НОВОЕ
В ЖИЗНИ, НАУКЕ,
ТЕХНИКЕ
ЗНАНИЕ
А. М. Полосуев
О НЕКОТОРЫХ
ТЕОРЕТИКО-
ЧИСЛОВЫХ
ФУНКЦИЯХ
СЕРИЯ
МАТЕМАТИКА,
КИБЕРНЕТИКА
A. M. Полосуев,
кандидат физико-математических наук
О НЕКОТОРЫХ
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫХ
ФУНКЦИЯХ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»
МОСКВА 1972
517.1
П 52
Полосуев Александр Михайлович
П 52 О некоторых теоретико-числовых функциях. М.,
«Знание», 1972.
32 стр. (Новое в жизни, науке и технике). Серия «Математика,
кибернетика», 9.
В брошюре рассказывается о теоретико-числовых функциях, при-
водятся некоторые конкретные примеры их и показаны возможности
связи теории чисел с другими разделами математики.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся
проблемами современной теории чисел.
2-2-3
517.1
Изучение свойств целых чисел с давних пор привлекает внимание многих
выдающихся умов человечества. Казалось бы, простейший объект исследова-
ний — ряд натуральных чисел — до сих пор приносит множество неожидан-
ных открытий и содержит еще большее число неразгаданных закономернос-
тей. С каждым днем мы убеждаемся в том, что целое положительное число явля-
ется непременным орудием нашей повседневной деятельности в любой области
практической работы и науки. Без этого понятия наша культура обеднела
бы безнадежно, а математика перестала бы существовать как стройная система
научных знаний.
Русская и советская математические школы выдвинули из своей среды
многих выдающихся представителей теории чисел — науки о закономерностях
чисел. Начиная с XVIII века, когда в Петербурге работал Леонард Эйлер,
Россия дала миру яркие таланты — П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, Г. Ф. Во-
роного и многих других, внесших в развитие теории чисел неоценимый вклад.
Советский период в развитии теории чисел связан с именами И. М. Виногра-
дова, Л. Г. Шнирельмана, А. Я. Хинчина, А. О. Гельфонда, Ю. В. Линника
и ряда других ученых, закрепивших за нашей страной славу крупнейшего
поставщика теоретико-числовых открытий.
Брошюра А. М. Полосуева приоткрывает перед читателем тайны мето-
дов исследования в элементарной теории чисел. То, что сообщает брошюра,—
лишь первые шаги, но и они требуют от читателя определенных усилий для
отчетливого ознакомления с ними. Я убежден, что брошюра будет с интере-
сом и пользой прочтена читателями нашей серии и побудит некоторых из них
обратиться к изучению более специальной литературы.
Б. В. ГНЕДЕНКО.
академик АН Украинской ССР
ВВЕДЕНИЕ
Величественное здание современной математики возводилось
в течение многих веков усилиями выдающихся ученых разных
стран и народов. Это здание нельзя считать законченным, а его
внутреннее содержание раз и навсегда установившимся. Матема-
тика не стоит на месте, а, подобно живому организму, постоян-
но растет, обогащается и совершенствуется.
Всякий, кто изучал высшую математику, не мог не заметить, что она
распадается на несколько основных разделов — геометрия, математический
анализ, теория функции комплексного переменного, теория чисел и т. д.
Эти разделы отличаются один от другого своей проблематикой и своими мето-
дами исследования. Однако полностью отделить один раздел от другого не-
возможно и порой бывает трудно провести резкую границу между ними.
Тесная связь между различными разделами математики позволяет использо-
вать результаты и методы одного из них для решения проблем другого. Так,
например, в теории чисел — древнейшем разделе математики,— основным объ-
ектом изучения которой являются свойства натуральных чисел, широко ис-
пользуются методы теории функций комплексного переменного, алгебры,
геометрии, теории вероятностей, и в зависимости от того, какой метод исследо-
вания является доминирующим в решении тех или Иных числовых проблем,
говорят о теории чисел аналитической, алгебраической или геометрической.
К элементарной теории чисел относят те числовые проблемы, которые решают-
ся чисто арифметическими средствами, то есть без привлечения средств мате-
матического анализа, геометрии, комплексного переменного. Конечно, такое
деление теории чисел на разделы нельзя считать абсолютным: имеется немало
числовых проблем, решение которых получено впервые аналитическими мето-
дами, а впоследствии выяснилось, что их можно решить и методами чисто ариф-
метическими.
В данной брошюре мы расскажем о некоторых теоретико-числовых функ-
циях, которые являются не только вспомогательным средством описания мно-
гих числовых фактов, но и объектом изучения. Речь пойдет о следующих функ-
циях: т (и) — число делителей числа п; <р (п) — число чисел ряда 1, 2, . . ., п,
взаимно простых си; [х] — целая часть числа х; {х} — дробная часть числа
х. Методы, которыми пользовались при исследовании излагаемых здесь свойств
функций или при решении числовых проблем, тесно связанных с ними,— в ос-
новном аналитические, хотя и включают в себя некоторые геометрические и
алгебраические факты.
Введем понятие числовой функции. Для этого напомним общее определе-
ние функции, принятое в современной математике.
Пусть X и Y — два каких-нибудь множества чисел. Элементы множества X
будем обозначать буквой х, элементы множества Y — буквой у. Если существу-
ет правило, по которому каждому элементу х множества X можно поставить
в соответствие элемент у множества Y, то соответствие х —► у называют функ-
цией и обозначают так: у = f (х), где буква f указывает на наличие названно-
4
го правила. Множество X называется областью определения, множество У —
областью изменения функции.
Если теперь в качестве области определения функции взято множество
натуральных чисел, то в этом случае функцию f (х) будем называть числовой.
Из введенного определения следует, что числовых функций можно постро-
ить сколько угодно. Например, элементарные функции £х, Sl’nx, tgx яв-
ляются числовыми, если их аргумент принимает натуральные значения.
Конечно, введенное определение числовой функции нельзя считать об-
щим определением, ввиду того, что в теории чисел рассматриваются и такие
функции, аргумент которых пробегает, скажем, все целые значения, то есть
положительные, нуль и отрицательные, и их тоже принято называть числовы-
ми функциями. Однако для поставленной нами цели такого определения
числовой функции вполне достаточно.
§ 1. ЧИСЛО ДЕЛИТЕЛЕЙ
Из школьного курса арифметики известны четыре действия над целыми
числами — сложение, вычитание, умножение и деление. Первые три действия
выполнимы всегда, то есть над любыми двумя целыми числами можно произво-
дить действия сложения, вычитания, умножения, причем в результате полу-
чим опять целое число. Действие же деления одного числа на другое не всегда
выполнимо в том смысле, что в результате деления одного целого числа на дру-
гое частное от деления не всегда оказывается целым числом. В силу этого сра-
зу же возникает масса вопросов: каковы признаки делимости одних целых чи-
сел на другое, сколько существует делителей данного целого числа и т. д.?
Если внимательно проследить за развитием теории чисел на протяжении
сотен лет ее существования, то нетрудно заметить, что проблемы делимости це-
лых чисел составляют значительную ее часть. Понятия простого числа, наи-
большего общего делителя, наименьшего общего кратного и т. д. связаны с
действием деления, и именно потому, что это действие не всегда выполнимо
в области целых чисел, в отличие от первых трех арифметических действий.
Заметим, что одной из .причин интереса к изучению свойств целых чисел
были потребности различных разделов математики, особенно алгебры, неко-
торые проблемы которой теснейшим образом переплетаются с проблемами
теории чисел. Если полистать страницы книг по современной алгебре, то легко
заметить, что во многих ее главах широко используются понятия и результа-
ты теории делимости целых чисел.
Возникновение современных вычислительных машин явилось новым
стимулом развития и применения теоретико-числовых методов в прикладных
разделах математики (например, в приближенном анализе),а также для поисков
путей повышения производительности вычислительной техники. В качестве
примера приведем такой факт. Со школьной скамьи мы привыкли использовать
запись чисел в десятичной системе счисления. Однако большинство современ-
ных вычислительных машин производит действия над числами, записанными в
двоичной системе счисления. Поэтому, естественно, возникает вопрос о разра-
ботке эффективных способов перевода чисел из одной системы счисления в дру-
гую. Более того, в настоящее время некоторые исследователи пришли к заклю-
чению, что для ускорения выполнения операций полезно пользоваться непо-
зиционными системами счисления. Все эти вопросы являются по существу
арифметическими, и при рассмотрении их широко используются теоретико-
числовые методы. В этом разделе мы расскажем лишь о некоторых задачах,
связанных с определением количества делителей натурального числа.
