С.Б.Гашков В.Н.Чубариков
АРИФМЕТИКА
АЛГОРИТМЫ
СЛОЖНОСТЬ
ВЫЧИСЛЕНИЙ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Рекомендовано
Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебного пособия
для студентов вузов
Л 'J'1
(	. .J Я >
' / -- -
Москва
«Высшая школа» 2000
УДК 511
ББК 22.1
Г 24
Рецензенты: кафедра математической кибернетики факультета вычислитель-
ной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова (зав. кафедрой докт. физ.-мат.
наук, профессор В.Б. Алексеев); докт. физ.-мат. наук, профессор. Г.И. Архипов (МИАН
им. В.А. Стеклова)
Гашков С.Б., Чубариков В.Н.
Г 24 Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений: Учеб,
пособие для вузов/Под ред. В.А. Садовничего.— 2-е изд., пере-
раб.— М.: Высш, шк.,2000.— 320 с.
ISBN 5-06-003613-8
В книге (1-е изд.— 1986) впервые в отечественной литературе рассматрива-
ется связь вопросов арифметики с современными проблемами кибернетики. Она
представляет собой сборник задач по арифметике и теории сложности
арифметических алгоритмов, позволяющий получить систематические знания в
этих областях математики. Рассматриваются классические проблемы, из которых
возникли новые направления исследований, и задачи олимпиадного характера.
Для студентов вузов. Может быть полезна студентам университетов и
педагогических вузов, а также для самостоятельной и научной работы на разных
уровнях обучения.
УДК 511
ББК 22.1
Учебное издание
Гашков Сергей Борисович
Чубариков Владимир Николаевич
АРИФМЕТИКА. АЛГОРИТМЫ.
СЛОЖНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ.
Редактор Ж. И Яковлева.
Художественный редактор Ю.Э. Иванова.
Технический редактор Л.А. Овчинникова
Корректор В. В Кожуткина.
Компьютерная верстка авторов
ЛР № 010146 от 25.12.96. Изд. № ФМ-197. Подп. в печать 06.08.99
Формат 60x90'/i6. Бумага газетная. Гарнитура “Литературная”. Печать офсетная
Объем 20,00 усл. печ. л.+ 0,75 усл. печ. л. форз., 20,75 усл. кр.-отт., 17,67 уч.-изд. л. +
+ 0,43 уч.-изд. л. форз. Тираж 7000 экз. Заказ № 2330
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14
Отпечатано в ГУП ИПК “Ульяновский Дом печати"
432601, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14
ISBN 5-06-003613-8	~	© Издательство «Высшая школа», 2000
Оригинал-макет данного издания является собственностью издательства «Высшая
школа» и его репродуцирование любым способом без согласия издательства запрещено.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В России исторически сложилось так, что представление об обра-
зовании включает в себя органичное единство школы как системы
приобретения знаний, фундаментальной науки как показателя уров-
ня подготовки специалистов и гуманитарной культуры как основы
духовного богатства человека.
Формулируя задачи образования, академик А. Н. Крылов говорил:
“Школа не может дать вполне законченного знания; главная задача
школы — дать общее развитие, дать необходимые навыки, одним
словом... главная задача школы — научить учиться, и для того,
кто в школе научится учиться, практическая деятельность всю его
жизнь будет наилучшей школой.”
Отметим, что особенность отечественной школы состоит в соче-
тании четкости рассуждений с глубиной содержания и простотой,
доступностью, конкретностью изложения материала, которые всегда
предпочитаются формальным конструкциям. Практическое воплоще-
ние данных идей подразумевает наличие высококвалифицированных
и творчески мыслящих преподавателей.
Математическое образование и математическая культура составля-
ют стержень научного знания и значение математики как основы
фундаментальных исследований постоянно возрастает.
Для решения этих задач требуются учебники, отражающие в опре-
деленной полноте современное состояние исследований и мировоззрен-
ческие принципы данной области науки.
Предлагаемые к публикации избранные учебники по математике
реализуют указанный выше подход. Они написаны, в основном, про-
фессорами Московского государственного университета им. М. В. Ло-
моносова.
Книга С. Б. Гашкова, В. Н. Чубарикова “Арифметика. Алго-
ритмы. Сложность вычислений” посвящена изучению свойств целых
чисел, связанных с делимостью. Арифметика является первым ма-
тематическим предметом, с которого начинается обучение в школе.
Этот процесс обучения по существу в дальнейшем продолжается, так
как идеи, рассуждения и утверждения арифметического характера
з
пронизывают всю математику. Поэтому арифметика представляет
интерес для всех, Кто занимается математикой, от школьников до
специалистов.
Книга состоит из 17 параграфов, тесно связанных целью, поста
вленной авторами — ознакомить читателя с материалом, который
скорейшим путем приводит к современным проблемам теории чисел
и теории сложности арифметических алгоритмов. Задачи в каждом
параграфе сгруппированы по единству идей и содержания, иногда их
объединяют связанные между собой сходные методы решения или
просто схожесть формулировки. Часто группы задач заканчиваются
красивой и очень трудной задачей. Но если прорешать все зада-
чи подряд, то и она не покажется трудной. Каждый параграф
сопровождается указаниями и решениями.
Этот задачник отличается от многочисленных пособий для посту-
пающих в вузы и различных дидактических материалов по школьной
математике тем, что в нем нет задач тренировочного и экзаменацион-
ного характера, нужных лишь для усвоения и закрепления некоторых
стандартных приемов и навыков. Авторы предполагают, что основные
навыки у читателя имеются, а недостающие он приобретет, работая
с этой книгой. Хочется надеяться, что после ее прочтения у вас
появится привычка самостоятельно размышлять над решением нетри-
виальных (не значит обязательно чрезмерно трудных) задач. В книге
имеется достаточное количество и несложных задач.
Отметим также, что задачник отличается и от многочисленных
изданий по занимательной математике. Истинная занимательность
заключается, скорее, в содержании задач, чем во внешнем “оформле-
нии” их условий.
По-настоящему интересные задачи часто неизбежно оказываются
довольно трудными, а иногда и чрезвычайно трудными. Это в полной
мере относится и к задачам, помещенным в данной книге. Многие
из них предлагались на различных математических олимпиадах. Но
пугаться этих задач не следует — в отличие от участников олимпиады
у читателя достаточно времени для их решения, к тому же можно
заглянуть в указания. Но не делайте этого, не потратив несколько
часов на попытку самостоятельно решить задачу, — даже в случае
неудачи в этом случае будет легче понять указание.
В отличие от сборников олимпиадных задач эта книга содержит
сравнительно мало слишком искусственных задач, хотя и носящих
арифметический характер, но не имеющих арифметического содер-
жания. Зато в ней довольно много классических теорем и задач,
взятых из разных областей теории чисел, которые мало известны
школьникам (и не только'им), но безусловно, заслуживают более
широкой популярности.
Надеюсь, что книга послужит вам долго и с ее помощью вы
4
научитесь решать трудные задачи. Если же вы изберете профессию,
связанную с математикой, она пригодится вам и в студенческие годы,
и позже, ведь последние разделы задачника представляют интерес не
только для студентов, но и для специалистов.
Уже вышли в свет следующие учебники и учебные пособия: Архи-
пов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. “Лекции по математи-
ческому анализу”, Виноградов И. М. “Элементы высшей математики
(Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. Осно-
вы теории чисел)”, Привалов И. И. “Введение в теорию функций
комплексного переменного”, Садовничий В. А. “Теория операторов”,
Нечаев В. И. “Элементы криптографии (основы теории защиты ин-
формации)” .
Надеюсь, что данные книги положат начало новой серии базовых
учебников по высшей математике для вузов с повышенным уровнем
математической подготовки.
Кроме практической ценности эта серия призвана подвести неко-
торые итоги работы российских ученых и педагогов-математиков по
созданию базовых учебников по математике на рубеже второго и
третьего тысячелетий. Серия не ограничивается указанными книга-
ми. В дальнейшем предполагается продолжить отбор и издание как
современных, так и классических учебников, которые отвечают изло-
женной выше концепции, не потеряли своей новизны и актуальности
и пользуются заслуженной популярностью и авторитетом у студентов
и педагогов.
Академик
Российской академии наук
В. А. Садовничий

ВВЕДЕНИЕ
В книге содержатся задачи о числах натуральных, целых, ра-
циональных — короче говоря, о дробях. На первый взгляд, она
посвящена довольно узкой теме, но удивительно, сколь обширной
она оказалась. Причина этого в том, что именно дробные числа
составляют “сердцевину” элементарной теории чисел и служат кон-
структивной основой для коммутативной алгебры и математического
анализа. От рациональных чисел естественно совершается переход к
иррациональным числам, последовательностям рациональных чисел и
построению теории вещественных чисел. Это делается в историче-
ской последовательности их возникновения, опираясь на естественное
предназначение вещественных чисел для измерения длин отрезков,
и приводит к построению вещественных чисел, исходя из понятия
бесконечных десятичных дробей. При этом авторы исходили из
представления о числе, которое дает школьная программа, а за-
тем постепенно углубляли это понятие, уточняя только те моменты,
которые нуждаются в большей ясности.
Начинается книга с параграфа о дробных и целых частях чи-
сел, содержащего кроме большой подборки олимпиадных задач и ряд
классических результатов. Далее рассматривается представление ра-
циональных чисел дробями специального вида, истоки многих задач
которого находятся в глубокой древности. Следующие параграфы со-
держат задачи о рядах Фарея и задачи, связанные с так называемой
китайской теоремой об остатках.
В §5 содержатся задачи о делимости целых чисел. Разумеется,
задачи о делимости в определенном смысле являются задачами о
дробях. Теория делимости — основной раздел элементарной тео-
рии чисел. Авторы умышленно не пользуются терминологией теории
сравнений (несмотря на ее очевидное удобство) с целью сделать фор-
мулировки задач понятными даже школьникам средних классов. В
этом параграфе содержатся много олимпиадных задач, не зависимых
друг от друга, и большой цикл задач, объединенных единым методом
решения, основанным на применении мало известного варианта фор-
мулы Лежандра для максимальной степени простого числа, делящего
заданный факториал. В конце параграфа помещен цикл задач, по-
6
священный постулату Бертрана (как известно, впервые доказанному
П.Л.Чебышевым). Доказательство разбито на много вспомогательных
и в основном несложных задач и следует схеме С.Рамануджана.
Учитывая важность вопроса о представлении рациональных чи-
сел периодическими дробями и его связь с интересными задачами
элементарной теории чисел и то обстоятельство, что этот вопрос
недостаточно освещается в школе, авторы посвятили ему большую
подборку задач, многие из которых мало известны или вообще не
известны широкой публике. Начиная с задач о периодических дробях,
читатель в этом параграфе доберется до первообразных корней, ква-
дратичных вычетов и квадратичного закона взаимности — “золотой
теоремы” Гаусса.
При выполнении операций с рациональными числами и в вопросе
о соизмеримости отрезков естественно появляется алгоритм Евклида,
который, в свою очередь, ведет к цепным дробям. Цепные дроби
очень важны для математики, и поэтому мы посвятили им боль-
шой раздел, содержащий также задачи о различных применениях
алгоритма Евклида.
На практике иррациональные числа приходится заменять на при-
ближающие их рациональные, и в § 7 содержится большая подборка
задач о приближении иррациональных чисел рациональными. Здесь
имеется много задач, являющихся классическими теоремами, принад-
лежащими выдающимся математикам (в скобках указаны их фамилии)
или фрагментов этих теорем (эти фрагменты появились по причине,
указанной в предисловии). Тем не менее в этом и других параграфах
даже искушенный читатель, возможно, найдет много не известных
ему фактов и доказательств.
С параграфами о диофантовых приближениях и цепных дробях
связан § 10 о диофантовых уравнениях, в котором, правда, собраны
только задачи о так называемом уравнении Пелля. Здесь изло-
жен классический метод решения уравнения Пелля, рассмотрены
многочисленные частные случаи, указана элементарная (но доволь-
но точная) оценка величины минимального решения произвольного
уравнения Пелля, установлена связь между решениями уравнения
Пелля и наилучшими рациональными приближениями квадратичных
иррациональностей, приведены разнообразные приложения. Подборка
задач этого параграфа, по-видимому, является самой обширной в
популярной литературе на эту тему.
Геометрии чисел посвящен § 12. В нем приведено много интересных
олимпиадных задач и классических результатов. Здесь даны два
новых геометрических доказательства теоремы Маркова - Гурвица.
В последние сорок лет широко распространяется подход, связанный
с рассмотрением сложности конструктивных математических объек-
тов и сложности вычислений. Поэтому в книгу включена подборка
7
задач о сложности представления рациональных чисел арифметиче-
скими формулами разных видов, цепными дробями и их обобщениями.
Эти задачи оказались тесно связанными с задачей об оптимальном
конструировании электрических цепей из единичных сопротивлений
и задачей об оптимальном разбиении прямоугольника на квадраты.
Здесь мы использовали некоторые идеи, постановки задач и неопу-
бликованные результаты О. М. Касим-заде, которому мы выражаем
нашу искреннюю благодарность.
Естественным продолжением § 12 является § 14 о сложности прибли-
жения иррациональных чисел рациональными. В нем, в частности,
имеется теорема, в определенном смысле двойственная к теореме
Маркова - Гурвица.
Отметим, что в решениях задач §§10 - 14 часто используются
задачи из предыдущих параграфов, например, о числах Фибоначчи.
В подготовке этих параграфов использована кандидатская диссертация
Марзука эль Овейхана, выполненная под руководством авторов этой
книги.
Сложностной подход использован также в параграфе о построениях
рациональных чисел циркулем и линейкой. Здесь получены довольно
точные оценки наименьшего числа прямых и окружностей, которые
нужно провести для разделения отрезка на п равных частей, и дру-
гих подобных задач, указана связь этих задач с оценками сложности
вычисления значений многочленов и так называемыми аддитивными
цепочками. Хотя постановка задачи о нахождении наиболее эконом-
ных построений известна с прошлого века (она принадлежит Лемуану),
по-видимому, упомянутые результаты являются оригинальными.
Вопросам сложности выполнения арифметических операций над
числами и многочленами посвящен § 17. Прорешав содержащиеся в
нем задачи, читатель узнает, как можно выполнять эти операции
существенно быстрее, чем традиционным образом. Результаты этого
параграфа получены сравнительно недавно (самый старый из них —
в 1962 г. А. А. Карацубой, который тогда был аспирантом МГУ) и из-
лагались лишь в небольшом количестве специальных монографий. По
сравнению с известными изложениями внесены усовершенствования,
приведшие к упрощениям в доказательствах и улучшению констант
в оценках.
Параграфы, о которых только что шла речь, вводят читателя
в круг идей современной математики, но являются элементарными,
хотя и довольно трудными. Более трудным и совсем не элементар-
ным является § 16, содержащий задачи о равномерном распределении
дробных частей последовательностей вещественных чисел. Теория
равномерного распределения составляет важный раздел современной
аналитической теории чисел и находит применение как в самой теории
чисел (например, в доказательстве И.М.Виноградова гипотезы Гольд-
8
баха о представлении нечетного числа в виде суммы трех простых
чисел), так и в вычислительной математике и теории вероятностей
(метод Монте-Карло, компьютерные датчики случайных чисел) и те-
ории информации (криптология и криптография). В решениях этих
задач читатель найдет ряд оригинальных идей, отсутствующих, на-
пример, в известной книге Кейперса и Нидеррейтера. Имеются в
этом параграфе и новые задачи. Несмотря на более высокий в
среднем уровень трудности задач § 16, в нем имеется достаточное ко-
личество несложных задач, намеренно сформулированных совершенно
элементарным образом.
Образцом при написании этой книги был знаменитый задачник
Г.Полиа и Г.Сеге. Поэтому имеются пересечения с ним и по темам,
и по конкретным задачам. Но в отличие от упомянутого задач-
ника авторы посвятили свою книгу более узкой, главным образом,
теоретико-числовой и смежной с ней тематике. Причиной явились
(кроме неуместности конкуренции с замечательной книгой венгерских
математиков) личные вкусы и интересы авторов, а также бедность ли-
тературы по избранной теме. Поскольку, если не считать стандартных
вузовских задачников по алгебре и теории чисел, она ограничивается
в основном задачником В.Серпинского “Двести пятьдесят задач по
элементарной теории чисел” и разделом задач в “Основах теории
чисел” И.М.Виноградова, а также “Избранными задачами и теоре-
мами арифметики и алгебры” Д.0. Шклярского, Н.Н. Ченцова и
И.М.Яглома.
Другое отличие от книги Г. Полна и Г. Сеге — ориентация в
первую очередь на школьника, а потом у^ке на студента. Следуя
Г.Полиа и Г.Сеге и И.М.Виноградову, авторы старались выстраивать
задачи в циклы, прорешав которые, читатель сможет самостоятельно
находить доказательства трудных теорем.
Надеемся, что книга будет полезной не только в изучении, но и в
преподавании математики.
Из-за нежелательности чрезмерного увеличения объема книги часть
задач оставлена без решений, а к некоторым даны только краткие
указания, впрочем, достаточные для того, чтобы читатель восстано-
вил по ним полные решения. К наиболее трудным задачам, как
правило, даются подробные указания или полные решения. Задачи,
к которым не приведено указаний, можно использовать для прове-
дения олимпиад, экзаменов и контрольных работ. После номеров
задач, предлагавшихся на олимпиадах, в скобках указано название
олимпиады (например, IMO — международная олимпиада, ВМО —
всесоюзная олимпиада, АММ — заочный конкурс американского ма-
тематического ежемесячника) и год ее проведения. Некоторые задачи
могут использоваться для курсовых работ и студенческих семинаров.
Задачи дифференцированы по уровню сложности. Предполагаемой
9
сложности соответствуют символы *, **, или * * *.	1
Авторы выражают благодарность своим учителям — профессо-
рам В. Б. Алексееву, Г. И. Архипову, А. А. Карацубе, чл.-корр.
РАН О.Б.Лупанову и коллегам по механико-математическому фа-
культету Московского университета и специализированной физико-
математической школе-интернату №18 при МГУ (ныне СУНЦ МГУ),
а также С. А. Богатому, В. В. Вавилову, М. 3. Гараеву, Ф. М. Ма-!
лышеву и всем друзьям и коллегам.
1
ЖЖ
§ 1.	ЦЕЛАЯ И ДРОБНАЯ ЧАСТИ ЧИСЛА
Целой частью числа х называется такое целое число п = [х],
которое удовлетворяет неравенствам п < х < п + 1. Дробной частью
числа х называется число {ж} = х — [х]. Целое число т =]х[ такое,
что т — 1 < х < т называется верхней целой частью. Число
||х|| = min (ж — [х],]х[— х)
называется расстоянием до ближайшего целого числа, а само
это ближайшее целое число обозначается ((х)).
1.1.	Докажите, что функции {х}, ||х||, периодичны с наименьшим
периодом единица, и постройте их графики. Проверьте, что
]х[=—[—х], ((х)) = [2х] — [х] (при х п + 1/2, nE Z),
||х|| = |х — (х)| (при х / п + 1/2, n Е Z),
||х|| = min({x}, 1 - {х}) = | - |{х} - ||.
1.2.	Докажите, что [х + |] = [2х] - [х], [х] + [?/] + 1 > [х + ?/] > [х] + [?/],
О < [2х] - 2[х] < 1, [2х] + [2у] > [х] + [у] + [х + у], [[х]/тг] = [x/ti].
1.3.	Докажите, что ]х — |[=]2х[—]х[,]х[+]у[—1 <]х 4-у[<]х[4-]т/[,
0 < 2]х[-]2х[< 1,]2х[+]2у[<]х[+]?/[+]х +?/[,]]x[/7i[=]x/7i[.
1.4	Выразить количество целых чисел, находящихся на промежутке
(а, 6], т. е. удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь, через функцию
целая часть числа.
1.5.	(Эрмит) Докажите, что
[х] +
1
х + -
71
= [пх].
1.6. Докажите, что
1.7	. (1МО,68) Докажите,что
п + 1
2
= 71.
11
1.8	*. (АММ) Докажите,что
+ •• +
п 4- 2к - 1
2*+i
4- • • • = п — 1.
1.9	*. (АММ) Докажите,что при любых хит
1.10	*. (США,75) Докажите, что
[5х] + [5у] > [х] 4- [у] 4- [Зх + у] 4- [а- + Зу],
и выведите отсюда, что для неотрицательных х и у
[5х] 4- [5у] > [Зх 4- у] + [х 4- Зу].
1.11	*. Пусть p,q 6 N — взаимно простые числа. Докажите путем
подсчета целых точек в области 1 < х < р — 1, 1 < У < qx/p, что
Ч
.Р.
'2?
.Р
+  +
1.12	*. (Эйзенштейн) Пусть p,q Е N — взаимно простые числа,
р = q = Докажите путем подсчета целых точек в области
1<х<р,1<у<<7, что
В задачах 1.13 - 1.20 достаточно знать, что [i/n] = к, если и только
если к2 < п < (к 4- I)2.
1.13	. Докажите,что
[\/Й] = Ь/*]. ] \/М[ =]л/®[ при х > 0,
[log„ [х]] - [logn х] при х > 1, ] log„ ]х[[=] logn х[ при х > 1/»,
если п > 1 — целое.
Следующая задача обобщает предыдущую.
1.14	*. (Мак-Элис) Пусть /(х) — непрерывная строго возрастающая
на отрезке I функция, и если х лежит в I, то и [х] и ]х[ — тоже
лежат в этом отрезке.
12
Тогда равенства
№])] = [/(*)] и ]/(>[)[=№)[
равносильны друг другу и выполняются тогда и только тогда, когда
функция обладает следующим свойством: если f(x) — целое число,
то и х — тоже целое число.
Следующая задача обобщает одно из утверждений задачи 1.2.
1.15	. Докажите,что при любых целых т и п,п > 0, и любом
действительном х справедливы равенства
[(ж+т)/п] = [([x]4-m)/n],](ar4-m)/n[=](]ar[4-ni)/n[,]ni/n[= [(п4-пг-1)/п].
1.16	. Докажите, что
[У1] + [У^| 4----F [\/п2 - 1] = п(п - 1)(4п4- 1)/6,
[У1] + [УТ] 4-•  • 4- М = [У^ (п-(2[^	.
1.17.	(Австрия, 74) Докажите при любом натуральном п, что
[Ул 4- х/та 4- 1J = [уАп 4- 2] .
1.18*	. Докажите, что n = ((n/2))4-((n/4)) + ((n/8))4-((n/16))4-. •  .
1.19.	(ВМО,78) Докажите, что
2п = 1/((УТ)) + 1/((У2)) 4- • • • 4- 1/((х/п(п4-1))).
1.20.	(Москва,66) Дано, что aj = 1, a* = [д/ai 4-  —F a*-ij при
k > 1. Найдите aiooo-
1.21.	Докажите, что:
а)
T(n) = т(1) 4-   • 4- r(n) = [n/1] 4- [n/2] 4- ... 4- [n/n],
где r(k) — число всех натуральных делителей числа к;
б)* (Дирихле)
Т(п) - 2 ^2	- [Уч12;
fc< у/п
в)* (Дирихле) Т(п) = п(1п п 4-	— 1)4- Rn, где |Я„/Уп| < С,
С > 0 — некоторая постоянная, а 7 — 0,577... — постоянная Эйлера
(7= lim (1 4-1/2 4-4-1/н — Inn)).
П—FOC
В 1903 г. для величины остатка 7?п Г. Ф. Вороной получил оценку
|Лп/п1/31пп| < С, С >0 — некоторая постоянная. В настоящее время
13
в оценке Вороного показатель степени 1/3 улучшен до 71'1'2. Харди
показал, что этот показатель не может быть меньше 1/4. Существует
предположение, что он в точности равен 1/4.
г)* (Марджанишвили) При любых целых I > 1, п > 1, к > 2
выполняется неравенство
/Г1 52 i*(m) <Л(1пп4-*'-I)*'"1,
1 <m<n
где Tfe(m) — число решений (a.'i,..., хь) уравнения xi...Xk = иг в
натуральных числах и А — к1 (&!)“(* -ПЛ*-1).
1.22*	. Докажите, что <т(1) 4- ... 4- <т(п) = [п/1] 4- 2[п/2] 4- • • г + п[п/п],
где а(к) — сумма всех натуральных делителей числа к.
1.23*	. Найдите целую часть числа
1.24*	. Найдите целую часть числа 4 1^3 + 5	+ •  • + (п3) ^3.
1.25.	Докажите, что 4- 1)(п + 2)(п + 3)j = п2 4- Зп.
1.26.	(В. Тебо) Докажите, что [(п(п 4- 1)... (п + 7))1/4] = п24-7п4-6.
1.27.	Докажите, что
1.28.	Докажите, что (1 4- х/3)2"+1] = (14- \/3)2n+1 4- (1 — л/3)2”+1.
1.29.	Докажите, что (2 4- л/3)п] — нечетно.
1.30. Найти наивысшую степень двойки, на которую делится число
Ю + х'з)’’].
1.31*	. Докажите, что сумма чисел [(п/х) 1^т], взятая по всем х,
1 < х < п, не делящимся ни на какие т-е степени натуральных чисел,
равна [п].
1.32*	. (Болгария, 83) а) Докажите, что если при любом натураль-
ном п имеем равенство [па] 4- [«/»] = [пс], то хотя бы одно из чисел
а,Ь — целое.
б)	Докажите, что равенство [naj 4- • • • 4- [па*] = [nfe] справедливо
при любом натуральном п тогда и только тогда, когда все числа at,
кроме, быть может, одного, целые, а число b = ii[ 4--F«fc.
1.33*	. (США, 81) Докажите, что при любом х > 0 и натуральном
п справедливо равенство
[пх] > [а;]/1 4- [2х]/2 4- • • • 4- [пг]/п.
1.34*	. Последовательности [а], [2а], [За],... и [/?], [2/1], [3/?],... со- 
держат в совокупности все натуральные числа, причем каждое число ]
14
принадлежит только одной из них, тогда и только тогда, когда а > 1
и иррациональное и 1/а 4- 1/0 = 1.
1.35.	(С.-Петербург, 1992) Докажите, что если натуральное т не
является точным квадратом, то найдется такое натуральное п, что
т — [п + у/п 4- 1/2].
1.36.	Докажите, что при натуральном п справедливо тождество
[л/9п - 1] = [>/п - 1 + у/п + л/п + 1].
1.37.	(Москва,57) Решите уравнение х3 — [х] — 3.
1.38.	(Киев, 72) Решите уравнение [ж]3 4-[ж]2 4-[ж] = {ж} — 1.
1.39.	(Москва,55) При любом натуральном N найти все а, такие,
что все числа [а], [2а],..., [УУа] различны и все числа [1/а],..., [TV/а]
тоже различны.
1.40*	. Докажите, что при любых целых т и п, п > 0, и любом
действительном х справедливы равенства
У~^[(х + mk)/n] — (m — 1)(п — 1)/2 4- (d — 1)/2 + </[ж/с(] = 5~^[(ж 4- пк)/т\,
k=o	k=o
где d — наибольший общий делитель чисел т и п.
1.41.	(Турнир городов) Докажите тождество
[п,/2] + [п1/3] 4---К [п'/п] = [Iog2 п] 4- [log3 п] 4- •   [logn п].
УКАЗАНИЯ
1.2.	Для доказательства, последнего равенства заметьте, что чисел, не
больших х и кратных будет [х/n], а чисел, кратных п и не больших [х],
будет [[х]/?г].
1.3.	Воспользуйтесь тождеством ’’двойственности” ]х[= —[—х].
1.5.	При 0 < х < 1/п равенство очевидно. Если х увеличить на l/?i, то обе
части равенства возрастают на 1.
:	1.6. Выведите из 1.4.
1.7.	Примените равенство [х 4- 1/2] = [2х] — [х].
$	Д
у 1.8. Пусть 7i — 1 = 2S 2гаг,	тогда
J	г=0
|	Г714- 2к	- 1]	V"'
|	— 1Лк~1 + 2^ 2 агп-
к
]	1.9. Примените равенства {2пх + 1/2} — 1/2 = {2п+1х} — {2пх}.
