
= ?, то это выражение можно представить в более симметрич-
симметричОтсюда уже легко получить
Р3 = пл. OAML = - ху + - ah In (- + - V
Замечание. Полученный результат позволит несколько углубить анало-
аналогию между тригонометрическими (круговыми) и гиперболическими функциями.
\
\
\
\
Рис. 22
Сопоставим круг радиуса 1: х + у = 1 и равнобочную гиперболу:
х —у = 1 (рис. 23,а и б). Эти кривые параметрически могут быть предста-
представлены так:
для круга:	ОР = х = cos t, РМ = у = sin ^,
для гиперболы: ОР = х = cht, РМ = у = sh /\
Но в то время как в случае круга ясна геометрическая роль t — это <АОМ,
для гиперболы так истолковать числовой параметр t невозможно. Можно, однако,
для круга дать и другое истолкование параметра t, именно: t есть удвоенная
площадь сектора АОМ (или площадь сектора М1 ОМ). Оказывается, что
это истолкование переносится и на случай гиперболы.

218
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[339
В самом деле, если координаты точки М суть
г. е' + е~'
х = cht = 	z	, у = sht =
2	У	2
то х -\- у = ef и t = Ы(х -\-у). Если вспомнить найденную выше для Р2 формулу
и положить в ней а = Ъ = 1, то получим, что t равно удвоенной площади
сектора АОМ (как и для круга).
Итак, в круге отрезки РМ и ОР представляют круговые синус и коси-
косинус от удвоенной площади кругового сектора АОМ, а для гиперболы
Рис. 23
аналогичные отрезки выражают гиперболические синус и косинус от удво-
удвоенной площади гиперболического сектора АОМ. Роль гиперболических
функций по отношению к гиперболе вполне аналогична роли круговых (тригоно-
(тригонометрических) функций по отношению к кругу.
С указанным истолкованием аргумента гиперболических функций как некоей
площади связаны и обозначения обратных им функций [см. 49, 3) и 4)],
Arsh^c, Archie и т. п.
Буквы Аг являются начальными от латинского слова Area, означающего «пло-
«площадь».
4)	Найти площадь Р фигуры, ограниченной осями координат и параболой
а
Ответ: Р = J у dx = \сг. [Читателю самому предоставляется сделать
О
чертеж.]
5)	Определить площадь фигуры, заключенной между двумя конгруэнтными
параболами;; = 2рх и х = 2ру (рис. 24).

339]
§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
219
Очевидно, нужно воспользоваться формулой (8), полагая там
X
Уг =
Для установления промежутка интегри-
интегрирования решим совместно данные уравнения
и найдем абсциссу точки М пересечения обе-
обеих парабол, отличной от начала: она равна 2р.
Имеем
2р
Р =
2рх	I dx =
2Р
2р
4 з
= о Р •
Рис. 24
6) Найти площадь Р эллипса, заданного следующим уравнением:
Ах2 + 2Вху +Су2 = 1 (АС - В2 > О, С > 0).
Решение. Из этого уравнения
A0)
-5jc - JB2x2 - С(Ах2 -
	^
3^2=
причем j/1? у 2 получают вещественные значения лишь для х, удовлетворяющих
неравенству
С - (АС - В2)х2 < 0,
т. е. содержащихся в промежутке [—а, а], где а = . / с 2.
Тогда искомая площадь будет
^52 / V«2-x2rfx = |
7) Пусть, наконец, эллипс задан общим уравнением
ах2 + 2focj/ + су2 + 2<9jc + 2еу + / = 0;
требуется найти его площадь Р.
Задача эта может быть сведена к предыдущей.
Если перенести начало в центр (|, г/) эллипса, определяемый, как известно,
из уравнений
a| + Z>//+ 3 = 0,
Ъё, + сц + е = 0,
то уравнение примет вид
ох2 + 2^ + су2 + /' = 0,

220
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
где
[339
A2)
Исключая |, ц из равенств A1) и A2), найдем
а Ь д
be
f-f
= 0,
откуда
А
/' = 	77' где Л =
ас -Ь2
а
Ъ
д
b
с
е
д
е
f
*)
Полученное уравнение легко приводится к виду, рассмотренному в 6), если
положить
а	Ъ	с
л	"	с
Значит, площадь эллипса будет
n\f'\
р =
8) Формула G) может быть использована и в том случае, если кривая, огра-
ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрически или уравнениями
вида F). Произведя замену переменной в интеграле G), получим [в предполо-
предположении, что х = а при t = fy и х = b при t = T]:
т	т
Р = Iyx'tdt = il>(t)<p'(t)dt.
A3)
Если, например, при вычислении площади эллипса исходить из его пара-
параметрического представления
х = a cos t, у = b sin t
и учесть, что х возрастает от —а до а, когда t убывает от ж до 0, то найдем
0	я-
Р = 2 / bsint • (—a sint) dt = lab I sin21 dt = nab.
jt	0
Мы вычислили здесь площадь верхней половины эллипса и удвоили ее.
9) Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной циклоидой
х = a(t — sint), у = а(\ — cosf). Имеем по формуле A3)
2л-
/о	1	I
а2A - costJ dt = a1 \-t — 2sinf + - sin2f ) = Зла2.
V3	4	/|0
*) Очевидно, /; и А отрицательны (иначе уравнение не выражало бы веще-
вещественной кривой).

339]
§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
221
Таким образом, искомая площадь оказалась равна утроенной площади обра-
образующего круга.
10) Найти площадь одного витка архимедовой спирали г = ав
(рис. 25).
Имеем, по формуле (9),
2л-
* 3 2
= - Л" B ,
в то время как площадь круга радиуса 2ла будет Ал а . Площадь витка спирали
равна трети площади круга [этот результат был известен еще Архимеду].
Рис. 25
Предоставляем читателю показать, что площади фигур, заключенных между
последовательными витками, составляют арифметическую прогрессию с разно-
разностью 8 л" а .
11) Найти площадь улитки
г = a cos в + Ъ при Ъ < а.
Имеем, по формуле (9),
1Л
-У
(a cos 6 + b)z dO =
1	Г/1 2 b:
2	U
В частности, площадь кардиоиды (Ь = а) равна | ла .

222	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[339
12)	Найти площадь лемнискаты г = 2а cos20.
Достаточно удвоить площадь правого овала, которому отвечает изменение
угла О от — j до j:
ж	ж
4	4
Р = 2 • - 2а2 /cos 20 dO = 4а2 / cos 20 dO = 2а2.
-f	о
13)	Найти площадь декартова листа х3 + у3 — Ъаху = 0.
Перейдем к полярным координатам. Полагая в уравнении кривой
х = г cos 0, у = г sin 0,
по сокращении на г2 придем к такому полярному уравнению:
За sin 0 cos 0
г =
sin3 0 + cos3 О
Так как самый виток кривой отвечает изменению угла 0 от 0 до ^, то по форму-
ле (9)
п2 0 cos2 О
9а2 f sin2
	 / 	5
2 У (sin3 Я
(sinJ 0 + cos3 ОJ
О
Заменяя sin 0 через tg 0 cos 0, приведем подинтегральное выражение к виду
tg20 dtgO
A + tg3^J'
откуда сразу находится первообразная функция
1 1	1 cos3fl
3 1 + tg3 0	3 sin3 0 + cos3 0'
Таким образом,
За2	cos3 О
Р= -'-
2 sin3 0 + cos3 О
14) Решить задачу 6) наново, воспользовавшись полярными координатами.
Решение. Вводя полярные координаты, представим уравнение A0) эллипса
в виде
9	1
A cos2 0 + 2В cos 0 sin 0 + С sin2 0'
Тогда, по формуле (9), сразу получаем [309, 9)]
ж_
Р = 2.- ¦	М
A cos2 0 + 2В cos 0 sin 0 + С sin2 0

340]	§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ	223
Площадь всего эллипса мы здесь приравняли удвоенной площади той его
части, которая лежит в I и IV координатных углах. Какие затруднения встретились
бы при использовании результата 10), 288, для вычисления непосредственно всей
площади эллипса?
15)	Формулу (9) можно приспособить к случаю, когда кривая задана своими
параметрическими уравнениями вида F). Так как
2 2 2 У I xyt ~ xty
r=x2+y2, 6> = arctg- и 0 = ^Ц	?-,
х	х1 + у1
то
X-r2de=X-{xy't-x'ty)dt.
Если изменению угла в от а до /3 отвечает изменение параметра t от /q
до Г, то
т	т
Р=\ J(xy't ~ *#) dt=\j b@tf;@ " ф'СЖО] du	A4)
Ввиду большей симметричности эта формула зачастую приводит к более простым
выкладкам. Например, если по ней вычислить площадь эллипса, исходя из его
параметрических уравнений х = a cos t, у = Ь sin t, то получим
2л-	2л-
\ г	1 /
Р = - I (a cost • Ъ cost + a sint • Ъ siru) dt = - ah \ dt = жаЬ,
о	о
16)	Вычислим еще по формуле A4) площадь астроиды х = a cos г,
у = a sin t. Имеем
41
a cos f • За sin f cos f + За cos f sin t • a sin Л dt =
0
2л-
3 2 f 2 2	3 2 / si
= - a sm t cos t dt = — a If
2 У	16 V
. л 2л-
sm At \
4 /
340. Определение понятия объема. Его свойства. Наподобие
того, как в 335, исходя из понятия площади многоугольника, было
установлено понятие площади для произвольной плоской фигуры,
мы сейчас дадим определение объема тела, опираясь на объем мно-
многогранника. 52^
' Понятие объема многогранника в целом аналогично, но все же зна-
значительно сложнее, чем понятие площади многоугольника. По этой при-
причине все вопросы, связанные с определением объема и общими формулами для его
вычисления, по традиции излагаются гораздо более схематично, чем аналогичные

224	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[340
Итак, пусть дано произвольной формы тело (F), т. е. ограничен-
ограниченная замкнутая область в трехмерном пространстве. Границей (S)
тела пусть служит замкнутая поверхность *} (или несколько таких
поверхностей).
Мы будем рассматривать многогранники (X) объема X, це-
целиком содержащиеся в нашем теле, и многогранники G) объе-
объема 7, содержащие в себе это тело. Существуют всегда точная
верхняя граница F* для X и точная нижняя граница F* для 7,
причем V^ ^V*; их можно было бы назвать, соответственно,
внутренним и внешним объемами тела.
Если обе границы
F* = sup {X} и F* = inf {7}
совпадают, то их общее значение V называется объемом
тела (F).
В этом случае тело (F) иногда называют кубируемым.
И здесь легко видеть, что для существования объема необхо-
необходимо и достаточно, чтобы для любого с > 0 нашлись такие
два многогранника (X) и G), для которых Y —X < е.
Далее:
Если тело (F) разложено на два тела (Vx) и (V2), то из
существования объема для двух из этих трех тел вытекает
существование объема для третьего. При этом
v = vx + v2,
т. е. и объем обладает свойством аддитивности.
Легко перефразировать для объемов и те предложения 1), 2),
3), которые в 336 были доказаны для площадей.
1) Для того чтобы тело (F) имело объем, необходимо
и достаточно, чтобы существовали такие две последова-
последовательности, соответственно, входящих и выходящих много-
многогранников {(Х^)} и {G^)}, объемы которых имели бы общий
предел
Этот предел и будет объемом тела (V).
вопросы теории площадей. Ряд фактов, связанных с понятием объема в трехмер-
трехмерном и многомерных пространствах, изучается более подробно в теории меры.
*> Мы имеем в виду непрерывную поверхность, допускающую параметриче-
параметрическое представление.

341]	§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ	225
Полезно отметить и такое предложение, где вместо многогран-
многогранников фигурируют произвольные тела, заведомо имеющие объемы.
2)	Если для тела (V) молено построить такие две по-
последовательности, соответственно, входящих и выходящих
тел {(Тп)} и {(Un)}, которые имеют объемы, причем эти
объемы стремятся к общему пределу
Hm Tn = lim Un = F,
то и тело (V) имеет объем, равный упомянутому пределу.
В заключение упомянем о возможности выбирать много-
многогранники, приближающиеся к рассматриваемому телу, «стандарт-
«стандартным» образом. Заключив тело внутрь некоторого прямоугольно-
прямоугольного параллелепипеда (W) с гранями, параллельными координатным
плоскостям, разобьем его на части с помощью ряда плоскостей,
параллельных его граням. Из частичных параллелепипедов, входя-
входящих в (F), составим тело (X), а присоединив к ним и частично
выходящие из (V) параллелепипеды, получим тело Y. Эти тела
представляют частные случаи тех многогранников (X) и G), о ко-
которых была речь выше. Будем обозначать через d наибольшую из
диагоналей тех прямоугольных параллелепипедов, на которые был
разложен параллелепипед (W).
3)	Если при d —»> 0 оба объема X и Y стремятся к обще-
общему пределу V, и только в этом случае, тело (V) будет
иметь объем; при выполнении этого условия упомянутый пре-
предел и выразит объем тела (V).
Доказательство всех этих утверждений мы предоставляем чи-
читателю; их легко скопировать с рассуждений п° 336.
341. Классы тел, имеющих объемы. Как и в случае площади,
существование объема для тела (V) зависит целиком от свойств
границы (S) этого тела. Легко [ср. 338] установить такой крите-
критерий: для существования объема тела (V) необходимо и дос-
достаточно, чтобы его граница (S) имела объем 0, т. е. чтобы эту
границу можно было заключить в многогранное тело с произвольно
малым объемом.
К числу поверхностей с объемом 0 прежде всего принадлежат
поверхности, выражаемые явным уравнением одного из трех типов:
z=f(x,y), y=g(z,x), x=h(y,z),
где f9g9h — непрерывные функции от двух аргументов в не-
некоторых ограниченных областях.

226	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[341
Пусть, скажем, дано уравнение первого типа в области (Р)9 ко-
которая содержится в прямоугольнике (R). По теореме п° 174, ка-
каково бы ни было е > О, можно разложить этот прямоугольник на
столь малые прямоугольники (Rt) (/ = 1,2,..., /7), чтобы колеба-
колебание функции / в той части (Pt) области (Р), которая содержится
в (Rt)9 было < |. Если mt и Mt — наименьшее и наибольшее из
значений функции / в (Pf)9 то вся наша поверхность может быть
заключена в многогранник, составленный из прямоугольных парал-
параллелепипедов с площадями оснований Rt и высотами o)t = Mt — mt.
Объем этого многогранника будет
что и требовалось доказать.
Поэтому, если тело (V) ограничено несколькими непрерыв-
непрерывными поверхностями, каждая из которых порознь выража-
выражается явным уравнением {одного из трех типов), то это тело
имеет объем.
Чтобы дать обычно применяемый на практике частный крите-
критерий, установим понятие гладкой поверхности.
Пусть поверхность выражается параметрическими уравне-
уравнениями
х = ср(и, v), у = гр(и, у), z = x(u, t>),
где функции q>9 х, Ф непрерывны вместе со своими частными про-
производными в некоторой ограниченной замкнутой области (Q) на
плоскости иу. Границу этой области (L) мы представим себе со-
состоящей из гладких кривых. Наконец, предположим, что по-
поверхность не имеет ни кратных, ни других особых точек. При со-
соблюдении всех этих условий поверхность и называется гладкой.
Пусть М — любая точка поверхности, определяемая значени-
значениями и = п, у = у параметров; так как она — не особая, то мож-
можно [см. 228] *) окружить точку (п, у) на плоскости иу такой окрест-
окрестностью
о7 = (п — S, п + S; V — S, V + S),
чтобы соответствующий участок поверхности выражался явным
уравнением. Остается лишь применить к замкнутой области (Q)
*^ Если точка (и, v) лежит на границе (Z) области @, то по отношению к ней
следует иметь в виду сказанное в 262.

342]
§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
227
и к покрывающей ее системе окрестностей S = {а} лемму Бо-
Боре ля [175], чтобы установить возможность разложения рассмат-
рассматриваемой гладкой поверхности на конечное число частей, каждая
из которых выражается явным уравнением одного их трех типов.
Отсюда — по предыдущему — следует, что гладкая поверх-
поверхность имеет объем 0.
Теперь ясно, что
тело, ограниченное одной или несколькими гладкими по-
поверхностями, заведомо имеет объем.
Допустимо, впрочем, и наличие на ограничивающей тело по-
поверхности конечного числа особых точек, которые могут быть
выделены окрестностями с произвольно малым объемом.
342. Выражение объема интегралом. Начнем с почти очевид-
очевидного замечания: прямой цилиндр высоты Н, основанием ко-
которого служит квадрируемая плоская фигура (Р), име-
имеет объем, равный произведению площади основания на высо-
высоту: V = РН.
Возьмем [336, 1)] многоугольники (Ап) и (Вп)9 соответствен-
соответственно, содержащиеся в (Р) и содержащие в себе (Р)9 так, чтобы их
площади Ап и Вп стремились к Р. Если на этих многоугольниках
построить прямые призмы (Хп) и (Yn) высоты Н, то их объемы
Хп=АпН
И 1„ = .
будут стремиться к общему пределу V = РН9 который, в си-
силу 1), 340, и будет объемом нашего цилиндра.
Рис. 26
Рассмотрим теперь (рис. 26) некоторое тело (F), содержаще-
содержащееся между плоскостями х = а их=й,и станем рассекать его
плоскостями, перпендикулярными к оси х. Допустим, что все эти
сечения квадрируемы, и пусть площадь сечения, отвечающего

228
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[342
абсциссе х9 — обозначим ее через Р(х) — будет непрерывной функ-
функцией от х (для а ^ х ^ Ъ).
Если спроектировать (без искажения) два подобных сечения
на какую-либо плоскость, перпендикулярную к оси х9 то они мо-
могут либо содержаться одно в другом (как на рис. 27, а), либо ча-
частично одно на другое налегать или лежать одно вне другого
(см. рис. 27, б, в).
Рис. 27
Мы остановимся сначала на том случае, когда два различных
сечения, будучи спроектированы на плоскость, перпендикулярную
к оси х, оказываются всегда содержащимися одно
в другом.
В этом предположении можно утверждать, что тело (V) имеет
объем, который выражается формулой
V= P(x)dx.
A5)
Для доказательства разобьем отрезок [а, Ь] на оси х точками
а = х0 < Xi < . . . < хг < xi+i < . . . < хп = Ъ
на части и разложим плоскостями х —х^ проведенными через точ-
точки деления, все тело на слои. Рассмотрим /-й слой, содержащийся
между плоскостями
х — xt и х = xi+i (/ = 0, 1, .. ., п — 1).
В промежутке [*z-,*z-+i] функция Р(х) имеет наибольшее значе-
значение Mt и наименьшее значение тг\ если сечения, отвечающие
различным значениям х в этом промежутке, поместить на одну
плоскость, скажем, х = xi9 то все они (при сделанном предполо-
предположении) будут содержаться в наибольшем, имеющем площадь Mi9
и содержать в себе наименьшее, с площадью mt. Если на этих,
наибольшем и наименьшем, сечениях построить прямые цилинд-

342]
§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
229
ры высотой Axt = xi+1 — Xj, то больший из них будет содер-
содержать в себе рассматриваемый слой нашего тела, а меньший сам
будет содержаться в этом слое. На основании сделанного вначале
замечания объемы этих ци-
цилиндров будут, соответствен-
соответственно, MjAxj и rrijAxj.
Из входящих цилиндров
составится тело (Г), а из вы-
выходящих — тело (U); их
а) у
объемы
венно,
равны, соответст-
и, когда стремится к нулю
Я = max Ax i9 имеют общий
предел A5). В силу 2), 340,
таков же будет и объем те-
тела (F).*)
Важный частный случай,	Рис. 28
когда заведомо выполняется
указанное выше предположение о взаимном расположении сече-
сечений, представляют тела вращения. Вообразим на плоскости ху
кривую, заданную уравнением у = f(x) {а < х < Ь)9 где f(x) не-
непрерывна и неотрицательна; станем вращать ограниченную ею кри-
криволинейную трапецию вокруг оси х (рис. 28, а и б). Полученное
тело (F), очевидно, подходит под рассматриваемый случай, ибо се-
сечения его проектируются на перпендикулярную к оси х плоскость
в виде концентрических кругов. Здесь
так что
о	о
V = ж fy2dx = ж f[f(x)]2dx.
A6)
*^ Деля, например, промежуток на равные части, легко выделить те после-
последовательности входящих и выходящих тел, о которых говорится в цитиро-
цитированном предложении.

230	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[343
Если криволинейная трапеция ограничена и снизу и сверху кри-
кривыми ух = fi(x) и у2 = /2(х)9 то, очевидно,
[/2(x)]2 - [А(х)]2} dx, A7)
хотя предположение о сечениях здесь может и не выполняться.
Вообще доказанный результат легко распространяется на все такие
тела, которые получаются путем сложения или вычитания из тел,
удовлетворяющих упомянутому предположению.
В общем случае можно утверждать лишь следующее: если те-
тело (V) имеет объем*\ то он выражается формулой A5).
В самом деле, задавшись произвольным г > 0, мы можем меж-
между плоскостями х = а и х = Ъ построить такие два тела, (X) и G),
составленные из параллелепипедов, чтобы первое со-
содержалось в (F), а второе содержало в себе (К), и притом было
Y — X < е. Так как к этим телам формула наша, очевидно, при-
ложима, то, обозначив через А(х) и В(х) площади их поперечных
сечений, будем иметь
ъ	ъ
Х= fA(x)dx9 Y= I B(x)dx.
a	a
С другой стороны, так как А(х) ^ Р(х) ^ В(х)9 то и
ъ	ъ	ъ
Х= fA(x)dx ^ fp(x)dx ^ f B(x)dx = ?,
а	а	а
Ь
так что объем V и интеграл /Р(х) dx оба содержатся между одними
и теми же границами X и 7, разнящимися меньше, чем на е. Отсюда
и вытекает требуемое заключение.
343. Примеры.
1) Вычислить объем V кругового конуса с радиусом основания г
и высотой к
*^ Так будет, например, если тело ограничено одной или несколькими глад-
гладкими поверхностями [341].

343]
§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
231
Проведем через ось конуса секущую плоскость и выберем эту ось за ось х,
считая начальной точкой вершину конуса; ось у проведем перпендикулярно к оси
конуса (рис. 29). Уравнение образующей конуса будет
и — по формуле A6) — получим
h
dx =
Рис. 29
^х
Результат этот известен читателю из школьного курса.
х2 у2
2) Пусть эллипс —^-\—т- = 1 вращается вокруг оси х. Тогда, так как
az bz
для объема эллипсоида вращения найдем
п а	а
V = JT fb (az_x^dx=2jTb- [ (a2-
J a1 v	J	a1 J v
-a	0
x2)dx =
7
= 2л -^ [a x	—
4 A2
= - jrab .
Аналогично для объема тела, полученного от вращения вокруг оси j/, найдем
выражение ^ тта2Ъ. Предполагая же в этих формулах а = Ь = г, мы получим
для объема шара радиуса г известное значение | ттг .
3) Определить объем тела, полученного от вращения цепной линии
х
у = a ch — вокруг оси х, между сечениями, соответствующими точкам Оих.
а
Имеем
л	л
V = яа2 / ch2 - dx = - яа2 (l + ch —) dx =
J a	2 J V	a )
>/ а 2х\ 1 /	х	х\
\х -\	sh — = - ж а [ах + a ch - • a sh - .
\ 2 a J 2 \	а	а)
Вспоминая [331, 1)], что a sh | есть длина дуги s нашей кривой, окончательно
получим
V = - ла(ах
sy).
4) То же — для ветви циклоиды
х = a(t — sin Г), j/ = а{\ — cost) @ ^ t ^ 2л).

232	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[343
Параметрические уравнения кривой облегчают выполнение подстановки
х = a(t — sin t), dx = a(\ — cost) dt в формуле
i
у dx.
Именно:
2л-
2л-
= 5л" а .
о
з /*	з	з/5	3	1 з \
V = я-я / A — cos t) dt = лчя ( - t — 4 sin t + - sin It + - sin f j
0
2	2	2
5)	To же для астроиды * з + j/ з =дЗ.
Имеем
5 5	_ 32 з
Предлагается повторить вычисления, исходя из параметрических уравнений
астроиды и прибегнув к замене переменной (как в предыдущей задаче).
6)	Найти объем общей части параболоида 2az = х + у и сферы
Решение. Вместе с обоими этими телами и общая часть их будет телом
вращения вокруг оси z. Пересечение указанных поверхностей происходит по
плоскости z = а.
Плоскости, перпендикулярные к оси z, пересекают рассматриваемое тело по
кругам; квадраты радиусов этих кругов равны 2<2z, пока z ^ а, и За — z , лишь
только z становится > а. Пользуясь формулой, аналогичной A6), будем иметь
а	а\/3
V = 2жа I zdz + ж I (За2 - z2) dz = — (бл/З - 5).
О	а
1) Найти объем общей части сферы х -\- у -\- z = R и конуса
Указание. Пересечение поверхностей происходит по плоскости х = -Д=.
Имеем
R
~2
/	3
? = ж [x'dx+ж f(R2-x2)dx = ^-
7=2
До сих пор мы рассматривали примеры применения частной формулы A6).
Перейдем теперь к общей формуле A5). Так как самое существование
' Указанные уравнения задают, очевидно, лишь границы тех областей, объем
общей части которых следует найти.

343]
§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
233
объема во всех случаях легко может быть обосновано, например, исходя из со-
соображений п° 341, то мы на этом останавливаться не будем и займемся лишь
вычислением объема.
8) Определить объем цилиндрического отрезка. Так называют геоме-
геометрическое тело, отсекаемое от прямого кругового цилиндра плоскостью, прохо-
проходящей через диаметр основания (рис. 30).
Положим, что основание цилиндра есть круг радиуса а:
и что секущая плоскость проходит через диаметр АА' и составляет угол а с плос-
плоскостью основания. Определим площадь сечения, перпендикулярного к оси х и пе-
пересекающего ее в точке М(х). Это сечение будет прямоугольным тре-
треугольником; очевидно,
Р(х) = пл. MNP = -y2tga = - [а2 - х2) tga,
так что по формуле A5)
V= -tga
- х ) dx = - a tga = - ah,
где h = KL есть высота цилиндрического отрезка.
L
Рис. 30
Рис.31
Интересно отметить, что тот же объем можно было бы получить, заставив
ось у играть ту роль, какую до сих пор играла ось х, т. е. рассекая тело плос-
плоскостями, перпендикулярными к оси у (рис. 31). Такая плоскость, проведенная
через точку М с ординатой у, пересечет наше тело по прямоугольнику SQ,
площадь которого будет
Р(у) = 2xytga =

234	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Поэтому, аналогично A5),
2	2
[343
V = 2tga ул/а2 - у2 dy = -tga(a2 -у
О
2 з
= -a tga.
О
9) Найти объем трехосного эллипсоида, заданного каноническим урав-
уравнением
2	2	2
х у z
(рис. 32).
Плоскость, перпендикулярная к оси х и проходящая через точку М[х) на этой
оси, пересечет эллипсоид по эллипсу; уравнение проекции его (без искажения)
на плоскость yz будет таково:
У2	г2
	2	1	— = 1 {х = COnst).
Отсюда ясно, что полуоси его будут, соответственно,
Рис. 32
а площадь [см. 339, 2), 8), 15)] выразится так:
Таким образом, по формуле A5), искомый объем
(а — х ) dx = - жаЬс.
10) Найти объем эллипсоида, отнесенного к центру,
Ах2 + 2Вху + Cz2 + 2Fyz + 2Gzjc

343]
§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
235
Решение. Если фиксировать z, то уравнение соответствующего сечения
[или вернее — его проекции на плоскость ху] будет
ах + 2Ьху + су + 2дх + 2еу + / = О,
где положено
а=А, b=H, c=B, d = Gz, e=Fz, f = Cz- 1.
По 7), 339, площадь этого сечения равна
если через Д* обозначить определитель
А
Я
Я
5
Gz Fz Czz - 1
Gz
Fz
2
= Az2 - (AB - H2)
где
А =
Подставляя, получим
P{z) = -
A H G
H В F
G F С
[Az2 - (AB - H2)}.
Очевидно, z может изменяться лишь в пределах
от —
AB - H2
+
АВ -Н2
интегрируя в этих пределах, найдем окончательно
4 1
11) Рассмотрим два круговых цилиндра радиуса г, оси которых пересекают-
пересекаются под прямым углом, и определим объем
тела, ограниченного ими.
Тело OABCD, изображенное на рис. 33,
составляет восьмую часть интересующего
нас тела. Ось х проведем через точку О
пересечения осей цилиндров перпендику-
перпендикулярно к обеим осям. Тогда в сечении те-
тела OABCD плоскостью, проведенной на
расстоянии х от О, перпендикулярно к
оси х, получится квадрат KLMN, сто-
сторона которого MN = л/г2 — х2, так что
Р(х) = г — х . Тогда, по формуле A5),
г., ?-.
16 з
I dx = — г
Рис. 33

236
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[343
12) Решим в заключение ту же задачу, но в предположении, что цилиндры
имеют различные радиусы: г и R > г.
Разница, по сравнению с прежним, будет лишь в том, что вместо квадрата
в сечении рассматриваемого тела плоскостью на расстоянии х от О получится
прямоугольник со сторонами yV2 — х2 и л^/R2 — х2. Таким образом, в этом
случае объем V выразится уже эллиптическим интегралом
{R2-x2){r2-x2)dx
или, если сделать подстановку х = г siiKp и положить к = ^,
ж.
V = 8Rr
' /cos (p • у 1 — ,
0
к2 sin2 <pd<p = SRr -1.
Займемся сведением интеграла / к полным эллиптическим интегралам обоих
видов. Прежде всего
[ cos <p	2 / sin (pcos
= /	= dcp-k I
i \ /1 — k2 sin2 ф	i \ \ — k2 si
Y 1 — k2 sin2 (p
d<p = I1+ I2.
Ho
7	I
/1	— sin (p	к — 1 f	dcp
,	dg> = -^- /	+
0 J \	— k2 sin2 ф	ц J \ — k2 sin2 ф
^Y2
0
С другой стороны, интегрируя по частям, имеем
I
/2 = - / sin 2(pdJ \ — к2 sin2 ф =
l
1
= - sin ф у 1 — к2 sin (p
— / cos 2(р • л /1 — к2 sin (p d(p =
2 sin
2
= / A -
2 cos2 <p)y 1 - &2 sin2
- 21.

344]
Отсюда
§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
1
237
j L \л	/	\ /С	/	J
Таким образом, окончательно
344. Площадь поверхности вращения. Пусть имеем на плос-
плоскости ху (именно, в верхней полуплоскости) некоторую кривую АВ
(рис. 34), заданную уравнениями вида F), где <р, гр — непрерыв-
непрерывные функции с непрерывными же производными <//, ф'. Предпо-
Предполагая отсутствие особых и кратных точек на кривой, мы можем
ввести в качестве параметра дугу s9 отсчитываемую от точки A (to)9
и перейти к представлению
х = <ВД, y = yf?(s).	A8)
Параметр s изменяется здесь от 0 до S9 если через S обозначить
длину всей кривой АВ.
Если вращать кривую вокруг оси х9 то она опишет некоторую
поверхность вращения. Поставим своей задачей вычислить
площадь этой поверхности.
Мы лишены возможности установить здесь в общем виде по-
понятие площади «кривой» (т.е. неплоской) поверхности; это
будет сделано в третьем томе. Сейчас же мы определим это поня-
понятие специально для поверхнос-
поверхности вращения и научимся вычи-
вычислять ее площадь, причем бу-
будем исходить из данных еще
в школьном курсе правил вычи-
вычисления боковых поверхностей
цилиндра, конуса и усеченного
конуса. Впоследствии мы убе-
убедимся, что полученная нами
формула входит как частный
случай в общую формулу для	Рис. 34
площади кривой поверхности.
Возьмем на кривой АВ в направлении от А к В ряд точек
(см. рис. 34)
А = Ао, Ах, А2, ..., At, Ai+l, ..., Ап_х, An — B	A9)
и рассмотрим ломаную ААХ.. ,Ап_1В9 вписанную в кривую. Ста-
Станем вместе с кривой вращать вокруг оси х эту ломаную; она
У>
А,

238	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[344
опишет некоторую поверхность, площадь которой мы умеем опре-
определять по правилам элементарной геометрии. Условимся под
площадью поверхности, описанной кривой, разу-
разуметь предел Р площади Q поверхности, описанной
ломаной, при стремлении к нулю наибольшей из частичных дуг.
Это определение площади поверхности вращения дает нам ключ
к ее вычислению.
Мы уже знаем, что ряд точек A9) может быть получен, исходя
из ряда возрастающих значений s9 вставленных между 0и&
O = so<sl<s2< ... <st < si+l < ... < sn_x <sn = S.
Каждое звено ломаной при вращении вокруг оси х будет опи-
описывать поверхность усеченного конуса. *) Если обозначить орди-
ординаты точек At и Ai+l, соответственно, через yt и уг+\9 а длину
звена AtAi+l — через li9 то площадь поверхности, описываемой
/-М звеном, будет
Площадь же поверхности, описываемой всей ломаной линией,
будет
/=0
Полученную сумму можно разбить на две суммы следующем об-
образом:
л-1	л-1
i=0	i=0
Так как функция у = Ф(я) непрерывна, то (по свойству рав-
равномерной непрерывности) можно предположить нашу кривую раз-
разложенной на столь мелкие части, что все разности j/-+1 — yt по
абсолютной величине не превзойдут произвольно малого положи-
положительного числа е. Тогда
л-1	л-1
/=о
/=0
*^ В частности, эта поверхность может выродиться в поверхность конуса или
цилиндра; площадь ее, однако, и в этом случае можно вычислить по общей фор-
формуле для поверхности усеченного конуса.

344]	§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ	239
отсюда следует, что эта сумма стремится к нулю при max As t —> 0.
Что касается суммы
п-\
/=0
то ее можно разложить на две суммы:
л-1	л-1
/=0	/=0
Так как функция Ф(я) непрерывна, то она ограничена, так что все
\yt\ ^ М9 где М — некоторое постоянное число. Обозначая послед-
последнюю сумму через т, имеем
п—\	/ п—\
/=0
/=0
При дроблении кривой на все более и более мелкие части раз-
разность
п-\
/=0
по определению длины дуги как предела периметра вписанной ло-
ломаной*), должна стремиться к нулю. Но тогда итчО.
Оставшаяся сумма
л-1
/=0
является интегральной суммой для интеграла
s
у ds,
о
который вследствие непрерывности функции у = Ф(я) существует,
так что при max As t —> 0 сумма о стремится к этому интегралу.
Мы получаем окончательно, что — при сделанных предположе-
предположениях — площадь поверхности вращения существует и выражается
*) Это непосредственно следует из определения лишь для простой незамк-
незамкнутой кривой, но затем легко получается и для простой замкнутой кривой
путем разложения на две незамкнутые кривые.

240
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[345
формулой
*3	*3
= 2л I у ds = 2л I 1
B0)
о	о
Если вернуться к общему параметрическому заданию F) на-
нашей кривой, то, произведя в предшествующем интеграле замену
переменной [см. 313, (9)], преобразуем его к виду
т	т
Р = 2л
y>2dt =
. B1)
В частности, если кривая задана явным уравнением у = f(x)
(а ^ х ^ Ь)9 так что в роли параметра оказывается х9 будем иметь
ъ	ъ
Р = 2л jy^Jl + y'2dx = 2л j f(x)yjl + \f'{x)]*dx. B2)
345. Примеры.
1) Определить площадь поверхности шарового пояса. Пусть полукруг,
описанный около начала радиусом г, вращается вокруг оси х. Из уравнения круга
имеем у = yV2 — х2; далее,
г2 — х2	л^/г2 — х2
В таком случае площадь поверхности пояса, описанного дугой, концы которой
имеют абсциссы ij hi2 >^1,по формуле B2) будет
Р = 2жг / г dx = 2лг(х2 — jc ]_) = 2jrrh,
2
/ г dx
где h есть высота пояса. Таким образом, площадь поверхности шарового пояса
равна произведению окружности большого круга на высоту пояса.
В частности, при х± = — г, ^2 = г?т-е- ПРИ h = 2г, получаем площадь всей
шаровой поверхности Р = 4ят .
2) Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги цепной ли-
х
нии у = a ch -, концы которой имеют абсциссы Оих.
а
Так как у^1 + у'2 = ch |, то, по формуле B2),
X
= 2ж
J
ch2-dx = -V,
а	а
где V — объем соответствующего тела вращения [см. 343, 3)].

345]	§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ	241
3) То же для астроиды х = a cos t, у = a sin t.
Достаточно удвоить площади поверхности, описанной дугой астроиды, лежа-
лежащей в 1-м квадранте (О ^ t ^ ^). Мы имели уже
\lх'2 + у'2 = За sin^ cost;
в таком случае, по формуле B1),
Р = 2 • 2ж la sin3 Г • За sin t cos Г а7 =
¦I-
7-
о
12
z ' sin tcostdt = 1^--z
5
0
4) To же для циклоиды х = a(t — sint), у = a{\ — >
Так как ;; = 2a sin2 ^, ds = 2a sin ^ Л, то
2jt	jt
f 2 3 *	2 f 3
= 2jt 4a sin - dt = 16жа / sin udu =
0	0	.
2 / cosJ м
= 16jra I	cost/
О
5
64
о
5) Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды
г = а{\ + cos#) вокруг полярной оси.
Следует в основной формуле B1) перейти к полярным координатам:
s
О
В нашем случае а = 0, /3 = ж, и
Р = 2ж yds = 2л г smeJr2 + r'e2d6.	B3)
поэтому
з О О	О
a A + cos 0) sin 0 = 4a cos - sin -, as = 2a cos - <
v	J	2 2	2
2 f aO 0	32 2
P = 2jt • 8a / cos - sin - dO = — jta .
0
ы
Здесь;; = aV2Vcos20 sin0, ds = J^2 dO, так что, по формуле B3),
cos a
6) To же для лемнискаты г = 2a cos20.
2a2 sinOdO = Sjra2(l - — ) = 7,361 a2.
' / sinOdO = 8ла2(\
0
Наконец,
7) определим поверхность эллипсоида вращения как вытянутого, так
и сжатого (сфероида).

242
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[345
Если эллипс — + р" = 1 вращается вокруг оси х, и а > Ь, то имеем по-
последовательно
2 ,2 ^ 2 / ^
у = Ь	= х , уу =	= х,
\/	/тг2	п4	^ \/
Но а — Ъ = с , где с — расстояние фокуса от центра и | равно эксцен-
эксцентриситету е эллипса. Таким образом,
уу/\ +у'2 = - л/а2 — ?2х2
а
а	а
= 2ж- I л/а2 - c2x2dx =4ж- [ Jа2 - е2х2 dx =
a J	a J
-а	О
Ь A г^.	^г a2	ex \
= 4ж — - х л/ а — ? х ~\	arcsin —
а \2 v	2е	а )
= 2ж — (aWa2 — е2а2 -\	arcsin e);
a v	с	J
но а — е а = а — с = b , так что окончательно имеем
fa	\
Р = 2ттЬ [ b -\— arcsin e .
\ ?	)
Если эллипс вращается вокруг малой оси, то для того, чтобы удобнее было
воспользоваться уже произведенными выкладками, мы будем считать, что ось х
и служит малой осью. Тогда в полученном для у yj\ -\-y'2 выражении нужно лишь
обменять а и b местами, так что теперь
в таком случае
ъ
-ъ
1 / „ с2 „ б2 /с
2*
-ъ
= 2тта [ \/b2 + с2 Н	In ¦
2с

346]	§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ	243
но у Ь2 + с2 = а, с = еа, так что окончательное выражение для Р будет такое:
/ Ъ2 а + с\	( Ъ2 1 1 + е\
Р = 2ла [а -\	In	 = 2ла [а -\	• - In	 .
у 2с а — с J	\ 2а е 1 — е J
346. Площадь цилиндрической поверхности. Рассмотрим еще
один частный тип кривой поверхности, для которой мы также
здесь определим понятие площади {предвосхищая то общее
определение, которое будет дано лишь впоследствии). Мы име-
имеем в виду цилиндрическую поверхность.
Вернемся к кривой АВ на плоскости ху9 о которой была речь
в 344. Приняв ее за направляющую, представим себе цилиндриче-
цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси z (рис. 35).
С
По этой поверхности проведем кривую CD, которая с каждой обра-
образующей пересекается в одной точке; эта кривая определится, если
к уравнениям F) присоединить еще третье
z=x(!) (z>0).	B4)
Речь идет о вычислении площади Р части цилиндрической поверх-
поверхности «под этой кривой».
Как и в 344, введем дугу s в качестве параметра; тогда не
только уравнения F) кривой АВ заменятся уравнениями A8), но

244	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[346
и уравнение B4) перейдет в
z=X(s).
Вписав в кривую АВ ломаную АА1...Ап_1В и, в соответствии
с этим, в кривую CD — ломаную ССХ.. .Cn_lD (см. рис. 35),
из трапеций АгАг+1С 1+1Сt составим призматическую поверхность,
вписанную в рассматриваемую цилиндрическую поверхность. Под
площадью этой последней будем понимать здесь пре-
предел Р площади Q упомянутой призматической поверх-
поверхности при стремлении к нулю наибольшей из частичных дуг.
Полагая zt = AtCi9 имеем (сохраняя в остальном прежние обо-
обозначения)
r
i=0
С помощью таких же соображений, что и в 344 (провести их пол-
полностью читатель сможет сам), вопрос приводится к вычислению
предела суммы
п—\
/=о
в которой легко узнать интегральную сумму. Окончательно *)
S	S
р= fzds = IX{s)ds.
о	о
Возвращаясь к произвольному параметру t9 легко получить
и общую формулу
т	т
Р = Jzyjxf+yfdt = fx{t)^W'{t)]2 + [nt)]2dt. B5)
'о
'о
Наконец, для случая явного задания кривой АВ: у = f(x)
{а ^ х ^ Ь) эта формула перепишется так:
B6)
*) Этот результат становится совершенно наглядным, если представить себе
цилиндрическую поверхность развернутой по плоскости, так что рассматриваемая
фигура превратится в «криволинейную трапецию».

347]
§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
245
347. Примеры.
1) Пусть на рис. 36 кривая АВ представляет собой параболу с вершиной
в точке В. Ее уравнение (при обозначениях рисунка)
Построенная на ней цилиндрическая поверхность пересечена плоскостью ОВС
с уравнением
с
z = — х.
а
Найти площадь Р части АВ С цилиндрической поверхности.
Рис. 36
Решение. По формуле B6),
f2dx = 4 [ x^a4
a5 J
— J ,
У1Ъ1
2) Если кривая АВ будет четвертью окружности у = у'а2 — х2
(О ^ х ^ а), то воспользоваться формулой B6) — безоговорочно — нельзя,
ибо при х = а производная у'х обращается в оо. Прибегнув к параметрическому
представлению
/
х = a cos t, у = a sin t ( 0
мы по общей формуле B5) будем иметь
! 	 f
Р = zJx't1 +yft2'dt = ас
О	О
Если вернуться к цилиндрическому отрезку, о котором была речь
в 8), 343, то боковая поверхность его, как следует из полученного только что
результата, окажется равной 2ah {с = И).
f
/
= ас.

246	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[347
3) Наконец, решим ту же задачу в предположении, что кривой АВ будет
четверть эллипса
х = a cost, у = bsint
[Явным уравнением здесь не следует пользоваться по той же причине, что и выше.]
(а) Пусть сначала а > Ь. Вводя эксцентриситет е =	~— эллипса по
формуле B5), получим
2"	а
Р = с cost J a2 sin21 + b2 cos21 dt = - / \/b2 + e2u2 du
J	v	b J V
0	0
(подстановка и = a sku), и окончательно
„	1	Л	1-?2 1+?
In
P~ac (l +	In
2 V	2e 1-е
(б) В случае а < b эксцентриситет с = ^bb~a и
P = be / \/1 — с sin t cost dt = — ( \/1 — e2 -\— arcsin e ).
/ v	2 \V	e	J
4) Рассмотрим часть цилиндрической поверхности х -\- у = &к, ограничен-
ограниченной сферой х + у -\- z = R ; кривая, получающаяся в пересечении [кривая
Вивиани, 229, 1)], как мы знаем, может быть представлена параметрически так:
х = R sin t, у = R sin t cos t, z = R cos /\
Если ограничиться первым октантом, то t здесь надлежит изменять от 0 до f.
Очевидно, первые два уравнения играют роль уравнений F), а последнее — урав-
уравнения B4).
Площадь упомянутой поверхности по формуле B5) будет
-«7
costdt = 4R2.
О
5) Определить площадь поверхности тела, общего двум цилиндрам радиуса г,
оси которых пересекаются под прямым углом [ср. 343, 11)]. Введем систему ко-
координат, как на рис. 33.
Ограничиваясь одной из цилиндрических поверхностей, для первого октанта
имеем
х = г cost, у = г sint
и, наконец,
(о < ^ -V

sin t dt = 8r , так что Р = 16r .
347]	§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ	247
По формуле B5) половина искомой площади равна
ж.
-Р = 8r2 / sir
О
6) Та же задача — но для случая, когда цилиндры имеют различные радиусы г
nR> r [ср. 343, 12)].
Вычислим сначала площадь части цилиндрической поверхности радиуса г.
Имеем
/	л\
х = г sin t, у = г cos t ( 0 ^ t ^ — ) ,
Z
По формуле B5)
Рх = SRr / yl-k2 sin21 dt = SRr E (к).
j
0
Обращаясь теперь к цилиндрической поверхности радиуса R, обменяем ро-
ролями ось z и ось у. На этот раз
х = Rsint, z = R cos t,
= л г2 -х2 = \ г2 -R2sinzt = rJ\- ^r
причем t может изменяться (если, как всегда, ограничиться первым октантом)
лишь от 0 до arcsin&. Тогда, по формуле, аналогичной B5), получим
arcsin к	arcsin к
/I	 f I I
yjx't1 +z/2dt = SRr / Jl	 sin2 tdt.
0	0
Подстановка
к cos (p dcp
= kmicp, dt = —-
л/\ — к2 sin2 cp
где (р изменяется от 0 до ^, дает
arcsin & 		2
cos (p d(p
у 1 — к sin cp
С последним интегралом мы уже встречались в 343, 12); он равен
/ 1 \	1
\ к2)	к2
Таким образом,
Р2 = SR2{E(k) - A - к2)К(к)}.

248	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[348
Окончательно
P = Pl+P2 = 8Я(Я + г){Е(Т) - A -к)К(к)}.
Этим исчерпываются простейшие геометрические приложения
определенного интеграла. С вычислением геометрических протя-
протяжений в более сложных и более общих случаях мы встретимся
в третьем томе.
§ 3. Вычисление механических и физических величин
348. Схема применения определенного интеграла. Прежде чем
перейти к применениям определенного интеграла в области ме-
механики, физики и техники, полезно наперед уяснить себе тот путь,
по которому в прикладных вопросах обычно приходят к определен-
определенному интегралу. С этой целью мы набросаем общую схему приме-
применения интеграла, иллюстрируя ее примерами уже изученных гео-
геометрических задач.
Вообразим, что требуется определить некоторую постоянную
величину Q (геометрическую или иную), связанную с про-
промежутком [а, Ь]. При этом пусть каждому частичному проме-
промежутку [а, /3], содержащемуся в [а,Ь]9 отвечает некоторая часть ве-
величины Q так, что разложение промежутка [я, Ъ] на частичные про-
промежутки влечет за собой разложение на соответствующие части
и величины Q.
Точнее говоря, речь идет о некоторой «функции от промежут-
промежутка» Q([a, /3]), обладающей «свойством аддитивности»; это зна-
значит, что если промежуток [а, /3] состоит из частичных промежут-
промежутков [а, у] и [у, /3], то тогда и
Q{[a,P])=Q{[a9y])+Q{[y9p]).
Задача же состоит в вычислении ее значения, отвечающего всему
промежутку [а,Ь].
Для примера возьмем на плоскости кривую у = f(x) (а ^ х ^ Ь)
(рис. 37)*). Тогда 1) длина S кривой АВ, 2) площадь Р ограниченной
ею криволинейной трапеции АА'в'В и 3) объем V тела, полученного от вра-
*) Функция f(x) предполагается непрерывной и имеющей непрерывную про-
производную. Для определенности мы допустим, что кривая все время идет вверх
и выпукла вниз.

348]
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
249
щения этой трапеции вокруг оси х, —
все три являются величинами указан-
указанного типа. Нетрудно дать себе отчет в
том, какие «функции от промежутка»
ими порождаются.
Рассмотрим «элемент» AQ
величины g, который отвечает
«элементарному промежутку»
[х,х + Ах]. Исходя из усло-
условий вопроса, стараются найти
для AQ приближенное выраже-
выражение вида д(х) Ах, линейное от-
относительно Ах, так чтобы оно
разнилось от AQ разве лишь на
бесконечно малую порядка выс-
высшего, чем Ах. Иными словами,
из бесконечно малого (при Ах —>> 0) «элемента» AQ выде-
выделяют его главную часть. Ясно, что тогда относительная по-
погрешность приближенного равенства
Рис. 37
Ax
A)
будет стремиться к нулю вместе с Ах.
Так, в примере 1) элемент дуги ММХ можно заменить отрезком касатель-
касательной МК, так что из AS выделяется линейная часть
В примере 2) естественно заменить элементарную полоску АР входящим прямо-
прямоугольником с площадью
yAx=f(x)Ax.
Наконец, в примере 3) из элементарного слоя AV выделяется его главная часть
в виде входящего кругового цилиндра с объемом
жу2Ах = ж[/(х)}2 Ах.
Во всех трех случаях нетрудно показать, что погрешность от такой замены
будет бесконечно малой высшего порядка, чем Ах. Именно *\ в случае 1) она
будет меньше КМ1 = Ay — dy, в случае 2) — меньше Ах Ау, а в случае 3) —
меньше я {Ту + Ау) Ах Ау.
*)
При предположениях, сделанных в сноске на предыдущей странице.

250	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[348
Лишь только это сделано, можно уже утверждать, что искомая
величина Q точно выражается интегралом
ь
Q= Jq(x)dx.	B)
а
Для пояснения этого 54^ разложим промежуток [а, Ь] точками
х1? х2, • • •, хп-\ на элементарные промежутки
[а9хг]9 [xl9x2],..., [xi9xi+1]9...9 [xn_l9b].
Так как каждому промежутку [xt, xi+l] или [xi9xt + Axt] от-
отвечает элементарная часть нашей величины, приближенно рав-
равная q(Xj)Axi9 то вся искомая величина Q приближенно выразится
суммой
е =
i
Степень точности полученного значения будет тем выше, чем мель-
мельче частичные промежутки, так что Q, очевидно, будет пределом
упомянутой суммы, т. е. действительно выразится определенным
ъ
интегралом fq(x)dx.
а
Это в полной мере относится ко всем трем рассмотренным примерам. Если
выше мы получили формулы для величин S, Р, V несколько иначе, то это потому,
что задача наша состояла не только в вычислении их, но и в доказательстве
их существования — в согласии с ранее данными определениями.
Таким образом, все дело сводится к установлению приближен-
приближенного равенства A), из которого непосредственно получается окон-
окончательный результат B).
Обыкновенно, впрочем, вместо Ах и AQ пишут dx и dQ9 а ра-
равенство A) «элемента» dQ величины Q записывают в форме
dQ = q(x)dx.	C)
Затем «суммируют» эти «элементы» (на самом деле беря инте-
интеграл!), что и приводит к формуле B) для всей величины Q.
Мы подчеркиваем, что пользование здесь интегралом вме-
вместо обыкновенной суммы весьма существенно. Сумма давала бы
лишь приближенное выражение для Q, ибо на ней отразились бы
погрешности отдельных равенств типа C); предельный же переход,
с помощью которого из суммы получается интеграл, уничтожает
' Более формальное пояснение равенства B) читатель найдет в конце
этого п°

349]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН	251
погрешность и приводит к совершенно точному результату. Итак,
сначала, в интересах простоты, в выражении элемента dQ отбра-
отбрасываются бесконечно малые высших порядков и выделяется глав-
главная часть, а затем, в интересах точности, суммирование заменяется
интегрированием, и просто получаемый результат оказывается
точным.
Впрочем, можно было бы подойти к вопросу и с иной точки зре-
зрения. Обозначим через Q(x) переменную часть величины Q, отвеча-
отвечающую промежутку [а, Ь]9 причем Q(a)9 естественно, полагаем рав-
равным 0. Ясно, каким образом рассмотренная выше «функция про-
промежутка» Q([a, /3]) выражается через эту «функцию точки» Q(x)
В наших примерах функциями точки являются: 1) переменная дуга AM,
2) площадь переменной трапеции АА'М'М и, наконец, 3) объем тела, получен-
полученного от вращения именно этой трапеции.
Величина AQ есть попросту приращение функции Q{x), а про-
произведение q{x)Ax, представляющее собой его главную часть,
есть не что иное, как дифференциал этой функции [103; 104]. Та-
Таким образом, равенство C), написанное в дифференциальных обо-
обозначениях, на деле является не приближенным, а точным, если
только под dQ разуметь именно dQ{x). Отсюда также сразу
получается требуемый результат:
ь
q(x) dx = Q(b) - Q(a) = Q([a, b]) = Q.
a
Отметим все же, что в приложениях более удобной и плодо-
плодотворной является идея суммирования бесконечно ма-
малых элементов.
349. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой. 55' Как
известно, статический момент М материальной точки массы т относительно не-
некоторой оси равен произведению массы т на расстояние d точки от оси. В случае
системы п материальных точек с массами т1? т2, . . ., тп, лежащих в одной
плоскости с осью, соответственно, на расстояниях d±, d2, . . ., dn от оси, статиче-
статический момент выразится суммой
М =
' Вывод математических формул, связывающих между собой физические ве-
величины, по необходимости использует физическую аргументацию.

252
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[349
При этом расстояния точек, лежащих по одну сторону от оси, берутся со зна-
знаком плюс, а расстояния точек по другую сторону — со знаком минус.
Если же массы не сосредоточены в отдельных точках, но расположены сплош-
сплошным образом, заполняя линию или плоскую фигуру, то тогда для выражения ста-
статического момента вместо суммы потребуется интеграл.
Остановимся на определении статического момента М относительно оси
х масс, расположенных вдоль некоторой плоской кривой АВ (рис. 38). При
этом мы предположим кривую од-
однородной, так что ее линейная
плотность /9 (т. е. масса, прихо-
приходящаяся на единицу длины) будет
постоянной; для простоты допустим
даже, что р = 1 (в противном слу-
случае придется полученный результат
лишь умножить на р). При этих
предположениях масса любой дуги
нашей кривой измеряется просто ее
длиной, и понятие статического мо-
момента приобретает чисто геометри-
геометрический характер. Заметим вообще,
что когда говорят о статическом
О
Рис. 38
моменте (или центре тяжести) кри-
кривой — без упоминания о распределении вдоль по ней масс, — то всегда имеют
в виду статический момент (центр тяжести), определенный именно при указанных
предположенях.
Выделим теперь какой-нибудь элемент ds кривой (масса которого также
выражается числом ds). Приняв этот элемент приближенно за материальную
точку, лежащую на расстоянии у от оси, для его статического момента получим
выражение
dMx = у ds.
Суммируя эти элементарные статические моменты, причем за независимую пе-
переменную возьмем дугу s, отсчитываемую от точки А, мы получим
rx = I yds.
М. =
Аналогично выражается и момент относительно оси у
М., = I х ds.
I'
D)
E)
Конечно, здесь предполагается, что у (или х) выражено через s. Практически
в этих формулах s выражают через ту переменную (t, x или в), которая играет
роль независимой в аналитическом представлении кривой.
Статические моменты Мх и М кривой позволяют легко установить положе-
положение ее центра тяжести С(?,, rj). Точка С обладает тем свойством, что если в ней

350]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН	253
сосредоточить всю «массу» S кривой (выражаемую тем же числом, что и дли-
длина), то момент этой массы относительно любой оси совпадает с моментом
кривой относительно этой оси; в частности, если рассмотреть моменты кривой
относительно осей координат, то найдем
= Му= xds, Sr] = Мх = yds,
S	S
r]S = у ds, откуда 2jtt]s = 2jt
о	о
откуда
о	о
Из формулы для ординаты ц центра тяжести мы получаем замечательное
геометрическое следствие. В самом деле, имеем
S	S
у ds;
0	0
но правая часть этого равенства есть площадь Р поверхности, полученной от вра-
вращения кривой АВ [см. 344, 20)], в левой же части равенства 2ттг\ обозначает длину
окружности, описанной центром тяжести кривой при вращении ее около оси х,
a S есть длина нашей кривой. Таким образом, приходим к следующей теореме
Гул ъдина (P. Guldin):
Величина поверхности, полученной от вращения кривой около некото-
некоторой не пересекающей ее оси, равна длине дуги этой кривой, умноженной
на длину окружности, описанной центром тяжести С кривой (рис. 38)
Р = S • 2лт/.
Эта теорема позволяет установить координату ц центра тяжести кривой, если
известны ее длина S и площадь Р описанной ею поверхности вращения.
350. Примеры.
х2 у2
1)	Найти статический момент обвода эллипса —т -\	 = 1 относительно
а1 Ь1
оси х (предполагая а > Ъ).
Для верхнего (или нижнего) полуэллипса этот момент только отсутствием
множителя 2л отличается от величины соответствующей поверхности вращения.
Поэтому [см. 345, 7)]
Мх = 2Ъ\Ъ + - arcsineJ.
2)	Если рассматриваемая дуга симметрична относительно некоторой
прямой, то центр тяжести дуги необходимо лежит на этой прямой.
Для доказательства примем ось симметрии за ось у, а точку ее пересечения
с кривой — за начальную точку для отсчета дуг. Тогда функция х = Ф (s) окажется
нечетной функцией от s и, если на этот раз длину всей кривой обозначить

254
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[350
через 2S, будем иметь [см. 314, 9)]
откуда и | = 0.
3) Пользуясь теоремой
А
Му = / x ds = 0,
-s
Гульдина, определить положение центра тя-
тяжести дуги АВ (рис. 39) круга ра-
радиуса г.
Так как эта дуга симметрична от-
относительно радиуса ОМ, проходяще-
проходящего через ее середину М, то ее центр
тяжести С лежит на этом радиусе,
и для полного определения положе-
положения центра тяжести необходимо лишь
х найти его расстояние ц от центра О.
Выбираем оси, как указано на рисун-
рисунке, и обозначим длину дуги АВ че-
через s, а ее хорды АВ (= А1 В1) — че-
через d. От вращения рассматриваемой дуги вокруг оси х получается шаровой
пояс, площадь поверхности Р которого, как мы знаем [345, 1)], равна 2jrrd. По
теореме Гульдина, та же поверхность равна 2jrr\s, так что
rd
sr] = rd и r\ = —.
s
В частности, для полуокружности d = 2r, s = лг и
г] = -г = 0,637г.
л
4) Определить центр тяжести ветви циклоиды
х = a(t — smt), у = а(\ — cost) @ ^ t ^ 2л).
Если принять в расчет симметрию, то сразу ясно, что | = ла. Учитывая
же результаты примера 4), 345, легко получить затем r\ = | а.
Рис. 40
5) В тех случаях, когда наперед ясно положение центра тяжести, теоре-
теоремой Гульдина можно воспользоваться для определения площади поверхности
вращения. Пусть, например, требуется определить величину поверхности кольца

351]
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
255
(тора), т. е. тела, образованного вращением круга около оси, не пересекающей
его (рис. 40). Так как очевидно, что центр тяжести окружности совпадает с ее цен-
центром, то (при обозначениях рисунка) имеем
Р = 2лг • 2nd = 4jr2rd.
351. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фи-
фигуры. Рассмотрим плоскую фигуру АА'в'В (рис. 41), ограниченную сверху кри-
кривой АВ, которая задана явным уравнением у = f(x). Предположим, что вдоль
по этой фигуре равномерно распределены массы, так что поверхностная
плотность их /9 (т. е. масса, приходящаяся на единицу площади) постоянна.
Без существенного умаления общности можно тогда принять, что р = 1, т. е. что
масса любой части нашей фигуры измеряется ее площадью. Это всегда
и подразумевается, если говорят просто о статических моментах (или о центре
тяжести) плоской фигуры.
я
А
I A
(^—^н
ь f
ш
1
dx
у
В
— В' '
Рис. 41
Желая определить статические моменты Мх, М этой фигуры относитель-
относительно осей координат, мы выделим, как обычно, какой-нибудь элемент нашей фи-
фигуры в виде бесконечно узкой вертикальной полоски (см. рис. 41). Приняв эту
полоску приближенно за прямоугольник, мы видим, что масса ее (выражаемая
тем же числом, что и площадь) будет у dx. Для определения соответствующих
элементарных моментов dMx, dM предположим всю массу полоски сосредото-
сосредоточенной в ее центре тяжести (т. е. в центре прямоугольника), что, как известно, не
изменяет величины статических моментов. Полученная материальная точка от-
отстоит от оси х на расстоянии ^ у, от оси у — на расстоянии [х + \ dx^j; послед-
последнее выражение можно заменить просто через х, ибо отброшенная величина j dx,
умноженная на массу у dx, дала бы бесконечно малую высшего порядка. Итак,
имеем
dMr = - у dx,
х 2У
dM = xy dx.
Просуммировав эти элементарные моменты, придем к результатам
ъ	ь
у dx,
му =
1
xy dx,
G)
а	а
причем под у разумеется, конечно, функция f(x), фигурирующая в уравнении
кривой АВ.

256	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[352
Как в случае кривой, по этим статическим моментам рассматриваемой фигу-
фигуры относительно осей координат легко определить теперь и координаты |, ц цен-
центра тяжести фигуры. Если через Р обозначить площадь (а следовательно, и массу)
фигуры, то по основному свойству центра тяжести
= Му =
ъ	ъ
/ ху dx, Рц = Мх = - у2 dx,
откуда
ъ	ъ
м \ [	мх 1 г
= —^ = - / ху dx, ц = — = — I
Р Р J У	' Р 2Р J
yz dx.	(8)
а
И в данном случае мы получаем важное геометрическое следствие из фор-
формулы для ординаты г\ центра тяжести. В самом деле, из этой формулы имеем
-1'
2ттцР = ж I у2 dx.
Правая часть этого равенства выражает объем V тела, полученного от вра-
вращения плоской фигуры АА'В'В около оси х [342, A6)], левая же часть выражает
произведение площади этой фигуры Р на 2ттг\ — длину окружности, описанной
центром тяжести фигуры. Отсюда вторая теорема Гулъдина:
Объем тела вращения плоской фигуры около не пересекающей ее оси
равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной
центром тяжести фигуры.
V = Р • 2лт/.
Заметим, что формулы G), (8) распространяются на случай фигуры, ограни-
ограниченной кривыми и снизу и сверху (см. рис. 19). Например, для этого случая
ъ	ъ
Мх = - / (y\-y\)dx, My = / x(y1-yx)dx\	Ga)
а	а
отсюда ясно уже, как преобразуются формулы (8). Если вспомнить форму-
формулу (8), 338, то легко усмотреть, что теорема Гульдина справедлива также
и для этого случая.
352. Примеры.
1) Найти статические моменты Мх,Му и координаты центра тяжести фигуры,
ограниченной параболой у = 2рх, осью х и ординатой, соответствующей
абсциссе х.

352]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН	257
Так как у = у^2рх, то по формулам G)
MY = - • 2р I х dx = - рх ,
'>={¦*/'
Мл, = \/2р I хг dx =
у
о
С другой стороны, площадь [338, G)]
о
В таком случае, по формулам (8),
_ 3
5
Пользуясь значениями | и г], легко найти — по теореме Гульдина — объем
тела вращения рассматриваемой фигуры вокруг осей координат или вокруг конеч-
конечной ординаты. Например, если остановиться на последнем случае, так как рассто-
расстояние центра тяжести от оси вращения есть i x, то искомый объем будет
, „,
х2 у2
2)	Найти центр тяжести первого квадранта эллипса —^-\	~ = 1, вос-
az bz
пользовавшись результатами 339, 2); 343, 2).
По теореме Гульдина | = —, г\ = —.
Зж	Зж
3)	Если фигура имеет ось симметрии, то центр тяжести фигуры необходимо
лежит на этой оси.
Докажем это для случая фигуры, ограниченной снизу и сверху кривыми
yl = fi(x) иу2 = /2М- Если взять ось симметрии за ось;;, то обе функцииу1
и у2 окажутся четными; промежуток же изменения х в этом случае будет
иметь вид [—а, а]. Тогда, по второй из формул Gа) [см. 314, 9)]
а
м = / х(у2 — У\) dx = 0, вместе с чем и | = 0.
—а
4)	Найти центр тяжести фигуры, ограниченной ветвью циклоиды
х = a(t — sint), у = а{\ — cost) и осью х.
Воспользовавшись 339, 9); 343, 4), по теореме Гульдина легко устано-
установить: ц = | а. По симметрии | = ж а.

258
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[353
5) То же для фигуры, ограниченной двумя параболами у = 2рх
и х = 2ру (см. рис. 24).
Вспоминая пример 5), 339, по формуле Gа) находим
ч = « = ?
2р
6) Подобно первой теореме Гульдина [ср. 350, 5)], и вторая теорема так-
также может быть использована в том случае, когда положение центра тяжести ясно,
для определения объема соответствующего тела вращения. Например, для тора
(см. рис. 40) получается объем V = 2л г d.
353. Механическая работа. Из элементарной механики читателю известно,
что если сила, приложенная к движущейся точке М, сохраняет постоянную вели-
величину F и постоянный угол с направлением перемещения точки, то работа А этой
силы на перемещение s точки выразится произведением F cos(F, s) • s, где (F, s)
обозначает угол между направлениями силы и перемещения точки. Произведе-
Произведение Fs = F cos(F, s), очевидно, представляет собой проекцию силы F на пере-
перемещение s; вводя эту проекцию, можно выражение для работы представить в
виде А = Fss. Если направление силы совпадает с направлением перемещения
точки, то А = Fs; в случае же, когда оба направления прямо противоположны,
А = -Fs.
Вообще говоря, однако, и величина силы F, и угол (F, s) ее с направлени-
направлением перемещения могут не оставаться постоянными. При непрерывном измене-
изменении хоть одной из этих величин для выра-
выражения величины работы приходится прибег-
прибегнуть снова к определенному интегралу.
Пусть путь s, проходимый точкой, бу-
будет независимой переменной: при этом пред-
предположим, что начальному положению А на-
нашей точки М соответствует значение s = s0,
а конечному В — значение s = S (рис. 42).
Каждому значению s в промежутке (sq, S)
отвечает определенное положение движу-
движущейся точки, а также определенные значе-
значения величин F и cos(F, s), которые, таким
образом, можно рассматривать как функции
от s. Взяв точку М в каком-нибудь ее
положении, определяемом значением s пу-
пути, найдем теперь приближенное выраже-
выражение для элемента работы, соответствующе-
соответствующего приращению ds пути, от s до s + ds, при
котором точка М перейдет в близкое поло-
положение Mf (см. рис. 42). В положении М на точку действует определенная сила F
под определенным углом (F, s); так как изменение этих величин при переходе
точки из М в Мг — при малом ds — также мало, пренебрежем этим изменением
и, считая величину силы F и угол (F, s) приближенно постоянными, найдем для
Рис. 42

353]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН	259
элемента работы на перемещении ds выражение
dA = F cos(F, s) • ds,
так что вся работа А представится интегралом
s
Г
А= Fcos(F,s) -ds.	(9)
Из этого общего выражения для работы силы F ясно, что при (F, s) = f
работа обращается в нуль; действительно, при этом cos(F, s) = 0, так что подин-
тегральная функция оказывается нулем. Таким образом, сила, перпендикулярная
к направлению перемещения, механической работы не производит.
Если действующую на точку силу F разложить (по правилу параллелограм-
параллелограмма) на две составляющие — по касательной к пути, т. е. по направлению переме-
перемещения, и по нормали к нему, то, согласно сказанному, работу будет производить
лишь касательная составляющая Fs = F cos(F, s):
-/
Fsds.	(9a)
Положим теперь, что F есть равнодействующая всех приложенных к точке
сил; тогда, по закону движения Ньютона, касательная составляющая Fs равна
произведению массы т точки на ее ускорение а, и выражение для работы А можно
написать в виде
s
=!
та ds.
Вспомним теперь, что
dv	ds	dv ds dv
a = — и v = —,	так что а =	= — v;
dt	dt	ds dt ds
в таком случае
s
2\ 1 2
¦ mv ) = - mv
A = / mv — ds = / d\ —
J ds	J \2
s
где через v 0 и V обозначены величины скорости, соответственно, в конечной
и начальной точках пути.
Как известно, ^ mv есть живая сила или кинетическая энергия
точки; таким образом, мы пришли к важному предложению: механическая рабо-
работа А, проделанная силой, под действием которой происходило движение
точки, равна приращению кинетической энергии точки. [Разумеется, работав
и приращение кинетической энергии могут одновременно оказаться и отрицатель-
отрицательными.] Этот принцип, который можно распространить и на системы материальных
точек, и на сплошные тела, играет в механике и физике очень важную роль. Его
называют «законом живой силы».

260
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[354
354. Примеры.
1) Применим в виде примера формулу (9) к вычислению работы растяжения
(или сжатия) пружины с укрепленным одним концом (рис. 43); с этим приходит-
приходится иметь дело, например, при расчете буферов у железнодорожных вагонов.
Известно, что растяжение s пружи-
пружины (если только пружина не перегруже-
перегружена) создает натяжение р, по величине
пропорциональное растяжению, так что
р = cs, где с — некоторая постоянная,
зависящая от упругих свойств пружины
(«жесткость» пружины). Сила, растягива-
Рис. 43	ющая пружину, должна преодолевать это
натяжение. Если учитывать только
ту часть действующей силы, которая на это затрачивается,
то ее работа при возрастании растяжения от 0 до S выразится так:
л =
s ds = с —
cS2
о	о
Обозначив через Р наибольшую величину натяжения (или преодолевающей
ее силы), соответствующую растяжению S пружины (и равную cS), мы можем
представить выражение для работы в виде
А = - PS.
Если бы к свободному концу пружины сразу была приложена сила Р (на-
(например, подвешен груз), то на перемещении S ею была бы произведена вдвое
большая работа PS. Как видим, лишь половина ее затрачивается на растяжение
пружины; другая половина пойдет на
сообщение пружине с грузом кинети-
кинетической энергии.
2) Пусть некоторое количество
газа (пара) содержится в цилиндре
(рис. 44) по одну сторону поршня,
и предположим, что газ этот расши-
расширился и передвинул поршень напра-
I
1
V > '
S2 *i
Рис. 44
во. Поставим себе задачей определить
работу, произведенную при этом газом. Если начальное и конечное расстояния
поршня от левого дна цилиндра обозначить, соответственно, через s^ и s2, давле-
давление (на единицу площади поршня) — через р, а площадь поршня — через Q, то
вся сила, действующая на поршень, будет pQ, и работа, как мы знаем, выразится
интегралом
А = Q / pds

354]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН	261
Обозначая через V объем рассматриваемой массы газа, очевидно, будем
иметь V = Qs. Нетрудно теперь перейти от переменной s к новой переменной V;
мы получим
А = pdV,	A0)
vi
где V± и V2 означают начальное и конечное значения объема V.
Если бы нам известно было давление р как функция от объема V, то этим
определилась бы работа А. Предположим сначала, что при расширении газа
температура его остается постоянной, так что необходимая для его расшире-
расширения энергия в виде тепла притекает извне; в этом случае процесс называют
изотермическим. Считая газ «идеальным», по закону Бойля-Мариотта
будем иметь: pV = с = const, так что р = у, и для работы получаем значение
А = / - dV = с In V
1
1
Если обозначить через р^ и р2 давления в начале и в конце процесса,
то p±V± = p2V2 и 77- = -г^-. Поэтому работу расширения, связанного с пере-
v\	P2
ходом от давления р1 к давлению р2 < р±, можно представить в виде
Рг
Наконец, вместо с в эти формулы можно подставить произведение p\V±.
Часто бывает, однако, естественнее предположить, что во время расширения
не происходит теплового обмена между газом и окружающей средой и на про-
производство работы затрачивается энергия самого газа, температура которого при
этом понижается; такой процесс называется адиабатическим. В этом случае
зависимость между давлением р и объемом V рассматриваемой массы газа имеет
вид
pV = с = const
[эта зависимость будет выведена ниже, 361, 3)], где к есть характерная для каж-
каждого газа (пара) постоянная, всегда большая единицы. Отсюда р = cV~ и
'2
-И
1 -к
С	/ЛЬ-	Л Ь\
	 [Уп — Ул
Этот результат можно представить в более удобной форме, если вспомнить,
тг—к	тг—к
что cFj = Р\9 CV2 — /?2» подставляя, придем к следующему выражению для
работы:
л= P\V\ ~P2V2
k-l

262
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[355
Мы лишь для простоты рассуждения и наглядности предположили расши-
расширяющийся газ заключенным в цилиндр. Основная формула A0), равно как и по-
полученные из нее частные формулы, сохраняют силу независимо от формы, ко-
которую имеет в каждый данный момент рассматриваемая масса газа. Разумеется,
те же формулы выражают и работу сжатия газа от объема F2 до объема
V± < F2 (сопровождаемого повышением давления от р2 до р± > р2), т. е. работу
внешней силы, заставляющей газ сжиматься; работа самого газа в этом случае
отрицательна!
355. Работа силы трения в плоской пяте. Пятой вообще называют опорную
часть вертикального вращающегося вала; неподвижная опора, в которой враща-
вращается пята, называется подпятником. В настоящем п° мы рассмотрим вопрос
о мощности, затрачиваемой на преодоление трения в пятах, ограничиваясь прос-
простейшим случаем — плоской пяты.
Плоская пята представляет собой цилиндрическое тело, которое на под-
подпятник опирается своим плоским основанием (рис. 45). Это основание имеет,
вообще, форму кругового коль-
кольца с внешним радиусом R и вну-
внутренним радиусом г0; в част-
частном случае, при г0 = 0, мы по-
получаем сплошное круговое осно-
основание.
Обозначим через Р полное
давление, передаваемое пятой,
через со (?) — угловую ско-
скорость вращения вала, через \х —
коэффициент трения, наконец,
через р — давление на едини-
единицу площади пяты в рассматри-
рассматриваемой ее точке. Не касаясь по-
пока вопроса о распределении
давления, отметим лишь одно
очевидное обстоятельство: точки
пяты, равноудаленные от ее цен-
центра О, находятся в одинаковых
условиях, и в них давление долж-
должно быть одинаково. Таким обра-
образом, р вообще можно считать
функцией от радиуса-вектора г.
Ниже будут указаны допущения,
которые обычно делаются отно-
относительно этой функции: по одно-
одному условию она должна удовлетворять во всяком случае, именно полное давление
на пяту должно уравновешиваться давлением Р со стороны вала.
Для того чтобы вычислить это полное давление, прибегнем снова к методу
суммирования бесконечно малых элементов по схеме п° 348, причем за неза-
независимую переменную примем радиус г, изменяющийся от г0 до R. Разбивая
Рис. 45

355]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН	263
этот промежуток на части, мы в то же время можем разложить все кольцо на
элементарные концентрические кольца, так что все давление Р сложится из эле-
элементарных давлений, соответствующих отдельным кольцам. Рассмотрим теперь
кольцо, ограниченное окружностями радиусов г и г + dr (на рис. 45,6 оно за-
заштриховано). Площадь этого кольца есть ж (г + dr) — ттг = 2жг dr + jr(dr) ;
отбрасывая бесконечно малую второго порядка ж(с1г) , можно принять эту пло-
площадь приближенно равной 2жг dr. Если р есть давление (на единицу площади)
в точке, отстоящей от центра на расстоянии г, то рассматриваемому кольцу от-
отвечает элементарное давление
dP = р • 2лг dr,
так что, суммируя, получаем равенство
R
prdr.	A1)
'2"l>
'о
Оно, повторяем, и выражает тот факт, что суммарное давление, распределенное
по пяте, равно давлению со стороны вала.
Определим теперь момент М силы трения во вращающейся пяте относитель-
относительно оси вращения. Рассмотрим снова элементарное кольцо, о котором шла речь
выше; развивающаяся в нем сила трения, противодействующая вращению, будет
\idP = 2jrjj,pr dr,
так что соответствующий ей элементарный момент dM выразится произведением
из этой силы на плечо г (общее для всех точек кольца)
dM = 2jrjj,pr dr.
Отсюда полный момент трения будет
R
М= 2jtjj pr2dr.	A2)
Как известно из механики, работа А, производимая таким постоянным вра-
вращательным моментом М в одну секунду, получается умножением момента М
на угловую скорость со (^) вращения
А = Мсо.
Для того чтобы довести до конца вычисление работы А, теперь нужно сделать
те или иные допущения относительно закона распределения р на поверхности
пяты.
Самым простым является предположение, что давление распределяется рав-
равномерно, т. е. что р = с = const. Величина этой постоянной определяется
из условия A1). Впрочем, в этом случае непосредственно ясно, что если давле-
давление Р равномерно распределяется по площади кольца jt(R — г0), то на единицу
площади придется давление р = с = —-J-—j-.

264	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[356
Подставляя это значение вместо р в A2), найдем далее
л* •> р ? 2. 2 nR3-4
М = 2л и —-г—	тт- г аг = — иР —^	т.
РЛ-(Д2-г2) J	3Р Л2_Г2
В частности, для сплошной пяты будем иметь: М =
Однако эти результаты прилагают лишь к новым, не обтершимся еще пятам.
Дело в том, что при вращении вала точки пяты, дальше отстоящие от центра О,
движутся с большей скоростью, в них работа трения больше и, соответствен-
соответственно, больше и изнашивание как пяты, так и подпятника; благодаря этому часть
давления перелагается на более близкие к центру части пяты. Для старых, при-
приработавшихся пят обычно допускается, что давление на них распределяется так,
что работа трения (на единицу площади), а с нею и изнашивание всюду сохраня-
сохраняют постоянную величину. Разделив элементарную работу dA = codM на площадь
2лг dr элементарного кольца, запишем наше допущение в виде
tojjpr = const, откуда и рг = с = const;
итак, мы предполагаем, что р изменяется обратно пропорционально расстоянию
г от центра. Подставляя с вместо рг в условие A1), найдем величину этой по-
постоянной
R
dr = 2jtc(R — г0), откуда с =
Наконец, заменив ив A2) рг полученным выражением, придем к такому резуль-
тату:
-	 (rdr = \
- r0) J	2
r0
= j
Для сплошной же пяты М = j
Легко видеть, что потеря мощности на трение в случае приработавшихся пят
меньше, чем в случае новых пят.
356. Задачи на суммирование бесконечно малых элементов. Приведем еще
ряд задач, решаемых методом суммирования бесконечно малых элементов.
1) Найти формулу для выражения статического момента М тела (V) отно-
относительно данной плоскости, если известны площади поперечных сечений тела
параллельно этой плоскости (в функции расстояния х от нее). Плотность пред-
предполагается равной единице.
При обозначениях п° 343 масса (объем) элементарного слоя тела на рас-
расстоянии х от плоскости есть Р(х) dx, его статический момент dM = хР(х) dx,
так что, суммируя, получим
ъ
М= / xP{x)dx.

356]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН	265
Расстояние | центра тяжести тела от данной плоскости выразится так:
JxP(x)dx
? _ ^_ _ а
" V ~ \
fP(x)dx
а
В частности, для тела вращения
ъ
fxy2dx
Если применить этот результат (а) к круговому конусу и (б) к полусфере,
то найдем, что расстояние центра тяжести от основания составит (а) \ высоты,
(б) | радиуса.
2) Найти формулу для выражения статического момента М поверхности
вращения относительно плоскости, перпендикулярной к оси вращения. «По-
«Поверхностная плотность» предполагается равной единице.
Примем ось вращения за ось х, а за начало координат возьмем точку пере-
пересечения ее с упомянутой плоскостью. При обозначениях п° 344 масса (площадь)
элементарного кольцевого слоя на расстоянии s от начала дуги есть 2лу ds,
его статический момент dM = 2лху ds и, окончательно,
S	S
М = 2ж ху ds = 2ж / ФСОФСу) ds.
=2ж / xyds =2л I
В частности, если вращающаяся кривая задана явным уравнением у = f(x)
{а < х < Ь),
ь	ь
M=2jt I xy^/\+y'x2ds =2jt I x . f(x)y/l + [f'(x)]2dx.
a	a
Расстояние | центра тяжести поверхности от данной плоскости будет
ъ
Применить последнюю формулу к поверхности (а) кругового конуса, (б) по-
полусферы.
Ответ: Расстояние центра тяжести от основания равно (а) ^ высоты,
(б) \ радиуса.

266
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[356
3) Определить статические моменты Myz, Mzx, Mxy относительно координат-
координатных плоскостей для цилиндрической поверхности [346, рис. 35] и по-
положение ее центра тяжести. Применить полученные формулы к боковой поверх-
поверхности цилиндрического отрезка [343, 8)].
Ответ: Общие формулы
s	s	i s
Myz = J xz ds, Mzx = J yz ds, Mxy = - J z ds,
$ = —>	n = —.	$ = —>
где P — площадь поверхности. В предложенном примере: | = О, г] = ^ а,
4) Моментом инерции (или квадратичным моментом) матери-
материальной точки массы т относительно не-
некоторой оси (или плоскости) называется
произведение массы m на квадрат рас-
расстояния d от точки до оси (до плоскости).
Исходя из этого, предлагается найти вы-
выражение для момента инерции 1у относи-
относительно оси у плоской фигуры А^В^В2^2
(рис. 46) в предположении, что «поверх-
«поверхностная плотность» распределения масс
есть единица.
Имеем
dlv = х (у9 — y^)dx,
О
-I'
(У2 -У
Например, для случаев, изображенных на рис. 47, получим:
(а)	у2-У1=Ь, Iy=b
с
в частности, при с = 0 будет / =
= Ь / xLdx = .
	,
с-\
(б)
Уг~У\= 2-\Д2 - (л - сJ,
с+г
=2 f x
в частности, при с = 0 будет I =

356]
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
267
5) Определить момент инерции тела (F), рассмотренного в задаче 1), от-
относительно упомянутой там плоскости. Применить полученную формулу
к вычислению момента инерции (а) кругового конуса, (б) полусферы — относи-
относительно плоскости основания.
Ответ: I = jf x2P{x) dx; в частности, (а) / = ^ R2h3, F) / = ^f R5.
~У
Рис. 47
6) Давление жидкости на какую-нибудь площадку, расположенную на глу-
глубине h (м) под ее поверхностью, равно весу цилиндрического столба жидкости
высоты /z, имеющего эту площадку своим основанием. Таким образом, давление
(в ^) на глубине к(м), приходящееся на единицу площади, равно hy, если у
означает удельный вес жидкости (^).
Предположим, что в жидкость вертикально погружена плоская фигу-
фигура А1В1В2А2 (см. рис. 46) *}.
Найти полное гидростатическое давление W на эту фигуру и его момент М
(относительно свободной поверхности жидкости).
Элементарная площадка dP = (у2 — У\) dx испытывает давление
dW=yx(y2-yi)dx,
момент которого относительно оси у равен
dM= ух (у 2 -yx)dx.
Отсюда
W
о
х(у2 — У\) dx, M
о
х (У2 ~y\)dx.
а	а
Первый интеграл, очевидно, представляет собой статический момент М
фигуры относительно оси;;; второй же дает момент инерции 1у фигуры
относительно той же оси.
Если | есть расстояние центра тяжести С фигуры от свободной поверхности,
аР — ее площадь, то можно написать, что W = уРЁ,. Центр давления, т. е.
точка приложения равнодействующей всего давления, от свободной поверхности
*)
Мы берем ось у лежащей на свободной поверхности жидкости.

268
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[356
отстоит на расстоянии
м_ = п
w I/
Приложим эти формулы к случаям, изображенным на рис. 47.
В случае а): | = с, Р = bh и W = ybhc. Далее, так как в 4) мы уже вы-
числили I = be h
= |
bh"
-, то можем сразу написать | = с +
В частности,
если с = | (т. е. верхняя сторона прямоугольника лежит на уровне жидкости),
имеем W= \ ybh2, |* = \с.
В случае б): | = с, Р = яг2 и W = уеттг1. Здесь / = ят2с2 + ^j- [см. 4)].
2
Поэтому |* = с + ^.
7) Если в стенке резервуара, наполненного водой, на глубине h (м) под по-
поверхностью воды имеется горизонтальная щель, то через нее вода будет вытекать
со скоростью (в ^) v = y/2gh*\
Предположим теперь, что в стенке резервуара имеется прямоугольное от-
отверстие (рис. 48). Требуется определить расход воды, т. е. объем воды Q(m ),
вытекающий в 1 с.
Элементарной полоске ширины dx на глубине х отвечает скорость v = \/2gx;
так как ее площадь есть b dx, то расход воды через эту полоску выразится так:
dQ = \/2gx • b dx. Суммируя, найдем
q =
Фактический расход несколько менее вычисленного, ввиду наличия трения
в жидкости и сжатия струи. Влияние этих
факторов обыкновенно учитывают с помо-
помощью некоторого эмпирического коэффици-
коэффициента \х < 1 и пишут формулу в виде
,§-.
'О
При /г0 = 0 отсюда получается формула
для расхода воды через прямоугольный во-
водослив
Рис. 48
8) Изучая магнитное поле тока, Био и Савар пришли к заключению, что
сила, с которой ток действует на «магнитный заряд», может быть рассматриваема
*) Эта формула, доказываемая в гидродинамике, известна под названием фор-
формулы Торричелли. Отметим, что она имеет такой же вид, как и формула
для скорости, приобретаемой тяжелой материальной точкой при падении с вы-
высоты к

356]
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
269
как равнодействующая сил, как бы исходящих от отдельных бесконечно малых
«элементов тока». По установленному ими закону, элемент тока ds (рис. 49)
действует на магнитный заряд т, помещенный в точке О, с силой *)
Im sin (p ds
dF =	,
где / — сила тока, г — расстояние ОМ, а ср — угол (ds, г).
Сила эта направлена по перпендикуляру к плоскости, проходящей че-
через О и ds, и притом — в случае, изображенном на рисунке, — в сто-
сторону от читателя. При же-
желании установить действие
конечного отрезка тока	(j\
на магнитный полюс прихо-
приходится суммировать эти эле-
элементарные силы.	w
:п>
Рис. 49
Рис. 50
Для примера определим силу, с которой действует на единицу «магнитного
заряда» прямолинейный отрезок тока ВС (рис. 50), при указанных на рисунке
обозначениях.
Так как sing) = sin<OMA = j, то dF можно представить в виде
al ds	al ds
dF = —— = 	=-.
Элементарные силы здесь можно непосредственно складывать, ибо они все имеют
одно и то же направление. Поэтому
= al
2
/ * з =L.
J (a2+s2J a
I
a \r»
* ^ Формула имеет место в таком виде лишь при надлежащем выборе единиц
(например, если силу выражать в динах, расстояние — в см, магнитный заряд
и силу тока — в электромагнитных единицах).

270	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[357
§ 4. Простейшие дифференциальные уравнения
357. Основные понятия. Уравнения первого порядка. В главе VIII мы рас-
рассматривали задачу об определении функции у = у (х) по заданной ее производной
/ = /(*)	A)
[или — что то же — по ее дифференциалу dy = f(x) dx] и учились производить
операцию интегрирования или квадратуру, с помощью которой она
решается,
Jx)dx+C.*'>	B)
В этом общем решении фигурирует постоянная С. Как мы видели на
примерах [263;264], если даны начальные условия
У =Уо ПРИ х =*0»	C)
то этим определяется конкретное значение постоянной С = Со. Подставив его
в B), мы придем к частному решению нашей задачи, т. е. к конкретной
функции у = у(х), которая не только имеет наперед заданную производную, но
и удовлетворяет начальным условиям C).
Часто, однако, приходится определять функцию у = у[х) из более сложных
соотношений вида
F(x,y,y ,y ,...) = 0,
связывающих значения независимой переменной х со значениями как самой ис-
искомой функции у, так и ее производных у', у", . . . Такого рода соотношения
вообще называются дифференциальными уравнениями.
Остановимся на уравнении первого порядка, содержащем лишь первую
производную у'',
F(x,y,y')=0.	D)
Решением его является любая функция;; = у(х), которая удовлетворяет ему
тождественно относительно х. Как можно показать (при известных предположе-
предположениях относительно функции F), общее решение его, подобно упомянутому
вначале простейшему случаю [см. B)], и здесь также содержит произвольную по-
постоянную С, т. е. имеет вид
у = ф, С).	E)
Иногда, впрочем, это решение получается в неявной форме
Ф(х,у, С) = 0 или i/)(x,y) = С.	F)
Разыскание общего решения дифференциального уравнения в той или иной
форме называется интегрированием уравнения.
Для примера рассмотрим такую задачу: найти кривые, для которых
поднормаль постоянна. Если представить себе такую кривую выраженной
явным уравнением у = у(х)9 то вопрос сведется к разысканию таких функций,
*) В этом параграфе под символом J f(x) dx мы будем разуметь хотя и про-
произвольную, но определенную первообразную функцию, так что постоянную
интегрирования мы в этот символ не включаем и будем писать ее отдельно.

358]	§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	271
которые удовлетворяют условию уу' = р, где р = const [230, C)]. Перепишем
его в виде (у )' = 2р; теперь ясно, что общим решением его будет
у = 2рх + С или у = ±у2рх + С.	G)
Таким образом, поставленному требованию удовлетворяет целое семейство пара-
парабол, получающихся одна из другой смещением параллельно оси х.
Здесь ответ на задачу дает именно общее решение, поскольку требовалось
разыскать все кривые, обладающие упомянутым свойством. Если бы в задаче
было дополнительно указано, что кривая должна проходить через заданную точ-
точку (^О'^о)' то> подставив эти значения х и у в полученное уравнение G), мы
сможем определить значение С:
со =у1 ~2рхо-
Полагая в G) С = Со, мы придем к частному решению у = 2рх + Со,
выражающему уже конкретную кривую.
Нужно сказать, что чаще всего бывает именно так, что задача, приведшая
к дифференциальному уравнению, требует конкретного частного решения.
Обычно последнее определяется начальными условиями типа C), выдви-
выдвигаемыми самой задачей. По этим условиям, как и только что, прежде всего может
быть установлено конкретное значение С = Со; оно определится из уравнения, ко-
которое получится, если в общем решении E) [или F)] положить х = х$,у = у§.
Если теперь в это общее решение подставить найденное решение Со вместо С,
то и придем к тому частному решению, которое удовлетворяет задаче.
358. Уравнения первой степени относительно производной. Отделение пе-
переменных. Предположим теперь, что в уравнение D) производная у' входит
впервой степени, т. е. что уравнение имеет вид
P(x,y) + Q(x,y)y'=0,
где Р, Q суть функции от jc и у. Полагая здесь у' = -^, можно представить
уравнение в форме
P(x,y)dx + Q(x,y)dy =0,	(8)
которая часто более удобна.
Мы остановимся здесь подробнее лишь на тех простейших частных случаях
уравнения (8), когда интегрирование его непосредственно сводится к ква-
квадратурам; рассмотрение этих случаев, таким образом, служит естественным до-
дополнением главы VIII.
Если в уравнении (8) коэффициент Р на деле зависит только от х, а коэффи-
коэффициент Q — только от у, т. е. если уравнение имеет вид
Р(х) dx + Q(y) dy = 0,	(9)
то говорят, что переменные отделены. В этом случае интегрирование
производится очень просто.
Пусть функции Р(х) и Q(у) непрерывны (в соответствующих промежутках).
Тогда Р{х) dx будет дифференциалом функции Р(х) = J P(x) dx, a Q(y) dy —
дифференциалом функции Q(y) = f Q(y) dy, даже если под;; разуметь функцию

272	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[358
у(х), удовлетворяющую уравнению (9) \ В таком случае левая часть уравне-
уравнения (9) представит собой дифференциал от суммы Р(х) + б(у). Так как этот
дифференциал, в силу уравнения (9), равен 0, то сама функция сводится к посто-
постоянной
Р(х) + Q(y) = С.	A0)
Легко видеть, что и обратно, если функция у = у (х) удовлетворяет (при лю-
любом х) этому уравнению, то удовлетворяется и уравнение (9). Равенство A0)
дает общее решение уравнения (9).
При решении уравнения (9) иногда предпочитают члены с dx и dy помещать
в разных частях уравнения
Q(y)dy = -P{x)dx.	A1)
Интегрируя каждую часть порознь и не забывая о произвольной постоянной, ко-
которую достаточно присоединить к одному из интегралов, придем к результату
/ Q(y)dy = - I P(x)dx + С,
тождественному с полученным выше.
Предположим, что требуется удовлетворить начальным условиям C).
Вместо того чтобы сначала находить общее решение, а затем подбирать посто-
постоянную С, исходя из этих условий, можно поступить проще и «просуммировать»
элементарные величины A1): справа — между jc0 и х, а слева — между соответ-
соответствующими им значениями j/q и у. Мы получим равенство
У	X
J Qiy)dy = - J
P(x)dx,
которое и дает требуемое частное решение; самый вид его подчеркивает, что оно
заведомо выполняется при х = Xq и у = yQ. Читатель легко уяснит себе, что
этот прием лишь формой отличается от прежнего.
Пример.
1) Пусть дано уравнение
dy
sin.* dx H	= 0.
л/У
Интегрируем
/I	д/ = С,
J л/У
откуда
/sinх dx -\- I 	 = С, или — cosx +
J л/У
(cosjc+CJ
У
У =	4'
Таково общее решение предложенного уравнения. Если даны начальные
условия, например у = 1 при х = 0, то, подставляя эти значения, сразу
*)
Ввиду инвариантности формы дифференциала [106].

359]	§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	273
находим С = 1, что приводит к частному решению
У =
cosjcJ
4
Как упоминалось, можно в этом случае избежать необходимости предвари-
предварительно составлять общее решение, написав сразу
У	оо
	 = — / sin.* dx, т. е. 2(л/у — 1) = cos л: — 1,
л/У	J
1	О
откуда
_ 1 + cos;\;	/l + cos;\;\2
2
Часто случается, что, хотя уравнение (8) и не имеет вида (9), оно может быть
преобразовано к этому виду, после чего интегрируется, как указано выше. Такое
преобразование и носит название отделения переменных. Переменные
легко отделяются в том случае, когда коэффициенты Р и Q представляют собой
произведения множителей, зависящих каждый только от одной переменной, т. е.
когда
Р(х9у)=Р1(х)Р2(у) и Q(x9y) = Q1(x)Q2(y).
Действительно, достаточно разделить обе части уравнения
Pl{x)P2(y)dx+Ql{x)Q2(y)dy=Q	A2)
на P2(y)Qi(x), чтобы этим уже отделить переменные:
Пример.
2) у sin — dx — cos — dy = 0.
Уравнение имеет вид A2); отделяем переменные
dy sin|
= 	jrdx
у cos |
и интегрируем
X
lnj/ = —2 In cos —\- с.
Потенцируя, определяем отсюда у
2ес
У =
cos2 | 1 + cos х'
Полагая еще С = 2ес, приведем общее решение к виду
С
1 + cos л:
359. Задачи. Рассмотрим ряд задач из различных областей знания, непо-
непосредственно приводящих к дифференциальным уравнениям с отделяющимися пе-
переменными.

274
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[359
1) Найти кривые, у которых отрезок п нормали (до пересечения с осью х)
сохраняет постоянную величину г.
Вспоминая выражение для п [230, D)], записываем условие, которому должна
удовлетворять искомая функция;; от х, в виде дифференциального уравнения
\ул/\+у'2\ =г
Отсюда
/—	—
у dy
или у (\ -\- у ) = г .
или
= ±dx.
Интегрируем:
Как и следовало ожидать, мы получили семейство окружностей радиуса г
с центром на оси х.
2) Найти кривые, у которых отрезок t касательной до пересечения с осью х
сохраняет постоянную величину а.
В силу D), 230, дифференциальное уравнение задачи имеет вид
Полагая у' = -/, его легко преобразовать так:
dx = ±-
•dy.
х + С = ± [a In
Интегрируем:
мы получили семейство трактрис [ср. 331,11)].
3) Закон охлаждения. Пусть охлаждающееся тело температуры 0°С
окружено средой с температурой 0°С. Ньютон установил закон, по которому
скорость охлаждения пропорциональна самой температуре в, т. е.
сЮ
— = -кв,
dt
где к — положительная постоянная. Определить закон, по которому убывает тем-
температура тела, начиная с момента t = 0.
Имеем
de
— = -kdt,
в
откуда, интегрируя, найдем Ы0 = —kt-\-\nC*\ Очевидно, 0 = Се . Полагая
здесь t = 0, видим, что С есть не что иное, как начальная температура #0.
*> Предвидя потенцирование, мы сразу берем постоянную для удобства в ви-
виде In С.

359]	§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	275
Подставляя, придем к окончательной формуле
в = 00e-kt,
которая определяет температуру тела в любой момент, если только она была
известна в начальный момент @q).
Коэффициент к зависит от свойства тела и среды; он определяется опытным
путем.
4) Экстратоки размыкания и замыкания. Если в электрической
цепи действует постоянное напряжение V, то, обозначая через R сопротивление
цепи и через / — силу тока, по закону Ома будем иметь V = RI. Когда же
напряжение V меняется (а также в момент размыкания или замыкания тока пос-
постоянного напряжения), во многих случаях имеет место явление самоиндукции,
которое состоит в появлении дополнительной электродвижущей силы, пропорци-
пропорциональной скорости изменения силы тока ^, но имеющей обратный
знак. Таким образом, величину этой электродвижущей силы самоиндукции можно
представить так: — L ^, где L — «коэффициент самоиндукции» (L > 0).
Если налицо самоиндукция, то при размыкании тока его сила не сразу падает
до нуля, а при замыкании — не сразу достигает своей нормальной величины.
Исследуем эти явления аналитически.
Закон Ома теперь принимает следующую форму:
V — L — = RI или	1	I = —.	A3)
dt	dt L L	K J
(а)	Пусть постоянный ток силы /0 в момент t = 0 размыкается. Так как тог-
тогда V = 0, то имеем
dl R	dl R
— + - / = 0 или — =	dt
dt L	I	L
и [аналогично З)]
--t
I = Ioe l .
Этот ток, проходящий в цепи под действием одной лишь электродвижущей
силы самоиндукции, называется экстратоком размыкания. С возраста-
возрастанием t его сила быстро стремится к 0, и через короткое время он становится
неощутимым.
(б)	Если цепь в момент t = 0 замыкается, в ней начинает действовать
постоянное напряжение V, то из уравнения A3), снова отделяя переменные, по-
получим
-Rdl	R	R	-*t
= --dt, \n(V-RI) = --f + lnC, V-RI = Ce l\
V-RI	L	K	'	L
Постоянную С определим из начальных условий / = 0 при t = 0;
очевидно, С = V, так что окончательно
Мы видим, что наряду с током ^, отвечающим закону Ома, одновремен-
R
но протекает в обратном направлении ток ^ е ~l . Это и есть экстраток
замыкания; его сила также быстро убывает с возрастанием t.

276	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[359
5) Уравнение химической реакции. Рассмотрим химический про-
процесс, состоящий в превращении взаимодействующих веществ А, В, ... в вещест-
вещества М, N, ... Для оценки количества вещества, участвующего в реакции, его выра-
выражают в грамм-молекулах или молях. Молем какого-нибудь вещества называется
такое его весовое количество, которое выражается в граммах числом, равным его
молекулярному весу. В моле любого вещества всегда содержится одно и то же
количество молекул, независимо от вещества.
Если предположить, что во взаимодействие вступают на каждую молекулу
одного вещества по одной молекуле другого, то на каждый моль одного придется
один моль другого. По истечении времени t от начала реакции от каждого из
взаимодействующих веществ вступит в реакцию одно и то же количество х мо-
молей. Скорость возрастаниям относительно времени, т. е. производная ^,
называется скоростью химической реакции.
Пусть в процессе участвуют два вещества А и В, первоначальные количест-
количества которых (в молях) обозначим через а и Ъ (при этом пусть, скажем, Ъ > а).
Через промежуток времени t будем иметь количество а — х вещества А и коли-
количество Ь —х вещества В. Естественно допустить, что скорость химической реакции
в момент t пропорциональна произведению реагирующих масс, т. е. произ-
произведению количеств реагентов, не подвергшихся еще превращению. Это приводит
к такому дифференциальному уравнению:
dx	dx
— = к{а-х){Ъ-х) или	—	-=kdt.
dt	{a — x)(b — х)
Интегрируя, получим
In	 = -let + С.
Ь — а Ъ — х
Так как при t = О мы должны иметь их = 0, то С = -^^ In ^. Подставляя это
значение С:
ь^р^ = -*(*-*>,
(b — х)а
легко находим затем
х = ab ¦
При возрастании t показательное выражение стремится к 0; через конечный
промежуток времени оно становится настолько малым, что х практически уже не
отличить от а, и реакция заканчивается.
6) Математический маятник. Пусть материальная точка массы т под-
подвешена на нерастяжимой нити или стержне длины / (весом которых пренебрега-
пренебрегаем) так, что может двигаться по дуге окружности (рис. 51). Эта система называет-
называется математическим маятником. Выведя маятник из положения равновесия О А
в положение О В (а < ^), предоставим маятник самому себе, не сообщая ему
начальной скорости.
Маятник перейдет в симметричное положение OBf, потом вернется в поло-
положение ОВ и т. д. Задача состоит в установлении характера колебаний маятника,
т. е. в выяснении зависимости между углом 0 = < АОМ и временем t. Для опре-
определенности рассмотрим движение точки М по дуге АВ, отсчитывая пройденный

359]
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
277
путь s = AM = 10 от точки А, а время t — от момента прохождения маятника
через положение равновесия.
Разлагая силу тяжести F = mg, действующую на точку М, как указано на
рисунке, видим, что ее касательная составляющая Fs = — mg sin 6 *\
в то время как нормальная составляющая уничтожается сопротивлением нити или
стержня. Если через v обозначить скорость точки М, то ее кинетическая энергия
в рассматриваемом положении будет j mv и сведется к 0 при переходе М в В.
С другой стороны, работа А, произведенная силой Fs на пути MB, выразится
так [352, (9а)]:
А =
-1
mg sin в ds
(здесь S = АВ) или, если перейти
к переменной О,
Л = -mgl
/si
= — mgl (cos в — cos a).
Тогда, по закону живой силы [352],
-mv = mgl (cos в — cos a),
Рис. 51
v = yjgl л^/l[cose — cos a).
Так как v = 4^ = / Ш, то для определения зависимости между в и t получаем
дифференциальное уравнение
— cos а) или
y	- cos a)
где переменные уже отделены.
Интегрируя слева от 0 до t, а справа — от 0 до в, приходим к искомой
зависимости:
t = А - / -
g J Jl(cosO - cos a)
О v
A4)
Однако квадратура на этот раз в конечном виде не берется: как сейчас уви-
увидим, интеграл справа непосредственно приводится к эллиптическому интегралу
1-го рода.
Переписав A4) в виде
в
sm2 § - sin2
*)
Сила направлена против движения!

278	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[359
и положив sin ^ = к (О < к < 1), введем новую переменную интегрирования ср
по формулам
О	\ О
sin - = к • sin (р, - cos - dO = к • cos (р • dcp;	A5)
при этом изменению 0 от 0 до а отвечает изменение (р от 0 до ^. Тогда
Г 2
V - ?2 • sin2 ф
Так как по первой из формул A5) легко выразить (р через 0, то зависимость t
от в можно считать установленной.
Желая выразить, наоборот, в через t, мы нуждаемся в обращении эллип-
эллиптического интеграла
я>
dcp
¦¦/
у/\ - к2 • sin2 q>
Это равенство определяет и как монотонно возрастающую непрерывную
(и даже дифференцируемую) функцию от (р в промежутке ( — оо, +оо), которая
и сама при этом изменяется от — оо до +оо. В таком случае [83] переменная (р
оказывается однозначной функцией от и в промежутке ( — оо, +оо); ее Якоби
обозначил через атм*1 Из A6) теперь ясно, что
[g	. О . а .	/^
(р = am д / - t и, значит, sin - = sin — • sin am л / - t.
Функцию sin am и («синус амплитуды» или «эллиптический синус») обычно обо-
обозначают просто через sn и * \ Итак, окончательно, зависимость в от t выражается
равенством
sin - = sin - • sn J - t.
Определим в заключение продолжительность Т одного размаха маятника из
положения О В1 в положение ОВ; она вдвое больше промежутка времени,
нужного для перехода из О А в ОВ. Полагая в A4) 9 = а или в A5) (р = ^***)?
получим (после удвоения) выражение для Т через полный эллиптический ин-
*> am — начальные буквы от слова amplitudo (амплитуда).
**) Функция snw, рассматриваемая как функция комплексного аргумента, явля-
является одной из простейших (введенных Абелем и Якоби) так называемых
эллиптических функций.
***^ Если верхний предел интеграла A4) взять равным а, то интеграл станет
«несобственным» [см. ниже 479], ибо на этом пределе подинтегральная функция
обращается в оо. Это затруднение исчезает при пользовании интегралом A6).

360]	§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	279
теграл 1-го рода:
gJ Vi-^-sin2^ У?
Отметим, что период колебания Т на деле зависит от угла а, на который
маятник первоначально был отклонен, ибо к зависит от а. Заменяя — при малых
углах а — модуль к нулем, получим простую приближенную формулу
которая обычно и приводится в элементарных курсах физики.
360. Замечания о составлении дифференциальных уравнений. Ограничива-
Ограничиваясь уравнением первого порядка вида (8), мы остановимся на вопросе о составле-
составлении подобного уравнения. Наши замечания по этому поводу читатель сопоставит
со сказанным в 348 относительно простейшего уравнения dQ = q(x) dx.
Как правило, при составлении уравнений приходится рассматривать беско-
бесконечно малые элементы входящих в рассмотрение тел и бесконечно малые прира-
приращения тех величин, о которых идет речь. Правда, в задачах предыдущего п° нам
как будто удалось избежать этого, но лишь ценой использования уже готового
выражения для углового коэффициента касательной, готового выражения для
скорости изменения той или иной величины, которые сами появились
из рассмотрения бесконечно малых элементов.
При установлении зависимости между бесконечно малыми элементами сле-
следует пользоваться всеми возможными упрощающими допущениями
и приближенными заменами, сводящимися в сущности к отбрасыва-
отбрасыванию бесконечно малых высших порядков. В частности, все бесконечно малые
приращения рассматриваемых величин рекомендуется заме-
заменить их дифференциалами; как читатель знает, это также сводится к от-
отбрасыванию бесконечно малых высших порядков. Истинный смысл всех этих ука-
указаний лучше всего выяснится на примерах [см. следующий п°].
Здесь же мы хотим остановиться еще на разъяснении того важного обстоя-
обстоятельства, что получающееся в результате всех этих упрощений и отбрасываний
дифференциальное уравнение вида (8)
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0
оказывается отнюдь не приближенным, а вполне точным*^.
Итак, предположим, что, заменяя приращения Ах и А;; дифференциалами
dx и dy и отбрасывая — в случае надобности — бесконечно малые слагаемые
высшего, чем Ах, порядка, мы пришли к уравнению (8). Если бы мы не де-
делали этой замены, то вместо dx и dy имели бы Ах и Ау. Восстановим, сверх
того, все отброшенные бесконечно малые высших порядков и, перенеся в пра-
правую часть, обозначим их сумму через а; очевидно, а также будет бесконечно
малой высшего порядка. Таким образом, рассуждая строго, мы пришли бы
*)
Это аналогично сказанному в конце 348 о равенстве dQ = q(x) dx.

280
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[361
0, то в пределе
не к равенству (8), а к такому:
Р(х,у)Ах + Q(x,y)Ay = a,
которое вполне точно. Разделим теперь обе части его на Ах
Лу а
Ах Ах
и перейдем к пределу при Ах —>> 0. Так как при этом -^
получим равенство
Р(х,у) + Q(x,y)yf = 0 или Р(х,у) + Q(x,y) — =0,
dx
которое тождественно с (8). Поэтому и уравнение (8) оказывается точным.
Хотя при обычном методе составления уравнения мы явным образом не при-
прибегаем к предельному переходу, но фактически мы его именно и выполняем, когда
отбрасываем бесконечно малые высших порядков и заменяем приращения диф-
дифференциалами.
Обращаем внимание читателя на то, что мы вовсе не утверждаем, что вся-
всякое отбрасывание бесконечно малых высшего порядка приводит к точному
результату. Лишь в том случае, если это отбрасывание доведено «до конца»,
и в результате получилось уравнение вида (8), линейное и однородное
относительно дифференциалов, можно уже ручаться за его точность. [Опять ана-
аналогия с п° 348!]
361. Задачи.
1) Барометрическая формула. Поставим своей задачей установить
зависимость между высотой h (м) места над уровнем моря и давлением возду-
Вообразим над уровнем моря площадку в 1 м и рассмотрим призматический
столб воздуха, опирающийся на эту площадку. Давление воздуха р в сечении это-
этого столба на высоте h обусловлено весом той части столба, которая опирается
на упомянутое сечение. Увеличение высоты h на бесконечно малую вели-
величину dh влечет за собой убыль давления — dp,
которая измеряется весом слоя воздуха между пло-
площадками (К) и (/z + dh) (рис. 52)
—dp = s dh,
где s есть вес (в кг) \м воздуха под давлени-
давлением р. Мы пренебрегаем здесь тем, что на деле
s меняется при переходе от нижней площадки
рассматриваемого слоя к верхней.
Как легко вывести из закона Бойля-Ма-
р и о т т а, величина s сама пропорциональна давле-
давлению р: s = kp, так что окончательно
dp = —kpdh или — = —
Уровень моря
Рис. 52
— уравнение уже знакомого нам типа [ср. 359, задачи 3) и 4), (а)].

361]	§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Отсюда
281
-kh
Р = Рое
Если решить это уравнение относительно /z, то получим формулу
*=1п,
к р
позволяющую судить о высоте h подъема над уровнем моря по давлению р воз-
воздуха.
Постоянная |, как устанавливается в физике, равна (с округлением)
8000 • A + 0,004^), где t — средняя температура воздуха. Если перейти к де-
десятичным логарифмам (умножив и разделив на модуль М = 0,43) и заменить
отношение давлений ^ отношением барометрических отсчетов -f, то получим
окончательную формулу h = 18 400 • A + 0,004^) lg -у.
Эта формула годится и для определения разности высот h любых двух точек,
в которых показания барометра, соответственно, равны Ъ§ и Ъ.
2) Трение канатов и ремней. Представим себе, что через неподвижно
укрепленный цилиндрический барабан перекинут канат (ремень и т. п.), который
прилегает к цилиндру по некоторой дуге АВ (рис. 53, а), соответствующей цен-
центральному углу со («угол обхвата»). Пусть к концу А каната приложена сила Sq,
а к концу В — сила Sx.
Рис. 53
Если между канатом и барабаном существует трение, то сила Sq может урав-
уравновесить даже большую ее силу, приложенную на другом конце. Какова же та
наибольшая сила S±, которая при наличии трения может быть уравновешена
данной силой So?
Для решения этого вопроса рассмотрим сначала, как распределится
натяжение S вдоль части АВ каната в тот момент, когда лишь начинается
скольжение. Что это натяжение не будет постоянным, явствует уже из того, что
в точках А и В оно, соответственно, равно Sq и^.

282	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[361
Возьмем на дуге АВ какую-нибудь точку М, положение которой определяется
углом 0 = <АОМ, и установим, какие силы действуют на элемент ММ1 каната,
отвечающий центральному углу dO. Прежде всего, в точке М действует натя-
натяжение S = S@), а в точке М1 — натяжение S + dS (рис. 53,6). Обе эти силы
направлены по касательным к окружности барабана. Для того чтобы определить
силу трения на рассматриваемом элементе, нужно вычислить нормальную си-
силу dN, прижимающую этот элемент к поверхности барабана. Она слагается из
радиальных составляющих обоих натяжений, так что
df)	df)
dN = S sin	h (S + dS) sin —.
Здесь можно отбросить произведение dS sin Щ- как бесконечно малое высшего
порядка и заменить sin Щ- эквивалентной ему бесконечно малой Щ- (что сно-
снова равносильно отбрасыванию бесконечно малой высшего порядка). Окончатель-
Окончательно dN = S dO. Так как сила трения пропорциональна этой нормальной силе, то,
обозначая множитель пропорциональности (коэффициент трения) через /i, полу-
получим dR = jddN = jjS dO. Трение противодействует начинающемуся движению,
так что сила dR вместе с натяжением S в точке М должны уравновешивать натя-
натяжение S + dS в точке М;, откуда dS = jdS d6. Мы снова получили дифференци-
дифференциальное уравнение знакомого типа. Можно сразу написать его решение [с учетом
начального условия S = So при 0 = 0]: S = Soe^e. Наконец, полагая здесь
Q = o), найдем S± = S^e^. Эта важная формула принадлежит Эйлеру.
3) Формула Пуассона (S.D. Poisson). Предложим себе установить за-
зависимость между объемом V и давлением р одного моля идеального газа при
адиабатическом процессе (т. е. в случае полного отсутствия теплового об-
обмена между газом и окружающей средой).
Состояние газа кроме величин V и р характеризуется еще его (абсолютной)
температурой Т. Впрочем, эти величины не независимы; они связаны известной
формулой Клапейрона
pV = RT (R — газовая постоянная).	A7)
Установим, какое количество энергии dU, в единицах тепла, нужно затра-
затратить, чтобы перевести газ из состояния (/?, V, Т) в бесконечно близкое состояние
(р + dp,V + dV, Т + dT).
Процесс перехода можно представить себе состоящим из двух стадий.
Во-первых, объем V газа увеличивается на dV и, во-вторых, температура Т газа —
при постоянном объеме — изменяется на dT.
Чтобы вычислить элементарную работу расширения газа, предположим для
простоты, что рассматриваемая масса газа находится в цилиндре по одну сто-
сторону поршня [ср. 354,2)]. Сила, действующая со стороны газа на поршень, бу-
будет pQ, где Q — площадь поршня. Если при расширении газа поршень сдвинулся
на расстояние ds, то работа, произведенная газом, будет равна pQds или pdV
(так как Qds = dV). Так выражается работа — в обычных единицах работы,
например в кгм (если р дано в Щ, V — в м3). Желая установить потраченное
на эту работу тепло, нужно полученное выражение умножить на так называемый
«термический эквивалент работы» А = -^ Ц^, что даст Ар dV.

361]	§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	283
Изменение температуры на dT потребует cv dT кал, где cv есть теплоемкость
газа при постоянном объеме. Складывая, получим
dU = cvdT + ApdV.	A8)
Исключить отсюда dT легко. Если продифференцировать формулу A7)
pdV + Vdp = RdT	A9)
и определить dT
dT = -(pdV + Vdp),
то остается лишь подставить это выражение в A8)
du= c-±vdP+ CyJrAR Pdv.
Можно показать, что cv + AR есть как раз теплоемкость с газа при посто-
постоянном давлении*^, так что окончательно
dU = —Vdp+ °-2- pdV.
R F R F
Вернемся теперь к сделанному вначале предположению, что процесс проте-
протекает адиабатически; тогда dU = 0. Таким образом, мы приходим к диффе-
дифференциальному уравнению, связывающему р и V,
+&0 ("где k
cvVdp + cDpdV = 0 или — +&— =0 ("где k = — >
у	d	V	\	cv
тегрируя, найдем In р + к In V
Это и есть формула Пуассона.
Интегрируя, найдем In р + к In V = 0 или pV = С.
*) Если из A9) определить р dV = R dT — V dp и подставить в A8), то полу-
получим dU = {cv + AR) dT — AV dp. Полагая здесь р = const, т. e. dp = 0, придем
к равенству dU = {cv + AR) dT, которое и показывает, что cv + AR есть с .

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
§ 1. Введение
362. Основные понятия. Пусть задана некоторая бесконечная
последовательность чисел
а19 а2, а3, ..., ап, ...	A)
Составленный из этих чисел символ
а1+а2+а3 + ...+ап + ...	B)
называется бесконечным рядом, а сами числа A) —
членами ряда. Вместо B), пользуясь знаком суммы, часто пи-
пишут так:
оо
?«„;	Bа)
указатель п пробегает здесь все значения от 1 до оо. *}
Станем последовательно складывать члены ряда, составляя
(в бесконечном количестве) суммы:
А1=а1, А2 = ах+а2, А3=аг+а2+а3А
их называют частными суммами (или отрезками) ря-
ряда. Эту последовательность частичных сумм {Ап} мы всегда будем
сопоставлять с рядом B): роль этого символа и заключается в по-
порождении упомянутой последовательности.
Конечный или бесконечный предел А частичной суммы Ап
ряда B) при п —»> оо:
А =
*> Впрочем, нумерацию членов ряда иногда бывает удобнее начинать не с еди-
единицы, а с нуля или же с какого-либо натурального числа, большего единицы.

363]	§ 1. ВВЕДЕНИЕ	285
называют суммой ряда и пишут
п=\
придавая тем самым символу B) или Bа) числовой смысл. Если
ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся,
в противном Dice случае {т. е. если сумма равна ±оо либо же
суммы вовсе нет) —расходящимся.^
Таким образом, вопрос о сходимости ряда B), по опреде-
определению, равносилен вопросу о существовании конечного предела
для последовательности C). Обратно, какую бы варианту х = хп
(п = 1, 2, 3, ...) наперед ни взять, вопрос о наличии для нее ко-
конечного предела может быть сведен к вопросу о сходимости ряда
х\ + (Х2 — х\) + (Х3 ~Х2) + • • • + (хп ~хп-\) + • • • > И)
для которого частичными суммами как раз и будут последователь-
последовательные значения варианты:
При этом сумма ряда совпадает с пределом варианты.
Иными словами, рассмотрение бесконечного ряда и его суммы
есть просто новая форма изучения варианты (или последо-
последовательности) и ее предела. Но эта форма, как читатель увидит из
дальнейшего изложения, представляет неоценимые преимущества
как при установлении самого существования предела, так и при его
вычислении. Это обстоятельство делает бесконечные ряды важней-
важнейшим орудием исследования в математическом анализе и его при-
приложениях.
363. Примеры.
1) Простейшим примером бесконечного ряда является уже знакомая читате-
читателю геометрическая прогрессия:
а + aq + aq2 + . . . + aqn~l + . . .
Ее частичная сумма будет (если q ф 1)
a-aqn
*)
Об этом уже была речь в первом томе [25,9)].

286	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[363
Если знаменатель прогрессии q по абсолютной величине меньше единицы, то [как
мы уже знаем, 25,7)] sn имеет конечный предел
а
s = 	,
\-q
т. е. наш ряд сходится, и s будет его суммой.
При \q\ ^ 1 та же прогрессия дает пример расходящегося ряда. Если q ^ 1,
то его суммой будет бесконечность (определенного знака), в прочих случаях
суммы вовсе нет. Отметим, в частности, любопытный ряд, который получается
при а = \ и q = — 1:
1-1 + 1-1 + .. . = 1 + (-1) + 1 + (-1) + . . . *}.
Его частичные суммы попеременно равны то 1, то 0.
2) Вещественное число а, разложенное в бесконечную десятичную дробь [9],
C09clC2c3...cn...9
очевидно, представляет собой сумму ряда:
3)	По образцу D) построен ряд
оо	оо
У^Ы I -\— ) = У^рпГи + 1) —Ып],
*-^ \ п) *-^
явно расходящийся, ибо 1п(« + 1) —>> +оо.
4)	На той же идее построены следующие ряды (где а обозначает произволь-
произвольное число, отличное от — 1, — 2, — 3, . . .):
1	^г 1	111
у= У\\ ,
^ (а + «)(« + «+ I) t-^Ya + n а + л? + IJ а+1
{а + п)(а + п+ \){а + п + 2)
¦п+1) ~ (а + п+1)(а + п + 2)\
2) J 2(a + l)(a + 2)
и, вообще, при любом целом р ^ 1:
1
(а + и) (а + п+\)...(а + п + р) р(а + 1)... (а + р)'
*^ Если какой-либо член а ряда оказывается отрицательным числом:
а = —Ъ (где 6 > 0), то вместо того, чтобы писать:
. . . + ( — Ь) + . . ., пишут : ... — 6 + ...
Подчеркнем, что членом ряда здесь будет все же — Ь, а не Ь.

364]	§ 1. ВВЕДЕНИЕ	287
5) Аналогично трактуется ряд
lX
где х есть любое фиксированное число, отличное от d=l. Так как п-я частичная
сумма равна
X	1
то при \х\ < 1 ряд сходится к сумме 	, а при \х\ > 1 — к сумме 	.
1-х	1-х
6)	Легко установить расходимость ряда
^ 1	11	1
> —= = н—-=-\—F +... н—¦= + ...
^л/п	у/2 л/3	у/п
В самом деле, так как члены его убывают, то его п-я частичная сумма
1	11^
1 + -= + ... + -р>^. — = лА
л/2	Vn	vn
и растет до бесконечности вместе с п.
7)	Наконец, менее тривиальный пример нам доставит уже известное [37] раз-
разложение числа е.
е ~
1
+ 1! ~
1
1
оо
^ п\
Вспоминая приближенное вычисление числа е в 37, читатель на этом приме-
примере сможет оценить выгоду последовательного введения все менее и менее значи-
значительных поправок, постепенно улучшающих получаемые в лице частичных сумм
приближенные значения е.
364. Основные теоремы. Если в ряде B) отбросить первые
т членов, то получится ряд:
оо
ат+\ + ат+2 + • • • + ат+к + • • • = Y1 п^	E)
п=т+1
называемый остатком ряда B) после т-го члена.
1° Если сходится ряд B), то сходится и любой из его
остатков E); обратно, из сходимости остатка E) вытекает
сходимость исходного ряда B).
Фиксируем т и обозначим ?-ю частичную сумму ряда E) че-
через 4:
4 = ат+\ + ат+2 + • • • +
Тогда, очевидно,
А'к=Ат+к-Ат-

288	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[364
Если ряд B) сходится, так что Ап —>> А, то — при безграничном
возрастании к — существует конечный предел
А=А-Ат	G)
и для суммы А'к9 что и означает сходимость ряда E).
Обратно, если дано, что сходится ряд E), так что Ак^А\
то перепишем равенство F), полагая в нем к = п — т (при п > т)9
так:
А — А -А- Л1
отсюда можно усмотреть, что — при безграничном возраста-
возрастании п — частичная сумма Ап имеет предел
А=Ат+А'9	(8)
т. е. сходится ряд B).
Иными словами, отбрасывание конечного числа начальных
членов ряда или присоединение в начале его нескольких новых
членов не отражается на поведении ряда (в смысле его
сходимости или расходимости).
Сумму ряда E), если он сходится, обозначим вместо А' сим-
символом ат9 указывая значком, после какого члена берется остаток.
Тогда формулы (8) и G) перепишутся следующим образом:
А=Ат + ат, ат=А-Ат.	(9)
Если увеличивать т до бесконечности, то Ат —>> А9 а ат —>> 0. Итак:
2° Если ряд B) сходится, то сумма ат его остатка после
т-го члена с возрастанием т стремится к нулю.
Упомянем следующие простые свойства сходящихся рядов:
3° Если члены сходящегося ряда B) умножить на один
и тот же множитель с, то его сходимость не нарушается
{а сумма лишь умножится на с).
В самом деле, частичная сумма Ап ряда
сах +са2 + ... +сап + . . .,
очевидно, равна
Ап = сах + са2 + . . . + сап = с{ах + а2 + . . . + ап) = сАп
и имеет пределом с А.
4° Два сходящихся ряда
А = ах + а2 + . . . + ап + . . .
и
В = ЬХ +Ъ2 + ...+Ъп + ...

365]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	289
молено почленно складывать {или вычитать), так что ряд
(ах ± Ъх) + (a2±b2) + ... + (an±bn) + ...
также сходится, и его сумма равна, соответственно, А±В.
Если^, Вп и Сп означают частичные суммы упомянутых рядов,
то, очевидно,
Сп = (ах ± Ъх) + (а2±Ь2) + ...+ (ап ± Ьп) =
= {ах + а2 + .. . + ап) ± {Ъх + Ъ2 + . . . + Ъп) = Ап ± Вп.
Переходя к пределу, найдем, что \ш\Сп = \ш\Ап ilimi^, что
и доказывает наше утверждение.
В заключение сделаем еще одно замечание.
5° Общий член ап сходящегося ряда стремится к нулю.
Это может быть доказано совершенно элементарно: раз Ап
(а с ним и Ап_1) имеет конечный предел А, то
В предыдущем утверждении содержится необходимое ус-
условие для сходимости ряда, которым мы будем часто пользоваться.
При нарушении его ряд заведомо расходится. Од-
Однако важно подчеркнуть, что это условие не является само по се-
себе достаточным для сходимости ряда. Иными словами, даже
при выполнении его ряд может расходиться. При-
Примерами этого служат ряды
1
рассмотренные выше [363, 3) и 6)]; многочисленные другие при-
примеры этого же рода читатель найдет в последующем.
§ 2. Сходимость положительных рядов
365. Условие сходимости положительного ряда. Займемся те-
теперь вопросом об установлении сходимости или расходимости ря-
ряда. Этот вопрос всего проще решается для рядов, члены которых
неотрицательны; для краткости такие ряды мы будем называть про-
просто положительными.

290	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[365
Пусть ряд
оо
Y1 пп = а 1 + а2 + ' ' ' + ап + • • •	(А)
п=\
будет положительным, т. е. ап ^ 0 (п = 1, 2, 3, ...). Тогда, оче-
очевидно,
Л?+1 = Ап + ая+1 ^ Л?'
т. е. варианта Ап оказывается возрастающей. Вспоминая те-
теорему о пределе монотонной варианты [34], мы непосредственно
приходим к следующему основному в теории положительных рядов
предложению:
Положительный ряд (А) всегда имеет сумму; эта сум-
сумма будет конечной {и, следовательно, ряд — сходящимся),
если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечной
{а ряд — расходящимся) в противном случае.
Все признаки сходимости (и расходимости) положительных
рядов в конечном счете основаны на этой простой теореме. Но
непосредственное ее применение лишь в редких случаях по-
позволяет судить о характере ряда. Приведем примеры этого рода.
1) Рассмотрим ряд
~1 i 1 1	1
\ - = 1 + - + - + ... + - + ... ,
*-^ п	2 3	п
известный под именем гармонического ряда *^.
Имеем очевидное неравенство:
11	111
A)
Если, отбросив первые два члена, остальные члены гармонического ряда после-
последовательно разбить на группы, по 2, 4, 8, . . ., 2 ~ , . . . членов в каждой
1111111	1
5 6_ 7 8/ ч9 ' ' ' 16 '	'
22	23
1	1
то каждая из этих сумм в отдельности будет больше j, в этом легко убедиться,
полагая в A) поочередно п = 2, 4, 8, . . ., 2 ~ , . . . Обозначим ^-ю частичную
*) Каждый член его, начиная со второго, представляет собой среднее гар-
гармоническое двух соседних членов. [Число с называется средним гармо-
гармоническим чисел а и Ь, если ^ = \(Л + \)]

365]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	291
Щк > к ¦ -.
сумму гармонического ряда через Нп; тогда, очевидно,
1
2'
Мы видим, что частичные суммы не могут быть ограничены сверху: ряд имеет
бесконечную сумму.
Упомянем уже здесь, что Нп с возрастанием п возрастает очень медленно.
Эйлер, например, вычислил, что
яюоо = 7>48 • • •» Я1 оооооо = 14,39 ... и т. д.
Впоследствии мы будем иметь случай точнее охарактеризовать возрастание
сумм Нп [367, 10)].
2) Рассмотрим теперь более общий ряд:
п=\
где s — любое вещественное число; он содержит в себе предыдущий ряд как
частный случай (при s = 1). По сходству с рядом 1) и этот ряд тоже называют
гармоническим.
Так как при s < 1 члены рассматриваемого ряда больше соответствующих
членов ряда 1), то, в этом предположении, частичные суммы и подавно не огра-
ограничены сверху, так что ряд расходится.
Займемся случаем, когда s > 1; положим для удобства s = 1 + сг, где о > 0.
Аналогично A), имеем на этот раз:
11	111
B)
0+1)* 0 + 2)*	Bл)*	ns
Выделяя, как и выше, последовательные группы членов:
B*-1 + 1)*	B*)* '
с помощью B) легко показать, что эти суммы соответственно меньше членов
прогрессии
11111	1	1
В таком случае ясно, что, какую бы частичную сумму рассматриваемого ряда ни
взять, она будет меньше постоянного числа
1	?
L 1 + +
следовательно, ряд сходится.

292	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[366
[Его сумма, зависящая от s, представляет знаменитую функцию g(s) Ри-
Рима н а, играющую важную роль в теории чисел.]
366. Теоремы сравнения рядов. Сходимость или расходимость
положительного ряда часто устанавливают путем сравнения его
с другим рядом, заведомо сходящимся или раходящимся. В основе
такого сравнения лежит следующая простая теорема.
Теорема 1. Пусть даны два положительных ряда
пп = а 1 + а2
п=\
bn = bl+b2 + ...+bn + ...	(В)
п=\
Если, хотя бы начиная с некоторого места (скажем, для
п > N), выполняется неравенство: ап < Ъп, то из сходимости
ряда (В) вытекает сходимость ряда (А) или — что то же —
из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).
Доказательство. На основании того, что отбрасывание ко-
конечного числа начальных членов ряда не отражается на его по-
поведении [364, 1°], мы можем считать, не нарушая общности, что
ап ^ Ъп при всех значениях п = 1, 2, 3, ... Обозначив частные сум-
суммы рядов (А) и (В), соответственно, через Ап и Вп, будем иметь;
Пусть ряд (В) сходится; тогда, по основной теореме [365], сум-
суммы Вп ограничены:
Bn^L (L = const; /7=1,2,3,...).
В силу предыдущего неравенства, и подавно
а это, по той же теореме, влечет за собой сходимость ряда (А).
Иногда на практике более удобна следующая теорема, вытека-
вытекающая из первой:
Теорема 2. Если существует предел *}
Hm^ =K (О^К^ +оо),
Ъп
то из сходимости ряда (В), при К < + оо, вытекает схо-
сходимость ряда (А), а из расходимости первого ряда, при
*)
Мы предполагаем при этом, что Ъп ф 0.

366]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	293
К > О, вытекает расходимость второго. [Таким образом, при
О < К < +оо оба ряда сходятся или оба расходятся одновременно].
Доказательство. Пусть ряд (В) сходится и К < +оо. Взяв
произвольное число е > О, по самому определению предела, для
достаточно больших п будем иметь
-^ < К + ?, откуда ап < (К + е)Ьп.
Ъп
В силу 3°, 364, одновременно с рядом (В) будет сходиться и ряд
^2(К + г)Ът полученный умножением его членов на постоянное
число К+г. Отсюда, по предыдущей теореме, вытекает сходимость
ряда (А).
Если же ряд (В) расходится и К > О, то в этом случае обратное
отношение — имеет конечный предел; ряд (А) должен быть расхо-
расхожи
дящимся, ибо если бы он сходился, то, по доказанному, сходился
бы и ряд (В).
Наконец, приведем еще одну теорему сравнения, также пред-
представляющую собой следствие первой.
Теорема 3. Если, хотя бы начиная с некоторого места
(скажем, для п > N), выполняется неравенство*^
^ < %!,	C)
а	Ъ
то из сходимости ряда (В) вытекает сходимость ряда (А)
или — что то же — из расходимости ряда (А) вытекает
расходимость ряда (В).
Доказательство. Как и выше, при доказательстве теоре-
теоремы 1, не умаляя общности, можно считать, что неравенство C)
справедливо для всех значений п = 1, 2, 3, ... В таком случае
будем иметь:
^2 < Ъ7 ^3 < h	ап < К
К
а\ ^ V а2 ^ V "" ап-\ ^ Ъп-\
Перемножив почленно эти неравенства, получим
— ^ -г1 или ап ^ -J- • Ъп (п = 1, 2, 3, .. .).
Пусть ряд (В) сходится; вместе с ним сходится ряд Yl f1 * bn9 по-
полученный умножением его членов на постоянный множитель ^-.
*)
При этом ап и Ьп, конечно, предполагаются отличными от нуля.

