В.ЯАРСЕНИН
МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
И СПШЩАЛЬЕЪт
С'УЯКЦИИ

в. я. АРСЕНИН
МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
высших технических учебных заведений
fm
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 8 4

22.16
A85
УДК 517
А р с е и и н В. Я. Методы математической физики и специальные
функции. — 2-е изд., переработ, и доп. —М.: Наука. Главная редакция
физико-математической литературы, 1984. — 384 с.
Книга предназначается для студентов инженерно-физических, физико-
технических и других специальностей с повышенной физико-математической
подготовкой и инженеров этих профилей. В ней достаточно подробно излагаются
основные методы решения задач математической физики (методы Фурье, функций
Грина, характеристик, потенциалов, интегральных уравнений и др.) и
специальные функции — цилиндрические, сферические, ортогональные полиномы, гамма-
функция и начальные сведения о гипергеометрических функциях. Метод
характеристик излагается для систем линейных и квазилинейных уравнений.
Рассматриваются обратные задачи математической физики, являющиеся некорректно
поставленными задачами, и метод регуляризации их приближенного решения.
Излагаются основные вопросы, относящиеся к разработке Систем
автоматизированной математической обработки результатов физических экспериментов.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1974
, 1702050000-101 ,,^ ^ ,^ ^,
'^" 053(Q2V84 ^^Б-7^42^84
С исправлениями и дополнениями.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1984

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 7
Предисловие к первому изданию 7
Из предисловия к книге «Математическая физика» 8
. ЧАСТЬ I
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Глава I. Классификация линейных уравнений с двумя независимыми
переменными и приведение их к канонической форме ... 9
Задачи 17
Глава II. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям различных
типов. Постановка краевых задач J 7
§ 1. Уравнение малых поперечных колебаний струны 17
§ 2. Уравнение малых продольных колебаний упругого стерлчня . . 19
§ 3. Уравнение малых поперечных колебаний мембраны ...,,, 21
§ 4. Уравнения гидродинамики и акустики UA
§ 5. Уравнения Для напряженности электрического и магнитного
полей в вакууме. . . . * ♦ ♦ * * . * - * i * ^ - ^ * - - « ^6
I 6. Уравнения теплопроводности и диффузии , * . ,.,.., » 26
1 7, Кинетическое уравнение ,,.,,,.,..*»*..,** йВ
I 8. Типы краевык условий. Постановка краевых задач. , , . 32
ЗаЦачй , » , . , » . а i * I * * i . » t I J , S * . , S . . . 37
Глава III. Метод характеристик » . . . . , * . . \ 3S
§ 1. Характеристическое направление н карактеристики опера*
тора //[/] \ . 39
§ 2. Характеристическая форма оператора h [u^v] ^ Hi [и]-^
+ Htlv] . » , . . . . 40
§ 3. Характеристическая форма пары операторов Н^ [и, v] и h^ lu,v]
§ 4. Гиперболические системы с постоянными коэффициентами . . 41
, § 5. Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения. 44
Формула Даламбера. , . , 46
• § 6. Решение задачи Коши для неоднородного волнового уравнения 47
§ 7. Устойчивость решения задачи Коши для одномерного
волнового уравнения к входным данным. Обобщенное решение ... 50
§ 8. Решение краевых задач на полупрямой 53
§ 9. Отражение волн на закрепленных и на свободных концах ... 55
§ 10. Решение задачи о распространении краевого режима на
полупрямой 50
§11. Решение задачи Коши для трехмерного и двумерного волновых
уравнений. Формула Пуассона 57
§ 12. Физическая интерпретация формулы Пуассона 63
§ 13. Системы квазилинейных уравнений 64
§ 14. Характеристики систем квазилинейных уравнений ...... G5
§ 15. Образование разрывов в решении ,,, ^ ,,,,,,,.. я 06
I* 3

§ 16. Одномерные плоские адиабатические течения газа G8
§ 17. Численное решение систем квазилинейных уравнений
методом характеристик ^^9
Задачи 70
Г л а в а IV. Метод Фурье решения краевых задач (метод разделения
переменных) 71
§ 1. Предварительные понятия 71
§ 2. Сущность метода Фурье. Собственные функции и собственные
значения 72
§ 3. Основные свойства собственных функций и собственных
значений 78
§ 4. Некоторые свойства совокупности собственных функций ... 92
§ 5. Решение неоднородных краевых задач методом Фурье 95
§ G. Применение метода Фурье к решению краевых задач для
уравнений эллиптического типа . , ЮО
Задачи ЮЗ
Глава V. Метод Дюамеля решения задач о распространении краевого
режима 106
Глава VI. Метод функций Грина решения краевых задач и задачи
Коши для уравнений параболического типа 110
§ 1. Сунхность метода функций Грина решения краевых задач и
задачи Коши для уравнений параболического типа ПО
§ 2. Построение функции Грина задачи Коши на прямой 115
§ 3. Решение задачи о распространении тепла на бесконечной
прямой (задачи Коши) и на полупрямой 119
§ 4. Решение задачи о распространении тепла в трехмерном
(двумерном) пространстве 127
§ 5. Устойчивость решения задачи Коши к малым изменениям
исходных данных 130
Задачи 132
Г л а в а VII. Метод функций Грина решения краевых задач для
уравнений эллиптического типа 133
§ 1. Вторая формула Грина. Простейшие свойства гармонических
функций 133
§ 2. Сущность метода функций Грина. Некоторые свойства функций
Грина 138
§ 3. Построение функций Грина. Интеграл Пуассона 143
Задачи 152
Дополнение к главам VI и VII. О методе функций Грина решения краевых
задач и задачи Коши для уравнений гиперболического типа 152
Глава VIII. Единственность решения основных задач 154
§ 1. Единственность решения краевых задач для уравнений
гиперболического типа ; . 155
§ 2. О единственности решения задачи Коши для волнового
уравнения 157
§ 3. Единственность решения краевых задач для уравнений
параболического типа 158
§ 4. Принцип максимума и минимума для решений уравнения
теплопроводности 159
§ 5. Единственность решения задачи Коши для уравнения
теплопроводности , 162
§ 6. Единственносгь решения краевых задач для уравнений эллип-
тичес^оиг типа, ,,..,,.,,.,,,,,..,,,,. ИK
4

Глава IX. Интегральные уравнения 167
§ 1. Классификация линейных интегральных уравнений 167
§ 2. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами 168
§ 3. Существование решений 169
§ 4. Понятие о приближенных методах решения интегральных
уравнений Фредгольма второго рода •. . 173
§ 5. Теоремы Фредгольма 174
Глава X. Сведение краевых задач к интегральным уравнениям.
Потенциалы 178
§ 1. Объемный потенциал 179
§ 2. Потенциал простого слоя 186
§ 3. Потенциал двойного слоя 188
§ 4. Применение потенциалов к решению краевых задач 193
§ 5. Другие задачи, сводимые к интегральным уравнениям .... 196
Задачи 197
Глава XI. Интегральные уравнения с симметричными ядрами ... 197
§ 1. Простейшие свойства собственных функций и собственных
значений ядра К (х, s) 198
§ 2. Спектр итерированных ядер 203
§ 3. Разложение итерированных ядер 205
§ 4. Теорема Гильберта — LQмидтa 206
§ 5. Разложение решения неоднородного уравнения 210
§ 6. Теорема Стеклова 211
§ 7. Классификация ядер 212
§ 8. Спектр симметричных ядер, заданных на бесконечном
промежутке 214
Глава XII. О методах решения обратных задач математической
физики и обработке результатов экспериментов 216
§ 1. Обратные задачи и их особенности 216
§ 2. Некоторые понятия, употребляемые в дальнейшем 218
§ 3. Понятие корректно поставленных и некорректно
поставленных задач 221
§ 4. Кратко о некоторых методах решения некорректно
поставленных задач 224
§ 5. Вариационный принцип отбора возможных решений 228
§ 6, О численном моделировании и прогнозировании физических
экспериментов 232
ЧАСТЬ П
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Глава XIII. Гамма-функция. Бета-функция 238
§ 1. Гамма-функция и ее свойства 238
§ 2. Бета-функция 246
Глава XIV. Цилиндрические функции 248
§ 1. Поведение решений уравнений с особыми точками в
окрестности особых точек 249
§ 2. Функции Бесселя и Неймана 251
§ 3. Ортогональность функций Бесселя 256
§ 4. Нули цилиндрических функций 260
§ 5. Функции Ганкеля 266
§ 6. Модифицированные цилиндрические функции (цилиндрические
функции мнимого аргумента) ..,,,.,....,...., 272
5

§ 7. Асимптотические представления цилиндрических функций . . 274
§ 8. Функции Эйри 287
Задачи , 289
Глава XV. Ортогональные многочлены 290
§ 1. Некоторые общие свойства ортогональных многочленов. . . . 291
§ 2. Многочлены Лежандра 294
§ 3. Многочлены Чебышева ~ Эрмиг^:; - 306
§ 4. Многочлены Чебышева — Лагерра 315
§ 5. Многочлены Якобн н другие семейства попарно ортогональных
многочленов 324
Глава XVI. Сферические функции 329
§ 1. Простейшие сферические функции 330
§ 2. Присоединенные функции Лежандра 330
§ 3. Фур1дамснтальные сферические функции 333
Задачи 337
Глава XVIl. Начальные сведения о гипергеометрических функциях 338
Дополнение. Понятие обобп;енных функций, «^функция 342
Ответы к задачам 356
Литература 362

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во втором издании наиболее суш.ественной переработке
подверглась глава ХП, в которой излагаются метод регуляризации
решения обратных .задач математической физики и основные
вопросы, откосяш^иеся к разработке Систем автоматизированной
математической обработки результатов физических
экспериментов. В главе XV добавлен параграф, посвяш,енный другому
подходу к определению основных семейств попарно ортогональных
многочленов. Некоторые изменения внесены и в ряде других глав.
Автор
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Эта книга предназначается для студентов
инженерно-физических, физико-технических и других специальностей с
повышенной физико-математической подготовкой и инженеров этих
профилей.
Она является результатом суш,ественной переработки моей
книги «Математическая физика», выпуш,енной издательством
«Наука» в 1966 г. В наибольшей степени переработке подверглись
следующие разделы: метод характеристик решения задач для
уравнений гиперболического типа, метод функций Грина,
единственность решения краевых задач и задач Коши и вся вторая
часть книги, посвяш,енная специальным функциям.
Изменилось и построение книги. В основу положены методы
решения простейших задач математической физики и их
возможности в применении к уравнениям (системам) различных классов
(типов). Такое расположение материала, по нашему мнению,
позволяет лучше усвоить практические алгоритмы получения
решений основных задач.
Имея в виду практические потребности обработки результатов
физического эксперимента, в книге вводится понятие корректно
поставленных и некорректно поставленных задач. Для многих
основных задач рассматривается устойчивость изучаемых методов
их peuieHHH к малым изменениям «исходных данных». В прило-

жении к интегральным уравнениям первого рода алгоритмически
описывается и метод нахождения приближенных решений
некорректно поставленных задач, устойчивых к малым изменениям
«исходных данных» (метод регуляризации).
В отличие от прежней книги, в этой книге метод
характеристик излагается для систем линейных и квазилинейных
уравнений и показывается возможность образования разрыва в решении
при сколь угодно гладких «исходных данных».
Содержание книги почти полностью совпадает с курсом
лекций, который я читал в течение многих лет на факультете
экспериментальной и теоретической физики Московского инженерно-
физического института.
А. Г. Свешников прочитал рукопись и высказал
многочисленные важные замечания и ценные советы по содержанию книги
и изложению, которыми я воспользовался. Полезные замечания,
позволившие устранить упущения и улучшить изложение, были
высказаны А. Ф. Никифоровым, Е. А. Волковым и редактором
А. С. Чистопольским. Всем этим товарищам выражаю глубокую
благодарность.
Автор
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ
к КНИГЕ «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА»
Этот курс складывался под непосредственным влиянием
A. Н. Тихонова, определившего основное содержание программы
курса. С А. Н. Тихоновым и А. А. Самарским я неоднократно
обсуждал многие вопросы и пользовался их ценными советами.
B. С. Владимиров и Т. Ф. Волков прочитали рукопись и
высказали ряд важных замечаний и советов, которыми, я
воспользовался. Многочисленные полезные замечания были высказаны
редактором С. А. Широковой. Всем этим товарищам выражаю
глубокую благодарность.
Автор

Часть I
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Глава I
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ
НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ И ПРИВЕДЕНИЕ
ИХ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Большое число физических задач приводит к
дифференциальным уравнениям с частными производными второго порядка
относительно искомой функции. Такие уравнения можно написать
в виде соотношений между независимыми переменными Xiy ...
..., х^, искомой функцией а и ее частными производными первого
и второго порядков а,.^, ..., а^^;, а^.^.^^^ ..., а,^^^^, ..., w^^^^.,...
Ф [Xij ^2, ..., Х;^\ и, Ux^j 1^X2^ •'"> ^x-f^'f
'^хх^^ •••? ^x.x.f •••» ^х X ) ^•
Г 1
/
Очень часто эти уравнения являются линейными относительно
старших производных —производных второго порядка, т. е.
имеют вид
п п
S Ij ^ij^x.x^ + F (Xi, . . . , X^, U, U^, . . . , Wv ) = 0,
i = l /^\ I J ^ n/
где коэффициенты при старших производных а^у являются
функциями только независимых переменных Xi, Х2, ..., ^д.
Если функция F (л*!, ..., x^i, а, и^^у ..., Ux^) линейна
относительно аргументов и, П:^ , ..., а^.^^, то уравнение называется
линейным (без указания, относительно чего). Линейные
уравнения имеют вид
п п п
S Il^ijUx.x.+ llbtU^ -\-CU==f{Xi, ..., Х^), (*)
где коэффициенты а^, bi, с являются функциями только
независимых переменных х^, ..., х^.
Если f (vi, ..,, л'д) ЕЕ О, уравнение (*) называется линейным
однородным, в противном случае —неоднородным.
Если коэффициенты a^j, bi, с постоянны, уравнение (*) назьь
вается линейным уравнением с постоянными коэффициентами.

Все многообразие линейных относительно старших
производных (или просто линейных) уравнений может быть разделено
на три класса (типа). В каждом классе есть простейшие уравнения,
которые называют каноническими. Решения уравнений одного
и того же типа (класса) имеют много общих свойств. Для изучения
этих свойств достаточно рассмотреть канонические уравнения,
так как другие уравнения данного класса могут быть приведены
к каноническохму виду. Свойствами решений канонических
уравнений и методами построения их решений мы и будем заниматься
в последуюш,их главах.
Принадлежность уравнения к тому или инохму классу (типу) —
классификация уравнений — определяется коэффициентами при
старших производных. Мы произведем классификацию прежде
всего для уравнений, в которых искомая функция и зависит
лишь от двух переменных: и = и (х, у). Н этом случае уравнения,
линейные относительно старших производных, можно записать
в виде
auUxx + '^^vA.y + ^22^yy-'\-P{''^^ у, ^. ^х, 11у) = 0, A)
а линейные-— в- виде
б/и^лх т- 2aj,Mxy f a22Uyy f b^u, | - b.,Uy -f- cu = f {x, y), B)
где Oij, bi, с —функции только независимых переменных х, у.
Любое такое уравнение (A) или B)) с помощью замены
независимых переменных может быть приведено к более простому —-
каноническому виду (форме). Поэтому при изучении
уравнений с двумя независимыми переменными можно
ограничиться ^в дальнейшем лишь каноническими уравнениями.
Произведем в уравнении A) замену независимых переменных
подформулам
1=" ^ {х. у), Ц= 4^ (^, у). C)
устанавливающим взаимно однозначное соответствие мел<ду
точками (i, т]) и {х, у) соответствующих областей. Мы будем
требовать, чтобы функции ср (х, у) и ф (х, у) были непрерывными вместе
с их частными производными первого и второго порядков. Тогда
11х=^ЧхЩ г А\и,у Uy=^^yU'. I-ijy/,,,
^yy = %^ll + 'Myi\4^ ~r Ф^т f ^1\1уЧ + iyiMn^
Щ:у = ФхТ^/^|| -I- (Фх^^.+ Т^^х) Чц Г %-^^^ЛЛ Г Ъу^Ч Г Я\уЩу
Подставляя эти значения производных в уравнение A) и
объединяя члены с одинаковыми производными, получим
преобразованное уравнение
a^^u^i J- 2ai2i/|^ + а22^т1Т1 -f- ^i (Ч^ ^^ ^ Л, л) =^ О, D)
где

Непосредственной проверкой устанавливаем епр'аведливость
тождества (используя при этом формулы E))
«12 - aiia22 = (^12 - ^11^22) [зТ^г|гJ" ' ^^^
Теперь мы можем принять следующую к л а с с и ф и к а -
ц и ю уравнений вида A).
Если в некоторой области D дискриминант А = di^ — ^11^22
положителен, Л > О, то уравнение A) называется
гиперболическим в D (гиперболического типа в D).
Если Л < О в области D, то уравнение A) называется эллипти-
ским в D (эллиптического типа в D).
Если Д = О во всех точках области (множества) D, то
уравнение A) называется параболическим в D (параболического типа
в D).
Из тождества F) следует, что при замене независимых
переменных по формулам C) тип уравнения A) не изменяется *).
Мы воспользуемся заменой независимых переменных для
упрощения уравнения A), для приведения его к канонической
форме. Для каждого типа уравнений существует своя
каноническая форма.
1. Если уравнение A) гиперболично в области D, то в D
существуют такие функции ф (х, у) и г|) (х, у), что заменой
переменных C) уравнение A) приводится к простейшей форме
t^in + Pi{4^ ^v "' ?' Л)=-0, G)
называемой канонической.
Опишем процедуру отыскания функций ф (х, у) и г|) {х, у),
не вдаваясь в обсуждение условий их существования.
1) Если ац = а22 "^ О в D, то а^з не обращается в нуль в
точках области D. Разделив обе части уравнения A) на 2ai2, мы
получим каноническую форму G).
2) Пусть an + ah не обращается в нуль в точках области D.
Мы ограничимся здесь рассмотрением случая, когда хотя бы
один из коэффициентов ац, а.22 не равен тождественно нулю ни
в какой области D^, принадлежащей D. Пусть это будет ац.
Возьмем в качестве ф (х, у) и г|) (х, у) в формулах C) такие
функции, которые обращают в нуль коэффициенты а^ и «22
преобразованного уравнения D), т. е. являются решениями
уравнений
^иЦЬс -\- 2ai2(px^)y + «22ф^? = О'
2 -^ 2 (^)
^11^;^ + 2ai2^x^y + ^22^ у^ = 0.
Разрешая эти уравнения относительно ф^/фг/ и 'il)^/'v|)j^, получим
Фу ~ «11 ' i'y ~ «11
*) При взаимно однозначном преобразовании C) якобиан D (ср; \^)/D {х; у)
не обращается в нуль. См. Фихтенгольц Г. М. Основы
математического анализа, т. II, изд. 5-е.-М.: Наука, 1968.

Следовательно, каждое из уравнений (8) распадается на
следующие два уравнения:
Ч^х + К{х^ У)Ч'у = 0, у^х + К{х^ У)% = 0, (9)
где
Х,(., ,) = ^ii^, Х,(х,у) = Щр,. A0)
Уравнения (9) эквивалентны соответственно уравнениям
^ = hix, у), ^ = Ых, У)*)- (И)
Пусть ф {Ху у) = Ci и ij) (Ху у) = ^2 суть общие интегралы
уравнений A1). Левые части этих интегралов и есть искомые функции
Ф (х, у) и г|) (х, у).
Таким образом, в рассматриваемом случае мы найдем
функции ф (х, у) и \|) (х, у), обращающие в нуль коэффициенты а^^
и а22. При этом ai2 не обращается в нуль ни в одной точке
области D, что немедленно следует из тождества F). Разделив
преобразованное уравнение на 2ai2 (и заменив переменные х, у
переменными ^, ц по формулам C)), мы и получим искомую
каноническую форму.
Общие интегралы уравнений A1) ф (х, у) = Ci и '\\) (х, у) = с^
образуют два семейства кривых, называемых характеристиками
уравнения A). Уравнения A1) называются дифференциальными
уравнениями характеристик. Заметим, что никакие две
характеристики из разных семейств не касаются друг друга, поскольку
^1 =h К- Поэтому упомянутые семейства характеристик образуют
криволинейные координатные сетки. В связи с этим рассмотренное
упрощение уравнения A) посредством преобразования
независимых переменных иногда называют преобразованием уравнения A)
к характеристикам.
2. Если уравнение A) эллиптично в области D, то в D
существуют такие функции ф (х, у) и г]) (х, у), что заменой переменных
C) уравнение A) приводится к канонической форуме
^11 + ^лл + ^1 (^^ ^л' ^' ^' Л) = 0. A2)
Снова ограничимся описанием процедуры отыскания функций
Ф (х, у) иу^> (х, у).
Сначала формально, как в предыдущем случае, приводим
уравнение к виду
^1л + ^1(^^ ^л' ^' S, Л) = 0. A3)
*) Эквивалентность означает, что левая часть общего интеграла уравнения
--—- = Xi (х, у) является решением уравнения фх + ^vj (х, у) Ц)у := О (i = 1, 2);
обратно, всякое решение уравнения фл- -f" ^j (х, г/) фу — О, приравненное
произвольной постоянной, дает обш,ий интеграл уравнения --—- = Xf (х, у) {i — 1, 2).
(См. С т е п а н о в, Вг В. Курс дифференциальных уравнений, гл. VIII. —
М.: Физматгиз, 1959.)
12

при этом новые переменные Ё и г| будут комплексно сопр5тжен-
ными *):
I = Ц) {х, у) + /г|) (х, у), г| == ф (х, у) —1^1 (х, у),
поскольку дифференциальные уравнения характеристик в
рассматриваемом случае имеют вид
dy ^ ^G]i£ _ ^. / - А dy ^ _Gi2_ (^ ^. 1/^^^^
Следовательно, уравнение эллиптического типа имеет лишь
мнимые (комплексные) характеристики.
Произведем новую замену независимых переменных по фор-
.мулам р == 0,5 (^ + г|) = ф (х, у), а == — 0,5/ Ц —ц) ^
"^ ^ (-^j У)у в результате которой уравнение A3), а
следовательно, и уравнение A) приводится к искомой канонической
форме (с точностью до изменения обозначений)
"рр + ^аа + ^2("р. ^а» ^^ Р» СГ) = 0.
3. Если уравнение A) параболично в об.тасти D, то в D
существуют такие функции ф (х, у) и ij) (х, у), что заменой
переменных C) уравнение A) приводится к канонической форме
^т + Р'ЛЩ^ ^л' ^' 5' Л)^=0. A4)
Процедура отыскания функций ф (х, у) и г|} (х, у) состоит
в следующем.
Сначала находим такую функцию ф (х, у), которая обращает
в нуль коэффициент а^ преобразованного уравнения, т. е.
является решением уравнения
^ПФ^ + 2а12(рхЦ)у -Ь ^22ф^ = 0. A5)
Как и в случае гиперболического уравнения, мы предполагаем,
что йц не равно нулю тождественно ни в какой области Dj,
содержащейся в D. Затем разрешаем уравнение A5) относительно
Ф^/ф^^. В отличие от гиперболического случая (см. (9)), получаем
-ЛИШЬ одно уравнение
Фх + J^ (л:, у) Ф^^ == О, A6)
где К {х, у) = aiJa^.
Пусть ф (х, у) ^ с есть общий интеграл уравнения A6).
Левую часть этого интеграла, не равную тождественно постоянной,
и берем в качестве функции ф (х, у). Тогда коэффициент ai2
преобразованного уравнения также обратится в нуль, как это
следует из условия параболичности уравнения A) и из тождества
F). В качестве функции ^\) (х, у) можно взять любую дважды
непрерывно дифференцируемую функцию, не обращающую в нуль
коэффициент аоо. Разделив преобразованное таким образом урав-
*) Это утверждение справедливо лишь при некоторых условиях, которым
должны удовлетворять коэффициенты «ц, а^^и G22 уравнения A). См.
Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Наука,
1965.
13

ненйе на аз^, Mt:.i и получим искомую каноническую форму.
Уравнение параболического типа имеет лишь одно семейство
характеристик
If-^M^, у).
Если исходное уравнение A) линейное, то и преобразованное
уравнение, очевидно, будет линейным.
Итак, канонические формы линейных уравнений имеют
следующий вид:
Щц г Ms + Рг^т! -{-yu = f (^, т]) (гиперболическое),
Щг ~\~ ^цу] г РгЩ + Рг^л + 7^^ "^[{^у л) (эллиптическое), A7)
^1171 |-Pi'^^-г Рг^п + 7^'=/(?' л) (параболическое).
4. Если исходное уравнение было линейным и с постоянными
коэффициентами, то и в соответствующем каноническом
уравнении коэффициенты Pi, Рз» У будут постоянными *). В этом
случае уравнения A7) допускают дальнейшее упрощение при помощи
захмены неизвестной функции по формуле
где j.1, V —числа, подлежащие определению.
Вычисляя производные функции и и подставляя их, например,
в первое из уравнений A7), получим
Щц ~г (V + Pi) Vi -\~~ (и + р2)^п ~\ A^^ г ^^р1 + vp2 -г y)v =
Если мы положим IX =^ —р.2» ^' "= —Рь то преобразованное урав-,
нение примет вид
VI., + Yit' = /i il Ц). A9)
где Yi - т - Р1Р2, /i а. Ц) -= / а. Ч) е^-^^+^^\
Аналогичным образом уравнение эллиптического типа
приводится к виду
4l + ^щ + Yi^ -^ /i (?, л), B0)
где Yi -- Y -0,25 (Pi^ + р^), f, - /^-^i-^^, ^ = -0,5Pi, v -
- 0,5p2
В уравнении параболического типа выбором jli и v нельзя
обратить в нуль коэффициенты при v-. и v^^, поскольку
преобразованное уравнение имеет вид
^лп + Pi^l + Bv + P.) V,, + (V^ + vp2 + tiPi + y)v = h il Л).
Полагая v — —0,5P2, |li — -g— @,25p2 —y), получим
^л.-ЬР1^'^=-/1(^' Л). B1)
*) Характеристиками гиперболического- уравнения в этом случае
будут прямые,
И

Имея в виду описанные возможности упрощения уравнения A),
достаточно рассмотреть лишь методы решения задач,
сформулированных для канонических уравнений, а в случае линейных
уравнений с постоянными коэффициентами —для уравнений вида
A9), B0). B1).
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Uxx — yi^yy = О-
Здесь дц = I, «12 = О, «22 " —^» Л = «12 — «11^22 = У- Следоватсльно,
в области у > О уравнение гиперболично, в области ^ < О эллиптично.
а) Рассмотрим сначала область гиперболичности. Дифференциальные
dy
уравнения характеристик имеют вид
-^-Vy.
dy
dx
Vy^ a X —
-^2Vy^c^.^+'^Vy = c^~
их общие интегралы. Производя
замену независимых переменных
1=.х~2\Г'у, T]=.xf 2jA^
получим каноническую форму
преобразованного уравнения
\ \ \ \ \ I
\ \ \ ^ у \
Рис.
Характеристиками являются правые и левые ветви семейства парабол
(х — сJ = 4// (рис. 1, сплошные и пунктирные кривые). Вершины парабол,
лежащие на оси х, не принадлежат характеристикам, так как эти точки не
принадлежат области гиперболичности уравнения.
б) В области эллиптичности (у < 0) производим замену переменных р =
== 0,5 (§ + п) = л:, (J == ~0,5i (Yi~l) = 2 V~y.
Канонический вид уравнения:
"рр f ^W —^0^=0.
Пример 2. xuxx ~~ 2 V'xy^ixy + упуу -\- 0,bUy = 0.
Здесь «^^ =г: X, «1.^ = -^ \^ху, а.^^^ у^ Л = cCir- (^ii^ii =0- Следовательно,
это уравнение всюду параболического типа. Оно имеет одно семейство
характеристик, описываемых дифференциальным уравнением
dy
Ix
^ ' \ Vy Vx I
Общий интеграл этого уравнения: Ух -\- У у = с. Поэтому полагаем g ^-
— Кл: + У у, а т] можно положить равной любой функции ^ (х, у), не
обращающей в нуль коэффициент «22 преобразованного уравнения. Полагаем ц г:=^
Канонический вид уравнения:
-^Tin ■
0.
15

5. Принадлежность к тому или другому типу линейного
уравнения второго порядка, не содержащего смешанной
производной от искомой функции, т. е. уравнения вида
^пКхх -+ а22^^уу + bi^tl:, + Ь^И^ -{-CU ^ f (Х, у), B2)
очевидно, определяется знаками коэффициентов ац и «22- Точнее,
если ац (х, у) и а^^ {х, у) всюду в области D имеют разные знаки
(и в D не обращаются в нуль), то уравнение B2) гиперболично
в D\ если йц (х, у) и а^^ {х, у) всюду в области D имеют
одинаковые знаки (и в D не обращаются в нуль), то уравнение B2)
эллиптично в D. Если же всюду в D один из коэффициентов а^, «22
равен нулю, то уравнение B2) параболично в D.
Аналогичный признак может быть положен в основу
классификации линейных уравнений вида
п п
I] ciiiii^^ -I- Ц Ь^и^ -[- cu=f{xj,, х.^, . . ., .v„) B3)
со многими независимыми переменными (.г^, Х2, ..., х,^), где
^ib ^)fe, ^ суть функции переменных (xi, Хо, ..., х^,).
Уравнение B3) называется:
эллиптическим в точке (х1, Х2, ..., х^), если все коэффициенты
С1ц (^и ^2, ..., -^п) в этой точке, во-первых, не равны нулю, во-
вторых, имеют один и тот же знак;
гиперболическим в точке (л'ь х^, ..., х«). если' коэффициенты
dii {хи Х2у ..., Хп) в этой точке, во-первых, все не равны нулю,
во-вторых, все, кроме одного (например, a^-./J, имеют один и тот же
знак, а ai^i^{xu xl, ..., Хд) имеет противоположный знак;
параболическим в точке {хи Х2, ..., х^), если коэффициенты
С1ц D,-^2, '",'Хп) в этой точке все, кроме одного (например, a/„/J,
не равны нулю и имеют один и-тот же знак^'
^.Vo № А. . . ., х^.) = о и bi, = W, xl ,.., х1):ф о*).
Если уравнение B3) эллиптично (соответственно гиперболично,
параболично) в каждой точке области D, то оно называется
эллиптическим (соответственно гиперболическим, параболическим) в П.
Например:
Кух i^ i^yi/-г ^zz "= f (А\ У^ ^) всюду эллиптично
{и = и(х, у, г)),
f^^xx т t^yy-\~ ^zz~~ k-u^^=f(x, у, z, i), всюду гиперболично
{и = и{х, у, г, 0),
^xx't ^^уу~\~ ^zz~-k\ ^=f(x, у, г, /) всюду параболично
{и = и{х, у, Z, t)).
Здесь k — вещественное число.
*) Возможны и другие распределения знаков коэффициентов. См. П е-
т р о в с к и и И'.' Г. Лекции об уравнениях с^ частными производными. —
М.: Паука, 1965,
jr.

ЗАДАЧИ
1. Привести к каноническому виду уравнения:
а) xhixx — y'^i^yy -О;
б) y^-U:,
х^и
уу
■О;
0;
в) х^и^х "h 2xyuxy -Ь У%у
г) Uxx ~г У^уу -г 0,5wy -- 0.
2. Привести к простейшему каноническому виду уравнения:
а) Wд;.v -{- 2uxy + w^^y + 3w,v: ~ ^iiy + 4w ^ 0;
б) t/хл -I- 4wx7/ г 3«г/у -Ь Ъых -{- Uy ^Аи '-= 0]
в) 2uxx + 2wvz/ -Ь W;/y + 4w^v -I- 4Wi/ + t/ =-: 0.
Глава II
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ,
ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЯМ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ.
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
В математической физике изучение явлений (объектов)природы
осуществляется в рамках тех или иных моделей, в которых
учитываются не все реальные факторы, определяющие явление или
свойства объекта, а лишь наиболее существенные, определяющие
с разной степенью подробности сущность изучаемого явления
(объекта).
В рамках такого рода моделей мы рассмотрим ряд физических
задач, приводящих к уравнениям указанных в гл. I типов. При
выводе уравнений, описывающих соответствующие процессы,
мы будем пользоваться основными законами сохранения
(энергии, количества движения и т. п.).
§ 1. Уравнение малых поперечных колебаний струны
Струной мы будем называть упругую нить, не
сопротивляющуюся изгибу, но оказывающую сопротивление растяжению*).
Отсутствие сопротивления изгибу математически выражается
в том, что напряжения, возникающие
в струне, всегда направлены по
касательной к ее мгновенному профилю
(рис. 2).
Будем рассматривать струну,
расположенную вдоль оси X. Колебания
каждой точки струны с абсциссой х
описываются тремя компонентами
вектора смещения \ui (х, t), и^ (х, t),
щ (х, t)\. Мы будем рассматривать только такие колебания, в
которых: а) векторы смещения струны лежат в,одной плоскости (х, //);
■■'') Например, нитью ипогда можно считать стержень, два измерения кото-
рс^го малы в сравнении с третьим — длиной.
Рис. 2.

б) вектор смещения перпендикулярен в любой момент времени
к оси X (поперечные колебания); в) мы ограничимся
рассмотрением лишь малых колебаний, т. е. таких, в которых можно
пренебречь квадратом w^. в сравнении с единицей. Таким образом,
хмы будем рассматривать колебания в рамках модели, описанной
в пунктах а)—в). В рамках этой модели величину натяжения Т,
возникающего в струне, можно считать не зависящей от времени /.
В самом деле, рассмотрим участок (xi, х<^ невозмущенной
струны. Его длина в начальный момент равна х^ —л*!, а в
момент / она равна
1 yr^dx.
Для малых колебаний
J у \ -{- a\dx^=^ \ \'dx-^ Х2 — х^.
Таким образом, с точностью до членов второго порядка
малости по Uy^ длина фиксированного участка струны не меняется
со временем, т. е. этот участок не растягивается. Отсюда в силу
закона Гука следует, что величина натяжения Т не меняется со
временем (с точностью до членов второго порядка малости
относительно Ux). Следовательно, Т может быть функцией только х\
Т -= Т (х). Поскольку мы рассматриваем поперечные колебания,
нас будет интересовать лишь проекция вектора натяжения на
ось и. Обозначим ее через Т^.
Очевидно,
Т^. = Г sin а = Г tg а cos а — Г ^ ''' ^=^ Ти^,
где а — угол касательной к кривой и = и (х, t) с осью х при
фиксированном / (рис. 2).
Количество движения участка [Xi, л'2) в момент времени /
равно
Л2
I ti^il. t)p(l)dc,
где р — линейная плотность струны. Пусть / (х, /) — плотность
равнодействующей внешних сил, действующих на струну в
направлении оси и.
По второму закону Ньютона изменение количества движения
участка (х^, х^) за время Д/ = t^ —/1 равно импульсу
действующих сил, которые в, рассматриваемом случае складываются из
сил натяжения 7//,^, приложенных к концам участка, и внешних
18

СИЛ J / а, t) db
X,
-=^\[T (Xo) U:, (.V2, t) - T (Xi) a, (л'1, t)] dx -\-
t> X2
-\-\\f{l,T)dldx. A)
ti Xi
Это и есть уравнение малых поперечных колебаний участка струны
между точками х^ и Хз в интегральной форме.
Если и (х, t) имеет непрерывные производные второго порядка,
а Т {х) —непрерывную производную первого порядка, то,
применяя теорему Лагранжа о приращении функции и теоргму о
среднем для интегралов в уравнении A), получим
Utt (?1, Ti) р A0 ^t^x=±^ Щх) и,%=и ^i Д'^' + f Aз, тз) Д/ Ах, B)
где ^1, ?2, 1з G [^ь -^гЬ ^ъ ^2^ т^з G [^ь 41- Разделив обе части
равенства B) на At Ах и перейдя к пределу при At-> О и Ах-> О,
получим дифференциальное уравнение малых поперечных
колебаний струны
~[TuA + f{x, 0-pW^//. .C)
в случае, когда Т ^ const и р = const, уравнение обычно пишут
в виде
(^'^х\ + Р {-^у О ^ ^/Ь D)
где а^ = Tip, F (х, t) = f {х, /)/р. Уравнение D) называется
одномерным волновым уравнением.
§ 2. Уравнение малых продольных колебаний
упругого стержня
Мы будем рассматривать стержень, расположенный вдоль
оси X. Введем следующие обозначения: 5 (х) —площадь сечения
стержня плоскостью, перпендикулярной оси х, проведенной через
точку X] k {х) и р (х) — модуль Юнга и плотность в сечении с
абсциссой х\ и (х, t) — величина отклонения (вдоль стержня)
сечения с абсциссой X в момент времени /; при этом мы предполагаем,
что величина отклонения всех точек фиксированного сечения
одинакова *). Очевидно, в рамках этой модели продольные
*) Здесь X — абсцисса рассматриваемого сечения стержня, когда последний
находится в покое. Таким образом, движение фиксированного сечения стержня
описывается в координатах Лагранжа (см. Кочин Н. Е., Кибель И. А.,
Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика, ч. 1. —М.: Физматгиз, 1963).
19

колебания полностью описываются функцией и (л", t).
Ограничимся рассмотрением малых колебаний. Малыми будем
называть такие продольные колебания, в которых натяжения,
возникающие в процессе колебаний, подчиняются закону Гука.
Подсчитаем фигурирующее в формулировке закона Гука
относительное удлинение участка (х, х + Ах) в момент времени t.
Координаты концов этого участка равны х + и (х, /), х + Д^ +
+ и (х + Ах, /). Следовательно, относительное удлинение
участка равно
@<G<1).
Таким образом, относительное удлинение в точке х в момент
времени t равно и^ (х, t), а величина натяжения Т по закону Гука
равна Т = k (х) S (х) а^ (х, t).
Пусть / (л:, t) — плотность равнодействующей внешних сил,
действующих на сечение с абсциссой х вдоль оси х. Применяя
второй закон Ньютона к участку стержня (xi, Х2) (за время At =
= ^2 — ^1), получаем
-= J |S (X2) k (X2) U:, (Xo, t) - S (Xi) k (Xi) U^ (Xi, t)| dT +
+ J j/(|, T)dldx.
ti Xi
Это и есть уравнение малых продольных колебаний участка стержня
(Xi, Х2) в интегральной форме в рамках описанной выше модели.
Предполагая существование непрерывных производных второго
порядка у функции и (х, t) и непрерывной первой производной
у функций k (х) и S (х), легко находим дифференциальное
уравнение малых продольных колебаний стержня:
•^ \S (х) k {X) и, (X, /)] ^f{x,t) = p (х) S (х) щ, (X, /). E)
Если 5 (х), k (х) и р (х) постоянны, то, предполагая
существование Uxx и Utt, уравнение E) приводится к виду
a^u^^-\-F{x, t) = Ui^,
где
a^:^k/p, F{xJ)-^f{xJ)l{pS).
Уравнения C) и E) по существу одинаковы и различаются
лишь обозначениями {Sk —вместо Т, а pS —вместо р). Оба они
всюду гиперболического типа, поскольку по самому смыслу
Т (х), S (х) и k (х) положительны.
20

§ 3. уравнение малых поперечных колебаний мембраны
Мембраной называется натянутая плоская пленка, не
сопротивляющаяся изгибу и сдвигу, но оказывающая сопротивление,
растяжению *).
Мы будем рассматривать малые поперечные колебания
мембраны, в которых смещение перпендикулярно плоскости мембраны
(х, у) и в которых квадратами величин и^ и Uy можно пренебречь
в сравнении с единицей (такова характеристика
рассматриваемой модели). Здесь и = и (х, у, t) —величина смещения
точки (х, у) мембраны в момент времени t.
Пусть ds —элемент дуги некоторого контура, лежащего на
поверхности мембраны, М —точка этого элемента. На этот
элемент действуют силы натяжения TdS. Отсутствие
сопротивления мембраны изгибу и сдвигу математически выражается в том,
что вектор натяжения Т лежит в плоскости, касательной к по-^
верхности мембраны в точке М, и перпендикулярен элементу ds,
а величина натяжения Т в этой точке не зависит от направления
элемента ds, содержащего точку УИ. В рамках этой модели можно
считать, что:
1) Проекция 7пр вектора натяжения Т на плоскость (л% у)
равна Т.
Действительно, 7гф = Т cos а, где а — угол между
вектором Т и плоскостью (х, у). Но а не больше угла у
между'касательной плоскостью к поверхности мембраны, в которой лежит
вектор Г, и плоскостью (х, у)\ а ^ у. Поэтому
1 1
cos а ^ cos 7 = — — ^^ 1.
/ I + 4 + 4
Следовательно, cos ос ^^ 1 и, значит, 7пр ^^ Т.
2) Натяжение Т не зависит от времени t.
В самом деле, рассмотрим участок S невозА^ущенной мембраны.
Его площадь равна J J ^-^ dy. Площадь этого участка в момент
времени t равна
Таким образом, площадь фиксированного участка мембраны
не меняется со временем, т. е. этот участок не растягивается.
Поэтому в силу закона Гука и 7 не меняется со временем.
Из того, что Т направлен иоГ перпендикуляру к элементу
дуги ds, следует, что Т не зависит также от л: и у. Действительно,
рассмотрим участок невозмущенной мембраны A1B1B2A2J
ограниченный отрезками, параллельными координатным осям
*) Например, мембраной иногда можно считать плоскую пластину, толщина
которой мала в сравнении с двумя другими измерениями.
21

-г j Tds.
(рис. 3). На этот участок действует сила на1яжения, равная
[ Tds-г \ Tds-i- I Tds
AiA2 Л, В 2 В.^В^
Вследствие отсутствия перемещения точек мембраны вдоль осей х,
у проекции этой силы на оси х \\ у равны нулю, С другой стороны,
ее проекция на ось у равна
У'1 Уг
( Tds\- \ Tds^\T{x„ y)dy~\T(Xi, y)dy==
А, в.
ВгЛ,
Ух
У2
= \[Т{х„ у)-Т{х^, y)\dy=Q, F)
а на ось х
J 7 ds + \Tds= J [Т {X, !/,) - Т {X, у,)] dy = 0.
G)
АхА2
В,В,
Пусть S
Ввиду произвольности промежутков {х^, Хз) и (у1, У2) из F)
и G) следует, что Т (х^, у) = Т {х^, у) и Т {х, у^) - Т {х, у.),
ч. т. д.
участок мембраны в момент времени t,
ограниченный контуром С. Обозначим через Si
и Ci проекции S и С на плоскость
(X, у) (рис. 4).
Сосчитаем величину вертикальной
составляющей P^^ силы натяжения,
действующей на С. Для этого
рассмотрим элемент dl па С и точку М
-*j^ на нем. Пусть Тм — вектор
натяжения в точке М, перпендикулярный
dl. Через Тм проведем плоскость,
перпендикулярную плоскости (л', у). Эта плоскость пересечет
плоскость {х, у) по нормали п к Ci в точке Mi (рис. 4). На рис. 5
изображен профиль L сечения поверхности S. Очевидно,
ди
У,
$^г
У/
.
д/ В2
^/
Аг
,^
Zi
Рис. 3.
Т,=-Тъта.^Т—^^=^Т-
1/^1+tg*^ а
дп
Следовательно,
дп
Сг
дп cosP '
где р — угол между элементами dl и dli. Поскольку Р ^ 7
(см. стр. 21), то cos р > cos 7= ,/-. . о .—г ^ ^- Поэтому Ри =
V\^\-ul + ul
С,

Применяя к этому интегралу формулу Остроградского,
получаем
f'u = T \] (и^^^у 1 Uyy) dxdy = T \\ ^u dx dy.
5i
Теперь нетрудно получить уравнение малых поперечных
колебаний мембраны.
Рис. 4.
Обозначим через / (х, у, /)-плотность равнодействующей
внешних сил, действующих на мембрану в точке М {х, у) в момент
времени t вдоль оси и, а через р (х, у) — поверхностную плотность
мембраны.
Применяя второй закон Ньютона к участку S^ мембраны (за
время А/== 4—^i)» получаем искомое ^
уравнение в интегральной форме:
J J [1^{>^. У^ ^)-щ{х, у, /i)]x
2
p(x, y)dxdy ^ ^ J j Г Да dx dy d%
tx S,
Рис. 5.
+ j J j/C^' y^ T)dxdydx.
tx St
Предполагая существование и непрерывность
соответствующих производных, легко получить дифференциальное уравнение
малых поперечных колебаний мембраны:
Т Аи + f {х, у, t) = pUfi.
Эю уравнение, очевидно, гиперболического типа.
23

Если р == const, то его можно написать в виде
а^ Ац + F (х, у, t) =-- Utt, (8)
где а^ = 7/р, F (х, у, t) = f (х, у, t)/p. Уравнение (8)
называется двумерным волновым уравнением.
§ 4. Уравнения гидродинамики и акустики
Движение сплошной среды характеризуется вектором
скорости V (х, у, Z, /), давлением р (х, у, г, t) и плотностью
р (х, у, г, /). В качестве такой среды мы будем рассматривать
идеальную жидкость (газ).
Рассмотрим некоторый объем жидкости D, ограниченный
поверхностью S. Давление, действующее на этот объем, равно
\\pnds,
где п —единичный вектор внутренней нормали к S.
По формуле Остроградского получим
\\ pnds= — jljWpdT,
где VP —градиент р.
При отсутствии внешних сил уравнение движения объема D
можно написать в виде
D D
Из него в силу произвольности D получаем уравнение движения
в форме Эйлера:
Plf + V^^O. "(9)
Здесь -^ ускорение частицы, равное
dv ^ dv , dv ^ dv
Если внутри D нет источников (стоков), то изменение в единицу
времени количества жидкости, заключенной внутри D, равно
потоку жидкости через границу S, т. е.
D S
применяя к правой части формулу Остроградского, получаем
|lJ[|-+div(p.,)]dT==0.
D
откуда следует уравнение неразрывности среды
^-\ diY{pv)=^0, A0)
24

Рассмотрим адиабатические движения газа, для которых
справедливо соотношение
Р = рЛ91Ы)\ (И)
где Y = Cplcy, Ср, с^ —удельные теплоемкости соответственно при
постоянном давлении и постоянном объеме; /?о, ро — начальные
значения давления и плотности. Нелинейные уравнения (9) —
(И) образуют полную систему уравнений, описывающих
адиабатические движения идеального газа. Они называются
уравнениями газодинамики.
Введем в рассмотрение уплотнение газа а:
(У == (р — ро)/ро, р -= Ро A + ^)' A2)
Если ограничиться рассмотрением малых колебаний, в
которых можно пренебречь вторыми (и более высокими) степенями
уплотнения, скорости и градиентов скоростей и давлений, то
уравнения (9) и A1) допускают существенные упрощения
(линеаризацию).
Действительно, при указанных допущениях имеем
— = —.-^4—^—A -ст-Ьст' )^—A -а),
Р ро 1 + G Ро "^ ' ^ Ро ^ '
/7 = /7оA+ст)^^РоA+Тст), A3)
-~-У/7^^A-(т)Уря^A-(т)-^У(т (если Ро-const),
div(/?t^)^^podivt(l + ^)^]^ Podiv(t^) (если ро = const).
Поэтому, отбрасывая в уравнениях (9) и A0) члены более
высокого порядка малости, получаем
Vi-{- a^s/G = О (а^ = YPo/po), ^t + div (v) = 0. A4)
Применим к первому уравнению A4) оператор div, а ко второму —
--^. Результаты вычтем один из другого—получим
а^ Да == а^^. A5)
Из соотношений A2), A3) и A4) находим аналогичные уравнения
для р и /?:
а^Ар = р;^, a^A/? = р^^. A6)
Уравнения A5) и A6) называются уравнениями акустики. Они,
очевидно, гиперболического типа. Такие уравнения называют
также трехмерными волновыми уравнениями.
Далее, из первого уравнения A4) находим
vix, г/, Z, t) =
^ V {X, у, Z, 0) - а2 j Va dx -= -у {х, у, z, 0) - V М а^а dx .
25

Предположим, что в начальный момент (/ = 0) поле скоростей
имеет потенциал / (х, у, г), т. е. <& |/_о = — v/C^» У^ ^)- Тогда
f Г )
V (а-, у, Z, /) =- —у J (х, у, г) + а^ J^^^f "" — V^*'
следовательно, поле скоростей имеет потенциал и и для t > О
u = f{x, у, г)~\-а? ^ GUT.
Дифференцируя это соотношение по /, находим Ut = а^а, Ut^ =
= a^Gf Заменяя во втором уравнении A4) Of и v их выражениями
через и, получаем
a^^u - щ^. A7)
Таким образом, и потенциал поля скоростей удовлетворяет
волновому уравнению.
§ 5. Уравнения для напряженности электрического
и магнитного полей в вакууме
Напишем уравнения Максвелла в вакууме для области, в
которой нет электрических зарядов:
rot£ = —^, div£ = 0, сИуЯ=0, xoiH==^—~, A8)
с dt ■ с dt ^ ^
где Н—напряженность магнитного поля, Е —напряженность
электрического поля.
Применяя операцию rot к первому уравнению, получим
xoivoiE^^-^xoiH. A9)
По известной формуле векторного анализа
rotrot£ = V(div£)~A£.
В нашем случае rot rot Е = —Af", поскольку div £ = 0.
Подставляя это значение в формулу A9) и используя последнее
уравнение системы A8), получаем волновое уравнение для Е:
с" ^E = E^t^ B0)
Аналогично (путем применения оператора rot к обеим частям
последнего уравнения системы A8)) получается уравнение
§ 6. Уравнения теплопроводности и диффузии
Выведем уравнение, описывающее распределение
температуры в теле.
Пусть и (М, /) —температура тела в точке М в момент
времени t. При-выводе уравнения будем пользоваться законом Фурье
26

для плотности потока тепла w в направлении п в единицу времени:
дп
Здесь k —коэффициент теплопроводности. Он может быть
функцией температуры, точки и времени: k ^ k {Uy Af, /).
Рассмотрим часть тела D, ограниченную поверхностью 5.
Обозначим через f (М, t) плотность источников тепла. Подсчитаем
баланс тепла для D за малое время А/:
Q^ = I 1J /(М, /) йт А/ — приход за счет источников;
D
Q.^.^ ~— \\ k ^do!s.f — расход за счет выходящего из D потока;
S
здесь производная -^ берется по направлению внешней
нормали к 5;
Qj^ J I 1 срщс1т /S.t — изменение количества тепла в области
б
D за время А/, где с — коэффициент теплоемкости, р — плотность
вещества.
Закон сохранения энергии требует, чтобы Qa = Qi — Qa
или
S S D
Применяя к первому интегралу формулу Остроградского, полу*
чаем
\\\ Idiv(* Va) + /(М, t)\ dx ^ \\\срщ dti
откуда, ввиду произвольности области Dt следует искомое урт^
нент ттлопртодностш
div(* va) + /(М, t) ^срщ* B1)
Совершенно аналогично выводится уравнение диффузии, При
этом надо пользоваться законом Нернста для потока вещества w
в направлении п:
Здесь и = и (Му t) — концентрация диффундирующего вещества
(газа, жидкости), D —коэффициент диффузии. В формуле для
Qg вместо ф надо написать коэффициент пористости с среды,
в которой происходит диффузия. Уравнение диффузии имеет вид
div {Dsju) + f (М, f) - сщ, B2)
По физическому смыслу k и D положительны. Поэтому
уравнения B1) и B2) параболи[че91^огд ттт,
21

Задачи об отыскании установившейся температуры или
концентрации приводят, очевидно, к уравнению эллиптического типа
div {ksju) - —/(М),
если k, с, р и / (соответственно D и с) не зависят от /.
§ 7. Кинетическое уравнение *)
1. Впервые кинетические уравнения были введены Больцманом в
кинетической теории газов.
В 30-х годах, с возникновением задач нейтронной физики, кинетическое
уравнение нашло приложение в вопросах прохождения нейтронов через
вещество.
В настоящее время оно находит разнообразные применения в задачах,
связанных с прохождением через вещество элементарных частиц и различных видов
излучения (в последнем случае его называют уравнением переноса).
Гидродинамические уравнения Эйлера и Навье — Стокса являются
приближениями к строгому кинетическому уравнению Больцмана.
Рассмотрим кинетическое уравнение, описывающее процесс
распространения нейтронов в некотором веществе. Это уравнение выводится при следующих
предположениях:
1) Внешние силы не действуют на рассматриваемые частицы (на нейтроны).
Нейтроны не имеют электрического заряда, и поэтому, если даже вещество
ионизовано, действие электромагнитного поля на нейтроны равно нулю. Если бы
мы выводили кинетическое уравнение для электронов в плазме, то такое
предположение было бы неверным.
2) Частицы (т. е. нейтроны) между собой не сталкиваются (концентрация
нейтронов гораздо меньше концентрации ядер в реакторе).
3) Ядра среды считаем неподвижными. Пренебрегаем химическими связями.
При этом возможны следующие процессы:
а) Рассеяние нейтронов на ядрах. Пусть а^ — вероятность рассеяния одного
нейтрона на единице длины его пути в заданной среде (по-английски рассеяние —
scattering).
б) Поглощение (захват) нейтронов ядрами. Пусть а^ — вероятность
поглощения нейтрона на единице длины его пути (по-английски захват — capture).
в) Поглощение с последующим делением ядра, в результате которого из
осколков ядра в момент захвата нейтрона ядром испускается в среднем v
нейтронов (запаздывающими нейтронами, которые вылетают из осколков через
некоторое время после деления, будем пренебрегать). Пусть а/ — соответствующая
вероятность вызвать деление (по английски деление — fission).
Примечание 1. Значение а^ и соответствующее эффективное сечение
рассеяния нейтрона на ядре а^ связаны соотношением а^ = No^^ где Л^ —
концентрация ядер, и т. п.
2. Пусть ^ (л, у, О — функция распределения нейтронов по координатам
и по скоростям, так что ^ (г, г), t) dr dv — число нейтронов в элементе объема
dr = dxdy dz со скоростями, лежащими в «интервале» (v, V -\- At)), где Av =
= {dvx, dvy, dvz) — вектор с компонентами dvx, dvy, dvz>
dv = dvx'dvy'dvz.
Согласно определению функции ^ концентрация нейтронов п в точке г в
момент времени t равна
п= [ ^(г, т), t)dv.
V
Подсчитаем изменение за время dt числа нейтронов, имеющих скорости,
лежащие в «интервале» (v, v -{- Av) в некотором фиксированном элементе объема
dr. Этот элемент объема dr будем предполагать неподвижным в рассматриваемой
*) Эгот параграф написан с участием А. Ф. Никифорова,
28

«лабораторной» системе координат. Кроме того, будем считать, что в элементе
объема dr содержится достаточно большое число нейтронов и ядер.
Итак, имеем:
l)^F(r, Vy t) dr dD нейтронов уйдут из рассматриваемого элемента объема
dr, так как они имеют отличную от нуля скорость; ^ {г — v dt, v, t) dr dv
нейтронов придут в элемент dr (по инерции); полагаем при этом, что v dt '^. d {dr),
где d (dr) — диаметр элемента объема dr.
2) При взаимодействии с ядрами произойдет уменьшение числа нейтронов
в рассматриваемом объеме соответственно на величины:
¥ (г, V, t) dr dv as (v) V dt (за счет рассеяния);
Ч'' (г, V, t) dr dv ас {v) v dt (за счет поглош^ения);
^F (г, V, t) dr dv a/ (a) vdt (за счет деления).
Обш.ее уменьшение за счет всех трех упомянутых процессов будет равно
¥ (г, V, t)drdva{v)vdt.
Здесь а (v) v dt = [а^ (v) -f ^c (^) + ^f (^) 1 ^ dt дает суммарную вероятность
провзаимодействовать одному нейтрону с ядрами на пути длины v dt.
3) Пусть Ws (v' -^ v) dv есть вероятность нейтрону, имеющему скорость v',
рассеяться после соударения с ядром в «интервал» скоростей (v, v-{- Av), т. е.
получить скорость из «интервала» (v, v-{- Ad).
Короче будем выражать это словами: при рассеянии скорость нейтрона
изменилась с v' на V.
Тогда число нейтронов, скорость которых v' в результате рассеяния на ядрах,
содержащихся в dr, изменится по величине и направлению так, что станет равна
V, будет равно следующему интегралу по всем возможным значениям
скоростей v':
I dv' [W(r, V, t)droLs (v')v' dtwsiv'-^v)dv].
v
4) Число нейтронов со скоростью v, появившихся в результате деления
ядер нейтронами со скоростями v\ из аналогичных соображений равно
dv'[Ч^ (г, V, t)dr af{v')v'dtwf{v'-^ v)dvv {v')].
J
V'
Здесь Wf (v' ->■ v) dv есть вероятность иметь испущенному осколком нейтрону
скорость в «интервале» {v, v -\- At^), если деление вызвал нейтрон со скоростью
v'\ V {v') — среднее число вторичных нейтронов, возникающих от одного
поглощенного нейтрона, имевшего скорость v'.
5) Посторонние источники нейтронов дают количество нейтронов, равное
F(r, V, t) dr dv dt.
Напишем закон сохранения числа нейтронов (баланс нейтронов). Общее
изменение числа нейтронов со скоростью из «интервала» (v, v -\- kv) в
фиксированном элементе объема dr за время dt по определению частной производной по
времени равно
-^"^'(г. V, i)drdvdt.
Следовательно, баланс нейтронов запишется в виде
4{r-~vdt, V, t)drdv —
-~^(r, V, t)drdv — '¥ {г, V, t)a{v)drdv-vdt +
+ [Т(г, v', t)as{v')Ws{v'-^v)drdv-v' dtdv' +
V'
+ MP" (r, v', t) a/ {v') V {v') Wf {v' -^ V) dr dv v dt dv' -f-
+ F (r, V, t) dr dvdt-^-^ ¥ (r, V, t) dr dv dt.
29

Так как
W in V, t) - ¥ (r-v di, V, t) -- ~- vdi^(v grad 4^) dt,
TO после суммирования и сокращения на dr dv dt получим кинетическое
уравнение, описывающее процесс распространения нейтронов в среде, в виде
•-^ -f- V grad ¥ -: — av"^ + F (г, v, t) +
+ j [^s {^') ^8 {'O' -► t)) 4- V {v') a/ (i;') Wf {v' -> v)] ^ (r, ^', /) v' dv. B3)
Вероятности Ws и -иУ/, входящие в B3), очевидно, должны быть нормированы
следующим образом:
1 Ws (v' -> V) dv =- \у wj (v' -> V) dv =^ 1.
V V
Замечание. При рассмотрении переноса излучения уравнение будет
иметь аналогичный вид. Роль скорости частиц будет играть частота со, так как
импульс фотона р = hid/с {h — постоянная Планка, с — скорость света) *).
3. При исследовании уравнения B3) возникают серьезные математические
трудности. Поэтому часто ограничиваются рассмотрением слу^чая, когда
скорости всех нейтронов одинаковы по величине (односкоростное кинетическое
уравнение). Точнее, рассматривают уравнение при дополнительных предположениях:
Рассеяние происходит без изменения величины скорости, и при делении
возникают нейтроны той же энергии, что и вызывающие деление.
Для упрощения уравнения предположим дополнительно, что распределение
нейтронов после рассеяния и деления равномерно по направлениям скоростей -
в рассматриваемой системе координат, или, как говорят, изотропно.
Поскольку величина скорости всех нейтронов одна и та же (у), то йелйчины
^в (v), OLc (f)j ОС/ (и) и V (у) в этом случае будут постоянными.
Примечание 2. Рассеяние нейтронов может быть как упругим (в
основном на легких ядрах), Так и неупругим (на тяжелых ядрах). Это связано с энер*
гией нейтрона и характером расположения уровней возбужденных состояний
ядер по отношению к основному состоянию. В системе центра тяжести нейтрона
и ядра упругое рассеяние сферически«симметрично, если длина В0|11иы нейтрона
гораздо больше размеров ядра. В лабораторной системе отсчета при 9том условии
рассеяние можно считать изотропным» если лабораторная система практически
совпадает с системой центра тяжести, т. е. рассеяние иейтронов происходит на
тяжелых ядрах, которые мы предполагаем в лабораторной системе покоящимися.
Проще всего односкоростное кинетическое уравнение можно получить,
если повторить вывод кинетического уравнения для односкоростного случая при
перечисленных дополнительных предположениях, Так как скорость нейтрона
в этом случае изменяется только по направлению I ^ ф/у (величина скорости v
постоянна для всех нейтронов), то вместо величин w^{v''^v)dv и Wfiv'-^
-*- V) dv надо, очевидно, использовать величины w^ A'-^ I) du и ш/ (V -^ I) dQ,
где dQ — элемент телесного угла в направлении I, причем для изотропного
случая (см, дополнительное предположение) Шд = 1/4я, Wf == 1/4я. Функцию
распределения ^ (г, /, О в односкоростном случае по определению вводят таким
образом, что ^ (г, I, t) dr dQ есть число нейтронов в элементе объема dr со
скоростями, направления которых содержатся в телесном угле dQ, охватывающем
вектор /.
В результате для функции Я^ {r,l,t) получим следующее уравнение:
4-^ + ('. V^) = -a^' + ^jT(r, l',t)dQ'. B4)
*) Подробный вывод уравнения переноса можно найти в книге: Франк-
К а м е н е ц к и и Д. А. физические процессл внутри звезд. — М.: физмат-
гиз, 1959.
30

Здесь а — а^-\- ас -\- CLj, ^ = а^-\- \aj. Кроме того, мы предположили здесь
для простоты, что источников нейтронов нет.
Если в уравнении B4) функция ^ (г, /, t) зависит по пространству лишь
от одной переменной х, а зависимость от I характеризуется лишь углом 6 между
осью X и направлением скорости / (азимутальной зависимости от угла ф нет),
то возможны дальнейшие упрощения. Так как dQ = sin д dddcp, то после
интегрирования в правой части B4) по углу ф получим
п
— 4^ + cos0 4^---a4'- + -^ W(x, е, /) sin 9^0. B5)
V dt дх ' 2 J ^ ^ ^ ^
о
Если произвести в B5) замену переменной j^t = cos Э, то уравнение B3)
можно записать также в виде
1
1 dW дЧ^ В Г
Так как уравнение B6) является однородным, то можно принять следуюш^ую
нормировку для функции Ч^ (х, fi, /):
1
[ ¥ {X, |Li, /) dii -- п„
— 1
где п —- концентрация нейтронов.
4. В задачах, связанных с pj^4eT0M ядерных реакторов, представляет ин-
терес решение стационарного кинетического уравнения, когда -^—- =г 0. В этом
случае уравнение B6) принимает вид
1
dW * В Г
^~W = - «^ + -|- J ^ (^. 1^) Ф. B7)
— 1
Введем моменты функции распределения
1
4'kix)^- J li'^'V (X, ii)dii (/e=-0, 1,
—1
Умножая B7) на [i^ и интегрируя по [г, будем иметь
Полагая в B8) последовательно ^=0, 1,2,..., можно выразить каждый
из моментов 4^k через %. Однако полученная система уравнений не замкнется,
т. е. число уравнений будет меньше числа неизвестных. Для ее решения введем
дополнительные предположения.
Будем считать, что распределение нейтронов по пространству имеет вид
(близко к равновесному) Т (х, [i) = а (х) -\- b (х) [г. Здесь второе слагаемое
носит характер поправки к первому (Ь <^ а). В этом приближении
1
Y;, (Х) =.- ^{а + b^l) ^1^ dli ^ ^^ [1 - (- 1)Н1 ] -f -^ [1 - (- 1)^+2J.
Отсюда
2 2
Ч'о-2а, V, = —fe, Va - — о =.-4-Ч'„
3i

Полагая в B8) /г = О, 1, получим
_L .. (Р _ а)-Fo. ^^-аЧ', B9)
Подставим в B9) % = -о-%- Получим
Мы получили систему двух уравнений для двух функций % и ¥i. Удобно перейти
от функций % и Yj к концентрации нейтронов п и плотности потока нейтронов /
в направлении х. Имеем
1 i
П =--- Ы (X, II) dn = Го, j = { VllW (X, |Ll) dll -- vWi.
—1 —1
Перепишем систему C0), вводя функции пи/ вместо ¥о и ^i:
dj /D . V dn
или
V dn V d^n ,o
Положим t;/Ca) = D. Тогда первое из уравнений дает закон Нернста, где
D — коэффициент диффузии, а второе — уравнение диффузии в одномерном
стационарном случае:
^' = -^17' D-g- + HP-«)n=-0. C1)
Член V ф — а) л представляет источники. '' Щ
Заметим, что полученные уравнения справедливы и в анизотропном случае,
когда а <С Ь, но ^ = а -j- ^М--
Если в рассмотренном приближении повторить весь вывод для
пространственного нестационарного случая, то мы придем к системе уравнений,
аналогичной C1):
j-^ — D grad п, ^ = ОАп + иф~а)п. C2)
§ 8. Типы краевых условий. Постановка краевых задач
1. При решении задач физики или других областей науки
математическими методами необходимо прежде всего дать
математическую постановку задачи, а именно:
а) написать уравнение (или систему уравнений), которому
удовлетворяет искомая функция (или система функций),
описывающая исследуемое явление;
б) написать дополнительные условия, которым должна
удовлетворять искомая функция на границах области ее определения.
При решении каждой конкретной физической задачи
математическими методами надо ставить вопрос не о решении
соответствующего уравнения, а о решении математической задачи в ее полной
постановке, вместе с соответствующими дополнительными
условиями. Обычно интересующие нас явления имеют однозлачный
характер, в то время как описывающие их уравнения имеют
32

множество решений. Поэтому при математической постановке
задачи недостаточно написать уравнение (или систему), которому
удовлетворяет искомая функция (система функций). Надо также
указать дополнительные условия, позволяющие выделить лишь
одно интересуюш^ее нас решение, описываюш,ее конкретное
явление, процесс. Дополнительных условий должно быть «не слишком
много», чтобы существовало решение, удовлетворяющее им.
Таким образом, дополнительные условия должны обеспечить
существование и единственность решения.
Характер дополнительных условий мы покажем на примерах
задач, рассмотренных в предыдущих параграфах.
Например, в случае колебаний струны или стержня
(уравнения C) и E)) надо задать начальный профиль
и (х, 0) == ф {х)
и начальную скорость
щ (х, 0) ^ г|) {х)
точек струны (стержня).
Это начальные условия. Аналогичный вид они имеют для
любого волнового уравнения.
Кроме того, надо записать режим на концах (краях) струны
(стержня).
Так, если задан закон движения концов (х =^ О и л: = /)
и (О, t) -= fXi (О, и (/, t) -= 11.2 (О,
то мы будем называть такие дополнительные условия краевыми
(граничными) условиями первого типа.
Если задан закон изменения силы, приложенной к концу
струны (стержня) и действующей в направлении колебаний,
то режим на концах можно записать следующим образом:
£^х |х-0 -^^ h (О' ^"х 1х-/ = h (О
ИЛИ
Ux (О, t) - Vi (О, и^ (/, о = V2 @.
Это краевые условия второго типа.
Пусть к концу стержня {х = /) прикреплена пружина,
действующая вдоль оси X. Тогда сила натяжения Euxuei конце будет
уравновешиваться силой действия пружины, равной аи.
Краевой режим на этом конце можно записать следующим образом:
Eu;^ (/, t) - —аи (/, t),
где а — коэффициент жесткости пружины, или
и^ (/, О + 1ги (/, О = 0.
Если пружина в свою очередь движется по закону х = ^ (/),
то краевой режим запишется в виде
и, (/, /) + h [а(/, t)-~^(i)]=^. 0.
2 Apcf^HHH В.Я.

и
дп
Это краевое условие третьего типа. На левом конце {х --= 0)
оно запишется в виде
и, (О, О " fi lu (О, t) — р (О ] -- 0.
Для дву- и трехмерного случаев рассмотренные типы краевых
условий имеют следующий вид:
u\s==\i{M, t) (первый тип), C3)
= v(/Vl, t) (второй тип), C4)
(ж + ^^) Is '^ ^ ^^' ^^ ^третий тип). C5)
Здесь -т^ производная по внешней нормали к поверхности 5.
Такие же краевые условия встречаются и в задачах,
приводящих к уравнениям параболического типа. Так, если задается
температура на поверхности тела, то имеем краевое условие
первого типа. Если задается плотность потока тепла — k-^— через
поверхность тела 5, то имеем краевое условие второго типа. Если
же на поверхности тела происходит теплообмен со средой, имеющей
температуру р (Л1, f), по закону Ньютона — ^ "Т~ "= h { и —
— р]|5, то имеем краевое условие третьего типа.
Встречаются и другие типы краевых условий. Некоторые из
них мы рассмотрим позднее. Рассмотренные типы краевых
условий являются линейными, поскольку искомая функция и ее
производные входят в них линейно. Они называются однородными,
если их правые части (|i, v, Р) тождественно равны нулю, и
неоднородными — в противном случае.
Очевидно, такие же краевые условия встречаются и в задачах,
приводящих к уравнению эллиптического типа. Физическое
истолкование каждого из них не представляет никаких трудностей.
Краевые условия определяются физической постановкой задачи
и могут иметь разнообразный характер. В частности, они могут
быть и нелинейными.
Теперь мы приведем постановку соответствующих трех типов
краевых задач для уравнений вида .
div {k sjtf) — qu + f (M, t) =^ ри^ C6)
и
div {k^u) — qu + f (M, t) ='рщ, C7)
где ky q, p — функции точки М.
Все рассмотренные нами выше уравнения принадлежали
к этому виду с ^ = 0.
Первая краевая задача. Найти функцию и (М, /),
удовлетворяющую в области В = (М ^ D, t > 0) уравнению
C6) (соответственно C7)) и дополнительным условиям:
34

а) начальным
// (М, 0) - ф (М), щ (М, 0) - 1|) {М) для M^D
(соответственно и {М, 0) =^ ср (Л1)),
б) краевым
и {М, /) U ^ i^ {М, t) для / > 0.
Вторая (третья) краевая задача ставится аналогично с заменой
краевого условия первого типа условием второго (третьего) типа.
Замечание. Все рассмотренные типы краевых условий
можно записать одним соотношением
ът^-^ът^]=^{м. /).
При Yi ^ О получим краевое условие первого типа, при у^ ~ О —
краевое условие второго типа, а при Yi v^ О и 72 ¥= О — условие
третьего типа.
Частным случаем этих задач является задача о
распространении краевого режима:
Найти функцию а (М, /), удовлетворяющую в В уравнению
C6) (соответственно C7)) и дополнительным условиям
дп ■ J5'
и {М, 0) - Ut (Л1, 0) - О (или и (Л/f, 0) - 0).
Легко представить себе задачи, в которых нас будут интерё'-
совать значения искомой функции и {М, t) в точках УИ, настолько
удаленных от границы области S, что влиянием граничного
режима на эти точки можно пренебречь. Это ог^равдывает
постановку следующей задачи.
Задача Коши. Найти функцию и (/И, t)^
удовлетворяющую при t > О уравнению C6) (соответственно C7)) в любой
точке м пространства, а также начальным условиям
и (Af, 0) « ф (Af), щ (М, 0) ^ ^ (М)
(соответственно и (М, 0) — ф (М)).
Более общая форма задачи Коши для уравнения
ап^хх -f 2аиищ -f «22«уу 4- F {х, у, w, Ux, Uy) ^ О, C8)
где W = W {Ху у) у состоит в следующем.
Пусть С — гладкая кривая и фх {х, у), Фг (х, у) — заданные на ней функции.
Задача Коши состоит в нахождении решения уравнения C8) в некоторой
области, примыкающей к кривой С, удовлетворяющего условиям
Здесь -г производная по нормали к кривой С в точках этой .кривой.
Аналогичную постановку можнб указать и для многомерного случаяj когда
функция и зависит более чем от двух перемецнщ^,
2* ^ 83

Для уравнения эллиптического типа краевые задачи ставятся
следующим образохм: найти функцию и (М), удовлетворяющую
в области D уравнению
div Ik {Л4)уи] -- q (М) и ^ --f {М),
а на границе 5 — краевому условию
Если Yi ^ О, то. имеем первую краевую задачу, если Y2 ^ О —
вторую, а при Yi =?^ О ^^ Y2 =7^ О — третью.
Замечание. Замкнутая поверхность 5 ограничивает две
области: внутреннюю D и внешнюю D^. При постановке
краевых задач надо оговаривать, для какой из двух областей (по
координатам) требуется искать решение.
В соответствии с этим различают внутренние и внешние
краевые задачи. Это существенно прежде всего для уравнений
эллиптического типа.
В последующих главах мы будем рассматривать главным
образом методы решения указанных классов задач. Вопросы
единственности решения этих задач рассматриваются в гл. VIII.
2. В задачах, описывающих реальные физические процессы,
явления, связи, величины, образующие «исходные данные»
(«исходную информацию») — например, начальные и граничные
значения искомого решения (или результатов заданных
операций над ним) и другие — обычно получаются путем измерений
и потому являются приближенными.
Обычно эти приближенные значения мало отличаются от
точных значений соответствующих величин и погрешность имеет
случайный характер. Возникает вопрос: как эти «малые»
изменения исходных данных (например, начальных значений) будут
сказываться на решении? Если шалые» изменения исходных
данных могут приводить к «большим» изменениям решения, то часто
становится затруднительным (или даже невозможным) дать
физическую интерпретацию такого решения. Для однозначной
физической интерпретации решения задачи необходимо, очевидно, чтобы
малым изменениям «исходных данных» задачи отвечали малые
изменения решения. Точнее, решение должно непрерывно зависеть
(в заранее определенном смысле) от «исходных данных». Это
свойство решения часто называют устойчивостью
решения к малым изменениям «исходных данных». Для каждой
задачи математической физики, кроме существования и
единственности ее решения, надо выяснить, обладает ли свойством
устойчивости к «исходным данным» предлагаемый способ построения
решения (точного или приближенного). Вопросы устойчивости
рассматриваются при изложении методов решения
соответствующих задач. Этим вопросам посвящена также глава XII,
Ш

ЗАДАЧИ
1. Верхний конец упругого, однородного, вертикально подвешенного тяже»
лого стержня длины / жестко прикреплен к потолку свободно падающего лифта,
который, достигнув скорости Vq, мгновенно останавливается. Поставить краевую
задачу о продольных колебаниях этого стержня.
2. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны
в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, предполагая, что концы
струны закреплены жестко.
3. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях, вызванных
начальным возмущением, для упругого стержня (Q^x^l) переменного сечения S (х),
концы которого упруго закреплены (с помощью пружины). Плотность массы
равна р(х), модуль упругости равен £(л:). Деформациями поперечных сечений
пренебречь.
4. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях тяжелой струны
относительно вертикального положения равновесия, если ее верхний конец {х =
= 0) жестко закреплен, а нижний свободен.
5. Рассмотреть задачу 4 в предположении, что струна вращается с угловой
скоростью (О = const относительно вертикального положения равновесия.
6. Невесомая струна при вращении вокруг вертикальной оси с постоянной
угловой скоростью (О находится в горизонтальной плоскости, причем один конец
струны (л: = 0) прикреплен к некоторой точке оси, а другой свободен. В
начальный момент времени / = О точкам струны сообщают малые отклонения и
скорости по нормалям к этой плоскости. Поставить краевую задачу для определения
отклонений точек струны от плоскости равновесного движения.
7. Упругий однородный цилиндр выводится из состояния покоя тем, что
в момент времени t = О его поперечные сечения получают малые повороты 6
в своих плоскостях относительно оси цилиндра. Поставить краевую задачу о
малых крутильных колебаниях этого цилиндра, если концы его жестко закреплены
(или свободны).
8. По струне О :^ д: ^ / с неподвижно закрепленными концами и
пренебрежимо малым сопротивлением, находящейся в постоянном магнитном поле Я,
с момента t = О пропускается ток силы / (t). Поставить краевую задачу о
поперечных колебаниях этой струны под действием пондеромоторных сил.
9. Два полубесконечных однородных упругих стержня с одинаковыми
поперечными сечениями соединены торцами и составляют один бесконечный стер*
жень. Пусть Pi, £i— плотность массы и модуль упругости одного из них, а рц
£2 "^ другого. Поставить задачу о малых продольных колебаниях этого стержня
под действием начального возмущения,
10. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях струны с закре*
пленными концами, нагруженной в точке Xq сосредоточенной массой т.
11. Поставить задачу о поперечных колебаниях бесконечной струны под
действием силы F (t), приложенной, начиная с момента <» О, в точке х » x^t
перемещающейся вдол струны со скоростью Vq,
12. Вывести уравнения для определения силы и напряжения переменного
тока (систему телеграфных уравнений), идущего вдоль тонкого провода с
непрерывно распределенными по длине: омическим сопротивлением Л, емкостью С^
самоиндукцией L и утечкой G, рассчитанными на единицу длины. Указание:
воспользоваться законом Ома и законом сохранения количества электричества.
13. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в проводе
с пренебрежимо малыми сопротивлением и утечкой, если концы провода
заземлены: один — через сосредоточенное сопротивление Rq, а другой — через
сосредоточенную емкость Cq.
14. Рассмотреть задачу 13, предполагая, что один конец провода (л: =« 0)
заземлен через сосредоточенную самоиндукцию Ц^\ а к другому приложена
э. д. с. Е (t) через сосредоточенную самоиндукцию LJ^\
15. Поставить задачу об электрических колебаниях в бесконечном проводе
без утечки, полученном соединением двух полубесконечных проводов через
сосредоточенную емкость Cq.
16. На боковой поверхности тонкого стержня происходит конвективный
терлообмен по закону Ньютона со средойj температура которой Мср = ^ (О-
37

Поставить краевую задачу об определении температуры стержня, если на одном
конце его поддерживается температура /^ (t), а па другой подается тепловой
поток q (t).
17. Поставить краевую задачу об определении температуры в стержне, по
которому пропускают постоянный электрический ток силы /, если на
поверхности стержня происходит конвективный теплообмен со средой нулевой
температуры, а концы его зажаты в массивные клеммы с заданной теплоемкостью
и очень большой теплопроводностью.
18. Вывести уравнение диффузии в среде, движущейся со скоростью v {х)
в направлении оси х, если поверхностями равной концентрации в каждый момент
времени являются плоскости, перпендикулярные оси х.
19. Вывести уравнение диффузии в неподвижной среде для вещества,
частицы которого: а) распадаются (например, неустойчивый газ) со скоростью,
пропорциональной концентрации; б) размножаются (например, нейтроны) со
скоростью, пропорциональной их концентрации.
20. Поставить задачу об определении температуры бесконечного стержня,
полученного соединением двух полубесконечных стержней, сделанных из
разных материалов, если эти стержни соединены: а) непосредственно; б) с помощью
массивной муфты с теплоемкостью Cq и очень большой теплопроводностью.
21. Поставить краевую задачу о нагревании полубесконечного стержня,
конец которого горит, причем фронт горения распространяется со скоростью v
и имеет температуру ф (t).
22. Поставить задачу о нагревании бесконечного тонкого стержня, по
которому скользит со скоростью Vq плотно прилегающая электропечь мощности Q,
если внешняя поверхность печи, не прилегающая к стержню, теплоизолирована,
а теплоемкость печи пренебрежимо мала.
23. Поставить краевую задачу об остывании тонкого круглого кольца, на
поверхности которого происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона
со средой, имеющей температуру Uq. Неравномерностью распределения
температуры по толщине пренебречь.
24. Вывести уравнение для процесса распространения плоского
электромагнитного поля в проводящей среде (т. е. в среде, в которой токами смещения
можно пренебречь по сравнению с токами проводимости).
25. Исходя из Уравнений Максвелла;
а) вывести уравнение для потенциала электростатического поля;
б) вывести уравнение для потенциала электрического поля постоянного
электрического тока,
Глава III
МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК
Одним из эффективных методов построения решений и иссле*
довання свойств решений уравнений в частных производных и
систем таких уравнений является метод характеристик. На его
основе строятся также приближенные методы получения
численного решения систем уравнений.
Для простоты изложения мы ограничимся рассмотрением задач,
в которых искомые решения являются функциями от двух
переменных *).
Как известно, производная функции / (х, у) в фиксированной
точке (х, у) по направлению единичного вектора I с компонентами
• :Щ
*) Обстоятельное изложение метода характеристик,в том числе и для
многомерных задач, имеется в книге: Рождественский Б. Л., Янец-
к о Н. Ц. Системы квазилинейных уравнений. — А1: Наука, 1963,
38

COS a, cos [3 равна
Выражение
Л Of в df
N дх '^ N ду '
где
N = /Л^ + В^
можно рассматривать как производную функции / {х, у) в
точке {х, у) по направлению единичного вектора с компонентами
A/N, BIN,
§ 1. Характеристическое направление и характеристики
оператора H[f\
1. Рассмотрим оператор
Н [/] - Л (X, y)f, +Б(х, y)fy,
где
1^ - дх ' 1У ~- ду '
Принимая во внимание сказанное выше, оператор Н [/] во
всякой фиксированной точке {х, у) можно рассматривать как
производную от / {х, у) по направлению вектора / = {А/N, BIN),
умноженную на Л^ ^ у' А" + б^, т. е.
Я[/] = Л^4.
Направление / = (A/N, BIN) называется характеристическим
направлением оператора Н [f\ в фиксированной точке {х, у).
Кривая, в каждой точке которой ее касательная имеет
характеристическое направление оператора Я [/], называется
характеристикой оператора Н If].
Согласно определению, в каждой точке характеристики
выполняется соотношение
dx л ^V
Это соотношение является дифференциальным уравнением
характеристик оператора Н. Это уравнение эквивалентно системе
^ = А{х,у), ^ = В{х,у). B)
2. Применим понятие характеристик к изучению уравнений
вида
Я [/1 - Л/, + Б/, =^0.
Эти понятия изучались в курсе обыкновенных дифференциальных
уравнений. Цель нашего рассмотрения состоит в том, чтобы пере-
39

мести эти понятия на системы уравнений и с их помощью изучить
некоторые важные свойства решений.
Характеристиками уравнения Н If] --^ О будем называть
характеристики оператора Н If].
Теорема 1. Если функция f {х, у) удовлетворяет
уравнению Н [f]= О, т. е. Н [/] = 0, то на каждой характеристике
оператора Н f (л:, у) = const.
Действительно, вдоль каждой характеристики имеем df =
= fxdx + fydy =^ (fx -1 ^fy'~r~) ^^' Принимая во внимание
fk уравнения характеристик B), получим
* ■ df = {Af, + Bfy) dx ^ Н [f] dx = 0.
^(з:п,1. Отсюда и следует, что на каждой
характеристике / (х, у) = const.
Физическая интерпретация этого
факта. Если у^ — время {у == t), то
теорема 1 означает, что начальное состоя-
Хд з: ние / (х, 0) распространяется по харак-
р g теристикам. Чтобы найти / (х^, to) в
произвольной фиксированной точке {Xq, to),
надо через точку (xq, to) провести характеристику, найти ее
точку пересечения с осью t =-- 0. Пусть это будет точка (Хо, 0).
Тогда / (хо, to) == / {Хо, 0) (рис. 6).
Пример 1. Рассмотрим уравнение aux + t^/= 0. Для оператора Н [и] ~
= aux+ Ui дифференциальное уравнение характеристик имеет вид --гг "^ ^•
Следовательно, характеристики суть прямые х — с^ == ^ = const. Эти
характеристики заполняют всю плоскость {х, t). Вдоль каждой характеристики м*(х,
t) a=z Ci =^ const. При этом Ci имеет разные значения вдоль разных
характеристик, т. е. Ci=^ f (b), или и (х, t) ~ f (х — at). Функция / (г) может быть
произвольной дифференцируемой функцией. Выбирая функцию / (z) надлежащим
образом, можно решить задачу Коши.
Решение задачи Коши для уравнения aux + w/ = О с начальным условием
и (л:, 0) = ф (х) имеет вид
и (х, t) — Ц) (х — at).
§ 2, Характеристическая форма оператора
h[u, v] = HAii] + HAv]
Наша цель — ввести понятие характеристик и изучить их
свойства для систем уравнений. Для простоты выкладок мы
ограничимся системой двух уравнений (хотя основные факты, которые
мы получим для систем двух уравнений, справедливы и для систем
любого числа уравнений). Для этого предварительно
рассмотрим оператор h [и, v] над двумя функциями h [и, v] =
= Ях [и] + Н^ [v], где Hi [и] = Аи^ + Buy, Н^ [v] =
= Cvjc + Dvy, А, В, С, D — заданные функции от (х, у).
Операторы Н^ [и] и Яз [v] над функциями //, v можно
рассматривать как умноженные соответственно на N-^ = у А^ + В^
н N2 = i/C^ + D^ производные по направлениям /^ =
40

= {AIN„ BIN-,) и h=={CIN\, DIN^), т. e. H^ [u] = N^^, H^{v\ -
Направления дифференцирования l^ и l^, совпадают только
Н Г)
в случае, если -j- = -^ или ВС — AD — О, т. е. /i и /g совпадают
\А С\
В d\
п тэ В D
-^ 0. в этом случае из --j- = -^
С D
следует, что -д- = -^ == fe, откуда С -= k-A, D = k-B, /fe =
только в том случае, когда
С D
следует, что -j == -^ ^
= k (х, у). Следовательно,
Здесь -=; дифференцирование вдоль кривой -^= ^'~1Г~
^В, т. е.'4г-А4-+в4--
' ОТ ОХ ду
Правую часть формулы C) будем называть
характеристической формой оператора h \и, v\.
§ 3. Характеристическая форма пары операторов
hi[u, v\ и кЛи, v\
1. Рассмотрим два оператора
/zi [а, V] = А^и^ + B^Uy + C^v^ + D^Vy
и '
в каждом из этих операторов, согласно предыдущему,
дифференцирование производится по двум направлениям. Из
операторов hi и }ц можно составить еще один оператор Я:
Я [и, V] = hi -]~ Ш^ =
- {Ai + У^А.^ пх + (Si + Ш,) Uy + (Ci + ?iC2) V, + (Di + JiD^) v,,
где ?i ^ >v (x, г/) — некоторая функция.
Поставим задачу:
Найти такие значения ?i, чтобы в операторе Я
дифференцирование каждой из функций и и v производилось только в одном
направлении.
в операторе h [и, v] дифференцирование функции и
производится в направлении /i = U-^i + '^A^INi, {В^ + XS2)/A^ib
а дифференцирование функции v — в направлении
Ni^/{Ai + XA,r + {Bi-\-XB,)\
Л/, - }/{Ci + XC,y ]--{Di + KD,)\
4!

