Текст
В.ЯАРСЕНИН
МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
И СПЕЦИАЛЬНЫЕ
ФУНКЦИИ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших технических учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА*
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1974
517.2
А 85
УДК 517.5
Методы математической физики и специальные
функции. В. Я. Ар се нин. Главная редакция
физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1974.
Книга предназначается для студентов инженерно-
физических, физико-технических и других
специальностей с повышенной физико-математической подготовкой и
инженеров этих профилей. В ней достаточно подробно
излагаются основные методы решения задач
математической физики (методы Фурье, функций Грина,
характеристик, потенциалов, интегральных уравнений и др.)
и специальные функции —- цилиндрические, сферические,
ортогональные полиномы, гамма-функция и начальные
сведения о гипергеометрических функциях. Метод
характеристик излагается мя систем линейных и
квазилинейных уравнений. Рассматривается понятие корректно и
некорректно поставленных задач. Для интегральных
уравнений первого рода дается устойчивый метод
приближенного решения (метод регуляризации). Книга
является результатом существенной переработки книги
того же автора «Математическая физика» A966 г.).
Илл. — 47. Библ.— 35.
© Издательство «Наука», 1974.
20203—056
053@2)-74
-1-74
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Из предисловия к книге «Математическая физика» 8
Часть I
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Глава I. Классификация линейных уравнений с двумя
независимыми переменными и приведение их к канонической форме 9
Задачи 18
Глава II. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям
различных типов. Постановка краевых задач 19
§ 1. Уравнение малых поперечных колебаний струны ... 19
§ 2. Уравнение малых продольных колебаний упругого
стержня 21
§ 3. Уравнение малых поперечных колебаний мембраны. . 23
§ 4. Уравнения гидродинамики и акустики 26
§ 5. Уравнения для напряженности электрического и
магнитного полей в вакууме 29
§ 6. Уравнения теплопроводности и диффузии 30
§ 7. Кинетическое уравнение « - 31
§ 8. Типы краевых условий. Постановка краевых задач 37
Задачи 42
Глава III > Метод характеристик 44
§ 1. Характеристическое направление и характеристики
оператора Н [f] 45
§ 2. Характеристическая форма оператора h [и, v] =
= Нг[и] + Н2[у] 46
§ 3. Характеристическая форма пары операторов hx [ut v]
и Нг [и, v] , 47
§ 4. Гиперболические системы с постоянными
коэффициентами 50
§ 5. Решение задачи Коши для одномерного волнового
уравнения. Формула Даламбера 53
§ 6. Решение задачи Коши для неоднородного волнового
уравнения 54
1* 3
§ 7. Устойчивость решения задачи Коши для одномерного
волнового уравнения к входным данным.
Обобщенное решение 57
§ 8. Решение краевых задач на полупрямой 61
§ 9. Отражение волн на закрепленных и на свободных -
концах t 64
§ 10. Решение задачи о распространении краевого режима
на полупрямой ..... 65
§11. Решение задачи Коши для трехмерного и двумерно?
го волновых уравнений. Формула Пуассона 66
§ 12. Физическая интерпретация формулы Пуассона ... 73
§ 13. Системы квазилинейных уравнений 75
§ 14. Характеристики систем квазилинейных уравнений. . 75
§ 15. Образование разрывов в решении 77
§ 16. Одномерные плоские адиабатические течения газа . . 79
§ 17. 'Численное решение систем квазилинейных уравнений
методом характеристик 80
Задачи 81
Гласа IV'. Метод Фурье решения краевых задач (метод
разделения переменных) 83
§ 1. Предварительные понятия 83
§ 2. Сущность метода Фурье. Собственные функции и
собственные значения 84
§ 3. Основные свойства собственных функций и
собственных значений 92
§ 4. Некоторые свойства совокупности собственных
функций 108
§ 5. Решение неоднородных краевых задач методом Фурье 112
§ 6. Применение метода Фурье к решению краевых задач
для уравнений эллиптического типа » . . . 117
Задачи 120
Глава V. Метод Дюамеля решения задач о распространении
краевого режима 124
Глава VI. Метод функций Грина решения краевых задач и
задачи Коши для уравнений параболического типа 130
§ 1. Сущность метода функций Грина решения краевых
" задач и задачи Коши для уравнений параболического
типа 130
§ 2. Построение функции Грина задачи Коши на прямой 136
§ 3'. Решение задачи о распространении тепла на
бесконечной прямой (задача Коши) и на полупрямой ... 140
§ 4. Решение задачи о распространении тепла в
трехмерном (двумерном) пространстве 149
§ 5. Устойчивость решения задачи Коши к малым
изменениям входных данных 152
Задачи 155
Глава VII. Метод функций Грина решения краевых задач для
уравнений эллиптического типа 156
§ 1. Вторая формула Грина. Простейшие свойства
гармонических функций 156
4
§ 2. Сущность метода функций Грина. Некоторые
свойства функций Грина . 162
§ 3. Построение функций Грина. Интеграл Пуассона . . . 168
Задачи 179
Дополнение к главам VI и VII. О методе функций Грина
решения краевых задач и задачи Коши для уравнений
гиперболического типа 179
Глава VIII- Единственность решения основных задач 182
§ 1. Единственность решения краевых задач для
уравнений гиперболического типа 182
§ 2. О единственности решения задачи Коши для
волнового уравнения 185
§ 3. Единственность решения краевых задач для
уравнений параболического типа 186
§ 4. Принцип максимума и минимума для решений
уравнения теплопроводности 188
§ 5. Единственность решения задачи Коши для уравнения
теплопроводности 191
§ 6. Единственность решения кр'аевых задач для
уравнений эллиптического типа 193
Глава IX. Интегральные уравнения 198
§ 1. Классификация линейных интегральных уравнений. . 198
§ 2. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами . . 199
§ 3. Существование решений 200
§ 4. Понятие о приближенных методах решения
интегральных уравнений Фредгольма второго рода 205
§ 5. Теоремы Фредгольма 206
Глава X. Сведение краевых задач к интегральным уравнениям.
Потенциалы 212
§ 1. Объемный потенциал 212
§ 2. Потенциал простого слоя 220
§ 3. Потенциал двойного слоя 223
§ 4. Применение потенциалов к решению краевых задач 230
§ 5. Другие задачи, сводимые к интегральным уравнениям 232
Задачи 234
Глава XI. Интегральные уравнения с симметричными ядрами. . 235
§ 1. Простейшие свойства собственных функций и
собственных значений ядра К (х, s) 236
§ 2. Спектр итерированных ядер 241
§ 3. Разложение итерированных ядер 244
§ 4. Теорема Гильберта — Шмидта '. . . 246
§ 5. Разложение решения неоднородного уравнения .... 250
§ 6. Теорема Стеклова "....". 252
§ 7. Классификация ядер 253
§ 8. Спектр симметричных ядер, заданных на бесконечном
промежутке 254
5
Г лова XII. Понятие некорректно поставленных задач. О
приближенном решении интегральных уравнений первого рода . . . 258
§ 1. Понятие корректно поставленных и некорректно по
ставленных задач - 258
§ 2. Кратко о некоторых методах решения некорректно
поставленных задач 263
Часть II
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Глава XIII- Гамма-функция. Бета-функция ; . . . 270
§ 1. Гамма-функция и ее свойства 270
§ 2. Бета-функция ." 279
Глава XIV. Цилиндрические функции 282
§ 1. Поведение решений уравнений с особыми точками в
окрестности особых точек 283
§ 2. Функции Бесселя и Неймана 286
§ 3. Ортогональность функций Бесселя 291
§ 4. Нули цилиндрических функций 295
§ 5. Функции Ганкеля 302
§ 6. Модифицированные цилиндрические функции
(цилиндрические функции мнимого аргумента) 310
§ 7. Асимптотические представления цилиндрических
функций 312
§ 8. Функции Эйри 328
Задачи 329
Глава XV. Ортогональные многочлены 332
§ 1. Некоторые ' общие свойства ортогональных
многочленов 332
§ 2. Многочлены Лежандра 335
§ 3. Многочлены Чебышева—Эрмита 349
§ 4. Многочлены Чебышева —Лагерра 359
Глава XVI. Сферические функции 369
§ 1. Простейшие сферические функции 369
§ 2. Присоединенные функции Лежандра 370
§ 3. Фундаментальные сферические функции 374
Задачи * 378
Глава XVII. Начальные сведения о гипергеомётрических
функциях 380
Дополнение. Понятие обобщенных функций. 6-функция 385
Ответы к задачам ; 401
Литература 430
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга предназначается для студентов инженерно-
физических, физико-технических и других специальностей
с повышенной физико-математической подготовкой и
инженеров этих профилей.
Она является результатом существенной переработки
моей книги «Математическая физика», выпущенной
издательством «Наука» в 1966 г. В наибольшей степени
переработке подверглись следующие разделы: метод
характеристик решения задач для уравнений гиперболического
типа, метод функций Грина, единственность решения
краевых задач и задач Коши и вся вторая часть книги, п,о-
священная специальным функциям.
Изменилось и построение книги. В основу положены
методы решения простейших задач математической физики
и их возможности в применении к уравнениям (системам)
различных классов (типов). Такое расположение
материала, по нашему мнению, позволяет лучше усвоить
практические алгоритмы получения решений основных задач.
Имея в виду практические потребности обработки
результатов физического эксперимента, в книге вводится
понятие корректно поставленных и некорректно
поставленных задач. Для многих основных задач рассматривается
устойчивость изучаемых методов их решения к малым
изменениям «исходных данных». В приложении к
интегральным уравнениям первого рода алгоритмически описывается
и метод нахождения приближенных решений некорректно
поставленных задач, устойчивый к малым изменениям
«исходных данных» (метод регуляризации).
В отличие от прежней книги, в этой книге метод
характеристик излагается для систем линейных и
квазилинейных уравнений и показывается возможность
образования разрыва в решении при сколь угодно гладких
«исходных данных».
7
Содержание книги почти полностью совпадает с курсом
лекций, который я читал в течение многих лет на
факультете экспериментальной и теоретической физики
Московского инженерно-физического института.
А. Г. Свешников прочитал рукопись и высказал
многочисленные важные замечания и ценные советы по
содержанию книги и изложению, которыми я воспользовался.
Полезные замечания, позволившие устранить упущения
и улучшить изложение, были высказаны А. Ф.
Никифоровым, Е. А. Волковым и редактором А. С.
Чистопольским. Всем этим товарищам выражаю глубокую
благодарность.
Автор
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ
К КНИГЕ «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА»
Этот курс складывался под непосредственным
влиянием А. Н. Тихонова, определившего основное
содержание программы курса. С А. Н. Тихоновым и А. А.
Самарским я неоднократно обсуждал многие вопросы и
пользовался их ценными советами. В. С. Владимиров и
Т. Ф. Волков прочитали рукопись и высказали ряд
важных замечаний и советов, которыми я воспользовался.
Многочисленные полезные замечания были высказаны
редактором С. А. Широковой. Всем этим товарищам
выражаю глубокую благодарность.
Автор
Часть I
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Г лава I
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ
НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ И ПРИВЕДЕНИЕ
ИХ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Большое число физических задач приводит к
дифференциальным уравнениям с частными производными вто-
раго порядка относительно искомой функции. Такие
уравнения можно написать в виде соотношений между
независимыми переменными х1у ..., хп, искомой функцией и
и ее частными производными первого и второго порядков
Uxi* ••" WV *4v •"' Uxixny ••*' Uxixr •", Uxnxn:
Очень часто эти уравнения являются линейными
относительно старших производных — производных второго
порядка, т. е. имеют вид
п п
2] Л %tiXix +F(xlt ..., хп, и, их, ..., и* ) = 0,
/=1/=1
где коэффициенты при старших производных ац являются
функциями только независимых переменных хг> х2, ..., хп.
Если функция F(хи ..., хп> иу uXl, ..., их) линейна
относительно аргументов и, их , ..., их , то уравнение
называется линейным (без указания, относительно чего).
Линейные уравнения имеют вид
п п п
21 2 dijUx.x. +2 biUx. + CU = f(xl9 ..., Хп)9 (*)
1=1 /=1 t = l
9
где коэффициенты я/у-, bh с являются функциями только
независимых переменных xlt ..., хп.
Если-/(а:1, ..., хп) = 0, уравнение (*) называется
линейным однородным, в противном случае — неоднородным.
Если коэффициенты ay, bh с постоянны, уравнение (*)
называется линейным уравнением с постоянными
коэффициентами.
Все многообразие линейных относительно старших
производных (или просто линейных) уравнений может быть
разделено на три класса (типа). В каждом классе есть
простейшие уравнения, которые называют каноническими.
Решения уравнений одного и того же типа (класса) имеют
много общих свойств. Для изучения этих свойств
достаточно рассмотреть канонические уравнения, так как другие
уравнения данного класса могут быть приведены к
каноническому виду. Свойствами решений канонических
уравнений и методами построения их решений мы и будем
заниматься в последующих главах.
Принадлежность. уравнения к тому или иному классу
(типу) — классификация уравнений — определяется
коэффициентами при старших производных. Мы произведем
классификацию, прежде всего для уравнений, в которых
искомая функция и зависит лишь от двух переменных: и =
= и (х, у). В этом случае уравнения, линейные
относительно старших производных, можно записать в виде
aiiUxx+ 2a12uxy + a22Uyy + F(x9 у, и, иХУ иу) = 0, A)
а линейные —в виде
anuxx + 2anuxy + a22Uyy + b1ux + b2Uy + cu = f(x, у), B)
где aiJf bh с — функции только независимых переменных х,
у. Любое такое уравнение (A) или B)) с помощью замены
независимых переменных может быть приведено к более
простому— кано ни ческом у виду (форме). Поэтому
при изучении уравнений с двумя независимыми
переменными можно ограничиться в дальнейшем лишь
каноническими уравнениями.
Произведем в уравнении A) замену независимых
переменных по формулам
Б = ф(*> У)> Л = ,Ф(*. У)> C)
устанавливающим взаимно однозначное соответствие между
точками (g, т|) и (х, у) соответствующих областей. Мы
будем требовать, чтобы функции ф (х9 у) и а|) (х, у) были
10
непрерывными вместе с их частными производными первого
и второго порядков. Тогда
их = ср*^ + ^и^ иу = цущ + %иц,
Uxx = <р1иц + 2(fx%U^ + ф1т + (fxxU^ + %хиц,
иуу = VyUn + 2ъ%и1ц + ^уит + уууЩ + %уиЦ9
иху = ЧхЪЧъ + (ФЛ + <М>*) иЫ + №yUm + УхУЩ + %уиц.
Подставляя эти значения производных в уравнение A) и
объединяя члены с одинаковыми производными, получим
преобразованное уравнение
a11ull + 2a12u^ + a22um + F1{ub un, и, |, ц) = 0, D)
где
«и = АиФ* + 2a12q>x% + а22(р2у,
«и = «иФЛ + «12 (ФЖ + Ф</*Ы + а22фА> E)
«22 = апФ* + 2а12гМ^ + а22г|)*.
Непосредственной проверкой устанавливаем
справедливость тождества "(используя при этом формулы E))
<*h - «п«22 = № - OiAa) [щ^ у}]'• F)
Теперь мы можем принять следующую
классификацию уравнений вида A).
Если в некоторой области D дискриминант А = а2п —
— апа22 положителен, Л>0, то уравнение A) называется
гиперболическим в D (гиперболического типа в4 D).
Если Д<0 в области D, то уравнение A) называется
эллиптическим в D (эллиптического типа в D).
Если Д = 0 во всех точках области «{множества) D,
"то уравнение A) называется параболическим в D
(параболического типа в D).
Из тождества F) следует, что при замене независимых
переменных по формулам C) тип уравнения A) не
изменяется *).
Мы воспользуемся заменой независимых переменных
для упрощения уравнения A), для приведения его к
канонической форме. Для каждого типа уравнений существует
своя каноническая форма.
1. Если уравнение A) гиперболично в области D, то
в D существуют такие функции ф (х, у) и г|) (х, у), что
*) При взаимно однозначном преобразовании C) якобиан
£*(ф; ty)/D {х'> У) не обращается в нуль. См. Фихтенгольц Г.М.,
Основы математического анализа, т. II, изд. 5-е, «Наука», 1968.
11
заменой переменных C) уравнение A) приводится к
простейшей форме
Щц + Рг(иь иц, и, I, г)) = 0, G)
называемой канонической.
Опишем процедуру отыскания функций ф(*, у) и ty(x, у),
не вдаваясь в обсуждение условий их существования.
1) Если а11 = а22 = 0 в D, то а12 не обращается в нуль
в точках области D. Разделив обе части уравнения A)
на 2а12, мы получим каноническую форму G).
2) Пусть afx + ^22 не обращается в нуль в точках
области D. Мы ограничимся здесь рассмотрением случая, когда
хотя бы .один из коэффициентов аш а22 не равен
тождественно нулю ни в какой области Dlt принадлежащей D.
Пусть это будет аи.
Возьмем в качестве ф(лг, у) и яр (л:, у) в формулах C)
такие функции, которые обращают в нуль коэффициенты
аи и а22 преобразованного уравнения D), т. е. являются
решениями уравнений
апц>х + 2а12цхцу + a22yl = О,
Разрешая эти уравнения относительно ф*/ф</ и tyx/tyyt
ПОЛУЧИМ Ья5в=1ЙЁ^у5 ^-«12±]/А
Чу «и ' % ап
Следовательно, каждое из уравнений (8) распадается на
следующие два уравнения:
Фл + Vfa, */)ф</ = 0, я|>* + Ла(*> у)% = 0, (9)
где
К(х,у) = а-±^, К(х, у) = ^^. (Ю)
Уравнения (9) эквивалентны соответственно уравнениям
% = К{х,У), % = К{х,У)*). . (П)
*) Эквивалентность означает, что левая часть общего интеграла
уравнения' -р = %i (х, у) является решением уравнения ух +
+ ^ (х, */)ф# = 0 (* = 1» 2); обратно, всякое решение уравнения 9^ +
+ h (x> У) ф^г = 0, приравненное произвольной постоянной, дает общий
интеграл уравнения -Д = Я/(*, у) (i = l, 2). (См. Степанов В. В.,
Курс дифференциальных уравнений, гл. VIII, Физматгиз, 1959.)
12
Пусть <р(х, у) = с1 и я|э(х, #) = с2 СУТЬ общие интегралы
уравнений A1). Левые части этих интегралов и есть
искомые функции,ф(х, у) и ty(x, у).
Таким образом, в рассматриваемом случае мы найдем
функции ф(х, у) и ур(х, у), обращающие в нуль
коэффициенты ап и а22. При этом а12 не обращается в нуль ни
в одной точке области D, что немедленно следует из
тождества F). Разделив преобразованное уравнение на 2а12
(и заменив переменные х, у переменными g, ч) по
формулам C)),* мы и получим искомую каноническую форму.
Общие интегралы уравнений A1) ф(х, у) = с1 и
г|>(#, у) = с2 образуют два семейства кривых, называемых
характеристиками уравнения A). Уравнения A1)
называются дифференциальными уравнениями характеристик.
Заметим, что никакие две характеристики из разных
семейств не касаются друг друга, поскольку %1ф%2. Поэтому
упомянутые семейства характеристик образуют
криволинейные координатные сетки. В связи с этим
рассмотренное упрощение уравнения A) посредством преобразования
независимых переменных иногда называют преобразованием
уравнения A) к характеристикам.
2. Если уравнение A) эллиптично в области D, то
в D существуют такие функции ф(х, у) и ij)(x, у), что
заменой переменных C) уравнение A) приводится к
канонической форме
ull + um^-F1(ul9 иц, и, Е, т|) = 0. A2)
Снова ограничимся описанием процедуры отыскания
функций ф(х, у) и ур(х, у).
Сначала формально, как в предыдущем случае,
приводим уравнение к виду
ulr] + F1(ub иц, и, £, т))*=0. A3)
При этом новые переменные I и ц будут комплексно
сопряженными *):
6 = ф(*, </) + Ж*» У)> Л = Ф(*> y) — ty(x, У),
поскольку дифференциальные уравнения характеристик
в рассматриваемом случае имеют вид
QL =- ?i2 _ / V— Д dy_ __ ?i2 i • У:^
dx ап ап * dx ац сщ
*) Это утверждение справедливо лишь при некоторых условиях,
которым должны удовлетворять коэффициенты а1Ъ а12 и а22
уравнения A). См. Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с
частными производными, «Наука», 1965.
13
Следовательно, уравнение эллиптического типа имеет лишь
мнимые (комплексные) характеристики.
Произведем новую замену независимых переменных по
формулам р - 0,5 (£ + ц) = q> (х, у), о = — 0,5/ Ц - т|) =
= <Ф(^» У)> в результате которой уравнение A3), а
следовательно и уравнение A), приводится к искомой
канонической форме (с точностью до изменения обозначений)
«рр + Иаа + ^г^р» U^ US Р' а) = 0-
3. Если уравнение A) параболично в области Z), то
в D существуют такие функции ф(л;, у) и ур(х, у), что
заменой переменных C) уравнение A) приводится к
канонической форме
um + Fx(ul9 ицу и, g, г)) = 0. A4)
Процедура отыскания функций <р(я, у) и -ф (л:, у)
состоит в следующем.
Сначала находим такую функцию <р(я, г/), которая
обращает в нуль коэффициент аи преобразованного
уравнения, т. е. является решением уравнения
Яцф5 + 2а12ф.уф^ + а22ф£ = 0. A5)
Как и в случае гиперболического уравнения, мы
предполагаем, что ап не-равно нулю тождественно ни в какой
области Dlf содержащейся в D. Затем разрешаем
уравнение A5) относительно <рх/ц>у. В отличие от
гиперболического случая (см. (9)), получаем лишь одно уравнение
Чх + к(х, у)<ру = 0, A6)
где Х(х, у) = а12/ап.
Пусть ф(лс, у) = с есть общий интеграл уравнения A6).
Левую часть этого интеграла, не равную тождественно
постоянной, и берем в качестве функции ф(х, у). Тогда
коэффициент а12 преобразованного уравнения также
обратится в нуль, как это следует из условия параболично-
сти уравнения A) и из тождества F). В качестве функции
i|)(#, у) можно взять любую дважды непрерывно
дифференцируемую функцию, не обращающую в нуль
коэффициент а22. Разделив преобразованное таким образом
уравнение на а22, мы и получим искомую каноническую
форму. Уравнение параболического типа имеет лишь одно
семейство характеристик
14
Если исходное уравнение A) линейное, то и
преобразованное уравнение, очевидно, будет линейным.
Итак, канонические формы линейных уравнений имеют
следующий вид:
иЫ + йй^| + $2ич + уи = / (£, ц) (гиперболическое),
Щ1 + ищ + $1Щ-\-$2иц + уи==[AУ г\) (эллиптическое), A7)
ttT)Ti+Pi^ + P2M-n + VM:==/(Si Л) (параболическое).
4. Если исходное уравнение было линейным и с
постоянными коэффициентами, то и в соответствующем
каноническом уравнении коэффициенты рь р2, у будут
постоянными *). В этом случае уравнения A7) допускают
дальнейшее упрощение при помощи замены неизвестной
функции по формуле
u=ve^+v\ A8)
где jut, v —числа, подлежащие определению.
Вычисляя производные функции и и подставляя их,
например, в первое из уравнений A7), получим .
vir] + (v + ^1)vl + (ii + ^)vx]+(iiv + ii^l + v^2 + y)v==
Если мы положим \х = — р2, v = — рх, то преобразованное
уравнение примет вид
^Ti + Ti° = /iffi* Л)> A9)
где Yi = Y-PiPa. MS. Л)=/(Е. ч) *«+*".
Аналогичным образом уравнение эллиптического типа
приводится к виду
vn + vm + yxv = Д (£, т|), B0)
где Yi = Y-0,25(P? + P5),A = ^-«-^, Ц = — 0,5plf v = 0,5Pa.
В уравнении параболического типа выбором \i и v
нельзя обратить в нуль коэффициенты при v% и ич, поскольку
преобразованное уравнение имеет вид
t^ + Pitb + Bv + paK+(v» + vp8 + nPi + Y)* = /i(E, Л).
Полагая v = — 0,5Р2, ^ = тг- @,25Р1 — y)> получим
»nn + Pi^ = /iF,il). B1)
*) Характеристиками гиперболического уравнения в этом случае
будут прямые. -
15
Имея в виду описанные возможности упрощения
уравнения A), достаточно рассмотреть лишь методы решения
задач, сформулированных для канонических уравнений,
а в случае линейных уравнений с постоянными
коэффициентами—для уравнений вида A9), B0), B1).
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. tixx—yiiyy = 0.
Здесь an=l, a12 = 0, #22 = --#, A = af2 —а11а22 = ^
Следовательно, в области у>0 уравнение гиперболично, в области #<0 —
эллиптично.
а) Рассмотрим сначала область гиперболичности.
Дифференциальные уравнения характеристик имеют вид -Д = —Vy> ~if~ = Vy* a
х—2^У — съ x-\-2Yy=c2 — ux общие интегралы. Производя замену
независимых переменных
l=*x-2Vy> r\=x+2Vy,
получим каноническую форму преобразованного уравнения
Характеристиками являются правые и левые ветви семейства
парабол (х—сJ — 4у (рис. 1, сплошные и пунктирные кривые).
Вершины парабол, лежащие на оси х, не принадлежат характеристикам,
так как в этих точках уравнение не является гиперболическим (Д = 0).
Рис. 1.
б) В области эллиптичности (у<0) производим замену
переменных p = 0,5"(g + Ti) = Ar, о = -0,51(г)-1) = 2У-У-
Канонический вид уравнения:
"рр + "(та-~% = 0.
Пример 2. xuxx — 2V_xyuxy+yuyy-{-0,5uy = 0.
Здесь ап = х, а12 = —УхУ> Чг = У> A = af2 —апа22 = 0.
Следовательно, это уравнение всюду параболического типа. Оно имеет одно
16
семейство характеристик, описываемых дифференциальным уравнением
dy т Г У I dy —dx\
Общий интеграл этого уравнения Ух-\-Уу = с. Поэтому полагаем
^^Ух + Уу, г) можно положить равной любой функции г|)(*, у), не
обращающей в нуль коэффициент а23 преобразованного уравнения.
Полагаем у) — Ух.
Канонический вид уравнения:
5. Принадлежность к тому или другому типу
линейного уравнения второго порядка, не содержащего
смешанной производной от искомой функции, т. е. уравнения вида
апихх + а22иуу + Ъхих + b2uy + cu=f (x, у), B2)
очевидно, определяется знаками коэффициентов ап и а22.
Точнее, если ап (х, у) и а22 (х, у) всюду в области D имеют
разные знаки (и в D не обращаются в нуль), то
уравнение B2) гиперболично в Ь; если ап(х> у) и а22(х, у)
всюду в области D имеют одинаковые знаки (и в D не
обращаются в нуль), то уравнение B2) эллиптично в D.
Если же всюду в D один из коэффициентов а1Ъ а22 равен
нулю, то уравнение B2) параболично в D.
Аналогичный признак может быть положен в основу
классификации линейных уравнений вида
п п
2 я«ы*л+ Ц bkuXk + cu=f(xlf *2, ..., хп) B3)
со многими независимыми переменными (хг, х2> ..., хп),
где ац> bk* с суть функции переменных (х1У х2, ..., хп).
Уравнение B3) называется:
эллиптическим в точке (х\, х\, ..., х°п)9 если все
коэффициенты аа (xl, xl, ..., х°п) в этой точке, во-первых^ не
равны нулю, во-вторых, имеют один и тот же знак;
гиперболическим в точке (х\, *jj, ..., хп), если
коэффициенты аи {х\у х\, ..., х°п) в этой точке, во-первых, все
не равны нулю, во-вторых, все, кроме одного
(например, aty0), имеют один и тот же знак, a aty0(*i> xl> •••> х°")
имеет противоположный знак;
параболическим в точке (х$, х%, ..., х°п), если
коэффициенты ац-(х°1, х\, ..., х%) в этой точке все, кроме одного
17
(например, я*0*0)» не равны нулю и имеют один и тот же знак,
Я'.'о (*1> **. . . . , *Ь) = О И 6,0 = (*J, **, . . . , Х°п) ф О *).
Если уравнение B3) эллиптично (соответственно
гиперболично, параболично) в каждой точке области D, то оно
называется эллиптическим (соответственно гиперболическим,
параболическим) в D. Например:
uxx + uyy + uzg = f(xf У, г) всюду эллиптично
(и=и(ху у, г)),
Uxx + Uyy + u22 — k2utt = f(x, у, z, t) всюду гиперболично
(и=и(х, у, z, t)),
Uxx + u>yy + uzz — k2ut = f(x, уу 2, t) всюду параболично
(и=и(х9 у, г, *)).
Здесь k — вещественное число.
ЗАДАЧИ
1. Привести к каноническому виду уравнения:
а) х2ихх — у2иуу = 0;
б) У2ихх + х?иуу = 0;
в) х*ихх + 2хуиху + уЧуу=Ъ\
Г) tixx+yuyy + 0}5uy^0.
2. Привести к простейшему каноническому виду уравнения:
а) uxx + 2uXy + uyy + Zux — buy + 4u = Q;
б) и^ + 4и^ + 3а^4-5и* + иу + 4и = 0;
в) 2ихх + 2иХу + иУу + 4их + 4иу + и = 0.
*) Возможны и другие распределения знаков коэффициентов.
См. Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными
производными, «Наука», 1965.
Глава II
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЯМ
РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Мы рассмотрим ряд физических задач, приводящих
к уравнениям указанных в гл. I типов. При выводе
уравнений, описывающих соответствующие процессы, мы будем
пользоваться основными законами сохранения.
§ 1. Уравнение малых поперечных колебаний струны
Струной мы будем называть упругую нить, не
сопротивляющуюся изгибу, но оказывающую сопротивление
растяжению *). Отсутствие сопротивления изгибу
математически выражается в том,
что напряжения,
возникающие в струне, всегда
направлены по касательной к
ее мгновенному профилю
(рис. 2).
Будем рассматривать стру-
ну, расположенную вдоль х
оси х. Колебания каждой Рис. 2.
точки струны с абсциссой х
описываются тремя компонентами вектора смещения
{их{х, /), и2(х> t), ид(Ху t)}. Мы будем рассматривать только
такие колебания, в которых смещения струны лежат в
одной плоскости' (х, и), а вектор смещения
перпендикулярен в любой момент времени к оси х (поперечные
колебания). Мы ограничимся рассмотрением лишь малых
колебаний, т. е. таких, в которых можно пренебречь квадратом
их в сравнении с единицей.
*) Например, нитью иногда можно считать стержень, два
измерения которого малы в сравнении с третьим—длиной.
19
Из предположения о малости колебаний следует, что
величина натяжения 7\ возникающего в струне, не
зависит от времени /.
В самом деле, рассмотрим участок (х1г х2) невозмущенной
струны. Его длина в начальный момент равна х2 — х19
а в момент / она равна
]VT+uldx.
Xt
Для малых колебаний
^ Y\ + uxdx ?& § 1 • dx = х2 — хг.
Xt X\
Таким образом, с точностью до членов второго порядка
малости по их длина фиксированного участка струны не
меняется со временем, т. е. этот участок не растягивается.
Отсюда в силу закона Гука следует, что величина
натяжения Т не меняется со временем (с точностью до членов
второго порядка малости относительно их). Следовательно,
Т может быть функцией только х: Т = Т(х). Поскольку
мы рассматриваем поперечные колебания, нас будет
интересовать лишь проекция вектора натяжения на ось и.
Обозначим ее .через Ти.
Очевидно,
Ти = Т sin а = Т tg а cos а = Т ги* ъ Тих,
у\ + их
где а —угол касательной к кривой и = и(х, t) с осью х
при фиксированном t (рис. 2).
Количество движения участка (xlt х2) в момент
времени t равно
Xi
где р —линейная плотность струны. Пусть f(xt ^ —
плотность равнодействующей внешних сил, действующих на
струну в направлении оси и.
По второму закону Ньютона изменение количества
движения участка (х1$ х2) за время At = t2 — t1 равно
импульсу действующих сил, которые в рассматриваемом
20
случае складываются из сил натяжения Тих, приложен-
х2
ных к концам участка, и внешних сил \f{l> 0^1»
Xt
] [Щ F, h) -щ d, tx)\ p (I) d| = \ [Т (хг) ux (xt, t) -
Xi " h
t x
-Т(х1)их(х1, т)]Л+ l f/(g, T)rfgrft. A)
Это и есть уравнение малых поперечных колебаний участка
струны между точками х1 и х% в интегральной форме.
- Если & (#, /) имеет непрерывные производные второго
порядка, а Т (х) — непрерывную производную первого
порядка, то, применяя теорему Лагранжа о приращении
функции и теорему о среднем для интегралов в
уравнении A), получим
ы« di, Тх) р (У AtAx = ~[T (x) их]х=ь AtAx + f (g3, т3) Д* Ах,
B)
где \1% 6а, £3 <= [*lf x2], tj, т2, т3 s [tl912]. Разделив обе части
равенства B) на At Ах и перейдя к пределу при Д/-^0 и
Дл;->-0, получим дифференциальное уравнение малых
поперечных колебаний струны
~[Tux]+f{xJ)^p{x)utt. C)
В случае, когда Т = const и р = const, уравнение обычно
пишут в * виде
a2uxx + F (x, t) = utt, D)
где а2 = Т/р, FQc9t)=f[xtt)/p. Уравнение D) называется
одномерным волновым уравнением.
§ 2. Уравнение малых продольных колебаний
упругого стержня
Мы будем рассматривать стержень, расположенный
вдоль оси х. Введем следующие обозначения: S(x) —
площадь сечения стержня плоскостью, перпендикулярной
.оси ху проведенной через точку х\ k(x) и р(х)— модуль
Юнга и плотность в сечении с абсциссой х;, и (х, f) —
величина отклонения (вдоль стержня) сечения с абсциссой х
в момент времени t; при этом мы предполагаем, что вели-
21
чина отклонения всех точек фиксированного сечения
одинакова *). Очевидно, продольные колебания полностью
описываются функцией u(x,t). Малыми мы будем называть
такие продольные колебания, в которых натяжения,
возникающие в процессе колебаний, подчиняются закону Гука.
Подсчитаем фигурирующее в формулировке закона Гука
относительное удлинение участка (х, х •+- Ах) в момент
времени t. Координаты концов этого участка равны х + и (х, t),
х + Ах + и(х-\-Ах, t). Следовательно, относительное
удлинение участка равно
{[х + кх + и(х + Ах, t)]-[x + u(x,t)]}-Ax ^^ (x+QAx, t)
@<8<1).
Таким образом, относительное удлинение в точке х в
момент времени t равно их(х, t)> а величина натяжения Т
по закону Гука равна T = k(x) S{x)ux(x, f).
Пусть / (х, t) — плотность равнодействующей внешних
сил, действующих на сечение с абсциссой х вдоль оси х.
Применяя второй закон Ньютона к участку стержня (xlf x2)
(за время At = t2 — t1)> получаем
= \{S (x2) k (х2) их (х2, г) — S {Хг) k (хг) их (хг, %)} d% +
h
t X
+ iU(l,*)dtdx.
Это и есть уравнение малых продольных колебаний
участка стержня в интегральной форме/Предполагая
существование непрерывных производных второго порядка у
функции и (х91) и непрерывной первой производной у функций
k(x) и S(x), легко находим дифференциальное уравнение
малых продольных колебаний стержня:
t [S (х) k (х) их (х, /)] +/(*, 0 = р (х) S (х) ии (*, t). E)
*) Здесь #—абсцисса рассматриваемого сечения стержня, когда
последний находится в покое. Таким, образом, движение
фиксированного сечения стержня описывается в координатах Лагранжа (см.
Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В., Теоретическая
гидромеханика, ч. 1, Физматгиз, 1963).
22
Если S (x), k(x) и р(х) постоянны, то уравнение E)
приводится к виду
a2uxx + F(x, t) = ua,
где
a* = k/p, F(x, t) = f(x, f)/pS.
Уравнения (З) и E) по существу одинаковы и
различаются лишь обозначениями (Sk — вместо Т, a pS — вместо р).
Оба они всюду гиперболического типа, поскольку по
самому смыслу Т(х), S(x) и k(x) положительны.
§ 3. Уравнение малых поперечных колебаний мембраны
Мембраной называется натянутая плоская пленка,
не сопротивляющаяся изгибу и Сдвигу, но оказывающая
сопротивление растяжению*).
Мы будем рассматривать малые поперечные колебания
мембраны, в которых смещение перпендикулярно
плоскости мембраны (я, у) к в которых- квадратами величин
их и иу можно пренебречь. Здесь и = и(х, у, /) —величина
смещения точки (х> у) в момент времени t.
Пусть ds — элемент дуги некоторого контура,
лежащего на поверхности мембраны, М — точка этого элемента.
На этот элемент действуют силы натяжения Т ds.
Отсутствие сопротивления мембраны изгибу и сдвигу
математически выражается в том, что вектор натяжения Т лежит
в плоскости, касательной к поверхности мембраны в
точке М, и перпендикулярен элементу ds, а величина
натяжения Т в этой точке не зависит от направления элемента
ds, содержащего точку М. Из предположения о малости
колебаний следует:
1) Проекция Тпр вектора натяжения Т на плоскость
{х, у) равна Т.
Действительно, Тир = Т cos а, где а— угол между
вектором Т и плоскостью (х, у). Но а не больше угла у
между касательной плоскостью к поверхности мембраны,
в которой лежит вектор 7\ и плоскостью (х} у):а^у.
Поэтому
cos a ^ cos v = — я^ 1.
У1+их + и1
Следовательно, cosa^l и, значит, Тпр^7\
*) Например, мембраной иногда можно считать плоскую пластину,
толщина которой мала в сравнении с двумя другими измерениями.
23
2) Натяжение Т не зависит от времени t.
В самом деле, рассмотрим участок S невозмущенной
мембраны. Его площадь равна ЭД dx dy. Площадь этого
5
участка в момент времени t равна
Таким образом, площадь фиксированного участка
мембраны не меняется со
временем, т. е. этот участок не рас-
тягивается. Поэтому в силу
: -f закона Гука и Г не меняется
со временем. Из того, что Т
L направлен по перпендикуля-
1 г ру к элементу дуги ds9 сле-
I дует, что Т не зависит также
х* х от х и у. Действительно,
Рис 3. рассмотрим участок
невозмущенной мембраны AiB1B2A2,
ограниченный отрезками, параллельными координатным
осям (рис. 3).
На этот участок действует сила натяжения, равная
$ Tds + \ Tds+ \ Tds+ $ Tds-
АхАг А2В2 В2ВХ BtAt
Вследствие отсутствия перемещения точек мембраны вдоль
осей ху у проекции этой силы на оси х и у равны нулю.
С другой стороны, ее проекция на ось х равна
\ Tds+ $ Tds={T(x29y)dy-[T(xl9y)dy =
А2В2 BtAx yx ух
У2
= \[T(x2,y)-T(x1,y)]dy = 0, F)
Ух
а на ось у
\ Tds+ $ Tds={[T(x9yx)-T(x9y2)]dx = 0. G)
АгАг BtBi *i
Ввиду произвольности промежутков (xl9 х2) и (yl9 у2)
из F) и G) следуете что Т (х1у у) = Т (х29 у) и Т (х9 ух) =
= Т (х9 у2), ч. т. д.
24
Пусть S — "участок мембраны в момент времени t,
ограниченный контуром С. Обозначим через S2 и Сх проекции
S и С на плоскость (х, у) (рис. 4).
Рис. 4.
Сосчитаем величину вертикальной составляющей Ри
силы натяжения, действующей на С. Для этого
рассмотрим элемент dl на С и точ- </j
ку М на нем. Пусть Тм —
вектор натяжения в точке М, тЛ
перпендикулярный dl. Через
Тм проведем плоскость,
перпендикулярную плоскости
(Ху у). Эта плоскость
пересечет плоскость (х, у) по
нормали я к Сх в точке Мх
(рис. 4). На рис. 5
изображен профиль L сечения поверхности S. Очевидно,
ди
T„ = Tsina = r- _*«— -т ^
Kl + tg2a
Следовательно,
/' + (Г
ди
dl:
- Г rpdt^dl^
J d/zcosp»
25
где Р —угол между элементами dl и dlx. Поскольку P^Y
(см. стр. 23), то cos p s^ cos у = — я^ 1. Поэтбму
Vl + Ul+Ul
Применяя к этому интегралу формулу Остроградского,
получаем
Ри = Т\\ (ихх + иуу) dxdy=-T\\Audx dy.
St St
Теперь нетрудно получить уравнение малых
поперечных колебаний мембраны.
Обозначим через /(*, у, f) плотность
равнодействующей внешних сил, действующих на мембрану в точке
М (х, у) в момент времени / вдоль оси и, а через р (х, у) —
поверхностную плотность мембраны.
Применяя второй закон Ньютона к участку Sx
мембраны (за время At = t2 — t1), получаем искомое уравнение
в. интегральной форме:
S J [Щ {х, у у t2) - щ (х, у, tx)] р (х, у) dx dy =
h U
^\\\T Audxdydx + \\\\(x> у, %)dxdyd%.
/i St h St
Предполагая существование и непрерывность
соответствующих производных, легко получить
дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний мембраны:
TAu+f(x, yf t) = puu.
Это уравнение, очевидно, гиперболического типа.
Если р = const, то его можно написать в виде
a2Au + F{x, у, t) = uth (8)-
где а2 = Т/р, F(x9 уf t)=f(x, у, t)/p. Уравнение (8)
называется двумерным волновым уравнением.
§ 4. Уравнения гидродинамики и акустики
Движение сплошной среды характеризуется вектором
скорости v(x, у, г, t), давлением р(х, у, г, /) и
плотностью р(х, у, г, t). В качестве такой среды мы будем
рассматривать идеальную жидкость (газ).
26
Рассмотрим некоторый объем кидкости D,
ограниченный поверхностью S. Давление, действующее на этот
объем, равно
~~ \\рп dsf
s
где п — единичный вектор внутренней нормали к S.
По формуле Остроградского получим
S D
где V/? — градиент, р.
При отсутствии внешних сил уравнение движения
объема D можно написать в виде
D D
Из него в силу произвольности D получаем уравнение
движения в форме Эйлера:
pg + V/?==0. (9)
Здесь -^- — ускорение частицы, равное
dv , dv , dv , dv
■§t+viTx + v*Ty + v*di'
Если внутри D нет источников (стоков), то изменение
в единицу времени количества жидкости, заключенной
внутри D, равно потоку жидкости через границу S, т. е.
D S
Применяя к правой части формулу Остроградского, полу-
D
откуда следует уравнение неразрывности среды
!+div(p*) = 0. (Ю)
Рассмотрим адиабатические движения газа, для которых
справедливо соотношение
р = Ро(р/р0)\ (И)
27
где у = Cp/cv, cpy cv — удельные теплоемкости соответственно
при постоянном давлении и постоянном объеме; р0, р0~
начальные значения давления и плотности. Нелинейные
уравнения (9) — A1) образуют полную систему уравнений,
описывающих адиабатические движения идеального газа.
Они называются уравнениями газодинамики.
Введем в рассмотрение уплотнение газа а:
<т = (р-ро)/роГ Р = РоA+<*). A2)
Если ограничиться рассмотрением малых колебаний,
в которых можно пренебречь вторыми (и более высокими)
степенями уплотнения, скорости и градиентов скоростей
и давлений, то уравнение (9) и A1) допускают
существенные упрощения (линеаризацию).
Действительно, при указанных допущениях имеем
i-==-.T^-- = i(l~a + a2--...)^^(l--cT),
Р Ро 1+<* PoV ' ' PoV '
P = Po(l+°)y^p0(\+ye), A3)
lvp^i(l-a)VpMl-a)Mva (если p0=* const),
div(p©)^p0div[(l +a)v] ^p0div (v) (если р0 = const).
Поэтому, отбрасывая в уравнениях (9) и A0) члены более
высокого порядка малости, получаем
^ + a2Va = 0 (a2 = YPo/po), ot + div(v) = 0. A4)
Применим к первому уравнению A4) оператор div, а ко
второму — -Qi. Результаты вычтем один из другого —по-
ЛУЧИМ ^ a«Aa = a«.. A5)
Из соотношений A2), A3) и A4) находим аналогичные
уравнения для р и р:
a2Ap = ptti a2Ap = pt<. A6)
Уравнения A5) и A6) называются уравнения акустики.
Они, очевидно, гиперболического типа. Такие уравнения
называют также трехмерными волновыми уравнениями.
Далее, из первого уравнения A4) находим
*>(х, У, г, 0 =
= v{x, У у z, 0) — a2\Vodx = v(x, уу г, 0)-VKa2adt
о \о
28
Предположим, что в начальный момент (^ = 0) поле
скоростей имеет потенциал f(x, у, г), т. е. v\t-0~
= —v/4*> У* ^). т°гда v(x, у, г, t) = — V{f(x9 у, г) +
+ а2 ^ a do\ = — Vu; следовательно, поле скоростей имеет
о J
потенциал и и для t>0
t
u = f(x, у, z) + a2^od%.
о
Дифференцируя это соотношение по t, находим щ — а2в,
utt = a2(jt. Заменяя во втором уравнении A4) at и v их
выражениями через и, получаем
а2Ди = %. A7)
Таким образом, и потенциал поля скоростей
удовлетворяет волновому уравнению.
§ 5. Уравнения для напряженности электрического
и магнитного полей в вакууме
Напишем уравнейия Максвелла в вакууме для области,
в которой нет электрических зарядов:
rot£ = — Щ, div£ = 0, div//=0, rot//=~^J,
с ot ' с at •
A8)
где Я—напряженность магнитного поля, £
—напряженность электрического поля.
Применяя операцию'rot к первому уравнению, получим
rot rot £ = =^ J rot//. A9)
По известной' формуле векторного анализа
rotrot£ = V(div£)-A£.
В нашем случае rot rot E= — AZJ, поскольку div Е == 0.
Подставляя это значение в формулу A9) и используя
последнее уравнение системы A8), получаем волновое
уравнение для Е:
c*/S>E = Eti. B0)
Аналогично (путем, применения оператора rot к обеим
частям последнего уравнения системы A8)) получается
уравнение с2Д//=//^.
29
§ 6. Уравнения теплопроводности и диффузии
Выведем, уравнение, описывающее распределение
температуры в теле.
Пусть и(М, t) — температура тела в точке М в момент
времени t. При выводе уравнения будем пользоваться
законом Фурье для плотности потока тепла w в
направлении п в единицу времени:
on
Здесь k — коэффициент теплопроводности. Он может быть
функцией температуры, точки и времени: k=±k(u, M, /).
Рассмотрим часть тела D, ограниченную поверхностью S.
Обозначим через f(M, t) плотность источников тепла.
Подсчитаем баланс тепла для D за малое время At:
Q1 = ^^f(Mi t)<hAi — приход за счет источников;
D
Q2= — \ \ k^daAt —расход за счет выходящего
^s n из D потока;
здесь производная -^ берется по направлению внешней
нормали к S;
Q3 = ^ ^ срщ d% At — расход на изменение температуры,
d где с —коэффициент теплоемкости,
р —плотность вещества.
Закон сохранения энергии требует, чтобы Qi = Q2 + Q3»
или
S D D
Применяя к первому интегралу формулу Остроградского,
получаем
$J$[div(*Va)+/(M, t)]dx=\\\cputdxy
D D
откуда, ввиду произвольности области D, следует
искомое уравнение теплопроводности:
div(kVu) + f(M, Ц = срщ. B1)
30
Совершенно аналогично выводится уравнение
диффузии. При этом надо пользоваться законом Нернста для
потока вещества w в направлении п:
ъди
w = — D-jt.
on
Здесь и = и (М, t) — концентрация диффундирующего
вещества (газа, жидкости), D — коэффициент диффузии. В
формуле для Q3 вместо ф надо написать коэффициент
пористости с среды, в которой происходит диффузия.
Уравнение диффузии имеет вид
div(DVa)+/(Af, Г) = сщ. B2)
По физическому смыслу k и D положительны. Поэтому
уравнения B1) и B2) параболического типа.
Задачи об отыскании установившейся температуры или
концентрации приводят, очевидно, к уравнению
эллиптического типа d{v {k щ = _ дМ)>
если k> с, р и / (соответственно D и с) не зависят от /,
§ 7. Кинетическое уравнение*)
1. Впервые кинетические уравнения были введены Больцманом
в кинетической теории газов.
В 30-х годах, с возникновением задач нейтронной физики,
кинетическое уравнение нашло приложение в вопросах прохождения
нейтронов через вещество.
В настоящее время оно находит разнообразные применения в
задачах, связанных с прохождением через вещество элементарных
частиц и различных видов излучения (в последнем случае его
называют уравнением переноса).
Гидродинамические уравнения Эйлера и Навье — Стокса являются
приближениями к строгому кинетическому уравнению Больцмана.
Рассмотрим кинетическое уравнение, описывающее процесс
распространения нейтронов в некотором веществе. Это уравнение
выводится при следующих предположениях.
\) Внешние силы не действуют на рассматриваемые4 частицы (на
нейтроны). Нейтроны не имеют электрического заряда, и поэтому,
если даже вещество ионизовано, действие электромагнитного поля
на нейтроны равно нулю. Если бы мы выводили кинетическое
уравнение для электронов в плазме, то такое предположение было бы
неверным.
2) Частицы (т. е. нейтроны) между собой не сталкиваются
(концентрация нейтронов гораздо меньше концентрации ядер в реакторе).
3) Ядра среды считаем неподвижными. Пренебрегаем
химическими связями.
*) Этот параграф написан с участием А. Ф. Никифорова.
31
При этом возможны следующие процессы:
а) Рассеяние нейтронов на ядрах. Пусть а5 — вероятность
рассеяния одного нейтрона на единице длины его пути в заданной среде
(по-английски рассеяние — scattering).
б) Поглощение (захват) нейтронов ядрами. Пусть <хс —
вероятность поглощения нейтрона на единице длины его пути (по-английски
захват—capture).
в) Поглощение с последующим делением ядра, в результате
которого из осколков ядра в момент захвата нейтрона ядром
испускаются в среднем v нейтронов (запаздывающими нейтронами*,
которые вылетают из осколков через некоторое время после деления,
будем пренебрегать). Пусть 'О/ — соответствующая вероятность вызвать
деление (по-английски деление —fission).
Примечание 1. Значение as и соответствующее
эффективное сечение рассеяния нейтрона на ядре gs связаны соотношением
as — Nos, где N — концентрация ядер, и т. п.
2. Пусть W (r, v, ^ — функция распределения нейтронов по
координатам и по скоростям, так что У (г, v, t)drdv — число
нейтронов в элементе объема dr — dx dy dz со скоростями, лежащими в
«интервале» (т>, v + Av), где Av — (dvXi dvyi dvz) — вектор с компонентами
dvX9 dvy, dv2:
dv — dvx- dvy • dvz.
Согласно определению функции У концентрация нейтронов п
в точке г в момент времени t равна
n = j^(r, 0, t)dv.
V
Подсчитаем изменение за время dt числа нейтронов, имеющих
скорости, лежащие в «интервале» (v, v-\-Av), в некотором
фиксированном элементе объема dr. Этот элемент объема dr будем
предполагать неподвижным в рассматриваемой «лабораторной» системе
координат. Кроме того, будем считать, что в элементе объема dr
содержится достаточно большое число нейтронов и ядер.
Итак, имеем:
1) У (г, v, t) dr dv нейтронов уйдут из рассматриваемого
элемента объема dr, так как они имеют отличную от нуля скорость;
У (г — v dt, v, t)drdv нейтронов придут в элемент dr (по инерции);
полагаем при этом, что vdt^> d(dr), где d(dr)— диаметр элемента
объема dr.
2) При взаимодействии с ядрами произойдет уменьшение числа
нейтронов в рассматриваемом объеме соответственно на величины:
W (r, v, t) dr dv as (v) v dt (за счет рассеяния);
У (г, v, t) dr dv ac (v) v dt (за счет поглощения);
W (г, vy t) dr dv af (v) v dt (за счет деления).
Общее уменьшение за счет всех трех упомянутых процессов
будет равно
У (г, v, t)drdva(v)vdt.
Здесь a (v) v dt = {as (v) + ac (v) + ay (v)] v dt дает суммарную
вероятность лровзаимодействовать одному нейтрону с ядрами на пути
длины vdt.
32
3) Пусть ws (v* —* v) dv есть вероятность нейтрону, имеющему
скорость v\ рассеяться после соударения с ядром в «интервал»
скоростей (v, v+Av), т. е. получить скорость из «интервала» (v, v-\-Av).
Короче будем выражать это словами: при рассеянии скорость
нейтрона изменилась с v/ на v.
Тогда число нейтронов, скорость которых v' в результате
рассеяния на ядрах, содержащихся в dr, изменится по величине и
направлению так, что станет равна v, будет равно следующему
интегралу по всем возможным значениям скоростей v'\
^ dv' [Ч (г, v\ t) dras (v') vf dt ws (vf -> v) dv].
v'
4) Число нейтронов со скоростью v, появившихся в результате
деления ядер нейтронами со скоростями v\ из аналогичных
соображений равно
j dv' [У (г, v'9 t) dr a/ (v') v' dt wf (v' -+v)dvv (v')].
v'
Здесь Wf (v' —+ v) dv есть вероятность иметь испущенному осколком
нейтрону скорость в «интервале» (v, v-{-Av)y если деление вызвал
нейтрон со скоростью v'\ v (v') — среднее число вторичных нейтронов,
возникающих от одного поглощенного нейтрона, имевшего скорость v'.
5) Посторонние источники нейтронов дают количество нейтронов,
равное F (r, v, t) dr dv dt.
Напишем закон сохранения числа нейтронов (баланс нейтронов).
Общее изменение числа нейтронов со скоростью из «интервала»
(v, v-\-Av) в фиксированном элементе объема dr за время dt по
определению частной производной по времени равно
щЧ{г, v, t)drdvdt.
Следовательно, баланс нейтронов запишется в виде
Ч (r — v dt, v, t) dr dv-Ч (r, v, t) dr dv —
, — 4 (r, *, 0 a (v) drdv-vdt +
+ ^ V (r, v\ t) as (i/) ws {v' — v) dr dv • v' dt dv' +
V'
+ J Y (r, v\ t) af (v') v (v') wf (v' ~-*v)drdv.v dt dv' +
v'
+ F(rt v, t)drdvdt = ~4(r, v, t)drdvdt.
Так как
дЧ
Y(r, v, f)-4(r-vdt, v,t) = ^:vdt = {vgrad4r)dt,
то после суммирования и сокращения на dr dv dt получим
кинетическое уравнение, описывающее процесс распространения нейтронов
в среде, в виде
-^ + vgrad4 = —av4 + F(ri v, *) +
+ l[as{v')ws(v' ~-+v) + v(v')af(vf)wf(v'--v)}4 {rf v', t)v' dv. B3)
2 Ве Я, Арсенин 33
Вероятности ws и Wf, входящие в B3), очевидно, должны быть
нормированы следующим .образом:
\ws {vf—» v) dv — 1, ^Wf(v' —»v) dv — l.
V V
Замечание. При рассмотрении переноса излучения
уравнение будет иметь аналогичный вид. Роль скорости частиц будет играть
частота со, так как импульс фотона р = йсо/с (U — постоянная Планка,
с —скорость света)*).
3. При исследовании уравнения B3) возникают серьезные
математические трудности. Поэтому часто ограничиваются рассмотрением
случая, когда скорости всех нейтронов одинаковы по величине (одно-
скоростное кинетическое уравнение). Точнее, рассматривают
уравнение при дополнительных предположениях:
Рассеяние происходит без изменения величины скорости, и при
делении возникают нейтроны той же энергии, что и вызывающие
деление.
Для упрощения уравнения предположим дополнительно, что
распределение нейтронов после рассеяния и деления равномерно по
направлениям скоростей в рассматриваемой системе координат, или,
как говорят, изотропно.
Поскольку величина скорости всех нейтронов одна и та же (и),
то величины as (и), ас (у), af (v) и v (v) в этом случае будут
постоянными.
Примечание 2. Рассеяние нейтронов может быть как
упругим (в основном на легких ядрах), так и неупругим (на тяжелых
ядрах). Это связано с энергией нейтрона и характером
расположения уровней возбужденных состояний ядер по отношению к
основному состоянию. В системе центра тяжести нейтрона и ядра
упругое рассеяние сферически-симметрично, если длина волны нейтрона
гораздо больше размеров ядра. В лабораторной системе отсчета при
этом условии рассеяние можно считать изотропным, если
лабораторная система практически совпадает с системой центра тяжести, т. е.
рассеяние нейтронов происходит на тяжелых ядрах, которые мы
предполагаем в лабораторной системе покоящимися.
Проще всего односкоростное кинетическое уравнение можно
получить, если повторить вывод кинетического уравнения для односко-
ростного случая при перечисленных дополнительных предположениях.
Так как скорость нейтрона в этом случае изменяется только по
направлению l = v/v (величина скорости v постоянна для всех
нейтронов), то вместо величин ws (vf —>v)dv^ wj (v' —► v) dv надо, очевидно,
использовать величины ws (V —* I) dQ и Wf (V —*-1) dQ, где dQ —
элемент телесного.угла в направлении /, причем для изотропного случая
(см. дополнительное предположение) ws — l/4n, оу=1/4я. Функцию
распределения ¥ (г, /, t) в односкоростном случае по определению
вводят таким образом, что Ч^г, /, 1) dr dQ есть число нейтронов
в элементе объема dr со скоростями, направления которых
содержатся в телесном угле dQ, охватывающем вектор I.
*) Подробный вывод уравнения переноса можно найти в книге
Д. А. Франк-Каменец ко г о «Физические процессы внутри
звезд». Физматгиз, 1959.
34
В результате для функции ¥ (г, /, t) получим следующее
уравнение;
V W + (*> V4>)=—а* + 4~ \ *(г, *', 0 <М'. B4)
Здесь a = as + ac + 0/, C = a5 + va/. Кроме того, мы предположили
здесь для простоты, что источников нейтронов нет.
Если в уравнении B4) функция Т (г, I, t) зависит по
пространству лишь от одной переменной х, а зависимость от I
характеризуется лишь углом 6 между осью X и направлением скорости I
(азимутальной зависимости от угла <р нет), то возможны дальнейшие
упрощения. Так как dQ = sin б db a<p, то после интегрирования в
правой части B4) по углу ср получим
п
1Г?+С08б^=~аТ+2 JT(*' e'0sin§d6. B5)
о
Если произвести в B5) замену переменной |л == cos 6, то
уравнение B3) можно записать также в виде
1 дЧ д¥ В ?
tS+^S^-0^-1 $ *<*»^оф- B6)
-1
Так как уравнение B6) является однородным, то можно принять
следующую нормировку для функции ¥ (я, jjt, t):
1
\ Ч? (х, [л, t)du = n,
~i
где л— концентрация нейтронов.
4. В задачах, связанных с расчетом ядерных реакторов,
представляет интерес решение стационарного кинетического уравнения,
когда -ят = 0. В этом случае уравнение B6) принимает вид
I
^=-a¥ + | ^V(xt |х)ф. B7)
-l
Введем моменты функции распределения
1
¥*(*)= \ №(*, V)d)i F = 0,1, ,..).
-1
Умножая B7) на \x,k и интегрируя гю ц, будем иметь
*fa±l. «♦* + ¥?^П5-[1-(-1)*«1^ B8)
Полагая в B8) последовательно &=0, 1, 2, ..., можно
выразить каждый из моментов *Pfe через W0. Однако полученная система
уравнений не замкнется, т. е. число уравнений будет меньше числа
неизвестных. Для ее решения введем дополнительные предположения.
2* 35
Будем считать, что распределение нейтронов по пространству
имеет вид (близко к равновесному) W (х, \.i)=a {x) + b (х) ц. Здесь
второе слагаемое носит характер поправки к первому ф << а). В этом
приближении
1
' П(*Н 5 (fl+^)|i*d|i=^[i-bi)*+i] + ^[i-(-i)*-Hi].
Отсюда
Полагая в B8) & = 0, 1, получим
<g-<P-«)*0, § = ~^. B9)
Подставим в B9) Та = -«- %. Получим
^-<Р-«>*.. J5—V C0)
Мы получили систему двух уравнений для двух функций ¥0 и Ч?±.
Удобно перейти от функций ¥0 и Чг1 к концентрации нейтронов п и
плотности потока нейтронов / в направлении х. Имеем
1 1
п= \ Ч(х, \i)d\i = W0, /= \ v\№(x, |x) rffx = oYt.
-l -l
Перепишем систему C0), вводя функции п и / вместо W0 и Ч^:
dj /о ч у ^
или
' = -<№ -з^^ = у(р-а)п-
Положим а/Cа) = D. Тогда первое из уравнений дает закон
Нернста, где D — коэффициент диффузии, а второе —уравнение
диффузии в одномерном стационарном случае:
'-°й. sg + ,(P-a)n = 0. CD
Член i>(|3 —a)n представляет источники.
Заметим, что полученные уравнения справедливы и в
анизотропном случае, когда а<^Ь, но 4я = a+b\i.
Если в рассмотренном приближении повторить весь вывод для
пространственного нестационарного "случая, то мы придем к системе
уравнений, аналогичной C1):
/' = —Dgrad/i, ^t = DAn + v($-a)n. C2)
36
§ 8. Типы краевых условий. Постановка краевых задач
1. При решении задач физики или других областей
науки математическими методами необходимо прежде всего
дать математическую постановку задачи, а именно:
а) написать уравнение (или систему уравнений),
которому удовлетворяет искомая функция (или система
функций), описывающая исследуемое явление;
б) написать дополнительные условия, которым должна
удовлетворять искомая функция на границах области ее
определения.
При решении каждой конкретной физической задачи
математическими методами надо ставить вопрос не о peine-'
нии соответствующего уравнения, а о решении
математической задачи в ее полной постановке, вместе с
соответствующими дополнительными условиями. Обычно
интересующие нас явления имеют однозначный характер, в то
время как описывающие их уравнения имеют множество-
решений. Поэтому при математической постановке задачи
недостаточно написать уравнение (или систему), которому
удовлетворяет искомая функция (система функций). Надо
также указать дополнительные условия, позволяющие
выделить лишь одно интересующее нас решение,
описывающее конкретное явление, процесс. Дополнительных
условий должно быть «не слишком много», чтобы
существовало решение, удовлетворяющее им. Таким образом,
дополнительные условия должны обеспечить существование
и единственность решения.
Характер дополнительных условий мы покажем на
примерах задач, рассмотренных в предыдущих параграфах.
Например, в случае колебаний струны или стержня
(уравнения C) и E)) надо задать начальный профиль
и(х, 0) = ц)(х)
и начальную скорость
М*> 0)-*=1|>(*)
точек струны (стержня).
Это начальные условия. Аналогичный вид они имеют
для любого волнового уравнения.
Кроме того, надо записать режим на концах (краях)
струны (стержня).
Так, если задан закон движения концов (* = 0 и * = /)
и (О, t) = \Lx{t), иA, 0 = М0»
37
то мы будем называть такие дополнительные условия
краевыми (граничными) условиями первого типа.
Если задан закон изменения силы, приложенной к концу
струны (стержня) и действующей в направлении
колебаний, то режим на концах можно записать следующим
образом:
Еих \х_0 = Д @, Еих \х_г = /2 (t)
или
МО, 0 = vi@t МЛ 0 = va(f).
Это краевые условия второго типа.
Пусть к концу стержня (# = /) прикреплена пружина,
действующая вдоль оси х. Тогда сила натяжения Еих на
конце будет уравновешиваться силой действия пружины,
равной аи. Краевой режим на этом конце можно записать
следующим образом:
Eux(l9 t) = — au(ly t)9
где а — коэффициент жесткости пружины, или
МЛ t) + hu(l, /) = 0.
Если пружина в свою очередь движется по закону
дг = Р G), то краевой режим запишется в виде
МЛ t) + h[u(l,t)-$(t)] = 0.
Это краевое условие третьего типа. На левом конце
(х = 0) оно запишется в виде
МО, t)-h[u@9 /)-P@J = 0.
Для дву- и трехмерного случаев рассмотренные типы
краевых условий имеют следующий вид:
и \s =р{М, t) (первый тип), C3)
ди' = v (M, t) (второй тип),, C4)
дп
Тп + Ни
= Р(Л1, t) (третий тип). C5)
Здесь y — производная по внешней нормали к
поверхности S.
Такие же краевые условия встречаются и в задачах,
приводящих к уравнениям параболического типа. Так,
если задается температура на поверхности тела, то имеем
краевое условие первого типа. Если задается плотцосп?
3S
потока тепла —ky через поверхность тела S, то имеем
краевое условие второго типа. Если же на поверхности
тела происходит теплообмен со средой, имеющей
температуру Р(М, t)y по закону Ньютона — k~ = h[u — P]|s, то
имеем краевое условие третьего типа.
Встречаются и другие типы краевых условий.
Некоторые из них мы рассмотрим позднее. Рассмотренные типы
краевых условий являются линейными, поскольку искомая
функция или ее производные входят линейно. Они
называются однородными, если правые части ((л, v, p)
тождественно равны нулю, и неоднородными в противном случае.
Очевидно, такие же краевые условия встречаются и
в задачах, приводящих к уравнению эллиптического типа.
Физическое истолкование каждого из них не представляет
никаких трудностей.
Краевые условия определяются физической постановкой
задачи и могут иметь разнообразный характер. В
частности, они могут быть и нелинейными.
Теперь мы приведем постановку соответствующих трех
типов краевых задач для уравнений вида
div (kVu) — qu + f(M, 0 = Р«« C6)
И div(k4u)-qu + f(M.t) = put, C7)
где k, q, р — функции точки М.
Все рассмотренные нами выше уравнения принадлежали
к этому виду с q = 0.
Первая краевая задача. Найти функциюи(М9 t),
удовлетворяющую в области B = {M&:D, t>0)
уравнению C6) (соответственно C7)) и дополнительным условиям:
а) начальным
иЩ, 0) = ср(М), щ(М,0)=У(М) для MeD
(соответственно и {М, 0) = q> (M)),
б) краевым
и(М, t)\s = \i(M, t) для />0.
Вторая (третья) краевая задача ставится аналогично с
заменой краевого условия первого типа условием второго
(третьего) типа.
Замечание. Все рассмотренные типы краевых
условий можно записать одним соотношением
{yiWd£+y*№u}s=$(M9t).
39
При Yi = 0 получим краевое условие первого типа, при
■у2 = 0 — краевое условие второго типа, а при уг Ф О и
Уъ ^ 0 — условие третьего типа.'
Частным случаем этих задач является задача о
распространении краевого режима:
Найти функцию и(М, t), удовлетворяющую в В
уравнению C6) (соответственно C7)) и дополнительным
условиям ( Л,.' ч
\yi(M)% + y2{M)u}s = ${M9t), t>0,
u(M,0) = ut (М, 0) = 0 (или и (М, 0) = 0).
Легко представить себе задачи, в которых нас будут
интересовать значения искомой функции и(М, t) в
точках М, настолько удаленных от границы области S, что
влиянием граничного режима на эти точки можно
пренебречь. Это оправдывает постановку следующей задачи.
Задача Кош и. Найти функцию и(М, f)>
удовлетворяющую при t>0 уравнению C6) (соответственно C7))
в любой точке М пространства, а также начальным
условиям ищ^ 0)==ф(Д4), Щ(М, 0) = г|>(М)
(соответственно и(М, 0) = ф(М)).
Более общая форма задачи Коши для уравнения
'ai\Uxx + 2a12uxy-\ra22Uyy + F(х, у, и, их, Оу) = 0, C8)
где и = и (х, у), состоит в следующем.
Пусть С —гладкая кривая и фх(#, у), ср2 (х, у) — заданные на ней
функции. Задача Коши состоит в нахождении решения уравнения C8)
в некоторой области, примыкающей к кривой С, удовлетворяющего
условиям
и c = <Pi(*. У)* ЩС = У*(Х> У>}'
Здесь ^ производная по нормали к кривой С; в точках этой кривой.
Аналогичную постановку можно указать и для многомерного
случая, когда функция и зависит более чем от двух переменных.
Для уравнения эллиптического типа краевые задачи
ставятся следующим образом: найти функцию и (М),
удовлетворяющую в области D уравнению
div [k (M) Vu]-q{M)u = — f (M),
а на границе S краевому условию
{yi{M)pn + yt(M)ti}s = t(M).
40
Если Yi = 0> Т0 имеем первую краевую задачу, если
у2 = О — вторую, а при уг Ф О и у2 Ф О — третью.
Замечание. Замкнутая поверхность S ограничивает
две области: внутреннюю D и внешнюю Dv При
постановке краевых задач надо оговаривать, для какой
из двух областей (по координатам) требуется искать
решение.
В соответствии с этим различают внутренние и внешние
краевые задачи. Это существенно прежде всего для
уравнений эллиптического типа.
В последующих главах мы будем рассматривать
главным образом методы решения указанных классов задач.
Вопросы единственности решения этих задач
рассматриваются в гл. VIII.
2. В задачах, описывающих реальные физические
процессы, явления, связи," величины, образующие «исходные
данные» («исходную информацию»)— например, начальные
и граничные значения искомого решения (или результатов
заданных операций над ним) и другие — обычно
получаются путем измерений и потому являются
приближенными.
Обычно эти приближенные значения мало отличаются
от точных значений соответствующих величин и
погрешность имеет случайный характер. Возникает вопрос: как
эти «малые» изменения исходных данных (например,
начальных значений) будут сказываться на решении? Если
«малые» изменения исходных данных могут приводить,
к «большим» изменениям решения, то часто становится
затруднительным (или даже невозможным) дать
физическую интерпретацию такого решения. Для однозначной
физической интерпретации решения задачи необходимо,
очевидно, чтобы малым изменениям «исходных данных»
задачи отвечали малые изменения решения. Точнее,
решение должно непрерывно зависеть (в заранее определенном
смысле) от «исходных данных». Это свойство решения часто
называют устойчивостью решения к малым
изменениям «исходных данных». Для каждой задачи
математической физики, кроме существования и единственности ее
решения, надо выяснить, обладает ли свойством
устойчивости к «исходным данным» предлагаемый способ
построения решения (точного или приближенного). Вопросы
устойчивости рассматриваются при изложении методов решения
соответствующих задач. Этим вопросам посвящена также
глава XII.
41
ЗАДАЧИ
1. Верхний конец упругого, однородного, вертикально
подвешенного тяжелого стержня длины / жестко прикреплен к потолку
свободно падающего лифта, который, достигнув скорости v0t мгновенно
останавливается. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях
этого стержня..
2. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях
струны в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости,
предполагая, что концы струны закреплены жестко.
3. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях,
вызванных начальным возмущением, для упругого стержня (O^x^l)
переменного сечения 5 (х), концы которого упруго закреплены (с помощью
пружины). Плотность массы равна р (х), модуль упругости равен Е (х).
Деформациями поперечных сечений пренебречь.
4. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях тяжелой
струны относительно вертикального положения равновесия, если ее
верхний конец (х = 0) жестко закреплен, а нижний свободен.
5. Рассмотреть задачу 4 в предположении, что струна вращается
с угловой скоростью со = const относительно вертикального
положения равновесия.
6. Невесомая струна при вращении вокруг вертикальной оси
с постоянной угловой скоростью со находится в горизонтальной
плоскости, причем один конец струны (х = 0) прикреплен к некоторой
точке оси, а другой свободен. В начальный момент времени ^ = 0
точкам струны сообщают малые отклонения и скорости по нормалям
к этой плоскости. Поставить краевую задачу для определения
отклонений точек струны от плоскости равновесного движения.
7. Упругий однородный цилиндр выводится из состояния покоя
тем, что в момент времени t = 0 его поперечные сечения получают
малые повороты б в своих Плоскостях относительно оси цилиндра.
Поставить краевую задачу о малых крутильных колебаниях этого
цилиндра, если концы его жестко закреплены (или свободны).
8. Поструне O^x^l с неподвижно закрепленными концами
и пренебрежимо малым сопротивлением, находящейся в постоянном
магнитном поле Я, с момента t — 0 пропускается ток силы / (t).
Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях этой струны под
действием пондеромоторных сил.
9. Два полубесконечных однородных упругих стержня с
одинаковыми поперечными сечениями соединены торцами и составляют
один бесконечный стержень. Пусть рх, ^ — плотность массы и модуль
упругости одного из них, а р2, £2--ДРУГ0Г0- Поставить задачу
о малых продольных колебаниях этого стержня под действием
начального возмущения.
10. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях струны с
закрепленными концами, нагруженной в точкех0сосредоточенной массой т.
11. Поставить задачу о поперечных колебаниях бесконечной
струны под действием силы F (/), приложенной, начиная с момента
t = 0, в точке х = х0, перемещающейся вдоль струны со скоростью v0.
12. Вывести уравнения для определения силы и напряжения
переменного тока (систему телеграфных уравнений), идущего вдоль
тонкого провоДа е непрерывно распределенными по длине: омическим
сопротивлением R, емкостью С, самоиндукцией L и утечкой G,
рассчитанными на единицу длины. Указание: воспользоваться
законом Ома и законом сохранения количества электричества.
42
13. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях
в проводе с пренебрежимо малыми сопротивлением -и утечкой, если
концы провода заземлены: один —через сосредоточенное
сопротивление RQ, а другой —через сосредоточенную емкость С0.
14. Рассмотреть задачу 13, предполагая, что один конец
провода (* = 0) заземлен через сосредоточенную самоиндукцию L0l,
а к другому приложена э. д. с. Е (t) через сосредоточенную
самоиндукцию L02'.
15. Поставить задачу об электрических колебаниях в
бесконечном проводе без утечки, полученном соединением двух
полубесконечных проводов через сосредоточенную емкость С0.
16. На боковой поверхности тонкого стержня происходит
конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, температура
которой аср = ф (t). Поставить краевую задачу об определении
температуры стержня, если на одном конце его поддерживается температура
fi(t), а на другой подается тепловой поток q(t).
17. Поставить краевую задачу об определении температуры в
стержне, по которому пропускают постоянный электрический ток силы /,
если на поверхности стержня происходит конвективный теплообмен со
средой нулевой температуры, а концы его зажаты в массивные клеммы
с заданной теплоемкостью и очень большой теплопроводностью.
L8. Вывести уравнение диффузии в среде, движущейся со
скоростью v (х) в направлении оси х, если поверхностями равной
концентрации в каждый момент времени являются плоскости.,
перпендикулярные оси х.
19. Вывести уравнение диффузии в неподвижной среде для
вещества, частицы которого: а) распадаются (например, неустойчивый
газ) со скоростью, пропорциональной концентрации; б) размножаются
(например, нейтроны) со скоростью, пропорциональной их
концентрации.
20. Поставить задачу об определении температуры бесконечного
стержня, полученного соединением двух полубесконечных стержней,
сделанных из разных материалов, если эти стержни соединены:
а) непосредственно; б) с помощью массивной муфты с теплоемкостью С0
и очень большой теплопроводностью.
21. Поставить краевую задачу о нагревании полубесконечного
стержня, конец которого горит, причем фронт горения
распространяется со скоростью v и имеет температуру ф(^).
22. Поставить задачу о нагревании бесконечного тонкого стержня,
но которому скользит со скоростью v0 плотно прилегающая
электропечь мощности Q, если внешняя поверхность печи, не прилегающая
к стержню, теплоизолирована, а теплоемкость печи пренебрежимо
мала.
23. Поставить краевую задачу об остывании тонкого круглого
кольца, на поверхности которого происходит конвективный
теплообмен по закону Ньютона со средой, имеющей температуру uQ.
Неравномерностью распределения температуры по толщине пренебречь.
24. Вывести уравнение для процесса распространения плоского
Электромагнитного поля в прюводящей среде (т. е. в среде, в которой
токами смещения можно пренебречь по сравнению с токами
проводимости).
25. Исходя из уравнений Максвелла,
а) вывести уравнение для потенциала электростатического поля;
б) вывести уравнение для потенциала электрического поля
постоянного электрического тока.
Глава III
МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК
Одним 'из эффективных методов построения решений
и исследования свойств решений уравнений в частных
производных и систем таких уравнений является метод
характеристик. На его основе строятся также
приближенные методы получения численного решения систем
уравнений.
Для простоты изложения мы ограничимся
рассмотрением задач, в которых искомые решения являются
функциями от двух переменных *).
Как известно, производная функции f(x, у) в
фиксированной точке (Ху у) по направлению единичного
вектора / с компонентами cos a, cosjJ равна
dl
Выражение
^ = (VA/) = cosaf + cospf-
N дх + N ду>
где
N = YA2 + B\
можно рассматривать как производную функции /(#, у)
в точке {х, у) по направлению единичного вектора с
компонентами A/N, B/N.
*) Обстоятельное изложение метода характеристик, в том числе
и для многомерных задач, имеется в книге Б. Л.
Рождественского и Н. Н. Яненко «Системы квазилинейных уравнений»
(«Наука», 1968).
44
§ 1. Характеристическое направление и характеристики
оператора H[f\
1. Рассмотрим оператор
НЩ^А(х9 y)fx + B(x, y)fy9
ГДе tx — дх > 1У— ду'
Принимая во внимание сказанное выше, оператор Я [f]
во всякой фиксированной точке (х, у) можно
рассматривать как производную от f(x, у) по направлению вектора
l = (A/N, BIN), умноженную на N = y'A2 + B2, т. е.
Направление l = (A/N, BIN) называется
характеристическим направлением оператора Я [/] в фиксированной
точке (х, у).
Кривая, в каждой точке которой ее касательная имеет
характеристическое направление оператора H[f],
называется характеристикой оператора H[f].
Согласно определению, в каждой точке характеристики
выполняется соотношение
dx ~~ A * W
Это соотношение является дифференциальным уравнением
характеристик оператора Я. Это уравнение эквивалентно
системе лу ли
% = А{х,у), % = В{х,у). B)
2. Применим понятие характеристик к изучению урав-
нений вида Я [/]-Л/, + В/, = 0.
Эти понятия изучались в курсе обыкновенных
дифференциальных уравнений. Цель нашего рассмотрения состоит
в том, чтобы перенести эти понятия на системы
уравнений и с их помощью изучить некоторые важные
свойства решений.
Характеристиками уравнения Я [/] = 0 будем
называть характеристики оператора Я [/].
Теорема 1. Если функция f (х, у) удовлетворяет
уравнению Я [/] = 0, т. е. Я [/) =0, то на каждой
характеристике оператора Я f(x, y) = const.
45
Действительно, вдоль каждой характеристики имеем
df = fxdx + fydy = (fx d^ + fy -^ ) d%. Принимая во
внимание уравнения характеристик B), получим df = (Afx +
. + Bfy) dx = H [f] d% = 0. Отсюда
* и следует, что на каждой харак-
, _ , . теристике f(x, y)== const.
{xus о Физическая интерпретация
этого факта. Если у — время
(y = t), то теорема 1 означает,
что начальное состояние f(x, 0)
о\ х \г распространяется по
характеристикам. Чтобы найти f(x0, t0)
Рис- 6- в произвольной фиксированной
• точке (x0t /0)> надо через точку
(х0, t0) провести характеристику, найти ее точку
пересечения с осью /=*0. Пусть это будет точка (х0, 0). Тогда
/(*о. *о) = /(*о. 0) "(рис. 6).
Пример 1,- Рассмотрим уравнение аих + щ = 0. Для оператора
Н [u]^aux-\-tit дифференциальное уравнение характеристик имеет
вид -тг = а- Следовательно, характеристики суть прямые x—at~d =
= const. Эти характеристики заполняют всю плоскость (х, t). Вдоль
каждой характеристики и (х, /) = С1 = const. При этом Сг имеет
разные значения вдоль разных характеристик, т. е. C1 = f(d), или
и (xt t) = f (x — at). Функция f (z) может быть произвольной
дифференцируемой функцией. Выбирая функцию f (z) надлежащим образом,
можно решить задачу Коши.
Решение задачи Коши для уравнения аих-{гщ = 0 с начальным
условием и (*, 0) = ф (х) имеет вид
и(х, t) = q>(x — at).
§ 2. Характеристическая форма оператора
h[u, vl^HM + Hiiv]
Наша цель —ввести понятие характеристик и изучить
их свойства для систем уравнений. Для простоты
выкладок мы ограничимся системой двух уравнений (хотя
основные факты, которые мы получим для систем двух
уравнений, справедливы и для систем любого числа уравнений).
Для этого предварительно рассмотрим оператор h[u, v]
над двумя функциями h[u, v]=H1[u]-\-H2[v], где
H1[u] = Aux + Buyf H2[v]=Cvx + Dvy, A} В, С, D —
заданные функции от (х, у).
Операторы Н1[и] и #2[t>] Н^Д функциями и, v можно
рассматривать как умноженные соответственно на Nx =
46
= УЛ%-\-В2 и N2 = У С2 + D2 производные по
направлениям ll = (AINly B/Nt) и /j=(C/JV2, D/Nt), т. е. Нх[и\ =
Направления дифференцирования 1г и /2 совпадают
D Г)
только в случае, если-^- = -^, или ВС — AD = Oy т. е.
1г и /2 совпадают только в том случае, когда
А С
В D
= 0.
г> В D CD,
В этом случае из -^ = -=■ следует, что -j- = -g- = k, откуда
C = k-A, D = k-B, k = k(xy у). Следовательно,
Здесь -^- — дифференцирование вдоль кривой -^=Л,
f-=B, т. е. 4- = А 4- + В 4--
dx ' d% ox ' d#
Правую часть формулы C) будем называть
характеристической формой оператора h[u, v].
§ 3. Характеристическая форма пары операторов
hx\u, v\ и fi2{Uy v\
1. Рассмотрим два оператора
hi [и, v]*=A1ux + B1uy + C1vx + D1vy
и
/^[и, у] = Л2^л; + В2^ + С2иЛ; + 02^.
В каждом из этих операторов, согласно предыдущему,
дифференцирование производится по двум направлениям.
Из операторов hx и h2 можно составить еще один
оператор Л:
h[u, v] = /г1 + Яй2 =
MA1 + M2)ux+(B1 + XB2)uy-\-(C1 + lC2)vx+(D1 + XD2)vyy
где Х = Х(х, у) — некоторая функция.
Поставим задачу:
Найти такие значения X, чтобы в операторе h
дифференцирование каждой из функций и и v производилось только
в одном направлении.
47
:0. D)
В операторе h [u,v] дифференцирование функции и
производится в направлении l1 = {(A1 + hA2)/N1, (B1+XB2)/N1}}
а дифференцирование функции v — в направлении
/2 = {(Сг + XC2)/N2y (D± + XD2)/N2},
N± = У(А1 + Ы2у + (В1 + ХВ2)\
N2 = У(Сг + ЯС2J + (Dx + W2)\
Чтобы эти направления совпадали, необходимо и
достаточно, согласно предыдущему (§ 2), чтобы выполнялось
условие Ыз Bi + kB>
ICx + ХСз Di + XZ>2 I
Из этого условия находим X.
2. Для определения X мы имеем квадратное
уравнение. Из него находим два значения: Хъ Я2^Эти значения
называют характеристическими значениями пары
операторов (hv h2). Каждое из этих значений определяет
направление, к дифференцированию вдоль которого
сводится оператор А.^ Для каждого из полученных
значений X получим свой оператор h:
Г г 1 du . * , ч dv
где
-^ = (Л1 + М2)ж + (^ + №)^.
Таким образом, из двух исходных операторов hx и h2
молжно получить два других оператора hx и h2> в каждом
из которых дифференцирование функций и и v
производится лишь в одном направлении. Эти направления
называются характеристическими направлениями пары
операторов hx и h2. Мы будем называть их первым (для Хг) и
вторым (для Х2) характеристическими направлениями.
1. Если Хг и Х2 вещественны и различны, пара
операторов hx и h2 называется гиперболической,
48
2. Если Ях и Я2 комплексны, пара операторов hx и h2
называется эллиптической.
3. Если Х1 = Х2У пара операторов Нг и h2 называется
параболической.
Кривая, в каждой точке которой ее касательная
имеет первое характеристическое направление пары
операторов (/*!, h2), называется характеристикой первого
семейства пары операторов (hlf h2). Кривая, в каждой
точке которой ее касательная имеет второе
характеристическое направление пары операторов (hlf h2), называется
характеристикой второго семейства пары операторов
(hu h2). Таким образом, в гиперболическом случае мы
имеем * два семейства характеристик, дифференциальные
уравнения которых имеют вид
dx __ dy dx __ dy ,-.
Л1 + М2 ~~ B1 + X1B2 И At + X2A2 ~~ B1 + l?B2 ' &'
В параболическом случае имеется одно семейство
характеристик, в эллиптическом —два мнимых семейства.
Замечание. В рассмотренном нами случае
операторы ht и h2 — линейные и их характеристики не
зависят от функций и и v.
3. Рассмотрим систему линейных уравнений
К I"» v\ = %i (*> У)> К [и. v] = Ш2 (х, у). F)
Она называется гиперболической, если пара операторов
(Лц fh) гиперболична, т. е. если Х2 и Х2 вещественны и
различны.
Система F) называется эллиптической, если пара
операторов (/*!, h2) эллиптична. Аналогично определяется
параболическая система. Мы в дальнейшем будем
рассматривать только гиперболические системы.
Характеристиками системы F) будем называть
характеристики пары операторов hx [uy v], h2[u, v].
Замечание. Понятие характеристик системы F)
вместе с их дифференциальными уравнениями E) остается
неизменным, если правые части системы Шг и %% являются
функциями ху у, и, v.
Систему F) можно заменить эквивалентной ей системой,
называемой характеристической формой системы F):
^+ki(x, у) -^-=Ш1 + Х1Ш2,
49
4. Если в уравнении второго порядка
ап(х, у)ихх + 2а12(х, у)иху + а22{х, У)иуу-=
= /(*, У, tixy uy) (8)
положить ux = w, uy = v, то оно сведется к
эквивалентной системе
Яп^л- + a12wy + a12vx + a22vy = f (x, у, w, v),
wy-vx = 0. (9)
Возникают вопросы: 1) Если уравнение (8)
гиперболично (эллиптично, параболично) в некоторой области D, то
будет ли гиперболичной (эллиптичной, параболичной) в D
система (9)? 2) Будут ли характеристики уравнения (8),
определенные в гл. I, совпадать с характеристиками
системы (9)?
Нетрудно дать утвердительные ответы на эти вопросы
и доказать, таким образом, эквивалентность понятий
характеристик уравнения (8) и эквивалентной ему
системы (9). В самом деле, уравнение для нахождения
характеристических значений системы (9) имеет вид
|яп "* + *■] Q или Я2 = а212-япа22 = Д.
I *12 — ^ *22 I
Следовательно, Xli2 = ±]/~A. Отсюда следует
утвердительный ответ на первый вопрос.
Дифференциальные уравнения характеристик системы
(9) согласно E) имеют вид
dy_ =ai2_+yA_ d£ __ a12 — VK
dx аи dx an
и совпадают с уравнениями характеристик A1) гл. I
уравнения (8). Мы получили утвердительный ответ и на
второй вопрос.