294	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[367
А тогда, по теореме 1, сходится и ряд (А), что и требовалось до-
доказать.
Перейдем теперь к примерам установления сходимости или
расходимости рядов непосредственным применением теорем
сравнения.
367. Примеры.
оо
1)	У	 {а > 0).
; ^ 1 + ап У	J
п=\
Если а ^ 1, то нарушается необходимое условие сходимости [364, 5°],
и ряд расходится. При а > 1 члены ряда оказываются меньшими членов сходя-
сходящегося ряда X] (i) • Ряд сходится [теорема 1].
2)	> 	 сходится, так как
n=l	ОО2	п\	1
Bw)! 2n • (In - 1)!!
[теорема 1].
оо
3)	^ 2W • sin ^ @ < x < 3jt).
n=\
Так как	х	.
3n	\ о
и ряд ^2 (f) сходится, то это же справедливо и для данного ряда [теорема 1].
оо \
4)	Рассмотрим вновь гармонический ряд V - и сопоставим его, по тео-
п=\ п
реме 2, с заведомо расходящимся рядом [363, 3)]
У^[1пО+ 1) -In и] = У^1пA + - ).
Так как [77, 5), (а)]
П
то отсюда уже вытекает расходимость гармонического ряда.
Или иначе: применяя к функции In х в промежутке [п, п-\- 1] формулу конеч-
конечных приращений, найдем, что
1п(и + 1) - In и = 	 @ < в < 1).
/7 ~Ь 0
В таком случае гармонический ряд, члены которого, соответственно, больше, и по-
подавно расходится [теорема 1].

367]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	295
5) Аналогично можно установить вновь сходимость ряда ^	(при
п=\ П
о > 0), сопоставляя его с заведомо сходящимся рядом
оо г 1	1
ff_!	J.1
AH(w-l)" па\'
п=2
Применяя к функции ^ в промежутке [п — 1, п] формулу конечных приращений,
найдем:
—	- = 	°-^ (О<0<1).
Таким образом, при п ^ 2
1	1 Г 1	1
пх+° о \_{п- \)° п°
откуда, по теореме 1, и вытекает сходимость испытуемого ряда.
6)	Чтобы подобным же приемом получить новый результат, рассмотрим
оо \
ряд У2 	 (члены которого еще меньше, чем соответствующие члены гармо-
п=2 пЫп
нического ряда).
Сопоставим его с заведомо расходящимся рядом
оо
^2 [lnln(w+ 1) -In In и].
п=2
Применяя формулу конечных приращений к функции In In x в промежутке
[п, п + 1], получим:
1п1п(я + 1) — In In п = 	 @ < в < 1),
(т -U ?)^ \r\(in -Х- й\
откуда, по теореме 1, заключаем, что данный ряд, члены которого соответственно
больше, и подавно расходится.
7)	Сравнение с гармоническими рядами 4) и 5) позволяет установить пове-
поведение многих рядов. По теореме 1:
1	1	1
расходится:
1	1
= сходится: —	— <
пг
(р > 0) расходится: (Ып)р < п (для достаточно больших п);
! ?
сходится: — < — (для п > 3);
пп ni

296	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[367
(д)?пж
сходится: ——-^ = ЫЫп < —
(для достаточно больших п);
11
()
сходится:
, /^ 1	1 1 1 1
(ж) > 	^—j— расходится: 	т—л— = 	т > —:— = -
v ; Z^ ПппЛ\п\пп	г Ппп\\п\пп е(inInпJ elnn п
(то же).
8) По теореме 2:
оо	1
(а) У^	—	(Ь > 0) сходится при s > 1, расходится при s < 1:
^^ (B + ЬпУ
оо
X
расходится:
расходится:
(а-
1
п$
sin
1
^7
n)s
1
72
1
^7
1
' 72*
¦* l;
1
(в)	\ sin — @ < х < ж)
^-^ п
оо	оо
аналогично, расходятся ряды \^ lnf 1 -\— j (х > 0) и \^(^а — 1) {а ф 1);
(г)	> 1 — cos -	сходится: 1 — cos - : —т -л —.
*-^\ п/	п п1 2
9) Вот более сложные примеры этого же типа:
<•> ?(>-?)"¦
Обозначим через хп отношение общего члена этого ряда к ^:
In хп = In п + «In ( 1	).
Пользуясь разложением 1пA -\-х), о котором была речь в 5), 125, можно написать:
/\пп\2	/\пп\2
()
/ \пп\	\пп 1 /\пп\2	/\пп\2
V	и/	п 2\ п )	п \ п )
/
In 1
V
где aw —>> 0 при 72 —>> оо. Поэтому
1 1П2 72	1П2 72
"	2	72	П	П
следовательно, .xw —>> 1, и предложенный ряд расходится.
¦2/1 + 1
72 1П-	 - 1).
272 — 1

367]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	297
Пользуясь и здесь упомянутым разложением 1пA + х), будем иметь:
2
2п-
j__ir.2 л2
\2 1
т) +-А
2w-l 2\2п-
где уб^ —>- 0 при п —>> со, так что
л 2п + 1 ^ 2я + 3 / 1 \2	8«
Таким образом, отношение общего члена испытуемого ряда к Bn-iJ имеет
пределом ^: наш ряд сходится.
10) Наконец, рассмотрим ряд
и=1
Мы знаем [133, 4)], что
1пA +х) < х (х Ф 0, — 1 < х < +оо).
Пользуясь им, можем написать:
In
и в то же время
In
	 = — In	 = — In ( 1
п	w+ 1	V п-
1
Поэтому
1 /1 + 1 11 11
О <	In	 <	 = —	— < —.
п	п	п п + 1 п(п + 1) nL
Таким образом, члены данного ряда положительны и меньше соответст-
соответственных членов сходящегося ряда J^ \ [365, 2)]; следовательно, и данный ряд
сходится.
Если обозначить его сумму через С, то частичная сумма
к=\
[Нп обозначает, как всегда, частичную сумму гармонического ряда]. Можно заме-
заменить здесь 1п(и + 1) на Inn, так как их разность, равная ln(l + ^), стремится
к нулю. Окончательно: обозначая через уп некоторую бесконечно малую, имеем
для Нп замечательную формулу:
Н„=Ып + С+уп.	D)
Она показывает, что при бесконечном возрастании п частичная сумма Нп гармо-
гармонического ряда растет как In п.

298	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[368
Фигурирующая в формуле D) постоянная С называется эйлеровой пос-
постоянной. Ее численное значение (которое удается вычислить из других сообра-
соображений) таково:
С= 0,577 215 664 90...	E)
368. Признаки Коши и Даламбера. Сравнение данного ряда
оо
^2 ап = а! + а2 + . . . + ап + . . .	(А)
п=\
с различными стандартными рядами, заведомо сходящимися
или расходящимися, может быть проведено и в другой, так сказать,
более организованной форме.56'
Возьмем для сравнения в качестве ряда (В), с одной стороны,
сходящуюся геометрическую прогрессию
q + q2 + ...+qn + ...	@<q<\),
а с другой стороны — расходящуюся прогрессию
Сравнивая испытуемый ряд (А) с этими рядами по схеме тео-
теоремы 1, придем к следующему признаку:
Признак Коши. Составим для ряда (А) варианту
Г* — пГп
ип ~ \ип-
Если, при достаточно больших п, выполняется неравенство
где q — постоянное число, меньшее единицы, то ряд схо-
сходится; если же, начиная с некоторого места,
то ряд расходится.
Действительно, неравенства ^а~^ ^ q или ^а~^ ^ 1 равносиль-
равносильны, соответственно, таким: ап ^ qn или ап ^ 1; остается приме-
применить теорему 1*\
^Расходимость ряда, конечно, может быть установлена и простой ссыл-
ссылкой на нарушение необходимого условия сходимости [364, 5°].
' Как и в предыдущем п°, ряд (А) предполагается положительным.

368]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	299
Чаще, однако, этот признак применяют в другой, предель-
предельной, форме:
Допустим, что варианта Сп имеет предел {конечный или
нет):
lim Cn = С.
Тогда при С < 1 ряд сходится, а при С > 1 ряд расходится.
Если С < 1, то возьмем положительное число ?, меньше чем
1 — С, так что и С + е < 1. По определению предела, для п > N
будет:
С — ?<Сп<С + ?.
Число С + е играет роль числа q в предыдущей формулировке:
ряд сходится.
Если же С > 1 (и конечно), то, взяв г = С — 1, так что С—г = 1,
для достаточно больших значений п на этот раз будем иметь Сп > 1:
ряд расходится. Аналогичный результат и при С = +оо.
В случае, когда б" = 1, этот признак не дает
возможности судить о поведении ряда.
Варианту Сп будем называть вариантой Кош и.
Если сравнение ряда (А) с указанными стандартными рядами
производить по теореме 3, то придем к такому признаку:
Признак Даламбера (J. d'Alembert). Рассмотрим для ря-
ряда (А) варианту
а
Если, при достаточно больших п, выполняется неравенство
где q — постоянное число, меньшее единицы, то ряд схо-
сходится; если лее, начиная с некоторого места,
®п > 1,
то ряд расходится Ч
И в этом случае удобнее пользоваться предельной формой
признака:
Допустим, что варианта <Зп имеет предел {конечный или
нет):
Ит@п = &!.
Тогда при @! < 1 ряд сходится, а при @! > 1 ряд расходится.
*^ И здесь расходимость прямо вытекает из нарушения необходимого
условия сходимости: ведь если -^- ^ 1 или an_^_l ^ ап, то ап не может стре-
стремиться к 0.

300	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[369
Доказательство — такое же, как и в случае признака Коши.
И этот признак ничего не дает, если оказыва-
оказывается, что & = \.
Варианту 5^ назовем вариантой Даламбера.
В примере 4), 77, мы видели, что из существования предела для
варианты <%)п вытекает уже существование предела и для вариан-
варианты Сю причем оба предела равны. Таким образом, во всех случаях,
когда признак Даламбера дает ответ на вопрос о поведении
ряда, ответ может быть получен и с помощью признака Коши.
На примерах мы увидим ниже, что обратное утверждение невер-
неверно, и признак Коши сильнее признака Даламбера. Однако
на практике пользование признаком Даламбера обыкновенно
проще.
369. Признак Раабе. В тех случаях, когда указанные простые
признаки не дают ответа, приходится прибегать к более сложным
признакам, основанным на сравнении испытуемого ряда уже с дру-
другими стандартными рядами, так сказать, «медленнее» сходя-
сходящимися или «медленнее» расходящимися, чем прогрессия*\
Мы рассмотрим здесь еще признак Раабе (J.L. Raabe); он
осуществляет сравнение данного ряда (А) с гармоническими ряда-
рядами — сходящимися:
El = 1+l+_L + ... + I + ... (s>1) д.)
и расходящимися:
— именно с помощью теоремы 3. При этом приходится рассмат-
рассматривать варианту Раабе:
Признак Раабе. Если, при достаточно больших п, выпол-
выполняется неравенство
*)
Ср. 375, 7).

369]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	301
где г — постоянное число, большее единицы, то ряд схо-
сходится; если лее, начиная с некоторого места,
то ряд расходится.
Итак, пусть, при достаточно больших /7, имеем:
Возьмем теперь любое число s между 1 иг\ г > s > 1. Так как по
известному предельному соотношению [77, 5)]:
п
то для достаточно больших п будет
аг
п
а следовательно, и
Это неравенство можно переписать следующим образом:
1
п
п+ 1
Справа мы имеем отношение двух последовательных членов ря-
ряда (HJ; применив теорему 3, убеждаемся в сходимости ряда (А).
Если же, начиная с некоторого места,
то отсюда сразу находим, что
ап+\ ^
применив к рядам (А) и (Н) теорему 3, заключаем о расходимости
ряда (А).

302	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[370
Признак Р а а б е тоже применяется преимущественно в пре-
предельной форме:
Допустим, что варианта 01п имеет предел {конечный или
нет):
Пт01п = 01.
Тогда при 01 > \ ряд сходится, а при 01 < \ ряд расходится.
Сравнивая признаки Даламбера и Раабе, видим, что по-
последний значительно сильнее первого. Если предел & — \\т&п
существует и отличен от единицы, то для 01п — п{-щ— 1) сущест-
существует предел ?%, равный +оо при & < 1 и —сю при & > 1. Таким
образом, если признак Даламбера дает ответ на вопрос о пове-
поведении данного ряда, то признак Раабе и подавно его дает: больше
того, все такие случаи охватываются всего двумя из возможных
значений 01, именно ±оо. Все остальные значения 01 (исключая
01 = 1)? также дающие ответ на вопрос о сходимости, соответству-
соответствуют, таким образом, случаям, когда признак Даламбера заведомо
ответа не дает, потому что @1 = 1.
Но все же и здесь при 01= \ мы не имеем ответа на
вопрос о поведении ряда; в подобных случаях (которые
очень редки) приходится прибегать к еще более тонким и сложным
признакам [см., например, ниже п° 371].
Обратимся к примерам.
370. Примеры.
1) Применим признак К о ш и к следующим рядам:
= °- РЯД сходится;
(б)	/ I - ) (x > 0), Г = -, Г = 0: ряд сходится;
*-^ \п/	п
п=\
ОО , ч И
(в)	^ I — ) (х > 0; ап — положительная варианта, имеющая предел а);
С' = -?-. Если а = 0, то б* = +оо, и ряд расходится, если а = +оо, то б* = 0,
п
и ряд сходится; наконец, при 0 < а < +оо будет С = j, и поведение ряда зави-
зависит от^с: при х < а ряд сходится, при х > а — расходится. При х = а в общем
случае о поведении ряда ничего сказать нельзя, оно зависит уже от характера при-
приближения ап к а.
2) Применим признак Даламбера к следующим рядам:
оо п
(а) 1 + У^ — (х > 0), &п = 	, <2) = 0: ряд сходится;
*-^ п\	п + 1

370]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	303
оо
(б) V^ пхп~ (х > 0), <$п = х • 	, & = х: ряд сходится при х < 1
и=1
и расходится при х ^ 1 (при х = 1 в этом убеждаемся непосредственно).
(в)	> — (л > 0, s > 0), ??>w = х ( 	) , & = х: ряд сходится
при х < 1 и расходится при * > 1; при х = 1 получается гармонический ряд,
поведение которого, как мы уже знаем, зависит от s.
, ч v^ (х\п	^	х	^ х
(г)	> л! - (х > 0), ^и =	—77, & = -: при л: < е ряд сходит-
п=\	\ ^ п)
ся, прих > е — расходится; прих = е признак Даламбера в предельной фор-
форме ничего не дает, но так как варианта A -\— ) приближается ке возрастая,
V п/
так что @п > 1, то первоначальная форма признака позволяет все же заключить
о расходимости ряда.
(д)	> —— (х > 0), & = х - ( 1 + - , & = х - е: при х < - ряд
*-^ п\	\ п/	е
п=\
1	1
сходится, а при х >	расходится; при х = - на этот раз при помощи признака
е	е
Даламбера ничего установить нельзя, так как %Вп приближается к %В = 1 снизу.
Мы вернемся к этому случаю ниже, в 5), (г).
3) Возьмем ряд
ii i г. 2т, 2/2,	, п1п—\ , п т п ,
1 + а -\- аи -\- а о -\- а о -\- . . . -\- а о + а о +...,
где а и b — два различных положительных числа. Здесь &2п—\ = а> ^2п = Ь>
и признак Даламбера (в первоначальной форме) позволяет сделать заклю-
заключение о сходимости или расходимости ряда, лишь если оба числа a, b меньше
единицы или оба — больше.
В то же время
С1п_х = 1п-Ца"-Ч^ и С2п = 2^Ч^,
так что С = Vab; по признаку Кош и, при ab < 1 ряд сходится, а при ab > 1
(очевидно, и при ab = 1) — расходится.
оо
4)	Рассмотрим ряд J^ т(п)хп, гдех > 0ит(п) означает число делителей на-
п=\
турального числа п. Ввиду прихотливого хода изменения функции г (и), не пред-
представляется возможным применить здесь признак Даламбера. Между тем при-
признак К о ш и вполне приложим:
х < Сп = ут{п) • х < \/п - х, так что С = х.
и при х < 1 ряд сходится, а при х > 1 (очевидно, и при .х = 1) — расходится.
5)	Приведем примеры применения признака Раабе.

304	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[370
Признак Даламбера к этому ряду неприложим, ибо
(ипритом^ < 1). Составим варианту Раабе:
"* - " V B» - IJ V"B«-lJ'
Так как 01 = \\тшп = | > 1, то ряд сходится.
~	и!
Так как <$ = 	, ^ = 1, то здесь признак Даламбера не-
х + п+ 1
приложим. Имеем, далее, ?%w = 	х, так что ^? = х. Таким образом, при
х < 1 ряд расходится, а при х > 1 сходится; при * = 1 получается расходящийся
гармонический ряд (без первого члена).
(в)
где х > О, и ап — положительная варианта, имеющая конечный предел а.
(п+ 1)х	па„,1	а
Имеем: @п =	^-	, 0=1. Далее, шп = -—^Ц-9 01= -.
(п -\- \)х -\- d	(п -\- \)х	х
Итак, при х < а ряд сходится, при х > а он расходится. При х = а в общем
случае ничего сказать нельзя: поведение ряда тогда зависит от характера прибли-
приближения ап к а.
(г) Наконец, рассмотрим ряд
Для него
^-i h
чтобы вычислить предел этой варианты, заменим ее более общим выражением:
1 Г е
к которому уже можно применить методы дифференциального исчисления.
По правилу Лопиталя, переходим к отношению производных:

371]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	305
Полагая
1пA + х) = х - ^х2 + о{х2), j^— =х -х2 + о{х2),
сразу получаем, что искомый предел равен j. Ряд расходится.
371. Признак Куммера. Теперь мы выведем один весьма общий признак,
принадлежащий Куммеру (Е.Е. Kummer); его скорее можно рассматривать
как общую схему для получения конкретных признаков.
Признак Куммера. Пусть
cv с2, ..., сп, ...
будет произвольная последовательность положительных чисел, такая, что
ряд
расходится *\ Составим для испытуемого ряда (А) варианту
Ж -с °п с
ап+\
Если {для п > N) выполняется неравенство
где 8 — постоянное положительное число, то ряд сходится. Если же
{для п > N)
то ряд расходится.
Доказательство. Пусть
Жп = сп.-^- cw+1 ^ 8 > 0
[неравенство это, очевидно, можно считать выполненным при всех п].
Умножив обе части этого неравенства на tfw+1, получим:
спап - сп+\ап+\
значит,
спап - сп+\ап+\ > ° или спап > сп+\ап+\-
Отсюда следует, что переменная спап монотонно убывает и, следовательно,
стремится к конечному пределу (так как она ограничена снизу нулем).
Итак, ряд
п=\
*) Обращаем внимание читателя на то, что последним предположением мы
будем пользоваться только при выводе признака расходимости: признак
сходимости в нем не нуждается.

306	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[371
сходится, ибо сумма его п первых членов:
с\а\ -сп+\ап+\
имеет конечный предел. Но тогда из неравенства F), по теореме 1, следует, что
оо
сходится ряд ^2 8an+i, а с ним и данный ряд (А).
п=\
Если же, для п > N,
Жп = сп.^- сп+1 < 0,
то имеем:
1
ап+\ . Сп+\
Так как ряд J^ ^- предположен расходящимся, то, по теореме 3, расходится и ис-
испытуемый ряд (А), что и требовалось доказать.
В предельной форме признак К у м м е р а выглядит так:
Допустим, что варианта Жп имеет предел (конечный или нет):
\\тЖп = Ж.
Тогда при Ж > 0 ряд сходится, а при Ж < 0 — расходится.
Покажем теперь, как при помощи признака Куммера можно получить
некоторые важные признаки сходимости как частные случаи его.
а) Положим, например, сп = 1; условие, чтобы ряд J^ ¦?- расходился, соблю-
соблюдено. Имеем:
Если варианта <$п стремится к пределу S^, то Жп стремится к преде-
пределу Ж = ± - 1 [Ж = +оо, если 0 = 0, Ж = -1, если 0 = +оо). При
0 > 1, очевидно, Ж < 0, и по признаку Куммера ряд расходится; если же
0 < 1, то Ж > 0, и ряд сходится. Таким образом, мы пришли вновь к признаку
Даламбера.
б) Положим, далее, сп = п и отметим, что ряд J^ ^ расходится. Выраже-
Выражение Жп получит вид:
Если варианта ^?w стремится к пределу 01, то Jf^ стремится к пределу
Ж = &1—\ [Ж = ±оо, если ш = ±оо). При ш > 1 имеем Ж > 0, и по
признаку Куммера ряд сходится; если же 01 < 1, то JT < 0, так что ряд
расходится. Мы вновь получили признак Р а а б е.
в) Наконец, возьмем сп = пЫп (и ^ 2), такой выбор допустим, ибо ряд
J2 -щи расходится [367, 6)]. Имеем в этом случае
Жп = п\пп- -^	(„+ l)ln(w+ 1),

372]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	307
что можно также представить в виде:
а
п+1	/ 1\п+1
(	)
если обозначить через &>п новую варианту:
lnw @1п - 1).
Отсюда получается уже новый
Признак Бертрана (J. Bertrand). Допустим, что варианта &>п имеет
предел (конечный или нет):
Тогда при % > 1 ряд сходится, а при % < 1 — расходится.
Действительно, так как limln (l + ^) =Ые = 1, то варианта Куммера
Жп стремится к пределу Ж = % — 1 (Ж = zboo, если % = zboo). Остается
сослаться на признак Куммера.
Сопоставляя признаки Раабе и Бертрана, можно было бы повторить
те же замечания, которые мы выше сделали по поводу признаков Даламбера
и Раабе [369]. Эта цепь все более и более чувствительных (но и более слож-
сложных!) признаков может быть неограниченно продолжена.
372. Признак Гаусса. Из признаков Даламбера, Раабе и Бертрана
легко может быть получен следующий признак Гаусса (С.F. Gauss).
Признак Гаусса. Допустим, что для данного ряда (А) отношение -^-П—
и+1
может быть представлено в виде:
где Я и \л — постоянные, а вп есть ограниченная величина: \вп\ ^L;
тогда ряд сходится, если Я > 1 или если Я = 1, /i > 1, и расходится —
если Я < 1 или Я = 1, /i < 1.
Случаи Я ^ 1 приводятся к признаку Даламбера, ибо Km -^- = j.
Пусть теперь Я = 1; тогда
и случаи \л ^ 1 исчерпываются признаком Раабе. Наконец, если \л = 1, то
имеем:
Так как Ц^-9 как известно, стремится к нулю при п -Л оо, а вп ограничена, то
% = lim%n = 0, и, по признаку Бертрана, ряд расходится.

308	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[372
Примеры.
1) Рассмотрим так называемый гипергеометрический ряд [Гаусс]:
F(a9p9y9x) =
_ 1 у- а • (а + 1) - . . . - (а + п - 1) • /3 • (/3 + 1) • . . . • (/3 + п - 1) ^ _
^	п\ • у • (у + 1) • . . . • (у + п - 1)
а - (а + 1) • /3 • (/3 + 1) 2
\-2-у(у
а • (а + 1) • (а + 2) • р ¦ (fi + 1) • (fi + 2) 3
1 • 2 - 3 • у • (у + 1) • (у + 2)	Х ••"
предполагая пока а, /3, у,х > 0. Здесь
так что по признаку Даламбера сразу устанавливается сходимость при х < 1
и расходимость при jc > 1. Если же х = 1, то возьмем отношение
а	(I _|_ hVv + «1 (l + -) 0 + -Ч
и	V1 * п)\У * п)	V	и/ \
1
п+1 v	/va-	у ^i -г „; ^i -г п)
и, пользуясь разложениями:
1	а а1 1	1	/3 /З2 1
= 1-- + -	 ' -^7,		F = l--'
1 + |	Я	1 + ? ^22' 1 + |	^2	1 + f ^2'
представим его в виде:
ап	у — а — /3 + 1 #и
—2- = 1 +	 + -|,
где ^w ограничена. Применяя признак Гаусса, видим, что ряд F(a, /3, у, 1)
сходится при у — а — /3 > 0 и расходится при у — а — /3 < 0. Ниже мы вернем-
вернемся к гипергеометрическому ряду при более общих предположениях относитель-
относительно а, /3, у и х.
2) Другим примером на применение признака Гаусса может служить ряд
'\\Р /1 • 3\Р	/Bп - \)\\\Р
который сходится при р > 2 и расходится при р ^ 2. Здесь, по формуле
Тейлора,
а« ( 1п У (л XYP 1 р р(р+1) 1 (х
откуда
—— = 1 + — Н—^ @ ограничена) и т. д.
fl	П	П2

373]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	309
373. Интегральный признак Маклорена-Коши. Этот признак
по форме отличается от всех предыдущих. Он построен на идее
сопоставления ряда с интегралом и представляет собой обобщение
того приема, которым мы уже пользовались для выяснения сходи-
сходимости или расходимости ряда в примерах 4), 5), 6), 367.
Пусть предложенный ряд имеет форму
оо	оо
? ап = ? f{n),	G)
где f(n) есть значение при х = п некоторой функции /(х), опре-
определенной для х ^ 1 *); функцию эту предположим непрерывной,
положительной и монотонно убывающей.
Рассмотрим какую-либо первообразную функцию F{x)
для f(x); так как ее производная F'{x) = f(x) > 0, то F(x) возрас-
возрастает вместе с х и, при х —> +оо, наверное, имеет предел, конечный
или нет. В первом случае ряд
оо
Y,[F(n+\)-F(n)]	(8)
сходится, а во втором — расходится. С этим рядом мы и сравним
испытуемый ряд.
По формуле конечных приращений, общий член ряда (8) пред-
представим в виде:
F{n + 1) - F{n) =f{n + e) @ < в < 1),
так что вследствие монотонности функции f(x)
an+i = fin + 1) < F{n + 1) - F{n) < f{n) = an.	(9)
В случае сходимости ряда (8), по теореме 1, сходится ряд
оо	оо
Y1 ап+\ = 5^ f(n +1)? члены которого меньше соответственных
п=\	п=\
членов ряда (8); значит, сходится и данный ряд G). В случае рас-
расходимости ряда (8) расходится и данный ряд G), ибо члены его
больше соответственных членов ряда (8).
Таким образом, мы приходим к следующему интересно-
интересному признаку (впервые найденному в геометрической форме
*> Начальным значением номера п может быть вместо 1 и любое другое нату-
натуральное число Hq; тогда и функцию f(x) надлежит рассматривать при х ^ щ.

310	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[373
Маклореном, но позабытому и лишь впоследствии вновь от-
открытому К о ш и):
Интегральный признак. При сделанных предположениях
ряд G) сходится или расходится в зависимости от того,
имеет ли функция
F{x) = jf{x)dx
при х —>> +оо конечный предел или нет.
Приведем примеры применения этого признака (помимо
рассмотренных в 367).
оо	,
1) У 	г-— (а > 0).
Здесь f{x) =	j——; F{x) =	—	> О при х -
ряд сходится.
оо	,
2) V л \ л .
^—i /7 • In /7 • In In П
Имеем fix) = —	—; Fix) = lnlnlnx —»> +oo: ряд рас-
xlnx -lnlnx
ходится.
В этом случае
F(X) = (T-(lnlnjc)(T ^ ° :
ряд сходится и т. д.
Первообразную функцию F(x) можно взять и в форме опреде-
определенного интеграла
= jf(t)dt.
1
Предел его при х —>> +оэ называют «интегралом от 1 до +оэ»*)
и обозначают так:
+ ОО
= J f{t)dt.
*^ Это так называемый несобственный интеграл; подобными интегралами
мы будем заниматься в главе XIII.

373]
§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ
311
Итак, предложенный ряд G) сходится или расходится,
смотря по тому, имеет ли этот интеграл конечное значение
или нет.*]
В такой форме интегральный признак допускает простое гео-
геометрическое истолкование, близкое к идее Маклорена. Если
изобразить функцию f(x) кривой (рис. 54), то интеграл F(x) бу-
будет выражать площадь фигуры, ограниченной этой кривой, осью х
и двумя ординатами; интеграл же F(+oo) в некотором смысле
У\
х
т
тг
3	п л+1
Рис. 54
можно рассматривать как выражение для площади всей бес-
бесконечно простирающейся направо фигуры под кривой. С другой
же стороны, члены ах, а2, ..., ап, ... ряда G) выражают величи-
величины ординат в точках х = 1,2, ...,/7,... или, что то же, площади
прямоугольников с основаниями 1 и с высотами, равными упомя-
упомянутым ординатам.
Таким образом, сумма ряда G) есть не что иное, как сумма пло-
площадей выходящих прямоугольников, и лишь первым членом
отличается от суммы площадей входящих прямоугольников.
Это делает совершенно наглядным установленный выше резуль-
результат: если площадь криволинейной фигуры конечна, то и подавно
конечна площадь заключенной в ней ступенчатой фигуры, и пред-
предложенный ряд сходится; если же площадь криволинейной фигуры
бесконечна, то бесконечна и площадь содержащей ее ступенчатой
фигуры, так что в этом случае ряд расходится.
Сделаем теперь некоторые замечания относительно дальнейше-
дальнейшего использования неравенств (9).
а) В случае существования конечного предела
lim Fix) =F(+oo)
*) При такой формулировке признака доказательство легко провести без пред-
предположения о непрерывности функции f(x) и используя только опре-
определенный интеграл (который для монотонной функции существует [298, III]).

312	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[373
можно указать удобную оценку остатка предложенного ряда.
Именно, просуммировав неравенства
ak<F{k)-F{k-\)<ak_x
при к = п + 1, ..., п + т, получим
п+т	п+т—1
Yl ak<F(n + m)-F(n)< ^ ак.
к=п+1	к=п
Перейдем к пределу, увеличивая здесь т до бесконечности:
к=п-\-\	к=п
ИЛИ
F(+oo)-F(w + l) ^ Y, ak^F(+oo)-F(n); A0)
k=n+l
это и дает искомую оценку как сверху, так и снизу *\
оо
Например, для ряда ^ -^г (а > 0) будет
? ш^-i- (n)
б) Если же F(x) возрастает до бесконечности вместе с х, то
эта функция позволяет судить о быстроте роста частичной
суммы предложенного ряда. Рассмотрим неравенства
О < /(к) - [F{k + 1) - F{k)] < f{k) - f{k + 1)
* ^ Так как
Fin + m)- F{n) = / f{t) dt,
П
то, переходя к пределу при т -л оо, получаем несобственный интеграл
+ ОО
F(+oo) - F(«) = / f(t)dt.
п
Поэтому неравенства A0) могут быть переписаны так:
оо	оо	оо	оо
f f(t)dt< Е Ч= Е /(*)< //(О*-	(Ю

374]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	313
и, просуммировав их от к = 1 до к = /7, получим возраста-
возрастающую, но ограниченную варианту
k=l
которая стремится к конечному пределу. То же справедливо и от-
относительно варианты
J2f(k)-F(n+l).
k=l
Если через С обозначить ее предел, а через ап — бесконечную ма-
малую, которой она разнится от своего предела, то придем к формуле:
к=\
Например, при f{x) = j, F{x) = \пх, отсюда вновь получается форму-
формула D), 367.
374. Признак Ермакова. Примерно ту же область применения, что и инте-
интегральный признак, имеет и своеобразный признак, предложенный В. П. Ерма-
Ермаковым. Формулировка его не содержит понятий интегрального исчисления.
Признак Ермакова. Предположим по-прежнему функцию f{x) непре-
непрерывной*', положительной и монотонно убывающей для х > 1 **\ Тогда если
для достаточно больших х {скажем, для х ^ х0) выполняется неравенство
то ряд G) сходится, если же {для х ^ х0)
то ряд G) расходится.
Доказательство. Пусть выполняется первое неравенство. При любом
х ^ Xq будем иметь (подстановка t = еи)
е
f /@ dt = [ f{eu) • eudu ^q f
f{t) dt,
xQ	xQ
*) На деле требование непрерывности может быть опущено. См. сноску на
с. 311.
**} См. сноску на с. 309

314	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[374
отсюда
ех
(\-q) I f(t)dt^q\ I f(t)dt- ff(t)dt\ <
exo	xQ	exo
e*o	ex	ex°
^q\jf(t)dt-Jf(t)dt] ^qjf(t)dt,
XX	X
так как
ex > x,	A2)
в вычитаемое в последних скобках положительно. В таком случае
прибавляя к обеим частям интеграл J f(t) dt, получим
хо
ех	ехо
и тем более — учитывая A2) —
(х
Так как с возрастанием х и интеграл возрастает, то для него существует
конечный предел х —>> оо:
оо
f(t)dt9
и — по интегральному признаку — ряд G) сходится.
Пусть теперь имеет место второе неравенство. Тогда
/¦

374]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	315
и — если к обеим частям прибавить интеграл J f(t) dt —
ех	е*о	Х
I f(t)dt> [ f(t)dt = y>0
xQ
[так как, ввиду A2), Xq < ex°]. Определим теперь последовательность
полагая хп = еХп~1; по доказанному
/
Хп-\
хп	„	хг
f	A f
/ /(о dt = V /
Отсюда ясно, что
ОО	X
Г	Г
/ ДО dt = Km / ДО dt = +00,
J	х^оо J
и — по интегральному признаку — ряд G) расходится.
Примеры предыдущего п° легко исчерпываются и с помощью доказанного
признака:
оо
1)	V 	=-	 (а > 0).
^ п. ln1+(J n У	}
В этом случае f(x) = 	г——, и выражение
х • In +6J jc
/(ex)-ex 1п1+б7;с
	— =	у 0 при х —У оо,
так что при достаточно больших х оно становится меньшим любой правильной
дроби q: ряд сходится.
2)	V 	I	.
^-^ п • In п • In In п
п=Ъ
Здесь f(x) = 	, а выражение
х • \пх • In In х
f{ex) -ex , ,
	 = lnlni —у оо при х —у оо,
/м
и при достаточно большихх превзойдет единицу: ряд расходится.

316	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[375
3)§	@)
Имеем на этот раз
/W х -Ых •
f(ex).ex	1
/(*)	In67*
О при .x —>> oo : ряд сходится.
Заметим в заключение, что функция ех, фигурирующая в признаке Ерма-
Ермакова, может быть заменена любой другой функцией ф(х), монотонно возраста-
возрастающей, положительной, имеющей непрерывную производную и удовлетворяющей
неравенству
<р(х) > х,	A2*)
которое заменяет A2). Доказательство может быть скопировано с приведенного
выше. Таким образом, в общей форме признак Ермакова является источни-
источником для получения ряда конкретных признаков, отвечающих различному выбору
функций (р(х).
375. Дополнения.
1) Мы воспользуемся оценками A1), чтобы охарактеризовать поведение
функции Римана [365, 2)]
(которая определена лишь для о > 0) при приближении о к 0.
Прежде всего, полагая п = 0 в первом из неравенств A1) и п = 1 во втором
из них, легко получить
откуда
lim а • ?A + а) = 1.
Можно прийти к более точному результату, если, исходя из очевидного
равенства
1	1x^1
к=п+\
применить неравенства A1) при произвольном п\
	<
1	1/1

375]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	317
Переходя здесь к пределу при о —>> 0, мы получим
1 + - + ... + -- 1п(и + 1) < Jim_^(l + а)
2	п	а^о L	cr
< 1тГ^A + бг)	1 < Ц	h . . . Н	1пя*}.
cr-S>Ol_	СГ J	2	72
Наконец, ввиду произвольности п, устремим здесь п к бесконечности. Так как
первое и последнее выражения, в силу D), 367, при этом стремится к эйлеровой
постоянной С, то наибольший и наименьший пределы совпадают, так что сущест-
существует обычный предел и равен
Km Г^A + сг) - -} =С.
^0 L	о\
[Эти результаты принадлежат Дирихле.]
2) Пусть члены ряда (А) монотонно убывают; тогда ряд (А) схо-
дится или расходится одновременно с рядом J^ 2 • а^к [Коши].
к=0
Действительно, с одной стороны,
а с другой —
A2k = ах + а2 + (а3 + а4) + . . . + (а2к-\+1 + . . . + а2и) >
1	^	х	1	к \
2	2
Отсюда и следует требуемое заключение.
оо	оо
Например, поведение ряда J2 \ совпадает с поведением ряда ^ 2к • -к =
1	О
оо	оо
= ^2 1, явно расходящегося. Ряд J^ --A— {о > 0) сходится вместе с ря-
0	1 п
оо	оо	оо
дом ^2к • kn+a) =J2^b- РяД Y1ШЛ расходится, ибо расходится ряд
0	1	0	2
оо	оо
В этой теореме ряд сравнения J^ 2 • а2к может быть заменен и более общим
оо
рядом J2 т ' а^к-> где т — любое натуральное число.
к=0
3) Пусть (А) будет произвольный сходящийся ряд. Какие заключения
можно сделать о порядке малости общего члена ап по сравнению с ^ ?
*) Мы пока не знаем, существует ли предел выражения ?A + сг) — ^ при
о —>> 0, и потому пользуемся наибольшим и наименьшим пределами [42]. Преде-
Пределы выражений ^ [^ — l] и ^ [t^+W — l] находим по формуле 77, 5), (б).

318	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[375
Прежде всего, очевидно, что если эти бесконечно малые вообще сравнимы
между собой [60], т. е. если существует предел
lim -j- = \imnan = с,
п
то необходимо с = 0, так что
Q	A3)
оо
Действительно, иначе — ввиду расходимости гармонического ряда ^ \ — и дан-
1
ный ряд был бы расходящимся [366, теорема 2].
Однако существование такого предела, вообще говоря, не обязательно, как
видно на примере ряда
111111111
1
оо
Сходимость этого ряда ясна из сопоставления с рядом J^ \\ в то же время,
если п не есть полный квадрат, то для него пап = ^, в противном же случае
пап = 1.
Впрочем, если члены ряда монотонно убывают, то для сходимости
его условие A3) все же необходимо. Действительно, при любых т и п > т:
{п — т)ап < ат+1 + . . . + ап < ат,
где ат — остаток ряда. Отсюда
Пусть сначала т взято так, чтобы ат было меньше произвольно заданного числа
с > 0; если предположить теперь п настолько большим, что
п	е
то одновременно пап < с, что и требовалось доказать.
Заметим в заключение, что даже для рядов с монотонно убывающими чле-
членами условие A3) отнюдь не является достаточным для сходимости. Это
оо
видно на примере ряда ^ -щ^-
2
оо
4) Если ряд ^2 dn расходится и Dn означает его п-ю частичную сумму,
1
оо	оо
то ряд J2 ТТ также расходится, в то время как ряд ^ т+7 (а > ^)
i п	х Dn
сходится. [Абель (N.H.Abel) и Дин и (U. Dini).]
Имеем:
^	d	dn+1 + ¦ ¦ ¦ + dn+m _ j	Dn
,	, n+m

375]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	319
Сколь большими ни взять п, всегда можно выбрать такое т, чтобы было
°п < - и, следовательно, ^± + ... + ^ > -.
Dn+m 2	Dn+l	Dn+m <.
OO ,
Для ряда ^2 /7" нарушено основное условие сходимости [364, 5°] — ряд расхо-
расходится.
Для доказательства сходимости ряда ^2 ~т+^ мы прибегнем к приему, сход-
сходному с примененным Кош и [373].
К функции
dx	1 1
Г dx
О Xе
в промежутке от х = Dn_\ до х = Dn применим формулу конечных прира-
приращений:
1 / 1
где
к
Таким образом, члены рассматриваемого ряда соответственно меньше членов схо-
ОО	/	\
дящегося ряда V ^ ( jJ-	ш)> что и доказывает высказанное утверждение.
1 V п-\ ип)
оо
5) Если ряд ^2 сп сходится и уп означает его остаток после п-го
1
оо
члена, то ряд ^2 у^~ расходится, в то время как ряд
1 П~Х	on
1 fn-\
сходится [Дини].
Доказательство аналогично предыдущему.
6) Следующий признак сходимости недавно был указан Н. А. Сапоговым:
Если ип — положительная монотонно возрастающая варианта, то ряд
оо
{равно как и у^ ( -^	1 )
L	^-^ \ ип	/ J
сходится при условии ограниченности этой варианты и расходится —
в противном случае.
Положим (при п = 1, 2, 3, . . .)
к=\
тогда предложенный ряд перепишется так:

320	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[375
и его поведение совпадает с поведением ряда
оо
D '
/1=1 п
оо
а значит — и с поведением ряда ^ dn [в случае расходимости его можно сослать-
п=\
ся на результат Абеля-Дини, 4)]. Последний же ряд сходится или расходится
в зависимости от того, будет ли варианта ип ограниченной или нет.
7) Пусть даны два сходящихся ряда:
оо	оо
Второй называется медленнее сходящимся, чем первый, если оста-
остаток у'п второго ряда есть бесконечно малая низшего порядка, чем остаток уп
первого:
Km ^ = 0.
Уп
оо
Для каждого сходящегося ряда ^ сп можно построить ряд, мед-
1
леннее сходящийся. Достаточно рассмотреть, например, ряд
п=\	п=\
так как в этом случае у'п = д/
Рассмотрим теперь два расходящихся ряда:
Про второй говорят, что он расходится медленнее, чем первый, если его
частичная сумма D'n является бесконечно большой низшего порядка, чем
частичная сумма Dn первого:
ОО
Для каждого расходящегося ряда ^ dn можно построить ряд, мед
1
леннее расходящийся. С этой целью можно, например, взять ряд
/1=1
здесь D'n = JWn.
оо
*^ За y0 принимаем всю сумму J^ cw.
1

375]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	321
Аналогичные заключения можно получить и с помощью рядов Абеля
и Дини, рассмотренных в 4) и 5).
Построенные примеры приводят к такому принципиально важному утвер-
утверждению: никакой сходящийся {расходящийся) ряд не может служить
универсальным средством для установления путем сравнения с ним*'
сходимости {расходимости) других рядов.
Это ясно из того, что
Сп Уп-х~Уп v^
сп \/Уп—\
8) Пусть даны две последовательности положительных чисел
я1? а2, . . ., ап, . . . и Ъх, Ь2, . . ., Ьп, . . .
Каково бы ни было п, для первых п чисел этих последовательностей имеет место
неравенство Коши-Гельдера:
F
и неравенство Минковского:
[133, E) и G)]. Здесь к — произвольное число > 1, а к' — другое число то-
тоже > 1, которое связано с к соотношением
1 1
l
Переходя в этих неравенствах к пределу при п -л оо, получим подобные же
неравенства для бесконечных рядов:
1=1
и
\
4=1
причем из сходимости рядов в правых частях вытекает сходимость рядов
в левых.
Е°:
kz=i J
*)
С помощью любой из теорем п° 366.

322	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[376
§ 3. Сходимость произвольных рядов
376. Общее условие сходимости ряда. Обратимся к вопросу
о сходимости рядов, члены которых могут иметь произвольные зна-
знаки. Так как, по определению, сходимость ряда
пп = а 1 + а2 + ' ' ' + ап + • • •
приводится к сходимости последовательности
Ai, л2, ..., Ап, . .., Ап_^_т, . ..,	A)
составленной из частичных сумм ряда, то естественно при-
применить к этой последовательности принцип сходимости [39]. Из
двух номеров пип\ которые в нем упоминаются, можно, не умаляя
общности, считать п' > п и положить п' = п + w, где т — любое
натуральное число. Если вспомнить, что
то принцип сходимости применительно к ряду можно перефрази-
перефразировать так:
Для того чтобы ряд (А) сходился, необходимо и доста-
достаточно, чтобы каждому числу е > 0 отвечал такой номер N,
что при п> N неравенство
К+1 + ап+2 + • • • + ап+т\ < е	B)
выполняется, каково бы ни было т = 1,2, 3, ... *)
Иными словами: сумма любого числа членов ряда, следу-
следующих за достаточно далеким, должна быть произ-
произвольно мала.
Если, предполагая ряд сходящимся, в неравенстве B) взять,
в частности, т = 19 то получим:
\ап+1\ < е (при п> N),
так что ап+1 —>> 0 или (что то же) ап —>> 0, и мы вновь прихо-
приходим к известному необходимому условию сходимости ря-
ряда [364, 5°]. Оно требует гораздо меньшего, чем принцип сходи-
сходимости: необходимо, чтобы не только далекие члены, в отдель-
отдельности взятые, были малы, но и с у м м а далеких членов, в з я -
*' Оба автора принципа сходимости — Больцано и Коши — сформули-
сформулировали его именно как условие сходимости бесконечного ряда.

377]	§ 3. СХОДИМОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ	323
тых в любом количестве, должна быть мала! В этом смыс-
смысле поучительно вернуться к гармоническому ряду [365, 1)] и к не-
неравенству A), установленному для его членов. Хотя общий член
здесь и стремится к 0, но неравенство B) [настоящий п°] при ? = \
и т = /7 не выполняется ни при одном /7, и гармонический ряд рас-
расходится!
Нужно сказать, однако, что проверка выполнения приведенно-
приведенного общего условия сходимости ряда в конкретных случаях обычно
бывает затруднительна. Поэтому представляет интерес изучение
класса случаев, когда вопрос решается с помощью более простых
средств.
377. Абсолютная сходимость. Мы видели в предыдущем пара-
параграфе, что в отношении положительных рядов сходимость, по боль-
большей части, устанавливается легко, благодаря наличию ряда удоб-
удобных признаков. Поэтому естественно начать с тех случаев, когда
вопрос о сходимости данного ряда приводится к вопросу о сходи-
сходимости положительного ряда.
Если члены ряда не все положительны, но начиная с некото-
некоторого места становятся положительными, то, отбросив достаточное
количество начальных членов ряда [364, 1°], сведем дело к иссле-
исследованию положительного ряда. Если члены ряда отрицательны или
по крайней мере с некоторого места становятся отрицательны-
отрицательными, то мы вернемся к уже рассмотренным случаям путем изме-
изменения знаков всех членов [364, 3°]. Таким образом, существенно
новым случаем будет тот, когда среди членов ряда есть
бесконечное количество как положительных, так
и отрицательных членов. Здесь часто бывает полезна следу-
следующая общая
Теорема. Пусть дан ряд (А) с членами произвольных зна-
знаков. Если сходится ряд
оо
?1
к=\
(А*)
составленный из абсолютных величин его членов, то
и данный ряд также сходится.
Доказательство сразу получается из принципа сходимо-
сходимости: неравенство
+ ап+2 + • • • + ап+т I < К+11 + К+2 ! + ••• + \ап+т |

324	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[377
показывает, что если условие сходимости выполняется для ря-
ряда (А*), то оно тем более выполняется для ряда (А).
Можно рассуждать и иначе. Из положительных членов
ряда (А), перенумеровав их по порядку, составим ряд
к=\
так же поступим с отрицательными членами и составим ряд
из их абсолютных величин
т=\
Сколько бы членов того или другого ряда ни взять, все они содер-
содержатся среди членов сходящегося ряда (А*), и для всех частичных
сумм Рк и Qm выполняются неравенства
так что оба ряда (Р) и (Q) сходятся [365]; обозначим их суммы,
соответственно, через Р и Q.
Если взять п членов ряда (А), то в их составе окажется к по-
положительных и т отрицательных, так что
Л„=Рк~ Qm-
Здесь номера кит зависят от п. Если в ряде (А) как положитель-
положительных, так и отрицательных членов бесчисленное множество, то при
п —>> оо одновременно к —> оо и т —> оо.
Переходя в этом равенстве к пределу, приходим снова к за-
заключению о сходимости ряда (А), причем его сумма оказывается
равной
A = P-Q.	C)
Можно сказать, что при сделанных предположениях сумма
данного ряда равна разности между суммой ряда, состав-
составленного из одних положительных его членов, и суммой ряда,
составленного из абсолютных величин отрицательных членов.
Этим мы в последующем будем пользоваться.
Если ряд (А) сходится вместе с рядом (А*), составлен-
составленным из абсолютных величин его членов, то про ряд (А) гово-
говорят, что он абсолютно сходится. Но доказанной теореме,
одной сходимости ряда (А*) уже достаточно для абсолютной
сходимости ряда (А).

378]	§ 3. СХОДИМОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ	325
Как увидим ниже, возможны случаи, когда ряд (А) сходится,
а ряд (А*) — нет. Тогда ряд (А) называют неабсолютно
сходящимся.
Для установления абсолютной сходимости ряда (А), к по-
положительному ряду (А*) могут быть применены все признаки
сходимости, изученные в предыдущем параграфе. Но нужно
быть осторожным с признаками расходимости: если даже
ряд (А*) окажется расходящимся, то ряд (А) может все же схо-
сходиться (неабсолютно). Исключение представляют только при-
признаки Коши и Даламбера, и именно потому, что когда
они констатируют расходимость ряда (А*), то это значит, что об-
общий член \ап\ ряда (А*) не стремится к нулю, а тогда vl ап к ну-
нулю не стремится, так что и ряд (А) также расходится. Поэтому
упомянутые признаки могут быть перефразированы применитель-
применительно к произвольному ряду. Сделаем это, например, для признака
Даламбера (который преимущественно и применяется на прак-
практике):
Признак Даламбера. Пусть для варианты &* = ^р±р су-
\ап I
ществует определенный предел:
тогда при <3* < 1 данный ряд (А) абсолютно сходится,
а при &* > 1 он расходится.
378. Примеры.
1) Применить признак Даламбера ко всем рядам (а)-(д), о которых была
речь в 2), 370, но отбросив требование х > 0. Мы получим, что:
(а)	ряд абсолютно сходится для всех значений х;
(б)	ряд абсолютно сходится при — 1 < х < 1 и расходится при х ^ 1
или х < — 1 (при х = ±1 нарушается необходимое условие сходимости);
(в)	ряд абсолютно сходится при — 1 < х < 1 и расходится прих > 1 или
х < — 1; если s > 1, то при х = d=l ряд также абсолютно сходится; если же
0 < s ^ 1, то при х = 1 ряд заведомо расходится, а при х = —1 вопрос пока
остается открытым;
(г)	ряд абсолютно сходится при — е < х < е и расходится прих ^ е или
х ^ — е (при х = d=e нарушается необходимое условие сходимости);
(д)	ряд абсолютно сходится при — | < х < \ и расходится при х ^ \
или х < — | (при х = — j вопрос пока остается открытым).

326	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
Имеем
[378
1 +х"
л
если — 1 < х < 1,
если х = 1,
если х < — 1 или х > 1;
итак, ряд абсолютно сходится для всех значений х Ф — 1.
3)
Здесь
оо
2
п=\
1 _
(* ^ ±1).
1,
если — 1 < х < 1,
если х > 1 или jc < — 1.
При |*| < 1 ряд абсолютно сходится; при |*| > 1 признак Даламбера
ничего не дает, но все же можно заключить о расходимости ряда, ввиду нарушения
необходимого условия сходимости.
4) Вернемся к гипергеометрическому ряду [372]
F(a,p,y,x) =
а- (а+ 1) • ... • (а + п- 1) •/3
!).....
п=\
п\ • у • (у + 1) • . . .
и-1)
п-\) „
	х
— при любых а, /3, у, х (параметры а, /3, у предполагаются лишь отличными
от нуля и от целых отрицательных чисел).
Применяя призак Даламбера в новой форме, убеждаемся, что при |х\ < 1
этот ряд абсолютно сходится, а при |*| > 1 — расходится.
Пусть теперь х = 1; так как отношение
an+l	n	«
для достаточно больших п будет положительно, то члены ряда, начиная с неко-
некоторого места, будут иметь один и тот же знак, а тогда к ним (или к их абсолют-
абсолютным величинам) приложим по-прежнему признак Гаусса, который показывает,
что ряд сходится (конечно, абсолютно) при у — а — /3 > Ои расходится
при у — а — /3 ^ 0.
Пусть, наконец, х = — 1. Из только что сказаного ясно, что при у — а — /3 > 0
будет сходиться ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ря-
ряда F(а, /3, у, — 1), так что данный ряд в этом случае сходится абсолютно.
При у — а — /3 < — 1 будем иметь, начиная с некоторого места,
< 1, т. е.
ап не стремится к 0, ряд расходится.
В случае х = —1 и —1 ^ у — а — /3 ^0 вопрос о сходимости ряда
F(a, /3, у, — 1) остается пока открытым.

379]
§ 3. СХОДИМОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ
327
379. Степенной ряд, его промежуток сходимости. Рассмотрим
степенной ряд вида
= а0
ахх
а2х2
D)
п=0
представляющий собой как бы «бесконечный многочлен», располо-
расположенный по возрастающим степеням переменной х (<я0, ах, а2, ...
здесь обозначают постоянные коэффициенты). Выше мы не раз име-
имели дело с такими степенными рядами [см., например, в предыду-
предыдущем п°: 1), (а)-(д)].
Предложим теперь себе выяснить, какой вид имеет «область
сходимости» степенного ряда, т. е. множество SC = {х} тех зна-
значений переменной, для которых ряд D) сходится. Это послужит
снова важным примером применения изложенного выше.
Лемма. Если ряд D) сходится для значения х = х, отлич-
отличного от О, то он абсолютно сходится для любого значе-
значения х, удовлетворяющего неравенству. \х\ <
Из сходимости ряда:
= а0
л=0
вытекает, что его общий член стремится к 0 [364, 5°], а следова-
следовательно, ограничен [26, 4°]:
\апхп\^М (/7 = 0,1,2,3,...).	E)
Возьмем теперь любое х, для которого \х\ < \х|, и составим ряд
оо
Yl \anx?
= \ао\ + \ахх\ + \а2х2
F)
п=0
Так как [см. E)]:
X
X
п
X
X
и члены ряда F) оказываются меньшими соответствующих чле-
членов сходящейся геометрической прогрессии (со знаменателем
М + М- -
X
X
+ М-
X
X
= +...+М-
то, по теореме 1 [366], ряд F) сходится. В таком случае, как мы
знаем, ряд D) сходится абсолютно, что и требовалось доказать.

328	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[379
При х = О сходится, очевидно, всякий ряд D). Но есть степен-
степенные ряды, которые — помимо этого — не сходятся ни при одном
значении х. Примером такого «всюду расходящегося» ряда может
оо
служить ряд ^2п\ хп, как в этом легко убедиться с помощью при-
1
знака Даламбера. Подобные ряды для нас не представляют
интереса.
Предположим же, что для ряда D) вообще существуют та-
такие отличные от 0 значения х = х, при которых он сходится, и рас-
рассмотрим множество {\х\}. Это множество может оказаться либо
ограниченным сверху, либо нет.
В последнем случае, какое бы значение х ни взять, необходимо
найдется такое х, что |х| < |х|, а тогда, по лемме, при взятом зна-
значении х ряд D) абсолютно сходится. Ряд оказывается «всюду
сходящимся».
Пусть теперь множество {\х\} сверху ограничено, и R будет его
точная верхняя граница. Если \х\ > R9 то сразу ясно, что при
этом значении х ряд D) расходится. Возьмем теперь любое х9 для
которого \х\ < R. По определению точной границы, необходимо
найдется такое х, что \х\ < \х\ < R; а это, по лемме, снова влечет
за собой абсолютную сходимость ряда D).
Итак, в открытом промежутке (—i?,i?) ряд D) абсолютно
сходится; для х > R и х < —R ряд заведомо расходится,
и лишь о концах промежутка х = ±R общего утверждения сделать
нельзя — там, смотря по случаю, может иметь место и сходимость,
и расходимость.
Поставленная нами задача решена.
Для каждого степенного ряда вида D), если только
он не является всюду расходящимся, «область сходимо-
сходимости» ЭС представляет собой сплошной промежуток от -R
до R, со включением концов или нет; промежуток этот мо-
может быть и бесконечным. Внутри промежутка, к тому же,
ряд сходится абсолютно.
Упомянутый промежуток называют промежутком сходи-
сходимости, а число R (О < R < +оо) — радиусом сходимости
ряда. Если вернуться к примерам 1), (а)-(д) предыдущего п°,
то, как легко видеть, в случае
(а)Я = +оо; (б), (в) Л = 1; (r) R = е; (д) R = Х-.

380]
§ 3. СХОДИМОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ
329
Для всюду расходящегося ряда принимают R = 0: его «область
сходимости» сводится к одной точке х = 0.
380. Выражение радиуса сходимости через коэффициенты. Теперь мы дока-
докажем более точную теорему, в которой не только вновь устанавливается сущест-
существование радиуса сходимости, но и определяется его величина в зависимости от
коэффициентов самого ряда D).
Рассмотрим последовательность:
Р\ = И
Обозначим наибольший предел этой последовательности [который
всегда существует, 42] через р, так что
р = Km pn = Km y/\a^\.
Теорема Коши-Адамара. Радиус сходимости ряда D) есть величина,
обратная наибольшему пределу р варианты рп = ^J\an\:
R = -
Р
(при этом если р = 0, то R = +оо, если р = +оо, то R = 0).
Теорема эта, открытая К о ш и, была забыта; А д а м а р (J. Hadamard) вновь
нашел ее и указал важные приложения.
Доказательство. I случай: р = 0. Докажем, что в этом случае R = +оо,
т. е. что при любом х ряд D) абсолютно сходится.
Так как последовательность | у|^|} состоит из положительных элементов,
то из того, что р = 0, следует, что она имеет определенный предел:
отсюда варианта К о ш и
при п —>> оо, каково бы ни было х. Следовательно, по признаку Коши [368],
ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда A), сходится, а значит,
сам ряд A) сходится абсолютно.
II случай: р = +оо. Докажем, что в этом случае R = 0, т. е. при всяком
х Ф 0 ряд A) расходится.
Так как
р = Km \J\an\ = +оо,
то, очевидно, можно найти такую частичную последовательность {nt}, чтобы
= +ОО.
Следовательно, при каждом х ф 0 найдется такой номер z0, что для всех i > z0
будет выполняться неравенство:
1

330	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[381
Видим, что в этом случае не выполняется необходимое условие сходимости
ряда (общий член ряда не стремится к нулю). Следовательно, ряд D) расходится.
III случай: р — конечное положительное число: 0 < р < +оо. Докажем,
что в этом случае R = ^, т. е. что при \х\ = ^ ряд абсолютно сходится,
а при \х\ > - — расходится. Возьмем любое х, для которого \х\ < -. Выберем
е > 0 настолько малым, чтобы выполнялось неравенство
\\ J
Р + ?
По этому ?, очевидно, всегда можно найти такое число N?, чтобы для всех п > N?
было:
на основании 1-го свойства наибольшего предела последовательности [42].
Отсюда следует, что варианта Кош и
УК|< 1*1 . (р + е) < 1
при всех п > N?. По признаку Кош и, ряд, составленный из абсолютных величин
членов ряда D), сходится, а значит, сам ряд D) сходится абсолютно.
Возьмем теперь любое х, для которого |* | > -. Выберем е настолько малым,
чтобы было
1
р - е
По 2-му свойству наибольшего предела [42], для сколь угодно больших п
будет выполняться неравенство:
так что
</\апх"\ > \х\-(р-е)> 1.
Следовательно, для сколь угодно больших п общий член ряда
\апх | > 1,
и ряд D) расходится.
381. Знакопеременные ряды. Знакопеременными назы-
называются ряды, члены которых поочередно имеют то положительный,
то отрицательный знаки. Знакопеременный ряд удобнее записывать
так, чтобы знаки членов были выявлены, например
ci ~ с2 + с3 - с4 + .. . + (-ir~4 + .. . {сп > 0). G)
По отношению к знакопеременным рядам имеет место следу-
следующая простая теорема.
Теорема Лейбница. Если члены знакопеременного ряда G)
монотонно убывают по абсолютной величине:
n+i
<cn (и =1,2,3,...)	(8)

381]	§ 3. СХОДИМОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ	331
и стремятся к нулю:
\ш\сп = О,
то ряд сходится.
Доказательство. Частичную сумму четного поряд-
порядка С2т можно написать в виде:
С2т = (с\ ~ ci) + (c3-c4) + ... + (с2т_1 - с2т).
Так как каждая скобка, ввиду (8), есть положительное число, то от-
отсюда ясно, что с возрастанием т сумма С2т также возрастает.
С другой стороны, если переписать С2т так:
С2т = с\ ~ (С2 ~ съ) ~ • • • - (с2т-2 ~ с2т-\) ~ С2т^
то легко усмотреть, что С2т остается сверху ограниченной:
В таком случае, по теореме о монотонной варианте [34], при без-
безграничном возрастании т частичная сумма С2т имеет конечный
предел
Переходя к частичной сумме нечетного порядкаС2т+х, име-
имеем, очевидно, C2w+1 = С2т + с2т. Так как общий член стремится
к нулю, то и
Отсюда следует, что С и будет суммой данного ряда.
Замечание. Мы видели, что частичные суммы четного по-
порядка С2т приближаются к сумме С ряда возрастая. Написав
C2m-l B
С2т-\ =С1~ (С2~сз) ~ •••- (с2т-2 ~
легко установить, что суммы нечетного порядка стремятся к С
убывая. Таким образом, всегда
^2т < С < С2т_х.
В частности, можно утверждать, что
0<С< сх.

332	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[382
Это позволяет дать весьма простую и удобную оценку для ос-
остатка рассматриваемого ряда (который и сам представляет собою
такой же знакопеременный ряд). Именно, для
У2т = C2m+l ~
очевидно, имеем:
О < У2т «
наоборот, для
У2т-\ — ~с2т + C2w+1 ~~ • • • = ~(с2т ~ с2т+\ + • • • )
будет:
У2т-1 < 0' \У2т-\\ < С2т'
Таким образом, во всех случаях остаток ряда лейбницев-
ского типа*] имеет знак своего первого члена и меньше
его по абсолютной величине.
Это замечание часто используется при приближенных вычисле-
вычислениях с помощью рядов [см. 409].
382. Примеры.
1) Простейшими примерами рядов лейбницевского типа служат ряды
' 1\п— 1	11	1
^ ' ^ 2п - 1	3 5	v У 2/1-1
п=\
Сходимость обоих вытекает из доказанной теоремы.
В то же время ряды, составленные из абсолютных величин их членов, рас-
расходятся: для ряда (а) это будет гармонический ряд, для ряда же (б) получится
ряд
расходимость которого ясна из того, что его частичная сумма
п 1	п 1 1
^	^	H
2^Т
Таким образом, в лице рядов (а) и (б) мы имеем первые примеры неаб-
неабсолютно сходящихся рядов. [Ниже мы увидим, что сумма первого из них
есть In 2, а сумма второго равна f: 388, 2); 405; 404.]
* ^ Так мы называем знакопеременный ряд, удовлетворяющий условиям теоре-
теоремы Лейбница.

382]	§ 3. СХОДИМОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ	333
2)	По теореме Лейбница, сходятся ряды
ns ' 2-^n-Wn	^п\пп- (lnlnwV
и=1	и=2	и=3
Если заменить все члены их абсолютными величинами, то, как мы знаем, при
s > 1 получатся сходящиеся ряды, а при s ^ 1 — расходящиеся. Таким образом,
исходные ряды при s > 1 оказываются абсолютно сходящимися, а при s < 1 —
неабсолютно сходящимися.
°° хп
В частности, про степенной ряд J^ ^, который мы рассматривали в 370
п=\
и 378, теперь можно сказать, что на конце х = — 1 своего промежутка сходимо-
сходимости при s < 1 он все еще сходится, но неабсолютно.
оо
3)	Рассмотрим ряд 5^( — 1)" sin | при любых х ф 0. Теорема Лейбница
п=\
применима, если не к этому ряду, то к его достаточно далекому (по номеру)
остатку. Действительно, при п достаточно большом sin | приобретает знак х
и по абсолютной величине убывает с возрастанием п. Итак, ряд сходится [оче-
[очевидно, неабсолютно, см. 367, 8), (в)].
4)	Для того чтобы выяснить, что требование монотонного убывания чисел сп
в теореме Лейбница отнюдь не является лишним, рассмотрим знакоперемен-
знакопеременный ряд
1111	11
Н	1=	т=	Ь . . . Н	=	г	г	г + • • .,
л/2 — 1 л/2+1 л/3 — 1 л/3 + 1 '" у/п-1 у/п+1
общий член которого стремится к нулю. Сумма 2п его членов равна
и+1	1	1	«+1
1	1
и бесконечно возрастает вместе с п: ряд расходится! Нетрудно проверить, что
монотонность убывания нарушается всякий раз при переходе от члена
	т=Цг к члену , \ 1.
Для той же цели может служить и расходящийся ряд
+ - .
в чем убедиться предоставляем читателю.
5) Последний ряд дает повод к такому замечанию. Если его сопоставить
00 / 1\И—1
со сходящимся рядом J2 д— •> то оказывается, что отношение их общих
членов стремится к 1. Таким образом, теорема 2 [366] не имеет аналога в теории
рядов с членами произвольных знаков.

334	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[383
6) Использование в выкладках расходящихся рядов и действий над
их бесконечными суммами может привести к парадоксам. Вот, например,
один из них:
~2 + 3~4 + '"~
= A + - + \ + \ + -
111	хх 111
Если то же преобразование применить к сходящемуся ряду
р=х —7 + ~ —7 + • • • С* > °)»
то получим, что
где
При s < 1 (в этом случае последний ряд расходится!) снова приходим к па-
парадоксу: р < 0 [ср. 381, замечание]. При s > 1 мы имеем дело со сходящимися
рядами, и получается правильный результат.
383. Преобразование Абеля. Часто приходится иметь дело
с суммами парных произведений вида
т
. .. + атEт.	(9)
Во многих случаях при этом оказывается полезным следующее эле-
элементарное преобразование, указанное Абелем (N. H. Abel).
Введем в рассмотрение суммы
вг=р19 в2 = /3!+/з2, в3 = р1+р2 + р3, ...,
вт = рг+р2 + ...+рт.
Тогда, выражая множители f5t через эти суммы,
Pi = В1? ^2 ^ В2 — В1? ^з = ^3 "" ^2' • • • '
Рт = Bm ~Bm-l'
сумму S можно написать в виде
S = axBi + а2(В2 - ВО + а3(В3 - В2) + .. . + ат(Вт - Вт_х).

383]
§ 3. СХОДИМОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ
335
Если раскрыть скобки и иначе сгруппировать члены, то и получим
окончательную формулу *)
т
S = J2 аЛ = («! - а2)В1 + (а2 - а3)В2 + .. .
атВт =
т-\
i=\
A0)
[Если переписать ее в виде
т-\
то станет ясно, что эта формула для конечных сумм является ана-
аналогом формулы интегрирования по частям для интегралов: диффе-
дифференциал здесь заменен разностью, а интеграл — суммой.]
Основываясь на формуле A0), выведем теперь следующую
оценку для сумм указанного вида:
Лемма. Если множители at не возрастают (или не убы-
убывают), а суммы В, все ограничены по абсолютной величине
числом L:
\Bt
(z = 1,2, ...,/и),
то
\s\ =
Действительно, так как все разности в A0) одного знака, то
т-\
\S\
= L(\ai-am\ + \
/=1
Нетрудно видеть, что если множители at не возрастают и по-
положительны, то оценку можно упростить:
\s\ =
Е
«Д.
A1)
*> По сути дела, мы уже пользовались подобным преобразованием при доказа-
доказательстве второй теоремы о среднем значении [306].

336	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[384
Этими оценками мы будем ниже не раз пользоваться по разным
поводам. Сейчас мы их применим к выводу критериев сходимости,
более общих, чем установленный выше критерий Лейбница.
384. Признаки Абеля и Дирихле. Рассмотрим ряд:
оо
Y1 апЪп = а\Ъ\ + ^2*2 + • • • + апЬп + • • • >	(W)
п=\
где {ап} и {Ьп} — две последовательности вещественных чисел.
Следующие предположения относительно каждой из них в от-
отдельности обеспечивают сходимость этого ряда.
Признак Абеля. Если ряд
оо
/ _j Yl	l>2,'''''J7	V/
п=\
сходится, а числа ап образуют монотонную и ограниченную
последовательность
\ап\^К (/7=1,2,3,...),
то ряд (W) сходится.
Признак Дирихле. Если частичные суммы ряда (В) в со-
совокупности ограничены*^.
\Вп\^М (/7=1,2,3,...),
а числа ап образуют монотонную последовательность, стре-
стремящуюся к нулю:
\ш\ап = О,
то ряд (W) сходится.
В обоих случаях для установления сходимости ряда (W)
мы прибегнем к принципу сходимости [376]. Рассмотрим поэтому
сумму
п+т	т
k=n+l	i=l
она имеет вид (9), если положить at = an+i, f5t = bn+i. Попыта-
Попытаемся оценить эту сумму с помощью леммы.
*)
Это требование шире предположения о сходимости ряда (В).

385]
§ 3. СХОДИМОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ
337
При предположениях Абеля, по заданному е > О найдется
такой номер N, что при п > N неравенство
будет выполняться, каково бы ни было р [принцип сходимос-
сходимости]. Следовательно, за число L, упоминавшееся в лемме, можно
принять е. Имеем тогда при п > N и т = 1, 2, 3, ...:
п-\-т
к=п+\
что и доказывает сходимость ряда (W).
При предположении Дирихле, по заданному е > О найдется
такой номер N, что при п > N будет
Кроме того, очевидно,
~ Вп
2М,
и можно в лемме положить L = 2М. Тогда, при п> N
и т = 1, 2, 3, ...,
п-\-т
Y, akbk ^2M-(\an+l\+2\an+m\)^6M-e,
к=п+\
и сходимость ряда (W) доказана.
Замечание. Признак Абеля вытекает из признака Ди-
Дирихле. Ведь из предложений Абеля следует, что ап имеет
конечный предел а. Если переписать ряд (W) в виде суммы рядов
п=\
п=\
то второй из них сходится по предположению, а к первому приме-
применим уже признак Дирихле.
385. Примеры.
п~
1) Если ап, монотонно убывая, стремится к нулю, а Ъп = ( — 1)п~ , то усло-
условия теоремы Дирихле, очевидно, выполнены. Следовательно, ряд
= ах - а2 + а3 - . . . + (-
п=\
сходится. Таким образом, теорема Лейбница получается как частное следствие
теоремы Дирихле.

338	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[385
2) При тех же предположениях относительно ап рассмотрим ряды
(х — любое):
оо	оо
у ап • sin га, у ап • cos га.
п=\	п=\
Полагая а = 0 и h = х в тождествах A) и B), 307, которые там были уста-
установлены по другому поводу, мы найдем
^^	COS А X — COS (n-\- А) X
> sin/* =	^	?^
^^ sin (n + А) х — sin A *
> cos/* =	—=	,
~[	2sin Iх
в предположении лишь, что * не имеет вида 2кя (к = 0, d=l,d=2, ...). Таким
образом, если только * ф 2кж, обе суммы при любом п по абсолютной величине
ограничены числом , ^ L i •
По признаку Дирихле, оба ряда сходятся при любом значении *, отлич-
отличном от 2кж, впрочем, первый ряд сходится и при * = 2кж, ибо все члены его
обращаются в 0.
В частности, например, сходятся ряды
оо	оо	л	л
v^ sm пк v-^ / 1	1 \ sm га:
\ 	 \ м j	l _l _ \ 	 и т п.
*-^ п	^-^\ 2	п) п
3) Большой интерес представляют ряды вида
у?
п=\
где {«„} — произвольная последовательность вещественных чисел; они носят
название рядов Дирихле.
Для них может быть доказана лемма, имеющая сходство с леммой п° 379,
относящейся к степенным рядам:
Если ряд A2) сходится при некотором значении х = J, то он сходится
при всяком х > J.
Это сразу следует из теоремы Абеля, так как при х > J ряд A2) получа-
получается из сходящегося ряда
умножением его членов на монотонно убывающие положительные множители
^Т («=1,2,3,...).
ОО
Существуют ряды A2) «всюду сходящиеся», вроде J^ ^р ' w> И «всюду рас-
ходящиеся», вроде 2^ -^. Если исключить эти случаи, то с помощью приве-
1
денной леммы легко установить существование пограничной абсциссы

385]	§ 3. СХОДИМОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ	339
сходимости Я, такой, что ряд A2) сходится прих > Я и расходится прих < Я.
ОО	ОО , л\П— 1
Например, для ряда J^ ^, очевидно, Я = 1, а для ряда J^ -—^— имеем Я = 0.
1	1
Если угодно, для «всюду сходящегося» ряда можно считать Я = — оо, а для «всю-
«всюду расходящегося» положить Я = +оо.
Читатель легко усмотрит сходство со степенными рядами: в обоих случаях
«область сходимости» представляет собой сплошной промежуток. Но есть
и существенное отличие: область абсолютной сходимости здесь может не со-
впадать с областью сходимости вообще. Так, указанный только что ряд
1
сходится для х > 0, а абсолютно сходится лишь для х > 1.
4) Сопоставим с рядом Дирихле A2) ряд
A3)
при тех же значениях коэффициентов ап. При этом, естественно, будем считать х
отличным от 0, —1, —2, ... и т. д.
С этим ограничением имеет место такое предложение, принадлежащее
Ландау (Е. Landau): ряды A2) и A3) сходятся при одних и тех же зна-
значениях х.
Ряд A3) получается из ряда Дирихле A2) путем умножения его членов,
соответственно, на множители:
, ^уЫ', ^ , («=1,2,3,...)-	A4)
X (X + 1) . . . (X + П)
При достаточно больших значениях п эти множители приобретают определенный
знак. Кроме того, начиная с некоторого места, они изменяются уже монотонно.
Действительно, отношение (п + 1)-го множителя к п-му будет таково:
1	1 +
п
Но [125, 4)]
и, аналогично,
откуда
1
+
(
1
JC + 1 ~~
п
* + l | (JC + 1J | Jj_
п2
(х + 1)х /1
1 Н	^	1- о -т
Из последней формулы явствует, что при (х + 1) х > 0 упомянутое отношение
в конце концов становится большим единицы, а при (х -\- 1)х < 0 — меньшим
единицы.

340	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[385
Для того чтобы установить ограниченность множителей A4), мы сошлем-
сошлемся на то, что [как это будет доказано ниже, в п° 402, 10)] для выражения A4)
при п —>> оо существует конечный предел. Таким образом, по признаку
Абеля, сходимость ряда A2) влечет за собой сходимость ряда A3).
Так как названный предел (как мы увидим) всегда отличен от 0, то подобные
заключения применимы к множителям, обратным по отношению к A4). В таком
случае, по той же теореме, и сходимость ряда A3) влечет за собой сходимость
ряда A2). Этим доказано все.
5) Подобного же рода взаимность может быть установлена между поведени-
поведением так называемого ряда Лам б ер та (J. H. Lambert):
оо	п
^а*тЬ	A5)
п=\
и степенного ряда [379]
с теми же коэффициентами ап (значения х = ±1, конечно, исключаются). Точнее
говоря:
Если ряд
^	оо
сходится, то ряд Ламберта A5) сходится при всех значениях х; в про-
противном же случае он сходится как раз для тех значений х, для которых
сходится степенной ряд A6). [Кнопп (К. Кпорр).]
(а) Пусть сначала ряд (А) расходится, так что радиус сходимости ря-
ряда (А) будет R ^ 1. Покажем, что для \х\ < 1 поведение рядов A5) и A6) оди-
одинаково.
Если сходится ряд A5), то сходится и ряд, полученный умножением его чле-
членов на / *\ а следовательно, и ряд A6), который является разностью обоих
рядов [364, 4°]:
[ \-хп п \-хп
Пусть теперь сходится ряд A6); тогда, по признаку Абеля, сходится ряд,
полученный умножением его членов на монотонно убывающие множители 1 2п:
оо
12а«хП'т^х^' равнокаки Х)
оо
*) Если какой-либо ряд, скажем, J^ bn, сходится, то это значит, что степенной
оо	1
ряд ^2 Ъпхп сходится при х = 1, а тогда, по лемме п° 379, этот ряд заведомо
1
сходится при любом х, для которого \х\ < 1. Этим замечанием мы еще дважды
будем пользоваться в рассуждении, проводимом в тексте.

385]	§ 3. СХОДИМОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ	341
Следовательно, сходится и ряд A6), который представляет сумму этих ря-
рядов [364, 4°]:
оо „ оо „
ап	 = > \avlx • 	т—\- апх •
1 хп A^Yn 1 _ Х2
п=\	п=\
Для \х | > 1 ряд A6) заведомо расходится; мы утверждаем, что при этом зна-
значении х расходится и ряд A5). Действительно, в противном случае из сходимости
ряда
х^л	ХП	х^л	1
\х
п=\	п=\
вытекала бы сходимость рядов [364, 4°]:
оо	(\
1 _ (\\п
\х)
п=\
ОО	ОО
_ /п
п=\	п=\1	\х)
вопреки предположению.
(б) Если ряд (А) сходится (так что R ^ 1), то для |*| < 1 ряд A6) сходит-
сходится, и сходимость ряда A5) устанавливается, как и выше. Остается показать, что
ряд A5) сходится и при \х\ > 1.
Действительно, тогда j | < 1 и ряд
/1=1 Х ~ \х)
как упомянуто, сходится, следовательно, сходится и ряд [364, 4°]:
ОО г	/1 \й
1 _ v-L , „ (?)
/i=i	/i=i х и;	и=1
6) В заключение в качестве примера непосредственного применения преобра-
преобразования Абеля A0) приведем тождество
оо	оо
/1=1	/1=1
где
j 	 , ,	,	/ 	 П19 ^
При этом \х\ предполагается не только меньше радиуса сходимости R первого
ряда, но и меньше 1.
В самом деле, имеем:
п	п—\
2_^aix = 2-*i № ~х
i=0	i=0

342	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[386
Отсюда при п —>> оо и получается требуемое равенство, если только установить
еще, что Апхп —>> 0. С этой целью возьмем число г под условиями
\х\ < г < R, г ф 1.
Тогда \аг: | rl ^ L (для i = 0, 1, 2, . . .) и
Ы .
1 -г V г J \-г
Последнее же выражение при сделанных предположениях, очевидно, стремит-
стремится к 0.
§ 4. Свойства сходящихся рядов
386. Сочетательное свойство. Понятие суммы бесконечного
ряда существенно отличается от понятия суммы конечного чис-
числа слагаемых (рассматриваемого в арифметике и алгебре) тем, что
включает в себя предельный переход. Хотя некоторые свой-
свойства обычных сумм переносятся и на суммы бесконечных рядов, но
чаще всего лишь при выполнении определенных условий, которые
и подлежат изучению. В иных же случаях привычные нам свойства
сумм разительным образом нарушаются, так что, вообще, в этом
вопросе надлежит соблюдать осторожность.
Рассмотрим сходящийся ряд
оо
Y1 пп = а 1 + а2 + • • • + ап + • • •
п=\
и станем объединять его члены произвольным образом в группы,
не меняя при этом их расположения:
Здесь {пк} есть некоторая, извлеченная из натурального ряда
частичная возрастающая последовательность номеров.
Теорема. Ряд, составленный из этих сумм:
(>!+. ..+аП1) + (аП1+1+. ..+аП2) + . . . + (ащ_1+1+ащ) + . . . (А)
всегда сходится и имеет ту лее сумму, что и исходный ряд.
Иными словами: сходящийся ряд обладает сочетательным
свойством.

386]	§ 4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	343
Действительно, последовательность частичных сумм нового
ряда	~
А\, А2, ..., Ак,
есть не что иное, как частичная последовательность
ал	4
сумм исходного ряда. Этим [40] и доказывается наше утверждение.
Мы видим — пока — полную аналогию с обычными суммами;
но эта аналогия нарушается, если мы попытаемся применять со-
сочетательное свойство, так сказать, в обратном порядке. Если дан
сходящийся ряд (А), члены которого каждый в отдельности
представляют собой сумму конечного числа слагаемых, то, опу-
опустив скобки, мы получим новый ряд (А), который может оказаться
и расходящимся.
Вот простые тому примеры: ряды
A - 1) + A - 1) + A-1) + ... =0 + 0 + 0 + . ..=0
и
1-A-1)-A-1)-... = 1-0-0-... = 1,
очевидно, сходятся, между тем как полученный из них опусканием
скобок ряд
1-1 + 1-1 + 1-1 + ...
будет расходящимся.
Конечно, если — опустив скобки — мы получим схо-
сходящийся ряд (А), то его сумма будет та же, что и у ря-
ряда (А). Это вытекает из данного выше.
При некоторых условиях можно наперед гарантировать, что
ряд (А) будет сходиться. Простейшим случаем этого рода является
тот, когда все слагаемые в (А) внутри одних и тех же
скобок будут одного знака*}.
Действительно, тогда при изменении п от пк_х до пк частич-
частичная сумма Ап будет изменяться монотонно, следовательно, будет
содержаться между Ащ_1=Ак_1 и Ащ = Ак. При достаточно
большом к эти последние суммы произвольно мало разнятся от
суммы А ряда (А), следовательно, то же справедливо и относи-
относительно суммы Ап при достаточно большом /7, так что Ап —>> А.
Этим замечанием мы не раз будем пользоваться в последу-
последующем.
*)
Этот знак от одних скобок к другим может меняться.

344	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[387
Рассмотрим и сейчас такой
Пример. Установить сходимость ряда V^	.57^
*-^ п
п=\
Здесь сначала идут 3 отрицательных члена, за ними — 5 положительных
и т. д. Если объединить каждую такую группу членов одного знака в один член,
то получится знакопеременный ряд
1 ¦ о)
к- + \	(i+lJ-l
Легко установить неравенство
к	к+\
11	1	12
тт +
например, так как сумма первых к слагаемых меньше, чем к • р- = j-, а сумма
последних {к + 1) слагаемых меньше, чем (к + 1) тт~т = р то вся сумма, дей-
действительно, будет меньше, чем |. Отсюда заключаем, что члены ряда A) будут
стремиться к нулю, монотонно убывая по абсолютной величине. Тогда, по тео-
теореме Лейбница, ряд A) сходится, следовательно, в силу сделанного выше
замечания, сходится и предложенный ряд.
387. Переместительное свойство абсолютно сходящихся ря-
рядов. Пусть дан сходящийся ряд (А), имеющий сумму А. Пере-
Переставив в нем члены произвольным образом, мы получим новый
ряд:	оо
к=\
Каждый член а'к этого ряда отождествляется с определенным чле-
членом аПк исходного ряда*\
Возникает вопрос, сходится ли ряд (А7) и — в случае сходимо-
сходимости — будет ли его сумма равна сумме А исходного ряда. При рас-
рассмотрении этого вопроса нам придется провести резкое различие
между абсолютно и неабсолютно сходящимися рядами.
Теорема. Если ряд (А) абсолютно сходится, то ряд (А7),
полученный из него перестановкой членов, также сходится
и имеет ту же сумму А, что и исходный ряд. Иными словами:
абсолютно сходящийся ряд обладает переместителъным
свойством.
*) Причем последовательность номеров {nk} без пропусков и повторений вос-
воспроизводит — с точностью до порядка — натуральный ряд.
Напомним, что символ Е(х) обозначает целую часть числа х.

387]	§ 4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	345
Доказательство.
(а)	Проведем доказательство в два приема. Предположим сна-
сначала, что ряд (А) — положительный.
Рассмотрим произвольную частичную сумму А'к ряда (А7). Так
как
а\=ат> а2 = ап2> •••> ак = апк>
то, взяв пг большим всех номеров пх, п2, - - -,nk, очевидно, будем
иметь А'к ^Anf, а следовательно, и подавно
А'к^А.
В таком случае (А7) будет сходящимся [365] и его сумма А' не
превзойдет А\
А1 ^А.
Но и ряд (А) из (А7) получается перестановкой членов, поэто-
поэтому, аналогично:
А ^А'.
Сопоставляя полученные соотношения, придем к требуемому ра-
равенству: А1 = А.
(б)	Пусть теперь (А) будет произвольный абсолютно сходя-
сходящийся ряд.
Так как сходящийся положительный ряд:
\ап\ = |а1| + |а2| + ... + |а7|| + ...,	(А*)
оо
п=\
по доказанному, при любой перестановке членов останется сходя-
сходящимся, то, по теореме п° 377, сохранит при этом свою (абсолют-
(абсолютную) сходимость и ряд (А).
Далее, мы видели в 377, что в случае абсолютной сходи-
сходимости ряда (А) его сумма выражается так:
A=P-Q,
где Р к Q суть суммы положительных рядов
и
оо
т=\
составленных, соответственно, из положительных и абсолютных
величин отрицательных членов ряда (А).

346	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[388
Перестановка членов в ряде (А) вызовет перестановку членов
и в этих рядах, но не отразится (по доказанному) на их суммах Р
и Q. Следовательно, и сумма ряда (А) останется прежней, что
и требовалось доказать.
388. Случай неабсолютно сходящихся рядов. Обратимся те-
теперь к рассмотрению неабсолютно сходящихся рядов и уста-
установим, что они переместителъным свойством не обладают:
в каждом таком ряде надлежащей перестановкой членов можно из-
изменить его сумму или даже вовсе нарушить сходимость.
Предположим, что ряд (А) сходится, но неабсолютно.
Из сходимости следует, что \ш\ап = 0 [364, 5°]. Что же касает-
касается рядов (Р) и (Q), о которых мы упоминали в предыдущем п°, то
хотя, очевидно,
lim pk = О и lim qm = 0,	B)
но в данном случае они оба расходятся.
Действительно, имеют место равенства
An=Pk- Qm, A* =Pk + Qm,	C)
если к и т означают, соответственно, число положительных и от-
отрицательных членов в составе первых п членов ряда (А). Под-
Подчеркнем, что из трех номеров п, к, т один может быть взят про-
произвольно, а другие два по нему подбираются. Из сходимости одно-
одного из рядов (Р) или (Q), ввиду первого из равенств C), вытекла
бы с необходимостью и сходимость другого, а сходимость обоих,
ввиду второго из этих равенств, имела бы следствием сходимость
ряда (А*) — вопреки предположению!
Докажем теперь следующую замечательную теорему, принад-
принадлежащую Р и м а н у:
Теорема Римана. Если ряд (А) неабсолютно сходится,
то какое бы ни взять наперед число В {конечное или рав-
равное ±оо), молено так переставить члены в этом ряде, чтобы
преобразованный ряд имел своей суммой именно В.
Доказательство. Остановимся на случае конечного В. За-
Заметим прежде всего, что из расходимости рядов (Р) и (Q), в си-
силу 1°, 364, вытекает, что и все их остатки также будут расхо-
расходящимися, так что в каждом из этих рядов, начиная с любого
места, можно набрать столько членов, чтобы сумма превзо-
превзошла любое число.

388]	§ 4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	347
Пользуясь этим замечанием, мы следующим образом произве-
произведем перестановку членов ряда (А).
Сначала возьмем столько положительных членов нашего
ряда (в том порядке, в каком они в нем расположены), чтобы их
сумма превзошла число В:
Р\ +Р2 + -"+Ркх > В'
Вслед за ними выпишем отрицательные члены (в том по-
порядке, в каком они расположены в данном ряде), взяв их столько,
чтобы общая сумма стала меньше В\
рх +р2 + . . . +рк - qx - q2 - . . . - qm < В.
После этого снова поместим положительные члены (из числа
оставшихся) так, чтобы было
p1 + ...+pkl-q1-...-qm +Pkl+i + ...+pk2>B.
Затем наберем столько отрицательных членов (из числа
оставшихся), чтобы было
Pl + . . .+pkl-qx-. . .-qm+pkl+l + . . .+Pk2-qm+l-. . .-qm2 <B
и т. д. Процесс этот мы мыслим продолженным до бесконечности;
очевидно, каждый член ряда (А), и притом со своим знаком, встре-
встретится на определенном месте.
Если всякий раз, выписывая члены р или q9 набирать их не боль-
больше, чем необходимо для осуществления требуемого неравенства, то
уклонение от числа В в ту или другую сторону не превзойдет по
абсолютной величине последнего написанного члена. Тогда из B)
ясно, что ряд
• • • + (JVi+i + • • • +Pkt) - («wi-i+i + • • • -Ящ) + -"
имеет своей суммой В. В силу замечания п° 386, это останется
верным и после раскрытия скобок.
Если В = +оо, то, взяв последовательность возрастающих до
бесконечности чисел Bt, можно было бы набор положительных чи-
чисел подчинить требованию, чтобы суммы последовательно стано-
становились больше 51? В2, В3 и т. д., а из отрицательных членов поме-
помещать лишь по одному после каждой группы положительных. Таким

348	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[388
путем, очевидно, составился бы ряд, имеющий сумму +оо. Анало-
Аналогично можно получить и ряд с суммой — оо *\
Установленный результат подчеркивает тот факт, что н е а б с о-
л ю т н а я сходимость осуществляется лишь благодаря взаимно-
взаимному погашению положительных и отрицательных
членов и потому существенно зависит от порядка, в котором
они следуют один за другим, между тем как абсолютная сходи-
сходимость основана на быстроте убывания этих членов — и от порядка
их не зависит.
Примеры.
1) Рассмотрим заведомо неабсолютно сходящийся ряд:
2k- 1 2к
сумма которого, как легко показать [см. 2)], есть In 2. Переместим его члены так,
чтобы после одного положительного следовали два отрицательных:
11111	1	11
2k- I 4k-2 4к
мы утверждаем, что сумма ряда от такого перемещения умень-
уменьшится вдвое.
В самом деле, если обозначить частичные суммы этих двух рядов, соответ-
соответственно, через Ап и Afn, то
т	-I	-i-i^-i-i
Зт ^i\2k-\ 4к-2 4к) ^\4к-2 4к
к=\	к=\
1
к=\
так что ^3/w ~* \ 1П ^- Так как
1	1
Л1		 л' \	л'		 л'
АЗт-1 — АЗт + "Г" и АЗт-2 ~ АЗ
Л		 л
Зт-1 — АЗт
4т	"m~z >m~l 4т-2
стремится к тому же пределу j In 2, то ряд E) сходится и имеет суммой именно
это число.
2) Более общий результат можно получить, если исходить из формулы для
частичной суммы Нп гармонического ряда [367, D)]
Нп = 1 + - + ... + - =Ып
2	п
*) Читатель легко сообразит, как разместить члены данного ряда, чтобы час-
частичная сумма преобразованного ряда имела в качестве наименьшего и наи-
наибольшего пределов два наперед заданных числа В и С > В.

389]	§ 4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	349
где С есть эйлерова постоянная, a yw — бесконечно малая. Отсюда, прежде
всего, имеем
11	11	1	11
Я	1С
1 + 3 + ' " + 2к^Т =Н2к-2Нк = Ы2+2Ык+
Расположим теперь члены ряда D) в таком порядке: сначала поместим р по-
положительных и q отрицательных, потом снова р положительных и q отрицатель-
отрицательных и т. д. Для того чтобы определить сумму ряда
1	1111	11
1	F)
нам удобнее объединить последовательные группы из р или q членов. Частичная
сумма А^п полученного таким путем ряда равна
и стремится к пределу 1пBч/^); к тому же пределу стремится и сумма ^2и—1-
Наконец, в силу замечания п° 386, и ряд F) будет иметь суммой это же число
В частности, для ряда D) получается In 2 (/? = q = 1), для ряда E), как
и в 1), ^ In 2 (/? = 1, q = 2). Аналогично:
l	+	+ ...O (Pl,q 4)
2 4 6 8 3 10 12 14 16 5	КР	Ч J
и т. п.
Заметим, что если численность последовательных групп положительных и от-
отрицательных членов еще изменять от группы к группе, то легко закон этого изме-
изменения подобрать так, чтобы для преобразованного ряда действительно получить
любую наперед заданную сумму. Предоставляем читателю убедиться в этом.
389. Умножение рядов. О почленном сложении (или вычи-
вычитании) двух сходящихся рядов, равно как о почленном умноже-
умножении сходящегося ряда на постоянный множитель, уже была речь
в 3° и 4° [364]. Теперь мы займемся вопросом об умножении
рядов.
Пусть даны два сходящихся ряда:
оо
А = XI ап = а\ +а2 + ...+а„ + ...	(А)
и=1

350
ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
[389
В = Е Ьт =
т=\
(В)
Подражая правилу умножения конечных сумм, рассмотрим и здесь
всевозможные парные произведения членов этих рядов: а^Ъ^ из
них составится бесконечная прямоугольная матрица:
а
а
а
а
i*i
1*2
1*3
А
«2*1
«2*2
«2*3
«2**
«3*1
«3*2
«3*3
«3**
... аг
... а{
... а,-
... а,-
й, ...
*2 ••
*3 ¦¦¦
** ¦••
Эти произведения можно многими способами располагать в ви-
виде простой последовательности. Например, можно вы-
выписывать произведения по диагоналям или по квадратам:
,«1*1
,«1*2,
.«2*2
,«3*1
,«3*2^
,«3*3
«1*1
«1*2
«2*1
«2*2
«1*3
«2*3
«3*1
«3*2
«3*3
что, соответственно, приводит к последовательностям:
(8)
ИЛИ
агЬ2,
ь a2bx; ахЪъ, а2Ъъ, аъЪъ, аъЪ2, аъЪх\ ... (9)
Составленный из подобной последовательности ряд называ-
называется произведением рядов (А) и (В).
Теорема Коши. Если оба ряда (А) и (В) сходятся абсо-
абсолютно, то их произведение, составленное из произведе-
произведений G), взятых в любом порядке, также сходится и имеет
своей суммой произведение сумм АВ.
Доказательство. По предположению, ряды
оо
(А*)
(В*)
п=\
оо
т=\
сходятся, т. е. имеют конечные суммы, скажем, А* и В*

389]	§ 4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	351
Расположив произведения G) произвольным образом в виде по-
последовательности, составим из них ряд:
оо
Чтобы доказать сходимость соответствующего ряда из абсолютных
величин:
оо
У \ai bj, I = \aubu + |я7- Z>?.I + . .. + \ai b^ I + . .. , A1)
S = l
рассмотрим его s-ю частичную сумму; если через v обозначить
наибольший из значков ix,kx,i2,k2, ... ,is,ks, то, очевидно,
Отсюда [365] вытекает сходимость ряда A1), а следовательно,
и абсолютная сходимость ряда A0).
Остается определить его сумму. Мы вправе придать членам
ряда A0) более удобное для этого расположение, ибо ряд этот,
как абсолютно сходящийся, обладает переместительным свой-
свойством [387]. Разместив эти члены по квадратам, как в (9),
мы объединим последовательные группы, которые отличают один
квадрат от другого:
ахЪх + {ахЪ2 + a2b2
+ [ахЪъ + a2b3 + аъЪъ + аъЪ2 + аъЪх) + .. . A2)
Если через Ап и Вт9 как обычно, обозначить частичные суммы ря-
рядов (А) и (В), то для ряда A2) частичные суммы будут
они стремятся к произведению АВ, которое, таким образом, явля-
является не только суммой ряда A3), но и ряда A0).
При фактическом умножении рядов чаще всего представляет-
представляется удобным размещать произведения G) по диагоналям, как
в (8); обычно члены, лежащие на одной диагонали, при этом объ-
объединяются:
АВ = ахЪх + (axb2 + a2bx) + (axb3 + a2b2 + a3bx) + . .. A3)

352	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[390
В этом именно виде Коши впервые и представил произве-
произведение двух рядов. Так, написанный ряд мы впредь будем называть
произведением рядов (А) и (В) в форме Коши.
Пусть, например, перемножаются два степенных ряда
оо
^2 апхП = а0 + а\х + а2*2 + • • • + апхП + •••,
оо
J2bmxm = b0 + b1x + b2x2 + ...+bmxm + ...
т=0
[причем х взято внутри соответствующих промежутков схо-
сходимости, 379]. Тогда, как нетрудно сообразить, указанный прием
отвечает приведению подобных членов в произведении:
оо	оо
= aobo + (aobx + axb0)x + (a0b2 + ахЪх + a2b0)x2 + . . .
Таким образом, произведение двух степенных рядов в форме
Коши непосредственно представляется в виде степенного же
ряда.
390. Примеры. Во всех примерах, кроме последнего, произведения рядов
берутся в форме Коши.
1) Помножив ряд
1 °°
1-х ^
на самого себя, таким путем получим:
оо
(i-xJ-Y
2) Умножение рядов:
оо
1 +х *-^
v2	v3
2 3

390]	§ 4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	353
(где \х\ <	1) даст такой результат:
оо
(-1)	Я^ = * V 2/
2 .	. / л\к-\ (л
+ + A) (l +
Ниже мы увидим [405], что сумма ряда A4) есть 1пA + х), так что последнее
разложение представляет функцию п\+* .
3) Произвести возведение в квадрат:
(z — любое).
Указание. Воспользоваться элементарно доказываемой формулой:
,,=0
4) Тождество [см. 385, 6)]
оо
Апх = -
или
п=0	п=0
п=0	п=0
легко доказывается путем почленного умножения.
При этом, если в промежутке (-R, R) @ < R ^ \) сходится один из двух
рядов, отсюда уже следует сходимость в том же промежутке и другого ряда.
5) Доказать тождество (а > 0):
1 х	1 -3 х2	\ ( 1	1 -3 2
1 Г а + 1	(а + 1)(а + 3) 2
i+X+	Х
6) Как мы знаем уже [378, 1), (а)], ряд
со п	2	3	и
абсолютно сходится при всех значениях х; обозначим его сумму через Е(х).

354	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[390
Заменив здесь х наj/, получим аналогичный ряд с суммой Е(у). Произведение
обоих рядов в форме К о ш и имеет общий член:
(п - 1)! + 2\
ХУ
k=0 v	J	k=0
Таким образом, для неизвестной нам пока функции Е[х) получается соотно-
соотношение
Е(х) ¦ Е(у) = Е(х + у)
— при любых вещественных х и у. Впоследствии это даст нам возможность
установить, что Е[х) есть показательная функция [439, 3); ср. 75, 1°].
7) С помощью признака Даламбера легко показать, что ряды
оо	2п	2	4	2л
r2m~l	г3 г5	г2т~1
абсолютно сходятся при всех значениях х. Путем умножения рядов можно
доказать соотношения
С{х +у) =С{х) -С(у) - S{x) • S(y),
S(x+y)=S(x).C(y)+C(x).S(y).
Так как на деле S(x) и С(х) есть не что иное, как sinx и cosx [404], то мы
узнаем здесь известные теоремы сложения для этих функций.
8) Рассмотрим, наконец, положительный ряд
оо 1
?{х) = V^ —,
1
который сходится для х > 1 [365, 2)] и представляет функцию ? Римана. Вы-
Вычислим, с помощью умножения рядов, ее квадрат.
Всевозможные произведения
1 1	1
rf тх {п • т)х
на этот раз мы разместим так, чтобы члены с одним и тем же числом к = п • т
в знаменателе стояли рядом, а затем — объединим их. Каждому к будет отве-
отвечать столько (равных между собой) членов, сколько делителей п имеет число к,
т. е. т(к). Итак, окончательно,

391]	§ 4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	355
391. Общая теорема из теории пределов. Для упрощения изложения в бли-
ближайшем п° и в последующем мы установим здесь одну теорему из теории преде-
пределов, дающую широкое обобщение известных теорем Коши и Штольца [33].
Эта теорема принадлежит Теплицу (О. Toplitz). Мы докажем ее в два приема.
I. Предположим, что коэффициенты tnm A ^ т ^ п) бесконечной «тре-
«треугольной» матрицы
h\
h\ hi
h\ hi ^зз
		A5)
удовлетворяют двум условиям.
(а)	Элементы, стоящие в любом столбце, стремятся к нулю:
tnm —* 0 при п —>> оо (т фиксировано).
(б)	Суммы абсолютных величин элементов, стоящих в любой строке,
ограничены все одной постоянной:
К\\ + Ы + . . . + \tnn\ ^K (K = const).
Тогда если варианта хп —>> 0, то это же справедливо и относительно
варианты
хп — *п\х\ + 1п1х1 + • • • + tmXn,
составленной из значений исходной варианты с помощью коэффициентов
матрицы A5).
Доказательство. По е > 0 найдется такое т, что при п > т будет:
\хп\ < ^; для этих п имеем, используя (б):
|^| < \tnlxx + ... +tnmxm\ + -.
Так как т здесь уже постоянно, то — ввиду (а) — существует такое N ^ т, что
при п > N и первое слагаемое справа будет < |, следовательно, \х'п\ < е, что
и требовалось доказать.
П. Пусть коэффициенты tnm, кроме условий (а) и (б), удовлетворяют
еще условию:
(в) Тп = tnl + tnl + . . . + tnn -^ 1 при п -+ оо.
*}
Тогда если варианта хп —>> а {а — конечно), то также и
х'п = tnlxx + tn2x2
п = tnlxx + tn2x2 + . . . + tnnxn -+ а.
Доказательство. Выражение для хп, очевидно, можно переписать так:
хп =
Применяя теорему I к варианте хп — а -Л 0 и опираясь на (в), непосредственно
приходим к требуемому заключению.
*)
В применениях обычно Тп = 1.

356	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[391
1 ° Теорема К о ш и [33] отсюда получается, если положить
1
tnl=t* = ...=tm = -.
Выполнение условий (а), (б), (в) очевидно.
2° Обратимся к теореме Штольца [33], сохраняя прежние обозначения.
Итак, пусть имеем две варианты хп иуп, из которых вторая стремится монотонно
к +оо. Предположим, что варианта
Хп ~Хп~1 -+ а (п = 1, 2, 3, . . .; х0 = у0 = 0);
Уп ~Уп-\
и применим к ней теорему II, полагая tnm = т т~х. Выполнение усло-
условий (а), (б), (в) легко проверяется. Тогда получим, что варианта
п
хп Vs , хт ~хт — \
— = / tnm 	 —* а,
У л	^^	Ут — У 1
•Уп т=\ •Ут *т-\
что и требовалось доказать.
Приведем ряд других полезных следствий теоремы Теплица.
3° Пусть даны две варианты хп —у 0 и уп —у 0, причем вторая из них
удовлетворяет условию:
b'il + b'2l + -" + b'J ^K («=1.2,3,...; К = const).
Тогда и варианта
zn =х\Уп+ х2Уп-\ + • • • + хпУ\ ~+ °-
Простое применение теоремы I при tnm = yn_m+\.
4° Если варианта хп —у а, а варианта уп —у Ъ, то варианта
у ab.
п
Пусть сначала а = 0 и требуется доказать, что zn —у 0. Для этого доста-
достаточно применить теорему I при tnm = п~™+1 [условие (б) теоремы следует не-
непосредственно из ограниченности уп\.
Обращаясь к общему случаю, перепишем zn в виде
_ Qi - а)уп + (*2 ~ а)уп-\ + • • • + (*и ~ а)У\	У\ +^2 + --- +Уп
z	\ п
п	\
П	П
Первое слагаемое справа стремится к 0, по только что доказанному. Второе же
слагаемое стремится к ab, ибо множитель при а имеет пределом Ь по теореме
Коши [1°].
5° Если хп —у а, то и*>
*^ Конечно, несущественным является то, что нумерацию значений варианты
мы начинаем с 0 вместо 1.

392]	§ 4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	357
Применяем теорему II, полагая
Так как С™ < пт и ^	> О [32, 9)], то условие (а) выполнено. Выполнение усло-
условий (б) и (в) вытекает непосредственно из того, что
т=0
6° Если хп —>> а и z = const (z > 0), wo i/
Это — простое обобщение предыдущего утверждения, и доказывается оно ана-
аналогично. Можно коэффициенты расположить и в обратном порядке, так что и
, z«-Xo + Clz«-1-Xl+Cy-2-x2 + ... + l-Xn
(l+z)«
392. Дальнейшие теоремы об умножении рядов. Как указал Мертенс
(F. Mertens), результат Кош и может быть распространен на более общий
случай.
Теорема Мертенса. Если ряды (А) и (В) сходятся, причем хоть один
из них сходится абсолютно, то разложение A3) имеет место.
Доказательство. Пусть, скажем, ряд (А) сходится абсолютно, т. е. схо-
сходится ряд (А*).
Объединяя члены на п-й диагонали, положим
сп = ахЪп + a2bn_l + . . . + ап_хЪ2 + апЪх
и
Сп =С\ +С2 + ...+Сп,
так что нужно доказать, что Сп -Л АВ.
Прежде всего, нетрудно видеть, что
Сп = а\Ъп + «2-В„_1 + • • • + ап_хВ2 + апВх.	A6)
Если положить Вт = В — /Зт (где остаток /Зт—>>0 при т —>> оо), то сум-
сумма Сп перепишется так:
сп = Апв ~ Уп, где уп = ахрп + а2Рп_1 + . . . + ап_хр2 + апрх;
так как Ап —>> А, то весь вопрос сводится к доказательству соотношения:
\imyn = 0.
А это утверждение сразу следует из 3°, 391 (при хп = /Зп и уп = ап), если
учесть, что
К| + |д2| + ... + \ап\ ^А\
где А* — сумма сходящегося, по предположению, ряда (А*).

358	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[392
В виде примера применения теоремы вернемся к задаче 4), 390. Упомянутое
там равенство, как мы видим теперь, имеет место и на конце х = ±Я промежутка
оо
сходимости ряда ^ апхп, если R < 1 и ряд на этом конце вообще сходится (хотя
0
бы и неабсолютно).
Заметим, что если бы оба ряда (А) и (В) сходились лишь
неабсолютно, то уже нельзя было бы ручаться за сходимость
ряда A3). Для примера попробуем умножить ряд
[как мы знаем, 382, 2), сходящийся неабсолютно] на самого себя. В этом
случае
1
л/7 • у/п — i + 1	у/п •
оо
так как каждое слагаемое в скобках больше ^, то \сп \ > 1 (при п > 1) и ряд J^ cn
[364 °]	1
1
расходится [364, 5°].
Однако если аналогично поступить с также неабсолютно сходящим-
сходящимся [382, 1)] рядом
g 1 +
*-^ п	2 3
то окажется, что
2
Здесь, при возрастании п, \сп\ стремится к 0, монотонно убывая, так что [по
оо
теореме Лейбница, 381] ряд J^cn все же будет сходящимся. Какова же
1
его сумма, будет ли она равна (In 2) ? На этот вопрос отвечает
Теорема Абеля. Лишь только для двух сходящихся рядов (А) и (В) и их
произведение, взятое в форме К о или, оказывается сходящимся, то
его сумма С необходимо равна А • В.
Доказательство. Сохраняя прежние обозначения, из A4) легко полу-
получаем:
С, + С2 + ... + С„ = АхВп + A2Bn_i + ...+ AnBh
Разделим это равенство почленно на п и перейдем к пределу при п —>> оо. Так
как Сп -л С, то, по теореме Кош и [33; см. также 391, 1°], и среднее арифмети-
арифметическое
сс с

393]	§ 5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ	359
С другой стороны, в силу 4°, 391 (если положить там хп = Ап, уп = Вп),
J_jr	2_jt-1	—	n_J_ _^ AB
п
Отсюда С = А • В, что и требовалось доказать.
§ 5. Повторные и двойные ряды
393. Повторные ряды. Пусть задано бесконечное множество
чисел
af] (/ = 1,2,3, ...;*= 1,2,3, ...),
зависящих от двух натуральных значков. Представим себе их
расположенными в виде бесконечной прямоугольной матрицы:
"?
•?'
«V
я?1
а? ...
„f ...
а? ...
а? ...
„<¦> ...
«Р> ...
«<» ...
af> ...
A)
Такого рода матрица носит название бесконечной прямоугольной
матрицы с двумя входами.
Теперь остановимся на одном понятии, связанном с рассмотре-
рассмотрением матриц вида A), — понятии повторного ряда.
Если в бесконечной прямоугольной матрице просуммировать
каждую строку отдельно, то мы получим бесконечную последова-
последовательность рядов вида
1 = 1
Просуммировав теперь эту последовательность вторично, бу-
будем иметь
к=\ /=1
Полученный символ и носит название повторного ряда. Если
заменить строки столбцами, т. е. если суммировать члены нашей

360	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[393
бесконечной матрицы по столбцам, то мы получим второй повтор-
повторный ряд
^}-	D)
/=1 к=\
Повторный ряд C) называется сходящимся, если,
во-первых, сходятся все ряды по строкам B) {их суммы, соот-
соответственно, обозначим через А^) и, во-вторых, сходится ряд
k=l
его сумма и будет суммой повторного ряда C). Легко пере-
перефразировать все это и для ряда D).
Элементы матрицы A) можно многими способами представить
в виде обыкновенной последовательности
щ, и2, ..., иг, ...	E)
и по ней составить простой ряд
г = \
[Об этом мы уже говорили в связи с частного типа матри-
матрицей G), 389.] Обратно, если имеем обыкновенную последователь-
последовательность E), то, разбив все ее члены (не считаясь с их расположени-
расположением) на бесконечное множество бесконечных групп, можно ее пред-
представить многими способами в виде матрицы с двумя входами A)
и по этой матрице составить повторный ряд C). Естественно вста-
встает вопрос о связи между рядами F) и C), состоящими из одних
и тех же членов.
Теорема 1. Если ряд F) сходится абсолютно к сум-
сумме U, то, как бы его члены ни расположить в виде матри-
матрицы A), сходится и повторный ряд C), причем имеет ту же
сумму.
Доказательство. Ряд
Ы,	F*)
г = \
по предположению, сходится; обозначим его сумму через U*.

393]	§ 5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ
Тогда, прежде всего, при любых пик
361
i=\
ОО	/?Ч
откуда следует сходимость ряда Y1 \а) I [365], а значит, и сходи-
ОО /дч
мость ряда X) Л/ [377] (при любом ?).
/=1
Далее, для любого числа с > О найдется такое г0, что
ОО
Е
?,
следовательно, и подавно
'"о
<
(V)
(8)
Члены м1? м2» - - - ,ur ряда F) содержатся в первых /7 строках
и первых w столбцах матрицы A), если пит достаточно велики,
скажем, при п > п0 и т > т0. Тогда для указанных пит выражение
го
k=l /=1	r = \
представляет сумму группы членов иг с номерами, большими г0,
и, ввиду G), по абсолютной величине < е. Переходя к пределу при
т —>> оо, получим (для п > п0)
1к=1
так что — в связи с (8) —
-U
lk=l
<2е,
откуда следует сходимость повторного ряда C), и именно к сум-
сумме U.
Замечание. Некоторые строки матрицы A) могут состоять
и из конечного числа членов; легко распространить результат и на
этот случай.

362
ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
[393
Если вспомнить, что в 386 мы разбивали члены простого ря-
ряда лишь на конечные группы, не нарушая при этом
их расположения, то станет ясно, что теорема 1 формули-
формулирует далеко идущее распространение (совместно) сочетательного
и переместительного свойства абсолютно сходящегося ряда.
Обратная теорема имеет место лишь при усилении предполо-
предположений о повторном ряде.
Теорема 2. Пусть дан повторный ряд C). Если по замене
его членов их абсолютными величинами получается сходящий-
сходящийся ряд, то сходится не только ряд C), но и простой ряд F),
состоящий из тех лее членов, что и ряд C), расположенных
в любом порядке, и притом — к той лее сумме.
Доказательство. По предположению, ряд
k=l i=l
сходится; пусть А* — его сумма. При любых п и т имеем
(9)
Возьмем теперь
да F*):
U* =
k=l /=l
произвольную
частичную сумму ря-
ряПри достаточно больших пит члены м1? ы2, ..., ur будут содер-
содержаться в первых п строках и первых т столбцах матрицы A). Тогда
из (9) следует, что
u;<a\
и ряд F*) сходится, т. е. ряд F) сходится абсолютно.
Остается применить теорему 1.
Так как, очевидно, все сказанное о повторном ряде C) справед-
справедливо и для повторного ряда D), то как следствие из доказанных
теорем получается следующее предложение, которое часто бывает
полезно.*^
Теорема 3. Пусть дана матрица A). Если по замене чле-
членов ряда C) их абсолютными величинами получается сходя-
*^ В немецкой литературе это предложение носит название «grosser Umord-
nungssatz».

394]	§ 5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ	363
щийся ряд, то сходятся оба повторных ряда C), D) и имеют
ту лее сумму.
к=\ i=\	i=\ к=\
394. Двойные ряды. С бесконечной прямоугольной матри-
матрицей A) связано и понятие двойного ряда. Так называется
символ
?
+	 = ? af\ A0)
i,k=\
Ограничившись первыми т столбцами и первыми п строками,
рассмотрим конечную сумму
i=m,k=n
An) _ V- (к)
Лт — 2-^i ai '
i,k=l
называемую частичной суммой данного двойного ряда. Ста-
Станем увеличивать числа тип одновременно, но независимо друг от
друга, устремляя их к бесконечности. Предел (конечный или бес-
бесконечный)
А= Ит^
называют суммой двойного ряда, и пишут
i,k=l
Если ряд A0) имеет конечную сумму его называют
сходящимся, в противном же случае — расходящимся.
Вернемся для примера к матрице G) предыдущего парагра-
параграфа [389] с общим членом
(k)

364	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[394
В этом случае частичная сумма, очевидно, равна (если сохранить
прежние обозначения)
так что двойной ряд, соответствующий упомянутой матрице, всегда
сходится и имеет сумму*)
С = lim АтВ„ =АВ.
т
На двойные ряды легко перенести теоремы [364,3° и 4°] об умно-
умножении членов сходящегося ряда на постоянное число и о почлен-
почленном сложении или вычитании двух сходящихся рядов; предостав-
предоставляем сделать это читателю.
Точно так же для сходимости двойного ряда необходимо
стремление кО общего члена:
lim af] = 0
[ср. 364, 5°]. Это сразу видно из формулы
Естественно сопоставить двойной ряд A0) с повторны-
повторными рядами C) и D), рассмотренными выше. Так как
{
к=\ N=1
* ' Таким образом, если произведение двух сходящихся простых рядов предста-
представить в виде двойного ряда, то суммой последнего всегда будет произведе-
произведение АВ; трудность была в доказательстве того же по отношению к произведению
рядов, представленному простым рядом.
Заметим, что, в отличие от обычных последовательностей и рядов, сходящи-
сходящиеся к нулю двойные последовательности, как и сходящиеся двойные ряды, могут
не быть ограниченными. Например, если а ^ = к = — сг^ жа\' = О при
всех к = 1,2, . . . и i = 3, 4, . . ., то ряд J^ a\' сходится и имеет сумму, рав-
i,k=\	(к)
ную нулю; в то же время ни при каком М неравенство \crt ' | ^ М не выполнено
сразу для всех i, к = 1,2, . . .

394]	§ 5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ	365
то, переходя здесь при фиксированном п к пределу при т —>> оо
(в предположении, что ряды по строкам сходятся), получим
lim A$ =
к=\
Теперь ясно, что сумма повторного ряда C) есть не что иное, как
повторный предел
lim lim A%\
Вопрос же о равенстве сумм двух повторных рядов C) и D) являет-
является частным случаем вопроса о равенстве двух повторных пределов.
Применяя к рассматриваемому случаю общую теорему п° 168
о двойном и повторном пределах*), придем к результату:
Теорема 4. Если 1) сходится двойной ряд A0) и 2) схо-
сходятся все ряды по строкам, то сходится повторный ряд C)
и имеет ту же сумму, что и двойной ряд
оо оо	оо
k=l /=1	i,k=l
Аналогичная теорема имеет место и для второго повторного
ряда D).
Вопрос о сходимости двойного ряда A0) просто решается для
случая положительного ряда, т. е. ряда с неотрицательными
членами: а\' ^ 0.
Теорема 5. Для сходимости ряда A0), если а;*^0, не-
необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были
ограничены.
Доказательство. Необходимость этого утверждения ясна.
Докажем достаточность. Пусть Am ^ L. Возьмем точную верхнюю
An)
границу множества сумм Ат .
и покажем, что она и будет являться суммой нашего ряда.
* ^ Здесь тип играют роль независимых переменных, а частичная сумма Affl —
роль функции от них.

366
ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
[394
Зададим любое е > 0. По определению точной верхней гра-
границы, можно найти такую частичную сумму Am ° , что
<о) >А-е.
Если взять т > т0, п > п0, то и подавно
так как Am с возрастанием обоих значков пит, очевидно,
возрастает.
Так как всякая частичная сумма не превосходит А, то можно
написать, что
\А$ —А\ < ? (при т > т0, п > п0),
а это и означает, что
т. е. ряд A0) сходится.
На основе этой теоремы можно установить теорему о сравне-
сравнении положительных двойных рядов, аналогичную теореме 1 [366];
предоставляем это читателю.
Рассмотрим теперь двойной ряд, составленный из матрицы,
в которой не все элементы положительны. Очевидно, что, как для
простых рядов, мы можем исключить из рассмотрения те случаи,
когда все элементы матрицы отрицательны или когда есть только
конечное число положительных или отрицательных элементов, так
как все эти случаи непосредственно приводят к только что рас-
рассмотренному. Поэтому мы предположим, что в рассматриваемой
матрице A), а значит, и в ряде A0) есть бесконечное множество
как положительных, так и отрицательных элементов.
Кроме матрицы A) составим еще матрицу из абсолютных ве-
величин элементов:
а]
\а)
\а)
О),

394]	§ 5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ	367
и по этой матрице составим двойной ряд
i,k=l
Подобно теореме п° 377 о простых рядах, и здесь имеет место
Теорема 6. Если сходится ряд A0*), составленный из аб-
абсолютных величин членов данного ряда A0), то и данный ряд
сходится.
(к)
Доказательство. Представим а) } в виде:
(к) (к) (к)
где
I (к) . (it)	, (it). (к)
(к) |flf>;|+flf>; (к) |flf>;|-flf>;
"	4
(к) (к) (к) (к)
Так как р) J ^ \а) '\9 q) J ^ \а) '\9 то из сходимости двойного ря-
ряда A0*) вытекает сходимость двойных рядов
оо	оо
у п(*) = р, у
i,k=l	i,k=l
Но тогда сходится и ряд
оо
Е
а именно имеет сумму
^ = Р - б-
одновременно с рядом A0) сходится и ряд A0*),
A0) называется абсолютно сходящимся. Если
же ряд A0) сходится, а ряд A0*) расходится, то ряд A0)
называется неабсолютно сходящимся.59^
Докажем теперь теорему о связи между двойным рядом A0)
и простым рядом F), состоящим из тех же членов. Она аналогична
теоремам 1 и 2.
Теорема 7. Пусть даны двойной ряд A0) и простой ряд F),
состоящие из одних и тех лее членов. Тогда абсолютная
59^ Абсолютная сходимость двойного ряда (в отличие от неабсолютной) уже
оо
влечет ограниченность его членов (если М = J^ \at • |, то, очевидно, \atj \ ^ М).
7.7 = 1

368	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[394
сходимость одного из них влечет за собой абсолютную
лее сходимость другого и равенство их сумм.
Доказательство. Предположим сначала, что сходится аб-
абсолютно двойной ряд A0), т. е. сходится ряд A0*); сумму послед-
последнего обозначим через А*. Взяв любое натуральное число г, соста-
составим частичную сумму ряда F*):
Как и при доказательстве теоремы 2, легко устанавливается нера-
неравенство U* < А*, а с ним и абсолютная сходимость ряда F).
Пусть теперь дано, что сходится абсолютно простой ряд F),
т. е. сходится ряд F*); его сумму обозначим через U*. Какую бы
частичную сумму
к=\ /=1
ряда A0*) ни взять, найдется столь большое г, что все слагаемые
этой суммы будут содержаться среди первых г членов ряда F*),
так что
л;(и) < и*.
В таком случае, по теореме 5, двойной ряд A0*) сходится, а значит,
ряд A0) сходится абсолютно.
Наконец, для вычисления суммы U ряда F) — ввиду его абсо-
абсолютной сходимости — можно члены его расположить в любом
удобном для этой цели порядке [387]. Мы расположим их по
квадратам схемы A); тогда, если еще объединить члены, отли-
отличающие один квадрат от следующего за ним, получится:
U= lim Ajp =A,
что и завершает доказательство.
Сопоставляя теоремы 1, 2 и 7, сформулируем в заключение
такое
Следствие. Пусть матрица A) и последовательность E)
состоят из одних и тех же членов. Тогда двойной ряд A0),
повторные ряды C), D) и, наконец, простой ряд F) — если
хоть один из них оказывается сходящимся по
замене его членов их абсолютными величина-
величинами — все четыре сходятся и имеют одну и ту лее сумму.

395]
5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ
369
В случае положительных рядов (т. е. при а)' ^ 0), очевидно,
достаточно сходимости одного из указанных рядов, чтобы сходи-
сходились все четыре, и притом к одной и той же сумме.
395. Примеры.
1) Интересный пример дает матрица @ < х < 1):
-х2{\-х2) х2{\-х2) -х3(\-х3)
х3(\-х3)
х{\-хJ -х2{\-х2J х2{\-х2J -х3{\-х3J х3{\-х3J
Здесь ряды по строкам абсолютно сходятся и имеют, соответствен-
соответственно, суммы х, хA — х), хA — х2), . . . Ряд, составленный из этих сумм, также
абсолютно сходится; его сумма равна 1. Между тем другой повторный ряд
не сходится, так как ряды по столбцам имеют суммы, попеременно равные +1
или — 1.
Этот факт нисколько не противоречит теореме 2, ибо для матрицы из абсо-
абсолютных величин ни один повторный ряд не сходится. Мы видим лишь, что
предположение об абсолютной сходимости рядов по строкам (по столбцам)
и об абсолютной же сходимости ряда, составленного из их сумм, не может
заменить требования, чтобы сходился повторный ряд для матрицы абсолютных
величин.
2) Приведем знаменитый «парадокс Йог. Б ер ну л л и». Рассмотрим поло-
положительную матрицу (недостающие члены можно заменить нулями)
1
1
•2
2
2
1
•3
1
•3
3
3
3
1
1
1
4
4
4
1
4-5
1
4-5
1
4-5
1
4-5
и приравняем сумму двух соответствующих ей повторных рядов. Если сначала
суммировать по строкам, то получаем суммы [ср. 25,9)]: 1, j, ^, |, . . ., из кото-
которых составится гармонический ряд; его сумму обозначим через s. Суммируя же
по столбцам (все они содержат по конечному числу членов!), придем к результа-
результатам ^, з"' \' 5' ' ' '' из них составится гармонический ряд без первого члена, что
в сумме даст s — 1. Итак, s = s — 1!
На деле, конечно, этот «парадокс» является лишь доказательством от про-
противного того факта, что сумма s не может быть конечной, т. е. что
гармонический ряд расходится.

370	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[395
3) Пусть q пробегает всевозможные степени с натуральными основаниями
и показателями (большими единицы), и притом — каждую однажды. Дока-
Доказать, что
[X. Гольдбах (Ch. Goldbach)].
Если т принимает всевозможные натуральные значения (>1), не явля-
являющиеся степенями, то
G= VVV(
-\
ll \ / l l l
) (
7 + Г + . ..) + (т + т + о+..
4 т6	) \т3 т6 т9
т3	) \т4 т6	) \т6 т9
(m- 1) + т2(т2 -
Отсюда
\
' ' ' J '
И=2И<И-1>'
где п пробегает на этот раз уже все натуральные значения, начиная с 2, так
что, действительно, G = 1 [25, 9)].
[Обоснование, со ссылкой на доказанные теоремы, предоставляем читателю.]
Любопытно сопоставить полученный результат с результатом Штейнера
(J. Steiner):
~^ ~^	оо
nft ^—' т(т — 1)
/и=2/V=2	w=2 v	J
[Здесь степени могут появляться и не однажды!]
4) Рассмотрим матрицу с общим членом
(* - 1)!	(i - 1)!
да =
Воспользовавшись установленным в 4), 363, соотношением
оо	1	1
^ (а + п)(а + п + 1) . . . (а + п + р) ~ р(а + 1) . . . (а + р)
(при а = 0, р = к), легко просуммировать члены к-й строки:
уд(*) _(*-!)'_ К
^ ' ~ к-к\ ~ к?'
1

395]
5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ
371
отсюда сумма повторного ряда
оо оо
A2)
к=\ i=\
к=\
(к)
(к)
Ввиду симметрии выражения я> ' относительно i и к, второй повторной ряд
тождествен с первым, и приравнивание их сумм ничего нового не даст.
Видоизменим теперь матрицу так: сохранив в m-й строке первые т — 1 чле-
членов прежними, вместо т-го члена подставим сумму гт всех членов т-и строки,
начиная с т-го, а остальные члены отбросим. Для новой матрицы
а®
а™
Г2
43)
4"°
4"'+1)
а™ .
(т)
' ат-1
' ат-\
гт
ит
гт+\
Суммы рядов по строкам, а с ними и сумма первого повторного ряда останутся
прежними [см. A2)]. Для суммирования рядов по столбцам вычислим сначала
_ ^	(и - 1)!
i(i + 1) . . . (i + m)
°°	/	1М	/	1М
~ ^ [т - 1 + п) . . . Bт - 1 + п) ~ т2(т + 1) . . .
1)... B/я- 1)'
здесь мы снова воспользовались соотношением A1), при а = т — 1, р = т.
Сумма же остальных членов m-го столбца равна
2
(т - 1)!
ОО
(и - 1)!
(т - 1)!
(т + п)(т + и + 1) . . . Bт + п) т(т + 1) ... 2т
[в A1) мы положили а = р = т]. Окончательно же сумма членов т-го столбца
оказывается равной
п2
3 •
(т - 1)!
+ 1) . . . Bт — 1) • 2т
= 3 •
- Щ
Bт)!

372	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[395
Приравнивая, по теореме 3, суммы обоих повторных рядов, мы приходим к инте-
интересному соотношению:
00 1	°° г/ 1\п2
у1 = зу[(т~1)!]	из)
к=\	т=\ ч J
Так как ряд справа сходится очень быстро, то он облегчает приближенное
вычисление суммы важного ряда, стоящего слева. Больше того, ниже [440, 7)]
мы увидим, что выведенное соотношение позволяет выразить сумму первого ряда
«в конечном виде»: она равна ^- [этот результат принадлежит Эйлеру].
5) Остановимся на ряде Ламберта:
к=\
ограничиваясь предположением, что |*| < 1. Мы видели [385, 5)], что при этом
предположении ряд Ламберта сходится при тех же значениях х, что и сте-
степенной ряд
к=\
Допустим же, что радиус сходимости R этого ряда >0 [379], и будем считать
\x\<R.
Очевидно:
к
х	к . 2к .	. ik .
= X +Х + . . . +Х + . . .
-хк
Составим теперь матрицу из этих членов, умноженных еще на ak, помещая оди-
одинаковые степени х в один столбец (пустые места можно заполнить нулями):
ах3 ах4 ах5 ах6 ах1 a xS ax9 а х10
U2X	U2X	U2X	U2X
а^х	а^х	а^х
а4х4	a4xS
а5х5	а5хю
а6х6
ClqX
a xS
9
пдХ
Повторный ряд по строкам как раз и имеет сумму (р(х). Так как степен-
степенной ряд, а с ним и ряд Ламберта, сходится при замене х на \х\ и ak на |а^|, то
можно применить теорему 3 и просуммировать по столбцам. Мы получим

395]	§ 5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ
разложение ср{х) в степенной ряд
373
<РО) = Х^"' ПРИЧеМ ап = ^2аЬ
п=\	к/п
значок к/п условно означает, что сумма распространяется лишь на делители к
числа п.
Например, полагая ак = 1 или ак = к *\ будем иметь, соответственно,
\ —
= > т(п) -х ,
\ х	1 Х
к=\	п=\	к=\
где т(п) означает число, асг(^) — сумму делителей п.
6) Расположив те же члены иначе, без пропусков:
= > а(п) -х ,
а х
х2
пуК
а4х4
а±х
х4
6
а^х
а4х*
a2j
6
9
а3х'
а4х
12
а х4
8
а2х
12
пуК . . .
a4xi6 ...
мы сохраним те же суммы по строкам, по столбцам же получим, по порядку:
f(x), f(x ), f(x ), f(x ), . . . Таким образом, мы приходим к тождеству, связы-
связывающему функции фи/:
п=\
Например, взяв ак = а , где \а\ ^ 1, будем иметь
так что
(ах)
к=\	п=\
7) Полученный результат можно обобщить. Пусть даны два степенных ряда
оо	оо
/(*) = $>„*" и g(x) = YJbmxm.
П=\	/77=1
Ограничимся значениями х, для которых |* | < 1, и оба ряда абсолютно сходятся.
Составим матрицу из элементов anbmxmn. Так как (для т > 1 и и > 1)
w/7 ^ m -\- п, то
Отсюда легко заключить, что двойной ряд, соответствующий взятой матрице,
абсолютно сходится. Приравнивая, на основании следствия, суммы повторных
*^ В обоих случаях, как легко проверить, R = 1, так что достаточно считать
просто |*| < 1.

374	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[395
рядов, найдем тождество:
оо	оо
\—л	т	\—л	п
/_^ mJ\x ) — /_^пп^Х ''
/77=1	П=\
Отсюда тождество предыдущего упражнения получается при Ът = 1 [так что
8)	Ряд	оо
i,k=0
оо _ оо
получается умножением рядов J^ х1 и J^ у , которые (абсолютно) сходятся при
i=0	к=0
\х\ < 1 и \у < 1; для этих значений (абсолютно) сходится и двойной ряд.
Если \х > 1 и \у\ > 1, то нарушается необходимое условие сходимости:
общий член не стремится к 0, ряд расходится. Легко проверить непосредственно,
что расходимость налицо и в случае, если \х\ = 1 или \у\ = 1.
9)	Рассмотрим ряд
оо	оо
Он также получается умножением рядов V 4- и V А, которые сходятся при
i=l	k=\ k
а > 1 и /3 > 1, так что и двойной ряд при этих предположениях сходится.
Наоборот, если а ^ 1 (или /3 ^ 1), то двойной ряд наверное расходится, ибо
тогда расходятся все ряды по строкам (по столбцам) [ср. следствие предыдуще-
предыдущего п°].
10) Исследуем сходимость ряда
оо
^2 —-^ (а > о).
Для этого представим его в виде простого ряда, расположив члены его по
диагоналям. Так как члены, лежащие на одной диагонали, равны, то, объединив
их для удобства подсчета, получим ряд
V«-i —
п=2
Ввиду очевидных неравенств
1
-п < п - <п,
деля на п°, будем иметь
111	1
2 п°~^ ^	п° ^ п°~^
Отсюда ясно, что полученный нами простой ряд сходится при о > 2 и расходится
при о ^ 2. По теореме 7, то же справедливо и для двойного ряда.

395]	§ 5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ	375
11) Рассмотрим теперь более сложный ряд
оо	оо
где форма ^4jc + 2Вху + С;; предполагается определенной положи-
положительной, так что А = АС — В2 > 0, а также i и С > 0.
Если через L обозначить наибольшее из чисел \А\, \В\, \С\, то, очевидно,
.2	2	ч2	(к)	1	1
В таком случае из 10) ясно, что при р < 1 наш ряд расходится.
С другой стороны, имеем
Аг2 + 2Я1* + Ск2 = - [(АС - В2)г2 + (Вг + »2)] ^ - i2,
так что
(к) <. С? 1
а) ' < 	 • -г:- и, аналогично,
z	АР i2P
Отсюда легко получить, что
А
Сопоставляя это с 9), видим, что при р > 1 рассматриваемый ряд сходится.
12) В теореме 4 вместе с предположением о сходимости двойного ряда де-
делается особо предположение о сходимости всех рядов по строкам. Следующий
простой пример показывает, что без второго предположения обойтись нельзя —
оно не вытекает из первого. Двойной ряд по схеме
1
-1
1
2
1
2
1
3
1
3
-1
1
1
2
1
2
1
~3
1
3
1
-1
1
2
1
2
1
3
1
3
-1
1 ...
1
2
1
2
1
~3
1
3
сходится, его сумма равна 0. Между тем все ряды по строкам расходятся.

376	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[395
13) Установить суммы следующих двойных рядов:
оо	оо
{	1) (б) У
(а) У 	 = 	 {р > -1); (б) У 	 = In 2;
(г)
лр+п)	р+\ 4 1
т,п=2	т=2,п=1
оо	оо
L	I
^ =	in2; (г) У	^ = ln2;
(лп- lJrc+l 8 2	K } Z^ (An- \Jm 4
К	J	m,n=\ K	J
т,п=\
оо
Указание. Перейти к повторному ряду, начав с суммирования по т. Ис-
Использовать разложения
1 1 1
1-- + --- + ...=Ш2,
111	Ж
как известные.
14) Рассмотрим функцию двух переменных
Перемножая абсолютно сходящиеся ряды
(У	-i-'
V2/ И	^
i=0	k=0
получим для этой функции (также абсолютно сходящийся) двойной ряд
оо
(р(х, z) = у
i\k\
Собирая (следствие) члены с одинаковыми степенями z, можно преобразо-
преобразовать его в повторный ряд
+ ОО
где для п ^ О
+ ОО
^ Сумма J^ an, по определению, есть сумма двух рядов
-°°	+оо	+оо

396]	§ 5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ	377
а для п < О
пК J ^ к\(к + п)\ \2)
к=—п
Впрочем, легко видеть, что
./_„(*) = (-iLW-
Функция Jn{x) (п = 0, 1, 2, . . .) называется функцией Бесселя со
значком п; эти функции играют важную роль в математической физике, небесной
механике и т. д. Функция (р(х, z), из разложения которой они получаются, носит
название производящей функции для бесселевых функций.
396. Степенной ряд с двумя переменными; область сходимо-
сходимости. Степенным рядом с двумя переменными х,у
называется двойной ряд вида
оо
i,k=0
расположенный по целым положительным степеням перемен-
переменных х и у.
Мы ограничимся изучением лишь одного вида сходимости ря-
ряда A4), а именно — абсолютной сходимости. В связи с этим мы
будем абсолютно сходящийся степенной ряд с двумя переменны-
переменными называть просто «сходящимся»; в случае же, когда абсолютной
сходимости нет, мы будем говорить, что ряд «расходится».
Как мы сделали это в 379 по отношению к простым степенным
рядам, мы и здесь поставим себе задачей выяснить вид «области
сходимости» ряда A4), т. е. множества <Ж = {М(х,у)} тех точек
плоскости, для которых ряд (абсолютно) сходится.
Лемма. Если ряд A4) {абсолютно) сходится в некоторой
точке М(х,у), координаты которой обе отличны от О, то
он {абсолютно) сходится во всех точках М{х,у), удовлетво-
удовлетворяющих неравенствам: \х\ < |х|, \у\ < \у\ (т. е. во всем открытом
прямоугольнике с центром в начале координат и с вершиной в точ-
точке М).
Доказательство вполне аналогично доказательству леммы п° 379.
Из ограниченности членов ряда A4) при х = х, у = у
\ahkxlyk\^L (/Д = 0,1,2,...)