Чтобы эти направления совпадали, необходимо и достаточно,
согласно предыдущему (§ 2), чтобы выполнялось условие
0. D)
Из этого условия находим Х.
2. Для определения К мы имеем квадратное уравнение. Из
него находим два значения: Я^, К^- Эти значения называют
характеристическими значениями пары операторов {hi, /ig). Каждое
из этих значений определяет направление, к дифференцированию
вдоль которого сводится оператор Я. Для каждого из полученных
значений i получим свой оператор Я:
где
Таким образом, из двух исходных операторов hi и h^ можно
получить два других оператора Я^ и Яз, в каждом из которых
дифференцирование функций и и v производится лишь в одном
направлении. Эти направления называются характеристиче-
ческими направлениями пары операторов hi и h^. Мы будем
называть их первым (для А.^) и вторым (для Х^)
характеристическими направлениями.
Примем следующую классификацию пар операторов (/zj, h.^\
1. Если %i и h, вещественны и различны, пара операторов
hi и ^2 называется гиперболической.
2. Если %1 и >^2 комплексны, пара операторов hi и h^
называется эллиптической.
3. Если %1 '=- %2, пара операторов hi и Л2 называется
параболической.
Кривая, в каждой точке которой ее касательная имеет первое
характеристическое направление пары операторов {hi, h^)^
называется характеристикой первого семейства пары операторов
{hi, Я2). Кривая, в каждой точке которой ее касательная имеет
второе характеристическое направление пары операторов {hi, Я2),
называется характеристикой второго семейства пары операторов
{hi, /12). Таким образом, в гиперболическом случае мы имеем
два семейства характеристик, дифференциальные уравнения ко-
42

торых имеют вид
'dx ^^ dy dx ^ dy .-.
Ai +- Х1Л2 Bi + I1B2 Ai 4- Я2Л2 Bi -\~ X2B2 * ^^
В параболическом случае имеется одно семейство
характеристик, в эллиптическом — два мнимых семейства.
Замечание. В рассмотренном нами случае операторы
hi и /i2 — линейные и их характеристики не зависят от функций
и и V.
3. Рассмотрим систему линейных уравнений
hi[u, u] = <ri(x, у), h^[u, v]=^^,{x, у). F)
Она называется гиперболической, если пара операторов (/ii, h^
гиперболическая, т. е. если Я^ и Xg вещественны и различны.
Система называется эллиптической, если пара операторов
{hi, h<^ эллиптическая. Аналогично определяется параболическая
система. Мы в дальнейшем будем рассматривать только
гиперболические системы.^
Характеристиками системы F) будем называть
характеристики пары операторов hi [и, v], h^lu, v].
Замечание. Понятие характеристик системы F) вместе
с их дифференциальными уравнениями E) остается неизменным,
если правые части системы ^i и ^^ являются функциями х, у,
и, V.
Систе?у1у F) можно заменить эквивалентной ей системой,
называемой характеристической формой системы F):
-^^r'hix, y)-§^ = S'i + hS',,
4. Если в уравнении второго порядка
^11 (^, y)U:^^-\-2ai.,{x, у)щ,у-^^, а.^.{х, y)Uyy^f{x, у, ц^, и,]) (8)
положить и^ = W, Uy =■ V, то оно сведется к эквивалентной
системе
aiiW^-i-ai^Wy ^ai^v^~{-a^^Vy = f{x, у, ш, v),
^у — ^х = 0. (9)
Возникают вопросы: 1) Если уравнение (8) гиперболическое
(эллиптическое, параболическое) в некоторой области D, то будет
ли гиперболической (эллиптической, параболической) bD система
(9)? Будут ли характеристики уравнения (8), определенные в гл. I,
совпадать с характеристиками системы (9)?
Нетрудно дать утвердительные ответы на эти вопросы и
доказать, таким образом, эквивалентность понятий характеристик
уравнения (8) и эквивалентной ему системы (9). В самом деле,
43

уравнение для нахождения характеристических значении
системы (9) имеет вид
I an «12 + к
I «12 ~~ ^ ^22
= 0 или Я^ ==а?2 — ^11B22 = А.
Следовательно, Xi,2 = i+ii/^A. Отсюда следует утвердительный
ответ на первый вопрос.
Дифференциальные уравнения характеристик системы (9)
согласно E) имеют вид
dy ^ fli2 + У^ А ^ dy ^ «12 — 1/"Д
^л: - «11 ^л: «и
и совпадают с уравнениями характеристик A1) гл. I уравнения
(8). Мы получили утвердительный ответ и на второй вопрос.
§ 4. Гиперболические системы с постоянными
коэффициентами
I. Пусть <!Г1 = ^2 = О, а ^1, Лз; В^, В^] Q, С^; D^, D^ —
постоянные. Тогда, очевидно, и Xj, ^2 — постоянные.
Дифференциальные уравнения характеристик в этом случае имеют вид
dy __ Bi + ^1^2 __ 1 dy __ Bi + ^2^2 __ J_
dx ~~ Ai + Я1Л2 " «1 ' dx ~^ Ai-\- Х2Л2 ~~ «2 '
где ui и a2 — постоянные. Следовательно, характеристики суть
прямые X — Uiy = di, х — а2у ^ ^2-
Характеристическая форма системы имеет вид
ki = |^ФМ^ = const, k, = 4^^Й^ = const.
Полагая г = и + k-^v, s =^ и + k^v, систему A0) можно записать
в виде
^_0 —=0
^Ti ' 612
Следовательно, вдоль каждой характеристики 1-го1^семейства
(т. е. вдоль линии х — а-^у — d^ г ==1и + kiV = bi = const.
Таким образом, г—инвариант на'" характеристиках 1-го
семейства. Вдоль каждой характеристики 2-го семейства (т. е.
вдоль линии X — а2у = dg) 5 = а + k2V = ^2 — const. Таким
образом, S — инвариант на характеристиках 2-го семейства. При этом
для каждого значения константы di будет свое значение
инварианта г, т. е. константы bj,: г "== и + kiV =^ F (di).
Аналогично s = w + ^2^ ==" Ф (^а)» или
и + kiV =^ F (х — а^у), и + k2V =^ Ф {х —- а2у).
44
где

F и Ф могут быть произвольными дифференцируемыми
функциями. Так как ki =h k^, то
k2F (х — aiy) — кхФ {х — а2у) F (х ~ а^у) -~Ф{х — а^^у)
и =
V--
k2 — kl
Пример 2. Рассмотрим уравнение
Это уравнение эквивалентно системе
aux ^ Vfy avx -= tit-
Таким образом, в этом случае
hi [и, v] ~ aUx — vt (Ai = а, Bi
kl — k2
(И)
h^ [и, v] = aVx — ut
Уравнение для h.
(Л2 - 0, Б2 :
0, Ci==.0, Di==: -1),
~1, C2 = a, D2 = 0).
a — Я
aX—1
-0.
Следовательно, Я^ = 1, т. е. Я^^ 1, Xg = —1. Эта система гиперболическая
Ci ~Ь Х1С2
^1
Х1Л2
«2 '^~ ~Г—1^—л 7~ ^^^ — 1 •
Ai -f >.2^2
Дифференциальные уравнения характеристик:
dx dx
It--"' 7F="-
Таким образом, имеем два семейства характеристик:
X -[- й^ = ^1 ~ const и X — at = d2 = const.
Вдоль прямых X -}- at — di имеем и + kiv = и -}- v = 2F {х -{- at). Вдоль
прямых X — at ~ d2 имеем а -{- ^2^ = " — t^ = 2Ф (х — а/), где F (z) и Ф B) —
произвольные дважды дифференцируемые функции. Отсюда
и {х, t) == F {х + at) -[- Ф (х — at). A2)
2. Обратимся к физической интерпретации решения и --=
=^ Ф (л: — at). Функцию и (х, t) будем называть отклонением
\
t,^y^
Ф(х;;
^
^^rrr"-^ , (t^ «„
z"^'-
Ф(а:,-а1,)
Рис. 7.
В точке X в момент времени t. Рассмотрим точку х^.
Вообразим, далее, что из этой точки в положительном
направлении оси X в момент времени / == О начинает двигаться наблю-
45

Датель со скоростью а. В момент времени ti он окажется в точке
Xi = Xq Ч" all. Величина отклонения, которую наблюдатель будет
видеть в точке х^ в момент времени ti, будет равна и =^ Ф (Xi —
— ati) ^ Ф (л'о). Таким образом, наблюдатель в любой момент
времени будет видеть в точке, где он находится, одну и ту же
величину отклонения, равную Ф (Xq), Следовательно, начальный
профиль и (х, 0) '-^ Ф (х) будет двигаться со скоростью а в
положительном направлении оси х, как жесткая систел^а, не
изменяя формы (рис. 7).
Ввиду этого решение и ^^ Ф {х — at) называют прямой бегущей
волной. Аналогичное истолкование можно дать и решению и =^^
--= F {х + at). Оно называется обратной бегущей, волной. При
этом профиль движется, как жесткая система, в отрицательном
направлении оси х со скоростью а.
Таким образом, любое решение уравнения A1) представляется
в виде суперпозиции (наложения) прямой и обратной
бегуи;их волн,
§ 5. Решение задачи Коши для одномерного волнового
уравнения. Формула Даламбера
1. Пусть требуется найти решение задачи Коши
^'Чх = /^/^ A3)
и {х, 0) -- ф (х), щ (х, 0) -- 1|) (х), A4)
непрерывное в замкнутой области
fii = |— оо<л'<оо; /:::^. 0|.
Решение будем искать в виде суперпозиции прямой и обратной
бегуи;их волн (см. пример 2 в § 4)
и (х, t) - F {х + at) + Ф (х ~ at) *). A5)
Среди решений вида A5) найдем такое, которое удовлетворяет
заданным начальным условиям A4):
и (х, 0) - ф {х) = Ф (х) + F (х),
Ut {х, 0) - г|) (х) - ~аФ' {х) + aF' {х).
Интегрируя последнее тождество, получим два уравнения для
определения функций Ф {у) w F (у):
у
Ф((/) + ^(г/)=ф(г/), -0(y)-^F{y)=±-ly^{z)dz+C, A6)
*) К представлению решения в форме A5) можно прийти и иначе.
Предположим, что и (х, t) — решение уравнения A3). Для него выполняется тождество
a^Uxx ^ ^tt- Производя в нем замену независимых переменных по формулам
'^=z X — at, г\ =: X -\~ at, получим тождество ui^^ ее 0. Интегрируя его
последовательно по переменным т] и g, получим формулу A5), в которой F {г) и Ф (г) —
произвольные функции (их можно предполагать дважды дифференцируемыми).
46

из которых находим
Fiy) = ^ + -^l^iz)dz + ^,
Xq
2
Xq
ф(^)=1|)-^|ф(.)^г
Подставляя эти функции в формулу A5), получим формулу Да-
ламбера
2. Таким образом, предположив существование решения задачи
Коши, мы пришли к заключению, что оно должно представляться
формулой A7). Следовательно, оно единственно. Если функция
ср (л:) обладает производными первого и второго порядков, а
функция г|) {х) — производной первого порядка, то формула A7) дает
искомое решение задачи Коши A3)—A4). В этом можно убедиться
непосредственной подстановкой правой части формулы A7) в
уравнение A3) и в соотношения A4). Построив решение задачи Коши,
мы тем самым доказали его суи^ествование.
Описанный выше метод построения решения задачи Коши
называется методом характеристик или методом бегущих волн.
§ 6. Решение задачи Коши для неоднородного^
волнового уравнения
1. Научившись строить решение задачи Коши для однородного
волнового уравнения A3), легко построить решение этой задачи
для неоднородного волнового уравнения.
Метод построения одинаков для всех линейных уравнений
гиперболического типа, поэтому мы будем рассматривать более
обш,ее уравнение
div (fe уи) ~~ qu + f (Л1, t) = р%, A8)
где fe, ^ и р — известные"""функции точки М.
Итак, пусть требуется решить задачу Коши для уравнения
A8) с начальными условиями
и (М, 0) - ф^(Л1), ut (М, 0) - \[) (М). A9)
Эту задачу разбиваем на две задачи:
1) задача Коши для однородного уравнения
div {k yv) — qv = pv^ B0)
с заданными начальными условиями
V {М, 0) = ф (М), Vt (М, 0) = \[) (М); B1)
2) задача Коши для исходного уравнения
(Ijv (k v^') — qw + / (уИ, t) = pwfi A8i)
47

с пулевыми начальными условиями
W (М, 0) - О, Wi (/И, 0) - 0. B2)
Очевидно, и --=^--- V -\- w.
Предположим, что мы умеем решать задачу Коши B0)—B1).
Тогда решение задачи Коши\181), B2) строится следующим
образом.
Построим такую функцию Щ (уИ, t, т), которая удовлетворяет
однородному уравнению B0) для / > т и начальным условиям
Щ\,^,^0,Щ,\,^,=.Ш^. B3)
По предположению мы умеем решать эту задачу. Тогда искомое
решение задачи Коши 2) будет иметь вид
t
W (М, 0 = 1^ (Л^> '> -г) dr. B4)
о
Действительно, по правилу дифференцирования интеграла с
переменным верхним пределом по параметру находим
4
W, {М, i) = Щ\,^1 f j Щ1 (М, /, т) dT.
о
Воспользовавшись первым из условий B3), получим
w,{M, t)^ \Щг{М, /, т)Aт. B5)
б
Из формул B4) и B5) непосредственно следует, что w (Л1, t)
удовлетворяет начальным условиям B2). Дифференцируя соотношение
B5) по / еще раз и используя второе из условий B3), получаем
о о
Следовательно,
t
рш,,=/(М, 0 + |рЯ(,,б(т. B6)
О
Вычислим div {k уш) — qw. При этом, очевидно, операцию
div (k v) можно выполнить под знаком интеграла. Получим
t
div {k^w)~qw=\\div {k SJUI) -дЩ\йт. B7)
0
Поскольку функция Щ (My t, т) является решением уравнения
B0), то из формул B6) и B7) следует, что функция w (/И, /),
определяемая формулой B4), является решением уравнения A8),
а следовательно, и решением задачи Коши 2).
48

Замечание. Такой способ нахождения решения
неоднородной задачи по решению соответствующей однородной задачи
применим и для нахождения решения краевой задачи для
неоднородного уравнения с однородными краевыми условиями. В этом
случае вспомогательная функция Щ (Му /, т) должна быть
решением соответствующей однородной краевой задачи.
2. Применим описанный метод к одномерному уравнению:
требуется решить задачу Коши
и(х, 0) - ф(х), щ(х, 0) - ^р(х). ^^^^
Разбиваем ее на две задачи:
1) задача Коши для однородного уравнения сзаданными
начальными условиями
^^4x ^ vtt.
V {х, 0) == ц) (х), Vt (х, 0) - 1|) {х)\
2) задача Коши для заданного уравнения с нулевыми
начальными условиями
а^^хх + f (х, t) =^ Wtt,
W {х, 0) - О, Wi (х, 0) = 0.
Тогда и = V ~{- W.
Функцию V (х, t) можно написать по формуле Даламбера
x—at
Согласно предыдущему
t
W (х, t) = j Щ (х, /, т) dr,
о
где функция Щ (х, /, т) является решением задачи Коши
Щ1-.,^0у IUt\,^, = f{Xy т)
и, следовательно, может быть записана по формуле Даламбера
дг-j-a (/-т)
х—а (/—т)
Поэтому
t Х'\-а (/—х)
49

§ 7. Устойчивость решения задачи Коши
для одномерного волнового уравнения
к входным данным. Обобщенное решение
1. Как указывалось в гл. II, § 8, одним из важнейших
требований к методам нахождения решений задач математической физики
является требование устойчивости решения к малым изменениям
входных данных. Покажем, что как решение задачи Коши для
однородного волнового уравнения, представляемое формулой
Даламбера, так и решение задачи Коши для неоднородного
уравнения, представляемое формулой B9), удовлетворяют этому
требованию.
2. Формула Даламбера A7) дает решение задачи Коши A3)—
A4) в предположении, что начальные функции ф (х) и \р (х) имеют
производные ср' (х), ф" (х), г|;' (х). Однако нетрудно указать задачи,
Рис. 8.
в которых начальные функции ф (х) и ф (х) этими свойствами не
обладают; достаточно, например, задать начальное отклонение
струны в виде ломаной, изображенной па рис. 8.
Для того чтобы понять, как строить решение задачи Коши
в этих случаях, докажем следуюш,ую теорему:
Теорема о непрерывной зависимости
решения задачи Коши от начальных значе-
н и й. Пусть Ui (Ху t) и U2 (х, t) суть решения задачи Коши A3) —
A4) с начальными условиями
% (а:, 0) =- ф1 (х), u^t (^, 0) = -ф1 {х)
и
ih (^, 0) -= ф2 (х), u^t {х, 0) -= -фз {х).
Тогда, каковы бы ни были г > О и ti > О, существует такое б > О,
зависяи^ее от г и t^, Ь ^--^-- б (е, t^, что из неравенств *)
I Ф1 (л-) - Ф2 {х) I < б, I ф1 {х) -^~ -фо {х) I < б для — оо < л: < оо
следует неравенство
I ^1 (^» О "~~ ^2 {х, О I < ^ ^'^^^ — со < л- < оо, / < /i.
Доказательство. Используя формулу Даламбера для
и^ (х, /) и ^2 (^> О» получим
i/i (х, /) — W, (х, t) = — [ф1 (^ — ^0 " Ф2 (-^ — «01 +
X \-at
+ — [ф1 (-^ -1- «О - Ф2 {х + Щ + -2^ J [г|I B) ~ 1|J (г)] Jz.
*) Во избел^апие недоразумений в этом и следующем пункте мы будем
считать, что X, t — безразмерные переменные..
50

Следовательно,
I Ux (a-, /) — ^2 {^^ 0 I < — I Ф1 (^ "~ ''^O -^ Ф2 {^ - - ^^0 I 4~
+ 4" i Ti (л- 4- aO - Ф2 (-« Ч- «01+2^ j I 4'i B) - г|5, B) I dz
x—at
x-\-at
<
2
^ + ^S i~i J б^г = 6 + 6^<бA-|-У-
X—at
Если взять 6 - 8/A + ti), TO неравенство
I Ui (x, t) — U2 (x, 0 I < ^
будет выполнено для всех —оо < х < оо, t < ti. Ч. т. д.
Замечание. Если начальные значения ц)^ (х), щ (х), \|)i (х),
\р2 (/) удовлетворяют неравенствам
I гр] (л-) — срз W I < б для — оо<х<оо,
J N^iW "^2^1 dx<.6,
то, очевидно, для соответствующих решений задачи Кооли Ui {х, t)
и U2 {х, t) будет выполняться неравенство
//,(л-, i)-~u,{x, 0|<(l +^)б
для всех X, —оо < .х: < оо, и ^ > 0. Это позволяет утверждать,
что для одномерного волнового уравнения имеет место
непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальных данных и для
разрывных начальных скоростей (в указанном смысле оценки
уклонения начальных данных).
Содержание этой теоремы можно кратко выразить словами:
малым изменениям начальных значений соответствуют малые
изменения решения задачи Коши.
Таким образом, устойчивость решения задачи Коши к малым
изменениям начальных данных показана.
В практических задачах начальные значения получаются
в результате измерений и, следовательно, не являются точными.
Доказанная теорема создает уверенность, что небольшие
погрешности, допущенные в определении начальных значений, приводят
к небольшим изменениям в решении задачи Коши. Эта теорема
указывает также на один из возможных путей построения решения
задачи Коши в случаях, когда начальные функции ф (х) и \|) {х)
не обладают соответствующими производными (см. рис. 8).
3. Обратимся снова к задаче Коши A3)—A4). Мы будем
полагать, что начальные функции ф (х) и i|) {х) не равны нулю
лишь на конечных отрезках, непрерывны всюду, а функция ф {х)
имеет производную первого порядка. Эти функции можно равно-
51

мерно аппроксимировать дифференцируемыми функциями ф„ (л')
и г[^д (х) так, что
Фп W Zt Ф W (п-^оо), г|1^ (х) Z^ г|;' (х) {п -^ оо),
причем ф„ (х) имеют первую и вторую производные, а \\\ (х) —
первую производную.
Если в качестве начальных функций в задаче Коши взять
функции фд (х) и \|)„ (х), то они определят единственное решение
задачи и^ (х, t).
Оценим разность решений Un-^k (^, О ~ ^п (^» О- В силу
равномерной сходимости последовательностей {ф^ {х)] и {\|)^ (л:)} для
произвольных 8 > О и ^1 > О найдется такое Л^, что для любых
п > N и любых целых положительных k будут выполняться
неравенства
I Фл {^) " ^Рп+к (а-) I < j-q^ и 14^;,+)^ W ~ ^п (^) I < 1~~7Г
для всех —со < X < со. Тогда по доказанной теореме для всех
t < ti и —со < X < со будут также выполняться неравенства
для любых п > N ц любых целых положительных к. Но это
означает, что последовательность решений {и^ {х, /)) равномерно
сходится в указанной области изменения переменных х, / к
некоторой функции и (х, t). Эта функция называется обобщенным
решением задачи Коши A3)—A4). При этохМ
и{х, l) = \\mu-a{x, /) =
x-x-at
lim [ф^ {X - at) + ф,, {х -f- ^01 + ^ Пт ( i|v (z) dz,
или
x—ai
Эта функция и (х, t) и ее производная ut (х, f) принимают заданные
значения ф {х) и "ф {х). Таким образом, в рассмотренном случае
формула Даламбера также дает решение (обобщенное!) задачи
Коши. Рассмотренную задачу можно решить и иначе, если
воспользоваться обобщенными функциями и их свертками (см.
Дополнение, п. 1).
4. Теперь покажем устойчивость решения задачи Коши к малым
изменениям неоднородности в уравнении.
Очевидно, достаточно рассмотреть решение с нулевыми
начальными данными. Такое решение представляется формулой B9).
Теорема 2. Пусть и {х, t) и v (х, t) суть решения задач
Коши:
52
и\ a4i:,:,~\-fi{x, /) = ^^/,
О, C0)
и (х, 0) ^ О, ^"
dt
i==0

Тогда, каковы бы ни были положительные числа г и Т, существует
такое б > О, зависящее от г и Т, д = 6 (г, Т), что из неравенства
I /i (А% О - /2 (^, О I < S (в, Г) C2)
5ля всех значений х и для О < t < Т следует неравенство
\ и {х, t) — V {х, t) \ < г
для тех же значений х и t.
Доказательство. Пользуясь формулой B9) для
решения задач C0) и C1) и неравенством C2), находим
\и{х, t)~v(х, О I <
t х+а (t-T)
<il 1 \hiir)-f,a,r)\didr<
о х—а (t—T)
О х—а {t—T) ' О
Если б ^' 2г/Т^, то | и {х, t) — v {х, t)\ < г. Теорема доказана.
§ 8. Решение краевых задач на полупрямой
1. Обратимся к рассмотрению краевых задач на полупрямой.
Предварительно докажем две леммы.
Лемма 1. Если в задаче Коти A3)—A4) начальные функции
Ф {х) и г|) (.г) нечетны относительно х= О, то решение этой задачи
и (х, /) равно нулю при X = 0:
и (О, О = 0.
Доказательство. Полагая в формуле Даламбера,
дающей решение задачи Коши A3)—A4), х = О, получаем
—at
Поскольку ф (х) — нечетная функция, то ф (—at) = —ф (at).
Поэтому ф (—at) + ф (at) = 0. В силу нечетности функции \|) (х)
at
интеграл J г|)(г) dz также равен нулю. Поэтому и (О, /) ~ 0.
—at
Лемма 2. Если в задаче Коши A3)—A4) начальные функции
Ф (х) и \|) (х) четны относительно х = О, то производная Uy: (х, /)
решения этой задачи равна нулю при х ~ 0:
и^ (О, О ~ 0.
53

Доказательство этой леммы проводится аналогично *J.
2. Рассмотрим однородную краевую задачу
и {х, 0) - ф (л:), Ui {х, 0) --- ![•; (а') для о < х' < со, C3)
и (О, О - 0.
Полагаем ф @) = ij) @) == 0.
Для ее решения нельзя непосредственно воспользоваться
формулой Даламбера, так как входящая в эту формулу разность
X — at может быть и отрицательной, а для отрицательных
значений аргумента начальные функции ф (х) и \[; (х), согласно C3),
не определены.
Мы будед/! действовать следующим образом. Продолжим
функции ф (х) и \р (х) нечетным образом на отрицательную часть оси х
и обозначим через cpi (х) и ypi (х) продолженные таким способом
функции:
^^^^^^1~Ф(-х), х<0, "^'^^'^-[-^(-х), х<0.
Тогда функция
x—at
И будет решением краевой задачи.
Действительно, она удовлетворяет однородному волновому
уравнению, поскольку является суперпозицией прямых и
обратных волн. Краевому условию она удовлетворяет в силу леммы 1.
Проверим начальные условия:
X
X
для ^ ^ О,
— а^\ (х) 4- aw\ ix) \ , ,
Щ (X, 0) - ' ^/ ' ^ + ^ [^^^1 W + а^^ {х)\ = гК (X) = г|: (х)
для ;г ^ 0.
Таким образом, начальные условия также удовлетворяются.
Краевая задача
а^^хх ^ Щи C4)
а (х, 0) = ф (х), Ut (х, 0) ^ ij) {х) для О < X < со,
^^ (О, О =" О
решается аналогично, но при этом начальные функции ф (х),
ij) {х) продолжаются четным образом на отрицательную часть
прямой.
*) Использовать нечетность производной ф' {х).
54

3. Методом характеристик можно также построить решения
однородных краевых задач на конечном отрезке с краевыми
условиями первого и второго типа. Для определенности рассмотрим
первую краевую задачу
и {х, 0) = ф (х), Ut (х, 0) === \|) (х), О < Л' < /, C5)
а (О, t) = О, и (/, t) ^- Q, t > 0.
Для построения решения продолжим начальные функции
Ф (х) и я)) (х) на всю прямую нечетным образом относительно точек
X ^ Ои X =^ 1. Обозначим через Ф2'(^) и ур^ (х) продолженные таким
способом функции *). Тогда функция
x—at
И будет решением краевой задачи. Краевым условиям эта функция
удовлетворяет в силу леммы 1. Начальные условия проверяются
непосредственно, как в задаче на полупрямой.
§ 9. Отражение волн на закрепленных
и на свободных концах
Решение краевых задач C3) и C4) можно написать в форме A5):
и (х, t) = Ф {х — at) + F {х + at).
Будем интерпретировать и как отклонение. Вдоль характеристики
X — at =' Ci отклонение, обусловленное прямой волной, постоянно:
Ф (х — at) = Ф (q). Вдоль характеристики х + at = с^,
отклонение, обусловленное обратной
волной, постоянно: F {х -[- at) ==
== F (^2). Таким образом,
возмущения распространяются по
характеристикам.
Для нахождения величины
отклонения и (Xq, ^0) в
фиксированной точке (Хо, ^о) области
Б = {х > О, ^ > 0} через точку
(Хо, 4) плоскости (х, t) проведем
две характеристики х — at ^
= Xq — а/о и X + at = Xq Л- at^,
пересекающие ось х соответственно в точках —Xi и Хз
(рис. 9). Отклонение и (Xq, ^0) в точке х^ в момент времени
(^^ff.^ff)'
Рис. 9.
*) Если функция ф (х) нечетна (четна) относительно двух точек: х = О и
X = /, то она периодична с периодом 21. Действительно, по свойству нечетности
функции ф (х) относительно х = I имеем тождество ф (/ — г) = —ф {I -\- г).
Полагая здесь г = х -\- /, получим ф (—х) ~ —ф (х + 21). Так как ф (—х) =
= —Ф (х), то ф (х + 2/) = Ф (х). Поэтому начальные функции ф (х) и у\) (х)
следует продолжить нечетным образом на отрезок (—/, 0), а затем периодически,
с периодохм 21, на всю прямую.

to можно рассматривать формально как сумму отклонения,
обусловленного обратной волной, пришедшей из точки (лгг, 0), и
отклонения, обусловленного прямой волной, пришедшей из точки
(—Xi, 0). Но точка {—Xi, 0) не принадлежит области В н {х ^ О,
^ > 0) и начальные условия в задачах C3) и C4) не заданы
в точке —Xi.
Однако из краевого условия задачи C3) следует, что
ф (_,) = _/7 (,).
Следовательно, Ф (—х^) == —F (х^). Поэтому вместо прямой волны,
идущей из точки —Xi, можно рассматривать обратную волну,
вышедшую в момент ^ == О из симметричной точки х^. Эта обратная
волна за время /i дойдет до точки х = 0. С момента / = /i ее надо
заменить прямой волной, вышедшей из точки х === О в момент
/ == /i и несущей величину отклонения, равную —Ф (—х^). Таким
образом, при соблюдении краевого условия и (О, /) ^ О на конце
X = О происходит явление отражения с сохранением величины
отклонения, но с изменением его знака на противоположный.
Аналогичным образом устанавливается, что при соблюдении
краевого условия и^ (О, t) = О на конце х = О происходит явление
отражения с сохранением величины и знака отклонения.
§ 10. Решение задачи о распространении
краевого режима на полупрямой
Рассмотрим неоднородную краевую задачу на полупрямой
9
Ct^Uxx — ^/Ь
и {х, Qi) =^ Ц) (л:), щ (л', 0) ^ \|} {х), х > О,
и (О, О -= [^ (О, ^ ^ > 0.
Ее можно разбить на две задачи:
1) однородная краевая задача
V (х, 0) = ф (х), vt {х, 0) - я|) (х), X >0, V (О, О =- 0;
2) задача о распространении краевого режима
w (х, 0) -= о, Wt {х, 0) =- о, W (О, t) = IX (t), / > 0.
Тогда и =^ V + W.
Задачу для v {х, t) мы уже умеем решать. Займемся задачей
о распространении краевого режима.
Поскольку единственной причиной возникновения возмущений
является краевой режим, будем искать решение в виде прямой
волны
W (х, t) = Ф {х — at).
Из начальных условий находим w (х, 0) == Ф (х) е^ О для л: > 0.
Очевидно, условие 02^^ (л', 0) =- —аФ' (х) ~ Одля.\; > О также будет
56

выполнено. Из краевого условия находим Ф {--at) = |,i (/), / > 0.
Таким образом,
( О, 2>0,
ИЛИ Ф (z) = ц (—z/a) \х (—z/a), где г\ A) — единичная функция,
равная единице для | > О и нулю для | < 0. Следовательно,
W
(^-о-=Ч^--т)К^--т)-
Аналогично решается задача о распространении краевого
режима второго типа: и^ (О, ^) = v (t).
Используя явление отражения, рассмотренное выше, легко
решить задачу о распространении краевого режима первого или'
второго типа на конечном отрезке *).
Методом характеристик можно было бы решить еще ряд задач,
относяш,ихся к одномерному неоднородному волновому уравнению.
Однако рассмотренные задачи уже дают ясное представление
о возможностях метода характеристик, поэтому мы ограничимся
этими задачами.
§ 11. Решение задачи Коши для трехмерного
и двумерного волновых уравнений.
Формула Пуассона
Ряд задач, относяш.ихся кдву- и трехмерному волновым
уравнениям, мы рассмотрели в предыдуш,их параграфах. Здесь мы также
рассмотрим некоторые из таких задач.
1. Задача Коши для однородного волнового уравнения в
трехмерном пространстве:
d^^u = Utt, C6)
и {М, 0) - ф (М), Ut (М, 0) - г|) (М). C7)
Для ее решения введем в рассмотрение вспомогательную
функцию й (г, t) — усреднение искомого решения по сфере Sm
с центром в точке М и радиусом г:
^(^' ^)^ 1ЕгЛ] ^(^' 0^^^'
C8)
где Р — переменная точка интегрирования.
Если обозначить через dco элемент телесного угла, под которым
виден из точки М элемент плош,ади do, то da = r'^dcd. Поэтому й
можно также записать в виде
^(^' ^y-'wW и{Р, /)Ао,
C9)
Читателю предлагается самостоятельно решить эту задачу.
57

где Qm — полный телесный угол (равный 4я) с вершиной в точке
М, под которым видна поверхность сферы 5^ из точки М.
Применяя к интегралу в формуле C8) теорему о среднем
значении и устремляя затем г к нулю, получим
й (О, t) = и {М, t). D0)
Таким образом, для нахождения функции и {М, t) достаточно найти
функцию й (г, f). Чтобы поставить задачу для функции й (г, t), нам
потребуется
Лемма. Справедливо соотношение
Аи = А^ (й).
[Здесь в левой части лапласиан Аи берется по координатам
точки М, а в правой части, т. е. А^ (й), — по переменной г. В
дальнейшем мы будем опускать значок г у оператора А.]
Доказательство. Пусть D^ — область, ограниченная
сферической поверхностью S^. По формуле Остроградского имеем
с'"
S\
применяя к последнему интегралу формулу C9), получаем
ш.
Awdx^ 4 ш'^ -Т-.
дг
С другой стороны.
\\\ Audx -= I М J Aw do\ dp=\ Dяр2 Aw) dp.
Следовательно,
'\^'m I
p^ Aw dp = r^ -J- -
J ^ ^.. ..^ ~ , ar
0
Дифференцируя это соотношение по г, получихм
Лемма доказана.
Предположим теперь, что решение задачи C6)—C7) существует.
Тогда, применяя операцию усреднения по сфере 5^^^ к тождеству
а^Аи ЕЕ Uit и используя лемму, получаем
a^Aw = U^t, или ^" — "а7 ^^^^г) ^ ^tt^
или
а^ {rUrj. + 2w^) ^ rui^.
58

Если ввести новую функцию v ^ гй, то последнее соотношение
можно записать в виде a^i^,.^ = v^^. Таким образом, функция
V (г, о удовлетворяет одномерному волновому уравнению.
Применяя операцию усреднения к соотношениям C7), получихМ
и{г, 0)-^^{r)^^,\\'HP)da,
Пусть ф1 (г) =^ ГЦ) (г) и я))! (г) =-- гу\) (г). Очевидно, что
V (г, 0) = ф1 (г), vt (г, 0) - ф, (г), и (О, О -= 0.
Таким образом, для v (г, t) мы имеем следующую задачу на
полубесконечной прямой:
V (г, 0) = ф1 (г), IV (г, 0) - 11I (г), V (О, О =- 0.
Для ее решения начальные функции ф1 (г) и \pi (г) надо, согласно
§ 8, продолжить нечетным образом на полупрямую (—оо, 0) и для
продолженных функций фз (г) и -фз (г) написать формулу Далам-
бера. При этом функции ф (г) и г|) (г) будут продолжены четным
образом (мы сохраним для продолженных функций прежние
обозначения: ф (г) и tj) (г)). Решение задачи для v (г, t) будет иметь вид
r-{-at
v(r, t)^JlSL±^^l(LzJlL + ^ j ^,(,)d,.
Следовательно,
Если в этой формуле положить г «= О, то получим й (О, О =**^»
Для вычисления й (О, О применим правило Лопиталя
(учитывая также определение фа и \|?а):
й (О, t)^~\^{at) + Ф(~at) + а/ф'(а/)--а^ф' (^а/)} +
Поскольку функции ф (z) и ф {г) четные, а функция ф' (г)
нечетная, то
iZ (О, /) = ф {at) + а/ф' (а/) + t^ {at) ^^-^Щ {Щ\ +1^ {at). D2)
Если мы воспользуемся формулами D0) и D1), то из
соотношения D2) получим формулу Пуассона для искомого решения задачи

Коши C6)—C7):
Таким образом, из предположения о существовании решения
задачи Коши для трехмерного пространства следует, что оно
должно представляться формулой D3). Следовательно, оио
единственно.
2. Теперь мы можем решить задачу Коши^в трехмерном
пространстве для неоднородного волнового уравнения:
а^Аи + f (М, t) - Щи
и (М, 0) - ср (М), ыг (М, 0) - г|) (М).
Разбиваем ее на две задачи:
а) a^Av =- Vft,
V (Л4, 0) == ф (М), vt (М, 0) = If (М).
Решение этой задачи представляется формулой Пуассона.
б) a^Aw + f (М, t) - Wtu
w (М, 0) =- О, wt (УИ, 0) - 0.
Очевидно, и =^ V + W,
Задачу б) будем решать методом, описанным на стр. 48.
А именно, сначала решаем вспомогательную задачу
Щ1=,^0. Ul,t\t^^ = f{M. т).
По формуле Пуассона
Тогда, как было показано на стр. 48,
w(M, t)^\m(M. t, т) dx,
или
w
<«.'>-,ijJf и 4m>^V^-
Bo внешнем интеграле произведем замену переменной
интегрирования а {t — т) = г, получим
Кц
60

где г — расстояние от точки М до переменной точки
интегрирования Р, г =^ Гмр- Этот интеграл можно, очевидно, записать как
интеграл по области D^, ограниченной сферой S^^:
п п М (р, t- — )
^(-^^■0-4^JlJ '^ г dv. D4)
Если внешний возбуждаюи;ий фактор / (Л1, t) отличен от нуля
лишь в одной точке Mq, в которой он равен / (/), то в этом случае
волновое уравнение можно написать в виде
а^Аи + fit) 8 (М, Мо) = utt.
где б (М, Мо) — б-функция с особенностью в точке Mq (см.
Дополнение).
Решение этого уравнения, удовлетворяющее нулевым
начальным условиям (следовательно, обусловленное лишь действием
точечного фактора / (/)), можно написать согласно формуле D4)
в виде
_V ^i dv.
Используя основное свойство б-функции *), получаем
(О, если аКгмм,^
и{М, f)
1 L^fi^t^Hi^)^ ecnuat>rMM.. (^5)
3. Из формулы Пуассона можно также получить решение
задачи Коши для однородного волнового уравнения в двумерном
пространстве:
1 [ ■ ^ (х, f/, 0) - ф (X, у), D6)
Щ {>с. i/, 0) = -ф (л:, у).
В самом деле, если в формуле D3) функции ф (Р) и "ф (Р) не
зависят от переменной г, то интегралы по поверхности сферы S^
можно свести к интег]залам по большому кругу этой сферы 2^,
лежащему в плоскости (х, у) (рис. 10). Интеграл по верхней
половине сферы S^ равен
..р. sjj 1%
at cos у
*) Для любой непрерывной функции ср (М)
.ГО, если Мо ^ Z),
^ ^ 1 Ф (Л^о), если Л1о ^ D.
ill
61

где у — угол между нормалями к плоскости {х, у) и к сфере S^^
в точке Р, Очевидно,
^■^^У— \мр\ ~~
at
at
Поэтому
J J at i i lA(aA2 -_
Ф (g, 1]) dl ац
верх Sf^
Viaty-ix-tV-iy-^y
SM
Аналогично находим
Ф(Р)
и ^«-11
Ф (g, ii) dg dr]
НИЖН 5д|
1Ла2/2 _- (X — gJ _ (^^ __ ^J
Применяя аналогичное преобразование для второго интеграла
Рис, 10.
в формуле Пуассона, получим решение задачи Коши D6) в виде **)
и{х, I/, O-i-^ll
Ф (?. л) ^1 dx]
1/'5Р^ГA^|)а.::(^^1^
+
+
^ (|> Л) ^1 ^Л
2ла J J уГ
(^-§J"-(!/-Л)'
. D7)
Теперь нетрудно решить задачу Коши в двумерном
пространстве и для неоднородного уравнения. Она сводится к только что
рассмотренной задаче и к задаче Коши для неоднородного уравне-
*) Здесь \, х\ — координаты точки Pj, являющейся проекцией точки Р
на плоскость {х, у)у х, у — координаты точки наблюдения М,
**) Описанный метод получения формулы D7) называется методом спуска.
Аналогичным путем из формулы D7) можно получить формулу Даламбера.
02

ния с нулевыми начальными условиями. Эта последняя реошется
методом, описанным на стр. 48. Мы не будем повторять всех
выкладок *), напишем лишь результат:
,,(х, у, /)^J-[Y fl -—J(^''^','^^L^-^ \dr, D8)
Из этой формулы читатель легко может получить решение,
обусловленное действием точечного фактора / (t).
§ 12. Физическая интерпретация формулы Пуассона
Обратимся снова к формуле Пуассона. Пусть начальные
функции ф (М) и \р (М) не равны нулю лишь в области D, ограниченной'
поверхностью 5 (рис. 11). Будем наблюдать за состоянием среды
в фиксированной точке М, Для достаточно малых значений t
поверхность сферы 5^^^ с центром в точке М не пересекает область
D. Поэтому интегралы в правой части формулы Пуассона будут
равны нулю; следовательно, для таких значений t имеем и (УИ,
/) ^ О (возмуш^ения не дошли до точки М). Обозначим через di
расстояние от точки М до ближайшей точки поверхности 5,
а через dg — расстояние от М до
наиболее удаленной от нее точки
поверхности 5. Для значений t ^ (^i, 4)
(^1 =" dja, t^ == dja) поверхность
сферы 5^ будет пересекать область
D. Поэтому интегралы в формуле
Пуассона будут отличными от нуля,
и, следовательно, для таких
значений t имеем и {М, t) =h 0. Для
/ > 4 сфера 5^^ не будет
пересекать область D, и, следовательно,
и (М, t) снова станет равной нулю. Если мы представим себе
теперь, что из каждой точки области D по всем направлениям
распространяются возмуш^ения со скоростью а (принцип
Гюйгенса), то описанные выше изменения функции и {М, t) со временем
физически можно интерпретировать следуюш^им образом.
Для t < ti возмуш,ения не дошли еш.е до точки М\ в момент
t == ti передний фронт волны возмуш^ений достигает точки Л1;
в течение промежутка времени ^i < / < 4 через точку М проходит
волна (зона) возмуш,ений;в моменте = ^2 через точку Л1 проходит
задний фронт волны возмуш^ений, и с этого момента среда в точке М
остается в покое.
Пусть в двумерном случае начальные функции ф (х, у) и \|} (х, у)
не равны нулю лишь в области D, ограниченной кривой S (рис. 12).
Для t < ti круг 2^^ не содержит точек области D, поэтому
*) Читателю рекомендуется провести все выкладки самостоятельно.
63

интегралы в формуле D7) равны нулю, следовательно, и и (х, у,
t) ^ 0. Для любых / > /i круг I!^j^ содержит область D или ее
часть, и поэтому и {х, у, t) ф О для таких значений /*). Таким
образом, в двумерном случае есть
передний фронт волны (он достигает
точки М в момент времени t = ti),
но нет заднего фронта. Принцип
Гюйгенса в этом случае не
выполняется. Это легко понять, если иметь
в виду, что рассмотренная двумерная
задача фактически представляет
собою трехмерную задачу, в ко-
Рис. 12. торой область ненулевых значений
начальных функций ф (М) и чр (М)
является бесконечным цилиндром, образующие которого
параллельны оси Z. Очевидно, сферическая поверхность S^^ при любых
значениях t > t^ будет пересекать этот цилиндр, и поэтому
интегралы в формуле Пуассона не будут равными нулю для всех
значений t > ti.
§ 13. Системы квазилинейных уравнений
В §§ 1 —12 мы рассмотрели метод характеристик в применении
к линейным уравнениям и системам. В последующих параграфах
будет рассмотрено применение метода характеристик к широкому
классу нелинейных уравнений и систем.
Рассмотрим уравнение
^п^хх + ^(^п^ху + а^^^уу + d == о,
где ац, ^12, ^22, d— функции от х, у, w^y Wy. Такой вид имеют
многие уравнения математической физики с дву^мя независимыми
переменными.
Если положить и = Wxj V ^^ Wy, то это уравнение будет
эквивалентно системе
^и^^х + ^12^ 'Г ^12^х + ^22^у -\~ d = 0,
Uy - и^ :^ 0. D9)
Это система нелинейных уравнений. Она является частным видом
системы
А^и^ -Ь B,Uy + C^v^ + D^Vy = £i,
A^iy, + Бз^^ + CgUx + D^Vy = £2,
где Ль Bi, Ci, Di, Ei суть^функции от (л:, у, и, v).
Системы вида E0) называются квазилинейными. Система D9)
является также квазилинейной.
*) ti и ^2 имеют прежний смысл.
64

§ 14. Характеристики систем квазилинейных уравнений
Понятие характеристик без всякого изменения в определениях
и в формулах переносится и на квазилинейные системы (см.
§§ 1-3).
Так, характеристическое направление оператора Н [и] =
= А {х, у, и) Ujc + В {х, у, и) Uy определяется вектором / ==
= {A/N, BIN), зависящим от самой функции и.
Дифференциальное-уравнение характеристик для оператора Н имеет вид
dx _ dy dx __ Л
Л (Ху у, а) "" В (X, у, и) dy ~ В '
Очевидно, чтобы определить характеристики, надо фиксировать
функцию и (х, у). Таким образом, для каждой функции и {х, у)
будут свои характеристики. Поэтому говорят о характеристиках
на данной функции и {х, у).
Для оператора
h [Uy V] = Hi [и] + Яа [V] = Аи^ + Buy + СУх + DVy,
где Ау By Су D — функции от л:, у у Uy v такие, что
Л в
с D
О,
^ dx
характеристиками будут линии, определяемые уравнением -^ =
= -Б-. Оператор h luy v] приводится к характеристическому
виду
h[uy v] = -^+k-^,
где
Из пары операторов
hi [иу v] = AiU^ + B^Uy 1- C^v^ + D{Oy,
h [Uy V] -= A^U:^ + B,^Uy + C<p^ + D.py
можно получить пару других операторов:
г г л ди , f dv j^ . , да , , dv
где
k,^kAx,y,u,v) = -j—^ = -^^^^ 0=1,2),
3 Арсенин В.Я. 65

a Xi определяются из уравнения
-0.
Очевидно, Ki = A,j (л:, у, г/, v).
Классификация проводится совсем аналогично.
Дифференциальные уравнения характеристик для пары
операторов (hi, /12) имеют вид
dx dy
Ai + hA2 Вг -f liB2
A= 1, 2).
Отметим еш,е раз, что на каждой паре функций {и, v)
характеристики свои.
§ 15. Образование разрывов в решении
Понятие характеристик для квазилинейных уравнений и
систем позволяет обнаружить существенно новые явления
(например, образование разрывов), присущие процессам,
описываемым квазилинейными уравнениями (системами), а также дает
эффективный метод приближенного (численного) решения систем
квазилинейных уравнений.
Пример 3. Рассмотрим уравнение
Ut + uux = 0. E1)
Дифференциальное уравнение характеристик имеет вид --j-— = и.
Следовательно, в левой части уравнения E1) дифференцирование производится вдоль
характеристик, т. е. уравнение E1) можно написать в виде -г— = 0.
Следовательно, вдоль каждой характеристики и (х, t)
dx
const. Отсюда и из уравнения
характеристик --— = и следует, что характеристики суть прямые.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения E1) с начальным значением а (л:,
0) = ф (л;). Если ф (х) имеет вид, указанный на рис. 13, то на участке (О, х^
ср(оо}к
"-п^
^г
X
ii
0
///
Xj
^Л'^оК)
х^
Рис. 13.
Рис. 14.
характеристики будут расходящимися (угловые коэффициенты их растут с
ростом л:), а на участке {xi, х^) они будут сходящимися (их угловые коэффициенты
убывают с ростом х) и, следовательно, пересекутся (рис. 14). Но так как каждая
характеристика несет свое постоянное значение функции и (л:, t)y то в точке
пересечения характеристик (л:о, ^о) мы будем иметь два значения: Очевидно,
—г— и —^ в (л:о, ^о) будут равны со. Таким образом, в момент ^о производная Ux
66

обращается в оо — наступает градиентная катастрофа (в качестве /q надо брать
наименьшее значение ^, при котором произойдет пересечение характеристик).
Аналогичная ситуация может иметь место и для систем квазилинейных
уравнений.
Пример 4. Рассмотрим систему уравнений
Uf -\- (аи -\- ри) Ux = 0, vi -{- (av + Р") Vx =^ О,
в которой аир — постоянные, а > р.
Дифференциальные уравнения характеристик имеют вид:
E2)
-е семейство,
dx
4t
— аи -f Bw — 2-е семейство.
Следовательно, систему E2) можно записать в виде
да ^ dv
дтх
= 0,
EX2
= 0,
где
-^ = -37- -f @^« + PV) -3— 9 -3 =^ -ЧГ
дт^ dt ' ^ ' ^ ' дх ^ д%2 dt
зом, вдоль каждой характеристики 1-го семейства
характеристики 2-го семейства v = const.
Задача Коши для этой системы.
f(ay+PiO-^.
Таким обра-
и = const, вдоль каждой
Коши для этой системы. Будем искать решение
системы E2), удовлетворяюш.ее начальным условиям и (л:, 0) = ф1 (л:), v (л;, 0) =
= ф2 (х). Пусть ф1 (л:) и ф2 (х) имеют вид, изображенный на рис. 15.
dx
Таким образом, ф1 (х) > О, ф2 (х) = const < 0. Очевидно,
dt
^-0
= аф1 (х) + рф2 (х) > 0. Следовательно, начальное возмущение функции и
будет распространяться вправо по постоянному фону v == —Uq. Таким образом.
Рис. 15.
для любого / > О на каждой характеристике 1-го семейства выполняется
соотношение
dx Q
Поскольку вдоль каждой характеристики 1-го семейства и = const, то угловой
коэффициент каждой характеристики 1-го семейства будет вдоль всей этой
характеристики постоянным. Следовательно, каждая характеристика 1-го
семейства есть прямая.
На участке (л:о, Xi) характеристики расходятся, а на участке (xi, Х2) —
сходятся. Следовательно, последние пересекаются. Пусть (х^, to) — низшая точка
пересечения. В точке (xq, to) производные Ux и и^ равны оо, т. е. происходит
градиентная катастрофа. С этого момента в решении образуется разрыв.
3* 67

§ 16. Одномерные плоские адиабатические течения газа
К рассмотренной системе E2) сводится система уравнений
газодинамики для плоского одномерного движения политропного
газа
vt + vv, + ^p^=0, E3)
Р* + vpx + pt';, == О, Р = — р^.
(Это адиабатическое движение.)
Полагая -^ = а^р^-^ = с^, получим
Vt + vv^ + у—^ сс^ = 0, ct + vc^ + -^^^ cv^ = 0. E4)
Приводя эту систему к характеристической форме, получим
ду , 2 дс ^ dv 2 дс ^
^Ti ' 7 — 1 ^T^i ' <^'^2 7 ~ 1 <^'^2 '
где
d д , , . S д d д , , . д
-ЖГ==1Г + (^' + ^)-аГ' ^ = -F + (^-^)u-
Следовательно, вдоль каждой характеристики 1-го семейства
у -1 г- с = const,
а вдоль каждой характеристики 2-го семейства
V г С = const.
7-1
2 2
Полагая /- = У-| zry^' s = y 1П"^' ^^ системы E4)
получим эквивалентную ей систему в инвариантах:
rt + (а/- + Ps) Гх = Оу St + (as + Pr) s^ -= О,
1 , у— 1 n 1 у— 1 r^
где а = Y + . , Р = т ^— • ^^ ^ ^^^^ система
вида E2).
Если начальные профили г и s суть cpi (х) и ф2 (х), то в решении г
наступит разрыв в момент /q- Следовательно, и у == 0,5 (г + Sq)
будет разрывной. Образование разрыва можно интерпретировать
иначе.
Формула V = 0,5 (г + Sq) показывает, что точки г-волны
с большими значениями г будут двигаться быстрее, чем точки
с меньшими значениями г. Следовательно, при движении /--волны
передний фронт становится круче, а задний — положе. В
некоторый момент времени /о произойдет опрокидывание волны. Это и
есть градиентная катастрофа.
68

§ 17. Численное решение систем квазилинейных
уравнений методом характеристик
Рассмотрим один класс гиперболических систем
квазилинейных уравнений вида
Л^ (и, V) и^ + Bi {и, V) Uy + Ci (W, V) V:^ + Di (W, V) Vy ^ 0,
Л2 (i/, t^) w^ + B2 (w, y) w^ + C2 (w, y) y^^ + D2 [a, v) Vg = 0,
в которых коэффициенты Л^-, В^ ^ty Dt не зависят от х, у.
Эту систему можно привести к характеристической форме
^^k,{u,v)-^ = 0, —-^k,(u,v)^ = 0. E5)
Рассмотрим на оси х дискретную последовательность точек.
Будем называть эти точки узловыми точками нулевого слоя. В
каждой из этих точек известны значения функций и и v (начальные
значения). По этим значениям можно определить в каждой точке
нулевого слоя направления характеристик обоих семейств по
формулам
dx Ai -f Я1/12 /тч dx Ai -\- Я2/12 /ТТЧ
dy ~~ Bi + Я1Б2 ' ^^ 4f ~~ Bi + I2B2 ' ^ '
Через каждую узловую точку нулевого слоя проводим в
найденных направлениях прямые до их пересечения с соседними
прямыми. Точки пересечения будем называть узловыми точками
первого слоя сетки (на рис. 16 они отмечены кружочками). Покажем,
как можно определить значения функций и и v в узловых точках
первого слоя.
.^1
ее
Рис. 16.
Рассмотрим произвольную точку первого слоя (на рис. 16 она
отмечена цифрой 5) и соответствующие точки {1 и 2) нулевого
слоя. Пусть Ui, Vi — значения функций uhvb точке i (i == 1, 2, 3).
Очевидно, система E5) эквивалентна системе
du + ki {Uy v) dv = О (вдоль характеристик 1-го семейства),
du + /^2 i^y v) dv =^ О (вдоль характеристик 2-го семейства).
Заменяя в этой системе дифференциалы приращениями:
du ^=^ и^ — r/i, df я^ У3 — ^1 — в первом уравнении,
du ^ и^~ ^2, dv ^ Vq — v^ — во втором уравнении,
69

получим систему
th + К {^ъ ^i) Vs = Ui + fei (wi, v^) У1,
Us + k^ {U2y V2) Vs= U2 + k^ (i/2, ^2) ^2-
Из нее находим u^ и Ug. И так для произвольной точки первого
слоя.
Определив значения функций i/ и у во всех точках первого
слоя, такой же процедурой определяем значения функций и vi v
в точках второго слоя, И так далее (рис. 16).
3 А Д А Ч Pi
1. Бесконечная струна возбуждена начальным отклонением, отличным
от нуля лишь на интервале (с, 2с) и имеющим форму ломаной с вершинами в точ-
3
ках с,-т-с, 2с. Построить (начертить) профиль струны для моментов времени
h = -{^k (fe= 1.2.3).
2. Решить задачу 1, если начальное отклонение отлично от нуля лишь на
интервалах (—2с, —с) и (с, 2с) и имеет форму ломаной с вершинами в точках
—2с, —1,5с, ~с, с, 1,5с, 2с.
3. Бесконечной струне сообш.ена только на отрезке —с ^ л: ^ с поперечная
начальная скорость t^o = const. Решить задачу о колебании этой струны. По-
Q
строить профиль струны для моментов времени /^ = -^—k {k= 1, 2, 3).
4. Полубесконечная струна с жестко закрепленным концом возбуждена
начальным отклонением, отличным от нуля лишь на отрезке (с, Зс), имеющим
форму ломаной с вершинами в точках с, 2с, Зс. Начертить профиль струны для
моментов времени fk =- -^— ^ (^ = 2, 4, 6).
5. В начальный момент времени / ~ О полубесконечная струна с жестко
закрепленным концом получает в точке х = Xq поперечный удар, сообщающий
струне импульс Р. Решить задачу о колебании струны под действием этого
импульса.
6. Бесконечный упругий стержень получен соединением в точке л: = О
двух полубесконечных однородных стержней с плотностями массы и модулями
упругости Pi, El] Рз, Е2- Пусть из области л: < О по стержню бежит волна Ui (л:,
t) = f It J . Найти отраженную и преломленную волны. Всегда ли они
существуют? Исследовать решение при £ -> О и при Е2 -^ оо.
7. К концу л: == О полубесконечного провода линии без искажений {GL =
= CR) была приложена постоянная э. д. с. Е^ъ течение достаточно длительного
промежутка времени, так что в проводе установилось стационарное
распределение напряжения и силы тока. В момент времени t = О конец провода был
заземлен через сосредоточенное сопротивление Rq. Найти напряжение и ток в
проводе при / > 0.
8. Концы струны л: = О и л: = / закреплены жестко. Начальное отклонение
jt
и {х, 0) = А sin — X {О ^ X ^ /), а начальная скорость равна нулю. Построить
профиль струны для моментов времени tk = -п— k (k — 1,2, 4).
9. Решить задачу о колебании бесконечной струны под действием
сосредоточенной поперечной силы F (t) (для / > 0), если точка приложения силы скользит
вдоль струны с постоянной скоростью ^0 из положения л: = О, причем ^о < а.
10. Конец л: = О полубесконечного провода с пренебрежимо малыми
сопротивлением и утечкой на единицу длины в момент времени ^ = О присоединяется
к источнику э. д. с. £■ = / (/). Найти напряжение и (л:, t) в этом проводе,
70

11. Конденсатор емкости Cq, заряженный до потенциала V, разряжаетсй
в момент времени / = О на бесконечный провод с параметрами (L, С). Найти
ток в проводе.
12. В газе, находящемся в состоянии покоя, создано в момент времени t =
= О уплотнение Sq, локализованное в объеме, ограниченном заданной
поверхностью а. Найти уплотнение 5 (М, t) как функцию площади о^ части
поверхности сферы 5^, которая заключена внутри а.
13. Какие линейные уравнения с постоянными коэффициентами вида
ацИхх + 2ai2«x/ + a22Utt + b^Ux + ^2"^ -f ш = О
имеют решения в виде произвольных бегущих волн f (х — at), где а = const?
(Нет дисперсии.)
14. Какие уравнения задачи 13 имеют решения в виде произвольных
бегущих волн с затуханием е~'*'^/ (х — at)?
Глава IV
МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАдАЧ
(метод разделения переменных)
Одним из наиболее широко применяемых в математической
физике методов является метод Фурье.
Типичными задачами, к решению которых применяется этот
метод, являются краевые задачи в ограниченных областях для
уравнений гиперболического и параболического типа. Существо
метода, состоящего в представлении искомого решения в виде
ряда Фурье по некоторой ортогональной системе функций,
связанных с рассматриваемой задачей, лучше всего можно понять на
простейших из них —на однородных краевых задачах. Мы будем
рассматривать параллельно краевые задачи для уравнений
гиперболического и параболического типа.
Вопросы существования решения задач, рассматриваемых
в этой главе, мы, как правило, не будем рассматривать. Вопросы
единственности их решений рассматриваются в гл. VIII.
§ 1. Предварительные понятия
Если каждой функции / из множества Hi поставлена в
соответствие функция ф из множества Н^у то говорят, что на множестве Hi
определен оператор Т со значениями из множества Н^, и пишут
^ = Tf или ф = Т [/]. Например, оператор
л.
О < X < а,
определен на всех функциях, интегрируемых на отрезке [О, а],
и функции ф (х) = Tf непрерывны на отрезке [О, а].
Пусть оператор Т определен на множестве Hi и Tf ^ Н.^ для
всякой функции / из Hi. Будем полагать, что множества Hi и Яа
принадлежат некоторому множеству (пространству) Я, для любых
71

двух элементов которого фх и ф2 определено понятие скалярного
произведения (ф^, фз), облад^^ощее свойствами *):
1) (Фь Фг) == (Ф2» Фх);
2) (Ф1 + Ф2, Фз) = (Фь Фз) + (Ф2, Фз);
3) (?1ф1, Фз) = Я (ф1, фз), где Я —произвольное число;
4) (ф, ф) > О, причем (ф, ф) — О только для ф == 0.
Пространство Н предполагается линейным, т. е. таким, что:
а) если ф1 е Я и ф2 е Я, то ф1 + ф2 ^ Я;
б) если ф ^ Я и А, — число, то Яф е Я.
Оператор Т*, определенный на множестве Я2, со значениями из
множества Нх называется сопряженным оператору Г, если для
всяких / ^ Ях и ф ^ Яз справедливо равенство
(Ф, Tf) = (Д Г*ф).
Если г = г*, то оператор Г называется самосопряженным
или эрмитовым.
§ 2. Сущность метода Фурье. Собственные функции
и собственные значения
1. Пусть требуется найти функцию и (М, t)y удовлетворяющую
для ^ > О уравнению
йи{Ш)-яи==У^^^ A)
в области D, ограниченной замкнутой кусочно-гладкой
поверхностью 5, непрерывную в замкнутой области В = [М ^ D\
/ > 0), где D = D + 5, и удовлетворяющую дополнительным
условиям:
краевому
{Vt-|^ + Y.«), = 0 B)
И начальным
и (М, 0) - ф (М), ^/^ (М, 0) == ф1 (М)
(соответственно w (М, 0) = ф (М)). C)
Если ввести обозначение L [и] ^ div (^yw) — ^w, то
уравнение A) можно написать в виде
• [ Р^<ь
Это уравнение и краевое условие B) —линейные и однородные.
Следовательно, если Ых и i/g суть решения уравнения A),
удовлетворяющие условию B), то и функции и = СхЩ + ^2^2» г'Д^ <^1 и
*) Я — гильбертово пространство.
72

Co —константы, будут также решениями уравнения A),
удовлетворяющими условию B).
Попытаемся с помощью суперпозиции всех линейно
независимых частных решений описанного типа (т. е. удовлетворяющих
краевому условию B)) удовлетворить и начальным условиям
C) *). Для этого будем искать нетривиальные **) частные решения
уравнения A), удовлетворяющие краевому условию B), в классе
функций вида Ф (М) W {t), где Ф (М) непрерывны в D, Y (О
непрерывны в О < ^ < оэ. Подставляя функцию Ф (М) ¥ (/)
в уравнение A) и деля обе части уравнения на р (Л1)Ф (М) Y (О,
получаем
L [Ф1 W" I ¥' \
-щ- = -^ (^соответственно -^ j.
Чтобы это равенство было тождественным (т. е. чтобы функция
Ф (М) ¥ (О удовлетворяла уравнению A) при всех (М, t) ^ В),
необходимо и достаточно, чтобы обе дроби L [Ф ]/(рФ) и "ф¥
были равны одной и той же константе:
L [Ф] _ ^ ^ W
рф ~ '- — ijr •
Таким образом, должны выполняться тождества
¥" + W ЕЕ О (¥' + W = 0) и L [Ф] + ХрФ - 0.
Следовательно, в качестве функций ¥ (О и Ф (М) надо брать
нетривиальные решения уравнений
Y'' + >^гр =:. О (соответственно ¥' + W - 0), D)
L [Ф ] + ХрФ - О,. E)
причем функция Ф (М) должна удовлетворять краевому условию
(Тх^ + 7.Ф), = 0. F)
Задачу E)—F) называют задачей Штурма—Лиувилля. Она имеет
нетривиальные решения не при всех значениях X.
Определение. Те значения X, при которых задача
E)—F) имеет нетривиальные решения, называются собственными
значениями (с. з.) краевой задачи E)—F), а соответствующие им
нетривиальные решения Ф (М) задачи E)—F) — собственными
функциями (с. ф.) краевой задачи E)—F).
2. Для каждой краевой задачи (однородной или
неоднородной), поставленной в области D, ограниченной поверхностью
(линией) S, определим класс А функций Ф (М).
При рассмотрении краевой задачи первого типа к классу А
отнесем все непрерывные в замкнутой области D функции Ф (М),
обращающиеся в нуль на поверхности (линии) S. При рассмотрении
*) По аналогии с решением задачи Коши для обыкновенного линейного
однородного дифференциального уравнения.
**) То есть не равные тождественно нулю.
73

краевой задачи второго или третьего типа к классу А отнесем все
непрерывные в D вместе с частными производными первого
порядка по координатам точки М функции Ф (М), удовлетворяющие
на границе 5 условиям:
дФ_
дп
■О для краевой задачи второго типа
(ух-ч г Т2Ф) =0 для краевой задачи третьего типа.
Здесь коэффициенты 7i {Щ и 72 {Щ те же самые, что и в краевом
условии рассматриваемой задачи.
В дальнейшем будем предполагать, что функции k (М), q (УИ),
р (М) непрерывны в области D \а k (М) > О, ^ (УИ) ^ О, р (УИ) > О
в D.
При этих условиях справедлива
Теорема 1. Существует бесконечное {счетное) множество
собственных значений A^), /г = 1, 2, ..., и соответствуюи^их им
собственных функций {Ф^ (УИ)) краевой задачи E)—F), принадле-
жаи^их классу А.
Доказательство этой теоремы мы опускаем.
Замечание 1. Если заранее ограничиться рассмотрением
функций класса Л, то вместо слов «собственные значения и
собственные функции краевой задачи E)—F)» можно говорить:
«собственные значения и собственные функции оператора L».
Замечание 2. Указанные выше условия на коэффициенты
k (УИ), q Щ), р (УИ), 7i (Щ и 72 {Щ являются лишь достаточными
для существования собственных значений и собственных функций.
В дальнейшем будут рассмотрены примеры краевых задач, в
которых некоторые из этих условий не выполнены. В этих случаях
существование с. з. и с. ф. будет установлено фактическим
нахождением их.
3. Напомним, что рядом Фурье функции f (УИ) по ортогональной
с весом р (УИ) > О системе функций [Ф^^ (М)} называется ряд
оо
В котором коэффициенты с^ вычисляются по формулам
'"=|Ф^ 1 ^ (^) р (^) ^' ^^^ ^^^' II*^'' II'=1 р ^^^ ^^ (^) ^^^*-
D * D
Собственные значения и собственные функции краевой задачи
E)—F) обладают рядом свойств, из которых мы сформулируем
прежде всего следующее.
Теорема разложимости (С те к лов а). Всякая
функция f (УИ) из класса А разлагается в ряд Фурье по собственным
74

функциям краевой задачи E)—F), абсолютно и равномерно
сходящийся в области D,
Доказательство этой теоремы мы опускаем *).
4. Вернемся к рассмотрению задачи A)—C). Ее решение можно
построить методом Фурье. Его называют также методом разделения
переменных. Сущность этого метода состоит в следующем.
а) Ищем решения уравнения A), удовлетворяющие только
краевым условиям C), среди функций вида и (М, /) = Ф (М) ^ (t).
Для функции Ф (М) получаем задачу Штурма—Лиувилля E)—F).
б) Решаем задачу Штурма—Лиувилля. Пусть Фх (М),
Фа (М), ...,Фд {М)у ... суть собственные функции этой задачи,
а ^1, ^2, ..., Х^, ... —отвечающие им собственные значения.
в) Для каждого собственного значения А,^ находим решение
уравнения D). Общее решение его имеет вид
Wn (О -= Сп cos VK^^t + Dn sin уТ; /
для уравнения A) гиперболического типа и
для уравнения A) параболического типа.
г) Таким образом, частными решениями уравнения A),
удовлетворяющими только краевым условиям B), являются функции вида
Un {М, О = {Сп cos у%, t + Dn sin -/К t) Фд {М)
для уравнения A) гиперболического типа и
для уравнения A) параболического типа.
д) Возьмем сумму таких частных решений по всем собственным
функциям
оо
«{М, /) = S (С„ cos /i; ^ + D„ Sin VX t) Ф„ (М) G)
или
оо
и{М, 0= L С,в~'-Ч(Л1). " Gi)
Возникает вопрос: нельзя ли так выбрать коэффициенты Q
и D^, чтобы эти суммы были решением задачи A)—C)?
Положительный ответ дает
Теорема 2. Непрерывное в замкнутой области В ^ {М ^
^ Dy t ^ 0} решение задачи A)—C), принадлежащее
соответствующему классу А при всяком фиксированном значении / ^ О,
^) Для одномерного случая эта теорема будет доказана в тл. XI.
75

для уравнения гиперболического типа представляется в виде ряда
G), где
D
D„ = ^=-! f р {Р) ф1 {Р) Ф„ (Я) dxp,
||ф,1|2= |р(Р)ф2(Р)ЙТр,
D
а для уравнения параболического типа —в виде ряда Gi).
Число ЦФ^Ц называется нормой функции Ф„ (М).
Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующая
Лемма. Оператор L [Ф] = div (й уФ) —9^ является
самосопряженным на функциях класса А.
Доказательство. Скалярное произведение функций
Фх и Фо определим как интеграл
D
Используя известную формулу векторного анализа р div (Е) =
= div (рЕ) —(Еу ур) для р == Фх, Е= йуФг» скалярное
произведение (Фх, L [Фд]) можно записать в виде
(Фх, L[Ф,1)^ \ф,11Ф,]с1х =
D
- J div (кФг УФз) dx - \ k (УФь УФ?) dr - J ^ФхФо dx,
D D D
Первый интеграл правой части согласно формуле Остроградского
равен ^Фх——da, поэтому
S
(Фх, L [Ф,1) :^~\k(УФь УФ,)dx - j 9Ф,Ф,rfT f j ЛФх^d(j. (8)
D D S.
Эту формулу часто называют первой формулой Грипп.
Аналогично получим
(Ф,, L [Ф,]) = ~\k (УФ„ УФх) dx - \ 9Ф1Ф2 dx + J кФ, ^ da. (81)
D . D S
Если мы имеем дело с первой или второй краевой задачей,
то ^kФ,^da==\kФ,^-^da^Ь, так как Фх |s = Фз U = О,
или соответственно-^ "^ ~аГ" "^ ^'^^^ случаях из (8)
и (8i) справедливость равенства (Фх, L [Фа!) = (Ф2, L №i])
следует непосредственно. В случае третьей краевой задачи из
76

краевых условии находим -^
5 уг ^ дп
-^Ф.
Yi
Подставляя эти значения производных по нормали в формулы (8)
и (8i), получаем требуемое равенство.
Замечание. Из формулы (8) (или (8i)) следует, что для
функций Ф из класса А (Ф, L [Ф ]) < 0.
Доказательство теоремы 2. Пусть и (М, t) —
искомое решение. Поскольку оно при всяком / >0 принадлежит
классу Л, по теореме Стеклова его можно представить в виде ряда
Фурье
и{М, t)=^ Wn{t)OniM), (9)
где
D
Используя уравнение E) для Ф^^ (М), последнюю формулу
можно преобразовать к виду
D
или, согласно лемме,
D
Используя уравнение A), получаем
D
I ИЛИ Wn (/) = о ij^ ||2 J рФп"< ^т\ , откуда, сравнивая
полученный результат с формулой A0), имеем
^„{t) = ~W'^, т. е. ^'^T + J.A^O
(или ¥А + ЯЛ = 0).
Таким образом, функция Ч'„ (Л является решением уравнения
W" + Х.„¥ = О и, следовательно, может быть записана в виде
ip„ (О = С„ cos y/'Kt + Dn Sin -/К t (или ¥„ (t) = Спе~^^*),
где С„ = ¥„@), D„/3i: = ¥;@).
Используя формулу A0), находим
С„ = Т„@) = 11Ф^|р(Р)«(Р, 0)Ф„(Р)Л =
ф|^|р(Р)ф(Р)Ф„(Р)Л,
_ _ - f t^iP
/Х„ КЛ„||Ф„|
°"=т1г=71гкпгЛ о <"»*<"» «■('■"''•
D
ч. т. д.
77

предположив существование решения задачи A)—C), мы
пришли к заключению, что оно представляется рядом G),
следовательно, оно единственно *).
Для уравнения гиперболического типа функции Un (М, /)
можно записать в виде
где Вп - /С + DL О, - arctg-^.
Движения, описываемые такими функциями, называются
собственными колебаниями, а также стоячими волнами; и^ (М,
/) —основной тон, а и^ (М, /), и^ (Л4, /), ... —обертоны. Числа
|/^.1, i/?.2» ••• называются частотами собственных колебаний
(основного тона и обертонов). Частоты собственных колебаний
не зависят от начальнрз1х условий. Физически это означает, что
частоты собственных колебаний не зависят от способа возбуждения
их. Они характеризуют свойства самой колеблющейся системы и
определяются материальными константами системы (например,
скоростью звука в среде), геометрическими факторами (формой,
размерами) и режимом на границе.
Собственная функция В^Ф^ (УИ) дает профиль амплитуды
стоячей волны.
§ 3. Основные свойства собственных функций
и собственных значений
1. Обратимся к рассмотрению следующих свойств собственных
функций и собственных значений.
Свойство 1. Если Ф есть собственная функция, отве-
чаюи^ая собственному значению К, то и СФ (С — константа)
есть собственная функция, отвечаюш^ая тому же собственному
значению.
Свойство 2. Если Ф^ и Фз — собственные функции,
отвечаюи^ие собственному значению л, то и любая линейная
комбинация С1Ф1 + С2Ф2 есть собственная функция, отвечаюш^ая тому
же К.
Справедливость этих утверждений очевидна.
Свойство 3. Собственные функции Фх и Ф2,
отвечающее различным собственным значениям'ki и ^2(^1 Ч^ ^г)»
ортогональны в области D с весом р (УИ), т. е.
\р{Р)Ф,{Р)Ф,{Р)йх = 0.
D
Доказательство. По определению собственных
функций и собственных значений имеем тождества
L [Ф^] + Х1РФ1 - О, L [Ф^] + ХзрФз - 0.
Мы при этом опирались на теорему разложимости.

Умножим первое из них на Фа, второе на Фх и результаты вычтем
один из другого. Интегрируя тождество
Фа! №i] — Фх! [Фа] - {К — К) рФхФг
по области D, получим
(Ф,, 1[Ф1])-(Ф1, 1{Ф.,Х) = {%,-К) {рФхФз^т.
D
В силу самосопряженности оператора L *) левая часть этого
равенства равна нулю. Следовательно, и
j рФхФ^ dx = О, ибо ?ii -f ?^2' ч. т.
д.
Если собственному значению А. отвечают г линейно
независимых собственных функций Ф^, Фа, ..., Ф;., то эти функции не
обязаны быть попарно ортогональными. Однако мы можем
заменить их другими собственными функциями Ф1, Фз, ..., Ф^,
являющимися их линейными комбинациями и притом попарно
ортогональными. Действительно, полагаем Ф^^^^Ф^. Если J рФхФз^т -■= О,
D
то полагаем Фа=Фа; если же J рФхФа di Ф О, то полагаем
D
Фа = Фх + В1Ф2. Константу Bi находим из условия J рФхФа dx =
D
== О, т. е. из уравнения
j рФ? dx + Bi j РФ1Ф2 dx = 0.
D D
Если Фз Ортогональна функциям Фх и Фа» то полагаем Фд = Фз-
Если Фд ортогональна Фх, но не ортогональна Фа, то полагаем
Фз = Фа + ВдФд и Вз находим из условия
j РФ3Ф2 dx = \ p51 dx-\~Bs \ рФгФз dx = 0.
D D D
Если Фд не ортогональна функциям Фх и Фа, то полагаем Фд =
^ Фх + В32Ф2 + ^ззФз- Константы Вз2 и Взз находим из
условий J рФхФд dr == О и 1 рФаФз dx = О, т. е. из уравнений
D D
J рФ? dx + В32 J рФ1 Ф2 dx + В33 j РФ1Ф3 dx = О,
D D D
j РФ1Ф2 dx + B32 j рФ2 dx + B33 j РФ2Ф3 dx = 0
D D D
И Т. Д.
*) Собственные функции принадлежат классу Л,
79

продолжая этот процесс ортогонализации, мы построим г
собственных функций Ф^, Фа, ••., Фг» отвечающих тому же
собственному значению Я и уже попарно ортогональных.
Предполагая в дальнейшем, что такой процесс ортогонализации проведен
(если в нем была надобность), мы можем утверждать, что любые
две линейно независимые собственные . функции краевой задачи
E)—F) ортогональны в области D с весом р.
Свойство 4. Все собственные значения задачи E)—F)
вещественны.
Действительно, предположим, что % = а ~\- i^ (|3 -f 0)
является собственным значением, а Ф = Фх + ^'Фг — отвечающей
ему собственной функцией. Тогда выполняется тождество
L [Фх + /Ф^ ] + (а + т р (Фх + /Ф2) - 0.
Следовательно,
L №i] + арФх — РрФз = О, / [L [Фа] + арФ^ + РрФх) -0.
Вычитая почленно эти тождества, получим
L №i — 1Ф^ ] + (а — /р) р (Ф1 — /Фз) - 0.
Таким образом, % =^ а — /|3 и Ф == Ф^ — /Фз являются
собственным значением и собственной функцией той же задачи. По
свойству 3
J р (Ф1 -f 1Ф2) (Ф1 - 1^2) dx = о, или j р (Ф? + ф1) dT = О,
что невозможно.
Свойство 5. Все собственные значения задачи E)—F)
неотрицательны.
Для доказательства умножаем тождество L [Ф„] + Кр^п =
= О на Ф,г и результат интегрируем по области D. Получим
\фnLlФn]d%-\ X,J рФ?, ^/т =-О, откуда
Ь D
1|Фп1Р
Поскольку — (Ф«, L [ФпЬ ^ о (см. стр. 77), то X^i ^ О-
Замечание. Для первой и третьей краевых задач все
собственные значения положительны. Для второй
краевой задачи с q (М) = О X = О является собственным
значением, а Ф ^ 1 — отвечающей ему собственной функцией.
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих
применение метода Фурье решения краевых задач и задач Штурма ~
Лиувилля.
80

Пример 1. Пусть требуется найти решение задачи *)
a^Uxx = Utty (И)
а(л:, 0) =: ф(д;), и^ (л;, 0) = ф1 (л;); и {О, t) = и A, t) = О, (lli)
непрерывное в замкнутой области В = {О ^ х ^ I; ^ > 0}.
Заметим, что из условия непрерывности решения в замкнутой области В
и краевых условий следует, что начальные значения решения ф (л:) должны
удовлетворять соотношениям ф @) = ф (/) = О (условия согласованности).
Решение. Среди функций вида Ф (л;) ¥ (/) ищем такие решения
уравнения A1), которые удовлетворяют только краевым условиям задачи. Подставляя
Ф (л;) ¥ (/) в уравнение, получим
Ф^^ __ W" _
Ф " a^W "
Следовательно, ^" -\- а?Ш = О и
Ф" + А.Ф = О, . Ф @) - Ф (/) = 0. A2)
Это — первая краевая задача. Все ее собственные значения положительны.
Поэтому общее решение задачи A2) можно записать в виде
Ф (х) = А cos УКх + В sin ]/^1х.
Из краевого_ условия на левом кЪнце находим Л = 0. Следовательно,
Ф (л:) ==В sin ]/'Хх и В фО. Из краевого условия HajipaBOM конце находим
В sin V'kl = 0. Следовательно, sin j/^Я/ == О, откуда }/^Х1 — пп п
Хгь = п^пУР (п= 1,2,3,...).
Таковы собственные значения. Соответствующие им собственные функции суть
Ф^ (Х) = 8Ш-у- X.
Для каждого Хп находим
^71 (t) = Сп cos —J— t -\- Dn sin —— /.
Согласно теореме 2 (§ 2) искомым решением задачи будет функция
оо
и{х, 0=7, ( С;гС05 — t + Dn Sin — П Sm —r-
X,
где
I
Cn -- j cp (I) sin -^ I dl, Dn-^-^\ Ф1 (I) sin ^ I dl,
ибо
0
/
|1Ф,г|Р^ Jsin'^-^gdg^-i.
0
Пример 2. Пусть требуется решить задачу
a^Uxx = Uf, и (jc, 0) = ф (л:), Ux (О, t) = Ux (/, О = 0.
*) Напомним, что эту задачу мы решили в гл. П1 методом характеристик.
Тогда мы продолжали начальные значения ф (л:) и фх (л:) нечетно относительно
точки л: = О на отрезок (—/, 0) и затем периодически на всю прямую. Затем
к продолженным значениям применяли формулу Даламбера. Читателю
предлагается непосредственно показать, что решение, полученное методом
характеристик, совпадает с решением, полученным методом разделения переменных.
81

Как и в предыдущем примере, находим
ф^ + ^^Ф^О, Ф'@) = Ф'(/)-=0, W + a4W = 0. A3)
Здесь мы имеем дело со второй краевой задачей и ^ = 0. Следовательно, К =: О
будет собственным зна^чением, а Ф (л;) = 1 —- отвечающей ему собственной
функцией.
Остальные собственные значения и собственные функции находим, как
и в примере 1: _ _
Ф (х) = Л cos V'Xx -\- В sin УКх.
Из условия[_ Ф' @) = О находим В — 0. Следователь^^о, Л -^= О и Ф (л:) =
= А cos УХх. Из условия Ф' (/) = О находим sin I^Kl — О, следовательно,
l/'Xl — лп и 'кп = п'^п^/Р {п = 1, 2, 3, ...)• Таким образом,
0, "тт-» —пг-» • • • » —П5—. • • • —собственные значения,
я 2я пп ^ ,
1, cos-т-л:, cos—рд:, . . . , cos-у л:, . . . — собственные функции.
Для каждого Х^ находим соответствующие функции ^п (О-
^77 @ = ^716""'''^^^ (П=. О, 1, 2, . . .).
Искомым решением задачи будет, согласно теореме 2 (§2), функция
оо
п=0
где
/
Со--|ф(?)^|, Cn--Jcp(^cos^gdg (/1-1,2,3,...'),
о о
/
||Фо|р^^, ||ф,р = jcos^^gdg--^ (п:^-1, 2, .. .).
о
Пример 3. Решить задачу о температуре однородного стержня длины /,
боковая поверхность которого теплоизолирована, а на концах его происходит
конвективный теплообмен со средами, имеющими соответственно постоянные
температуры и-^ и и^. Начальная температура произвольная.
Математическая постановка задачи:
а^Ихх = ut> A4)
Ux (О, /) - /ii [и (О, О - ^^il - О, A5)
"х(/,0 + ^2 W(l, О-]-О, A6)
ii{x, 0) =. ф(л:). A7)
Ищем решение в виде и (х, t) ~ v (х) -\- w (х, /), где v (х) — решение
уравнения A4), удовлетворяющее краевым условиям A5) и (Щ, т. е.
V" =-. 0. A4i)
v'@)~h[v{0)~u^] = 0, A5i)
v' (l) + h^ [v{l)~ti^]=.0. (l&i)
Для функции w (x, t) задача ставится следующим образом:
a^Wxx = ^l. (На)
WxiO, О —М@, 0 = 0, (ISa)
Wx(Lt) + h2w(l,t) = 0, (I62)
w (x, 0) = Ф1 (л:) = Ф (д;) — v{x). (iTg)
Функция V (x) описывает стационарный режим, a w (л:, О — отклонение от него.
82

Решаем сначала задачу для v (х). Общее решение уравнения (l4i) имеет вйД
V (х) = Cix + Са.
Постоянные Ci и Сг определяем из краевых условий A5i), A6i):
Ci ~ h^ (Са — Ui) = 0, Ci + /i2 [Ci/ + C2 — J^al = 0,
откуда
Ml (U2 — Ui) „ i ^1
^1 + ^2 + /li/l2/ /Zi
Таким образом, стационарный режим найден. Задачу для w{x, t) решаем методом
разделения переменных. Среди функций вида Ф (л:) W (t) ищеы решения
уравнения A42), удовлетворяюш.ие лишь краевым условиям (ISg), (I62). Подставляя
функцию Ф (л:) Т (О в уравнение A42) и в краевые условия (ISa), (I62), получим
Ф" + ?.Ф = 0, A8)
Ф' @) — к^Ф @) = О, A9)
ф' (/) + к^Ф (/) = О, B0)
¥' + a4W = 0. B1)
В силу свойства 5 задача A8)—B0) имеет лишь положительные собственные
значения. Поэтому общее решение уравнения A8) можно написать в виде
Ф{х) = Л cos УХх + В sin УХх.
Из краевого условия A9) находим В]/^Х = h^A. Следовательно,
ф (л:) = -^ (j/T cos VIx + hi sin ]/"Xx). B2)
til
Множитель B//ii отнесем за счет функции Ч (t). Подставляя функцию B2) в
соотношение B0), получим уравнение для определения собственных значений:
1 / /11^2/2
1 / /11^2/2 \
где \1 = У XL Пусть f-if, JJI2, ..., И-п, ... — положительные корни этого
уравнения. Тогда собственными значениями будут числа Х^ = [ifjl'^.
Собственные функции будут иметь вид
ф„ (;,) = Jfi. cosi^ ;^ -h fti sin i^ X.
Они ортогональны на отрезке [О, /] с весом р = 1. Обратимся к уравнению B1).
Его общее решение при X =: Хп имеет вид
Тогда
w{x, t)=^ Cue ^ Фп{х).
n=l
Коэффициенты Сп находим из начального условия, пользуясь ортогональностью
собственных функций Фд (х):
О
/
II Ф» 11^ = j (-^COS J^ I + Ai sin'^l^dl.
0 ^
83

Замечание. Описанный в этом примере способ построения решения
путем выделения стационарного режима и последующего нахождения
отклонения от него применяется к широкому классу задач со стационарными (т. е. не
зависящими от времени) неоднородностями, содержащимися в уравнении или
в краевых условиях (или и в уравнении, и в краевых условиях).
Пример 4. Решить задачу о поперечных колебаниях струны, один конец
которой жестко закреплен, а другой свободен, если на свободном конце имеется
сосредоточенная масса Шо и начальное возбуждение произвольно.
Математическая постановка задачи:
utt
{"-^).
и (х, 0) = ф (х), щ {х, 0) = ф1 (х); ф @) = О,
и (О, t) = О, Tux (/, t) = moUft (/, О-
В классе функций Ф (х) Ч^ (/) ищем решения, удовлетворяющие лишь
краевым условиям. Разделяя переменные, находим
W' + a4W = 0, B3)
Ф'^ + ЯФ = 0, B4)
Ф @) = 0. B5)
Краевое условие на правом конце запишется в виде
ГФ' (/) ¥ (О — гпоФ (/) ^- (О = 0.
Заменяя в нем W- (t) из уравнения B3) на ¥ (/) и деля обе части равенства на
¥ (t), получим
Ф' (/) + ^^Ф @ = 0, B6)
где h = a^mjT.
Решения уравнения B4), удовлетворяющие условию B5), имеют вид Ф (л:) =
= sin У^Хх. Из условия B6) находим уравнение для определения собственных
значений %п > 0: _
tgfi = -l/(/ifi), ^1= V^l-
Им соответствуют собственные функции
Фп(я')-8ш^^д:.
Нетрудно непосредственно убедиться, что они не ортогональны друг другу
с весом р (д;) = 1. Этот факт не противоречит общей теореме об ортогональности
собственных функций, поскольку краевое условие B6) не является обычным
краевым условием третьего типа: оно содержит явно (а не через собственную
функцию) собственное значение Х. Чтобы понять, какая ортогональность будет
иметь место, заметим, что уравнение для и (л:, t) можно записать в следующем
виде:
Tuxx = [Ро + ^0^ (л: — /I Uft-
Следовательно, уравнение для собственных функций можно написать в виде
ГФ^^^. Я.р(д;)Ф = О, где р (л:) = Ро+тоб (л:—/).
Поэтому собственные функции Фп {х) будут ортогональны с весом р (л:). Легко
проверить это и непосредственными вычислениями.
Далее действуем по обычной схеме. Находим Wn (О» тогда
оо
и (X, О = У (Сп cos^ / + Dn sin ^ t^ sin -^ x.
84

Из начальных условий определяем коэффициенты Сп и Ощ пользуясь
ортогональностью собственных функций с весом р = ро + т^^ (х — /):
Сп = |ф— I РоФ A) Фп A) dl + тоФ (/) Фп (/) ,
О
о
2. Вернемся к рассмотрению свойств собственных значений
и собственных функций. Пусть R [Ф, F] = —(Ф, L IF]).
Заметим прежде всего, что так как для функций Ф класса А
имеем R [Ф, Ф ] ^ О, то существует
Свойство 6 (экстремальное свойство) выражает
Теорема 3. Если ц = inf „ ' „„ ^ достигается на не-
которой функции Ф из класса Л, то Ф есть собственная функция^
а \1 — отвечающее ей собственное значение задачи E)—F), При
этом \1 будет, очевидно, наименьшим собственным значением.
Доказательство. Для всякой функции Ф из класса А
имеем II фд,^ - }x ^ 0; в частности, %п = цф^ца ^ 1^-
Следовательно, для Ф е л
¥ [Ф] = /? [Ф, Ф] _^1||ф||2>0,
в то время как
¥ [Ф1 - /? [Ф, ф]-^1||ф||2 ^0.
Таким образом, функционал ¥ [Ф] достигает минимума на
функции Ф. Это равносильно тому, что функция ср (а) ==¥ [Ф +
+ сх/], где / ^ Л, достигает минимума при а === 0. Но тогда
ф' @) =0. Подсчитаем эту производную:
Id d Ja==o
= - j{/L[6] + 6L[/]ldT — 2fxjp5/dT =
D D
-—2 \}\11Ф] + 1хрФ\с1х.
D
85

Мы воспользовались здесь самосопряженностью оператора L
йа функциях класса А.
Таким образом, для произвольной функции / из Л имеем
\f\Lm + \xpe\dx = 0.
D
Отсюда следует*), что в точках непрерывности функции L [Ф]
выполняется тождество
L [Ф] + }грФ - О,
ч. т. д.
Если минимум того же функционала искать в классе
функций Л^, принадлежащих А и ортогональных с весом р в
области D собственным функциям Ф1, Ф^у ..., Ф^-ь то этот минимум
будет k'M по величине собственным значением К^^ а функция, на
которой он достигается, — соответствующей ему собственной
функцией Ф^. Доказательство этого предложения проводится
аналогично.
Замечание. Свойства 1—6 справедливы для собственных
значений и собственных функций любого линейного эрмитова
оператора. Доказательства их остаются прежними, так как при
их проведении мы пользовались лишь свойством
самосопряженности оператора L. В дальнейшем будем предполагать, что
функция k (М) непрерывна вместе с частными производными первого
порядка в D.
Свойство 7. С ростом k (М) {q (М)) собственные
значения не убывают. Точнее, если ki (М) ^ ^2 Щ) в D, то ^п^^К^^
Проведем доказательство для К^.
Для любой функции Ф е Л
Ri [Ф. Ф] ^ -^2 [Ф, Ф]
IIФР ^ IIФ Г '
где /?1 и 7?2 — функционалы /?, соответствующие функциям ki (М)
и /^2 Щ)' Следовательно,
ЛA)— inf ^1 [Ф> Ф] -^ » г ^2[Ф> Ф] _ л B)
Для случая Qi (М) ^ ^2 Щ) доказательство почти дословно
повторяется.
Свойство 8. С ростом р (М) собственные значения не
возрастают. Точнее, если pi (М) ^ р2 (М) в D, то Хп^^ <: 'k\f\
Проведем доказательство для Ki.
Для всякой функции Ф из Л выполняется неравенство
/^[Ф, Ф] R [Ф, Ф]
1|Ф|Рр, ^ IIФ lip, '
По основной лемме вариационного исчисления.
86

где ||0|Ipj и II Ф Up, — нормы функции Ф с весами р^ и рз. Тогда
Ф^Л 1|Ф|1р, ФбЛ 11Ф|1р,
ч. т. д.
Из свойств 7 и 8 следует, что в одномерном случае собственные
значения К с ростом п растут, как п}. Действительно, рассмотрим
наряду с уравнением
^ [k (х) Ф' (х)] - q (х) Ф (х) + Кр (х) Ф (X) ^ О B7)
уравнения
к^Ф" + (Xpi — 92) Ф = О B8)
к^Ф" + (Хр2 - ?i) Ф - О, B9)
где ^2» ^2» Рг — максимальные значения функций k {х)у q (л:),
р (л:) на отрезке [О, /], fej, q^y Pi — их минимальные значения (или
sup и inf).
Для определенности рассмотрим первую краевую задачу,
т. е. будем искать решения уравнений B7), B8) и B9),.
удовлетворяющие краевым условиям
Ф @) - Ф (/) - 0. C0)
Поскольку уравнения B8) и B9) имеют постоянные коэффициенты,
то собственные значения задач B8), C0) и B9)—C0) легко
находятся; они равны
По свойствам 7 и 8 собственные значения У^а задачи B7) — C0)
заключены между Х^ и Ки т. е.
Л/2 •<! A/j- <^ А/7.
Отсюда и следует справедливость высказанного утверждения.
Свойство 9. С уменьилением
основной области D собственные значения
первой краевой задачи не убывают, т. е. если
D' CZ D'\ то К ^ Кг-
Мы проведем доказательство этого
свойства лишь для Х^.
Каждой из областей D' и D" соответст- р^^ j^
вуют свои классы функций А\ А". Пусть
некоторая функция Ф' принадлежит классу Л'. Она равна нулю
(в силу краевого условия на границе области D') на той части
2' границы области D', которая содерлштся на D" (рис^17).^
Функция Ф", равная Ф' в области D' и нулю в области D"—D'
(заштрихованная часть), очевидно, принадлежит классу Л".
87

Если мы проделаем такую операцию с каждой функцией класса
Л', то получим новый класс функций А\ содержащийся в А".
Для всякой функции ф е Л' имеем
R'' [ф, Ф] = — J Ф1 [Ф] dT = — J ФL [Ф] dx = R' [Ф, Ф]
I рф2 dx= \ рф2 dx,
D" D'
ибо эта функция тождественно равна нулю в D"—D'. Поэтому
х;^ inf Е:Щ^=. inf П2^^ inf ^^^t^-^i^xi.
Здесь IIФ 111 и ЦФЦг суть нормы функции Ф в областях D' и D\
ч. т. д.
3. Определение. Собственное значение А, будем
называть г-кратным, если число всех линейно независимых
собственных функций, которые ему соответствуют, равно г.
Определение. Собственное значение % будем называть
простым, если любые две собственные функции, соответствующие
этому X, линейно зависимы.
Свойство 10. Все собственные значения одномерной
краевой задачи E)—F) простые.
Доказательство. Пусть Фх {х) и Фз {х) —
собственные функции, отвечающие одному и тому же собственному
значению %, Тогда обе эти функции являются решениями одного и того
же уравнения
-^[/^Ф']-9Ф + '^рФ = 0
и удовлетворяют одним и тем же краевым условиям на левом конце:
YiO[@)~Y2®i@) = 0, Yi^2@)-Y2O2@) = 0.
Эти равенства можно рассматривать как систему линейных
уравнений для Yi и Y2- Поскольку y! + Y2=7^0, то определитель этой
системы равен нулю. Но этот определитель есть определитель
Вронского W {х) для решений Фх {х) и Фз {х) в точке л: = 0.
Известно *), что определитель Вронского, составленный из решений
одного и того же линейного однородного дифференциального
уравнения, либо тождественно равен нулю, либо нигде не
обращается в нуль. Так как в нашем случае W @) = О, то W {х) = О,
Отсюда и следует линейная зависимость решений Ф1 {х) и Фз {х).
Заметим, что для многомерных краевых задач это утверждение
неверно.
*) См. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений, гл. V.
М.: Физматгиз, 1959.