1.10.	Учитывая периодичность и симметричность, можно предполагать, что
1 0 < х < у < 1; рассмотрите возможные случаи
к х £ [Аг/5, (А- 4- 1)/5), у £ [р/5, (р 4- 1 )/5), 771 < Зг + у < т 4- 1, п < х 4- Зу < п 4- 1.
15
1.11.	Выписанная сумма равна количеству целых точек внутри прямоуголь-
ника с вершинами (0, 0), (р,0), (р, q), (0, q), лежащих под диагональю, а значит
половине всех целых точек внутри прямоугольника.
1.12.	Подсчитайте отдельно число точек выше и ниже прямой у — дх/р.
1.14.	Если, например, [/([я])] < [/(а?)], то согласно непрерывности и монотон-
ности f(x) существует у, такое, что [т] < у < х и f(y) — целое, но у при этом
целым быть не может.
1.15.	Примените 1.14.
1.16.	Воспользуйтесь формулой Абеля
п	п — 1
52= пап - 52 fc(a*+i “а^)'
Jt=I	к=1
1.17.	Докажите, что \/п 4- х/п 4- 1 < ^4?1 4- 2. Предположите, что для целого
т имеют место неравенства
х/п 4- \/n + 1 < ?n < \/4?i 4- 2,
и выведите отсюда, что
4n(?i 4- 1) < (т2 — 2n — I)2 < 4п(п +1)4-1,
откуда т2 = 2(2n + 1), что невозможно.
1.18.	Количество нечетных чисел, меньших ?i, равно ((?i/2)), . количество
четных чисел, меньших п и’ не делящихся на 4, равно ((п/4))
и т.д.
1.19.	Заметьте, что
и сгруппируйте в соответствии с этим слагаемые.
1.21. Заметьте, что T(N) равно числу точек с натуральными координатами,
лежащих не выше гиперболы ху = N. В силу симметричности гиперболы
относительно прямой у = х справедливо равенство
T(N) = 2To(N) - [Tn]2 ,
где To(7V) — число упомянутых точек, лежащих не выше гиперболы и не правее
прямой .г = х/71. Подсчитывая эти точки “по вертикалям”, имеем
То(ЛО= 52 [W/»] = 52 N/n + O(TN),
i<n<x/N	1<п<У77
где через O(/(7V)) здесь и далее обозначаем величину, модуль которой не
превосходит	где С > 0 — не зависящая от N константа. Отсюда следует,
что
T(7V) = 2tt 52 V”- N + O(TN).
\<n<x/N
Остается воспользоваться формулой Эйлера
V 1/п = 1пХ+7 + О(1/Х),
1<п<Х
16
где 7 — константа Эйлера, равная lim I £ 1/п — In X | , a In X — функция,
Х->°о \1<п<Х	/
равная площади, ограниченной прямыми х — 1, х = X, у = 0 и гиперболой ху = 1
(эта функция называется натуральным логарифмом). Для доказательства
формулы Эйлера заметим, что площадь, ограниченная прямыми х — Y,x =
Х,у = 0, где 0 < Y < X, и гиперболой ху — 1, равна lnX/У и при целых Y и
X заключена между
А= ^2	1/« и 52	1/п = А + 1/У - 1/Х.
Г4-1<п<Х	У<п<Х-1
Отсюда следует, что при целых X и У, X > Y, справедливы неравенства
7Х — У^ I/71 — In X = 7у 4-	1/п — 1пХ/У < 7У + 1/^>
1<п<Х —1	,Г<п<Х-1
7Х > 7У-
Устремляя X к бесконечности, получите, что при любом целом У
7у < 7 < 7у 4- 1/У.
Значит,
У^ 1/n = Ina; 4- 1/ж 4- 7х — Ina.- 4- 7 4- 0(1/г),
1 <п<х
а при нецелом т также имеем
52 1/п= 52 1/« =	+ 7+«(1/ы) =
1<П<Х	1<П<[.т]
= Ina? — Inа?/[х] 4-7 4- €)( 1/х) = Ina- 4- 7 4- O(l/a;),
так как
О < 111х/И < 1п(([х] + 1)/И) < 1/[х] - 0(1/3?).
1.32. Докажем утверждение б). Сначала проверьте, что имеет место равенство
Ь — ai 4- 	4- п*. Для этого заметьте, что если бы, например, b < ai 4- • • • + a*,
то при достаточно большом п’было бы справедливо неравенство
[nai] 4- • •  ф	+-----F «*.) ~ к > nb > [716].
Пользуясь равенством 6 = гц 4-• • • 4-а*, замените тождество задачи на тождество
{naj} 4- ' • • 4- {nafc} = {nfc}
и заметьте, что в нем можно полагать, что 0 < at < 1, и даже, что всегда
О < at < 1 (так как нулевые слагаемые можно вычеркнуть).
Осталось показать, что при k > 1 это тождество невозможно. Для этого
проверьте, что при некоторых п имеет место неравенство
{nai} 4-  • • 4- {na*} > 1.
В случае, когда все at рациональны, это вытекает из центральной симметричности
Множества всех наборов длины k вида ({п<4 },..., {па*}). Действительно, {—?ia,} =
= 1 — {па,}, поэтому для N, равного наименьшему общему знаменателю Всех
17
дробей а,, справедливы равенства {(N — l)nat} = 1 — {па;}, из которых следует,
что для некоторого натурального 71 имеем {7101} 4-4-{па*} > А:/2 > 1.	j
Пусть теперь, например, — иррациональное число. Можно считать, что!
«1 4-• • • + ад < 1, иначе достаточно взять 7i равным 1. Во множестве всех чисел]
вида
niaj 4---к пд-1ад—1 4- «д-,
где п, — натуральные, выберем такое наибольшее с, которое будет все же
меньше 1 ( это возможно, так как наше множество конечно и не пусто). Тогда'
П1 . ц. 4. ak < с < 1.
В силу всюду плотности на отрезке [0,1] последовательности {па*} (которая*
будет доказана в §16) найдется такое п, что с < {па*} < 1. Рассуждая от
противного, предположите, что при всех 71 имеем {nai } 4-• • • 4-{па* } < 1, откуда^
следует, что при всех i < к справедливо неравенство {па;} < 1 — с.	J
Из определения с вытекает, что при всех i < к имеем а; > 1 — с. Отсюда j
следует,	что	5
at > 1 — с > {па;} = {(?i — 1 )а(} 4- а, — 1 > 0,	j
значит,	।
{(?1 — 1 )а;} > 1 — а;,	j
г .	
а так как < с < {па*}, то
{(п - 1)а*} = {па*} - ак > с - ак,
поэтому
{(п - l)ai} + -•+{(«- 1 )а*} > к - 1 + с - а, --ак > к - 1 > 1,
противоречие.
1.35.	Рассмотрите тп — [x/ni].
1.37.	Ответ, х — 41/3.
1.38.	Ответ, х = —1.
1.39.	Ответ. 1 - 1/N < а < 1 4- 1/(N — 1).
1.40.	Задача сводится к вычислению суммы
п-1
^2 {(г + тк)/п}.
к-0
Так как при любом целом 5 имеем
{(г 4- тк)/п} = {(гг 4- т к)/71 } = {(х 4~ т (^4- 571 ))/п },
где х = х/d, п = п/d, т = m/d, то
^2 {(^ 4- тк)/п} = d У^{(з; 4- т k)/n }.	j
д=о	д=о	1
Вычисление последней суммы сводится к вычислению суммы
/
52 [(^' + т'к)/п],
к=0
18
которую, согласно задаче 1.14, достаточно уметь вычислять при целом х .
Поэтому при вычислении суммы
/ J
52	+ т к)/п}
- к=о
можно считать, что х' целое и применить задачу 4.13.
1.41.	Докажите, что обе части тождества, увеличенные на число п,
равны количеству точек с натуральными координатами (з?,у), удовлетворяющих
неравенствам
ХУ < П, X < п, у < п.
§ 2.	ЗАДАЧА ПИСЦА АХМЕСА
Сорок веков назад египтяне уже умели ловко обращаться с обыкно-
венными дробями. Правда, они предпочитали простейшие дроби вида
а более сложные разлагали в сумму простейших. Представление
об этом дает задача, имеющаяся в папирусе, хранящемся ныне в
музее изобразительных искусств им.А.С.Пушкина в Москве: “Раздели
семь хлебов между восьмые людьми”. Ответ дан такой: | + | + |-
Чтобы у читателя не сложилось мнение о легкости древнеегипет-
ских задач, приведем задачу из папируса Райнда, хранящегося в
Британском Музее: найдите натуральное п, такое, что
2 _ J_ 1	1 J_
73 “ 60 + 219 + 292 + п
Эта задача в 1997 году предлагалась на Московской олимпиаде для
шестиклассников, и решили ее отнюдь не все участники.
Следующий цикл задач посвящен вопросам, связанным с разложе-
нием чисел в сумму простейших дробей.
2.1.	Представьте дробь вида m/2n,0 < т < 2”, в виде суммы
различных дробей вида 1/2*.
Следующая задача обобщает предыдущую.
2.2.	Представьте дробь вида т/рп, 0 < т < рп, в виде суммы
различных дробей вида а/рк, 1 < а < р.
2.3.	Всегда ли можно представить правильную дробь со знамена-
телем тп, где тип — взаимно простые числа в виде: а) суммы;
6)	суммы или разности двух правильных дробей со знаменателями
Шип?
2.4.	Докажите, что для любого к > 3 единицу можно представить
в виде суммы к различных дробей вида
2.5.	Докажите, что для любого нечетного к > 9 единицу можно
Представить в виде суммы к различных дробей вида 1/п с нечет-
ными знаменателями. Докажите, что единицу нельзя представить в
19
виде суммы четного числа различных дробей вида 1/п с нечетными
знаменателями.
2.6.	(Серпинский) Докажите, что любое рациональное число можно
лишь конечным числом способов представить в виде суммы к дробей
вида 1/п.
2.7*	*. (Венгрия, 1980) Докажите, что дробь 4/п при нечетном п
представима в виде суммы дробей 1/а и 1/Ъ тогда и только тогда,
когда n = т(4к — 1), т, к £ N.
2.8*	. Докажите, что дробь 1/п при простом п представима в виде
суммы дробей 1/а и 1/6 двумя, а при составном п — более чем
двумя способами.
2.9*	. (Венгрия, 1931) Докажите, что дробь 2/п при простом п
представима в виде суммы дробей 1/а и 1/6 единственным образом.
2.10*	. (Австрия - Полыиа, 1980) Докажите, что число п является
суммой всех дробей вида f 1 , где 1 < г/ < • • • < г\. < п.
2.11.	(Фибоначчи) Докажите, что любое рациональное число из
интервала (0,1) можно однозначно представить в виде
-----ГТ-------------,
(1П
где а, — натуральное, a,+i > a? —a, , a, > 2, причем в таком виде
представляются только рациональные числа из интервала (0,1).
2.12*	. (Алгоритм Остроградского) Докажите, что любое рацио-
нальное число из интервала (0, 1) можно однозначно представить в
виде
ai 0102	01...ап
где а, — натуральное, a,+i > a,-, a, > 2, причем в таком виде пред-
ставляются только рациональные числа из интервала (0;1).
Сформулированную задачу можно рассматривать как обобщение
задачи 2.1.
2.13.	Убедитесь, что алгоритмы 2.11 и 2.12 иногда дают различные
разложения в сумму аликвотных дробей, т.е. дробей с числителем,
равным 1.
2.14.	Обозначим для любого п число п 4- 1 через Ро(п), а число
п(п 4- 1) — через Fi(n). Докажите индукцией по s равенство
Л 1	1
1 1
20
и выведите из него, что
п 1	1
1
fc = lai=0	afc=0
2.15*	. Докажите, что в представлении, указанном в 2.14, все дроби
различны.
2.16.	Докажите, что любое натуральное п представимо в виде
суммы различных аликвотных дробей.
2.17.	Докажите, что любое положительное рациональное число
представимо в виде суммы различных аликвотных дробей ( некоррект-
ное доказательство этого факта приведено в книге Ч.Тригга “Задачи
с изюминкой”).
Из задачи 2.17, в частности, следует, что сумма |	| +  • • + £
неограниченно возрастает — как говорят, гармонический ряд расхо-
дится.
2.18*	. Докажите, что сумма -|--h меньше 2/3, и выведите
отсюда, что любое рациональное число, не меньшее 2/3, нельзя
представить в виде суммы различных дробей, обратных натуральным
квадратам.
На самом деле в 2.18 можно заменить 2/3 на тг2/6 — 1 (это следует
из того, что, согласно Эйлеру, сумма ряда обратных квадратов равна
тг2/6). Эрдеш доказал, что любое положительное рациональное число,
меньшее тг2/6— 1, можно представить в виде суммы различных дробей,
обратных натуральным квадратам.
2.19*	. Докажите, что 1/2 можно представить в виде суммы
различных дробей, обратных натуральным квадратам.
2.20.	Докажите, что любое положительное рациональное число,
меньшее 1, однозначным образом представляется в виде
ai/2! + а2/3! +-1- яп-1 /я!,
где а,- — целые числа, 0 < а,- < г.
2.21.	(ВМО,69) Докажите, что 1/2 равна сумме всех дробей вида
1/р<7, где 0<p<g.<n,p+?>n,p и q взаимно просты.
Следующая задача дает еще одно решение задачи 2.4.
2.22.	(Ленинград,85) Пусть Fn — последовательность Фибоначчи,
т-е- F„+i = Fn + Fn-i, Fi = F2 = 1. Докажите, что
1/FiFs + 1/F2F4 + •   + l/F„_2Fn + l/Fn_iF„ = 1.
2.23.	(IMO, 79) Пусть % = 1-| + |- t + ...-	+ -r~. Докажите,
Что p делится на 1979.
21
УКАЗАНИЯ
2.1.	Найдите наибольшую дробь вида 1/2*, меньшую, чем m/2n, также
поступите с “остатком” т/2п — 1/2* = т\/2П < 1/2* и т.д. В итоге дробь т/2п
представится в виде суммы не более чем п разных дробей вида 1/2*. Можно
воспользоваться также разложением числа т в двоичной системе счисления.
2.2.	Действуйте аналогично решению предыдущей задачи.
2.3.	а) Нет, например 1/mn так представить нельзя.
б) Представьте произвольное натуральное число к в виде к = та — nb, где а и
b — натуральные числа. Для этого достаточно рассмотреть случай к = 1. В этом
случае а и 6 можно найти, определяя остатки от деления на п последовательности
чисел т, 2m,..., (п — 1)т. Они все будут различными, и среди них встретится
1. Пользуясь равенством fc = ma —nb, представьте дробь к/тп в виде a/n — Ь/т.
Если целые части дробей а/п и Ь/т совпадают, то искомое представление в
виде разности правильных дробей имеет вид к/тп = {a/n} — {b/m}. Если же
[a/n] = [b/m] 4- 1, то к/тп — {a/n} 4- {1 — Ь/т}.
2.4.	Воспользуйтесь равенствами
1111	1	1	1
---Т”	+	ft”
2	3	6 п	2п	3n	6?i
и примените индукцию.
2.5.	Воспользуйтесь равенствами
1-1 1111111 _1 L - 1	1	1
- 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 15 + 35 + 45 + 231 ’ 3m “ 5m + 9m + 45m
и примените индукцию.
2.6.	Примените индукцию по к.
2.7.	Если п = т(4к — 1), то, очевидно, что	'
4 _ 1	1
n кт	кт (4 к — 1)
Пусть теперь 4/п = 1/а и 1/Ь. Представим а и 6 в виде a = 2<?ai, b = 2rbi, где
aj и bi — нечетны. Проверьте, что если г q, то п = будет четным, что
противоречит условию. Поэтому г = д, и так как
2?*4aibi ,
п = -------
ai + by	J
нечетно, то q = 0 и aj 4- bi кратно 4, значит, aj и bj имеют разные остатки]
при делении на 4. Но тогда какое-то простое число р вида 4к — 1 входит
в разложения чисел aj и bj на простые множители в разных степенях, т.е.
ai = риа2 и bi = р’Ьз, где	и aj и Ьг не кратны р. Считая,что,например,
и > v, получите тогда равенство
4р*’а2б2	„
п -- --------= р с — (4к — 1)т.
a2+p"-u62
2.8.	Если 1/n = 1/a+1/6, то (а — п)(6 — п) = п2. В случае простого н это
уравнение имеет три решения (дающие два разных представления в виде суммы
дробей), а в случае составного .1 — не менее пяти решений.
2.9.	Если 2/n=l/a+l/6, то (2a — п)(26 — п) = п2. В случае простого п это
уравнение имеет три решения, дающие два разных представления в виде суммы
дробей, в том числе при разных а и 6 — только одно такое представление.
22
2.10. Пусть
S„
Воспользуйтесь равенством
_ £ 1_________________________________ £
п	77	«1- -«п-1П п п
1 < 11 <••• <t п — 1 <n —1
и примените индукцию.
2.11.	Пусть г = тп/п — рациональное число, 0 < г < 1. Выберем aj так, что
<*•<	тогда
Г1 = г----= (may — п)/пау = ту/пу
Q1
удовлетворяет неравенствам
О < Г] < —------0 < may — п = ту < т.
ау(ау - 1)
Поэтому, выбирая 02 так, что — < гу < ——г, получаем, что ао > а? — ai, и
<12 ***"	<1^	1	'
полагаем
Г2 = г,---= (пиаг — П) )/nia2 — тг/п2,
«2
тогда 0 < т,Л2 — п, = w? < Ш). Далее по rj определяем аз и т. д. Так как
последовательность числителей т, убывает, то при некотором г < m получим,
что г, = 1/п; = 1/а,.
2.12.	Пусть г = т/п — рациональное число, 0 < г < 1. Выберем ai так, что
Т/ < г < 7ГТ- тогда
гу = г----= (?naj — п)/па\
ai
Удовлетворяет неравенствам
О < «1Г1 — (may — п)/п — пц/п < ------,0 < та — п = т < ?п.
®1 - 1
Поэтому, выбирая а2 так, что —- < airj <	, получаем,
полагаем
r2 = ajri----= (mi аг — n)/na2 == m2/пог,
а2
ЧТО 02 > Я1 , и
тогда
О < О2Г2 = (туа2 — n)/n = m2/n < ----, 0 < тП]О2 — п = m2 < ту,
аг — 1
Я) 01	Я102	01
Далее по Г2 определяем аз и т.д. Так как последовательность числителей mt
Убывает, то при некотором k < т получим, что
1111 1
ак-угк_у = ----- = —,г = — + ------+ '•• +--------,
пь-1 ак О] 0102	О1...дь
23
где cii+i > а», ai > 2, t = 1,..., fc — 1.
2.13.	Возьмите, например, число 1 — 2-п.
2.14.	Заметьте, что 1 = 1£ = ^у + ^у.
2.15.	Пусть s — такое наименьшее число, что для некоторых разных наборсм
и 61,..., bq справедливо равенство
Ра.(...(Ра1(п))...) = Р1>,(...(Р1>1(п))...)|

тогда ф bq и без ограничения общности можно считать, что
а9 = • • • = ar+i = 0, ar = 1 = bq,
тогда к + /(/ + 1) - д(д 4- 1), где 1 < к < n, f > п, д > п, /, д, к — натуральны^
числа, что невозможно.	1
2.16.	Воспользуйтесь 2.15 и примените индукцию по п.
2.17.	Примените задачу 2.16.	, !
2.18.	Заметьте, что 1/п2 < 1/(н — 1/2) — 1/(п 4-1/2).	1
2.19.	Ответ. 1/2 = 2“2 4- 3“2 4- 4~2 4- 6-2 4- 7-2 4- 9-2 4- 12~2 4- 14“2-й
4-21“2 4- 36~2 4- 45“2 4- 60-2.	:
2.20.	Примените индукцию.
2.21.	Примените индукцию. Для обоснования шага индукции заметьте, чт<
при p4-q = п справедливо равенство
l/pg = 1/рп + 1/qn
и поэтому сумма всех дробей вида 1/pq, где p + q = n,0 < р < q < п,р и q взаимц
просты, равна сумме всех дробей вида 1 /pq, где р + q > п, 0 < р < q = п, р и ,
взаимно просты.
2.22.	Примените индукцию. Для обоснования шага индукции заметьте, чт<
l/F„-iF„+i + l/F,i+iF,i — l/Fn_iFn =
= 1 /F„-iFn+i + (Pn-i - F„+i)/(Fn+iFnFn-i) =
= l/fFn-i F„+1 ) - 1/fFnflPn-l ) = 0.
§ 3. ОТКРЫТИЕ АНГЛИЙСКОГО ГЕОЛОГА 1
В 1816 г. мистер Фарей расположил в неубывающем порядке вс|
правильные дроби со знаменателями, не большими N, и получил
то, что сейчас называют последовательностью Фарея Fjq. Напримеп
__ это о 1 1 2 1	.]
3	’1 и 1 ’ 3 ’ 2 1 3 ’ 1 '	Я
3.1.	Докажите, что в ряде Fiq при N > 1 нет двух соседних дробе!
с одинаковыми знаменателями.	|
3.2.	Дробь называется медиантой дробей а/b и c./d. Докажите
что медианта двух дробей заключена по величине между ними. 
И вообще, если т — минимальная, а М — максимальная из дробя
ai/bi, то дробь	,'Я
»	(«1 +  •  +	+ • • • + 6П)	'Я
24
заключена между т и М.
3.3.	(Фарей - Коши - Хорош) Пусть а/b и c/d — соседние члены
ряда Fn- Докажите, что ad— fec=+l.
Эта задача неоднократно предлагалась на различных математиче-
ских олимпиадах.
3.4.	Докажите, что суцма знаменателей соседних дробей в ряде
больше N.
3.5.	Докажите, что средняя из трех соседних дробей из Fn
является медиантой остальных двух.
3.6.	Докажите, что дроби из ряда Fn+i, не входящие в Ду,
являются медиантами своих соседей из ряда Ду.
3.7.	(Евклид) Докажите, что наибольший общий Делитель чисел а
и b представляется в виде ах + by, где х,у — целые числа.
Далее для наибольшего общего делителя чисел а и b используем
стандартное обозначение (а,Ь).
3.8.	Пусть (m,n) = l.
а)	Чему равно (т + п,т— п)?
б)	Чему равно (mn, т2 + »2)?
Дробь т/п назовем несократимой, если (m,n) = 1. Обозначим
число всех несократимых дробей со знаменателем п через <^(п). По
определению имеем у(1) = 1.
3.9.	а) (Гаусс) Пусть d пробегает все делители числа п. Тогда
справедлива формула
^y(d) = п.
d|n
б)	(Лиувилль) Пусть п — четное число. Тогда
в)	(Лиувиллъ) Пусть ф пробегает все нечетные делители числа п,
а сД — все четные делители числа п. Тогда имеем
г)	(Дирихле) Имеет место формула
52 [l]	= |(7‘2
5 = 1
3.10.	Пусть а/b и c/d — соседние дроби Фарея. Докажите, что
Дроби и несократимы.
25
3.11.	Докажите, что в последовательности Fjv количество чисел
равно	I
J2<p(n) + i.
П = 1	, 1
Следующая задача предлагалась на Московской математической олим-
пиаде в 1973 г.
3.12*	. (Последовательность Штерна-Броко). Между двумя еди-
ницами вставляем двойку и далее между любыми двумя соседними
числами вставляем их сумму. Докажите, что число п будет выписано
ровно <р(п) раз.
Следующий трудный цикл задач посвящен доказательству неко-
торых теорем Эйлера и Дирихле. Они также связаны с рядами
Фарея.
3.13*	. Обозначим длину последовательности Fn через F(N). До-
кажите, что	<
N	1
£г([Л7п]) = ЛГ(ЛГ + 3)/2.	]
П=1	tj
Определим функцию Мёбиуса р(п), равную нулю для любого числа
содержащего среди своих делителей хоть один квадрат целого числ!
и равную в противном случае (—1)*, где k — число всех просты
N	’
делителей числа п. Положим Ф(./У) = £2 У(п) и обозначим чере
п — 1
Ф(Д) число точек с взаимно простыми натуральными координатам
в квадрате с вершинами (1,1), (1, АГ), (АГ, 1), (А7, А7).
3.14.	Докажите, что: а)* Сумма p(d) по всем натуральным <
делящим н, равна 0 при п > 1 и равна 1 при п = 1.
б)* (Формула Мёбиуса - Чебышева) Если при любом х > 1 имеем
И
= 52/(*/«)>
П = 1
ТО
[г]	*
/(*) =	I
п = 1	-|
в)* Справедлива	формула	’
'i
Ф(АГ) = £[А7п]2М(п).
П = 1
26
г)** (Дирихле) Справедливы формулы
Ф(ЛГ) = № р(п)/п + C(jV)jV log N,
n = l
F(7V) = (№/2)	/х(п)/п2 + C(./V)W log N,
n = l
Ф(ЛГ) = (№/2)^p(n)/n2 + C(jV)jV logAT,
n = l
где C(N) ограничена по модулю, а
оо	N
J2^(n)/n2 = lim 52/x(n)/n2.
'	JV—юо '
n=l	n = l
Для получения окончательной формулировки теоремы Дирихле
осталось доказать формулы Эйлера
ОО	оо
52-1/п2 = тг2/6,^2^(п)/п2 = б/тг2.
П=1	П=1
Докажем Их, хотя это и уведет нас несколько в сторону.
3.15.	Докажите, что:
а)* (Виет)
sin па —
б)* уравнение
/ 3 \
\2n + 1)
1 ъ
, lx
2п + 1 /
+ U+i>"'2-  + (-1>" = |)
имеет корни ctg тг/(2п + 1), ctg2тг/(2п + 1),..., ctg птг/(2п + 1);
в)* справедливы равенства
ctg Tr/(2?t + 1) + ctg2?r/(2n + 1) +  • • + ctg птг/(2п + 1) = m(2m — l)/3;
27
г) cosec2 тг/(2п + 1) + cosec2 2тг/(2п + 1) +-Ь cosec2 птг/(2п + 1) = j
= m(2m + 2)/3;	1
д)‘	при	0	<	а <	тг/2	верно неравенство	cosec а > 1/а > ctga;	1
е)*	справедлива	формула Эйлера	1
00
£ 1/п2 = тг2/6.	j
п = 1	!
3.16.	а)* (Коши) Пусть существуют пределы
N	N	N	N	\
А= lim > an, lim |an|, В= lim >6,,, lim >
TV-чоо-^ N-^oo^'	'	N-*<x>	'	1
n = l	n = l	n = l	n=l	j
Докажите, что при cn = ^2"=1 ai^n+i-i справедливо равенство ’
N
lim cn = AB.	;
TV—>oo	f
n = l
б)*	(Коши)	Если	существует предел	•
N	'
lim	|an I,
N-+oo	1 1
n = l	\
то существует	предел	|
N	?'
lim > an.
TV-+oo
n = l	-
в)* (Эйлер) Докажите равенство
СЮ	т
J2/<(n)/n2 = 6/тг2.	|
71 = 1
3.17.	(Дирихле) Докажите, что для среднего значения функцй
Эйлера	*
N
<&(A0/jV = ^^(nJ/TV
n = i	J
справедливо равенство Ф(ЛГ)/./У = 37V/jt2 + C’(jV) logAT, где G’(Af) orpil
ничена по модулю.	|
Формула Эйлера дает значение в точке 2 так называемой дзета-
функции Римана. Эйлер вычислил ее значения во всех четных нату-
ральных точках. Все они выражаются рациональным образом через
28
число тг, и поэтому, как стало ясно после работ Линдемана, решив-
шего проблему “квадратуры круга”, они являются трансцендентными
числами, т. е. не удовлетворяют никакому алгебраическому урав-
нению с рациональными коэффициентами. До сих пор неизвестно,
рациональны или иррациональны значения дзета-функции в нечет-
ных точках, больших 3. Иррациональность значения дзета-функции
в точке 3 была недавно доказана (см. задачи 11.65 - 11.68).
Вопрос о распределении нулей дзета-функции оказался тесно свя-
зан с вопросом о распределении простых чисел. Из до сих пор не
доказанной гипотезы Римана о нулях дзета-функции вытекают очень
сильные и также до сих пор не доказанные утверждения о плотности
распределения простых чисел в натуральном ряду. Наиболее силь-
ные доказанные к настоящему времени результаты о распределении
простых получаются с помощью метода И.М.Виноградова в теории
дзета-функции Римана.