378
ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
[396
получается
так что — если только |х| <
\у\ < \у\ — справа мы имеем об-
общий член сходящегося ряда [395, 8)]; отсюда и следует абсолютная
сходимость ряда A6).
Мы станем изучать лишь такие ряды, для которых подобные
точки М существуют — другие ряды для нас не представляют ин-
интереса. Самый характер леммы позволяет нам ограничиться рас-
рассмотрением лишь первого координатного угла; полученные резуль-
результаты — по симметрии — легко можно будет распространить и на
остальные углы.
Возьмем же в первом угле луч OL, исходящий из начала, под
углом в к оси х (рис. 55). Как и в 379, пользуясь леммой, можно
Q
р
о
р	м;
Рис. 55
показать, что найдется такое положительное число R{9) (которое
может оказаться и бесконечным), что во всех точках М на этом
луче, для которых
ряд A4) сходится (абсолютно), в то время как при условии
ОМ> Я(в)
он расходится.

396]	§ 5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ	379
Если хоть для одного луча i?@) = +оо, то, в силу леммы, ряд
оказывается {абсолютно) сходящимся на всей плоскости, ко-
которая и играет роль «области сходимости» *M.
Исключим теперь этот случай всюду сходящегося ряда.
Тогда i?@) будет конечной функцией от 0, и на каждом луче OL
найдется пограничная точка Ме, для которой
OMe=R(9).
Она отделяет точки М луча, в которых ряд (абсолютно) сходится,
от точек, где он расходится; в самой точке Ме, смотря по случаю,
может иметь место и сходимость, и расходимость.
Если провести через Мо вертикаль РР' и горизонталь QQ' (см.
рис.55), то внутри прямоугольника OPMeQ ряд заведомо схо-
сходится, а внутри угла Q'MePr — заведомо расходится [по лемме!].
Поэтому на новом луче OLf9 отвечающем какому-нибудь друго-
другому углу 0', вдоль OR будет сходимость, а вдоль SL' — расходи-
расходимость. Следовательно, пограничная точка Ме, на этом луче должна
лежать между R и S. Отсюда легко усмотреть, что, при измене-
изменении 0 от 0 до ^, R@) изменяется непрерывным образом, так
что точка Мв описывает в первом координатном угле непрерывную
пограничную кривую.
Так как при уменьшении 0 абсцисса х0 точки Мо не убывает,
а ордината ее у0 не возрастает, то обе имеют предельные значения
при 0 —»> 0. Тогда, очевидно, имеет предельное значение и R@).
Если этот предел
конечен, то точка Мо стремится к некоторой предельной точ-
точке Mq(Rq, 0) на оси х, в противном же случае пограничная кривая
имеет асимптоту, параллельную оси х (которая может совпадать
и с самой осью х). Легко перефразировать все сказанное и для
случая, когда 0 —» §, меняя ролями оси х иу.
Замечание. Не следует, однако, думать, что предельная точ-
точка Mq, о которой только что шла речь, необходимо совпадает
с пограничной точкой Мо на самой оси х. Точка Мо может
оказаться и правее Mq (и даже лежать в бесконечности). Возмож-
Возможность эта не должна удивлять читателя, ибо лемма и построенные
на ней рассуждения относятся лишь к точкам вне координатных
осей.

380
ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
[397
Дополним теперь построенную в первом координатном угле
кривую симметричными ей (относительно обеих осей и начала ко-
координат) кривыми в остальных углах. Таким путем мы получим
полную пограничную кривую, которая в существенном
и определит интересующую нас «область сходимости» <Ж\ в той
части плоскости, которая извне ограничена этой кривой,
ряд A4) {абсолютно) сходится, во внешней части плоскости
ряд расходится *\ в точках же самой пограничной кривой
может иметь место как сходимость, так и расходимость.
Рассмотрим примеры.
397. Примеры.
1) Для ряда
i,k=0
+1
как мы видели в 8), 395, «область сходимости» ^Ж сводится к открытому прямо-
прямоугольнику (—1, 1; — 1, 1) (рис. 56), в преде-
пределах которого суммой его будет у^
2) Для аналогичного ряда
оо
I к
г- х
+т
1
i,k=\
(где указатели i, к изменяются, начиная
от 1) «область сходимости» будет состо-
состоять из этого же прямоугольника, но
с присоединением обеих коорди-
координатных осей. В этом случае хотя погра-
пограничная точка Мо, о которой речь шла выше,
и стремится при 0 —>> 0 к предельной точ-
точке MqA, 0) на оси х, но сходимость имеет место на всей этой оси [см. заме-
замечание] .
3)	Ряд
ОО	7 If	ОО	У	ОО	Ь-
Y л;		 Y		 V
i,k=0 ' ' /=0 ' к=0
очевидно, абсолютно сходится на всей плоскости.
4)	Для того чтобы сходился абсолютно ряд
Е
Рис. 56
И к\
*^ Если не считать координатных осей, вдоль которых в иных случаях, как
указывалось, ряд может сходиться и за пределами этой кривой.

397]
5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ
381
т. е. сходился ряд
?
i,k=O
необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
оо
1
который получается из предыдущего суммированием по диагоналям. Это приво-
приводит нас к условию
у\ < 1. Сле-
Следовательно, здесь «область сходимо-
сти» представляет собой косо поста-
поставленный квадрат с вершинами в точках
(±1,0), @, ±1) (рис. 57).
yt
Рис. 58
5) Рассмотрим в заключение следующий двойной ряд:
,	. , 2 ,
+...+ху+ху + ...
.22.	, т 2
... +х у +...+ху
2^х у =\+х+х
. . . + Х'у + .
Если, предположив его абсолютную сходимость, просуммировать его по
строкам, то получим:
1	1
J 1 — х 1 — ху
Отсюда ясно, что для абсолютной сходимости необходимо: \х\ < 1, \ху | < 1;
вместе с тем эти неравенства и достаточны. «Область сходимости» изобра-
изображена на рис. 58; кривые на ней — равнобочные гиперболы.

382	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[399
398. Кратные ряды. Дальнейшее расширение понятия беско-
бесконечного ряда происходит совершенно естественным образом. Пусть
задана бесконечная система чисел
занумерованных s (s ^ 2) значками i, к, ...,/, каждый из кото-
которых — независимо от других — принимает всевозможные нату-
натуральные значения. Тогда символ
носит название кратного (точнее: s-кратного) ряда.
Предел частичной суммы ряда
при и —>> оо, m —)> оо, ...,/?—т>оо (конечный или бесконечный)
есть сумма ряда. Ряд называют сходящимся, если он
имеет конечную сумму.
Важнейшим классом кратных рядов являются степенные
ряды с несколькими переменными:
На кратные ряды также распространяются основные понятия
и предложения изложенной выше теории.
§ 6. Бесконечные произведения
399. Основные понятия. Если
Ръ Р2> РЪ* ••" Рю '"	С1)
есть некоторая заданная последовательность чисел, то составлен-
составленный из них символ *)
оо
Р\ ' Рг ' Ръ ' • • • • Рп ' - - - = П Рп	B)
п=\
называют бесконечным произведением.
*' У нас уже встречалось такое обозначение для произведения, но лишь конеч-
конечного числа сомножителей.

400]	§ 6. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ	383
Станем последовательно перемножать числа A), составляя
частичные произведения
Pn=Pl'P2-----Pn> •••	C)
Эту последовательность частичных произведений {Рп} мы всегда
будем сопоставлять символу B).
Предел Р частичного произведения Рп при п —>> сю {конеч-
{конечный или бесконечный)
\ш\Рп = Р
называют значением произведения B) и пишут:
оо
п=\
Если бесконечное произведение имеет конечное значе-
значение Р, и притом отличное от 0, то само произведе-
произведение называют сходящимся, в противном же случае —
расходящимся*\
Достаточно одному из сомножителей произведения быть ну-
нулем, чтобы и значение всего произведения также было равно нулю.
В дальнейших рассмотрениях мы этот случай будем исключать, так
что для нас всегда/^ ф 0.
Читатель легко установит аналогию с бесконечными ряда-
рядами [362] и уяснит себе, что — подобно рядам — и рассмотрение
бесконечного произведения также есть лишь своеобразная форма
изучения варианты (или последовательности) и ее предела. С этой
формой полезно познакомиться, так как в иных случаях она пред-
представляется более удобной, чем другие.
400. Примеры.
п=2
Так как частичное произведение
1 л + 1
2
то бесконечное произведение сходится, и его значением будет j.
*) Таким образом (подчеркнем это), если Р = 0, то произведение для нас будет
расходящимся. Хотя эта терминология идет вразрез с терминологией, приня-
принятой для бесконечных рядов, но она общепринята, ибо облегчает формулировку
многих теорем.

384	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[400
2) Формула Валлиса [317]
л	2 • 2 • 4 • 4 ..... 2п • 2п
— = lim
2 п^оо 1 . 3 • 3 • 5 ..... Bп - 1) • Bп + 1)'
очевидно, равносильна разложению числа ^ в бесконечное произведение
л- 2 2 4 4	2п	2п
2 \ з з 1 '" 2п- 1 2п+
Она же приводит к формулам
оо
ПI1 -
l
3) Докажем, что (при \х\ < 1)
1
V ' у V ' у V ' у	V '	)	1 _ "
Действительно, как легко убедиться последовательным умножением,
A-х) -Рп = A -*)(l+*)(l+*2)... (l+x2"~l) = 1-х2
1-х2"
Отсюда в пределе и получается требуемое равенство.
4) Мы имели в п° 54, 7а), предел:
lim cos — • cos -^ ..... cos — = 	 (ср ф 0).
п^-оо 2	2Z	2n cp
Теперь мы можем записать это так:
оо
Пер
cos —
2п
2	ср
В частности, при (р = ^, придем к разложению:
2	л"	л"
— = cos — • cos —..... cos
л-	4	8
Если вспомнить, что
л- /1	а /1 1
cos — = \ / - и cos — = \ —|—
4 V2	2 V 2 2
то разложение это можно переписать в виде
2 /1/11 /1
Л"
2-у2+2У2-\
1 1/1 1/1
г + гУг + гУг'-
[Виета (F. Vieta)]. Эта формула вместе с формулой Валлиса представляет
первые примеры бесконечных произведений в истории анализа.

401]	§ 6. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ	385
5) В 315, A0), для полного эллиптического интеграла 1-го рода
мы установили формулу
где варианта кп определяется рекуррентным соотношением:
1
к -
1
Эта формула дает разложение
К!
6) Рассмотрим еще такое
- W1 -
- К-х
(*о к).
К(&) в бесконечное произведение
[к) = -
оо
и=1
+ кп).
бесконечное произведение:
оо
п=\
I
1 + 1"
В данном случае частичное произведение имеет вид
5+ + Н	1
где С — эйлерова постоянная, ayw — бесконечно малая [367, D)]. Таким
образом, произведение сходится, и его значение
Р = еС.
401. Основные теоремы. Связь с рядами. Отбросив в бесконеч-
бесконечном произведении B) первые т членов, получим остаточное
произведение
пт = рт+1 ¦ рт+2 ¦ ...¦ рт+к ¦ . .. = Ц р„,	D)
которое вполне аналогично остатку бесконечного ряда.
1° Если сходится произведение B), то сходится, при лю-
любом т, и произведение D); обратно, из сходимости произве-
произведения D) вытекает сходимость исходного произведения B).*}
Доказательство предоставляем читателю [ср. 364, 1°].
*)
Напомним, что мы раз навсегда предположили рп ф 0.

386	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[401
Таким образом, и в случае бесконечного произведения отбра-
отбрасывание конечного числа начальных множителей или присо-
присоединение вначале нескольких новых множителей на его пове-
поведении не отражается.
2° Если бесконечное произведение B) сходится, то
lim jrm = 1
[см. D)].
Это следует из равенства
и из того, что Рт стремится к Р ф 0.
3° Если бесконечное произведение B) сходится, то
lim р„ = 1.
Действительно, вместе с Рп также Рп_х стремится к Р,
ПтРп Р
hm р„ =	— = - = 1.
[Ср. 364, 5°.]
Не перечисляя других свойств бесконечных произведений, ана-
аналогичных свойствам бесконечных рядов, мы обратимся к установ-
установлению связи между сходимостью бесконечных произведений и ря-
рядов, что позволит нам непосредственно использовать для произве-
произведений подробно развитую для рядов теорию.
В случае сходящегося произведения множители рп9 начиная
с некоторого места, будут положительны [3°]. Впрочем, ввиду 1°,
мы не нарушим общности, если будем впредь предпола-
предполагать все рп > 0.
4° Для того чтобы бесконечное произведение B) сходилось,
необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
E)
п=\
При выполнении этого условия, если L есть сумма ряда,
имеем

401]	§ 6. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ	387
Обозначив через Ln частичную сумму ряда E), будем иметь:
Из непрерывности логарифмической и показательной функций те-
теперь следует, что если Рп стремится к конечному положительному
пределу Р9 то Ln стремится к 1пР, и обратно — если Ln имеет
конечный предел L, то для Рп пределом будет eL.
При исследовании сходимости бесконечного произведения B)
часто представляется удобным, полагая
Рп = 1+ап>
записывать его в виде
п=\
а ряд E) — в виде
оо
5>A+а„).	E*)
В этих обозначениях имеем простую теорему:
5° Если, по крайней мере для достаточно больших п, будет
ап > 0 (или ап < 0),
то для сходимости произведения B*) необходима и доста-
достаточна сходимость ряда
оо
?*»•	F)
п=\
Так как для сходимости как произведения B), так и ряда F) во
всяком случае необходимо, чтобы было
lim an = 0	G)
[см. 3°], то предположим это условие выполненным. Тогда имеет
место соотношение
[77, 5), (а)]. В таком случае, ввиду того что члены обоих ря-
рядов E*) и F), начиная с некоторого места, сохраняют опре-
определенный знак, по теореме 2 [366], эти ряды сходятся или
расходятся одновременно. Отсюда, в связи с 4°, и следует наше
утверждение.

388	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[401
Возвращаясь к общему случаю ап ^ 0, докажем еще такое пред-
предложение:
6° Если вместе с рядом F) сходится и ряд
оо
п=\
то бесконечное произведение B*) сходится.
В самом деле, из (8) прежде всего следует G). Вспоминая раз-
разложение функции 1пA+х) по формуле Тейлора [125, 5)], имеем:
1пA +ап)=ап--а1 + о(а2п),
так что
аЫ^+а^=1.	(9)
1
По теореме 2, 366, сходимость ряда (8) влечет за собой сходимость
ряда
ОО
[ая-1пA+*„)].	A0)
ОО
?[
п=\
Так как ряд F) предположен сходящимся, то отсюда следует схо-
сходимость и ряда E*) как разности двух сходящихся рядов. Остается
применить предложение 4°.
Остановимся бегло на случае, когда бесконечное произведение
«расходится» к 0.
7° Для того чтобы бесконечное произведение [B) или B*)]
имело нулевое значение, необходимо и достаточно, чтобы
ряд E) [или E*)] имел суммой -оо.
В частности, это будет так, если ап < 0 и ряд F) рас-
расходится или если ряд F) сходится, но расходится ряд (8).
Предоставляем доказательство читателю. Лишь по поводу по-
последнего предположения заметим, что из расходимости ряда (8),
в силу (9), вытекает расходимость ряда A0), который будет иметь
суммой +оо. А тогда, ввиду сходимости ряда F), ясно, что суммой
ряда E*) будет —оо.
В заключение используем связь между произведением B)
[или B*)] и рядом E) [или E*)] для установления понятия
абсолютной сходимости бесконечного произведения. Произве-
Произведение называют абсолютно сходящимся именно в том случае,
когда абсолютно сходится соответствующий ряд из логариф-
логарифмов его множителей.

402]	§ 6. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ	389
Исследования пп° 387 и 388 сразу же позволяют заключить,
что абсолютно сходящиеся произведения обладают перемести-
тельным свойством, в то время как неабсолютно сходящиеся
заведомо им не обладают.
Легко доказать по образцу 5°, что
8° Для абсолютной сходимости произведения B*) не-
необходима и достаточна абсолютная лее сходимость ря-
ряда F).
402. Примеры.
1) Применим доказанные теоремы к бесконечным произведениям:
оо	1
(а) I I ( 1 -\	) (х > 0) сходится при х > 1 и расходится при х ^ 1,
и=1	оо	оо
в согласии с таким же поведением ряда ^ ^ [5°]; аналогично, П (* ~ и*") ПРИ
п=\	п=2
х > 1 сходится [5°], а при 0 < х < 1 расходится к нулю [7°].
00
00 ( — i)"-1-!
(б) 1 I 1 —|	при х > А сходится: именно, при х > 1 произведе-
п=\	оо
ние абсолютно сходится, поскольку сходится ряд J^ -^ [8°],апри j < х ^ 1
п=\
произведение неабсолютно сходится, так как сходятся ряды J^ -—-^—
п=\
оо
и ^2 -^ [6°]; наконец, при 0 < х ^ j значение произведения есть 0, ибо первый
п=\
из этих рядов сходится, а второй уже нет [7°].
2) Пусть хп — произвольная варианта, содержащаяся в промежутке @, f).
Тогда произведения
п
и=1	и=1 *"
^ 2
сходятся или нет, смотря по тому, сходится ли ряд 2^ хп или нет.
Предположим сначала, что варианта хп —>> 0; тогда эти заключения вытекают
из 5° и 7°, если воспользоваться разложениями [125, 2) и 3)]
2
COSXn = 1 _ J1 + 0(xl)< 	1 = l--l + o(x2n).
z	xn	о
Если же хп к 0 не стремится, то одновременно и ряд расходится, и оба про-
произведения имеют нулевые значения *).
*) Что произведения имеют определенные конечные значения, явствует из того,
что все множители их - правильные дроби; однако значения их не могут быть
отличны от 0, так как нарушено необходимое для этого условие 3°.

390	ЕЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[402
3)	Из теории бесконечных произведений легко получить теорему Абеля:
оо
если ^2 ап — данный положительный ряд, и Ап означает его частич-
п=\	оо
ную сумму, то ряд J^ -f- сходится или расходится одновременно с дан-
ным [ср. 375, 4)]. В доказательстве нуждается лишь случай расходимости. Если
ОО	ОО а
Ап —>> оо, то бесконечное произведение Г1 (l ~ ;г) = П "~Т~^ Расх°Дится к 0,
оо	п=2	"	п=2
а тогда [в силу 5°] ряд ^ ^f- расходится.
п=2 п
4)	Рассмотрим важное произведение
оо
X
оо	2
по-да
[ниже, в п° 408, мы увидим, что оно представляет функцию sin л:]. Пусть х Ф кя,
ще? = 0, ±1, ±2, ...
Его сходимость (конечно — абсолютная) сразу вытекает из сходимости
оо 2
ряда ^2 ~г~2- Если каждый множитель разложить на два и написать произведение
в виде:
х
X \ /	X \ /	X \ /	X \	/	X \ /	X \
1	) A4	) A	) A+ — )... A	) A+ — )...,
jt) \ jt) \ 2jt) \ 2jt) \ yijt) \ пя)
то — так как 1 — ^ —>> 1 — сходимость при указанном расположении
множителей сохранится, сохранится и значение произведения. Но на этот раз
сходимость станет неабсолютной, ввиду неабсолютной сходимости ряда
X	X	X	X	XX
jt jt 2jt 2jt	гит гит
так что множители эти произвольно перемещать нельзя.
Заменим теперь каждый множитель 1 =р -^ множителем (l =p -^)е±ш', лег-
легко видеть, что это не отразится ни на сходимости, ни на значении бесконечного
произведения. В то же время новое произведение будет уже абсолютно схо-
сходящимся, ибо [125, 1)]
4- х	X	X2	/ 1 \	/	X \ + х	X2	/1
пя 2nljTl \nz / \ пя J	2nljTl \nz
и множители, начиная с некоторого места, становятся положительными правиль-
правильными дробями.
5) Доказать тождество (при 0 < q < 1)
[Эйлер].

402]	§ 6. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ	391
Указание. Сходимость обоих произведений устанавливается с помо-
помощью 5°. Представить первое из них в виде
6) Доказать, что (при а > /3)
п^оо а (а + 1) . . . (а + п — 1)
Для этого достаточно установить расходимость бесконечного произведения
оо
П—^Ш1-—)•
11 а + п 1JA а + п/
или [см. 7°] расходимость ряда
2-< а + п
п=\
А это легко вытекает из сравнения написанного ряда с гармоническим.
Замечание. Этот пример, равно как и следующие, поучителен в том отно-
отношении, что показывает, как иной раз действительно выгодно сводить разыскание
предела варианты (или последовательности) к исследованию бесконечного про-
произведения, с использованием развитой для бесконечных произведений теории.
7) Вернемся к ряду \ 	, который мы уже рассматривали в 370, 2), (д);
*-^ п\
п=\
378, 1), (д). Мы оставили открытым вопрос о поведении его на конце х = \ его
промежутка сходимости.
В этом случае получается знакопеременный ряд
У(-1Г-А
^V	n\ еп
п=\
члены которого по абсолютной величине монотонно убывают. Вспоминая теорему
Лейбница [381], видим, что заключение о сходимости ряда зависит от наличия
равенства
lim — • — = 0.
п^-оо п\ еп
Так как отношение (п + 1)-го значения этой варианты к ft-му есть
е
то задачу можно представить в равносильной форме — разыскания значения бес-
бесконечного произведения
л ОО (л , \\П
П=\

392	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[402
Логарифмируя, получим [125, 5)]
2п1
так что ряд логарифмов типа E) расходится и имеет суммой — оо. В таком
случае [7°] значение бесконечного произведения (а с ним — и искомый предел),
действительно, есть 0. Ряд сходится.
8) Исчерпаем вопрос о поведении гипергеометрического ряда
F(a,p,y,x) =
оо
х . а • (а + 1) • . . . • (а + и - 1) • j8 • (j8 + 1) • ... • Q8 + и - 1) „
= 1 + > 	:	;	г:	;	г;	х
[см. 372; 378, 4)] ирих = — 1, в предположении, что —1 ^ у — а — /3 ^ 0 (именно
этот случай остался без рассмотрения).
Отношение (п + 1 )-го коэффициента к п-му здесь равно:
A+и)(у + и)	п	п2
Для достаточно больших значений п это отношение положительно; пусть
у — а — р > —1, тогда оно окончательно становится меньшим единицы. Таким
образом, ряд
^	g. (g + 1)..... (д+ и-1). ft. (/? + !)..... (/?+„-!)
+ ^ '	гйу.(у + 1).....(у + П-1)	' 1 '
если отвлечься от некоторого числа его начальных членов, оказывается знакопе-
знакопеременным, с монотонно убывающими по абсолютной величине членами. И здесь
нахождение предела (абсолютной величины) общего члена удобнее свести к опре-
определению значения бесконечного произведения:
п
*)
Если у — а — /3 > —1 (как мы предположили), то из A1), в силу 7°, следует,
что это произведение имеет значение 0: ряд сходится.
В случае же, когда у — а — /3 = — 1, формула A1) получит вид
по теореме 5°, значение бесконечного произведения отлично от 0, для ряда A2)
нарушается необходимое условие сходимости, ряд расходится.
*^ Начальное значение п = п$ предполагается настолько большим, чтобы все
множители были положительны.

402]
i 6. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
393
Мы наконец завершили исследование поведения гипергеометрическо-
гипергеометрического ряда. Результаты могут быть сведены в таблицу
X
X
X
X -
< 1
> 1
= 1
= -1
у -
У ~
У
У
- а — р
- а — р
— а —
— а —
> 0
<о
р > о
0^-1
абс. сходится
расходится
абс. сходится
расходится
абс. сходится
неабс. сходится
расходится
9) Доказать, что ряд
оо
Ха(*2 -
п=\
сходится для всех значений х, если сходится хоть для одного нецелого
значения ^=^0[Стирлинг (Т. Stirling) ].
Члены этого ряда отличаются от членов сходящегося ряда
п=\
множителями
которые при достаточно больших п изменяются монотонно.
Остается еще установить их ограниченность (ибо тогда можно будет
применить признак Абеля), а для этой цели проще убедиться в сходимости
бесконечного произведения
оо ? 2
¦ х — п
П
-- xi — nL
п=\ и
мы предоставляем это читателю.
10) Рассмотрим (вместе с Эйлером) бесконечное произведение
A3)
п=\	п
считая х отличным от нуля и от всех целых отрицательных чисел.
Легко представить его общий множитель так:
A + ±Г ,,*(*-!),
отсюда, в силу 8°, вытекает, что наше произведение (абсолютно) сходится. Опре-
Определяемая им функция Т(х) является (после элементарных) одной из важнейших

394	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[402
рассматриваемых в анализе функций. Ниже [глава XIV, § 5] мы дадим другое опре-
определение этой функции и глубже изучим ее свойства.
Так как п-е частичное произведение имеет вид
+ 1\х	п\ пх
jcA+jc)A+ $)... A + f) V х ) *(* + 1)(*+2)...(* + *)'
то можно положить и
Г(х) = lim 	—	.	A4)
v ; п^оо х(х + 1H + 2) ...(* + и)
Написав аналогичную формулу для Т(х + 1), легко видеть, что
ГО + 1)	ж
= lim 	 = х,
+ 1 +
lim
ГО)	п^°° х + 1 + п
и мы приходим к простому и важному соотношению:
ГО + 1) =х -ГО).	A5)
Если положить х равным натуральному числу т, то получим рекур-
рекуррентную формулу
Г(т+ 1) =т-Т{т).
Так как ГA) = 1 (что легко проверить), то отсюда
Г (/я + 1) = т\
Еще одну важную формулу для функции Г мы получим, если перемножим
почленно равенства
/1=1	п	/1=1 VA ' п)
из которых первое следует из A3) и A5), а второе легко выводится из 6), 400.
Мы найдем:
оо	L
Сх w ,14 ТТ е"
еСх • ГО + 1) = П "
1
го +1)
4 J и=1
Это — формула Вейерштрасса.
11) Приведем замечательный пример преобразования бесконечного произве-
произведения в ряд, также принадлежащий Эйлеру. Если перенумеровать простые
числа в порядке возрастания:
Р\ = 2, р2 = Ъ, р3 = 5, . . ., рк,
то при х > 1 имеет место тождество
1
-*)•••
ill

402]	§ 6. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ	395
i _ J_
k=i p*k /1=1
так что это произведение представляет функцию ?(х) Римана [365, 2)].
Имеем, по формуле для суммы геометрической прогрессии:
1 _ 1	1	1
Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем простым
числам, не превосходящим натурального числа N, то частичное произведение
окажется равным
00 1 ^ 1 °° 1
1 -V;--V-+ V' -
l - 2 -l + 2 '
р*к	п=\	/1=1	n=N+\
где штрих означает, что суммирование распространяется не на все натуральные
числа, а лишь (не считая единицы) на те из них, которые в своем разложении
на простые множители содержат только уже введенные простые числа (первые N
натуральных чисел этим свойством, конечно, обладают). Отсюда и подавно
N	оо
п=\	n=N+\
оо
Ввиду сходимости ряда J^ ^, выражение справа, представляющее его
«=1
остаток после TV-го члена, стремится к 0 при N —>> оо; переходя к пределу,
и получим требуемый результат.
12) При х = 1 соотношение A7) еще сохраняет силу, отсюда
1	N -
p(N) = тт 1
pk^N	Рк /1=1
так что при N -л оо на этот раз р[ ' —>> +оо, т. е. произведение
1	^ 1
П fi)	т
^•••у1 ркг" к=\1 рк
расходится и имеет значение +оо.
В этом состоит данное Эйлером новое доказательство того, что множест-
множество простых чисел бесконечно (чем, по существу, в проведенном рассуждении мы
не пользовались); ведь при конечности этого множества и произведение имело
бы конечное значение. Если полученный результат переписать так:

396	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[403
то, в связи с 5°, можно заключить о расходимости ряда
ill I ~ 1
Это важное предложение дает сверх того еще некоторую характеристику роста
простых чисел. [Подчеркнем, что оно гораздо сильнее утверждения о расходимо-
оо
сти гармонического ряда J^ ^, ибо здесь речь идет лишь о части его членов.]
п=\
13) Аналогично может быть установлено (при х > 1) тождество:
1
- 1 _ J- — - — — -
где знак плюс или минус в знаменателе левой части берется в зависимости от
того, будет ли (нечетное) простое число вида 4п — \ или 4п -\- \.
§ 7. Разложения элементарных функций
403. Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора. Мы
уже рассматривали в 379 степенные ряды вида:
оо
Y,апхп = ао+ахх + а2х2 + . . . + апхп + . . .,	A)
о
расположенные по степеням х. Если исключить «всюду расходящи-
расходящиеся» ряды, то для каждого такого ряда существует промежуток
сходимости с центром в точке х = 0, от —R до R, где радиус
сходимости R > 0, но может быть и бесконечным. Концы этого
промежутка включаются или нет, смотря по случаю.
Рассматривают и степенные ряды более общего вида:
= ао + а\0 -
расположенные по степеням двучлена х — х0 (вместо х). Такой
ряд не разнится существенно от ряда вида A), ибо приводится
к нему простой заменой переменной: х — х0 = у (с точностью
до обозначения переменной). Для ряда B) — если он не бу-

403]	§ 7. РАЗЛОЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ	397
дет «всюду расходящимся» — также существует промежуток
сходимости, но на этот раз с центром в точке х0, от х0 — R
до х0 +R. Концы его, как и в случае ряда A), могут принадлежать,
но могут и не принадлежать промежутку.
В последующих параграфах мы детально изучим свойства сте-
степенных рядов, которые во многом уподобляются многочленам. От-
Отрезками степенного ряда являются многочлены, что делает сте-
степенные ряды удобным средством для приближенных вычислений.
В связи со всем этим приобретает большую важность вопрос о воз-
возможности наперед заданную функцию разложить по степеням х — х0
(в частности, по степеням х), т. е. представить ее в виде суммы ряда
типа B) или A).
Мы займемся здесь подобным разложением по отношению
к элементарным функциям, причем путь к решению поставленного
вопроса нам открывает формула Тейлора, подробно изучен-
изученная в 124-126. В самом деле, предположим, что рассматриваемая
функция f(x) в промежутке [х0, х0 + Н] или [х0 — Н,х0] (Н > 0)
имеет производные всех порядков (тем самым — непрерывные).
Тогда, как мы видели в 126, для всех значений х в этом промежут-
промежутке имеет место формула
Лп)(х )
¦¦¦ + ~ri +(х-х0Г + гп(х),	C)
где дополнительный член гп(х) может быть представлен
в одной из указанных в п° 126 форм. При этом п мы можем
брать сколь угодно большим, т. е. доводить это разложе-
разложение до сколь угодно высоких степеней х — х0.
Это естественно приводит к мысли о бесконечном разложении:
Такой ряд — независимо от того, сходится ли он и имеет ли, на са-
самом деле, своей суммой /(х), — называется рядом Тейлора для

398	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[403
функции f(x). Он имеет вид B), причем коэффициенты его:
а - /Чо) а -
а\ — —Y\—' 2~
а
2!' '"' пп\'"'
носят название коэффициентов Тейлора.
Так как разность между f(x) и суммой п+\ членов ряда Тей-
Тейлора, ввиду C), есть как раз гп(х), то, очевидно: для того чтобы
при некотором значении х действительно имело место разло-
разложение D), необходимо и достаточно, чтобы дополнительный
член гп(х) формулы Тейлора — при этом значении х —
стремился к 0 с возрастанием п\
lim rn(x) = 0.	E)
При исследовании вопроса, имеет ли место это равенство и при
каких именно значениях х, нам и будут полезны различные формы
дополнительного члена гп(х), выявляющие его зависи-
зависимость от п.
Чаще всего приходится иметь дело со случаем, когда х0 = 0
и функция f(x) разлагается в ряд непосредственно по степеням х\
этот ряд имеет вид A) с коэффициентами:
4Г	^Г	р... G)
Выпишем теперь подробнее дополнительный член гп(х) приме-
применительно именно к этому частному предположению: х0 = 0 [126]
А)@х)
в форме Лагранжа: гп(х) = —	^—^-хп+ ,	(8)
в форме Коши: гп{х) =	^^ A - в)пхп+х. (9)
п\
При этом о множителе в известно только то, что он содержится
между 0 и 1, но он может меняться при изменении х или п (и да-
даже — при переходе от одной формы к другой).
Перейдем к конкретным разложениям.
*> Этот ряд обыкновенно называют рядом Маклорена; см. сноски *>
на с. 278 и 282 первого тома.

404]	§ 7. РАЗЛОЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ	399
404. Разложение в ряд показательной, основных тригонометри-
тригонометрических функций и др. Докажем сначала следующее простое пред-
предложение, которым сразу будет охвачен ряд важных случаев:
Если функция f(x) в промежутке [0, Н] или [-Н, 0] (Н > 0)
имеет производные всех порядков и все эти производные при
изменении х в указанном промежутке оказываются по абсо-
абсолютной величине ограниченными одним и тем dice числом'.
|/">(*)|<Z	(Ю)
{где L не зависит от п), то во всем промежутке имеет
место разложение F).
В самом деле, взяв дополнительный член гп{х) в форме
Лагранжа [см. (8)], имеем, в силу A0):
rn\x)\ =
(и+1)! ' ' ^ (n+l)V
При безграничном возрастании п выражение Р, ^ стремится к 0,
как мы видели в 35, 1); впрочем, это же [в силу 364, 5°] следует
и из сходимости ряда
[370, 2), (а)]. Но в таком случае и гп{х) имеет пределом 0, что
и доказывает наше утверждение.
(а) Это предложение приложимо к функциям
f[x) = ех, sinx, cosx
в любом промежутке [—Н,Н], ибо производные их, соответ-
соответственно равные
/")(*) = е\ sin(x +n • |), cos(x +n • |),
будут в нем по абсолютной величине ограничены числом ен — для
функции ех и единицей — для sinx и cosx.
Так как коэффициенты Тейлора мы уже вычисляли для этих
функций в 125, 1)-3), то можем сразу написать разложения:
Y	Y	Y^
е^1 + - + - + ... + - + ...,	A1)

400	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[404
3 т5	г2к-\
+...+(ir
9	4	?к
+	+ A)* + ...	A3)
Все они имеют место при любом значении х.
(б) Нетрудно подобным же образом получить разложения и для
основных гиперболических функций, но проще, вспомнив
их определение:
ех -е~х	ех +е~х
shx =	, chx =	,
2	2
вывести эти разложения путем почленного вычитания или сложе-
сложения ряда (И) и следующего ряда, который из него получается за-
заменой х на —х:
Таким путем мы находим:
3 х5	х2к~1
-\* *
(в) К функции у = arctgx доказанное вначале предложение уже
не приложимо. Действительно, общее выражение для ее /7-й произ-
производной, найденное в 116, 8):
sinn(y + |)	A4)
у ^.
не гарантирует существования общей границы для всех
Так как соответствующий ряд Тейлора [см. 125,6)]:
3 5	2Jfcl
сходится лишь в промежутке [— 1, 1] *\ то вне этого промежутка
не приходится уже говорить о выражении функции arctgx этим
*) По признаку Даламбера [377], легко убедиться, что ряд (абсолютно)
сходится, если \х\ < 1, и расходится при \х\ > 1. Сходимость (неабсолютная)
при х = d=l вытекает из теоремы Лейбница [381].

405]	§ 7. РАЗЛОЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ	401
рядом. Наоборот, для |х| ^ 1 имеем, по формуле Лагран-
жа (8) [с учетом A4)],
\ГП\Л )\ ^
и + 1	Г1	w+Г
где j0 = arctg&x. Отсюда ясно, что гп(х) —> О, так что для всех
значений х в промежутке [—1, 1] имеет место разложение
2к-\
Мы еще раз подчеркиваем, что хотя arctgx и вне этого проме-
промежутка имеет определенный смысл, но разложение A5) там уже не
действительно, поскольку ряд не имеет суммы.
Из ряда A5) при х = 1, в частности, получается знаменитый
ряд Лейбница
— первый ряд, дающий разложение числа я\
405. Логарифмический ряд. Если в качестве функции f(x)
взять ln(l+x) (х > — 1), то соответствующий ряд Тейлора бу-
будет таков [125, 5)]:
Он сходится лишь для значений х в промежутке (-1, 1] *}; значит,
только для этих значений и имеет смысл исследовать поведение
дополнительного члена гп(х).
Возьмем его сначала в форме Лагранжа (8). Так как
п\
[116, 2)], то
"ч ' v ' и+1 A-
*^ Ср. предыдущую сноску; при х = — 1 получается (с точностью до знака)
расходящийся гармонический ряд.

402	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[405
Если 0 ^ х ^ 1, то последний множитель не превосходит единицы,
и отсюда
1(I ^
> так что гп(х) ~^ 0 (при п —»> оо).
1гя(хI ^ 7
Но при х < 0 поведение этого множителя становится неясным,
и приходится прибегнуть к форме Коши дополнительного чле-
члена [см. (9)].
Имеем
так что
, , ,. \x\n+1
1+вх/
Так как при х > — 1 будет 1 + вх > 1 — в, то последний множи-
множитель меньше единицы; следовательно, лишь только |х| < 1, заведо-
заведомо гп(х) —)> 0.
Любопытно, что, хотя форма Коши вполне исчерпывает воп-
вопрос для всех значений х между —1 и 1, она ничего не дает при
х = 1; в этом случае мы получаем
но ввиду возможности для в меняться вместе с /7, нельзя заключить
о том, что A - в)п ->> 0.
Итак, по совокупности для всех значений х в промежут-
промежутке (—1, 1] действительно будет
1ПA +х)=х_^ + ^_... + (_i)«-i Х1 + ...	A7)
В частности, при х = 1 получаем уже знакомый нам ряд
ln2=l-I + I-... + (-i)«-iI + ...	A8)
Из ряда A7) можно вывести и другие полезные разложения. На-
Например, заменяя в нем х на —х и вычитая полученный ряд почленно
из ряда A7) (при этом мы считаем \х\ < 1), придем к следующему
ряду:
|2 4	^

406]	§ 7. РАЗЛОЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ	403
406. Формула Стирлинга. В качестве приложения покажем, как с его
помощью может быть выведена одна важная формула анализа, носящая имя
Стирлинга (J. Stirling).
Возьмем в A9) х = ^ТТ> гДе п — произвольное натуральное число. Так как
тогда
то мы получим разложение
и+ 1	2
1
2^Т(Я	(
которое можно переписать в виде:
11	11
1
Это выражение, очевидно, больше единицы, но меньше чем
1 Г 1	1	"I _	1
+ ЗЦ21J + BlL + '"J ~ +
Итак, имеем:
1
2) \ п)	\2п(п+ 1)
откуда, потенцируя, найдем
Выведем теперь варианту ап = х . Тогда
1 + ?
и из предыдущих неравенств следует, что
«/1+1	gl2^
так что, с одной стороны, <2W > tfw+1, с другой же —
1
12(w+l)
B0)
Таким образом с возрастанием « варианта ап убывает (оставаясь ограничен-
ограниченной снизу, например, нулем) и стремится к конечному пределу а, варианта же
an-e~Tbi возрастает, стремясь, очевидно, к тому же пределу а (ибо е~Т2^ -^ l).
Так как при любом п выполняются неравенства
а < ап,

404	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[406
то найдется такое число в, заключенное между нулем и единицей, что
[Заметим, что число в, вообще говоря, зависит от п.] Вспоминая определение
переменной ап, находим:
Остается теперь определить величину постоянной а. С этой целью вспомним
формулу В ал лис а [317], которую можно записать в виде:
	 B«)!!
2 n-U 	' ~
Выражение в скобках преобразуем следующим образом:
2 22п • (и!)^
(In - 1)!! ~ Aп)\ ~ Aп)\ '
подставив сюда вместо и! его выражение по формуле B1), а вместо Bп)\ — ана-
аналогичное выражение
2п\2п в'
>— /2п\2п в'	,
)\ = ал/2п^[ — ) -е^п @ < ^ < 1),
V е /
после элементарных упрощений получим
B/2-1)!! V 2
так что
— = Km 	а • — • е 24п = —.
2 и-юо 2/2+1 2	4
Отсюда:
а = 2л" и а = л/2л\
Подставляя это значение а в формулу B1), мы и придем к формуле
Стирлинга
@ < в < 1),
которая позволяет легко оценивать величину факториала и! при больших значе-
значениях п.
Для упражнения предлагаем читателю фактически найти сумму ряда
и=1
сходимость которого была доказана в п° 367, 9), (б).
Указание. Вычислить п-ю частичную сумму и, преобразовав ее с помощью
формулы Стирлинга, перейти к пределу. Ответ: jA — In2).

407]	§ 7. РАЗЛОЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ	405
407. Биномиальный ряд. Возьмем, наконец, f(x) = A + х)т,
где т — любое вещественное число, отличное от 0 и от всех
натуральных чисел (при натуральном т получается известное ко-
конечное разложение по формуле Ньютона). В этом случае ряд
Тейлора имеет вид [125, 4)]:
т(т — 1) 9	т(т — 1). . . (т — п + 1) „
1 + тх+ \.2 *+••• + —	х%1% 	-*" + ...;
его называют биномиальным рядом, а коэффициенты его —
биномиальными коэффициентами. При сделанных отно-
относительно т предположениях ни один из этих коэффициентов не
будет нулем (наоборот, если бы т было натуральным числом, то ко-
коэффициент при xm+l и все следующие обратились бы в нуль). С по-
помощью признака Даламбера [377] легко установить, что при
\х | < 1 биномиальный ряд (абсолютно) сходится, а при \х \ > 1 —
расходится. Исследование дополнительного члена гп(х) мы будем
производить в предположении, что |х| < 1, причем сразу возьмем
его в форме Коши (9) (форма Лагранжа и здесь дает ответ
не при всех значениях х).
Так как
=т(т-1)...(т-п+ \){т - п){\ + х)т~п~\
то будем иметь:
,„(*)	A в
Представим его, перегруппировав множители, в виде:
(т - 1)(т - 2)... (т - I - п + 1)
Первое из этих трех выражений представляет собой общий член
биномиального же ряда, но отвечающего показателю т — 1; так как
при \х | < 1 биномиальный ряд сходится, каков бы ни был показа-
показатель, то это выражение при а —>> оо стремится к нулю. Что же ка-
касается двух других выражений, то второе по абсолютной величине

406
ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
[407
содержится между границами
\тх\ • A - ИГ и \тх\ • A + \х\)т~\
не зависящими от /7, а третье, как и в 405, меньше единицы. Таким
образом, гп(х) —»> 0, т. е. для \х\ < 1 имеет место разложение
= \+тх+
1-2
w(w — 1)... {т — п + 1)
B2)
l-2-...-n
которое также связано с именем Ньютона.
Мы не рассматривали вопроса о применимости его при значениях .х = d=l.
Легко сообразить, что биномиальный ряд есть частный случай гипергеометриче-
гипергеометрического ряда и получается из последнего при а = — т, /3 = у и замене х на —х.
Вследствие этого, по таблице в 402, 8), легко составить такую таблицу, харак-
характеризующую поведение биномиального ряда на концах х = d=l его промежутка
сходимости:
X = 1
х = -1
т > 0
0 > т > -1
т < -1
т > 0
т < 0
абс. сходится
неабс. сходится
расходится
абс. сходится
расходится
Можно показать, что всякий раз, когда биномиальный ряд сходится, его сум-
суммой будет A + х)т. Здесь мы на этом не останавливаемся, желая избежать кро-
кропотливого исследования дополнительного члена, так как этот результат просто
вытекает из одной общей теоремы, которая будет доказана ниже [см. 437, 6°].
Отметим некоторые частные случаи биномиального ряда, отвечающие, на-
например, т = — 1, ^, — j.
1 +х
= 1 -х +х2 - ... + (-
-xn + ...
(-1 < х < 1)
(обыкновенная геометрическая прогрессия), затем
= 1 — -х + -х	— х + — х — .
B3)
1). B4)

408]	§ 7. РАЗЛОЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ	407
Важно подчеркнуть, что в случае рационального т сумма биномиального
ряда дает всегда арифметическое значение радикала.
Замечания. I. На этом построено, например, следующее любопытное раз-
разложение, принадлежащее Шлёмильху (О. Schlomilch). Прежде всего, полагая
в B3) х = —у , где —1 ^ у ^ 1, получим, что
Bя - 3)!! 2„_!
; Bи)й У ¦
сюда выражени
— оо и +оо. Окажется, что
А затем вместо у подставим сюда выражение 2 •> гДе z изменяется уже между
Bw - 3)!! / 2z
Bw)!! V
2z ч
l+z2/
2«-i (z, если
-, если
1,
l.
Этот пример интересен тем, что для функции, определяемой в разных про-
промежутках различными аналитическими выражениями z и |, дается в то же
время и единое аналитическое выражение — в виде суммы ряда [ср. 46; 363, 5)].
П. Во всех рассмотренных выше примерах разложения функций в ряд
Тейлора выходило так, что для всех значений х, при которых ряд сходился, его
сумма равнялась той функции, для которой ряд был построен. Поэтому у читате-
читателя могло возникнуть подозрение, что вообще достаточно установить сходимость
ряда, даже не проверяя соотношения E), чтобы было обеспечено разложение D)
или F).
На деле, однако, это не так. Если, например, вернуться к функции, рассмо-
рассмотренной в замечании п° 138:
f(x)=e~$ (прил^О), Д0)=0,
то для нее, как мы видели, существуют даже при х = 0 производные всех поряд-
порядков, но все в этой точке обращаются в нуль. Ряд Тейлора вида F) со сплошь
нулевыми коэффициентами, конечно, сходится везде, но ни при одном значении х
(кроме х = 0) не воспроизводит значения исходной функции.
408. Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения. Мы позна-
познакомились выше с разложениями важнейших элементарных функций в бесконеч-
бесконечные ряды, расположенные по степеням х, т. е. с представлением этих функций
в виде «бесконечных многочленов». В заключение этого параграфа мы пред-
представим функции sin^c и cos.x в виде бесконечных произведений, которые как бы
осуществляют разложение на множители соответствующих «бесконечных много-
многочленов».
Начнем с вывода одной вспомогательной формулы. Известна из алгебры фор-
формула Моавра*^:
(cosz + i sinz)m = cos mz + i • sin mz,
где т будем считать натуральным числом. Раскрыв слева скобки — по обычному
правилу — и приравняв слева и справа коэффициенты при «мнимой единице»
*)
См., например, ниже, 453.

408	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[408
i = у/—Т9 получим
ти-1	m(m — l)(w "" 2)	m-3	3
sin mz = m cos z • sin z	cos z • sin z + . . .
Если w = 2n -\- \ нечетно, то, заменяя четные степени косинуса по формуле
cos z = A — sin z) , мы представим результат в виде:
sinB^ + l)z = sinz • P(sin2z),	B5)
где P{u) есть многочлен п-й степени.
Этот многочлен, если через и±, и2, . . ., ип обозначить его корни, можно сле-
следующим образом разложить на множители
Р{и) =а{и-их)...{и-ип)=А(\--У..(\--\
Корни и±, и2, . . ., ип легко определить из B5), заметив, что если z обращает
в нуль sinBп + l)z, но оставляет sinz отличным от нуля, то sin2z необходимо бу-
будет корнем многочлена Р(и). Очевидно, значениям z = 2п+\> ^ 2и+1' * * *' п 2и+1'
содержащимся между 0и| и идущим в порядке возрастания, отвечают возраста-
возрастающие же (следовательно, различные) корни:
2 Л"	2	Я	2 ^
щ = sin	-, и2 = sin 2	-, . . ., ип = sin п-	-.
1	2п + 1 l	2n+\	n	2n+ \
Наконец, коэффициент А = Р{0) определяется как предел отношения sm
при z —>> 0; отсюда А = 2п + 1.
Таким образом, приходим к формуле
sinz 1
V
	=
sin ZjHTt
-2
sin z
Полагая z = 2n+\> перепишем ее так:
ml ^)( S1f ^ Y B6)
Будем считать х отличным от 0, zLjt, zL2jt, . . ., так что sin^c ф 0. Возь-
Возьмем натуральное число к под условием: 2 • (к + 1) > |*|, и пусть будет п > к.
Представим теперь sinjc в виде произведения:
sin* = C/W • Ft(n),	B7)
где
) = (In + I) rin ^^ A - S^ ^ V . . f 1 -
к	2п+\\ sin2 ^ У V
содержит лишь ^ множителей в скобках, а
_ si
2
к
охватывает все остальные.

408]	§ 7. РАЗЛОЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ	409
Пусть к пока фиксировано; легко найти предел U^ при п —>> оо, поскольку
это выражение состоит из определенного конечного числа сомножителей. Так как
х
lim Bп + 1) sin 	 = х,
п^оо	2п+ \
sin2 9^тт	х1
lim 9 ln+l = -г-г (Л = 1, 2, . . ., к),
п^оо sinz /г _?L_ hzjTz
то
Ввиду B7), существует и предел
V = lim К, причем sin;\; = Uk • Vk.
Займемся оценкой предела Vk.
Известно, что для 0 < (р < ^ имеют место неравенства
2
— (р < sin (р < (р
ж
[54, (9); 133, 1)]. Поэтому
2 х	х
sin 	 <
2п +1 Bп + IJ
и
sin h	 > —г •	 (п = к + 1, . . ., п),
2п+\ ж2 Bп+ IJ
так что
+ \I J v An1 J
Бесконечное произведение
" --)
Ah2)
2	2	°° х2
(где /z0 выбрано так, чтобы было 4/z0 > х ) сходится, ибо сходится ряд 22 ~Ш.
[401, теорема 5°]. Поэтому остаточное произведение	h=hQ
h=k+\
при к —>> оо должно стремиться к 1 [401, 2°]. Очевидно, мы лишь усилим второе
из неравенств B8), если напишем
1 > Vln) > Vk;
переходя (при фиксированном к) к пределу при п -л оо, получим
1 > Vu > Vu.

410	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[408
Отсюда следует, что
Hm Vk = 1, так что lim Uk = sin х,
&—>-оо	&—>-оо
и мы приходим, окончательно, к замечательному разложению:
впервые установленному Эйлером.
Оно имеет место, разумеется, и для исключенных ранее значений х = 0,
±я", ±2jt, . . ., ибо тогда обе части этого равенства суть нули. Легко видеть, что
отдельные множители как раз и отвечают различным корням sin x. *'
Если в полученном разложении положить х = §, то найдем:
2 ?	2
отсюда снова вытекает формула В ал лиса [317; ср. 400, 2)].
Укажем еще одно интересное применение этого разложения, которое, заме-
заменяя z на жх, можно представить в виде:
оо	2
sin jtx = jtx I 1A	т- ).
х х V п1)
Вспомним определение функции Т(х) [402, A3)]:
п=\	п
и соотношение Г(* + 1) = * • Г(*) [там же, A5)]. Тогда
fi + i)
п=\	п
Умножая, сразу приходим к так называемой формуле дополнения
Т(х) • ГA — х) = 	—	,	C0)
sin jtx '
также найденной Эйлером; она имеет место при любых нецелых значени-
значениях х**\
Аналогично разложению sin* выводится разложение
ОО	.0	ОО /	О
COS* =
п=\	v	у	п=\
*) Относительно возможности переставлять сомножители — см. 402, 4).
**' Положим здесь * = j, в частности, найдем, что [г(^)] = ж; так как при
* > 0 и Г(х) > 0, то Г(^) = у/л.

409]	§ 8. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ	411
выявляющее корни cos^c: zb
ложения sin x, по формуле
выявляющее корни cos^c: d= п2 л. Впрочем, оно может быть получено и из раз-
cos х = sin I	х I или cos x =
sin 2x
2 sin x
Наконец, упомянем о разложениях
оо	2	°° /	2	\
shjc =х - ТТ( 1 Ч- -4-^), chjc = TT(l +	т),	C1)
и=1	и=1 V (,—3~ ^J 7
которые также могут быть установлены с помощью сходных соображений.
§ 8. Приближенные вычисления с помощью рядов.
Преобразование рядов
409. Общие замечания. На примере полученных нами конкретных разложе-
разложений мы разъясним, как бесконечные ряды могут быть использованы для целей
приближенных вычислений. Предпошлем ряд общих замечаний.
Если неизвестное нам число А разложено в ряд:
А = ах +а2 + а3 + . . . + ап + ... ,
где а±, а2, а3, . . . — легко вычисляемые (обыкновенно рациональные) числа,
и мы положим приближенно:
А=Ап = ах +а2 + . . . + ап,
то поправка на отбрасывание всех остальных членов выразится остатком
ап — ап+\ + ап+2 + • • •
При достаточно большом п эта погрешность станет сколь угодно малой, так что Ап
воспроизведет А с любой наперед заданной точностью.
Мы заинтересованы в возможности просто производить оценку остатка ап;
это позволило бы нам и вовремя остановиться при вычислении последовательных
частичных сумм, когда уже будет получено приближение требуемой точности.
Если рассматриваемый ряд оказывается знакопеременным и притом с моно-
монотонно убывающими по абсолютной величине членами («лейбницевского типа»),
то, как мы видели [381, замечание], остаток имеет знак своего первого члена и по
абсолютной величине меньше его. Эта оценка в смысле простоты не оставляет
желать лучшего.
Несколько сложнее обстоит дело в случае положительного ряда.
Тогда обыкновенно стараются найти легко суммируемый положи-
положительный же ряд, члены которого были бы больше членов интересующего нас
остатка, и оценивают остаток суммой этого ряда.
оо
Например, для ряда J^ -\ можно получить:
оо	оо	оо
<ЧГ^ 1	<ЧГ^	1	<ЧГ^ /1	1 \	1
*-^ тА *-^ т\т—\) *-^ \т — 1 т/ п
т=п+1	т=п+1	т=п+1

412	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[410
[эта оценка совпадает с оценкой сверху, полученной в A1), 373, с помощью ин-
оо
тегрирования], а для ряда 1 + У^ ^
1
~ 1 1 ~	1	1 ~	1	1
т\ п\ ^ (п+1) • . . . • т п\ ^ (п + 1)т~п п\ п
[этой оценкой мы фактически и пользовались при вычислении числа е в 37].
Обыкновенно ищется десятичное приближение числам, в то время как
члены ряда могут и не быть выражены десятичными дробями. При обращении
в десятичную дробь округление их служит источником новой погрешности, кото-
которую также следует учесть.
Наконец, отметим, что далеко не всякий ряд, имеющий суммой интересующее
нас число А, пригоден для фактического вычисления этого числа (даже если
его члены просты, и оценка остатка производится легко). Вопрос — в быстроте
сходимости, т. е. в быстроте приближения частичной суммы к числу А.
Возьмем для примера ряды [см. 404, A6); 405, A8)]:
1 111	1111
1	1	Ь . . . и 1	1	1	...,
35 7	23 45
дающие соответственно разложение чисел ^ и In 2. Для того чтобы с их помо-
помощью вычислить эти числа, скажем, с точностью до -i, нужно было бы сложить
пятьдесят тысяч членов в первом случае и сто тысяч — во втором;
это, конечно, осуществимо лишь с помощью быстродействующих вычислитель-
вычислительных машин.
Ниже мы без особого труда вычислим упомянутые числа даже с большей
точностью, но использовав более подходящие ряды.
410. Вычисление числа л. Воспользуемся известным рядом для арктанген-
арктангенса [404, A5)]:
х3 х5 х1
arctg* =х -— + — - — + ... (-1 < х < 1).
Если взять х = -4=, то arctg х = ^, и мы получим ряд
JT _ 1 /	1111	11
6"~vfv~3'3 + 5'32~7'33
уже пригодный для вычисления.
Вспоминая формулу сложения для арктангенса*^
arctg* + arctg;; = arctg
l xy
и выбирая в качестве х и у какие-нибудь две правильные дроби, удовлетворяющие
соотношению
х+у
1-ху
= 1 или (х + 1)(у + 1) =2,
*^ Которая в этом виде верна лишь в предположении, что сумма углов по
абсолютной величине < ^ [50].

410]	§ 8. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ	413
будем иметь j = arctg^: + arctg j/ = (x — 3- +. . .) + (у — ^- + ...). Например,
положив х = ^, у = ^, получим
1 1 1 1 1	x xl 11 11
Существуют, однако, ряды, еще более удобные для вычисления числа ж. По-
Положим а = arctg ^, тогда
1	—	5	—	120
tga=-, tg2	^	4	^
-^T = -f tg4a = -^__ =
Э	1 - 25	12	1 - 144
Ввиду близости этого числа к 1, ясно, что угол Аа близок к
/3 = 4а — j, будем иметь:
120 1 1	1
тто — *¦ *-	*-
Отсюда
11
A-1.1 + 1.1-1.1 +
1111	\	/ 1	1
Это — формула М э ш и н а (J. Machin).
Вычислим по ней число ж с 7 знаками после запятой. Для этого достаточно
тех членов формулы, которые фактически выписаны. Так как оба ряда — типа
Лейбница, то поправки в уменьшаемом и вычитаемом на отбрасывание невы-
писанных членов, соответственно, будут:
16	1	4	1
0A	0A
Сохраненные члены обратим в десятичные дроби, округляя их (по правилу до-
дополнения) на 8-м знаке. Вычисления сведены в таблицу (± в скобках указывает
знак поправки):
16
5
16
i
'5-55
16
9-59
- 3,20000000
-0,00102400
-0,00000091 (+)
3,20102491
3,20102491
0,04269596
3,15832895
16
3 • 53
16
' 7-57
16
11-511
4
— 239
3 • 2393
- 0,04266667 ( )
- 0,00002926 (-)
п nnnnnnn^ ( \
0,04269596
= 0,01673640 (+)
ППППППП1П ( \
0,01673630
Учитывая все поправки, имеем:
3,15832895 < 16а < 3,15832898,
-0,01673632 < -4/3 < -0,01673630,

414	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[411
так что
3,14159263 < л < 3,14159268.
Итак, окончательно л = 3,1415926. . ., причем все выписанные знаки верны.
411. Вычисление логарифмов. В основе вычислений лежит ряд
и+ 1
In	 = 1п(и + 1) — In п =
[1
3 Bл2+ IJ 5 B^2+1L '
которым мы уже пользовались в п° 406 [см. B0)] при выводе формулы Стир-
л и н г а. При п = 1 получим разложение для In 2:
_ 2 / 11 11 11 11
~3\+з'9 + 5'92 + 7*93 + 9'94 +
11 11 11 11
Этот ряд вполне пригоден для вычислений. Покажем, например, что, ограничива-
ограничиваясь лишь выписанными членами, можно найти In 2 с 9 правильными десятичными
знаками.
В самом деле, если отбросить члены этого ряда, начиная с десятого, то со-
соответствующая поправка будет:
л 2/1111	\	2/11
1
12-19-98 1010'
Вычисления на 10 знаков сведены в таблицу:
- = 0,66666 66667 (-)
2 = 0,02469 13580 (+)	 = 0,00000 10264 (-)
3-3-9
2
3 • 5 • 92
2
3 • 7 • 93
2
3 • 9 • 94 ~ "'	^^^ v }	3 • 17 •
= 0,0016460905 (+)	 = 0,00000 00965 (-)
2
= 0,00013 06421 (+)	 = 0,00000 00093 (-)
= 0,00001 12901 (-)	 = 0,00000 00009 (+)
сумма 0,6931471805
Учитывая все поправки, имеем: 0,69314 71802 < In 2 < 0,69314 71809, так
что In 2 = 0,69314 7180 . . ., и все написанные 9 знаков верны.
Полагая теперь в A) п = 4, найдем:
2/1111
A + -.- + -.^ + .

411]	§ 8. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ	415
Пользуясь уже вычисленным значением In 2, по этой формуле легко вычи-
вычислить In 5, а затем и In 10 = In 2 + In 5. После этого, с произвольной степенью
точности, может быть вычислен модуль
m=-L
In 10
для перехода от натуральных логарифмов к десятичным; он равен М =
= 0,434294481 . . . Умножив на модуль, найдем десятичные логарифмы: lg 2 и lg 5.
Перейдем к десятичным логарифмам и в основной формуле A):
lg(/2 + 1) - lg л = —— [l + - • п ,n2 + - • п ,n4 + . . . 1. B)
In + 1 L 3 B/2 + \)z 5 [In + IL	J
Полагая здесь n = 80 = 23 • 10 и принимая во внимание, что /2+1 = 81 = 34,
найдем
[i +	+	+ .
161 L 3 25921 5 259212
откуда легко найти lg 3. Полагая, далее, в формуле B) п = 2400 = 3 • 23 • 102,
будем иметь
п + 1 = 2401 = 74
и
так что найдем и логарифм lg 7. Подбирая подобные числовые комбинации, можно
с произвольной степенью точности найти логарифмы простых чисел, а по ним
путем умножения на натуральные множители и сложения найдутся логарифмы
составных чисел.
Можно было бы поступать и иначе, непосредственно вычисляя логарифмы
последовательных натуральных чисел и переход от lg/2 к lg(/2 + 1) при помощи
формулы B). Так, для вычисления логарифмов чисел от 1000 до 10000 возьмем
в формуле B) только один член, т. е. приближенно положим
ig(/i+i)-ig/j = ^Y (ю3 <й< ю4).
Поправка при этом будет
2М г1	1	1	1	1
1	^2+1L + ' " \
_
=
3 B/2+IJ 5 B/2+1
2M г	1	1	i
< 3B/2+ IK Г + B/2+ IJ + B/2 + IL + ' " J =
2М	2М
3B/2+ 1) -2/2- B/2 + 2) 24/23
Так как у нас п ^ 10 , а 2М < 1, то
Д<^< 1
24 • 109 2 • 1010 '

416	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[412
Если бы даже все ошибки суммировались, то в общем все же погрешность
была бы меньше, чем 10 = | 6. Но легко избегнуть такого накопления по-
погрешностей, вычислив целый ряд контрольных логарифмов по первому ме-
методу. Таким путем можно достигнуть гораздо большей точности, сохранив в то
же время присущий второму методу автоматизм вычислений (который очень
ценен, особенно при составлении обширных таблиц).
412. Вычисление корней. Проще всего корни вычисляются с помощью таб-
таблицы логарифмов. Однако если отдельные корни нужны с большой точностью, то
целесообразно прибегнуть к биномиальному ряду [407, B2)]:
п , лт л . . гп{т - 1) 2 . т{т- 1)(/и - 2) 3 ,
A+*) =1+тх + —1 2 х +	\.2-Ъ	Х
Предположим, что нужно вычислить \/2, причем уже известно приближен-
приближенное значение а этого корня (по недостатку или по избытку), но требуется его
улучшить. Если, скажем,
1
где \х | есть небольшая правильная дробь, то можно преобразовать корень следу-
следующим образом:
и использовать биномиальный ряд при т = j. Иногда выгоднее исходить из
равенства
если |^; | снова — небольшая правильная дробь, и прибегнуть к другому преобра-
преобразованию:
К
А
после чего применить биномиальный ряд, взяв т = — |.
Для примера, вычислим с большой точностью \/2, исходя из его прибли-
приближенного значения 1,4. С этой целью преобразуем корень по одному из указанных
двух образцов:
ИЛИ
Для облегчения вычислений естественно предпочесть второй путь. Итак, имеем:
._	/11 3 1 5 5 35 1 63 1
V2-l,4- ^1+-. - + -.— + -. — + — . — + — . — + .

413]	§ 8. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ	417
Ограничимся написанными членами; все они представляются конечными де-
десятичными дробями:
1 + ... +— • — = 1,0101525
16 503
— • -5-г = 0,00000004375
128 504
	— = 0,0000000007875
1,0101525445375 х 1,4 = 1,41421356235250.
Так как коэффициенты при степенях ^ убывают, то поправка может быть
оценена, как обычно:
231	/,,1,1, \	1,4-231	2,1
" 1024-505 -49 1011'
Поэтому
1,414213562352 < л/2 < 1,414213562373,
л/2 = 1,4142135623 . . . ;
все десять знаков после запятой верны.
Использовав преобразование
л/5 =1,41A--^)"*.
V 20 000/
легко получить значительно большее количество знаков. Приведем еще несколько
примеров подобных преобразований (предоставляя вычисления с помощью
биномиального ряда читателю):
413. Преобразование рядов по Эйлеру. При использовании ряда для прибли-
приближенных вычислений иной раз оказывается выгодным предварительно подвергнуть
его преобразованию. Так называется замена данного сходящегося ряда — по то-
тому или иному правилу — другим рядом с той же суммой. Конечно, применять
такое преобразование целесообразно лишь в том случае, если новый ряд быстрее
сходится и удобнее для вычислений.
Выведем формулу для классического преобразования, носящего имя Э й л е -
ра. Пусть дан сходящийся ряд
к=0
где х > 0. Мы лишь для удобства представляем к-й коэффициент его под ви-
видом ( — 1) ak, вовсе не предполагая все ak > 0. Для варианты ak (к = 0, 1, 2, . . .)

418	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[413
мы введем в рассмотрение последовательные разности (наподобие того, как
сделали это в 122 по отношению к функции f[x) от непрерывно меняющегося
аргумента х):
Аак = ак+\ ~ ак> ^ак = Аак+\ ~ Аак = ак+2 ~ 2ак+\ + ак
и, вообще,
ДЧ = Д^Ч-Н - ДР"Ч =
= Ч+р ~ С\ ак+р_х + С2р ак+р_2 -... + (-1L- D)
Перепишем данный ряд так:
S(x) = п° - ulX ~ а°Х + aixl ~ gl*2 - а?>х3 ~ п2х3 +
1+JC	1+JC	1+JC	1+JC
Это дозволительно, так как к-я частичная сумма нового ряда разнится от анало-
аналогичной суммы ряда C) лишь слагаемым j^( — \)ak^x, стремящимся к О
при к —>> оо в виду сходимости исходного ряда [364, 5°]. Введем теперь разности
для упрощения записи:
S(x) =	{а0 - Аа0 -х + Аах • х2 - Аа2 • х
Сохраняя первый член yq?^> остающийся ряд
{0
1 ~т~ X
перепишем, как и S(x), в форме
• х + Аа2 • х2 - . . .
так что, если снова выделить первый член, имеем:
Продолжая поступать так и дальше, после р шагов получим:
_ «О	Аа0 . , Д2д0 . 2
где
^	¦х + АР°2 -х2-¦¦¦} =
р	оо
Обратимся к доказательству того, что Rp(x) при р —>> оо стремится к 0.

414]	§ 8. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ	419
Заменив р-ю разность Арак ее разложением D) и переставив суммирования,
получим
1=0
1 р
1=0	к=0
Если ввести обозначение для остатка исходного ряда C), положив
оо
/ \ \ А/ л \k-\-n	к-\-п /	rv i ^	\
гп(х) = ) (-1) ак+пх	(п = 0, 1, 2, . . .),
к=0
то выражение для Rp(x) окончательно может быть написано в виде
Р	Р
п / ч _ ?^0	 (=0
pl j	(l)P
(l+x)P	{\+х)Р
и так как гп(х) —>> 0, то, в силу 6°, 391, и Rp{x) —>- 0.
Переходя в E) к пределу при /? —>> оо, найдем, что
Подставляя вместо S(x) его выражение C), мы и придем к преобразованию
Эйлера:
к=0	р=0
Чаще всего его применяют при х = 1; тогда оно преобразует числовой ряд
в числовой же:
к=0	р=
414. Примеры.
1) Положим ak = 	, где z — любое постоянное число, отличное
z + к
от 0, -1, -2, -3, ... Ряд
" (-1)"
Z +&
?=0
если отбросить в нем достаточное число первых членов, окажется рядом «лейб-
ницевского типа» и, следовательно, сходится.

420	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[414
Легко вычисляются последовательн
щью математической индукции находим:
Легко вычисляются последовательные разности Aak, A ak, . . ., и с помо-
р	р-
в частности,
Таким образом, по формуле G)
^(-1)* ^ 1	Р!
Если положить здесь z = 1, то получится преобразование известного ряда
для In 2:	_	_
^v ' т ^ п ¦ 2"
/77=1	П=\
Читателю ясно, что вторым рядом для приближенного вычисления In 2 поль-
пользоваться гораздо выгоднее; чтобы получить точность в 0,01 в первом ряде по-
потребовалось бы 99 членов, в то время как во втором достаточно было бы взять
5 членов!
2) Пусть ак = 	 (z отлично от 0, — 2, — 4, . . .). Представив ак в ви-
¦2k
г ' §+Р ДЛ5
формулой:
де: ак = ^ • х+?> для выражения A^^q мы можем воспользоваться прежней
2
_ ( л\Р ~ 	?_;	 _ / л\р
0 — У~Ч ' ^ ' у G , л\	Ту~>—V — \Ч ' ^ '
1	2^+1 • р\
2z (' z 1 ^ (z \ \ v *J 'T
7тGТ~г)'''('?~'~/^)
В этом случае преобразование Эйлера имеет вид:
™	1	1 °°	i
у (-1)* _L_ = I у	р-
U	Z+2k 2^z(z+2)...(z
В частности, при z = 1 отсюда получается преобразование ряда Лейбница,
выражающего f:
4 ^^v У 2А: Ч- 1 2^^Bр+1)!!
3) Для 0 ^ х ^ 1 мы имели в 404, (в), разложение
Желая применить к этому общему ряду преобразование Эйлера, положим в F)
ак = 2fcl|-i> тогда для А^а0 можно использовать формулу предьщущего примера
(при z = 1):
Bр+1)П"

414]	§ 8. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ	421
Кроме того, заменим в F) х на х и обе части равенства еще умножим на х.
В результате получим:
2Аг+1
4) Не следует думать, что эйлерово преобразование сходящегося ряда в с е г -
д а приводит к улучшению сходимости. [При этом, сравнивая качество сходимости
оо	оо
двух рядов J2 ск и J2 ск с членами любых знаков, мы, как и в 7), 375, исходим
к=0	к=0
из поведения отношения их соответственных остатков уп и у'п\ если Ц- —>> 0, то
первый ряд сходится быстрее, а второй — медленнее.]
Вот примеры:
оо	оо
у (— 1) —г переходит в быстрее сходящийся ряд > - • —,
к=0	р=0
>^ — переходит в медленнее сходящийся ряд >^ - ( -
к=0	р=0
5) При использовании преобразования ряда для вычислений часто бывает вы-
выгодно первые несколько членов ряда вычислить непосредственно и преобра-
преобразованию подвергнуть лишь остаток ряда. Проиллюстрируем это на примере
вычисления числа ж с помощью ряда, выведенного в 2):
1 1-2 1 -2-3	1 -2...../?
Так как отношение последующего члена к предыдущему 2р+\ < 1 >г
сываемып остаток ряда всегда будет меньше последнего вычисленного
члена. Например, мы получим шесть верных цифр числа ж после запятой, вычис-
вычислив 21 член написанного ряда, ибо 21-й член
2 • 1 ' 2 ' 3 ' ' ' ' ' 2° = 0,000 000 37. . . < 0,000 000 5.
1 • 3 • 5 • . . . • 41
Если же, скажем, первые семь членов исходного ряда вычислить непосредственно
и лишь остаток после 7-го члена преобразовать, мы получим
11111
1	1 -2-... -р
15 + 15 • 17 + 15 • 17- 19 Н	h 15 • 17 • ... • A5 + 2/?)
Здесь уже восьмой член ряда в скобках меньше требуемой границы:
и для достижения той же точности достаточно, кроме 7 сохраненных членов,
вычислить еще 8 членов, т. е. всего 15, против прежних 21!

422	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[415
415. Преобразование Куммера. Мы видели, что преобразование Эйлера,
основывающееся на точно сформулированном правиле, приводит к однозначно-
однозначному результату, правда, не всегда выгодному [414, 4)]. Метод же преобразова-
преобразования рядов, предложенный Куммером, допускает большой произвол, многое
предоставляя искусству вычислителя, но зато является более целеустремленным,
в смысле облегчения приближенного вычисления. Мы ограничимся изложением
идеи, положенной в основу названного метода, и осветим его немногими приме-
примерами.
Пусть дан сходящийся ряд
АМ+А® + ...+аЮ + ...	(9)
и требуется вычислить его сумму с заданным приближением. Очевидно, А^' —>> О
при к —> оо. Выберем другую бесконечно малую а\ , эквивалентную А^ ' [62],
так, чтобы ряд
aw + af) + ... + af) + ...
не только сходился к конечной сумме А^ но и чтобы эта сумма легко вычислялась.
Если положить
Ак)	(к)	(к)
то
1	1
и вычисление суммы исходного ряда приводится к вычислению суммы преоб-
преобразованного ряда, члены которого заведомо быстрее стремятся к нулю.
оо
Например, желая вычислить сумму ряда J^ p-9 мы вспоминаем про ряд
оо
J2 k(k+\) с СУММОИ 1 [25, 9)] и отмечаем, что (при к —>> оо)
1	1
к2 к(к+1)'
Так как разность
1	1 _ 1
~& ~ к(к+ 1) ~
оо
^2= +2
1	1
и преобразованный ряд оказывается более выгодным для вычисления.
(к)
Указанный процесс можно повторить, и, взяв новую бесконечно малую а^ ,
эквивалентную а\\ так, чтобы ряд

415]	§ 8. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ	423
сходился к конечной и легко вычисляемой сумме А^ мы сведем вычисление сум-
суммы исходного ряда, по формуле
1	1
к вычислению суммы последнего ряда, члены которого
(к)	(к)	(к)	( (к)\
а^ J = а\ J — а\ J = о(а\ J)
стремятся к нулю быстрее, чем а[К
Повторив процесс р раз, придем к формуле
оо	оо
/ ^4=^4- А^ ~\~ • • • ~\~ А„ -\- у ctjj ,	A^)
к=\	к=0
где
оо
А} = у пi [i = 1, 2, . . ., р)
k=l
суть известные суммы последовательно выделяемых рядов, и сведем дело к вы-
оо
числению суммы ряда У^а^К
1
оо
Так, в приведенном выше примере вычисления суммы ряда J^ Л можно
к=\к
пойти дальше:
'-^ к2(к +1) f~< к(к + 1)(^ + 2) ' ^ к2(к + 1)(? + 2)
— 1	к— 1	к— 1
к=
так что
00 1	?
затем
оо	?1
и т. д. После р шагов получим
оо	_	оо
/ —т = 1 Н—т + . . . Н—5" ~1~ Р' / ^5	•	A0а)
При этом мы все время пользуемся уже известной нам формулой
^	1	1
[получающейся из выведенного в 4), 363, соотношения при а = 0].

424	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[415
оо
Таким образом, вычисление суммы медленно сходящегося ряда V X приво-
к=\к
дится к вычислению суммы р его членов и суммы быстро сходящегося —
уже при умеренных значениях р — преобразованного ряда.
Приведем еще один более сложный пример.
Обозначим через S (р — натуральное) сумму ряда
При неопределенном пока j имеем
к+у	к+1+У
к2(к + IJ . . . (к + р - IJ {к+ \J{к + 2J . . . {к + рI
Bр- 1)к2+р(
Отсюда видно, что (при к —>> оо)
1 \	к + у	к+\+у
2р-1
*2(*+1J...(* + р- IJ'
Если заменить члены ряда ^ этими эквивалентными им разностями, то
получится ряд с легко вычисляемой суммой
1	1 +j/
2р-1 (Ь2.3.....рJ'
Дополнительный («преобразованный») ряд будет иметь общий член
кЦк+1J...(к + рJ
Вот теперь мы воспользуемся произвольностью у и выберем его так, чтобы в чи-
числителе здесь исчез член, содержащий к:
V =	1.
У 2
Учитывая все сказанное, получаем для ряда Sp такую формулу преобразо-
преобразования:
S	+	S
2Bр - 1)(р!J + 2Bр -

416]
§ 8. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
425
Отсюда, подставляя вместо р последовательно значения 1,2,...,/?, имеем
°° 1	3 1
?5	+ ^
B!K
~ I)']3
(Р ~ 1)!
•sn
2P~lBp -3)\\ p P-2P B/?-l)!! 2P • {2p - 1)!!
Наконец, складывая почленно все эти равенства, придем к результату
A1*)
1
к=1
1
2
1
1
2Р
1 1
(рО3
¦Bр-
1
1
1)!!
1
2!
3 • 23 " 5П
1
• 2Р
(Р - 1)! ]
IJ • . . . • (к
A06)
Взяв, например, р = 5 и сохранив в преобразованном ряде тоже 5 членов,
можно вычислить сумму исходного ряда с точностью до -j-U.
416. Преобразование Маркова. Прием для преобразования данного схо-
сходящегося ряда (9)
к=\
указанный А.А. Марковым, также оставляет много произвола вычислителю.
Разлагая каждый член А^ каким-либо образом в сходящийся же ряд, имеем:
Из членов всех этих рядов составляется бесконечная прямоугольная матрица
с двумя входами [ср. 393, A)]
Ат
АB)
А(к)
"
A) „A) „A)
"
,(!)
42)
,C)
A2)
?
так что искомое число ^4 оказывается попросту суммой повторного ряда
оо оо
k=l i=l

426	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[416
соответствующего этой матрице. Предполагая далее еще сходимость всех рядов
по столбцам:
оо
к=\
Марков устанавливает условие, необходимое и достаточное для того, чтобы
оо
ряд J2 Л сходился к той же сумме А. Преобразование Map ко в а и состоит
в замене одного повторного ряда другим:
k=l	i=\
Достаточные условия для применимости преобразования Маркова
даются, например, в теореме 3, 393. [Сама теорема Маркова, впрочем, значи-
значительно шире, ибо не предполагает даже упоминающиеся в ней ряды абсолютно
сходящимися.]
Примером применения преобразования Маркова может служить соотно-
оо
шение A3), 395. Речь идет о ряде J^ p-, и его к-й член представляется на этот
к=\
раз в виде суммы конечного числа членов
1	(к)	(к)	(к)
^-^[-гт—L
1
(k+\) 2-3-... -{к+ 2)
***'/*	л \	1	/ /-* 1	¦* \ \	*
(к- 1) -к- ... • Bк- 1I к2(к+ 1)...Bк-1)'
Затем производится суммирование по столбцам, которое и приводит к упомяну-
упомянутому соотношению [см. 4), 395].
Любопытно отметить, что, если воспользоваться разложением
1 V^ (k) V^	(k~ !)!
.. /=1 /=1 .:/ + !)...(/ + *)
то преобразование Маркова, как уже подчеркивалось в 4), 395, ничего нового
не даст, ибо просто вернет нас к исходному ряду.
Можно построение матрицы A2) связать с повторным применением преобра-
преобразования Куммера. Об этом уже была речь в предыдущем п° [см. A0)], но там
процесс Куммера повторялся лишь конечное число раз, а здесь мы мыслим это
повторение продолженным до бесконечности. И всякий раз надлежит лишь про-
проверять стремление к нулю при р —>> оо «дополнительного члена» формулы A0):
Mm Vaf=0.
k=\

417]	§ 9. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	427
Для того чтобы убедиться в этом, например, по отношению к A06), отметим,
что фигурирующая в дополнительном члене сумма не превосходит выражения
1	^Л 1
так что весь дополнительный член не превосходит величины
,	оо л
2РBР-т
v y J k=\
и, очевидно, стремится к нулю при р —>> оо. Переходя к пределу в A06), придем
к равенству
2-** к2 1 2 2 • 22 ' 3 3 • 23 ' 5!! " ' р • 2Р ' Bр - 1)!! " |
к=\	К	г	\ г j	j
~ 1 (р- 1)!
которое, как нетрудно видеть, тождественно с равенством A3), 395.
Однако подобный предельный переход вовсе не всегда приводит к полезно-
полезному результату: если, например, осуществить его в равенстве A0а), то получим
просто тождество
оо	оо
V
k2 Z^ p2 •
к=\	р=\ У
Таким образом, прием, предложенный Марковым, дает очень общую схему,
предоставляя вычислителю широкие возможности, но многого требуя от его ис-
искусства.
§ 9. Суммирование расходящихся рядов
417. Введение. До сих пор на всем протяжении настоящей
главы заданному числовому ряду
оо
Y1 пп = а0 + а\ + а2 + • • • + ап + • • •
в качестве его суммы мы приписывали предел ее частичной
суммы
А = \ш\Ап
в предположении, что этот предел существует и конечен (или
же равен бесконечности определенного знака). «Колеблющийся»

428	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[417
расходящийся ряд для нас всегда оказывался лишенным суммы,
и подобные ряды мы систематически из рассмотрения исключали.
Различные факты из области математического анализа, как, на-
например, расходимость произведения двух сходящихся рядов [392],
естественно выдвинули во второй половине XIX века вопрос о воз-
возможности суммирования расходящихся рядов в некоем новом
смысле, конечно, отличном от обычного. Некоторые методы тако-
такого «суммирования» оказались особенно плодотворными; ими мы
займемся подробнее.
Нужно сказать, что до создания К о ш и строгой теории преде-
пределов (и связанной с нею теории рядов) расходящиеся ряды нередко
встречались в математической практике. Хотя применение их при
доказательствах и оспаривалось, тем не менее иной раз делались
попытки придавать им даже числовой смысл. Так, колеблющемуся
ряду
1-1 + 1-1 + 1-1 + ...
еще со времен Лейбница в качестве «суммы» приписывалось
число \. Эйлер, например, мотивировал это тем, что из разло-
разложения
11jc+jcjc
1 +х
(которое в действительности имеет место лишь для |х| < 1) при
подстановке вместо х единицы как раз и получается
1 = 1-1 + 1-1 + 1-1 + ...
В этом уже содержалось зерно истины, но постановке вопроса
не хватало четкости; самый произвол в выборе разложения оста-
оставлял открытой возможность, скажем, из другого разложения (где п
и т — любые, но т < п)
1 _1_ v _1_ _|_ -^т—1 1 	 vw
1 -Г л -г ... -г л	_ i л _ _ т \ п _ „п+т _¦_ 2п _
1 +х + . . . +хп~1 \-хп
получить одновременно
" = 1-1 + 1-1 + 1-...
п
Современный анализ ставит вопрос по-другому. В основу кла-
кладется то или иное точно сформулированное определение «обоб-
«обобщенной суммы» ряда, не придуманное только для конкретно инте-

418]	§ 9. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	429
ресующего нас числового ряда, но приложимое к целому классу та-
таких рядов. Законность этого не может вызвать сомнения: читатель
должен помнить, что даже обычное понятие «суммы ряда», сколь
простым и естественным оно ни кажется, тоже было введено на
основе условно принятого определения, оправдываемого лишь це-
целесообразностью! Определение «обобщенной суммы» обычно под-
подчиняется двум требованиям.
Во-первых, если ряду J2an приписывается «обобщенная
сумма» А, а ряду J2bn — «обобщенная сумма» В, то ряд
J2Pan + Фп> где Р, q — две произвольные постоянные, дол-
должен иметь в качестве «обобщенной суммы» число рА + qB.
Метод суммирования, удовлетворяющий этому требованию, назы-
называется линейным.
Во-вторых, новое определение должно содержать обычное
определение как частный случай. Точнее говоря, ряд, сходящийся
в обычном смысле к сумме А, должен иметь «обобщенную сум-
сумму», и притом также равную А. Метод суммирования, облада-
обладающий этим свойством, называют регулярным. Разумеется, интерес
представляют лишь такие регулярные методы, которые позволяют
устанавливать «сумму» в более широком классе случаев, нежели
обычный метод суммирования: лишь тогда с полным правом можно
говорить об «обобщенном суммировании».
Мы переходим теперь непосредственно к рассмотрению двух
особо важных, с точки зрения приложений, методов «обобщенного
суммирования».
418. Метод степенных рядов. Этот метод, в существенном,
принадлежит Пуассону (S.-D. Poisson), который сделал первую
попытку применить его к тригонометрическим рядам. Он состоит
в следующем.
По данному числовому ряду (А) строится степенной ряд
оо
^2апхп = а0 + ахх + а2х2 + . . . + апхп + . . . ;	A)
если этот ряд для О < х < 1 сходится и его сумма f(x) при
х —>> 1 — 0 имеет предел А:
/(*) =А,
0
то число А и называют «обобщенной (в смысле Пуассона)
суммой» данного ряда.

430	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[418
Примеры.
1)	Ряд, рассмотренный Эйлером:
1-1 + 1-1 + 1-1 + ... ,
здесь уже в силу самого определения приводит к степенному ряду, сумма
которого y^j при .х —>> 1 — 0 стремится к пределу j. Значит, число j, действи-
действительно, является «обобщенной суммой» указанного ряда в точно установленном
здесь смысле.
2)	Возьмем более общий пример: тригонометрический ряд
^	B)
п=\
является расходящимся при всех значениях в, — ж < в < ж.
Действительно, если 0 имеет вид ^ ж, где р и q — натуральные числа, то для
значений п, кратных q, будет
cos пв = =Ы,
так что нарушено необходимое условие сходимости ряда. Если же отношение ^
иррационально, то, разлагая его в бесконечную непрерывную дробь и соста-
составляя подходящие дроби Щ, будем иметь, как известно,
откуда
Таким образом, для
так что
ж
\пв -
т
п
тл
1
< ~ё'
ж
п
бесконечного множества значений п
| cos пв
zosnO
±
1 >
ж
1| < —,
п
ж
п
Это также свидетельствует о нарушении необходимого условия сходимости.
Если образовать степенной ряд
—h / rn cosnO @ < г < 1)
(здесь буква г заменяет прежнюю букву х), то его сумма при значении в, отлич-
отличном от 0, будет
1	1-г2
2 1 -2rcos(9 + r2	^
[см. 440, E)] и при г -Л 1 — 0 стремится к 0. Таким образом, для 0 ф 0 «обоб-
«обобщенной суммой» ряда будет 0. Если в = 0, то ряд B), очевидно, имеет сумму,
равную +оо; впрочем, и выражение C), которое в этом случае сводится к j • {37,
также имеет пределом +оо.

418]	§ 9. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	431
3) Аналогично, ряд
оо
^ sin пв
(-ж < в < ж),
п=\
который сходится лишь при 0 = 0 или zLjt, приводит к степенному ряду
оо
Ern sin пв =
1 -
г sin#
[461, 6), (а)], так что «обобщенная сумма» на этот раз оказывается рав-
равной ^ ctg 2 в при в ф О и равной нулю при в = 0.
Непосредственно ясно, что рассматриваемый метод «обобщен-
«обобщенного суммирования» является линейным. Что же касается ре-
регулярности этого метода, то она устанавливается следующей
теоремой, принадлежащей Абелю:
Если ряд (А) сходится и имеет сумму А {в обычном
смысле), то для 0 < х < 1 сходится степенной ряд A) и сум-
сумма его стремится к пределу А, когда х —»> 1 - 0. *}
Прежде всего, ясно [379], что радиус сходимости ряда A) не
меньше 1, так что для 0 < х < 1 ряд A), действительно, сходится.
Мы имели уже тождество
п=0	п=0
(где Ап = а0 + ах + ... + ап) [см. 385, 6); 390, 4)]; вычтем его
почленно из очевидного тождества
п=0
Полагая А — Ап = ап9 придем к тождеству
„*".	D)
п=0	п=0
Так как ап —»> 0, то по произвольно заданному е > 0 найдется такой
номер N9 что \ап\ < \е9 лишь только п > N.
*' Эта теорема была доказана Абелем в его исследованиях по теории бино-
биномиального ряда [мы к ней вернемся в 437, 6°]. Нельзя сомневаться, что именно
она привела к общей формулировке метода «обобщенного суммирования», ко-
который Пуассоном был применен лишь в частном случае. В связи с этим
и самый метод часто называют методом Абеля, хотя самому Абелю идея
«суммирования» расходящихся рядов была в высшей степени чужда. Мы будем
в дальнейшем говорить об этом методе как о методе Пу ас с она —А беля.

432	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[419
Разобьем сумму ряда в правой части D) на две суммы:
N
пх и A-х)
п=0	n=N+l
Вторая оценивается сразу и независимо от х:
апх".
A-х)
n=N+l
<A-*) ? \an\x"<?--(l-x) J2 >
n=N+l
n=N+l
?
2'
Что же касается первой, то она стремится к 0 при х —>> 1 и при
достаточной близости х к 1 будет
и=0
так что окончательно
<
что и доказывает утверждение.
419. Теорема Таубера. Если ряд (А) суммируем по Пуассону-Абелю
к сумме А, то в обычном смысле, как мы видели, он может и не иметь суммы.
Иными словами, из существования предела
оо
lim ^2<inxn=A,	E)
Х^ ~ п=0
вообще говоря, не вытекает сходимость ряда (А). Естественно возникает вопрос,
какие дополнительные условия надлежит наложить на поведение членов этого
ряда, чтобы из E) можно было заключить о сходимости ряда (А), т. е. о суще-
существовании для него суммы А в обычном смысле.
Первая теорема в этом направлении была доказана Таубером (A. Tauber);
она гласит:
Пусть ряд A) сходится при О < х < 1, и имеет место предельное
равенство E). Если члены ряда (А) таковы, что
а л + 2а>, + . . . + пап
lim —	 = О
F)
п=0

419]
§ 9. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
433
Доказательство разобьем на две части. Сначала предположим, что
Если положить
/1
lim па„ = 0 или а„ = о[ -
\n
8п = max \kak
*)
то при п —>> оо величина 8п, монотонно убывая, стремится к нулю.
Имеем при любом натуральном N
N	N	оо
N+1
так что
N
\Y,an
0
-А
N
Е
0
\па
N+\
пап\(\ -х
Взяв произвольно малое число е > 0, положим
A — x)N = с или х = 1	,
так что х —> 1 при N —>> оо. Пусть теперь 7V выбрано достаточно большим,
чтобы 1) выполнялось неравенство <^+1 < ? и 2) соответствующее х было на-
настолько близко к 1, что
Тогда
что и доказывает утверждение теоремы.
К рассмотренному частному случаю теоремы приводится и общий случай.
Положим
vn — а1 + 2<22 + • • • + ия„ (и ^ 1), у0 = О,
*> Отсюда, по известной теореме Кош и [33, 13)], уже следует выполнение
условия F), но не обратно, так что мы исходим теперь из более частного
предположения, нежели F).
**) Мы пользуемся очевидными при 0 < х < 1 неравенствами:
1 -хп = A -jc)A+jc+jc2 + ... +xn~l) < п{\ -х)
и

434	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[419
так что
ап = ~ К ~ vn-\) О > !)>
и затем
оо	оо	оо
Y~^	П	. V^ Vn П	V^ УП-\ П
> апх = я0 + > — х — у 	х =
О	1	1
оо	оо
1	1 v ;
Но из предположения теоремы, т. е. из того, что -%¦ —>> 0 при п —>> оо, легко
получить, что
оо
Km A - х) ^— хп = 0.	(8)
1
Для доказательства этого достаточно разбить здесь сумму на две:
N	оо
1	7/+1
и выбрать N таким, чтобы во второй сумме все множители -& были по абсолютной
величине меньшими наперед заданного числа е > 0, тогда и вторая сумма по
абсолютной величине будет меньше е, каково бы ни было х; относительно первой
суммы, состоящей из определенного конечного числа слагаемых, того же можно
достигнуть за счет приближения х к 1.
Таким образом, ввиду G), E) и (8), имеем
х^1-0^ п(п+ 1)	и
Но здесь уже можно применить доказанный частный случай теоремы, так что и
С другой стороны,
п	п
'—< т(т+ 1)
т
п
1
' vm
' т +
N
Z
1
п
—л,
1
vm
т
и+1
1
т
1
Отсюда, так как первое слагаемое справа стремится к нулю,
1
что и завершает доказательство теоремы.

420]	§ 9. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	435
Впоследствии различными авторами был установлен целый ряд тонких тео-
теорем подобного типа (их принято называть «тауберовскими» теоремами), видоиз-
видоизменяющих и расширяющих условия Т а у б е р а. На них мы не будем останавли-
останавливаться.
420. Метод средних арифметических. Идея метода в простей-
простейшем его осуществлении принадлежит Фробениусу (G. Frobe-
nius), но связывают его обычно с именем Чезаро (Е. Cesaro),
который дал методу дальнейшее развитие. Вот в чем самый метод
состоит:
По частичным суммам Ап данного числового ряда (А)
строятся их последовательные средние арифметические
а _
а
если варианта ап при п —>> оо имеет предел А, то это число
и называют «обобщенной {в смысле Чезаро) суммой» дан-
данного ряда.
Примеры.
1) Возвращаясь к ряду
1-1 + 1-1 + 1-1 + ... ,
имеем здесь
к+1	1
так что ап —>> ^. Мы пришли к той же сумме, что и по методу Пуассона-
Абеля [418, 1)].
2) Для ряда
1 °°
1 ^ ~ (-jr^e^jr)
'У	^
п=\
частичные суммы будут (если только в ф 0)
sin (п + :
_
2 sin \в
Теперь нетрудно подсчитать средние арифметические:
т=0
2
4sin2 \в _
1 - cos(«+ 1H 1 /sin(w-
4sin2^	2 V sinf

436	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[421
Итак, окончательно
sin(>+l)§
	 ^
" 2(и+1)
Очевидно, ап —>> 0: для значений 0 ф 0 «обобщенной суммой» и здесь служит 0
[ср. 418, 2)].
3) Наконец, пусть снова предложен ряд
п=\
Имеем при в ф 0
(-ж < 0 < л).
— cos (n+jN
(п
_l_ii	I
-- ctg - в - 21
2	2 4 smz i в
— sin в
Отсюда ясно, что aw —>> ^ ctg ^ 0.
Во всех случаях по методу Ч е з ар о получилась та же «обобщенная сумма»,
что и выше по методу Пуассона-Абеля. Ниже [421] будет выяснено, что
это — не случайность.
И здесь также непосредственно ясна линейность метода.
Известная же теорема Коши [33, 13)] в случае существования
предела
lim А„ = А
удостоверяет наличие того же предела и для средних арифметиче-
арифметических ап. Таким образом, метод Чезаро является регулярным.
421. Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля
и Чезаро. Начнем с простого замечания: если ряд (А) суммируем
по методу средних арифметических к конечной «сумме» А,
то необходимо
ап = о{п).
Действительно, из ап_х —>> А и ^- ап —>> А следует, что
(п
п_х

421]	§ 9. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	437
а тогда и
<*	Ап П~1 Ап-\ ^0
п
п п	п п — 1
что и требовалось доказать.
Поставленный в заголовке вопрос исчерпывается следующей
теоремой, принадлежащей Фробениусу:
Если ряд (А) суммируем по методу средних арифметиче-
арифметических к конечной «сумме» А, то одновременно он суммируем
также по методу Пуассона-Абеля, и притом к той лее сумме.
Итак, пусть ап —»> А. Ввиду сделанного вначале замечания оче-
очевидна сходимость степенного ряда
оо
/(*) = ? апх"
для 0 < х < 1. Выполнив дважды преобразование Абеля
[см. 383 и особенно 385,6)], последовательно получим *}
/(*) = A -х)
п=0	п=0
[при этом следует помнить, что Ао + А1 + ... + Ап = (п + 1)ап]
Известно, что (для 0 < х < 1) A — х) = J2(n + 1)х" или
о
*) В справедливости этого тождества легко убедиться и непосредственно, от-
отправляясь от заведомо сходящегося, ввиду ограниченности ап, ряда справа:
оо
(l-2x+x2)J2(n+l)anx" =
О
оо
о
оо
= Z) {[(« + 1) ап - пап-\\ - \пап-\ - (п-\) ап_2]}хп =
о	о
[При этом мы полагаем а_± = а_2 = А_\ = 0.] Сходимость последнего ряда
здесь получается сама собой.

438	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[422
Умножим обе части этого тождества яг А и вычтем из него почлен-
почленно предыдущее тождество:
оо
A-fix) = (l-xJJ2(n+l)(A-an)xn.
Сумму справа разобьем на две:
N-1	оо
О	N
причем число N выберем так, чтобы при п > N было
\А - ап\ < е,
где е — произвольное наперед заданное положительное число. Тог-
Тогда вторая сумма по абсолютной величине и сама будет меньше е
(независимо от х!), а для первой суммы того же можно добиться
за счет приближения х к 1. Этим и завершается доказательство
[ср. с доказательством теоремы Абеля в 418].
Итак, мы установили, что во всех случаях, где приложим метод
Чезаро, приложим и метод Пуассона-Абеля с тем же ре-
результатом. Обратное же неверно: существуют ряды, суммируемые
методом Пуассона-Абеля, но не имеющие «обобщенной сум-
суммы» в смысле Чезаро. Рассмотрим, например, ряд
1-2 + 3-4 + ...
Так как здесь явно не соблюдено необходимое условие сумми-
суммируемости по методу средних арифметических, указанное вначале,
то этот метод не приложим. В то же время ряд
1 - 2х + Зх2 - 4х3 + .. .
имеет (при 0 < х < 1) сумму tjt^w, которая при х —>> 1 — 0 стре-
стремится к пределу |. Это и есть «обобщенная сумма» нашего ряда
по Пуассону-Абелю.
Таким образом, метод Пуассона-Абеля является более
мощным, т. е. приложим в более широком классе случаев, чем ме-
метод Чезаро, но не противоречит ему в тех случаях, когда они
оказываются приложимыми оба.
422. Теорема Харди-Ландау. Как и в случае метода Пуассона-Абеля,
для метода Чезаро также могут быть доказаны теоремы «тауберовского» ти-

422]	§ 9. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	439
па, устанавливающие те дополнительные условия относительно членов ряда, при
наличии которых из суммируемости ряда по методу средних арифметических вы-
вытекает его сходимость в обычном смысле слова.
Ввиду теоремы Фробениуса ясно, что каждая «тауберовская» теорема
для метода Пуассона-Абеля приводит, в частности, к такой же теореме для
метода Ч е з а р о. Например, сама теорема Т а у б е р а перефразируется теперь
так: если ап —>> А и выполняется условие
lim
()
п
то одновременно и Ап —>> А. Впрочем, здесь она непосредственно вытекает из
легко проверяемого тождества
а л + 2а0 + . . . + пап
Ап-ап =
*)
п
которое для данного случая указывает даже на необходимость условия (9).
X а р д и (G. H. Hardy) установил, что заключение от ап —>> А к Ап —>> А мож-
можно сделать не только если ап = о (^) (это содержится в предыдущем!), но и при
более широком предположении, что
\тат\<С (С = const; /и = 1, 2, 3, . . . )•
Ландау (Е. Landau) показал, что можно удовольствоваться даже «односторон-
«односторонним» выполнением этого соотношения:
Если ряд (А) суммируется к «сумме» А по методу средних арифме-
арифметических и при этом выполняется условие
тат > -С (С = const; /я = 1, 2, 3, . . .),
то одновременно и
о
[Изменяя знаки всех членов ряда, видим, что достаточно также предположить
неравенство другого смысла:
тат < С,
В частности, теорема, очевидно, приложима к рядам с членами постоянного
знака.]
*) Имеем
О + \)Ап -(п+ \)ап = (п+ \)Ап - (Ао +АХ + . . . + Ап) =
= (Ап - Ао) + (Ап - Ах) + . . . + (Ап - Ап_х) =
2а2

440	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[422
Для доказательства рассмотрим сначала сумму
п+к
s= E 4-
т=п-\-\
где пик — произвольные натуральные числа; путем тождественного преобразо-
преобразования она легко приводится к виду
п-\-к	п
S = ^2Ат ~ ^2Ат = (п + к+ \)ап+к -(п+ \)ап =
= кап+к + (п + \){ап+к - ап).	A0)
Если взять любое Ат (при п < т ^ п + к), то, используя предположенное нера-
неравенство ат > — ?, можно получить такую оценку снизу:
к
Ат=Ап + К+1 + ...+ат)>Ап--С,
откуда, суммируя по т, найдем
к2
S> кАп	С.
Отсюда, сопоставляя с A0), приходим к такому неравенству:
Ап < ап+к + —— (ап+к ~ап) + ~п С'	(П)
Станем теперь произвольно увеличивать п до бесконечности, а изменение к
подчиним требованию, чтобы отношение | стремилось к наперед заданному числу
е > 0. Тогда правая часть неравенства A1) будет стремиться к пределу А + еС,
так что для достаточно больших значений п будет
Ап<А + 2еС.	A2)
Совершенно аналогично, рассматривая сумму
и проведя для Ат (при п — к < т < п) оценку сверху:
к
• • • + ап) < Ап
7 С>
п — /С
придем к неравенству
к1
Sf < кАп +	 С.
п — к
Отсюда
Ап > ап-к + —— (ап - ап-к) - -^ZTl C'
Если п -Л оо и одновременно | —>> е9 как и прежде (но на этот раз пусть е < j),
то правая часть этого неравенства стремится к пределу А — j^ С > А — 2еС.

423]	§ 9. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	441
Следовательно, для достаточно больших п окажется
А„>А-2еС.	A3)
Сопоставляя A2) и A3), видим, что, действительно,
ИтАп = А.
Теорема доказана.
Заметим, что подобная же «тауберовская» теорема была установлена затем
и для суммирования по Пуассону-Абелю — для нее только что доказанная
теорема является частным следствием. Но ввиду сложности доказательства мы
его не приводим.
423. Применение обобщенного суммирования к умножению рядов. Остано-
Остановимся на применении обобщенных методов суммирования в вопросе об умно-
умножении рядов по правилу Кош и [389]. Пусть, кроме ряда (А), дан еще
ряд
оо
Y1 Ъп =
h + ... + bn + ... ;	(В)
тогда ряд
+ «l^/i-l + • • • + ап-\Ъ\ + anb0)	(С)
п=0	п=0
и называется произведением рядов (А) и (В) в форме К о ш и. Если данные
ряды сходятся и имеют обыкновенные суммы А и В, то ряд (С) все же может
оказаться расходящимся [пример этого мы имели в 392].
Однако во всех случаях ряд (С) суммируем по методу Пуассона-
Абеля и именно к сумме АВ.
Действительно, для 0 < х < 1 ряд A), равно как ряд
Y^ Ьпхп = bo + bxx + b2x2 + . . . + ЪУ
n=0
оба абсолютно сходятся [379]; обозначим их суммы, соответственно, че-
через f(x) и g(x). Произведение этих рядов, т. е. ряд
оо	оо
по классической теореме К о ш и [389], также сходится и имеет суммой произве-
произведение f(x) • g(x). Эта сумма при х —>> 1 — 0 стремится к АВ, ибо, как мы видели,
по отдельности
lim f{x)=A, lim g(x)=B.
x-s>l-0	x-s>l-0
Итак, «обобщенной (в смысле Пуассона-Абеля) суммой» ряда (С) дей-
действительно будет АВ, что и требовалось доказать.
Отсюда как следствие получается теорема Абеля об умножении ря-
рядов [392]. Равным образом из самого доказательства ясно, что то же заклю-
заключение остается в силе, если ряды (А) и (В) — вместо того, чтобы сходиться

442	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[424
в собственном смысле — лишь суммируемы по методу Пу ас с она —А беля
к суммам А и В.
В таком случае, учитывая теорему Фробениуса [421], можно сделать
и следующее утверждение: если ряды (А), (В) и (С) суммируемы в смысле
Чезаро и имеют, соответственно, «обобщенные суммы» А, В и С, то
необходимо
С =АВ.
В качестве примера рассмотрим возведение в квадрат ряда
+¦¦¦
V2	2 ' 2-4 ••¦ ' v ' Bm)!! ' """
который получается из биномиального разложения
л/ТТ7	2 * 2 • 4 * " ' ^ ) Bт)!!
при jc = 1. Умножая указанный числовой ряд на самого себя, придем к хорошо
знакомому нам ряду
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... *\
«обобщенная сумма» которого, как по методу Пуассона-Абеля, так и по
методу Чезаро, есть j = (-^) •
Далее, «возведем в квадрат» и этот расходящийся ряд. Мы получим ряд
1 -2 + 3-4 + ... ,
«обобщенная сумма» которого в смысле Пуассона-Абеля есть \ = (^)
(в смысле Чезаро он не суммируем!).
424. Другие методы обобщенного суммирования рядов.
1) Методы Г. Ф. Вороного. Пусть имеем положительную числовую по-
последовательность {рп} и
Л) = Ро» Рп = Ро + Pi + • • • + Рп (п> °)-
Из частичных сумм Ап ряда (А) составим выражения
_ РпА0 + Рп-\А\ + • • • + Р0Ап
Если wn -л А при п -л оо, то А называется «обобщенной суммой» ряда (А)
в смысле Вороного — при заданном выборе последовательности {рп}.
Линейность метода как в этом случае, так и в следующих — очевидна,
и мы на ней не будем останавливаться.
*}Мы
B/и)!! ' Bп-2т)\\
пользуемся здесь числовым тождеством
п
где (—1)!! и 0!! означают условно единицу.

424]	§ 9. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	443
Для регулярности метода Вороного необходимо и достаточно
условие
Km ^ = 0.
«^оо Рп
Необходимость. Допустим сначала регулярность рассматриваемого ме-
метода: пусть из Ап -^ А всегда следует и wn —>> А. Если, в частности, взять ряд
1 - 1+0 + 0 + 0 + ... ,
для которого Aq = 1, а прочие Ап = 0 (так что и А = 0), то необходимо
«,„ = ^ -+ о.
Достаточность. Предположим теперь условие теоремы выполненным
и докажем, что из Ап -^ А вытекает и wn —>> А.
Обратимся к теореме Теплица [391] и заменим там хп на Ап и tnm на ^~да.
Условие (а) этой теоремы удовлетворено, ибо
	 Рп—т Рп—т 	 л
Хпт — ~Р, < Т>	У и'
п	п—т
Выполнение условий (б) и (в) очевидно, так как
п	п
/ j гпт	/ j ^пт *^'
т=0	т=0
Следовательно, как и требовалось доказать, wn —>> А.
2) Обобщенные методы Чезаро. Мы уже знакомы [420] с методом сред-
средних арифметических; он является простейшим из бесконечной последователь-
последовательности методов суммирования, предложенных Чезаро. Фиксируя натуральное
число к, Чезаро вводит варианту
и ее предел при п —>> оо рассматривает как «обобщенную сумму» (&-го порядка)
ряда (А). При к = 1 мы возвращаемся к методу средних арифметических.
В дальнейшем нам не раз понадобится следующее соотношение между коэф-
коэффициентами С:
С\~_\ + &к-! + &к-+\ + . . . + Скп~1_! = Скп+к;	A4)
оно легко доказывается по методу математической индукции относительно п, если
исходить из известного соотношения
Прежде всего, покажем, что методы Чезаро всех порядков являются
частными случаями регулярных методов Вороного. Для этого достаточно
положить рп = С^_1? ибо из A4) тогда следует, что Рп = Скп+к, и к тому же,
очевидно,
Рп _ 1
Р„ п + к
—>- 0 при п -Л оо.

444	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[424
С помощью того же равенства A4), пользуясь самим определением вели-
величин S]p, устанавливается, что
Это дает возможность выяснить взаимоотношение между суммированием по
Чезаро к-то и (к — 1)-го порядка. Пусть ряд (А) допускает суммирование
(к — 1)-го порядка, так что у^к~1^ —> А. В силу A4) и A5), имеем
п+к	п+к
	 ^—1^0	* к У\	-г ... -г ^п+к_\Уп
—	~?к	'
Применяя сюда теорему Теплица [391], причем полагаем
придем к заключению, что иу| ^ —>> А. Таким образом, если ряд (А) допускает
суммирование по методу Чезаро какого-нибудь порядка, то он допускает
и суммирование любого высшего порядка, и притом к той же сумме.
Приведем теперь обобщение уже известной нам теоремы Фробениуса
[421]: если ряд (А) суммируем по какому-либо из методов Чезаро (скажем,
k-vo порядка), то он суммируем к той же сумме и по методу Пуассона-
Абеля.
Пусть дано, что
Km у^ = Km -%— =А.	A6)
00	°° п+к
Легко заключить отсюда, что ряд
оо
п=0
пк
для — 1 < х < 1 сходится. Действительно, так как Сп+к ~ -^-, то из A6) имеем:
Если А ф 0, то
п^-оо YJT	к\
П^гОО V
так что, по теореме Коши-Адамара, радиус сходимости ряда A7) равен 1.
Он во всяком случае не меньше 1, если А = 0.
*)
Под S^ разумеется Ап.

424]	§ 9. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	445
Рассмотрим теперь ряд тождеств
оо	оо
V^	и (л
п=0	п=0	п=0
оо	оо
п=0	п=0
и=0	и=0
Выше мы установили сходимость последнего ряда в промежутке ( —1, 1);
отсюда вытекает [см. 390, 4)] сходимость и всех предшествующих рядов. Кроме
того,
оо	оо	оо
Y^ n (Л	\к+\ V^ c(k) n /-,	лк+\ V~^ (k)^k n	/1ОЛ
2^апх ={\-х) 2^S\}x ={\-х) 2^у[К\}Сп+кх .	A8)
п=0	п=0	п=0
Сопоставим с этим тождеством другое:
оо
1 = A-*)*+1?с?4,Л	A9)
которое имеет место в том же промежутке ( —1, 1); оно получается ^-кратным
дифференцированием прогрессии
Умножив обе части тождества A9) на А и вычитая из него почленно равен-
равенство A8), получим, наконец,
п=0	п=0
Дальнейшие рассуждения [с учетом A6)!] вполне аналогичны тем, с помощью
которых была доказана теорема Абеля в418и теорема Фробениуса в 421;
они могут быть предоставлены читателю. В результате мы и получим:
оо
lim У^К а„хп = А,
п=0
что и требовалось доказать.
Отметим, что существуют расходящиеся ряды, суммируемые по методу
Пуассона-Абеля, но не суммируемые ни одним из обобщенных методов
Чезаро. Таким образом, первый из названных методов оказывается сильнее
всех последних, даже вместе взятых!
*)
Здесь и дальше учитываются соотношения типа A5).

446	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[424
3)	Методы Гёлъдера. Эти методы состоят просто в повторном примене-
применении метода средних арифметических. Все вопросы, относящиеся к их регулярно-
регулярности и взаимоотношению, исчерпываются ссылкой на теорему К о ш и.
Можно доказать, что к-кратное применение метода средних арифмети-
арифметических совершенно равносильно применению метода Чезаро k-го порядка,
т. е. суммирует тот же класс рядов, и притом к тем же суммам.
4)	Метод Боре ля. Он состоит в следующем: по ряду (А) и его частичным
суммам Ап строится выражение
1?
О
Если последний ряд сходится, хотя бы для достаточно больших значений х,
и его сумма при х —>> +оо имеет предел А, то это число и является
«обобщенной суммой» в смысле Боре ля для данного ряда (А).
Докажем регулярность метода Б орел я. Допустим сходимость ряда (А)
и обозначим его сумму через А, а остатки А — Ап — через ап. Имеем (для
достаточно больших х)
оо „	оо „	оо „	оо „
А — е > А„ — = е У А	е > А„ — = е >«и —.
0	0	0	0
Зададимся произвольно малым числом е > 0; найдется такой номер N, что для
п > N будет \ап\ < §. Представим последнее выражение в виде суммы,
N	п	оо	п
0	'	7/+1
Второе слагаемое по абсолютной величине < |, каково бы ни было х, а пер-
первое, представляющее собой произведение е~х на многочлен (относительно х),
становится абсолютно < | при достаточно больших х. Этим все доказано*^.
5) Метод Эйлера. Для ряда
мы имели в 413 [см. G)] формулу
ОО	ОО	д р
?(-1)Ч = ?(-1)"|^	B0)
выражающую «преобразование Эйлера». При этом, как было доказано, из
сходимости ряда в левой части уже вытекает сходимость ряда в правой
части и равенство между их суммами.
*' Читатель отметит сходство этого доказательства с доказательством теоремы
Абеля [418] и других.

425]	§ 9. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	447
Однако и при расходимости первого ряда второй ряд может оказать-
оказаться сходящимся; в подобном случае его сумму Эйлер приписывал в качестве
«обобщенной суммы» первому ряду. В этом, собственно, и состоит метод
Эйлера суммирования рядов; сделанное только что замечание гарантирует ре-
регулярность метода.
Если писать рассматриваемый ряд в обычном виде (А), не выделяя знаков d=,
и вспомнить выражение D), 413, для р-и разности, то можно сказать, что по ме-
методу суммирования Эйлера в качестве «обобщенной суммы» ряда (А) берется
обычная сумма ряда
р=0
(в предположении, что последний сходится).
На этом мы закончим обзор различных методов суммирования расходящихся
рядов, так как и приведенных уже достаточно, чтобы создать у читателя впе-
впечатление о многообразии подходов к этому вопросу. Регулярность метода как
необходимую его особенность мы устанавливали во всех случаях. К сожалению
лишь, мы не всегда имели возможность достаточно углубиться в вопрос о взаи-
взаимоотношении различных методов. А между тем может случиться, что два метода
имеют пересекающиеся (но не покрывающие одна другую) области при-
приложимости; и может оказаться, что два метода приписывают одному и тому же
расходящемуся ряду различные «обобщенные суммы».
425. Примеры.
1)	Пусть {ап} положительная монотонно убывающая последовательность,
сходящаяся к 0. Положим
Aq = uq, Ап = uq + а± + . . . + ап (п > 0).
Доказать, что знакопеременный ряд
А0-А1+А2-А3 + ...
суммируем по методу Чезаро A-го порядка), и его «обобщенная сумма»
равна половине суммы сходящегося ряда Лейбницевского типа
а = uq — а^ + а2 — #з + • • •
[Харди (G.H. Hardy)].
Указание. Подсчитать среднее арифметическое первых 2т частичных
сумм данного ряда; оно представится в виде
1	(я0 — а{) + (<20 — ах + а2 — а3) + . . . + (я0 — в\ + • • • + а2т-2 ~ а2т-\)
2	т
и, по теореме Кош и [33, 13)], стремится к j а. Затем легко уже показать, что
к тому же пределу стремится и среднее первых 2т + 1 частичных сумм.
2)	Взяв ап = ^рт или ап = 1П и+Т (w — 0> 1> 2, . . .), установить на основа-
основании теоремы 1), что расходящиеся ряды
ЯТТ I ТТ	ТТ I	*)
1 - Щ + Щ - И4 + • • •
*)
Нп (как обычно) обозначает ^2-ю частичную сумму гармонического ряда.

448	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[425
In2-ln3 + ln4-ln5 + ...
оба суммируемы по методу Ч е з а р о, и их «обобщенные суммы», соответствен-
соответственно, равны ? In 2 и \ In ^.
Указание. Во втором случае используется формула В ал лиса [317].
3) С помощью той же теоремы доказать, что при — 1 < х < 0 расходящийся
ряд Дирихле
4
п=\	п=\
суммируется по методу Ч е з а р о.
Указание. Представить п4 в виде суммы
п4 = A - 0) + B1 - 1) + . . . + (п4 - ^П)
и методами дифференциального исчисления доказать, что с возрастанием п вари-
варианта п4 — п — 1 убывает [при этом, ввиду 32, 5), она стремится к 0].
4) Если «разбавить» члены сходящегося ряда нулями, то это никак не отра-
отразится ни на сходимости ряда, ни на его сумме. Как видно из следующих примеров,
с обобщенным суммированием расходящегося ряда дело может обстоять иначе.
Рассмотрим ряды
(а) 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
0 1 2 3 4 5
(б)	1-1+0+1-1+0+1-1 + 0.
012345678
(в)	0+1-1 + 0+1+0 + 0 + 0-1
012345678
*)
Про первый ряд мы уже знаем, что его «обобщенная сумма» по Чезаро
равна 2- Показать, что ряд (б) имеет уже другую сумму, именно ^, а ряд (в)
вовсе не суммируем по Чезаро.
Указание. В случае ряда (в), при изменении п от 22т~1 до 22т — 1, среднее
арифметическое первых п + 1 членов колеблется
1 22т - 1	2	1 22т - 1 1
от - • —	у - до - •
3 22т~1 + 1 3	3 22т	3'
5) Считая к любым натуральным числом, рассмотрим ряд
п=0
и докажем, что Е^ не суммируется методом Чезаро к-го порядка, но сум-
суммируется (к «сумме» «jqrr) методом Чезаро (к + \)-го порядка.
*> Член d=l, стоявший в (а) на т-ш месте (где т = 0, 1, 2, 3, . . .), в (в) пере-
перемещен на 2m-Q место; остальные места заполнены нулями.

425]	§ 9. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	449
Используя равенство A8) и — дважды — равенство A9) (в первый раз за-
заменяя х на —х, а второй раз — х на х ), последовательно получим:
Z_^Sn Х (л _
2т *)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в первом и в последнем
из этих рядов [мы пользуемся здесь «теоремой о тождестве степенных рядов»,
которая будет доказана лишь ниже, в 437, 3°], приходим к заключению, что
$1=Скт+к> 41+1 =° (« = 0,1,2,3,...)	B1)
Таким образом,
гк	л
у{к) = Ст+к _^ ]_^ y^+i = 0>
и предложенный ряд не имеет «обобщенной суммы» Чезаро &-го порядка.
С другой стороны, ввиду B1), A5) и A4), как для п = 2т, так и для
п = 2т + 1 будет sf+1) = Скк + С\+к + . . . + С^ = С^+1. Отсюда
(+)
У2т
то же справедливо и для y^w+l' что и Д°казывает наше утверждение.
6) Ряд
где А: — любое натуральное число, также суммируем по методу Чезаро
(к + 1)-го порядка. Это можно установить, опираясь на предыдущий результат.
Действительно, разложим С^+к по степеням и + 1:
^	(и + *)(и + *1)...(и+1)
= а?\п + \)к + af\n + l)^1 + ...+ af\(n + 1);
здесь а- ' — постоянные коэффициенты, причем а[' = |, Ф 0. Написав еще ряд
таких равенств, заменяя к ш к — 1, к — 2, . . ., 1, легко затем, наоборот, предста-
представить (п + 1) в виде суммы
(п + 1)* = ^	f
с постоянными коэффициентами /3. Но тогда
п=0
* ^ Сходимость последнего ряда в промежутке (— 1, 1) легко устанавливается
с помощью теоремы Коши-Адамара, а отсюда уже вытекает и сходимость
первого ряда.

450	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[426
Так как все ряды Е/ (z = 1, 2, . . ., &) суммируемы по методу Чезаро
(к + 1)-го порядка (мы учитываем здесь свойства методов Чезаро последова-
последовательных порядков!), то, ввиду линейности названного метода, это справед-
справедливо и для предложенного ряда.
Самое вычисление «обобщенной суммы» мы в состоянии будем осуществить
лишь впоследствии [449].
Приведем еще несколько простых примеров на непосредственное применение
методов Гёльдера, Бореля и Эйлера.
7)	Просуммировать по методу Гёльдера ряды
(а)	1 - 2 + 3 - 4 + ...
и
(б)	1 - 3 + 6 - 10 + ...
Ответ: (а) Двукратное усреднение дает \.
(б) Трехкратное усреднение дает |.
8)	Просуммировать ряд 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 + ... по методу Бореля.
Ответ: lim e~x • е*^ = А.
x-s>oo	z	z
9)	Просуммировать по методу Эйлера ряды
(а)	1 - 1 + 1 - 1 + ...
(б)	1 - 2 + 3 - 4 + ...
(в)	1 - 2 + 22 - 24 + . . .
(г)	I3 - 23 + З3 - 43 + . . .
Указание. Во всех случаях удобно воспользоваться преобразованием
Эйлера в форме B0).
Ответ: (а) А = \\
(б) А°а0 = 1, А1а0 = 1, Д% = 0 для р > 1, А = % - \ = \\
(в)	\\ \	^
(г)	А°а0 = 1, А1а0 = 7, А2а0 = 12, А3а0 = 6,
= 0 для р>\ А = \-1 + ^-Ь-6 =
426. Общий класс линейных регулярных методов суммирования. Приведем
в заключение некоторую весьма общую схему для построения класса линейных
регулярных методов суммирования, содержащего, в частности, все методы, упо-
упоминавшиеся выше.
Пусть в некоторой области SC изменения параметра х задана последователь-
последовательность функций
<ро(х), (Рх(х)9 <р2(х), ..., <рп(х), ...	(Ф)

426]	§ 9. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	451
Допустим, что область SC имеет точкой сгущения число со, конечное или нет.
По данному числовому ряду (А) строится ряд, состоящий из функций:
оо
А0(р0(х) + Л1<р1(*) + . . . +Anq>n(x) + . . . = ^2Ап(рп(х)	B2)
п=0
(где Ап = а0 + ах + . . . + ап). Если этот ряд, по крайней мере для х,
достаточно близких к со, сходится и его сумма при х —>> со стремится
к пределу А, то это число и принимается за «обобщенную сумму» данного
ряда.
Мы получаем, таким образом, некий метод суммирования рядов, связанный
с выбором последовательности (Ф) и предельной точки со. По самому построению
метода ясна его линейность. Предположим теперь, что функции <рп(х)
удовлетворяют следующим трем требованиям:
(а)	при любом постоянном п
Km <p (х) = 0;
x-s>oo
(б)	при значениях х, достаточно близких к со*\
оо
YI \<Рп(*)\ ^К (^ = const);
(в)	наконец,
п=0
Тогда метод суммирования оказывается регулярным.
Доказательство. Итак, пусть
lim Ал = А.
Тогда по произвольно заданному е > 0 найдется такой номер п , что для п > п
будет
\Ап-А\<^.	B3)
ОО
Ввиду ограниченности Ап и абсолютной сходимости ряда J^ <PWM> по крайней
п=0
оо
мере для \х — со\ < 8' (х > А;) будет сходиться также и ряд J^ Апсрп(х). При
п=0
этом, очевидно,
и=0	п=0	п=п'+\	п=0
*)
Т. е. для \х — со\ < 8', если со конечно, или для х > А;, если со = +оо.

452
ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
[426
так что, переходя к абсолютным величинам,
оо
п=0
< 2_^[Ап-А]<рп(х) + 2_^ \Лп - А\ ' \<Рп(х)\ + \А\
Второе слагаемое справа < |, в силу B3) и условия (б). Что касается первого
и третьего слагаемых, то каждое из них можно сделать < |, приблизив достаточ-
достаточно х к со, в силу условия (а) и условия (в). Следовательно,
п=0
т. е. «обобщенная сумма» оказывается существующей и равна обычной сумме.
Если х есть натуральный параметр т (так что со = +оо), то последователь-
последовательность функций (Ф) заменяется бесконечной прямоугольной матрицей:
(Т)
со вари-
вариfoo
'ю
ho
tno
'01
hi
'21
'и1
hi ¦
hi ¦
tnl ¦
tOm ... .
¦ hm
hm ¦ ¦ ¦ ¦
tnm . . . .
За «обобщенную сумму» ряда (А) принимается предел при т
анты
Тт =
A\hm
Antnm
в предположении, что этот ряд сходится, по крайней мере для достаточно
больших значений т.
Условия регулярности преобразуются для этого случая следу-
следующим образом.
(а) при любом постоянном п
(б) при достаточно больших т
(в) наконец,
оо
Е
и=0
tnm\^K (K = const),
п=0
По существу все эти идеи принадлежат Теплицу [ср. 391], у которо-
которого лишь, как читатель помнит, матрица предполагалась треугольной. Этого
частного случая нам по большей части и было достаточно.

426]	§ 9. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	453
Упомянем еще, что под данную выше схему непосредственно подходит как сумми-
суммирование по Пуассону-Абелю, так и суммирование по Борелю. В первом
случае имеем
оо	оо
апх — У A ~~ х)х 4'
так что роль (рп(х) в области SC = @, 1) (со = 1) играет множитель A — х)хп.
Во втором же случае (рп(х) = е~х • -^ в SC = @, +оо) (<у = +оо). Соблю-
Соблюдение условий (а), (б), (в) легко проверяется, и тем — на основании доказанной
выше общей теоремы — снова устанавливается регулярность этих методов.
Общее определение метода суммирования, данное выше, и теорему об его
регулярности легко перефразировать так, чтобы в них участвовали не частичные
суммы Ап, а непосредственно члены ап суммируемого ряда (А). Останавливаться
на этом не будем.

ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 1. Равномерная сходимость
427. Вводные замечения. Мы изучали выше бесконечные по-
последовательности и их пределы, бесконечные ряды и их суммы;
элементами этих последовательностей или членами рядов были по-
постоянные числа. Правда, иной раз в их состав и входили в роли
параметров те или иные переменные величины, но во время иссле-
исследования им неизменно приписывались определенные постоянные
значения. Так, например, когда мы устанавливали, что последова-
последовательность
имеет пределом ех или что ряд
V2 „3
Л	Л
имеет суммой 1пA + х), для нас х было числом постоянным.
Функциональная природа элементов последовательности
и ее предела или членов ряда и его суммы нами вовсе не учи-
учитывалась; сейчас же именно к этому моменту будет привлечено
наше внимание.
Предположим, что дана последовательность, элемента-
элементами которой являются функции
/i(*), №), ..., /„(*), ...	A)
от одной и той же переменной х, определенные в некоторой об-
области ее изменения SC = {x}*\ Пусть для каждого х из SC эта
*^ Чаще всего это будет промежуток; но мы сохраняем пока наибольшую
общность, разумея под х любое бесконечное числовое множество.

427]	§ 1. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ	455
последовательность имеет конечный предел; так как он вполне
определяется значением х, то также представляет собой функцию
отх (в SCy.
f{x) = Xm^fn{x),	B)
которую мы будем называть предельной функцией для
последовательности A) [или для функции /п(х)].
Теперь мы будем интересоваться не одним лишь существо-
существованием предела при каждом отдельном значении х, но функ-
функциональными свойствами предельной функции. Чтобы чи-
читатель уяснил себе наперед, какого характера новые задачи при
этом возникают, упомянем для примера об одной из них.
Допустим, что элементы последовательности A) все суть не-
непрерывные функции от х в некотором промежутке SC = [а,Ь]; га-
гарантирует ли это непрерывность предельной функции? Как видно
из следующих примеров, свойство непрерывности иногда перено-
переносится и на предельную функцию, иногда же нет.
Примеры. Во всех случаях SC = [0, 1].
1) fn(x) =xn, f(x) = 0 при х < 1 и /A) = 1 (разрыв при
);
2) fn(x) = y^, /0) = 0 при х > О и ДО) = 1 (разрыв при
3)	fn(x) = 1+^2X2> f(x) = 0 при всех х (везде непрерывна);
4)	fn(x) = 2п2х - е~п х , f(x) = 0 при всех х (то же).
Естественно возникает задача — установить условия, при кото-
которых предельная функция сохраняет непрерывность; этим мы зай-
займемся в 431 и 432.
Мы уже видели [362], что рассмотрение числового ряда и его
суммы есть лишь другая форма исследования последовательно-
последовательности чисел и ее предела. Рассмотрим теперь ряд, членами которого
являются функции от одной и той же переменной х в некоторой
области ЭС\
оо
Y^un{x) = щ(х) + и2{х) + . .. + ип{х) + .. .	C)
п=\
Пусть этот ряд сходится при каждом значении х в ЭС\ тогда его
сумма также представит собой некоторую функцию от х: f(x).
Эта сумма определится предельным равенством вида B), если под
/п(х) разуметь частичную сумму
fn(x) = щ(х) + и2(х) + . .. + ип{х).	D)

456	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[428
Обратно, вопрос о предельной функции для произвольно заданной
последовательности A) можно рассматривать под видом суммиро-
суммирования ряда C), если положить
Нам чаще придется иметь дело именно с функциональными рядами,
так как эта форма исследования предельной функции на практике
обычно удобнее.
И здесь также следует подчеркнуть, что предметом наших бли-
ближайших исследований будут не одни лишь вопросы сходимости ря-
ряда C), но функциональные свойства его суммы. В виде примера
можно назвать вопрос о непрерывности суммы ряда, в предполо-
предположении непрерывности всех его членов; это — та же задача, которая
уже упоминалась выше.
Как оказывается, функциональные свойства предельной функ-
функции (или — что то же — суммы ряда) f(x) существенно зависят
от самого характера приближения fn{x) к f(x) при различных
значениях х. Изучением типичных возможностей, которые здесь
представляются, мы займемся в следующем п°.
428. Равномерная и неравномерная сходимости. Допустим, что
для всех х из SC имеет место равенство B). По самому опреде-
определению предела это значит следующее: лишь только фикси-
фиксировано значение х из SC (для того чтобы иметь дело с опре-
определенной числовой последовательностью), по любому заданному
е > О найдется такой номер N, что для всех п > N выполняется
неравенство
\fn{x)-f(x)\<e,	E)
где под х разумеется именно то значение, которое
было заранее фиксировано.
Если взять другое значение х, то получится другая число-
числовая последовательность, и — при том же г — найденный номер N
может оказаться уже непригодным; тогда его пришлось бы заме-
заменить большим. Но х принимает бесконечное множество
значений, так что перед нами бесконечное же множество
различных числовых последовательностей, сходящихся к пределу.
Для каждой из них в отдельности найдется свое N; возникает воп-
вопрос: существует ли такой номер N, который (при заданном е) спо-
способен был бы обслужить сразу все эти последовательности?

428]
§ 1. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
457
Покажем на примерах, что в одних случаях такой номер N су-
существует, а в других — его нет.
1) Пусть сначала
Так как здесь
2пх
In
п2х2
то сразу ясно, что для осуществления неравенства fn(x) < е дос-
достаточно, каково бы ни было х, взять п > ^. Таким образом, напри-
например, число N = Е{^) в этом случае годится одновременно
для всех х.
2) Положим теперь [427, 3)]:
VJX
/
=4
/о
Для любого фиксированного х > О достаточно взять
п > Е^)9 чтобы было: /п(х) < -^ < е. Но, с другой стороны,
сколь большим ни взять /7, для функции /п(х) в проме-
промежутке [0,1] всегда найдется точка,
именно точка х = ^, в которой ее
значение равно \\ fn{\) = \- Та-
Таким образом, за счет увеличения п
сделать fn(x) < \ для всех зна-
значений х от 0 до 1 зараз —
никак нельзя. Иными словами, уже
для е = \ не существует номера N,
которое годилось бы для всех х од-
одновременно.
На рис. 59 изображены графики
этих функций, отвечающие /7 = 4
и п = 40: характерен горб высо-
высоты ^, передвигающийся с возраста-
возрастанием п справа налево. Хотя по каж-
каждой вертикали, в отдельности взя-
взятой, точки последовательных кривых с возрастанием п бесконечно
приближаются к оси х, но ни одна кривая в целом не примыкает
к этой оси на всем протяжении отх=0дох = 1.
б)
V
Рис. 59

458
ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
[428
Иначе обстоит дело с функциями, рассмотренными на первом
месте; мы не приводим их графиков, ибо они, например при /7 = 4
или п = 40, получаются из графиков, изображенных на рис. 59, пу-
путем уменьшения всех ординат, соответственно, в 4 или в 40 раз.
В этом случае кривые сразу на всем своем протяжении примыка-
примыкают к оси х.
Дадим теперь основное определение:
Если 1) последовательность A) имеет в ЭС предельную
функцию f(x) и 2) для каждого числа с > 0 существует та-
такой не зависящий от х номер N, что при п> N неравен-
неравенство E) выполняется сразу для всех х из 37, то говорят,
что последовательность A) сходится [или — функция fn{x)
стремится] к функции f(x) равномерно относительно х
в области 30.
Таким образом, в первом из приведенных примеров функ-
функция fn{x) стремится к нулю равномерно относительно х
в промежутке [0,1], а во
втором — нет.
Нужно сказать, что и для
прочих функций, рассмот-
рассмотренных в предыдущем п°,
сходимость не будет рав-
равномерной. Установим
это.
3) Для функции /п(х) =
= хп [427, 1)] невозмож-
невозможность неравенства хп < е
(при с < 1) сразу для
всех х < 1 видна хотя бы
из того, что хп —> 1, если
(при фиксированном п)
х —)> 1. Рис. 60 дает пред-
представление о своеобразном
характере нарушения равномерности: здесь предельная функция из-
изменяется скачком, а г о р б неподвижен.
Пусть теперь
Рис. 60
4)
или
5) fn{x)=2n2x-e-

428]	§ 1. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ	459
Невозможность равномерного приближения в [0,1] к предельной
функции, которая для х > О в обоих случаях равна 0, следует из
того, что, соответственно,
'¦GH
ИЛИ
е
Во втором случае высота горбов, которые мешают равномерно-
равномерному стремлению к 0, вдобавок еще бесконечно возрастает.
Покажем на примерах функций хп и j^ еще другой путь для
исследования вопроса. Неравенства
1
< ?
1 +ПХ
равносильны, соответственно, таким:
и n>-(--l) @ < jc < 1; 0<?<1).
X \?	J
Так как выражения справа неограниченно возрастают, первое —
при приближении х к 1, а второе — при приближении х к 0, то
ясно, что никакой номер п сразу при всех значениях х
этим неравенствам удовлетворить не может.
Перенесем теперь все сказанное выше о сходимости функций
на случай функционального ряда C).
Предполагая ряд сходящимся, введем в рассмотрение его
сумму /(х), частичную сумму /п(х) [см. D)] и, наконец, его оста-
остаток после /7-го члена
k=n+l
При любом фиксированном х
lim fn{x) = /0) и lim q>n{x) = 0.
пуоо	пуоо
Если частичная сумма fn(x) стремится к сумме ряда f(x)
равномерно относительно х в области SC [или, что то
лее, остаток ряда срп(х) равномерно стремится кО], то
говорят, что ряд C) равномерно сходится в этой области.