§ 4. Гиперболические системы с постоянными
коэффициентами
1. Пусть S1 = &2 = 0t а Аъ А2\ Въ В2\ Съ С2; Dl9 D2 —
постоянные. Тогда, очевидно, и %19 ^ — постоянные.
Дифференциальные уравнения характеристик в этом случае
имеют вид
dy _ Д1 + М2 _ 1 dy ==B1 + %2B2 = 1
' dx ~~ Ax + kiA% ~~ ах ' dx ~~ А1 + Х2А2' ~~ а% '
50
где ах и я2— постоянные. Следовательно, характеристики
суть прямые x — a1y = d1, x — a2y = d2.
Характеристическая форма системы имеет вид
du , , dv d' , . * ч Л
(Щ
где
*i = feU = const' *2 = лТТЖ = const
Полагая r = w + £1p, s = u-\-k2vy систему A0) можно
записать в виде
d%x и> d%% u*
Следовательно, вдоль каждой характеристики 1-го
семейства (т. е. вдоль линии х — аху = d±) r = u + kxv = b± = const.
Таким образом, г —инвариант на характеристиках 1-го
семейства. Вдоль каждой характеристики 2-го семейства
(т.е. вдоль линии x—a2y = d2) s = u + k2v = b2 = const.
Таким образом, s —инвариант на характеристиках 2-го
семейства. При этом для каждого значения константы dx
будет свое значение инварианта г, т. е. константы Ьг:
г = и + kiV = F (di).
Аналогично s = u + k2v=iO(d2)i или
и + kxv = F (х — а±у)у u + k2v = <&(x — a2y).
F и Ф могут быть произвольными дифференцируемыми
функциями. Так как к1фк2у то
^ k2F(х-д1У)-kjO (х-а2у) ^ ^р(х-а1У)-Ф(х~а2у)
k2 — ki ' ki — k2
Пример 2. Рассмотрим уравнение
a*uxx=utt. A1)
г
Это уравнение эквивалентно системе
aux = vt, avx = ut.
Таким образом, в этом случае
h1\\x,v\^aux--vt (Лх = а, Вх = 0, С1==0, D1 = — 1),
u2[w, v] ==avx — ut (Л2 = 0, £2 =—1, C2 = a, D2 = 0).
Уравнение для Я:
\aK -1 ~u'
51
Следовательно, №=\у т. е. ^=1, ^2=—1. Эта система
гиперболическая
ь _ ^i "Ь ^1^2 _ t у _£i~m?2 1
1 4+М2-' !"^+М."
Дифференциальные уравнения характеристик:
Таким образом, имеем два семейства характеристик:
х + а/ = d1 = const и д: — а/ = d2 = const.
Вдоль прямых x-{-at = dl имеем и + &1а = ы-|-0 = 2/:,(* + яО' Вдоль
прямых x — at = d2 имеем и + &21> = & — у = 2ф (я — otf), где F (г) и
Ф (г) — произвольные дважды дифференцируемые функции. Отсюда
и (х9 t) = F (x4-at) + 0 (x—at). A2)
2. Обратимся к физической интерпретации решения
и = Ф(х — at). Функцию и(х, t) будем называть
отклонением в дочке х в момент времени t. Рассмотрим точку х0.
Рис. 7.
Вообразим, далее, что из этой точки в положительном
направлении оси х в момент времени ^ = 0 начинает
двигаться наблюдатель со скоростью а. В момент времени t±
он окажется в точке x1 — x0 + at1. Величина отклонения,
которую наблюдатель будет видеть в точке х1 в момент
времени tlt будет равна и = Ф(х1 — at±) = Ф (*0). Таким
образом, наблюдатель в любой момент времени будет
видеть в точке, где он находится, одну и ту же величину
отклонения, равную Ф(х0). Следовательно, начальный
профиль и(х, 0) = Ф(х) будет двигаться со скоростью а
в положительном направлении оси х, как жесткая система,
не изменяя формы (рис. 7).
52
Ввиду этого решение и = Ф(х — at) называют прямой
бегущей волной. Аналогичное истолкование можно дать
и решению u=F(x + af). Оно называется обратной
бегущей волной. При этом профиль движется, как жесткая
система, в отрицательном направлении оси х со
скоростью а.
Таким образом, любое решение уравнения A1)
представляется в виде суперпозиции (наложения) прямой
и обратной бегущих волн.
§ 5. Решение задачи Коши для одномерного волнового
уравнения. Формула Даламбера.
1. Пусть требуется найти решение задачи Коши
a2uxx = utt, A3)
и(х, 0) = <р(*), щ(х, 0)=Ч>(*), A4)
непрерывное в замкнутой области
В1=={ — оо<л:<оо; t^O}.
Решение будем искать в виде суперпозиции прямой и
обратной бегущих волн (см. пример 2 в § 4)
и(х9 t)=F(x + atj+Q>(x-af)*). A5)
Среди решений вида A5) найдем такое, которое
удовлетворяет заданным начальным условиям A4):
и(х9 0) = q>(x)^Q>(x) + F(x),
щ (х, 0) = ip (х) = - аФ' (х) + aF' (x).
Интегрируя последнее тождество, получим два
уравнения для определения функций Ф(г) и F(z):
у
Хо
*) К представлению решения в форме A5) можно прийти и иначе.
Предположим, что и(х, t) — решение уравнения A3). Для него
выполняется тождество а2ихх = иц- Производя в нем замену
независимых переменных по формулам £=# — at, i)=x-\-at, получим
тождество utfl = 0. Интегрируя его последовательно по переменным <г| и
g, получим формулу A5), в которой F (г) и Ф (г) — произвольные
функции (их можно предполагать дважды дифференцируемыми).
53
из которых - находим
Подставляя эти функции в формулу A5), получим
формулу Даламбера
x + at
и{х< 0дУ(*-аО + ф(*+аО + ^ J W)dZi A7)
х — at
2. Таким образом, предположив существование
решения задачи Коши, мы пришли к заключению, что оно
должно представляться формулой A7). Следовательно,
оно единственно. Если функция ф (х) обладает
производными первого и второго порядков, а функция ^(^ —
производной первого порядка, то формула A7) дает искомое
решение задачи Коши A3) —A4). В этом можно убедиться
непосредственной подстановкой правой части формулы A7)
в уравнение A3) ив соотношения A4). Построив
решение задачи Коши* мы тем самым доказали его существование.
Описанный выше метод построения решения задачи
Коши называется методом характеристик или методом
бегущих волн.
§ 6. Решение задачи Коши для неоднородного
волнового уравнения
1. Научившись строить решение задачи Коши для
однородного волнового уравнения A3), легко построить
решение этой задачи для неоднородного волнового
уравнения.
Метод построения одинаков для всех линейных
уравнений гиперболического типа, поэтому мы будем
рассматривать более общее' уравнение
div (k Vu) -qu + f (M9 t) = puttt A8)
где ky q и р —известные функции точки М.
Итак, пусть требуется решить задачу Коши для
уравнения A8) х начальными условиями
и(М, 0) = ф(М), щ{М, 0) = г|)(М). A9)
54
Эту задачу разбиваем на две задачи:
1) задача Коши для однородного уравнения
div(kVv)-qv = pvit B0)
с заданными начальными условиями
V(M9 0) = q>(M), vt(M, 0)=я|>(Л1); B1)
2) задача Коши для исходного уравнения
div (kVw)-qw + f(M, t) = pwtt A8x)
с нулевыми4начальными условиями
w(Mt 0) = 0, wt(M, 0) = 0. B2)
Очевидно, м = £/ + &>.
Предположим, что мы умеем решать задачу Коши
B0)— B1). Тогда решение задачи Коши A82), B2)
строится следующим образом.
Построим такую функцию Щ{МУ ty т), которая
удовлетворяет однородному уравнению B0) для />ти
начальным условиям
Ж|^ = 0, Щ^_Х = Ш^. B3)
По предположению мы умеем решать эту задачу. Тогда
искомое решение задачи Коши 2) будет иметь вид
t
w(M, {) = ]Щ(М9 tf %)d%. B4)
о
Действительно, по правилу дифференцирования интеграла
с переменным верхним пределом по параметру находим
wt(M, t)^m\x_t+\iut{M, t, %)dx.
о
Воспользовавшись первым из условий B3), получим
t
wt{My f) = \lUt(M, t, t)dr. B5)
о
Из формул B4) и B5) непосредственно следует, что
w(M, t) удовлетворяет начальным условиям B2).
Дифференцируя соотношение B5) по t еще раз и используя
второе из условий B3), получаем
t t
ш„ = Щ,|т-<+$ Щ«(М, U ^)^^~\щ + \ Щи(М, t,%)dx.
о о
55
Следовательно, t
pwtt = f(M, t) + \pH!udr. B6)
0
Вычислим div (kVw) — qw. При этом, очевидно,
операцию div(£V) можно выполнить под знаком интеграла.
Получим
t
div (k Vw) -qw = \ {div (k VUf) - дЩ} d%. B7)
о
Поскольку функция Щ(М, t, т) является решением
уравнения B0), то из формул B6) и B7) следует, что
функция w(M, t), определяемая формулой B4), является
решением уравнения A8), а следовательно, и решением
задачи Коши 2).
Замечание. Такой способ нахождения решения
неоднородной задачи по решению соответствующей
однородной задачи применим и для нахождения решения
краевой задачи для неоднородного уравнения с
однородными . краевыми условиями. В этом случае
вспомогательная функция Щ{М, t, т) должна быть решением
соответствующей однородной краевой задачи.
2. Применим описанный метод к одномерному
уравнению; требуется решить задачу Коши
a2uxx + f(x, t) = utt,
и (ху 0) = ф (х), ut (ху 0) = г|) (х).
Разбиваем ее на две задачи:
1) задача Коши для однородного уравнения с
заданными начальными условиями
a2vxx = vtt9
v(Xy 0) = q>(x), vt(Xy 0)=Ч>(*);
2) задача Коши для заданного уравнения с
нулевыми начальными условиями
a2wxx + f(Xy t) = wth
w(xf 0) = 0, ~wt(x, 0) = 0.
Тогда u = v + w.
Функцию v (Xy t) можно записать по формуле Даламбера
x—al
56
Согласно предыдущему
t
w(x, t) = ^Щ(ху t, т) dxy
о
где функция Щ{хг t, т) является решением задачи Коши
аЩхх=~~Щ1Ь
и, следовательно, может быть записана по формуле Да-
ламбера
Поэтому
x+a(t — T)
Щ(х9 U т)=^, \ f(z> *)dz-
x—a{t — x)
t x + a(t — x)
W(X, t) = 2i J J f(Z' x)dzdx-
0 x—a(t — x)
B9)
§ 7. Устойчивость решения задачи Коши
для одномерного волнового уравнения
к входным данным. Обобщенное решение
1. Как указывалось в гл. II, § 8, одним из
важнейших требований к методам нахождения решений задач
математической физики является требование устойчивости
решения к малым изменениям входных данных. Покажем,
что как решение задачи Коши для однородного волнового
уравнения, представляемое формулой Даламбера, так и
Рис. 8.
решение задачи Коши для неоднородного уравнения,
представляемое формулой B9), удовлетворяют этому
требованию.
2. Формула Даламбера A7) дает решение задачи Коши
A3) —A4) в предположении, что начальные функции ср(х)
и ty(x) имеют производные q>'(x), cp" (x), ty' (x). Однако
нетрудно указать задачи, в которых начальные
функции ф(лг) и \р(х) этими свойствами не обладают;
достаточно, например, задать начальное отклонение струны
в виде ломаной, изображенной на рис. 8.
57
Для того чтобы понять, как строить решение задачи
Коши в этих случаях, докажем следующую теорему:
Теорема о непрерывной зависимости
решения задачи Коши от начальных
значений. Пусть ut (х, t) и и2 (л% t) суть решения задачи Коши
A3) —A4) с начальными условиями
М*> 0) = ф!(*), Uu(x> 0)=^г(х)
и
и2(х, 0) = фг(^), u2t(x, 0) = я|?2 (х).
Тогда, каковы бы ни были е>0 и tx>0\ существует
такое б >0, зависящее от е и tly 8 = 8 (е, /х), что из
^неравенств *)
IФ1 (х) — Ф2 (х) \<^8, | i|)x (х) — я|?2 (х) | < б для — оо < л: < со
следует неравенство
|#i(*» t) — u2(x, t)\ <s для —оо<л:<оо, t^tx.
Доказательство. Используя формулу Даламбера
для ^(я, 0 и иа(х, /), получим
М*> t)-u2(x, t)^-jlVii*~at)-цJ(х-at)] +
x+at
Следовательно,
|М*» t) — u2(xy 0l<-2~l9i(^ — я*) —Фг(* — #01 +
+ 5-|ф1(^ + ^)-фа(^ + ^)|+й J 1*1(г)-я|)я(г)|^<
А: 4; о/
<уб+уб+а J б</*=б+а/<аA+*1).
Если взять 6 = 8/A+^), то неравенство
IM*» t) — u2(x, t)\<&
будет выполнено для всех —оо<л:<оо, t^t±. Ч. т. д.
*) Во избежание недоразумений в этом и следующем пункте мы
будем считать, что х, / — безразмерные переменные.
58
Замечание. Если начальные значения фх(л:), <р2(*),
^iWi Ф2М удовлетворяют неравенствам
I <Pi (*)--Ч>2 (*) I < б для — оо<я<оо,
оо
$ \Ых)-'У2(х)\Aх<&9<
— оо
то, очевидно, для соответствующих решений задачи Коши
их{х, t) и и2(х, t) будет выполняться неравенство
\иг(х9 t) — u2(x, 0l<(l + ^)8
для всех х, — оо<х<оо, и t^O. Это позволяет
утверждать, что для одномерного волнового уравнения имеет
место непрерывная зависимость решения задачи Коши
от начальных данных и для разрывных начальных
скоростей (в указанном смысле оценки уклонения начальных
данных).
Содержание этой теоремы можно кратко выразить
словами: малым изменениям начальных значений
соответствуют малые изменения решения задачи Коши.
Таким о0разом, устойчивость решения задачи Коши
к малым изменениям начальных данных показана.
В практических задачах начальные значения
получаются в результате измерений и, следовательно, не
являются точными. Доказанная теорема создает
уверенность, что небольшие погрешности, допущенные в
определении начальных значений, приводят к небольшим
изменениям в решении задачи Коши. Эта теорема
указывает также на один из возможных путей построения
решения задачи Коши в случаях, когда начальные
функции ф(л:) и ур(х) не обладают соответствующими
производными (см. рис. 8).
3. Обратимся снова к задаче ^Коши A3) — A4). Мы
будем полагать, что начальные функции ф (х) и г]) (х) не
равны нулю лишь на конечных отрезках, непрерывны
всюду, а функция ф(х) имеет производную первого
порядка. Эти функции можно равномерно аппроксимировать
дифференцируемыми функциями уп{х) и tyn{x) так, что
yn(x)ztq>(x) (/г->оо), Цп(хI£Ц(х) (я-*оо),
причем ц>п(х) имеют первую и вторую производные,
а % И "" первую производную,
59
Если в качестве начальных функций в задаче Коши
взять функции (рп(х) и $п(х), то они определят
единственное решение задачи ип(х, t).
Оценим разность решений un+k(x, t) — un(x9 f). В силу
равномерной сходимости последовательностей {<рЛ(#)} и
{'Ф/г (*)} Для произвольных 8 > 0 и tx > 0 найдется такое N9
что для любых n>N и любых целых положительных k
будут выполняться неравенства
I ф* (х) - <ря+л (х) | < у^ и | г|>я+л (а:) - 4>я (*) | < -j-jL-
для всех — оо<*<<оо. Тогда по доказанной теореме для
всех t^t± и — оо < х < оо будут также выполняться
неравенства
\un+k(x, t) — un(x, 0I<8
для любых n>N и любых целых положительных &. Но
это означает, что последовательность решений {ип(х, t)}
равномерно сходится в указанной области изменения
переменных ху t к некотррой функции и (х, t). Эта функция
называется обобщенным решением задачи Коши A3) —A4).
При этом
и(х> t)= lira un(x, t) =
п-+со
x+at
= ilim [q>n(x-at) + q)n(x + at)] + ~hm \ %(z)dz,
x—at
или
и(x, t) = Ф(*-«0 + Ф(«+«0 + ^"j%(г)<fe.
Эта функция и (х, t) и ее производная ut (xf t) принимают
заданные значения ф(лг) и ty(x). Таким образом, в
рассмотренном случае формула Даламбера также дает
решение (обобщенное!) задачи Коши. Рассмотренную задачу
чможно решить и иначе, если воспользоваться обобщенными
функциями и их свертками (см. Дополнение, п. 1).
4. Теперь покажем устойчивость решения задачи Коши
к малым изменениям неоднородности в уравнении.
Очевидно, достаточно рассмотреть решение с нулевыми
начальными данными. Такое решение представляется
формулой B9),
60
Теорема 2. Пусть и(х, t) и и(х, t) суть решения
задач Коши:
и\ а2ихх + Ъ{х, t)=*uth
< лч л ди I л C0)
v: a2vxx + f2(x, t) = vtu
C1)
t,(x,0)=0,-J
Тогда, каковы бы ни были положительные числа г и Т,
существует такое 6>0, зависящее от г и Т, б = б(б, Т),
что из неравенства
1М*.*)-М*. 01<в(в, Т) C2)
для всех значений х и для O^t^T следует неравенство
\и(х, t) — v(x, 01<8
для тех же значений х и t.
Доказательство. Пользуясь формулой B9) для
решения задач C0) и C1) и неравенством C2), находим
\и(х, f)-v{x9 *)[<
t x~\-a (/—т)
0 х — а {t —х)
■<^«5*+'Г",«*-н$й'#-^*-тг<т:-
О х — a (t—X) О
Если б = 2s/T2, то | и (х, t) — у (х, t) | <е. Теорема доказана.
§ 8. Решение краевых задач на полупрямой
1. Обратимся к рассмотрению краевых задач на
полупрямой. Предварительно докажем две леммы.
Лемма 1. Если в задаче Коши A3) — A4) начальные
функции ц)(х) и г|)(#) нечетны относительно х = 0, то
решение этой задачи и (х, t) равно нулю при x = 0i
и{0, 0 = 0.
61
Доказательство. Полагая в формуле Даламбера,
дающей решение задачи Коши A3) —A4), х = 0у получаем
«@.0=ф(-^2+ф(а0+^^(г)Ф.
— at
Поскольку ф (х) — нечетная функция, то ср (— at) == — ф (at).
Поэтому ф(—at)-\-q(at) = Q. В силу нечетности функ-
at
ции ty(x) интеграл § ty(z)dz также равен нулю. Поэтому
и @, 0 = 0.
Лемма 2. £слн в задаче Коши A3) —A4) начальные
функции ц)(х) и af)(x) четны относительно х = 0, то
производная ик(х, t) решения этой задачи равна нулю при
х = 0-
МО, 0 = 0.
Доказательство этой леммы проводится аналогично*)-
2. Рассмотрим однородную краевую задачу
аЧхх = щи .
и(х, 0) = <р(х), ut(x> 0)=ty(x) для O=scx<oo,
и@, t) = 0.
Полагаем ф @) = гр @) == 0.
Для ее решения нельзя непосредственно
воспользоваться формулой Даламбера, так как входящая в эту
формулу разность x — at может быть и отрицательной,
а для отрицательных значений аргумента начальные
функции ц(х) и ty(x)y согласно C3), не определены. ч
Мы будем действовать следующим образом. Продолжим
функции ф (х) и i|) (*) нечетным образом на отрицательную
часть ори х и обозначим через фх (х) и % (х)
продолженные таким способом функции:
, v / Ф(*)> *^0, • ( \р(х), х^0,
ф1(ХН|-ф(-,),,<0, Ь{х) = \-*(-х).х<0.
Тогда функция
u{Xt t)=^X-at) + ^+at) +Г+у Ыг)с1г
x — at
и будет решением краевой задачи.
Действительно, она удовлетворяет однородному
волновому уравнению, поскольку является суперпозицией пря-
*) Использовать нечетность производной ф' (*).
62
мых и обратных волн. Краевому условию она
удовлетворяет в силу леммы 1. Проверим начальные условия:
X
X
для х^О,
щ(х, о)= -«p;w+«Piw +4[*м*)+*м*I-
= <фх (х) = я|? (х) для *^г0.
Таким образом, начальные условия также удовлетворяются.
Краевая задача
и{х, 0) = ф(х), щ(х, 0) = ф(дг) для 0<#<оо,
МО, 0 = 0
решается аналогично, но при этом начальные функции
ф(х), i|)(jc) продолжаются четным образом на
отрицательную часть прямой.
3. Методом характеристик можно также построить
решения однородных краевых задач на конечном отрезке
с краевыми условиями первого и второго типа. Для
определенности рассмотрим первую краевую задачу
а2ихх = щи
и(х, 0) = ср(*), щ{х, 0) = г|>(*)> О^х^/, C5)
и@, 0 = 0, иA, 0 = 0, /г*0.
Для построения решения продолжим начальные
функции ф (х) и «ф (*) на всю прямую нечетным образом
относительно точек х = 0 и х = 1. Обозначим через ф2(#) и
я|J(*) продолженные таким способом функции*). Тогда
ФУНКЦИЯ x+at
x — at
*) Если функция ф(*) нечетна (четна) относительно двух точек:
х — 0 и х — 1, то она периодична с периодом 21. Действительно, по
свойству нечетности функции ф (х) относительно х=1 имеем
тождество ф(/ —z) — — ф(/ + г\. Полагая здесь z = *+/, получим ф(—х) =
2= — ер (х + 21). Так как ф (— х) = — ф (*), то ф (л: + 21) = ф (*). Поэтому
начальные функции (р(х) иф(дс) следует продолжить нечетным
образом на отрезок (—/, 0), а затем периодически, с периодом 2/, на
"всю прямую.
63
и будет решением краевой задачи. Краевым условиям эта
функция удовлетворяет в силу леммы 1. Начальные
условия проверяются непосредственно, как в задаче на
полупрямой.
§ 9. Отражение волн на закрепленных
и на свободных концах
Решение краевых задач C3) и C4) можно написать
в форме A5):
' и(х, t) = Q)(x-at)+F(x + at).
Будем интерпретировать и как отклонение. Вдоль
характеристики' x — at = c1 отклонение, обусловленное прямой
волной, постоянно: Ф(х — Ш) = Ф(с1). Вдоль
характеристики x-\-at = c2
отклонение, обусловленное
обратной волной,
постоянно: F (х + at) =
= F (с2). Таким образом,
возмущения
распространяются по
характеристикам.
Для нахождения
величины отклонения
и(х0, t0) в
фиксированной точке (x0f t0) области
В г= {х> О, t> 0} через точку (x0f t0) плоскости (х, t)
проведем две характеристики x — at = x0 — at0 и x + at = x0 +
+ at0, лересекающие ось х соответственно в точках — хг
и х2 (рис; 9). Отклонение u(x0f t0) в точке х0 в момент
времени t0 можно рассматривать формально как сумму
отклонения, обусловленного обратной волной,
пришедшей из точки (х2, 0), и отклонения, обусловленного
прямой волной, пришедшей из точки (—Jti, 0). Но точка
(—х19 0) не принадлежит области #==={* 5^0, t^0} и
начальные условия в задачах C3) и C4) не заданы в
точке —хх.
Однако из краевого условия задачи C3) следует, что
0(-z) = -F(z).
Следовательно, Ф(—хг) = — F(x1). Поэтому вместо
прямой волны, идущей из точки —х19 можно рассматривать
обратную волну, вышедшую в момент t = 0 из симметрич-
t,
i
^
i
fa, to)
-л,
JO,
Рис. 9.
64
ной точки хг. Эта обратная волна за время tx дойдет до
точки х = 0. С момента t = tx ее надо заменить прямой
волной, вышедшей из точки х = 0 в момент t = t1 и
несущей величину отклонения, равную —Ф(—хх). Таким
образом, при соблюдении краевого условия и @, t) = 0 на
конце х = 0 происходит явление отражения с сохранением
величины отклонения, но с изменением его знака на
противоположный.
Аналогичным образом устанавливается, что при
соблюдении краевого условия их@, /) = 0 на конце х = 0
происходит явление отражения с сохранением величины и знака
отклонения.
§ 10. Решение задачи о распространении
краевого режима на полупрямой
Рассмотрим неоднородную краевую задачу на
полупрямой
аЧхх = щи
и{х, 0) = ф(*), щ{х, 0) = г|>(х), х>0,
и@, /) = ц@, *>0.
Ее можно разбить на две задачи:
1) однородная краевая задача
a2vXx = vt(t,
v(x, 0) = <р(*), vt(x, 0)=г|>(х), *>0> v@, /) = 0;
2) задача о распространении краевого режима
a2wxx=wtt,
w(x, 0) = 0, wt(x, 0) = 0, w@, /) = |x(/)f t>0.
Тогда u = v + w.
Задачу для v(x, t) мы уже умеем решать. Займемся
задачей о распространении краевого режима.
Поскольку единственной причиной возникновения
возмущений является краевой режим, будем искать решение
в виде прямой волны
w(xf t) = 0(x — at).
Из начальных условий находим w{x, 0) = Ф(*) = 0 для
х > 0. Очевидно, условие wt (х, 0) = — аФ' (х) s= 0 для
3 В. Я. Арсенин
65
•»-с<
x>0 также будет выполнено. Из краевого условия
находим Ф(—at) = \i(t), t>0. Таким образом,
г>0,
.(—г/а) г<0,
или Ф (г) = г\ (— г/а) (я (— г /а), где г) (g) — единичная
функция, равная единице для £>0 и нулю для £<0.
Следовательно,
М*.0~л(/-£>('-£).
Аналогично решается задача о распространении
краевого режима второго типа: их@, /)^v(/).
Используя явление отражения, рассмотренное выше,
легко решить задачу о распространении краевого режима
первого или второго типа на конечном отрезке *).
Методом характеристик можно было бы решить еще
ряд задач, относящихся к одномерному неоднородному
волновому уравнению. Однако рассмотренные задачи уже
дают ясное представление о возможностях метода
характеристик, поэтому мы ограничимся этими задачами.
§ 11. Решение задачи Коши для трехмерного
и двумерного волновых уравнений.
Формула Пуассона
Ряд задач, относящихся к дву- и трехмерному
волновым уравнениям сводится к задачам, уже разобранным
в предыдущих параграфах. Мы рассмотрим некоторые
из них.
1. Задача Коши для однородного волнового
уравнения в трехмерном пространстве:
а2 Аи = uth C6)
и(М9 0) = ф(Л1), щ(М, 0) = 1р(Л1). C7)
Для ее решения введем в рассмотрение
вспомогательную функцию й(г, t) — усреднение искомого решения по
сфере SrM с центром в точке М и радиусом п
а^ ^=4нИ5а(Л t)dGpy C8)
S
м
где Р —переменная точка интегрирования.
*) Читателю предлагается самостоятельно решить эту задачу.
66
Если обозначить через rfco элемент телесного угла,
под которым виден из точки М элемент площади do, то
do = r2d(x>t Поэтому а можно также записать в виде
й(г> t) = ±^u(P, 0Л>. C9)
Применяя к интегралу в формуле C8) теорему о
среднем значении и устремляя затем г к нулю, получим
0@, f) = u(M, t). . D0)
Таким образом, для нахождения функции и(М, t)
достаточно найти функцию й(г, /). Чтобы поставить задачу
для функции ii(r, t), нам потребуется
Лемма. Справедливо соотношение
Да = Дг (и).
[Здесь в левой части лапласиан &и берется по
координатам точки М, а в правой части, т. е. Дг(й),— по
переменной г. В дальнейшем мы будем опускать значок г
у оператора Д.]
Доказательство. Пусть DrM — область,
ограниченная сферической поверхностью SrM. По формуле
Остроградского имеем
DM SM SM
Применяя к последнему интегралу формулу C9), получаем
С другой стороны,
5 J J Да dx = \ К $ Auda] dp = \ Dяр2 Ш) dp.
Dr 0 I SP / 0
3* 67
Следовательно,
г _
да
V р2 Ди dp = г2 -
о
Дифференцируя это соотношение по г, получим
: г2 дг
&и = ±1(гЧг) = А(й).
Лемма доказана.
Предположим теперь, что решение задачи C6) — C7)
существует. Тогда, применяя операцию усреднения по
сфере SrM к тождеству a2Au = utt и используя лемму,
получаем
а2Ай = йш или а2т^(гЧг)=щь
или
а2 (гйгг + 2йг) = ratt.
Если ввести новую ^функцию v = ru, то последнее
соотношение можно записать в виде a2vrr = vti. Таким
образом, функция и (г, t) удовлетворяет одномерному
волновому уравнению.
Применяя операцию усреднения к соотношениям C7),
получим
в (г, 0) = ф(г) = 5^5 J ф(Р)Жу,
ut(ry0)^\p(r)=^^^(P)da.
D1)
s'm
Пусть ф1(г) = Гф(г) и %(г) = гяМг). Очевидно, что
v(r, 0) = ф1(г), »Лл 0) = lh(r), о@, /) = 0.
Таким образом, для с; (r, 0 мы имеем следующую задачу
на полубесконечной прямой:
a2vrr = с//,,
v(r, 0) = ф1(г), »,('. 0) = i|>1(r)> ti@, 0 = 0.
Для ее решения начальные функции фх (г) и ^ (г)
надо, согласно § 8, продолжить нечетным образом на
полупрямую (—оо, 0) и для продолженных функций
Ф2(г) и %(г) написать формулу Даламбера. При этом
68
функции ф(г) и \f>(r) будут продолжены четным образом
(мы сохраним для продолженных функций прежние
обозначения: <р(г) и *ф(г)). Решение задачи для v (r, ^) будет
иметь вид
г—-at
Следовательно,
g(r, 0sZ = ftH-«0+ftfr-«0 + ±-^ЪШг.
г—at
Если в этой формуле положить г = 0, то получим
Я @, 0 = £.
Для вычисления й@, f) применим правило Лопиталя
(учитывая также определение ср2 и я|J):
а (О, О=y {' (^) + ф (— at)+at~v' (at) - atv' (— fl0} +
Поскольку функции ф(г) и *ф(г) четные, а функция
<р' (г) нечетная, то
Я (О, 0 = ф(^) + ^ф' (аО + Лр(^) =
= ^{*Ф(аО} + Жа*). D2)
Если мы воспользуемся формулами D0) и D1), то из
соотношения D2) получим формулу Пуассона для
искомого решения задачи Коши C6) —C7):
«<*.<>-«£$$-*3*-+=$№- <«>
Таким образом, из предположения о существовании
решения задачи Коши для трехмерного пространства
следует, что оно должно представляться формулой D3).
Следовательно, оно единственно,
2. Теперь мы можем решить задачу Коши в
трехмерном пространстве для неоднородного волнового уравнения:
a2Au + f{M, t)=--utu
и(М, О)-ф(М), щ(М, 0)=-ф(Л1).
69
Разбиваем ее на две задачи:
а) a2 Av = vth
v(M, 0) = <p(Af), vi(M, 0)=Ъ(М).
Решение этой задачи представляется формулой
Пуассона.
б) a*Aw + f(M, f) = wth
w(M, 0) = 0, Wt(M, 0) = 0.
Очевидно, u = v-\-w.
Задачу б) будем решать методом, описанным на стр. 55.
А именно, сначала решаем вспомогательную задачу
Щ-t-O, Щ(\*-хЧ(М, т).
По формуле Пуассона
Тогда, как было показано на стр. 55,
w(M, 1) = \Щ(М, t, t)d%,
о
или
О \<^-т) )
Во внешнем интеграле произведем замену переменной
интегрирования a{t — x) — r, получим
oi I ffp t_JL\ \
где г— расстояние от точки М до переменной точки
интегрирования Р, г = гМр. Этот интеграл можно, очевидно,
70
записать как интеграл по области D"^, ограниченной
сферой К- (р ^_ м
"МО-шЦ^^'г dv- <44>
<
Если внешний возбуждающий фактор f(M, t) отличен
от нуля лишь в одной точке М0, в которой он равен /(/),
то в этом случае волновое уравнение можно написать
в виде
a2ku + f{tN(M, M0) = uit9
где б(Л4, М0) — 6-функция с особенностью в точке М0
(см. Дополнение).
Решение этого уравнения, удовлетворяющее нулевым
начальным условиям (следовательно, обусловленное лишь
действием точечного фактора /(/)), можно написать
согласно формуле D4) в виде
nat
Используя основное свойство 6-функции *), получаем
( 0, если сА<гммы
и(М, /)= 1 1 ,Л гмм\ D5)
3. Из формулы Пуассона можно также получить
решение задачи Коши для однородного волнового уравнения
в двумерном пространстве:
а2 Да = uth
и{ху у, 0) = q>(*, у) у D6)
Щ(х, У> 0)=я|)(*, у).
*) Для любой непрерывной функции <р(М)
ШГ 0, если Мп ф D,
Ф(Р)б(Р, MQ)dv = { '
D \q>(MQ)f если M0eD.
71
В самом деле, если в формуле D3) функции ф(Р)
и ty{P) не зависят от переменной г, то интегралы по
поверхности сферы 5^ можно свести к интегралам по
Рис. Ю.
большому кругу этой сферы j^> лежащему в плоскости
(х, у) (рис. 10). Интеграл по верхней половине сферы Sfy
равен
' ' ~\) do
\\ ЧР<Н$*Р
верх S%
cos? '
где у — угол между нормалями к плоскости (х, у) и к
сфере 5^ в точке Р. Очевидно,
CQST_l^il = V(atY-\PiM? = V(gty-{x-lY-{y-4y *)
Поэтому
\МР\
at
at
верх S% . Ъ%
Аналогично находим
ф(£, Т))^Д?Т]
/И2-(^~|J-(^-Т]J '
JJ^ a/ 3 3 ]/a2/2_(;C--gJ_Q/_T]J
нижн S
Л!
bAf
*) Здесь |, т] —координаты точки Рх, являющейся проекцией
точки Р на плоскость (х, у)> х} // — координаты точки
наблюдения М.
72
Применяя аналогичное преобразование для второго
интеграла в формуле Пуассона, получим решение задачи
Коши D6) в виде *)
к ' *• } 2nadt } I ]/а2Я —(х —|Р —{г/ —т]J
+ 'СС чхы)**» , D7)
Теперь нетрудно решить ^задачу Коши в двумерном
пространстве и для неоднородного уравнения. Она
сводится к только что рассмотренной задаче и к задаче Коши
для - неоднородного уравнения с нулевыми начальными
условиями. Эта последняя решается методом, описанным
на стр. 55. Мы не будем повторять всех выкладок**),
напишем лишь результат:
w (х, у, t) =
. =—{/ [[ _— fg.*).^*) \dT. D8)
0 \2tf-1 J
Из этой формулы читатель легко может получить решение,
обусловленное действием точечного фактора f(t).
§ 12. Физическая интерпретация формулы Пуассона
Обратимся снова к формуле Пуассона. Пусть
начальные функции ф (М) и г|? (М) не равны нулю лишь в области
D, ограниченной поверхностью S (рис. И). Будем
наблюдать за состоянием среды в фиксированной точке М.
Для достаточно малых значений t поверхность сферы Sm
с центром в точке М не пересекает область D. Поэтому
интегралы в правой части формулы Пуассона будут равны
нулю; следовательно, для таких значений / имеем и (М, 0 = 0
(возмущения не дошли до точки М). Обозначим через dx
расстояние от точки М до ближайшей точки поверхности
*) Описанный метод получения формулы D7) называется
методом спуска. Аналогичным путем из формулы D7) можно получить
формулу Даламбера.
**) Читателю рекомендуется провести все выкладки
самостоятельно.
73
S, а через d2 — расстояние от М до наиболее удаленной
от нее точки поверхности S. Для значений t^(tlyt2)
(t1 = d1/af J2 = d2/a) поверхность сферы S% будет
пересекать область D. Поэтому интегралы в формуле Пуассона
будут отличными от нуля, и, следовательно, для таких
значений t имеем и(М, t)^0. Для t>t2 сфера Sum не
будет пересекать область D, и, следовательно, и(М, i)
снова станет равной нулю. Если мы представим себе
Рис. 11. Рис. 12.
теперь, что из каждой точки области D по всем
направлениям распространяются возмущения со скоростью а
(принцип Гюйгенса), то описанные выше изменения
функции и(М, t) со временем физически можно
интерпретировать следующим образом.
Для t<tx возмущения не дошли еще до точки М;
в момент t = t1 передний фронт волны возмущений
достигает точки М\ в течение промежутка времени ti^t^t2
через точку М проходит волна (зона) возмущений; в
момент t = t2 через точку М проходит задний фронт волны
возмущений, и с этого момента среда в точке М остается
в покое.
Пусть в двумерном случае начальные функции ф (л:, у)
и i|> (ху у) не равны нулю лишь в области D, ограниченной
кривой S (рис. 12). Для t<Ztx круг 2% не содержит
точек области D, поэтому интегралы в формуле D7) равны
нулю, следовательно, и и(ху у, t)=^0. Для любых t>t1
круг Ъ% содержит область D или ее часть, и поэтому
и(х, у, 0^0 для таких значений / *). Таким образом,
в двумерном случае есть передний фронт волны (он
достигает точки М в момент времени t = t1), но нет заднего
*) tx и t2 имеют прежний смысл.
74
фронта. Принцип Гюйгенса в этом случае не выполняется.
Это легко понять, если иметь в виду, что рассмотренная
двумерная задача фактически представляет собою
трехмерную задачу, в которой область ненулевых значений
начальных функций ф(М) и ty(M) является бесконечным
цилиндром, образующие которого параллельны оси г.
Очевидно, сферическая поверхность S% при любых
значениях t>tx будет пересекать этот цилиндр, и поэтому
интегралы в формуле Пуассона не будут равными нулю
для всех значений t>tx.
§ 13. Системы квазилинейных уравнений
В §§ 1—12 мы рассмотрели метод характеристик в
применении к линейным уравнениям и системам. В
последующих параграфах будет рассмотрено применение метода
характеристик к широкому классу нелинейных уравнений
и систем.
Рассмотрим уравнение
anwxx + 2a12wxy + a22wyy + d = О,
где яш а12, a22t d — функции от ху у, wx, wy. Такой вид
имеют многие уравнения математической физики с двумя
независимыми переменными.
Если положить u = wX9 v = wy, то-это уравнение будет
эквивалентно системе
. anux + a12Uy + a12vx + a22vy + d = 0t uy-vx = 0. D9)
Это система нелинейных уравнений. Она является частным
видом системы
Ахих + В&у + Cxvx + Dxvy - Elt
A2ux + B2uy + C2vx + D2vy-=E2,
где Ah Bit Ch Dh Ei суть функции от (jc, у, и, v).
Системы вида E0) называются квазилинейными. Система
D9) является также квазилинейной.
§ 14. Характеристики систем квазилинейных уравнений
Понятие характеристик без всякого изменения в
определениях и в формулах переносится и на квазилинейные
системы (см. §§ 1—-3).
Так, характеристическое направление оператора
Н [и\ = А (х, у, и)их-{-В (ху у, и) иу определяется вектором
75
l = (A/N, BIN), зависящим от самой функции и.
Дифференциальное уравнение характеристик для оператора Н
имеет вид
dx dy dx А
ИЛИ -Г" = "Б"'
А (X, у, U) В (X, у, U)
Очевидно, чтобы определить характеристики, надо
фиксировать функцию и(х, у). Таким образом, для каждой
функции и {х, у) будут свои характеристики. Поэтому
говорят о характеристиках на данной функции и(х, у).
Для оператора
А [и, v]=H1[u]+H2[v]=Aux + Buy + Cvx + Dvy,
где Л, Ву Су D — функции от х9 уу иу v такие, что
\А В\
С D
= 0,
характеристиками будут линии, определяемые уравнением
-г- = -и-. Оператор h [u} v] приводится к
характеристическому виду
/г л du . 1 dv
h[Uy v]=-r- + k-
d%
d%
где
dx
A-^ + B-^y — = ~=,k = k(Xy yf Uy v).
dx ' ду ' А В
Из пары операторов
hx[Uy v] = A1ux + B1uy + C1vx + D1Vyy
К [и, v] = A2ux + B2uy + C2vx + D2vy
^"^H^ + ^dT,
• h2[Uy v]=~ + k2-^-,
можно получить пару других операторов:
du , ,_ dv z г.. _.i du
dx2
где
* i i ч Ci -f- X1C2 D\ -j- K1D0
Ki = Ki{X, y, U, У) = A! + XtAt~ Bt + hBl
■£- = (A1 + X1A2)^ + (B1 + X1B2)d
(«'=1,2),
dx
dy
д
^ = (А1 + Х2А2)-^ + (В1 + Х2В2)-ду,
a Xj определяются из уравнения
\Аг + ХА2 В1 + 1В2
l^ + XCri Dx + XDa
Очевидно, Ki = Xi(x9 у, ut v).
76
= 0.
Классификация проводится совсем аналогично.
Дифференциальные уравнения характеристик для пары
операторов (hl9 h2) имеют вид
dx __ dy
0=1,2).
Л1 + М2
Отметим еще раз, что на каждой паре функций (и, v)
характеристики свои.
§ 15. Образование разрывов в решении
Понятие характеристик для квазилинейных уравнений
и систем позволяет обнаружить существенно новые
явления (например, образование разрывов), присущие
процессам, описываемым квазилинейными уравнениями
(системами), а также дает эффективный метод приближенного
(численного) решения систем квазилинейных уравнений.
Пример 3. Рассмотрим уравнение
Ы/ + и% = 0. E1)
dx
Дифференциальное уравнение характеристик имеет вид —— = и.
Следовательно, в левой части уравнения E1) дифференцирование
производится вдоль характеристик, т. е. уравнение E1) можно написать
П
ср(х)\
Х% X
Щ>%)
X,
Рис. 13.
7
Рис. 14.
du
в виде -зг- = 0- Следовательно, вдоль каждой характеристики и (х, t) =
dx
— const. Отсюда и из уравнения характеристик -тг = и следует, что
характеристики суть прямые.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения E1) с начальным
значением и(х,0) = (р(х). Если (р(х) имеет вид указанный на (рис. 13),
то на участке @, хг) характеристики будут расходящимися (угловые
коэффициенты их растут с ростом х)у а на участке (xlt x2) они будут
сходящимися (их угловые коэффициенты убывают с ростом х) и,
следовательно, пересекутся (рис. 14). Но так как каждая
характеристика несет свое постоянное значение функции и (х, /), то в точке
пересечения характеристик (х0, tQ) мы будем иметь два значения.
77
Очевидно - - и -~ в (дс0, ^0) будут равны оо. Таким образом, в момент
/0 производная их обращается в оо —наступает градиентная катастрофа
(в качестве t0 надо брать наименьшее значение t, при котором
произойдет пересечение характеристик).
Аналогичная ситуация может иметь место и для систем
квазилинейных уравнений.
Пример 4. Рассмотрим систему уравнений
Щ + (ш + N их = 0, vt + (av + ри) vx = 0, E2)
в которой а и р —постоянные, а>р.
Дифференциальные уравнения характеристик имеют вид:
dx
dt
= aw + pu —1-е семейство,
-2-е семейство.
Следовательно, систему E2) можно записать в виде
du _ do
dxx * dx2
— О,
где
d 3 ,/ "ID J d д . . . о \ д
dxx " а/ ^^"^^-^^--^-г^-г v», дх . Таким
образом, вдоль каждой характеристики 1-го семейства и = const, вдоль
каждой характеристики 2-го семейства v = const.
Задача Кош и для этой системы. Будем искать
решение системы E2), удовлетворяющее начальным условиям и (*, 0) = срх (*),
1
и>\
"А о
\
i
х0
Х1
1
*г
~w
-%(Х)
^
^
Рис. 15.
у (л:, 0) = ф2(л:). Пусть фх(*) и ф2(*) имеют вид, изображенный на
рис. 15.
dx I
Таким образом, фх (*) > 0, ф2 (*) = const < 0. Очевидно ~
= аф! (^)-г-рф2 W> 0- Следовательно, начальное возмущение
функции и будет распространяться вправо по постоянному фону и =—щ.
Таким образом, для любого f>0 на каждой характеристике 1-го
семейства выполняется соотношение
t = o
dx
If
= au — $uQ.
Поскольку вдоль каждой характеристики 1-го семейства и — const,
то угловой коэффициент каждой характеристики 1-го семейства будет
78
вдоль всей этой характеристики постоянным. Следовательно, каждая
характеристика 1-го семейства есть прямая.
На участке (х0, хг) характеристики расходятся, а на участке
(хъ х2) — сходятся. Следовательно, последние пересекаются. Пусть
(*о> to) — низшая точка пересечения. В точке (*£, tQ) производные их
и щ равны оо, т. е. происходит градиентная катастрофа. С этого
момента в решении образуется разрыв.
§ 16. Одномерные плоские адиабатические течения газа
К рассмотренной системе E2) сводится система
уравнений газодинамики для плоского одномерного движения
политропного газа
^ + ^* + -p* = 0, E3)
Pt + Vpx + pVx^Of P = ypY.
(Это адиабатическое движение.)
Полагая -^- = а2ру'1==с2, получим
Vt + Wx + j^cCx^O, c* + vc* + -^y~cvx==0. E4)
Приводя эту систему к характеристической форме, получим
^° J- ^ dc __ ^ dv 2 dc _ ~
dii "*" у — 1 dxx ~~ ' dx2 у — 1 dx2 ~~ '
где
d д . t . ч д d д . , ч д
ЧГ^-дГ + ^ + ^-дх-* *- = ■*+<*-<>*■•
Следовательно, вдоль каждой характеристики 1-го
семейства
v+ __1 с = const,
а вдоль каждой характеристики 2-го семейства
v г с ■= const.
2 2
Полагая r = v+ { с, s = v zyc» из системы E4)
получим эквивалентную ей систему в инвариантах:
rt + (ar + ps) г* = 0, s, + (as + И s* = О,
1 . Y—1 о 1 Y—1 ^
где a = у -f T , p = у —L-^—. Это и есть система
вида E2).
79
Если начальные профили г и s суть cpi(x) и ф2(*), то
в решении г наступит разрыв в момент t0. Следовательно,
и и = 0,5(r-fs0) будет разрывной. Образование разрыва
можно интерпретировать иначе.
Формула v = 0,5 (r-\- s0) показывает, что точки г-волны
с большими значениями г будут двигаться быстрее, чем
точки с меньшими значениями г. Следовательно, при
движении r-волны передний фронт становится круче, а
задний — положе. В некоторый момент времени t0
произойдет опрокидывание волны. Это и есть градиентная
катастрофа.
§ 17. Численное решение систем квазилинейных
уравнений методом характеристик
Рассмотрим один класс гиперболических систем
квазилинейных уравнений вида
Ах(и9 v)ux + B1{u, v)uy + C1(uf v)vx + D1(u, v)vy = Ot
А2(и, v)ux + B2(u, v)uy + C2(u, v)vx + D2(u9 v)vy = 0,
в которых коэффициенты Ah Bh d, Dt не зависят от х> у.
Эту систему можно привести к характеристической
форме
-^ + ki(u,v)-^==0, *L + k2(u,v)^ = 0. E5)
Рассмотрим на оси х дискретную последовательность
точек. Будем называть эти точки узловыми точками
нулевого слоя. В каждой из этих точек известны значения
функций и и v (начальные значения). По этим значениям
можно определить в каждой точке нулевого слоя
направления характеристик обоих семейств по формулам
dx __ A1 + llA2 /тч dx _ Al + %2A2 (]]
dy ~ Вг + ^Въ* {l) dy " В1 + к2В29 (П)
Через каждую узловую точку нулевого слоя проводим
в найденных направлениях прямые до их пересечения
с соседними прямыми. Точки пересечения будем называть
узловыми точками первого слоя сетки (на рис. 16 они
отмечены кружочками). Покажем, как можно определить
значения функций и и v в узловых точках первого слоя.
Рассмотрим произвольную точку первого слоя (на
рис. 16 она отмечена цифрой 3) и соответствующие точки
(/ и 2) нулевого слоя. Пусть uh ^ — значения функций
80
и и v в точке / (/= 1, 2, 3). Очевидно, система E5)
эквивалентна системе
du + kxiu, v)dv = 0 (вдоль характеристик 1-го семейства),
du + k2(u, v)dv = 0 (вдоль характеристик 2-го семейства).
Заменяя в этой системе дифференциалы приращениями:
duf^u3 — uu dvp&Vs — Vi —в первом уравнении
du^u3 — u2i dvp^v3 — v2 —во втором уравнении,
получим систему
Из + Mhi, Vi)v3 = u1 + k1(u1, vx)vu
Us + К {tl2, V2) V3 = U2 + k2 (и2, V2) V2.
Из нее находим u3 и v3. И так для произвольной точки
первого слоя.
/ 2 х
Рис. 16.
Определив значения функций и и v во всех точках
первого слоя, такой же процедурой определяем значения
функций и я v в точках второго слоя. И так далее
(рис. 16).
ЗАДАЧИ
1. Бесконечная струна возбуждена начальным отклонением,
отличным от нуля лишь на интервале (с, 2с) и имеющим форму лома-
ной с вершинами в точках с, -~- с, 2с. Построить (начертить) профиль
Q
струны для моментов времени tk = (y~k (&=1, 2, 3).
2. Решить задачу 1, если начальное отклонение отлично от нуля
лишь на интервалах (—2с, —с) и (с, 2с) и имеет форму ломаной
с вершинами в точках —2с, — 1,5с, —с, с, 1,5с, 2с.
3. Бесконечной струне сообщена только на отрезке —с-^х^с
поперечная начальная скорость и0 = const. Решить задачу о
колебании этой струны. Построить профиль струны для моментов времени
tk=~k (* = 1. 2, 3).
4. Полубесконечная струна с жестко закрепленным концом
возбуждена начальным отклонением, отличным от нуля лишь на
81
отрезке (с, Зс), имеющим форму ломаной с вершинами в точках с, 2с,
Зс. Начертить профиль струны для моментов времени tk=z~-k
(Л = 2, 4, 6).
5. В начальный момент времени ^==0 полубесконечная струна
с жестко закрепленным концом получает в точке х~х0 поперечный
удар, сообщающий струне импульс Р. Решить задачу о колебании
струны под действием этого импульса.
6. Бесконечный упругий стержень получен соединением в точке
х = 0 двух полубесконечных однородных стержней с плотностями
массы и модулями упругости рь £х; р2, Е2. Пусть из области х < 0
по стержню бежит волна иг (х, t) — flt J. Найти отраженную и
преломленную волны. Всегда ли они существуют? Исследовать
решение при Е2 —*0 и при Е2-+со.
7. К концу л; = 0 полубесконечного провода линии без
искажений (GL — CR) была приложена постоянная э. д. с. Е0 в течение
достаточно длительного промежутка времени, так что в проводе
установилось стационарное распределение напряжения и силы тока.
В момент времени / = 0 конец провода был заземлен через
сосредоточенное сопротивление /?0- Найти напряжение и ток в проводе при
*>0.
8. Концы струны х = 0 и х — 1 закреплены жестко. Начальное
отклонение и (х, 0) = A sin — x (O^x^l), а начальная скорость
равна нулю. Построить профиль струны для моментов времени
tk=~k (k=l, 2, 4).
9. Решить задачу о колебании бесконечной струны под
действием сосредоточенной поперечной силы F (t) (для ^>0), если точка
приложения силы скользит вдоль струны с постоянной скоростью v0
из положения х = 0, причем v0<a.
10. Конец х — 0 полубесконечного провода с пренебрежимо
малыми сопротивлением и утечкой на единицу длины в момент
времени ^ = 0 присоединяется к источнику э. д. с. £ = /(/). Найти
напряжение и (х, t) в этом проводе.
11. Конденсатор емкости С0, заряженный до потенциала V,
разряжается в момент времени t = 0 на бесконечный провод с
параметрами (L, С). Найти ток в проводе.
12. В газе, находящемся в состоянии покоя, создано в момент
времени / = 0 уплотнение S0, локализованное в объеме,
ограниченном заданной поверхностью а. Найти уплотнение S(Af, t) как
функцию площади ot части поверхности сферы S^, которая заключена
внутри о.
13. Какие линейные уравнения с постоянными коэффициентами
вида
ctnuxx + 2a12uxt + (h2utt + Ьгих + Ь2щ+си = 0
имеют решения в виде произвольных бегущих волн f(x — at), где
a = const? (Нет дисперсии.)
14. Какие уравнения задачи 13 имеют решения в виде
произвольных бегущих волн с затуханием ё~Р* f {x—at)? t
Глава IV
МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
(метод разделения переменных)
Одним из наиболее широко применяемых в
математической физике методов является метод Фурье.
Типичными задачами, к решению которых применяется
этот метод, являются краевые задачи в ограниченных
областях для уравнений гиперболического и
параболического типа. Существо метода, состоящего в представлении
искомого решения в виде ряда Фурье по некоторой
ортогональной системе функций, связанных с
рассматриваемой задачей, лучше всего можно понять на простейших
из них —на однородных краевых задачах. Мы будем
рассматривать параллельно краевые задачи для уравнений
гиперболического и параболического типа.
Вопросы существования решения задач,
рассматриваемых в этой главе, мы, как правило, не будем
рассматривать. Вопросы единственности их решений
рассматриваются в гл. VIII.
§ 1. Предварительные понятия
Если каждой функции / из множества Нг поставлена
в соответствие функция ф из множества #2> то говорят,
что на множестве #х определен оператор Т со значениями
из множества #2, и пишут ср —Г/ или y = T[f].
Например, оператор
Tf^\f(t)dly O^x^a,
о
определен на всех функциях, интегрируемых на отрезке
[О, а], и функции ф(л:) = Г/ непрерывны на отрезке [0, а].
83
Пусть оператор Т определен на множестве Нх и
77<=Я2 для всякой функции / из Нг. Будем полагать,
что множества Я2 и Я2 принадлежат некоторому
множеству (пространству) Я, для любых двух элементов
которого фх и ф2 определено понятие скалярного
произведения (фь ф2), обладающее свойствами *):
1) (ф1, ф2) = (фа, Ф1);
2) (ф1 + Фа. Фз) = (ф1» Фз) + (ф2> Фз);
3) (Яфх, ф2) = Я(ф1, ф2), где К — произвольное число;
4) (ф, ф)^0, причем (ф, ф) = 0 только для ф = 0.
Пространство Я предполагается линейным, т. е.
таким, что:
а) если фх е Я и (p2Gfl, то фх + ф2 е Я;
б) если ф е Я и Я — число, то Яф е Я.
Оператор 7*, определенный на множестве Я2, со
значениями из множества Ях называется сопряженным
оператору Г, если для'всяких /е^ и фбЯ2 справедливо
равенство
(Ф, 7/) = (/, 7».
Если Т^ееТ*, то оператор Г называется
самосопряженным или эрмитовым.
§ 2. Сущность метода Фурье. Собственные функции
и собственные значения
1. Пусть требуется найти функцию и(М, /),
удовлетворяющую для £>0 уравнению
div(ftVtt)-(/tt = { P^ A)
в области D, ограниченной замкнутой кусочно-гладкой
поверхностью 5, непрерывную в замкнутой области В =
= {MeD; £^0}, где D = D + 5, и удовлетворяющую
дополнительным условиям:
краевому
(*а£+Н=0 B)
*) Я —гильбертово пространство.
84
и начальным
и (М, 0) = q> (М), щ (М, 0) - ф1 (М)
(соответственно и(М, 0) = ср(Л4)). C)
Если ввести обозначение L [и] = div (k \u) — qu, то
уравнение A) можно написать в виде
Это уравнение и краевое условие B) —линейные и
однородные. Следовательно, если ut и &2 СУТЬ решения
уравнения A), удовлетворяющие условию B), то и функции
u = c1u14-C2U29 где сх и с2 — константы, будут также
решениями уравнения A), удовлетворяющими условию B)/
Попытаемся с помощью суперпозиции всех линейно
независимых частных решений описанного типа (т. е.
удовлетворяющих краевому условию B)) удовлетворить
и начальным условиям C) *). Для этого будем искать
нетривиальные**) частные решения уравнения A),
удовлетворяющие краевому условию B), в классе функций
вида 0(MI¥(t)f где Ф(М) непрерывны в D, ¥(/)
непрерывны в 0^/<оо. Подставляя функцию Ф^М)^/)
в уравнение A) и деля обе части уравнения на р(М)х
хФ(Л1)¥(/), получаем
ЦФ] Y" / V
-~~ = -у- (соответственно -^
Чтобы это равенство было тождественным (т. е. чтобы
функция Ф(М)Чг@ удовлетворяла уравнению A) при
всех (М, /) е В), необходимо и достаточно, чтобы обе
дроби 1[Ф]/рФ и W/W были равны одной и той же
константе:
1 [ф]. = _ Я — Ч"
рФ Y *
Таким образом, должны выполняться тождества
^г'+^ — О CP'+XYesO) и 1[Ф]+ЯрФ = 0.
*) По аналогии с решением задачи Коши для обыкновенного
линейного однородного дифференциального уравнения.
**) То есть не равные тождественно нулю.
85
Следовательно, в качестве функций 4?(t) и Ф(М) надо
брать нетривиальные решения уравнений
Ч"+№ = 0 (соответственно ¥' + XW = 0), D)
1[Ф] + ЯрФ-0, E)
причем функция Ф(М) должна удовлетворять краевому
условию
(т.?+ИЙ1 F)
Задачу E) — F) называют задачей Штурма — Лиувилля.
Она имеет нетривиальные решения не при всех
значениях Я.
Определение. Те значения Я, при которых задача
E) —F) имеет нетривиальные решения, называются
собственными значениями (с. з.) краевой задачи E) —F),
а соответствующие им нетривиальные решения Ф(М)
уравнения E) — собственными функциями (с. ф.) краевой
задачи E) — F).
2. Для каждой краевой задачи (однородной или
неоднородной), поставленной в области D, ограниченной
поверхностью (линией) 5, определим класс А функций Ф(М).
При рассмотрении краевой задачи первого типа
к классу А отнесем все непрерывные в замкнутой
области D функции Ф(М), обращающиеся в нуль на
поверхности (линии) S. При рассмотрении краевой задачи
второго или третьего типа к классу А отнесем все
непрерывные в D вместе с частными производными первого
порядка по координатам точки М функции Ф(М),
удовлетворяющие на границе S условиям:
= 0 для краевой задачи второго типа
и
(т1"э~ + Т2Ф) =0 Для краевой задачи третьего типа.
Здесь коэффициенты ух (М) и у2 (М) те же самые, что и
в краевом условии рассматриваемой задачи;
В дальнейшем будем предполагать, что функции k(M),
q(M), р(М) непрерывны в области D и k(M)>0,
q(M)^0, p(M)>0 в D.
При этих условиях справедлива
дп
86
Теорема 1. Существует бесконечное (счетное)
множество собственных значений {Кп)у л=1, 2, ... , и
соответствующих им собственных функций \Фп(М)} краевой
задачи E) —F), принадлежащих классу А.
Доказательство этой теоремы мы опускаем.
Замечание 1. Если заранее ограничиться
рассмотрением функций класса Л, то вместо слов «собственные
значения и собственные функции краевой задачи E) — F)»
можно говорить: «собственные значения и собственные
функции оператора L».
Замечание 2. Указанные выше условия на
коэффициенты k(M), q(M), p(M), yi(M) и у2(М) являются
лишь достаточными для существования собственных
значений и собственных функций. В дальнейшем будут
рассмотрены примеры краевых задач, в которых некоторые
из этих условий не выполнены. В этих случаях
существование с. з. и с. ф. будет установлено фактическим
нахождением их.
3. Напомним, что рядом Фурье функции f(M) no
ортогональной с весом р (М) > 0 системе функций {Фп (М)}
называется ряд
оо
Ц^Ф,г(М),
k = l
в котором коэффициенты ck вычисляются по формулам
ck = 1~¥\f(P)p(P)Ok(P)dxP,
b
1|Ф*!2=$ p(P)Ol(P)dxP.
D
Собственные значения и собственные функции краевой
задачи E) — F) обладают рядом свойств, из которых мы
сформулируем прежде всего следующее.
Теорема разложимости (Стеклова). Всякая
функция f(M) из класса А разлагается в ряд Фурье по
собственным функциям краевой задачи E) —F), абсолютно
и равномерно сходящийся в области D.
Доказательство этой теоремы мы опускаем*).
4. Вернемся к рассмотрению задачи A) —C). Ее
решение можно построить методом Фурье. Его называют
*) Для одномерного случая эта теорема будет доказана в гл. XI.
87
также методом разделения переменных. Сущность этого
метода состоит в следующем.
а) Ищем решения уравнения A), удовлетворяющие
только краевым условиям C), среди функций вида
и(М9 t) = <I>(M)y¥(t). Для функции Ф(М) получаем
задачу Штурма — Лиувилля E) —F).
б) Решаем задачу Штурма —Лиувилля. Пусть ФХ(М),
Ф2(М), ..., Фп(М)у ... суть собственные функции этой
задачи, а Ях, Я2, ..., Яя, ... — отвечающие им собственные
значения.
в) Для каждого собственного значения Хп находим
решение уравнения D). Общее решение его имеет вид
yn(t) = CncosVX~nt + DnsmVKt
для уравнения A) гиперболического типа и
для уравнения A) параболического типа.
г) Таким образом, частными решениями уравнения A),
удовлетворяющими только краевым условиям B),
являются функции вида
ип(М, t) = (Cncos]/Tnt + DasinVKt)On(M)
для уравнения A) гиперболического типа и
для уравнения A) параболического типа.
д) Возьмем сумму таких частных решений по всем
собственным функциям
оо
и (М, t) = 2 (СпcosVKt + Dnsm VKt) Фп(М) G)
n = i
или
оо
и{М,1)=^Спе-%п'Фп{М). G2)
/1=1
Возникает вопрос: нельзя ли так выбрать
коэффициенты Сп и Dn, чтобы эти суммы были решением задачи
A) — C)? Положительный ответ дает
Теорема 2. Непрерывное в замкнутой области
решение задачи A) —C),
принадлежащее соответствующему классу А при всяком фиксиро-
88
ванном значении /^0, для уравнения гиперболического
типа представляется в виде ряда G), где
cn = J<^r\p{P)v(P)®n{P)dTP,
D
D" = VrL ,. \ Р ^ <* № Ф* ^ dx?>
\^пГ = \р(Р)Ф2п(Р)^Р,
а для уравнения параболического типа— в виде ряда GХ).
Число ||ФЛ| называется нормой функции Фп(М).
Для доказательства этой теоремы нам понадобится
следующая
Лемма. Оператор L [Ф] ss div (k VO) — дф является
самосопряженным на функциях класса Л.
Доказательство. Скалярное произведение
функций Фх и Ф2 определим как интеграл
(Фх, Ф2) = \ ФхФгс1х.
D
Используя известную формулу векторного анализа
р div(£) = div(p£)-(£f Vp) для р = Ф1э £ = ^Ф2,
скалярное произведение (Фх, £[Ф2]) можно записать
в виде
(Ф1У 1[Ф2]) = 5Ф^[Ф2]^ =
D
= $ div(кФх VФ2) dx-\k(V02, УФ2) йт- J^ФХФ2dx.
D D D
Первый интеграл правой части равен \ кФх -g~ da,
s
поэтому
(ф1э 1[ф2])=
= -Л ЦЧФ» V0>2) Jt- J M^+ 5 АФх^^а. (8)
D D S
Эту формулу часто называют первой формулой Грина.
Аналогично получим
(Ф2, ЦФХ)) =
= - $ * №> v°i) dx - J ^А ^т + J £Ф2^ da. (8Х)
&9
Если мы имеем дело с первой или второй краевой
задачей, то { кФ± ^-2 da = i k02 ^do = О, так как
s s
фх \s = ф? |5 == О, шит соответственно -т-1
дФг
<5л
0.
drt .
В этих случаях из (8) и (8Х) справедливость равенства
(Фъ L [Ф2]) = (Ф2, L [Фх]) следует непосредственно. В
случае третьей краевой задачи из краевых условий находим
~"\ =—^-Фх и -з-2 = — — Ф2. Подставляя эти зна-
чения производных по нормали в формулы (8) и (8Х),
получаем требуемое равенство.
Замечание. Из формулы (8) (или (8Х)) следует, что
для функций Ф из класса А (Ф, £[Ф])^0.
Доказательство теоремы 2. Пусть и(М, t) —
искомое решение. Поскольку оно при всяком t>0
принадлежит классу А у по теореме Стеклова его можно
представить в виде ряда Фурье
со
и(М, 0 = Ц ^@Ф«(М), (9)
л=1
где
Wn {t) = 1*Ь I р (Р)"{Р' t] Фп {Р) dXp' A0)
D
Используя уравнение E) для Фп (М), последнюю
формулу можно преобразовать к виду
п w ~ КII ф« II2 J UL L "J й% КII ф* II2
D
или, согласно лемме,
Используя уравнение A), получаем
¥^)=ТОТГ$рФп"^т
D
/или ¥„(/) = х Л"фяца 3 РфлМт), откуда, сравнивая
полученный результат с формулой A0), имеем
^й(/)в-^Яя, т.е. Ч^ + АЛ^О
(или ¥я + ЛяТя«0).
90
Таким образом, функция xPn(t) является решением
уравнения Ч/," + ЯдЧг = 0 и, следовательно, может быть
записана в виде
Чп(t) = СпcosVKt + DnsinVKt (или Vn(t) = Cne~V),
где Ся = Тя@), D«l/^ = Yn@).
Используя формулу A0), находим
Ся==Тя@) = ^г Jp(P)a(Pf 0)Фя(Р)Л =
= |ф^$р(^Ф(Р)Фя(/>)*с,
D
ч. т. д.
Предположив существование решения задачи A) —C),
мы пришли к заключению, что оно представляется
рядом G), следовательно, оно единственно*).
Для уравнения гиперболического типа функции un(Mf t)
можно записать в виде
un = Bnsm(VKt + Qn)On(M)f
где Bn = VC2n+D2n, e„ = arctg§4
Движения, описываемые такими функциями,
называются собственными колебаниями, а также стоячими вол-
нами; и±(М91) — основной тон, а и2(М, t), u3(M, *),...—
обертоны. Числа ]/%, У~Я2, ... называются частотами
собственных колебаний (основного тона и обертонов).
Частоты собственных колебаний не зависят от начальных
условий. Физически это означает, что частоты
собственных колебаний не зависят от способа возбуждения их.
Они характеризуют свойства самой колеблющейся системы
и определяются материальными константами системы
(например, скоростью звука в среде), геометрическими
факторами (формой, размерами) и режимом на границе.
Собственная функция 5ЯФЯ(М) дает профиль
амплитуды стоячей волны.
*) Мы при этом опирались на теорему разложимости.
91
§ 3. Основные свойства собственных функций
и собственных значений
1. Обратимся к рассмотрению следующих свойств
собственных функций и собственных значений.
Свойство 1. Если Ф есть собственная функция,
отвечающая собственному значению Я, то и СФ (С
—константа) есть собственная функция, отвечающая тому же
собственному значению.
Свойство 2. Если Фх и Ф2 — собственные функции,
отвечающие собственному значению Я, то и любая
линейная комбинация С1Ф1 + С2Ф2 есть собственная функция,
отвечающая тому же Я.
Справедливость этих утверждений очевидна.
Свойство 3. Собственные функции Фх и Ф2,
отвечающие различным собственным значениям Хг и Я2 (ЯХ#Я2),
ортогональны в области D с весом р(М), т. е.
$р(Р)Ф1(Р)Фя(Р)Л = 0.
D
Доказательство. По определению собственных
функций и собственных значений имеем тождества
L [Фх] + Я1РФ* = О, L [Ф2] + Я2рФ2 = 0.
Умножим первое из них на Ф2, второе на Фх и
результаты вычтем один из другого. Интегрируя тождество
Ф2Ь [OJ - Ф±Ь [Ф2] = (Я2 - Лх) рФхФ2
по области D, получим
(Ф2, L [OJ) - (Фи L [Ф2]) = (К- Я,) $ рФгФ2 dx.
D
В силу самосопряженности оператора L *) левая часть
этого равенства равна нулю. Следовательно, и
5рФ!Ф2б/т = 0, ибо ХхфК^ ч. т. д.
D
Если собственному значению Я отвечают г линейно
независимых собственных функций Ф19 Ф2, ...,ФГ, то эти
функции не обязаны быть попарно ортогональными. Однако
мы можем заменить их другими собственными функциями
Ф19 Ф2, ..., ФГ7 являющимися их линейными комбина-
*) Собственные функции принадлежат классу Л.
92
циями и притом попарно ортогональными. Действительно,
полагаем Фг = Фь Если $ рФхФ2 dx = 0, то полагаем Ф2 =
D
= Ф2, если же \ рФхФ2 <ft ^= 0, то полагаем Ф2 = Фх + 5i02.
Константу Вх находим из условия ^рФ1Ф2Л = 0, т. е. из
D
уравнения
\ рФ; dt + Bi J РФ1Ф2 Л - 0.
Если Ф3 ортогональна функциям Фх и Ф2, то полагаем
ф3 = ф3, в противном случае полагаем Ф3 = Фг + В^^Ф2 +
+- 533Фз- Константы 532 и В33 находим из условий
^рФ1Ф3Л==0 и |рФ2Ф3йт = 0, т. е. из уравнений
D D
$ рф\ dx + BS2 \ рФхФ2 dx + ВдВ \ рФ^д dx = 0,
D D D
\ рфД, dx + В32 $ РФ! Л + В33 $ рФ2Ф3 dx - 0 *)
D D D
И Т. Д.
Продолжая этот процесс ортогонализации, мы
построим г собственных функций Фъ Ф2, ..., Фг,
отвечающих тому же собственному значению Я и уже попарно
ортогональных. Предполагая в дальнейшем, что такой
процесс ортогонализации проведен (если в нем была
надобность), мы можем утверждать, что любые две линейно
независимые собственные функции краевой задачи E)-~F)
ортогональны в области D с весом р.
Свойство 4. Все собственные значения задачи E)—F)
вещественны.
Действительно, предположим, что Х = а + ф (Р^О)
является собственным значением, а Ф = Фх + /Ф2 —
отвечающей ему собственной функцией. Тогда выполняется
тождество
L [Фг + 1"ФЯ] + (« + ф) р (фх + гфг) = 0.
*) Если Ф3 ортогональна Фх, но не ортогональна Ф2, то
полагаем ф3 = Ф2 + 53Фз и Б3 находим из условия
С рФ3Ф2 dx = J рФ2 dx + В3 $ рФ3Ф2 dx = 0.
£> D £>
93
Следовательно,
L [Фг] + apOi - РрФ2 = 0, i {L [Ф2] + арФ2 + РрФх} = 0.
Вычитая почленно эти тождества, получим
L [Фг - *Фа] + (а - ф) р (Ф± - /Фа) = 0.
Таким образом, к = а — ф и Ф = Фх — 1Ф2 являются
собственным значением и собственной функцией той же задачи.
По свойству 3
$ Р (Фх + 1Фа) (ф1 - *ф2) dx = 0, или \ р (Ф? + Ф|) d% = 0,
что невозможно.
Свойство 5. Все собственные значения задачи E)—F)
неотрицательны.
Для доказательства умножаем тождество L [Фя] +
+ ХпрФп = 0 на Фп и результат интегрируем по области D.
Получим рфд dx = 0, откуда
. _-(Фя> 1[ФЛ])
Л/г~ ЦФ*112 '
Поскольку — (Ф„, Ь[Фп])^0 (см. стр. 90), то Х„5^0.
Замечание. Для первой и третьей краевых задач
все собственные значения положительны. Для второй
краевой задачи с g(M) = 0 Я = 0 является собственным
значением, а Ф=1~отвечающей ему собственной
функцией.
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих
применение метода Фурье решения краевых задач и задач
Штурма — Лиувилля.
Пример 1. Пусть требуется найти решение задачи*)
а*ихх = ии, (И)
и(х9 0) = q>(x)f щ{х, 0) = ф1(*); и@, t) = u(l, 0 = 0, A1^
непрерывное в замкнутой области Л = {0^д:^/; t^0\,
*) Напомним, что эту задачу мы решили в гл. III методом
характеристик. Тогда мы продолжали начальные значения <р (*) и фх (*)
нечетно относительно точки х = 0 на отрезок (—/, 0) и затем
периодически на всю прямую. Затем к продолженным значениям
применяли формулу Даламбера. Читателю предлагается непосредственно
показать, что решение, полученное методом характеристик, совпадает
с решением, полученным методом разделения переменных.
94
Заметим, что из условия непрерывности решения в замкнутой
области В и краевых условий следует, что начальные значения
решения <р(х) должны удовлетворять соотношениям ф@) = ф(/)=0
(условия согласованности).
Решение. Среди функций вида Ф (х) Ч (t) ищем такие решения
уравнения (И), которые удовлетворяют только краевым условиям
задачи. Подставляя Ф (х) Ч? (t) в уравнение, получим
ф" -, У" _ *
Ф ~ а2¥
Следовательно, Т,/ + а2ЯЧг = 0 и
Ф" + ЯФ = 0, Ф@) = Ф(/) = 0. A2)
Это —первая краевая задача. Все ее собственные значения
положительны. Поэтому общее решение задачи A2) можно записать в виде
eb(x) = AcosVlx+B sinVlx.
Из краевого условия на левом конце находим Л = 0.
Следовательно, Ф (х) = В sin Y\ x яВфО. Из краевого условия на правом
конце находим Bsinl^X/—0. Следовательно, sin УXI — 0, откуда
Yhl — nn и
^ = n2Jt2//2 (л = 1, 2, 3, ...).
Таковы собственные значения. Соответствующие им собственные функ-
ции суть Фп (х) = sin — х.
Для каждого Хп находим
1ТГ /Л ^ аПП J. I 7^ • а^П J.
Согласно теореме 2 (§ 2) искомым решением задачи будет функция
со
ы (*, /) = 7 ( СЛ cos —у- f + Dn sin -у- / sm-т- xt
/1=1
где
ся=у \ Ф ©sin т * ^' D" = 5™ J ф1 (£) sin Т g d5,
ибо
ЯЛ .. _,,. /
"'
о
Пример 2. Пусть требуется решить задачу
аЧхх = ии и (х, 0) = ф (*), их @, t) = и* (/, 0=0.
Как и в предыдущем примере, находим
Ф" + А,Ф = 0, Ф' @) = Ф' (/) = 0t
4" + a2W = 0. ( }
95
и (х, 0=7, спе и v cos ^ х>
Здесь МЫ имеем дело сб второй краевой задачей и q ss 0.
Следовательно, ^ = 0 будет собственным значением, аФМ= 1 — отвечающей
ему собственной функцией.
Остальные собственные значения и собственные функции
находим, как и в примере 1:
Ф (х) = Л cos Vlx+B sin VI x.
Из условия Ф'@) = 0 находим Б=0. Следовательно, А Ф 0 и Ф (я) =
= АсоъУ%х. Из условия Ф' @ = 0 находим sin^AJ — O,
следовательно, Vll^nn и Я„ = я2я2//2 (я=1, 2, 3, ...)•
Таким образом,
Л я2 4я2 я2 я2
^» Та"» 2"» ' ** » а~"» ••• — собственные значения,
, я 2я ял «
,. 1, cos у- хл cos — а:, ... , cos -у- х, ... — собственные функции.
Для каждого Хп находим соответствующие функции ¥Л (t):
^„@ = С„е~аЧ"' („ = 0,1,2,...).
Искомым решением задачи будет, согласно теореме 2 (§ 2),
функция
00
-a*hj _ЯП
/
п=0
где
/ /
Q = y $ф(й«. Ся = у^ФЙ)со8^5^ (я-1, 2, 3, ...),
о о
ЦФо112 = /, 1|ФяР=5со8»^Б« = у (я = 1. 2, ...)•
о
Пример 3. Решить задачу о температуре однородного стержня
длины /, боковая поверхность которого теплоизолирована, а на
концах его происходит конвективный теплообмен со средами, имеющими
соответственно постоянные температуры ц\ и и2* Начальная
температура произвольная.
Математическая постановка задачи:
&ихх = ии A4)
и* @, 0—Ми @Э 0-"i]=0, A5)
М'. ') + Ми(Л 0-]=0, A6)
и(х, 0) = ер(х). A7)
Ищем решение в виде u(xf t) = v (x)-{-w (x, f), где v(x)~
решение уравнения A4), удовлетворяющее краевым условиям A5) и A6),
т. е.
t>" = 0, (Их)
a'@)-Mf@)-Ui] = 0, A5J
»#@ + Л«[о@-И2] = 0. A6х)
96
Для функции w (х, {) задача ставится следующим образом:
a2wxx — wh A4J
wx@, /)-M@, 0 = 0, A5,)
ЩA, t) + h2w(l, 0 = 0, A62)
w{x9 0) = ф1 (*) = <? (*)-*(*). A72)
Функция v (х) описывает стационарный режим, a w(x, t) —
отклонение от него.
Решаем сначала задачу для v (x). Общее решение уравнения A4^
имеет вид
v(x)^C1x + C2.
Постоянные Сх и С2 определяем из краевых условий (lSJ, (\6г):
Q~^i(Q-"i) = 0, Cx + h2 [CjZ+Q-^l-O,
откуда
Таким образом, стационарный режим найден. Задачу для w(x, t)
решаем методом разделения переменных. Среди функций вида Ф{х)Ч({)
ищем решения уравнения A42), удовлетворяющие лишь краевым
условиям A52), A62). Подставляя функцию Ф (*) ¥ @ в уравнение A42) и
в краевые условия A52), Aб2), получим
Ф" + ЬФ = 0, A8)
Ф'@)~АФ@) = 0, A9)
Ф'@ + ЛаФ(/) = 0, B0)
¥' + a2W = 0. B1)
В силу свойства 5 задача A8)—B0) имеет лишь положительные
собственные значения. Поэтому общее решение уравнения A8) можно
написать в виде
Ф (х) = A cos Vlx + B sin VI x.
Из краевого условия A9) находим вУХ — ^А. Следовательно,
Ф (*) = Д {VI cos Vbx + hi sin VX x). B2)
nx
Множитель В/hi отнесем за счет функции ¥ (/)• Подставляя
функцию B2) в соотношение B0), получим уравнение для определения
собственных значений:
, 1 / М2'2
l(h!+h2)\r ji
где \1 = У%1. Пусть \ilt ц2, ..,, \int ... — положительные корни этого
уравнения. Тогда собственными значениями будут числа Хп — ^п/'2-
Собственные функции будут иметь вид
фп (х) = ^ cos bi x -(_ hx sin ^ x.
4 В. Я. Арсенин 97
Они ортогональны на отрезке [0, /] с весом р= 1. Обратимей к
уравнению B1). Его общее решение при А, = А,Л имеет вид
Тогда
w(x,t)=%Cne аУФ„М.
Коэффициенты Сп находим из начального условия, пользуясь
ортогональностью собственных функций Фп (х):
l
б
I
о
Замечание. Описанный в этом примере способ построения
решения путем выделения стационарного режима и последующего
нахождения отклонения от него применяется к широкому классу
краевых задач со стационарными (т. е. не зависящими от времени)
неоднородностями, содержащимися в уравнении или в краевых
условиях (или и в уравнении и в краевых условиях).
Пример 4. Решить задачу о поперечных колебаниях струны,
один конец которого жестко закреплен, а другой свободен, если на
свободном конце имеется сосредоточенная масса т0 и начальное
возбуждение произвольно.
Математическая постановка задачи
<Рихх = ин
и (х, 0) = q> (х), щ (х, 0) = фх (х)\ ф @) = 0,
и@, 0 = 0, Tux(l, f) = m0uu(l, t).
В классе функций Ф (х) У (t) ищем решения, удовлетворяющие
лишь краевым условиям. Разделяя переменные, находим
Y" + flWP = 0, B3)
ф" + ЛФ = 0, B4)
Ф@) = 0. B5)
Краевое условие на правом конце запишется в виде
то>' (/) y @ - /т?0ф (/) ¥" (/)=о.
Заменяя в нем W" (t) из уравнения B3) через ¥(£) и деля обе части
равенства на ¥(/), получим
Ф'@+^Ф@ = 0, B6)
где h = a*mQ/T.
98
Ро/'
Решения уравнения B4), удовлетворяющие условию B5), имеют
вид ф (х) = sin V% х. Из условия B6) находим уравнение для
определения собственных значений Хп > 0:
tg |x = —1/(Лц), и = ]/П.
Им соответствуют собственные функции
Фп(х) = вт~-х.
Нетрудно непосредственно убедиться, что они не ортогональны
друг другу с весом р (х) === 1. Этот факт не противоречит общей
теореме об ортогональности собственных функций, поскольку краевое
условие B6) не является обычным краевым условием третьего типа:
оно содержит явно (а не через собственную функцию) собственное
значение %. Чтобы понять, какая ортогональность будет иметь место,
заметим, что уравнение для и (х, t) можно записать в следующем
виде:
Тихх^[р0 + т0Ь (х-1)] и„.
Следовательно, уравнение для собственных функций можно написать
в виде
7Ф" + Хр(л:)ф:=0, где р(х) = р0 + т0б(х-/).
Поэтому собственные функции Фп (х) будут ортогональны с весом
\>{х). Легко проверить это и непосредственными вычислениями.
Далее действуем по обычной схеме. Находим Чп (t), тогда
оо
и(х, i)^y(cncos^t + Dnm^t\^n^x.
п=\
Из начальных условий определяем коэффициенты Сп hD„,
пользуясь ортогональностью собственных функций с весом p = f0 +
+ m06 (x—t):
Сп = jfojjrj J РоФ (Б) Ф* © « + /ЯоФ W Фп @1,
°п = а^п\\Фп\? I S Р°Ф1 ® Фя (Э ^ + т°ф1 @ Ф* (/I>
ЦФя112 = Ро{фп©^ + тоФ^(/).
6
2. Вернемся к рассмотрению свойств собственных
значений и собственных функций. Пусть R [Ф, F] ==
= -(Ф, L[F]).
Заметим прежде всего, что так как для функций Ф
класса А имеем R [Ф, Ф] ^ 0, то существует
. f Я[Ф, Ф] ^_л
99
Свойство б (экстремальное свойство) выражает
Теорема 3. Если [х = inf *• ' ' достигается на
Фел '! ''
некоторой функции Ф из класса А, то Ф есть собственная
функция, а \к — отвечающее ей собственное значение задачи
E)—F). При этом \х будет, очевидно, наименьшим
собственным значением.
Доказательство. Для всякой функции Ф из
класса Л имеем .* ,2 —[л^О; в частности, Хп =
= |ф'|р ^Ф- Следовательно, для ФеЛ
Т[Ф] = /?[Ф, Ф]-^|!Фр^о,
в то время как
^[Ф]=/г[Ф, Ф]-|л]|б||2=о.
Таким образом, функционал *¥ [Ф] достигает минимума
на функции Ф. Это равносильно тому, что функция ф (а) =
= Чг[Ф + а/], где /еЛ, достигает минимума при а = 0.
Но тогда q/ @) = 0. Подсчитаем эту производную:
Ф' @)= fa{R № + «/, Ф + а/]-(х||Ф + а/!|2}а = 0=
= — 2$ /{1[ф] + |1рФ}Л.
D
Мы воспользовались здесь самосопряженностью
оператора L на функциях класса Л.
Таким образом, для произвольной функции / из Л
имеет
$/{1[ф] + Н>ф}йт = 0.
D
Отсюда следует *), что в точках непрерывности
функции Ь[ф] выполняется тождество
ЦФ] + Щ)Ф = 0,
ч. т. д.
*) По основной лемме вариационного исчисления.
100
Если минимум того же функционала искать в классе
функций Ак, принадлежащих А и ортогональных с весом р
в области D собственным функциям Ф19 Ф2, ..., Фк~ъ то
этот минимум будет k-ы по величине собственным
значением Kk, а функция, на которой он достигается,—
соответствующей ему собственной функцией Ф^. Доказательство
этого предложения проводится аналогично.
Замечание. Свойства 1—6 справедливы для
собственных значений и собственных функций любого линейного
эрмитова оператора. Доказательства их остаются
прежними, так как при их проведении мы пользовались лишь
свойством самосопряженности оператора L. В дальнейшем
будем предполагать, что функция k (M) непрерывна вместе
с частными производными первого порядка в D.
Свойство 7. С ростом k (M) (q(M)) собственные
значения не убывают. Точнее, если k1(M)^k2(M) в D>
то Кп]^Хп\
Проведем доказательство для Хх.
Для любой функции ФеЛ
|| ФР ^ [|ФЦ >
где Rx и R2 — функционалы R, соответствующие
функциям ki(M) и k2(M). Следовательно,
M1'= inf ■ , д, L ^ inf —шгъ— = №*.
Ф£Л Иф112 Ф£Л 1ф112
Для случая qi(M)^q2(M) доказательство почти дословно
повторяется.
Свойство 8. С ростом р (М) собственные значения
не возрастают. Точнее, если Pi{M)^p2(M) в D, то
Проведем доказательство для V
Для всякой функции Ф из А выполняется неравенство
Я[Ф, Ф]^.#[Ф, Ф]
|ф|1р| ^ 11ф|1рз '
где |Ф|Р1 и ]]Ф||р2 —нормы функции Ф с весами рх и р2.
Тогда
w.= inf ^U inf т^=к:
Фел ||Ф|ГР1 ФеЛ ||Ф||р,
ч. т. д.
101
Из свойств 7 и 8 следует, что в одномерном случае
собственные значения %п с ростом п растут, как п2.
Действительно, наряду с уравнением
^ [k (х) Ф' (х)} -д(х)Ф (х) + %р (х) Ф (х) = 0 B7)
рассмотрим уравнения
k2O" + (kp1-q2)O = 0 B8)
^Ф'Ч^-^Ф^О, B9)
где k2, q2, p2 — максимальные значения функций k(x)f
q(x), р(х) на отрезке [0, /], kl3 qu px— их минимальные
значения (или sup и inf).
Для определенности рассмотрим первую краевую
задачу, т. е. будем искать решения уравнений B7), B8) и
B9), удовлетворяющие краевым условиям
ф@) = ф(/) = о. C0)
Поскольку уравнения B8) и B9) имеют постоянные
коэффициенты, то собственные значения задач B8), C0) и
B9) —C0) легко находятся; они равны
^-"^-^2 + -, Я«—SP^+p^-
no свойствам 7 и 8 собственные значения Хп задачи B7)—
C0) заключены между Х'п и Л£, т. е.
Отсюда и следует справедливость высказанного
утверждения.
Свойство 9. С уменьшением основной области D
собственные значения первой краевой задачи не убывают,
т. е. если D'czD", то Vn^Vn%
Мы проведем доказательство
этого свойства лишь для Хг.
Каждой из областей D' и D"
соответствуют свои классы
функций А' у А'. Пусть некоторая
функция Ф' принадлежит классу
А'. Она равна нулю (в силу
краевого условия на границе области D') на той части 2'
границы области D', которая содержится на D" (рис. 17).
102
Функция Ф", равная Ф' в области Df и нулю в
области D" — D' (заштрихованная часть), очевидно,
принадлежит классу А".