Следующие три задачи, посвященные приближению иррациональ-
ных чисел рациональными, помещены в этот параграф потому, что
могут быть решены с помощью рядов Фарея. Другие решения этих
задач появятся в нескольких далее идущих параграфах.
3.18*	. Докажите теорему Дирихле: для любого вещественного
числа а и натурального числа N найдется такая рациональная дробь
р/q, что q < N и
|а ~р/ч\ < 1/?(W + 1).
3.19*	*. Пусть < а < j, % и j — соседние числа в ряде Фарея
Fn- Тогда справедливо хотя бы одно из трех неравенств:
|а - а/Ь\ < 1/(х/562), |а - c/d\ < l/(V^d2), |а -	< 1/(\/5(6 + </)2).
3.20*	*. Докажите теорему Маркова - Бореля - Гурвица: для
любого иррационального числа а найдется бесконечно много рацио-
нальных дробей p/q таких, что |а — p/q\< 1/(х/5<72)-
Последний цикл задач связан с рядами Фарея через “основную
теорему арифметики” (задача 3.21) и задачу 3.7. В нем помещено
несколько задач, связанных с простыми числами. Много других задач
о простых числах читатель найдет в других параграфах.
3.21.	Докажите, что любое натуральное число единственным обра-
зом представляется в виде произведения простых чисел (с точностью
До порядка сомножителей).
3.22*	. (Россия,65) Пусть натуральные числа р и q взаимно просты.
Целое число » назовем “хорошим”, если оно представимо в виде
+ ЧУ, где х и у — целые неотрицательные числа, и “плохим”
н противном случае. Докажите, что наибольшим “плохим” числом
29
будет с = pq—p — q, и всегда, если п — “хорошее”, то с — п — “плохое!
и наоборот.	’
3.23.	Если р — простое и 8р2 + 1 — также простое число, то
число 8р2 — р + 2 — простое.
3.24.	Докажите, что: а) если 2" — 1 — простое, то п — так-
же простое число (такие числа называются простыми числами
Мерсенна — Люка);
б)	если 2” + 1 — простое, то п — степень двойки (такие числ!
называются простыми числами Ферма);
в)	при каких натуральных п числа 2" — 1 и 2n + 1 оба простые? ;
г)	(ГДР,67) Найдите последнюю цифру десятичной записи n-rd
числа Ферма 22 + 1 при п > 2.	]
3.25.	Все простые числа, не превосходящие простого р, разбиты на
две группы а, Ь,..., с и d, е,..., f так, что разность q = ab ... с — de.... j
заключается между 1 и р. Докажите, что q — простое число. <
3.26.	(Софи Жермен) При каких натуральных пит числе
п4 + 4т4 '— простое?
3.27.	(А.Монковский) При каких п число п4 + 4П — простое? i
Предыдущие две задачи неоднократно предлагались на математи-
ческих олимпиадах.
3.28.	(Эрдеш) а) Среди первых п натуральных чисел выбраш
более, чем (п + 1)/2 различных. Докажите, что одно из них делите^
на другое.
б)	Среди первых п натуральных чисел выберите [(п+ 1)/2] различ-
ных так, что ни одно из них не делится на другое.
3.29.	(США,83) Докажите, что для любого а имеется не более
(п + 1)/2 дробей p/q из ряда Фарея Fn таких, что а < p/q < а + 1/п.
УКАЗАНИЯ
3.1.	Если < f — “соседи" в Гц, то	I
а/b < а/(Ь — 1) < (а + 1)/Ь < с/Ь,
откуда следует противоречие.
3.2.	Так как mb, < а, < Mb,, то
+ • • • + bn) < aj + • - - 4- ап < M(bi + • • • + bn).	)
3.3.	Примените индукцию no N. Пусть f f j — “соседи” в Fjv+j|
/ = W + 1, и максимальное из чисел kb — al и cl — kd больше 1. Согласно 3.1 и
3.2 справедливы неравенства
а согласно предположению индукции — равенство bc — ad—l. Докажите тогда
что
1 с а с kkallb+d	’
bd~d~7~d~7+7~7>di+bi~ bdl ’	1
30
.	.	, a 4- с , k а + с „
I > b -Ь d,-ф —,----- € Fjv»
b + d I ’ b + d
и получите противоречие.
3.4.	Примените 3.2.
3.5.	Выведите из 3.3.
3.6.	Примените 3.1 и 3.5.
3.7.	Рассмотрите соседнюю дробь с дробью а/6 в соответствующем ряде
фарея и примените 3.3.
3.8.	Ответы, а) 1 или 2; б) 1.
3.10.	Примените 3.3 и докажите, что
(а + с)6 — (6 4- d)a = 4-1, (а 4- 6)с — (с 4- d)a = 4-1 
3.11.	Дробей со знаменателем п в ряду Fjv ровно ^»(п) штук.
3.12.	Начиная с дробей °, у, вставляйте между соседними дробями их
медианту. Используя 3.2,3.5 и 3.6, докажите для любого 7V, что все дроби из
ряда Fjv рано или поздно будут построены.
N
3.13.	Положим Ф(/У) = У2 ^(п) и обозначим через Ф(7У) — число точек
П=1
с взаимно простыми натуральными координатами в квадрате с вершинами
(1Т1), (1Т TV), (TV, 1), (TV, 7V). Тогда 2Ф(7У) — 1 = Ф(7У) ввиду того, что квадрат
разрезается диагональю на два равных треугольника, а на диагонали х = у
только вершина (1,1) имеет взаимно простые координаты. Так как всего целых
точек в этом квадрате №, а для любого d < N число точек с координатами
(?п,п), имеющими общий наибольший делитель dy равно Ф([ДГ/с/]) (в силу взаимно
однозначного соответствия (тп,п) \—ь (m/d^n/d) между упомянутым множеством
точек и множеством точек с взаимно простыми натуральными координатами в
квадрате с вершинами (1,1), (1, [-ZV/^]), ([7V/rf], 1), ([7V/rf], [7V/tZ])), то
N
52ф^М)-№-
n= 1
3.14.	а) Воспользуйтесь тем, что сумма p(d) по всем натуральным с/,
делящим п, равна 0, если п > 1, и равна 1, если п = 1. Для доказательства
этого утверждения примените равенство
о=(1-1Г = 1-(1) + (2)--- +(-ir(m).
х/ц/ \щ/	хщ'
б)	Замените в равенстве
М
f(x) = 52 ''("Ж")
П=1
Функцию д{х/п) на
[i/n]
д(х/п) = 52 Кх/пт),
п= 1
сгРуппируйте вместе члены, для которых пт = fc, и примените а).
в)	Примените формулу пункта б) к равенству задачи 3.12.
г)	Заменяя в формуле пункта в) [TV/п] на N/n — 0, где 0 < 0 < 1, и пользуясь
Доказанным в первом параграфе равенством
N
52 l/n = logW + CfJV),
п= 1
31
. к ^(N) — ограничена, получите равенство
N
Ф(ЛГ) = N2 м(п)/п2 + C(7V)7Vlog7V.
П=1
Остается заметить, что
N	оо	оо
52 м(»)/п2 - 52 ^(и)/"2 - 52 а*(п)/п2>
n=l	n=l	n=N + l
оо
52 м(п)/п2 < 52 V”2 < 52 1/п(п+1) =
n=N+l	n=N+l	n=N4-l	I
оо	1
=	52 (l/n-l/(n+l))=	1/(ЛГ+1).	|
n=N + l	Я
3.15.	а) Примените	индукцию,	формулы	для	синуса	и косинуса суммы углом
и тождество (п*,) = („) +	которое тоже докажите по индукции.	|
б)	Обе части первой из формул а) разделите на cos” а.	Ч
в)	Примените теорему Виета о сумме корней уравнения.	а
г)	Примените в) и тождество, связывающее косеканс с котангенсом.
д)	Докажите неравенства sin о < о < tgo. Первое из них выведите из того$
что длина дуги больше длины стягивающей ее хорды. Второе выведите изи
того, что площадь треугольника с катетами 1 и tga больше площади сектора!
единичного круга с углом а.	Я
е)	Примените в), г), д).	1
3.16.	а) Положим	’
оо	п	оо	п	п
л' = 52|а.|, ап = 52ia,i, s' = 52it.i> в; = 52сп = ^с„
1=1	1=1	1=1	1=1	1=1
An = f>„ Bn = f>2
t=l	1=1
Проверьте, что
|ЛпВп - Cn| < A'(Bn - Bjny2j) + В'(Ап — А[п/2])
(для этого воспользуйтесь неравенством
|ti + • •  + тт| < IrJ ---1- |тт|,
и тем, что если i + j > n + 2, то или г > [п/2] или j > [п/2]).
Далее заметьте, что при п —> оо имеем
Вп - ^(п/2)	°. Ап - >4[п/2] -> 0
(так как Вп -4 В', Ап -> А'), поэтому
4'(В„ - В[п/2]) + В'(Ап - А[п/2]) ->• О,
32
значит, |А„В„ — С*п| —► О, АпВп — Сп —► О) откуда
lini Сдг = iim AnBn = liin An 1>п>	= АВ.
N —►оо	N—too	N—too	JV—юо
б)	Воспользуйтесь существованием предела у монотонной ограниченной по-
следовательности.
в)	Воспользуйтесь задачами 3.13 а), 2.20, пунктами а) и б) настоящей задачи
и пунктом е) предыдущей.
3.17.	Примените задачи 3.13 и 3.15.
3.18.	В качестве p/q возьмите подходящую дробь из F/y, сложенную с [а],
и примените 3.3 и 3.4.
3.19.	Можно считать, что а > В противном случае заменим а на 1 — а,
дробь а/Ь — на 1 — c/d и т. д. Предположите, что ни одно из неравенств
задачи неверно, тогда
а — a/b > l/(\/562), c/d — а > 1 /(x/5d2), а — -	> 1 /(х/б(6 + d)2).
о 4- d
Складывая первые два неравенства, получите, что согласно 2.1
1/db - c/d - a/b > 1/(>/562) + l/(x/5d2),
а последние два при сложении дадут неравенство
ТП-ТТх = 1" гЙ V(^2) +
d(o + а) а о ~j~ а
Переписывая эти неравенства в виде
\/5db >b2 + d2, y/$d(b + d)>d2 + (b + d)2
и складывая их, получите неравенство
T5d(2b + d) - y/$d(b + (6 + d)) > d2 + (b + d)2 +b2 + d2 = 2b2 + 3d2 + 2d6,
которое перепишите в виде
0 > (3- V$)d2 + 2b2 - 2(\/5- l)db =	- l)d - 2b)2.
Но это неравенство возможно лишь когда (х/5 — l)d — 2b = 0, а так как b и d —
целые, то последнее равенство возможно лишь при нулевых значениях b и d
(иначе х/б окажется рациональным числом, что неверно). Так как на самом
Деле они ненулевые, то получено противоречие.
3.20.	Примените 3.16 и воспользуйтесь тем, что в ряде Фарея Fn расстояния
между соседними дробями стремятся к нулю при растущем п.
3.21.	Примените индукцию по числу сомножителей, предварительно доказав
с помощью 3.7, что если ab кратно с и (а,с) = 1, то b кратно с.
3.22.	Из 3.7 выведите, что любое целое п представимо в виде px + qy, где х
и у — целые числа, 0 < х < д, причем это представление однозначно. Заметьте,
нто если п = рх 4- qy — хорошее, то с — п = (g — 1 — г)р 4- q( — 1 — у) — плохое, и
наоборот.
3.23.	Если р не кратно 3, то 8р24-1 кратно 3, что противоречит его простоте.
Значит, р = 3, так как число 8 • 22 4- 1 составное.
2
Арифметика. Алгоритмы.
Сложность вычислений
33
3.24.	а) Воспользуйтесь тождеством	
ап — 1 == (а — 1)(1 + а + -- - + ап1).	Я
б)	Воспользуйтесь тождеством	Т|
a2n+1 + 1 = (а + 1 )(а2п - а2п-1 + а2п~2-+ а2 - а + 1).	1
в)	Оба условия выполнены лишь при п = 2. г) Ответ. 7.
3.25.	Заметьте, что q не делится ни на одно из простых чисел, tfj
превосходящих р.	;
3.26.	Ответ. При n = 1 и т = 1. Заметьте, что
п4 4- 4т4 = п4 + 4т4 4- 4п2тп2 — 4n2m2 =
= (n2 + 2m2 + 2пт)(п2 + 2m2 — 2птп).
3.27.	Ответ. При п = 1. При четном п число п4 + 4Л кратно 16 и поэтом
не простое. При п == 2к + 1 число
п4 +4П = п4 + 4-42* - (п2 + 2-4*)2 - (п-2*+1)2 -
= (п2 + 2 • 4к - п • 2k+1)(n2 4- 2 4к + п • 2*+1)	|
тоже составное.
3.28.	а) Сопоставьте каждому числу его наибольший нечетный делитель*
Тогда каким-то двум числам сопоставятся одинаковые делители. Большее из
них делится на меньшее.
б)	Рассмотрите все числа, большие п/2.
3.29.	Заметьте, что если знаменатель одной дроби из Fn делит знаменатель
другой, то их разность не меньше 1/п, и примените предыдущую задачу.
§ 4.	ЧТО ЗНАЛИ И ЧЕГО НЕ ЗНАЛИ В ДРЕВНЕМ КИТАЕ
4.1.	Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении
на п дает остаток п — 1, а при делении на п 4- 1 — остаток п.
4.2.	(Китайская теорема об остатках) По остатку от деления
произвольного числа на тп можно однозначно определить остатки от
его деления на т и п. Если (т,п) = 1, то по остаткам от деления
на 771 и 71 можно однозначно восстановить остаток от деления на тп,
причем всегда найдется число, имеющее заданные остатки от деления
на числа т и п.
Следующая задача обобщает предыдущую и указывает эффектив-
ный способ ее решения.
4.3.	Пусть т/, 1 < i < п, — попарно взаимно простые числа, М, —
произведение всех этих чисел, кроме пц. Согласно 3.7 найдется такое
натуральное число щ, что aiM, при делении на т, дает в остатке
п
1.	Докажите, что для любых п,,0 < п,- < т,, число £2 п,а,Л1, при
•=1
делении на ш, дает остаток п,.
34
4.4.	Докажите, что любую правильную дробь вида т пт можно
представить в виде алгебраической суммы правильных дробей вида
если числа т,- попарно взаимно просты.
4.5*	. Докажите, что при (m, п) = 1 остаток от деления на тп
взаимно прост с тп тогда и только тогда, когда соответствующие
ему (согласно 4.2) остатки от деления на т и п взаимно просты с т
и п соответственно. Обобщите это утверждение на случай п попарно
взаимно простых чисел.
Следующий цикл объединяет задачи, решение которых облегчается
применением китайской теоремы об остатках.
4.6*	. Генерал-аншеф Раевский хочет построить для парада своих
солдат в несколько равных квадратных каре, но он не знает, сколько
солдат ( от одного до двадцати) находится в лазарете. Докажите, что
у генерала могло быть такое количество солдат, что он, независимо
от заполнения лазарета, смог бы выполнить свое намерение.
4.7*	*. (Серпинский) Докажите, что существует конечная арифме-
тическая прогрессия произвольной длины, состоящая из различных
чисел, являющихся степенями натуральных чисел.
4.8*	. Пусть f(x) — многочлен с целыми коэффициентами. Обозна-
чим Nf(m) количество натуральных чисел х, таких, что 1 < х < т и
f(x) делится на т.
а)	Докажите, что при взаимно простых тщ,...,тп имеем
б)	(Лагранж) Докажите, что при простом т число Nj(m) не
превосходит степени многочлена /.
4.9*	. (С.-Петербург, 1990) Многочлен F(n) с целыми коэффици-
ентами при любом целом п делится на одно из чисел ai,...,am.
Докажите, что для некоторого а,- при любом целом п число F(ri)
Делится на а,.
Следующий цикл задач принадлежит петербургскому академику
Леонарду Эйлеру, так же как и задача 4.2. Сунь Цю, живший около
2000 лет назад, сформулировал только частный случай этой задачи.
Интересно, что примерно в то же время тот же самый частный слу-
чай был найден древнегреческим математиком Никомахом, что дало
основание Акритасу, автору известного учебника по компьютерной ал-
гебре, назвать в нем китайскую теорему об остатках греко-китайской
теоремой.
4.10.	Докажите, что при взаимно простых тип справедливо
Равенство
p(mn) = y>(m)y>(n).
4.11.	Докажите, что при простом р справедливо равенство
^РП) = Р"-Р”-1.
35
4.12.	Докажите, что если р^1 ..,р“п — разложение числа т Л
простые множители, то	
1 1
<р(т) = (р?* - рГ*"1) •   (р“" - р:»-1) = ж(1 - —)...(! - -).	1
Pl	Pn j
Предыдущая формула была открыта Эйлером и носит, так же как и
сама функция <р(п), его имя.	!
4.13.	Докажите равенство <р(тк) = mfc-1<p(m).	’
4.14.	Пусть [тп, п] — наименьшее общее кратное чисел т и п, а
(т, п) — их наибольший общий делитель. Докажите тождества ?
тп = (in, n)[m, н],	= ip((m, 7i))y>([m, тг]),	?
(p(mn)<p((m, n)) = <p(m)<p(7i)(m, n).	]
4.15*	. Докажите, что сумма <p(d), взятая по всем натуральным
делящим 77, равна п.	. j
В следующих задачах полезно применить функцию Эйлера. 1
4.16*	. На каждой из бесконечного числа карточек написано нату^
ральное число, причем для любого п имеется ровно 77 карточек, на
которых написаны его делители. На скольких карточках написана
число 1995?
4.17.	Окружность разделена п точками на 77 равных частей.
Сколько различных замкнутых ломаных можно составить из п равных
звеньев с вершинами в этих точках (ломаные, получающиеся друг из'
друга поворотом, считаются одинаковыми)?
4.18.	Используя формулу Эйлера, докажите, что простых чисел
бесконечно много.
4.19.	Найдите сумму всех правильных несократимых дробей со
знаменателем 77.
4.20.	Докажите, что число всех правильных несократимых дробей
со знаменателем п четно.
4.21*	. Докажите, что число всех правильных несократимых дроб<
со знаменателем ап — 1 кратно 77.
4.22*	. Пусть («, тп) = 1. Докажите, что для любого целого b имеем
m — 1
52 <(аа:+- ^z2-
4.23*	. Пусть (а,ттг)= 1. Докажите, что
52	j
1<£<П1	|
(fm)=l	i
36
4.24.	При каких целых п дробь (п4+3п2+1)/(п3 + 2п) сократима?
4.25.	(1МО,59) Докажите, что дробь 2*"+4 несократима при всех
натуральных п.
4.26.	(Россия, 64) При каких целых п число (п —1)!/п2 не является
целым?
4.27.	(1МО,64) При каких натуральных п несократимы дроби
(2П ± 1)/7?
Предыдущая задача является частным случаем одной из задач
следующего параграфа.
Следующий цикл задач посвящен мультипликативным функциям и
совершенным и дружественным числам.
4.28*	*. Функция f(n) монотонна и обладает тем же свойством, что
и <р(п), а именно, при (m, п) = 1 имеем f(mn) = f(m)f(n). Докажите,
что /(п) = па, где а — константа.
Назовем функцию мультипликативной, если она обладает упо-
мянутым в предыдущей задаче свойством функции Эйлера.
4.29.	а) Докажите, что мультипликативными являются: функция
d(n) — число всех различных натуральных делителей числа п, функ-
ция (г(п) — сумма всех этих делителей, функция ak(n) — сумма к-х
степеней этих делителей, функция Мёбиуса р(п), равная нулю для
любого числа, содержащего среди своих делителей хоть один квадрат
целого числа, и равная в противном случае (— l)fc, где к — число
всех простых делителей числа п.
б) Докажите, что мультипликативная функция однозначно опреде-
ляется своими значениями на степенях простых чисел.
в) Если f(n) — мультипликативна, то функция </(»), равная сумме
/(d) по всем натуральным d, делящим п, тоже мультипликативна.
4.30*	. (Формула Мёбиуса - Чебышева) В обозначениях пункта в)
докажите, что /(п) равна сумме p(n/d)g(d) по всем натуральным d,
делящим п.
4.31*	. Докажите, что дробь <р(п)/п равна сумме дробей /t(d)/d по
всем натуральным d, делящим п.
4.32.	(Эйлер) Докажите, что если р“' . . ,р“" — разложение числа
т на простые множители, то
(a, + l)fc	.	(a» + l)k _ ,
Fl	“А Рп	А
Рл - 1	Рп - 1
Число п называется совершенным, если 2n = <т(п), т. е. оно
равно сумме всех своих собственных делителей. '
4.33.	(Евклид) Пусть 2n+1 — 1 — простое число. Докажите, что
число 2n(2n+1 — 1) — совершенное.
4.34*	. (Эйлер) Докажите, что каждое четное совершенное число
евклидово, т.е. имеет вид, указанный в предыдущей задаче.

37
Нечетные совершенные числа до сих пор не найдены. НеизвестзЛ
конечно или бесконечно множество совершенных чисел. Одно из сам Л
больших известных совершенных чисел получается при п = 86242. Я
Числа 7i и т называются дружественными, если <т(п) = т + пи
= о’(т), т. е. сумма всех собственных делителей одного равна сумЛ
всех собственных делителей другого. Следующую теорему получщ
в IX в. арабский математик Сабит ибн Корра. В Европе она был:
переоткрыта в XVII в. Ферма и Декартом.
4.35.	(Сабит ибн Корра) Пусть числа р = 3 • 2"-1 — 1, q = 3  2п —4
и ?• — 9 • 22"-1 — 1 — простые. Докажите, что числа 2npq и 2пг -!
дружественные.
Проверьте, что числа 220 и 284 — дружественные: они получаютс
при п = 2. Следующие две пары получаются при п = 4 и п = ’
Известно, что до п = 20000 больше таких пар нет.
Для дружественных чисел неизвестно единого метода их порожде
Много пар дружественных чисел открыл Эйлер. До сих по{
или бесконечно множество пар дружественны!
задач посвящен пифагоровым треугольникам
имеют еще большую древность, чем китайская
НИЯ.
неизвестно, конечно
чисел.
Следующий цикл
которые, вероятно,
теорема об остатках. Будем говорить, что натуральные числа (x,y,z
образуют пифагорову тройку, если х2 4- у2 = z2, т. е. треугольник
со сторонами х,у, z — прямоугольный. Пифагорову тройку чисе^
называем примитивной, если ее числа не имеют общего делителя^
большего единицы.
4.36.	Любая пифагорова тройка чисел кратна некоторой прими-^
тивной пифагоровой тройке.
4.37.	Задача поиска всех пифагоровых троек равносильна задаче!
поиска на единичной окружности с центром в начале координат все^
точек с рациональными координатами.	.
4.38.	Используя тригонометрические формулы, выражающие sin Xj
и cos а? через tgx/2, докажите, что на единичной окружности с центром
в начале координат имеется бесконечно много точек с рациональными,
координатами.	,
4.39.
делении
4.40.
виям хп
и и v имеем у = ц", z = v’1.	|
4.41*	. Докажите, что все примитивные пифагоровы тройки задаются^
формулами:	'	j
Докажите, что квадрат целого числа или кратен 4, или при
на 8 дает остаток 1.
Пусть натуральные x,y,z,n удовлетворяют следующим усло-
= yz, (y,z) = 1. Докажите, что при некоторых натуральных!
п, — Л,П ~ - *.Т1	I
х = 2mn, у — т2 — п2, z = т2 + п2, (тп, п) = 1,т > п.
i
38
Эти формулы были, вероятно, известны в Древнем Шумере более
3500 лет назад. Во всяком случае, на одной из глиняных клинописных
табличек, хранящихся в археологической коллекции Колумбийского
университета, наряду с тройкой чисел (3, 4, 5) записана и тройка чисел
(4961,6480,816.1).
4.42*	. (Ферма) Докажите, что не существует пифагоровой тройки,
в которой первые два числа являются квадратами целых чисел.
Другими словами, уравнение х4 + у4 = z2 неразрешимо в натуральных
числах.
Из этой задачи следует неразрешимость в натуральных числах
уравнения Ферма при п = 4 : хп +уп = zn. Случай п = 4, — вероятно,
единственный, в котором сам Ферма доказал свою теорему. Трудами
Эйлера, Лежандра, Дирихле, Ламе и, главным образом, Куммера
теорема Ферма была доказана в прошлом веке для всех натуральных
п < 100.
В XX в. количество показателей, для которых доказана эта
теорема, насчитывает многие тысячи. Последние сообщения из США
о доказательстве теоремы Ферма в общем виде обнадеживают.
4.43*	*. (Ферма) Докажите, что не существует пифагоровой тройки,
в которой первое и последнее числа являются квадратами целых
чисел. Другими словами, уравнение х4 — у4 = z2 неразрешимо в
натуральных числах.
4.44.	Докажите, что если п — сумма двух квадратов целых чисел,
то п при делении на 4 дает в остатке 0, 1 или 2.
Полное описание чисел, являющихся суммами двух квадратов,
нашел Ферма, а доказательство первым получил Эйлер. Изложение
этих результатов имеется в § 11.
4.45.	Докажите, что если п — сумма трех квадратов целых чисел,
то п при делении На 8 не может давать в остатке 7.
Полное описание чисел, являющихся суммами трех квадратов,
получил Гаусс. Доказательство его теоремы весьма сложное. Лагранж
Доказал, что любое натуральное число есть сумма четырех квадратов
Целых чисел.
4.46.	Докажите, что 16п -31 нельзя представить в виде суммы 15
четвертых степеней целых чисел.
Г. Дэвенпорт доказал, что любое достаточно большое число явля-
ется суммой 16 четвертых степеней целых чисел. Его доказатель-
ство очень сложно. Г. Харди и Д. Литтлвуд определили функцию
6’(Л) как такое наименьшее число, что любое достаточно большое
натуральное число можно представить в виде суммы £-х степеней
Неотрицательных целых чисел в количестве G'(fc) слагаемых. Им
Удалось доказать, что G’(fc) < '2кк при больших к. И.М.Виноградов
Доказал, что G(k) < Ckiogk. Для этого ему пришлось развить новый
Метод в теории чисел — метод тригонометрических сумм. Некоторое
39
представление об этом методе можно получить, читая § 16 задачник^
4.47*	. Докажите, что G(k) > к.	I
Математики иногда ошибаются. Ошибался и великий Пьер Ферма -4
среди его предположений встречаются неверные. Следующий цикл
задач связан с ошибочной попыткой обратить так называемую малуц
теорему Ферма, которая утверждает, что при любом простом р |
любом целом а число ар — а кратно р. Но сам Ферма не совершал
этой ошибки. Поразительно, что ее совершили китайские математик!
около 2000 лет назад. Они предположили, что если число 2”—2 кратн<
п, то оно простое. Сейчас такие числа называются псевдопростым!
по базе 2. Псевдопростыми по базе а называются такие числа п
для которых ап — а делится на п. Числа псевдопростые по любо(
базе называются абсолютно псевдопростыми. Такие числа играю!
важную роль в некоторых современных алгоритмах распознавани!
простоты.
4.48*	. (Чиполла) Для любого а существует бесконечно много псевдо-
простых по базе а чисел, являющихся составными. Такими являютс!
все числа из последовательности (а2р — 1)/(а2 — 1), где р — таки!
простые р, что р > 2 и (р, а2 — 1) = 1.
Из этой задачи следует, что 341 — псевдопростое по базе 2. Извест
но, что это число — наименьшее, опровергающее “теорему китайцев”
Доказано также, что имеется бесконечно много четных псевдопросты!
по базе 2. Недавно появилось сообщение о бесконечности количеств!
абсолютно псевдопростых составных чисел.	'|
4.49.	Пусть 7i = Р\Р2,Р1 / Р2- Тогда т — 1 не делится на одно ия
чисел pi — 1.	|
4.50.	Пусть п делится на р2. Тогда для числа а — \+п/р разност!