460	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[428
Это определение, очевидно, равносильно следующему:
Ряд C), сходящийся для всех х из области ЭС, называется
равномерно сходящимся в этой области, если для каждого
числа е > 0 существует такой не зависящий от х номер N,
что при п > N неравенство
\fn(x) - fn(x)\ < е или \q>n(x)\<?	F)
выполняется одновременно для всех х из ЭС.*}
Примеры равномерно и неравномерно сходящихся рядов, ко-
конечно, можно составить, преобразовав приведенные выше примеры
последовательностей. Мы присоединим к ним еще несколько новых
примеров.
6) Рассмотрим прогрессию ^ хп ; она сходится в открытом промежутке
п=\
SC = (—1, 1). Для любого х из SC остаток после п-то члена имеет вид:
хп
Если п произвольно фиксировать, то очевидно:
lim \q>n(x)\ = -, \im q>n(x) = оо.
x-s>-l+O	2 jc—>-1—0
И то и другое доказывает, что осуществить для всех х одновременно
неравенство
(	^
\<Рп(х)\ < с если с < -
\	2
при одном и том же номере п невозможно. Сходимость прогрессии в промежут-
промежутке (— 1, 1) неравномерна; это же относится к промежуткам ( — 1,0] и [0,1)
по отдельности.
7) Ряд У^ —т	ПРИ любом значении х из SC = ( —оо, +оо) сходится, ибо
он удовлетворяет условиям теоремы Лейбница [381]. По замечанию, сделан-
сделанному после доказательства теоремы, остаток ряда оценивается, по абсолютной
величине, своим первым членом:
1<Ри(*I < -г-	—г <
xz + п + \ я + 1
Отсюда ясно, что во всем бесконечном промежутке ряд сходится равномерно.
*) Понятие равномерной сходимости ряда было введено в науку одновре-
одновременно (в 1848 году) Зайделем (Ph.L. v. Seidel) и С ток с ом (G.C. Stokes),
но еще до них применялось Вейерштрассом на его лекциях.

429]	§ 1. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ	461
00
8) Аналогично, ряд ^ ^ ' 2 * сходится равномерно в SC =
= ( —оо, +оо), ибо при х ф О
*2	х2	1
A + X2)W	1 + ПХ2 + . . .	П
оо
Любопытно отметить, что ряд, составленный из абсолютных величин
хотя и сходится, но неравномерно. Действительно, его остаток, при х ф О,
таков:
<Рп(рс) =
1 - тЧ
1+х2
при любом фиксированном п он стремится к 1, когда jc —>> 0.
Замечание. Если в примере 2), вместо промежутка [0,1], рассмотреть
любой промежуток [а,1], где 0 < а < 1, то в нем сходимость уже будет
равномерной. Действительно, для всех х ^ а
пх	п	1
1 + nzxz 1 + «Z<2Z naz
В любом же промежутке [0,а] сходимость, очевидно, неравномерна. Таким
образом, вокруг точки х = 0 как бы «сгущается» свойство неравномерности; на-
назовем ее точкой неравномерности. То же относится и к примерам 4),5)
и 8). Аналогичную роль в примере 3) играет точка х = 1, а в примере 6) — обе
точки: х = — 1 их = 1.
В более сложных случаях точки неравномерности могут встречаться в бес-
бесконечном количестве.
429. Условие равномерной сходимости. Теорема Больцано-
Коши [39], устанавливающая условие существования конечного
предела для заданной числовой последовательности (принцип
сходимости), естественно приводит к следующему условию
равномерной сходимости для заданной в области SC после-
последовательности функций A):
Для того чтобы последовательность A) 1) имела предель-
предельную функцию и 2) сходилась к этой функции равномерно
относительно х в области ЗС, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы для каждого числа с > 0 существовал такой не
зависящий от х номер N, чтобы при n>N и любом
т = 1, 2, 3, ... неравенство
\fn+m(x) ~ fn{x)\ < е	G)
имело место для всех х из SC одновременно.

462	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[429
[Требование это можно кратко сформулировать так: принцип
сходимости для последовательности A) должен осуществляться
равномерно для всех х из ЗС\
Доказательство необходимости. Если последователь-
последовательность A) имеет предельную функцию f{x) и сходится к ней рав-
равномерно в ЭР, то по заданному е> О найдется не зависящий
от х номер N такой, что при п> N будет
\fH{x)-f(x)\<±e
для всех х. Аналогично и
\fn+m{x)-f{x)\<^e (m = 1,2,3,...),
а из этих обоих неравенств вытекает G).
Доказательство достаточности. Пусть условие, ука-
указанное в теореме, выполнено. Тогда, какое бы значение х из SC ни
фиксировать, в лице последовательности A) мы будем иметь
числовую последовательность, для которой выполняется усло-
условие Больцано-Коши. Следовательно, для этой последователь-
последовательности существует конечный предел, чем доказано существование
для последовательности A) предельной функции f{x).
Теперь, взяв по произволу п > N и х из «2Г, станем в нера-
неравенстве G) безгранично увеличивать т (при постоянных п и х).
Переходя к пределу, получим:
Этим устанавливается равномерное стремление fn(x) к f(x).
Нетрудно перефразировать доказанное условие для случая
функционального ряда:
Для того чтобы ряд C) сходился равномерно в облас-
области 37, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа
с > 0 существовал такой не зависящий от х номер N,
что при п> N и любом т = 1, 2, 3, ... неравенство
п+т
uk(x)
= \un+\(x) + ип+2(х) + • • • + ип+т(х)\ < ? (8)
к=п+\
имеет место для всех х из SC одновременно.

430]	§ 1. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ	463
Отсюда, в частности, вытекает полезное следствие:
Если все члены ряда C), равномерно сходящегося в об-
области ЭС, умножить на одну и ту же функцию v(x), огра-
ограниченную в ЭС\
то равномерная сходимость сохранится.
Для установления на практике равномерной сходимости кон-
конкретных последовательностей или рядов выведенные условия мало
пригодны. С этой целью пользуются — на них же основанными,
но более удобными в применении — достаточными признаками,
которые формулируются обычно применительно к рядам.
430. Признаки равномерной сходимости рядов. Вот простей-
простейший и чаще всего применяемый признак:
Признак Вейерштрасса. Если члены функционального ря-
ряда C) удовлетворяют в области ЭС неравенствам
Ы*)|<с„ («=1,2,3,...),	(9)
где сп суть члены некоторого сходящегося числового ряда
оо
Е
п=\
сп = с\ + с2 + . .. + сп + . . .,	(С)
то ряд C) сходится в SC равномерно.
При наличии неравенства (9) говорят, что ряд C) мажори-
мажорируется рядом (С) или что (С) служит мажорантным рядом
для C).
Действительно, из (9) получаем неравенство
K+lO) + Un+2(x) + . . . + Un+m{x)\ < Cn+\ + Cn+2 + • • • + Cn+m,
справедливое одновременно для всех х из области SC. Соглас-
Согласно принципу сходимости, который мы применяем к числовому ря-
ряду (С), для любого е > О найдется такое N, что при п > N правая
часть предыдущего неравенства будет уже меньше е9 а с нею —
и левая, притом для всех х одновременно. Этим, по условию п° 429,
наше утверждение доказано.
Таким образом, например, в любом промежутке равномерно
сходятся ряды
оо	оо
^ ап sin пх, ^ ап cos nx,
п=\	п=\

464	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[430
оо
если только ряд ^ ап сходится абсолютно. Ведь
ansmnx\ ^ \ап\, \ancosnx\ ^ \ап\,
оо
так что роль мажорантного здесь играет ряд Y1 \ап\-
п=\
Замечание. Каждый равномерно сходящийся в SC ряд
оо
J2 ип(х) путем расстановки скобок может быть преобра-
п=\
зован в ряд, к которому уже применим признак Вейер-
штрасса.
Действительно, возьмем какой-нибудь положительный сходя-
оо
щийся ряд Y1 сь По числу с\ [429] найдется такой номер т\9 что
\um+i(x) + ... + ип(х)\ < с\ в SC для п > т\. Затем по числу С2
найдется такой номер Ш2 > т\9 что \ит2+\(х) + ... + ип{х)\ < С2
в ЭС для п > Ш2 и т. д. Тогда, группируя члены данного ряда сле-
следующим образом:
[щ(х) + . . . +ит(х)] + [ит+\(х) + . . . +ит(х)} +
+ [ит2+\(х) + . . . + ит(х)\ + . . .
получим ряд, члены которого — начиная со второго — по абсо-
абсолютной величине не превосходят в ЭС последовательных членов
взятого числового ряда.
Если к данному ряду C) признак Вейерштрасса оказал-
оказался применим, то ряд C) необходимо абсолютно сходящийся.
Больше того, одновременно с рядом C) будет равномерно схо-
сходиться и ряд, составленный из абсолютных величин его членов:
оо
Е
п=\
и„{х)\.	A0)
Между тем возможны случаи, когда ряд C) сходится равно-
равномерно, будучи неабсолютно сходящимся. Примером этого
служит ряд 7) в 428 (что ряд этот не сходится абсолютно, сле-
следует из сравнения с гармоническим рядом). Возможно даже та-
такое положение вещей, когда ряд C) сходится абсолютно и рав-
равномерно, но ряд A0) все же сходится неравномерно [см. ряд 8)
в 428]. Подобные случаи заведомо не охватываются признаком

430]	§ 1. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ	465
Вейерштрасса; для их исследования нужны более тонкие при-
признаки.
Сейчас мы установим два признака, относящихся к функцио-
функциональным рядам вида:
оо
^2ап(х) -Ьп(х) =а\(х) -Ь\(х) +
п=\
+ а2(х) • Ъ2{х) + . .. + ап{х) • Ъп{х) + .. ., (W)
где ап(х)9 Ъп(х) (п = 1, 2, 3, ...) суть функции от х в ЭС. Мы
скопируем эти признаки с признаков Абеля и Дирихле [384]
из теории числовых рядов; условно будем называть и их по
именам этих ученых.
Признак Абеля. Пусть ряд
оо
Y,Ъп{х) = Ъх{х) + Ь2(х) + ... + Ъп{х) + ...	(В)
п=\
сходится равномерно в области ЭС, а функции ап{х) (при
каждом х) образуют монотонную последовательность и в со-
совокупности — при любых х и п — ограничены:
Тогда ряд (W) сходится равномерно в области SC.
Доказательство аналогично прежнему. Ввиду равномерной
сходимости ряда (В), номер N находится независимо от х9 с ссыл-
ссылкой на условие п° 429 (вместо принципа сходимости), а затем с по-
помощью леммы Абеля [383] получаем, как и выше (считая п > N)9
п+т
Е
к=п+\
e(\an+i{x)\+2\an+m{x)\) ^ ЗКе
сразу для всех х из SC. Этим наше утверждение доказано.
Признак Дирихле. Пусть частичные суммы Вп(х) ряда (В)
в совокупности — при любых х и п — ограничены:
а функции ап(х) {при каждом х) образуют монотонную пос-
последовательность, которая сходится к 0 равномерно в об-
области SC. Тогда и ряд (W) сходится равномерно в этой
области.

466	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[431
И здесь доказательство проводится так же, как и в 384. Отме-
Отметим лишь, что номер N можно выбрать независимо от х именно
ввиду равномерного стремления ап(х) к 0.
На практике часто на месте функциональной последо-
последовательности {ап(х)} оказывается обыкновенная числовая пос-
последовательность {ап} или на месте функционального ряда
^Ъп(х) — обыкновенный числовой ряд ^Ьп. Нужно заме-
1	1
тить, что этот случай, конечно, входит как частный в рассмотрен-
рассмотренный выше: ведь сходящуюся последовательность {ап} и схо-
оо
дящийся ряд J2bn можно рассматривать как равномерно
1
сходящиеся (зависимости от х нет).
Например, если {ап} есть последовательность положительных
чисел, монотонно стремящихся к 0, то оба ряда
оо	оо
^2ansmnx, У^ ап cos we
п=\	п=\
— по признаку Дирихле — равномерно сходятся в лю-
любом замкнутом промежутке, не содержащем точек вида 2ктт
(где к = 0, ±1, ±2, ...). Это следует из того, что, напри-
например [см. 385, 2)],
^2 sin zx
COS \x — C0s(/7
2 sin \x
Л
|sin \
и в названном промежутке sin | x не обращается в 0, так что для
суммы можно установить границу, не зависящую и от х.
Дальнейшие примеры применения признаков равномерной схо-
сходимости читатель найдет в п° 439 и следующих.
§ 2. Функциональные свойства суммы ряда
431. Непрерывность суммы ряда. Мы переходим теперь к изу-
изучению функциональных свойств суммы ряда, составленного из
функций, в связи со свойствами этих последних. Выше уже указыва-
указывалось на эквивалентность точки зрения последовательностей
и точки зрения бесконечных рядов. В изложении мы отдаем

431]	§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СУММЫ РЯДА	467
предпочтение последней точке зрения, потому что в приложени-
приложениях встречаются почти исключительно именно бесконечные ряды.
Перенесению сказанного о функциональных рядах на случай по-
последовательностей функций будет посвящен особый п° [436].
Введенное выше понятие равномерной сходимости во всем
дальнейшем будет играть решающую роль, так что важность его
выявится с полной силой.
Начнем с вопроса о непрерывности суммы ряда, которого мы
уже касались в 427.
Теорема 1. Пусть функции ип(х) (п = 1, 2, 3, ...) определе-
определены в промежутке SC' = [а,Ь] и все непрерывны в некоторой
точке х = х0 этого промежутка. Если ряд C) в промежут-
промежутке SC сходится равномерно, то и сумма ряда f{x) в точке
х = х0 также будет непрерывна.
[Подобное утверждение впервые было сформулировано К о ш и;
но знаменитый автор придал ему слишком общую форму, не выдви-
выдвинув требования равномерности, без которого оно перестает быть
верным.]
Доказательство. Сохраняя прежние обозначения, имеем
при любом п = 1, 2, 3, ... и любом х из ЗС\
f{x)=fn{x)+<pn{x)	A1)
и, в частности,
=/п(хо)+<Рп(хо)>
откуда
|/(х) - Дхо)| ^ \fn{x) -/„(*0I + \<Р„(х)\ + |ф„(*0)|. A2)
Зададимся теперь произвольным е > 0. Ввиду равномерной
сходимости ряда можно фиксировать номер п так, чтобы не-
неравенство
\<р„(х)\<е	A3)
выполнялось для всех значений х в промежутке SC (в том числе
и для х =х0). Отметим, что при фиксированном п функция /п(х)
есть сумма определенного конечного числа функций uk(x)9 непре-
непрерывных в точке х = х0. Поэтому она также непрерывна в этой точ-
точке, и по заданному е > 0 найдется такое S > 0, что при |jc —jco| < S
будет
!/*(*)-/*(*<>) I <*¦	A4)

468	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[431
Тогда, ввиду A2), A3) и A4), неравенство \х — хо| < S влечет за
собой
\f(x)-f(xo)\<3e,
что и доказывает теорему.
Естественно, если функции ип(х) непрерывны во всем про-
промежутке SC = [а,Ь], то при наличии равномерной схо-
сходимости и сумма ряда C), f(x), будет непрерывна во всем
промежутке.
Что требование равномерной сходимости в тексте теоремы не может
быть опущено, показывает, например, ряд
оо	2
X
[см. 428, 8)], сумма которого равна 1 при х ф О и равна 0 при х = 0. Однако
равномерная сходимость фигурирует в теореме лишь как достаточное усло-
условие, и не следует думать, что это условие необходимо для непрерывности
у
суммы ряда *': например, ряды
о г 2 -п2х2 ,	ЛЛ2 -(n-\Jx2i
2х[п е	— (п — 1) е к ' ],
A5)
пх	(п — \)х
| „2^2 1 I (п _ П2^2
[ср. 428, 5) и 2)] в промежутке [0, 1] имеют непрерывную сумму 0, хотя оба в нем
сходятся неравномерно.
Впрочем, есть классы случаев, когда равномерная сходимость
все же оказывается необходимой. В этом направлении мы докажем
следующую теорему, принадлежащую Дини (U. Dini).
Теорема 2. Пусть члены ряда C) непрерывны во всем про-
промежутке ЭС = [а,Ь] и пол о леи те льны. Если ряд имеет
сумму f(x), также непрерывную во всем промежутке, то он
сходится в этом промежутке равномерно.
Доказательство. Рассмотрим остатки ряда C):
к=п+\
Функция q>n(x) от х, как разность двух непрерывных функций, так-
также непрерывна. Ввиду положительности членов ряда, последова-
*)
См. следующий п°.

432]	§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СУММЫ РЯДА	469
тельность {фп(х)}9 при постоянном х9 является убывающей (не-
возрастающей):
> - - - > <Рп(х) > <Рп+Лх) >•••
Наконец, поскольку ряд C) сходится в промежутке «2Г, при любом
постоянном х	л. , ч
Дто<р„(х) = 0.
Для того чтобы установить равномерную сходимость ряда, до-
достаточно доказать, что для каждого числа е > О существует хоть
одно значение /7, при котором срп(х) < е одновременно для всех х
(ибо тогда для больших значений п это неравенство выполнялось
бы и подавно).
Доказательство этого будем вести от противного. Предполо-
Предположим, что для некоторого е > О такого номера п не существует.
Тогда при любом п = 1, 2, 3, ... в промежутке SC найдется такое
значение х — хп9 что срп{хп) ^ е. К последовательности {хп}, все
элементы которой содержатся в конечном промежутке «2Г, приме-
нимлемму Больцано-Вейерштрасса [41] и выделим из нее
частичную последовательность {хщ}, сходящуюся к пределу х0.
Ввиду непрерывности срт{х), имеем:
lim <рт{х ) = <рт(х0),
каково бы ни было т. С другой стороны, при любом w, для доста-
достаточно больших к\
пк ^ т, так что <рт(хПк) ^ <РПк{хщ) > с.
Переходя здесь к пределу при к —»> оо, найдем, что
lim срт{х ) = (рт(х0) ^ е.
к^оо
А это неравенство, имеющее место при любом т9 противоречит
тому, что	/ ч а
Теорема доказана.
432. Замечание о квазиравномерной сходимости. Итак, если функциональ-
функциональный ряд C) состоит из непрерывных в промежутке SC = [a, b] функций и схо-
сходится в этом промежутке к сумме f(x)9 то для непрерывности этой последней
достаточна равномерная сходимость ряда, но — в общем случае — вовсе не
необходима. Было замечено еще Дини и другими, что достаточным
условием является некая «ослабленная» равномерность сходимости: она состоит
в том, что для каждого числа е > 0 и каждого номера Nf существует
хоть один не зависящий от х номер п > N'', такой, что неравенство F)

470	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[432
выполняется одновременно для всех х из ЗС. Действительно, при доказатель-
доказательстве теоремы 1 мы и использовали лишь один номер п, при котором неравен-
неравенство A3) выполняется для всех х из ЗС.
Однако даже эта «ослабленная» равномерность все же не является необ-
необходимой для непрерывности суммы f(x) ряда C). Она не имеет места, напри-
например, для рядов A5), сходящихся к непрерывной сумме f(x) = 0.
Арцела (С. Arzela) ввел в рассмотрение в 1883 году особый тип сходимо-
сходимости (впоследствии получивший название квазиравномерной сходимости),
который решает вопрос о точной характеристике сходимости ряда, обеспечи-
обеспечивающей непрерывность его суммы.
Про ряд C), сходящийся в промежутке SC = [a, Ь], говорят, что он
сходится квазиравномерно в ЗС к сумме f(x), если для каждого чис-
числа е > 0 и каждого номера Nf промежуток ЗС может быть покрыт
конечным числом открытых промежутков
Ol>M> (<*2»*2)» ••" (Я/Л)» ••" КА)'
и им в соответствие могут быть поставлены к номеров
nl9 п2, ..., ni9 ..., пк (> Nf)
так, что для всех значений х (из ЗС), содержащихся в (at, bt)
(i = 1, 2, . . ., k), неравенство
выполняется одновременно.
При упомянутой выше «ослабленной» равномерной сходимости всем зна-
значениям х из ЗС ставился в соответствие один и тот же номер п, а здесь все х
разбиваются на группы, которым в соответствие ставятся разные значения п, но
всякий раз — в конечном числе.
Пользуясь этим понятием, Арцела установил следующее предложение:
Теорема 3. Пусть функции ип(х) определены и непрерывны в промежут-
промежутке SC = [а, Ь], и ряд C) сходится в этом промежутке. Для того чтобы
сумма ряда f(x) также была непрерывна в SC, необходимо и доста-
достаточно, чтобы ряд сходился в SC к f(x) квазиравномерно.
Необходимость. Предположим сначала непрерывность функции f(x),
а значит, и всех остатков (рп(х). Возьмем в SC любую точку х'. По задан-
заданным числам е и N для нее найдется такой номер п > N, что
По непрерывности функции срп, (х) подобное же неравенство
\(рпг(х)\ < ?
будет выполняться и в некоторой окрестности о' = (х' — 8f, xf + 8f) точки xf. Из
всех этих открытых промежутков а\ построенных для всевозможных х' из SC,
составится некая бесконечная система Е, покрывающая промежуток SC.
Тогда, по лемме Боре л я [88], из нее выделяется и конечная подсистема
промежутков
Е* = {О19О29 ...,<7fc},
также покрывающая ЗС. Эти промежутки и будут теми, о которых идет речь
в определении квазиравномерной сходимости.

433]	§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СУММЫ РЯДА	471
Достаточность. Допустим теперь, что ряд C) сходится к своей сум-
сумме f[x) квазиравномерно. Задавшись числами е и Nf, построим промежут-
промежутки (at, bt) и выберем номера ni (i = 1, 2, ...,&) с указанными в определении
свойствами. Возьмем по произволу в SC точку х$; пусть она содержится в проме-
промежутке (ai , bj ). Как и при доказательстве теоремы 1 [431, A2)], можем написать
1/М - /ЫI < \fn,(*) - fn, ЫI + Wn,(*)I + Wn, (*о)I- A2а)
При этом, очевидно,
1<М*оI < ?>
если х тоже принадлежит этому промежутку {at , bt ), то и
\<Рп.(х)\ < е.
Можно найти такое число 8 > 0, что, при \х — х$\ < 8, не только х содержится
в указанном промежутке, но и первое слагаемое в A2а) справа будет < е, а
значит,
1Д*)-/(*оI <3е'
и непрерывность /(л:) в точке Xq доказана. *^
Из этой теоремы с легкостью выводится теорема Дин и предыдущего п°.
Действительно, если ряд C) состоит из положительных непрерывных функций
и сходится к непрерывной же сумме, то, как мы видели, сходимость необходимо
будет квазиравномерной.
Пользуясь тем, что в данном случае остатки <рп(х) с возрастанием п убы-
убывают, достаточно взять номер N большим всех щ (i = 1, 2, ...,&), чтобы для
п > N неравенство F) выполнялось одновременно для всех х из SC\ сходимость
оказывается равномерной.
433. Почленный переход к пределу. Приведем еще одну тео-
теорему, которая является обобщением теоремы 1. В ней ЭС — {х}
есть произвольное бесконечное множество, имеющее точку
сгущения а (конечную или нет) [52]; эта точка сама может и не
принадлежать множеству.
Теорема 4. Пусть каждая из функций ип{х) (п = 1, 2, 3, ...)
определена в области ЭС и имеет, при стремлении х к а,
конечный предел:
(x) =cn.	A6)
Если ряд C) в области SC сходится равномерно, то
1) сходится ряд, составленный из этих пределов:
оо
Е^ -
п=\
с„=С,	(С)
*^ Как читатель заметил, предположение, что все номера ni могут быть выбра-
выбраны сколь угодно большими, на деле нигде не используется.

472	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[433
и 2) сумма ряда C), f(x), также имеет при х —>> а предел,
именно:
Um/(x)=C.	A7)
Доказательство. Согласно условию равномерной сходимо-
сходимости п° 429, для произвольно взятого е > О существует такой но-
номер N, что при п> N и w = l,2, 3, ... неравенство (8) выпол-
выполняется для всех х из SC. Переходя здесь к пределу при х —>> а
с учетом A6), найдем, что
сп+\ + сп+2 + • • • + Сп+т ^ ?'
так что для ряда (С) выполняется условие сходимости [376].
Если С, Сп и уп означают, как обычно, его сумму, частичную
сумму и остаток, то
Вычитая это равенство почленно из A1), легко получить:
\/(х) -С\ < \/п(х)-Сп\ + \<р„(х)\ + \у„\.	A8)
Ввиду равномерной сходимости ряда C) и сходимости
ряда (С), по любому е > О можно фиксировать /7 столь боль-
большим, чтобы для всех х из SC было:
?
|ф„(х)| < -, а также \]
Так как, очевидно,
я	п
lim /w(x) = lim ^^uk(x) = ^c^ = Cw,
x^a	X^a k=\	k=l
то — если ограничиться случаем конечного а — найдется такое
S > 0, что при \х — а | < S будет:
\fn{x)-Cn\<e.	B0)
Тогда, при указанных значениях х, в силу A8), A9) и B0), бу-
будет выполняться неравенство
\/(х)-С\<Зг,
что и приводит к A7). *)
* ^ Читатель узнает в этом рассуждении то, которое уже было применено для
доказательства теоремы 1.

434]	§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СУММЫ РЯДА	473
Равенство A7) можно написать в форме [см. A6)]:
п=\	п=\
таким образом, при наличии равномерной сходимости, предел сум-
суммы ряда равен сумме ряда, составленного из пределов его чле-
членов, или, иными словами, в ряде допустим предельный переход
почленно.
434. Почленное интегрирование рядов. Перейдем теперь к рас-
рассмотрению вопроса об интегрировании суммы сходящегося функ-
функционального ряда.
Теорема 5. Если функции ип{х) [п — 1, 2, 3, ...) непрерыв-
непрерывны в промежутке ЭС' =[а,Ь] и составленный из них ряд C)
сходится в этом промежутке равномерно, то интеграл
от суммы f(x) ряда C) представляется следующим образом:
J
Ь	Ь	Ь
= / ux{x)dx + / u2(x)dx + ...+ / un{x)dx + .. . B1)
а	а	а
Доказательство. Ввиду непрерывности функций ип(х)
и f{x) [431, теорема 1], существование всех этих интегралов оче-
очевидно. Проинтегрировав тождество
f{x) = щ(х) + и2(х) + . .. + ип{х) + <рп(х)
в промежутке [а,Ь]9 получим:
ъ	ъ	ъ	ъ	ъ
I f{x)dx = / ux{x)dx+ I u2(x)dx + . . .+ / un{x)dx+ I q>n(x)dx.
a	a	a	a	a
Таким образом, сумма п членов ряда B1) разнится от интеграла
ъ	ъ
J f(x)dx дополнительным членом / q>n(x)dx. Для доказательства
а	а
разложения B1) нужно лишь установить, что
ъ
\ш^ f q)n(x)dx =0.	B2)

474	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[434
В силу равномерной сходимости ряда C), для любого е > О
найдется номер N такой, что при п > N
\<Рп(х)\ < ?
сразу для всех х в рассматриваемом промежутке. Тогда для тех же
значений п будет:
ъ	ъ
<pn{x)dx
j \<pn{x)\dx <(Ь-а)-е,
что и доказывает предельное соотношение B2).
Равенство B1) может быть написано в виде
Ь ОО	ОО	Ъ
a n=1	"=i a
так что в случае равномерно сходящегося ряда интеграл от сум-
суммы ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов его
членов, или, иными словами, допустимо почленное интегри-
интегрирование ряда.
Как и в случае теоремы 1, требование равномерной сходимости сущест-
существенно для верности разложения B1), т. е. не может быть просто опущено,
но все же не является необходимым. Ряды A5), рассмотренные в 431, как
раз и иллюстрируют это обстоятельство. Оба они в промежутке [0, 1] сходятся
к функции f(x) = О неравномерно. Но, интегрируя первый почленно, мы
в качестве суммы ряда интегралов получим
1	1
lim
/ 2пх • e~n2jc2dx = Km (I - е") = 1, хотя / f(x)dx = 0;
) J	П^ОО	J
о
для второго же ряда аналогично найдем
1
1 , 2 2 dx = ИШ 	о	 = ° =
1 + nzxz	п^оо 2п
о	о
Любопытен пример ряда
Здесь
i*L=ln2=l-I + I-...,
+ jc	2 3
о
так что ряд можно интегрировать почленно, хотя при х = 1 он и вовсе рас-
расходится.

434]	§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СУММЫ РЯДА	475
Укажем теперь обобщение теоремы 5, связанное с отказом от
требования непрерывности рассматриваемых функций.
Теорема 6. Если функции ип(х) (п = 1, 2, 3, ...) интегри-
интегрируемы^ в промежутке SC'=[а,Ь] и составленный из них
ряд C) сходится равномерно, то сумма f(x) ряда также
будет интегрируема, и имеет место разложение B1).
Доказательство. Остановимся на интегрируемости функ-
функции /0).
Ввиду равномерной сходимости ряда, по заданному наперед ?,
мы можем фиксировать п столь большим, чтобы во всех точ-
точках промежутка [а, Ь] было:
\f(x)-fn(x)\<i или /„(*)_?</(*)</„(*) + ?. B3)
Возьмем какую-нибудь часть [а, /3] промежутка [«, 6], и пусть т, М
будут точные границы функции /п(х) в [а, /3], а со = М- т — ее
колебание; соответствующее колебание функции f(x) обозначим
через Q. Ввиду B3), в пределах промежутка [а, /3]:
т — — < f(x) < М + -, так что Q ^ со + г.
Разобьем теперь промежуток [а, Ь] обычным образом на частич-
частичные промежутки [xj9 xi+l] и станем значком / отмечать колебания,
относящиеся к z-му промежутку. Тогда Qt ^ сог¦ + г и
• Ахг
Так как второе слагаемое справа произвольно мало, а первое стре-
стремится к нулю вместе с Я = max Ax i9 то это же справедливо и от-
относительно выражения слева, откуда и следует интегрируемость
функции/(х) [297, (8)].
Что же касается равенства B1), то оно доказывается буквально
так же, как и выше.
Покажем на примере, что при нарушении равномерности ряд, состоящий из
интегрируемых функций, может иметь неинтегрируемую сумму. Положим ип(х)
(для п = 1, 2, 3, . . .) равным 1, если^с выражается несократимой дробью Щ9
и равным 0 — в прочих точках промежутка [0, 1]. Эти функции, имеющие лишь
конечное число разрывов, интегрируемы в [0, 1], а суммой ряда будет заведомо
неинтегрируемая функция Дирихле [300, B)].
*)
В смысле п° 295.

476	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[435
Вместе с тем, разумеется (мы это видели на примерах), равномерная сходи-
сходимость не является необходимым условием для интегрируемости суммы ряда,
составленного из интегрируемых функций. И для этого случая А р ц е л а указал
условие, одновременно необходимое и достаточное («квазиравномерная
сходимость вообще»), ср. п° 432.
435. Почленное дифференцирование рядов. С помощью тео-
теоремы 5 предыдущего п° легко доказывается следующая
Теорема 7. Пусть функции ип{х) {п — 1, 2, 3, ...) определе-
определены в промежутке ЭС' =[а,Ь] и имеют в нем непрерывные про-
производные и'п{х). Если в этом промежутке не только сходится
ряд C), но и равномерно сходится ряд, составленный из
производных:
оо
?Х(*) = Щ(х) + и'2(х) + . .. + и'п(х) + . ..,	B4)
п=\
то и сумма f(x) ряда C) имеет в ЭС производную, причем
»(*)•	B5)
п=\
Доказательство. Обозначим через /*(х) сумму ряда B4);
ввиду теоремы 1, это будет непрерывная функция от х. Восполь-
Воспользовавшись теперь теоремой 5, проинтегрируем ряд B4) почленно
в промежутке от а до произвольного значения х на ЗС\ мы получим
X
/
a	n~l a
х
Но, очевидно, J u'n(t)dt = ип{х) — ип(а)9 так что
/7
х
/
п=\	п=\	п=\
[Это преобразование оправдано наперед известной сходи-
сходимостью рядов J2un(x) и J2un(a)'-> CM- 364, 4°.] Так как интеграл
слева, ввиду непрерывности подинтегральной функции, имеет про-
производную, равную /*(х) [305, 12°], то ту же производную имеет
и функция /(х), которая от интеграла отличается лишь на посто-
постоянную.

435]	§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СУММЫ РЯДА	477
Равенство B5) можно переписать (если воспользоваться, сле-
следуя К о ш и, обозначением D для производной) в виде
п=\
Таким образом, при указанных условиях производная от суммы
ряда оказывается равна сумме ряда, составленного из произ-
производных его членов, или, иными словами, допустимо почленное
дифференцирование ряда.
Рассмотрим ряды
п=\
„=2-J	Z^-[>
Первый из них сходится к 0 при х = Ои к 1 — в остальных точках, а сумма
второго везде равна 0. Если продифференцировать их почленно, то получатся
уже знакомые нам ряды A5) [431], сходящиеся во всем промежутке [0, 1] к 0, но
оба неравномерно. В первом случае ряд из производных сходится и при
х = 0, где сумма первоначального ряда производной иметь не может, ибо раз-
разрывна в этой точке. Во втором случае, наоборот, почленное дифференцирование
повсюду приводит к верному результату. Этими примерами иллюстрируется роль
требования, чтобы ряд производных сходился равномерно: оно сущест-
существенно, но не необходимо.
Теорема 7 может быть освобождена от некоторых лишних пред-
предположений ценою небольшого усложнения доказательства.
Теорема 8. Пусть функции ип(х) {п = 1, 2, 3, ...) определе-
определены в промежутке ЭС — [а, Ь] и имеют в нем конечные про-
производные и'п(х). Если ряд C) сходится хоть в одной точке,
например при х = а, а ряд B4), составленный из производ-
производных, равномерно сходится во всем промежутке SC, то
тогда 1) ряд C) сходится равномерно во всем промежут-
промежутке и 2) его сумма f(x) имеет в SC производную, выражаемую
равенством B5).
Доказательство. Возьмем в промежутке [а, Ь] две различ-
различные точки х0 и х и составим ряд
у^гЛРЧ—Wo/.	B6)
1	Х~Х0

478
ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
[435
Мы докажем, что при любом фиксированном х0 этот ряд сходится
для всех х ф х0, и притом равномерно относительно х.
С этой целью, задавшись произвольным числом г > О, ввиду
равномерной сходимости ряда B4), найдем такой номер N,
что при п > N и т = 1,2, 3, ... неравенство
B7)
выполняется для всех значений х одновременно. Фиксируя на мо-
момент пит, рассмотрим функцию
п+т
к=п+\
ее производная
п-\-т
U\x) = ? ы'к(х),
к=п+\
в силу B7), по абсолютной величине всегда < е. Но, очевидно,
Х Х0
X
где с содержится между х0 и х [по теореме Лагранжа, 112].
Поэтому, окончательно, для всех х ф х0
п-\-т
? -
к=п+\
~ Uk(XOJ
X — Хс
<
так как это неравенство имеет место, лишь только п> N, каково бы
ни было т = 1, 2, 3, ..., то равномерная сходимость ряда B6)
этим доказана. Отсюда уже вытекают все нужные нам заключения.
Прежде всего, взяв х0 = а, из равномерной сходимости ряда
а с ним и
л
(Л
л
оо
[см. следствие п° 429], и из сходимости ряда ^ ^
п=\
оо
о равномерной же сходимости ряда J2 un(,x)-
п=\
заключаем

436]	§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СУММЫ РЯДА	479
Если через f(x) обозначить его сумму, то суммой ряда B6),
где х0 есть снова любое значение х в промежутке [а, Ь]9 очевидно,
будет х_а • Так как в равномерно сходящемся ряде можно
переходить к пределу почленно [по теореме 4], то, устремляя х
к х0, получим:
/'(*„) = lim /(x)"/(Xq)
V °J x^x0 x-X0
{
/1=1 l
что и требовалось доказать.
Замечание. Все эти теоремы о почленном предельном пере-
переходе, почленном интегрировании и дифференцировании устанав-
устанавливают аналогию между функциональными рядами и суммами
конечного числа функций. Аналогия эта, однако, ограничена из-
известными условиями, в характеристике которых равномерная
сходимость занимает исключительное место.
436. Точка зрения последовательности. Представляет интерес
перефразировать полученные результаты с точки зрения последо-
последовательности функций. Это позволит отчетливо поставить в связь
рассматриваемые вопросы с общим вопросом о перестановке
двух предельных процессов, который играет столь важ-
важную роль во всем анализе. С другой стороны, наметится и путь
к обобщению этих результатов.
Итак, мы снова сопоставляем последовательность функций A)
и функциональный ряд C), считая, что они связаны соотно-
соотношениями:
(«=1,2,3,...)
k=l
или равносильными им:
щ(х)=Мх), un{x)=fn{x)-fn_x{x) (« = 2,3,...).
Предельная функция для последовательности есть то же, что и сум-
сумма соответствующего ряда. Равномерная сходимость может иметь
место лишь одновременно и для последовательности, и для ряда.
I. Рассмотрим сначала вопрос о пределе упомянутой
предельной функции. Пусть множество <$Г={х}, в котором

480	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[436
определены все рассматриваемые функции, имеет точкой сгуще-
сгущения а. Тогда теорема 4 [433] перефразируется так:
Теорема 4*. Если функции fn{x) имеют пределы
Шо/п(х)=/(х) [хшЭО)	B8)
limfn(x)=Cn (/7=1,2,3,...),	B9)
причем в первом случае стремление к пределу происходит
равномерно относительно х {в SC), то существуют оба
конечных предела
lim fix) и lim С„,
которые равны между собой.
Равенство
lim fix) = lim С„,
если принять во внимание B8) и B9), может быть переписано так:
lim lim fJx) = lim lim fJx).
Таким образом, рассматриваемая теорема устанавливает для функ-
функции /п(х) от двух переменных, х и /7, условия существования
и равенства двух повторных пределов и непосредственно примыка-
примыкает к исследованиям п° 168.
Предоставляем читателю перефразировать для последователь-
последовательностей и две теоремы п° 431.
П. Теперь пусть область SC представляет собой промежу-
промежуток [а, Ь], и рассмотрим вопрос об интеграле предельной
функции. Вот аналог теоремы 6 [434]:
Теорема 6*. Если последовательность {/п(х)} состоит из
функций, интегрируемых в промежутке [а, Ь], и сходится
к своей предельной функции f(x) равномерно относитель-
относительно х в [а, Ь], то функция f(x) будет интегрируема в [а, Ь],
причем
ъ	ъ
Jf(x)dx=l\mQJfn(x)dx.

436]	§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СУММЫ РЯДА	481
Последнее равенство перепишем в виде:
ъ	ъ
fn{x)dx = JiXm^ax^dx,	C0)
так что предел, относящийся к интегралу, оказывается возможным
отнести непосредственно к подинтегральной функции. В этом слу-
случае говорят, что допустим предельный переход под знаком
интеграла.
В равенстве C0) переставляются знаки предела и инте-
интеграла. Так как определенный интеграл также получается в ре-
результате некоего предельного процесса, то рассматриваемый здесь
вопрос оказывается родственным тому, который изучался в 168.
III. Наконец, перейдем к вопросу о производной предель-
предельной функции. Перефразируем теорему 8 [435]:
Теорема #*. Пусть все функции /п(х) дифференцируе-
дифференцируемы в промежутке [а, Ъ], и последовательность производ-
производных {/п(х)} сходится во всем промежутке, равномерно
относительно х. Если известно, что последовательность
функций {/„(*)} сходится хоть в одной точке промежут-
промежутка [а, Ь], то можно утверждать, что 1) эта последователь-
последовательность сходится во всем промежутке, и даже равномерно,
2) предельная функция f(x) дифференцируема, причем
Если переписать это равенство более выразительно:
то сразу станет ясно, что речь идет о перестановке знаков пре-
предела и производной. Так как производная также есть пре-
предел, то и этот вопрос связан с перестановкой двух предельных
переходов.
В заключение заметим следующее. Если стоять на точке зре-
зрения бесконечного ряда, то натуральный параметр /7, естественно,
не может быть заменен более общим. Иначе обстоит дело, если
речь идет о последовательности функций. Здесь функция /п(х)
может быть заменена функцией f(x,y) от двух переменных, где
у изменяется в произвольной области *? = {у}, имеющей точкой
сгущения число у0 (конечное или нет). Предельный переход при

482	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[437
п —>> оо заменяется предельным переходом при у —>> j/0. Формули-
Формулировка и доказательство теорем, относящихся к этому общему слу-
случаю, не представляют трудности. К некоторым из этих обобщений
мы вернемся ниже, в главе XIV.
437. Непрерывность суммы степенного ряда. Важнейшим при-
примером применения всей изложенной теории является изучение
свойств степенных рядов. Мы ограничимся степенными ря-
рядами вида
оо
Y^ апхп = а0 + ахх + а2х2 + . . . + апхп + . . .,	C1)
ибо, как мы видели в 403, ряды более общего вида
оо
J2an(x ~хоТ = ао+ах(х -х0) + а2{х -х0J + ...
п=0
...+ап(х-х0)п + ... C1*)
непосредственно приводятся к виду C1) простой заменой пере-
переменной.
Пусть ряд C1) имеет радиус сходимости R > 0 [379].
Прежде всего, можно утверждать:
1° Какое бы положительное число г < R ни взять, ряд C1)
будет сходиться равномерно относительно х в замкнутом
промежутке [—г, г].
Действительно, так как г < R, то при х — г ряд C1) сходится
абсолютно, т. е. сходится положительный ряд:
оо
п = \а\ + \а\ • г + \а\ • г2
гп = \ао\ + \ах\ • г + \а2\ • г2 + . . . + \ап\ • гп + . . . C2)
При |х| ^ г члены ряда C1) по абсолютной величине не превос-
превосходят соответствующих членов этого ряда, который, таким об-
образом, играет роль мажорантного ряда, и, по признаку
Вейерштрасса, ряд C1) для указанных значений х сходится
равномерно.
Хотя число г и может быть взято сколь угодно близким к R,
но из доказанного все же не вытекает равномерная сходимость
в промежутке [—R,R]. На примере прогрессии [428, 6)] читатель
видит, что как раз концы промежутка сходимости могут оказаться
точками неравномерности.

437]	§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СУММЫ РЯДА	483
Теперь, как следствие теоремы 1, получаем:
2° Сумма f(x) степенного ряда C1) для всех значений х
между —R и R представляет собой непрерывную функцию
от х.
Какое бы значение х = х0 внутри промежутка сходимости ни
взять, можно выбрать число г < R так, чтобы было |хо| < г. При-
Применив теорему 1 в промежутке [-г, г], ввиду 1°, установим непре-
непрерывность функции f(x) в этом промежутке, следовательно, в част-
частности, и при х = х0.
[Обращаем внимание читателя на то, что мы избежали примене-
применения теоремы 1 в промежутке (— R, R), где равномерная сходимость
не может быть гарантирована.]
Непрерывность суммы степенного ряда может быть использо-
использована для доказательства теоремы о тождестве степенных
рядов (напоминающей подобную же теорему для многочленов):
3° Если два степенных ряда
J2an*n
оо
n=0
= a0-
\-axx -
Vbxx H
f a2x2 + . .. -
h b2x2 + . . . H
в окрестности точки х = 0*) имеют одну и ту dice сумму,
то эти ряды тождественны, т. е. соответственные коэффи-
коэффициенты их попарно равны:
ao = bo, al=bl, a2 = b2, . .., an = bn, ...
Полагая х = 0 в тождестве
а0 + а\х + . . . = b0 + &i* + . . .,
сразу убеждаемся в равенстве а0 = Ьо. Отбрасывая эти члены
в обеих частях написанного тождества и деля их на х (в этом
случае мы вынуждены считать i /0), получим новое
тождество
ах + а2х + . . . = Ъх + Ъ2х + . . .,
которое также имеет место в окрестности точки х = 0, но ис-
исключая саму эту точку. Не имея права положить здесь
*' Здесь имеется в виду не только двусторонняя окрестность (—8, 8)
тонкие =0, но и односторонняя окрестность вида [0, 8) или (—8, 0].

484	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[437
х = О, мы, однако, можем устремить х к 0; в пределе, пользуясь
непрерывностью, мы все же получим, что ах= Ъх. Отбрасывая эти
члены и снова деля на х ф 0, при х -л 0 найдем, что а2 = Ъ2 и т. д.
Эта простая теорема, устанавливающая единственность
разложения функции в степенной ряд, имеет частые применения.
С ее помощью, например, сразу устанавливается, что разложение
четной {нечетной) функции в степенной ряд вида C1) может
содержать лишь четные же {нечетные) степени х.
Рассмотрим теперь более тонкий вопрос о поведении ряда вбли-
вблизи одного из концов х = ±R его промежутка сходимости (счи-
(считая впредь этот промежуток конечным). Мы можем ограничиться
правым концом х = R; все сказанное о нем, с помощью простой
замены х на — х переносится и на случай левого конца х = —R.
Прежде всего, ясно, что
4° Если степенной ряд C1) на конце х = R его промежут-
промежутка сходимости расходится, то сходимость ряда в проме-
промежутке [0, R) не может быть равномерной.
Действительно, при наличии равномерной сходимости можно
было бы, по теореме 3, перейти в нашем ряде к пределу при
х —>> R — 0 почленно и тем установить сходимость ряда из пре-
пределов:
оо
Y^ anRn = ao + axR + a2R2 + . . . + anRn + . . .,
n=0
вопреки предположению.
Имеет место и следующая, в некоем смысле — обратная тео-
теорема:
5° Если степенной ряд C1) сходится и при х = R {хотя
бы и неабсолютно), то сходимость ряда будет необходимо
равномерной во всем промежутке [0,R].
Действительно, если представить ряд C1) в виде
п=0	п=0
то требуемое заключение непосредственно вытекает из признака
оо	п
Абеля, так как ряд ^ anRn сходится, а множители (^) образуют
п=0
монотонную и равномерно ограниченную последовательность
х /х\2	/х\п /х\п+1
»Ы »»() >() >

437]	§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СУММЫ РЯДА	485
Доказанное предположение позволяет применить теорему 1 ко
всему промежутку [О, R]. Таким образом, в виде дополнения к тео-
теореме 2° о непрерывности суммы степенного ряда в открытом про-
промежутке (—R,R)9 мы получаем такую теорему (принадлежащую
Абелю) *}:
6° Теорема Абеля. Если степенной ряд C1) сходится при
х = R, то его сумма сохраняет непрерывность и при этом
значении х (разумеется, слева), т. е.
lim
Теорема Абеля имеет важные приложения.
Если для функции f(x) получено разложение в степенной ряд
лишь в открытом промежутке (-R, R)'.
оо
/(*) = ?***" (~R<x<R),
п=0
но функция сохраняет непрерывность, а ряд продолжает сходиться
и на каком-либо из концов этого промежутка, например при х = R,
то разложение остается верным и для этого конца.
В этом легко убедиться, переходя в написанном равенстве к преде-
пределу при х —>> R — 0.
Таким образом, например, получив разложение
1пA +х)=х-? + ?-... + (-I)" Х- + ...
2 3	п
лишь для — 1 < х < 1, но зная, что ряд
1-5 + т-- •• + (-ir1V..
2 3	п
сходится, заключаем, что сумма его есть In 2. Точно так же оправдывается и утвер-
утверждение п° 407 о том, что биномиальный ряд
т(т — 1) о т(т — l)(w — 2) . . . (т — п + 1) „
1 + ТО + Л7Т^ +--- + ~	1.2.3......	1х +
и при х = d=l имеет своей суммой A + х)т, если только ряд оказывается сходя-
сходящимся.
* ^ Другое доказательство этой теоремы (в предположении R = 1) мы дали
в п° 418 — в связи с вопросом о регулярности метода Пуассона-Абеля
суммирования расходящихся рядов.

486	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[438
438. Интегрирование и дифференцирование степенных ря-
рядов. Применим теперь к степенным рядам теоремы пп° 434 и 435.
Сопоставляя доказанные уже свойства 1° и 5° с теоре-
теоремой 5 [434], получим:
7° Степенной ряд C1) в промежутке [0,х], где \х\ < R,
всегда молено интегрировать почленно, так что
X
f(x)dx = aox + -j-x2 + -^x3 + .. . + —^~xn + -" C3)
о
л
/
Значение х здесь может совпадать и с одним из концов про-
промежутка сходимости, если на этом конце ряд C1) сходится.
Переходим к вопросу о дифференцировании степенного ряда.
8° Степенной ряд C1) внутри его промежутка сходимо-
сходимости можно дифференцировать почленно, так что
оо
= аг+ 2а2х + За3х2 + . . . + папхп~1 + . . . C4)
Утверждение сохраняет силу и для конца промежутка
сходимости, если только написанный ряд на этом конце схо-
сходится.
Возьмем любое х внутри промежутка сходимости исходного
ряда, так что \х\ < R, и вставим число г' между \х| иR\ \х| < rr < R.
Ввиду сходимости ряда
оо
Y, апг1п = а0 + ахг' + а2г12 + . . . + anrln + . . .,
п=\
его общий член ограничен:
an\r'n^L (L = const; /7=1,2,3,...).
Тогда для абсолютной величины /7-го члена ряда C4) получается
оценка
r n—\ 1	T	r w—1
w-i _ ~i~ i «/w x . _ < _ .^ :
rf ^ rf /
\х\п = п\ап\ - г

438]	§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СУММЫ РЯДА	487
Ряд
L ^ х п-\ L Г ^ х	х п-\
г' ^—' г'	г' у	г'	г'
сходится; в этом легко убедиться с помощью признака Далам-
бера [368], если учесть, что \fj\ < 1. В таком случае абсолютно
сходится ряд C4). Отсюда ясно, что радиус сходимости R1 этого
ряда не меньше R.
Если теперь взять любое г < R, то одновременно и г < R'; в
силу 1°, ряд C4) равномерно сходится в промежутке [—г, г],
так что — по теореме 7 [435] — в этом промежутке допустимо по-
почленное дифференцирование ряда C1). Так как г < i? произвольно,
то основное утверждение теоремы доказано.
В случае сходимости ряда C4), скажем, при х = R, эта сходи-
сходимость равномерна [5°] в промежутке [О, R], и теорема 7 при-
ложима ко всему этому промежутку — почленное дифференциро-
дифференцирование оказывается допустимым и при х = R.
Замечание. Мы убедились в том, что Rf ^ R. С другой сто-
стороны, члены исходного ряда C1) не превосходят по абсолютной
величине соответственных членов ряда
оо
^ папхп = ахх + 2а2х2 + . . . + папхп + . . .,
имеющего тот же радуис сходимости R\ что и ряд C4). Сле-
Следовательно, R ^ Rf. Таким образом, окончательно, Rf = R\ ра-
радиусы сходимости степенного ряда C1) и ряда C4), полу-
полученного из него почленным дифференцированием, совпада-
совпадают. Это, впрочем, легко устанавливается и с помощью теоре-
теоремы Коши-Адамара [380], если вспомнить, что л/п —>> 1 при
и->оо[32,10)].
Так как ряд C1) получается почленным дифференцированием
из ряда C3), то и эти ряды имеют один и тот же радиус сходи-
сходимости.
Последняя теорема 8° открывает возможность последователь-
последовательно многократного дифференцирования степенного ряда. Та-
Таким образом, по-прежнему обозначая через f(x) функцию, пред-
представляемую степенным рядом C1) в его промежутке сходимости,

488	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[438
будем иметь повсюду внутри этого промежутка:
f(x) = а0 + ахх + а2х2 + а3х3 + . . . + апхп + . . .
/'О) = 1 • ах + 2 • а2х + 3 • а3х2 + ...+«• апхп~1 + ...
/"(*) = 1-2-а2 + 2-3-а3х + ... + (п-1)п- апхп~2 + ...
/'"(*) = 1 • 2 • 3 • а3 + .. . + (п - 2) (и - 1)и • апхп~3 + ...
Если положить во всех этих равенствах х = 0, то придем к хо-
хорошо нам знакомым выражениям коэффициентов степенного ряда:
f"@)
3! ' •••'	n	nl ' '"
[cp. 403, G)]. Если бы речь шла о ряде общего вида C1*), то лишь
пришлось бы здесь вместо значения х = 0 подставить х = х0. Итак:
9° Функция, представляемая степенным рядом в его про-
промежутке сходимости, имеет внутри этого промежутка про-
производные всех порядков. Самый ряд, по отношению к этой
функции, является не чем иным, как ее рядом Тейлора.
Это замечательное предложение проливает свет на вопро-
вопросы разложения функций в степенные ряды, которыми мы зани-
занимались в предыдущей главе. Мы видим, что если функция
вообще разлагается в степенной ряд, то необходимо — в ряд
Тейлора; поэтому-то мы и ограничивались исследованием воз-
возможности для функции быть представленной именно своим ря-
рядом Тейлора. Заметим, что функция, которая разлагает-
разлагается6^ в ряд Тейлора по степеням х — х0, называется
аналитической в точке х0.
Изложенная теория распространяется и на кратные степен-
степенные ряды. Остановимся для определенности на ряде с двумя
60^ В некоторой окрестности точки х0.

439]	§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ	489
переменными:
i,k=0
Внутри области сходимости [396] такой ряд также можно по-
почленно дифференцировать по любой из переменных и любое чис-
число раз. Отсюда, как и только что, легко получаются выражения для
коэффициентов
аю —	^	> ао\ —
_ 1 d2f(x0,y0)
а20~2\ а^ ' •••
и, вообще,
1 д'+к/(х0,у0)
ik ж дх*дук '
Таким образом, разложение функции fix,у) (если только оно
возможно) необходимо имеет вид
У) Y ул. v \к
И этот ряд называется рядом Тейлора; он естественно при-
примыкает к формуле Тейлора, о которой была речь в 195. При
наличии61' такого разложения функция f(x,y) называется
аналитической в точке (хо,уо).
§ 3. Приложения
439. Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный переход
к пределу.
1) Исследовать на непрерывность суммы ряда
оо
пр +Х2 .nq
в предположении, что р • q ^ 0 и один из этих показателей > 1 (чем обеспечива-
обеспечивается сходимость ряда для всех значений х). Очевидно, достаточно ограничиться
неотрицательными х.
' В некоторой окрестности точки

490	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[439
Если р > 1, то для х ^ Xq (xq > 0 — любое число) ряд мажорируется
сходящимся рядом
^ 1
р
следовательно, по признаку Вейерштрасса, сходится равномерно, и его сум-
сумма в промежутке [0, jcq] непрерывна. Ввиду произвольности Xq, это относится
ко всему промежутку [0, +оо).
Если же р ^ 1, но q > 1, то, переписав ряд для х > 0 в виде
заключаем, по предыдущему, о непрерывности его суммы для всех х > 0. Таким
образом, нужно лишь решить вопрос о точке х = 0.
Методами дифференциального исчисления можно установить, что п-й член
ряда достигает своего наибольшего значения при х = п~^~ и это значение равно
1	1
2	' Ф '
Если р + q > 2, то наш ряд мажорируется сходящимся рядом
1 °° 1
1 х—\ 1
2Z^ ?+?'
/i=l n 2
чем обеспечивается непрерывность функции f(x) для всех х, включая точ-
точку х = 0.
Остается открытым вопрос о непрерывности f(x) при х = 0 в случае, если
р < I, q > 1, но р + g ^ 2. Мы увидим ниже [491, 13)], что при этих условиях
функция f(x) в точке х = 0 имеет разрыв.
2) Рассмотрим ряд Дирихле [385,3)]
п=\
где {ап} — некоторая последовательность вещественных чисел. Предположим,
что он не будет «всюду расходящимся», так что для него существует пограничная
абсцисса сходимости Я < +оо. Какое бы число Xq > Я ни взять, ряд
оо
V^ an
^пхо
п=\
сходится. Отсюда можно заключить, что рассматриваемый ряд сходится
равномерно для всех х ^ Xq [аналог теоремы 1°, 437]. Это утверждение
следует из признака Абеля, если переписать наш ряд в виде
и заметить, что множители X1XQ убывают с возрастанием п, будучи все вместе
ограничены единицей. А тогда, по теореме 1, сумма ряда будет непрерывна для

439]	§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ	491
х > Xq, а следовательно (ввиду произвольности xq) — для всех х > Я [аналог
теоремы 2°].
Если Я конечно и ряд
сходится, то таким же образом убеждаемся в равномерной сходимости рассмат-
рассматриваемого ряда для х ^ Я [ср. 5°] и в непрерывности его суммы при х = Я справа
[ср. 6°].
3) В п° 390, 6), определив функцию Е(х) равенством
мы убедились в том, что она удовлетворяет такому соотношению:
Е(х+у)=Е(х)-Е{у).	A)
Теперь, согласно теореме 2° [437], функция Е(х) оказывается непрерывной
во всем промежутке от — оо до +оо. В силу же доказанного в 1°, 75, непрерыв-
непрерывное решение уравнения A) необходимо имеет вид: Е(х) = ах. Наконец, основа-
основание а, очевидно, определится равенством
оо 1
Итак, окончательно, Е(х) = ех [ср. 404, A1)].
4) Дадим новую трактовку биномиального ряда [407, B2)]
т(т — 1) 2 т(т — \)(т — 2) з
1 + ШХ + 1 -2 Х +	1 -2-3 Х + ' ' '
w(w — 1) . . . (т — п + 1) п
1 • 2 • . . . • п
который абсолютно сходится при любом т, если \х\ < 1. Поставим задачей опре-
определить его сумму. Обозначим эту сумму как функцию от т (при фиксированном х,
\х\ < 1) через (р(т).
Из элементов алгебры известно, что при любом натуральном т (ряд
тогда обрывается на (т + 1)-м члене) q>(m) = A +х)т; покажем же, что это
верно для всех т.
Взяв любое к, рассмотрим подобный же ряд
к{к-\) 2 к{к-\){к-2) з
+ + 1 • 2 Х + ГТТ^ Х +'"
с суммой ф(А:) и перемножим оба ряда по правилу Кош и. Нетрудно написать
несколько первых членов этого произведения:
(р(т) • (р(к) = 1 + (т + к)х +	Ь w? H
= 1 + {т + ф + —	—	 х2 + . . .

492	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[439
хп
Коэффициентом при -^ будет, очевидно, некий многочлен п-и степени относитель-
относительно т и к. Каков вид его? Если тик — любые натуральные числа, большие
п, то из элементарных соображений явствует, что названный коэффициент будет
(т + к)(т + к — 1) . . . (т + к — п + 1).
Следовательно (как это вытекает из алгебраической теоремы о тождестве целых
многочленов с двумя переменными), этот же вид он будет иметь при любых т
и к. Итак, искомая функция ср(т) удовлетворяет функциональному соотношению
(р{т) • ср{к) = (р{т + к).
Установим теперь непрерывность функции ср(т). Это следует из равно-
равномерной сходимости биномиального ряда для всех значений т, не превосходящих
по абсолютной величине произвольно взятого числа т0 > 0; для этих значений
он мажорируется сходящимся рядом
+	2М +	!^
В таком случае, как мы знаем [75, 1°], необходимо
/ \	т
(р(т) = а .
Так как а = фA) = I -\- х, то окончательно
<р(т) = (\+х)т.
5) Известный уже читателю логарифмический ряд [405, A7)] можно полу-
получить из биномиального ряда [407, B2)] с помощью соотношения [77, 5), (б)]
Ыа = lim k(tya - 1) [к = 1, 2, 3, . . .)
Положим а = \-\-x (где \х\ < 1) и подставим вместо (\-\-х)к его разложение
(i+,) i + , + ,4... +
к	1-2	1 •2•. . . • п
Тогда 1пA + х) представится как предел при к -л оо выражения
Члены этого ряда (при постоянном х) содержат, в качестве перемен-
переменной, натуральный параметр к. Во всей области его изменения ряд B) сходится
равномерно относительно к; это (по признаку Вейерштрасса) следует
из того, что он мажорируется рядом
\х2 \х\3	\хп
\х| +	Ь L-L- + . . . + J	h . . . (х = const, |*| < 1),
2	3	n
уже не содержащим к. В таком случае, по теореме 4 * \ в ряде B) можно перейти
к пределу при &—>>оо почленно, что и приводит к логарифмическому ряду.
*) Напомним, что область изменения SC переменной х, о которой шла речь
в теореме 4, могла быть какой угодно; в частности, она могла свестись и к нату-
натуральному ряду (с тем, что а = +оо).

439]	§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ	493
6) Интересный пример того же рода дает вывод показательного ряда
[404, A1)] из соотношения
ех = Km (l + -) (k =1,2,3,...)
к^-оо \	к/
Имеем, разлагая степень бинома по формуле Ньютона,
х\
-)
к)
к	х к[к-\) /х\2
х к[к-\) /х\
+	()
-)
)
1 -2 \к)
| *(*-!)...(*-я+1)
На деле здесь, при каждом к, членов всего лишь конечное число (= к + 1),
но мы можем считать, что перед нами «бесконечный ряд», если остальные члены
положить равными 0. Этот «ряд» сходится равномерно для всех к, ибо,
очевидно, сходящийся ряд
\2	\х\п
i + + + ... + + ... {x
служит для него мажорантным. В таком случае, по теореме 4, в «ряде» C) можно
перейти к пределу при & —>> оо почленно. Так как (п + 1)-й член этого ряда,
равный 0, покуда к < п, при всех к ^ п имеет уже вид
то его предел при к —>> оо есть -^-. Таким путем мы приходим вновь к разложе-
разложению показательной функции ех.
7) Исходя из формулы М о а в р а, мы уже вывели в 408 формулу
т-\ ¦ т[т - \)[т - 2) т_3 . 3 .
smmz = m cos z • sinz	cos z • sin z + . . .
Покажем, как отсюда может быть получено разложение функции sin* в степен-
степенной ряд.
Положим z = ^ и вынесем cos777 ^ за скобки; наша формула перепишется
в виде:
3!
Считая х неизменным, перейдем в ней справа к пределу при т —>> оо.
Так как cos777 ^ —>> 1 [например, см. 4), 79, при Я = 0], a wtg -^ —>> *,
то в пределе, действительно, получается требуемое разложение [404, A2)]
х
sin* =*- — + ...
Остается обосновать почленный предельный переход в скобках, где число членов
при каждом т конечно, но неограниченно возрастает вместе с т [ср. 6)].

494	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[439
Пусть взятое х содержится между — \т§тт и -\-j т$ж; будем считать
т > т0. Легко показать, что тогда выражение mtg ^ по абсолютной величи-
величине убывает с возрастанием т и, следовательно, ограничено:
X
mtg —
т
\х\
L = motg — (т > т0).
В таком случае разложение в скобках мажорируется сходящимся рядом
Рассуждение завершается как и в предыдущем примере.
Аналогично может быть получено и разложение cosjc в степенной ряд.
Замечание. Примеры 5), 6) и 7) воспроизводят в уточненном изложении
вывод разложений элементарных функций, данный Эйлером в его «Введении
в анализ бесконечно малых» A748).
8) Доказать, что
00 / 1\и—1	vn	1
(а)	lim yt}2	f_ = Iln2;
x^l-0^ n	1 + xn 2
n=\
°°	xn	1
(б)	lim A -x) V(-l)"	5- = - In2.
V ;x^l-0V	;^^V ; 1 -x2n 2
n=\
(а)	Пусть 0 < x < 1; так как ряд J^ -—^— сходится, а множители ргрь
1
ограниченные сверху единицей, монотонно убывают с возрастанием п, то при-
приложим признак Абеля, так что ряд сходится равномерно для всех х
в @, 1). Переходя в нем к пределу при х —>> 1—0 почленно [теорема 4],
получим требуемый результат.
(б)	Пусть и здесь 0 < х < 1; имеем:
1Х	l+JC+JC + ...+JC
п=\	п=\
оо
На этот раз ряд ХХ~1)"~ не СХ°ДИТСЯ? но его частичные суммы ограничены.
1
Зато множители	^^л не только монотонно убывают с возрастанием п,
но и равномерно для х в @, 1) стремятся к 0, ибо
хп	хп	il I
1 +JC + . . . +JC2"-1	1 +JC + . . . +JC"-1	ПХп ~ П
В таком случае приложим признак Дирихле, ряд сходится равномерно,
допустим почленный предельный переход при х —>> 1—0 и т. д.
9) Говоря о степенном ряде, мы всегда подразумевали, что члены его распо-
расположены в порядке возрастания показателей. Если внутри промежутка сходи-
сходимости это не имеет значения, поскольку ряд сходится абсолютно, то, например,
теорема Абеля становится неверной без этой оговорки.

439]	§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ	495
Проверить это на ряде
х2 х4 х3 х6 Xs
х	1	Ь . . .,
2 4 3 6 8
полученном перестановкой членов из логарифмического ряда [ср. 388, пример 1)].
10) Применим теорему Абеля [6°] к доказательству его же теоремы об
умножении рядов [392]. Рассмотрим два сходящихся ряда
оо
A = Y;an	(A)
и предположим, что их произведение (К о ш и)
где сп = а±Ьп + ^jpn-\ + • • • + anb\ также сходится. Нужно доказать, что тогда
А • В = С.
Из сходимости ряда (А) прежде всего заключаем, по лемме п° 379, что ряд
Vn	(A*)
п=\
абсолютно сходится для \х\ < 1, так что радиус сходимости R этого ряда
наверное ^ 1. Таким образом, во всяком случае имеет место соотношение
оо
Km А(х) = А = > ал,
п=\
именно, при R = 1 — по теореме 6° А б е л я, а при R > 1 — по теореме 2° [437].
Если рассмотреть, аналогично, ряды (при \х\ < 1):
оо
в(х) = "?ьпхп>	(в*)
п=\
оо
С{х) = ^пх\	(С*)
п=\
то для них будет справедливо все сказанное о ряде (А*).
Применяя теперь к абсолютно сходящимся рядам (А*) и (В*) теорему
К о ш и [389], будем иметь
А(х) ¦ В(х) = С(х).
Остается лишь перейти к пределу здесь при х —>> 1—0, чтобы получить требуе-
требуемый результат:
А • В = С.

496	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[440
440. Примеры на почленное интегрирование рядов.
00 (—1)"
1) Суммирование ряда \^	 можно осуществить так:
Yf\= lim yf}Lx^= lim
п=0	п=0
} dx	fl (jc + 1J 1	2x-\ ж \
= lim /	 = hm < - In —	 + —- arctg —— -\	— > =
x^l-oj \ + x3 x^i_o\6 x2-x + \ л/3	л/3 6л/з]
О
1	7Г
= - 1п2-
Мы использовали сначала теорему Абеля, а затем — почленное интегри-
интегрирование степенного ряда [437, 6°; 438, 7°].
2) Почленным интегрированием рядов
1+jc	v J
1	1	2,4	. , л\п-\ 2(«-1)
	 = 1 — х + X —... + (—1) X у J
\+х2
в промежутке [0, jc] (где \х\ < 1) сразу получаются разложения
х2 х3
+
=х- —+ — -... + (-1)"	 + . . .,
1+jc	°	3 5
О
которые в 405 [см. A7)] и 404 [см. A5)] были получены более сложным путем.
Справедливость первого разложения при х = 1 и второго при х = d=l устанав-
устанавливается дополнительно с помощью теоремы Абеля [437, 6°].
3) Если вспомнить,что производная функция arcsin^c, равная —	у раз-
разлагается в ряд следующим образом [407, B4)]:
	^^^^ = 1 + / 	 Х	(~1
Bи)й
то почленным интегрированием этого ряда легко получить (новое для нас) раз-
разложение самого арксинуса:
dx	.	АBи-1)й xln+l . .
Bи)й

440]	§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ	497
Так как этот ряд сходится и при х = ±1 [370, 5), (а)] *\ то, по теореме Абеля,
разложение действительно и при этих значениях. В частности, при х = 1 будем
иметь такой ряд для числа ж:
In- 1)!! 1
Аналогично, разложив производную
в ряд и почленно проинтегрировав его, найдем разложение
lf	/ f(Ю<1).
B«)!! 2^2+1
Функция эта есть не что иное, как Arsh^:, т. е. функция, обратная sh;\; [49, 4);
339, замечание].
4) С помощью почленного интегрирования рядов получаются разложения
в бесконечные степенные ряды для некоторых интегралов, не выражаю-
выражающихся в конечном виде через элементарные функции [см. 272]. Эти
разложения могут быть использованы для приближенных вычислений.
Так, исходя из известного разложения
2	X2 X4	Х2П
[ср. 404, A1)], найдем
»	Y^	1	Y^	1
/
е
3 2! 5	v У п\ 2п+\
о
Поставим себе задачу: вычислить с точностью до 0,0001 интеграл
1
/¦
W = е~л dx.
0
*) Впрочем, сходимость ряда 1+5^ АиШ "' 2йТТ тепеРь может быть доказана
проще. Имеем — при любом т —
; arcsmjc < -j.
Переходя здесь к пределу при х —>> 1, получим
^ , ул Bи—1)!! 1 ^ я
откуда [365] и следует требуемое.

498	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[440
Взяв верхний предел интеграла равным 1, получим для W знакопеременный
числовой ряд с убывающими по абсолютной величине членами:
1111	1	1	1
Ж1
3 10 42 216 1320 9360 75600
Так как восьмой член уже значительно ниже заданной границы, то мы сохра-
сохраним лишь первые семь членов. Соответствующая (отрицательная) поправка А
легко оценивается:
1	1,5
' ' < 75600 < 105'
Вычисляя оставленные члены с пятью знаками после запятой, найдем:
1
216
1
9360
= 1,10000
= 0,00463 (-)
-0,00011 ( )
1
3
1
42
1
1320
= 0,33333 (+)
= 0,02381 (-)
- 0,00076 ( )
1,10474
0,35790
1,10474	0,35790	0,74684
Если учесть все поправки, то окажется, что
0,74681 < W < 0,74685, W = 0,7468 . . .
и все четыре знака верны. [Ср. 328, 5).]
5) Аналогично, так как [ср. 404, A2)]
2	4	2п-2
sm^c	хх	л\п-1 х
~7~ ~ ~ ~3\ + ~5\ ~ '" + ^~ ^ (In - 1)! + " "
то
sm* ... .. х3 , ^5	, (_i)«-l	х2П 1
J ' х ~" " 3! • 3 ' 5! • 5 " " " ' v ^ B/1 - 1)! • B« - 1)
о
Предложим себе вычислить с помощью этого разложения интеграл
sin*
о
с точностью до 0,001.
Имеем, полагая х = я,
1
3 1 5	1 7	1	9	1	11
/2 = ^18^ +600^ 35 280 Ж + 3 265 920 Ж 439 084 800 Ж + " "
т. е. снова знакопеременный ряд с убывающими по абсолютной величине членами.

440]	§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ	499
Так как шестой член меньше, чем 0,0007, то мы ограничимся пятью членами.
Вычисляем на четыре знака:
ж = 3,1416 (-)
^-5 = 0,5100 (+)	1^ = 1,7226 (-)
1 ¦ jt9 = 0,0091 (+) -L- я1 = 0,0856 (+)	3'66°7
3 265 920	' v" 35 280	' v"	1,8082
3,6607	1,8082	1,8525
Учитывая поправки, приходим к заключению:
1,8517 < }л< 1,8527, ц = 1,852 ± 0,001.
6) Поставим себе задачей представить в виде рядов интегралы
(а) J^-dxi (б) |,-Л.
о	о
(а) Вспоминая разложение арктангенса, имеем:
1	1
[ arctg*	[/ 1 2 . ! 4 ! 6 . \ ,
о	о
Так как ряд, стоящий под знаком интеграла, сходится при х = 1, то почленное
интегрирование допустимо [438, 7°].
Мы уже упоминали [328, 6)], что значение этого интеграла
G = 0,915965...
известно как «постоянная К а т а л а н а». Теперь мы видим, что
б) Переписав подинтегральное выражение в виде е х 1пх, разлагаем его в по-
показательный ряд
v^ nxn\nnx *)
х = 1 + \ (~1)"	>
^-^	п\
который сходится равномерно для 0 <х ^ 1, ибо максимум функции |jc In.jc|
(как легко установить методами дифференциального исчисления) есть |, так что
*> При х = 0 члены ряда, начиная с п = 1, заменяем предельными значениями,
т. е. нулями.

500	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[440
написанный ряд мажорируется рядом
оо (\\п
^ п\
п=0
Итак, допустимо почленное интегрирование. Так как [312, 4)]
1
п\
о
то окончательно
I'хк'in"х dx = (-1)"
J	У '
/ ~х
О
7) Мы имели [414, (8)] разложение
т"
О	m=l
х2
Полагая здесь х = —/ и учитывая, что arctg —/ = arcsinj/ [50], найдем:
л/1-v2	л/1-v2
оо
arcsinj/ ^—ч Bр)\\
Проинтегрируем это равенство от 0 до j/, причем справа выполним интегрирова-
интегрирование почленно:
Bp+i)!! 2р + 2	B/W_i)!! 2m
/7=0	/77=1
Этот результат можно переписать так:
2 (arcsinj/) =
При у = ^ получим отсюда
f^ [(т - I)!]2 ж2
^ {1т)\	18'
Но мы видели уже [395, A3); см. также 416], что
ОО	ОО г.	..ч.
V = 3V
^ п2 ^
п=\	т=\
так что, окончательно,
2т)! '
1 п1
п=\

440]	§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ	501
К этому интересному результату Эйлера мы будем возвращаться еще
не раз.
8) Вычислить интеграл
1
/ = / 	dx.
J x
о
Если воспользоваться логарифмическим рядом [405, A7)], то для подинте-
гральной функции получим разложение
~ 2Х + 3* ~ '" + (~ ^ пХ +""
которое действительно во всем промежутке [0, 1]. Интегрируя почленно, найдем
Мы только что установили равенство D); из него следует:
) у^ J
„2	Z^^2	Z^ BwJ 12'
Таким образом, мы приходим к «конечному» выражению для искомого интеграла
2
1 ~ Т2-
9) Пусть требуется найти интеграл (| а \ < 1)
j ln(l +
J	ее
dx.
COS*
о
[При * = ^ приписываем подинтегральному выражению предельное при
* —>> ^ значение а.]
Пользуясь разложением логарифма, имеем:
а + > ( 1)
cosjc	^	w+1
причем ряд сходится равномерно в промежутке [0, ж]. Заметим, что [312, (8)]
Jt	Jt	2
I cos2" * dx = 0,	/ cos2w * dx = 2 I cos2w * dx =
Bm - 1)!!
	7^—7^— л"'
0	0
произведем почленное интегрирование:
Г ln(l + a cos*)	Г ^ Bm - 1)!! a2m+l 1
У	cos*	\ ^ Bm)!! 2w+l/'
о	w=1

502	ЕЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[440
В полученном ряде мы узнаем разложение функции арксинус [см. 3)]. Таким
образом, окончательно находим (в конечном виде!)
ж
ln(l + a cosjc)
	dx = ж • arcsin a.
cos x
0
10) Рассмотрим разложение (при \r\ < 1):
у l+2y/cos^c.	E)
1 - 2r cosjc + г2	*-^
п—\
Доказать его легко, умножив правую часть на знаменатель \ — 2r cosx + г2;
мы получим:
оо	оо	оо
1 - 2r cos х + г2 + 2 ^^ r" cos ш - 2 ^2 r"+1 '2coswc 'cosx + 2^2 r"+2 cos ш'
1	1	1
Если заменить 2 cos гас • cos^c через cos(« + \)х + cos(« -l)i и соответственно
разбить вторую сумму на две, то после сокращений останется лишь 1 — г2, что
и завершает доказательство.
оо
Ввиду сходимости ряда J^ \r\n (при |г| < 1), ряд в E) справа сходится
1
равномерно относительно х в промежутке [—я, я]. Возьмем теперь интегра-
интегралы от —л" до л" и слева и справа, причем ряд можно интегрировать почленно
JT
[теорема 5]. Так как J cos we dx = 0, то мы получим:
1
1-г2
¦ dx = 2ж
1 — 2r cosx + г2
—jt
[ср. 309, 8)].
Аналогично, умножив обе части тождества E) на соътх (т = 1, 2, 3, . . .)
и интегрируя почленно, легко получить
I
Г
¦ dx = 2я ¦
I — 2r cosx + г2	\ — г1'
При этом используется известный результат [309, 4), (г)]
ж
/cos mx cos юс dx = <
при т ф п,
при т = п.
11) Если в тождестве E) перенести единицу налево и разделить обе части
на 2г, то получим:
cos х — г
v cos we.
1 - 2r cosjc +r

440]	§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ	503
На этот раз фиксируем по произволу х и станем рассматривать г как переменную
с областью изменения ( —1, 1). Проинтегрируем обе части равенства по г от 0 до
любого г в этом промежутке, причем степенной ряд справа будем интегрировать
почленно; так как слева числитель (с точностью до числового множителя)
есть производная знаменателя по г, то в результате получим:
оо п
1пA - 2r cosjc +г2) = -2У^ — cos ш (И < 1).
п=\
Теперь снова фиксируем г, а х будем изменять от 0 до ж. Легко видеть,
что ряд справа сходится равномерно относительно х в этом промежутке, так что
допустимо почленное интегрирование [теорема 5]. Выполнив его, придем
к интегралу:
о
ln(l -2rcosx +r2)dx = 0 (И < 1)
о
[ср. 307, 4); 314, 14)]. Отсюда, как мы уже видели, легко получить значение ин-
интеграла и при \г\ > 1.
12) Следующие интегралы, зависящие от х:
ж
2 )
Jq(x) = — / cos(x sin6) d6,
ж J
0
ж
2хп	f
J*(x) = 	 / COS0 sin#) cos2n 6 d6 (n= 1,2,3, ...),
пУ } Bл-1)!!л- J ^	;	v	;
о
представляют так называемые бесселевы функции [ср. 395, 14)]. Разлагая
подинтегральные выражения по степеням х sin в и интегрируя почленно, легко
получить уже знакомые нам разложения этих функций в ряды по степеням х.
Например, интегрируя ряд
к=\
и вспоминая формулу [312, (8)]
ж.
Г
J
Bk - 1)!! ж
	— • -,	F)
2	У J
0
найдем для бесселевой функции с нулевым значком

504	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[440
13) Нам уже встречались так называемые полные эллиптические ин-
интегралы 1-го и 2-го рода [315 и др.]:
!	f
К(Т) = /	Ф —, Е(Т) = / \/\ - к2 sin2 ср dcp.
J \/\ - к2 sin2 <p	V
Поставим себе задачей разложить их по степеням модуля к @ < к < 1).
Полагая в формуле B4), 407, х = — к sin(p, получим:
^{2п-1)]\ 2п . 2п
= 1 + > 	к • sin (p.
Гл ,2 • 2
у\ — к smz ф	w1
Этот ряд сходится равномерно относительно q>, ибо мажорируется при всех
значениях (р сходящимся рядом
следовательно, по теореме 5, здесь допустимо почленное интегрирование,
которое мы и выполним. Используя снова формулу F), таким путем получим:
Аналогично, исходя из формулы B3), 407, найдем
Этими рядами также можно воспользоваться для приближенных вычислений.
Для примера рассмотрим ряд
/ 1 \ лл 1 3	5	175	441
у/2/ 2\ 8 256 2048 262144 2 097 152
Если сохранить здесь только написанные члены, то соответствующая поправка
будет отрицательна и оценивается следующим образом:
+ ) 0,00024;
()	; A + + . . .
V12!!/ 11 -26 V 2

440]
§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ
505
можно ждать трех верных знаков после запятой. Действительно, вычисляя с пятью
знаками, имеем:
= 1,57080 (-)
1,57080
0,21997
1,35083
ж 1
~2 ' 8
ж 3
~2 ' 256
ж 5
2 2048
ж 175
2 262144
ж 441
2 2 097 152
= 0,19635 (-)
= 0,01841 (-)
- 0,00383 (+)
— U,UU1Uj ^ )
(+)
1,35057 < ъ(—Л < 1,35085,
0,21997
Е(-^) = 1,350... [ср. 328, 4)].
Нужно сказать, что лишь при малых значениях к указанные выше ряды для
полных эллиптических интегралов К(&) и Е(&) на самом деле выгодны для вы-
вычислений. Но существуют преобразования, позволяющие сводить вычисление на-
названных интегралов к случаю сколь угодно малого к [ср. 315].
14) Можно использовать полученное разложение функции Е(&) для вычисле-
вычисления следующего интеграла:
E(/zsinfl)
1 - h2 • sin2 0
sin6d6 @ < h < 1).
Прежде всего, легко проверить, что имеет место разложение
•¦}
например, умножая правую часть равенства на 1 — к .
Подставляя & = h • sin# и умножая еще на sin#, мы можем интегрировать
почленно по в от 0 до ^, поскольку полученный ряд сходится в этих пределах
равномерно (он, например, мажорируется предыдущим рядом при к = И).
Так как [312, (8)]
ж.
Bи)П
/¦
1 6d6 =
Bп+ 1)!!'

506	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[440
то находим:
I
E(/zsinfl)	л
v	J sin6d6 = -
\-h2-sm2e	2 Г ' 2 ' 2*4 ' 2-4-6
о
и=1 v y
Сопоставив выражение в скобках с формулой B4), 407, получаем значение
искомого интеграла даже в конечном виде:
ж.
E(/zsin#) .	я	1
1 - h2 • sin2 0	2 л/1 _ h2
о	v
15) Наконец, рассмотрим вопрос о разложении по степенями (но не целым!)
функции;; = arcsin(l — х) при х ^ 0*^.
Имеем (используя биномиальный ряд):
1	2	1
1 _1	II	3 з
—	х 2 — 	х2 — 	х2 —
л/2	4л/2	32л/2
причем, если опустить первый член, который при х = 0 обращается в оо, сходи-
сходимость ряда будет равномерной в любом промежутке [0, х], где 0 < х < 2.
Первообразная функция для первого члена есть — л/2х 2; для остального ряда пер-
первообразную получаем почленным интегрированием. Так как при х = 0 должно
быть у = ^, то окончательно находим такое разложение по дробным степе-
степеням х (действительно, для 0 < х < 2):
Л г 1 1 3 3	5
У =	V 2х 2	— X 2	— Jf 2 — ...
2	6л/2	80л/2
Аналогично получается и разложение
L 1 з 15 17
arcsin... . . 		.
для 0 < х < 1.
*) О разложении обычного типа по целым положительным степеням х здесь
не может быть речи, ибо иначе, по теореме 9° [438], наша функция имела
бы конечную производную и при х = 0, чего на деле нет.

441]	§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ	507
441. Примеры на почленное дифференцирование рядов.
1) Вернувшись снова к функции [ср. 390, 6); 439, 3)]:
п=\
мы можем теперь легко установить ее производную; для этого достаточ-
достаточно [438, 8°] почленно продифференцировать этот ряд. Мы получим, что
Е'(х) = Е(х)9 так что рассматриваемая функция удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению: у' = у. Отсюда у = Сех; так как при х = 0, очевидно, у = 1,
то окончательно находим, что Е(х) = ех.
2) Аналогичный прием применим к определению суммы биномиального ряда
т(т -1J, . ™{т - 1) . . . (т - п + 1) п
y=f(x) = \ + mx + —1 2 х +... +	j-y-	—	^с +...
[на этот раз т фиксировано, а х изменяется в промежутке ( —1, 1); ср. 439, 4)].
Дифференцируя его почленно, получим:
1 • 2
1 -2- ... -п
Теперь нетрудно убедиться в том, что * ^
,.+..}.
Таким образом, наша функция удовлетворяет дифференциальному уравнению
A + х) • у = ту.
Отсюда
у=С(\+х)т.
Так как при х = 0, очевидно, j/ = 1, то постоянная С = 1 и, окончательно,
^=/М = A+*Г.
3) Мы знаем уже, что сумма ряда Дирихле [385, 3)]
оо
Е
п=\
для jf > Я (где Я — пограничная абсцисса сходимости, Я < +оо) есть непрерыв-
непрерывная функция [439, 2)].
*> При умножении f'(x) на 1 + х надлежит воспользоваться свойством бино-
биномиальных коэффициентов:
(т-\)(т-2)...(т-п) (т-\)(т-2)...(т-п+\) _ т(т-\)...(т-п+\)
l-2-...-n	'	1-2-...-(«-1)	~~	\-2-...-п	'
частным случаем которого является известное соотношение

508	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[441
Почленным дифференцированием можно найти производную этой функции:
п=\
Пока мы получили этот результат лишь формально. Для того чтобы
оправдать его, достаточно удостовериться в том, что последний ряд сходится
равномерно относительно х для всех х ^ Xq, где Xq — любое (но фикси-
фиксированное) число, большее Я. Это устанавливается, как и в 439, 2), с помощью
признака Абеля, опираясь на то, что множители JcnnXQ, начиная с п = 2, убы-
убывают с возрастанием п, будучи все вместе ограничены числом In 2. Какое бы зна-
значение х > Я ни взять, его можно заключить между границами х' > Я и х" > xf;
к промежутку [xf, х"] применима теорема 7 [435].
Таким же путем можно убедиться в существовании для функции (р (х) произ-
производных всех порядков и получить их выражение в виде рядов.
Все сказанное, в частности, приложимо к функции
Р и м а н а при х > 0.
4) Мы уже встречались с разложением бесселевой функции с нулевым
значком Jq (х ) в степенной ряд
k=l v J
[395, 14); 440, 12)].
Покажем теперь, что эта функция удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению Бесселя:
хи + и + хи = 0.
Имеем, полагая и = Jq(x),
°°	-	Bkf
ю диффере:
оо
и' = ?(-
хи
к=\
а затем, дважды почленно дифференцируя разложение и,
_	z/c	2k-\
Если сложить эти равенства, то коэффициент при х ~ окажется равным
что и доказывает требуемое утверждение.

441]	§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ	509
Аналогично можно убедиться в том, что бесселева функция с произ-
произвольным натуральным значком Jn(x), о которой также была речь выше, удовле-
удовлетворяет общему уравнению Бесселя:
2 // . 1.B 2ч	г,
х и -\- хи -\- (х — п )и = U.
5) Поучительнее другая постановка задачи: пусть требуется найти функ-
функцию, разлагающуюся в ряд для всех х и удовлетворяющую уравнению Б е с с е л я.
Выполним это, например, для простейшего случая п = 0. Напишем раз-
разложение искомой функции в виде ряда с неопределенными коэффи-
коэффициентами:
т=0
и, считая его всюду сходящимся, дважды продифференцируем почленно. Подстав-
Подставляя все эти разложения в уравнение, получим:
оо
2 ,	\
+)х
I \~"V 2 ,	\ т-\
а\ + 2^\т ат+ат-2)х
772=2
По теореме 3° [437]:
al=0, т2ат+ат_2 = 0 (ти = 2, 3, . . . )•
Отсюда, прежде всего, коэффициенты с нечетными индексами «2/V-l =
(к = 1,2,3,...), что же касается коэффициентов с четными индексами <22
то по рекуррентной формуле все они выразятся через а0:
Итак, с точностью до произвольного множителя а0 мы возвращаемся к функ-
функции Jq(x).
Что полученный ряд, действительно, всюду сходится, проверяется непо-
непосредственно. А из самого способа его получения явствует, что представляемая
им функция удовлетворяет уравнению.
[Обращаем внимание читателя на своеобразное использование метода не-
неопределенных коэффициентов; здесь у нас оказалось уже бесконечное множест-
множество этих коэффициентов и пришлось прибегнуть к теореме о тождестве степенных
рядов, взамен обычно применяемой теоремы о тождестве многочленов.]
6) Гауссом была введена функция
и = F(a, /3, у, х) =
, ^ а{а + 1) ¦ ¦ ¦ (а + п - 1) • рф + 1). . . ф + п - 1) „
= 1 + / 	:—;	п	:	т^	•*
[гипергеометрический ряд; см. 372; 378, 4)]. Дважды дифференцируя этот ряд
почленно (считая \х \ < 1), можно установить, что эта функция удовлетворяет так
называемому гипер г еом етр ическому дифференциальному уравнению
х(х - \)и" - [у - {а + /3 + \)х] • и + ар • и = 0.
Предоставляем несколько громоздкие, но нетрудные выкладки читателю.
И здесь можно изменить постановку задачи, как это сделано в упражнении 5).

510	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[441
7) Определим для 0 ^ х ^ 1 функцию f(x) равенством
оо п
Покажем, что для 0 < х < 1 эта функция удовлетворяет интересному функцио-
функциональному уравнению:
/0) + /A -х)+ \пх • ln(l -x) =C = const.
Для этого достаточно доказать, что производная по х от выражения слева
тождественно обращается в нуль:
/'(*) - /'A -х) + - 1пA -х)- —?— Injf = 0.
х	1-х
Дифференцируя почленно ряд, определяющий функцию /(*), найдем:
00 -«-1 1 .
п	х
заменяя х на 1 — х, получим, что
/'A — х) =	In*.
1 — х
Этим и завершается доказательство.
Самую величину постоянной легко определить, устремляя в доказанном со-
соотношении х к 1. По теореме Абеля, левая часть его будет иметь пределом
2
[440, 4)]; значит, С=\.
8) В 400, 4), рассматривалось бесконечное произведение
ПФ sin ф
и=1
Предполагая 0 < ф < §, сначала прологарифмируем это равенство [401, 4°]:
оо
Еф
In cos — = In sin ф — 1пф,
а затем продифференцируем полученный ряд почленно:
оо
Е1 Ф 1
^tg- = --
Так как ряд из производных мажорируется сходящейся геометрической про-
прогрессией, то почленное дифференцирование оправдано.
9) В 408 мы вывели разложение sin x в бесконечное произведение

441]	§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ
Вводя абсолютные величины, получим отсюда:
511
sin* = \х
щ
1 -
Если* отлично от чисел вида
к бесконечному ряду:
= 0, d=l,d=2, ...), то, логарифмируя, придем
2
In | sin* | = In |* | + y.m
n=\
1 -
Почленное дифференцирование дает нам такое разложение:
cos*	1
	 = ctg* = -
sin*	*
2*
п=\
Для оправдания его достаточно убедиться в том, что полученный ряд сходится
равномерно в любом замкнутом конечном промежутке, не содержащем точек
вида кж. Действительно, при изменении * в этом промежутке его абсолютная
величина остается ограниченной: |*| < М, так что, по крайней мере для п > ^,
2*
2\х
2М
Так как ряд
9 9 II?
П17Т1 — * Г
-M2
-M2'
сходится, то требуемый результат получается с помощью признака В ей ер-
ш т р а с с а.
Разложению ctg* можно придать форму:
COS *	1 ^—\ / 1
-— = ctg* = - + у
sm*	* *-^ \х — пж
в этом виде оно является как бы разложением ctg * на простые дроби,
отвечающие отдельным корням 0 и ±шг знаменателя sin*.
По формуле tg * = — ctg (x — f), отсюда можно получить разложение
tg* на простые дроби:
-\-nnJ'
п=\
1
* —
2п-\,
= -?¦
2*
Bn-\Jjr2
Точно так же, если воспользоваться формулой:
1	1 / *	*\
-— = - ctg -+tg - ) ,
sm* 2 V 2	2/
sm*
можно получить разложение и для
оо	л
sm*
*
п=\
х — гит
—) = 1
-\- ПЖ / X
п=\
х1 — п1тт1

512
ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
[441
Продифференцировав почленно разложение для ctg х (предоставляем читате-
читателю убедиться в дозволительности этого), получим еще одно полезное разложение:
= 1 |
х2
sin2х х2
|
0 - гигJ (х + гигJ
10) Если исходить из представления shjc бесконечным произведением [408],
то аналогично можно прийти к разложениям
1 °° 2х
п=\
= - +
X
—	—,
2 — п2я2
2х
п=\
И) Для функций Т(х) мы вывели в п° 402 формулу Вейерштрасса
[см. A6)]:
1	(
Г(* + 1)
п=\
Учитывая, что Г(х + 1) = х • Т(х)9 и переходя к логарифмам, отсюда легко
получить (при х, отличном от 0 и от целых отрицательных чисел)
оо
1п|Г(л)| = -ln|jc| -Oc + V
п=\
П
•¦;!)¦
Дифференцируя ряд почленно, формально отсюда получим
1-—)¦
п х + п/
Покажем теперь, что ряд справа сходится равномерно в любом конечном
промежутке (не содержащем целых отрицательных чисел). Действительно, так
как при этом |* | остается ограниченной:
имеем:
1
< М, то, по крайней мере для п > М,
М
п(п + х) п(п — М)
Так как ряд J^ п(п^-м) СХ°ДИТСЯ? то? по признаку Вейерштрасса, равно-
п>М
мерная сходимость обеспечена. Мы получаем возможность сослаться на теоре-
теорему 7 [435] и тем докажем и самое существование производной от In \T(x) |, а сле-
следовательно, и от Г(х) и т. д.
Прибавляя к правой части полученной формулы ряд
можно привести ее к виду:
Г(х)
^

442]	§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ	513
Легко убедиться в существовании для функции Т(х) производных всех по-
порядков.
442. Метод последовательных приближений в теории неявных функций. Для
того чтобы показать в действии теорию функциональных рядов (или последова-
последовательностей), рассмотрим вновь вопрос о существовании «неявных» функций [206
и след.]. Ограничимся для простоты случаем одного уравнения:
F(x,y)=0,	G)
из которого у подлежит определению как однозначная функция отх. На этот
раз мы прибегнем к методу последовательных приближений, который позво-
позволит нам не только установить существование этой функции, но и дать указания
относительно ее фактического вычисления.
Пусть функция F(x,y) непрерывна, вместе со своей производной
Fy(x,y) в некотором квадрате
0=[хо- А,х0 + А;у0 - А,у0 + Д]
с центром в точке (х$,уо), причем
F(xo,yo) = O, но F^(xo,yo)^O.	(8)
Тогда уравнение G) в окрестности точки (хц,у$) определяет у как
однозначную и непрерывную функцию от х, которая при х = xq обраща-
обращается в у$.
Нам удобнее рассмотреть сначала частный случай, когда уравнение G)
имеет форму
У =Уо + ф(х>у)>	С7*)
где функция ср вместе с (р'у удовлетворяет тем же условиям непрерывности, что
и F, но с заменой условий (8) следующими:
<р(хо,уо) = О, \<р'у(х0,у0)\ < 1.	(8*)
Ввиду непрерывности производной, мы можем с самого начала считать
область ЯВ настолько малой, чтобы в ее пределах вообще было
Wy{x,y)\<X,	(9)
где Я есть некоторая постоянная, меньшая единицы. Затем, сохраняя проме-
промежуток изменения переменной у, нам придется еще сжать промежуток изменения
переменной х, заменив его столь малым промежутком [х0 — 8, х0 + S], чтобы
в его пределах непрерывная функция он: <р(х,у0), которая обращается в 0
при х = Xq, удовлетворяла неравенству
\ср(Х,у0)\<(\-Х)А.
Таким образом, мы подготовили область
2>* = [xo-8,xo + S;yo-A,yo + A],	A0)
к которой и будут относиться наши дальнейшие рассуждения.
Подставив в правую часть уравнения G*) вместо у постоянную у§,
мы получим некоторую функцию от х:
У\ =У\(Х) =Уо + ф(х>Уо)-

514	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[442
Аналогично, полагаем последовательно
Уг =У2(Х) = Уо + (р(х>У\)>
Уз = Уз(х) = Уо + <р(х>У2)>
и вообще
Уп =Уп(х) =Уо + (Р(х>Уп-\)'
Эти функции
уЛх)> У2(х)> •••» Уп(х)> •••
и осуществляют последовательные приближения к искомой функции j/(jc).
Правда, остается еще проверить, что все они не выходят за пределы про-
промежутка [у0 — А, у0 + А], ибо, если бы какая-нибудь из них вышла из этого
промежутка, то ее уже нельзя было бы подставлять вместо у в правую часть
уравнения G*).
Установим это индуктивно. Пусть, скажем,
у0- А Ои-1 ^Уо + А-
Из A1):
Уп -Уо = Нх>Уп-\)'
Но
<р(х>Уп-\)\ ^ И-Х'-Уи-i) - <рО>.уо)| + |ф(*.:ио)|-
Первое слагаемое сперва преобразуется по теореме о среднем значении,
и, на основании (9),
\<Р(х>Уп-\) ~ Ф(^»^о)| = Wy(x> Ч) ' (Уп-1 ~Уо)\ < я * Л'
а второе меньше A — Я) А, в силу A0), так что по совокупности
\уп-у0\ <АД+A-А)Д = Д,
что и доказывает наше утверждение.
В то же время индуктивно устанавливается, что все построенные указанным
путем функции будут непрерывны.
Обратимся теперь к вопросу о пределе для последовательности функ-
функций {уп}. Удобнее, однако, рассмотреть ряд
п=\
Из самого определения нашей последовательности ясно, что
Воспользовавшись снова теоремой о среднем и неравенством (9), найдем
\Уп -Уп-Л < х\Уп-\ -Уп-г\-
Отсюда, заменяя п на п — 1, на п — 2 и т. д., окончательно получим
\Уп -Уп-\\ < хП~1 ' \У\ ~Уо\ ^ хП~1 • A -Я) • А,
ввиду A0). Таким образом, ряд A2) мажорируется геометрической прогрессией
оо
A - А)Д . ^А"~\	A3)
1

443]	§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ	515
а следовательно, сходится, и притом равномерно, для всех значений х
в промежутке [xq — S,Xq-\-S]. А тогда, по теореме 1 [431], и предельная функция
у =у[х) = Ш^уп[х)
будет в указанном промежутке непрерывна.
В том, что эта функция удовлетворяет исходному уравнению, легко убедить-
убедиться, переходя к пределу при п —>> оо в равенстве A1). Остается еще доказать, что
не существует других значений у, кроме доставляемых ею, которые удовлетвори-
удовлетворили бы уравнению G*). В самом деле, если бы, при некотором х, наряду с G*)
имели
у=х0 + <р(х,у),
то, вычитая и оценивая разность значений ф, как обычно, получили бы
\у ~У\ = \<р(х,у) - ф(х,у)\ <Ь'\У ~у1
что невозможно, если у ф у.
Отсюда уже вытекает, что
это, впрочем, непосредственно ясно и из того, что все уп(х0) = у0.
Теорема — в рассматриваемом частном случае — доказана. Общий случай
легко приводится к частному; именно, уравнение G) можно переписать в виде
^ /	(,y)
У=УО+[У-УО- (	,
\	рх\хО<Уо>
который отождествляется с G*), если положить
Ф{х,у) =у -у0- —	-.
Щхо>Уо)
Эта функция удовлетворяет требованиям (8*), в частности второму из них, по-
потому что фу (xq, y$) оказывается равной 0.
Как уже упоминалось, изложенный процесс облегчает и фактическое вычис-
вычисление искомой функции у(х) по приближению. Погрешность от замены у(х) на
уп (х) легко оценивается, так как остаток ряда A2) после п-го члена мажорируется
соответствующим остатком геометрической прогрессии A3). Отсюда и получа-
получается:
\у(х)-у„(х)\<А-Л" (и =1,2,3,...)-
Весьма поучительно сопоставление доказательства теоремы о неявной функ-
функции в 206 и только что проведенного. Там мы имели дело с чистым «доказатель-
«доказательством существования», здесь же— с построением искомого объекта.
Подобным же образом могут быть эффективно доказаны и общие теоре-
теоремы п° 208. Мы ограничились простейшим случаем, чтобы лучше выявить идею
метода.
443. Аналитическое определение тригонометрических функций. Читатель ви-
видел, какую важную роль в анализе играют тригонометрические функции. Между
тем вводятся они на основе чисто геометрических соображений, анализу совер-
совершенно чуждых. Поэтому приобретает принципиальную важность вопрос о воз-
возможности определения тригонометрических функций и изучения их основных

516	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[443
свойств — средствами самого анализа. Бесконечные ряды как раз и есть то орудие,
с помощью которого все это может быть осуществлено, и мы посвятим этот п°
изучению тригонометрических функций по их аналитическому определению в ка-
качестве нового примера приложения изложенной выше теории.
Итак, рассмотрим две функции С(х) и S(x), формально определяемые для
всех вещественных значений х всюду сходящимися рядами:
/1=1 v r	/1=1	v r
ни в какой мере не отождествляя их покуда с ранее известными нам функция-
функциями cosjc и sinjc. Мы уже имели однажды дело с так определенными функция-
функциями [390, 7)]; с помощью умножения рядов, как там указывалось, для них можно
установить две основные формулы:
C(x+y)=C(x)-C(y)-S(x)-S(y),	A4)
S(x+y)=S(x)-C(y)+C(x)-S(y),	A5)
справедливые при всех значениях х и у.
Продолжим исследование свойств функций С(х) и S(x). Заменяя х на —х,
сразу усматриваем, что С(х) есть функция четная, a S(x) — нечетная:
С(-х) = С(х), S(-x) = -S(x).
Полагая же х = 0, найдем, что
С@) = 1, 5@) = 0.
Если теперь, сохраняя х произвольным, положить в A4) у = — х, то — с уче-
учетом только что установленных равенств — получим соотношение, алгебраически
связывающее обе функции
C2(x)+S2(x) = \.	A6)
Легко получить и формулы удвоения или деления пополам аргумента.
Из теоремы 2° [437] и 9° [438] заключаем, что обе функции С(х) и S(x)
не только непрерывны, но и имеют производные всех порядков. В частности,
применив к рядам, определяющим наши функции, почленное дифференцирова-
дифференцирование 8° [438], легко убедимся в том, что
С'{х) = -S(x), S'(x) = C{x).	A7)
Все эти свойства, как видим, устанавливаются легко. Несколько больших уси-
усилий требует доказательство периодичности рассматриваемых функций, к че-
чему мы теперь обратимся.
Установим сначала, что в промежутке @, 2) существует, и притом единствен-
единственный, корень функции С(х). В самом деле, мы знаем, что С@) = 1. Значение
же С B) можно написать в следующем виде (отделив первые три члена соответ-
соответствующего ряда, а остальные члены объединив попарно):
22 24 /о6

443]	§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ	517
Так как все скобки положительны:
22п	22п+2	22п	2#2
~Bп)\ ~ Bп + 2)! ~ ~Bп)\ V ~ Bп + l)Bw + 2)J > °'
а сумма первых трех членов дает — ^, то СB) < — ^, т. е. СB) заведомо отри-
отрицательно. Ввиду непрерывности функции С(х), отсюда следует, что в промежут-
промежутке @, 2) действительно лежит корень этой функции.
С другой стороны, в том же промежутке функция
хЧ х2
очевидно, сохраняет положительный знак, а производная С' (х) = —S(x) — от-
отрицательный, следовательно, функция С(х) убывает, когда х растет от 0 до 2,
и обращается в 0 лишь однажды.
Обозначим теперь упомянутый корень функции С(х) через ^, причем ж,
таким образом, вводится здесь совершенно формально, и отождествлять его с от-
отношением окружности к диаметру пока нельзя.
Итак, имеем:
последнее равенство следует из A6), с учетом положительности функции S(x)
при 0 < х < 2.
Полагая в формулах A4) и A5) сначала х = у = ^, а затем х = у = я,
последовательно найдем:
С (ж) = -1, S(jt) = 0; СBл) = 1, SBjt) = 0.
Если в тех же формулах, сохраняя х произвольным, взять у = л или
у = 2ж, то получим:
С(х + л) = -С(х), S(x + л) = -S(x)	A8)
и, наконец,
С(* + 2ж) = С(х), S(x + 2ж) = S(x).
Последние соотношения устанавливают, что функции С(х) и S(x) имеют
период 2л.
Нетрудно было бы вывести и другие «формулы приведения»; мы предостав-
предоставляем это читателю.
Теперь попытаемся доказать совпадение рассмотренных функций С(х) и S(x)
с тригонометрическими функциями cos^c и sin x, а также отождествить формально
введенное нами число ж с тем числом ж, которое играет столь важную роль
в геометрии.
С этой целью рассмотрим кривую, заданную параметрически уравнениями:
х = C(t), у = 5@,
где параметр t изменяется от 0 до 2ж. Ввиду A6), все точки ее удовлетворяют
уравнению: х -\-у = 1, т. е. лежат на окружности, описанной вокруг начала ра-
радиусом 1 (рис. 61). Покажем, что при этом получится каждая точка ее и лишь
по разу; исключение представит, естественно, начальная точка А, отвечающая
значениям t = 0 и t = 2ж.

518
ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
[444
Мы видели, что S(t) > О, пока 0 < t ^ 2, а следовательно, и подавно
при 0 < t < f. Заменяя во второй из
формул A8) jc на —t, получим
отсюда можно усмотреть, что ?(/) > 0
и при ^ ^ t < ж. В таком случае
функция C(t), производная которой рав-
равна —S(t)9 монотонно убывает при изме-
изменении t от 0 до ж, проходя по разу че-
через каждое значение от 1 до — 1. Отсю-
Отсюда ясно, что промежутку [0, ж] изменения
параметра взаимно однозначно отвечает
верхняя часть нашей окружности. Анало-
Аналогичное утверждение можно сделать от-
относительно промежутка [ж, 2ж] значений
параметра и нижней части окружности,
рис> 61	ввиду того что [см. A8)]
C{t + jt) = -C(r), S(t + jt) = -S(t).
Теперь вычислим по формуле D), 329, длину дуги AM, считая, что точка М
отвечает значению t параметра. Принимая во внимание A7) и A6), мы получим
О
Это показывает, что t совпадает с углом в = <АОМ, выраженным в радианах,
а тогда:
С (в) = х = cos 0, SF) =y = sin в.
В то же время, длина всей окружности по нашей формуле оказывается рав-
равной 2л; следовательно, введенное нами число тождественно с тем, которое рас-
рассматривается в геометрии.
444. Пример непрерывной функции без производной. Первый пример такого
рода был построен Вейерштрассом; его функция определяется рядом:
оо
f(x) = У^я" • соъ(Ьпжх),
п=0
где 0 < а < 1, а Ъ есть нечетное натуральное число (причем аЪ > 1 +1 л"). Этот
оо
ряд мажорируется сходящейся прогрессией ^2ап, следовательно [430; 431, тео-
1
рема 1], сходится равномерно, и его сумма является всюду непрерывной
функцией от х. Кропотливым исследованием Вейерштрассу удалось пока-
показать, что тем не менее ни в одной точке для нее не существует конечной произ-
производной.
Мы приведем более простой пример Ван-дер-Вардена (В. L. van
der Waerden), построенный, по существу, на той же идее, лишь колеблющие-
с я кривые у = cos сох заменены колеблющимися ломаными.

444]
§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ
519
Итак, обозначим через Uq (х ) абсолютную величину разности между числом х
и ближайшим к нему целым числом. Эта функция будет линейной в каждом
промежутке вида [§, ^-], где s — целое; она непрерывна и имеет период 1.
Ее график представляет собой ломаную, он изображен на рис. 62, а; отдельные
звенья ломаной имеют угловой коэффициент d=l.
Положим затем для к = 1, 2, 3, . . .:
ик{х) =
4к '
Эта функция будет линейной в промежутках вида [ут?, Йзг]' она также непре-
непрерывна и имеет период А. Ее график также ломаная, но с более мелкими зубчи-
зубчиками; на рис. 62, б, например, изображен график функции и^{х). Во всех случаях
угловые коэффициенты отдельных звеньев ломаной и здесь равны d=l.
а)
У4
/
-2
V /
-1
У1
\
0
/\/
1
\
X
2
б)
-1
О
Рис. 62
Определим теперь для всех вещественных значений х функцию f(x) равен-
равенством
к=0
Так как, очевидно, 0 ^ uk(x) ^ у-^ (к = 0, 1,2, ...), так что ряд мажорируется
оо
сходящейся прогрессией J^ y-^, то (как и в случае функции Вейерштрасса)
О
ряд сходится равномерно, и функция f(x) всюду непрерывна.
Остановимся на любом значении х = Xq. Вычисляя его с точностью до ^я
(где п = 0,1,2,...), по недостатку и по избытку, мы заключим его между
числами вида:
S у,	_	S у. -\~ 1
2 . 4п ^ и 2 • 4п '
где sn — целое. Очевидно, что замкнутые промежутки
д

520	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[445
оказываются вложенными один в другой. В каждом из них найдется такая точка
хп, что расстояние ее от точки х0 равно половине длины промежутка:
1
ясно, что с возрастанием п варианта хп —>> Xq.
Составим теперь отношение приращений
/О J - /Оо) = у^ Ч(хп) - ик(хо)
Но при к > п число -^Y есть целое кратное периода А функции uk(x), так что
ик(хп) = ик(хо), соответствующие члены ряда обращаются в 0 и могут быть
опущены. Если же к ^ п, то функция uk(x), линейная в промежутке Ак, будет
линейной и в содержащемся в нем промежутке Ап, причем
хп -х0
Таким образом, имеем окончательно
. 62)
Хп xv	к=о
иными словами, это отношение равно четному целому числу при нечетном п
и нечетному целому числу — при четном п. Отсюда ясно, что при п —>> со
отношение приращений ни к какому конечному пределу стремиться не может,
так что наша функция при х = Xq конечной производной не имеет.
§ 4. Дополнительные сведения о степенных рядах
445. Действия над степенными рядами. Этот п° мы посвятим
обзору — в основном уже известных — действий над степенными
рядами, что послужит отправной точкой для дальнейшего продви-
продвижения.
Рассмотрим два ряда:
оо
^^апхп = а0 + ахх + а2х2 + . . . + апхп + . . . ,	A)
оо
5>„хи = Ьо + Ъхх + Ь2х2 + ...+ Ъпхп + ...	B)
и=0
Знаки плюс и минус в данной сумме могут чередоваться вполне произвольно.

445]	§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СТЕПЕННЫХ РЯДАХ	521
Предполагая радиусы сходимости обоих рядов отличными от О,
обозначим через г наименьший из них. Тогда для |х| < г, как мы
знаем [364, 4°; 389], эти ряды можно почленно складывать,
вычитать и перемножать, причем результаты вновь рас-
располагаются по степеням х\
п=0	п=0	п=0
оо	оо
X—л п X—л 7 п
п=0	п=0	п=0
anb0)xn. C)
Допустим, что ряд B) тождествен с A); тогда получится, что
внутри промежутка сходимости степенной ряд можно следующим
образом возводить в квадрат:
aian-i + • • • + апа0) хп.
(	)
п=0	п=0
Если последний ряд, по указанному выше правилу, снова помно-
помножить на ряд A) и повторить это неопределенное число раз, то при-
придем к заключению, что степенной ряд внутри промежутка сходимо-
сходимости можно вообще возводить в степень с любым нату-
натуральным показателем т9 причем результат представляется
также в виде степенного ряда:
т °°
= У?аМх» {т = 1,2,3,...).	D)
Коэффициент an зависит от коэффициентов а0, ах, а2, . .., ап
исходного ряда и — как это следует из C) — получается из
них лишь с помощью сложений и умножений. Это
замечание нам ниже понадобится.
Теперь особо остановимся на сложении бесконечного
множества степенных рядов, с чем нам часто придется
иметь дело ниже. Итак, пусть дана бесконечная последовательность
степенных рядов
оо
5>„тх" (/и = 0,1,2,...);
л=0

522	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[445
из них составим повторный ряд
оо оо
<*«**"}•	E)
т=0 п=0
Если при выбранном значении х сходится ряд, полученный
отсюда заменой всех членов их абсолютными величинами, то
сходится и ряд E), причем сумма его А{х) может быть раз-
разложена в степенной ряд просто путем объединения подобных
членов'.
оо	оо
А{х) = ^^Апхп, где Ап = ^ апт (п = 0, 1, 2, . ..).
Доказательство исчерпывается ссылкой на теорему 3 [393].
Применение этой важной теоремы осветим примерами.
Примеры.
1) Разложить функции
~ 1 ат
т=0
оо
772=0
(считая |.х|<1и0<<2<1)в ряды по степеням х.
(а) Имеем
а
п=0
и, подставляя и изменяя порядок суммирования,
оо Л оо
т=0 п=0
оо	оо
п=0	т=0	п=0
Так как повторный ряд
оо л оо
2-^ т\ 2-^	2-^ т\ \ — а
п2,тх7. 1 	 Y2
т=0 п=0	т=0
сходится, то перестановка суммирований оправдана.
(б) Аналогично
п=0

445]	§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СТЕПЕННЫХ РЯДАХ	523
2) Исходя из разложения функции х ctg^c на простые дроби [441, 9)], предста-
представим ее теперь степенным рядом. Для упрощения заменим лишь х на жх, так что
JTX • Ctg ЖХ = L — z
/77=1
Если *| < 1, то для любого т = 1, 2, 3 ...
2	—-	oc
•^	/772	X~^ / X"
тх 1
1-^2 /7=1
Ввиду положительности всех членов, по теореме сразу получаем:
оо	2	°°	оо
\—л х	\—л	2/7	\—л
l^^T^2=2^s2n-x . где s2n = ^— (n= 1,2,3,...).
/77=1	И=1	/77=1
Таким образом, при \х \ < 1 имеем:
оо
JTX - Ctg JTX = 1 — 2 2_^$2пХ
/7=1
3)	Совершенно аналогично, исходя из разложения функции * • cth;\; на про-
простые дроби [441, 10)], получим разложение в степенной ряд
оо
жх • cthжх = \+2^2(-\)n~ls2nx2n (\x\ < 1).
/7=1
Впоследствии [449] мы дадим и другое выражение для коэффициентов разложе-
разложений в 1) и 2).
4)	Теорема сохраняет свое значение и в том случае, когда складываемые
в бесконечном количестве ряды вырождаются в обыкновенные конечные мно-
многочлены. Для примера выведем логарифмический ряд, исходя из биномиального
и показательного путем следующего рассуждения.
При \х\ < 1 и произвольном а имеем [407, B2)]:
= 1 + ах + i 2 * +	1 >2>3	^ +...
Фиксируя^, станем рассматривать члены этого ряда как многочлены относитель-
относительно а. Так как ряд
+1 .2-3'*'
сходится, как легко убедиться с помощью признака Даламбера, то в предшест-
предшествующем ряде, согласно теореме, можно объединить подобные члены:
С другой стороны, очевидно,
О, \а	aln(l+x) -I . 1 /1
+ х) =е к J = 1 + aln(l

524	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[446
Так как оба разложения должны быть тождественны, то, приравнивая коэффици-
коэффициенты при а, получим:
2 3
Заметим, что доказанная теорема непосредственно распростра-
распространяется и на кратные ряды, например на ряд
оо
Е
к=0,т=0 п=0
Действительно, стоит лишь заменить двойной ряд простым, чтобы
свести дело к уже рассмотренному случаю.
446. Подстановка ряда в ряд. Рассмотрим функцию у = /(х),
которая в промежутке (-R,R) разлагается в степенной ряд A).
Пусть, кроме того, дана функция q>(y)9 также разлагающаяся в сте-
степенной ряд
<Р(У) = Е ктУт = К + htf + V + • • • + /Wm + • • • F)
т=0
для значений у в промежутке (—р, р).
Если |яо| = |/@)| < р, то и при достаточно малом х будет
|/(х)| < р, так что имеет смысл сложная функция q>(f(x)).
При единственном условии: \а$\ < р эту функцию q>(f{x))
в окрестности точки х = 0 можно разложить в ряд по
степеням х, если подставить в F) вместо у ряд A) и, произ-
произведя все возведения в степень согласно D), объединить затем
подобные члены.
Доказательство. Считая |х| < R, рассмотрим ряд
апхп\ =
\х\ + \а2\ • \х
\2
п=0
по непрерывности суммы его [437, 2°], ввиду \ао\ < р, для доста-
достаточно малых х выполнится неравенство
оо
ЕЫ<^	(V)
п=0
так что ряд
т=\	п=0
будет сходящимся.

446]	§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СТЕПЕННЫХ РЯДАХ
Полагая, аналогично D),
525
оо
а
be Г) -
\Л\ I	—
п=0	п=0
предыдущий ряд можно переписать в виде
т=\
п=0
Так как
^
получается из \ао\, \ах\
с помощью сло-
сложений и умножений [445] совершенно так же, как an из а0,
а	а то очевидно: \п \ ^ од . Поэтому для упомянутых
ах, ..., ап9 то очевидно: \пп
значений х сходится и ряд
т=\
п=0
а тогда к ряду
оо	оо	т	оо	оо
Е к ¦ (Е «^") = ^о + Ел- • (Е 4ТО
1	0	l	0
(
применимо последнее утверждение предыдущего п°, что и доказы-
доказывает теорему.
Область изменения х, для которой наше рассуждение обеспе-
обеспечивает возможность разложения функции <р(/(х)) в ряд по степе-
степеням х, характеризуется, таким образом, кроме само собою разуме-
разумеющегося неравенства |х| < R еще неравенством G). При R = +оо
нет надобности вводить первое ограничение, при р = +оо отпадает
второе.
В большинстве приложений теоремы достаточно знать, что раз-
разложение имеет место для малых значений |х|. Если представля-
представляет интерес вся область применимости полученного ряда, то этот
вопрос требует отдельного исследования.
Для примера проведем его в простом случае. Рассмотрим функцию
<р(у) =
т=0

526	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[446
в промежутке ( —1, 1) \р = 1] и, вместо у, подставим функцию f(x) = 2х — х
[R = +оо]. Сложная функция
1	1
; \-{2х-х2) A-хJ
имеет смысл, лишь если
-1 < 2х - х2 < 1, т.е. 1 - л/2 < х < 1 + л/2, но хф\.
Ее разложение по степеням х нам известно *'
	-г = 1 + 2х + Зх2 + 4х3 + . . . ;
этот ряд сходится для —1 < х < 1. По совокупности, равенство
оо
. 2\772	л . ^» . о. 2 .
имеет место при условии, что
1 - л/2 < х < 1.
Интересно сопоставить это с тем, что дает наше рассуждение. В согласии с ним
надлежало бы потребовать, чтобы было [см. G)]
2\х\ + |jc|2 < 1 или 1 - л/2 < х < л/2- 1.
Как мы видели, полученное равенство на деле применимо в более широкой
области.
И здесь надлежит отметить возможность дальнейших обобще-
обобщений теоремы. Пусть, например, дан двойной ряд
(абсолютно) сходящийся при \у \ < р и \z \ < р, и два ряда
оо	оо
У — f(x} ^ / п ХП, Z = §(х) = / Ь ХП,
п=0	п=0
сходящихся при |х| < i?; тогда, и/ш условии: \ао\ < р и \Ь0\ < р,
сложную функцию q>(f(x),g(x)) в окрестности х = 0 молено
разлолеитъ в ряд по степеням х, если подставить вместо у
и z соответствующие ряды и, выполнив возведения в степень
и умножения, сделать приведение подобных членов.
*) См. 390, 1). Можно получить это и почленным дифференцированием
[438, 8°] прогрессии
Т—: = \ -\- X -\- X + X +...

447]	§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СТЕПЕННЫХ РЯДАХ	527
447. Примеры.
1	i
1) Найти несколько первых членов разложения функции - A + jc )х по сте-
е
пеням х.
Имеем для \х \ < 1
2	3	4	5
X	X	X	X
j2 х3 /	\2 1/ х х2 х3
1	X X2
2 + J----) +ш{-2+---) +
= 1_1, + Н,2_^хз + 2447 4__959_ 5
2 24	16	5760	2304
[Подобного типа задачи близки к тем, которые рассматривались уже в 125.]
2) Поставим себе задачей получить биномиальный ряд исходя из логарифми-
логарифмического и показательного рядов.
При |*| < 1 и любом а, очевидно, будет:
(	)
а{а -
= 1 + ах +
jc + . . .
Вид нескольких первых коэффициентов устанавливается сразу. Коэффициент
же общего члена, содержащего хп9 можно получить из таких соображений. Непо-
Непосредственно ясно, что он представляет собой многочлен относительно а, степе-
степени п: Qn(a). Так как при а = 0, 1,2, ...,«— 1 в разложении нет члена с хп, то
этот многочлен в названных точках обращается в 0, а следовательно, имеет вид:
е„(«) = с-а(а-1)... («-«+!)¦
При а = п коэффициент при л" есть \,Qn(n) = 1; отсюда с = ^, и окончательно:
qm=а{а-;J;(а::+1).
3) Пусть f{x) будет некоторая функция, разлагающаяся в ряд по степеням х,
без свободного члена:
f(x) = ахх + а2х + а3х + . . . + апхп + . . . ;
тогда, по общей теореме, для тех же значений х разлагается в ряд и функция
g(x) = е^х\ причем свободный член, очевидно, равен 1. Требуется найти это
разложение.

528	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[447
Покажем, как для этого может быть использован метод неопределенных
коэффициентов. Пусть
g{x) = ef{x) = 1 + bxx + b2x2 + b3x3 + . . . + Ъпхп + . . .
Продифференцировав это равенство, найдем:
ef{x) • /'(*) = Ьг+ 2b2x + Щх2 + . . . + nbnxn~l + . . . ,
или, подставляя вместо множителей левой части их разложения,
(\ + blx + b2x2 + b3x3 + . . . )(al+2a2x + 3a3x2 + .. .) = Ъх + 2b2x+ 3b3x2 +. . .
Это условие приводит к такой системе уравнений:
а± = Ь±, 2а2 + а±Ь± = 2Ь2, Ъа3 + 2а2Ь± + ^1^2 = ^^3'
. . ., «аи + (w - \)an_lbl + . . . + 2a2bn_2 + «!/?„_! = nbn, . . . , (8)
из которой неизвестные коэффициенты Ь последовательно и определятся.
Для примера приложим указанный прием к решению следующей задачи
[Вейерштрасс].
Доказать, что разложение функции
начинается членами 1 — ^- + . . . и что все его коэффициенты по абсолютной
величине меньше единицы.
Напишем g(x) в виде
тогда первая часть утверждения становится очевидной. Вторая же часть докажется
индуктивно. Допустим, что все коэффициенты bk со значком, меньшим п, по
абсолютной величине меньше единицы. Так как в данном случае
ak = 0 при k < т и ak =	(kak = — 1) при k ^ m,
к
то ft-e из равенств (8) обнаружит, что и \Ь\ < 1.
[Предлагается применить указанный здесь метод к примерам 1) и 2).]
4)	Те же уравнения (8) могут пригодиться и в другом вопросе. Пусть дано
разложение функции
g(x) = \ + bxx + b2x2 + Ь3х3 + . . . + Ъпхп + . . . ,
а ищется разложение функции
f(x) = \ng(x) = axx + а2х + а3^ + . . . + я„.х" + . . .
Легко понять, что коэффициенты а и Ь связаны теми же соотношениями (8), но
на этот раз подлежат определению коэффициенты а.
5)	Показать, что бесконечное произведение
оо
П (
при достаточно малых х разлагается по степеням х, определить коэффициенты
этого разложения.

447]	§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СТЕПЕННЫХ РЯДАХ	529
При \х | < 1 произведение сходится и имеет положительное значение; лога-
логарифмируя, получим
оо	оо
*¦ 2/77 2
д? - ^ х
/77=1	/77=1
В частности, этот ряд сходится при замене всех членов в скобках их абсолютными
величинами. Отсюда [445] следует, что \nF(x) в окрестности нуля разлагается
в ряд по степеням х, а с ним [уже по теореме п° 446] разлагается и выражение
F(x) = elnFW.
Итак, для достаточно малых х имеем:
F{x) = 1 + Ъхх + Ь2х2 + . . . + Ъпхп + . . . ,
где коэффициенты Ь±, Ь2, . . ., Ьп, . . . еще подлежат определению. Проще всего
это выполнить, если исходить из очевидного равенства:
F(x) = (l+qx).F(qx),
которое, воспользовавшись разложением, можно переписать в виде:
\ + blx + b2x2 + . . .+bnxn + . . . = (\+qx)(\ + blqx + b2q2x2 + . . .+bnqnxn + . . . ).
По теореме о тождестве степенных рядов,
blq + q = bl, b2q2 + bxq = b2, . .., bnq + bn_xq = bn, ...
или
и	%	и	Ь^2	и Ъп-\<Г
h^—q Ь2=Т^> •••• Ь» = ГГ7' •••
и окончательно
ъ =S- ь	г
1 l' 2
" (\-q)(l -q2)-.. A -</")'
6) Возьмем разложения функции 	 в бесконечное произведение [408]
и в бесконечный ряд [404, A2)] и приравняем их логарифмы [401, 4°]:
оо	2	2	4
sm;\; v-^ /	х \	( х х
In	 = Vlnfl - -—-) =ln(l	+	...
х ^ \ п2тт2)	\ 6 120
/7=1
ИЛИ
х2 I х4	\ /х2 х4	\ 1 /х2 х4
_ .. „	, ,6 120	) 2V6 120
/7=1
Разложив левую и правую части по степеням х [445; 446] и отождествив коэффи-
коэффициенты, придем к равенствам
180'

530	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[447
откуда
п2 ~ 6 ' ^ я4 ~ 90 '
1	1
Впрочем, ниже [449] мы найдем эти формулы из других соображений.
7) Если функция f[x) в промежутке (-R, R) разлагается в степенной
ряд A) и J — произвольная точка промежутка, то в ее окрестности
функция разлагается в ряд по степеням х — J.
Действительно, положив в A) х = J + у; по общей теореме (меняя лишь
роли х и у), покуда | J| + \у\ < R или \у\ < R — | J|, можно перейти к разложению
по степеням у, т. е. по степеням х — J:
оо	оо
к=0	к=0
оо
Выполнив в ряде J^ an(x~-\-y)n все возведения в степень и собрав подобные
члены, легко определить и коэффициенты этого разложения:
п=0
и, вообще,
^ п[п- 1) ...(и- к+ 1) _
1-2- ... •?
= ^2^<ri - \) . . . {п - к + \)апх =
п=к
Результат этот, ввиду 9° [438], не является неожиданным.
Мы лишь для простоты взяли исходный ряд расположенным по степеням х —
дело не изменилось бы, если бы функция f(x) была дана разложенной по степеням
разности х — Xq.
Напомним, что функция f(x), которая в окрестности точки х = х0 разлага-
разлагается в ряд по степеням х — х 0 * * \ называется аналитической в этой точке.
Мы доказали, таким образом, что функция, аналитическая в какой-либо точке,
будет аналитической и во всех точках некоторой ее окрестности.
Это утверждение распространяется и на случай функции от нескольких пе-
переменных.
8) В качестве последнего примера рассмотрим разложение функции
1
= [1 + (а2 - 2ха)] *
л/1 - 2ха + а2
по степеням а, при произвольно фиксированном х. Возможность такого разло-
разложения гарантируется нашей теоремой, если только |а| +2|;к|-|а|<1. Легко
*) Этот результат нам уже известен [см. 440, D)].
**) Этот ряд необходимо будет ее рядом Тейлора [438, 9°].

448]	§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СТЕПЕННЫХ РЯДАХ	531
усмотреть, что коэффициентом при ап (п^ 1) будет некий многочлен Рп = Рп(х)
степени п, так что
= = 1 +Рха + Р2а2 + . . . +Рпап + . . .	(9)
у/\ - 2ха -f
Для определения этих коэффициентов продифференцируем равенство (9)
по а:
Г>	I ^"> Г>	I	I	П	^—1 I
=— = Р1 -\- 2Р2а + . . . + пРпа + . . .
- 2ха + а2 K
Сопоставляя этот результат с (9), легко получить:
2М	1
ц — zxa -\- a )(Pi+ 2Р2а + . . . + пРпа +...) =
Приравниваем теперь коэффициенты при одинаковых степенях а в обеих частях.
Мы найдем, прежде всего,
Ъх1 - 1
Рх=х и 2Р2 - 2хРх = -1 +xPl9 откуда Р2 = 	.
Затем, вообще,
(п + 1)Ри+1 - 2их • Ри + (и - 1)РИ_! = хРй - Рп_х
ИЛИ
(и + 1)Ри+1 - (In + \)хРп + пРп_х = 0.
Зная первые два многочлена, по этой рекуррентной формуле последовательно
можно вычислить остальные.
Бросается в глаза, что многочлены Р± и Р2 совпадают с первыми двумя мно-
многочленами Лежандра, а упомянутая только что формула тождественна с анало-
аналогичной формулой A1), 320, по которой вычисляются многочлены Лежандра.
Отсюда заключаем, что коэффициентами разложения (9) являются именно
многочлены Лежандра.
В связи с этим функцию от двух переменных а и х
1
л/1 - 2ах + а2
называют производящей функцией для многочлена Лежандра. Раз-
Разложение (9) с успехом может быть использовано для изучения свойств этих мно-
многочленов.
448. Деление степенных рядов. Важным примером применения
теоремы о подстановке ряда в ряд является вопрос о делении
степенных рядов.
Пусть свободный член а0 ряда A) отличен от 0; представим
этот ряд в виде
а0	а0
^xn+ ...)= аоA
а	J

532	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
полагая
[448
а
0
а
0
а
0
Тогда
1 1
+ у
апхп
Последний ряд играет роль ряда F), причем р здесь есть 1. Со-
Согласно общей теореме, это выражение может быть разложено по
степеням х:
1	......
ахх
¦апх« + . . .
с\х
по крайней мере для достаточно малых значений х9 например для
тех, которые удовлетворяют неравенству
Рассмотрим второй степенной ряд
Ьо + Ъхх + Ъ2х2 + ... + Ъпхп + ...
с отличным от 0 радиусом сходимости. Тогда частное
bo + bxx + ... +Ъпхп + ...
ахх
. . . +апхп
для достаточно малых х может быть заменено произведением
Ъпхп + .. . )(с0 + схх
спхп
и, следовательно, снова представимо в виде некоторого степенного
ряда
d0	2
d0 + dxx + d2x2 + . .. + dnxn
dxx
Коэффициенты этого ряда проще всего определятся по методу не-
неопределенных коэффициентов, исходя из соотношения
(ао+ахх
. . . )(d0
dxx
dnxn + ...
... +bnxn
в которых коэффициенты а и b предполагаются известными. Пере-
Перемножив ряды слева по общему правилу [445], мы затем приравняем

448]	§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СТЕПЕННЫХ РЯДАХ	533
коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Таким
путем получится бесчисленное множество уравнений:
aodo = bo, aodl+aldo = bl, a0d2 + axdx + a2d0 = b2, ...
.. ., aodn + axdn_x + . .. + an_xdx + and0 = bn. A0)
Так как коэффициент а0 предположен отличным от 0, то из
первого уравнения сразу получим: d0 = ^-, затем второе даст нам:
dx = 1~^1 ° = а° 1~21 ° и т. д. В общем случае, если п коэффи-
коэффициентов d0, dx, ..., dn_x уже найдены, то (п + 1)-е уравнение, со-
содержащее единственную неизвестную dn9 позволит установить ее
значение. Так, последовательно, уравнениями A0) опреде-
определяются все коэффициенты частного, и притом вполне однозначно.
Примеры.
1) Найти несколько первых членов частного
9	^	А	1
X	X	X	+	v	X
— -Г — -|- -^- -|- . . . 1\72\~\~4\--
Уравнения A0) здесь принимают вид:
1 , л , 1 , 1 ,
«о = 1, «1 н— «о = ^' ^2 ^—  ^— «о = о,
1 1 1
d3 + -d2 + -dx + -d0 = 0
и т. д.; отсюда d0 = 1, dy = —\, d2 = —j2, d3 = —^д, ¦ ¦ ¦ Итак,
х	.1	1,1,
= 1__Х__Л2_
lnT^J	2	12	24
2) Найти разложение tgjc в окрестности нуля, рассматривая tgjc как част-
частное sin х и cos х, разложения которых известны [404, A2) и A3)].
Существование такого разложения наперед известно — по общей теореме.
Так как tgx есть функция нечетная, то это разложение содержит только не-
нечетные степени х. Коэффициент при х п~ в искомом разложении удобно взять
т
в форме Bп1х\у Итак, имеем
~~ г^Чтт^2"	(и)
2п	оо	v2n-\
2п\ ^ ; B/1-1)!'