Если мы проделаем такую операцию с каждой
функцией класса Л, то получим новый класс функций А',
содержащийся в А". Для всякой функции ФеД' имеем
Я»[ф, ф] = _ J Ф1[Ф]Л = — \q>L[Q>]dT = R' [Ф, Ф]
D" D'
И
\ рФ*Д?Т= \ рФ2^Т,
£>" D'
ибо эта функция тождественно равно нулю в D" — Dr.
Поэтому
л, . f #'[Ф, Ф] . , /Г[Ф, Ф]_ . f R" [Ф, Ф] л,
Я1= mf и ф из = inf цфр ^ mf цфр =**•
феЛ' ||Ф|11 Фел- ||Ф|!* феЛ" 1|Ф«2
Здесь || Ф ||х и ||ф||2 суть нормы функции Ф в областях D'
и D".
3. Определение. Собственное значение % будем
называть r-кратным, если число всех линейно независимых
собственных функций, которые ему соответствуют, равно л
Определение. Собственное значение X будем
называть простым у если любые две собственные функции,
соответствующие этому Я, линейно зависимы.
Свойство 10. Все собственные значения одномерной
краевой задачи E)—F) простые.
Доказательство. Пусть Фх (х) и Ф2 (х) —
собственные функции, отвечающие одному и тому же собственному
значению К. Тогда обе эти функции являются решениями
одного и того же уравнения
^[йФЧ-^ф + ЛрФ^О
и удовлетворяют одним и тем же краевым условиям на
левом конце:
Yi<W @) - у2Фг @) = 0, ТгФ; @) - ?2Ф2 @) = 0.
Эти равенства можно рассматривать как систему линейных
уравнений для у1 и у2. Поскольку yl-\-yl^09 то
определитель этой системы равен нулю. Но этот определитель есть
определитель Вронского W \х) для решений Фх (х) и Ф2 (х)
103
в точке х = 0. Известно*), что определитель Вронского,
составленный из решений одного и того же линейного
однородного дифференциального уравнения, либо
тождественно равен нулю, либо нигде не обращается в нуль.
Так как в нашем случае W@) = 0, то W(x) = 0. Отсюда
и следует линейная зависимость решений Oi(x) и Ф%(х).
Заметим, что для многомерных краевых задач это
утверждение неверно.
Пример 5. Рассмотрим задачу о колебаниях квадратной
мембраны с закрепленными краями под действием начального
возбуждения. Стороны квадрата направлены по осям координат.
Математическая постановка задачи:
a2Au = iitt, u—u(xf у, t), C1)
"(О, у, t) = u(l, у, 0 = 0, C2)
и (*, 0, t) = u (x, /, t) = 0, C3)
и{х, у, 0) = <р(*, у), щ{х, у, 0) = ф1(д:| у). C4)
В классе функций вида Ф (#, у) Y (t) ищем решения уравнения
C1), удовлетворяющие лишь краевым условиям C2), C3). Подставляя
такую функцию в уравнение C1) и в соотношения C2), C3) и
разделяя переменные, получим следующую задачу Штурма —Лиувилля:
Дф + ЯФ-0, C5)
Ф@, у) = Ф(/, $0 = 0, C6)
Ф(*, 0) = Ф(*, /)=-0. C7)
Эту задачу также можно решать методом разделения переменных.
Будем искать решения в классе функций вида Ф (дс, у)~ А (х) В (у).
Подставляя такую функцию в уравнение C5) и разделяя переменные,
получим
А"
Чтобы это равенство было тождеством, необходимо, чтобы —г = — И-
и -g- + l = \i, т. е.
Л" + [хА=0, C8)
Br/ + (X — \i)B=Q или £" + а£ = 0. C9)
Из условий C6), C7) находим
А @) = А @ = 0, D0)
В @) = В (/) = 0. D1)
Таким образом, мы имеем первые краевые задачи C8), D0) и C9), D1).
*) См. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений,
гл. V, Физматгиз, 1959.
104
Собственные значения \i и Л, — [л должны быть положительными (по
свойству 5). К-ак и в примере 1, находим
n2fl2 /to ч
An(x)=:sm -j-x,
а также
"л^-ТГ- № = 1.2,...),
Bk(y) = sm-jy.
Но аА = А,--цЛ. Следовательно, Ья,А=*аЛ + цЯ1 или \пЛ = ~ (п2 + №),
где & и /г независимо друг от друга принимают значения 1,2, ...
Таким образом, мы нашли собственные значения задачи C5)—C7).
Им соответствуют собственные функции
Ф/ь k (*> У) = sm -у- * sm -у- у.
Собственные значения Xn>k и ^,п, очевидно, совпадают, а
отвечающие им собственные функции
. . ш . nk ^ . nk . пп
<Dn,fe = sin -j-xsm-j-y и 0^,w = sin-|-^siny-f/
линейно независимы. Например, Хх,2 = Я2,i = 5 -^,
зх 2jt 2зт зх
(D1J = sin-y- дс sin-у-г/ и Ф2,1 == sin -у х sin -r у.
Таким образом, в этой задаче собственные значения не являются
простыми.
Решение задачи C1)—C4) представляется рядом
и (х, у, *) =
n = l й = 1
в котором коэффициенты Сл, ^ и D^ вычисляются по формулам
Cn.k = Та J J ф & ^ Sin T ^ Sin Т Л ^ ^'
о о
D^=^fcJ i *ffi. id stasia. £,,«*,.
0 0
4. Метод Фурье применяется и для решения краевых
задач A)—C), в которых коэффициент k(M) имеет точки
105
разрыва в области D. При определенных условиях,
которые будут указаны ниже, остаются справедливыми все
свойства собственных функций и собственных значений
задач вида E)—F) с разрывным коэффициентом k(M).
При доказательстве свойств с. з. и с. ф. мы опирались
на первую формулу Грина, которая получается
непосредственно из формулы векторного анализа —
div(p-£) = pdiv£+(V/>, E)
и формулы Остроградского
^div(kVO)dx= J feeder.
D S
Если для задач вида E)—-F) с разрывным
коэффициентом k(M) мы укажем условия, при которых справедлива
формула Остроградского, то при этих условиях верна
будет первая формула Грина и, следовательно, все
рассмотренные нами свойства собственных функций и
собственных значений. При этом в доказательстве этих свойств
ничего не изменится.
Пусть £ —множество точек области D, ограниченной
поверхностью 5, в которых функция k (M)> входящая
в оператор div(&Vd)), разрывна. Будем полагать, что
множество Ш представляет собой совокупность точек
конечного числа поверхностей (линий в двумерном случае) Sh
принадлежащих области D, разбивающих область D на
конечное число попарно не пересекающихся подобластей Dh
ограниченных поверхностями St и таких, что
D = D1 + Dt+...+Dn.
При этом в каждой из подобластей Dt коэффициент k(M)
непрерывен вместе с частными производными первого
порядка по координатам точки М.
Как и прежде, полагаем, что q (М) и р (М) непрерывны
в D и для MgD k(M)>0, q(M)^0, p(M)>0.
Такие коэффициенты k{M), q{M), p{M) будем
называть допустимыми, а области Д — областями гладкости.
Таким образом, каждой тройке допустимых коэффициентов
отвечает некоторое разбиение области D на конечное число
подобластей гладкости Д. В частности, если коэффициент
k{M) непрерывен вместе с частными производными
первого порядка в D (и q{M), p{M) непрерывны в D), то
это «разбиение» состоит из одной области Д
106
Будем говорить, что при заданном допустимом
коэффициенте k (M) и отвечающем ему разбиении области D на
подобласти гладкости Д функция Ф(М) удовлетворяет
условию Остроградского в области D, если
1) Ф(М) непрерывна в D;
2) в каждой подобласти гладкости Д функция Ф (М)
имеет частные производные первого и второго порядков
по координатам точки М, непрерывные в Д;
3) на общих границах S,7 (S/y c= D) прилегающих друг
к другу подобластей гладкости Д и Dj выполняются
соотношения
дФ|
Rl дп
stj-kJdn
V
где производная берется по нормали к поверхности Stj,
ki и kj — значения k(M) в областях Д и Dj соответственно.
Для функции Ф(М), удовлетворяющей при заданном
допустимом коэффициенте k(M) условию Остроградского
в области Д очевидно, справедлива формула
Остроградского „
\ div(kVO)d%= y-gdo.
D S
Обозначим через А класс функций Ф(М), которые
удовлетворяют условию Остроградского в области D и
однородным краевым условиям
1b£ + YA = 0 F)
дп
на границе S.
Очевидно, для каждой области D, каждого
допустимого коэффициента k(M) и заданного краевого условия
вида F) существует свой класс А.
Для задач вида E)—F) с допустимыми
коэффициентами k(M), q(M), p(M) справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Существует бесконечное множество
собственных значений {Ял}, я= 1, 2, ..., и отвечающих им
собственных функций {Фп(М)\ краевой задачи E)—-F),
принадлежащих классу А.
Теорема 2. Непрерывное в замкнутой области В =
= JMeD, t^O} решение задачи A)—C), при всяком
фиксированном значении /^0 принадлежащее классу Ау
представляется рядом G) (соответственно GJ).
Соответствующие изменения в формулировках ряда
других утверждений очевидны.
107
§ 4. Некоторые свойства совокупности собственных
функций
Здесь мы рассмотрим некоторые свойства совокупности
собственных функций {Фп}.
Определение. Система попарно ортогональных в
области (с весом р) функций {Фп} называется полной в D,
если для всякой функции f(M), интегрируемой с
квадратом в D, выполняется равенство
оо
$Р/Мт=2 СЛ|Ф*|Р, D2)
D k=l
где Ck — коэффициенты Фурье функции f(M) по
функциям системы {Ф*}.
Достаточный признак полноты системы
{Фя}. Если для всякой непрерывной в D функции F (М) и
для любого е > 0 существует линейная комбинация Sn =
= «i^i + • • • + апФп> для которой \ р (F — SnJ dx < 8, то
D
система {Фп} полна.
Мы приведем лишь схему доказательства этого
признака. Зафиксируем &>0. Для всякой функции f(M)
с интегрируемым квадратом в D найдется такая
непрерывная вО функция ф(М), что §р(/ — фJЛ<8/4 *).
D
Для функции Ц)(М) и для выбранного s по условию
найдется такая линейная комбинация 5л«=а1Ф1-[-... + аяФя,
для которой
^ Р(Ф— SnJdx<~.
D
Оценим интеграл
$р(/-2]слф*) л,
D к /г=1 '
*) Это утверждение требует доказательства, на котором мы не
будем останавливаться. Заметим лишь, что для одномерного и
двумерного случаев такая функция ф (М) строится просто (см.
Толст о в Г. П., Ряды Фурье, Физматгиз, 1960).
108
в котором У] СкФк — частичная сумма ряда Фурье функ-
ции ДМ). Очевидно,
Л=1 £> Jfe=l
Мы при этом воспользовались ортогональностью
функций Фк. Поскольку \р[Фк<1% = Ск\\Фк12, то
D
Известно, что квадратичное отклонение 6,1 = ^p(f — SnJdx
$Р /- S СкФк) <h= \р?Чх- 2 С*ЯФ*р.
будет минимальным, если в качестве S„ взять ^] СкФк *).
Поэтому
<: $р(f -5ЛJ^т^ ^р(/-ф + ф-5я)Мт^
^2 ^p(/-9JdT + 2jp(9-5nJ^T<2. J + 2*-е.
Мы при этом воспользовались хорошо известным
неравенством
{А + ВJ^2А2 + 2В\
Таким образом, .
о^$Р/»л-2! с|[|ф.|]2<в,
откуда и следует условие полноты:
с»
$р/«</т = 2 сй1ф*|».
*) См. Фихтенгольц Г. М., Основы математического
анализа, т. 11, изд. 5-е, гл. XXVIII, «Наука», 1968.
1С9
Ряды Фурье по полным системам функций {Фп}
обладают следующим замечательным свойством:
Теорема 1. Если система функций {Фп} полна
в области D, то ряд Фурье для всякой функции с
интегрируемым квадратом в D можно почленно интегрировать
независимо от того, сходится он или расходится, т. е.
для любой области D' czD справедливо равенство
оо
]f(M)dx=X Сп\Фп{М)йх.
D' n=\ D'
Доказательство. Оценим разность 8п — \fdx—
D'
|б»1 =
D'
\ФЛ dx
п
f-Z
А=1
fig
СкФк
dx^\
D
f- £с*фх
k = \
dx.
Для оценки последнего интеграла воспользуемся
неравенством, Коши — Буняковского:
\ \f- 2 с*ф*л= jj v?\f- 2 схф«
D А=1 Ь /г = 1
dx
V7
D \ k=1 / D
-Y\
pPdx- %СЦФк
Последний интеграл ограничен, а разность
\pPdx- 2СЦФкГ
dx
о '
k= i
при п-+оэ стремится к нулю по условию полноты.
Следовательно, бЛ->0 при я->оо, ч. т. д.
Теорема 2. Система собственных функций краевой
задачи E) — F) полна.
НО
Доказательство. Возьмем произвольную,
непрерывную в D функцию f(M). Тогда, каково бы ни было
число 8>0в классе А (см. § 1) найдется такая
функция g(M) *), что
]ptf-gJdT<±. D3)
D
Функция g{M) представляется рядом Фурье по
собственен
ным функциям, g(M) = 2] С^Ф/г» равномерно сходящимся
в D. Следовательно, для всякого ех>0 найдется такое
N (8Х), ЧТО
I n
£-ЦС*ф*
<ех для п>Ы(г1). D4)
Покажем, что ^р./ — £ СкФк) Л<г. Тогда со-
гласно достаточному признаку полноты система {Ф^}
будет полной. Очевидно,
Ы/~ 2 СкФ,)\х = \р (f-g + g- |] СкфХск^
k=\ I D \ 6=1
\2
:2\p(f-gYdx+2 Ug- 2] СкФк) dx,
k = i
Используя неравенства D3) и D4), получим
1РУ 2 СкФк) d%<2+2^ \pdx<e9
г = \
если взять 8i^ 8_, где B=\pdx.
1 2\/B iv
¥ D
Эта теорема вместе с предыдущей позволяет
интегрировать почленно ряды Фурье по собственным функциям
краевой задачи E) — F) для всякой функции,
интегрируемой с квадратом, не заботясь не только о
равномерной сходимости этих рядов, но даже вообще об их
сходимости в каждой точке.
*) См. То л сто в Г. П., Ряды Фурье, Физматгиз, 1960.
111
§ 5. Решение неоднородных краевых задач
методом Фурье
Знание системы собственных функций {Ф„} и
соответствующих ИхМ собственных значений {Хп} позволяет решать
и неоднородные краевые задачи. Рассмотрим некоторые
из них.
1. Пусть требуется найти решение задачи
L[u] + f(M, t) = putt (соответственно рщ)у D5)
и(М, 0) = 0, щ(М9 0) = 0, D6)
(Ti^ + T^)s = Of D7)
непрерывное в замкнутой области S = {MeD; t^O} и
принадлежащее классу А при всяком фиксированном
значении />0.
Так как искомое решение и(М, f) принадлежит
классу Л, согласно теореме Стеклова оно может быть
представлено в виде ряда Фурье по собственным
функциям {Ф4 соответствующей однородной задачи E) —F):
оо
и(М, 0=ЦЧГЛ0ФЛЛ1)> D8)
п~. 1
ГД6 Уп @ = jf^p S Р" (Р> О Ф» (Р) dr. D9)
b
Выражая рФ/г под знаком интеграла D9) из уравнения E),
получим
~ К\\<$>Л ~ К\\®А% Ъ п 1Щ '
D
Выражая L[u] из уравнения D5), получим
*• w = iTOF S №Ф»А+« S ^dT- E0)
Первое слагаемое в правой части формулы E0) равно
— У'п'/кп. Второе слагаемое представляет известную
функцию, обозначим ее через /л(/)Дя. Таким образом,
Л/г АЛ
112
Следовательно, ¥„(/) есть решение уравнения W'n +lnWn =
— fn{t) (соответственно у¥'п + КхРп = [п) с дополнительными
условиями
Чп @) = ,^-р J pa (P, 0) Ф„ (Р) dx = 0,
^ @) = щ^ \ put (Р, 0) Ф„ (Р) dx = 0.
ъ
Решение такой задачи имеет вид
t
уп @ = р= 5sin уГп {t ~9) h (9) dB
(соответственно ¥„@ = \e~%*{t~Q)fn (8)del
\ о /
Подставляя полученные функции f„(<) в формулу D8),
получим искомое решение в виде ряда Фурье по
собственным функциям. Если, в частности, f(M, t) =
= f(t)8(M, Mo), то
Ь
и /
Чп(t)= ®Л{Мо) { sin VK Q-b)f F) d6
(соответственно Wn (t) = ^j- j e~ V'-e>/ F) del
Если требуется решить задачу
L[u]+f(M, 0 = P«« (P«<).
ы(М, 0) = Ф(М), И/(М, 0) = ф1(М); (Vl| + Y3„)c = 0,
то будем искать решение в виде суммы двух функций
и(М, t) = v(M, f) + w(M, t),
являющихся решениями следующих задач:
v. L[v]^pvtl (pvt),
v(M,0) = y(M), vt(M) = ffl(M); (Yi^ + V2f)s = 0;
w: L{w]-\-f(M, f) = pwtt (pwt),
w(M,0) = w((M, 0) = 0; (vi£ + y-iw)s = 0.
Каждую из этих задач мы уже умеем решать.
ИЗ
2. Пусть требуется найти* решение задачи
L[u] + f(M9 t) = puu {рщ)9 E1)
(yi| + y2^M = P(m, о; E2)
и (М, 0) = Ф (М)9 щ (Л1, 0)= ф1 (М), E3)
непрерывное в замкнутой области 6 = {A(gD; ^^0}.
Мы рассмотрим следующий способ решения этой
задачи. Среди_функций v(M, t), непрерывных в
замкнутой области В и имеющих в этой области непрерывные
частные производные первого и второго порядков,
возьмем какую-нибудь функцию v1(M9 t), которая
удовлетворяет заданным краевым условиям E2). Будем искать
функцию и(М, t) в виде суммы u = vx(M% t) + w(M, t),
где для функции w(M, t)9 непрерывной в области В,
задача ставится следующим образом:
L[w]+fx{M9 t) = pwtt (pwt),
w(M, 0) = ф(М), ха><(М,0) = ъ(М)\ (yiS + ^)s = 0,
где
f1(M9t)=f(M9 t) + L[Vl]-pvltt9
4(M) = <p(M)-vx(M> 0), ^1(M) = (p1(M)-vu(M9 0).
Эту задачу мы уже рассмотрели в п. 1. Функцию
vx(M9 t) или угадывают, или же находят методом Дюа-
меля (см. гл. V).
Пример 6. Требуется решить задачу
и(х9 0) = cpi(*), щ(х, 0) = ф2(л:), а @, t) = \il(t)t u(t, t) = \i2(t). (*)
В качестве функции ух (л;, t)y удовлетворяющей краевым
условиям (*), берем функцию *)
Vi (*, t) = ^у- ц* (t) + у |i2 (О-
*) Мы предполагаем, что функции \лг (t) и ji2 (/) дважды диффе*
ренцируемы.
114
Решение и(ху t) ищем в виде суммы и(х, t) — v1(xi t)-\-w(xt f).
Функция w (x} t)t очевидно, будет решением следующей задачи:
И(М) = Ф1 W + ~ |Xl @) - у |12 @) = фх (X),
ю/ (*, 0) = (f2 W + ^ tf @)-y р'2 @) = фа (*),
ш@, t) = w{l, 0 = 0.
Функцию до (я, 0 ищем также в виде суммы w = R(xt t)-{-Q(x, t),
где /? (х, t) есть решение однородной краевой задачи
a*Rxx = Rt(,
и име^ет вид (см. пример 1)
оо
# (х, 0 = \ (СЛ c°s я Vhn t-\-DnsinaV Kn t) sin у x,
n = \
l
^ = -£-, Ся = у ^ ф! (I) sin -y £ds,
0
I
J Ф2 F) sin у g dg,
_2_
б
a Q (л:, t) есть решение следующей задачи:
a*Qxx + f(x, 0 = Q«.
Q(*. 0) = <?,(*, 0) = 0; Q@, /) = Q(/, 0=0,
где f(x, 0 = ^^'@-y^/@.
Согласно п. 1 решение имеет вид
оо
Q(x, 0=2 ^(Osiny^
/1 = 1
Функции Ч^ @ вычисляются по формулам
*п @ =-4=- ^ sin J/% (f - б) /я F) d6,
/
fnF)=у 5f (?> б)sinт*dl==in [{~1)п*"м-*"FK■
115
Замечание 1. Если краевые условия имеют вид
«iMO, О-Pi" @, *) =-МО> а2М'. О + МС О -^Ч (О.
то в качестве функции vx(x, t) (удовлетворяющей этим
краевым условиям) можно взять функцию
Vl(x, t) = Dx*Vi2(t)-C(x-l)*iL1(t),
где С - 1/Bах/ + р*/2), D - 1/Bа2/ + Р2/2).
Замечание 2. Иногда легко найти функцию vx (x> /),
удовлетворяющую не только заданным неоднородным
краевым условиям, но также и заданному уравнению.
Пример 7. Требуется решить задачу
a2uxx = utt, E4)
и (х, 0) = 9!(a:), щ (х, 0) = ф2(л:); E5)
и @, 0 = 0, иA, /) = 4sinco/ (®-ljbnn). E6)
Среди функций вида F (x) sin со/ нетрудно найти решение
уравнения E4) v1(xf /), удовлетворяющее краевым условиям E6).
Действительно, подставляя такую функцию в уравнение E4) и деля обе части
равенства на sin со/, получим уравнение для F (х):
a>F" + tfF = Q. E7)
Из краевых условий E6) находим, что
F@)=0, F(l) = A. E8)
Решение задачи E7) — E8), очевидно, имеет вид
. со
sin — х
F{x) = A- a
Следовательно,
. со .
sin — /
а
. со
sin — х
v± (ху /) = Л sin со/.
. со ,
sin — /
а
Решение задачи E4) —E6) будем искать в виде
и(х> t) = v1(x1 t) + w(xt /),
где w (л:, /) является решением следующей задачи:
a*wxx = wth
w(Q, /) = 0, ш(/, /) = 0;
. со
sin —х
w (ху 0) = фх (х)у wt (Ху 0) = ф2 (л-) — А со ~ q 2 (*)•
sin /
а
Это однородная краевая задача, которая решается методом
разделения переменных.
116
§ 6. Применение метода Фурье к решению краевых задач
для уравнений эллиптического типа
Метод Фурье можно применять также и при решении
краевых задач для уравнений эллиптического типа. Мы
проиллюстрируем это в настоящем параграфе на двух
примерах. Во второй части книги приводятся другие
примеры, требующие использования специальных функций.
Пример 8. Найти функцию и (г, ф), гармоническую в круге DR
радиуса R, непрерывную в замкнутой области DR и принимающую
на границе этой области (r = R) заданные значения f (ф), т. е.
Аа = 0, E9)
и (Я. ф) = /(ф)- F0)
В силу однозначности искомого решения и (г, ф) оно должно
быть периодическим по ф с периодом 2я, т. е.
и (г, ф + 2я) = и(г, ф). F1)
Из непрерывности решения в замкнутой области D„ следует его
ограниченность в D^.
Среди функций вида Ф (г) ¥ (ф) ищем ограниченные в Dr и
периодические по ф (с периодом 2я) решения уравнения E9).
Записывая лапласиан в полярных координатах
и разделяя переменные, получим
г-^(гФ') —ЯФ=0, F2)
4"' + W = 0. F3)
Из условия F1) находим
¥ (ф + 2я) ее ¥(ф). F4)
При К < 0 уравнение F3) не имеет решений, удовлетворяющих
условию F4). Следовательно, Х^О. Для h>0 находим
¥ (ф) = Л sin yT ф + В cos ]/Тф.
Из условия F4) находим, что У%2л~2лп. Отсюда АЛ = /г2, где
п — произвольное целое неотрицательное число. Таким образом,
собственные значения задачи F3)—F4) суть
\п = Ф (я = 0, 1,2,...),
а им соответствующие собственные функции суть
1, sin ф, cos ф, ..., sin Пф, cos пф, ...
117
При А, —0 общим решением уравнения F3) будет
¥(ф) = ЛоФ + £0.
Лишь при А0 = 0 оно будет удовлетворять условию F4). Таким
образом, Я = 0 соответствует собственная функция ¥0(ф)^1.
Обратимся к уравнению F2). При Я = я2 имеем
г2ф"-|-гФ' — я2Ф = 0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Фд@ = Слг» + ^- (л>0), ' F5)
Oo(r) = C0 + DQ\ny (л = 0). F6)
В силу ограниченности искомого решения в формулах F5) и
F6) надо положить Dn = 0 (/2 = 0, 1,...).
Таким образом, ограниченными решениями уравнения E9х) вида
Ф(г)Ф*(ф), удовлетворяющими условию F1), будут функции
ufl = rn (An cos mp + £rt sin Яф).
Решение задачи E9)—F1) представится в виде ряда
00
И (Г, ф) т= 2 Г" ^« C0S ПУ + 5/г Sin Л(Р)* ^
м=.0
Коэффициенты Л„ и £„ находим из условия F0):
оо
/ (Ф) = 2 Ил cos л<р + Ял sin Лф) R\ F8)
пользуясь ортогональностью собственных функций на отрезке [0, 2л]
с весом р = 1
д>= 4 5 / ю *е. ^-^ J i (£)cos^ ds.
о о
2л
S« = ^ ^ / CO «in «С ^С («=1,2,...).
Замечание 1. Ряд F7) с коэффициентами, вычисляемыми
по формулам F9), нетрудно просуммировать. Однако мы не будем
здесь этого делать, так как в гл. VII задача E9)—F1) будет решена
другим методом, позволяющим получить результат в конечном виде.
Замечание 2. Решение краевой задачи E9)—F1) для
внешности круга представляется рядом
I
л = 0
118
коэффициенты которого определяются из условия F0). Для кольцевой
области, образованной двумя концентрическими окружностями
радиусов Rx и /?2, решение представляется рядом
оо
"= 2 \Cnrn + yitj(An cos nq>-\-Bn sin ti(p) + A0 + £0lnr,
п — \
коэффициенты которого (Л0, В0) СпАп> СпВп, DnAn и DnBn)
определяются из краевых условий *)
и (/?! ф) = fj (Ф), и (R2, ф) = /2 (ф).
Пример 9. Решить краевую задачу
Да = 0, G0)
и@, y) = u(t, у) = 0, G1)
и(*. 0)=fi(x), и(х, b) = f2(x) G2)
в прямоугольной области {0 ^ х sc /; О ^с у ^ Ь\.
В классе функций вида Ф (я) Y (у) ищем решения уравнения G0),
удовлетворяющие лишь однородным краевым условиям G1).
Подставляя такую функцию в уравнение G0) и разделяя переменные,
получим ф„ -ф.,,
Ф п ¥
= 0.
Чтобы это равенство было тождеством, необходимо, чтобы Ф"/Ф ==
= — h, W/У —к, где Я — постоянное число.
Таким образом, получаем уравнения для функций Ф (х) и W (у):
ф" + >ф = 0,* G3)
W"-W = 0. G4)
Из условий G1) находим, что
Ф@) = Ф(/) = 0. ' G5)
Задача G3), G5) имеет лишь положительные собственные значения
Хп = П2П2/12 (/1=1,2,...).
Tift
Им отвечают собственные функции Фп (х) = sin —j-x **)„
Обратимся к уравнению G4). При A, = A,rt оно имеет общее решение вида
х?п (У) = CnchVKy + Dn shVKy.
Следовательно, решения уравнения G0), удовлетворяющие лишь
краевым условиям G1), имеют вид ип(х, у) = Фп(х)у¥п(У)'
Решение задачи G0)—G2) представляется рядом
оо
и (*. У) = ^ ^°п Ch У^пУ + йл sh VKy) sin -у- х,
л=1
*) Читателю рекомендуется написать соответствующие формулы
для определения этих коэффициентов.
**) См. гл. IV, § 3, пример \.
119
коэффициенты которого определяем из краевых условий G2):
оо
h W=2I c«sinnr*
и
f2W=|(c„chif6+Dnsh-HL*)sm^L,.
Отсюда
l
Cn=\^h{i)sm^-idl<
о
и
I
Cnch^-b + Dnsh^b = ^- J fa(C) sin^-^.
6
В гл. XIV, XVI (§§ 1, 3) приводятся другие примеры
применения метода разделения переменных к уравнениям эллиптического
типа, требующие использования специальных функций.
ЗАДАЧИ
1. Решить задачу о колебании струны O^x^l с жестко
закрепленными концами, если до момента ^ = 0 она находилась в состоянии
равновесия под действием поперечной силы F0 — const,
приложенной в точке х = х0 струны перпендикулярно к невозмущенному
положению струны, а в момент £ = 0 действие силы FQ мгновенно
прекращается.
2. Решить задачу о колебании струны с жестко закрепленными
концами под действием импульса Р, сообщенного струне в момент
времени / = 0 в точке х~х0.
3. Стержень с жестко закрепленным концом (х = 0) находится
в состоянии равновесия под действием продольной силы F0 = const,
приложенной к концу x = L В момент / = 0 действие силы F0
мгновенно прекращается. Решить задачу о продольных колебаниях этого
стержня.
4. Один конец стержня (х — 1) закреплен упруго, а другой (х = 0)
в начальный момент времени получает продольный импульс Р. Решить
задачу о колебании стержня.
5. Найти температуру шара радиуса R, на поверхности которого
происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой
нулевой температуры. Начальная температура шара равна / (г).
6. Решить задачу об остывании сферической оболочки Ri^r -<z R2,
на внутренней и внешней поверхностях которой происходит
конвективный теплообмен со средой нулевой температуры; и (г, 0) = f(r),
/?! < Г < R2.
7. В замкнутом сферическом сосуде 0 ^ г ^ R происходит
диффузия вещества, частицы которого размножаются, причем скорость
размножения пропорциональна концентрации. Найти размеры сосуда
(критические размеры), при которых процесс будет иметь лавинный
120
характер, если: а) на поверхности сосуда поддерживается
концентрация, равная нулю; б) стенка сосуда непроницаемая; в) стенка сосуда
полупроницаемая.
8. Найти собственные значения и собственные функции
прямоугольной мембраны с краевыми условиями первого (второго, третьего)
типа. Показать в случае квадрата, что одному с. з. могут
соответствовать две с. ф.
9. Определить собственные значения и собственные функции
прямоугольного параллелепипеда при краевых условиях первого
(второго, третьего) типа.
10. Найти собственные частоты акустических резонаторов*),
имеющих форму: а) прямоугольного параллелепипеда: б) шара.
11. Решить задачу 1 гл. II,
12. Решить задачу о продольных колебаниях стержня 0<:*^/,
один конец которого закреплен жестко, а к другому с момента / = 0
приложена сила F0 — const.
13. Решить задачу о температуре стержня 0<$*^/, концы
которого поддерживаются при постоянной температуре (их и и2)У а на
боковой поверхности его происходит конвективный теплообмен по
закону Ньютона со средой, температура которой равна и3 = const.
Начальная температура произвольная.
14. Решить^ задачу о температуре стержня 0^х<^/, на концах
и боковой поверхности которого происходит конвективный теплообмен
со средами, имеющими постоянную температуру. Начальная
температура произвольна.
15. Давление и температура воздуха в цилиндре О^л:^/ равны
атмосферным; один конец цилиндра с момента / = 0 открыт, а другой
остается все время закрытым. Концентрация некоторого газа
в атмосфере равна и0 — const. С момента / = 0 газ диффундирует
в цилиндр через открытый конец. Найти количество газа Q(t), про-
диффундировавшего в цилиндр, если его начальная концентрация
в цилиндре равна нулю.
16. Решить задачу 15, предполагая, что диффундирующий газ
распадается со скоростью, пропорциональной его концентрации.
17. Найти электрическое напряжение в проводе 0^*^/ с
пренебрежимо малыми утечкой и самоиндукцией, один конец которого
изолирован, а к другому приложена постоянная э. д. с. £0. Начальный
потенциал равен v0 — const, а начальный ток равен нулю.
18. Найти электрическое напряжение в ггроводе с пренебрежимо
малыми утечкой и самоиндукцией, если его конец*—/ заземлен,
начальный ток и начальный потенциал равны нулю, а к концу * = 0
приложена постоянная э. д. с. Е0 через сосредоточенное сопротивление R0.
19. Проводящий слой O^x^l был свободен от
электромагнитных полей. В момент / = 0 всюду вне слоя возникло постоянное
однородное магнитное поле Я0, параллельное слою. Найти магнитное
поле в слое при t ;> 0.
20. Найти температуру стержня O^x^l с теплоизолированной
боковой поверхностью, если его начальная температура равна нулю,
один конец поддерживается при нулевой температуре, а другой
теплоизолирован и с момента / = 0 в точке xQ, 0<л:0</, действует
источник постоянной мощности Q.
*) Акустическими резонаторами называются замкнутые объемы
с отражающими звук стенками, предназначенные для усиления
звуковых колебаний.
121
21. Найти температуру однородной пластины с нулевой
начальной температурой, через грань я —О которой подается, начиная
с / = 0, тепловой поток постоянной плотности q, а грань х = /
поддерживается при температуре и0 = const.
22. Через проводник, имеющий форму плоской пластины
толщины /, пропускается, начиная с момента / = О, постоянный ток,
выделяющий тепло с плотностью Q = const. Найти температуру пластины
при / > О, если на границах ее происходит отдача тепла в окружающую
среду по закону Ньютона. Температура среды равна и0 — const.
Начальная температура пластины равна нулю.
23. Начальная температура шара O^r^-R равна uQ = const, а на
его поверхности происходит конвективный теплообмен со средой,
имеющей температуру и1 = const. Найти температуру шара при t > 0.
24. Поток тепла (за единицу времени) Q втекает через плоскую
часть поверхности бруса полукруглого сечения и вытекает через
остальную часть его поверхности. Найти стационарное распределение
температуры по сечению бруса, считая, что втекающий и вытекающий
потоки распределены с постоянными плотностями.
25. Стрелка прибора укреплена на конце стержня длины /,
закрепленного в сечении х = 0. Решить задачу о крутильных
колебаниях стержня, если в начальный момент £ = 0 стрелка была
закручена на угол а и отпущена без начальной скорости. Момент инерции
стрелки относительно оси вращения равен /0.
26. К струне 0^x^-1 с жестко закрепленными концами
с момента / = 0 приложена непрерывно распределенная сила с
линейной плотностью: a) O = 00sinco/; б) Ф = Ф0со8со/, где Ф0 = const.
Решить задачу о колебании струны.
27. Решить задачу о колебании струны 0 ^ х ^ / с жестко
закрепленными концами под действием силы F = F0 sin cot (и F0 cos со/),
приложенной к точке *0 с момента / = 0, при отсутствии резонанса.
28. Найти температуру стержня 0-^x^1 с теплоизолированной
боковой поверхностью, если с момента / = 0 начинают действовать
тепловые источники, распределенные по стержню с плотностью
Ф (/) sin j x. Начальная температура равна нулю. Концы
поддерживаются при нулевой температуре.
29. По стержню 0^x^,1, на боковой поверхности которого
происходит конвективный теплообмен со средой нулевой температуры,
движется печь со скоростью v0 = const. Поток тепла (в единицу
времени) от печи к стержню равен q — Ae~ht, где h — коэффициент
теплообмена, входящий в уравнение теплопроводности для стержня
щ = а2ихх — hu. Найти температуру стержня, если его начальная
температура равна нулю, а концы поддерживаются при нулевой
температуре.
30. Решить задачу о продольных колебаниях стержня 0^х^_ /,
если конец х = 0 стержня закреплен жестко, а к концу л: = /,
начиная с момента / =0, приложена сила F= A sin со/ (и A cos со/),
А = const.
31. Решить задачу о температуре шара O^r^R, если его
начальная температура равна и0 = const, а внутрь шара, начиная
с момента / = 0, через его поверхность подается постоянный
тепловой поток плотности <7 = const.
32. Стержень O^x^l с теплоизолированной боковой
поверхностью и постоянным поперечным сечением составлен из двух одно-
122
родных стержней 0 < х< x0l x^^x^l с различными физическими
свойствами. Найти температуру в стержне, если его начальная
температура равна / (#), а концы поддерживаются при нулевой
температуре.
33. Найти температуру однородного стержня с
теплоизолированной боковой поверхностью, в точке х0 которого находится
сосредоточенная теплоемкость С0. Начальная температура произвольна,
а концы поддерживаются при нулевой температуре.
34. Найти напряжение в проводе с пренебрежимо малыми
самоиндукцией и утечкой, если один конец его (х = 1) заземлен через
сосредоточенную емкость С0, а к другому (л: = 0) приложена
постоянная э. д. с. £0. Начальный потенциал и начальный ток равны
нулю.
35. Найти решение первой внутренней краевой задачи в круге
радиуса R для уравнения Лапласа с краевыми условиями: а) и (R, ф)=
= ЛсоБф; б) и (R, ф) = Л + В sin ср; в) u\r==R = Axy; г) и (R, ф)/=
= A sin2 ф -f- В cos2 ф.
36. Решить вторую внутреннюю краевую задачу в круге радиуса R
для уравнения Лапласа с краевыми условиями: а)
<
л ч ди>\ л/о оч ч ди
_ Ах\ в) з- = А (х2 — г/2); г) 1Г
с ' дп\с дп
дп
A sin ф + В sin3 ф.
Отметить неправильно поставленные задачи.
с=Л:
37. Решить первую внутреннюю краевую задачу в кольце Rx <
<r <R2 для уравнения Лапласа с граничными условиями и |г==п =
= иъ w|r==^=^2- Пользуясь решением задачи, найти емкость
цилиндрического конденсатора, рассчитанную на единицу длины.
38. Найти емкость сферического конденсатора, заполненного
диэлектриком с диэлектрической постоянной e = Si для а<.г<с и
g = 82 для с< г < Ь.
39. Найти потенциал электростатического поля сферы радиуса R>
заряженной до потенциала и0 и помещенной в неограниченную среду
С ДИЭЛеКТрИЧеСКОЙ ПОСТОЯННОЙ 8, раВНОЙ 8 = 8! ДЛЯ R<r<.C И 8 =
= 82 для г>с. Рассмотреть частные случаи: а) с = оо; б) е2 = оо;
В) 81 = 82 = 8.
40. Найти решение внутренних краевых задач в кольце Rx <
<г<#2 для уравнения Аа=Л с краевыми условиями: а) и |A=rD =
41. Найти решение краевой задачи Дц=1, а |/.==/^1 = 0, u\r=sR =
= 0 в сферическом слое #х < г < #2.
42. Найти распределение потенциала электростатического поля
л (х, у) внутри коробки прямоугольного сечения — а < х < а,
— Ь<:у<Ь, две противоположные грани которой (л:= + а) имеют
потенциал К0, а две другие заземлены.
Глава V
МЕТОД ДЮАМЕЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О РАСПРОСТРАНЕНИИ
КРАЕВОГО РЕЖИМА
Метод Дюамеля применяется к решению задач о
распространении краевого режима, т. е. задач вида
l[u]=P(m)[Uh: (О
и
и(М, 0) = щ(М, 0) = 0 (соответственно и(М, 0) = 0), B)
(а^ + рЫM = ц(М, О Л (О, Л@ = { q[ /^о' C)
и состоит в следующем.
1) Сначала решаем задачу A) —C) со стационарной
неоднородностью в краевом условии, т. е. с краевым
условием вида
(стационарная неоднородность |i(M, т) в краевом режиме
включается с момента ^ = 0), где т —фиксированное число.
Пусть w(M, t, т) — решение этой задачи, непрерывное
вместе с производными первого порядка и с производной
wtt в области (MgD; t ^ 0) *).
Тогда решением задачи A) —C) с краевыми и
начальными условиями вида
(а^ + РмM==т1('""т)И'И. т)> w|*-T = w*|*-t = 0
(стационарная неоднородность8 [х(УИ, т) включается с мо-
*) Решение этой задачи надо трактовать как обобщенную
функцию, поскольку т)(/)|а(Л4, т) есть обобщенная функция.
124
мента t = x) будет функция w(M, t — xy i)r\{t — x).
Заметим, что во внутренних точках М области D выполняются
тождества
w(M, О, t)==wt{M9 О, 0 = 0. D)
2) Решением задачи A) —C) с краевыми и начальными
условиями вида
(стационарная неоднородность \х(М, т) в краевом режиме
действует лишь в течение промежутка времени от t = x
до t = x + dx) будет функция
w(M, t — x9 x)vi{t — x) — w{M9 t — x—dXy x)r\(t — x — dx) =
= 570(M, *-x, x)T)(*--x)]dx.
3) В исходной краевой задаче A) —C) неоднородность
в краевом режиме действует в течение промежутка
времени от 0 до t. Поэтому можно ожидать, что решением
задачи A) — C) будет функция
t
и(М, t)=^~t[w{M, t-x9 т)т|(/-т)]Л. (**)
о
Непосредственной проверкой убеждаемся в
справедливости этого предположения. В самом деле, эту функцию
можно записать также в виде
t
и(М, f) = \r\(t — %)wt(M9 / — х, x)dx +
о
t
+ \w{M9 /-х, x)8(t-x)dx9
о
ибо ^-т} (t — x) = S (t — x). Поскольку т) (^ — т) = 1 для всех
х от 0 до t, то, используя основное свойство б-функции,
получим
t
и{М> t) = \wt(M9 t-%9 x)dx + w{M9 0, t). E)
о
125
Из этой формулы, а также из формулы для
производной
щ(М, t) = ]wtt(M9 t-x, x)dx + wt(M, О, t) F)
6
непосредственно следует, что начальные условия B)
удовлетворяются (w(M, 0, t) = wt(M, 0, t) = 0 для
внутренних точек области D). Краевое условие C) также
удовлетворяется, так как
о
/ ' t
= $|,{|*(Л1, т)п2(^ -т)} dr= \^{M, т)т1(/-т)} dx =
6 6
t t
= J и(М, x)~v\(t-x)dx = Jfi(Af,TN(<-T)rfT = fjt(Aff0.
о о
Подставим выражение (**) для а(М, 0 в уравнение A),
для чего воспользуемся формулами E) и F). Для
внутренних точек области D в силу D) имеем
и(М, t) = \wt(M, t — x, x\dx,
о
t
щ(М, t) = \wtt(M, t — x, x)dx.
о
i
Следовательно, utt = J wttt (M, t — x, x) dx + wtt (M, 0, t).
о
Из тождества L[w(M, t — x, x)] = p(M)wtt (M, t — x, x),
пользуясь непрерывностью wtt в области (M^D, t^O),
находим (при t — x-*0)
L[w(M, 0, t)] = p(M)wit(M9 0, *)=.0,
поскольку до(М, 0, 0 = 0 Для внутренних точек
области D, и, следовательно, L[oy(M, 0, t)] = 0.
Таким образом,
t
utt(M, f) = \wm{M> t-x, x)dx.
0
126
Поэтому
L [и] - putt = J |- {L [w] - pwt{} dx = 0,
0
так как L[w] = pwt( по построению. То есть выражение
(**) дает решение задачи {!) —C).
Рассмотрим частный случай, когда \i(M, t) = Q{t).
Аналогично предыдущему решение можно построить
-следующим образом.
1) Решаем уравнение A) с краевым условием вида
т. е. для Q(/)== 1.
Пусть R(M, /) — решение этой задачи. Тогда
решением задачи с краевым условием вида
(ag + |5«)s = <n@Q(T),
где т —фиксированное число, будет функция Q(x) R(M, f).
2) Решением уравнения A) с краевыми и начальными
условиями вида
(aS+Hs = Q(T)Tl('~~T)'
и |/-t — щ |^ —с = 0
будет функция Q(x)R(M, t~x)r\(t — т). Заметим, что
в силу начальных условий для всех внутренних точек
области D выполняются тождества
R(M, 0) = Rt{M, 0) = 0.
3) Решением уравнения A) с краевыми и начальными
условиями вида
иц-х — Щ |f_t = 0
будет функция
Q(t)[R{M, t-т)т] {t - т) - R{My t-x- dx)r\(t -x- dx)] =
= Q(x)^t[R{M, t-x)x)(t-x)]dx.
127
4) Решением исходной краевой задачи будет функций
и(М, 0=5 Q(x)|-^(M, *-т)Л.
о
В справедливости этого убеждаемся непосредственной
проверкой, как и в предыдущем случае.
Таким образом, в этом случае достаточно найти
решение R(M, t) задачи с очень простой (стационарной)
неоднородностью в краевом условии Q (t) = 1.
Пример. Найти решение задачи
a2uxx = ut, u(x, 0) = 0, н@, 0 = 0, и (/, t) = Q(t).
Сначала находим - решение задачи R (х, /)дляф(£)г=1.
Функцию R(x, t) ищем в виде суммы R = v (х) + Р (х, 0» в которой v(x)
описывает стационарный режим, а Р (х, /) — отклонение от него.
Для v (х) задача ставится следующим образом:
и" = 0, 0@) = 0, i/(/)=l.
Решением будет функция *//. Для Р (л:, t) задача ставится
следующим образом:
a*Pxx = Ph Р(Ху 0) = —л://, Р@, 0 = ^С. 0 = 0.
Решая эту задачу методом разделения переменных (см. пример 1
гл. IV), находим
со
р (*> о = 2^C/i^ sin т *• Хл==12~-
/г = 1
Коэффициенты Сп определяются из начального условия
со
— = 2iCnSmTx
и равны Сл = -^—.
Таким образом,
со
П/ А * I 2 "V (~ U*1 ~a2V ' ^Л
*^ = Т + ¥ 2 п е ШТХ'
Следовательно, решением исходной задачи будет функция
о
128
ИЛИ
i t
u(x, /)«= { Q(t) ^R(xt t~x)dx+ [ Q(t)R(x, t-TN(t — T)d%=*
о о
= $Q(T)^/?(*. /-T)dT + Q<*)«(*, 0).
0
Функция R(x, 0) равна нулю для внутренних точек отрезка [0, /]
и для х = 0, а при х = 1 имеем R(xt 0)=1.
Если надо решить задачу
a2uxx = uh u{x, 0) = 0, и@, t) = Ql(t)9 u(l, t)=Q2(t),
то решение ищем в виде суммы двух функций u~v-\-wt
где для v и до задачи ставятся следующим образом:
у: tft^ = u,, v{x, G)=0, и@, <) = Qi@. »(/, 0 = 0;
до: a2wxx = wh w(x, 0) = 0, до @, 0 = 0» w(l> *) = Q2@-
Каждая из этих задач решается методом Дюамеля, как
показано на примере.
Этот метод применяется и для решения краевых задач
на полубесконечной прямой.
б
Глава Vt
МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
И ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Одним из наиболее употребительных методов решения
линейных задач для дифференциальных уравнений является
метод функций Грина. Он состоит в том, что сначала
находят некоторое специальное решение задачи того же
типа и через него в квадратурах выражают решения
исходной задачи.
Подробнее опишем метод на примерах решения
краевых задач и задач Коши. Вопросы единственности
решения этих задач рассматриваются в гл. VIII.
§ 1. Сущность метода функций Грина решения
краевых задач и задачи Коши для уравнений
параболического типа
1. Пусть требуется найти решение однородной
краевой задачи в области B = {A!gD; />0}
L[u]=puh A)
(ъ£ + И = 0, B)
и(М, 0) = ср(Л1), C)
непрерывное в замкнутой области B = {MgD; t^O].
Предположим, что, какова бы ни была точка Р из
области D (PeD), мы можем найти решение
специальной однородной задачи
L[G] = pG„ D)
{*fn + yf)s = °- E)
G\t-0 = 6(M, P), F)
130
непрерывное всюду в замкнутой области В, кроме точки
(Р; 0). Здесь б (М\ Р) — б-функция с особенностью в точке Р.
Решение этой последней задачи будет функцией точек
М9 Р и переменной /, т. е. G = G(M, P\ t). Оно
называется функцией Грина исходной задачи A) —C).
Итак, предположим, что нам известна функция Грина.
Тогда решение задачи A) —C) и(М, t) выражается через
функцию Грина в квадратурах:
и(М9 0 = $ G (ЛГ, Р; f) ф (Р) dxp. G)
D
В самом деле, в предположении, что правую часть в G)
можно дифференцировать под знаком интеграла
надлежащее число раз по координатам точки Ми по переменной
tf имеем
L[a]=$ ср (Р) L [G] dtp = $ ф (Р) р(М) GtdxP = рщ
D D
И
u(M, 0) = \G\t=0y(P)dTP = \b(M, Р)ф(Я)ЛР = ф(Л1)*).
D D
Таким образом, задача A) —C) сводится к нахождению
функции Грина и к проверке законности
дифференцирования под знаком интеграла необходимое число раз по
координатам точки М и по переменной t правой части
формулы G).
2. Если требуется найти решение неоднородной
краевой задачи вида
L[u]+f(M, t) = puh (8)
Gi£ + Yz"M = 0, (9)
и(М9 0) = ф(М), A0)
непрерывное в В, то решение ищем в виде суммы двух
функций u = v-\-w, являющихся непрерывными в В
решениями следующих задач:
L [v] = pvt,
(Vi^ + V2f)s = 0; v(Mi0) = y(M),
' L[w] + f(M9 t) = pwh A1)
w: (yifn + V2w)s = 0; A2)
w(M9 0) = 0. A3)
*) Функцию ф(М) предполагаем непрерывной в D,
5* 131
Согласно п. 1 функция v(M9 t) имеет вид
v(M9 0==$ G(M, P\ t)v(P)dTP.
D
Решение задачи для w(M, t) методом, описанным в
гл. III § 6, сводится к решению однородной задачи.
Действительно, если Щ(М, t\ 0) есть решение однородной
краевой задачи
L[ZZ(] = pZ^, A4)
A5)
A6)
A7)
ТО
В
самом
деле,
№*Ч-
a»(Af, £) = [1Ц(М, t;
0
0
0,
6)dB
= 0,
о " о
*
L[w] + f(M, t) = \pIIltdB + f(M, t).
о
По правилу дифференцирования интеграла с переменным
верхним пределом по параметру находим
t
о
Используя начальное условие A6), получим
Wf-
J(M9 t)
p(Af)
О
Следовательно,
t
pwt = f(M9 t) + \pUltdQ = L[w] + f(Mt /).
о
Таким образом, функция w(M, t) является решением
неоднородного уравнения A1). Справедливость краевых
132
условий A2) для функции A7) проверяется
непосредственно.
Функцию Щ(М, i\ 0) с помощью функции Грина можно
написать в виде
Щ(М, t; 8)=$G(Af, P; t-Q)f-^^dxP.
D
Следовательно,
t
w(M, 0=5 \G(M, P\ t-B)f-f^dxPdB.
0 D
3. В случае произвольной неоднородной краевой задачи
L[u] + f(M,f) = put9 A8)
(yi^ + Y2")s = W, /), A9)
и(М, 0)=ф(ЛГ) B0)
решение надо искать в виде суммы двух функций и =
= и1 + и2, где иг(М, /) — какая-нибудь функция,
удовлетворяющая краевому условию A9), для которой
определены £[%] и ult. Тогда для и2(М, t) задача сводится
к рассмотренной в п. 2.
4. Определим понятие функции Грина задачи Коши
L[u]+f(M9t) = pui9 ^ B1)
и(М, 0)=ф(М). B2)
Определение. Функцией Грина задачи Коши
B1) — B2) называется решение однородной задачи Коши
L[G] = pGh
G|,-0 = 6(A*f P)/
непрерывное всюду в замкнутой области Б = {М —любая
точка пространства, /^0}, кроме точки (Р; 0)еВ.
Предположим, что нам известна функция Грина для
любой фиксированной точки Р. Тогда решение задачи
Коши B1) —B2) для однородного уравнения (/(М, 0—0)
имеет вид
оо
и(М, t) = \... \ G (М, Р; 0 ф (Р) dtp, B3)
— ОО
где интегрирование по координатам точки Р производится
по всему пространству*
133
Проверка справедливости этого утверждения сводится
к проверке законности производить операции L[ ] и ^
под знаком интеграла в формуле B3).
В самом деле,
оо со
L [и] = I... IL [G] ф (Р) dxP = \... $ pG^ (P) dtp к put,
—со —со
со
и(М, 0) = $...$G(M, P; 0)ф(Р)йтР =
— СО
СО
= $...$6(М, />)ф(Р)ЛР = ф(М).
— со
5. Если речь идет о нахождении решения задачи Коши
для неоднородного уравнения
L[u]+f(M, t) = put
с начальными условиями и(М, 0) = ф(М), то, аналогично
вышеописанному, решение следует искать в виде суммы
двух функций u = v + wy являющихся решениями
следующих задач:
v: L[v] = pvt, v(M, 0) = cp(Af);
w: L[w] + f(M, t) = pwt, w(M, 0) = 0.
Решение последней задачи сводится к решению
однородной задачи Коши: если Щ{М, t\ 8) есть решение задачи
Коши
TO t
w(M9 t) = \lIi(M9 t\ 6)d8.
0
Проверка справедливости этого равенства производится
совершенно так же, как и в случае краевой задачи.
Пусть нам известна функция Грина задачи Коши
G(M, P\ t)\ тогда
Щ(М, t; fl)=J...$G(M, P; 1-Ъ)Ш^йхР
— со
t со
(М, t)=\ J...$G(Alf P\ t-B)f-^dxPdbP
-со
t CO
w[", ']
0 ~ — оо
134
Интегрирование По координатам точки Р производится
по всему пространству. Таким образом, решение краевых
задач и задачи Коши для уравнения L[u]+f(M, t)=put
сводится к нахождению соответствующих функций Грина.
6. Функция Грина краевой задачи может быть
найдена методом разделения переменных. В самом деле,
формальное применение метода разделения переменных к
нахождению решения задачи D) — F) дает нам ряд
со
G(M, Р; 0-Ц сяФп(М)е-Ч,
/1 = 1
где Яд —собственные значения, а Фп (М) — отвечающие им
собственные функции оператора L. Коэффициенты ряда са
находим, пользуясь начальным условием для G и
ортогональностью собственных функций:
сп = щ^^О(М, Р; 0)р(М)Фп(М)с1тм =
D
D
Таким образом, для краевых задач функция Грина
представляется рядом Фурье по собственным функциям задачи
00
ГС = 1
Легко убедиться в том, что решение краевой задачи
A) —C), полученное с помощью этой функции Грина по
формуле G), имеет такой же вид, как и решение этой
задачи, полученное в § 2 гл. IV методом Фурье*).
Для некоторых уравнений параболического типа
удается найти и функцию Грина задачи Коши. Это можно
сделать, например, для простейшего уравнения
теплопроводности a2 Au = ut в пространстве любого конечного числа
измерений. Построению функции Грина для такого
уравнения и решению задачи Коши посвящены последующие
параграфы этой главы.
*) Читателю рекомендуется доказать это.
135
§ 2- Построение функции Грина задачи Кошй
на прямой
1. Определение. Функцией Грина G (х — g, t) задачи
Коти для простейшего уравнения теплопроводности на
бесконечной прямой называется решение задачи Коши
а2ихх = щ, B4)
и(х, 0) = ф(*) = б(х-6), B5)
непрерывное всюду в области
Б1 = {— оо<л:< оо; t^0}f кроме точки (£, 0).
Построим.эту функцию G(x — g, t). Для этого решим
сначала следующую специальную задачу Коши:
а2ихх = и/, B6)
/ л\ / \ / \ ( 0, х < 0,
и{х, 0) = фМ = т|(х)= ^ B7)
Будем искать автомодельное решение этой задачи *), т. е.
решение в классе функций вида f(x/ta), где число а
называется показателем автомодельности.
Подставив функцию u = f(x/ta) в уравнение B6), по-
лУчим а* „1( х -си 'ч х
Чтобы это равенство было тождественным относительно г,
необходимо, чтобы а =1/2. Уравнение для /(г) будет
иметь вид ~
Г(г) + 2?/'(г) = 0. B8)
Из начальных условий B7) для и (л:, tf) находим
/(_оо) = 0, /(+оо) = 1. B9)
Таким образом, задача для /(г) поставлена.
Интегрируя соотношение B8), получим
In /' (*) = =Ji + In С, или /' (г) = Сег*№щ
Отсюда
2 г/Bа)
/(г) = С J e-6V<4et>dg = 2flC J er*dy.
*) Об автомодельных решениях см. Седов Л. И., Методы
подобия и размерности в механике, «Наука», 1972.
136
Эта функция удовлетворяет первому из условий B9); из
второго условия находим соотношение для определения С:
оо
1 = 2аС \ e-y°dy = 2aCVn.
— СО
Отсюда С=1/Bа"|/"я). Таким образом, решение задачи
B6)—B7) имеет вид
х/УШ
— оо
Его можно записать также в виде
О xlYAaH
и{ху 0 = 77= \e~*dy + ±= \ e~y2dy
у л; J у я J
— со 0
ИЛИ л г / у \1
И(д,0 = ![1+Ф(р|=)]. C0)
z
где Ф (г) = -= \ е-yZ dy — интеграл ошибок. Эта функция
у л J
удовлетворяет уравнению B6) и имеет непрерывные в Вх
производные иххх и uxt. Дифференцируя тождество а2ихх =
= щ по переменной х, получим тождество
а2(их)хх = (их)(,
которое означает, что производная их функции C0)
является решением уравнения B6). Она удовлетворяет
начальному условию
их(х9 0) = т)' (x-g),
где производная единичной функции понимается как
производная обобщенной функции (см. Дополнение). Поскольку
rj' (х) = б (х), то их (х9 0) = б (х — £). Таким образом,
производная их функции C0) является решением уравнения
B6), удовлетворяющим начальному условию B7). Очевидно,
она непрерывна всюду в замкнутой области В19 кроме
точки (£; 0). Согласно определению функции Грина
G(x — £, t) функция их совпадает с нею, т. е.
С(*-ь ^тш^~ж' C,)
Нередко функцию
1 е—х*/{4аЧ)
137
называют фундаментальным решением уравнения
теплопроводности B6).
Если в условии B7) функция ср(л;) = и0г\ (х — х±)> то
решением задачи B6)—B7) будет функция
Если же и(ху 0) = и0[ц(х — х^ — ц (х — х2)]> то
^■»="№(Ш-фШ\- <32>
Представим себе теперь, что на отрезке [хъ x2] в
начальный момент времени (/ = 0) выделилось количество
тепла Q, равномерно распределенное по отрезку. Это
равносильно заданию начальной температуры
и(х' 0)= ф(*2Q-хх) ^(*~Xl)~*> (*~х^-
Такому начальному значению соответствует, в силу C2),
решение задачи Коши
Если мы теперь будем стягивать отрезок [х19 х2] в
точку х0 и сохранять при этом количество тепла Q, то
функция C3) будет стремиться к пределу, равному
Q 1
^glo(j^L)
Ф dz \Vba4 )
__ е— (х — х0J/Dа20
г = х0 Ф У~4паЧ
Таким образом, функция G (x — £, 0 дает температуру в
точках бесконечной прямой (например, бесконечного тонкого
стержня) при f>0, обусловленную мгновенным
выделением в начальный момент времени (^ = 0) в точке х = 1
количества тепла Q = cp; поэтому вполне оправдано ее
второе наименование как функции влияния мгновенного
точечного теплового источника. Если Q=£cp, то температура равна
| С (х-5,0-
Замечание. Если в точках ^ и £2 в начальный
момент времени мгновенно выделились количества тепла,
равные соответственно Qx и Q2, то температура на
бесконечной прямой, обусловленная этими источниками, равна
138
2. Функцию Грира G(x — £, /) можно также построить
следующим способом. (Указывается лишь алгоритм
построения, без его обоснования.)
Допустим, что функция G(x, t) является решением
задачи Коши
a2uxx = uh u{x, 0) = 6(х).
Тогда выполняются тождества
a2Gxx = Gh G(x, 0) = 6(*).
Применяя к этим тождествам преобразование Фурье и
вводя обозначение
оо
g(<o,t)=l G(x, t)e-l*»dx.
— оо
получим
gt + aWg = 0, C4)
g(co, 0) = 1, C5)
так как преобразование Фурье от производной £-го
порядка f{k) {х) функции f(x) равно произведению (т)к на
преобразование Фурье функции f(x) и преобразование
Фурье дельта-функции б (х) равно 1.
Очевидно, решением задачи C4)—-C5) является функция
g(co, t) = e-a2<*4.
Применяя к ней обратное преобразование Фурье, находим
G(x, t):
оо
— 00
Мы при этом воспользовались тем, что
оо
£— а2ы -г тх ^ __. у JX е—х2/аг
а
— оо
Так как уравнение B6) инвариантно относительно
преобразования сдвига, функция Грина с особенностью в
точке * = | будет равна
139
§ 3. Решение задачи о распространении тепли
на бесконечной прямой (задачи Коши)
и на полупрямой
1. Теперь мы можем построить решение задачи Коши.
Рассмотрим сначала однородное уравнение
аЧхх = ии C6)
и(х, 0) = <р(х), C7)
где ф (х) — непрерывная функция.
Согласно рассуждениям § 1 настоящей главы (п. 4) и
формуле B3) решением будет функция
со
и(х, 0= $ G(x-l, *)ФA)#. C8)
— оо
Надо лишь показать законность вычисления производных
ихх и щ путем дифференцирования по этим переменным
под знаком интеграла. Мы это сделаем позже.
Формулу C8) можно получить и из наглядных
соображений. Для этого воспользуемся температурной
интерпретацией задачи. На прямой t = О возьмем отрезок длины
d|, содержащий точку * = £. Количество тепла,
выделившегося в момент / = 0 на этом отрезке, равно фф(£)я(£.
Это количество тепла можно отнести к точке |. Таким
образом, мы будем иметь точечный источник, в котором
мгновенно в момент времени / = 0 в точке х = %
выделилось количество тепла dQ = фф (|) d%. Температура на
бесконечной прямой для />0, обусловленная действием
этого источника, равна
§<?(х-6, *) = Ф(&H(*-Б, t)<%.
И так для каждого отрезка длины d% прямой t = 0. Имея
в виду 'замечание на стр. 138, естественно предположить,
что температура, обусловленная действием всех таких
отрезков, т. е. обусловленная заданием начальной
температуры и(х, 0) = <р(лг), будет равна
оо
и{х, 0= \ 9(S)G(*-i. t)dl. C9)
140
Если это верно, то функция C9) и будет решением задачи
Коши C6)—C7). Чтобы убедиться в справедливости
последнего, достаточно доказать, что функция C9)
удовлетворяет уравнению C6) для всех — оо<*<оо и />0,
а также начальному условию C7).
Проверим сначала условие C7). Согласно формуле C9)
и учитывая также, что G(x~l, 0) = 6 (# — £), имеем
00 СО
и(х, 0) = $ <p(g)G(*-|,0)d6= \ q>(gN(x-6)dg = q>(x).
— СО —СО
Последний интеграл равен ф (х) согласно основному
свойству 6-функции. Таким образом, функция C9)
действительно удовлетворяет условию C7).
Чтобы установить, что функция C9) является
решением уравнения C6), достаточно доказать, что эту
функцию можно дифференцировать по х (дважды) и по / под
знаком интеграла. Действительно, если
со
— 00
И
оо
щ= \ ф (&)<?,(*-£, t)dl,
— оо
то
00
аЧхх-щ = \ <?&){aWxx-Gt}dl = 0,
— оо
так как функция G (х — |, t) является решением
уравнения C6).
Очевидно, достаточно показать, что интеграл C9)
сходится, а интегралы
оо со оо
\ <j>(|)MS, \ <?(t)Gxdt и \ <?&)Gxxdl (**)
— со —оо —со
равномерно сходятся в области Бе = {— оо < х < оо;
^^е} с произвольным е>0.
Для упрощения выкладок будем предполагать при этом,
что (f(x) ограничена, т. е. |ф(л;)|^М. В интеграле C9)
141
произведем замену переменной интегрирования: а —
= (l-x)lVTaFt. Тогда (см. формулу C1), стр. 137)
оо
и(х, 0 = 4= \ (f(x + 2aaY"t)e-a2da,
— оо
со
| и (х, 0 I «S 4= [ | ф (х + 2аа ]/7) le~aZ da <
У п *j
— со
оо
<-^= (e-a2da = M. D0)
— оо
Таким образом, интеграл C9) сходится, притом
равномерно, в области Вг и \и\^М. Если предположить
дополнительно, что <p(*) непрерывна всюду, то из этого
следует также непрерывность функции C9) в замкнутой
области Вг *).
Замечание. Из неравенства D0) следует, что если
начальные значения фх (х) и ф2 (х) отличаются меньше чем
на s, т. е. | фх (х) — ф2 (х) | < 8 для всех х, то
соответствующие им решения задачи Коши их (х, t) и и2 (х, t) также
отличаются друг от друга меньше чем на 8, т. е.
\и±(х9 t) — u2(x, 01<8-
Таким образом, решение задачи Коши непрерывно
зависит от начальных значений.
Рассмотрим теперь первый из интегралов (**):
со оо
$ ф(|)М£ = - $ 2&G(x-l t)dl +
— CO —CO
CO
+ J VJV<n*-b o* (-)
-co
Первый интеграл заменой переменной а = (£ — x)(V^аЧ
сводится к интегралу
со
\ -^w(x + 2aaVi)e-a2da.
J 2 У К t
*) При дополнительном предположении об ограниченности
функции ф (л-). Если ф(л:) кусочно-непрерывна, то функция C9)
непрерывна всюду в Въ кроме точек прямой ^=0, в которых у(х)
разрывна.
142
Этот интеграл равномерно сходится в области Ве
с произвольным е > 0, поскольку подынтегральная функ-
м
ция мажорируется в этой области функцией —7=-е~а89
2 У л: е
интеграл от которой сходится. Второй интеграл (***) той
же заменой переменной сводится к интегралу \ -?=- х
•2
Уя7
X Ф (х + 2аа]//) е~а2 da. Этот интеграл равномерно
сходится в области Sc с произвольным 8 ;> 0, поскольку под-
интегральная функция мажорируется в этой области
функцией—тг-а2га2, интеграл от которой сходится.
Аналогу я;
гично поступаем с третьим интегралом (**). Таким образом,
мы доказали, что формула C9) действительно дает
решение задачи Коши C6)—C7). Этот результат верен и для
функций ф(х), неограниченно возрастающих при я->оо,
например для таких, для которых существуют
постоянные b и N такие, что | ф (х) | ^ Nebx.
2. Аналогично строятся решения задач:
a) a2uxx = ut, u(x, 0) = q(x) @^х<оо), и (О, t) = 0,
оо
«(*, 0 = $ ф (£) G* (дг, £; 04; D1)
о
б) а2ихх = и(, и{ху 0) = q>(x) @<*<оо), их{0, 0 = 0,
оо
и(х, t) = \ G**(x, g; 0 ф (g) dg. D2)
о
3. Функция Грина задачи
о*и** + /(*. 0 = «<. D3)
и(*. 0) = ф(х), D4)
и@, 0 = *@. D5)
дг, ^0,
определяется следующим образом.
Функцией Грина G* (*, |; *) задачи D3)—D5) называется
решение задачи
a2G*xx = Gf,
G*(x, I; 0) = 8(x-l),
G*@,|;0 = 0, I, x, t>0,
ИЗ
непрерывное всюду в замкнутой области
В2={х^0, *s*0},
кроме точки (£, 0).
Для нахождения этой функции Грина воспользуемся
следующим свойством решения задачи Коши.
Для решения задачи Коши
а2ихх = щу D6)
и(х, 0) = ф (лг) D7)
с нечетной функцией ср(*) выполняется тождество
и@, t) = 0, />0.
Действительно, решение задачи ч D6)—D7) имеет вид
00
и(х, 0= J G(*-g, О Ф (S) rfg,
— оо
где G(x — l, t) = -r^—g-<*-SODfl»o. Полагая здесь * = 0,
J/ 4jta2^
получим
— 00
так как подынтегральное выражение есть нечетная функция.
Решение задачи Коши
a*G*x = Gh
G*(x, g; 0) = e(x-g)-6(* + 6), £>0,
непрерывное всюду в области Въ кроме точек (— |, 0) и
(|, 0), согласно упомянутому свойству и будет искомой
функцией Грина. Очевидно,
««<,.1;Ч = ^{еХр[-^-ехр[-^]}.
4. Функция Грина задачи
a2uxx + f(xt t) = ut9 D8)
и(х, 0) = q>(*), D9)
МО, 0 = 1>@ E0)
определяется следующим образом,
144
Функцией Грина G** (х, £; t) задачи D8)—E0)
называется решение задачи
a*G% = Gt*,
G**(x, |; 0) = 6(*-g),
GT@, 1; 0^=0, x,l,t>0,
непрерывное всюду в замкнутой области В2, кроме точки
(I 0).
Для нахождения ее воспользуемся следующим
свойством решения задачи Коши D6)—D7).
Для решения задачи Коти D6)—D7) с четной
функцией ф (х) выполняется тождество
их@9 *)=0, г>0.
Действительно, дифференцируя функцию
оо
и(х, /)= I G{x-l, t)y{l)dl
— ОО
по переменной х и полагая затем лг = 0, получим
со
— со
так как подинтегральное выражение есть нечетная
функция.
Решение задачи Коши
аЮ** = 0Г,
G**(x, g, 0) = b(x-t) + 8(x + t), £>0,
непрерывное всюду в области В19 кроме точек (—£, 0) и
(|, 0), согласно упомянутому свойству и будет искомой
функцией Грина. Очевидно,
5. Доказательство того, что функции D1) и D2)
являются решениями задач а) и б), проводится совершенно
аналогично предыдущему.
Замечание 1. Из формулы C9) следует, что тепло
распространяется вдоль стержня мгновенно. Действительно,
пусть начальная температура ф (х) положительна на
конечном отрезке (х1г лг2) бесконечного стержня и равна нулю
вне (xlt x2). Тогда температура произвольной точки х
145
стержня равна
и(х, /) = f"ф F) G(лс — 5, t)dl.
Очевидно, при сколь угодно малых t>0 эта функция
положительна для любого х. К такому выводу мы пришли
вследствие неточности физических предпосылок, которыми
мы пользовались при постановке задачи Коши (например,
при написании уравнения C6)).
Замечание 2. Полученную формулу C9) можно
рассматривать как свертку (см. Дополнение)
фундаментального решения
G(x, 0 = -т=^=е~*,/Dа1/)
v ; Уашч
с начальной функцией ср(*), т. е.
а (х, t) = G (х, t)*q> (x).
Если в этой формуле в качестве начальной функции ср (х)
брать произвольную финитную обобщенную функцию, то
и(ху t) будет также решением задачи Коши.
6. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Решить задачу Коши
{иъ х «< О,
^2> X -^ U.
По формуле C8)
и (х, t) =
оо 0 со
= j<p©G(*-g, t)dt=Ul $ G(x-l, Qdg + a,$ G(x-\, t)d\.
— со —со О
Производя замену переменной а — (х—-Q/\f4a2t, получим
x/V4a4 —со
u(x,f) = =£ [ e-a'fa-JpL С е'* da =
o° x/Y4a2t
0 x/YAaH\ t 0 -co,
X
~m+ \ ш ы-
= Ux + U2 , U2 — Ui ф /_
2 ' 2 \)ГМЧ
Щ
Пример 2. Решить задачу Kornii
с?ихх = iit> и (х, 0) = Ае~х*.
-По формуле C8) имеем
00
и(х, t) = A $ e-*G(x-\, t)d%.
— ОО
Произведя замену переменной a^=(g — x)/V4a2t, получим
ОО
У« 5
л^-*2
/я
_ Ле~
— a
-л:2
4х2
4*aa /f — {\аЧ -J-1) a2 ^a =
1/я
Произведя в последнем интеграле замену переменной по
формуле —t-]Al-i-4a2/a = R, получим
и(х< /) = jL„-*'/<l + 4«'<) * f e-P2dp =
— СО
А p-^/(l+4a*/)
Vl+4a*t
7. Обратимся к неоднородному уравнению. Решение
задачи Коши
(Puxx + f(x, t) = uh E1)
и(*, 0) = <р(х) E2)
будем искать в виде суммы двух функций и (х, t) = v (x, t) +
+ w(xt t), являющихся решениями следующих задач:
v: a2vxx = vh v(x, 0) = <p(*);
w: a2wxx + f{x, t) = wh E1x)
w(x, 0) = 0. E3)
Функция v(x, t) дается формулой C9). Решение задачи
E1i), E3) можно получить методом, описанным в гл. III,
147
§ 6, п.1. Это решение равно интегралу
t
w(xy Ц = \Щ(х, /, T)rfrf
о
где Щ(х, t, т) есть решение однородной задачи Коши
#ЩХХ = ЩЬ Д(|,_т = /(*,т).
Согласно § 1 настоящей главы оно равно
оо
Щ(х,и%)= \ G(x-l, t-t)f(l, x)dg.
— ОО
Следовательно,
t оо
w(x,t) = ] $ G(x-t,t-T)f&T)d£dT. E4)
О — оо
Эту функцию можно также получить, если воспользоваться
температурной интерпретацией функции Грина и
уравнения (б^).
В этом уравнении cpf(x, t) есть плотность тепловых
источников в единицу времени *). Следовательно, на
отрезке длины df|, содержащем точку g, за промежуток
времени (т, т + rfx) выделится количество тепла dQ =
=.cpf(%9 x)d%dx. Если это количество тепла считать
выделившимся в точке £ мгновенно в момент времени т, то
температура, обусловленная действием этого источника,
будет равна
§G(*-g, *-т)=/(Б, t)G(x-E, t-i)dld%.
Имея в виду замечание на стр. 138, естественно
предположить, что температура, обусловленная действием всех
таких источников (распределенных по всей прямой) в
течение промежутка времени от 0 до t, будет равна
t 00
w(x, 0 = 5 $ fit, T)G(*-i, t-T)d£dT.
О —со
Если, в частности, тепловой источник действует лишь
в точке |о, но изменяется со временем, то функция f(x, t)
в уравнении E1) будет иметь вид
f(x, t)=f(t)8(x-t0).
*) См. вывод уравнения теплопроводности (стр. 30).
148
Тогда решение задачи E10, E3) с такой неоднородностью
будет иметь вид
t оо
w(x,t) = \ \ b{l-\b)f{i)G(x-l,t-x)<%d% =
0 — оо
t
* = $/(t)G(*-£0> t-%)dx.
о
Мы здесь воспользовались свойством б-функции.
Замечание 3. Решение задачи Коши для
неоднородного уравнения с нулевыми начальными значениями
а2ихх + f (x, t) = uh и {х, 0) = 0 _
также можно записать в виде свертки (по двум
переменным!) фундаментального решения G(x, t) с функцией / (х, t):
t оэ
и(х, t) = G(x, t)*f(x, t) = \ \ G(x-l, t-x)f(l, T)dgrfx.
0 — 00
Замечание 4. Решение задачи E1х), E3) на
полупрямой с краевым условием w(Q, /) = 0 (или wx(Q, 0 = 0)
строится аналогично и дается формулой
/оо
о о
(или w = \]fG**dldT\.
§ 4. Решение задачи о распространении тепла
в трехмерном (двумерном) пространстве
Теперь обратимся к рассмотрению задачи Коши для
уравнения теплопроводности в двумерном и трехмерном
пространствах.
Рассмотрим сначала однородное уравнение
a2Au = ut. E5)
Определение. Функцией Грина G(M, M0\ t) задачи
Коши для уравнения E5) называется такое его решение,
которое:
а) удовлетворяет начальному условию
и(М,0) = 6(Л1,Л10); E6)
149
б) непрерывно всюду в замкнутой области
Ь3 = {— оо<дг, у9 <г<оо; Г^=0},
кроме точки (х0, у0, z0f 0).
Здесь х, у, z u х0, yQt z0 — координаты точек
соответственно М и MQ, б(М, М0) есть б-функция с особенностью
в точке М0. Для нахождения G(M, M0; t) докажем
сначала лемму.
Лемма. Если в задаче Коши
a2ku = uh u{M, 0) = <р(Л0
начальная функция <р(М) представляется в виде
ф(М) = ф1(^)фа(^)фзB)>
то решением задачи будет функция
и{М, t) = ux [xy t) и.2 [у, t) u3 (г, /),
где иг(х9 t), и2(у, f)9 u3(z, t) — решения соответствующих
одномерных задач:
а2и1хх = ulti и± (х, 0) = фх (х)
и т. д.
Доказательство. В силу условий леммы
а2Д (u^Us) = и2и3а2и1хх + иги3а2и2уу + uxu2a2u3zz =
= u2u3ult + uxu3u2t + uxu2u3t == (игщи3I.
Таким образом, и = щи2и3 удовлетворяет данному
уравнению и, очевидно, также начальному условию.
Заметим, далее, что б (М, М0) = 8(х — х0)8(у — у0) х
X б (г — г0). Поэтому, применяя доказанную лемму к задаче
E5)—E6),-получим искомую функцию Грина в виде
G(M, M0; t) = G(x-x09 t)G(y-y0, t)G(z-z0> t).
Используя формулы для одномерных функций Грина
С(лг — х09 t) и т. д., получим
для трехмерного пространства и аналогично
для двумерного пространства. Эти решения называют также
фундаментальными решениями уравнения
теплопроводности a2ku = ut.
150
По причинам, о которых мы говорили в § 1 (стр. 138),
эти функции называют также функциями влияния
мгновенного точечного теплового источника. Если в точке М0
в начальный момент t = О мгновенно выделится количество
тепла, равное Q, то температура в произвольной точке М
пространства, обусловленная действием этого источника,
равна (для *>0) ~^~G(Mf M0; t).
Легко построить решение задачи Коши для
однородного уравнения
a2Au = uh u(x, у, z, 0) = ф(*, у, г).
Решением будет функция
и (х, у у z, t) =
00 СО ОО
= \ \ \ y{l,4,i)G{x\y,z,i,4\,bt)didy\di. E7)
— СО — СО — СО
Решением задачи
a2Au + f(x, у у zy t) = uit
и (х, у, zy 0) = О
будет функция
t СО 00 СО
и(х, у, z,t) = \ \ \ \ /F, т], £, т) X
О — СО — СО — СО
X G(x, у у Zy l> т), £; t — х) d\ dv\ dt, dr. E8)
Решение задачи Коши для неоднородного уравнения
a2Au + f{My t) = uu
и (My 0) = y(M)
равно сумме функций E7) и E8).
Доказательства последних утверждений проводятся
почти дословно так же, как это делалось для одномерного
случая. Поэтому мы их не будем приводить.
Замечание. Решение задачи Коши
а2 Аи = иь и (My 0) = ф (Ху у у z)
можно также записать в виде свертки (по трем
переменным!) фундаментального решения
G (Ху у у z\ t) = ( Г ехр ^ ^
151
с начальной функцией ср (х, у, z):
и (х, у, z, t) = G (х, у у z; t)*q> (х, у> г) =
— оо
Мы проиллюстрировали применение метода функций
Грина к решению задач в бесконечном пространстве или
в полупространстве. Как указывалось в § 1, этот метод
можно применять также и к решению краевых задач в
ограниченных (по пространственным переменным) областях.
Так, если определить функцию Грина первой краевой
задачи как решение задачи
а2ихх = щу
и@, t) = 0 = u(l, t), и(х, 0) = 8(х-х0),
непрерывное всюду в области Dt e== {O^x^l; ^0}, кроме
точки (х0, 0) (обозначим это решение через G (x, xQ; t)) *),
то решение задачи
а2ихх = щ,
и @, t) = u (/, 0 = 0, и (ху 0) = ф (х)
можно записать в виде
/ __
и(х> t)=\<p(t)G(x,%\ t)dl.
о
Аналогично обстоит дело в случаях второй и третьей
краевых задач. Однако этот метод не характерен для
ограниченных областей и обычно не применяется.
§ 5. Устойчивость решения задачи Коши к малым
изменениям входных данных
Пользуясь формулами C8) и E7), E4) и E8), нетрудно
показать устойчивость решения задачи Коши для
простейшего уравнения параболического типа к малым
изменениям входных данных: начальных значений ср(*), ф(М)
и неоднородностей в уравнениях (плотностей источников)
f(x, t), f(M, t).
*) Решая эту задачу методом разделения переменных, находим
оо
2 \\ . кп . пп . nant
G (х, xQ\ 0 = у Zj sin ~Т~х' sin ~Т~ х°' sin
I
152
Мы докажем соответствующие теоремы для одномерного
случая. Для двумерного и трехмерного случаев они
формулируются и доказываются совершенно аналогично.
Теорема 1. Если в задачах Коши
a2Uxx = Ut> и{х> 0) = ф1(х), — оо<х<со, E9)
и a2vxx = vt, v (*, 0) = ф2 (х), — со < х < оо , F0)
для начальных значений q>i(*) и ф2{х) выполняется нера-
венстео | <*(*)-%(*)!«£ в F1)
при всех значениях х, то для решений этих задач и {ху t)
и v {x, t) выполняется неравенство
\и(х, t) — v (х, t) | ^ е
при всех значениях х и t^Q.
Доказательство. Используя формулу C8) для
решения задач E9) и F0), а также неравенство F1),
получим
оо
\v(x,t)-u(x,t)\^ $ G(x-l, 01Ф1(Ю-Ф2Ш14<
— ОО
00
<е $ G(x-l, t)dl = e,
— 00
оо
так как $ G(* —£, f)dg= 1.
— оо
Справедливость последнего равенства устанавливается
непосредственным вычислением интеграла. Производя в нем
замену переменной интегрирования по формуле £ = * +
+ а УАаЧ , получим d% = ]/4a2/ da и
00 СО
— 00 — СО
Теорема доказана.
Для доказательства устойчивости решения задачи Коши
к малым изменениям неоднородности в уравнении, очевидно,
достаточно рассмотреть решение с нулевыми начальными
значениями.
Теорема 2. Каковы бы ни были положительные числа г
и Т, существует такое б = 8 (е, Т), что если в задачах
Коши
а2ихх + Д (х, t) = uh и (х, 0) = 0 F2)
153
и
a2vxx + f2(x, t) = vt9 v(x, 0) = 0 F3)
функции /x {x, t) и /2 (xy t) при всех значениях х и O^t^T
удовлетворяют неравенству
1А(*. 0-М*.'I<в(е. П F4)
то для решений этих задач и (х, t) и v (x, t) выполняется
неравенство
\и(х, t) — v (х, 0 | ^ е
при всех! значениях х и O^t^T.
Доказательство. Используя формулу E4) для
решения задач F2) и F3), а также неравенство F4), для
О ^ t ^ T получим
\и(х, t) — v (х, t) | ^
t 00
^\ \ G(x-t, t-x)\f1(l, т)-/аF, T)\dldT^
О —oo
t oo t
0 —oo 0
Положив б = e/7\ для всех значений х и для Q^t^T
будем иметь
| и (х, f) — v (х, /) | ^ е.
Теорема доказана.
Мы здесь воспользовались равенством
оо
$ G(x-l, / —x)dg=l,
— OO
справедливым при любых значениях т<Л Оно
устанавливается непосредственным вычислением путем замены
переменной интегрирования 1 = х + а У\аг({ — т).
Замечание. В трехмерном случае для доказательства
соответствующих теорем надо использовать равенство
оо
— оо
154
справедливость которого устанавливается
непосредственным вычислением с использованием захмены переменных
Все остальные выкладки и оценки остаются прежними.
ЗАДАЧИ
1. Начальный ток и начальное напряжение в полубесконечном
однородном проводе О^лг^оо равны нулю. Самоиндукция единицы
длины провода пренебрежимо мала. С момента / = 0 к концу провода
приложена постоянная э. д. с. Е0. Найти напряжение в проводе.
2. Найти распределение температуры в неограниченном
пространстве, вызванное тем, что в начальный момент £ = 0 на сферической
поверхности радиуса г0 выделилось мгновенно Q равномерно
распределенных единиц тепла. (Построение функции влияния мгновенного
сферического* источника тепла.)
3. Найти концентрацию диффундирующего вещества в
неограниченном пространстве, начальная концентрация которого нравна
u\iUo = u0 — const для 0^r<R и и |^о = 0 Для r>R.
4. Решить задачу 3 для полупространства z > 0, предполагая,
что z3<R, @, 0, 20) — координаты центра сферы, в которой
начальная концентрация равна «0. Рассмотреть случаи, когда: а) плоскость
2=0 непроницаема для диффундирующего вещества; -б) на плоскости
2=0 поддерживается' концентрация, равная нулю.
5. Найти температуру полубесконечного стержня 0^л:<оо
с теплоизолированными концом и боковой поверхностью,
обусловленную действием тепловых источников плотности Q (t) на отрезке
(а, Ь) @ < а < 6) начиная с момента t = t0.
6. С помощью функции источника, найденной в задаче 2, решить
краевую задачу
a2Urr + ~jUr)+f(rf t) = Uf, 0<r, t<co,
и (r, 0) = q>(r), \и\<оэ, r2 = x2 + y2 + z2.
7. Найти распределение температуры в неограниченном
пространстве, вызванное тем, что в начальный момент t = Q на каждой
единице длины бесконечной цилиндрической поверхности радиуса г$
выделилось Q равномерно распределенных единиц тепла. (Построение
функции влияния мгновенного цилиндрического источника тепла.)
8. С помощью функции источника, найденной в задаче 7, решить
краевую задачу
a2(urr+yUrj + f(rt *) = «,, 0<Г, t<OD,
u(rt 0) = ф(г), |и|<оо, г2 = х2 + у2.
9. Построить функцию влияния мгновенного точечного источника
на бесконечной прямой для уравнения
&ахх — hu = ut.
Глава VII
МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Метод функций Грина, описанный в гл. VI,
применяется к решению весьма широкого круга линейных задач.
В настоящей главе мы рассмотрим применение его к
решению краевых задач для уравнений эллиптического
типа.
Простейшим и наиболее часто встречающимся в
приложениях уравнением этого типа является уравнение
Лапласа Аи = 0. Его решения— гармонические функции —
обладают рядом специфических свойств, которые
понадобятся нам при изучении свойств функций Грина. Поэтому
мы рассмотрим прежде всего некоторые свойства
гармонических функций.
§ 1. Вторая формула Грина. Простейшие свойства
гармонических функций
Все результаты, к которым мы придем в этой главе,
будут получены из небольшого числа формул и
соотношений.
Выводом этих формул мы и займемся прежде всего.
1. Пусть функции и{М) и v(M) обладают следующими
свойствами:
1) непрерывны вместе с частными производными
первого порядка всюду в замкнутой области D, ограниченной
поверхностью S, кроме, может быть, конечного числа
точек;
2) интегрируемы вместе с частными производными
первого порядка в области D;
3) имеют интегрируемые в области D частные
производные второго порядка.