ап-1— 1 не делится на п.	|
4.51*	. (Кармайкл) Число 7i — абсолютно псевдопростое и составное
если и только если п = pi .. . р<., к > 3, где р,- — различные простые!
такие, что 71 — 1 делится на р, — 1 при всех г.	I
Из этой задачи следует, что абсолютно псевдопростыми и состаи
ными являются числа 561=3-11-17 (оно наименьшее среди них]
5 • 29 • 73, 7 • 13  31,7 • 23 -31,7-31- 73,13 • 17 • 61. Известно и много други!
таких чисел.
И, наконец, мы опять возвращаемся к китайской теореме об остат-
ках. В последнее время китайская теорема об остатках нашла
интересные применения в криптологии — науке об организации хра-
нения и передачи секретной информации. Расскажем об одном из
простейших таких применений. Допустим, что вам поручили орга-
низовать доступ к секретной информации на компьютере для трех
сотрудников банка так, чтобы они только собравшись втроем, смогли
получить ее. Каждому вы сообщаете ключ — некоторое большое
(например, стозначное) число, которое он хранит в секрете от осталь-
40
ных. Паролем, который открывает секретную информацию, является
не известное никому из них число, которое, однако можно быстро
определить (разумеется, с помощью компьютера) по трем упомянутым
ключам. В случае же отсутствия одного из них для определения па-
роля придется (даже зная алгоритм определения пароля по ключам)
перебрать 9- 10" вариантов возможного значения неизвестного ключа
(а это пока недоступно даже суперЭВМ). Кроме того, для надежности
вы можете периодически менять ключи. Это смогут сделать даже
сами работники банка (договорившись только о размерах ключей,
чтобы гарантировать их отличие друг от друга, и выбирая в качестве
ключей, например, числа вида 22 + 1) и сохранить пароль в тайне
даже от вас.
4.52*	. Предложите алгоритм определения пароля по ключам,
основанный на применении китайской теоремы об остатках.
УКАЗАНИЯ
4.1.	Прибавьте 1.
4.2.	Если а и Ь имеют одинаковые остатки при делении на п и одинаковые
остатки при делении на ?п, то а — 6 кратно тп, значит а и b имеют одинаковые
остатки при делении на тп. Так как разных пар остатков от деления на т
и п будет ровно тп, то каждой такой паре соответствует один и только один
остаток от деления на тп.
4.3.	Проверьте, что ntatMt делится на а3 при j i, а при делении на тх
дает остаток nt.
4.7.	Пусть рк — различные простые числа, Р = pi...pn« Согласно 4.3
найдутся такие натуральные числа кратные Р/рь и дающие остаток рд. — 1
при делении на р^- Положим Q = 2П2...пс*п и рассмотрим арифметическую
прогрессию Q, 2Q,nQ. Согласно выбору чисел аь число
ofc-П n
Q = к	т
т=1
mjtk
будет натуральным, и kQ = Q?k.
4.11.	Число взаимно просто с рп тогда и только тогда, когда оно не кратно
простому числу р.
4.14.	Разложите т и п на простые множители и примените формулу Эйлера.
4.15.	Всего правильных (но возможно сократимых) дробей со знаменателем
п ровно п штук. После сокращения этих дробей получается для каждого d,
Делящего п, ровно <p(d) дробей со знаменателем d.
4.16.	Воспользуйтесь индукцией и предыдущей задачей и докажите, что
Число п встречается ровно <р(п) раз.
4.17.	Ответ. ч?(п).
4.18.	Пусть pi,.-.,pfc — все различные простые числа и п = р\...рк- Тогда
’Р(п) = 1, что противоречит формуле Эйлера.
4.19-	20. Если т/п — несократима, то (п — т)/п — тоже несократима.
4.21.	Если дробь т/п является несократимой, то дроби вида {ат/п},
{апт/п} — тоже несократимы, причем построенные таким образом
41
ikm J- .юн^гельности для разных т/п либо не имеют общих членов, либЦ
получаются друг из друга циклическим сдвигом.
4.26.	Ответ. При простом п и при 71 = 9.
4.27.	Заметьте, что остатки от деления 2п на 7 периодически повторяются.
Более подробно об этом явлении см. § 6.
4.28.	Проверьте, что /(1) = 1,/(п) > 0. Без ограничения общности считаем,
что f(n) возрастает и /(2) = 2. Докажите, что f(n) = п. Допустим, что
при некотором k > 2 справедливо неравенство f(k) > к. Докажите индукцией
неравенства
2’*-1 < /(2" - 1) < /(2n) < /(2n + 1) < /(3) • 2"-1,	j
- 1) • f(k)n~' < f(kn - 1) < /(!•") < f(kn + 1) < f(k + 1) • /(fc)*1"1.	
Для любого n выберите m так, чтобы 2m < kn < 2rn+1, тогда
f(k - l)2”‘logt Wflk)-1 < f(k - l)f(k)’1-1 < f(kn) <	Ж
< /(2m+’) < /(3)2m,	1
что невозможно при достаточно больших т. Аналогично получается противореча
в случае f(k) < к.	Я
4.29.	Примените основную теорему арифметики.	Я
4.30.	Воспользуйтесь тем, что сумма д(«/) по всем натуральным d, дел я щи
п, равна 0. если п > 1, и равна 1, если n = 1. Для доказательства этог
утверждения примените равенство
0= (1 - 1Г = 1 - t1) + (2)	+
Мц/ мпУ	'т'
4.31.	Примените задачи 4.15 и 4.30 при f(n) = ^(?i),p(7i) = п.
4.32.	Примените 4.30 и формулу суммирования геометрической прогрессии.
1 + pf + р2к + • • • + р*'к = (p,(Q-+1)fc - 1 )(р? - I)-1.
4.33.	Воспользуйтесь предыдущей задачей. Тогда для т = <т(2п(2п+1 — 1
справедливо равенство
<г(т) = a(2n)a(2’,+ 1 - 1) = (2n+1 - 1)2"+1 = 2m.	1
4.34.	Пусть N = 2пМ — совершенное число, М — нечетно. Тогда в силу
4.32 имеем
2п+1М = 2N = a(N) - а(2п)а(М) = (2п+1 - 1)а(М),
значит, М кратно 2п+1 — 1, т. е. М = (2п"*’1 — 1)К. Отсюда
<т(М) = 2п+1М/(2п+1 - 1) = 2п+1Л' = М + Л',	<
значит, А' = 1 и М — простое.	'
4.35.	Примените 4.32. Тогда	>
1
<т(2пр</) = (2"+1 - 1)(р + 1)(7+ 1) =	- 1) =	\
I
= (2n+1 - 1)(г + 1)_= 2 9 • (22п - 2П-1) = 2"(2г - р - 9) =	j
= 2п(г + рд) = 2пг + 2прч,а(2пг) = (2n+1 - l)(r + 1).	;
4.36.	Вынесите общий делитель из всех чисел тройки.	1
42
4.37.	Равенство х2 + у2 = г2 равносильно равенству
(ж/г)2 + (y/z)2 = 1.
4.38.	Подставьте в формулы
2 tg (х/2)	1 - tg2 (х/2)
sin г — ----------, COST = -----------
1 + tg2 (х/2)	1 + tg2 (r/2)
вместо tg(r/2) несократимую дробь т/п,
4.39.	Заметьте, что (2n + 1 )2 =	+ 1) + 1 и	— четно.
4.40.	Разложите числа x,y,z на простые множители и примените основную
теорему арифметики.
4.41.	Учитывая 4.39, без ограничения общности считайте, что х — четно, а
у и z — нечетны. Так как (х/2)2 = ((у 4- z)/2)((z — у)/'2), то согласно 4.39,4.40
имеем у 4- z = 2m2, г — у = 2п2, т > n, (т, п) = 1, значит,
х = 2?пп, у == т2 — п2, z = т2 4“ ’i2 •
4.42.	Воспользуемся рассуждением от противного. Пусть x,y,z — такая
тройка натуральных решений уравнения z2 = х4 4- у4» в которой число z
наименьшее возможное. Из предыдущей задачи следует, что без ограничения
общности можно считать, что
2	ООО	2	2
х = 2тп,з; = т — n,z = т 4- п .
Так как у2 4-н2 =?п2, то из нее же следует, что т — нечетно, а значит, п —
четно, и
71 = 2а6, у — а2 — Ь2 ,т = а2 4- 62, а > 6,(а,6) = 1.
Поэтому
(х/2)2 - ab(a2 +Ь2),
а так как в силу (а,6) = 1 имеем, что (аб, (а 4" Ь)) = 1, то согласно 4.39 и 4.40
числа ab и а2 4- Ь2 являются квадратами целых чисел. Опять применяя 4.40,
получаем, что а = Х2,6 = У2, следовательно
‘ X4 4- Y4 = Z2
для некоторых натуральных X,Y,Z, причем
Z2 = X4 4- У4 = а2 4- Ь2 = m < (m2 4- n2)2 = z2 = x4 + у4.
Получено противоречие с предположением, что число z — минимально. Значит,
уравнение натуральных решений не имеет.
4.43.	Рассуждаем от противного. Пусть x,y,z — такая тройка натуральных
решений уравнения z2 — х4 — у4, в которой число г наименьшее возможное.
Без ограничения общности считаем, что (х,у) = 1, так как в противном случае
тройку чисел (х,у^) можно будет сократить на (г, у) и получить натуральное
решение с меньшим числом z. Поэтому числа х и у имеют разную четность,
а значит, числа х2 4" У2 и х2 — у2 нечетны и согласно 3.8 взаимно просты.
Согласно 4.40 из равенства
43
' i еду ют равенства
х2 + у2 = U2, х2 — у2 — V2 , и > V, (u, v) = 1,	ё
причем числа и и v нечетны. Поэтому числа р — (и — v)/2tq = (u + v^
натуральные и согласно 3.8 взаимно простые. Так как
РЧ = («2 Г и2)/4 = у2/2,
то в силу 4.39 число у четно и pg/2 = (1//2)2.
Значит, числа р и q имеют разную четность в силу их взаимной простоты,
поэтому согласно 4.40 четное из них, скажем р, является удвоенным квадрате
а нечетное - квадратом, т. е. q = Z2, где Z — натуральное число. Так как
р2 + 92 = (и - и)2/4 + (и + и)2/4 = (и2 + п2)/2 = т2, (р, q) = 1,	-
то согласно 4.41 для некоторых взаимно простых т и п,т > ?i, справедлив
равенства
р = 2m?i, q = т2 — п2, х = т2 4- ?i2.
Так как тп — квадрат целого числа, и (т, ?i) = 1, то в силу 4.36 име^
т = Х2.п = У2, где X,Y — натуральные. Следовательно,
Z2 = A'4-y\	i
причем так как х > у натуральные, то
Z2 =q <р2 + q2 =х2 < (х2 + у2)(х2 - у2) - Z2.
Противоречие. Значит, уравнение натуральных решений не имеет.
4.44	- 4.45. Примените задачу 4.39.	J
4.46.	Проверьте с помощью 4.39, что остаток от деления а4 на 16 рам
0. если а — четно, и 1, если нечетно. Поэтому число, кратное 16, можЙ
представить в виде суммы 15 четвертых степеней целых чисел, лишь когда в<
они четны. Разделите все эти числа на 2 и проведите индукцию.	Л
4.47.	Положим W = рк ± pk~l + р -р 1, тогда Pfc < TV < (Р + 1 и поэто^
имеется ровно Р к-х степеней натуральных чисел, не больших N. Из них мож^|
составить не более Р* + Р*-1 + ... + Р различных сумм, состоящих не более ч<!
из к слагаемых.
Поэтому найдется такое натуральное n < N, которое не представимо в виЛ
суммы не более чем к к-х степеней натуральных чисел.
4.48.	Положите	1
ур = (а2''- 1)/(а2 - 1),	I
где р	—	такие	простые	р,	что р > 2 и (р, а — 1) = 1.	Тогда	Я
Ур -	1	= ((«Р- 1)/(« - 1))((ар+ 1)/(«4- 1))	1
'1
— составное целое число. Кроме того, а2₽ — 1 делится на ур, а число	‘
Ур - 1 = (а2р - 1 )/(а2 - 1) - 1 = а2^-1 +	- 1)/(«2 - 1)	J
делится на 2р, так как а(ар~1 —1) делится на р согласно малой теореме ФерЦ|
(р, а2 — 1) = 1, и число a2(a,J^J + 1) четно, а число (а,,—1 — 1)/(а2 — 1) — цел<
в силу нечетности р. Поэтому число
- 1 - a^Sp-1)/2? - 1	'
44
1( пи ся на yp и, значит, число ур — псевдопростое по базе а.
4.49.	Пусть п — 1 делится на р, - 1, i = 1,2. Тогда Р2 — 1 — т — 1 — рг(Р1 — 1)
делится на pj — 1 и, аналогично, pi — 1 делится на р2 — 1, что невозможно, так
как одно из чисел больше второго.
4.50.	Проверьте, что для любых целых к и к' числа (1 4- кп/р)(1 4- к'п/р)
и 1 + (^ + к')п/р имеют одинаковые остатки при делении на 71 и поэтому
(14-n/p)s ~ 1 кратно it тогда и только тогда, когда s кратно р.
4.51.	Примените две предыдущие задачи и задачу 6.40.
4.52.	Выберем три больших попарно взаимно простых числа, например
числа Ферма дц = 22” 4- 1,«2 “ 22”+* + 1,аз = 22”+2 4- 1. Пусть t-й ’’компаньон”
в качестве ключа выбирает произвольное число kx в пределах от 1 до at — 1.
Тогда, собравшись вместе, они могут выработать пароль ку взяв в качестве
него такое число в пределах от 1 до а — 1,а = сца^аз, которое при делении на
а, дает в остатке кх. Как было показано в этом параграфе, число k можно
вычислить по формуле к = к'— [к1/а]ау где
к1 — к\п\ 4" к2П2 + kn^yntmi — atqt = 1,mt = j ф к i j.
Для вычисления можно, как будет показано в § 8, применить алгоритм Ев-
клида. Нетрудно написать программу для компьютера, которая будет вычислять
пароль к, после того как “компаньоны”, таясь друг от друга, введут в него свои
ключи. Положим N = 2П. Если двое, в тайне от третьего, захотят найти ключ
к. то им придется перебрать все возможные варианты выбора третьего ключа
( потому что разным способам выбора ключей соответствуют разные значения
к), т.е. перебрать не менее 2^ вариантов. С помощью результатов § 17 о
сложности умножения и деления с остатком многозначных чисел и оценки числа
шагов алгоритма Евклида, указанной в § 8, можно оценить сложность алгоритма
вычисления общего ключа по порядку как N •	где M(N) — сложность
умножения 7V разрядных чисел. Применение оценки Карацубы дает оценку
ДГ1оК26. Использование более совершенных алгоритмов умножения и решения
линейных уравнений с двумя неизвестными в целых числах позволяет получить
оценку по порядку /V log TV log log/V. Поэтому даже при больших N вычисление
общего ключа можно провести достаточно быстро.
§ 5.	ДЕЛИТСЯ ИЛИ НЕ ДЕЛИТСЯ ?
5.1.	(Формула Лежандра) Наибольшее к, при котором число п\/рк,
где р — простое, р < п, будет целым и равно
[п/р] + [п/р2] + ... + [n/pm] + ... .
5.2.	При каких п число (п — 1)!/п — целое?
5.3.	Докажите, что число (2п)!/(п!)2 — натуральное и делится на
»+ 1.
5.4.	Докажите, что число п\/а\Ь\.. ,к\ — целое, если только
а + b +... + к < п.
45
5.5*	. (Каталан) Докажите, что для любых натуральных
число (2n)!(2m)!/(n!m!(n + т)!) — натуральное.
5.6*	. (США. 75) Докажите, что для любых натуральных т,
число (5n)!(5n»)!/(n!m!(3n + m)!(3m + п)!) —натуральное.
5.7*	. Докажите, что для любых натуральных т,п число
1	1
—F ... Н—- — нецелое.
п	т
5.8*	. Докажите, что для любых натуральных т, п число 2п1)_1 1
т—5-r- + .. • +	1,	— нецелое.	।
2пЦ-3 1	2т+1
5.9.	(Чехословакия, 1971) Докажите, что при простом р > ;
числитель несократимой дроби, равной 1 + | + ...+ делится:
а) на число р; б)* на число р2.
5.10*	. Докажите, что при простом р> 5 числитель несократимо
дроби, равной 1 + | + ... +	, делится на р.
5.11.	Будет ли целым число + зЬ + '' ’ + (2n-ij2n  число
11 1
----1-----1- • • • Н----?
2 13-2 (п + 1)п
5.12.	При каких целых т число nt/З + т2/2 + т3/6 — целое?
5.13.	Докажите, что если 2 ~2 — целое, то 2 2„_~2 — такж
целое число.
5.14*	. Найдите наибольшее k, при котором:
а)	число (3-'Л — 1) /2* — целое;	I
б)	число (23rl + 1) /3А’ — целое.	;
5.15*	. Докажите, что (4m — 4n)/3fe+1 целое тогда и только тогда|
когда (?71 — п)/'М - целое.	:
5.16*	. При каких натуральных п число (п2’" — 1) /2т+2 целое при
всех натуральных пС
5.17.	(АММ) При каких натуральных т и п число 2”j~] — целое?
5.18*	. При каких натуральных т,п и k число целое ?
А когда pqrf — целое'
5.19*	. (ВМО, 82) Докажите, что если а делится на 2П — 1, то в:
двоичной записи а не менее п единиц.
5.20*	. (АММ) Докажите, что если р > 3 — простое число И>
n2p _ J	9” _ 9
п— —у-1, то — целое число.
5.21.	При каких натуральных т и п число (2” — I)1/"1 — целое?
5.22*	. Является ли целым число (21093 — 2)/10932 ? А число
(23511 — 2)/35112 ?
46
5.23.	Докажите, что при простом р>2 число
[(2 + у/5)Р] - 2Р+1
Р
— целое.
5.24*	. а) При каких целых х будет целым число (1 + ж + х2)?
Другими словами, нужно найти все целые решения уравнения у2 =
= 1 + х. + х'2.
6) (ВМО,67) Решите в целых числах уравнение
у2 + у = 1 + X + х2 + х3 + z4.
в)*’
(АММ) Решите в целых числах уравнение
у2 = 1 + х + х2 + х3 + х4.
г)*** (Ферма) Решите в целых числах уравнение
у2 — 1 + х + х2 + х3.
Следующий цикл задач посвящен, главным образом, делимости би-
номиальных коэффициентов. Решать их нужно в той последователь-
ности, в какой они приведены, тогда не будет никаких затруднений.
В противном случае многие из этих задач заслуживают ’’звездочек”,
а то и двух.
5.25.	(Лежандр) Докажите, что
[п/2] + [п/22] + ... + [п/2"‘] + ... = »- iz(n),
где iz(h) — сумма цифр двоичной позиционной записи числа п.
5.26.	Докажите, что число (2п)!/(п!)2 натуральное и делится на
"1-1 и на 2‘/<"\ но не делится на 2,/(п)+1.
5.27.	Докажите, что число (2п)!/п! делится на 2П, но не на 2”+1.
5.28.	Докажите, что число н\/‘2п - нецелое. При каком натураль-
ном т число п!/2’1-”‘ будет целым при всех натуральных п?
5.29.	(Лежандр) а) Докажите, что
[п/р] + [п/р2] + ... + [п/р”’] + ... = (п - 1/р(п))/(р - 1),
где Рр(п) — сумма цифр р-ичной позиционной записи числа п, а р —
Произвольное (не обязательно простое) натуральное число.
б) Пусть ик = (pfc+1 - 1)/(р — 1), h = ртит + .. . + pi«i +ро,
Рт — [Л/Пщ] 1 /bn — 1 — h Pm Wm , Pm — 1 = [^т — 1 /Нщ — 1], • • • >
47
hi = h2- p2u2, pi = [/ii/ui].	|
Тогда простое p входит в разложение п! в степени h тогда и тольи
тогда, когда п = ртрт+} + • •. + Pip2 + РоР + р', где все рт,.. .,р0 
р' — целые неотрицательные и меньше р.	Г
5.30.	(Киев, 71) Может ли п! оканчиваться ровно 1971 нулем j
десятичной записи?
Обозначим для краткости наименьший показатель степени р, де
лящей число п, через ordp(n), целое число	(биномиальны
коэффициент) — через (£), а через р — произвольное простое числе
5.31.	(Куммер) Докажите, что:
a)	ordp(") = (vP(n- k) + Vp(k) - vp(n))/(p- 1);
б)	последнее число равно количеству переносов в следующий разря,
при сложении чисел к и п — к в р-ичной системе счисления, приче|
и при составном р.
5.32.	Докажите, что при простом р
а)* (Вильсон - Лейбниц) число (р—1)!+1 кратно р.	j
б)** (Беббидж. - Вустенхольм) число (2рр“1) — 1 кратно р3, есл
р > 2. Неизвестно, верно ли обратное утверждение.	\
Следующая теорема обобщает предыдущую и уточняет теорем'
Лежандра.
5.33*	*. (Штикелъбергер) Пусть р — простое и р = ordpnl, где
п = ртрт Ч-----1- pip + ро, 0 < pi < р, 0 <i < т.	i
Я
Докажите, что число п\/р^ — (— 1)'хр0!..-Рт- кратно р.	j
5.34.	(Болгария,68) Докажите, что биномиальный коэффициент
(2) нечетен тогда и только тогда, когда в двоичной записи числа .
единицы не стоят в тех разрядах, где в числе п стоят нули.	(
5.35.	Докажите, что биномиальный коэффициент (2) не крате
простому числу р тогда и только тогда, когда в р-ичной записи числ
к‘все разряды не превосходят соответствующих разрядов числа п. i
5.36.	Докажите, что в ряду биномиальных коэффициентов
//А	// п\	।
\к)' L/
все числа нечетны тогда и только тогда, когда п = 2к — 1.
5.37.	(Люксембург,80) Докажите, что в ряду биномиальных ко-
эффициентов	(£),..., (") все числа не кратны заданному про-
стому р тогда и только тогда, когда п = трк — 1, где натуральное
т < р.	i
5.38.	Докажите, что в ряду биномиальных коэффициентов ’
48
ьсе числа, кроме первого и последнего, кратны заданному простому
1с
р тогда и только тогда, когда п = р .
5.39.	Докажите, что в ряду биномиальных коэффициентов
О......©.......С)
количество нечетных чисел равно степени двойки.
5.40.	Докажите, что в ряду биномиальных коэффициентов
©......©.......©
не может быть поровну четных и нечетных чисел.
5.41.	Докажите, что в ряду биномиальных коэффициентов
количество не кратных р чисел равно («1 + 1).. . (a,n + 1),' где числа
ai,...,om — разряды р-ичной записи числа п, а число rn=]logpn[.
5.42.	Докажите, что в первых рп — 1 строках треугольника Паскаля
(т.е. среди ряда биномиальных коэффициентов (™),
О < к < т < рп — 1) количество некратных р чисел равно (р(р+ 1)/2)".
5.43.	(Ленинград,77) Пусть р — простое число, п,к — нату-
ральные числа. Докажите, что среди биномиальных коэффициентов
(£), С©*), • • •, (’©© хотя бы один не делится на р.
5.44.	Докажите, что для любого натурального к найдется бес-
конечно много таких чисел 71, что все биномиальные коэффициенты
(fc) > СТ) >  • • ’ ("+fc " D Делятся на р.
5.45*	. Докажите, что в ряду биномиальных коэффициентов
("),..., (£),..., (") при п = 2т — 2 в точности ]?г/4[ чисел имеет
вид 41 + 2.
5.46*	. Докажите, что в ряду биномиальных коэффициентов
(о), • • •, (к), • • •, (п) ни °ДН0 из чисел не делится на р[|окРп]+1.
5.47.	Докажите, что i/p(n — к) + isp(k) — ир(п) < (р— l)[logp 71], причем
строюе неравенство, вообще говоря, поставить нельзя.
5.48.	Докажите предыдущее неравенство и при составном р.
5.49.	а) Докажите, что в ряду биномиальных коэффициентов
(о), •.., (£),..., (”) при 71 = р’п, где р — простое, кратны п только
Коэффициенты (£), где к не кратно р. При k, не кратном ps и кратном
Р’-1, коэффициенты (£) делятся на рт-’+1 и не делятся на pm~s+2.
б)	Докажите, что наибольший общий делитель всех биномиальных
коэффициентов ("), •••,(£),•••, („2© равен р при п = рт, где р —
Простое, и равен единице во всех остальных случаях.
49
в)	Докажите, что наибольший общий делитель всех биномиальны!
коэффициентов (”), • • • равен 21+°rd2n	-
5.50.	(Польша, 70) Докажите, что все биномиальные коэффициенты
(")> •'(*)’•••> (п-1) Делятся на п тогда и только тогда, когда п —1
простое.	|
Пункт г) следующей задачи усиливает в одном частном случа!
утверждение задачи 5.35, а пункт д) — задачи 5.37.	г
5.51.	(Люка) Пусть р — простое, k < п — натуральные. Докажите
что	f
a)* ordpft) = ordp(ty и ("₽) - (пк) кратно р.
б)* (£) — [п/р] кратно р.
в)" (1р+7) — (fc)(7) кратно р при неотрицательных n,m,k,s, и тп I
s меньших р (биномиальный коэффициент, очевидно, равен нулю, ecjjj
нижний индекс меньше верхнего, а коэффициент (°) по определения
равен 1).
г)" (п) - (n"J • • • (по) кратно р при	,
п = nmpm + ... + nip+ п0, к — kmpm + ... + крр + ко,	j
О < П{, ki < р, О < i < тп.	Я
Д)" (рЛ,) - (-1)Pp(fc) кратно р.	V
е)***	— (£) кратно р2, а при р > 5 — кратно и pJ.	,
Следующий цикл задач посвящен доказательству замечательно)
теоремы П.Л.Чебышёва — постулату Бертрана. Здесь уместно повта
рить все, сказанное перед предыдущим циклом.	,
5.52*	. Докажите, что
(2 п\	,----- '
< 4’7^/2^ТТ.	i
п )
5.53.	Докажите, что число (~n^})/Sn, где ,S'„ — произведение все!
простых чисел, заключенных в пределах от п + ‘2 до 2n + 1, является
целым.
5.54.	Докажите, что Sn < 4п+1/'2у/'2п + 3.
5.55.	Докажите, что Рп — произведение всех простых чисел, не
превосходящих п, меньше 4п~1/п при п > 4.
5.56.	Пусть Ap(n) = ordp(2"). Докажите, что
АР(п) = [2n/p]-2[n/p] + [27i/p2]-2[7i/p2] + .. . + [2n/p",]-2[n/pm] < рр(п],
где тп = рр(п) = [logp 2?i], при 2?i/3 > р > у/2п и 2п >р>п справедливо
равенство Ap(?i) = 1, а при п > р> 2п/3 — равенство Хр]п) = 0.
50
5.57.	Докажите, что число НОК(2,... ,2п)/(2^1) — целое, и что
НОК(2,... , 2n) = HOK(n+ 1, п+ 2,... ,2п).
5.58.	Докажите, что НОК(2,... , 2n) < (2n)fc, где к — число
простых, не превосходящих 2п.
5.59.	Докажите, что при некотором а > 0 число простых, не
превосходящих п больше, чем «n/log2n.
5.60.	Докажите, что последовательность 42п/3/п монотонна.
5.61.	Докажите, что произведение чисел рАр(п) по всем простым
р < д/2п меньше (2n)*, где к — число простых, меньших y/iii, а
произведение всех простых чисел из отрезка от \/2п до 2п/3 при
п > 6 меньше
3.42п/3
8п • 2*-'
5.62.	Докажите, что число простых, не превосходящих п, не
больше (» + 1 )/2.
5.63*	. Докажите, что Ргп/Дз — произведение всех простых из
отрезка от п + 1 до ‘2п — при п > 6 больше 4”/3/nV*”/2.
5.64*	. Докажите,что при п > 24 справедливо неравенство
4«/3 >
ja при п > 98 — неравенство
|	4п/3/п^ > 2».
[5.65. Докажите, что между п и 2п — 2 всегда есть простое число.
5.66.	Докажите, что между п + 1 и 2п всегда есть два простых.