Предположим, что нам задано натуральное число п. Спросим себя: сколь-
ко существует делителей этого числа? Ответ на этот вопрос дать нетрудно, если
п не слишком велико. Например, непосредственным подсчетом легко убедить-
ся, что число делителей шестерки равно четырем. Для больших натуральных
чисел п непосредственный подсчет становится очень сложным.
5
Для дальнейших рассуждений введем функцию т (п) — число делителей
натурального аргумента и. Согласно введенному нами определению число-
вой функции т (и) является функцией числовой. Изучением свойств функции
т (и) занимались многие выдающиеся математики. О достижениях некоторых
из них мы здесь расскажем.
Если подсчитать значения функции т (п) для нескольких значений аргу-
мента натурального числа л, то на первый взгляд может показаться, что ника-
кой закономерности в ее поведении установить нельзя. Однако это не так.
Прежде всего отметим, что функция т (л) может принимать как угодно боль-
шие значения.
Действительно, для любого наперед заданного натурального
числа N выберем натуральное число k такое, что k + 1 > N.
Тогда т (2Л) > N, так как делителями числа 2k являются числа
1, 2, 22, . . ., 2Л, а их как раз k + 1. Тем самым доказано, что
функция % (л) действительно может принимать как угодно боль-
шие значения.
Теперь поставим такой вопрос: быстро ли растет т (л) с ростом
аргумента л? Оказывается, что эта функция растет медленнее
своего аргумента, а именно:
lim^- = 0.	(1)
Л
Г2-ЮО
Ради простоты рассуждений докажем соотношение (1) для
случая, когда л является степенью простого числа.
Итак, пусть л = ра, где р — простое число, а 0 — целое.
Ясно, что делителями такого л являются числа 1, р, р2, . . ., р®
и только они. Число этих делителей, очевидно, равно а + 1.
Поэтому т (р®) = а + 1. Значит,
Т(п) _ «+ 1	2а	(у.
п ~ п	п *	' '
Логарифмируя равенство л = р®, получим а = Теперь
подставим найденное значение а в неравенство (2). В силу этого
оказывается, что
т (п)	2 In п
п	п\пр ‘
Из курса математического анализа известно, что
,. In п п
lim-----= 0,
п
И-♦со
что и доказывает равенство (1), так как р фиксировано, а л растет
за счет роста числа а.
Путем усложнения доказательства можно получить более
сильный результат, а именно: для любого е >• 0
Пт ^1 = 0.
Л-.СО П
Словами это можно выразить так: функция т (л) растет медлен-
нее любой как угодно малой степени своего аргумента.
6
Выше мы заметили, что в случае степени простого числа,
то есть п = р“, а 0, р — простое, число делителей числа п
равно а + 1, то есть т (ра) = а + 1. А как подсчитать количест-
во делителей числа л, если оно не является степенью простого
числа? Чтобы ответить на этот вопрос, докажем еще одно заме-
чательное свойство функции х (п), которое называют свойством
мультипликативности.
Если «1 и п2 — натуральные и взаимно простые числа, то
т (п1п2) = т(п1)т(«2).
Действительно, пусть 1,	k2, . . ., ks — делители числа
лп а 1, llf 12, ....	—делители числа п2. Тогда делителями
числа пгп2, в силу взаимной простоты пг и па, являются только
следующие числа, записанные в таблице:
1 k	k
ь/х,	Ь/2,	.... i-/v,
^1’^1» ^1’^2»	^v,	(3)
Сколько же чисел в таблице (3)? В первой строке их s 4- 1, в каж-
дой следующей — по v. Следовательно, число всех делителей
числа пгп2 равно
($+ 1)4-у + у + ... + у = ($+ 1)4-v($4- 1) = ($4- l)(v4-1).
s-j-1 раз
Поэтому
т(п1п2) = («4- 1)(у 4- 1) = т(пх)т(п2).
Пусть теперь л = р“*р“«, pt р2— простые числа. Так как
р®> и р“« взаимно простые, то по предыдущему,
т (п) = т (р®*) т (р«») = (04 4-1 )(О2 4-1 )•
В теории чисел доказывается следующий фундаментальный
факт: всякое натуральное число, большее единицы, представляет-
ся в виде произведения целых положительных степеней простых
чисел, причем такое представление однозначно с точностью до
перестановки сомножителей.
Итак, согласно только что сформулированному всякое нату-
ральное п можно представить в виде:
п = р“*р“»...р“8,
где plf . . ., ps — простые, af — целое, i = 1, 2, . . ., s. Те-
перь методом индукции легко установить, что
т(п) = т(р«*)...т(р“8).
Отсюда получаем формулу
т (л) = (at 4-1 )(а2 4-1).. .(as 4-1).
7
Приведем несколько примеров
Пример 1. Пусть п = 15. Тогда т (15) = т (3) т (5) = 4.
Непосредственным подсчетом убеждаемся, что делителями числа
15 являются числа 1, 3, 5, 15.
Пример 2. Пусть п = 360 = 23-32*5. В этом случае
т (360) = т (23) т (З2) т (5) = 4-3-2 = 24.
Указанные свойства функции т (л) не отличаются ни глубиной,
ни трудностью их доказательства. Действительно, глубокая
проблема, относящаяся к поведению функции т (л), впоследст-
вии названная проблемой делителей, была поставлена и отчасти
решена в 1849 г. немецким математиком Дирихле Ч Проблема
делителей является одной из труднейших в теории чисел, она
и в наши дни стоит в центре внимания «числовиков».
Суть проблемы делителей состоит в следующем.
Пусть
Sn = т(1) 4-т(2) + ... + т(л)
или, пользуясь символом суммирования, будем сокращенно пи-
сать так:
п
s„ = 2т <*)•
k=l
Величина
п
называется средним значением функции т (л) на сегменте [ 1, п ].
Спрашивается: как ведет себя среднее значение функции т (л)
при неограниченном возрастании аргумента л или, другими сло-
вами, сколько приходится делителей на долю каждого из первых
л натуральных чисел?
Изучение свойств функции т (н) и многих других числовых
функций показывает, что их средние значения ведут себя более
регулярно, чем значения самих функций. Нами уже отмечалась
сильная иррегулярность поведения функции т (л), которая для
составных значений числа л может принимать как угодно боль-
шие значения; для простых чисел л ее значение равно двум. А вот
среднее значение функции отличается регулярным поведением.
В основе дальнейших рассуждений лежит равенство
п	л
= 2 т (^) — 2 I ’	(4)
А=1 L J
1Дирихле, Петер Густав Лежён (1805—1859) — знаменитый немец-
кий математик, профессор Берлинского и Геттингенского университетов.
Известен работами в области теории чисел, математического анализа и
механики.
8
где символ lx] обозначает целую часть числа х.
Приведем доказательство. Очевидно,
Г * 1 Г~ 11 I 1» если k делится на v;
lvJ [ v J — I О, если k не делится на v.
Но тогда
Следовательно, при k п получим
Равенство (4) доказано.
— k ( k ।
где символ { } означает дробную
часть числа, то равенство (4) можно представить в виде
“	1	п <	\
= л £ —-2 (-Г •	(5)
й=|	Л=1v
Из курса математического анализа известно, что
V? 1
Z Т = 1° п + с + Уп,	(6)
k= 1
где уп стремится к нулю при неограниченном возрастании числа
п, С — 0,57 ... — постоянная Эйлера. Объединяя (5) и (6),
получим
V' ( л )
5л = п(1пл + С + у„)- Z Т •	(7)
fe=i 1
Покажем, что второе слагаемое этого равенства, деленное на
п In л, стремится к нулю с ростом числа п. Действительно,
Так как правая часть этого неравенства с ростом числа п
стремится к нулю, то тем самым высказанное утверждение до-
казано.
2 Серия '«Математнкаэ К? 9
9
Если теперь обе части равенства (7) разделить на п 1п п
рейти к пределу, устремив п к бесконечности, то получим
п In п
П-*со
или, вспомнив определение среднего значения функции
Л-*оо
Таким образом установлено асимптотическое равенство1
1 п
— 2х(6) ~ Inn.
*=i
и ne-
ir (n),
(8)
Это асимптотическое равенство можно истолковать так: на
долю каждого из первых п натуральных чисел приходится при-
мерно по In п делителей.
Из сказанного ясно видно, что вывод асимптотического ра-
венства (8) — дело нетрудное. Труднейшая задача состоит в том,
чтобы оценить погрешность этого равенства, то есть дать оценку
разности между левой и правой частями. В этом и заключается
вся трудность проблемы делителей.
Дирихле получил несравненно более глубокий результат,
чем равенство (8), а именно:
— 2 т(£) = 1пл + 2С— 1 + г(л),	(9)
Л= 1
где функция г (п) оценивается так: | г (л)|	~^= t а — постоян-
п
ная величина. Соотношение (9) обычно записывают в виде
п
2 т(£) = л(1п п + 2С— 1) + 0(л),
Л=1
(10)
где, очевидно, 10 (л)| а уПг.