156
Тогда, как известно,
R[u, v]= — $ vL [и] dx =
D
- [k(Vu, Vv)dr+ \quvdx- ^ kv^dt*). A)
D D S
Здесь L [u] = div(k Vu) — qu. Вычитая R [u, v] из R [v, u],
получим вторую формулу Грина:
\{vL[u)-uL[v]}dx=\k(vpn-u^)do. B)
• D S
Для одномерного случая вторая формула Грина имеет вид
C)
J {vL[u]-uL[v]}dx = k[vd~-u^)]
о
о
Следствие. Пусть L [и] = div(kVu). Если для такого
оператора L [и] в формуле B) положить о=1, as
качестве и(М) взять решение уравнения L[u]=f(M),
непрерывное вместе с частными производными первого порядка
в области D = D-\-Sy то получим
\-kd£do=\f(M)dx. D)
S D
Для двусвязной области D', ограниченной двумя
концентрическими сферами Sr и S^i (Rx < R) с центром
в точке М09 формула B) запишется в виде
$ {vL [и] — uL[v]} dx==
SR sRi
Минус перед интегралом по S^ появился потому, что на
о д д
поверхности Sr± выполняется равенство ^-= — ^-.
Замечание. При произвольных функциях ф(УИ) и
f(M) (даже непрерывных) вторая краевая задача может
не иметь решения. Действительно, пусть L[a] = div (k Vu).
Тогда для решения второй краевой задачи и(М)9
непрерывного вместе с частными производными первого порядка
*) См. формулу (8) гл. IV.
157
в D = D-\-S> должно выполняться соотношение D).
Поскольку чЧ =ф(М), то получим
С f(M)dx= J kd£da= ^ kq{M)do. F)
D S S
Таким образом, функции / (M) и ср (М) должны быть
связаны соотношением
\f(M)dx = \ky{M)da. G)
D S
В частности, если /(М) = 0, то функция <р(М) должна
удовлетворять условию
\kydo = 0. (8)
Легко понять физический смысл соотношений G) и (8),
если и(М) интерпретировать как стационарную
температуру, a k(M) — как коэффициент теплопроводности. Тогда
соотношение G) выражает следующий очевидный факт:
для того чтобы существовало стационарное решение,
необходимо, чтобы количество тепла, образующееся в области D
за промежуток времени А/ от действия внутренних
источников, было равно суммарному потоку тепла, уходящего
через границу области S за тот же промежуток времени.
2. Функция и (М) называется гармонической в области D',
если она непрерывна в D и в каждой точке области D
удовлетворяет уравнению Лапласа Д^ = 0.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что в
трехмерном пространстве функция 1/гМр является
гармонической всюду, кроме точки, где гМР = 0.
В двумерном случае функция 1п(\/гМР) является
гармонической всюду, кроме точки, где гМР — 0.
В m-мерном пространстве (т^2) функция l/r^2
является гармонической всюду, кроме точки Р.
Функции ln(l/7*MP), l/rMPy 1/^р2 называются также
фундаментальными решениями уравнения Лапласа.
Применяя формулу D) к гармоническим в области D
функциям (непрерывным вместе с их частными
производными первого порядка в D-\-S), получим
$а> = °- (9)
158
Теорема о среднем значении. Значение в
центре М0 шаровой области DR функции и (М), гармонической
в DR и непрерывной вместе с частными производными
первого порядка в DR = DR + SRi равно среднему
арифметическому ее значений на сфере SRj т. е.
и(м*) = Ш?1и(м)аа- A0)
Доказательство. Воспользуемся формулой E),
полагая в ней L[u] = Au (k(M)= 1),
• (гм0м = У(х - х0J + (у- у оJ + {г- 20J);
г м0м
в качестве и (М) возьмем функцию, гармоническую в
шаровой области DR, ограниченной поверхностью SR, и
непрерывную вместе с их, иуу иг в DR-\-SR. При этих условиях
интеграл по D' (Df czDR) равен нулю. Интегралы по SR
и по SRl от произведения УтВ силу соотношения (9)
также равны нулю (функция v равна на этих
поверхностях соответственно 1/R и 1//?1э k=l). Таким образом,
будем иметь
$«£(!)*-S4(i)*r=o. по
SR sRi
Вычисляя производные и применяя к последнему
интегралу теорему о среднем значении интеграла, получим
J
/?
S~R
\ u{M)dG = ~-4nRhu(M*)y M*e=SRl.
Устремляя теперь R± к нулю, получим формулу A0).
Мы рассматривали гармонические функции в
трехмерном пространстве. Для двумерного пространства (плоскости)
теорема о среднем значении записывается соотношением
u(MQ) = 2k\u(M)ds. A2)
CR
Здесь CR — окружность с центром в точке М0. Для
получения этой формулы надо в соотношении, аналогичном E),
взять и = 1пA/гм0л*).
159
Для m-мерного пространства теорема о среднем
значении гармонической функции выражается соотношением
II (Af 0) = ^^=1 ^u{P)do, A3)
где Sj —площадь единичной сферы.
Справедлива также
Обратная теорема. Пусть и(М) непрерывна в ко-
нечной области D. Если для любого шара DRaD,
ограниченного сферой S# (S% a D), справедливо соотношение A3),
то функция и (М) гармонична в области D.
Мы не будем приводить доказательства этой теоремы.
Эти теоремы позволяют дать другое,
эквивалентное прежнему, определение гармонической в области D
функции.
Функция и (М) называется гармонической в области D,
если она непрерывна в D и для всякой шаровой области
D#, ограниченной сферой SR с центром в точке M0^D
и принадлежащей вместе с S^ области Д выполняется
соотношение A3).
Пользуясь таким определением, его легко перенести
на широкий класс функционалов *).
3. Для гармонических функций справедлива
Теорема о наибольшем и наименьшем
значении. Функция и(М), гармоническая в конечной области
D, ограниченной замкнутой поверхностью S, и
непрерывная в D = D -\-S, достигает своего наибольшего и
наименьшего значений на границе S.
Доказательство. Если и (М) = const в области D,
то справедливость теоремы очевидна. Поэтому будем
полагать, что и(М)^ const в D.
Обозначим через H's наибольшее значение функции и
на S, а через Но — наибольшее значение функции и в D.
Нам надо доказать, что HD =Hs- Предположим, что это
неверно. Тогда Hd>Hs и в некоторой точке M0(M0^D)
имеем и (М0) = HD-
Рассмотрим вспомогательную функцию
v(М) = и(М) + Hd~Hs [(х-x0f + (y-y0f + (г-zQf],~
*) См. Л ев и П., Конкретные проблемы функционального
анализа, «Наука», 1967.
160
где d — диаметр области Д т. е. верхняя граница
расстояний между точками области D; (л:0, у0у г0), (х, у, г)
— координаты точек М0 и М. Очевидно, для всех
точек M^D
(х - xQf + (У - УоJ + {г- г0J < d\
v (Mo) = и (М0) = Яд. С другой стороны, в точках М
границы области S имеем
Нг* — Нс Нг\ ~4~ Н <?
V(M)<HS+ 2 = 2, <Нв-
Следовательно, непрерывная в D функция v (M) должна
достигать наибольшего значения в некоторой
внутренней точке Mi области D. В этой точке должно быть
Ди^О, так как в точке максимума ни одна из
производных Vxx* Vyy> vzz не может быть положительной. С
другой стороны,
Полученное противоречие заставляет отказаться от
гипотезы, что HD>HS. Следовательно, HD = HS-
Применяя полученный результат к функции — и, мы получим
доказательство теоремы и для наименьшего значения.
Следствие. Гармоническая в области D функция
и (МI не равная тождественно постоянной, не может иметь
локальных максимумов и минимумов внутри D.
В самом деле, пусть в точке M0eD функция и(М)
имеет, например, локальный максимум. Обозначим через
D^ шаровую замкнутую область с центром в точке М0
и радиуса R, целиком лежащую в D. Радиус R можно
взять настолько малым, чтобы для всех точек М области
0*{, не совпадающих с М0, выполнялось неравенство
и(М)<и{М0).
Применяя доказанную теорему к функции и (М) для
области D% » получим противоречие с предположением.
Из этой теоремы легко следует единственность
решения первой внутренней краевой задачи для уравнения
Да = /(М).
Теорема единственности. Решение первой
внутренней краевой задачи
Ди = /(Л1), и|5 = ф(М),
непрерывное в замкнутой области D = D + S, единственно.
6 В. Я. Арсенин»
161
Доказательство. Пусть две функции их и и2
являются решением этой задачи. Тогда их разность и = и1 — и2
является гармонической в D функцией, непрерывной в D
и равной нулю на S. По теореме о наибольшем и
наименьшем значении наибольшее и наименьшее значения и
равны нулю. Следовательно, и^их — и2 = § всюду в D.
Легко также доказать теорему о непрерывной
зависимости решения первой внутренней краевой задачи от
граничных значений для уравнения Au = f(M).
Теорема 1. Пусть их (М) и и2 (М) — решения первой
внутренней краевой задачи для уравнения Au=f(M),
непрерывные в D и принимающие на границе S области D
значения ц>±(М) и ц2(М). Тогда, если всюду на S
выполняется неравенство | фх — ср21 < е, то всюду в D
выполняется неравенство
| их (М) - и2 (М) | < е.
Доказательство. Функция и = и1 — и2,
гармоническая в D, непрерывна в D, иа|5 = ф1 —ф2. Поскольку
— 8 < Ф1 ~ ф2 < е, то по теореме о наибольшем и
наименьшем значении наибольшее и наименьшее значения
функции и (М) заключены между — е и е. Следовательно,
| и | < е, т. е. | их (М) — и2 (М) | < е.
Верна также
Теорема2. Если последовательность непрерывных в
некоторой замкнутой и ограниченной области D и
гармонических в D функций иъ и2, .♦., ип, ... равномерно
сходится на границе области, то она также равномерно
сходится в D. При этом предельная функция и(М) будет
гармонической в D *).
§ 2. Сущность метода функций Грина. Некоторые
свойства функций Грина
1. Будем рассматривать краевые задачи
L[u]=f(M) (bD), A4)
(*£+«i«M = 0 A5)
*) Читателю рекомендуется самостоятельно доказать первое
утверждение этой теоремы, используя достаточный критерий Коши
сходимости последовательности и принцип максимума и минимума.
Подробнее о свойствах гармонических функций см. книгу И. Г.
Петровского «Лекции об уравнениях с частными производными»
(«Наука», 1965).
162
внутренние или внешние. Здесь а^а^М), а2 = а2(М),
Метод функций Грина решения таких задач состоит
в следующем. Сначала находят решение задачи A4) —A5)
при специальных значениях функций / (М) и ср(М). Именно,
решают задачу
L(G) = -8(A4, Р), A6)
№ + **£)s = 0' A?)
Это решение называют функцией Грина задачи A4) —A5).
Мы будем требовать, чтобы искомая функция G(M, P)
была непрерывной (вместе с частными производными
первого порядка, если а2т^0) всюду в замкнутой области D,
кроме, быть может, точки Р> в которой G может иметь
особенность.
Если функция Грина найдена, то с ее помощью легко
найти и решение исходной задачи A4) —A5). Для этого
применим вторую формулу Грина к функциям v = G(M, P)
и к искомому решению и (М):
^{GL[u]-uL[G\}dT=^kiGd£-u§)da*). A8)
D S
Поскольку в области D имеем L[u]=f(M), a L[G] =
= — б(М, Р), то соотношение A8) можно записать в виде
\f{M)G(M, P)dxM+ lu(M)b(M, P)dxM =
D £
f Jrsbu. dG\ ,
= )k\Gdn-UdK)daM-
s
Второй интеграл левой части по свойству б-функции
равен и(Р). Поэтому последнее соотношение можно
записать в виде
u(P)=\k(G^-u^doM-lG(M,P)f(M)d%M. A9)
S D
Здесь интегрирование производится по координатам
точки М.
Для первой краевой задачи (^==1,^ = 0)
G|s = 0, и|5 = ф,
*) Здесь и в дальнейшем производная -~- берется по
направлению внешней нормали к S.
6* 163
и из формулы A9) получаем решение задачи A4) —A5):
u(P) = -ikq>(M)~doM-^G{M,P)f(M)dxM. B0)
Для второй краевой задачи (ах = 0, а2=1)
6G \ А ди I /лл.
и из формулы A9) получаем решение задачи A4) -г-( 15) *):
u(P)=]k<p(M)G(M, P)daM- \G(M, P)f{M)dxM. B1)
S D
Для третьей краевой задачи (а^Оиа^ 0)
д<3
дп
-^G
а2
ди
s' дп
сх2
, ф(М)
s а2
В этом случае формула A9) дает
u{P)=VimG{My P)daM-\G{MiP)f{M)dxM, B2)
S D
Таким образом, исходная краевая задача A4) —A5)
сводится к задаче о нахождении функции Грина. О
способах нахождения функций Грина мы будем говорить позже.
2. Отметим некоторые свойства функций Грина.
Функции Грина обладают свойством симметрии, т. е.
G(M, P) = G(P, M).
Для доказательства этого применим вторую формулу
Грина к функциям G1 = G(My Рг) и G2 = G (М, Р2), где Рг
и Р2 — произвольные фиксированные точки области D.
Получим
дп
дп
G2i^)dGM.
\{G1L[G2]^G2L[Gi}}dxM^\k{G1i
D S
Левая часть равна
-\{G(M, Рг) б (М, Р2) - G (М, Р2) б (М, Рг)} d%M =
° =G(Plf P2)-G(P2, PJ.
*) Следует отметить, что для второй краевой задачи так
определенная функция Грина не всегда существует. См. замечание на
стр. 157.
164
Следовательно,
G (Plt P.2) -G(Ptt PJ = J A (Cx § - G2 g) do*.
S
Интеграл в правой части равен нулю. Действительно,
если мы имеем дело с первой (или второй) краевой
задачей, то это следует из граничных условий для Gx и
6G'
gJg\s = 0 шиш
= ОI. Если мы имеем дело с третьей
dG± dG2
краевой задачей, то, выражая -^ и -~ из краевых
условий через Gj и G2 и подставляя эти значения в
подынтегральное выражение, получим
Gl?b-G2^) = -^G1Ga + ^G8G1sS0.
Таким образом, в(Ръ P^:=G(PZy Рг).
3. Теперь займемся изучением особенности функции
Грина в точке Р. При этом мы ограничимся случаем,
когда L [и] = Да. Для этого случая функция Грина имеет
в точке Р особенность вида *) т для трехмерного про-
qnrMP
1 , / 1 \ 1
странства, п~ In — для плоскости, —^-длят-мер-
ш У мр/ srrMP
ного пространства (Si — площадь единичной сферы).
Исходя из структуры уравнения AG = — 6(М, Я),
которому удовлетворяет функция Грина, можно ожидать,
что функцию Грина можно представить в виде
G(M,P) = y(rMP) + v(M, P),
где v гармонична в D (как функция точки М), а
функция tp (rMP) имеет особенность в точке Р, т. е. при гМр = 0,
и должна удовлетворять уравнению Дф = —6(М, P).
Рассмотрим для определенности трехмерный случай.
Обозначим через D£ шаровую область с центром в точке Р
радиуса R, ограниченную поверхностью S*.
Проинтегрируем тождество
Дя|)==-6(М, Р)
по области Dp (Dp cz D). Получим J Д^> dtM = — 1. По
D
*) Это верно и для операторов вида L [и] = Дц + ga, где q =
?= const.
165
формуле Остроградского интеграл в левой части равен
l_wdaM= [ilrdaM-
Таким образом,
$#*--
SR
Ьр
На сфере S* функция — имеет постоянное значение,
поэтому
-£■1 [da=-l, или 4«^Д|а—1.
dr г=я J ' х dR
ър
Отсюда тр(/?) = 1/Dя/?). Таким образом, функция Грина
G(M9 P) имеет вид
G{M, P) = ^— + v(M, P) B3)
тгМР
и, следовательно, имеет в точке Р особенность вида
1/DкгМР).
Для плоскости G(M9 P) имеет вид
G(M, P)=*ln(-L.\ + V(M9 P). B4)
*п \ гмр J
Мы не будем повторять соответствующие выкладки.
Функция v(M, P) определяется как решение задачи
Она единственна для первой (и третьей) краевой задачи
(см. стр. 161).
Для внешних краевых задач функция Грина
определяется аналогично. Она также обладает свойством
симметрии и для L[u]=Au-\-qu имеет те же особенности.
Из определения функции Грина как решения
уравнения AG = — б(М, Р) и формул B3) и B4) следует, что
Д(г— W-4jt6(M, P) B5)
\мр)
166
для техмерного пространства й
А | In —Ц = — 2лб (М, Р) B6)
V гмр I
для двумерного пространства.
4. Пользуясь формулой B3), нетрудно дать
физическую интерпретацию функций Грина для оператора Аи.
Мы это сделаем для первой краевой задачи.
Пусть поверхность 5, ограничивающая область D,
сделана из проводника и заземлена. Поместим в точке Р
внутри D электрический заряд величины 1/Dл). Этот
заряд индуцирует некоторое распределение зарядов на
поверхности S. Потенциал электростатического поля в
области D будет равен сумме:
1) потенциала поля, созданного точечным зарядом; он
равен 1/DлгМр), и
2) потенциала поля, созданного индуцированными
зарядами; он равен v(My P). Эта сумма и равна G(M, P).
Таким образом, G(M, P) можно интерпретировать как
потенциал поля, созданного точечным зарядом,
помещенным внутри заземленной замкнутой проводящей
поверхности. При такой интерпретации свойство симметрии
функции Грина выражает принцип взаимности точки
заряда и точки наблюдения.
Замечание. Определенная таким образом функция
Грина не всегда существует. Так, функция Грина второй
внутренней краевой задачи для оператора Лапласа L [и] =
= Аи не существует, поскольку не существует
соответствующей функции v(M)(G = -7 1-iM, гармонической в
D, непрерывной в D вместе с частными производными
первого порядка и удовлетворяющей условию
dv
~дп
I д I I
= Ф(Л*) = -^Ж^—
ибо не выполняется необходимое условие J ф do = 0. В этом
ДО = -6(М,Р), -g-
случае функцию Грина можно определить как решение
краевой задачи
J
дп \s ~~ S0 '
где S0 — площадь поверхности S. Такая функция
существует и определяется с точностью до аддитивной
постоянной.
167
Пользуясь формулой A9), находим решение и(Р)
второй краевой задачи A4)—A5):
u(P) = ]k(M)G(M9 P)<p(M)doM-
s
- $G(Af, P)f№d*M-\^da,
или
u(P) = lk{M)G(M,P)y(M)deM- \G(M,P)f{M)d%M + C,
где
S D
С = const (c = — [k (M)^^- doM
§ 3. Построение функций Грина. Интеграл
Пуассона
1. Одним из методов построения функций Грина
является метод отражения. Мы поясним его на
примерах.
Пример 1. Построить функцию Грина первой краевой задачи
для полупространства, ограниченного плоскостью Q (без ограничения
общности ее можно считать совпадающей с координатной плоскостью
2 = 0).
Пусть Р —особая точка функции Грина. Поскольку
*ПГМР
задача сводится к отысканию функции vt гармонической в
рассматриваемом полупространстве (например, z>0) и равной — VDnrMP)
на его границе. Такой функцией, очевидно, является функция
у = — 1/DягМР1), где Pi —точка, симметричная точке Р относительно
плоскости Q. Действительно, функция — 1/Dяг^р ) гармонична в
полупространстве г > 0 и равна 1/Dяг^р) в точках М е Q, ибо для
таких точек гмр = гМР . Таким образом, искомой функцией Грина
будет функция
G(M' )== 4nrMP ~ *nrMPi '
Такой способ построения функции Грина для
полупространства, ограниченного плоскостью, подсказывается
приведенной в § 2 физической интерпретацией функции
Грина. В самом деле, если мы поместим в симметричных
точках Р и Рх точечные заряды величины 1/Dя) и— 1/Dл;),
168
то потенциал электростатического поля, созданного этими
зарядами, будет функцией, гармонической всюду, кроме
точек Р и Plt и равен нулю
на плоскости Q.
Аналогично для
полуплоскости, ограниченной прямой /,
функция Грина имеет вид
G(M, P) =
1 t 1 1 t 1
In о- In ,
2л
2л
'MP ^ ' МРХ
где точка Рх симметрична
точке Р относительно прямой /.
Рис. 18.
Пример 2. Построить
функцию Грина первой краевой задачи
для прямого угла D на плоскости, ограниченного прямолинейными
лучами lt и /2«
Пусть Р — особая точка функции Грина. Симметричных ей
относительно границ точек будет две: Рг и Р2 (рис. 18).
Пусть Р3 — точка, симметричная точкам Рх и Р2 относительно
продолжения сторон угла. Тогда функцией Грина будет следующая
функция:
G(MtP) =
1
2л
In
1
1 1 1
2л г.
'MP *" fMPt
Действительно, здесь функция v равна
1 , 1
1 , 1
In
2л г
MP*
. 1 t l
1 2л г
МРЬ
1 1 1
2л г
MPt
2л
In.
мр2
2л
In
MPS
Она гармонична в прямом угле D (как функция точки М) и равна
In на его сторонах. Последнее следует из того, что если
v MP
2л
; 11у то г
мр-
'~ГМР^ Г
МР2 = гМРь> если Mz=t2, то г
MP"
МР2,
rMPt = r
MP*
Пример 3. Построить функцию Грина первой внутренней
краевой задачи для круга
G(M, Р)=*\пЛ- + и.
ZJI ГМР
Задача сводится к построению функции и, гармонической в круге
и равной -ц— In на его границе.
2л
'MP
Пусть Р — особая точка функции Грина. Обозначим через Р±
точку, симметричную точке Р относительно границы области
(окружности С). (Точка Р| называется симметричной точке Р относительно
169
окружности С, если обе эти точки лежат на одном луче, выходящем
из центра круга, и произведение их расстояний р2 и р от центра
равно квадрату радиуса, т. е.
ррг = Я2). Если точка М лежит
на окружности С, то, как
видно из рис. 19,
Рис. 19.
мр±— 0 гмр>
B7)
так как треугольники ОМРг
и О MP подобны. Поэтому
функция
1 . R
2л prMPi
и будет искомой.
Следовательно, функция Грина первой внутренней краевой задачи для круга
имеет вид
од P^ln-^I
1
MP
2я
In
PrMPt
B8)
Пример 4. Решить первую внутреннюю краевую задачу для
уравнения Лапласа Ди = 0 в круге.
Искомое решение дается формулой
' и(^) = -*'^ Ф^-^-^
B9)
получающейся из формулы B0) при / (М) = 0. В рассматриваемом
случае функция Грина G определяется формулой B8).
Вычислим -г-—:
дп
dG -dG
дп
дг
cos (я, г) =
1
^тЬС08(п> r^)"irircos(^ r^t).
'MP
MP,
Из треугольников ОМР и ОМРх (рис. 19) находим
Ф + ^мр-Р''
>(п, гмр)— 2Rr
MP
cos (я, rMPi) =
ЛЧ-^мл-р!
2i?r
ж Pa
поэтому
1 /^2 + 4fP-P2 & + r*MPl-Pi
2k 2Rr*MP 2Rr\
MP
MPt
Заменяя rMPi по формуле B7), a px по формуле pi = #2/pi получи
dG
0ft
1 /?2-p2
2яЛ rj^"
170
Из д ОРМ находим г-м р = R*-\-р2 — 2Rp cos (8 — я|)), поэтому
__dG_\ ___1 R2 — р2
дп \с~ 2kR R*+p* —2Rp cos {Q — -ф) *
Подставляя это значение в формулу B9), получим интеграл Пуассона
2л
д/т- 1 С (^-Р2)ФF)^6
о
где р, г|> — полярные координаты точки Pt R, 8—полярные
координаты точки М на С.
2. Функцию Грина первой краевой задачи для
уравнения Лапласа на плоскости иногда можно построить
с помощью конформных отображений. Пусть требуется
построить функцию Грина краевой задачи
Au = f{M), MeeD, C1)
u]s = y(M)r C2)
где D —односвязная область, ограниченная кривой S.
Область D плоскости (х, у) можно конформно
отобразить на единичный круг | w | ^ 1. Пусть функция w==x¥(z91)
осуществляет это отображение и точка z = t переходит
при этом в центр круга w = 0, т. е. W(t, t) = 0.
Тогда функцией Грина краевой задачи C1)—C2) будет
функция
G(M, PH-^ln-^, C3)
в которой z = x + iy, t = l-{-ir\y х, у — координаты точки
М, g, ц — координаты точки Р.
В самом деле, поскольку функция w = W(z, t)
осуществляет конформное отображение области D, то она
аналитическая в области D и ¥ (z, t) Ф О при z Ф t, a
—г-фО всюду в D, включая точку z = t. Следовательно,
z = t является нулем первого порядка функции 4я (г, /).
Поэтохму справедливо представление
¥(г, t) = (z-t)F(zt t), C4)
где F (z, t) — аналитическая в области D функция
переменной z и F (/, /) Ф 0. Функция In F (г, t) = ln\F (г, t) \ -\-
-f/argF также аналитическая в области D.
Ее вещественная часть In | F (г, t) \ — гармоническая
в области D функция.
171
Следовательно, функция
■In-
2л ilx |FB, 01
также гармоническая в D.
Пользуясь формулой C4), находим
_Li 1 — L] 1 . 1 1 1
2я |¥(z, 0| "~ я 1П lz-*| + 2л 1П |F(z, /) I >
ИЛИ
J_i 1 _ 1 t JL__l_Li i
2я Ш | ¥ (г, 0 | "" 2я 1П гжр + 2я Ш | F (z, t) |'
Поскольку
A fln-J—W — 2л8(М, Р)
\ ГМР )
и -^ In 7-тг-^—rr-j— гармоническая в области D функция,
то для М еZ) и PeD
AiilnPP(b)-}=-6(^P)- C5)
Поскольку при отображении ш = Т(г, /) граница области
D, т. е. кривая 5, переходит в границу круга |о>|^1,
то |гР(г, /)|s—1 и, следовательно,
{^1прр(Ь)тЬ=0-
Это равенство вместе с формулой C5) и означает,
что функция Грина задачи C1)—C2) определяется
формулой C3). Непрерывность функции -2~1пптГ7—^гг всюду
в замкнутой области D, кроме точки М = Р, есть
следствие непрерывности отображения w = W (z, t) в D и
неравенства W (z, t)^0 при гФ-t.
Пример 5. Построить функцию Грина первой краевой задачи
для уравнения
Au = f(M)
в полосе — oo<jc<oo, 0<г/<я плоскости (*, у).
Функция
^ = ^B, 0
ег — et
осуществляет конформное отображение этой полосы на круг (w \ < 1
и точку z = t переводит в центр круга ш = 0.
172
Поскольку
j ez _ et i =e<* + 6>/2 \f% {ch (* - |) - cos (y - t])} V2,
I ^ _ <rf | = £><*+6)/2 /2" {ch (jc — g) — cos (y + T])}1/2,
то функция Грина имеет вид
' 2л I Y (z, /) i 4я ch (x — £) — cos((/ — т])
3. Можно также указать способ построения функций
Грина для одномерных задач вида
£x{k(x)y'}-q(x)y = f(x), O^x^l, C6)
a^@)-Pi^@) = 0, a2*/'(/) + P2*/(/) = 0, C7)
где/г(х)>0, q{x)^0, alt a2> plf p2:^0 Haf + Pf=£0,
a| + Pi^0. Сначала сформулируем
Определение. Функцией Грина G(x, s) краевой
задачи
L[y]=l[k(x)y']-q(x)y = -f(x)%
<W' @) ~ Pi0 @) = 0> <*2У' (I) + hy @ = 0
называется решение краевой задачи
L[y] = — 8(x-s),
*$' @) - р^ @) = 0, ощ,' (/) + ^У (I) = 0,
непрерывное на отрезке [0, I].
Докажем некоторые свойства функции Грина G(x? s).
1) Функция Грина обладает свойством симметрии, т. е.
G(x, s) = G(s, x).
Доказательство. Применим формулу Грина для
одномерного случая (гл. VI, § 1) к функциям v = G1=
= G(xy sx) и u = G2 = G(x, s2). Получим
\{G{xt s2)b(x-sL)-G(x, s1)8(x-s2)} dx =
-*w(o.&-*&)l- «*»
По свойству б-функции интеграл в левой части
равенства C8) равен G(su s2) — G(s2i sx), в то время как
*) Функция k{x) предполагается непрерывной на отрезке [0, /]
вместе с производной k' (х), а q (х) непрерывна на [0, /].
173
правая часть равна нулю. Для первой и второй краевых
задач это прямо следует из обращения в нуль функций
Gx и G2 или -^ и у- на концах промежутка (при х = 0
и х = 1). Для третьей краевой задачи выражаем значения
двг dG2
производных -—- и -^- на концах промежутка через
Gx и G2:
дх
дх
= &G@, sx), ^-f =-PiG@, s2),
;*=/ a2 ч 1П дх |*=/ a2 v ' 2/>
и подставляем эти значения в правую часть равенства C8),
получим
- | G (/, Sl) G (/, s2) +1G (/, s2) G (/, 5l) +
+ ^0@, Sl)G@, s2)-|G@, s2)G@, Sl)=0.
Таким образом, действительно
G(s2, s1) = G(s1, s2).
2) Частная производная функции Грина Gx (х, s) имеет
разрыв первого рода при x = s со скачком, равным — l/k(s),
т. е.
Gx (s + 0, s) - Gx (s - 0, s) - — Mk (s). C9)
Для доказательства этого проинтегрируем тождество
L[G] = -6(x-s)
по переменной х от s — & до s + e, где е>0. Получим
s-fe s-J-e
J L[G]dx= 5 Ц[А(дг)ОЛдг. s)J-<7WG(^s)}rfjc=-lf
s—e
ИЛИ
^ (*) С* (*, s)jj±l -S I q(x)G (x, s)dx = -l.
s — s
Переходя в этом равенстве к пределу при е-э-0, получим
Gv(s + 0, s)_Gv(s-0, s)= -I
k(s)
s + e
поскольку lim $ q(x)G (xy s) dx = 0,
8->o sie
174
Теорема 3. Существует единственная функция
Грина,
Предварительно докажем две леммы.
Лемма 1. Существует решение у1(х) уравнения
L [у] = 0, удовлетворяющее краевому условию агу' @) —
-Ptf@) = 0.
Доказательство. Известно, что существует
решение задачи Коши для уравнения L [у] = 0 с любыми
начальными значениями y@) = yQi yr @) = у^ *). В
частности, следовательно, существует решение с такими
начальными значениями у@) и у' @), которые связаны
соотношением аху' @) — Pi#@)=0. Лемма доказана.
Лемма 2. Всякие два решения уг(х) и у±(х)
уравнения L [у] = 0, удовлетворяющие одному и тому же краевому
условию, отличаются друг от друга лишь постоянным
множителем, т. е. yi{x) = C1yi(x).
Доказательство. Функции уг(х) и уг(х) являются
решениями линейного уравнения второго порядка L[y] =
= 0 и удовлетворяют условиям
aitf@)-Ptfi@) = 0, D0)
ai?i/@)-P1?1@) = 0.
Эти соотношения можно рассматривать как систему
уравнений для ах и р1# Поскольку хотя бы одно из чисел а±
и рх не равно нулю, определитель системы D0) равен
нулю:
1^@) 0i(O)
1Й@) ^1@)
о;@) =
= 0.
Этот определитель является значением определителя
Вронского при х = 0 для решений уг(х) и уг(х). Известно*),
что определитель Вронского, составленный из решений
одного и того же линейного однородного уравнения, либо
тождественно равен нулю, либо нигде не обращается
в нуль. Так как в нашем случае до@) = 0, то
определитель Вронского для у1(х) и у1(х) тождественно равен
нулю. Отсюда *) следует линейная зависимость решений
Уг(х) и д1(х)9 т. е. д1(х) = Су1(х).
*) См. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений,
изд. 8-е, Физматгиз, 1959.
175
Перейдем к доказательству теоремы. Мы будем
предполагать, что А, = 0 не является собственным значением
краевой задачи
L[y]+Xy = 0,
*&' @) - hy @) = 0, а2у' (/) + р# (/) = 0. W
Пусть ух (х) — решение уравнения L [у] = 0,
удовлетворяющее краевому условию а±у' @) — $гу @) = 0. По лемме 1
такое решение существует. Всякое другое решение,
удовлетворяющее тому же краевому условию, по лемме 2
имеет вид С^Ух(х).. По этим же соображениям существует
решение у2 (х) уравнения L [у] == 0, удовлетворяющее
краевому условию а2у' (/) + $2у @ = 0. Всякое решение
уравнения L [у] = 0, удовлетворяющее тому же краевому
условию, имеет вид С2у2(х).
Функции Ух(х) и у2(х) линейно независимы. Если бы
это было не так, мы имели бы у2(х) = Су1(х). Но тогда
функция у2 (х) была бы решением уравнения L [у] = 0,
удовлетворяющим - обоим краевым условиям.
Следовательно, Х = 0 было бы собственным значением краевой
задачи (*), что противоречит исходному предположению.
Выбирая константы Сг и С2 надлежащим образом, мы
построим из функций Ci#i(*) и С2у2(х) функцию Грина.
Положим
G(*, s)={ D1)
\С2у2(х), x^s.
Из свойства непрерывности функции Грина при x = s
находим
Ci0i(s) = Ca0a(s),
откуда
Сх _ С2 т=_п
У2№ yi(s)
Следовательно, Сг = Су2 (s), C2 = Cy1(s). Коэффициент С
определяем из условия C9), которому должна
удовлетворять функция Грина:
.С [Уг (s) У:2 (s) - y2 (s) y\ (s)] = -l/k (s), D2)
Выражение в квадратных скобках есть вронскиан
решений ух(х) и у2(х), равный D/k{s) (D = const).
Поскольку функции ух (х) и у2 (х) определяются с точностью
до постоянных множителей, то их можно выбрать так,
чтобы вронскиан решений yx(s) и y2(s) был равен —l/&(s),
176
т. е. считать D = —1. Тогда соотношение D2)
принимает вид
— С —1
k{s) ~~ k (s) '
Отсюда С = 1. Таким образом, функция Грина имеет вид
G(X,s)JyA;ly^ X^S' D3)
I Л (s) г/2 (*), *^s.
Из формул D3) и C9) непосредственно следует, что
Gx (х, х - 0) - Gx(x, х + 0) = -1/А (*). D4)
4. Теперь докажем две теоремы Гильберта
1-я теорема Гильберта. Какова бы ни была
интегрируемая функция f(x), решение у{х) краевой задачи
L[y] = -f(x), D5)
ai0'(O)-Pi0(O) = O, а2г/'@ + М(/) = 0 D6)
представляется формулой
y(x)J\G(x, l)f{l)dl. D7)
о
Доказательство. Применим формулу Грина для
одномерного случая (§ 1) к функциям и = у(х) и v =
= G(x, s). Получим
\{G(x, s)L[y]-y(x)L[G]}dx =
= k(x)[G(x, s)y'(x)-y(x)Gx(x, s)]J,
или
— $G(*, s) f (x) dx+\y(x) 8(x-s) dx =
о о
= *(*)[G(*. sJj/'W-yWC,^ s)][.
Из краевых условий. D6) для у(х) и G(*, 5) (см.
определение) следует, что левая часть этого равенства равна
нулю. Следовательно,
i
\G(x, s)f(x)dx = y(s).
о
177
Изменяя обозначения переменной интегрирования и
пользуясь симметрией функции Грина, получим объявленную
в теореме формулу.
2-я теорема Гильберта. Какова бы ни была
непрерывная функция f1(x)y функция
y(x) = \G(x, l)h{l)dl D8)
о
является решением краевой задачи D5) — D6) с функцией
f(x)=fi(x) в правой части уравнения D5).
Доказательство. Очевидно, функция у(х)
непрерывна на отрезке [0, /] и
i
y'{x) = \Gx{xy t)h(Z)dt. D9)
о
Следовательно,
ад' @) - Ptf @) = \ {axGx @, g) - pxG @, g)} h (g) rfg = 0,
о
так как по определению функции Грина подынтегральное
выражение тождественно равно нулю. Аналогично,
«20'(О + Р20(О=О. E0)
Таким образом, функция у\х) удовлетворяет краевым
условиям D6). Вычислим L[y]. Имеем
о о
Таким образом, у(х) удовлетворяет уравнению D5).
Теорема доказана.
5. Мы рассмотрели случай, когда Я = 0 не является
собственным значением краевой задачи (*).
Если Х = 0 является собственным значением краевой
задачи (*), то функцией Грина G (x, s) краевой задачи
L[y] = -f(x),
«i</' @) - Ptf @) = 0, а2у' (I) + р2г/ (/) = 0
назовем решение краевой задачи
L[y] = -8(x-s) + <b0(x)O0(s),
«!«/' @) - ^У @) = 0, агу' (/) + р2</ (/) = 0,
непрерывное на отрезке [0, /] и ортогональное собствен-
т
ной функции Ф0 (х)у соответствующей собственному
значению Я = 0, т. е. такое, что
\O0(x)G(x, s)dx = Q.
о
Соответствующие свойства функции Грина в этом
случае доказываются аналогично.
ЗАДАЧИ
1. Построить функцию Грина первой внешней краевой задачи:
а) для круга; б) для шара (L[u] = Аи).
2. Построить функцию Грина первой внутренней краевой задачи
71
для кругового сектора О^грг^— (L[u] = Au).
3. Построить функцию Грина первой внутренней краевой задачи:
а) для шарового слоя Rl^r^R2\ б) для кольца Rt^r ^R2.
4. Построить функцию Грина первой внутренней краевой задачи
для плоского слоя 0 sc 2 ^ /г (L [и] = Аи).
5. Пользуясь принципом максимума и минимума для
гармонических функций, доказать, что функция Грина первой краевой задачи
для области D положительна в D (L [и] = Аи).
6. Доказать, что линии (поверхности) уровня функции Грина
задачи 5 суть замкнутые линии, охватывающие особую точку и не
пересекающие друг друга.
7. Пользуясь интегралом Пуассона, доказать теоремы:
а) Всякая гармоническая функция, положительная во всей
плоскости, есть постоянная.
б) Теорема Гарнака. Пусть {щ(х, у)}, *'=1, 2, ...,—
гармонические функции в конечной области D, ограниченной конту-
оо
ром Г, и непрерывные в D. Тогда, если ряд 2 ui (*» У) равномерно
сходится на контуре Г, то он равномерно сходится в D й его сумма
есть гармоническая функция в D.
Дополнение к главам VI и VII
О МЕТОДЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И ЗАДАЧИ
КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Мы достаточно подробно рассмотрели применение метода
функций Грина к решению задач для уравнений параболического и
эллиптического типа.
Можно определить понятие функций Грина краевых задач и
задачи Коши также для уравнений гиперболического типа и показать
применимость метода функций Грина к решению этих задач. Однако
в применении к уравнениям гиперболического типа этот метод не
является столь же эффективным и удобным, как для уравнений
параболического и эллиптического типа. Поэтому мы ограничимся
здесь рассмотрением применения этого метода к решению задачи
Коши для одномерного волнового уравнения.
179
Определение. Функцией Грина 0(х, I) задачи Коши для
волнового уравнения a2uxx = uti назовем решение задачи Коши
аЮхх = G„, G (х, 0) = 0, Gt (х, 0) = 6 (х).
Нетрудно установить непосредственной проверкой, что
1, 2>0,
G(x, t) = ~[4{x + at)-4{x-at)]y
Г 1, 2>0,
где ц (г) — I — единичная функция. В самом деле (см. Допол-
v, и, z <^. и
нение, п. 1),
Gxx(*. t) = ±[6'(x + at)-6'(x-at)]t
а1
J_
2
а
~2
Gt{x, t) = l-[6(x + af) + 6(x-at)].
Gttix, t) = -%-[6'(x + at)-6'(x-at)l.
Следовательно,
аЮхх(ху t)^Gtt(x, 0,
<?(*, 0) = i[Tj(x)-TiW] = 0f
a'
2
<?/(*, 0) = 4"IeW + 6WJ = eW-
Решение задачи Коши
a*vxx = %, у (*, 0) = 0, и, (х, 0) = -ф (*)
будет представляться в виде свертки
v(x, t) = G(x, /)*i|> (*). A)
Действительно, вычисляя производные свертки (см. Дополнение, п. 1),
получим
Следовательно,
v(x, 0) = G(x, 0) * t|> (дг) = 0 *-ф (jc) = 0,
^(х, 0) = G/(x, 0) *яр(д?) = б (jc) *t|> (х) = *ф (д:).
Свертку G * г|) можно также записать в виде
оо я/
— оо — а/
180
Произведя в последнем интеграле замену переменной интегрирования
по формуле х —1 = 2, получим
x + at
v(x, t)=~ jj $(z)dz. B)
x— at
Заметим, что в формуле A), а следовательно и в формуле B),
функция 1|>(*) может быть любой интегрируемой (и даже любой
обобщенной!) функцией.
Если R(x, t) есть решение задачи Коши
a*Rxx = Rth ^(л:, 0) = 0, Rt(xy 0) = <p(*),
то функция w(x, 0 —37 # (х> 0 есть решение задачи Коши
a2wxx = wu, w (х9 0) = ф (*), wt (x, 0) = 0.
Действительно, дифференцируя тождество
*Rxx = Ru
по t, получим a2 (Rt)xx = (Rt)tt* T- e-
Далее,
И*. 0) = /?,(*, 0) = ф(*),
wt(xt Q) = Rtt(xt 0) = G(t(xt 0)*ф(л:) = 0*ф(*) = 0.
Если функция ф (г) непрерывна, то w (x, t) можно записать в виде
x+at
(р(х — at) + ц {х-\-at)
I х—at )
т. е.
. Ф(* — at) + cp(x + at)
w(x, /)=——=— о ——
Решением произвольной задачи Коши
а2^ = и#, и (х, 0) = ф (*), и/ (я, 0) = ij) (*),
где ф (х) — непрерывная функция, a ty(x) — интегрируемая (в частности,
кусочно-непрерывная), будет сумма
u — v + w = G(xt t)*ty(x) + Gt(x, 0*ф(*),
или
«(х, 0.ЕЙ^£0+5ЕХ*±«Э + ^Ж|%(,)Л. C)
x—at
Таким образом, решение в этом случае также записывается по
формуле Даламбера. При этом производные от него трактуются как
производные обобщенных функций, совпадающие с обычными
производными там, где эти последние существуют.
Заметим, что формула C) дает решение задачи Коши и для
произвольных обобщенных начальных функций (р (х) и я|) (х).
Глава VIII
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ
Существуют разнообразные методы доказательства
единственности решения краевых задач. Обычно
пользуются разными методами доказательства единственности
для уравнений гиперболического, параболического и
эллиптического типов. В настоящей главе приводятся
доказательства, основанные (для всех трех типов
уравнений) на первой формуле Грина:
D
= - $ *(VOx, УФ2)dx- $ 9ФХФ2dx + J ЛФ2^da.
D D S
§ 1. Единственность решения краевых задач
для уравнений гиперболического типа
1. Рассматриваются краевые задачи вида
div (kVu) — qu-\-f(M, t) = putt, A)
(yid£ + y,u)s = li(Mt t), B)
u(M, 0) = ф(ЛГ), щ(М9 0) = (p1(M) C)
для области BeJMgD; t^O}, где D — конечная
область, ограниченная поверхностью S.
Функции k(M), q(M) и р (М)непрерывны в области
D,_k(M) имеет непрерывные в D частные производные
первого порядка по координатам точки М, и
* = Л(ЛГ)>0, q(MM*0, р(М)>0вЪ;
уг(М)^0, 72(M)^0, YI + Yi^O
для всякой точки MeS.
182
Теорема единственности. Решение краевой
задачи A) —C), непрерывное в замкнутой области В вместе
с частными производными первого порядка по переменной t
и по координатам точки М, единственно.
Доказательство. Пусть иг(М> f) и и2(М% /) — два
решения, удовлетворяющие условиям теоремы. Покажем,
что ut(Mf t) = u2(M, t) в области В.
Для доказательства воспользуемся первой формулой
Грина.
D
= _^(УФ1, V<D2)dT- \ cj®1Ф2d%+\kФ2д-^dв
D D S
для функций (£>1 = v = u1 — u2 и <3J = vt.
Получим
\vtL[v]d% = — \k(Vv, Vvt)d%- ^qvvtdx+^kvtpndo.
D D D S
D)
Функция v = «x — ы2. очевидно, является решением задачи
L[v] = pvtt, E)
(*£ + Vip)s-0, F)
v(M, 0) = 0, vt{M, 0) = 0. G)
Так как L [v] = pvtt, то из формулы D) получим
\ pvivitdx = — \ k(Vv, Vvt)dx— \ qvvtdx-\- \ kv(J^da,
или
Р з- («I) dr =
= - J *£(Vo)«dT- J ?|иЛ+2 J b(|rf0. (8)
D D S
Так как для первой краевой задачи vt\s = 0, а для
т
второй краевой задачи ^ =0, то для первой и второй
краевых задач формула (8) имеет вид
$р|(*»Л = - $*!(ViO»Ar- $<7^Л. (9)
Для третьей краевой задачи g^
— — v\ , поэтому из
формулы (8) получим
|р|(»!)Л»
' --J-t^A-J,^*-^**?*. A0)
Интегрируя тождества (9) и A0) по переменной t на
промежутке [0, 7] и пользуясь тождествами и(М, 0) = 0,
Vu|^0 = 0, ty(M, 0) = 0, поручим соответственно
\w(M, T)dx = —\k<yv)*\uTd%-\qv*(M, T)dx A1)
D
И
D D
- [ qv2 (AT, 7) Л- jj ^ и2 (M, Г) da. A2)
D S
Так как левые части в формулах A1) и A2)
неотрицательны, а правые положительны, то каждый интеграл
равен нулю. Следовательно, в случае первой и второй
краевых задач для произвольного значения Г>0 и
любой точки MgD
pv1(M, 7) = 0, Vv\t-T = 0, qv2(M, T) = 0. A3)
Если g^O, то отсюда следует, что v(M9 t) = 0. Если
q = 0, то v(M9 t) = const. В силу свойства
непрерывности функции v(M, t), пользуясь начальными условиями
G), получаем v(M, 0 = 0. В случае третьей краевой
задачи кроме равенств A3) получим также v(M, Т)|$ = 0.
Следовательно, как и в рассмотренном случае, получим
v(M, t) = 0. Теорема доказана,
184
2. Замечание. Часто единственность решения
краевых задач для уравнений гиперболического типа
доказывают, пользуясь интегралом энергии колебаний,
отвечающих соответствующей однородной задаче. Именно,
рассматривают функцию времени
D
где v = иг — и2. Непосредственным вычислением, с
использованием уравнения для v и формулы Остроградского,
доказывают, что Е' (t) s= 0. Отсюда следует, что Е (t) ==
ess const = £"@). Так как £@) = 0, то £(/)==0, откуда
и следует, что v = ux — u2 = Q.
§ 2. О единственности решения задачи Коши
для волнового уравнения
Мы отмечали в § 5 гл. III, что если существует решение
задачи Коши для одномерного однородного волнового
уравнения a2uxx = utt, непрерывное вместе с частной
производной первого порядка щ в замкнутой области Вх = {— оо <
<лг<со, /^0}, то оно представляется формулой Далам-
бера. Аналогично, в § 11 гл. III было показано, что если
существует решение задачи Коши для трехмерного
(двумерного) однородного волнового уравнения а2 Аи = utt,
непрерывное вместе с частной производной первого
порядка ul в замкнутой области В3 = {М, * ^0} (УН — любая
точка трехмерного (двумерного) пространства), то оно
представляется формулой Пуассона (или ее двумерным
аналогом). Из этих фактов непосредственно следуют
теоремы единственности.
Теорема 1. Решение задачи Коши для одномерного
волнового уравнения
a2uxx + f{x, t) = uth
и{х> 0) = q>(x), щ(х, 0) =$(*),
непрерывное вместе с частной производной первого порядка
щ в замкнутой области Вх == {— оо < х < оо, / ^ 0},
единственно.
В самом деле, пусть иг(х, f) и и2(х9 f)— два решения
задачи, удовлетворяющие условиям теоремы. Тогда их
185
разность v(xf t)==ux(xf t) — u2(x, t) является решением
задачи Коши для однородного волнового уравнения
a2vXx = vu,
, v(x, 0) = 0, vt(x, 0) = 0,
непрерывным вместе с частной производной vt в
замкнутой области Вг. Согласно § 5 гл. III функция v(x, t)
выражается формулой Даламбера, которая дает, очевидно,
v(x, 0) = 0.
Теорема 2. Решение задачи Коши для трехмерного
(двумерного) волнового уравнения
a*Au + f(M, t) = uth
'и(М, 0) = Ф(М), щ(М,0)=у(М),
непрерывное вместе с частной^ производной первого порядка
щ в замкнутой области В3 = {М, t^O} (Af — любая
точка трехмерного (двумерного) пространства),
единственно.
Доказательство этой теоремы совершенно аналогично
доказательству теоремы 1, только вместо формулы
Даламбера надо пользоваться формулой Пуассона.
§ 3. Единственность решения краевых задач
для уравнений параболического типа
Рассматриваются краевые задачи вида
L[u]+f(M, t) = puh A4)
(Т1^ + ?2"M=Ф(Л1, 0, A5)
и(М, О)-ф(М) A6)
для области В == {М е D; t ^ 0} при тех же
предположениях относительно области D и функций k (M), q(M)9
р(М), уг(М), у2(М), что и в § 1.
Теорема единственности. Решение краевой
задачи A4) —A6), напрерывное в замкнутой области В
вместе с частными производными первого порядка по
координатам точки М и частной производной первого порядка
по переменной t, единственно.
Доказательство. Пусть их(М, t) и и2 (М, t)— два
решения, удовлетворяющие условиям теоремы, и v = иг — и2.
Покажем, что v(M, /)s0b области В. Для этого при-
186
меним первую формулу Грина для функций Ф1 = уиФ2 = у.
Получим
\ vL[v]dx = —[ k(VvJdx- { qv2dx+\kv~nde. A7)
D D D S
Функция v, очевидно, является решением однородной
задачи L[v] = pvi9 A8)
(Ti^ + H = Ot A9)
v{M, 0) = 0. B0)
Так как L[v] = pvh то из формулы A7) получим
[pvvtdr = — { k(VvJdx- \ qv2dx+[kv~da. B1)
D D D S
Для первой и второй краевых задач формула B1) имеет
вид с с р
\ pvvt dx = — \k (Щ* dx - \ qv* dx B2)
D D D ,
ИЛИ С д ? С
] P§t И Л = — 2 J A {VvJ dx - 2 J <ртМт. B3)
D D D
Для третьей краевой задачи из формулы B1), используя
краевые условия A9), получаем
^p~(v2)dx = — 2 [ k(Vv)*d%-2 [ qv2dx-2 \^v2do.
D D D S
B4)
Интегрируя тождества B3) и B4) по переменной / на
промежутке [0, Т] и пользуясь тождеством v(M, 0) = 0,
получим соответственно
т т
\pv2(M, T)dx = — 2\\k{^vfdxdt-2\\qv2{Mi T)dxdt
D 0 D 0 D
B5)
И
T . T
\pv2(M, T)dx = — 2\ \k{4vydxdt-2\ \qv2dtdx-
D 0 D 0 D
T
-2 \ [ k^v*dodt. B6)
0 S
187
Так как правые части в формулах B5) и B6)
неположительны, а левые части неотрицательны, то
\pv2(M, T)d% = 0.
D
Отсюда следует, что v(M, 7)s=0 для произвольного
Г>0. Теорема доказана.
Замечание. Требование непрерывности решения в
замкнутой области В существенно, так как при
невыполнении его единственности нет. Действительно, если мы
прибавим к решению, например, первой краевой задачи
функцию й(М, t), тождественно равную С (С = const)
внутри области В и равную нулю на ее границе, то
получим решение той же краевой задачи при любом
значении С. Конечно, это замечание относится и к краевым
задачам для уравнений гиперболического типа.
В ряде случаев теорему единственности решения
краевой задачи для уравнений параболического типа можно
доказать в более слабых предположениях. Это можно
сделать, пользуясь, например, принципом максимума и
минимума для решений уравнения теплопроводности. Ему
посвящен следующий параграф.
§ 4. Принцип максимума и минимума для решений
уравнения теплопроводности
1. Пусть D — произвольная конечная область,
ограниченная поверхностью S, и Т — произвольное
фиксированное положительное число.
Рассмотрим замкнутую
область ВТ = {М eD, 0</^
^ Т]. Это цилиндр с
основанием D и образующими,
параллельными оси t. Когда
D — двумерная (плоская)
область, Вт изображена на
рис. 20.
Для одномерной_ области
D (отрезок [0, I]) Вт —
прямоугольник {О^х^/, 0^
Для решения уравнения теплопроводности
diw(kVu) = puh B7)
в котором k=zk(M)>0 и р = р(М)>0, справедлива
188
Теорема о максимуме и минимуме. Всякое
решение uJM, t) уравнения B7), непрерывное в замкнутой
области ВТ, принимает наибольшее и наименьшее
значения или на нижней границе области Вт {при t = 0), или
на боковой поверхности {MgS, O^t^T}.
Доказательство. Пусть и(М, t) — решение
уравнения B7). Если и (Му t) see const, теорема очевидна. Поэтому
будем полагать, что и(М, t)^const. Для определенности
будем доказывать теорему для наибольшего значения *).
Пусть и? — наибольшее значение решения и(М, t) на
границе Г области ВТ, r = {MeS, 0<^T[ + {Mg
eD, /==0}, a Ug — наибольшее значение его в области Бт.
Требуется доказать, что ит=^ив.
Очевидно, что ив ^ uv. Предположим, что ив > иГ.
Рассмотрим вспомогательную функцию v(M, t) = u(M, t) +
+ а(Т — t), где число а > 0 и а < (ив — ит) / BГ).
Функция v(M, t) непрерывна в области Вт.
Следовательно, она достигает в_Вг наибольшего значения в
некоторой точке (Ml9 /i)sflr. Очевидно, v(Mly tJ^Us, так
как v(M, t)^u(M, t) всюду в Вт.
Точка (М19 /2) не может лежать на границе Г.
Действительно, для любой точки /HgD и ^ = 0
v(Mt 0) = u(M, 0) + аТ<иГ + ~(ив-иГ)<ив
и для любой точки М е S и O^t^T
v(M, t)^ur-\-a(T — t)^ur + aT<ur-)r^ (ив — иг)<ив.
Таким образом, для любой точки (М, /) е Г v (M, t) <;
^ив, в то время как v(Mlf t^)^uB.
Итак, точка (Ми /х) принадлежит открытой области Вт
и поэтому в ней функция и(М, f) должна удовлетворять
уравнению B7). Однако поскольку
Vv = Vu и Vv\m = m1 = 0, а А^|м=ж1<0,
то
diw{kVu)\M^Ml=-Aiw(kVv)\M^Mt =
\t=tx \t=tt
„ l^ — h
*) Доказательство теоремы для наименьшего значения сводится
к рассматриваемому случаю заменой u(Mt t) на — ы (М, t).
189
С другой стороны,
Щ(МЪ t1) = vt(M1, t1) + a>01 ибо vt(Ml9 tJ^zO.
Таким образом, во внутренней точке (Мъ t±) области Вт
функция и(М, t) не удовлетворяет уравнению B7), что
противоречит условию теоремы. Следовательно, нельзя
полагать tig > ит, и поэтому ив = ит. Теорема доказана.
Ее часто называют принципом максимума и минимума.
2. Эта теорема является выражением того физически
очевидного факта, что тепло (или диффундирующее
вещество) перемещается лишь от мест с большей температурой
(концентрацией) к местам с меньшей температурой, т. е.
«растекается».
С заданием начальной температуры (концентрации
вещества) на границе ^ = 0 области Вт с момента ^ = 0
начнется процесс «растекания» тепла (вещества) во
внутренние точки области. Очевидно/ в силу отмеченного выше
факта, при этом температура во внутренних точках не
может стать выше температуры на границе / = 0. То же
можно сказать и о случае, когда задается температура
на границе {MeS, 0</<7}.
3. Следствие 1. Если решения уравнения
div(&Vu) + /(M, t) = put B8)
tii(M, t) и u2(M, t), непрерывные в области B = {M^D,
13^ 0}, на границе области Г == {М е S, t ^ 0} + {М е D,
t = 0} удовлетворяют неравенству их(М, t)^u2(M, t)> то
и всюду в В выполняется неравенство иг(М, t)^u2(M> t).
Действительно, функция и(М, t) = u2(M, fj — u^M, t)
является решением уравнения B7), непрерывна в В и на
Г положительна. Следовательно, для любого 7>0
наибольшее и наименьшее значения функции и(М, t) в
области ВТ положительны. Поэтому всюду в области ВТ
и(М, t)>0. Ввиду произвольности числа Т неравенство
и (My t)>0 справедливо всюду в области В.
Следствие 2 (теорема о непрерывной зависимости
решения первой краевой задачи от краевых и начальных
значений). Если в краевых задачах
d\v(kVu) + f(M, t) = put,
u\s = 'b(M, t), u(M, 0) = ф1(М)
и
div(kVu) + f(M, t) = puh
u\s = 'b(M9 t), u(M, 0) = ф2(М)
190
для функций срх, ср2, %, ф2 выполняются неравенства
| фх (М) - ф2 (М) J ^ в
во всех точках области D, ограниченной поверхностью S,
и
Зля аядг MeS^/^O, шо 'Зля непрерывных в области В
решений Ui(M, t) и и2(М, t) этих задач выполняется
всюду в В неравенство
\иг (М, t) — u2(Mf t)\^s.
Это непосредственно вытекает из следствия 1.
4. Очевидно, из принципа максимума и минимума
следует единственность решения первой краевой задачи для
уравнения B8), непрерывного в области В.
§ 5. Единственность решения задачи Коши
для уравнения теплопроводности
1. Здесь мы будем рассматривать простейшее
уравнение теплопроводности (одномерное или многомерное с
числом измерений по пространственным переменным т)
a2Au + f(M, t) = ut. B9)
Теорема единственности. Решение задачи Коши
для уравнения B9) с начальными значениями и(М, 0) =
== <р (М), непрерывное и ограниченное в замкнутой области
Вт = {—осх;.*!, хъ •••> Хт<*°°\ t^0}> единственно.
Здесь (хг, х2> ..., хт) — координаты точки М
пространства т измерений.
Проведем подробное доказательство для одномерного
случая. Пусть иг(ху t) и и2(х, t)— два решения задачи.
По условию теоремы существует такое число N, что
I ui (х> 01 ^ ^ и \и2 (х, t) |^ N "всюду в области
В1 = {— оо<*<оо; t^O}.
Рассмотрим функцию v (х, t) = и± {х, t) — и2 (х, t). Эта
функция является решением задачи Коши
a*vxx = vh C0)
v(x,Q) = 0, C1)
непрерывным в В1, и \v(x, t)\^2N всюду в В1, Введем
191
в рассмотрение .область В# = {| х \ ^ R; t ^ 0} и
вспомогательную функцию
AN (** I л2Л
Очевидно, ^(л:, 0 является решением уравнения C0),
непрерывным в области BR. Кроме того, на границах
области Вд выполняется неравенство \v(x, t)\^w(x, t).
Действительно,
\v(x, 0)\ = 0^Щх* = и>(х9 0),
\v(±Rt t)\^2N^^[^ + a4]j = w(±R, t).
Таким образом, к функциям v(x, t) и w(xt t) в области
В# применимо следствие 1 теоремы о максимуме и
минимуме (§ 4). Согласно этому следствию \v(x, t)\^w(x, t)
всюду в области В#.
Рассмотрим теперь произвольную точку (xly tt)
области В1. При любом достаточно большом значении R эта
точка принадлежит области В#. Следовательно,
\v(xl9 «|<^(f + fl»/i).
Взяв произвольное число е>0 и достаточно большое
Ry мы будем иметь
Следовательно, v (xlt t±) = 0. Ввиду произвольности точки
(xlf tj) равенство v(x± t) = 0f т. е. иг(х, t) = u2(x, t),
выполняется всюду в В1. Теорема доказана.
2. В случае пространства произвольного числа
измерений т вместо В\ надо взять области В# = [м е DR\
t^O}, где DR — шаровая (замкнутая) область радиуса R
с центром в начале координат.
Вспомогательную функцию надо взять равной
-<*•■ П-Щ^+аЧ).
где г —расстояние точки М от начала координат. Далее
все рассуждения в доказательстве повторяются почти
дословно *).
*) Читателю рекомендуется провести доказательство
самостоятельно.
192
Замечание. Требование ограниченности решения
в области не является необходимым для единственности.
В значительно более слабых ограничениях на рост
решения теорема единственности была доказана А, Н.
Тихоновым *).
§ 6. Единственность решения краевых задач
для уравнений эллиптического типа
1. Будем рассматривать сначала лишь внутренние
краевые задачи для конечных областей. Они состоят, как
известно, в нахождении функции и(М), удовлетворяющей
уравнению L ^ = div (А 7и) _ qu = f {М) C2)
в области D, ограниченной поверхностью S, и краевому
условию / ди \
[bfn+y2u)s^(M) C3)
на поверхности 5.
Функции k(M), q{M), Vi(M) и у2(М) удовлетворяют
таким же условиям, как и в §§ 1 и 2:
YiW^O, y2(M)^0
на S и (yl + yl)s Ф 0. Поверхность S предполагаем кусочно-
гладкой. В этих условиях справедлива
Теорема 1. Решение первой и третьей внутренних
краевых задач C2) — C3) единственно в классе функций
и(М), непрерывных в D вместе с частными производными
первого порядка по координатам точки М.
Доказательство. Пусть иг(М) и и2(М)— два
решения задачи C2) —C3). Покажем, что их разность
v (М) = иг (М) — и2 {М) равна нулю. Для этого применим
первую формулу Грина к функциям Фх (М) = v (М) = Ф2 (М).
Получим <
\vL[v]dx = —\ k(Vv, Vv)dx- \ q&dx+ikv^do. C4)
D D D S
Поскольку функция v (Л4) является решением
однородной краевой задачи
L[v] = 0, C5)
(Yi^ + T2^5 = 0f C6)
*) См. Тихонов А. Н., Матем. сб. 42, №2 A935), стр. 199-216.
7 В. Я. Арсенин 193
то из формулы C4) получаем
t k (Щ2 d% + \ qv2d% — J Au^rfa = 0.
D D S
Для первой краевой задачи (Vi = 0, у2—О интеграл по
поверхности 5 равен нулю и, следовательно,
\k{Vvfd%+\qv2dx = 0.
D D
Отсюда следует равенство нулю каждой из
подынтегральных функций, т. е.
&(Vi;J = 0, ^2 = 0.
Если д^О, то v(M)^0 в области D. Если 9(М)=0,
то из равенства нулю градиента, Vy = 0, в области D
следует, что t>(M) = const. А так как решение v(M)
непрерывно в замкнутой области D и v\s = 0, то всюду
в D
t>(Af)ssO.
Для третьей краевой задачи из C4) и C6) получаем
ik(VvJdx+ \ qv2dT+ \y^kv2do = 0.
Следовательно, каждый интеграл равен нулю. Отсюда и
следует, что v (М) = 0 в D, Теорема доказана.
Замечание. В § 1 гл. VII единственность решения
первой краевой задачи для уравнения Лапласа была
доказана в более слабых предположениях: требовалась
непрерывность решения в замкнутой области D, но не
требовалась непрерывность его частных производных
первого порядка в замкнутой области.
2. Для второй краевой задачи справедлива
Теорема 2. Любые два решения ut(M) и и2(М)
второй внутренней краевой задачи, непрерывные в D вместе
с частными производными первого порядка по координатам
точки М> могут отличаться лишь на аддитивную
постоянную, т. е.
иг (М) — ut (M) г* const.
194
Доказательство. Как и при доказательстве
предыдущей теоремы, для функции v = иг (М) — и2 (М) получим
^k{Vv)*dx+ J qv*dx- J kv^da = 0.
D D S
Поскольку уЧ =0, то
\k(VvJdx + \ qv2dx = Q.
D D
Из этого соотношения следует:
k(VvJ = 0 и qv2z=-0 всюду в D.
Если g у£ 0, то v (M) = 0, и теорема доказана. Если q (M) =
==0, то Vy==0 и, следовательно, u(M)=const. Теорема
доказана.
3. Для единственности решения внешних краевых
задач от рассматриваемых решений надо требовать
выполнения некоторых условий на бесконечности.
В самом деле, если для уравнений Да = 0 искать
решение первой внешней краевой задачи вне круга радиуса /?,
т. е. в области r>Ry с краевым условием u\r=R = C> где
С —постоянная, то решениями будут функции их(М) =С,
и2(М) = С-- и и3(М) = Аи1 + Ви2, где А и В —
произвольные постоянные такие, что А + 5=1.
Приведем, одну из теорем единственности решений
внешних краевых задач.
Функцию f(M), определенную в области Dl9 внешней
к замкнутой поверхности S, будем называть регулярной
на бесконечности, если при стремлении точки М к
бесконечности сама она равномерно стремится к нулю, как
А/гмм0, а ее частные производные первого порядка
стремятся к нулю, как В/г*мм0. Здесь гмм0 — расстояние от
точки М до некоторой фиксированной точки М0. Для
трехмерного пространства справедлива
Теорема 3. Решение внешней краевой задачи
div (kVu)=f(M),
(ъ^+Н-фМ.
непрерывное в замкнутой области Dx вместе с частными
производными первого порядка и регулярное на
бесконечности, единственно.
7* 195
Доказательство. Пусть %(М) и и2(М)— два
решения задачи и v {M) = u1(M) — и2(М).
Из некоторой точки М0, лежащей внутри
поверхности S, как из центра опишем сферу SR настолько
большого радиуса /?, чтобы SR целиком
лежала в области D±. Пусть DR —
область, ограниченная поверхностями
S и SR (рис. 21).
Применим первую формулу
Грина для функций Фх (М) = v (М) и
Ф2 (М) = v (M) в области DR.
Получим (при q(M) = 0)
Рис. 21.
[ vd\w(kVv)dx = — i k(VvJdx +
+ lkv£ndo+\kv%ido. C7)
»R
SR S
Функция v(M) является решением задачи
div(£Vt;) = 0 (в Z?x),
dv
Vi^ + Y^L = 0
C8)
C9)
Поэтому из C7) получаем
[ k(VvJd%- [kv^da- § kv~do = 0.
DR S SR
Для первой и второй краевых задач интеграл по S равен
нулю, поэтому
{ k{4vfd%= { kv^do.
D0)
Для третьей краевой задачи, пользуясь краевыми уело-
виями C9), выражаем -^Л через v\s. Получим
I k{VvJdx+\k^v2do=\ kv~do.
DR S X SR
D1)
Формулы D0) и D1) справедливы для любых
достаточно больших значений R. Поэтому в них можно перейти
к пределу при #-^оо. Оценим интеграл по SR. В силу
196
регулярности функции v и ограниченности k (M) (k (M) ^ N)
имеем
i kv^daUN\AB\\^-=N\AB^n
SR
Jf"MM0 ■ Я
SR
Переходя в формулах D0) и D1) к пределу при i?->oo
и учитывая оценку для интеграла по Sf>, получим
$ *(Vt>)*dT = 0, D2)
J *(V^dT+ $ A^2Ar = 0. D3)
Из D2) следует, что v = const. А та?< как v(M)->0 при
М->оо, то у(М) = 0 в Dx. Из D3) следует, что i>(M)==
= const в Ъ1 и с; |s = 0. _Из непрерывности v(M) в Dt
следует, что а(М) = 0 в Ог. Теорема доказана.
4. Заметим, что решение второй краевой задачи также
единственно, поскольку в этом случае фиксируется
значение решения на бесконечности (равное нулю).
Свойство регулярности решения на бесконечности
понадобилось нам для оценки интеграла по вспомогательной
поверхности SR.
Замечание. Для двумерного случая требование
регулярности решения на бесконечности слишком сильно,
так как решения, удовлетворяющего ему, может и не
существовать. В двумерных задачах достаточно
потребовать, чтобы искомое решение было ограниченным на
бесконечности, а частные производные первого порядка
равномерно стремились к нулю, как В/г2Мм0.
Глава IX
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В этой главе мы изложим некоторые начальные
сведения о линейных интегральных уравнениях второго рода.
Для простоты записи мы всюду, кроме § 1, будем
рассматривать одномерный случай. Все результаты верны и
для многомерного,
§ 1. Классификация линейных интегральных уравнений
Уравнения вида
у{М)-%\К{М, P)<p(P)dTp = f(M),
D
где ф (Р) — искомая функция, f(M) и К (М, Р) — известные
функции, D — фиксированная область, Я— числовой
параметр, называются интегральными уравнениями Фредгольма
второго рода. Если / (М) == 0, уравнение называется
однородным, в противном случае — неоднородным.
Уравнения вида
ср(М)-Я \ К(М, P)q>(P)d%P = f(M),
D (М)
где D (М) — переменная область, зависящая от точки М,
называются интегральными уравнениями Вольтерра
второго рода. Например, в одномерном случае
X
Ф(*) — К\К(х9 s)q>(s)ds = f(x)
а
есть уравнение Вольтерра второго рода.
Если / (М) SS 0, уравнение называется однородным,
в противном случае — неоднородным.
198
Уравнения вида
\К{М, P)if(P)dxP = f(M),
D
где D — фиксированная область, называются
интегральными уравнениями Фредгольма первого рода.
Уравнения вида
\ K(M,P)fp{P)dTP = f{M)
D (М)
называются интегральными уравнениями Вольтерра
первого рода. Функция К(М, Р) называется ядром
интегрального уравнения.
Замечание. Уравнения Вольтерра являются частным
видом уравнений Фредгольма. Так, если в одномерном
случае положить
О, x<s<b,
К(х, s), a<s^#,
то уравнение Вольтерра
X
Ф (х) — А, $ К (ху s) ф (s) ds = / (х)
а
можно записать как уравнение Фредгольма с ядром Ki(xf s):
ь
Ф (х) -1$ Ki (x, s) ф (s) ds = f(x).
а
Ядра Ki(x, s) указанного вида иногда называют ядрами
Вольтерра.
§ 2. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами
Ядро К(х, s) называется вырожденным, если оно имеет вид
/С(дг, s) = J;M*)Ms). (О
где at (x) — линейно независимые функции.
Решение уравнения Фредгольма второго рода с
вырожденным ядром сводится к решению системы линейных
алгебраических уравнений. В самом деле, подставляя в
уравнение ь
<р(х) = к\к(х, $)q>(s)ds + f(x) B)
а
199
Ki(xts) =
ядро A), получим
Ф (*) = *!] Ciai(x) + f(x)> C)
ь
где С/ = \ Ьг- (s) ф (s) <is — неизвестные числа.
а
Таким образом, решение уравнения B) с вырожденным
ядром надо искать в виде C). Подставляя эту функцию
в уравнение B) и сравнивая коэффициенты при одних и
тех же функциях at(x) справа и слева, получим систему
линейных алгебраических уравнений относительно Q:
' Ci = K]£Cjaij + h (/=1,2,...,п), D)
/=i
где
ь ь
*ц = \ щ (s) bj (s) ds, P/ = J / (s) bt (s) ds.
a a
Решив эту систему, мы найдем С/, а следовательно, и
решение уравнения B) ф(#).
§ 3. Существование решений
1. Если ядро вырожденное, то вопрос о существовании
решения интегрального уравнения Фредгольма сводится
к вопросу о существовании решения соответствующей
системы алгебраических уравнений D). В более общем
случае мы докажем существование решения уравнения B)
(при достаточно малых значениях \Х\) методом
последовательных приближений.
Для простоты выкладок будем предполагать, что: 1) ядро
К (х, s) непрерывно в квадрате а^х, s^b; тогда оно
ограничено некоторой константой Л, |/С|^Л; 2) функция
f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], следовательно, она
ограничена на этом отрезке некоторой константой 5,
1/1<в.
Построим последовательность функций 9i(#), ф2 (•*"), ...
...» <P/i(*)> ••• по следующему правилу:
ь
Ф1 (x) = f(x)+^\K (x, s) ф0 (s) ds, E)
а
где ф0 (s) — произвольная фиксированная интегрируемая
200
функция,
<PAx)=f(x) + KlK(x,s)<pl(s)ds, F)
b
Ф«(x) = f(x)+k\K(*, s)Фд_! (s)ds, G)
Теорема 1. Я/ш значениях \%\< л<и_ \
последовательность E)—G) функций Ц)п(х) равномерно сходится
на отрезке [а, Ь] к функции ср(#), являющейся решением
уравнения B).
Доказательство. Преобразуем формулы для
получения функций ц>п{х). Подставляя функцию (рг(х) в
формулу для <р2(#), получим
<ft(x)=f(x) + b\K(x,s)f(s)ds +
+ v]K(x9s)]K(s$t)<f0(t)dtds.
Меняя в последнем слагаемом порядок интегрирования,
получим
ь ь
4>2(x)=f(x) + K\K1(x,s)f(s)ds + X*\K2(x>t)q>o(t)dt,
а а
где
Ki(x, s) = K(xy s),
b
K2(x>t) = \K1(x,s)Kl(s,t)ds.
a
Аналогично находим
h h
4>n(x)=f(x) + *<lK1(x,s)f(s)ds + X*lK2(x,s)f(s)ds + ...
a a
b b
... + b" J Kn-i (X, 5) / (S) ds + k»\ Kn (X, t) Фо (t) dt,
a a
201
где Кп(х, t) = \ КЛх, s) Kn-i(s, t) ds. Предел функции Фя(*),
ь
если он существует, равен сумме ряда
__ ъ
<p(x)=f(x) + X\K1(x, s)f(s)ds + ...
а -
Ь
... + Xn\Kn(x,s)f(s)ds + ... (8)
и функции
ь
г|) (л:) = lim Кп \ Кп (х, t) Фо (О Л.
Функции Кп (х, s) называются итерированными ядрами.
Докажем равномерную сходимость этого ряда. Для
этого оценим интегралы
ь
\Kn(x,s)f(s)ds.
а
Очевидно,
ь
\K2(x,t)\*=:\\K1(x,s)K1(s,t)\ds^A*(b-a),
а
Ь
\Ks(xft)\^\K1(xts)K2(sit)\ds^:A"(b-a)\
IКп(х, t) |<\ | Кг (х, s) Kn-i (s, 0 | ds< Л*F- а)»-1,
поэтому
lKn(x,s)f(s)ds\<:An(b-a)n-1l\f(s)\ds^AnB(b-a)n.
а I а
Следовательно, числовой ряд
f] ВЛЯ | Я |Л F — а)» (9)
/2=1
является мажорантным для ряда (8). Если \Х\ < л(^_а),
то ряд (9) сходится. Следовательно, при таких X ряд (8),
а вместе с ним и последовательность функций ф„(*),
202
равномерно сходится к функции ф (х) *). Эта функция
является решением уравнения B). В самом деле, переходя
в формуле G) к пределу при я->со, получим
__ ъ _
4(x)=X\K(x9s)<p(s)ds + f(x).
а
Переход к пределу под знаком интеграла здесь законен,
так как последовательность сходится равномерно.
Заметим, что предел lim уп(х) = ц(х) не зависит от
га-*оо
выбора функции ф0(з) (нулевого приближения). Из этого
легко следует единственность решения уравнения B).
В самом деле, если существует еще одно решение гр (л:)
уравнения B), то, полагая в процедуре построения
функций E)—G) 9oW=^W, получим
Эта последовательность имеет пределом функцию ф(лг).
Но вместе с тем очевидно, что
lim<{>n(x)=ty(x).
п-*со
Таким образом,
Ф(*)=г|>(х).
2. Поскольку ряд (8) сходится при |Я|< . <ь_ау то
оо
при таких же Я сходится и ряд 2 Лл|Я|яF — а)п~г. Но
оо
этот ряд является мажорантным для ряда 2 №~~гКп (х, s).
п = \
со
Следовательно, ряд 2 №~гКп (х> s) сходится равномерно.
п=1
Поэтому ряд (8) можно записать в виде
Ф (х) =f (х) + Щ f] Ь"-Ч(п(х, s))f(s) ds
ИЛИ
__ ъ
ф (*)=/(*)+М я (*>s> я) f ® ds> №
*) Так как ур~0.
203
00
где функция R (х, s,X)= 2 ^я_1^(*>s) называется резоль-
вентой уравнения B).
Таким образом, если нам известна резольвента
уравнения B), то по формуле A0) мы получим его решение.
Мы определили резольвенту лишь для малых значений | X |.
Однако ее можно определить на любой конечной области
комплексной плоскости переменной к путем аналитического
продолжения (кроме, может быть, конечного числа особых
точек этой области). Если это сделано, то по формуле A0)
мы получим решение уравнения B) для любых значений А,,
кроме упомянутых особых точек. Мы не будем подробно
на этом останавливаться *).
3. Если мы применим описанную выше процедуру к
уравнению Вольтерра
X
y(x) = k\K(x,s)q>(s)ds + f(x) (a^x^b), A1)
а
то получим последовательность функций
х
«Pi (*)=/(*) + Ц *С (*• s) Фо (s) ds,
а
х
ф2 (х) = / (х) + X $ К (х, s) фх (s) ds,
а
х
ф« (*) = / (х) + Я$К (х, s) (pn-i (s) ds,
а
Эта последовательность равномерно сходится на [а, Ь]
при любых значениях параметра X. В самом
деле, очевидно, справедливы неравенства
l9iWI^I/WI + l^|J|/C(^s)||9o(s)|ds<
^B + \k\ABQ(x-a),
*) См. Михлин С. Г., Интегральные уравнения и их
приложения к некоторым проблемам механики, математической физики и
техники, ч. I, гл. I, Гостехиздат, 1949.
204
где | сро (s) | < 50,
ka(*)l<l/(*)l + IMSiK(*,s)||Vl(s)|&<
a
*£B + \X\A\{B + \\\AB0(s-a)}ds =
a
= B + \X\AB(x-a) + \X\*A*B0-^^,
Вообще,
\уп{х)\^В + \%\АВ(х-а) + ...
... + \X"-\A^B^^ + \X\»A»B0<^.
CO
Поскольку ряд У В\Х\пАп **~""а) равномерно сходится
на отрезке [at b] и его частичные суммы являются
мажорантными для функций фЛ (х), то последовательность {фл (х)}
также сходится равномерно; ср(лг)= lim фя(*), очевидно,
/1-+00
является решением уравнения A1), и притом единственным.
§ 4. Понятие о приближенных методах решения
интегральных уравнений Фредгольма второго рода
Описанный в § 3 метод последовательных приближений
построения решения может служить приближенным
методом решения интегральных уравнений Фредгольма второго
рода. В качестве приближенного решения надо брать
функции фя(лг), определяемые формулами E)—G).
Второй метод нахождения приближенного решения
интегральных уравнений состоит в том, что ядро
уравнения К (х, s) аппроксимируют с надлежащей точностью
вырожденным ядром
K(xfs)=Xai(x)bi(s).
Решение уравнения с ядром /С(х, s) и будет
приближенным решением исходного уравнения *).
Третий метод, его называют методом сеток,
состоит в следующем.
*) Михлин С. Г., Лекции по линейным интегральным
уравнениям, Физматгиз, 1959.
205
Отрезки [а, Ь] изменения переменных х и s разбивают
на п одинаковых частей точками деления xh Sj. Интеграл
ъ
К (х} s) ф (s) ds в интегральном уравнении заменяют интег-
а
ральной суммой.
Получают соотношение
п
Ч(х)ъ*Ь 2 К(х, Sj)q>jAsj + f(x).
Полагая здесь х равным xt (/=1,2, ..., п), рассмотрим
систему уравнений
п
Ф* = * Z Kijb'ksj + fi (' = h 2,..., л), A2)
где
ф* = ф fa)> Kij = К (х/, sy), ft = / (*,-), Asy = sy+1 - sy.
Решая эту систему относительно ф,, получим значения
приближенного решения в узловых точках. Мы не будем
останавливаться на подробном изложении этих и других
методов приближенного решения, отсылая читателя к
специальной литературе *).
Особого рассмотрения требуют приближенные методы
решения интегральных уравнений первого рода. Это
сделано в гл. XII.
§ 5. Теоремы Фредгольма
В этом параграфе мы будем рассматривать лишь
интегральные уравнения Фредгольма второго рода
ь
<р(*)-А, \К(х, s)y(s)ds = f(x). A3)
а
1. Однородное уравнение
ь
Ф(*) = Я \К(х, s)(f(s)ds A4)
а
при любых значениях параметра 2^ очевидно, имеет три-
*) Канторович Л. В. и Крылов В.И., Приближенные
методы высшего анализа, изд. 5-е, гл. II, Физматгиз, 1962.
206
виальное. решение ср (х) = 0. Однако при некоторых
значениях X оно может иметь и нетривиальные решения.
Определение. Значения параметра X, при которых
уравнение A4) имеет нетривиальные решения (т. е. не
равные тождественно нулю), называются собственными
значениями (с. з.) уравнения A4) (ядра К(х, s)), а
соответствующие им решения ср (х) — собственными функциями
(с. ф.) уравнения (ядра).
Справедлива следующая
Теорема 1. Если в уравнении A3) Я не равно
собственному значению соответствующего однородного
уравнения A4), то уравнение A3) может иметь лишь
единственное решение.
Доказательство. Пусть срх (х) и ср2 (х) — два
решения уравнения A3). Тогда справедливы тождества
ь
ц>1{х)-'к\К (х, s) cpi (s) ds =/ (x),
a
b
Ф2 (*) — A \K{x, s)ф2(s)ds = /(*),
a
откуда
ь
(<Pi - Ф2) ~ ^ \K (x> s) (q>! - q>2) ds = 0.
a
Следовательно, разность ср (х) = фх (х) — ф2 (х) является
решением однородного уравнения. Поскольку А, не является
собственным значением, то ф (х) = фх (х) — ф2 (х) == 0.
Теорема доказана.
2. Для дальнейшего напомним некоторые теоремы
о системах линейных алгебраических уравнений.
Теорема А. Для того чтобы однородная система
уравнений
п
2ед = о (/ = 1,2, .... п) A5)
имела лишь тривиальное решение {т. е, решение,
состоящее только из нулей), необходимо и достаточно, чтобы
определитель этой системы был отличным от нуля.
Теорема Б. Если определитель однородной системы
A5) равен нулю, то эта система имеет р = п — г линейно
независимых решений, где г— ранг матрицы системы.
207
Теорема В. Если однородная система уравнений A5)
имеет лишь тривиальное решение, то соответствующая
ей неоднородная система уравнений
п
^atjXj^bi (/=1,2 л) A6)
/=i
имеет единственное решение при любых значениях правых
частей bt.
Матрица В, полученная из матрицы А = {аи} системы
A6) путем присоединения к ней столбца элементов,
стоящих в правых частях этой системы, называется
расширенной матрицей системы A6).
Теорема Г. Для того чтобы система A6) была
разрешима, необходимо и достаточно, чтобы ранг
расширенной матрицы В системы A6) был равен рангу матрицы А
этой системы.
3. Как указывалось в § 4, приближенное решение
уравнения A3) можно получить, заменяя это уравнение
соответствующей системой линейных алгебраических
уравнений
п
фт-^ 2 Kjm^j^Sj^fm (/71 = 1,2, ..., П) A7)
/=1
и решая затем эту систему.
Таким же путем известные теоремы о системах
линейных алгебраических уравнений переносятся на
интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Для
интегральных уравнений эти теоремы называются теоремами
Фредгольма. Ниже мы укажем один из способов получения
теорем Фредгольма, не вдаваясь в подробные
доказательства.
Функцию срл(*), равную решению системы A7) в
соответствующих узловых точках и линейную между ними,
будем называть полигональной функцией, соответствую-
'щей решению системы A7). Справедлива
Теорема 2. Полигональная функция срЛ(х),
соответствующая решению системы A7), равномерно
стремится при /г-^оо к решению интегрального уравнения A3).
Мы опускаем доказательство этой теоремы. Теперь
опишем способ получения теорем Фредгольма.
Пусть Я не является собственным значением ядра
К(х, s). Тогда однородное уравнение A4) имеет лишь
тривиальное решение. Поэтому, имея в виду теорему А
208
п. 2, можно утверждать, что соответствующая система
алгебраических уравнений, которой заменяется
интегральное уравнение A4), т. е. система
т
4>т-к 2 #/тф/Asy = 0 (т= 1,2, ,.., я),
/=1
имеет не равный нулю определитель. Следовательно,
система уравнений
п
Фт ~ ^ 2 Kjm4>j&Sj=fm (/Я = 1, 2, . . . , Л),
которой заменяется неоднородное интегральное
уравнение A3), имеет единственное решение. Соответствующая
этому решению полигональная функция фл(*) прип-^оо,
по теореме 3, равномерно стремится к решению
уравнения A3). Таким образом, справедлива
1-я теорема Фредгольма. Для всякого Я,
неравного собственному значению, уравнение A3) имеет рейхе-
ниеу и оно единственное.
Замечание, Поскольку определители системы A7)
и транспонированной системы
п
Ът-Ь 2 KmjtyjAsj = fm (m= 1,2, ...,*)
/ = 1
совпадают, то для всякого Я, не равного с. з. ядра /С (at, s),
сопряженное интегральное уравнение
ь
i|>(*)-M/C(s, x)<b(s)ds = f{x)
а
также имеет единственное решение.
Теперь обратимся к рассмотрению случая, когда Я
совпадает с одним из собственных значений. Справедлива
2-я теорема Фредгольма. Если Я является
собственным значением ядра К {х> s)f то как однородное
интегральное уравнение A4), так и сопряженное ему
уравнение имеют конечное число линейно независимых решений.
Эта теорема следует из того, что однородная система
алгебраических уравнений, соответствующая уравнению
A4), имеет, согласно теореме Б, конечное число линейно
независимых решений.
3-я теорема Фредгольма. Пусть Я является
собственным значением ядра К(х, s). Тогда, для того чтобы
209
уравнение A3) имело решение, необходимо и достаточно,
чтобы функция f(x) в правой части уравнения A3) была
ортогональной всем собственным функциям сопряженного
однородного уравнения, соответствующим этому
собственному значению.
Необходимость условия доказывается просто.
Действительно, если <р(х) есть-решение уравнения A3), то
справедливо тождество
ь
Ф (х) — Я $ К(х} s) ф (s) ds = f (x).
а
Умножаем это тождество на собственную функцию ty(x)
сопряженного уравнения и результат интегрируем (по х)
по отрезку [а, Ь]. Получим
ь ь ь ь
\ f (х) Ф (*) dx = § ф (х) г|) (л:) dx — Я $ г|) (л:) jj /( (#, s) ф (s) ds d*.
с a a a
Поскольку
6 6 6 6
M^ M S # (*» s) ф (s) dsdx= \ ф (s) Я $ /C(x, s) г|э (л:) dx ds
a a a a
И
6
Я J K(*, S)*(*)d* = l|>E),
TO
6 6 6
$ / (*) г|) (*) dx = ^ Ф (х) -ф (x) dx — j} ф (s) ij) (s) ds = 0,
a a a
И. Т. Д.
Доказательство достаточности более громоздко. Его
можно провести, например, сначала для соответствующей
системы алгебраических уравнений, а потом предельным
переходом в полигональных функциях распространить
результат и на интегральное уравнение. Мы не будем
останавливаться на этом доказательстве *).
Пусть собственному значению Я отвечает г линейно
независимых собственных функций. Тогда, очевидно,
справедлива
*) См., например, Петровский И. Г., Лекции по теории
интегральных уравнений, изд. 3-е, «Наука», 1965.