534	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[449
Очевидно, Т± = 1. Для определения остальных чисел Тп, приравнивая коэффици-
коэффицих
енты при х слева и справа, получим последовательность уравнений вида:
Bи - 1)! Bга - 3)! 2! Bи - 5)! 4!	Bга - 1)!
(и = 2, 3, ...)
или, по умножении на Bп — 1)!,
Так как все числа C^.i суть целые, то последовательно убеждаемся, что и коэф-
коэффициенты 7^ все целые. Вот значения нескольких первых из них:
Тх = 1, Г2 = 2, Т3 = 16, Г4 = 272, Т5 = 7936, . . .
Таким образом,
1 3 2 5 17 7 62 9
te х = х + - х Н	* Н	х -\	х + . . .
ё	3	15	315	2835
В следующем п° будет указан другой способ вычисления коэффициентов это-
этого разложения и точно установлена область его применимости.
449. Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются. Рассмотрим
еще один пример деления, который будет иметь важные приложения:
XX	1
Согласно общему утверждению п° 448, это частное, по крайней мере для
достаточно малых значений х, представляется в виде степенного ряда
оо
—-— = 1 + V^/7.	A2)
ех — \	^-^ п\
п=\
Коэффициенты его мы взяли в форме: ^, что (как увидим) сделает более удобным
их последовательное определение.
Исходя из соотношения:
х
I	Л %	/*\ •	• • •	I	#
приравняем нулю коэффициенты при различных степенях хп (п = 1,2, 3,...)
слева. Мы получим уравнения вида
или — по умножении на (п + 1)! —
cl+iPn + Cl+Фп-Х + ¦¦¦+ Скп+1Рп+1-к + ¦¦¦+ Спп+фх + 1=0.

449]	§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СТЕПЕННЫХ РЯДАХ	535
Использовав сходство с биномом Ньютона, можно эти уравнения сим-
символически записать так:
@ + 1)и+1 -0W+1 = о (и= 1,2,3,...);
после возвышения двучлена в степень по обычному правилу и сокращения стар-
старшего члена степени рк должны быть заменены здесь коэффициентами рк. Итак,
для определения чисел /Зп (п = 1, 2, 3 . . .) будем иметь бесконечную систему
уравнений:
20: + 1 = 0, 302 + 30! + 1 = 0, 40з + 602 + 40: + 1 = О,
504 + 1О0з + 1О02 + 50! + 1 = 0,
из которых последовательно находим:
h = ~\ Рг = \,	Р3=0. /»4 = ~. PS=0, Р< = ±,
Pi=0, h = -yQ, Д9 = 0, Pl0 = l,	Pll=0, Pl2 = ~.
1	3617	43867
013 = 0, /*14 =g. 015 = 0. ^i6 = -7io"' ^17 = °' ^18 = ^798~'
174611
= 0,
330 '
Так как числа 0 определяются из линейных уравнений с целыми коэффици-
коэффициентами, то все они являются рациональными. Легко установить, в общем
виде, что числа 0 с нечетными значками (кроме первого) — нули. Действи-
Действительно, перенося в равенстве A2) член — | налево, будем иметь в левой части
равенства, очевидно, четную функцию
х	х х ех -\- \ х ег -\- е~2 х х
	h - = - • 	 = - • —	f = - cth -.
ех - 1 2 2 ех - 1 2 е\ _ е~\ 2 2
В таком случае ее разложение
не может содержать нечетных степеней х, что и требовалось доказать.
лагая
Для чисел 0 с четными значками введем более привычное обозначение, по-
*)
так что
1
Bl ~ 6'
691
Вь 2730'
tf7
1
30'
7
6'
в3
8
1
3617
510' ?
1
^=30' 1
43867
?у 798 '
5
5 ~ 66'
174611
ш 330
*)
Мы скоро убедимся, что все Вп положительны.

536	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[449
Эти именно числа Вп и называют числами Б ер ну л л и по имени Якова Бер-
Берну л л и, который впервые пришел к ним при изучении сумм степеней последова-
последовательных натуральных чисел с натуральными же показателями. Числа Бернулли
играют важную роль во многих вопросах анализа.
Итак, заменяя для удобства х на 2х, окончательно имеем разложение
действительное для достаточно малых значений х.
В 3), 455, мы уже имели разложение
оо
ттх -cthjtx = \+2^2(-\)n-ls2n -x2n,
/7=1
оо
4^
где через sln была обозначена сумма ряда ^ -4^. Заменив и в равенстве A3)
772=1
х на жх, перепишем его так:
оо
жх • cth жх = 1 + >
^: ' Bи)!
/7=1
Оба разложения, разумеется, должны быть тождественны; отсюда
в„ = 1ПМ
так что все числа Вп оказываются положительными. Так как при п -Л оо,
очевидно, s2п —>- 1, то из полученной формулы явствует, что числа Бернулли
бесконечно возрастают *) при возрастании их номера.
Отметим попутно полезные выражения, получающиеся для сумм s2n'-
Jп
1 {2лJ
m=l
в частности [ср. 447, 6)]
т	6	от	9Q
/77=1	/77=1
Вспомним теперь, что и для я* • ctgjr^: мы имели [445, 2)] разложение, ко-
коэффициенты которого также зависели от сумм s2w:
оо
жх • сЩжх = 1 - 2^2s2nx2n.	A4)
/7=1
*)
Хотя, как мы видели, не монотонно, а по весьма прихотливому закону.

449]	§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СТЕПЕННЫХ РЯДАХ	537
Заменяя здесь лх на х и подставляя вместо s2« найденные их выражения через
бернуллиевы числа, получим:
Так как про разложение A4) мы знаем, что оно имеет место при \х\ < 1, то
разложение A5) действительно при \х\ < л. Но при х —>> ±я- левая часть равен-
равенства A5) бесконечно возрастает, следовательно, ряд справа не может сходиться
ни при х = zLjt, ни тем более при \х\ > ж: его радиус сходимости в точности
равен я*\
Отсюда, между прочим, ясно, что таков же будет радиус сходимости ря-
ряда A3), между тем как исходный ряд A2) имеет радиус сходимости 2л.
Пользуясь тождеством
tg* = ctg;\; — 2ctg2x,
из A5) легко заново получить разложение для tg*:
1^
Оно тождественно с полученным раньше [см. A1)], но его предпочитают писать
именно в этой форме потому, что числа Бернулли хорошо изучены и для
них имеются обширные таблицы. Радиус сходимости ряда, представляющего tg*,
есть ^; это видно теперь из самого способа его получения.
С числами Бернулли связаны и многие другие полезные разложения.
Например, так как
sinjc х хУ ё	У	^ Aп)\
то, интегрируя почленно, находим (для \х\ < тт)
Bw)! 2n
Аналогично, из разложения A6) почленным интегрированием получаем
(ДЛЯ И < f)	оо 2п 2п
In cos* = — V^	——	 • -—.
*> Впрочем, все вопросы, связанные с определением радиуса сходимости сте-
степенного ряда, легко решаются с помощью теоремы Коши —Адамара [380].
Например, для ряда A5) имеем
Р2п-1 - °' Pin - V Bп)" - \ Bл)! ' BпJп ' S2n ~ ж \/^2л'
Bл)! BпJ

538	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[449
Из этих разложений легко получить разложение для In -^. Ряды эти полезны
при составлении логарифмо-тригонометрических таблиц.
Вернемся в заключение к расходящемуся ряду
п=0
который мы рассматривали в задаче 6), 425. Там была установлена суммиру-
суммируемость этого ряда по методу Чезаро к-го порядка, но самой «обобщенной
суммы» (обозначим ее через А ^) мы не нашли; выполним это сейчас. Впрочем,
мы просуммируем ряд по методу Пуассона — Абеля, что — как мы зна-
знаем [424, 2)] — должно привести к тому же результату.
При t > О будет 0 < е~1 < 1 и, суммируя прогрессию, получим
п=0
Используя разложение A2), для достаточно малых t будем иметь
1 -
Ye-*
1
_ \
2
e*-l
1
t
p.*
t
_ \
1
t
It
e*-l
Vrife	V
Продифференцируем оба ряда почленно к раз; для степенного ряда справа мы
опираемся на теорему 8° [438], она же служит основанием и для дифференци-
дифференцирования ряда слева, который тоже оказывается степенным, если ввести перемен-
переменную х = е~1'. В результате найдем
n=0
°° B2n - 1K
= (-1)^+1 У^	— Ы- l)(w-2)... (n - k)tn~k~l.
n=k+\
Устремим теперь /кО,а следовательно, х к 1. Слева в пределе получится именно
искомое A^k\ а справа — свободный член
1 ^	ifc+1
Вспоминая, что числа /3 с нечетными значками, большими единицы, все нули,
а с четными — приводятся к числам Бернулли, окончательно приходим к фор-
формулам:
А(Ъп) = 0> А(Ъп-1) = (_1)И-12^2 Б (W ^ 1).
2т

450]	§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СТЕПЕННЫХ РЯДАХ	539
450. Решение уравнений рядами. Мы еще раз вернемся к во-
вопросу об определении переменной у как функции от х из неразре-
неразрешенного уравнения:
F{x,y) =0	A7)
[ср. 206 и 442], но в иной постановке:
Предположим, что функция F(x,y) в окрестности точ-
точки (х0,у0) разлагается в ряд по степеням х—х0 и у —у$, при-
причем постоянный член в нем равен 0, а коэффициент при у —у0
отличен ш0*1 Тогда и функция у = у(х), определяемая
уравнением A7) в окрестности указанной точки, также раз-
разлагается в ряд по степеням х — х0 вблизи х = х0.
Иными словами, если функция F, фигурирующая в левой ча-
части уравнения A7), будет аналитической в точке (хо,уо),
то и функция у = у (х), определяемая уравнением, оказывается
аналитической в точке х0. Таким образом, здесь речь идет
уже не только о существовании или вычислении значений искомой
функции, но и об ее аналитическом представлении.
Доказательство. Без умаления общности можно принять
х0 = у0 = 0; это, по существу, сводится к тому, что в качестве но-
новых переменных мы выбираем разности х—х0иу—у0,но сохраня-
сохраняем старые обозначения. Если выделить член с первой степенью у9
то, перенося его в другую часть и деля на коэффициент при нем,
можно будет переписать данное уравнение так:
у = с1Ох + с20х2 + спху + с02у2 +
+ сзох3 + с21х2у + сиху2 + созу3 + . .. A8)
Ряд для функции у от х будем искать в виде:
у = ахх + а2х2 + а3х3 + . . .	A9)
Прежде всего, если подобное разложение в ок-
окрестности нуля имеет место, то коэффициенты
его вполне однозначно определяются самим соот-
соотношением A8).
*^ Это в точности соответствует обычным требованиям
0)= 0, F^x0,y0)^0.

540	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[450
Действительно, заменяя в нем у (при указанном предполо-
предположении) разложением A9), получим:
а\х + а2х2 + а3х3 + . . . = с1Ох + с20х2 +
+ спх • (агх + а2х2 + ...)+ с02 • (агх + а2х2
+ С30Х3 + С21Х2 • (tf рс + ...)+ С\2Х ' (а\Х + • •
По теореме п° 446, для достаточно малых х справа здесь можно
выполнить все возведения в степень и сделать приведение подоб-
подобных членов. Если после этого воспользоваться теоремой о тожде-
тождестве степенных рядов и приравнять коэффициенты при одинаковых
степенях х слева и справа, то мы придем к (бесконечной!) системе
уравнений:
пх — ^Ю' ®2 — ^20 ~i~ ^11^1 ~
аъ = спа2 + 2с02а1а2 + с30 + с2Хах + сХ2а\ + соза\, . . . B0)
относительно искомых коэффициентов я1? я2, я3, ..., я„, ... Так
как в A8) справа все члены, содержащие у9 не ниже второго из-
измерения (т. е. содержат либо высшую степень самого у9 либо у
в первой степени, но умноженное на какую-либо степень х)9 то
в /7-м уравнении системы B0) коэффициент ап оказывается выра-
выраженным через коэффициенты ях, я2, ..., ап_х с меньшими номера-
номерами (и известные коэффициенты с). Этим и обеспечивается
возможность определять коэффициенты ап после-
последовательно один за другим:
2
а1 = с10> а2 = с20 + с11с10 + с02с10'
аЗ = (С11 + 2^02сю)(с20 + с11с10 + с02сю) +
^2 ' - ~3 ... B1)
Попутно сделаем такое, важное для дальнейшего, замечание.
Так как при раскрытии скобок в A8а) над буквами а и с не прихо-
приходится производить иных действий, кроме сложения и умножения,
то в правых частях уравнений B0) мы будем иметь многочлены
относительно этих букв, с заведомо положительными (даже
натуральными) коэффициентами. А тогда и в формулах B1)
справа также будут многочлены с положительными же ко-
коэффициентами относительно букв с.

450]	§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СТЕПЕННЫХ РЯДАХ	541
Составим теперь ряд A9) с коэффициентами а, вычисленны-
вычисленными именно по этим формулам. Про него можно сказать, что
он «формально» удовлетворяет соотношению A8а). Если бы бы-
была удостоверена сходимость этого ряда для достаточно малых х9
то уже не было бы надобности доказывать, что для представля-
представляемой им функции условие A8) выполнено, ибо в этом случае ра-
равенства B0), которым коэффициенты ряда удовлетворяют, впол-
вполне равносильны A8а). Итак, весь вопрос теперь сво-
сводится к доказательству того лишь, что ряд A9),
коэффициенты которого определяются формула-
формулами B1), сходится в некоторой окрестности нуля.
Рассмотрим, одновременно с A8), аналогичное соотношение
У = У юх + У20х2 + УпхУ + УогУ2 +
+ Узо*3 + У21х2У + УпхУ2 + УозУ3 + • • • > A8*)
где все коэффициенты yik положительны и, кроме того, удо-
удовлетворяют неравенствам
Угк-	B2)
Построим для него — пока формально — ряд, аналогичный A9):
у = ахх + а2х2 + а3х3 + . . . + апхп + . . . ,	A9*)
причем коэффициенты его, наподобие B1), определим формулами:
«1 = Ую> а2 = У20 + УпУю + Уо2У12о>
аз = 0>п + 2Уо2Ую)(У2О + УпУю + Уо2У\о) +
+ Узо + У2\У\о + УпУю + УозУго* • • • B1*)
Самый состав этих формул, ввиду отмеченного выше, обеспечивает
положительность чисел ап. Кроме того, сопоставляя с B1)
и учитывая B2), видим, что и (при всех п)
\ап\ < ап.	B3)
Если бы удалось выбрать положительные коэффициенты yik так,
чтобы не только выполнялись условия B2), но и чтобы соответ-
соответственно построенный ряд A9*) имел отличный от нуля радиус схо-
сходимости, то, ввиду B3), это же было бы справедливо и для ря-
ряда A9) — и теорема была бы доказана. Займемся же выбором
чисел yik.

542	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[450
Существуют такие положительные числа г и р, что двойной ряд
r + 12о1	+ llll P + \Ъ2\ Р
будет сходящимся, так что его общий член \cik\-rl рк стремится к 0
и ограничен:
\cik\ • ггрК ^ М, откуда
Положим yik -
ношение:
М М
г г2
или, наконец,
= -4
2 I
С +
у2
^ и, вс
М
гр
Р2
i 1
оглас1
М 2
-,у +
и, в согласии со сказанным, рассмотрим соот-
соотМ	М
^гт:	у\~м	У
= 0.
v H
р+М р+М г-х
Здесь оказывается возможным фактически найти функцию
у = у(х)9 удовлетворяющую уравнению, — именно ту ее ветвь,
которая обращается в 0 при х = 0. Решая квадратное уравнение,
мы получим (считая |х| < г):
*)
4М(р +М) х
М)	V	р2	г-х
Если для упрощения записи ввести обозначение
тш)-	<*>
то выражение для j можно написать в виде:
р2 Г, л ^^л л
откуда уже ясно, если воспользоваться биномиальным рядом, что
оно для \х\ <гх < г разлагается по степеням х. Так как упомяну-
упомянутое разложение должно быть тождественно с A9*), то этим и за-
завершается доказательство сходимости ряда A9*), а значит, и ря-
ряда A9), по крайней мере для \х\ < гх.
*' Знак минус перед корнем взят как раз для того, чтобы при х = 0 иметь
и у = 0.

451]	§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СТЕПЕННЫХ РЯДАХ	543
Отметим, что теорема устанавливает лишь возможность разло-
разложения у по степеням х (или, в общем случае, по степеням х — х0)
вблизи х = 0 (х = х0). Определение точного промежутка схо-
сходимости этого разложения требует особого исследования.
Подобным же образом можно трактовать и общий случай, когда
система функций определяется из системы уравнений.
Замечательный метод рассуждения, примененный выше, при-
принадлежит Коши. Сущность его заключается в замене данных
степенных рядов, с одной или несколькими переменными, более
удобными для исследования «мажорантными» рядами, все коэф-
коэффициенты которых положительны и, соответственно, превосходят
абсолютные величины коэффициентов данных рядов. В связи с этим
и сам метод получил название метода мажорантных рядов. Им
часто пользуются в теории дифференциальных уравнений.
451. Обращение степенного ряда. Как частный случай решен-
решенной задачи, рассмотрим теперь вопрос об обращении сте-
степенного ряда. Пусть функция у =/(х) в некоторой окрест-
окрестности точки х = х0 представляется рядом, расположенным по сте-
степеням х — х0. Обозначая свободный член (выражающий значение у
при х = х0) через j/0, напишем это разложение в виде
У ~Уо = <*i(x -хо) + а2(х -х0J + ... +ап(х -хо)п + ...
При а0 ф О, в окрестности у — у0, х определяется отсю-
отсюда как функция от у, разлагающаяся, в свою очередь, в ряд
по степеням у — у$. Таким образом, если у является ана-
аналитической функцией от х в точке х0, то в соответству-
соответствующей точке у0 (при указанном условии) и обратная функция
будет аналитической.
Все это непосредственно вытекает из доказанной теоремы. По-
Положив для простоты х0 = j/0 = О, напишем соотношение, связыва-
связывающее у с х, по примеру A8), в виде
х = by + с2х2 + с3х3 + с4х4 + . . . *}
Тогда коэффициенты искомого разложения
х =Ъху +Ъ2у2 + Ь3у3 + ...
*^ Нужно напомнить, что здесь — по сравнению с предыдущим п° — х и у
обменялись ролями.

544	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[451
последовательно определятся из уравнений:
Ь1 = Ъ, Ъ2 = с2Ъ\, Ъъ = 2c2 \
Ь4 = с2{1ЪхЪъ + Ъ\) + ЪсъЪ\Ъ2
Ъ5 = 2c2(bxb4 + b2b3) + Зс3(ф3 + b\bl)
Например, зная разложение синуса
1 3 Is
у = тпх=х--х + —х -...,
можно найти разложение
х = acrsinj/ = у + ^зЗ7 + ^ + • • •
(мы выписываем лишь нечетные степени у, ибо, ввиду нечетности функции
у = sinx , наперед ясно, что и обратная функция будет нечетной). Уравнения,
определяющие коэффициенты Ь, в этом случае имеют вид:
1 з 1	12	1 5 3
или	и->	и	uLu	и~>
1	3 6 1 6 5 2 : 3 120 : 40
Другой пример: пусть
3' = е'-1=дг + |г + зГ + ...;
отсюда	^- J-
х = ln(l +;;) = Ълу + ^2 + Ь3у3 + . . .
Коэффициенты Ь определяются последовательно:
Ъх = 1, Ь2 = --Ьх = --, Ь3 = -ЬлЪ2 - - Ъх = -,
так что
Ы(\-\-у) = у	у -\	у	у -\	у — ...
Область изменения у, в которой гарантируются существование обратной
функции и действительность полученного для нее разложения, может быть уста-
установлена из соображений п° 450, но оказывается обычно очень заниженной. Если,
скажем, в первом из приведенных примеров переписать уравнение, связыва-
связывающее х и у, в форме A8):
х х
и ограничиться х и у, удовлетворяющими неравенствам \х\ ^ ^, \у\ ^ 1,
т. е. взять /9 = ^, г = 1, то получим М = 1 и — по формуле B4) —
< 0,2,
в то время как истинная область применимости полученного результата есть про-
промежуток [—1, 1]!

452]	§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СТЕПЕННЫХ РЯДАХ	545
Замечание. Полезно дать себе отчет в значении усло-
условия ах ф О, при котором только и справедливо сформулированное
выше утверждение. Пусть ах = 0, но а2 ф О, скажем, а2 > 0; итак,
вблизи х = 0 (для простоты мы полагаем х0 = у0 = 0) имеем
У = 2 + 3 + 4 +
0. Об
видим, что
так что у > 0. Обозначая через j/ 2 арифметическое значение корня,
л/У = А/^2х2 + аЗХ?
причем поставленный двойной знак совпадает со знаком х. В силу
теоремы п° 50, последний радикал вбизи х = 0 сам представля-
представляется степенным рядом со свободным членом 1. Таким образом,
окончательно (если двойной знак перенести налево):
где уже а\ = у^ > 0. Используя теорему настоящего п° (роль у
играет величина ±у/у)9 мы получим два различных разложения
для х, в зависимости от выбранного знака:
3 +b4y2 + ... > 0 (b1 =	> 0
и
х2 = —Ъхут- +Ъ2У - Ъъу^ + Ь4у2 - ... < 0.
Обращаем внимание читателя как на двузначность обрат-
обратной функции, так и на то, что каждая из ее ветвей разлагается уже
не по целым, а по дробным степеням переменной у.
452. Ряд Лагранжа. Применим теорему п° 450 к частному уравнению вида
у = а+х(р(у),	B5)
где функция (р(у) предполагается аналитической в точке у = а. Тогда для доста-
достаточно малых значений х, как мы знаем, у определяется отсюда как функция от х,
аналитическая в точке х = 0 и обращающаяся в этой точке в а.
Пусть, далее, и = /(у) будет какая-либо функция от у, аналитическая
при у = а. Если вместо у подставить сюда упомянутую функцию от х, то и
окажется функцией от х, которая также является аналитической при х = 0. По-
Поставим себе задачей найти разложение и по степеням х, точнее — найти удобные
выражения для коэффициентов этого разложения.

546	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[452
Заметим предварительно, что — при переменном а — из уравнения B5)
у определяется как функция двух переменных х и а, аналитическая в точ-
точке @, а).*' Тогда и переменная и будет функцией от тех же двух переменных.
Дифференцируя B5) по х и по а, получим:
[\-Х.(р'(у)\д?=(р(у), [l-*V(y)]g = l,
откуда, очевидно,
B6)
дх	да
а также и вообще, при и = /(у),
Г <Р(У) ?•	B6а)
дх	да
С другой стороны, какова бы ни была функция F(y), для которой существует
производная по у, имеем:
дх I	да! да I	дх 1
В этом легко убедиться непосредственно дифференцированием, со ссылкой на
тождества B6) и B6а).
Всеми этими замечаниями мы воспользуемся для доказательства важной
в дальнейшем формулы:
дпи дп~1 р	дил^
	 = 	г \(р (у) • — ;.	B8)
дхп дап~1 Г ^J да\	У J
При п = \ она приводится к B6а). Допустим теперь, что она верна для некоторо-
некоторого значения п ^ 1, и установим справедливость ее для производной {п + 1)-го по-
порядка. Дифференцируя B8) по х и пользуясь правом переставлять дифференци-
дифференцирования [190], получаем
д"+1и д"~1
Но, в силу B7) и B6а), имеем последовательно
д Г и/ ч 5м] 9 г й 9м] 5 г и
— Ф (У) • — = — Ф (У) • — = — Ф
jc L	да] да I	дх л да I
Подставляя это в предыдущее равенство, получим:
дп+1и дп
I n+l( \
дхп+1 ~ дап Г ^} ' да
Таким образом, формула B8) индуктивно оправдана.
*) Это утверждение предполагает, что теорема п° 450 распространена на слу-
случай, когда в уравнении фигурируют три переменные и одна из них определяется
как функция от остальных двух.
**) Здесь срп(у) означает степень: [(р(у)]п.

452]	§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СТЕПЕННЫХ РЯДАХ	547
Обратимся, наконец, к интересующему нас разложению функции и по сте-
степеням х. При постоянном а оно необходимо имеет вид разложения Тейло-
Тейлора [438,9°].
где указатель 0 означает, что функция и ее производные взяты при х = 0. Но
тогда;; обращается в а, так что и0 = f(a), и затем, по формуле B8),
д"и	1
Подставляя эти значения коэффициентов, мы приходим к разложению:
/(у) = Да) + х ¦ <p(a)f'(a) + *- ¦ ±- [<р2(а) ¦ f'(a)] +...
2! da
хп dn~l
которое и называется ря дом Лагранжа. Оно замечательно тем, что коэффи-
коэффициенты его представлены в виде явных функций от а.
Если /(у) = у, то, в частности, получаем
X2 d 9	ХП dn~l	9
у = а +х • <р(а) Н	• — \<р\а)\ + . . . Н	• 	г \<р\а)\ + . . . B9а)
2! da	n\ dan l
Существует тесная связь между задачей, рассматриваемой в настоящем п°,
и задачей обращения степенного ряда. Если (в предположении, что ср(а) Ф 0)
переписать уравнение B5) в виде
х = —-— = Ьо + Ъх(у - а) + Ъ2(у - аJ + . . .,
то задача Лагранжа окажется равносильна обращению этого ряда, распо-
расположенного по степеням у — а. Наоборот, если поставлена задача обращения
степенного ряда
у = а^х + а2х + а3х + . . . (а1 ф 0),
то, переписав это соотношение так:
у = х(а^ + а2х + а3х +...),
обозначим сумму ряда в скобках через ip(x). Тогда приходим к уравнению
типа B5)
1
Х = У ' 	9
здесь а = 0, ср(х) = ^тр:, и кроме того, х и у обменялись ролями. Последнее
замечание важно еще потому, что позволяет сразу дать общее выражение для
результата обращения по формуле B9а):
1 ¦ у2 ^d х 1 ¦ ¦ r Г^" ¦ ¦ ..... (зо)

548	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[452
Приведем примеры.
1) Начнем именно с использования формулы C0). Пусть дано уравнение
у=х(а+х) (афО)
или
1
х =у - —¦—.
а +х
Так как
dn~l	I	(l)/lw(w+l)Bw2)
dxn~l (а +х)п	(а + хJп~1
то приходим к такому разложению:
3	l ; A)!! 2
То же разложение получается, если решить квадратное уравнение относительно х,
выбрав то из его значений, которое обращается в 0 вместе с у.
2) Будем исходить из уравнения типа B5)
х
у = а -\—,
У
так что здесь ср(у) = -j. Полагая /(у) = у~к, по формуле Лагранжа B9)
найдем
1 1	к х2 к(к + 3) х3 ?(?
ак+2 + ~2\ ' ак
4!
Так как данное уравнение приводится к квадратному:
у — ay — х = О,
то, очевидно, *'
Например, если а = 2, то получается (по умножении на 2 ) такое разложение:
к	х к(к+3) /х\2
= 1 _ь 1 + 5?±i41) - "v" ' Г" ' ~у (т ) +...
2! V4/	3!	\4у
3) В теоретической астрономии важную роль играет уравнение Кеплера:
Е = М + с - sinE,
где ? есть эксцентрическая аномалия планеты, М — ее средняя аномалия, а е —
эксцентриситет планетной орбиты. Воспользовавшись рядом Лагранжа B9а),
*' Знак плюс перед корнем взят в связи с тем, что при х = 0 должно
быть у = а.

453]	§ 5. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	549
можно найти разложение Е по степеням эксцентриситета, с коэффициентами,
зависящими от М:
е2 d 2	en dn~l
? = М + е • sinMH	• 	sin M + . . . Н	• 	г sin M+ . . .
2! dM	n\ dMnl
Здесь представляет важность знать точные размеры промежутка сходимо-
сходимости: Лаплас (P.S. Laplace) первый установил, что сходимость имеет место
для е < 0,6627. . .
4) Наконец, рассмотрим уравнение
Его решение, обращающееся в х при а = 0, будет
1 - л/\ - 2ах + а2	2х - а
1 + л/1 - 2ах + а2
Разложение этой функции по степеням а имеет вид:
2-\J , , 1 fay dn-\x2-\f
У =•
-у-^Ш-
dx	n\ \2J	dxn~l
Продифференцируем обе части этого равенства по х (причем из аналитиче-
аналитического характера у как функции от двух переменных а и х можно заключить,
что для ряда допустимо почленное дифференцирование). Мы получим раз-
разложение
1	1 d{x2-\) 2 ± d2{x2-\f
/2	2	+ °	+
2' dx + ° ' 2! . 22 ' dx2
п\ • 2п	dxn
Его коэффициентами, как мы в этом случае непосредственно усматрива-
усматриваем [ср. 447, 8)], являются многочлены Лежандра:
1 d"(x2 -1)"
" и! ¦ 2" ' dx"
§ 5. Элементарные функции комплексной переменной
453. Комплексные числа. Хотя наш курс целиком посвящен веществен-
вещественным переменным и вещественным же функциям от них, настоящий па-
параграф — отступая от этой основной линии — мы посвятим элементарным
функциям комплексной переменной. Изложение этого вопроса при-
примыкает к теории степенных рядов и, в свою очередь, проливает свет на некоторые
*)
Здесь х играет роль а, а а — роль х.

550	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[453
принципиальные моменты этой теории. Кроме того, знакомство с функциями ком-
комплексной переменной оказывается полезным для вещественного анализа и в вы-
вычислительном отношении [ср. примеры в 461, а также главу XIX, посвященную
рядам Фурье, в третьем томе курса].
Мы предполагаем, что читатель уже знает комплексные числа из алгебры.
Поэтому мы ограничимся здесь лишь кратким обзором основных свойств этих
чисел.
Комплексное число z имеет вид z = х + уi, где i есть мнимая единица:
i = V~1j ах иУ — вещественные числа. Из нихх называется вещественной,
a j/ — мнимой составляющей, или частью, числа z, и обозначаются так:
x=R(z), y=I{z).
Два комплексных числа х + yi и х' + y'i равны тогда (и только тогда),
когда порознь х = х' и у = у' *\ Сложение и умножение комплексных чисел
производится по формулам:
(х + yi) + (*' + /i) = (х + *') + (у +/)i,
О + yi)(x' +y'i) = (xxf -yy') + 0/ +*V)*';
легко проверить существование разности и частного, выражаемых так:
(х +yi) - (х' +y'i) = (x-x') + (y ~У%
х +yi хх' + уу' х'у — ху'
x1+y'i xf2+yf2 xf2+yf2i
(последнее — в предположении, что х' + y'i ф О, т. е. что х'2 + у'2 > 0).
При этом для комплексных чисел соблюдаются все обычные свойства дей-
действий, не связанные с понятиями больше
у к	и меньше (эти понятия для комплекс-
»ж	ных чисел не устанавливаются). Точнее го-
~Р\	воря, имеют место свойства II [3, 1°— 4°]
и III [4, 1°-5°].
Возьмем на плоскости прямоугольную
систему координатных осей хОу (рис. 63).
~	* х Тогда каждое комплексное число z = x +yi
может быть изображено на этой плоскос-
плоскости точкой М(х,у), координатами которой
являются вещественная и мнимая составля-
составляющие этого числа. Очевидно, и обратно —
_ г~	каждой точке М плоскости отвечает вполне
JP ис иЗ
определенное комплексное число. В связи с
этим рассматриваемую плоскость называют
плоскостью комплексной переменной z или просто комплексной
плоскостью.
*^ Иными словами, и здесь для нас равенство сводится к простому тождеству
[ср. 2].

453]	§ 5. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	551
Вещественные числа х = х + 0 • i изображаются точками на оси х (ибо для
них;; = 0), а чисто мнимые числа;;/ = 0 + yi (х = 0) — точками на оси;;. Эти
оси и называют первую — вещественной осью, а вторую — мнимой.
Важную роль играют также полярные координаты г, в точки, служащей изо-
изображением числа z = х + yi (см. рис. 63). Неотрицательное число г называется
модулем или абсолютной величиной комплексного числа z и обозна-
обозначается так: г = \z\. Модуль однозначно определяется комплексным числом z:
и обращается в нуль в том и только в том случае, когда z = 0. Угол в называется
аргументом комплексного числа z, в = Argz. При z ф 0 он определяется
из равенств
х	у
cos в = -,	sin в = -,
г	г
но лишь с точностью до слагаемого вида 2кл (к — целое). Для z = 0 аргумент
остается вовсе не определенным. За исключением этого случая для каждого чис-
числа z существует один и только один аргумент в, удовлетворяющий неравенствам
-л < 0 < ж;
его называют главным значением аргумента и обозначают через argz.
Если в < ж, то
в	sin в	г sin в	у
tg - = 	 = 	 =
2 1 + cos в г + г cos в
и угол arg z можно определить равенством
arg z = 2 arctg ¦
оно годится для всех комплексных чисел, кроме вещественных отрицательных
(и нуля).
Отметим, что для модулей комплексных чисел z = х -\- yi i& z' = х' -\- у'i
также выполняется неравенство:
столь привычное для абсолютных величин вещественных чисел. Действительно,
в настоящем случае оно приводится к известному неравенству:
которое представляет частный случай неравенства Минковского [133, G)];
см. также сноску на с. 385 первого тома.
Справедливы и вытекающие из него следствия [см. 17].
Если в обозначении комплексного числа z = х + yi положить х = г • cos в,
у = г • sin в, то получим так называемую тригонометрическую форму
комплексного числа:
z = r (cos в + i sin в).
Возьмем второе комплексное число z' также в тригонометрической форме:
z = г (cos в + i sin в ).

552	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[454
Тогда произведение zz; в тригонометрической форме напишется так:
zz = rr'[cos@ + в') + i sin(e + 0')];
это непосредственно следует из теорем сложения для косинуса и синуса. Отсюда
zz'\ = \z\ • |z'|, Argzz' = Argz + Argz'.
Аналогично, для частного чисел z и z1 (z1 ф 0) находим:
= |JT> Arg-^ = Argz -Argz'.
Из формулы произведения получается формула для степени с натуральным
показателем п.
в частности, при г = 1 приходим к формуле Моавра (A. de Moivre):
(cos в + i sin 9)n = cos «0 + i sin «0.
Наконец, для корня п-и степени из z имеем
М i
N^ = </F( cos	М sin — ),
\ п	п J
где у/г есть арифметический корень из г. Полагая здесь поочередно, на-
например,
0 = 0, в + 2ж, 0 + 4я, . . ., 0 + 20 - 1)л-,
мы получим ft различных значений корня -{/z (конечно, считая z ф 0); при
других значениях в будут уже лишь повторяться эти же значения корня.
454. Комплексная варианта и ее предел. Рассмотрим последовательность
{zw}, состоящую из комплексных чисел zn = xn -\-yni (п = 1, 2, 3, . . .),
и переменную z, принимающую эти значения в порядке возрастания номеров.
Предел такой комплексной варианты определяется в тех же терминах,
что и в случае вещественной варианты [23]:
Постоянное число с = а-\-Ы называется пределом варианты z = zn,
если, сколь мало бы ни было число е > 0, для него существует такой но-
номер N, что все значения zn с номерами п > N удовлетворяют неравенству
К -с\<е.
При этом пишут
limzw = с или zn -Л с.
Точно так же переносятся на рассматриваемый случай определения беско-
бесконечно малой и бесконечно большой величин.
Отметим, что теперь не может быть речи о стремлении варианты к бесконеч-
бесконечности определенного знака, поскольку комплексным числам знак вообще
не приписывается. Если zn бесконечно большая, т. е. \zn \ —>> +оо, то говорят, что
zn -Л со (без знака!).
Рассмотрим, например, варианту zn = z", где z есть комплексное число.
Если при этом z\ < 1, то zn —>> 0, если же \z\ > 1, то zn —>> оо; легко ви-
видеть, что при |z = 1 (но z ф 1) для варианты zn предела вовсе нет.
Для комплексной варианты легко непосредственно передоказать основные
утверждения теории пределов, почти дословно повторяя прежние рассуждения.

454]	§ 5. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	553
С другой стороны, все эти утверждения автоматически переносятся на случай
комплексной варианты на основании следующей простой теоремы:
Комплексная варианта zn = хп + yni стремится к пределу с = а + Ы
тогда и только тогда, когда вещественные варианты хп и уп стремятся,
соответственно, к пределам а и Ъ.
Ее доказательство сразу следует из неравенств:
I - ъ\ \ ^ 'z" ~c' = ^ (*« ~ a^2 + {yn ~ b^2 ^ '*" ~ a' + ^n ~ b^'
Таким образом, исследование комплексной варианты может быть заменено
исследованием двух вещественных вариант. В частности, этим путем можно до-
доказать для комплексной варианты и принцип сходимости [39].
Рассмотрим теперь бесконечный ряд
с комплексными членами сп = ап + bni. Суммой ряда и здесь называется
предел частичной суммы	п
оо
Например, для геометрической прогрессии J^ zn = \-\-z-\-z-\-...-\-zn~-
п=0
(где z — комплексное число, отличное от 1) частичная сумма равна
п = Z^Z = Т^7;
к=0
отсюда ясно, что при \z \ < 1 ряд имеет сумму
а при \z\ ^ 1 у него (конечной) суммы нет.
Все основные понятия и теоремы пп° 362, 364 (с их доказательствами) со-
сохраняются.
Исследование комплексного ряда может быть сведено к исследованию двух
вещественных рядов, на основании теоремы:
Сходимость комплексного ряда
к сумме С = А + Bi равносильна сходимости двух вещественных рядов
(А)
(В)
и=1
соответственно, к суммам А и В.

554	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[455
Это утверждение, очевидно, есть лишь перефразировка теоремы, доказанной
выше в терминах варианты.
Теперь докажем теорему, аналогичную теореме п° 377.
Если сходится положительный ряд
составленный из модулей членов ряда (С), то и этот последний ряд
также сходится.
Действительно, ввиду очевидных неравенств
\к\
сходимость ряда (С*) влечет за собой сходимость обоих рядов
Ei
и
п=\	п=\
Отсюда [377] следует, что сходятся ряды (А) и (В), а тогда — по предыдущей
теореме — сходится и ряд (С).
В случае сходимости ряда (С*) ряд (С) называется абсолютно сходя-
сходящимся; отметим, что при этом, как мы видели, и ряды (А), (В) также сходятся
абсолютно.
Благодаря этой теореме, для комплексных рядов сохраняет свою силу, на-
например, признак Даламбера [377].
На абсолютно сходящиеся комплексные ряды переносятся теорема п° 387
о перемещении членов ряда и правило п° 389 о почленном умножении рядов.
В первом случае доказательство осуществляется сведением к вещественным ря-
рядам, а во втором — в принципе, может быть сохранено прежнее доказательство.
Наконец, аналогичным образом можно на комплексный случай перенести
основные понятия и теоремы из теории двойных рядов.
455. Функции комплексной переменной. Пусть комплексная переменная
z = x-\-yi принимает всевозможные значения из некоторого множества Z = {z},
которое геометрически интерпретируется как область (открытая или нет) в ком-
комплексной плоскости. Если с каждым значением z из области Z сопоставля-
сопоставляется одно или несколько значений другой комплексной переменной
w = и + vi, то последнюю называют (соответственно, однозначной или
многозначной) функцией от z в области Z и пишут:
w = /(z) или w = g(z) и т. п.
Примерами однозначных функций (и притом во всей комплексной плоскости)
могут служить: |z|, zn или вообще— целая рациональная функция, т.е.
многочлен
cQzn-\-c1zn~ + . . .+cn_xz+сп
с произвольными комплексными коэффициентами с0, с±, . . ., сп. Дробная ра-
рациональная функция, т. е. несократимое частное двух многочленов, также

455]	§ 5. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	555
однозначно определена во всей плоскости, но в точках, отвечающих корням зна-
знаменателя, она обращается в бесконечность. В качестве примеров неоднозначных
функций назовем Argz, tfz. Ниже, в 457-460, мы изучим другие важные функции
комплексной переменной.
В последующем, если не оговорено противное, мы будем рассматривать
однозначные функции.
Если w = u-\-vi есть функции от z = х -\-yi в области Z = {z} = {х -\-yi},
то ее составляющие и, v, очевидно, также будут функциями от z или — что то
же — отх, у в соответствующей области Z* = {(х, у)} (которая геометрически
изображается той же фигурой, что и Z):
и = и(х,у), v = v(x,y).
Например, для вещественных функций w = \z\ или w = argz имеем, соответ-
соответственно:
и = л/х2 + у2 или и = 2arctg	-^=^= (v = 0);
для функции w = zn = (х -\- yi)n, очевидно,
п Кп ~ 1) /i-2 2 ,
и=х ~^^х У +...,
n_l n(n- l)(w-2) п_ъ з
V = WC У	1.2-3 Х У +'"
Пусть с будет точкой сгущения области X. Говорят, что функция w = f(z)
при стремлении z к с имеет предел С*\ если для каждого числа е > 0
найдется такое число 8 > 0, что |/(z) — С\ < е, лишь только \z — с\ < 8
(и z ф с).
Записывают этот факт, как обычно:
Km w = Km f(z) = С.
z—)><: z—)><:
Легко перефразировать это определение для случая, когда с (или С) есть со;
можно выразить его «на языке последовательностей».
Если с = а + Ы, С = А + Bi, то [как нетрудно вывести из п° 454] преды-
предыдущее соотношение равносильно таким двум:
Km u(x,y) = A, Km v(x,y) = В.
Непрерывность функции/(z) в какой-либо точке z§= x§-\-y§i облас-
области Z определяется равенством:
Mm /(z) = /(z0).
Она, очевидно, равносильна непрерывности обеих составляющих и(х,у), v(x,y)
в точке (хо,уо).
*)
Здесь с и С — комплексные числа.

556	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[455
Таким образом, вспоминая только что приведенные выражения для \z | и со-
составляющих z", видим, что эти функции непрерывны для всей плоскости ком-
комплексной переменной. Аналогично, argz оказывается непрерывным повсюду, ис-
исключая отрицательную часть вещественной оси.
Конечно, непрерывность может быть устанавливаема и непосредственно из
комплексных соображений. Например, для функции \z | она сразу следует из не-
неравенства
||z|-|zo|K|z-zo|.
Для функции zn имеем:
z -zo=(z-zoj(z +zoz +...+z0 j.
При достаточной близости z к z0 значения z будут ограничены некоторой посто-
постоянной: \z\ ^ M, так что
\z -z0 < пМ • \z -zo|,
откуда и следует требуемое заключение.
Легко теперь доказать непрерывность целой и дробной рациональной функ-
функции (в последнем случае — исключая корни знаменателя).
Определение производной для функции w = /(z) в точкеz = z0 имеет
тот же вид, как и в обычном дифференциальном исчислении:
о; Az^O	Az	z^z0 Z - z0
Например, для функции w = zn имеем
n _ n
z z0	n—\ .	n—2 .	. и—1
	 = z + zoz + . . . + Zo ,
z -zQ
так что, переходя к пределу при z ^ z0, получаем снова знакомую формулу:
Ш = HZq
Формула п° 94 для производной обратной функции и все правила дифферен-
дифференцирования пп° 97, 98 переносятся без изменений. Аналогично устанавливается
и понятие производных высших порядков.
Упомянем еще о рядах:
членами которых являются функции от комплексной переменной z в одной и той
же области Z.
Здесь прежде всего может быть установлено понятие равномерной схо-
сходимости в тех же терминах, что и в 428. В случае комплексных функциональ-
функциональных рядов убеждаться в равномерной сходимости также можно по наличию по-
положительного мажорантного ряда, так как признак Вейерштрасса сохраняет
силу и здесь. Из теорем о функциональных рядах нам понадобится в дальнейшем
теорема о почленном предельном переходе в равномерно сходящемся
ряде [433, теорема 4]; доказывается она так же, как и выше.

456]	§ 5. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	557
Теперь мы обращаемся к рассмотрению, в частности, степенных рядов,
которые в теории функции комплексной переменной играют исключительно важ-
важную роль. Им мы посвятим особый п°.
456. Степенные ряды. Пусть имеем ряд
оо
Y1 Сп*П = С0 + clz + С2*2 + • • • + Vй + . . . ,	A)
п=0
где с0, с±, с2, . . . — постоянные комплексные коэффициенты, a z — перемен-
переменная, изменяющаяся во всей комплексной плоскости. Совершенно так же, как это
было сделано в 379 [или 380], для него может быть установлено существование
такого неотрицательного числа R, что для \z\ < R (если R > 0) ряд A) абсо-
абсолютно сходится, а для \z\ > R (если R < +оо) ряд расходится. Таким обра-
образом, если отбросить случай R = 0, мы имеем при R = +оо ряд, сходящийся на
всей комплексной плоскости, а при конечном R — ряд, сходящийся внутри круга,
описанного около начала радиусом R, и расходящийся вне этого круга. Вместо
промежутка сходимости здесь появляется круг сходимости, и тер-
термин «радиус» впервые оказывается оправданным.
Например, как легко убедиться с помощью признака Даламбера, ряд
п=\
абсолютно сходится при любом комплексном значении z, в то время как ряды
оо	оо п	оо п
Z^ п2 ' Z^ п
0	1	1
имеют радиусы сходимости R = 1.
На границе круга сходимости поведение степенного ряда может быть различ-
различным. Например, из только что приведенных трех рядов первый расходится во
всех точках окружности \z\ = 1, ибо нарушено основное условие сходимости —
общий член не стремится к нулю; второй ряд во всех точках этой окружности
оо
абсолютно сходится, так как сходится ряд J^ \; наконец, третий ряд,
если положить в нем z = cos в + i sin в, принимает вид
оо	оо .
COS пв	v-^ sm п®
+ i >
v-^ COS пв	v-^
> 	+ i >
п	п
1	1
и (исключая случай 0 = 0, т.е. z = l) сходится [385,2)], но неабсо-
л ю т н о.
Замечание. Если коэффициенты степенного ряда — вещественные числа
(как в приведенных примерах), то ясно, что радиус R «круга сходимости» на
комплексной плоскости совпадает с прежним радиусом «промежутка сходимости»
на вещественной оси.
Перечислим теперь дальнейшие теоремы о степенных рядах, которые пере-
переносятся на комплексные степенные ряды.

558	ЕЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[456
Теоремы 1° и 2° [437] сохраняются полностью, так что внутри круга схо-
сходимости сумма степенного ряда A) является непрерывной функцией
от z.
Что же касается теоремы Абеля [437, 6°], то теперь изложим ее в такой
форме:
Если ряд A) сходится в некоторой точке z0 окружности \z\ = R, то
при приближении точки z к точке z0 изнутри вдоль по радиусу
имеем
оо	оо
r V~^ n V~^ n *)
lim у ^ cnz = у jcnzQ-
0 п=0	п=0
В частном случае, когда z0 = R, можно считать, что z = г есть вещественная
положительная переменная, и доказываемое равенство представится в виде
оо	оо
lim у ^ спгп = у ^ cnRn.
Если положить сп = ап + bni, то оно распадается на такие два равенства:
оо	оо	оо	оо
lim у апгп = у anRn, lim у bnrn = у bnRn.
Так как ряды в правых частях сходятся, ввиду предположенной сходимости ряда
п=0	п=0
то для доказательства этих равенств остается лишь сослаться на обычную теорему
Абеля.
Переходя к общему случаю, обозначим через Oq аргумент числа z0. Тогда
можно положить:
zq = ^(cos 6q + i sin 0q), z = r (cos 6q + i sin 0O),
и подлежащее доказательству равенство напишется так:
оо	оо
lim \ с Л cos ибо + i • sin^0n)rw = \ с„( cos nOn + z sin^0n)^w.
r^R-0^-^	^-^
п=0	п=0
Если множители в скобках отнести к коэффициентам, то вопрос, очевидно, све-
сведется к уже рассмотренному случаю.
Теперь (не ссылаясь на общую теорему о дифференцировании рядов) непо-
непосредственно докажем, что внутри круга сходимости степенной ряд можно
дифференцировать почленно, т. е. если для \z\ < R положить
оо	оо
п=0	п=\
*> Можно доказать это равенство и при более общем законе приближения z
к zq, на чем мы, однако, не будем здесь останавливаться.

456]	§ 5. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	559
Прежде всего отметим, что и радиус сходимости последнего ряда также
есть R, в чем легко убедиться, например, с помощью теоремы Коши-Ада-
мара.
Остановимся на определенной точке z0, |z01 < R. Имеем:
т I/(zo)
Если взять р между |z01 и R, то можно считать и \z\ < p; тогда
Ряд 5^w|cw|pw сходится, ибо р меньше R, который (как мы указали) служит
1
радиусом сходимости и для ряда J^ ncnzn . В таком случае, применяя признак
1
Вейерштрасса, заключаем о равномерной сходимости ряда B); в нем при
z ^ z0 можно перейти к пределу почленно, что и приведет к требуемому
результату.
Отсюда уже вытекает, что предложения 8° и 9° [438] также переносятся на
комплексный случай без изменений.
Таким образом, внутри круга сходимости сумма степенного ряда не-
непрерывна вместе со всеми производными. Иными словами, если мы разлагаем
функцию в ряд по степеням z, то расстояние от начала до ближайшей к нему
точки разрыва функции (или какой-либо ее производной) является естественной
границей для радиуса сходимости этого разложения.
В случае прогрессии
v J	1+z
такой точкой будет z = — 1; она лежит на вещественной оси, поэтому
и раньше было ясно, что радиус сходимости разложения функции у^- не может
быть больше единицы. Иначе обстоит дело с прогрессией
1 - z2 + z4 - . . . + (-\)nz2n + . . . = —L^.
1 +zz
Ее сумма терпит разрыв в точках z = d=z мнимой оси, на расстоянии единицы
от начала; оставаясь на вещественной оси, вдоль которой функция 1 2 непре-
непрерывна вместе со всеми производными, нельзя было уяснить себе, почему радиус
сходимости ее разложения равен единице.
Подобного рода примеры, когда переход в комплексную область помогает вы-
выяснить истинные причины тех или иных особенностей разложения вещественной
функции от вещественной переменной, мы встретим и ниже.
В заключение упомянем, что все правила действий над степенными ряда-
рядами [445], теорема о подстановке ряда в ряд [446], о делении рядов [448] и, наконец,
об обращении степенного ряда [451] сохраняют свою силу и здесь; доказатель-
доказательства, носящие формальный характер, в полной мере годятся и для комплексных
степенных рядов.

560	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[457
457. Показательная функция. Мы видели в A1), 404, что при произвольном
вещественном х имеет место разложение
х л х х2
е =1 + Ti + ^ + --- + ^ + ---
Если заменить в этом ряде вещественную переменную х комплексной пере-
оо ^
менной z = х -\-yi, то получится ряд 1 + X] Ж' ПР° K0T0PbIH мы Уже знаем [456],
1
что он сходится, т. е. имеет определенную конечную сумму во всей плоскости
комплексной переменной. .Его сумму и принимают, по определению, за
значение показательной функции ez при любом комплексном z, т. е. полагают
в' = 1 + 1 + ^ + ... + ? + ...	C)
Это определение, как мы видели, не противоречит обычному определению для
случая вещественного показателя и является естественным его обобщением.
Если воспользоваться правилом умножения степенных рядов, то, как
и в 6), 390, легко убедиться, что при любых комплексных значениях z и z'
будет
е • е' = ezJrZ\	D)
так что это характерное свойство показательной функции ока-
оказывается соблюденным и в комплексной области.
Функция ez непрерывна во всей плоскости, больше того — она имеет произ-
производные всех порядков; почленно дифференцируя определяющий ее ряд, получим
как и раньше.
Пусть z = х + yi, где х и у — вещественные числа; заменяя в D) z на i,
az' на yi, будем иметь
ez =ех -<?\
Займемся теперь особо степенью eyi с чисто мнимым показателем. Если в основ-
основном определении C) подставить;;/ вместо z, то получим
v2 v3 v4	yln	v2w+1
е =Х+У1~Х. - 3!г+4!+--- + (-1} B^!+(-1} B^ТТ)!г + ---
или, отделяя вещественную часть от мнимой,
v2"+1
В этих рядах мы узнаем разложения cos;; и sin;; [404, A2) и A3)] и, таким об-
образом, приходим к замечательной формуле
eyi = cos;; + i sin;;,	E)

457]	§ 5. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	561
которую впервые установил Эйлер; отсюда, например,
е^1 = i, ет = — 1, е~1 = —/, е т = 1.
Итак, если z = x -\-yi, то
ez = e (cos;; + i sin;;) ;	F)
мы видим, что
ех = е ^ = \ez \, у = /(z) = Argez.
Так как ех > О при любом вещественном .х, то ez отлично от нуля при
любом комплексном z.
Заменяя в E) у на —у, путем сложения и вычитания обеих формул получим
соотношения
eyi + e~yi eyi — e~yi
cos;; =	, sin;; =	,	G)
выражающие тригонометрические функции от вещественного аргумен-
аргумента через показательные функции от чисто мнимых аргументов. Мы еще
вернемся к этому замечательному факту ниже.
Если в равенстве F) заменить у на у + 2ж, то значение правой (а значит,
и левой) части равенства не изменится; иными словами,
ez т = ez,
и показательная функция оказывается периодической, с чисто мнимым
периодом 2jri.
Легко показать, что, кроме периодов вида 2km (k — целое), других периодов
функция ez иметь не может. В самом деле, если ezJr(D = ez, то (полагая z = 0)
еш = 1. Пусть, скажем, со = а + /3z, так что [см. F)] ea(cos/3 + i sin/3) = 1;
отсюда еа = \ и а = 0, а затем: cos/3 = 1, sin/3 = 0, следовательно, /3 = 2кж,
что и требовалось доказать.
Теперь лишь, когда мы знаем, что e±2jrl = 1, становится понятным, поче-
почему разложение функции ехХ_\ в степенной ряд [449, A2)] имеет радиус сходи-
сходимости 2ж; хотя на вещественной оси у функции ехХ_\ нет особенностей,
которые могли бы это мотивировать, но на мнимой оси есть точки, где функция
обращается в бесконечность, и ближайшими из них к началу как раз и будут точки
z = ±2я7, лежащие от него на расстоянии 2л.
В связи с обобщением показательной функции на случай любого комплекс-
комплексного показателя, вспомним об одной интересной функции, которую мы рассмат-
рассматривали в 138 и 407:
/(*) = е~^ (х ф 0), ДО) = 0.
Невозможность разложить ее по степеням х в какой бы то ни было окрестности
нуля, несмотря на непрерывность самой функции со всеми производными вдоль
*) Можно было бы положить и это равенство в основу определения показа-
показательной функции от комплексного аргумента; тогда D) вытекало бы из теорем
сложения для косинуса и синуса.

562	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[458
вещественной оси, включая точку х = О, становится непосредственно очевид-
очевидной при переходе к комплексной переменной z = х + yi. Действительно,
_ j_
функция е z2 (z ф 0) при z —>> 0 не имеет даже предела, ибо, например, при
приближении z к нулю вдоль мнимой оси, когда z = yi и у —>> 0, будет:
е ^ = е^ —>> оо.
458. Логарифмическая функция. Возьмем любое комплексное число w, от-
отличное от 0, и поставим себе задачей найти число z, удовлетворяющее уравнению:
ez = w
(при w = 0 это уравнение, как мы знаем, не имеет решений). Такое число z
называется (натуральным) логарифмом w и обозначается символом
z = Ln w.	(8)
Если ш = г(cos в + i sin^) и положить z = x +yi, то, ввиду F), уравне-
уравнение (8) распадается на такие:
ех = г, cos;; = cos#, sin;; = sin#,
откуда
x=\nr*\ у = 0 + 2кя (к — целое).
Мы приходим к заключению, что логарифм w (при ш^О) всегда существует; он
равен
Ln w = In | w | + i • Arg w = ln | w | + i • arg ш + 1km	(9)
и, таким образом, оказывается многозначным. Впрочем, это легко было пред-
предвидеть, исходя из периодичности показательной функции. Взяв к = 0, получим
так называемое главное значение логарифма:
1пш = In \w\ + i • argw,	A0)
которое характеризуется тем, что его мнимая составляющая содержится в про-
промежутке (—я-, я-]:
—л < /(In и;) < я".
Например, имеем
In 1 = 0, Ln 1 = 2Ьп; 1п( —1) = т\ Ln(-l) = B^ + 1)ш;
л- 4^+1
In i = — z, Ln i = 	я"/ и т. д.
2	2
При переменном w формула A0) выражает главную ветвь многознач-
многозначной логарифмической функции Lnw. Другие ветви получаются при
различных целых значениях к по формуле
Ln w = In w + 2kjri.
Легко видеть, что функция A0) непрерывна на всей плоскости комплекс-
комплексной переменной w, за исключением начальной точки и отрицательной части
* ^ Здесь имеется ввиду обычный натуральный логарифм положительного
числа г.

458]	§ 5. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	563
вещественной оси. Разрыв при w = О неустраним, ибо при w —>> О, очевидно,
In w —>> со. Иначе обстоит дело с отрицательными вещественными значениями
Wq = lift < 0. Разрыв здесь создается, в некотором смысле, искусственно из-за
нашего условия брать argw в промежутке (—ж, ж]. Когда w = и + ш —>> Wq
при v > 0, то argw —t ж = argw0, если же при этом v < 0, то argw —>> — ж.
Если бы от главной ветви: In w во второй четверти мы перешли к другой
ветви: \nw-\-2jri — в третьей, то непрерывность была бы восстановлена. Таким
образом, желая избегнуть многозначности и расчленяя многозначную функцию
на однозначные ветви, мы тем самым для каждой отдельной ветви создаем раз-
разрывы. Наоборот, одна ветвь в другую переходит непрерывным образом. В этой
связности различных ветвей многозначной функции и заключается замечатель-
замечательная особенность комплексной плоскости, не имеющая аналога в многозначных
вещественных функциях, определенных на вещественной оси.
По общей теореме о производной обратной функции, имеем (исключая точки
разрыва)
Aпш)/ = -4-7 = 4 = --	(И)
(ez)' ez w
Заменив w на 1 + w, рассмотрим функцию z =ln(l + w) (w ф — 1)- Тогда
оо „	оо „
*-^ п\ '	^ п\ '
Отсюда следует, что для достаточно малых (по абсолютной величине) значений w
функция z = ln(l + w) разлагается в ряд по степеням w:
z = w + с2ш + C3W + • • • + cnw + • • •
Производная от этой функции по w представится рядом:
[ln(l + w)] = 1 + 2c2w + 3c3w + . . . + ncnw + . . .;
в то же время, ввиду A1), она выразится и так:
[ln(l + w)]' = —^— = 1 - w + w2 - . . . + (-1)"" V + . . .
1 + W
Сравнивая эти два разложения, видим, что
откуда
1	1	ч/1-i 1
Итак, окончательно, в окрестности нуля имеем разложение:
2 3	п
Легко проверить, что полученный ряд имеет радиус сходимости R = 1. Мы
видели, что при достаточно малых z его суммой будет главное значение
логарифма: ln(l + w); будет ли это так и во всем круге \w\ < 1?
Так как ряд A2) формально удовлетворяет равенству

564	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[459
то он и фактически ему удовлетворяет, покуда сходится. Таким образом, во
всем круге \w\ < 1 сумма ряда A2), несомненно, представляет собой одно из
значений Ln(l + w); весь вопрос теперь в том, всегда ли это будет именно
главное значение.
Если \w\ < 1, так что точка, изображающая число 1 + w, лежит внутри
круга радиуса 1, с центром в точке w = 1, то arg(l + w) лежит между — ^ и ^,
другие значения Arg(l + w) лежат в промежутках
/ 5ж Зж\ ( 9л 7л">
V 2 ' 2 )
или
Зж 5ж\ /7'ж 9л
Зж 5ж\ /7'ж 9ж
Т'Т/' vT'T
Мнимая составляющая суммы ряда A2) и есть Arg(l + w) [см. (9)]. Для доста-
достаточно малых w = u-\-vi она дает главное значение arg(l + w), т. е. содержится
между —j и |; в то же время, как непрерывная функция от и и v, она не может
перескочить в другие указанные промежутки, следовательно, при всех \w\ < 1
равна именно главному значению arg(l + w). Этим доказано, что равенство A2)
имеет место во всем круге \w\ < 1.
Заменяя в A2) w на —w и вычитая полученный ряд из ряда A2), выпишем
полезное разложение *^:
1	1 + w	w3	w2n~l
- In	 = w + _ + ... +	 + . . .,	A3)
2	1 — w	3	In — 1
которое годится для \w\ < 1.
459. Тригонометрические функции и им обратные. Мы знаем [404, A2)
и A3)], что при вещественном х функции cosjc и sinjc представляются
следующими рядами:
оо	^2п	оо	х2п~1
cosх = 1 + N ( — 1)"	, sinx = \ ( — \)п~ 	.
?^к J 2п\	?^к J Bп - 1)!
и=1	и=1	v	;
Естественно функции cosz и sinz для любого комплексного z определить
с помощью аналогичных рядов:
00	z2n	°°	z2n~l
сходящихся на всей плоскости переменной z.
Этот способ введения тригонометрических функций для нас уже не нов: в 443
мы воспользовались им даже в вещественной области (для того чтобы обосно-
обосновать эти важные для анализа функции без обращения к геометрии). Подражая
проведенным там рассуждениям, можно было бы и здесь установить для косину-
косинуса и синуса теоремы сложения, формулы приведения, свойство периодичности,
*^ Так как мнимая составляющая разности ln(l -\- w) — ln(l — w) лежит меж-
между —л и л", то эта разность дает именно главное значение In jz^j.

459]	§ 5. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	565
а также правила дифференцирования их — но уже для комплексных значений
независимой переменной.
Впрочем, те же результаты можно получить и другим путем, установив связь
тригонометрических функций с показательной. Именно, при любом комплекс-
комплексном z, обобщая сделанное в 457 для z = yi, можно вывести, что [ср. E)]
е zl = cosz d= i • sinz,
а отсюда [ср. G)]
ezi+e~zi . ezi-e-zi
cosz =	, sinz =	.	A5)
Эти формулы целиком сводят изучение тригонометрических функций к изуче-
изучению показательной функции. [Их можно было бы положить в основу определе-
определения тригонометрических функций вместо A4).] Предлагаем читателю, исходя из
формул A5), наново доказать упоминавшиеся выше свойства косинуса и синуса,
а также установить, что 1) cosz и sinz не имеют других периодов, кроме 2ктт
(к — целое), и 2) что все корни этих функций вещественны.
Если в A5) взят z = yi (у — вещественное), то найдем
еУ + е~У еУ _ е~У
cos;;/ = 	 = ch;;, sin;;/ = 	 • i = i • shj/.	A6)
Таким образом, устанавливается непосредственная связь между гипербо-
гиперболическими функциями от вещественного аргумента и тригонометрическими — от
чисто мнимого. Любопытно отметить, что cos;;/ есть вещественное число, всегда
большее единицы.
Теперь, воспользовавшись теоремами сложения, можно написать, что
cos(.x -\-yi) = cos.x • cos;;/ — sin^c • sin;;/,
sin(jc -\-yi) = sinjc • cos;;/ + cosjc • sin;;/
или [во внимание к A6)]
cos(;\; +yi) = cos;\; • ch;; — / • sin;\; • sh;;,
sin(* + yi) = sin;\; • ch;; + / • cos;\; • sh;;,
и тем разложить косинус и синус на их составляющие.
Функции tgz и ctgz определяются формулами
sinz I ezl ezl ( /т
V
cosz / ezl +e
~zl
1\ \
- Ьг ,
2
cosz	e + е	. , 7 .
ctgz =	 = / • —		(z ф кж),
sinz	ezl — e~zl
причем оказываются имеющими период ж.
Разложения, полученные в 449 для tg.x их- ctg.x, сохраняют свою силу
и после подстановки комплексной переменной z на место вещественной х. Сход-
Сходство разложений для х • ctg;\; и х • cth;\; становится совершенно понятным, если
учесть получающиеся из A6) соотношения
tgyi = / . thy, ctgyi = —/ • cth;;.

566	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[459
Из функций, обратных тригонометрическим, мы остановимся на арктангенсе
и на арксинусе.
Ввиду того что тригонометрические функции приводятся к показательной,
естественно ждать, что обратные им окажутся связанными с логарифмом.
Начнем с указания, что w = tgz не принимает значения d=z (в этом легко
убедиться, рассуждая от противного). Пусть w ф d=z; тогда уравнение
g 7 ezl +e
может быть решено относительно z:
e2zl
2Z7 I + wi	1 1 + wi
1 — WI	LI	1 — WI
Таково выражение для обратной функции Arctgw, очевидно, бесконечно
многозначной вместе с Ln.
Если для логарифма взять его главное значение, то получим главное зна-
значение арктангенса:
\ \ + wi
arctg w = — ln	 (w ф ±i),
2i 1 — wi
которое характеризуется тем, что его вещественная часть содержится в проме-
промежутке (-§, §):
^(t)
Остальные значения получаются по формуле
Arctg w = arctg w + кж (к — целое).
Заменив в ряде A3) w на wi, придем к разложению для главной ветви
арктангенса
w3	n_x wln~l
= Wh	+ (l)Ь
Wh... + (l)
3	2n — \
которое действительно для \w\ < \*\
Обратимся, наконец, к решению уравнения
sinz =
2i
относительно z:
e2lz - 2wi • elz -1 = 0,
откуда
z = Arcsin w = - Ln (wi d= у 1 — w2);
i
и здесь получаем бесконечно многозначную функцию.
Ограничимся для логарифма его главным значением:
*)
При w = d=z функция arctg w обращается в оо.

459]	§ 5. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	567
При w = +1 или —1 радикал обращается в 0, и мы получим, соответственно,
z = f или —f, что и примем за главное значение арксинуса. Пусть
теперь w ф d=l, и нам предстоит выбор из двух значений z. Очевидно,
[wi + у 1 — w2 ) (wi — у 1 — т2) = — 1,
так что
следовательно, и
R
в то время как мнимые части разнятся лишь знаками. Так как каждая из вещест-
вещественных частей не выходит за пределы промежутка (—ж, ж], то лишь одна из них
будет содержаться между — ^ и ^; соответствующее значение арксинуса при-
принимаем за главное. Исключение представится лишь в случае, когда обе ве-
вещественные части равны ^ или — ^; тогда за главное принимается то значение,
которому отвечает положительная мнимая часть * \ С этой оговоркой можно ска-
сказать, что главное значение арксинуса определяется условием
ж	.ж
-- <Д (arcsin w) < -.
Легко проверить, что остальные значения выразятся формулами:
Arcsin w = arcsin w + 2кж,
Arcsin w = Bk + \)ж — arcsin w (к — целое).
В заключение упомянем о разложении arcsin w по степеням w. В области
вещественных переменных мы уже видели, что для ряда
,3	„2и-1
[выражающего sin л:], обращением будет ряд
1 у3 1 • 3 у5	Bп- 1)!! yln+l
[выражающий arcsin;;; см. 440, 3)]. Так как и в случае комплексных перемен-
переменных коэффициенты определяются совершенно одинаковым образом, то ясно, что
в результате обращения ряда
3	5	2п-\
^	1^
должен
получиться ряд
1 W"
~ Ш+ 2 ' 3 +
1
2
•3
~~А '
w5
5
Bп- 1)!! w
2n+l
Bп)\\ 2п + 1
*) Например, arcsin 2 = f + i lnB +

568	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[460
Его радиус сходимостиR = 1 *^; при \w\ < 1 он дает одно из значений Arcsin w.
Покажем, что это будет именно главное значение arcsin w. Действительно,
\R(z)\ не превосходит
11 1-31	Bи - 1)!! 1	л
+ 2 ' 3 + Y~A ' 5 +'" Н Bи)!! ' 2яП + ' " ~ ~2'
откуда и вытекает требуемое заключение.
460. Степенная функция. Пусть а и Ь будут два комплексных числа, из
которых а ф 0. Тогда общее определение степени а будет такое:
а = е = е к	\к — целое),
так что степень оказывается вообще многозначной. При к = 0 получается
так называемое главное значение степени
Ъ	Ыпа
а = е
Для отличия общее выражение степени, следуя Кош и, иногда обозначают
так: ((а)) . Таким образом,
((а)) = а • е л (к — целое).
Если Ъ равно целому числу, то второй множитель обращается в единицу:
в этом случае степень будет иметь лишь одно значение. Когда Ь есть несокра-
несократимая рациональная дробь — (q > 1), то степень будет иметь ровно q раз-
различных значений. Наконец, при всяком другом значении Ъ степень будет иметь
бесконечное множество значений.
Например,
21 = еПп2 = cos(ln2) + i • sin(ln2), (B))z = 2l • е~2кл [к — целое),
il = ellni = e~i,	((i)I' = e-^+1)f {к - целое).
Если т есть любое постоянное комплексное число, то степенная
функция {{z))m вообще многозначна. Ее главная ветвь есть (z ф 0) **^
т	m-\nz
z = e
Из соотношения
совершенно так же, как в п° 447, 2), можно получить биномиальный ряд
п . лт , ,	. т(т - 1) 2 .	. т{т- 1) . . . {т - п + 1) п
A + z) =1 + mz + ___z +... +	___	z +...
Этот ряд сходится при любом комплексном т, если \z\ < 1 ***% и воспроизводит,
как видно из самого способа его получения, именно главное значение степени
бинома. Исследованием его занимался Абель.
*^ При w = d=l нарушается непрерывность производной арксинуса:
1
**) Иногда при z = 0 полагают zm = 0, если R(m) > 0.
***) rjpH z — _\ если не сама степень A + z)m, то достаточно далекие ее про-
производные терпят разрыв; исключение представляет лишь случай, когда т равно 0
или натуральному числу.

461]	§ 5. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	569
461. Примеры. В этом п° на нескольких примерах мы покажем, какие услу-
услуги оказывает вещественному анализу комплексная переменная и элементарные
функции от нее.
1) Последовательные производные функции у = 2* легко вычисляются,
если представить ее в виде:
1л
1л \х — i
Именно,
,(-1I (_!)-!(„_!
2/ v ' v 'L(jc-O" (x + i)
-\)"-\n-\)\ (X + Q" - (дг - 0"
2j	'	(x2 + 1)"
и_1 п(п - \)(п - 2) п_ъ
пх	х
1 .2-3
Например,
Одновременно, очевидно, получаются и последовательные производные функ-
функции arctgjc [ср. 116, 8); 118, 4)].
2) Формулы Эйлера, выражающие косинус и синус через показательную
функцию, могут быть многообразно использованы. Например, желая найти сжатое
выражение для суммы
п
s = V^ cos kx,
1
можно свести дело просто к суммированию геометрической про-
прогрессии:
e\xi _
- e~\x
3) Целые положительные степени sin.* и cos.*, а также произведения таких
степеней можно представить линейными комбинациями синусов и косинусов крат-
кратных дуг. Выполнять это легко с помощью тех же формул Эйлера, развернув
выражения
21

570	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[461
по биному Ньютона. Например,
• 5	*¦ / 5xi с 3xi . 1А xi 1А —xi . с —3xi	—5xi\
sin х = — (е — 5е + Юе — lOe + 5е — е ) =
32/
-5	+ 10-
16 V 2/	2/	2/ )
= — (sin 5* — 5 sin 3* + 10 sin*);
16
cos * sin * =
2/
2xi
^ / 6x/ о 2x/ . о — 2xi —6xi\ ( xi .
= "T^7(e e +3e "e )(e +e
— 2xi —6xi\ ( xi . —xi\
e )(e +e )
1 / 7jc/ , 5xi ~ 3xi ~ xi . ~ —xi . ~ —3xi	—5xi	—lxi\
	: (e + e — 3e — 3e + 3e + 3e — e — e J =
=	(sin Ix + sin 5x — 3 sin 3.x — 3 sin л:).
64
Можно установить и общие формулы:
(a) sin2v х = ъ_х I cos 2vx - 2v cosBv - 2)jc +
, 2vBv - 1)	(_i)v 2vBv-l)...(v +
+	cosBv4),	+
/_1\V ,
(б)	sin2v+1 x = L-^|sinBv + l)x - Bv + 1) sinBv - l)x+
Bv + lJv . ^ , „ Bv + lJv . . . (y + 2) . l
+ b2; sinBv - 3)x + . . . + (-l)v ^	J-^	^	^ smxj;
(в)	cos" л: = -—j- ^ cos ra: + n cos(n — 2)x -\	cos(« — 4)x + . . . >,
причем в формуле (в) последний член имеет вид
1	2vBv - 1)... (у + 1)	Bv + 1Jу ... (у + 2)
- • 	 или 	 cos.x,
2	1 -2...у	1 -2...у
смотря по тому, будет ли п = 2у или 2у + 1.
Подобные преобразования выгодны при интегрировании [ср. 287].
4) На комплексные функции от вещественной или комплексной переменной
распространяются простейшие формулы интегрального исчисления (относящиеся
к разысканию первообразных). '
Заметим, что далеко не все формулы, относящиеся к первообразным, при
переходе от вещественных функций к комплексным сохраняют свою силу. Легко
убедиться, например, что формула J Щ- = In \z \ + С не может быть распростра-
распространена куда-либо за пределы вещественной прямой; более того, функция In \z \ по

461]	§ 5. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	571
Пусть требуется найти интегралы:
/ еах cos bxdx, / еах sin bxdx.
Эта задача равносильна нахождению интеграла:
/ eax (cos bx + i sin bx)dx = f e{a+bl)xdx,
который — по элементарной формуле — равен
1	(а+Ы)х cos bx + l sin bx ax
	—eK J =	e =
a + bi	a + bi
a cos bx + b sin bx ax .a sin bx — b cos for flX
Приравнивая порознь вещественные и мнимые части, получим искомые интегра-
интегралы [ср. 271, 6)].64)
Формулу для вычисления интеграла типа
Р(х) • eaxdx,
отношению к комплексной переменной z оказывается нигде не дифферен-
дифференцируемой (не исключая и точек вещественной оси). Аналогично, равенство
J -^?- — \п\х _|_ а | _|_ с, в котором переменная х предполагается веществен-
вещественной, теряет свою силу сразу, как только перестает быть вещественным число а
(в то же время функция In |jv + a \ остается дифференцируемой по отношению
к вещественной переменной х и при комплексном а).
Тем не менее основные формулы для первообразных элементарных функций
легко проверяются и в комплексном случае, опираясь на уже установленные фор-
формулы для производных. В частности, в силу уже известной формулы (lnz); = |,
где In обозначает главное значение логарифма, имеем: J Щ- = lnz + С, при-
причем z может изменяться в пределах любой области 9? комплексной плоскости,
не содержащей точек промежутка ( — со, 0] вещественной оси. Оговорка насчет
промежутка ( —оо, 0] существенна: в точках этого промежутка главное значение
логарифма терпит разрыв и производная (lnz); не существует.
В дальнейшем проверка встречающихся формул для первообразных и соответ-
соответствующие оговорки относительно области применимости каждой формулы пре-
предоставляются читателю (заметим, что в ряде формул применяется запись вида
//(*) dx = F(x) — без произвольной константы; эта запись означает, что функ-
функция F — первообразная для /).
Гораздо более подробно интегрирование комплексных функций изучается в спе-
специальных курсах теории функций комплексной переменной
(ТФКП).
Здесь переменная х предполагается вещественной.

572	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[461
где Р(х) — многочлен [271, 4)], можно распространить и на случай комплексно-
комплексного а. Тогда к ней приведутся не только интегралы
/ Р(х) cos bxdx, / Р(х) sin bxdx,
но и интегралы
/ Р(х)еах cos bxdx, I P(x)eax sin bxdx
[271, 4); 289].
5) Связь между логарифмической и обратными тригонометрическими функ-
функциями объединяет многие формулы интегрального исчисления, казавшиеся со-
совершенно различными, и позволяет устанавливать новые формулы. Например,
интегралы
/dx \ х — a f dx	I	x
—z	~ — 7Г~ ln	 и / ~i	1 — ~ arcte ~
xz — az 2a x + a J xz + az a	a
приводятся один к другому заменой х на xi.
6) Отделяя вещественную и мнимую части в известных комплексных разло-
разложениях, можно иной раз просто получить интересные разложения в вещественной
области.
(а) Возьмем, при \z\ < 1, прогрессию
1 z
и положим z = r(cos# + i ътв). Справа получим ряд
оо
Y^ rn (cos пв + i sin пв),
а слева — выражение
г (cos в + i sin в)	г cos в — г2	г sin в
A - r cos в) - ir sin в 1 - 2r cos в + г2 1 - 2r cos 0 + r2
65 ^ Для того чтобы данная замена была корректной, переменную х в перечис-
перечисленных формулах следует считать комплексной. Области комплексной плоскос-
плоскости, в которых справедливы формулы данного примера, можно найти, опираясь
на свойства главных значений логарифма, арктангенса, арксинуса и квадратно-
квадратного корня (за подробностями читателю следует обратиться к курсам теории
функций комплексной переменной).

461]	§ 5. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	573
Приравнивая вещественные и мнимые составляющие в обеих частях равенства
(и сокращая на г), придем к разложениям:
_	оо	.	оо
cos0 — r	^-^ n_i	sm0	^-^ n_i
= > Г COS пв,	z	:	~ = / Г Sin 720.
1 - 2r cos в + г2 ^	' 1 - 2r cos в + г2 ^
[ср. 440, 11)].
б) Аналогично поступив с логарифмическим рядом:
получим для г < 1 [ср. 440, 11)]:
1	^ л	2ч	V^ n COS 720
— 1п( 1 — 2r cos 0 + г ) = — > г 	,
2	^	п
г sin 0	^—\ w sin 720
arctg	 = > г 	.
1 - Г COS 0 ^	72
Пусть 0 < 0 ^ ж; так как при г = 1 ряды справа продолжают сходить-
сходиться [385, 2)], то можно, воспользовавшись теоремой Абеля [437, 6°], пе-
перейти здесь к пределу при г —>> 1 — 0. Слева получим в первом случае:
2 1пB —2 cos 0) = In 2 sin |, а во втором — arctg (ctg f) = arctg (tg ?Ey^) = ?Ey^.
Итак, имеем:
0	х^л COS 720	Ж — в	х^л Sin 720
V,	V
2	^^ п	2	^^
и=1	п=\
[В третьем томе курса мы встретимся со многими замечательными тригономет-
тригонометрическими разложениями.]
7) В п° 447, 8), мы имели разложение
1 !'<> •¦¦•
где Рп(х) — многочлены Лежандра. Изменяя х между —1 и +1, положим
здесь х = cos 0:
оо
A -2acos0 + a2)~5 = 1 + ^>w(cos0) • an.
п=\
Заменим теперь 2cos0 на е + е~ ; мы получим
= [1 — a(e + e ) + a \ 2 =
= A — aez ) 2 . (l _ ae ) 2 —
^ 2 ^ + ~2~A a e + '

574	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[462
Перемножив эти два ряда по обычному правилу и приравняв коэффициенты при
ап в обоих разложениях, мы придем к выражению для Pn(cos6):
p»(cos0) = w^ ^ + е~ш)+ §Й| ¦ \ (e("~1}'e + e~ln~m)+
Bп - 5)!! 1 -3 , („-2),в -(„-2)w\
Bи - 4)!! 2 ¦ 4 1	>
Скобки теперь можно заменить последовательно на 2 cos пб, 2cos(« — 1H,
2 cos (« — 2H и т. д. Так как все коэффициенты здесь положительны, то совершен-
совершенно очевидно, что наибольшего значения это выражение достигнет при в = 0, т. е.
при х = cos 0 = 1. Таким образом, воспользовавшись соображениями из области
функций комплексной переменной, мы нашли интересный результат, всецело от-
относящийся к вещественной области: при изменении х в промежутке [—1, +1]
все многочлены Лежандра своего наибольшего значения достигают на
конце х = 1.
§ 6. Обвертывающие и асимптотические ряды.
Формула Эйлера-Маклорена
462. Примеры. В § 9 предыдущей главы мы познакомили читателя с не-
некоторыми важнейшими определениями «обобщенной суммы» для расходящихся
рядов, причем сами частичные суммы ряда всего менее были пригод-
пригодны для приближенного вычисления такой «суммы». Сейчас мы вновь займемся
расходящимися рядами, но совсем в другом плане: мы покажем, что при на-
наличии определенных условий и в известных границах именно
частичные суммы расходящегося ряда могут служить превосходными при-
приближениями для числа, в том или ином смысле «породившего» этот ряд. Для
того чтобы читатель ощутил наперед практическую важность применения расхо-
расходящихся рядов в приближенных вычислениях, достаточно упомянуть о том, что
этим методом привычно пользуются астрономы для предвычисления положения
небесных тел, причем точность получаемых результатов оказывается вполне удо-
удовлетворительной.
Мы постараемся сначала выяснить нужные нам идеи на двух простых
примерах.
1) Рассмотрим логарифмический ряд
г2	г3	хП	rW+1
* -T + --... + (-l)"-1- + (-1)" ^гт + ...	О)
2 3	п	п + 1
Хорошо известно [405], что этот ряд сходится и представляет функцию 1пA -\-х)
лишь для —1 < х ^ 1. Вне этого промежутка (например, для х > 1) ряд будет
расходящимся и лишен суммы. Однако и для значений х > 1 функция 1пA + х)
продолжает быть связанной с отрезками этого расходящегося ряда, ибо, по фор-
формуле Тейлора,
2	3	п
- + --... + (-If-1 - + Гп(х),
2 3	п

462]	§ 6. ОБВЕРТЫВАЮЩИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ	575
где «дополнительный член» гп(х) может быть взят, скажем, в форме Лаг-
ранжа [126]
1 хп+1 хп+1
г(х) = 	 . (_i)"	 = о . (-\)п	 (о < 0, 0! < 1).
Оказывается, что дополнительный член абсолютно меньше первого отбра-
отбрасываемого члена ряда и имеет одинаковый с ним знак (как и в случае
сходящегося ряда лейбницевского типа!). Итак, если заменить значение ln(l +jc),
при х > 1, отрезком расходящегося ряда A), то мы имеем удобную оценку по-
погрешности (и даже знаем ее знак). Этого достаточно для того, чтобы можно
было воспользоваться упомянутым отрезком для приближенного вычисле-
вычисления числа 1пA + х)\
Конечно, при 0 < х ^ 1 с возрастанием п до бесконечности погрешность
стремится к 0, а при заданном п,ъох —>> 0 будем иметь даже
т.е.
т. е. погрешность будет, по сравнению с х, бесконечно малой тем более высокого
порядка, чем больше п. При любом фиксированном х > 1 оценочный член
сам растет до бесконечности с возрастанием п, и не может быть речи о том,
чтобы — для данного х — за счет п сделать погрешность произвольно малой.
Однако, как показывает сама оценка
п+ 1
при х, достаточно близком к 1, все же можно сделать погрешность про-
произвольно малой! Если х фиксировано, но близко к 1, то члены ряда A), даже
при х > 1, будут сначала убывать по абсолютной величине, именно, покуда от-
отношение
xn+l хп	п	1
х < 1, или п <
: =	х < 1, или п <	,
п -\- \ п п -\- \	jc — 1
а затем лишь начнут возрастать. Выгоднее всего оборвать ряд на члене с номером
п = Е (^~т): так — ПРИ данном х — получается наилучшее приближение для
числа 1пA +х).
В изложенном примере рассматриваемый ряд A) все же для — 1 < х ^ 1
был сходящимся. Второй пример поучительнее в том отношении, что здесь рас-
рассматривается постоянно расходящийся ряд.
2) Положим теперь (для х > 0)
k=l
где 0 < с < 1 (ряд сходится!).
При к < х имеем
1	1 к к2 к3

576	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[462
если же к ^ х, то этот ряд расходится. Тем не менее, формально подставив
это разложение в ряд, определяющий функцию F(x), объединим подобные члены
и получим таким путем ряд
А, А	Ап
Ап
+ ...+ -f + . . .,	B)
1	Хп
где
к=\
Легко убедиться, что ряды, определяющие коэффициенты Ап, все сходятся.
Но предшествующий ряд явно расходится, ибо
\А„\>г!-1с" и 4t^ —
хп	хп
а последнее выражение при п —>> оо стремится к оо.
Для написанного расходящегося ряда B) п-и отрезок будет:
/ ч х—^ А.. х—^ к х—^ (— 1) к	х—^	, чИ_ц к
так что «дополнительный член»
к=\ ^ + '*
И здесь имеем
Снова налицо привычная особенность ряда лейбницевского типа, хотя рассматри-
рассматриваемый ряд и расходится. Конечно, приближенно приравнивая F(x) частич-
частичной сумме Sn(x) этого расходящегося ряда, при фиксированном х заведомо
нельзя получить произвольную точность, но можно добиться любой
точности при достаточно большом х. Для рассматриваемого случая сохра-
сохраняет силу замечание о том, что наращивание числа сохраняемых членов выгодно
(в смысле увеличения точности) лишь до тех пор, пока члены по абсолютной
величине убывают, т. е. | -^-1 < х.
Очевидно, при фиксированном п дополнительный член гп(х) стремится к О,
если х -Л оо. Более того, так как при этом
Х"гЙ(х) = ^±1 -»• О,
ТО
/ 1 \
C)
так что гп(х) оказывается бесконечно малой выше п-то порядка.
Чем больше членов расходящегося ряда B) мы удерживаем для приближенного
представления функции F(x), тем более высокого порядка малости при х —>> оо
можно ждать от погрешности этого приближения!

463]	§ 6. ОБВЕРТЫВАЮЩИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ	577
463. Определения. Перейдем теперь к общим формулировкам и определе-
определениям. Пусть дан числовой ряд
оо
^2 ап = а0 + а\ + а2 + • • • + ап + ап+\ + • • •	D)
О
(а)	Если его частичные суммы поочередно то меньше, то больше неко-
некоторого числа А, т. е. если дополнительный член, определяемый фор-
формулой
А = ао + ах + ...+ап+гп,	E)
оказывается знакопеременным, то говорят, что ряд D) обвертывает
число А.
Простое равенство
rn = ап+1 + гп+1
делает очевидным, что это определение равносильно такому:
(б)	Ряд D) называется обвертывающим число А, если, во-первых,
этот ряд — знакопеременный и, во-вторых, дополнительный член гп
формулы E) меньше числа ап+1 по абсолютной величине и имеет одина-
одинаковый с ним знак. * ^
В предыдущем п° мы уже имели дело с такими рядами: ряд A) явно был
обвертывающим для 1пA + х) (при любом х > 0), а ряд B) — обвертывающим
для функции F(x), определенной в 2) (тоже при х > 0).
Заметим, что в случае расходимости ряда D) он может одновременно обвер-
обвертывать и бесконечное множество чисел А. Например, ряд
1 -2 + 2-2 + 2- ...
с частичными суммами 1, —1, 1, —1, 1, ..., очевидно, обвертывает каждое из
чисел промежутка ( —1, 1).
Свойство обвертывающего ряда, сформулированное в определении (б), часто
делает его ценным средством для приближенного вычисления числа А, но само
собою ясно, что далеко не всякий ряд, обвертывающий число А, может служить
для этой цели.
Пусть вместо ряда D) с постоянными членами и числа А имеем функцио-
функциональный ряд
оо
^ап(х) = ао(х) +а\(х) + ... + ап[х) +я„+1(.х) + ...	F)
0
и некую функцию А(х), причем все функции ап(х) и А[х) заданы в одной и той
же области SC. Только что приведенные определения числового ряда, обвертыва-
обвертывающего данное число, естественно распространяются и на случай функционально-
функционального ряда, обвертывающего данную функцию. Не останавливаясь на этом, мы дадим
*) Мы сохраним термин «обвертывающий» и в том случае, если предположен-
предположенное в определении выполняется лишь для достаточно больших п (скажем, для
и ^ щ > 1).

578	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[463
новое определение, относящееся специально к случаю, когда члены ряда, подоб-
подобно F), содержат еще параметр х, область изменения которого SC имеет в качестве
точки сгущения конечное или бесконечное число со. Как всегда, дополнительный
член гп(х) определим равенством
А(х) = ао(х) + ai(x) + ...+ а„(х) + /•„(*).
(в) Ряд F) называется асимптотическим разложением вблизи
х = со функции А(х), если при любом фиксированном п
Шп Г-Л^1 = 0. *)	G)
Этот факт записывается так:
А(х) ~ ао(х) + а!(х) + ...+ ап(х)
Ввиду
rn(x) = an+l(x) +rn+l(x)
и
ап{х) ап{х) |_ ап+1(х)
как следствие из G), получается, что
Ит ЩО- = 0.	(8)
х^п) ап{х)
Легко доказывается такое утверждение:
Если ряд F) обвертывает функцию А(х), причем выполняется (8), то
названный ряд служит и асимптотическим разложением функции А(х)
вблизи х = со.
Действительно, имеем
так что
ап(х)
/А /А
ап{х)
Тогда из предположения (8) непосредственно вытекает G).
Оба ряда A) и B), приведенные выше в виде примеров, служат асимпто-
асимптотическими разложениями соответствующих функций, первый — вблизи х = 0,
а второй — вблизи х = оо.
В последующем изложении нам, как правило, предстоит иметь дело
с асимптотическими разложениями вида
оо
Еа„	пл а0	а у,
-u=ao + -L + -f + ... + -? + ...	9
Хп	XX1	Хп
п=0
*^ При этом, естественно, предполагается, что ап(х) отличны от 0 (по крайней
мере, для х, достаточно близких к со).

464]	§ 6. ОБВЕРТЫВАЮЩИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ	579
вблизи х = оо. Напомним, что смысл написанного соотношения состоит лишь
в том, что, как бы ни было фиксировано п, всегда
гп(х) = о( —
\хп
или — подробнее
lim \А(х)-а0-^-Ц-...-^]Х"=0.	A0)
x-s>ooL	х xz	хп \
Таким образом, для «больших» х имеет место приближенная формула
ал а9	а у,
А(Х)=а0 + -^ + ^ + ... + ^,
X	X1	Хп
«качество» которой характеризуется равенством A0).
Если переписать это равенство так:
lim \a(X) -а,-а-1-Ц-...-а-^\\.Х"=ап,	A0*)
x^ooL	X	XZ	Хп~Ч
то станет ясна единственность асимптотического разложения вида (9) функ-
функции А[х) — конечно, в предположении, что она вообще допускает такое разло-
разложение. По формуле A0*) все коэффициенты ап последовательно опреде-
определяются вполне однозначно!
Обратное утверждение, однако, неверно: различные функции могут иметь
одно и то же асимптотическое разложение. Например, известно, что
g-x ^и _^ q ПрИ х _^ оо. П0ЭТ0Му? очевидно, все функции вида А(х) + С • е~х
будут иметь то же асимптотическое разложение, что и функция А(х).
Замечание. Иногда для удобства мы будем писать
п=0
где В(х), (р(х) и ip(x) — функции, определенные в SC, разумея под этим, что
В(х) - ср{х) °°
464. Основные свойства асимптотических разложений. Говоря об асимпто-
асимптотических разложениях, мы здесь и впредь разумеем разложения вида (9) *К Все
рассматриваемые функции предполагаются определенными в области SC с точкой
сгущения +оо.
1° Если
у ()y
' J хп	J хп
п=0	п=0
*) Теория таких разложений была развита Пуанкаре (Henri Poincare), кото-
который дал важные приложения их как в теории дифференциальных уравнений, так
и в небесной механике.

580	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[464
то, очевидно, и
п=0
т. е. асимптотические разложения можно складывать и вычитать по-
почленно.
2° Покажем теперь, что асимптотическое разложение произведе-
произведения А{х) • В[х) может быть получено путем формального умножения —
по «правилу К о ил и» —разложений A1).
Имеем, при любом п,
а, а*>	а у,
Перемножая, получим:
А(х) ¦ В(х) = с0 + °-1 + Ц + . . . + ^ + о A),
X	X1	ХП	\ХП J
где
i=0
Это и равносильно утверждению
оо
которое подлежало доказательству.
Если отождествить В(х) с А(х), то получим асимптотическое разложение
для квадрата: [/4(*)] . Так же может быть получено асимптотическое разложение
для функции [^(^)]w, где m — любое натуральное число.
3° Далее, пусть дана некоторая функция F(y), аналитическая в точке;; = 0,
т. е. разлагающаяся в окрестности этой точки в степенной ряд:
оо
F(y) = Ys^y™ =Ро + Р1У+Р2>>2 + ---+ Р,пУт + ¦¦¦
m=0
Кроме нее рассмотрим функцию А(х), допускающую асимптотическое разложе-
разложение без свободного члена:
Ж*)~?1 + ?2+... + ?* + ...,	A2)
х х2	у,
так что А[х) —>- 0 при х -л оо. В таком случае, по крайней мере для достаточно
больших х, сложная функция
m=0
имеет смысл.

464]	§ 6. ОБВЕРТЫВАЮЩИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ	581
Функция F(A(x)) тоже допускает асимптотическое разложение, кото-
которое может быть получено из предыдущего разложения, если вместо каж-
каждой степени [А(х)]т подставить ее асимптотическое разложение и фор-
формально выполнить приведение подобных членов [ср. 446].
Заметим, прежде всего, что в окрестности точки;; = 0 функция F(y) имеет
непрерывную (а следовательно — ограниченную) производную и для любых двух
точек этой окрестности у и у будет выполняться неравенство
\F(y) - F(y)\ ^L.\y-y\ (L = const).
Обозначим п-и отрезок ряда A2) через Ап(х):
При фиксированном п, для достаточно больших х обе функции А(х) и Ап(х)
попадут в упомянутую только что окрестность, так что
\xn[F(A{X))-F{An{X))}\^L-xn\A(x)-An(x)\=L-Xn\rn{X)\^O
при х —>> оо, и
С другой стороны, на основании известной нам теоремы п° 446, для достаточно
больших х:
ввиду предыдущего соотношения, такое же равенство может быть написано
для F(A(x)), что и доказывает справедливость асимптотического разло-
разложения
X	X1
,	, ^an + . . . + fina\ ,
о котором была речь.
Например, если взять
j2
т=\
то окажется, что
1! + 2!

582	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[464
Интересным приложением этой теоремы о подстановке ряда в ряд является
[как и в случае сходящихся степенных рядов, 448] деление асимптотических
разложений функций В(х) и А(х) в предположении, что свободный член а о вто-
второго из них отличен от нуля. Так как, по сравнению с п° 448, здесь не приходится
привлекать никаких новых идей, мы не будем на этом останавливаться.
4° Обратимся к интегрированию асимптотического разложения.
Пусть функция А(х) непрерывна в промежутке SC = [а, -\-оо) и допус-
допускает асимптотическое разложение
()Ц Ц	%
х1 Xs	хп
начинающееся членом, содержащим \. Тогда для этой функции
существует конечный интеграл от любого х ^ а до +оо % и этот
интеграл (как функция от х) в свою очередь имеет асимптотическое
разложение
оо
/
a-±.\ + ... + ^.^1 + ...,	A4)
2 х1	п — 1 хп~[
которое из A3) формально получается почленным интегрированием.
Действительно, полагая
п
Мх) = ^Ц> гп(х)=А(х)-Ап(х),
k=2 X
при произвольно взятом е^Ои любом фиксированном п для достаточно боль-
больших х будем иметь
х" • \г„(х)\ < е.	A5)
Если X > х, то
XXX
A(x)dx
= fAn{x)dx + Jrn{x)dx =
X	X
К 1 \X	Л / J
X
(x)dx.
л~^	x
При Х -л 0 получим
оо
1 х 2 х1
*) Напомним [см. с. 310], что интегралом функции f(x) от а до +оо называ-
называется предел
+оо	А
Г f(x)dx = Km f f(x)dx.

465]	§ 6. ОБВЕРТЫВАЮЩИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ	583
где
Km / rn(x)dx = / rn
J	J
оо
(x)dx.
Так как, в силу A5), для достаточно больших х
XX	X
/'»(*>* <1ы*)\<ь<*1Ц = —Л4т-^
J	J	J хп п-\ \хп~1 Хп~]
хх	х
то, переходя к пределу при X —>> оо, будем иметь (для указанных х)
К_!()| ^,
так что
Km xn~lRn_Ax) =0,
а это, вместе с равенством A6), и доказывает справедливость асимптотического
разложения A4).
Можно показать, что наличие в асимптотическом разложении функции А(х)
члена у" (при а 1 ф 0) сделало бы невозможным существование конечного инте-
интеграла для этой функции от х до +оо. [См. ниже 474.]
Замечание. Любопытно отметить, что формальное почленное дифферен-
дифференцирование асимптотического разложения, вообще говоря, недопустимо. Для
примера рассмотрим функцию F(x) = е~х sine*. Так как, при любом п,
Km F(x) • хп = 0,
x-s>oo
то F(x) ~ 0, т. е. асимптотическое разложение функции F(x) состоит из нулей.
Между тем для производной F1\х) = —е~х sine* + cose* такое разложение во-
вообще невозможно, ибо не существует даже предела Km F1\х).
X)ОО
465. Вывод формулы Эйлера-Маклорена. Эта формула играет важную роль
в анализе; в частности, ею нередко пользуются для получения конкретных обвер-
обвертывающих и асимптотических разложений. Мы дадим ее вывод и укажем прило-
приложения.
Будем исходить из формулы Тейлора с дополнительным членом в форме
определенного интеграла [318] *^:
) = /(*„ + И) - f(x0) = hf'(x0) + ^/"(*о) + • • • + h~^/m)^ + Р>
где дополнительный член
т\ J
т
~т\
0
*^ Мы здесь и впредь, не оговаривая этого специально, всегда предполагаем
существование и непрерывность всех упомянутых производных.

584	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[465
Возьмем здесь вместо / поочередно функции
х
\j f{t)dt, f(x), hf'{x), h2f"{X), .... hm-2/m-2\x),
x0
одновременно заменяя т, соответственно, на
m, m — 1, m — 2, m — 3, ..., 1.
Мы получим систему т равенств:
ло
,2W//
h2f"(x0) + ... +(^/(/и
А
2
и-1
Исключим из этой системы все производные в правых частях; для этого сложим
почленно первое равенство со всеми остальными, умноженными, соответственно,
на числа Ах, А2 . . ., Ат_х, которые мы выберем так, чтобы было
1	~ l -A A -0
A7)
В результате найдем:
= \ J f(t)dt +АЛ/Ы +A2hAf'(x0) + . . .
где
г = -р0 - Ахрх - А2р2
п
1 / И
т-lPm-l ~ h J
hzm~l
(zm	hzm~l	h2zm-2	m ! l
<^	h^i	\-А7	}-...+Ат ,hm~z }dz,
\т\ 1 (т - 1)! 2 (/я - 2)!	/77	/

465]	§ 6. ОБВЕРТЫВАЮЩИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ	585
или — короче —
h
О
где положено
, х	Z	, HZ	П Z	,	, |и —1
Очевидно, из системы линейных уравнений A7) коэффициенты АХ,А2, . . .
. . ., Ат_^ однозначно определяются один за другим, и притом независимо
от выбора функции / и чисел х$ и h. Впрочем, эти коэффициенты нам уже
известны — это коэффициенты ^ разложения ехХ_\ по степеням х [449, A2)].
Действительно, если вспомнить символические уравнения:
(Р + 1)* - Рк = О,
которым удовлетворяют числа /3, то легко убедиться в том, что именно числа ^
и будут решениями уравнений A7). Из сказанного о числах /3^ в п° 449 явствует,
что
Ап =
"Ч ' Bр)!'
где В есть р-е число Бернулли.
Пусть функция f(x) рассматривается в конечном промежутке [а, Ь]; положим
h = ^р-, где п — натуральное число, и, взяв за Xq поочередно числа
a, a + h, a + 2h, ..., а + (п - l)h = b - h9
для каждого промежутка [а -\- (i — l)h, a -\- ih] (i = 1, 2, . . ., п) в отдельности на-
напишем равенство типа A8), с дополнительным членом A8*), и все эти равенства
почленно сложим. Мы получим: ^
п	Ъ	Ъ
Y^Aa+T^Xh) = ^2f(x) = - f(x)dx +Ax\f{b)-f{a)] +
+ A2h\f'{b) - f\a)] + . . . +Am_lhm-2[/m~2\b) - /m~2\a)] + R, B1)
' Знак = означает здесь равенство по определению; он использован,
ъ
чтобы ввести новое обозначение У~]/(х).

586	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[466
где дополнительный член
1 " "г
1=0
b
i b г
= —hT, ^^ + h ~ z)vm^)dz. B1')
a 0
Эта формула и есть формула Эйлера-Маклорена, и притом с допол-
дополнительным членом (которого авторы ее, разумеется, не писали). Числу т можно
давать различные значения, начиная с 2.
466. Исследование дополнительного члена. Сначала сделаем некоторые за-
замечания относительно функций (pm(z).
Прежде всего, дифференцируя A9), получаем:
<Рт{?) = </>„-№ + A^h™-1.	B2)
Далее, каково бы ни было т ^ 2, имеем
<Рт(Р) = 0, (pm(h)=O.	B3)
Первое ясно по самому виду многочлена q>m(z) [см. A9)], а второе следует из
последнего равенства системы A7).
Докажем теперь такое утверждение: функция q>2k(z) {четного порядка)
не может принимать в промежутке [О, h] какое-либо значение больше
двух раз. Допустим противное; тогда ее производная [см. B3)] <P2&(Z) = Ф2&—1 (z)
(ведь A2k—i = 0), кроме концов промежутка [0, /z], обращалась бы внутри про-
промежутка в 0 — по теореме Ролл я — не менее двух раз. В таком случае про-
производная (P2k-\(z) = Vlk-li2) + ^2^—2^ ~~ — по тои же теоРеме — ДОЛЖНа
была бы обращаться в 0 внутри промежутка [0, h] не менее трех раз, т. е. функ-
функция (P2k-i(z) принимала бы внутри этого промежутка одно и то же значение:
—A^k-jh ~ не менее трех раз. Так, постепенно понижая порядок функции qJk
на две единицы, мы пришли бы к заключению, что функция <p2(z) — i7 ~\
(квадратичный двучлен) принимает некоторое значение не менее трех раз,
что невозможно! Этим наше утверждение доказано.
Из него вытекает такое важное следствие: функция q>2k(z) сохраняет
знак в промежутке @, /z), ибо, обращаясь в 0 на концах промежутка [см. B3)],
она внутри промежутка больше уже в 0 обратиться не может. Легко установить,
какой именно знак сохраняет функция <P2fc(z): для малых значений z (а значит,
и повсюду между 0 и К) этот многочлен имеет знак младшего члена ^2&-2^ ~~ z
(A2k-\ = °)> т- е- — так как А2к-2 = (~1)к~2 Bк-2)\ — Знак (~1)к-
Таким образом, две последовательные функции четного порядка, <P2k(z)
и q>2k+2(z)> сохраняют — каждая — определенный знак в @, И), но знаки
их противоположны! Это замечение нам сейчас понадобится.
Возвращаясь к дополнительному члену R, будем считать теперь т чет-
четным числом, т = 2k, и предположим на этот раз, что производные fк \z)
и/ + (z) в промежутке [а, Ь] обе положительны или обе отрицательны.

466]	§ 6. ОБВЕРТЫВАЮЩИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ	587
Из выражения для R, дважды интегрируя по частям, с учетом B2) и B3)
последовательно получаем:
b
h ^
j (A2kh2k
о
л / ; i (A2kh -^Wl(z))/ \x+h-z)dz =
4
a 0
° 0
~Г/^2(#+2)(*+*-^
a 0
Так как подчеркнутые суммы интегралов, в силу сделанных предположений, име-
имеют противоположные знаки, то первая из них имеет тот лее знак,
что и выражение
и меньше его по абсолютной величине. Таким образом, окончательно
"~1 S
° {1) (Sj? h [^ W /(«)] (° < в < !)¦ B1)
Если предположить теперь, что все производные /^ \z) четного по-
порядка сохраняют в промежутке [а, Ь] один и тот же знак, и написать вме-
вместо конечной формулы B1) бесконечный ряд, учитывая вдобавок значения B0)

588	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[467
коэффициентов Ат, то получится бесконечный ряд Эйлер а—Мак л орена:
1 Г
?/(*) = I /
^h[f'(b) - /(а)] - ?1 h3 [f"\b) - Г {а)] +...
{lf~2	h2k~3 [/B")F) /2")(a)] +
*"' [/B")(Ь) - /B")(й)] + ¦ ¦ ¦	B4)
Этот ряд, вообще говоря, расходится (так что знак = поставлен здесь услов-
условно!). В силу сделанных предположений, он — по крайней мере начиная с третьего
члена — оказывается знакопеременным. Учитывая еще B1*), можно сказать, что
ъ
написанный ряд обвертывает сумму ^2f(x), стоящую слева. Если пере-
Ь	а
ставить эту сумму и интеграл j^Jf(x)dx, изменив при этом знаки всех прочих
а
членов на обратные, то получится ряд, обвертывающий названный интеграл.
Частичные суммы этих рядов позволяют иной раз с большой точностью вы-
ь	ъ
числять сумму J^, зная интеграл, или интеграл jj J, зная сумму. Конечно, во
а	а
всем этом основную роль играет тот факт, что нам наперед известна
оценка дополнительного члена!
467. Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера-Маклорена.
1) Найти приближенное значение суммы 900(!) слагаемых
i=999 , 1000 1
1	1
I	' •* X
/=100	100
f(z) = -, а = 100, Ъ = 1000, h = 1. Так
4- /"м = -4- а*) = *
и, вообще,
J ^J~ z2k+\>
то условия на счет производных четного порядка соблюдены.
Мы продолжим разложение до члена, содержащего ///;, так что в дополни-
дополнительный член выйдет уже / . В этом случае формула Эйлера-Маклорена

467]	§ 6. ОБВЕРТЫВАЮЩИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ	589
дает:
1000
юоо
x J x + 2 VlOO 1000/ + 12 VlOO2 10002,
/1	1 \
@ < в < 1).
6/1	1 \ „ 12 / 1
юо 100
720 VlOO4 10004/	3024 VlOO6 10006
Так как
юоо d
J _ = in io = 2,302 585 092 994 045 . . .,
100 x
= 0,0045
2 VlOO 1000j
1 = 0,000 008 25
12 VlOO2 10002,
V = -0,000 000 000 083 325
6/1	1 \ _ _
720V1004 10004/
12 YJ
3024 VlOO6 10006
2,307 093 342 910 720
< 0,000 000 000 000 004,
1000
то с точностью до т-ш: можно положить J2 х = 2,307 093 342 910 72.
100
1 fa	\
2) Вычислим теперь Г	 = In 2. Здесь f(z) = 	, а = 0, Ь = 1;
0 1+^	1+z
возьмем h = jq (n = 10). Имеем
/()	/ ()	/ ()
IV/ ч 24 V/ ч 120	Bk), ч
/ (z) — 	7, / (z) =	7- и, вообще, /v y(z) = ¦
(l+z)b	(l+ZJb	{L-\-Z)"v
так что наши условия снова выполнены. Воспользуемся видоизмененной форму-
формулой Эйлера-Маклорена, оборвав ее и на этот раз на члене, содержащем ///;:
Г dz _ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 / 1\
J 1+z ~Ю + ТТ + Т2 + Тз+Т4 + Т5 + Тб + Т7 + Т8 + Т9~20\ ~ 2/
о
1 / 1\	6 / 1 \	12	/ 1 >
~1200\ ~ 4/ + 7 200 000 V ~ 16/ ~ ° ' 3 024 000 000 V ~ 64у
@ < в < 1).

590	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[467
Находим, далее,
— + — + — + ... + — = 0,718 771 403
~(^~i) =-0,025
-(\ - -) = -0,000625
1200 V 4
0,693 147 184
в • 	(\	\ < 0,000 000 004.
3 024 000 000 V 164 У
Поэтому с точностью до 8 получаем:
1
—— = In 2 = 0,693 147 18.
о
3) Покажем, наконец, как с помощью формулы Эйлера-Маклорена мо-
может быть приближенно вычислена сумма бесконечного ряда, сходящегося, но мед-
медленно. В виде примера остановимся на ряде:
Положим в общей формуле B1) [и B1*)]
/(*) = ! й=1, b = a+nh,
где а ип — пока любые натуральные числа. Интеграл и производные вычисляются
легко; подставляя вместо Ат их выражения, получим:
а + п а\ 2 1(а-\-пJ а2
1	1 1 В2 Г 1	1
1
При фиксированных а и & перейдем здесь к пределу, устремив п к +оо. Легко
убедиться, что множитель #w тоже стремится при этом к некоторому пределу О,

467]	§ 6. ОБВЕРТЫВАЮЩИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ	591
О ^ в ^ 1, и в результате:
^Л	1	1	1	1	1	1	1
О2 а 2 а2
Возьмем теперь конкретно <2 = 10и&=10; воспользовавшись известными зна-
значениями чисел Бернулли [449], окончательно найдем:
2 А 1 6 3 1 1 1 1
п = 6 > -т + —
10 100 1000 5 . 105 7 . 107 5 • 109
691 7 3617 43867 174611
+ 11 • 1011 455 • 1013 + 1015 85 • 1017 + 133 • 1019 ^55 • 1021'
Вычисления проведем с 19 знаками после запятой:
6
1
10
3 1
100 ' 1000 ~
1
5- 105
1
7 • 107 ~
1
5- 109
5
11 • 1011
691
455 • 1013
1015 =
3617
85 • 1017
43867
133 • 1019
9,238 606 386 999 2441421
0,631
-0,000 002
0,000 000 014 285 714 285 7
-0,000 000 000 2
0,000 000 000 004 545 454 5
0,000 000 000 000151868 1
0,000 000 000 000 007
-0,000 000 000 000 000 425 5
0,000 000 000 000 000 033 0
9,869 604 401089 358 6217
Если учесть поправки на округление и дополнительный член, то окажется, что
т? = 9,869 604 401 089 358 62
1 	17
с точностью до 4 • Ю

592	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[468
Этот пример очень поучителен: сумму л сходящегося ряда мы вычи-
вычислили с очень большой точностью по формуле Эйлера-Маклорена, по сути
дела прибегнув к частичной сумме расходящегося ряда, обвертывающего
число ж . Если бы мы захотели достигнуть того же, пользуясь самим сходящимся
рядом, то пришлось бы взять больше миллиарда его членов!
468. Другой вид формулы Эйлера-Маклорена. Вернемся к формуле B1)
и B1;), но предположим, что производные функции f(x) всех порядков сущест-
существуют в бесконечном промежутке [а, +оо) и удовлетворяют условиям:
(а)	производные /' \z) четного порядка все имеют в этом промежутке
один и тот же определенный знак;
(б)	производные /' ~ '(z) нечетного порядка при z —>> со все стремятся
к нулю.
Пусть число т четное: т = 2k. Числа а и h мы фиксируем, а Ъ = а + nh
(вместе с п) будем считать переменным. Дополнительный член R [см. B1;)] пред-
представим теперь в следующем виде:
°° "	°° \
i=n+l {
oo *
oo	oo
a {	b {
2k	- z)dz.
{	b {
Объединив первую из этих сумм со всеми членами формулы B1), содержа-
содержащими а, в одну постоянную:
Ск = -Alf(a) - A2hf'(a) - ... - A2k_2h^(a)
1
2k~3^(a) - ± ?
а О
явно не зависящую от Ь, перепишем формулу B1) так:
1 Г
53Л^) = Ск + - / f(x)dx + AJ(b) + A2hf'(b) + ...
а
...+А2к_2>г2к-1/2к-3\ь)+К>,	B5)
где
«=и+1
1 °° Г
'=hY, V2kWi2k)(a + ih ~ z)dz =
1 °° \
к{^2к\ь + ih -z)dz = -hY
- z)dz.

468]	§ 6. ОБВЕРТЫВАЮЩИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ	593
Для обоснования проведенного преобразования нужно лишь еще убедить-
оо
ся в сходимости использованных бесконечных рядов; начнем с ряда ^ J^.
а
Из B4) следует
О	z=1 °	1
< h2kl [/(м!)() /WVi	h)\ < '
ia + nh)\
По свойству функции (р2к(z) [466] и в силу предположения (а), все слагаемые
в числителе имеют один и тот же знак, совпадающий со знаком знаме-
знаменателя. Отсюда, переходя к пределу при п —>> оо и учитывая предположение (б),
заключаем о сходимости ряда
\ ? / ЧЬЫ^Ч* +hz)dz = \Y,J cp2k{z)f\a + ih - z)dz,
причем его сумма имеет тот же знак, что и выражение A^h ~ • /^ ~~ ' (а), и по
абсолютной величине не превосходит его. Заменяя в проведенном рассуждении
числа а на Ь, убедимся в сходимости ряда
оо	оо
Т Е / *2кШBк\х +h-z)dz = j.Y, ЧЬ
^0	z = 1 0
Т Е / *2кШ\х +hz)dz jY, ЧЬЫ^ХЪ + ih - z)dz,
0
а также в том, что его сумма имеет тот же знак, что и выражение
^2к^2к~1 ' f(k~l\^)^ a по абсолютной величине не превосходит его.
Итак, мы не только убедились в сходимости примененных бесконечных ря-
рядов, но попутно установили, что дополнительный член Rf формулы B5) можно
написать в виде:
R* = в ¦ A2kh2k-X ¦/2k-l\b) =
t1 S 2kl i2kl)	{0<в< 1}- B5*}
Весьма любопытно, что постоянная Ск в формуле B5), для которой —
по самому способу ее составления — не исключена была возможность зависеть
от указателя к, на деле от к не зависит] Для того чтобы в этом удостове-
удостовериться, достаточно сопоставить формулы B5) и B5*) с такими же формулами,
написанными для к = 1:
1 "г
53/(*) = С, + - / Ax)dx + A,f{b) + R',
i
где
R1 = в -A2h- f'(b) @<ё<1).

594	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[469
Имеем
С1+в-А2И- f'(b) =Ck+ A2hf'(b) + ...
...+ A2k_2h2k-^2k-'\b) + в ¦ A2kh2k-l/2k-l)(b).
Если перейти здесь к пределу при Ь —>> со, то — с учетом предположения (б) —
получим: Ск = С2 = С. Постоянная С, которую естественно было бы назвать
постоянной Эйлера—Маклорена для функции f(x), кроме этой функции
зависит еще от выбора а и h.
Замечание. Переходя в неравенствах к пределу, нам следовало бы к знакам
неравенства присоединить знаки и для множителя 0 в B5*) писать О ^ 0 ^ 1.
Что равенство нулю исключается, это сразу ясно — сумма бесконечного ряда
с членами одного знака не может быть нулем. Если же предположить 0 = 1,
то — при увеличении в формуле B5) номера k на единицу — имели бы Rf = О,
что (как мы только что разъяснили) невозможно. Итак, на деле: 0 < 0 < 1, как
мы и писали.
Напишем вместо конечной суммы B5) бесконечный ряд. Мы получим/?яд
Эйлера-Маклорена в следующем виде:
ъ
ъ
^/(х) = С + Х- f f(x)dx - X-f{b) + ||- hf'(b) - ^ h3f'"(b)
Е
а
' Bk)\ J	v/ ¦ • • •
[Знак = и здесь также имеет лишь условный смысл!] В силу предположения (а),
все производные f^lk~l\b) с возрастанием Ь изменяются в одном направлении;
а так как, по предложению (б), при Ъ —>> оо они стремятся к нулю, то все они
имеют один и тот же знак. Отсюда [и из B5*)] заключаем, что и в новой форме
ъ
ряд Эйлера-Маклорена обвертывает сумму J^ f(x), стоящую справа.
а
Замечание. Сделаем в заключение пояснение относительно возможности
определить саму постоянную С, фигурирующую в написанном выше разложении.
Выбрав некое b > а, для которого и сумма и интеграл вычисляются без труда,
можно для числа С получить обвертывающий его ряд:
ъ
h
а
который во многих случаях и позволяет найти приближенное значение С.
469. Формула и ряд Стирлинга. В качестве примера использования полу-
полученных в предыдущем п° разложений применим их к вычислению
и-1

469]	§ 6. ОБВЕРТЫВАЮЩИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ	595
Взяв а = 1, h = 1 и (заменив п на п — 1) b = п9 мы положим
/(z)=lnz, так что /W(z) = (-ir-1^-^,
и условия (а) и (б) выполнены. Мы приходим, таким образом, к асимптотиче-
асимптотическому разложению для 1п(и!) *':
B6)
Это — так называемыйряд Стирлинга; он явно расходится, ибо абсолютная
величина его общего члена [449], равная ^^ • ^ ^2к-2 •> стремится к со.
Из асимптотического разложения In(п\), как указывалось в 464, 3°, можно
получить разложение и для самого факториала. Именно, подставляя вместо ко-
коэффициентов Вк их численные значения, получим:
(п\п( 1 1 139 571
W I + 12w + 2SSn2 ~ 51840л?3 ~ 2488320«4 + ' '
п\
Если оборвать ряд B6), удовольствовавшись выписанными членами, но при-
прибавив дополнительный член, то получим формулу Стирлинга:
=С+(п+-)ып-п+ — • - - — • 4 + • • •
V 2/	1 -2 w 3-4 ^3
Вк+\
которая, как увидим, уже вполне пригодна для приближенных вычислений.
Положив к = 1, получим простой и важный частный случай формулы
Стирлинга:
/ 1 \	О
C+ (w+ - Jlnw- w+ —-;
V 2/	12/2
потенцируя, ее обычно пишут в виде:
Эта формула в п° 406 уже была выведена другим путем; там же мы нашли, что
ес = а = Vbr, так что неизвестная нам до сих пор постоянная С оказывается
равной ^ In 2я\
*^ К сумме логарифмов прибавляется отдельно написанный In п. Число 1, по-
получающееся в виде слагаемого при интегрировании, включено в С.

596	ГЛ. XII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	[469
Вычислим для примера InA00!) с десятью знаками после запятой — по фор-
формуле B7), взяв к = 2. Сложив всего пять чисел
- In 2л = 0,918 938 533 204
п+ -) Inn= 100,5 -In 100= 462,819 603 691803
-п= -100 = -100
1200
в
2
0,000 833 333 333
= -0,000 000 002 777,
36 • 107
получим для lnA00!) значение 363,739 375 555 6, точное до 10 (с учетом допол-
дополнительного члена и поправок на округление). Точность приближения можно еще
весьма значительно увеличить, взяв больше членов и выписав в каждом из них
больше верных знаков. Эта точность будет возрастать — для данного случая —
примерно до 300-го члена (покуда члены по абсолютной величине продолжают
убывать).
Замечание. Читатель на ряде примеров видел, что отрезки заведомо рас-
расходящихся рядов иной раз позволяют находить значения нужных величин, и даже
с большой точностью. Подобные ряды и в старину, и в наше время некоторые
авторы называли «полусходящимися». Мы, однако, предпочли отказаться от при-
применения этого термина, поскольку затрудняемся дать ему достаточно общее и в то
же время точное определение.

ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Несобственные интегралы с бесконечными
пределами
470. Определение интегралов с бесконечными пределами. В гла-
а
ве IX было изучено понятие определенного интеграла ff(x)dx
ъ
для случая конечного промежутка [а, Ь] и ограниченной
функции f(x). Настоящая глава посвящена обобщению этого поня-
понятия в различных направлениях. Начнем с рассмотрения интеграла,
распространенного на бесконечный промежуток.
Пусть функция f(x) определена в промежутке [а, +оо), т. е. для
х ^ а, и интегрируема в любой конечной его части [а, А], так что
А
интеграл / f{x) dx имеет смысл при любом А > а.
а
Предел этого интеграла {конечный или бесконечный)
при А —>> +оо называют интегралом функции f(x) от а
до +оо и обозначают символом
оо	Л
J f{x)dx=\rmQJ f{x)dx.	(I)
а	а
В случае если этот предел конечен, говорят, что интеграл A) схо-
сходится, а функцию f(x) называют интегрируемой в бесконеч-
бесконечном промежутке [а, +оо]. Если же предел A) бесконечен или во-
вовсе не существует, то про интеграл говорят, что он расходится.
В отличие от изученного ранее интеграла в собственном смысле
или собственного интеграла, только что определенный инте-
интеграл A) называется несобственным^.
*)
Мы уже сталкивались с понятием несобственного интеграла в п° 373.

598	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[470
Рассмотрим примеры.
1) Функция 	т- интегрируема в любом конечном промежутке [0,^4]
1 + xz
(А > 0), причем имеем
dx
I
= arctg^:
0
= wcctgA.
о
Так как для этого интеграла при А —>> +оо существует конечный предел ^, то
интеграл от 0 до +оо сходится и имеет значение
+оо	А
f dx	f JT
I 	1 = lim / = -.
J 1+JC2 A^+oo J	2
О	О
2) Изучим вопрос, при каких значениях показателя Я > 0 существует несоб-
несобственный интеграл
% (« > 0).	B)
хА
Пусть Я ф 1, тогда	°
<&	1	Х_ХА	1	!_Л	!_л
**" ~ \ - ХХ	а~ 1 -Я '	~^ ^'
Это выражение при ^4 —>> оо имеет пределом оо или конечное число -^гу я ~~
в зависимости от того, будет ли Я < 1 или Я > 1. Если Я = 1, имеем
— = in* = \пА — Ыа
X	а
а
и при А -л оо в пределе получается оо.
Таким образом, интеграл B) при Я > 1 сходится (и имеет значение
j^ al~x^j, а при А < 1 расходится.
Аналогично A) определяется и интеграл функции f(x)
от —сю до а:
/ f{x) dx = lim / f{x) dx {A1 < a),	C)
-оо	Л'
равно как и интеграл функции f(x) от -оо до +оо:
+оо	А
f{x)dx= lim
При этом сохраняется и терминология, введенная по поводу инте-
интеграла A).

471]	§ 1. ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ	599
В последнем случае, взяв любое а, можно положить
А	а	А
= Jf(x)dx+Jf(x)dx,
А'	А'	а
и существование предела при А' —»> -оо, А —»> +оо для интеграла
слева, очевидно, равносильно существованию порознь пределов A)
и C) для интегралов справа. *} Таким образом, интеграл от -оо
до +оо можно определить и равенством
+оо	а	+оо
f(x)dx= j f(x)dx+ I f(x)dx
— oo	—oo	a
в предположении существования порознь интегралов справа.67^
Определение это не зависит на деле от выбора точки а.
Примеры:
О
J
/dx	f dx	, ж
-—~2= lim y—~2= ,Hm - arctg^ = -;
-oo	A'
+oo	+oo 0
471. Применение основной формулы интегрального исчисле-
исчисления. В приведенных выше примерах интеграл по конечному про-
промежутку вычислялся с помощью первообразной функции, а затем
осуществлялся переход к пределу. Можно объединить оба момента
в одной формуле.
Пусть, например, функция f(x) определена в промежут-
промежутке [а, +оо) и интегрируема в каждой конечной его части [а, А].
Если для f(x) при этом существует первообразная функция F(x)
во всем промежутке [а, + оо), то, по основной формуле интеграль-
интегрального исчисления [308],
f(x)dx=F(A)-F(a)=F(x)\Aa.
J
*) Исключается лишь случай, когда оба этих интеграла равны бесконечности,
но разных знаков.
' Отличных от бесконечностей разных знаков.

600	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[472
Отсюда ясно, что несобственный интеграл A) существует в том
и только в том случае, если существует конечный предел
lim F(A) =F(oo),
А—юо
и тогда
/iOO
f(x)dx=F(oo)-F(a)=F(x)\a .
a
Аналогично,
a
f(x)dx=F(x)\a ,
I—OO
f(X)dX=F(X)\°° ,
I—OO
если под F(—оо) разуметь предел lim F(Af). Самая возмож-
A'—t — oo
ность вычисления двойной подстановки, связанная с существовани-
существованием и конечностью фигурирующего в ней предела, свидетельствует
уже о сходимости интеграла.
Обратимся к дальнейшим примерам.
— оо
оо
472. Примеры.
оо
1) е ах sin bx dx
(fl>0)
0
Так как первообразная функция
так что F@) = --^r-gl
Аналогично,
оо
/ е~ах cosbx с
0
а
X)
и^(оо)
оо
/ -ах
1
0
sinbx
= 0,
• и
sm ojv
Ь sin bx -
+ b cos &x _flX
TO
- a cos for _flX
OO
0 a2 + b2

472]	§ 1. ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
оо
2)
601
f dx	Г 1 jc2+jc\/2+1	I	, г
\ 	т = —f 1п "^	F	1	F arctg(* V2 + 1) +
У 1+*4 [4л/2 х2 -хл/2 + 1 2л/2
2л/2'
3)
оо
Г 1 1	1
/ —т sin — dx = cos —
J х1 х	x
= 1.
4) / sin^c dx. Первообразной функцией здесь будет — cos^c, но двойная под-
0
IOO
становка — cos x L не имеет смысла, так как cos х при х —>> оо не стремится ни
к какому пределу: интеграл не существует.
оо
хЫх
С помощью интегрирования по частям и разложения на простые дроби нахо-
находим первообразную функцию
/х In х
i
In х
1
4 A + jc2J 4
1+JC2'
При x -^ 0 имеем limF(^:) = |, этот предел и принимаем за значение функции
при х = 0. С другой стороны, F(+oo) = 0. Таким образом, значение интеграла
есть -\.
6) Для тела, полученного вращением гиперболы ху = 1 вокруг оси х, вычис-
вычислить объем и боковую поверхность части, определяемой неравенством х ^ 1.
Конечная часть тела, отвечающая изменению х от 1 до А (А > 1), имеет
объем и боковую поверхность
-J, Sa=2jt j -^Jl + —
Естественно за объем F и боковую поверхность S всего (простирающегося в бес-
бесконечность) тела принять пределы этих величин, т. е. положить
V =
оо
J x2
= 2jt
Однако, в то время как первый интеграл сходится [470, 2)] и для объема
получается конечное значение ж, второй интеграл расходится, что указывает на
бесконечное значение боковой поверхности.

602	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[472
Для того чтобы убедиться в последнем, достаточно заметить, что
А
/7
— = 2жЫА,
1
и SA стремится к оо при А —>> оо.
7) Пусть в начале координат О находится масса т, которая притягивает мате-
материальную точку М массы 1, находящуюся на оси х на расстоянии х от О, с силой
X1
(по закону Ньютона). Какую работу А произведет сила F при перемещении
точки М вдоль оси х из положения, отвечающего х = г, в бесконечность?
Работа, очевидно, будет отрицательной, так как сила направлена против
движения. Распространяя на этот случай формулу (9), 353, найдем:
оо
/т	т
--dx = -
X2	X
При обратном перемещении точки М из бесконечности до расстояния х = г
сила ньютоновского притяжения произведет положительную работу ™. Эта
величина называется потенциалом рассматриваемой силы на точку М и служит
мерой, накопленной в точке потенциальной энергии.
8) Для работы, произведенной газом при расширении его от объема Vx до
объема V2 (V2 > V{), мы имели формулу [354, A0)]:
А=
-"¦
Пусть дана некоторая масса идеального газа, занимающая объем V\ при дав-
давлении р\. Предположим, что газ расширяется до бесконечности, и притом
адиабатически, т. е. без теплообмена с окружающей средой. В этих условиях, как
известно [361, 3)], имеет место формула Пуассона
PVk = c (где *=^>1).
Тогда работа, которая могла бы быть выполнена газом при таком расширении,
будет
оо
Аиякс_ = cV dv =
1
1 - к Vk~l
vx
1
к-\
Принимая во внимание, что с = p\V^, и подставляя это в полученную формулу,
окончательно найдем
А - PlVl

473]	§ 1. ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ	603
9) В задаче 8), 356, мы установили силу F, с которой на единицу «магнитного
заряда» действует конечный прямолинейный отрезок тока:
/
J (a2 +
Рассмотрим теперь случай бесконечного (в обе стороны) проводника,
т. е. положим si = — оо, s2 = +oo. Тогда
+ ОО
f= I aI t* = L s
h
a
+oo
a
Разумеется, бесконечный проводник — это фикция; тем не менее по-
полученный результат может оказаться полезным: в случае очень длинного провод-
проводника его выгодно приближенно рассматривать как бесконечный, ибо этим
достигается значительное упрощение формулы!
10) Если в электрической цепи с самоиндукцией в момент времени t = 0 ток
силы /0 разомкнуть, то в ней возникает экстраток размыкания, подчиня-
подчиняющийся закону:	R
[см. 359, 4), (а); мы сохраняем здесь прежние обозначения]. Предложим себе вы-
вычислить полное количество джоулева тепла Q, выделяемого этим током.
Элементарное количество тепла за промежуток времени [t, t + dt]9 очевидно,
будет
dQ = I2R • dt.
Суммируя за весь бесконечный промежуток, получим:
оо	оо
/9	9	[
IlR -dt = RlQ- /
2R t	I	9
~f dt = - Щ.
0	0
Отметим, что, хотя практически ток через конечный промежуток времени
становится неощутимым, все же для определения полного количества энер-
энергии тока, переходящей в тепло, приходится интегрировать по бесконечному
промежутку.
473. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы. В последу-
последующем мы ограничимся интегралами вида A): все сказанное о них
легко переносится на случаи B) и C). При этом мы всегда будем
предполагать, что функция f{x) интегрируема в собственном
смысле между любыми пределами а и А > а, так что вопрос
относится только к несобственному интегралу от а до оо.
оо
Между несобственными интегралами / f(x)dx и числовыми
оо	а
рядами J2an существует глубокая аналогия, которую полезно под-
1
черкнуть.

604
ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[473
Если процесс суммирования по п заменить процессом
интегрирования по х, то аналогами будут
общий член ряда
ап
частичная сумма ряда
N
1
сумма ряда
1
как предел частичной суммы
при N —»> оо
остаток ряда
оо
Е ап
N+\
подинтегралъная функция
собственный интеграл
несобственный интеграл
оо
ff(x)dx
а
как предел предыдущего
интеграла при А —>> сю
интеграл
оо
Jf(x)dx
А
Мы перечислим простейшие теоремы о несобственных
интегралах, сходные с теоремами п° 364 о рядах. Доказательство
их — с использованием указанной аналогии — предоставим чита-
читателю.
оо
1° Если сходится интеграл / f(x)dx, то сходится также
оо	а
интеграл J f{x)dx {A> а), и наоборот. При этом
А
оо	у4	оо
Jf(x) dx = Jf(x) dx + I f(x) dx.
a	A	A
oo
2° В случае сходимости интеграла J f(x)dx имеем
lim ff(x)dx =
A^oo J
0.
oo
3° Из сходимости интеграла f f{x)dx вытекает и сходи-
°о	а
мостъ интеграла / с • f{x) dx (с = const), причем
а
оо
[с -f(x)dx =c- If(x)dx.

474]	§ 1. ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ	605
Наконец:	^	^
4° Если сходятся оба интеграла J f(x)dx и J g{x)dx, то
оо	а	а
сходится интеграл / [f{x) ±g(x)] dx, и
а
оо	оо	оо
J[f{x) ± g(x)} dx = I f(x) dx ± Jg(x) dx.
a	a	a
474. Сходимость интеграла в случае положительной функ-
функции. Если функция f(x) положительна (неотрицательна),
то интеграл
А
${A) = Jf{x)dx	D)
а
представляет собой монотонно возрастающую функцию от
переменной А. Вопрос о существовании для нее конечного преде-
предела при А —)> сю решается очень просто — на основании теоремы
о пределе монотонной функции [57]:
Для сходимости несобственного интеграла A) — в слу-
случае положительной функции f{x) — необходимо и дос-
достаточно, чтобы интеграл D) при возрастании А оставался
ограниченным сверху.
А
j f{x)dx ^L (I = const).
a
Если же это условие не выполнено, то интеграл A) имеет зна-
значение оо [ср. 365].
На этом основана следующая «теорема сравнения» для интегра-
интегралов от положительных функций:
Теорема 1. Если хотя бы при х ^ А {А ^ а) имеет мес-
место неравенство f(x) ^ g{x), то из сходимости интегра-
оо	оо
ла fg(x)dx следует сходимость интеграла ff(x)dx или,
а	оо	а
что то лее, из расходимости J f{x)dx следует расходи-
оо	а
мость fg(x)dx.
а
Доказательство можно скопировать с доказательства тео-
теоремы 1 [366].