Из формулы (10) усматриваем, что функция
л (In п + 2С— 1)
п
представляет сумму ^т(Аг) с ошибкой, порядок которой не пре-
_	k— i
ВОСХОДИТ Уп.
Уже сам Дирихле ставил перед собой задачу уменьшить порядок ошибки
в формуле (9), то есть заменить функцию "У п функцией по порядку меньшей.
1 Напомним, что две бесконечно большие величины ал и рл называются
эквивалентными (условная запись: а/г—фл), если lim^? = 1. В этом случае
n-юо рл
говорят, что аЛ и Рл асимптотически равны.
10
По-видимому, незадолго до смерти ему удалось это сделать, как следует из его
письма, адресованного 23 июля 1858 г. Кронекеру Вот отрывок из этого пись-
ма: «Со времени нашей недавней беседы по пути из Ильзенбурга в Гарцбург
мне удалось значительно улучшить оценку суммы | “у" » в которой [ ]
s=i L
обозначают, по Гауссу, наибольшее целое и которую я до сих пор умел вычис-
лять только с ошибкой порядка ~\/п. Использованный мною при этом метод»
по всей вероятности, можно будет применить и к другим случаям. Хотя от-
крытие этого метода и принесло мне большое удовлетворение, однако оно яви-
лось несколько некстати, так как отвлекло меня от завершения гидродинами-
ческого мемуара, который необходимо наконец-то закончить» ([1 ], т. 2, стр. 8).
Однако в математическом наследстве Дирихле не обнаружено никаких
заметок, из которых было бы видно, каким путем ему удалось улучшить оцен-
ку остаточного члена в формуле (10).
Следующий существенный сдвиг в проблеме делителей сделал Георгий
Феодосьевич Вороной, существенно углубивший и обобщивший метод Ди-
рихле.
Личность Г. Ф. Вороного настолько замечательна, что мы не можем не
сообщить хотя бы кратко биографические сведения этого выдающегося мате-
матика. Данные эти заимствованы нами из большого очерка о его жизни и дея-
тельности, написанного И. 3. Штокало и И. Б. Погребысским (11], т. 3,
стр. 263—304). Подробное изложение содержания основных работ Г. Ф. Во-
роного дал член-коррестондент АН СССР Б. Н. Делоне в своей книге [2].
Г. Ф. Вороной родился 16 (28 апреля 1868 г. в с. Журавке, б. Полтавской
губернии, в усадьбе своего отца. Среднее образование получил в Бердянской
и Прилукской гимназиях. Уже будучи гимназистом, проявил большой инте-
рес и способности к математике. К гимназическим годам относится его первое
математическое сочинение на тему «Разложение многочленов на множители,
основанное на свойствах корней квадратного уравнения», напечатанное
в «Журнале элементарной математики», издававшемся в Киеве.
В 1885 г. Г. Ф. Вороной поступил в Петербургский университет, где учил-
ся у выдающихся профессоров математики, являющихся гордостью русской
науки, таких, как А. А. Марков, А. Н. Коркин, Ю. В. Сохоцкий и другие.
Хотя к тому времени глава петербургских математиков П. Л. Чебышев оста-
вил работу в университете, его влияние на тематику исследований и препода-
вание математики было огромно. Поэтому Г. Ф. Вороной, будучи непосред-
ственным учеником учеников П. Л. Чебышева, по праву принадлежит к пред-
ставителям Петербургской школы теории чисел.
В 1889 г. Г. Ф. Вороной окончил Петербургский университет и большую
часть своего времени мог посвящать математическим изысканиям. Его днев^
никовые записи тех лет свидетельствуют, что их автора можно с полным пра-
вом отнести к категории людей, увлеченных своей наукой, которых в тепереш-
нее время называют одержимыми. Вот одна из его записей, датированная 31 де-
кабря 1890 г.: «Страсть к изысканиям, к отысканию новых свойств и отноше-
ний величин развилась у меня до невероятности: я с трудом бросаю перо из
рук» ([1], т. 3, стр. 279).
Защитив в 1894 г. магистерскую диссертацию «О целых алгебраических
числах, зависящих от корня уравнения 3-й степени», Г. Ф. Вороной переез-
жает в Варшаву, где до конца дней своих работает в качестве профессора Вар-
шавского университета.
Прожив всего сорок лет — он умер в 1908 г.,— Г. Ф. Вороной оставил
глубокие исследования в алгебраической, аналитической и геометрической
теории чисел. Будучи тяжело больным, страдая от острых приступов болезни
(врачи находили у него желчные камни), он не прекращал своих исследова-
ний. Нельзя без волнения читать запись в его дневнике: «Я делаю большие
1 Кронекер, Леопольд (1823—1891) — известный немецкий матема-
тик» профессор Берлинского университета.
2*
11
успехи в разбираемом вопросе; но в то же время здоровье мое ухудшается и
ухудшается. Вчера я в первый раз получил отчетливую идею об алгорифме,
который должен разрешить все вопросы рассматриваемой теории форм, и
вчера же я имел сильный припадок желчной колики, который помешал мне
заниматься вечером и не дал возможности заснуть всю ночь. Я так боюсь,
чтобы результаты моих долгих усилий, с таким трудом добываемые, не погиб*
ли вместе со мной» ([1 ], т. 3, стр. 302).
Листая страницы собрания сочинений Г. Ф. Вороного, нельзя не проник*
нуться чувством глубокого уважения к этому выдающемуся математику, су-
мевшему за свою короткую жизнь решить ряд труднейших задач теории чисел.
Получение предельно точных оценок остаточных членов асимптотических
формул, содержащих важнейшие числовые функции, не является удовлетво-
рением простого любопытства. Помимо того, что этим самым мы глубже по-
знаем свойства изучаемых функций, точность оценок остаточных членов, а
также методы, посредством которых она достигается, часто оказывают сущест-
венное влияние на решение других числовых проблем.
Что касается Г. Ф. Вороного, то к проблеме делителей он пришел в ре-
зультате развития общей идеи изучения числовых функций, родственных функ-
ции т (п). Вот что он записал в дневнике 23 марта 1901 г.: «В продолжение двух
месяцев я занимался изложением четырех глав моего нового сочинения, ко-
торому пока я дал следующее название: «О разложении некоторых числовых
функций в бесконечные ряды, подобные тригонометрическим».
Заканчивая 4-ую главу я убедился в том, что не могу доказать существо-
вание интеграла, аналогичного интегралу Дирихле, только относящегося
к моим функциям. Причина заключалась в том, что значения этих функций
в бесконечности мне мало известны. На этом основании я вернулся к началу
и занялся определением числовых функций с большей точностью, чем это
я сделал раньше. Простейший и самый важный вопрос — вычислить сумму
т 00 точнее, чем до yfП. Дирихле в письме к Кронекеру уверял, что
0<х<М
этот результат он получил, но как, осталось неизвестным. Я много лет мучаюсь
над этим вопросом, но до сих пор не мог сделать ни одного шага вперед. В на-
стоящее время я после мучительных исследований пришел также к новым ре-
зультатам, далеко еще не окончательным, но которые, по-видимому, бросают
луч света на этот необыкнованно трудный вопрос» ([1], т. 3, стр. 29—30).
Г. Ф. Вороной, несомненно, отдавал себе полный отчет в трудности этой
проблемы, поскольку ему были известны безуспешные попытки улучшить ре-
зультат Дирихле. С другой стороны, не было никаких оснований сомневаться
в достоверности сообщения Дирихле в письме к Кронекеру. Приступая к этой
проблёме, Г. Ф. Вороной прежде всего проделал громадную работу по вычис-
лению разности
2 t (*) — « (In П + 2С — 1)
Л=1
для конкретных значений п, благодаря чему он убедился в том, что порядок
этой разности действительно ниже, чем указано в формуле Дирихле. Затем
в течение ряда лет он разрабатывал метод доказательства и, наконец, 26 апре-
ля 1901 г. записал в дневнике: «Мне удалось, наконец, разрешить столько лет
мучивший меня вопрос о нахождении порядка дополнительного члена в фор-
муле Дирихле
2 ?(*) —W(lnW4-2C—l)4-0(/V).
Я могу доказать, что существует число А, не зависящее от N, удовлетво-
ряющее условию 0 (N) А In	([1], т. 3, стр. 294).
Результаты своих исследований Г. Ф. Вороной изложил в работе «Об одной
задаче из теории асимптотических функций», опубликованной в 1903 г.
12
Ценность этой работы состоит не только в самой оценке дополнительного
члена в формуле Дирихле, что само по себе очень важно; но особенно существен-
ным является введение в теорию чисел новых средств: так называемого ряда
Фарея и разбиения области суммирования на подмножества, связанные с ря-
дом Фарея, а также формулы профессора Н. Я. Сонина и ее применений х.