пример 5. Рассмотрим задачу о колебаниях квадратной мембраны с
закрепленными краями под действием начального возбуждения. Стороны квадрата
направлены по осям координат.
Математическая постановка задачи:
а^Ди = uttf и =^ и (х, у, О» C1)
и (О, y,t)=^u (/, у, t) = О, C2)
и (л:, О, О = « (х, I, t) = О, C3)
и (л:, г/, 0) = ф (л:, у), щ (л:, у, 0) = ф1 (л:, у). C4)
В классе функций вида Ф (л:, у) ¥ {t) ищем решения уравнения C1),
удовлетворяющие лишь краевым условиям C2), C3). Подставляя такую функцию
в уравнение C1) и в соотношения C2), C3) и разделяя переменные, получим
следующую задачу Штурма — Лиувилля:
АФ + ?1Ф = 0, C5)
Ф (О, г/) = Ф (/,(/)-О, C6)
Ф (л:, 0) = Ф (л:, /) = 0. C7)
Эту задачу также можно решать методом разделения переменных. Будем
искать решения в классе функций вида Ф (л:, у) — А (х) В (у). Подставляя
такую функцию в уравнение C5) и разделяя переменные, получим
А" В'
Чтобы это равенство было тождеством, необходимо, чтобы —-т- = -—fi и —=—[-
-L X = [1, Т. е.
Л^+^гЛ=0, C8)
B"-{-(k — \k)B:==Q или В"-{-аВ^ 0. C9)
Из условий C6), C7) находим
Л @) = Л (/) = О, D0)
В @) = В (/) = 0. D1)
Таким образом, мы имеем первые краевые задачи C8), D0) и C9), D1).
Собственные значения \к vl % — fi должны быть положительными (по свойству 5). Как
и в примере 1, находим
An {х) =-- siii—p Ху
а также
«* = ^ (*=}. 2, ...),
Bk (у) = sin —г- у.
Но a/i = >1 — \1п. Следовательно, Хп^ k =' ^k + l^n, или Xn^k = -jr (^^ + ^^)'
где k VL n независимо друг от друга принимают значения 1, 2, ... Таким образом,
мы нашли собственные значения задачи C5)—C7). Им соответствуют собственные
функции
Ф«, k (^. у) =^ sin -р- X sm -р- у.
89

Собственные значения Хп^ и и Х^^ п, очевидно, совпадают, а отвечающие им
собственные функции
^ , пп . Jik ^ . nk . пп
Фп, k = sin -у- X sin -у- у и Ф^, п --= sin "~j~ X sin —р f/
линейно независимы. Например, Х-^^ g = ^2,1 = ^ ~~п~^
л 2зх 2л зх
Фх^ 2 — sin — ^ sin —г- f/ и Фг^ 1 == sin —т— .v sin -у- г/.
Таким образом, в этой задаче собственные значения не являются простыми.
Решение задачи C1)—C4) представляется рядом
оо оо
"(•^. ^' ^^"" Zj Aj ^^""^ /feCOS«l/~X^/+^„^^^;Sina/X^ /)sin^xsin^f/,
п=1 А==1
в котором коэффициенты Сп, k и ^л, ^ вычисляются по формулам
/ /
^«, fe==-p-j |ф(?, \\)^\n~ls\n~y\dld%
о о
/ /
^00
4. Метод Фурье применяется и для решения краевых задач
A)—C), в которых коэффициент k {М) имеет точки разрыва
в области D. При определенных условиях, которые будут указаны
ниже, остаются справедливыми все свойства собственных
функций и собственных значений задач вида E)—F) с разрывным
коэффициентом k {М), При доказательстве свойств с. з. и с. ф.
мы опирались на первую формулу Грина, которая получается
непосредственно из формулы векторного анализа
div(p.'iE) = pdiviE + (Vp, Е)
и формулы Остроградского
\ d\Y{к^Ф)Aх = \ k ~da,
D S
Если для задач вида E)—F) с разрывным коэффициентом k {М)
мы укажем условия, при которых справедлива формула Остро-
градского, то при этих условиях верна убудет первая формула
Грина и, следовательно, все рассмотренные^нами свойства
собственных функций и собственных значений. При этом в доказательстве
этих свойств ничего не изменится.
Пусть <§Г — множество точек области D, ограниченной поверх-
•ностью 5, в которых функция k (УИ), входящая в оператор
div(^v^)» разрывна. Будем полагать, что множество S
представляет собой совокупность точек конечного числа поверхностей
(линий в двумерном случае) 5ь принадлежащих области D,
разбивающих область D на конечное число попарно не пересе-
90

кающихся подобластей D^ ограниченных поверхностями St и S
и таких, что
предполагаем также, что в каждой из подобластей Dt коэффициент
k (М) непрерывен вместе с частными производными первого
порядка по координатам точки М.
Как и прежде, полагаем, что q (М) и р (М) непрерывны в D
и для М е 5 й (М) > О, 9 (М) > О, р (М) > 0.
Такие коэффициенты k (УИ), q (М), р (М) будем называть
допустимыми, а области D^ — областями гладкости. Таким
образом, каждой тройке допустимых коэффициентов отвечает
некоторое разбиение области D на конечное число подобластей
гладкости Di. В частности, если коэффициент k (М) непрерывен
вместе с частными производными первого порядка в D {и q (М),
р (М) непрерывны в D), то это «разбиение» состоит из одной
области D.
Будем говорить, что при заданном допустимом коэффициенте
k (М) и отвечающем ему разбиении области D на подобласти
гладкости Di функция Ф (М) у;ховлетворяет условиям
Остроградского в области D, если __
1) Ф (М) непрерывна в D;
2) в каждой подобласти гладкости Di функция Ф (М) имеет
частные производные первого и второго порядков по координатам
точки My непрерывные в Df,
3) на общих границах S^y (Sij cz D) прилегающих друг к другу
подобластей гладкости D/ и Dj выполняются соотношения
дФ I ^ , дФ
дп \Sij J дп
9..'
где производная берется по нормали к поверхности Sij у ki и kj —
значения k (М) в областях Di и D^ соответственно.
Для функции Ф (М), удовлетворяющей при заданном
допустимом коэффициенте k (М) условиям Остроградского в
области D, очевидно, Справедлива формула Остроградского
|A1у(йУФ)йт= J^^da.
D S
Обозначим через А класс функций Ф (М), которые удовлетворяют
условиям Остроградского в области D и однородным краевым
условиям
(Тх^ + 7.Ф), = 0 F)
на границе S.
Очевидно, для каждой области D, каждого допустимого
коэффициента k (М) и заданного краевого условия вида F) существует
свой класс А.
Для задач вида E)—F) с допустимыми коэффициентами k (М),
q (М), р (М) справедливы следующие теоремы.
91

Теорема 1. Существует бесконечное множество
собственных значений {А,„), /2 = 1, 2, ..., и отвечаюи^их им собственных
функций {Фп{М)] краевой задачи E)—F), принадлежаи{их
классу А. ^
Теорема 2. Непрерывное в замкнутой области В = {M^D,
t ^ 0} реиление задачи A)—C), при всяком фиксированном
значении t >> О принадлежащее классу Л, представляется рядом G)
(соответственно Gi)).
Соответствующие изменения в формулировках ряда других
утвержден и й очевидны.
§ 4. Некоторые свойства совокупности собственных
функций
Здесь мы рассмотрим некоторые свойства совокупности
собственных функций [Фп]-
Определение. Система попарно ортогональных в
области D (с весом р) функций [Ф^] называется полной в D, если для
всякой функции f {М)у интегрируемой с квадратом в D,
выполняется равенство
1рРс1х^"^С1\\Фм(, D2)
D k=l
где Cft — коэффициенты Фурье функции / (М) по функциям
системы \Фк\-
Достаточный признак полноты системы
{Ф„). Если для всякой непрерывной в D функции F {М) и для любого
8 > О существует линейная комбинация S^ = «хФ! + • • • + ««Фп»
для которой J р (f — Snf dt < 8, то система {Фп} полна в D.
D
Мы приведем лишь схему доказательства этого признака.
Зафиксируем е > 0. Для всякой функции /(М), интегрируемой
с квадратом в D, найдется такая непрерывная в D функция ф (М),
что J р (/ — ф)^ dx < 8/4 *). Для функции ф {М) и для выбран-
D
ного 8 по условию найдется такая линейная комбинация S„ =
= а1Ф1 + • • • + сх^Ф/г, для которой
Оценим интеграл
1
D
D
Р(Ф-
\<-
-Sn
п
-2
)Ых<±.
см dx,
*) Это утверждение требует доказательства, на котором мы не будем
останавливаться. Заметим лишь, что для одномерного и двумерного случаев такая
функция ф (М) строится просто (см. Толстев Г, П. Ряды Фурье. — М.:
Физматгиз, 1960),
92

в котором 2j Ck^k — частичная сумма ряда Фурье функции
f (М). Очевидно,
(п \2 п п
f~ S ^^фП dr= Jp/Mt - 2 2 С, Jp/0,dT+ LclWOkf.
k=\ J D k^\ D
Мы при этом воспользовались ортогональностью функций Ф^^.
Поскольку ]р/Ф^^т == C;fe||0^fe|P, то
Известно, что квадратичное отклонение б« = J р (/ — S^f ^т
будет минимальным, если в качестве S^ взять S ^лФ/i *)•
Поэтому
п / п \2
^\p{f~-SnfdT< |р(/-ф + ф-5„)^^т<:
<
D
<:2|р(/-ф)Мт + 2|р(ф-5„Jйт<2^ + 2-|- = е.
D D
Мы при ЭТОМ воспользовались хорошо известным неравенством
(А + Bf <: 2Л2 + 2В^
Таким образом,
0< Jp/^dT-Sc|||Oftf<e,
D fe=l
откуда и следует условие полноты;
ею
D k=l
Ряды Фурье по полным системам функций (Ф^) обладают
следующим замечательным свойством.
Теорема 1. Если система попарно ортогональных в
области D функций {Фп} полна в D, то ряд Фурье для всякой
функции f (М), интегрируемой с квадратом в D, можно почленно
*) См. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа,
т. II, изд. 5-е, гл. XXVIII. — М.: Наука, 1968.
93

интегрировать независимо от тогОу сходится он или расходится,
т. е. для любой области D' cz D справедливо равенство
D' /1=1 D'
Доказательство. Оценим разность б„ = J fdx
n
2 С/, j Ф, dx:
k=\
k--=\
dx.
■^ J I / '" ^J '^h'^h I ^^ -^ J I / ~ ^ ^k'^k I
D' I k=\ I D I k=\
Для оценки последнего интеграла воспользуемся неравенством
Коши — Буняковского:
\ п \ \ п
k=\
k=\
dx
77*
dx
D \ k=^\ J f ^
f D k=\ f ^
Последний интеграл ограничен, a разность
n
\9fdT---^Cl\\0,f
k=l
при n-> oo стремится к нулю по условию полноты.
Следовательно, 6/j--> О при Аг->.оо, ч. т. д.
Теорема 2. Система собственных функций краевой
задачи E)—F) полна.
Доказательство Возьмем произвольную
непрерывную в D функцию / (М). Тогда, каково бы ни было число е > О
в классе А (см. § 1) найдется такая функция g (М) *), что
jp(/-g)MT<-J
D3)
") См. Толстов Г. П. Ряды Фурье. ~М.: Физматгиз, 1960,
94

функция g" (М) представляется рядом Фурье по собственным
оо
функциям задачи E)—F), g (М) = S СнФк^ равномерно сходя-
__ k=\
щимся в D, Следовательно, для всякого 8i > О найдется такое
Л^ (8i), что
g-t CkOk
k=i
<8i ДЛЯ n>N(ei). D4)
/ n \2
Покажем, что j P / -^ ^ Ck^u I dt < 8. Тогда согласно
D \ k=l J
достаточному признаку полноты системы (Фд) будет полной.
Очевидно,
,2 / Ai \2 а
Jp /-ЦС.Ф, dx = \pif--g + g~^{Cj,oA dx<
D \ k=\ J D \ fe=l /
<2 \p{f-gfdx-{-2 [Лё-ЪсМ dr.
D D \ k=\ J
Используя неравенства D3) и D4), получим
/ n ч 2
Jp /-]^С,ФИ dT<-J+28?JpdT<e,
D \ k=\ J D
если взять 81 <: -^-т^, где В= pdt.
•^ D
Эта теорема вместе с предыдущей позволяет интегрировать
почленно ряды Фурье по собственным функциям краевой задачи
E)—F) для всякой функции, интегрируемой с квадратом, не
заботясь не только о равномерной сходимости этих рядов, но даже
вообще об их сходимости в каждой точке.
§ 5. Решение неоднородных краевых задач методом Фурье
Знание системы собственных функций (Ф^) и
соответствующих им собственных значений [Х^] позволяет решать и неодно-
родные краевые задачи. Рассмотрим некоторые из них.
1. Пусть требуется найти решение задачи
L [и] + f (УИ, t) = puti (соответственно pw^), D5)
и (М, 0) = О, Ui (М, 0) - О, D6)
непрерывное в замкнутой области В = [М ^ D\ t ^ 0} и при-
надлежащее классу А при всяком фиксированном значении ^ > 0.
Так как искомое решение и (М, t) принадлежит классу Л,
согласно теореме Стеклова оно может быть представлено в виде
95

ряда Фурье по собственным функциям {Ф^} соответствующей
однородной задачи E)—F):
и{М. 0-S ¥ЛОФп(/И), D8)
где
"^^ (^^ == |Ф^ 1 ^'' (^' ^) "^^ (^^ ^^^- ("^^^
D
Выражая рф^ под знаком интеграла D9) из уравнения E),
получим
IF (i) ^ -^ { иНФ ] dx — ^ ^""^ ^^'
D
Выражая L [г/] из уравнения D5), получим
Первое слагаемое в правой части формулы E0) равдо —'ЧР'^'Д^.
Второе слагаемое представляет известную функцию, обозначим
ее через /„ {t)IKi. Таким образом.
Следовательно, ¥„ {t) есть решение уравнения ¥„ + Х^^^ == /^ (О
(соответственно Ч^'г + '^п^^п "= fn) с дополнительными условиями
^'п @) = ||ф|;^ 1 Р«(^. 0) Ф„ (Р)dx = О,
%:@) - ,|ф^ J P«t (Z', 0)Ф„ (Р) dx = 0.
Решение такой задачи имеет вид
¥„ (О = ^ J Sin/Х; (^ - 0)/„ (9) d9
О
t
(соответственно ^n{t)= Je""^^^'~^Vn (в)с(9 •
Подставляя полученные функции Wn {t) в формулу D8),
получим искомое решение в виде ряда Фурье по собственным
функциям. Если, в частности, f (М, t) "= f (t) б (М, Mq), to
D
96

¥, (/) ^ -^4^ J Sin /K (/ - 6) / @) do
I соответственно ¥^ @ = --^^Jr-J e^^^^'~"^V (9) ^^ | •
Если требуется решить задачу
L [и] + f {М, t) =^ pUft (рщ),
w(M, 0) = ф(М), ^,(М, 0) = Ф1(Ж); Gi-J- + T2^^),--0,
то будем искать решение в виде суммы двух функций
и (М, t) =v (М, t) + W (М, О»
ЯВЛЯЮШ.ИХСЯ решениями следующихТзадач:
v: L [v] = pvti (pvt),
te;: L [ш] + / (M, t) = pWtt (p^t),
^ (M, 0) == ш^ (M, 0) == 0; (vi -J- + 72^^)^ -- 0.
Каждую из этих задач мы уже умеем решать.
2. Пусть требуется найти решение задачи
L [и] ~\- f (Му t) = putt (соответственно рщ)у E1)
(ti|^+72^X = P(M,0; E2)
и (М, 0) - ф (М), ut (М, 0) - ф1 (М), E3)
непрерывное в замкнутой области В = {М ^ D\ t^O].
Мы рассмотрим следующий способ решения этой задачи.
Среди функций V (М, t), непрерывных в замкнутой области В
и имеющих в этой области непрерывные частные производные
первого и второго порядков, возьмем какую-нибудь функцию
Vi (М, t), которая удовлетворяет заданным краевым условиям
E2). Будем искать функцию и (М, t) в виде суммы и = Vi (М, t) +
+ W (УИ, t)y где для функции w (М, /), непрерывной в области Б,
задача ставится следующим образом:
L Iw] + fi {My f) = pWft (соответственно pwt),
ш(М, 0) = ф(уМ), ш,(М, 0)-ф1(Л1); (yi^ + 72^)^-0,
где
/i(M, О -f{Myt) + L [v^]-pvnu
Ф(М)=:ф(М)-и1(Л4, 0), Ф1(М) = ф1(М)-ип(М, 0).
4 Арсенин В.Я. 97

Эту задачу мы уже рассмотрели в п. 1. Функцию Vi (УИ, t)
подбирают или же находят методом Дюамеля (см. гл. V).
Пример 6. Требуется решить задачу
и (л:, 0) = ф1 (л:), и^ (л:, 0) == фа (л:), и (О, t) = fii (О, и (/, t) = [i^ (t). (*)
В качестве функции Vi{x,t), удовлетворяющей краевым условиям (*),
берем функцию *)
Vi {X, t) = —— }Xi (О + у- И-г СО-
Решение и (л:, t) иш.ем в виде суммы и (л:, t) = v^ (л:, t) -{- w (л:, t). Функция
w (д:, t), очевидно, будет решением следующей задачи:
«2^^^ -f -^ И1 (/) ™ ^ jx; (/) ^ ш,^,
W {х, 0) =- ф1 {X) 4- -^^у~" ^^ ^^^ — 7" 1^2 @) =- Ф1 (д:),
w^ (л:, 0) = Ф2 (X) + ^ 1^1 @) — 7" f^2 W =" Ф2 (^)»
W (О, О = г^ (Л О = О-
Функцию W (л:, t) ищем также в виде суммы w ^ R (л:, О + Q (^» О» где R (л:, О
есть решение однородной краевой задачи
a'Rxx = Rtu
R {х, 0) = ф1 W, Rt (л:, 0) = Фа W; /^ (О, t) = R (/, 0 = 0
и имеет вид (см. пример 1)
оо
R (х, /) ---- % {Сп COS а ]/'^Х^ t 4- /^п sin а j/*X^ О sin ~— л:,
/1=1
^^^"ТГ"' ^^^""Т J Ф1 (?) Si"-у-? ^^
о
о
а Q (л:, t) есть решение следующей задачи:
a^Qxx + / (л:, О = Qtt^
Q {х, 0) = Qt {х, 0) = 0; Q (О, t) = Q (/, О = О,
где / (л:, /) == -^^^ |я^ (О — — 1^2 (О-
Согласно п. 1 решение имеет вид
оо
Q{x. t)==^Wn{t)sm-^x.
n=l
*) Мы предполагаем, что функции fii (t) и fig (О дважды дифференцируемы.
98

функции ¥n (О вычисляются по формулам
¥„ (О =-^L=r f sin УК (t - е) /„ F) d%,
где
о
Замечание 1. Если краевые условия имеют вид
^iHx (О, О — Pi^ (О, О = 111 (О, схз^/х (^ О + Р2^ (^ ^) = М'г (О»
то в качестве функции v^ (д;, ^) (удовлетворяющей этим краевым
условиям) можно взять функцию
Ui (л:, /) - Ол:^2 (О — С (л: — 0^ |ii (О,
где С === l/Bai/ + р^/^), D = 1/Bа2/ + р2/').
Замечание 2. Иногда легко найти функцию Vi (л;, t),
удовлетворяющую не только заданным неоднородным краевым
условиям, но также и заданному уравнению.
Пример 7. Требуется решить задачу
аЧхх^иц, E4)
и (л:, 0) = ф1 (л:), Ut (л:, 0) = фа (л:); E5)
w@, 0 = 0. u{l,t)=-Asmm (—1фпп\, E6)
Среди функций вида F {х) sin со^ нетрудно найти решение уравнения E4)
^1 (^» 0> УДОвлетворяюш.ее краевым условиям E6). Действительно, подставляя
такую функцию в уравнение E4) и деля обе части равенства на sin Ш, получим
уравнение для F (х)\
аЧ"^ + ay^F = 0. E7)
Из краевых условий E6) находим, что
F @) = 0, F (/) = Л. E8)
Решение задачи E7)—E8), очевидно, имеет вид
. со
sin —• X
F (л:) - Л ^ ^
. со ,
sin — /
а
Следовательно,
. со
sin — X
vi (х, t) = Л— sin со/.
sin — /
Решение задачи E4)—E6) будем искать в виде
и (л:, t) = Vi (а;, t) + w (л:, О,
4* 99

где w {х, t) является решением следующей вадачи:
a^Wxx = a'/^
о; (О, 0"=0, ш(/, t) = 0;
. со
sin— X
W (х, 0) = ф1 (х), Wiix, 0) =- ф2 (х) — Лоз ^— = Ф2 (х).
sin — /
а
Это однородная краевая задача, которая решается методом разделения
переменных.
§ 6. Применение метода Фурье к решению краевых задач
для уравнений эллиптического типа
Метод Фурье можно применять также и при решении краевых
задач для уравнений эллиптического типа. Мы проиллюстрируем
это в настоящем параграфе на двух примерах. Во второй части
книги приводятся другие примеры, требующие использования
специальных функций.
Пример 8. Найти функцию и (г, ф), гармоническую в круге Dj^ радиуса
R, непрерывную в замкнутой области Dj^ и принимающую на границе этой
области (г = R) заданные значения / (ф), т. е.
Ди == О, E9)
«(/?, ф) = /(ф). F0)
В силу однозначности искомого решения и (г, ф) оно должно быть
периодическим по ф с периодом 2я, т. е.
м (г, ф + 2я) - и (г. ф). F1)
Из непрерывности решения в замкнутой области Dj^ следует его
ограниченность в Dj^.
Среди функций вида Ф (г) ¥ (ф) ищем ограниченные в Dj^ и
периодические по ф (с периодом 2я) решения уравнения E9).|3аписывая лапласиан в
полярных координатах
_1_ д ,... . 1
г
Т -Qf (^^г) -^ -^ «фф =- О E9i)
и разделяя переменные, получим
,^(^')__ХФ^О, F2)
¥« + ^^ = 0. F3)
Из условия F1) находим
¥ (ф + 2Ji) = Ч^ (Ф). F4)
При Я; < О уравнение F3) не имеет решений, удовлетворяющих условию
F4). Следовательно, Я ^ 0. Для X ^ О находим
¥ (ф) = Л sin /Я^ф + В cos 1/*Яф.
Из условия F4) находим, что У^Я2я; = 2я/г. Отсюда Я.^ «= п^, где п —
произвольное целое неотрицательное число. Таким образом, собственные значения
задачи F3)—F4) суть
Хп^п' (л = 0, 1,2, ...),
100

a им соответствующие собственные функции суть
I, sin <р, cos ф, ..., sin лф, cos пф, ...
Замечание. При Я; = О общим решением уравнения F3) будет
¥ (ф) = ЛоФ+Во.
Лишь при Ло = О оно будет удовлетворять условию F4). Таким образом,
Я = О соответствует собственная функция % (ф) - 1.
Обратимся к уравнению F2). При Я = п^ имеем
г^Ф" + гФ' ~ л2ф = 0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Фп (г) - Сиг"" + %- {п> 0), F5)
г
Фо (г) = Со + Do In i- (п = 0), F6)
В силу ограниченности искомого решения в формулах F5) и F6) надо
положить Z)n == О (п = О, I, ...).
Таким образом, ограниченными решениями уравнения E9i) вида Ф (г) Ч^ (ф),
удовлетворяющими условию F1), будут функции
Un = г^ (An cos лф + Вп sin дф).
Решение задачи E9)—7F1) представится в виде ряда
оо
и (г, ф) = J] г^^ (Лп СОВ дф + Вп sin дф). F7)
Коэффициенты An и Вп находим из условия F0):
/ (ф) == 2 {An cos лф 4- Вп sin лф) /?", F8)
п=о
пользуясь ортогональностью собственных функций на отрезке [О, 2я] с весом
р= 1:
2я 2я
^0=2^1 /(ОС ^„ = -L_J/(£)cosn?dS.
" " ■ F9)
Вп = —Ц- f /(D Sinn? dS (rt=l, 2, ...).
Замечание I. Ряд F7) с коэффициентами, вычисляемыми по
формулам F9), нетрудно просуммировать. Однако мы не будем здесь этого делать,
так как в гл. VII задача E9)—F1) будет решена другим методом, позволяющим
получить результат в конечном виде.
Замечание 2. Решение краевой задачи E9)—F1) для внешности круга
представляется рядом
оо
и (г, ф) = V^ -*-^ (An cos лф ~f Вп sin «ф),
п=0
коэффициенты которого определяются из условия F0). Для кольцевой области,
образованной двумя концентрическими окружностями радиусов Ri и R2, решение
представляется рядом
оо
w= V (Cnr'^-i ~) (Лп cos лф + Вд Sin Агф) + Aq + BqIu г,
101

коэффициенты которого (Aq, Bq, СпАп, СпВп, DnAn и DnBn) определяются из
краевых условий *)
" №, Ф) = /i (ф), « №, Ф) = /2 (ф).
Пример 9. Решить краевую задачу
Аи = О, G0)
«(О, t/) = «(/,t/) = 0, G1)
и{х,0)=:^{х), u{x,b)=:f2ix) G2)
в прямоугольной области {О ^ х ^ I; О ^у ^ Ь}.
В классе функций вида Ф (х) ¥ (у) ищем решения уравнения G0),
удовлетворяющие лишь однородным краевым условиям G1). Подставляя такую функцию
в уравнение G0) и разделяя переменные, получим
-W + -W-'-
Чтобы это равенство было тождеством, необходимо, чтобы Ф'7Ф = —X,
^"/^ = X,, где X — постоянное число.
Таким образом, получаем уравнения для функций Ф (л:) и Т (у):
Ф^ + Ш^О. G3)
W — V¥ =. 0. G4)
Из условий G1) находим, что
Ф@)==Ф(/) = 0. G5)
Задача G3), G5) имеет лишь положительные собственные значения
Хп = л;2/12//2 (Ai= 1, 2, ...).
Jltl
Им отвечают собственные функции Фп (х) — sin —^ х *). Обратимся к
уравнению G4). При X = Xfi оно имеет общее решение вида
^п (у) = Сп ch VX^ уЛ-Dnsh Vhi У-
Следовательно, решения уравнения G0), удовлетворяющие лишь краевым
условиям G1), имеют вид Un (л:, у) = Фп {х) ^п (у).
Решение задачи G0)—G2) представляется рядом
оо
и (х, у) ^/. {Сп ch YXn у -{- Dn^b. YXn у) sin -у- л:,
ределяем из краевых уел
оо
/i(-^') = V ^^^sin-^^ X
и
Отсюда
/
Cn=-4j/i(?)sini^S^S
коэффициенты которого определяем из краевых условий G2):
X.
*) Читателю рекомендуется написать соответствующие формулы для
определения этих коэффициентов.
**) См. гл. IV, § 3, пример 1.
102

0
в гл. XIV, XVI (§§ 1, 3) приводятся другие примеры применения метода
разделения переменных к уравнениям эллиптического типа, требующие
использования специальных функций.
ЗАДАЧИ
1. Решить задачу о колебании струны О ^х ^1 с жестко закрепленными
концами, если до момента t = О она находилась в состоянии равновесия под
действием поперечной силы Fq = const, приложенной в точке х = Xq струны
перпендикулярно к невозмущенному положению струны, а в момент / = О
действие силы Fq мгновенно прекращается.
2. Решить задачу о колебании струны с жестко закрепленными концами
под действием импульса Р, сообщенного струне в момент времени / ш» О в точке
X = Xq,
3. Стержень с жестко закрепленным концом (х = 0) находится в состоянии
равновесия под действием продольной силы F^ = const, приложенной к концу
X = I. В момент t = О действие силы Fq мгновенно прекращается. Решить задачу
о продольных колебаниях этого стержня.
4. Один конец стержня (х — I) закреплен упруго, а другой (х = 0) в на*
чальный момент времени получает продольный импульс Р. Решить задачу о
колебании стержня.
5. Найти температуру шара радиуса /?, на поверхности которого проис*
ходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой нулевой темпе*
ратуры. Начальная температура шара равна / (г).
6. Решить задачу об остывании сферической оболочки /?i^r:^/?a, на вну*
тренней и внешней поверхностях которой происходит конвективный теплообмен
со средой нулевой температуры; и (/•, 0) = / (г), /?^ < /• < /?а.
7. В замкнутом сферическом сосуде О ^^/• ^^ 7? происходит диффузия ве*
щества, частицы которого размножаются, причем скорость размножения про*
порциональна концентрации. Найти размеры сосуда (критические размеры),
при которых процесс будет иметь лавинный характер, если: а) на поверхности
сосуда поддерживается концентрация, равная нулю; б) стенка сосуда непрони*
цаемая; в) стенка сосуда полупроницаемая.
8. Найти собственные значения и собственные функции прямоугольной
мембраны с краевыми условиями первого (второго, третьего) типа. Показать
в случае квадрата, что одному с. з. могут соответствовать две с. ф.
9. Определить собственные значения и собственные функции
прямоугольного параллелепипеда при краевых условиях первого (второго, третьего) типа.
10. Найти собственные частоты акустических резонаторов *), имеющих
форму: а) прямоугольного параллелепипеда; б) шара.
11. Решить задачу 1 гл. II.
12. Решить задачу о продольных колебаниях стержня О ^ jf :^ /, один
конец которого закреплен жестко, а к другому с момента/ == О приложена сила
Fq — const.
13. Решить задачу о температуре стержня O^x^l, концы которого
поддерживаются при постоянной температуре («i и u^j, а на боковой поверхности
его происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой,
температура которой равна Ид = const. Начальная температура произвольная.
14. Решить задачу о температуре стержня О ^ jf ^ /, на концах и боковой
поверхности которого происходит конвективный теплообмен со средами,
имеющими постоянную температуру. Начальная температура произвольна.
*) Акустическими резонаторами называются замкнутые объемы с
отражающими звук стенками, предназначенные для усиления звуковых колебаний.
103

15. Давление и температура воздуха в цилиндре О ^ л: ^ / равны
атмосферным; один конец цилиндра с момента / = О открыт, а другой остается все время
закрытым. Концентрация некоторого газа в атмосфере равна Uq = const. С
момента ^ == О газ диффундирует в цилиндр через открытый конец. Найти
количество газа Q (/), продиффундировавшего в цилиндр, если его начальная
концентрация в цилиндре равна нулю.
16. Решить задачу 16, предполагая, что диффундирующий газ распадается
со скоростью, пропорциональной его концентрации.
17. Найти электрическое напряжение в проводе О ^ jf ^^ / с пренебрежимо
малыми утечкой и самоиндукцией, один конец которого изолирован, а к другому
приложена постоянная э. д. с. £. Начальный потенциал равен vq = const,
а начальный ток равен нулю.
18. Найти электрическое напряжение в проводе с пренебрежимо малыми
утечкой и самоиндукцией, если его конец х = I заземлен, начальный ток и
начальный потенциал равны нулю, а к концу х = О приложена постоянная э. д. с.
Eq через сосредоточенное сопротивление Rq,
19. Проводящий слой О ^ л: ^ / был свободен от электромагнитных полей.
В момент ^ = О всюду вне слоя возникло постоянное однородное магнитное поле
Яо, параллельное слою. Найти магнитное поле в слое при / > 0.
20. Найти температуру стержня О ^ х ^ I с теплоизолированной боковой
поверхностью, если его начальная температура равна нулю, один конец
поддерживается при нулевой температуре, а другой теплоизолирован и с момента
/ = О в точке Xq, О <С Xq <С 1у действует источник постоянной мощности Q.
21. Найти температуру однородной пластины с нулевой начальной
температурой, через грань х = О которой подается, начиная с ^ = О, тепловой поток
постоянной плотности q, а грань х = / поддерживается при температуре и =
= const.
22. Через проводник, имеющий форму плоской пластины толщины /,
пропускается, начиная с момента ^ = О, постоянный ток, выделяющий тепло с
плотностью Q = const. Найти температуру пластины при ^ > О, если на. границах ее
происходит отдача тепла в окружающую среду по закону Ньютона. Температура
среды равна Uq = const. Начальная температура пластины равна нулю.
23. Начальная температура шара О ^ г ^ 7? равна «о = const, а на его
поверхности происходит конвективный теплообмен со средой, имеющей
температуру Ui = const. Найти температуру шара при ^ > 0.
24. Поток тепла (за единицу времени) Q втекает через плоскую часть
поверхности бруса полукруглого сечения и вытекает через остальную часть его
поверхности. Найти стационарное распределение температуры по сечению бруса,
считая, что втекающий и вытекающий потоки распределены с постоянными
плотностями.
25. Стрелка прибора укреплена на конце стержня длины /, закрепленного
в сечении ^^ = 0. Решить задачу о крутильных колебаниях стержня, если в
начальный момент / = О стрелка была закручена на угол а и отпущена без
начальной скорости. Момент инерции стрелки относительно оси вращения
равен /q.
26. К струне О ^ л: ^ / с жестко закрепленными концами с момента t — О
приложена непрерывно распределенная сила с линейной плотнос.тью: а) Ф =
== Фо sin wt] б) Ф = Фо cos со/, где Фо = const. Решить задачу о колебании
струны.
27. Решить задачу о колебании струны О ^ л: ^ / с жестко закрепленными
концами под действием силы F = Fq sin cot (и Fq cos co^, приложенной к точке Xq
с момента / ~ О, при отсутствии резонанса.
28. Найти температуру стержня О ^ Jf ^ / с теплоизолированной боковой
поверхностью, если с момента t = О начинают действовать тепловые источники,
распределенные по стержню с плотностью Ф (/) sin-p х. Начальная температура
равна нулю. Концы поддерживаются при нулевой температуре.
29. По стержню О ^ jf ^/, на боковой поверхности которого происходит
конвективный теплообмен со средой нулевой температуры, движется печь со
скоростью Vq = const. Поток тепла (в единицу времени) от печи к стержню равен
104

q = Ле~ у где h — коэффициент теплообмена, входящий в уравнение
теплопроводности для стержня Uf == а^и^х — hu. Найти температуру стержня, если его
начальная температура равна нулю, а концы поддерживаются при нулевой
температуре.
30. Решить задачу о продольных колебаниях стержня О ^ л: ^ /, если конец
X = О стержня закреплен жестко, а к концу х = I, начиная с момента / = О,
приложена сила F = А sin cat (и Л cos cot), А = const.
31. Решить задачу о температуре шара О < г ^ /?, если его начальная
температура равна щ = const, а внутрь шара, начиная с момента ^=0, через его
поверхность подается постоянный тепловой поток плотности q = const.
32. Стержень О 5^ л: <с / с теплоизолированной боковой поверхностью
и постоянным поперечным сечением составлен из двух однородных стержней
О ^ л: <^ л:о, atq ^ ^ ^ ^ с различными физическими свойствами. Найти
температуру в стержне, если его начальная температура равна f (х), а концы
поддерживаются при нулевой температуре.
33. Найти температуру однородного стержня с теплоизолированной
боковой поверхностью, в точке х^ которого находится сосредоточенная теплоемкость
Со- Начальная температура произвольна, а концы поддерживаются при нулевой
температуре.
34. Найти напряжение в проводе с пренебрежимо малыми самоиндукцией
и утечкой, если один конец его (л: = /) заземлен через сосредоточенную
емкость Со, а к другому {х = 0} приложена постоянная э. д. с. Е^. Начальный
потенциал и начальный ток равны нулю.
35. Найти решение первой внутренней краевой задачи в круге радиуса R
для уравнения Лапласа с краевыми условиями: а) и (R, ф) — Л cos ф;
6) и {R, ф) = Л + 5 sin ф; в) и |;.^/^ — Аху\ г) и {Ry ф) = Л sin^ ф + В cos^ ф.
36. Решить вторую внутреннюю краевую задачу в круге радиуса R для ура в-
нения Лапласа с краевыми условиями:
а)
1 ==Л;б)-|^| =Лл:; в)-|^| ^-Л(%2_„^2);
\с ^ дп \с ^ дп \с
ди \ ;,. ^ч ди
дп
г)-.— = Л sin Ф + Ввш^ф.
дп\с
Отметить неправильно поставленные задачи.
37. Решить первую внутреннюю краевую задачу в кольце Ri <. г <. Rz
для уравнения Лапласа с граничными условиями и L ^^ = %, и L^/^^ = «2-
Пользуясь решением задачи, найти емкость цилиндрического конденсатора,
рассчитанную на единицу длины.
38. Найти емкость сферического конденсатора, заполненного
диэлектриком с диэлектрической постоянной 8 == 8i для а <. г <. с и 8= 82 для
с<г <Ь.
39. Найти потенциал электростатического поля сферы радиуса R,
заряженной до потенциала Uq и помещенной в неограниченную среду с
диэлектрической постоянной 8, равной 8—81 для /?<Г<СИ8— 82 ДЛЯ Г^ С. РаССМО-
треть частные случаи: а) с = оо; б) 82 = оо; в) 8^ = 83= 8.
40. Найти решение внутренних краевых задач в кольце Ri К г <, R^ для
уравнения Аи = Л с краевыми условиями:
а) «Ui^-wp "lr=i?, = «2' б) «Ui?,=-«i,-^
Г=о/?2
41. Найти решение краевой задачи Aw= 1, " |^=/^^ =0, « j^-^/^^ ~^
в сферическом слое R^ К г <. R2-
42. Найти распределение потенциала электростатического поля и (х, у)
внутри коробки прямоугольного сечения —а < л: < а, —b <. у <С b, две
противоположные грани которой (л: = +а) имеют потенциал Уо> ^ две другие
заземлены.
105

Глава V
МЕТОД ДЮАМЕЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О РАСПРОСТРАНЕНИИ
КРАЕВОГО РЕЖИМА
Метод Дюамеля применяется к решению задач о
распространении краевого режима, т. е. задач вида
L[«] = p(M){""' A)
и
и (М, 0) ^ ut (М, 0) -= О (соответственно и (М, 0) = 0), B)
{а^ + ^и)^^=^1х{М^1)цA), л@-{о| 1^1] C)
и состоит в следуюш,ем,
1) Сначала решаем задачу A)—C) со стационарной
неоднородностью в краевом условии, т. е. с краевым условием вида
(стационарная неоднородность \х (М, т) в краевом режиме
включается с момента / = 0), где т — фиксированное число. Пусть
W (Му ty т) — решение этой задачи, непрерывное вместе с
производными первого порядка и с производной w^^ в области (М ^
eD; ^^0) *).
Тогда решением задачи A) — C) с краевыми и начальными
условиями вида
(а -^ + Р^^) = т] (/ — т) [х (М, т), и \t^^ = Ut |/=.х = О
(стационарная неоднородность fx (М, т) включается с момента
t = т) будет функция w (М^ t — т, х) г\ {t — т). Заметим, что во
внутренних точках М области D выполняются тождества
W (М, О, t) - wt (М, О, /) - 0. D)
2) Решением задачи A)—C) с краевыми и начальными
условиями вида
(а IJ + р^)^ ^ \i (М, т) [11 {t - т) -- r\{t^T~~ dx)\
(стационарная неоднородность |,i (М, т) в краевом режиме
действует лишь в течение промежутка времени от ^ === т до / = т +
+ di) будет функция
W (М, t — т, т) т] (/ — т) — W (М, / — т — dx, т) Г] (/ — т — dx) =
^~[w (Л1, t-x, х)ц{1- т)] dx.
*) Решение этой задачи надо трактовать как обобщенную функцию, по*
скольку т] (t) \к (М, т) есть обобщенная функция,
106

3) Ё исходной краевой задаче A)—C) неоднородность В к|)аё-
вом режиме действует в течение промежутка времени от О до t.
Поэтому можно ожидать, что решением задачи A)—C) будет
функция
t
и{М, t) = \-l^[wiM, t-x, x)y]{t-T)]dT. (**)
О
Непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости
этого предположения. В самом деле, эту функцию можно
записать также в виде
и(М, t) =
t i
=- J Г] (/ - т) ш< (М, / -" т, т) dT + J ш (Л1, / - т, т) б (/ - т) dx,
о о
ибо -^г] (^ —- т) = б (^ — т). Поскольку У] {t — т) = 1 для всех т
от О до ty то, используя основное свойство б-фуНКЦИИ, ПОЛ^|'ЧИМ
и (М, t) = \wt (М, / ~ т, т) dx -f w (М, О, 0. E)
о
Из этой формулы, а также из формулы для производной
t
щ (М, о == J Wtt (Л4, t-%, т) dx + Wt (М, О, О F)
о
непосредственно следует, что начальные условия B)
удовлетворяются (ш (М, О, t) ^ Wi (М, О, ^) = О для внутренних точек
области D), Краевое условие C) также удовлетворяется, так как
О
t t
= J ^{f^(M, т) rf{t - т)| dx=\±-\\^{M, т)т] (/ - тI dx -
О о
t t
0 0
Подставим выражения (**) для a (М, t) в уравнение A), для чего
воспользуемся формулами E) и F). Для внутренних точек
области D в силу D) имеем
и (М, t)='^Wt (М, t — x, х) dx,
о
t
щ (Л4, О = J ^tt {^у i — '^y '^) dx.
107

Следовательно, Uu == j Wtu (M, ^ — x, x) dx + w^ (M, 0, /).
0
Из тождества L [w {My t — x, x) ] = p (M) w^ (M, t — x, x),
пользуясь непрерывностью w^^ в области (М ^ D, /^ 0),
находим (при t — x--> 0)
L [w (M, 0, t)] =^ p (M) и;^^ (M, 0, 0 = 0,
поскольку w (M, 0, <) — 0 для внутренних точек области D, и,
следовательно, L [ш (УИ, О, t)] ^. 0.
Таким образом,
ы^^ {М, 0^1 ^/tt (^W, / — т, т) dx.
о
Поэтому
t
L [а] - р^^^^ ^ j _ |L [оу] - роу^^} dx - О,
о
так как L [w] ~ рщг по построению. То есть выражение (**)
дает решение задачи A)—C).
Рассмотрим частный случай, когда \i (М, t) = Q (t).
Аналогично предыдущему решение можно построить следукЗщим образом.
1) Решаем уравнение A) с краевым условием вида
т. е. для Q (t) =1.
Пусть R (М, f) — решение этой задачи. Тогда решением
задачи с краевым условием вида
(a|^ + P«)^ = ri(OQ(T),
где т — фиксированное число, будет функция Q (т) R (М, t).
2) Решением уравнения A) с краевыми и начальными
условиями вида
(a^+^a)^ = Q{x)^{t~~-xl
будет функция Q (х) R (М, t — х) г\ (t — т). Заметим, что в силу
начальных условий для всех внутренних точек области D
выполняются тождества
R (М, 0) = Rt (М, 0) - 0.
3) Решением уравнения A) с краевыми и начальными
условиями вида
(а 1^ + Р«)^ = Q (т) h (^ - т) - Г] (/- т - dT)],
108

будет функция
Q (т) [R (М, t - %) y]{t ~ х) - R (М, t - г - dx) y]{t ~ X - dx)] =
= Q{x)±[R{M, t~-x)y]it-x)]dx.
4) Решением исходной краевой задачи будет функция
t
о
в справедливости этого убеждаемся непосредственной проверкой,
как и в предыдущем случае.
Таким образом, в этом случае достаточно найти решение
R (Му t) задачи с очень простой (стационарной) неоднородностью
в краевом условии Q(/) = 1.
Пример. Найти решение задачи
a^Uxx = «^ и (х, 0) = О, и (О, 0 = 0, и (/, О = Q W-
Сначала находим решение задачи R (х, t) для Q (t) = 1. Функцию R (х, t)
ищем в виде суммы R = v (х) + Р (х^ t), в которой v (х) описывает стационарный
режим, а Р (х, t) — отклонение от него.
Для V (х) задача ставится следующим образом:
у"= О, у@) = 0, У (О = 1.
Решением будет функция х/1. Для Р (дс, /) задача ставится следующим
образом:
a^Pj^^ ^. Р^, Р (л:, 0) =- —х/1, Р (О, t) =^ Р (/, t) = 0.
Решая эту задачу методом разделения переменных (см. пример 1 гл. IV),
находим
оо
Коэффициенты Сп определяются из начального условия
оо
9 / n'l
И равны Сп
/1=1
■^ 2 (-1)^
Таким образом,
оо
i^ (;С, О == -f + — У -^^^^ б-'^^^П^ Sin -
I '■
п=1
Следовательно, решением исходной задачи будет функция
t
д
и{х, t)=^ ^Q (т) -^ IR {X, t-x)r](t-- т)] dx,
о
109

« (^, t) =-~ \ Q (T) --gfRi^y t ~-~ T) dT-j- {q (t) R (л:, / — T) 5 (^ — T) dT =-
0
-^R {X, t — T)dT + Q (t) R (x, 0).
j Q (T)
Функция R (x, 0) равна нулю для внутренних точек отрезка [О, /] и для л: = О,
а при X = I имеем R (х, 0) = 1.
Если надо решить задачу
Gi'^Uxx =^ Щу ы (л:, 0) ==^ О, и (О, t) == Qi (t), и (/, t) = Q2 (О»
то решение ищем в виде суммы двух функций и = v + Wy где
для V и W задачи ставятся следующим образом:
v: аЪ^^ - vu V (х, 0) - О, v (О, t) = Qi (О, v (/, t) = 0;
w: a^Wxx = Щ, ^ {Xy 0) = 0, w @, ^) === 0, t£> (/, t) = Q2 (t).
Каждая из этих задач решается методом Дюамеля, как показано
на примере.
Этот метод применяется и для решения краевых задач на
полубесконечной прямой.
Глава VI
МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
И ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Одним из наиболее употребительных методов решения
линейных задач для дифференциальных уравнений является метод
функций Грина. Он состоит в том, что сначала находят некоторое
специальное решение задачи того же типа и через него в
квадратурах выражают решения исходной задачи.
Подробнее опишем метод на примерах решения краевых задач
и задач Коши. Вопросы единственности решения этих задач
рассматриваются в гл. VIII.
§ 1. Сущность метода функций Грина решения
краевых задач и задачи Коши для уравнений
параболического типа
1. Пусть требуется найти решение однородной краевой задачи
в области В -=Е (М е D; t > 0}
L [и] = рЩу A)
(V.|^+V.«),==0, B)
и {М, 0) = Ф (М), C)
непрерывное в замкнутой области В = {М ^ D; t^O].
110

предположим, что, какова бы ни была точка Р из области
D (Р ^ D), мы можем найти решение специальной однородной
задачи
L [G] = pGb D)
^G.^ + 7.0)^=^0, E)
G\t=.o -б(М, Р), F)
непрерывное всюду в замкнутой области S, кроме точки (Р; 0).
Здесь б (УИ; Р) — б-функция с особенностью в точке Р.
Решение этой последней задачи будет функцией точек М, Р
и переменной ^, т. е. G =^ G (УИ, Я; t). Оно называется функцией
Грина исходной задачи A)—C).
Итак, предположим, что нам известна функция Грина. Тогда
решение задачи A)—C) и{М, t) выражается через функцию Грина
в квадратурах:
и{М, t)= ( G (М, Р; О ф (Р) dxp. G)
D
В самом деле, в предположении, что правую часть в G) можно
дифференцировать под знаком интеграла надлежащее число раз
по координатам точки М и по переменной ^, имеем
L[u]= ((р (Р) L [G] drp - [ ф (Р) р (М) Gt dtp = рщ
D D
и
и (М, 0) = j G |,^оФ (Р) dxp^ ( fi (М, Р) ф (Р) dtp = ф (М) *).
D D
Таким образом, задача A)—C) сводится к нахождению функции
Грина и к проверке законности дифференцирования под знаком
интеграла необходимое число раз по координатам точки М и по
переменной t правой части формулы G).
2. Если требуется найти решение неоднородной краевой
задачи вида
L \и] + f {М, t) -== рщ. (8)
(Vi|f + V.^), = 0' (9)
// (М, 0) - ф (М), A0)
непрерывное в 5, то решение ищем в виде суммы двух функций
и = V + W, являющихся непрерывными в В решениями
следующих задач:
v: L [v] =^ pvty
Yx^+T2t')^-0; v{M, 0) = ф(/И),
w: L [w] + f {M, t) = pwt, A1)
Функцию Ф (M) предполагаем непрерывной в D.

w (Л4, 0) - 0. A3) '
Согласно п. I функция v (М, t) имеет вид
v{M, t)= \G{M, P] t)i^{P)dxp.
D
Решение задачи для w (/И, t) методом, описанным в гл. III
§ 6, сводится к решению однородной задачи. Действительно,
если Щ {My t\ 0) есть решение однородной краевой задачи
1[Щ] =рЩ,у A4)
{у,^ + у,Щ)^==0. A5)
t
(М, t)=\imM, t\ e)d9. A7)
то
w
в самом деле,
о
ш(М, 0)- J/Z(dG = 0,
о
/ t
L [W] - J L [Щ] de '■= J pЩt d9,
о о
t
L [w] + / (Af, 0 = J рЩ, dQ + / (M, 0.
0
По правилу дифференцирования интеграла с переменным
верхним пределом по параметру находим
се',-Я(|е=.Н- fzZ(aM,/;e)d9.
о
Используя начальное условие A6), получим
о
Следовательно,
i
pwt - / (Л1, О + J plUt do ^ L [w] Л- f (М, 0.
о
112

Таким образом, функция w {My t) является решением
неоднородного уравнения A1). Справедливость краевых условий A2) для
функции A7) проверяется непосредственно.
Функцию Щ (М, t\ 9) с помощью функции Грина можно
написать в виде
Щ{М, t\Q)= JG(M, Р; /-9) ^^У dxp.
D
Следовательно,
t
w{M, i)= J JG(M, P; i^Q)lSLL^dxpm.
0 D
3. в случае произвольной неоднородной краевой задачи
L [и] + f{M, t) ^ рщ, A8)
(Vi|f + V2^X = ^(A^, О, A9)
и (М, 0) - ф (М) B0)
решение надо искать в виде суммы двух функций и = Ui -{- а>^,
где u-i (М, t) — какая-нибудь функция, удовлетворяющая крае-
, вому условию A9), для которой определены L [и^] w Ыц. Тогда
для ^2 (^» О задача сводится к рассмотренной в п. 2.
4. Определим понятие функции Грина задачи Коши
L [и] + f {М, t) = put, B1)
■ ц (М, 0) - ф (М). B2)
Определение. Функцией Грина задачи Коши B1)—
B2) называется решение однородной задачи Коши
L [G] - pGb
G\t==o = Ь{М, Р),
непрерывное всюду в замкнутой области В = [Л4 — любая точка
пространства, ^^0), кроме точки (Р; 0) ^ В.
Предположим, что нам известна функция Грина для любой
фиксированной точки Р. Тогда решение задачи Коши B1)—B2)
для однородного уравнения (/ (М, t) ~ 0) имеет вид
оо
и{М, О = I • • • j G (М, Р; t) ф {Р)с1хр, B3)
—оо
где интегрирование по координатам точки Р производится по
всему пространству.
Проверка справедливости этого утверждения сводится к
проверке законности производить операции L [ ] и -^под знаком
интеграла в формуле B3).
ИЗ

в самом деле,
оо оо
L[u] = l--\LlGUp{P)drp-= \---\(iGt(p{P)drp = рщ,
immOO —ОО
О»
и(М, 0) --{•••Jg(M, Р; 0)(f>(P)drp =
—оо
оо
= |--|б(Л'1, Р)ф(Р)ЙТр = ф(М).
00
5. Если речь идет о нахождении решения задачи Коши для
неоднородного уравнения
L [и] + f{M, t) = рщ
с начальными условиями и (М, 0) — ф (Л1), то, аналогично
вышеописанному, решение следует искать в виде суммы двух
функций и = V ~{- W, являющихся решениями следующих задач:
v\ L [v] == рУь V (М, 0) -= ф (М);
ш: L [w] + f (М, t) = ршь W (М, 0) - 0.
Решение последней задачи сводится к решению однородной
задачи Коши: если Щ (УИ, /; 9) есть решение задачи Коши
9(М)
ТО
Wi
'(М, ()=\Щ{М, t] Q)dQ.
Проверка справедливости этого равенства производится
совершенно так же, как и в случае краевой задачи.
Пусть нам известна функция Грина задачи Коши G (УИ, Р] t);
тогда
— оо
Щ{М, t; 0) = J--Jg(M, Р; t-^-Qj^f^dxp
w{M,i)^\\---\G{M, Р- t-^Q)^f^dxpdQ.
О —оо ^ ^ '
Интегрирование по координатам точки Р производится по всему
пространству. Таким образом, решение краевых задач и задачи
Коши для уравнения L [и] + f (М, t) == рщ сводится к
нахождению соответствующих функций Грина.
6. Функция Грина краевой задачи может быть найдена
методом разделения переменных. В самом деле, формальное при-
114

менение метода разделения переменных к нахождению решения
задачи D)—F) дает нам ряд
оо
G{M. P;t)= S СпФп{М)е'^''гг\
где ^rt — собственные значения, а Ф,^ (М) — отвечающие им
собственные функции оператора L. Коэффициенты ряда Сп находим,
пользуясь начальным условием для G и ортогональностью
собственных функций:
D
D,
Таким образом, для краевых задач функция Грина представляется
рядом Фурье по собственным функциям задачи
оо
G,м,/.;o=2^^w® "</■)«
Легко убедиться в том, что решение краевой задачи A)—C),
полученное с помощью этой функции Грина по формуле G),
имеет такой же вид, как и решение этой задачи, полученное в § 2
гл. IV методом Фурье *).
Для некоторых уравнений параболического типа удается найти
и функцию Грина задачи Коши. Это можно сделать, например,
для простейшего уравнения теплопроводности а^ /S.u = щ в
пространстве любого конечного числа измерений. Построению
функции Грина для такого уравнения и решению задачи Коши
посвящены последующие параграфы этой главы.
§ 2. Построение функции Грина задачи Коши
на прямой
1. Функцией Грина G (х — g, t) задачи Коши для простейшего
уравнения теплопроводности на бесконечной прямой называется
решение задачи Коши
a^U:,y, -= щ, B4)
и (х, 0) - ф (х) - б (х - g), B5)
непрерывное всюду в области
By ~ [— оо < л: < оо; / ^ 0}, кроме точки (^, 0).
*) Читателю рекомендуется доказать это.
115

Построим эту функцию G (л: —- I, t). Для этого решим сначала
следующую специальную задачу Коши:
а^и^:^ = uu B6)
f О, ;с<0,
^(;с,0) = ф(д;) = г1(д;) = { j^ ^^^ B7)
Будем искать автомодельное решение этой задачи *), т. е. решение
в классе функций вида / {xlt^)y где число а называется
показателем автомодельности.
Подставив функцию i/ == / {xli^) в уравнение B6), получим
-^f"iz)=^^f'{z), где z = ^.
Чтобы это равенство было тождественным относительно z,
необходимо, чтобы а = 1/2. Уравнение для f (г) будет иметь вид
/"(г)+2^ГB) = 0. B8)
Из начальных условий B7) для и (л:, t) находим
/(-оо) =0, /(+оо) = 1. B9)
Таким образом, з^адача мя f (г) поставлена.
Интегрируя соотношение B8), получим
In Г (^) = -^ + In С, или Г (г) = Ce-VDaa)
Отсюда
Z г/{2а)
f{z) = C J ^-'^VDa^) dl - 2aC j e-y'dy.
Эта функция удовлетворяет первому из условий B9); из второго
условия находим соотношение для определения С:
сю
1 = 2аС j е-у' dy = 2аСУп.
Отсюда С = \1{2ау'^п). Таким образом, решение задачи B6)—
B7) имеет вид
—оо
Его можно записать также в виде
о х/УТаЧ
*) Об автомодельных решениях см. Седов Л. И. Методы подобия и
размерности в механике. ~М.: Наука, 1972.
116

или
C0)
и{х, 0 = 4-I"l+0/~T^V
+ Ф(
V^a^t J
2 Г
где Ф (z) = е'^У* dy — интеграл ошибок. Эта функция удов-
^ о
летворяет уравнению B6) и имеет непрерывные в Bi производные
Uxxx и Uxt- Дифференцируя тождествоfa^i/^c^ ^ Щ по
переменной X, получим тождество
a''{Ux)xx = (Wjt/
которое означает, что производная и^ функции C0) является
решением уравнения B6). Она удовлетворяет начальному условию
Ux (л:, 0) = ц' (х — I),
где производная единичной функции понимается как производная
обобщенной функции (см. Дополнение). Поскольку г]' (л:) = б (л;),
то Ux {Ху 0) == б (л: — I). Таким образом, производная
^/^^fфункции C0) является решением уравнения B6), удовлетворяющим
начальному условию B7). Очевидно, она непрерывна всюду
в замкнутой области fii, кроме точки E; 0). Согласно
определению функции Грина G (л: — 5, t) функция и^ совпадает с нею, т. е.
Нередко функцию
^ g-.^VDa2/)
1/*4яа2/
называют фундаментальным решением уравнения
теплопроводности B6)
Если в условии B7) функция ф (л;) == и^г] (х — Xi), то
решением задачи B6)—B7) будет функция
■"^•"=f['+<^(fSf)]-
Если же и (Ху 0) = Uq [г\ (х — Xi) — ц (х — Х2) ], то
""■'> = ^hGPr)-<^Gw)]- ''^'
Представим себе теперь, что на отрезке [a:i, Х2] в начальный
момент времени (t = 0) выделилось количество тепла Q,
равномерно распределенное по отрезку. Это равносильно заданию
начальной температуры
^(^' Q) - ср (х^- X,) [^ (^ - ^х) - л (^ " ^2)] ♦
117

Такому Начальному значению соответстЁует, в силу C2), решение
задачи Коши
u(x,t)=^.-Al^^ UCio^ 33)
Z6p Х2 — Xi
Если мы теперь будем стягивать отрезок [Xi^ Х2] в точку Xq
и сохранять при этом количество тепла Q, то функция C3) будет
стремиться к пределу, равному
Q (^ ф/ х^ \ I ^ О 1
^-(дс-дСоODа2/)^
Таким образом, функция G (л: — ^, ^) дает температуру в точках
бесконечной прямой (например, бесконечного тонкого стержня)
при / > О, обусловленную мгновенным выделением в начальный
момент времени (^ = 0) в точке х ~-= I, количества тепла Q = ф;
поэтому вполне оправдано ее второе наименование как функции
влияния мгновенного точечного теплового источника. Если Q =^ ф,
то температура равна — G {х — g, t).
ср
Замечание. Если в точках ^i и ^2 в начальный момент
времени мгновенно выделились количества тепла, равные
соответственно Qi и Qg, то температура на бесконечной прямой,
обусловленная этими источниками, равна
-^G(x-l„ 0 + -|-G(x-|„ t),
2. Функцию Грина G (х — g, t) можно также построить
следующим способом. (Указывается лишь алгоритм построения, без
его обоснования.)
Допустим, что функция G (х, t) является решением задачи
Коши
(^'^Кхх == Щу i^ {^у 0) == б (х).
Тогда выполняются тождества
аЮ^^ =Gt, G (х, 0) = б {х).
Применяя к этим тождествам преобразование Фурье и вводя
обозначение
g ((О, t)= \ G{x, t) е-^^^' dx,
получим
gt + a'io'g - О, C4)
g^(co, 0) ^ 1, C5)
так как преобразование Фурье от производной ^-го порядка f^^^{x)
функции f (х) равно произведению (ш)^ на преобразование Фурье
функции f (х) и преобразование Фурье дельта-функции Ь (х)
равно I.
118

Очевидно, решением задачи C4)—C5) является функция
g (о), t) = е-^'^'Г
Применяя к ней обратное преобразование Фурье, находим G (х, t)i
оо
ОО
Мы при этом воспользовались тем, что
оо __
J а
—оо
Так как уравнение B6) инвариантно относительно
преобразования сдвига, функция Грина с особенностью в точке х = I
будет равна
§ 3. Решение задачи о распространении тепла
на бесконечной прямой (задачи Коши)
и на полупрямой
1. Теперь мы можем построить решение задачи Коши.
Рассмотрим сначала однородное уравнение
a^tiy,^ = t^ty C6)
и (х, 0) - ф (х), C7)
где ф (л:) — непрерывная функция.
Согласно рассуждениям § ^настоящей главы (п. 4) и
формуле B3) решением будет функция
оо
W (Аг, о = \ G (х ~- I t) ф Ц) dl C8)
—оо
Надо лишь показать законность вычисления производных и^х
и щ путем дифференцирования по этим переменным под знаком
интеграла. Мы это сделаем позже.
Формулу C8) можно получить и из наглядных соображений.
Для этого воспользуемся температурной интерпретацией задачи.
На прямой / == О возьмем отрезок длины dg, содержащий точку
X = I, Количество тепла, выделившегося в момент / = О на
этом отрезке, равно фф A) dl. Это количество тепла можно отнести
к точке I. Таким образом, мы будем иметь точечный источник,
в котором мгновенно в момент времени ^ = О в точке х = I
выделилось количество тепла dQ ^ фф (I) dl. Температура на
бесконечной прямой для ^ > О, обусловленная действием этого
источника, равна
^G{x~-l 0 = cp(|)G(x-L t}dl.
119

и так для каждого отрезка длины dl прямой / = 0. Имея в виду
замечание на стр. 118, естественно предположить, что температура,
обусловленная действием всех таких отрезков, т. е.
обусловленная заданием начальной температуры и (х, 0) = ф (х), будет
равна
и (X, t)= f ф (I) G{x-l t) dl . C9)
—оо
Если это верно, то функция C9) и будет решением задачи Коши
C6)—C7). Чтобы убедиться в справедливости последнего,
достаточно доказать, что функция C9) удовлетворяет уравнению C6)
для всех —оо <л:<оои/>0, а также начальному^условию C7).
Проверим сначала условие C7). Согласно формуле C9) и
учитывая также, что G (х — ^, 0) == б (х — |), имеем
оо оо
H(x, 0)= I ф©С(л:-|, 0)rfi= I <f{l)8{x-l)dl = (f{x).
—оо —оо
Последний интеграл равен ф (х) согласно основному свойству
fi-функции. Таким образом, функция C9) действительно
удовлетворяет условию C7).
Чтобы установить, что функция C9) является решением
уравнения C6), достаточно доказать, что эту функцию можно
дифференцировать по X (дважды) и по ^ под знаком интеграла.
Действительно, если
оо
Uxx = J Ф A) Gxx {X - I, t) dl
—оо
и
оо
tit= J ^^{l)Gt{x-l, t)dl,
TO
a^tixx -Ut=^ J Ф (I) ja^G^^ -Gt]dl^O,
—oo
так как функция G (x — |, t) является решением уравнения C6).
Очевидно, достаточно показать, что интеграл C9) сходится,
а интегралы
оо оо «о
I <fil)Gtdl, I ^a)G,dl и \ (piDG^^dl (**)
—оо —оо —оо
равномерно сходятся в области J3g = {—оо < л: < оо; t ^ г}
с произвольным 8 > 0.
Для упрощения выкладок будем предполагать при этом, что
Ф {х) ограничена, т. е. | ф (х) | < УИ. В интеграле C9) произведем
120

замену переменной интегрирования: а = {I — x)/\^ia^t. Тогда
(см. формулу C1), стр. 117)
оо
и (JC, t) = -4=- f Ф (-^ + 2аа //) е-^' da,
awOO
ОО
\и(х, t\<-^ f Iф(л: + 2ааI/OIе""' da <
м
4^ [ e~^'da = M, D0)
Таким образом, интеграл C9) сходится, притом равномерно,
в области Bi и \ и\ <с М. Если предположить дополнительно,
что ф (д;) непрерывна всюду, то из этого следует также
непрерывность функции C9) в замкнутой области Бх *).
Замечание. Из неравенства D0) следует, что если
начальные значения ф^ (л:) и фа (л:) отличаются меньше чем на 8,
т. е. I ф1 (л;) — ф2 WI < & для всех л:, то соответствуюш^ие им
решения задачи Коши Ui (л:, t) и Wg (л:, t) также отличаются друг
от друга меньше чем на е, т. е.
I ^1 i^y О —  {Ху 01 < ^»
Таким образом, решение задачи Коши непрерывно зависит от
начальных значений.
Рассмотрим теперь первый из интегралов (**):
оо оо
I q>{l)Gtdl=- J -i^G(x-|, t)dl +
м»0О —00
+ J'-^^G(x-l,t)dl И*)
—оо
Первый интеграл заменой переменной а = (^ — x)/y^ia^t
сводится к интегралу
оо
— оо
Этот интеграл равномерно сходится в области В^ с
произвольным 8 > О, поскольку подынтегральная функция
мажорируется в этой области функцией—-^г-е''^\ интеграл от которой
*) При дополнительном предположении об ограниченности функции ф (л:).
Если ф (л:) кусочно-непрерывна, то функция C9) непрерывна всюду в Bi, кроме
точек прямой / = О, в которых ф (л:) разрывна.
121

схоДитсй / Второй интеграл (***) той же заменой переменной
сводится к интегралу
оо
'Ц){х-{-2аау1)е-^Ча.
Vnt
Этот интеграл равномерно сходится в области Bq с
произвольным 8 > О, поскольку подынтегральная функция мажорируется
в этой области функцией—р=--а^е~°^', интеграл от которой схо-
дится. Аналогично поступаем с третьим интегралом (**). Таким
образом, мы доказали, что формула C9) действительно дает
решение задачи Коши C6)—C7). Этот результат верен и для
функций Ф (л:), неограниченно возрастающих при л:-^оо, например,
для таких, для которых существуют постоянные b ^ О и N > 0^
что I ф (л:) I <: Л/" ехр (Ь \ х \).
2. Аналогично строятся решения задач:
а) a^Uxx = Uf, и (л:, 0) = ф (х) (О <: л: < оо), и (О, t) = О,
оо
и{х, 0==J ^РAHЦх, g; t) rf|; D1)
о
б) а^и^^х "= ^в» ti (х, 0) = ф (х) (О < л: < оо), и^ (О, t) = О,
оо
и{х, 0 = J 0**(л:, I; t)^p{l)dl D2)
о
3. Функция Грина задачи
a^t^xx + f (л:, t) = щ, D3)
и (X, 0) - ф (х), D4)
и (О, t)=^\) (О, D5)
X, t ^ О,
определяется следующим образом.
Функцией Грина G* (х, |; t) задачи D3)—D5) называется
решение задачи
G* (X, g; 0) - б (X - g),
G* (О, I; f) - О, I. X, t> 0,
непрерывное всюду в замкнутой области
В^ = \х^0, i^0\,
кроме точки (g, 0).
Для нахождения этой функции Грина воспользуемся'
следующим свойством решения задачи Коши.
Для решения задачи Коши
ci^Uj^x = ^f> D6)
и (X, 0) =^ ф (х) D7)
122

с нечетной функцией ф (х) выполняется тождество
и (О, О ^ О, ^ > 0.
Действительно, решение задачи D6)—D7) имеет вид
сю
и(х, 0= j G(x-~l, 09(i)di,
где G{x — l. t) =
получим
и {О, t):
1
е-{х-~1)\1{АаН)^ Полагая здесь л: = О,
Y ^шч
J ^~^D«^Оф(^)^^ = 0,
так как подынтегральное выражение есть нечетная функция.
Решение задачи Коши
^ Gxx = Gt у
G* (X, g; 0)^b{x~l)-8{x+l), g > О,
непрерывное всюду в области JBi, кроме точек (—i, 0) и (^, 0),
согласно упомянутому свойству и будет искомой функцией Грина.
Очевидно,
G* (л:, i; О - ■
ехр
(x-l)^
^аЧ
ехр
4аЧ
I
D8)
D9)
E0)
\^4шЧ
4. Функция Грина задачи
а\^х + f (л:, t) = Ut,
и (л:, 0) =^ ф (л:),
и, (О, О =- ^ (О
определяется следующим образом.
Функцией Грина G**(x, i; О задачи D8)—E0) называется
реиление задачи
or Gxx = G* ,
G**(^, S; 0) =6(^-g),
G:*@, i; 0 = 0, л:, i, />0,
непрерывное всюду в замкнутой области В^, кроме точки E, 0).
Для нахождения ее воспользуемся следующим свойством
решения задачи Коши D6)—D7).
Для решения задачи Kouiu D6)—D7) с четной функцией ф (л:)
выполняется тождество
и^ (О, 0 = 0, / > 0.
Действительно, дифференцируя функцию
и{х, i)= \ G{x-l ОфA)^1
123

по переменной х и полагая затем л: = О, получим
оо
янОО
так как подынтегральное выражение есть нечетная функция.
Решение задачи Коши
а Gxx = Gi ,
G** {X, 1^0) = Ь{х-1) + Ь{х+1), l> О,
непрерывное всюду в области Bj, кроме точек (—g, 0) и (^, 0),
согласно упомянутому свойству и будет искомой функцией Грина.
Очевидно,
5. Доказательство того, что функции D1) и D2) являются
решениями задач а) и б), проводится совершенно аналогично
предыдущему.
Замечание 1. Из формулы C9) следует, что тепло
распространяется вдоль стержня мгновенно. Действительно, пусть
начальная температура ф (л:) положительна на конечном отрезке
{х^у лга) бесконечного стержня и равна нулю вне (a:i, х^. Тогда
температура произвольной точки х стержня равна
и{х, t)= J ф(|H(х--|, t)d%
Очевидно, при сколь угодно малых / > О эта функция
положительна для любого X, К такому выводу мы пришли вследствие
недостаточной точности (грубости) физической модели, которой
мы пользовались при постановке задачи Коши (например, при
написании уравнения C6)).
Замечание 2. Полученную формулу C9) можно
рассматривать как свертку (см. Дополнение) фундаментального
решения
G(x, t)^ ^1 g"-^VDa«o
с начальной функцией ф (л:), т. е.
и (л:, t) = G (л:, /) * ф (л:).
Если в этой формуле в качестве начальной функции ф (л:) брать
произвольную финитную обобщенную функцию, то и (л:, /) будет
также решением задачи Коши.
6. Рассмотрим несколько примеров.
пример 1. Решить задачу Коши
124

По формуле C8)
оо
u(x,t)^ J Ф A) G{x-l, t) dl =
о «•
= Ui j G(x-l, t)dl + U2^ G(x-l, t)dl,
й~оо 0
производя замену переменной а = (х — 5)/V^4a^/, получим
°° xlYAa^t
(О Jt//4a2'A / о —о
1+ J ]-Ы J ч
2 "^ 2
Пример 2. Решить задачу Коши
Лзсх = «/, « (а:, 0) = Ае^^^.
По формуле C8) имеем
Т *
и{х. t) = A J e-^'G (л: - g. О dl,
I—оо
произведя замену переменной а = (^ — хIУ\аЧ^ получим
—оо
2 оо _
__ Ае~'^ Г ■^AxaaYi^{AaH-\-\)a* .
«—оо
j/'jl J
iP—оо
произведя в последнем интеграле замену переменной по формуле
2ахУТ
da.
■ -f )/ 4- 4а2^а = р, получим
и (X, О = -4=- е-^'^^'-^'^''^ ^ Г e-^'df^ = -^ ,--д:«/A+4а«0.
УИ yi+АаЧ J 1/+4а2/
7. Обратимся к неоднородному уравнению. Решение задачи
Коши
ci^u^x + ! (л:, t) - uu E1)
и (л:, 0) = ф (л:) E2)
125

будем искать в виде суммы двух функций и (л:, t) == v (jc, /) +
+ w {Xy t)y являющихся решениями следующих задач:
v: a^v^y, = Vu v (л:, 0) -= ф (л:);
w: a^w^^ + / (л:, t) = w^, Eii)
w (x, 0) - 0. E3)
Функция V (л:, t) дается формулой C9). Решение задачи E1i),
E3) можно получить методом, описанным в гл. III, § 6, п. 1.
Это решение равно интегралу
t
W (Х, t) = \lU (Х, /, Т) dx,
о
где Щ (л:, ^, т) есть решение однородной задачи Кошн
am,,^mt. zz(|,^,^/(x, т).
Согласно § 1 настоящей главы оно равно
оо
Щ{х, t, г)= \ G{x-l t--x)f il т) dl
—оо
Следовательно,
t оо
w{x, t)^\ \ G {X ^-1 t^%)f il т) dl dx. E4)
о —оо
Эту функцию можно также получить, если воспользоваться
температурной интерпретацией функции Грина и уравнения E1i).
В этом уравнении cpf (л:, t) есть плотность тепловых источников
в единицу времени *). Следовательно, на отрезке длины dg,
содержащем точку i, за промежуток времени (т, т + dr) выделится
количество тепла dQ = cpf (i, т) dl dx. Если это количество тепла
считать выделившимся в точке g мгновенно в момент времени т,
то температура, обусловленная действием этого источника, будет
равна
-^ G (X - i, / - т) =/ (i, т) G (X - i ^ - т) dldx.
Имея в виду замечание на стр. 118, естественно предположить, что
температура, обусловленная действием всех таких источников
(распределенных по всей прямой) в течение промежутка времени
от О до ^^ будет равна
t со
ш(;с, /) = J \ f{tx)G{x-~l, t-x)dldx,
о —оо
Если в частности, тепловой источник действует лишь в точке io»
но изменяется со временем, то функция / (л:, t) в уравнении E1)
будет иметь'^вид
/ (^, О -f{t)b{x- io).
*) См. вывод уравнения теплопроводности (стр. 27).
126

Тогда решение задачи EIi), E3) с такой неоднородностью буде!^
иметь вид
t оо
(X, 0 = 1 j b{l-l,)f{x)G{x^l, t~T)dldx =
о —"оо
^ j / (т) G (х - Ео, t~~ т) dx.
Мы здесь воспользовались свойством б-функции.
Замечание 3. Решение задачи Коши для неоднородного
уравнения с нулевыми начальными значениями
ci'^t^xx + / {х, t) ^ Щу и (л:, 0) ^ О
также можно записать в виде свертки (по двум переменным!)
фундаментального решения G (л:, t) с функцией / (л:, г'):
t оо
и{х, t) = G{x, t) ^ f{x, t)=\ J G(x~|, t-^T)f{l x)dld%.
0 —oo
Замечание 4. Решение задачи E1i), E3) на полупрямой
с краевым условием w (О, t) == О (или w^ (О, t) = 0) строится
аналогично и дается формулой
t оо
W (х, t) = \\ f(l т) G* (л:, I t-%) dld%
о о
/ ^ оо \
или 5Х) = J J /G** di dx
0 0
§ 4. Решение задачи о распространении тепла
в трехмерном (двумерном) пространстве
Теперь обратимся к рассмотрению задачи Коши для
уравнения теплопроводности в двумерном и трехмерном пространствах.
Рассмотрим сначала однородное уравнение
а^ Aw ^ щ. E5)
Функцией Грина G (М, М^\ t) задачи Коши для уравнения E5)
называется такое его peuienue, которое:
а) удовлетворяет начальному условию
и (М, 0) = б (М, Мо); E6)
б) непрерывно всюду в замкнутой области
Dg = |—оо<х, у, z<oo; /^0|,
кроме точки {xq^ уо> ^о> 0)-
Здесь х, у, 2 и Xq, у^у Zq — координаты точек соответственно М
и Мо, б (М, Мо) есть б-функция с особенностью в точке М©. Для
нахождения G (М, Мо; t) докажем сначала лемму.
127

Лемма. Если в задаче Коши
а^ ^u = щ, и {М, 0) = ф (УИ)
начальная функция ф (М) представляется в виде
Ф (М) = ф1 (л:) Фз (^)^Фз (г),
то решением задачи^будет функция
и (М, t) = Ui (л:, t) ^2 (у* t) из (г, t),
где Ui (л:, t)^ и^ {у, 0> ^з (^» О — решения соответствующих
одномерных задач:
a^tii^x = tilt, Ui (х, 0) = фх (х)
и т. д.
Доказательство. В силу условий леммы
а^А {u^u^Us) = u^u^a^Uixx + t^i^h^^^^yy + u^u^a^u^zz ^
= W2^3^if + Wi/^g^a^ -}- ^г/а^з^ = {UiU2Us)t'
Таким образом, и =^ UiU^u^ удовлетворяет данному уравнению
и, очевидно, также начальному условию.
Заметим, далее, что б (М, Mq) — Ь (х — Xq) Ь{у — г/^) b(z — Zq).
Поэтому, применяя доказанную лемму к задаче E5)—E6),
получим искомую функцию Грина в виде
G (М, Мо; t) ==G(x- хо, t)G{y- у,, t) G {г - z,, t).
Используя формулы для одномерных функций Грина G {х —
— XQy t) и т. д., получим
для трехмерного пространства и аналогично
1 \-.^„ Г {X--Ха)^ + (у - Уо)'' 1
^(^•^»^^) = Gibr)^^p[-
\ j/*4Jia2/ / ^ L 4а2/ J
ДЛЯ двумерного пространства. Эти решения называют также
фундаментальными решениями уравнения теплопроводности
а^ Аи = щ.
По причинам, о которых мы говорили в § 1 (стр. 118), эти
функции называют также функциями влияния мгновенного точечного
теплового источника. Если в точке Mq в начальный момент^*^ =
— О мгновенно выделится количество тепла, равное Q, то
температура в произвольной точке М пространства, обусловленная
действием этого источника, равна (для t >0)-~-G(M, Mq\ t).
Легко построить решение задачи Коши для однородного
уравнения
а^Аа = Ui, и (л:, г/, г, 0) =^ Ф (л:, //, г).
Решением будет функция
и (х, у, Z, t) =
оо оо оо
= J J J cp(L ri, l)G{x, ij, z, t Ц, I; t)dldr\cg. E7)
—oo —oo —oo
128

Решением задачи
а^Аи + / (х, у, 2, /) --= Ut,
и {х, у, Z, 0) -- О
будет функция
^ оо оо оо
и{х, у, Z, t) = \ J J \ fit ц, I, %) X
-СХ) —СХ) ОО
X G(x, у, Z, g, т], С; / - T)didii4rfr. E8)
Решение задачи Коши для неоднородного уравнения
а'Аи + / (/И, /) - Ut,
и (/И, 0) - ф (М)
равно сумме функции! E7) и E8).
Доказательства последних утверждений проводятся почти
дословно так же, как это делалось для одномерного случая. Поэтому
мы их не будем приводить.
Замечание. Решение задачи Коши
а^Аи = Ut, и (Л4, 0) =^ ф {х, у, г)
можно также записать в виде свертки (по трем переменным!)
фундаментального решения
G (х, //, г\ /)===( ^ ехр — ir^—
С начальной функцией ф {х, у, г):
и (х, у, г, /) = G (х, у, z\ i) * ф {х, у, z) =
сю
= JJJg(^-£, у^ц, z^l; /)ф(|, г], Q с/^п ^С
— ОО
Мы проиллюстрировали применение метода функций Грина
к решению задач в бесконечном пространстве или в
полупространстве. Как указывалось в § 1, этот метод можно применять также
и к решению краевых задач в ограниченных (по пространственным
переменным) областях. Так, если определить функцию Грина
первой краевой задачи как решение задачи
и (О, /) - О - ^^ (/, /), и (Х, 0) - б (Х — Xq),
непрерывное всюду в области D/ = (О < л: < /; / ^ 0), кроме
точки (Xq, 0) (обозначим это решение через G {х, х^] /)) *), то
*) Решая эту задачу методом разделения переменных, находим
ОО
G {X, Хо] 0=— > sin-px-sin-—-Vosin—-—-.
5 Арсенин В.Я- 129

решение задачи
а-//,,^. -^ ill,
и (О, /) - // (/, /) - О, // (х, 0) - (() (.V)
можно записать в виде
и{х, /) = Jcp©G(x, 1\ t)dt
о
Аналогично обстоит дело в случаях второй и третьей краевых
задач. Однако этот метод не характерен для ограниченных
областей и обычно не применяется.
§ 5. Устойчивость решения задачи Коши к малым
изменениям исходных данных
Пользуясь формулами C8) и E7), E4) и E8), нетрудно показать
устойчивость решения задачи Коши для простейшего уравнения
параболического типа к малым изменениям исходных данных:
начальных значений ср (х), ср (УИ) и неоднородностей в уравнениях
(плотностей источников) f {х, t), f (М, t).
Мы докажем соответствуюш^ие теоремы для одномерного
случая. Для двумерного и трехмерного случаев они формулируются
и доказываются совершенно аналогично.
Т е о р е м а 1. Если в задачах Коти
а-и^^, -^^ щ, и {х, 0) ^^ cpi (х), —оо < X < оо, E9)
и
сР'^хх = ^ь ^ ('^, 0) == фо (.г), —оо < л: < ОО, F0)
для начальных значений ф1 {х) и ср2 (х) выполняется неравенство
I Ф1 W — Ф2 WI < е F1)
при всех значениях х, то для решений зтих задач и {x,J) и v {х, i)
выполняется неравенство
\ и (х, i) — V {х, /) I < 8
при всех значениях х и / ^ 0.
Доказательство. Используя формулу C8) для
решения задач E9) и F0), а также неравенство F1), получим
I V (Л', /) — и (Х, /) 1 <
оо оо
< j G(x --L /)iФl(?)"Ф.(l)И^<e j G(x~g, t)dl^E^
так как J G {x —- |, t) dl ^ 1.
Справедливость последнего равенства устанавливается
непосредственным вычислением интеграла. Производя в нем замену
130

переменной интегрирования по формуле | — х + ос \/ 4аЧ,
получим dl ^ / Ad^'t da и
—ее —оо
Теорема доказана.
Для доказательства устойчивости решения задачи Коши к
малым изменениям неоднородности в уравнении, очевидно, достаточно
рассмотреть решение с нулевыхми начальными значениями.
Теорема 2. Каковы бы ни были положительные числа е
и Т, существует такое б ^ б (е, Т), что если в задачах Коши
^^а^х -\- /i {>^. О " ^'^ь ^^ {^^ 0) -- О F2)
и
a'v,. Н ■ /2 {X, t) --^ vu V (л:, 0) - О F3)
функции fi {х, t) и /о {х, t) при всех значениях х и Q < t < Т
удовлетворяют неравенству
\hix, 0-/2(^^ t)\ < б(е, т). F4)
то для решений этих задач и {х, t) и v {х, t) выполняется
неравенство
\ и {х, t) — V (x^t) I < г
при всех значениях х и О < t ^ Т,
Доказательство. Используя формулу E4) для
решения задач F2) и F3), а также неравенство F4), для О < ^ < Г
получим
I и (л% t) ^v {х, t) \ ^
i за
I т i
< б 1 I GiX^lt- t) dldi ^ а j 1 ^dx < б*Г.
Положив 6 — е/Г, для всех значений х и для Q < t < Т будем
иметь
\ и {х, t) ~v (д:, О I < ^'
Теорема доказана.
Мы здесь воспользовались равенством
\ G{x-l, t-%)dl=\,
справедливым при любых значениях т < /. Оно устанавливается
непосредственным вычислением путем замены переменной
интегрирования I =^- X Ь а y^ia^ {t — т).
5* т

Замечание. В трехмерном случае для доказательства
соответствующих теорем надо использовать равенство
справедливость которого устанавливается непосредственным
вычислением с использованием замены переменных
Все остальные выкладки и оценки остаются прежними.
ЗАДАЧИ
1. Начальный ток и начальное напряжение в полубесконечном однородном
проводе О ^ л: < оо равны пулю. Самоиндукция единицы длины провода
пренебрежимо мала. С момента / = О к концу провода приложена постоянная э. д. с.
Eq. Найти напряжение в проводе.
2. Найти распределение температуры в неограниченном пространстве,
вызванное тем, что в начальный момент / — О на сферической поверхности
радиуса Ло выделилось мгновенно Q равномерно распределенных единиц тепла.
(Построение функции влияния мгновенного сферического источника тепла.)
3. Найти концентрацию диффундирующего вещества в неограниченном
пространстве, начальная концентрация которого равна и |/^о ~ Щ ~ const
Для О ^г < R и и l^^o = О для г > /?.
4. Решить задачу 3 для полупространства z > О, предполагая, что Zq < R,
(О, О, Zq) ^— координаты центра сферы, в которой начальная концентрация равна
Uq. Рассмотреть случаи, когда: а) плоскость г =^ О непроницаема для
диффундирующего вещества; б) на miocKoctH z ^ О поддерживается концентрация, равная
йулю.
6. Найти температуру полубесконечного стержня О ^ ;if < оо с теплоизо*
лированными концом и боковой поверхностью, обусловленную действием тепло-
Ьых Hcto4HHKofi плотности Q (О на отрезке (а, Ь) (О < а < fe), начиная с ыо*
MCHta t»» (q,
в* С помощью функции источника, найденной в 9адвч« 2, решить крв^@ую
задачу
а* (urr f *р иЛ +f(r, t)^Ui, 0<r, t<oo,
w(/', 0)«=ф(г), |w|<oc, f« ^ л;3 + i/2 4.-gs,
7. Найти распределение температуры в неограниченном пространстве,
вызванное тем, что в начальный момент ^ =» О на каждой единице длины бесконеЧ'
ной цилиндрической поверхности радиуса Го выделилось Q равномерно распре-
деленных единиц тепла. (Построение функции влияния мгновенного цилиидри*
ческого источника тепла.)
8. С помощью функции источника, найденной в задаче 7, решить краевую
задачу
a^(urr-\ Urj-{-f(r,t) = Ut, 0<г, /<оо,
м(г, 0) = ф(г). |м|<оо. г2=;с2+г/2.
9. Построить функцию влияния мгновенного точечного источника на
бесконечной прямой для уравнения
а^ихх — hu =^ щ,
т

Глава V!I
МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Метод функций Грина, описанный в гл. VI, применяется к
решению весьма широкого круга линейных задач. В настоящей главе
мы рассмотрим применение его к решению краевых задач для
уравнений эллиптического типа.
Простейшим и наиболее часто встречаюш,имся в приложениях
уравнением этого типа является уравнение Лапласа Да = 0.
Его решения — гармонические функции — обладают рядом
специфических свойств, которые понадобятся нам при изучении
свойств функций Грина. Поэтому мы рассмотрим прежде всего
некоторые свойства гармонических функций.
§ 1. Вторая формула Грина. Простейшие свойства
гармонических функций
Все результаты, к которым мы придем в этой главе, будут
получены из небольшого числа формул и соотношений.
Выводом этих формул мы и займемся прежде всего.
1. Пусть функции и (М) и V (М) обладают следующими
свойствами:
1) непрерывны вместе с частными производными первого
порядка всюду в замкнутой области!), ограниченной поверхностью S,
кроме, может быть, конечного числа точек;
2) интегрируемы вместе с частными производными первого
порядка в области D\
3) имеют интегрируемые в области D частные производные
второго порядка.
Тогда, как известно,
R [и, v]^-^ ivL [и] dx tw
D
^ \k (Vu, yy) dt + j quv dt --- J to -g^ dt *). A)
D OS
Здесь L [и] ^ div (feyu) — gw. Вычитая R [a, v] из R [v, u],
получим вторую' формулу Грина:
l{vL[u]^uLlv]\dx^lk(v^-^u^)da. B)
D S
Для одномерного случая вторая формула Грина имеет вид
I
^\vL[u]~uL[v]]dx:^k(v^-^u^)l. C)
*) См. формулу (8) гл. IV.
133

Следствие. Пусть L [и] ^ div (ky^u). Если для такого
оператора L [и] в формуле B) положить v = 1, а в качестве и (М)
взять решение уравнения L [/^] = / (/И), непрерывное ^вместе с
частными производными первого порядка в области D — D +5,
то получим
lk^ch^\f(M)dx. D)
5 D
Для двусвязной области D', ограниченной двумя
концентрическими сферами S/^ и Sj^, {Ri < R) с центром в точке Mq,
формула B) запишется в виде
^{vLlu]-uL[v]}dx^
D'
Минус перед иптеграло.м по Sj^^ появился потому, что на поверх-
о д д
ности Si^^ выполняется равенство-^ = -к—.
Замечание. При произвольных функциях ф (М) и / (М)
(даже непрерывных) вторая краевая задача может не иметь
решения. Действительно, пусть L [и] ~ div (^ V^)- Тогда для
решения второй краевой задачи и (М), непрерывного вместе с
частными производными первого порядка в D}= D + S, должно
выполняться соотношение D). Поскольку -^ = ф (М), то полу-
^f(M)dx^ ^k~da^ |&ф(М)Лт. F)
D S $
Таким образомj функции f {М) и ф (М) должны быть связаны со*
отношением
В частности, если / (М) ^ О, то функция ф (/VI) должна удовлетво-
рять условию
jkq^da^O, (8)
Легко понять физический смысл соотношений G) и (8), если
и (М) интерпретировать как стационарную температуру, а/г (М) —
как коэффициент теплопроводности. Тогда соотношение G)
выражает следующий очевидный факт: для того чтобы существовало
стационарное решение, необходимо, чтобы количество тепла,
образующееся в области D за промежуток времени Д/ от действия
внутренцих источциков. было равно суммарному потоку тепла,
134
чим
ви

уходя1цеГо через границу области S за тот же промежуток
времени.
2. Функция и (М) называется гармонической в области D,
если она непрерывна в D и в каждой точке области D
удовлетворяет уравнению Лапласа А/г =-- 0.
Пусть Гмр есть расстояние между точками М и Р. Непосредст-
BeHHOPi проверкой убеждаемся, что в трехмерном пространстве
функция и (М) = , а в двумерном — функция и (М) =^
= In ( ) являются гармоническими всюду, кроме точек М,
совпадающих с Р {гмр =^" 0). В /«-мерном пространстве {т ^ 3)
функция и {М) ^ /-^-"^ является гармонической всюду, кроме
точки М, совпадающей с Р.
Функции In ( ), , ^^__^ называются также фунда-
\ ^мр I ^мр г^р
ментальными решениями уравнения Лапласа,
Применяя формулу D) к гармоническим в области D функциям
(непрерывныхМ вместе с их частными производными первого
порядка в D + 5), получим
l^da^O. (9)
Теорема о среднем значении. Значение в
центре Mq шаровой области Df^ функции и (УИ), гармонической в Dj^
и непрерывной вместе с частными производными первого порядка
^ Df^ = Df^ + Sf^, равно среднему арифметическому ее значений
на сфере 5/^, т. е.
^^(-^^o)^li- \^^i^^)do. A0)
Доказательство. Воспользуемся формулой E),
полагая в ней L [и] ^ ^и (k (М) = 1),
1
{гмом = K(^v - ХоУ' + {у - уоУ + (г - Zo)^);
' МоМ
в качестве и (М) возьмем функцию, гармоническую в шаровой
области Dj^, ограниченной поверхностью Sj^, и непрерывную
вместе с t/д., Uy, и^ в D/^ + 5^^. При этих условиях интеграл по
D' {D' а Df^) равен нулю. Интегралы по Sj^ и по 5/^^ от
произведения v-^ в силу соотношения (9) также равны нулю (функция v
равна на этих поверхностях соответственно 1/R и l//?i, к = 1).
Таким образом, будем иметь
135

Вычисляя производные и применяя к последнему интегралу тео~
рему о среднем значении интеграла, получим
-^ \u{M)da^^-~-^nRl^u{M*), M*^Sj^^.
Устремляя теперь Ri к нулю, получим формулу A0).
Мы рассматривали гармонические функции в трехмерном
пространстве. Для двумерного пространства (плоскости) теорема
о среднем значении записывается соотношением
и{М,)=^ 1 ^{M)ds, A2)
^R
Здесь Cf^ — окружность с центром в точке Mq. Для получения
этой формулы надо в соотношении, аналогичном E), взять v ==
=- In A/гмом).
Для т-мерного пространства теорема о среднсхМ значении
гармонической функции выражается соотношением
. "(AM- , ' . \4{P)do, A3)
^R
где Si — площадь единичной сферы.
Справедлива также
Обратная теорема. Пусть и (М) непрерывна в
конечной области D. Если для любого шара D^^ а D, ограниченного
сферой Sfi {Sf^ cz D), справедливо соотношение A3), то функция
и (М) гармонична в области D.
Мы не будем приводить доказательства этой теоремы.
Эти теоремы позволяют дать другое, эквивалентное прежнему,
определение гармонической в области D функции.
Функция и (М) называется гармонической в области D, если она
непрерывна в D и для всякой шаровой области D/^, ограниченной
сферой 5;^ с центром в точке Mq ^ D и принадлежащей вместе
с Sp области D, выполняется соотношение A3).
Пользуясь таким определением, его легко перенести на
широкий класс функционалов *).
3. Для гармонических функций справедлива
Теорема о наибольшем и наименьшем
значениях. Функция и (М), гармоническая в конечной области
D, ограниченной замкнутой поверхностью 5, и непрерывная
в D ~ D -\- S, достигает своего наибольшего и наименьшего
значений на границе S.
Доказательство. Если и (Л1) == const в области D,
то справедливость теоремы очевидна. Поэтому будем полагать,
что и (М) ф const в D.
*) См. Л е в и П. Конкретные проблемы функционального анализа.
М.: Наука, 1967.
136

Обозначим через Hs наибольшее значение функции и на S,
а через Нр — наибольшее значение функции и в D. Нам надо
доказать, что Нр ^ Hs- Предположим, что это неверно. Тогда
Но > Hs II в некоторой внутренней точке Mq области D {Mq ^^D)
имеем и (Mq) ^ Нр. , '
Рассмотрим вспомогательную функцию
и{М)==^и (М) + ^^^23^ [(^ - ^о)' + ^У - У^)' + (^ - ^о)'1 >
где d — диаметр области D, т, е. точная верхняя граница
расстояний между точками области D\ {Xq, у^, Zq), (х, у, z) — координаты
точек Mq и М. Очевидно, для всех точек М ^D
{X - XqY + (у ^ уо)' + (г - ZqY < d\
V (Mq) = и (Mq) = Нр. С другой стороны, в точках М границы
области S имеем
V [M) < Ms -\ 2 "^ 2 ^ "^'
Следовательно, непрерывная в D функция v (М) должна
достигать наибольшего значения в некоторой внутренней
точке" Л4lЪблacтиD. В этой точке должно быть Ду < О, так как в точке
максимума ни одна из производных v^^^^, Vyy, v^^ не может быть
положительной. С другой'стороны,
Полученное противоречие заставляет отказаться от гипотезы, что
Нр >'Я5. Следовательно, Нр = Я^. Применяя полученный
результат к функции — и, мы получим доказательство теоремы и
для наименьшего значения.
Следствие. Гармоническая в области Z> функция и (М),
не равная тождественно постоянной, не может иметь локальных
максимумов и минимумов внутри D.
В самом деле, пусть в точке Mq ^ D функция и (М) имеет,
например, локальный максимум. Обозначим через D^^
шаровую замкнутую область с центром в точке Mq и радиуса /?,
целиком лежащую в D. Радиус R можно взять настолько малым, чтобы
для всех точек М области D^ , не совпадающих с Mq,
выполнялось неравенство
и (М) < и (Mq),
Применяя доказанную теорему к функции и (М) для области D^ ,
получим противоречие с предположением.
Из этой теоремы легко следует единствен11ость решения
первой внутренней краевой задачи для уравнения fs^u ^ f {М).
Теорема единственности. Решение первой
внутренней краевой задачи
Au^fiM), u\s^ Ф(Л1),
непрерывное в замкнутой области D ^ D f S, единственно.
137

Доказательство. Пусть две функции и^ и и.^ являются
решением этой задачи. Тогда их разность и = и^ — //g является
гармонической в D функцией, непрерывной в D и равной нулю
на S. По теореме о наибольшем и наименьшем значении
наибольшее и наименьшее значения и равны нулю. Следовательно, и =^
™ //i — U2 = О всюду в D,
Легко также доказать теорехму о непрерывной зависимости
решения первой внутренней краевой задачи от граничных значений
для уравнения Аи = f (М).
Теорема 1. Пусть и^ {М) и и^ (М) — решения первой
внутренней краевой задачи для уравнения Аи = f (М),
непрерывные в D и принимающие на границе S области D значения ср^ (М)
и ср2 (М)' Тогда, если всюду на S выполняется неравенство
I Ф1 — Ф2 I < ^', ^по всюду в D выполняется неравенстсво
\ Ui (М) — и. {М) I < 8.
Доказательство. Функция и ^ и^ — ^2, гархмониче-
ская в D, непрерывна в D, и а j^ "^ Фг — Ф2- Поскольку —е <
< Ф1 — фз < 8, то по теореме о наибольшем и наименьшем
значении наибольшее и наименьитее значения функции и (М)
заключены между—8 и 8. Следовательно, I /г I < 8, т. е.
I и^ (М) -и^ {М) I < 8.
Верна также
Теорема 2. Если последовательность непрерывных в
некоторой замкнутой и ограниченной области D и гармонических
в D функций Ui, и^у ..., Un, ... равномерно сходится на границе
области, то она также равномерно сходится в D, При этом
предельная функция и (М) будет гармонической в D ^).
§ 2. Сущность метода функций Грина.
Некоторые свойства функций Грина
1. Будем рассматривать краевые задачи
L [и] =)(/И) (в D), A4)
(a,|i-f a2u)^^T(Af), A5)
внутренние и внешние. Здесь а^ --^ а^ (А1), ссо - ссд (Д4), aj,
«2 ;^ О и а\ + al =И= 0; / (/И), ф {М) — заданные функции.
Метод функций Грина решения таких задач состоит в
следующем. Сначала находят решение задачи A4)—A5) при специальных
значениях функций / (М) и ф (/И). Именно, находят решение G
задачи
L[G]:--~6(Af, Р), A6)
(^1Ж + ^^с)^,--0, A7)
*) Читателю рекомендуется самостоятельно доказать первое утверждение
этой теоремы, используя достаточный критерий Коши сходимости
последовательности и принцип максимума и минимума. Подробнее о свойствах
гармонических функций см. Петровски й И. Г. Лекции об уравнениях с
частными производными. —М.: Наука, 1965.
138

Неп|)ерывное (вместе с частными производными первого порядка,
если aj Ф 0) всюду в замкнутой области D, кроме, быть может,
точки Р, в которой G может иметь особенность. Это решение
называют функцией Грина задачи A4)—A5).
Если функция Грина найдена, то с ее помощью легко найти
и решение исходной задачи A4)—A5). Для этого применим
вторую формулу Грина к функциям v ^^ G (М, Р) и к искомому
решению и {М)\
\ \GL [и] - uL [Gil dr^-\k[G~~~u^) da *). A8)
D S
Поскольку в oблacтиD имеем L [и] = f (М), а L [G] = —б (УИ, Р),
то соотношение A8) можно записать в виде
J / (/И) G (М, Р) dxM+ \и (М) б (М, Р) dxM --
D D
ди
до
дп
) d'JM.
Второй интеграл левой части по свойству б-функции равен а (Р).
Поэтому последнее соотношение можно записать в виде
и{Р)^-1к{0^~и^) doM - I G {М, Р) / (М) с1т^. A9)
5 D
Здесь интегрирование производится по координатам точки М.
Для первой краевой задачи (а^ = 0, аз ^ 1)
G|s--= О, u\s = ip,
и из формулы A9) получаем решение задачи A4)—A5):
dG
и (Р) ^. ~~ \ ^ф (М) ^ гЬд, - J G (М, Р) f {М) dxM-
S S
Для второй краевой задачи (а^
dG
B0)
дп
= 0 ^
5 О, а, = 1)
и из формулы A9) получаем решение задачи A4)—A5) **):
u{P) = lk(p{M)G{M, Р)йам- \g{M, P)f{M)d'CM.
B1)
5 D
Для Третьей краевой задачи (а^ ^^ О и ag ф 0)
до
дп
ai
Ж"
аг
(Х2
и
+
Ф(М)
*) Здесь и в дальнейшем производная -е— берется по направлению
внешней нормали к S.
**) Следует отметить, что для второй краевой задачи так определенная
функция Грина не всегда суи;ествует. См. замечание на стр. 142.
139

Ё этом случае формула A9) дает
" (^) =-^ j ^W ^ (^' '^^ ^<^м - J G {М, Р) f {М) dxM. B2)
5 D
Таким образом, исходная краевая задача A4)—A5) сводится к
задаче о нахождении функции Грина. О способах нахождения
функций Грина мы будем говорить позже.
2. Отметим некоторые свойства функций Грина.
Функции Грина обладают свойством симметрии^ т. е.
G(M, Р) - G(P, М).
Для доказательства этого применим вторую формулу Грина
к функциям Gi = G (М, Pi) и Сз =- G (М, Р^), где Р^ и Р^ —
произвольные фиксированные точки области D. Получим
D
~ GaLfGJ }й(тл1 =
Левая часть равна
- \{G{M, Л)б(М, PoJ-G(M,
Следовательно,
G(Pi,P,)-
~G{P,, Pi) = J
= 14^^^-
5
Р,)8{М, Р,)}
= G{P„
Ч^^^-«^
г да,
ЙТл1 =
^2)-
дОг\
-)doM
-G{P,
do м-
Pi)-
Интеграл в правой части равен нулю. Действительно, если
мы имеем дело с первой (или второй) краевой задачей, то это
следует из граничных условий для Gi и G^ (G|5 = О или-^ == О j.
Если мы имеем дело с третьей краевой задачей, то, выражая -~-
И -д-^ из Краевых условий через Gi и Gg и подставляя эти значения
в подынтегральное выражение, получим
Таким образом, G (Pi, Р2) = G (Р2» ^i)-
3. Теперь займемся изучением особенности функции Грина
в точке Р. При этом мы ограничимся случаем, когда L [и] ^ Аи.
Для этого случая функция Грина имеет в точке Р особенность
вида *) -J • для трехмерного пространства, -^—In ( )
для плоскости, ^^ ;
^\'^р
щадь единичной сферы).
для плоскости, ^^ для т-мерного пространства {S^ — пло-
^\'^р
*) Это верно и для операторов вида L [и] ^ Aw + Я^^ ^^Д^ Я " const.
140

Исходя из структуры уравнения Аб --^ —6 (М, Р), которому
удовлетворяет функция Грина, можно ожидать, что функцию
Грина можно представить в виде
G(M, Р) -г|)(гмр) +v{M, Р),
где V гармонична в D (как функция точки Л1), а функция ij) (гмр)
имеет особенность в точке Р, т. е. при Гмр == О, и должна
удовлетворять уравнению Aif — —б (М, Р).
Рассмотрим для определенности трехмерный случай.
Обозначим через D^ шаровую область с центром в точке Р радиуса R,
ограниченную поверхностью S^. Проинтегрируем тождество
Аг]) - —б (уИ, Р)
по области D^ (D^ CZ D). Получим J Аг]} di^^ =^—1. По фор-
Up
муле Остроградского интеграл в левой части равен
JM-
Таким образом,
^R ^R
С _^
J dr
<cR
doM = — 1 ♦
На сфере S^ функция ~- имеет постоянное значение, поэтому
dr
\do = —1, или 4я/?'^
r^R J
dR
Отсюда \\) (R) ^ 1/Dя/?). Таким образом, функция Грина
G (М, Р) имеет вид
0(Л1, Р) = ^^ + 1>(М, Р) B3)
и, следовательно, имеет в точке Р особенность вида 1/Dпгмр).
Для плоскости G {М, Р) имеет вид
G {М, Р) = -^ In (-^) + V {М, Р). B4)
Мы не будем повторять соответствующие выкладки. Функция
V {М, Р) определяется как решение задачи
dv\ / «1 , ^ ^{^/'мр)'
Av =■ о, iavo 4 ао -^\ ^ — (-^^ + а.>
<5 \'мр - ~ ^'^ /^s^''
Она единственна для первой (и третьей) краевой задачи (см.
стр. 137).
Для внешних краевых задач функция Грина определяется
аналогично. Она также обладает свойством симметрии и для L [/^1 --
--= А а -г qn имеет те же особенности.
141