5.67.	Докажите, что при некотором b > 0 число простых, не
превосходящих п, меньше, чем 6n./«log2»i.
Отметим в заключение, что для любого п и любого т > 4п2 между
in и ‘2т найдется не менее п простых чисел, однако доказательства
зтой теоремы мы здесь не приводим.
УКАЗАНИЯ
5.3.	Числа п + 1 и п взаимно просты, а число (2n)!/((n— l)!(n+ 1)!) —
натуральное.
5.7.	Привести к общему знаменателю и обратить внимание на дробь, в
знаменатель которой двойка входит в наибольшей степени.
5.8.	Обратить внимание на дробь, в знаменатель которой тройка входит в
наибольшей степени.
51
5.9.	а). Сгруппируйте равноудаленные от концов слагаемые; б) найдется
такая перестановка	Гр—i чисел 1,...,р —1, что при всех к число кх^ — 1
делится на р, значит, так как	|
1 1 \ _ 1 1 1
1 + 2+	+р-1)	1(р - 1) + 2(р - 2) +	(р— 1)1’
то числитель этой дроби при делении на р дает тот же остаток, что и число
-((р -1) о2 (*? +    +	) = -((₽ -1 )’)2( 12 +  • • + (р -1)2) =
= -((р - 1)!)2р(р- !)(2Р- О/6-	М
а оно делится па р.	|1
5.10.	Представьте дробь в виде
( 1 1 \
+ ----7 + •+----- +
\ Р + 1	2р - 1 /
И примените 5.9.
5.18.	Докажите, что	i
(1гп ± 1Д’п 1) = (А-<”*'’,> ± 1, Т 1),	1
в частности, (А-’1 - 1.А"' - 1) = A<m'") - 1,	'
(А-'' - ( — i]n/(ni-n) кт - ( — i)m) — k(in’n) 4- i(
а в остальных случаях при нечетном k имеем
(А:<",’п> ± 1,А;(”,’п> ? 1) = 2.	J
а при четном к
(А-(’п'п) ± 1,А.(”’’"> Т 1) = 1.
5.20.	Записать в двоичной системе п и р и доказать с помощью 5.13, ч'
п — 1 делится на 2р.
5.24.	а) Ответ: (х, у) = ( — 1, — 1), (— 1,1), (0, — 1), (0, 1). Уравнение равносилЫ
следующему (2 у)2 — (2л + 1 )2 — 3. Разлагая певую часть на множители, получи1
что
2у — 2т — 1 = ±3, 2у 4- 2з- + 1 = ±1,
или
2у — 2х — 1 = ± 1,2у 4- 2.Т 4- 1 = ±3.	*
б)	Ответ: (х,у) = ( —1, — 1), ( —1,0), (О, — 1), (0,0), (2, —б). (2, 5). Уравнение pal
насильно следующему (2у 4- I)2 = 4 4- 4т 4- 4а:2 4- 4а?3 4- 4т4. Проверьте, что пр
з: > 2 или з' < — 1 правая часть этого уравнения заключена между (2т2 4~ т)2
(2х2 4- х 4- I)2 и поэтому не может быть квадратом целого числа. Перебирд
х = —1,0,1,2, получите ответ.	Mj
в)	Ответ: (т, у) — ( — 1, — I}", (—1,1), (0, 1), (0, — 1), (3, 11), (3, — 11). Уравнение рая
носильно следующему	j
(1-2 + х/2)2 = у2 - (х + 2)2/4 - х2/2 < у2,	!
52
из которого, учитывая, что при целых х число х2-\~х/2 > 0, вытекает неравенство
г24-о?/2< |у|. Так как при целых х число х2 + х/2 целое или ’’полуцелое”, а
у — целое, то, на самом деле, х2 4-я/2 4-1/2 < |у|, откуда, учитывая, что
у2 = 1 4- х 4- х2 4- х3 4- х4,
получаем неравенство
у2 > (х2 + х/2 + 1/2)2 = у2 + (х2 -2х- 3)/4,
а значит, и неравенства
(х + 1)(х - 3) = х2 - 2х - 3 < О, -1 < х < 3.
Значения х — 1 и т — 2 отбрасываются при проверкеч
г)	Ответ. Все решения уравнения таковы:
(г,у) = (-1,0), (0,1), (0,-1), (1,2), (1,-2), (7,20), (7,-20).
Уравнение равносильно следующему: у = (1 4-х)(1 4-Д’2)- Тогда х > — 1. Решения
х = — 1,х = 0 и х — 1 находятся сразу, поэтому далее х > 1. Так как число х2 — 1
кратно х4-1, то (1 4-	1 4- х2) < 2. Заметьте, что если у2 = mn,(m,n) = 1, то m
и п — квадраты целых чисел (это вытекает из основной теоремы арифметики).
Так как число х2 4-1 не может быть целым квадратом, ведь при х > 0, очевидно,
х2 < х2 4- 1 < (^ + I)2» то равенство (1 4- г, 1 4- х2) — 1 невозможно. Поэтому
(1 4- х, 1 4- х2) = 2, и
1 4- х — 2и2,1 4- г2 = 2v2
при целых взаимно простых, и и v. Отсюда имеем, что
и4 4- (и2 - I)2 = (х 4- 1 )2/4 4- (х - 1)2/4 = v2,
т.е. (u2,u2 —l,v) — примитивная пифагорова тройка. Если и — нечетно, то
и2 = р2 — q2, и2 - 1 = 2pq, и = р2 4- q2, (р, q) = 1,р > q.
Тогда, р— q — t2, где t — натуральное, и
1 = (? - ч)2 ~ 2'12 = t2 - 2r/2, (q2 + I)2 = t4 + </4.
Н<> последнее равенство невозможно, так как уравнение
х4 4- У4 = z2
Неразрешимо в натуральных числах. Поэтому и — четно. Тогда
и2 = 2pq, и2 — 1 = р2 - q2, v = р2 4-	(Р* 7) — 1 >Р > 7-
Заметьте, что р — четно. Действительно, при нечетном р будет обязательно
ч«тно q, тогда остаток от деления р2 — q2 на 4 был бы равен 1, и, значит,
число и2 при делении на 4 давало бы в остатке 2, что невозможно. Из того,
что р — четно, (p,q) = 1 и и2 = 2pq, следует равенство р = 2m2, где m —
натуральное. Поэтому
К
1 = 2ру - (р2 - у2) = (р + у)2 - 2р2,	,
53
8?n4 = 2p2 = (p + q)2 - 1 = (p + q + l)(p + q - 1),
2m4 = ((p + q + l)/2)((p+ q - l)/2) = (a + l)a.
Так как a и a 4-1 натуральные и взаимно простые, то нечетное из них являете:
четвертой степенью натурального числа, а четное — удвоенной четверто
степенью. Отсюда следует, что при некоторых натуральных взаимно простых
и с справедливо одно из равенств
Ь4 - 2с4 = ±1.
Положим д = с2, тогда при знаке 4- зто равенство переписывается в виде
(/ + 1)2 = а4 + Ь1.
Но эго равенство невозможно так как уравнение
г4 4- у4 = z2
неразрешимо в натуральных числах. Поэтому в рассматриваемом равенстве
может стоять лишь знак —, и тогда оно переписывается в виде
(<?2-1)2 = /-Ь4.
Но уравнение
4	, 4 — ’2
X —у — Z
имеет в целых числах лишь тривиальные решения х = ±р, z = 0 и t/ = O,^ = .r2.
Так как b > 0 и д = с2 > 0, получаем равенство с2 = Ъ. Но бис взаимно просты,
значит, это равенство возможно лишь при 6 = с = 1. Поэтому справедлива
следующая цепочка равенств: a = b4 = 1,« 4- 1 = 2с4 = 2,р4- </ =
= 2а 4- 1 = 3, р = 2 (ввиду четности р), </ = 1, и2 = 2рд = 4, х = 2и2 — 1 = 7.
5.25.	Для доказательства равенства проверьте по индукции, что показатель
наибольшей степени двойки, делящей ?»!, равен n —t/(n), и примените 5.1. Другое
доказательство основано на тождестве
тп	tn	m
= У7 ^/2* “ У^(2*	+ • • • + 2«i + ao)/2* =
!=1	t=l	1=0
k - A/2" - £2 ".(1 - 2’m+‘) = A: - a, = A- - m(A),
1=0	1=0
m — 1
где к =	«(21,аг =0,1.
« = 0
5.29.	а) Действуйте также, как в 4.24. Утверждение а) вытекает также й
утверждения б).	j
б) Представьте п в виде
п = 9трш+* 4- ... 4- QIP2 4- ЯОР 4- ч\	4
4
где все qt и q’ целые неотрицательные и меньше р. Применяя 4.21, и учитывав
что ид. = 1 4. р 4. ... 4. р*’’, получите, что
Л = Ят^т 4- • • • 4- 91	+ 90 •	:
54
Так как при всех к справедливо неравенство
Чк^к + • • • + 91М + 90 < (Р - l)(ufe + ... + ui + 1) = p* + I + . .. + р - k - 1 <
< 1 + р + ... + p*+1 = Ufc-Ц,
ТО
Ят = [h/**m] — Рт > hm_ 1 = к ~~ рт^т » Ят — 1 = [hm —1 /um— 1] — Pm— 1 j - • • »
hi = h2 — Р2«2» 91 = [hi/ui] = Pi, 9о = hi - 91*4 — h\ — p\u\ = po-.
5.31.	а) Примените 5.29.
б) Примените пункт а). Если переносов не происходило, то величина
//р(п — к) 4- Vp(k) — Vp(n) равна нулю. Каждый перенос уменьшает один разряд в
числе п на р и увеличивает следующий разряд на 1, в результате рассматриваемая
величина возрастает на р— 1, а значит, величина (vp(n — k) 4- i/p(k) — *>(n))/(p — 1)
возрастает на 1.
5.32.	Воспользуйтесь тем, что для каждого ?п, 1 < т < р — 1, найдется такое
не равное ему число п, что тп — 1 кратно р.
5.33.	Проведите индукцию по длине р-ичной записи числа п. Для этого
среди чисел от 1 до п, не кратных р, выделите [n/р] наборов по р — 1
последовательному числу в каждом. Произведение чисел в каждом наборе
согласно 4.31 имеет остаток р — 1 при делении на р. Кроме того, остается
еще ро сомножителей, произведение которых равноостаточно с ро! при делении
на р. Поэтому произведение всех не кратных р чисел из отрезка от 1 до
п равноостаточно с ( — 1)1п/р]р0!. Если взять числа, кратные р, то после их
деления на р, применив предположение индукции, получите, что их произведение,
деленное на рм , равноостаточно с
(-ir'pJ..-Ргп!,
где д' = ordp[n/p]!. Так как д == м' + [п/р], ТО
п!/рр = (п!/р(п/р')/рр'
равноостаточно с
(-l)tn^plpo!(-l),‘ Р1! . . -Рт'- = (-1)рРо! • • -Рт'--
5.48.	Проведите индукцию по длине р-ичной записи числа п.
5.49.	а) Примените 5.35 и 5.29.
б) Воспользуйтесь задачей 5.4 и пунктом а).
в) Заметьте, что сумма всех биномиальных коэффициентов
сю.........и.)--
Равна 2п-1, поэтому общий делитель есть степень двух. Далее примените
Теорему Куммера при р = 2.
5.51. а) Воспользуйтесь 5.29 и 5.32. Второе утверждение является частным
СлУчаем пункта в).
б) Утверждение является частным случаем пункта в).
в) Воспользуйтесь 5.32.
55
rj Примените индукцию. База и шаг индукции обосновываются в пункту
в) Можно также воспользоваться 5.31 и рассмотреть поэтому только случай
n, > к, < р, 0 > i > т. В этом случае утверждение вытекает из формулы для
биномиальных коэффициентов и теоремы 5.33. Пункт в) тогда следует из пункт!
г) (хотя и не всегда является его частным случаем!).	J
д) Примените г) и тот факт, что ( *,) — ( — 1)* кратно р.	1
е) Представьте (*£) в виде (*)а/Ь, где а и 6 есть произведения к сомножителе^
вида (ср + 1)... (ср + р — 1). Для краткости используйте обозначение х = у, если
х — у кратно рп. Проверьте, что если х = у, и = v, то хи = yv,x + и = у + и.
Раскрывая скобки в произведении (ср + 1) ... (ср + р — 1), получите, что она
равноостаточно при делении на р3 с числом
(р- 1)!(1 + ср ^2 1/« + с2Р2 52	]
0<1<р	0<|<;<р	1
.а
Из задачи 5.9 следует, что при р > 5 число	J
(Р-1)! £ 1/1
0<1<р
кратно р2, а при р = 3 кратно р. Заметьте, что для любого 1,0 < г < р, найдется
лежащее в том же интервале такое число г', что ii* — 1 кратно р, причем разным
i соответствуют разные числа i'. Поэтому равноостаточны при делении на $
числа (p-l)!/v и	ведь	)
((р-	- (р-	= (р- 1)!- (р- 1)! = 0,	|
(р - 1 y./ij - (р -	= ((р - 1)!/и - (р -	= 0,	]
а значит, и числа	J
(р-i)-* 52 Vu- 52 t'j1 = (р-w	(
O<1<J<P	0<i<,<p	0<i<;<p	!
Но	:
/	v 2
2 52 ’>=( 52 «1 - 52 ’2 = (p(p-i)/2)2-p(p-i)(2p-i)/6,
0<t<j<p	\0<t<p / o<i<p
значит, при р > 5 число
(р-1)! 52	’
0<t<,<p
кратно р, и поэтому
с2р2(р— 1)! 52 Mv
0<»<J<p	,
кратно р3. Из полученных результатов следует, что при любом натуральном
число (ср 4-1)... (ср 4- р — 1) равноостаточно при делении на р3 с числом
Поэтому введенные выше числа а и b равноостаточны при делении на р3, и W
кратны р. Значит, разность
56
кратна р3, т.е. (*£) - (*) кратно р3.
5.52.	Индукционный переход основан на неравенствах
4п+1/'/2п + 3 = (4П/У2п + 1)(4>/2п + 1/У2п + 3) >
> (2”) (4\/2п + 1/л/2п + 3) =
= (WK + 2)/(ч/(2п + 3)(2п+1)) >
> С,) = О»+>/<”+»>
> 4<2n+ 3)/(Vn(n+ 1)) > 4п+1/2УпТТ.
5.53.	Воспользуйтесь равенством (2п|^1) = (2n + 1)... (п 4-2)/п! и основной
теоремой арифметики.
5.54.	Примените 5.52,5.53 и равенство (2п^1) = (2"^2)/2.
5.55.	База индукции очевидно справедлива при п = 4 и 5. Индукционный
переход основан на неравенствах :
Рп+1 = Рп < 4П-1 /п < 4"/(n + 1) при нечетном п > 3,
Рп+1 < P„_i(n + 1) < (п + 1)4"~2/(п - 1) < 4п/(п + 1)
при 6 < п = 2k < 12 (ведь при п < 12 имеем, что (71 4- 1)2 < 16(п — 1), так как
71(71- 14)4- 17 <0),
Р2п+1 = Pn+lSn < Рп+14П+*/2х/2п + 3 < (4п/(п+ 1))4п+1/2\/2?+3 <
< 42n/(2n+ 1),
последнее из которых справедливо при п > 7 ввиду неравенства
\/2п + 3 > 4 > (4n + 2)/(n + 1).
5.56.	Воспользуйтесь формулой Лежандра 5.1 и задачей 1.2.
5.57.	Согласно основной теореме арифметики
НОК(2...2п)/(2П] = fj рМР(а)-^р(п)
р<2п
— целое число, так как ввиду 5.56 при всех простых р < 2п имеем Ap(?i) < мр(п)-
5.58. Согласно основной теореме арифметики
НОК(2,... ,2n) = [J РМр<П) (2п)'=>
р<2п
так как рИР(п) < 2п в силу определения др(п) = [logp 2п].
5.59.	В силу задач 5.52,5.57,5.58 имеем
4"/2^ < (2п) < Н0К(2.............2п)	< (2п)*,
\ 71 /
°ткуда к > (2п — 1 — J l°g2 п)/	2п.
5.60.	Очевидно, что
42”/3/п <	(42n/3/n)161/3/(l + 1/n) = 42n+2/3/(n + 1).	1
5.61.	Первое	неравенство	следует из неравенства	]
pMn) < p**p(n) < 2n	|
подобно задаче 5.58. Второе следует из задач 5.55, 5.60 и очевидного неравенств!
п	1
р<\/2п
5.62.	Четные числа, кроме двойки, составные и единица тоже не простое. 1
5.63.	Из 5.56,5.52 и 5.61 следует, что	у
п./л. = (;")/(' п П X
\р<\/2тГ	2п/3>р>\/^п /
> (4"/2^) ((2п)*(42п/3) /(2 • 8n/3)) = 4"'3(4^/3)/n* >	j
> 4n/3/nV^72,	;
так как согласно 5.62 имеем к < д/п/2 + 1/2.	•
5.64.	Заменой п — 2х2 получаются неравенства
241/3 > 2х2 при X > \/12,	:
24* /3 > 4г2(2х2)1 при х > 7.
Первое из них верно при х = \/12, так как 42 > (2,3)23 и 28 > З5, то 8/х/З > 4,4
и 8> (3/2)5, значит, 28/v^ > 24,6 и 20,6 > 1,5, откуда	(
28/'/з > 24,6 _ 20,б16 j, 15 . 16 _ 24
При почленном двукратном дифференцировании в точке х = х/12 неравенст!
сохраняется, так как его левая часть умножается на (41п2)/3 > 2/3 и поте
еще раз на то же число, а левая часть сначала умножается на 2/г, а пото
на 1/г при г=х/12>3, и принимает вид
(16 In 2)/9)24i/3 > 4.
В силу монотонности оно будет справедливо и при всех х > х/12, значит, соглас»
теореме о возрастании функции с положительной производной при всех х > \/Т
справедливы неравенства
((4 1п2)/3)24х/3 > 4х и 24х'3 > 2х2.	J
Тем самым первое из наших^неравенств доказано. Для доказательства второ/
достаточно установить, что при х > 7	;
2х2/3 > 4Х2 и 2х > 2г2.	;
58
Заменой у = х2/3 первое из них сводится к неравенству 2* > 12у, которое
вытекает из неравенства 2п > 12(п+1), верного при п = 7 и всех следующих
натуральных п в силу очевидной индукции. Второе неравенство вытекает
из неравенства 2п > 2(п + I)2, также верного при п = 7 и всех следующих
натуральных п в силу очевидной индукции.
5.65.	Примените 5.64	при п >	24,	а при п < 23 проверьте	непосредственно.
5.66.	Примените 5.64	при п >	97,	а при п < 97 проверьте	непосредственно.
5.67.	Из 5.54 выведите, что	количество простых чисел,	заключенных в
пределах	от п до 2п, не	превосходит	logn 4П = 2п/log2 п. Отсюда следует, что
при 2*-1 < п < 2к количество простых чисел, не превосходящих п, само не
превосходит
fc-1
52 2т+1/тп < (2k/(k - 1))( 1 + 3/4 + ... + (3/4)*-3) + 4 < 2к+2/(к - 1) + 4 <
т=1
< Ьп/ log2 п.
§ 6.	ОТ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ К “ЗОЛОТОЙ ТЕОРЕМЕ”
Научиться свободно обращаться с дробями - не такое простое дело.
В средние века людей, умеющих это делать, можно было пересчитать
по пальцам. Заметим, что трудности в действиях с обыкновенными
дробями имеют объективную причину: две графически неравные дро-
би могут оказаться равными по величине, как, например, *^690151 и
(у (пример заимствован из книги Ч.Тригга ’’Задачи с изюминкой”).
По этой же причине по-настоящему строгое построение числовой си-
стемы рациональных чисел осуществляется только в университетском
курсе математики, и каждый, кто хочет вполне овладеть искусством
обращения с дробями, вынужден знакомиться с такими понятиями
как наименьшее общее кратное (НОК), наибольший общий делитель
(НОД), простые и составные числа и т.д. При этом он узнает, на-
пример, что для нахождения НОД имеется простой и эффективный
способ — алгоритм Евклида, а для разложения чисел на простые
Множители такого способа пока не известно. На этом факте, кстати,
основана одна из описанных далее криптосистем для передачи по пу-
бличным каналам связи секретной информации, которую невозможно
Достаточно быстро расшифровать, не зная ключа.
В этом параграфе речь пойдет о десятичных дробях. Они бы-
ли введены в практику нидерландским ученым Симоном Стевином,
Преподававшим на рубеже XVI-XVII в.в. в Лейденской инженерной
Школе.
6.1.	Докажите, что обыкновеная дробь т/п представима в виде
Конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда п не делится
йа Простые числа, отличные от 2 и 5.
59
6.2.	Если т/п — правильная несократимая дробь и п / 2,5, 10, Tq|
первая цифра в десятичном разложении этой дроби равна [Ют/n]. I
Десятичные дроби имеют один недостаток, правда не сказываю-
щийся на их применении, и поэтому остающийся в тени, имен,
некоторые обыкновенные дроби невозможно точно выразить в ви
конечных десятичных дробей, а лишь в виде бесконечных пери,,
дических дробей, причем период может начинаться не сразу после
запятой, отделяющей целую и дробную части, а после так называемого
предпериода.
Правильная десятичная дробь называется чисто периодической,
если период начинается сразу после запятой. Остальные дроб
называются смешанно-периодическими, а часть десятичной запис;
между запятой и началом первого периода называется предпериодо»
Так, дробь 1/7 = 0,142857142857... = 0, (142857) — чисто периодическа
с периодом длины 6, а дробь
= 0,1990142857142857 •  • = 0,1990(142857)
смешанно-периодическая с предпериодом длины 4 и периодом 6.	!
Вычисление периода и предпериода на практике не всегда проста
дело. Попробуйте-ка вычислить период у безобидной с виду дроб)
1/49. Теоретически этот вопрос тоже не прост, и не случайно .:
школьных учебниках, как правило, отсутствует доказательство перЦ
одичности десятичных дробей, представляющих рациональные числ!
и тем более какие-нибудь факты о длине периода.
6.3.	Пусть п делится на простое число, не равное 2 или 5, и г —
остаток от деления 10m на п. Тогда, если 0,С1С2Сз... — десятична!
запись числа т/п, то 0,С2СзС4... — десятичная запись числа г/п.
6.4.	Докажите, что любая обыкновенная дробь представима в вид;
конечной или периодической десятичной дроби.	<
6.5.	Найдите длины периодов дробей jgj_t и 1 < к < 10”. J
6.6.	Докажите, что обыкновенная правильная дробь т/п предста
вима в виде чисто периодической десятичной дроби тогда и толью
тогда, когда п не делится ни на 2, ни на 5.
6.7.	Докажите, что длина периода этой дроби равна наименьшем;
натуральному числу t, для которого п делит 10f — 1.
6.8.	Докажите, что для произвольной дроби т/п длина периода ев*
десятичной записи равен наименьшему числу t, для которого найдется!
натуральное к такое, что п делит 10*(10£ — 1). При этом наименьшее к2
удовлетворяющее предыдущему условию, будет длиной предпериода,
Докажите, что длина предпериода десятичного разложения правилЬ*
ной дроби со знаменателем п не превосходит log2 (»/3). Равенств
достигается для несократимых дробей со знаменателем 3 • 2fc и толькс
для НИХ.	,!
60
G.9. Превратить обыкновенную дробь в десятичную можно делени-
ем столбиком. Используя 6.5, укажите простой способ превращения
периодической десятичной дроби в обыкновенную.
6.10.	Докажите, что сумма длин периода и предпериода десятичной
записи дроби т/п меньше п.
Проверьте, что дробь 1/7 имеет период 6, дробь 1/17 — период 16,
а дробь 1/29 — период 28.
В следующем цикле задач читатель научится доказывать малую
теорему Ферма и теорему Эйлера.
6.11.	Докажите, что сумма длин периода и предпериода деся-
тичного разложения любой правильной дроби со знаменателем п не
превосходит у>(п) — числа всех несократимых правильных дробей
со знаменателем п. Равенство возможно лишь для дробей с чисто
периодическим разложением. Проверьте, что дробь 1/49 имеет период
^(49) = 42.
Из предыдущей задачи следует, что длина периода десятичной
записи дроби со знаменателем п не превосходит п — 1 и равенство
возможно лишь при простом п. Примерами таких п служат, как
уже отмечалось, 7, 17, 29 и, кроме того, еще, например, 1913, однако
неизвестно, конечно или бесконечно их количество. Гаусс предпо-
ложил, что число таких простых п бесконечно, а позднее Артин
высказал более общую гипотезу, которую в 1967 г. доказал Хооли,
правда с помощью одной до сих пор не доказанной гипотезы о нулях
дзета-функции Римана.
6.12.	Пусть (п, 10) = 1. Докажите, что период дроби т/п будет
делителем числа <р(п).
6.13.	Докажите, что для п, взаимно простого с 10, число 10*’^”^ —1
делится на п, а для простого п число 10п-1 — 1 делится на п.
Далее иногда используем знак | для обозначения отношения дели-
мости: п | т означает, что 71 делит т.
6.14*	. Докажите, что при (a,n) = 1 имеем п |	— 1 (теорема
Эйлера), и для произвольного а и простого р имеем р | ар — а (теорема
Ферма).
В следующей задаче излагается математическое содержание кри-
птосистемы RSA (Райвеста, Шамира, Эдлемана).
Обозначим для краткости через Z* множество всех чисел а, таких
что 1 < а < п,(а,п) = 1, а для любого целого т остаток от его
Деления на п обозначим через т mod п.
6.15*	. Пусть п = pq, где р, q — различные простые, и число t € Z*
Таково, что st при делении на <р(п) дает в остатке 1.
а) Докажите, что отображения
.	х —> f(x) = xs mod п и х —> g(x) = х* mod n
61
а ,я
взаимно однозначно отображают множество Z* в себя и взаимно
обратны друг другу, т. е. при любом х G Z* имеем
/(<?(х)) = х.
Докажите, что сказанное выше будет верно и тогда, когда st дает
в остатке 1 при делении на НОК(р — 1,9— 1)- Проверьте, что имеет
место неравенство НОК(р — 1,?— 1) < <р(п)/4.
б)* Докажите, что утверждение а) справедливо и для всего множе-
ства Zn. Для этого установите следующий факт (криптографическая
лемма): для любых целых г и А: и для п, равного произведению
двух разных простых чисел, справедливо равенство
xfc*’(n)+1 moj п _ х то(] п
в)* Докажите, что отображение х —> f(x) — xa mod п всегда имеет
4 “неподвижных точки” во множестве Z* и девять “неподвижных
точек” во множестве Zn (“неподвижная точка” отображения — это
такое число а, которое переходит в себя при этом отображении).
г)* Докажите, что если s — 1 будет общим кратным чисел р — 1 и
9—1, то отображение х —> f(x) — xs mod п будет тождественным.
Отображение х —> хг множества Z* в себя можно использовать для
так называемого “открытого шифрования”. Шифрование производится
очень быстро с помощью компьютера^ числа s и п можно сообщить
всем желающим. Дешифрование также проводится быстро, если
известен “ключ” t.
Атакующему эту систему для нахождения числа t, исходя ЦП
равенства st = 1 (mod ^(п)), надо знать число <p(n) = (р — 1)(9 — 1)
= п+1— р— 9, т.е. р и q. Вы выбираете р и q очень большими, сообщаете)
всем число п = pq и произвольное s такое, что (s,<p(n)) = 1, и можете
быть уверенными, что пока не будет изобретен алгоритм быстроЛ
разложения на простые сомножители, ваша секретная система буд<й’
надежной.
Заметим, однако, что для предотвращения очевидных атак на
истему все же рекомендуется:
а)	не выбирать числа р и 9 слишком близкими друг к другу
(рекомендуется, чтобы их двоичные записи отличались по длине
на несколько разрядов), так как тогда облегчается возможность
факторизации числа п;	<
б)	следить за тем, чтобы число р — 1 не было делителем чисЛ|
9 — 1 и наоборот, и вообще чтобы эти числа не имели бы большой!
общего делителя, так тогда может возникает возможность найти клкя
t перебором;	<1
в)	не допускать того, чтобы в разложении р(п) на множителя!