Метод Г. Ф. Вороного, разработанный для улучшения оценки дополни-
тельного члена в формуле Дирихле, сразу же нашел новые применения. Его
ученик по Варшавскому университету В. Серпинский — недавно скончавший-
ся выдающийся польский математик — применил его для подсчета числа це-
лых точек в круге заданного радиуса (точка называется целой, если ее коорди-
наты целые числа).
Работа Г. Ф. Вороного явилась для И. М. Виноградова 1 2 исходным пунк-
том глубоких исследований сумм вида
2 i/wi.
завершившихся разработкой нового метода для получения асимптотических
выражений указанных сумм. Этот метод и некоторые его применения И. М. Ви-
ноградов изложил в статье «Новый способ для получения асимптотических вы-
ражений арифметических функций» [3], опубликованной в 1917 г. В этой ра-
боте, в частности, указано, что «несмотря на необыкновенное остроумие и
глубину, метод Вороного слишком сложен, что сильно затрудняет его приме-
нение. В настоящей работе мы развиваем новый метод значительно более про-
стой, нежели метод Вороного, и дающий почти те же верхние пределы погреш-
ностей. Так для случая Вороного верхний предел погрешности по нашему
методу оказывается j/OV (1п Л/)6...».
Отсюда следует, что результат И. М. Виноградова только на множитель
2
ln3 * *W «хуже» результата Г. Ф. Вороного.
Проблема делителей, то есть отыскания точного порядка погрешности в
формуле Дирихле, не решена до сих пор, несмотря на то, что ей посвящено
значительное число работ. Лучшая в настоящее время оценка этой погрешнос-
Н+8
ти оказывается /V40 , где е> 0 — любое действительное число [4].
§ 2. ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА
В этом параграфе речь пойдет о функции Эйлера. Прежде чем переходить
к математической стороне дела, скажем несколько слов о самом Л. Эйлере.
Леонард Эйлер (1707—1783) родился в Швейцарии в г. Базеле. После
окончания Базельского университета, по рекомендации своих друзей матема-
1 Читателю, желающему подробно ознакомиться с работой Г. Ф. Воро-
ного, рекомендуем книгу Б. Н. Делоне [2] и комментарии акад. Ю. В. Лин-
ника, помещенные в [1], т. 2, стр. 369—372.
2 Виноградов, Иван Матвеевич (род. 1891 г.) — академик, дирек-
тор Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР, автор мощных ме-
тодов современной теории чисел.
С помощью разработанного им в 1934 г. метода оценки тригонометрических
сумм решил ряд проблем, поставленных много десятилетий назад. Например,
им решена проблема о представлении любого достаточно большого натураль-
ного нечетного числа суммой трех простых чисел, поставленная в 1742 г. пе-
тербургским математиком X. Гольдбахом в письме к знаменитому Л. Эйлеру.
С творчеством И. М. Виноградова можно ознакомиться, например* по кни-
ге Б. Н. Делоне [2].
13
тиков Даниила и Николая Бернулли, уехавших в 1725 г. в Петербург, полу-
чил приглашение работать в Петербургской академии наук. В 1727 г. он пе-
реехал в Россию и прожил здесь до 1741 г. За это время он опубликовал боль-
шое число научных работ по математическому анализу, теории чисел, диффе-
ренциальным уравнениям, механике.
В 1741 г. Л. Эйлер переехал в Берлин, где, занимая высокие должности
в Берлинской академии наук, прожил до 1766 г. Затем вновь переезжает в Пе-
тербург и остается здесь до конца своих дней.
За полувековую научную и педагогическую деятельность Л. Эйлер напи-
сал свыше 800 сочинений, в том числе 40 больших монографий. Трудно найти
область современной ему математики, в которой он не получил бы выдающих-
ся результатов. Научная и педагогическая деятельность Л. Эйлера в Петер-
бургской академии наук оказала громадное влияние на формирование русской
математической школы х.
Одним из замечательных результатов, полученных Л. Эйлером в теории
чисел, является обобщение так называемой «малой» теоремы Ферма.
П. Ферма (1601—1665) — французский математик, по образованию юрист.
Хотя математикой занимался как любитель, однако получил ряд фундамен-
тальных результатов в теории чисел, геометрии, анализе бесконечно малых.
«Малая» теорема Ферма формулируется так: если целое по-
ложительное число а не делится на простое число р, то существует
целое число х такое, что
дР-1 _ 1 -\-рх.
Приведем доказательство. Рассмотрим числа а, 2а, . . .,
(р — 1) а. Деля каждое из них на простое р, получим систему
равенств	а =	Кр	+	
	2а =	k2p	+	Г2
		•	•	(1)
	(р-1)а =	&Р-1Р	+	rp-l>
где	kp-i — частные,	rlt r2,.	.., г	Р_1 — остатки, причем
каждый из остатков принимает одно из значений 1,2, . . ., р—1.
(Ни один из остатков не может равняться нулю, так как числа
а, 2а, . . (р — 1) а не делятся на р.)
Докажем, что среди остатков rlt г2, . . ., гр_г нет одинаковых.
Рассуждаем от противного. Если бы остатки гп и гт, т^=п были
бы равны, то из равенств па = knp + гп и та — kmp + гт путем вы-
читания получили бы
a(fi-tri) = (kn — km)p.
Из этого равенства усматриваем, что число а (п — т) кратно
р. Так как по условию а не делится на р, то непременно делится
на р разность п — т. Но ведь п и т не превосходят р — 1. Поэ-
тому п — т может делиться на р лишь в том случае, когда
п — т.
1 О творчестве Л. Эйлера написано громадное количество работ. Читате-
лю, пожелавшему ознакомиться с творчеством Л. Эйлера, рекомендуем сле-
дующие книги: Б. В. Гнеденко 15], К. А. Рыбников [6], А. П. Юшкевич (7J.
14
Из приведенных рассуждений следует, что совокупность остат-
ков т\, р2,.. ., гр_ совпадает с совокупностью чисел 1,2,..., р—1.
Значит, i\ . . . гр_1 = 1«2 ... (р — 1). Теперь перемножим ра-
венства (1). Слева получим число ар —1 (1 -2...(/?— 1)), а справа
число вида Np + riri...rp-l. Таким образом, ар-' (1 -2...(р — 1)) =
= Np +	Отсюда (1 -2...(р — 1))(ар_1 — 1) = Np. Но про-
изведение 1«2 . . . (р — 1) не делится на р. Следовательно, число
ар~1 — 1 должно делиться на р, то есть существует целое число
х такое, что ар~1 — 1 — хр. Тем самым «малая» теорема Ферма
доказана.
Интересно высказывание большого специалиста по теории чисел, покой-
ного профессора Московского университета А. Я, Хинчина относительно роли
и значения для математики «великой» и «малой» теорем Ферма. Он пишет:
«Это предложение часто называют «малой теоремой Ферма» в отличие от так
называемой «великой теоремы Ферма» о невозможности решения в целых
положительных числах уравнения хп + Уп = 2я при целом п> 2 (эго утвер-
ждение, доказательством которого Ферма, по его свидетельству, обладал,
как известно, не доказано до настоящего времени). Если измерять важность
той или другой теоремы ее ролью и значением в развитии данной отрасли
науки, то следовало бы, пожалуй, принять обратную терминологию. Если
«великая» теорема когда-либо будет доказана, то сам этот факт, насколько
здесь возможно предвидение, не даст науке никакой опорной точки для
значительных новых достижений и, по всей вероятности, останется более или
менее изолированным. Напротив, установленная нами «малая» теорема уже
давно стала важнейшим орудием исследования и притом не только в теории
целых чисел, но и в значительно более широких областях арифметики и ал-
гебры» ([8], стр. 280).
В 1758 г. Л. Эйлер представил в Петербургскую академию наук мемуар
«Арифметические теоремы, доказанные новым способом». В первой части этой
работы он рассматривает одну из важнейших числовых функций — ф (л),
которую впоследствии назвали функцией Эйлера.
Функция ф (п) определяется для всех целых положительных
чисел п и обозначает число чисел ряда 1, 2, . . ., п, взаимно
простых с числом п.
Например, <р (1) = 1, ф (6) = 2, так как среди чисел 1, 2,
3, 4, 5, 6 только два числа — единица и пять — взаимно просты
с шестеркой.
Эйлер открыл ряд замечательных свойств функции <р (и).
Так же как и т (п), функция ср (л) является мультипликативной,
то есть если числа а и b взаимно просты (не имеют общих дели-
телей), то ф (ab) = ф (а) ф (&).