210
Теорема 3. Если в уравнении A3) К совпадает с одним
из собственных значений и выполняется условие
существования решения уравнения A3) (m. e. f(x) ортогональна
соответствующим собственным функциям сопряженного
уравнения), то решением уравнения A3) будет всякая
функция
ф(*) = Фо(*)+2] Cqq>g(x),
где ф0(*) — решение уравнения A3), уд (х) — собственные
функции ядра К (х, s), отвечающие собственному
значению Я, Сq —произвольные постоянные.
Замечание. В§ 4 было показано, что
неоднородное уравнение Вольтерра имеет единственное решение
при любых значениях параметра К. Следовательно,
согласно теоремам Фредгольма, уравнение Вольтерра не
имеет собственных значений.
Г лава X
СВЕДЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.
ПОТЕНЦИАЛЫ
В ряде случаев краевые задачи или задачи Коши для
дифференциальных уравнений можно свести к задачам
нахождения решений соответствующих интегральных
уравнений. Возможность такой редукции нередко
используется для нахождения -приближенного численного
решения задачи на электронных вычислительных машинах
(ЭВМ). В частности, такая редукция возможна для задачи
нахождения собственных значений и собственных
функций краевой задачи.
Идея сведения краевых задач к интегральным
уравнениям состоит в том, что решение краевых задач ищется
в виде некоторых интегралов специального вида,
например потенциалов с неизвестными плотностями
распределения масс, зарядов и пр.
В этой главе мы рассмотрим простейшие свойства
потенциалов и применение их к решению краевых задач.
Сведение краевых задач на собственные функции к
интегральным уравнениям производится с помощью функций
Грина.
§ 1. Объемный потенциал
1. Потенциал электростатического поля (в
пространстве), созданного зарядом величины е, находящимся в
точке Р, равен (в произвольной точке М)
и(М) = е/гМр,
где гмр — расстояние между точками М и Р.
Если в точках Р19 Р2, ..., Рп находятся заряды
еъ е2, ...,е„, то потенциал электростатического поля,
212
созданного этими зарядами, равен
ГМР„
п
Пусть в области D распределены заряды с плотностью
р(Р). В малом объеме d%Py содержащем точку Р,
заключен заряд величины p(P)d%P. Потенциал поля,
созданного этим зарядом, приближенно равен
ГМР
Потенциал поля, созданного зарядами, содержащимися
в области £>, равен
и(Л*)=СШ</Тр. B)
J гмр
Интеграл B) называется объемным потенциалом. Для
двумерного пространства (плоскости) объемный потенциал
имеет вид
u(M)^^p(P)ln(^jdsP. C)
2. Таким образом, объемный потенциал представляется
несобственным интегралом. Рассмотрим несобственный
интеграл более общего вида:
u(M)=\f{M, P)dxP9 D)
D
где f(M, P) — непрерывная функция двух точек М и Р,
МФР, обращающаяся в бесконечность при М = Р*).
Будем называть интеграл D) равномерно сходящимся
в окрестности точки М0, если для любого е>0
существует такое б, что: 1) для всякой области D6M ,
содержащей точку М0, c диаметром, меньшим б, d(D^0)<6; и
2) для всех точек М, отстоящих от точки М0 на
расстоянии, меньшем б, ЛШ0<6, выполняется неравенство
S f(Mtp)dxP
D6
<8.
Это понятие лежит в основе доказательства ряда свойств
*) О несобственных интегралах и признаках их сходимости см.,
например, Смирнов В. И., Курс высшей математики, «Наука», 1967.
213
потенциалов. Основное свойство равномерно сходящегося
несобственного интеграла выражает
Теорема. Несобственный интеграл, равномерно
сходящийся в окрестности точки М0, непрерывен в этой
точке.
Доказательство. Оценим разность
и(М)-и (М0) = иг (М) - и, (М0) + {и2 (М) - и2 (М0)}>
где
иЛМ)= $ f{M9P)dTP, u2(M)= $ f(M,P)dxP.
Dk d~dm0
Поскольку интеграл D) равномерно сходится в
окрестности точки М0, то для произвольного е>0 найдется
такое б, что для области D6Mo с d(D^J<6 и для всех
точек М, отстоящих от М0 на расстоянии, меньшем б,
будут выполняться неравенства
1МЛ*)|<е/3, IMMo)l<e/3. E)
Так как M0^D — D6M , то функция и2(М) непрерывна
в точке М0. Следовательно, для того же е найдется такое
бх, что для всех точек М, отстоящих от точки М0 на
расстоянии, меньшем бь выполняется неравенство
\и2(М)-и2(М0)\<г/3. F)
Пусть 62 = min {б, бх}. Тогда для всех точек М таких,
что ММ0<62, выполняются неравенства E) и F), а
следовательно, и неравенство
\и(М)-и (М0) | < е.
Теорема доказана.
Заметим, что из равномерной сходимости
несобственного интеграла следует его сходимость в точке М0.
3. Рассмотрим простейшие свойства объемного
потенциала с ограниченной плотностью р(Р), \р(Р)\^А.
Свойство 1. Объемный потенциал определен и
непрерывен всюду.
Если точка М0 не принадлежит области D, интеграл
и (М0) не является несобственным. Поскольку
подынтегральная функция, как функция точки М, непрерывна
в точке М0, то непрерывен в этой точке и интеграл и(М).
Если M0gD, to, согласно теореме п. 2 и замечанию
в конце п. 2, достаточно доказать равномерную сходи-
214
мость интеграла в окрестности точки М0. Для этого
оценим интеграл
Р^)
dip.
MP
Очевидно,
'Af0
9(Р)
dtp
v г МО
' dxp
A \ ?1
v T MP
^26
M
Wtpj5% I U lp ^ /1 I
'Af0 | DM0 DM0
где T^ — шаровая область с центром в точке М радиуса 26 *).
Переходя в последнем интеграле к сферическим
координатам, получим
26 п 2л
A С ~ = A \ \ f r sin 6 drdB dtp = 8Ап82 (r = rMP).
■Т2
г 26
М
О О
Таким образом,
С 9(Л
J г мр
dip
'ма
<8Ляб2. Чтобы этот
интеграл был меньше наперед заданного числа 8, достаточно
ъзятъ6<Уш-
Свойство 2. Объемный потенциал имеет всюду
непрерывные частные производные первого порядка по
координатам точки М.
Если М0 Ф D, интеграл и (М0) не является
несобственным. Поскольку подынтегральная функция, как функция
точки М, имеет в точке М0 непрерывные частные
производные первого порядка по координатам точки М, этим
свойством обладает и интеграл и (М), причем производные
вычисляются путем дифференцирования под знаком
интеграла:
ди с й-г)
D
где |, г), £ —координаты точки Р.
ГМР
}-p(P)dxPf
D
Q{P)dTP}
G)
) UMaCZ 1
26
м-
215
Если M0eD, to нам достаточно доказать
равномерную сходимость в окрестности точки М0 интегралов от
производных в правых частях формул G). Тогда законно
дифференцирование под знаком интеграла, причем для
производных ^j-^Yz спРавеДливы формулы G)*). Для
определенности рассмотрим интеграл
(Е-*)р(Р)
i
г3мр
Очевидно,
A-х)
\ (L^p(P)dxPUA \
«J ГМР J
■dxp.
A-х) d%p
ГМР ГМР
■■*$
drD
r2 '
rMP
JM0
\l — x\ I
так как -—1 = cos {r, n
rMP
D
M0
1. Далее,
26 л 2я
'MQ
A f 4^-<Л \ 4^ = л( [ {sinBdrd6d(( = 8nAb.
J TMP J r~MP J J J
JMQ
r26
1 M
0 0 0
Чтобы выполнялось неравенство
Й-*)Р(Я)
j
'м0
rMP
dxp
<e,
достаточно взять б<е/(8яЛ).
Свойство 3. Объемный потенциал является
гармонической функцией вне области D, в которой расположены
заряды (массы).
Это свойство следует из того, что для точек М фО
интеграл B) не является несобственным, и поэтому
оператор Лапласа можно вносить под знак интеграла:
Ю I D
так как для точек МфО имеем ДA/гЖР) = 0.
Если предполагать, что р (Р) непрерывна в D и имеет
ограниченные и интегрируемые частные производные пер-
др до до
вого порядка —, ~, ~у то справедливо
*)См. Фихтенгольц Г. М., Основы математического
анализа, т. Н4 гл. XVIII, изд. 5-е, «Наука», 1968.
216
Свойство 4. В точках области D объемный
потенциал удовлетворяет соотношению
Аи = —4пр(М). (8)
Доказательство. Вычисление вторых производ-
дЧ д*и дЧ
ных ^р, g-g, g^- путем дифференцирования правых частей
формул G) под знаком интеграла здесь неприменимо, так
как мы получим при этом расходящиеся интегралы,
например:
J rMP J rMP
D D
Для доказательства существования вторых
производных поступим следующим образом. Пусть М0 е £>;
Т6м0 — шаровая область радиуса б с центром в точке М0,
ограниченная сферической поверхностью S%0, причем
Тбм0 с: D. Тогда для точек М области Т6м0 можно написать
и(М)=^и1{М) + и2{М)9
где
%(М)= ( 9-~dxP> ih(M)= f ^-dxp.
J rMP J rMP
Интеграл и2 (М) не является несобственным и по
свойству 3 представляет гармоническую в точке М0 функцию,
т. е. Ац2|л1^=м0 = 0. Следовательно,
Поэтому нам достаточно рассмотреть функцию их (М).
Производную
ди
~дх~
}-\4*«r><b-\><r>h№«.
Mo l M0
можно также записать следующим образом:
ди
~дх
217
Применяя ко второму интегралу формулу
Остроградского, получим
ф
^= \ JL.drP- i ^cosadop, (9)
ох J rMP J ГМР
Tv об
1 М0 *М0
где а — угол между направлением внешней нормали к
поверхности S%0 и осью х.
Первый интеграл правой части формулы (9)
представляет собой объемный потенциал с плотностью зарядов
(масс) Pi (Р)=ж и поэтому, по свойству 2, имеет
непрерывную производную первого порядка по х. Второй
интеграл не является несобственным и поэтому имеет
непрерывную производную первого порядка по х во всякой
внутренней точке М области Тм0. Следовательно, -~ имеет
непрерывную в Т%0 производную -^. При этом
= С _^1Л С £B(g.^ Cos a dorp.
= M° i rMQp J rMQP
r
Mo *M0
Ho 2—^- = cosa, поэтому
fMQP
Ф
dx*
= \ —^dxP- \ pZLcos'adOp. A0)
\M = Mo J ГМоР J? rMQP
1 MQ
Аналогично находим
'Af0 SMQ
dy2 \m
dz*
= С ^dxP- \ 4^-C0S2P^P, (H)
= «» J Плр у У r-MoP v '
= { —Д^Лр- ? £jQ-cos*y doP, A2)
.._^*
^
M=M0 J /"fop J ^0P
1 Mo *Mo
где Р и у — углы между нормалью к Sm0 и осям J/и г
соответственно.
218
Складывая формулы A0), A1) и A2), получим
Аи\м=м0 = ки1\м = м0= \ -Д- cos a d%P +
J гм.р
м0
dp
до
+ \ -?Lcosprfrp+ ^ -^-cos^Tp- \ ^
i гм0р 3 гмвр J гм*
C3)
м0
1 Mo
*M0
Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве
свойства 2, найдем, что каждый из интегралов по
области Т%0 в формуле A3) не превосходит 4яВб, где В —
верхняя граница функций U| , Ljj
т. е.
ггб
1 Мо
;4я5б.
A4)
Применяя к последнему интегралу формулы A3) тео
рему о среднем значении, получим
С р
гм0р
• я!Gр = 4яр(Р*),
A5)
JAf0
где Р* е SAfe. Переходя в формуле A3) к пределу при
6->0 и учитывая неравенства A4) и формулу A5), получим
= м,
, = — 4яр(М0).
В двумерном случае аналогом формулы (8) будет
соотношение
Аи = — 2яр(ЛГ). A6)
Замечание. Соотношение (8) можно получить
формально, перенося оператор Лапласа под знак интеграла
в формуле B) и используя соотношение B5) гл. VII, § 2.
Свойство 5. При стремлении точки наблюдения
к бесконечности объемный потенциал стремится к нулю
(в трехмерном случае; D — ограниченная область).
Для доказательства этого свойства применим теорему
о среднем значении к интегралу B). Получим
и(М) = —— \ pdrP = ~-^-
rMP* J ГМР*
219
где P*eD, m = jj р dtp — суммарный заряд. Отсюда и
следует свойство 5.
Пример 1. Найдем объемный потенциал равномерно
заряженного шара D радиуса R. Очевидно, искомый потенциал есть функция
расстояния г от центра шара до точки наблюдения:
и(М) = и(г).
Вне шара D Да = 0, следовательно, w = -i + C2. По свойству 5
и (г) —*• 0 (г —* оо). Следовательно, С2 — 0. Внутри шара D Да =— 4л;р,
^ ^ 2 А
или -г- (г2и') = — 4ярг2. Следовательно, и (г) — -«- яг2р H ЬВ для
#г о г
r^R. Поскольку объемный потенциал ограничен всюду, то Л=0.
Из условия непрерывности потенциала и его производных первого
порядка находим
=?я^р + Б = |- и -|^р = ^,
4
откуда Сг = -^ я#3р, Б = 2я#2р. Таким образом,
и(г) =
~-яC/?а-г*)р, г^Л,
Замечание. Объемный потенциал можно записать
в виде свертки (по переменным х, у, г) фундаментального
решения — == — (г2 -f */2 + г2)",5 уравнения Лапласа Ди = О
fA^~j = — 6(х, t/, z)) с функцией 4яр(#, у, г):
w(M) = (|*p) =
J J J K(^-gJ + (t/-TiJ+(^D2 ~ l гмр
§ 2. Потенциал простого слоя
Пусть заряды (массы) распределены по поверхности S
с плотностью р(Р). Потенциал поля, созданного этими
зарядами, равен
v(M)=teP-doP. A7)
J гмр
s
Этот интеграл называется потенциалом простого слоя.
В дальнейшем мы будем считать, что функция р (Р) огра-
220
ничена, |р(Р)|^#, а поверхность 5 является
поверхностью Ляпунова. Поверхность 5 называется поверхностью
Ляпунова, если она обладает следующими свойствами:
1) в каждой точке поверхности 5 существует
касательная плоскость;
2) для каждой точки Р поверхности S существует
такая окрестность SPl что всякая прямая, параллельная
нормали в точке Ру пересекает SP не более одного раза;
3) угол у(Р, P1) = (npt Прх), образованный
нормалями Пр и Прх в точках Р и Ръ удовлетворяет
следующему условию:
y(Pt PJ<Ar*PPlf
где А и б — некоторые постоянные и 0 < б ^ 1.
Рассмотрим некоторые свойства потенциала простого
слоя.
Свойство 1. Потенциал простого слоя определен
всюду.
Для точек М, не принадлежащих несущей
поверхности S, это очевидно. Если М е 5, то интеграл A7)
является несобственным по двумерной области 5.
Известно, что несобственный интеграл по двумерной области
^ГМР
абсолютно сходится, если а<2 *). В нашем случае <х= 1,
следовательно, интеграл A7) сходится.
Свойство 2. Потенциал простого слоя непрерывен
всюду.
Если М ф 5, то интеграл A7) не является
несобственным и его непрерывность непосредственно следует из
непрерывности подынтегральной функции \/гМР.
Если Mq^S, to достаточно доказать равномерную
сходимость интеграла A7) в окрестности точки М0. Оценим
интеграл
9(P)dop
ММ)= J
А МР
*м0
по части поверхности Sm0 (S6Mo cz 5), содержащей точку М0
и имеющей диаметр, меньший б, d(S%0)<&. Для этого
*) См. То л сто в Г. П., Курс математического анализа, т. II,
гл. XX, Гостехиздат, 1957,
221
воспользуемся системой координат с началом в точке M0f
ось z которой направлена по нормали к поверхности S
в этой точке. Пусть М (х, у, г) — произвольная точка,
отстоящая от точки М0 на расстоянии, меньшем б, ММ0<&.
Обозначим через 2м0 проекцию поверхности SMo на
плоскость (л:, у), а через Ом, — круг на плоскости (х, у)
с центром в точке Мг (х, у> 0) радиуса 26. Очевидно,
2%0czQ2m1. Проекция на плоскость (х, у) элемента
поверхности do равна ds — do-cosy, где y~ Угол между
нормалью к поверхности S и осью г. Очевидно,
1ММ)|<-я J
dop
SM0
doD . С ds
6 V(x-lY + (y-4f I cosyV(x-tJ + (y-r\J-
SM0 2M0
По третьему свойству поверхности Ляпунова б можно
взять" настолько малым, чтобы для точек Р е Sm0 иметь
cos у ^1/2. Поэтому будем иметь
»!(Af)|<
^2# \ ds ^2Н [ ds
I К(^—1J+(^/—лJ ib У{х-1У + (у-ч)*
Вводя полярную систему координат с началом в точке Мъ
легко вычислить последний интеграл, он равен
26 2я
2# \ y = 2tf ? [drd<p = 8nHd.
Чтобы интеграл | vx (М) | был меньше заданного числа 8,
достаточно взять б < 1/(8я#).
Свойство 3. Потенциал простого слоя является
гармонической функцией всюду, кроме точек несущей
поверхности S.
Это свойство очевидно, так как для точек М ф S
интеграл A7) не является несобственным, поэтому
Av= [p(P)A(—)dop==0.
д? VmpJ
222
Свойство 4. Если несущая поверхность S
ограничена, то потенциал простого слоя стремится к нулю,
когда точка М стремится к бесконечности.
Для доказательства этого применим к интегралу A7)
теорему о среднем значении:
v{M) = 7l-\p(P)doP = -2-, A8)
ГМР* J ГМР*
где Р* sS, т= V р do — суммарный заряд.
Из формулы'A8) непосредственно следует свойство 4.
Свойство 5. Нормальные производные потенциала
простого слоя имеют разрыв первого рода в точках поверх-
ности S со скачком, равным 4пр(М).
На доказательстве этого свойства мы останавливаться
не будем *).
Для двумерного случая (плоскости) потенциал простого
слоя имеет вид
v(M)=\p(P)\n(-l-\dsp
с * мр
Для него справедливы свойства 1—3. При стремлении
точки М к бесконечности он стремится к оо, как In rMP.
Скачок нормальных производных в точках кривой С равен
2яр(М). Доказательства всех этих свойств проводятся
аналогично трехмерному случаю, поэтому мы не будем
повторять их.
§ 3. Потенциал двойного слоя
1. Пусть в точках Рг и Р2 (рис. 22) расположены
заряды величиною — е и е. Потенциал электростатического
поля, созданного этим диполем, равен
w(M)=e(— —
\ГМР2 гМРг
или
w^M)=ehL{-7-)\
оп \ гмр /\р=р*
где Р* — некоторая точка отрезка РгР2 и производная
берется по направлению п отрезка от Рг к Р2 (оси диполя),
*) См. Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными
производными, изд. 4-е, «Наука», 1965.
223
h — расстояние между точками Рг и Р2. Величина eh = v
называется моментом диполя. Если мы будем сближать
точки Рг и Р2> сохраняя момент диполя v (увеличивая
при этом величину зарядов е)/ то в пределе (при /г->-0)
получим точечный диполь, расположенный в точке Р,
потенциал которого равен
где производная берется по координатам точки Р в
направлении оси диполя.
Пусть 5 —двусторонняя поверхность с непрерывно
меняющейся касательной плоскостью. Это означает, что если
в некоторой точке Р этой поверхности выбрано
положительное направление нормали пР
к поверхности и точка Р движется
по любой замкнутой кривой
(лежащей на S), причем направление
нормали меняется при этом
непрерывно, то при возвращении в
исходную точку направление
нормали совпадает с исходным. На этой
Рис. 22. поверхности можно в каждой
точке одно из направлений нормали
принять за положительное, так что единичный вектор
этого направления п будет непрерывным на поверхности.
Мы будем предполагать, что такое положительное
направление выбрано.
2. Если на двусторонней поверхности 5 распределены
диполи с плотностью моментов v (P) так, что оси их
в каждой точке совпадают с положительным направлением
нормали, то потенциал поля, созданного этими диполями,
равен
w№ = y(P)i{-^)doP. A9)
Этот интеграл называется потенциалом двойного слоя.
Такое название связано с тем, что к интегралу A9)
приводят также следующие рассуждения. Пусть S —
двусторонняя поверхность с фиксированным положительным
направлением нормали. Вообразим теперь, что на
положительном направлении нормали в каждой точке мы
отложили отрезки длиною h. Геометрическое место концов
этих отрезков образует поверхность Slf отстоящую от 5
224
на расстоянии /г. Пусть на поверхности S распределены
отрицательные заряды с плотностью ^ v (P), а на
поверхности Si —положительные заряды с той же плотностью
(рис. 23),
Мы будем иметь «двойной слой» зарядов
противоположных знаков, который можно рассматривать также как
совокупность диполей, распределенных по поверхностям S
и Si с плотностью jj-v(P).
Потенциал поля, созданного диполем,
«опирающимся» на элементы da
поверхностей S и Su равен
v(P) - [ )da. Потенциал поля,
оП\гМР/
созданного всеми диполями, равен
—) da р.
'MP/
Рис. 23.
v(/>)|
дп [г
Если мы устремим h к нулю, то
получим «двойной слой» на
поверхности S, потенциал которого вычисляется по формуле A9).
Поверхность S будем называть несущей поверхностью.
Поскольку
Зп\гмр)
СОвф
Г'МР
'^
где ф —угол между положительным направлением нормали
к поверхности S в точке Р и отрезком РМ, то потенциал
двойного слоя можно также написать в виде
w(M)= [v(P)c-^dai
J гмр
B0)
Если мы обозначим через da^Mp телесный угол, под
которым из точки М виден элемент поверхности daPf то
гмр d(uMp = cos ф daP.
Эта формула непосредственно следует из того, что по
определению d(dMP есть площадь элемента единичной
сферы с центром в точке М, высеченного конусом с верши-
*) См., например, Смирнов В. И., Курс высшей математики,
т. II, «Наука», 1967.
8 В, Я. Арсенин
225
ной в точке Му опирающимся на элемент поверхности
doP (рис. 24); ЛоЛ1Р имеет положительный знак, если
угол ф острый, и отрицательный, если угол ф тупой.
Поэтому потенциал двойного слоя
можно также написать в виде
w(M)=\ v(P)d<uMp. B1)
s
3. Из формулы B1) следует,
что потенциал двойного слоя
определен и в точках М несущей
поверхности. Таким образом, имеем:
Свойство 1. Потенциал двои-
ного слоя определен всюду.
Свойство 2. В точках М, не лежащих на несущей
поверхности S, потенциал двойного слоя является
гармонической функцией.'
Для доказательства воспользуемся формулой B0).
Если М ф 5, то интеграл B0) не является
несобственным и поэтому
Рж\ 24.
Дш = Д
-5'(">4{£(Jj)}*,-^(P)i{A(i)}*,-0.
дп\гмр) °Р\'
'д / 1
)дп [г
Свойство 3. При стремлении точки наблюдения М
к бесконечности потенциал двойного слоя стремится
к нулю. Мы предполагаем при этом, что поверхность S
имеет конечную площадь и расположена в конечной
области.
Для доказательства воспользуемся формулой B0).
Применяя к интегралу теорему о среднем значении, получим
w
(M) = v(P)^| -\doP,
ГМР \Р = Р* J
где Р* е S. Отсюда и следует справедливость свойства.
В последующем будем полагать, что несущая
поверхность S замкнутая. В качестве положительного
направления нормали возьмем внутреннюю нормаль к
поверхности S.
Рассмотрим частный вид потенциала двойного слоя —
потенциал с постоянной плотностью моментов v0. Для
226
такого потенциала w (M) справедливы формулы
|4nv0, если точка М расположена внутри «S,
2jiv0, если точка М расположена на S,
О, если точка М расположена вне S.
Для доказательства этого воспользуемся формулой B1).
Пусть точка М расположена внутри S. Предположим
сначала, что всякий луч, проведенный из точки М,
пересекает поверхность 5 лишь в одной точке. Тогда
интеграл \с1ыМр равен полному телесному углу, под которым
S
видна внутренняя сторона поверхности S. Очевидно, этот
угол равен 4л. Следовательно,
в этом случае w(M)=Anv0.
Если, часть лучей (или все),
проведенных из точки М>
пересекает поверхность S в конечном
числе (^k) точек, то телесные
углы d(t>MP> П°Д которыми видны
элементы поверхности doP,
пересекаемые лучами изнутри S
(например, doP, лежащие на Sx к 53,
рис. 25), будут положительными,
а телесные углы dco^p» под
которыми видны элементы поверхности
doPt пересекаемые лучами извне 5
(например, doP) лежащие на S2>
рис. 25), будут отрицательными, так как в этом случае
угол ф между внутренней нормалью и направлением
отрезка РМ будет тупым и, следовательно, cos ср
—отрицательным. В силу этого, очевидно;
\ dayмр + \ ЛоЖР = 0.
Поэтому алгебраическая сумма всех телесных углов da)MP
будет также равна 4я. Таким образом, и в этом случае
ад (Al) = 4nv0.
Если точка М лежит вне поверхности S, то телесные
углы dmмр, отвечающие элементам doP поверхности S1
(рис. 26), будут отрицательными, а телесные углы d(DMP,
8*
227
отвечающие элементам doP поверхности S2 (рис. 25),
будут положительными. Поэтому
\ d®MP = $ d®Mp + \ daMp = 0.
S 5, S2
Таким образом, если точка М лежит вне 5, то ш(М) = 0.
Аналогично устанавливается, что w(M) = 2nvQi если M^S.
Теперь мы можем выяснить
поведение потенциала двойного слоя
в окрестности точки М, лежащей
на несущей поверхности.
Свойство 4. Если плотность
моментов v(P) непрерывна на S,
то потенциал двойного слоя w(M)
имеет разрыв первого рода в
точках несущей поверхности S со
скачком, равным 4kv(M):
wm (Mo) - wH (M0) = 4nv (M0),
M0eeS.
Здесь wBU (Mo) — предел функции w (M) в точке М0,
когда точка М стремится к М0 изнутри поверхности;
wH (М0) — предел функции w (M) в точке М0, когда точка
М стремится к М0 снаружи. -
Для простоты мы будем предполагать, что каждый
луч, проведенный из точки М, пересекает S не более чем
k раз (хотя утверждение верно для произвольной
поверхности Ляпунова). Пусть М0 — фиксированная точка
поверхности S, Рассмотрим вспомогательную функцию
w (М) = $ {v (P) - v (M0)} daMP = w{M)-w (M). B2)
Лемма. Функция w(M) непрерывна в точке М0.
Доказательство. Обозначим через S' часть
поверхности 5, содержащуюся в некоторой б-окрестности D6M
точки М0, а через S" — остальную часть 5. Тогда w(M)
можно записать в виде
w (М) = ®i (М) + Щ (М),
где
щ(М)=\ {v(P)-v(M0)}daMP,
S'
Щ(М)= \ {v(P)-v(M0)}d<*MP.
S"
228
Функция w2(M) непрерывна в точке М0. Поэтому для
произвольного 8 > 0 величина | w2 (М) — w2 (М0) | будет
меньше е/3, если' ММ0 достаточно мало. Далее,
\*>ЛМ)\ =
\ {v(P)-v(M0)}Ao,1P
\ \v(P)-v(MQ)\\d(uMp\
Пусть лучи, проведенные из точки М, пересекают
поверхность S не более чем k раз.
В силу непрерывности v(P) в точке М0 величина
\v(P) — v(M0)\ будет меньше е/12йя, если 6 (радиус
окрестности D6Mq точки М0) будет достаточно мал. Далее,
S'
Следовательно,
l®i(M)|< ^|v(P)-v(M0)!!^co^p!<| и |*MAf0)i-
Поэтому
! ® (М) — w (М0) \ < | Щ (М) | +1 ©! (М0)! +
+ |ш2(М)-^2(М0)|<8,
если точка М достаточно близка к М0. Лемма доказана.
Доказательство свойства 4. Перейдем в
формуле B2) к пределу, устремляя точку М к М0 изнутри
и снаружи поверхности S; тогда получим соответственно
^вн (Af0) = wBH (М0) - 4kv (М0) = w (М0) =
= w (М0) ~ 2nv (М0) = wu (М0) - шн (Mo) - 0,
где w(M0) и w(M0) —значения функций ш(М) и w(M)
в точке М0 на S. Из этих равенств находим
wBH (Mo) = w (Mo) + 2nv (M0), B3)
wli(MQ) = w(M0)-2nv(M0b B4)
wBH (Mo) - wH (M0) = 4kv (Mo). B5)
Для двумерного случая потенциал двойного слоя
определяется с помощью интеграла '
,(rt,Hv<Hi)h
229
где С —контур, на котором расположены диполи. Для
него также справедливы свойства 1 и 2. Рассуждениями,
совершенно аналогичными приведенным, можно
установить, что в точках М0 несущей кривой С имеем
^вн (ЛГо) = w (М0) + nv (ЛГ0), B6)
wH(M0) = w(M0)-TivWo), B7)
wB„ (Mo) - wu (M0) - 2jxv (Mo). B8)
§ 4. Применение потенциалов к решению краевых задач
Рассмотренные свойства потенциалов позволяют
пользоваться ими как удобным аппаратом для решения
краевых задач. Мы покажем это на примере первой
внутренней краевой задачи-:
Да = /(М) в D, B9)
a|s = <p(M), C0)
и и(М) непрерывна в D = D + S.
Частным решением уравнения B9) является,, очевидно
(по свойству 4 § 1), объемный потенциал
Поэтому естественно искать решение задачи B9) — C0)
в виде суммы и (М) = их (М) + и2 (М), где для функции
и2 (М) краевая задача будет ставиться следующим образом:
Ди2 = 0, C1)
и2 is = <р (М) - и, (М) \s = F(M). C2)
Попытаемся искать решение этой задачи в виде
потенциала двойного слоя
u2(M) = w(M) = [v(P)^doP
J ГМР
с надлежаще подобранной функцией v(P). При любом
выборе функции v(P) этот потенциал гармоничен в D
(по свойству 2 § 3). Чтобы удовлетворить краевому
условию C2), надо, чтобы в точках М е S выполнялось
соотношение wBll{M)=F (M). Пользуясь формулой B3) § 3,
это условие можно написать в виде
w(M) + 2nv(M)=F{M)
230
или
\v(P)ln(-±-)doP + 2nv(M)^F(M).
д> оп Vmp/
C3)
Решением краевой задачи C1) —C2) будет потенциал
двойного слоя с такой плотностью v(P), которая
удовлетворяет условию C3).
Таким образом, наша краевая задача сводится к
решению интегрального уравнения C3) относительно v(P).
Пример 2. Решим первую краевую задачу для круга
радиуса R, ограниченного окружностью С,
Аи^О, u\c = F(s),
где s—длина дуги окружности.
В точках М окружности (рис. 27)
7^ = 3?- C4)
rMP lR
Решение ищем в виде потенциала
двойного слоя
Рис. 27.
С учетом формулы C4) краевое условие дает интегральное уравнение
для определения v(s):
^2lRy(Qdl + 7tv(s) = F(s).
C5)
Будем искать решение этого уравнения в виде
1
v(s) = -F(s) + A,
где Л— неизвестная постоянная. Подставляя эту функцию в
уравнение C5), получим
№*
Ь + А
di + F(s) + nA=F(s),
откуда
2я/? )
/7©^| + 2яЛ=0 и А--
4л2Я
$*©#•
Таким образом,
w-k"®-^.
fc$'©«.
231
Следовательно, решение краевой задачи имеет вид
/л*ч С ^cosffi ,, 1 f F (£) cos ф Jf.
с с
^(l)d^^lrf|==ij£^2f(|)d|_
С С
4л2/?
или
U л )
1 С 2r/? cosq) — г2
2/?г2
Z7 (I) <*£.
Из ДОРМ (рис. 28) находим (ОМ=р)
2#r cos ф — г2
2Rr~* :
Я2-р2
2R [R* + р2 — 2/?р cos (8 — op)]'
поэтому
м(М) =
2я
(^2-p2)F(/?-6)d9
/?а + р2 —2/?pcosF—я|з)"
Мы получили интеграл Пуассона.
Рис. 28.
Решение второй краевой
задачи для уравнения Лапласа
надо искать в виде потенциала простого слоя с
неизвестной плотностью р(Р).
§ 5. Другие задачи, сводимые к интегральным
уравнениям
1. Задача Коши для линейного обыкновенного
дифференциального уравнения п-то порядка может быть
сведена к , интегральному уравнению Вольтерра второго
рода. Для определенности рассмотрим уравнение второго
порядка
y'' + a(x)y'+b(x)y = f(x), C6)
У@) = Уо, У'@)=у0'. C7)
Введем обозначение
*/"(*) = Ф(х). C8)
232
Тогда
t/'(x) = y; + lv(s)ds, C9)
о
y(x)=yo + \y'(t)dt D0)
О
Заменяя производную у' (£) в формуле D0) ее значением
по формуле C9), получим
У (х) =Уо + ху'о + И Ф E) ds d^
о о
Изменяя в этой формуле порядок интегрирования,
получим
х
y(x)=y0 + xy'Q + \(x-s)y{s)ds. D1)
о
Таким образом, мы выразили функцию у(х) и ее
производные у' (х) и у" (х) через функцию ср (х) по формулам
C8), C9), D1). Подставляя эти значения в уравнение
C6) и внося под знак интеграла функции а(х) и Ь(х),
получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода
х
Ф (х) + $ {а (х) + (x-s)b (x)} Ф (s) ds - Д (х) D2)
о
с ядром К(х, s) = a(x) + (x — s)b{x), где
h (*) = / (х) - У'*а (х) - УФ (х) - ху'ф{х) -
Для уравнений п-гб порядка процедура сведения задачи
Коши к интегральному уравнению аналогична.
2. Покажем теперь, что задача Штурма —Лиувилля
на конечном отрезке может быть сведена к
интегральному уравнению Фредгольма второго рода.
Применим теоремы Гильберта к задаче Штурма —
Лиувилля
L[y] + Xp(x)y = Q, D3)
ад' @) - № @) = 0, *ъу' (/) + %у (/) = 0. D4)
Но 1-й теореме Гильберта решение этой задачи дается
формулой
y{x)=k\G(x, s)p(s)y(s)ds, D5)
о
233
т. е. искомое решение удовлетворяет интегральному
уравнению Фредгольма D5). Обратно, по 2-й теореме
Гильберта решение уравнения D5) является решением задачи
Штурма — Лиувилля D3) —D4). Таким образом, задача
Штурма — Лиувилля эквивалентна интегральному
уравнению D5).
ЗАДАЧИ
1. Найти объемный потенциал масс, распределенных с плотностью
р(г) в сферическом слое R1^r^R2- Рассмотреть также случай
p(r) = Po==const.
2. Найти потенциал простого слоя, распределенного с
постоянной плотностью р0 на сфере.
3. Найти электростатическое поле объемных зарядов,
равномерно распределенных внутри шара, расположенного над идеально
проводящей плоскостью z = 0.
4. Найти логарифмический потенциал круга с постоянной
плотностью зарядов.
5. Найти логарифмический потенциал простого слоя отрезка с
постоянной плотностью зарядов.
6. Найти логарифмический потенциал двойного слоя отрезка с
постоянной плотностью моментов.
7. С помощью потенциала двойного слоя решить первую краевую
задачу для уравнения Лапласа: а) вне круга; б) в полуплоскости.
Глава XI
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧНЫМИ ЯДРАМИ
В этой главе мы будем рассматривать уравнения Фред-
гольма только ссимметричными ядрами. Ядро К (х, s)
называется симметричным, если для всех х и s из
квадрата а^х, s^b выполняется тождество
К (х, s)=K(s, x).
Если ядро К {ху s) симметрично, то, очевидно, и все
итерированные ядра Кп{х, s) также симметричны. Напомним,
что для простоты изложения эды ограничиваемся
рассмотрением ^ лишь непрерывных в квадрате а^х, s^b
ядер.
Уравнения с симметричными ядрами чаще других
встречаются в задачах математической физики. Они
обладают целым рядом специфических свойств, главное из
которых выражает
Теорема 1. Всякое непрерывное симметричное ядро,
не равное тождественно нулю, имеет по крайней мере одно
собственное значение.
Мы не будем приводить доказательство этой теоремы *).
Отметим лишь, что среди несимметричных ядер имеются
такие, у которых нет собственных значений. Таковым,
например, является ядро К{х, s) = sin xcoss, Q^x,
5^2я, а также все ядра Вольтерра (см. замечание на
стр. 211).
Совокупность всех собственных значений уравнения
(ядра) будем называть спектром собственных значений
уравнения (ядра), короче — спектром уравнения (ядра).
*) См. Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных
уравнений, изд. 3-е, «Наука», 1965, и Михлин С. Г,, Лекции по
линейным интегральным уравнениям, Физматгиз, 1959.
235
§ 1. Простейшие свойства собственных функций
и собственных значений ядра К(х, s)
Очевидно, справедливы следующие два свойства.
Свойство 1. Если ф (х) есть собственная функция,
соответствующая собственному значению X, то Су (х), где
С — произвольная постоянная (СфО), также является
собственной функцией, соответствующей тому же Я.
Постоянный множитель С можно выбрать так, чтобы
норма собственной функции Сф(х), т. е.
" а
У а
была равна единице, ||Сф|| = 1. В дальнейшем будем
предполагать, что все собственные функции нормированы
указанным образом к единице.
Свойство 2. Если две собственные функции фх(х) и
ф2 (х) соответствуют одному и тому же собственному
значению Я, то, каковы бы не были постоянные Сх и С2 {С\ -f-
-\-С\Ф 0), функции Схф! (х) + С2ф-2 (х) также являются
собственными функциями, соответствующими тому же
собственному значению Я.
Докажем
Свойство 3. Собственные функции ц>г(х) и ф2(л"),
соответствующие различным собственным значениям Ях и Я2,
ортогональны на отрезке [а, Ь], т. е.
ъ
S<Pi(*)q>2(*)d* = o.
а
Доказательство. По условию справедливы
тождества
1
<Pi М = \ К (х> s) Ф1 (s) ds, ^ ф2 (х) = ^ К (х, s) ф2 (s) ds.
Первое из них умножим на ф2(*), второе —на Фх(л:) и
почленно вычтем результаты один из другого. Полученное
тождество интегрируем (по х) по отрезку [а, Ь\:
а
ъь ъъ
= И К (х> s) Ф1 (s) ^2 (х) dsdx—\\K (xt s) ф2 (s) Фх {х) ds dx.
а а
236
Меняя порядок интегрирования во втором члене правой
части равенства и учитывая симметричность ядра, получим
?5 ь ь
))К{х, s) ф2 (s) фх (д) ds dx = \\ К (х, s) фх (х) ф2 (s) dx ds =
6 6
= $ $ /С (х, s) фх (s) ф2 (*) ds d*.
GO
Следовательно,
с/
Отсюда и следует ортогональность.
Если ортогонализировать собственные функции,
соответствующие одному собственному значению Я*), то можно
утверждать, что любые две линейно независимые
собственные функции фх (х) и ф2 (х) ортогональны.
В дальнейшем мы будем предполагать, что такая орто-
гонализация произведена всюду, где она необходима.
Следовательно, семейство собственных функций можно
считать ортонормированным.
Свойство 4. Все собственные значения интегральных
уравнений с симметричными ядрами вещественны.
Доказательство. Предположим, что Я = а + Ф,
$ф0, есть комплексное собственное значение, а ф(*) =
= tyi (*) + я|>2 (*) ~~ соответствующая ему собственная
функция. Тогда
ь
Ь (х) + % (х) = (а + ф) $ К (х, s) [% (s) + Ak (s)] ds.
а
Отсюда следуют тождества
ъ ь
^ (х) = a J К (х, s) ifo (s) ds — р $ /С (*, s) г(з2 (s) dst
а • а
Ь Ъ
^2(х) = а\К(х, s) г|эа (s) ds + Р $/((*, s)^1(s)ds.
а а
Умножим второе из этих тождеств на / и результат
вычтем из первого, получим
ъ
яК (х) - п|>2 (х) гз (а - ф) $ К (х, s) [% (s) - гф8 (s)] ds.
*) См. стр. 93.
237
Таким образом,
% = а — ф и ф (х) = гр! (х) — п|э2 (*)
также являются соответствующими друг другу с. з. и с. ф.
Поскольку ХфХ (ибо $Ф0), то по свойству 3 функции
Ф (х) и ф (*) ортогональны, т. е.
ь _ ь
^(x)^(x)dx^\{^(x) + ^(x)}dx = 0.
а а
Отсюда ввиду непрерывности функций \рг (х) и ty2 (x)
следует, что ^(х) =^2(*) = 0. А тогда ф(*)==0, что
невозможно. Таким образом, свойство доказано.
1 Свойство 5. На каждом конечном отрезке [Л, В]
содержится лишь конечное число (оно может быть равным
нулю) собственных значений.
Доказательство. Допустим, что на некотором
отрезке [А0> В0] содержится бесконечное множество
собственных значений. Выберем из этого множества некоторую
бесконечную последовательность собственных значений
{%п}. Пусть {фя (х)} — последовательность соответствующих
им собственных функций. Поскольку семейство функций
{фл(#)} является ортонормированным, а коэффициенты
Фурье ядра К (х, s) по функциям этого семейства равны
— <рп(х)9 то справедливо неравенство Бесселя
а
ъ
2ir^\K4x's)ds-
n = l a
Следовательно, для любого целого р>0
ь
\ К2 (х, s) ds.
Р ~2
Интегрируя это неравенство (по х) по отрезку [а, Ь],
получим
ь ь
2jHS \K*(x,s)dsdx.
1 = 1 а а
Поскольку все Хп лежат на конечном отрезке [Л0, В0Ь
то всё числа К2п не больше числа В2, А^^В2, где В2 =
238
р
= max {Ло, Вб}. Заменив в сумме \ ^т все %п большим
числом В2, для любого целого р получим
р Ъ Ъ
2 W^\ \K4x,s)dsdx,
п = \ а а
со
что невозможно, ибо ряд У ^ расходящийся, и, следо-
п = 1
Р
вательно, для достаточно больших р сумма У -^ будет
п = 1
больше числа $ $ /B (*, s) ds dx.
а а
Из свойства 5 непосредственно следует, что: а) все
собственные значения можно занумеровать в порядке роста
их абсолютных величин, т. е.
I ^i! ^ IК I ^ • • • ^ \ К1 ^ • • •;
б) если спектр собственных значений бесконечный, то
| Ял | —>- со при п-+6о.
Свойство 6. Каждому собственному значению К
соответствует конечное число q линейно независимых
собственных функций (Pi(x)9 <p2(*)> ••-, 4>q(x).
Доказательство. Допустим, что некоторому
собственному значению X соответствует бесконечная
последовательность линейно независимых собственных функций
4>i(x), ф2(*)> ..., фл(дг), ...
Из неравенства Бесселя следует, что для всякого
целого р>0 выполняется неравенство
п = \ а
Интегрируя это неравенство (по х) по отрезку [а, Ь]
и учитывая нормированность собственных функций, для
любого целого рХ) получим
р b Ь Ь Ь
2 J^§ \K2(x,s)dsdx) илир^а2^ \'K2(x,s)dsdx,
п= \ а а а а
239
что невозможно. Следовательно, каждому с. з. X
соответствует лишь конечное число с. ф.
Из изложенного в § 2 гл. IX следует, что
вырожденное симметричное ядро имеет лишь конечный спектр (в нем
могут быть и кратные с. з.). Действительно, для того
чтобы однородная система линейных уравнений (D) при E* =
= 0, гл. IX) для определения коэффициентов С, имела
ненулевое решение, необходимо, чтобы определитель этой
системы D (Я) был равен нулю: D(X) = 0. Из этого
уравнения мы находим собственные значения. Очевидно, оно
имеет лишь конечное число корней. Верно и обратное:
если симметричное ядро K(x,s) имеет конечный спектр,
то оно вырожденное. Действительно, пусть Х19 А,2, ... Дл —
спектр ядра., а фх (х), ср2 (х),... ,<ря (х) — совокупность всех
соответствующих собственных функций ядра (полная система).
Рассмотрим симметричную непрерывную функцию
п
KW(x,s) = K(x,s)-2yVpWVp&'
р=\ р
Если она не равна тождественно нулю, К{п) (х, s) =fc О,
то по теореме 1 она имеет по крайней мере одно
собственное значение \х и соответствующую собственную функцию
г|)(*):
ь
i|> (х) = A \ К{п) (х, s) г|) (s) ds.
а
Функция ty(x) ортогональна .всем собственным функциям
<рд(х) ядра К(х, s), ибо
ь ь ь
\ *Ф (х) Ф<? М dx = \i^ifq (х) $ К{п) (х9 s) г); (s) ds dx =
а а а
Ь Ь
= у>\\ K{^(x, s) цд (*)ф (s) ds dx.
а а
Меняя здесь порядок интегрирования, получим
ьъ
\\K{n)(xts)^(s)(pq(x)dsdx =
а а
^(s^Li^^-i^^L^dxds.
а а У р=1 Р )
240
Поскольку функции <рр(х) ортонормированы, то
последний интеграл равен
b [Ь
\ i|> (s) < \ К (х, s) q>q (x) dx ■
Vg (g)j
ds =
о
\i и ty(x) суть с. з. и с. ф. ядра К(х, s), ибо
Ь b ( п
IX jj К(х, s)^(s)ds^=lx $ Ым(х> s)+ 2
срр(х)сррЩ
Ар i
U U v Р = I '
b
X -ф E) a's = \i \ К{п) (х, s)t|> (s) ds = -ф (*).
Мы при этом воспользовались ортогональностью функции
ф(х) к функциям фр(дс). Поскольку ip(jr) есть с. ф. ядра
K(x,s) и функции фхС*), ф2(*), .... фяМ образуют
полную систему собственных функций ядра K(x,s)f то чр(х)
должна быть линейной комбинацией функций ф^*),
ф2(х), ..., фя(дг). Но это невозможно, так как -ф(*)
ортогональна всем этим функциям. Таким образом, нельзя
предполагать, что К{п) (х9 s) е£0. Следовательно, К{п) (х9 s) s=
;==0, или
т. е. ядро К(х, s) является вырожденным. Таким
образом, справедлива
Теорема 2. Для того чтобы спектр симметричного
ядра был конечным, необходимо и достаточно, чтобы ядро
было вырожденным.
§ 2. Спектр итерированных ядер
ь
Для интегрального оператора \К{х, s)y(s)ds введем
а
краткое обозначение
Ац> = $ К (х, s) ф (s) ds.
а
241
Из определения итерированных ядер следует, что
ь
А (Лф) = Л2ф = \ К2 (х, s) ф (sLfe,
а
вообще
ь
Апц) = Л (Лл_1ф) = J #« (*» s) Ф (s)ds-
а
Для собственных функций фр (дг) и собственных
значений Хр справедливы равенства
ФР (х) = ХрА(рр = ЯрЛ (А-рЛфр) = Я^Л2фр =...
ь
... - Я£Л*фр = ty\Kn (х, s) фр (s) rfs,
из которых следует
Теорема 3. £аш фр(х) и Хр суть собственные
функции и собственные значения ядра К{х, s), то ц>р(х) и Хпр
будут собственной функцией и собственным значением
ядра Кп(х, s).
Справедлива также
Теорема 4. Если [х есть собственное значение ядра
Кп(х, s), то собственным значением ядра К (х, s) будет
по крайней мере один из корней (вещественных]) п-и
степени числа A.
Для доказательства нам понадобится
Лемма 1. Если hl9 h2, ..., hn —корни уравнения
hn = \i, то
hl + hl + ... + fcn = 0
для s = l, 2, ..., п~ 1.
Доказательство. Как известно, /*m == "j/[i£m, где
у м< — какой-нибудь корень уравнения hn = ii, % = е п.
Тогда
^+^+...+^=№(i+r+r+...+ru~i) г=
п— tsn 1
так как %Sn = 1.
Доказательство теоремы. Пусть г|)(л:) —
собственная функция ядра Кп(х, s), соответствующая
собственному значению |я.
242
Определим функции срр (х) по формулам
Суммируя эти равенства по р от р == 1 до р = п и
принимая во внимание лемму 1, получим
Из этого тождества следует, что среди функций ур(х)
имеется хотя бы одна, не равная тождественно нулю.
Нетрудно видеть, что (pp(x)^hpA(pp. В самом деле,
применяя оператор А к тождеству A) и умножая результат
на Ар, получим
hpAifp = \ (НРАЦ + /1рЛ2г|) +... + h^ А*~^) +1 Л^,
или
Мфр = Фр W - ~ Ф (*) + ~ КАп^ = <ь W'
поскольку A£ = (i и [хЛ^гр^'ф.
Таким образом, не равные тождественно нулю
функции фр(х) являются собственными функциями ядра
/С(*, s), a /ip — соответствующими им собственными
значениями. По свойству 4 ядро К(х, s) имеет лишь
вещественные собственные значения. Следовательно, функции
ФР(х), отвечающие комплексным корням hp, тождественно
равны нулю. Если п нечетно, то имеется лишь один
вещественный корень y\i==hp, который и должен быть
собственным значением ядра К(х, s), а фр (х) s= -ф (х) — его
собственной функцией. Если п четно, имеются два
вещественных корня. Пусть фхОО и ф2 (х) — отвечающие им
собственные функции. Тогда
ЧК*) = Ф1(*) + Ф2(*). B)
Таким образом, при нечетном п каждая с. ф. ядра Кп (х, s)
будет также с. ф. ядра К(ху s). При четном п каждая
с. ф. ядра Кп(х> s) будет либо совпадать с с. ф. ядра
К (х} s) (одна из функций ф2 (х) или ф2 (х) в формуле B)
может быть тождественно равной нулю), либо являться
линейной комбинацией собственных функций ядра К(х, s).
243
Это означает, что если {Хр} и {(рр(х)} суть совокупности
всех собственных значений и собственных функций ядра
К(х, s), то 1Кп\ и {ф (лг)} —совокупности всех
собственных значений и собственных функций ядра /(„(*, s)«
§ 3. Разложение итерированных ядер
В этом параграфе мы докажем, что для всякого я^З
справедливо разложение
- \Фр(*)Фр(*)
ЯЛ*> s) = ^ ^—' *'
p=i р
в котором ряд сходится абсолютно и равномерно в
квадрате а^х, s^b,
Докажем сначала, что ряд, стоящий в правой части C),
сходится абсолютно и равномерно в квадрате а^х, s^b.
Для этого оценим отрезок ряда
2|1у||фр(-)фР^I<21^2[-1г+^г]- w
р=т\ Р\ \ т \ р=т
Мы при этом воспользовались неравенством \А-В\^
<: у (А2 + В2) и тем, что |ЯР| монотонно стремятся к
бесконечности при р->оо. По неравенству Бесселя
р = 1 ^ А
где D = const и D>0. Поэтому- при q>0
m + q
1
р=т
ФР М Фр (s)
ЛЯ
D
Ii«—2I
E)
Так как |Ят|-^оо при т->оо*), то из неравенства E)
по критерию Коши и следует абсолютная и равномерная
сходимость ряда C). Пусть
оо
р = 1 Р
*) См. следствие б) из свойства 5.
244
Функция Ф{х> s) непрерывна в квадрате а^х, s^b.
Нам надо доказать, что Кп(х> s) = <P(x, s). Предположим,
что это неверно. Тогда симметричная функция Q(x, s) =
= Кп (*> s) — Ф (х, s) по теореме 1 имеет с. з. \х и с. ф. ip (*),
т. е.
Я|) (#) н== jijj Q (*> S) 1|) (S) ds.
Функция ty(x) ортогональна всем собственным функциям
фг(лг) ядра К(х, 5), так как
ь ъь
\^(*)Фг(*)^■= у>\\Q(*» s)'Ф(s)Фг(*)^sdx =
6 6 со
а а - р=\ Р
Ъ Ь
= Ц $*(*){ $*п(*. 5)Фг(х)Л--^-}Л«0,
поскольку
Ь
4)r(s) = Xnr\Kn(xi s)<pr(x)dx.
а
Функция^ (х) является собственной функцией ядра Кп (*> s),
поскольку
ъ
$(x)&3\l\Q(x9 s)ty(s)ds=z
а
= ц. $/(„(*> s)ij)(s)ds.
a
Мы воспользовались при этом ортогональностью
функции я|)(х) ко всем собственным функциям фр(л;).
Следовательно, как показано было в § 2, -ф (х) должна
быть линейной комбинацией функций <рр(х). Но это
невозможно, так как я|з (х) ортогональна всем функциям
ФР(х). Таким образом, нельзя предполагать, что
Q(*,s)=5e0.
245
Замечание. Разложение C) справедливо и для
К2{х, s) (^ = 2), а также, при некоторых дополнительных
условиях, и для К х, s). На доказательстве этого мы не
будем останавливаться*).
§ 4. Теорема Гильберта — Шмидта
Теперь мы докажем одну из фундаментальных теорем
теории линейных интегральных уравнений, имеющую
многочисленные приложения, — теорему разложим ост и.
Теорема Гильберта —Шмидта. Если функция
f (х) может быть представлена в форме
ь
f(x) = ]K(x, s)h(s)dst F)
а
где h(s) кусочно-непрерывна на [а, Ь]> то она
представляется рядом Фурье по собственным функциям ядра К {х, s),
т. е.
00
/(*)=2fp<Pp(*). G)
р-1
где
ь
U = \f (*) Фр (*) dx,
а
и этот ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке
[а, Ь].
Для доказательства нам понадобится
Лемма 2. Для того чтобы непрерывная функция Q (х)
была ортогональной ядру К(х, s), т. е.
ь
\К(х, s)Q(s)ds^O, (8)
а
необходимо и достаточно, чтобы она была ортогональной
каждой собственной функции ядра, т. е.
ь
$QW<PP(*)dx = 0 (P=1, 2, ...). (9)
а
*) См. М и х л и н С. Г., Лекции по линейным интегральным
уравнениям, Физматгиз, 1959.
246
Доказательство. Необходимость.
ь ьь
\ Q (х) Фр (х) dx = Xp\\K (xf s) фр (s) Q (л:) ds dx =
a a a
b rb ч
= К\ъЩ\К(х> s)Q(x)dx\ds = 0,
так как внутренний интеграл равен нулю.
Достаточность. Рассмотрим вспомогательный
интеграл
ь ь
J± = ^ /С4 (*, s) Q (*) Q (s) ds dx.
Он равен нулю, так как, используя разложение C) для
п = 4 и равенства (9), получим
Ji = ^ll^LQm{s)dsdx =
а а р= 1
си и и
=--^1г\ <pp(x)Q(x)dx J <tP(s)Q(s)ds = 0.
р = \ а а
Ь
Поскольку /С4 (л:, s) = $ /С2 (*» О К2 (*» s) d/, то
а
ЬЬ ,Ь \
О = ^ == Ш $/(а (*, /)/Са(*, s)dAQ(*)Q(s)rfsd*==
а а \ а )
= UK /C2(x, t)Q(x)dx\\\K2(t, s)Q(s) ds U/ =
6 rb \2
= mK2(^, 0QW^4 л.
a [a J
Следовательно,
$K2(*, /)Q(*)d* = 0.
A0)
Мы при этом воспользовались симметричностью ядра
К2(Ху s). Умножая тождество A0) на Q(t) и интегрируя
результат (по /) по отрезку [а, Ь], получим
ьь
\\К2(х, t)Q(x)Q(t)dxdt = 0.
247
Заменяя в этом равенстве К2 (х, t) интегралом $ К (х, I) X
а
X K(l> t) dl и производя преобразования, аналогичные
произведенным выше, получим
ь
\Kix, t)Q(x)dx = 0.
а
Лемма доказана.
Замечание. Коэффициенты Фурье fp функции f (х)
равны Ар/Яр, где hp — коэффициенты Фурье функции h(s).
Действительно,
ь ь ь
fp = \f (х) фр (х) dx = $ ФР (х) \ К (х, s) ft (s) ds dx =
a a a
Ь b b
= V ft (s) \ К (x, s) фр (x) dxds= \ ft (s)—^— ds = -^-,
поэтому вместо ряда G) можно рассматривать ряд
!(х)=2тръМ- A1)
Доказательство теоремы. Докажем сначала
абсолютную и равномерную сходимость ряда A1). По
неравенству Коши—Буняковского имеем
n + q . /~n+q /~n+q
2lJ>H<l/ 2^|/ 24Д. A2)
р=п р=п р=п ^р
По неравенству Бесселя
ОО Ь ' ОО « / \ ^
Следовательно, ряд ^] ftp сходится, поэтому его отрезок
2 Ар может быть сделан меньшим e2/D (где е — произ-
вольное число), если п взять достаточно большим. Отсюда
248
для достаточно больших п
n + Q h
У U~ фр (х) < 8 для всех х е [a, b]t
что и означает абсолютную и равномерную сходимость
ряда A1). Пусть
°° h
Q(x)==2id(PpW~/(x)-
Функция Q(x) непрерывна на [а, Ь]. Она ортогональна
всем функциям Ц)р{х). Действительно,
b Ь ( оо Л
^ Q{x)<pr(x) dx = И 21 Y-VpW-f (xH<Pr (x)dx =
Следовательно, согласно лемме она ортогональна ядру
К(х, s), т. е.
ь
\К(х, s)Q(x)dx = 0. A3)
а
Далее, в силу ортогональности функций Q(x) и (рр(х)
Ь Ъ / оо >
ь
= -\Q(x)f(x)dx.
а
Заменяя здесь f(x) по формуле F) и используя формулу
A3), получим
ь ь ь
lQ*(x)dx = — \Q(x)\K(x, s)h(s)dsdx =
а а а
Ь Ъ
= — \ h (s) \К (х, s)Q (x) dx ds = 0.
а а
Следовательно,
оо
QW= 2 -гФр(*)-/<*) = 0.
p=i P
Теорема доказана.
249
§ 5. Разложение решения неоднородного уравнения
Пусть в уравнении
ь
<р(х) = Х\К(х, s)<?(s)ds + f(x) A4)
а
X не равно ни одному из собственных значений. Тогда
по 1-й теореме Фредгольма это уравнение имеет
единственное решение, которое можно записать в виде
Ф (*)=/(*)+*£(*), A5)
ь
где g(x) = \K(x, s)q>(s)ds.
а
По теореме Гильберта — Шмидта функция g(x) может
быть представлена рядом по собственным функциям ядра
К(х, s):
оо
£(*)= 2! СрФР(х). A6)
Подставим в уравнение A4) вместо ср(*) ее выражение
по формуле A5), получим
оо
fi*) + b %CpVp(x) =
b , оо >
= f(x) + X\K(x,s)\f(s) + X £ Cp<pp(s)\ds9
a { p=\ J
ИЛИ
со b со b
2 СрФр {x) = \K (x, s) f (s) ds + X£Cp]K (x, s) cpp (s) ds.
p — 1 a p'= 1 a
Применяя теорему Гильберта -г- Шмидта к функции
ь
\К(х, s)f{s)ds
а
Ь
и заменяя § К (х, s) фр (s) ds через фр (х)/Хр> получим
а
оо оо со
^Vp iari Ар
р = \ р=\ р==1
250
откуда
r> fP i A, r> r> 'P
^==V + VCp' или C'=V=5T'
Таким образом, искомое решение уравнения A4)
представляется следующим абсолютно и равномерно
сходящимся рядом:
со
<p(x)=f(x) + k 2 т^ггФрМ- A?)
Если X равно некоторому собственному значению Хг,
которому отвечают собственные функции <рг(*), Фг+i (*)> •••
. ••> Фг+^W» то ЯГ = ЯГ+1 = ... = ЯГ+^.
В этом случае, как видно из формул для определения
коэффициентов Ср9 должны выполняться равенства fr =
= fr+l=.'. = fr+q = 0, ИЛИ
ъ
\f(x)q>r+t(x)dx = 0 (/-0,1,2,..., <?),
а
т. е. функция f(x) должна быть ортогональной всем
собственным функциям ядра, соответствующим собственному
значению Хг. При этом коэффициенты Сг, Сг+1, ..., Cr^q
не определяются (остаются произвольными), и решение
уравнения A4) может быть записано в виде
Ф (х) = Сгцг (х) + СГт1фг+1 (*) + ...+ Сг+д(рг+д (х) +
+ K%j£br<PP(x)+f(x), A8)
р
где 2' означает суммирование по всем значениям р, кроме
р = г, г+1, ..., r + q.
Замечание. Уравнение с несимметричным ядром
вида
ь
Ф (х) = к \ К (х, s) p (s) ф (s) ds,
где р (s) — известная функция, p(s)^0 на [а, 6], и
/((*, s) —симметричная функция, очевидно, приводится
к уравнению с симметричным ядром относительно
функции я]; (*) = ср (х) У р{х):
ь -
ф (х) = А \ К (х, s) Ур (х) р E) г|> (s) <fe.
а
251
§ 6. Теорема Стеклова
В § 5 гл. X было показано, что краевая задача
L[O] + XpO»^-[*O']-^ + XpO = 0l A9)
«!<&' @) - Р1Ф @) = 0, а2Ф' (/) + Р2Ф @ = 0, B0)
эквивалентна интегральному уравнению
ь
- 0>(x) = k\G(x, s) p(s)Ф (s) rfs, . B1)
а
ИЛИ
¥(*) = *,$/(!(*, s)W(s)ds, B2)
где Ki (х, s) = G (x, s) Vp(x)p(s)9 Y (*) = Ф (x) УрЩ, a
G(xf s) — функция Грина краевой задачи A9)—B0).
Следовательно, с. з. и с. ф. краевой задачи A9)—B0)
совпадают с с. з. и с. ф. ядра Ki{x> s). Это
обстоятельство позволяет получить теорему Стеклова из теоремы
Гильберта — Шмидта. Действительно, пусть / (х) есть
функция класса А (см. гл. IV, § 2), тогда
Lme*£W]-qf = -F(x)
будет интегрируемой функцией и по 1-й теореме
Гильберта (см. гл. VII, § 3)
ъ
/(*) = $ G(x, s)F(s)ds.
а
Следовательно, по теореме Гильберта — Шмидта / (х) может
быть представлена абсолютно и равномерно сходящимся
рядом Фурье по собственным функциям {Фр(#)} краевой
задачи A9)—B0):
со
!(х)=£СрФр(х).
р=[
Таким образом, доказана теорема разложимости Стеклова
для одномерного случая (гл. IV, § 2).
252
§ 7. Классификация ядер
Рассмотрим еще одно применение теоремы Гильберта —
Шмидта. Среди симметричных ядер особый интерес
представляют положительно определенные (соответственно
отрицательно определенные) ядра. Ядро K(x,s) называется
положительно определенным (соответственно отрицательно
определенным), если для всякой кусочно-непрерывной
функции h(x) интегральная форма
ь ь
/ = ^Х(х, s)h(x)h(s)dsdx B3)
а а
положительна (соответственно отрицательна).
Нетрудно показать, что необходимым и достаточным
условием положительной (отрицательной) определенности
ядра К(х> s) является условие, чтобы все его собственные
значения Кр были положительными (отрицательными),
ь
Действительно, функция / (х) = $ К (х, s) h (s) ds no тео-
а
реме Гильберта — Шмидта представляется равномерно
сходящимся на [ау Ь] рядом:
b со
/(*)=$*(х, s)h(s)ds=2rpУ?<*>• B4)
а р—1
Умножая обе части этого равенства на h (x) и интегрируя
результат (по х) по отрезку [а, Ь], получим
b Ь со 2
J=[[ K(x, s)h{s)h{x)dsdx=^ih^-. B5)
а а ч р=1
Следовательно, если все с. з. Хр положительны
(отрицательны), то и форма B3) положительна (отрицательна).
Если форма B3) положительна для всякой
кусочно-непрерывной функции h(x), то для h(x) = yn(x) формула B5)
дает
ь ь
\ \ К (ху s) ф„ (s) фЛ (х) dsdx = j-.
а а
Следовательно, Ля > 0. Аналогично для отрицательной
формы. Для положительно определенных (отрицательно
определенных) ядер справедлива
253
Теорема 5. Если ядро /((#, s) положительно
(отрицательно) определенно и непрерывно по совокупности
переменных х, s в квадрате а^х, s^6, то оно определяется
равномерно сходящимся рядом
со
v / ч V ФР М ФР &
р=1
где фр а %р —собственные функции и собственные значения
этого ядра.
Мы не будем проводить доказательство этой теоремы *).
Следует отметить, что все теоремы и факты,
относящиеся к уравнениям Фредгольма, описанные в этой главе
и в § 5 гл. IX, справедливы также для произвольных
самосопряженных операторов Л и, в частности, для
многомерного случая и притом для ядер вида
К(Р, Q) = H(P, Q)/\PQ\a, a<rf/2,
где Н(Р, Q) — непрерывное ядро, \PQ\-расстояние между
точками Р и Q, d — размерность пространства*).
§ 8. Спектр симметричных ядер, заданных
на бесконечном промежутке
Мы рассмотрели интегральные уравнения с конечным
промежутком (областью) интегрирования [a, b]. Для
интегральных уравнений с бесконечным промежутком
интегрирования изложенные выше результаты, вообще говоря,
не имеют места. Так, для симметричных ядер, заданных
в ограниченной области, были установлены следующие
факты:
1) спектр такого ядра дискретный;
2) спектр невырожденного ядра бесконечный;
3) каждому собственному значению соответствует
конечное число линейно независимых собственных
функций.
4 Для симметричных ядер, заданных на бесконечном
промежутке, эти утверждения, вообще говоря, уже
неверны, как показывают приводимые ниже примеры.
*) См. Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных
уравнений, изд. 3-е, «Наука», 1965.
254
Пример 1. Уравнение
оо
ф (х) = h ^ sin (xs) ф (s) ds B6)
о
имеет лишь два собственных значения: Я1=1///я, Х2 — —V2/п>
и каждому из них соответствует бесконечное множество линейно
независимых собственных функций.
Для доказательства этого воспользуемся известными формулами:
оо
С s sin (xs) Л я
О
где л:>0 и а > 0. Складывая и вычитая эти формулы, получим
00 г - п —
СО _
а2 + х2
Таким образом, Х1=|/'2/я и ^2 — —]А2/л суть собственные
значения уравнения B6), а
<Pi М
= ]/"|е-+^ и Ф2М = -|/"-^-«
а2-[-л:2
при любом значении параметра а —отвечающие им собственные
функции. Функции фх (х) (равно как и функции ф2 (*)), отвечающие
различным значениям параметра а, очевидно, линейно независимые.
Следовательно, каждому из собственных значений Xt и Х2 отвечает
бесконечное множество линейно независимых собственных функций. Теперь
покажем, что уравнение B6) не имеет других собственных значений. Для
этого в правую часть уравнения B6) подставляем cp(s), определяемое
этим уравнением. Получим
со со
Ф (л:) = К2 J sin (xs) J sin (st) ф (/) dt ds.
о о
Сравнивая эту формулу с интегралом Фурье
со оо
ф (х) = — \ sin (xs) \ sin (st) ф (t) dt ds,
находим, что Д,2 = 2/я.
255
Пример 2. Рассмотрим уравнения вида
со
Ф (х) = X \ Н ( х — s !) ф (s) ds, B7)
— 00
где Н (г) обладает следующими свойствами:
1) непрерывна и положительна для всех z>?0;
2) существует такое положительное число Л (Л^оо), что интег-
оо
рал f H(z)chazdz сходится для всех положительных а, меньших Л
о
(а < Л), и расходится для а = Л.
Для такого уравнения можно найти все с. з. и с. ф. Будем
искать решение в виде (р(х)=еах. Подставляя эту функцию в
уравнение B7), получим v
X СО
е^ = Х $ H(x-s)e*sds + X^ H(s-x)e*sds,
— со х
или, после замены переменной интегрирования (x — s = z в первом
интеграле и s — x — z во втором),
со со
ео*=:Ц Н {z)e^x~Z) dz + X\ Н (z) eaix+z> dz,
откуда
1=2X^ H{z)c\iazdz.
о
Таким образом, при
X = X (а) = [ 2 $ Я (z) ch a* dz | B8)
функция у(х)—еах, где а < Л, будет решением уравнения B7), т. е.
его собственной функцией, отвечающей собственному значению X =
= Х(а).
Аналогично находим, что для а < Л функция е ал: также будет
собственной функцией уравнения B7), отвечающей тому же
собственному значению Х — Х (а) = Я(— а).
Поскольку ch az монотонно возрастает по а, то X (а),
определяемое формулой B8), монотонно и непрерывно убывает в интервале
/со ' V1
0^а<Л от значения Я. @) = | 2 С H (z) dz\ до значения X (Л) = 0.
V 0 /
Таким образом, каждому значению X е [О, X @)] соответствует вполне
определенное значение а (а ^ 0), определяемое из формулы B8),
а следовательно, и решения уравнения- B7), равные
Сгеах + С2е-ах,
где Сх и С2 —произвольные постоянные. Собственному значению
Х@) отвечает решение
еах е~ах
Ф(*)= lim KZ = *.
в чем легко убедиться и непосредственной подстановкой.
256
/ 00 \-1 _
Если %> 2 J H{z)dz\ , то надо искать решение в виде е^*$х.
о
Тогда подстановкой этих функций в уравнение B7) находим, что
значениям Я == Я (гР) = Я (— ig), где
МФ)=М-ф)=— >• !
2 $ Я (г) cos az dz 2 $ Я (г) dz
о о
отвечают вещественные решения уравнения B7) cos jk и sin fix.
Таким образом, спектр уравнения B7) сплошной: все
неотрицательные \ являются его собственными значениями. Так, если взять
уравнение
со
ф(х) = Я j £T-l*-"s1q>(s)dsf B9)
— со
то здесь Н(г) = е-*9 к (а) = 0,5 A-а2), А,@) = 0,5 и Л = 1.
Следовательно, для Я, е @; 0,5) решениями уравнения B9) будут
функции е±*1~^^*1_жля X = 0,5-—функция ф(*) = *:, а для ^>0,5 —
функции cos (V2X— 1 х) и sin (К2Я—1 *), так как Я (i'P) = 0,5 A+Р2)-
Мы не рассматривали здесь сингулярные
интегральные уравнения, имеющие многочисленные
приложения. Читателя, интересующегося такими уравнениями,
отсылаем к специальной литературе *).
*) Михлин С. Г., Интегральные уравнения и их приложения
к некоторым проблемам механики, математической физики и техники,
Гостехиздат, 1949. Мусхелишвили Н. И., Сингулярные
интегральные уравнения, «Наука», 1968.
9 В. Я. Арсенин
Глава XII
ПОНЯТИЕ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ.
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПЕРВОГО РОДА
§ 1. Понятие корректно поставленных и некорректно
поставленных задач
1. Будем рассматривать задачу нахождения решения х
уравнения Ах = и, в котором оператор А и правая часть и
известны.
Различают корректно поставленные и некорректно
поставленные задачи. Впервые эти понятия ввел в
рассмотрение Жак Адамар.
Задача определения х (решения) из множества F по
«исходным данным» и из множества £/, x = R(u),
называется корректно поставленной на множествах (F, £/),
являющихся метрическими пространствами с
расстояниями р/?(*!, х2) и Pu(ui> ^г)> где xly x2^F, ulf u2^U,
если удовлетворяются требования:
1) для всякого элемента и^ U существует решение х
из F;
2) решение определяется однозначно;
3) решение должно непрерывно зависеть от входных
данных, т. е. для всякого е>0 можно указать такое
6(e), что если pu(ulf и2)^8 и x1 = R(u1), x2 = R(u2)t то
рИ*1> *2)^е. Свойство 3) называют также свойством
устойчивости задачи.
Задачи, не удовлетворяющие перечисленным
требованиям, называются некорректно поставленными.
Ниже приводятся примеры некорректно поставленных
задач, представляющих как основной математический
аппарат, так и приложения, позволяющие судить о широте
этого класса задач и о его прикладном значении.
258
Пример 1. Интегральное уравнение Фредгольма
первого рода со сколь угодно гладким ядром K(t, у) (даже
аналитическим):
ь
\K{U y)x(y)dy = u(t), c^t^d. A)
а
Решение ищется в классе непрерывных функций (F).
Уклонение правой части и (t) будем оценивать в метрике L2,
а уклонение х (у) — в метрике С, т. е.
(d \ 1/2
Ри (и19 и2) = U | Mi (t) - и2 @ |2 dt\ ,
рИ*ь x2)= sup \x±(y)-x2(y)\.
Пусть для некоторой правой части и = иг (t) функция
Х\{у) является решением уравнения A). Если вместо
функции их (t) нам известно лишь некоторое ее приближение,
мало отличающееся (в метрике L2) от их (/), то речь может
идти лишь о нахождении приближенного к х± (у) решения
уравнения A). При этом правая часть u(t) может не
обладать достаточной гладкостью. Она может быть
получена в эксперименте, например, с помощью самописца и
иметь угловые точки. При такой правой части
уравнение A) не имеет решения, так как ядро K(t,y) является
гладкой функцией. Следовательно, в качестве
приближенного к хг(у) решения уравнения A) нельзя брать точное
решение уравйения A) с приближенно известной правой
частью иффи^). В этих условиях не выполняется
требование 1) корректности задачи. Возникает
принципиальный вопрос: что надо понимать под приближенным
решением уравнения A) с приближенно известной правой
частью? Кроме того, задача A) не обладает свойством
устойчивости, т. е. не выполняется требование 3)
корректности задачи. В самом деле, функция х2 (у) = хг (у) +
+ Б sin он/ будет решением уравнения A) с правой частью
ь
и2 (t) = u1(t) + B\K (t, у) sin ay dy.
a
Очевидно, каково бы ни было число В, при
достаточно больших значениях со уклонение
(dVb 12 U/2
p£/(tfi, И2)НЯпШК(*, У) sin coy ф dt\
\c\-a А )
9*
259
можно сделать сколь угодно малым, в то время как для
соответствующих решений хх{у) и х2(у)
Pf(xi, x2)= sup |5sincor/[ = |B|.
Таким образом, задача A) является некорректно постав-
ленцой. К таким уравнениям приводятся многие задачи
физики и техники, например задачи спектроскопии
(определение распределения плотности энергии излучения по
спектру по результатам измерения экспериментального
спектра), обратные задачи астрономии и другие.
Описанная в примере^! ситуация является типичной
для некорректно поставленных задач.
Пример 2. Задача .численного дифференцирования функции
и (t), известной приближенно. Пусть Xi(t) есть производная функции
MiW« Функция и2 (t) = иг (t)-\-В sin at в метрике С отличается от
Ui(t) на величину рс (иг, и2) = \В | при любых значениях со. Однако
производная x2(t) — u'2(t) отличается от хг (t) в метрике С на
величину | ®В |, которая "может быть произвольно большой при
достаточно больших значениях со.
Таким образом, эта задача не обладает свойством устойчивости
и, следовательно, является некорректно поставленной.
Пример 3. Численное суммирование рядов Фурье, когда
коэффициенты известны приближенно в метрике /2. Пусть fx (t) =
оо
= 2 ап cos nt. Если вместо ап брать коэффициенты сп — ап + —
п=о п
00
для п^\ и cQ = a0> получим ряд /2@= 2 cncosnt. Коэффициенты
л=о
этих рядов отличаются (в метрике 12) на величину
которую выбором числа 8 можно сделать сколь угодно малой. Вместе
00
с этим разность f2 @ —/i @ = е \ — cos nt может быть сколь угодно
п=\
большой, а при 2 = 0 последний ряд расходится. Таким образом,
если уклонение суммы ряда брать в метрике С, суммирование ряда
Фурье не является устойчивым.
Пример 4. Задача Коши для уравнения Лапласа в двумерном
случае (пример Адамара). Она состоит в нахождении решения
уравнения Аи (х, у) —0 по начальным данным, т. е. в нахождении
решения, удовлетворяющего условиям
u(x,0) = f(x), ■£-] =<р(*), — oo<*<coft
где f (х) и ф (х) — заданные функции.
260
Если положить /j_ (я) =5 0, щ(х) =—sin ах, то решением задачи
Коши будет функция их (х, y) = -j sin ax • sh ay (a > 0).
Если положить f2 (х) — у2 (х) = 0, то решением такой задачи
Коши будет функция и2 (ху у) = 0.
Если уклонения начальных данных и решений оценивать в
метрике С, то будем Ихметь
Pctfi. f2) = sup | /х (л:) — f2 (л:) [ == О,
х
?с (Фи Фа) = SUP I Ф1(*) - Ф2 М I = 1/fl-
л:
Последняя величина при достаточно больших значениях а может
быть сделана сколь угодно малой- Однако уклонение решений
9с (ui> «2> = SUP ! "i (х* У) — и2 (*» У)! =
= sup — sin aa? • sh ш/ = —т sh ay
#; #^0 I a I a
может быть произвольно большим при достаточно больших
значениях числа а. Таким образом, эта задача не обладает свойством
устойчивости и, следовательно, является некорректно поставленной.
Пример 5. Задача аналитического продолжения функции,
известной на части области, на всю область.
Пусть D — конечная область, Е — замкнутая подобласть,
принадлежащая области D. Тогда задача аналитического продолжения
функции, заданной на множестве Е, на всю область D является
неустойчивой и потому некорректно поставленной. В самом деле,
пусть z0 — точка на границе области D, расстояние которой до Е
равно d>0. Пусть f1(z) — аналитическая в D функция, ограничен-
ная по модулю. Функция f2 (г) = /t (z) -] , где е—~ заданное по-
z — z0
ложительное число, также аналитична в D. На множестве Е эти
функции отличаются одна от другой на величину e/(z — z0), модуль
которой на Е не превосходит е/д\ т. е. | f2 (z) — ft (z) \ <^ e/d. Величина
e/d может быть сделана произвольно малой путем выбора
соответствующего значения числа е. Однако в области D разность функций
/2 (z) — fi (z) = е/ (г — z0) не ограничена по модулю.
Некорректно поставленной является также задача
решения системы линейных алгебраических уравнений
в условиях равного нулю определителя системы (плохо
обусловленные системы) и многие другие.
2. Широким классом некорректно поставленных задач,
возникающих в физике и техгаке, являются так
называемые обратные задали. К ним относятся задачи
определения физических величин по результатам измерения их
проявлений.
261
Пусть изучаемый объект (явление) характеризуется
элементом хт (функцией, вектором), принадлежащим
многообразию F (xt^F). Часто Хт недоступен для прямого
изучения и изучается некоторое его проявление Ахт — ит,
ut^AF, где AF — образ множества F при отображении,
осуществляемом оператором А. Очевидно, уравнение Ах = и
имеет решение, принадлежащее F, только для таких
элементов и, которые принадлежат множеству AF. Элемент ит
обычно получается путем измерений и потому известен
нам приближенно. Пусть и—это приближенное значение.
В этих случаях речь может идти лишь о нахождении
приближенного (к хт) решения уравнения
Ах = и. B)
При этом и, вообще говоря, не принадлежит множеству AF.
Оператор А во многих случаях является таким, что
обратный ему оператор Л-1 не является непрерывным
(например, когда А — вполне непрерывный оператор, в
частности интегральный оператор примера 1). В этих условиях
нельзя в качестве приближенного решения брать точное
решение уравнения B) с приближенной правой частью,
т. е. нельзя в качестве приближенного решения брать
элемент х = А~ги, так как:
а) такого решения может не существовать, поскольку
и может не принадлежать множеству AF (не выполняется
требование 1) корректности);
б) такое решение, если даже оно существует, не
будет обладать свойством- устойчивости, поскольку
обратный оператор Л не является непрерывным, в то время
как условие устойчивости решения задачи B) обычно
является следствием ее физической детерминированности,
и потому приближенное решение должно обладать этим
свойством. Таким образом, не выполняется требование
3) корректности. Следовательно, задача B) является
некорректно поставленной. Отсутствие устойчивости во
многих случаях делает невозможной физическую
интерпретацию результатов измерений. Выполнение этого условия
необходимо также для использования численных методов
решения задачи по приближенным «исходным данным».
Таким образом, для некорректно поставленных задач
возникает принципиальной важности вопрос: что надо понимать
под приближенным решением таких задач? Если дан
ответ на этот вопрос, то возникает также задача
нахождения таких алгоритмов построения приближенных решений
262
некорректно поставленных задач, которые обладают
свойством устойчивости к малым изменениям «исходных данных».
В основе возможности нахождения таких алгоритмов
лежит идея использования различной дополнительной
информации об искомом решении, позволяющей сузить
класс допустимых функций (возможных приближенных
решений) так, что задача нахождения приближенного
решения в таком суженном классе F1 (F1czF) становится
устойчивой к малым изменениям «исходных данных».
§ 2. Кратко о некоторых методах решения некорректно
поставленных задач
1. Приближенные решения многих некорректно
поставленных задач вида B) строились давно. Основным
способом построения решений был метод подбора. Он состоит
в том, что вычисляется левая часть уравнения B) Ах для
некоторого подмножества (набора) Ft элементов х,
принадлежащих F, т. е. решается «прямая задача», — и в
качестве искомого приближенного решения выбирается такой
элемент хг из Fl9 для которого невязка ри (Ах, и)
минимальна (на F^. Обычно в качестве Fx выбирается
семейство элементов х, зависящих от конечного числа
числовых параметров так, что F1 является замкнутым
множеством конечномерного пространства. Если дополнительно
известно, что искомое решение Хт е^ и и = ит, то в этом
случае inf pu(Ax, ит) = 0 и достигается эта нижняя грань
на точном решении уравнения Ах = ит- При этом
возникает вопрос: если {хп} есть последовательность элементов,
на которой невязка ри(Ахп, ит) стремится к нулю при
п-+сю, то будет ли последовательность {хп} сходиться
к точному решению Хт? Если дополнительно известно,
что каждый параметр изменяется в конечных пределах,
то Fx будет компактным и {хп} будет сходиться к Хт, т. е.
метод подбора позволяет получить в этом случае
приближенное решение.
В других условиях метод подбора, вообще говоря,
не годится для построения приближенных решений.
Выяснить условия применимости метода подбора можно,
опираясь на следующую топологическую теорему.
Теорема о непрерывности обратного
отображения. Если отображение F -> U компактного
множества F непрерывно и взаимно однозначно, то обратное
отображение U-*F также непрерывно.
263
Поэтому, если подмножество Fx является компактным
и отображение и = Ах непрерывно и взаимно однозначно,
то из ри(Ахп, ит)п^ооО следует pF (хп, хт)-+0 при /г->
-> сю.
Таким образом, если решение ищется на компактном
множестве, то метод подбора устойчив и им можно
пользоваться для нахождения приближенных решений
уравнения B).
В 1963 г. А. Н. Тихонов разработал новый подход
к решению некорректно поставленных задач,
позволяющий решать широкий круг таких задач.
В основе этого подхода лежит принадлежащее
А. Н. Тихонову *) фундаментальное понятие регуляризи-
рующего оператора.
Если задача B) является некорректно поставленной
(не обладает свойством устойчивости) и вместо точного
значения правой части ит мы имеем элемент и&, для
которого ри(ит, ^б)^б, то очевидно, что приближенное
решение х& не может быть определено как точное решение
уравнения B) с приближенной правой частью и = щ.
Элемент х§ можно определить только с помощью
оператора, зависящего от параметра, значения которого надо
брать согласованными с точностью «исходных данных» щ.
Эта согласованность должна быть такой, чтобы при
приближении правой части щ уравнения B) к точному
значению ит, т. е. при 8-^0, приближенное решение х&
стремилось бы к искомому точному решению хт уравнения
Ах = ит.
Определение. Оператор R(u,a), зависящий от
параметра а, называется регуляризирующим для уравнения B),
если он обладает свойствами:
1) определен для всякого а>0 и любого и е U;
2) если Ахт — ит, то существует такое а (б), что для
любого &р>0 найдется такое 6(e), что если ри(ит, ^б)^
<6(е), то Pf(xt, *а)<е, где xa = R(u6, оь)иа = а(8>.
2. По Тихонову, в качестве приближенного решения
уравнения B) надо брать элемент ха = R («а, а),
полученный с помощью регуляризирующего оператора R(u, a),
где а = а (б) согласовано с точностью «исходных данных»
&б и ри(и>т, и&)^8. Это решение называется регуляризован-
ным решением уравнения B). Числовой параметр а
называется параметром регуляризации.
*) Тихонов А. Н., ДАН СССР 151, № Зи 153, № 1 A963).
264
Очевидно, что всякий регуляризирующий оператор
вместе с выбором параметра регуляризации а,
согласованного с точностью «исходных данных» б, а = a (б), определяет
устойчивый метод приближенного построения решений
уравнения B).
Если известно, что ри(ит, и&)^8, то, согласно
определению регуляризирующего оператора, можно так выбрать
значение параметра регуляризации а = а (б), что при б -+-0
регуляризованное решение х* (g) == R (и$, а (б)) стремится
к искомому точному решению хт, т. е. рр(хт, **F))->0
(в метрике F). Это и оправдывает предложение брать в
качестве приближенного решения уравнения B)
регуляризованное решение.
Таким образом, задача сводится:
а) к нахождению регуляризирующих операторов;
б) к оценке параметра регуляризации а
по-дополнительной информации о задаче, например по величине
уклонения правой части щ от ее точного значения.
В математической литературе описанный метод
построения приближенных решений называется методом
регуляризации.
3. А. Н. Тихонов указал и способ построения
регуляризирующих операторов R(u, а). Он основан на
вариационном принципе и состоит в следующем.
Пусть Q [#] — некоторый неотрицательный функционал,
определенный на подмножестве Fx множества F и такой,
что для всякого числа d>0 множество Fd элементов %
для которых Q [x] ^ d, компактно в F. Нетрудно видеть,
что выбор функционала Q [х] неоднозначен. Пусть известно,
кроме того, что xt^Fx и уклонение правой части щ от
точного значения ит не превосходит б, т. е. ри(и>т> и^)^
^б. Тогда приближенное решение надо искать в классе Q$
элементов х9 для которых рЬ(Ах, и$)^82. Но это
множество Qa не является компактным. Оно слишком широкое.
Его надо сузить. Поэтому будем рассматривать только
такие элементы множества Qe, на которых определен
заданный функционал Q [х], т. е. будем рассматривать лишь
элементы множества F2 = Q& f] ^i-
Среди элементов этого множества найдем такой (такие),
который минимизирует функционал Q [х]. Задача
нахождения такого элемента есть задача на условный экстремум,
и она сводится к минимизации функционала.
Ма [иб, х] = ру {Ах, щJ + aQ [x]. C)
265
Пусть ха —элемент, на котором функционал Ма
достигает минимума. Элемент ха можно рассматривать как
результат применения к правой части и ~и& уравнения B)
некоторого оператора R19 зависящего от параметра а, т. е.
xa = R1{u6, а).
Для широкого класса уравнений B) А. Н. Тихонов
показал*), что оператор Rxiu, а) является регуляризиру-
ющим, и, следовательно, в качестве приближенного
решения уравнения B) с правой частью и = щ можно брать
элемент
• Xa = Ri(U(>, a). D)
Мы не будем приводить доказательства этого
утверждения.