встречались только малые простые числа (по той же причине). М
62
1/1Я надежности можно было бы использовать только так называ-
емые “безопасные” простые числа, т.е. такие числа р, для которых
й число (р — 1)/2 тоже простое. К сожалению, проблема генерации
таких чисел трудна, и до сих пор неизвестно, конечно или бесконечно
их количество.
Заметим еще, что не рекомендуется использовать слишком малые
числа s и t (так как тогда опять появляется возможность нахождения
ключа перебором, но в случае малого s для этого, правда, нужно
суметь перехватить одинаковое сообщение, посланное многим разным
получателям), а также такие числа s, что s—1 будет общим кратным
чисел р — 1 и q— 1, например, s = <р(п)/2 + 1, так как тогда зашифро-
ванный текст всегда просто совпадает с незашифрованным. Кроме
того, во всех случаях надо следить, чтобы случайно не попасть в
“неподвижную точку”.
Возвращаемся к задачам про периоды дробей.
6.16.	Число 142857 обладает забавным свойством: при умножении
на числа 2, 3, 4, 5, 6 его цифры переставляются в циклическом порядке.
Используя 6.10, объясните его и приведите пример еще одного числа
с подобным же свойством.
Если расставить в вершинах правильного девятиугольника числа от
1 до 9, стереть числа 3,6,9, и оставшиеся числа 1,4, 2,8,5, 7 соедините
отрезками в этом циклическом порядке (7 следует соединить с 1), то
получится рисунок, которому известный эзотерик Г.И.Гюрджиев при-
давал магический смысл, утверждая, что в некоторой эзотерической
традиции он был известен с незапамятных времен.1)
6.17.	Используя 6.13 и 4.6, докажите, что период дроби 1/59
равен 58, не вычисляя самого десятичного разложения. Как найти
все цифры периода с помощью калькулятора?
6.18*	. Еще одно свойство числа 142857 : число, составленное его
первыми тремя цифрами, в сумме с числом, записанным последними
тремя цифрами, дает 999. Докажите, что таким же свойством обладает
число, составленное цифрами периода любой дроби к/p, где р —
простое, если, конечно, период имеет четную длину.
6.19*	. (Москва, 82) При каких п числа ± и выражаются
Конечными десятичными дробями?
6.20*	. Докажите, что дробь ±	при любом натуральном
п смешанно-периодическая.
6.21.	Докажите, что у любой дроби к/p, где р — простое, отличное
От 2 и 5, среднее арифметическое цифр периода равно 4, 5 (если длина
——	
!)См. об этом книгу его последователя П. Д. Успенского “В Поисках чудесного”.
к подозревают знающие люди, Гюрджиев получил посвящение в одной из семи
аШен Сатаны”, вероятно в той, что находится в Туркестане (упоминание о них
м°Жно найти у Рене Геннона).
63
периода четна) и не равно 4,5 (если она нечетна.)	«
6.22.	Докажите, что в десятичной записи любой правильной дроб1
„/73 нет двух одинаковых цифр подряд.	J
6.23.	Пусть а | кт — 1 и п — наименьшее такое число, что а | кп — I
Докажите, что « | т.	I
В следующем цикле задач вы вплотную подойдете к понятию?
которое в теории чисел называется первообразным корнем по модулю
равному степени простого числа. Для малых простых оно оказываете!
существенно проще, чем понятие первообразного корня по простому
модулю.
6.24*	. Докажите, что при простом р, не равном 2 и 5, длинв?
периодов несократимых дробей а^/р,... ,ап/рп,... будут каждый pal
увеличиваться в р раз, Начиная с некоторого места.	1
6.25.	Найдите периоды дробей 1/3’*, 1/7”, 1/17”.	|
6.26*	. Докажите аналог задачи 6.23 для двоичных дробей и с помой
щью его найдите периоды двоичных разложений дробей 1/3", 1/5”, 1/7*
и троичных разложений дробей 1/2", 1/5".	)
6.27.	Докажите, что:
а)	наименьшее	к,	для	которого	3"	| 2Л — 1,	равно	ip(3") = 2 • З"-1;
б)	наименьшее	к,	для	которого	5"	| 2* — 1,	равно	<р(5") = 4  5”-1; 
в) наименьшее	к,	для	которого	7"	| 2fc — 1,	равно	|<р(7”) = 3 • 7"-1
г) наименьшее	к,	для	которого	2” |	3* — 1, равно |<р(2”) = 2"~2 npi
п > 2, равно 2 при п = 2 и равно 1 при п = 1;
д) наименьшее к, для которого 2" | 5* — 1, равно |у>(2") = 2"~2 пр;
п > 2, равно 1 при п = 2 и 1;	J
е) наименьшее к, для которого 5" | 3k — 1, равно у>(5") = 4 • 5"-1.Я
6.28. Выведите из 6.27 решения задач 5.16 и 5.15.	I
6.29*	. Докажите, что все нечетные числа вида 4А:4-1, заключеннья
между 1 и 2" — 1, можно расставить по кругу так, что для любьп|
трех соседних чисел а, Ь, с разность 62 — ас будет делиться на 2”)
Все нечетные числа так расставить нельзя, однако все числа вид!
4к + 3 — можно.	1
Теперь попробуем разобраться, что такое первообразный корей!
по простому модулю и что такое первообразный корень по модуля
равному степени простого числа. Отметим, что следующий цип
задач несколько труднее предыдущих.	I
Множество всех чисел от 1 до п— 1, взаимно простых с числом 
обозначаем, как и раньше, Z*.	
6.30.	Докажите, что все числа из множества М, содержащегося Я
Z*, можно расставить по кругу так, что для любых трех соседяИ
чисел а,Ь,с разность &2 — ас будет делиться на п тогда и тольИ
тогда, когда при некоторых натуральных числах fug г-е от начаИ
число равно остатку от деления f • р'-1 на п при любом г (началом|
64
направление нумерации — по часовой или против часовой стрелки —
берутся произвольными, но фиксированными для данного круга), при
этом дт при делении на п дает в остатке единицу, где т — количество
чисел во множестве М.
Число т назовем порядком числа д по модулю п, а расстановку
чисел по кругу, о которой шла речь — циклом порядка т.
6.31.	Если цикл содержит единицу, то при соответствующем выборе
начала нумерации элементы цикла совпадают с остатками от деления
чисел 1, д,... ,<7т-1 на п, причем остаток от деления дт на п равен
единице.
Элемент д тогда называется порождающим элементом цикла.
6.32.	Докажите, что число д имеет порядок т по модулю п
тогда и только тогда, когда <ричная дробь, изображающая 1/п, имеет
период длины т.
6.33*	. Докажите, что если элементы множества М можно рас-
положить по циклу, то это можно сделать ровно у(т) различными
способами (способы, отличающиеся только началом и направлением
нумерации, считаются одинаковыми).
6.34.	Докажите, что все элементы множества Z* можно распо-
ложить по циклу тогда и только тогда, когда это множество имеет
порождающий' элемент (называемый первообразным корнем по мо-
дулю п). Докажите, что если первообразные корни по модулю п
существуют, то их ровно у>(у>(п)) штук.
6.35*	. Докажите, что множество Z* содержит <р(п) чисел и при
простом п совпадает с множеством всех чисел от 1 до п — 1.
Поставим в соответствие каждому числу i из Z* остаток г,- от
деления ig на п. Полученную перестановку множества Z* можно
изобразить графически, поставив в соответствие числам из Z* точки
плоскости, и упорядоченным парам (г, г,) — стрелки, ориентированные
от точки г к точке г,-.
6.36*	. Докажите, что полученное изображение (граф) перестановки
является объединением непересекающихся циклов равной длины.
6.37.	Докажите, что порядок любого числа по модулю п делит
У’(п) и выведите отсюда теоремы Ферма и Эйлера.
6.38.	Докажите,что если порядок числа д по простому модулю р
равен т, то множество всех чисел из Z*, порядок которых делит т,
совпадает со множеством остатков от деления чисел \,д,д2,... ,дт~^
На р.
Далее в этом цикле задач р всегда обозначает простое число.
6.39.	Докажите,что если порядок некоторого числа по простому
Модулю равен т, то во множестве Z* имеется ровно <р(ш) чисел,
Порядок которых равен т.
6.40*	. (Гаусс) Докажите,что для любого т, делящего р— 1, суще-
з
Арифметика. Алгоритмы.
Сложность вычислений
65
ствует в Z* ровно <р(тп) чисел, порядок которых равен т. В частност!
существует ровно <р(р — 1) чисел, порядок которых равен р— 1 (так!
числа называются первообразными корнями по модулю р.
6.41.	Докажите,что если а — Ь кратно т, то число
тоже кратно т.
6.42.	Если а — 1 кратно т, то число
тоже кратно т и
а” — 1
т | ----— <=> mln.
а - 1	:
6.43.	(Серпинский) Докажите, что
/а” - 1	\
----7~>а ~ 1 I = (« — 1, п).
\ а — 1	/
6.44*	. Существует целое g такое, что gp~1 — 1 не делится на р I
порядок д по модулю р равен р — 1.
6.45*	. (Ван-дер-Варден) Если п > 1 или р > 2, то
и (ар — 1)/(ар	— 1) не кратно р2.
6.46*	. Если а — 1 кратно р > 2, то
J ап - 1
огар----— = ordvn.
а — 1 г
6.47.	Если а — 1 кратно р > 2, то
ordp ((1 + а)(1 + а + а2)  (1 + а Н-1- а”-1)) = -—-И”).
р- 1
6.48*	. Докажите, что для числа g из 6.43 и любого натурального
п число
<^(р”) - 1
кратно рп и не кратно р”+1 и для любого натурального т < <р(рп)
число gm — 1 не кратно рп.
66
Будем говорить, что подмножество М, содержащееся в Z„, является
циклическим, если все его числа можно расставить по кругу так, что
для любых трех соседних чисел а,Ь,с разность 62 — ас будет делиться
на п.
6.49.	Если р — простое число, р > 2, то множество Z*» —
циклическое. Множество Z£pn — тоже циклическое.
6.50.	Докажите, что разность 52 — 2fc+2 — 1 кратна 2fc+3.
6.51.	Множество Z^„ — циклическое при п < 2 и нециклическое
при п > 2. При п > 2 подмножество всех его чисел вида 4k + 1 —
циклическое и подмножество всех его чисел вида 4k + 3 — тоже.
6.52.	Докажите, что все остальные множества Z^ нециклические.
Пусть далее до конца этого цикла т = р" или т = 2 рп,р > 2,
а Е Z* — первообразный корень (в другой терминологии - по-
рождающий или образующий элемент ) циклического множества
Кп-
Индексом числа х из Z^> по основанию а назовем минимальное
положительное п, такое, что остаток от деления ап на т равен х, и
обозначим его indax или просто indx. Назовем произведением чисел
а и b из Z^ такое число с из ZJ^, что ab — с кратно т, и обозначим
его а * Ь.
Следующие теоремы принадлежат Гауссу.
6.53*	. Докажите, что для любых чисел а и b из Z*, существует
такое число с из Z^,, что а =с*Ь. Далее его называем частным от
деления а на Ь.
6.54.	Для любых х,у из Z^ индекс их произведения равен остатку
от деления на <р(т) суммы их индексов, а индекс частного равен
остатку от деления на <р(ш) разности индексов.
6.55*	. Пусть d = (п,<р(т)). Если d | inda, то во множестве Z*,
имеется ровно d чисел b таких, что Ьп — а кратно т. Если d не делит
inda, то таких чисел нет.'
6.56*	. Во множестве Z^ имеется ровно <p{m)/d чисел а, для которых
существуют такие числа Ъ, что Ьп — а кратно т. Множество таких
чисел а совпадает со множеством таких чисел в Z^,, порядок которых
Делит <p(m)/d.
6.57*	. Порядок любого числа х из Z^ равен	indx).
В частности, х будет первообразным корнем в Z*n тогда и только
тогда, когда (indx,<p(m)) = 1. Число всех элементов в Z^,, имеющих
порядок 6, равно <р(д). В частности, число первообразных корней в
равно <p(ip(m)).
Нахождение индекса произвольного элемента из Zp относительно
заданного первообразного корня а (называемое коротко дискретным
логарифмированием) требует весьма громоздких вычислений и при
Р> состоящем из нескольких сотен цифр, не под силу и суперЭВМ.
3»
67
Лишь в случае, когда р — 1 имеет только малые простые множит
ли, известен сравнительно быстро работающий алгоритм дискретно!
логарифмирования (принадлежащий Полигу и Хеллману).
На предположении о труднорешаемости задачи дискретного л<
гарифмирования основана следующая система Диффри и ХеллмаН
открытого распределения ключей. Допустим, что А и В х<
тят, пользуясь публичными каналами связи (например, электронно
почтой), выработать общую секретную информацию (общий ключ
Противник1^ знает о затеях Л и В и может перехватывать весь и;
обмен информацией.	;
6.58*	. Предложите протокол выработки общего ключа, роль ко
торого играет некоторый элемент из Z*, причем для его выработк!
требуется обменяться двумя элементами из Z*. Каждый из партнеро|
вычисляет свой элемент, пользуясь своим ключом (секретным элемеа
том), а потом, получив вычисленный партнером элемент, с помощы?
того же ключа вычисляет общий ключ (он, разумеется, должен по
лучиться одинаковым у обоих). Алгоритм вычисления общего ключ?
должен быть простым, а алгоритм взлома этой системы (конечно, пря
отсутствии информации о ключах партнеров) — очень трудоемким.
Следующий (и самый трудный) - в этом параграфе цикл задач
посвящен квадратичным вычетам и закону взаимности.
Число а называется квадратичным вычетом по модулю р, еслй
оно не кратно р и существует такое 6, что Ь2 — а кратно р, и
квадратичным невычетом по модулю р, — если оно не кратно р и
такого b не существует.
6.59.	(Эйлер) Во множестве Z*, р > 2, поровну квадратичных
вычетов и невычетов. Произведение вычетов есть вычет, произведений
двух невычетов — опять вычет, а произведение вычета на невычет —ч
невычет. Число р — 1 является вычетом тогда и только тогда, когд^
р = 4k + 1.	1
По определению символ Лежандра равен 1, если а — вычет,
и равен минус 1, если а — невычет, (-) =0, если а кратно р. (
6.60.	(Эйлер) Докажите, что (2J и а^з~ имеют равные остатку
при делении на р и (у J	I = I =
6.б!***. (Гаусс) Докажите, что:
а) для любых
равен остатку от
а и x, не кратных р, остаток от деления ах на
деления ехгх на р, где
1<»х<(р-1)/2,£г = (-1)(2а^,
'^Например, нанятый конкурентами агент, занимающийся экономическим шпио,
нажем — это обычное дело на Западе и, вероятно, скоро станет обычным делом и jH
нас.	";'' 1
68

б)	для любого а, не кратного р, справедливо равенство
где
(р-1)/2
S =	[2аж/р]-
Г=1
6.62*	**. (Эйлер - Гаусс) Докажите, что
6.63*	**. (Эйлер - Лежандр - Гаусс) Докажите, что для любых
простых нечетных р и q имеем
(0 (;)
2	2
Выполнять арифметические действия с периодическими десятичны-
ми дробями очень удобно, если требуется сделать это приближенно,
и очень неудобно, если нужно это сделать точно. В последнем случае
иногда лучше перейти от них к обыкновенным дробям, выполнить
действие, и результат опять перевести в десятичную дробь. НОК(а, Ь)
далее означает наименьшее общее кратное чисел а и Ь, т. е. такое
наименьшее число, которое делится и на а, и на Ь. Для краткости
иногда его обозначаем [а, 6].
Однако отметим, что можно складывать, вычитать и умножать
периодические дроби, не переводя их в обыкновенные. При этом
возникает вопрос об оценке предпериода и периода суммы, разности
и произведения двух дробей. Для краткости будем писать период t
вместо период длины t и аналогично поступать с предпериодом.
6.64*	. Докажите, что сумма и разность периодических дробей имеет
предпериод, не больший максимума их предпериодов, и период, не
больший НОК их периодов и и укажите способ выполнения этих
Действий без перехода к обыкновенным дробям.
Для того,чтобы показать точность оценок этой задачи, решите
следующую задачу.
6.65*	. Дроби l/10fc>(10tl - 1) = 0,0. ..0(0... 01), i= 1,2, имеют пред-
периоды ki и периоды а их сумма и разность имеют предпериод
Шах^Дг) и период HOK(Zi,<2)-
Результат задачи 6.64 можно уточнить. Пусть числа pi — суть все
простые, входящие в разложения чисел т и п в различных степенях а,-
69
и pi, aj ф fa, 1 < i’ < к. Обозначим через ]tti, n[ произведение p}1 •  -рУкк,
где 7,- = max(a,,/?.), 1 <i < к.
6.66*	. Докажите, что сумма и разность дробей с периодами тип
имеют период, делящийся на ]ш, п[ и делящий [т, п], и предпериод,
равный максимуму их предпериодов, если они различны.
6.67*	. Пусть ]т, п[ делит t, а [т, п] делится на t, и 0 < <5 <
d. Докажите, что для некоторых дробей с периодами т и п и
предпериодом d сумма (разность) имеет период t и предпериод 6.
Рассмотрим вопрос о предпериоде и периоде произведения дробей.
6.68*	. (Москва, 90) Докажите, что если дробь имеет период
и предпериод к, то ее квадрат имеет период не более /(10* - 1) и
предпериод не более 2к.	]
6.69*	. Докажите, что дробь l/(10fe(10‘ - 1)) имеет период t й|
предпериод к, а ее квадрат имеет период /(10* — 1) и предпериод
Следующая задача обобщает задачу 6.68.	1
6.70*	*. Докажите, что если дроби имеет периоды t и d и предпери-1
оды к и s, то их произведение имеет период не более	— 1)]
и предпериод не более к + s. Дроби l/(10fc(10£ — 1)) и l/(10’(10d— 1))^
имеют периоды t и d и предпериоды s и к, а их произведение имеет;
период ^зу(Ю^’^ - 1) и предпериод s + к.	)
Из утверждения задачи 6.70 следует, в частности, что если периоды!
дробей взаимно просты, то период их произведения не превосходит)
удевятеренного НОК их периодов, но если периоды имеют большой)
НОД, то период произведения может их значительно превосходить.
В следующем цикле задач речь пойдет о распознавании простоты
больших чисел. Этот цикл также довольно труден для начинающих.'
Пусть т - число, простоту которого мы хотим распознать. Рассмо-
трим множество Z^,, состоящее из всех чисел а,Ь, взаимно простых
с т и лежащих в пределах от 1 до т. Это множество образует
группу относительно умножения по modnt. Число s из Z*n назовем
свидетелем простоты для числа т, если последовательность степеней.
s(m-i)2 moc| т> i = Qt[t..,yr, т — 1 = 2rt,
t — нечетно, состоит только из единиц, либо с них начинается, после
чего продолжается минус единицей (или т— 1, что равносильно) и
может быть, другими числами. Множество всех свидетелей простоты
числа тп обозначим S.
Заметим, что проверку того, является или нет случайно выбранное^
число а < 771 свидетелем простоты числа т можно выполнить очень]
быстро даже для больших чисел т, так как она сводится к возве-3
дению данного числа в заданную степень, по модулю ттг, а для этого]
известен быстрый алгоритм (который описан в одном из следующих]
параграфов).	1
70
6.71.	Если число а < т не является свидетелем простоты числа
иг, то т— составное.
Докажем следующую теорему, лежащую в основе вероятностного
алгоритма распознавания простоты (вероятностного теста) Миллера
Рабина.
Теорема. Множество всех свидетелей простоты составного числа
тп, не кратного 6, содержит не более четверти элементов из Z^,.
Из этой теоремы следует, что если к случайно выбранных чисел
оказались свидетелями простоты числа т, то вероятность непростоты
этого числа не превосходит 4_fc. Поэтому для случайно выбранного
числа т достаточно не более 20 проверок на свидетельства простоты,
чтобы либо доказать (после первой же неудачной проверки), что оно
составное, либо заявить, что с вероятностью, практически равной
единице, оно является простым (и предоставить абсолютно надеж-
ную проверку этого утверждения другим, уже не вероятностным,
алгоритмам).
Доказательство теоремы разбивается на последовательность задач.
Как и ранее, символ р с индексом или без него обозначает простое
число.
6.72.	Пусть т делится на р2. Тогда множество чисел
1 + km/p, fc = 0,... , р — 1,
образует подгруппу в Z^, порядка р и все её неединичные элементы
имеют порядок р.
Назовем лжесвидетелем любое число а из Z*n такое, что либо
am-i mocj т I, либо при любом целом к справедливо ак mod m^-1
и для некоторого простого делителя р числа т порядок числа а по
modp. равен р — 1 (напомним, что порядок числа а по modm — это
наименьшая натуральная степень, при возведении числа а в которую
остаток по modm будет равен 1). Обозначим через А множество всех
лжесвидетелей.
6.73*	*. Если а— лжесвидетель, a s— свидетель, то as mod т не
является свидетелем, другими словами, пересечение множеств S и aS
пусто.
6.74.	Пусть а / Ь Е Z*n. Множества Sa и Sb не пересекаются тогда
и только тогда, когда не пересекаются множества S и Sab~l mod т.
В частности, для любой подгруппы G группы Z^> справедливо
следующее: множества Sg при всех д Е G попарно не пересекаются
тогда и только тогда, когда не пересекаются множества S и Sg при
любом неединичном д Е G.
Множества S и Sa при любом а Е Z*n состоят из одинакового числа
элементов и целиком содержатся в Z*n
71
Отображение, х —> ха задает взаимно однозначное соответствш
между .S' и Sa.	I
6.75*	. Пусть т делится на р2. Тогда число элементов в S Ш
превосходит 1/р-й доли числа элементов в 7L*m.	|
6.76*	. Пусть т = piP2,pi рг- Тогда число элементов в .S’ я
превосходит у>(т)/4.	|
6.77*	. Пусть т делится на три разных простых числа p,,i = 1,2,1
но не делится на их квадраты. Тогда число элементов в .S' н<
превосходит у>(т)/4.	;
Доказательство теоремы теперь непосредственно следует из утвер*
ждений трех последних задач, так как для любого непростого гц
выполняется условие хотя бы одной из них.	1
УКАЗАНИЯ	|
6.4.	При разложении в десятичную дробь методом деления столбиком буде||
записывать под каждым очередным десятичным знаком остаток от той операции
деления, частным от которой является упомянутый знак; последовательность
остатков будет периодической.
6.8.	Докажем последнее утверждение задачи. Представим п в виде 2“5*’з, где
(з,10) = 1. Тогда s > .3 и inax (a, b) = к, потому что п делит 10*(10* — 1) тогда и
только тогда, когда 2°56 делит 10* и з делит 10*-1, ведь (з, 10) = 1 — (10,10‘ -1).
Значит, п > 2*3 и равенство возможно лишь при з = 3, а = к, b — 0.
6.12.	Рассмотрите период остатков, о котором говорилось в указании к задаче
6.4; если какое-то число к, 1 < к < n,(fc,n) = 1, не входит в него, то рассмотрите
соответствующий период для к/п и если найдется число к',1 < к' < п,(к',п) — 1,
не входящее в оба периода, то с ним поступите так же, как и с fc; при этом
множество всех чисел т, таких, что 1 < тп < п и (rn,n) = 1, разобьется на
несколько периодов одинаковой длины (почему?).
6.14.	Повторите рассуждения 6.12 для двоичных, троичных и вообще тп-ичных
дробей, так же как в 6.13.
6.18.	Пусть А и В — /-значные числа, являющиеся “половинками” периода;
проверьте, что
р | 101 + 1, 10( - 1 | А + В < 2(10* - 1).	j
6.24.	Если к < I — такие наименьшие числа, что р” | 10* — 1 и p”+1 | 10( — 1,
то I = кт (согласно 6.23) и	i
р I (10* - 1)/(10* - 1) = 1 + 10* +102* 4- ... + 10*(т’^,
а так как 10** при делении на 10* — 1 (а, значит, и при делении на р) дает 
остаток 1, то последнее’возможно лишь при р | тп; примените так же 6.7.	,
6.41.	Используя известное тождество, получаем, что	;
~-~Ь - па""1 = а""1 + ап~ 2Ь + ...+ аЬ"~2 + Ь""1 - па"”1	!
а — Ь	«
кратно тп, ибо а”—*Ь*~1 — а”“1 кратно тп согласно условию задачи.	;
6.42.	Первое утверждение следует из 6.40, а второе — из первого.	'
72
6.44.	Из 6.40 следует, что порядок некоторого целого а равен р — 1. Допустим,
что ар—1 — 1 кратно р2 и выберем д = а 4- р. Из задачи 6.41 следует, что число
кратно р, откуда следует, что
не кратно р2, значит, д₽ 1 - 1 не кратно р2, ибо ар 1 - 1 кратно р2.
6.45.	Из 6.42 с помощью индукции следует, что если р | а — 1, то

Воспользовавшись равенством
и делимостью на рп каждого слагаемого, кроме последнего, получите, что
рассматриваемая дробь при делении на рп дает остаток р, т.е. при п > 1 не
2
делится на р .
6.46.	Пусть ра | п и (п/ра tp) == 1. Тогда, как показано в задаче 6.45,
значит,
о ап - 1 дРа - 1 __ ап - 1
Р аРа —1 а — 1 а — 1
Из 6.43 следует, что первый сомножитель здесь не кратен р. Индукцией с
помощью второго утверждения задачи 6.44 докажите, что
рп+* — нет. Отсюда следует, что не делит
ап - 1
а — 1
6.47.	Примените 6.46 и формулу Лежандра.
6.48.	Индукция по п. База (n = 1) доказана в 6.44. Шаг индукции: п = /4-1.
Пусть дт — 1 кратно р1*1, тогда согласно предположению индукции <р(р1) кратно
иг, откуда с помощью 6.42 получаем цепочку эквивалентных соотношений
. 9т ~1	. т
₽ я*’(рП> - 1’ Р <р(р”)’
<p(pn+1) I т,
* так как согласно предположению индукции
и р' + Чд^Р") - 1,
73
то
p'+l I gm _ 1, <4p'+1) I m,
значит, число д
дт — 1 не кратно
этого достаточно
>-
число *—ГТЧ---
lv(p(+1) —1 кратно pj
р*+*. Осталось проверить,
q¥>(₽' + 1)-l
установить, что g y(pi)—J-
2
кратно р и не кратно р ,
и при любых m > О
что д^Р + ) — 1
— p кратно p
значит, число
и т < <р(р*+1) числ»
не кратно р*+2. Дл1
, откуда следует, чт<
1)
1
не кратно р1+2. Полагая а = д^р‘^ и учитывая, что р1 | (а - 1), получаем
g^(p' + 1) _ 1	аР _ 1
—Пй-------Р  ---Г
дФ\Р ) -1	а - 1
— р = 1 + а + •   +	— р =
откуда согласно 6.42 имеем, что число
дР - 1
а — 1
дР — 1	р(р — 1)
- р - (а - 1) (1 + 2 + • • • + р - 1) = —— - р - (а - 1)	-1
а — 1	2
кратно р*+!, ибо — к кратно р, что и требовалось доказать.
В случае п > 2 требуемое утверждение следует из более простого сравнения
вд-Г/ = Р (niod рп), сразу вытекающего из задачи 6.42.
6.49.	Примените 6.48 и 6.34. Для доказательства второго утверждения
заметьте, что числа из Zjpn ли^° принадлежат Z*n, либо получаются из них
прибавлением рп и это соответствие сохраняется при перемножении их “по
модулю” 2рп, и примените первое утверждение.
6.50.	Индукция по к. База (k = 1) очевидна. Шаг индукции обосновывается
равенствами:
52‘+1 = (б2*)2 = (1 + 2fc+2(2s+ I))2 = 1 + 2*+3 + d2k+4.
6.51.	При п < 2 утверждение очевидно. Пусть п > 2. Из 6.50 следует, что
элемент 5 из Z^n порождает циклическое подмножество М, состоящее из всех
чисел вида 4А?+1. А так как любое число из Zjn, не принадлежащее Л/, имеет
вид 2П — а, где а принадлежит М, то последнее утверждение задачи следует из
предпоследнего.