Например, числа 37 и 5 взаимно просты. Поэтому
Ф (185) = ф (37 • 5) = ф (37) ф (5) = 36 • 4 = 144.
Это означает, что среди чисел 1,2, . . ., 185 количество чисел,
взаимно простых с 185, равно 144.
Свойство мультипликативности функции ф (п) дает возмож-
ность вычислять ее значения для составных чисел п.
Действительно, пусть сначала п = ра, р — простое, а 0 —
целое. Чтобы среди чисел ряда 1,2, . . ., ра, найти количество
чисел, взаимно простых с числом ра, надо из этого ряда выки-
15
нуть все числа, делящиеся на р. Таких чисел,очевидно, ра~х.
Следовательно, ц>(ра) = ра — ра~х.
Как уже говорилось в § 1 (стр. 7), всякое натуральное
число п, больше единицы, представляется в виде произведения
целых положительных степеней простых чисел: п = р^р^...р^&.
Поэтому, пользуясь свойством мультипликативности функции
Эйлера, получаем
ф(л) = <р(р?'р?-...р“,) = <р	(p“s) =
или, вынося за скобки . . ., p“s, получим
ф(п) = /Л 1---—V 1-----L \	/ 1---Ц
\ Pi Д Рг )	\ Ps )
Отметим еще одно интересное и важное свойство функции
Ф (л).
Пусть п — число натуральное. Среди чисел 1, 2, . . ., п
выберем все делители числа п. Таких делителей будет т (п).
Обозначим их так: пп п2, • •	«Т(л)- Тогда оказывается, что
Т (fl)
2 ч>м=п.	(Г)
fc=l
Пример. Пусть п = 16. Делителями 16 являются числа
1, 2, 4, 8, 16. Находим
ф(1) + ф(2) + ф(4) + ф(8) + ф(16) = 1 + 1+ 2 + 4 + 8=16.
Докажем равенство (Г) для случая, когда п является степенью
простого числа, то есть п=ра, р — простое, а 0 — целое.
В этом случае делителями числа п являются числа 1, р, р2,. . ра
и т (я) = а + 1. Поэтому
т (п)	а	а
2 ф =2 ф №)=1 + 2 ф )•
k=l	0=0	р=1
Ранее было показано, что ф(рР) = р₽—р₽-1 =(р — 1)рр-1.
Поэтому, воспользовавшись формулой суммирования членов
геометрической прогрессии, получим
т (ге)	а	а _ J
2 Ф(Пм)=1+2(Р-1)Р₽-’ = 1 +(Р-0 р-Г = Ра = п-
А=1	Р=1
Для доказательства равенства (Г) в случае произвольного на-
турального числа п надо представить п в виде произведения сте-
пеней простых чисел и воспользоваться свойством мультипли-
кативности функции Эйлера.
Во второй части названного мемуара Эйлер доказывает тео-
рему, обобщающую малую теорему Ферма, а именно: если на-
16
туральные числа а и т взаимно просты, то существует целое х
такое, что
а<р (m) _ J тх.
Эта теорема называется теоремой Эйлера.
Пример. Пусть а — 5, т — 4. Очевидно, <р (4) = 2.
Непосредственным подсчетом убеждаемся, что 5ф (4) = 52 = 1 +
+ 4-6.
Заметим, что если а и т не являются взаимно простыми, то
теорема Эйлера неверна.
Например, полагая а = 6, т = 4, легко проверить, что
6ф<4>— 1 не делится на 4.
Малая теорема Ферма является всего лишь следствием тео-
ремы Эйлера, так как в случае простого т <р (/п) = т— 1.
Теорему Эйлера, а следовательно и Ферма, можно применить,
например, к решению в целых числах неопределенного линейного
уравнения с двумя неизвестными.
Предположим, что а и т — взаимно простые целые числа.
Задача ставится так: решить в целых числах и, v уравнение
аи + mu = b,	(2)
где Ъ — целое число.
Согласно теореме Эйлера, существует целое х такое, что
("0=14- tnx. Умножим это равенство на & и продела-
ем очевидные преобразования:
я(лф("0-|/;) 4- т ( _ xb) =Ь.
Сравнивая это равенство с уравнением (2), находим
и =	*6, v=—xb.
Пример. Решить уравнение
5и + 6v = 3.
Здесь b — 3, а = 5, т = 6, причем а и т — числа взаимно про-
стые; ф (6) = 2.
Из теоремы Эйлера получаем х = 4. Следовательно,
« = 5-3 = 15, v= — 4-3= — 12.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что и = 15
и v = —12 действительно удовлетворяют данному уравнению.
Наряду с «малой» теоремой Ферма теорема Эйлера является
краеугольным камнем теории чисел. Все, что сказано в приве-
денной нами цитате А. Я. Хинчиным относительно «малой»
теоремы Ферма, целиком и полностью относится и к теореме
Эйлера.
Проблема суммирования значений функции Эйлера, то есть
п
подсчет суммы 2 Ф (^) была впервые рассмотрена Дирихле
Л=1
в той же работе, в которой им ставилась и решалась проблема
17
делителей. Он выделил главный член и получил оценку остаточ-
ного члена, правда в неудобной форме. Сумма значений функции
Эйлера в хорошо обозримом виде была получена Мертенсом
в 1874 г. Он показал, что
«	3
2 Ф (6) =	«2 + г (п),	(3)
t=i
где J г(п)| ^сп In п, с постоянная величина. Отсюда следует
асимптотическое равенс тво
п	3
2ф(£) ~-^гп2.
k=\
Из равенства (3), если провести дополнительные рассуждения,
получается такой числовой результат: в полусегменте (0, 1 ] от-
ношение числа несократимых дробей со знаменателями, меньши-
ми или равными л, к общему числу всех лежащих там дробей
с такими же знаменателями стремится к пределу, равному
4- = 0,607....
Другими словами, несократимые дроби составляют примерно
60% от числа всех дробей. Подробный вывод равенства (3) и чис-
ловые следствия из него даны, например, в книге А. А. Бух-
штаба [41.
Проблема уменьшения порядка остаточного члена в форму-
ле (3) привлекала и сейчас привлекает внимание специалистов
по теории чисел. Многочисленные результаты, касающиеся сумм,
в которые входит функция Эйлера, приведены в монографии
А. Г. Постникова «Введение в аналитическую теорию чисел»
(М., «Наука», 1971). К этой книге мы и отсылаем читателя,
заинтересовавшегося затронутыми здесь вопросами.
§ 3. ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ И ДРОБНАЯ ДОЛЯ ЧИСЛА
Целая часть действительного числа х определяется как наи-
большее целое число, не превосходящее данного числа х. Условно
целую часть обозначают так: [х]. Таким образом, из определе-
ния целой части следует, что существует целое число т такое,
что т 1х ] <С т + 1.
Функция у = [х] издавна широко используется в теории
чисел. С помощью ее очень удобно записывать многие теоретико-
числовые факты. Чтобы показать пользу введенной функции,
приведем примеры.
Прежде всего напомним, что в проблеме делителей сумма
п
2 т (£) оказывается
Л=1
Г п 1
равной сумме >
fe=iL J
под знаком кото-
18
рой стоит целая часть. Эта связь позволяет свести подсчет сум-
мы делителей к подсчету целых точек под гиперболой ху п.
В качестве второго примера решим такую задачу: пусть р —
простое число, п — заданное натуральное. Спрашивается: с ка-
ким показателем простое р входит в число nl?
Прежде чем приступить к решению этой задачи, докажем
одно очень любопытное и в то же время полезное свойство целой
части, а именно: для любого действительного числа х и любого
натурального п имеет место равенство:
Г-Ш-1 = Г-М.	(1)
L п J L пJ	v/
Действительно, если обозначить буквой т, то согласно
определению целой части величина £ удовлетворяет неравенству
т «С •< т + 1. Отсюда тп х < п (т + 1). Так как тп и
п (т + 1) — целые числа, то тп	[х] < п (т 4- 1). Значит,
т < т + 1 то есть
Л
= т =
С помощью формулы (1) легко решить поставленную задачу.
Сначала заметим, что в случае р> п простое р не может
делить п\ Поэтому естественно считать, что р входит в п\ с пока-
зателем, равным нулю.
В случае же среди чисел 1, 2, .... п непременно
встретятся числа, кратные р, в количестве, равном . Эти чис-
ла таковы: р, 2р, . . р
Составим из них произведение
п
~Р
Среди множителей числа
Количество таких чисел будет
могут быть числа, кратные р.
равно
на основании формулы (1).
И вообще путем повторных рассуждений легко убедиться, что
в ряду чисел 1, 2,
п 1
Pk J
количество кратных р равно
числу
п
. рк~'
19
Таким образом, показатель, с которым простое число входит
в п!, равен сумме
Очевидно, эта сумма не может содержать бесконечно много
п
. pk
слагаемых, так
больше п.