Ил определен[1я функции Грина как решения уравнения
AG =-- - 6 (Л/, Р) и формул B3) и B4) следует, чго
л/-г^):^-4яб(Л1, Р) B5)
для трехмерного пространства и
Л /ln~^) - --2яб {М, Р) B6)
для двумерного пространства.
4. Пользуясь формулой B3), нетрудно дать физическую
интерпретацию функций Грина для оператора Д^. Мы это сделаем
для первой краевой задачи.
Пусть поверхность S, ограничивающая область D, сделана из
проводника и заземлена. Поместим в точке Р внутри D
электрический заряд величины 1/Dя). Этот заряд индуцирует некоторое
распределение зарядов на поверхности S. Потенциал
электростатического поля в области D будет равен сумме:
1) потенциала поля, созданного точечным зарядом; он равен
1/Dягмр), и
2) потенциала поля, созданного индуцированными зарядами;
он равен v (Л1, Р). Эта сумма и равна G (М, Р).
Таким образом, G (М, Р) можно, интерпретировать как
потенциал поля, созданного точечным зарядом, помещенным внутри
заземленной замкнутой проводящей поверхности. При такой
интерпретации свойство симметрии функции Грина выражает
принцип взаимности точки заряда и точки наблюдения.
Замечание. Определенная таким образом функция
Грина не всегда существует. Так, функция Грина второй
внутренней краевой задачи для оператора Лапласа L [и] = ^и я^
существует, поскольку не существует соответствующей функции
V (М) (g =---^— -\~ v\ гармонической в D, непрерывной в D
вместе с частными производными первого порядка и
удовлетворяющей условию
dv_
on
гг(/И)--- ^ ^
4 я дп
ибо не выполняется необходимое условие 1 ср da == 0. В этом
5
случае функцию Грина можно определить как решение краевой
задачи
_ 1
дп
ACj^~8{M, Р), ^^
где 5о — площадь поверхности S. Такая функция существует и
определяется с точностью до аддитивной постоянной.
142

Пользуясь формулой A9), находим решение и (Р) второй
краевой задачи A4)—A5):
и (Я) t-^ J k {М) G (М. Р) (р (М) da,, -
>0
S
или
u{P)^ \k {M) G {Л4, P) (p (M) (Iom ~~~ [ G (M, P) f (Л1) dt^^ Ь с,
С - const [C - -- J fe (M) ^i^ da,,^ .
где
§ 3. Построение функций Грина. Интеграл Пуассона
1. Однил! из методов построения функций Грина является
метод отражения. Мы поясним его на примерах.
Пример 1. Построить функцию Грина первой краевой задачи для
полупространства, ограниченного плоскостью Q (без ограничения общности ее можно
считать совпадаюи.1.ей с координатной плоскостью г -= 0).
Пусть Р — особая точка функции Грина. Поскольку
задача сводится к отысканию функции и, гармонической в рассматриваемом
полупространстве*(например, г> 0) и равной —lA^^tr „) на его границе. Такой
функцией, очевидно, является функция у= —1/DяГд^р ), где Pj — точка,
симметричная точке Р относительно плоскости Q. Действительно, функция
—l/Dnr^jp ) гармонична в полупространстве г>0 и равна 1/Dяг^^р) в точках
М ^ Q, ибо для таких точек г^^р -^ г^^р . Таким образом, искомой функцией
Грина будет функция
'^^ ' ^^ ^ ^^^мр "" ^""'мР, '
Такой способ построения функции Грина для
полупространства,- ограниченного плоскостью, подсказывается приведенной
в § 2 физической интерпретацией функции Грина. В самом деле,
если мы поместим в симметричных точках Р и Р^ точечные заряды
величины 1/Dя) и —1/Dп), то потенциал электростатического
поля, созданного этими зарядами, будет функцией, гармонической
всюду, кроме точек Р и Pi, и равен нулю на плоскости Q.
Аналогично для полуплоскости, ограниченной прямой /,
функция Грина имеет вид
^ ^ 2^ 'мР 2я г^,р^
где точка Р^ симметрична точке Р относительно прямой /.
Пример 2. Построить функцию Грина первой краевой задачи "для
прямого угла D на плоскости, ограниченного прямолинейными лучами /^ и L,.
143

Пусть Р — особая точка функции Грина, Симметричных ей относительно
границ точек будет две: Pi и Pg (рис. 18).
Пусть Рз — точка, симметричная точкам Pi и Ра относительно продолжения
сторон угла. Тогда функцией Грина будет следующая функция:
2jx
1
2ji
'MP ^-"^ 'MPi
Действительно, здесь функция v равна
2я
MP 2
2n
1
' MP,
— ■-— In —
2я r
MPi
-7Г- in
2n r
MPo
-b-K- In ~
2л r
МЛз
Она гармонична в прямом угле D (как функция точки М) и равна -^—In
MP """ ' МР^,
fMP ~ ^ ^
на его сторонах. Последнее следует из того, что если М е /i, то г
i-.
%
h
-^—^
Р
--'"^'"^
♦^^
i?
\^
^ ^/
МРг
^МРз
если М
то
'.MP,'
Пример 3. Построить функцию Грина
первой внутренней краевой задачи для круга
1
-г У-
G{M, Я)- -TT-ln-
^ 2я г
MP
Задача сводится к построению функции l», гармо-
„ — 1 , 1
ническои в круге и равной-^г— In на его
границе.
Пусть Р — особая точка функции Грина.
Ppj(^ 13 Обозначим через Pi точку, симметричную точке
Р относительно границы области (окружности С).
(Точка Pi называется симметричной точке Р относительно окружности С, если
обе эти точки лежат на одном луче, выходящем из центра круга, и
произведение их расстояний pi и р от центра равно квадрату радиуса, т. е. ppj = /?-.)
Если точка М лежит на окружности С,
то, как видно из рис. 19,
R
MPi
' MP '
B7)
так как треугольники ОМ Pi и ОМР
подобны. Поэтому функция
_1_
2я
R
^''МР,
и будет искомой. Следовательно, функция
Грина первой внутренней краевой задачи
для круга имеет вид
Рис. 19.
G(M, Р)___1п—-----^
2я
'MP
2я
рг
MPi
B8)
Пример 4. Решить первую внутреннюю краевую задачу для уравнения
Лапласа Aw = О в круге.
Искомое решение дается формулой
и(Р) = ~\ц^ (s) ^ ds, B9)
С
получающейся из формулы B0) при / (М) - 0. В рассматриваемом случае
функция Грина G определяется формулой B8).
114

Вычислим
дп
clG —dG ,,11 , ^11
" -а;г ^ ~аг-^"^ (^' ^^ =^ ^ 7—: ^^'^ (^' ^MP) - ^ t;;;^ ^^4^' ''mp.)
Из треугольников ОМР и ОуМР^ (см. рис. 19) находим
cos(«, r,,p)=^ 2;?r,,p ' ^°Ч«- '-MPJ- 2:^7;;;^ '
поэтому
dG
дп
1 /^^+Гд,р-р^ /^2Ч-Г^,р_-р2
^" ^ 2/?4р 2;?4р^
Заменяя г^^р по формуле B7), а Pi по формуле pi = /?^/р, получим
_dG_\ 1 /?2 „ р2
Из Д ОРМ находим rLp = /^^ + р^ — 2/?р cos (9 ~ i|)), поэтому
_^ _J i?2 —р2
с" 2/?л Л^2 4-Р^ — 2/?р cos (9 — г|)) •
Подставляя это значение в формулу B9), получим интеграл Пуассона
^^Т_ (^---Р'^)Ф(9).'е
^^ 2л J /?2 4-р2 __ 2/?р cos (9 - Ч^)' ^ ^
о
где р, i|) — полярные координаты точки Р, R, Q — полярные координаты точки М
на С.
2. Функцию Грина первой краевой задачи для уравнения
Лапласа на плоскости иногда можно построить с помащью
конформных отображений. Пусть требуется построить функцию
Грина краевой задачи
Аи = f (М), М ^ D, C1)
tf\s --- Ф (М), C2)
где D — односвязная область, ограниченная кривой 5.
Область D плоскости (л:, у) можно конформно отобразить на
единичный круг 11^ | < 1. Пусть функция w ^ ^ {г, t)
осуществляет это отображение и точка z = t переходит при этом в центр
круга W -==- О, т. е. Ч^ (/, /) = 0.
Тогда функцией Грина краевой задачи C1)—C2) будет
функция
С(М, P) = -i^ln-|^^, C3)
В которой Z = X + iy, t =' I, -\- Щ, X, у — координаты точки М,
^, г| — координаты точки Р.
В самом деле, поскольку функция ш == ¥ (z, t) осуществляет
конформное отображение области D, то она аналитическая в об-
ласти D и ^F (г, t) Ф Q при z Ф t, г —г^ Ф О всюду в D, включая
145

точку z = i. Следовательно, z ^ t является нулем первого
порядка функции ^V (г, /). Поэтому справедливо представление
гр(г, /) -^ {z~t)F{z^ t), C4)
где F (г, /) — аналитическая в области D функция переменной z
и F (/, /) Ф 0. Функция In F (г,- /) - In \ F (z, t) \ + i arg F
также аналитическая в области D.
Ее вещественная часть In | F (г, /) | — гармоническая в
области D функция.
Следовательно, функция
-н— In
2Д |f (г, /)|
также гармоническая в D.
Пользуясь формулой C4), находим
I т I 1 1 1,1, 1
2л ' |¥(г, /)| ~ 2л ' |г--/| ^ 2л | F (г, /)
или
2д '^^ |¥(г, /)| "" 2д ^" /-з,р + 2л '" |>{г, /) |
Поскольку
д /in-i-) :--^2лб(Д/[, Я)
и -J—In ~р~—rr-j— гармоническая в обласги^Л функция, то для
.И е D и Р е D
Поскольку при отображении w ~-= W (г, /) граница области D,
т. е. кривая S, переходит в границу круга | ш | -^ 1 *), то
I ^У B, t) \s = 1 и, следовательно,
I 1 , 1 ) __ ^
J2n '" |¥(г, /)| Is""
Это равенство вместе с формулой C5) и означает, что
функция Грина задачи C1)—C2) определяется формулой C3).
Непрерывность функции-у—In п|рт—тут всюду в замкнутой области Z),
кроме точки М ^ Р, есть следствие непрерывности
отображения W ^ W (z, t) в D и неравенства W (z, t) Ф О при z ф f.
Пример 5. Построить функцию Грина первой краевой задачи для
уравнения
Аи = f (М)
в полосе —00 <х<оо, 0<г/<л плоскости (л:, у).
*) Л а в р е и т ь е в М. Л., Ш а б а т Б. В. Методы теории функций
комплексного переменного. — М.: Наука, 1973.
146

функция
J —,.'
w - -- ¥ (г, /)
осуществляет конформное отображение этой полосы на круг | се; | < 1 и точку
Z — t переводит в центр круга w ~ 0.
Поскольку
I с' -^ с^ I г. ^^^'■+^)/2 ^^2 {cJi {X - I) --- cos (у ~ 11)}''^
I е' — ^^ I = с^-^ Ьь)/2 J/2 {cfi (X ~- I) ~~ cos (у |- г))}'/^,
то функция Грина имеет вид
GiM, P)..-Lin ,^^^/ ^^, ^ 1 |„.ch(.--g)-cos(, fr,)
2я |У(г, /)| 4я ch (х —I) ~cos(f/ —т])
3. Можно также указать способ построения функций Грина
для одномерных задач вида
±\k(x)y']-qix)u:^fix), 0<.v</, C6)
«j!/' @) - Pi(/ @) - О, a,y' (/) 4- p.,(/ @ - 0, C7)
где k (x) >0, q (x) Ss= 0, a^, a^, p^, p^ Ss 0 н a'i H- pj =?^ 0, pi +
+ a; =7^ 0. Мы это сделаем для таких задач вида C6)—C7), в
которых К =^ О не является собственным значением соответствующей
задачи Штурма—Лиувилля, т. е. задачи
L [у] -Ь Ху - 0; а,у' @) - Р,у @) - О,
а,у' (/) + Ргг/ (О = 0. (*)
Сначала сформулируем
Определение. Функцией Грина G {х, s) краевой задачи
L [у] ~ ^ [k (х)у^] -^ q {x)y==-~f{x)^),
^гУ' @) -- Piy @) - О, а,у^ (/) + ^у (О =- О
называется решение краевой задачи
L [у] =^ —8 {х — s),
^,1/ @) ~ Pxi/ @) = О, а,у^ (/) + р,у^ (О = О,
непрерывное на отрезке [О, /].
Докажем некоторые свойства функции Грина G {х, s).
1) Функция Грина обладает свойством симметрии, т. е.
G {х, S) - G (S, х).
Доказательство. Применим формулу Грина для
одномерного случая (гл. VI, § 1) к функциям v = С^ ^ G (х, Si)
и и = G2 ^ G (х, Sa). Получим
j |G (х, S.,) 8{х — Si) — G (х, Sj) Ь{х ~ 8.2) \ dx =-
о
dG2 г ^^1 ^ ''
H.r){G.^-G,^)l C8)
*) Функция k (х) предполагается непрерывной на отрезке [О, /] вместе с
производной k' (х), а q (х) непрерывна на [О, /].
147

По свойству б-функции интеграл в левой части равенства C8)
равен G (sj, ^2) — G (S2, Sj), в то время как правая часть равна
нулю. Для первой и второй краевых задач это прямо следует из
обращения в нуль функций Gi и Gs или ——~ и ^ " на концах
промежутка (при х = О и х = I). Для третьей краевой задачи
dGi dG2
выражаем значения производных -j^ и —^ на концах
промежутка через Gi и G2: -^
dGi
дх
dGj_
дх
-|^G@, so, ^L =-^G@, s.,).
.\;r=o
.G(/, 5i), ~\ ^^^G{i So),
И подставляем эти значения в правую часть равенства C8),
получим
ii- G (/, S,) G (/, S,) + -h-G (/, s,) G (/, s,) +
+ |i- G @, Si) G @, s,) -Ac @, s,) G @, s,) = 0.
Таким образом, действительно
G(S2, Si) = G(si, s.,).
2) Частная производная функции Грина Gx(x, s) имеет разрыв
первого рода при х = s со скачком, равным —l/'/fe.(s), т. е.
G,E + 0, s)-G,(s-0, s)--=^^. C9)
Для доказательства этого проинтегрируем тождество
L [G1 = —б {x~s)
по переменной х от s — е до s + е, где е > 0. Получим'
I L[G]dx= J |A[^.(^)G,(x, s)l-<7(x)G(x, s)ldx==-l,
S—8
или
s-|-e
fe (Л-) G^ (ЛГ, s) |s±e - J q{x)G {x, s) dx = ~\.
S—8
Переходя в этом равенстве к пределу при 8-^0, получим
G., (S + О, S) - G^ (S - О, S) --
s-he
k{s) '
поскольку lim г q (х) G (х, s) dx -- 0.
е->0
1
Теорема 3. Существует единственная функция Грина.
Предварительно докажем две леммы.
Лемма 1. Существует решение у^ {х) уравнения L [г/ ] ^-^ О,
удовлетворяющее краевому условию а^у' @) — pjy @) —^ 0. м
148

w{0) =
-=0.
Доказательство. Известно, что существует
решение задачи Коши для уравнения L [у] = О с любыми
начальными значениями у @) ^ уо^ у' @) = уо *). В частности,
следовательно, существует решение с такими начальными
значениями у @) и у'@), которые связаны соотношением ciiy'@) —
—Pi^ @) = О- Лемма доказан^.
Лемма 2. Всякие два решения у^ {х) и у^ {х) уравнения
L [у] =^ Q, удовлетворяющие краевому условию а^у' @) — Pi^ @) =
= О, отличаются друг от друга лишь постоянным множителем,
т. е. di (х) ^ С1У1 {х).
Доказательство. Функции yi (х) и у^ (х) являются
решениями линейного уравнения второго порядка L [у] = О
и удовлетворяют условиям
ociyl @) - Pi^/i @) =^ О, D0)
ост @) - р1У1 @) - 0.
Эти соотношения можно рассматривать как систему уравнений
для oci и Pi. Поскольку хотя бы одно из чисел а^ и Pi не равно
нулю, определитель системы D0) равен нулю:
у[{0) у,{0)
91@) yi@)
Этот определитель является значением определителя Вронского
при л: = О для решений yi (х) и у^ (х). Известно *), что
определитель Вронского, составленный из решений одного и того же
линейного однородного дифференциального уравнения, либо
тождественно равен нулю, либо нигде не обращается в нуль. Так как
в нашем случае w @) === О, то определитель Вронского для у^ (х)
и у^ (х) тождественно равен нулю. Отсюда *) следует линейная
зависимость решений z/i {х) и у^ (х), т. е. yi (х) == Cyi {х).
ПерейдсхМ к доказательству теоремы.
Пусть у1 (х) — решение уравнения L [у] = О,
удовлетворяющее краевому условию а^у' @) — Pi^ @) = 0. По лемме 1
такое решение существует. Всякое другое решение,
удовлетворяющее тому же краевому условию, по лемме 2 имеет вид Ciyi (х).
По этим же соображениям существует^ решение у^ (х) уравнения
L [у] = О, удовлетворяющее краевому условию а^у' (/) + РгУ (О ^
= 0. Всякое решение уравнения L [у] = О, удовлетворяющее
тому же краевому условию, имеет вид С2У2 {^)-
Функции у1 (х) и у2 (х) линейно независимы. Если бы это было
не так, мы имели бы у^ (х) = Cyi (х). Но тогда функция у2 (х)
была бы решением уравнения L [г/1 = О, удовлетворяющим обоим
краевым условиям. Следовательно, К =^ О было бы собственным
значением краевой задачи (*), что противоречит исходному
предположению.
Выбирая константы С^ и Сз надлежащим образом, мы построим
из функций С1У1 (х) и С2У2 {^) функцию Грина.
*) См. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений, изд.
8-е. — М.: Физматгиз, 1959.
149

Положим
Из свойства непрерывности функции Грина при х -=-- s находим
С1У1 (s) - С2У2 (s),
откуда
У2 {^) У1 (S)
Следовательно, Cj = Су2 (s), С.^ "= Cyi{s). Коэффициент С
определяем из условия C9), которому должна удовлетворять функция
Грина:
С I//1 E) У2 {S) - У2 {S) у{ (s)l =^ ~~\!к (S). D2)
Выражение в квадратных скобках есть вронскиан решений //^ {х)
и г/2 (л:), равный Dik (s) {D ^ const). Поскольку функции у-^ {х)
и f/2 [х) определяются с точностью до постоянных множителей, то
их можно выбрать так, чтобы вронскиан решений у^ (s) и у<^ (s)
был равен — \1к (s), т. е. считать D -- —1. Тогда соотношение
D2) принимает вид
- С _ ~ 1
k(s) ~~ k{s) '
Отсюда С "-- 1. Таким образом, функция Грина имеет вид
G{x, s)^\ , . . . ^ D3)
I ^lC^)^2('^'), ^^S.
Из фор?4ул D3) и C9) непосредственно следует, что
G:, (jc, jc — 0) — G., (.г, jc + 0) - — 1/^ (jc). D4)
4. Теперь докажем две теоремы Гильберта
1-я теорема Гильберта. Какова бы ни была интегри- -
руемая функция f (х), решение у {х) краевой задачи
L[y]^-4{x), D5)
^гУ' @) - f>iy @) - О, сиу' (/) + р,г/ (/) = О D6)
представляется форлгулой
I
y{x)^\G{x,l)f(l)dl. D7)
О
Доказательство. Применим формулу Грина для
одномерного случая (§ 1) к функцияхМ и =^ у {х) м v ^ G (л:, s).
Получим
\\G{x, s)L\y]-y(x)L[G\\dx-=^
= k(x)\G{x, s)y'{x)-y(x)GAx, s)]i,
150

или
-- [ G {х, s) f (a) dx -i- f у W б {x - s) dx ^
6 d'
-= k (x) [G {x, s) y' {x) - у (x) G, (A-, s)]^.
Из краевых условий D6) для у (х) и G (х, s) (см. определение)
следует, что левая часть этого равенства равна нулю.
Следовательно,
\g{x, s)f{x)dx = y{s).
б
Изменяя обозначения переменной интегрирования и пользуясь
симметрией функции Грина, получим объявленную в теореме
формулу.
2-я теорема Гильберта. Какова бы ни была
непрерывная функция fi (х), функция
I
у{х)=^\с (X, I) /i (I) dl D8)
6
Является решением краевой задачи D5)—D6) с функцией f (а) -=^
^ /i (а:) в правой части уравнения D5).
Доказательство. Очевидно, функция у (а) непрерывна
на отрезке [О, /] и
' у' (X) = j G, {X, I) /j [l) dl. D9)
О
Следовательно,
«li/' @) - hy @; - J {«iGx @, I) - piG @, ^I /i (^) dl ^ 0,
0
так как по определению функции Грина подынтегральное
выражение тождественно равно нулю. Аналогично,
^гУ' (О + Р2^/ (О - 0. E0)
Таким образом, функция у {х) удовлетворяет краевым условиям
D6). Вычислим L \у\. Имеем
L \у] н J L \G\ и (I) dl ^ - J б (х - I) Д (?) dl^-U {X).
О о
Таким образом, у {х) удовлетворяет уравнению D5). Теорема
доказана.
5. Мы рассмотрели случай, когда Я == О не является
собственным значением краевой задачи (*).
Если А, = О является собственным значением краевой задачи (*),
то функцией Грина G {х, s) краевой задачи
о-уУ' @) - hy @) -= О, а,у' (/) i ^,у (/) - О

называют решение краевой задачи
L[tj]^ -б (х-5) +Фо (х)ФоE),
^гУ' @) - hy @) - О, а,у' (/) + р,у (/) ^ О,
непрерывное на отрезке [О, /] и ортогональное собственной
функции Фо(а''), соответствующей собственному значению X ^ О, т. е.
такое, что
I
\ф^{х)С(х, s)dx = 0.
о
Установленные выше свойства 1) и 2) функции Грина в этохМ
случае доказываются аналогично.
ЗАДАЧИ
1. Построить функцию Грина первой внешней краевой задачи: а) для круга;
б) для шара (L [и] = Аа).
2. Построить функцию Грина первой внутренней краевой задачи для круго-
вого сектора О^ф^— (L [и] = At/).
3. Построить функцию Грина первой внутренней краевой задачи: а) для
шарового слоя /?i г^ г ^ /?2i б) для кольца /?i ^ /" ^ /?2-
4. Построить функцию Грина первой внутренней краевой задачи для
плоского слоя О ^ г ^/i (L [и] ~ Аи).
5. Пользуясь принципом максимума и минимума для гармонических
функций, доказать, что функция Грина первой краевой задачи для области D
положительна в D (L [и] ~ Аи).
6. Доказать, что линии (поверхности) уровня функции Грина задачи 5 суть
замкнутые линии, охватывающие особую точку и не пересекающие друг друга.
7. Пользуясь интегралом Пуассона, доказать теоремы:
а) Всякая гармоническая функция, положительная во всей плоскости, есть
постоянная.
б) Теорема Гарнака. Пусть {uf (х, у)}, /=1,2,..., —
гармонические функции в конечной области D, ограниченной контуром Г, и непрерывные
оо
eD. Тогда, если ряд у\ Ui {х, у) равномерно сходится на контуре Г, то он равно-
мерно сходится в D и его сумма есть гармоническая функция в D.
Дополнение к главам V! и VII
О МЕТОДЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
И ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Мы достаточно подробно рассмотрели применение метода функций Грина
к решению задач для уравнений параболического и эллиптического типа.
Можно определить понятие функций Грина краевых задач и задачи Коши
также для уравнений гиперболического типа и показать применимость метода
функций Грина к решению этих задач. Однако в применении к уравнениям
гиперболического типа этот метод не является столь же эффективным и удобным,
как для уравнений параболического и эллиптического типа. Поэтому мы
ограничимся здесь рассмотрением применения этого метода к решению задачи Коши
для одномерного волнового уравнения,
152

Следовательно,
Определение. Функцией Грина О {х, 1) задачи Коши для волнового
уравнения a^Uxx — ^tt назовем решение задачи Коши
аЮхх = Gtt. G {X, 0) =- О, Gi (л:, 0) = б (х).
Нетрудно установить непосредственной проверкой, что
G(x, t)==^lц(x + at)-ц{x-at)],
где У] (z) — \ — единичная функция. В самом деле (см. Дополнение,
(.0, г <0,
п. 1),
^^ ^^'' ^) ^-^ i ^^ ^^' "^ ^^) ~6{х- at)].
Gxx {X. t)^-^ [Ь' {X -f at) ~ Ь' {X - at)],
Gt (X, t)=:-L[b(x-\^ at) + 6 (л: - at)],
Gtt (X, /) = -|- W {X 4- at) - b' (X - at)].
аЮ:сх {x. t) = Git (x, 0,
^(^' 0) = ^ [r](,t) - T] (X)]-.. 0,
Gtix, 0)^^-^l6(x)^6{x)]^6{x).
Решение задачи Коши
a^Vxx = ^tt^ ^ {x, 0) =- 0, vt (x, 0) = \p (x),
будет представляться в виде свертки
V (х, t)== G (л:, О * ^ (х). A)
Действительно, вычисляя производные свертки (см. Дополнение, п. 1), получим
^хх =^ Gxx * ^, У// = Git ♦ li).
Следовательно,
a^-Vxx ~ vtt = (^^Схл: — Gtt) ^К'фнО^'ф^О,
i; (л:, 0) = G (л:, 0) * ij) (л:) -= О ^ г|) (х) = О,
и^ {X, 0) = G/ (л:, 0) ♦ ij) (л:) = б (х) ♦ ij) (л:) = ij) (л:),
Свертку G '.\' ij) можно также записать в виде
оо at
—CO —at
Произведя в последнем интеграле замену переменной интегрирования по формуле
X — ^ = г, получим
x-{-at
V (X, о = -4 J ^' (^) ^^- B)
x—at
Заметим, что в формуле A), а следовательно, и в формуле B), функция \р {х) может
быть любой интегрируемой (и даже любой обоби;енной!) функцией.
153

Если R (х, /) есть решение задачи Кош и
^/'/?л.т - Rit, R (А-, 0) = О, Rt (л-, 0) .- ф (х),
то функция W {х, i) = —^— R {х, /) есть решение задачи Коши
a^Wxx ^ ^tt^ ^ {^, 0) " ф (х), Wi {х, 0) — 0.
Действительно, дифференцируя тождество
a^Rxx = Rtt
по t, получим а? {Rt)xy ^ {^t)tt^ ^- ^•
a^Wxx ^ ^tt-
Далее,
W (л:, 0) = Rt {х, 0) = ф (jc),
Wi {х, 0) -- Rii {X, 0) = Gtt {X, 0) ^ ф (х) = О н: ф (X) = 0.
Если функция ф (г) непрерывна, то w {х, t) можно записать в виде
{ x+at \
д \\ Г /4jl Ф (х-«О 4-ф (л: + «О
W (л:, t) = /?/ (л:, О - ^^
1^ ^+п/ j
Т. е.
Ф (х — а/) + ф ('V' -h ai)
w (х, t) — ■
2
Решением произвольной задачи Коши
a^Uxx ~ u^t^ ii{^, 0)=^ф(х), lit {х, 0) — я)^ (х),
где ф (х) — непрерывная функция, а ij) W — интегрируемая (в частности,
кусочно-непрерывная), будет сумма
и ^v -\-w=^G {х, t) ^ \\> (х) + G/ (л:, О * Ф С-^)'
или
Ф (-^ — ^0 4- ф (^ + «О , 1 f , / ч ^ /оч
« (X, О =. -^ ^^ + "За" J "^^^^ ^ ^
л:—а/
Таким образом, решение в этом случае также записывается по формуле
Даламбера. При этом производные от него трактуются как производные
обобщенных функций, совпадаюи;ие с обычными производными там, где эти
последние существуют.
Заметим, что формула C) дает решение задачи Коши и для произвольных
обобщенных начальных функций ф {х) и г|) (л;).
Глава VIII
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ
Существуют разнообразные методы доказательства
единственности решения краевых задач. Обычно пользуются разными
методами доказательства единственности для уравнений
гиперболического, параболического и эллиптического типов. В настоящей
154

главе приводятся доказательства, основанные (дли всех трех
типов уравнений) на первой формуле Грина:
j OiL [Og] dx - - j Л (УФх, УФ,) dx - ( ^Ф^Фз dt -f j /еФх-^ dcT,
Z) D D S
§ U Единственность решения краевых задач
для уравнений гиперболического типа
1. Рассматриваются краевые задачи вида
div (feyw) — qu + f (М, /) ^ p%, A)
{yi^-Vy.^i)^-\^{Mil B)
и (Ai, 0) - Ф (M), ^/, (M, 0) - Ф, (Л1) C)
для области В ~ {М ^ D] t ;^ 0}, гдеД — конечная область,
ограниченная поверхностью S.
Функции k (УИ), q (М) и р (М) непрерывны в области D, к (М)
имеет непрерывные в D частные производные первого порядка по
координатам точки М, и
k = k (М) > О, q (М) ^ О, р (УИ) > О в D;
TiOW)^0, у,{М)^0, у1-\-у1фО
для всякой T04ISH М ^ S.
Теорема единственности. Решение краевой за^
дачи A)—C), непрерывное в замкнутой области В вместе с
частными производными первого порядка по переменной t и по коорди^
натам точки Af, единственно»
Доказательство, Пусть Ui (/И, t) и и^ (М, t) ^ два
решения, удовлетворяющие условиям теоремы. Покажем, что
Ui {Mi t) s «8 (Л1, t) в области В,
Для доказательства воспользуемся первой формулой Грина
для функций Ф^ ^ V ^ Ui ~t^| и Фх ^ Vf.
Получим
I VtL [f ] dt «^ -^ ^k {Vv, Vvt) dt - I qvvi dx + J kVt ^ do, D)
D О as
Функция t» = iZj — ^2, очевидно, является решением задачи
L Iv] ^ pvtu E)
(Vx^ + T.^), = 0, F)
V (M, 0) =0, vt (M, 0) = 0. G)
Так как L [у] = ри^, то из формулы D) получим
[ pVtVtt dx = — \ k {Vv, V0() dx — [ ^УУ( dx -|- ) ^-'t т- do,

или
lp^(vf)dx^~~\k-l~iVvrdT-~ \q^(v')dx + 2lkvtjl^da. (8)
D D D S
Так как для первой краевой задачи v^ [^ =^ О, а для второй
краевой задачи -§~- =^ О, то для первой и второй краевых задач
формула (8) имеет вид
\p^iv^)dx=^~ 1к-^{ЩЧх- \g^dx. (9)
D
— I :^—-lLv\
дп \s Yi \s'
D
ЛЯ третьей краевой задачи-^ ^==^ ^\ > поэтому из фор
мулы (8) получим
\p±.(vbdx=^\k-§j-iWvrdx- \q^dx~\fk^da. A0)
D D D S
Интегрируя тождества (9) и A0) по переменной t на промежутке
[О, Т] и пользуясь тождествами v (М, 0) ее О, v^ I'-o = О,
v^ (УИ, 0) ЕЕ о, получим соответственно
j pv^ (/И, Т) dx -=-— \k {SJvf \i^T dx~ \ qv^ (M, T) dx A1)
J pv] (M, T)dx-^-- I Й {Vvf \t^T dx -
0 о
- J qv^ (M, Г) di «^ J -M уз щ^ f) ^^ A2)
Так как левые части в формулах (И) и A2) неотрицательны, а
правые положительны, то каждый интеграл равен нулю, Следова*
тельно, в случае первой и второй краевых задач для произволь*
ного значения Г > О и любой точки М ^ 5 ^
pv^i (М, Г) ^ О, W \i^T « О, qv^ (М, Т) « 0. A3)
Если q Ф О, то отсюда следует, что v (М, t) ^ О, Если q ^ О,
то i; (М, t) ^ const, В силу свойства непрерывности функции
V (М, О» пользуясь начальными условиями G), получаем v (М,
^) = 0. В случае третьей краевой задачи кроме равенств A3)
получим также v (М, T)\s = О, Следовательно, как и в
рассмотренном случае, получим v (М, t) = 0. Теорема доказана.
2. Замечание. Часто единственность решения краевых
задач для уравнений гиперболического типа доказывают,
пользуясь интегралом энергии колебаний, отвечающих
соответствующей однородной задаче. Именно, рассматривают функцию времени
^@-4" \\k(^'-^qv'^-pv^dx,
156

где V =^ til — ^h' Непосредственным вычислением, с нспользова^
нием уравнения для v и формулы Остроградского, доказывают,
что Е' @^0. Отсюда следует, что Е (t) ^ const == £ @). Так
как Е @) ==^ О, то £ (t) = О, откуда и следует, что у ^ Ui~ и^ = О,
§ 2. О единственности решения задачи Коши
для волнового уравнения
Мы отмечали в § 5 гл. III, что если существует решение
задачи Коши для одномерного однородного волнового уравнения
a^Uxx == titt, непрерывное вместе с частной производной первого
порядка щ в замкнутой области В^ ~ {— оо<л:<:оо, t ^ 0},
то оно представляется формулой Даламбера. Аналогично, в § 11
гл. Ill было показано, что если существует решение задачи Коши
для трехмерного (двумерного) однородного волнового уравнения
а^Аи = Utt, непрерывное вместе с частной производной первого
порядка щ в замкнутой области В^ :Е {М, t ~^ 0} {М—любая
точка трехмерного (двумерного) пространства), то оно
представляется формулой Пуассона (или ее двумерным аналогом). Из этих
фактов непосредственно следуют теоремы единственности.
Теорема 1. Решение задачи Коши для одномерного
волнового уравнения
ci^i^xx + / (л:, t) =- Utt,
и (х, 0) = ф (х), щ {х, 0) = 11) (л-),
непрерывное вместе с частной производной первого порядка и^
в замкнутой области Bi ш, { -^ оо <д:<с©,^^0), единственно.
В самом деле, пусть Ui (х, t) и и^ (х, t) — два решения задачи,
удовлетворяющие условиям теоремы. Тогда их разность v {х,
t) ^ ui {Xt t) — и% {Xf t) является решением задачи Коши тп од«
нородного волнового уравнения
V {Х, 0) ^ О, Vt {Х, 0) а» О,
непрерывным вместе с частной производной Vt в замкнутой
области "Si. Согласно § 5 гл. III функция v (д;, t) выражается
формулой Даламбера, которая дает, очевидно, v {х^ 0) s 0.
Теорема 2, Решение задачи Коши для трехмерного
{двумерного) волнового уравнения
а^Аи + f {М, t) = Utt,
и (М, 0) - ф (М), щ (М, 0) = г|) (М),
непрерывное вместе с частной производной первого порядка щ
в замкнутой области В^ ^ [М, t^0\ {М — любая точка
трехмерного {двумерного) пространства), единственно.
Доказательство этой теоремы совершенно аналогично
доказательству теоремы 1, только вместо формулы Даламбера надо
пользоваться формулой Пуассоца.
157

§ 3. Единственность решения краевых задач
для уравненкй параболического типа
Рассматриваются краевые задачи вида
L [и] + /(Л1, 1) -р^ь A4)
(у1^~\-Ъи)^ = \^{М tl A5)
и (М, 0) - ф (М) A6)
для области В = [М ^ D\ t';^0] при тех же предположениях
относительно области D и функций k (М), q (М), р (/И), Yi (Л<1),
Y2 (М), что и в § 1.
Теорема единственности. Решение краевой
задачи A4)—A6), непрерывное в замкнутой области В^вместе с
частными производными первого порядка по коордцнатам точки М и
частной производной первого порядка по переменной t, единственно.
Доказательство. Пусть и^ (/И, t) и //2 (М, t) — два
решения, удовлетворяющие условиям теоремы, и v = Ui — //9.
Покажем, что v (М, /) е: О в области В. Для этого применим
первую формулу Грина для функций Oi = v и Ф., ^ v. Получим
[ vL [V] dx = -- J fe (Vt^)-~ dx - J qo'- dx + [ kv '^da. A7)
D D D S]
Функция V, очевидно, является решением однородной задачи
^ L Iv] - pt;,, A8)
(Yi#+Tat')^-0. A9)
t?(M. 0) ^0. B0)
Так как L Iv] ш. pVf, то из формулы A7) получим
I pwtdx^--^\k {Vvf dx^ j qv^ d% + | fe ^ do. B1)
b Ь D s
Для первой и второй краевых задач формула B1) име@т вид
J pvvt dx^-- \k (?t>f d%- I qv^ dx B2)
или
j p-^{v'')dT = — 2\k{Vvfdx-^2 \qv^x, B3)
Для третьей краевой задачи из формулы B1), используя краевые
условия A9), получаем
D
т
jp_|,(y'^),ix-- -2 \k{Vv)'dx~~2\qvUx --.2 j^i;Via. B4)

Интегрируя тождества B3) и B4) по переменной / на промежутке
[О, Т] и пользуясь тождеством v (М, 0) ^ О, получим
соответственно
т
J.
D О D О D
J 1
\ pv' {М, T)d%=^ — 2\\k {S!vf dxdt-~-2 J J qv^ (M, T) d% dt B5)
и
J риЦМ, T)dT =
D
T T
= — 2 j j fe (Vt^)^ dT d/ - 2 j j 9^2 d/ dT - 2 J J fe -^ v'^ da dt. B6)
0 D 0 D OS
Так как правые части в формулах B5) и B6) неположительны,
а левые части неотрицательны, то
( риЦМ, T)dT^O.
Отсюда следует, что v (М, Т) = О для произвольного Г > 0.
Теорема доказана.
Замечание. Требование непрерывности решения в
замкнутой области В существенно, так как при невыполнении его
единственности нет. Действительно, если мы прибавим к решению,
например, первой краевой задачи функцию й (М, /), тождественно
равную С (С = const) внутри области В и равную нулю на ее
границе, то получим решение той же краевой задачи при любом
значении С. Конечно, это замечание относится и к краевым
задачам для уравнений гиперболического типа.
В ряде случаев теорему единственности решения краевой
задачи для уравнений параболического типа можно доказать в более
слабых предположениях. Это можно сделать, пользуясь, например,
принципом максимума и минимума для решений уравнения
теплопроводности. Ему посвящен следующий параграф.
§ 4. Принцип максимума и минимума для решений
уравнения теплопроводности
1. Пусть D — произвольная конечная область, ограниченная
поверхностью S, и 7 — произвольное фиксированное
положительное число. Рассмотрим замкнутую область Вт ^ {М ^ D, О <
^ / < Т]. Это цилиндр с основанием D и образующими,
параллельными оси t. Когда D — двумерная (плоская) область, Вт
изображена на рис. 20.
Для одномерной области D (отрезок [О, /]) В/ —
прямоугольник {О ^^с х^^ I, О ^ t ^ Г].
159

Для решения уравнения теплопроводности
div {ksju) = рщ,
B7)
в котором k = k (М) > О и р === р (/VI) > О, справедлива
Теорема о максимуме и минимуме. Всякое
решение и (М, t) уравнения B7), непрерывное в замкнутой
области Bf, принимает наибольшее и наименьшее значения или на
нижней границе области Bj {при / = 0), или на боковой
поверхности {М е 5, О < ^^ Г).
Доказательство. Пусть и (М, /) — решение
уравнения B7). Если и (М, /) ЕЕ const, теорема очевидна. Поэтому
будем полагать, что и (М, {)ф const. Для
определенности будем доказывать
теорему для наибольшего значения *).
Пусть Uy — наибольшее значение
р^ешения и (М, /) на границе Г области
Sr, Г ЕЕ {уИ е 5, О < ^ < Г) + {Me D,
t :-- 0}, а Ub — наибольшее значение
его в области Bf. Требуется доказать,
что Ur ~ и^'
Очевидно, что Ub ^ Ur-
Предположим, что Ub > Ur- Рассмотрим
вспомогательную функцию и (М, t) =-- и (М, t) +
+ а (Г — О, где число а > О и а < (нв ~ Uj)/{2T).
Функция V (М, t) непрерывна в области Вт. Следовательно,
она достигает в Вр наибольшего значения в некоторой точке
(Ml, ti) ^ Вт. Очеввдно, v (Mi, /i) ^ Ub, так как v (М, /) ^
^ и (М, t) всюду в Вт.
Точка (Ml, ^i) не может лежать на границе Г. Действительно,
для любой точки М ^ D и t = О
V (М, 0) -= и (М, 0) + аГ < ^г + Y К - ^'г) < Ив
и для любой точки М^5иО</<Г
V (М, /) < ur + a{T ~t) ^ Uy + ссГ < ^г -f у (^в — ^г) < tiB-
Таким образом, для любой точки (М, /) G Г функция v (М,
/) < Ub, в то время как v (Mi, ^i) ^ Uq.
Итак, точка (Mi, ^i) принадлежит либо открытой области Вт,
либо является внутренней точкой верхнего основания цилиндра Вт.
В обоих случаях в ней функция и (М, /) должна удовлетворять
уравнению B7). Однако, поскольку
sjv ^ SJu и Щ \м^м, == О, а ^v \м:^м^ < О,
*) Доказательство теоремы для наименьшего значения сводится к
рассматриваемому случаю заменой w (М, /) на —и (Л/, /).
160

то
div (/е Vu) \м=гш, --^ div {k Щ \м=:=м, = [{Vk, Vu) -р k Av\ \м^м, < 0.
С другой стороны,
Щ (Ml, t,) - vi (Ml, /i) + a > 0, ибо vt (Ml, /i) s> 0.
Таким образом, во внутренней точке (Mi, t^) области Вр
функция и (М, t) не удовлетворяет уравнению B7), что противоречит
условию теоремы. Следовательно, нельзя полагать и^ > wr>
и поэтому и^ =^ ыт- Теорема доказана. Ее часто называют
принципом максимума и минимума.
2. Эта теорема является выражением того физически
очевидного факта, что тепло (или диффундирующее вещество)
перемещается лишь от мест с большей температурой (концентрацией)
к местам с меньшей температурой, т. е. «растекается».
С заданием начальной температуры (концентрации вещества)
на границе t = О области Bj с момента t === О начнется процесс
«растекания» тепла (вещества) во внутренние точки области.
Очевидно, в силу отмеченного выше факта, при этом температура во
внутренних точках не может стать выше температуры на границе
/ == 0. То же можно сказать и о случае, когда задается температура
на границе [М ^ S, Q <t <Т\.
3. Следствие 1. Если решения уравнения
div {ksju) + / (М, t) - рщ B8)
Ui (М, t) и Uo (М, /), непрерывные в области В ^ \М ^ D, t ^ 0],
на границе области Г = |М ^ 5, t ^ 0\ + \М ^ D, t = 0}
удовлетворяют неравенству щ (М, /) < и^ (М, /), то и всюду
ё В выполняется неравенство Ui (М, /) < U2 (М, t).
Действительно, функция и (М, t) = U2 (М, t) — ^/^ (М, t)
является решением уравнения B7), непрерывна в В и на Г
положительна. Следовательн^о, для любого Т > О наибольшее и
наименьшее значения функции и (М, t) в области Вт положительны.
Поэтому всюду в области Вт и (М, t) > 0. Ввиду произвольности
числа Т неравенство и (М, t) > О справедливо всюду в области В.
Следствие 2 (теорема о непрерывной зависимости
решения первой краевой задачи от краевых и начальных значений).
Если в краевых задачах
div (ksju) + f (М, t) -= pUi,
u\s-i\{M, 0, u{M, 0) ^-cp,(M)
и
div (ksju) + / (M, /) --= puty
u\s -^AM. 0> ti{M, 0) =^ Ф2(М)
для функций cp,, (p2, г|)^, ^\\ выполняются неравенства
I ф1 (М) - ф2 (М) I < 8
6 Арсенин В. Я. 1<j1

во всех точках области D, ограниченной поверхностью S, и
h)i(M, O-xj), (/И, t)\^E
для всех М ^ S ^/ / ^ О, то для непрерывных в области В решений
Ui {М, t) и «2 Щ^ О этих задач выполняется всюду в В неравенство
I и^ (Л1, t) — U2 {М, t)\ < Е.
Это непосредственно вытекает из следствия 1.
4. Очевидно, из принципа максимума и минимума следует
единственность решения перйой краевой задачи для уравнения B8),
непрерывного в области В.
§ 5. Единственность решения задачи Коши
для уравнения теплопроводности
1. Здесь мы будем рассматривать простейшее уравнение
теплопроводности (одномерное или многомерное с числом измерений по
пространственным переменным т)
a^^u + f {М, t) = щ. B9)
Теорема единственности. Решение задачи Коши
для уравнения B9) с начальными значениями и (М, 0) = ф (Л1),
непрерывное и ограниченнее в замкнутый области В^ ^
е: I— оо < л:1, х<2^, ..., х^^ < оо; / ^ 0|, единственно.
Здесь (xi, л-2, ..., .г,„) — координаты точки М пространства т
измерений.
Проведем подробное доказательство для одномерного случая.
Пусть Ui {Ху t) и U2 (х, t) — два решения задачи. По условию
теоремы существует такое число Л^, что \ui{x, t)\ ^ N vi\u2, (х, t) \ <:
< Л^ всюду в области
В^ ~ I — оо < л- < оо; /^ 0}.
Рассмотрим функцию v (х, t) = Ui (х, t) — и^ (х, t). Эта функция
является решением задачи Коши
^^^хх = ^Ь C0)
V (X, 0) ^ О, C1)
непрерывным в^\ и 11; (х, /) | < 2Л^ всюду в В^ Введем в
рассмотрение область "В/^ = I |x| < /?; i ^ 0} и вспомогательную
функцию
Очевидно, ш (а', /) является решением уравнения C0),_непре-
рывным в области В]^. Кроме того, на границах области В^
выполняется неравенство \v {х, t)\ <с w (х, t). Действительно,
\vix, 0)\=0<^x^=^wix, 0),
162

Таким образом, к функциям v {Ху t) и w (х, /) в области В}^
применимо следствие 1 теоремы о максимуме и минимуме (§ 4). Согласно
этому следствию | v (х, ^) | < ш (х, /) всюду в области В)^.
Рассмотрим теперь произвольную точку {х^у ti) области В^.
При любом достаточно большом значении R эта точка
принадлежит области В}^. Следовательно,
Взяв произвольное число е > О и достаточно большое R,
мы будем иметь
4^V / ^1 \
< е.
Следовательно, v (х,, tyj =0. Ввиду произвольности точки (Xi, Q
равенство v (л:, /) =^ О, т. е. и^ (х, t) ^ йо [х, t), выполняется всюду
в В^. Теорема доказана.
2. В случае пространства произвольного числа измерений т
вместо B^R надо взять области В% ^ [М ^ Dj^; t ^ 0\, где D^ —
шаровая (замкнутая) область радиуса R с центром в ц^ачале
координат.
Вспомогательную функцию надо взять равной
»(М.О-^(^ + л).
где г — расстояние точки М от начала координат. Далее все рас*
суждения в доказательстве повторяются почти дословно *).
Замечание. Требование ограниченности решения в
области не является необходимым для единственности. В значительно
более слабых ограничениях на рост решения теорема единствен*
ности была доказана А. Н. Тихоновым**),
§ е. Единственность решения краевых задач
для уравнений эллиптического типа
1. Будем рассматривать сначала лишь внутренние краевые
задачи для конечных областей. Они состоят, как известно, в
нахождении функции и (М), удовлетворяюш,ей уравнению
L[w] = div(feVa)-^« = /(Al) C2)
в области D, ограниченной поверхностью S, и краевому условию
{y,^ + У,u)^=■.^^iM) C3)
на поверхности S.
*) Читателю рекомэндуегся поовести доказательство самогтоттельн о.
**) См. Тихонов Д. Н. — Матем. сб., 1935, т. 42, Яд 2, с. 19Э--216.
6* т

функции k (М), q (.И), Yj (yVI) и y^ Щ) удовлетворяют таким же
условиям, как и в §§ 1 и 2:
Yi {М) > О, Т2 (Л1) > О
на S и (yi + yl)s ф 0. Поверхность S предполагаем кусочно-
гладкой. В этих условиях справедлива
Теорема 1. Решение первой и третьей внутренних
краевых задач C2)—C3) единственно в классе функций и (Л1),
непрерывных в D вместе с частными производными первого порядка по
координатам точки М.
Доказательство. Пусть и^ (Л4) и ^2 {Щ — Два
решения задачи C2)—C3). Покажем, что их разность v {М) -^
== Ui {М) — и. (Л1) равна нулю. Для этого применим первую
формулу Грина к функциям Ф^ {М) ^ v (УИ) == Фо (М). Получим
j vL [v\ ch -= -- j k {\'V, \v) dx - j qv~ dx -f [ /ш ~ da. C4)
D D D S
Поскольку функция V (М) является решением однородной
краевой задачи
L Iv] - О, C5)
Vi|^ + Y2t') =0, C6)
(
то ИЗ формулы C4) получаем
D D §
Длй первой краевой задачи (Vi ^0, Vn "^ О интеграл по поверх*
ности S равен нулю и, следовательно,
1 к{Щ^йх+{ qv^dx^m 0.
Отсюда следует равенство нулю каждой из подынтегральных
функций, т. е.
k (vt^J = О, qv^ = О,
Если q Ф О, то V (М) = О в области D. Если q (М) ^ О, то из
равенства нулю градиента, yt; = О, в области D следует, чтог; (М) ~
~ const. А так как решение v (М) непрерывно в замкнутой
области D и v\s = О, то всюду в D
V (М) = 0.
Для третьей краевой задачи из C4) и C6) получаем
j k {Wvf dx + j qv' dx + j -^ kv' da = 0.
D D S
Следовательно, каждый интеграл равен нулю. Отсюда и следует,
что V (УИ) н О 6 р. Теорема доказана,
I(i4

Замечание. В § 1 гл. VII единственность решения
первой краевой задачи для уравнения Лапласа была доказана в более
слабых предположениях: требовалась непрерывность решения
в замкнутой области D, но не требовалась непрерывность его
частных производных первого порядка в замкнутой области.
2. Для второй краевой задачи справедлива
Теорема 2. Любые два решения а^ (М) и Wg (М) второй
внутренней краевой задача, непрерывные в D вместе с частными
производными первого порядка по координатам точки М, могут
отличаться лишь на аддитивную постоянную, т. е.
Ui (М) — U2 (М) ^ const.
Доказательство. Как и при доказательстве предыду-
ш,ей теоремы, для функции v = Ui (М) — ^2 Щ) получим
J k {SJvf dT + I qv'- di - j b-|^ da =- 0.
D D S
Поскольку-^ == 0, TO
\k{Vvfdx-{~ \qv^-dx=0.
Из этого соотношений следует:
k (vdJ ~ о и ^t;^ = о всюду в D.
Если q Ф О, то tJ (М) ^ О, и теорема док-азана. Если q {М) = О*
to уу ^ О и, следовательно, v {М) = const. Теорема доказанаi
3. Для единственности решения внешних краевых задач от
рассматриваемых решений надо требовать выполнения некоторых
условий на 6ecK0He4H0ctH.
В самом деле» если для уравнений Да *» О искать решение
первой внешней краевой задачи вне круга радиуса R, т. е. в
области г > /?, с краевым условием и\гш^ «« С, где С — постоян»
пая, то решениями будут функции Ui{M) s С, и^(М) «» С~
и «3 Ш) ^ Aui + Bui, где Л и В ~ произвольные постоянные
такие, что Л + В « 1.
Приведем одну из теорем единственности решений внешних
краевых задач.
Функцию / (М), определенную в области Di, внешней к
замкнутой поверхности S, будем называть регулярной на бесконечности,
если при стремлении точки М к бесконечности сама она
равномерно стремится к нулю, как А1гмм^, а ее частные производные
первого порядка стремятся к нулю, как В1г\[м^. Здесь гмм^ —
расстояние от точки М до некоторой фиксированной точки Мп,
Для трехмерного пространства справедлива
Теорема 3. Решение внешней краевой задачи
div {k^u) = f (М),
165

непрерывное в замкнутой области Di вместе с частными
производными первого порядка и регулярное на бесконечности,
единственно.
Доказательство. Пусть Ui (/VI) н и^ (М) — два
решения задачи и v (М) =^ Ui (М) — r/g (М).
Из некоторой точки Mq, лежащей внутри поверхности S,
как из центра опиш'ем сферу S/^ настолько большого радиуса R,
чтобы Sf^ целиком лежала в области Dj. Пусть
Df^ — область, ограниченная поверхностями
S и Sj^ (рис. 21).
I Применим первую формулу Грина для
функций Ф, {М) =v{M) и Фз (М) =v (М)
в области D/^. Получим (при q (М) = 0)
[ V cliv [k Щ ch =:=:— ^k iSvf di
dv
Рис. 21.
^ kv~^dai~\kv^da.
'R
C7)
C8)
C9)
Функция и (М) является реш^ением задачи
div (kyv) - О (^ Di),
Поэтому из C7) получаем
jkiWrdx^jku-^da- jkv^do^O.
Для первой и второй краевых задач интеграл по S равен нулю»
поэтому
^kiVvfdx^ jkv^da. D0)
^R ^R
Для третьей краевой задачи, пользуясь краевыми условиями
C9), выражаем-— через v\s. Получим
jk{Vvfdx+lk^v4a^ jkV'—da, D1)
Формулы D0) и D1) справедливы для любых достаточно
больших значений R. Поэтому в них можно перейти к пределу при
R —* оо. Оценим интеграл по So. В силу регулярности функции v
и ограниченности k (М) {k {М) < N) имеем
'•\kv^daUN\AB\ \^^N\A8\^.
s^ мм.
166

Переходя в формулах D0) и D1) к пределу при R -^ оо и учитывая
оценку для интеграла по 5j,, получим
\ k{Vvfdx -О, D2)
j k {Vvf dT-{~ j k-^v^-do=^0, D3)
Di S
Из D2) следует, что v = const. A так как v (M) —> 0 при M —^ oo,
TO V (M) ^ 0 в Dj. Из D3) следует, что v (М) ™ const в Di nv\s =
= 0. Из непрерывности v (M) в Di следует, что v (M) = 0 в Dj.
Теорема доказана.
4. Заметим, что решение второй краевой задачи также
единственно, поскольку в этом случае фиксируется значение решения
на бесконечности (равное нулю).
Свойство регулярности решения на бесконечности
понадобилось нам для оценки интеграла по вспомогательной поверхности 5/^.
Замечание. Для двумерного случая требование
регулярности решения на бесконечности слишком сильно, так как решения,
удовлетворяющего ему, может и не существовать. В двумерных
задачах достаточно потребовать, чтобы искомое решение было
ограниченным на бесконечности, а частные производные первого
порядка равномерно стремились к нулю, как В/г^Мо-
Глава IX
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В^^ этой главе мы изложим некоторые начальные сведения
о линейных интегральных уравнениях второго рода. Для простоты
записи мы всюду, кроме § 1, будем рассматривать одномерный
случай. Все результаты верны и для многомерного.
§ i. Классификация линейных интегральных уравнений
Уравнения вида
Ф (/И) -^Х\К{М. Р) Ф (Я) dxp ^ f (М),
D
где ф (Я) ~ искомая функция, / (М) и К (Л1, Р) — известные
функции, D — фиксированная область. А, — числовой параметр,
называются интегральными уравнениями Фредгольма второго
рода. Если / (М) ~ О, уравнение называется однородным, в
противном случае — неоднородным.
Уравнения вида
^{М)-% \ К{Л1, P)(p{P)dTp-==[{M),
D{M)
167

где D {М) — переменная область, зависящая от точки /VI,
называются интегральными уравнениями Вольтерра второго рода.
Например, в одномерном случае
Ф
{х)~%\к{х. s)^){s)ds^f{x)
есть уравнение Вольтерра второго рода.
Если / (М) = .0, уравнение называется однородным, в
противном случае ^— неоднородным.
Уравнения вида
J/((/И, P)rp(P)dTp^/(M),
где D — фиксированная область, называются интегральными
уравнениями Фредгольма первого рода.
Уравнения вида
J К{М, P)^f{P)dip^f{M)
D{M)
называются интегральными уравнениями Вольтерра первого рода.
Функция К {М, Р) называется ядром интегрального уравнения.
Замечание. Уравнения Вольтерра являются частным
видом уравнений Фредгольма. Так, если в одномерном случае
положить
[ К{х, s), a<s<x,
то уравнение Вольтерра
X
ср (л-) — Х^К{х, s) ф (s) ds =^ f (х)
а
МОЖНО записать как уравнение Фредгольма с ядром Ki (v, s):
b
гр (X) — A, J /Ci {X, S) rp (S) JS -= / (X).
a
Ядра Ki (x, s) указанного вида иногда называют ядрами
Вольтерра.
§ 2. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами
Ядро Л' (л-, s) называется вырожденным, если оно имеет вид
п
К{х, S)- Sa,(x)b,(s), A)
где ui (х) — линейно независимые функции.
Решение уравнения Фредгольма второго рода с вырожденны?у1
ядром сводится к решению системы линейных алгебраических
168

уравнений. В самом деле, подставляя в уравнение
b
ф(х)-х(Л'(х, s)cp(s)ds + /(AO B)
а
ядро A), получим
b
где Ci ^ [ bi (s) ф (s) ds — неизвестные числа.
а
Таким образом, решение уравнения B) с вырожденным ядром
надо искать в виде C). Подставляя эту функцию в уравнение B)
и сравнивая коэффициенты при одних и тех же функциях а^ (х)
справа и слева, получим систему линейных алгебраических
уравнений относительно С^:
С,-^ X S С^ос,,-+ р, (t^^l, 2, ... , я), D)
/=1
где
и о
ац =^\ai (S) bj (s) ds, Pi = J / (s) &; (s) ds.
a a
Решив эту систему, мы найдем Q, а следовательно, и решение
уравнения B) ф {х).
§ 3. Существование решений
1. Если ядро вырожденное, то вопрос о существовании решения
интегрального уравнения Фредгольма сводится к вопросу о
существовании решения соответствующей системы алгебраических
уравнений D). В более общем случае мы докажем существование
решения уравнения B) (при достаточно малых значениях | А, |)
методом последовательных приближений.
Для простоты выкладок будем предполагать, что: 1) ядро
К {х, s) непрерывно в квадрате а < Ху s < Ь; тогда оно ограничено
некоторой константой Л, | /С| < Л; 2) функция / (х) непрерывна
на отрезке [а, 6], следовательно, она ограничена на этом отрезке
некоторой константой В, |/| < В.
Построим последовательность функций ф^ (л:), ф2 (х), ,..
.,., ср^ (л:), ... по следующему правилу:
b
щ{х)^^[{х)~] К \к{х, s)^,is)ds, E)
а
1^9

где фо (s) — произвольная фиксированная интегрируемая
функция,
b
Ф2 (А') - / (Х) + Я J У( (Х, S) ф, (S) ds, F)
а
Ь
Тп {X) - / (X) + X J /< (Л', S) ф,_, (S) ds, G)
Теорема 1. При значениях У^\ < Г(ь~ Г
последовательность E)—G) функций (рп (х) равномерно сходится на отрезке
[а, Ь] к функции ф (л:), являюи^ейся решением уравнения B).
Доказательство. Преобразуем формулы для
получения функций ф/^ (л:). Подставляя функцию фх (л:) в формулу для
фо [х), получим
b b b
Ф2 {X) - / {X) {У^\К (Л', S) / (S) ds -Ь ;i-^ J к {X. s) (/с (S, /) Фо (/) d/ ds.
а а а
Меняя в последнем слагаемом порядок интегрирования, получим
b b
Ф2 {X) ^ / (X) + X J /Vi (X, s) / (s) ds -]- ;i-^ J 7^2 {X. i) Фо @ ^^
a a
где
/("l (X, S) = К {X, S),
^2(^, 0- J^l(^' 5)/^i(S, Od5.
Аналогично находим
b b
^n{x)^f{x) + %\Ki{x. s)/(s)ds + X2 j/B(^, s)/(s)ds-f...
a a
b b
. . . 4 ?^"-^ J Kn-1 {X. S) f (S) ds + ^« J УС, (X, /) Фо (/) d/,
a a
a
где /C^ (x, /) ^ I Л:1 (x, s) /C«_i (s, /) rfs. Предел функции ф^ (.v),
b
если он существует, равен сумме ряда
^{х)=^
b b
=-/W + x|>i(x, s)f{s)ds+ .,,-{Л-\Кп{х. s)f{s)ds~\- ... (8)
a a
170

й функции
6
i!:i {х):- lim X'' J Кп {х, t) Фо (О ^^•
П->оо д
Функции /С^1 (х, s) называются итерированными ядрами.
Докажем равномерную сходимость этого ряда. Для этого
оценим интегралы
b
\Кп{х, s)f(s)ds.
а
Очевидно,
b
IKoix, 0|< Jl^i(^, s)Ki{s, t)\ds<A'{b~a),
a
b
\KAx. t)\<\\K^{x, s)/C,(s, ()\Aв<АЦЬ-а)\
a
b
I Kn (-V, /) i <: J 1 i^i Cv, s) Kn-^, {s, t)\ds<: A- ф -^ аГ^К
поэтому
6
J Kn (A', s)/(s)dsl^A^ib- аУ'-^ j |/(s) | ds < Л"В(й - ay\
a I П
Следовательно, числовой ряд
oo
i; в A" I >. i'^ (b ~~ af (9)
n==l
является мажорантным для ряда (8). Если |?i| <.,__,
то ряд (9) сходится. Следовательно, при таких % ряд (8), а вместе
с ним и последовательность функций ф^ (л:), равномерно сходится
к функции ф (л:) *). Эта функция является решением уравнения
B). В самом деле, переходя в формуле G) к пределу при /г-> сх),
получим
ф(х)-^|/С(х, s)^{s)ds + f{x).
Переход к пределу под знаком интеграла здесь законен, так как
последовательность сходится равномерно.
Заметим, что предел lim ф/^ {х) = ф {х) не зависит от выбора
П->оо
функции Фо (s) (нулевого приближения). Из этого легко следует
*) Так как ^^ ^ 0.
171

единственность решения уравнения B). В самом деле, если суш^ест-
вует еш,е одно решение i[? (х) уравнения B), то, полагая в процедуре
построения функций E)—G) фо (х) = i|? (х), получим
Ф1 М = ^ W, Ф2 W == ^ М» ••., Ф/1 W == ^ W, ...
Эта последовательность имеет пределом функцию ф (х). Но вместе
с тем очевидно, что
lim ф^(х) = г|)(х).
п -> оо
Таким образом,
Ф (х) =-г|? (х).
2. Поскольку ряд (8) сходится при |^|< ттл г> ^^ ^Р^^
оо
таких же А, сходится и ряд ^ А"^ \Х\'^-^^ (Ь — аУ^~К Но этот ряд
п=1
оо
является мажорантным для ряда Х1 ^'^~^/Сд(^, s). Следовательно,
п=1
оо
ряд 2] ^^~^Кп {^^ 5) СХОДИТСЯ равномерно. Поэтому ряд (8) можно
записать в виде
Ф(Х).^/(Х)+А j 2 >^^-^^п(^, ^) /(S)rfs
а [п^Л ]
или
ф (X) = / (X) -f я J ^ (.t, S, Я) / (S) rfs, A0)
а
оо
где функция /? (х, S, Х) =:== 2] '^^^'^Кп {^^ 5) называется резольвентой
уравнения B).
Таким образом, если нам известна резольвента уравнения B),
то по формуле A0) мы получим его решение. Мы определили
резольвенту лишь для малых значений | % |. Однако ее можно
определить на любой конечной области комплексной плоскости
переменной % путем аналитического продолжения (кроме, может быть,
конечного числа особых точек этой области). Если это сделано, то
по формуле A0) мы получим решение уравнения B) для любых
значений Х, кроме упомянутых особых точек. Мы не будем подробно
на этом останавливаться *).
3. Если мы применим описанную выше процедуру к уравнению
Вольтерра
X
^{х)=^'к\к{х, s)^{s)ds-\-f{x) (a^x^b). A1)
*) См. М и X л и н С. Г. Интегральные уравнения и их приложения к
некоторым проблемам механики, математической физики и техники, ч. I, гл. I. —
М.: Гостехиздат, 1949.
172

to получим последовательность функций
X
Ф1 {х)=^!{х) + 'к\к {X, S) фо (s) ds,
а
X
Ф2 (■^) "-== / W + ^ J ^ {^^ s) ф1 (s) ds,
Ф7г (•>^) -- / {Х) Ч >J ^ (-^^ S) фя_1 (S) ds,
Эта последовательность равномерно сходится на [а, Ь] при
любых значениях параметра X. В самом деле,
очевидно, справедливы неравенства
X
I Ti W I < I / W I + 1 ^ 1 J \К{х, S) 11 cfo(s) Ids < В + I?. I ЛВо(^ - а),
а
где I Фо (s) I < Во.
л:
|c(,(x)|<|/(.t)|- \Х\\\К{х, s)||fpi(s)|ds<
л:
< в -t I >^ I ^ ( \В -I I ?, I ЛВо (S - о)} ds ---
= в -h \к\АВ(х~ а) f I >. |з Л^Во ^•'~"^' .
Вообще,
|Ф„(А-)|<В \-\к\АВ{х~а)-г ...
■ ■ . -f I ^"-' I А"-^ В '''(~_!^ 1^' + IЯI" Л"Во ^^ ~,°^" ■
оо
Поскольку ряд > в I X 1" Л'^ ~— равномерно сходится на
п=1
отрезке [а, Ь] и его частичные суммы являются мажорантными
для функций ф^ {х), то последовательность {ф,^ {х)\ также сходится
равномерно; ф (х) = lim ф^ (х), очевидно, является решением
П-^оо
уравнения (И), и притом единственным.
§ 4. Понятие о приближенных методах решения
интегральных уравнений Фредгольма второго рода
Описанный в § 3 метод последовательных приближений
построения решения может служить приближенным методом »решения
интегральных уравнений Фредгольма второго рода. В качестве
173

приближенного решения надо брать функции ф^ (л:), определяемые
формулами E)—G).
Второй метод нахождения приближенного решения
интегральных уравнений состоит в том, что ядро уравнения К (•^, s)
аппроксимируют с надлежащей точностью вырожденным ядром
К{х, 8)=^ I]a,(^N,(s).
Решение уравнения с ядром К {х, s) и будет приблилсенным
решением исходного уравнения *).
Третий метод, его называют методом сеток, состоит
в следующем.
Отрезки [а, Ь] изменения переменных х \\ s разбивают
на п одинаковых частей точками деления Xi, Sj. Интеграл
j К (х, s) ф (s) ds в интегральном уравнении заменяют

интегральной суммой.
Получают соотношение
п
Ф (х) ^Х^К {X, Sj) ф,- Asj + / (х).
Полагая здесь х равным Xi {i = U 2, ..., п), рассмотрим систему
уравнений
Ф^ = ^ I] KijiPjAsj + /, (t -. 1, 2, . . . , /2), A2)
где
ф^ =- ф (Xi), Kij = К {Хи Sj). fi -= / (Xi), ^Sj =- Sy+i - Sj,
Решая эту систему относительно ф^, получим значения
приближенного решения в узловых точках. Мы не будем останавливаться
на подробном изложении этих и других методов приближенного
решения, отсылая читателя к специальной литературе**).
Особого рассмотрения требуют приближенные методы решения
интегральных уравнений первого рода. Это сделано в гл. ХП.
§ 5. Теоремы Фред гол ьма
В этом параграфе мы будем рассматривать лишь интегральные
уравнения Фредгольма второго рода
b
,^{x)-i\k{x, s)^is)ds = f{x). A3)
*) М и X л и н с. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. —
М.: Физматгиз, 1959.
**) К а и т о р о в и ч Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы
высшего анализа, изд. 5-е, гл. II. —М.: Физматгиз, 1962.
174

1. Однородное уравнение
b
ц){х)^1 [л:(л-, s)^){s)ds A4)
а
При любых значениях параметра X, очевидно, имеет тривиальное
решение ф {х) ~ 0. Однако при некоторых значениях % оно может
иметь и нетривиальные решения.
Определение. Значения параметра ?i, при которых
уравнение A4) имеет нетривиальные решения (т, е. не равные
тождественно нулю), называются собственными значениями (с. з.)
уравнения A4) (ядра К {х, s)), а соответствующие им решения
Ф {х) — собственными функциями (с. ф.) уравнения (ядра).
Справедлива следующая
Теорема 1. Если в уравнении A3) 'к не равно собственному
значению соответствуюш^его однородного уравнения A4), то
уравнение A3) может иметь лишь единственное решение.
Доказательство. Пусть ф1 [х) и фз {х) — два решения
уравнения A3). Тогда справедливы тождества
ъ
Ф1 {x)~l\ К {х, S) ф1 (S) ds^f{x),
а
b
Ф2 {Х) — 'к] К{Х, S) ф2 (S) dS'^f {Х),
а
Ъ
(ф1 - Ф2) -~к\ К{х, S)(ф1 - фз)ds~0.
откуда
Следовательно, разность ф {х) == ф1 {х) — ф2 {х) является
решением однородного уравнения. Поскольку к не является
собственным значением, то ф {х) ~ ф^ {х) — Ф2 W = 0. Теорема доказана.
2. Для дальнейшего напомним некоторые теоремы о системах
линейных алгебраических уравнений.
Теорема А. Для того чтобы однородная система уравнений
п
^a,jXj = Q (i=-l, 2, ... , п) A5)
имела лишь flip ивиальное решение (т. е. решение, состоящее только
из нулей), ^необходимо и достаточно, чтобы определитель этой
системы был отличным от нуля.
Теорема Б. Если определитель однородной системы A5)
равен нулю, то эта система имеет р = п — г линейно независимых
решений, где г — ранг матрицы системы.
Теорема В. Если однородная система уравнений A5)
имеет лишь тривиальное решение, то соответствующая ей неодно-
175

родная система уравнений
T,aijXj^b, (Г-1, 2, ... , п) AG)
имеет единственное решение при любых значениях правых частей Ь^.
Матрица В, полученная из матрицы А -^-^ {aij\ системы A6)
путем присоединения к ней столбца элементов, стоящих в правых
частях этой системы, называется расширенной матрицей системы
A6).
Теорема Г. Для того чтобы система A6) была разрешима,
необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы В
системы A6) был равен рангу матрицы А этсой системы.
3. Как указывалось в § 4, приближенное решение уравнения
A3) можно получить, заменяя это уравнение соответствующей
системой линейных алгебраических уравнений
п
Ф/л - я, Ц Kj,n^jAsj^f,, {т --1,2, . . . , п) A7)
и решая затем эту систему.
Таким же путем известные теоремы о системах л [шейных
алгебраических уравнений переносятся на интегральные
уравнения Фредгольма второго рода. Для интегральных уравнений эти
теоремы называются теоремами Фредгольма, Ниже мы укажем
один из способов получения теорем Фредгольма, не вдаваясь
в подробные доказательства.
Функцию фд (х)у равную решению систсхмы A7) в
соответствующих узловых точках и линейную между ними, будем называть
полигональной функцией, соответствуюш^ей решению системы A7).
Справедлива
Теорема 2. Полигональная функция ф.^ {х),
соответствующая решению системы A7), равномерно стремится при п-> оо
к решению интегрального уравнения A3).
Мы опускаем доказательство этой теоремы. Теперь опишем
способ получения теорем Фредгольма.
Пусть к не является собственным значением ядра К {х, s).
Тогда однородное уравнение A4) имеет лишь тривиальное решение.
Поэтому, имея в виду теорему А п. 2, можно утверждать, что
соответствующая система алгебраических 'уравнений, которой
заменяется интегральное уравнение A4), т. е. система
Фш ~ я И Kim4-ASj -- О (/// --1, 2, . . . , П),
имеет не равный нулю определитель. Следовательно, система
уравнений
п
фт — А, Ц Kjm^^ASj =- /^ (т -- 1, 2, . . . , я),
которой заменяется неоднородное интегральное уравнение A3),
имеет едпиственное решение, (д)ответствующая этому решению
176

полигональная функция ф,^ (х) при п-^ оо, по теореме 3,
равномерно стремится к решению уравнения A3). Таким образом,
справедлива
1-я теорема Фредгольма. Для всякого Я, не равного
собственному значению, уравнение A3) имеет реиление, и оно
единственное.
Замечание. Поскольку определители системы A7) и
транспонированной системы
п
i'm - - >« S Kmj^A^J ^ fm {Ш - 1, 2, . . . , /^
совпадают, то для всякого Я, не равного с. з. ядра К {х, s),
сопряженное интегральное уравнение
b
\^{х) ~-К\ К (S, х) г|) (s) ds ^ f (х)
а
также имеет единственное решение.
Теперь обратимся к рассмотрению случая, когда X совпадает
с одним из собственных значений. Справедлива
2-я теорема Фредгольма. Если Я является
собственным значением ядра К {х, s), то как однородное интегральное
уравнение A4), /пак и сопряженное ему уравнение имеют конечное
число линейно независимых решений.
Эта теорема следует из того, что однородная система алгебра-
ческих уравнений, соответствующая уравнению A4), имеет,
согласно теореме Б, конечное число линейно независимых
решений.
3-я теорема Фредгольма. Пусть к является
собственным значением ядра К {х, s). Тогда, для того чтобы уравнение
A3) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы функция
f {х) в правой части уравнения A3) была ортогональной всем
собственным функциям сопряженного однородного уравнения, соответ-
ствуюш^им этому собственному значению.
Необходимость условия доказывается просто. Действительно,
если ф (х) есть решение уравнения A3), то справедливо тождество
b *
w{x) -~~х\ К {х, S) ф'E) ds = f{x).
а
Умножаем это тождество на собственную функцию ij; (х)
сопряженного уравнения и результат интегрируем (по х) по отрезку [а, Ь].
Получим
b Ь Ь Ь
1 / [х) ^\i [х) dx= \ ^{x)y^{x)dx — Х^ г|) {х) J К {х, s) ф (s) ds dx.
а а а а
Поскольку
b b b Ь
х\у\){х)\ к {х, S) ф is) ds dx '^ \ ф (s) Х^ К {х, s) \р {х) dx ds
а и а а
177

то
а
b b b
J / {X) 1|) {X) CIX ^ [ (П {X) Ф {X) dx - Jrp (S) l|) (S) rfS
-0,
и т. д.
Доказательство достаточности более громоздко. Его можно
провести, например, сначала для соответствующей системы
алгебраических уравнений, а потом предельным переходом в
полигональных функциях распространить результат и на интегральное
уравнение. Мы не будем останавливаться на этом доказательстве *).
Пусть собственному значению X отвечает г линейно независимых
собственных функций. Тогда, очевидно, справедлива
Теорема 3. Если в уравнении A3) i. совпадает с одним из
собственных значений и выполняется условие суш^ествования
решения уравнения A3) (т. е. f (х) ортогональна соответствующим
собственным функциям сопряженного уравнения), то решением
уравнения A3) будет всякая функция
г
ф(х)--фо(х)+ Х; Cqi^q{x),
где фо {х) — решение уравнения A3), ф^ [х) — собственные функции
ядра К [х, s), отвечающие собственному значению 'к, Сд —
произвольные постоянные.
Замечание. В§4 было показано, что неоднородное
уравнение Вольтерра имеет единственное решение при любых
значениях параметра К. Следовательно, согласно теоремам Фредгольма,
уравнение Вольтерра не имеет собственных значений.
Глава X
СВЕДЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.
ПОТЕНЦИАЛЫ
В ряде случаев краевые задачи или задачи Коти для
дифференциальных уравнений можно свести к задачам нахождения решений
соответствующих интегральных уравнений. Возможность такой
редукции нередко используется для нахождения приближенного
численного решения задачи на электронных вычислительных
машинах (ЭВМ). В частности, такая редукция возможна для задачи
нахождения собственных значений и собственных функций краевой
задачи.
*) См., например, Петровский И. Г. Лекции по теории
интегральных уравнений, изд. 3-е. — М.: Наука, 1965.
178

Идея сведения краеЁых зада^1 к интегральным уравнениям
состоит в том, что решение краевых задач иш^ется в виде некоторых
-интегралов специального вида, например потенциалов с
неизвестными плотностями распределения масс, зарядов и пр.
В этой главе мы рассмотрим простейшие свойства потенциалов
и применение их к решению краевых задач.
Сведение краевых задач на собственные функции к
интегральным уравнениям производится с помош^ью функций Грина.
§ 1. Объемный потенциал
К Потенциал и {М) электростатического поля, созданного
точечным зарядом величины е, находяш^имся в точке Р, в
произвольной точке М 3-мерного пространства равен
' MP
где Гмр — расстояние между точками М и Р.
Если в точках Р^, Р<2^, ..., Я„ находятся заряды е^, е^, ..., е^^,
то потенциал электростатического поля, созданного этими
зарядами, равен
„ (,И) =-_£!_ +^ Ь...-f,-^. A)
^ МР^ ^ МР2 MPj^
Пусть в области D распределены заряды с плотностью р (Р).
В малом объеме dxp, содержащем точку Р, заключен заряд
величины р (Р) йХр. Потенциал поля, созданного этим зарядом,
приближенно равен
'^ MP
Потенциал поля, созданного зарядами, содержащимися в области
D, равен
и т - [ ^ dxp, B)
ъ ^^
Интеграл B) называется объемным потенциалом. Для двумерного
пространства (плоскости) объемный потенциал имеет вид
и{М)-^ [p(P)ln/_L~)rfSp. C)
^ \ ^ MP I
2. Таким образом, объемный потенциал представляется
несобственным интегралом. Рассмотрим несобственный интеграл более
общего вида:
и{М)^ [/(М, P)dxp, D)
b
где / (УИ, Р) — непрерывная функция двух точек М \\ Ру М Ф Р,
обращающаяся в бес^крнечность при М = Р *).
*) О несобственных интегралах и признаках их сходимости см., например,
Смирнов В. И. Курс высшей математики. — М.: Наука, 1965.
179

Будем называть интеграл D) равномерно сходящимся в
окрестности точки Л1о, если для любого е > О существует такое 6, что:
1) для всякой области Dm„, содержащей точку Mq, с диаметром,
меньшим б, d(D^J <б; и 2) для всех точек М, отстоящих от точки
Mq на расстоянии, меньшем б, MMq < б, выполняется неравенство
/(М, P)dxp
^Мо
.£.
Это понятие лежит в основе доказательства ряда свойств
потенциалов. Основное свойство равномерно сходящегося
несобственного интеграла выражает
Теорема. Несобственный интеграл, равномерно
сходящийся в окрестности точки Mq, непрерывен в этой точке.
Доказательство. Оценим разность
и (М) - и {Mq) = и^ (М) - и^ {Mq) + |//2 {М) - W, (МоI,
где
и^{М)= \ f{M, P)dxp, w^{M)==^ \ f{M, P)dxp.
Поскольку интеграл D) равномерно сходится в окрестности точки
Mq, то для произвольного 8 > о найдется такое б, что для области
Da;^ с d (Z)mo) < б и для всех точек М, отстоящих от Mq на
расстоянии, меньшем б, будут выполняться неравенства
\и,{М)\<г/3, |^/,(Л4о)|<е/3. E)
Так как Mq ^ D —Dm^, то функция и^ (М) непрерывна в точке
Mq. Следовательно, для того же 8 найдется такое 6i, что для всех
точек М, отстоящих от точки Mq на расстоянии, меньшем б^,
выполняется неравенство
I Щ (М) - и, {Mq) I < 8/3. F)
Пусть бо = min {б, 6i|. Тогда для всех точек М таких, что MMq <
< 62, выполняются неравенства E) и F), а следовательно, и
неравенство
\и {М) — и (Mq) |< 8.
Теорема доказана.
Заметим, что из равномерной сходимости несобственного
интеграла следует его сходимость в точке Mq.
3. Рассмотрим простейшие свойства объемного потенциала
с ограниченной плотностью р (Р), | р (Р) | < Л.
Свойство I. Объемный потенциал определен и непрерывен
всюду.
Если точка Mq не принадлежит области D, интеграл и {Mq)
не является несобственным. Поскольку подынтегральная функция,
как функция точки М, непрерывна в точке Мо, то непрерывен
в этой точке и интеграл и (М).
180

Если Mq ^ D, то, согласно теореме п. 2 и замечанию в конце
п. 2, достаточно доказать равномерную сходимость интеграла
в окрестности точки Mq. Для этого оценим интеграл
Г Р(^)
• dxr
Очевидно,
dxn
MP
^Mq
^Мо
IPI
''мр
MP
drc
di
dTn
"Mo
^Л1„
.26
Л1
MP
где 7^ — шаровая область с центром в точке М радиуса^26 *).
Переходя в последнем интеграле к сферическим координатам,
получим
26 я 2я
А \ -^=:А\ { \ rs'mQdrdQdcp^8Aji8^ {г-=-Гмр)^
„26
^ М
MP
0 0 0
Таким образом.
j^
9{Р)
MP
dxr
^Мо
<;8Ляб'^ Чтобы этот интеграл
был хменьше наперед заданного числа 8, достаточно взять б <
Свойство 2. Объемный потенциал имеет всюду
непрерывные частные производные первого порядка по координатам точки М.
Если Mq^ D, интеграл и {Mq) не является несобственным.
Поскольку подынтегральная функция, как функция точки М,
имеет в точке Mq непрерывные частные производные первого
порядка по координатам точки уИ, этим свойством обладает и
интеграл и (УИ), причем производные вычисляются путем
дифференцирования под знаком интеграла:
ди
дх
MP
(?-2)
t-y¥^9{P)d^P^
c^ J r MP
r3
MP
G)
где L Л» S — координаты точки Я.
Если Mq^ D, то нам достаточно доказать равномерную
сходимость в окрестности точки Mq интегралов от производных
в правых частях формул G). Тогда законно дифференцирование
ди ди
под знаком интеграла, причем для производных -ут"» "т-
)^^ сг=
26
181

й -^ справедливы формулы G) *). Для определенноеfи
рассмотрим интеграл
1
dxp.
Очевидно,
\ ikli).p(P)dTp
'MP
^Мо
<А
Г4
а~х)
dTr^
<
г,6
MP
'MP
' 1
dTn
'MP
Mo
так как
MP
COS (r, я) I < 1. Далее,
26 я 2я
flfx
A f ~~~<A f -----Л f f f sine drdedrp^^8nA8.
J 'MP _9Л ''Л1Р гТ n-^ n^^
"Mo
,26 '^P
^ M
0 0 0
Чтобы выполнялось неравенство
ft ^Л1Р
'Mo
<8,
достаточно взять б < г/{8пА).
Свойство 3. Объемный потенциал является
гармонической функцией вне области D, в которой расположены заряды
(массы).
Это свойство следует из того, что для точек МФО интеграл
B) не является несобственным, и поэтому оператор Лапласа
можно вносить под знак интеграла:
/^и - Д ( ( ^^ dxp\ =- [ р (Р) Д i-^\ dTp = 0,
[i'MP i \'mpI
так как для точек М Ф D имеем Д (I/r.vip) = О-
Если предполагать, что р (Р) непрерывна в D и имеет
ограниченные и интегрируемые частные производные первого порядка
до до до
Г' "^' dt' ТО справедливо
Свойство 4. в точках области D объемный потенциал
удовлетворяет соотношению
Аи
-4яр (М),
(8)
Доказательство. Вычисление вторых производных
д^и д^и д^и V , ^
путем дифференцирования правых частей
формул G) под знаком интеграла здесь неприменимо, так как мы
*) См. Ф и X т е н г о л ь ц Г. М. Основы математического анализа, т. II,
гл. XVIII, изд. 5-е. —М.: Наука, 1968.
182

получим при этом расходящиеся интегралы, например:
О л^ I f 3(|--хJр(Р)
7, ^Тр
D ^^Р D
Для доказательства существования вторых производных
поступим следующим образом. Пусть Mq ^ D] Тм^ — шаровая
область радиуса б с центром в точке jMq, ограниченная
сферической поверхностью S^ , причем Г^ (z: D. Тогда для точек М
области Т^., можно написать
и {М) - Ui (М) + и, (Л1),
где
MP -^ . ^МР
Интеграл и^ (М) не является несобственным и по свойству 3
представляет гармоническую в точке УИо функцию, т. е. Д/^^Ьм-м^"^
= 0. Следовательно,
Поэтому нам достаточно рассмотреть функцию Ui (М).
Производную
^6 'MP ^6 \ MP/
^Afo ^Мо
можно также записать следующим образом:
dui
дх
J ^^ ^ ^g VmpI "^ J 'MP l ^^ I^MP/
Применяя ко второму интегралу формулу Остроградского,
получим
ТГ^ f -—-dTp- \ -^^ cos а dop, (9)
^'^ .-' ^AfP ^ iMP
где а — угол между направлением внешней нормали к поверхности
S^, и осью X.
ivl о
Первый интеграл правой части формулы (9) представляет
собой объемный потенциал с плотностью зарядов (масс) р^ (Р) ==
~ "Ж' ^ поэтому, по свойству 2, имеет непрерывную
производную первого порядка по х. Второй интеграл не является
несобственным и поэтому имеет непрерывную производную первого
порядка по X во всякой внутренней точке М области T'^i • Следова-
163

тельно, -^^ имеет непрерывную в Т^, производную "^
При этом
дх
дх^
м^м^ J
(? - ^о)
'М,Р
dxp — j ^у-^ (g — |,Vo) cos^a d^p.
'Mo
Ho ~ = cos a, поэтому
dx^
(g - A'o)
01
M--
= \ . ^dt.-- f ^Ш-cos^ a dop. A0)
'M,P
'Mo
6 ' MOP
'Mo
Аналогично находим
M=M
_ f -—^^-^^dxp~^~ f ei^cos-^P dap, A1)
'Mo
(£-^o)
c)p
'Mo
Af--.Mj
f —-—^dtp- [ e^cos'^Ydap, A2)
'AfoP л 'МоР
где р и Y — углы между нормалью к 5^^ и осями у и z
соответственно.
Складывая формулы A0), (И) и A2), гюлучим
All
М-^Мо
All
1 \М==Мо
\ ^ COS аdxp -
^ /-2
J МоР
(}р (Зр
Н [ -|ll-cospdrp 1^ I -^cosYdTp- [ ■^^. A3)
Л 'м,Р J 'м,Р : 'м Р
^м, ^Мо -^м,,
Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве
свойства 2, найдем, что каждый из интегралов по области Т^ в формуле
A3) не превосходит 4яВб, где В — верхняя граница функций
1 др
dl
1 '^Р
' 1 <^Ц
J
dp
<)i
1
, 1. t..
J
^ M,
< 4лйб.
A4)
Применяя к последнему интегралу формулы A3) теорему
о среднем значении, получим
A5)
184

где Р* е S^ . Переходя в формуле A3) к пределу при 6 ~-> О
и учитывая неравенства A4) и формулу A5), получим
A^^ \м=.Мо = —4яр (Мо).
В двумерном случае аналогом формулы (8) будет соотношение
Аи - —2яр (М). A6)
Замечание. Соотношение (8) можно получить формально,
перенося оператор Лапласа под знак интеграла в формуле B)
и используя соотношение B5) гл. VH, § 2.
Свойство 5. Если D — конечная область и \ | р | dr =^
D
= т < оо, то при стремлении точки наблюдения М к
бесконечности объемный потенциал, определяемый формулой B}, стремится
к нулю.
Доказательство. Очевидно,
а (М) I < [ ^^ dx,
Применяя к интегралу теорему о среднем значении, получим
\u{M)\<-^\\p\dxp=j^, где P*GO.
^AfP* j ^MP*
Так как область D конечная, то отсюда и следует справедливость
свойства 5.
Пример I. Найдем объемный потенциал равномерно заряженного шара
D радиуса R. Очевидно, искомый потенциал есть функция расстояния г от центра
шара до точки наблюдения:
и (М) = и (г).
Вне шара D At/ — О, следовательно, и = —^-+ С^. По свойству Ъ и(г)-->
—> О (г -> оо). Следовательно, С^ ="- 0. Внутри шара D /^и = —4яр,
^ О А
или —г— (г^и) = —4лр/'2. Следовательно, и (г) = ■ ^ лг^р-Ь + В для
аг 6 г
r^R. Поскольку объемный потенциал ограничен всюду, то Л = 0. Из условия
непрерывности потенциала и его производных первого порядка находим
4
откуда Cj =-^г-я/?зр, Б — 2я/^2р. Таким образом,
о
2
-^ЛC/?2 — г2)р, /-</?,
4 /?3р
3 (г
Замечание. Объемный потенциал можно записать в виде
свертки (по переменным х, у, г) фундаментального решения -^— =^
185"

An
(л'2 + i/^ + г^)-^'^ уравнения Лапласа ^u •=^ О (а {~Шг)''
= —б {Ху у, г) j с функцией 4яр (л:, у, г):
и{М) =-4^.р)^\ \ f. 9il^^^)dlcir,dl г_Р(РМХр^
§ 2. Потенциал простого слоя
Пусть заряды (массы) распределены по поверхности S с
плотностью р (Р). Потенциал поля, созданного этими зарядами, равен
v{M)^\^-^dop. A7)
Этот интеграл называется потенциалом простого слоя. Будем
считать, что J | р | dop = m < оо, а 5 является поверхностью
Ляпунова. Поверхность 5 называется поверхностью Ляпунова,
если она обладает следующими свойствами:
1) в каждой точке поверхности 5 существует касательная
плоскость;
2) для каждой точки Р поверхности 5 существует такая
окрестность Sp, что всякая прямая, параллельная нормали в точке Р,
пересекает Sp не более одного раза;
3) угол у (Я, Pi) == (/гр, Пр,), образованный нормалями Пр и Пр,
в точках Р и Pj, удовлетворяет следующему условию:
7(Р, Р1)<Лл^р„
где Л и б — некоторые постоянные и О < б < 1.
Рассмотрим некоторые свойства потенциала простого слоя.
Свойство 1, Потенциал простого слоя определен всюду.
Для точек М, не принадлежащих несущей поверхности 5,
это очевидно. Если М ^ 5, то интеграл A7) является
несобственным по двумерной области 5. Известно, что несобственный
интеграл по двумерной области
а
^ MP
абсолютно сходится, если а < 2 *). В нашем случае а ^ 1,
следовательно, интеграл A7) сходится.
Свойство 2. Потенциал простого слоя непрерывен всюду.
Если М Ф S, то интеграл A7) не является несобственным и
его непрерывность непосредственно следует из непрерывности
подынтегральной функции Мг^р.
*) См. Холстов Г. П. Курс математического анализа, т. II, гл. XX.
М.: Гостехиздат, 1957.
186

Если Mo е 5, то достаточно доказать равномерную сходимость
интеграла A7) в окрестности точки Mq. Оценим интеграл
Р (Р) dop
v,m- \
по части поверхности 5л{о {^Мо ^ ^)' содержащей точку Мо
и имеющей диаметр, меньший б, d E^jJ < б. Для этого
воспользуемся системой координат с началом в точке /Ио, ось z которой
направлена по нор^мали к поверхности S в этой точке. Пусть
М (х, у, г) — произвольная точка, отстоящая от точки Mq на
расстоянии, меньшем б, Л1Мо< б. Обозначг1М через 2л1о проекцию
поверхности S^^ на плоскость (х, у), а через Q^ ~ круг на
плоскости (х, у) с центром в точке Мх (х, /у, 0) радиуса 26. Очевидно,
2^^ CZ Q2J . Проекция на плоскость (х, у) элемента поверхности
do равна ds ^ da-cos у, где у — угол между нормалью к
поверхности S и осью г. Очевидно,
^^Р тт ( ds
^н f ^н
V{x-l)' + {y-r])^ i cosV K(.f-g)''+ (г/-ri)»■
По третьему свойству поверхности Ляпунова б можно взять
настолько малым, чтобы для точек Р « S^^ иметь cos у ^ 1/2.
Поэтому будем иметь
\Vг{M)\<2H J
ds
Вводя полярную систему координат с началом в точке Ми
легко вычислить последний интеграл, он равен
26 27t
Чтобы интеграл | Vi (М) \ был меньше заданного числа е, достаточно
взять б < 1/(8яЯ).
Свойство 3. Потенциал простого слоя является
гармонической функцией всюду у кроме точек несуи^ей поверхности S.
Это свойство очевидно, так как для точек М ^ S интеграл A7)
не является несобственным, поэтому
Av== \p{P)^l^-±^]dap^O,
с \ ^МР I
т

Свойство 4. Если несущая поверхность S ограничена, то
потенциал простого слоя стремится к нулю, когда тонка М'
стремится к бесконечности.
В самом деле, очевидно,
\v{M)\^y±L^,
Применяя к этому интегралу теорему о среднем значении, получим
MP-
\v(M)\<-j±-\\p\da,
D
MP''
где P* ^ S. Отсюда и следует свойство 4.
Свойство 5. Нормальные производные потенциала
простого слоя имеют разрыв первого рода в точках поверхности S
со скачком, равным 4яр (М).
На доказательстве этого свойства мы останавливаться не
будем *).
Для двумерного случая (плоскости) потенциал простого слоя
имеет вид
v{M)=\p{P)\n(-^\dsp. A8)
^ \ '^ MP I
Для него справедливы свойства 1—3. При стремлении точки М
к бесконечности он стремится к оо^ как In Гмр. Скачок нормальных
производных в точках кривой С равен 2щ (М). Доказательства
всех этих свойств пpo6oдяtcя аналогично tpeXMepHOMy случаю,
поэтому мы не будем повторять их*
или
§ 3. Потенциал двойного слоя
I. Пусть в точках Рх и Pg (рис. 22) расположены заряды
величиною — ^ и ^. Потенциал электростатического поля, созданного
этим диполем, равен
где Р* — некоторая точка отрезка Рх^г
Рис. 22. и производная берется по направлению п
отрезка от Pi к Р^ (оси диполя), h —
расстояние между точками Р^ и Pg- Величина eh = v называется моментом
диполя. Если мы будем сближать точки Pi и Pg, сохраняя момент
диполя V (увеличивая при этом величину зарядов ^), то в пределе
(при /i-> 0) получим точечный диполь, расположенный в точке Р,
*) См. П е т р о в с к н PI И. Г. Лекции об уравнениях с частными
производными, изд 4-е.—М.: Наука, 19G5,
ш