6.52.	Пусть т — р*1 ... р£п — каноническое разложение на простые множители
числа тп. Можно считать, что все р, больше 2, или р\ — 2, то тогда или п > 3,
или (ц > 2. Согласно 6.14 порядок по модулю р, любого элемента д из при
р, > 2 делит число
v(p“') = рГ-1(р< - i)>
а так как эти числа — четные, а порядок д по модулю т делит НОК этих
чисел, то он, очевидно, не превосходит половины их произведения, т.е. <р(тп)/2.
Если бы множество Zj^ было циклическим, то оно содержало бы порождающий
элемент д, который имел бы порядок (р(т), что невозможно.
74
6.53.	Последовательность с * 6, где с пробегает все числа из 2^» является
перестановкой последовательности
6.58.	Обозначим ключи партнеров через гд и хр, а через а — некоторый
первообразный корень из 2£р. Партнер А вычисляет с помощью быстрого
алгоритма возведения в степень остаток j/д от деления числа аХА на р, и
аналогичным способом партнер В вычисляет остаток ур. Получив число ур,
партнер А находит остаток от деления урХА на р, и аналогично поступает А.
В результате оба получают одно и то же число, равное остатку от деления на
р числа aX£fXA. Противник, зная уа,Ув и а> для нахождения ха и хр должен
уметь быстро выполнять дискретное логарифмирование.
6.61.	а) Очевидно, что утверждение верно при ех = 4-1 в зависимости
от того, меньше или больше 1/2 число {ar/р}. Так как при любом b число
[26] = [2[6] 4-2{6}] = 2[Ь] 4-[2{6}] четно или нечетно в зависимости от того, меньше
или больше 1/2 его дробная часть {6}, то
ех = (_1)[2о^/Р].
б) Так как для любого х, 1 < х < pj = (р—1)/2, числа ах и ехгх равноостаточны
при делении на р, то и числа
а • 2а • • - pia = aplpi! и Г] ...rpiei • • -еР1 = ei • • еР1р^!
тоже (учитываем, что числа гх попарно различны, так как иначе а(х ± у)
при разных х и у было бы кратно р, что невозможно, так как а не
кратно р, и 0 < |r ± j/| < р, поэтому последовательность ri,...,rp является
перестановкой последовательности 1,... ,pi). Значит, числа aP1 и ei-«-eP1
также равноостаточны, так как иначе число pi! (aPl — ei-**epi) не было бы
кратным р. Согласно 6.59 число aP1 равноостаточно с , следовательно,
равноостаточно с произведением
= (“1)“\
где
	(Р-0/2
s = ^2 12ах/р]
х= 1
(используем пункт а). Но так как рассматриваемые числа равны ±1, то их
равноостаточность возможна только при их равенстве.
6.62.	Заметьте, что для любого нечетного а согласно 6.59 справедливы
равенства (учитываем, что тогда a 4- Р — четно)
2у ((« + р)/2) = ((а + р)/2
Согласно 6.60 последний символ равен ( — 1)"', где
(р-1)/2	(р-1)/2	(P-1J/2
«= 52 ((°+р)х/р] = 52 1ах/р) + 52 х =
х=1	1=1	Ж=1
75
(р-1)/2
= 52 laa7p] + (р2 -])/8-
Z=1
Подставив в полученные равенства а = 1, найдите, что
6.63.	Утверждение следует из формулы задачи 6.61 б) и теоремы 1.12.
6.64.	Сначала рассмотрим случай одинаковых по длине периодов и предп<
риодов обеих дробей. Пусть
оо
a == 0,	... а^(А1 ... -At) — О, ai ... cijt 4- О, Ai ... At • 10
:=0
b=O,bl...bk(B1...Bt) = 0,61 ...<ч + ]Го,В1 ...Bt • 10-’'-*.
»s0
Очевидно, если
О» «1 • • - а* + 0,Ь1 - • -bfc = с0, ci ... ск,
0,Л1 ...At 4-0, Вг ...Bt = 0, Ci ...Ct,
то
а 4- 6 = co,ci .. .ск 4- O,Cj .. .(7t  IO-'*-*.
«=о
Если же
О, А\ ... At 4"0,2?] ... Bt > 1,
то для некоторой дроби 0, С\ ... Ct имеем
0,Ai ...At 4-0, Bi ...Bt = 0,	...Ct 4"0»9^^9,
t
oo
а так как £ 0,9...9-10-,t = 1, то
t = 0	'****"''
t
oo
« + 6 = co, ci .. ,ck + J2(0,C’i ...Cf +0.9...9)  10-"-*
.=0	77
= co,Cl ...c* +0,0...01 + 22°-Cl • • C(10~,,_*.
77 >=0
Случай вычитания рассматривается аналогично: если
О, Л1 ... At — О, В, ... Bt <С О,
то для некоторой дроби О, С] .. jCj справедливо равенство
О, At ... At - 0, Bi .. ,Bt - О.С1! .. ,Ct - 0,9.. .9,
76

а так как £ 0,9.. .9-10	= 1, то
i=0
t
a-b = со,С! ...ск + £(0,^... Ct -0,9^9)-10““-*.
i=0	(
= c0,ci ...Cfc -0,0.. .Ol + £o,C, .. .CtlO-’*-*.
T'' .=o
Теперь можно рассматривать обе дроби как дроби с одинаковыми по длине
предпериодами и одинаковыми по длине периодами (длина предпериода тогда
будет равна максимуму длин их минимальных предпериодов, а длина периода —
НОК длин их минимальных периодов) и применить предыдущие рассуждения.
Согласно им, одним из периодов суммы и разности будет НОК длин их
минимальных периодов. Но минимальный период всегда является делителем
любого другого периода той же дроби. Если бы это было неверно, то, укладывая
в большом периоде минимальный период до тех пор, пока это возможно, мы
получили бы: так как периодический остаток дроби не меняется при сдвигах
на большой и минимальный периоды, то он не меняется и при сдвиге на часть
большого периода, не вошедшую в уложенные в него минимальные, значит дробь
имеет еще меньший период, что невозможно по предположению.
6.65.	Для краткости обозначаем НОК и и v через [u,v], а НОД — через
(и,и). Предположим, что > ki, и сложим дроби
1
10*«(10‘- - 1)’
применяя для нахождения НОК знаменателей формулу
(Ю*1 - 1,10‘2 - 1) = 10<г* ’t2) - 1,
вытекающую из одной из задач следующего параграфа. Получим дробь Со
знаменателем
10*2(10(1 - 1)(10‘2 - 1 )/(10<*1>‘2) - 1)
и с числителем
10*2-*1 (10‘2 - 1)/(10(‘1>ез) - 1) + (1П11 - 1 )/(10(tt ‘а) _ 1).
•
Последняя цифра числителя равна 1 при к2 > fc, и 2 при А:2 = &1, поэтому
числитель не делится ни на 2, ни на 5. Так как числа
nj - (10** - 1)/(10(11’‘2) - 1),п2 = (10‘2 - IJ/flO*11’1-’* - 1)
не имеют общих делителей, то числитель не имеет общих делителей ни с
п1, ни с ?i2> значит, после сокращения рассматриваемой дроби ее знаменатель
будет кратен числу n = 10*2ni7i2. Эта дробь представляется десятичной дробью
с периодом £ и предпериодом к, если и только если 10k(10r - 1) делится на
п* причем к и t — наименьшие натуральные числа, удовлетворяющие этому
Условию. Значит, к = А?2 — niax(A,’i, и числа nj и 112 делят число 10* — 1.
Предположим, что £j > £2 > (£ь £2)* Заметим, что согласно 6.22 для любого
?П’ Делящего 10w — 1, число v делится на наименьшее и, для которого 10й — 1
77
кратно т. Отсюда следует,что наименьшее к, такое, что 10u —1 кратно п,, ра^
ft, так как
п, = (101' - 1)/(10<(1’‘2’ - 1) > (Ю1' - 1)/(10‘-/2 - 1) > Ю‘>/2 - 1,
и поэтому I делится на t,, а значит, t не меньше [tj.tj]. Если же = (<1> 4г)»
все равно t > ti = [<i, £3]- Случай вычитания дробей рассматривается аналогии»
6.66.	Пусть периоды дробей г, s и r + s равны т,п, t, а предпериоды рав»
T,S,d. Из 6.64 следует, что
t | [m, n], d < max (<5, r).
Применяя 6.64 к равенству s = (г + s) — г, получите, что
n | [m,t],<5 < max (d, т),	1
а применяя 6.64 к равенству г — (г + s) — з, получите, что	s,
I
т | [n, t], т < max (d, 5).
Если <5 т, то из этих соотношений следует равенство d = max (<5,т).	’
Пусть числа pi — суть все простые, входящие в разложения чисел т и
в различных степенях ai и	/3, ,1 < i < к, тогда
]m,n[= р?1 ...pJJ*,	j
где 7, = max(a,/?),l < i < к. Обозначим через S максимальный показателе
степени р,, делящей t. Тогда из полученных соотношений следует, что ‘
/3, < max (а, , 5,), а, < max (J3,St),
а так как о<,	[3,, то отсюда имеем 5, > max (<*<,/},) = 7,, и поэтому
t |]m,n[= р/1 • • -р^.
Для разности дробей утверждение доказывается аналогично.
6.67.	Пусть числа р, — суть все простые, входящие в разложения чисел т
и п в различных степенях «, и f3,,a,	(3i,l < i < k, тогда
]m,n[= pj'1	= рр • •p"ku,n = pf1 • • -p^u,
где 7, = max(aI1)tft),or,,ltf,,u не делится на р,, 1 < i < к. Положим
I	ft 1	ft L. I fi-1	At.
'ui = p1l---pfcfc,n = Pi •••?*,
тогда
m = m'u, n = n'u, [rn, n] =]m, n[u = [m', n']u, (m1, u) = (n', u) = 1.
Так как	t | [m,n], to
t =]?n, n[u', и1 I u, (m1, и) = (n1, и') — 1.
Рассмотрим дроби	w	1
a = 1/(10“ -1) + 1/(10“'"' -1) и b = 1/(10’"'-!)- 1/(10“ -1)
78
(если последняя из них отрицательна, то превратим ее без изменения периода
р положительную, прибавив единицу). Тогда
а 4- b = 1 /(10u'n' - 1) 4- l/(10m' - 1)
(или на единицу больше). Согласно 6.65 периоды дробей а, 6, а 4- Ь равны
соответственно
[u, nzuz] — nzu = п, [mz, и] = ?nzu — rn, [niz, n*u ] = [тп , n ]u = t.
Добавив к чисто периодическим дробям а и b подходящие предпериоды длины
d можно поручить у суммы предпериод любой заданной длины 8 < d, если
выбрать их так, чтобы сумма предпериодов заканчивалась на последние d — 8
цифр периода дроби а 4- 6, но последние d — 8 4-1 цифр периода дроби а 4- b уже
не совпадает с последними d — 8 4- 1 цифрами суммы предпериодов.
6.68.	Используйте 6.7,6.8 и указание к 6.24.
6.69.	Воспользуйтесь указанием к 6.68.
6.70.	Пусть даны две дроби с предпериодами kt и периодами tt. Ис-
пользуя задачу 6.8, можно считать, что они имеют знаменатели 10*»(10e» — 1).
Перемножая знаменатели и используя опять задачу 6.8, получаем, что пред-
период произведения дробей удовлетворяет неравенству к < ki 4- &2, а период
не превосходит наименьшего натурального числа t, такого, что 10* — 1 делится
на (10*1 — 1) (10*2 — 1) . Из утверждения задачи 6.23 следует, что t = tin, где
п целое, так как 10* — 1 делится на 10*1 — 1, а значит, t делится на t\.
Тогда согласно известному тождеству (формуле суммирования геометрической
прогрессии)
ю‘ - 1 = (10е* - 1) (1 + 1011 + ... 4-	,
и поэтому число 1 4" 10е 1 4- ... 4- нН”-1)*1 должно делится на 10*2 — 1.
Рассмотрим последовательность Г1,Г2,гз,... остатков от деления чисел по-
следовательности , 2ii, 3ti,... на число t2* Согласно задаче 6.23 последователь-
ность остатков от деления чисел 10*1,102*1,103*1,... на число а = 10*2 — 1 есть
10ri, 10гз, 10Гз,,...
Докажем,что последовательность Г],Г2,тз,... периодическая с длиной периода
d =	и ее период п, Г2, гз,... состоит из всех различных чисел из
промежутка от 0 до *2 — 1» делящихся на b=(ti,t2), и заканчивается нулем.
Последнее очевидно, так как dt\ делится на *2, откуда с помощью задачи 6.23
следует также периодичность с* периодом d. Делимость остатков rj,... ,г^ на b
следует из того, что согласно задаче 6.23 числа 10ntl — 1 и 10*2 — 1 делятся
на	_ 1? а, значит, и число 10Гп — 1 тоже, откуда, опять в силу 6.23,
имеем, что гп делится на число (t\,t2) = b.
Остается проверить, что все остатки разные, откуда вытекает также, что
d — минимальный период. Допустим противное, например rt =г7, тогда число
(з — i)ti делится на *2 и 0 < j- — i < d, что противоречит известному следствию
основной теоремы арифметики.
Из доказанного имеем, что последовательность остатков от деления чисел
последовательности 10*1,102*1, 103t*,... на число а будет периодической с длиной
периода d = *г/(*1>*2) и период 10Г1,10Г2,... )ЮГп состоит из переставленных
в каком-то порядке чисел
1,10ь, 102Ь,... ,
Поэтому остаток от деления числа
5 = 14- Ю*1 4- • • • 4-
79
на а равен при п = dm остатку от деления на а числа
.	1 r\db _ 1	1П*2 _ 1	Я
m (1 + 106 + 1026 + • • • + Ю^"1)6) = т 1оЬ- - = т -ъ _т.	!
Следовательно, при п = (10ь — l)d число s делится на а, а при меньиц
натуральных п — нет. Вспоминая доказанное выше, выводим отсюда, ч||
наименьшее натуральное 4, при котором число 10* — 1 делится на 4HCJ
(10*1 _ 1) (ю‘2 - 1) , есть	i
!
tin = (IO6 - l)dti - (106 - l)«i42/(ti, t2) = [tt, t2] (io(‘i'<2) - 1) , i
J
откуда и следует вторая верхняя оценка задачи.	j
Рассмотрим теперь дроби l/(10fc»(10*» — 1)),: = 1,2. Из утверждений задач)
6.8 следует, что предпериод их произведения равен к\ 4-^2» а период рав<
минимальному натуральному t, такому, что 10* — 1 делится на (10*1 — 1) (10*2 — 11
Но было доказано, что таким числом является	।
t = [ti,t2](io(*''‘2) -1).
6.72.	Доказательство основано на тождестве	Л
1
(1 + кт/р)(1 4- к т/р) mod ms 1 + ((к 4- к) mod р)т/р mod т.	’
'i
Из него вытекает изоморфизм этой группы с циклической группой порядка р|
6.73. Если a”1-1 mod т / 1, то (аз)”1”1 mod т sm-1 = 1 при s 6 5', значив
as mod т не принадлежит S.
Пусть теперь a771""1 mod т = 1 и при некотором простом делителе р числа 1
порядок числа а по mod р равен р —1 и также при любом целом к ak mod т / — j
Если
я{т—1)2 |))O<j т = 1,	|
то	)
a(m—1)2 mod р — 1,
значит, (т — 1)2”* делится на р — 1, поэтому t < г, так как t — нечетно, ар —
— четно, и значит, a*modm^l, и согласно теореме Ферма
1)2 3 Illoj р _ 1,	'
и, следовательно,	]
s(m—1)2 3 inod т -ф- —1	•]
при всех jt 0 < j'	«, а так как s £ S, то из последнего утверждения имеем, что
5(тп—1)2 3 mod т — i o < j < i
3(т~ 1)2 mod т = ±1.
Можно выбрать г > 0 так, что a(m—1)2 J mod т = 1 при всех j,0 < j < г, но'
a(»rt—1)2	modm^l. Тогда ймеем, что
(as/m J mod т = б(т-1)2 7 mod m = 1
80
при всех j, О < j < t, но
mod m — ±a^m-1^2 ’ 1 mod m / ±1,
так как
a(m—1)2 mod m ф 1 Htife mod m —1
при всех fc. Доказанное означает, что as mod ?n не принадлежит S.
6.74.	Пусть с 6 Sa П Sb. Тогда сб-1 mod т Е Sab"1 Г» S.
6.75.	Рассмотрим определенную в задаче 6.72 подгруппу G. Так как р
делит тп, то оно делит т — 1, и значит согласно этой задаче и элементарному
утверждению теории групп для любого неединичного a € G имеем ат~1 1,
значит, а € А и согласно задаче 6.73 множество S П Sa пусто. Применяя
предыдущую задачу, отсюда выводим, что все множества Sg,g Е G, попарно
не пересекаются, и поэтому их объединение состоит из рп элементов, где п—
число свидетелей, а так как объединение содержится в Z*n, то п < ^(m)/p3 где
tp(m) — число элементов в Z*n.
6.76.	Применяя китайскую теорему об остатках и теорему о первообразном
корне, находим такие числа aj Е что ai mod m/p, = 1 и порядок вычета
a, mod р, = pi —1. Так как при любом к имеем a* mod т/р3 = 1 и, следовательно,
a^ mod т —1, и a* mod т = 1 согласно китайской теореме тогда и только
тогда af mod pt = 1, т. е. при к кратном р, — 1, значит, а,— лжесвидетель и
аналогично а*-1 — тоже. Заметим еще, что для произведения а = а^а2 mod т
согласно китайской теореме равенство ак mod т = 1 равносильно системе равенств
a* mod pi = 1, и значит, делимости к на pi — 1, г = 1,2. Из задачи 4.49 тогда
следует, что am-1 mod тп 1, и, значит, а Е А. Аналогично проверяется, что
aja^-1 6 А. Применяя задачу 6.73 к множествам S, Saj, Sas, Sa, замечаем, что
они попарно не пересекаются и равномощны, значит каждое из них содержит
не более четверти элементов из
6.77.	Как и в указании к предыдущей задаче, находим числа a, G
такие, что a, mod т/р% = 1 и порядок a, mod pi = pi — l,t = 1,2. Так как тогда
a, mod рз = 1, то
а = а 1 az mod рз = 1, b == a i a J"1 mod рз = 1,
и при .любом к, как и в решении предыдущей задачи, видим, что
a* mod т —1, ак mod т —1, bk mod тп —1,	а
а также что порядок числа a по mod ру такой же, как и у гц , т. е. pj — 1, и тоже
самое верно для числа 6. Значит ае,а,бЕ-А, и в силу задачи 6.73 множества
S, Sa^, Sa2, Sa попарно не пересекаются. Заканчивается доказательство так же,
как и в предыдущей задаче.
§ 7. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА, ЦЕПНЫЕ
ДРОБИ И ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ
Для выяснения, является ли данная дробь а/b несократимой, или
ее можно сократить, заменив на равную дробь с меньшими, чем у
Исходной дроби, числителем и знаменателем, имеется замечательный
81
с пособ, называемый теперь алгоритмом Евклида. Этот алгортв
находит (я, 6), после чего остается разделить а и b на (я,&). Его работа
заключается в последовательном выполнении деления с остатком
сначала делим b на а и получаем частное Я1 и остаток п, потом
делим я на и и получаем частное я2 и остаток г2, и т. д., пок|
не получится остаток гп = 0. Результаты делений можно записать в
виде равенств:
b = «ai + п, a = па2 + г2, п = г2я3 + г3,... , rn_2 = rn_ian.
Свой знаменитый алгоритм Евклид придумал для решения задачи
о соизмеримости двух отрезков. Общей мерой отрезков с. длинами
/1 и /2 называется такой отрезок длины I, который можно уложи'
без остатка как в первом отрезке (очевидно, ровно li/l раз), так
во втором (соответственно Z2/Z раз). В этой интерпретации алгориз
заключается в следующем. Меньший отрезок Z2 укладывается '
большем /1 максимально возможное число, скажем Я1 раз, после че|
остается отрезок длины 1\ — а^, которую обозначим 13. Отрезок
укладывается, скажем, я2 раз в отрезке Z2, и получается в остат]
отрезок Z4. Потом отрезок Z4 укладывается а3 раз в отрезке Z3,
получается в остатке отрезок 15 и т. д. Как утверждает Д.Кну
во втором томе своей энциклопедии “Искусство программирования’
сам Евклид индукцию не проводил, а повторил шаг алгоритма тр
раза. Работу алгоритм заканчивает на том шаге, скажем с номером I
когда полученный на предыдущем шаге отрезок Zn+) укладывается Я
отрезке 1п ровно ап = 1п /1п+\ раз. Тогда в качестве I берется отрезо
/п+1. В современной терминологии число I называют наибольшим
общим делителем чисел Zj и /2 и обозначают (Zi,/2).
7.1.	Докажите, что (Ь, «) = (а, п) = (п, г2) = ... = (rn_b г„) = гп.
В этой задаче указана связь между получающимися остаткам!
Связь между частными появляется в следующей задаче.
7.2.	.Докажите равенство
я _	1
«1 Н----------1—
«2 + • • • Ч-
Яп
Полученная запись называется непрерывной или цепной дробью.,
7.3. Проверьте, что произвольную (не обязательно правильную
дробь) можно представить в виде цепной дроби (возможно, я0 = 0)
1
я о -К--------J------.
«1 Ч---------—т-
82
Запись числа в виде цепной дроби неоднозначна, так как
1 _ 1
“п ап - 1 + |
Чтобы сделать ее однозначной, далее используем только запись,
в которой последний элемент ап / 1. Будем использовать также
следующую сокращенную запись цепной дроби:
1 1 1
<Ю 4--------- ... -	
а1 + яг+ +пп
Если выполнить все действия, указанные в цепной дроби, то ее
можно преобразовать в обыкновенную; выражение ее числителя и
знаменателя через ao,ai,...,an обозначим
[ао,... , а„] и [ai,... , а„].
7.4.	Выражение [ао,-- - , ап] представляет собой многочлен с пере-
менными ао, • • • , ап. Докажите, что
[ао, •  • , an] — ao[ai,... , ап] + [аг,... , ап].
Можно считать, что это равенство справедливо и при п = 1, если
последней скобке в этом случае приписать значение 1.
7.5.	(Правило Эйлера) Докажите индукцией по я, что многочлен
[ао,... , а„] можно получить следующим образом: берем произведение
всех элементов, затем всевозможные произведения, которые можно
получить, опустив какую-нибудь пару соседних элементов, затем
из этих произведений получаем новые, выбрасывая произвольным
образом пары соседних элементов и т. д., и наконец суммируем все
различные из получившихся произведений ( если п + 1 четно, то на
последнем шаге получается “пустое” произведение, не содержащее
вообще сомножителей; как принято, его значение по определению
полагаем равным L).
7.6.	Докажите, что
[«о, •••,«„] = [an,... , a0],
т-е. при изменении порядка элементов на противоположный числитель
Дроби не меняется.
7.7.	Докажите, что
[ао,   • , ап] = ап[ао,... , an_i] + [ао,.. • , Яп-г]-
83
Дробь, образованную первыми к этажами назовем А-й подходяп1,е]
дробью для исходной дроби. Ее величина изображается обыкновенно
дробью
[<1р, . . . , Ufe]
[til , . . - , <lfc]	i
которую для краткости далее обозначаем Рк/Чк-	’
Дробь	4
[afc + l , • • • , «п]	'	|
[ais+2, • • •, On] ’
назовем к-м остатком и обозначим г к-
7.8.	Проверьте, что
[ар, _ [cto,...,flfe-i,rfc]	j
[ai,...,an]	[ai,...,a*_i,rfc]'
7.9.	Докажите, что при к > 2 справедливы равенства
Рк = ЯкРк-А + Рк-2,Як — ЯкЧк-1 + Як —2-
7.10.	Докажите равенства
Рк-Х _Рк_ _ (~l)fc Рк — 2 _Рк__ ( —I)fc~lflfc
Як-Х Чк ЧкЧк-х’ Чк-2 Чк ЧкЧк-2	‘
7.11.	Докажите равенства (рк>Чк) = (рк,рк-х) = (чк,Як-х) = 1.
7.12.	Докажите, что
[ai,. ..,а„]
7.13. Докажите равенства
Рк _ [«к,   , ар]
Рк-х [afc_ 1,..., а0] ’
7.14. Докажите, что если дробь
1 1
«р Ч-------- .
<11 + <12 +
симметрическая, т.е. ап = ao,ai = an-i,  . , то справедливо равенство
Чк-1Гк + Чк-2
Як _	[«fc,   - ,«i]
Чк-i Га*-1,..., со
1
+ «!
Рп-1 — Чп-
Следующий цикл задач посвящен числам Фибоначчи.
84
Г. 15. Последовательность чисел {Fn}, определенная равенствами
— F2 = 1, Fn = ^n-1 + Fn-2, n — 3,4,  - • , называется последова-
тельностью Фибоначчи. Проверьте, что тг-этажная цепная дробь
равна Fn+2/Fn+-L-
7.16.	Докажите, что число одночленов во многочлене
равно F„+i и что для любой подходящей дроби Рк/Чк справедливо
неравенство qk > Fk+i-
7.17.	Докажите, что среди всех правильных дробей n/Fk наиболь-
шую по высоте цепную дробь имеет Fk-i/Fk.
7.18.	Докажите формулу Бине
Fn =------—, гдеу> = (л/5 + 1)/2
— так называемое золотое сечение, и проверьте, что Fn — ближайшее
целое к числу <рп/>/5, а также, что
Fn < т <=> н < [log^, (>/5(771 + 1/2))].
7.19*	. (Ламе) Докажите, что наибольшее число делений в алго-
ритме Евклида нахождения (а, Ь) не превосходит
[log^, (\/5(max (а, b) + 1/2))] - 1.
Убедитесь, что оценка точная.
7.20.	Докажите, что
F„+m = FmFn+1 + Fm^Fn, Fm+1Fn - FmFn+l = (-l)mFn_m.
7.21*	. Докажите неравенство
[zi,... , #„] < Fi+X1+...+a,n,
и проверьте, что при п > 2 равенство возможно лишь когда
< 2, хп < 2, х2 = • • • = xn_i = 1, а при п = 1 еще и когда#! = 3.
7.22*	. Докажите, что среди всех несократимых правильных дробей
вида n/Fk наименьшую сумму элементов соответствующей цепной
«Роби имеют только Fk-2/Fk и Fk-\/Fk- Докажите, что сумма эле-
митов цепной дроби для любого числа т/п, где (т, п) = 1,т < п,
йе меньше
[log^, (х/5(п — 1/2))],
85
причем это неравенство бесконечно часто обращается в равенство.
7.23.	Докажите, что если п | тп, то Fn | Fm.
7.24.	Докажите, что (Fn,Fn+i) = 1.	1
Если продолжить последовательность Фибоначчи в ’’отрицател
ную” сторону с сохранением равенства Fn + Fn+i — Fn+2, то буд
выполняться равенство F-k-i = (—l)feFfc,F_i = 1,Fq = 0.
Следующая задача обобщает обе предыдущие.
7.25*	. (Люка) Докажите, что (Fn, Fm) = F^imy
7.26.	Докажите, что разложение числа Fn-3/Fn в цепную дрс
имеет вид	1
1 1 1
4+ ’' ’ +4 + ак ’
где к = 1 + т,я/; = 0, если n = 3m, ак - 1/3, если п — 3m4-1, ак = 1/
если п = 3m 4- 2. •
7.27*. Разложите в цепную дробь число Fn-s/Fn.
7.28*. Докажите, что	,
^(2fc+l)m _ 1	1
•^’(2fc+i)(m+i) а 4-	4- а
где числи этажей в дроби равно тп, а число а = F?k+2 4- F2k-
7.29.	Докажите, что 22fc делит сумму
Ь	;
zQ'X
.=0 \	/
1
где (£) =	— биномиальный коэффициент.	<
7.30.	Докажите, что для цепной дроби —... справедлив
тождество	|
Рп 4-Рп + 1 = Рп-1Рп + 1 +РпРп + 2-	J
7.31.	Докажите, что при к > 1
а^+2 - 1 _ F	1	1	j
аЛ+1_1-а	+ аП_1 + •••+aF0>
где Fo = 0.	•
Следующий цикл задач посвящен делимости чисел Фибоначчи. 1
7.32.	Пусть первое число Фибоначчи, делящееся на тп, есть fl
Докажите, что тп | Fn тогда и только тогда, когда к | п.	1
7.33.	Докажите, что '	I
2 | Fn <=> 3 | п, 3 | Fn <=> 4 | n, 4 | Fn <=> 6 | n,	- J
86
5 | Fn <=> 5 | n, 7 | Fn <=> 8 | n, 8 | Fn 6 fn 4 | X>.