как
-О
как только степень рк
окажется
Доказанное предложение можно применить для представле-
ния числа п! в виде произведения степеней простых чисел.
Пример. Представим 10! в виде произведения степеней
простых чисел. В это случае п=10, р = 2, 3, 5, 7.
Сначала найдем показатели, с которыми эти простые входят
в 10!. Дальнейшие вычисления понятны без пояснений:
Следовательно, 2, 3, 5, 7 входят в 10! с показателями, равными
соответственно 5 + 2 + 1 = 8; 3 + 1 = 4; 2; 1. В силу сказан-
ного выше число 10! представляется в виде произведения степе-
ней простых чисел так:
10! = 28-34-51 2-7.
Рассмотрим теперь другую функцию, тесно связанную с
функцией, определяющей целую часть действительного числа.
Пусть задано действительное число х. Разность х — 1x1
называется дробной долью числа х и обозначается так {х}.
Ясно, что функция у — {х} определена для всех действи-
тельных чисел х и ее область изменения составляет полуинтер-
вал 10, 1).
Нашей дальнейшей целью является рассказ о некоторых замечательных
теоретико-числовых результатах, связанных с функцией у = {х).
Прежде всего решим простейшую задачу из теории диофантовых прибли-
жений *. Заметим попутно, что теория диофантовых приближений — это часть
теории чисел, которая изучает приближения действительных чисел рацио-
нальными или в более общем плане — решение в целых числах линейных и не-
линейных неравенств с действительными коэффициентами. Эта теория названа
по имени греческого математика Диофанта, жившего, вероятно, в 1П веке до
нашей эры.
1 С некоторыми вопросами теории диофантовых приближений можно
ознакомиться по книге Д. Касселса [9]. Популярный очерк о творчестве Дио-
фанта читатель найдет в недавно вышедшей книге И. Г. Башмаковой [10].
20
Теория диофантовых приближений своими корнями уходит в глубокую
древность. Стимулом ее возникновения и развития послужили, с одной сторо-
ны, потребности приближенных расчетов, с другой стороны, развитие понятия
о числе.
Еще древние греки умели логически безупречно доказать невозможность
представления "|/2 в виде рациональной (обыкновенной) дроби. Такие числа
были названы иррациональными. Числа рациональные и иррациональные
называются действительными числами. Понятие действительного числа скла-
дывалось в течение длительного срока, строились различные его теории. Од-
нако в численных расчетах приходится заменять иррациональные числа их
рациональными приближениями, то есть обыкновенными или конечными деся-
тичными дробями. В связи с этим возникает вопрос об оценке погрешности.
Здесь возможны различные постановки задач. Вот, например, одна из них:
из всех обыкновенных дробей, знаменатели которых не превосходят заранее
выбранного натурального числа, найти ту, которая для данного действитель-
ного числа является наилучшим приближением.
В качестве примера возьмем число л. Известно, что оно иррационально.
Предположим, что мы хотим заменить для какой-либо цели число л обыкно-
венной дробью со знаменателем, не превосходящим, скажем, 113. Спросим се-
бя: какова та обыкновенная дробь со знаменателем, не превосходящим 113,
которая к л была бы ближе всех обыкновенных дробей с теми же знаменателя-
355
ми? И вот оказывается, что такой дробью является урр
С помощью теории диофантовых приближений удается решать
проблемы, имеющие фундаментальное теоретическое значение.
Например, на основе ее результатов впервые удалось построить
примеры трансцендентных чисел, то есть чисел, не являющихся
корнями ни одного многочлена с целыми коэффициентами.
Итак, решим такую задачу: пусть а и Q> 0 — любые дейст-
вительные числа. Спрашивается: существуют ли одновременно
не равные нулю целые числа р и <?, для которых имело бы место
неравенство?
(2)
Мы сейчас на этот вопрос дадим положительный ответ. Для
этого воспользуемся так называемым принципом Дирихле, ко-
торый в образной форме можно сформулировать так: если в п
ящиках размещены п + I предметов, то среди этих ящиков най-
дется хотя бы один, содержащий по меньшей мере два предмета 1.
Не ограничивая общности, можно считать, что Q> 1, ибо
в противном случае неравенству (2) можно удовлетворить, пола-
гая q = 0, р = 1.
Разобьем отрезок [0, 1 ] на [Q] 4- 1 равных отрезков точками
1	2	[Q] + 1
IQ1 + 1 ’ IQ1+1 ”’*4314-1 ’
Условимся каждому из построенных частичных отрезков причис-
лять только левый его конец. Рассмотрим числа
 {0-а), {1-а},..., {([Q] +1)-а).	(3)
1 Читателю, желающему ознакомиться с некоторыми приложениями прин-
ципа Дирихле, рекомендуем блестяще написанную статью А. Я- Хинчина [11].
21
Согласно определению дробной доли числа все эти числа содер-
жатся в интервале [0, 1). Общее количество этих чисел равно
[Q] + 2, причем каждое из них принадлежит одному из построен-
ных частичных отрезков — «ящиков». Так как таких отрезков
IQ] + 1, а чисел [Q] 4- 2, то в силу принципа Дирихле один
из частичных отрезков содержит по меньшей мере два числа ря-
да (3). Пусть это будут числа {га} и {sa}. Так как длина каждого
из частичных отрезков равна
1
[Q ] + 1
то указанные числа отлича-
ются по абсолютной величине не более чем на р, то есть
1	1
IQJ + 1	Q •
|{ra}- (sa’I
Если теперь воспользоваться определением дробной части чис-
ла, то последнее неравенство можно записать в форме:
|(г — s)a-([ra| — [sa])|
Вводя обозначения q-r — s, p = [raj —]sa], получим оконча-
тельное неравенство
ka-P|<4"’	(4)
причем |^|	[Q] 4- 1.
Тем самым ответ на поставленный нами вопрос получен.
Наконец, записав неравенство (4) в виде
„ В.	1
<7	ЯО. ’
полученный результат можно истолковать так: для любых дей-
ствительных чисел а и Q > 0 можно указать рациональное
число -у- со знаменателем, удовлетворяющим неравенству
[Q1 + 1» которое приближает число а с точностью
Этот пример указывает на тесную связь дробных долей функ-
ций с теорией диофантовых приближений. Что эта связь очень
глубокая, можно показать еще убедительнее, если обратиться
к понятию равномерного распределения дробных долей функций,
введенного в 1916 г. немецким математиком Г. Вейлем х.
Предположим, что задана действительная функция у = f (х)
от действительного аргумента х. Заставим пробегать х натураль-
ные числа от 1 до Р. Для каждого натурального х будем вычис-
лять дробную долю функции f (х). Возьмем любой интервал
[а, р), содержащийся в интервале 10, 1), и обозначим коли-
1 Вейль, Герман (1885—1955)—один из крупнейших математиков
XX века. Широкой публике известен, например, по недавно вышедшей в рус-
ском переводе популярной книге «Симметрия» (М., «Наука», 1968).
22
чество дробных долей, попавших в интервал [а, р), при измене-
нии х от 1 до Р, через Np (а, 0). Будем говорить, что дробные доли
{f (х)} при х = 1, 2, ... распределены равномерно, если для
любого интервала [а, (3), содержащегося в интервале [0, 1),
выполняется соотношение:
.. Мр (а, 6) а
lim  р н • = 6 — а.
р	г
р->СО	г
Другими словами, число дробных долей {/ (х)}, попавших
в интервал [а, (3) при изменении х от 1 до Р, определяется по фор-
муле
Np(a, Р) = р(р-а) + г(р),	(5)
где
lim-^- = 0.
р-юо *
Из равенства (5) следует приближенное равенство
(а, Р) ~ р (Р - а),
которое, грубо говоря, можно истолковать так: число дробных
долей {f (х)}, попавших в интервал [а, Р), пропорционально
длине этого интервала.
Таким образом, если взять два равных по длине интервала,
содержащихся в интервале [0, 1), то количество попавших в них
дробных долей {[ (х)}, х = 1, 2, . . ., р, будет примерно оди-
наково.
Понятию равномерного распределения можно дать другое толкование.
Будем откладывать на числовой оси значения функции f (х) при
х— 1, 2, .... полагая при этом, что точка ах соответствует значению f (1),
точка а2 — значению f (2) и т. д. Числовую ось с рассыпанными по ней точка-
миаь а2, . . . будем наматывать на окружность, длина которой равна едини-
це. Если точки «1, а2, . . . будут равномерно покрывать-окружность, то это
и означает, что дробные доли {/ (х)} распределены равномерно.
Изучение поведения дробных долей функций представляет несомненный
теоретический интерес. В подтверждение можно было бы привести множество
фактов, но мы ограничимся только одним.