потенциал которого равен
w{M)
д
дп
\ 'мр I
где производная берется по координатам точки Р в направлении
оси диполя.
Пусть S — двусторонняя поверхность с непрерывно
меняющейся касательной плоскостью. Это означает, что если в некоторой
точке Р этой поверхности выбрано положительное направление
нормали Пр к поверхности и точка Р движется по любой замкнутой
кривой (лежащей на S), причем направление нормали меняется
при этом непрерывно, то при возвращении в исходную точку
направление нормали совпадает с исходным. На этой поверхности
можно в каждой точке одно из направлений нормали принять за
положительное, так что единичный вектор этого направления
п будет непрерывным на поверхности. Мы будем предполагать,
что такое положительное направление выбрано.
2. Если на двусторонней поверхности 5|распределены диполи
с плотностью моментов v (Р) так, что оси их в каждой точке
совпадают с положительным направлением нормали, то потенциал поля,
созданного этими диполями, равен
A9)
- ('W) = j V (Р) 4т (т^-) '"-
Этот интеграл называется потенциалом двойного слоя. Такое
Название сЁйзано с тем, что к интегралу A9) Приводят Также
следующие рассуждения» Пусть 5
—двусторонняя поверхность с фиксированным
положительным направлением нормали.
Вообразим теперь, что на положительном
направлении нормали в каждой точке мы
отложили отрезки длиною /i,
Геометрическое место концов этих отрезков образует
поверхность Sj, отстоящую от S на рассто*
янии h. Пусть на поверхности S
распределены отрицательные заряды с плотностью
V (Я), а на поверхности Si — положи-
с той же плотностью
Рис. 23.
тельные заряды
(рис. 23).
Мы будем иметь «двойной слой» зарядов противоположных
знаков, который можно рассматривать также как совокупность
диполей, распределенных по поверхностям 5 и 5i с плотностью
-T-v(P). Потенциал поля, созданного диполем, «опирающимся»
на элементы do поверхностей 5 и Si, равен v{P) -^— I ) do.
Потенциал поля^ созданного всеми диполями, равен
189

Если мы устремим h к нулю, то получим «двойной слой» на
поверхности 6\ потенциал которого вычисляется по формуле A9).
Поверхность 5 будем называть несущей поверхностью.
Поскольку
д / 1 \ _ С05ф :^.
^^ \ г MP I 4р ^
B0)
под которЫхМ из
MP
где ф ~~ угол между положительным направлением нормали
к поверхности S в точке Р и отрезкОхМ РМ, то потенциал двойного
слоя можно также написать в виде
W (М) - [ V (Я) ^^ dap.
Если мы обозначим через d(i)j^ip телесный угол,
точки /VI виден элемент поверхности do>, то
Л[р^^^мр'-^ ^osfvdOp.
Эта формула непосредственно следует из того, что по определению
d(x)j^p есть площадь элемента единичной сферы с центром в точке
М, высеченного конусом с вершиной в точке М, опирающимся на
элемент поверхности dop (рис. 24); d(£>Mp имеет положительный
знак, если угол ф острый, и отрицательный, если угол ф тупой.
Поэтому потенциал двойного слоя можно
также написать в виде
W (М) ^ \v{P) di0jsip>
B1)
Рис. 24.
Свойство
в дальнейшем будем полагать, что
функции V (Р) и I V (Я) I интегрируемы на S,
а S ~ кусочно^гладкая поверхность,
3, Из формулы B1) следует
1, Потенциал двойноео слоя определен всюду.
Свойство 2. В точках М, не лежащих на несущей поверх*
поста S, потенциал двойного слон является гармонической
функцией.
Для доказательства воспользуемся формулой B0). Если М^ S,
то интеграл B0) не является несобственным и поэтому
Дсе? =
Свойство 3. Если поверхность S расположена в конечной
области, то при стремлении точки наблюдения М к бесконечности
потенциал двойного слоя стремится к нулю.
*) См., например, Смирнов
М.: Наука, 1967.
190
В. И. Курс высшей математики, т. II. —

Для доказательства воспользуемся формулой B0). Очевидно,
к (М) I < J' ' .= -^ j I V (Я) |dap,
где Р* е S. Отсюда и следует свойство 3.
В последующем будем полагать, что поверхность S замкнутая
и каждый луч, проведенный из любой точки УИ, пересекает ее не
более k раз. В качестве положительного направления нормали
возьмем внутреннюю нормаль к поверхности.
Рассмотрим частный вид потенциала двойного слоя —
потенциал с постоянной плотностью моментов Vq. Для такого
потенциала W (/И) справедливы формулы
I4avo, если точка М расположена внутри S,
2яvo, если точка М расположена на S,
О, если точка /И расположена вне S.
Для доказательства этого воспользуемся формулой B1). Пусть
точка М расположена внутри S. Предположим сначала, что всякий
луч, проведенный из точки М, пересекает поверхность S лишь
в одной точке. Тогда интеграл J d(x)MP равен полному телесному
углу, под которым видна внутренняя сторона поверхности S.
Очевидно, этот угол равен 4я. Следовательно, в этом случае
W (М) = 4nvo.
Если часть лучей (или все), проведенных из точки М,
пересекает поверхность S в конечном числе (<fe) точек, то телесные углы
б(о)л1Р, под которыми видны элементы поверхности dap,
пересекаемые лучами изнутри S (например, dop, лежащие на Si и Sg,
рис. 25), будут положительными, а телесные углы йсод^р, под
которыми видны элементы поверхности dop, пересекаемые лучами
извне S (например, dop, лежащие на Ss, рис. 25), будут
отрицательными, так как в этом случае угол ф между внутренней
нормалью и направлением отрезка РМ будет тупым и, следовательно,
cos ф — отрицательным. В силу этого, очевидно,
J d(x)MP + J d(x)MP =0.
Поэтому алгебраическая сумма всех телесных углов йсомр будет
также равна 4я. Таким образом, и в этом случае w (М) = 4nvo.
Если точка М лежит вне поверхности S, то телесные углы
dcoMp, отвечающие элементам dop поверхности S^ (рис. 26), будут
отрицательными, а телесные углы d(OMP, отвечающие элементам
dop поверхности Sg (рис. 25), будут положительными. Поэтому
j d(x)MP = J dcojvfp + J d(x)^fp = 0.
Таким образом, если точка М лежит вне S, то w (М) = 0.
Аналогично устанавливается, что w (М) ^^ 2avo, если М ^ S.
191

Теперь мы можем выяснить поведение потенциала двойного
слоя в окрестности точки /Vl, лежащей на несущей поверхности.
Свойство 4. Если плотность моментов v (Р) непрерывна
на S, то потенциал двойного слоя w {М) имеет разрыв первого рода
в точках несуш^ей поверхности S со скачколь, равным 4jxv (/И):
w^
; (Мо) - ^„ (Мо) - 4nv (Mo), Mo G S.
Здесь Wq,^ (Mq) — предел функции w (M) в точке Mq, когда
точка М стремится к Mq изнутри поверхности; w^^ (М^) — предел
функции W (М) в точке Mq, когда точка М стремится к Л4о снаружи.
Рис. 25.
Рис. 26.
Пусть Mq — фиксированная точка поверхности S. Рассмотрим
вспомогательную функцию
W (/И) ^\\v{P)-v (Л1о)} dco^p =- W (М) ~ й» (М).
B2)
Лемм а. Функция w (М) непрерывна в точке Mq.
Доказательство. Обозначим через S' часть
поверхности S, содержащуюся в некоторой S-окрестности Dmo точки Mq,
а через S'' — остальную часть S, Тогда г^ {А4) можно записать
в виде
где
W
w^
W (М) =- Wi (М) -L гё^з (М),
i(M)^J lv(P)-v(Mo)ldco,
,(M) = J \viP)-viM,)\d
МРу
5"
Функция г^2 (Щ непрерывна в точке Mq. Поэтому для
произвольного 8 > О величина | W2 (М) — w^ (Mq) \ будет меньше е/З,
если ММо достаточно мало. Далее,
I W, (М) I =
192
J {v (Я) - V (МоI da)MP I < J I V (Я) - V {Mq) \ | dco^p |

Пусть лучи, проведенные из точки /W, пересекают поверхность S
не более чем k раз.
В силу непрерывности v (Р) в точке Mq величина | v (Р) —
— V (Мо)| будет меньше е/A2^я), если б (радиус OKpecTrioctn Dmo
точки Mo) будет достаточно мал. Далее, J |dcojvfp| < 4nk.
Следовательно,
\wi{M)\<\ |v(P)-~-v(Mo)|H0m/*|<|h Hi(Mo)|<|.
Поэтому
I w (M) - w (Mo) \<\Щ (M) \ + \w, (Mo) I + I Щ (M) - w, (Mo) I < г,
если точка М достаточно близка к Мо. Лемма доказана.
Доказательство свойства 4. Перейдем в
формуле B2) к пределу, устремляя точку М к Мо изнутри и снаружи
поверхности 5; тогда получим соответственно
г^вн (Мо) = w^^ (Мо) -- 4nv (Мо) -= и)^(Мо) -=
= W (Мо) - 2nv (Мо) == Щ, (Мо) - w^ (Мо) - О,
где W (Mq) и w (Mq) — значения функций w (М) и w (М) в точке Мо
на S. Из этих равенств находим
w,^ (Мо) - W (Мо) + 2kv (Мо), B3)
ш„ (Мо) - ш (Мо) - 2nv (Мо), B4)
^вн Що) - ^п (Л1о) - 4nv (Мо). B5)
Для двумерного случая потенциал двойного слоя определяется
с помощью интеграла
где С — контур, на котором расположены диполи. Для него также
справедливы свойства 1 и 2. Рассуждениями, совершенно
аналогичными приведенным, можно установить, что в точках Мо несу-
ш,ей кривой С имеем
гс^вн (Мо) == W (Мо) + nv (Мо), B6)
Wn (Мо) = W (Мо) - nv (Мо), B7)
w^^ (Мо) ~ Шн (Мо) - 2kv (Мо). B8)
§ 4. Применение потенциалов к решению краевых задач
Рассмотренные свойства потенциалов позволяют пользоваться
ими как удобным аппаратом для решения краевых задач. Мы
покажем это на примере первой внутренней краевой задачи:
Аи - / (М) в D, B9)
и\з = Ц>{М), C0)
и и (М) непрерывна в D = D + S.
7 Арсенин В.Я . 193
dsp

Частным решением уравнения B9) является, очевидно (по
свойству 4 § 1), объемный потенциал
Поэтому естественно искать решение задачи B9)—C0) в виде
суммы и (М) = Ui (М) + U2 (/И), где для функции U2 (М) краевая
задача будет ставиться следуюш,им образом:
Аи^ = О, C1)
■^2 Is - Ф (М) - и^ (М) \s== F (М). C2)
Попытаемся искать решение этой задачи в виде потенциала
двойного слоя
щ (М) - W (М) -^ \v (Р) ^ dop
S ^^Р
сХнадлежаш,е подобранной функцией v {Р). При любом выборе
функции V (Я) этот потенциал гармоничен в D (по свойству 2 § 3).
Чтобы удовлетворить краевому условию C2), надо, чтобы в точках
М ^ S выполнялось соотношение w^^ {М) = F (М). Пользуясь
формулой B3) § 3, это условие можно написать в виде
W {М) + 2kv (М) = F (М),
или
Решением краевой задачи C1)—C2) будет потенциал двойного
слоя с такой плотностью v (Р), которая удовлетворяет условию
C3).
Таким]^ образом, наша краевая задача сводится к решению
интегрального уравнения C3) относительно v (Р).
Пример 2. Решим первую краевую задачу для круга радиуса R,
ограниченного окружностью С:
Аи=- О, и\с= F (s),
где S — длина дуги окружности.
В точках М окружности (рис. 27)
cos ф 1
r^-W' C4)
Решение ии;ем в виде потенциала двойного слоя
,M = jv,i,^,„(i).i = |„i,2iie
С S
с учетом формулы C4) краевое условие дает интегральное уравнение для
определения V (s):
^l^v{l)dl^-nv(s) = F(s). C5)
С
Будем искать решение этого уравнения в виде
194

где А — неизвестная постоянная. Подставляя эту функцию в уравнение C5),
получим
J -^ [^ f (I) + >l] dE + /^ (s) + яЛ = f (s),
откуда
2nR
Таким образом,
С в
Рис. 27.
Рис. 28.
Следовательно, решение краевой задачи имеет вид
4J^?^^<E>''l-T^Jf®''5 = ^l(^T*-i)'®^.
ИЛИ
п J
1 г 2л/? cos ф — л^
2;?л2
i^(lL-
Из аОРМ (рис. 28) находим (ОМ = р)
2Rr cos ф — л2 _ /?2 —р2
2/?л2
2i? [/?2 + р2 — 2Rp cos (9 - Щ '
поэтому
2Я
(/?2 — р2)/7(/^.е)й(е
" ^^^ 2jt J i?2 _j_ р2 „ 2i?p COS (9 — г|)) *
о
Мы получили интеграл Пуассона.
Решение второй краевой задачи для уравнения Лапласа надо
искать в виде потенциала простого слоя с неизвестной плотностью
р(Р).
7* 195

§ 5. Другие задачи, сводимые к интегральным уравнениям
1. Задача Коши для линейного обыкновенного
дифференциального уравнения п-го порядка может быть сведена к интегральному
уравнению Вольтерра второго рода. Для определенности
рассмотрим уравнение второго порядка
у" Л-а {X) у' + b{x)y=^f W, C6)
У @) - уо, у' @) =- у1 , C7)
Введем обозначение
у"{х)=^^{х). C8)
Тогда
X
у' W = «/о + 1 Ф (S) ds, ■ C9)
• О
X
y{x)==yo+\y'{l)dl. D0)
О
Заменяя производную y'(g) в формуле D0) ее значением по
формуле C9), получим
У W = Уо + ^^/0 + J J ф (s) ds dl.
о о
Изменяя в этой формуле порядок интегрирования, получим
X
У W =Уо-1-^Уо+ \ {x-s)cp (s) ds. D1)
о
Таким образом, мы выразили функцию у (х) и ее производные
у' (х) и у" (х) через функцию ф (х) по формулам C8), C9), D1).
Подставляя эти значения в уравнение C6) и внося под знак
интеграла функции а (х) и Ь (л:), получим интегральное уравнение
Вольтерра второго рода
X
ц>{х) + \\а{х) + {х-8)Ь{х)\ц>{$)й8:=П{х) D2)
О
с ядром к {Ху б) = а (х) + {х — s) b (л:), где
/i (^) ^f{^)- Уо^ (^) - УоЬ (^) ~ ^УоЬ (^)-
Для уравнений п-го порядка процедура сведения задачи Коши
к интегральному уравнению аналогична.
2, Покажем теперь, что задача Штурма-г-Лиувилля на
конечном отрезке может быть сведена к интегральному уравнению
Фредгольма второго рода.
Применим теоремы Гильберта к задаче Штурма—Лиувилля
L [г/]+Яр(х)у==0, D3)
ад' @) - hy @) = О, а^у' (/) + ^,у (/) = 0. D4)
196

По 1-й теореме Гильберта решение этой задачи дается формулой
у(х) = 'к\а{х, s)p{s)y{s)ds, D5)
о
т. е. искомое решение удовлетворяет интегральному уравнению
Фредгольма D5). Обратно, по 2-й теореме Гильберта решение
уравнения D5) является решением задачи Штурма—Лиувилля
D3)—D4). Таким образом, задача Штурма—Лиувилля
эквивалентна интегральному уравнению D5).
ЗАДАЧИ
1. Найти объемный потенциал масс, распределенных с плотностью р (г)
в сферическом слое /?i :^ г :^ i?2- Рассмотреть также случай р (г) = ро == const.
2. Найти потенциал простого слоя, распределенного с постоянной
плотностью Ро на сфере.
3. Найти электростатическое поле объемных зарядов, равномерно
распределенных внутри шара, расположенного над идеально проводящей плоскостью
2=0.
4. Найти логарифмический потенциал круга с постоянной плотностью
зарядов.
5. Найти логарифмический потенциал простого слоя отрезка с постоянной
плотностью зарядов.
6. Найти логарифмический потенциал двойного слоя отрезка с постоянной
плотностью моментов.
7. С помощью потенциала двойного слоя решить первую краевую задачу
для уравнения Лапласа: а) вне круга; б) в полуплоскости.
Глава XI
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧНЫМИ ЯДРАМИ
В этой главе мы будем рассматривать уравнения Фредгольма
только ссимметричными ядрами. Ядро К (х, s) называется
симметричным у если для всех л; и s из квадрата а < л:, s < b
выполняется тождество
К(х, S) = /C(s, X),
Если ядро К {х, s) симметрично, то, очевидно, и все итерированные
ядра Кп (Ху s) также симметричны. Напомним, что для простоты
изложения мы ограничиваемся рассмотрением лишь непрерывных
в квадрате а <: х, s <: Ь ядер.
Уравнения с симметричными ядрами чаще других встречаются
в задачах математической физики. Они обладают целым рядом
специфических свойств, главное из которых выражает
Теорема 1. Всякое непрерывное симметричное ядро, не
равное тождественно нулю, имеет по крайней мере одно собственное
значение.
Мы не будем приводить доказательство этой теоремы *),
Отметим лишь, что среди несимметричных ядер имеются такие,
*) См. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных
уравнений, изд. 3-е. — М.: Наука, 1965; Михлин С. Г. Лекции по линейным
интегральным уравнениям, — М.: Физматгиз, 1959,
197

у которых нет собственных значений. Таковым, например, является
ядро К {х, s) = sin X cos s, О <: х, s <: 2я, а также все ядра Воль-
терра (см. замечание на стр. 178).
Совокупность всех собственных значений уравнения (ядра)
будем называть спектром собственных значений уравнения (ядра),
короче — спектром уравнения (ядра).
§ 1. Простейшие свойства собственных функций
и собственных значений ядра /С {л:, s)
Очевидно, справедливы следующие два свойства.
Свойство 1. Если ф (х) есть собственная функция,
соответствующая собственному значению Я, то Сц) (х), где С —
произвольная постоянная (С ^^ 0), также является собственной
функцией, соответствуюш^ей тому же X.
Постоянный множитель С можно выбрать так, чтобы норма
собственной функции Сф (л:),т. е.
AT
\Сц)\\-=Л/ \сЧрЦх)с1х,
была равна единице, || Сф Ц =^ 1. В дальнейшем будем предполагать,
что все собственные функции нормированы указанным образом
к единице.
Свойство 2. Если две собственные функции ц)^ (х) и фз (х)
соответствуют одному и тому же собственному значению Я, то,
каковы бы ни были постоянные Ci и С^ {С\ + С^ =7^ 0), функции
С1Ф1 {х) + С2Ф2 {х) также являются собственными функциями,
соответствующими тому же собственному значению Я,
Докажем
Свойство 3. Собственные функции ф1 {х) и щ (х),
соответствующие различным собственным значениям Я^ иХ^у ортогональны
на отрезке [а, Ь], т. е.
] Ф1 {^) Т2 {^) dx = 0.
Доказательство. По условию справедливы тождества
b b
-^ Ф1 {х) ~ ^ к {X, S) фJL E) ds, -^ ф2 {х) = j к {х, S) ф2 (S) ds.
а а
Первое из них умножим на ф2 (х), второе — на ф1 (х) и почленно
вычтем результаты один из другого. Полученное тождество
интегрируем (по х) по отрезку [а, Ь]:
b • b b
( Т7"~ х) J ^^ ^^^ ^^^^^ dx = j j /С (X, s) ф1 (s) ф2 {х) ds dx -
а а а
b b
— j ^ K{x,s) фз (s) ф1 (х) ds dx.
198

Меняя порядок интегрирования во втором члене правой части
равенства и учитывая симметричность ядра, получим
b b b b
\ \ К{х, s)Ф2 (s)Ф1 (x)dsdx= j j K(x, s)ф^(x)фа(s)-d^ds =
a a a a
b b
= j J /C (x, 5) Ф1 (^) Ф2 {x) ds dx.
a a
Следовательно,
b
a
Отсюда и следует ортогональность.
Если ортогонализировать собственные функции,
соответствующие одному собственному значению Я *), то можно утверждать, что
любые две линейно независимые собственные функции ф1 {х)
и ф2 {х) ортогональны.
В дальнейшем мы будем предполагать, что такая ортогонали-
зация произведена всюду, где она необходима. Следовательно,
семейство собственных функций можно считать ортонормирован-
ным.
Свойство 4. Все собственные значения интегральных
уравнений с симметричными ядрами веш^ественны.
Доказательство. Предположим, что % ^ а -\- ф,
р :^ О, есть комплексное собственное значение, а ф {х) = ij)i {х) +
+ tijJ {х) — соответствующая ему собственная функция. Тогда
b
г|I {X) + ti|J {X) - (а + Ф) \ К {X, S) [^{{s) f i^., (s)l ds.
a
Отсюда следуют тождества
b b^
у^^{х) = а\к {X, s) i|)i (s) ds-^\K {X, s) гр., (s) ds.^
a a
b 6
\|J W = a J /C {x, s) \|J (s) ds + p J /C {X, s) \|)i (s) ds,
a a
Умножим второе из этих тождеств на i и результат вычтем из
первого, получим
b
г|I {х) - t\|J {х) = (а — Щ \ К {X, s) [гр^ (s) - i\p2 (s)] ds.
a
Таким образом,
К == a — ф и ф (х) == il^i (х) — tijJ (х)
*) См. стр. 79.
199

также являются соответствующими друг другу с. з. й с. ф.
Поскольку % ФХ (ибо р =7^ 0), то по свойству 3 функции ф (jc) и ф (х)
ортогональны, т. е.
b b
J Ф (л:) Ф {х) dx=^\ {\|)? {х) + \|J {х)] dx = 0.
а а
Отсюда ввиду непрерывности функций \|)i (х) и ijJ (х) следует, что
ij}i (х) = \|J (х) = 0. А тогда ф (л:) = О, что невозможно. Таким
образом, свойство доказано.
Свойство 5. На каждом конечном отрезке [А, В]
содержится лишь конечное число {оно может быть равным нулю)
собственных значений.
Доказательство. Допустим, что на некотором отрезке
[Ло, Bq ] содержится бесконечное множество собственных значений.
Выберем из этого множества некоторую бесконечную
последовательность собственных значений {Кп\- Пусть {ф^ (л:)} —
последовательность соответствующих им собственных функций. Поскольку
семейство функций {ф^ (х)\ является ортонормированным, а
коэффициенты Фурье ядра К (х, s) по функциям этого семейства равны
-^Фл (■^), то справедливо неравенство Бесселя
л
b
<^K^{x,s)ds.
Следовательно, для любого целого р > О
р
;?,2
и
: ^ К\{х, S) ds.
п=1 "
Интегрируя это неравенство (по х) по отрезку [а, Ь], получим
р Ь b
п~\ а а
ПocкoлJэкy все Хп лежат на конечном отрезке [Ло, Bob то все
числа XI не больше числа В^, К1 < В^, где В^ == max |Л§, В1\.
Заменив в сумме j -^г^ все К1 большим числом В^, для любого
целого р получим
р b b
^W ^ \ \ ^^ (-^S s) ds dx,
/7=1 a a
P
ЧТО невозможно» ибо ряд У -^расходящийся, и, следовательно.
п=1
200

для достаточно больших р сумма 2, "^ будет больше числа
b b
\\ К^ {х, S) dsdx.
Из свойства 5 непосредственно следует, что: а) все собственные
значения можно занумеровать в порядке роста их абсолютных
величин, т. е.
б) если спектр собственных значений бесконечный, то | Я^ | ->► оо
при п -> оо.
Свойство 6. Каждому собственному значению X
соответствует конечное число q линейно независимых собственных функций
Ф1 W, Ф2 W, ..., %{х)-
Доказательство. Допустим, что некоторому
собственному значению % соответствует бесконечная последовательность
линейно независимых собственных функций фх (л:), Фг (л:), ...
..., ф„ (л:), ...
Из неравенства Бесселя следует, что для всякого целого /? > О
выполняется неравенство
5^< \ K4x,s)ds.
п=1
Интегрируя это неравенство (по х) по отрезку [а, Ь] и учитывая
нормированность собственных функций, для любого целого р > О
получим
р b b b b
2 l^- < J f л:' (J^, s) ds dx, или /7 < Я2 П 7B (x, s) ds dx,
n=\ a a a a
ЧТО невозможно. Следовательно, каждому с. з. X соответствует
лишь конечное число с. ф.
Из изложенного в § 2 гл. IX следует, что вырожденное
симметричное ядро имеет лишь конечный спектр (в нем могут быть и
кратные с. з.). Действительно, для того чтобы однородная система
линейных уравнений (D) при Р^ = О, гл. IX) для определения
коэффициентов Ct имела ненулевое решение, необходимо, чтобы
определитель этой системы D (к) был равен нулю: D (к) = 0. Из
этого уравнения мы находим собственные значения. Очевидно, оно
имеет лишь конечное число корней. Верно и обратное: если
симметричное ядро К (х, s) имеет конечный спектр, то оно
вырожденное. Действительно, пусть Xi, Х^^ •••> ^л — спектр ядра, а ф1 (х),
Фз Wj •••» Фп W — совокупность всех соответствующих собствен-
201

ных функций ядра (полная система). Рассмотрим симметричную
непрерывную функцию
п
К(") (X, S) = /С (X, S) - 2 ^ Фр (X) фр (S).
Если она не равна тождественно нулю, /С<") (х, s) Ф О, то по
теореме 1 она имеет по крайней мере одно собственное значение \х
и соответствующую собственную функцию г|) (х):
b
\|) (л:) = |1 j /С(^) (х, S) \|) (s) ds.
а
Функция г|) (х) ортогональна всем собственным функциям ф^ {х)
ядра К (х, s). В самом деле,
b b b
J \f) (^) ф^ (^) йл: = |i J ф^ (x) J /<'<'') (x, s) \|) (s) rfs dx =
= l-i j j Л:(^> (д:, s) ф^ (л:) i|? (s) ^fs dx.
Меняя здесь порядок интегрирования, получим
b b
J ^К^'^Нх, s)y^{s)i^q{x)dsdx=^
a a
Поскольку функции фр (x) ортонормированы, то последний
интеграл равен
b
f v|; (S) I/с (X. S) ф, (X) dx - ^ ds = I г!, (S) {4^ Ф, (S)'-
|1 и г|; (х) суть с. 3. и с. ф. ядра К (х, s), ибо
h b
li\K(x,s)yp (s) ds^ii\ k(") (X, s) + J] Фр W Jp W L (s) rfs_
p-1
--= |i J /C^'^) (д:, s) ij; (s) ds -= \|) (л:).
Мы при этом воспользовались ортогональностью функции i|) (х)
к функциям ц)р (х). Поскольку \р (х) есть с. ф. ядра К (л:, s) и
функции ф1 (х), ф2 (х), ..., фя (х) образуют полную систему собственных
функций ядра К {х, s), тог|) (х) должна быть линейной комбинацией
202

функций ф1 (х), ф2 (^), ...jCprtW. Но это невозможно, так кай
г|; (х) ортогональна всем этим функциям. Таким образом, нельзя
предполагать, что /С^"^ (х, s) щк 0. Следовательно, К^^^ (х, s) ~ О,
или
п
K(x.s):^^-^cpf,{x)cpf,{s),
т. е. ядро К {х, s) является вырожденным. Таким образом, спра*
ведлива
Теорема 2. Для того чтобы спектр симметричного ядра
был конечным, необходимо и достаточно, чтобы ядро было
вырожденным,
§ 2. Спектр итерированных ядер
b
Для интегрального оператора J К {х, s) ф (s) ds введем краткое
а
обозначение
b
Лф = J К{Ху 8)Ц){8)й8.
а
Из определения итерированных ядер следует, что
b
А (Лф) = Л^ф -= j К2 {Ху S) ф (s) ds,
а
вообще
b
Л«ф = А (Л«*Ч) ^ J ^п (Х, 5)ф (S) rfs.
Для собственных функций ф^ (х) и собственных значений кр
справедливы равенства
Ф, (х) = ХрЛсррХрА (ХрА^р) = Я^Л\p-... = К^А^^^Рр -
= Xp\Knix,s)(fp{s)ds,
а
ИЗ которых следует
Теорема 3. Если ц)р (х) и Хр суть собственные функции и
собственные значения ядра К {Ху s), то фр (л:) и Хр будут
собственной функцией и собственным значением ядра Кп {х, s).
Справедлива также
Теорема 4. Если fx есть собственное значение ядра Кп {Ху s),
то собственным значением ядра К (^, s) будет по крайней мере один
из корней {веш^ественных\) п-й степени числа \х.
Для доказательства нам понадобится
Лемма 1. Если hi, /I2, ..., /i^ — корни уравнения h^ = |i, то
/^i+/i2+...-+-/i'=0 для S - 1, 2, ..., п—\.
203

Доказательство. Как известно, /г^ = у H^l'", где
-[/'\х — какой-нибудь корень уравнения h"^ = \iy I = е '^ . Тогда
л? + /г^ + ... + /^я = >^A + Г + Г + ... + Г^"-")Г =
так как с,^^ ■■= 1.
Доказательство теоремы. Пусть ij? (^) —
собственная функция ядра Кп (^, s), соответствующая собственному
значению \х.
Определим функции фр (л:) по формулам
ъ W == 4- (^1^+^и^+/^^р^'4^+-+/^г^'^-ч). A)
Суммируя ЭТ41 равенства по /7 от /? = I яо р = п и принимая во
внимание лемму 1, получим f
п
р=1
Из этого тождества следует, что среди функций ф^ {к) имеется хотя
бы одна, не равная тождественно нулю. Нетрудно видеть, что
Фр {х) = hpA(pp. В самом деле, применяя оператор А к тождеству
A) и умножая результат на hp, получим
hpAcpp - -i- {hpAx\^ + hlA'yp + ... + h^-^A^'-'yp) + -^й^Л"Ц),
или
/г,Лф, = фр (X) - -^ г!) (х) + ±. f^nA-^p = ф, (X),
поскольку hp^[iH [-ьЛ^г]) = ij).
Таким образом, не равные тождественно нулю функции ф^ (л:)
являются собственными функциями ядра К (л:, s), а hp —
соответствующими им собственными значениями. По свойству 4 ядро
К {Ху s) имеет лишь вещественные собственные значения.
Следовательно, функции ц)р (х), отвечающие комплексным корням /z^,
тождественно равны нулю. Если п нечетно, то имеется лишь один
вещественный корень {/[i = hp, который и должен быть
собственным значением ядра К {х, s), а ф^ (л:) = \|) (л:) — его собственной
функцией. Если п четно, имеются два вещественных корня. Пусть
Ф1 {х) и ф2 [х) — отвечающие им собственные функции. Тогда
11) (л:) - ф1 {х) + Ф2 {х). B)
Таким образом, при нечетном п каждая с. ф. ядра Кп {Ху s) будет
также с. ф. ядра К {х, s). При четном п каждая с. ф. ядра Кп {х, s)
будет либо совпадать с с. ф. ядра К {х, s) (одна из функций ф^ (л:)
или ф2 (х) в формуле B) может быть тождественно равной нулю),
204

либо являться линейной комбинацией собственных функций ядра
К {Ху s). Это означает, что если \Хр\ и |фр {х)\ суть совокупности
всех собственных значений и собственных функций ядра К (Ху s),
то {Хр} и {ц)р (х)] — совокупности всех собственных значений
и собственных функций ядра Кп {^у s).
§ 3. Разложение итерированных ядер
В этом параграфе мы докажем, что для всякого п ^ 3
справедливо разложение
Knix.s)^^^^^^\l^^'K C)
в котором ряд сходится абсолютно и равномерно в квадрате
а < x,s < Ь.
Докажем сначала, что ряд, стоящий в правой части C),
сходится абсолютно и равномерно в квадрате а < х, s < Ь, Для этого
оценим отрезок ряда
m-\-q rn-\-Q
р~т р~т
Мы при ЭТОМ воспользовались неравенством | Л-В j < -у (Л^ +
+ В^) и тем, что I %р\ монотонно стремятся к бесконечности при
р -^ оо. По неравенству Бесселя
оо b
Р=1 "
^< ^K4x,s)ds<D,
где D = const и D > 0. Поэтому при q > О
т+д
2
фр (X) фр (S)
р=т
D
«-2 1 • E)
Так как | >t^ | -> оо при m -> оо *), то из неравенства E) по
критерию Коши и следует абсолютная и равномерная сходимость ряда
C). Пусть
оо
функция Ф (л:, s) непрерывна в квадрате а < л:, s <• Ь. Нам
надо доказать, что Кп (^у s) з Ф (л:, s). Предположим, что это
*) См. следствие б) из свойства 5.
205

неверно. Тогда симметричная функция Q (л:, s) = Кп {^у s) ~—
— Ф {Ху s) по теореме 1 имеет с. з. |i и с. ф. ij? (л:), т. е.
b
}p(x) = iijQ (х, s) \|) (s) ds.
а
Функция ij) (х) ортогональна всем собственным функциям ф^ (х)
ядра К {Ху s) так как
b b Ь
j ур{х)(рf.{x)dx = [i j j Q(Xy s)\p(s) ф^(x)dsdx =
a a a
= ^ f г|)(s) \\Кп (x, s) - 2 -T^ % W Ъ (^) "Prix) dxds =
= ^l J il^ (s) J /Cn (x, s) Ф, (X) d^ - ^ ds = 0,
поскольку
Ф^ (s) = a;! J /Cn C-^, s) ф^ {x) dx.
a
Функция г}) (л:) является собственной функцией ядра Кп (•^, s),
поскольку
Г ХГ^ Фр ^^) Фр (s) Г
^ Н'J рСп (■^, S) - 2j '^^ [^ {^) ds~\i\^ Кп {X, S) \|) (S) ds.
Мы воспользовались при этом ортогональностью функции г|? (л:)
ко всем собственным функциям ф^ (л:).
Следовательно, как показано было в § 2, г|? (х) должна быть
линейной комбинацией функций фр (л:). Но это невозможно, так
как г}) (л:) ортогональна всем функциям фр (л:). Таким образом,
нельзя предполагать, что Q (л:, s) ф 0.
Замечание. Разложение C) справедливо и для /Сг (х, s)
{п = 2), а также, при некоторых дополнительных условиях, и для
К (Ху s). На доказательстве этого мы не будем останавливаться*).
§ 4. Теорема Гильберта — Шмидта
Теперь мы докажем одну из фундаментальных теорем теории
линейных интегральных уравнений, имеющую многочисленные
приложения, — теорему разложимости.
*) См. М и X л и н С. Г. Лекции по линейным интегральным
уравнениям. — М.: Физматгиз, 1959.
206

Теорема Гильберта — Шмидта. Если функция
f{x) может быть представлена в форме
b
/W=JK(^, S)'h{s)dSy F)
а
где h (s) кусочно-непрерывна на [а, &], то она представляется
рядом Фурье по собственным функциям ядра К {х, s), т. е.
(Х>
f(x)='Efo%ix), G)
где
b
fo=\f{x)%{x)dx^
и этот ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке [а, Ь],
Для доказательства нам понадобится
Лемма 2. Для того чтобы непрерывная функция Q (х) была
ортогональной ядру К (Ху s), т. е.
b
\K{XyS)Q{s)ds^Oy (8)
а
необходимо и достаточно у чтобы она была ортогональной каждой
собственной функции ядра^ т, е,
b
\Q{x)^^{x)dx = {) (/7-.1,2,...). (9)
а
Д О к а зательство. Необходимость.
b b b
j Q {x) фр {x) dx = %p\\.K {Xy s) фр (s) Q {X) ds dx -=
a a a
- K\ % (s) I к (^, s) Q (x) dx\ ds = 0,
так как внутренний интеграл равен нулю.
Достаточность. Рассмотрим вспомогательный интеграл
b b
J,^\\K,{x,s)q{x)q{s)dsdx.
а а
Он равен нулю, так как, используя разложение C) для п ^ 4
и равенства (9), получим
b b оо
оо b b
а а р=\
b
207

и
Поскольку /D {Ху s) =^ I /Со (л:, /) К^ (^ s) cf/, то
а
^ -= Ji=^ \ \\\ K^i^J) K^it. S) dt\Q{x)Q{s) dsdx :=^
a a ya j
^ f Г ^ 1 г ^
dt^
\\\K2{^J)Q{x)dx\ dt.
Следовательно,
\K2(xJ)Q{x)dx==0.
A0)
Мы при этом воспользовались симметричностью ядра К2 {Ху s).
Умножая тождество A0) на Q (t) и интегрируя результат (по i)
пф ©тревку [йу Ь]у получим
b b
\\К2{х. t)Q{x)Q(t)dxdt=0,
а а
b
Заменяя в этом равенстве К2 {х, О интегралом | К {х, I) X
а
X К E, t) dl, и производя преобразования, аналогичные
произведенным выше, получим
ь
\K{x.l)Q{x)dx^{).
а
Лемма доказана.
Замечание. Коэффициенты Фурье /р функции / (л:)
равны /ip/Яр, где Лр — коэффициенты Фурье функции/i (s).
Действительно,
b Ь b
fp = \f{^)%A^)dx^ J фр {х)\к{х, s)h{s)dsdx-^
a a a
b b b
- j /i (s) J 7( (jc, s) фр {X) dxds = \h (s) Ц^ ^^ ^ 4^»
a a a
поэтому вместо ряда G) можно рассматривать ряд
во
1(^) = ^1^ЬЛ^)- (И)
208

Доказательство теоремы. Докажем сначала
абсолютную и равномерную сходимость ряда A1). По неравенству
Коши—Буняковского имеем
/" «+G
^.лФУ i:.y ^^
A2)
По неравенству Бесселя
Y] hi-^ \ кЦз) ds и Y]^?-< {K4x,s)ds<D.
р=\ а р=\ а
оо П-\-С1
Следовательно, ряд S ^р сходится, поэтому его отрезок S ^р
р= 1 р=п
может быть сделан меньшим г^/D (где 8 — произвольное число),
если п взять достаточно большим. Отсюда для достаточно боль-
ших п имеем: у т™Фг W <^ ^'^^ ^^^^ ^^ G [^» Ь], что и оз-
JmmJ \ f^P 1
P=rt
начает абсолютную и равномерную сходимость ряда A1). Пусть
со
р=1 ^
функция Q (х) непрерывна на [а, Ь]. Она ортогональна всем
функциям фр (х). Действительно,
b b ( оо \
\Q{x)^^(x)dx^l\'Yiiq;'Pp('')-f(''n'fri^)dx
а Ip—1
/. = 0.
Следовательно, согласно лемме она ортогональна ядру К (х, s),
т. е.
b
\K(x,s)Q(x)dx^O. A3)
а
Далее, в силу ортогональности функций Q (х) и срр (л:)
b b f оо "i b
f Q2 D dx^\Qix)\j^^ Ф„ (x) _ / (Л-) dx = - j Q (Л-) f (x) dx.
Заменяя здесь / (л:) по формуле F) и используя формулу A3),
получим
b b b
J Q2 {X) dx=^ — \Q{x)\ к (^, s) h (s) ds dx =
\h{s) [ K{x,s)Cl{x)dxds~^Q.
a a
209

Следовательно,
оо
Теорема доказана.
§ 5. Разложение решения неоднородного уравнения
Пусть в уравнении
b
ф(х)^я|/((х, s)9(s)ds + /(x) A4)
а
к не равно ни одному из собственных значений. Тогда по 1-й
теореме Фредгольма это уравнение имеет единственное решение,
которое можно записать в виде
^{x)=f{x) + Xgix), A5)
где g (х) ^ [ /С (я-, s) ф (s) ds.
а
По теореме Гильберта—Шмидта функция g (х) может быть
представлена рядом по собственным функциям ядра К (х, s):
оо
^(х)=2Срфр(х). A6)
Подставим в уравнение A4) вместо ф (х) ее выражение по
формуле A5), получим
оо b I оо \
/ (X) + я 2 Ср% (х) =f{x)-i-Xl К (х, S) \f (S) ^y%Yi ^рФр (W''
р=1 а ' р=1 '
или
оо b сю b
2 С.срр (х)^ \К {X, s)f{s)cls+%y,C,\K (х, S) ф, (S) ds.
р=\ а р=1 а
Применяя теорему Гильберта—Шмидта к функции
b
j К (л% S) [ (S) ds
а
b
И заменяя J К (я, s) Фр (s) ds через фр (л:)/Яр, получим
а
оо оо оо
р=.1 р=\
_{х)
Р=.\ Р=г.\ Р = \
откуда
Яр Яр ' Яр — к
210

Таким образом, искомое решение уравнения A4) представляется
следующим абсолютно и равномерно сходяш.имся рядом:
сю
Ф (X) ^ / (X) + к ^ -jJ^ Ф, (х). A7)
Если X равно некоторому собственному значению Я^., которому
отвечают собственные функции ф^ (х), ф^+х (х), ..., Ц)г+д (х),
то Я;, == Xj.+1 = ••• = K+q-
в этом случае, как видно из формул для определения
коэффициентов Сру должны выполняться равенства /^ = /^+i = ...
... = fr+q ^ О, ИЛИ
b
lf{x)^,,^,(x)dx^O (t = 0, 1, 2,..., q),
a
Т. е. функция / (х) должна быть ортогональной всем собственным
функциям ядра, соответствующим собственному значению Xj..
При этом коэффициенты С;., Сг+ъ •••> Сг+д не определяются
(остаются произвольными), и решение уравнения A4) может быть
записано в виде
ф (Х) -= С,Ц),(Х) + С,^.1ф,^1 (Х) + . . . + С^^д Ц),^д (Х) +
где 2' означает суммирование по всем значениям р, кроме р =
= г, г + 1, ..., г + q.
Замечание. Уравнение с несимметричным ядром вида
b
^р{х)=-х\ К (х, S) р E)ф (S) ds,
а
где р (s) — известная функция, р (s) ^ О на [а, Ь], и /С (х, s) —
симметричная функция, очевидно, приводится к уравнению с
симметричным ядром относительно функции г|? (х) = ф (х) у^р (х):
b
г|) (X) - Я J /С {X, ^) /р {х)р (S) ij; (S) ds.
§ 6. Теорема Стеклова
В § 5 гл. X было показано, что краевая задача
L [Ф] + ЯрФ = ^ [кФ'] ~ 9Ф + ЯрФ - О, A9)
oci®' (а) - р^Ф (а) -= О, ос^Ф' (Ь) + Р^Ф Ф) -= О, B0)
эквивалентна интегральному уравнению
b
Ф{х)=: X ( G{x, s) р (s) Ф (s) ds, B1)
а
211

ИЛИ
h
^{х)^Х[Кг{х, s)'^{s)ds, B2)
а
где
Ki {х, s) = G {х, s) /р (л:) p(s),
W (х) = Ф (л:) i/p (л:), а G (л:, s) — функция Грина краевой
задачи A9)—B0).
Следовательно, с. з. и с. ф. краевой задачи A9)—B0)
совпадают с с. 3. и с. ф. ядра Ki {х, s). Это обстоятельство позволяет
получить теорему Стеклова из теоремы Гильберта—Шмидта.
Действительно, пусть / (х) есть функция класса А (см. гл. IV,
§ 2), тогда
L[f]~-^[kn~-qf = ~F{x)
будет интегрируемой функцией и по 1-й теореме Гильберта (см.
гл. VII, § 3)
/(х) = JG(x, s)F(s)ds,
Следовательно, по теореме Гильберта—Шмидта / (х) может быть
представлена абсолютно и равномерно сходящимся рядом Фурье
по собственным функциям |Фр {х)\ краевой задачи A9)—B0):
f{x)^^C,Op(x).
p=i
Таким образом, доказана теорема разложимости Стеклова для
одномерного случая (гл. IV, § 2).
§ 7. Классификация ядер
Рассмотрим еще одно применение теоремы Гильберта—
Шмидта. Среди симметричных ядер особый интерес представляют
положительно определенные (соответственно отрицательно
определенные) ядра. Ядро К {Ху s) называется положительно
определенным (соответственно отрицательно определенным)^ если для
всякой кусочно-непрерывной функции h (х) интегральная форма
b b
J== \ \ К{х, s)h{x)h{s)dsdx B3)
а а
положительна (соответственно отрицательна).
Нетрудно показать, что необходимым и достаточным условием
положительной (отрицательной) определенности ядра К (а:, s)
является условие, чтобы все его собственные значения Хр были
положительными (отрицательными).
212

Действительно, функция f(x) = \K (х, s) h (s) ds no теореме
a
Гильберта—Шмидта представляется равномерно сходящимся на
[а, Ь] рядом:
b сю
f(x)^lK{X, S)h (s)ds = 2 -fc'Рр(^)- B4)
Умножая обе части этого равенства на h (х) и интегрируя
результат (по х) по отрезку [а, Ь], получим
b b °° /,2
J ^ {{ К{х, s)h{s)h{x)dsdx=^ 2 "F"' ^^^^
а а р=\
Следовательно, если все с. з. Яр положительны (отрицательны),
то и форма B3) положительна (отрицательна). Если форма B3)
положительна для всякой кусочно-непрерывной функции h (л;),
то для h {х) =^ ф„ {х) формула B5) дает
b b
\\К{х, s) фп (s) фп {х) dsdx^-^
Следовательно, %п > О- Аналогично для отрицательной формы.
Для положительно определенных (отрицательно определенных)
ядер справедлива
Теорема 5. Если ядро К {х, s) положительно
(отрицательно) определенно и непрерывно по совокупности переменных х, s
в квадрате а < л:, s< Ь, то оно представляется равномерно
сходящимся рядом
р=-Л
где Ц)р и Кр — собственные функции и собственные значения этого
ядра.
Мы не будем проводить доказательство этой теоремы *).
Следует отметить, что все теоремы и факты,, относящиеся
к уравнениям Фредгольма, описанные в этой главе и в § 5 гл. IX,
справедливы также для произвольных самосопряженных
операторов Л и, в частности, для многомерного случая и притом для
ядер вида
К (Р. Q) =^ Н{Р, Q)/|PQh ос <d/2,
где Н (Р, Q) — непрерывное ядро, | PQ \ — расстояние между
точками Р и Q, d — размерность пространства *).
*) См. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных
уравнений, изд. 3-е. -—М.: Наука, 1965.
213

§ 8. Спект^р симметричных ядер, заданных
на бесконечном промежутке
Мы рассмотрели интегральные уравнения с конечным
промежутком (областью) интегрирования [а, Ь]. Для интегральных
уравнений с бесконечным промежутком интегрирования
изложенные выше результаты, вообще говоря, не имеют места. Так,
для симметричных ядер, заданных в ограниченной области, были
установлены следующие факты:
1) спектр такого ядра дискретный;
2) спектр невырожденного ядра бесконечный;
3) каждому собственному значению соответствует конечное
число линейно независимых собственных функций.
Для симметричных ядер, заданных на бесконечном
промежутке, эти утверждения, вообще говоря, уже неверны, как
показывают приводимые ниже примеры.
Пример 1. Уравнение
оо
ф (х) =: I sin (xs) ц) (s) ds B6)
о
имеет лишь два собственных значения: 'к^ = l//jt, ^2 = —\/~2/л, и каждому
из них соответствует бесконечное множество линейно независимых собственных
функций.
Для доказательства этого воспользуемся известными формулами:
О
.-as,._^ ^К^/2 J^'/:"^r ds=-^e-
smixs)e ^Ы8 = --^~—^, J ЖТ^^ '~2'
о
где д: > О и а > 0. Складывая и вычитая эти формулы, получим
оо
X
22 + ^2
О
и
^ sm(xs) []/-^
«2 _[- s2
ds=^
^ у^[У'^''"'' 1гг^
Таким образом, Х^ — \/'2/п и Я.2 = — \/~2/п суть собственные значения
уравнения B6), а
Ф,(.)../^.- + _^ „,р,(.) = |/-^,
а^ + .
при любом значении параметра а — отвечающие им собственные функции.
Функции ф1 (д:) (равно как и функции фо (л:)), отвечающие различным значениям
параметра а, очевидно, линейно независимые. Следовательно, каждому из собствен-
214

ных значений Xi и 7^2 отвечает бесконечное множество линейно независимых
собственных функций. Теперь покажем, что уравнение B6) не имеет других
собственных значений. Для этого в правую часть уравнения B6) подставляем ф (s),
определяемое этим уравнением. Получим
ф (х) = Я2 sin (xs) sin (st) ф (/) dt ds.
Ф (л:) =. _. j sin (xs) j sin (st) ф (/) dt ds,
Сравнивая эту формулу с интегралом Фурье
2
о о
находим, что Х^ = 2/тс.
Пример 2. Рассмотрим уравнения вида
оо
Ц)(х) = Х { H(\x~s\)(p(s)ds, B7)
— оо
где Н (г) обладает следующими свойствами:
1) непрерывна и положительна для всех z ^ 0;
2) существует такое положительное число Л (Л ^ сх^), что интеграл
оо
Н (г) ch az dz сходится для всех положительных а, меньших Л (а < Л), и рас-
0
ходится для а = Л.
Для такого уравнения можно найти все с. з. и с. ф. Будем искать решение
в виде ф (х) = е^^. Подставляя эту функцию в уравнение B7), получим
X оо
^^^ - ;V \ H(x~-s)e''^s-^'k\H (S ~ X) е"^' ds,
—оо Х
или, после замены переменной интегрирования (х — s— z в первом интеграле
и S — л: = г во втором).
1,\НB) е«(^-^) dz^X\^H (^) ^ос(д:+г) ^^^
о о
откуда
оо
1 -=2Я \H(z)z\iazdz.
о
Таким образом, при
А - Я (а) ..-- 2 1 ЯB) сЬ az dz B8)
функция ф (л:) ~ е^^, где а < Л, будет решением уравнения B7), т. е. его
собственной функцией, отвечающей собственному значению Я = Х (а).
Аналогично находим, что для а < Л функция е~^^ также будет собственной
функцией уравнения B7), отвечающей тому же собственному значению % =
= Я (а) = Я (—а).
Поскольку ch az монотонно возрастает по а, то Я (а), определяемое
формулой B8), монотонно и непрерывно убывает в интервале О ^а < Л от значения
/7 V»
Я @) = 2 I Я (г) dz до значения Я (Л) = 0. Таким образом, каждому значению
215

^ g [ОД @)] соответствует вполне определенное значение а (а ^ 0), определи
емое из формулы B8), а следовательно, и решение уравнения B7), равное
где Ci и С2 — произвольные постоянные. Собственному значению Я @) отвечает
решение
Ф (л-) = lim -1 — = X,
в чем легко убедиться и непосредственной подстановкой.
Если ^ > I 2 Я (г) dz , то надо искать решение в виде е^'^^^. Тогда
подстановкой этих функций в уравнение B7) находим, что значениям X = X (ф) =
= X (—Ф), где
I (Ф) = X (-- /Р) :=: — 1 > -—J ,
2 [ Я (г) cos azdz 2 [ Я (г) dz
о о
отвечают веш,естБенные решения уравнения B7) cos рд: и sin f)x.
Таким образом, спектр уравнения B7) сплошной: все неотрицательные X
являются его собственными значениями. Так, если взять уравнение
оо
Ф (X) -.: X { е"'''-"^' ф (S) ds, B9)
—00
то здесь Я B) = е'^ X (а) = 0,5 A — а^), X @) == 0,5 я А = \.
Следовательно, для X g @; 0,5) решениями уравнения B9) будут функции
^±У\-2Хх^ для ^=0,5 — функция ф (л:) = л:, а для ^>0,5 — функции
cos {\^2Х — \х) и sin {]/2Х— \х), так как X (ф) = 0,5 A + f»^).
Мы не рассматривали здесь сингулярные
интегральные уравнения, имеющие многочисленные приложения. Читателя,
интересующегося такими уравнениями, отсылаем к специальной
литературе *).
Глава XII
О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ
ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
И ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
§ I. Обратные задачи и их особенности
Широким классом задач, возникающих в физике, технике
и других отраслях знаний, являются обратные задачи
математической физики. Они состоят в определении количественных
характеристик / изучаемого объекта (явления) по результатам
измерения в экспериментах их косвенных проявлений Af ~ и.
*) М и X л и и с. Г. Интегральные уравнения и их приложения к
некоторым проблемам механики, математической физики и техники. —М.: Гостех-
издат, 1949; М у с х е л и ш в и л и Н. И. Сингулярные интегральные
уравнения.— М.: Наука, 1968,
216

Во многих случаях задачей эксперимента является изучение
количественных характеристик / изучаемого объекта (явления).
Элемент / может быть, например, вектором, функцией, системой
функций (т. е. функциональным вектором). Пусть интересующий
нас элемент /т принадлежит классу (множеству) F (/т € Р)-
Часто /т недоступен для прямого измерения и измеряется
некоторое его проявление Л/т = ^т-
Пример 1. При передаче по коаксиальному кабелю радиоимпульсного
сигнала / (t), зависящего от времени t, мы наблюдаем на выходе из кабеля сигнал
и (t), связанный с / (/) соотношением
Л/= ^k{t-
■ т) / (т) dT ~ и (/),
где k (t) — известная импульсная функция,
k{t) = n (t)
]^4nt
exp
(^).
P — константа, характеризующая тип и длину кабеля, т] (t) — единичная
функция.
Если Р = 3,05 и на входе радиоимпульс имеет форму, изображенную на
рис. 29, то на выходе он будет иметь форму и (t), изображенную на рис. 30.
Пример 2. Рассмотрим задачу
спектроскопии. Пусть интересующее нас
излучение неоднородно по энергиям и
распределение плотности энергии по
спектру характеризуется функцией / (s),
где S — частота (или энергия).
Пропуская это излучение через
измерительную аппаратуру, получим
экспериментальный спектр и (х), где х может быть
частотой, а может также выражаться
О 2 "t 6 8 16
Рис. 29.
22 %
в терминах напряжения или силы тока в измерительной аппаратуре. Если
измерительная аппаратура линейна, то связь между f (s) и и (х) дается формулой
Af = { k(x,s)f(s)ds-=u(x),
где k (х, s) — аппаратурная функция.
Оператор А определяется природой изучаемого явления и
характером экспериментальной установки, к которой мы можем
относить и измерительную аппаратуру. Через AF обозначим
образ множества F при отображении его с помощью оператора Л,
217

т. е. совокупность всех элементов Л/, когда в качестве / беретсй
любой элемент из F. Очевидно, и.^ ^ AF. Но результатам
измерения элемента и,^, надо определить интересующие исследователя
количественные характеристики /т. Для этого надо решить
уравнение Л/т = ^т относительно /.j. Очевидно, что уравнение Af =^ и
имеет решение, принадлежащее множеству F, только для таких
элементов и, которые принадлежат множеству AF. Элемент и^,
обычно получается путем измерений и потому известен нам
приближенно. Пусть и — это приближенное значение. В этих
случаях речь может идти лишь о нахождении некоторого
приближения к искомому элементу /т. Мы будем выражать это словами:
найти приближенное решение уравнения
Л/ ^ й. A)
При этом элемент й, вообще говоря, не принадлежит
множеству AF. Следовательно, точного решения уравнения A),
понимаемого в обычном смысле, вообще говоря, не существует.
Поэтому в качестве искомого приближения к элементу /т нельзя брать
точное решение уравнения A), т. е. элемент f = А~Ш, где Л~^ —
оператор, обратный оператору Л. Кроме того, обычно в таких
задачах оператор Л~^ не является непрерывным, т. е. малым
изменениям элемента й могут отвечать большие изменения решения
f = Л~^й. Такое «решение» во многих случаях затрудняет (а
иногда и делает невозможной) физическую интерпретацию
результатов измерений й. Таким образом, для обратных задач возникает
принципиальной важности вопрос: что надо понимать под их
«приближенным решением»? Если дан ответ на этот вопрос, то
возникает задача нахождения таких алгоритмов построения
приближенных решений этих задач, которые обладают свойством
устойчивости к малым изменениям исходных данных й, т. е.
таких, что малым изменениям исходных данных отвечают малые
изменения решения.
Описанные особенности* обратных задач и возникающие при
их рассмотрении вопросы свойственны еще более широкому классу
задач — некорректно поставленным задачам, к которому
относятся и многие обратные задачи математической физики.
Настоящая глава и посвящена краткому рассмотрению
некорректно поставленных задач, методов построения их
приближенных решений, устойчивых к малым изменениям исходных данных,
а также применению этих методов к математической обработке
результатов экспериментальных данных.
§ 2. Некоторые понятия, употребляемые в дальнейшем *)
Определение 1. Числовая функция р^. (fi, fa)»
определенная для каждой пары элементов fi, fa пространства (множе-
*) См., например, Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы
теории функций и функционального анализа.—М.: Наука, 1968.
218

ства) Fy называется метрикой на пространстве F, если она
обладает следующими свойствами:
1) для любых /i и /.^ из F pj.(/i, /2) ^ О, причем р^ (/i, Д) -=
= О только тогда, когда /i = /2;
2) для любых /i и /2 из F рр (/i, /2) = р^ (/г» fi) (свойство
симметрии);
3) для любых /i, /2, /3 из F рр (/i, /3) < Pf ifirh) +
+ Pf (/2» /3) (неравенство треугольника).
Определение 2. Пространство F, на котором определена
метрика, называется метрическим пространством.
Примеры метрических пространств:
1) вещественная прямая R^, метрика на которой определена
формулой pi^i (xi, х^) -= I Xi — Хз |;
2) п-мерное евклидово пространство 7?"^, элементами которого
являются совокупности из п чисел /= (%, Хз, ..., xj с метрикой,
определяемой формулой
( п U/2
9Ru{fb h) = jS^{Чл - ^ft,2)'j ;
3) пространство /g, элементами которого являются
сходящиеся последовательности вещественных чисел / ~ (лг^, х^, ...
оо
.,., Хп, ...) таких, что S х| < оо, с метрикой, определяемой
формулой
\ 1/2
Р,Л/Ь f2)=={g^(^M"^/.,2)^
4) пространство Lg вещественных функций / (л:),
интегрируемых с квадратом (по Лебегу) на отрезке [а, 6], с метрикой,
определяемой формулой
Р^,(/ь /'^)= l[/i(^)"/2WPd^
1/2
5) пространство Q^. 6] вещественных функций / (л:),
непрерывных на отрезке [а, 6], с метрикой, определяемой формулой
Pc(/i, /2) = max I/1 (х) -/2 W I
6) пространство W2 вещественных функций / (л:),
интегрируемых с квадратом (по Лебегу) на [а, 6] и имеющих обобщенные
производные /' (х), также интегрируемые с квадратом (по Лебегу)
на[а, й], с метрикой, определяемой формулой
9w\ifbh) = \\yh М " h {x)f dx + \ {f[{X) - /2 {x)\'dx
1/
Определение 3. Множество М метрического
пространства F называется компактным на F (или в F), если из всякой его
219

последовательности \fn\ cz М можно выделить
подпоследовательность, сходящуюся к некоторому элементу / из F.
Как известно из курса математического анализа, необходимым
и достаточным условием компактности множества М п-мерного
евклидова пространства R"^ является его ограниченность.
Определение 4. Если из всякой последовательности
{fn\ CZ М можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся
к элементу f ^ М, то множество М называется компактным в себе
(или компактом).
Для того чтобы компактное в метрическом пространстве F
множество М было компактом, необходимо и достаточно, чтобы
оно было замкнутым в F.
Определение 5. Числовая функция (т. е. функция,
значениями которой являются числа), определенная на элементах
множества М, называется функционалом, а множество М —
областью его определения.
Определение 6. Последовательность \fn\ элементов
метрического пространства F называется фундаментальной, если
для любого 8 > О найдется такое натуральное число Л^ (в), что
для любых п, т ^ N{e) р^, (/д, /^) <• 8.
Определение 7. Метрическое пространство F
называется полным, если любая его фундаментальная
последовательность сходится к элементу из F.
Так, все приведенные в примерах 1)—6) пространства являются
полными.
Определение 8. Пространство F называется линейным,
если для любых его двух элементов fi и /2 определен третий
элемент /i + f^, принадлежащий F, который называется -их
суммой, и для любого f ^ F и произвольного числа Р определен
элемент Pf ^ F, который называется произведением элемента f
на число р, причем операции сложения и умножения на число
обладают свойствами:
1) для любых fi, [2 ^ Р /i + /2 = /2 + /i (коммутативность
сложения);
2) для любых fi, /2, fs ^Р fi + ih + /3) = (fi + /2) + /3
(ассоциативность сложения);
3) существует элемент О ^ ^ (нуль пространства F) такой,
что для любого f ^ F f + О = f',
4) для любого f ^ F существует элемент —/ такой, что f +
+ (Ч) = 0;
5) для любых чисел а, р и произвольного f^F
^ (Р/) = (о^Р) / (ассоциативность умножения на число);
6) для любого f ^ F 1 •/ = f;
7) для любых чисел а, р и произвольного f ^ F
(а + Р) / = af + Pf (дистрибутивность);
8) для любого числа Р и произвольных fi, f^^F
Р (/i + /2) = P/i + Pf2 (дистрибутивность).
Определение 9. Линейное пространство F называется
гильбертовым, если, во-первых, на нем задана вещественная
220

числовая функция (fi, /2)» определенная для каждой пары
элементов fly /2 из F, называемая скалярным произведением у
удовлетворяющая условиям:
а) для любых /i, f^^F (fi, /2) = (/2, /1);
б) для любых fi, /2, /3ИЗ f (/1 + /2, /3) = (/1, /3) + (/2, /3);
в) для любых fi, f^^F и произвольного вещественного числа Р
(Р/ь /2) == Р (/ь W (однородность);
г) для всякого f^F (/, /) ^ О, причем (f, /) = О только
для / = 0;
и, во-вторых, оно такое, что если в F ввести метрику по формуле
ТО пространство F с такой метрикой будет полным.
Так, все пространства, приведенные в примерах 1)—4) и 6),
являются гильбертовыми.
§ 3. Понятие корректно поставленных
и некорректно поставленных задач
1. Будем рассматривать задачу нахождения решения
уравнения Af = Uy в котором оператор А и правая часть и известны.
Различают корректно поставленные и некорректно
поставленные задачи. Впервые эти понятия ввел в рассмотрение Жак Адамар.
Задача определения / (решения) из множества F по «исходным
данным» и из множества (/, f = R (и), называется корректно
поставленной на множествах (F, (У), являющихся метрическими
пространствами с расстояниями р^, (Д, /2) и ри (%, ^/2), где Д,
/а 6 Ру ^ь ^2 G Uy ^сли удовлетворяются требования:
1) для всякого элемента и ^ U существует решение / из F;
2) решение определяется однозначно;
3) решение должно непрерывно зависеть от входных данных,
т. е. для всякого 8 > О можно указать такое б (в), что если
Р^ (иъ U2) < б и fi = R (ui)y [2 = R (^2)» то рр (/i, /2) < е-
Свойство 3) называют также свойством устойчивости задачи.
Задачи, не удовлетворяющие перечисленным требованиям,
называются некорректно поставленными.
Ниже приводятся примеры некорректно поставленных задач,
представляющих как основной математический аппарат, так и
приложения, позволяющие судить о широте этого класса задач и
о его прикладном значении.
2. П р и м е р 1. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма первого
рода с ядром К (х, s):
b
f К (х, s)f(s)ds = u(x), с < X < d, B)
а
где / (s) — искомая функция из пространства F, и {х) — заданная функция
из пространства (/. Будем полагать, что ядро К (х, s) по^переменной х является
221

непрерывной функцией с непрерывной частной производной дК1дх. Оператор
b
К {х, s) f (s) ds для краткости обозначим через Af.
а
Решение / (s) будем искать в классе непрерывных на отрезке [а, Ь]
функций. Уклонение правой части будем оценивать в квадратической метрике, т. е.
по формуле
'd \\j2
\^dx\
9u (%, ) =1 [ [Ui {X) ■— ti2 (л;)]2
(метрика La), a уклонение решения / (s) — в равномерной метрике» т. е. по
формуле
Р/7(/ь /2)-= max I/1 (s) —/2 (s) I
s^la,b]
(метрика С).
Пусть для некоторой правой части и = Ui (х) функция fi (s) является
решением уравнения B). Если вместо функции Ui (х) нам известно лишь некоторое
ее приближение, мало отличающееся (в метрике Lg) от Ui (л:), то речь может идти
лишь о нахождении приближенного к /j (s) решения уравнения B). При этом
правая часть и (х) может не обладать достаточной гладкостью. Она может быть
получена в эксперименте, например, с помощью самописца и иметь угловые
точки. При такой правой части уравнение B) не имеет решения, так как ядро
К (х, s) является гладкой функцией. Следовательно, в качестве приближенного
к /i (s) решения уравнения B) нельзя брать точное решение уравнения B) с
приближенно известной правой частью и (х) Ф и^ {х), В этих условиях не
выполняется требование 1) корректности задачи. Возникает принципиальный вопрос:
что надо понимать под приближенным решением уравнения B) с приближенно
известной правой частью? Кроме того, задача B) не обладает свойством
устойчивости, т. е. не выполняется требование 3) корректности задачи.
В самом деле, функция /2 (s) = /1 (s) + Б-sin ns является решением
уравнения B) с пр1авой частью
ь
щ (х) = wi (л:) 4- ^ \К (л:, s) sin ns ds.
a
Пусть п — натуральное число. Очевидно, каково бы ни было число 5 > О,
при достаточно больших п уклонение
■ш
2 И/2
dx\
9ц («i,«2) = 5 Л \ К (x,s) sinns ds
можно сделать сколь угодно малым в силу стремления к нулю коэффициентов
Фурье (функции К (л:, s)) с ростом их номера /г, в то время как для
соответствующих решений /х (s) и /g (s)
pK'(/i,/2)= max B|sinns| = B.
Следовательно, задача B) является некорректно поставленной. К таким
уравнениям приводятся многие задачи физики и техники, например задачи
спектроскопии (определение распределения плотности энергии излучения по
спектру по результатам измерения экспериментального спектра), обратные
задачи астрономии и другие.
Таким образом, надо не только дать ответ на вопрос, что понимать под
приближенным «решением» уравнения B), но и указать такой алгоритм его
построения, который обладает свойством устойчивости к малым изменениям «исходных
данных» и (х).
Рассмотренная на этом примере ситуация является типичной для
некорректно поставленных задач.
222

пример 2. Задача численного дифференцирования функции и (/), йЗЁе^
стной приближенно. Пусть /i (/) есть производная функции Ui (t). Функция
«2 (О " "i (О + ^ ^^^ ^^ ^ метрике С отличается от Ui (t) на Величину р^ (и^,
U2) = \В \ при любых значениях со. Однако производная /г (t) — и^ (О отличается
от fi (/) в метрике С на величину | соВ |, которая может быть произвольно
большой при достаточно больших значениях о).
Таким образом, эта задача не обладает свойством устойчивости и,
следовательно, является некорректно поставленной.
Пример 3. Численное суммирование рядов Фурье, когда коэффициенты
оо
известны приближенно в метрике /g. Пусть /i (t) = ^ ^п cos nt. Если вместо «д
брать коэффициенты с„ == а^ Н для /г ^ 1 я Cq== uq, получим ряд /2 (/) ==
оо
= У] ^л COS п/. Коэффициенты этих рядов отличаются (в метрике 1^) на вели-
чипу
f оо U/2 f ОС ^l/з .
которую выбором числа 8 можно сделать сколь угодно малой. Вместе с этим
ОС
разность /з (О — /i (О — ^ / — cos nt может быть сколь угодно большой, а п
п=1
t= О последний ряд расходится. Таким образом, если уклонение суммы ряда
брать в метрике С, суммирование ряда Фурье не является устойчивым.
Пример 4. Задача Коши для уравнения Лапласа в двумерном случае
(пример Адамара). Она состоит в нахождении решения уравнения Аи (л:, у) = О
по начальным данным, т. е. в нахождении решения, удовлетворяющего условиям
рй
uix,0)=^p{x),^
= ф(л:), — сх)<л:<оо,
у=0
где "ф (л:) и ф (х) — заданные функции.
Если положить "ф (х) = "фх (л:) S О и ф (х) = cpi (х) = — sin а (а > 0),
а
то решением задачи Коши будет функция «i (х, у) = ■—^ sin ax-sh ay.
Если положить "ф (х) = "фз (л:) = О и ф (л:) = фа (х) = О, то решением такой
задачи Коши будет функция и^ {х, у) = 0.
Если уклонения начальных данных и решений оценивать в метрике С, то
будем иметь
9с (/ь /г) = sup I /i (л:) — /а (л:) | = О,
X
Рс (Фь ф2) = sup I ф1 (л:) — ф2 (х) I = 1/а.
X
Последняя величина при достаточно больших значениях а может быть
сделана сколь угодно малой. Однако уклонение решений
Рс("ь^2)= sup \ui(x,y) — U2ix,y)\=^
х; /у>0
—г- sin aX'Sh ay
а^ ^
-^shar/
= sup
х; у^О
223

для любого фиксированного у > О может быть произвольно большим при
достаточно больших значениях числа а. Таким образом, эта задача не обладает
свойством устойчивости и, следовательно, является некорректно'поставленной.
Пример 5. Задача аналитического продолжения функции, известной
на части области, на всю область.
Пусть D — конечная область, Е — замкнутая подобласть, принадлежащая
области Д. Тогда задача аналитического продолжения функции, заданной на
множестве £", на всю область D является неустойчивой и потому некорректно
поставленной. В самом деле, пусть Zq — точка на границе области D, расстояние
которой до Е равно d > 0. Пусть fi (z) — аналитическая в D функция, ограни-
g
ченная по модулю. Функция f^ (z) = /i (г) -| , где 8 — заданное поло-
-" Z — Zq
жительное число, также аналитична в D. На множестве Е эти функции
отличаются одна от другой на величину e/(z — Zq), модуль которой на Е не
превосходит eld, т. е. I /а (z) — /i B) | ^ e/d. Величина efd может быть сделана
произвольно малой путем выбора соответствующего значения числа е. Однако в
области D разность функций /г (z) — /1 B) = 8/B — Zo) неограничена по модулю.
Некорректно поставленной£является также задача решения
системы линейных алгебраических уравнений в условиях равного
нулю определителя системы (а также^^плохо обусловленных
систем) и многие другие. м
Широким классом некорректно поставленных задач являются
обратные задачи математической физики, в которых требуется
определить количественные характеристики / изучаемого объекта
по результатам измерения их проявлений Af. В таких задачах
не для всякой правой части, получаемой путем измерений,
существует классическое решение уравнения Af ^ и относительно
/. Кроме того, во многих случаях классическое решение / =^ А~^и
(если оно суи;ествует) неустойчиво к малым изменениям и.
§ 4. Кратко о некоторых методах решения
некорректно поставленных задач *)
1. Приближенные решения многих некорректно поставленных
задач вида A) строились давно. Основным способом построения
решений был метод подбора. Он состоит в том, что вычисляется
левая часть уравнения A) Af для некоторого подмножества
(набора) Fi элементов /, принадлежащих F, т. е. решается «прямая
задача», и в качестве искомого приближенного решения
выбирается такой элемент /i из fi, для которого невязка рц (Af, и)
минимальна (на Р^). Обычно в качестве Fi выбирается семейство
элементов /, зависящих от конечного числа числовых параметров
так, что Fi является замкнутым множеством конечномерного
пространства. Если дополнительно известно, что искомое решение
f^ ^ Fi и и = и^, то в этом случае inf рц (Af, и^) = О и
достигается эта нижняя грань на точном решении уравнения Af = и.^.
При этом возникает вопрос: если [f^] есть последовательность
элементов, на которой невязка р^ (Afn, и^) стремится к нулю при
п-^- оо, то будет ли последовательность |/„| сходиться к точному
*) См. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения
некорректных задач, 2-е изд. — М.: Наука, 1979.
224

решению /^? Если дополнительно известно, что каждый параметр
изменяется в конечных пределах, то Fi будет компактным и |/^|
будет сходиться к /т., т. е. метод подбора позволяет получить
в этом случае приближенное решение.
В других условиях метод подбора, вообще говоря, не годится
для построения приближенных решений. Выяснить условия
применимости метода подбора можно, опираясь на следующую
топологическую теорему.
Теорема о непрерывности обратного
отображения. Пусть компактное {в себе) множество F
метрического пространства Fq отображается на множество U
метрического пространства Uq. Если это отображение F-> U
непрерывно и взаимно однозначно, то обратное отобраоюение f/->
-> F также непрерывно.
Множество Fi {F^ с= f), на котором задача нахождения
решения уравнения A) является корр1ектно поставленной, называют
классом корректности. Так, если оператор А непрерывен и
осуществляет взаимно однозначное отображение, то компакт М,
которому принадлежит /т> является классом корректности для
уравнения A).
В ряде других случаев компактные классы корректности можно
указать эффективно, что дает возможность строить устойчивые
приближенные решения.
Например, множество непрерывных на отрезке [а, Ь\
монотонно возрастающих функций является компактным в себе. То же
относится к множеству монотонно убывающих и непрерывных на
[а, Ь] функций.
2. В 1963 г. А. Н. Тихонов *) разработал новый подход к
решению некорректно поставленных задач, позволяющий строить
приближенные решения уравнения Af = и, устойчивые к малым
изменениям исходных данных. В основе этого подхода лежит
фундаментальное понятие регуляризирующего оператора (Р. О.).
Для простоты изложения мы будем полагать, что в уравнении Af =
= и приближенной может быть лишь правая часть и, а оператор А
известен точно. Итак, пусть
Af =^ и C)
и элементы Д, ^ F и и^ ^ U связаны соотношением ЛД^ = ^/.р.
Если задача C) является некорректно поставленной (не
обладает свойством устойчивости) и вместо точного значения правой
части Uj мы имеем элемент и^у для которого р^ (^т, ^б) < б> то
очевидно, что приближенное решение /^ не может быть определено
как точное решение уравнения C) с приближенной правой частью
и — и^.
Элемент /^ можно определить с помощью оператора,
зависящего от параметра, значения которого надо брать согласованными
с точностью «исходных данных» и^. Эта согласованность должна
*) Т и X о и о в А. Н. - ДАН СССР, 1963, т. 151, № 3; т. 153, № 1.
8 Арсенин В Я. 225

быть такой, чтобы при приближении правой части и^ уравнения
C) к точному значению и^., т. е. при б-> О, приближенное
решение /й стремилось к искомому точному решению /^ уравнения
Af = щ.
Определение. Оператор R'J^u, а), зависяи;ий от
параметра а, называется регуляризирующим оператором для
уравнения C), если он обладает свойствами:
1) определен для всякого а > О и любого и ^ U;
2) если Л/т = и,у то суи;ествует такое а F), что для любого
8 > О найдется такое б (е), что| если р^ (и^у и^) <: б (е), то
Pf (/г, fa) < е> где fa = R {u(,, а) и а;- а (б).
3. По Тихонову, в качестве приближенного решения
уравнения C) надо брать элемент fa = R {Щу а(б)), полученный с
помощью регуляризируюи;его оператора R {и, а), где а (б)
согласовано с уровнем погрешности «исходных данных». Это решение
называется регуляризованным решением уравнения C). Числовой
параметр а называется параметром регуляризации.
Очевидно, что всякий регуляризируюи;ий оператор вместе
с выбором параметра регуляризации а, согласованного с уровнем
погрешности «исходных данных» б, а = а (б), определяет
устойчивый метод построения приближенных решений уравнения C).
Если известно, что р^ {и^^у щ) < б, то согласно определению
регуляризируюи;его оператора можно так выбрать значение
параметра регуляризации а = а (б), что при б-> О регуляризованное
решение /«(б) = R (^б, ^ (б)) стремится к искомому точному
решению /,, т. е. ^р (/т, /а(б))-> О (в метрике F). Это и
оправдывает предложение брать в качестве приближенных решений
уравнения C) регуляризованные решения.
Таким образом, задача сводится:
а) к нахождению регуляризируюи;их операторов;
б) к оценке параметра регуляризации а по дополнительной
информации о задаче, например по величине уклонения правой
части и^ от ее точного значения.
В математической литературе описанный метод построения
приближенных решений называется методом регуляризации.
4. Отметим, что регуляризируюи;ие операторы, зависяи;ие от
параметра, использовались в математике со времен Ньютона.
Так, классическая задача приближенного вычисления
производной f = —^^^ по приближенным (в метрике С) значениям
и {х) может решаться с помои;ью оператора
D A. ^\ — ц (^ -f 0^) — ц {А
к \и, а) —■ -^ .-
В самом деле, пусть вместо точных значений функции и (х)
мы имеем приближенные значения ^5 {х) ^ и {х) -\- v (л:), где
I t; (л:) I < б для всякого х. Тогда
и{Х'\-а) — и(х) I у{х-\-а)~у (х)
К {и^А) =^ -^ \ а '
226

При а-> О первая дробь стремится к производной ^а/^л:. Оценим
вторую дробь:
\ V {х -\- а) ~-V (х) I 26
I о '^ I ^ а
Если брать а ^ б/г] (б), где т] (б)-> О при б--> О, то 2б/а =
= 2ц (б) -♦ О при б -> Он, следовательно, при а г= aj (б) = ^щ
7?(«б,а:(бЖ-^.
Другая классическая задача — задача восстановления
функции по ее приближенно известным коэффициентам Фурье (задача
суммирования рядов Фурье) — также решается с помощью регу-
ляризирующих операторов.
В самом деле, пусть для всякого л', принадлежащего некоторому
оо
конечному промежутку, / (х) = S ^^^Фй W ^сть ряд Фурье функ-
ции Z (х) по полной ортонормированной системе функций {(pf^ (х)]
таких, что для всякого k sup | ф/^ (х) | < Л1 *). Пусть вместо по-
X
следовательности и ~ \uj^\ коэффициентов Фурье нам известны
их приближенные значения и s |й/,| такие, что
S (и,-Й,J<б^-
И
ев
Как было показано so Введении, в метрике С функции / (х)
и f (х) в фиксированной точке Xq могут различаться как угодно
сильно, Поэтому нельзя брать в качестве приближенного
значения функции / (л:) в точке Xq значение f (Xq). Устойчивое (к малым
изменениям б) приближенное значение / (х) дается с помощью
п
оператора R (й, а) = /? (й, -—^ = ^ й^,ф^, (xq) (а ==: —^ если
п брать равным целой части функции ^1^ > т. е. п == п (б) =
= Г Va ^ I, где при б-> О л (б)-*^ О» ^ п (б)-> сх).
В самом деле, так как для всякого k \ cpk {х)\ < My то
fe=i
<
Л {Uh - Sfe) ф^ (Xq)
+
k=n{6)+\
*) Это условие обычно выполняется. Например, оно выполняется ДЛЯ
систем тригонометрических функций (sin kx, со$ kx},
8* 227

Так как ряд 2 ^/^Ф/г (-^о) сходится, то его остаток Х1 ^k4^k i^o)
k^\ k^n (б)+1
стремится к нулю при п (б)-> ею. Далее, применяя неравенство
Коши—Буняковского, получим
п{6)
Е («л -- ^h) Фл (^о)
«(б)
Ti\^h~^uh\\^h (^o)i <
А==1 I А;«Г
рг(б) /7F) \\/2 ( /7F) 11/2
< S (^//. -- й..)^ S ф|(Хо) < уИ д F) S I W, - йи Р <
< л^ ^Л7(бУб^.- м ]/[-3^1 62-> о
при б -^ 0.
Операторы R {и, а), зависящие от числового параметра а,
использовались в математике и при рассмотрении ряда других
задач.
5. Описанные в п. 4 примеры применения регуляризирующих
операторов, зависящих от параметра, обобщают хорошо
известные правила практических вычислений. В математике издавна
приближенные значения производных вычислялись как
разностные отношения. При этом приращения аргументов брались не
слишком малыми по сравнению с погрешностью значений функций.
Суммировались и ряды Фурье с приближенными
коэффициентами. При этом в качестве приближенной суммы ряда брались
частные суммы ряда с не слишком большим числом членов. Это
была интуитивная регуляризация, регуляризация по здравому
Слмыслу.
Аналогично, т. е, с регуляризацией по здравому смыслу, ре*
Шалйсь и некоторые другие неустойчивые задачи. Описанный выше
метод регуляризации, основанный на использовании понятия ре*
гуляризнрующего оператора, можно рассматривать как фор»
малйзацию и обоснование давно используемой регуляризации по
здравому смыслу и распространение такого подхода к построению
приближенных решений на широкий класс задач.
§ 5. Вариационный принцип отбора возможных решений *)
1. Будем предполагать, что уравнение Л/ — % с непрерывным
оператором А имеет единственное решение fr и вместо Нт нам
дан элемент и^. Пусть известно, что уклонение правой части щ
от Ut не превосходит б, т. е. рц (^б, ^^т) < S. Тогда приближенные
решения естественно искать в классе Qs элементов f ^ Fy
сопоставимых по точности с «исходными данными», т. е. таких, что
ри (Л/, и^) < б. Класс Qe есть множество возможных решений.
Однако нельзя брать в качестве приближенного решения уравне-
*) См. Тихонов Л. Н., А р с е н и н В. Я. Методы решения
некорректных задач^ 2-е изд.— М,: Наука^ 1979,
228

ния C) с приближенной правой частью и ^ щ произвольный
элемент /б из Сб» так как такое «приближенное решение» не будет,
вообще говоря, устойчивым относительно малых изменений пра*
вой части. Множество Q^ — слишком широкое. Необходим
принцип отбора возможных решений, обеспечивающий
получение в качестве приближенного решения такого элемента (или
элементов) из Об» который был бы устойчивым к малым изменениям
правой части. В качестве такого принципа можно брать
описываемый ниже вариационный принцип.
Отбор можно осуществлять с помощью специальных, заранее
задаваемых функционалов Q [/], входящих в постановку задачи.
Неотрицательный функционал Q [/], определенный на всюду
плотном в F подмножестве F^ множества F, называется
стабилизирующим функционалом, если: _
а) элемент fj принадлежитТего''области7'определения;
б) для всякого числа d > О множество Fj, ^ элементов / на Fj,
для которых Q [f] < d, компактно на F^,
2. Упомянутый выше отбор возможных решений можно
осуществлять в помощью стабилизирующих функционалов, и
реализуется он следующим образом.
Пусть Q [/] — стабилизирующий функционал, не имеющий
локальных минимумов, определенный на подмножестве F^
множества F {Fi может совпадать с F *)).Будем рассматривать только
такие элементы множества Q^, на которых определен функционал
Q [/], т. е. будем рассматривать лишь элементы / множества
Phb =^ Fi П Oft- Среди элементов этого множества найдем такой
(taKHe) элемент /б, который минимизирует функционал Q [/].
Задача нахождения такого элемента сводится к задаче на
условный минимум функционала Q [/] на множество Fi при ус*
ловии, что д,ля искомого элемента выполняется равенство рц (Л/,
щ) »« б. Она решается методом неопределенных множителей
Лагранжа, т. е. сводится к нахождению элемента /» иэ Fu мини»
мйзйрующего функционал
M^[f,Ub]^Pu{Af.Ub)^oQ[fb
а параметр ов определяется по невязке рц {Afa, иь) из условия
ри {Afa, щ) — б как функция б, т. е. ев = as (б). Предположим,
что такой элемент существует для любых б > О и «б 6 ^J тогда
элемент /б можно рассматривать как результат npHMenen^ifl к
правой части а == «б уравнения C) некоторого оператора R,
зависящего от параметра б, т. е.
h = R (^б, а (б)). D)
Его можно брать в качестве приближенного решения уравнения
Af = и^, так как при этих условиях справедлива
Теорема. Оператор R (и, а (б)) является регуляризирую-
щим оператором для уравнения Af = и.
*) Например, в конечномерном случае.

Мы не будем приводить доказательства этого утверждения.
Таким образом, в качестве приближенного решения задачи
C) берется решение другой задачи (задачи на минимум
функционала М^)у «близкой» в некотором смысле к исходной (поскольку
число а мало).
Следует отметить, что, в то время как решение исходной
задачи C) не обладает свойством устойчивости, решение задачи
минимизации функционала М^ [/, U(^] обладает устойчивостью
к малым изменениям «исходных данных», если параметр а брать
согласованным с уровнем погрешности «исходных данных», т. е.
с б. Существуют и другие способы построения регуляризованных
решений уравнений Af = и *).
3. Применим этот метод к интегральному уравнению Фред-
гольма первого рода.
Пусть А есть интегральный оператор с ядром К (/, s). Тогда
уравнение C) имеет вид
h
J К {t, s) f (s) ds=.u @, c<t^d. E)
a
b
В качестве Q [f] возьмем функционал вида Q [/] =^ \ [qi {s) E7) +
a
+ ^0 {^) /П ^> ГД^ Й1 E) i^ ^0 (s) — заданные неотрицательные
функции, q^ (s) > 0, qo (s) ^ 0 **). В этом случае условие равенства
нулю первой ЁариаДии функционала М^ [и, /] имеет вид
а
b
+ J K(s, у) f {y)dy--B {s))v(s) ds + aGi(s)/' (s) v (s) |S «« 0. F)
a
Здесь V (s) ~ произвольная вариация функции / (s) такая, что
/ (s) и / (s) + V (s) принадлежат классу допустимых функций
d d
K{s. у)^\к(/, s) К (/, у) dt, B{s)-^\k {t, s) и (t) dU G)
с с
Условие F) выполняется, если
b
-«{^[^i(^)^] -9o(s)/}+ I K{s, y)f(y)dy^B{s) (8)
q,{s)f'{s)v{s)
0. (9)
*) Cm. Тихонов A. H., Арсенин В, Я. Методы решения
некорректных задач, 2-е изд. — М.: Наука, 1979.
**) В вычислительной практике обычно полагают (^j (s) ^1 и ^'о (^) ^ 1
или q^{s) = О,
230

Так, если нам изЁестны значения искомого решения / (s)
уравнения F) на одном или обоих концах отрезка [а, й], то
допустимыми функциями при нахождении минимума функционала
М^ Ыу f] можно брать лишь функции / (s), имеюш,ие обобш,енную
производную, интегрируемую вместе с ее квадратом, и
принимающие заданные значения на этих концах. В этом случае функции
V (s) обраш,аются в нуль на этих концах и условие (9) выполняется.
В описанном случае задача нахождения регуляризованного
решения /а (s) сводится, таким образом, к нахождению решения
интегро-дифференциального уравнения (8), удовлетворяюш,его
условиям
/ (а) = fi, / (b) ^ f^, A0)
где fi и fa — известные числа.
Если значения искомого решения / (s) на концах s = а и s ^
= b неизвестны, то условию (9) можно удовлетворить, полагая
/' (а) =/'(&)= 0. A1)
В этом случае в качестве регуляризованного решения
уравнения E) надо брать решение уравнения (8), удовлетворяюш,ее
условиям A1).
Возможны, очевидно, и другие краевые условия, которым
должно удовлетворять решение уравнения E), например условия вида
/ (а) = fi, /' (b) = О A2)
или
Па) =0, /(&)=/,. A3)
Замечание. Искомое решение уравнения E) может не
удовлетворять условиям (И), которым мы подчиняем решение
уравнения (8). Надо иметь в виду, что мы строим приближенное
решение уравнения E). Если производная искомого решения
уравнения E) нам известна, например, при s = а и равна g", то,
полагая в уравнении E) f (s) = f (s) + g-Sy получим уравнение
такого же вида (но с другой правой частью) для функции f(s).
Искомое решение f (s) будет удовлетворять условию f (а) = 0.
Задача (8), A0) или (8), (И) решается численно на ЭВМ. При
этом уравнение (8) заменяется его конечноразностной
аппроксимацией на заданной сетке.
Если брать равномерную сетку с шагом Л, то уравнение (8)
заменяется системой конечноразностных уравнений вида
- ~ |9i, k-ifk-i + 9i' h+ifh+i -~ (йи k + Qu k-i) fk - fi^y kfh\ +
+ hY^jKu^rfr=^Bf,y A:^l, 2, ...,/2. A4)
Здесь qi,k_== Qx Ы. Qoyh = Qo (Sk), Bf, = В E^), Sj, = k-h, Sq = a,
Sn = by Kk,r — коэффициенты квадратурной формулы, по
которой интеграл в уравнении (8) заменяется интегральной суммой.
Если искомое решение уравнения (8) должно удовлетворять
краевым условиям A0), то полагаем в системе A4) /о =fi и /^ == f2-
231

Если же искомое решение подчинено условиям A1), то в
системе A4) число А должно принимать значения k = О, 1, 2, ..., п.
При этом полагаем /_i = /о и ^+1 =• /^.
Мы описали сведение уравнения (8) к системе линейных
алгебраических уравнений при нахождении решения на равномерной
сетке с шагом h. Эту систему можно решать, например, методом
квадратного корня или методом Воеводина *).
§ 6. О численном моделировании и прогнозировании
физических экспериментов
I. Большое число физических экспериментов ставится с целью
изучения количественных характеристик изучаемых объектов
(явлений). Но в экспериментах обычно регистрируются не инте-
ресующие нас количественные характеристики / изучаемого
объекта, а некоторые их проявления Af ^= и. Оператор А
определяется природой изучаемого объекта и экспериментальной
установкой. По результатам эксперимента и надо получить суждения
о характеристиках /. Для этого необходима математическая
обработка результатов эксперимента.
Высокий уровень автоматизации экспериментов и способов
регистрации их результатов и позволяет получать за короткое
время большой объем информации. Обработку ее за разу^мные
времена можно производить лишь с помош,ью ЭВМ. Системы
автоматизированной математической обработки должны составлять
неотъемлемую часть эксперимента. Эксперимент и Система
автоматизированной обработки его результатов должны быть
звеньями одной задачи.
2. Можно выделить 3 этапа обработки **).
Первый этап — Первичная обработка.
К ней относят нормировку результатов измерений, привязку
к некоторой системе координат, статистическую обработку,
фильтрацию и т. п. В результате первичной обработки получают
выходные данные эксперимента.
Второй этап — Анализ установки. На этом
этапе определяется оператор А (или его приближение).
Третий этап — Интерпретация
результатов эксперимента. На этом этапе определяются
количественные характеристики / изучаемого явления путем
решения уравнения
Af = и. A5)
Эту задачу мы будем называть также математической частью
задачи интерпретации результатов наблюдений.
*) См. Тихонов А. Н., А р с е н и н В. Я. Методы решения
некорректных задач, 2-е изд. —М.: Наука, 1979.
♦*) Т и X о н о в А. Н., Арсенин В. Я., Думова А. А.,
Митрофанов В. Б., Пергамент А. X., Пергамент М. И. О
многоцелевой проблемно-ориентированной системе обработки результатов
экспериментов. — Препринт № 142 за 1976 г. ИПМ АН СССР.
232

3. Обычно выходные данные экспериментов являются
приближенными (и). Пусть б — оценка уклонения й от точного
значения й. Таким образом, мы имеем комплекс (Л, й, б), который
будем записывать условно также в виде
Af = й. A6)
Условно, потому что уравнение A6) может не иметь решения
в заданном классе Р. Очевидно, по (Л, й, б) мы можем найти лишь
приближения к искомым характеристикам f (таким, что Af = и).
Мы будем выражать это также словами: найти приближенное
решение уравнения A6). В большинстве случаев эта задача
является некорректно поставленной. Остановимся подробнее на этой
задаче. Пусть f — искомые характеристки, Af = и —
теоретическое значение их проявлений в эксперименте. Полагаем, что и
и и являются элементами метрического пространства U с
метрикой pf/ (,) и ри {^у й) < б. Пусть F — выбранный нами класс
возможных решений (моделей интерпретации), являюш,ийся
множеством метрического пространства F^ {F cz Fi) с метрикой
р^. ( , ). Будем называть модель f из F сопоставимой с
экспериментальными данными и (выходными данными эксперимента) *),
если р^ (Л/, й) < б. Пусть F^ — совокупность всех моделей /
из F, сопоставимых с экспериментальными данными й.
Если множество F^ пусто, то это означает, что модели из F
имеют слишком грубую (упрощенную) структуру и потому в классе
F нет сопоставимых с й моделей. В этом случае надо рассматривать
более широкий класс моделей интерпретации.
Если Fq непусто, то оно может содержать существенно
отличающиеся (в метрике р^^ ( , )) друг от друга модели /
(например, функции f), если задача решения уравнения Af'= и
неустойчива. В таких случаях одно лишь требование сопоставимости
возможных решений с экспериментальными данными не может
служить критерием нахождения физически интерпретируемого
приближенного решения уравнения Af = и, так как у нас нет
достаточных оснований для выбора в качестве решения задачи
той или иной сопоставимой с экспериментальными данными модели.
Получаемое таким образом «решение» может быть неустойчивым
к исходным данным. ^-
Отметим, что на условии сопоставимости основан'^известный
метод подбора приближенных решений.
4. Для получения приближенных решений, устойчивых к
малым изменениям исходных данных, необходимо использовать
некоторый принцип отбора сопоставимых с экспериментальными
данными^ й возможных решений (моделей) f, Такой'отбор может
быть произведен, например, по принципу выбора модели
минимальной сложности *). Понятие сложности модели f может быть
формализовано, например, с помощью некоторого функционала
*) См. сноску jia c'ip. 232,
233

сложности Q [f\. За меру сложности модели f принимается значе
ние функционала Й [/]. Если моделью f из F является
непрерывная и дифференцируемая на [а, Ь] функция / (s), то функционал
сложности можно взять, например, в виде (см. § 5)
а
Естественно желание искать решение задачи среди простейших
моделей (например, функций), сопоставимых с экспериментальными
данными и. Это приводит к математической задаче нахождения
среди моделей из F модели /§, минимизируюш,ей функционал
й [/] на Ffi. Эта задача при достаточно слабых дополнительных
требованиях к Q [f ] сводится к задаче минимизации функционала
M^ff, й]^р^(Л/, u)+aQ[f].
Значение параметра а (параметра регуляризации) должно быть
согласовано с уровнем погрешности (т. е. б) исходных данных и
может определяться, например, по невязке рц {Af^, и) = б,
где fa — элемент, минимизируюш,ий функционал М^, Таким
образом, для решения задачи необходим метод регуляризации
А. Н. Тихонова. Следовательно, метод регуляризации лежит в
основе построения Систем автоматизированной математической
обработки результатов экспериментов *).
5. При изучении любого объекта (явления) обычно
пользуются приближенными описаниями его, т. е. рассматривают
различные модели его. Решение задачи интерпретации результатов
физических экспериментов также целесообразно искать в рамках
различных (расширяюш,ихся) классов усложняюш,ихся моделей
(см. сноску на стр. 232):
KiCzK^czKsCz ...czKpCZ ... A8)
исследуемого объекта. Одной из форм описания классов моделей
является задание типичной функциональной структуры его
моделей f. Так, при изучении объекта, являющегося осесимметрич-
ным плазменным образованием, важными количественными
характеристиками его являются средняя плотность Hq электронов
и радиус его R. Поэтому классом моделей Кг может быть класс
плазхменных образований с постоянной плотностью По электронов
(рис. 31). Математическая часть задачи интерпретации
результатов эксперимента в таком классе сводится к нахождению двух
числовых параметров Hq и 7?, сопоставимых с
экспериментальными данными й. Классами моделей К^у Кз и т. д. могут быть
классы кусочно-постоянных или кусочно-линейных функций
*)Арсенин В. Я., Гончарский А. В. Некорректно поставлен"
ные задачи и обратные задачи математической физики. — Вестник Московского
Университета. Сер, 15, Выч. матем. и киберн., 1981, № 3.
234

(рис. 32 и 33). И так далее. Задача математической части
интерпретации в рамках таких классов моделей состоит в нахождении
чисел Hi, Rjy сопоставимых с экспериментальными данными й.
Конечно, возможны и иные модели.
6. Целесообразность решения задачи математической части
интерпретации в рамках того или иного класса моделей К,р
определяется требованием к детальности наших знаний о
количественных характеристиках изучаемого объекта. Так, если нас
F
"'
Пг
"j
%
1
1
»->.
/?; Й2 Rs R Г fi^ R^ R^ R^ Я
Рис. 32. Рис. 33.
интересует лишь средняя плотность электронов плазменного
образования и его радиус, то в качестве класса моделей
интерпретации естественно^брать класс /Ci моделей вида, изображенного
на рис. 31. Если нас интересует вопрос о том, образуется ли вблизи
оси симметрии плазменного образования область разрежения
электронов, то естественно брать в качестве классов моделей
модели, в которых п (г) имеет, например, вид, изображенный на
рис. 32 или 33, и т. п.
Возможность решения задачи математической части
интерпретации экспериментальных данных в рамках выбранного класса
Кр моделей определяется уровнем погрешности результатов
наблюдений й.
7. Одним из основных этапов решения математической части
задачи интерпретации является определение рационального класса
моделей объекта, т. е. типичной функциональной структуры
количественных характеристик объекта, надежно определяемых при
данном уровне погрешности результатов наблюдений и содержа-
ш,их достаточно большую информацию об объекте. Если мы
определили цепочку расширяюш,ихся классов моделей A8), то, следуя
желанию искать решение задачи среди простейших моделей,
надо, прежде всего, найти класс с наименьшим номером /?о
(минимальный класс), в котором есть модели, сопоставимые с данными
эксперимента й (см. сноску на стр. 232).
8. Математические части задач интерпретации результатов
физических экспериментов решались и до появления
современного мош,ного аппарата решения некорректно поставленных задач.
В ряде случаев при этом получались хорошие результаты. Дело
в том, что если математическую часть задачи интерпретации
решать в классе Кр моделей, определяемых конечным числом т
числовых параметров, то поиск искомой модели (т. е. т чисел)
235

Мбжйо производить в ограниченной области т-мерного евклидова
пространства. В этом случае обратная задача вида A6) становится
устойчивой и-ее обобщенное приближенное решение можно найти
хорошо известным методом наименьших квадратов (МНК). На
этом пути и были получены хорошие результаты. Однако с
совершенствованием техники эксперимента (и измерительной
техники) повышается и точность экспериментальных данных (т. е.
уменьшается б в рассматриваемом здесь классе задач). Это
приводит к тому, что модели, определяемые малым числом
параметров, могут стать слишком грубыми, несопоставимыми с экспе-
рИхМентальными данными и и возникает необходимость
использовать модели, определяемые большим числом параметров *). Но
с увеличением числа параметров задача нахождения
приближенного решения (обобщенного) уравнения A6) методом наименьших
квадратов может стать плохо обусловленной, т. е. практически
неустойчивой, и потому требуется использовать для решения
таких задач методы регуляризации.
Таким образом, совершенствование практики эксперимента
приводит к необходимости использования методов регуляризации
при математической обработке результатов наблюдений и,
следовательно, при разработке Систем автоматизированной
математической обработки результатов наблюдений, т. е. алгоритмов
обработки и реализующего их на ЭВМ программного комплекса.
9. Пусть мы имеем Систему автоматизированной
математической обработки экспериментальных данных (САМОЭД),
содержащей также модуль, позволяющий вычислять Af для каждой
модели f ^ Fy и с ее помощью нашли приближенное решение /^
уравнения A6). Очевидно, необходима оценка уклонения /§ от
точного значения характеристик f. Такую оценку можно получить
с помощью САМОЭД путем проведения квазиреального
вычислительного эксперимента, состоящего в следующем **).
По типичным характеристикам (моде^1ям) / изучаемого объекта
вычисляются точные (теоретические) выходные данные
«модельного эксперимента», т. е. значения и = Af, В них вносится
случайная погрешность типичного для рассматриваемых
экспериментов уровня и полученные результаты йтод подвергаются
математической обработке с помощью используемой САМОЭД. И такая
процедура производится несколько раз с различными
реализациями случайной погрешности. Таким способом получаем
«коридор ошибок», а'^тем самым и результат обработки с оценкой его
погрешности. Такого рода квазиреальный эксперимент, очевидно,
позволяет также оценить допустимый уровень погрешности
экспериментальных данных и при заданных требованиях к точности
определения количественных характеристик /д. Таким образом,
САМОЭД позволяет: а) прогнозировать результаты эксперимента
путем вычисления Af по типичным /; б) оценивать путем прове-
*) См. сноску на стр. 234.
**) См. сноску на стр. 232.
236

дения квазиреального вычислительного эксперимента допустимый
уровень погрешности экспериментальных данных при заданных
требованиях к точности определения количественных
характеристик /б объекта, а тем самым сформулировать требования к
измерительным приборам, используемым в эксперименте; в) путем
проведения квазиреального вычислительного эксперимента
выбрать обычно имеющиеся управляющие параметры
экспериментальной установки так, чтобы получать максимальное разрешение
(т. е. максимальную информацию) при математической обработке
экспериментальных данных и.
Следовательно, такого рода Системы имеют многоцелевой
характер. Они позволяют численно моделировать эксперимент, что
имеет первостепенное значение для проектирования эксперимента.