606	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[474
Часто полезна следующая теорема, являющаяся следствием
первой:
Теорема 2. Если существует предел
lim 44 =к @^К^+оо),
g(x)
оо
то из сходимости интеграла / g(x)dx, при К< +оо, выте-
а
оо
кает сходимость интеграла J f{x)dx, а из расходимости
а
первого интеграла, при К > 0, вытекает расходимость вто-
второго. [Таким образом, при 0 < К < +оо оба интеграла сходятся
или оба расходятся одновременно.]
Доказательство такое же, как и для аналогичной теоре-
теоремы 2, 366 [см. 473, 3°].
Выбирая конкретную функцию для сравнения, можно отсюда
получить частные признаки сходимости или расходимости инте-
оо
грала / f{x)dx. Практическое значение имеет сравнение с функ-
а
цией 4г> которая интегрируема от а > 0 до оо при Я > 1 и не
интегрируема при Я ^ 1 [470, 2)]. На этом построены следующие
признаки К о ш и:
Пусть для достаточно больших х функция f(x) имеет вид
<*> A>0).
хя
Тогда: 1) если Я > 1 и ср(х) ^ с < +оо, то интеграл / f(x)dx
а
сходится, 2) если лее Я ^ 1 и ср{х) ^ с > 0, то этот интеграл
расходится.
Для доказательства надо воспользоваться теоремой 1; функци-
функцией сравнения является \ [473, 3°].
Если при х —)> сю функция f(x) является бесконечно малой по-
оо
рядка Я > 0 (по сравнению с ?), то интеграл / f(x)dx сходит-
а
ся или расходится в зависимости от того, будет ли Я > 1
или А < 1.
Здесь следует сослаться на теорему 2; роль функции g(x)
играет X.

475]	§ 1. ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ	607
Примеры:
Л
/ Х2 ^ dx,
J 1+*2	J .
dx
О	1
Подинтегральные выражения при х —>> оо представляют собою бесконечно
малые, соответственно, порядка j и 2. Следовательно, первый интеграл расхо-
расходится, а второй — сходится.
оо
1ш
2) /	d!x, где /*(*) есть многочлен степени w, а 2 (л) — многочлен
степени п > т, ш имеющий корней в промежутке [а, оо).
Для достаточно больших х подинтегральное выражение сохраняет опреде-
определенный знак. Поэтому (изменяя в случае надобности знак) можно применить
изложенные выше признаки. Подинтегральная функция является (при х —>> оо)
бесконечно малой порядка п — т. Поэтому при п = т + 1 интеграл расходится,
а при п ^ т + 2 сходится. (При и < m он, очевидно, расходится.)
475. Сходимость интеграла в общем случае. Вопрос о суще-
оо
ствовании несобственного интеграла / f(x) dx, согласно определе-
а
нию A), приводится к вопросу о существовании конечного предела
при А —»> оо для функции от А\
= jf[x)dx.	D)
Применяя к этой функции признак Больцано — Коши [58],
можно условие существования несобственного интеграла предста-
представить в следующей форме:
Для сходимости несобственного интеграла J /(х)б/х*)
а
необходимо и достаточно, чтобы каждому числу е > 0 отве-
отвечало такое число Ао > а, чтобы при А > Ао и А' > Ао выпол-
выполнялось неравенство
А'	А	А'
\Ф{АГ) - Ф{А)\ = \Jf(x)dx -
= \Jf(x)dx
*^ В предположении, что в каждом промежутке [а, А], А > а, функция f(x)
интегрируема (в собственном смысле).

608	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[475
Этот критерий позволяет с легкостью установить такое пред-
предложение:	оо
Если сходится интеграл J \f{x)\dx, то*] и подавно схо-
дится J f(x)dx.
а
В самом деле, применяя изложенный критерий к интегралу
оо
/ \f{x)\dx, который предполагаем сходящимся, видим, что для
а
любого е > 0 найдется такое Ао > а, что
А'
J\f(x)\dx<e,
А
.А'	А'
лишь только А' > А > Ао. Но, очевидно, \J f(x) dx ^ / \f(x)\ dx
lA	A
и, следовательно, для тех же А, А' тем более выполняется неравен-
неравенство
А'
\ff{x)dx
< е,
А
откуда, в силу нашего критерия, вытекает сходимость интегра-
оо
ла ff(x)dx.
а
Отметим, что из сходимости последнего интеграла, вообще го-
оо
воря, не следует сходимость интеграла / \f(x)\dx. Это обстоя-
а
тельство дает основание особо отличать следующий случай. Если
оо	оо
наряду с интегралом / f{x)dx сходится и интеграл / \f(x)\dx9
оо	а	а
то интеграл / f(x) dx называют абсолютно сходящимся, а функ-
а
цию f(x) — абсолютно интегрируемой в промежутке [а, +оо].
Пример интеграла, сходящегося неабсолютно, будет дан в следу-
следующем п°.
По отношению к знакопеременной функции f(x) при-
признаки п° 474 непосредственно неприложимы. Но можно попытать-
попытаться с их помощью установить сходимость интеграла от поло-
*> В предположении, что в каждом промежутке [а, А], А > а, функция f(x)
интегрируема (в собственном смысле).

476]	§ 1. ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ	609
жительной функции |/(х)|: если эта функция оказывается инте-
интегрируемой, то функция f(x) также будет интегрируема, и притом
абсолютно.
Отсюда вытекает и следующее предложение, которое часто бы-
бывает полезно:
Если функция f(x) абсолютно интегрируема в проме-
промежутке [а, +оо], а функция g(x) ограничена, то и произведение
их f(x) • g(x) будет функцией, абсолютно интегрируемой
в промежутке [а, +оо].
Для доказательства достаточно сослаться на неравенство
\f{x)-g{x)\^L-\f{x)\.
ОО
Пусть, например, дан интеграл J ^а\ dx- Здесь функция f(x) = 2 1 2 ока"
зывается (абсолютно) интегрируемой, в то время как g(x) = cos ax, очевидно,
ограничена. Отсюда — абсолютная сходимость предложенного интеграла.
Как видно, для знакопеременной функции изложенные
здесь соображения — в благоприятном случае — могут установить
лишь абсолютную сходимость. Если же интеграл от данной
функции расходится или сходится, но неабсолютно, то различить
эти случаи с помощью установленных здесь признаков нельзя.
476. Признаки Абеля и Дирихле. Мы дадим сейчас признаки
другого типа, основанные на применении второй теоремы о сред-
среднем значении [306]. Они аналогичны признакам Абеля и Ди-
Дирихле сходимости бесконечных рядов [384], ввиду чего удобно
и их связать с теми же именами. Эти признаки позволяют уста-
устанавливать сходимость несобственных интегралов в ряде случаев,
когда абсолютная сходимость отсутствует.
Признак Абеля. Пусть функции f(x) и g(x) определены
в промежутке [а, +оо), причем
1)	функция f(x) интегрируема в этом промежутке, так
что интеграл A) сходится {хотя бы и неабсолютно)',
2)	функция g(x) монотонна и ограничена:
\g(x)\ < L (L = const, a < х < оо).
Тогда интеграл
Jf(x)g(x)dx	E)
сходится.

610
ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[476
Доказательство. По второй теореме о среднем значении,
при любых А' > А > а будем иметь
А'	I	А'
Jf(x)g(x) dx = g(A) ff{x) dx + g{Af) j f{x) dx, F)
A	A	?
где A ^ | ^ A'. Ввиду предположения A), для произвольно задан-
заданного е > 0 найдется такое Ао > а, что при А > Ао будет
I	А'
Jf{x)dx <^, Jf{x)dx
2L'
В связи с 2), это дает нам, при А' > А > Ао,
А'	|	А'
jf{x)g{x)dx\ < |g(^)| . jf{x)dx
\g{A')
//м
dx
что и влечет за собой [475] сходимость интеграла E).
Можно и в случае интегралов дать другую комбинацию усло-
условий, налагаемых на функции f(x) и g(x)9 при которых сходится
интеграл от их произведения:
Признак Дирихле. Пусть
1)	функция f(x) интегрируема в любом конечном проме-
промежутке [а, А] (А > а), и интеграл D) оказывается ограничен-
ограниченным:
А
г
'(х) dx < К (К = const, а < А < оо);
2)	функция g(x) монотонно стремится к 0 при х —»> оо:
Тогда интеграл E) сходится.
[Как читатель видит, прежнее условие A) несколько ослабле-
ослаблено, ибо мы здесь не требуем сходимости интеграла A); зато усло-
условие B) заменено более сильным!]
Доказательство проводится, как и выше, исходя из равен-
равенства F), но в этом случае первые множители g(A) и g{A') могут

476]	§ 1. ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ	611
быть сделаны сколь угодно малыми, если взять А и А' достаточно
большими, а вторые множители ограничены числом 2К.
Замечание. И здесь признак Абеля вытекает из признака
Дирихле. Действительно, для ограниченной монотонной функ-
функции g(x) необходимо существует конечный предел
g(oo) = \m^g{x).
Представив f(x) • g(x) в форме
fix) ¦ g(x) = f{x) ¦ g(oo) + fix) ¦ [gix) - g(oo)],
видим, что для второго произведения уже выполняются условия
Дирихле [см. 473, 3° и 4°].
Легко видеть, например, что при Я > О сходятся интегралы
оо	оо
/sin.*	[ cosx
—- dx и / —— dx (а
ХА	J ХА
Пользуясь признаком Дирихле, мы полагаем f[x) = sin.* или cos^:,
a g[x) = \. Условия 1) и 2) выполнены, так как
А	А
sinx dx =| cos a — cosA\ < 2 и, аналогично, / cos;\; dx
а	а
и функция -j, монотонно убывая, стремится к 0 при х -л оо.
В частности, отсюда при Я = 1 вытекает сходимость интеграла
оо
Г'
dx
X
О
(мы могли взять здесь а = 0, потому что подинтегральная функция при х -л О
имеет конечный предел). Можно показать, что этот интеграл сходится
неабсолютно, т. е. что интеграл
оо
/I '	I
|St1*1 dx
О
расходится. В самом деле, если бы этот интеграл сходился, то, по теореме 1 [474],
сходился бы и интеграл
	dx {a > 0),

612	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[477
ибо sin х ^ | sin jc |. Иными словами, сходился бы интеграл
ос
оо
1 — cos 2х
ах;
х
а
прибавив к нему заведомо сходящийся интеграл
оо
cos 2x
	dx,
а
мы пришли бы к заключению, что сходится интеграл
оо
1	Г dx
2	У ~'
чего на деле нет [470, 2)].
Замечание. Теперь, когда мы установили сходимость интегралов
оо
f COS X
X
а
dx,
мы можем, наконец, уточнить определение неэлементарных функций six («ин-
(«интегральный синус») и ci;\; («интегральный косинус»), о которых мы упоминали
в п° 289. Именно, полагают
оо	оо
/sin Г ч f cost
	dt (x ^ 0); с\х = - I 	dt (x > 0).
X	X
Если, например, вторую из этих формул написать в виде:
X	ОО
/COSt f COSt
	dt - 	dt,
t J t
то — по известному свойству определенного интеграла [305, 12°] — ясно, что
производная от cijc действительно равна ^j^-
477. Приведение несобственного интеграла к бесконечному ря-
ряду. Мы знаем, что понятие предела функции может быть выра-
выражено двояко — «на языке e-S» и «на языке последовательнос-
последовательностей» [52, 53]. Если к функции Ф(А) [см. D)] применить второе
определение предела, то определение A) несобственного интегра-
интеграла может быть истолковано так: какую бы ни взять последователь-
последовательность возрастающих до бесконечности чисел {Ап} {Ап > а), по-

477]	§ 1. ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ	613
следовательность интегралов {/ f{x) dx} должна стремиться к од-
а
ному и тому же конечному пределу *\ который и дает значение
оо
несобственного интеграла / f{x) dx.
а
С другой стороны, вопрос о пределе последовательности
4,
{f f(x)dx} тождествен вопросу о сумме ряда [362]:
А2 АА	А% А1	А^ А1 А
а	а а
/
Таким образом, можно утверждать: для существования не-
оо
собственного интеграла / f{x)dx необходимо и достаточно,
а
чтобы — какова бы ни была варианта Ап —>> оо (Ап > а) —
ряд
j f(x)dx (A0 = a)
сходился к одной и той лее сумме, которая и дает значение
несобственного интеграла.
Отметим, что в случае положительной (неотрицательной)
функции f(x) для существования интеграла достаточно сходимо-
сходимости указанного ряда при одном частном выборе вари-
варианты Ап-> оо. Действительно, тогда возрастающая функция D)
от А будет ограничена суммой этого ряда и, следовательно, имеет
конечный предел при А —»> оо [474].
Сведение вопроса о сходимости интеграла к вопросу о сходи-
сходимости ряда представляется часто очень выгодным, так как дает воз-
возможность использовать многочисленные признаки сходимости или
расходимости рядов.
Ап
*) Достаточно предположить, что все последовательности { J f[x) dx } сходят-
а
ся, чтобы отсюда уже можно было заключить, что предел у них будет один и тот
же [53].

614	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[477
оо
Для примера рассмотрим снова интеграл J ^j^ dx, о котором уже была
речь в предыдущем п°.
Так как sin х при возрастании х принимает попеременно то положительные,
то отрицательные значения, меняя знак в точках гиг (п = 1, 2, 3, . . .), то естест-
естественно именно эти числа взять в качестве Ап и рассмотреть ряд
оо
(и+lW
p
/ —dx.
G)
Произведя в общем члене vn = J ^j^ dx подстановку х = гиг + t, no-
гит
лучим
JT
О
Отсюда видно, что члены ряда имеют чередующиеся знаки и по абсолютной ве-
величине монотонно убывают. Далее, при п > О,
JT	JT
vn\= 	dt < I —dt=-
J гиг -\-1	J гит	n
и, следовательно, абсолютная величина членов ряда стремится к нулю с увеличе-
увеличением их номера. Ряд G) будет типа Лейбница и, по известной теореме [381],
сходится. Обозначим его сумму через /. Таким образом, для любого е > 0 най-
найдется такое N, что при п ^ N имеет место неравенство
/
¦dx -I
< е.	(8)
Теперь уже завершить доказательство существования интеграла проще «на
языке е-8». Пусть А > Njt; тогда существует такое натуральное число «0,
что ПцЖ ^ А < (riQ -\- 1)jt, причем, очевидно, п$ ^ N. Так как в промежутке
А
от Hqjt до (hq + \)jt функция sinх сохраняет знак, то интеграл J будет содер-
жаться между интегралами /и J , каждый из которых лежит, в силу (8),
0	0	А
между / — с и / + с. Следовательно, то же можно утверждать и об интеграле J.
0
Итак, окончательно для А > Njt имеем
А
smjc
¦dx -I

478]	§ 1. ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ	615
так что существует
оо л
	dx = lim / 	dx=I*]
X A^+oo J X
0	0
Мы уже знаем [476], что этот интеграл сходится неабсолютно, т. е. что
оо
интеграл J —^- dx расходится. Этот факт также легко установить, обращаясь
О
к представлению интеграла в виде ряда. Действительно, если бы интеграл схо-
сходился, то имели бы, как и только что,
оо
/
(и+1)я-
/	х	/ гит +
Но пл + Г< {п + 1)я, так что
/ 	dt ^ 	 • / smtdt = 	,
J пж + t	(п+\)я J	(n+l)jr
0	0
между тем как ряд J ^ щ^ расходится! [365, 1)].
478. Примеры.
1) Исследовать сходимость интегралов:
оо	оо
(а)№*; (б) [ ;, *	„ (z0>fl>,>0);
(а)/=^Л; (б) j
О	zn
О	О
Решение, (а) Подинтегральная функция при х —>> +оо является бесконеч-
бесконечно малой первого порядка; интеграл расходится.
(б)	Бесконечно малая порядка |: интеграл сходится.
(в)	При х —>> 0 подинтегральная функция стремится к 0. Разлагая в ряд,
видим, что выражение
а2	Ь2	,2	2
—т —т о — а
е х2 - е х2 = 	=— + . . .
xz
при х —>> +оо является бесконечно малой 2-го порядка: интеграл сходится.
*^ Здесь [как и в предыдущем п°] нас интересует лишь вопрос о сходимости
этого интеграла. Ниже мы увидим, что его значение / = ^.

616	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[478
(г) Разлагая ев ряд, легко получить
х	1	х
- - = -— + • • • ,
ех _ е-х 2	12
так что при х —>> 0 подинтегральное выражение стремится к — ^. При х —>> оо
оно будет бесконечно малой 2-го порядка. Интеграл сходится.
2) То же для интегралов:
Гх'е-"* dx Gu, a>0); (б) / /* ; (в) /
v
0
Решение, (а) Взяв любое Я > 1, имеем:
0;
1
хА
интеграл сходится.
(б) Заметим сначала, что при х —>> 0 подинтегральная функция стремится к 0.
Взяв теперь снова любое Я > 1, получим:
х	1	1
->> 0 при х —>> +оо;
интеграл сходится.
(в) При х —>> 1 подинтегральная функция имеет пределом 0. Пусть 1 < Я < 2,
тогда отношение этой функции к -у можно написать в виде:
х \пх	\пх	1
¦> 0 при л: —>> оо;
интеграл сходится.
3) То же для интегралов:
оо
/ sin^/F	>	[х^е~ах cosjc ^ (^, а > 0).
J v^H^)	J
(а)
о	о
Указание. В обоих случаях имеем произведение ограниченной функции на
(абсолютно) интегрируемую.
4) Исследовать сходимость интеграла (а > 0)
оо	а
/ <& / sin(/3 V) d/3 = / J /sir
10	10
*^ Примем здесь без доказательства, что «внутренний» интеграл представляет
непрерывную функцию от^с.

478]
§ 1. ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
617
Постараемся оценить порядок убывания при х —>> оо «внутреннего» интегра-
интеграла. Полагая в нем /3 х = z, имеем:
2x2
Ввиду сходимости интеграла J Щ=- dz [476], найдется постоянная L такая, что
при всех А > О
Следовательно, интеграл J sin(/3 x ) d/З по абсолютной величине не превосходит
О
выражения -\. Отсюда вытекает абсолютная сходимость предложенного интег-
интеграла.
5) Установить сходимость интегралов (а, к, Я > 0):
(а)
(в)
dx;
оо
(б) у>*
sin 2x
0
оо
Ых
dx;
(г)
/sin (л: +.
¦dx;
¦dx.
а	0
Решение. Во всех случаях пользуемся признаком Дирихле.
(a) g(x) = -г,	т для достаточно больших х монотонно убывает и при
kl+xl	А
Л оо стремится к нулю; интеграл J sin ax dx, очевидно, ограничен.
1
о
(б) gfa) = —, монотонно убывая, стремится к нулю при х —>> оо
/(л) = esmx • sin 2x, так что (если положить sin^: = t)
А
I f	f
/ f{x)dx =2 / tedt
< 2e.
(в) g(^) = | In x I • —, для достаточно больших значений х
(In*)
A-l
(Я - Ых) < 0,
так что g(x) убывает, очевидно, стремясь к нулю, и т. д.

618	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[478
(г) gix) = —; fix) = sin(* + х2), так что (полагая z = х + х2)
хА
sin(* + х ) <ix = /
А+Аг
sinz
Это выражение по абсолютной величине остается ограниченным, ввиду того что
оо
интеграл J ,smz dz сходится (в чем можно удостовериться с помощью того
а+а2
же признака Дирихле).
6) Доказать следующее утверждение:
Пусть функция f(x) определена в промежутке [а, +оо) и имеет период
со > 0, а функция g(x) монотонна в том же промежутке и стремится
к 0 при х —>> +оо. Если интеграл {собственный)
а+со
f{x) dx = 0,	(9)
а
то интеграл {несобственный)
оо
f(x)g(x) dx	E)
а+а.
I
оо
/
сходится. Если же, наоборот,
а-\-а)
f(x)dx=K^0,	(Г)
1
a
то интеграл E) сходится или расходится в зависимости от того, схо-
сходится или расходится интеграл
оо
g{x)dx	A0)
(а) Предположим сначала выполнение условия (9) и покажем, что интеграл
[
f{x)dx
/¦
в этом случае остается ограниченным при всех А > а.
Ввиду 10), 314, и замечания в 316, очевидно, и
а+ко)
I f{x)dx =0 {к= 1,2, 3, . ..),

478]
§ 1. ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
619
и тогда, каково бы ни было А > а, если взять к = Е (—^р), будем иметь
А	А	А—ко)	а+п)
j f(x)dx = J = J <J\f(x)\dx=L,
a	a+kco	a	a
и требуемое заключение следует непосредственно из признака Дирихле.
(б) В предположении (9*), заменим f[x) на f[x) — §. Так как эта функция
удовлетворяет условию типа (9), то интеграл
оо
1 1
x)dx	E*)
по доказанному сходится. Отсюда уже ясно, что интегралы E) и A0) сходятся
(или расходятся) одновременно.
7) Если, например, положить f(x) = sin х в промежутке [0, +оо) и со = ж,
то видим, что интеграл
2	ж ,
sin х dx = — ф 0;
следовательно, интеграл
оо
/-
sin х • g(x) dx
(при прежних предположениях относительно g) сходится или расходится
одновременно с интегралом A0).
Напротив, интеграл
оо	оо
Л- - sin2*\g(x) dx = - cos2x • g(x) dx
J
0	0
сходится во всяком случае, независимо от поведения интеграла A0)!
8) Исследовать сходимость интегралов
оо
/¦
(а) / ecosx.sin(sin*)—; (б)
х
0	0
оо
dx
sin (sin*) —.
х
(а) Имеем
2jt
/ ecosx • sin (sin*) dx = / + / = 0,
0	0 jt
ибо второй из двух последних интегралов разнится от первого из них лишь знаком
(подстановка z = 2л — х). В силу 6), интеграл (а) сходится.

620	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[478
(б) На этот раз
2л-
smx -sin (sin x)dx > 0,
0
так что [см. 6)] — ввиду расходимости интеграла
оо
С dx
J — (а > 0)
а
— интеграл (б) расходится.
9) Исследовать интеграл
оо
sinjc
^ + sm;\;
0
¦dx
на сходимость, в зависимости от значений параметра \х > 0.
Имеем тождество
sin х	sin x	sin x
xV + sin x xV х^^х^ + sin x)
Интеграл от первого члена справа
оо
/sm;\;
¦dx,
0
как мы знаем [476], всегда сходится. Обратимся к интегралу от второго члена
справа
/	sm *	 dXm	(ц)
J х^[х^ + sin^:)
0
Так как
sin х	sin x	1	fio)
х^(х^ + 1) х^(х^ + sinjc)
то при \х > 2 интеграл от выражения справа, а с ним и интеграл A1) сходятся;
при \л ^ ^ рассмотрим выражение слева: интеграл от него, в силу 7), ведет себя
так же, как и интеграл
J_dx
J х^(х» + 1)
а
т. е. расходится, а с ним расходится и интеграл A1).
J Не умаляя общности, можно считать х > 1, так как для сходимости рассмат-
оо	оо
риваемого интеграла J достаточно сходимости интеграла J от той же функции.
0	2

478]	§ 1. ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ	621
Окончательно, предложенный интеграл сходится при ja > j и расходится
при /i < 2-
Пример этот, в случае \i ^ j, поучительно сопоставить с признаком сходи-
сходимости Дирихле. Интеграл от первого множителя, sin^c, ограничен, в то время
как второй множитель
1
х*1 + sin x
стремится к 0 при х —>> оо. Нарушено лишь требование монотонности
этого множителя, и предложенный интеграл оказывается расходящимся!
10) Исследовать интеграл
оо
ха dx
1
1 + хР • sin2 х
0
на сходимость, в зависимости от значений параметров а, /3 > 0.
Обозначив подинтегральную функцию через f(x)9 будем иметь при измене-
изменении х между пж и {п + \)ж:
1 + [(w + l)^]/3 sin2x	" 1 + (лл-)^ sin2 jc '
Интегрируя эти неравенства, учтем, что
(и+1)я-
1 + A sin2;
пж	О
/ ^ _^; *)
У 1 + ^ sin2 х л/ТТА
мы получим
/1 + (Я°+ upj ^ / f{x)dx
пж
Теперь суммируем по п от 0 до оо:
Так как оба крайних ряда сходятся или расходятся одновременно с рядом
о
то это же справедливо и для интеграла.
Итак, предложенный интеграл сходится при /3 > 2(а + 1) и расходится
при /3 < 2(а + 1).
*)
Это легко вывести из 288, 10), или 309, 9).

622
ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[478
11) То же — для интеграла
оо
J
Метод рассуждения тот же, что и в предыдущем примере. Вместо интегра-
интеграла A2) здесь придется рассматривать интеграл [см. 288, 14)]:
л
/
1 + A sin x
_гщ^Ь^
Так как при А —>> оо
\п[А + у/А2 - 1) ЫА
то сравнивать предложенный интеграл достаточно с рядами
(w
т. е. в конечном счете с рядом:
In п
Em n
Ответ: При /3 > а + 1 интеграл сходится, а при /3 ^ а + \ — расходится.
Примеры 6), 7), 9), 10), 11) принадлежат Хард и (G.H. Hardy).
12) Произвести полное исследование случаев сходимости и расходимости ин-
интеграла:
j=
J I + ха • | sinjc
в зависимости от значений параметров а и /3 (а, /3 > 0).
(а) Пусть а < 1. Так как
1
1
то в этом случае интеграл расходится [474].
(б) Пусть а ^ р. Переходя к ряду [477], имеем в этом предположении:
/7—U
I
dx
1 + ха
JT
dz
(и+1)л-
«Л"
Но для 0 < z <
+ («л- + z)« sin^3 z
(гиг

479]	§ 2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ	623
так что члены последнего ряда оказываются большими соответствующих членов
расходящегося ряда
ОО
Y
Итак, интеграл снова расходится.
(в) Пусть а > р > 1. Представим J в виде суммы Jx + J2, где
J\ =
n=v 0	/1=1 0
Затем, для 0<z<fn^^l,
(шг + zf sin^z ^ (шг)а f-zV =^cV, где с=2п?~\
\ж /
откуда
Я"
7
dz
	7Г- ^
+ (гаг + z)a si
0	0
/r
0
оо
Л	с*	* 1 f dt
< -5-, где с =
Таким образом,
и=1 п
Аналогично и J2 < °°? так что интеграл сходится.
(г) К случаю а > /3 > 1 приводится и общий случай, когда одновременно
а > \ и а > /3. Действительно, в этом случае легко найти такое /3f ^ /3, чтобы
было а > р' > 1. Так как при уменьшении /3 сходимость лишь усиливается, то
и в упомянутом общем случае налицо сходимость.
Резюмируя все исследование, видим, что интеграл J сходится при одно-
одновременном выполнении условий а>1иа>/3и расходится во всех прочих
случаях. Можно сказать и короче: если а > max A, /3), интеграл сходится,
а при а < max A, /3) — расходится.
§ 2. Несобственные интегралы от неограниченных
функций
479. Определение интегралов от неограниченных функций.
Рассмотрим теперь функцию /(х), заданную в конечном про-
промежутке [<я,й], но неограниченную в этом промежутке.

624	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[479
Предположим более определенно, что в любом промежутке
[a, b — г]] @ < г] < b — а) функция ограничена и интегрируема, но
оказывается неограниченной в каждом промежутке [b — ri,b] слева
от точки Ъ. Точка Ъ носит в этом случае название особой точки.
Ъ-ц
Предел интеграла / f{x) dx при ц —»> 0 {конечный или бес-
а
конечный) называется {несобственным) интегралом функции
f{x) от а до Ъ и обозначается как обычно:
f{x)dx.	A)
В случае если этот предел конечен, говорят, что интеграл A)
сходится, а функцию f{x) называют интегрируемой в про-
промежутке [а, Ь]. Если же предел A) бесконечен или вовсе не су-
существует, то про интеграл говорят, что он расходится.
Пример.
1) Функция	ограничена и интегрируема в любом промежутке
V 1 — х2
[О, 1 - г]] (О < ц < 1), и
I
dx
= arcsm^:
1-7/
= arcsin(l —
В точке х = 1 функция обращается в бесконечность. Напомним, что под этим
разумеется лишь то, что при х —> 1 функция . стремится к бесконечности.
Очевидно, в любом промежутке A — ц, 1) функция неограничена, т. е. точка х = 1
является особой. На практике обыкновенно приходится иметь дело именно с та-
такого рода особыми точками.
Так как вычисленный интеграл при ц —>> 0 стремится к пределу arcsin I = f,
то существует несобственный интеграл
Пусть теперь функция f{x) ограничена и интегрируема в лю-
любом промежутке [а + ц', Ь] @ < ц' < Ъ — а), но оказывается не-
неограниченной в каждом промежутке [а, а + г\'] справа от точки а
(особая точка). Тогда {несобственный) интеграл функции f{x)

479]	§ 2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ	625
от а до Ъ определяется равенством
ъ	ъ
Jf(x)dx=hmQ J f{x)dx.	B)
а
а+г\'
В общем случае, в промежутке [а, Ь] может быть конечное чис-
число особых точек с0, сх, ..., cm_l9 cm9 вблизи которых функ-
функция f{x) неограничена, между тем как в каждой части этого про-
промежутка, не содержащей особых точек, функция ограничена и ин-
интегрируема.
Пусть (для простоты письма) таких точек три, причем две
из них совпадают с концами я, Ъ промежутка, а третья, с, лежит
между ними. Тогда определение интеграла от а до Ъ дается
равенством
Ъ	с-г]2 Ь-щ
{	}	C)
а
Взяв внутри каждого из промежутков [а, с], [с, Ь]9 соответ-
соответственно, по точке d, e, будем иметь
с-г]2	d c-rj2	Ь-щ	е	Ь-щ
l-hl- J-hJ-
a+r\x a+r\x	d	c-\-t]3 с+щ	е
Легко видеть, что существование предела C) равносильно суще-
существованию порознь пределов для всех четырех этих интегралов,
так что определение C) можно заменить таким:
Ь	d	с	е	Ь
j Дх) dx = Jf(x)dx + Jf(x) dx + j f(x) dx + j f{x) dx,
a	a	d	с	е
в предположении, что все несобственные интегралы справа сущест-
существуют *\ Это определение не зависит от выбора точек d и е.
По отношению к несобственным интегралам B) и C) сохраня-
сохраняется та же терминология, что и выше.
*' За исключением случая, когда два из этих интегралов равны бесконечности
разных знаков.

626
Примеры.
О
ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
особая точка: — 1,
[479
3)
о	о
/dx	f	dx	.	,	л-
—^=^= = lim / —-^=^= = lim [— arcsin(—1 + // )] = —;
+1
Г dx
две особые точки: —1 и 1,
о 1
JT	JT
=	1	= jt.
-1 о
4) Исследуем, при каких значениях показателя Я > 0 сходится несобствен-
несобственный интеграл
D)
При Я^ 1 интеграл
1-Ап
)
при ц —>- 0 имеет пределом оо или конечное число у^х (Ъ — а) в зависимости
от того, будет ли Я > 1 или Я < 1. Если Я = 1, то
/
т
— а) — In// —>> оо (при г\ —>> 0).
Итак, интеграл D) при Я < 1 сходится и имеет значение тзх(^ ~~ а) ~ •>
а при Я ^ 1 расходится [ср. 470,2)].
б) Аналогичный результат может быть установлен относительно интеграла
о
J (ъ-
аЛ> 0),
который несущественно разнится от предыдущего.
Замечание. Полезно заметить следующее: если функция f(x)
в промежутке [а, Ь] интегрируема в собственном смысле (так

480]	§ 2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ	627
Ъ
что интеграл Jf(x)dx уже определен), то предельное равен-
а
ство A) [B) или C)] для нее все же имеет место. Оно непосред-
непосредственно вытекает из непрерывности интеграла по перемен-
переменному верхнему (нижнему) пределу [305,11°]. Таким образом, для
несобственного интеграла мы приняли за определение то ра-
равенство, которое для собственного выполняется само собою.
Наконец, рассмотрим функцию /(х), заданную в бесконечном
промежутке, например в [а, + оо), и имеющую в нем конечное
число особых точек *\ вблизи которых она перестает быть ограни-
ограниченной. Предположим, что в каждом конечном промежутке [а, А]
А
интеграл ff(x)dx существует как собственный или как несоб-
а
ственный, согласно данному выше определению. Тогда, переходя
еще раз к пределу при А —»> оо, можно равенством A), 470, опре-
определить несобственный интеграл в промежутке [а, +оо].
В случае бесконечного промежутка точка ±оо играет ту же
роль, что и особые точки, требуя, подобно им, дополнительного
предельного перехода. На этом основании и точку ±оо также на-
называют особой, независимо от того, будет ли функция f(x) при
безграничном возрастании х оставаться ограниченной или нет.
480. Замечание относительно особых точек. Рассмотрим функцию f(x),
определенную в конечном промежутке [а, Ь], и предположим, что она в этом
промежутке в собственном смысле не интегрируема. Тогда в промежутке [а, Ь]
необходимо найдется такая точка с, в к а лсд ой окрестности которой
функция оказывается неинтегрируемой {в собственном смысле).
Действительно, если бы подобных точек не было вовсе, то каждую точку х
промежутка [а, Ь] можно было бы окружить такой окрестностью а, чтобы в ее
пределах функция была интегрируема. Применив к системе Е = {сг}, покрыва-
покрывающей промежуток [а, Ь], лемму Б орел я [88], легко в таком случае разложить
промежуток [а, Ь] на конечное число частей, в которых порознь функция инте-
интегрируема. Но отсюда вытекала бы ее интегрируемость во всем промежутке [а, Ь],
вопреки предположению.
Упомянутую точку с и естественно назвать особой: в ней как бы «сгу-
«сгущается» свойство функции не быть интегрируемой. Особых точек может быть
несколько, даже бесконечное множество; в случае функции Дирихле [300,2)],
например, особые точки заполняют сплошь весь промежуток [0, 1].
Ограничимся случаем конечного числа особых точек с$, с±, с2, - - -, ст.
В этом случае природа «особенности», осуществляющейся в названных
*) Особых точек может быть и бесконечное множество, лишь бы в каждом
конечном промежутке [а, А] (А > а) их было конечное число (которое
может расти до бесконечности вместе с А).

628	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[481
точках, легко вскрывается: в окрестности каждой из них функция попросту
неограничена (так что именно неограниченность и является причи-
причиной неинтегрируемости в собственном смысле). Чтобы убедиться в этом,
достаточно рассмотреть случай, когда единственной особой точкой будет Ъ.
Итак, пусть при любом г\ >0 (г\ < Ъ — а) функция f(x) интегрируема (сле-
(следовательно, необходимо — и ограничена) в промежутке [а, Ъ — rj]9 но не интегри-
интегрируема в промежутке [Ь — г/, Ь]. Нужно доказать, что при этих условиях вблизи
точки Ъ функция не может оставаться ограниченной. Допустим противное:
пусть для всех х в [а, Ь] имеем:
|/0)| ^L (L = const).
Задавшись произвольным числом с > О, возьмем г\ < ^. Для промежут-
промежутка [а, Ъ — г]], в котором функция f(x) интегрируема, по числу | можно найти та-
такое 8 > О, чтобы при разделении этого промежутка на части с длинами Axt/ < 8
было
где coif означают, как всегда, соответствующие колебания функции [297]. Можно
предположить сверх того, что 8 < ц. Разобьем теперь весь промежуток [а, Ь]
на части с длинами Axt < 8, и пусть Axit будут отвечать тем частям, которые
не выходят за пределы [a, b — 77], a Axit, — остальным частям; из них только
одна может выходить за пределы [Ь — rj, b] — если точка b — г\ сама не входит
в состав точек деления. Тогда по-прежнему
^щгАх^ < -,
3
с другой же стороны:
Ev^	2
Q)j//Axj// < 2L - У Ах •//	< 2L(ji -\- 8) < ALr\ < — с,
*-^	3
//;	//;
и окончательно
< е.
А этим обусловливается [297] интегрируемость функции f(x) во всем промежут-
промежутке [а, Ь], и точка b оказывается не особой, вопреки предположенному о ней. Этим
и завершается доказательство.
Таким образом, в случае конечного числа особых точек их можно характе-
характеризовать именно тем, что вблизи них функция перестает быть ограниченной; это
мы и возвели в определение особых точек в предыдущем п°.
481. Применение основной формулы интегрального исчисле-
исчисления. Примеры. Пусть функция f(x) определена в промежут-
промежутке [а, Ь] и интегрируема (в собственном смысле) в каждом про-
промежутке [а, Ъ — г]]9 в то время как Ъ служит для нее особой точкой.
Если для f{x) в промежутке [а, Ь)9 т. е. для а ^ х < Ъ9 существует

481]	§ 2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ	629
первообразная функция F{x)9 то
J f{x) dx = F(b -r,)- F{a) = F(x)\b~\
a
и существование несобственного интеграла A) равносильно суще-
существованию конечного предела lim F(b - т]). Если последний су-
существует, то его естественно принять за значение F(b) первообраз-
первообразной функции при х = Ь9 достигнув этим непрерывности F(x) во
всем промежутке [а, Ь]. Для вычисления интеграла A) мы имеем
тогда формулу обычного вида:
j f{x)dx=F{b)-F{a)=F{x)]\a	E)
а
Та же формула имеет место и в том случае, если особая точ-
точка лежит внутри промежутка или при наличии нескольких особых
точек, но (это нужно твердо помнить) при непременном условии,
чтобы первообразная функция F{x)9 имеющая f(x) своей производ-
производной всюду, исключая особые точки, была непрерывна и в этих
последних. Существование такой первообразной обеспечивает су-
существование несобственного интеграла.
Замечание. Говоря о «первообразной» функции F{x)9 мы
могли бы понимать ее в еще несколько более широком смыс-
смысле: F{x) должна иметь своей производной f(x) повсюду, исключая
не только особые точки, но и, быть может, еще некоторые точки
в конечном числе, лишь бы и в них не нарушалась непрерыв-
непрерывность функции F{x) [ср. 310].
Заменив в основной формуле E) Ъ на х, a f[x) на F'(x), мы,
как и в 310, можем написать ее в виде
X
F{x) =F(a)+ IF\x)dx.
Таким образом, по заданной производной F'{x) восстанавли-
восстанавливается первообразная функция F(x), если только производная
интегрируема, хотя бы в несобственном смысле.

630	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[482
Обратимся к примерам.
о
/
dx	л 2
-г=, особая точка х = 0; так как первообразная функция 4 jc з непре-
-1
рывна и в этой точке, то интеграл существует:
/
dx 3 2
	 	 — Y 3
2
-1	-1
2
[ 2xdx	2
2) I —z	 не существует, так как первообразная In be — 1 обращается
/ х2 — 1
-2
в оо в особых точках х = ±1.
1
f arcsin*	l/ ¦ ч2
3) / —-j^=^= dx, особая точкам = 1; здесь первообразная ^(arcsin*) не-
J л/1 — X2
о
прерывна при х = 1; следовательно, интеграл существует (= ^-).
1
4) Ых dx, особая точка х = 0; здесь первообразная * Inх — х при л: —>> 0
0
имеет пределом 0. Приписывая ей при х = 0 именно это значение, будем иметь
1
In х dx = x In x — х
0
/¦
1
= -1.
0
2
/dx
		, особая точка х = 1; имеем:
хл
Зх2 -2х - 1
«У .%'
= = — arcsm ¦
jc 4- 1
=	arcsm -.
2	4
2
6) / 	, особая точка х = 1; интеграл не существует, так как первообраз-
J х \пх
1
ная In In х обращается в оо при х = 1.
482. Условия и признаки существования интеграла. Мы оста-
остановимся лишь на случае, связанном с определением A), так как пе-
перефразировка для других случаев не представляет трудностей. Вви-
Ввиду полной аналогии с несобственным интегралом, распространен-

482]	§ 2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ	631
ным на бесконечный промежуток [а, оо], мы ограничимся форму-
формулировкой некоторых основных предложений. Доказательства ана-
аналогичны приведенным выше.
Для сходимости несобственного интеграла A) — в случае
положительной функции f(x) — необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы при всех ц > О выполнялось неравенство
Ъ-ц
f{x) dx ^ L (L = const).
Теоремы сравнения п° 474 формулируются и доказываются
в рассматриваемом случае почти в тех же выражениях. Приведем
без доказательства вытекающие отсюда признаки К о ш и.
Пусть для достаточно близких к Ъ значений х функ-
функция f(x) имеет вид:
У
Ъ
Тогда, 1) если Я < 1 и g(x) ^ с < +оо, то интеграл J f(x)dx
а
сходится, 2) если лее Я ^ 1 и g(x) ^ с > 0, то этот интеграл
расходится.
Более частная форма, удобная на практике:
Если при х —»> Ъ функция f(x) является бесконечно большой
ъ
порядка Я > 0 {по сравнению с -^^), то интеграл J f{x)dx
а
сходится или расходится в зависимости от того, будет
ли Я < 1 или Я ^ 1.
Примеры.
1
J лУГ^ЗЙ'
1) / —-^^^=. Подинтегральная функция при х —>> 1 представляет беско-
бесконечно большую порядка \\
Следовательно, интеграл сходится.
1
—>> -rp при х —>> 1.
2)
/ —	= (к1 < 1). Бесконечно большая порядка А, ин-
теграл сходится.

632	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[482
1
3) / хи Ых dx. Если /i > 0, f{x) = хи Ых —>> 0 при х —>> 0, интеграл су-
0
ществует как собственный. При \л ^ О подинтегральная функция обращается
в бесконечность при х = 0.
Если /i > —1, то, взяв Я под условием 1 > А > |/i| = — /i, будем иметь
^^=*Я+АЧп*^0 (при^^О);
1
так как интеграл J Щ^ сходится, то и предложенный интеграл сходится [по тео-
0
реме, аналогичной теореме 2, 474] *\
1
Наконец, если \л ^ — 1, то интеграл J x^1 dx расходится, тем более расходится
0
предложенный интеграл, ибо
х^Ых
	 = In х —>> оо (при jc —>> 0)
х^
[по той же теореме].
Дальнейшие примеры читатель найдет в следующем п°.
Далее, применяя признак Больцано-Коши, имеем такое
общее условие сходимости:
ъ
Для сходимости несобственного интеграла ff(x)dx
а
(где Ъ — особая точка) необходимо и достаточно, чтобы
каждому числу с > 0 отвечало такое число 8 > 0, чтобы
при 0 < ц < S и 0 < г]' < S выполнялось неравенство
f{x)dx
e.
Ъ-ц
Отсюда, как и выше, вытекает:
ъ
Если сходится интеграл f\f(x)\dx, mo**} и подавно схо-
а
Ъ
дится интеграл Jf(x)dx.
а
*) Мы применяем к функции хИ Ых признаки, предназначенные для положи-
положительных функций, ибо она приводится к положительной простым изменением
знака.
**)
В предположении, что в каждом промежутке [a, b — rj] G7 > 0) функция f(x)
интегрируема (в собственном смысле).

482]	§ 2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ	633
Обратное, вообще говоря, неверно. Поэтому и здесь особо
ъ
отличают случай, когда наряду с интегралом Jf(x)dx сходится
Ъ	а
и / \f(x)\ dx; тогда первый интеграл называют абсолютно сходя-
а
щимся, а функцию f(x) — абсолютно интегрируемой в проме-
промежутке [а, Ь].
Подобно последнему утверждению п° 476, легко доказать
и здесь:
Если функция f(x) абсолютно интегрируема в проме-
промежутке [а, Ь], а функция g(x) интегрируема в [а, Ь] в собствен-
собственном смысле, то и функция f(x)-g(x) будет абсолютно
интегрируема в указанном промежутке.
Связь с бесконечными рядами дается теоремой:
ъ
Для сходимости несобственного интеграла ff(x)dx (где
а
Ъ — особая точка) необходимо и достаточно, чтобы — какова
бы ни была варианта ап —>> Ъ — ряд
dx (ао = а> а
сходился к одной и той же сумме; последняя и дает значение
несобственного интеграла.
Дадим пример интеграла, сходящегося, но не абсолютно. Положим
для 0 < х ^ 2
. я 2я	я
f(x) = 2х • sin —	• cos —г-;
X1	X	X1
она непрерывна при х > О, и единственной особой точкой для нее в промежут-
промежутке [0, 2] будет 0. С другой стороны, первообразной для f(x), как нетрудно про-
проверить, является функция
Fix) = х - sin —,
которая имеет при jc —>> 0 пределом F(-\-0) = 0. Таким образом, интеграл
fix) dx = x - sin —
JC2
0
сходится.
2
Для того чтобы обнаружить, что интеграл J \f(x)\ dx расходится, прибег-
0
нем к представлению этого интеграла в виде ряда. Возьмем варианту ап -Л 0,

634	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[483
положив
2k-Г
Тогда
п=\
В промежутке [а2^, tf^-l]» т. е. для кж ^ ^ ^ кж — j, sin -^ и cos -^ имеют
противоположные знаки, так что /(*) сохраняет определенный знак, и по-
поэтому
а2к-\	. fl
I \f{x)\dx= f
f(x)dx
= \F(a2k-\) ~
и2к	и2к
оо
Ввиду расходимости гармонического ряда ^ |, расходится и рассматриваемый
1
ряд, а с ним и предложенный интеграл.
483. Примеры. Исследовать на сходимость интегралы
в	1	1
/d(p	. . f	dx	. . f dx
* =;	б /	=;	(в) / 	;
Vcos^-cosfl	J ф(ех -e~x)	J Inx
0	0 v	0
0	-f
Решение, (а) Особая точка (р = в. Ввиду существования производной
cos ср — cos О
lim 	 = sm#,
ср^в ср — в
подинтегральное выражение будет (при ср -л в) бесконечно большой порядка j
(^относительно -qzt^)- Сходимость.
(б)	Особая точка х = 0. Так как
lim ~6— = 2,
х^-0	X
то порядок подинтегрального выражения (^относительно ^) будет |. Сходи-
Сходимость.
(в)	И здесь
Ых
	 —>> 1 при х —>> 1,
х — 1
порядок (относительно yiij) равен 1. Расходимость.

483]	§ 2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ	635
(г)	Если р > О, то особой точкой является ^, при р < О особая точка 0.
В обоих случаях подинтегральное выражение является бесконечно большой по-
порядка \р\. Итак — сходимость при \р\ < 1 и расходимость при \р\ ^ 1.
(д)	При р > 0 особой точкой будет — ^, а при р < 0 особая точка ^. Ответ
тот же, что и в примере (г).
(б) /	dx (a,b>0);
J	In-x-
о
ж	ж
2	2
(в) / In sinx dx;	(г) / In | sin2 в - k2\d6 {к2 < 1).
о	о
Решение, (а) При х —>> 1 подинтегральная функция стремится к 0. Особая
точка х = 0. Пусть 0 < Я < 1, тогда
0 при х —>> 0;
сходимость.
(б)	При * —>> 1, раскрыв неопределенность, найдем, что подинтегральная
функция имеет конечный предел (= Ъ — а). Особая точка х = 0 (если хоть одно
из чисел а, Ъ меньше 1, что мы и предположим). Отношение подинтегральной
функции к числителю равно ^ —>> 0 (при jc —>> 0). Ввиду сходимости интегра-
1
ла J(x ~ — ха~ ) dx, сходится и предложенный интеграл.
0
(в)	Особая точка х = 0. Пусть 0 < Я < 1, имеем:
lnsin^: / х \я i
—:	 = 	 • sin jc • In sin jc —>> 0 при х —>> 0;
-Л-	V sin jc/
сходимость.
(г)	Положим к = sina) (О < со < f), особая точка ^ = <у. Пусть снова
0 < Я < 1, тогда
In | sin2 0 — sin2 со
1
\6-а>\*-
в — СО
sin в — sin со
я
• I sin в — sin бо I
X {In | sin ^ — sin to | + ln(sin в + sin со)}
стремится к нулю при 0 —>> со; интеграл сходится.
/1
ха~\\ - x)b~l dx; (б) Jxa-\\ - x)b~l lnjc dx.
0
Решение, (а) При а < 1 особая точка 0, при Ъ < 1 особая точка 1. Раз-
1 i 1
ложим предложенный интеграл на два, например так: J = / + /• Так как под-
0 0 1
интегральная функция при х —>> 0 является бесконечно большой (если а < 1)

636	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[483
порядка \ — а, то первый интеграл сходится лишь при условии 1 — а < 1,
т. е. а > 0. Аналогично, второй сходится при Ь > 0. Итак, предложенный ин-
интеграл сходится в том и только в том случае, если одновременно а > 0 и Ъ > 0.
(б) По отношению к точке х = 0 положение осталось прежним. Достаточно
i
рассмотреть интеграл J, и притом в предположении а ^ 1 (при а > 1 инте-
0
грал существует как собственный). Рассуждения те же, что и в примере 3), 482.
Интеграл сходится при а > 0, как в случае (а).
Что касается точки х = 1, то здесь положение изменилось, так как Ых
1
при х —>> 1 является бесконечно малой 1-го порядка. Интеграл J* сущест-
\
вует при 6 > — 1.
Окончательно, условия сходимости предложенного интеграла: а > 0,
6 > -1.
J |1
sin" 1
4)
о
Решение. Так как случай к < О приводится к случаю к > О подстанов-
подстановкой ср = л — ф1? то можно ограничиться предположением: к ^ 0. Кроме того, для
сходимости интеграла во всяком случае необходимо: п > 0 — иначе при ср —>> 0
(или ф —>> л") подинтегральная функция становится бесконечно большой поряд-
порядка ^ 1.
Если к < 1, то этого условия и достаточно. При & = 1 интеграл сходиться
не может, ибо при ср —>> л" имеем бесконечно большую порядка 1.
Пусть, наконец, к > 1. Тогда налицо еще одна особая точка а = arccos (— jj,
при ф —>> а подинтегральное выражение обращается в бесконечность порядка п,
значит, для сходимости интеграла нужно еще потребовать: п < 1.
Итак, интеграл сходится, если 1) 0 ^ А; < 1 и п > 0 или 2) А: > 1
и 0 < п < 1; в прочих же случаях — расходится.
оо	оо	оо
5) (a) l^—dx- (б) l^-dx- (в) [xp-le-xdx.
0	0	0
Решение, (а) Особые точки: оо и (при а < 1) также 0. Если разбить ин-
оо	1 оо
теграл: J = J+ J, то первый сходится при а > 0 (бесконечно большая по-
0 0 1
рядка 1 — а < 1 относительно л), а второй — при а < \ (бесконечно малая
порядка 2 — а > 1 относительно j). Итак, интеграл сходится при 0 < а < 1.
оо 1 оо
(б) Особые точки ооиО, J = /+/- Взяв 0 < Я < 1, имеем
0 0 1
\пх 1 хх\пх
	 : —г =	 —>> 0 при * —>> 0,
1+JC2 ХХ	1+JC2

484]	§ 2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ	637
1
J сходится. Пусть теперь 1 < ja < 2, тогда
О	1	1	2 1
Ых 1	х	\пх
—>> 0 при х —>> оо,
00	оо
значит, и J сходится. Отсюда следует сходимость J.
1	О
1
(в) Особые точки оо и 0 (при р < 1). J существует лишь при р > О (беско-
0	оо
нечно малая порядка 1 — р по отношению к J). J существует, каково бы ни
было р, так как, взяв А > 1, имеем	1
—>> 0 при х —>> оо.
оо
J существует при /? > 0.
0
В следующих двух упражнениях рассматриваемые в конечном (или бесконеч-
бесконечном) промежутке [а, Ь] функции предполагаются имеющими в нем (или в каждой
его конечной части — если промежуток бесконечен) разве лишь конечное число
особых точек.
6) Доказать, что
(а)	если интегрируема функция / , то и сама функция / необходимо будет
абсолютно интегрируема (про такую функцию говорят, что она «интегрируема
с квадратом»),
(б)	если обе функции / и g интегрируемы с квадратом, то и сумма их / + g
также интегрируема с квадратом;
(в)	при тех же предположениях и произведение fg будет (абсолютно) инте-
интегрируемой функцией.
По теореме сравнения, все это просто вытекает из неравенств
7) Для функций указанного класса могут быть установлены те же интеграль-
интегральные неравенства, какие были выведены в п° 321 в предположении интегрируемо-
интегрируемости рассматриваемых функций в собственном смысле. Например, если единствен-
единственной особой точкой во всех случаях является Ь (которое может быть и оо), то сто-
стоит лишь написать то или иное интегральное неравенство для промежутка [a, xq],
где а < Xq < b, а затем перейти к пределу при Xq —>> b, чтобы установить спра-
справедливость неравенства и для несобственных интегралов. При этом из сходимости
интегралов в правой части неравенства вытекает сходимость интегралов в левой
части, сходно с тем, что мы имели в 8), 375, по отношению к бесконечным рядам.
484. Главные значения несобственных интегралов. Допустим, что в про-
промежутке [а, Ь] задана функция f(x), которая имеет одну лишь особую точку с
внутри промежутка и интегрируема (в собственном смысле) в каждой части,
' Промежуток [а, Ь] здесь предполагается конечным.

638	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[484
его, не содержащей с. Несобственный интеграл от а до Ъ определяется равен-
равенством
Ъ	с—г] Ъ
причем предел должен существовать при независимом предельном
переходе по г] и по г\ . В некоторых случаях, когда этот предел не существует,
оказывается полезным рассмотреть предел того же выражения, если цжц стре-
стремятся к нулю, оставаясь равными: ц = ц —>> 0. Если этот предел сущест-
существует, его называют (по примеру Кош и) главным значением несобственного
ъ
интеграла J f(x) dx и обозначают символом
а
Ъ	с—г] Ъ
а	а с+т]
[V. р. — начальные буквы от слов «Valeur principale», означающих по-французски
ъ
«главное значение».] В этом случае говорят, что интеграл J f(x) dx сущест-
а
Ъ
вует в смысле главного значения. Если интеграл J f(x) dx существует как не-
а
собственный, то он, очевидно, существует и в смысле главного значения; обратное
же, вообще говоря, неверно. Рассмотрим примеры.
ъ
/dx
	 (а < с < Ъ) как несобственный не существует, ибо
х -с
а
выражение
с—ц	Ъ
dx Ь - с	ц
	 = In	h In —
х — с	с — а	г\'
а	с+ц1
не имеет определенного предела, если цжц1 стремятся кО независимо друг
от друга. В то же время если связать ц жц требованием ц = г], то получим
выражение
с—г] Ъ
Ъ-с
= In	,
с — а
а с\г\
на деле не зависящее от г/, так что главное значение интеграла существует:
ъ
л/ Г dx лЪ~С
V. р. / 	 = In	.
J х — с	с — а

484]
§ 2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ
639
2) Интеграл
	— (а < с < b, п ^ 2) при п четном имеет
бесконеч-
бесконечное значение, а при п нечетном вовсе не существует как несобственный.
Рассмотрим выражение
с—ц	Ъ
Г dx	Г dx
J (j _ су + J (^ - С)«
1
1
1
п-\\(а - с)
- с)п~1
- с)п~1
[Ь - с)
и 1 1
При п нечетном оно сводится к постоянному числу; таково же будет в этом случае
и главное значение:
V.
f dx l \ l 1	1 ,	,
p. / 	 = 	 	т	т in — нечетное).
J {х-с)п п - 1 [(а - c)n~l (b-c)n~l\ v	;
3) Рассмотрим, далее, расходящийся интеграл
ж.
Ни
(О < к< 1).
/
о
к — sin О
Особой точкой будет а = arcsin к, и при в -л а подинтегральная функция обра-
обращается в бесконечность 1-го порядка. Имеем:
dO
1
к- sinfl
П^к2
к — sin в
1 - к sin в - л/1 - к2 cos в
1
0^2
sin a — sin в
1
- в)
Поэтому
а-г) 2
/f	1 Г sin a — sin(a —
+ / = /	\ 1п —(—Г^	•
J	J\ - к2 { sm(a + Ю - sl
— rf)
:
sum
I — cos а
0 a+r]
При r\ —>> 0 выражение под знаком логарифма в первом слагаемом стремит-
стремится к 1 (в чем нетрудно убедиться, раскрывая неопределенность по правилу
Лопиталя). Окончательно,
v / м
Р' J к-sinO
1
'\-к2
1 - л/1 - к2
In	У-	 @<А:<1).

640	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[484
В некоторых случаях можно наперед установить существование главного зна-
значения интеграла. Остановимся на одном таком случае. Пусть дан интеграл
о
I
dx
Ж)'
где функция f(x) непрерывна в промежутке [а, Ь] и обращается в 0 в одной лишь
точке с внутри промежутка. Предположим, что в окрестности точки с сущест-
существует первая производная ff(x), не обращающаяся в 0 при х = с, а в этой точке
существует и вторая производная f"(с).
Так как -тт~т при х —>> с является бесконечно большой 1-го порядка, и притом
меняя знак при прохождении х через с, то предложенный интеграл не существует.
Покажем, что он существует в смысле главного значения.
Положим
1	1
эта функция для х ф с непрерывна. Вблизи х = с имеем, по формуле Тейлора
с дополнительным членом в форме Пеан о [124]:
(х - сJ
f{x) = f\c){x - с) + [/"(с) + а{х)] • V 2 } ,
где а(х) —>> 0 при х —>> с. Тогда, очевидно,
Ф{х) = -
Г(с)[Г(с)
/"
так что (р(х) вблизи х = с остается ограниченной и, следовательно, интегрируема
даже в собственном смысле. Так как для функции ,,( Л _ ^ интеграл существует
в смысле главного значения [см. 1)], то это справедливо и относительно предло-
предложенного интеграла.
С помощью этого признака, например, легко установить существование глав-
главного значения в примере 3). Другим примером может служить определение одной
важной неэлементарной функции, так называемого «интегрального логарифма»:
а
Г dx
J In*
Па
0
Этот интеграл сходится лишь при 0 < а < 1; при а > 1 его понимают именно
в смысле главного значения.
Нетрудно распространить понятие главного значения и на случай любого
конечного числа особых точек внутри рассматриваемого промежутка.
До сих пор мы исключали возможность особенностей на концах про-
промежутка; можно этого не делать, если только при построении главных значений
этих именно особенностей в расчет не принимать.

484]	§ 2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ	641
4) Пусть, например, предложен заведомо расходящийся интеграл (а > 0)
dx.
1 -х
0
Особыми здесь будут точка х = 1 и (если а < 1) конец промежутка * = 0. Легко
показать, что в этом случае
2	1-я 9
а —1
0
приводится просто к интегралу
1
V.p. / 7	rfx = lim { / + / 1
/
(при а < 1 — несобственному).
В заключение рассмотрим еще одну разновидность «главного значения», ко-
которою нередко приходится пользоваться. Именно, остановимся на интеграле, рас-
распространенном на бесконечный в обе стороны промежуток ( —оо, +оо),
причем внутри промежутка мы не предполагаем наличия особых точек. Как из-
известно, такой интеграл может быть определен предельным равенством
+оо	А
f(x)dx= lim	f(x)dx9
у4—)>+оо J
где предельный переход по А и по^4; предполагается незави-
независимым один от другого. Может оказаться, однако, что в этом смысле пре-
предела нет, но существует предел, отвечающий частному предположению А' = —А.
+ ОО
Его также называют главным значением интеграла J f[x) dx и обозначают
— оо
символом
+оо	А
V.p. / f{x)dx= lim f(x)dx.
— оо	— A
Например, если функция f(x) нечетная, то ее интеграл в симметричном
относительно 0 промежутке (—А, А) будет равен 0, так что и
f{x)dx = 0,
— оо
+ ОО
хотя несобственного интеграла J f(x) dx может и вовсе не существовать (как,
скажем, для функции sin^c). ~°°

642	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[485
Если функция f(x) четная, то
А	А
f f(x)dx=2 f f(x)dx,
-А	О
предел для этого интеграла существует в том и только в том случае, когда су-
А
ществует предел для интеграла J f(x)dx, т.е. существует несобственный инте-
+ ОО	°	+ОО
грал J f(x) dx, а с ним и интеграл J f(x) dx. Таким образом, для четной
О	— оо
функции главное значение интеграла существует лишь одновременно с несоб-
несобственным интегралом (и, естественно, равно ему).
Любую функцию f[x) (интегрируемую в каждом конечном промежутке) мож-
можно представить в виде суммы двух функций, четной и нечетной
f(x)+f(-x) f(x) - f(-x)
Ф) = 	2	 И ^ = 	2
(сохраняющих то же свойство интегрируемости).
Из сказанного выше теперь ясно, что
ОО	+ОО
V.p. J f(x)dx= J <p(x)dx,
— oo	—oo
если последний несобственный интеграл существует. Например, замечая, что
функция . +х9 состоит из четной части . 9 и нечетной части . х 9, сразу можно
написать
+ ОО	+ОО
[ 1+х [ dx
V. р. / 	к dx = / 	т = я.
Р J l+x2	J 1+х2
— ОО
485. Замечание об обобщенных значениях расходящихся интегралов. В § 9
гдавы XI мы занимались суммированием расходящихся рядов, приписывая
такому ряду — по тому или иному правилу — «обобщенную сумму». Подобно
этому, существуют методы, позволяющие в иных случаях и расходящимся
интегралам приписывать «обобщенные значения». Собственно говоря, мы
делали это и в предыдущем п° именно тем, что вносили некоторые упрощающие
частные ограничения в предельные процессы, которые приводят к обычным несоб-
несобственным интегралам. Здесь же мы имеем в виду уже существенно иные процессы,
сходные с теми, какими мы пользовались по отношению к расходящимся рядам.
Мы ограничимся двумя примерами таких процессов, которые служат аналогами
метода Ч е з а р о и метода Пуассон а-А беля для рядов.
1. Пусть функция f(x) определена для х ^ 0 и интегрируема в собственном
смысле в каждом конечном промежутке [0, х], но не интегрируема в промежут-

485]	§ 2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ	643
ке [0, оо]. Определим функцию
х
F(x)= I f(t)dt
О
и составим среднее ее значение
-. •
F(u) du.
О
Если для него существует конечный предел
х
lim - / F(u) du = I,
x^oo* J
0
то это число и рассматривают как «обобщенное значение» интеграла.
Применим этот процесс, для примера, к известному нам расходящемуся ин-
интегралу
оо
/¦
sin х dx	F)
О
[472,4)]. Здесь /(*) = sinjc, F{x) = 1 - cosjc, и
х
\ f х — simc
lim - / F(u)du = lim 	 = 1.
x—>-oo x J	x—>-oo	x
0
В качестве «обобщенного значения» расходящегося интеграла F) получилось,
таким образом, число 1.
Естественно, и здесь возникает вопрос о регулярности изложенного
метода: приписывает ли этот метод сходящемуся интегралу
оо
f(x)dx,	G)
о
оо
/
имеющему, по определению п° 470, конечное значение Див качестве «обобщен-
«обобщенного значения» — то же число /. Покажем, что это именно так.
По произвольному числу с > 0, ввиду сходимости интеграла G), найдется
такое Xq > 0, что для х ^ Xq будет
х
\F(x)-I\ < Е-, где F(x)= I' f{t)dt.
о

644	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Предполагая х > Xq, имеем
X	X
- / F(u) du-I=- / [F(u) -I]du
[485
х	хо х
- / F(u) du-I	< - / [F(u) -I]du	+ —-— / \F(u) - I\ du.
x J	x J x -x0 J
0	0
Второе слагаемое справа < | (по самому выбору числа xq); первое же тоже
станет < f, при достаточно большом х, и одновременно:
< ?.
- \F(u)du-
0
Таким образом, действительно
х
Km - / F(u) du = I,
x^oo* J
о
что и требовалось доказать.
П. На этот раз по заданной функции f(x), для которой интеграл G) не су-
существует, введем в рассмотрение другой интеграл
оо
e~kxf(x)dx.
Если последний интеграл при к > О сходится и существует конечный предел
Km \ е~кхf(x)dx =I,
то этот предел и принимается за «обобщенное значение» расходящегося интегра-
ла G).
Чтобы дать пример, рассмотрим вновь интеграл F). Так как
/
е sin^c dx = —г—
[472, 1)] стремится к 1 при к —>> +0, то и здесь в качестве «обобщенного значе-
значения» интеграла F) получается 1.
К вопросу о регулярности второго метода мы вернемся ниже [520].

486]	§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	645
§ 3. Свойства и преобразование несобственных
интегралов
486. Простейшие свойства. Мы будем рассматривать функции,
интегрируемые (в собственном или несобственном смысле) в ко-
конечном или бесконечном промежутке [а, Ъ]. Таким образом, а и Ъ
могут означать не только конечные числа, но также и ±оо. Про-
Простейшие свойства несобственных интегралов, которые мы лишь
перечислим, вполне аналогичны свойствам собственных интегра-
интегралов [302-306] и получаются из них единообразным приемом. Так
как несобственные интегралы суть пределы собственных, то обыч-
обычно достаточно написать для этих последних равенство или нера-
неравенство, выражающее требуемое свойство, и перейти к пределам.
Здесь, прежде всего, также можно ввести понятие об интег-
интеграле по ориентированному промежутку и установить:
1° Если f(x) интегрируема в промежутке [Ь,а]9 то она
интегрируема в промежутке [а, Ь]9 причем
а
= -Jf(x)dx.
а	Ъ
Ъ
[Можно принять это просто за определение интеграла /
для случая, когда а > b]	a
Далее:
2° Пусть f(x) интегрируема в наибольшем *) из промежут-
промежутков [а, Ь]9 [а, с] и [с,Ь]. Тогда она интегрируема в двух других,
и имеет место равенство
Ъ
= Jf(x)dx+Jf(x)dx.
3° Если f(x) интегрируема в [а, Ь] и с = const, то и с • f(x)
также интегрируема, и
ь	ь
fc-f(x)dx =с - f f(x)dx.
*)
Точнее: в том из промежутков, который содержит в себе оба других.

646	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[486
4° Пусть функции f(x) и g(x) обе интегрируемы в проме-
промежутке \а,Ъ\\ тогда интегрируема и функция f[x) ±g(x), и
ъ	ъ	ъ
f\f{x) ± g{x)] dx = f f{x) dx ± fg{x) dx.
a	a	a
При доказательстве *) этого (и следующего) свойства следует
иметь в виду замечание п° 479. Пусть, скажем, Ъ будет единствен-
единственной особой точкой для той или другой из функций f[x), g(x). Тогда,
написав равенство
x) ±g(x)}dx = jf{x)dx ± jg{x)dx {a < xo < b),
можно из него получить предшествующую формулу, переходя
к пределам при х0 —>> Ь9 как в том случае, когда все интегралы от а
до Ъ несобственные, так и в том, когда один из них собственный.
5° Если для двух интегрируемых в [а, Ь] функций f[x) и g(x)
выполняется неравенство f(x) < g(x)9 то при а < Ъ
о	о
Jf(x)dx^Jg(x)dx.
6° Если функция f(x) в промежутке [а,Ь] абсолютно
интегрируема, то {при а < Ъ)
о	о
ff{x)dx^f\f{x)\dx.
7° Если функция f(x) интегрируема в [а, Ь], то при лю-
любом х из этого промежутка существует интеграл
t	A)
и представляет собой непрерывную функцию от х.
*) По отношению к интегралам с бесконечным пределом свойства 3° и 4°
уже упоминались в п° 473 и даже использовались в последующих п°. Здесь они
приводятся в более общей формулировке.

487]	§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	647
Пусть а < х0 ^ Ь; докажем, например, непрерывность функции
Ф(х) при х = х0 слева. Взяв с между а и х0 так, чтобы в проме-
промежутке [с, х0] не было особых точек, исключая разве лишьх0, имеем
для с < х ^ х0
X	С	X
If(t)dt = Jf(t)dt + jf{t)dt	B)
а	а	с
и достаточно установить, что
х	хо
lim
¦с
с	с
А это равенство имеет место [см. 479, замечание] как в случае,
когда интеграл справа — собственный, так и в случае, когда он
несобственный.
Если х0 = Ъ = +оо, то непрерывность функции Ф(х) при
х = +оо понимается в том смысле, что
lim ff(t)dt= I fi?)dt.
Ш^ Ф(х) = Ф(+оо) = / f{t) dt.
8° При тех лее предположениях, если в точке х = х0 функ-
функция f(x) непрерывна, существует производная для функции
Ф(х) [см. A)] в этой точке, и
Для доказательства используется разложение B), со ссылкой
на аналогичное свойство собственного интеграла.
Легко перефразировать свойства 7° и 8° для случая, когда пе-
переменным является нижний предел интеграла.
487. Теоремы о среднем значении. Первая теорема о среднем
значении в первоначальной форме [304, 9°] существенно предпола-
предполагает функцию f(x) ограниченной, а промежуток конечным и пото-
потому не может быть перенесена на случай несобственного интеграла.
В обобщенной же форме [304, 10°] ее перенести можно:
Первая теорема о среднем значении. Пусть функции f(x)
и g(x) обе интегрируемы в промежутке [а, Ъ], причем f(x)
ограничена:
т ^ f{x) ^ М,

648	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[487
a g(x) не меняет знака; тогда и функция f(x) -g(x) интегри-
интегрируема и
ъ	ъ
j /0) • g(x) dx =/л j g(x) dx,
где m ^ \i ^ M.
Существование интеграла вытекает из заключительной теоре-
теоремы п° 475 и аналогичной ей теоремы п° 482. Само же равенство
доказывается формально так же, как и для собственных интегралов.
Если функция f(x) непрерывна в замкнутом промежутке
[a, i], то за т и М можно взять наименьшее и наибольшее зна-
значения f(x) в [а, Ь], и множитель \х оказывается равным одному
из значений функции f{x)\
ъ	ъ
Jf(x).g(x)dx=f(c).Jg(x)dx,
а	а
где с содержится в [а, Ь]. Это верно и в том случае, если промежу-
промежуток [а,Ь] бесконечен, ибо теоремы Вейерштрасса и Боль-
цано-Коши [85; 82] для этого случая также справедливы, в чем
предлагаем читателю убедиться самому.
Имеет место также [ср. 306, 14°]:
Вторая теорема о среднем значении. Пусть функция f(x)
монотонна и ограничена в промежутке [а, Ь], а функция g(x)
интегрируема в этом промежутке. Тогда и функция f{x)-g{x)
также интегрируема, и
Ь	|	Ь
/(*) . g(x) dx = f(a) jg{x) dx + f[b) jg{x) dx
а	я	|
{a ^ | ^ b).
Остановимся для определенности на случае, когда а конечно,
Ъ — +оо и других особых точек для g[x) нет. Существование ин-
интеграла вытекает из признака Абеля.
Без умаления общности можно считать функцию f(x) убыва-
убывающей. Ввиду ограниченности ее, существует конечный предел

488]	§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	649
Тогда f*(x) = f{x) — /(+оо) ^ 0. Для конечного промежутка
[а, А] имеем [306, 13°]:
C)
А
Непрерывная в промежутке [а, +оо] 70^ функция f g(x) dx от А име-
а
ет конечные границы т, М, так что [см. C)]
А
и, в пределе при ^4 —)> +оэ,
Отсюда
r(x)g(x)dx = vf*(a) (т^/л^М).	D)
А
Но непрерывная функция /g{x)dx достигает своих границ т, М
а
и принимает любое содержащееся между ними значение, т. е.
I
= / g(x) dx,
И = / g(x) dx, где а < | < +оо.
Полагая в D) f*(x) = /(х) - Д+оо) и подставляя только что
найденное выражение для /i, и придем к доказываемой формуле.
488. Интегрирование по частям в случае несобственных инте-
интегралов. Пусть функции и = и(х) и v = v(x) определены и непре-
непрерывны вместе со своими первыми производными во всех точках
Свойства функций, непрерывных на бесконечных замкнутых про-
промежутках вида [а, оо], [—оо, а] и [—оо, оо], совершенно аналогичны хоро-
хорошо известным читателю свойствам функций, непрерывных на конечных
замкнутых промежутках.

650	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[489
промежутка [а, Ь]9 исключая точку Ъ (которая может быть равна
и +оо). Тогда имеет место равенство
0	о
1	udv = uv\ba — I vdu,
если под двойной подстановкой понимать разность
lim u(x)v(x) - u(a)v(a).
При этом предполагается, что из трех входящих в равенство
выражений (два интеграла и двойная подстановка) имеют смысл
два: существование третьего отсюда уже вытекает.
В самом деле, взяв а < х0 < Ь, напишем обычную формулу ин-
интегрирования по частям для промежутка [<я,х0], где все интегра-
интегралы — собственные:
х0	х0
/ udv = [u(xo)v(xq) — u(a)v(a)] — I vdu.
a	a
Пусть теперь в этом равенстве х0 стремится к Ъ. По условию,
два из входящих в него выражений имеют конечные пределы при
х —»> хо*}. Следовательно, имеет конечный предел также третье
выражение, и доказываемое равенство оправдывается с помощью
предельного перехода.
489. Примеры.
Ж	Ж	тт
2	2
1) / In sin x dx = x In sin x — I x • 	dx = — /
J	0 J	sin*	J tgjc
dx
0	0	0
— интегрированием по частям здесь удалось свести несобственный инте-
интеграл к собственному и тем доказать существование несобственного интеграла
[ср. 483, 2), (в)]. Ту же особенность имеют и следующие примеры:
1	1
Г \пх	[
2) (а) / 	у dx = \nx d arctg^: =
0	0	!	!
,1 [ SLYCtgX	f SLYCtgX
= ln^-arctg^L— / 	dx = — / 	dx.
10 J x	J x
*)
См. замечание в п° 477.

489]	§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
(б) Аналогично
651
1	1
/In x	f arcsin
,	dx =	-
л/1 _ Y2	/	X
¦dx.
oo	oo
ч f sin л:	f
3) / 	dx	= - /
J X	J
dcosx
oo
°° f cos x
	 I	dx
a	J XZ
(a> 0).
Так как и двойная подстановка и интеграл справа имеют смысл, то этим снова
доказано существование интеграла слева [ср. 476; 477].
Совершенно аналогично можно установить существование интеграла
оо
J Щ^- dx (а, Я > 0), если функция f(x) непрерывна и интеграл от нее
а	х
F(x) = J f(x) dx ограничен для всех х > а. [Это вытекает и из признака Ди-
а
рихле.]
Путем интегрирования по частям иной раз получаются рекуррентные фор-
формулы, с помощью которых затем уже легко осуществляется вычисление предло-
предложенных интегралов. Проиллюстрируем это на следующих примерах (пик —
натуральные числа):
4)In =
Имеем:
oo
0
ОО
/-t ,п-1
е ., ,
= 4-1'
откуда 1п = п\.
Уничтожение двойной подстановки здесь (и в дальнейших примерах) созда-
создает преимущество для применения формулы интегрирования по частям именно
к определенным интегралам (а не к неопределенным).
оо
5) Еп = I e~ax sin" xdx (a > 0).
о
Прежде всего, интегрируя по частям, найдем:
?„ = -!*-** sin**
0	a
_l	I ax s^n« ^ cqs ^ ^ ^
0

652	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[489
Так как двойная подстановка равна нулю, то, снова прибегая к интегрированию
по частям, получим далее:
оо
П _ах . n_i	°° п(п - 1) f _ах . п_2	2 ,
Е =	-е sm х cos;\; -\	г	 / е sin л: cos x dx —
а1	о	a1 J
О
оо
—ах • и г
Если заменить здесь cos2 х на 1 — sin2 x, то легко прийти к рекуррентной фор-
формуле:
Е П{П~1) Е ,
п1 + а1
Так как Eq = ^ и ?1 = 1 2 , то окончательно для случаев нечетного и чет-
четного п найдем соответственно:
г _	B*" 1)!
аB2 + а2)D2 + а2).. . BГ + а2)
б) Легко распространяется на случай несобственных интегралов и обоб-
обобщенная формула интегрирования по частям [311, G)].
Пусть, например, предложен интеграл
оо
А = I е	• Ln [х) их,
О
где р > 0 и Ln(х) означает так называемый п-и многочлен Чебышёва-Ла-
г е р р а (Е. Laguerre)
Ln(x) = ех ¦ d ^1 } (« = 0,1,2,...).
Пользуясь упомянутой формулой, будем иметь
оо
¦/•
\ -рх а Xх е ) . , ллп-\а е	п -х 1
= < е F •	. . . + ( —1)	— • х е >
оо	оо
+ (-1)" Ix"e-x ¦ ^-^- dx = p" fx"e-^+1)x dx
ОО
К= [ е~рл • " ч". ; J dx =
0
0

490]	§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	653
и, окончательно [(см. 4)]:
Аналогично устанавливаются результаты:
если к ф п
если к = п.
490. Замена переменных в несобственных интегралах. Пусть
функция f(x) определена и непрерывна в конечном или бесконеч-
бесконечном промежутке [а, Ъ) и, следовательно, интегрируема в собствен-
собственном смысле в каждой его части, не содержащей точки Ъ9 которая
может быть и +оо; эта точка, по предположению, является един-
единственной особой точкой для функции f(x).
Рассмотрим теперь монотонно возрастающую функ-
функцию х = ф{г)9 непрерывную вместе со своей производной q>'{t)
в промежутке [а,/3], где /5 может быть и +оо, и допустим, что
ф{а) = а и ф(Р) = Ъ. Последнее равенство надлежит понимать
в том смысле, что lim cp(t) = b.
При этих условиях имеет место равенство
р
J
р
= Jf(<p(t)).<p'(t)dt9	E)
в предположении, что существует один из этих интегралов (сущест-
(существование другого отсюда уже вытекает). Второй интеграл будет ли-
либо собственным, либо несобственным — с единственной особой
точкой р.
По теореме об обратной функции [83], ясно, что и t можно рас-
рассматривать как монотонно возрастающую и непрерывную функцию
от х в [a, b): t = в(х)9 причем lim в(х) = /3.
Пусть теперь х0 и t0 будут произвольные, но соответствующие
одно другому значения х nt ииз промежутков (а, Ь) и (а, /3). Тогда
с помощью замены переменной в собственном интеграле будем
иметь
х0	t0
Jf(x)dx=Jf(<p(t)).<p'(t)dt.

654	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[491
Если существует, скажем, второй из интегралов E), то станем при-
приближать произвольным образом х0 к Ь; при этом t0 = в(х0)
устремится к /3, и мы установим формулу E) одновременно с до-
доказательством существования интеграла слева.
Наше рассуждение одинаково применимо в случае монотон-
монотонно убывающей функции q>(t)9 когда а > /3. Так же исчерпыва-
исчерпываются и другие возможные случаи распределения особых точек. При
расстановке пределов в преобразованном интеграле всегда следует
помнить, что пилений предел а должен соответствовать ниж-
нижнему пределу а, а верхний предел /3 — верхнему пределу Ъ
независимо от того, будет ли а < или > C.
491. Примеры.
оо
1) Интеграл / —,	(к2 < 1 < *п) подстановкой х = -?,
J уОф-iX*-^)	fi
2
dx = —-rdt приводится к интегралу
о
-2 /	Л
J /	2	*V)
7*7
[
J
Здесь а = Xq, b = ос, а = —т=, /5 = 0. Несобственный интеграл преобразуется
в собственный.
2) Вычислить интеграл
ъ
dx
1
у/(х-а)(Ь-х)
и
подстановкой
х = a cos ср + Ъ sin ср.
Указание. Здесь а = 0, /3 = ^, и искомый интеграл приводится к соб-
собственному интегралу
ж.
2
о
\ I dcp = тт.
0
3) Для установления сходимости интеграла / sin^c d!x
выполним в нем за-
dt
мену переменной: jc = \ft, dx = —— • a = a = 0, b = /3 = оо. Мы получим

491]	§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	655
оо
1 [ sin/
- / —-F- dt, i
2J Jt
заведомо сходящийся [476 или 489, 3)] интеграл — / —— dt, следовательно, схо-
0
дится и предложенный интеграл. Интересно отметить, что подинтегральная функ-
функция в нем при х —>> оо не стремится ни к какому пределу, колеблясь между — 1
и +1.	оо
Аналогично исчерпывается вопрос о сходимости интеграла / cosx dx.
В следующем примере устанавливается более общий результат. °
4) Доказать, что интегралы
оо	оо
fwi(f(x))dx, fcos{f(x))dx
а	а
сходятся, если f'(x) монотонно возрастает и стремится к оо при х —>> оо.
Прежде всего, f'(x) > 0 для достаточно больших х и f(x) монотонно воз-
возрастает; будем считать, что это имеет место уже начиная с х = а. С помощью
формулы конечных приращений получаем
f(x + 1) = f(x) + f\x + в) > f(a) + /'(*),
следовательно, сама функция f{x) —>> оо при х —>> оо. Введем новую перемен-
переменную t = f(x), так что
х = g(t), dx = g(t) dt (a = f(a), /3 = oo),
если через g обозначить функцию, обратную /. Но производная g(t) = jAp-
монотонно убывает и стремится к 0 при t —>> оо. Поэтому преобразованные
интегралы
оо	оо
¦\t)dt
/и	/и
по признаку Дирихле сходятся, а с ними сходятся и предложенные интегралы.
оо	оо
/ siiU -g(t)dt, / cost -g(
Г Ых
J тт^
5) Для вычисления интеграла / 	т- dx [его сходимость мы уже устано-
0
оо 1 оо
вили в 483, 5), (б)] разобьем его на два: J = J + J. Во втором из них сделаем
о о 1
подстановку х = - (а = I, Ъ = оо, а = 1,/3 = 0)и придем к результату
00	0	1
1	т dx = / ~л	9 dt = -	т dx,
J \+х2	J \+t2	J \+x2
1	1	0
откуда следует, что предложенный интеграл равен 0.

656	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[491
6) Пусть дан несобственный интеграл
1
.	dx,
подстановкой х = sirU (a = 0, b = \, а = 0, /3 = — ) он приводится к соб-
собственному интегралу
7) Вычисление интеграла
esmt dt.
оо
dx
И
А	| Л
О
[ср. 472, 2)] может быть очень упрощено применением целесообразных подста-
подстановок.
Прежде всего, к нему приводится интеграл
оо
¦dx
/х d
О
подстановкой х = - (а = О, Ъ = оо, а = оо, /3 = 0), так что можно написать
ОО (л , 1 \ 7
X2)dx _ 1 Г A + ^)^
х
0	0
Если теперь прибегнуть к подстановке х	= z (а = 0, 6 = +оо, а = — оо,
х
/3 = +оо), то сразу получим
7_ - ¦ dz	X
1	Г ^
2	J z^
+оо
— оо
2
8) Для вычисления интеграла /	естественно положить /^ =
J л/tg^
о
т. е. 0 = arctg/^ Га = О, b = —, а = 0, /3 = оо); мы придем к только что вы-
численному интегралу:
О
2 / 	j = —=.

491]
3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	657
9) Установить формулы:
Г	dx
(а) / 7^~~
оо
-х2 ал/а2 - 1
(б)
dx
arcsm a
(х2 -а2)^х2 - 1 ау/\ -а2
f dx ж
/ ~п2	a2) fY^x2 = а Г\	'а2
dx	\n(a+ л/ТТа2^
-1
оо
(г)
J (x2 + a
x2 - 1
+ а2
(д) / 	-^=^=
J (х2 + а2)л/х~2ТТ
ct\ aL —
arccos а
(« > 1);
(О < а < 1);
(« > 0);
(а > 0);
(« > 1),
(а = 1),
@ < а < 1).
Указание. Во всех случаях воспользоваться подстановкой Абеля [284].
10) Вопрос о сходимости интегралов
оо	оо
Иг	Г	Иг
(Я > 0, а > 1, А > е)
х • тх • in"^in*j
А
сразу решается, если подстановкой
t = In х, и = In (In х)
привести их к интегралам
оо	оо
Г dx	f	dx
J х\плх' J х ¦ \пх ¦ Ы*
оо	оо
Г dt	f du
У f1' У й1
In а	1п(кь4)
— оба сходятся при Я > 1 и расходятся при Я ^ 1.
В следующих упражнениях под f(u) разумеется произвольная непрерывная
для и ^ 0 функция.
11) Доказать, что
оо	оо
(х а\ dx
+ )	@)
f (x a\ dx
J \a xJ	x
0
)
а х J x
0
если только интегралы сходятся.
Указание. Прибегнуть к подстановке^ = аеи {а = — оо, /3 = +оо).

658	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[491
12) Доказать, что (при р > 0)
оо
/dx
f(xp+X-p)\nx— = 0;
о
о
если только интегралы сходятся.
оо	1 оо	оо	1
Например, для (а) имеем: J = /+ /, но J = — J, как в этом легко
0	0 11	0
убедиться подстановкой х = } и т. д.
13) В предположении, что сходится интеграл справа, доказать формулу
оо	оо
/ \Ах	j \dx = - f{y2)dy (А, В > 0).
0	0
Подстановка;; = Ах — j (а = —оо, Ъ = +оо, а = 0, /3 = +оо) дает
0	0
Но последний интеграл подстановкой х = — Jy (а = 0, Ъ = +оо, а = —оо,
/3 = 0) приводится к
0
так что
+ ОО	+ОО
/(у2) dy=A I
— ОО	—ОО
Отсюда (ввиду четности подинтегральной функции) и вытекает требуемая фор-
формула.
14) В заключение, владея заменой переменной в несобственных интегралах,
вернемся к одному незавершенному выше вопросу. В 439, 1), мы исследовали на
непрерывность функцию
но не установили ее поведение в точке х = 0 в том случае, когда 0 ^ р < 1,
q> 1ир + д<2.

492]	§ 4. ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	659
Воспользовавшись формулой A0а) в сноске с. 312, можно оценить сумму
ряда снизу с помощью интеграла
оо
2
Полагая здесь t = х ~^р • v, заменим это неравенство таким:
/(*)
оо
q-p	I
J
VP + Vе!
При х —>> +0 интеграл стремится к конечному положительному пределу
dv
Г
J
J	+ Vе! '
0
а множитель при нем либо равен 1 (если р + q = 2), либо даже стремится к оо
при х -л +0 (если р + q < 2). Так как /@) = 0, то справа в точке х = 0 во
всяком случае налицо р а з р ы в; то же — и слева. +оо
Замечание. Интеграл с бесконечным пределом J f(x) dx всегда мо-
а
жет быть надлежащей подстановкой приведен к интегралу с конечными пределами
(собственному или нет). Например, если а > 0, можно положить х = |:
a	0
b
Наоборот, несобственный интеграл J f(x) dx с единственной особой точкой b
а
всегда может быть приведен к интегралу с бесконечным пределом (без других
особых точек). Например, полагая х = Ъ — j, получим:
Ъ=Б
§ 4. Особые приемы вычисления несобственных
интегралов
492. Некоторые замечательные интегралы. Начнем с вычисле-
вычисления некоторых важных интегралов с помощью искусственных при-
приемов.

660	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[492
1° Интеграл Эйлера (L. Euler):
ж
2"
J = / lnsinx dx.
о
В его существовании мы уже убедились. Вычисление интеграла
Эйлера основано на использовании замены переменной. Имеем,
полагая х = 2t\
ж	ж	ж
4	4	4
J= 2 Insin2t dt = у 1п2 + 2 Insint dt + 2 Incost dt.
0	0	0
Подставляя в последнем интеграле t = ^ — и, приведем его к ви-
ж_
ду 2 / In sin и du, так что, окончательно, для определения J полу-
ж
4
чаем уравнение
J = — • In 2 + 2J, откуда J = — —
К этому же интегралу, с точностью до знака, приводятся и соб-
собственные интегралы [ср. 489, 1) и 2), (б)]:
!	1
/х	Z4 arcsinx
	dx,	/ 	б/х.
tgx	J х
о	о
2° Обратимся к вычислению интеграла Эйлера-Пуассона:
оо
К= [е~х1 dx,
о
встречающегося в теории вероятностей. С этой целью предвари-
предварительно установим некоторые неравенства.
Обычными в дифференциальном исчислении методами нетруд-
нетрудно установить, что функция A + t)e~f достигает своего наиболь-
наибольшего значения 1 при t = 0. Следовательно, для t ^ 0 будет
Полагая здесь / = ±х2, мы получим
A-х2)ех2<1 и A+х2)е~х2< 1,

492]	§ 4. ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	661
откуда
1-х2<е~х2<—^ (х>0).
Ограничив в первом из этих неравенств изменение х промежут-
промежутком @, 1) (так что 1 — х2 > 0), а во втором считая х любым, воз-
возвысим все эти выражения в степень с любым натуральным показа-
показателем п; это дает нам *)
A - х2)п < е~пх2 @<х < 1)
и
е~пх2 < ,л 1 оч (х > 0).
Интегрируя первое неравенство в промежутке от 0 до 1, а вто-
второе — от 0 до +оо, получим
1	1	+ОО	+ОО
dx
J(l-x2ydx<Je-2dx< I e-2dx< J
0
Но
ОО
[е-ш2Лх =
о
1
f(l-x2)ndx
0
и наконец,
оо
0
0
= /sm
0
ж
0
0
2n+4dt =
Bи)й
Bп-\
_Bп-
Bи-
-1)!!
¦3)!!
¦2)!!
0
(подстановка и = л/wc),
(подстановка х =
^ (подстановка х =
*^ Для неравенств с положительными членами допустимо возвышение
в натуральную степень почленно.

662	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[492
[Мы воспользовались здесь известными выражениями для
fsinmxdx, 312, (8).] Таким образом, неизвестное нам значение К
о
может быть заключено между следующими двумя выражениями:
г Bя)!! _, г {In - 3)!! л
так что, возводя в квадрат и преобразуя, получим
if2-* #
2/7 + 1 [B/7 - 1)!!]2B/7 + 1)
4if-
п
<
- 1	[B/7 - 2)!!]
Из формулы В ал лис а [317]:
2 *-юо [B/7-1)!!]2B/7+1)
легко усмотреть теперь, что оба крайних выражения при п —»> оо
стремятся к одному и тому же пределу f, следовательно,
= — и К = ^—- (так как К > 0).
3° Рассмотрим, наконец, интеграл
оо
1=7™ dx.
J X
О
Мы знаем уже, что он сходится [476; 477; 489, 3)]. Представим
интеграл в виде суммы ряда
/ =
у=0
Положив v равным 2/i или 2/i — 1 и прибегнув, соответственно,
к подстановке х = /ijr + t или х = /ijr — t, будем иметь:
Г ялг\ t
dt
/ =
\17T + t
0

493]
и
Отсюда
/ =
Так как
ряд
sint
t
§ 4. ОСОБЫЕ
У -<
B^-1).§
2"
ПРИЕМЫ
-W-
ВЫЧИСЛЕНИЯ
Л"
/
0
+
sin^
\хп — t
1
663
)
в промежутке 0 ^ t ^ ^ сходится равномерно, ибо мажори-
мажорируется сходящимся рядом - Y1 о1 1 •> то его можно интегрировать
почленно.
Это дает нам право написать выражение для / в виде:
7=
Но выражение в квадратных скобках есть разложение на простые
дроби функции ^ [441, 9)]. Таким образом, окончательно,
/ =
о
-h-i
Приведенный изящный вывод принадлежит Лобачевскому, ко-
который первым обратил внимание на нестрогость тех приемов, с по-
помощью которых этот важный интеграл вычислялся раньше.
493. Вычисление несобственных интегралов с помощью инте-
интегральных сумм. Случай интегралов с конечными пределами. Если
функция f(x) в промежутке [а, Ь] неограничена, то произволь-
произвольными интегральными (римановыми) суммами пользоваться для
вычисления ее интегралов в этом промежутке, разумеется, нельзя.
Однако всегда можно так выбирать эти суммы, чтобы они —

664	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[493
при дроблении промежутка — стремились к значению несобствен-
несобственного интеграла. Мы установим это для простейшего случая моно-
монотонной функции.
Итак, пусть функция f(x) в промежутке [0, а] {а > 0) положи-
положительна, монотонно убывает и при х —>> 0 стремится к +оо; в то же
время пусть для нее существует несобственный интеграл от 0 до а.
Разделив промежуток [0, а] на п равных частей, будем иметь
у + 1 п	а
f(x)dx <
0	"=»?*
и тем более
о	о	v=1
В то же время, очевидно,
о
так что, по совокупности,
А
0 < | /(jc)dx -^-Е/(^) < / f{x)dx.
о	v=1	о
Так как последний интеграл при п —>> сю стремится к нулю, *) то
окончательно
f(x)dx= lim --V/(-а
V 1
* ^ Он представляет собой разность между несобственным интегралом J и стре-
стремящимся к нему собственным интегралом J.

493]	§ 4. ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	665
В случае положительной возрастающей функции /(х), стремя-
стремящейся к +оо при х —>> а, получается аналогично
п-\
f(x)dx = lim -
0
а
I
Наконец, изменяя знак /, легко получить такие же формулы
и для монотонной отрицательной функции.
Рассмотрим примеры.
1
1) Для вычисления интеграла / \nx dx (с особой точкой 0) имеем:
0
1
/
1 П	П/ •
1 ^-—\ у	ут
\пх dx = lim - у In - = lim In	.
о
Так как [77, 4I lim -^ = j, то предыдущий предел равен — 1; таково, в дей-
ствительности, и есть значение предложенного интеграла.	f
2) В качестве второго примера возьмем более сложный интеграл: / In sin x dx.
В этом случае	°
ж
j,	и—1	п—\
I	JT ^-—\	VJT	JT т—г	VJT
/ lnsin^:^ = lim — > In sin— = lim —In I I sin—.
/	и^оо 2п ^	2n n^oo2n 1J- 2n
Jo	v = l	v = l
Желая получить простое выражение для последнего произведения, рассмот-
рассмотрим многочлен, получающийся от деления z2n — I на z2 — I, и разложим его
на линейные множители, собирая вместе множители, отвечающие сопряженным
корням. Мы получим (при любом вещественном z, отличном от =Ы):
2п л п-\
v = l
При z —>> 1 отсюда найдем:
п = ТТ \( 1 - cos — ^ + sin2 — = 4" ТТ sin2 —,
Х±\	« /	П \	Х±	2^2
v=l L	J	v=l
так что, наконец,
п-\	г
П. ул- vw
Sm ~2п ~ 2п~1'
*) Г'л/г ^игк^тглл **)
См. сноску **j на с. 135.

666	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[494
Поэтому искомый интеграл оказывается равным
f
л A In п — (п — 1) In 2	л
In sin x dx = lim — • —	 =	In 2
2	n	2
0
2
[cp. 492, 1°].
494. Случай интегралов с бесконечным пределом. Пусть функ-
функция определена и интегрируема в промежутке от 0 до +оо. Раз-
Разлагая этот промежуток на бесконечное множество равных проме-
оо
жутков длины h > О, составим сумму Yl f{vh) * К напоминающую
по своему строению риманову сумму. Сходится ли этот ряд, будет
ли его сумма при h —»> 0 стремиться к несобственному интегралу
/ f{x) dx — вот вопросы, которыми мы займемся при некоторых
о
частных предположениях относительно f(x).
Предположим сначала, что f{x) положительна и, монотонно
убывая, стремится к 0 при х —»> +оо. Тогда
У
О	^=° vh
а с другой стороны, очевидно,
У	оо
f{x)dx >h-^2f(yh) =h^2f(yh) -А-Д0),
v=l	v=0
так что
oo
/
vh)- jf(x)dx<h-f@)
A)
v=0
Примеры.
1) Положим f[x) = e~x. Тогда
OO
/¦
= lim h - y^e~vh = lim

494]	§ 4. ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	667
2) Зная значение интеграла
оо
-X2 г	л/Й
> х dx = —
О
оо
из других соображений, мы все же можем применить выведенную формулу и по-
получим, таким образом, что
оо	.—
lim h • У^е~У = 	.
h^O *-^	2
v=0
Если положить e~h = t, то h = Win j ~ \/\ — t при t —>> 1. Отсюда — инте-
интересное предельное соотношение:
lim л/1—^-A+^ + Г +Г +Г +...) = ——.
?—>-l—0	2
Может случиться, что требование монотонного убывания функ-
функции f{x) выполняется лишь для х ^ А > 0. Это обстоятельство
не мешает применению указанного для монотонных функций прие-
приема; нужно лишь озаботиться тем, чтобы отношение | было целым.
Тогда
lim У^ /(vfo) ' h = / /*(x) dx	B)
v=0	0
по самому определению собственного интеграла, а
x)dx
— по доказанному выше.
Пример.
3) Пусть f[x) = хе~х; эта функция монотонно убывает начиная с х = 1.
Тем не менее
оо
	х	2 	fa		2h		3h
хе dx = lim h (e + 2e + 3e +...) =
0
= lim /iVA(l - e~h)-2 = lim ^f—^—J = 1,
h^O	h^O \eh - 1/
что легко проверить интегрированием по частям.

668	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[494
Перейдем к более общему случаю, не требуя от f(x) пока ни-
ничего, кроме интегрируемости. Имеем
оо	А	оо
f f{x)dx = j f{x)dx+ j f{x)dx.
0	0	A
При достаточно большом А последний интеграл по абсолютной
величине будет произвольно мал *}. Каково бы ни было А, станем
и здесь h брать таким, чтобы | было целым. Тогда, при А = const,
как и только что, будет выполняться B).
Теперь ясно, что для справедливости равенства A) достаточно,
чтобы еще выполнялось условие:
оо
lim V f(vh) • А = 0.	C)
Действительно, тогда все слагаемые правой части равенства
^ оо	г j 4-1-, 7 °°
/-?=/-? +/-Е
0 у=0	0 у=0	А ^=1
при достаточно большом А и достаточно малом h будут произволь-
произвольно малы.
Условие C) автоматически выполняется при ранее сделанных
относительно f(x) предположениях, ибо
0< ^
A).A< f{x)dx.
А
Оно также выполняется, если f(x) = q>(x) • г/>(х)9 где ф(х) (хотя
бы для х ^ х0 > 0) удовлетворяет тем условиям, которые выше
были наложены на /(х), а ^(х) ограничена: |^(х)| ^ Z. В этом
случае
^2q>(vh) -ip(vh)
/
< L • / (p(x)dx
и т. д.
*) Он представляет собой разность между несобственным интегралом J
А	0
и стремящимся к нему при А —>> оо собственным интегралом J.
0

494]	§ 4. ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	669
sm2^:
4) В качестве примера рассмотрим интеграл / —^—dx; здесь
ф(х) = —, гр(х) = sin х. Имеем
х2
/°°
sin х	.	v-^ sin vn . 1 х~^ sin vh
= lim h • >	= lim -
(y/z)z А-И) /2
Для вычисления последней суммы сообразим сначала, что
Esin vh I ^—\ sin2y/z ж — 2h ж
v2 J , ~ ^ ~ ~ 2 ~ 2" ~ Л
v=l	} h v=l
[461, 6), (б)]. Почленное дифференцирование для h Ф 0 допустимо по теоре-
теореме 7 [435], ввиду равномерной сходимости ряда, составленного из производных
[по признаку Дирихле, 430]. Интегрируя, найдем выражение для интересу-
интересующей нас суммы: ^— • h. Отсюда
7
2
sin х	л — h л
d l
¦ dx = lim
2 2
о
В других случаях выполнение условия C) приходится проверять непосред-
непосредственно.
оо
5) Пусть, например, предложен интеграл / 	dx. Ограничимся (на что
J x
о
мы, очевидно, имеем право) значениями h = — и А = тж, где к, т — натураль-
к
ные числа.
Представим интересующую нас сумму в виде:
/~ч^~\	и I УУ1 —I— I I	 I	и I УУ1 —I— / I	 I
х—\ sin nh
h=
^ nh
n—km	n—km	n=k(m+l)
Нетрудно убедиться в том, что слагаемые в пределах каждой конечной суммы
справа будут одного знака, который меняется при переходе к следующей сумме.
В общем, ряд справа будет типа Лейбница. Поэтому его сумма по абсолютной
величине будет меньше абсолютной же величины первого слагаемого. С другой
стороны, так как kmh = тж = А,
I sin nh I
¦ h <
? =?¦•
n=km
n=km
nh
k{m+\)-\	k-1
< — \ \ sin nh\ - h = —\ sin ih • h.
n=km	/=0

670	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[495
ж
Последняя же сумма, как интегральная сумма для интеграла J sin x dx =2, при
0
достаточно малом h будет меньше любого числа С > 2, а тогда
оо .
Е sm nh
	 • h
nh
n=km
откуда и вытекает выполнение условия C).
Самое же вычисление предложенного интеграла, оправданное изложенными
соображениями, проводится весьма просто [см. 461, 6), (б)]:
с
А'
°° .	оо .
/ sin л	_ ^-^ sin nh _ jt — h jt
о "	"=1
dx = lim > 	 = lim
x	h^O^-^ n h^O 2	2
что выше [492, 3°] мы получили иным путем.
495. Интегралы Фруллани. Рассмотрим вопрос о существова-
существовании и вычислении одного частного вида несобственных интегралов,
обычно называемых интегралами Фруллани (G. Froullani):
/
I. Относительно функции f(x) сделаем следующие предположе-
предположения: 1° f(x) определена и непрерывна для х ^ 0 и 2° существует
конечный предел
Из 1° ясно, что существует (при 0<?<Д<+оо) интеграл
f{ax) - f[bx)
aA
aS
Г
s
f{ax) ^
bA
bS
ff{bx)i,
J x
8
bS
aS
bA
J z
aA
Предложенный же интеграл определяется равенством
?Л«)- /(fa) dx = „„//(?),___ „m
J	X	S^OJ Z	A^+oo J
¦¦ld,
Z
aS	aA

495]	§ 4. ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	671
Применяя к последним двум интегралам порознь обобщенную тео-
теорему о среднем значении, получим
aS	aS
и, аналогично,
ЬА
/
dz = f{ri) • In - (где а А ^ ц ^ ЬА).
(Л
аА
Так как, очевидно, | —> 0 (при S —>> 0), а ц —>> +оо (при А —>> +оо),
то отсюда
Примеры.
1) В случае интеграла
оо
dx
0
имеем:
/0) = е~х, ДО) = 1, Д+оо) = 0,
так что значение интеграла будет In —.
а
2) Пусть предложен интеграл
р + qe~ux х
0
Заменяя логарифмы частного разностью логарифмов, можно положить здесь
f(x) = \п(р + qe~x), так что ДО) = \п(р + q) и Д+оо) = In p.
Ответ: 1п( 1 + - ) • In -.
\ р) а
3) Вычислить интеграл
оо
/arctg ах — arctg Ъх
х
0
В этом случае
f(x) = arctgx, /@) = 0, Д+оо) = -.
ж а
Ответ: — In —.
2 6

672	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[496
П. Иной раз функция f(x) не имеет конечного предела
при х —>> +оо, но зато существует интеграл
-dz.
z
A
Заменяя в приведенном рассуждении А сразу на +оо, придем,
взамен D), к результату
In-.	Da)
о
Пример.
оо
. [ cos ах — cos Ьх	Ъ
4) / 	dx = In -
J	x	a
О
(ибо интеграл J ^^- dz, как мы знаем, существует).
А
III. Аналогично, если нарушена непрерывность функции f(x)
при х = 0, но существует интеграл
о
то
оо
/(«*)-Ль*) ^=л+00).1«	Dб)
/^л+00I
J	X	и
О
Впрочем, этот случай приводится к предыдущему подстановкой
1
х = —.
496. Интегралы от рациональных функций между бесконечны-
бесконечными пределами. В заключение рассмотрим еще один частный тип
интеграла с бесконечными пределами:
+оо
Р{х)
1
¦dx,
где Р(х) и Q(x) — произвольные многочлены. Предположим, что
многочлен Q(x) вещественных корней не имеет и что сте-

496]
4. ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
673
пень Р(х) по крайней мере на две единицы ниже степени Q(x).
При этих условиях интеграл существует [474, 2)]; вопрос лишь в
его вычислении.
Если хх = ах + i/3x (Рх ^ 0; А = 1, 2, ...) суть различные кор-
корни многочлена Q(x), то дробь -J?l следующим образом разлагается
на простые дроби
= ?
я
4
(х-хя)
E)
причем число дробей в каждой скобке равно показателю кратности
*)
соответствующего корня.
Распространяя на случай комплексной функции от ве-
вещественной переменной элементарные способы вычисления
интегралов, видим сразу, что при т > 0
+ ОО
[
J
dx
— оо
следовательно,
0 -
[
J
+оо
Q{x)
С другой стороны,
1	1
х —
x-xx
т (х -хх)
= lim
- о
x-xx
—h
x — a7
я
ря
/dx	Г1
h Х ~ХХ	^Z
2
х — а7
*^ В главе VIII [274] мы имели подобное же разложение, но там мы старались
избежать мнимости ив случае мнимых корней рассматривали дроби, знаме-
знаменателями которых служили степени квадратного трехчлена уже с вещественными
коэффициентами. Здесь же мы мнимые корни трактуем так же, как там — вещест-
вещественные.

674	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[496
При h —>> +00 первое слагаемое в последнем выражении стремит-
стремится к 0, а второе — к +jtz или —ni в зависимости от того, будет
ли /Зя > 0 или /Зя < 0.
Таким образом, приходим к результату:
где при Ах стоит знак плюс, если соответствующее /Зя > 0, и знак
минус — в противном случае. Эту формулу можно несколько ви-
видоизменить на основании следующих соображений. Умножим обе
части тождества E) на х. При х —>> оо левая часть будет стремить-
стремиться к 0, так как степень х -Р(х) все же ниже степени Q{x). В правой
части в пределе уничтожатся все члены с нелинейными знаменате-
знаменателями, так что и предел суммы остальных членов также 0. Отсю-
Отсюда ХМа = 0> так что Е ^я = ~~ Е ^А' если знаком (+) и (—)
А
обозначить суммы тех Ах, которые отвечают /Зя > 0 и /Зя < 0. Те-
Теперь полученную формулу можно написать в виде
+ ОО
——— dx = 2жг - У^ А7.	F)
— оо
Что касается вычисления коэффициентов Ах, то мы ограничим-
ограничимся указанием, относящимся к случаю простого корня хя, для
которого Q{xx) = 0, но Q'{xx) ф 0; ему отвечает в разложении E)
один только член j^-- Если обе части равенства E) умножить
на х — хя, то оно представится в виде
1\Х)	D/ \
Q(x)-Q(xx) =AX + (XXX)R(X)9
х-хл
где R(x) означает группу членов, остающихся конечными при при-
приближении х к хх. Переходя к пределу при х —>> хя, получим
А -^й
Обратимся теперь к примерам применения формул F)
и G).

496]	§ 4. ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	675
1) На первом месте рассмотрим интеграл
+°° Jim
1+Х
2п
dx,
где тип — натуральные числа, причем т < п. Все условия для
применения установленной формулы здесь соблюдены.
Корнями знаменателя являются числа
BA + 1W . BA + 1W
+ /sm
(Я = 0, 1,2, ...,/7- 1;и, ...,2/7- 1),
но лишь первые /7 из них имеют положительные мнимые части.
Очевидно, хх = XqA+1, где
Я"	Я"
х0 = cos— + /sin-—.
2/7	2/7
По формуле G), при Я = 0, 1, ..., п - 1
_ *j	_ _!_ r2m+l _ _2_ YBm+1)BA+1)
2/7
(с учетом того, что xf1 = -1). Суммируя прогрессию, получаем:
п-\	л	2т+\
Г21)BА1)	J ДС
п °	2и
о
или, так как х^п = — 1,
Подставляя
±B/я+1)	2/77 + 1	.2/77+1
п v у = cos	ж ± г • sin
0	2/7	2/7
окончательно представим нужную нам сумму в виде
J_ _ 1
2ni si

676
ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Отсюда же, по формуле F),
1+JC
2п
п sin
ж
[496
(т < п).
2) Несколько более общий пример:
+ ОО Л
2п
¦dx,
где т, т , п — натуральные числа и т, т < п.
Условия выполнены, за исключением того, что знаменатель имеет веществен-
вещественные корни dzl. Это обстоятельство здесь не существенно, ибо эти корни имеет
и числитель, так что дробь могла бы быть сокращена на х — 1. Впредь эти корни
не будем принимать во внимание.
Остальные корни знаменателя суть
Ял"
х2 = cos
п
i • sin — = хл
п
(Я = 1,2, . .., и- l;w+ I, . ..,2w- 1)
Из них положительные мнимые части имеют первые п — \. По формуле G),
2/?/
2/и
—2п • х
2п-\
(х]т'+1-х
так что
Е(
АB*и'
А=1	А=1
Полученное выражение последовательно преобразуется так * ):
1
1
2/1
xf
Y2w/ +
хх
2т +1) _
х2т'+\
1 +
1 1 -
- х2™4l
V2w+1 "
V2w+1
\
-1
2т+\
2т'+
2mf
2т+1
In
+ 1 2т+1 1
- ctg —^	я |
2п
*)
Учитывая, что х\ = — 1.

496]
Окончательно,
\ 4. ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
я- Г 2т + 1	2т + 1
I—Г— т-ctg —— л-
677
, АИ < А2).
Заметим, что из этой формулы легко можно было бы получить и предыдущий
результат, если заменить п на 2а2 и положить mf = т + п (при т < п).
3) Наконец, рассмотрим интеграл
+ ОО
.2/и
¦flfc,
где т < п и —jt < 0 < ж.
Вводя угол 6f = jt — 6, 0 < 6f < 2jt, перепишем интеграл так:
+ ОО
Х2т
— dx.
1
^Ап 	 2х2п •
In
Для вычисления корней знаменателя положим х = z, тогда z определится из
уравнений z2 — 2z • cos6f + 1=0, именно, z = cos#; zb i sin6f. Для х получа-
получаются две серии значений:
xv = х0 • ev, где х0 = cos — + i • sin —-
2n	2n
и x = xn
JT	JT
e = cos	\- i • sin —
n	n
где xn = cos	i • sin —
и 2а2	2«
_	JT	JT
с = cos	z • sin —.
п	п
(y =0, 1, ...,w- 1;
w, . . ., 2w - 1)
При этом положительную мнимую часть будут иметь первые а? из первой
серии и последние «из второй.
Соответствующие корням xv (v = 0, 1, . . ., п — 1) коэффициенты ^4у вычис-
вычисляются по формуле G):
1
„2/и+1
cos 0;
1
4a2 (cos в' + i sin ^0 • i sin ^;

678	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[497
Суммируя эти коэффициенты и умножая на 2я7, получим *^
я_ cos B"±1 - 1) в' + i ¦ sin Cj±l - 1) в' 1 - (?"J'"+1
A -ее
Для второй группы корней х~^ (у = п, п-\- 1, . . ., 2« — 1) аналогично полу-
получится выражение, сопряженное с этим; их сумма даст удвоенную вещественную
часть. После элементарных преобразований эта сумма сведется к
п
Возвращаясь к углу в = ж — в\ окончательно получим
+ ОО
/эг
497. Смешанные примеры и упражнения.
1) Доказать существование интеграла
оо
dx
J х2 ¦ (si
(sin;\;K
Особых точек бесконечное множество: х = пж (п = 1,2,...). В любом ко-
конечном промежутке их конечное число, и интеграл сходится. Вопрос лишь о схо-
сходимости интеграла в бесконечном промежутке.
Имеем:
dx	, ,	ос
= 1 rj V" ' 	У	V	У	rj V	У	П=\
гJ- (sinjc)i
2) Если в сходящемся [478, 5), (в)] интеграле
оо
/ |1п^|Я	dt (Я > 0)
о
*) п 	 1
f dx ^ 1
/ —2 z2^-^ <+o°-

497]	§ 4. ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	679
сделать подстановку t = ех, х = \nt, придем к интегралу
+ ОО
\х\Л • sine* dx;
последний, таким образом, сходится, несмотря на то что подинтегральная функция
при безграничном возрастании |*| колеблется между — оо и +оо.
3) Мы видели только что, что для сходимости интеграла
ос
/
f(x)dx	(8)
вовсе не необходимо даже, чтобы было
/(*) = оA) (при х -»• оо).	(9)
Доказать, что, однако,
(а)	если существует предел
Km /0),
X—)>ОО
то — в случае сходимости интеграла (8) — этот предел необходимо равен 0;
больше того,
(б)	если существует предел
Km х -f{x),
х—>-оо
то и этот предел необходимо равен 0, т. е.
(в) если интегрируемая в промежутке [а, оо] функция монотонно убывает,
то это условие A0) необходимо выполняется.
Доказательство [для (б) и (в)] сходно с доказательством аналогичных пред-
предложений для положительных рядов [375, 3)].
Отметим еще (тоже по аналогии с рядами), что даже для монотонно убыва-
убывающей функции fix) выполнение условия A0) не гарантирует сходимости инте-
интеграла (8): примером может служить расходящийся интеграл
оо
/
х • \пх
(а > 1).
4) Распространить утверждение, доказанное в 6), 478, на случай, когда функ-
функция fix) в промежутке [а, а + со] интегрируема в несобственном смысле
(при сохранении прочих условий). С помощью этого установить, что — в пред-
предположении, что gix) монотонно стремится к 0 при х —>> оо, — интеграл
оо
/
In | sin jc | • gix) dx

680	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
сходится или расходится одновременно с интегралом
оо
[g(x)dx,
о
в то время как интеграл
[497
/ In2| sin*| • g(x) dx
0
сходится во всяком случае.
5) Вычислить интегралы
Л"	1	ОО
(а) / х -lnsinjfiix; (б) / —	dx- (в) /
J	J л/1 - X2	J
х dx
о	о v	о
Указание, а) Подстановкой х = ж — t убеждаемся, что интеграл приво-
f
дится к J In sin x dx = 2 J In sin t dt.
0	0
f
(б), (в) Интегралы приводятся к J In sin /^ dt подстановками x = sku, In ~j.
0
6) Вычислить интеграл
1
J
¦-/,/п
о
Имеем (полагая х = sin
J
= 2 /
2
-/¦
cos2 0 • In ctg в d6 = / cos 26 • In ctg 0 d6.
о	о
Интегрируя по частям, затем получим:
ж
2	2
J = - sin 20 • In ctg в
f 1 f .
o+2jSm°
7) Найти интеграл
-h
0
ctg 0 sin2
dO (a < 1).
/-=§¦
Положив а = sin со и использовав тождество
sin в — sin &> = sin(# — со) sinF + со),

497]	§ 4. ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	681
получим, что
W+f	Я"
К= / \n\sin6\d6 = / Insin0<i0 = -л-In2.
w-f	О
8) Вычислить интеграл
оо
е	х2 <ix (а, Ь > 0).
0
Решение. Воспользовавшись формулой [491, 13)], имеем
оо	2	оо
(еЛ^-4) dx ='е-2^Ь Г
У	лА	J
у = 1R
2V я
0
[См. 492, 2°].
9) Вычислить интегралы
2 [	cos^cp	2 [	cos^cp
Jo = —	d<p, Jx = — /	rf<p.
^"J у 2(cos(p — cos#)	^"J у 2(cos(p — cos#)
Решение. Обозначим cos в через х и сделаем подстановку z = cos q>; тогда
1/1+Z	3	/1+Z ^O
cos - ф = W?—^—, cos - «p = W ^— • Bz -
I f	dz	If
Jo = ~ i	^^ Ji = ~
л J J(z-X)(\-Z)	jtJ
Bz-\)dz
y/{z-x){\-z)
Вводя еще раз новую переменную t по формуле y(z — х){\ — z) = t(l—z),
получим:
оо
J 2 [ dt 1
0
оо	оо
2 f t + 2x — 1	2
{
0	0	0
Итак, Jo = 1 и ^ = cos 0. Ниже [511, 3)] мы установим более общий результат.
10) Интегрированием по частям установить следующие результаты:
оо
. . f cos ax — cos bx	ж .
(а) /	dx	= -[b- a);
J	х2	а
0

682
ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[497
(б)/—;
= у/ж(Ь — а);
О
оо
(в)
¦Л2)-:
и2 2л
11) Легко видеть, что [492, 3°; 494, 5)]
—	при а > О,
/sinах 7 I л	л
	dx = < 0	при а = О,
* л-
		при а < 0.
Отсюда, так как
оо	оо
sin ax	1
cos px dx = - •
х	2
оо
/sir
оо
ш(а + Р)х	[ sin(a - р)х \
	dx + / 	dx >,
х	J	х	J
{
0	0	0
то, очевидно (если считать для простоты а и /3 > 0),
оо
/
smax
cos /3x dx =
—	при р < а,
—	при р = а,
0 при р > а.
Этот интеграл многократно применялся Дирихле и известен под назва-
названием разрывного множителя Дирихл е.
К нему приводятся многие другие интегралы. Например (если а, р, у > 0
и а — наибольшее из них):
оо
/
sin ax • sinpx • sin ух
dx =
( Л
—	при а < Р +у,
-	при а = р + у,
о
0 при а > р + у
(замена произведения двух синусов разностью косинусов) или (снова счи-
считая а, р > 0):
/Ё
smax sm/ix
-	0 При уб < «,
—	а при р ^ а
(интегрирование по частям).

497]	§ 4. ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	683
Последний результат может быть обобщен следующим образом.
п
Если а, а1? а2, . . ., ап > О и а > J^ ai9 то
1
оо
/sin
sincoc sina^ sinanx	л
dx = - ах • а2 . . . ап
2
. . .dx
хх	х	2
О
Доказательство проводится по методу математической индукции (интегрирование
по частям!).
12) Вычислить интеграл
оо
/7
(sin ах — ътЬх) —т.
х2
Указание. Проинтегрировать по частям; использовать разрывной множи-
множитель Дирихле. Ответ: ^ • \а — Ь\.
13) Вычислить
оо
/2х - sin ах
—^	=-dx (a,r>0).
х2 -г2
О
Решение. Особая точкам = г. Пользуясь тождеством
2х _ 1	1
х2 — г2 х + г х — г '
сразу выделяем сходящийся интеграл
оо	оо	оо
/sin ax f sin ay f cos ay
	dx — cos ar • \ 	dy — sin ar • / 	dy.
* +r J у J у
0	r	r
Затем с помощью легких преобразований находим
Г — ?	ОО
Л sin ax
—¦>-
О	Г+?
ОО	ОО	Г
/ sin ау . /* cosaj/ [ sin ay
	dy + sin ar • / 	dy + 2 cos ar • / 	<zy,
У J У J У
оо
. sin ax
V. p. / 	dx
¦ r
0
/sin a.

x -,
0
получается, если в последнем интеграле положить просто е = 0.

684	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[497
Окончательно,
оо	оо
Г 2х sin ах [ sin ay
V. p. / —z	=- dx = 2 cos ar • / 	dy = ж • cos ar.
J x2-r2	J у
0	0
14) Пусть функция f(x) @ ^ x < oo) удовлетворяет условиям
f(x + *)=f(x) и f(jr-x)=f{x).
В предположении, что существует интеграл слева, доказать формулу
f
о	о
[Она принадлежит Лобачевскому и доказывается с помощью разложе-
разложения функции -^j на простые дроби так же, как и в частном случае /(*) = 1;
см. 492, 3°.]
Применить эту формулу к вычислению интегралов:
(а) / 	dx = / sinv x • 	dx (у = 1, 2, ...);
J
0
оо
X
0
оо
. ч f ,	ч dx f arctg(<2 • sin*) sin*
F) / arctg(a • sin*) — = / 	—	 • 	dx (a > 0).
J	x J	sin*	x
о	о
Интеграл (а) приводится к уже известному [312, (8)] интегралу
ж.
2 . 2 л Bу - 1)!!
sin х dx = — • 	,
2
о
/
о
а интеграл (б) — к интегралу
1
/arctg at
= dt
о
(подстановка: t = sin л:), значение которого
будет установлено ниже [511, 9)].
15) Налагая те же условия на функцию /(*), доказать формулу (снова —
в предположении существования интеграла слева):
ж
оо	2
/sin *	f
fix) - 	dx = / /(*) dx.
x	J

497]	§ 4. ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	685
Указание. И здесь применим метод Лобачевского, лишь со ссылкой
на разложение функции —\— на простые дроби [441, 9)].
При f[x) = 1 отсюда снова получается известный нам интеграл
оо
f sin x
dx = -
x	2
0
[см. 494, 4)].
16) Вычислить интегралы (а, Ъ > 0)
00
-1 л—1
f sinaxsinbx	f I cosax	f xa~ - x ~
(a) / 	dx; F) / 	 cos bx dx; (в) / 	dx.
J	x	J	x	J	\nx
f sinaxsinbx	f I - cosax	f xa
(a) / 	dx; F) / 	 cos bx dx; (в) /
J	x	J	x	J
0	0
Указание. Все приводятся к интегралам Фруллани; первые два инте-
интеграла при а = Ь расходятся.
Ответ, (a) In J^=щ; (б) In VV"^!. (B) ln ^
17)	Вычислить интегралы (а, Ъ > 0)
оо
, ч Г Z? • sin бо; — а • sin bx
(а)	у 	-2	dx;
о
oo
(б)	/ —	aX ^ П	— ^;
о
(в)
0
Указание. Все три приводятся к интегралам Фруллани интегрирова-
интегрированием по частям.
18)	Найти интеграл (а > 0)
оо
х	\\dx
кел — е
0
Решение. Имеем тождество
(
Интегралы от второго и от третьего выражений взаимно уничтожаются (в чем
легко убедиться заменой переменной), и все сводится к интегралу Фруллани.
Ответ: — i In 2.

686	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[497
19) Найти интеграл (а, Ъ > 0)
/
е-ах _е-Ъх+х(а_Ь)е-Ъх
	2	dx.
х
О
Решение. Имеем (для ц > О)
оо оо	7	оо
/
р~Ьх
ц	ц	ц
Первый из интегралов справа преобразуем интегрированием по частям.
х^а?^
	ах,
оо	оо
/" e"ax - e"fa	е~ах - е~Ьх	Г I
l^^—dx=——,+.г
ту	ту
так что, окончательно
n-h\p~bx	р-аЧ-р-ьЧ	°Гр-Ьх_р-ах
¦dx.
Г е~ах -e~bx +х(а-Ь)е~Ьх	е~ат] - e~br]	f
/	dx = 	+ а / ¦
J	х	Ч	J
ц	ц
При ц —>> 0 первое выражение справа стремится к Ь — а, а второе — к интегралу
Фруллани:
оо
в-^х - е~ах	а
	dx = а • In —.
х	Ъ
О
20) Установить формулу
оо
/A cos ах + 5 cos Ъх + . . . + К cos for r	r 1	1 r	1 ,
	dx = -{^lna +5ln/? + ...^ln^}
0
в предположении, что a, b, . . ., к > 0 иА-\-В-\-...-\-К = 0 (последнее условие,
очевидно, необходимо для существования интеграла).
Указание. Полагая К = —А — В — . . ., воспользоваться формулами
' A cos ах — A cos kx
	dx = —А\па -\- А\пк и т. п.
х
Легко обобщить предложенную формулу на случай любой функции f(x),
удовлетворяющей условиям п° 495, П.
21) Найти выражение для интеграла
оо
fsinn>
J ~x™
о
где пит — натуральные числа и п ^ т ^ 2.
*)
Эти интегралы не сходятся при г\ = 0.

497]	§ 4. ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	687
Решение. Распространяя на случай бесконечного промежутка обобщен-
обобщенную формулу интегрирования по частям [311], сразу получим (так как двойная
подстановка здесь исчезает):
оо	оо
[ sinnx 1 f dm~l	п dx
/ 	dx = 	 / 	г	sin7* • —. A1)
J xm (m- 1)! J dxm~l	x v J
О	О
Для вычисления последнего интеграла удобно воспользоваться известными
разложениями sin"* по синусам или косинусам кратных дуг [461, 3), (а) и (б)].
Рассмотрим различные могущие представиться здесь случаи.
(а) п = 2v + 1, т = 2\л + 1. Тогда
v + IJ" smBv + 1> -
- Bv + l)Bv - lJAi sinBv - l)x + By + l>2v By _ 3J^ sjnBy - 3)x - . . .
и, по формуле A1),
оо
fsm2v+1jc (-l)v+^
/ 	dx =
/ Y2«+l	ozv
vi/! 2
о
IJ" - Bv + l)Bv - IJ"
F) ^ = 2v, w = 2/i + 1. В этом случае:
- sin2v x = ^~/ , [BvJ^ cos2vjc - 2v • Bv - 2J^ cosBv - 2)x
2"	2Zv-i L
Легко видеть, что левая часть (так как v > }л) при х = 0 обращается в 0, так
что сумма коэффициентов при косинусах равна 0, и мы можем использовать пре-
предыдущее упражнение 20). Отсюда
оо
J
In2v - 2vBv - 2J" lnBv - 2)
Аналогично устанавливаются формулы для случаев: (в) п = 2v + 1, m = 2/i
и (г) ^ = 2v, w = 2/i. Отметим, что, в частности, для любого п ^ 2
/i-l

688	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[497
22) С помощью того же разложения 461, 3), (б) легко получить, что
(при р > 0)
x	22v+! I v	1-2
0
- Bv
... + (-!)¦
1 .2- ... • v	J
Впрочем, с помощью элементарных соображений, это выражение приводится
к более простому:
ж Bv - 1)!!
~2 ' Bу)!!
00 • 2v
Интеграл J smx ^x dx расходится. Интеграл Фруллани
0
оо
/sin px — sin фс
	dx (p, q > 0)
0
не удовлетворяет условиям п° 495, но с помощью разложения 461, 3), (а), легко
установить, что он приводится к случаю II интеграла Фруллани, если sin2v x
заменить на
. 2у	1 2уBу - 1)... (у + 1)
sin х	• 	.
2у	1 • 2 ... у
Окончательно, по формуле Dа):
оо
sin2v px - sin2v qx	By - 1)!! q
0
Интеграл J ?9yJL dx ни при каком натуральном п не сходится. Но при
0
оо
п = 2у + 1 сходится J и, по формуле Фруллани Dа), сразу имеем
/°°
2v + l	2v + l
cos ^ px — cos ^ qx	q
	dx = In -.
х
0
При п = 2у, используя разложение в 461, 3), (в), как и выше в случае сину-
синусов, получим
оо
/2v 2v
cos px — cos qx
	dx = ( 1 -
X
0

497]
\ 4. ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
689
23) Установить следующие формулы*^:
*).
f л Г , fcost
(а) / cos ух dx / 	<
о	х
(б) / sin ух dx \ 	dt
О	х
^-	при	\у\ > 1,
2у
-	при	\у\ = 1,
О	при	|у| < 1;
-	при	\у\ > 1,
2у
-	при	|у| = 1,
О	при	\у\ < 1;
/f sin Г	I —
cos ух dx / 	dt =	< 2]
J	I i
0 x	У l
оо	оо
[ . /cosr
(г) / sin ул: <ix /
lln
1+у
1-у
при у т^О, ±1,
при у = 0; **}
— In 1 — у2 при у ^ 0, ±1,
dt = { у '	'
о
1
при у = 0; **)
1
-1пA + у) при у > 0,
= ly
Ь
оо	оо	( 1
Г Г в"'	I -
(д) е ух dx / 	dt = ly
{	{ '	Ь	при у = 0.
Доказательство, (а) Предполагая у ^ 0, интегрируем по частям:
оо	оо	оо	оо
/7 f cost 7 1 . f cost 7 I f sin ух
cos ул: ах / 	dt = - sin ул: • / 	or H— / 	cos л: ах.
0
Так как
cos t
-dt
cos t
¦dt
= с + |ln*|,
то двойная подстановка обращается в 0, и интеграл приводится к разрывному
множителю Дирихле [A1)].
*)
Интегралы
Г sin? jf	Г cost
- J —dt и - J -г1
и представляют собой функции six и cix («интегральный синус» и «интегральный
косинус»), о которых упоминалось в п° 289.
**^ При у = dzl интеграл расходится.

690
ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[497
Особо рассмотрим случай у = 0. При любом А > 0, повторно интегрируя
по частям, получим:
А	оо	оо	^ А	оо
/, f cost i f cost i f i f cost i
dx I 	dt = x I 	dt -\- cosx dx = A 	dt + sin^4 =
Ox	x	0	A
oo	oo
/sint	f sint
—z- dt + sin^4 = A I —r- dt.
t2	J t2
= A-
smt
A	A
По второй теореме о среднем значении [487], последнее выражение приво-
приводится к виду: J ^j-t dt (A > А), а этот интеграл стремится к 0 при А —>> оо,
А
в силу условия Больцано — Коши [475], примененного к сходящемуся инте-
оо
гралу J ^j-t dt. Итак,
0
оо оо
/f cost
dxJ—dt =
0	х
Доказательства в прочих случаях аналогичны.
24) Доказать следующие формулы (а, /3 > 0):
оо оо	оо
0	ах	{Зх
оо	оо	ос
—, если а ^ /3,
—, если а < В.
.2,6
(б) Jdxi I —dt-l —<
0	ах	/Зх
2а
если а
оо	оо
/л /? \ f cost i [smt Л
{B)Jdx\J—dt'J-dt\ =
0	ах	/Зх
—, если а < р.
1
+ —In
при а ф р,
— In 2 при а = р.
а
оо	оо
(г)

498]
§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
691
х=0
¦dt =
Доказательство, (а) Интегрированием по частям предложенный инте-
интеграл приводится к интегралам типа, рассмотренного в 23) (а):
оо оо	оо	оо	оо
[ Г [ cos t	f cos t \	f cos t	[cost
dxi 	dt • I 	dt\ = x • I 	dt • I 	dt
J [J t J t I J t J t
t/	\ t/	xJ	J	xJ	xJ
0	ax	fix	ax	fix
oo	oo	oo	oo
/f COSt f f COSt
cos ax dx / 	dt + / cos Bx dx / 	<
J t J J t
0	fix	0	ax
oo	oo	oo	oo
1 f a	f cost	\ f /3	f cost	jt	jt
= — / cos — x dx I 	dt Л	/ cos — x dx \ 	dt = —	или —,
PJ	P J t	aj a J t	2a	2/3
Ox	Ox
смотря по тому, будет ли а ^ /3 или а < /3.
Сделаем еще пояснение относительно обращения в 0 двойной подстановки.
Из уже знакомой нам оценки
оо
COS t
< с + |ln*|
явствует, что выражение под знаком подстановки стремится к 0 вместе с х. С дру-
другой стороны,
оо	оо	оо
/cost	smt	°° f sint f cost
	dt =		 + —-dt,	/ 	dt
t t J t2	J t
2
—,
x
откуда следует, что упомянутое выражение стремится к 0 и при х —>> оо.
Доказательство остальных формул проводится аналогично, со ссылками на
формулы, установленные в 23), (б), (в) и (г), (д).
§ 5. Приближенное вычисление несобственных
интегралов
498. Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей. Выше,
в 322-328, нами были изучены различные приемы для приближенного вычисле-
вычисления определенных интегралов в собственном смысле. К несобственным интегра-
интегралам эти приемы и указанные для них оценки погрешностей непосредственно не-
неприменимы. Иногда удается, путем замены переменной или интегрирования по
частям, свести несобственный интеграл к собственному. Тогда и приближенное
вычисление несобственного интеграла приводится к уже знакомой задаче.

692	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[499
Во многих случаях приближенное вычисление несобственного интеграла
ь
J f(x)dx (с конечными пределами) облегчается путем выделения особенно-
а
стей*К Последний прием состоит в подыскании функции g(x) простого вида,
которая как бы впитывает в себя все особенности функции f(x), так что разность
ср (х) = f(x) — g(x) оказывается уже лишенной особенностей, т. е. интегрируемой
в собственном смысле. При этом выбором функции g(x) стараются распорядиться
так, чтобы интеграл от g(x) выражался в конечном виде, а функция (р(х) имела
нужное число производных, чтобы при приближенном вычислении интеграла от
нее можно было использовать существующие формулы для погрешности.
Подбор функции g(x) производится различным образом, смотря по случаю.
В виде примера мы укажем общее правило построения этой функции для
одного часто встречающегося класса интегралов.
Пусть подинтегральная функция имеет вид:
f{x) = (x- хо)~а • h(x) (a^xo^b, 0<a<\),
где h(x) для а < х < Ь разлагается в степенной ряд
h(x) = со + сх(х -х0) + с2(х -х0J + ... +сп(х -хо)п + ...
Тогда полагаем
g(x) = (х- хо)~а • [с0 + сх{х - х0) + . . . + сп(х - хо)п]
и
/ \ /	\-аг	/	\П-\-\ .	-I /	\П-\-(\— а) г	,	1
<р(х) = (х-х0) [cn+i(x-x0) +...] = (х-х0) { }[сп+1 + ...].
Интеграл от g[x) берется легко; с другой стороны, ф(х), очевидно, имеет в [а, Ь],
включая и точку jc0, n непрерывных производных.
499. Примеры.
1) Пусть требуется вычислить интеграл
I х~Ц1 -x)~^dx = 2 [
х~Ц1 -
О	О
в последнем интеграле единственной особой точкой является 0.
Разлагая A — х)~2 по степеням х, остановимся на члене, содержащем х ,
и положим
3 2 5 з 35
r +Тб> +ш
Тогда
1	1	1
2	2	2
/= f х~Ц1 -x)~idx = f g(x)dx+ f <p(x)dx =
0	0	0
*)
Этот прием был предложен Л.В. Канторовичем.