В 1937 г. И. М. Виноградов доказал, что последовательность {ар}, где
а иррационально, р пробегает подряд простые числа, равномерно распределе-
на. Это свойство простых чисел лежит в основе данного И. М. Виноградовым
решения проблемы Гольдбах а (см. сноску на стр. 13). Следует, однако, отметить,
что изучение поведения дробных долей функций имеет и практический интерес,
например, в связи с разработкой в последние 15 лет теоретико-числовых мето-
дов в приближенном анализе.
Г. Вейль получил ряд важнейших результатов. Вот один из них.
Пусть многочлен f (х) = апхп	о0 с действительными коэффициен-
тами. Если среди его коэффициентов, кроме свободного члена, есть хотя бы
один иррациональный, то дробные доли этого многочлена равномерно распре-
делены.
Отсюда, в частности, следует, что дробные доли линейной функции f (х) =
= ах, где а — число иррациональное, распределены равномерно.
23
р
Если же а = — —число рациональное, то дробные доли функции ах не
могут быть распределены равномерно, так как в этом случае их будет ровно-q:
о 
в силу очевидных равенств
( Р
В таком случае говорят, что дробные доли распределены дискретно.
Со дня опубликования статьи Г. Вейля появилось большое количество
работ по теории равномерного распределения дробных долей. Мы, естественно,
не можем рассказывать о всех полученных результатах в этой теории, а огра-
ничимся лишь сообщением некоторых из них, представляющих, с одной сто-
роны, несомненный интерес и, с другой стороны, поддающихся, на наш взгляд,
популярному изложению.
В 1926 г. И. М. Виноградов опубликовал работу «О дробных долях целого
многочлена» [3], в которой он новым, чисто арифметическим методом не толь-
ко решил вопрос о распределении дробных долей многочлена, но и получил
оценку остаточного члена г (р) в формуле (5), чего нет в работе Г. Вейля.
Изучению поведения дробных долей многочлена И. М. Виноградов по-
святил несколько работ. Впоследствии, в 1937 г., он разработал новый мощный
аналитический метод, позволивший ему значительно улучшить оценку оста-
точного члена г (р).
В работах И. М. Виноградова и Г. Вейля фактически изучается поведение
дробных долей конкретных функций. Результаты в этом направлении полу-
чаются с большим трудом в силу особой сложности проблем. Даже для, каза-
лось бы, простых функций, вроде е*, ничего не известно относительно равно-
мерности распределения их дробных долей.
В 1948 г. работой Н. М. Коробова «О функциях с равномер-
ным распределением дробных долей» [12] было положено начало
решения конструктивных задач в теории равномерного распре-
деления дробных долей показательной функции. О некоторых
результатах этой теории мы расскажем.
Предположим, что задана показательная функция / (х) = aqx ,
где а — действительное число, q 2 — натуральное. Задача
ставится так: построить число а такое, чтобы дробные доли
{aqx}, х = 1,2,... были равномерно распределены Ч
Ясно, что а не может быть любым действительным числом.
Например, если а — число рациональное, то, очевидно, дроб-
ные доли функции aqx распределены дискретно.
При построении чисел а, для которых дробные доли функции
aqx равномерно распределены, удобно пользоваться специаль-
ными последовательностями знаков — нормальными периоди-
ческими системами.
Предположим, что п и q 2 — натуральные числа.
1 Еще Г. Вейль доказал, что для почти всех (в смысле меры Лебега) чи-
сел а дробные доли {ац*} равномерно распределены. Однако конкретного при-
мера такого числа а он не указал.
24
Составим n-значные разложения чисел				0, 1, 2, . . ., <r - 1	
в системе счисления с основанием		<Г-	0 0 i		
0 = 0 1 = 0 q = 0	0 •• 0 •• 0 ••			0 1 0	(6)
qn—1 = q— 1	<7-1 ••	• q	-i	<7-1.	
Нормальной периодической системой, или, короче, системой
р„ (q) назовем последовательность из qn + п — 1 знаков
(7)
где каждое 6V — целое число из отрезка [0, q— 1], обладаю-
щую тем свойством, что совокупность n-значных чисел
получающихся из соседних знаков последовательности (7), совпа-
дает с совокупностью всех возможных n-значных чисел (6).
Пример. Пусть п = 2, q = 2. Выпишем двузначные разло-
жения чисел 0, 1, 2, 3:
0 = 00
3=11
В этом случае нормальная периодическая система имеет вид:
П001.
В самом деле, совокупность двузначных чисел 11, 10, 00, 01,
полученных из этой системы, совпадает с совокупностью дву-
значных двоичных чисел (8).
Читатель без труда убедится, что из нормальной периоди-
ческой системы р3(2), имеющей вид 1110001011, получают-
ся все восемь трехзначных чисел, записанных в двоичной системе
счисления.
Возникает, естественно, вопрос: как строить нормальные пе-
риодические системы рп (q) в системе счисления с основанием q?
Ради простоты мы сформулируем правило построения нор-
мальной периодической системы для случая двоичной системы
счисления, отсылая читателя, интересующегося общим случаем,
к работам Н. М. Коробова [13].
Итак, пусть q — 2. Тогда ря (2) строится по следующему пра-
вилу: первые п знаков выбираем равными единице. Далее при-
писываем нуль до тех пор, пока получающиеся при этом новые
25
n-значные числа встречаются впервые. Единицу приписываем
лишь в том случае, когда приписывание нуля приводит к уже
встречавшемуся n-значному числу. Приписывание заканчиваем,
когда любой новый знак приводит к n-значному числу, которое
уже встречалось.
Рекомендуем читателю, пользуясь сформулированным пра-
вилом, убедиться, что
р5(2) = 111110000010001100101001110101101111.
Теперь перейдем к построению числа а, для которого дроб-
ные доли показательной функции а2х равномерно распреде-
лены
Число а определим бесконечной дробью, записанной в двоич-
ной системе счисления:
а = 0, Р1 (2) рг (2)рг (2) р3 (2) р3 (2) р3 (2)...,	(9)
где ря(2), п = 1, 2, . . ., выписывается подряд п раз, причем
каждый знак системы ря (2) понимается здесь как очередной знак
разложения числа а.
Если в правой части (9) выписывать каждый знак, то а вы-
глядит так:
а = 0,101100111001111000101111100010111110001011...
И вот оказывается, что это число а таково, что дробные доли
{а2Л}, х = 1, 2, . . ., равномерно распределены.
Понятие равномерного распределения дробных долей показательной функ-
ции теснейшим образом связано с понятием нормального числа, впервые вве-
денным французским математиком Э. Борелем в начале этого века.
Предположим, что число а записано в g-ичной системе счисления:
а = 0, б1б2...бр...,	(10)
где 6V могут принимать значения 0, 1, 2.q — 1. Пусть Дя = (в^.^ея)
— n-значная комбинация, состоящая из знаков 0, 1, 2, . . ., q — 1.
Обозначим через Wp (Дя) число появлений комбинации Дя среди членов
последовательности ^бг.-.бр... числа а, вплоть до Р-го знака.
Если для любого номера п и любой л-значной комбинации Дя выполняется
соотношение
.. Мр (Ал) 1
рТоо Р ~ Яп ’
то число а называется нормальным.
Грубо говоря, число а называется нормальным, если среди членов последо-
вательности 6t б2 б3 . . . любая n-значная комбинация встречается с асимп-
тотически равной частотой . Например, если л= 1, то любой знак 6 встре-
1
чается с частотой точнее
lim
Р-юо
Np (Ai)
1
Я *
1 Здесь опять ради простоты рассматривается показательная функция
с основанием, равным двум.
26
Э. Борель лишь установил существование нормальных чисел Ч Первый
пример нормального числа построил в 1933 г. английский математик Д. Чем-
перноун. Так, согласно его конструкции, число
а = 0,12345678910111213...,	(12)
где после запятой подряд выписываются натуральные числа, записанные в де-
сятичной системе счисления, нормально.
Довольно долго свойства нормальных чисел изучались вне связи с вопро-
сами равномерного распределения дробных долей показательной функции
aqx. Лишь в 50-х годах заметили эту связь. Оказалось, что а является нор-
мальным в <?-ичной системе тогда и только тогда, когда дробные доли показа-
тельной функции aqx, х=1, 2,... равномерно распределены.
Таким образом, теперь мы знаем, что Д. Чемперноун построил первый при-
мер не только нормального числа, но и числа, для которого дробные доли соот-
ветствующей показательной функции равномерно распределены, хотя в тО
время связь между этими понятиями не была известна.
В заключение кратко остановимся на многомерном обобщении понятия
равномерного распределения дробных долей показательных функций.