Часть II
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Специальные функции находят применения в широком круге
задач. В части II мы изложим основные свойства и простейшие
приложения цилиндрических, сферических и
гипергеометрических функций, интегралов Эйлера (гамма-функция и
бета-функция), а также некоторых специальных полиномов. Все
перечисленные функции, кроме интегралов Эйлера, являются решениями
дифференциальных уравнений с особыми точками вида
-^\k{x)y'\-q{x)y^Q,
В которых коэффициент k {х) обраш.ается в нуль в одной или
нескольких точках промежутка изменения переменной л:,
конечных или бесконечных.
Глава XIII
ГАММА-ФУНКЦИЯ БЕТА-ФУНКЦИЯ
§ I. Гамма-функция и ее свойства
I. Гамма-функцией (или эйлеровым интегралом второго рода)
называется функция
оо
г B)- J e-H'-'dt. A)
о
Она обладает следуюш.ими свойствами.
Свойство 1. Г (г) определена и непрерывна в области
Кег > 0.
Доказательство. Рассмотрим замкнутую область
D = |0 < б <: Re г < Л/'}, где б и N — произвольные
фиксированные числа. Для всех z ^ D выполняются неравенства
\t'~^e-i\<t^-~^ для 0<:/<: 1,
I t'-^e~^ I < е-Ч^-^ для 1 < / < оо.
Следовательно, функция
' ' \t^-'e-', ]</<оо,
238

является мажорантной для | ^^ ^^ ^ | на промежутке О < ^ < оо
оо I
для всех Z ^ D. Поскольку интеграл j f (t) dt == J t^~^ dt +
+ j t^~"^e ^ dt сходится, то интеграл J /^ V ^ dt сходится рав-
1 __ о
номерно относительно z ^ D, Отсюда следует, что Г (г) определена
и непрерывна *) в области D, а тем самым, ввиду произвольности б
и Л^, и в области О < Re г < сх>.
Свойство 2. Г (г) аналитична в области Re г > 0.
Для доказательства этого свойства достаточно показать, что
интеграл J Г (г) dz, взятый по произвольному кусочно-гладкому
с __
замкнутому контуру С, лежащему в области D, равен нулю. Тогда
по теореме Морера **) Г (z) будет аналитической в области D,
а следовательно, и в области Re г > 0:
/ оо . оо
\T{z)dz= \[\ t'-'e-^ dt] dz=^ \ е-~Ч\ t'-' dz] dt - О,
с с ^0 ' 6 \с 1
так как по интегральной теореме Коши **)
\t'-^z=-0.
с
Перемена порядка интегрирования здесь законна, так как
оо
интеграл J t^~^e~^ dt сходится равномерно для z ^ D.
о
Свойство 3. Для всех z из области Re г > О выполняется
тождество
Г (г + 1) ~ гГ (г). B)
Справедливость этого свойства устанавливается
непосредственно путем интегрирования по частям:
оо оо
Г(г+1)-= j t'e-^dt-^—e~4'\^i-z\ t'-'e~^i =
о о
оо
^z\ t'~^e~4t = zTiz).
о
Применяя последовательно тождество B), находим формулу
Г м- Т(г-}-п-\~\) .
'^^~ г(г+ 1)...(г + /г—1)B + /г) * ^^
*)Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа, т. II,
изд. 5-е.— М.: Наука, 1968.
**) Л а в р е н т ь е в М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций
комплексного переменного. — М.: Наука, 1973.
239

Свойство 4. Функцию Г {г) с помощью формулы C) можно
аналитически продолжить на всю плоскость переменной г, кроме
точек г ^ О, —1, —2, ..., —п, ..., в которых Г (г), очевидно,
имеет полюсы первого порядка с вычетами, равными
Resr i^n) =- (—l)^Vn!.
Действительно, правая часть формулы C) есть функция,
аналитическая всюду в полуплоскости Re (z + п + 1) > О, крОхМе
точек Zq = О, Zi == —1, ..., Zn ^ ~п. Эту функцию и принимаем
в качестве аналитического продолжения функции Г (г) на'
полуплоскость Re г > —(п +1). Поскольку число п можно взять
произвольным, свойство 4 доказано.
Свойство 5. Т (п + I) = п\.
Непосредственным вычислением находим Г A) =^ 1. Тогда из
формулы C) получаем
Г(п + 1) - п\, Bi)
Таким образом, Г (z) хможно считать распространением факто-
риальной функции на произвольные комплексные числа.
Свойство 6. Имеет место соотношение
Г (г) Г A -- 2) :^ -^ . D)
Замечание. Нам достаточно установить справедливость
свойства 6 для z ^ л% где О < л: < 1. Тогда по теореме
единственности аналитических функций оно будет верным для всех г.
Доказательство.
со оо
г {х) = J t^-^e-^dt, Г A - х) =- j х-Ч--^ dx.
о о
Следовател ЬНО, \
оо оо
rwr(i^x)^Jje-(--i-)(|y-^.
и о
Произведя замену переменных интегрирования в этом интеграле
по формулам / + т =-= ^, xlt - \^, получим
1Н1> Р)_ A +Р)
D(t, т) t
Следовательно, dt dx ^^ . , п rf^ dp. Поэтому
оо оо
э—л;
V{x)Til-^x)-^\\e-l^dU^=-\-^d^-^-^^^
0 0 о
Последний интеграл вычисляется с помощью вычетов. Ч. т. д.
*) См. Л а в р е п т ь е в М. А., Ш а б а т Б. В. Методы теории функций
комплексного переменного, гл. I. —М.: Наука, 1973.
240

Свойство 7. Г (г) не имеет нулей.
Действительно, пусть г^, —- нуль гамма-функции. Очевидно,
Zq не равен ни целому отрицательному числу, ни нулю. Из
формулы D) находим
Игл Г A — г) = lim -^rr--' == оо-
Таким образом, го есть особая точка для Г A — г). Но по
свойству 4 особыми точками гамма-функции являются только
целые неположительные числа. Следовательно, 1 — z^ = —п,
где п — целое и п ^ О, а Zq = 1 + ^г. Тогда
Г (го) - Г {п+\)^ п\ф 0.
Таким образом, предположение о существовании нуля го
функции Г (г) противоречиво.
Свойство 8. Справедлива \t\^r
формула
r(^)=^^u^J^^-'^-'«f^- E)
V
где Y есть контур, изображенный Рис. 34.
на рис. 34.
Для доказательства справедливости формулы E) докажем
лемму.
Лемма. Справедливо равенство
\i^-^e~^t=\t'-^e-^dt,
Vl V2
где Yi и у^ — контуры, изображенные на рис. 35.
Рис. 35. Рис. 36.
Для доказательства рассмотрим интеграл по контуру С,
изображенному на рис. 36. Контур С ограничивает односвязную
область, в которой функция е~Ч^~^ аналитична. Следовательно,
по интегральной теоре^ме Коши
[ е-Ч'-"^ dt ^ 0.
с
241

Вместе с тем
где 7i, 72 показаны на рис. 36, а t^ ^ а + i^ (fe = 1, 2, 3, 4,
afe - а).
Перейдем в этом равенстве к пределу при а -> оо, сохраняя
^и постоянными. Интегралы J и J будут стремиться при этом
К J и — J соответственно. Если мы докажем, что интегралы
J и J , взятые по отрезкам t^ti и t^t^, будут стремиться при этом
К нулю, то лемма будет доказана. Оценим J , учитывая, что z =
tii2
^ X + iy.
J е-Н'-ыА^ J \e-H'-^\\dt\ =
\^2 1 4^2
Так как | f | < 2a и arg / < 2n, то
При всяком фиксированном z последнее произведение
стремится к нулю при а -> оо. Таким образом, J е~Ч^~"^ dt -^ О при
а -> 00. Точно так же доказывается стремление к нулю интеграла
по отрезку ^3^4- Лемма доказана.
Пользуясь этой леммой, мы можем взять в интеграле
F{z) -= \e-H'-4t
у
в качестве контура у контур, составленный из окружности уо
радиуса г < 1 с центром в точке ^ = О и из верхнего и нижнего
берегов разреза вдоль вещественной оси от г до оо:
оо оо
F{z)= \e-H'-4t-~ \ e-4'-4t+ J e-4'-4t.
(верхн. берег) (нижн. берег)
Интеграл Fq B) = J е~Н^~^ dt является аналитической всюду
функцией Z, Действительно, fо (^) непрерывна во всей плоскости
242

и интеграл J Fq (z) dz = j e ^ j t^ ^ dz dt, взятый no любому
с vo с
замкнутому кусочно-гладкому контуру С, равен нулю. Поэтому
по теореме Морера Fq (г) аналитична всюду.
Интеграл
со
Гг (z) = j е-Ч'-' dt
Г
(верхн. берег)
МОЖНО записать в виде суммы двух интегралов:
1 оо
г 1
1
Интеграл | е'Ч^"^ dt не является несобственным и представляет
г
^ оо
непрерывную функцию от г. Интеграл J e'H^"^ dt сходится
1
равномерно в любой полосе —Л^ < Re 2 < Л^, так как для всех
t > 1 выполняется неравенство | е~Ч^~^ \ < е~Ч^~^, а интеграл
оо оо
J е~Ч^^^ dt сходится. Следовательно, интеграл J е~Н^~^ dt также
1 1
представляет непрерывную функцию переменной z в любой
полосе —N < Re г < Л^, а тем самым и во всей плоскости
переменного Z. Отсюда следует, что функция F^ B) непрерывна во всей
плоскости переменной г.
Далее, с помощью теоремы Морера устанавливаем
аналитичность всюду функции Fi B). Интеграл J F^ B) dz, взятый
с
по произвольному кусочно-гладкому замкнутому контуру С,
равен нулю, так как /^"^ является аналитической функцией от г и
1 оо\ 1
С с 1г 1 j г \С I
+ 1 i\e~^i'~^dz\dt=Q.
Перемена порядка интегрирования здесь законна, так как ин-
оо
теграл J е~Н^~'^ dt сходится равномерно в любой полосе —Л^ <
<: Re Z < N. Наконец,
оо оо
f, B) = I е-'/г-| dt = е2"" I е-Н'-^ dt =
Г Г
(нижн. берег) (верхн. берег)
243

Таким образом, F [z) ^ Fq (z) + {e-''^'' — 1) F^ (z) аналитична
всюду. Поэтому для доказательства формулы E) нам достаточно
доказать ее для г = х > О *).
Доказательство. Имеем
F (х) - F, (х) + {e^^^^ -l)FAx). F)
Заставим уо стягиваться в точку. Тогда Fi (х) будет стремиться
к Т (х), а Fq (х) будет стремиться к нулю, так как
2Я
1 f о W I < J 1 е-Н^~^ \\dt\<\ е-Т^ d(p < г^е~'2п ~> О
Vo О f^O
{t^re'"^ на уо)-
Следовательно, осуществляя предельный переход в соотношении
F) при г -> О, получим формулу E).
у
1 М 111 1 II1Т F
i- i In > 1 U
N \ / г
Yl '
1 1 г it 1 1 i
II/
Ч'ШЦ I \L
|-^ 1=<J W т-<? T-/ П
Inll Milk
A
/V
11 A
- 1/ \
1 II11 III 11 1 1/1 \
1
II 1 1 1 1 1 I/I 1 1 1 1
M n
1 /
1 /
iM M
\ и M
l'\ /
ли
Mm
Гтп
/ L? J U Lf 1
■ /
1
-6 ■
1 1
? i '
1 1 1 1
1
-v^ 1 1 III 1 1 1 1 1 1
Рис. 37.
Свойство 9. Яз свойств 6 и 8 следует соотношение
1 Jnz .
TFTT) = -2Ш 1 ^-'^-^-' dt. G)
V
Действительно,
■ sin яг 1
1 sin (nz Ч- я) ^ / , — ЙИ1JU гл / ч
Г(г+1) ^ п ^ {~Z)=^—^^T{-~Z)=^
J.-/--d/^-g-j.-/—1
2т {e-^""^'- \)
На рис. 37 приведен график гамма-функции.
dt.
*) См. замечание к свойству' 6.
244

2. Разложение функции V (z) в ряд Лорана в окрестности
особой точки Z ^ —п {п — целое, п ^ 0) имеет вид
Г (г) - -bj^ —i— + Q (г + n),
где Q{z -\- п) — степенной ряд по степеням z -\- п. Следовательно,
функция
оо
(-1)"
ф(г)=Г(г)-2]„-
\(г + п)
;г=0
аналитична всюду, кроме г = оо. Таким образом,
оо
(-1)"
(^) = SnTGb) + ^P(^)'
п^О
где ф (г) — целая функция.
Так как
оо оо 1 I / оо \
п=0 П--0 О О \п=-0 /
1
о '
то
оо
Ф (г) = j t'-^e~^ dt.
1
Поэтому
оо оо
г (г) === у 4f^ + [ t'-'e-i df.
^ ^ iij nl (Z + п) i J
п=0 1
Это представление гамма-функции справедливо для любых z.
3. Вместе с гамма-функцией часто используется ее
логарифмическая производная
. / ч Г' (г)
Так как особыми точками Г (г) (полюсами) являются лишь
точки Z == —/г, где п == О, 1, 2, ..., и Г (г) не имеет нулей, то
особыми точками ij; (г) будут лишь точки z = —п, притом —
полюсами первого порядка. Очевидно, лорановское разложение
функции \|) (г) в окрестности точки z = —п будет иметь вид
где R (г + п) — степенной ряд по степеням z + п.
245

Вычисляя логарифмические производные от обеих частей
тождеств B) и D), получим тождества
г|)(г+1)-1 + ЧЧ^), (8)
\|) A — г) — ур (г) = тс ctg яг. (9)
Число С = —\|) A) называется постоянной Эйлера и равно С =
= 0,57721566... . Многократное применение формулы (8) дает
ft
к=\
§ 2. Бета-функция
Бета-функцией (или эйлеровым интегралом первого рода)
называется функция
1
В {х, у)=^\ t^-^ A - 0-'^-^ dt. A0)
о
Произведя замену переменной интегрирования в этом
интеграле по формуле
^ = гЬ ("=гЬ)'
получим
Бета-функция обладает следующими свойствами.
Свойство 1. Функция В {х, у) определена и непрерывна
в области Re х > О по переменной х и в области Яе у > О — по
переменной у.
Доказательство. Пусть х = а + ф и у = у + ia —
фиксированное число с у > 0. Рассмотрим замкнутую область
Dq ~ {О <_б < Re х\ изменения переменной х. Очевидно, для
всех X ^ D^ выполняется неравенство | Р~^ | < /*^~^, если О <
< ^ < 1. Следовательно, функция / (t) ^ t^"^ A — t)'^"^ является
мажорантной для подынтегральной функции t"^"^ A — /)^~^ на
промежутке О < / < 1 для всех х ^ D^ и фиксированного у.
Поскольку интеграл
1
\t^-^ A -t)y-^t
о
сходится, то интеграл A0) сходится равнохмерно относительно
X ^ Dq. Отсюда следует, что В {х, у) определена и непрерывна
(по х) в области D^, а тем самым и всюду в Re л: > 0.
Доказательство свойства по переменной у проводится совершенно аналогично.
246

Свойство 2. в {х, у) аналитична по хв области Re л: > О,
а по у — в области Re у > 0.
Для доказательства этого свойства, например, по х достаточно
показать, что для произвольного б > О и при любом
фиксированном у из области Яе у > О интеграл J В {х, у) dx, взятый по про-
с
извольному кусочно-гладкому замкнутому контуру С, лежащему
в области D5, равен нулю. Тогда по теореме Морера В (л;, у)
будет аналитической в области D^, а следовательно, ив Re л; > 0.
Для С CZ Dq имеем
\в(х, y)dx^ \\\ t'-' A - t)^'-' dt\ dx =
с с io j
1
== J|(l -t)y~^\t^-^x\dt==Q,
так как по интегральной теореме Коши J t^~^ dx ■= 0. Перемена
с
порядка интегрирования здесь законна, так как интеграл
1
J t^-^ A - t)y-^ dt
о
сходится равномерно относительно х ^ Dg.
Свойство 3. Для всех х из области Re х > G и любых у
из области Re у > О выполняется тождество
Доказательство. Рассмотрим функцию
т
о
зависящую от X и у как от параметров. Ее можно рассматривать
как свертку функций t^"'^ и /^~^.
Найдем преобразование Лапласа этой функции.
Преобразования Лапласа функций t^''^ и /^"^ равны соответственно Г (х)/р^
и Т{у)/рУ. В самом деле,
сх> оо
j t^~'e-P^ dt^-^\ l-~'e~^ dl = ^, A3)
Поэтому преобразование Лапласа свертки р (т) равно
Т{х)Г(у) ___ Т(х)Т(у) Т(х-\-у)
рх+у Г (X -г у) р^-^У
247

Тогда оригинал, т. е. функция р (т), будет, согласно
формуле A1), равен
Полагая здесь т = 1, получим A2).
Глава XIV
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Теперь мы будем рассматривать специальные функции, яв-
ляюш,иеся решениями обыкновенных дифференциальных
уравнений вида
в которых функция k (х) обращается в нуль в одной или
нескольких точках (конечных или бесконечных) и предполагается
дифференцируемой внутри рассматриваемых промежутков.
Многие задачи приводят к необходимости решать уравнение
z'w" + zw' + {z' — v') ^ - о, A)
в котором V — числовой параметр. Его можно написать, очевидно,
в виде
" (г-4)-»-»- р)
dz ^
К такому уравнению мы приде^м, например, при решении
задач, рассмотренных в ч. I, методом разделения переменных,
если будем пользоваться цилиндрическими (или полярными)
координатами (задача о колебании круглой мембраны, об
остывании круглого цилиндра и др.). Так, пусть требуется решить
задачу о малых поперечных колебаниях однородной круглой
мембраны радиуса /, закрепленной по краям, под действием
начального возмущения. Если использовать полярные координаты
(г, ф), то искомая функция (отклонение) и =^- и (г, ф, t) будет
решением следующей краевой задачи:
и (/, ф, /)-=0, 1 ^/ I < оо, и {г, ф + 2л, t) --=^ и (г, Ф, t), (Вз)
и (г, ф, 0) - / (г, ф), щ (г, ф, 0) - F (г, ф). (Вз)
Условие ограниченности | а | < оо является естественным
следствием физической постановки задачи, а условие
периодичности по ф является следствием условия однозначности решения.
Для решения задачи (Bi)—(Bg) применим метод разделения
переменных. Будем искать решения уравнения (Bi), удовлетворяющие
только краевым условияхм (В..), в классе функций вида
и - Ф (г, ф) "¥ (/).
248

Разделяя переменные, получим
¥" + a^W - О, (BJ
АФ + ,\Ф - О, (В^)
Ф (/, Ф) -- О, I Ф I < оо, Ф (г, ф + 2п) = Ф (г, ф). (Be)
Задачу (В5)—(B^) также можно решать методом разделения
переменных. Полагая Ф (г, ср) = А (г) В (ф) и используя запись
оператора Лапласа в полярных координатах, получим
В" + |LlB - О, (В;)
В (ф + 2п) = В (ф), (Вз)
гМ" + М' + (^г^ - ,Li) Л = О, (В,)
Л (/) ^ О, I Л I < оо. (В,о)
Решение задачи (В7)—(Bs) и возможные значения параметра [х
легко находятся:
И - /^2^ k = О, 1, 2, ...,
5/i (ф) = Ch sin /гф + Dk cos ^ф.
Таким образом, задача (Bi)—(В3) сводится к нахождению
решений ур_авнення (Во), удовлетворяюш,их условиям (В^). Заменой
2 = у^Хг уравнение (Вд) приводится к уравнению A), в котором
v2 - Г-, W (z) = А (/Хг).
Решения уравнения A), не равные тождественно нулю,
называются цилиндрическими функциями. Изучение свойств
цилиндрических функций и будет предметом рассмотрения этой главы.
§ 1. Поведение решений уравнений с особыми точками
в окрестности особых точек
Рассмотрим уравнение
±\kix)y'\-q(x)y^O, C)
В котором функция k (х) обращается в нуль в конечной точке х = а
и -в окрестности этой точки имеет вид
k (х) ^ (х — а)"" ф (х), ф (а) ф О, а > О,
причем функция ф (х) непрерывна в точке л: = а и в ее окрестности.
Теорема. Пусть r/i (х) = {х — а)'" и^ (х), Ui (а) Ф О, т ^
^ О, есть решение уравнения (Х) и и^ (х) непрерывна в точке х = а
и в ее окрестности. Тогда любое другое решение уравнения A)
у.2 (х), линейно независимое с ух (х), в окрестности х ^ а имеет вид
У-1 С-^) ^ ^2 {^) + {^ — ау^'"^' ^ //2 {х), если 2т + а ф \,
У2 {^) =^ ^2 {^) + ^h (-^) 1п (л: — а), если 2т + а ^^ 1.
Здесь 1]*2 (х) и U2 (х) ограничены в окрестности х ^ а и и^ (а) Ф 0.
249

Доказательство. По формуле Остроградского длй
определителя Вронского имеем
У2 {х) У1 {х) — у2 {х) у[ {х) = Clk (х), С # О *),
откуда
d
dx
Г У2 ]
L ^1 J
k (X) у\ (X)
Интегрируя это тождество по отрезку [х, х^], а < х < Xi, получим
г Xi
\y2{xi) С Cdt
У2 W -- Ух (х)
У1 (^i)
k (О у\ (О
Здесь Xi — такое фиксированное число, что на промежутке [а, х^]
функции ф {х) и Ui {х) непрерывны и не обращаются в нуль.
Рассмотрим первый случай: у^ {х) =^ {х — а)^ и^ (х). Тогда
у-^^'^^уМШ-''^
dt
(t — аJ'"+°' ф (О и\ (О
Применим к этому интегралу теорему о среднем значении.
Получим
^1 (Л^х)
или
Си^(х) {х-~аУ'
{t-ay
Здесь л; <: 5i < Xj, gj = |j (x). Таким образом,
^2 (x) - ^1 (X) г/1 (X) + Bi (X) (л: - a)-'"-"+',
-2m—a+1
где
A,{x)
__ У2 (Xi)
+ ■
yi {Xi) B/n + a - 1) (л:, - аJ'"+°^-Ч (gj) «? (^l)'
B/п + а-1)ф(?1)^1(?1)
Поскольку Л1 (x) и Bi (x) не имеют особенностей в точке х ^^ а
и Bi (л:) не обращается в нуль на отрезке [а, Xi ], для первого
случая теорема доказана. Во втором случае аналогичные вычисления
приводят нас к следующему результату:
У2 W == ^2 W Уг W + ^2 W In (х — а),
где
X<l2<Xi, 1^=^1^{Х).
*) См. Степанов В. В, Курс дифференциальных уравнений. — М.:
Физматгиз, 1959.
250

Поскольку функции л2 (л:) и Вз W "^ имеют особенносте?! в точке
X = а и В^ (х) не обращается в нуль на отрезке [а, х^], теорема
доказана и для этого случая. Пусть, в частности, а = 1, т. е.
k (х) — {х — а) (р (х). В этих условиях справедливо
Следствие. Если одно решение уравнения A) ограничено
и имеет вид у^ {х) ^ {х — а)^ и (х), где т ^ О, и (а) Ф О и и (х)
непрерывна в точке х ^ а и в ее окрестности, то любое другое
решение уравнения A), линейно независимое с у^ (л:), неограничено
в окрестности х ^ а и имеет вид
Уч W "^ "^2 (•^) + ^2 W 1^ (^ — ^)» ^^-^^ т ^ Q.
Устанавливаемый этим следствием факт имеет существенное
значение при постановке краевых задач для уравнения C) на
отрезке [а, Ь], один или оба конца которого являются особыми
точками рассмотренного вида этого уравнения. Если по самому
смыслу задачи требуется найти ограниченное на отрезке [а, Ь]
решение у^ (х), то, записывая общее решение в виде
У - С^Уг W + ^2^/2 (^),
мы найдем одну из произвольных постоянных из условия
ограниченности: Cg -^ 0. Таким образом, в таких случаях условие
ограниченности играет роль краевого условия и потому его надо
формулировать в математической постановке задачи (как одно
из краевых условий).
§ 2. Функции Бесселя и Неймана
1. Существует несколько классов цилиндрических функций.
В настоящем параграфе мы определим два класса: функции
Бесселя и функции Неймана.
Один класс цилиндрических функций мы построим следующим
образом. Будем искать решение уравнения
zW + zw' + B» ~ v2) ш = О A)
в виде обобщенного степенного ряда
W ^ г^ (ао + а^г + а^г^ + ...)» D)
где а^ФО, Тогда
ZW' = 2<^ [аоо + ai (а + 1) 2 + а2 (сг + 2) z^ + ... ],
zV == 2^ laoo (а — 1) + ai (а + I) az +
+ a^{a + 2) {a+ I) z^ + ...].
Подставим эти значения Wy zw' и z'^w" в уравнение A) и соберем
члены с одинаковыми степенями:
г^ [аоо^ — aov^ ] + z^^^ [а^ (а + ly — a^v^ ] +
+ 2^+2 [а^ (а + 2J - a^v^ + ао] + ...
.,. + z^^" Ian (а + nf - a^v2 + a^.J + ... ^ 0.
251

Чтобы ряд D) был решением уравнения A), необходимо
выполнение равенств
а, (а2 ^^ v2) ==. О, а, [{а + 1)^ ~ v^ ] - О,
а, [(a + 2f™v4 +ао^О,,„,ап [(а + n)^-v4 + а^-2 == О,...
Из первого равенства находим а ^ ±v, так как uq Ф 0. Возьмем
а «^ V. Тогда, полагая v Ф 0,5, из второго равенства находим
^1 == 0. Далее,
Так как о ^ v, то
<^П ==
Bv 4- ^) ^ *
Очевидно,
для всех целых неотрицательных k, а
2^^ 22 (V + ^) ^ 2^^ (V + ^) (V + ^ - 1) . . . (V + 1) ^! '
Полагая ао = -^ и используя формулы B) и Bi) предыду-
2 Г (v -|- и
щей главы, получим
а ^ (- 1)'
Таким образом мы построили формальное решение уравнения A)
в виде обобщенного степенного ряда
i. кг) ^ ^f^^y^yy||i
1Лг)^г'*РЛг). F)
или
где
Р, (г) « V ^^—bii^iii^i G)
Эта функция является фактическим решением уравнения (I)
в области сходимости ряда E). Легко проверить, пользуясь,
например, признаком Даламбера, что этот ряд сходится всюду,
кроме, может быть, z = 0. Следовательно, функция J^ (z) является
решением уравнения A) всюду, кроме, может быть, z = 0. Эту
функцию называют функцией Бесселя порядка v (иногда —
функцией Бесселя первого рода). Если v — нецелое число, то функция
Бесселя неоднозначна (из-за множителя z"^). В этОхМ случае, т. е.
при V нецелом, однозначную ветвь функции Бесселя выделяют,
ограничивая z областью, где j arg г | < n^ т, е. производя разрез

вдоль отрицательной части вещественной оси. Для целых v ^ п
функция Бесселя определена всюду и однозначна. Очевидно,
J а (г) есть целая функция.
Полагая в формуле E) v ^ ±0,5, получим функции J±i/2(z).
Легко убедиться непосредственной подстановкой их в уравнение
A) (при V ^ ±0,5), что они являются решениями этого уравнения.
Замечание. Так как члены ряда E) суть целые функции
переменной v и ряд сходится равномерно относительно v при
каждом фиксированном z, to^J^ (z) есть целая функция
переменной V. Поскольку уравнение A) не меняется при замене v на —v,
то функция J_v (г) также является решением уравнения A).
Если V не есть целое число, то функции J^ (г) и J_v (г) линейно
независимы, так как одна из них в окрестности z =^ О ведет себя,
как z'^, а другая — как 2~^. Поэтому для нецелых значений v
общее решение уравнения A), а следовательно, и произвольную
цилиндрическую функцию порядка v, можно записать в виде
уАг) --C,iv)J,{z) + С, (V) /-V (г),
где Ci (v) и Сз (v) — постоянные, зависяш.ие от индекса v.
Если же V равно целохму числу п (v = п), то
/_Лг)-(~ irJniz)^
Докажем это. Имеем
/
поскольку г (А — /1 + 1) «^ 00 для scex к ^ Q, 1, 2, ..., п — Ь
В последней сумме произведем замену переменной суммиро«
вания А Я8« S + д. Получим
2, Таким образом, для целых значений v (v =» л) функции
/v B) и /«V B) линейно зависимые, и, следовательно, с их
помощью нельзя получить общее решение уравнения B), т. е.
произвольную цилиндрическую функцию порядка v. Чтобы получить
для этого случая линейно независимое с J^ B) решение
уравнения B), вводят в рассмотрение функцию Неймана
^ ^ ^ sin nv ^ ^
Очевидно, она является решением уравнения A).
Подстановка в формулу (8) вместо v целого числа п дает спр ава
неопределенность -^, так как sin пп =^ О, J_^ (г) -= (—1)'* Jn (z)
253

и COS пп = (—1)". Для таких значений v (v = п) функция
Неймана Nn (z) определяется как предел
\т / \ 1- \т / \ 1- Jу^ (Z) cos У^П — J_у; (Z)
Nn (z) = hm Л^, (г) ^ lim —У^ .
Справедлива
Теорема. Функции J у, (z) и N^ (г) линейно независимы
при любых значениях v.
Для доказательства теоремы вычислим определитель
Вронского W [Jv» ^^v] яля функций Jv (z) и /Vv (z).
Для любых дифференцируемых функций f (г), ф (г), i|; (г)
W [/, ф +г|)] е: Г [/, ф] + Г [/, 1|;].
Поэтому W [J,, A^J - ctg vkW^ [J„ JJ - ^r^ W [J„ J_J.
Так как W [Jv, »/v] = 0, то для нецелых v
Для вычисления W [Jv, »/-v] воспользуемся формулой E).
Согласно этой формуле
JA^)=-^"Wo + z'Q,{z)], A0)
J.Az)^z^"{bo + z'Q^,{z)], (И)
где Qv (z) и Q^v (г) — степенные ряды по г. Следовательно,
Г^{г)^^г'^' {ао + г%{г)], A2)
Лу (г) «« - v^--^-^ (Ьо + 2'/?.v (^)Ь A3)
где /?v (г) и /?^v (г) — степенные ряды по г.
Далее, по определению определителя Вронского
2B^[/v. '^-vl «2 j;(,) j;;^^ (г)Г ^ '^^ (^) ^-^ (^) -^ ^>'(^) «^--vB)l.
Пользуясь формулами A0) и A1), находим
zW [/v, ^-v] == — 2vaobo + z^S, B), A4)
где Sv B) — степенной ряд. Согласно формуле Остроградского
(для определителя Вронского) для нецелых v W Uv> J-v^ =
= C/z, где С — не равная нулю постоянная. Следовательно, '
Поскольку это соотношение есть тождество, то С = [zW [/v»
/_vlb=o- Пользуясь формулой A4), находим
С - \zW [J,, J„v]}г^o - - 2ao6oV.
254

1 2^
Так как uq ^ — , bn = ^m г> то
о 2^r(v+ 1) ^ ГA —V) '
С:
r(v-[-l)r(l-v) •
Пользуясь формулами B) и D) гл. XIII, получаем
^ — 2 sin vn
Таким образом, для нецелых v
2
W [J^, J_J = sin vn.
Следовательно, согласно формуле (9) для нецелых v
W[J.. ^v]--^- A5)
Так как W Un, Nn] = Hm W [/^, N^], то из A5) следует, что
2
WlJn. Л^п]
TCZ
Итак, определитель Вронского W [J^y N^] не равен нулю
для любых индексов v. Следовательно, функции Jy (z) и N^ (z)
линейно независимы при любых значениях индекса v. Теорема
доказана.
3. Поскольку J у; (z) и Ny (z) — линейно независимые решения
уравнения A) при любых значениях индекса v, общее решение
этого уравнения, а следовательно, и произвольную
цилиндрическую функцию индекса v, можно записать в виде
Очевидно, к решениям Jy (z) и N^ (z) уравнения A) применимо
следствие теоремы § 1, согласно которому в окрестности особой
точки уравнения A) 2 = О функция N^ (z) ведет себя, как Л/г"^,
если V =7^ О, и как А In z, если v = 0. В частности, функция
Неймана Ny (z) с индексом v ^ О неограничена в окрестности 2 = 0.
4. Пользуясь представлением функций Бесселя в виде ряда
E), непосредственной проверкой устанавливается справедливость
тождеств
A|Zd£).j^ -/у(г)^ ^(г^ЛгI=г%_,(г). A6)
Производя в этих формулах дифференцирование, получим
Kiz) =^J^(z)-Jy,,{z) A7)
и
/;(г) ==^/,(г)+А.л(^). A8)
255

Отсюда следует рекуррентная формула
J,.,Az) + J..A^)^^JAz)- A9)
С использованием определения функций Неймана и
соотношений A7), A8), A9) непосредственно устанавливаются такие же
соотношения для функций Неймана
/Vv.i(^) + yVv-i(^) = -^yVv(^), B0)
NAz) =^yv^,(z)-^,,,(e). B1)
Если V равно целому числу п, то по формулам A9) и B0) мы
сможем последовательно выразить все функции Jn (г) и Nn (г) {п ^
^ 0) соответственно через Jq (г), Ji (г) и Nq (г), /\^i (г). Ввиду
этого в таблицах приводятся лишь значения функций Jq (z),
л B); N,{z), NAz).
Непосредственным суммированием ряда E) устанавливается
справедливость формул
«^1/2 {г)== У -^s'mz и У__ь2 (г) =- ]/^cosz.
Пользуясь этими формулами и рекуррентной формулой A9),
находим
где Qn (/?), Rfi-i (р) суть многочлены степеней п и п-— 1
относительно р.
§ 3. Ортогональность функций Бесселя
1. Уравнение
л-^" + ху' -\- {14^ — v2) f/ - О B2)
или
4^W\-~~y + 'h?xy=Q B20
заменой переменной %х = г приводится к уравнению B).
Следовательно, функция J у, (Кх) является решением уравнения B2i).
Это уравнение имеет такой же вид, как и уравнения для
собственных функций в одномерном случае {k (х) == х, q (х) = vVx) *).
Типичные краевые задачи для уравнения B2) состоят в
нахождении таких значений параметра Я, при которых это уравнение
имеет нетривиальное, ограниченное на заданном промежутке
(О, /) решение, удовлетворяющее краевому условию вида ау' (/) +
*) См. гл. IV, § 3.
256

+ by (/) =-' О на правом конце. К таким задачам относится,
например, задача (Вд)—(В^) этой главы. Это задачи типа задач
Штурма—Лиувилля, рассмотренных нами в гл. IV. Возникает
вопрос:, не будут ли ортогональными на промежутке (О, /) решения
уравнения B2i), удовлетворяющие краевым условиям вида
ау' A) + by A) = О, т. е. функции Бесселя /^ (Х^х) и /^ (^2^),
в которых значения Х^ и Х^ параметра X, определяются из
краевого условия ау' A) + by (/) = О? При этом естественно ожидать
ортогональности с весом р (л:) == х, как это видно из уравнения
B2i). Ответ на этот вопрос дает
Теорема (об ортогональности). Функции Бесселя J^, (кх)
обладают свойством ортогональности с весом р {х) ^ х. Точнее,
для всякого v > —1
\ xJ^i-Y х\ J ^i-—- х\ Ax^=^0, если аф^,
о
где оба числа а и ^ суть корни одного из трех уравнений'.
Jv (у) - О, /; (у) == О, Y^v (у) f hJ^ (у) = 0.
Доказательство. Напишем два тождества:
x-^J, (Кх) + -^ /, (Хх) + (Х^х - ^) /, (Хх) = О,
К {\^^) + -^ ^v (И h (f^^-v - ~) /v (^-^) = 0.
Первое из них умножим на /^ {\^х), второе — на J^ (Хх), затем
вычтем почленно одно из другого и результат проинтегрируем
(по х) по отрезку [О, /]. Получим
J -^ Uv (^bv) -^ /v ('^^) ~ Jv (И -^ Jv (^-^) dx -f-
или
f-
J dx
+ J [jv i\^^) J^ Jv (И - ^v {^^) -JI ^v (^^'^)} ^'^' ==
-- (ji2 — ^2) j xJ^ (Xx) J^ {\xx) dx,
0
^v (fi'^') -^ «^v (^ - «^v (?^^^') 7^ ^v (И-^) ]} dx ^-
- (^i^ -- X^ J .V/, (Xx) J, (H-v) dx. B3)
9 Арсении В. Я.
257

Произведя интегрирование, получи1М
-= A^2 ~ К^) \ .xJv (И ^v (И ^^- B4)
Покажем, что при v > —1 и К = а//, [i = ^11 левая часть
равенства B4) обращается в нуль. Для этого заметим, что,
пользуясь формулой E), Jy (кх) и -T—Jv(kx) можно записать в виде
^v М -=
{Кх/2)''
V.V+2
r(v+l) '
dx
х'^^'Р-Ах),
B5)
^vM = -^T^7^ + ^^^'QxW
где Р^ (х) и Q^ (х) — степенные ряды. Используя эти формулы,
.находим
Xjy {[IX) -J- J^ (кх) - XJ,, (ХХ) — J^ {[iX) ^
(^l^)'
2^r(v + 1)
v.v+2
X^^'P,{X)
(kxf
(Xxf
v.'^+S
2^r(v+l)
+ x'^'P,{x)
2^r (V + 1)
2^r(v+ 1)
2v+2
+ x^^'Q, (x)
v.V+2
^^^^Q.W
= x''^'R,{x)
2V+4
^2 W,
где Ri (x) и /?2 (л:) — степенные ряды. При v > —1 последнее
выражение обращается в нуль для х = 0. Полагая в равенстве
B4) к = а//, j.1 = p/Z, получим
/
j xJ^ (-^ х^ J^ (^-у- х\ dx =
/2
р2 —а2
[аУ, (Р) ^ У, (а) - рУ, (а) ^ ^v Ф) \ • B6)
df^
Из равенства B6) немедленно следует ортогональность при
указанных выше значениях аир*).
*) Для третьего случая в правой части формулы B6) произведения а
и р ^^^ надо заменить соответственно на —hJy (а) и ~hjy (р).
dJy (а)
da
dp
258

2. Вычислим квадрат нормы /^(-т-хп . Для этого
воспользуемся формулой B6). Переходя в ней к пределу при Р-> а,
получим
II г / ^ \ IP
^ ^ xJI (^-^ х^ dx =- Итр,_^, [aJy ф) /у (а) — p/v И Jv Ф)]-
Непосредственный переход к пределу в числителе и знаменателе
о
дает —.
По правилу Лопиталя находим
Г V ("Т ^I ^ 1^ ^^^"^^ ^^^ '^^ ^^^ ~" '^^ ^^^ "^^ ^^^ ~ ^^^ ^^^ ^^ И1-B7)
Далее из тождества
ZV; B) -f 2j; (Z) + B^ - v') /v B) - 0
— Jv (a) = — ^v (a) + (l - ^) /v (a).
находим
Подставляя это значение производной Jl (а) в формулу B7),
получим
||A(-f;c)|[-^{{y;(«)]4(l --l-)^(a))*). B8)
*) Квадрат нормы на отрезке [а, Ь] любой функции Ку{^^)»
удовлетворяющей уравнению B2х), вычисляется по формуле
|6Х
|«n,u,.«.^{[i^]4(,-^)n..}|
Для доказательства этого цадо использовать очевидное соотношение
b
и перейти в нем к пределу при jo, -> X. При вычислении предела правой части
следует воспользоваться правилом Лопиталя и уравнением B2^), как и при
Bbi4HCJteHHH нормы jjy (-у-^) •
9* 259

§ 4. Нули цилиндрических функций
I. В § 3 мы внделн, что ортогональность функций Бесселя
связана с нулями функций Бесселя и их производных. В
настоящем параграфе мы рассмотрим основные свойства нулей функций
Бесселя и других цилиндрических функций.
Теорема 1. Нули всякой цилиндрической функции
простые, кроме, может быть, г = 0.
Доказательство. Пусть г^Ф О есть нуль кратности
п (/г ^ 2) решения у^ {г) уравнения A), не равного тождественно
нулю. Тогда у^ {zq) == r/v {Zq) = 0. В силу теоремы единственности
решения задачи Коши *) для уравнения A) у^ (z) ^ 0. Это
противоречит условию. Поэтому предположение о кратности
нуля Zq неверно.
Следствие 1. Все нули функций Бесселя и функций
Неймана простые, кроме, может быть, 2 = 0.
""З а м е ч а н и е. Из формулы E) следует, что если Zq есть
нуль функции Бесселя /^ (z), то и —Zq является нулем этой
функции. Из этой же формулы следует свойство четности функций
Бесселя с целыми индексами, т. е.
Jn {-2) - (-1)" Jn (Z).
Следствие 2. Все нули цилиндрических функций с
индексами V ^ О изолированные.
Действительно, любая цилиндрическая функция уу W может
быть представлена в вице
у, (г) - Ci/, (г) + C,N, (г).
Если у у, (г) = Ci/v B)» то, пользуясь формулой E), эту функцию
можно записать в виде у^ {г) = Сх^^ф (г), где ф (г) непрерывна
всюду и ф @) =7^ 0. Существует такая окрестность точки 2 — 0,
ни в одной точке которой ф (г) не обращается в нуль. Отсюда и
следует, что г = О является изолированным нулем функции
у^ B). Если у„ (г) = CiJy, (г) + C^N^{z), где Cj ФО, то z « О
не может быть нулем такой функции, так как функция Неймана
Л^^ (г), согласно теореме § 1, обращается в бесконечность в точке
Z = 0.
Пусть го # О является точкой накопления нулей
цилиндрической функции f/v {^) и f/v fe) = О- Тогда можно выделить
сходящуюся к 2о последовательность нулей \Zn\ -^ Zq. Очевидно,
у^ (го) = lim ^vvn;^^vv ^ Q
^n — Zo
Таким образом, имеем у^ (zq) = О и y'v (Zq) = 0. Это означает,
что Zq является нулем второй кратности, чего не может быть по
теореме 1.
*) См. Степанов В, В. Курс дифференциальных уравнение, ~ М>;
Физматгиз, 1959,
260

Очевидно, указанное утверждение эквивалентно следующему:
в любой ограниченной области переменной z всякая
цилиндрическая функция Уу (z) может иметь лишь конечное число нулей.
Это утверждение справедливо для цилиндрических функций
с любым индексом v.
2. Теорема 2. Все нули функций Бесселя /v i^) ^ веще-
ственным индексом v > —1 вещественны.
Для доказательства нам понадобится
Лемма. Если а = ге^^ есть корень уравнения J у (у) = О,
то и сопряженное ему число а = ге~^^ является корнем того же
уравнения.
Доказательство. Функцию Бесселя, очевидно, можно
записать в следующем виде:
/,B)-= 2" S fe.2^^ где Ь,- ^-'^
Тогда
7^re'*)-rV^''^i;?),r2*e'2*'^ =
k=0
или
где
= rV^^ S Ь,r^' С08 2йф + i S b^r'' sin 2k^ ,
\k=0 k=0 I
J^ (re'<f) = r^e'-'f [A, (r, ф) + Ш, (г, ф)],
J, (re-"') == r^e-'^-^ [Л, (r, ф) - Ш, (r, ф)],
do CO
Ay (r, cp) = S йл^^* cos 2Аф, Dv (r, Ф) «= S b^r^^ sin 2*ф.
Из формул B9) лемма следует немедленно. Действительно,
пусть а = ге^^ есть корень уравнения J у (у) =0. Тогда
^v (а) == /v (^^'^) =- ^"е^"'' [^v (^ Ф) + ii5, (г, ф)] = 0.
Следовательно, Ау (г, ф) = Dy (г, ф) = 0. Тогда и Jy (а) == 0.
Доказательство теоремы. Пусть а = ге^^ есть
нуль функции Бесселя J у (г). По лемме б = ге"^^ также является
нулем этой функции. Тогда по свойству ортогональности имеем
J xJy (-^ х) J у (А х) dx == О,
о
или
о = J х/, (-^ хе'"") J, (-f хе^'""^ dx =
о
= J X {SLf [Al (-^ X, ф) + Dl (-f X, ф)] dx. C0)
о
261

Мы воспользовались при этом формулами B9). Однако
подынтегральная функция в последнем интеграле непрерывна и не
равна тождественно нулю. Следовательно, и интеграл не может
быть равен нулю. Таким образом, предположение о
существовании комплексных корней у функции Бесселя приводит к
противоречию.
Теорема 3. Всякая цилиндрическая функция у^{г), при-
нимаюи^ая вещественные значения на вещественной оси, имеет
бесконечное множество нулей.
Доказательство этой теоремы будет дано позже, в § 7, п. 7.
Следствие. У всякой функции Бесселя J у (z) и функции
Неймана N^ (z) с вещественными индексами v имеется
бесконечное множество нулей.
[ |3. На основании доказанных теорем положительные корни
уравнения /^ (а) = О (где v — вещественное число) можно
перенумеровать в порядке их роста натуральными числами:
ai < а-з < . . . < а;,г < «m+i < • • •
Очевидно, эти корни являются функциями индекса v, т. е.
Теорема 4. Нули функций J^ B), /у (z) и ф^ (z) ==
= z/v (^) + hJy B) с положительным индексом v растут с
ростом V.
Проведем подробное доказательство для функции /^ (z). Для
доказательства теоремы достаточно установить, что
Доказательство. Для любого фиксированного т имеем
^v[a^(v)]sa C1)
Дифференцируя это тождество по v и опуская для упрощений
записи индекс т, получим
•^vB)U-§-+4-'^v(^)^ = 0. C2)
Штрихом мы будем обозначать производную по г. Далее, из
формулы A7) находим
г/; B) -- vJv (г) = —гЛ+1 (z),
откуда, с учетом тождества C1), получаем
Jv (Z) |г=а = —/v+1 (а). C3)
Первое из тождеств
d
dz
{г/;(г)} + (г---^)Л(г)=0,
1-|г/;(г)} + (г^-^)/о(г)ЕнО
dz
202

умножаехм на Jo B), второе на J^ (z) и результаты вычитаем один
из другого. Получим
-^ {Z [Ja (г) л (г) - /; (г) J а {z)]\ - .^Izi^ J^ (г) J, (г).
Следовательно,
X
-^^ [/; {X) л W - /; (X) Jo {X)] = I -^"^'V"^'^ ^^' C4)
о
так как для v и а > О выражение z [J'o (z) J^ (z) — J'v (z) Jg (z) 1
равно нулю при 2 = 0. При о = v левая часть в C4) имеет вид —.
Вычисляя ее при а = v по правилу Лопиталя, получим
Полагая здесь л: = а (v), получим
^ г2
-—- йг. C5)
а
2v
^v«
Выражая -^ /^ (^) „ через Jv (а) и а' из тождества C2)
и исключая затем J у (а) с помощью C3), получим
^= ,'^ ]:^dz>o.
Теорема доказана.
Для функций /v B) и ср^ (г) доказательство проводится
аналогично, но при этом надо тождество C1) заменить соответственно
тождествами
j; ф (V)) - О и V (V) Jv {у (V)) + hJ, {у (V)) = 0.
Здесь Р (v) — нуль функции J^ B), у (v) — нуль функции фу (z).
4. Теорема 5. Функции /^ (^) ^ *^v+i B) яг имеют общих
нулей, кроме, может быть, 2 = 0.
Справедливость теоремы легко установить, пользуясь
формулами A7) *). Нетрудно также показать, что нули функций /^ (г)
и /v+i (^) разделяют друг друга.
5. Проиллюстрируем применение функций Бесселя и ряда
их свойств к решению краевых задач.
Пример. Решить задачу об остывании однородного бесконечного
круглого стержня радиуса R, на поверхности которого все время поддерживается
нулевая температура. Начальная температура внутренних точек стержня задана
и равна ф (г).
*") Читателю рекомендуется это сделать самостоятельно.
263

Математическая постановка задачи: требуется найти решение и (л, /)
уравнения Аи = —— Ui для / > О и О с^г <^ R, удовлетворяющее следуюш^нм
начальным и краевым условиям:
и (г, 0) = ф (г), и (R, i) = 0, \и (О, /) К 00.
Решение. Разделяя переменные и (г, /) = Ф (г) ¥ (/), находим
Ф'' + —Ф' + ХФ-О, Ф(/?) = 0, |Ф@)|<сх),
^ (О =-Се-^-^'^ где ?.>0.
Обш^ее решение уравнения для Ф (г) можно записать в виде
Ф (г) - AJo (К^Гг) ~Ь BN, (Vl г).
Функция Неймана Л^о iV^ ^) — линейно независимое с_Уо W'^f) решение
уравнения для Ф (г). По следствию из теоремы § 1 Nq (V^Xr) неограничена в
окрестности г = 0. Поэтому из условия ограниченности искомого решения находим
5 = 0.
Следовательно, Ф {г) ~ AJq^^X г). Очевидно, можно положить А = \.
Из краевого условия при г = R находим уравнение для определения
собственных значений:
Jo({i) = 0, [i=\^kR.
По теоремам 1—3 это уравнение имеет бесконечное число простых
вещественных корней |ii < 1^2 < •.• < М'/г <С ... По ним определяем собственные значения
Я^ = 1-^д/-^^ и собственные функции задачи J^ ( -^^ Л ,
Мы будем предполагать полноту этой системы собственных функций и
разложимость функции ф (г) в ряд по собственным функциям Jo \р~^1 '
Решение исходной задачи ищем в форме ряда
2
11,1
V"! —а2 —- i J ( rri \
и {г, t) =.
Коэффициенты ряда Сд находим, используя начальные условия и свойство
ортогональности функций Бесселя:
и (л, 0) - Ф (/-) - ^ CnJ, (-^ г) .
/1=^1
Умножаем это тождество на rJ^ ( -~- г ) и полученный результат
интегрируем по г на промежутке [О, /?]. С учетом ортогональности функций Бесселя
и формул для квадрата их нормы получим
Следовательно,
264
Г / П \ R^
J ''Ф (О ^0 \~R- 'j^'-^k-T У о (Ы]'.
о
R

Замечание. Для приближенного решения задачи достаточно
ограничиться несколькими первыми членами ряда, например-:
^?
и (г, /)
[ii и {i2 находим в таблицах значений Jq (х):
^1 = 2,4048, ^12 = 5,5201.
6. Приведем без доказательства некоторые теоремы о
разложении функций в ряды Фурье по функциям Бесселя. Эти
теоремы уточняют общую теорему Стеклова (гл. IV, § 2) о
разложении функции в ряд Фурье по собственным функциям для частного
случая, когда собственными функциями являются функции
Бесселя.
Предварительно напомним одно определение.
Функция / (х) называется абсолютно интегрируемой на про-
h
межутке (а, 6), если интеграл J | / (х) | dx имеет конечное значение.
а
Теорема 6. Если функция f {х) кусочно-непрерывная и
кусочно-гладкая на [О, /], то ее ряд Фурье по функциям Бесселя
J, (Jf- х) (V ^ —0,5Iсходится к-^llf {х + 0) + f (х — 0) ]
в каждой точке х ^ (О, /). Для х = I он сходится к / (/ — 0).
При V > О для X = О он сходится к нулю.
Теорема 7. Пусть функция f (х) обладает свойствами:
а) абсолютно интегрируема на промежутке (О, /); б) непрерывна
на отрезке [а, 6] (О < а < 6 < /); в) имеет абсолютно
интегрируемую на (а, Ь) производную. Тогда ряд Фурье этой функции по
функциям Бесвеля J^ (~Т" ^) (^ ^ —^'^^ сходится равномерно
к f {х) на всяком отрезке [а + б, b — б], где О < б <{Ь — аI2.
Если b == I и f A) = Оу то сходимость будет равномерной на вся^
ком отрезке [а + б, /].
Здесь [in — положительные корни уравнения /^ (г) = 0.
Замечание. Утверждения теорем 6 и 7 справедливы также
в случаях, когда fx^ — положительные корни уравнения
2j;B) + /t/vB)=-0,
если дополнительно потребовать, чтобы v == —/г, а в теореме 7
опустить условие / (/) ~ 0.
Теорема 8. Если f {х) непрерывна и дважды
дифференцируема на отрезке [О, I] и f @) == f @) ^ О, a^lf (I) + oL^f (/) = О,
то ее ряд Фурье по функциям Бесселя /^ ("Х" ^) ^^^Р^^^^ v ^ О
сходится равномерно к f (х) на отрезке [О, Л.
Здесь [In — положительные корни уравнения
aizJy (z) f a2/v i^) = 0,
265

§ 5. Функции Ганкеля
1. Третий класс цилиндрических функций мы построим
следующим образом. Будем искать решение уравнения A) в виде
контурного интеграла
W
{г) = \К(г. l)va)dl C6)
где К {z, I) — некоторая заданная фун'кция, а t; (^) — неизвестная
функция. Подставляя эту функцию w (z) в левую часть уравнения
A), получим
L[w]=\ [г'^Кгг + zKг + z'K - v^ VЦ)(Ц C7)
с
Мы полагаем при этом, что контур С и функция К {z, I)
выбраны так, что все проделанные выше операции были выполнимы.
Если в качестве К {z, I) выбрать решение уравнения
z'Kzz + гКг + г'К + % -- О, C8)
то L [w] можно записать в следующем виде:
Llw] = ~l{v^KiKii)va)dl =
с
- - [ а: {v" + v't;} dl + [Kv - Kiv] 5.
с
Эта формула получена путем двукратного интегрирования по
частям второго слагаемого; А и В — концы контура
интегрирования.
Возьмем в качестве К (z, I) функцию —^-i^sini^ з в качестве
V A) — решение уравнения
v" + v^v = О,
например e^^^, Контур С выберем так, чтобы все упомянутые
выше операции были законными и чтобы выражение Kv' — K^v
на концах контура С, т. е. в точках А и В, обращалось в нуль.
Тогда
wiz) = -^^ е-^-' Si" '- - ^^'^ dl C9)
с
2. Принимая за С контуры Ci и С^ (рис. 38), мы получим
две цилиндрические функции:
ЯУ^ (z)=— \ е-^' «i" ^ + ^'v^ dl Я^'^ (z) = — f е-^' «^" ^ + ^^^dl,
ЗТ J ЗТ J
с 1 G 2
D0)
называемые функциями Ганкеля>
266

'Tt
ОС
Выкладки, приведшие нас к определению функций Ганкеля,
носили формальный характер. Поэтому нам надо показать, что
функции H{;^^(z) и Я^'^'(г), определенные формулами D0),
действительно являются решениями уравнения (I), т. е. имеют
производные первого и второго порядка, и что при подстановке функций
Н[^^(г) и Щ^^{г) в уравнение A) дифференцирование (первого и
второго порядка) можно производить под знаком интеграла.
Надо доказать также, что при
указанном выборе контуров Сх и Cg
выражение Kv'—Ki^u обращается в нуль
на концах этих "контуров.
Докажем ряд свойств функций
Ганкеля.
Свойство 1. Функции Ганкеля
определены и непрерывны в области т
Для доказательства этого доста- Рис. 38.
точно *) установить равномерную
сходимость интегралов, определяющих функции Ганкеля, в
области Dfi = Re Z ^ б > О, где б — любое положительное число.
Рассмотрим для определенности функцию Ну^\г).
На верхней части контура Ci
I - -я + /|3 (|3 > 0), sin I = -~i sh |3.
На нижней части контура С^
I - /|3(Р <0), sing - /sh|3.
Следовательно, на этих частях контура С^ функции ^-б shp-sp + я^у
и е^ ^^ Р~Р^ соответственно будут мажорантными для модуля
подынтегральной функции (v — S + iq)- Вместе с тем интегралы от
оо о
этих функций J ^-^s^J^-sP + ^^dp и J e^sh|3-sp^|3 сходятся.
о —оо
Следовательно, исходный интеграл по контуру Сх равномерно
сходится в области Re г ^ б > 0. Аналогично устанавливается
равномерная сходимость интегралов
J Kzvdl, \ Kzzvdl \ Kiivdl (/7-1, 2).
^р ^р ^р
Замечание 1. При всяком фиксированном значении z
из области D5Яv^^(z) и Hy^\z) суть функции переменной v.
Функции б"^ ^^ Р+Р'^+^^ и ^6shp-mp будут мажорантными для
подынтегральной функции в D0) соответственно на верхней и нижней
части контура Cj, если v принадлежит замкнутой области G^ ^
= |Re V < т|. Так как интегралы по верхней и нижней частям
контура Ci от указанных мажорантных функций сходятся, то
*) См. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа, т. II,
гл. XVIII, изд. 5-е.— М.: Наука, 1968.
267

интеграл, определяющий Н[}^ (z), равномерно (относительно v^
е G^) сходится в G^^. Отсюда следует непрерывность ^v^^ (г)
по V всюду. То же верно и для H[P{z). Таким образом, функции
Ганкеля являются непрерывными всюду функциями индекса v.
Свойство 2. Функции Ганкеля аналитичны в области
Rez >0.
Для доказательства этого заметим, что интеграл J Я^^ {z) dz,
L
взятый по любому кусочно-гладкому замкнутому контуру L,
лежащему в области Re z ^ б > О, равен нулю. Действительно,
j Hi'^ (г) dz= \\ е-^^ ^^^ I + '"^1 dz dl = О,
так как функция/"^"^^'"^ при любом фиксированном I анали-
тична всюду по z, и поэтому по интегральной теореме Коши
jg-rz sin 1^2 = 0.
L
Перестановка порядка интегрирования здесь была законной
в силу равномерной сходимости интеграла по контуру Ci. Тогда
по теореме Морера *) Н^^^ (z) аналитична в области Re z ;^ б > 0.
В силу произвольности б Н[}^ (z) аналитична в области Re z > 0.
Аналогично доказывается аналитичность Ну'^ (z).
Замечание 2. Совершенно аналогично устанавливается
аналитичность всюду функций Ганкеля по переменной v. Таким
образом, функции Ганкеля суть целые функции индекса v.
Поскольку интегралы Kzz^dl сходятся равно-
г с
мерно В области Re 2^6F >0), то при вычислении производных
функций Ганкеля дифференцирование можно производить под
знаком интеграла.
Свойство 3. Справедливы предельные соотношения
lim \K{z. l)v'{l)~Ki{z,l)v{l)\=OA
lim \К {г, I) V (g) ~ Ki {z, I) v {Щ = 0, M<^ ^ > ^- ^^^^
Докажем первое из них. На верхней части контура Ci
I К {Z, I) V' (?) I = I е-^"^ sin l-^ivli^ I 3^ I ^ I ^-;. sh P-sP+я^ _^ 0
при P-^ oo;
I Ki (z, l)v{l)\^\- iz cos le-^' smi-nvi | ==
= |z|chp^-^shp-sP-[-^^_^0, при p-^oo.
Отсюда следует справедливость первого соотношения.
*) См. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций
комплексного переменного. — А1.: Наука, 1973.
268

Второе доказывается аналогично. Таким образом, функции
Ганкеля являются решениями уравнения A), аналитическими
в полуплоскости Re z > 0.
3. Путем непосредственного вычисления убеждаемся в
справедливости рекуррентных формул
Hi% (г) + Hi'l, (z) ЕЕ -^ Hi'^ (г) (* = 1, 2), D2)
Hil, (г) - Hi'l, (г) = -2 -4" М'^ (г) (^=1,2). D3)
Действительно,
Hi'i, (г) + Hi'\{z) ^ -L J е-^^ ^^" ^ {е^ ^^+^^ ^ + е^ ^^-^ > ^) d^ ^
^ A f g-i'z sin ^ b.-v^ cos ldl = -^ f ^^"^'^d (^-^"^ '^•^ ^).
Производя интегрирование по частям, получим для Яу^^ (г)
1лг
J ^ ' inz
l=—ioo
+ _!r _L f ,-'^ Sin |+,-v| ^^ _ J2L_L [ e-'' s'" i^'vl di = -^ Я<'' (z),
так как подстановка пределов в проинтегрированную часть дает
нуль (см. стр. 268). Для Hi/^ (z) выкладки те же.
Далее,
Hil, (г) ~ Hil, (^) = -^ J е-'' ^'" ^+^'"^2/ sin I dl
С другой стороны,
2 -iL н['^ (Z) =-^ \ е-'' ^'^ ^"^'"^ {-А sin I) dl
Следовательно, верна и формула D3). Легко установить также
соотношения
H^^l\{z)=e^'"'H^^'{z), D4)
Я1!1(г) = е-'""Я<2'B). D5)
Первое нз них получается заменой переменной интегрирования
I = —я — а в интеграле
269

Действительно, при такой замене переменной интегрирования
контур Ci перейдет в тот же контур, но с противоположным
обходом.
Таким образом, получим
Я1!> (Z) = -^ \е-'' ^^"^+^'^^ da.^^"^^ = г^'^^ЯV^ (z).
Формула D5) устанавливается аналогично заменой переменной
интегрирования ^ = я — а.
Поскольку функции J^, (z) и N^, (z) суть линейно независимые
решения уравнения B), функции Ганкеля должны быть их
линейными комбинациями.
Докажем, что в области Re z > О справедливы формулы
H^^'iz) = J,{z)~\-iNy{z)^ D6)
Я^ (z) = Jv{z)~~ iNy{z)- D7)
Для их доказательства достаточно установить справедливость
формулы
JA^)^ " I ' D8)
Действительно, заменяя здесь v на —v и используя тождества
D4) и D5), получим
/_, (г) = 4 (^''"^v" (г) + e^'^^Hi'^ (г) ]. D9)
Разрешая соотношения D8) и D9) относительно Я^^^ (z) и Н^^^ (z),
находим
/^B)(^)_^^L^L(£L^i!!!Zvi£L. E1)
^ ^ ^ Sin v^ ^ ^
Следовательно,
ЯУ ^ (Z) - Я^^ ^ (z) = ^^^ \ J, (z) cos vn - /_v (г)} - 2tWv (^). E2)
Из D8) и E2) следуют формулы D6) и D7).
Иногда функции Ганкеля определяют с помощью формул D6)
и D7).
Докажем справедливость формулы D8). Поскольку функции
/^ (z) и Hi^^ (z) {k =: 1, 2) аналитичны в области Re z > О, нам
достаточно доказать формулу D8) для z == х > 0.
Доказательство. Обозначим через ]\ (г) правую часть
формулы D8). Тогда
Со
где Со — контур, изображенный на рис. 39.
270

Произведем в этом интеграле замену переменной
интегрирования
При этом полупрямая (—я + ioo, —я) контура Со перейдет
в полупрямую (+00, х/2) вещественной оси (в ее нижний берег).
-/С
/
полупрямая (я, я + too) — в ту же
полупрямую {х/2, +оо) вещественной
оси, но проходимую в
противоположном направлении (в ее верхний берег);
отрезок [—я, я] —в окружность | а | =
= х/2.
Таким образом, при выбранной
замене переменной интегрирования
контур Со перейдет в контур у
(гл. XIII, стр. 241), обходимый в обратном направлении.
Следовательно,
/t ос
Рис. 39.
• / ч —1{Аа " /TTv / X' \^ da
2п
i (-5-У j e-^a-'^-^ е~^ da.
Разлагая в^'/^^^^ в ряд Лорана по степеням а и производя
почленное интегрирование ряда, получим
к=й
(-!)*■ (х/2)
2u+v
ft=0
T(k + v+\)T(k^\)
= Jv{-^)-
Здесь мы воспользовались формулой G) гл. XIII для
вычисления интеграла J е-^а~^~^~^ da. Таким образом, формула D8)
V
доказана. Мы получили также интегральное представление
функции Бесселя Jy (г):
J^^ {z) = ~^ J е-^' ^'" ^+^'^'^ dt. E4)
Со
Разбивая этот интеграл на три интеграла, получим
оо оо
-^ j e~^' >^i" « + ^'^'^^^ da [l = a -\ ip).
271

или
У-^ (г) .= -^ (е^^'^' -- c-^'v^) j ^-^ sh 3-v|3^fp _|._i_ j* ^-/2 sill «-f nvz ^Q,^
0 -Д
или
oo rt
/^ (г) ^ -^=-^1-^ j ^-^ '^' P-^'P Ф -h ^ j ^-^'^ Si" «b ^'^« da, E5)
0 -Я
В частности, при v -= n (n—целое) получим
я
"^'^ (^^ "" ~^ 1 ^"'^ ^'""" ^ ''''' ^^' (^^^
-n
Из этих формул немедленно следует, что для любого целого п
I Jn (z)\<chy {z = x -I- iy)
и
14 (x) / < 1.
Из формул D6) и D7) и из линейной независимости функций
J^ {г) и Ny (г) следует линейная независимость функций Ганкеля
между собой и каждой из них — с функцией Бесселя J^ (г) и
с функцией Неймана Л^^ (^)-
Следовательно, общее решение уравнения B), а также
и любую цилиндрическую функцию можно написать как
линейную комбинацию функций Ганкеля или пар функций
{/v(z), Я^^^Ч^Ж {^v(^)^ Hi'\z)} ik=U 2).
§ 6. Модифицированные цилиндрические функции
(цилиндрические функции мнимого аргумента)
Если в уравнении B) z заменить на ^ == iz, то получим
уравнение
z^w' + ZW' — B" + v2) w - О, E7)
в котором дифференцирование производится по переменной z.
Нетривиальные решения уравнения E7) тоже относят к
цилиндрическим функциям. Их называют также
модифицированными цилиндрическими функциями.
1. Определим наиболее употребительные из них. Полагаем
I,{z)~i-V,{iz)^ E8)
K,{z)^^r'H^;\iz). E9)
Из линейной независимости функций /^ (^) и Я^^ {г) следует
линейная независимость функций /^ (z) и /\^ (г). Они являются
репгениями уравнения E7). Функции /,, (г) часто называют
функциями Бссссля мнимого аргумента, а Д\. (г) — функциями Мак-
'272

дональда. Из формул E8) и E) непосредственно следует, что
^•(^)-^ii-
B/2)^-^2^
(bbl)r(v + /e+l) •
В области -^ < arg г < — ~ функция /^ (г) однозначна и
аналитична всюду. Если v — целое число (v ^^ я), то /« {г) —
целая функция. Из линейной независимости функций /^ (г) и
/Cv B) и из теоремы § 1 следует, что в окрестности z = О функция
/Cv B) ведет себя, как Л^""^, если v ^^ О, и как А In z, если v = 0.
Из формул A6), A7) и A9) непосредственно следуют
соотношения
— Г ^v Й) 1 -^ ^v+ij^^ А {^v/^ B)) = —г^,_г (г),
/v+1 (г) - /v-i B) = -=j-^ /v (г), /; (z) = -f /v {г) + /v+i B).
Из D2) и D3) получаем
Из теорем о нулях функций Бесселя следует, что каждая
функция /v (z) имеет бесконечно много нулей. Все они простые, кроме,
может быть, Z = Оу и чисто мнимые.
2. В приложениях встречаются также следующие
цилиндрические функции:
Ъегп(г), bei^(z), кег«(г), kel,(z).
Для вещественных значений аргумента х они определяются
следующим образом:
Ьег^(х) = Re[!n(х/=!)], bei^(х) = Im [U{х/^)], F0)
кег^ (х) = Re [Кп (х /=Т)], kei^ (х) = Im [Кп {х /=Г)], F1)
а затем аналитически продолжаются на всю плоскость
переменной Z.
Из этих определений легко вывести свойства, аналогичные
соответствующим свойствам функций /^ (z) и /Cv B). Читатель
легко может сделать это сам.
Приведем представления некоторых из этих функций
степенными рядами:
ber,iz} = J^i~irj^, F2)
/2=0
be'-o(^)-S (-!)"[Jf/'l)ir' F3)
*") Читателю рекомендуется проделать соответствующие выкладки,
97

,2n+\
ber, (г) ^ ^ 2j - nun Л/ - ^ F4)
J/-2- ^J я! {/2+ 1)!
,2n + [
beix (^) = yi- 2j »M.a,n, . F5)
д! (n + 1I
£ [//] — целая часть числа у.
§ 7. Асимптотические представления
цилиндрических функций
1. Во многих задачах физики требуется изучать
установившиеся режимы явлений. Мате^матически это приводит к изучению
поведения функций при больших значениях аргументов — к
изучению асимптотического поведения функций при стремлении их
аргументов к бесконечности. В сущности, найти асимптотическое
поведение функции / (х) при стремлении х к бесконечности —
значит найти более простую функцию ф (х), мало отличаюш,уюся
(в определенном смысле) от функции / (х) при достаточно больших
значениях переменной х. Часто в качестве таких простых
функций берут суммы
Определение. Ряд Cq -]- -^ -\- • ^ - -\—~ -{-... назы-
вают асимптотическим разложением функции f {z) на множестве S,
содержащем последовательности, сходящиеся к бесконечности,
если
^^ ^~0 для Az-:0, 1, 2, . . .
Употребляют запись:
/(г)^Со + 4-^ \-^+--
Z
или
Легко показать, что если асимптотическое разложение существует,
то оно единственно.
В самом деле, из определения следует, что при /г -= О
lim z\\ (z) — Col ===^ 0, откуда c^ = lim / (г). При n = 1 имеем
\mz[f{z) — Co-~-^ = Q, откуда
Cy= lim 2 {/(г)-Co),
2 ->oo
m

Cn= lim z"b/^^-_ V IL^I
V '^ k=^o
Однако различные функции могут иметь одно и то же
асимптотическое разложение. Действительно, если
/м--] е-~с, + ^-\ +-Ь.+ ... (для х>A).
то
г|) (г) = ф (z)
будем называть асимптотическим представлением функции г|:' (z).
Обычно асимптотические разложения
J <-1 I 1 с?)
■ — '
Со Н- -^ Ч-
г
ЯВЛЯЮТСЯ расходящимися рядами.
2. Найдем асимптотическое представление интеграла ошибок
X
Ф (х) = -^ { е-^' dt
^ О
при больших л: > 0. Очевидно,
1/я ^
X
Поэтому достаточно найти асимптотическое представление функ-
оо
ции / (х) = J е~^^ dt. Имеем
X
оо сю оо „ ,„
f 1 г р" -' —1 г die" ')
XX X
Применяя несколько раз интегрирование по частям, получим
Для остатка
оо
л:
275

Получаем оценку
. 1.3-5...Ba^-1) „
I t\n V^4 I <-^ 9^ + 1^,2/1 + 1 ~
Следовательно,
/W ^ I 2л; 22^3 ^ T>x\ ^ 2V''-^ " ' \л;2"+71
и
^ ' у л ]2х 2^х^ ' 2^х^ '
(—1)^-^B/1-3)!!
'{^)]
Заметим, что асимптотическое разложение функции е"^' f (х),
т. е. ряд
J 1 , , . j.„_, 1-3.5... BП--3) ^_
2л; 22л;3 ^ Т^ ^ W 2'^л;^""^ '
является расходящимся всюду рядом.
3. Для асимптотических представлений цилиндрических
функций r/v (х) при больших положительных значениях переменной х
справедлива следующая теорема.
Теорема. Всякое вещественное решение уравнения
при больших положительных значениях переменной х имеет
асимптотическое представление вида
y^,(x) = -^sin{x + b,) + 0(^-^y F6)
где Aq и 6q — постоянные, зависящие, вообще говоря, от
параметра V.
Доказател ьство. Введем в рассмотрение функцию
■у1 (х) по формуле
у{х) = у^{х)//'х^
Для r/i (х) получим дифференциальное уравнение
Й+1,1 y^j»i = 0' F7)
При больших значениях х это уравнение мало отличается от
уравнения
общее решение которого имеет вид
W ^ А sin {х + 8), F8)
где А и б — постоянные.
276

Поэтому при больших значениях х будем искать решение
уравнения F7) в виде
r/i {х) ^ А (х) sin [х + б (л:) ],
где А (х) и 8 (х) — искомые функции.
Следует ожидать, что Л (л:) и б (х) будут медленно
меняющимися функциями при больших значениях х{х>0), близкими
к постоянным значениям.
Поскольку искомых функций две, а связаны они лишь одним
условием (требованием, чтобы А (х) sin [л: + б (х) ]
удовлетворяла уравнению F7)), мы можем подчинить их еще одному
условию. Выберем это условие таким образом, чтобы производная
от i/i (х) вычислялась так, как если бы А (х) и б (х) были
постоянными. Поскольку
у[ = А cos (л: + б) + Лб' cos (л: + 6) -f Л' sin (х + б),
то полагаем
Л б' cos (х + 8) + А' sin {х + 8) ^ 0. F9)
Тогда
y[ = Acos(x + 8). G0)
Вычисляя производную г/1 и подставляя ее в уравнение F7)
получим
Л'cos (л: + б)- Л (б' + -^)8ш(л: + б) = 0, G1)
где
Исключая из соотношений F9) и G1) Л и Л', получим
6'W=-^sin2(x + 6), G2)
откуда
b
6 F) = б W - J -1- sin^ [i + б т dl. G3)
X
При фиксированном х и при b -у оо правая часть формулы G3)
имеет предел; следовательно, и левая часть имеет предел
11тб(й) = бо.
Таким образом, имеем
оо
6(x)-6o + j-^sinni + 6(|)]C
X
Но
X I X
поэтому б (х) = бо + О ( — j. _
277

Из соотношений F9) и G2) находим
AпЛ)' = 4^=^5т2(х + б),
п, следовательно,
In А ф) ■■
:lnЛ(x) + -f 1
sin 2 A + 6)
dl
Повторяя рассуждения, проведенные для б (х) и б (&), приходим
к заключению, что существует предел
Ит1пЛ (&) = 1п Л
Следовательно,
Поэтому
у, (х) = Ло
In А (х)
А{х) =
1пД
о "^г
sin X
8.
«D-)-
b«(i)] =
= Ло Sin (х + бо) L
"D)
У{х)-
1/^л
Sin (л; -]~ So)
°ш
Таким образом, достаточно простой анализ уравнения B)
позволил нам получить представление о характере поведения
вещественных цилиндрических функций у^ (х) при больших
положительных значениях переменной х. Но при этом мы не
смогли определить числа Aq и бо. Очевидно, полученный
результат справедлив для функций Бесселя /^ W и функций
Неймана N^ (х). Но он неприменим к функциям Ганкеля.
4. Обратимся к рассмотрению функций Ганкеля. Для
определенности все' рассуждения и выкладки будем проводить для
функции Hv^^z), Поставим задачу получить асимптотическое
представление для H^v\z) при больших положительных значениях
переменной Z. Будем полагать, что v — фиксированное число и 2>| v|.
Согласно формуле D0) H^v\z) можно записать в виде
G4)
М"(г):
где
B,,vB) + B2.v(z) + Bv(z),
1
0
278

Здесь Ci,„ — нижняя часть контура интегрирования С^ в
формуле D0), Ci, в — верхняя часть контура Cj. В интеграле В^ (z)
интегрирование производится по отрезку [—я, 0] вещественной
оси. Легко получить оценки интегралов Bi,v (z) и В2, v B^) при
больших положительных значениях г. В самом деле, на Ci, в^ ^^
-^ —я + /|3, О < Р < оо и sin ^ =- —/ sh р. Следовательно,
оо
В^, ^ (г) = -^ е-'^" J е-(^ ^^ p+vp) ^р.
о
Так как г > | v | п sh р ^ р, то
s,,,B)i<^k-'^
J е-Р (^+v) jp
2 + v|
Таким образом, при z -~> + оо
|62.vB)l<0(-f)-
На Ci,,Д =^-- /р, Р < О, и sin I ^ / sh р. Поэтому
-оо оо
Вг, V B) = ^ J е' '" ^-'^ ^Р == Т 1 '" '" ^"^ ^Р-
О о
Следовательно,
G5)
|5i,v(^)|<-^
j ^-Р (^-^') dp
я г — V
Таким образом, при z -~^ + оо
\В,,,{г)\<0A/г).
5. Для оценки В^ (z) при z-> + оо нам потребуются две
леммы.
Лемма 1. Если в интеграле
F{z)=^\e^^fil)i^{l)dl G6)
а
функции f A) и (р AI f (I) имеют непрерывные на отрезке [а, р ]
производные и /' (^) не обращается в нуль на [а, р], то при z -^
-> 4" оо
F (z) = О A/2).
Доказательство. Очевидно,
1 f фС!) d
f Г2) == — f ^^^ — ГС'^? AI dE =
J_ JLHL e<>/ (I)
'2 f (I) '^
:-1'""-"ж[^]''^=«(
279

так как последний интеграл и результат подстановки чисел ос
и |3 в проинтегрированную часть ограничены по модулю
константами, не зависящими от 2.
Лемма 2. Пусть функции f A) и Ц) A) аналитичны всюду,
а f A) вещественна при веш^ественных значениях переменной I,
и монотонно убывает на отрезке [ос, р], /' (^) Ф О при I Ф а,
f (а) = О и Г И < 0. Тогда при z-> + оо
Р (^) = {--325Г(^^ ^ (^^^"' '^'~'~ + 0 (^) . G7)
Доказательство. Очевидно,
а+8 Р
F{z)= \ e'^l E)ф A) dl + I e'^f E)ф (g) d|.
а а+8
Второй интеграл по лемме 1 есть О (l/z) при любом 8 > 0. В
дальнейшем будем считать, что 8 — малое число. Рассмотрим
интеграл
а
Произведем в нем замену переменной интегрирования по
формуле
беря арифметическое значение квадратного корня. Точка I =^ а
перейдет при этом в точку и = 0. Соотношение
/(£) = / (а) - и'
можно разрешить относительно I. Так как функция / A) анали-
тична в окрестности I = а, то I = I (и) — аналитическая
функция в окрестности ^ == О и ^ @) = ос. Произведя указанную
-замену, получим '
«I
F, (z) = e^'f w J e-^^^^'ц) Ц (и)] ^ du,
о
где Ui ^^ Vf (а) — / (ос + 8). В силу аналитичности функции
Ф (I) и произвольной малости числа 8 можно считать, что
функция \р (и) =^ ц) [I (и)] аналитична в круге \ и\ ^ и^. Из
соотношения и'^ = / (а) — / (^) находим
Так как и (ос) = О, то из G8) получаем
Отсюда
du /и^о }
-Г (^i
280

в силу аналитичности функции I (и) в окрестности и -- О
ее производную -^ можно представить в виде
где 9i (и) аналитична в области \ и \ < Ui. В силу аналитичности
функции \р (и) в круге \ и\ < Ui ее можно представить в виде
ур (и) = (р Ц (и)] = (р (ос) + ив2 (^),
где 02 (и) аналитична в круге | ^/1 < %. Следовательно,
ф[|(а)]-|- = ф(а)]/-^ + ы9з(и), G9)
где 9з (и) аналитична в круге \ и\ < и^. Пользуясь формулой G9),
получаем
F^ (z) = ф (ос) у f^^ e^'^f (^) J e-^'^^' du + e^'f (^) J ие-^'^% (и) du.
о о
(80)
Второй интеграл равен
О
= -й- |^"''"^0з («) " - j е; («) б-''^"^ du\ = о (-1) , (81)
так как последний интеграл и результат подстановки чисел О
и Ui в проинтегрированную часть ограничены по модулю
константами, не зависящими от z.
Далее,
Wi Viz 111 - |^сю оо 1
I e-^^^^' du = ^ { г-Р^ф = ~^ f^-P^d6- f ^-Р^ф ,
J V iz ^ У iz \i J
или
о "^
oo
так как | e~^'d^=^Oi—j. Таким образом.
У1ги,
"^e-'^^^Чu=l-Y-^i' " +0(^). (82)
о
Заменяя интегралы в формуле (80) их значениями (81) и (82),
получим формулу G7). Лемма доказана.
281

6. Обратимся к оценке интеграла В^{г)\
о п
J t J JX J
-Л 0
Функцию Bv W можно представить в виде
В^ (z) - ЛIV (г) + Л2v B),
где
л/2 я
о я, 2
В интеграле ^2v B;) / A) = sin I, а =- я/2, |3 = jt, ф (|) = ^~^"^^
и все условия леммы 2 выполнены. Согласно этой лемме
1 . я , . я
л / ч 1 г ЗТ 1 2 ^^ " '^~' Т" , ^ / 1 \
^-(^^) = -{-2г| ' ' +0(-).
В интеграле Ai^ (г) сделаем замену переменной интегрирования
по формуле ^ = -J t. Получим
я/2 . , . я
1 (. tVt~lV---
Л1, (г) == -^ J в'^ ^«s /^ 2 ^^^
о
Для этого интеграла а = О, |3 = —, / (/) -== cos t, ф {ty= е^^"^
и все условия леммы 2 также выполнены. Согласно этой лемме
Таким образом,
ВАг^-У^е^-^--^) + 0{±). (83,
Из формул G4), G5), G6) и (83) получаем
«t"W=V^/('-*"-^) + 0,(i-). (84)
Совершенно аналогично устанавливается формула
Используя соотношения D8) и E2), получаем для больших
положительных значений z
A(.)=l/^cos(.-.i-i)+i-[0.(i)+0,(^)] (86)
282

Замечание. Формулы (84)~(87) справедливы для всех
комплексных значений этаких, что |2 | > | v | и | argz | <: я — б *),
где б — произвольное малое положительное число. Но в п. 3
мы установили, что асимптотика функций Бесселя и Неймана
при г -> + оо имеет вид
-А.зШ(г + б„) + 0(-1^)
при соответствующих значениях постоянных Aq и бо для Jy (z)
и N^ (z).
Отсюда и из формул (86) и (87), используя единственность
асимптотического представления, находим, что добавочные члены
Oi (Vz) и Оз A/г) в формулах (84) и (85) убывают при 2 -> + оо,
как 0B-V2).
ТакимобразохМ, при2 -> + оо справедливы следующие
асимптотические представления:
■'- й = У ^ MS (г - » f - х) + О (г' ~), (88)
N,iz)-Y'^sln (z -v^- i) +0 (г*). (89)
Так как функция е^ не имеет нулей, то асимптотические
представления для функций Ганкеля можно записать в виде
" W- f ?^' ''"'*'^^Г1 + о (J-)], (90)
««(.)-i/xr'i'-^-^) [1+0D-)]. р1)
7. Из асимптотических представлений непосредственно
следует теорема 3 § 4, а также утверждение: расстояние между двумя
соседними нулями функций Бесселя J^, (z) (а также функций
Неймана) стремится к я с неограниченным ростом абсолютных
величин нулей.
На рис. 40 приводятся графики функций Бесселя, а на рис. 41 —
графики функций Неймана. Если воспользоваться формулами
E8) и E9) (§ 6), то легко получить следующие асимптотические
*) См. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения, изд.
2-е. ™М.: физматгиз, 1963»
283

LO
OJ
0,3
OJ
0
-0,2
-Ofi
-0,8
-LO
\\
\
i
7
i/
1 ;
J
л\
I
JoK
{^
\
\
хЛ
\l
у
/
г
JO^
Д",
Jo
J
4's'
A/
—J
T
г
X
//
Рис. 40.
U5r
Л L
и у
/7>rL
ЦОг"
. 1п\—
W\
iA\
1
Y^i
\\
\\
\\
\\
\
^
1
i
/
f
\l
i
/
/...
^
'iX
\
^i
I
-—П'-^г-^-'
X >
Щ
—p.—
'-^T"-*-^'-~-'
p^^.-.
^/
^4
*'
/23456789/0/1/2
Рис. 41.
264

представления функций /^ (г) п К^ (г) при больших | г | и | arg 2 | <
<-f"~6:
У,Лг)^]/1:.-^{1+0(±)}.
(92)
(93)
На рис. 42 и 43 приведены графики функций /Cv {х) и /^ (х).
оА
т
оЛ
40
SO
io
/о
0
1 1 М'^
\
! \1
г4^й
/
ММ
ТТгГ
11
/
1м
V'
\
J\l
\
\ \
Рис. 42.
^L
^
с
1^<11у
''^П^"'
'
! 1 1 1 г
' ■" '
1
I/jT
1 L/Vl
l^^^K
-^J^
гагГ'
r^lLL
^
4
-r-TTTT
Mi/r
//
/y^
/ny
/ / /
\i/\ /
// и
7 /yf i/i
Фтп"
\a I
/ill
/l 1
'■'[■'I rjy
И
J-гГ
4141
Ч™
^ ^
bH
АЙ
Ч
"'"M
:/
4
^ 07
Рис. 43.
8. Одним из наиболее употребительных методов получения
асимптотических представлений является метод перевала. Суш,-
ность этого метода состоит в том, что при больших значениях
переменной х величина интеграла
f{x)^\\^{l)e'^^l)dl
285

определяется главным образом тем участком Сц контура
интегрирования С, на котором | ^-^ф (^) | == ^^i^e ф (Е) велик по
сравнению со значениями этого модуля на остальной части
контура С. При этом интеграл по участку Сц оценивается тем легче,
чем меньше этот участок и чем круче падает величина л: Re ф A).
При применении метода перевала стараются деформировать путь
интегрирования С в наиболее выгодный, в указанном выше смысле,
контур С. По теореме Коши такая деформация, если она не
выводит за пределы области аналитичности функций ф (|) и if» (^)
и области существования интеграла, не меняет значения
интеграла. В ^силу аналитичности функции Ц) A) "= и (а, |3) +
+ W (а, Р), g = а'+ ф, направление наибыстрейшего изменения
функции и (а, Р)^совпадает^с^направлением линии v (а, Р) ^^
= const. Контур Cji должен содержать точку |о "== ocq + фо,
в которой и (а, Р) достигает наибольшего значения (среди
значений этой функции на С).
Нетрудно показать, что ф' Aо) '-^ О- Действительно,
производная от и (а, |3) вдоль линии С, взятая|в точке^^о» равна нулю,
-^ =^- О, так как в точке Iq функция и {а, |3) достигает
максимального значения (вдоль С)..
Далее, -т— =0, поскольку в окрестности точки Н = Ео
имеем 1» ^ const (вдоль С). Поэтому
dv
ф'Aо) = ^
|-|о ' ds
Точка 1о для поверхности а = а (а, Р) является, очевидно,
точкой перевала (седловой точкой).
Таким образом, при применении метода перевала к
асимптотической оценке интеграла | ^ (|) е^^ <^> dl путь интегрирования
С надо деформировать в путь £, проходящий через точку 1о»
в которой ф' (|о) «» О, и в окрестности этой точки совпадающий
с линией V (а, Р) «^ const =^ t? (ао, Ро) *)•
Оценка интеграла
производится следующим образом.
*) Заметим, что окрестность точки перевала §о разбивается линией уровня
и (а, ft) — и (ао, Ро) на 2п секторов (п > 2, где (п — 1) — кратность нуля
функции ф' (I) в точке |о), над которыми поверхность и = и (а, р) находится
попеременно то выше, то ниже своей касательной плоскости в точке (ао, Ро, "о)- Линия
у (а, Р) = У («о, Ро) в окрестности точки |о состоит из п линий, проходящих
через точку 5о в направлении биссектрис упомянутых секторов. Одну из таких
линий и следует взять в качестве С. Если а = м (а, Р) имеет несколько точек
перевала |д, то в качестве С надо выбрать линию наиболее крутого перевала.
266

функции \|: (s) и / (I) заменяются их приближенными
значениями
а интеграл по контуру Cjj заменяется интегралом *)
-7гИ-1о)Ч"ао) _ ,,_ __ г -j-^^"^'^'^"^^'^
dl
с
J yp{lo)e'f^^^^e' dl^ypao)e^f(lo) J e
Последний интеграл соответствующей заменой переменной
интегрирования приводится к интегралу
а (л)
-о (х)
В котором G (х) -> оо при л: -> оо. Он равен
J 4. (9 е-' I» di = A |/i * (I.) e-l I5.> + О (p^^) •
Следовательно,
Здесь указана лишь идея получения асимптотических
представлений интеграла \|; A) е^^ ^^^ d^npn х -^ 00. Подробное
с
обоснование метода перевала смотрите, например, в книге
А. Г. Свешникова и А. Н. Тихонова **).
§ 8. Функции Эйри
Ряд задач физики (например, задача о движении заряженной
частицы в однородном электрическом поле и др.) приводит к
уравнению
у"-ху=^0. (94)
Произведем замену неизвестной функции по формулам
f }/~х Z (х) для X ^ О,
у{х)= \
[у—X Z (х) для х<0.
Для функции Z (х) получим уравнение
z''+±/(x)-~(^^+x)z=^0. (95)
*) При этом пренебрегаем слагаемым Ц — Iq) у^' (go), малым в сравнении
с ^ Но)-
**)Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций
комплексной переменной. — М.: Наука, 1967.
287