499]	§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ	693
Значение 1± легко вычисляется:
715801
1 645120
Что же касается /2, то его найдем по формуле Симпсона, деля промежу-
промежуток [О, ^] на 2п = 10 частей и ведя вычисление на 6 знаков:
У о =У\ =° 2У\ =0,000018
Ауъ_ =0,000225
2у\ = 0,000431
Ay s = 0,002496	1Х = 1,5691585
2у\ = 0,003017	/2 = 0,0016385
4^=0,012901	/= 1,5707970
2у4 = 0,012632
4;; 9 =0,046350
у] = 0,020239
0,098309 | 60
0,0016385
Истинное же значение / равно [как это вытекает из теории функции «Бе-
та», 529, Eа)],
- = 1,5707963 . . .
Произведем оценку погрешности (не пользуясь, разумеется, тем, что мы —
из других соображений — можем здесь получить точное значение интеграла).
Имеем:
IV/ ч 63 9 7 5 3 1
<р (х) = 	 ._._._._.л2+...>о,
М j 256 2 2 2 2
и (р возрастает вместе с х, так что наибольшего значения достигает при х = j.
Отсюда легко получить, что max<pw(x) = 288.
Погрешность формулы Симпсона выражается по известной форму-
формуле [327]:
R Ш5 №)
104 180
Таким образом,
1 ' 104 180 106
С другой стороны, погрешность полученного для /2 значения, проистекающая из
5-10^	7
округлений, абсолютно меньше —^— < 10 . Такова же абсолютная погреш-
погрешность значения 1±. Общая погрешность лежит между — -^ и -^, так что
1,5707918 < I < 1,5707972 или 1,570791 < I < 1,570798.
Окончательно,
/= 1,57079+0;00001.

694	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[499
1
2) Для интеграла /= х 2 A — х) 4dx обе точки 0 и 1 являются особы-
0
ми; соответственно этому разбиваем его на два:
1 1 1
/= / = /+ / = /j + /2. Полагаем для вычисления 1^
0	0 1
3 31 9 77 . 1155
так что
А = / Six)dx + / ф(л)^ = /п
= / Six)dx + /
Сразу получаем
491520
Интеграл /12 вычисляем по формуле С и м п с о н а, 2п = 10, на шесть знаков:
/12 = 0,003813. Отсюда^ = 1,661938. Оценивая погрешность, как и только что,
найдем:
1Х = 1,661*
Аналогично,
1 1	з	h
12= х~Ц1-х)~$с1х = х~Ц1-.
[ _1 _	3 _ [
~г ( х) 1
о
Г _з
>+г+-+?
=/21 +/22.
0
Найдем, что
/21 = 3,580291, /22 = 0,002033, /2 = 3,582324.
Если оценить погрешность, как выше, то получим
Таким образом,
/ = 5,24425+0000015 или / = 5,24426+000001.

499]	§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ	695
1
3) Пусть предложен интеграл / = / 	dx; особенность при х = 0.
J 1 -х
0
Для выделения ее прибегнем к приему, сходному с примененным выше. По-
Положим:
/ = / A + х + х2 + х3 + х4) Ых dx + / Х	dx = Ix+ /2.
0	0
Легко найти (с помощью интегрирования по частям): 1± = —1,46361 . . . Инте-
Интеграл же /2 вычисляем по формуле Симпсона {In = 10, на пять знаков); мы
получим: /2 = 0,18135. Таким образом, / = —1,64496. Истинное значение иско-
2
мого интеграла [519, 1), (б)] есть -\ = -1,644934. . .
При оценке погрешности производная <pW(x) вычисляется по формуле
Лейбница [117]. При этом удобно воспользоваться легко доказываемой фор-
формулой:
х -а \	k+lJ
(где с лежит между а их), взяв f(x) = \пх, а = 1. Грубая оценка дает
\(pW(x)\ < 200, отсюда
\R\ < -!-г • — =0,00011.
1 ' 104 180
Общая погрешность ±0,00013. Окончательно,
|/| = 1,645_|_о9ооо2-
4) Рассмотрим, наконец, пример другого типа
f
/ = / lgsin^: fibf,
0
с особой точкой 0.
Естественно сопоставить подинтегральную функцию с функцией g(x) = \gx,
для которой интеграл вычисляется легко * ^:
I	I
1Х= \gxdx = М • / Ых dx = Мх(Ых - 1)
=-0,374123.
* ^ Буквой М ниже обозначен модуль перехода от натуральных логарифмов к де-
десятичным.

696	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[500
Интеграл же /2 от функции ср{х) = lg ^j^ вычисляем по формуле Симпсона,
при 2п = 18, на шесть знаков. Имеем:
f
/2 = - / [lgjc - lgsinjc] dx = -0,098733.
0
Поэтому
1 = h + h = -0,472856.
На деле интеграл / лишь множителем М отличается от известного уже
нам [492, 1°] интеграла:
lnsin^: dx =	• In2
0
и, следовательно,
/ = — — • lg 2 = -0,4728568...;
мы видим, что в полученном выше значении все шесть знаков верны.
Не зная истинного значения, мы вынуждены были бы пользоваться оценкой
погрешности формулы Симпсона. Здесь
<р(х) = М(Ых - lnsinjc), <pW(x) = М
6(х4 — sin4 х) — 4х4 sin2 x
4 • 4
х sin х
Можно показать, что 0 < (р (х) < ^ м < 3,6, откуда R < 0 и \R\ < 0,000002.
Учитывая и погрешность от округлений, мы могли бы лишь установить, что
|/| = 0,47285+000001.
500. Замечание по поводу приближенного вычисления собственных интегра-
интегралов. Метод выделения особенностей может оказаться полезным и при вычисле-
вычислении собственных интегралов, если подинтегральная функция, даже будучи
непрерывной, не имеет нужного числа непрерывных производных (что затрудняет
оценку погрешности). Поясним это на примере.
Рассмотрим интеграл
¦/
1п;\; • ln(l + x)dx.
Легко видеть, что при jc —>> 0 подинтегральная функция стремится к 0, так что
эту функцию можно считать непрерывной во всем промежутке интегрирования.
Но уже первая производная подинтегральной функции обращается при х = 0
в бесконечность. Воспользовавшись разложением логарифма, представим нашу
функцию в виде суммы двух функций
1 1

501]	§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ	697
<р(Х)=Ых
2
Интеграл от первой функции берется легко: его значение есть —0,20528 . . .
Интеграл же от второй функции (имеющей уже четыре непрерывные производ-
производные!) вычислим по формуле Симпсона, 2п = 10, на пять знаков. Мы полу-
получим —0,00348, так что общий результат будет —0,20876.
Так как |<pIV(>)| < 36, то \R\ < 0,00002. Окончательно,
|/| = О,2О876±о,ооооз = О,2О87+(М)оо1 •
[На деле же в полученном приближенном значении все знаки будут верны, так
как истинное значение / будет —0,2087618 . . . ]
Любопытно отметить, что если формулу Симпсона (при том же 2п = 10 и
по-прежнему вычисляя на пять знаков) применить к подинтегральной функции без
предварительного выделения особенности, то получим / = —0,2080, т. е. всего
три верных знака.
Таким образом, если не прибегнуть к выделению особенности, то мы
не только испытаем затруднение в оценке погрешности, но и можем
столкнуться с фактическим понижением точности результата!
501. Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечным
+ ОО
пределом. Редко удается вычислять интеграл J f(x)dx на основе его опреде-
а
А
ления как предела собственного интеграла J f(x)dx, приближенно полагая (при
а
+оо А
достаточно большом A) J = J, причем последний интеграл вычисляется уже
а	а
изученными приемами. Это может оказаться полезным разве лишь при очень бы-
быстром убывании подинтегральной функции с возрастанием х, так что — даже при
небольшом А — написанное выше приближенное равенство имеет уже достаточ-
достаточную точность.
/¦
-х2
1) Так, например, будет обстоять дело в случае интеграла I = j e dx.
Из неравенства х2 ^ 2Ах —А2 следует, что
-х2 А2 -1Ах
е < е • е
2А
А	А
При А = 3
оо
/
e~x2dx < 0,00002.

698	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[501
3 2
Что же касается интеграла J е~х dx, то его вычислим по формуле Симп-
0
сона, при п = 30, на пять знаков; это дает нам 0,88621. Нетрудно получить
оценку: \(е~х ) | ^ 12, \R\ < 2 • 10 . Общая погрешность содержится меж-
между -0,00004 и 0,00006. Таким образом,
0,88617 < / < 0,88627, / = 0,8862±00001.
Точное значение /, как мы знаем [492, 2°], есть Х^- = 0,886226 . . .
оо
Чаще бывает выгодно либо преобразовать интеграл J к конечным пределам,
А оо	а
либо разбить его на два: J + J и второй преобразовать к конечным пределам.
а А
2) Возьмем снова тот же интеграл / = е~х dx и представим его в виде
суммы:
I-
0	0 1
вычислим по формуле Симпсона, 2п = 10, на пять знаков, \R\ < 0,00001:
= 0,74683±о,ОООО2- h подстановкой х = | преобразуем к виду:
1
Обычным путем получим /2 = 0,13945, так что / = 0,88628.
Оценкой погрешности заниматься не будем.
Если интеграл с бесконечным пределом имеет особую точку и на конечном
расстоянии, то надлежит разбить интеграл на два, содержащих каждый лишь одну
особенность.
3) Рассмотрим (при 0 < а < 1) интеграл
оо	1	оо
1	dx=	/	dx+ /	dx=Ix+I2.
\+х	J	Hi	J l+x
0	0	1
Интеграл 1Х находится путем вьщеления особенности:
1 1
(x — x + x — x + x )dx — / 	dx = Iu — /12.
J 1+*
0 0
1ц = \ — -^i + j^j ~ ~аТз ~^ oT4? a hi вычисляется по формуле Симпсона.
Пусть, например, а = ^ = 0,7071068 . . .; тогда /п = 1,14052. . . Для /12
Bп = 10, на пять знаков) получаем значение 0,09518. Итак, / = 0,04534.

501]	§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ	699
Интеграл /2 подстановкой х = j приводим к виду
= / 	dt,
J 1+t
h
о
где Ъ = 1 — а = 0,2928931 . . . Аналогично прежнему получим: /2 = 2,90289.
Окончательно, / = 3,94823. Впоследствии [522, 1°] мы узнаем, что истинное
значение / есть ^жа = 3,948246 . . .
Иногда в случае «медленно сходящегося интеграла» J f(x)dx все же удается
а
выделить из него (например, путем повторного интегрирования по частям) легко
вычисляемые члены с тем, чтобы остающийся интеграл был уже мал.
4) Пусть предложен интеграл
оо
А оо
Представим его в виде суммы интегралов: J + J, не стремясь, однако, к тому,
0 А
чтобы второй из них был мал. Интегрируя затем по частям, будем иметь:
оо
sin х	( cos x sin x cos x sin x
I.
А
sini r cos x sm;\; cos
	dx = \	 +2^
X	I	X	XZ	X5
х'
А
Взяв, например, А = 2jt, получим:
оо	оо
/sin;\;	1	2	24	f sin^:
	dx = — - -—j + —5 + 720 / -T dx.
x 2jt BjtY BjtM J x1
2л-	2л-
Сумма проинтегрированных членов равна 0,15354. . . Далее
2л-	2л-
2л-
Вычисляя интеграл J по формуле Симпсона Bп = 40, на четыре знака),
0
найдем: 1,4182.
Оценка погрешности:
00 / л\т 2т	°° г л\т 2т
~1) Х	/JV/ч _
- ch2jr < 54, \R\ < 0,0012.

700	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[502
Отсюда, учитывая общую погрешность,
1,5702 < / < 1,5752, / = 1,57+001.
Как мы знаем [492, 3°], на деле / = § = 1,5707 . . .
502. Использование асимптотических разложений. При приближенном вы-
вычислении интегралов вида
часто оказывается выгодным использовать их асимптотические разложения. По-
Поясним это на примерах.
1° Интегральный логарифм. Если 0 < а < 1, интегральный логарифм На
определяется так:
1га = /р;	A2)
J \пи
о
в случае же а > 1 этот интеграл расходится, и его понимают в смысле главного
значения:
(
0	0 1+е
[см. 484].
Пусть сначала а < 1. Положим а = е~х при 1>0и сделаем в интегра-
интеграле A2) подстановку и = е~г\
- dt.	A3)
Полагая t = x + v, мы придем к интегралу
оо
-х	-х f e~vdv
li(e x) = -e / ——.	A4)
«/ x -\- v
0
Так как
X + V	X	X2 Х^	Хп	Хп(х + V)
то отсюда [489, 4)]
где дополнительный член выражается интегралом
оо
7

502]	§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ	701
Если отбросить его и продолжать разложение до бесконечности:
то получающийся ряд явно будет расходиться, ибо отношение последующего чле-
члена к предыдущему
п
— —>> оо при п —>> оо.
X
Но из выражения A5а) для дополнительного члена видно, что он имеет знак
первого отбрасываемого члена ряда и по абсолютной величине меньше этого
члена
*/•
о
Таким образом, ряд A6) обвертывает функцию И {е ~х) ив то же время слу-
служит для нее асимптотическим представлением [463]. Из § 6 предыдущей
главы читатель знает, как подобный ряд может быть использован для приближен-
приближенных вычислений; наилучший результат получится, если п = Е(х).
Если а > 1 и х < О, то положение вещей значительно усложняется. В этом
случае также можно установить формулы A3)—A6), но все интегралы здесь по-
понимаются лишь в смысле главных значений. Разложение A6) в этом случае ока-
оказывается знакопостоянным (ведь х < 0); оценка дополнительного члена
представляет большие трудности. С помощью обстоятельного и тонкого иссле-
исследования Стилтьесу (Th. Stieltjes) удалось установить, что при данном
х < 0 для получения наилучшего приближения к числу \\{е~х) также следует
взять п = Е(|;\;|), причем порядок приближения оценивается выражением
Можно для функции И {е ~х) получить разложение по целым возрастающим
степеням х, действительное для всех вещественных значений х. С этой целью
перепишем формулу A3) в виде
1	ОО	X	X
При х < 0 интеграл J у расходится, и нужно взять его главное значение; оно
1
равно
?	X
Hm ( /+/)—= lim fine + In —1 = ln(-jc) = In \x
I J t ?^+0 L	? J
*) В рассматриваемом случае а < \ асимптотическое разложение A6) и выра-
выражение для дополнительного члена могут быть получены последовательным при-
применением к интегралу A3) интегрирования по частям. Но этот путь
закрыт для случая а > 1.

702	ГЛ. XIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[502
Сумма первых двух интегралов есть не зависящая от х постоянная С *'. Остается
лишь последний интеграл разложить по степеням х, чтобы получить требуемый
результат:
H(O=C + lnM-,-^-^L-A-...-^--... A7)
Однако этим разложением невыгодно пользоваться при больших значени-
значениях |*|, и расходящееся разложение A6) имеет перед ним в указанном случае
существенное преимущество. Так, Стилтьес, взяв 23 члена ряда A6), нашел
НЮ10 = 455055614,586;
в ряде же A7) понадобилось бы больше 10 членов, чтобы осуществить ту же
точность!
2° Интегральный косинус и синус:
Р = dx = -
оо	оо
/cos t f sint
	dt,	Q = six = — / 	dt.
t J t
Для упрощения выкладок введем в рассмотрение интеграл от комплексной
функции по вещественной переменной:
Последовательным интегрированием по частям получается формула
ix	ix	ix
2! —з + 3! -— + . . . + {п - 1)! —- + гп(х),
(ixy	(ixy	(ix)n
eix	ix	i
ix (ixI	(ix
где
Если выведенную формулу разделить почленно на — е1Х и отдельно прирав-
приравнять вещественные и мнимые члены в обеих частях равенства, то получим более
удобные для вычислений формулы:
оо
— х)
dt = — Р соъх — Qsmx =
1/1 3!	т-х{2т-
+ + A)
*)
Как увидим ниже, она на деле тождественна эйлеровой постоянной [538, 3)].

502]	§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ	703
и
оо
— х)
/sin G
—
dt = Р sin х — О cos х =
X
где, соответственно,
оо
ОО
Г2т-2(х) = ("!) Bт)! / —^
X
Легко установить [например, с помощью формулы Бонне, 306, C)], что
х
I
sin G — х)
dt
2
Переходя к пределу при X —>> оо, получим, что дополнительные члены в форму-
формулах A8) и A9) по абсолютной величине не превосходят каждый удвоенного
члена (соответствующего разложения), следующего за выписанными членами.
Отсюда явствует, что, продолжив разложения A8) и A9) до бесконечности, мы
придем к асимптотическим представлениям интегралов в левых частях.
В частности, например, из A9), полагая там х = кя (к = 1, 2, 3, . . .), най-
найдем
оо
рк = si (ктт) = - — dt ~
кж
1	2!	4!	6!
	3 ~1	5	7 + ' ' '
При к > 2 отсюда легко найти приближенные значения рк:
р3 = 0,1040, р4 = -0,0786, р5 = 0,0631, р6 = -0,0528, . . .
Например, для вычисления р4 достаточно трех членов в скобках:
0,07958 - 0,00101 + 0,00008 = 0,07865;
так как погрешность абсолютно меньше 2-0,000015 = 0,00003, то \р4\ содержится
между 0,07862 и 0,07868, и окончательно
р4 = -0,0786. ..
* ^ Любопытно отметить, что члены в {. . . } оказываются как раз обратными
величинами по отношению к членам известных степенных рядов для синуса
и косинуса [404, A2) и A3)].

ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 1. Элементарная теория
503. Постановка задачи. Рассмотрим функцию f(x,y) двух
переменных, определенную для всех значений х в некотором про-
промежутке [а, Ь] и всех значений у в множестве *? — {у}. Пусть при
каждом постоянном значении у из *? функция f(x,y) будет инте-
интегрируема в промежутке [а, Ь] в собственном или в несобственном
смысле. Тогда интеграл
ъ
I(y) = Jf(x9y)dx	A)
а
будет, очевидно, функцией от вспомогательной переменной
или параметра у.
Говоря в 436 о последовательности функций {/„(*)}, мы рас-
рассматривали интегралы
n = J fn(
которые представляют собой частный случай интегралов A): в ро-
роли параметра здесь фигурирует натуральный указатель п.
По отношению к функции 1(у) естественно возникает ряд во-
вопросов — о существовании и выражении ее предела при определен-
определенном предельном переходе, в частности, об ее непрерывности по у,
об ее дифференцируемости и выражении для ее производной, нако-
наконец, об ее интеграле. Всем этим вопросам и посвящена настоящая
глава.
Изучение свойств функции, выраженной интегралом A), зави-
зависящим от параметра, может представлять самостоятельный интерес

504]	§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ	705
[в этом отношении см., например, § 5]. Но помимо того эти свой-
свойства, как читатель увидит, имеют и многообразные применения,
в особенности к вопросу о вычислении несобственных интегралов.
504. Равномерное стремление к предельной функции. Реша-
Решающую роль в предстоящих исследованиях будет играть указанное
в заголовке понятие. Пусть функция f(x,y) определена, в общем
случае, в двумерном множестве ^Ж — ЭС х <?, где ЭС и *? озна-
означают множества значений, принимаемых порознь переменными х
и у, причем *? имеет своей точкой сгущения, скажем, конечное
число у0.
Если 1) для функции f(x,y) при у —>> у0 существует ко-
конечная предельная функция
limf(x,y)=<p(x) {хшЭС),	B)
и 2) для любого числа е > 0 найдется такое не зависящее
от х число 8 > 0, что
при \у -уо\< S будет \f(x,y) - q>(x)\ < г	C)
сразу для всех х из ЭС, то говорят, что функция f(x,y)
стремится к предельной функции ср{х) равномерно отно-
относительно х в области SC.
Нетрудно перефразировать это определение и на тот случай,
когда Jo есть несобственное число, например +оо: при этом лишь
неравенство вида \у— уо\ < S заменяется неравенством вида у > А.
В главе XII [428] мы имели уже дело с частным случаем такого
равномерного приближения к предельной функции; там речь шла
о функции fn(x)9 содержащей в качестве параметра натуральный
значок п.
В 429, имея дело с последовательностью функций, мы устано-
установили, что для равномерной сходимости необходимо и достаточно,
так сказать, равномерное выполнение принципа сходимости. То же
можно сделать и в общем случае. Именно (если ограничиться пред-
предположением, что Jo конечно):
1° Для того чтобы функция f(x,y) при у -^ у$ имела пре-
предельную функцию и стремилась к ней равномерно относи-
относительно х в области ЭС, необходимо и достаточно, чтобы для
каждого числа г > 0 существовало такое не зависящее
от х число S > 0, что неравенство
\f{x,y')-f{x,y)\<e	D)

706	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[504
выполняется для всех х из SC сразу, лишь только
\у-Уъ\<Ь, I/-Jol<<5 (у,/из 30.	E)
[В случае у0 = +оо взамен последних неравенств появляются не-
неравенства у > Д, у' > Д.]
Необходимость. Пусть имеет место равномерная сходи-
сходимость. Заменив в определении г на | и соответственно выбрав ?,
возьмем теперь два значения у и у' из *$/ так, чтобы выполнялись
условия E). Тогда будем иметь, каково бы ни было х9
|/(х,/)-ф(Х)|<? и |ф(х)-/(Х,7)|<?,
откуда и следует D).
Достаточность. Если упомянутое условие выполнено, то
прежде всего ясно существование предельной функции B). Пере-
Переходя затем к пределу в неравенстве D) при у' -^у$ (причем у
фиксировано так, что \у —у$\ < 8), получим:
Этим и установлено равномерное стремление функции f(x,у)
к предельной функции ср{х).
Установим теперь возможность сведения рассматриваемого во-
вопроса к равномерной сходимости последовательностей
функций:
2° Для того чтобы функция f(x,y) при у —>> ^о стреми-
стремилась к функции ф(х) равномерно (относительно х в облас-
области «2Г), необходимо и достаточно, чтобы к ср(х) равномерно
сходилась каждая последовательность {/(х,уп)}, по какому
бы закону варианта уп (со значениями из ^/) ни стремилась
к у0.
Доказательство ограничим случаем конечного j^o-
Необходимость. Предполагая равномерное стремление
f(x,y) к ф(х)9 по произвольно взятому е > 0 найдем соответ-
соответствующее, в согласии с определением, число S > 0 [см. C)]. Какова
бы ни была варианта уп —»> j/0, для нее существует такой номер N,
что \уп—Уо\<8 лишь только п > N. Но тогда, при тех же значе-
значениях /7, в силу C), выполняется неравенство
\/(х,Уп)-ф(х)\ <?,
и притом сразу для всех х. Таким образом, доказана равномер-
равномерная сходимость последовательности {/(х,уп)}.

504]	§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ	707
Достаточность. Пусть теперь дано, что каждая такая по-
последовательность сходится к ф{х) равномерно.
Для того чтобы доказать равномерное стремление функции
f{x,у) к ф(х)9 предположим противное. Тогда для некоторого
е > 0, какое бы ни взять S = 8' > 0, найдется такое значение
у = у' из е$/9 что, хотя \у' — уо\ < 8'9 все же по крайней мере
для одного значения х = х' из 30 будет выполняться неравенство:
\/(х',у')-<р(х')^е\.
Возьмем теперь последовательность положительных чисел
{8п}, сходящуюся к нулю. Каждому 8п9 по сказанному, можно со-
сопоставить два значения уп и хп такие, что
Уп ~Уо\ < 8п> но \Лхп>Уп) ~ Фп)\ > ?-	F)
Ясно, что уп -^у$ (ибо 8п —> 0), но последовательность {/(х,уп)}
равномерно сходиться кф(х) не может, ввиду F). Мы пришли
к противоречию с тем, что дано.
Пусть теперь множество ЭС представляет собою конечный
промежуток [а, Ь]. Мы знаем [436], что если последователь-
последовательность {/п(х)} функций, непрерывных (или интегрируемых в соб-
собственном смысле), равномерно сходится к предельной функ-
функции, то и последняя необходимо будет непрерывной (интегриру-
(интегрируемой). Ввиду 2°, непосредственно ясно, что все это переносится
и на общий случай:
3° Если функция f(x,y) при любом у из ^/ непрерыв-
непрерывна {интегрируема) по х в промежутке 5С =[а,Ъ\ и при
У ~^Уо равномерно стремится к предельной функции ф(х),
то и эта функция также будет непрерывна {интегрируема).
В интересах дальнейшего изложения мы установим еще следу-
следующее предложение, обобщающее теорему Д и н и [431] .При этом
мы будем считать, что все у < у0.
4° Пусть функция f{x,y) при любом у из *? будет непре-
непрерывна по х в промежутке SC = [а, Ь] и при возрастании у,
монотонно возрастая, стремится к непрерывной лее
предельной функции ф{х). Тогда стремление это необходимо
будет равномерным относительно х в промежутке SC.
Выделим из *? монотонно возрастающую последовательность
{уп} значений у9 сходящуюся к у0, и рассмотрим соответствую-
соответствующую последовательность функций {/(х,уп)}9 очевидно, также

708	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[505
монотонно возрастающую вместе с п. Так как ряд
№-Уп) - f(x,yn-x)} = Ф)
п=2
состоит из положительных членов (возможно, за исключени-
исключением первого члена), то теорема Дин и позволяет утверждать, что
этот ряд сходится равномерно относительно х в промежут-
промежутке SC. Следовательно, по заданному е > 0 найдется такой номер «0,
что неравенство
\<р(х) -f(x,yn)\ < ?
окажется выполненным сразу для всех х из ЭС. Ввиду монотонно-
монотонного возрастания функции / вместе с у, тогда подавно выполняется
и неравенство
\<р(х) -f(x,y)\ < e,
лишь только у > уПо; этим доказывается наше утверждение.
Хотя установленный частный признак равномерного приближе-
приближения и кажется очень узким, но он нередко бывает полезен, избавляя
от необходимости иным путем убеждаться в наличии равномерного
приближения.
505. Перестановка двух предельных переходов. В настоящей
главе через все изложение красной нитью проходит вопрос о пе-
перестановке двух предельных процессов того или ино-
иного типа. В простейшей форме этот вопрос впервые встретился нам
в 168, когда речь шла о существовании и равенстве повторных пре-
пределов:
lim lim fix,у) = lim lim fix,у)	G)
x^xy^yJK '•XJ y^yx^xJK '•XJ	V J
в предположении, что существует двойной предел:
lim fix,у).
Затем в 436 мы видели, что теорема о почленном переходе к пре-
пределу в равномерно сходящемся функциональном ряде также может
быть выражена в подобной форме:
lim lim f(x)= lim WmfJx),
на этот раз — в предположении равномерн ой сходимости
при п —)> сю функции fn{x) к своей предельной функции.

505]	§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ	709
Пользуясь введенным в предыдущем п° понятием, мы сформу-
сформулируем сейчас общую теорему того же типа. Мы будем предпо-
предполагать, что функция fix, у) определена в двумерном множестве
ьМ — SC х <2/, причем множества SC = {х} и <? = {у} имеют
порознь точки сгущения х0 и у0 (конечные или нет).
Пусть при каждом х из SC существует простой предел
lim f{x,у) =<р(х),
а при каждом у из "У — простой предел
lim f{x,у) =
x^x
Если при у —^Jo функция fix,у) стремится к предельной
функции q>\x) равномерно относительно х в области SC,
то существуют и равны оба повторных предела G).
Легко было бы свести эту теорему к упомянутому выше част-
частному случаю ее, но — для большей отчетливости — мы предпо-
предпочитаем дать здесь независимое доказательство (предполагая — для
определенности — оба числа х 0 и j/ 0 конечными).
Задавшись произвольным числом е > 0, в силу теоре-
теоремы 1° [504], найдем соответствующее ему число 8 > 0 такое, что
неравенства E) влекут за собою D), каково бы ни было х из ЭС.
Фиксируем значения у и j/, удовлетворяющие условиям E), а х
предположим стремящимся к х0; переходя в D) к пределу, полу-
получим:
\Ф(У')-Ф(у)\<е.	(8)
Таким образом, для функции ?/>(у), при предельном переходе
j/—7>j/0, выполняется классическоое условие Больцано-Ко-
ши [58], откуда и следует существование конечного предела
lim ipiy) = A.
У^Уо
Теперь ясно, что, лишь только \у — уо\ < 89 будет (при любом х
шЭО)
\q>ix) — fix, у)\ ^ е, а также \ipiy)—A\^e;
в этом легко убедиться, переходя к пределу в неравенствах D)
и (8) при у' -^ у$ и фиксированных х и у. Сохраняя выбранное
значение у9 найдем такое 8' > 0, что
\/(х,у)-ф(у)\<е

710	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[506
при \х — хо\ < 8'. Тогда из всех этих неравенств следует, что при
тех же значениях х выполняется и неравенство
\ф(х) — А\ < Зг,
так что и
lim ф(х) —А.
Теорема доказана.
Замечание. Можно показать, что число А, о котором только
что шла речь, в то же время будет и двойным пределом
функции f(x,y) при совместном переходе х —> х0, у —^.Уо- Это
обстоятельство сближает доказанную теорему с теоремой п° 168.
506. Предельный переход под знаком интеграла. Обращаемся
теперь к рассмотрению интеграла A), зависящего от параметра у,
ограничиваясь вначале случаем конечного промежутка [а,Ь]
и функции, интегрируемой в собственном смысле.
Предполагая, что область *? изменения параметра имеет точку
сгущения jo? поставим вопрос о пределе функции A) при
У ~+Уо-
Теорема 1. Если функция f(x,y) при постоянном у инте-
интегрируема по х в [а, Ь) и при у -^ у0 стремится к предельной
функции B) равномерно относительно х, то имеет место
равенство
ъ	ъ
lim/(y)= lim ff(x,y)dx= [<p(x)dx.	(9)
Доказательство5^. Интегрируемость предельной функции
q>(x) уже известна [504, 3°]. Задавшись произвольным числом
е > 0, найдем такое число S > 0, чтобы имело место C). Тог-
Тогда при \у -уо\ < S будем иметь
ъ	ъ	ъ
\Jf(x9y)dx-J<p(x)dx\ = \J\f(x9y)-<p(x)]dx <
\х,у) — ф(х)\ dx < e{b — а),
а
что и доказывает формулу (9).
*)
Для определенности мы предполагаем, что у§ конечно.

506]	§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ	711
Формула (9) может быть переписана в виде:
ъ	ь
lim / f(x,y)dx = / lim f(x,y)dx.
При наличии ее говорят, что предельный переход по параметру
допустим под знаком интеграла.
Предполагая, что все у < у0, имеем:
Следствие. Если функция f(x,y) при постоянном у не-
непрерывна по х в[а,Ь] и при возрастании у стремит-
стремится к непрерывной же предельной функции, монотонно
возрастая, то справедлива формула (9).
Ссылка на обобщенную теорему Дини [504,4°].
В предположении, что область <? сама представляет собой ко-
конечный промежуток [с, 9], рассмотрим в заключение вопрос о не-
непрерывности функции A).
Теорема 2. Если функция f(x,y) определена и непрерывна
как функция от двух переменных в прямоугольнике [а,Ь;с,д],
то интеграл A) будет непрерывной функцией от парамет-
параметра у в промежутке [с, д].
Доказательство. Ввиду равномерной непрерывности функ-
функции f(x,y) [174], по произвольному е > 0 найдется такое S > 0,
что из неравенств
\х"-х'\<8, \у"-у'\<8
следует неравенство
\f(x",y")-f(x',y')\<e.
Положим, в частности, х' = х" = х, у' =у& у" —У\ тогда при
\у ~Уо\ < &ч каково бы ни было х, будем иметь
\f(x,y)-f(x,yo)\<e.
Таким образом, функция f(x,y) при стремлении у к любому част-
частному значению у0 стремится к f(x,y0) равномерно относи-
относительно х. В таком случае, по теореме 1,
D	D
lim I f(x,y)dx= f(x,yo)dx

712	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[507
ИЛИ
что и доказывает наше утверждение.
Так, например, не вычисляя интегралов
1	1
/ arctg -dx, / ln(jc2 + j/2) dx,
0	0
сразу видим, что они представляют собой непрерывные функции от параметра у
для любых положительных его значений.
507. Дифференцирование под знаком интеграла. При изуче-
изучении свойств функции A), которая задана интегралом, содержащим
параметр у, важное значение имеет вопрос о производной
этой функции по параметру.
В предположении существования частной производной /у(х,у)
Лейбниц дал для вычисления производной 1'{у) правило, кото-
которое в обозначениях Лагранжа записывается так:
ъ
= jf'y(x,y)dx,	A0)
или — если воспользоваться более выразительными обозначения-
обозначениями К о ш и —
ъ	ь
Dy j f(x,y)dx = jDyf(x,y)dx.
а	а
Если такая перестановка знаков производной (по у) и инте-
интеграла (по х) допустима, то говорят, что функцию A) молено диф-
дифференцировать по параметру под знаком интеграла.
Самое вычисление производной по указанной формуле и полу-
получило название «правила Лейбница».
Следующая теорема устанавливает простые достаточные усло-
условия для применимости этого правила.
Теорема 2. Пусть функция f(x,y), определенная в прямо-
прямоугольнике [а, Ь;с, д], будет непрерывна по х в [а, Ь] при любом
постоянном у в [с, д]. Предположим далее, что во всей об-
области существует частная производная /у(х,у), непрерывная

507]	§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ	713
как функция двух переменных.**Тогда при любом у из [с, д]
имеет место формула A0).
Непрерывность функции f(x,y) no x обеспечивает существо-
существование интеграла A).
Фиксируя любое значение у = у0, придадим ему приращение
Ау = к. Тогда
так что
1{у0 + к) - 1{у0) _ [ f(x,y0 + к) - /(х,
o) = j
J
Интеграл справа зависит от параметра к. Нам предстоит дока-
доказать, что при к —)> 0 здесь допустим предельный переход под знаком
интеграла. Этим будет установлено и существование производной
и наличие требуемого равенства
1- f Лх>Уа+к) -/(х>Уо) ,
= 1пп / Jy -Уо —Jy -X0J dx =
k^OJ	к
a
b
С этой целью сначала по формуле Лагранжа напишем
ЛхУо + к)-ЛхУо)	(О<0<1). A2)
Пользуясь же равномерной непрерывностью функции
/у(х,у), по произвольному ? > 0 найдем такое S > 0, что при
*^ Из этих условий, собственно, уже вытекает и непрерывность функции
f(x,y) по обоим аргументам, но мы ею пользоваться не будем.

714	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[507
будет выполняться неравенство
\f'y{x",y")-f'y{x',y')\<e.
Полагая здесь хг = х" = х9 у1 = у0, у11 = у0 + вк и считая \к\ < 8,
получим, с учетом A2), что сразу для всех х будет
f(x9y0+k)-f(x9y0)
	-^
< ?.
Отсюда ясно, что подинтегральная функция A2) при к —>> 0 рав-
равномерно (относительно х) стремится к предельной функции
f (х,у0). Этим, по теореме 1, и оправдывается предельный пе-
переход под знаком интеграла A1).
В виде примеров снова рассмотрим интегралы, о которых была речь
в предыдущем п°. Очевидно, для;; > О
1
ГЛ I 	j__	J__	I ГЛ 	J__	J__	I	1„	*
f х Г х	f xdx 1
Эу / arctg - dx = / Dv arctg - dx = — / -^	«	= - In
^J 3; У ^ у	J x2+y2 2
0 0	0
1	1	1
Dv I \n(x2 +3;2) dx = Dv \n(x2 +y2) dx = . У . <ijc = 2 arctg -.
¦^7	J	7 ^2+;;2	у
0	0	0
Легко проверить полученные результаты, непосредственно вычислив эти интегра-
лы в конечном виде:
1
f х 11 yz
h(y)= / arcte ~ dx = arctg - + -y In =	-,
J	У	У 2	1+.У2
0
/2(y) = / ln(jc2 +y2) dx = ln(l +y2) - 2 + 2y • arctg -
J	У
0
и затем продифференцировав по у.
При у = 0 условия теоремы 3 нарушены; посмотрим, как обстоит де-
дело с производными функций 1\{у) и /2(у) при у = 0. Если в первом интеграле
подинтегральному выражению при у = 0 и х > 0, чтобы сохранить его непре-
непрерывность, приписать значение ^, то получим /^@) = ^, так что функция 1\(у)
будет непрерывна по у и при у = 0. Но
/i(y)-/i@) 1 , /	arctgy
	 = - In 	7Г	—>> — ОО
У	2 1+у2	у

508]	§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ	715
при у —>> 0, так что конечной производной при у = 0 не существует. Для функ-
функции же 12(у) имеем:
/2@) = -2, ШШ='"A+.)+2 i_^
У	У	У
при у —>> 0. Здесь /^ @) = л", между тем как производная по j/ от подинтеграль-
ной функции при у = 0 равна нулю, так что и интеграл от нее тоже нуль: правило
Лейбница не приложимо.
508. Интегрирование под знаком интеграла. Поставим, нако-
наконец, вопрос об интеграле по у от функции A), скажем,
в промежутке [с, д].
Нас особо будет интересовать случай, когда этот интеграл вы-
выразится формулой:
д	д Ь	Ь д
JI{y)dy = 1У f(x,y)dx}dy = III f(x,y)dy}dx,
которую — без скобок — пишут обычно так:
д	b	b	д
| dy | f{x9y)dx = I dx I f(x9y)dy.	A3)
с	а	а	с
При наличии ее говорят, что функцию A) можно интегрировать
по параметру у под знаком интеграла (взятого по пере-
переменной х).
Простейшие условия, достаточные для равенства двух повтор-
повторных интегралов A3), дает
Теорема 4. Если функция f(x,y) непрерывна {по обеим пе-
переменным) в прямоугольнике [а, Ь;с, д], то имеет место фор-
формула A3).
Докажем более общее равенство
ц	Ъ	Ъ	ц
f dy ff(x,y)dx = f dx j f(x,y)dy,	A3*)
с	а	а	с
где с < ц < д.
В левой и в правой его частях мы имеем две функции от пара-
параметра ц\ вычислим их производные по ц.

716	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[508
Внешний интеграл в левой части имеет подинтегральную функ-
функцию A), непрерывную по у в силу теоремы 2. Поэтому его про-
производная по переменному верхнему пределу будет равна подинтег-
ральной функции, вычисленной при у = /у, т. е. интегралу
ъ
1{г\) = / f(x, ц) dx.
а
В правой части A3*) стоит интеграл
Ъ	Ц
^(x,rj)dx, где ф(х,т])= f(x,y)dy.
а	с
Функция ф(х, г]) удовлетворяет условиям теоремы 3. Действитель-
Действительно, ф(х, г]) непрерывна по х*\ в силу теоремы 2. Затем произ-
производная
непрерывна как функция двух переменных. Поэтому к упомянуто-
упомянутому интегралу применимо правило Лейбница:
Таким образом, левая и правая части равенства A3*) как функ-
функции от ц имеют равные производные, следовательно, могут раз-
разниться разве лишь на постоянную. Но при ц = с оба упомянутых
выражения обращаются, очевидно, в нуль; следовательно, они тож-
тождественны при всех значениях /у, и равенство A3*) доказано.
При ц = д из него, в частности, и получается равенство A3).
Рассмотрим примеры.
1) Пусть f(x,y) = ху в прямоугольнике [0, \;а, Ь], где 0 < а < Ъ. Условия
теоремы соблюдены. Имеем
ъ \	\ ъ
dy ху dx = I dx I ху dy.
а	0	0	а
*)
Который играет здесь роль параметра.

509]	§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ	717
Слева легко получается окончательный результат
Ь dy =ы1 + ь
1+У	1+а
а
1 хЪ_ха
справа же мы приходим к интегралу J lnx dx. Таким образом, благодаря пе-
0
рестановке интегрирований, мы находим его значение [ср. 497, 16), (в)].
2) В случае функции f(x,y) = —-z	^—г в прямоугольнике [0, 1;0, 1]
(х1 +У1I
условия теоремы не выполнены: налицо разрыв в точке @, 0). Имеем:
1
х
fdx =
х2 +у2
х=0 1+У2
0
1	1
1
dy I fdx = arctgj;
0 0
в то время как
1
509. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра.
Обратимся к рассмотрению более сложного случая, когда не только
подинтегральное выражение содержит параметр, но и самые пре-
пределы интеграла зависят от него.
В этом случае интеграл имеет вид
I(y)= J f(x,y)dx.	A4)
а(у)
Ограничимся исследованием вопроса о непрерывности и диф-
ференцируемости по параметру подобного интеграла.
Теорема 5. Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна
в прямоугольнике [а,Ь;с,д], а кривые
х=а(у), х=р(у) (с^у^д)
непрерывны и не выходят за его пределы. Тогда интеграл A4)
представляет собой непрерывную функцию от у в [с, д].

718
ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
[509
Если jo есть любое частное значение у9 то интеграл A4) можно
написать в виде
I(y)= J f(x,y)dx+ J f{x9y)dx- j f{x9y)dx. A5)
Фо)	Р(?о)	а(Уо)
Первый интеграл, в котором пределы уже постоянны, при у —»> у0
стремится к
Р(Уо)
ДУо) = J f(x,yo)dx9
«(У0)
по теореме 2. Остальные же два интеграла допускают оценку
а(у)
f(x,y)dx
где М— тах|/(х, у)\9 и — в силу непрерывности функций а(у)9
Р(у) — при у -^ Уц стремятся к нулю.
Таким образом, окончательно
=1(у0),
что и доказывает теорему.
Теорема 6. Если сверх сказанного функция f(x,y) допус-
допускает в прямоугольнике [а, Ь;с, д] непрерывную производную
fy(x,y), а также существуют и производные а'{у), Р'(у),
то интеграл A4) имеет производную по параметру, которая
выражается формулой
= I f'y(x,y)dx+p'(y)-f(p(y)9y)-
а(У)	-а'(у)-/(а(у),у). A6)
И здесь мы будем исходить из равенства A5). Первый инте-
интеграл при у = у0 имеет производную, представляемую интегралом

509]	§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ	719
от производной
J f'y(x,y0)dx
— по теореме 3. Для второго интеграла (значение которого при
у = у0 есть нуль) имеем, по теореме о среднем:
где х содержится между /3(у0) и /3(у). Отсюда производная второго
интеграла при у = j/0, которая совпадает с пределом предшеству-
предшествующего выражения при у —»> j/0, будет
Аналогично, для производной третьего интеграла при у = у0 по-
получим
-<х'(Уо) '/(а(Уо)>Уо)-
Объединяя все эти результаты, убедимся в том, что производная
/'(у о) существует и дается указанной формулой.
Замечание. Заключения обеих теорем сохраняют свою си-
силу и в предположении, что функция f(x,y) задана (и обладает
указанными свойствами) лишь в области, содержащейся между
кривыми
х=а(у) и х=Р(у).
Возможность рассматривать функцию и вне этой области исполь-
использована была для упрощения рассуждений.
Поучительно взглянуть на установленные результаты и с такой
точки зрения. Интеграл 1{у) получается из интеграла
V
u,v) = f(x,y)dx,
зависящего от трех параметров у, и, v9 подстановкой и = а(у)9
t> = /?(y). Вопрос исчерпывается применением общих теорем
о непрерывности и о дифференцировании сложной функции.

720	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[510
В частности, формула A6) написана по классической схеме:
dl dl dl ,. . dl .. .
оу dj/ дм	ди
510. Введение множителя, зависящего лишь от х. Легко по-
получить некоторое обобщение установленных выше результатов,
и притом — без привлечения новых идей. Именно, можно вме-
вместо A) рассмотреть интеграл
ъ
f(x,y)-g(x)dx,	A*)
где g(x) является функцией от х9 которая абсолютно инте-
интегрируема в промежутке [а, Ь] (возможно, ив несобственном
смысле). Таким путем удается частично распространить изложен-
изложенную элементарную теорию и на несобственные интегралы.
Сформулируем предложения, аналогичные теоремам 1, 2, 3 и 4:
Теорема 7*. При предположениях теоремы 1 имеет место
формула	ъ	ъ
г	г
lim / /Yx v^ • p/y^ dx — / сп(х\ • p/y^ dx
11111 / J \л 1 У) 6V /	— / т \л) <5 V / *
а	а
Прежде всего заметим, что все интегралы, фигурирующие
в этих формулах, существуют. Интегрируемость предельной функ-
функции ф(х) была уже доказана. Существование же интегралов от f-g
и ф - g (вообще говоря, несобственных) следует из п° 482.
Теперь, задавшись числом е > 0, найдем, ввиду равномерного
стремления f(x,y) к ф(х)9 такое число S > 0, что имеет мес-
место C) *\ Тогда при \у — j/0| < 8 справедлива будет такая оценка:
ъ	ъ
\jf(x,y)^g(x)dx-jф(x)^g(x)dx ^
ъ	ъ
J \f(x,y) - ф(х)\ • \g{x)\dx < е • J \g(x)\dx,
что и доказывает нашу формулу, ибо справа произвольно малое
ъ
число умножается на постоянное конечное число / \g(x)\dx.
		а
*> Мы и здесь, как всегда, для примера рассматриваем случай конечного j/0;
распространение на случай j/0 = +oo не представляет трудности.

510]	§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ	721
В частности, подобная теорема имеет место и для последо-
последовательности функций {/п (х)} с п в роли параметра. Мы сфор-
сформулируем этот результат «на языке бесконечных рядов», так как
в таком виде он чаще применяется.
Следствие. Если 1) члены ряда
п=\
— интегрируемые в [а,Ь] (в собственном смысле) функции,
и ряд сходится равномерно, 2) g(x) — абсолютно интег-
интегрируемая в [а,Ь] функция (хотя бы и в несобственном смыс-
смысле), то ряд
п=\
молено интегрировать почленно.
Далее, совершенно так же, как и теоремы 2 и 3 (но лишь со
ссылкой на теорему 1* вместо 1), доказывается:
Теорема 2*. При предположениях теоремы 2 интеграл A*)
будет непрерывной функцией от у в промелеутке [с, д].
Теорема 5*. При предположениях теоремы 3 функция A*)
будет дифференцируема по параметру, и имеет место фор-
формула:
ъ
= jf'y{x,y)-g{x)dx.
Наконец,
Теорема 4*. При предположениях теоремы 4 справедливо
равенство повторных интегралов
д	д	Ъ	Ъ	д
JI(y)dy = Jdy I f(x,y) . g(x)dx = Jg(x)dx I f(x,y)dy.
с	с	а	ас
Доказательство буквально воспроизводит доказательство теоре-
теоремы 4 [лишь со ссылкой на теоремы 2* и 3* вместо теорем 2 и 3].
Многочисленные примеры применения этих (равно как и пред-
предшествующих) теорем читатель найдет в следующем п°.

722	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[511
511. Примеры.
1) Используя разложение в ряд функции ех, представить в виде суммы ряда
интеграл
1	1
(a) fex\nxdx; (б)
О	О
По следствию из теоремы 1*, имеем:
1	1
(а)
о	о
/ ех Ы х dx = / In x • A + У^ — X d:
J	J	I ^ m\ J
/ln^^ + Vl lxm\nxdx-
J nx x + 2^ m] J x
(w+ \)\{m-
0	m=l 0
1	1
f ex - 1	[^ 1 m_l
F) / —-=^ dx = I y —x 2 dx = :
2) Разложением в ряд вычислить интеграл
1
= / Ых •'.
О
По теореме 5° [437], ряд
равномерно сходится в промежутке [0, 1]. Так как Ых абсолютно интегри-
интегрируема в этом промежутке, то, по тому же следствию из теоремы 1*,
1
/ = > ^—	 / хп Ых dx =
т^/'
0
Ввиду тождества
111	1
«(^+1J w и+1 («+1J'
учитывая притом известные разложения
ОО / чМ)-1	ОО / .м,-!
^ у	' ^ у2	12
v=l	v=l
*)
См. 405, A8); 440, 8).

511]	§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ	723
выражение для / можно представить в виде:
оо
Здесь для / получилось значение «в конечном виде». Разумеется, это удается
не всегда.
3) Обозначая через Рп(х) п-и многочлен Лежандра, доказать, что
в
Pn(cos6) = - [
JT J
cos (п +
1 7!
о
л/2 (COS (р — COS0)
v
Если вспомнить происхождение многочленов Лежандра Рп(х) как коэффици-
коэффициентов разложения по степеням а выражения —.	= [447, 8)], то достаточно,
^\2+2
в
J л/2(cos m -
рассмотрев ряд
1уУ I —ГУ ' ^— ,	A7)
п=0 0
установить, что сумма его равна указанному выражению при х = cos 0.
Так как [ср. 461, 2)] при |а| < 1
ОО	л	1
1	\	COS к (р
— \(р = A — а)	г-
2	/	1 — 2а cos ср -\- а1
п=0
и ряд сходится равномерно относительно (р (ибо мажорируется геометриче-
оо
ской прогрессией ^ \а\п), то ряд A7) — снова по тому же следствию — можно
О
преобразовать так:
1 — а [	cos j(p	dcp
—I
jt J
1
a/2(cos(P - cos^) 1 - 2a cos <p + a
Прибегая к тем же подстановкам, что и в задаче 9), 497 (где, собственно, был
установлен частный результат, для п = 0 и 1), последовательно получим:
1
1-а Г	1	dz
J
-а Г
* J
оо
_ 2	Г
= *	J A-аJг2
dt
О
что и завершает доказательство.

724	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[511
4) Воспроизведем один из приемов, с помощью которых Эйлер получил
свой результат:
°° -I	2
п* ~ ~б'
Вычислим интеграл
f	dx	f	ж2
Е = / arcsin х • —,	= / arcsin x d arcsin x = —
J	л/l^1 J	8
0	v	О
еще иначе, воспользовавшись известным разложением арксинуса
— <2п - ПН X2"+l
arcsin .x = .
2п
которое в промежутке [0, 1] сходится равномерно. Будем иметь
ln+l
f x dx	^ {In - 1)!! Г xln+l
Так как
0
то получается, что
1	2
Г x2nJrl	f
У л/Г^	J
2	oo
JT	^~^	1
2
JT
^B«- IJ'
откуда уже легко прийти к упомянутой вначале формуле.
5) Показать, что прием Лобачевского, с помощью которого в 14)
и 15), 497, были выведены формулы
oo	f	°°	• 2	^
Jf{x) ^-dx = jf{x) dx, Jf(x) ^-dx = jf{x) dx,
0	0	0	0
применим и в том случае, когда функция f[x) в промежутке [О, f ] интегрируема
в несобственном смысле (при сохранении прочих условий).
С помощью этих формул получаются, например, следующие интегралы:
ж
оо	2
/sin х f ж
In sin x • 	dx = / In sin x dx =	In 2;
x J 2
(а
О	О

511]
§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
725
оо оо	2
/In I cos jc I f\n\cosx\ sin x	f In co
	2	dx = / 	—	2~ ^	= / • 2
*z J sinzi xz	J sinz
F)
0	0
(интегрирование по частям);
In cos*
(в)
00 ?	2 ?
/In I cos x I /* In cos *	,
	L_^	]-dx= / 	=	dx = ж In 2 (тоже).
*z J sinz*
0	0
6) Установить непосредственно, что для интегралов (где у > 0)
2xv
2
2
/л3
о	о
предельный переход при у —>> 0 не может быть произведен под знаком интеграла.
Удостовериться в нарушении условий теоремы 2.
7) Применить правило Лейбница к вычислению производной по параме-
параметру от интеграла
f
[ 2	2
/(а) = / Ы(а — sin в) d6 (а > 1).
О
Легко проверить, что условия теоремы 3 здесь соблюдены. Имеем
ж.
,	[ lade	ж
I (а) = / 	7г~ = —,
J a2-sin20 л/^Т
Отсюда, интегрируя по а, восстанавливаем значение 1{а)\
1(а) = ж\п(а + л/а2 - 1) + С.
Для того чтобы определить постоянную С, представим интеграл 1(а) в виде
f
1{а) = ж\па + / lnfl - \ sin2^) d6,
J V	1	J
lnfl - \ sin
V a1
так что, если использовать и найденное для 1{а) выражение,
С
!
= / l
J
- л-In
п ~
Перейдем здесь к пределу при а -Л +оо; так как
lnl-4
ln( 1 - -=¦

726
ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
[511
то интеграл стремится к нулю, и находим: С = —л\п2. Окончательно, для а > 1
[ср. 497, 7)]:
а + л/а2 — 1
1{а) = я-In 	У-	.
Весьма замечательно, что дифференцирование по правилу Лейбница поз-
позволило найти конечное выражение предложенного интеграла. Этот метод нередко
приводит к цели.
8) Еще проще вычисляется уже известный нам [307, 4); 314, 14); 440, 11)]
интеграл
— 2r cos;\;
dx
1).
По правилу Лейбница,
/м=/-
-2cosjc +2г
2r cosjc + г2
dx.
С помощью подстановки t = tg | легко установить, что полученный интеграл
равен 0; в таком случае
I(r) =C = const.
Но /@) = 0, значит, С = 0. Итак, при \г\ < 1 интеграл /(г) = 0.
1
/arctg х
	-j^=^= dx.
xJ\ — x2
0 v
Вводя параметр, рассмотрим более общий интеграл
1
arctg xy
/:
:dx (У^О),
из которого предложенный интеграл получается при у = 1. Условия теоремы 3*,
если положить
arctg xy	1
f(x,y) = 	 и g(x) = —==,
х	/\2
выполнены. Дифференцируя по у (под знаком интеграла), найдем
1
J
dx
-х2
этот интеграл легко вычисляется, например, с помощью подстановки х = cos в:
dO
+ J/2COS2<
arctg
JT
~2

511]	§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ	727
Отсюда, интегрируя, находим
1() \
Так как /@) = 0, то С = 0; при у = 1 получаем, наконец, искомый интеграл
10) Доказать, что выражения
(а) и = хп - / cos(jc cos 0) sin2" в dO и (б) и = cos(n6 - х sin 0) dO
0	0
(при целом п ^ 0) удовлетворяют так называемому дифференциальному уравне-
уравнению Б е с с е л я:
х и" + хи + (х — п )и = 0.
Здесь роль параметра играет х. Дифференцируя под знаком интеграла дважды
[теорема 3], найдем, что сумма в левой части уравнения (при подстановке вместо
и указанных выражений) будет равна:
(a) xn+l I [х • cos(jc cos в) sin2w+2 в - Bп + 1) sin(jc cos в) -
0
- cos в • sin2" в] dO = - sin2w+1 в • sin(jc cos в)
= 0;
(б) - / [{х2 sin2 в + п2 - х2) cos(n6 - х sin в) -
О
— х sin в • sin(n6 — х sin O)\ dO =
= — (n + x cos в) • sin(n6 — x sin в)
= 0.
11) Доказать, что уравнению
d и \ du 2
dr2 r dr
(при целом п) удовлетворяет функция Аи^ + Ви2 {А, В — произвольные посто-
постоянные), где
ж
trmsede,
и2= fenrcose\n(r sin2 6) d6.
0
Очевидно, достаточно проверить, что уравнению удовлетворяют функции
и±, и2 порознь. Это выполняется, как и выше, с помощью дифференцирования

728	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[511
под знаком интеграла, причем к функции г/1 применяется теорема 3, а к функции
JT	JT
л	I ПГ COS 6 7/л , ~ I ПГ COS 6-t • /л 1/л
и2 = In г • / е	dO + 2 / е	In sin в dO
О	О
— еще и теорема 3*.
12) Найти производные от полных эллиптических интегралов
Щ) = / у 1 -к2 sin2
о
-^2 sin2
по модулю к @ < к < 1).
Имеем
2
— = — к sin (р • (\ — к sin <p) ^ dcp =
dk	J	v	y
f
\\-k2 sin2 <p)*dq>-
Е-К
-Г sin"	¦ "
о	о
Аналогично,
!	f
<Ж	1 Г f ,	2 ¦ 2 \~J у	[ /-,	iL - L \ 2Л I
—— = -< I A — A: sin ф) z dcp — / A — A: sin ф) l dcp >.
dk k\J v	y	У v	y	r
О	О
Но
^ Р11Л	^/л I	^ s~I sr\ 		1/1	7^ nir»	^/л I L s-7 sr\	)
kL Sinz q>) ~ 2 ^ = ^—-2 /(I - /tZ Sinz V) 2 dtp *\
о	о
2
/A -
так что
dK	E	К
k{\ -к2) к
*^ Это вытекает из легко проверяемого тождества:
(l — к2 sin2 ф) 5 =
2]

511]	§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ	729
Полученные формулы имеют интересные применения. Например, если ввести
сопряженный модуль к' = yj\ — к2 и функции
Е'(&) = Е(&') и К'(к) = К(к'),
то легко получить Jr (ЕК7 + Е;К — КК ) = 0, откуда следует, что
ЕК' + ЕК - КК' = с = const.
Для определения величины этой постоянной с установим предел левой
части при к —>> 0 (к' —>> 1): этот предел, очевидно, и будет с. Прежде всего,
легко получить, что
f	§
lim К = ton /	V — = dm = -;
k^O	Ar—yO / Г ,, . 2	/	2
0 \Jl-k2vn2w Jo
f 		f
lim E; = lim \/l — k'1 sin2 cpdcp = cos <p d<p = \
j
о
[506, теорема 2]. Затем имеем:
f
так что
|К'(Е-К)|< — к и НтК/(Е-К)=О.
Искомый предел оказывается равным ^, и мы приходим окончательно к извест-
известному соотношению Лежандра:
ЕК+ЕК-Кк' = -.
13) Доказать тождество
х	ln-\	h	х
ldtn_x f dtn_2... ff{t)dt=—^— f(x-t)
n~l
n
где /(О есть произвольная функция, непрерывная в промежутке [а, Ь]
и а < х < Ь.
Решение. Прибегнем к методу математической индукции. При п = \ тож-
тождество очевидно. Допустим теперь, что оно справедливо при каком-нибудь п ^ 1
и докажем его справедливость и при замене п на п + 1.

730	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[511
Для краткости положим
Продифференцируем по х выражение
X
1
с применением теоремы 6. Так как нижний предел здесь постоянен, а на верхнем
пределе, т. е. при t = х9 подинтегральная функция обращается в нуль, то внеин-
тегральные члены формулы A6) исчезают, и мы получим
Ввиду того что 1п{а) = 0, отсюда
у
<¦
Подставляя вместо 1п его выражение в виде повторного интеграла, придем
к такому же выражению и для 1п+\.
Совершенно так же доказывается и более общий результат:
ln-\	h
'(tn_x)dtn_x J <p'(tn_2)dtn_2... Jf(t)dt =
{n - 1)!
[*>(*)-р@Г~7@ л.
где / и ср — непрерывные функции в промежутке [а, Ь], причем ср имеет и не-
непрерывную производную.
14) Найти производную по параметру а интеграла
а
f
J
(р(х) dx
V'а — х '
О
где ср{х) непрерывна вместе со своей производной (pf (х) в промежутке [0, а]
и 0 < а < а.
Применить формулу A6) непосредственно мы не можем, ибо подинтеграль-
ное выражение при х = а, вообще говоря, обращается в бесконечность. Мы при-
прибегнем к обходному пути, именно, подстановкой х = at преобразуем интеграл
к виду:

511]
§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
731
здесь применима уже теорема 3*. Найдем, дифференцируя интеграл по правилу
Лейбница:
1	1
V J
zVa J
о
: Л + у/a /	Л,
о
или, если вернуться к прежней переменной,
а
— / 	dx + - / -=
(х)
dx.
О	О
Преобразовав первый из этих интегралов путем интегрирования по частям,
можно придать формуле более простой вид:
/а =
:^JC.
15) Пусть
| /(л,^) = arctg	y
при 0 < л < 1, 0
1,
Установить непосредственно, что к интегралу J f(x,y)dx правило Лейбница
О
при у = 0 не приложимо.
То же для функции
jf(x,y)=x-e~T приО<*<1, 0<у^\,
\f(x,0) = 0.
16) Представим вычисление интеграла
1
/arctg х
Хл/Т^.
v
О
который мы нашли в 9) дифференцированием по параметру, в другом виде.
Заменяя в подинтегральном выражении Н^Е? равным еМу интегралом
1
arctg х f dy
х	J \+x2y2'
0
перепишем / в форме повторного интеграла
1	1
Г dx f dy

732	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[511
11	1
/f	dx	jt f dy	jt ,	/-Ч
Применяя теорему 4*, переставим интегрирования:
l l	l
/ =
о о v ¦ " ' v	о
17) Вычислить интеграл путем интегрирования под знаком интеграла
ж.
/а + 6 sin* dx
In	 • 	 (а > b > 0).
а — b sin * sin *
0
Представим подинтегральную функцию в виде интеграла
1
1 а + 6 sin*	[	dy
	 In	 = lab
sin * a — b sin *
K = 2ab
0	0
¦/*/:
l
dy
Переставляя интегрирования [по теореме 4], получим:
— b2y2 sin *
0 0
Так как
a2 - b2y2 sin2 * 2a J a2 - b2y2 '
0	v
то окончательно
1
и Г dy	¦ ъ
К = лЪ I —,	= л- • arcsm -
J Ja2 - b2y2	a
V
18) Приведем еще примеры случаев, когда перестановка двух интегрирова-
интегрирований оказывается недопустимой:
11	11
(a) I dy I У ~Х . dx = -,	dx У ~ * . dy = --;
y)JJ (х+У?	Г J J (*+j;K У	2'
0	0	0	0

512]	§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ	733
11	3	2
О О
Л*5 2jc3\ *2	1 1
у4 у3 J	e 2
О О
Само собою разумеется, что в этих случаях условия соответствующей тео-
теоремы нарушаются: подинтегральная функция терпит разрыв в точке @, 0).*^
512. Гауссово доказательство основной теоремы алгебры. Опираясь на тео-
теорему 4, Гаусс дал весьма своеобразное доказательство основной теоремы
алгебры.
Эта теорема гласит, что всякая целая функция
х) =х +ахх + ...+ап
(с вещественными или комплексными коэффициентами) имеет веществен-
вещественный или комплексный корень.
Положим х = г (cos в + i sin в); тогда
х = г (соъкв + i • sinA;0),
так что
f(x)=P + Qi,
где
р = rn cos пв + . . ., Q = rn sin пв + . . .,
причем ненаписанные члены содержат лишь низшие степени г, а члены, свобод-
свободные от г, сводятся просто к постоянным.
Теорема, очевидно, будет доказана, если будет установлено, что выражение
Р + Q обращается в нуль для некоторой системы значений г и в.
Тогда
так что
dU
дг
дР
17
и
-Q-P'\
P2 + Q2
д2и
= arctg-.
' дв
H(r, в]
дР п
1в 'в
)
-Р-
+ е2
dQ
1в
здесь Н(г, 0) есть непрерывная функция г и 0, точное выражение которой для
нас не представляет интереса.
Составим, наконец, повторные интегралы
R 2л- „	2л- R „
г [ д2и	[ [ о2и
L = / dr \ 	dQ и I2= d6 	dr,
J J дгдв	2 J J дгдв
0	0	0	0
где R есть положительная постоянная, значение которой мы установим ниже.
*^ В случае (б), при у = 0, но х ф 0, подинтегральную функцию можно счи-
считать непрерывной, если положить ее здесь равной нулю.

734	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[512
Если бы функция Р + Q никогда не равнялась нулю, то подинтегральная
функция была бы непрерывна, и, по теореме 4, необходимо было бы: 1Х = /2. Мы
покажем, однако, что при достаточно большом R подобное равенство за-
заведомо не выполняется; это будет свидетельствовать о том, что в круге радиуса R
вокруг начала функция Р2 + Q2 должна принимать и нулевое значение, и теорема
будет доказана.
Вычисляя внутренний интеграл для /1? получаем:
д2и эи
J дгдв	дг
О
¦dO = —
в=2ж
= 0,
(9=0
так как из самого выражения для Щ- видно, что это и есть функция от в с пери-
периодом 2ж. Отсюда следует, что 1± = 0.
Обращаясь к интегралу /2, имеем
d2U	dU
J дгдв '" дв
о
¦dr =
r=R
r=0
Для дальнейшего важно теперь рассмотреть старшие относительно г члены
слителя и знаменателя дроби |^.
Так как
дР	п	dQ n
— = —nr sm пв + . . ., — = nr cos пв -\- . . .,
дв	дв
дР	dQ	2п
— .Q-P. — = -nr
дв	дв
С другой стороны,
так что окончательно имеем:
dU -пг2п
дв	г2п + ... '
Так как ненаписанные члены содержат низшие степени г, коэффициентами
которых служат ограниченные функции от в, то не только
lim — = —п,
г^оо дв
но и самое стремление к пределу —п происходит равномерно относительно в.
Поскольку при г = 0 и jg = 0 (ибо в этом случае Щ = -g§ = 0), внут-
внутренний интеграл для /2 сводится к значению ^ при г = R. Когда R -л оо, это
значение стремится к — п равномерно относительно в. А тогда, по теореме 1,
lim /9 = —2лп.

513]	§ 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ	735
Таким образом, для достаточно больших R интеграл /2 будет отрицательным,
и равенство 1Х = /2 станет невозможным.
§ 2. Равномерная сходимость интегралов
513. Определение равномерной сходимости интегралов. При
распространении изложенной теории интегралов, зависящих от па-
параметра, на случай несобственных интегралов особую роль
играет понятие равномерной сходимости интегралов, ко-
которое мы предварительно и выясним.
Предположим, что функция f(x,y) задана для всех значений
Оаи всех значений у в некоторой области <?. Пусть, далее, при
каждом у в этой области существует интеграл
оо
I(y) = j f{x,y)dx.	(I)
а
По самому определению несобственного интеграла с бесконеч-
бесконечным пределом [470]:
оо	А
[f(x,y)dx=\im ff{x,y)dx.
а	а
Таким образом, интеграл
А
) = Jf(x,y)dx9	B)
а
представляющий собой функцию от А и у, при у = const и А —>> оо
имеет пределом /(у). Если стремление этого интеграла к 1(у)
происходит равномерно относительно у в области <?, то
интеграл 1{у) называют равномерно сходящимся относи-
относительно у для указанных значений параметра.
Это значит, что для любого е > 0 найдется такое не зави-
зависящее от у число Ао ^ а, что, лишь только А > Ао, неравенство
А
f(x,y)dx - J f(x,y
= y f(x,y)dx
< e
будет выполняться одновременно для всех значений у
из <?.

736	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[514
Для примера рассмотрим интеграл
оо
fye-xydx,
О
который сходится при каждом фиксированном значении у ^ 0.
Вычислим непосредственно интеграл
оо
/--"«*¦
А
При у = 0 он равен 0, каково бы ни было А; если же у > 0, то с помощью
подстановки ху = t легко находим
оо	оо
ye xydx = e dt = e
А	Ау
Когда у фиксировано, это выражение при А —>> оо, очевидно, стремится к 0,
и, каково бы ни было е > 0, неравенство
е-* < с	C)
будет выполняться для всех А > А^(у), где А^(у) = —f- зависит от у.
Если изменение у ограничено промежутком [с, д], где с > 0, то найдется
и не зависящее otj/ число Aq — такое, что при А > Aq неравенство C)
будет выполняться сразу для всех у: достаточно за Aq принять Aq(c), ибо
при А > Ао будет тогда
е~Ау < е~Ас < е (с ^у ^ д).
Иными словами, наш интеграл сходится равномерно относительно у
в промежутке [с, д].
Иначе обстоит дело, если параметру изменяется в промежутке [0, д] (<9 > 0).
На этот раз такого Aq уже не существует (по крайней мере, если с < 1). Это
видно хотя бы из того, что, сколь большим ни взять А, выражение е у стремится
к 1 при у —>> 0, так что для достаточно малых значений у оно будет больше
любого числа е < 1. Сходимость интеграла при изменении у в промежутке [0, д]
уже не будет равномерной относительно;;.
514. Условие равномерной сходимости. Связь с рядами. Поль-
Пользуясь общим критерием равномерного стремления функции к пре-
пределу [504, 1°], можно применительно к рассматриваемому случаю
сформулировать его так:
Для того чтобы интеграл A) сходился равномерно отно-
относительно у в области *?, необходимо и достаточно, что-
чтобы при любом заданном е > 0 нашлось такое число Ао,

515]	§ 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ	737
А'	А	А'
\Jf(x,y)dx-Jf(x,y)dx = \Jf(x,y)d
А
не зависящее от у, чтобы неравенство
А'	А	А'
\	\f(,y)dx
а	а	А
выполнялось одновременно для всех у в *?, лишь только
А' > А> Ао.
И здесь, как обычно, дело сводится к тому, чтобы для всех
рассматриваемых значений у равномерно выполнялся принцип
сходимости [ср. 475].
Несобственный интеграл с бесконечным пределом мы в 475
уже сопоставляли с бесконечным рядом. Связь с бесконечными ря-
рядами существует и в вопросе о равномерной сходимости
интеграла A).
Как мы знаем из 2° [504], для равномерного (относительно у)
приближения функции F(А, у) [см. B)] при^4 —>> оо к интегралу A)
необходимо и достаточно, чтобы к этому интегралу равномерно
сходилась каждая последовательность функций {F(An,y)}9
какова бы ни была варианта Ап9 стремящаяся к +оо.
Если, наконец, от «языка последовательностей» перейти
к «языку бесконечных рядов», то придем к окончательному заклю-
заключению, что равномерная {относительно у) сходимость инте-
интеграла A) совершенно равносильна равномерной лее сходимо-
сходимости всех рядов вида
оо "+1
? / А*.дО
	A J
dx
"=°Д
где Ап есть любая варианта, стремящаяся к +оо.
515. Достаточные признаки равномерной сходимости. Устано-
Установим теперь некоторые признаки, по которым обыкновенно на прак-
практике судят о равномерной сходимости интегралов.
Они построены по образу признаков Вейерштрасса, Абе-
Абеля и Дирихле равномерной сходимости функциональных ря-
рядов [430], а также близки к признакам сходимости несобственных
интегралов [476], которые мы также связывали с именами Абеля
и Дирихле.
1° Мы будем предполагать, что функция f(x,y) интегрируе-
интегрируема по х в каждом конечном промежутке [а, А] (А ^ а). Если

738	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[515
существует такая, зависящая лишь от х, функция ср(х), ин-
интегрируемая в бесконечном промежутке [а, +оо], что при
всех значениях у в <?
|/0,j/)| < q>(x) (для х ^ а),
то интеграл A) сходится равномерно относительно у
(в указанной области его значений).
Это непосредственно вытекает из неравенства
А'	А'
f(x,y)dx
А
если воспользоваться критерием предыдущего п°.
При указанных условиях иногда говорят, что функция f(x,y)
имеет интегрируемую мажоранту ср(х) или что интеграл A)
мажорируется сходящимся интегралом
/
ф{х) dx,
не содержащим параметра.
2° Более тонкие признаки, как и в 476, доставляет нам приме-
применение второй теоремы о среднем.
Рассмотрим интеграл от произведения двух функций:
оо
I(y) = jf(x,y)g(x,y)dx,	D)
а
предполагая функцию f(x,y) интегрируемой по х в любом проме-
промежутке [а, А], а функцию g(x,у) монотонной по х.
Если интеграл
Jf(x,y)dx
сходится равномерно относительно у в области <?, а
функция g(x,y) равномерно ограничена:
\g(x>y)\ ^ L (L = const, х ^ а, у из <У),
то интеграл D) сходится равномерно относительно у
в области °^/.

515]	§ 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ	739
Вместо F), 476, имеем на этот раз:
А'	I	А'
J f(x,y)g(x,y)dx =g(A,y) J f(x,y)dx +g(A',y) J f(x,y)dx.
I
Если на основании 514 взять Ао настолько большим, чтобы при
А'
А' > А > Ао было
А
\jf(x>y)<b\<jl
одновременно для всех у, то [как и в 476] нетрудно получить
оценку
А'
< ?,
1
f(x,y)g(x,y)dx
А
что [514] и доказывает наше утверждение.
3° Аналогично п° 476, можно указать и другую комбинацию
условий, налагаемых на функцию / и g.
Если интеграл
А
f(x,y)dx
а
будет равномерно ограничен как функция от А и у.
А
(К = const, A^a, у из
I ff(x,y)dx
a g(x,y) —)> 0 при х —)> сю равномерно относительно у (в об-
области ^/), то интеграл D) сходится равномерно относи-
относительно у в области <?. 71^
Доказательство предоставляем читателю.
4° В заключение заметим, что на практике чаще встречается
случай, когда из двух множителей / и g на деле лишь один содер-
содержит параметр у. Таким образом, каждый из критериев 2°, 3° дает
два частных признака (в зависимости от того, какой из этих
множителей содержит у).
71) ^
} Функция g по-прежнему предполагается монотонной по х на всем проме-
промежутке изменения этой переменной при любом фиксированном у.

740	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[516
ОО
/
Сформулируем один из признаков, вытекающих из 2°, который
наиболее часто применяется на практике:
Если интеграл
оо
f(x)dx
а
сходится, а функция g(x,y), монотонная по х, равномерно
ограничена, то интеграл
оо
f{x)g(x,y)dx
а
сходится равномерно относительно у.
Например, отсюда следует равномерная относительно у, для у ^ 0, сходи-
сходимость интеграла типа
/—XV г/ \ 1	I —X V
е у -f(x)dx,	e y
f[x)dx
в предположении, что интеграл J f(x) dx сходится. Действительно, обе функции:
-ху -х2у
, е х у, монотонно убывающие по х, ограничены единицей.
Это замечание не раз будет нам полезно в дальнейшем.
516. Другой случай равномерной сходимости. Рассмотрим те-
теперь функцию f{x ,y)9 определенную для значений хв конечном
промежутке [а, Ь] и значений у в некоторой области <У; пусть
при у = const она интегрируема по х (в собственном смысле или
нет) от а до Ь. Тогда интеграл
ъ
= Jf(x,y)dx,	E)
а
будь он собственный или нет, является пределом при
ц -л 0 интеграла
Ь-г\
<p(ri,y)= J f(x,y)dx.	F)
а
Если стремление этого интеграла при ц —>> 0 к преде-
пределу 1{у) происходит равномерно относительно у для зна-
значений у в области *?, то говорят, что интеграл E) сходится
равномерно относительно у в указанной области.

516]
2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ
741
Это значит, что для любого е > О найдется такое не зави-
зависящее от у число S > О, что, лишь только ц < S, неравенство
Ъ	Ъ-у]	Ъ
Jf(x9y)dx - J f(x9y)dx\ = | J f{x9y)dx
а	а	Ъ—ц
<
будет выполняться одновременно для всех значений j/в <2/.
Нетрудно сформулировать для этого случая условие, необхо-
необходимое и достаточное для равномерной сходимости. И здесь оно
сводится к равномерному выполнению принципа сходимо-
сходимости: по числу е > 0 должно найтись такое не зависящее от у
число S > 0, что при 0 < ц' < ц < S выполняется неравенство
Ъ-п'
I
Ь-ц
f(x,y)dx
<
каково бы ни было у в области ^/.
Точно так же здесь можно свести вопрос о равномерной сходи-
сходимости интеграла E) к вопросу о равномерной сходимости беско-
бесконечного ряда:
Ъ
f(x,y)dx
какова бы ни была варианта ап —>> Ъ [ср. 514].
Наконец, переносятся на рассматриваемый случай и достаточ-
достаточные признаки п° 515. Предоставляем это читателю.
Мы рассматривали интеграл E) от а до Ъ как предел интегра-
интеграла F) от а до Ъ - г], и нас интересовал характер приближения
последнего интеграла к своему пределу. Таким образом, особую
роль здесь играет точка х = Ъ [как в 513 — точка х = оо]. Может
понадобиться (в зависимости от обстоятельств, которые выяснят-
выяснятся дальше) отвести подобную же роль и другой точке промежутка.
Например, тот же интеграл E) можно рассматривать как предел
при ц -л 0 интеграла
ъ
i
f(x,y)dx.

742	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[517
Если последний при ц —>> О приближается к своему пределу
равномерно относительноу9 то также говорят о равномер-
равномерной сходимости интеграла E). Все сказанное выше перено-
переносится и на этот случай.
Если может возникнуть сомнение относительно того, о каком
виде равномерной сходимости идет речь, говорят, что интеграл
сходится равномерно (относительно у в определенной области),
соответственно, при х = +оо, при х = Ъ, при х = а и т. п.
Отметим, что, как правило, равномерная сходимость интегра-
интеграла E), скажем, при х = Ъ9 нас будет интересовать в тех случаях,
когда именно точках = Ъ оказывается особой для интеграла E)
[в смысле п° 479] — при тех или иных значениях у.
Но определение не только формально сохраняет силу и тог-
тогда, когда интеграл E) при всех значениях j оказывается
собственным, но, как увидим, может оказаться реально полезным
также и в этом случае.
Например, интеграл
1
~	т dx
ч
I
О
для каждого значения у в промежутке [0, <9], где д > О, будет существовать как
собственный. Однако для указанного промежутка изменения у его сходимость
не будет равномерной при х = 0. Действительно, неравенству
v
-z	т dx = arctg - < е,
* +У	У
о
если только е < ^, нельзя удовлетворить одновременно для всех значений у > 0:
сколь малым ни взять г], его левая часть при у —>> 0 стремится к ^ и для доста-
достаточно малых значений у будет заведомо больше, чем е.
517. Примеры.
1) Доказать непосредственно равномерную относительно у сходимость инте-
интеграла
™ 2	2
v — х
-^	^-тг dx
1
1
(для всех значений у).
Имеем:
у2-*2 „
B2J
' А
откуда и вытекает требуемый результат.
1
А'

517]	§ 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ	743
2)	Установить с помощью мажоранты, что интегралы
оо	оо
(а) / e~tx2dx; (б) / e~txxa cosjc dx {a ^ 0)
о	о
сходятся равномерно относительно t для t ^ t§ > 0.
Указание. Мажорантой будет (a) е~*°х ; (б) е~*°хха.
3)	Доказать непосредственно, что интеграл
оо
/
П	U-
—	е 2x2
X5
1
для значений 72=1,2,3,... не сходится равномерно относительно п.
Это следует из того, каково бы ни было А = const,
оо
-е 2х2 dx = е 2х2
= 1 — е 2а2 —>> 1 при п —>> оо.
А	оо
f sin сое
4) Доказать непосредственно, что интеграл / 	dx сходится равномер-
0
но относительно а в области а ^ а0 > 0 и неравномерно — в области а ^ 0.
Если Ао настолько велико, что при А > Ао
¦dz < е,
где с > 0 — произвольное наперед заданное число, то
оо	оо
/sin ax	[ sinz
-—dx=J—dz	G)
по абсолютной величине будет меньше е для всех а ^ а§ > 0, лишь только
А > -р. Этим доказывается первая часть утверждения.
"о
Вторая же часть следует из того, что выражение G) при любом А = const
стремится к пределу
оо
/sinz	jt
0
когда а -л 0.
5) Доказать равномерную относительно а сходимость интеграла
оо
sin ах
0
cosjc dx
в любом замкнутом промежутке, не содержащем d=l.

744	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[517
Указание. Преобразовать интеграл к виду
оо
1 f sin(a + l)x + sin(<2
2) 	-*
6) Исследовать вопрос о равномерной (относительно t) сходимости инте-
интеграла
оо
х sin х sin tx dx.
0
Указание. С помощью двукратного интегрирования по частям интеграл J
приводится к виду:	А
3 •	-3
cosjjt • sinta t sini • costx
3 sinta
1 / COS X • SI
А "ЗУ	—
¦dx
3	1 °° 3
t f sin^: • costa	t f sin^: • sinta
3x	3	3jc3
¦ dx;
A	A
отсюда ясна равномерная сходимость относительно t в любом конечном про-
промежутке.
7) Установить, что интегралы
1	1
(a) fxp~ldx; (б) fxp~l\nmxdx
(а
о	о
(т — натуральное число) сходятся равномерно относительно р (при х = 0)
в области р ^ Pq > 0 и неравномерно — в области р > 0.
Мажоранта: (а) л^0; (б) xPo~l | ln^|w (для области р ^ р0 > 0). С другой
стороны, какое бы ни взять ц = const,
/ хр~ dx =	>> оо, когда /? —>> 0.
/	р
о
8) Аналогично устанавливается равномерная сходимость интеграла
1
относительно р для р ^ р$ > 0 (при * = 0) и относительно q для ^ ^ д0 > 0
(при ^с = 1).

517]	§ 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ	745
9) Доказать, что сходимость интеграла
1
dx
J *у
О
(при х = 0) будет равномерной относительно у для j/^j/q<2 и не будет
равномерной — для у < 2.
Мажоранта >,Q1_1 для случая у < у0 < 2. Далее фиксируем ц > 0 произ-
произвольно, но настолько малым, чтобы при х < ц было ^- ^ \\ тогда
/ътх 1 f dx
	dx > - 	г =
хУ 2} хУ-1 2B -у)
о о
ц у —>> со при у —> 2.
10) Доказать равномерную относительно «(«=1,2,3,...) сходимость ин-
интеграла
1
A +;с +;с2 + . . . +/7) \ \n-dx
V ^
/(
J
о
(как при х = 0, так и при х = 1).
Так как \ -\- х -\- х -\- . . . -\- хп~ < yiij? T0 мажорантой служит функция
T3j\/1П j? которая в промежутке [0,1] интегрируема.
11) Непосредственно установить, что сходимость интеграла
—^	^ ах
О
не будет равномерной (при х = 0) относительно у в промежутке [0,1] измене-
изменения у.
Имеем, при произвольном ц = const,
¦dx =
X
о
12) То же для интеграла
1
х=п	п	1
если у —>> 0.
,=0
оХ у — oaV
~Гч	i^Tdx-
(xz +yz)z
о
Здесь интеграл
v
о
при у = ц обращается в — ^.
/" = _.

746	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[517
13) Доказать, что интеграл
оо
f
О
сходится равномерно относительно у для у ^ 0 (как при х = О, так и при
х = оо).
По отношению к х = 0 это ясно из наличия мажоранты рг, а для * = оо
это следует из сходимости интеграла
оо
COS X
1
X
а
¦dx
о
[476] в связи с заключительным замечанием п° 515.
14) Пусть функция f(t) непрерывна для t > 0. Если интеграл
tXf{t)dx
0
сходится при X = а и X = р (а < /3), то он сходится — и притом равномерно
относительно Я (при t = 0 и при t = оо) — для всех значений Я между аир.
1
Доказательство. Интеграл ftaf(t)dt сходится, а ГЯ~а для значений
0
X ^ а является монотонной функцией от t и ограничена единицей. Отсюда инте-
интеграл
1	1
j
tXf{t)dt =
0	о
для указанных значений Я сходится равномерно (при t = 0). Аналогично убе-
убеждаемся в том, что интеграл
оо
-p-tpf(t)dt
1	1
сходится равномерно относительно Я для Я ^ /3 (при t = оо).
15) Установить равномерную относительно у сходимость (при х = оо)
интеграла
оо
/соъху
dx @ < а < 1)
0
для j/ ^ .Уо > 0 и нарушение равномерности в случае, если изменение у ограни-
ограничено лишь неравенством у > 0.

518]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	747
В отношении первой части утверждения можно было бы воспользоваться
признаком 3°, 515 [ср. 4°], так как при любых А ^ 0 и у ^ у0
А
1
sin Ay
cos xy ах
У
Ул
о
а функция ja, монотонно убывая, стремится к нулю при х —>> оо.
То же замечание можно сделать, непосредственно рассматривая выражение
оо	оо
А	Ау
Вторая часть утверждения вытекает из того, что это же выражение при А = -
и у —>> 0 бесконечно возрастает.
[Легко видеть, что при х = 0 интеграл сходится равномерно относитель-
относительно у — в любой области изменения у.]
16) Доказать, что интеграл
оо
х sin рх
I
a2 +jc2
dx (а, /3 > 0)
о
равномерно сходится относительно /3 для /3 ^ /30 > 0.
Это следует из 3°, 515. Действительно, для /3 ^ /30
/	, ,
о
1 - cos Ар
sin /3.x <ix
С другой стороны, выражение
не содержащее /3, убывает с возрастанием х (по крайней мере для х ^ а) и стре-
стремится к 0 при jc —>> +оо.
§ 3. Использование равномерной сходимости
интегралов
518. Предельный переход под знаком интеграла. Мы займем-
займемся сейчас, главным образом, вопросом о предельном переходе под
знаком интеграла, распространенного на бесконечный промежу-
промежуток. Теорема 1 [506] на этот случай не распространяется: если да-
даже во всем бесконечном промежутке функция f(x,y) при у -^ у0

748	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[518
равномерно стремится к предельной функции ф(х)9 предельный
переход под знаком интеграла может оказаться недопустимым.
Рассмотрим в виде примера функцию (п = 1, 2, 3, ...)
/„@) = 0.
Обычными методами дифференциального исчисления легко уста-
установить, что наибольшего значения эта функция достигает при
х = л /| и равно оно ^0- е~г. Так как при п —>> оо это значение
стремится к нулю, то отсюда ясно, что функция fn{x) при п —>> оо во
всем промежутке [0, +оо) равномерно стремится к ср(х) = 0.
Тем не менее интеграл
ос
/
fn(x)dx =
о
при п —)> ex) вовсе не стремится к нулю.
Условия, достаточные для допустимости предельного перехода,
даются следующей теоремой:
Теорема 1. Пусть функция f(x,y) при у из <? интегриру-
интегрируема (е собственном смысле) по х в промежутке [а, А] при
любом А > а и в каждом таком промежутке при у —»> у0
равномерно относительно х стремится к предельной функ-
функции ф(х). Если, сверх того, интеграл
оо
= jf(x,y)dx	A)
сходится равномерно относительно у {в ^/), то имеет
место формула
оо	оо
y^yoj '	J
а	а
Положим, как и выше,
А
F(A,y) = Jf(x,y)dx.	C)

518]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	749
Для этого интеграла выполнены условия теоремы 1 [506], поэтому
А
lim F(A,y) = [<p(x)dx.	D)
а
С другой стороны, очевидно,
оо
lim F(A,y)= ff(x,y)dx,	E)
причем дано, что здесь стремление функции F(A,y) к своему пре-
пределу происходит равномерно относительно у. В таком случае
мы имеем право сослаться на общую теорему п° 505 о перестанов-
перестановке предельных переходов и утверждать существование и равенство
повторных пределов, что непосредственно и приводит к B).
Отсюда, применяя обобщенную теорему Дини [504, 4°], мож-
можно получить такое
Следствие*. Пусть неотрицательная функция f(x,y) не-
непрерывна по х в промежутке [а, +оо) и стремится, воз-
возрастая с возрастанием у, к предельной функции ср{х),
также непрерывной в указанном промежутке. Тогда из
существования интеграла
ос
/
<p(x)dx	F)
уже вытекает как существование интеграла A) (при всех у
из (?), так и наличие формулы B).
По упомянутой теореме, при указанных условиях стремление
функции f(x,y) к ф(х) будет равномерным относительно х
в любом конечном промежутке. Далее, в силу теоремы 1 [474], су-
существует интеграл A), так как
Функция ср{х) играет одновременно и роль мажоранты [515], обес-
обеспечивающей равномерную (относительноу) сходимость инте-
интеграла A). Таким образом, соблюдены все условия для применения
предыдущей теоремы.
*)
Мы считаем, что здесь все у < у

750	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[518
Читатель легко докажет, что предположение о существова-
существовании интеграла F) от предельной функции может быть за-
заменено здесь предположением о существовании конечного
предела
lim / f(x,y)dx
У^Уо J
— отсюда уже будет вытекать и существование интеграла F), и на-
наличие формулы B).
В том же порядке идей можно получить и некоторое обобщение
теоремы 1 [510], относящейся к конечному промежутку.
Теорема 1'. Пусть функция f(x,y) (для у из ^/) интегри-
интегрируема (в собственном смысле) в промежутке [a, b — rj], при
любом ц > 0 (но ц <Ъ — а), и в каждом таком промежутке
при у —^Jo равномерно относительно х стремится к пре-
предельной функции ср(х). Если, сверх того, интеграл
ь
f(x,y)dx
/¦
сходится (при х = Ъ) равномерно относительно у в <?, то
имеет место формула
ъ	ъ
lim / f(x,y)dx = / (p(x)dx.
а	а
Доказательство ничем не отличается от только что проведен-
проведенного. Легко распространяется на этот случай и следствие.
Конечно, роль точки Ъ может играть и любая другая точка про-
промежутка. Кроме того, подобных точек в промежутке может быть
и несколько.
Как и выше, с предельным переходом под знаком интеграла
чаще всего приходится иметь дело применительно к последо-
последовательности функций {/п(х)}. Переходя от последовательно-
последовательностей к бесконечным рядам, можно получить, таким образом, новые
теоремы о почленном интегрировании функциональных рядов.
Вот, например, какую форму получает следствие:
Пусть ряд
оо
Е
и=1
ип(х),

519]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	751
состоящий из положительных непрерывных для х ^ а
{или для а ^ х < Ъ) функций, имеет для этих значений х
непрерывную же сумму ср{х). Если последняя в проме-
промежутке [а, +оо] {или [а,Ъ]) интегрируема, то в этом проме-
промежутке ряд молено интегрировать почленно. Здесь так же,
как и выше, вместо интегрируемости суммы ряда молено было
бы предположить сходимость ряда интегралов:
; / ип{х) dx [или Y1 / ип(х)dx] •
J		1 J
оо ^г	оо
Е
а
Утверждение, очевидно, остается в силе и в том случае, ког-
когда все члены ряда отрицательны: он приводится к предыдущему
простым изменением знака.
519. Примеры.
1) С помощью разложения в ряд вычислить интегралы:
1	1
(а)
о	о
Решение, (а) Разлагаем подинтегральную функцию в ряд
1пA -х) _	х х2 х3
все члены которого имеют отрицательный знак. Нарушается равномерность схо-
сходимости вблизи х = 1. Эта точка и является для суммы ряда особой; тем не
менее в промежутке [0,1] сумма интегрируема. Применяя последнее предложе-
предложение предыдущего п°, интегрируем почленно
°° 1 }	°° 1	л2
о	n=l о	n=l
[440, D)].
(б) Второй интеграл подстановкой х = 1 — z приводится к первому. Тем не
менее, для упражнения, вычислим его заново, разлагая в ряд у^:
оо
= у хп \пх',
1-х
п=0
все члены здесь тоже отрицательны. Равномерность сходимости на этот раз на-
нарушается вблизи двух точек: х = 0 и х = 1, так что упомянутое предло-
предложение следует применить порознь, например к промежуткам [О, ^] и [^, l].

752	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[519
Окончательно,
л -,	ОО л
/	dx = } / х \n
1-х	^ )
ОО л	О
xdx = - } -; = — — .
)	^ п2	6
2) Вычислить сумму ряда
11111
()	1+	+ +
исходя из того что
2п+ 1
о
Решение. Имеем:
1	1
(/1 = 0,1,2,...).
/л	<~*J
(х п + х ) dx = dx\ {—\)nx
J	п
О	0	и
2
dx =
4
О
Хотя особенностей сумма ряда не имеет, но равномерная сходимость нару-
нарушается вблизи х = 1. Так как для частичной суммы ряда имеем
п~1	1 _|_ .An	1 , 2
то в роли мажоранты оказывается просто постоянная и интеграл от этой сум-
суммы сходится (при х = I) равномерно относительно п. Этим оправдывается
почленное интегрирование [теорема 1;].
Аналогично:
11 1 1	ж 1 + у/2
(бI +	+
3) Исходя из формулы
- = - f(l-x)
п) п\ J
1
. . (р + п) п\
о
вычислить сумму ряда:
(а) —— + -—- +
1-2-3 3-4-5 5-6-7
1-2-3-4 + 4-5-6-7 + 7-8-9-10

519]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	753
Ответ: (а) - /	Ц- dx = In 2	;
2J 1-х2	2
О
о
1
1 f A -:
бУт-
чЗ
\г- dx = - ~ - }
6 4 ^2л/3 6'
О
4) Вычислить интегралы Эйлера:
/а — 1	/• а-1 _ д.^ — 1
—- rfx;	(б) К=	dx.
\+х J 1-х
О О
(О < а < 1) (а, ^ > О)
Решение, (а) Разбив интеграл на два интеграла:
1 оо
О	1
вычислим их порознь.
Для 0 < х < 1 имеем разложение в ряд
а — \	°°
v=0
который сходится равномерно, лишь если Okc^x^I— e < \. Но частичная
сумма имеет интегрируемую в [ОД] мажоранту:
о
следовательно, интеграл от нее сходится равномерно (как при х = 0, так и при
х = 1). Интегрируя почленно, по теореме 1 получим:
*	оо ( ,v
v=0 q	v=0
Интеграл /2 подстановкой х = | приводим к виду
1	1
А =
О	О
1 1 /, N ,
	^ = / 	dx.

754	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[519
Применяя уже полученное выше разложение, найдем:
00 ( \\v
а - v
Таким образом,
а + у а — v
Мы узнаем в этом выражении [см. 441, 9)] разложение на простые дроби функции
sin^.g. Окончательно,
оо
А
—	dx = 	.
-	х	sin л а
О
J 1-
(б) Разбивая интеграл на два, как и выше, и делая во втором ту же подста-
подстановку, получим
1 1
К = / х-	Z^L_ dx _ / I	Z
1 ~Л2
1 — jc
О	О
Очевидно, достаточно найти К\. Прибегая к разложению подинтегральной
функции в ряд, как и только что, найдем:
= -+> 	+
а *—' \а + у а — у
но [441, 9)] здесь мы узнаем разложение на простые дроби функции ж • ctgjra.
Итак,
00 • „*-i
- d!x = jr(ctgjra — ctgjrb).
°г'ха-\ _хъ
I
J	1 -x
О
5) Найти значения интегралов (|г| < 1)
оо
(a) I\= I -,	2п	2л '
о
оо
(б) /2 =
о
*^ В обоих интегралах при х = 1 особенности не будет, особая точка .х = 0;
интегралы сходятся.

519]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	755
причем в обоих случаях интеграл
оо
/COS fof	JT _к ,
ТТ^ dx = 2	{к>0)
о
считать известным [см. 522, 4°; а также 523, 9)].
Решение, (а) Исходим из разложения
оо
1 — Г COS рХ
— 2r cos/3;\; + г2 ^—'
v=0
= 7 fV cosvBx ,
умножая на 1 2, интегрируем почленно
oo
v Z4 cos v/3x
7 i +xz
v=0 0
Так как исходный ряд — по умножении на дробь y~2 — сходится равномер-
равномерно относительно х даже во всем бесконечном промежутке, а частичные суммы
его имеют мажоранту вида с 2, то почленное интегрирование оправдано [тео-
[теорема 1].
Если использовать теперь значение указанного интеграла, то окончательно
получим
jt	I	jt ен
4 V —V
г е
? 1 — гр-Р 2 рР — г
~ О
(б) Указание. Исходить из разложения [461, 6), (б)]
ОО у
1пA — 2r cos/3;\; + г ) = —2 \^ — cos v/3;\;.
v-l
Ответ: /2 = лпA — ге~^).
6) Разложить интегралы [Лаплас]
оо	оо
(а)
/ e~xl cos 2Z?jc dx; (б) / e"^2 ch 2bx dx;
О
оо
(в) е~х cos2bx dx
О
и ряды по степеням Ъ (Ь > 0), причем во всех случаях считать известным
интеграл
оо
Г
е dx = -
[492, 2°].	°
*)
Оно легко получается из разложений в 10) и 11), 440.

756	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[519
(а) Решение. Пользуясь известным разложением косинуса и интегрируя
почленно, получаем
оо
J
Bv)!
00 ( л\у /oz,\2v
-х2 ъ
*
x dx.
Равномерная сходимость нашего ряда в любом конечном промежутке [О, А]
очевидна; частичные суммы его имеют мажоранту:
i Bv)i
v=0
интегрируемую от 0 до оо. Этим установлена зависимость почленного интегри-
интегрирования.
оо 2
Остается определить интеграл J е ~х • х v dx = Iv. Интегрируя по частям,
О
легко придем к рекуррентной формуле:
2v - 1	Bv - 1)!! _
l	/	°ТКуДа /у = 2^+!
J
Подставляя это в полученное разложение, найдем окончательно:
-Х2 0? ^ ^ (-
e cos 2bx dx =	\- >
2
I
[\ I у
2 I tt y!
Ответ: ^- e~bl.
(б) Аналогично получается разложение:
sinlbx dx =
00 1
0	v=1
Bv - 1)!!
но на этот раз к «конечной» формуле оно не приводит. Впоследствии, другим
путем, мы выясним характер новой (уже неэлементарной) функции, которая
нужна была бы для выражения нашего интеграла [523, 5), (б)].
*) Мы воспользовались очевидным преобразованием:
Bу)! = Bу)!!Bу - 1)!! = 2vv!Bv - 1)!!

519]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	757
7) Найти значение интеграла
оо
4 =
о
= 1,2, 3, ...).
Решение. Разложив
1
оо
У e2jTX - 1
gZJTX 	 Y	1 	 g—ZJTX
в прогрессию, получим положительный ряд
2к-\	оо
п=\
который сходится равномерно в любом промежутке [rj,A] (О < ц < А < +оо].
Так как сумма ряда интегрируема в промежутке [0, +оо], то почленное интегри-
интегрирование оправдано *^:
°° ^	_	 ^° ^'- 1)! Bк- 1)! °° л
Вспоминая, что к-е число Бернулли Вк имеет выражение
2 • Bк)\ ^ 1
B	^
[449], окончательно получим
/ -Вк
8) Найти выражение для интегралов [Л е ж а н д р]:
(а)
оо
/ -z	dx;
J е2лх _ i
О
оо
Решение, (а) Разложение
(б)
)жен
sin
e2jtx
J
0
ие
тх
-
sinmx
g2jrx _i_ \
оо
v = l
dx
е
{т > 0).
Ъжх sinmx
*^ Мы пользуемся здесь (и в следующей задаче) сразу и теоремой 1, и теоре-
теоремой 1/ предыдущего п°, примененными, скажем, к промежуткам [1, +оо] и [0,1]
порознь.

758	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[519
тоже сходится равномерно в любом промежутке [rj, А], его частичные суммы
мажорируются функцией ^ ^ i • Поэтому допустимо почленное интегрирование:
^ i
f sinmx	^ f _2vjrx .
/ —r	dx = > / e	sin аих dx =
о
m	1/1	1 1\ bffl + l
2 + 4v2jt2 2 Uw - 1 т + 2/ 4 е^ -
v = l
(б) Аналогично получаем (пользуясь той же мажорантой):
oo
/sinmx	v~->, . чи —1	аи	1 1	1
e2- + 1 " v = i
	 *)
2m 2'ef-g-f '
Замечание. Естественно было бы также искать значения предложенных
интегралов путем разложения sinmx в ряд. В случае (а), например, мы пришли
бы к интегралам, рассмотренным в 7), а для получения результата в конечном
виде могли бы использовать известное разложение
1	1 , 1 _ \Ч 1Л*-1 Вк т2к-\
е™-\ т ' 2 ^ J Bk)\
[449] и т. д. Но этот метод имеет принципиальный недостаток — он требует пред-
предположения т < 2л, в то время как результат верен для любого т.
9) Если в элементарной формуле [ср. 492, 2°]
оо
Г dx	Bп - 3)!! ж
J A+jc2)" ~ Bп - 2)!! ' ~2
о
положить х = -4^, то получим:
оо
Г dz	Bn - 3)!!	ж
J (л i z±\n ~ Bп - 2)!! ^ ' 2"'
0 \ ^ п)
Функция -—Ц-гй, монотонно убывая с возрастанием и, стремится к преде-
(i+тг)
лу e~z . Опираясь на следствие п° 518 (которое сохраняет силу и для монотонно
убывающей функции), можно здесь перейти к пределу при п —>> оо под знаком ин-
интеграла. Если для определения предела правой части воспользоваться формулой
*' Эти результаты получаются из разложений на простые дроби функций cth x
и 3^7 [441, 10)].

519]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	759
В а л л и с а [317], то окончательно получим результат
оо	оо
f -2J r f dz ^
e dz = hm / 	=— = 	.
J	"^J A + -)" 2
о	о v «/
[Cp. 492, 2°.]
10) Известный интеграл Фейера [309, 5), (б)]
f
1 f f sin nz \ 2	ж
dz = —,
n J V sinz J	2
0
если положить здесь z = |, может быть переписан в виде
2
dx = -.
* / Vsin?
Переход к пределу при п -л оо здесь затруднен тем обстоятельством, что
от параметра п зависит не только подинтегральная функция, но и верхний предел
интеграла.
Полагая, однако,
и
fn(x) = 0 для прочих значений .х,
можно написать и так:
^.	G)
О
Очевидно, каково бы ни было х > О,
причем приближение функции fn (x) к своему пределу в любом конечном проме-
промежутке [0,^4] будет равномерным. С другой стороны, известно, что для 0 < z < f
sinz 2
Z	Л"'
поэтому для 0 < х ^ п • ^
это неравенство тем более выполняется при х > п • ^, ибо тогда fn(x) = 0.

760	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[519
Применяя теорему 1 [518], можем в равенстве G) перейти к пределу
при п —>> оо под знаком интеграла, что приводит нас к результату
оо
in;\;\2	ж
	 dx = —.
х )	2
о
[Ср. 494, 4); 497, 15).]
11) Другой пример того же рода. Известно [см. 440, 10)], что
cos mx
dx = jt-
/
J \ — 2r cosx + г2
о
где т — натуральное число и \г\ < 1. Положим здесь х = ^иг = \ — ^ (где
h > 0); считая т > h, получим:
пит
1
cos z <iz
_cos |)A-A)
mjt
-I
cosz dz
0
Переходя здесь к пределу при т —>> оо «под знаком интеграла», не стесняясь
тем, что и верхний предел здесь растет вместе с т (его мы заменим на оо),
получим:
оо
COS Z	JT _h
—	 dz = — е
о
Но верно ли это? Постараемся обосновать выполненный переход.
Введем и здесь функцию
cosz
fm(z) = 	=	 при 0 ^ z ^ тж,
/w(z) =0	при z > wjt,
так что левая часть интересующего нас равенства перепишется так:
Очевидно,
lim fm(?) =	Z
у2

519]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	761
причем в конечном промежутке стремление происходит равномерно. Наконец,
мажорантой может служить функция
1
если то > h и рассматривать только значения т ^ т0. Остается сослаться на
теорему 1 [518].
12) Необходимость обоснования предельного перехода в примерах 10) и 11)
подчеркивается следующим сходным с ними примером, где, однако, такого обос-
обоснования дать нельзя; результат же не подкрепленного обоснованием предель-
предельного перехода оказывается неверным.
Рассмотрим интеграл
п
Г
dx;
-х2
0
если с ним поступить, устремляя п к оо, как в предыдущих примерах, то полу-
получится, что
оо
Нт/И = O-chc = 0.
Нт/И = /
о
На деле же (как легко убедиться с помощью замены переменной) интеграл 1п
сохраняет постоянное значение ^!
Приведем еще два нешаблонных примера, интересных, как увидим, в другом
отношении.
13) Вычислить интеграл (где а — любое число)
оо
/= [ eacosxsm(asmx) —
[ср. 478, 8), (а)], считая известным интеграл
[см. 492, 3°
Удобно
тогда [457,
;494,
5)].
ввести комплексную
(в)]
Z =
ОО
f sint
]—* =
о
переменную
- a(cosx + i
JT
sin л:);
ez = eacosx ^cos(<2 sin.*) + i sin(<2 sin.*)
разлагается в ряд
x~^\ an (cos we-\-i sin we)
1 + > —	-.
*-^	n\

762	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[519
Приравнивая мнимые части, мы и получим разложение того выражения, ко-
которое стоит первым множителем под знаком интеграла:
оо „
A COS X	/	\	^ "^
е	sm(<2 smjc) = у — smrac,
отсюда
/ =
о
°° оо п
smra:
Если бы можно было здесь произвести интегрирование почленно, то сразу
получили бы:
оо п р •
2-J ~ri J X
*-^ n\ 2
0	n=l
Но обосновывать право на это в данном случае приходится своеобразно.
Так как ряд, стоящий под знаком интеграла, мажорируется постоянным рядом
ОО	у
v=0
то в конечном промежутке [О, А] интегрирование можно произвести почленно:
А оо	оо	А	оо	пА
/v^ an	sin га v^ аП f sin га v^ an f sint
> — • 	dx = > — / 	dx	= > — / 	dt. (8)
^-^ n\	x *-^ n\ J x *-^ n\ J t
0 n=l	n=l 0 n=l 0
Остается перейти к пределу при А -л оо. Но, как нетрудно видеть, ввиду са-
оо	t0
мого существования интеграла J ^ dt, интеграл J ^ dt при всех значениях
О	О
/q ^ 0 будет равномерно ограничен:
— dt
t
О
Тогда ряд (8), члены которого зависят от переменного А, мажорируется постоян-
постоянным рядом
и, следовательно, сходится равномерно относительной. В таком случае, по
известной теореме [433], в нем можно перейти почленно к пределу при А -л оо,
чем и завершается доказательство.

519]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	763
14) Другой пример того же рода. Пусть ряд
п=0
СХОДИТСЯ, И ПОЛОЖИМ ДЛЯ X ^ О
оо	^п
*(*) = Еа- - -^
этот ряд также сходится, и притом — в любом конечном промежутке [О, А] —
равномерно относительно х [по признакам Абеля-Дирихле, см. 430], так
хп
как множитель -^-, по крайней мере для п > А, убывает с возрастанием п.
Доказать, что тогда
оо
е xg(x)dx=s.	(9)
0
Результат получается сразу, если проинтегрировать почленно
п=0	п=0
ОО
ибо J е~х • xndx = п\ [489, 4)]. Обратимся теперь к обоснованию права на это.
О
Как и только что, в конечном промежутке почленное интегрирование допу-
допустимо:
Л	Л
1 ' -r ^	A0)
Интегрируя по частям, легко показать, что
А	А
*¦ I —х п j	*¦	I
- е • х dx <	— /
п\ J	{п- 1)! J
—х п—\ j	л
е -х dx < 1,
о
так что множители
А
Та I e~x 'xUdx'
о
зависящие от А и п, монотонно убывают с возрастанием п (при А = const), оста-
оставаясь равномерно ограниченными. В таком случае (по только что указанному при-
признаку) ряд в A0) справа сходится равномерно относительно А, а значит, в нем
можно перейти к пределу при А -л оо почленно и т. д.

764	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[519
Приведем два примера применения полученной изящной формулы (9).
(а) Рассмотрим так называемый интегральный синус
/ smt
= /
J t
3	5
ж	х	х
dt =	х -\	Ь . . .
2	3! • 3 5! • 5
Этот ряд составляется по типу g(x), исходя из ряда
~2~ + +3+ ~5+'"
По формуле (9) тогда
оо
/-jc . ,	^/-,11	\	Ж Ж Ж
е si х dx =	1	1		...=		= —.
2 V 3 5	7	2 4 4
о
(б) Другая интересная функция — функция Бесселя с нулевым
значком Jq(x) — имеет разложение [441, 4), 5)]:
)
v = l	V ';
которое составляется по типу g(x), если положить
«0 = 1, аъ = (-ХуЩ^, a2v_i=0.
Тогда, в силу (9),
окончательный результат получается здесь, если вспомнить разложение функ-
функции —== в биномиальный ряд [407, B4)] и положить в нем х = 1.
Замечание. Поучительно разобраться, в чем состоит особенность приме-
примененного в двух последних примерах метода рассуждения — по сравнению с про-
прочими примерами на почленное интегрирование рядов в бесконечном промежутке.
Если вернуться к общему вопросу о предельном переходе под знаком ин-
интеграла с бесконечным пределом [518], то он оказывается равносильным вопро-
вопросу о существовании и равенстве обоих повторных пределов для некоторой
функции F(A,y) двух аргументов [см. C)]. Согласно общей теореме п° 505, до-
достаточным условием в этом случае является — при наличии обоих простых
*^ Это разложение легко вывести, если написать:
ОО	X
J t	J t
0	0
и во втором интеграле заменить синус его разложением в ряд, а затем проинтег-
проинтегрировать почленно.

520]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	765
пределов — равномерное стремление функции к одному из них, D) или E),
и притом все равно к какому. Обычно мы предполагали такую равномерность
в отношении предела E), что и отвечало «равномерной сходимости интеграла»
с бесконечным пределом. Но заключение оставалось бы в полной силе, если
бы вместо этого равномерным было приближение функции F к пределу D)!
оо
В случае ряда J^ un (х) с частичными суммами fn (x) можно, таким образом,
1
либо устанавливать равномерное (относительно п) приближение функции
А
Fn(A) = jfn(x)dx
а
оо
при А —>> оо к пределу J fn(x)dx9 т.е. «равномерную сходимость» этих инте-
а
гралов, что мы обычно и делали, либо же убеждаться в равномерном (отно-
А
сительно А) приближении названной функции при п —>> оо к пределу J q>[x) dx,
а
т. е. в равномерной (относительно А) сходимости ряда
А	А
a(x)dx = / <p(x)dx,
со j
что оказалось более удобным для нас в примерах 13) и 14)!
520. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по па-
параметру. Займемся и здесь сначала переносом теорем 2 [506]
и 3 [507] на случай бесконечного промежутка.
Теорема 2. Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна
{как функция двух переменных) для значений х ^ а и значе-
значений у в промежутке [с, д]. Если интеграл
= j f{x,y)dx	(I)
сходится равномерно относительно у в промежутке [с, д], то
он представляет собою непрерывную функцию от парамет-
параметра у в этом промежутке.
Это следствие из теоремы 1. Действительно, как мы виде-
видели в 506, при изменении х в любом конечном промежутке [а, А]
функция f(x,y) при у -^у0 (где Jo — любое частное значе-
значение у) равномерно относительно х стремится к предельной
функции f(x,y0). А тогда, по теореме 1, в интеграле A) можно

766	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[520
перейти к пределу под знаком интеграла:
оо
= J
что и доказывает наше утверждение.
В п° 485, описывая методы, с помощью которых расходящимся интегралам
приписываются «обобщенные значения», мы оставили открытым вопрос о регу-
регулярности второго из этих методов. С помощью только что доказанной теоремы мы
оо
в состоянии теперь восполнить этот пробел. Если интеграл J f(x) dx сходится, то
О
оо
интеграл J е~ х f(x) dx равномерно сходится относительно параметра к для
О
к ^ 0 [см. замечание в конце п° 515], и следовательно — по крайней мере в слу-
случае непрерывности f[x) — представляет непрерывную функцию от параметра к
для к ^ 0. В частности, имеем
оо	оо
\im(e-kxf(x)dx = ff(x)dx.
о	о
Таким образом, величина сходящегося интеграла совпадает с его «обобщенным
значением»; в этом и состоит упомянутая регулярность.
Замечание. В случае если функция f(x,y) неотрица-
неотрицательна: f(x,y) ^ 0, имеет место в некотором смысле обратная
теорема: из непрерывности интеграла A) как функции от па-
параметра вытекает равномерная его сходимость.
В этом случае непрерывная функция от у
л
= Jf(x,y)dx	C)
при возрастании А возрастает и, следовательно [по обобщен-
обобщенной теореме Дини, 504, 4°], стремится к своему пределу A)
равномерно относительно у9 что и требовалось доказать.
Теорема 3. Пусть функция f(x,y) определена и непрерыв-
непрерывна по х для х ^ а и у в [с, д] и сверх того имеет для
указанных значений непрерывную по обеим переменным про-
производную /у(х,у). Предположим далее, что интеграл A) схо-

520]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	767
дится для всех у в [с, д], а интеграл
оо
I
A1)
сходится равномерно относительно у в том же проме-
промежутке. Тогда при любом у из [с, д] имеет место формула^
оо
I'(y) = jf'y(x,y)dx.
а
Взяв частное значение у = у0, рассмотрим отношение
оо
/(уо +k)- /(у0) = Г/(х,уо + к)- (х,у0) dx A2)
а
и докажем, что здесь допустим предельный переход по параме-
параметру к —)> 0 под знаком интеграла.
Мы уже видели в 507, что если х изменяется в любом конечном
промежутке [а, А], подинтегральная функция -^*°;о+ H/foo'o) стре-
стремится при Л:ч0к предельной функции /у(х,уо) равномерно
относительно х. Для того чтобы иметь право применить теорему 1,
нам следовало бы еще убедиться в равномерной сходимости
интеграла A2) относительно к.
Ввиду предположенной равномерной сходимости интегра-
интеграла A1), по любому е > 0 найдется такое Ао ^ а, что, лишь только
А' > А > Ао, будет
л'
/-
А
/Jx,y)dx
<г	A3)
для всех у сразу [514]. Покажем, что одновременно будет и
А
для всех возможных значений к.
*^ Вычисление производной по этой формуле и здесь называют правилом
Лейбница.

768	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[520
Для этой цели (фиксируя А и А') рассмотрим функцию
А'
А
По теореме 3 [507], ее производная вычисляется по правилу
Лейбница:	At
А
и, ввиду A3), по абсолютной величине всегда < е. Но тогда и от-
отношение
а'
ф(уо + к)-Ф(уо) _ , /v^y , ;v У\->>'ю) dx
к	J	к
A
которое по формуле Лагранжа равно Ф'(у0 + ^)> тоже по
абсолютной величине будет < ?, т. е. выполняется A4). Отсю-
Отсюда, по признаку п° 514, следует равномерная сходимость интегра-
интеграла A2), чем и завершается доказательство.
Легко получить и обобщение теорем 2* и 3* [510], относящих-
относящихся к конечному промежутку [а, Ь]: стоит лишь, ничего не меняя
по существу в приведенных здесь формулировках и рассуждениях,
заменить точку х = оо точкой х —Ъ (как это сделано, например,
при переходе от теоремы 1 к теореме 1;).
Замечание. В излагаемой здесь теории мы не пользуемся
связью интегралов с рядами, предпочитая выдвигать повсюду ту
идею, которая в действительности является основой всех умоза-
умозаключений, — идею равномерного стремления к предельной функ-
функции. Однако в иных случаях ссылка на уже развитую теорию рядов
могла бы создать формальное упрощение в рассуждениях. Разъяс-
Разъясним это, дав новое доказательство теоремы 3 (где упомянутое
упрощение более значительно).
Заменим интеграл 1(у) рядом [477]
1 /
А
Члены этого ряда	п~х
и„(у)= f f(x,y)dx.

521]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	769
в силу теорем 2 [506] и 3 [507], непрерывны и имеют непрерывные же произ-
производные
ип{у) = / fy{x,y)dx.
К тому же ряд, составленный из этих производных, сходится равномерно относи-
относительно у в промежутке [с, д], как это следует из равномерной сходимости инте-
интеграла A1) [514]. Тогда, по теореме о почленном дифференцировании ряда [435],
существует производная
А
оо
п.	п.
/ №'У)<Ь= /y(x,y)dx,
п—\
что и доказывает требуемое.
Тот же прием можно применить и к доказательству теорем 1 [518] и 2 [520]
(а также теоремы 4 из следующего п°), со ссылкой на соответствующие теоремы
из теории функциональных рядов. Осуществление этого предоставляем читателю.
521. Интегрирование интеграла по параметру. Сначала дока-
докажем следующую теорему:
Теорема 4. При предположениях теоремы 2 имеет место
формула:
д	д оо	оо д
j'I(y)dy = j'dy J f(x,y)dx = j'dx j' f{x,y)dy.	A5)
с	с	а	ас
Действительно, по теореме 4 [508] для любого конечного А^ а
справедливо равенство
д	А	Ад
jdy j'f(x9y)dx = jdx jtf(x,y)dy.
с	а	а	с
Но, по предположению, функция C), непрерывная по у, при
А —)> сю стремится к своему пределу A) равномерно отно-
относительно у. Следовательно, по теореме 1 [506], в интеграле слева
можно перейти к пределу по А —>> оо под знаком интеграла, т. е.
д	А	д оо
lim dy f(x,y)dx = dy f(x,y)dx.
A^oo J	J	J	J

770	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[521
В таком случае существует и предел при А —>> оо интеграла справа,
т. е. интеграл
ОО д
dx f(x,y) dy,
а	с
который имеет то же значение, что и требовалось доказать.
Если воспользоваться замечанием к теореме 2 [520], то
легко вывести отсюда такое
Следствие. В случае не о тр ицателъной функции f(x, у)
одна непрерывность интеграла A) по у влечет за собой фор-
формулу A5).
Таким образом, мы — при известных условиях — установили
право переставлять два интеграла, из которых лишь один рас-
распространен на бесконечный промежуток, а другой — на конечный.
Между тем во многих случаях как раз приходится переставлять
интегралы, взятые оба в бесконечных промежутках, по формуле
оо оо	оо оо
JdyJf(x,y)dx = JdxJf(x,y)dy.	A6)
с	а	ас
Оправдать такую перестановку часто представляется делом слож-
сложным и кропотливым, чему читатель ниже найдет много примеров.
Лишь для узкого класса случаев удается обосновать форму-
формулу A6) общими соображениями:
Теорема 5. Пусть f(x,y) определена и непрерывна для
х ^ а и у ^ с. Предположим далее, что оба интеграла
оо	оо
Jf(x,y)dx и jf(x,y)dy	A7)
а	с
сходятся равномерно: первый — относительно у, а второй —
относительно х, в любом конечном промежутке. Тогда если
хоть один из двух повторных интегралов
оо оо	оо оо
JdyJ\f(x,y)\dx, jdx J\f{x,y)\dy	A8)
с	а	ас
существует, то существуют и равны повторные интегра-
интегралы A6).

521]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	771
Допустим, что существует второй из интегралов A8). Ввиду
оо
равномерной сходимости интеграла / fdx9 по предыдущей Теоре-
Теорема
ме, для любого конечного С > с будем иметь
С оо	оо С
jdyjf(x,y)dx = jdxjf(x,y)dy.
с	а	ас
Остается доказать, что в интеграле справа при С —»> оо допу-
допустим предельный переход под знаком интеграла,
ибо тогда будет существовать
оо оо
J dy J f{x9y)dx =
с	а	С	оо
= lim dy f(x,y)dx = lim dx f(x,y)dy =
C^ooJ	J	C^oo J	J
с	а	а	с
оо	С	оо оо
= J dx ¦ Xirn^J f{x,y)dy = J dx J f{x,y)dy.
а	с	ас
Оправдать упомянутый предельный переход можно, опираясь
на теорему 1 [518]. Функция от х и С
с
Jf(x9y)dy9
с
непрерывная по х [теорема 2, 506], при С —>> оо стремится к пре-
предельной функции
оо
f fix,y)dy
С
равномерно относительно х в любом конечном промежутке. Инте-
Интеграл же
с оо	оо С
оо С
j dx f f(x,y)dy
а	с
сходится равномерно относительно С, потому что мажорируется
вторым из интегралов A8), поскольку
с
Jf(x9y)dy

772	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[522
Таким образом, все условия теоремы 1 здесь выполнены, и наше
утверждение оправдано.
Несколько проще обстоит дело в случае функции, не меняющей
знака. Например, для неотрицательной функции (этим случаем до-
достаточно ограничиться) имеет место
Следствие. Пусть для неотрицательной непрерывной
функции f(x,y) оба интеграла A7) также представляют со-
собой непрерывные функции, первый — от у, а второй —
от х. Тогда если существует один из повторных интегра-
интегралов A6), то существует и другой, и притом — равный пер-
первому.
По теореме 2 и замечанию к ней, явствует, что предположение
о непрерывности интегралов A7) равносильно требованию их рав-
равномерной сходимости. Остается применить предыдущую теорему,
отметив, что в данном случае |/(х,у)\ = /(х,у).
Предложения настоящего п° также могут быть перефразирова-
перефразированы на случай конечных промежутков; при этом особая точка х = оо
лишь заменяется конечной особой точкой х = Ъ, а также (если
нужно) точка у = оо — точкой у = д.
522. Применение к вычислению некоторых интегралов. При-
Применим вышеизложенную теорию к вычислению некоторых важных
интегралов.
1° Интегралы Эйлера:
оо 1	оо 1 , 1	оо	1
а\	я1 bi	ха dx
/-	</х, / 	-1	dx,	¦ о *
J 1+х	J 1-х	J x2 + 2xcos6 + l
0	0	0
(О < а < 1)	@ < а, Ъ < 1)	@ < я < 1, -я- < 0 < я-)
Из результатов п° 496 [см. 1)] сразу получается:
оо о
2т
zlm А	я 1	( ,
	—- dz = — •	~—п—	(w < п).
± \ Z	?rl Sin —^	 JT
0
/
Положив здесь z = х ^, найдем первый из эйлеровых интегралов:
0	'	O111 2и
при частном значении а =

522]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	773
Для того чтобы отсюда получить значение искомого интеграла
при любом а, удовлетворяющем неравенствам 0 < а < 1, убедимся
в том, что этот интеграл представляет собой непрерывную функ-
функцию от а для указанных значений параметра.
При 0<х<+оо и 0 < а < 1 подинтегральная функция со-
сохраняет непрерывность по обеим переменным. Далее, рассматри-
рассматриваемый интеграл сходится равномерно относительно а\ при х = О
для а ^ а0 > О, а при х = оо для а < ах < 1. Действительно,
оо	1 оо
разбивая интеграл / на два: / + /, легко видеть, что последние
0	0 1
мажорируются, соответственно, интегралами:
1	оо
/X ° [ X 1~
	dx и /	dx.
1+х J 1+х
О	1
00	1
Прилагая к интегралу / теорему 2, а к интегралу / — анало-
1	О
гичную ей теорему для конечного промежутка, убеждаемся в не-
непрерывности обоих интегралов как функций от параметра.
К любому значению а @ < а < 1) можно произвольно при-
приблизиться с помощью значений вида 2п^1 (тип — натураль-
натуральные, т < п). Переходя в формуле A9) к пределу при 2гг^1 —> а
и используя доказанную непрерывность интеграла, найдем оконча-
окончательно:
1 + х	sin л а
о
519'
Совершенно аналогично, из 2) и 3), 496, получим:
¦ dx = jr(ctgajr — ctgbjr)
J
1 -X
xa~ldx	sin(l - aH
= ж ¦
f	_„	.
J x2 + 2x • cos в + 1	sin в • sin ал
0
2° Интеграл
оо
sinx 7
	dx
х
[ср. 492, 3°].

774	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[522
Рассмотрим интеграл
оо
[ sin ах
/0 = / 	dx (а > 0).
j х
о
Вычислим его с помощью дифференцирования по параметру а. Од-
Однако непосредственное применение правила Лейбница приво-
приводит здесь к расходящемуся интегралу
оо
cos ax dx.
о
Поэтому мы введем «множитель сходимости» е~кх (к > 0) и ста-
станем искать значение интеграла
оо
J	X
0
Для него дифференцирование по а под знаком интеграла уже
дозволительно, ибо соблюдены условия теоремы 3: подинтеграль-
ная функция и ее частная производная по а непрерывны по х и а
для х ^ 0 и а ^ 0, а интеграл, получаемый в результате дифферен-
дифференцирования:
оо
е~кх cos ax dx =
а2+к2
о
сходится равномерно относительно а, так как мажорируется инте-
оо
гралом / e~kxdx, не содержащим а.
о
Итак, для а ^ О
dl	к
da a2 + к2'
Интегрируя по а, найдем
/ = arctg -
(постоянного слагаемого здесь вводить не приходится, так как оба
эти выражения при а = 0 обращаются в нуль).
Эта формула выведена в предположении, что к > 0. Но, при
а = const, интеграл / оказывается функцией от?, непрерывной

522]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	775
и при к = 0; это следует по теореме 2 из равномерной сходи-
сходимости интеграла / относительно к при к ^ 0 [см. 515, 4°]. Иными
словами,
/0 = lim /.
Если а > 0, то
а	, , jt
/0 = lim arctg — = arctg(+oo) = —.
В частности (при а = 1), и
ос
/
оо
sinx
О
3° Интеграл Эйлера-Пуассона
оо
J =
о
[ср. 492, 2°].
Положив здесь х = ut, где и — любое положительное число,
получим
оо
J
о
Умножим теперь обе части этого равенства нае"м и проинтегри-
проинтегрируем по и от 0 до оо:
оо
J-
О	0	0
Нетрудно видеть, что перестановка интегралов ведет здесь весь-
весьма быстро к результату. В самом деле, после перестановки получим
оо оо	оо
=u Ie-u4dt.
оо	оо	оо
f e~u2du = J2= f e~u2udu Ie-u4dt.
+
0 0	0
откуда (так как, очевидно, J > 0)
оо
Г -х2 , л/гг
J
0

776	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[522
Для оправдания произведенной перестановки интегралов по-
попробуем прибегнуть к следствию из теоремы 5 [521]. Но в то время
как интеграл
оо
1 1
 1 +12
о
есть непрерывная функция от t для всех t ^ О, интеграл
непрерывен лишь для и > О, а при и = О обращается в 0, терпя
в этой точке разрыв. Поэтому применить следствие непосред-
непосредственно к прямоугольнику [0, оо; 0, оо] нельзя! Мы его применим
к прямоугольнику [и0, оо;0, оо], где и0 > О, пользуясь тем, что ин-
интеграл
оо
является непрерывной функцией от t для всех t ^ 0. Этим оправ-
оправдывается равенство
Остается лишь, уменьшая и0, перейти здесь к пределу при и0 —>> 0,
что в правой части можно выполнить под знаком интеграла —
на основании следствия п° 518.
4° Интегралы Лапласа (P. S. Laplace):
оо	оо
у = / оо <ix, z = / -^5	^т- dx (а, р> > 0).
У J a2+x2	J a2+x2	v И J
о	о
Полагая в первом из них

522]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	777
оо	оо
= f cos/3xdx f e-^a2+x2)dt.
получим	^
У
о	о
Переставим здесь, по теореме 5, интегрирования по х и по t:
оо	оо
У
О	О
Но внутренний интеграл нам известен [519, 6), (а)]
оо
оо	оо
= f e'^'dt I e~txl cos/3xdx.
/ e tx cos fix dx = -w-e * ,
j	z* у X
так что
оо
У
О	У	О
Вспоминая 8), 497, окончательно находим
у/Я [ -а2,_? dt	г- f -a2z2-? , .	2ч
= 2 Iе	~Jt= J
Второй интеграл Лапласа получается из первого дифферен-
дифференцированием по параметру /3:
z = —-^ = %е~а^.
dp 2
Применение правила Лейбница оправдывается тем, что
интеграл сходится равномерно относительно /3 для /3 ^ /30 > О
[517, 16)].
5° Интегралы Френеля (A. J. Fresnel):
оо	оо
/ sinx2dx, / cosx2dx.
о	о
Полагая х2 = t, получим:
оо	оо ш	оо	оо
/sinx dx = - / —=dt, / cosx dx = - / —^Л;
2J yTt	J	2J yTt
0	0	0	0
станем искать первый из этих интегралов в преобразованной
форме.

778	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[522
Заменяя (под знаком интеграла) выражение -К= равным ему ин-
интегралом
оо
о
приведем искомый интеграл к виду:
оо
[ smt ^ 2 f .	f _tu2
/ —^dt = —= / smtdt I e tu du.
J yft	Vn J	J
0	0	0
Перестановка интегралов здесь сразу привела бы к окончатель-
окончательному результату:
оо	оо оо
[ smt	2 [ [ _tu2 .
/ —rdt = —= du е ш smtdt =
J yt	\Jjt J J
oo	^
_ 2 Г du _ 2 ж _ [jt ]
0	'00
Так как непосредственное обоснование такой перестановки тре-
требует кропотливых преобразований и оценок, мы предпочтем
и здесь [ср. 2°] прибегнуть к «множителю сходимости» е~ы
(к > о).
Имеем
oo	oo
~kt sin tdt
^edt=
\Jt	Jjt
о	о	о
f e~tu2du =
oo
= 7-/-
oo oo	oo
2	du
На этот раз возможность перестановки интегралов устанавливает-
устанавливается с помощью теоремы 5. Остается, наконец, перейти к пределу
при к —> 0, что — как легко проверить — может быть проведено
под знаком интеграла.
*)
См. 472, 2), или 491, 7).

523]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	779
Итак, окончательно
оо
/sint , [ж
-7Tdt = H-
о
оо
То же значение получается и для интеграла / ^^ dt. Отсюда
оо	оо
/Г	1 / тг
smx2dx = / cosx2dx = -zJ-z-
о	о
523. Примеры на дифференцирование под знаком интеграла.
1) Исходя из известных интегралов (при а > 0)
(а)
(б)
о
оо
Г dx _ 1 л-
J a +x2 ~ 2 у/а'
0
1
/ х
J
(в) / х dx = -,
J	a
0
путем последовательного дифференцирования их по параметру вывести новые
интегралы.
(а) Решение. По правилу Лейбница, после ^-кратного дифференциро-
дифференцирования найдем:
оо
/
-ах2 2„ .	Bи - 1)!! Я
е х dx =
2n+lan
0
Так как получающиеся при этом интегралы все равномерно сходятся относи-
относительно а для а ^ uq > 0 (например, написанный интеграл мажорируется инте-
оо	2
гралом J e~aox x ndx),TO применение правила Лейбница оправдано.
0
оо
f dx	1 Bи - 1)!! 1 я-
J (а+	=
о
1
/
xa~l\nxdx = (-
/
xa~l\n
0

780	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[523
2) Дифференцированием по параметру вычислить интегралы (а, р, к > 0):
оо
f I — cos ax _kr
(a) J= 	е kxdx;
0
оо
(б) Я = / ^!1 . ^±1 . e~kxdx.
J х	х
0
(а) Решение. Производная J по а выражается интегралом (сходящимся
равномерно относительно а)
ос
dJ _ Г
Та~ J
-кх ¦ а
е sin ax dx = —z
отсюда
J = 1 In (a2 + к2) + С.
Так как при а = 0 интеграл J обращается в 0, то С = — ^ In к2 и окончательно
(б) Дифференцируя Н по а под знаком интеграла, получим:
оо
dH f _kx sinpx • cos ax
	 = / e 	dx.
x
0
Применение правила Лейбница законно, ибо условия теоремы 3 соблюдены,
как в этом легко убедиться.
Преобразуя произведение синуса на косинус в разность двух синусов, сведем
полученный интеграл к интегралам знакомого нам вида [522, 2°]:
оо	оо
dH l Г Г ~кх sin(a + Р)х г	[ -кх sin(a - Р)х 1
— = - е 	dx - е 	dx =
da 2 [J	х	J	x	J
0	0
1 / а + р а- р
= - ( arctg	arctg
Интегрируем по а:
а + р	а + Р а - р	а - /3 к к2 + (а - /ЗJ
Я =	 arctg	 arctg	 + - In —	^r + С.
2	ё к	2	Б к	4 к2 + (а + рJ
Постоянная С = 0 (ибо Я = 0 при а = 0).
3) Вычислить интеграл
оо
/
J
cos tdt.