Таким образом, в качестве приближенного решения
задачи B) берется решение другой задачи (задачи на
минимум функционала Ма), «близкой» в некотором смысле
к исходной (поскольку число а мало).
Следует отметить, что, в то время как исходная
задача B) не обладает свойством устойчивости, задача
минимизации функционала Ма[и, х] обладает устойчивостью
к малым изменениям «исходных данных» и. Устойчивость
(при переходе от задачи B) к задаче минимизации
функционала Ма) была достигнута с помощью введения в
рассмотрение функционала Q[x]. Он играет, таким образом,
стабилизирующую роль. Функционалы Q [х] называют
стабилизаторами задачи B).
4.^ Применим этот метод к интегральному уравнению
Фредгольма первого рода.
Пусть А есть интегральный оператор с ядром K{t, s).
Тогда уравнение NB) имеет вид
ъ
\K(t, s)x(s)ds = u(t)f c^t^d. E)
а
В качестве Q [х] возьмем функционал вида Q [х] =
ь
= § \цх (s) ^j + <7o (s) *2} dst где qx (s) и qQ (s) - заданные
a
неотрицательные функции, <7i(s)^0, <7o(s)S^O **). В этом
*) Тихонова. Н., ДАН СССР 151, №3; 153, № 1A963) и 156,
№ 3 A964).
**) В вычислительной практике обычно полагают qx (s) = 1 и
q0 (s) == 1 или qQ (s) = 0.
266
случае условие равенства нулю первой вариации
функционала Ма[и, х] имеет вид
ь
$(НжМтбг]-*<'>*<8>} +
а
Ь __
^K(s,y)x(y)dy-B(s))v(s)ds + aqAs)x'(s)v(s)\ba==0.(b)
а
Здесь v (s) — произвольная вариация функции x(s) такая,
что x(s) и x(s) + v(s) принадлежат классу допустимых
функций
d d
K(syy)^\K (t, s) К (tf у) dU В (s) - $ К (t, s) и (t) dt. G)
с с
Условие F) выполняется, если
ь
-л{ъ[я^)^]-яМх)+ \K{s, y)x{y)dy = B(s) (8)
а
И
\(s)x'(s)v(s)\ba = 0. (9)
Так, если нам известны значения искомого решения
x(s) уравнения F) на одном или обоих концах отрезка
[а, Ь], то допустимыми функциями при нахождении
минимума функционала Ма[и, х] можно брать лишь функции
x(s), имеющие обобщенную производную, интегрируемую
вместе с ее квадратом, и принимающие заданные
значения на этих концах. В этом случае функции v(s)
обращаются в нуль на этих концах и условие (9)
выполняется.
В описанном случае задача нахождения регуляризо-
ванного решения xa(s) сводится, таким образом, к
нахождению решения интегро-дифференциального уравнения (8),
'удовлетворяющего условиям
x(a) = xlf x(b) = x2, A0)
где Xi и Jc2 — известные числа.
Если значения искомого решения х (s) на концах s = a
и s = b неизвестны, то условию (9) можно удовлетворить,
полагая
xr(a) = xr(b) = 0t A1)
267
В этом случае в качестве регуляризованного решения
уравнения E) надо брать решение уравнения (8),
удовлетворяющее условиям A1).
Возможны, очевидно, и другие краевые условия,
которым должно удовлетворять решение уравнения E),
например условия вида
х(а) = х1 х'(Ь)=0 A2)
или
х'(а) -0, х(Ь) = х2. A3)
Замечание. Искомое решение уравнения E) может
не удовлетворять условиям (И), которым мы подчиняем
решение уравнения (8). Надо иметь в виду, что мы строим
приближенное решение уравнения E). Если производная
искомого решения уравнения E) нам известна, например,
при s = a и равна g, то, полагая в уравнении E) x(s) =
— x(s)-\-g-s, получим уравнение такого же вида (но
с другой правой частью) для функции x(s). Искомое
решение x(s) будет удовлетворять условию х? (а) = 0.
Задача (8), A0) или (8), A1) решается численно'на
ЭВМ. При этом уравнение (8) заменяется его конечно-
разностной аппроксимацией на заданной сетке.
Если брать равномерную сетку с шагом h, то
уравнение (8) заменяется системой конечноразностных
уравнений вида
- -§■ {<7i, A-i**-i + Яг. A+i**+i - (<7i, к + Яи k-i) *k - h2q0f kx^ +
+ 2 KkirXr = Bk, Л=1,2 п. A4)
r = 0
Здесь qlfk = q1(sk), Яо,к = Яо($к), Bk = B(sk), sk = k-h,
s0 = a, sn = b, Kk, r — коэффициенты интеграционной
формулы, по которой интеграл в уравнении (8) заменяется
интегральной суммой. Если искомое решение уравнения
(8) должно удовлетворять краевым условиям A0), то
полагаем в системе A4) #o = ^i и хп = х2.
Если же искомое решение подчинено условиям A1),
то в системе A4) число k должно принимать
значения k = 0,1,2,..., п. При этом полагаем х^ = х0 и
Мы описали сведение уравнения (8) к системе
линейных алгебраических уравнений при нахождении решения
на равномерной сетке с шагом /г.
268
Иногда целесообразнее искать решение на
неравномерной сетке с узловыми точками sk и с не равными друг
другу расстояниями между соседними узловыми точками
hk = sk+1 — sk и hk¥=hk+1. В этих случаях уравнение (8)
аппроксимируется системой линейных алгебраических
уравнений вида
гу / ft' * у _1_ ft' ft-i у ( Яък j_ ft. fe-1 \ Y\\
+ а<7о,*** + 2] KkfrXr=Bk. A5)
Краевые условия для решения этой системы запишутся
так же, как в случае равномерной сетки.
Часть II
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Специальные функции находят применения в широком
круге задач. В части II мы изложим основные свойства
и простейшие приложения цилиндрических, сферических
и гипергеометрических функций, интегралов Эйлера
(гамма-функция и бета-функция), а также некоторых
специальных полиномов. Все перечисленные функции, кроме
интегралов Эйлера, являются решениями
дифференциальных уравнений с особыми точками вида
-Ju{k(x)t/}-q(x)y = 0,
в которых коэффициент k(x) обращается в нуль в одной
или нескольких точках промежутка изменения
переменной х, конечных или бесконечных.
Глава XIII
ГАММА-ФУНКЦИЯ. БЕТА-ФУНКЦИЯ
§ 1. Гамма-функция и ее свойства
1. Гамма-функцией (или эйлеровым интегралом второго
рода) называется функция
T{z)=\e-nz^dtt A)
о
Она обладает следующими свойствами.
Свойство 1. Г (г) определена и непрерывна в
области Re2>0.
Доказательство. Рассмотрим замкнутую область
D === {0 < б ^ Re г ^ N], где б я N — произвольные фик-
270
сированные числа. Для всех z<=D выполняются
неравенства
| **-%-'l^/6 для 0</<1,
I ?-Чч j < e-4N~~x для К * < оо.
Следовательно, функция
/w V"-«<r', 1</<оо,
является'мажорантной для l^'VI на промежутке 0^
оо
^/<оо для всех z&lD. Поскольку интеграл ^f(t)dt =
о
1 00 ОО
= $/б-1д(/ + ^м-1е~*си сходится, то интеграл $ ¥~Ч~1(И
0 1 __ О
сходится равномерно относительно z^D. Отсюда следует,
что Г (г) определена и непрерывна *) в области D, а тем
самым, ввиду произвольности б и N, и в области 0<
<Re г<оо.
Свойство 2. Г (г) аналитична в области Re г > 0.
Для доказательства этого свойства достаточно
показать, что интеграл ^T(z)dz, взятый по произвольному
с
кусочно-гладкому замкнутому контуру С, лежащему в
области D, равен нулю. Тогда по теореме Морера**) Г (г)
будет аналитической в области D, а следовательно, и
в области Rez>0:
\Y{z)dz^\[\tz-4~tdt)dz==\e-tl\f-1dz\dt^0>
с с \о / о \с j
так как по интегральной теореме Коши**)
[t^dz^O.
*) Фихтенгольц Г. М., Основы математического анализа,
т. II. Изд 5-е. «Наука», 1968.
**) Лаврентьев М. А. иШабатБ. В., Методы теории
функций комплексного переменного, «Наука», 1973.
271
Перемена порядка интегрирования здесь законна, так
00
как интеграл ^?~~геч(И сходится равномерно для zgD.
о
Свойство 3. Для всех г из области Rez>0
выполняется тождество
Г(г+1)=гГ(г). B)
Справедливость этого свойства устанавливается
непосредственно путем интегрирования по частям:
оо со
Г (г +■ 1) = J ftr' dt = -е~Чг f + z \ f-Ч-' dt =
о о
oo
0
Применяя последовательно тождество B), находим
формулу
Г (z) = T(z + n + \) n)
w — г (z + 1)... (z + п - 1) (г + п) ' w
Свойство 4. Функцию Г (г) с помощью формулы C)
можно, аналитически продолжить на всю плоскость
переменной г, кроме точек г = 0, — 1, —2,..., —/г, ..., в ко-
торых Г (г), очевидно, имеет полюсы первого порядка
с вычетами, равными
Re Г (-я) = (-№!•
Действительно, правая часть формулы C) есть
функция, аналитическая всюду в полуплоскости Re(z + n +
+ 1)>0, кроме точек г0 = 0, гх = — 1, ..., гп = — п. Эту
функцию и принимаем в качестве аналитического
продолжения функции Г (г) на полуплоскость Re z > — (п -f 1).
Поскольку число п можно взять произвольным, свойство
4 доказано.
Свойство 5. Г (п-\-\) = п\.
Непосредственным вычислением находим Г A) = 1.
Тогда из формулы C) получаем
Г(п+1) = л1. B2)
Таким образом, Г (г) можно считать распространением
факториальной функции на произвольные комплексные
числа.
Свойство 6. Имеет место соотношение
T(z)T(l-z) = n/s'mnz. D)
272
Замечание. Нам достаточно установить
справедливость свойства 6 для z = x> где 0<С*<1. Тогда по
теореме единственности аналитических функций оно будет
верным для всех г.
До казате л ьство.
со со
Г (х) = \ t*~44 dt, Г A - х) = \ %~хе~х &%.
о о
Следовательно,
со со
't\* dtdx
Г (*) Г (!-*)=$ Je-^)
о о
X) t
Произведя замену переменных интегрирования в этом
интеграле по формулам
получим
Pg, p) __ A+Р)
D (/, т) "" /
Следовательно, dtd%= 1 , 6 rf£dp. Поэтому
СО СО ' СО
0 0 0
Последний интеграл вычисляется с помощью вычетов.
Ч. т. д.
Свойство 7. Г (г) не имеет нулей.
Действительно, пусть. г0 — нуль гамма-функции.
Очевидно, z0 не равен ни целому отрицательному числу, ни
нулю. Из формулы D) находим
lim ГA — z) = lim „, Л = оо.
Таким образом, г0 есть особая точка для ГA— г).
Но по свойству 4 особыми точками гамма-функции
являются только целые неположительные числа. Следовательно,
l—z0 = — п, где п — целое и п^О, а г0=1-^/1. Тогда
ГB0) = Г(л+1)=п!^:0.
*) См. Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В., Методы теории
функций комплексного переменного, гл. I, «Наука», 1973.
273
Таким образом, предположение о существовании нуля г0
функции Г (г) противоречиво.
Свойство 8. Справедлива формула
T{z) = 1Jrrr\f-4-<dt, E)
Y
где у есть контур, изображенный на рис. 29.
Для доказательства
спрайт И=г ведливости формулы E) дока-
— —— жем лемму.
Лемма.- Справедливо ра-
* венство
Рис 29. $ tz~1e-'dt = \ f-4-'dt,
Yi Ya
где yl и y^ —контуры, изображенные на рис. 30.
Для доказательства рассмотрим интеграл по контуру
С, изображенному на рис. 31. Контур С ограничивает
ч
U
Г 1
ъ
Рис. 30. Рис. 31.
односвязную область, в которой функция е~Ч2'х анали-
тична. Следовательно, по интегральной теореме Коши
\e-4z~1dt^0.
с
Вместе с тем
0 = \e-42-1dt =
с
= \ е-Н2'1 dt + \ е~Н2~1 dt + $ е~Н2~1 dt + $ e^t2'1 dt,
У2 У[ UU i*U
где y[, y'% показаны на рис. 31, a tk = a-\-i$k (£=1,2,
3,4, ал = а).
Перейдем в этом равенстве к пределу при a->oo,
сохраняя Р/г постоянными. Интегралы $ и $ будут стре-
у'2 у[
274
шться при этом к ^ и — $ соответственно. Если мы
Y2 Yi
докажем, что интегралы ^ и ^, взятые по отрезкам
ixt% и t3tit будут стремиться при этом к нулю, то лемма
будет доказана. Оценим $, учитывая, что z = x + iy:
пи
< \ \е-*Г*\\М\ =
ии
= е~а $ \tg'1\\dt\^e'a \ ^l^e-y^tdt.
Так как 1t \ < 2а и arg t ^ 2я, то
е~а $ | f I**- ^ are * \ dt | < е~а Bа)х-1е2п w! | ^2 - ^ |.
При всяком фиксированном г последнее произведение
стремится к нулю при а ->■ оо. Таким образом,
^е'Н2'1 dt-+Q при а->оо. Точно так же доказывается
^2
стремление к нулю интеграла по отрезку /3/4. Лемма
доказана.
Пользуясь этой леммой, мы можем взять в интеграле
F{z) = \e~42~1dt
у
в качестве контура у контур, составленный из
окружности Yo радиуса г с центром в точке / = 0 и из
верхнего и нижнего берегов разреза вдоль вещественной оси
от г до со:
00 ОО
F {г) = $ е-Ч2'1 dt - \ е~Пг~1 dt + \ г'Г1 dt.
Yo r r
(верхн. берег) (нижн. берег)
Интеграл FQ (z) = $ е'Н2'1 dt является аналитической всюду
Yo
функцией г. Действительно, FQ(z) непрерывна во всей
плоскости и интеграл $ F0 (z) dz=^ еч \ t2 dz dt, взятый
С Yo С
по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру С,
равен нулю. Поэтому по теореме Морера FQ (г) аналитична
всюду.
275
\ e42~4t
ип
Интеграл
F1 (z) = $ е-'** dt
r
(верхн. берег)
можно записать в виде суммы двух интегралов:
1 оо
г 1
1
Интеграл ^ e4f~x dt не является несобственным и пред-
т
оо
ставляет непрерывную функцию от г. Интеграл \ е~Чг~х dt
сходится равномерно в любой полосе — N ^Rez^N,
так как для всех t > 1 выполняется неравенство | ё~Чг~х | <;
оо
^е~Чм~{, а интеграл § e~4N-{ dt сходится.Следовательно,
1
00
интеграл § е'Ч2'1 dt также представляет непрерывную
1
функцию переменной г в любой полосе —N^Rez^N,
а тем самым и во всей плоскости переменного г. Отсюда
следует, что функция F± (г) непрерывна во всей плоскости
переменной г.
Далее, с помощью теоремы Морера устанавливаем
аналитичность всюду функции F1(z). Интеграл ^F1(z)dzf
с
взятый по произвольному кусочно-гладкому замкнутому
контуру С, равен нулю, так как f является
аналитической функцией от г и
с с \г \)
= \ К е-Ч2'1 dz\ dt + l К е'Ч*-1 dz\ dt = 0.
Перемена порядка интегрирования здесь законна, так как
00
интеграл § е~Чг~г dt сходится равномерно в любой полосе
1
276
— N^Rez^N. Наконец,
со со
(нижн. берег)
(верхн. берег)
02Л12
Таким образом, F(z) = F0 (z) + (e27iiz —\)F1 (z) аналитична
всюду. Поэтому для доказательства формулы E) нам
достаточно доказать ее для z = х > 0 *).
п
- н иг им м ]/м Hi
-"М4т SrnirbnTTti
ГИ мНттттттл
1 HI \\\Шш
' \Ш\] 'ЖттИ Ml
\~s тЛ \3 ~N* \! Mill ГП
imi М 1/ i л л л1
11 Щ пшФтФт
i I k
jjii
II Ар
ЛИ 1111 l/lvitftttt™
Рис. 32. "
Доказательство. Имеем
F(x) = FQ(x) + (e™*~-l)F1(x). F)
Заставим у0 стягиваться в точку. Тогда Fx (x) будет
стремиться к Г(#), a F0(x) будет стремиться к нулю, так как
\F0 <х) I ^ \ |е-Ч*-111 dt | < \ e'rrxdcp ^ г*е~г2п -> О
(t = re^ на Yo).
Следовательно, осуществляя предельный переход в
соотношении F) при /-т-^0, получим формулу E).
*) См. замечание к свойству 6.
277
Свойство 9. Из свойств б и 8 следует соотношение
TikT)=^r\etldL G)
Действительно,
1 sin (nz + я) р , ч _ — sin nz p , х
p—istz piziz
_eiziz г» emz г»
2лЦ^2я^__1) \^e 4 z г dt = -^r ^e tz x
У У
dt.
На рис. 32 приведен график гамма-функции.
2. Разложение функции Г (г) в ряд Лорана в
окрестности особой точки z = — п (я —целое, п^О) имеет вид
где Q (г + л) — степенной ряд по степеням 2 +я.
Следовательно, функция
Ф(г)=-Г(г)- 2
00
(-1)д
/г! (г +/г)
п = 0
аналитична всюду, кроме г = оо. Таким образом,
оо
(-1)"
(г)в2яЫ%+я>^
/г! (г + я)
где ф (г) —целая функция.
Так как
Дп!B+/г) - Д /г! Г
1/оо \ Г
О \/г=0 / О
Ф(г) = 5 i*-1*-'*».
1
00 00
Я = 0 п=0 О
ТО
Поэтому
/2 = 0
278
Это представление гамма-функции справедливо для
любых г.
3. Вместе с гамма-функцией часто используется ее
логарифмическая производная
»<•»-•¥#■
Так как особыми точками Г (г) (полюсами) являются
лишь точки z = — я, где п = 0, 1, 2, ..., и Г (-г) не имеет
нулей, то особыми точками ф (г) будут лишь точки г = — п,
притом — полюсами первого порядка. Очевидно, лоранов-
ское разложение функции о|> (г) в окрестности точки z = — п
будет иметь вид
Ч>(г)=тЬг + *(г + я)'
где R (г + л) — степенной ряд по степеням г + #.
Вычисляя логарифмические производные от обеих
частей тождеств B) и D), получим тождества
ф(г+1) в1 + Ф(г), (8)
я|> A — г) — г|) (г) = я ctg яг. (9)
Число С= — *ФA) называется постоянной Эйлера и равно
С = 0,57721566....
Многократное применение формулы (8) дает
ф(я+1) = -С+2х. «=1,2,...
§ 2. Бета-функция
Бета-функцией (или эйлеровым интегралом первого рода)
называется функция
£(*, у)= J^(l-^i^. A0)
о
Произведя замену переменной интегрирования в этом
интеграле по формуле
'=тфг (и=т=г)'
279
получим
со
*<*.<И(г£&- A1)
о
Бета-функция обладает следующими свойствами.
Свойство 1. Функция В(х, у) определена и
непрерывна в области Rex>0 no переменной х и в области
Re у > О — по переменной у.
Доказательство. Пусть х = а-{-ф и y = y-{-ia —
фиксированное число с у>0- Рассмотрим замкнутую
область Д^еее {0<6^Re^} изменения переменной х.
Очевидно, , для всех х ^ D§ выполняется неравенство
|^_1|^/б_1, если O^t^l. Следовательно, функция
jF (t) = /6_1 A — t)^1 является мажорантной для
подынтегральной функции ^(l—ty1 на промежутке O^t^l
для всех ^£5бИ фиксированного у. Поскольку интеграл
1
$**-l(l-*)Y-l<tf
О
сходится, то интеграл A0) сходится равномерно
относительно х е D6. Отсюда следует, что В (х, у) определена
и непрерывна (по х) в области D6i а тем самым и всюду
в Rex>0. Доказательство свойства по переменной у
проводится совершенно аналогично.
Свойство 2. В(х, у) аналитична по х в области
Re х>0, а по у —в области Rey>0.
Для доказательства этого свойства, например, по х
достаточно показать, что для произвольного 6>0 и при
любом фиксированном у из области Re#>0 интеграл
^ В (х, у) dx, взятый по произвольному кусочно-гладкому
с > __
замкнутому контуру С, лежащему в области D5, равен
нулю. Тогда по теореме Морера В(х, у) будет
аналитической в области Dg, а следовательно, и в Re*>0.
Для С с: Da имеем
\ В (х, у) dx = Н \ t*-1 A - ty-1 dt\ dx =
1
^^(l-ty-^t^dxXdt^Or-
о\ с )
280
так как по интегральной теореме Коши ^1х~гс1х = 0.
с
Перемена порядка интегрирования здесь законна, так как
интеграл
о
сходится равномерно относительно X&D&.
Свойство 3. Для всех х из области Rex>0 и
любых у из области Яеу>0 выполняется тождество
*<*•«>-да- >
Доказательство. Рассмотрим функцию
P(t) = J^1(t-Ov^
о
зависящую от х и у как от параметров. Ее можно
рассматривать как свертку функций Iх'1 и Р~г.
Найдем преобразование Лапласа этой функции.
Преобразования Лапласа функций tx~x и ty~l равны
соответственно Г (х)/рх и Г (у)/ру. В самом деле,
оо со
5 Г*<г"<Н = -±г $ g«-V-E</S = -LjW • A3)
О О
Поэтому преобразование Лапласа свертки |3 (т) равно
Г(*)Г(у)= Г(х)Г(у) Т(х + у)
рх+У V{x + y) рх+У '
Тогда оригинал, т. е. функция |3(т), будет, согласно
формуле A1), равен
PW Т(х+У)% •
Полагая здесь т=1, получим A2).
Глава XIV
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Теперь мы будем рассматривать специальные функции,
являющиеся решениями обыкновенных дифференциальных
уравнений вида
£c{k(x)y'}-q(x)y = 0,
в которых функция k(x) обращается в нуль в одной или
нескольких точках (конечных или бесконечных) и
предполагается дифференцируемой внутри рассматриваемых
промежутков.
Многие задачи приводят к необходимости решать
уравнение
z*w" + zw' + (г2 - v2) w = 0, A)
в котором V —числовой параметр. Его можно написать,
очевидно, в виде
*z{zw'} + (z-^)w = 0. B)
К такому уравнению мы придем, например, при
решении задач, рассмотренных в ч. I, методом разделения
переменных, если будем пользоваться цилиндрическими
(или полярными) координатами (задача о колебании
круглой мембраны, об остывании круглого цилиндра и др.).
Так, пусть требуется решить задачу о малых поперечных
колебаниях однородной круглой мембраны радиуса /,
закрепленной по краям, под действием начального
возмущения. Если использовать полярные координаты (г, ср),
то искомая функция (отклонение) и = и(г, ф, /) будет
решением следующей краевой задачи:
а2 Аи = иш (Вх)
иAу ф, /) = 0, |и|<оо, и (г9 ф + 2я, t) = u(r, ф, t), (B2)
и (г, ф, 0) = /(г, ф), щ(гг ф, 0)=/7(г, ф). (В3)
282
Условие ограниченности |а|<оо является
естественным следствием физической постановки задачи, а условие
периодичности по ф является следствием условия
однозначности решения. Для решения задачи (В^ — (В3)
применим метод разделения переменных. Будем искать
решения уравнения (BJ, удовлетворяющие только краевым
условиям (В2), в классе функций вида
и = Ф(г, Ф)¥(/).
Разделяя переменные, получим
У + аШ = 0, (В4)
ДФ + ЯФ = 0, (В5)
Ф(/, ф) = 0, |Ф|<оо, Ф(г, Ф + 2я)=Ф(г, Ф). (В6)
Задачу (В5) — (В6) также можно решать методом
разделения переменных. Полагая Ф(г, ц>) = А(г)В(ц>) и
используя запись оператора Лапласа в полярных координатах,
получим
В" + ^Я = 0, (В7)
В(ф + 2я) = 5(Ф), (В^
г* А" + г А' + (Хг2 — |х)Л = 0, (В9)
А @ = 0, |Л|<оо. (В10)
Решение задачи (В7) —(В8) и возможные значения
параметра \i легко находятся:
|А = *а, k = 0, 1,2,...,
Bk (ф) = Ck sin &ф + Dk cos k(p.
Таким образом, задача (Вх) —(В3) сводится к нахождению
решений уравнения (В9), удовлетворяющих условиям (В10).
Заменой г = Укг уравнение (В9) приводится к
уравнению A), в котором v2 = k2, w (z) = А (Ук г).
Решения уравнения A), не равные тождественно нулю,
называются цилиндрическими функциями. Изучение свойств
цилиндрических функций и будет предметом рассмотрения
этой главы.
§ 1. Поведение решений уравнений с особыми точками
в окрестности особых точек
Рассмотрим уравнение
е{*Му'}-*Му=о, . C)
283
в котором функция k(x) обращается в нуль в конечной
точке х = а и в окрестности этой точки имеет вид
k (х) = (х - а)а ф (*), ф (а) ф О, а > 0,
причем функция ф(х) непрерывна в точке х = а и в ее
окрестности.
Теорема, Пусть yi(x) = (x — a)mu1(x), иг(а)Ф0,
т^О, есть решение уравнения A) и иг(х) непрерывна
в точке х = а и в ее окрестности. Тогда любое другое
решение уравнения A) у2(х), линейно независимое с yi(x),
в окрестности х = а имеет вид
У2 (х) = % (х) + (х — a)~m~a+1 и2 (х), если 2т + аф 1,
у2 (х) = t|>2 (х) + и2 (х) In (х — а), если 2т + a = 1.
Зддо» г|>2(*) и Щ(х) ограничены в окрестности х = а и
и2 (а) Ф О,
Доказательство. По формуле Остроградского для
определителя Вронского имеем
У'Лх)у1(х)^у2(х)у[(х) = С/к(хI Се£0*),
откуда
Интегрируя это тождество по отрезку [л:, хг]у а<х<.хх>
получим
\ih (*i) _ С1 _С_Л_
У2(х) = уЛх)
уЛч) lk(t)yi(t)
Здесь л:! —такое фиксированное число, что на
промежутке [а, хг] функции ф (х) и иг (х) непрерывны и не
обращаются в нуль.
Рассмотрим первый случай: уг (х) = (х — а)т их (х). Тогда
У2(х) = Уг(х)
■С
У2 (*l) г С *L
УЛЧ) l(t-ap*+*<p(()ul(f)
Применим к этому интегралу теорему о среднем
значении. Получим
v (x)-y*(Xl) v (x) Cyi{x) ? dt
- а:
*) См. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений,
Физматгиз, 1959.
284
или
и (г) - y*(Xl) и (г) 4- Си1(х)(х-аГ „ __ ^-2m-a+i I**
Здесь х^^х^Хц Si = £iW. Таким образом,
№ (*) = Л (*) й W + 5i W (* - 4Tm-a+1,
где
л /у\-йМ , £
В (у) -Сиг{х)
Поскольку Аг(х) и Вх{х) не имеют особенностей в точке
х = а и Вг(х) не обращается в нуль на отрезке [#, хг],
для первого случая теорема доказана. Во втором случае
аналогичные вычисления приводят нас к следующему
результату:
у2 (х) = А2 (х)уг {х) + В2 (х) In (х-а),
где
А (У\ — Уъ(хд С In fa —a) r> / ч С
Л2 W - ^ (jfi) ф (?2) и, (Бя) , ^2 W ф (?2) и* (Ы >
Поскольку функции А2 (х) и В2 (х) не имеют особенностей
в точке х = а и Вг(х) не обращается в нуль на отрезке
[а, хг]7 теорема доказана и для этого случая. Пусть,
в частности, а=1, т. е. k(x) = (x~a)(p(x). В этих
условиях справедливо
Следствие. Если одно решение уравнения A)
ограничено и имеет вид у± (х) = (х — а)т и (х), где т ^ О, и (а) Ф О
и и(х) непрерывна в точке х = а и в ее окрестности, то
любое другое решение уравнения A), линейно независимое
с уг{х)у неограничено в окрестности х = а и имеет вид
Уъ (х) = ф2 (*) + (* — a)"w и2 (х) у если т > О,
#2 W = ^2 W + ^2 (x) In (л: — а), если т = 0.
Устанавливаемый этим следствием факт имеет
существенное значение при постановке краевых задач для
уравнения C) на отрезке [а, &], один или оба конца которого
являются особыми точками рассмотренного вида этого
уравнения. Если по самому смыслу задачи требуется
найти ограниченное на отрезке [я, b] решение уг{х), то,
записывая общее решение в виде
у = С1у1(х) + С2у2(х)>
285
мы найдем одну из произвольных постоянных из условия
ограниченности: С2 = 0. Таким образом, в таких случаях
условие ограниченности играет роль краевого условия и
потому его надо формулировать в математической
постановке задачи (как одно из краевых условий).
§ 2. Функции Бесселя и Неймана
1. Существует несколько классов цилиндрических
функций.
В настоящем параграфе мы определим два класса:
функции Бесселя и функции Неймана.
Один класс цилиндрических функций мы построим
следующим образом. Будем искать решение уравнения
z2w" + ж' + (z2-v2)w = 0 A)
в виде обобщенного степенного ряда
w = 2?(a0 + a1z + a2# + ...)9 D)
где а0Ф0. Тогда
т' =zG[a0o + a1(o+l)z + az(o + 2)z2 + ...],
z*w" = z° [a0a (a - 1) + аг (а + 1) oz +
+ fl2(or + 2)(a+lJ" + ...].
Подставим эти значения w, zw' и z2w" в уравнение A)
и соберем члены с одинаковыми степенями:
z° [а0о2 - a0v2] + z^1 [a± (a + lJ - axv2] +
+ z°+2[a2(o + 2J-a2v2 + a0] + ...
...+z^[an(e + nJ--anv* + an_2]+... = 0.
Чтобы ряд D) был решением уравнения A), необходимо
выполнение равенств
а0 (а2 - v2) = 0, аг [(а + IJ - v2] = О,
a2[(a + 2J-v2] + a0 = 0,..., aj(a + nJ-v2]+a„_2==0,...
Из первого равенства находим <x = ±v, так как а0Ф0.
Возьмем a = v. Тогда из второго равенства находим
ах = 0. Далее,
Так как a = v, то
"Л Bv + n)/i*
286
Очевидно,
для всех целых неотрицательных k, a
Полагая ^o = 2vr( 4-1) и ИСП0ЛЬЗУЯ формулы B) и BХ)
предыдущей главы, получим
(-1)*
&2к:
22Ь^+Т (k + v+\)T {k+1)
Таким образом мы построили формальное решение
уравнения A) в виде обобщенного степенного ряда
у (-l)*(z/2)^v
JvW"Zi r(£ + v+l)r(/e-fl)' W
Л(г) = г^(г), F)
или
где
оо
р (Z)- У H)*W* G)
rvW"^ 2^T(k+\)T(v + k + \)' ^/;
£ = 0
Эта функция является фактическим решением
уравнения A) в области сходимости ряда E). Легко проверить,
пользуясь, например, признаком Даламбера, что этот ряд
сходится всюду, кроме, может быть, г = 0. Следовательно,
функция Jy(z) является решением уравнения A) всюду,
кроме, может быть, z = 0. Эту функцию называют
функцией Бесселя порядка v (иногда — функцией Бесселя первого
рода). Если v — нецелое число, то функция Бесселя
неоднозначна (из-за множителя zv). В этом случае, т. е. при
v нецелом, однозначную ветвь функции Бесселя выделяют,
ограничивая г областью, где |argz|<*t, т. е. производя
разрез вдоль отрицательной части вещественной оси. Для
целых v = n функция Бесселя определена всюду и
однозначна. Очевидно, Jn (г) есть целая функция.
Замечание. Так как члены ряда E) суть целые
функции переменной v и ряд сходится равномерно
относительно v при каждом фиксированном z, то Jv(z) есть
целая функция переменной v. Поскольку уравнение A) не
меняется при замене v на — v, то функция J_v(z) также
287
является решением уравнения A). Если v не есть целое
число, то функции Jv(z) и J_v(z) линейно независимы,
так как одна из них в окрестности z = 0 ведет себя, как
zv, а другая —как z~v. Поэтому для нецелых значений v
общее решение уравнения A), а следовательно и
произвольную цилиндрическую функцию порядка v, можно
записать в виде
yv (Z) = С, (v) Jv (г) + С2 (v) J_v (г),
где Ci(v) и С2 (v) — постоянные, зависящие от индекса v.
Если же v равно целому числу n(v = n)f то
J_n(z) = (-\rJn(z).
Докажем это. Имеем
J-n{z)- 2, Y(k-n
(—\)k(zl2yk-* _ ул (_!)* (г/2J*-"
{k-n+\)T(k+\) ~ 2d V(k-n+l)T(k+\y
поскольку Г (k — n + 1) = oo для всех & = О, 1, 2,..., /г — 1.
В последней сумме произведем замену переменной
суммирования k = s-\-n. Получим
J-«W-^ Г(в+1)ГE + л+1)"^ U Jn(Z)*
s=0 ч
2. Таким образом, для целых значений v (v = п)
функции Jv(z) и J_v(z) линейно зависимые, и, следовательно,
с их помощью нельзя получить общее решение
уравнения' B), т. е. произвольную цилиндрическую функцию
порядка v. Чтобы получить для этого случая линейно
независимое с Jv(z) решение уравнения B), вводят в
рассмотрение функцию Неймана
N iz)=zJv(z)cosvK-J_v(z)t
v ч ' sin jiv v '
Очевидно, она является решением уравнения A).
Подстановка в формулу (8) вместо v целого числа п
дает справа неопределенность jr, так как sinnn = 0,
J-n(z) = (— \)nJn{z) и cosnn = (— l)n. Для таких
значений v (v = n) функция Неймана Nn(z) определяется как
предел
Nn (z) = lim Nv (г) = hm -^^—: z^lz.#
288
Справедлива
Теорема. Функции Jv{z) и Nv(z) линейно независимы
при любых значениях v.
Для доказательства теоремы вычислим определитель
Вронского W[JV, Nv] для функций Jv(z) и Nv(z).
Для любых дифференцируемых функций / (г), ф (z), г|? (г)
W[f, <p + y] = W[f, tf + Wlf, ip].
Поэтому W [Jv, tf v] = ctg vnW [Jv, Jv] —^W [Jv, y.v].
Так как W [JV1 Jv] = 0, то для нецелых v
W4JV,NV]=^W[JV, J_v]. (9)
Для вычисления W [7V, J_v] воспользуемся формулой E).
Согласно этой формуле
yv(e) = z>o + ^2Qv(z)}, (Ю)
^(z) = ^{&0 + 2^v(z)}, (ll)
где Qv(z) и Q_v (г) — степенные ряды по z. Следовательно,
J'v(z)=vzv-i{aQ + z*Rv(z)}, A2)
JLv(z) = -vz-v~i{b0 + z*R_v(z)}, A3)
где Rv(z) и /?_v (г) — степенные ряды по z.
Далее, по определению определителя Вронского
\Jv(z) J-v(z)\
= z{Jv(z)JLv(z)-J'v(z)J_v(z)}.
Пользуясь формулами A0) и A1), находим
zW[JV9 J_v] = — 2va0b0 + z2Sv(z)f A4)
где Sv(z) —степенной ряд. Согласно формуле
Остроградского (для определителя Вронского) для нецелых v
W[JVi J_v]=C/z, где С —не равная нулю постоянная.
Следовательно,
zW[Jy, J_V] = C.
Поскольку это соотношение есть тождество, то С =
= {zW[JVl /_v]}*-o- Пользуясь формулой A4), находим
10 В. Я. Арсенин- 289
zW[Jv, J_v] = z
i 2v
Так как a0 — 2Vp (V_|_i)» ^o— r q__vj» T0
u""r(v+l)r(l-v)'
Пользуясь формулами B) и D) гл. XIII, получаем
г _ —2 sin \'я
L~ я •
Таким образом, для нецелых v
2
W[JV, J-v]= -nz sinvK.
Следовательно, согласно формуле (9) для нецелых v
W[JV, iVv] = j|. A5)
Так как W[Jn, Nn] = lim W[JVt Nv]9 то из A5) еле-
дует, что
W[Jn,Nn] = ^.<
Итак, определитель Вронского W [Jv, 7VV] не равен
нулю для любых индексов v. Следовательно, функции
Jv(z) и Nv(z) линейно независимы при любых значениях
индекса v. Теорема доказана.
3. Поскольку Jv(z) и Nv (z) — линейно независимые
решения уравнения A) при любых значениях индекса v,
общее решение этого уравнения, а следовательно и
произвольную цилиндрическую функцию индекса v, можно
записать в виде
yv(^) = C1Jv(z) + C2Nv(z).
Очевидно, к решениям Jv(z) и Nv(z) уравнения A)
применимо следствие теоремы § 1, согласно которому
в окрестности особой точки уравнения A) г = 0 функция
Nv(z) ведет себя, как A/zv, если v^O, и как Л In г,
если v = 0. В частности, функция Неймана Nv(z) с
индексом v^O неограничена в окрестности г = 0.
4. Пользуясь представлением функций Бесселя в виде
ряда E), непосредственной проверкой устанавливается
справедливость тождеств
*-{{&}ssZ±>«£) ±{гЧАг)\=гЧп(г). A6)
290
Производя в этих формулах дифференцирование, получим
rv{z)^l~Jv{z)-Jv,1{z) A7)
и
/;(^7^й+^-1Й. A8)
Отсюда следует рекуррентная формула
^v+iB) + /v-iB)-y/vB). A9)
С использованием определения функций Неймана и
соотношений A7), A8), A9) непосредственно устанавливаются
такие же соотношения для функций Неймана
Nv^1(z) + Nv-1(z)^Nv(z)9 B0)
N^(z)^^Nv(z)-Nv+1(z). B1)
Если v равно целому числу п, то по формулам A9) и
B0) мы сможем последовательно выразить все функции
Jn(z) и Nn(z) (п^О) соответственно через J0(z), J1(z)
и N0(z), Nl(z). Ввиду этого в таблицах приводятся лишь
значения функций J0(z), J1(z)\ N0(z), N1(z).
Непосредственным суммированием ряда E)
устанавливается справедливость формул
■Л/а(*) = У j|sinz и У_1/2(г)= у ^cosz.
Пользуясь этими формулами и рекуррентной
формулой A9), находим
Jn+^ (г) = {Qn (i) sin г + Rn_, (j) cos z} j/T,
/_rt+_.(Z) = {^-1(|)sin^-Qre(i)cos2}]/T)
где Qn(p)> Rn~i(p) суть многочлены степеней п и п— 1
относительно р.
§ 3. Ортогональность функций Бесселя
1. Уравнение
* V + *У' + (b2*8 - v2) # = 0 B2)
10* 291
или
&№]-*х-У + Кху = 0 B2Х)
заменой переменной Xx = z приводится к уравнению B).
Следовательно, функция Jv(Xx) является решением
уравнения B2i). Это уравнение имеет такой же вид, как и
уравнения для собственных функций в одномерном
случае (k (х) = ху q (x) = v2/x) *).
Типичные краевые задачи для уравнения B2) состоят
в нахождении таких значений параметра Я, при которых
это уравнение имеет нетривиальное, ограниченное на
заданном промежутке @, /) решение, удовлетворяющее
краевому .условию вида ау' (/) + by (/) = 0 на правом
конце. К таким задачам относится, например, задача
(В9) — (В10) этой главы. Это задачи типа задач Штурма —
Лиувилля, рассмотренных нами в гл. IV. Возникает
вопрос: не будут ли ортогональными на промежутке @, /)
решения уравнения B2х), удовлетворяющие краевым
условиям вида ay' (l) + by(l) = 0, т. е. функции Бесселя Jv(X1x)
и Jv(X2x), в,которых значения Х± и Х2 параметра Я,
определяются из краевого условия ау' (/) + by (/) == 0? При
этом естественно ожидать ортогональности с весом р (х) =
= х, как это видно из уравнения B2х). Ответ на этот
вопрос дает
Теорема (об ортогональности). Функции Бесселя
/v (Хх) обладают свойством ортогональности с весом р (х) = х.
Точнее, для всякого v > — 1
\xJy(~x)jv(jx)dx = Oi если а ф р,
о
где оба числа а и Р суть корни одного из трех уравнений:
J, (У) = 0, Л (у) = 0, yJy (у) + hJv (у) = 0.
Доказательство. Напишем два тождества:
х S Jv (te) + i J, (M + (Wx - v^) Jv (Xx) « 0,
x 5Jv №>+ixJv №)+(^"" 7)Jv №)=0.
Первое из них умножим на Jv(\ix)9 второе —на Jy}(Xx)i
*) См. гл. IV, § 3.
292
затем вычтем почленно одно из другого и результат
проинтегрируем (по х) по отрезку [0, /]. Получим
/
^ х|Jv (\ix) ^ ^v (Хх) - Jv (Xx) ^ Jv (fix)} dx +
0
I
+ ] {Jv (|WT) ^ ^v (Xx) - /v (Ьг) ^ /v ((**)} ^ =
0
I
= (jx2 — Я2) J */v (^*) ^v (\m) dx,
0
или
\ 3x {x\Jv № dx Jv № "" /v ^) Tx Jv ^]} ^ =
0
= dm2 - X2) 5 J^iv {Xx) Л №*) Л. B3)
0
Произведя интегрирование, получим
{x[yv (|A*) ^ Jv (U) - yv (Ял:) ^ /v (|**)]}0 =
i
= (fi2 - X2)$ */v (Xx) Jv ([xx) dx. B4)
о
Покажем, что при v>—1 и X = a/l, |ы = p// левая
часть равенства B4) обращается в нуль. Для этого
заметим, что, пользуясь формулой E), Jv(Хх) и д- Jv(Хх)
можно записать в виде
B5)
х T(v+1)
где Рь(х) и Qh (x) — степенные ряды. Используя эти
формулы, находим
d_
dx
*Jv (fix) ^- Jv (Xx) - xJv (Xx) T Jv (\ix) =
dx
Г (М1^) L vv+2p /y\
L2*T(v+l) ^~ ^W
L'2vr(v + 1) "*" *V ^ ^
(Я*)*
|_ 2vT(v+l)
(^)v
•x^QUx)]-
-х^(х)] =
2vT(vH-l)
= Xav+a/?1(x)+xavf4/?a(x)>
293
где #i(*) и R2(х) — степенные ряды. При v>-—1
последнее выражение обращается в нуль для х = 0. Полагая
в равенстве B4) Я = а//, [х = р//, получим
\ xJv (у л:] Jv (Ц- х, dx =
/ ЛГ
= Y=^[«Jv (Р) ^ Jv («) - P/v (а) | /v (P)]. B6)
Из равенства B6) немедленно следует ортогональ-
Р*)-
. Для этого
ность при указанных выше значениях а и
2. Вычислим квадрат нормы
воспользуемся формулой B6). Переходя в ней к пределу
при Р~>а, получим
= \ xJl[~-x)dx==
J у I —y X
= lim ёз-Ц-5 [aJv (P) j; (a) - p/v (а)j; (Р)].
Непосредственный переход к пределу в числителе и зна-
0
менателе дает -у.
По правилу Лопиталя находим
II т (а \112
lrvlTxj|| =
= ^ М (а) У; (а) - Jv (а) ^(а) - a/v(a) Д (а)]. B7)
Далее из тождества
гЧ% (г) + zJ'v (г) + (г2 - v2) Jv (г) = О
находим
*) Для третьего случая в правой части формулы B6)
произведу v (<*) о dJv (В) , , , ч
дения a—~—^ и р—-^р1 надо заменить соответственно на —hJy{a)
и — ЛУ v (P).
294
Подставляя это значение производной Л'(°0 в Ф°Р*
мулу B7), получим
, j v (^ x) j* = -j {f ^ («)ja+(i — S)J* ^o6>} *} • B8)
§ 4. Нули цилиндрических функций
1. В § 3 мы видели, что ортогональность функций
Бесселя связана с нулями функций Бесселя и их
производных. В настоящем параграфе мы рассмотрим
основные свойства нулей функций Бесселя и других
цилиндрических функций.
Теорема 1. Нули всякой цилиндрической функции
простые, кроме, может быть, z = 0.
Доказательство. Пусть г0^0 есть нуль
кратности п (п^2) решения yv(z) уравнения A), не равного
тождественно нулю. Тогда yv (z0) = y'v (zQ) = 0. В силу
теоремы единственности решения задачи Коши**) для
уравнения A) #у(г) = 0. Это противоречит условию.
Поэтому предположение о кратности нуля г0 неверно.
Следствие 1. Все нули функций Бесселя и
функций Неймана простые, кроме, может быть, г = 0.
Замечание. Из формулы E) следует, что если г0
есть нуль функции Бесселя Jv(z), то и —г0 является
нулем этой функции. Из этой же формулы следует свойство
*) Квадрат нормы на отрезке [а, Ь] любой функции Yv(kx),
удовлетворяющей уравнению B2х), вычисляется по формуле
Для доказательства этого надо использовать очевидное соотношение
ь
j xYy (Кх) 7V (jutjc) dx =
a
и перейти в нем к пределу при \х —> Я. При вычислении предела
правой части следует воспользоваться правилом Лопиталя и
уравнением B2х), как и при вычислении нормы Лм-г*
**) См. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений,
Физматгиз, 1959.
295
четности функций Бесселя с целыми индексами, т. е.
Jn(-z)^(-l)"Jn(z).
Следствие 2. Все нули цилиндрических функций
с индексами v^O изолированные.
Действительно, . любая цилиндрическая функция yv {z)
может быть представлена в виде
yv(z) = C1Jv(z)+C2Nv(z).
Если yv(z) = C1Jv(z)f то, пользуясь формулой E), эту
функцию можно записать в виде yv(z) = C1zv(p(z)9 где
Ф (г) непрерывна всюду и <р @) Ф 0. Существует такая
окрестность точки z = 0f ни в одной точке которой ср(г)
не обращается в нуль. Отсюда и следует, что г = 0
является изолированным нулем функции yv(z). Если yv(z) =
= CXJV (г) -f C2A/v (z), где С2 Ф 6, то z = 0 не может быть
нулем такой функции, так как функция Неймана Nv (z),
согласно теореме § 1, обращается в бесконечность в точке z = 0.
Пусть z0 ф 0 является точкой накопления нулей
цилиндрической функции #v (z) и yv (z0) = 0. Тогда можно
выделить сходящуюся к z0 последовательность нулей
{zn}-+z0. Очевидно,
Таким образом, имеем yv(zo) = 0 и yi(zQ) = 0. Это
означает, что z0 является нулем второй кратности, чего не
может быть по теореме 1.
Очевидно, указанное утверждение эквивалентно
следующему: в любой ограниченной области переменной z
всякая цилиндрическая функция yv (z) может иметь лишь
конечное число нулей. Это утверждение справедливо для
цилиндрических функций с любым индексом v.
2. Теорема 2. Все нули функций Бесселя Jv(z)
с вещественным индексом v>—1 вещественны.
Для доказательства нам понадобится
Лемма. Если а = re1® есть корень уравнения Jv (у) = 0,
то и сопряженное ему число а = ге~1® является корнем
того же уравнения.
Доказательство. Функцию Бесселя, очевидно,
можно записать в следующем виде:
оо
Jv (г) = zv 2, hz*k, где bk = 2v+2*r(A,+v + 1) Г(£+1)'
k = 0
296
Тогда
оо
Jv (re"») = /-Vv* 2 bkr2kei2kf =
e = 0
,6=o
6=0
или
где
Jv(reiv) = rvei^[AAr, 4>) + iDv(r, Ф)],
yv(rr^) = rV^[i4v(r, ф)-Юу(г, Ф)],
B9)
Av (г, Ф) = 2 b^2fe cos 2^Ф> Dv ('» Ф) = 2 V2ft sin 2/гф.
Из формул B9) лемма следует немедленно.
Действительно, пусть а = /^ф есть корень уравнения Jv (у) = 0.
Тогда
Л; (а) - /v (ге^) = rVV(P [Лv (г, Ф) + /Dv (г, ф)] - 0.
Следовательно, Лv (г, ф) = Dv (г, ф) = 0. Тогда и /v (а) = 0.
Доказательство теоремы. Пусть a = rei(i> есть
нуль функции Бесселя Jv(z). По лемме a = re~i4) также
является нулем этой функции. Тогда по свойству
ортогональности имеем
J xJv ("Г
*j Jv(jx)dx==0,
или
о
d*. C0)
Мы воспользовались при этом формулами B9). Однако
подынтегральная функция в последнем интеграле
непрерывна и не равна тождественно нулю. Следовательно, и
интеграл не может быть равен нулю. Таким образом,
предположение о существовании комплексных корней
у функции Бесселя приводит к противоречию. *
297
Теорема 3. Всякая цилиндрическая функция у\ (г),
принимающая вещественные значения на вещественной осиу
имеет бесконечное множество нулей.
Доказательство этой теоремы будет дано позже,
в § 7, п. 7.
Следствие. У всякой функции Бесселя Jv (z) и
функции Неймана Nv (z) с вещественными индексами v
имеется бесконечное множество нулей.
3. На основании доказанных теорем положительные
корни уравнения /v (а) = 0 (где v — вещественное число)
можно перенумеровать в порядке их роста натуральными
числами: /
a1<a2<...<am<aw+1<...
Очевидно, эти корни являются функциями индекса v, т.е.
am = am(v).
Теорема 4. Нули функций Jv(г), J'v(г) и cpv(г) =
= zJy (z) + hJv (z) с положительным индексом v растут
с ростом v.
Проведем подробное доказательство для функции Jv (z).
Для доказательства теоремы достаточно установить, что
civ
Доказательство. Для любого фиксированного m
имеем
/vKi(v)] = 0. C1)
Дифференцируя это тождество по v и опуская для
упрощения записи индекс т, получим
^<*)|,_e£ + ^vD_e-0. C2)
Штрихом мы будем обозначать производную по z. Далее,
из формулы A7) находим
zi'v (z) — v*/v (z) s== — z/v+1 (z),
откуда, с учетом тождества C1), получаем
Jv(z)\g-a = — /v+i(a). C3)
Первое из тождеств
298
умножаем на JG(z), второе на Jv(z) и результаты
вычитаем один из другого. Получим
| {г [Га (г) Jv (г) - Л (г) JG (г)]} «^ Jv (г) /0 (г).
Следовательно,
a2 —v2
[J'a (х) Jv (х) - J'v (X) JG (X)] s J '«MM*) &> C4)
так как для v и а > 0 выражение z [Ja (z) Jv (z) —
— J'v(z)JG(z)] равно нулю при г = 0. При a =^v левая
часть в C4) имеет вид -^ . Вычисляя ее при o = v по
правилу Лопиталя, получим
х с д I д I ) Г Л (г)
C5)
Полагая здесь * = a(v), получим
— a dJ„ (z)
-sr'v(«)-sr
a
■ад
о
: = a J 2
Выражая ^-А?(г) _ через J'v(a) и a' из тождества
C2) и исключая затем J'v(a) с помощью C3), получим
da 2v ? л (z)
/^_i_i (a) J г
dz>0.
dv a/» + 1(a)J г
Теорема доказана.
Для функций ,/v (z) и фу (г) доказательство проводится
аналогично, но при этом надо тождество C1) заменить
соответственно тождествами
y;(P(V))«o и t(v)/;(T(v))+wv(T(v))so.
Здесь P(v) —нуль функции J'v(z), y{v) — нуль функции
<Pv(z).
4. Теорема 5. Функции Jv(z) и Jv+L(z) не имеют
общих нулей, кроме, может быть, z = 0.
Справедливость теоремы легко установить, пользуясь
формулами A7)*). Нетрудно также показать, что нули
функций Jv{z) и Jv+1(z) разделяют друг друга.
*) Читателю рекомендуется это сделать самостоятельно.
299
5. Проиллюстрируем применение функций Бесселя и
ряда их свойств к решению краевых задач.
Пример. Решить задачу об остывании однородного
бесконечного круглого стержня радиуса R, на поверхности которого все
время поддерживается нулевая температура. Начальная температура
внутренних точек стержня задана и равна ф (г).
Математическая постановка задачи: требуется найти решение
и (г, t) уравнения Au = ~2-ut для />0 и 0^r<i?,
удовлетворяющее следующим начальным и краевым условиям:
и (г, 0) = ф(г), u(R, /) = 0, |и@, /)(<оо.
Решение. Разделяя переменные ' и (г, /) = Ф (г) W (/), находим
ф"+—Ф' + ЛФ = 0, Ф(/?) = 0, |Ф@)|<оо,
г
W(t) = Ce-Ka2t, где X > 0.
Общее решение уравнения для Ф (г) можно записать в виде
<[>(r) = AJ0(V7s) + BN0(Vlr).
Здесь N0 tyhr) — линейно независимое с J0 ty%r) решение
уравнения для Ф (г). По следствию из теоремы § 1 N0 (]/~Кг) неограничена
в окрестности г = 0. Поэтому из условия ограниченности искомого
решения находим 5 = 0.
Следовательно, Ф (r) = AJ0 (V"kr). Очевидно, можно положить
Л = 1. Из краевого условия при r = R находим уравнение для
определения собственных значений:
У0([л) = 0, |i = J/T#.
По теоремам 1 — 3 это уравнение имеет бесконечное число простых
вещественных корней [лг < \х2 < ... < |хЛ < ... По ним определяем
собственные значения ЯЛ = [х^//?а и собственные функции задачи
J (Р*А
Jo\R )'
Мы будем предполагать полноту этой системы собственных
функций и разложимость функции ф (г) в ряд по собственным функциям
Jo[Rr
Решение исходной задачи ищем в форме ряда
ОО |Хд
Коэффициенты ряда Сп находим, используя начальные условия
и свойство ортогональности функций Бесселя:
«(гH) = Ф(^р/Л(|г
-я" г —
/1 = 1
300
Умножаем это тождество на rJ0[^ г) и почученный результат
интегрируем по г на промежутке [О, R]. С учетом ортогональности
функций Бесселя и формул для квадрата их нормы получим
R
J прМ 'o(^ r\dr =С^2[^Ы12-
О
Следовательно,
R
C* = R>\jt(H)?\r<f{r)hi^r)dr-
О
Замечание. Для приближенного решения задачи достаточно
ограничиться несколькими первыми членами ряда, например:
\хг и \i2 находим в таблицах значений JQ (x):
Hi = 2,4048, |л2 = 5,5201.
6. Приведем без доказательства некоторые теоремы
о разложении функций в ряды Фурье по функциям
Бесселя. Эти теоремы уточняют общую теорему Стек лова
(гл. IV, § 2) о разложении функции в ряд Фурье по
собственным функциям для частного случая, когда
собственными функциями являются функции Бесселя.
Предварительно напомним одно определение.
Функция f(x) называется абсолютно интегрируемой
ь
на промежутке (а, Ь), если интеграл ^ | / (х) | dx имеет ко-
а
нечное значение.
Теорема 6. Если функция f(x) кусочно-непрерывная
и кусочно-гладкая на [0, /], то ее ряд Фурье по функциям
Бесселя Jv г~ x)(v^ — 0,5) сходитсяK-^[f(x + 0)-f f(x — 0)]
в каждой точке х е @, /). Для х = 1 он сходится к / (I — 0).
При v>0 для л: = 0 он сходится к нулю.
Теорема 7. Пусть функция f(x) обладает
свойствами: а) абсолютно интегрируема на промежутке @, /);
б) непрерывна на отрезке [а> Ь] @^а<6^/); в) имеет
абсолютно интегрируемую на (а, Ь) производную. Тогда
ряд Фурье этой функции по функциям Бесселя Jv№r-x)
(v^ —0,5) сходится равномерно к f(x) на всяком отрезке
301
[fl + 8, 6-8], где 0<6<F-a)/2. £сли b = l и /(/) = 0,
mo сходимость будет равномерной на всяком отрезке
ffl + б, /].
Здесь (гл — положительные корни уравнения Jv(z) = 0.
Замечание. Утверждения теорем 6 и 7 справедливы
также в случаях, когда \in — положительные корни
уравнения
zJl(z) + hJv(z) = 0,
если дополнительно потребовать, чтобы v = — Л, а в
теореме 7 опустить условие /(/) = 0.
Теорема 8. Если f(x) непрерывна и дважды
дифференцируема на отрезке [0, /] и /@)=/' @) = 0, ах//' (/)+
+ аг/ @ = 0» т° ^ Ряд Ф#р&£ по функциям Бесселя Jv r~ х)
порядка v ^ 0 сходится равномерно к f (х) на отрезке [0, I].
Здесь \хп — положительные корни уравнения
a±zJv (г) + a27v (z) = 0.
§ 5. Функции Ганкеля
1. Третий класс цилиндрических функций мы построим
следующим образом. Будем искать решение уравнения A)
в виде контурного интеграла
w(z)=\K(z,t)v(t)dtt C6)
с
где К (z, £) — некоторая заданная функция, a v (^ —
неизвестная функция. Подставляя эту функцию w(z) в левую
часть уравнения A), получим
L[w]=\ {z*Kzz + zKz + z*K - v*K} v (I) dt C7)
с
Мы полагаем при этом, что контур С и функция
/С (г, I) выбраны так, что все проделанные выше операции
были выполнимы.
Если в качестве K(z, l) выбрать решение уравнения
г*К2г + гКг + z2K + Кц = 0, C8)
то L [w] можно записать в следующем виде:
L[w] = -\ (v*K + Kiifv (I) di =
= -[K{V + v*v}dl + {Kv'-Kiv}*.
с
302
Эта формула получена путем двукратного интегрирования
по частям второго слагаемого; А и В — концы контура
интегрирования.
Возьмем в качестве К (г, I) функцию — e~izs'm%y а в
качестве v (I) — решение уравнения
v" -\-v2v=±0,
например eiv^. Контур С выберем так, чтобы все
упомянутые выше операции были законными и чтобы
выражение Kvf —K%v на концах контура С, т. е. в точках А и В,
обращалось в нуль. Тогда
w
(г) = — [ е-izs[n 5 +iv* d£.
C9)
2. Принимая за С контуры Сх и С2 (рис. 33), мы
получим две цилиндрические функции:
ct
H'v2>(z) = ~k [ e-tesin6 + /v6rfg
D0)
называемые функциями Ганкеля.
Выкладки, приведшие нас к определению функций
Ганкеля, носили формальный характер. Поэтому нам надо
показать, что функции Щ] (г) и
Щ' (г), определенные формулами
D0), действительно являются
решениями уравнения A), т. е.
имеют производные первого и
второго порядка, и что при
подстановке функций #v' (z) и #v' (z)
в уравнение A)
дифференцирование (первого и второго
порядка) можно производить под
знаком интеграла. Надо
доказать также, что при указанном выборе контуров Сх и С2
выражение Kv' — КьР обращается в нуль на концах этих
контуров.
Докажем ряд свойств функций Ганкеля.
Свойство 1. Функции Ганкеля определены и
непрерывны в области Re z ;> 0.
с;
f
-7t
1
/
1
о ж
71
\
\с2
: S,
Рис. 33.
303
Для доказательства этого достаточно *) установить
равномерную сходимость интегралов, определяющих
функции Ганкеля, в области Ds^Rez^SX), где б —любое
положительное- число.
Рассмотрим для определенности функцию Hvl'(z).
На верхней части контура С±
| = _я + /р (Р>0), sing = —/shp.
На нижней части контура Сх
1 = Ф (Р<0), sing = /shp.
Следовательно, на этих частях контура Сг функции
e—6shp—sC+jtG и g6shp-ps соответственно будут
мажорантными для модуля подынтегральной функции (v = s + iq).
со
Вместе с тем интегралы от этих функций $ ^-6shp~s|3+^7^p
о
о
и $ e6sh$-s$d$ сходятся. Следовательно, исходный интег-
— 00
рал по контуру Сх равномерно сходится в области Re z ^
^6>0. Аналогично устанавливается равномерная
сходимость интегралов
\ Kzvdl, \ Kzzvdly \ Kuvdl (р=1, 2).
ср ср ср
Замечание 1. При всяком фиксированном
значении z из области Ds Н^ (г) и Н^ (z) суть функции
переменной V. ФуНКЦИИ £~6sh|3-f $m + nq и e6sh$-m$ будут
мажорантными для подынтегральной функции в D0)
соответственно на верхней и нижней части контура Сх, если
v принадлежит замкнутой области Gm = {Rev^m}. Так
как интегралы по верхней и нижней частям контура Сх
от указанных мажорантных функций сходятся, то
интеграл, определяющий Hvv (г), равномерно (относительно v e
eGm) сходится в Gm. Отсюда следует непрерывность Щ] (z)
по v всюду. То же верно и для H{^(z). Таким образом,
функции Ганкеля являются непрерывными всюду функциями
индекса v.
Свойство 2. Функции Ганкеля аналитичны в
области Rez>0.
*) См. Фихтенгольц Г. М., Основы математического
анализа, т. II, гл. XVIII, изд. 5-е, «Наука», 1968.
304
Для доказательства этого заметим, что интеграл
$#v1J(z)<iz, взятый по любому кусочно-гладкому замкну-
L
тому контуру L, лежащему в области Rez^6>0, равен
нулю. Действительно,
\НУ (z) dz=\\g-fcsmg+fvs dzdl = О,
так как функция erizslnl при любом фиксированном £
аналитична всюду по г, и поэтому по интегральной
теореме Коши
^e-izsin^dz = 0.
Перестановка порядка интегрирования здесь была
законной в силу равномерной сходимости интеграла по
контуру Сг. Тогда по теореме Морера *) Щ* (z) аналитична
в области Re-г^бХ). В силу произвольности б Щ] (г)
аналитична в области Rez>0. Аналогично доказывается
аналитичность Щ' (z).
Замечание 2. Совершенно аналогично
устанавливается аналитичность всюду функций Ганкеля по
переменной v. Таким образом, функции Ганкеля суть целые
функции индекса v.
Поскольку интегралы $ Kzv d\ и jj Kzzv d\ сходятся
cp cp
равномерно в области Rez^S (б>0), то при
вычислении производных функций Ганкеля дифференцирование
можно производить под знаком интеграла.
Свойство 3. Справедливы предельные соотношения
lim {K(z, l)v'(l)-
-/C6(z,g)i»(g)}=0,
lim \K(z,l)V{D-
| —/J3_* —/со
Rez>0. D1)
Докажем первое из них. На верхней части контура Сг
| К (г, 1) v'- (I) | = | e-'"in£+/vyv | = | v | g-^shp-sp+я^ ^ о
*)См. Лаврентьев М. А., ШабатБ. В., Методы теории
функций комплексного переменного, «Наука», 1973.
305
при |3->оо;
| Къ (z, I) v (I) | = | — iz cos ^-/2Sin^+ ** | =
= \z\ch$e-xsh$-sV+n(i-+0, при Р->оо.
Отсюда следует справедливость первого соотношения.
Второе доказывается аналогично. Таким образом,
функции Ганкеля являются решениями уравнения A),
аналитическими в полуплоскости Rez>0.
3. Путем непосредственного вычисления убеждаемся
в справедливости рекуррентных формул
H(v%{(z) + H«l{(z)^Hp(z) (Л=1, 2), D2)
Щ^-Н^М^^^НЬПг) (А=1, 2). D3)
Действительно,
= — \ g-^sin|+/v| (£/|_|_g-/|) <#; =
= А С ^-tzsini+ад COsgdg = ^- [ e™td(e-izsinZ).
Производя интегрирование по частям, получим для
W (г)
or» О 1£ = too
f_ \ g/vg^/g—tzsinl)-- fg—iz sin £-ИЧ Г
/лг J ч ' inz I
Ci
+
j£ = —Я-f- «oo
1 Z Я J Ъ Z Я J bzVV/>
Ct Ci
так как подстановка пределов в проинтегрированную часть
дает нуль (см. стр. 305). Для Щ] (z) выкладки те же.
Далее,
Я^1(г)-Я<*11(г) = 1 $ e-'«lnS+'vS2/singdg.
С другой стороны,
2 jzH^{z)=~ [ e-''"InS + 'v6(—/sin|)d|.
с*
306
Следовательно, верна и формула D3). Легко установить
также соотношения
HLv{z) = eK*m*(z)% D4)
Н^{г) = еч™Щ]{г). D5)
Первое из них получается заменой переменной
интегрирования |= — к — а в интеграле
Я@(г) = -1 J е-'«|П*+ **</£.
Действительно, при такой замене переменной
интегрирования контур Сг перейдет в тот же контур, но с
противоположным обходом.
Таким образом, получим
Н% {г) = -М *r-/zsina+'w doc. е'™ = е™*НМ (z).
С!
Формула D5) устанавливается аналогично заменой
переменной интегрирования 1 = п — а.
Поскольку функции Jv (z) и Nv (z) суть линейно
независимые решения уравнения B), функции Ганкеля должны
быть их линейными комбинациями.
Докажем, что в области Rez>0 справедливы
формулы
Hvl)(z)^J4(z) + iNy(z)9 D6)
H(v2,(z)zEzJv(z)-iNv(z). D7)
Для их доказательства достаточно установить
справедливость формулы
Jv {г) = §—* • D8>
Действительно, заменяя здесь v на —v и используя
тождества D4) и D5), получим
J_v (z) = 1 {е^Щ) (Z) + е~ <™Я<?> (г)}. D9)
Разрешая соотношения D8) и D9) относительно Щ] (г)
и Hf(z)y находим
W4z) = iJ"(z)e~™-J-*iz), E0)
ЩЧг) = 1 J-v(Z)~rne^Jv{Z) ■ E1)
307
Следовательно,
21
Щ> (г) - НТ (г) = -£- {Jv (г) cosvn-J_v (z)}=2iNv(z). E2)
sin vn
Из D8) и E2) следуют формулы D6) и D7).
- Докажем справедливость формулы D8). Поскольку
функции Jv(z) и HjM (z) {k=\, 2) аналитичны в области
Rez>0, нам достаточно доказать формулу D8) для
г = х>0.
Доказательство. Обозначим через /v(г) правую
часть формулы D8). Тогда
Со
E3)
где С0 —контур, изображенный на рис. 34.
Произведем в этом интеграле замену переменной
интегрирования
При этом полупрямая (— я + /оо, — я) контура С0
перейдет в полупрямую (+ оо, дг/2) вещественной оси (в ее
-tt
Р
нижний берег), полупрямая (я, я +
-f-/oo) — в ту же полупрямую
(х/2, + оо) вещественной оси, но
проходимую в противоположном
направлении (в ее верхний
берег); отрезок [—я, я] —в окруж-
7С ос ность ! а | -- х/2.
Таким образом, при выбран-
Рис. 34." н°й замене переменной
интегрирования контур С0 перейдет в
контур у (гл. XIII, стр. 274), обходимый в обратном
направлении. Следовательно,
М*)=т*Не*а °е
х\» da
2 av+1
-=£'(i)'lrT'-£*.
308
Разлагая^ ех2/^а) в ряд Лорана по степеням а и
производя почленное интегрирование ряда, получим
оо
. , . —ieimfx\v V fx\2k ! С -a -ь-v-i j
6=0
___ у (-1)*(*/2J*+* ; , ,
6=0
Здесь мы воспользовались формулой G) гл. XIII-для
вычисления интеграла $ е~а a'k'v~1 da. Таким образом,
Y
формула D8) доказана. Мы получили также интегральное
представление функции Бесселя Jv(z):
Jv(z) = -^^e-^Z+^dt E4)
Со
Разбивая этот интеграл на три интеграла, получим
00 ОО
О ' О
я
+ 2Й^ e-izs{na+^da (g = a + /p),
—я
или
оо я
О —я
или
оо _ я
jv(г) = ~ ^плу i e-zsbP~VPdp + ^ $e-'z*in°+<'™da. E5)
О —Я
В частности, при v = я (я-целое) получим
я
Ул (г) = ii \ e~iz sina+/na da- $6)
—n
Из этих формул немедленно следует, что для любого
целого п
\Jn{z)\^<±y (z = x + iy)
и
309
Из формул D6) и D7) и из линейной независимости
функций Jv(z) и Nv(z) следует линейная независимость
функций Ганкеля между собой и каждой из них — с
функцией Бесселя Jv{z) и с функцией Неймана Nv(z).
Следовательно, общее решение уравнения B), а также
и любую цилиндрическую функцию можно написать как
линейную комбинацию функций Ганкеля или пар функ-
ций {^(г), Я<*>(г)}, {Nv(z), Я<*> (г)} (*=1, 2).
§ 6. Модифицированные цилиндрические функции
(цилиндрические функции мнимого аргумента)
Если в уравнении B) z заменить на l = iz, то
получим уравнение
z2w" + zw' - (г2 + v2) w = О, E7)
в котором дифференцирование производится по
переменной г.
Нетривиальные решения уравнения E7) тоже относят
к цилиндрическим функциям. Их называют также
модифицированными цилиндрическими функциями.
1. Определим наиболее употребительные из них.
Полагаем
/,(г) = Г/у(/г), E8)
Kv{z)^^i^Hy{iz). E9)
Из линейной независимости функций Jv (г) и #</> (г)
следует линейная независимость функций Iv(z) и Kv{z)- Они
являются решениями уравнения E7). Функции Iv(z) часто
называют функциями Бесселя мнимого аргумента, а
Kv (z) -*- функциями Макдональда. Из формул E8) и E)
непосредственно следует, что
оо
у (*/2)»+**
В области y < arg z < — у функция Iv (г) однозначна и
аналитична всюду. Если v — целое число (v = я), то /„ (г) —
целая функция. Из линейной независимости функций
Iv(z) и Kv(z) и из теоремы § 1 следует, что в
окрестности г = 0 функция Ky(z) ведет себя, как Az~v, если
v Ф О, и как Л In г, если v = 0.
310
Из формул A6), A7) и A9) непосредственно следуют
соотношения
|{^«^, |{2v/vB)}^_2v/v_i(z))
/vti (г) - /v-i (z) = ^^ /v (г), /; (г) = у /v (z) + /v+г (г).
Из D2) и D3) получаем
K"v+1 (г) - Kv-i (г) = у Kv {г),
-2/CCW = /CvfiW + ^Cv-iB)*)-
Из теорем о нулях функций Бесселя следует, что
каждая функция /v (г) имеет бесконечно много нулей. Все
они простые, кроме, может быть, z = 0, и чисто мнимые.
2. В приложениях встречаются также следующие
цилиндрические функции:
ber„(z), bei„(z), kern(z), keU(z).
Для вещественных значений аргумента я они
определяются следующим образом:
ЬеглМ = Re [/„U !/"=!)], Ье1Л*) = 1т[/Д*1/^7)], F0)
ker„ (*) = Re [/Сл (х V- 0]. kei„ (*) = 1т [Кп (* У=7)]> F1)
а затем аналитически продолжаются на всю плоскость
переменной z.
Из этих определений легко вывести свойства,
аналогичные соответствующим свойствам функций /v(z) и /Cv(z).
Читатель легко может сделать это сам.
Приведем представления некоторых из этих функций
степенными рядами:
оо
ber0(z)=2(-ir|g^, F2)
00
ЬеЬ(г)= gt-O'ff^p, F3)
ber^2)=FlJo я. (п+1)/ • <64>
bei> ^=pi 2 —^(,+i)i ■ F5)
£[у] — целая часть числа у.
*) Читателю рекомендуется проделать соответствующие выкладки.
311
§ 7. Асимптотические представления
цилиндрических функций
1. Во многих задачах физики требуется изучать
установившиеся режимы явлений. Математически это
приводит к изучению поведения функций при больших значениях
аргументов — к изучению асимптотического поведения
функций при стремлении их аргументов к бесконечности.
В сущности, найти асимптотическое поведение функции f (х)
при стремлении х к бесконечности — значит найти более
простую функцию ф(лг), мало отличающуюся (в определенном
смысле) от функции f(x) при достаточно больших
значениях переменной х. Часто в качестве простых функций
берут суммы
Определение. Ряд с0 + — +••* + % + .•• называют
асимптотическим разложением функции f (z) на множестве
Ш, содержащем последовательности, сходящиеся к
бесконечности, если
\\rnj"</(*)-/ НН° для 1 = 0,1,2,..
Употребляют запись:
или
f(z)~c0 + ci+-..+% + -
Г(г) = Съ + \+...+% + о[±
Легко показать, что если асимптотическое разложение
существует, то оно единственно.
В самом деле, из определения следует, что при п = 0
lirn {f(z) — c0} = Q, откуда cQ= lim/(z). При п=1 имеем
Z-+CO Z-+CO
lim {f(z)-c0-cA = 0, откуда
q= lim z{f(z)-c0},
lim z
312
Однако различные функции могут иметь одно и то же
асимптотическое разложение. Действительно, если
/М~*о + ^+... + ^ + ...,
то и
f(x)+e-*~c0 + c±+... + cfn + ... (для х>0).
Если
ТО
H>(*) = <p(z)[«, + ^ +--- + % + о(Щ
будем называть асимптотическим представлением функции
г|)(г). Обычно асимптотические разложения
Co+Ci +..-+$- + ...
являются расходящимися рядами.
2. Найдем асимптотическое представление интеграла
ошибок
л:
Ф(х) = 4= [e-(*dt
при больших дг>0. Очевидно,
00
л:
Поэтому достаточно найти асимптотическое представление
00
функции f(x)~\ e-t2dt. Имеем
X
СО СО СО
<* 1 С ох'-B —1 С Ле*г~/г)
. e"f(x)=\ <*-*dt = \ \ e—d(t*) = -± \ ^Т—•
XX X
Применяя несколько раз интегрирование по частям,
получим
e**f(x) =
= J L. 1^-- i ( iv-i Ь3.5...Bя-3) R
2x 22*3 ^ 23x* -"^l Ч 2nx2n~l * ^n [h
313
Для остатка
X
получаем оценку
1.3-5... Bп-1)_ / 1 \
I А/г (X) J <^ 2п + 1Х2п + 1 ~~ [х*^) '
Следовательно,-
(— l)^-i Bя-3)И
1 2пх2п~1
И
Ф(*)=1 2е-хЧ-- — +1'3
v ' j/я \2х 24*
оЩ}
2х 22*3 2ЧЪ
(-1)^-1 Bп~3)!! / 1 \д
Заметим, что асимптотическое разложение функции ех* f(x),
т. е. ряд
1 __ J_ 4- 4- ^—1 V-i ЬЗ-5 ... B/г-З)
2л: 22л:3 ' *' * ' v l) 2пх2п~1 ''' '
является расходящимся всюду рядом.
3. Для асимптотических представлений цилиндрических
функций yv(x) при больших положительных значениях
переменной х справедлива следующая теорема.
Теорема. Всякое вещественное решение уравнения
d*y . 1 dy , Л v»\ п
при больших положительных значениях переменной х имеет
асимптотическое представление вида
yv(x)=^sm(x + 80) + O^> F6)
где А0 и 80 —постоянные, зависящие, вообще говоря, от
параметра v.
Доказательство. Введем в рассмотрение
функцию ух (х) по формуле
У(х)=ух(хIУх.
314
Для уг (х) получим дифференциальное уравнение
л'+A--^-?±)л = о- <67)
При больших значениях х это уравнение мало
отличается от уравнения
общее решение которого имеет вид
ш = Asin(x + 8), F8)
где А и б —постоянные.
Поэтому при больших значениях х будем искать
решение уравнения F7) в виде
уг(х) = А (х) s'm[x + 8 (х)],
где А(х) и б (*) — искомые функции.
Следует ожидать, что А (х) и б (х) будут медленно
меняющимися функциями при больших значениях дг(лг>>0),
близкими к постоянным значениям.
Поскольку искомых функций две, а связаны они лишь
одним условием (требованием, чтобы А (х) sin [х + б (х)]
удовлетворяла уравнению F7)), мы можем подчинить их
еще одному условию. Выберем это условие таким
образом, чтобы производная от ух (х) вычислялась так, как
если бы А(х) и б (х) были постоянными. Поскольку
y'i=Acos(x + 8) + A8' cos(x + 8) + A' sin(*.+ 6)f
то полагаем
А8' cos(x + 8) + A' sin(x + 6) = 0. F9)
Тогда
y[ = Acos(x + 8). G0)
Вычисляя производную у'[ и подставляя ее в уравнение
F7), получим
A' cos (х + 6)-А (б' + J) sin (х + 8) = 0, G1)
где
Исключая из соотношений F9) и G1) А и А', получим
Ь'{х)==2*т*(х + 6), G2)
315
откуда
о
6 F) = в (дг) - J J sin* R + б (|)] d\. G3)
При фиксированном х и при Ь-+оо правая часть
формулы G3) имеет предел; следовательно, и левая часть
имеет предел
lim бF) = б0.
6->оо
Таким образом, имеем
00
оо оо
$f,sin«<S + e)dS<[v|$§ = W = o(i).
Но
поэтому б(дг) = б„ 4" О [-£)•
Из соотношений F9) и G2) находим
и, следовательно,
X
Повторяя рассуждения, приведенные для 8(х) и 6F),
приходим к заключению, что существует предел
lim In A (b) = In A0
b-+QQ
И
1пЛ(х) = 1пЛ0 + оA).
Следовательно,
Л(*) = Л0[1 + 0A)].
Поэтому
^W = ^o[l + O(|)]sin[x + 60 + O(|)] =
= Л05ш(л: + б0) + о(^)
316
и
у(х) = ^ш(х + Ь0) + оЩ.
Таким образом, достаточно простой анализ уравнения
B) позволил нам получить представление о характере
поведения вещественных цилиндрических функций yv(x)
при больших положительных значениях переменной х. Но
при этом мы не смогли определить числа Л0 и 60.
Очевидно, полученный результат справедлив для функций
Бесселя Jv\x) и функций Неймана Nv(x). Но он
неприменим к функциям Ганкеля.
4, Обратимся к рассмотрению функций Ганкеля. Для
определенности все рассуждения и выкладки будем
проводить для функции #v (г). Поставим задачу получить
асимптотическое представление для H'v(z) при больших
положительных значениях переменной г. Будем полагать,
что v — фиксированное число и z^>|v|.
Согласно формуле D0) Ну (г) можно записать в виде
НУ (г) = BltV (z) + 52,v (г) + В, (г), G4)
где
с1, н
с1,в
о
Здесь С1>н — нижняя часть контура интегрирования Сх в
формуле D0), С1|В — верхняя часть контура Сх. В интеграле
Bv(z) интегрирование производится по отрезку [—л;, 0]
вещественной оси. Легко получить оценки интегралов
Bhv(z) и Ба>УB)при больших положительных значениях г.
В сдмом деле, на CliB £ =— п + Ф, 0^C <оо и sing =
= — i sh p, Следовательно,
oo
317
Так как z^>|v| и shp^p, то
оо
I B2tV (г) | ss — | е- а* 11 [ е- Р <2+v> dp
11 J J
= —- i p— ivn I
Я >* I |2+Vj
/ 1
Таким образом, при z-^ + oo
Ha Clf„ 6 = fP, P<0, и sin| = /shp. Поэтому
— oo oo
0 ^0
Следовательно,
G5)
\BiA*)\
oo
1 1
Jt I Z—V I
Таким образом, пр*и z-*-\-oo
|fii,v(z)|<0(l/z).
5. Для оценки JBV (г) при г-^ + оо нам потребуются
две леммы.
Лемма 1. Если в интеграле
F(z)=\eizfM<p(t)dt G6)
а
функции f (I) и ср (£)//' (|) имеют непрерывные на отрезке
[ее, р] производные и f (g) не обращается в нуль на [а, |3],
то при Z-+ + 00
F(z) = 0(l/z).
Доказательств9. Очевидно,
FM = ii[ i®.Irefc/(*)idt=
iz I/'/V4
'(&)
:_^,m,||[f|]rf|bo(i),
так как последний интеграл и результат подстановки
чисел а и Р в проинтегрированную часть ограничены по
модулю константами, не зависящими от г.
Лемма 2. Пусть функции /(£) w ф(£) аналитичны
всюду, a /(£) вещественна при вещественных значениях
318
переменной | и монотонно убывает на отрезке [а, р],
П5)^° при \фа, /'(а) -О а /"(а)<0. Тогда лгр^
1 *2/(а)_/" / !
'М-ЫтяГфО.—^+о!!). G7)
■2г/"(а)|
Доказательство. Очевидно,
F z) = ^ е'>у^> ф (|) dg + ^ e<>/ (|) ФF) rfi
Второй интеграл по лемме 1 есть 0(\/г) при любом е>0.
В дальнейшем будем считать, что 8 —малое число.
Рассмотрим интеграл
Л(*) = а$^'(*>Ф(Б)<*Б.
а
Произведем в нем замену переменной интегрирования по
формуле
u = Vf(*)-f&),
беря арифметическое значение квадратного корня. Точка
1 = а перейдет при этом в точку и = 0. Соотношение
можно разрешить относительно £. Так как функция /(g)
аналитична в окрестности £ = а, то £ = £ (w) ~
аналитическая функция в окрестности и = 0 и £@) = а. Произведя
указанную замену, получим
/?х (г) = № <«) J г- '*«■ Ф [^ (и)] ^ du,
где «J = ]/"/ (а) — / (а + е). В силу аналитичности
функции ф (£) и произвольной малости числа е можно считать,
что функция я|>(и) = ф [g(и)] аналитична в круге \u\^uv
Из соотношения u2 = f(a)—f(£) находим
2 gJ + 2«g =-/"(?)• G8)
WE/ <«
Так как н(а) = 0,'то из G8) получаем
«ИХ,—™.
319
Отсюда
(f) =1/s
\duja-o V — f
(a)
В силу аналитичности функции 1(и) в окрестности
и —0 ее производную -j можно представить в виде
du
du
-v=?
(а)
■ubx (u)y
где 8Х (и) аналитична в области l^j^r^. В силу
аналитичности функции я|) (и) в круге | и | <; иг ее можно
представить в виде
i|> (и) = ф [| (а)] = ф (а) + и62 (и),
где б2 (а) аналитична в круге | и | <; и1# Следовательно,
ф[^^S^ф(a)l/Гз7^й+tг9з(w), G9)
где 83 (и) аналитична в круге | и | ^ uv Пользуясь
формулой G9), получаем
«1
F, (г) = ф (а) ]/ з^ е*> «*> J er ™> du +
О
Hi
+ eizf^ \ ue-i2»2 б3 (и) du. (80)
о
Второй интеграл равен
±y,(u)d(er*"*) =
= ' \е-ь"Ва(и)
I
J e5(tt)e-'«'dttf = 0D-), (81)
так как последний интеграл и результат подстановки
чисел 0 и иг в проинтегрированную часть ограничены по
модулю константами, не зависящими от г.
Далее,
Mi Vizux (со оо л
\e-izu'du=n\e-**d^M^'d*- Se_p24
о
320
> izut
или
0 '
так как V. e-02dp =Ofyj. Таким образом,
|е--^«=1|Л|е-^ + о({). (82)
Заменяя интегралы в формуле (80) их значениями (81)
и (82), получим формулу G7). Лемма доказана.
6. Обратимся к оценке интеграла Bv(z):
0 п
Bv (г) = -^ ^ е-iz sin 5 + 'vs d£ = ~ f е'гsin S ~ 'v5 rfg.
— я о
Функцию 5v(z) можно представить в виде
Bv(z) = Alv(z) + A2v(z)>
где^
Лlv (г) = ~ [ eiz sin 5 - ^ d£, Л2V (*) = -М ^'г sin s ~ivl d%.
О я/2
В интеграле i42v(z) /E) = sing, а = я/2, Р = я, <p(£)=e"~/v*
и все условия леммы 2 выполнены. Согласно этой лемме
*.м-И£}*'-''*«'-'?+°A).
В интеграле 4lv(z) сделаем замену переменной
интегрирования по формуле g = y —/. Получим
о
Для этого интеграла а = 0, Р =у, f(t) = co$t, y(t)=eitv
и все условия леммы 2 также выполнены. Согласно этой
лемме
11 В. Я. Арсении 321
Таким образом,
B.w=/I«'('"vf"f)+"(l)- w>
Из формул G4), G5), G6) и (83) получаем
Совершенно аналогично устанавливается формула
■ W'W-VrSe-'(-vf"-^+0,(l). (85)
Используя соотношения D8) и E2), получаем для
больших положительных значений z
AB)=/|cos(z-vJ_i)+4[0,(i-)+0,(i)] (86)
и
^) = /!si„(*-vf-f) + i[0l(i)-Oa(i)]. (87)
Замечание. Формулы (84)—(87) справедливы для
всех комплексных значений z таких, что |z|^>|v| и
I arg z | ^ я — б *), где б — произвольное малое
положительное число. Но в п. 3 мы установили, что
асимптотика функций Бесселя и Неймана при г-^+оо имеет вид
А81п(г+бо)+о(^)
при соответствующих значениях постоянных А0 и б0 для
Jv(z) и Nv(z).
Отсюда и из формул (86) и (87), используя
единственность асимптотического представления, находим, что
добавочные члены 01(l/z) и 02(l/z) в формулах (84) и (85)
убывают при z-^ + oo, как 0(z~3/2).
*) См. Лебедев Н. Н., Специальные функции и их
приложения, Изд 2-е, Физматгиз, 1963.
322
Таким образом, при z-> + oo справедливы следующие
асимптотические представления:
^,(г) = /1в-/B-^-т) + 0(Г4))
'/v(z) = >/r|2cos(z-v|-|) + oB"^)) (88)
^B)==j^lsin(z-vf-f) + °B_4- <89>
Так как функция ег не имеет нулей, то
асимптотические представления для функций Ганкеля можно записать
в виде
м'&=уу('~,!*~Ч1+°{тI <9о)
ВД'<г>-У1е-'Н|-?)[1+0A)]. ОТ
7. Из асимптотических представлений непосредственно
следует теорема 3 § 4, а также утверждение: расстояние
между двумя соседними нулями функций Бесселя Jv(z)
(а также функций Неймана) стремится к я с
неограниченным ростом абсолютных величин нулей.
На рис. 35 приводятся графики функций Бесселя,
а на рис. 36 —графики функций Неймана. Если
воспользоваться формулами E8) и E9) (§ 6), то легко получить
следующие асимптотические представления функций /v (г)
и Kv(z) при больших \г\ и |argz| <-2~ — 8:
Mz) = /JHl+0(|)}, (92)
Kv(z) = |/l<r*{l+0(j)}. (93)
На рис. 37 и 38 приведены графики функций Kv(*)
и Iv(x).
8. Одним из наиболее употребительных методов
получения асимптотических представлений является метод
перевала. Сущность этого метода состоит в том, что при
11* 323
I,U
07
Of
/7?
U,0
OJ
и
. П9
0,6
ПА
U,4-
■0,6
■0,8
./п
\
1
/
г
у
\
\
А
Л
\
!
1
\
Л
г
л
U\
\
\
\
\
лч.
('
\
\
г
\
V
/
/
\
А
/V
\У\
/
1
/
/
<
1
|/
1
1
!
»
J°\
А
j.
—
J
4*
/20/
—i/
т
г
X
2f
Рис. 35.