Для построения общего решении этого уравнения произведем
в нем замену независимой переменной по формулам
v3,2
для х^О,
t =
A(-_jcK/2 = i-|;Cp/2 для Х<0,
3 ^ ^ 3
При этом уравнение (95) перейдет в уравнения
dz Г 1/9
df^ "^ ' t dt
d4 _1_ dz_
dt^ '^Т"ЧГ
+[
{- 1 z = 0 для x^O,
1/9 1
75-J
г= 0 для x<cO.
Это — уравнения цилиндрических функций. Их общие решения
можно записать в следующем виде:
Z (О ='^Ci/_,/3@ + С2/1/3 (О для X 5г О,
Z (О = 1>1/-1/з@ + ^2^1/3 (О ДЛЯ л; < 0.
Следовательно, общее решение уравнения (94) можно записать
в виде
У{х) = \
ух [со-т (т х^'^) + С2/1/3 (т^'^')] ^'''^ ^^^'
Если произвольные постоянные Cj, С2, Dj, D^ взять равными
Ci = —С2 = Di = D^= 1/3 и Ci = C2 = Di = —Da = 1/3,
получим функции Эйри Ai (x) и Bt (x):
2 ..,,o\ r / 2 ,„\1
Л1(лг)---=
fii(-v) =
3
Ка
[/->,зD-хз/2)-+/,/зD^-^)]
для X ^ о,
■^^[^-^'зD|^р'0~^^/з(т1^^|'^^)] д^^ ^<°-
Из представления функций /^ (/) и /^, (/) в виде обобщенных
степенных рядов следует, что
->-Т7==г-
1
Ai (х) . „ _
xW V 18 г B/3)
Bi (х) -> -:т-7=
хЛ у^18ГB/3)
Применяя приведенные в § 7 рассуждения (с очевидными
несущественными изменениями) к функциям /_v (/) =F ly (i) и
288

J-v (/) ±: Jx (t), нетрудно получить следующие асимптотические
представления функций Эйри:
Ai{x) = -^x е ' [l+0(x-3/2)j для х->+оо,
Л1(^) = -г^^-'^'51п(|-|л;|з/2 + х)П+0(к|-'^*)] для х->-оо;
1/3 i ^^-^
В/(л:) = -57=-л:-'''''е'^ [1+0(х-з/2)] для x-v-L-oo,
Bi(x)--^x-V4sin(-||xp/2 + x)l^ -bO(l.vl-7/^)] для х->- оо.
Имеются таблицы функций Эйри.
ЗАДАЧИ
1. Найти температуру бесконечного круглого цилиндра, начальная
температура которого равна и {г, 0) = Л 1\ ^у J , а на поверхности его
поддерживается температура, равная нулю.
2. Цилиндрический однородный проводник радиуса R длительное время
нагревался постоянным током силы /. Исследовать процесс остывания
проводника после выключения тока, если в течение всего процесса на поверхности
проводника происходил теплообмен по закону Ньютона со средой нулевой
температуры.
3. Вне бесконечного круглого проводящего цилиндра О ^ г ^ i? в момент
t = О мгновенно установилось постоянное магнитное поле Яо, па"^ллельное оси
цилиндра. Найти напряженность магнитного поля внутри цилиндра при нулевых
начальных данных. Найти поток магнитной индукции через поперечное сечение
цилиндра.
4. Найти температуру цилиндрической трубы /?i ^ /" ^ /^2> ^сли с момента
t = О через ее внешнюю поверхность подается снаружи тепловой поток
плотности q, а внутренняя поверхность поддерживается при нулевой температуре.
Начальная температура нулевая.
5. Решить задачу о колебаниях круглой мембраны с закрепленными краями
под действием равномерно распределенной нагрузки Q = const, приложенной
с одной стороны с момента / = 0.
6. Решить задачу 5 для случаев: а) Q = Л sin со/; б) Q = А cos со/; в)
нагрузка Q распределена по площади кольца i?i ^ г ^ /?2 (рассмотреть также
случай Ri = R2).
7. Решить задачу о колебаниях круглой мембраны О ^ г ^ /?, вызванных
движением ее края для / > О, по законам: а) и {R, t) = А sin Ш; б) и (R, t) =
= А cos 00/. Начальное возбуждение отсутствует.
8. Решить задачу о колебаниях круглой мембраны О 5^ г :^ i? с
закрепленным краем под действием точечного импульса Р, сообщенного мембране в
момент / = О в точке (/"о, фо).
9. Найти распределение потенциала электростатического поля внутри
полого цилиндра радиуса R и высоты /i, нижнее основание (z = 0) и бокова'я
поверхность которого имеют потенциал I/q» ^ верхнее основание — потенциал V^.
10. Постоянный ток силы / поступает через один торец цилиндрического
проводника, изготовленного из материала с проводимостью б, и отводится с
противоположного торца. Определить распределение токового потенциала внутри
проводника, считая, что подводящие контакты суть диски радиуса Ri<i R (R —
радиус цилиндра) и ток по ним распределен с постоянной плотностью.
10 Арсенпн Б. Я. 289

11. Через цилиндрический образец радиуса R и высоты h пропущена тонкая
проволока, нагреваемая постоянным током, выделяюц;им тепло Q на единицу
длины. Найти распределение температуры в образце, считая, что боковая
поверхность цилиндра поддерживается при нулевой температуре, а на его
основаниях происходит теплообмен по закону Ньютона со средой нулевой температуры.
12. Найти температуру бесконечного круглого цилиндра О ^ г 5^ /^, если
его начальная температура 'равна щ — const, а на его поверхность с момента
t = О извне подается постоянный тепловой поток плотности q.
13. Решить задачу о собственных колебаниях (т. е. найти с. з. и с. ф.)
круглого цилиндра длины h при граничных условиях первого, второго и
третьего типов.
14. Решить задачу о собственных колебаниях мембраны, имеющей форму
кругового сектора (г^ R, О ^ ф ^ а), при условиях первого, второго и
третьего типов.
15. Найти температуру бесконечного цилиндрического сектора @^ г^ /^,
0^ф5^а), если на его поверхности поддерживается нулевая температура,
а начальная температура произвольна.
16. Найти температуру конечного круглого цилиндра, поверхность
которого поддерживается при нулевой температуре, а начальная температура
произвольна.
17. Круглая мембрана радиуса R нагружена сосредоточенной массой т
в ее центре. Найти собственные значения Хп этой мембраны. Сравнить их с
собственными значениями ненагруженной мембраны. Рассмотреть два случая:
а) т мало; б) т велико.
18. Найти коэффициенты разложения функции е ^ '^ по целым
степеням t.
19. Вычислить /_^}/2W, K_t_i/2W. f^±\/2My ^±\/2^ A^+i/2W-
20. Найти стационарное распределение концентрации неустойчивого газа
внутри бесконечного круглого цилиндра, если на его поверхности
поддерживается постоянная концентрация Uq.
21. Решить задачу 20 для области, внешней к цилиндру.
22. Найти электростатическое поле внутри цилиндра (Ог^г^/^, 0^2^
:^ /i), торцы и боковая поверхность которого имеют соответственно потенциалы
«1, U2 и Uq.
23. Найти стационарную температуру круглого цилиндра высоты /i,
нижнее основание которого теплоизолировано, на верхнем происходит
конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой нулевой температуры, а боковая
поверхность поддерживается при температуре и |r=i^ = / (г).
24. Стенка цилиндрического канала, просверленного в неограниченной
плоской пластине толщины /i, поддерживается при температуре щ ~ const.
Найти стационарное распределение температуры в пластине, если ее грани
поддерживаются при нулевой температуре.
25. Найти температуру в цилиндре (O^r^R, O^z^/i), если его
начальная температура равна нулю и, начиная с момента ^ = О, основание
цилиндра Z ~ h поддерживается при температуре Uq = const, а остальная часть
поверхности — при нулевой температуре.
Глава XV
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Мы уже отмечали, что к специальным функциям относятся
также некоторые классы ортогональных многочленов. В настоя-
щеи главе мы рассмотрим наиболее употребительные из них
в задачах математической физики. Сначала рассмотрим некоторые
общие свойства таких многочленов, а затем, более подробно, —
каждый класс в отдельности.
290

§ 1. Некоторые общие свойства ортогональных
многочленов
1. Пусть {q,^ (х)] есть система многочленов, попарно орто-
го'нальиых на промежутке (а, Ь) с весом р (х) > О, т. е. таких,
что для любых целых чисел п ^^ О и k ;^ О (п Ф k) выполняются
6
равенства J р (л:) qn (х) q^ (х) dx = 0. Будем говорить, что мно-
а
гочлены \qn {х)\ образуют нормальную систему, если среди них
имеются многочлены всех неотрицательных степеней. Здесь q^^ (х) —
многочлен степени п.
Отметим простейшие свойства попарно ортогональных
многочленов qn{x), образующих нормальную систему \qn{x)}.
Свойство 1. Всякий многочлен Qm (х) степени т
является линейной комбинацией многочленов q^ (х), q^ (х), ..., q,^ {х),
т. е. существуют такие постоянные числа с^, q, ..., с,^^, что
выполняется тождество
т
Qm{x) = и c^qkix). (*)
В обеих частях соотношения (*) — многочлен т-й степени.
Для тождественного равенства их в обеих частях (*) должны
быть равными коэффициенты при одинаковых степенях х. Из этих
условий (их т + 1) находятся все числа с^. Их можно также
определить, пользуясь свойством ортогональности
многочленов qk (х), по формулам
b
Ch^-j^ lQm{^)gh{x)p{x)dx, Л^О, I, . . ., т,
где
b
а
Свойство 2. Всякий многочлен Q^i {х) степени т орто^
аонален с весом р (л;) на промежутке (а, Ь) всем многочленам
системы {qn {х)\ степени т + г, где г ^ 1, т. е,
b
J Qm{x)qm,rHpMdx==-0 для r= 1, 2, . . .
а
Действительно, пользуясь тождеством (*) и ортогональностью
многочленов q^ (х), находим
b т b
\ Qm (х) Ят.т {х) 9 {х) dx-=^YjCn\qh (х) qm.r (^^) Р (■^) dx - 0.
а k=0 а
Свойство 3 выражает следующая
Теорема о нулях многочленов. Если
многочлены \qf^ {х)\ (^0 (;с) = 1) попарно ортогональны на промежутке
10* 291

(a, b) с весом p {x) > Q и образуют нормальную систему, то у вся^
кого многочлена ^^ (х) этой системы те нули простые, веш^сггшен-
ные и расположены внутри промежутка (а,^Ь).
Доказательство. Пусть п — произвольное фикаи-
рованное целое положительное число. В силу ортогональности
многочленов qn (х) и qo (х) = 1 имеем
j qn{x)'l 'p{x)dx = 0.
Следовательно, qn (х) меняет знак на промежутке (а, Ь) в
некотором числе k различных точек (k ^ 1). Пусть это происходит
в точках Xi, Х2, ..., Xh (Xi ^ (а, &)|и Xt Ф Xj при i Ф /). Тогда
q^ {х) EL (х — ATj) {х — х<^ ... {х — Ху^ фдг (х), где фл {х) не меняет
знак на (а, Ь). Очевидно, для доказательства теорехМы достаточно
показать, что k ^ п. Предположим, что k < п. По свойству 1
для многочлена R^ {х) == {х — х^ ... {х — Xj^) справедливо
разложение Rj^ {х) = ^0^0 W + ^1?1 (^) + ... + ^/i^ft {х), в котором
а^ ф 0. По свойству 2
ь
I qn (х) R^ (X) p(x)dx:^ 0.
С другой стороны,
ь ь
0^]дп (^) кк W р {X) й.ч ^\^п {X) Я1 {X) р (х) йж Ф О,
так как функция ф^ (х) Щ (х) р (х) т меняет знак т (и, 6).
Йолучйли противоречив* Огштвшттьио, к ^ п. Теорша дока^
зана.
Так как между двумя нулями дифференцируемой функций
f {х) имеется хотя бы один нуль s@ производной г W» то из этого
свойства и теоремы получаем
Следствие» Все нули проитодных истово мноеочлена
Чп {х) и$ нормальной системы попарно ортогональных мноеочле'
нов \qn {х)\ простые и расположены внутри промежутка
ортогональности (а, Ь).
Свойство 4. Для попарно ортогональных на промежутке
{а, Ь) (свесом р (х) > 0) многочленов из нормальной системы \qn {х)]
для всякого п ^ 1 справедливо рекуррентное соотношение
(тождество)
где Un и Ь,, —коэффициенты соответственно при к'^ ц х'^"^ в много-
b
члене qn (х), dl = || qi f -= J pql dx,
я
292

Доказательство. По свойству 1 многочлен xqn (х)
можно представить в виде суммы
xqn{x)^I,C^m^-qm{x), (**)
где
Очевидно,
Ь
C\^^ = -X~\xqn-qm-9dx.
dm
dl
(m)
Т. е. С/тг cifn-=Ln dfi'
Согласно свойству 2 для всякого т <п — 1 Cm^ = 0. Поэтому
(**) принимает вид
xq, (х) = Ci^\ (In^i (х) + С\г'^Яп {X) + C^lW.-i (X),
из которого следует» что а,х =» йпнСп^х и й^ =^ Gj,+\6«+i + (^пС]!^"^-
Отсюда
Ш
'^ а?^ ан "^* йн an+t
tlpH m ^ n — i m формулм G^^^dJi «^ СГ^4 получаем
С^пМ\^х^С^п''^Ч\п Из ttoft формулы й из формулы апяш||^^|СЩ
с заменой s ней fi на п -^ i получаем
ч* t. д.
2« Для промежутка ортогональности (а, &) многочленов се*
мейства \qn (х)\ допустимы три возможности:
1) Промежуток (а, Ь) конечный.
Линейным преобразованием переменной х его можно преоб-
разовать в промежуток (—1, 1).
2) Промежуток (а, Ь) полубесконечный.
Линейным преобразованием переменной х его можно
преобразовать в промежуток (О, оо).
3) Промежуток (а, Ь) бесконечный в обе стороны, т. е. (а, Ь)
есть (—сх), оо).
Р1мея это в виду, достаточно изучить семейства многочленов,
ортогональных на промежутках (—1, 1), (О, сх)), (—оо, оо).
В этой главе мы рассмотрим несколько семейств таких
многочленов. Каждое из этих семейств можно определить несколькими
способами (мы укажем их), Некоторые из цид мы определим
293

с помощью производящих функций. Хотя этот способ выглядит
несколько формальным, но он позволяет проще и короче
получить основные свойства этих многочленов.
§ 2. Многочлены Лежандра
1. Функция Ч^ (х, ^) = A — 2xt + /2)-i/2 аналитична по
переменной t в окрестности t = 0. ПоэтОхМу ее можно разложить в
степенной ряд по степеням t. Получим
¥ (X, t) =^ Р, (х) + Л (х) t+ ,„ + Рп (х) t- + ... A)
Ниже будет показано, что коэффициенты этого разложения
Рп (х) ЯВЛЯЮТСЯ многочленами, называемыми многочленами
Лежандра.
Функция Ч^ (х, t) называется производящей функцией
многочленов Лежандра.
Полагая в разложении W (х, t) х = \, получим
¥A, /)_^^1+/+... +/-+...
Следовательно, Я^ A) = 1. Полагая в разложении W (х, t)
X = —1, получим
¥(-!. /) = _±^ =1 _/+... 4-(-1)"/" f ...
Следовательно, Рп (—1) = (—1)'^ Очевидно,
B)
С Другой стороны, производная п-го порядка —— от
функции Т при / = о вычисляется по формуле *)
где С ~ замкнутый контур, охватывающий точку g = 0. В
интеграле Bi) произведем замену переменной интегрирования
Получим
fM-iti '",:'-,.->' "" <'*
с. ■•-'>
Здесь Ci — замкнутый контур, охватывающий точку z =^ х.
*) Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. ]Нетодц теорцц функций
комплексного переменного, гл, I, —М.; Наука^ 1973,
294

Используя формулу для п-й производной интеграла КошИ,
получим
Рп(х)-^-^~[{х'-~'\П D)
2"п! dx
Таким образом, Р,^ (х) действительно является многочленом,
и притом п-го порядка. Формулу D) часто называют формулой
Родрига.
Из формулы D) следует свойство четности многочленов
Лежандра: P2h {^) — четная функция, Яг/г+х (^) — нечетная.
Очевидно,
Ро(я')- 1, РА^)-^^ Р2{х) = ^х'~--^.
2. Нетрудно получить дифференциальное уравнение,
решением которого является Р^ (х). Для этого рассмотрим функцию
W =^ {х'^ — 1)''. Очевидно,
ш' ^ 2пх{х^ -^ 1)"~1 - 2nxwi{x^ - 1),
или
{х^ —\)w' — 2nxw = 0.
Дифференцируя это тождество п + 1 раз, получим
(^2 - 1) [Ш('^)]" + 2Х [W^^)\ - я (П f \)W^-"'> ЕЕ 0.
Таким образом, функция w^'^^ (х), а следовательно, и Р^ (х)
(поскольку Рп {х) =—ji—t^-"^ {х))у удовлетворяет уравнению
Z /11 /
A — х'-) у" — 2ху' + Ху ^ О (при К^ п{п+ 1)). E)
Оно называется уравнением Лежандра. Его можно написать
также в следующем виде:
Второе, линейно независимое с Рп {х) решение уравнения E),
по теореме гл. XIV, § 1 имеет в точках х -^ ±1 логарифмическую
особенность.
Замечание. К построению многочленов Лежандра можно
подойти и иначе: искать ограниченное на отрезке [—1, 1] реше-
оо
ние уравнения E) в виде степенного ряда ^ с^х^. При }. ^
= п (п '{- 1) этот ряд обрывается на члене с п-й степенью, т. е.
при X ^- п {п + 1) решением будет многочлен п-й степени Рп (х).
Он отличается от многочлена Лежандра п-й степени лишь
постоянным множителем. Этот множитель выбирается так, чтобы
иметь Рп A) = 1.
Формулу Родрига также можно принять в качестве
определения многочленов Лежандра.
295

= Po + я;/ + ... -ь р;/" -j— *),
3. Пользуясь определением многочленов Р.^ (х), легко ^1ожно
доказать справедливость двух рекуррентных соотношений:
(^ + 1) Рп.1 W - Bп + 1) ^Рп {X) + пРп.^ {X) - О, F)
Для этого продифференцируем по переменным t w х разложение
функции Y (х, 0. Получим тождества
^ -1-"^i/+/^ ^ ^^+^^-^^+• • •+яр„/--+■ • •.
или
- A - 2xt + /2) (Р, 4- 2Р4 + • • • + ^^Я„^-1 +•••),
= A - 2х/ + /^) (Ро + р;/ + • • • + р;/'^ +•••).
Сравнивая в последних тождествах коэффициенты при
одинаковых степенях t, получим тождества
{п + 1) Р..1 {X) ~ {2п +- \)хРп {X) + пРп., {X) - о F)
и
Рп {х) = Р;+1 (X) - 2хРп {х) + Р;.1 Ov). (8)
Дифференцируя тождество .F), получим
{п + 1) Р;+1 (х) - {2п + 1) Р„ {х) - Bп + 1) хР'п {X) + пР;-1 (х) = 0.
Исключая из этого соотношения и соотношения (8)
произведение хРп {х), получим тождество G).
Замечание 1. С помош,ью соотношения F) и формул
Ро (л:) = 1, Pi {х) = X, очевидно, можно определить все
многочлены Лежандра.
Замечание 2. Соотношение G) позволяет выразить
интеграл от многочлена Лежандра] Р,^ {х) dx через многочлены P^+i {х)
и Рп^\ {х).
Замечание 3. Рекуррентную формулу F) можно
получить и из общего рекуррентного соотношения A) на стр. 292,
если воспользоваться формулой Родрига для нахождения
коэффициентов а^, Ьпу йп^Ху ...
4, Теорема 1. Многочлены Лежандра ортогональны на
отрезке [—1,1] с весом р (л:) s 1, т. е.
1
! Рп {х) Pk (х) dx =^ О, если пф k.
*) Читателю предлагается самому доказать законность почленного
дифференцирования разложения A) по переменной х.
296

Действительно, напишем два тождества:
-^ [A - ;с2) Р;] + AT (п + 1) ^. W - О,
^[{l^x^)P',] + k{k+l)Pk{x)^0.
Первое из них умножим на Р^ (х), второе — на Р^ (х)]
результаты вычтем один из другого и полученную разность
проинтегрируем (по Л') по промежутку [—1, 1]. Получим
1
d ,,. о\ г»' , г» d
1
- [k{k^\)~n{n-^\)\ \Pn{x)Pu{x)dx,
или
1
\-^[{\-x'){P'nPk~PnPk)]dx
-1
^k-n){k + n+\) \P,{x)P^(x)dx.
Следовательно,
1
при п Ф k.
Таким образом, семейство многочленов Лежандра [Р^ {х)\
есть нормальное семейство ортогональных многочленов, и,
следовательно, к ним применима теорема § 1 и ее следствие, т. е.
верна
Теорема 2. Все нули всякого многочлена Лежандра Р„ {х)
с п > О и его производной любого порядка г < п Р\[^ {х) простые,
вещественные и расположены внутри промежутка (—1, 1).
1
5. Вычислим квадрат нормы ||P,if= \p\{x)dx. Для этого
-1
один из множителей подынтегральной функции Рп {х) выразим
через Рп-\ и Рп-2 по формуле F), заменив в ней п яа п — 1.
Получим
1 1
II Рп IP = J РпРп dx^ 1р„ [^^ хР„_, - ^^ P„J dx =
-1 -1 ^ ^
1
= ''^^ J xPnPn-i dx.
-1
297

Мы здесь воспользовались ортогональностью многочленов Рп
и Рп--2- в последнем интеграле произведение хР^ выразим по
формуле F) через P/^+i и Р^-ь Получим
или
\\Pnf = ^^\\PnA'- (9)
При этом мы снова воспользовались ортогональностью
многочленов Рп-\ И Р,1^\'
Если соотношения (9) написать для п -= 2, 3, ..., k и затем
перемножить их, получим
так как ||Pif - 2/3.
6. Теорема 3. Всякое решение уравнения (S^) ^ (х), ome^-
чающее параметру X ^^ К Ф п {п -^ \) (п — произвольное
фиксированное неотрицательное целое число) и непрерывное на отрезке
I—1, 11, ортогонально многочленам Лежандра Рп{^) t^ci
промежутке (—1, 1) с весом р (х) = 1.
Доказательство. Исходя из тождеств
■^[{\-ify'm^^^Hi)-^o.
где ?v„ '^- п (п -\- 1), как и при доказательстве теоремы 2, находим
t^n (ё) г/ (tj аё -= — '
t
где
ср(г)^A~г2IР'(г)Л.(г)-5(г)Л;(гI и -1</<х<1. A2)
Переходя в A1) к пределу по переменным х и t при х -> 1, ^ -> —1,
получим
I
f Р„ (I) р (?) dg = —^ jlim ф {X) - lim ф (/)|.
Таким образом, для доказательства теоремы достаточно
показать, что справедлива
Лемма. Имеют место соотношения
lim(j:(x) = 0 // lim(p(/j==:0.
Л'->1 / ^ —1
Л'<1 Г>~1
298
[ Р, A) у A) dl ^ -^-^ [ф (X) - ф (/)|, A 1)

Доказательств о. Из A1) имеем
X
Ф (^)=Ф (О -ь (К ->^)\Рп а) у т di A3)
t
для любых л: и/, — 1</<л;<1. Зафиксируем t. Поскольку
правая часть в A3) непрерывна по х на отрезке [t, 1 ], то ф (х)
также непрерывна на It, 11. Следовательно, существует
конечный предел
Итф(л:) :== фA).
х->1
х<\
Покажем, что ф A) ^ 0. Допустим, что ф A) Ф 0. Тогда на
некотором отрезке [xi, 1] функция ф (х) не обращается в нуль. Так
как Рп A) ^ 1, то существует отрезок [xq, 1 ], на котором ф (х)
и Рп (х) не обращаются в нуль.
Из A2) получаем
d ( У jz) ] ^ ф(^)
Следовательно, для х^ ^ х < I
yW ^.(^) р^(,.^) . J (l_,^)p2(,)
Применяя к интегралу теорему о среднем значении, получим
где л'о < а < X, или
Поскольку при фиксированном Xq а = а (х) < х, то при
любом X из отрезка [xq, 1 ] функция
Ф (Д (х))
1\4-а{х)]Р1{а{х))
не обращается в нуль. Следовательно, согласно A4) функция у (х)
неограничена в окрестности л: = 1. Так как это противоречит
условию о непрерывности у (х) на отрезке [—1, 1 ], то допущение,
что ф A) Ф О, неверно.
Для ф (/) доказательство совершенно аналогично. Лемма
доказана.
Замечание. Из теоремы 3 непосредственно следует
теорема 1.
Теорема 4. Всякая функция f (л'), непрерывная на отрезке
I—1, \] и ортогональная с весом р (х) = 1 на промежутке [—1, 1 ]
всем многочленам Леокандра, тождественно равна нулю, f {х) = 0.
299

Доказательство. Ilycft»
fix), ;t€[~l, 1].
Напомним, что если функция Ф {х) интегрируема с квадратом
на промежутке (—оо, оо), то к ней применимо (т. е. для нее
существует) преобразование Фурье *).
1^ Очевидно, функция Д (х) интегрируема с квадратом на
промежутке (—оо, оо). Ее преобразование Фурье имеет вид
оо 1
F^(о)) ^ \fi (х)е-^^^ dx= \f {х) е~^^^dx. A5)
-оо -1
Так как e'-^^^ — аналитическая всюду функция переменной со,
' тон Fi (со) аналитична всюду, поскольку интеграл A5) не является
несобственным и производная от него по со существует при
любом @. Функцию Fi (со) можно представить степенным рядом,
сходящимся к ней всюду:
F, (со) == F, @) -f coF; @) + ... + со^ -i^ + . . .
Все коэффициенты этого ряда равны нулю. В самом деле,
F['\0) = {~if \x'f{x)dx = {~~it \f{x)\j^CrPr{x)\dx = 0,
-1 -1 U-O J
так как по условию теоремы / (х) ортогональна всем
многочленам Лежандра. Мы здесь использовали также свойство 1 (§ 1)
многочленов Лежандра. Таким образом, Fi (со) = 0. Применяя
обратное преобразование Фурье к функции Fi (со), получим fi (х).
Таким образом,
оо
-оо
Следовательно, и f (х) ^ 0. Теорема доказана.
Замечание. Пусть {f^ (х)] (п =^ О, 1,2, ...) — семейство
функций, определенных на промежутке (а, Ь) и попарно
ортогональных на (а, Ь) с весом р (л:). Если для всякой функции / (л:),
принадлежащей семейству В, из ортогональности / (л:) (с весом
р (л:)) всем функциям семейства \fn {х)\ следует, что / (л:) = О,
то говорят, что семейство {fn (х)] замкнуто относительно
семейства В,
Теорема 4 устанавливает замкнутость семейства
многочленов Лежандра относительно семейства всех непрерывных на
[—1, 1 ] функций.
*) См. Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. II. — М.: Наука,
1967.
300

f. Многочлены Лежандра можно muKJfie рассматривать кйк
собственные функции еледуюш^ей краевой задачи: найти значения
параметра К и отвечающие им ранения уравнения
' Л^[A-х')у'] + ку = 0, E,)
непрерывные и, следовательно, ограниченные на отрезке [—1, 1].
Числа Хп'^ п {п + 1), где п — целые неотрицательные числа,
являются собственными значениями этой задачи, а Рп (х) —
отвечающими им собственными функциями.
Возникает вопрос: исчерпываются ли совокупностями [Хп]
и {Р^ {х)\ все собственные значения и собственные функции
вышеприведенной краевой задачи?
Утвердительный ответ на этот вопрос непосредственно следует
из теорем 3 и 4. Таким образом, совокупность многочленов
Лежандра исчерпывает все непрерывные и ограниченные на отрезке
[—1, 1] реиления уравнения Лежандра Ei).
8. Для многочленов Лежандра справедливо также
интегральное представление для значений х^{—\,\):
Рп{х) = -^\ [x~\~i^^T^^Hm^]'d^. A6)
о
Для получения его в формуле C) настоящей главы в качестве
контура Ci возьмем окружность радиуса R, R ^ у^\ — х^ (|-^| < 1),
м 1 1 ; 1 ! 1 м j 1 1 ! ! 1 1 И Г 1 И I 1 1 U Lk^'
\ 1 \ 1 1 1 j ' 1 1 1' { 1 1 1 V^\\ /ш
\j i\j 1 1 1 1 [ 1 1 i 1 1 1 1 1 L^i 1 L/f//i
\ tv 1 M i 1 ' 1 i i I i lAil \p A \1Ч\[пч
N U N1 ' ' L-^W~i>Ui Ml \<\\ / / /l
\r \' к i'^' 1 ' iTr^J„'..^'^"P'Mv- \'^\\ \-Л~л \ YV \{\h\\
A \ t-'^ Mi l-'''^^f^N^ 1 iT'"<ni^ ]И^Тт\/ч ^"Z / /
i/ \ t X iyi Ss ! ' 1 \Yy^\ 1тЧ1 J-'HirsJ -И^ Jr\ 1/^ / '/
I '\ 1 \' i^>'i^ { 1 /)/^\ ' 1 mSLh*! 1 inI v 1 L/I \\aP-/\ 1 -^
\ ' i\/^\^ i 1^4. \гУ^ ill J'^lSl 1 L^ 1 Ы| JK A \ li \/7
J 1 X i \ 1 I 1 y^(/i \-n\ ' ""^sj J'-niScI У\ j/\ \ l\ \
\\ ' i' 1N^ 1 ^'-J''^^r nl l-ni Mil if^i<n'J-''n'i> vfi ]/1\J /
1 '/1 il i Pni ]''пг4 Mm'' i^'^I^T ''"M^IJH^ N>r^ \
/ i / 1 1 1 1 1 г \ J^ 1 iT*4—L_i i-4--Tii^ 1г*'*]-Д-4'^ III 1 If Ч nr
И1M MH1M MTtiTi 1 IN M г'^
1 / 1 1 LJ^ 1 1 1 1 1 1 M 1 1 1 1 M
MM 1.Ж1 1 M M M M M 1 M M M 1 1 1 1 1 M
Vr\\\ L 1
~ 10-Ц9-0,8-Iff ~A6-0,5-0,^-0,3-0,2-0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,^ 0^ OO OJ 0,8 0,9 Ю
Рис. 44.
с центром в точке z = х и произведем замену переменной в
интеграле Z = X -{- -y^l ~ xV^; при этом
dz = i ]/ 1 — x2 г^> ^ф,
22 - 1 = л:2 - 1 + A - л:2) е'^^^ + 2;с/Г^^^г'ф =
= /1 — х2 г^'ф [2х + /1 — х^ {e^'P - е-^"^)] =
- 2/1 ~x'^e^^[x + i}/'l -л:2 зШф].
301

Подставляя значения z - .г, г — 1 и di в формулу C), получим
2:т
1 л
Рп W == ^ J \^ -г i /I ~ х^ sin ф]" d(p.
о
Из этой формулы непосредственно следует оценка
\Рп(х)\<1 ДЛЯ X е(-~-1, 1). A7)
На рис. 44 приведены графики многочленов Лежандра.
Рассмотрим несколько примеров применения многочленов
Лежандра (и их простейших свойств) для решения задач
математической физики.
9. Пример 1. Определить потенциал внутри полой сферы радиуса R,
составленной из двух полусфер, изолированных друг от друга тонкой прокладкой
и заряженных до потенциалов Vi и V2-
Математическая постановка задачи: требуется найти решение и (г, 9)
уравнения Аи = О в области О ^ г << /?, удовлетворяющее краевым условиям
Решение. Сначала найдем решения уравнения Аи — О вида и =
= / W Ч^ Ф)у удовлетворяющие только условию ограниченности. Разделяя
переменные, получил!
_ _ X.
Следовательно,
dr ' sin О fife ^ ■ ' ' ^
В последнем уравнении произведем замену переменной ^ = cos 6. Получим
уравнение
которое при % — п (п -\- 1) имеет ограниченное на [—1, 1 ] решение в виде
многочлена Лежандра Рп (\). При таких значениях % уравнение для / (г) имеет
ограниченное решение вида / (г) — г". Решение исходной задачи ищем в виде
оо
« (^ 0)= Ц СлГ"Рд(СО8 0). A8)
Коэффициенты с л определим из второго краевого условия, пользуясь свойством
ортогональности многочленов Лежандра:
2п -f
{u(R, ^)Рп (cos 9) sin е ^е =-
^0 1 I
-^^^ ^2 j Рп A) 4 + ^1 f Рп A) dl\ .
i -1 n f
Последние интегралы вычисляем, пользуясь формулами G) и F) этой главы.
По41учим
г,г — ^ -^ /^л+1 (О).
302

в этой задаче мы воспользовались следующей теоремой разложимости
функции ср (^) в ряд Фурье по многочленам Лежандра:
Если функция ф E) кусочно-непрерывна вместе с производной первого порядка
ф' (Й> ^0 в каждой точке непрерывности ф (I) ее ряд Фурье по многочленам
Лежандра сходится к этой функции.
Мы не будем приводить доказательства этой теоремы.
Пример 2. Разложить плоскую волну v = е в ряд по многочленам
Лежандра и функциям Бесселя.
Решение. Функция v -
ния Ду -\' ХЪ = 0. В сферических координатах оно запишется в виде
Решение. Функция v = е^^^== е^^'''^^^ ^ является решением ^уравне-
-4 • 4- (r^^Vr) -f , \ а ' -ia- i^e sin 0) + X'-V == 0.
/'2 дг '^ ' r2sm6 дд '
Будем искать решение этого уравнения в классе функций вида у = / (г)'ф F).
Разделяя в последнем уравнении переменные, получим
(x|)'sine) + \i^==- 0.
dr
d
sin 0 dQ
Ограниченные решения уравнения для \\> будем иметь при \х = п (п -{- \) в виде
многочленов Лежандра г)) F):=Рд (cos 6). Уравнение для / (г) после замены
переменной / (г) -= ф (гу> У г примет вид
ф" + 4-ф' +
I? ■
(■•ЧУ
ф =^ 0.
Ограниченным решением этого уравнения будет функция ^,^-ii/2 (^'')- Таким
образом, уравнение, которому удовлетворяет рассматриваемая плоская волна,
имеет семейство решений ——=г-J^^^j/2 (Р^г) Р^^ (cos В). Поэтому естественно по-
J/r
ложить
оо
.'•Р-^«=-.2-^/,„,,,2(р)Я„(со5е). A9)
Пользуясь ортогональностью многочленов Лежандра, находим
1
'^п+1,2(Р) 2п
Сп
V9 2 ^
Производя п раз интегрирование по частям в правой части, получим
2«1-1 \rjr ф^ ^'•**'J-l (ФJ I ^'Л^>\-1 r
('f'),
303

Это соотношение справедливо при ^юбых р. Для больших р мы можем заменить
функцию J,j\\i2 (Р) 6^ асимптотическим представлением. Получим
2сп V2 { Г / , 1 \ -^ ^ 1 , п / ^ \1
КяBп+ 1) PL V ^ I V р /J
Из этого соотношения следует равенство главных членов:
2 ,/2" ^-sin(p-M^)
|/"я
2/Z+ 1
рФ.
1 (-1)'^^-'Ч>
или
2
/2-. '^'^4^~"T-l^ilr;-...
|/"я
2п+ 1
^-i^e-^^
Отсюда находим
f[;1^~'^"^)_-r"(^"'^fl]^2.-'4in(p--n^)
^п - jZ-T-^" (^^+^) ^ 1^^^'' (^+4") •
B0)
Пример 3. Решить задачу о возмущении плоской акустической волны
щ (М, t), обусловленном наличием сферы радиуса R с абсолютно твердыми
стенками, т. е. задачу о рассеянии звука на сфере.
Будем полагать, что центр сферы находится в начале координат. Движение
вне сферы будет описываться функцией и {М, t), равной и {М, t) = Uq (М, t) -{-
+ V (М, t), где V (М, t) — искомое возмущение. Поскольку функции и (М, t)
и Wo (Af, t) являются решениями уравнения a^Aw = Utt, то v (Af, /) будет также
решением этого уравнения. Функции и, Uq и v будем интерпретировать как
потенциалы скоростей. Тогда на поверхности сферы должно выполняться усло-
ди I
вне -тг— = 0. Таким образом, задача для v ставится следующим образом:
ди \r=r.R
а^Аи = vtt для г> R,
dup I
dv
дп
r=:R
V I <С оо.
Очевидно, декартову систему координат можно выбрать так, чтобы плоская волна
Uq записывалась в виде
Но =e^^'•e-^^"^.
Будем искать v {М, t) в виде v = Ф (М) е~''^^^. Тогда для Ф (М) задача будет
ставиться следующим образом:
дФ
дп
где фо
304
ikz
АФ + ^2ф ^ о для г > R,
д(ро
r=^R
дп
r=R
|Ф| <с>о,

Имея в виду разложение A9) плоской волны фо (без временного фактора),
естественно искать Ф (М) в виде ряда
оо
Фт (Щ будет решением следующей задачи:
ЛФ;п + ^2Фт = 0 для r>R, B1)
Т U ^^ - ^ И- (') ^- ('"' ^)).==/?^ I Ф^ I < -• B2)
где Лш (/•) Рт (cos 0) — член номера т в разложении A9). Ищем Фт{М) в виде
произведения Фт = Вщ (f) ^т @)- Тогда, очевидно, в силу краевого условия
B2) функция Ч^т @) должна быть равной Рщ (cos 0).
Подставляя Ф,п — Вт (f) Рт (cos 0) в"уравнениеЗB1), получим уравнение
для Вт (г):
Если положить Вт — Dm^Vf, то для Dm (г) получим уравнение
O. + iD'^[,^-S!ILtlI^]o^^0. B3)
Это уравнение цилиндрических функций с индексом v = т -\- 1/2. По
физическому смыслу задачи функция v (М, t) должна представляться в виде
суперпозиции сферических расходящихся волн ^ik{r—at)^ Поскольку при
больших значениях г подходящую асимптотику имеет только функция Ганкеля
то общее решение уравнения B3) надо написать в виде
и сохранить лишь член с функцией Я)^М j ,9 (^^) *)• Таким образом, получим
В,п(П = ^,п^т(кг), где h^(kr)^-^H[}l,,^{kr). '
Коэффициент а^ находим из краевого условия B2), которое дает нам B'j^(R) =
= —A'j^ (R). Отсюда находим
—<n(^) 4(^^) .г^ .п./ . 1 \ /т(^^)
-V^i-^[rn^\)^
где in (Р) = Т7=^ ^т^\п (Р)- Следовательно,
1_
^^P
оо оо •' L. П
Ф (М) = J] Фт (М) = - К2Г ^ (ш + -1-) /'" '^^ J h,n (kr).
*) Функция hI^]^,2 {kr) дает сходящуюся волну.
305

10. Приведем без доказательства одну из теорем разложимости
функций в ряд Фурье по многочленам Лежандра, уточняющую
теорему Стеклова (гл. IV, § 2) в случае, когда разложение
производится по многочленам Лежандра.
Теорема 5. Если функция f {х) и ее производная f {х)
кусочно-непрерывны на отрезке [—1, 1], то в каждой точке х^
е^ [~1, 11 ее ряд Фурье по многочленам Лежандра
оо I
2 СпРп W, С„ - ^1^ j / {I) Я„ (I) dl,
п=0 -1
сходится к числу
4-[/(.v-fO) h/(^-0)].
Если функция f {х) и ее производные f (х), /" {х) непрерывны
на отрезке [—J, 1], то сходимость к f (х) будет равномерной
на отрезке [—1, 1 ].
§ 3. Многочлены Чебышева — Эрмита
Мы определим два новых класса ортогональных многочленов,
имеющих многочисленные приложения. Их можно определить
несколькими способами. Мы воспользуемся таким методом,
который гюзволяет проще всего получить основные свойства
определяемых многочленов. Этому требованию удовлетворяет
определение с помощью производящей функции.
1. Возьмем в качестве производящей функции функцию
Я (х, /) = ^2л:/-^2 ^ разложим ее в степенной ряд по степеням t:
оо
Я(л-, /) = ^ЯЛх)^. B4)
Ниже будет показано, что коэффициенты разложения Я^ (х)
являются .многочленами, называемыми многочленами Чебышева—
Эрмита. Очевидно,
дГ
/=.0
С другой стороны, производная п-го порядка —— функции Я
dt
при / = о вычисляется по формуле
i=o ' 2^-^^" ^
где замкнутый контур С охватывает точку / ^ 0. Следовательно,
306

Произведем в последнем интеграле замену переменной
интегрирования Л' — / ^= I. Получим
Я„(х) = е-^(-1)''_[^^-£^р-С
где контур Сх охватывает точку I -^^ х. Используя формулу
для п-и производной интеграла Кошп *), получим
Н,,(х}-^(-1)"е^'--^(е'П- B5)
Из этой формулы следует, что Н^ (х) есть многочлен п-и степени,
обладающий свойством четности:
J^2h W — четная функция, H2k-^A (х) — нечетная функция.
Очевидно, Но (х) IE 1, Н^ (х) = 2х, Н^ (х) = 4х^ — 2 и т. д.
2. Покажем, что многочлен Яд (х) является решением
уравнения
у' — 2ху' + }.у ==0 при }. == 2п. B6)
Действительно, продифференцировав функцию w = е~-^' один
раз, w' =-- —2хе~^\ находим тождество w' + 2xw =е 0.
Дифференцируя это тождество п + 1 раз, получим
{wC'^r + 2х [ш^'О]' 4- 2nw^^'^ - 0. B7)
Теперь, подставляя в это тождество, согласно формуле B5),
wi^^)-={~~\)-H^{x)e~'\
получим следующее тождество:
Н: (х) - 2хИп (х) + 2пИгг (х) - 0.
Уравнение B6) можно записать в виде
^(e-^-Y)-f^6-'^'i/-=0. B8)
Рассмотрим некоторые свойства многочленов Нп (х).
3. Теорема 1. Многочлены Чебышева—Эрмита
ортогональны на промежутке (—оо, оо) с весом р (х) =е~^'':
оо
[ Нп{х)Н.^{х)е~^' dx = 0, если пфр. B9)
I ь с т в о. Напишем два тол
[е-^'Нп (X)] + 2пе-^'Н^ (х) = О,
Доказательство. Напишем два тождества:
dx
-^ [е-'^'Н; (л-)) -Ь 2ре--'Н, (х) ~ 0.
*) Л а В р е И т ь е В М. А., Ш а б а т Б. В. Методы теории функций
комплекс1[ого переменного, гл. I. —М.: Наука, 1973.
307

Первое из ник умножим на Йр (х), второе — на //^ (х), peзyльfafУ
вычтем один из другого и полученную разность проинтегрируем
(по х) по промежутку (—оо, оо). Получим
—оо
оо
= 2{р-п) J HAx)Hp{x)e-'"dx.
—ос
Левую часть этого равенства, очевидно, можно записать в виде
оо
— оо
Следовательно,
оо
2 (р - «) j HnH^e-"' dx = (Н^п - Н„Н;) е--' | !!^ = 0.
— оо
Поскольку р ф п, то отсюда непосредственно следует
равенство B9).
Найдем норму ЦЯ^Ц. Предварительно докажем
справедливость двух рекуррентных соотношений:
Нп.1 {X) - 2хН, (х) + 2пН,_, (х) = О, C0)
Нп{х) = 2пНп^,{х). C1)
Для этого установИхМ связь между производящей функцией Н (х, t)
и ее частными производными —тт- и —^. Непосредственным
вычислением находим
Щ-^2{х-1)Н^^^21Н.
Подставляя в эти тождества вместо Н {х, t) ее разложение B4),
получим
оо оо
оо оо
Y^Hn{x,J^^2tY,HAx)^- C3)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в
тождествах C2) и C3), получим соответственно рекуррентные
формулы C0) и C1) *).
*) См. Замечание 3 на стр. 296.
308

toждecтвo C1) позЁоЛяеФ ёычйсЛйть интеграл
J Нп {X) dx = ~^ Hn^i (х).
Тождеством C0) мы воспользуемся для вычисления квадрата
оо
нормы ||Я„|р = J e-^'Hldx:
—оо
оо со
||Я„|р= J e-'"m{x)dx=^ I Нп{х)Нп{х)е-^Чх.
—оо —оо
Один множитель Нп (х) в подынтегральном выражении выразим
по формуле C0) через Hn_i и Я^.з, заменив в ней п па п — 1.
Получим
оо
Wn f = 1 е-'''Н„ (х) {2хЯ„_1 (X) _ 2 (п - 1) Я„_, (х)] dx =
— оо
оо
= \e->''Hn.i{xJxHn{x)dx.
—оо
При этом мы воспользовались ортогональностью многочленов Я„_2
и Нп. Выразим 2хНп (х) через Я„_1 (х) и Я,^^1 (х) по формуле C0),
получим
оо
II Я„ IP = J е-'''Н„_г (х) {Нп^г W + 2яЯ„_1 {х)\ dx -=
—оо
оо
• =2п| е-^'Я2_,(х)^лг,
—оо
или
\\Hnf=2n\\Hn.,f- C4)
При этом мы воспользовались ортогональностью многочленов Я^_1
и Нп+1. Из формулы C4) следует
оо
II Я„ IP = 2"-'п! ЦЯх IP = 2" • п! | 2х^е-''' dx = 2"п\/ я. C5)
—оо
Таким образом,
\\Hnf=2-n\Vn^ C6)
4. Очевидно, многочлены Чебышева—Эрмита образуют
нормальную систему многочленов. Следовательно, к многочленам
Чебышева—Эрмита приложима теорема § 1 (стр. 291).
Таким образом, все нули многочленов Я^ (х) — простые и
вещественные.
В дальнейшем функции, интегрируемые вместе со своим
квадратом, будем называть квадратично интегрируемыми.
5. Теорема 2. Всякое решение уравнения B8) у (х),
отвечающее параметру X = К Ф 2п {п — произвольное фиксированное
309

неотрицательное целое число), непрерывное и квадратично
интегрируемое {с весом {У (л') = е~^') на промежутке (—оо, оо),
ортогонально многочленам Чебьаиева—Эр мата Н^ (х) на прольежутке
(—оо, оо) с весом р {х) == е~^\
Доказательство. Исходя из тождеств
■— \е~УН;, (|Л -f X„e-i'H, il) = О, где К - 2/г,
как н при доказательстве теоремы 1, находим
X
f я,. (I) у (£) e-i'^ dc = —^ 14- (Л-) - ^^ (/)Ь C7)
•^ Л,7 — А
где
,[■ (г) = е~^= f^' (г) Я„ (г) -- ^ (г) Я,', (г)] и / < х. C8)
Переходя в C7) к пределу при ^-> —оо и х-^ + оо, получим
оо
•^ An — А (л--> +(хэ /->—оо j
— оо
Таким образом, для доказательства теоремы достаточно
показать, что справедлива
Лемма. Имеют место соотношения
lim \^ (л-) - О и lim \\: (t) ^ 0.
X v-]-oo /->—оо
Доказательство. Очевидно,
X
х[- (Л-) ^ 4: (/) -[- (Я„ - Я) f е-«-'Я„ (?) у© dl C9)
Зафиксируем t. Поскольку правая часть в C9) непрерывна по х
на промежутке [/, оо), то '\\) (х) также непрерывна на [/, оо).
Существует конечный предел
X
lim I е-^'Я„ (I) У (I) d|. D0)
В самом деле, по неравенству Коши—Буняковского имеем
X I X
\e-i'-Hn{^y{l)dl\<\e-l'\H,a)\\ya)\dl<
t I t
оо оо
< I e-l' I Я„ (I) 11 у a) \dl= I 6-?1 я„ (I) I g-1^'2 \y{l)\dl<
— oo —oo
I' oo oo и 2 j' oo ^1/2
< J e~r- HI (?) dl j e-V-r/ (?) d| = f ЯЛ J e^V ^2(|) ^^ .
\ — oo —oo j I—oo J
310

Так как по условию теоремы последний интеграл сущ,ествует и
равен конечному числу, то отсюда и следует существование
конечного предела D0).
Из существования предела D0) следует, очевидно,
существование предела limij? (х) =^ \|? (-f оо). Покажем, что г|: (+ сю) ^^^ 0.
Допустим противное. Тогда существует такое число Xi, что на
промежутке [xi, оо ] функция \\> (х) не обращается в нуль. Так
как Нп (х) — многочлен, то можно полагать, что на промежутке
[xi, оо) Я,^ (х) также не обращается в нуль. Из C8) получаем
dz {Пп (г) / - н1 (г) *
Следовательно, для х > х^
y{xi) с \р (z) е''dz\ ,
^п (^)
Применяя к последнему интегралу теорему о среднем значении,
получим
где Хх < ^ < X. Поскольку интеграл
г e^'dz
J нЦг)
растет при х-^ + оо, как х'^Нп^ (х) е^\ а функция ^ (^) не
обращается в нуль и ограничена на промежутке [х^, оо), то из D1)
следует, что у (х) растет при х-^ оо, как х'^Нп^ (х) ^'^', и поэтому
у (х) не является квадратично интегрируемой на (—оо, сю) с
весом р (х) == е~^\ Это противоречит условию теоремы. Таким
образом, предположение г|: ( |- оо) =7^ О противоречиво, и,
следовательно, ij; (+ сю) = 0.
Совершенно аналогично доказывается, чтог)) (—оо) =^ 0. Лемма
доказана.
Замечание. Из теоремы 2 непосредственно следует
теорема 1.
6. Теорема 3. Всякая функция f (х), непрерывная и
квадратично интегрируемая с весом р (х) = ^--^' на промежутке
(—оо, сю), ортогональная всем многочленам Чебышева—Эрмшпа
с весом р (х) == ^-^' на промежутке (—оо, сю), тождественно
равна нулю, f (х) ее 0.
Доказательство. Поскольку по условию теоремы
функция /\ (х) = / (х) е~^'^'^^ квадратично интегрируема с весом
р (х) е; 1 на промежутке (—оо, оо), то тем более функция /2 (^) ""
-^^ / (х) с~^' квадратично интегрируема с весом р (х) -:£ 1 на том же
311

промежутке. Следовательно, функция [2 (х) имеет
преобразование Фурье р2 (со):
00 ОО
f (со) = j Дз (х) е-'-^« dx= J / (л:) e-v'-»^» ^j^. ■ D2)
— 00 —00
Функция р2 (со) аналитична в полосе | Im со | <: Л/" произвольной
ширины 2N, и ее производные произвольного порядка k можно
вычислять дифференцированием под знаком интеграла, т. е. по
формулам
ОО
fa) (о)) = (—/)* J / (лг) е-А'-<^^мд-* dx. D3)
— 00
В самом деле, функции
%{^)-\^\'\f{^)\e'^^'^-'' (k-^O. I 2,...)
являются, очевидно, мажорантными в полосе | Im со | <: Л/ для
функций
Интегралы
ОО
1 yph{x)dx
—00
сходятся, так как, представляя г|5/^ (х) в виде произведения
l'.W=(l/(-v)k~~)(|x|*/"'~~)
И используя неравенство Коши—Буняковского, получим
ОО /- ОО ОО и/2
I \[^ft (x)dx<\ J I/(x) f e-^' dx \ \xp*^2^1'!-^'dx\ .
— 00 [—00 —00 j
Поскольку последние интегралы сходятся, то сходится и инте-
оо
грал J г[)/, (х) dx.
—00
Так как функция F^ (со) аналитична в полосе | Im со | < Л/",
то в круге Dj^ с центром в точке со == О и радиуса R < N ее можно
представить степенным рядом
f J,^^ @)
F2 (со) ^ F2 @) -Ь cof 2 @) + ... -f со^ -\^
Все коэффициенты этого ряда равны нулю, ибо
ОО ОО / ^ ^
FW = (- О * J X* / (X) е-' d^ = (- О* 1 S ^г'^г W / W X
—ОС —ОО (г=0 )
xe-''dx^Q.
312

Мы здесь воспользовались свойством 1 (§ 1) многочленов Чебы-
шева—Эрмита и их ортогональностью (с весом р (х) = е-^')
к функции / {х).
Таким образом, всюду в D^^ F^ (со) = 0. По теореме
единственности аналитических функций из этого следует, что всюду в
полосе I Im (О I < Л/" /^2 (<J^) ^ 0.
Применяя обратное преобразование Фурье к функции F.2 (со),
получим /з i^)' Таким образом,
^'^W=^^ 1 /"sM^^'^^^/co-O.
Следовательно, и f (х) = 0. Теорема доказана.
Замечание. Мы установили замкнутость семейства
многочленов Чебышева—Эрмита относительно семейства всех
функций, непрерывных и квадратично-интегрируемых с весом р (л:) =
— е-^^ на промежутке (—оо, оо).
7. Многочлены Чебышева—Эрмита можно рассматривать как
собственные функции следуюш^ей краевой задачи:
Найти значения параметра X и отвечаюи^ие им решения
уравнения
±{e-^^^y')-L-Xe-^'y^O,
непрерывные и квадратично-интегрируемые с весом р (х) = ^-^'
на промежутке (—оо, оо).
Числа Хп = 2д, где п — целые неотрицательные числа,
являются собст^венными значениями этой краевой задачи, а Нц {х)—
отвечающими им собст1венными функциями.
Возникает вопрос: исчерпывают ли совокупности {Х.^} и {Н^ {х)\
все собственные значения и собственные функции этой краевой
задачи?
Утвердительный ответ на этот вопрос непосредственно следует
из теорем 2 и 3. ..^^
Таким образом, совокупность многочленов Чебышева—Эрмита
исчерпывает все решения уравнения B8), непрерывные и
квадратично-интегрируемые с весом р (х) = е-^' на промежутке {—оо, оо).
8. Приведем без доказательства одну из теорем разложимости
функций в ряд Фурье по многочленам Чебышева—Эрмита,
уточняющую теорему Стеклова (гл. IV, § 2) в случае, когда
разложение производится по многочленам Чебышева—Эрмита.
Теорема 4. Если функция f {х) и ее производная f {х)
кусочно-непрерывны на любом конечном отрезке [—а, а] и
интеграл
оо
J е-'''[Цх)с1х
•—сю
313

имеет конечное значение, то при любом вещественном значении х
ее ряд Фурье по лшогочленам Чебышева—Эрмита
оо оо
2 с„Я„ (X), с„ = ^ j / il) e-i'Hn а) dl
сходится к числу
4-[/(^f 0)-f/(.v-0)].
9. В приложениях чаще применяются функции Ч е-
б ы ш е в а—Э р м и т а
обращающиеся в нуль на бесконечности. Эти функции, очевидно,
образуют ортогональную систему с весом р (х) = 1:
оо
J i'a W 1V W dx = 0, если пф p\ D5)
— оо
11^-.1И1- D6)
Из уравнения B8) для многочленов Я^ {х) легко получается
дифференциальное уравнение для функций г|:^ {х):
г|)" + {I— х~) Ч^ - О Q. ^ 2/2 + 1). D7)
Обычно для уравнения D7) задача ставится следующим
образом:
Найти такие значения параметра 'к, при которых
уравнение D7) имеет решение^ {х), непрерывное и квадратично
интегрируемое {с весом р (х) = 1) на промежутке (—оо, оо),
обращающееся в нуль на концах этого промежутка.
Из свойств задачи, решением которой являются многочлены
Чебышева—Эрмита (см. стр. 307), следует, что упомянутая задача
для уравнения D7) имеет решения только для значений 'к,
равных к,^ = 2п -}- 1 (п =^ О, и ...), и этими решениями будут
функции ^п {^)-
Рассмотрим пример применения многочленов Чебышева—
Эрмита (и их простейших- свойств) для решения конкретных
задач.
Пример 4. Определить, при каких значениях Е уравнение Шредингера
для линейного гармонического осциллятора:
rf(^--^\H'--0 D8)
i_ /-ИНГ [UL^nLJy,
имеет ограниченное на промежутке —со < х < со решение. Здесь т, (Oq, Е —
масса, собственная частота и полная энергия осциллятора, h — постоянная
Планка.
314

Заменой переменной г = I/ —у—а-уравнение D8).приводится к виду D7),
2Е
в котором л ==:
dz^
при -ttV == 2/г + 1, где п — целое число, т. е. при Е ^ щН I п -\~ -^ )-^Еп
2Е
сооЯ
уравнение D8) имеет ограниченное па промежутке —сю < 2 < оо решение
tn B) - г|
"(/т-)
Функции Чебышева — Эрмита появляются при решении уравнения
Лапласа Aw = О методом разделения переменных в параболических координатах.
Действительно, если ввести параболические координаты а, р, z, связанные
с декартовыми координатами х, у, z соотношениями
х = -|-(а2-р2), y^cafj, z^^^^z E0)
(здесь с — размерный множитель, —оо <1а<]со,0^Р<Ссо, —со < 2 <С сю),
то At/ = О в этих переменных будет иметь вид
1 ^«^^^ <^^" , о / о , DO ^^^) А /С1Ч
^"=.2<«. + р.) |^ + ^ + ^-(а^ + Р^)^!=0. E1)
Будем искать решение уравнения E1) в классе функций вида и ==
— А (а) В (р) D (г). Разделяя переменные, получим уравнения
А" J^ {)х-\Ч^а^)А =0, E2)
. В" - (|1 + ^'^'Р') ^ == О, E3)
D" + X2Z) = О,
где X* и fi •—• неизвестные параметры. В переменных | ^ \/^Кс а и т] = i УКс р
уравнения E2) и E3) принимают вид
совпадающий с уравнением D8).
§ 4. Многочлены Чебышева — Лагерра
I. Как было указано в § 1, мы определим многочлены
Чебышева—Лагерра с помощью производящей функции. Возьмем в
качестве производящей функцию
^" (^' о = A_'^„+, е--'/<>-'), а> - 1,
И разложим ее в степенной ряд по степеням t:
оо
1^{х, t)^^Lf^(x)t", E5)
315

Ниже будет показано, что коэффициенты разложения L® (х)
являются многочленами, называемыми мновочленами Чебышева---
Лагерра *). Очевидно,
df"
9jrY J .1
(^f. 0
/=.0 ^^^ с /"+^
d/,
где С — замкнутый контур, охватывакхщий точку / = 0.
Произведем в этом интеграле замену переменной интегрирования t ==
= 1 . Получим
с! п-\'а ~z 1 jti
Контур Ci охватывает точку г = л:. Мы при этом воспользовались
формулой для производной интеграла Коши. Таким образом,
L« (X) = ^ х-^е^ ^ (х-^^е--). E6)
Из этой формулы следует, что 1« {х) действительно является
многочленом п-й степени. Очевидно, 1о W ^ 1» 1л М == I +
2, Покажем, что многочлен t^ (л) является решением урав»
нения
^гу" + (as + 1 ^ ;^) ц* ^^Ц ^ О» E7)
или
^ (x^'fif-*!^') 4- ^^i-«*|^ «an О при %^п. E8)
Действительно! продк^ергацироваш функцию т ^ if«^"»r*
один раз:
Ш' «W® (П 4- Qt)^r«4'«*l||'«»# ^ ^«•f«g«'*,
находим тождество
д:ш' — (п + а — ^) ш ^ 0.
Дифференцируем это тождество п 4- 1 раз. Получим
;г [ш^^)]" + (X + 1 -" а) [к.'^'»)]' + (д + 1) ^^"^ ^ 0.
Подставляя в это тождество вместо ш<"^ его значение согласно
формуле E6):
ш<'') = д:«^-'^1«(х)п!,
получим тождество
X [аУ + (а + 1 -- X) (L^)' + nVn = 0.
Рассмотрим некоторые свойства многочленов Ln (х).
*) Иногда эти многочлены называют обобщенными многочленами Чебы-
шева — Лагерра, а многочлены L^ (х) = L^ {х) — многочленами Чебышева -^
Лагерра,
31§

3. Теорема 1. Мновочлены Чебышева---Лаверра
ортогональны на промежутке (О, о©) с весом р (х) «в x^e^^i
JL^(х)!«(л:)x^e-^'dx =:О, если пфр и а> - Ь E9)
о
Доказательство. Напишем два тождества:
d
dx
X^+lg-^
dx J
dx
dx
dL^p (X)
dx
+ /lA'«e~^L«(A') = 0,
+ px'^e-^L'^ (x) ^ 0.
Первое из них умножим на L^ (jc), второе — на Ln (х),
результаты вычтем один из другого и полученную разность
проинтегрируем (по х) по промежутку (О, оо). Получим
со
^^Р dx
^+l^^x _
dL'i
dx
fi dx
^ ^ dx
dx-.
«=(;?-- n) f L« ix) L» (x) x^e-' dx.
Левую часть этого равенства, очевидно, можно записать в виде
О
Следовательно,
IL- (х) Щ (X) x^g-^dx -. -4н-1^+'«-' ту 1% " {ЩУ т 11° - О'
о
При х «« О проинтегрированная часть обращается в нуль за
счет л:®*^^ (а > --1), а при ;if » оо ~ за счет г*.
Поскольку р Ф п, то отсюда непосредственно следует
равенство E9).
4. Найдем норму ||^я|. Предварительно докажем
справедливость двух рекуррентных соотношений:
{п + 1) L«^j (X) ^ B/г + 1 + а - х) L^ {х) + (п + а) L«^,(x) = О,
dx
L-{x) = -L-+\{x).
F0)
F1)
Для этого установим связь между производящей функцией
И ее частными производными -^— и —qt-- Непосредственным
317

вычислением находим
(Ь- 2/ + Р) ^^^^ = [а + 1 - X -- (а f 1) /]L«(x. /)
^:^^^ Е^ - /L«+' (л-, О-
Подставляя в эти тождества вместо L" {х, t) н L"~i' {х, f) их
разложения E5), получим
A-2/ - h ^') S «/-^ (•^) ^"^' = [а + 1 - J - (а -f- 1) /I X S L« (л:) /"
F2)
и
Y^t'^—^^-tY^tnLf+^ix). F3)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в
тождествах F2) и F3), получим соответственно формулы F0) и F1) *).
Из формулы F1) следует, что
\L-{x)dx^^^L--\{x), F4)
Соотношением F0) мы воспользуемся тя вычисления fL^ If:
оо оо
IIL«IP =. j хР'е-^ [L^ {x)Ydx=\ x^e-^L% {x) L« {x) dx.
0 0
Один множитель L^ (л:) в подынтегральном выражении выразим
по формуле F0), заменив в ней п на п ~ \, Получим
оо
||L«f = J x«e-'L«(x) {Bл - 1 +« - х) L«_, (v) -
О
-{n~\+a)L-__^{x)]-^dx^
^~\x-^e-'Ll_,{x){~xLl{x)]dx,
1
о
*) См. Замечание 3 на стр, 296,
318

Мы при этом воспользовались ортогональностью многочленов L'f
и L^_2, а также L^ и L^_i. Выразим —xL^i (х) через L^t[_i (л'),
Ln (х) и L5^_i (х) по формуле F0). Получим
\^nf = ir\ ^"^""^"-1 W {(^ + 1) ^д+1 W - BД + 1 + a)L« (X) +
1_
о
+ (п + а) L«_, (X)) dx ^ -^ J х-е-'^ [L«_, (х)]^ dx =
О
^ я 4-0^ II ^^а ||2
или
i|L^||2_iL±^||L^ ||2. F5)
II П II п II «-1 II "^ '^
При этом мы воспользовались ортогональностью многочленов
Lrt_i и L^4-b ^t-rt-i и Lrt. Из формулы F5) следует:
\\Га\\2^ (п-Ь а) (/2+ 0^-1)-.-@^ + 2) |||а|12^ Г(/г + о^+1)
II п|| '" п\ II 1 И ■ л1Г(а 4-2) -^
X
о
J ^ ' ^ п1Г (а + 2) VI/ д}
о
Таким образом,
lUaip^ Г(п + а+1) ^
II /Ч1 /21 ^ ^
Очевидно, многочлены Чебышева—Лагерра образуют
нормальную систему многочленов. Следовательно, к многочленам
Чебышева—Лагерра приложима теорема § 1.
Таким образом, все нули многочленов L^ (х) — простые,
вещественные и расположены на интервале (О, ос).
5. Теорема 2. Всякое реиление уравнения E8) у (х),
отвечающее параметру X = К Ф п {п — произвольное фиксированное
неотрицательное целое число), непрерывное и квадратично интег-
руемое (с весом р (х) = х^е-^) на промежутке [О, ос),
ортогонально многочленам Чебыилева—Лагерра L^ (х) на промежутке
{О, оо) с весом р {х) == хН-^,
Доказательство. Исходя из тождеств
-^И'^^-'е-Ц' {l)]\-ll-e~4j {I) -О,
т [I'-^'e-^^ 4 1^1 (i)] \ К^^^е-Щ (?) ^ 0.
1 Г
d
319

где Х^ == п, как и при доказательстве теоремы 1, находим
X
An — Л
^-У^^)ж^М
F7)
F8)
t
где
и О < ^ < л: < оо. Переходя в F7) к пределу при / —» О и х —^ оо,
получим
оо
\1<-е-Ц{1) C(g)d|= ' /11т/(л-) - lim/@\. F9)
Таким образом, для доказательства теоремы достаточно
показать, что справедлива
Лемма. Имеют место соотноиления
lim /(х) =-0 ^ lim/(/) -= 0.
Доказательство первого равенства проводится совершенно
так же, как и доказательство равенства lim 4^ (х) ==^ О в лемме
на стр. 310, а доказательство второго равенства — как
доказательство равенства lim ф (х) = О в лемме на стр. 298. Поэтому
мы не будем снова повторять их *).
6. Теорема 3. Всякая функция f (х), непрерывная и
квадратично интегрируемая с весом р {х) = х^е~^ на промежутке
[О, оо), ортогональная всем многочленам Чебышева—Лагерра с
весом р {х) = х^е-^ на промежутке [О, оо), тождественно равна
нулю у f (х) = 0.
Для упрощения доказательства полагаем а > —0,5.
Доказательство. Поскольку по условию теоремы
функция /i (х) = f (х) х^/2в~'^/2 квадратично интегрируема с весом
р (х)^= 1 на промежутке [О, оо), то тем более функция /з (х) =
= x^e~^f (х) квадратично интегрируема с весом р (х) = 1 на том же
промежутке. Следовательно, функция
[ x^e-^f {х),х^О,
квадратично интегрируема с весом р (х) ~ 1 на промежутке
(—оо, оо) и потому имеет преобразование Фурье ^з (со):
оо оо
f 3 (w) == j /3 W ^~'''''' ^^ "=] f W л'«г-^г-^''^« dx. G0)
—00 0
Функция Fs (со) аналитична в полуплоскости Im со <: б < 1/2,
и ее производные, произвольного порядка k можно вычислять
*) Читателю рекомендуется провести подробно все выкладки доказательств.
320

1/2
дифференцированием под знаком интеграла, т. е. по формулам
оо
f (^) (со) ^ (— i)f^ j / (х) x^+kg-xe-ixio dx. G1)
о
в самом деле, функции
^^{х)--=^\1{х)\х^-^^е-^^^~^) (^-=0, 1, 2,...)
являются, очевидно, мажорантными в полуплоскости Im со < б
для функций (—i)^ f{x) х^-^ ^е~^е~^^^. Интегралы
оо
j ф;, (Х) С1Х
О
сходятся, так как, представляя гр^ (х) в виде произведения
Ф^ (х) - (| / (х) I x'^i"^) ix'^'^'i"^'^'")
и используя неравенство Коши—Буняковского, получим
оо /'оо оо "J
\(Pkix)dx^\\\f (х) |2 х^е-^ dx j x^+2ke-Hi-26) ^^
о lo о J
Поскольку последние интегралы сходятся, то сходятся и
интегралы
оо
j ф;, (х) dx.
О
Так как функция F^ (со) аналитична в полуплоскости Im со <•
<: б < 0,5, то в круге Dj^ радиуса 7? < б с центром в точке о == О
ее можно представить степенным рядом
• Fs И = F, @) -Ь (о^з @) + - + (О* %Р + -
Все коэффициенты этого ряда равны нулю, ибо
оо
f (А^) @) :- (— ly J xf'f (х) х^е-^ dx =
о
оо j' ^ 1
- (— 0^ J S ^г^? W / W x^e-^dx --- 0.
о [Г=:0 )
Мы здесь воспользовались свойством 1 (§1) многочленов Чебы-
шева—Лагерра и их ортогональностью к функции / (х). Таким
образом, всюду в Dj^ F^ (со) = 0. По теореме единственности
аналитических функций из этого следует, что F^ (со) = О всюду
в полуплоскости Im со <: б < 0,5.
11 Арсении В. Я. 321

Применяя обратное преобразование Фурье к функции Р^ (со),
получим /з (х). Таким образом,
/зМ^4г j ^^зИ^^'^«^со=0.
Следовательно, и / (х) ^ 0. Теорема доказана.
Замечание. Мы установили замкнутость семейства
многочленов Чебышева—Лагерра относительно семейства всех
функций, непрерывных и квадратично интегрируемых с весом
р (л:) == х^е-^ на промежутке [О, оо).
7. Многочлены Чебышева—Лагерра можно рассматривать как
собственные функции краевой задачи:
Найти значения параметра X и отвечающие им решения
уравнения
^ {х^-^^е-^у') + Х^е--у = О, E8)
непрерывные и квадратично интегрируемые с весом р {х) = х^е'^
на промежутке [О, оо).
Числа Я„ == п, где п — целые неотрицательные числа,
являются собственными значениями этой краевой задачи, а L^ {х) —
отвечающими им собственными функциями.
Возникает вопрос: исчерпываются ли совокупностями |Я„}
и {Lrt {х)] все собственные значения и собственные функции этой
краевой задачи?
Утвердительный ответ на этот вопрос непосредственно следует
из теорем 2 и 3.
Таким образом, совокупность многочленов Чебышева—Лагерра
исчерпывает все решения уравнения E8), ограниченные в
окрестности л: = О, непрерывные и квадратично интегрируемые с весом
р (л:) = х^е~^ на промежутке [О, оо).
8. Приведем без доказательства одну из теорем разложимости
функций в ряд Фурье по многочленам Чебышева—Лагерра,
уточняющую теорему Стеклова (гл. IV, § 2) в случае, когда
разложение производится по многочленам Чебышева—Лагерра.
Теорема 14. Если функция f {х) и ее производная f'{x)
кусочно-непрерывны на 'любом конечном отрезке [Q, а] и интеграл
оо
j в-^;с«/2 {х) dx
о
имеет конечное значение, то при любом значении х > О ее ряд
Фурье по многочленам Чебышева—Лагерра
оо оо
п=0 " '^" О
322

сходится к числу
i_[/(x-)-0)+/(x-0)].
9. В приложениях чаще применяются функции
4^^) = ^^'"'^-''"' G2)
обращающиеся в нуль на бесконечности (л: = + оо). Эти функции
обладают следующим свойством ортогональности:
оо
j Фп {х) Фр {х)dx = О, если п^р и а> — 1. G3)
о
Из уравнения E8) для многочленов L^ {х) легко следует, что
функция Фя {х) является решением уравнения
^Wf(^---f-^)^=-0 G4)
а+ 1
dx
При
Многочлены Чебышева—Лагерра применяются при решении
задач о распространении электромагнитных волн вдоль длинных
линий, о движении электрона в кулоновом поле и в других
задачах.
Пример 5. Разложить функцию / (л;) = е~^ в ряд Фурье по многочленам
Чебышева —Лагерра.
Решение. В искомом разложении
rt=0
коэффициенты Сд вычисляются по формулам
оо оо
Kfl "'' \\L-ff dx-'
Производя л-кратное интегрирование по частям, получим
Сп=-
+
о
о оо 1
о
Подстановка пределов в проинтегрированные слагаемые дает нуль. Поскольку
оо
О
и* 323

то
_ п\
Замечание. Существует связь между многочленами
Чебышева—Эрмита и многочленами Чебышева—Лагерра вида
H,r.{x)=^{-irn\2'^L7'^4x'l
§ 5. Многочлены Якоби и другие семейства
попарно ортогональных многочленов
1. К определению семейств попарно ортогональных
многочленов можно подойти иначе, положив в основу его дифференциальное
уравнение гипергеометрического типа *)
а {Z) у" + т (г) у' {г) + %у {г) = О, G5)
в котором а (z) — многочлен не выше второй степени, т (z) —
многочлен не выше первой степени, а Я — числовой параметр.
Уравнение G5) можно записать также в виде
-^(ору')+%ру=0. G6)
в котором функция р = р (z) определяется из уравнения
А (ар) ^ тр. G7)
Справедливы следующие леммы.
Лемма 1. Если при некотором X = X уравнение G5) имеет
решение у (г), то у (г) имеет производные всех порядков всюду,
кроме, быть может, точек г, в которых^а (г) =0.
Л е м м a1 2. Если у (z) есть решение уравнения G5) при К -^ X,
то его производная k-го порядка v^ (z) = —^ у (z) (k — любое
целое число, k ^ 0) есть решение уравнения
av" + %^v' + \iuv^0. G8)
где т;,==т(г) + йа'(г), д^=: Я + ^ (т'+ ^^а") •
Обе леммы легко доказываются по индукции, исходя из
тождества
оу" + %у' + Ху = 0,
поэтому мы не будем приводить эти доказательства.
2. Уравнение G8) можно записать также в виде
-^{opuv') + V^n9kV--0, G9)
*) См. Никифоров А. Ф.» Уваров В. Б. Специальные функции
математической физики. — М.: Наука, 1979.
324

где функция pft = pft (г) определяется из уравнения
■^(^Р;.)= TfePfe. (80)
Подставляя в (80) вместо функции Т;^ = т^ (z) ее значение,
получим
(;fe_l)^ = JZ2+iL (81)
и, с заменой k на fe — 1,
(^__2) —-=^ + -^Ь±.. (82)
Из соотношений (81) и (82) находим
а' Р^ Pife-^-i
«^ " 9k 9k~\ *
откуда
р, = а*р, (83)
так как ро = р.
3. Уравнение
при |А = О, ачевидно, имеет решение v = const. Следовательно,
уравнение G5) при X = Я^ == —п (т' + —у- сг'Л имеет решение
в виде многочлена л-й степени у^ (z).
Пользуясь тождествами
-^{о9Уп) + К9Уп^(). (84)
и
7 {^9k^k) + ftftpft^ft ^0 (fe = I, 2,..., n) (85)
J*
и обозначениями —^Уп (z) == t;^,?^ (fe = I, 2, ..., л), легко
получить обобщенную формулу Родрига
Р d^
Уп{г)=-^^{опр1 (86)
где Вп — постоянная.
В самом деле, из (84) получаем, используя формулу (83),
Выражая piVn,i из (85) (при /г = 1), получим
325

и так далее. Продолжая этот процесс ао k = п и учитывая, что
Vn,n = const, получим формулу (86).
4. Найдем условия попарной ортогональности многочленов
{Уп (х)] на конечном или бесконечном промежутке (а, Ь).
Применяя к уравнениям вида G6) стандартную процедуру
доказательства ортогональности их решений у^ (л:) и уи (х),
получим
b
(К - К) J Уп (х) Уп {х) 9 W dx ^ |а (х) р (х)\уп (х) уи {х) -
а
-Ук{х)Уп{х)]\ \1
Следовательно, для ортогональности многочленов у^ (х) и yj^ (х)
с весом р (л:) на промежутке (а, Ь) необходимо и достаточно^ чтобы
правая часть последнего равенства обращалась в нуль при х = а
и X = Ь, т. е.
\о (х) р (х) [уп (х) уи (X) - yk (х) Уп {х)]\х=а = 0. (87)
х=Ь
5. Рассмотрим возможные ситуации, когда эти условия
выполняются. Поскольку а (z) — многочлен не более чем второй
степени, то надо рассмотреть 3 ситуации:
1) а (z) — многочлен 2-й степени. Пусть Zi и Zg — нули этого
многочлена. Линейным преобразованием переменной z их можно
перевести в точки Xi == —I и л:2 ~ I- При таком преобразовании
переменной z уравнение G5) (или G6) будет иметь тот же вид.
Поэтому в этой ситуации можно считать, что
а (х) --= I — х^,
2) а (z) —многочлен 1-й степени. Линейным преобразованием
его можно перевести в о (х) = л:, т. е. в этой ситуации можно
считать, что о (х) = х.
3) G (z) — многочлен нулевой степени. Можно считать, что
о{х) .= I.
Рассмотрим все эти ситуации.
Из уравнения G7) находим, что
Первая ситуация: о (х) = I — х^.
Запишем т (л:) в виде т (л:) = ух + 8. Тогда
— -TTJ^T+J' где А--^' В^-^.
По формуле (88) находим
р(х)=={1~х)-^~-'{1+х)^-\
или, вводя другие обозначения, а ^ —А — I, Р — 5 — I,
р(х) = A -хГ{1 +х)^, (89)
326

при этом т (х) будет иметь &ид т (х) = — (а + Р + 2) л: + р — de.
Следовательно, уравнение G6) будет иметь вид
^{{1^хГ+^{1+х)^+^У'\+КA-^х)^{\+хГу^0. (90)
При X = ^7i = —д ^т'-[-^^~^а'Л ==п (а + Р + ^+1) оно имеет
решение в виде многочлена, вычисляемого по обобщенной фор-
(~ 1)^
муле Родрига (86). Полагая в ней В^ =—^—, получим
многочлены Р^г^' (х), называемые многочленами Дкоби:
(91)
Если а > —I Ир > —I, а — —I, & = I, то для многочленов
Якоби, очевидно, выполняются условия (87), так как а {х) р {х) =
= (I —;^)^+1 (I 4- л:)^+^ Следовательно, многочлены Якоби
с параметрами а >—I, р >—1 ортогональны на промежутке
(—1, I) с весом р {х) = (I — xY' (I + х)^у т. е.
1
J Я(^' Р) {х) Pf' Р) (д:) (I - д:)<^ (I + д:)Р dx ^ О, (92)
—1
^сли П Ф k.
Очевидно, что Pf' ^^ (—х) - (—1)*^^^'°^^ (;с).
Частные случаи:
а) При а = р = О получае^! многочлены Лежандра, т. е.
Р^^^'\х)^Р^{х).
б) При а ^ р === —0,5 получаем многочлены Чебышева 1-го рода
Г
Г, (х) ^ ВУ\ -х'-^ [A - хГ-''%
Их можно также записать в виде
Тп (х) == Вп cos {п arccos л:).
Множитель Вд принимают равным
5 ^ (-1ГГ@,5)
'' 2^Г (« -f 0,5)
Эти многочлены являются решениями уравнения
при А, = Х„ == д^ Они попарно ортогональны с весом р {х) ==
= (I —л:2)-о.5 на промежутке (—1, I).
327

в) При а = р = 0,5 получаем многочлены Чебышева 2-го рода
Множитель Вп принимают равным
^ (-1)^Г@,5)(д + 1)
"" 2"Г (п + 0,5)
Эти многочлены являются решениями уравнения
при я =^ А,^ = л (л + 2) и попарно ортогональны с весом р (х) ==
= У I —х^ на промежутке (—I, I).
г) При а — р = V — 0,5 получаем многочлены Гегенбауэра
с: (x)^Dr.Pn''^-'^'''-''"'(X).
^ _ ГBу + я) г (у+ 0,5)
"^ rBv) r(v-f^ + 0,5)
Они являются решениями уравнения
d
dx
1A -xy+^^^y']+K(l -х^у-^'^у = 0
при я — Я^ = п (/г + 2v) и попарно ортогональны с весом р (х) =
= A —a:2)v-0'^ на промежутке (—I, I).
Вторая с и т у а ц и я: а (;^) = X, т (х) = уд; + S.
По формуле (88) находим р (л:) = х^-^е^^, или р (х) = xf^e'^^
(б — I = а). Следовательно, уравнение G6) будет иметь вид
^ j^a+i^VA^t/'l + кх^е^^у = 0.
При Я = Х„==—^ (т^'Н—-^—^1 = —^Т оно имеет решение
в виде многочлена п-й степени уп (х). Чтобы такие многочлены
были попарно ортогональными с весом р (х) = х^/^^ на
промежутке (а, Ь)у необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
условия (87). Очевидно, что при такой весовой функции они будут
выполняться лишь при а = Ои& = оои при условиях, что а > —I
и Y < 0. Не ограничивая обш.ности, можно положить у == —I.
Таким образом, в рассматриваемой ситуации получаем уравнение
■^\х^-^'е-^у'\-\-Хх^е-^у==0.
решением которого при X = Х^ ~ f^ являются многочлены
Чебышева—Лагерра.
328

dx
Третья ситуация: a (x) = I, т (x) = ух + 8,
По формуле (88) находим р (х) = ехр (-^ + S-^) •
Следовательно, уравнение G6) будет иметь вид
ехр (^ + 8х) ^/'} + ;, ехр (^ + 8х) у^О, (93)
При X = Кп = —уп оно имеет решение в виде многочлена Уп (х).
Из условий (87) следует, что такие многочлены могут быть
попарно ортогональными с весом вида р{х) = ехр(-^ h ^-^)
только на промежутке (—оо, оо) и при условии, что у < 0. Не
ограничивая общности, можно положить у = —2 и б = О (на б
ограничений нет). Таким образом, весовую функцию надо брать равной
р (х) = е~^^ и уравнение (93) принимает вид
совпадающий с уравнением для многочленов Чебышева—Эрмита.
Отметим, что из обобщенной формулы Родрига для всех
рассмотренных здесь семейств многочленов \уп {х)\ следует (см.
§§2 — 4) интегральное представление
п\ Вп С o^'iDpiDdl
^^^W— 2ni р(х) J (|__д:)/г+1
С
где С — замкнутый контур, охватывающий точку % = х.
Глава XVI
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Сферические функции столь же употребительны в
математической физике, как и цилиндрические функции. Необходимость
пользоваться ими появляется, например, при решении задач^
рассмотренных в ч. I, методом разделения переменных, если
использовать сферические координаты.
Если мы будем искать решения уравнения Лапласа Aw = О,
записанного в сферических переменных г, 9, ф, в классе функций
вида F (г) Y F, ф), то для F (г), Y F, ф) получим уравнения
-^{r^F)^lF=^0, A)
sine dQ \ аэ / ' sin^e аф^ ' ^ ^
Определение. Непрерывные в области О < 6 < я
О < ф < 2я решения уравнения B), такие, что Y {в, ф + 2я) ^
= Y (9, ф), называются сферическими функциями.
Мы рассмотрим сначала семейство сферических функций, не
зависящих от переменной ф.
329

§ 1. простейшие сферические функции
Если сферическая функция Y F^ ф). не зависит от переменной
Ф, то уравнение B) принимает вргд
1 d / . г. dY
sin е dQ
(sin9^)+Xr = o: C)
Произведя в нем замену независимой переменной по формуле
I = cos 0, получим
|-{A-Г^)^} + ^К-^0. D)
Это уравнение Лежандра.
Непрерывные на отрезке [—1, П ретления этого уравнения\,
как мы видели в § 2 гл. XV, имеются только при значениях А, =^^
= п {п + 1), где п —.произвольное целое неотрицательное
число, и этими решениями являются многочлены Лежандра Р^ (^).
Следовательно, сферическими функциями, не зависящими от
переменной ф, являются многочлены Лежандра от cos 9, Р^ (cos 9),
й только они.
Э^и функции иногда называют зональными сферическими
функциями. Мы подробно рассматривали свойства многочленов
Лежандра, поэтому нет необходимости перечислять свойства
простейших сферических функций Р^ (cos 9).
§ 2. Присоединенные функции Лежандра
1. Если ограниченные решения уравнения B) искать в классе
функций вида Ч (9) Ф (ф), Ф (ф + 2я) = Ф (ф), то для функций
Ч^ (9) и Ф (ф) получим уравнения
^.А(ГзШ9) + (Я--Н&¥)^-0' E)
Ф'' + \1Ф -= 0. F)
Из условия периодичности функции Ф (ф) находим \х = k^"
{vjxt k — целое число). Поэтому
Ф (ф) = Л cos кц> + В sin ^ф.
В уравнении E) произведем замену переменной cos 9 — |,
Получим уравнение
d^W г,с, d4^
k^
при k = о оно совпадает с уравнением Лежандра. Нам
требуется найти непрерывные на отрезке [—1, 1] решения этого
уравнения. Пусть ^xi^)—такие решения. Тогда функции
АЧ^ (cos 9) cos /гф + ST^ (cos 9) sin ^ф и будут искомыми
сферическими функциями.
Рассмотрим подробнее решения уравнения G).
330

Определение. Непрерывные на отрезке [—1, 1 ] реше*
ния уравнения G) называются присоединенными функциями
Лежандра.
Для отыскания их произведем замену функции по формуле
¥Ш ^A -l^fl^zil), (8)
Для функции Z (I) получим уравнение
A — 1^) г" — 2l{k+\)z'+ {%-k{k+ \)]z = 0 (9)
или
d
dl
A - W^' -щ] + [X~k{k i 1)] A _ ly 2_o. A0)
Такое же уравнение мы получим из уравнения Лежандра E)
(гл. XV), если продифференцируем его k раз.
Но уравнение Лежандра имеет непрерывные и k раз
дифференцируемые на отрезке [—I, I] решения только при значениях А,,
равных Я^ = л (л + 1), где л — произвольное целое
неотрицательное число. Этими решениями являются многочлены Лежандра
Рп (!)• Следовательно, только при значениях X = Х^ уравнение
A0) имеет непрерывные на отрезке [—1, 1 ] решения. Этими
решениями являются производные fe-ro порядка от многочленов
Лежандра Рп (I).
Следовательно, присоединенными функциями Лежандра будут
функции вида
PUD^H-tr'-^PniD- (И)
Очевидно, Р^г (I) = Рп (I). Поскольку производная fe-ro порядка
d^
—-^РпЦ) является решением уравнения A0), то, следовательно,
справедливо тождество
' ^^[П (П + 1) - k (k Н- 1)] A - Х^)^ -^Рп (Х) ~
- - (я - Aj) (п + fe + 1) A ~ ^Г j^ Рп (X). A2)
Замечание. Согласно теореме § 1 гл. XIV всякое
решение уравнения G) при X ^ п (п + I) (п — целое, п ^ 0), линейно
независимое с присоединенной функцией Лежандра Рп A) (k > 0),
имеет в точках | = ±1 особенности вида Ai A — ^)~^/^ и
^2 A + g)-^/2.
2. В дальнейшем нам понадобится только одно свойство этих
функций — ортогональность.
331

Присоединенные функции Лежандра ортогональны на
промежутке [—1, 1] с весом р (х) = 1:
1
J Рп {х) Ps (х) dx=0 при пфS. A3)
—1
Доказательство. Введем следующее обозначение:
A'n,s-- \Рп(^)Р' (x)dx.
Используя формулу A1) для Рп (х) и Ps {х)у получим
4.s== \{l-~XrY^Pn{x)YFPs(x)dX:
—1
dx^
1
^k-l
= (^-^ПтРп(х)^-^РАхП-Г
dx^
-J
^k-l
dx'
.k-\
Ps(x)
dx
i^-^r-frPnix)
dx.
Мы здесь произвели интегрирование по частям. Результат
подстановки пределов интегрирования в первом слагаемом, очевидно,
равен нулю. Поэтому
An, s~-~ J
^?.w^
— 1
dx
dx
o-^r^/'.w
dx.
Второй множитель подынтегрального выражения преобразуем,
пользуясь тождеством A2) (заменив в нем k па k — 1). Получим
А^ —
^k-\
rlk-\
или
^П- k-\-\) [П \- k) \ -j-^ л {Х)(\- Х2)*-' -^ Р„ (Х) dx,
A4)
Л*, ..= (/г-А;+1)(п-Ь^)Л*7'.
Применяя формулу A4) к An, I, An, s и т. д., получим
Поскольку
(n~-k)\ '^"^■
Лп. S =- \ Рп (х) Ps .(х) dx = о, если пф8,
— 1
1
<„= jP%ix)dx=^^,
A5)
A6)
332

то
An.s== JP*(x)P*WdA:=0 при n^5
a''
|Ps1f = iJ
(tiJrk)\
■k)\ 2ti-\-\
Замечание. Из формул A3) и A1) следует, что
производные k'TO порядка многочленов Лежандра ортогональны на
промежутке [—1, 1] с весом р {х) = A —х^)^.
1^
W
ц1/
0^
и
П9
и/
ПА
U,U
Up
in
f 7
1/
',^
Ч
\>
\
vN
V
\
/
/
/
/
/
,/
у
'у
/
/
/
k
/
/
p's
'^^
/
/
/
/
/
/
/
/
\l
\
\l
v
\!
jr
0 OJ 0,2 0,3
0,4 0,5 0,6
Рис. 45.
0,7 0,8 0,9 W
Ha рис. 45 приведены графики присоединенных функций
Лежандра.
§ 3. Фундаментальные сферические функции
1. Согласно § 2 функции Чу^ (cos 0) cos ^ф и ¥^ (cos 0)sin /гф
являются сферическими функциями. Здесь ^-^ (|) — непрерывные
на отрезке [—1, 1 ] решения уравнения G) (§ 2). В § 2 мы нашли
все возможные решения этого уравнения. Это суть
присоединенные функции Лежандра. Таким образом, функции
у\ (9, ф) = Р\ (cos 9) sin ^ф
ГГ (9, ф) = Pi (cos 0) cos /гф, Yl @, ф) - Pi (cos 0) = Pn (cos 6)
являются сферическими функциями. Их называют также
фундаментальными сферическими функциями п-го порядка.
Очевидно, что функции
Yn (9, Ф) ■
■ S с,7^(е, Ф)
A7)
333

будут также сферическими функциями. Они называются
сферическими функциями п-го порядка.
При % = п {п + \) уравнение (I) имеет решения
F^{r)=r- и F^{r) = --^,
Следовательно,
иЛг, 9, ^) = r-Y,{Q, гр), и,{г, 9, (р):=-^ГЛ9, ф) A8)
являются гармоническими функциями. Они называются шаровыми
функциями п-го порядка.
Таким образом, сферические функции п-го порядка F« (Э, ф)
являются значениями шаровых функций л-го порядка на
единичной сфере.
2. Сферические функции обладают свойством ортогональности
на единичной сфере:
J J Yn{Q, ф)Кв(9, ф)б/о' = 0, если пф8,
или
j JF„(9, Ф)^з(9, ф) sin 9 d9 ^ф = 0. A9)
о о
Для доказательства этого заметим, что свойством
ортогональности обладают фундаментальные сферические функции:
2л Я
\ \Уп{^. ф)>Т@, Ф)81п9^9б/ф = 0 при {п, k)^(s, р), B0)
о б
ибо
2 я я
J J V^n (9, Ф) П (9, Ф) Sin 9 d9 ^ф --
2я 1
f Sin Аф Sin/7ф ^ф \ Pn{l)^s(l)dl = 0
о о
2я
при (л, k) ф (s, р) (мы для определенности положили & > О,
р > 0). Если к Ф р, то первый интеграл правой части равенства
равен нулю. Если же k = р, яо п Ф s, то второй интеграл равен
нулю.
Из ортогональности фундаментальных сферических функций
и из формулы A7) следует ортогональность A9).
Вычислим квадрат нормы
2я я 2я 1
i Yl If = J J [F* @, Ф)]' Sin QdBd^=\ sln^ Лф йГф J [P* {Dfdt
0 0 0—1
334

Следовательно,
||^fe||2__ 2я (д + /еI ( Ь ^^0,
П^|| ~ 2д+Г(.1-^I ^' ^-~1 2, fe = 0. ^^^^
3. Теорема. Шаровые функции r^-Y^ (G, ф) являются
однородными гармоническими многочленами п-й степени по
переменным X, у, Z,
Доказательство. Поскольку
гле, Ф)== 1] с,г^(9, Ф),
k——n
нам достаточно доказать теорему для функций r'^Yn (9, ф). Для
определенности рассмотрим r'^Y'^^{Q, ф) и А > 0. Тогда
7^ (О, ф) - Р^п {I) cos ;^ф :- A - fff' -^ Рп {I) cos ^ф =.
^ A ™ |2)^/2^ у a^g^-2^C0S Аф =- A -™- |2)^/2 у bql'^-'^^-^ZOSk^,
где g = cos 0. Очевидно, достаточно доказать теорему для
функций вида г"^ sin^0 (cos 0)'^-2<7~^ cos ^ф. Для таких функций мы
имеем
/-" sin^ 6 (cos 9)"--2^~* cos ^ф -=
= г* sin^ 9 Re {е'^"^) r'^^r^-^^-k (cos 9)'^-2G-^ ^^^
-= Re (х + iy)^ (х2 f у2 _^ 22J'7г«-2^-^
Очевидно, это однородный многочлен л-й степени.
Фундаментальные сферические функции можно рассматривать
как собственные функции краевой задачи:
Найти значения параметра Я и отвечающие им решения
уравнения
непрерывные в области О<:0<я, 0<ф<2л; и такие, что
7 @, ф + 2n) = 7 @, ф). Числа %ri = п {п + 1), где п — целые
неотрицательные числа, являются собственными значениями этой
краевой задачи, а фундаментальные сферические функции Yn @, ф),
Yn @, ф), 7,7^^ @, ф), fe ^ 1, 2, ..., Пу — отвечающими им
собственными функциями.
Совокупность фундаментальных сферических функций
исчерпывает все линейно независимые решения уравнения B),
непрерывные в области О<0<я, 0<:ф<2л;и такие, что
Г @, ф + 2я) =^ Y @, ф).
Эта совокупность замкнута относительно семейства всех
непрерывных в области О<0<:я, 0<ф<2я функций таких, что
Y (в, ф + 2я) -= Y @, ф). Мы опускаем доказательства этих
утверждений.
335

Пример. Определить температуру внутренних точек однородного шара
радиуса R, если на поверхности его поддерживается нулевая температура, а
начальная температура равна / (г, 9, ф).
Математическая постановка задачи: требуется найти решение уравнения
Аи = —2" "/ в области 0=^г</?, 0~^0^я, 0^ф:^2я, />0,
удовлетворяющее краевым условиям
и (/?, 9, ф, О = О, \и (О, 9, ф, /) К оо,
B2)
и (г, 9, ф -|- 2я, i) = и (г, О, ф, О
и начальным условиям и (г, 9, ф, 0) = / (г, 9, ф).
Решение. В классе функций вида Л (г) Y (9, ф) В (/) найдем решения
уравнения Аи = —у г//, удовлетворяющие только краевым условиям. Разделяя
переменные, находим
В' + а^аВ = О,
дУ \ , 1 dW
I дУ \ 1 6W
\ C9 / sin2 9 (Зф2 ' ' ^ '
B4)
sin 9 а9
|Г (9, ф)|<оо, Г (9, ф + 2я) = Г (9, Ф),
-^ (гМ') + (аг2 - Я) Л - 0. I Л @) I < со, Л (/?) - 0.
Решениями задачи B3) при Я = /г («-f" ^) являются сферические функции
^п (в, ф). Если в уравнении для А (г) произвести замену функции по формуле
А {г) — 2 (г)/)/^/-, то для 2 (г) получим уравнение
2" -\ г' -f
г
('+4У
о,
Г"
общее решение которого можно записать в виде
Следовательно,
Из условия ограниченности А @) находим М = 0; М можно положить равным 1.
Таким образом, А (г) = —j:=r J^ , ^^{Уаг). Из условия А (R) = О получим
уравнение для определения а:
Пусть положительные корпи этого уравнения суть
Hi, 7i> 1^2, n, • • •» f^s, n> • • •
Тогда ct^ „ = 1^5^«/^^- Решения задачи B4) имеют вид
Обращаясь к уравнению B3), находим
^. п-с, - ^'
^5, а'
ЗЗГэ

Следовательно, искомыми частными решениями исходной задачи,
удовлетворяющими только краевым условиям, будут функции
«VI. „
^..я« ''' '-и^„+,/2(-^г)к„(е,ф).
Решение исходной задачи можно написать в виде
оо оо
»<'.«.-'.~ssi:yrv,«(^')x
n=Q s:=\ k^O ^
«V|, n
X [C,, „. ,/f, F, Ф) -I- D,, „_ ,K-* F, Ф)] e '
Коэффициенты Cs,n,k и Ds^n.h определяем из начальных условий, используя
ортогональность функций Y^ (G, ф) и функций Бесселя. Получим
'^s, тг, fe — 1—7 75 гт" А
n8(rt + /e)![/„+,/2(^.„)f/?2
/^ 2Я Я
X
0 0 0
/? 2Я Я
п {n~-k)\{2n-{-\)
^s, п. k — 5 7—? То" ^
R 2л я
X
0 0 0
где 8 = 1, если k=j=0, и 6 = 2, если ^ = О
/< 2л я
I 1 1^'^'^('' ^' ф)^«+1/2 (-^^)^Г'(9' Ф)зше^г^е^Ф,
ЗАДАЧИ
1. Вычислить Рп @).
2. Ортогональны ли на отрезке [О, 1] производные ^-го порядка
многочленов Лежандра Ргп (л:) (k фиксировано)? Если да, то с каким весом?
3. Решить задачу 6 гл. II при произвольных начальных данных, поместив
начало координат в закрепленный конец струны.
4. Найти напряженность электростатического поля внутри и вне полой
сферы, верхняя половина которой заряжена до потенциала Vi, а нижняя—до
потенциала V^-
5. Найти разложение по сферическим функциям поверхностных зарядов,
индуцированных на идеально проводящей заземленной сфере точечным
зарядом е, находящимся: а) внутри сферы; б) вне сферы.
6. Решить задачу о поляризации диэлектрического шара радиуса R в поле
точечного заряда, если диэлектрическая постоянная е = е^ при г < /? и е == eg
при г > R.
7. Найти потенциал простого слоя, равномерно распределенного по
круглому диску.
8. Вычислить потенциал во всех точках проводящего шара с проводимостью
о в случае, когда ток / входит в один его полюс (G = 0) и вытекает из полюса
G = я.
9. Внутри сферы, на поверхности которой происходит теплообмен со средой
нулевой температуры, помещен точечный источник мощности Q. Найти
стационарное распределение температуры внутри сферы,
337

10. Найти потенциал точечного заряда, помещенного между проводящими
заземленными концентрическими сферами г = Ri и г =z R^. Определить также
плотность поверхностных зарядов.
11. Найти стационарное распределение температуры в шаре радиуса R,
часть поверхности которого Si (G ^ а) имеет температуру щ = const, а
остальная часть 52 — нулевую температуру.
12. Шар радиуса R нагревается плоскопараллельным потоком тепла
плотности q, падающим на его поверхность, и отдает тепло в среду с нулевой
температурой по закону Ньютона. Найти стационарное распределение температуры.
13. Решить задачу о колебаниях газа в сферическом сосуде, вызванных
малыми колебаниями его стенки, начавшимися с момента / = О, если скорости
частиц стенки направлены по радиусам и величина их равна Рп (cos G) / (t),
где / @) = /' @) = 0.
14. Найти собственные колебания сферы при краевых условиях первого,
второго и третьего типов.
15. Решить задачу об остывании шара радиуса R, на поверхности которого
поддерживается нулевая температура. Начальная температура равна / (г, G, ф)
Глава XVII
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
О ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ
Широкий класс специальных функции! дают решения гипергео-
метрического уравнения
г{1 —Z) хю" + [у — {а + ^ + \)z]w' — a^w = 0. A)
Это уравнение имеет три особые точки: Zi = О, Z2 = I nzs = оо.
Построим фундаментальные системы решений уравнения A)
в окрестности каждой особой точки. Полагаем, что у т^ О,—1,
-2, ...
1. В окрестности особой точки Zi = О будем искать решение
в виде обобш.енного степенного ряда
со (г) = 2<^A + QiZ + a^z'^ + ... + a^z^^ + ...).
Подставляя этот ряд в уравнение A) и приравнивая нулю
коэффициенты при всех степенях z в левой части уравнения,
найдем а и an. Из равенства нулю коэффициента при z^~^ находим
Oi = О и 02 = I — у. Если взять а = ai, то из равенства нулю
коэффициентов при степенях г, г^, ... в левой части уравнения
найдем
''i- 1-7 ' • • •' ''~~ п\{у)п
где {х)п ==^ X (х + 1) ... (х + п — 1), {x)q ^ 1. Таким образом,
при 0 = 0 получим формальное решение в виде степенного ряда
оо
F(a, р, Y, ^)^l-bj]if|^^^ B)
Этот ряд сходится в круге \z\ < 1. Следовательно, в этом
круге функция F (а, C, 7> ^) является фактическим решением
уравнения A). Она называется гипергео метрической функцией,
438

Итак, одним из решений уравнения A) в окрестаости особой
точки Z = О является гипергеометрическая функция
Wj_ (г) = F (а, р, 7, z),
2. Чтобы найти второе решение уравнения A) в окрестности
особой точки Zi = О, произведем замену функции по формуле
W = z^~^u (z). Подставляя это выражение в уравнение A),
получим уравнение для функции и (z):
z{l —z) и' + W ~{^' + Р' + 1J] и' -a'P'w =0,
где а' = а + 1 — у, [3' = р + 1 — у, у' = 2 — у. Его решением
в окрестности точки г === О, согласно предыдуш,ему, является
функция
W (г) = /^ (а + 1 - у, р + 1 - у, 2 - у, z).
Следовательно, функция
w^ (г) = z'-y f (а + 1 — у, р + 1 — у, 2 — у, г)
является решением уравнения A) в окрестности точки г = 0.
Очевидно, w^ (г) является линейно независимым с w^ (г) решением.
Таким образом, функции w^ (г) и Wc^ {z) образуют фундаментальную
систему решений уравнения A) в окрестности особой точки z^ = 0.
3. Для построения фундаментальной системы решений
уравнения A) в окрестности особой точки z^ ~ 1 произведем в
уравнении A) замену независимой переменной z = \ — g. Получим
уравнение
где у' = а + р + 1 — у. Следовательно, фундаментальной
системой решений уравнения A) в^окрестности особой точки z^, = 1
будут функции ^
Ws (г) =- /^ (а, р, а + р + 1 — у, 1 — z)
и
Щ B) - A — ^)v-a-P /J' (y _ р, у — а, у + 1 — а — р, 1 — г).
4. Фундаментальная система решений в окрестности особой
точки Z = оо строится так. Сначала в уравнении A) производится
замена независимой переменной ^ --= 1/2, а затем замена функции
W = 1^и. Тогда для и A) получим уравнение
g(l-g)^-|^ + [Y'-(a'-fP'+l)g]-|--a'P'« = 0,
где а' = а, р' == 1 + а — у, у' = 1 + а — р. Следовательно,
одним из решений уравнения A) будет функция
B) = -Lf (а, 1+a-Y, 1+а-р, -L) .
339

Так как уравнение A) симметрично относительно а и р, то
функция
,(z) = ^f(P. 1+P-v, 1+Р-а,^)
"""■■ г^
также будет решением уравнения A). При аф^ ^в (^) и Wq {z)
образуют фундаментальную систему решений.
Очевидно,
F(a, р, Y, г) - F (р, а, 7, 2).
Непосредственно устанавливаются формулы
^F(a, |5, 7. 2) = MiiEkF(a-b^, р + ^, Т + ^. 2).
5. Из представления F (а, р, у» ^) ^ ^ВДе ряда B)
непосредственно следует, что для целого положительного числа п F (—п, Р,
7, 2) есть многочлен степени п.
Так,
Через гипергеометрическую функцию при соответствующих
значениях параметров а, Р, у выражаются элементарные и другие
функции. Например,
F(-v, 1, 1, z) = {l-z)\ f A, 1, 2, z)=-^]n{l-~z),
6. Для Re Y > Re p > 0 справедливо интегральное
представление
1
P («. p. Y. г) = г(р)У^_р) j ^'~' A - 0^"""' A - iz)-^dt. C)
0
Действительно,
(P)fe Тф + к) Г G) _r(p + fe)rG-P) Г G) ^
G)ft ГG 4-^) ■ Г(Р) - rG + fe) • Г(Р)ГG-Р) -
Г(Р)ГG-Р)
0
т. е.
(P)fe _ Г (у) [-.p+^-i. /xV-P-i^/ D)
0
Заменяя jt^b ряде B) no формуле D) и меняя порядок
суммирования и интегрирования, получим
^(«. р. V. ^)= гтг'Гр! 1''-' A -О-'-' |;^н'*.
О /г=0
340

Поскольку
оо
то из последней формулы и следует C). Заметим, что правая часть
формулы C) является аналитической функцией переменной z во
всей плоскости с разрезом по лучу A, оо). Следовательно, формула
C) дает аналитическое продолжение гипергеометрической
функции на всю плоскость с разрезом по лучу A, оо).
7. Функции F (а, у, г) = lim F (а, р, у, г/р) называются
вырожденными гипергеометрическими функциями. Подставляя
в уравнение A) ^/р вместо z и переходя затем к пределу при р -> оо,
получим уравнение, решением которого являются вырожденные
гипергеометрические функции
zw" + (у — г) w' — aw =^ 0.
Совершая такую же процедуру в ряде B), получим представление
F (а, Y, z) степенным рядом
F(a^ Y, z)^y^^zK
который сходится всюду.
Очевидно,
jLFia,y,z) = -^^F{a-{-k, y + k,z), k=-l,2,...
Так же, как и для F (а, р, у, г), получается интегральное
представление для F (а, Y, z):
О
8. Через вырожденные гипергеометрические функции
выражаются многие функции. Например,
^v(^)-(-|-)^T(^^(^ + T-' 2v+l. 2г)-).
*) Более подробные сведения о гипергеометрических функциях читатель
найдет в книге: Лебедев Н. П. Специальные функции и их приложения. —
М.: Физматгиз, 1963.