523]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	781
Указание. Рассмотреть более общий интеграл, введя параметр:
1-е'
оо
n-at
14
cost dt,
t
0
вычислить его с помощью дифференцирования, а затем положить а = 1.
Ответ: In y/l.
4) Вычислить интегралы:
00	i i
.	Г 1пA + ах)	,	ч
(a) J\ = I 	2	2—	^' > ''
о
о
оо
f arctg я* • arctg bx
(в) J3 = / 	^2	^ ^' Ъ > °^'
О
(а) Указание. Jx непрерывен по а для а ^ 0; мажоранта ^2 ^2 для
0 ^ а ^ а^ Производная для а > 0
ос
da J
2ах	ж
о
мажоранта —	-^	2~Y~ для ^ < а° ^ а ^ а1'
Ответ: Зл = — In (ab + 1).
(б) Указание. Производная при г ^ 0;
оо
5 = /(ТТ7^
0
мажоранта 	т-. Ответ: J2 = — In A + г).
1 +xz	2
(в) Указание. Производная по а приводится к интегралу типа J2:
оо	оо
dJ3 [ 1	arctg bx	f arctg § f	ж а + b
—— = /	5-^- • 	dx = —	г- аГ = — In 	 (я > 0).
^ J 1+«2jc2	x	J t(\+t2)	2	a K	J
0	0
ж (a + ^)fl
Ответ: J3 = - In ^^

782	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[523
Замечание. Из J2? ПРИ г — 1? подстановкой^ = tg^ получается интеграл
2
J tgt	2
о
а отсюда интегрированием по частям находим вновь [ср. 492, 1°]:
1
In sin t dt =	In 2.
0
oo
5) (а) Вычислить интеграл J = J e x coslbx dx.
0
Решение. Имеем
oo
dJ
о
Интегрируя по частям, получим затем:
oo
dJ	f 2
— = -2b / e~x coslbx dx = -1Ы.
db	J
0
Таким образом, для определения J получилось простое дифференциаль-
дифференциальное уравнение с отделяющимися переменными [358]. Интегрируя, находим
J = Се
Так как при Ъ = 0 должно быть J = ^-, то именно этому и равно С. Оконча-
Окончательно,
[ср. 519, 6), (а)].
(б) Если тот же прием применить к вычислению интеграла
ОО 2
Н = J е~х sin2bx dx, то придем к дифференциальному уравнению
?—¦
,2
Умножив обе его части на е , слева получим, очевидно, производную от
произведения е • Н по Ь; интегрируя от 0 до Ь, найдем
ъ
ehl • Н = / eb2db
О

523]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	783
(так как Н = О при b = 0). Таким образом,
ъ
Н = е
0
Здесь для выражения интеграла пришлось ввести новую, «неэлементарную»
функцию
Ф{х)= l/dt
[ср. 519, 6), (в)].	°
6) Вычислить интеграл (a, b > 0)
х2 dx.
0
Решение. Искомый интеграл лишь множителем -4= отличается от инте-
интеграла
оо
J =
0
где с = ab (подстановка;; = у/ах ).
Имеем:
оо	оо
-2 dz = -2J
о	о
(подстановка;; = |). Отсюда
Ответ: -Xl^e-2V^. [Ср. 497, 8)].
2 у а
1) Вычислить интеграл
оо
[ e~at соШ - e~ait cosbit
J=	 dt {a, ax > 0).
0
Решение. Дифференцируя по а и по Ь порознь, получим:
Е = - Те-
Теда	J
0
оо
dJ _ Г
Jb~~ J
cos bt dt =	^—
о
оо
Ь
е at sinbtdt = --

784	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[523
Нетрудно по этим частным производным восстановить самую функцию * ^
J = -- Ы(а2 + b2) +C,
где С не зависит ни от а, ни от Ъ. Так как при а = а^ и Ъ = Ь± будет J = 0, то
C=X-\n(a\ + b\),
так что
44
2 а2 + б2
8) Вычислить интегралы {а > О, 6 ^ 0):
оо	оо
и = е~ах cosbx dx, v = / g~a
sin foe
0	0
Решение. Найдем производные этих интегралов по параметру Ь, пользуясь
правилом Лейбница:
оо	оо
du	( 2 -ах2 ¦ 1 2 1	dv	[ 2 -ах2	г 2 г
— = - I х- е ах smbxzdx, — = I х- е ах cosbxzdx.
db	J	db J
0	0
Интегрированием по частям отсюда легко получить
du	I	b dv	dv 1	b du
db	2a a db' db 2a a db
или — решая эти уравнения относительно производных —
du	bu + av	dv аи — bv
db	2O2 + 62)' db (	)
Таким образом, для определения неизвестных функций и, v от b мы получили
систему дифференциальных уравнений.
Вводя комплексную функцию w = и + iv от вещественной переменной Ь,
легко свести дело к одному уравнению (с отделяющимися переменными). Именно,
если второе из уравнений B0) умножить на i и почленно сложить с первым, то
придем к уравнению
dw —b + ai	i w
w = - •
db 2(a2 + b2)	2a- bi'
Его можно интегрировать обычным путем, отделяя переменные. Чтобы из-
избежать пользования логарифмами комплексных чисел, можно и непосредственно
убедиться, что
в силу дифференциального уравнения, откуда
w • л/а — Ы = с = const.
*> Впоследствии мы займемся этим вопросом систематически, здесь же «пер-
«первообразная функция» устанавливается на глаз.

523]
§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ
785
Полагая Ъ = О, легко найти с = ^?, так что
у/я	1	у/я у/а + Ы
w = 	 • —=	,
/^	2 ^/а2 + Ъ2
2 у/а^Ы
Под символом y/a~Fbi мы разумеем те ветви корней, которые при Ъ = О обра-
обращаются в арифметический корень +у/а.
Известно, что
у/а + Ы =
таким образом,
Приравнивая отдельно вещественные и мнимые части, получим наконец:
оо
[ -ах
ОО
•¦/•
sin foe dx = ~\ —
a2 + b2
Эти формулы выведены нами при существенном предположении, что а > 0.
Но так как оба интеграла, как легко убедиться с помощью теоремы 2
[см. также 515, 4°], являются непрерывными функциями от а и при а = 0, то,
переходя в полученных равенствах к пределу при а —>> 0, найдем (если 6 > 0):
//»	1 /
cosbx dx = / sinfo; <ix = -w—,
2\ 2У
о	о
т. е. интегралы Френеля [ср. 522, 5°].
9) Покажем, как с помощью дифференциального уравнения могут быть про-
просто вычислены интегралы Лапласа [ср. 522, 4°]:
оо	оо
/cos px	f х sin px
2^ 2 dx	и z = /	н dx (а, /3 > 0 .
а1 + х1	J а1 + х1
0	0
*) Полагая у/а + Ь/ = л: +3^z, будем иметь: а = х — у , 6 = 2ху. Отсюда
и получается:
причем оба корня здесь берутся с плюсом, во внимание к заключенному только
что условию и к тому, что ху = j b > 0.

786	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[523
Мы уже видели, что
Дальнейшее дифференцирование по /3 производить под знаком интеграла невоз-
невозможно, ибо в результате такого дифференцирования получился бы уже расходя-
расходящийся интеграл.
Однако если к написанному равенству почленно прибавить равенство
оо
sin/3;\;
[522, 2°] *}, то получим:
dx
х
О
оо
dy ж 2 f sin/be
0
Здесь дифференцировать под знаком интеграла снова можно, и таким путем мы
найдем
d у 2 ( cos Px
—т- = а / -^	т- dx,
d/32	J a2+x2
Для этого простого дифференциального уравнения второго порядка с посто-
постоянными коэффициентами по корням d=a «характеристического уравнения» легко
составить общее решение:
у=СхеаР+С2е-аР,
где С1 и С2 — постоянные. Но при всех значениях /3 величина у ограничена:
dx	ж
J
О
значит, С1 необходимо равно 0 (ибо иначе, при /3 —>> +оо, и величина;; безгра-
безгранично возрастала бы).
Для определения же постоянной С2 положим /3 = 0; очевидно:
Окончательно,
2а
Отсюда дифференцированием получается и z.
*) Впрочем, для дальнейшего нам вовсе не нужно значение этого интеграла;
достаточно лишь знать, что при всех /3 > 0 он сохраняет постоянное значение,
а в этом легко убедиться простой подстановкой t = /Зх.

523]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	787
10) Вычислить интегралы
[ -х2	«	[ -х2 «
и = I e cos —^ dx, v = / е sin — <ix.
У *2	У *2
о	о
Существование и непрерывность интегралов при всех значениях а обеспечи-
обеспечивается наличием мажоранты е~х . По правилу Лейбница:
du	7 _Х2 . а2 2а	7 -4 • 2Л	/ «\
— = — / е sm — - — dx = —2 е у sinv «у	У = — .
da	J	х2 х2	J	\ х J
0	0
Второй интеграл сходится равномерно — как при у = 0, так и при у = оо —
для всех значений а, значит, первый сходится равномерно — как при
х = оо, так и при х = 0 — для значений а, удовлетворяющих неравен-
неравенствам Q < а§ ^ а ^ А < +оо. ' Таким образом, для а > 0 применение правила
Лейбница оправдано.
Дальнейшее дифференцирование по а (которое оправдывается аналогично)
даст нам:
оо	оо
d2u	f -4 . 2 ~2а л	Г _Х2 .а2
—т- = —2 е у smy • —^— dy = 4 е sm—z- ах = 4v.
da2	J	у2	J	x2
0	0
Точно так же
Полагая w = u + iv, имеем для определения w дифференциальное уравнение
d2w
da2
Обратим внимание читателя на то, что равномерная сходимость второго ин-
интеграла имеет место относительно всех а Е [0, оо), в то время как для первого
интеграла этого не утверждается: говорится лишь о его равномерной сходимо-
сходимости при а Е [«о>4- Нетрудно доказать, что равномерной сходимости первого
интеграла при а Е [0, оо) на самом деле нет.
Данный пример служит хорошей иллюстрацией того немаловажного обстоя-
обстоятельства, что свойство равномерной сходимости интегралов не сохраняется при
замене переменных и может как исчезать, так и появляться в результате этого
преобразования (для проверки равномерной сходимости при а Е [а0, А] первого
интеграла читатель может, отталкиваясь от определения равномерной сходимо-
5 оо
сти, оценить интегралы J и J от той же функции; с этой целью можно, например,
0 А
сделать в каждом из интегралов замену переменной у = j).

788	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[523
Составим «характеристическое» уравнение: Я + 4z = О и по корням его
Я = d= л/2 =р л/2 i напишем общее решение дифференциального уравнения
w = u + iv =Ae~av^(cosaV2 + i sin ал/2) + Be1^2 (cos ал/2 - / sin а л/2).
Так как функция w при всех а ограничена, то необходимо: В = 0; но при а = 0
должно быть w = ^j-, так что А = ^-. Окончательно,
л/я" -aV2	/^	л/^" -aV2 •	/^
и = 	е	cos ал/2, v = 	е	smaV2.
11) Доказать тождество
2
x
2
v
2
~x dx
-2 (а > 0).
Обозначим первый интеграл через и, а второй — через v. Полагая в и:
2 2
х2 + а2 = у2, преобразуем его к виду:
оо
/2
е~у
оо
dy.
Введем новую переменную и в v, полагая х = az; получим
ОО	о о
z2+l '
О
Продифференцировав v по а (по правилу Лейбница), представим производ-
производную ^ в виде:
°° _.2 2
v о	о
откуда для определения и получается линейное дифференциальное уравнение
— -2a-v = -l.
da
Умножив обе части его на («интегрирующий») множитель е~а , придем к ра-
равенству
d г	-ah	-a2
— [v • е = -е ;
da L	J
если проинтегрировать его по а от 0 до а, то получим:
а
v • е~а = v0 — / e~l dt,

524]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	789
где под vо разумеется предельное значение
оо
= lim v =
1 Г dz у^
—— / -z	 = ——.
s/л J z2 + \	2
0
^~ 2
Так как это же число есть значение интеграла J e~f dt, то для v окончательно
получается	О
а
т. е. то же выражение, что и для и.
12) Доказать тождество (при к > 0)
оо ,	оо
\	-г dx = / 	dx.
J \+Х2	J	X
0	к
Оба интеграла, как функции от к, удовлетворяют дифференциальному урав-
уравнению
1
У + У = ~-
По отношению к первому в этом убеждаемся, дважды дифференцируя его по
правилу Лейбница. По отношению ко второму проще исходить из его пред-
представления в виде:
оо	оо
Г чт t	С p.ns t
dt.
f Sil1 f r	r	f C0S t
cos к- / 	dt — sin A:- /
J t	J t
к	к
Так как разность обоих предложенных интегралов z = z(k) удовлетворяет
однородному уравнению: z" + z = 0, то она имеет форму
z = ci • sin(k + с2),
где сх и с 2 — постоянные. Но оба интеграла, а с ними и их разность z стремятся
к 0 при к —>> оо. Отсюда с1 = 0, z(k) = 0, и требуемое тождество доказано.
524. Примеры на интегрирование под знаком интеграла.
1) Найти значения интегралов
оо	оо
/ч Ге~ах-е-Ьх	Г cosax -cosbx
(а) / 	dx; (б) / 	^	dx (a> b>0)
о	о
путем интегрирования под знаком интеграла.
Решение, (а) Интеграл
оо
e~yxdx = - (у > 0)
У
0
сходится равномерно относительно у для у ^ j/q > 0. Интегрируя это равенство
по у от а до Ь, причем слева интегрирование можно произвести под знаком
оо
/•

790	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[524
интеграла, получим
оо Ъ
	dx = / — = In —.
х	J у	а
О	а	0	а
[Ср. 495, 1).]
б) Аналогично, исходя из интеграла
оо
[ sinyx
2
о
который также сходится равномерно относительно у для у ^ j/q > 0, найдем:
оо	b	оо
/о* /* /* cos я* — cos bx	я ,
— / sin у* dy = 	г	dx = — (b — a).
* J J x1	2У	J
0	a	0
[Cp. 497, 10), (a).]
2) Рассмотрим полный эллиптический интеграл 1-го рода
7
}	dcp
{ л/1 — k2sin2 ф
как функцию от модуля &и найдем интеграл от этой функции в промежут-
промежутке [0,1].
Имеем
что подстановкой х = tg ^ приводит к удвоенному интегралу
1
*TC**X-dx = G = 0,915965...
1
0
[G — «постоянная Катал ана», см. 328, 6); 440, 6а)].
Перестановка интегралов производится на основании (модифицированного)
следствия из теоремы 5. Подинтегральная функция повсюду в прямоугольни-
прямоугольнике [0, ^;0, 1] положительна и непрерывна, за исключением точки (^, 1), где она
обращается в оо. Интеграл

524]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	791
есть непрерывная функция от к для значений к < 1, а интеграл
1
dk
0 д /1 — к2 sin2 <
— непрерывная функция от ср для значений ср < ^. Наконец, второй из повтор-
повторных интегралов, очевидно, существует. Таким образом, все условия названного
следствия выполнены.
В ближайших нескольких примерах будем вновь иметь дело с уже знакомой
нам функцией Бесселя с нулевым значком [440, 12); 441, 4)]
f
2 Г
- /
JT J
но в основу наших умозаключений положим «асимптотическую» формулу
для Jq(x), которую примем без доказательства. Вот эта формула:
где фо(х) при безграничном возрастании х остается ограниченной:
3) Вычислить интеграл
А = е~ах -J0(x)dx (a > 0).
0
Имеем
оо
—ах
оо	2
А = - / e~axdx I cos(jc sin0) d0 =
0
f
- ( de [e-axcos(xsme)dx = - [	п—^- йв = -7=L=
xJJ	x } a2 + sin20	Л/ГТР
0 0	0
Перестановка интегралов дозволительна ввиду равномерной (относитель-
(относительно 0) сходимости интеграла
о
(мажоранта: е~ах).

792	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[524
Так как из B1) явствует, что интеграл
оо
/
сходится*^, то интеграл А будет непрерывной функцией от а и при а = О
[теорема 2; 515, 4°]. Поэтому значение этого интеграла может быть получено
из выражения для А предельным переходом при а —>> 0. Таким образом,
оо
[jo(x)dx = l.
о
4) Вычислить интеграл
оо
В = J^-^-J0(x)dx (a
О
Имеем
оо	2	2 оо
2 ( sin ax f	2 f f sin ax
В = - / 	dx / cos(xsin6)d6 = - / dO I 	cos(x sinO) dx.
ж J x	J	ж J J x
0	0	0	0
Но внутренний интеграл есть «разрывный множитель» Дирихле [497, 11)]
0
Поэтому
оо
/sin ax	(Ц-,
	 cos (x sin 0) dx =	< z
х	[0,
если sin# < a,
если sin# > a.
[ sin ох	Г|,	при О1,
5 = /	J0(x) dx = < l .
J x	[arcsma при а < 1.
0
Установим дозволительность перестановки интегралов. Имеем
f
f
f	5.
2 /" sin^Dc f	ч	2 /" f si
- / 	dx / cos(x sm6) d6 = - / ^ /
JT J	X	J	JT J	J
sin ax
х
о	о	о о
*) Это сразу станет ясным, если первое слагаемое в B1) справа написать
в виде:
COS 4 + Sim • Sill 4 J -
^ 1 	 1
4 J - 7^

524]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	793
Но можно написать внутренний интеграл в виде:
А	А	А
/sinах , ч if fsin(a + sinв)х fsin(a — sm6)x 1
	cos(jc sin(9) dx = -i / —^	— dx+ / —-	— dx \ =
0	0	0
1 Г f sinz 7	f sinz 7 1
= i{ J —d'-+ I —"I
B2)
Если a > 1, так что а — sin 0 > a — 1 > 0, то это выражение при ^4 —>> оо стре-
стремится к своему пределу равномерно относительно в, иными словами, ин-
оо
теграл J smJ*x cos (x sin^) d6 сходится равномерно, и перестановка интегралов
0
оправдана. При а < 1 равномерность нарушается вблизи в = arcsina. Но так как
выражение B2) остается равномерно ограниченным при всех Айв (мажорирует-
(мажорируется постоянной!), то наружный интеграл при 0 = arcsina сходится равномерно
относительно А, так что предельный переход при А —>> оо под знаком интеграла
все же допустим, чем снова оправдана перестановка интегралов.
5) Из интеграла В дифференцированием по параметру а получаем другой
интересный интеграл:
°?	@	при а > 1,
C = jj0(x)cosaxdx=l
о
Для обоснования права на дифференцирование под знаком интеграла заме-
заметим, что интеграл С сходится равномерно относительно а в любом замкнутом
промежутке значений а, не содержащем единицы. Это следует из асим-
асимптотической формулы B1). Переписав ее в виде*)
1 фа (х)
J0(x) = —= (cos* + sin*) H	\--,
умножим обе части на cos ax:
1
Jq (x ) cos ax =
cos(l + а)х + cos(l — а)х + sin(l + а)х + sin(l — а)х Фо(х) • cos ax
х	7ч	+	з	•
Vх	Х2
Второе слагаемое мажорируется функцией -^-. Что же касается интеграла от
х2
первого слагаемого, то при 11 — а|^5>0ион сходится равномерно.
Та же формула показывает, что при а = 1 интеграл С расходится.
*)
См. сноску на с. 792.

794	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[524
6) Вычислить интеграл
Имеем
оо
2 f I — cos ax f
D = — / 	dx / cosur sin
jt J	x	J
0	0
ж	ж
2" оо	2"
= — dO 	C0Sa* cos 0 sin0) dx = — I [in д/|я2 - sin2 в I - In sin o\ d6
jt J J	x	jt J L V	J
0 0	0
[cm. 497, 16), (б)]. Таким образом [497, 7); 511, 7)]:
ОО	, ,		ч
/1 — cos<zx . .	In ( a + \/a2 — 1 ) при a ^ 1,
	 -J0(x)dx = < V v	/
x [О	при a < 1.
Для обоснования перестановки интегралов напишем сначала для конечного А:
A f f A
2 [ \- cosax [ , ч 2 [ [ \- cosax
— / 	dx / cos(* sin0)a0 = —dO 	 cos {x sin0) ax.
JT J	X	J	JT J	J	X
0	0	0 0
Весь вопрос теперь в том, можно ли справа здесь перейти к делу при А -л оо
под знаком интеграла.
Чтобы исследовать характер стремления внутреннего интеграла к своему
пределу, рассмотрим интеграл
а'
/1 — cos ax
	 cos (x sin 0) dx =
х
А
А'
[2( i#)	( i#) — cos
1 Га
= - I — [2cos(;\; sin#) — cos(<2
A
A'(a+sine) A'\a-
-ftI- / - /
COSZ
	dz =
AsinO A(a+sin6) A\a-sin6\
A(a+sine) A'(a+sine) A\a-sine\ A'\a-sm6\
- I 4 ~ I }
A sin в	A' sin в	A sin в	A' sin в
COSZ
	dz.

524]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	795
оо
Ввиду существования интеграла J яя^- dz (z0 > 0) ясно, что, взяв А и А' доста-
zo
точно большими, можно сделать эту сумму сколь угодно малой сразу для всех
значений в в любом замкнутом промежутке, не содержащем ни 0, ни arcsina
(если а < 1). Таким образом, равномерность стремления внутреннего ин-
интеграла к своему пределу при А —>> оо нарушается лишь вблизи одного или двух
указанных значений 0.
Но с другой стороны, этот внутренний интеграл мажорируется функцией
| In \/а + sin в | + | In \/a — sin#| + | In sin в | + С, интегрируемой в промежут-
промежутке [0, j], где С = С (а) — не зависящая от в константа , значит, наружный
интеграл равномерно сходится как при в = 0, так и при в = arcsin а (если а ^ 1).
Тогда, по теореме V [518], упомянутый выше предельный переход допустим.
7)	Отсюда дифференцированием по параметру найдется интеграл
оо	(	1
/I —-j^=^= при а > 1,
JQ(x) sinax dx = < ^/а2 - 1
0	[О	при а < 1.
Обоснование проводится сходно с 5), опираясь на формулу B1). При а = 1
интеграл расходится.
8)	(а) Проверить непосредственно допустимость перестановки интеграла
в случае
J	оо оо
f f У -X
J= dy Д	dx.
J J (x2+y2)
1 1
'Поясним оценку интеграла, обозначив его для краткости через Jg(x)dx.
А 1 А	1	О
Поскольку J = J + J и интеграл J \g(x)\ dx, очевидно, ограничен некоторой
0 0 1	0	А
константой С1 =С1(я), достаточно оценить Jg(x) dx при А > 1. Используя
полученное в тексте представление интеграла J g(x) dx, мы можем записать
А	р
Jg(x) dx как сумму трех интегралов	вида § ^^ dz (с нижними пре-
1	р
делами, соответственно равными sin#,	<2 + sin#, \a — sin0|). Посколь-
00	р
ку J ^^- dz сходится, интегралы J ^^^- dz при всех р ^ р ^ 1 ограниче-
1	р
ны по модулю некоторой константой С2. Отсюда для всех р ^ р > 0
1
имеем
+С2 < |1пр| +С2. Таким образом,
< \ B • | In sin в| + |ln(<2 + sin в) | + |ln \a — sin^| | + 4C2), что ведет к искомой
А
оценке Jg(x) dx с константой С = Сх + 2С2.
0

796	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Имеем:
у2-*2 л
—	— dx = —z
1+У2'
[524
J=
ОО
f dy
J 1 +У2
JT	JT	JT
В то же время для другого повторного интеграла
J= -
oo oo
Hi
1	1
у2-х2
¦dy
аналогично получается значение J = ^: перестановка недопустима.
Любопытно отметить, что [как мы убедились в 517, 1)] интеграл
оо
2-х2
сходится равномерно относительно;; для всех у ^ 1: аналогично устанавливается
и равномерная относительно .х (для х ^ 1) сходимость интеграла
Г 2	2
/ У ~х
JWTy^dy-
Теорема 5 здесь не применима потому, что (как легко проверить непосред-
непосредственно) интегралы
оо оо
оо оо
dy,
dx
11	11
расходятся!
(б) Легко установить недопустимость перестановки интегрирований и в сле-
следующем случае:
оо	1
Ш
Idy = -l.
1	О
1	оо
О	1
/

524]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	797
Здесь интеграл
оо
J О
1
— как это ясно уже из теоремы 4 — не может быть равномерно сходящимся
относительно у в промежутке [0,1] (в чем легко убедиться и непосредственно),
(в) Еще известный пример того же типа [Харди] *^:
1	оо	оо	1
( —рху	—qxy\ j
[ре F у — qe н у j dx =
/т / / — рху	—аху\ 1	I 1 I (
dx / [ре F у — qe н у) dy — dy [р
= /
J
0 1	10
°
q
dx = In -,
0
что не равно нулю, если взять р > 0, q > 0, р ф q.
9) Приведем два новых приема для вычисления интеграла Лапласа:
оо
0
[ср. 522, 4°].
Так как
_ Г cos/
~J 1+-
J= I	7s dx
- xl
	т = е ху siny <
1+*2 J
то, подставляя, представим J в виде
оо	оо
J= cos fix dx / e~xy sin у dy.
О	О
Переставляя интегрирования, получим
оо	оо	оо	оо
/г _ г ysiny f x sin/3x
sin у dy / e xy cos /3x dx = / -^	r- dy = / 	T dx.
J J p2+y2 J \+x2
0 0 0 0
Но последний интеграл с точностью до знака представляет собой щ, так что J
удовлетворяет простому дифференциальному уравнению
— = — J, откуда J = Ce~.
Так как J = С = § при /3 = 0, то, окончательно, J = f e~^.
*)
Интеграл Фру л лани [495, 1)].

798	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[524
Остается еще обосновать перестановку интегралов. Если 0 < а < А < +оо,
то легко убедиться в справедливости равенств:
А	А	оо	оо	А
	-г dx = / cos pxdx / е~ху sin у dy = / sin у dy / е ~ху cos fix dx
1+*2	J	J	J	J
a
oo
/
0	0
r/3 sinpA — у cospA _Av p sin pa — у cos pa _avi
smydyi	^p	e	^TT^	e У\ =
0
•-** - ~<" ¦ ]0p. •¦** -
0
oo
/sin у „v	f у sin у _av
-^ e-°»dy + cospa ¦ j j^ e^dy.
0	0
Равномерная сходимость всех интегралов, соответственно, относительно а
и А позволяет перейти под знаком интеграла к пределу при а —>> 0 и при А —>> оо.
Отсюда ясно, что рассматриваемое выражение при указанном двойном предель-
предельно
ном переходе действительно стремится к пределу J •y2sm^ dy.
10) Используя другое тождество
оо
0
можно написать:
0
Переставляя здесь интегралы
оо
X	[ -V ¦
	 = е sin^cy dy,
1+*2 J
0
оо	оо
f cospx f _у .
J = / 	dx j e y svnxy dy.
J= e ydy *—^-
cos px dx,
x
0	0
мы в качестве внутреннего интеграла получаем «разрывный множитель»
Дирихле [497, 11)]
оо
Г sinxy	ГО
/ 	 cos Px dx = <
J x	If
при 0 < у < р,
[ f при 0 < р < у.
0
Таким образом,
оо
J= -

524]	§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ	799
Для обоснования перестановки интегралов заметим, что интеграл
cos px dy
О
сходится равномерно относительно х (мажоранта уе~у). Поэтому
А	А	А
е~у sinxy dy =
О	0	0
/cos/be f cos/Зх f
	- dx = 	dx /
\+X2 J X	J
А
sinxy
X
0
cos /3x dx.
Можно ли в последнем интеграле (по у) перейти к пределу при А —>> оо под
знаком интеграла? Подинтегральное выражение есть произведение е~у на
А	А
sinfy + /3)х + sinfy — /3)х 1
	dx =
/sinxy	1 f :
	 cosfixdx = - /
x 2 J
0
(у-Р)л
(у+Р)А	{У-Р)А
1	Г / sinz	/ sinz I
J / 	dz+ / 	dz\
2	I J z	J z )
и стремится при i ч оок своему пределу равномерно относительно у, исклю-
исключая окрестность точки;; = /3. Так как второй множитель равномерно ограничен
при всех А и у, то подинтегральное выражение имеет мажоранту вида Се~у, так
что при у = /3 и j/ = оо (наружный) интеграл сходится равномерно относитель-
относительно А. Этим оправдывается предельный переход под знаком интеграла, а с ним
и перестановка интегралов.
11) В заключение укажем еще один изящный вывод значения интеграла
Так как
оо
TO
oo	oo	oo oo
/= fsmxdx I' e~xydy = f dy f e~xy smx dx = f j^ = |.
0 0

800	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[525
Займемся вопросом о законности перестановки интегралов. Взяв 0 < а <
< А < +оо, легко оправдать равенства
А	А	оо	оо А
/Г	Г	Г	Г
^^ dx = sinjc dx / e~xydy = dy e~xy sinjc dx =
a	a	0	0	a
oo
/f у sin a + cos a _av у sin A + cos^4 _Av л
dy <	5	e y	^	e y > =
- *
0
00
= sina -
0	0
00
/	 е~ у dy — cos А • /
J l+У2	J 1+3^2
e~Aydy.
0
Так как последние два интеграла сходятся равномерно относительно А (для
А ^ Ао > 0), то, переходя к пределу при А —>> оо под знаком интеграла, видим,
что оба они стремятся к 0. Второй интеграл, равномерно сходящийся относи-
относительно а (для а ^ 0), очевидно, стремится к ^ при а —>> 0. Остается убедиться
в том, что первый интеграл, умноженный на sin а, при этом предельном переходе
стремится к 0. Имеем:
оо	оо	1 оо
0	0	0 1
1	оо оо
0	0
Отсюда и вытекает требуемое заключение.
§ 4. Дополнения
525. Лемма Арцела. Хотя для вычислительных целей чаще всего достаточно
того материала, который изложен в первых трех параграфах, но в теоретических
построениях иной раз бывают нужны некоторые более тонкие теоремы, дающие,
кстати сказать, более простые условия применимости рассмотренных процессов.
Начнем с доказательства одного вспомогательного утверждения, относяще-
относящегося к системам промежутков; оно принадлежит Арцела (С. Arzela).
Лемма. Пусть в конечном промежутке [а, Ь] содержатся систе-
системы D±, D2, . . ., Dk, . .. промежутков, каждая из которых состоит из

525]	§ 4. ДОПОЛНЕНИЯ	801
конечного числа не налегающих друг на друга замкнутых промежут-
промежутков. Если сумма длин промежутков каждой системы Dk [к = 1, 2, 3, . . .)
больше некоторого постоянного положительного числа 8, то найдется по
крайней мере одна точка х = с, принадлежащая бесконечному мно-
множеству систем Dk.
Доказательство. Если промежуток какой-нибудь системы Dk (к > 1) на-
налегает на промежутки предшествующих систем D1, . . ., Dk_ 1 и их конца-
концами делится на части, то эти части мы впредь будем рассматривать как отдельные
промежутки системы Dk. Таким образом, если d! есть промежуток системы Dk,,
a d" — промежуток системы Dkff, и к' < к", то либо df и d" не налегают друг
на друга, либо же d" содержится в d!'.
Однако целиком система Dk^ может в предшествующей системе Dk и не
содержаться. Так как это обстоятельство неудобно, то мы заменим системы Dk
другими системами промежутков Ак, по следующему правилу. Для получения А^
мы кладем в основу Dk, присоединяем к ней не содержащиеся в Dk промежутки
системы Z>?_|_i, затем не содержащиеся в DkHB Dk_^_l промежутки системы Dk+2,
и так далее до бесконечности.
Построенная таким образом система А^ может состоять уже из бесконеч-
бесконечного множества промежутков. Но зато 1) каждый из промежутков системы
А^+1 наверно содержится в одном из промежутков системы Ak. К тому
же 2) сумма длин (или точнее — сумма ряда длин) промежутков, соста-
составляющих Ak, и подавно больше 8, как это имело место для Dk.
Следующий шаг будет состоять в том, что мы и эти системы А^ заменим их
конечными частями А^к\ сохраняя, однако, при этом первое из только что
указанных свойств систем Ak. Сделаем мы это так.
Если число промежутков системы А1 конечно, то просто положим А; = А^
В противном случае мы из А: выделим конечную систему А; промежут-
промежутков d[, d^, . . ., dfr так, чтобы сумма длин остальных промежутков d?+i> ^r+2' • • •
системы А1 была меньше 8*\ Некоторые из промежутков системы А2 содер-
содержатся в промежутках А;, ибо, если бы все они содержались в промежутках
d?+l> ^г+2' • • •' то сУмма их длин была бы меньше 8, вопреки второму свой-
свойству систем Ak. Если промежутков системы А2, содержащихся в А', конечное
число, то из них и составим систему А". В противном случае мы выделим из
них конечную систему А" так, чтобы сумма длин всех прочих промежутков
А2 (вместе с теми из них, которые не содержатся в А') была меньше 8*\
Продолжаем этот процесс до бесконечностми, последовательно выделяя из А3
конечную систему А//;, . . ., из А^ — конечную систему А^ \ . . . При
этом каждый из промежутков системы д(^+1) содержится в одном из
промежутков системы А^ К [Второе свойство системы Ak, вообще говоря,
утеряно, но ценой этого мы восстановили конечность систем, наподобие Dk.]
Наконец, последний этап заключается в выделении из систем А^ по од-
одному промежутку d^ ' так, чтобы каждый из них содержался в предыдущем.
*)
Это можно сделать по свойству остатка сходящегося ряда.

802	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[526
Именно среди промежутков системы А; найдется хоть один (обозначим его
через </), в котором содержатся промежутки бесконечного множества
последующих систем. Действительно, пусть это не так, ив каждом проме-
промежутке А; содержатся промежутки лишь конечного числа последующих систем;
тогда это же было бы справедливо и относительно всей системы А; в целом
(именно потому, что она состоит из конечного числа промежутков). Ины-
Иными словами, можно было бы найти столь большой номер k0, чтобы ни один из
промежутков системы Д' °^ не содержался в А;, а это противоречило бы свой-
свойству 1) систем Д^.
В df содержатся некоторые промежутки системы А/; (ибо, в противном слу-
случае, в нем вовсе не было бы промежутков А//; и т. д.). Больше того, хоть один из
содержащихся в d' промежутков системы А/; (обозначим его через d') должен
обладать подчеркнутым выше свойством промежутка d', т. е. содержать проме-
промежутки бесконечного множества последующих систем, ибо иначе этим
свойством не мог бы обладать и d' (здесь снова играет роль конечность сис-
системы Д/;). Продолжая этот процесс до бесконечности, мы последовательно из
каждой системы Д^ ' выделим промежуток dS \ содержащийся в ранее выделен-
выделенном промежутке dS ~ К
Получив последовательность вложенных один в другой промежутков
dS' = [dfc, bk] {к = 1, 2, 3, . . .), мы — как и при доказательстве известной эле-
элементарной леммы [38] — установим, что для монотонных переменных ak и bk
существуют пределы
\imak = а < /3 = \imbk.
Так как о длинах промежутков dS' мы ничего не знаем, то равенства пределов мы
здесь утверждать не можем. Но любая точка с, взятая под условием а ^ с ^ /3,
принадлежит, очевидно, всем промежуткам d^ (при к = 1,2,3,...). Вместе
с тем точка с принадлежит каждой системе А^ (при к = 1,2, 3,...); значит,
каково бы ни было к, точка с необходимо принадлежит (если учесть правило
построения Ак) и некоторой системе Dk/, где к' ^ к. Отсюда уже ясно, что
точка с принадлежит бесконечному множеству систем Dk, что и требовалось
доказать.
526. Предельный переход под знаком интеграла. Теперь вместо теоре-
теоремы 6* [436] мы установим следующую теорему, где требование равномерного
стремления функции fn{x) к своему пределу заменено более общим условием
ограниченности ее:
Теорема 1 (Арцела). Пусть дана последовательность функций
/„(*) («=1,2,3,...),
интегрируемых (в собственном смысле) в промежутке [а, Ь] и ограниченных
в их совокупности:
\fn(x)\^L (L = const; a < х < b; n = 1, 2, 3, . . .).
Если для всех х в [а, Ь] существует предел
<р(х) = Km fn(x)
п^оо

526]	§ 4. ДОПОЛНЕНИЯ	803
и функция (р(х) таксисе интегрируема, то
ь	ь
lim / fn(x)dx = / <p(x)dx.
a	a
Доказательство. Ограничимся вначале частным предположением, что
функции fn(х) неотрицательны:
/„(*) > о
и имеют пределом нуль:
lim /„(*)=<>.	A)
И->-ОО
В этом предположении нам нужно будет доказать, что
ъ
lim / f (у
n^ooj
х) dx = 0.	B)
Взяв последовательность положительных чисел цп —>> 0, мы для каждого п
можем разложить промежуток [а, Ь] на части df1' [i = 1, 2, . . ., hn) так, чтобы
соответствующая нижняя сумма Д а р б у *':
К
удовлетворяла неравенству
ь
0< / fn(x)dx -sn< цп.
Тогда, очевидно,
ь
и для доказательства B) нам достаточно установить, что
Дт^„=0.	C)
С этой целью, взяв произвольно малые числа е > О и 8 > О, установим, что
найдется такой номер N, что при п ^ N сумма длин тех из промежутков df1' п-то
подразделения, которым отвечают нижние границы mf' ^ е, будет ^ 8.
Действительно, допустим, что это не так. Тогда для бесконечного множества
значений п:
п = п±, п2, . . ., пк, . . .
сумма длин тех промежутков dt к , для которых m • к ^ с, была бы > 8. К систе-
системам Dk, составленным из этих промежутков, применима лемма предыдущего п°.
*)
Мы обозначаем через <ц и самый частичный промежуток, и длину его;
щ' есть inf f(x) в промежутке d\n .

804	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[526
В согласии с ней нашлась бы в [а, Ь] такая точка с, которая принадлежала бы
бесконечному множеству систем Dk. Таким образом, для бесконечного
множества значений п выполнялось бы неравенство
/„(с) > с,
а это противоречит предположению A), которое должно выполняться и при
X = С.
Итак, упомянутый номер N существует; пусть же п ^ N. Обозначим через /'
и i" номера тех промежутков п-то подразделения, для которых, соответственно,
будет
О?)	О?) .
пг, < с или пг,/ ^ е.
Сообразно с этим разобьем и сумму:
sn = \ пц'сц' = у пг1, cr™' + \ ПГ™, a^t .
i	i' i"
Теперь легко видеть, что
7 w., d.f < с - у d.f < с - (b — а), \ пг7!;d.?, ^ L • \ d.?, < L • 8,
ибо, конечно, mf' ^ L (по условию теоремы). Отсюда
sn < ?{b — a) + L • 8,
что — ввиду произвольности чисел ? и 8 — и доказывает утверждение C).
Общий случай легко приводится к исчерпанному только что частному случаю.
В самом деле, ввиду неравенства
ъ	ъ	ъ
\ fn(x)dx- <p(x)dx < / \fn(x) - <р(х)\ dx,
а	а	а
достаточно применить доказанное к неотрицательной функции \fn(x) — ср(х)\,
стремящейся к нулю.
Следствие. При выполнении всех условий теоремы, кроме предположе-
предположения об интегрируемости предельной функции, во всяком случае можно
утверждать существование конечного предела
ъ
/
J
fn(x)dx.
Для доказательства достаточно [39] установить, что для любого е > 0 най-
найдется такой номер N, что при п" > п > N будет
ъ	ъ	ъ
fn,,(x)dx
x - J/„,(*) dx\ = |У [/»"(*) -fA*)] dx
< e.
Допустим противное. Тогда существуют такое число cq > 0 и такие две по-
последовательности неограниченно возрастающих чисел пт и п^ (т = 1, 2, 3, . . .;

526]
4. ДОПОЛНЕНИЯ
805
пт > п'т)> что всегДа выполняется соотношение
ъ
С другой стороны,
|/n»W-/
Если к функции
со-
D)
fm{x) = fnlJ,{x) -
применить предыдущую теорему, то получим:
ъ	ь
*&> f Ш
dx = °'
а	а
что противоречит соотношению D). Это противоречие и доказывает наше утвер-
утверждение.
От параметра п, принимающего лишь натуральные значения, легко перейти
и к произвольному параметру у [ср. теорему 1, 506]:
Теорема 2. Пусть функция f(x,y) определена для значений х в проме-
промежутке [а, Ь] и значений у в области (?, интегрируема по х в [а, Ь] (при
постоянном у) и равномерно ограничена
\f(x,y)\ ^L (L = const)
для всех упомянутых значений х и у. Если для всех х существует пре-
предельная функция
ф(х) = Km f(x,y
У^У
*\
также интегрируемая в [а, Ь], то
ъ	ъ
lim [ f(x,y)dx= I cp(x)dx.
у^Уо J	J
E)
Достаточно применить теорему 1 к функции fn(x) = f(x,yn), где {уп} есть
произвольная последовательность значений у из ^, стремящаяся к j/q. Получа-
Получаемое таким путем соотношение
ъ	ъ
lim f(x,yn)dx = (p(x)dx
равносильно E).
*^ При этом, конечно, предполагается, что область <? допускает предельный
переход при у ^ у§.

806	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[528
527. Дифференцирование под знаком интеграла. На основе теоремы Ар-
цела легко получается и следующий результат как аналог и обобщение теоре-
теоремы 3 [507].
Теорема 3. Пусть функция f(x,y), определенная в прямоугольнике
[а,Ь;с,д], будет интегрируема по х в [а,Ь] при любом постоянном у
в [с, д]. Предположим, далее, что во всей области существует частная
производная ffy(x,y), также интегрируемая по х. Если эта производная
как функция двух переменных ограничена:
\fy(x,y)\ 4:L (L = const; a < x < b; c^y^d),
то при любом у из [с, д] для функции
ь
I(y) = J f(x,y)dx
а
имеет место формула
Доказательство. Взяв любое значение у = у$, как и при доказатель-
доказательстве в 507 [см. A1)], будем иметь
ъ
Дур + к) ~ Дур) = f Лх>Уо + к) ~ Лх>Уо) dx
к	J	к
а
Так как, по теореме Лагранжа,
f(X,yo+k)-f(X,yo) = f, ^ ^ + ^
к	у
то подинтегральная функция, зависящая от х и к, будет при всех значениях этих
переменных ограничена (по абсолютной величине) постоянной L. Применяя
к этому случаю теорему 2, мы можем перейти к пределу при к -л 0 под зна-
знаком интеграла, что и даст нам требуемый результат.
528. Интегрирование под знаком интеграла. В этом направлении имеет мес-
место предложение, значительно обобщающее теорему 4 [508].
Теорема 4. Пусть функция f(x,y), определенная в прямоугольнике
[а, Ь;с, д], интегрируема по х в [а, Ь] (при постоянном у) и по у в [с, д]
(при постоянном х). Если сверх того функция f(x,y) ограничена
\f(x,y)\ ^ L (L = const)
для всех упомянутых значений х и у, то существуют оба повторных
интеграла
д	Ь	Ь	д
J dy J f(x,y)dx, J dx J f(x,y)dy
с	а	а	с
и равны между собой.

528]	§ 4. ДОПОЛНЕНИЯ	807
Доказательство. Положим
ъ	д
= Jf(x9y)dx9 К(х) = Jf(x9y)dy.
Рассмотрим произвольную последовательность разбиений промежутка [с, д]
на части с длинами
8^,8^,..., 8^ (/1=1,2,3,...),
подчиненных лишь тому условию, что тах{8;} с возрастанием п стремится
к 0. В каждой z-й части (z = 1, 2, . . ., hn) п-то разбиения по произволу возьмем
значение у = у^ и составим интегральную сумму для функции /(у);
Если положить
то crw перепишется в виде:
оп = / fn(x)dx.
а
Так как, очевидно, существует предел
lim /„*(*) = ff(x9y)dy=K(x)	F)
с
и к тому же для всех значений х и п
то, по следствию п° 526, заключаем о существовании предела
lim 6„.
Итак, предел этот существует, как бы ни делить промежуток на части (лишь
бы наибольшая из длин их стремилась к нулю) и как бы ни выбирать в них
значения у*1 . Отсюда ясно, что предел этот должен быть одним и тем же во всех
случаях, т. е. что существует интеграл
д	ъ
/1(у) dy = lim on = lim / f*(x)dx.
n^-oo	n^-oo J

808	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[529
Но подобным же образом можно доказать и существование интеграла
ъ
J K(x)dx, т. е. интегрируемость предельной для /*(.%) функции [см. F)]. Тог-
а
да, применив к /*(.%) теорему 1, окончательно получаем
д	Ь	Ь
j I(y)dy = hm^ j fn(x)dx = jK(x)dx,
с	а	а
т. e.
д	b	b	д
I dy ff(x,y)dx = f dx ff(x,y)dy,
что и требовалось доказать.
Мы ограничились здесь случаем собственных интегралов. Если положить
в основу доказанные для них теоремы, то можно было бы соответственно обоб-
обобщить и результаты, относящиеся к несобственным интегралам; этим, однако, мы
заниматься не будем.
§ 5. Эйлеровы интегралы
529. Эйлеров интеграл первого рода. Так называется (по пред-
предложению Лежандра) интеграл вида
1
В(а,Ь)= fxa-l(l-x)b-ldx,	A)
о
где а, Ъ > 0. Он представляет функцию от двух переменных
параметров а и Ь: функцию В («Бета»).
Рассматриваемый интеграл, как мы знаем [483, 3), (а)], для по-
положительных значений а и Ъ (хотя бы и меньших единицы) схо-
сходится *) и, следовательно, действительно может быть положен в
основу определения функции В. Установим некоторые ее свойства.
1° Прежде всего, почти непосредственно (подстановкой х =
= 1 — t) получаем:
так что функция В является симметричной относитель-
относительно а и Ь.
*^ Наоборот, если значение хоть одного из параметров а, Ъ будет ^ 0, то
интеграл расходится.

529]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	809
2° С помощью интегрирования по частям из формулы A),
при Ъ > 1, находим *)
/
а
о
1	1
Ъ 1
+
о
о	о
1
откуда
B(a,b) = a^j.1B(fl,ft-l).	B)
Эту формулу можно применять в целях уменьшения Ь9 пока Ъ оста-
остается больше 1; таким образом всегда можно достигнуть того, чтобы
второй аргумент стал < 1.
Впрочем, того же можно добиться и в отношении первого аргу-
аргумента, так как — ввиду симметричности В — имеет место и другая
формула приведения (а > 1)
Ща.Ь) = аа+~11В(а-1,Ъ).	B')
Если Ъ равно натуральному числу /7, то, последовательно при-
применяя формулу B), найдем:
а + п — 1 а + п — 2 а +
Но
1
В(а- 1) = [xa~l dx = -.
*}Мы
используем ниже тождество

810	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[529
Поэтому для В (а, п) и — одновременно — для В (п, а) получается
окончательное выражение
В(л,а) = В(а,„)=а(а+11J(а3+2); ^;+"и_1Г C)
Если и а равно натуральному числу гп, то
В(#2, П) =		*.
Эту формулу можно применять и при т = 1 или /7=1, если под
символом 0! разуметь 1.
3° Дадим для функции В другое аналитическое представление,
которое часто бывает полезно. Именно, если в интеграле A) про-
произвести подстановку х = -Л—, где у — новая переменная, изменя-
изменяющаяся от 0 до сю, то и получим
/,.B — 1
,ЛУ ч ^ dy.	D)
о
4° Положим в формуле D) b = 1 — а9 считая, что 0 < а < 1;
мы найдем
оо 1
Читатель узнает уже вычисленный выше интеграл, также связывае-
связываемый с именем Эйлера [см. 519, 4), (а); 522, 1°]. Подставляя его
значение, приходим к формуле
^	<а<1).	E)
,) ^	)
sin а я*
Если, в частности, взять а = 1 — а = ^9 то получим:
Мы ограничимся этими немногими свойствами функции «Бе-
«Бета» потому, что — как увидим сейчас — она очень просто выража-
выражается через другую функцию — «Гамма», которая и будет главным
предметом нашего изучения в настоящем параграфе.

530]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	811
530. Эйлеров интеграл второго рода. Это название было при-
присвоено Лежандром замечательному интегралу:
оо
Г (а) = fxa-le~xdx,	F)
о
который сходится при любом а > 0 [483, 5, (в)] *) и определяет
функцию Г («Гамма»). Функция Г, после элементарных, явля-
является одной из важнейших функций для анализа и его приложений.
Обстоятельное изучение свойств функции Г, исходя из ее инте-
интегрального определения F), послужит одновременно и прекрасным
примером применения изложенной выше теории интегралов, зави-
зависящих от параметра.
В главах XI и XII [402, 10); 408; 441, 11)] мы встречали уже
функцию Г, но определяли ее иначе; покажем же, прежде всего,
тождество обоих определений (конечно, для а > 0).
Полагая в F) х = In ^, найдем:
Г (а) = /(in-)" X dz.
о
Как известно [77, 5), (б)],
In - = lim n\\ — z п ),
Z
причем выражение п{\ -z«) при возрастании п стремится к сво-
своему пределу возрастая**). В таком случае, на основании 518,
оправдано равенство
1
Г (а) = lim na~l [ (l - z«Y dz
п^оо	J V	J
О
или — если прибегнуть к подстановке z = уп —
1
Т{а)= Xm^rf fyn-\\-y)a-ldy.
*) При а ^ 0 интеграл расходится.
**) В этом можно убедиться методами дифференциального исчисления, рассма-
1— za
тривая выражение —-— как функцию от а.

812	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[531
Но, согласно C),
1
а(а + 1)(а + 2)...(а+п- 1)'
Таким образом, окончательно приходим к знаменитой формуле
Эйлера —Гаусса:
а(а + 1)(а + 2). . .(а +п- 1)'	v J
которая выше послужила нам отправной точкой [402, A4)]. В даль-
дальнейшем свойства функции Г, как указывалось, мы будем извлекать
из ее интегрального представления F).
531. Простейшие свойства функции Г.
1° Функция Т(а) при всех значениях а > 0 непрерывна и
имеет непрерывные лее производные всех порядков. Достаточно
доказать лишь существование производных. Дифференцируя инте-
интеграл F) под знаком интеграла, получим
оо
Г'(а) = I ха~1 • hue • е~х dx.	(8)
о
Применение правила Лейбница оправдано тем, что оба инте-
интеграла
1	оо
/ ха~1 • hue • е~х dx и / ха~1 • hue • е~х dx
0	1
сходятся равномерно относительно а\ первый — при х = 0
для а ^ а0 > 0 (мажоранта jc^o—х11шс|), а второй — при х = оо
для а < А < оо (мажоранта хЛе~х) *}.
Таким же путем можно убедиться и в существовании второй
производной
оо
Т"(а) = I ха~1 • (ЫхJе~х dx	(8*)
о
и всех дальнейших.
*)
Для х > 0, очевидно, \пх < х.

531]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	813
2° Из F) интегрированием по частям сразу получаем:
a Ixa-le~xdx =xae-x\°°+ fxae~xdx,
о	о
т. е. [ср. 402, A5)]
Г(а + 1)=а-Г(а).	(9)
Эта формула, повторно примененная, дает
Г(а + п) = (а + п - 1)(а + п - 2). . . (а + 1)аГ(а). A0)
Таким путем вычисление Г для сколь угодно большого значения
аргумента может быть приведено к вычислению Г для аргумен-
аргумента < 1.
Если в A0) взять а = 1 и принять во внимание, что
оо
= Je-Xdx = l,	A1)
то окажется, что
Г(и+1)=и!	A2)
Функция Г является естественным распространением — на
область любых положительных значений аргументов — фак-
факториала п\, определенного лишь для натуральных значений п.
3°Ход изменения функции Г. Теперь мы можем со-
составить себе общее представление о поведении функции Г (а) при
возрастании а от 0 до оо.
Из A1) и A2) имеем: ГA) = ГB) = 1, так что, по теоре-
теореме Рол ля, между 1 и 2 должен лежать корень а0 производ-
производной Г7(а). Эта производная постоянно возрастает, ибо вторая
производная Г/;(<я), как видно из ее выражения (8*), всегда поло-
положительна. Следовательно, при 0 < а < а0 производная Г7(а) < 0,
и функция Г (а) убывает, а при а0 < а < оо будет Г7 (а) > 0, так
что Г (а) возрастает; при а = а0 налицо минимум. Вычисление,
которого мы не приводим, дает
а0 = 1,4616. . . , min Г (а) = Г(а0) = 0,8856. ..

814
ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
[531
Интересно установить еще предел для Г (а) при приближении а
к 0 или к оо. Из A1) [и из 1°] ясно, что
Г (а) =
го
+оо
при а -Л +0. С другой стороны, ввиду A2),
Т(а) > п\, лишь только а > п + 1,
т. е. Г(<я) —)> +оо и при а —)> +оо.
График функции Г (а) представлен на рис 64. [Сейчас нам ин-
интересна его часть, лежащая в первом координатном углу.]
л
V.
-4
J
-3
1/
/
/
1
V
-2
\
/
-1
(
1
с
Э
/1 -
4
т>
3
2
1
I
0
\
\
\
\
1
1
2
а
-4-
-5-1
2
->
/
1
/
ГО
У
/
/
0-
/
/
А
Рис. 64
4° Связь между функциями В и Г. Для того чтобы
установить эту связь, мы подстановкой х = ty (t > 0) преобразу-
преобразуем F) к виду:
Г(а)
A3)

531]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	815
Заменяя здесь а на а + Ъ и одновременно t на 1 +t9 получим:
Т{а+Ъ)
а+Ь
0+0 о
Умножим теперь обе части этого равенства на ta~l и проинте-
проинтегрируем по f от 0 до оо:
В интеграле слева мы узнаем функцию B(a, b) [см. D)]; справа
же переставим интегралы. В результате получим [с учетом A3)
и F)]:
ОО	ОО
Г(а + Ъ) • В(а, Ъ) = f ya+b-le~y dy f ta-le~ty dt =
о	о
oo	oo
^dy= T(a) f y^e^ dy = Г (a) • T(b),
yU
О	и
откуда, наконец,
В(а,Ь)=	—^.	A4)
Приведенный изящный вывод этого соотношения Эйлера
принадлежит Дирихле. Впрочем, для обоснования его надле-
надлежит еще оправдать перестановку интегралов.
Мы сделаем это, ограничиваясь поначалу предположением,
что а > 1, Ъ > 1. Тогда для функции
ta-\ya+b-\e-{\+t)y
оказываются выполненными все условия следствия п° 521: эта
функция непрерывна (и притом положительна) для у ^ О
и t ^ 0, а интегралы
(l+t)a

816	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[531
оо
У
О
в свою очередь представляют собою непрерывные функции:
первый — от t для t ^ О, второй — от у для у ^ 0. Ссылка на упо-
упомянутое следствие оправдывает перестановку интегралов, а с нею
и формулу A4) — для случая а > 1, Ъ > 1.
Если же известно лишь, что а > 0 и й > 0, то — по доказан-
доказанному — имеем
В(а + 1,Ь
Г(а + Ь + 2) '
А отсюда, используя формулы приведения B), B;) для функции В
и (9) для функции Г, легко вновь получить формулу A4) уже без
ненужных ограничений.
5° Формула дополнения. Если в формуле A4) положить
Ъ = 1 — а (считая 0 < а < 1), то, ввиду E) и A1), получим со-
соотношение [ср. 408, C0)]
A5)
^9
sin а л-
которое и называется формулой дополнения.
При а = 5 отсюда находим (так как Г (а) > 0):
A6)
Если в интеграле
оо
e~z
—= dz —
сделать подстановку z = х2, то вновь получим значение интеграла
Эйлера —Пуассона:
6° В качестве применения формулы дополнения определим
(вместе с Эйлером) величину произведения (где п — любое

531]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	817
натуральное число)
кп) \п) \ п J \ п
Переписав это произведение в обратном порядке:
n J \ п
перемножим оба выражения:
п-\
П — V
v=l
и к каждой паре множителей Г (^) Г (n-^L) применим формулу до-
дополнения. Мы получим
~п
sinf -sin2f .. .sin(/7- 1) f
Теперь для вычисления произведения синусов [ср. с. 665] рас-
рассмотрим тождество
7п-\ п^т (	2vjt . . 2vjt\
— cos	i sin ¦ ,
n	n /
v=l
и устремим в нем z к 1. В пределе:
Шп~1 2vjt . . 2v:
1 — cos	i sin —
/7	/7
v=l
или, приравнивая модули,
i-ri. 2vjt . 2vjt ~y,— \ tt . vtt
/7 = 1 - cos	z sm	 =2	sm —,
±J;I	/7	/7	±J;	/7
v=l	v=l
так что
n-\
П. VJT	П
sm—= ^r-
v=l
Подставляя это в выражение для is2, окончательно получаем:
v=l

818	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[531
7° Интеграл Раабе. С формулой дополнения связано и вы-
вычисление важного интеграла:
1
Ro = f\nT(a)da,
о
очевидно, существующего, так как [см. (9)]
1пГ(а) =1пГ(а + 1)
Заменяя а на 1 - а, можно написать
1
Ro= АпГA -a) da
о
и, складывая:
1	1
2R0= [lnT(a)r(l-a)da= [ln—?
J	J sin л
о	о
Л	2
If	2 (
/ In sinx dx = In jt	/ In si
ж J	ж J
ж
Л	2"
If	2 (
= In n	/ In sinx dx = In jt	/ In sinx dx.
J	ж J
о	о
Подставляя сюда значение уже известного нам [492, 1°] интеграла,
найдем:
1
Ro= flnr(a)da=lnV2jr.	A8)
о
Раабе рассмотрел интеграл (при а > 0)
<2+1	<2+1 а
R(a) = j lnT(a)da = f - f.
0 0
Так как, очевидно,
R\a) =1пГ(а + 1) -1пГ(а) =lna
[см. (9)], то, интегрируя, находим для а > 0
R{a) =a(lna- 1)+С.

532]
§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ
819
Но R{a) сохраняет непрерывность и при а = 0; переходя здесь
к пределу при а —>> 0, убеждаемся, что С = Ro. Подставляя значе-
значение A8), приходим к формуле Раабе:
а+\
R(a)= f \nT(a)da = а(Ыа - 1)+Ыу/Ът.	A9)
a
8° Формула Лежандра. Если в интеграле
1	1
а-\
= 2
О
1 (х
4" 2~Х
Jx =
fl-1
сделать подстановку | — х = | V^? T0 получим
1
Заменив в обоих случаях функцию В ее выражением A4) че-
через Г:
Г(о)Г(а) _ 1 Г(Т
- 22»-1 ' ,
Сокращая на Г (а) и подставляя вместо Г(Л его значение
[см. A6)], придем к формуле Лежандра:
B0)
532. Однозначное определение функции Г ее свойствами. Мы знаем, что
функция Г (а) непрерывна вместе со своей производной для положительных зна-
значений аргумента. Кроме того [см. (9), B0) и A5)], она удовлетворяет функцио-
функциональным уравнениям:
(I) Ф(я + 1) = аФ(а),
(II)
(III) Ф(я)ФA - а) = —

820	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[532
Мы покажем, что эти свойства в совокупности вполне характеризуют функ-
функцию Г (так что каждая функция, обладающая этими свойствами, тождествен-
тождественна с Г).
Одних свойств (I) и (II) для этого недостаточно, так как, наряду с Г, ими
обладает и функция
Ф(я) = Т{а) • [4sin2 ал]** (при ц > 0).
Точно так же недостаточно и свойств (II) и (III), ибо они принадлежат и функции
Ф(я) = Т(а) -za~^ (при z > 0).
Наконец, свойства (I) и (III) явно оставляют произвольными значения функ-
функции Ф(я) для 0 < а < j. Иначе обстоит дело, если налицо все три свойства.
Впрочем, свойство (III) может быть заменено более слабым требованием — что-
чтобы функция Ф(я) при а > 0 не обращалась в 0, что как раз и вытекает из (III) *\
Итак, пусть функция Ф(я) для а > 0 непрерывна вместе со своей произ-
производной, отлична от 0 и удовлетворяет соотношениям (I) и (II). Докажем,
что тогда Ф(а) = Г(а).
Положив Ф(а) = М(а) • Г (а); очевидно, функция М(а) также непрерывна
вместе со своей производной и отлична от 0. Кроме того, так как Ф(а) и Г (а)
обе удовлетворяют условиям (I) и (II), то М{а) удовлетворяет соотношениям
A;) М{а + 1) = М{а) и (II') М(я)м(я + -) = МBа).
Из A;) явствует, что при а —>> +0 для М(а) существует конечный предел.
Если принять его за значение М@), то М(а) окажется непрерывной вместе со
своей производной вплоть до а = 0.
Заметим, что из (П;) при а = j следует, что ^/(^) = lj значит, М(а) > 0
для всех а ^ 0. Это дает нам право рассматривать функцию
L{a) = ЫМ(а),
которая также непрерывна всеете со своей производной для а ^ 0, но удовлетво-
удовлетворяет условиям:
(I") L{a + 1) = L{a) и (II") L{a) + b(a + ^
Наконец, введем еще непрерывную функцию
А(а) = L'(a);
она выполняет соотношения:
I'"
A//;) А(а + 1) = Д(д) и (II'") Д(д) + Д^д + ^ = 2ДBд).
Из (II//;)? заменяя а на |, получим
*^ Для 0 < а < 1; соблюдение этого требования для прочих значений а сле-
следует уже из (I).

533]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	821
Если здесь снова заменить а сначала на |, а затем на д-^- и сложить полученные
равенства, то найдем, что
л/^ + 3М	л/ч
Методом математической индукции легко установить общее соотношение
v=0
Но, каково бы ни было я, сумму слева можно рассматривать как интеграль-
интегральную сумму для интеграла
1
/ л /rv^ ^/v *)
Поэтому
A(x)
О
2W-1	1
А(а) = lim — V д(^±^Л = \ А(х) dx = L(\) - L@) = О
0
0	о
[ввиду A/;)]- В таком случае L(a) = const, значит, и М(а) = const Но мы ви-
видели, что М(Л\ = 1, так что М(а) = 1 и Ф(а)=Г(а), что и требовалось
доказать.
В заключение отметим еще, что требование дифференцируемости играет при
этом существенную роль и не может быть отброшено. Если, например, положить
оо
L{a) = V — sinBnna),
п=\
то в лице L{a) будем иметь непрерывную функцию, удовлетворяющую услови-
условиям A/;) и (II/;)- Вместе с тем 1@) =0 и l(^) = ^, так что L{a) не сводится
к постоянной!
533. Другая функциональная характеристика функции Г. В предыдущем п°
была дана характеристика функции Г (а) как единственной непрерывной вместе
со своей производной функции, удовлетворяющей функциональным уравне-
уравнениям (I) и (II) и не обращающейся в 0 (для а > 0). Здесь же мы дадим более
простую характеристику функции Г (а), используя лишь одно функциональное
уравнение (I), но налагая на функцию еще требование «логарифмической выпук-
выпуклости», смысл которого мы сейчас выясним.
В п° 141 было дано определение выпуклой функции f(x). Положи-
Положительная функция f(x), заданная в промежутке SC, называется лога-
рифмически выпуклой в этом промежутке, если ее логарифм Inf(x)
оказывается выпуклой функцией. Так как
А*) = enf(x\
*)
Учитывая при этом периодичность функции А {а), в силу A//;).

822	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[533
то, в силу 3° [142], из логарифмической выпуклости функции f(x) выте-
вытекает ее выпуклость; обратное заключение, вообще, неверно. Таким образом, ло-
логарифмически выпуклые функции составляют лишь часть всего класса выпуклых
функций.
Пользуясь теоремой 2 [143], можно установить условие логарифмической вы-
выпуклости: пусть положительная функция f(x) непрерывна вместе со своей
производной f'(x) в промежутке SC и имеет внутри промежутка конеч-
конечную вторую производную fff(x); тогда для логарифмической выпуклости
функции f(x) в SC необходимо и достаточно, чтобы внутри SC было
f(x)-f"(x)-[f'(x)}2>0.
Доказательство состоит в применении упомянутой теоремы к функции \nf(x).
Вернемся теперь к функции Т(х). Ее первая и вторая производные выражают-
выражаются формулами (8) и (8*). По неравенству Буняковского [321, A3;); 483, 7)]:
ъ	ъ	ъ
J[cp(x)]2dx • J[^(x)]2dx - UШ<р(хЩх) dx}2 > О,
а	а	а
если положить здесь
а = 0, Ь = оо; <р(х) = ^ха-хе~х, гр(х) = ^ха-хе~х -In*,
получим:
Г(а).Г"(а)-[г'(а)]2>0.
Отсюда, по только что приведенному условию, функция Г (а) в промежут-
промежутке (О, оо) оказывается логарифмически выпуклой. Вот этим-то свойством,
совместно с уравнением A), функция Г и определяется с точностью до
постоянного множителя. Иными словами:
Если 1) в промежутке @, оо) Ф(а) удовлетворяет уравнению (I)
Ф(я + 1) = а • Ф(я),
2)	Ф(а) логарифмически выпукла и
3)	ФA) = 1, то Ф(я) = Г(д).
Допустим, что для Ф(а) выполнены все эти три условия.
Повторно применяя уравнение (I), придем к общему равенству
Ф(а + п) = (а + п - 1H + п - 2) . . . {а + 1) • а • Ф(я),	B1)
где п — любое натуральное число; отсюда, полагая а = 1 [см. 3)] и заменяя п
на п — 1, найдем:
Ф(и) = (и - 1)!	B2)
Отметим, что достаточно доказать совпадение Ф(а) с Г (а) в промежутке @, 1],
ибо, вследствие (I), эти функции будут совпадать и повсюду. Пусть же 0 < а < 1.
Вспомним неравенство F), 143,

534]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	823
имеющее место для выпуклой функции f(x) при единственном условии:
х\ < Х2 * • Применив дважды это неравенство к выпуклой, ввиду 2), функ-
функции In Ф(я) при любом п ^ 2, получим
1пФ( —1 + п) — 1пФ(и) 1пФ(я + п) — 1пФ(«) 1пФA + п) — 1пФ(и)
(—\+п)—п	{а +п) — п	A + п) — п
или — с учетом B2) —
Ф(а + п) - Ып - 1)!
1п(и - 1) < In v ;	^	 < lnw.
а
Отсюда следует
1п(и - \)а • {п - 1)! < 1пФ(д + w) < In и* • (w - 1)!,
а значит:
(w - 1)а • [п - 1)! < Ф(я + w) < wa • (w - 1)!
Переходя теперь, с помощью формулы B1), к самому значению Ф(я), придем
к неравенствам
я(я + 1) . . . (я + и - 1)	W а (а + 1) . . . (а + п - 1)
Наконец, заменяя в первом из них п на п+ 1, представим полученные неравенства
в виде:
о 1 • 2 • 3. . . (и - 1)	, ч а + п
Ф(а) < /Iе		/	\ < Ф(а)	.
а (а + 1) . . . (я + и — 1)	и
Отсюда уже ясно, что
— в силу формулы G) Эйлера — Гаусса.
534. Примеры.
1) Найти интеграл
1
о
-xm)q~l dx (p,q,m > 0).
Указание. Полагаяхт = у, сводим его к эйлерову интегралу первого рода.
Ответ:
т Г(?+,
*^ Правда, в указанном месте было предположено, что х^ < х < х2, но не-
нетрудно убедиться, что написанное неравенство справедливо при любом положе-
положении точки х, лишь бы она не совпадала с х± и х2-

824	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[534
Предлагается с помощью этого результата доказать, например, что при лю-
любом натуральном п
[ dx	[ xndx	jt	„
j ДЗ^ ' J Л/Г^~^ = ~ [Эилер]'
О ^	О
2) Вычислить интеграл
1
/
Р~1(\ - x)q~l
v	;	dx (а,/3^0; y,p,q>0).
О
С помощью подстановки
(а + у)х
ах + /3A - х) + у	ах + /3A - х) + у
[ах +0A -х) +у]2 ~
предложенный интеграл приводится к виду
1
tp~\l -t)q~l dt =
О
3) Найти интегралы
1
—;	:—гт—dx	(a, b, p > 0);
0
+1
J	A+jc2)w+w
-1
Указания, (а) Подстановка;; = A +/?) ^ф^.
2
(б) Подстановка г/ = ^ ^ х^ .
Owe^w: (а) * А В(д, 6); (б) 2W+"-2 В (/я, w).
Отсюда, в свою очередь, может быть получен ряд любопытных интегралов.
Например, если в последнем взять п = 1 — т, положить 2т — 1 = cos 2a и сде-
сделать подстановку х = tg ф, то найдем:
cos ф + sin ф \ cos 2a
dф =
cos ф — sin ф )	2 sin(jr cos2 a)
ж.

534]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	825
2	2
/ sin7 <pdq>= cos" <pdq> (a > 0);
4) Найти интегралы
ж.
(a) / sin° (p cos ф d(p {a, b > 0);
0
f
F)
0
f
(в) Jtgcpdcp (|c|<l).
0
Решение, (а) Полагая * = sin q>, приведем предложенный интеграл к ин-
интегралу
1
/а-\(л	2л4-1 ,
х (\ — х J dx,
о
так что, используя задачу 1), будем иметь
о
(б) В частности, при b = 1, получим отсюда
(
/• а-\ г	\/Й
о
С помощью формулы Лежандра этот результат может быть переписан в виде:
(в) Наконец, полагая в (а) а = 1 + с и b = I — с, где \с\ < 1, найдем
(используя формулу дополнения)
* ^ Легко проверить, что в этой формуле как частные случаи содержатся обе
формулы (8), 312.

826	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[534
5) Определить площадь Р фигуры, ограниченной кривою
4	3
г = sin в cos в.
Решение. Кривая имеет две петли — в первой и в третьей четвертях; до-
достаточно удвоить площадь одной из них. По формуле для площади в полярных
координатах [338, (9)], имеем:
P 2Lbcosb^
2 J	2ГB)	8
о
[см. 4), (а), и соотношения (9), A2), A5)].
6) Определить (а) площадь Р фигуры, ограниченной одним витком кривой
(т — натуральное число)
rm = am cos тв,
и (б) длину S этого витка.
Решение. (а)Р = 2- — / cos™ твdO = — / cos™ cpdcp =
2 J	m J
[cm. 4), (б), и соотношения (9), B0)].
(б) По формуле для длины дуги в полярных координатах [329, D6)],
ш	f
Г 1_1	2а [ 1_!	а
S = 2а / cos ™ тв de = — / cos ™ ф d(p = —
У	«У	r(i
[см. 4), (б)].
7) Вычислить интегралы
Г de
(а) У vf^
0
1 + к cos cp J 1 + к cos cp
0
{a>0,
(а) Указание. Подстановка: cos# = 1 — 2y/x.
Ответ: ^[{\)}\
(б) Указание. Подстановка: tg | = л/x+f ^ f •
Ответ: 	—а- ^ wVn .

534]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	827
8) Доказать, что
1	оо
/ A - х3Г^ dx = л/3 f(x3 - l)-2
dx.
-оо	1
Решение. Положим
1	оо
/A - х3)~^ dx = Il9	f(x3 - 1) dx = I2,
О	1
О	оо
/ A — Jc3)~i dx = [(\+x3)~^dx=I3.
-оо	О
Подлежит доказательству равенство
Л +/3 = л/3/2.
Применяя к этим интегралам подстановки, соответственно, х = П, х = t~i,
х = (Г — 1)з, приведем их к эйлеровым интегралам первого рода. Затем при-
придется лишь несколько раз использовать формулу дополнения.
9) Доказать формулу (принадлежащую Дирихле)
оо	оо
Г e~fxxs~	[ e~gyyr
Пг) / ,_ , лг dx=F(s) / fT ^Лс dy (f,s,g,r>0).
0
Указание. Подставить
оо
fe + ^Г J	{f + y)s J
о	о
и использовать перестановку интегралов по х и по у (случай положительной
функции).
10) В задаче 12), 511, мы доказали тождество
ЕК; + Е;К - КК; = с = const
(относительно обозначений см. в указанном месте). Затем с помощью некоего
предельного перехода было установлено, что с = ^. Этот же результат можно
было бы получить, вычислив величину левой части при каком-нибудь частном
значении к.
вид
2ЕК - К2 = BЕ - К) К = с.
Пусть к = А=; тогда к' = к, Е; = Е и К7 = К, и тождество принимает
Интегралы
К=/ . ^	. Е=/.
^ л/1-Ьт2Ф	й
1	sin (p <i(p

828	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[534
4
последовательными подстановками cos (p = t, t = х приводятся к эйлеровым
интегралам первого рода:
1
К= —- х~Ц1 -х)~^ dx,
2V2J
О
1	1
E=—^-j / х~Ц\ -x)~^dx+ I x
4л/2\У	J
О	О
так что
1
1 ' -*'- —*dx.
О
Отсюда искомая постоянная
f х~Ц\-
11) Разложить в ряды интегралы:
оо	оо
(а) /	-dx (s > 1); (б) / —-rdx (s > 0).
J ex - 1	J ex + 1
0	0
Решение.
оо	оо	оо
(a) f -^—-dx= f xs-lY,e~nX dx = Y. I х°~1е~ПХ dx =
0	0	l	l 0
оо 1
Z_-/ ns
если через ?{s) [функция «дзета» Римана], как обычно, обозначить сумму по-
последнего ряда. Мы воспользовались здесь теоремой об интегрировании положи-
положительного ряда [518] и формулой A3).
оо
f xs~l	^ (-If	2xs~l
(б) / 	dx =T(s) > 	.	Мажоранта: 	.
V У J ех + 1	У } ^ rf	Р	ех + 1
0	1
Если s > 1,то этот результат можно представить в виде
ибо
оо
Е
1

534]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	829
12) Некоторое обобщение предыдущей задачи представляют разложения:
оо
Г xs-le~ax	^ 1
(а) / 	— dx = T(s) • 2_^	— (s > 1, а > 0)
о	п=° +
[11), (а), отсюда получается при а = 1];
z" (-1 < z < 1 и s > 0,
fzxs~ldx
/ ех - z
ех — z	*-^ ns или z = 1 и
0
[11), (а), отсюда получается при z = 1; а 11), (б), — при z = — 1].
13) Обозначая сумму гипергеометрического ряда [см. 441, 6)]
. ^л а(« + 1)... (а + п - 1)?Q8 + 1)... Q8 + и - 1) „
1 + У 	х
через F(a, /3, у, х), доказать соотношение:
[Гаусс].
Считая а>0иу-а>0, рассмотрим интеграл
1
ф) = j>-*(! - zy-a~\\ - zx)-* dz
О
при 0 < х < 1. Так как ряд
оо
/1 -л-? _ V^
^о	Ь2...и
сходится (при фиксированном х) равномерно относительно z в проме-
промежутке [0, 1], то — умножая на интегрируемую в этом промежутке функцию
za-\^_zy-a-\ — полученный ряд можем интегрировать почленно. Мы придем
к разложению
О
где
= j8Q8 + l)...Q8 + /i-l) Г(а + и) Г(у - а) =
1 . 2 . . . w	'	Г(у + и)
_ Г(а)Г(у - а) а(а + 1) . . . (а + и - I)j3(j3 + 1) . . . (K + и - 1)
Г(у)	'	1.2...л.у(у + 1)...(у+л-1)
[см. A0)].
Таким образом,
Г(а)Г(у - а)
/(л) = 	——
F(a, p, у, х).

830	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[535
Для получения формулы Гаусса остается лишь перейти здесь к пределу
при х —> 1 (считая у — а — р > 0). В ряде этот переход можно выполнить почлен-
почленно — по теореме Абеля [437, 6°]. В интеграле же можно перейти к пределу
под знаком интеграла — ввиду наличия мажоранты:
za-\\-zf-a-1 (при /3 SCO) или za~\\ - zy-a-P-1 (При/3>0).
В результате [см. A4)]
Г(«)Г(у -а-р) Г(«)Г(у - а)
r<y-f»
откуда и следует доказываемое соотношение.
Из него, в частности, при у = 1, /3 = — а получается [с учетом A1),
(9), A5)] любопытное разложение @ < а < 1):
sin ал _ а2 а2{а2 - 1) а2(а2 - \){а2 - 4)	#)
ал	~ Т + (Ь2J	A .2-3J	+'"
535. Логарифмическая производная функции Г. Продолжая
изучение свойств функции Г, обратимся к рассмотрению ее ло-
логарифмической производной, т. е. выражения
dlnF(a) _ Г'(а)
Та ~ Г» в
9° Различные представления этого выражения в виде интегра-
интегралов можно получить и из формулы (8). Но проще исходить из
следующих соображений. Имеем:
Т(Ъ)-Ь Т(а + Ъ)-Т{а) ГF +1) Т(а + Ь)-Т(а
Т(а + Ь)	Ъ	Г(а + Ь)
так что, если перейти здесь к пределу при Ъ —> 0,
Щ	[
Возьмем сначала [см. F) и D)]:
, B(a,b) = J * bdx.
о
*^ Оно, впрочем, может быть выведено и преобразованием известного беско-
бесконечного произведения, выражающего синус [408].

535]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	831
Тогда
()
и, выполняя предельный переход под знаком интеграла, получим
формулу Коши:
оо
оо
(а) У Г	A+*)«J
Г(а)
Для оправдания предельного перехода заметим, что вбли-
вблизи х = О, Ъ — О выражение
х
будет непрерывной функцией отхий,ах^<1. Для достаточно
больших х и Ъ ^ Ьо имеется мажоранта:
Если же в выражении A) для В сначала сделать подстанов-
В(а,Ь) =
ку х = е г\
о
то можно написать
ТЧпЛ	°°
= lim
J L
Па)
Переходя здесь к пределу под знаком интеграла (что оправдывается
аналогично), придем к другой формуле:
Наоборот, можно вовсе устранить показательные выражения из
подинтегральной функции. С этой целью положим в B3) а = 1:
ГA) -1 [[)~J Г	1+xJ х

832
ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
[536
где С есть так называемая эйлерова постоянная^. Вычитая по-
почленно это равенство из B3), получим
Т(а)
1
1
dx
1+х A+х)а\ х *
Наконец, подстановка t — -^ приведет нас к формуле Гаусса:
+ С =
~l
536. Теорема умножения для функции Г.
10° Опираясь на представление B5) для логарифмической про-
производной, установим теперь следующую замечательную формулу,
также принадлежащую Гауссу:
B6)
(п — любое натуральное число). Она выражает теорему ум-
умножения для функции Г.
Полагая в B5) t = г/2, получим:
Г'(а)
Т(а)
f j/i-1 - una-l
+ С=П —,	du,
J	l-U"
откуда, заменяя а на а + ^ (у = 0, 1,..., п — 1),
1
г(«+^)+с 1-
ип
¦du
и, суммируя по v от 0 до п — 1,
¦иС=п
п-\
Е
v=0
Г'
г
(а-
(п-\
1-Ю
- -)
п)
0
пи
п-\
и
,па — \
1-ип 1-й
du.
*> Мы имели в главе XI [367, 10)] другое определение этой постоянной. Ниже
мы убедимся в тождестве обоих определений.

536]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	833
Сопоставим это равенство со следующим:
Г'(па)	} \-ипа~1
V J + С= —	du.
_ П- иш~
" J 1-й
г<«:
Умножив последнее равенство на и и вычитая его из предыдущего,
найдем:
у^Г'(а + ^) У {па) _
— п\\	du = —n In
- un \-u\	1-м
о
= —/7 In/7,
О
что можно написать в виде:
^iW + i;,. r(a + ^i)
rfa	Г (/7а)
Отсюда, интегрируя, получим
1п	^	=
Г(иа)
или
()( + 1)...Г(О + ^1) С
Г (/7а)	/7^ '
Для определения постоянной С положим здесь а = \. Оче-
Очевидно, С = пЕ9 где is есть то произведение Эйлера, которое
мы вычисляли в 6° [531]. Подставляя его значение из A7), придем
к формуле B6).
Частным случаем формулы Гаусса является ранее выведен-
выведенная независимо формула Лежандра B0). Действительно, если
в B6) взять /7 = 2, то получим формулу
которая равносильна B0).
* ^ Предвидя потенцирование, мы заранее берем произвольную постоянную под
видом In С.

834	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[537
537. Некоторые разложения в ряды и произведения.
11° Источником их является та же формула B5). Разложим
подинтегральное выражение в ряд:
1 _ fa-\	оо	оо
| = A -О ?'v = E('v -ta+v~l),
v=0	v=0
все члены которого имеют один и тот же знак. Почленное интегри-
интегрирование дает:
ВЫГ(а)+ С=У [	.	B7)
Ряд этот сходится равномерно для 0 < а ^ <я0, ибо мажорируется
оо
рядом (а0 + 1) Е ji.
Если его почленно продифференцировать по а, то получим за-
замечательное по простоте разложение
Так как и этот ряд сходится равномерно для а > 0 (мажорируется
ОО х
рядом 5] ^т ) 9 то почленное дифференцирование оправдано.
12° Проинтегрировав почленно ряд B7) по а от 1 до а > О
(что законно, ввиду равномерной сходимости ряда), получим
B9)
Заменяя здесь а на а + 1 (при а > — 1), перепишем разложение
в виде
или
Отсюда, потенцируя, приходим к уже известной нам форму-
формуле Вейерштрасса [ср. 402, A6)], дающей разложение ^(а+\)

538]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	835
в бесконечное произведение:
13° Возвращаясь к B9), положим здесь а = 2. Так как
In ГB) = In 1 = 0, то получим:
1 . v+2
v=0 х" ' А	V
Заметим попутно, что отсюда
С= lim
и мы приходим к уже знакомому нам определению эйлеровой по-
постоянной [367, 10)]. Наконец, умножая C1) на а — 1 и вычитая
почленно из B9), мы исключим С:
v=0
1 -2... (/7- 1)
= lim Ink1
(а + 1) . . . (а + /7 - 2)
или, что то же,
1пГ(а) = lim In \na 1-2 (п-1) 1
vy «^oo [ а(а+ 1).. .(а+п-1)\
Отсюда, потенцируя, мы вновь находим формулу G) Эйле-
Эйлера—Гаусса, выше установленную другим путем.
538. Примеры и дополнения.
1) Пользуясь тем, что
e~l = lin
доказать, что (при а > 0)
oo	и
/1	f л /	t\n
ta~le~ldt=	lim / Г1 1 - -I ^,
0
и вывести отсюда формулу G).

836	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[538
Указание. Предельное равенство устанавливается так же, как это было
сделано в задачах 10) и 11), 519. Подстановкой т = 1- преобразуем интеграл
п	1
/ ,«-1 Л _ IXdt = rf [ т«-\\ _ r)« dT=n° • B(fl, /1+1)
0
и используем формулу C).
2) Из формулы B3)
оо
\a)=j[e " {\+х)а\Т'
Г(,
О
непосредственно вывести формулу B4)
оо
Г'(а) ''--" --""
Г(а)
0
~и 1 -е~и\
du.
Заметим, что трудность здесь в том, что нельзя интеграл B4) рассматривать
как разность двух интегралов (иначе вопрос был бы исчерпан преобразованием
второго подстановкой х = еи — 1). Поэтому, обходя ее, напишем:
Г'(а)
оо	оо
[ [ е~х dx Г dx \
\J х	J (\+х)а -х)
Т[а)	\
?	?
ОО
1-е
ln(l+?)
-e~u\	J l и \-е
0
Г е~аи
lim / 	du = 0.
?^0 J 1 - e~u
Это видно из того, что интеграл оценивается выражением
? — 1пA + ?)	?
еA + е)«-1 2A + ,)-
3) Исходя из определения эйлеровой постоянной равенством
п	ч
С= lim ( V- -lnw ),
v = l	7

538]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	837
установить интегральные формулы
1	оо	оо
f, у dx f r dx f / 1	v\du
(a) C= /A-е x)	/ e —; F) C= /(—	e"")—.
J	X	J	X	J \l ~\- U	/U
О	1	О
Так как
TO
1
In n
1
Г ds
J s '
1
\[l-(l-s)n	f ds]
C= lim / 	^	— ds - —\ =
n^oo \_J	s	J S J
0	1
n	n
[ f г / x \ ni dx f dx}
lim I 1- A--)	I —\ =
n^oo yj V	V	«/ J X	J X J
0	1
/( )
x J \ n/ x
0	1
Предельный переход во втором интеграле проводится, как и в 1). Относи-
Относительно преобразования (а) в (б) см. 2).
оо
4) Полагая (при а > 0 и s > I) g(s, а) = \^	—, доказать, что
lim
Г (а)
Мы имели [534, 12), (а)]
?(s, а) = 	 / 	dx.
У } r(s)J 1е-'
Поэтому

838	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[538
Предельный переход при s —>> 1 можно произвести под знаком интеграла,
так как подинтегральное выражение, в промежутках [0, 1] и [1, +оо] порознь,
стремится к своему пределу монотонно [518]. Затем использовать формулу B4).
При а = 1, в частности, получается
lim \g(s)	1 = С.
rV J s - lJ
[Ср. 375, 1)].
5) Вычислить величину бесконечного произведения [Эйлер]
где
[Так как
^ (И„|
то сходящимся бесконечное произведение будет лишь при условии
a1 + ... + ak = b1 + ...+bk;
в этом предположении и предлагается вычислить Р.]
Указание. Представив ип в виде
использовать формулу Вейерштрасса C0).
Ответ: Р = rn+aSrn+g2) "т(\+а)'
6)	Предполагало < \at\9 \bt\ < 1, вывести из 5) другой результат Эйлера:
"nV
п=—оо
Указание. Воспользоваться формулой
ГA + с) • ГA -с) = -^— @ < \с\ < 1),
sm же
которая вытекает из (9) и A5).
7)	Вернемся к формуле Гаусса:
F(a,p,y,l) =
Т(у-а)-Т(у-рУ

538]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	839
которая в 13), 534, была установлена в предположении, что
а > О, у — а > 0 и у — а — /3 > 0.
Сейчас предлагается доказать ее другим путем, предполагая лишь положитель-
положительными аргументы функции Г в правой части формулы и опустив ненужное
условие а > 0.
Укажем план доказательства. Обозначим, соответственно, через ап, Ьп, сп
общие члены гипергеометрических рядов
А = F(a, /3, у, 1), В = F(a, -1, /3, у, 1), С = F(a, /3,y + \, 1).
Непосредственно проверяются соотношения
(у - а){ап - Ъп) = Рап_1 + (п - 1)ап_х - пап
и доказывается, что пап -л 0. Складывая эти соотношения при изменении указа-
указателя от 1 до п и переходя к пределу, получим:
уВ = (у-р)С, (у-а)(А-В)=рА,
откуда
л_ (у-а)(у-Р)с
у(у-а-0)
Рассмотрим теперь выражение
SY я и Г(у-а)-Г(у-р)
предыдущее соотношение [в связи с (9)] показывает, что значение этого выраже-
выражения не изменится при замене у на у + 1. Таким образом,
= F(a, p,
Перейдем здесь справа к пределу при т -л оо. Из равномерной, относительно т,
сходимости ряда F(a, /3, у + т, 1) следует [433], что его сумма стремится к 1.
Таков же будет предел и множителя
Г(у + /И- а) • Г(у + т-/3)
Г(у + /я) • Г(у + т-а-р)'
так как он представляет собой остаточное произведение для сходящегося,
в силу 5), произведения
оо
1Ш
(у - а + п)(у - /3 + п)
и=1
В таком случае выражение C2) оказывается равным 1, а это равносильно
формуле Гаусса.

840	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[538
Из этой формулы теперь можно, при у = 1, а = /3 = — j, получить разло-
разложение
• 1 -3-5\2	_ 1 _ 4
можно доказать и более общий результат, что сумма биномиальных коэффициен-
коэффициентов, отвечающих показателю т бинома, при т > — i, равна
Раньше мы это сделать не могли из-за ограничения а > 0.
8) Распространение Г (а) на случай отрицательных а. По формуле (9),
так что значение Г (а) определяется через значение Г (я + 1). Если — 1 < а < 0,
то я + 1 > 0, и Г (а + 1) имеет смысл. Определим Г (а) по предыдущей
формуле; таким образом, определение функции Г (а) распространено и на слу-
случай — 1 < а < 0. Вообще, если —п< а < —{п — 1), то, распространяя на этот
случай формулу A0), определим Г (а) равенством
(зз)
Если для большей отчетливости положить здесь а = —п-\- а, где 0 < а < 1,
то определение это перепишется так:
Г(а -п) = (-1)и	 Г(а) 	-.	C4)
A -а)B-а)...(и-а)
Отсюда сразу видно, что знак Г (а) для —п< а < —(п— 1) дается множите-
множителем ( — 1)". При приближении а к —п или — (и — 1) [т. е. при приближении а к 0
или к 1] Г (а) обращается в оо (первого порядка!).
9)	Предлагается, основываясь на 8), обобщить на случай любых веществен-
вещественных значений аргументов формулы G), (9), A5), B0), B6), C0) (избегая лишь
целых отрицательных и нулевого значений аргументов).
Указание. При распространении формулы C0) учесть равенство C3).
Если воспользоваться распространением Г (а) на случай отрицательных а, то
и формула Гаусса, о которой речь была в 7), окажется верной при единствен-
единственном предположении: у — а — /3 > 0, которое необходимо для сходимости самого
ряда F(a,p, у, 1) [378,4)].
10)	Основываясь на формуле C4), доказать, что, при изменении а от 0 до 1,
Tf(a — п) однажды (скажем, при a = an) проходит через 0, меняя знак ( — \)п
на ( — 1)". При соответствующем значении a = an — n функция Г (а) имеет, таким
образом, положительный минимум (при п четном) либо отрицательный максимум
(при п нечетном). См. график функции Г на рис. 64.

538]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	841
Предлагается доказать также, что (при возрастании п) как ап, так
и Гп = \Г(ап — п)\, монотонно убывая, стремятся к 0.
Указание. Основанием для этих заключений служат равенства
@ < а < 1):
|Г(а-я
п+ 1 — а
|Г(а-л)|' , \Т{а-п)
11) Доказать, что при — п < а < — (п — 1) функция Г (а) выражается инте-
интегралом
ГУ")
2	и-1
Указание. Применить интегрирование по частям [см. 8)].
12) В главе XI [402, 10)], исходя из определения функции Г (а) формулой
Эйлера —Гаусса G), — и притом сразу для любых вещественных значений
аргумента (исключая нуль и целые отрицательные числа) — мы установили неко-
некоторые простейшие свойства этой функции [см. также 408]. То же можно сделать
и по отношению к другим изученным свойствам.
Точно так же отправной точкой для изучения функции Г (а) при любых ве-
вещественных а (за теми же исключениями) может служить ряд
D2\nT(a) = ^ l
при дополнительных условиях ГA) = ГB) = 1.
13) Наконец, отметим, что функция Г (а) может быть определена как одно-
однозначная аналитическая функция во всей плоскости комплексной перемен-
переменной а.*^ Это может быть сделано, исходя из самого интегрального определе-
определения F), если разбить
1
/ на два / + / = р(а) + (?(<*)•
*) Это последнее замечание о распространении функции Г может быть понято
лишь теми, кто знаком с основными понятиями и терминами теории функций
комплексной переменной.

842	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[539
Тогда функция
ха-Хе~х dx = / ха~Х У blli_ dx =
/г
ха-Хе~х dx = / ха~Х
0
естественно распространяется на всю плоскость комплексной переменой как ме-
роморфная функция с простыми полюсами в точках 0,-1, —2, . . ., —п, . . ., ко-
которым отвечают вычеты 1, — 1, ^, . . ., ( —1)wj-j, • • • Функция же
оо
Q{a)= fxa-le
имеет смысл и при комплексных значениях а и представляется целой функцией.
Свойства функции Г (а), доказанные для положительных вещественных значе-
значений аргумента, автоматически распространяются на всю плоскость, по известной
теореме об аналитических функциях (мы имеем в виду свойства, выражаемые
равенствами между аналитическими функциями). В частности, из формулы до-
дополнения A5), которую можно написать как:
—	 = - sin а ж • Г (а) = - sin сиг\Р(а) + Q(a)] *\
ГA — а) ж	ж	L	J
явствует, что ^щ голоморфна во всей плоскости. Таким образом, Г (а) не имеет
корней.
В заключение упомянем, что как формула Эйлера —Гаусса G), так
и формула Вейерштрасса C0) с успехом могут быть положены в основу
определения функций Г (а) сразу во всей плоскости.
539. Вычисление некоторых определенных интегралов. Обратимся к рас-
рассмотрению некоторых интегралов, при вычислении которых используются функ-
функция Г (а) и ее свойства.
1) Дифференцируя по а формулу
оо
f
0
мы получили в 1° [531] формулу (8):
е х In x dx.
*)
В тех точках, где Р{а) имеет полюс, ътал обращается в нуль.

539]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	843
Полагая здесь а = 1, так как Г;A) = — С, получим:
оо
О
Подстановка х = — In и приведет к любопытному интегралу:
1
/
\n(-\nu)du= -С.
О
Если взять а = ^ и положить х = t , то найдем:
оо
/¦
О
как это легко получается из разложения B7) — с учетом логарифмического ряда.
Повторяя дифференцирование по а, мы пришли к равенству (8;):
оо
"(а)= f xa-Xe-x\n2
При а = 1 оно дает нам:
оо
/¦
6
О
Последний результат получается из B8), если при этом воспользоваться извест-
°°	л-2
ным рядом J2 "Г = IP Наконец, полагая и здесь а = j, с помощью подстанов-
подстановки х = ^ получим еще такой интеграл:
7 -t2 2 лД
е In t dt =
и т. д.
2) Вычислить интеграл	оо
J:
О
где /? есть рациональная дробь с нечетными числителем и знаменателем.
Указание. Воспользоваться формулой Лобачевского [497, 14)]; в со-
согласии с ней,
fs^xdx
О
[См. 532, 4), (б).] Ош?б?т: J = Щ- (+L = 2Р~
f
J =
о

844	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[539
3) Вычислить интегралы (Ъ > 0):
оо	оо
/cos 6* f sin 6*
	dx, B = / 	dx.
Xs J Xs
оо
0	0
@ < s < 1)	@ < s < 2)
Имеем [см. A3)]:
оо	оо
dz, так что А = 	 / cos bxdx I zs e zx dz.
0
Переставив интегрирования, получим
оо	оо
A = -L
или, полагая b2t = z2,
A =
2T(s
0
21 (s) sin ^y~ ж 21 (s) • cos —
[cm. D), E)]. Аналогично,
В = —-———.
Обоснование перестановки интегралов проводится так же, как и при вычи-
оо
слении интеграла J ^^ dx в 524, 11).
О
4) Вычислить интегралы
оо	оо
[ sin*	[ sin* 2 ,
/ 	\nxdx, / 	In xdx.
J x	J x
0	0
Согласно 3), интеграл @ < s < 2)
оо
J =
/sin*
	dx
X*
О
Дифференцируя его по параметру s (пользуясь правилом Лейбница),
найдем:
оо
/sin* ж 1	г ,/ ч 5л- л- , ч	5л-1
— In* ^* = - .	-2 Г;(.) . sin — + - F(s) • cos — .
х 2 [Г(^ . sin^r]2 I	2 2	2 J

539]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	845
Применение правила Лейбница оправдывается равномерной сходимостью
полученного интеграла относительно s как при * = оо (для s ^ s0 > О
[см. 515, 4°]), так и при * = 0 (для s < s1? мажоранта | ln*| : Xs±~1). Продиф-
Продифференцировав полученное равенство еще раз (что обосновывается аналогично),
найдем:
оо
/sin * 2 я f//\ sjt л	sjt л^
	 -In х dx = 	~ < Г (s) sin	1	T(s) cos — > —
*' [r(,).sinf]3^ 2 2	2J
Полагая в обоих равенствах s = 1, найдем значения искомых интегралов
^1пхЛ = ^-Г'A),
Учитывая, что [ср. 1)] Г'A) = — С, Г"A) = С2 + ^-, окончательно бу-
"
дем иметь:
ОО
	In* etc = -- • С, / 	In
^с 2 J х
О О
5) Мы имели уже [см. 534, 4), (б)] формулу
ж.
/81Г
(а + ту
О
Дифференцируя по а [с применением правила Лейбница, 520], получим
/• 2а-\ I-/	^	V^"	Г(а)
sm (р • In sm ф d(p = - •		 • —г	=-г
2 2 Г (а + A) l аа	аа	л
О	V	J
Если воспользоваться формулой Гаусса B5), то выражение в скобках перепи-
перепишется в виде
)ta-\_ta-l
dt.
1 -t
О

846	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[539
Положим теперь 2а — 1 = 2п, где п — любое натуральное число или нуль, и сде-
сдевк
f
лаем подстановку t = и . Тогда получим
яп
о	о
При п = О эта формула дает уже известный результат:
f
In sin cp dcp =	In 2.
О
При п ^ 1 мы приходим к новому интегралу
f
" . 2/i	•	л- Bи - 1)!! /11	1
2 B^)!! V 2 3 ' ' ' 2п
о
6) Вычислить интегралы {а > 0, /? > 0)
оо	оо
и= I e~axxp~l cos bxdx, v= f e~axxp~l sinbx dx.
0	0
Решение проводится аналогично 8), 523. Для функции w = и + vi от b, как
и там, получается дифференциальное уравнение
dw	p
db	а2 + Ь2
которое можно переписать в виде:
{b — ai)w,
dm	i
— = pw
db	a — bi
Легко проверить, что — в силу этого уравнения —
w • (а — Ы)р = с = const. *^
Полагая здесь b = 0, находим, что с = Г(/?). Таким образом,
Т[р) , ^,..р
Т(р)
(	Ъ	Ъл
¦ < cos p arctg —\- i sin p arctg — >.
l	a	a)
*^ Под (а d= bi)p здесь и ниже мы разумеем ту ветвь степенной функции,
которая при Ь = 0 обращается в положительное вещественное число ар.

539]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	847
Приравнивая порознь вещественные и мнимые части, получим наконец:
Г(/?) Г(р)
и = 	-р cos рб, v = 	-р smpO,
где для краткости положено: 0 = arctg ^.
Заменяя у'а2 + б2 через ^-^ или через ^-^, можно переписать результат
в виде
sir/ 0 cos рв = 	cos77 0 cos рв,
sir/ в cos рв
ЬР	аР
Предлагается получить отсюда интегралы А и В задачи 3), полагая р = 1 — s
и устремляя а к 0 (при Ь > 0 угол в = arctg | будет тогда стремиться к ^).
Дифференцируя по р интегралы и, v, можно получить ряд новых интегралов;
предоставляем это читателю.
7) Найденные для интегралов и, v значения позволят нам вычислить другие
интересные интегралы. Умножим обе части равенства
Г(Р)
оо
os^ в • cosрб = / а~аххр~ cosbx dx
cos2 0
(считая 0<д<рид<1)и проинтегрируем слева по 0 от 0 до ^, а справа
по 6 от 0 до оо * ^. В результате получим
2	оо	оо
cos^" ^•sin'7 6• cosp6d6 = 	 / bq~l db I e~axxp~l cosbx dx.
0	0	0
Если переставить справа интегралы, то это сразу приведет к вычислению инте-
интеграла Jx\
оо	оо
h = 7^73 J e x dx J -?TT db'
о	о
Из 3) легко установить значение внутреннего интеграла: Г(д) cos ^j-x~q, так что
оо
^-«TX^cosf i _ax p_q_x
I —ax
je x
*)
Связь между переменными b и в дается формулой b = а • tg# {a = const).

848	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[539
и окончательно
'-1 • sin^1 в • cos рв dO = У1/^, ±J cos ¦
0
Аналогично можно вывести:
ж.
J7 = cosp~q~ 0 • sin^~ 0 • sin рв dO = ————	— sin ¦
J	Г(/7)	2
0
Покажем теперь, как обосновать перестановку интегралов, без чего, разуме-
разумеется, результат не может считаться установленным. Так как интеграл
ос
/
xp-le-axbq-1 cos bxdx
О
сходится равномерно для 0 < Ъ§ ^ Ъ ^ В < +оо, то
В	оо	оо
[ bq~ldb f xp-le~ax cos bxdx= f e~axxp-1 dx f bq~l cos bx db =
b0	°	°	^0
oo	Bx
= f e-axxp-q-ldx j и"'1 cos и du.
Ввиду существования интеграла J uq cos и du, внутренний интеграл
0
при b0 —>> 0 и В —>> +оо стремится к нему, оставаясь ограниченным:
Вх
uq • cos и du
\
bQx
так что все подинтегральное выражение мажорируется функцией
и предельный переход при Ъ§ -л 0 и 5 ч+оо допустим под знаком интеграла
и т. д.
8) Положим
} \-хг
= /
} \х
=D\nT(t) = / 	dx -С
О

539]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	849
[см. B5)]. Тогда
1
dx = il>(q+ 1) - ф(р + 1)
— х
О
(при р + 1 > 0, q + 1 > 0).
Заметив это, рассмотрим интеграл
1
J=	^^	—dx (а > -1, /3 > -1, а + /3>-1).
7 A-*Iп*
0
Его производная по а
1
dJ	fxa(\-xP
— = - —л
da	J 1 — x
0
Поэтому
Так как J = 0 при а = 0, то необходимо С = 1пГ(/3 + 1), следовательно,
_ Г(а+1)Г03 + 1)
Аналогично находятся интегралы
1
f xa(\-xf3)(\-xy) 1 1 Г(а + у + 1)Г(а + уб +1)
К = 	 л- — 1~
У	A — jc) lnjc
о
(а > -1, а + Р > -1,
1
A -jc)lnjc
0
Г(а + 1)Г(/3 + 1)Г(у + 1)Г(а
-y + ij
и т. п.
Если в интеграле К взять у = ^, а = ^ — 1, уб = ^^- и сделать подста-
подстановку х = t , то придем к интегралу
1
/ 	dt = \п-
(a,6 > o).

850	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[540
При Ъ = 1 — а отсюда получается любопытный интеграл
1 ta~l - Га	ал
dt = lntg— @ < а < 1).
A +t)\nt	° 2
0
Приведенных примеров достаточно, чтобы показать, насколько расширяют-
расширяются наши возможности представления интегралов конечной формулой благодаря
введению функции Г. Даже в тех случаях, когда конечная формула не содер-
содержит иных функций, кроме элементарных, получение ее все же часто облегчается
использованием функции Г, хотя бы в промежуточных выкладках.
540. Формула Стирлинга. Обратимся теперь к выводу удобных приближен-
приближенных формул для In Г (а) и к вопросу о вычислении значений этого логарифма
(и самой функции Г).
Отправной точкой нам будет служить формула B4) для логарифмической
производной Г:
оо
Ле~х е~ах \
	)dx.
х \-е~х)
0
Так как подинтегральное выражение представляет собой непрерывную функ-
функцию от обоих аргументов х и а при х ^ 0 и а > 0 (при х = 0 в этом можно
убедиться разложением в ряд), а при х = оо интеграл сходится равномерно от-
относительно а для а ^ uq > 0 — мажоранта
х \-е~х
— то можно проинтегрировать по а, от 1 до а, под знаком интеграла:
оо
Ле~х — e~axi dx
{а-\)е-х-—	— — (я>0).
1 — е~х J х
0
Изменяя знак переменной интегрирования, перейдем к промежутку [—оо, 0]:
0
I6 х ~6 -(а- \)ех] —.	C5)
— оо
И этот интеграл сходится равномерно при х = — оо для 0<<20 ^ а ^ А < +оо;
проинтегрируем снова по а, от а до а + 1, под знаком интеграла
а+1	0
R{a) = / 1пГ(д) da = \-	^	(а	)е*1 —.	C6)
а	—оо
Мы используем полученный интеграл, равно как и элементарный интеграл
Фруллани [495]:
оо	0
1	[е-х- е~ах dx	[ еах - ех	dx
-\па= /	 * — = / 	т.		' —, 37
2	J 2 х	J 2	х

540]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	851
для упрощения выражения C5). Именно, вычитая из него C6) и прибавляя C7),
получим:
1	Г Г 1	1 Ueax dx
1пГ(а) - R(a) + Una =
2
[
J
2	/ Vex - 1 х 2\ х
Полагая, для удобства,
и подставляя вместо Я (а) известное уже нам выражение A9) интеграла Раабе,
получим
1пГ(я) = 1пл/2^г+ (а	\\па - а + а>(а).	C9)
В главе XII [441, 10)] мы имели разложение на простые дроби гиперболиче-
гиперболического котангенса:
1
cthjc = - +
1	°°	О
1 ^-^ 2х
х ^ х2 + к2ж2'
к=\
действительное для всех значений х ф 0. Заменяя здесь х на |, можно преобра-
преобразовать его к виду [ср. 449]:
х	х	у—^ 2х
+1+ч
^-12	^ х2 + 4к2я2
или, наконец,	к~1
1/1	1 1	^
1	1 1\ ^	1
^Т - ~х + 2 =22.,2 + 4^2-
^1
В лице /(*) мы узнаем функцию, входящую в подинтегральное выражение C8).
Фиксируем любое неотрицательное целое число т и заменим каждый член
ряда тождественной ему суммой
1	1	х2	х4
2я2 4к2я2 Dк2ж2J Dк2ж2K '"
2т—2	2т
" К Ч Dк2ж2)т {	Dкж)	х , ^_
4к2ж2
Суммируем отдельно слагаемые вида
оо
при к = 1, 2, 3, . . . Полагая, как обычно, у, ~Y~ = S2n> получим результат
кП
к=\ к
\п-\ 1	2п-2
если ввести ^-е число Бернулли [449]:

852	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[540
то этот результат перепишется так:
A)	х
К ' 2 ¦ B«)!
2 I
Что же касается последних слагаемых, снабженных множителями (l + 4^2) >
представляющими положительные правильные дроби, то, суммируя их, придем
к члену
т 75"	/и+1	2т
(-1Г -в
• X
2Bт + 2)!
где в также есть положительная правильная дробь.
Окончательно получим такое выражение для f(x):
2! 4!	6!
v '	B« + 2)!
Подставив это в C6), проинтегрируем почленно. Так как
О	оо
е~ахх п dx =
О
/ eaxxlndx =
-оо
О
/ах 7Т 2т j	^ I ах 2т
е -в-, dx=0- J е Х
и
О	О
dx=6- -^-	@
— оо	—оо
то находим, что
Вх 1 В2 1 В3 1
1-2 а 3-4 о} 5-6 а5
D	1
+
B/я - 1) . 2/я а2^-1
^±1	J— @<6< 1).
+ 2) a2m+l V	У
Наконец, если в C9), вместо со (а), подставить полученное выражение, то мы
придем к формуле:
1пГ(д) =lnV2jr+ (а	Iпа - аН	 •	— • -г- + . . .
V 2/	1 • 2 а 3 • 4 aJ
+
B/я - 1) • 2/я а2^-1
D	1
)w^^(О<0<1), D1)
носящей имя Стирлинга (J. Stirling).
*)
Обращаем внимание читателя на то, что в зависит от х, а в — нет.

541]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	853
В простейшем случае при т = О формула принимает вид
1пГ(я) =1пл/2^г+ (а	)\па -а -\		@ < в < 1).
Если, отбросив дополнительный член (содержащий множителем в),
продолжить ряд членов в формуле до бесконечности, то получится так называ-
называемый ряд Стирлинга:
1 \ /? 1 /? 1
--\Ыа-а + -±-	_L ._ + ...
2/	1 • 2 а 3 • 4 а5
" V У B/я - 1) • 2/я а2^-1
Этот ряд будет расходящимся. Действительно, ввиду D0), абсолютная
величина общего члена ряда Стирлинга при п —>> оо
Д„	1 = 1 Bп - 2)!
Bя - 1J/1 ' а2"-1 ж ' BжаJ«-1 Sln °°'
Тем не менее этот ряд очень полезен для приближенного вычисления функ-
функции In Г (а), являясь ее асимптотическим представлением и в то же
время обвертывая ее. Мы уже сталкивались как с формулой, так и с рядом
Стирлинга для 1п(«!) [см. 469, B6) и B7)]. Только что полученные разло-
разложения имеют более общий характер. Если пожелать вывести из них прежние
результаты, то следует положить а = п и, кроме того, прибавить еще In и, так
как Г (и) = (п — 1)!, а не и! И в рассматриваемом общем случае также, потен-
потенцируя [464, 3°], можно получить асимптотическое разложение для самой функ-
функции Г (а) [см. 469].
541. Вычисление эйлеровой постоянной. Вернемся к формуле C9), которую
продифференцируем по а:
0
f{x)dx.
D\nF(a) = \na - — + со'(а), где со'(а) = / хеш
2a	J
— oo
Повторяя прежние выкладки, получим
+ (_1)»+V_E2!±L. I	(O<0'<1).	D2)
2w + 2 alm+l
Отсюда и приходим к асимптотическому разложению
Dlnr(fl) ^lna + — --I.- + -2. --... + (-1)" -ii ._ + ...
2а 2 а1 4 я4	2я я2"
Формально оно может быть получено почленным дифференцированием ряда
Стирлинга \
*' Таким образом, в данном случае оказалось допустимым почленное
дифференцирование асимптотического разложения [ср. замечание в п° 464].

854	ГЛ. XIV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	[542
Из выведенной формулы D2) можно извлечь удобный прием для вычисления
эйлеровой постоянной С
Полагая в формуле Гаусса B5) а равным натуральному числу к, найдем
} 1 - tk~l
С= 	dt-D\nT{k).
о
Но
к-2
1 -t
так что
1
_tk-l
= 1 + t + . . . + f
О
Используя формулу D2) при а = к, окончательно получим
1	1	1111
С= И	h... H	ln&H	Ь
2 '"¦¦'* - 1	2fc 12*2 120/fc4 252/fc6
240?8 '" v v 2я ?2« v '	2n + 2
По этой формуле, взяв к = 10 и вычисляя члены вплоть до содержащего к ,
Эйлер нашел значение С с 15 знаками:
С= 0,577 215 664 901532...
542. Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г. Укажем
вкратце путь для составления упомянутой таблицы.
Вернемся к формуле B7), которую, заменяя а на 1 + а, напишем в виде
<ПпГA + а) _	у>/1	1
da	~	^li fl +
Последовательным дифференцированием придем к формуле для п-и производной
= (-!)>-
dan	v J v	J ^ {a + ?)и
(равномерная сходимость получаемых рядов оправдывает почленное дифферен-
дифференцирование).
Таким образом, находим коэффициенты ряда Тейлора:
l[rf"lnrA+a)l =(-!)" fl, где ,, = fi.
w! L <iaw	J o=o	n	^ kn
k=\
Тогда для \а\ < 1 будем иметь:
1пГA + а) = — Са -\—s2a	s3a -\—s4a — ...
А	Э	т"

542]	§ 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ	855
Так как числа sk (особенно для больших к) близки к 1, то выгодно прибавить
почленно разложение (также справедливое для \а\ < 1)
1пA + а) = а	а2 + - а3	а4 + . . . ,
2	3	4
что дает нам
1пГA + а) = — 1пA + а) + A — С)а + - (s2 — 1)я2	(^3 — 1)«3 + . . .
Умножив на модуль М ' и полагая
МA-С)=С1, \m(s2-\)=C2, Im(,2-1)=C3,
получим
Заменяя а на —а, вычтем получаемое разложение
lgT(l - а) = -lg(l - а) -Сха +С2а2 +С3а3 +С4а4 + . . .
из предыдущего. Так как, по формуле дополнения,
и
sin а ж
то найдем:
lgr(l +а) = ^lg-^ - Ilgi±^ +Cla -С3«3 -С5а5 - ... D4)
2 ыпая 2 1 — а
Лежандр дал значения коэффициентов Сп (для п ^ 15) и их логарифмы
и вычислил с помощью формул D3) и D4) десятичные логарифмы Г (а) для а
от 1 до 2 через 0,001, сначала с 7, а затем и с 12 десятичными знаками.
Заканчивая этим изучение функции «Гамма», мы видим, что,
исходя из ее представления с помощью интеграла, содержащего
параметр а, мы не только ознакомились с глубокими ее свойствами,
но и научились вычислять ее. Новая функция эта является в такой
же мере освоенной нами, как и элементарные функции.
^ См. сноску на с. 695.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелевы интегралы 92
Абель 318, 321, 568
Абеля лемма 335
—	подстановка 75, 657
—	преобразование 334, 341, 437
—	признак равномерной сходимости
ряда 465
	сходимости интеграла 609
	ряда 336
—	теорема 357, 431, 558
Абеля-Пуассона метод обобщенного
суммирования рядов 435, 444
Абсолютно интегрируемая функция 608,
633
—	сходящееся произведение 389
—	сходящийся несобственный интеграл
608, 633
	ряд 324, 389, 554
	, переместительное свойство
344, 362, 389, 554
	, умножение 350, 554
Адамар 329
Аддитивная функция промежутка 248
Аддитивность объема 224
—	площади 208
Алгебраическая часть интеграла,
выделение 74
Амплитуда 278
Аналитическая функция 488, 489, 530,
539, 543
Аргумент комплексного числа 551
Арксинус, главное значение 567
—, степенной ряд 496, 506, 544, 567
Арктангенс, главное значение 566
—, степенной ряд 401, 496, 566
Архимедова спираль 193, 221
Арцела 470, 476, 800, 802
Асимптотический ряд 578, 700, 853
	, действия 579
	, дифференцирование 583, 853
	, единственность 579
Асимптотический ряд, интегрирование
582
	, потенцирование 581
Астроида 193, 203, 204, 223, 232, 241
Ъарроу 16
Бернулли Иоганн 105
Бернуллиевы числа 534, 585, 757
Бертрана признак 307
Бесконечно малых элементов
суммирование 244, 251
Бесселевы функции 377, 503, 508, 764,
791
Бесселя дифференциальное уравнение
508, 727
Бета-функция 808
—, рекуррентная формула 809
—, связь с гамма-функцией 814
—, симметричность 808
Биномиальный дифференциал,
интегрирование 57
— ряд 405, 491, 507, 527, 568
Био и Савара закон 268, 603
Бонне формула 132
Бореля метод обобщенного
суммирования рядов 446
Буняковского неравенство 168, 637
Валлиса формула 159, 384, 404, 410,
662, 759
Ван-дер-Варден 518
Варианта комплексная 552
	, предел 552
Вейерштрасс 460, 518, 528
Вейерштрасса формула 394, 512, 834,
838
Вивиани кривая 205, 246
Виета 384
Винтовая линия 205
Вороного методы обобщенного
суммирования рядов 442
Выделение алгебраической части
интеграла 74

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
857
Выделение рациональной части
интеграла 48
Вычисление интегралов:
ж
/ln(l — 2r cosx + r2)dx 135, 153, 503,
о
726
ж
Jin sin х dx 660, 665, 782, 846
о
Je~x2dx 660,759,775,816
о
oo
Je~x cos2bxdx 755,782
о
oo
f ^dx 662, 670, 773, 799
о
oo
/ frjfl dx 760> 776> 785> 797> 798
0
oo
Г ?|Н^? dx 116, 785, 797
0
/ т^ ^x 753' 772
0
oo	oo
J sinx2dx, J cosx2dx 111, 785
0	0
Вычисление определенных интегралов,
дифференцирование по параметру
725, 726, 772, 777, 779, 842
	, интегральные суммы 133, 663,
666
	, интегрирование по параметру
732, 775, 777, 778, 788, 815, 847
	, — по частям 144, 650, 681,
683, 686
	, искусственные приемы 659,
670, 672
	, основная формула
интегрального исчисления 137,
599, 628
	, подстановка 149, 157, 654,
660, 680, 681, 824
	, предельный переход по
параметру 758, 773, 775, 778, 792,
848
	, разложение в ряд 496-506,
662, 678, 722-724, 751-765
Гамма-функция 393, 811
—, Вейерштрасса формула 394, 834
—, Гаусса формула 832
Гамма-функция, график 814
—, дополнения формула 410, 816
—, Коши формула 831
—, Лежандра формула 819, 833
—, логарифмическая производная 512,
830, 834
—, максимумы и минимумы 813, 840
—, определение ее свойствами 819, 821
—, Раабе интеграл 818
—, распространение 840
—, рекуррентная формула 394, 813
—, Стерлинга формула и ряд 852, 853
—, таблицы логарифмов 854
—, Эйлера произведение 816
—, Эйлера-Гаусса формула 394, 812,
823, 835, 841
Гармонический ряд 290, 294, 297, 318
Гаусс 308, 733, 829
Гаусса признак 308
—	формулы 155, 832
Гаусса-Эйлера формула 394, 812, 823,
835, 841
Гёльдера методы обобщенного
суммирования рядов 446
Гипербола 195, 216
Гиперболические подстановки 32
—	функции, сопоставление с
тригонометрическими 217, 565
Гипергеометрический ряд 308, 326, 392,
509, 829
Гипергеометрическое
дифференциальное уравнение 509
Гипоциклоида 203
Главное значение аргумента
комплексного числа 551
	арксинуса 567
	арктангенса 566
	логарифма 566
	несобственного интеграла 638,
641
	степени 568
Гладкая кривая 213
—	поверхность 226
Гольдбах 370
Гуль дина теоремы 253, 256
Даламбера признак 299, 306, 325, 554
Дарбу 108
—	интегралы, верхний и нижний 111
	как пределы 118
—	суммы, верхняя и нижняя 108

858
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Дарбу теорема 118
Двойной ряд 363, 489
Декартов лист 222
Дзета-функция 292, 316, 395, 508, 828,
837
Дини 318, 320, 321
—	теорема 468
	, обобщение 707, 749, 766
Дирихле 317, 815, 827
—	признак сходимости интеграла 610
	равномерной ряда 465
	ряда 336
—	разрывный множитель 682, 689, 798
—	ряды 338, 490, 507
—	функция 117, 118, 627
Дифференциальное уравнение 270
	Бесселя 508, 727
	гипергеометрическое 509
	, составление 279
Дифференцирование интеграла по
верхнему (нижнему) пределу 129,
647
	по параметру (дифференциро-
(дифференцирование под знаком интеграла) 712,
718, 721, 765, 806
—	ряда, почленное 486, 558
Длина кривой 186, 188
	, выражение интегралом 187
	, производная 186
—	пространственной кривой 204
С (число), трансцендентность 161
Ермакова признак 313
5Кивой силы закон 259
Зайдель 460
Знакопеременный ряд 330
	, оценка остатка 332
Инерции момент плоской фигуры 266
	тела 267
Интегралы, не выражающиеся в
конечном виде 39, 58, 90, 94, 102,
497
Интегральная сумма 108
	, верхняя, нижняя 108
Интегральный косинус 91, 612, 689, 702
—	логарифм 90, 640, 700
—	признак Маклорена-Коши 310
—	синус 91, 612, 689, 702, 764
Интегрирование биномиальных
дифференциалов 57
—	в конечном виде 39
—	по параметру (интегрирование под
знаком интеграла) 715, 721, 769,
806
—	по частям 33, 143, 650
—	подстановкой (путем замены
переменной) 25, 148, 157, 650
—, правила 20
—	простых дробей 40
—	радикальных выражений 55, 56, 62,
73, 572
—	рациональных выражений 47
—	ряда почленное 486, 721, 751, 764
—	тригонометрических и показательных
выражений 81, 90-92, 571
Интегрируемая функция 107
	, классы 112
	, свойства 114
	 с квадратом 637
Интегрируемость предельной функции
475, 710
Интерполирование параболическое 172
Канторович 692
Кардиоида 195, 204, 221, 241
Каталана постоянная 185, 499, 790
Квадратура 17
Квадрируемая фигура 207
Квадрируемости условие 207, 209, 212
Квазиравномерная сходимость 470
Кеплера уравнение 548
Кнопп 340
Комплексная варианта 552
—	переменная, функция от нее 554,
560, 562, 564, 568
—	плоскость 550
Комплексное число 549
	, аргумент 551
	, вещественная часть 550
	, действия 550
	, мнимая часть 550
	, модуль 551
	, тригонометрическая форма 551
Конус круговой 230, 265, 267
Корень из комплексного числа 552
Корни из вещественных чисел,
вычисление 416
Косинус, аналитическое определение
516
—, бесконечное произведение 410

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
859
Косинус в комплексной области 564
—	гиперболический, бесконечное
произведение 411
	, степенной ряд 400
—, степенной ряд 400, 564
—, — ряд для логарифма 537
Котангенс гиперболический, разложение
на простые дроби 512
—, разложение на простые дроби 511
—, степенной ряд 523, 537, 565
Коши319, 543, 638
—	признаки 298, 317, 606, 631
—	теорема 350, 356
—	формула 352
Коши-Адамара теорема 329
Коши-Гёльдера неравенство для
интегралов 167
	рядов 321
Коши-Маклорена признак 310
Кратный ряд 382
Кубируемое тело 224
Куммера преобразование рядов 422
—	признак 305
Лагерра (Чебышёва) многочлены 652
Лагранжа ряд 545
Ламберта ряд 340, 372
Ландау 339
Ландена преобразование 157
Лаплас 549, 755, 776, 777, 785
Лежандр 102, 729, 757, 808, 811, 855
Лежандра многочлены 151, 163, 531,
549, 573, 723
—	формула 819, 833
—	функции К(к), Е(к) 156, 183, 195,
237, 248, 278, 385, 504, 728, 790,
827
	F(k, ф), Е(к, ф) 103, 129, 195
Лейбниц 16, 105, 428
Лейбница и Ньютона теорема 16
—	правило 712
—	теорема 330, 337
Лемниската 196, 222, 241
Лиувилль 102
Лобачевский 663
Лобачевского формулы 684, 724
Логарифм комплексного числа 562
Логарифмическая спираль 193, 203, 204
—	функция в комплексной области 562
	, степенной ряд 401, 492, 496, 523,
544, 563
Логарифмы, вычисление 414
-Мажорантный интеграл 738
—	ряд 463
Мажорантных рядов метод 543
Маклорена-Коши признак 309
Маркова преобразование рядов 425
Маятник математический 276
Мертенса теорема 357
Механическая работа 258
Минковского неравенство 321, 637
Многозначные функции комплексной
переменной 554, 562, 566, 568
Множитель сходимости 774, 778
Моавра формула 407
Модуль комплексного числа 551
—	перехода от натуральных
логарифмов к десятичным 415
—	эллиптического интеграла 103
Момент инерции плоской фигуры, тела
267
Мэшина формула 413
Направление в промежутке 120
Натуральное уравнение кривой 199
	эволюты 204
Натуральный логарифм комплексного
числа 562
Начальное значение величины 15
Начальные условия 15, 270
Неабсолютно сходящееся произведение
389
—	сходящийся интеграл 609, 611, 615,
633
	ряд 325, 332, 367, 557
Неопределенный интеграл 11
	, геометрическое истолкование 15
	, свойства 13
	, существование 129
	, таблица 18
Неопределенных коэффициентов метод
46, 50, 74, 100, 509, 528, 532
Непрерывная функция без производной
518
Непрерывность интеграла по параметру
711,717,721,765
—	предельной функции 455, 707
—	суммы ряда 467
	степенного ряда 482, 485
—	функции комплексной переменной
555
Неравенства для интегралов 166
	рядов 321

860
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Неравномерная сходимость интеграла
736, 742
	последовательности, ряда 458, 484
Неравномерности точки 461, 482
Несобственный интеграл от
неограниченной функции 624
	с бесконечным пределом 597, 627
	сходящийся, расходящийся 597,
624
	, аналогия и связь с рядами
603, 633, 768
	, признаки сходимости 606, 609,
631
	, свойства 645
	, условия существования 607,
630
Нечетная функция, интеграл по
симметричному промежутку 151
Неявные функции 513, 539
Ньютон 16, 274, 405
Ньютона-Лейбница теорема 16
	формула 137
Обвертывающий ряд 577, 588, 594,
701, 853
Обратные тригонометрические функции
см. Арксинус и Арктангенс
Обращение степенного ряда 543, 547
Объем тела 224
	, аддитивность 224
	, внутренний, внешний 224
	вращения 229
	, выражение интегралом 227
	как предел 225
	по поперечным сечениям 227, 229
	, условие существования 224, 225
Определенный интеграл в собственном
смысле 107
	, вычисление с помощью
интегральных сумм 133
	,	первообразной 137
	, свойства 121
	, схема применения 248
	, условия существования 111, 117,
119
Ориентированный промежуток 120, 645
Основная последовательность
разбиений промежутка 107
—	теорема алгебры 733
—	формула интегрального исчисления
136, 140, 142, 599, 628
Особая точка функции 624, 627
Особенности, выделения при
вычислении интегралов 692, 697
Остаток ряда 287
Остаточное произведение 385
Остроградского метод выделения
рациональной части интеграла 48
—	формула 49
Ось вещественная 551
—	мнимая 551
Оценка остатка ряда 312, 332, 411
Парабола 17, 192, 218, 256, 258
Параметр 704
Первообразная функция 11
	, восстановление с помощью
определенного интеграла 143, 629
Переместительное свойство абсолютно
сходящегося произведения 389
	ряда 344, 362, 554
Перестановка двух предельных
переходов 480, 708
Периодическая функция, интеграл по
периоду 152
jt (число), приближенное вычисление
412
Площадь криволинейной трапеции 213
	как первообразная 16
	предел суммы 104
—	плоской фигуры 207
	, аддитивность 208
	, внутренняя, внешняя 207
	, выражение интегралом 213
	как предел 209
	, условия существования 207,
209,211
—	поверхности вращения 237
—	цилиндрической поверхности 243
Повторный ряд 359
Подинтегральная функция 13
Подинтегральное выражение 13
Подстановка (замена переменной) 25,
148, 157, 653
—	Абеля 75
—	гиперболическая 32
—	дробно-линейная 77, 95
—	ряда в ряд 524
—	тригонометрическая 32
—	Эйлера 62, 65
Показательная функция в комплексной
области 560
	, связь с тригонометрическими
функциями 560, 565

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
861
Показательная функция, степенной ряд
399, 491, 493, 507, 560
Последовательных приближений метод
513
Почленное дифференцирование ряда
476, 558
—	интегрирование ряда 473, 721, 751,
764
—	умножение рядов 349, 357, 364, 441,
495, 554
Почленный переход к пределу 471, 556
Правильная дробь, разложение на
простые 23, 42
Предел интеграла по параметру
(предельный переход под знаком
интеграла) 481, 710, 720, 747, 750,
803, 805
—	функции комплексной переменной
555
Пределы интеграла, нижний и верхний
107
Предельная функция,
дифференцируемость 481
	, интегрируемость 480, 707
	, непрерывность 707
Предельный переход в ряде почленный
471, 556
	под знаком интеграла 481, 710,
720, 747, 750, 803, 805
Преобразование рядов по Куммеру 422
	Маркову 425
	Эйлеру 417
Приближенное вычисление интегралов
несобственных 691, 697, 700
	собственных 169, 696
Приближенные вычисления с помощью
рядов 411, 421, 422, 497-499, 504,
700
Приведения формулы для
биномиальных дифференциалов 59
	интегралов от sinvx • cos^x 85
	определенных интегралов 143
Произведение бесконечное 382
	, абсолютно сходящееся 389
	, признаки сходимости и
расходимости 386
	, расходящееся 383
	, сходящееся 383
—	остаточное 385
—	частичное 383
Производная функции комплексной
переменной 556
Производящая функция для бесселевых
функций 377
	многочленов Лежандра 531,
549
Простые дроби 40
	, интегрирование 40
	, разложение правильной дроби
23, 42, 45
	, разложение функций ctgx, cthx,
tgx, -^-, -±-, -±- 511, 512
sin x sm7 x sh x
Прямоугольников формула 169
	, дополнительный член 176
Псевдоэллиптические интегралы 94
Пуассон 135, 153, 660
Пуассона формула 283
Пуассона-Абеля метод обобщенного
суммирования рядов 429
Раабе интеграл 818
—	признак 300, 306
Равномерная сходимость интеграла 735,
740, 742
	, признаки 737, 740
	, связь с рядами 737, 741
	, условие 736, 739, 741
	ряда, последовательности 454,
458, 459, 556
	, признак Абеля 465
	, — Вейерштрасса 463
	, — Дирихле 465
	, условие 461
	степенного ряда 482, 484
Равномерное стремление к предельной
функции 705
Разрывный множитель Дирихле 682,
689, 792, 798
Расходящиеся бесконечные
произведения 383
Расходящийся интеграл 597, 624
	, обобщенное значение 642
—	ряд 285, 363
Расходящихся рядов суммирование,
см. Суммирование рядов
обобщенное
Рационализация подинтегрального
выражения 55, 56, 62, 81, 93
Рациональная функция, интеграл между
бесконечными пределами 672
—	часть интеграла, выделение 48
Регулярный метод суммирования 429
Решение уравнений рядами 539

862
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Риман 107, 292
Римана теорема 346
Риманова (интегральная) сумма 107
Ряд (бесконечный) 284, 553
—	гармонический 290, 294, 297, 318
—	гипергеометрический 308, 326, 392,
509, 829
—	двойной 363, 554
—	знакопеременный 330
—	кратный 382
—	лейбницевского типа 332
—, остаток 287
—	повторный 359
—	расходящийся 285, 321, 363
—, сумма 285, 363, 553
—	сходящийся 285, 321, 363, 553
	абсолютно 324, 367, 554
	неабсолютно 325, 346, 367, 557
—, условие сходимости 322
—, частичная сумма 284, 363, 553 см.
также Степенной ряд
Оапогова признак 319
Симпсона формула 175
	, дополнительный член 178
Синус, аналитическое определение 516
—, бесконечное произведение 410
—	в комплексной области 564
—	гиперболический, бесконечное
произведение 411
	, разложение обратной величины
на простые дроби 512
	, степенной ряд 400
—, разложение обратной величины на
простые дроби 511
—, степенной ряд 400, 493, 564
—,	для In ^? 537
Сочетательное свойство ряда 342, 362
Спрямляемая кривая 186
Сравнения теоремы для несобственных
интегралов 605
	рядов 292
Среднее значение, теорема 125
	, — вторая 130, 648
	, — обобщенная 126, 647
	, —, связь с формулой Лагранжа
137
Статический момент кривой 251
	плоской фигуры 255
	поверхности вращения 265
	тела 264
Статический момент цилиндрической
поверхности 266
Степенная функция, главное значение
568
Степенной ряд 327, 396, 557
	, действия 520, 525, 559
	, деление 531, 559
	, дифференцирование 486, 487
	, единственность 484
	, интегрирование 486
	, круг сходимости 557
	, непрерывность 483, 485
	, обращение 543, 547, 559
	, промежуток сходимости 328, 557
	, радиус сходимости 329, 557
	с двумя переменными 377
	с несколькими переменными 382
Стилтьес 701
Стерлинг 393
Стерлинга ряд 595, 853
—	формулы 403, 595, 853
Стоке 460
Сумма ряда 285, 363, 553
Суммирование рядов обобщенное 429
	, метод Бореля 446
	, — Вороного 442
	, — Гёльдера 446
	, — Пуассона-Абеля 431
	, — Чезаро 435, 443
	, — Эйлера 450
Сфера (полусфера) 267
Сходимости пограничная абсцисса 338
—	принцип 322, 337, 553
Сходимость бесконечного произведения,
признаки 386
	ряда, признак Абеля 336
	, — Бертрана 307
	, — Гаусса 307
	, — Даламбера 299, 306, 325,
554
	, — Дирихле 336
	, — Ермакова 313
	, — Коши 298
	, — Коши-Маклорена 310
	, — Куммера 305
	, — Лейбница 330, 337
	, — Раабе 300, 306
	, — Сапогова 319
	, условие 322
—	несобственного интеграла, признаки
606,609,631
	, условие 630

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
863
Сходящееся бесконечное произведение
383
Сходящийся бесконечный ряд 285, 321,
605
—	несобственный интеграл 597, 624
Тангенс в комплексной области 565
—, разложение на простые дроби 511
—, степенной ряд 533, 537, 565
Таубера теорема 432, 439
Тейлора ряд 396, 488, 489
—	формула 397
	, дополнительный член 160, 398
Теплица теорема 355
Тождество степенных рядов 483
Тор 255, 258
Торричелли 268
Трактриса 197, 274
Трапеций формула 170
	, дополнительный член 178
Тригонометрическая форма
комплексного числа 551
Тригонометрические подстановки 32
—	функции, аналитическое определение
515
	в комплексной области 564 см.
также Синус и т. д.
	связь с гиперболическими
функциями 217, 565
	показательной функцией
560, 565
Улитка 195, 221
Умножение рядов 349, 357, 364, 441,
495, 554
Уникурсальная кривая 93
Френель 777, 785
Фробениус 435
—, теорема 437
Фруллани интегралы 670, 685, 688
Харди 622, 797
Харди-Ландау теорема 438
Центр тяжести кривой 252
	плоской фигуры 256
	поверхности вращения 265
	тела 265
Центр тяжести цилиндрической
поверхности 266
Цепная линия 192, 203, 216, 231, 240
Циклоида 193, 202, 203, 220, 231, 241,
254, 257
Цилиндрический отрезок 233, 245, 266
Частичная сумма 284, 363, 553
Чебышёв 58
Чебышёва-Лагерра многочлены 652
Четная функция, интеграл по
симметричному промежутку 151
Шаровой пояс 240
Шлёмильх 407
Штейнер 370
Штольца теорема 356
Эвольвента круга 193, 202, 204
—	цепной линии 197
Эволюта, натуральное уравнение 204
Эйлер 62, 282, 291, 390, 393-395, 410,
428, 660, 753, 772, 815, 816, 824,
838
Эйлера метод обобщенного
суммирования рядов 446
—	преобразование рядов 417
—	ряд 501, 530, 536, 724
—	формулы 561, 569
Эйлера-Гаусса формула 394, 812, 835
Эйлера-Маклорена ряд 588, 594
	, приближенные вычисления
590
	формула 583, 592
	, дополнительный член 586, 592
Эйлерова постоянная 298, 313, 349, 385,
832, 835, 836, 843, 854
Эйлеровы интегралы первого и второго
рода 808, 811
—	подстановки 62, 65
Эллипс 194, 216, 219, 222, 223, 253, 257
Эллипсоид 231, 234, 241
Эллиптические интегралы 94
	в форме Лежандра 102, 129
	1-го—3-го рода 99
	полные 156, 183, 195, 197, 237,
248, 278, 385, 504, 728, 790, 827
Эллиптический синус 278
Эпициклоида 203
Эрмит 161

Учебное издание
ФИХТЕНГОЛЬЦ Григорий Михайлович
КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
В 3 томах
Том II
Редактор А.А. Флоринский
Выпускающий редактор О.М. Рощиненко
Оформление обложки А.А. Логунова
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 23.10.03.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 54. Уч.-изд. л. 55,75. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с диапозитивов
в ОАО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
ISBN 5-9221-0157-9
9 785922 101578