324
больших значениях переменной х величина интеграла
/(*) = $*(£) ***<*> dg
с
определяется главным образом тем участком Си контура
JC
интегрирования С, на котором | е*ч> <6) | = е* Re *<!> велик по
сравнению со значениями этого модуля на остальной части
контура С. При этом интеграл по участку Си оценивается
тем легче, чем меньше этот участок и чем круче падает
величина #Recp(|). При применении метода перевала ста-
32£
раются деформировать путь интегрирования С в наиболее
выгодный, в указанном выше смысле, контур С, По
теореме Коши такая деформация, если она не выводит за
пределы области аналитичности функций ср (£) и г|> (£) и
области существования интеграла, не меняет значения
интеграла. В силу аналитичности функции <р (£) = и (а, Р) +
+ iv(a, Р), £ = а + *Р, направление наибыстрейшего
изменения функции и (а, Р) совпадает с направлением линии
v (a, P) = const. Контур Си должен содержать точку g0 =
= «о + Фо» в которой и (а, Р) достигает наибольшего
значения (среди значений этой функции на С).
Нетрудно показать, что q/ (£0) = 0. Действительно,
производная'от а (а, р) вдоль линии С, взятая в точке |0,
равна нулю, ~ _ =0, так как в точке £0 функция и (а, Р)
достигает максимального значения (вдоль С).
Далее, ~ =0, поскольку в окрестности точки | = £0
имеем у = const (вдоль С). Поэтому
г /* \ ди
Ф (£о)=^
. .dv
Ев0'
Точка go Для поверхности и = и(а, Р) является, очевидно,
точкой перевала (седловой точкой).
Таким образом, при применении метода перевала
к асимптотической оценке интеграла $ ty (£) eX(? il) dl путь
с
интегрирования С надо деформировать в путь С,
проходящий через точку £0, в которой <р' (g0) = 0, и в
окрестности этой точки совпадающий с линией v (а, Р) = const =
= v(a0, Ра)*).
*) Заметим, что окрестность точки перевала £0 разбивается
линией уровня и (а, C) = и(а0, р0) на 2я секторов (л^2, где (л— 1) —
кратность нуля функции q/ (£) в точке g0), над которыми
поверхность и = и(а, Р) находится попеременно то выше, то ниже своей
касательной плоскости в точке (а0, р0, и0). Линия v (а, Р) = у(а0, р0)
в окрестности точки |0 состоит из л линий, проходящих через точку £0
в направлении биссектрис упомянутых секторов. Одну из таких линий
и следует взять в качестве С. Если и = и(а, J3) имеет несколько
точек перевала g0» то в качестве С надо выбрать линию наиболее
крутого перевала.
326
Оценка интеграла
$ y(l)ex^dl
си
производится следующим образом.
Функции я|)(£) и /(£) заменяются их приближенными
значениями
W^&J + G-SoW(£o), /A)^/(У+Ч^/"Aо),
а интеграл по контуру Си заменяется интегралом*)
C\l
Последний интеграл соответствующей заменой переменной
интегрирования приводится к интегралу
£ J '■'■*
в котором a (x) ->оо при * ->оо . Он равен
Следовательно,
Си
Здесь указана лишь идея получения асимптотических
представлений интеграла $ ij) (£) е*/(^ d£ при *->оо. Под-
с
робное обоснование метода перевала смотрите, например,
в книге Д. Г. Свешникова и А. Н. Тихонова**).
*) При этом пренебрегаем слагаемым (g — g0) i|/ (g0)> малым в
сравнении с г); (g0).
**) Свешников А. Г., Тихонов А. Н.8 Теория функций
комплексной переменной, «Наука», 1967.
327
§ 8. Функции Эйри
Ряд задач физики (например, задача о движении
заряженной частицы в однородном электрическом поле и др.)
приводит к уравнению
у"-ху = 0. (94)
Произведем замену неизвестной функции по формулам
У хг(х) для х^О,
Y—xz(x) для х<.0.
Для функции z(x) получим уравнение
У (х) =
* + ±г'(х)-[ш + х)* = 0
4а:2
(95)
Для построения общего решения этого уравнения
произведем в нем замену независимой переменной по
формулам
' -V х3/2 для х ^ О,
t--
2(_х)з/2==2|х|з/2
для х < 0.
При этом уравнение (95) перейдет в уравнения
d4
dP
d*z
dt2
+
+
1
t
1
t
dz
' dt
dz
' dt
+
±_|l/9 + l
j _I/9
z = 0 для x^O,
2 = 0 для л:<0.
Это — уравнения цилиндрических функций. Их общие
решения можно записать в следующем виде:
2@ = С1/-1/8@ + Са/1/з@ для х^О,
z(t) = D1J-.m(t) + D2Jl/s(fi для х<0.
Следовательно, общее решение уравнения (94) можно
записать в виде
|К* [сх1- i/з D *3/2) + С2/1/3 (| ***)] для х ^ 0,
^[^-^ для *<0.
Если произвольные постоянные Clf C2, Dlf D2 взять
равными
d = — C8 = D1 = D8=l/3 и C1 = Ca = D1 = —Da= 1/3,
328
#М:
получим функции Эйри Ai (х) и Bi (х):
Ц- [/_ 1/3 (} #*) - /1/3 (\ &*)] для х ^ О,
1%1[/_1/3D|х|з/2) + /1/3(-|^|з/-2)] для ж<0;
Ai(x) = {
Bi(x)
' Ц [/_ и, (| *>*) + /1/3 (| *»/*)] для х ^ О,
^[j_1/3D|xi3/^-y1/3(|-|xi^)] для х<0.
Из представления функций /v(/) и Jv(t) в виде
обобщенных степенных рядов следует, что
1 о-/ х 1
*-1о |А18 Г B/3)'
*-Y |А18 Г B/3)
Применяя приведенные в § 7 рассуждения (с очевидными
несущественными изменениями) к функциям I_v(t)^zlv(t)
и J_v(t)± Jv(t), нетрудно получить следующие
асимптотические представления функций Эйри:
Ai(x) = -^—x-^e 3 [1+0 (х-***)] для *-> + оо,
2 у л
Ai(x)=-^x-Ms'm(-\x\*'* + -)x
у п \3 4/
X [1 + О (| х |—7/4)] для лг-^ — оо;
1/яГ - JC3/2
B/^^iLi^-iAeS [1+0(jt-3/*)] для х-> + оо,
Bi (х) = $г *~1/* sin (-- | х |в/2 + -) X
У я \3 4/
X [1+0(|*|~~7/4)] для дг-* — оо.
Имеются таблицы функций Эйри.
ЗАДАЧИ
1, Найти температуру бесконечного круглого цилиндра, начальная
температура которого равна и (г, 0) = ЛA—-^ , а на поверхности
его поддерживается температура, равная нулю.
2. Цилиндрический однородный проводник радиуса R длительное
время нагревался постоянным током силы /. Исследовать процесс
остывания проводника после выключения тока, если в течение всего
процесса на поверхности проводника происходил теплообмен по
закону Ньютона со средой нулевой температуры.
329
3. Вне бесконечного круглого проводящего цилиндра O^r^R
в момент / = 0 мгновенно установилось постоянное магнитное поле Я0)
параллельное оси цилиндра. Найти напряженность магнитного поля
внутри цилиндра при нулевых начальных данных. Найти поток
магнитной индукции через поперечное сечение цилиндра.
4. Найти температуру цилиндрической трубы Rx^r ^R2, если
с момента / = 0 через ее внешнюю поверхность подается снаружи
тепловой поток плотности q, а внутренняя поверхность
поддерживается при нулевой температуре. Начальная температура нулевая.
5. Решить задачу о колебаниях круглой мембраны с
закрепленными краями под действием равномерно распределенной нагрузки
Q = const, приложенной с одной стороны с момента / = 0.
6. Решить задачу 5 для случаев: a) Q = A sin со/; б) Q = A cos со/;
в) нагрузка Q распределена по площади кольца Ri^r^R2
(рассмотреть также случай R1 = R2),.
7. Решить задачу о колебаниях круглой мембраны O^r^R,
вызванных движением ее края для / > 0 по законам: а) и (R, t) =
= A sin со/; б) и (R, t) — A cos со/. Начальное возбуждение отсутствует.
8. Решить задачу о колебаниях круглой мембраны O^r^R
с закрепленным краем под действием точечного импульса Р,
сообщенного мембране в момент / = 0 в точке (r0, cp0)-
9. Найти распределение потенциала электростатического поля
внутри полого цилиндра радиуса R и высоты /г, нижнее основание
(z = 0) и боковая поверхность которого имеют потенциал V0, а
верхнее основание — потенциал Vv
10. Постоянный ток силы / поступает через один торец цилинд-
ического проводника, изготовленного из материала с проводимостью
и отводится с противоположного торца. Определить распределение
токового потенциала внутри проводника, считая, что подводящие
контакты суть диски радиуса Rx<:R (/? — радиус цилиндра) и ток
по ним распределен с постоянной плотностью.
11. Через цилиндрический образец радиуса R и высоты h
пропущена тонкая проволока, нагреваемая постоянным током,
выделяющим тепло Q на единицу длины. Найти распределение
температуры в образце, считая, что боковая поверхность цилиндра
поддерживается при нулевой температуре, а на его основаниях
происходит теплообмен по закону Ньютона со средой нулевой температуры.
12. Найти температуру бесконечного круглого цилиндра 0^
^r^R, если его начальная температура рав'на u0 = const, а на его
поверхность с момента / = 0 извне подается постоянный тепловой
поток плотности q.
13. Решить задачу о собственных колебаниях (т. е. найти с. з.
и с. ф.) круглого цилиндра длины h при граничных условиях
первого, второго и третьего типов.
14. Решить ^задачу о собственных колебаниях мембраны,
имеющей форму кругового сектора (r^R, О^ср^сх), при условиях
первого, второго и третьего типов.
15. Найти температуру бесконечного цилиндрического сектора
O^r^Ry О^ф^а, если на его поверхности поддерживается
нулевая температура, а начальная температура произвольна.
16. Найти температуру конечного круглого цилиндра,
поверхность которого поддерживается при нулевой температуре, а
начальная температура произвольна.
17. Круглая мембрана радиуса R нагружена сосредоточенной
массой т в ее центре. Найти собственные значения Хп этой мем-
330
браны. Сравнить их с собственными значениями ненагруженной
мембраны. Рассмотреть два случая: а) т мало; б) т велико.
18. Найти коэффициенты разложения функции е2 ^ 1> по
целым степеням t.
19. ВЫЧИСЛИТЬ /+1/2 (я?), К±1/2 W, #+1/2 (ж)э Н±\/2 (х)> ^±\/2 №'
20. Найти стационарное распределение концентрации
неустойчивого газа внутри бесконечного круглого цилиндра, если на его
поверхности поддерживается постоянная концентрация и0.
21. Решить задачу 20 для области, внешней к цилиндру.
22. Найти электростатическое поле внутри цилиндра (O^r^R,
О^г^Л), торцы и боковая поверхность которого имеют
соответственно потенциалы иъ и2 и и0.
23. Найти стационарную температуру круглого цилиндра
высоты h, нижнее основание которого теплоизолировано, на верхнем
происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой
нулевой температуры, а боковая поверхность поддерживается при
темпер ату ре и | г = ^=/ (г).
24. Стенка цилиндрического канала, просверленного в
неограниченной плоской пластине толщины Л, поддерживается при
температуре uQ = const. Найти стационарное распределение температуры в
пластине, если ее грани поддерживаются при нулевой температуре.
25. Найти температуру в цилиндре (O^r^R, 0^2:<:Л), если
его начальная температура равна нулю и начиная с момента £ = 0
основание цилиндра z=h поддерживается при температуре w0 = const,
а остальная часть поверхности — при нулевой температуре.
Глава XV
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Мы уже отмечали, что к специальным функциям
относятся также некоторые классы ортогональных
многочленов. В настоящей главе мы рассмотрим наиболее
употребительные из них в задачах математической физики.
Сначала рассмотрим некоторые общие свойства таких
многочленов, а затем, более подробно, — каждый класс в
отдельности.
§ 1. Некоторые общие свойства
ортогональных многочленов
1. Пусть система многочленов {qn(x)} является
ортогональной (с весом р (х) > 0) системой на промежутке
(а, Ь), т. е. для любых целых чисел п^ 0 и k^0 выпол-
ь
няется равенство § qn (x) qk (x) p (x) dx = 0 (пфк).
а
Здесь qn (x) — многочлен степени п. Отметим
простейшие свойства многочленов qn(x) этой системы.
Свойство 1. Всякий многочлен Qm(x) степени т
является линейной комбинацией многочленов q0 (x), qx (х),...
..., qm{x)y т. е. существуют такие постоянные числа с0,
Сц • • • у Ст> что выполняется тождество
т
Qm(x)= 2 ад*М. (*)
k = 0
В обеих частях соотношения (*) — многочлен т-й
степени. Для тождественного равенства их в обеих частях
(*) должны быть равными коэффициенты при одинаковых
степенях х. Из этих условий (их т +1) находятся все
332
числа ci% Их можно также определить, пользуясь
свойством ортогональности многочленов qk (х), по формулам
ь
ck = j^\^Qm{x)qk(x)p{x)dx) £ = 0, 1, ...,m,
а
где
ь
hkt = \q\{x)^{x)dx.
а
Свойство 2. Всякий многочлен Qm(x) степени т
ортогонален с весом р (х) на промежутке (а, Ь) всем
многочленам системы {qn{x)} степени т + г, где г^1, т. е.
ь
\Qm(x)qm+r(x)p(x)dx=Q для г=1, 2, ...
а
Действительно, пользуясь тождеством (*) и
ортогональностью многочленов qk(x)> находим
b m b
\ Qm (х) qm-,r (х) р (*) dx = 2 с*\ У* (х) Ят^г [х) 9 {х) dx = 0.
a k = 0 a
Будем говорить, что многочлены {qn (x)} образуют
нормальную систему, если среди них имеются многочлены
всех неотрицательных степеней.
Свойство 3 выражает следующая
Теорема о нулях многочленов. Если
многочлены {qn(x)} (<7o(*)=l) попарно ортогональны на
промежутке (а, Ь) с весом р (х) > 0 и образуют нормальную
систему у то у всякого многочлена qn{x) этой системы все
нули простые, вещественные и расположены внутри
промежутка (а, Ь).
Доказательство. Пусть п — произвольное
фиксированное целое положительное число. В силу
ортогональности многочленов qn (x) и q0 (x) = 1 имеем
ь
$9*(*)-bp(*)d* = 0.
а
Следовательно, qn(x) меняет знак на промежутке (а, Ь)
в некотором числе k различных точек (k^\). Пусть это
происходит в точках хъ х2У ..., xk (xt е (а, Ь) и хьФх^
при /=£;). Тогда qri{x) = {x — *i)(x — x2)...{x — xk)yn(x),
где фЛ(х) не меняет знак на (а, Ь), Очевидно, для
333
доказательства теоремы достаточно показать, что k = n.
Предположим, что k<n. По свойству 1 для многочлена
Rk (х) = (л: — хх)... (х — xk) справедливо разложение
Rk(x)=a0q0(x) + a1q1(x) + ...+akqk(x), в котором ак=£0.
По свойству 2
ь
\qn(x)Rk{x)p(x)dx = 0.
а
С другой стороны,
ь ъ
О = $ <7л(x)Rk (x) P (x) dx = \q>n(x)R\(x)p(x) dx>0,
а , а
так как функция срп (х) R% (х) р (х) не меняет знак на (а, Ь).
Получили противоречие. Следовательно, k = n. Теорема
доказана.
Так как между двумя нулями дифференцируемой
функции f(x) имеется хотя бы один нуль ее производной f (x),
то из этого свойства и теоремы получаем
Следствие. Все нули производных всякого многочлена
qn(x) из нормальной ортогональной системы {qn(x)}
простые и расположены внутри промежутка (а> Ь).
2. Для промежутка ортогональности (а, Ь)
многочленов семейства {qn(x)} допустимы три возможности:
1) Промежуток (а, Ъ) конечный.
Линейным преобразованием переменной х его можно
преобразовать в промежуток (—1, 1).
2) Промежуток (а, Ь) полубесконечный.
Линейным преобразованием переменной х его можно
преобразовать в промежуток @, со).
3) Промежуток (а, Ь) бесконечный в обе стороны, т. е.
(а, Ь) есть (— оо, оо).
Имея это в виду, достаточно изучить семейства
многочленов, ортогональных на промежутках (—-1, 1), @, оо),
(— оо, оо).
В этой главе мы рассмотрим три семейства таких
многочленов. Каждое из этих семейств можно определить
несколькими способами (мы укажем их). Мы определим
их с помощью производящих функций. Хотя этот способ
выглядит несколько формальным, но он позволяет
проще и короче получить основные свойства этих
многочленов.
334
§ 2. Многочлены Лежандра
1. Функция ¥(х, 0 = 0 — 2xt + t2)~l/2 аналитична по
переменной t в окрестности / = 0. Поэтому ее можно
разложить в степенной ряд по степеням t. Получим
V(x9 t) = PQ(x) + P1(x)t + ... + Pn(x)t* + ... A)
Ниже будет показано, что коэффициенты этого
разложения Рп(х) являются многочленами, называемыми
многочленами Лежандра.
Функция ¥(*, t) называется производящей функцией
многочленов Лежандра.
Полагая в разложении A) дг=1, получим
^A, t) = -~==\+t + ... + t» + ...
Следовательно, РпA) = 1. Полагая в разложении A)
х = — 1, получим
¥(_!, t) = 1±1=l-t + ... + (-lL» + ...
Следовательно, Ря(—1) — (—\)п. Очевидно,
P^ = H-wL- B)
С другой стороны, производная я-го порядка -^ от
функции Ч? при / = 0 вычисляется по формуле*)
/-о
2ш' J Б»+1 й^ ™
где С— замкнутый контур, охватывающий точку 1 = 0.
В интеграле BХ) произведем замену переменной
интегрирования
V 1-2*6 + 6»= 1-5*.
Получим
n f ч я! С 2ял! l ; , /оч
^W^Sff 3 («-*)»* dz- C)
Здесь Cf —замкнутый контур, охватывающий точку г = x.
*) Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В., Методы теории
функций комплексного переменного, гл. I, «Наука», 1973.
335
Используя формулу для п-й производной интеграла
Коши, получим
РяМ = 241-£[(^-1Г]. D)
Таким образом, Рп (х) действительно является
многочленом, и притом /г-го порядка. Формулу D) часто
называют формулой Род рига.
Из формулы D) следует свойство четности
многочленов Лежандра: P2k (г) — четная функция, P2*+i (z) —
нечетная. Очевидно,
Po(x)-U Pi(x) = x, P*(x) = yx2-Y-
2. Нетрудно получить дифференциальное уравнение,
решением которого является Рп(х). Для этого рассмотрим
функцию w = (x2— 1)". Очевидно,
w' = 2пх (х2 - 1 )п~г = 2nxw/(x2 - 1),
или
(х2 — 1) w' — 2nxw = 0.
Дифференцируя это тождество /г+1 раз, получим
{x2-l)[w^]f, + 2x[w^Y-n(n+l)w^ = 0.
Таким образом, функция w(n) (x), а следовательно и Ря (х)
поскольку Рп (х) = т^-у ^(/г) (*)), удовлетворяет уравнению
{1-х*)у"-2ху'+Ху = 0 (при Я = л(л+1)). E)
Оно называется уравнением Лежандра. Его можно
написать также в следующем виде:
^[A-*2)</']-|-^ = 0. E0
Второе, линейно независимое с Рп(х) решение
уравнения E), по теореме гл. XIV, § 1 имеет в точках х = ±1
логарифмическую особенность.
Замечание. К построению многочленов Лежандра
можно подойти и иначе: искать ограниченное на отрезке
[—1, 1] решение уравнения E) в виде степенного ряда
оо
^ckxk. При Х = п(п+1) этот ряд обрывается на члене
с п-й степенью, т. е. при Л = я (лг + 1) решением будет
многочлен п-й степени Рп(х). Он отличается от многочлена
336
Лежандра п-й степени лишь постоянным множителем. Этот
множитель выбирается так, чтобы иметь Рп(\)=1.
Формулу Родрига также можно принять в качестве
определения многочленов Лежандра.
3. Пользуясь определением A) многочленов Рп{х),
легко можно доказать справедливость двух рекуррентных
соотношений:
(п + 1) Рп+1 (х) - Bл + 1) хРп (х) + пРп_г (х) в 0, F)
Р" М = 5TJT ^ W - P'"-i Wb <7>
Для этого продифференцируем по переменным /их
разложение A). Получим тождества
S = rr5+?-^ + ^ + - + W + -').
или
(*-0(Р0 + р1/ + ... + ря/* + ..^ =
= A - 2jrf + О (Рх + 2/у + • •. + nPnt"* + ...),
t(P0 + P1t + ... + Pnt» + ...)^
= A-2xt + P)(P'Q +P[t+ ... + P'nt*+ ...);
Сравнивая в последних тождествах коэффициенты при
одинаковых степенях t, получим тождества
(п + 1) Рп+1 (х) - Bл + 1) хРп (х) + пРп_г (х) = 0 F)
и
Рп (х) = Р'п+1 (х) - 2хР'п (х) + Р'п_! (х). (8)
Дифференцируя тождество F), получим
(п+1)Р'п+Лх)-Bп+1)Ря(х)-
- B/i + 1) хЯ; (х) + nPLi (*) = 0.
Исключая из этого соотношения и соотношения (8)
произведение хР'п(х), получим тождество G).
Замечание 1.С помощью соотношения F) и
формул Р0 (х) = 1, Рх (х) = х, очевидно, можно определить все
многочлены Лежандра.
*) Читателю предлагается самому доказать законность
почленного дифференцирования разложения A) по переменной х.
337
Замечание 2. Соотношение G) позволяет выразить
интеграл от многочлена Лежандра $ Рп (х) dx через
многочлены Рп+Х(х) и Pn-i(x)-
4. Теорема 1. Многочлены Лежандра ортогональны
на отрезке [—1, 1] с весом р(х)= 1, т. е.
1
\ Pn(x)Pk(x)dx = 0, если пФИ.
— 1
Действительно, напишем два тождества:
J;[(l-x2)Pn] + n(n+\)Pn(x)^0,
^W-~x2)P'k) + k(k+\)Pk(x) = 0.
Первое из них умножим на Pk(x), второе— на Рп{х)\
результаты вычтем один из другого и полученную разность
проинтегрируем (по х) по промежутку [—1, 1]. Получим
1
Ир^[A~х2)р;]_/>л^[A"х2)^]}л=
= [k(k+\)-n(n+])] \Pn{x)Pk{x)dx,
— 1
или
1
^{(l-x*)(P'nPh-PnP'k)}dx =
1
= (k-n)(k + n+l) \Pn(x)Pk(x)dx.
— i
Следовательно,
—l
\Pk{x)Pn{x)dx =
= (k-nnUn+l) «] ~*2) (P"P*~P"PW-i = 0
при пфк.
Таким образом, семейство многочленов Лежандра
{Рп(х)} есть нормальное семейство ортогональных
многочленов, и, следовательно, к ним применима теорема § 1
и ее следствие, т. е. верна
338
Теорема 2. Все нули всякого многочлена Лежандра
Рп(х) с п > 0 и его производной любого порядка г<.п
pw (х) простые, вещественные и расположены внутри
промежутка (—1, 1).
i
5. Вычислим квадрат нормы ||Р„||2= § P%(x)dx. Для
— 1
этого один из множителей подынтегральной функции Рп (х)
выразим через Рп_г и Рп_2 по формуле F), заменив в ней п
на /г — 1. Получим
1 1
\\Pnf = \pnPndx= \pn^^xPn^-n-^Pn_2)dx =
^xPnP^dx.
— 1
2n-l
— 1
Мы здесь воспользовались ортогональностью многочленов
Рп и Рп_2. В последнем интеграле произведение хРп
выразим по формуле F) через PnJrl и Рп_ъ Получим
1
_ 2Л=1. { р* АХ
или
\\Pn\f=2£=±\\Pn-iT. (9)
При этом мы снова воспользовались ортогональностью
многочленов Рп__г и Рп+1.
Если соотношения (9) написать для л = 2, 3, ..., А и
затем перемножить их, получим
■id M_3>|Pi|P_ 2 (Ш)
11 *" 2£+1 26+1'
так как f^f = 2/3.
6. Теорема 3. Всякое решение уравнения Eх) #(х),
отвечающее параметру Х = %фп(п-\-1) (п — произвольное
фиксированное неотрицательное целое число) и непрерывное
на отрезке [—1, 1], ортогонально многочленам Лежандра
Рп(х) на промежутке (-—1, 1) с весом р(х)=1.
339
Доказательство. Исходя из тождеств
где Хп = п(п+\), как и при доказательстве теоремы 2,
находим
х
^яE)у(|)^ = -Цг[Ф(д:)-Ф@]. (И)
у ЛЛ —Л
где
y(z) = (\-z*)[y'(z)Pn(z)--y(z)P'n(z)]ii-l<t<x<L A2)
Переходя в (И) к пределу по переменным х и / при
л:->1, ^->— 1, получим
1
\ Рп (|) у (|) rfg = —Ц: Him Ф (х) - lim ф Щ.
Таким образом, для доказательства теоремы
достаточно показать, что справедлива
Лемма. Имеют место соотношения
Нтф(#) = 0 и lim ф(/)=0,
Х-+1 t-+— 1
х<\ _ />-1
Доказательство. Из A1) имеем
X
Ф (*) = Ф @ + (Яя - Я) J Pn ®y® d% A3)
для любых х и t, —1</<х<1. Зафиксируем /.
Поскольку правая часть в A3) непрерывна по х на отрезке
[/, 1], то <р(х) также непрерывна на [t, 1]. Следовательно,
существует конечный предел
lim ф(х) = срA).
х-*\
х<\
Покажем, что ф A) = 0. Допустим, что ф A) Ф0. Тогда на
некотором отрезке [х1у 1] функция ц(х) не обращается
340
в нуль. Так как РЛA) = 1, то существует отрезок [х0, 1],
на котором ф (х) и Рп (х) не обращаются в нуль.
Из A2) получаем
A IlM\ = ФB)
dz lP„(z)J—(l-z»)P8n<
Следовательно, для x0^x<.l
(~. х
) (z) dz
г*)Р>п{г)Г
Применяя к интегралу теорему о среднем значении,
получим
* dz \
1-хГ
Х0 >
7. (Y\ - р (у\ J У(хо) , Ф(д) С
у W - ^» W р^) + A +в) р*п (а) )
где х0^а^х, или
Поскольку при фиксированном х0 а = а(х)^х, то при
любом х из отрезка [х0, 1] функция
Ф (д (*))
li+eWl^feW)
не обращается в нуль. Следовательно, согласно A4)
функция у(х) неограничена в окрестности х=1. Так как это
противоречит условию о непрерывности у(х) на отрезке
[—1, 1], то допущение, что фA)=^=0, неверно.
Для ф (t) доказательство совершенно аналогично. Лемма
доказана.
Замечание. Из теоремы 3 непосредственно следует
теорема 1.
Теорема 4. Всякая функция J (х), непрерывная на
отрезке [—1, 1] и ортогональная с весом р (х) = 1 на про-
межутке [—1, 1] всем многочленам Лежандра,
тождественно равна нулю, f(x)=z=0.
Доказательство. Пусть
341
Напомним, что если функция Ф (х) интегрируема
с квадратом на промежутке (—со, со), то к ней
применимо (т. е. для нее существует) преобразование Фурье *).
Очевидно, функция Д (х) интегрируема с квадратом на
промежутке (—со, со). Ее преобразование Фурье имеет
вид
00 1
Fx (со) = $ f1(x)e~ix@dx = \f(x)e~ix@dx. A5)
— оо — 1
Так как е-''*'0 — аналитическая всюду функция
переменной со, то и Fx (со) аналитична всюду, поскольку интеграл
A5) не является несобственным и производная от него
по со существует при любом со. Функцию F± (со) можно
представить степенным рядом, сходящимся к ней всюду:
^(а>) = ^@) + а^НО) + ... + со*^ + ...
Все коэффициенты этого ряда равны нулю. В самом деле,
1 1 Г k S
F[k40) = (-i)k I xkf{x)dx = {-i)k \f(x)\%crPr(x)\dx=Q9
так как по условию теоремы / (х) ортогональна всем
многочленам Лежандра. Мы здесь использовали также
свойство 1 (§ 1) многочленов Лежандра. Таким образом,
Fx (со) = 0. Применяя обратное преобразование Фурье
к функции /^(со), получим fi(x). Таким образом,
00
-—00
Следовательно, и /(#)s=0. Теорема доказана.
Замечание. Пусть {fn(x)} (я = 0, 1, 2, ..^ —
семейство функций, определенных на промежутке (а, Ь) и
попарно ортогональных на (а, Ь) с весом р(х). Если для
всякой функции /(*), принадлежащей семейству 5, из
ортогональности f(x) (с весом р(х)) всем функциям
семейства {/Л*)} следует, что f(x) = 0, то говорят, что
семейство (fn{x)} замкнуто относительно семейства 5.
Теорема 4 устанавливает замкнутость семейства
многочленов Лежандра относительно семейства всех
непрерывных на [—1, 1] функций.
*) См. Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. II,
«Наука», 1967.
342
7- Многочлены Лежандра можно также рассматривать
как собственные функции следующей краевой задачи: найти
значения параметра X и отвечающие им решения уравнения
^[(i-*2)s/']+^ = o, E0
непрерывные и, следовательно, ограниченные на отрезке
[—1, 1]. Числа Хп-=п(п-\-\), где п — целые
неотрицательные числа, являются собственными значениями этой за-
дачи, а Рп (х) — отвечающими им собственными функциями.
Возникает вопрос: исчерпываются ли совокупностями
{Кп} и {Рп(х)} все собственные значения и собственные
функции вышеприведенной краевой задачи?
Утвердительный ответ на этот вопрос непосредственно
следует из теорем 3 и 4. Таким образом, совокупность
многочленов Лежандра исчерпывает все непрерывные и
ограниченные на отрезке [—1, 1] решения уравнения
Лежандра Eх).
8. Для многочленов Лежандра справедливо также
интегральное представление для значений хе(—1, 1):
2л
P"W = h \ U + iVT^sinyYdy. A6)
о
Для получения его в формуле C) настоящей главы
в качестве контура Сх возьмем окружность радиуса 7?,
# = Yl— х2 (|х|<1), с центром в точке z = x и
произведем замену переменной в интеграле z = x + Vl—x2ei(p;
при этом
dz = iVl—x2e^d(pf
г2~1=х2-1+A-х2)е2^ + 2х]/1-х2^ =
= yT^xV* [2х + УТ^1?(ё** - е4*)] =
= 2yT^^e'*[* + i|/T7^sinq>].
Подставляя значения z — x, г2—1 и dz в формулу C),
получим
2л
о
Из этой формулы непосредственно следует оценка
\Рп(х)\<1 для *€=(—!, 1). A7)
343
На рис. 39 приведены графики многочленов Лежандра.
Рассмотрим несколько примеров применения
многочленов Лежандра (и их простейших свойств) для решения
задач математической физики.
-!,0-Q9-0,8-Q7-Q6-0,5-0,4-0,3-0,2-0,1 О OJ 0J 0,3 0,4 0J5 0,0 0J 0,8 0,9 /,0
Рис. 39.
9. Пример 1. Определить потенциал внутри полой сферы
радиуса R, составленный из двух полусфер, изолированных друг от
друга тонкой прокладкой и заряженных до потенциалов v± и v2.
Математическая постановка задачи: требуется найти решение
и(г> 6) Уравнения Ди = 0 в области 0^г</?, удовлетворяющее
краевым условиям
( Vu 0 ^ б < я/2,
|«@.в)|<оо, "(*.6)={с,2,я/2<е<я.
Решение. Сначала найдем решения уравнения Aw=0 вида
и~ f (r) Ф 00 > удовлетворяющие только условию ограниченности.
Разделяя переменные, получим
й:^П -i-^(*'sin6)
dry
f
sin 6 dQ
Следовательно,
d
dr
В последнем уравнении
Получим уравнение
о-?
_i
sin б
d
И')-*/ = 0, _..£(i|,'sin6) + to> = 0.
dd
произведем замену переменной g = cos6.
которое при % — п(п-\-\) имеет ограниченное на [—1, 1] решение
в виде многочлена Лежандра Рп (g). При таких значениях X
уравнение для f (r) имеет ограниченное решение вида f (r) = rn. Решение
344
исходной задачи ищем в виде
00
"('. 6)= 2 cnrnpn (cos б). A8)
/1 = 0
Коэффициенты с„ определим из второго краевого условия, пользуясь
свойством ортогональности многочленов Лежандра:
2я+1
^ u(R, Ь)Рп
Сп = t:i?r~ \ «(#» е) р« (cos 9)sin e rf6 ^
2л+1
U J РлF)« + »! j PnOdgL
Последние интегралы вычисляем, пользуясь формулами G) и (б) этой
главы. Получим
_v2-vl 2п+1
Сп~~ 2 '—й-**Ti@)-
В этой задаче мы воспользовались следующей теоремой
разложимости функции cp(g) в ряд Фурье по многочленам Лежандра:
Если функция ф (£) кусочно-не прерывна вместе с производной
первого порядка ф' (I), то в каждой точке непрерывности ф (£) ее ряд
Фурье по многочленам Лежандра сходится к этой функции.
Мы не будем приводить доказательства этой теоремы.
Пример 2. Разложить плоскую волну v—e^2 в ряд по
многочленам Лежандра и функциям Бесселя.
Решение. Функция v = eik*=etkrQ0S® является решением
уравнения &v + №v = Q. В сферических координатах оно запишется в виде
4-' i- (r*vr) + -j-Ur • ~ (vQ sin б) + X*v = 0.
Будем искать решение этого уравнения в классе функций вида
0 = /(г)я|)(8). Разделяя в последнем уравнении переменные, получим
Ограниченные решения уравнения для \|э будем иметь при |x = n(n~f-l)
в виде многочленов Лежандра if> @) = Pn (cos 6). Уравнение для f (г)
после замены переменной f {r) = <p(r)/Vr примет вид
Ф" + ~ф' +
А,2
ЫУ
Ф = 0.
Ограниченным решением этого уравнения будет функция Jn+ift (A/).
Таким образом, уравнение, которому удовлетворяет рассматриваемая
345
плоская волна, имеет семейство решений—^/ ,1/ (Кг) Pn(cosO).
У г "^ '2
Поэтому естественно положить
э ф cos 9
оо
= У -^Jn+ll2(p)Pn(cos6).
A9)
FP
п = 0
Пользуясь ортогональностью многочленов Лежандра, находим
Vp 2 J_
Производя п раз интегрирование по частям в правой части, получим
2сп J„ + t, (р) 1 . , 1
••■+(-|>"-E!?[«''*'"?в)].'..-
Это соотношение справедливо при любых р. Для больших р мы
можем заменить функцию /л_р/2(р) ее асимптотическим
представлением. Получим
-^К'Ч«>11,+--+^РЧ»>в)]1,.
Из этого соотношения следует равенство главных членов:
21/2 с»з!п(р-ят) 1 ■
|/ я 2/z +1 t
или
21/2 ^sin(p-n|-)
/я 2л+1 *
= ^[;(p^)_r(p-^)]=2^sin(P--n|-).
Отсюда находим
346
Пример 3. Решить задачу о возмущении плоской акустической
волны и0 (М, t), обусловленном наличием сферы радиуса R с
абсолютно твердыми стенками, т. е. задачу о рассеянии звука на сфере.
Будем полагать, что центр сферы находится в начале координат.
Движение вне сферы будет описываться функцией и(М, t)t равной
и(М, t) = u0(M, t)-j-v(M, t), где v(M, t) — искомое возмущение.
Поскольку функции и(М, t) и и0(М, t) являются решениями
уравнения а2 Аи = Щ{, то v(M, t) будет также решением этого уравнения,
функции и, и0 и v будем интерпретировать как потенциалы
скоростей. Тогда на поверхности сферы должно выполняться условие
= 0. Таким образом, задача для v ставится следующим об-
\f==R -
дп
разом:
а2 Av = vtt Для r>R,
dv
дп
r=R
ди0
дп
r=R>
\v \< со.
Очевидно, декартову систему координат можно выбрать так, чтобы
плоская волна и0 записывалась в виде
и0 = eikz • e~ikat.
Будем искать v (M, t) в виде v = Ф (М) e~ikat. Тогда для Ф (М)
задача будет ставиться следующим образом:
дФ_
дп
АФ -f &2Ф = 0 для r>R,
r=-.R
дп
r=R
, l^l^00,
где cp0 = eik2.
Имея в виду разложение A9) плоской волны ф0 (без временного
фактора), естественно искать Ф (М) в виде ряда
Ф= 2 Фт(М);
Фт(М) будет решением следующей задачи:
АФт + к2Фт = 0 для г > /?,
B1)
дФ„
дп
г=Д
- 4г {Am W Pm (cos d)}r==Rf | Фт |< со, B2)
где Лт (г) Рт (cos 6) —член номера т в разложении A9). Ищем Фт (М)
в виде произведения Фт = Вт(г)Чт{Ь). Тогда, очевидно, в силу
краевого условия B2) функция Чт (б) должна быть равной Рт (cos в).
Подставляя Фт = Вт (г) Рт (cos 6) в уравнение B1), получим
уравнение для Вт (г):
в:
+ f*'m +
т(т-\-\)
Вт = 0.
Если положить Вт = Dmf\fr, то для Dm (г) получим уравнение
D" 4- -
-DL
(т + ЪГ
-\От =
0.
B3)
347
Это уравнение цилиндрических функций с индексом v = т -\-1/2.
По физическому смыслу задачи функция v(M> t) должна
представляться в виде суперпозиции сферических расходящихся волн
— elk fr-at)% Поскольку при больших значениях г подходящую
асимптотику имеет только функция Ганкеля H'^(kr):
«■."«-/i-"('"'w)['+»(j)].
то общее решение уравнения B3) надо написать в виде
и сохранить лишь член с функцией Я^, t, (fcr) *). Таким образом,
получим
Вт (г) = amhm (kr), где hv (kr) = —=-Н^\_х,л (kr).
Коэффициент ат находим из краевого условия B2), которое дает нам
B'm(R)= — A'm(R). Отсюда находим
am~h'm(kR)k~ Cmh'm(kR)~ Vlni {m+2)h'm(kR)'
где im (P) = у=- ^m+«/2 (P)' Следовательно,
1 \ .. 4 («?)
Ф (М) = ^ Фт (М) = - /2я ^ (т + у) <т Т^ру й« М-
m = 0 m=Q
10. Приведем без доказательства одну из теорем
разложимости функций в ряд Фурье по многочленам Ле-
жандра, уточняющую теорему Стеклова (гл. IV, § 2)
в случае, когда разложение производится по многочленам
Лежандра.
Теорема 5. Если функция f(x) и ее производная
f(x) кусочно-непрерывны на отрезке [—1, 1], то в
каждой точке х<=[— 1, 1] ее ряд Фурье по многочленам
Лежандра
оо 1
2 СпРп (х), сп = j±j J / (I) Рп A) dl,
п=0 П —1
сходится к числу
ytf(* + 0) + /(*-0)].
*) Функция Я}*', t, (kr) дает сходящуюся волну.
346
Если функция f(x) и ее производные /'(*), f (х)
непрерывны на отрезке [—1, 1], то сходимость к f(x) будет
равномерной на отрезке [—-1, 1].
§ 3. Многочлены Чебышева — Эрмита
Мы определим два новых класса ортогональных
многочленов, имеющих многочисленные приложения. Их
можно определить несколькими способами. Мы
воспользуемся таким методом, который позволяет проще всего
получить основные свойства определяемых многочленов.
Этому требованию удовлетворяет определение с помощью
производящей функции.
1. Возьмем в качестве производящей функции
функцию Н (х, t) = e2xt~t2 и разложим ее в степенной ряд по
степеням t:
со
Н(х, t)= 2Н"Мш- <24>
Ниже будет показано, что коэффициенты разложения
Нп(х) являются многочленами, называемыми многочленами
Чебышева — Эрмита. Очевидно,
dnH(x,t) |
Нп(х)- dtn
С другой стороны, производная я-го порядка -^
функции Н при t = О вычисляется по формуле
дпН
dtn
2xt — t*
\ч
п[ re2xt-t*
С
где замкнутый контур С охватывает точку t = 0.
Следовательно,
С
Произведем в последнем интеграле замену переменной
интегрирования * — / = £. Получим
ял(*)=^(-1)"$7Г^^
где контур Сх охватывает точку | = х. Используя формулу
349
для я-й производной интеграла Коши *), получим
#Л*) = (~1)^2^(е-*г). B5)
Из этой формулы следует, что Нп(х) есть многочлен п-й
степени, обладающий свойством четности:
H2k (х) — четная функция, #2*+i (х) — нечетная функция.
Очевидно, #o(x)=l, Н1(х) = 2х, Н2(х)=4х2 — 2 и т. д.
2. Покажем, что многочлен Нп(х) является решением
уравнения
у"-2ху' + ку = 0 при к = 2п. B6)
Действительно, продифференцировав функцию w = егх%
один раз, w' = —-2xe~x\ находим тождество w' + 2xw == 0.
Дифференцируя это тождество п+l раз, получим
[а;(я>]' + 2х [да<я>]' + 2nw™ = 0. 'B7)
Теперь, подставляя в это тождество, согласно формуле B5),
хя>Ы = (—\)*Ня(х)ег*9
получим следующее тождество:
Нп (х) - 2хН'п (х) + 2пНп (х) s 0.
Уравнение B6) можно записать в виде
~(^У) + ^^ = 0. B8)
Рассмотрим некоторые свойства многочленов Нп(х).
3. Теорема 1. Многочлены Чебышева — Эрмита
ортогональны на промежутке (-—оо, оо) с весом p(x)=e~xZ:
оо
$ Нп (х) Нр (х) е-*2 dx = 0, ест пфр. B9)
—ОО
Доказательство. Напишем два тождества:
-^ [<г**Я; (ж)] + 2пе-*Нп (х) » О,
^ [е-^ (х)] + 2ре-2Яр (х) s 0.
*) Лаврентьев М. А. иШабатБ. В., Методы теории
функций комплексного переменного, гл. I, «Наука», 1973.
350
Первое из них умножим на Нр(х), второе —на Нп(х),
результаты вычтем один из другого и полученную
разность проинтегрируем (по х) по промежутку (—оо, оо).
Получим
I {**> -ш <г"н*) - я« -ш <r*H'A dx=
—оо
= 2(р-п)] Hn(x)Hp(x)e-*2dx.
—со
Левую часть этого равенства, очевидно, можно записать
в виде
со
\±{{HpH'n-HnH'p)e-*)dx.
—СО
Следовательно,
со
2{р-п)\ НпНр(г*г dx = {НрН'п - НпН'р) е~* |~м = 0.
—СО
Поскольку рфп, то отсюда непосредственно следует
равенство B9).
Найдем норму ||#л||. Предварительно докажем
справедливость двух рекуррентных соотношений:
Нп+1 (х) - 2хНп (х) + 2пНп_г (х). 0, C0)
Н'п(х)^2пНп_1(х). C1)
Для этого установим связь между производящей функ-
циеи H(xf t) и ее частными производными -^- и -^-.
Непосредственным вычислением находим
|=2(х-/)Яи| = 2/Я.
Подставляя в эти тождества вместо Н{х> t) ее
разложение B4), получим
со со
H^MiSji^^-flH^wS' C2)
п=1 л = 0
со со
2//;;(*)£-=2/ 2Я«^5-- <33>
л = 0 п = 0
351
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t
в тождествах C2) и C3), получим соответственно
рекуррентные формулы C0) и C1).
Тождество C1) позволяет вычислить интеграл
J Нп (х) dx = 2(п+\) Нп^ W*
Тождеством C0) мы воспользуемся для вычисления квад-
оо
рата нормы || Нп ||2 = $ е~х2Н2п dx:
—00
оо оо
|Я„|Р= \ e-"H*n{x)dx= \ H„{x)Hn(x)er"dx.
—оо —оо
Один множитель Нп(х) в подынтегральном выражении
выразим по формуле C0) через Нп_г и Нп_2, заменив в ней
п на п— 1. Получим
оо
|| Нп f = $ е-*'Нп (х) {2хНп.1 (х) - 2 (л - 1) Я„_2 (х)} dx =
—оо
оо
= ler"Hn_1(xJxHn(x)dx.
—оо
При этом мы воспользовались ортогональностью
многочленов #п_2 и Нп. Выразим 2хНп(х) через Нп_г(х) и
Hn+i(x) по формуле C0),. пол учим
оо
|| Я„ f = $ ег'Нп.! (х) {Я„+1 (х) + 2пНя_1 (х)} dx =
—оо
оо
= 2n $ e-x*Hh-i(x)dx,
или
\Hnf = 2n\\Hn_1f. C4)
При этом мы воспользовались ортогональностью
многочленов #л_1 и Нп+1. Из формулы C4) следует
оо
|| Нп f = 2п~1п\ || Я!|р = 2" • л! I 2х*е~хг dx = 2пп\ Уп. C5)
—оо
Таким образом,
■[Hnf = 2»n\V^- C6)
352
4. Очевидно, многочлены Чебышева — Эрмита образуют
нормальную систему многочленов. Следовательно, к
многочленам Чебышева —Эр\чпга приложима теорема § 1
(стр. 333).
Таким образом, все нули многочленов Нп(х) —
простые и вещественные.
В дальнейшем функции, интегрируемые вместе со своим
квадратом, будем называть квадратично интегрируемыми.
5. Теорема 2. Всякое решение уравнения B8) у (х)>
отвечающее параметру % = Х-ф 2п (п — произвольное
фиксированное неотрицательное целое число), непрерывное и
квадратично интегрируемое (с весом р (х) = е~х) на
промежутке (—оо, оо), ортогонально многочленам Чебышева —
Эрмита Нп (х) на промежутке (— оо, со) с весом
9(х) = е-*2.
Доказательство. Исходя из тождеств
±[e-VHn(m + Ker*Hn® = 09 где Хп==2п,
как и при доказательстве теоремы 1, находим
\ Нп (Ю У © e-Vdl = —Ц- ft (х) - Ц (t)}, C7)
где
г|> (г) = е~* W (г) Нп (г) - у (г) Н'п (z)\nt<x. C8)
Переходя в C7) к пределу при /-> — оо и *-> + оо,
получим
00
\ Нп (I) ~у (£) e-V dl = ~j Ц"^i|> (x) - Jnri^ ф (/)j.
—-СО
Таким образом, для доказательства теоремы достаточно
показать, что справедлива
Лемма. Имеют место соотношения
lim а|)(*) = 0 и Нтгр @ = 0.
я-^ + со /->—-со
Доказательство. Очевидно,
X
y(x) = y(t) + (Xn-l) $*-**//„(£) у (£)dg. C9)
12 В. Я. Арсении 353
оо
1/2
Зафиксируем t. Поскольку правая часть в C9)
непрерывна по х на промежутке [t, оо), то ty(x) также
непрерывна на [t, оо). Существует конечный предел
lim \e^Hn(l)y(l)dt D0)
В самом деле, по неравенству Коши—Буняковского имеем
\е-*Нп (|) у (I) d\ | ^ I е~? \НпA)\\у (£) | d\ ^
ОО 00
\ erV\Hn{l)\\~y{l)\dl= \ e-l42\Hn(t)\e-W\y(t)\dt^
— 00 • —00
( оо оо \
<М e-¥Hl{l)d% \ ег?у*®<Щ
'—00 —ОО /
С оо U/2
Н|ЯЛЦ^6УF)«) .
Так как по условию теоремы последний интеграл
существует и равен конечному числу, то отсюда и следует
существование конечного предела D0).
Из существования предела D0) следует, очевидно,
существование предела lim ty (х) = i|) (+ оо). Покажем,
х-+-\- оо
что г|) (+ оо) = 0. Допустим противное. Тогда существует
такое число хъ что на промежутке [хи оо] функция ty(x)
не обращается в нуль. Так как Нп(х) — многочлен, то
можно полагать, что на промежутке [хъ оо) Нп (х) также
не обращается в нуль. Из C8) получаем
d { У (г) \_ Ц(г)ег*
dz\Hn(z)J~ Hl{z) •
Ошдовательно, для х>хг
и(х) = Н (х)<У(Х1) + [*to**dz\
Применяя к последнему интегралу теорему о среднем
значении, получим
354
где j^^I^*. Поскольку интеграл
f ez2dz
J Hl(z)
растет при л:-> + оо, как х^Нп2 (х)ех\ а функция ф(£ч.
не обращается в нуль и ограничена на промежутке
[х19 оо), то из D1) следует, что у (х) растет при х->оо,
как х^Нп1 (х) ех\ и поэтому у (х) не является квадратично
интегрируемой на (—со, оо) с весом р(х) = е~х\ Это
противоречит условию теоремы. Таким образом,
предположение гИ+оо^О противоречиво, и, следовательно,
г|;(+оэ) = 0.
Совершенно аналогично доказывается, что г|) (— оо) = 0.
Лемма доказана.
Замечание. Из теоремы 2 непосредственно следует
теорема 1.
6. Теорема 3. Всякая функция f{x), непрерывная
и квадратично интегрируемая с весом р(х) = е~х2 на про-
межутке (—оо, оо), ортогональная всем многочленам
Чебышева^Эрмита с весом р(х)=е~х2 на промежутке
(—оо, оо), тождественно равна нулю, f(x) = 0.
Доказательство. Поскольку по условию теоремы
функция Д (х) = / (х) е~*2/2 квадратично интегрируема
с весом p(x)=l на промежутке (—оо, оо), то тем более
функция /2 (x)=f(x) е~х* квадратично интегрируема с весом
р (х) = 1 на том же промежутке. Следовательно, функция
f2(x) имеет преобразование Фурье /^(со):
ОО 00
F,(©)= I f2(x)e-ixa>dx= $ f(x)e-x'-ix«>dx. D2)
— ОО —СО
Функция F2 (ю) аналитична в полосе J Im со | ^ 7V
произвольной ширины 2N, и ее производные произвольного
порядка k можно вычислять дифференцированием под
знаком интеграла, т. е. по формулам
со
Ff) (со) = (— if J / (х) е-*1- <*» х" dx. D3)
— ОО
В самом деле, функции
ifk(x) = \x\k\f{x)\e"\x\-x* (£ = 0,1,2,...)
являются, очевидно, мажорантными в полосе jImco|^jV
12*
355
для функций
Интегралы
со
$ tyk(x)dx
— оэ
сходятся, так как, представляя г|зА (х) в виде произведения
b(x) = {\f(x)\e~X*)[\x\*eNlXi~?
и используя неравенство Коши—Буняковского, получим
со ( со со Ч 1/2
\ Kfh{x)dx<\ \ \f(x)\*e~x*dx \ \x\2ke2N *\~*dx\ .
— со \—со —со /
Поскольку последние интегралы сходятся, то сходится
со
и интеграл {j *фЛ (х) dx.
— со
Так как функция F2(<o) аналитична в полосе | Im со \^N,
то в круге DR с центром в точке о = 0 и радиуса R<N
ее можно представить степенным рядом
Все коэффициенты этого ряда равны нулю, ибо
со
F<*> @) = (— if \ x"f (x) e~x% dx =
— со
со С k \
= (-0* \ \XcrHr(x)\f(x)e-*4x = 0.
— со V = 0 J
Мы здесь воспользовались свойством 1 (§ 1) многочленов
Чебышева — Эрмита и их ортогональностью (с весом р (х) =
= е~х%) к функции f(x).
Таким образом, всюду в DR F2((u)=0. По теореме
единственности аналитических функций из этого следует,
что всюду в полосе | Im со j ^ Af F2 (со) = 0.
Применяя обратное преобразование Фурье к функции
F2(co), получим f2(x). Таким образом,
со
— со
Следовательно, и /(*)==0. Теорема доказана.
356
Замечание. Мы установили замкнутость семейства
многочленов Чебышева — Эрмита относительно семейства
всех функций, непрерывных и квадратично интегрируемых
с весом р(х)=е~х2 на промежутке (—сю, аз).
7. Многочлены Чебышева —Эрмита можно
рассматривать как собственные функции следующей краевой задачи:
Найти значения параметра X и отвечающие им
решения уравнения
-~(е-х2У') + ^-х2У = 0> B8)
квадратично интегрируемые с весом р(х) = е~х2 на
промежутке (— со, оо).
Числа Хп = 2п, где я— целые неотрицательные числа,
являются собственными значениями этой краевой задачи,
а Нп (х) — отвечающими им собственными функциями.
Возникает вопрос: исчерпывают ли совокупности \Хп} и
{Нп(х)} все собственные значения и собственные функции
этой краевой задачи?
Утвердительный ответ на этот вопрос непосредственно
следует из теорем 2 и 3.
Таким образом, совокупность многочленов Чебышева —
Эрмита исчерпывает все решения уравнения B8),
квадратично интегрируемые с весом р(х) = е~х2 на промежутке
(—оо, сю).
8. Приведем без доказательства одну из теорем
разложимости функций в ряд Фурье по многочленам
Чебышева—Эрмита, уточняющую теорему Стеклова (гл. IV, §2)
в случае, когда разложение производится по многочленам
Чебышева — Эрмита.
Теорема 4. Если функция f (x) и ее производная f'(x)
кусочно-непрерывны на любом конечном отрезке [— а, а]
и интеграл
оо
I e-x!f2(x)dx
— оо
имеет конечное значение, то при любом вещественном
значении х ее ряд Фурье по многочленам Чебышева — Эрмита
со оо
я = 0 —со
сходится к числу
-г[/(*+0)+/(*-0)].
857
9. В приложениях чаще применяются функции
Чебышева — Эрмита
Ы*) = т%4е-*2/2' D4)
обращающиеся в нуль на бесконечности. Эти функции,
очевидно, образуют ортогональную систему с весом
Р(*)=1:
оо
\ tyn (х) % (х) dx = О, если пф р\ D5)
— оо
II *я 11 = 1. D6)
Из уравнения B8) для многочленов Нп (х) легко
получается дифференциальное уравнение для функций tyn(x):
q" + (k-x2)q = 0 (Х = 2п+1). D7)
Обычно для уравнения D7) задача ставится
следующим образом:
Найти такие значения параметра Я, при которых
уравнение D7) имеет решение ty(x), непрерывное и
квадратично интегрируемое (свесом р(х)=1) на промежутке
(—со, оо), обращающееся в нуль на концах этого
промежутка.
Из свойств задачи, решением которой являются
многочлены Чебышева — Эрмита (см. стр. 357), следует, что
упомянутая задача для уравнения D7) имеет решения
только для значений X, равных Хп = 2п+1 (/2 = 0, 1, ...),
и этими решениями будут функции i|)„(x).
Рассмотрим пример применения многочленов
Чебышева — Эрмита (и их простейших свойств) для решения
конкретных задач.
Пример 4. Определить, при каких значениях Е уравнение
Шредингера для линейного гармонического осциллятора
+ +{~П2 яг"}*-0 <48>
имеет ограниченное на промежутке — оо<л:<оо решение. Здесь
т, со0, £ — масса, собственная частота и полная энергия осциллятора,
Н — постоянная Планка.
Заменой переменной z==l/ —|—- х уравнение D8) приводится
2Е
к виду D7), в котором А, = —^-:
358
2£ f \\
При —^ = 2л + 1, где п — целое число, т. е. при Е = щЬ ( я + ~к I =
= £я, уравнение D8) имеет ограниченное на промежутке —оо<
решение % (z)=% ( l/ -^р-*
<Z <00
Функции Чебышева — Эрмита появляются при решении
уравнения Лапласа Ди=0 методом разделения переменных в
параболических координатах. Действительно, если ввести параболические
координаты а, р, z, связанные с декартовыми координатами х, у, z
соотношениями
дг= |-(а2-р2)} у=са$, z = z E0)
(здесь с—размерный множитель, —оо<а<со, 0s^p<oo, —oo<
<z<oo), то Ai/ = 0 в этих переменных будет иметь вид
A^cMa2 + p2)^ + ^+C(a+P)^"HQ' E1)
Будем искать решение уравнения E1) в классе функций вида
и = А (а) В ф)Р (z). Разделяя переменные, получим уравнения
Л' + ([I — k2c2a2) Л = 0, E2)
£"-(M. + Wp2) 5 = 0, E3)
D' + №D=09
где Я,2 _и ji — неизвестные параметры. В переменных g = KXca и
r\z=iY'kc^ уравнения E2) и E3) принимают вид
совпадающий с уравнением D8).
§ 4. Многочлены Чебышева—Лагерра
1. Как было указано в § 1, мы определим многочлены
Чебышева— Лагерра с помощью производящей функции.
Возьмем в качестве производящей функцию
£,«(*, 0=A4^^/A"°> а>-1,
и разложим ее в степенной ряд по степеням t\
L«(x, t)=%L«(x)t\ E5)
n = 0
Ниже будет показано, что коэффициенты разложения
L% (х) являются многочленами, называемыми многочленами
359
Чебышева — Лагерра*). Очевидно,
/«лл-± <^La (*,/)! -_I СЩ^л/
Ь" W — л! • #я \t = 0 - 2я? 3 /*+1 '
с
где С — замкнутый контур, охватывающий точку / = 0.
Произведем в этом интеграле замену переменной
интегрирования t = 1 . Получим
С,
Контур Сг охватывает точку г = х. Мы при этом
воспользовались формулой для производной интеграла Коши,
Таким образом,
Lan(x)=±x-«e**~(x^e-*). E6)
Из этой формулы следует, что L%(x) действительно
является многочленом п-и степени. Очевидно, Щх) = \,
Ц(х)=1+а-х.
2. Покажем, что многочлен Ln(x) является решением
уравнения
ху" + (а+1-х)у'+%у = 0, E7)
или
~(xa+1e-xi/) + kxae-xy==0 при Х = п. E8)
Действительно, продифференцировав функцию w =
= хп+ае~х один раз:
w' = (п + а) хп^~Ч~х — хп+ае~х,
находим тождество
xw' — (n-\-a — x)w==0.
Дифференцируем это тождество я+1 раз. Получим
х [w^]" + (х+ 1 - a) [wW]' + (п + 1) а;<я) гз 0.
Подставляя в это тождество вместо w^ его значение
согласно формуле E6):
wM = x*e-*Ln(x)n\,
*) Иногда эти многочлены называют обобщенными многочленами
Чебышева — Лагерра, а многочлены L^ (х) = Ln (х) — многочленами
Чебышева — Лагерра.
360
получим тождество
х (Ll)" + (a + 1 - х) (ПУ + nil = 0.
Рассмотрим некоторые свойства многочленов L%(x).
3. Теорема 1. Многочлены Чебышева — Лагерра
ортогональны на промежутке @, оо) с весом р (х) = хае~х:
оо
$ L%(x)Lap (x)xae'xdx = 0, если пфр и а> — 1. E9)
о
Доказательство. Напишем два тождества:
d Г dVt (х) 1
Первое из них умножим на Lap(x), второе —на L%(x),
результаты вычтем один из другого и полученную
разность проинтегрируем (по х) по промежутку @, со).
Получим
о
оо4
= (р - п) \Lan (x) Lap (x) хае~х dx.
о
Левую часть этого равенства, очевидно, можно записать
в виде
\dx'
о
£{^e-*[Lap(Cy -(L*)' C]}dx.
Следовательно,
оо
\Lan{x)Lap{x)xaixdx =
о
=т^ <л~ * №Y L" - W *=°-
При х = 0 проинтегрированная часть обращается в нуль
за счет xa+1 (a> — 1), а при х = со — за счет е~*.
Поскольку рфп, то отсюда непосредственно следует
равенство E9).
361
4. Найдем норму ||/,"|]. Предварительно докажем
справедливость двух рекуррентных соотношений:
(л+ \)Lan+l(x)-Bn + 1 +а-хIЛ(х) +
+ (n + a)Lan-„l(x) = 0, F0)
^Lan(x)^-Lan±\(x). F1)
Для этого установим связь между производящей функ-
dLa dLa
цией и ее частными производными -^— и -зт~.
Непосредственным вычислением находим
A -2; + /2) *Laff' ° д [а+ 1 -х- (а+ 1) f] I» (*, Q
Подставляя в эти тождества вместо La (х, t) и La+1 (я, /)
их разложения E5), получим
оо
/1=1
A-2/ + *2) 2^(х)/я
ОО
sE[a+l-*-(a+l)f] ^Lan(x)f F2)
п = 0
п—О /г = 0
2<--^.—*2^+1w- ' <63>
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t
в тождествах F2) и F3), получим соответственно
формулы F0) и F1).
Из формулы F1) следует, что
\l£(x)dx = — Li+\(x). F4)
Соотношением F0) мы воспользуемся для вычисления \Lif:
00 ОО
|| Ll f = $ xV* [a (*)]* dx = \ xafxLl (x) С (х) dx.
о о
Один множитель L%(x) в подынтегральном выражении
362
выразим по формуле F0), заменив в ней п на п — 1. Получим
оо
| Ll f = § xae~xLan (х) {Bл - 1 + а - х) С -, (х) -
о
-(n-l + a)L«_2(x)}-^x =
ОО
= 4 \ хае'хС - , (х) [- xhl (xj\ dx.
О
Мы при этом воспользовались ортогональностью
многочленов Ln и 1д_2, а также L® и 1?п-\. Выразим — xL%(x)
через Ln+i(x)'f Ln(x) и L^1(x) по формуле F0). Получим
00
\Ц\? = \\хае-хЦ^{х){{п+\)С+%(х)-
о
- Bя + 1+ a) Ll (x) + (« + «) L£_, (x)} dx =
ОО
■Ill »
ИЛИ
WL-f^Jl^lC^f. F5)
При этом мы воспользовались ортогональностью
многочленов LS_, и iS+i, Ьл-i и L£. Из формулы F5) следует;
II г a 112 (п + а)(п + а— 1)...(а + 2) ||га||2___
"Ml = ^ II Ч|| -
со
= °Г("+аЛ!)Г(а + 2) = Г(/г+Г + 1).
я!Г(а + 2) vi/ п|
Таким образом,
||Laf=r(n + «+l)> F6)
Очевидно, многочлены Чебышева — Лагерра образуют
нормальную систему многочленов. Следовательно, к
многочленам Чебышева —Лагерра приложима теорема § 1.
Таким образом, все нули многочленов L* (х) — простые,
вещественные и расположены на интервале @, со).
363
5. Теорема 2. Всякое решение уравнения E8) у(х),
отвечающее параметру \=\фп(гь — произвольное
фиксированное неотрицательное целое число), непрерывное и
квадратично интегрируемое (с весом р (х) = хае~х) на промежутке
[О, оо), ортогонально многочленам Чебышева — Лагерра L% (x)
на промежутке (О, со) с весом р (х) = хае~х.
Доказательство. Исходя из тождеств
~[la+1e~9(l))+llae^y(l)^0f
± [Г V* -щ С ©] + Kfe\l (I) - О,
где Хп = п; как и при доказательстве теоремы 1, находим
i
y{l)Lan{l)ff%dl = -\{f(x)-f(t)}, F7)
где
F8)
f(z) = Z«+V*[LUz)-^-~y(z)±LUz)
и 0<^<x<oo. Переходя в F7) к пределу при /-^0
и х->оо, получим
оо
f ff%H) С (I) dl = —Цг I lim / (х) - lim / @1. F9)
0
Таким образом, для доказательства теоремы достаточно
показать, что справедлива
Лемма. Имеют место соотношения
lim/(*) = 0 и lim/(/) = 0.
л;->-оо t-*0
Доказательство первого равенства проводится
совершенно так же, как и доказательство равенства lim \p (х) = 0
Х-+СО
в лемме на стр. 353, а доказательство второго равенства —
как доказательство равенства Итц)(х) = 0 в лемме на
стр. 340. Поэтому мы не будем снова повторять их*).
6. Теорема 3. Всякая функция f(x), непрерывная и
квадратично интегрируемая с весом р (х) = хае~х на про-
*) Читателю рекомендуется провести подробно все выкладки
доказательств.
364
межутке [О, сю), ортогональная всем многочленам Чебы-
шева — Лагерра с весом р (х) = хае~х на промежутке [О, со),
тождественно равна нулю, /(х) = 0.
Для упрощения доказательства полагаем а> —0,5.
Доказательство. Поскольку по условию теоремы
функция fx (х) = / (х) ха/2е~х/- квадратично интегрируема
с весом р(х)=1 на промежутке [0, со), то тем более
функция /2 (х) = xae~xf (x) квадратично интегрируема с весом
р (х) = 1 на том же промежутке. Следовательно, функция
f3W"\o, *<o,
квадратично интегрируема с весом р (х) = 1 на промежутке
(—со, со) и потому имеет преобразование Фурье F3(ay):
со со
F8(c»)= J /з (*) е~'*ш Лс = J / (х) xae'xe-im dx. G0)
— со 0
Функция ^з (со) аналитична в полуплоскости 1то)^б<1/2,
и ее производные произвольного порядка k можно
вычислять дифференцированием под знаком интеграла, т. е. по
формулам
со
F[k) (со) = (_ /)* J / (х) x^ke~xe~im dx. G1)
о
В самом деле, функции
щ (*) = [/ (х) | x«+ke~x(I) (k = 0, 1, 2,...)
являются, очевидно, мажорантными в полуплоскости
Im 0)^:6 для функций
(— i)kf{x)xa+ke-xe~im.
Интегралы
со
\ фй (х) dx
о
сходятся, так как, представляя q>k(x) в виде произведения
Фа (х) = (| / (х) I A"*) (Ake-$+6j
и используя неравенство Коши — Буняковского, получим
I 1/2
со l'со со \\
$ Фа (*) dx < И | / (*) I2 *ае~* dx $ ха+2 V* ^'^ dx \
365
Поскольку последние интегралы сходятся, то сходится и
интеграл
оо
$ щ (х) dx.
о
Так как функция F3((u) аналитична в полуплоскости
Imco^8<0,5, то в круге DR радиуса i?<6 с центром
в точке со = 0 ее можно представить степенным рядом
• F3(co)=F3@) + aFU0) + ... + (ok?^ + ...
Все коэффициенты этого ряда равны нулю, ибо
оо
F<*) @) = (^ 0* \ х"! (х) х*е~х dx =
о
= (- 0* I { 2 C'L? (*)) f № xae~x dx = 0.
0 V = 0 )
Мы здесь воспользовались свойством 1 (§ 1) многочленов
Чебышева — Лагерра и их ортогональностью к функции f(x).
Таким образом, всюду в D% F3 (со) = 0. По теореме
единственности аналитических функций из этого следует, что
F3(co) = 0 всюду в полуплоскости 1тсо^б<0,5.
Применяя обратное преобразование Фурье к функции
F3 (со), получим f3(x). Таким образом,
оо
— ОО
Следовательно, и f(x) = Q. Теорема доказана.
Замечание. Мы установили замкнутость семейства
многочленов Чебышева —Лагерра относительно семейства
всех функций, непрерывных и квадратично интегрируемых
с весом р(х)=хае~х на промежутке [0, оо).
7. Многочлены Чебышева — Лагерра. можно
рассматривать как собственные функции краевой задачи:
Найти значения параметра X и отвечающие им
решения уравнения
± (x^e~Y) + №(Г*у - 0, E8)
непрерывные и квадратично интегрируемые с весом р{3;) =
=хае'х на промежутке [0, оо).
366
Числа %п = пу где п — целые неотрицательные числа,
являются собственными значениями этой краевой задачи,
a L? (х) — отвечающими им собственными функциями.
Возникает вопрос: исчерпываются ли совокупностями
{кп} и {£?(*)} все собственные значения и собственные
функции этой краевой задачи?
Утвердительный ответ на этот вопрос непосредственно
следует из теорем 2 и 3.
Таким образом, совокупность многочленов Чебышева —
Лагерра исчерпывает все решения уравнения E8),
ограниченные в окрестности х = 0, непрерывные и квадратично
интегрируемые с весом р(х) =хае~х на промежутке [О, со).
8. Приведем без доказательства одну из теорем
разложимости функций в ряд Фурье по многочленам
Чебышева—Лагерра, уточняющую теорему Стеклова (гл. IV,
§ 2) в случае, когда разложение производится по
многочленам Чебышева — Лагерра.
Теорема 14. Если функция f(x) и ее производная
f (x) кусочно-непрерывны на любом конечном отрезке [0, а]
и интеграл
со
$ e~xxaf2 (x) dx
о
имеет конечное значение, то при любом значении х>0
ее ряд Фурье по многочленам Чебышева —Лагерра
СО СО
У cnL°(x), Cn= * ^(|)<rl№|)C
сходится к числу
1|7(*+о)+/(ж-о)].
9. В приложениях чаще применяются функции
La (x)
фап(х) = Щ*а,2е-х/2. G2)
обращающиеся в нуль на бесконечности (*== + оо). Эти
функции обладают следующим свойством *
ортогональности:
со
$ Фап (х) Ф« (х) dx = 0, если пфр и а>—1. G3)
о
Из уравнения E8) для многочленов 1« (х) легко следует,
367
что функция Ф%(х) является решением уравнения
£мЫк—х4-ъ
d{xy>) + (%-x--f\y = Q G4)
при
л , а + 1
, Многочлены Чебышева — Лагерра применяются при
решении задач о распространении электромагнитных волн
вдоль длинных линий, о движении электрона в кулоно-
вом поле и в других задачах.
Пример 5. Разложить функцию f(x)=e~x в ряд Фурье по
многочленам Чебышева —Лагерра.
Решение. В искомом разложении
00
п = 0
коэффициенты сп вычисляются по формулам
оо оо
с"=га \ xae'iXLn^dx-nL \ e-*£-(x^e-*)dx.
\гп\\ tf \\Ln\\ $
Производя n-кратное интегрирование по частям, получим
с"-Г(п + а + 1)Г dx"-i(X ё '
о +
(я + о + 1)
ОО
Ип-2 |оо {* \
+е'* -т-^2 (хп+ае~х) + ... + \ х^+ае~2х dx\.
6
Подстановка пределов в проинтегрированные слагаемые дает нуль.
Поскольку
оо
\ *п+ае~2х dx = ^щ Г (п + а + 1),
о
то
п\
^+a+i
Замечание. Существует связь между многочленами
Чебышева — Эрмита и многочленами Чебышева —Лагерра
вида
H*(x) = (-\)*n\2**L-W(#)9
Я2л+1 (*) - (-1)» п№"*хЦ* (х2).
Глава XVI
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Сферические функции столь же употребительны в
математической физике, как и цилиндрические функции.
Необходимость пользоваться ими появляется, например, при
решении задач, рассмотренных в ч. I, методом
разделения переменных, если использовать сферические
координаты.
Если мы будем искать решения уравнения Лапласа
Ди = 0, записанного в сферических переменных /*, б, ср,
в классе функций вида f(r)yF, ф), то для функций
F (г), У (б, ф) получим уравнения
£(r'F')-KF = 0, ■ (I)
1 д ( . с dY\ , 1 d*Y . , „ „ ._,
Определение. Непрерывные в области 0^6 ^я
0^ф^2я решения уравнения B), такие, что У (б, ф+2я) =
е=У(8, ф), называются сферическими функциями.
Мы рассмотрим сначала семейство сферических
функций, не зависящих от переменной ср.
§ 1. Простейшие сферические функции
Если сферическая функция У (8, ф) не зависит от
переменной ф, то уравнение B) принимает вид
iEI^(sin9f) + ^ = °- C)
Произведя в нем замену независимой переменной по
13 В._ Я, Арсенин 369
формуле | = cos8, получим
|{(l-£2)f} + *y=0. D)
Это уравнение Лежандра.
Непрерывные на отрезке [—1, 1] решения этого
уравнения, как мы видели в § 2 гл. XV, имеются только
при значениях к = п(п-\-1), где п — произвольное целое
неотрицательное число, и этими решениями являются
многочлены Лежандра Pn(Q- Следовательно, сферическими
функциями, не зависящими от переменной <р, являются
многочлены Лежандра от cos б, Pn(cosd), и только они.
Эти функции иногда называют зональными
сферическими функциями. Мы подробно рассматривали свойства
многочленов Лежандра, поэтому нет необходимости
перечислять свойства простейших сферических функций
/Mcos6).
§ 2. Присоединенные функции Лежандра
1. Если ограниченные решения уравнения B) искать
в классе функций вида Ч* (8) Ф (ф), Ф (ф + 2я) == Ф (ф), то
для функций Ч'(б) и Ф(ф) получим уравнения
^.|(Гзтб) + (Я-^)^==0, E)
ф" + }хФ = 0. F)
Из условия периодичности функции Ф(ф) находим
ц = &2 (где k — целое число). Поэтому
Ф (ф) = A cos Щ + В sin kq>.
В уравнении E) произведем замену переменной cos б =
= £. Получим уравнение
(l-g*)£g-2if + [x^.r^r]T-0. G)
При & = 0 оно совпадает с уравнением Лежандра. Нам
требуется найти непрерывные на отрезке [—1, 1]
решения этого уравнения. Пусть Ч^ (£) — такие решения. Тогда
функции ЛЧ^ (cos 8) cos &ф + ВЧ^ (cos б) sin ky и будут
искомыми сферическими функциями.
Рассмотрим подробнее решение уравнения G),
370
Определение. Непрерывные на отрезке [—1, 1]
решения уравнения G) называются присоединенными
функциями Лежандра.
Для отыскания их произведем замену функции по
формуле
УA) = A-|2)*/22(Ю. (8)
Для функции г(£) получим уравнение
A_|2J»_25(й+1)г' + [А-^(й + 1)]2 = 0 (9)
или
|[A-|2)т|] + [^-*(А:+1)]A-|2)*г = 0. A0)
Такое же уравнение мы получим из уравнения
Лежандра E) (гл. XV), если продифференцируем его k
раз.
Но уравнение Лежандра имеет непрерывные и k раз
дифференцируемые на отрезке [-—1, 1] решения только
при значениях Я, равных Яя = п(л+1), где п —
произвольное целое неотрицательное число. Этими решениями
являются многочлены Лежандра Ял(£). Следовательно,
только при значениях Х = Хп уравнение A0) имеет
непрерывные на отрезке [—1, 1] решения. Этими решениями
являются производные &-го порядка от многочленов
Лежандра Pn(Q.
Следовательно, присоединенными функциями Лежандра
будут функции вида
Pkn(t) = (l-?)k/2$PA$). (И)
Очевидно, Р°пA) = РпA). Поскольку производная £-го
порядка -jfkPnd) является решением уравнения A0), то,
следовательно, справедливо тождество
dx
^-[n(n+])-k(k+l)](l-xw£pn(x) =
^-{n-k)(n + k+\)(l-x*y£pn(x). A2)
Замечание. Согласно теореме § 1 гл. XIV всякое
решение уравнения G) при Я = п(/г+ 1) {п — целое, п^О),
линейно независимое с присоединенной функцией Лежандра
13* 371
:{{1-хГ+1-^Рп(х)}^
^n(£) (^>0)> имеет в точках £ = ±1 особенности вида
AAl-t)-*'2 и л2A-Н)-*/2.
2. В дальнейшем нам понадобится только одно
свойство этих функций —ортогональность.
Присоединенные функции Лежандра ортогональны на
промежутке [—1, 1J с весом р(х)=1:
$ Pkn (х) Pks (х) dx = 0 при пф s. A3)
-1
Доказательство. Введем следующее обозначение:
A*ns=\p>n(x)P*(x)dx.
-1
Используя формулу A1) для Pkn{x) и Pks(x), получим
Мы здесь произвели интегрирование по частям.
Результат подстановки пределов интегрирования в первом
слагаемом, очевидно, равен нулю. Поэтому
Ак^Ар^{х)Щх-х*)ьйрЦйх-
Второй множитель подынтегрального выражения
преобразуем, пользуясь тождеством A2) (заменив в нем k на
&— 1). Получим
AknfS = (n-k+l)(n + k)x
1
X
—1
или
Akn>s = (n-k+l)(n + k)Ai-\ A4)
372
SIS^MI-^^M^
Применяя формулу A4) к Л*";1, 4*~2 и т. д., получим
А
«. s (п — ЛI
Поскольку
A5)
A6)
то
А°п, s = \ Рп (х) Ps (х) dx = 0, если п Ф s,
-1
1
An, п == \ * л W «■^ = 9«-L 1 '
-1
1
Ants= \ Pkn(x)P*(x)dx=:0 при пфэ
Ak _-||nfep-("+*)! , 2
л/г,л — Г «II -~(гг-&)! 2д + 1 '
Замечание. Из формул A3) и A1) следует, что
производные £-го порядка многочленов Лежандра
ортогональны на промежутке [—1, 1] с весом р (х) = A —x2)k.
1,4
1.2
W
OS
06
0,4
Q2
0
-Q2
-0,4
-06
-0.8
-iff
-ц
-1,4
^fe;
^
^
\
V
У
/
/
/
Р'/
I
1
/
/
/
к
1
/
p's
j
г*
/\
/
/
/
*
У
А
JW
V
11
1 ^
О 0J Q2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,0 W
Рис. 40.
На рис. 40 приведены графики присоединенных
функций Лежандра,
373
§ 3. Фундаментальные сферические функции
1. Сргласно § 2 функции *¥к (cos 6) cos ky и 4\(cos0) x
Xsin&p являются сферическими функциями. Здесь 4^A-) —
непрерывные на отрезке [■—1, 1] решения уравнения G)
(§ 2). В § 2 мы нашли все возможные решения этого
уравнения. Это суть присоединенные функции Лежандра.
Таким образом, функции
у*F, Ф) = рь (cose) sinkq>
и
Y-k (б, ф) = Pkn (cos б) cos k<p,
F°F, <p) = P°n(cosd) = Pn(cosB)
являются сферическими функциями. Их называют также
фундаментальными сферическими функциями п-го порядка.
Очевидно, что функции
У» (в. Ф) = !> CkY*(*> ф) A7)
k~ — п
будут также сферическими функциями. Они называются
сферическими функциями п-го порядка.
При Х = п(п+\) уравнение A) имеет решения
Fx (/■)=/* и F2(r)=-±ri.
Следовательно,
и±(г, б, ф) = гяУя(в, Ф), и2(г, б, ф) = -11ул(9, Ф) A8)
являются гармоническими функциями. Они называются
шаровыми функциями п-го порядка.
Таким образом, сферические функции п-го порядка
Yn(Q, ф) являются значениями шаровых функций п-го
порядка на единичной сфере.
2. Сферические функции обладают свойством
ортогональности на единичной сфере:
\ \Yn(d, ф) Ys F, ф) da = 0, если пфъу
2яя
\ $Мв> Ф)М8, Ф)вшвйвйф = 0. A9)
о о
374
Для доказательства этого заметим, что свойством
ортогональности обладают фундаментальные сферические
функции:
\ \УкпФ> Ф)У?(8, Ф) sin G <tfdq> = 0 при (п, £)=£($, p),
о о
B0)
ибо
2ля
S $у*(9, ф)^F, ф) sin б ^е ^Ф ==
о о
2я 1
при (/г, k)=fc(s> р) (мы для определенности положили
&>0, р>0). Если кфр> то первый интеграл правой
части равенства равен нулю. Если же k = p, но п ф s,
то второй интеграл равен нулю.
Из ортогональности фундаментальных сферических
функций и из формулы A7) следует ортогональность A9).
Вычислим квадрат нормы
о о
2л 1
= 5 cos"A<pd<p 5 [PknU)fdt
0 -1
Следовательно,
3. Теорема. Шаровые функции rnYn(Q, ф) являются
однородными гармоническими многочленами п-й степени
по переменным ху у, г.
Доказательство. Поскольку
У»(в, Ф)= |] С*У*(9, Ф),
нам достаточно доказать теорему для функций гЛУ*(8, ср).
375
Для определенности полагаем k > 0. Тогда
Yn (8, ф) = Pkn A) COS £ф = A - £2)*/2 ^ Ря (£) COS «ф =
==A-^/252^Л'со5А(р==
6 ^ = 0
= A-£2)*/21] ^"«^совАф,
<7 = 0
/
где £ = cos8. Очевидно, достаточно доказать теорему для
функций вида г* sin* б (cos8)"~2^~*cos&p. Для таких
функций мы имеем
rn sin* 8 (qos в)п-м-ь cos k(p =
= rk sin* 8 Re (eik(*) r2qrn'2q'k (cos b)n'2q^k =
= Re (x + iy)k (x2 + y2 + z2Jqzn-2q~k.
Очевидно, это однородный многочлен я-й степени.
Фундаментальные сферические функции можно
рассматривать как собственные функции краевой задачи:
Найти значения параметра К и отвечающие им
решения уравнения
1 д ( . д дУ\ . 1 д*У
непрерывные в области 0 ^ 8 ==с; я, 0 ^ ф <; 2я и такие,
что У (8, ф + 2я) = У(8, ф). Числа ЯЛ = /г (л+ 1), где я —
целые неотрицательные числа, являются собственными
значениями этой краевой задачи, а фундаментальные
сферические функции У«(8, ф), У * (8, ф), У^*(8, ф), k=l,
2, ..., п, —отвечающими им собственными функциями.
Совокупность фундаментальных сферических функций
исчерпывает все линейно независимые решения
уравнения B), непрерывные в области 0^8^я, 0^ф^2я
и такие, что
У (8, Ф + 2я) = У(8, Ф).
Эта совокупность замкнута относительно семейства всех
непрерывных в области 0^8^я, 0^ф^2я функций
таких, что У (8, ф + 2я) = У(8, ф). Мы опускаем
доказательства этих утверждений.
Пример. Определить температуру внутренних точек
однородного шара радиуса R, если на поверхности его поддерживается
нулевая температура, а начальная температура равна f (г, б, ф).
376
Математическая постановка задачи: требуется найти решение
уравнения Дгг = — щ в области 0 ^/*</?, 0=^0=^я, 0^ф^2я,
/>0, удовлетворяющее краевым условиям
u(R, 0, q>, /) = 0, |и@, б, ф, 9|<со,
а (г, 0, ф + 2я, f) = u(ry б, ф, t)
и начальным условием и(г, 0, ф, 0) = f (г, б, ф).
Решение. В классе функций вида А (г) У (б, ф) В (t) найдем
решения уравнения Аи = -^и^ удовлетворяющие только краевым
условиям. Разделяя переменные, находим
1 д ( . dY\ , 1 &Y , Л л, Л B3)
|К@, ф)|<со, У (б, ф + 2я)^У(б, Ф),
|:(гМ') + (аг2-Ь)Л=0, |Л@)|<оо, Л(Я)=0. B4)
Решениями задачи B3) при А, = я(/г + 1) являются сферические
функции Yn (б, ф). Если в уравнении для А (г) произвести замену
функции по формуле А(г) = г(г)/Уг, то для г (г) получим уравнение
г
n + Y
1\2
г=0,
г*
общее решение которого можно записать в виде
z(r) = MJn + l/2(Var) + NJ_n_l/2(Var).
Следовательно,
JnJLi/o iVa r) J» i /9 (Va r)
A{r) = M n+l^r L+N П-1/2УГ /^
Из условия ограниченности Л @) находим N =0; М можно положить
равным 1.
Таким образом, Л (r) = — J , 1/2 (Ка г). Из условия Л(Я)=0
J/V ~1"
получим уравнение для определения а:
«7,1+1/2 A*) = °» Ц^аД.
Пусть положительные корни этого уравнения суть
И-ьд» \h,n> •••> И-5.Л» •••
Тогда а5,л=Ф5(Гг/#2. Решения задачи B4) имеют вид
Л,,«=^Ул+1/2(^г].
377
Обращаясь к уравнению B3), находим
Ds,n—W.ne
Следовательно, искомыми частными решениями исходной задачи,
удовлетворяющими только краевым условиям, будут функции
Решение исходной задачи можно написать в виде
со со п
и(г, в, ф, 0=2 2 2 ^у"+'/2(
,/7 -"+1/--Ч D
/М*г]х
а'^, я ,
Коэффициенты Cs,n,k и Ds,nik определяем из начальных условий,
используя ортогональность функций К* (9, ф) и функций Бесселя.
Получим
С (я-АIBя+1)
*,я'* яв(п+А)![у;+1/2(ц»,в)]8/?
Я 2я Я
х И Jг3/2? (г'8* ф) у,г+,/2 frr)F"(8, ф) sin e *de %
0 0 0
О (я-^IBп+1)
*""* Я8^(" + ^)![./п+1/2(^,„)]2
X J J Jr3/2fv(r, 6, ф)Уя+1у2^гI7Л(в, <p)sinedrde*p,
0 0 0
где 8=1, если &:у£0, и 8 = 2, если k = 0.
ЗАДАЧИ
1. Вычислить Рп@).
2. Ортогональны ли на отрезке [0, 1] производные &-го порядка
многочленов Лежащфа Р2п (х) (k фиксировано)? Если да, то с каким
весом?
3. Решить задачу 6 гл. II при произвольных начальных данных,
поместив начало координат в закрепленный конец струны.
4. Найти напряженность электростатического поля внутри и вне
полой сферы, верхняя половина которой заряжена до потенциала Уъ
а нижняя— до потенциала V2-
5. Найти разложение по сферическим функциям поверхностных
зарядов, индуцированных на идеально проводящей заземленной сфере
точечным зарядом е, находящимся: а) внутри сферы; б) вне сферы.
378
6. Решить задачу о поляризации диэлектрического шара радиуса R
в поле точечного заряда, если диэлектрическая постоянная е = е!
при r<R и 8 = 82 ПРИ r*>R>
7. Найти потенциал простого слоя, равномерно распределенного
по круглому диску..
8. Вычислить потенциал во всех точках проводящего шара
с проводимостью о в случае, когда ток / входит в один его полюс
(8=0) и вытекает из полюса в—п.
9. Внутри сферы, на поверхности которой происходит теплообмен
со средой нулевой температуры, помещен точечный источник
мощности Q. Найти стационарное распределение температуры внутри
сферы.
10. Найти потенциал точечного заряда, помещенного-между
проводящими заземленными концентрическими сферами r = R1 к r = R2.
Определить также плотность поверхностных зарядов.
11. Найти стационарное распределение температуры в шаре
радиуса R, часть поверхности которого Si(d^a) имеет температуру
и0 = const, а остальная часть 52 — нулевую температуру.
12. Шар радиуса R нагревается плоскопараллельным потоком
тепла плотности q, падающим на его поверхность, и отдает тепло
в среду с нулевой температурой по закону Ньютона. Найти
стационарное распределение температуры.
13. Решить задачу о колебаниях газа в сферическом сосуде,
вызванных малыми колебаниями его стенки, начавшимися с момента
tf=0, если скорости частиц стенки направлены по радиусам и
величина их равна Рп (cos б) / (/), где f @) =/' @) = 0.
14. Найти собственные колебания сферы при краевых условиях:
первого, второго и третьего типа.
15. Решить задачу об остывании шара радиуса R, на
поверхности которого поддерживается нулевая температура. Начальная
температура равна / (г, 6, (р).
Г лава XVI
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
О ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ
Широкий класс специальных функций дают решения
гипергеометрического уравнения
z(\-z)w" + [y-(a + $+\)z]w' -a$w==0. A)
Это уравнение имеет три особые точки: z1 = 0, г2=1
и г3 = оо.