Дополнение
ПОНЯТИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. б-ФУНКЦИЯ
1. Мы введем понятие обобщенных функций методом, аналогичным методу
введения действительных чисел с помощью последовательностей рациональных
чисел. Введение действительных чисел имеет целью выполнимость таких
операций, как извлечение корня и взятие логарифма. Введение обобщенных функций
имеет целью сделать всегда выполнимой операцию
дифференцирования.
Последовательность рациональных чисел {an} называется
фундаментальной, если для любого рационального е > О существует такое п^, что для всех
/г и m > «о
I ап~-ат\<ь:.
Фундаментальные последовательности {а^} и {Ьп} называются
эквивалентными, если
lim \an — bn\ = Q.
П->оо
Эквивалентные последовательности определяют действительное число.
Представителем этого числа является любая из эквивалентных последовательностей.
2. При определении обобщенных функций мы за исходные возьмем
непрерывные функции, определенные в интервале (А, В), —сю ^ Л < Б ^ сю.
Последовательность {/п (х)) непрерывных на (Л, В) функций называется
фундаментальной на (Л, В)у если существуют целое число k"^ О и другая
последовательность непрерывных на (Л, В) функций {Fn (х)} такие, что выполняются
следующие два свойства:
1) f(*'(^) = /„W:
2) последовательность {Fn (х)} равномерно сходится на всяком отрезке
[а, Р]С(Л, В) {Fn(x)zX).
Из определения фундаментальной последовательности следует
Теорема 1. Если последовательность непрерывных на (Л, В) функций
{fn W} равномерно сходится на всяком отрезке [а, р] cz (Л, Б), то она
фундаментальна.
В самом деле, здесь Fn (х) = fn (х) и ^ = 0.
Теорема 2. Если {fn (х)} — фундаментальная последовательность
функций, обладающих непрерывными производными т-го порядка f\!^^^ {х), то
последовательность [f^J^^ {х)] также является фундаментальной.
Доказательство. Для {fn W} существуют число k ^ О и
последовательность {Fn (х)), обладающие свойствами 1) и 2). Для {f^^^ (х)] вместо k
берем ^-|-m и ту же последовательность {Fn(x)}. Они, очевидно, обладают
свойствами 1) и 2). Следовательно, {f^^^ (х)] — фундаментальная
последовательность.
Последовательность функци^ {fn (х)) называется равномерно ограниченной
на (Л, Б), если существует такое число М, что | /п (л:) | ^ -М для всех п и для всех
X е (Л, В),
Теорема 3. Если последовательность непрерывных на (Л, В) функций
равномерно ограничена на (Л, В) и ^равномерно сходится на всяком отрезке
[а, р] с: (Л, л^о) и на всяком отрезке [а, ^] а {х^, В), то она фундаментальна
на (Л, В).
342

Здесь Xq ^ (Л, В).
Доказательство. Возьмем в качестве Fn (х) интеграл Fn (х) =-
X
'= \f п (t) dt, а k= I. Тогда свойство 1), очевидно, будет выполнено. Докажем
Хо
справедливость свойства 2). Возьмем 8 > О и [а, р] cz (Л, В). Пусть Л < а <
< -^0 < Р < ^- По условию I fn (t) I ^ М. Нам надо доказать равномерную
сходимость последовательности {Fn (х)) на отрезке [а, р]. Следовательно, надо
рассматривать jc е [а, р]. Для таких х имеем
I Fn (Х) ~ Fm (X) I
\{fn{f)-fm{t))dt
\ I fn it) - /m (/) И/ U j I fn @ - fm it) I dt ^
'0 I a
, 8
j |/n-/mM/+ J \fn-fm\dH- I l/n-ZmM^
6M
д:о +
6M
В силу равномерной сходимости последовательности {fn @) "^ отрезках
число Hq, что на этих отрезках будут выполняться неравенства
8
\ ^' ^^~ ~^1\Т " I -^0 + -ртт J Р найдется такое целое Еоложительное
10 Hq, что
fn it) ~ /m it)
для всех m, м > «о.
3(р™а
Тогда для п, m > По
+ T(Fr^(p-^«-w)
Пусть [а, Р] С (А, Хд). Тогда
fn {X) - fm W 1^ I I /n (О -/m if) I rf^ =
a
8
'^''^ТаГ xo
--= \ \fn it) - fm it) MH- J I fnit) - fm it) I dL
Xo—'
4Ж
По условию теоремы последовательность {fn it)) равномерно сходится на отрезке
а, '% —- . Следовательно, существует Hq (g) такое, что для п, т^ По (8)
8
\fnit)~fmii)\<
2 (Хо — а)
343

на отрезке а, Хо jyt • Поэтому для п, m > «о (е) и л: е [а, Р]
+ J \fnit)~fm(t)\dt<^ +
2М -r-j-r = е.
4М
4М
Если [а, р] cz (лго, В), то аналогично получаем
3
I Еп (Х) -~Fm(x)\^ j I /п (О - /т (О I at =:
■^0 +
4Л1
J \fn{t)~fm{t)\dt-\- J |/n@--/m(/)|
dt-
Xo +
4M
<2M.-
(p-^«-w)<^-
4M ^ 2 (p — Xo)
Следовательно, последовательность {Fn (x)} равномерно сходится на всяком
отрезке [а. Pic (Л, В). Таким образом, свойство 2) выполняется. Теорема
доказана.
Рис. 47.
Замечание. Если последовательность {fa (х)) фундаментальная, то
и последовательность < fn(t) dt\ фундаментальна.
Пример 1. Рассмотрим последовательность функций {gn (х)}:
I
^71 (Х) =
1
1+е-
и интервал (—оо, со) (рис. 46).
Эта последовательность равномерно ограничена числом 1. На всяком отрезке
[а, р] С (—со, 0) она равномерно сходится к нулю. На всяком отрезке [а,
р] С (О, оо) она равномерно сходится к единице. Таким образом, выполняются
условия теоремы 3. Следовательно, последовательность {gn (х)} фундаментальна.
Пример 2. Рассмотрим последовательность функций {fn (х)}:
fn (х)
V'k'-
л интервал (-—оо, оо) (рис. 47). На всяком отрезке [а, р] d (—-со, 0) или [а,
Р] d (О, оо) эта последовательность равномерно сходится к нулю. Однако она
344

не является равномерно ограниченной. Последовательность функций {Fn W},
X
где Fn (х) = 1 fn (О dt, также равномерно сходится на всяком отрезке [а, Р],
—сю
принадлежащем интервалам (—со, 0) или (О, ею), и равномерно ограничена
(числом 1) на интервале (—схэ, оо). Следовательно, по теореме 3 она
фундаментальна. А тогда по теореме 2 последовательность {fn @) также фундаментальна.
Пример 3. Рассмотрим последовательность функций {фп (х)}, где
Фл(^) — кусочно-линейная непрерывная функция, равная нулю вне интервала
(—1//г, 1/п) (рис. 48). На всяком отрезке [а, Р], принадлежащем интервалам
Рис. 48.
(—оо, 0) или (О, оо), она равномерно сходится к нулю. Однако она не является
равномерно ограниченной. Последовательность функций {Фд (л:)}, Фд (х) —
X
= фл@ dt, также равномерно сходится на всяком отрезке [а, Р], принадле-
—оо
жащем интервалам (—оо, 0) или (О, оо), и равномерно ограничена (числом 1)
на интервале (—оо, оо). Следовательно, по теореме 3 она фундаментальна.
А тогда по теореме 2 последовательность {фп (х)} также фундаментальна.
Пример 4. Рассмотрим последовательность функций {i|)n (д-)}:
^п (X) = ■
1/(я^)|
и интервал (—оо,оо)(рис. 49). Поскольку последовательность функций {¥л (а:)},
X
где ^п (х) = "^п (О dt, удовлетворяет условиям теоремы 3, она фундаментальна.
—сю
Следовательно, по теореме 2 фундаментальна и последовательность {\|>/г {х)}.
3. Две фундаментальные последовательности {fn {х)} и {gn (х)} называются
эквивалентными, {fn {х)} --^ {gn (л:)}, если существуют целое число ^ ;> О и две
другие последовательности {Fn {х)}, {Gn (х)} такие, что
1) 4'Ч^) = /Л^). Ol^'Ux)^gni^)\
2) на всяком отрезке [а, Р] cz (Л, В) последовательность {fn (х) ~ Gn (х)}
равномерно сходится к нулю: Fn (х) — Gn (х) zt 0.
Так, последовательности примеров 2, 3, 4 эквивалентны друг другу. Они
эквивалентны также последовательности {g'^ (х)) (пример 1).
Определение. Каждый класс эквивалентных фундаментальных
последовательностей опрелеляет обобщенную функцию f (jc), представителем которой
является любая из последовательностей этого класса. Мы будем также говорить,
что фундаментальная последовательность {fn (х)} определяет обобщенную
функцию / (jc), и писать: / (х) = {fn (х)}.
Так, последовательность {gn (х)) (пример 1) определяет единичную функцию
Т](
0, л:<0,
1, х<0.
Следовательно, единичная функция т] (х) является обобщенной функцией.
^) = {
345

в силу леммы на стр. 348 и теоремы 1 всякая непрерывная на (Л, В) фун1{--
ция также является обобщенной функцией.
Последовательности 1^; (л:)|, |/„W[, {ф^М}» {'^л W} примеров 1—4
определяют обобщенную функцию д (х) (с особенностью в точке л:~0),
которая называется 6-фунщией Дирака. Очевидно, б-функция б (х) является
четной функцией б (—х) = б (х),
4. Линейной комбинацией а/ -f- Рф (а и Р — постоянные) двух обобщенных
функций f (х) и (р (х), определяемых фундаментальными последовательностями
{fn (х)} и {фп (л:)}, называется обобщенная функция F (х), определяемая
фундаментальной последовательностью {ocfn (х) -{- рфп (х)}.
В частности, сумма и разность двух обобщенных функций / (л:) и ф (х) есть
также обобщенная функция.
Произведением обобщенной функции г](х — Xq) (т. е. единичной функции)
на непрерывную на отрезке [а, Ь] функцию ф (л:), ц (х — л^о) ф (х), будем
называть обобщенную функцию, определяемую фундаментальной
последовательностью {gn (х — Xq) ф (л:)}, где gn {х) — функции примера 1, а
ф W =
Очевидно,
Ф(^), х^Ь,
ф (л:), а^л:^
L ф (а), л:^а.
\Ь,
Ц{х-х,)^{х)-^^^ ;.<;со.
Произвольную кусочно-непрерывную на [а, Ь] функцию ф {х) с точками разрыва
JCi, х^у ...J Xh (а < л:1 < л:2 < ... < л:/^ < ^) можно записать в виде
^ {х) = {ц{х— a) — y\ (x — xi)] фо {х) -{• ...
" • + [11 (л: — л:.) - т] (л: — х,^^] Ф^ (л:) Н + [Л (^ — \) ~Ц{х — Ь)] ф^ (х),
где
(^(Xi + l). X-^Xui
ФН, Xi^
ф. (X)
: Xi + l
^(^i),
:xi
A = 0, 1, ^,..
л:« — a, X,
"'k+f
■b,
цI {x) — непрерывные на всей прямой (—оо, со) функции. Их произведения на
единичные функции ц {х — xt) суть обобщенные функции. Следовательно,
произвольная кусочно-непрерывная функция есть линейная комбинация обобщенных
функций и потому также является обобщенной функцией.
5. Пусть {Qn} — последовательность положительных чисел, стремящихся
к нулю.
Определение. Последовательность непрерывных функций {^п (х))
называется ^-последовательностью^ если эти функции обладают следующими
свойствами:
а) бп (jc) > О в интервале (—8/г, 8^) и равна нулю вне его;
б) Ьп (х) имеет всюду производные всех порядков;
в)
J bn{t)dt=\.
Приведем пример б-последовательности. Определим функцию а (х)
следующим образом:
е-^1\ л:>0,
а (л:) =
I О, JC^O.
Эта функция имеет производные всех порядков. Функция
Рп (X) = а (л: -f 8п)-а (е^ — х)
346

положительна на интервале (—8,г, 8д), равна нулю вне его и имеет производные
всех порядков. Пусть
оо
II Рп II = J Рп (О dt.
-г—СЮ
Тогда
оо
—оо
Следовательно, последовательность {Рп (л:)/||рд ||} есть б-последовательность.
Теорема 4. Всякая ^-последовательность фундаментальна.
Доказательство. Последовательность функций
X
VnW= J ^n{t)dt
ОО
равномерно ограничена, так как O^VnW^ 1, и на всяком отрезке [а, р],
не содержащем точку л: = О, равномерно сходится к нулю, если [а, р] С (—оо,
0), и к единице, если [а, Р] с (О, оо). В самом деле, в первом случае ([а, Р] с:
С (—оо, 0)) найдется такое По» что для всех д > До имеем 8д< | Р |.
Следовательно, отрезок [а, р] будет лежать левее всех интервалов (—8д, 8^), п > По»
Поэтому все функции 671 (jc) с д > Hq будут равны нулю на [а, р]. Отсюда
следует, что Уп{х) = О на [а, Р] для д > До- Во втором случае ([а, Р] с (О, оо))
найдется такое До, что для всех п'> щ имеем 8п < сх. Следовательно, отрезок
[а, р] будет лежать правее всех интервалов (—8д, 8д), д > До. Поэтому для
л; е [а, р] и д > До
-00 -8^
Таким образом, мы находимся в условиях применимости теоремы 3, согласно
которой последовательность [уп {х)} фундаментальна. А тогда по теореме 2
последовательность {бд (л;)} также фундаментальна. Теорема доказана.
Замечание. Очевидно, какова бы ни была константа С,
последовательности {Сбд (jc)} также фундаментальны.
Легко показать, что все б-последовательности эквивалентны друг другу
и последовательностям примеров 2—4*). Следовательно, всякая
б-последовательность {бтг {х)} определяет б-функцию б (л;); б-последовательность {6r {х — л;о)}
определяет б-функцию б (л; — х^.
Многомерные б-последовательности определяются аналогично. Например,
б-последовательность в трехмерном пространстве определяется как
последовательность вида
{Ьп(х)'Ьп(у)'Ьп{г)}.
составленная из произведений б^ (л;)-бл (г/)-бд (г), а б-функция в трехмерном
пространстве определяется б-последовательностями такого вида. Поэтому, по
самому определению, б (М) = б (л:)»б (г/)-б (г) и
б (М, Мо) = {бд (л: — ^о) бд (у — уо) бл (г — Zo)) = ^{х — Хо)б{у — уо) б (г — го).
Здесь X, у, Z — координаты точки М, Xq, Уо, Zq — координаты точки Mq.
Выше мы показали, что последовательности {Лбо (х — л;о)} фундаментальны.
Можно доказать более общее утверждение: какова бы ни была функция ф (л;),
непрерывная в окрестности О {xq) точки х = Xqj последовательность {ф (х) X
X бп (л; — л;о)} фундаментальна на О (xq) и эквивалентна последовательности
{фМ-бд {Х~ Xq)}.
*) Читателю "рекомендуется провести доказательство этого утверждения
самостоятельно.
347

Доказательство. Рассмотрим функции
X
Рп W = j ф (О бп (/ - ^о) dt
—оо
и
X
Фд (х)^ J ф (х^) Ьп (t ~ х^) dt.
•«—оо
Очевидно, F]^ {х) ~ ф (л:) б^ (л: — д:^), Ф'^ (х) = ф (л:^) б^ (jc — л;^) для всех точек
окрестности О (xq). Для всякого 8 > О найдется такое Hq (е), что
I Ф W ~ Ф (^о) I < е для л; ^ (л;о — s^i, Xq-{• Qn) и п> щ.
Тогда для всякого х ^ О (л^о) и для п > Hq
X
J {ф (О ~ Ф (^о)} бл (/ ~ хо) dt I
\Рп{х)-Фп{х)\^
т. е.
^ \ \4^it)~(p {Xo)\bn(t--Xo)dt^
J I Ф @ — Ф (^o) I 6n (/ — a:o) ^^ < e J 6n (t — Xq) dt = 8,
|/^п(л:)-Фп(а:)|<8. A)
Так как последовательность {Фп W} равномерно сходится (Фд (л;) = ф (л;о) X
"^ Уп {х — Хо) (см. доказательство теоремы 4), то и последовательность {Fn (х)}
равномерно сходится на всяком отрезке [а, р] С О (jcq). Отсюда и из неравенства
A) следует, что последовательность {ф (л:) бд (х — л;о)} фундаментальна на О (xq)
и эквивалентна последовательности {ф (л;о) бд (х — л;о)}.
Произведением непрерывной в окрестности точки х = Xq функции ф (х)
на б-функцию б (л; — Xq) будем называть обобщенную функцию ф (л;) б (л; — Xq)^
определяемую фундаментальной последовательностью {ф (л;) бд (х — л;о)}.
Доказанное выше утверждение означает, что
Ф (л;) б (л; — л;о) == ф (л;о) б (л; — л^о).
6. Теорема 5. Среди ьквивалентных фундаментальных
последовательностей ^ определяющих обобщенную функцию f (jc), имеются фундаментальные
последовательности дифференцируемых функций (полиномов\).
Докажем сначала лемму.
Лемма. Для любой непрерывной на (Л, В) функции F (х) существует
последовательность полиномов {Рп W}, которая равномерно сходится к F (х)
на всяком отрезке [а, р] С (Л, В).
Доказательство. Пусть {Л„} — убывающая последовательность
чисел, сходящаяся к Л, {Вп} — возрастающая последовательность чисел,
сходящаяся к В. По теореме Вейерштрасса существует такой полином Рп W, что
\F (х) — Рп (х)\ < 1/л для всех точек х отрезка [Лл, Вп]- Последовательность
таких полиномов обладает указанным в лемме свойством. Действительно,
каковы бы ни были положительное число 8 и отрезок [а, Р] С (Л, Б), найдется
такое целое положительное число По, что для всех п > /Zq
— <8 и [а, р]с [Лп, ВпЬ
348

Тогда по самому выбору полиномов Рп (х) для всех п > п^и для всех х е [а, р[
будет выполняться неравенство
\Pn{x)-F(x)\<^<E,
означающее равномерную сходимость последовательности {Рп (х)) к функции
F (х) на отрезке [а, р]. Лемма доказана.
Доказательство теоремы. Пусть {fn (х)} — фундаментальная
последовательность, определяющая обобщенную функцию / (л;). Тогда по
определению фундаментальной последовательности существуют целое число ^ > О
и сходящаяся на (Л, В) к некоторой функции F (х) последовательность
непрерывных функций {Fn (х)} такие, что
F^^'Hx) = fn(x).
Функция F (х) непрерывна на (Л, В), так как последовательность {Fn (х)}
равномерно сходится к F (х) на всяком отрезке [а, р] С (Л, В). По лемме существует
последовательность полиномов {Рп (л:)}, равномерно сходящаяся к F (х) на
всяком отрезке [а, р] cz (Л, В). Поэтому согласно определению эквивалентных
фундаментальных последовательностей последовательность полиномов
{р,,{хЦ, где р^^{х)==Р['Нх),
будет фундаментальной последовательностью, эквивалентной
последовательности {fn (х)). Теорема доказана.
Таким образом, мы всегда можем считать, что обобщенная функция / (х)
определяется фундаментальной последовательностью дифференцируемых
функций {fn W}.
Определение. Производной т-го порядка обобщенной функции f {х) =
= {fn {х)} называется обобщенная функция
/(-) (X) S {/('") (X)] .
определяемая фундаментальной последовательностью производных т-го порядка
{/^"^^ W}- Так, в частности, б-функция б {х) имеет производные всех порядков.
Например, б' {х) определяется фундаментальной последовательностью |б^(л:I
Производная единичной функции т] {х) есть обобщенная функция, равная б {х):
так как последовательность |^^1 примера 1 эквивалентна последовательности
{fn {х)} примера 2, определяющей б-функцию. Следовательно, мы можем
написать, что
Л W = j 6 (О dt.
7. Интегралом произведения Ь-функции б (л: — х^ на произвольную непре^
рывную функцию ф (х):
b
а
МЫ будем называть предел
b
I (р (х) 8 (х — хо) dx
г
b
lim ф {х) Ьп {х ~ xq) dXf
349

где {dji (х — л:о)}—любая б-последовательность, определяющая б-функцию
б (х — л:о). Покажем, что этот предел существует и что справедлива формула*)
(р (х) 6 (х — Хо) dx = I
(л:о), если Хо ^ (а, Ь),
если Хо ф [а, Ь\.
Пусть jco ^ [а, Ь\. Тогда найдется такое щ, что для всех д > По имеем е^ <
< min {| л:о — а |, | л:о — Ь\\, Следовательно, для п > До имеем бп (х — jcq) = О
на [а, Ь\.
b
Поэтому ф (х) бд (х — л:о) dx — 0. Следовательно,
а
ь
ф (л:) б (л: — л:о) dx — 0.
Пусть Хо е (а, &). Тогда найдется такое щ, что для п > riQ интервалы {xq — е^,
л^о+^л) будут целиком лежать на отрезке [а, 1?]. Следовательно, для таких п
b ^o+«n
Ф (х) Ьп {х ~ Хо) dx=^ Ф (х) б/г (х — Xq) dx.
Применим к последнему интегралу теорему о среднем значении. Получим
1 Ц> (х) дп {X-■-Хо) dx =-(р (In) 6nix — Xo)dx-=^) (In),
^о~~^п ^о~^п
где In е [xq — бтг, Xq + ^nl- При д -> со имеем In -> л:о. Поэтому, учитывая
непрерывность функции (р (х) на [а, Ь], получим
b
lim I ф (л:) дп (х — Xq) dx ■=- lim ф {In) ^ ф (Xq).
п-уоо 'J п->оо
а
Утверждение доказано. В частности, для ф (jc) = 1 имеем
h *"
\ Ь (Х — Xq) dx =^ \
I ^ ^ I О, хоф [а, bY
Совершенно аналогично доказывается формула
f Ф (М) б (М, Мо) JXM ^- I ^ (^^«)' ''^" ^^« ^ ^' ( * )
J 1 О, если Мо ^ D,
для всякой непрерывной в D функции ф (М).
Замечание. Если обратиться к последовательностям {fn}, {Ц>п}* {'Фп}
примеров 2—4, определяющим б-функцию б (jc), то увидим, что каждая из них
*) Можно полагать, что функции бп (х — л:о), составляющие б-последова-
тельность, четны относительно х ~ Xq. Тогда для Xq~ а или Xq^ b
b
ф (л;) б (^ — JCo) dx = -^ ф (л:о) (доказать 1).
а
350

сходится к пулю в любой точке л; ^ О и к бесконечности в точке л: = 0. Имей
это в виду, можно написать, что
ГО, хф^у
б (л:) :=
[со, л; = 0.
а
При ЭТОМ б (х) в точке л: = О обращается в бесконечность так, что Ь{х) dx ^\
—а
для любого а > 0. Часто выражение (*) кладут в основу определения б-функ-
ций как функционала *).
8. Функцию со (х) будем называть финитной^ если она тождественно равна
нулю вне некоторого интервала (а, Ъ). Финитную функцию будем называть
вполне гладкой у если она всюду непрерывна и имеет всюду непрерывные
производные всех порядков.
^.Определим понятие свертки двух функций, имеющее"^многочисленные
применения. Пусть / (х) — непрерывная или локально интегрируемая (т. е.
интегрируемая на всяком конечном промежутке) функция. Тогда сверткой f (х)
с ф (х) называют функцию
сю
f(x)*fp(x)= J f{x-t)((>(t)dt. B)
•а-ОО
Очевидно,
оо
/ (л;) * ф (л;) := ф (л:) * / (л;) = [ / (t) Ф (л: — О dt. C)
—оо
Поскольку ф (х) — финитная функция, то свертку можно также записать в виде
интеграла:
b
f*q, = ^f(x-t)(f{t)dt D)
а
ПО промежутку, вне которого ф (л:) = 0. Отметим простейшие свойства свертки.
Свойство 1. Если функция ф (х) имеет всюду непрерывные производные
до k-го порядка у то и свертка / * Ф имеет всюду производные до k-го порядка и
-^[/(д:)*фМ]-[/*ф]('^)-/(х)*ф(^)М (р=\, 2,...,^). E)
р
dx'
Это прямо следует из формулы C) и финитности функции ф (х). Если
функция / (х) имеет непрерывные всюду производные до ^-го порядка, а ф (х)
интегрируема и финитна, то
(f^ ф)(Р) = f(P^ (х)^ср(х) (р ^1,2,...,^). F)
Свойство 2. Если последовательность непрерывных функций '{fn (х)}
равномерно сходится на отрезке а^ — b ^ х^ bQ — а к функции f (jc), то для
всякой непрерывной финитной функции ф (л:), тождественно равной нулю вне
интервала (а у Ь)у последовательность [fn {х) * ф {х)} равномерно сходится на
отрезке [^о, Ь^] к функции / (дс) * ф (х).
Справедливость этого непосредственно следует из формулы D).
Обозначим через (Л', В') интервал, состоящий из таких точек х'. что
отрезок {х' — by л:'-а] С (Л, Б).
Свойство 3. Если последовательность [fn {х)} фундаментальна на
{А у В) у а ф (л:) — финитная и непрерывная функция (ф (х) = О вне {ау Ь))у то
последовательность [fn {х) * ф {х)) фундаментальна на {А'у В').
Доказательство. Пусть [а, Р] С (Л', В'). Тогда отрезок [а — by
Р — а] принадлежит (Л, В). Так как [fn {х)} — фундаментальная последова-
*) См. Г е л ь ф а н д И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции
и действия над ними. —М.: Физматгиз, 1959.
351

тельность, то существуют целое число ^ > О и другая последовательность {Fn(x)}
такие, что F\^\x) = f^ {х) и [р^ {х)\ равномерно сходится на отрезке [а -— 6,
Р -— а]. Вычислим fn W * ф W- Имеем
/„(^)*ф(дс) = ^<^^>(л')*ф(;^).
Применяя формулу F), получим
fn {х) * ф (л;) = [Fn {X) * ф {х)\^^\ G)
По свойству 2 последовательность [Fn (х) * ф {х)} равномерно сходится на
отрезке [а, р]. Отсюда и из соотношения G) следует, что последовательность
{fn {х) * ф (л:)} фундаментальна.
Замечание. Если ф {х) — вполне гладкая функция, то формулу G)
можно записать в виде
/nW*9(;c)=Fn М^ф^^Ч^)- (8)
Поскольку последовательность {Fn {х)} равномерно сходится на всяком
отрезке [а, Р] С (Л, В), то по свойству 2 последовательность {Fn {х) * ф^^^ (л:)}
равномерно сходится на всяком отрезке [а-\- Ь,^ -\- а], принадлежащем (Л', В').
Таким образом, справедливо
Свойство 4. Если последовательность {fn {х)} фундаментальна на
(Л, Б), а ф (л:) — вполне гладкая финитная функция (ф(л:)=0 вне (а, Ь))у то
последовательность {fn ix) * ф (л:)} равномерно сходится на всяком отрезке
[а', Р']С(Л', В').
Теперь естественно принять следующее
Определение. Сверткой произвольной обоби{енной функции f (jc),
определяемой фундаментальной последовательностью {fn (л:)}, с финитной
непрерывной функцией ф (х) будем называть обобщенную функцию / (л:) * ф (jc),
определяемую фундаментальной последовательностью {fn (х) * ф (л:)}.
^ Очевидно,
/ (л:) * ф (х) = ф (л:) * / {х).
Так же определяется свертка обобщенной функции / (х) с произвольной
финитной интегрируемой функцией ф (х). При этом справедлива формула для
производных (/ * ф)^'^^ = /^'^^ * ф, где /^^^ — производная /7-го порядка
обобщенной функции. В частности, определена свертка б-функции и произвольной
финитной всюду непрерывной функции ф {х):
б (jc) * ф {х) = ф (л:) * б (х).
Свойство 5. Для финитной и всюду непрерывной функции ф {х)
справедливо тождество
Ф (л:) * б {х) = ф (л:).
Предварительно докажем лемму.
Лемма. Пусть {Ьп {х)} есть Ь-последовательность, а ф (л:) — непрерывная
на (Л, В) функция. Тогда последовательность {ф {х) t- б/г {х)) сходится к ф {х)
равномерно на всяком отрезке [а, Р] cz (Л, В).
Доказательство. Пусть [а, Р] с: (Л, В). Для любого 8 > О
найдется такое До (8), что при п> щ для всех х из [а, Р] и всех / из (~8п, 8/г)
выполняется неравенство
I Ф (л: — /) ~ ф W К 8.
Оценим разность ф {х) ^ б/г {х) — ф (л:):
I °° i
I Ф (л:) * бп (л:) — ф (-V) I = 1 ф (л: — t) Ьп (О ^/ — ф (х) \
I —оо I
оо оо I оо
^ ^(x~t)bn(t)dt- ^ ^(x)bn(t)dt\^ ^ \^(x-t)-~^(x)\bn(i)dt^
—оо в»оо I •—оо
= j |ф(л:-0-ф(л:)|бп (t)dt.
352

Для указанных выше п > tiQ (г) и любых д; е [а, р] последний интеграл
меньше, чем
е j 6n(t)dt = e.
Таким образом, для /г > /Zq (в) и <v е [а, Р]
I Ф (л:) * бп W — ф W К 8.
Лемма доказана.
Доказательство свойства 5. Поскольку функции ф {х) *
* бгг (х) непрерывны на (Л, В) и по лемме последовательность {ф (х) * бд {х)}
равномерно сходится к функции ф (х) на всяком отрезке [а, р] С (Л, В), то по
теореме 1 она фундаментальна и определяет обобщенную функцию, равную
(р (х). С другой стороны, по определению свертки фундаментальная
последовательность {ф (л:) * 6п {х)) определйет свертку ф (л;) * б (л;). Поэтому
Ф (л:) * б (х) = ф (х).
Кромб того,
оо
ф(л;) = Ит[ф (л:) :i^ бл (л:)] == lim q> {х — i) бп (t) dt =
п->оо п->оо J
{ ср(х— tN{t)dt = [ ф (t) 6{x~i)
dt.
Мы при этом воспользовались определением интеграла от произведения
непрерывной функции на б-функцию.
Таким образом, свертка б-функции с произвольной непрерывной функцией
Ф (л:) может быть записана в виде интегралов:
оо оо
Ф (jc) * б (jc) = j Ф (л: — /) б (О d/ = [ ф (/) б (JC ■
- /) dt.
Свойство 6. Свертка произвольной обобщенной функции f (х) с вполне
гладкой функцией ф (л:) имеет непрерывные производные всех порядков.
Доказательство. Пусть обобщенная функция / (х) определяется
фундаментальной последовательностью {fn (х)}. По свойству 4
последовательность {fn (х) * ф (х)) равномерно сходится на всяком отрезке [а\ Р' ] С {Л\ В')
к непрерывной функции. Из формулы (8) и свойства 4 следует, что
последовательности \(fn * ф)^^^} из производных 1-то порядка (t == 1, 2, ...) также равномерно
сходятся к непрерывным функциям. Тогда по теореме о почленном
дифференцировании последовательностей *) отсюда и следует свойство 6.
Можно определить свертку произвольной обобщенной функции f{x) и б-функ-
цин как обобщенную функцию / (л:) * б (л:), определяемую фундаментальной
последовательностью
{fix) ^6п (х)},
где {бд (л:)} — произвольная б-последовательность. При этом справедлива
формула
/ U) * б (х) = / (х).
*) См. Фихтенгольц Г. М., Основы математического анализа,
т. П, гл. XVI, изд. 5*в,— М.: Наука, 1968.
12 Арсенин в. я. 353

Приведем сводку наиболее употребительных формул и Соотношений,
содержащих б-функцию. Доказательство многих из них читатель легко проведет
самостоятельно или найдет в специальной литературе *).
1. б(-~л:) = б(л:).
2. б (ал:) =-1.6 (л:).
п
если ф {х) имеет только простые нули Хп-
4. л:б (л:) - О, ф (л:) б (л:) = ф @) б (jc), ф (а ± д:) б (jc) = ф (а) б {х).
оо
5. Ц) (х) ^ (х - Xq) dx ^ (р (Xq).
3. 1 б (л: -- tN{s — t)dt^dix — s)
7. б'(л:) - —1-б (д:)
8. (р (х) 6' {х — Хо) dx ^ - ф'(д^о), если (р' (х) непрерывна при х = хо^
•—оо
оо
9. [ 6' (x~~-t)d(s- t) dt ==: б' (л; - s).
—оо
С п
11. Ф W Ь (X ^ S) dx = (— 1)"ф^'^^ (s), если ф^'*^ (л:) непрерывна
J дх^^
— оо
при л: = S.
оо
12. j j J ф (/И) б (Л'!, М„) Лл1 = ф (УИо).
— оо
13. Фурье-преобразование б-функции б (л: — Xq) имеет вид
оо
6 (I) = ~i^ f б (^ ~ ^а) ^^"^^ ^^ = -7^ е'^'\
У2п J I/ 2jt
-—оо
следовательно,
оо оо
*)Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и
действия над ними. — М.: Физматгиз, изд. 2-е, 1959; Микусинский Я.,
Сикорский Р. Элементарная теория обобщённых функций, вып. II. —
М.: ИЛ, 1963.
354

Для трехмерного случая
оо
б(М, M„)-(JLy I I J e-ni(*-Ar.)+T,(9-</o)-(-S(z-z,)^^^^j^
ОО оо ОО
н^ОО ««ъСХЗ *~.00
■■^OO Ш|>»00 исяОО
= б(д; —л:е)-б (у — уо)-^ B —Zo).
Таким образом,
б (М, Мо) = б (л: — л:о) б (г/ — уо) б (г — Zq)
в декартовых координатах.
14. б (М, Мо) = — б (г —Го) б (ф — фо) в полярных координатах на
плоскости.
15. б (М, Мо) = —^ б (г — Го) . Q б (9 — 9о) б (ф — фо) в сферических
координатах.
16. б (М, Мо) = ^(Ч1-<1ЬНд^-рб(д.-д1>) ^ произвольных орто-
тональных криволинейных координатах (^i, q^, дз)- Здесь h^, h^, h^
—коэффициенты Ламэ.
Встречаются также обобщенные функции б+ (л:) и б_ (л:), которые мы
определим формально с помощью представления
^^w=-^b~''^'^^'
1
о
^-(^)=-i 1 e-^Ul^±^\e^l^l.
О
Очевидно, б+ (jc) + б_ (х) = б (jc) и б+ (—х) = б_ (jc).
12*

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ*)
Глава I.
1. а) и^^ —0,5-|-и^ = 0 il==xy, тl = -|-^; б) Аи — и^ — и^ = 0
= О в области ^<0 (g = A: + 2 V^— у, т) = л; — 2 V—y)'y Дм == О
в области ^>0 (g = A;, Т1 = 2 j/"^). 2. а) у^^ — 2у^ = О, м = Уб^^+'^^,
11 = 1,1875, v-0,25 (l^y-x, т]-г/ + ^); б) t;^^ +-1-1; = О,
r^ = t;.e^^S + ^^, |i=_o,25,v--^=^ (| = г/-3л;, т] = 1/-л;); в) v^ + v^^--^
— 1,5у = О, м = и-е'"'^""'^ E = 2«/ — ^> т] = а:).
Глава //.
1- a'^Uxx + ^ = «/?Г> « (^> 0) = О, щ (X, 0) = vq\ и (О, t) = «^ (/, О = О-
2. а2«зсд: — рм/ == м^^; м (л;, 0) = ф (л:), м^ (л;, 0) -= фх (л:); м (О, t) = u (/, 0=0.
3. -^ (E-S-Uxx) = pSuit', и (х, 0) = ф (л:), «^ (х, 0) = ф1 (л:); а^Ых (О, t)—
~ PiM (О, О = О, азМх (/, О + Р2« (/, 0 = 0. 4. -^ [(/ - л:) iix] = ~ иц\
гг (л:, 0) =ф (л:), Щ(х, 0) = (^i(x)\ w (О, О == О, |м(/, 01^-^-
5. ^-^— [(/ ~ х) Ux] + 0J^ = Ufty дополнительные условия задачи 4.
6. со2-^—[(/^ —^^) Wx] = Р«/л дополнительные условия задачи 4.
7. a^idxx = е^^; е (л;, 0) - ф (л:), 9^ (л;, 0) = фх (а:); 6 (О, 0 = 0 (/, О = 0.
8. a^uxx + — Iit) = Utt. и (х, 0) - щ {X, 0) - 0; и (О, О = " (/, О = О,
ср
с — скорость света.
*) Большая часть задач заимствована из [2] и [16] (см. Литературу в конце
книги).
356

= Ф (X), Uf {X, 0) = Ф, (x); 4 = -f (( = 1. 2); «, @, /) = «j @. 0.
^Л»@, 0 = ^2«2»@, /)• J^- ^"xx == [p + mo6 (a;--a:©)] «//; и (д:, 0) =
== Ф (;c), ut {x, 0) = Ф1 (л;); и (О, /) = w (/, /) = 0. Или
"(^'^)== А ^ «2(«0хх=(«0// A = 1,2),
и (х, 0) = ф (л:),
«/(л:, 0) = ф1 (л:); «1@,0 = 0, «а (/, О = 0;
«1 (^0. О = "а (л^о, О, ^ {Чх {Чу о — «ix (л^о, 01 = /«о«// (^0, О-
И. Tuxx + F (t)b{x-^v^t)^QUtt\ и{х, 0) = ut(x, 0) = 0. 12. У;х +
+ L.t^+ /e.t = 0, tjc + C-y^+ Gy = 0; v (x, 0)=:ф(д:), I (x, 0)=ф1(л;).
13. Vx + L'it = 0, ix + C'Vt = 0; t; (л;, 0) == ф (л;), i (x, 0) = фх (л:); —у (О, О =
= /?oi@. 0> ^ot^^ (^ t) = i{l, t). 14. y^c + L-t^^O, t;^ + Cy/= 0; у (л:, 0) =
= Ф(Д^), i(x, 0) = Ф1(а:); -и (О, t)^LllH^{0, t). v(l, t) - Е it)~-= L^^h^(Kt).
(Viix, t), A'<0, (itix, /), л:<0,
Ь2(л:, ;0, a:>0, ^' ^ 1/2(a:, /), л:>0; ,/
+ Lk (tk)i + /?ft-ift = 0, {ik)x + Cjfj {Vx)i = 0, V (x, 0) = Ф (л;), i (x, 0) - Фх (л;),
ii @, 0 = 12 i
тока ( (л:, t):
к (О, О = к (О, О, У2/ (О, t) — vu (О, О = -г- к (О, О (fe = 1, 2). Для силы
(^•ft)x* =- Cklk ih)tt + Cft/?ft/ft; н (О, О --= t2 (О, /);
-^ hx (О, t) - -i- i2ac (О, О = -^ ^'i (О, 0;
^ьФ (^) — Ф1 (^)
/ft (X, 0) = ф (^), /ft^ (;с, 0) = —5 ц-^ .
16. k'Uxx -h[u-^ (t)] = с^щ\ и (X, 0) - / (л:); и (О, /) = /i (/), ^«:« (/, О ==
=^@. 17. k-Uxx — hu + Q-I^ = cput, и(х, 0)=/(jc), ^w^c (О, /) = CiW/(О, /),
а
Ыос (/, О = ^2^/ (^ о» где Ci,' С2 — теплоемкости клемм. 18. -^ (^^ж) —
д ' д д
" 1Г (^'"^ "" ^"^' ^^* ^) "IF (^^^) — N = ^«/; б) -^ (D.W:^:) + PW = ^^Л
f «1 (л:, /), л:< о, о
« (д:, 0) = ф (д:); «i@. О = «а @. 0;
а) ^2«2x(o, о —Mijc@, 0 = 0; б) k2U2x(o. о —Mix (О, o = ^o«no, О-
^^' "аГ (^"^) =" ^Р"^' "(^' 0)-0; «(у/, 0 = Ф@- 22. -^ (^и«:)+С6(д:-
—УоО = Ф"^; " (•''^> 0) = ф (л:). 23. a^UQQ — h(u~ Uq) = u^; и F, 0) = ф (9);
k
u(Q + 2я, t) = u (9, 0; 0 — полярный угол, a^ = —~-, /^ ~ радиус кольца.
357

24.
д^Е . дН
д^Н
'W''~1^"W 1Г " ISojr ' "а|2"' ^^^ с-скорость света,
€ — Проводимость среды, [1 — магнитная проницаемость, g — расстояние,
отсчитываемое от фиксированной плоскости, Е = Е Ц, t), Н = И A, t).
25. а) А« = ~4яр; б) ^u = 0.
Глава III.
1. См. рис. 50. Указание. Воспользоваться формулой Даламбера.
2. См. рис.51. 3. u(xJ) = -j^{Fix-\-at) — F{x—at)}, где
F{2) = \
О, г^—с,
Vo{zi-c), —c^z^c,
1
4. См. рис. 52. 5. и (X, t) == -^- {Р {^ -\- at) — F (х ~ at)), где
^ (^) == -^ (Л (^ - 'Vo) - Г] (г + л:о)}.
Указание. Решить задачу: а^и^х = w^/; w (О, 0 = 0; " (^, 0) = О,
Щ (х, 0) = — (л: —л:о), 0^л:<оо.
ZX
2с О с 2с Зо ^ с 2с Зс
Рис. 50.
-^^ ~<7 ^ ^^ ^^ -J^ -/^ -С О С Зс 3g
, А
Л^
А ,
к=з
-4с -Зс -2с -с О с 2с Зс 4о
Рис. 51.
О С 2с Зс 4с
е. Для —оо < д? < О имеем
К-4у^ ^ К=6
0'^>.с/2с Зс 4а 5с 6с
^Н-6
Рис. 52.
преломленная волна:
«2 (л:, О
358
VptEi + КР2Я2

отраженная волна.*
Kpi^i + Kp2^2 Ч а, )>
«отр отсутствует при Pi^i = ргЯг. 7. V {х, 0) ~ Еое
= /7.^- /G^
'. 1(х, 0)
= Яо ]/ — в"* ^^^ ''т] (л: — а/). 8, и (л:, у = О, « (л:, h) = —а (л;, 0),
и{х, /4) = «(^» 0)-
9. «1 (л:, О =
x-\-at
2аГо
J F(l)dl, —at<x<Vof,
о
О,
л:> а/,
ггг (л:, /) ^
a'~vl
2аТо
at^x
j F il) dh
О,
Оо^ < ^ < й^
д:> а/,
То — начальное натяжение струны.
10. u(x,t)=^{t--±^f(^t~^y
'^VTu' ''' ^(^' ^^
{те} = -41к-^4-("Т")- 13. Только уравнения
12. S (М, О - 5о -^
гиперболического типа вида
atiUxx + 2ai2Uxt + «22"^^ = О-
Скорость а определяется из уравнения .
^аа^* — ^аца + ац = 0.
14. Только уравнения гиперболического типа с коэффициентами,
удовлетворяющими соотношениям
«22^^ — 2ai2a + ^11 = О, ^1 — ^2^ — 2j.i (ai2 — «22^) = О»
«22^^ — fi^?2 + с = 0.
Глава IV.
I. гг(л:. t) ■■
-2Л/а
я2 л:о (/ — Хо)
2 1 ЯП пп ппа
--^sin—р JCo'Sin-j-a;cos —— ty
Г2=1
где Л = -ггг- ^о-л:о (/ — Xq).
2. W (jc, /) ==
2Я
яар
Vl 1 . ЯП
м=1
. яд . яап
sin ~р- л:.sin —^— t.
359

Указание, и (х, 0) = О, Uf (х, 0) = — 6 (х — xq).
оо
8/fo
3. и{х, t) =
n^ES
Bп+1J sin
rt=0
2n 4- 1 2n + 1
ял:-cos —TTi— ant.
21
21
Указание, и (x, 0) = -^ x, Uf (x, 0) =^ 0.
-'i'-'^-^t
CQ%^x-sm-^at
n=\ \^n
1 +
'(*•+#)
, где |Хд ~
положительные корни уравнения ji tg [г = /i*/
сю
Cue "" — sin-^r, где |i„ = J/Ям i?,
c«-
""dT" • —Г9-9 r; , ^ ,9 r/ (r) sin —5- г dr,
[Ад — положительные корни уравнения tg fi — -j—~-^ . Указание, и =
1 — Лп
= v/r и а^У;.^ == У/?Л
оо
где
п=1
Ф/г W = A - niRi) Sin 1/"Ял г + 1/"Я« cos 1/"Я« ?,
^1
^f
||^.if== j Ф^W^^
Я„ — положительные корни уравнения
7. a) i?Kp = ~7=-> 6) /?кр = 0; в) /?кр равно наименьшему положитель-
кр
V^P D_ l^P
ному корню уравнения A —hR) tg —' >
первого типа:
, ^2 ( ""' 4-lL\
А/г, р == Я» \^-р- -г ^2 у »
j^ ~ *" /"■ 7^. 8. Для краевых условий
2 п2
яд я/?
Ф«, Р (л^» ^) = sin-j- X'Sm^Y^y (п, р= 1, 2, ...).
360

В случае квадрата (/ = k) In, р -= -р- (п^ + Р^), ^i, 2 = Яг, i = -^ , но
Ф1,2 (а:, у) ==?1П—p-A^.sin—г/#Ф2, i===sin-j-jc.sin-pt/.
Таким образом, одному собственному значению Я = соответствуют две
линейно независимые собственные функции. Для краевых условий второго
типа:
К, р = я2 [-р- + -^j , Ф«, р {X, у) = COS -у- A;.cos~y- у
(д,р-о, 1,2,...);
третьего типа:
Фдг, р (а:, f/) =
= (Км^ COS Kfl^ л: +/ii sin l/"fl^ л:) (l/"a^ cos l/"a^ f/+ /lasin l/"a^«/)f
[in и ар являются положительными корнями уравнений
9. Для краевых условий первого типа:
; ,, / ^' 1 ^' I ^М
'^Я, р, 7 - ^ \^ /2 -г ^2 -г /„2 ; »
ЯД яр яо- •
Фя, р, 7 (^' ^' ^) -=sin-y-A:-sin-j~«/.sin —Z (п, р, q^ \, 2, ...);
второго типа:
; rr^l ""^ л, Р' ^ Я' \
^п,р,д==П \ 12 -Г ^2 -^-^;'
ЯЛ Я/? ЯО-
Фдг, р,д(х, у, Z) =--=cos-y-;c.cos-^-^-cos-^z (д, р, G = 0, 1, 2, ...);
третьего типа:
Ям, p,q = \^п-\- ^р Л- Р<7»
Фд, 1>, <7 (^' У^ ^) "= (V\Jhi cos l/"!!^ X -Ь /ii sin 1/"|11^ л:) {V"a^ cos l/"a^ (/ +
+ hs sin l/"a^ y) (V^ cos /p^ 2 + h^ sin l/"P^ г),
[Ад, ар, p^ — положительные корни уравнений
10
. l/ n^ p2 flf2
• a) a)„^p^^ = a 1/Я«, p,^ =ая |/ -^-b-^+-^ {n, p, q ^
= 1, 2, ...); 6) @,^^ p = afA,^^ P"^' ^-^^ 1^71, P ~~ корень номера p уравнения
«^«+1/2 (l^) 21Г '^^14-1/2 (i^) =0, R — радиус сферы, д = О, 1, 2, ...; р =
== 1,2, ... Здесь Jf^(z)— бесселевы функции ^-го порядка (см. гл. XIV)..
361

. 2n -f- 1 1 2n + 1 S / x^ , \
X'^"—27—^^1^^"—27—''^-^(^ ^^)-
,« , ,4 ^0 SFol VI (-1)'' 2n+ 1 2n+l
12. И^, ^)--1S^--£;S?^2j Bд + 1J^^"-^Г-^^^"^-2Г^^^'
Указание к задачам 12—23. Искать решение в виде суммы двух функций и =
== V (х) + W (х, {), где V (х) удовлетворяет уравнению и краевым условиям
рассматриваемой неоднородной краевой задачи, а о; — решение соответствующей
однородной краевой задачи; v (х) описывает стационарный режим, w —
отклонение от него.
13. и {X, О = «3 + t; (;с) + J] С„б C^'^n+h)
t пп
• sin~y~^. где
л=1
v{x)^ ^
s^'^'
Vh Vh ,
(ut — щ) sh —^ (I — x) ^ («2 — ws) sh —^ a; ,
Я2п2 ^ 2
Я2п2 2 f ЯП
^« "" /2 ' ^n=- — ^{f(l)—v (I) — Из} Sin -J- £ Jg.
0
eo
14. и (X, <) = Из + t; (л;) + J '^"^" ^"'^""'"'''^' (^i sin Vh^ x +
j^:^, ^Jjh-,
+ J/^Ял COS J/^>.„ л:), где v (x) = Aie ^ -|- Лг^ ^ • Коэффициенты
At и Лг определяются из уравнений
Лг — Л2 = . а,
J/^3 —ahi
/
^"^ = II ф^ ||2 J {Ф A) -tl3~-V (I)} Ф« (g) Jg,
О
п cos
Яп — положительные корни уравнения tg 1/"Я / =-:г-^^—TTtV^-
/
15. Q (/) = S а (л:, /) dx, где S — площадь поперечного сечения цилиндра,
:Bп+ 1)
"(^' 0-^o-2j яBп+1) ' ^ sin-^j—nx,
362

16
К ^ -jjr (^ri + 1J, или Q @ = —D J Ux @, t) dx,
0
Q (/) = S J w (л:, /) dx (ahixx ~ P^ = w^), где
0
oo
w (л:, 0 = ^ W + 7j ^«^ sin 2/ ^^'^ »
M-rO
/
—2 г ^ 2n + 1 ^ ^
^rt == -J- J V (g) sin —2/ ^b ^5-
0
00
„ , л c- 4(£o-fo) V (-1)" ~^^"- 2/1+1
n=0
где?.„ Щ , '' --RC
18.. (., 0 =-^^^ + 2ад^ 2 г''^V >.
rt=l
Sin/Ял (/ — л:) о 1 „
X —^-— _^ — ^ o^ , ,-— , , где a* = -5-:^, Xrt — положи-
1/Я, [R (R, + Rl) + IRX] cos ^/Я, / /?C «
тельные корни уравнения R ig V'hn I = —/?o V^^ •
00
10 f^^y n И 4Яо yi 1 «.flaw ^ 2/t + 1
rt=0
_ C2 _ Jt2 B/t + l)a
00
20. u{x, /)=.i|!^^f--Lф^(^^)(l_g-«^V)jф^(^)^ где ^^^
я^ 2rt 4- 1
= -4^2" B^ + 0^ Ф« W == COS —2/— ^^' ^"л^л^ + Q6 (л: ~ л:о) = c^Uf, k —
коэффициент теплопроводности.
^'■«<'."=-+4('-t)-S-^[^+'-'''^«-]x
rt=0
-fl^p, . 1 2rt+ 1 , B«+ 1)^
'^ ^ B/t 4- 1J ^^^ —Yl— ^^' ^"^^ '* ^ 4/5 ' ^ ~~ к«эффивд-
ент теплопроводности.
363

22. и (л:, /) =. и (л:) + ^ Спв ""'^"^Фм W, где
„(.)=^.+с„(.+л). co=-f-(i+4-) 1+,;+д.>
Фд W = КЯ« cos Укп л: + л sin К^м л:,
}^п ~~ положительные корни уравнения tg \/"}^ I ~ ■—:—^—rz
23. и (г, t)=u^-{-2 (ы, - и,) hR' 2 (~^У' ~е ""^ ^' ' sin -^
sin-n~r, где
n=i
^rt ~ ^ 2 <,2р2 Тгл » 1^« — положительные корни уравнения tg ji =
M-Ai V^M + « " —hR)
—|ы
== пи t > h — коэффициент теплообмена в краевом условии Ur (R, /) +
+h [и (R, t) - Wi] = 0.
24. Д. =. О, ..(/?, Ф)-^, "Ф(^0)==^^, .,(г,я)^^-=^;
, Q'' . , Q V^ / '■ \2"+' cos Bп + 1) Ф ,,
Сначала найти решение уравнения Лапласа вида /'•и(ф), удовлетворяюп;ее
только условиям ^ф (г, 0) = v>/r) > "ф (^' ^) — Tin Г и отклонение ш (г, ф)
от него. Тогда w = гу (ф) + ш (г, ф),
25. ai>9x.-c = %it, О (л:, 0) = -p., 6^ (;с, 0) = 0;
6@,0=0; е«(/, О =-=j5-e<<(/, 0. a^=Y4-''
n=l
р
?; ГПЯ
^0f4Bf^;t-sin2u„)
о (jc, о =- 4а 7 . —, .2 /о.. ~7Г~Т— cos -р-^
где / — полярный момент инерции поперечного сечения стержня, G — модуль
сдвига, /j — момент инерции стержня, р — линейная плотность стержня, \in —
положительные корни уравнения tg |i == -—-^^— .
<» , . 2n + 1
4аФо/2 V ^^^^"—Т—^^^-(^^+^)^^^^"^^
• ^^ " ^^' ^^ Я2Г ^^ BД + 1J [0J/2 __ Bл _^ 1J я2а2] X
364

X sin ■ -. nx; 6) заменить в предыдущей формуле sin ш/ на cos at (со Ф
ф-^, fe= 1,2,3...).
о, / . ^Foal \^ (^1 sm-^ at-пап sin Ш „„
27. и(х. t)^-^ 2j (аЧ^~п^аЧ^)п ^in -j- / X
оо
, пп ( пп \ .
X sin -у— X ( со # —7—; л == 1, 2, ... j . Аналогично для Fq cos (о^
28. «(^. 0=-^sin^|. '' Ф{г)Л+2]с„в '" X
О «=1
/
X sin —у- X, где ^ — коэффициент теплопроводности, Сп~-7-\ f (S) sin -у- |dg.
о
п=1
sin—т— X
X —о~о о о о • Указание. Уравнение для и (л:, t) имеет вид
30. а) При (О :|^ ^^1 па (л = О, 1, 2, ...)
2 2л + 1 2л + 1
С/г sin —2/— яa^sin —g/— ^'
где
, . Аа ^^^ а ^ ^ —4@ Г , 2л + 1 ^ ,^
^("^^^^^^ гГ7' ^^== яаBл+1) Jt^F)sin—27—^^^^'
cos—/ о
б) при 0) = ^^ па
и (х, t) = vt (х) sin со/ + t;2 (^) • t cos со^ +
2rt + 1 . 2n-\'t
n=rO
где
S2rt + 1 2rt + /
Cm sin—2/—яа/.sin—g/— ^^'
4 л 2^ + 1
^« == яа B/г + 1) J t^^i (^) + ^2 (^)J '^" -ТГ" ^S ^S,
0
/ Ч ^ . .v/7 j-1 Г •''^ ^ , 5a . @ , 3a . 3@ 1
, , 2аЛ ^ „ @
l'2W = -J^(-l)"»Sin— ^.
365

Аналогично для F — А cos Ы. Указание. Искать решение в случае
а) в виде и= v (х) sin cat + w (х, t)\ в случае б) в виде и = Vi (х) sin ©/ +
+ Уз (х) t cos Ы-\- w (л;, t), где v (х) sin Ш (соответственно v^ (х) sin Ы +
+ V2 (х) t cos Ы) удовлетворяет уравнению и краевым условиям задачи.
31. и (г, t)=Ft{r)-\-t'F2{r)
kir
оо
у !
2 2^
___
X sin р г; jx^ — положительные корни уравнения tg [х = [х,
F, (г) - ^^0 +
qR 3R^ — 5г2
^2 (г) -
kiR '
Указание. Искать решение задачи a^v^^^ = v^, v (г, 0) = UQr, k^ [Rvj. {R, t) —
-V (R, t)]^q {u = vir) в виде v = h W + ^/2 (r) + w (r, /), где h-±Jh-
установившийся режим, удовлетворяющ^ий уравнению и краевым условиям
задачи, а w/r — отклонение от него; w есть решение однородной краевой задачи.
32. и {х, t) есть решение задачи -г— [k (х) Ux] = р (х) Uf, и (О, t) =
= и (/, О = О, W (л;, 0) = / (л;), где
или
^, , (ki, 0<л:<л:о, Г pi, О
k(x) = \ 9(^) ^\
w (л;, О = ^
[ U2 (л:, /), а:о^^=^^
<л;<л:о,
<а:</,
^? ("Ол
а?^
А.
9i
(i- 1, 2), wi@, О ==0,
kiHx (^о> о = ^2х (^о> 0> « (л^> 0) = / (л:);
-^ь
Фп(Х).
где
Ф« (х) == i
sin-
ai
sin-—^,
^1
: •'^O»
11^
Sin -^ (/ ~ л:о)
-Vo^
Cn
|ФггР
j fix)p (x) Фп (x) dx,
[In — положительные корни уравнения —=- ctg -^ Xq = —=- ctg
^2
(л:о-/).
Собственные функции Фп (х) ортогональны на отрезке {О, /] с весом р (л;).
366

33. и (jc, t) есть решение задачи
а'^и^х = [l + -gr-6(A:-A:o)] Щ^
и (О, О == « (/, 0 = 0, « (д:, 0) = f (х),
' Ui (л:, t), 0<л:<л:о,
. ^2 (х, 0> л:о < а:</,
Щ {Xq, t) == «2 (л^о» 0. « (л^. 0) -^ / (л:);
ku^x (Xq, t) — kuix (хоу t) = CoUf (л:о, 0.
2 2,
и(х, t)=^ Спе ''^''^Фп(х),
^^^ ^'^ "" |1Ф,г|Р \ ^(^^f (^) ^« (^"^^ ^^''
Фп (Х) -
sin {Ыдл:
sin linXo" *
sin [1,2 (/ — х)
sin |Lltt (/ — Xq)
\in — положительные корни уравнения
0^ а:=^л:о,
у Xq ^ Х ^ / ,
с
Ctg [АА:о ~ Ctg |Ll (/ ~ Xq) =-^ -^ jLt.
Собственные функции Фп (х) ортогональны на отрезке [О, /] с весом р (х) ■■
34. и (X, t) =
rt=I
С/
где {Лд — положительные корни уравнения fi tg j.i = --^. Указание. Соб-
Со
ствеиные функции задачи ортогональны на отрезке [О, /] с весом р (х) — 1 +
^-^Ь(х~ /).
35. а) и (г, ф) = _ г cos ф := -^ л:; б) « =- Л f -^ ^;
ч л ч ^Л-В , В — А
в) и = Аху\ г) и = jr \-
2 ' 27^2
дачам 35—41. См. пример 8 гл. IV, § 6.
(д^2 _ f^2) У к а 3 а н и е к за-
ди
36. Задача а) поставлена неправильно, так как необходимое условие I -^ X
с
д
X G?s = О не выполняется; 6) и = ARx + D\ в) и ^-— R (х^ ~- у^)\ г) и =
367

= (^ + ~^)^ T2R^ [3 (^^ -^y^)y — 4«/3] + ^' где D — произвольная
постоянная.
In -^
37. u — Ui-\-(U2 — Ui) ^^ . Емкость единицы длины цилиндрического
конденсатора равна С == ——^ j—5— • Указание. Емкость С
проводника, ограниченного поверхностью 5, равна для трех измерений
С - -^ Г JlL do
4nuQ J дп '
s
для двух измерений С = -75 "^— ds, где L — контур, Uq — потенциал
ZTIUq J Otl
L
проводника,*^ -^— = En есть нормальная составляющая вектора напряженности
электрического поля.
38. С ^ --t ' -; ' -— . Указание. Решить
задачу:
kui == О для а <,г <с, Ди2 = О для с < г < Ь,
«1 (а) = Uo, «2 (b) = О, Ui (с) = U2 (с),
dui
dU2
\r^c on
^1 5«
Uq — разность потенциалов на обкладках конденсатора.
1 81— 82 1
■ -г г
г ' 82 С
S9,u=^Uq—j g __g p для R<r<c,
/? ^ 82 с
82 r
u=^~Uq—г =- p- для r>c.
/? "^ 82 с
40. a) „..„, -I- T-(r^ -Rl) + "in;?.-in^ ^ 1" -7- =
6) «=.- «, + 4 (r^ -;??) + j^^ (^„^ ^. ^ ^^^^ ,„ ^.
w-^ ch—^—nx-cos—jrr—ny
Bn + 1) ch —oT— ^a
я
Указание. См. пример 5 гл. IV, § 3.
368

Глава VL
л ЛИОН V1 ,
1
^[г
4^'^ __ е ^^^^ J
2. G(r,7o; О ==- —^
Заменой w = vir свести задачу к одномерной:
Указание.
Wo
3. и(г^ t)^^
X
>< U '"'' ~ ^
. --].
4. а) и{х, у, г, Q ^ а (^^^ .4- у2 ^ (z~-z,Y , /) + ^^(/д:^+У^+(г+^о)^0
б) W (л:, г/, Z, /) - и A/^л:а _|. ^2 _|, (г- го)^ , t) - и {Vx^ + ^' + B + го)^ , t)
где W (г, /) — решение предыдущей задачи.
5. и(х, t) = -L [(ф / ^ '-' ] +ф( ' + ' )-
\ j^4a2(/ —т) / \ К4а2(/-т) //^^
6. W (г, О =
К4а2я/
^ оо
I''
0 0*^
1 г [ ^JLrML ^^dblill
^5 +
•/(g.T)
1 ^i!±:L
о
X /о ( 2д2/ ) • Указание. Решить задачу: а2 ( w^r + — ^г) ~ и^, и (г, 0)
= -'2^' б (г — Го), |а|<оо. Решение ищется в виде и (г, t) ■
00 00
= 1 \ V {9, t)Joi^p)Joi^r)Xdkdp (см. гл. XIV).
II П
и О
8. и (г, t)
1 -
2аЧ ^
в "■"/.
п п
t 00
г^+1^
9. G{x, Xq\ t) =
о о
f ^ 4а2^
УАпаЧ
369

Глава VII.
1. а) G (М, Р) = -^г— ( In In ) , где Pf ~ точка, симмет-
^^ \ f^MP ''о''MP, I
ричная точке Р относительно окружности, Го — расстояние точки Р от центра
круга; б) G (М, Р) == -т" (т^ 7^—) '
2. G(M, Р)- S [Gkp(M, P^)-Gkp(M, Р,„)], где Окр (М, Р) - функ-
т=0 __
ция Грина для внутренности круга, Р^ и Р^ — точки с полярными координа-
тами ( Го, фо Л ^ ) и { Го, я — фо 1 соответственно, (г^, Фо) —
координаты точки Р.
3. а) G (М, Р) =. \ ~-;^— I "^ -;—^^— I , где Р^ — точки с коорди-
4я
'MP,
натами (р^, 9^, ф^), Р; —точки с координатами (р;, 0^, ф^), (р^, 9^, ф^)
координаты точки Р,
^1 \^ ^1
е^ -
I \ /?2 / РО
/ /?2 \fe /?2
Ч /?1 / Ро
(^Т при П-.2.,
[ (-|^)^^' при «:^2/е+1,
\W') ^^ "^" n=^2k,
[ (^-^j Ро при «-.2/^+1,
(-^) —^ при «=^2/е,
при п ^ 2k,
при « ==: 2^ + J^J
Ртг =-
Рл = '
5H(М,Р)=.^5]^7^7
In
«=0
МР„
I, где Рп—точки с
координатами (р^, фЛ, Р^ — точки с координатами (р^^, ф ), (р^, ф^) —координаты точки
Р, р^, p,j, е^ и e^'j определяются по тем же формулам, что и в случае а),
со
4. G {М, Р) -^- -^— 7 Г ~"—I ' ^^^ ^^ ~~ '^^^^^ с коорди-
натами (л:^, у^, г^ 4- 2пМ, Р;^ — точки с координатами (х^, уо, г^— Bп + 1) h)^
(ц, Уо* Zq) — координаты точки Р.
Глава X,
I г
,. -4" ((-5—-^)l^P(l)dl + C,Ri<r^R,,
370

где
П2 А 2
R,
J
2. u(r) =
3. f^(r) =
4я^?ро,
/ / r^ \ M
2np,I^R^--^y~~~, r^R,
где M = -^ nR^po, r = \^х^ + у^ + B- П)\ n - V^^ + ^' + B + hf, Po -
плотность зарядов, (О, О, h) — координаты центра шара радиуса R.
Указание. Для вычисления влияния идеально проводящей плоскости г = О надо
зеркально отразить исходную сферу относительно плоскости 2=0. Решение
в этом случае представится в виде
и (г).
2 М
С— -^ЯРоГ2 — , /-</?,
М
(тЧ).
/->/?,
с определится из условия сопряжения^решений при г = R.
1 1 Г2
^ _ In /? _ _ _L
2 /?2
4. и (г) =
[ "^ (
2 '"^-^Ж)'
;^,
1
М In—,
г
r-^R,
где 7W = nR^p^, Po — плотность зарядов, R — радиус круга.
5. Потенциал простого слоя отрезка О ^ л; :^ / с плотностью ро равен
V (х, i/) = Ро 1 In
о
6. w(M) = vA-^dlp = v^ \
di.
2я
7. а)ш(р, ф)^^|^
(р2 „ /^2) /^ @) dQ
2 + р2 " 2i?p COS (Э — ф)'
6)w{x^ У)==^ \
yf il) dl
Глава XIV.
1. и (г, t) = d>A
2 2
тельные корни уравнения Jg (а) = 0.
К' J,
<¥')■
где tt/j — положи-
371

2 2
2. u{r, t) = у Cne ^^ '^^{"^^n ^"^^ ад — положительные кор-
n=l
ни уравнения a/J (а) + hRJ^ (а) = О,
Сп = '
^ /II о
/ (г) — ограниченное решение задачи Д/ Н——• = О, /' (R) + /г/ (/?) = О, / (г) =
з.я(ло = я„-2я„|;-^;77(^
2 2,
е ^^/,
«=1
(^')'
где an -
положительные корни уравнения Jq (а) == 0. Поток магнитной индукции через
поперечное сечение цилиндра равен Ф == |хЯ (г, /) г Jr ^ф, где |х — магнит-
о о
пая проницаемость.
—a^KJ^
4. и (г, О = / (О + S ^п-^ ^ Фп (О. где Ф« (г) = Jo A/"Яп /?i) X
XNo{Vrnr)~-No{VrnRi)Jo{VKr). Сп= „^ ^,, „2 J г/(г)Фп(г) Jr,
1|Фп(г)|р
_5^i«_Z
^1
/ (г) = -—^ In -^, А,^ — положительные корни уравнения Ф^ (V^^^2) "^ ^' •
Q
5. а*Ди + -^=«<л « (/?, 0 = 0. "С''. 0) = «< (/•, 0), I « I < оо,
Q — стационарный режим.
жительные корни уравнения Jo(a) = 0, / (г
поло-
4а2р
6. а) и (г, t) =/(г) sin со/+
2Лсо7^2
ар
п=1
( 0 не совпадает ни с одним из собственных значений ^ а j,
^(^) = -45"
6) и (г, о = / ('■) COS О)/ +
OO
п=1
2Л7?
Р Z^a,{^'R'^a4l)j,(a^)
; в) и (г. /) =
-^^^{'^')'^n(t). где
л=1
372

^n (t) = Bn \ sin -^^ (t — T) sin COT d%,
0
"■-irlW ["'''(^ "■)-''''■ (^"O]-
««n^l (%)
в случае Ri = R2 Bn =
2.4
■(^«.)
7. a) и (r, t) = / (Л) sin <o< - 2 ^«•^» (^) ^'" -^ ^' ''Д* ^" =
n=l
2Лй)
rJ,{^r)jo(^r)dr,f(r) = A
a^i — положительные корни уравнения l^ (a) = 0; 6) и (г, /) ~ / W cos со/ —
oo
rt=l
ние задачи a^Aw = и^^, w (/?, ф, О = 0> " (''» Ф> 0) = 0> "/ (^ Ф» 0)
^р±б(Г-Г1)б(ф-ф1),
w(/', ф, t) =
^ 2P
oo oo
cos n((f> — (pi) Jfi
<
n)
n
Jn
n={) A;=l
«r^
aa,
in)
г sin -
{1, n ^ 0, /«\ r / Ч л
ai"' — положительные корни уравнения J (a) == 0.
2, n =0,
9. u(r, г) = Уо-2(Уо-^1)
sh-^/i.a„/i(a„)
n=l H
., где а„
—положительные корни уравнения Уо(^)= 0.
*"■ «<^'^)=-ж-+
+
_2/
где ад — положительные корни уравнения /j (а) = 0.
11. и (г, г) ==
Ink
oo
a„
№i ch -^г
an
a«sh-^/i + /?/iich-g^ /I J
X
373

X Jo( -^ /') , где «я — корни уравнения Jq (а) = 0. Указание. McKafb
решение и (/", г) в виде и = v (г) + w (г, г). Постановка задач для v (г) и (г, г):
v: At;-b-^-^i^=:0, |с;|<оо, v{R) = 0;
w: Aw = 0, I a; I < со, w (R, z) =^0,
Wz (r, -^^—h^wl^r, -^^ - /2ic;(r),
Начало координат взять в центре цилиндра.
2qR
■(^')
2 2,
а а„Г
12. и (г, t) = Fo (Г)+ tFi (г)- / ^—^^^^—-^е «^ , где
fo (г) =: Wo 7Г"( ^ ""^'ж) ' '^^^'^^ = 2^а2 >^^ а„~ положительные
корни уравнения Ji (а) = 0.
13. а) К^^ т, k ~ (т~ ) + ( р ) , aj^^ — положительные корни
уравнений Jn (а) = О,
5) я =/-—.\ I I ^ ] aj^^ ~ положительные корни уравнений
J' (а) = О,
Я^ , / %^ \ Г cos Пф
sin Пф;
^) ^rt,m, fe~'^^+l—Б—1 > ^m^ ~ положительные корни уравнений
^«^/i (^) + ^^*^л (^) ~ ^' ^* — положительные корни уравнения tg vh =
(hi + /12) V
sin Пф,
14. а)Ф,..(г. ф)^У„_^(^г)sini^, Я.,.= (^)^,т^-)-
положительные корни уравнений J ^^^ (у) == 0; б) Ф«^ m (^, ф) —
, /viz"^ \ ЯП " /y<;"\^ („,
"^^'^ пп ^ г COS ф, Кп т= , V^' —положительные
/ ai,"' \ f cos Пф
Ф«, т, ft (г, ф, Z) = Та {z).Jn (-^ г 1 I
а
_HcOS— ф. К, т= -^- , Vi
корни уравнений J'^^ (у) = 0;
374
мл
а

/ „(«) \ / yW \2
В
тельные корни уравнений
v^ — положительные корни уравнения
^ V2 — hin2
00 00 2 (дг) ' / {n) \
«5. « (., Ф. 0 = 2 2 ^". ''^" '* '•/-HL \\- '] ^'" ^ "P- ^"- * =
4 rr 7vr
(^).
R ' I ""' ex
a
L "IT J 0 0
)жительные корни уравнений J ^^ G) =^ 0, >.^^^ = (—^
ГУ. \
00 00 00
16.
АтЭ A:=l m—1
W (r, Ф' ^' 0 = 2j 7] 2j (Cn^ m, A: COS Дф -\- Dn^ m, j^ Sin /гф) X
X Jn '-4г' Ч Sin -г- ^'^ ' ' ' где
R h2n
A.
0 0 0
R П2Я / (^) \
X Sin —;— z COS дф dr d(p,
h
R h2n
X sin —7— z sin дф cfr аг й?ф,
vl'^^ и ^^ ^^ определяются, как в задаче 13.
Л'1/2 («) = ~J.ii2 {x) = - у -^ COS X, N_y^ (X) = 7,/2 (^) = |/ "HJ *'° *'•
00
rt=i
375

X
X/o(-^r)sin~ie, где Cn =-^ [(uo~u,)[{^\f ~ l] + {^If (u^-ut)}
X , и (г, г) — потенциал поля Е, т. е. Е = —Vu. Указание.
Искать решение в виде и— А {г) + В (г, г), ДЛ = О, Л @) = щ^ А (h) — и^.
во
• W (^ 2') = V Cnh [^ Л cos ■—■ г, где
23 _ ,
п^1
1
Сд = — ^. 12- [f(z)COS^Zdz.
(^^i^^ljcos^ef J ^
h "W о
я B^— 1)
24. ^(г, 2)==^ У^^ """^^^.о^.^ 1. .' Sin
/ я B^-1) \
п
25. ^^(г, г, /)-t;(r, 2)+2j 2^^^^'^^ ' X
г I ex.» \ . nk
R h
-2
Cn k = —0-— I I ^ (''» ^) ''♦^0 ( -7Г- ^ ) sin —;-- z dz dr, где an — положи-
1 V «/0 0
тельные корни уравнения /q (a) = 0,
t; (г, z) = — г +
Указание. Искать решение в виде и (г, г, /) — ^ (^» 2) + о; (г, г, f), где
t; (г, z) есть решение задачи (см. задачу 22) Ау = О, t; (/?, z) = О, v (г, 0) = О,
V (г, /i) = Wq, [t;| < схэ.
Глава XVI.
1. p,,@)=.(^l)^.^i±^ Р2Ш@)=0.
л B^I
2. Ортогональны с весом A —jc^)^. Это следует из ортогональности
присоединенных функций Лежандра.
оо
3. и {X, о = У! ^^"^ ^^^ ^ У2п{2п— 1) / +
/1=1
+ Dnsma\^2nBn—l) t] Р2пл (у-),
/
Сп = Dп - 1) j ф (g) Рзпл (-|-) dl,
о
D,, = ^"""^ \ Ф1 (I) Р2п-1 D-) ^5-
376

4. £" зяг —у 11^ где и (г, 6) — потенциал поля:
оо
V-, — Vo Т1 / г \2/г+1
и (г, 6) = ]
M=0
v., + JW^ 2 С„ (А)^"" Я.„,, (cos 6). r^R,
Сп
п=0
2/1 + 2 22'^(п!J *
5. а) « (г. 0) - -^ 2j -^Ьг ^« (^^^ ®)'
я=0
2п2/г+1
п=0
Указание. Искать суммарный потенциал V (г, 0), созданный точечным
g
зарядом и индуцированными зарядами, в виде суммы V (г, 0) = \- и (г, 0),
где
и (г, 0):
оо
/г=0
Здесь /"i — расстояние от точки (г, 0) до точки (гд, 0), где расположен заряд.
Воспользоваться разложением
ri
оо
п=0
Коэффициенты Сп и Dn находятся из условия V (/?, 0) = 0:
С„ = -
ег'^
эАг+1 »
6. а) Если заряд находится вне сферы в точке (гд, 0), г,, > R, то
потенциал электростатического поля равен
' I «2 (г, в), Л>/?,
377

где
Wi(r, 6) = 6
«2 (г, 6) = h ^—^
2 nei + (n^+1)82 7^ ^'^ ^'°' ^^'
nei+(n+1N2 7^+У^+^ ^'^ ^^°^ ^^*
Указание. Коэффициенты разложения находятся из условий сопряжения
%№ 9) = «2(/?, Э), 8,
|г=/?'
1 — расстояние от точки (г, 0) до точки (Гд, 6), где расположен заряд;
б) если заряд находится внутри сферы (г^ < /?), то
«l(^в) = -l-^-
в1-ег yi е(п+1) ^g^""
M=sO
оо
2л + 1
81Г1
п=0
w(r, 9) =
00
оо
r^R.
м=0
Указание. Решать задачу методом разделения переменных. Тогда
оо
2] c„r"p„(cose), л^;?,
v{r, 6) =
п—О
оо
M=0
Коэффициенты Сп и D^ находятся из сравнения этих формул с разложением по
степеням z потенциала в точках оси z (перпендикулярной диску и проходящей
через его центр), который вычисляется непосредственно:
2е
1/(г, 0) = -^{Vz^+R^-^z}.
00
1 VI 4л 4- 3 /г \2/г+1
«=0
378

Указание. В силу симметрии задачи v (г, — j = 0. Поэтому в
разов
ложении V (г, в) = 2] Ckf^Pk (cos 6) коэффициенты С2п с четными индексами
должны обращаться в нуль. Остальные коэффициенты определяются из условия
стояние от точки (г, 9) до источника (гд, 0). Указание. Искать решение
в виде суммы: и (г, 0) == — ^ v (г, 6), где v (г, 6) есть решение задачи
Д1?== О,
kv. iR, 9) + А. (R, е) = -5^ {^ ^ (^) + А}^^^.
Воспользоваться разложением Х/г^ в ряд по многочленам Лежандра.
W^ ( ,2n+l п2п+\ „ п2п+1 2«+1
0. и (г, 6)— ^^ ^ ^jl^ I р2п+1 _ сJ«+1 ,Аг+1 "^ о2гг+1 _ о2«+1
П5=0
п2/г+1
X 7ГМ/t(cos6). Плотность индуцированных зарядов:
^1 = а 1,^;^^ -= -4F Jj p2..i ^ ^2..i 7^ ^п (cos 0),
2—^1 'о
ео
I]
M=0
п2п+1 d2/i
0^2 =^ ^ \r=R. ^ TJT Zj p2.^1 ^ j,2n^l J^ ^n (COS 0].
Здесь Ti — расстояние от точки (г, 9) до заряда, расположенного в точке (г^, 0).
е 1
Указание. Искать решение в виде и = |-а(г, 0), Of = г^—X
п. и {г, e) = -|!-jl-cosa-2[P„+i(c08a)-
- P„.i (cosa)j (^~у Рп (cos 6) .
379
n=l

19 „ гг m qR I I , г cosQ y^ Dn + 1) P^n @) ^"Pan (cos9) 1
'^- ^'' "^ 2fe |2ft;? + ^ 1+ ;?ft Ь Bn+hR) Bn-l) Bn + 2) /?2"j'
Указание. Краевое условие задачи имеет вид
r^cos9, 0^9^-^,
"г {R, 9) + hu (/?, 9) =
[о, -|-:^9^я.
оо
13. и (г, в, О = jj^ / (О /'д (COS 9) + Р„ (cos 9) 2 Ь (О у^ X
Х'^га+1/2 (~^'') > '"Л^ ctft — положительные корни уравнения
'^ о
)
л. -'
nR
п+\
/2 /ctifl »("+!)]
Здесь и (г, 9, t) — потенциал скоростей; а^Аи — иц, и (г, 9, 0) = м^ (г, 9, 0) =
= О, Ur (/?, 9, О = Рп (cos 9) / (О, I « I < оо.
14. Я,„^ т, k^"ЪГ 1^т^]^ + k^ — собственные значения
— собственные функции. Здесь aj^^ — положительные корни уравнений:
— 2Rh) Ул+1/2(а) = 0;
/г — константа в условии Vr (R, 9, ф) + /it; (i?, 9, ф) = 0.
оо оо п
15. и (Л в' Ф' О = 2 2 2 ^^"'"'' ^ ^°^ ^^ "^ ^"' '^' ^ ^^^ ^^^ 177" ^
m=l rt=0 Л=0
„A) \ _ ^ "^ ^ <
X '^п+т ~f- Ч ^п (cos9).e ^' , где а^^) — положительные
'«+1/2 \^~^ ' j ^м v^-yj»";-»^ ? *А^ -^
380

корни уравнений
•'«+1/2 («) = 0.
Сп, n,.k-Km.k\\\f ir, е. ф) r3/V„„/2 (-^ Л X
П П л ^ '
0 0 0
X Р^ (cos в) COS Щ • sin 9 ^ф d6 ffr^
i? я2я;
0 0 0
^«, т, ft = '
X Я^ (cos 6) Sin ^ф-sin е ^ф dQ dr,
Bn+ l)in — k)l
( 2,
2, /fe = 0,

ЛИТЕРАТУРА
1. Белоусов С. А. Таблицы нормированных присоединенных полиномов
Лежандра. — М.: Изд-во АН СССР, 1956.
2. Будак Б. М., Самарский А. А.^ Тихонов А. Н. Сборник
задач по математической физике.—М.: Наука, 1972.
3. В а т с о н Г. Н. Теория бесселевых функций, ч. I и П. — М.: ИЛ, 1949.
4. Владимиров В. С. Уравнения математической физики, изд. 2-е. —
М.: Наука, 1971.
5. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия
над ними, изд. 2-е. —М.: Физматгиз, 1959.
6. Годунов С. К. Уравнения математической физики. —М.: Наука,
1971.
7. Г р э й Э., М э т ь ю 3 Г. Б. Функции Бесселя и их приложения к
физике и механике, изд. 2-е. —М.: ИЛ, 1953.
8. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. — М.: ИЛ, 1948.
9. Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики,
вып. 1—3. — М.: Мир, 1970.
10. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных
производных физики.—М.: ИЛ, 1950.
11. Кошляков Н. С, Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Основные
дифференциальные уравнения математической физики. — М.: Физматгиз,
1962.
12. К у 3 ь м и н Р. О. Бесселевы функции, изд. 2-е. — М.: ОНТИ, 1935.
13. К у р а н т Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир,
1964.
14. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, тт. I
и II.—М.: Гостехиздат, 1951. Ш'
15. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения, изд. 2-е.-—
М.: Физматгиз, 1963.
16. Лебедев Н. Н., Скальская И. П., Уфлянд Я. С. Сборник
задач по математической физике.—М.: Гостехиздат, 1955.
17. Л о в и т т У. В. Линейные интегральные уравнения. — М.: Гостехиздат,
1957. Ш^
18. Люстерник Л. А., Акушский Н. Я-, Диткин В. А.
Таблицы бесселевых функций. — М.: Гостехиздат, 1949.
19. Микусинский Я., Сикорский Р. Элементарная теория
обобщенных функций, вып. II. — М.: ИЛ, 1963.
20. П е т р о в с к и й И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными,
изд. 3-е. — М.: Физматгиз, 1961.
21. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений,
изд. 3-е. — М.: Наука, 1965.
22. П р и в а л о в И. И. Интегральные уравнения, изд. 2-е. — М.: ОНТИ,
1937. П
23. Р о 3 е т Т. А. Элементы теории цилиндрических функций с приложениями
к радиотехнике. — М.: Советское радио, 1956.
24. С е г ё Г. Ортогональные многочлены.—М.: Физматгиз, 1962.
25. С м и р н о в В. И. Курс высшей математики, т. П. — М.: Наука, 1967;
т. IV, Физматгиз, 1958.
26. С н е д д о н И. Преобразование Фурье. — М.: ИЛ, 1955.
382

27. с о б о л e в С. Л. Уравнения математической физики, изд. 3-е. — М.:
Гостехиздат, 1954.
28. С о н и н Н. Я. Исследования о цилиндрических функциях и специальных
полиномах.—М.: Гостехиздат, 1954.
29. Таблицы значений функций Бесселя от мнимого аргумента/Под ред.
И. М. Виноградова и Н. Г. Четаева. — М.: Изд-во АН СССР,
1950. г^ ^/
30. Таблицы функций Бесселя дробного индекса, тт.11 и II. — М.: ВЦ АН СССР,
1959. *^, .-^v
31. Т и X о н о в А. Н., А р с е н и н В. Я- Методы решения некорректных
задач, изд. 2-е. — М.: Наука, 1979.
32. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической
физики, изд. 4-е. — М.: Наука, 1972.
33. Т о л с т о в Г. П. Ряды Фурье, изд. 2-е. — М.: Физматгиз, 1960.
34. Т р а н т е р К. Дж. Интегральные преобразования в математич:еской
физике.— М.: Гостехиздат, 1957.
35. Ф а д е е в а В. И., Г а в у р и н М. К. Таблицы функций Бесселя
целых номеров. — М.: Гостехиздат, 1950.
36. Я н к е е., Эмде. Таблицы функций с формулами и кривыми. — М.:
Физматгиз, 1959.

Василий Яковлевич Арсенин
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Редактор А. С. Чистопольский.
Техн. редактор С. Я- Шкляр.
Корректоры: Т, С. Вайсберг, Л. С. Сомова,
ИБ N9 12311
Сдано в набор 21.12.82. Подписано к печати 03.05.84.
Формат 60 X OOVie- Бумага книжно-журнальная.
Литературная гарнитура. Высокая печать.
Условн. печ. л. 24. Усл. кр.-отт. 24. Уч.-изд. л. 26,51.
Тираж 12800 экз. Заказ № 252. Цена 1 р. 10 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 6 ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединения
«Техническая книга» им. Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли.
193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.