Предположим, что заданы s показательных функций а^*, a2g2>--» а$д*,
где qt 2 — целые. Пусть х пробегает значения 1,2, . . ., р\
({агд^},..., {а«<7$})—точки s-мерного пространства, координаты кото-
рых равны соответственно дробным долям показательных функций
а^*,..., Ясно, что точки Мх будут попадать во внутрь или на грани
s-мерного единичного куба 1 2. Обозначим через v объем произвольной области
единичного куба и Np (v) — число попаданий в эту область точек Л4х. Если
МР(и)
lim —— = v,
Р-+СО г
то говорят, что система показательных функций axgp..., as<7* равномер-
но распределена в s-мерном пространстве 3.
Заметим, что из равномерности распределения дробных долей каждой
функции в отдельности не следует равномерность распределения всей системы
функций. Например, если функция aqx равномерно распределена, то
(1-а)^ тоже равномерно распределена, в то время как система функций
aqx, (1—a) qx не является равномерно распределенной. Поэтому
возникает вопрос: как построить числа aj,..., as так, чтобы система пока’
зательных функций была бы равномерно распределена в s-меряом простран-
стве? В данный момент существует несколько способов построения таких чи-
сел а. Мы не имеем возможности о них рассказывать, а остановимся лишь на
одном результате, полученном Н. К- Коробовым.
С помощью нормальных периодических систем он построил числа ах,... ,as
такие, что количество попаданий Wp (о) точек Мх в область и представ-
ляется в виде:
Np(v) = vP + r(P),	(13)
где
1 ——
\r(P)\^cP Ж,
с — постоянная величина.
1 Почти все (в смысле меры Лебега) числа нормальные-
3 Читатель, не знакомый с понятием s-мерного пространства, может огра-
ничиться рассмотрением, например, двухмерного случая (s = 2). В этом слу-
чае точки Мх будут попадать в единичный квадрат: (0^	1; 0^ у^ 1).
3 Совершенно очевидно, что многомерное обобщение понятия равномер-
ного распределения можно перенести на любую систему действительных функ-
ций.
27
Как следует из этого неравенства, с ростом числа измерений s оценка остаточ-
ного члена ухудшается. Например, в одномерном случае (s = 1) из (13) сле-
дует	__
|г(Р)|<с/Р.
2
3
В двухмерном случае (s = 2) остаточный член оценивается так: | г (Р)| cP ,
что хуже, чем в одномерном случае.
Однако в s-мерном случае остаточный член в формуле (13) пока никто
не улучшил.
Читатели, желающие более подробно ознакомиться с рас-
смотренными в брошюре проблемами, могут обратиться к лите-
ратуре, список которой прилагается.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Вороной Г. Ф. Собрание сочинений в трех томах. Киев, Изд.
АН УССР, 1952—1953.
2.	Д е л о н е Б. Н. Петербургская школа теории чисел. М.— Л.
Изд. АН СССР, 1947.
3.	Виноградов И. М. Избранные труды. М., Изд. АН СССР, 1952.
4.	Б у х штаб А. А. Теория чисел. М., Учпедгиз, 1960.
5.	Г н е д е н к о Б. В. Очерки по истории математики в России. М.,
ГТТИ, 1946.
6.	Р ы б и и к о в К. А. История математики. Т. II. М., Изд. МГУ,
1963.
7.	Ю ш к е в и ч А. П. История математики в России до 1917 года. М.,
«Наука», 1968.
8.	X и н ч и н А. Я. Элементы теории чисел.— Энциклопедия элемен-
тарной математики. Т. I. Арифметика. М.— Л., ГТТИ, 1951.
9.	Касселе Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений.
Перев. с англ. М., ИЛ, 1961.
10.	Б а ш м а к о в а И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. М.,
«Наука», 1972.
11.	X и н ч и н А. Я. Принцип Дирихле в теории диофантовых прибли-
жений.— «Успехи математических наук», т. III, вып. 3 (25), 1948.
12.	Коробов Н. М. О функциях с равномерным распределением дроб-
ных долей.— «Доклады АН СССР». Новая серия. 1948, том LXII, № 1,
стр. 21—22.
13.	К о р о б о в Н. М. Нормальные периодические системы и их при-
ложения к оценке сумм дробных долей.— «Изв. АН СССР», серия матема-
тическая, 15 (1951), стр. 17—46.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ......	  4
§ 1.	ЧИСЛО ДЕЛИТЕЛЕЙ........................  5
§ 2.	ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА .	........................ 13
§ 3.	ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ И ДРОБНАЯ ДОЛЯ ЧИСЛА .	.... 18
ЛИТЕРАТУРА.....................................28
ПОЛОСУЕВ АЛЕКСАНДР МИХАИЛОВИЧ
О НЕКОТОРЫХ
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫХ
ФУНКЦИЯХ
Редактор В. Ю. Иваницкий. Обложка Л. П. Ромасенко.
Худож. редактор В. И. Конюхов. Техн, редактор
А. М. Красавина. Корректор С. К. Ремизова.
А-08097 Сдано в набор 30/V1 1972 г. Подп. к печати 9/VIII 1972 г.
Формат бумаги 60x90’/ie. Бумага типографская № 3 Бум. л. 1.0
Печ. л. 2.0 Уч.-изд. л. 1,80 Тираж 46 300 экз. Зак. 1205 Цена 6 коп*
Издательство <3нание>. Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4,
Чеховский полиграфкомбинат Главполиграфпрома
Государственного комитета Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
г. Чехов, Московской области
ДОРОГИЕ ТОВАРИЩИ!
Издательство «Знание» предлагает Вам но-
вую серию брошюр «Этик а»г которая нач-
нет выходить с января 1973 года. В свете ре-
шений XXIV съезда КПСС брошюры серии
будут освещать важнейшие проблемы марк-
систско-ленинской этики. Читатели познако-
мятся с предметом, который изучает этика,
с ее основными категориями (долг, честь,
совесть, счастье и т. д.).
Брошюры расскажут о таких коренных про-
блемах морали, как смысл и цель жизни,
идеалы советского человека. В них пойдет
речь о соотношении морали, науки и миро-
воззрения, политики и нравственности, мо-
рали и научно-технического прогресса, о
нравственной свободе и ответственности
личности. Важное место будет отведено кри-
тике буржуазных теорий.
В 1973 ГОДУ ПОДПИСЧИКИ ПОЛУЧАТ 12 НО-
МЕРОВ. СРЕДИ НИХ:
Анисимов С. Ф., доктор философских наук.
ЛЕНИНСКИЕ ПРИНЦИПЫ НРАВСТВЕННОГО
ВОСПИТАНИЯ ЛИЧНОСТИ.
Головко Н. А., кандидат философских наук.
НРАВСТВЕННАЯ СВОБОДА И МОРАЛЬНАЯ
ОТВЕТСТВЕННОСТЬ ЛИЧНОСТИ.
Ж у р а в к о в М. Г., доктор философских наук.
ЧТО ИЗУЧАЕТ ЭТИКА?
Кобляков В. П., кандидат философских
наук. НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ РЕВОЛЮЦИЯ И
НРАВСТВЕННОСТЬ.
Титаренко А. И., доктор философских
наук. МОРАЛЬ И ПОЛИТИКА.
Целикова О. П., доктор философских наук.
НРАВСТВЕННЫЙ ИДЕАЛ СТРОИТЕЛЯ КОММУ-
НИЗМА.
Цварцман К. А., доктор философских наук.
КРИТИКА ФИЛОСОФСКИХ ОСНОВ СОВРЕ-
МЕННОЙ БУРЖУАЗНОЙ ЭТИКИ.
Шишкин А. Ф., доктор философских наук.
МИРОВОЗЗРЕНИЕ, НАУКА И МОРАЛЬ.
ПОДПИСАВШИСЬ НА СЕРИЮ «ЭТИКА» В ЛЮБОМ ОТДЕЛЕ-
НИИ СВЯЗИ ИЛИ У ОБЩЕСТВЕННЫХ РАСПРОСТРАНИТЕЛЕЙ
ПЕЧАТИ ПО МЕСТУ РАБОТЫ, ВЫ БУДЕТЕ ПОЛУЧАТЬ ЕЕ БРО-
ШЮРЫ ПРЯМО НА ДОМ, КАК ГАЗЕТЫ И ЖУРНАЛЫ. СТОИ-
МОСТЬ ГОДОВОЙ ПОДПИСКИ —1 РУБ. 20 коп.
ИНДЕКС СЕРИИ, КОТОРАЯ РАСПОЛОЖЕНА В КАТАЛОГЕ
«СОЮЗПЕЧАТИ» В РАЗДЕЛЕ «НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЕ ЖУР-
НАЛЫ» ПОД РУБРИКОЙ «БРОШЮРЫ ИЗДАТЕЛЬСТВА
«ЗНАНИЕ» —70103.
Издательство «Знание»