Построим фундаментальные системы решений
уравнения A) в окрестности каждой особой точки. Полагаем,
что 7^0, —1, —2, ...
1. В окрестности особой точки «гх = 0 будем искать
решение в виде обобщенного степенного ряда
w(z) = zG(l+a1z + a2z2 + ... + anzn + ...).
Подставляя этот ряд в уравнение A) и приравнивая
нулю коэффициенты при всех степенях z в левой части
уравнения, найдем о и ап. Из равенства нулю
коэффициента при z0'1 находим о1 = 0 и а2=1—Y- Если взять
о = о19 то из равенства нулю коэффициентов при
степенях г, г2, ... в левой части уравнения найдем
*1-1.Y' "•>*«- п\(у)п '
где"(#л) = *(*+1) ••• (х + п—\), (хH=1. Таким образом,
при а = 0 получим формальное решение в виде
степенного ряда
оо
/4«,§,т,*) = 1+2тагг*- B)
380
Этот ряд сходится в круге |г|<1. Следовательно,
в этом круге функция F(<xy р, yt z) является фактическим
решением уравнения A). Она называется
гипергеометрической функцией.
Итак, одним из решений уравнения A) в окрестности
особой точки z = 0 является гипергеометрическая функция
w1(z)=F(a) p, v, *).
2. Чтобы найти второе решение уравнения A) в
окрестности особой точки г± = О, произведем замену функции
по формуле w = z1~yu(z). Подставляя это выражение
в уравнение A), получим уравнение для функции u(z):
гA-г)и'+[у'-(*'+р + 1)г]и'-а'Р'и = 0,
где а' = а+1 — у> р' = р + 1 — у, у'=2 —у. Его
решением в окрестности точки г = 0, согласно предыдущему,
является функция
u(z)=F(a+\-y, P+1-Y. 2-у, г).
Следовательно, функция
ia(*) = *i-^(a+l-Y. P+1-Y. 2-Т, г)
является решением уравнения A) в окрестности точки
г = 0. Очевидно, w2(z) является линейно независимым
с w± (z) решением. Таким образом, функции w1 (г) и w2 (z)
образуют фундаментальную систему решений уравнения A)
в окрестности особой точки z1 = 0.
3. Для построения фундаментальной системы решений
уравнения A) в окрестности особой точки г2=1
произведем в уравнении A) замену независимой переменной г =
= 1 —|. Получим уравнение
БA-6)^+[у'-(« + Р+1)Я|-аРа>=0,
где у' = а + Р + 1 — Y- Следовательно, фундаментальной
системой решений уравнения A) в окрестности особой
точки г2 = 1 будут функции
w3(z)=F(af р, cc + p+l-Y> 1-z)
и
a;4(z) = (l-z)Y-a-Pf,(v-P, Y-«. Y+l-a-P, l-г).
4. Фундаментальная система решений в окрестности
особой точки z = oo строится так. Сначала в уравнении A)
381
производится замена независимой переменной g = 1/г,
а затем замена функции w = lau. Тогда для u(Q
получим уравнение
E(l-gH + [T' + (a' + P' + I)g]|-aT" = O,
где а' = а, Р' = 1 + а — у, у' = 1 + а — Р- Следовательно,
одним из решений уравнения A) будет функция
wf
(z)=if(a, l + a-y, 1+a-P, }).
Так как уравнение A) симметрично относительно а и Р,
то функция
w<
(z)=^(p, 1+Р-т. 1 + P-a, {)
также будет решением уравнения A). При а Ф Р хюъ (г) и
w6(z) образуют фундаментальную систему решений.
Очевидно,
Непосредственно устанавливаются формулы
^F(a, p, v, 2) = ^AF(a + *, р + £, Y + *, г).
5. Из представления F(a, P, у, г) в виде ряда B)
непосредственно следует, что для целого положительного
числа п F(—/г, р, у, z) есть многочлен степени ft.
Так,
-ft, /i+lf 1, Ц£)иРя(*). •
Через гипергеометрическую функцию при
соответствующих значениях параметров а, р, у выражаются
элементарные и другие функции. Например,
F(-v, 1, 1, z) = (\-z)\ F(l, 1, 2, г) = =МпA -г).
6. Для Re у > Re P > 0 справедливо интегральное
представление
1
F(a, Р, у, г) = Г(Р)Г(?-Р) S ^х A-О^О-^-«Л/.
О
. C)
382
Действительно,
fltt», ПР+ft) r(T)_r(p + fe)r(V-P) 'Г (у) _
(Т)*~Г(у+Л)"Г(Р)— Г(Т+А) *Г(Р)Г(Т-Р) —
-rfl5T<N>*(P+ft.Y-P)-
1
Г(Р)Г(И)Г ( ' '
о
т. е.
1
G)а—Г(Р)ГG-Р) Г U '' ^ {)
о
Заменяя ^у в ряде B) по формуле D) и меняя порядок
суммирования и интегрирования, получим
F(a> Р> Y> *) =
ГG)
J*P-i(l-f)Y-P-i ^ (-^ г/)*Л.
Поскольку
Г(Р)ГСу-Р) „ ь п
О fe = 0
2<g*(fc)* = (l-fe)-«
то из последней формулы и следует C)., Заметим, что
правая часть формулы C) является аналитической
функцией переменной z во всей плоскости с разрезом по лучу
A, оо). Следовательно, формула C) дает аналитическое
продолжение гипергеометрической функции на всю
плоскость с разрезом по лучу A, оо).
7. Функции F(a, у, z) = lim F(af Р> Y» z/P) называются
P-+CO
вырожденными гипергеометрическими функциями.
Подставляя в уравнение A) z/P вместо г и переходя затем к
пределу при Р->оо, получим уравнение, решением
которого являются вырожденные гипергеометрические функции
zw" + (V ~*z)w' — aw = 0-
Совершая такую же процедуру в ряде B), получим
представление F(a, y> г) степенным рядом
00
который сходится всюду.
k
ЬНУ)н'
383
Очевидно,
£tF(at у, z) = ®*F(* + k, Y + *, г), 6=1,2, ...
Так же, как и для ^(а, |J, у, г), получается
интегральное представление для F (а, у, г):
О
8. Через вырожденные гипергеометрические функции
выражаются многие функции. Например,
Я2л+1(г) = (-1)»(-^±^-2г5(-п)|-) г2),
^^) = A)"гЙт)^(^ + |, 2v+l, 2iz) (v>-|).
/vB) = (i)VrFFi)/r(v + y>2v+1. 2.)*).
*' Более подробные сведения о гипергеометрических функциях
читатель найдет в книге Н. Н. Лебедева «Специальные функции
и их приложения» (Физматгиз, 1963).
Дополнение
ПОНЯТИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 6-ФУНКЦИЯ
1. Мы введем понятие обобщенных функций методом,
аналогичным методу введения действительных чисел с помощью
последовательностей рациональных чисел. Введение действительных чисел
имеет целью выполнимость таких операций, как извлечение корня и
взятие логарифма. Введение обобщенных функций имеет целью
сделать всегда выполнимой операцию
дифференцирования.
Последовательность рациональных чисел {ап} называется
фундаментальной, если для любого рационального е>0 существует
такое я0, что для всех п и т> п0
Фундаментальные последовательности {ап} и {Ьп} называются
эквивалентными, если
lim \ап — 6Я|=0.
п -*со
Эквивалентные последовательности определяют действительное
число. Представителем этого числа является любая из эквивалентных
последовательностей.
2. При определении обобщенных функций мы за исходные
возьмем непрерывные функции, определенные в интервале (Л, В),
— со^А<В^со. Последовательность {fn (x)\ непрерывных на
(Л, В) функций называется фундаментальной на (Л, В), если
существует целое число й^О и другая последовательность непрерывных
на (Л, В) функций {Fn (х)\ такие, что выполняются следующие два
свойства:
1) Ff (*) = /„(*);
2) последовательность {Fn(x)\ равномерно сходится на всяком
отрезке [а, 0] с (Л, В) (Fn (x) =з).
Из определения фундаментальной последовательности следует
Теорема 1. Если последозательность непрерывных на (Л, В)
функций {fn(x)} равномерно сходится на всяком отрезке [а, (}] с
с (А, В)у то она фундаментальна.
В самом деле, здесь Fn(x) = fn(x) и 6 = 0.
Теорема 2. Если {fn (x)} — фундаментальная последователь-
ность функций, обладающих непрерывными производными т-го по-
385
рядка /^m) (x), то последовательность {/(„т) (х)\ также является
фундаментальной.
Доказательство. Для \fn (x)} существует число й^Ои
последовательность {Fn (*)}, обладающие свойствами 1) и 2). Для
Мт) (х)\ вместо k берем k-\-m и ту же последовательность {Fn(x)\.
Они, очевидно, обладают свойствами Г и 2). Следовательно,
{/!?m) (*)}~~Фундаментальная последовательность.
Последовательность функций {fn(x)\ называется равномерно
ограниченной на (Л, В), если существует такое число М, что [ fп (х) | ^ М
для всех п и для всех xg (Л, В).
Теорема 3. Если последовательность непрерывных на (Л, В)
функций равномерно ограничена на (А, В) и равномерно сходится на
всяком отрезке [а, р] с: (Л, х0) и на всяком отрезке [а, р] с= (х0> В),
то она фундаментальна на (Л, В). Здесь х0 ее (Л, В).
Доказательство. Возьмем в качестве Fn (x) интеграл
X
Fn{x)— \fn(t)dt> а &=1. Тогда свойство 1), очевидно, будет вы-
полнено. Докажем справедливость свойства 2). Возьмем г > 0 и
[а, Р] с (Л, 5). Пусть Л .< а< *0 < р < Я. По условию | fn (t) | ^ М.
Нам надо доказать равномерную сходимость последовательности {Fn(x)\
на отрезке [a, PJ. Следовательно, надо рассматривать х е= [а, р].
Для таких х имеем
|М*)-^тМ1
${M0-fm@}<«
Х0
]\fn(t)~fm(t)\dt
х0
]\fn(t)-fm(t)\dt-
х°~бм Хо + т 3
6Л*
*0 +
6Af
В силу равномерной сходимости последовательности {fn (t)} на
отрезках а, лг0 — «-гг и \х0 + ^Г7, Р найдется такое целое
положительное число /20, что на этих отрезках будут выполняться неравенства
I fn @-fm @ I < -з(р1_а) для всех т> п ** "о-
Тогда для п, т^щ
<8.
I^W-^«WI<3^z^g^-=gM-aJ + f+
3(Р
^д-(Р-*-бйг)
380
Пусть [a, $]cz(A, дс0). Тогда
I Fn (*)-Fm W 1 «£ J ! tn V)-fm @ I <B =
a
8
*0
a e
По условию теоремы последовательность {fn (t)} равномерно сходится
на отрезке а, х0 —- -^ . Следовательно, существует п0 (г) такое,
что для nt т^!ц (е)
8
IMN»WI<
2 (*<,-<*)
на отрезке
а, *о — тт, ♦ Поэтому для /г, т^п0{г) ихе[а, PJ
|f»w-f«wl<i^o^
ттй-а +
AM
+ § 1/Л0-/т(О|Л<| + 2М^=е.
8
Если [а, |3] сг (л:0, £), то аналогично получаем
6
I Fn (*) -^m WI ^ JI fn «-/« @1 л=
*0 +
£
4ЛГ * 0
= J IM0-fm@l^+ J \fn(t)-fmWdt<
Xo+4M~
<2М'Ш + Тф^{^х^ш)<^
Следовательно, последовательность {Fn (x)} равномерно сходится на
всяком отрезке [a, p] cz (Л, В). Таким образом, свойство 2)
выполняется. Теорема доказана.
Замечание. Если последовательность {fn (x)}
фундаментальная, то и последовательность { \fnW)dt\ фундаментальна.
U J
Пример 1. Рассмотрим лоследовательность функций \gn (x)}:
/ч_ 1
gnW— i_^e-nx>
и интервал (—со, со) (рис. 41).
387
Эта последовательность равномерно ограничена числом 1. На
всяком отрезке [а, Р] cz (—со, 0) она равномерно сходится к нулю.
На всяком отрезке [а, Р] cz @, со) она равномерно сходится к
единице. Таким образом, выполняются условия теоремы 3.
Следовательно, последовательность {gn (x)} фундаментальна.
Рис. 41.
Пример 2. Рассмотрим последовательность функций {}п(х)}:
и интервал (— со, со) (рис. 42). На всяком отрезке [а, р] cz (—со, 0)
или [а, р] cz @, со) эта
последовательность равномерно сходится к нулю.
Однако она не является равномерно
ограниченной. Последовательность функций
X
{Fn(x)}9 где Fn(x)= J fnWdt, также
— оо
равномерно сходится на всяком отрезке
[ос, Р], принадлежащем интервалам (—со,
0) или @, со), и равномерно ограничена
(числом 1) на интервале (— со, оо).
рис 43. Следовательно, по теореме 3 она
фундаментальна. А тогда по теореме 2
последовательность {fn (t)} также фундаментальна.
Пример 3. Рассмотрим последовательность функций {уп(х)}>
где фЛ (х) — кусочно-линейная непрерывная функция, равная нулю
вне интервала (—1/я, \/п) (рис. 43). На всяком отрезке [а, р],
принадлежащем интервалам (—со, 0) или @, оо), она равномерно
сходится к нулю. Однако она не является равномерно ограниченной.
х
Последовательность функций {ФЛ (*)}, Фп(х) = [ фЛ (/) dt, также
— оо
равномерно сходится на всяком отрезке [а, Р], принадлежащем
интервалам (—со, 0) или @, со), и равномерно ограничена (числомг 1)
на интервале (—оо, оо). Следовательно, по теореме 3 она
фундаментальна. А тогда по теореме 2 последовательность {ц>п (х)} также
фундаментальна.
Пример 4. Рассмотрим последовательность функций {tyn (x)}:
Ц>п (х) =
1/(яя)
(\/пJ + х*>
388
и интервал (— оо, оо) (рис. 44). Поскольку последовательность функ-
X
щш {¥Л(*)}, где Wn{x)— С tf>„ (/) dt, удовлетворяет условиям тео-
— оо
ремы 3, она фундаментальна. Следовательно, по теореме 2
фундаментальна и последовательность {tyn(x)\.
3. Две фундаментальные последовательности \fn (x)} и {gn (x)}
называются эквивалентными, {fn (x)\ ~ {gn (*)}, если существует
целое число k ^ 0 и две другие
последовательности {Fn (*)}, {Gn (x)}
такие, что:
2) на всяком отрезке [а, Р] с (А, В)
последовательность {Fn (x) — Gn (х)}
равномерно сходится к нулю: ^ •х
Fn(*)-Gn(x)z:0. Рис. 44.
Так, последовательности примеров 2, 3, 4 эквивалентны друг
другу. Они эквивалентны также последовательности ig'n (x)\
(пример 1).
Определение. Каждый класс эквивалентных
фундаментальных последовательнс)стей определяет обобщенную функцию f (x),
представителем которой является любая из последовательностей этого
класса. Мы будем также говорить, что фундаментальная
последовательность {/„ (х)} определяет обобщенную функцию / (х) и писать:
Так, последовательность {gn (x)} (пример 1) определяет
единичную функцию
4W-{i.*>o.
Следовательно, единичная функция х\ (х) является обобщенной
функцией.
В силу леммы на стр. 392 и теоремы 1 всякая непрерывная на
(Л, В) функция также является обобщенной функцией.
Последовательности {g'n (x)}, \fn(x)\, {фя(*)Ь {tyn (х)\ примеров
1—4 определяют обобщенную функцию б (х) (с особенностью в точке
# = 0), которая называется ^-функцией Дирака, Очевидно, б-функция
6 (х) является четной функцией: б (— х) — 6(х).
4. Линейной комбинацией af + pep (а и C — постоянные) двух
обобщенных функций f (x) и ф (*), определяемых фундаментальными по-
с;едовательностями (fn (х)} и \(рп (*)}, называется обобщенная
функция F (х), определяемая фундаментальной последовательностью
{а/я(*) + РфяМЬ
В частности, сумма и разность двух обобщенных функций f (х)
и ф (х) есть также обобщенная функция.
Произведением обобщенной функции г\(х-~х0) (т. е. единичной
функции; на непрерывную на отрезке [а, Ь] функцию <р(х),
v)(x — x0)(p(x), будем называть обобщенную функцию, определяемую
фундаментальной последовательностью {gn (x — x0) $(#)}, где gn (x) —
389
функции примера 1, а
Ф (х)={ ф 00» а ^ * ^ ^i
I ф(а), *^а
Очевидно,
Произвольную кусочно-непрерывную на [а, 6] функцию ф (х) с
точками разрыва xlt х2, ..., ** (а < ^ < *2 <... < ** < b) можно
записать в виде
у(х) = [ц(х-а)-л\(х-х1)]щ(х) + •••
...+[T)(^-xlo-^(*~^+i)]$<W+--- + h(^-^)-4(*-^)]$AW.
где
. Гф(*Ы, *^**+ь | ри0, 1, 2 Л),
ф;М = {фМ> Xi^x^xi+ll> _
1ф(*/), *^** j x°-a> ХМ = Ь,
ф/(д^) — непрерывные на всей прямой (—оо, оо) функции. Их
произведения на единичные функции r\(x — Xi) СУТЬ обобщенные функции.
Следовательно, произвольная кусочно-непрерывная функция есть
линейная комбинация обобщенных функций и потому также является
обобщенной функцией.
5. Пусть {ел} — последовательность положительных чисел,
стремящихся к нулю.
Определение. Последовательность непрерывных функций
{6д (х)} называется д-последовательностью, если эти функции
обладают следующими свойствами:
а) бЛ (*) > 0 в интервале (— гПУ гп) и равна нулю вне его;
б) бЛ (х) имеет всюду производные всех порядков;
00
в) J М0<я=1.
— оо
Приведем пример б-последовательности. Определим функцию а (х)
следующим образом:
( е~1/х, х>0,
а(*Но, х<0.
Эта функция имеет производные всех порядков. Функция
РлМ = а(* + ея)-а(ел—*)
положительна на интервале (— ел, гп), равна нулю вне его и имеет
производные всех порядков. Пусть
оо
II М= I tn(t)dt.
—оо
Тогда
00
— 00
390
Следовательно, последовательность {рЛ (х)Ц\ fin \\} есть б-последова-
тельность.
Теорема 4. Всякая д-последовательность фундаментальна.
Доказательство. Последовательность функций
— оо
равномерно ограничена, так как 0^7л(дс)^1, и на всяком отрезке
[а, Р], не содержащем точку дг=0, равномерно сходится к нулю,
если [а, р] с: (—оо, 0), и к единице, если [а, р] с @, оо). В самом
деле, в первом случае ([а, Р] с: (—оо, 0)) найдется такое fy, что
для всех п > п0 имеем ел < | р |. Следовательно, отрезок [а, Р] будет
лежать левее всех интервалов (— ел, ел), п > щ. Поэтому все
функции Ьп (х) с п > щ будут равны нулю на [a, PJ. Отсюда следует,
что уп (х) = 0 на [а, Р] для п > п0. Во втором случае ([a, PJ cz
с @, со)) найдется такое я0, что для всех п > % имеем ел < а.
Следовательно, отрезок [а, |3] будет лежать правее всех интервалов
(— бл, ert), л > п0. Поэтому для х <= [а, р] и /г > п0
Таким образом, мы находимся в условиях применимости теоремы 3,
согласно которой последовательность {уп(х)\ фундаментальна. А тогда
по теореме 2 последовательность {6п (х)} также фундаментальна.
Теорема доказана.
Замечание. Очевидно, какова бы ни была константа С,
последовательности {С6п (х)\ также фундаментальны.
Легко показать, что все 6-последовательности эквивалентны друг
другу и последовательностям примеров 2—4 *). Следовательно,
всякая б-последовательность {бл (х)} определяет б-функцию 6 (х); б-по-
следовательность {дп(х—х0)} определяет б-функцию Ь(х—х0).
Многомерные б-последовательности определяются аналогично.
Например, о-последовательность в трехмерном пространстве
определяется как последовательность вида
{МФМ</)-М*)},
составленная из произведений бл (х) • &п(у) • бл(г), а б-функция в
трехмерном пространстве определяется б-последовательностями такого
вида. Поэтому, по самому определению, б (М) = б (х) • б (у) • б (z) и
б (М, М0) = {бл (х-х0) Ьп (у-у0) бл (г — г0)\ =
= б (х—х0) б (у — Уо) б (г — г0).
Здесь xf у, z — координаты точки М, х0, у0, z0 — координаты точки М0.
Выше мы показали, что последовательности \Л6п(х — х0)}
фундаментальны. Можно доказать более общее утверждение: какова бы ни
была функция ср(*), непрерывная в окрестности О (х0) тонки x=xQ,
*) Читателю рекомендуется провести доказательство этого
утверждения самостоятельно. >
391
последовательность {ф (х) • Ьп (х — х0)} фундаментальна на О (х0) и
эквивалентна последовательности {ср (х0) • Ьп (х — х0)}.
Доказательство. Рассмотрим функции
X X
Fn(x)= J <p(tNn(t-x0)dt и Ф„(*)= $ <p(x0Nn(t-xa)dt.
— со ~оо
Очевидно, Ffn(x) = (f(x)bn(x—xQI Ф'лЙ=фМ^(^-^0) для всех
точек окрестности О (х0). Для всякого е > 0 найдется такое п0 (е),
что
| ф (х) — у(х0) | < 8 для х е (^о~ел, х0+еЛ) и я > п0.
Тогда для всякого дс е О (х0) и для л > п0
I * I
1М*)-ф*(*I = $ {Ф(9-Ф(*о)}8Л(*-*о)л!
I —оо
^ $ |ф@-ф(ДГо)|бя(^-д:о)^^
— ОО
*о+еп хо + еп
^ $ |ф@-ф(*б)|вя('-*о)#<е J 6я(/-*о)Л = в,
|М*)-<М*I<в. A)
т. е.
Так как последовательность {Фп (х)} равномерно сходится
(Фп (*) = ф (х0) • уп (х — х0), см. доказательство теоремы 4), то и
последовательность {Fn (x)} равномерно сходится на всяком отрезке
[а, Р] cz О (х0). Отсюда и из неравенства A) следует, что
последовательность {ф (х) Ьп (х — х0)\ фундаментальна на О (х0) и эквивалентна
последовательности {ф (х0) б,г (х — х0)\.
Произведением непрерывной в окрестности точки х = х0 функции
ф (х) на б-функцию 6(х — х0) будем называть обобщенную функцию
ф(д;) б (* — лг0), определяемую фундаментальной последовательностью
\у(хNп(х-х0)}.
Доказанное выше утверждение означает, что
Ф (х) б (*—*о) = Ф (*о) в (* — *о).
6. Теорема 5. Среди эквивалентных фундаментальных
последовательностей, определяющих обобщенную функцию f (х), имеются
фундаментальные последовательности дифференцируемых функций (поли-
номов\).
Докажем сначала лемму.
Лемма. Для любой непрерывной на (Л, Б) функции F(х)
существует последовательность полиномов {Рп (х)\, которая равномерно
сходится к F (х) на всяком отрезке [а, |3] а (Л, В).
Доказательство. Пусть {Ап} — убывающая
последовательность чисел, сходящаяся к Л, {Вп} —возрастающая
последовательность чисел, сходящаяся к В. По теореме Вейерштрасса существует
такой полином Рп(х), что | F(x) — Pn (x) \ < \/п для всех точек я
отрезка [Ля, Вп). Последовательность таких полиномов обладает
указанным в лемме свойством. Действительно, каковы бы ни были по-
392
ложительное число 8 и отрезок [а, Р] cz (Л, В), найдется такое целое
положительное число я0, что для всех п > п0
-<е и [а, Р]с=[Лл> Вп].
Тогда по самому выбору полиномов Рп (х) для всех я > п0 и для
всех я е [а, Р] будет выполняться неравенство
\Pn(x)-F(x)\<^<ey
означающее равномерную сходимость последовательности {Рп (х)}
к функции F (х) на отрезке [а, Р]. Лемма доказана.
Доказательство теоремы. Пусть {f n {х)} —
фундаментальная последовательность, определяющая обобщенную функцию
f(x). Тогда по определению фундаментальной последовательности
существует целое число fe^O и сходящаяся на {Л, В) к некоторой
функции F (х) последовательность непрерывных функций {Fn (x)}
таких, что
F(nk)(x) = fn(x)-
Функция F (х) непрерывна на (Л, В), так как последовательность
{Fn (x)\ равномерно сходится к F (х) на всяком отрезке [а, р] с
cz (Л, В). По лемме существует последовательность полиномов
{Рп(х)\, равномерно сходящаяся к F (х) на всяком отрезке [а, р] cz
cz (Л, В). Поэтому согласно определению эквивалентных
фундаментальных последовательностей последовательность полиномов
{рп(х)\, где А, (*) = ?<?> (*),
будет фундаментальной последовательностью, эквивалентной
последовательности {fn(x)}. Теорема доказана.
Таким образом, мы всегда можем считать, что обобщенная
функция f (x) определяется фундаментальной последовательностью
дифференцируемых функций \fn(x)}.
Определение. Производной т-го порядка обобщенной
функции f (x)^{fn(x)\ называется обобщенная функция
определяемая фундаментальной последовательностью производных
m-го порядка Ь^ (х)\. Так, в частности, б-функция б (*) имеет
производные всех порядков. Например, б' (х) определяется
фундаментальной последовательностью |б„ (*)}. Производная единичной
функции г] (х) есть обобщенная функция, равная б (х):
Т)'(*) = б(*),
так как последовательность \g'n\ примера 1 эквивалентна
последовательности {fn(x)} примера 2, определяющей б-функцию. Следова-
тельно| мы можем написать, что
— 00
393
7. Интегралом произведения Ь-фцнщии &(х — х0) на произвольную
непрерывную функцию (р(х):
Ь
^y(x)&(x — xQ)dx,
а
мы будем называть предел
ь
lim \ ф (х) 6п (х — xQ) dx,
"-°° а
где {бл (я —х0)} —любая б-последовательность, определяющая б-функ-
цию 6(х — х0). Покажем, что этот предел существует и что
справедлива формула *)
Г / \ л / w / Ф (*о). если *о е= (а, 6),
Й * 10, если х0 <£ [а, 0]. v '
Пусть х0 ф [а, 6]. Тогда найдется такое я0, что для всех /г>я0
имеем еп < min { | х0 — а | , | х0 — Ь | } . Следовательно, для п > /г0
имеем бл(^ — дт0) ^ 0 на [а, 6].
Поэтому ^ ф (х) бл (jc — х0) dx = 0. Следовательно,
f ф (л:) 6 (л: — *0) d* = 0.
а
Пусть *0 е (а, 6). Тогда найдется такое л0» что ДЛЯ я>Яо
интервалы (х0 — 8Л, *0 + 8/г) будут целиком лежать на отрезке [а, Ь].
Следовательно, для таких п
ь *о+ел
$<р(*Nя(х — *0)<&= $ ф(*)б„(л;—*0)с?л;.
Применим к последнему интегралу теорему о среднем значении.
Получим
х0 + еп *о + еЛ
хй-еп х0-еп
где £„<=[*o — ел, *0 + ед1- ПРИ я — °° имеем %п-+х0. Поэтому,
*) Можно полагать, что функции бЛ (к —#0), составляющие
б-последовательность, четны относительно х~х0. Тогда для х0 — а или х0 = Ь
ь
I ф (х) 6(* — *о) <** = -£ Ф 1*о) (доказать!).
394
учитывая непрерывность функции ц>(х) на [а, Ь], получим
ъ
lim \у(х)Ьп(х—Xo)dx= lim <р (£я) = ф (%).
n-voo^ rt-*-oo
Утверждение доказано. В частности, для <р(*) = 1 имеем
J t 0, л^ <£ (а, 6].
Совершенно аналогично доказывается формула
Г /1Лвш ww (Ф^о), если Af0€=D,
для всякой непрерывной в D функции ф (Л1).
Замечание. Если обратиться к последовательностям {fn\,
{флЬ {'Фл} примеров 2—4, определяющим б-функцию 6 (я), то
увидим, что каждая из них сходится к нулю в любой точке хфО
и к бесконечности в точке * = 0. Имея это в виду, можно написать, что
v ' \со, * = 0.
При этом Ь(х) в точке х=0 обращается ,в бесконечность так, что
а
\ 6(x)dx = l для любого а > 0. Часто выражение (*) кладут в основу
— а
определения б-функций как функционала *).
8. Функцию со (я) будем называть финитной, если она
тождественно равна нулю вне некоторого* интервала (а, Ь). Финитную
функцию будем называть вполне гладкой, если она всюду непрерывна
и имеет всюду непрерывные производные "всех порядков.
Определим понятие свертки двух функций, имеющее
многочисленные применения. Пусть /(^ — непрерывная или локально-
интегрируемая (т. е. интегрируемая на всяком конечном промежутке)
функция. Тогда сверткой f (x) с ф (х) называют функцию
оо
/(х).<р(*)- $ f(x-t)cp(t)dt. B)
— ОО
Очевидно,
оо
f(x)*<p(x) = y(x)*f(x) = $ /<9Ф(*-0Л- C)
— 00
Поскольку ф(*) — финитная функция, то свертку можно также
записать в виде интеграла
ь
f*y = ]f(x-t)y(f)dt D)
*) См. Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е., Обобщенные
функции и действия над ними, Физматгиз, 1959.
395
по промежутку, вне которого ср (х) = 0. Отметим простейшие свойства
свертки.
Свойство 1. Если функция q>{x) имеет всюду непрерывные
производные до k-го порядка, то и свертка f * ф имеет всюду
производные до k-го порядка и
dP
^[/(*)*ф(*)] = [/*фГ^М*Фф,М (p=l,2, ..., k). E)
Это прямо следует из формулы C) и финитности функции ф (я).
Если функция f (х) имеет непрерывные всюду производные до
6-го порядка, а ф (х) интегрируема и финитна, то
(f * ф)Ф> = р> (х) * Ф (х) (р = 1, 2, ..., k). F)
Свойство 2. Если последовательность непрерывных функций
{fn(x)} равномерно сходится на отрезке a0 — b^x^b0 — a к
функции f (x), то для всякой непрерывной финитной функции ф (х),
тождественно равной нулю вне интервала (a, b)t последовательность
{fn (х) * Ф (х)} равномерно сходится на отрезке [а0, Ь0] к функции
f(x)*q(x).
Справедливость этого непосредственно следует из формулы D).
Обозначим через (Л', В') интервал, состоящий из таких точек х',
что отрезок [*' — Ь, х' — а] а (Л, В).
Свойство 3. Если последовательность {fn (x)} фундаментальна
на (Л, В), а ф (л:) — финитная и непрерывная функция (ф(*) = 0 вне
(а, 6)), то последовательность {fn(x) * ф(#)} фундаментальна на
(Л\ В').
Доказательство. Пусть [а, Р] cz (Л', В'). Тогда отрезок
[а —6, р — а] принадлежит (Л, В). Так как {fn (х)\ —
фундаментальная последовательность, то существует целое число ^0 и другая
последовательность {Fn(x)\ такие, что F^ (x) = fn(x) и {Fn(x)\
равномерно сходится на отрезке [а — Ъ, Р —а]. Вычислим fn(x)*y(x). Имеем
fn(x)*y(x)~FW(x)*y(x).
Применяя формулу F), получим
fn(x)*<p(x) = [Fn(x)*y(x)Y>». G)
По свойству 2 последовательность {Fn (x) * у{х)} равномерно сходится
на отрезке [а, р]. Отсюда и из соотношения G) следует, что
последовательность {fn (x) * ф (х)} фундаментальна.
Замечание. Если ф (х) — вполне гладкая функция, то
формулу G) можно записать в виде
Ы*)*фМ=М*)*ф(Л)М. (8)
Поскольку последовательность {Fn (x)} равномерно сходится на
всяком отрезке [а, Р] с (Л, В), то по свойству 2 последовательность
{Fn(x)*(p(k)(x)} равномерно сходится на всяком отрезке [а-\-Ь, Р + а],
принадлежащем (Л', В'). Таким образом, справедливо
Свойство 4. Если последовательность {fn (x)} фундаментальна
на (Л, ВO а (р(х) —вполне гладкая финитная функция (ф(*)=0 вне
(а, Ь))у то последовательность {7Л(*) * ф(*)Ь равномерно сходится на
всяком отрезке [а', Р'] cz (A\ Б').
396
Теперь естественно принять следующее
Определение. Сверткой произвольной обобщенной функции
f (хO определяемой фундаментальной последовательностью {fn (x)},
с финитной непрерывной функцией ф (х) будем называть обобщенную
функцию / (х) * ф (х)у определяемую фундаментальной
последовательностью \fn(x) *ф(*)}.
Очевидно,
f (х) # ф (х) = ф (х) # / (х).
Так же определяется свертка обобщенной функции / (х) с
произвольной финитной интегрируемой функцией ф (х). При этом
справедлива формула для производных (f *ц>уР> = }1Р> *q>, где f{P> —
производная р-го порядка обобщенной функции. В частности, определена
свертка б-функции и произвольной финитной всюду непрерывной
функции ф (х):
б (х) * ф (х) = ф (х) * б (х).
Свойство 5. Для финитной и всюду непрерывной функции
ф(лг) справедливо тождество
Ф (х) * 6 (х) = ф (х).
Предварительно докажем лемму.
Лемма. Пусть \8п (х)\ есть б-последовательность, а ср(х)
—непрерывная на (Л, В) функция. Тогда последовательность {ф (*) * дп (х)\
сходится к ф(дс) равномерно на всяком отрезке [а, Р] с: (Л, 5).
Доказательство. Пусть [ос, Р] с: (Л, В). Для любого 8 > О
найдется такое п0 (е), что при п > п0 для всех л: из [а, Р] и всех t
из (—ел, ел) выполняется неравенство
| ф(* —О —Ф(*) I <8-
Оценим разность ф (#) * бл (л:) — ф (х):
I оо
|фМ»6я(*)-ф(*)Ы J ф^-ОМО^-фМ!
I — о° I
00 00
$ <p(x-t)dn(()dt- $ q>(*N„@««|
- СО — 00 I
^ 5 1ф(*-0-ф(*IМ0#= J 1ф(*-0-ф(*IМ0Л.
-оо -ел
Для указанных выше п > л0 (е) и любых # <= [а, р] последний
интеграл меньше, чем
е J бл(ОЛ = е.
/г
Таким образом, для /г > я0 (е) и # е [а, р]
|ф(*)*6я(*) — ф (*)!<»•
Лемма доказана.
Доказательство свойства 5. Поскольку функции
ф (*) * 6Я (#) непрерывны на (Л, В) и по лемме последовательность
397
{ф (я) * бя (х)} равномерно сходится к функции ф (х) на всяком
отрезке [а, Р] с= (А, В), то по теореме 1 она фундаментальна и
определяет обобщенную функцию, равную ф (х). С другой
стороны, по определению свертки фундаментальная последовательность
{ф (а:) * 6п (х)} определяет свертку ф (х) * б (*). Поэтому
ф(я) *6(х) = ф(л:).
Кроме того,
оэ
ф(*)= lim [ф(л:) *Sn(x)]= lim \ y(x — ()bn(t)dt =
П-+СО Я-+0О ^qq
ОО 00
= $ ф(*-*ЖО#=: $ 4(t)b(x-1)dt.
— 00 — 00
Мы при этом воспользовались определением интеграла от
произведения непрерывной функции на б-функцию.
Таким образом, свертка б-функции с произвольной непрерывной
функцией ф (х) может быть записана в виде интегралов:
ОО СО
<р(*)*6(*)= $ y(x — tN(t)dt= j y(t)b(x — t)dt.
< — СО — ОО
Свойство 6. Свертка произвольной обобщенной функции f (x)
с вполне гладкой*функцией ф (х) имеет непрерывные производные всех
порядков.
Доказательство. Пусть обобщенная функция f (x)
определяется фундаментальной последовательностью {fn (x)\. По свойству 4
последовательность \fn(x) *4>(х)\ равномерно сходится на всяком
отрезке [а', $']а(А\ В') к непрерывной функции. Из формулы (8)
и свойства 4 следует, что последовательности {(/^ * ф)а)} из
производных i-ro порядка (t = l, 2, ...) также равномерно сходятся к
непрерывным функциям. Тогда по теореме о почленном дифференцировании
последовательностей *) отсюда и следует свойство 6.
Можно определить свертку произвольной обобщенной функции
f(x) и б-функции как обобщенную функцию f (х) * б (х), определяемую
фундаментальной последовательностью
где {$п (х)\ — произвольная б-последовательность. При этом
справедлива формула
f(*)* б (*)=/(*).
Приведем сводку наиболее употребительных формул и соотношений,
содержащих б-функцию. Доказательство многих из них читатель легко
проведет самостоятельно или найдет в специальной литературе **).
*) См. Фихтенгольц Г. М., Основы математического
анализа, т. II, гл. .XVI, изд. 5-е, «Наука», 1968.
**) Г е л ь ф а н д И. М. и Шилов Г. Е., Обобщенные функции
и действия над ними, Физматгиз, изд. 2-е, 1959; Микусинский Я.,
Сикорский Р., Элементарная теория обобщенных функций2 вып. IIf
ИЛ, 1963.
398
1. д(—*)=б(*).
6 (л: — *я)
2. б(а*)= — 6D
3. 6 (ф (*)) = > . v, —^y-, если ф (*) имеет только простые нули хп.
п
4. *б(*)=0, ф(^)б(л:) = ф@)б(д;;, у(а±.х)д{х) = ц>{а)С)(х).
оо
'5. J ф(*N (а: — *0) ^ = ф(х0).
— оо
оо
6. J 6(x-t)b(s-t)dt = 6(x-s).
— оо
7. в'(*)-=Ь(*).
ОО
8. \ ф (л:) б' (х—х0) dx~~- ф' (л*0), если ф' (х) непрерывна при
— ОО
ЛГ = Л*0.
оо
9. j 6' (x-(N(s-t)dt*=6'(x-s).
— оо
Ю.^в(х)-(-1)»^6(х).
00
11. \ ф(л:) 5~^ б (л: — s)d* = (—-1)лф(Я) (s), если q>(n) (x) непре-
— 00
рывна при x~s.
оо
12. J Ц Ф (М) б (М, лд rfrM=Ф (Ж0).
— 00
13. Фурье-преобразование б-функции б (л:—х0) имеет вид
00
— 00
следовательно,
00 00
— оо —-оо
399
Для трехмерного случая
6(М, Мй) =
00 00 00
— оо —со —оэ
00 CO
— оо
оо
\ е-1 <*-*•> d£ = 6 (x-*0) • б (у-(/'0) • б (г-г0).
— ОО
ОО
I
2я
"оо
Таким образом,
б(М, М0) = 6(* —*о)й(#--0оЖг--*а)
в декартовых координатах.
14. 6 (М, М0) = — б (г — г0) б (ф — фо) в полярных координатах
на плоскости.
15. 6 (М, М0) = — б (г —г0) —г б F — 60) б (ф —ф0) в сферических
координатах.
16. 6(М, M(d=b(b-<®Hq,-f6(qt-<® B произвольных
ортогональных криволинейных координатах (qlt q2, q3). Здесь hlt h2i
h3 — коэффициенты Ламэ.
Встречаются также обобщенные функции б+ (а:) и б_ (л:), которые
мы определим формально с помощью представления
оо 0 оо
О —оо О
Очевидно, б+(*)-{-б_(х) = б(л;) и б+(—^) = б. (*).
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ*)
Глава I
1. а) и^ —0,5-g «| = 0 U = xy, П = ~): б) А« — и^ — «л = 0
(?=<А л=^2); в) ^л=о (б=|-, л=у); г) ^л+|±^(^-^==
= 0 в области г/<0 (g = * + 2 К^, т) = *~2 К17]/); Лы = 0
в области #>0 (£ = *, т)==2 )/#).
2. а) ипл —2u| = 0, K = weH&+VTif ^ = 1,1875, v = 0,25 & = у-х,
Л = */ + *); б) Vto + $2V = °> u=v-e^r)t ^ = -0,25, v = ^
= 2y — x, т) = *).
Глава II
1. a*uxx+g = utt\ u(x, 0) = 0, M/(*, 0) = o0; a @, 0 = MU) = 0.
2. a*uxx—$ut = uu; u{x, 0) = <p(x), и, (*, 0) = фх (л:); и @, /) =
= и(/, 0 = 0.
3. ^ (Я • S • и„) = р5ад и (*, 0) = ф (*), и, (*, 0) = фх (*);
«1^@. О —Pi«(°. 0 = 0, сс2«,(/, 0 + Рг"(Л 0 = 0.
4. ^№-*)М=£-вд «*(*. 0)=фй. М*. 0)=<PiW;
a @, 0 = 0, |и(/, /)|^M.
5. g^- [(/—•*) «л:]+ со2а ==«//, дополнительные условия задачи 4.
6. со2^-[(/2—х2) и,] = ри#, дополнительные условия задачи 4.
7. a28,, = 8//; 6(*. 0) = ф(*), 6, (*, 0) = (&(*); 6@, 0 = б(/, 0 = 0.
8. а2и,, + ^/@ = ^, и(х, 0) = и,(*, 0)=0; a @, /) = и (/,/) =
= 0, с—-скорость света.
*) Большая часть задач заимствована из [2] и [13], (см.
Литературу в конце книги).
14 В. Я. Арсенин 401
и(^0) = ф(дс), и/(^0) = ф!М; ^ = ~" (* = l.2); «i@,0 = w2@,0,
fl"l*@, 0 = ^2* (О, ft. ' л
10. Tuxx = [р + m00 (x- *0)] ад и (х, 0) = ф (*), и, (*, 0) = фх (*);
и@, 0 = и(/, 0 = 0- Или:
"<-->={:;',:'«!:;;:.«=<«.>«-<«.>««->.*>.
и(*, 0) = ф(*),
М*. 0) = ф1(л:); Ml@, 0 = 0, и2 (/, 0 = 0;
М*0. О = (*о. О, П*(*Ь» *) —"i*(*b. t)] = m0utt(x0, t).
11. Ги^ + /г(Об^-с»оО = Рад "(*. 0) = и,(*. 0)=0.
12. uJCH-Z--i/ + /?-t = 0, ^ + С.^ + ^=0; о(*, 0) = ф(*),
la. i>v + L.t, = 0, ^ + C.^ = 0; »(*, 0) = ф(*), * (*> 0) = ф1 (*);
— и(о, о ==#<>;(о, о. w". /)=«(/, о-
14. ^ + L-^ = 0, ^ + Co/ = 0; о(«,0) = фD f (*, 0) = ф1(*);
г ух (ж, о, * < о, . / л f '1 (*» 0. * < о,
(t>Ab+i* («'*)<+/?ft-i*=0' ('*)*+cftfe)/=°, у(*. 0)=ф(*).
/(*. 0) = ф1(«). <i@. 0 = '2@. 0. v«@, t)~vu@, 0 = f »i@, О
(Jfe=l, 2). Для силы тока i(x, t):
(ikhx = СкЦ {ik)tt + CkRkik; к @, 0 = к @, f);
Cj ^2 ^0
16. й-и^-/г[и-ф@)=Ф"/; «(*, 0)«f(«); и@,0 = МО,
*М'. 0 = <?f0-
17. fe.«^-A« + Q-/2=cp«/, и (ж, 0) =/(*); ^@,0 = ^^@,0,
fe",t(^ t) = C^ut(l, 0. гДе сь С2 —теплоемкости клемм.
18. ^(Ои,) - ^ (о •«)=«,.
19. а) ^@«Л)-Р«=с«/; б) ^@-иж) + Ри=шЛ
■• «<'•"-{:!:': «>°: «<<*--<■* *-1.ч.
и (х, 0) = ф (*); И! (О, 0 = и2 @, 0;
а) къщх @, 0-Mi* (О, 0 = 0; б) M2*@, t)-huix{Ot t) =
= Qu, (О, О-
21. ^№и*) = сра,; «(*, 0) = 0; «(* ОяФЙ.
402
22. fc(kux) + Q& (x — vj)=cput; u(x, 0) = ф(д:).
23. a?UQQ — h(u — u0) = ut't и (9, 0) = фF); аF + 2я, Q = tt(8, /);
у
-полярный угол, а2 = -—, /?-—радиус кольца.
# 4яо> ' д£2 ; Я 4яо> ' д£2 '
где с—скорость
света, а —проводимость среды, jx —магнитная проницаемость, \ —
расстояние, отсчитываемое от фиксированной плоскости, £ = £(£, t)t
# = #(£, t).
25. а) Да = —4яр; б) Д« = 0.
Глава III
1. См. рис. 45. Указание. Воспользоваться формулой Да-
ламбера.
КЧ
2с
О с 2с Зс 0 с 2с Зс
■ /N
Рис. 45.
/S/S , /N/N А ЛА /V
-<& -г? О с 2с -Зс -2с -с 0 с 2с Зс
. -А
JS.
/\ ■
К=3
-4с -Зс -2с -с
О с 2с Зс 4с
Рис. 46.
О с 2с Зс 4с
А=4
±Х^
К=6
0\с/2с Зс 4с 5с 6с
J>4C 47.
2. См. рис. 46.
3. и(х, t) = ~{F(x+at)-F(x-at)}, где
С 0, г^-с,
I 2v0c, z^zc.
4. См. рис. 47.
14*
403
5. u(x, () = efo{F(x + af) — F (x — at)}, где
F(z)^~i4(z-^-r)(z + x0)\.
Указание. Решать задачу: а2ихх — иц\ и (О, /) = 0; и (х, 0) =
= 0, щ(х, 0)=^-6(л: — х0), 0<сх<аэ.
6. Для —оо<л:<0 имеем
преломленная волна: и2 (х, t) = ^р=. „1 f\ ?—^- f [t X
_VpiFi + Vp2F2 \ aj'
VpiFi — V ОъЕо , I. , x\
отраженная волна: w0TD = -t^L£————- f It. А i
Р Vp1E1 + VW2 \ aj'
t/0Tp отсутствует при pi£,1==p2E2.
7. v(x, 0) = E0e~
-Vgrx ., m ~ i Г G
, t(x, 0) = £0|/ ~
G_ j-Ygrx,
v(x, t) = E0e~
-VGR*
r\(x — at), 0<x, t<co\
i (x, t) = E01/ j- e~ VGRxx\(x-at).
8. u(x, /i) = 0, u(x, t2) = ~ u(x, 0), u(x, t^) = u(xt 0).
x-\- at
9. M*, 0 =
0,
x>att
Щ(х, 0 =
2аГ0
at — x
a — v0
I FC&(%, v0t<x<at,
о
0,
x>at,
T0 — начальное натяжение струны.
1 ,/"С
404
где а =
VLC '
13. Только уравнения гиперболического типа вида
ЯЦ%Л' + 2aX2Uxt + 022"/* = °-
Скорость а определяется из уравнения
а22а2 — 2апа + ап = 0.
14. Только уравнения гиперболического типа с коэффициентами,
удовлетворяющими соотношениям
022а2 — 2а1^а+а11 = 01 b1 — b2a — 2ii {an — а22а) = 0,
а^Ф — \ib2+c~Q.
Глава IV
со
. , Л — Ш2 \} I . яп . пп ппа ,
Ь U(X' t)= n*x0(l-x0) 2 й»8 —^•яп —'««T-''1*8
со
п , „ 2Р г 1 • ^ .я/г . пап ±
2. W (*, /) = 7 ~ S1I1 —г- XQ Sin -7- X • Sin —т— t .
4 ' ЗШр mm' П I U / /
« = 1
/>
Указание, и (#, 0) = 0, щ (x, 0)= -b (x — x0).
00
с , л 8lFo X (— l)n ■ 2n+l 2n+l 2
f
Указание, и (х, 0) = -=— x, щ (х, 0) =0.
bo C0SJi/L fofcLof
4. и(*. 0 = -тг- Л ? h T> Где Ит*-положи-
»-i„ К
4 <K#)l
тельные корни уравнения jxtgfx = &-/.
v CO
5. и (г, 0=2 Сяб_а nTSin^r' ГДе Vn^KR,
2 /г.,4»+(/?/,_ 1L* с }Хп
с«=1? • тщ^щк=Т)Тт? умSin X' *•
р,л —положительные корни уравнения tg \*>=Y^hR*
Указание. a = y/r и a*vrr=vu.
405
00
6. u(r, 0=2, C"e уфЛа где
Cn=|фЬ" §rf (r) Фл (r) *"• "ф" = § Ф"(r) *'
^,я —положительные корни уравнения
tel/Tu? 4pi /?2(l-*i/?i)-(l-V?«)
tg F ^ (Rt-Rd -^+A_ЛЛ)A_А^2).
Я#
7. a)/?Kp==-y=; б) /?кр = 0; в) /?кр равно наименьшему поло-
О __ __
жительному корню уравнения A —-hR) tg J-J- # = J-ii # #
8. Для краевых условий первого типа:
Хп,р = &[~ + ^у Фп,Р(х, y) = sin^-X'Sm^-y (я,р=1,2,...).
я2 5я2
В случае квадрата (/ = &) Ял,р=-^ (я2+р2), ^,2 = ^2,1 = "Т2", но
- , . . 2я . я; , . .я . 2я
ФьгС*» #) = sin -y-A:-smy г/^=Ф2, ! = sm-y я-sin -r~ у.
5я2
Таким образом, одному собственному значению \^=~—
соответствуют две линейно независимые собственные функции.
Для краевых условий второго типа:
п2 р2\ _ / яп яр
о / Я , Р* \ л / ч ™П «Р
(п9 р=о, 1, 2, ...);
третьего типа:
Фя.р (*,#)_= _ __ _ _ _
= (VlincosVVnX+hi sin V\хпх) (VарcosVаРy+h3sin Vapy)9
\in и ар являются положительными корнями уравнений
9. Для краевых условий первого типа:
А/Ь р. ? —^ ^2 "Г £2 "Г m2j»
ЯЛ . ЯР . ЯG , 1 г» \.
Фя.р.*(*»0» 2) = sin — *-sin^#-sm-^2 (л, pf 7=1.2,...),
второго типа:
Ля,р, ? —я \^2 "Г ^2 "г т2^>
406
tgKp m =
®n,p,q (х>У, 2)=cos^p-*>cos j—y-cos —г (n,р, q=0, 1,2,...);
третьего типа:
. , v ^n» p, 9 = ^л + ар + Р^»
Фя, p. <? (*. У. *) =
= (|/|Ал cos Vpn x+ht sin j/"ji^ a:) (VoJ cos K»^ #+u3 sin j/oj #) X
X (Kp^cos /Р^г-f Л5 sin KM),
jLin, ap, pg —положительные корни уравнений
^ (л, p, ? = 1,2,...);
б) ®п,р=а)\п,р-5-у гДе ^rt,p — корень номера р уравнения
^я+1/2 (M)~^^+1/2 00=0. ^-Радиус сферы, л = 0, 1, 2, ...;
р=1,2,.... Здесь /^ (г)—бесселевы функции &-го порядка (см.
гл. XIV).
со
ft /A 8/ \* ( Щ 2П+1 * .
И. И (*,/) = 5" 7 1 /о , 1чи CQS о7 а^ +
v ' ал2 ^1лаBя + 1K 2/ '
п = 0
у0 • 2л+1 А . 2л+1 £ /*2 # \
+72*TTFsm~^^
(-1)»
Bл+1J
я = 0
2я+1 ,
X cos —~— mt.
Указание к задачам 12—23. Искать решение в виде суммы
двух функций u = v(x) + w{x, 0> гДе v(x) удовлетворяет уравнению
и краевым условиям рассматриваемой неоднородной краевой задачи,
a w—решение соответствующей однородной краевой задачи; v (х)
описывает стационарный режим, ш —отклонение от него.
13. «(*, t) = u, + v(x)+ fj Спе~(а2кп+Н)'.*т^х,
/ л ^0 8/у V! (— 1)» . 2л + 1
12. llfeo=-^*-1^2l2S+T?m-2r-wX
/ где
v(x) = —j—\(ul--u3)s\\ -i~- {l-x) + (u.2-u3)$h~x
sh—L—
407
Лг^ + Ще—'+лАи^Ще-^1^;
14. и(х, t) = u3 + v(x)+% Спе (а^+/'з)'х
X (Лх sin УХ * + У% cos VK х) ,
где v (х) = Ахе а + А2е а . Коэффициенты Лх и Л2
определяются из уравнений
А А _bi<ua-u1)
VH3f , ^ Vhl
а
I
о
п
cos УК х'>
А,л —положительные корни уравнения tgVXl — . u ,2-- \/"К.
/
15, Q(t) = S^u(x, t)dxy где S — площадь поперечного сечения
цилиндра,
00
где
/ а \^ 4"о -fl2V • 2п+1
п = 0
^=4/* B*+1J, или Q(/) = -D J и, (О, %)dx.
о
/
16. Q@ = S \u(x% t)dx (a*uxx-?>u = ut),
о
oo
/ a / n . V n ~a2V . 2/z + l ft/
u(x, o=^w+ 2j c*e sin 2/ я***" *
71 = 0
]/pTch^-/
/
Сл= — ^ E) sm 2y 3i| dg.
408
,, , ,, _ 4(£0 — V0) VI (— l)n -a'XJ 2/t-fl
ОО
1о /л ^0^ (^ —*) , лГ no V —0?>*J
18. u(*, /) = _^_L_2.+2^o^a 2j e X
sinVXC —*) о 1
тельные корни уравнения R tg Y%n l = — RQ Y% .
CO
in и t а и 4#0 V 1 -a2V • 2/1 + 1
_ 2д + 1
n = Q
. д2Bп + 1J
a~lH^Tl ^ 4?"
со
20. и <*, t) =ig£ ^ {^ Ф* W (l -в_в,Х»')} Ф„ (*), где К =
П=1
л2 2/г +1
= — Bл + IJ, Ф„ (*) =cos 2/ - я*; Ь^ + Q5 (*-*0) = сри,,
/г —коэффициент теплопроводности.
со
2,.oh,<,-„+f(i-i)-2l[i+<-.».^».]x
п = 0
-*V 1 2/г + ! * B/2+1J
Хе B/г + 1J cos~~2/—"*' ГДе Л==—4/2~>
^-коэффициент теплопроводности.
S1. — а2к t
22. ы(*. 0 = о(дс)+ 2J Спе п Фп (*), где
/г = 1
„W-^-x+C.(*+А>. ^.^-A+ «)T_Jf_J-,
сп—щ^Ш jj » К) ф* © *, ф« (*) = К% cosK)i~a;+/i sin ]/%*.
о __
, 1/1-/ 2А1/"Я,
^ — положительные корни уравнения tg у л 1= . _*2- .
23. и (г, 0 = и2 + 2 (Ul - и0) ^2 У (— 1)я ~^ /2 sin J^- r,
n=i
1/цД+(«-1J
где С^= Д2^2__ , цл —положительные корни уравнения
409
tgjj,= ,_ , А —коэффициент теплообмена в краевом условии
ur(R,f)+h[u(R, 0-%] = 0.
24. д«=о, «г(/г.Ф)-^, "ф(^.о)=Й- М'.«)-^;
оо
, ч Qr . , Q VI / r\2«+i cosBn + l)9
п = 0
Указание. Сначала найти решение уравнения Лапласа вида
г • 'о (ф), удовлетворяющее только условиям иф (г, 0) = ^ -,
— Or
иф(г, я) = , ^ , и отклонение ау(г, ф) от него. Тогда и=га(ф) +
+ w(r, ф).
СУ у
25. сПхх^Вц, 0(*. <9 = -~-, в<(х, 0)=0; 6@, 0=0; в,(/, 0 =
W^(U),«* = |/~|-;
/7 = 1
где / — полярный момент инерции поперечного сечения стержня,
G —модуль сдвига, 1г — момент инерции стержня, р—линейная
плотность
стержня, ^-—положительные корни уравнения tgjji== -7-^—.
со/ sin —z— ant —• Bn +1) па sin со/
2 a) M {X> }~ я2Г Z Bn+1J [со2/2 - Bn+1J nW] x
n=l
X sm —^— nx;
I kn
б) Заменить в предыдущей формуле sin со/ на cos со/ (со ф —.--,
Л=1,2,3,...).
rtn i Z. со/ sin —7- at—nan sin со/
о-> / л 2г 0а/ VI / * . пп . ,
27. Ц(д,,/)=_^- ^ <Мг-.Мг)п "»~г'Х
Л=1
X sin -у- л; ( со ф -р; л = 1, 2,... J. Аналогично для /^ cos cq/t
410
1 -=£<'-х>.
S. w (х, 0= -~- sin ~- \ * ' Ф W ^+
+ 2 с»е {г
кп
sin -у- л:,
I
9 С ТТГ7
где & —коэффициент теплопроводности, Сд = у \ / (|) sin — gdg.
29. «(x.O-idL^-* У (йп^-^«»^+-^Х
ф ^ \ / ЗТП / ' ЯЛ/
71=1
. Я/2
sm -у- *
Х /2у| + я2л2а2
Указание. Уравнение для и (х, /) имеет вид
а2ихх—hu-j б (л: — v0t) = щ, 0 < t < /Д>0.
Ф
30. а) При со=£ 2П^! яд (л = 0, 1,2,...)
и (xt t) = v (х) sin ©*+ > СЛ sin —^— яа*' sm —о7—х>
где
. со
sm —х
cos — / о
б) при со =——?—па
и (xt t) = ух (л:) sin со* + v% (х) • / cos со* +
оо
^2я+1 _, „. 2/1+1
я = 0
где
+ £ C*sm 2j я^-srn g' я*,
с" = МB« + 1) S lm A)+Ч Ш Sin T nl *'
о
Л , лхип-4-1 Га: со , 5й , й . За . Зсо 1
. . 2аЛ . 1хПо . со
411
Аналогично для F~Acosa)t.
Указание. Искать решение в случае а) в виде ti = v(x)smG)t +
-f- w(x, t)\ в случае б) в виде и — ь\ (х) sin mi-\-v% (x) tcoscot+w(x, t),
где v (x) sin (ot (соответственно vx (x) sin g)^ + i>2 (*) t cos со/)
удовлетворяет уравнению и краевым условиям задачи.
31.
u{r,t) = Fl(r) + t-F2(r)-?^ У —J
X
/2 = 1
Мтг_
Xsin-~-r; ^ — положительные корни уравнения tgjx = jx,
3qa?
р . . . qR 3R*-5r*
kxR *
Указание. Искать решение задачи a^vrr — vt, v(r,0) = uor,
hlRvriR, t)'-v(R, t)] = q (u = v/r) в виде v*=h (r) + t • f2 (r) + w(r, /),
f . I /f
где —установившийся режим, удовлетворяющий уравнению
и краевым условиям задачи, a w/r — отклонение от него; г^есть
решение однородной краевой задачи.
32. и (х, t) есть решение задачи -^— [& (*) wj = р (л:) uh и (О, /) =
= и(/,/) = 0, к(*. 0) = /(*), где
къ 0<*<х0!
Г /гь 0<*<х0, Г Pl, О-
I &2> x0<*</, ^v I р2, лг0
plf 0<л;<*0,
или
aUUl)xx = (ul)t> а1(и*)хх=Ыг а1-^
(' = 1,2),
«1 (о, t)=о, «2 (Л 0 = о» (*о> 0=^2 (*о> 0;
b&ix (*о> 0 = ^* (*о> 0. и (*> °) = f М;
ОО о
л = 1
где
Ф«М =
1
• "М-л
sin ~ - х0
• Ц/г
sin -*-^- *,
«1
sinJ^.(/-x0)
fl2
^2
sin -^(/ — л:),
-#o>
x0 zc д: ^ /,
C/l = P^IF У W p W Фл W ^
412
р,„ —положительные корни уравнения
kt
H.^^Actg-^^-0.
%
Ч
а2
Собственные функции Фп (х) ортогональны на отрезке [0, /] с весом р (#).
33. и (а\ t) есть решение задачи
а2ихх = 1 + у?- 6 (л: — х0) L,
и @, /) = и(Л 0 = 0, м(*, 0) =/(*),
или
и(х, 0 = {
wx (x, t), 0<x<xQ,
Щ (*, 0» х0<х<1,
& {Ui)xx={*dt (* = 1. 2), % @» 0 = 0 = иа (Л 0.
«1 (*о. О = Ч (*о> О» и (а:, 0) = f (*);
** (*о> О — kulx (Xq, f) = C0Uf (х0, t),
ОО 9 0
п = 1
где Сп = |фПр- J P W / № ф« W d*>
Ф«<*> =
sin \xnxQ *
sin jn„ (/ — x)
sin (яя(/—%)
: *0i
, x0^x^l,
щ — положительные корни уравнения
Q
ctg |i^o-ctg ц (l-x0) = ^ [Л.
Собственные функции Фп (х) ортогональны на отрезке [0, /] с весом
р(*) = 1+~°-6(*-*ь).
34. и (х, t) =
ОО
= £0 + 2/£0С J] *~
Л=1
,i|L Co^sin^^l-yj-C/cos^^l—у
(/^cc0+w+q^)^Sin^
с/
где u,j — положительные корни уравнения \xtg\i = -w-
Указание. Собственные функции задачи ортогональны на
Q
отрезке [О, /] с весом р(*)=1+у б(л: — /).
35. a) u(r, 9)=-Q-rcos9==-Q-A;; б) и = Л + --^-у; в) и = Аху;
Указание к задачам 35—41. См. пример 8 гл. IV, § 6.
413
36. Задача а) поставлена неправильно, так как необходимое
условие \ - ds = 0 не выполняется; б) u = ARx-\-D; в) и— 9R(x2 — y2);
с
г) и = (А + ^В^у~1^[3(х*+у*)у--4у*] + 0, где D-
произвольная постоянная.
]птг
37. и = % + (w2 — %) 5^~- Емкость единицы длины цилиндри-
'"ж
1
ческого конденсатора равна С = -—^ i—Б~-
Указание. Емкость С проводника;-ограниченного поверхностью
5, равна для трех измерений
п — 1 £ да
4miQ j an
для двух измерении С = -х \ -д-«s» гДе L —контур, и0—-потен-
L
da _
циал проводника, -^-~Еп есть нормальная составляющая вектора
напряженности электрического поля.
38. С =
a ~ с s2 \ & с / J
Указание. Решить задачу:
Аи1 = 0 для a < г < с, Aw2 = 0 для с < г < Ь,
их (а) = и0, «2 fa) = 0» «1 (с) = fc),
д«2
82 а*
uQ — разность потенциалов на обкладках конденсатора.
1 + г1"~г2 i.
39. и = и0 -= г- для R<r<c,
е1 . I
«==-1—%—v~T для г>с>
J , gl ~" fc2 [_
/? "*" 83 С
40. а) U = u2 + T(r*-Ri) + lnR%_lnRi lnT;
б) u = ih + ~(r^Rl) + R2^u2+^-R2yn 3».
414
41. u^P-Rfi-lR&iRi + Rti^L-l
42. и(х,у) = Щ> 2 <~{У
и2/г + 1 2п + \
СП —^7— ЯЛС ' COS —~— Л#
26
2b
л = 0
Bп + \) ch —~—na
Указание. См. пример 5 гл. IV, § 3.
Глава VI
...*о-^"»{.-.(./£-уг?)}+
Г (г - ПУ (г+г„)П
[е Ш -е iaH J-
2. G(r, v. 0 = - -7==
Указание. Заменой u — v/r свести задачу к одномерной:
a2vrr — vt> v (г, 0) =
4я
3. и (г, 0 = ^
2
лктГ-Яп?»! (' + R>21
4- "-5 1/ — е 4а2' — е 4°2'
4. а) и (ж, у, г, <) = " (VWlf+ (г-гь)*, ,) +
-Ы1/х2+-2/2 + (г + г0J, ,);
б) Н(ж, у, г, t) = u(Vx* + y* + (z-z0)*, t)--
-и(К*2 + г/2 + (г + г0K, /),
где и (г, t) — решение предыдущей задачи.
5. и(х, 0 = 1 { (ф( г Ь~Х =W«P
2 Д \у4а2а-т)/П
/ *> + *
\j/4a2(*-T)/ V|/4a2(/-T)/J
? Г <Г-£>г ('• + 1L
t оо
, i 5? и Г <f~s)' _ C + S>2]
г|/4яа2 J }/*-т
415
со
7. <?(г, г0, 0 = 4 I e~a2k4jo&r)JoCkr0)Xd%~
о
г2 + ^2
Указание. Решить задачу: а2 (игг-\ иг) = ^,
со со
Решение ищется в виде и (г, t)=\ С U (р, /) /0 (Яр) J0 (Кг) К dK dp
о о
(см. гл. XIV).
8- и (г. О -5Д Г =» $ 1Ф (I) Г И /0 (A) d£ +
О
п п
О О
Глава VII
1. a) G (М, Р) = ~- 1\п In —] где Рг —точка, сим-
гк\ гМР r0rMPj'
метричная точке Р относительно окружности, г0 — расстояние точки Р
1/1 р \
от центра круга; б) G (М, Р) = -~
ГМР ГоГМР±
п — \
2. G(M, Р) = 23 f^pC^' рт)~Окр(М, РтI где (?кр(М, />)-
т = 0
функция Грина для внутренности круга, Рт и Рт — точки с поляр-
/ , 2т \ / 2т \
ными координатами (г0, ф0Н я) и (г0, —я — ф0 соответственно,
(Го> фо) —координаты точки Р.
3. a) G(M, Р)= У-М -^Ц, где Р„-точки с коор-
£йЫ\гмРп гыр'п)
динатами (ря, б0, ф0)> Рп —точки с координатами (р«, б0, ф0),
(Ро» 0о> Фо) — координаты точки Р,
(if п^ «-»• , ((§)'£ и>" ^
£« =
416
'Я2\* + 1 _. „ о, , 1 №#2
ц^ при „-2Л + 1, Ц|) ^2 при * = 2*+1,
Рлв
^j p0 при n = 2kt
\Rj
Prt =
p0 при n=2^+l,
f/}f3 при »-*.
— при n = 2&+l.
Po
, где Рд—точки с коор-
^~0\ 'мрп 'mp'J ^
динатами (рп, ф0), Рп — точки с координатами (рп, <р0), (ро> Фо) —
координаты точки Р, рл, р«, еп и £« определяются по тем же формулам,
что и в случае а).
со
4. G(M, P)=j- У [- 1, гдеРп-точкискоор-
4Л„±соГ«^ rMP'nj
динатами (*0, y0l z0 + 2nh), Рп — точки с координатами (х0, y0t z0 —
— Bп-\-\)}г), (x0i y0t zQ)~координаты точки Р.
Глава X
1. и(г) =
(В, г^Яъ
г
-4я ^1-Ijg2p(g)^+C, /?x^r^/?a,
D
г
г,
где
Я = 4я$Б2р(й^, Я=С=^- + 4я J^-j-jgap©^.
/г,
/г.
Л/Г
Г 4я#р0, г
2. и(г) = { 4я^Ро
г
2яр0
3. и(г) =
fa-?)--, г,
М
£L ' =
:Д,
где М = -^-я/?3р0, r==K^2+iB + B —ЛJ, /'i = ]/jt2 + i/2 + B+42,
р0 —плотность зарядов, (О, О, А) — координаты центра шара радиуса R.
Указание. Для вычисления влияния идеально проводящей
плоскости г = 0 надо зеркально отразить исходную сферу
относительно плоскости 2 = 0. Решение в этом случае представится в виде
«(/-)=
|я(у»-£, r<R,
Г Г!
С определится иг условия сопряжения решений при r = R,
417
4. и(г) = { где М=я^2р0) Ро —
М1п —, гг>#,
плотность зарядов, # —радиус круга.
5. Потенциал простого слоя отрезка O^x^l с плотностью р0
равен
v (х, у) = ро \ In dl.
I rMP P * } V&-X)*
6 'mp ■ - ^Й-^Ч»2'
2л '
7. a) w(p, Ф) = 2- ^ ^+;2_ЗДрсоз(е_ф);
0
6)а,(Х,у)~1\-У1®*
A-хJ+У2'
— oo
Глава XIV
1 —БГ*
1. и (г, 0=8Л 2 5аГ7^)е ** 'о(^г), где а„-поло-
жительные корни уравнения ,/0(а) = 0.
2. ы(г, /)= Л СЛе ^2 ^o(-^"r)i гДе «л — положительные
п = \
корни уравнения aJJ (<x)+hRJ0 (a) = 0,
Я
1
§/ШЛ>(^)^;
/ (г) —ограниченное решение задачи: Af + -r-=0,
OO # ОСд ^
3. Я(г,0-Я.-2*. J S^OT'"^'-^)' ГДе««-
гс = 1
положительные корни уравнения J0 (a) = 0. Поток магнитной индукции
через поперечное сечение цилиндра равен Ф=\ \ \iH (r, t) r dr dy,
о о
где |Л — магнитная проницаемость,
418
- a*XJ
4. и (r, t)^f(r)+ 2 С„.е д Фя(г), где Фя (г
п=\
= Л (С% Rx) NQ (VK г) ~ N0 (fa'n Ri) Jo (fan r),
%n — положительные корни уравнения Фл(#2) = 0.
5. а2Да + — — Щи и (Л, 0 = 0, и (г, 0) = щ (г, 0), |wj<oo,
оо
/1 = 1
где ая — положительные корни уравнения /0 (а) = 0, f (г)—
R2 — r2
-Q — стационарный режим.
4а2р
6. а) ы(г, 0= /@ sin со^'
2Лсо/?2
ар
2*
1ап Л „.-„^
У0 ^ г ) sin =£ at
л = 1
Иш^2-а2а«)у1(а«)
(to не совпадает дш с одним из собственных значений -ття),
'w-£
/«(-/г
б) И (г, 0=/ (г) COS©H 7 Г1ГК5 о оч ) -/ Г ;
м=1
в) и (г, 0=2 У°(хГГя@' ГД6
t
Wn @ = Вл { sin ^ (/ —т) sin сот dx9
о
в случае Rt=R2 Bn =
2А J° VWRl
Raan J\ (ая)
419
00
7. а) и (г, 0 = f (r) sin a>t - ^ С Л (^) sin ^ /, где Сп =
п = 1
2Лсо
aanRJQ
ап — положительные корни уравнения /0(а) = 0;
оо
б) и (г, O = f(r)coso^- ^ D*y° (^r)cos T^'» г*е D* =
л = 1
= СЛ-
8. и (г/ ф, t) есть решение задачи
a2Au = utt, u(R, ф, 0=0» и(г, ф,0) = 0,
и('. ф. 0=
W/(r, ф, 0) = Р.у 6(Г —Гх)б(ф —фх),
с(я)
= 2Р vi Vl vw"vy ^1/и"\ /?
Л л)
аа
(я)
•JnK't'JX^-t''
где ел = < ak положительные корни уравнения
9. u(r,z) = V0-2(V0-V1) 2
sh^3./0
„ = i sh -^ /г • anJx (an)
, где ап —
положительные корни уравнения /0(а)=0.
1г
10. и (г, 2) =
2J_V>4Zj°(J^J°rfr
7lR2G nRiO ^J иап 1 о го / ч
-const,
где ап — положительные корни уравнения У1(а) = 0.
со
11. U (Г, 2) = ;Д- / о ,., , :
/2 = 1
1 —
Rhch-g-г
^shg^ + ^chg/z
Х«Л>(-7ГГ)» гДе ctrt —корни уравнения /0(а)=0.
420
Указание. Искать решение и (г, г) в виде u = v (r) + w (r, г).
Постановка задач для v (г) и до (г, г):
и: Ди+^^-0, ^|<оо, о(/?) = 0;
ш: Дш = 0, |до|<оо, w(Rtz)=0,
Начало координат взять в центре цилиндра.
оо
12. «(г, О^оМ + '-ЛМ-У Wi^AJLl eR2 ,где,Р0(г)=:
n = i anJQ(an)
aR / r2 \ 1
= uQ — ~t I 1— 2-52-J, Fi(r) = 2qa2 -j-p, an — положительные корни
уравнения J± (a) = 0.
13. a) \n>m>k— (-— J + (~75г)> «^ — положительные корни
уравнений Jn (a) = 0,
/ ч • Я* . /<*£? \ / sin *ф.
Фя.т.Л^. Ф. 2) = sm-^-2 ./^-£-гД
cos жр;
у ч 2 /a ^
Ф кп,т,к = [-г) +(—тг-)» ат)~~положительные корни
уравнений У^ (а)=0,
_ ч Я* , /am} W C0S"<P>
а</^2
в) ^,m,fc~v£ + (-rr-) t a^-—положительные корни уравнений
aJ'n(a)-{-RhJn(a) = 0, v^ — положительные корни уравнения \gvh =
fa + hjv
v2-M2 '
/а{"> \ С cos иф,
4k (z) = v^ cos v^z + ^i sin v*2.
/л?(/г) \ /v(A2)\2
14. а)Ф„.и(г, 9)wJ^r)sin^, Я„,тЦ^-), т£>-
a
положительные корни уравнений ^ЛЯ(т) = 0;
a
б) Фл.тС'. Ф) = /яя(х V008^^' ^'w==(~i"y ' V^-ПОЛО-
a
жительные корни уравнений У^л(у) = 0;
421
- положи-
в) Фя.т(г, Ф)^Д^г]яМф), **.m = (^-J,YS?-
тельные корни уравнений
Y'v (V)+R-*JV (V)=0,
уЛ —положительные корни уравнения
tgva= V \t v.
со со
„ «■<„ ,,о=22 <^"*>r"'- (?') *=* ^.-
шщ\ lnri ф)г% (^ ')*?****•
/jeaiFM^mAi»! а — T,--„„v * -у-~„.т т.?Г-поло-
жительные корни уравнений Jnn(y) = 0, ffi> = **
Т \ R
со со со
16. «(г, ф, г, 0= 2 2 21 (Q. m. ft cos nq>+£„,,„,* sin пф)Х
n=t)ft=l m = l
X У„( -д- г I sin -j г ■ е n,m,k t Где
5 -Л2? ■„(«)
c--'%.^WS 11r/(r> ф> г)У-&г) sin^ х
' Xcos ncp dr dz dcp,
Xsin n<pdr dz dtp,
vi"' и ^n.m.k определяются, как в задаче 13.
19. /1/2 (х) = у A sh *; /_]/2 (*) = j/ A ch *;
/c±)/2 (*)=]/ g*"*; #1/2(*)=--/-i/2(*)=-]/ j| cos*,
2-£-<*,
2
422
20. иМ-т-Йи/офг). &u-f>»u = 0, u\r^R = u0.
Щ — Ыл- . . 2 Т& „ r f ПП \ . Ш
22. а(г, г)= 2 h l г + иг + — £ Сл/°\~ г) *" ~г> ГДе
C„ = ^{<K0-Ul){(—1)П —11 + (—1)"^ —«1» '
^ ,х v, *, ^ , ч , л , - « *■" г { ПП
М-г*
а (г, г) —потенциал поля £, т. е. £ = —V«.
Указание. Искать решение в виде
и = Л(*) + Д(г, г), ДЛ = 0, Л@) = И1, Л(А) = М2-
оо
23. «(л г)= ^ Сд/0(^г)сов^г, где
h
1 f , /„x ... «Я
Cn==77^W~^T.VB)C0S^zrfz-
$/««
,'яB«-1)
^о г г
24. и (г, г) =—- Л т—тх г;—т-sm——г—- г.
«А /Со(^=^-/?) Л
и (г, г, 0 = о (г. г)+ J J C"' *е " *'
w , / «Л \ . л/г
25. и (Г> г, 0 = о (Л ^)+ 2* 2d я,*в Х
n = l fe = l
Ся'*вТЕ7ГЮ S"(r^,rJo(xr)sinX-^2^
о о
гДе &п — положительные корни уравнения /0(а)=0,
оо
v ' ' h ^ я jLd 7 пп D\ Q\ h ) h
n=l 'о "IT*
Указание. Искать решение в виде
а (г, г, 0 = о (г, г)+в>е. 2, 0.
где у (г, г) есть решение задачи (см. задачу 22)
Ду = 0, о(#, г)=0, о(г,0) = 0, v(r}h) = u0, |o|<oo.
423
Глава XVI
1. ^2* @) = (-!)*■
Bk)\
-, /W@)e0.
22fe (ife!)a
2. Ортогональны с весом A — x2)k. Это следует из
ортогональности присоединенных функций Лежандра.
оо
3. и(х, 0= 2 {Слсо8я/2/гBл—1)^ +
/1=1
+ Dn sin a /2/г Bп-1) 4 Рая-1 (у),
Ся = Dл-1) Jq)(BP2«-iD-)«t
о
4л-1
°"=;7§§Ы*в,Ч7-)*
4. £ =—Va, где и (г, б) —потенциал поля:
и (г, Ъ) = {
■+^2Ч*
п = 0
Г \2п+\
?2п+1 (COS б), г</?,
+ "V^2C/l(r) P2«+i(cos8), г 2s Я,
n = 0
4я + 3 (—1)»BяI
rt 2л+ 2 22"(n!J •
5. a) B(r, 6)=-e 2^g-P„(cose);
rc = 0
A2 = o'°
Указание. Искать суммарный потенциал V(r, б), созданный
точечным зарядом и индуцированными зарядами, в виде сумпы
^(r,6) = f- + w(rf 6),
где
и (г, б) = {
2 Ся(х)л p^(cose)' г</?>
оо
2|д /*\-+»
п = 0
л 17"/ pHcos6)> /'>Л
424
Здесь гг — рясстояняе от точки (г, б) до точки (г0, 0), где расположен
заряд.
Воспользоваться разложением
со
п=0
2 (jf Рп (cos 8), r>rQ.
Г ±шш \ Г )
\ п=0
Коэффициенты Сп и Dn находятся из условия V (R, б) = 0:
А
eRn
6. а) Если заряд находится вне сферы в точке (г0, 0), r0>Rt
то потенциал электростатического поля равен
и±{г, б), r^R,
и (г, в) =
Мг. б), r^.R,
где
«1
i^J «р. 4- (п Л- \\ р^ г1} ' '
rt=0
^ + (/1+1)82 Г?
-ei у
л
£>2Л+1
Щ(Г> Ь)~ггГ1 + 'V ^>e1 + (n+l)s2^V^
Prt(cos6).
п=0
Указание. Коэффициенты разложения находятся из условий
сопряжения
Ui(R, b)^u2(Rt 6),
dux
дг
ди2
= 82 Ъ "
г-/?'
гх —расстояние от точки (г, б) до точки (г0, 0), где расположен
заряд;
б) если заряд находится внутри сферы (r0 < R), то
1 ( ' } "~ад[ + "^Г" Z /i£l + (n + l)e2 "^^ ^ (и* 6),
/1=0
2/1+1
tt£l-
л-0
Щ
425
v{r, в)={
w 2 (£)" lPn @)+Pn-2 m Pn (cos 6) ~
n=0
2er
-wPi(cos6), r^R,
OO
12 {T)n+1[Pn@)+Pn-2{0)]Pn(cosb)i г^^
л=0
Указание. Решать задачу методом разделения переменных.
Тогда
v(r, 6) =
2) Сяг»Яя(совв), г^Я,
л=0
2 ^^tp^cos8)» г^*-
I л=0
Коэффициенты Ся и £>Л находятся из сравнения этих формул с
разложением по степеням z потенциала в точках оси z
(перпендикулярной диску и проходящей через его центр), который вычисляется
непосредственно:
OO
3 v< 4n4-3 / г \2л+1
п = 0
Указание. В силу симметрии задачи v(rt -^-J = 0. Поэтому
в разложений
оо
v(r> б) =2 CkrkPk (cos Ь)
«•==0
коэффициенты С2п с четными индексами должны обращаться в нуль.
Остальные коэффициенты определяются из условия
где ri —расстояние от точки (г, 6) до источника (г0, 0).
426
Указание. Искать решение в виде суммы
где v (г, 0) есть решение задачи
.tor(^9)+to(^e)==|{^(l)+A}^.
Воспользоваться разложением 1/гх в ряд по многочленам Лежандра.
10. и (г, 6) = f-e J J115 =^ L—L
П = 0 ■* ' "
p2rt +1 _ ,2rt + ] p2n + 1 .
+ %ч-.:£.+.£>.+.}|>-»"*
Плотность индуцированных зарядов
~ Bя+1) (/г^ + '-г?"*1) flf
n = 0
Bn+l)(ro" + '-/?!" + 1) J?,"
Здесь гг — расстояние от точки (г, б) до заряда, расположенного
в точке (г0, 0).
Указание. Искать решение в виде
u = £-+v(r, б),
гг
@0
1-cos a-2 l^i+i («»«)-
-^_i(cosa)]^^P^(cose)l.
*о / с\ ?# I * . Г COS 8
ОО ч
2Dn+\)P2n@)r*nP2n(cosd) I
B/1 + Л#)Bл—1) B/1 + 2)/?** Г
/1-1 J
427
Указание. Краевое условие задачи имеет вид
М#. Q) + hu(R9 8) = j
( о, ~^е^я.
13. и (г, е, 0 =
оо
где a/j — положительные корни уравнения
aJn + 1/2 (а) ~ у ^ + 1/2 (а) = °>
**@-^J-5/"(T)8ta^«-X)dt,
о
R
\r^^J,^J^r\dr
'/г + 1/2^
л —2 о
п + 1/2 («ft)^1 ^|—J
Здесь и (г, 8, *)-—потенциал скоростей;
a2&u = utt, и (г, 8, 0) = м/(г, 8, 0) = 0,
мг(/г, е, о=ря(совв)/(о, |и|<с».
14. ^я,т,^ = ^2-[а^)]2+^2 —собственные значения,
*(я) \ ' cosfop,
"Я2
ф,„,^е,ф)=— ^+Ц— г] я* (со. в) {^^
— собственные функции. Здесь а$ — положительные корни
уравнений:
а) ^п + 1/2(а) = 0'
б) /;+1/2 (а) - ^ Jn+1/2 («)=°;
в) 2аУ;+1/2(а)-A-2ЛА) /п+1/2(а) = 0;
Д —константа в условии vr(R, 8, ф) + /ш(/?, 8, ф)=0.
оо оо /г
15. и (г, 8, ф)= 2 S S iCn,m,k^osk(p + Dn,mtk sin kq>\ X
1 , К
Ху^ + Ц^^оз^ *■
-*
428
где а\!р — положительные корни уравнения
/п + 1/2(а) = °.
Г с2? Ia(n) \
Ся.т.к~Ая,т,к \ \ \ f(r, Ь, ф)г3/2/„+1/2;^г X
п п п \ " /
0 0 0
X Р„ (cos 0} cos &ф • sin 8 йф dB dr,
R я 2я / /n\
X Pkn (cos 6) sin kq> • sin 0 dy db dr,
Dn,m,k = An,m,k J J J f(r, 0, y)rV4n+l/2\^rjx
X P* (cos
Bn+\)(n — k)\
/2, A = 0,
вА"\1. k + 0.
An> m>kz
ЛИТЕРАТУРА
1. Белоусов С. А., Таблицы нормированных присоединенных
полиномов Лежандра, изд-во АН СССР, 1956.
2. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонова. Н.,
Сборник задач по математической физике, «Наука», 1972.
3. В а тс он Г. Н., Теория бесселевых функций, ч. I и II, ИЛ, 1949.
4. ГельфандИ. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и
действия над ними, изд. 2-е, Физматгиз, 1959.
5. Грэй Э., Мэтьюз Г. Б., Функции Бесселя и их приложения
к физике и механике, изд. 2-е, ИЛ, 1953.
6. Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, ИЛ,
1948.
7. ЗоммерфельдА., Дифференциальные уравнения в частных
производных физики, ИЛ, 1950.
8. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., СмирновМ. М.,
Основные дифференциальные уравнения математической физики,
Физматгиз, 1962.
9. Кузьмин Р. О., Бесселевы функции, изд. 2-е, ОНТИ, 1935.
10. Курант Р., Уравнения с частными производными, «Мир»,
1964.
11. Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики,
тт. I и II, Гостехиздат, 1951.
12. Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения,
изд. 2-е, Физматгиз, 1963.
13. Лебедев Н. Н., Скальская И. П., У ф л я н д Я. С,
Сборник задач по математической физике, Гостехиздат, 1955.
14. Ловитт У. В., Линейные интегральные уравнения,
Гостехиздат, 1957.
15. Люстерник Л А., Акушский Н. Я., Диткин В. А.,
Таблицы бесселевых функций, Гостехиздат, 1949.
16. Микусинский Я-, Сикорский Р., Элементарная теория
обобщенных функций, выпл II, ИЛ, 1963.
17. Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными
производными, изд. 3-е, Физматгиз, 1961.
18. Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных
уравнений, изд. 3-е, «Наука», 1965.
19. Привалов И. И., Интегральные уравнения, изд. 2-е, ОНТИ,
1937.
20. Розет Т. А., Элементы теории цилиндрических функций с
приложениями к радиотехнике, «Советское радио», 1956.
430
21. Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. II, «Наука»,
1967 и т. IV, Физматгиз, 1958.
22. Снеддон И., Преобразование Фурье, ИЛ, 1955.
23. Соболев С. Л., Уравнения математической физики, изд. 3-е,
Гостехиздат, 1954.
24 Сони н Н. Я., Исследования о цилиндрических функциях и
специальных полиномах, Гостехиздат, 1954.
25. Таблицы значений функций Бесселя от мнимого аргумента, под
ред. Виноградова И. М. и Четаева Н. Г., изд-во
АН СССР, 1950.
26. Таблицы функций Бесселя дробного индекса, тт. I и II,
ВЦ АН СССР, 1959.
27. ТихоновА. Н., Самарский А. А., Уравнения
математической физики, изд. 4-е, «Наука», 1972.
28. Толстов Г. П., Ряды Фурье, изд. 2-е, Физматгиз, 1960.
29. Т ран тер К- Дж., Интегральные преобразования в
математической физике, Гостехиздат, 1957.
30. Фадеева В. Н., Гавурин М. К., Таблицы функций Бесселя
целых номеров, Гостехиздат, 1950.
31. Янке Е., Эмде, Таблицы функций с формулами и кривыми,
Физматгиз, 1959.
32. Сегё Г., Ортогональные многочлены, Физматгиз, 1962.
33. Владимиров В. С, Уравнения математической физики, изд.
2-е, «Наука», 1971.
34. Джефф р и с Г., Свирлс Б., Методы математической физики,
вып. 1—3, «Мир», 1970.
35. Годунов С. К-> Уравнения математической физики, «Наука»,
1971.
Василий Яковлевич Арсенин
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
М , 1974 г , 432 стр с ил л,
Редактор А. С. Чистопольский.
Техн редактор С. Я Шкляр.
Корректор Н. 'Д. Дорохова
Сдано в набор 29/XI 1973 г. Подписано к печати 27/III 1974 г. Бумага
84X108V32. Тип. № 3. Физ. печ. л. 13,5. Условн. печ. л. 22,68 Уч.-изц. л.
23,08. Тираж 25 000 экз. Цена 1 р. 02 коп. Заказ №> 1195
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 1
«Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполиграфпрома при
Государственном комитете Совета Министров СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли 197136, Ленинград, П-136,
Гатчинская ул., 26s