7.34.	(С.-Петербург, 92) Докажите, что ни одно из чисел Фибо-
наччи не является степенью семерки.
7.35.	Докажите, что число F2n/F„ = Fn + 2Fn_j делится на 2, но
не на 4, если Fn, кратно 4 и Fm/Fn делится на 4, но не на 8, если
Fn четно, но не кратно 4.
7.36.	а) Докажите, что при к > 3 справедлива эквивалентность
2*= | Fn <=> 3  2fc-2 | n.
б) Докажите, что при к > 3 и т — 3 • 2fc 2
2fc |Fm+1-l-2fc-1
Обозначим d(n) — наименьший номер числа Фибоначчи, кратного
п. Предыдущие задачи позволяют вычислить d(n) при некоторых п.
Обозначим t(n) такое наименьшее t, что п | Ft и п | Ft+i — 1.
7.37.	Докажите что последовательность остатков от деления Чисел
Фибоначчи на п — периодическая, с наименьшим периодом t(n) г
d(n) | t(n).
7.38.	(Москва, 58) Докажите , что <(п) < п2.
7.39*	. Докажите, что при нечетном d(n) справедливо равенство
4d(n) = i(n), при четном rf(n) либо справедливо равенство 2d(n) = t(n),
либо равенство d(n) — причем тогда при простом п число </(п)
не кратно 4.
7.40.	Докажите следующий вариант формулы Бине
7.41*	. Докажите, что при простом р, не равном 5, число Fp при
Делении на р равноостаточно с символом Лежандра .
7.42.	Докажите равенства:
ь) Кеплер-Кассини Fn+1Fn-i - F2 - (-1)";
б) F„+fcFm_fc - FnFm = (-L)nFm^n-kFk.
7.43.	Докажите, что при простом р, не равном 5, либо F„_!, либо
р	л
кратно р.
7.44*	. Докажите, что при простом р вида 5fc±l число /(р) кратно
1, а если к тому же р имеет вид 4т 4- 3, то rf(p) = t(p); при
простом р вида 5fc±2 справедливо, что t(p) | 2(р + 1) и d(p) | (р+ 1), и
ДР) = t(p) при четном d(p) и 4</(р) =; /(р) при нечетном </(р), причем
Последнем случае rf(p) | (р-f- 1)/2.
87
7.45.	Если числа п,- попарно взаимно просты, то при п — гц ... |
d(n) = HOK(d(ni),... ,d(nm)),t(n) = HOK(f(ni),... ,t(nm)).
Следующая задача использовалась Ю. В. Матиясевичем в е
знаменитом доказательстве алгоритмической неразрешимости десят
проблемы Гильберта1)
7.46.	Докажите, что
рШ-1
- ”‘F"'	I
кратно F* и что Fmn+i - F™+1 кратно F„.	(
7.47.	Пусть у | Fn, и р — нечетное простое, тогда Fmn/Fn крат
р тогда и только тогда, когда у | т и
Fpn
~F~-p
Гп
кратно р .	!
7ч48.	Докажите, что при простом	нечетном	у	имеем	j
d(pn)=p"—d(p),/(p")=p"-m<(p),	J
• s
где m — такое наибольшее число, что t(pm) = <(р).	J
Возможно, что	всегда т = 1.	<
7.49*	. Докажите, что i(n) < 4n,d(n) < 2п, причем равенства в!
можны лишь для 11 = 2  За. Если в разложение нечетного п вход
не менее трех разных простых чисел, или п четно и еще содержит ]
менее четырех простых множителей, или п кратно 4 и еще содержу
не менее трех простых множителей, то t(n) < п.
Следующее утверждение усиливает утверждение задачи 7.46.
7.50.	Докажите, что	I
г	Г”» Ol(m 1) рт-1	<
Cmn+l гп+1	- Уп+1 Уп	I
кратно F*.	I
7.51*	. Докажите, что для любого нечетного простого р найдут,
целые числа ар и Ьр, меньшие р, и такие, что при любом натуральна
п и t = <(р") справедливо, что Ft —упар кратно pn+1 и Ft+i — 1 — pnJ
кратно pn+1.
Следующая задача обобщает предыдущую.	?
Чю. В. Матиясевич доказал, в частности, что не существует алгоритма, pact,
знающего по любому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами име
ли оно решение в целых же числах.	j
88
► ишшш————--------------------------------
7.52	*. Докажите, что для любого нечетного простого р и любых
натуральных к и т число
Fk+tm - Fk- pnm(apFk-i + bpFk)
кратно p"+1.
7.53	*. Докажите, что записи чисел Фибоначчи в троичной системе
счисления могут оканчиваться на любую комбинацию цифр.
7.54	*. Докажите, что записи чисел Фибоначчи в пятеричной системе
счисления могут оканчиваться на любую комбинацию цифр.
7.55	. Для двоичной и десятичной систем счисления и вообще для
любой п-ичной системы, где п — четно, аналоги двух предыдущих
задач не верны. Если п кратно простому числу вида бк ± 1 или
такому простому р вида бк ±2, что d(p) < (р + 1)/2, то предыдущее
утверждение также верно.
В предпоследнем параграфе задачника будет, в частности, доказано,
что начинаться числа Фибоначчи могут с любой комбинации цифр в
любой системе счисления.
7.56	. Пусть {unJ задается по следующему правилу:
«о = 1, «1 = 2, и ип = un-i + «п-2 при п > 2.
Показать, что всякое натуральное число N имеет единственное пред-
ставление в виде
N = ai«i + Я2«2 +  + ayvuyv,
где аг = 0 или 1 и агаг+1 = 0 дри г > 1.
Заключительный в этом параграфе цикл задач посвящен определе-
нию длины периода линейной конгруэнтной последовательности
по модулю т. Так называется любая последовательность, n-й член
которой является остатком от деления на т числа axn-i+c, где
®п-1 — ее (п — 1)-й член, а а, с, т — заданные натуральные числа.
Заметим, что линейные конгруэнтные последовательности исполь-
зуются при построении наилучших из известных сегодня датчиков
Псевдослучайных чисел. Идея такого их применения принадлежит
Д-Х.Лемеру.
7.57	. Докажите, что линейная конгруэнтная последовательность
Периодична и длина ее периода не превосходит т.
7.58	. Докажите, что подпоследовательность хпк при фиксирован-
ном к тоже будет линейной конгруэнтной последовательностью.
7.59	. Пусть т = т\...тк, числа т, попарно взаимно просты,
последовательность с периодом А, состоящая из целых неотри-
цательных чисел, не больших т, хп>< — последовательность остат-
ков от деления хп на т,-, а А,- — ее период. Докажите, что
89
A= HOK(Aj,... , Ак), и если хп — линейная конгруэнтная послед^
вательность, то все последовательности жП],— тоже.
7.60	*. Пусть 1 < а < рк, где р — простое число и А — такое нам
меньшее натуральное число, что (ал — 1)/(а — 1) кратно рк. Докажите
что А — рк тогда и только тогда, когда а — 1 кратно р при р > 2 1
когда а — 1 кратно 4 при р = 2.	I
7.61	*. ( Халл и Добелл) Длина периода линейной конгруэнтно^
последовательности максимальна ( т. е. равна тп) тогда и толь®
тогда, когда (с, т) = 1, а — 1 кратно любому простому делителю т, j
кратно 4, если т кратно 4.
Определим функцию А(ш) 'при т = рп, где р — простое, р > S
и при тп = 2 или 4 равенством А(тп) = У’(тп), при т = 2,п > 3 4
равенством А(т) = <р(т)/2, и при произвольном т =	...р“п, гд
Pi — простые, — равенством А(т) = НОК (А(р“’),... ,A(p“n)). ,J
7.62	*. (Кармайкл) При с. — 0 максимальный период линейной кой
груэнтной последовательности равен Х(т).	$
УКАЗАНИЯ	'
7.7.	Выведите из 7.6 и 7.4.
7.11.	Примените 7.8 и 7.9.
7.12.	Примените	индукцию по к и воспользуйтесь 7.9.	;
7.16.	Примените	7.9 и индукцию.	Л
7.18.	Примените	индукцию по п. Заметьте, что log^(\/5(n+1/2)) — не целЛ
7.20.	Примените	индукцию.	В
7.21.	Пусть т/п	— несократимая правильная дробь и	В
т _	1	1	1	1
П 01+02+ +оц	j
Докажем индукцией по А:, что Ог-н < [о,,... , a*.] < /*)4-Л1, причем равенства
справедливо, лишь, когда oi — ... = а* — 1, а равенство п —	)
Fl + „i + ...+ojs — лишь, когда oi = ... - afc_i = l,ak < 2, или ai =2,a2 = ... i
o*-i = 1,0*.. < 2.	j
База индукции (к = 1,2) очевидна, так как F2 = 1 < п = О] < F1 + a,.	,
Докажем индукционный переход. Согласно равенствам
т _	1	1	1	_ [oi,... , о*]
п О1+аг+ +о*. [аг,... , а*.] ’
[“1, • • • , at] = oi[o2,. •. , afc] + [аз,... , afe],
и предположению индукции справедливо, что
Fk < [О2,... , а*.] < F1 + al + ...+ajk, Ffc_i < [03,... ,afc] < Fi + a3 + . .. + ofc,	'
•u
„	I
следовательно,	»
^1*+1 = ^k + ^k—1 < [a2, • •  t «/;] + [аз,. .. , a*.] < [ai,... ,	=	J
90
II II
= aj[a2,... ,a*] + [as, • •  ,a*] < aiFi+a3+.. + at + Fi + a, + ... + <>* <
< Fai +1 Fl4-a3 +... +at + K>1 Fl + a9 + .,.+a* ,
и равенство F*+i = [ai......a*] справедливо лишь при aj = ... = a* = 1. Согласно
задаче 7.20 имеем Fu+v = Fu_iF„ + FuF„+i- Отсюда следует, что
[aj ,. .. , afc] < Fai Fi + аз + ... + аь + FO1 FO3-f....-f-afc = Fi-|.ai.|.....|.afc ,
и неравенство доказано. Равенство возможно, лишь когда
“1 < 2,aj = 1,[а2,... ,a*] = Fi + o3 + ...+at,
и, следовательно, согласно предположению индукции, лишь когда
aj = 2, 02 — ... — л fc—1 ~ 1 , л к < 2,
или ai = 02 = • • • — Лк-i = 1> ак < 2. Тем самым шаг индукции сделан.
7.22.	Из доказанного в 7.21 неравенства п < F\+ai +...+Ofc и задачи 7.19
немедленно следует неравенство задачи. Остальное вытекает из 7.19 и равенств
1	1 1 _ 1	1 1
J 4~	+1 4-2,	14-	4-1 4-1,	Fk+i
к —I	к
— —	——	1 1 =
24- 1-Ь ’’’+1 4-2^	2+ 14- ‘4-1 +1	+ Ffc-x Ffc+i ‘
k—2	к
7.23.	Индукция с помощью 7.20.
7.25.	Примените алгоритм Евклида и 7.20,7.23,7.24.
7.29. Воспользуйтесь равенством
2-£(2t + >)5.,F„„+f.I„
7.34. Согласно 7.33 справедливы следствия
7 | F„ => 8 | n =j> 3 | Fn.
7.36.	а) Примените индукцию. Для обоснования ее шага воспользуйтесь
предыдущей задачей.
6)	Для обоснования шага индукции примените пункт а) и тождество Fjn+i =
^+1 + Fn-
7.37.	Докажите по индукции, что для любого s > 1 остатки от деления на
п Чисел Fs и F._|.t(n) совпадают. Примените также 7.32.
7.38.	Допустим, что t(n) > п2. Тогда согласно принципу ящиков Дирихле
Найдутся такие к и тп, к < т < t(n), что остатки от деления на п чисел F*
и Fm совпадают, и чисел и Fm-|-i тоже. Отсюда с помощью индукции
Получается, что для любого в > к остатки от деления на п чисел F. и F.4.m_*
Совпадают, т. е. последовательность этих остатков периодическая с периодом
”l~A:<t(n), что противоречит 7.37.
^•39.	Обозначим остаток от деления	на п через к. Докажите
индукцией, что при любом л остаток от деления kFs на п равен остатку
91
от деления F,+d(ri)" и также (-l)d(„)_, на п- Отсюда следует, что числ
(_l)d(") — (-l)d<n)Fi и fcFd(n)~i, а, значит, и к2 равноостаточны при деленй
на п. Поэтому при четном d(n) число F2d(n) + 1 равноостаточно с к2, а значит,
с единицей. Отсюда следует, что при к 1 справедливо равенство 2d(n) = t(n
При к — 1, очевидно, справедливо равенство d(n) — t(n). Так как при четно
d(n) числа ( — l)d(n)/2—lF’<^ny2 и ^Fr(n)/2 равноостаточны при делении на »
то при простом п это возможно лишь при к, равноостаточном с ( — l)d(n)/2~
(так как Fd(nj/2 некратно п), поэтому равенство к = 1 справедливо лишь пр
нечетном d(n)/2, а при четном rf(n)/2 имеем, что к = —1. При нечетном <Z(r
число	равноостаточно с к4, а, значит, и с единицей. Так как тогл|
числа F2d(n) + 1 и Еза(п)-Ц не равноостаточны с единицей, то согласно 7.37 имев!
что 4d(n) — t(n).	;
7.40.	Раскройте скобки в формуле Бине с помощью формулы бинома. ]
7.41. Примените 7.40 и воспользуйтесь задачами 6.14 и 6.5 и тем фактор
что биномиальные коэффициенты (£) кратны р при 0 < к < р.	)
7.42.	В пункте а) примените индукцию по п, а в пункте б) проще все^
воспользоваться формулой Бине.
7.44.	При простом р вида 5к ± 1 число t(p) кратно р-1, так как согласй
задаче 7.40 имеем
(р-з)/2	‘
= £ +2 )С,
1=0 Р 1
откуда, пользуясь тем, что (*•+/) + 1 кратно р, получаем согласно теореме 6.4
ЧТО число	1
(р-3)/2
2f'Fp_1 + 4	5‘= 2pFp_1 +5<Р->)/2 - 1,	’
1=0	]
а, значит, и число 2pFp_t + (*) -1 = 2^р_,, кратны р, а значит, числа Fp.t
(согласно 7.41) Fp-Q) = FP + 1 — тоже, поэтому согласно 7.37 имеем t(p) |p-j
Если к тому же р имеет вид 4т + 3, то согласно 7.39 получим d(p) = f(p). Пр|
простом р вида ± 2 справедливо, что число	’
2₽Fp_I + Q) - 1 = 2pFp-i - 2,	’
а согласно теореме 6.14 и число 2Fp—i — 2 кратны р, значит, числа Fp_\ —
(согласно 7.41)	Н
Fp-i — 1 + Fp -	= Fp-i — 1 + Fp + 1 = Fp+i,	"
Fp+i - 1 + Fp - (-) = Fp+i + Fp + 1 - Fp+2 + 1,
тоже, откуда с помощью 7.42 б) получается, что и Flp+a — 1 кратно р. Отсюда
силу 7.37 следует, что t(p) | 2(р + 1) и d(p) | (р + 1). Если бы при этом d(p) = t(l
то согласно 7.37 была бы невозможна одновременная делимость на р чиС]
Fp+2 + 1 и Fp+i. Поэтому согласно 7.39 имеем 2d(p) — t(p) при четном d(p)’
4d(p) = t(p) при нечетном d(p), причем в последнем случае d(p) | (р + 1)/2.
7.45.	Примените 7.32 и 7.37.
92	j
7.46.	Положим для краткости Vm,n — FmnjFn- Индукцией по т с помощью
равенства Fn+m — FmF„+i + Fm~i Fn (см. 7.20) докажите, что
Fmn+i =F’(Vm_1>n + Vm_2,nFn+i + Vm_3,nF*+1 + ... + F^-12) + F^.1.
Отсюда вытекает второе утверждение. Индукцией по тп с помощью следующего из
7.20 равенства Vm,n =	и Доказанного второго утверждения
получите первое утверждение.
7.47.	Воспользуйтесь 7.24 и 7.46 для доказательства первого утверждения и
примените малую теорему Ферма для доказательства второго.
7.48.	Примените 7.46 и 7.39 и докажите, что при п > т имеем
d(p") = pd(p"-1),t(p") = pt(p"-1),
(для доказательства последнего равенства нужна еще формула бинома), а далее
проведите индукцию.
7.49.	Разложим п на простые множители:
п — 2^57р“х .. Pt # 2,р,	5.
Применяя 7.45,7.44,7.48,7.36, получите,что
t(n)< НОК (з . 2*3-1,4m'n	Р°1~Ч(Р1 ± 1)....р“--12(рт±1)) <
< 3.2тг.х(Я-1,2)5т,х
Пусть п кратно 8, тогда (3 < 3 и
4
Пусть 0 — 2, тогда
а при m > 3 имеем t(n)/n < 3 • 2/3 • 4/7 • 6/13 < 1. При 0 = 1 получим
93
причем равенство возможно лишь при п = 2-За, а при т > 4 имеем t(n)/n <
< 6 • (2/3) • (4/7) • (6/13) • (8/17) < 1. Если же п нечетно, то
а при тп > 3 имеем 4(п)/п < (8/3) • (4/7) • (6/13) < 1.
Аналогично оцениваем при 0 > 2
при 0 = 1 имеем
причем равенство возможно лишь при п = 2-За, и при нечетном п имеем
7.50.	Примените равенство	i
Fm„+1 =F^(Vm_1,n4-Vm_2,nFn+1 +Vm_3,„F*+1 + ... + F™f) + F^
и первое из утверждений 7.46.
7.51.	Шаг индукции. Если Ft — рпар и Ft-j-i — 1 — pnbp кратны рп+’,
согласно 7.47 число VPitFt — рпарр = Fpt — рп+1ар кратно р"’*’2, а согласно 7
число Fpt^-i — F^j кратно p2n+1 и тем более р”+2, откуда на основании форму,
бинома следует, что Fpt+i — 1.—р"+*Ьр кратно pn+2.	1
7.52.	Согласно 7.20 имеем Fk+tm — Fk—iFtm +	в согласно 7.4
получим Ftm — mF™-1 Ft кратно F®, значит, Ftm — mFt кратно pn+1 в си!
7.51, а потому и Ftm — трпар тоже. С помощью 7.46,7.51 и формулы бино!
94
„случите, что число Ftm+1 — F,™, кратно рп+1, а значит, и ,Ftm+i — l — mpnbp—
тоже. Отсюда следует, что число
H+tm ~ fk- pnm(apFk^i + bpFk)
кратно p"+1.
7.53.	Шаг индукции. Пусть для любого целого а от 0 до Зп — 1 найдется
такое к, что F^-a кратно Зп, и к - 2 не кратно 4. Согласно 7.51 при t = 8«3n
числа Ft — Зп и Ft^-i — 1 — 2 ♦ Зп кратны Зп+1. Применяя 7.52, получите, что
число
Fk+tm ~ Fk — 3nm(Fk-i + 2Fjb) = Ffc+tm - Fk — 3nmFfc+2
кратно 3n+*. Так как к + 2 не кратно 4, то согласно 7.33 число Fk+2 не кратно
3, значит, для любого 6 = 0,1 или 2 найдется такое т, равное 0,1 или 2, что
Fk+tm ~ Fk ~ Зп6, а значит, и Fk+tm ~ а ~ Зп6 кратно Зп+|. При этом к 4- tm — 2
не кратно 4.
7.54.	Шаг индукции. Пусть для любого целого а от 0 до 5П — 1 найдется
такое к, что Fk — а кратно 5П. Согласно 7.51 при t = 4 • 5П числа Ft — 3 • 5” и
Ft+i — 1 — 4 • 5П кратны 5п+|. Применяя 7.52, получите, что число
Fk+tm — Fk — 5n?n(3Ffc-i + 4Ffc) = Fk+tm — Fk — 5nm(Fjt+4 - F*)
кратно 5n+1. Так как
Ft+8 ” 2Ffc+4 + Fk = 15F*+I + IGF*,
to Ffc+з —2Ffc+4+Ffc кратно 5, значит, остатки от деления на 5 последовательности
Ffc+4—Ffc периодически повторяются с периодом 4. Непосредственно проверяется,
что в этой последовательности нет нулей, поэтому для любого 6 = 0,1,2,3, или
4 найдется такое т, равное 0,1,2,3 или 4 что Fk+tm ~ Fk — 5пЬ, а значит, и
Fk+tm ~~ а ~~ 5П6 кратно 5п+!.
7.55.	Заметьте, что если для n-ичной системы неверен аналог задач 7.43 и
7.44, то он неверен для любого т, кратного п. То, что этот аналог неверен
для п = 2, вытекает из 7.33. То, что он неверен для простого п вида 5к ± 1,
следует из 7.44. То, что он неверен для простых п вида 5к ± 2 таких, что
d(n) < (п + 1)/2, можно доказать с помощью рассуждений, применявшихся для
решения задачи 7.39.
7.57.	Найдутся такие к и з,0 < к < s < т, что числа Хк и х9 равны. Тогда и
числа хп+к и xn+s тоже равны при любом целом п. Поэтому последовательность
периодическая, наименьший период состоит из разных чисел, и его длина делит
s.
7.58.	Докажите формулу
tk (а*“ “ 1)с / । х
хп+к = я яп +------------------------------ (mod т).
а — 1
7.59.	Применяя китайскую теорему об остатках, заметьте, что всегда хп
0ДНозначно восстанавливается по набору длины к, составленному из остатков
» причем разным наборам остатков соответствуют разные числа хп- Докажите,
Что период последовательности рассматриваемых наборов равен HOK(Aj,... , Afc).
7.60.	Пусть А = pfc,p > 2, и а — 1 некратно р. Тогда — 1 кратно pfc.
Рименив к раз малую теорему Ферма, получите, что а* — а кратно р, значит,
И Д - »
u — 1 кратно р, вопреки предположению.
95
Если же р — 2 и а —3 кратно 4, то при любом д = 2т число (ам — 1)/(ам^2 — |
четно, значит,
(оЛ/2 _ 1)/(а _ 1) = ((а*/2 _	- 1)) . . ,((а2 - 1)/(а _ 1))
кратно 2*.
Для доказательства достаточности условий примените 6.46 и получите, 41
(а**—1)/(а — 1) кратно рк и некратно рк+* тогда и только тогда, когда д крат>
рк и некратно рк + г.
7.61.	В силу 7.58 достаточно доказать теорему при т = ра. Можно считаТ
что а > 1. Период имеет длину т тогда и только тогда, когда в нем встречают^
все числа от О до т — 1. Поэтому можно считать, что xq = 0. Тогда хп рав|
остатку от деления на т числа
с(ап - 1)/(а - 1).	‘
Если (c,?n) > 1, то всегда хп ф 1, и поэтому длина периода меньше т. Знач^
если длина периода равна т, то (с, m) = 1. Из 7.56 следует, что при xq =
длина периода равна т тогда и только тогда, когда наименьшее положительна
п, такое, что - хп = 0, равно т. При (с, тп) = 1 условие хп = 0 равносилы
делимости на .п числа (ап — 1)/(а — 1). Остается применить предыдущую задач
7.62.	С помощью 7.58 сведите к случаю т = р°. Примените задачу 6.26.
•§ 8. ПРИМЕНЕНИЯ АЛГОРИТМА ЕВКЛИДА
8.1.	При каких целых п дробь несократима? Докажите, чт
дробь несократима при всех целых п.	'
8.2.	На миллиметровой бумаге нарисован прямоугольник размера
а х b так, что стороны его идут по линиям сетки. На какое чисД
частей делят узлы сетки его диагональ?	i
8.3.	От нарисованного прямоугольника отрезают несколько кв!
дратов со стороной b до тех пор, пока не останется прямоугольник
шириной меньше Ь, и с ним поступают точно так же, пока не получите
прямоугольник, который целиком разрезается на квадраты. Квадрат!
какого размера получились? Приведите пример прямоугольника я XI
который разрезается ровно на п квадратов.	|
8.4.	Докажите, что число квадратов, получающихся при разрезан»
прямоугольника ах Ь, не меньше [logv,(\/5(inax (а, Ь) —1/2)], причем дД
а — Fk или Fk-r и 6= Fk+i это неравенство обращается в равенств!
Следующий цикл задач посвящен решению линейных уравнений
целых числах.
8.5.	Пусть (т,360) = 1,1 < т < 360. Докажите, что с помощЫ
одного циркуля можно разделить угол в т градусов на т равны
частей.
8.6*	. (Конструкция для наименьших решении в натуральных чисмЦ
уравнения ах — by — 1/. Разложим £ в цепную дробь
111
4	Оо Н-----------------:--- •  • --	j
01+02+	+«П	5
<
J
96	d
Заменяя в случае необходимости ап на (ап — 1) + |, можно считать,
что п нечетно. Докажите, что наименьшее решение в натуральных
числах уравнения ах — by = 1 есть х — qn-\,y = pn-i-
8.7.	Найдите все решения в целых числах уравнения ах — by = 1.
8.8.	Найдите необходимое и достаточное условие разрешимости в
целых числах уравнения ах + by = с и вообще уравнения
Я1Х1 4“ ... -|-	— с.
8.9*	. Докажите, что для любых целых тип разрешима в целых
числах система уравнений
Зх + 5у = т,
7х + 5z = п.
В следующих задачах речь идет фактически о подгруппах и под-
полугруппах в множествах целых и натуральных чисел.
8.10.	Множество целых чисел обладает следующим свойством:
вместе с любыми двумя числами оно содержит их сумму и раз-
ность. Докажите, что это множество состоит из всех чисел, кратных
некоторому числу d.
8.11*	. Множество натуральных чисел разбито на два подмножества
А и В так, что А В ( то есть множество всех произведений вида ab,
где а — число из А, а b — число из В) содержится в Л и А + В (т.е.
множество всех сумм вида а + Ь, где а — число из А, а b — число
из В) содержится в В. Докажите, что а) А • А содержится в А;
б)	А состоит из всех чисел, кратных некоторому числу d.
8.12*	. В султанстве Сулейманском была выпущена бесконечная
серия монет достоинством в гц таньга, аг таньга, и так далее.
Докажите, что найдется такое п, что любую сумму, которую можно
уплатить выпущенными монетами, можно уплатить уже монетами
достоинствами в ai,...,an таньга.
8.13*	. (Франция, 79). Пусть (a, b) = 1. Докажите, что любую сумму,
начиная с (a — 1)(6 — 1) можно уплатить монетами достоинством а и
b таньга, а сумму (a — 1)(6 — 1) — 1 — нельзя.
8.14*	. (IMO, 82). Пусть а, Ь, с попарно взаимно просты. Докажите,
что любую сумму, начиная с 2abc — ab — ас — be + 1, можно уплатить
монетами достоинством ab, ас и be таньга, а сумму "2abc — ab — ас— Ьс. —
нельзя.
8.15.	В султанстве Сулейманском была выпущена бесконечная
Серия монет достоинством В 1 таньга, 2 таньга, 4 таньга и так далее.
Докажите, что любую сумму можно уплатить без сдачи этими моне-
тами, используя каждую из них не более одного раза. Докажите, что
Тем же свойством, что и 1,2,4,..., обладает последовательность Фи-
боначчи. Однако 1,2,4,... единственная последовательность, которая
4 Арифметика. Алгоритмы.
Сложность вычислений
вместе с упомянутым свойством возможности уплаты обладает еще!
свойством единственности такой возможности. '	J
8.16.	Как расположить по п конвертам сумму в Fn+3 — 2 таны
так, чтобы любую меньшую сумму также можно было бы уплатит
не вскрывая конвертов?
8.17.	Стоящие в шеренге школьники передают друг другу еле!
направо карточки. Получив от левого соседа карточку с парой чисе
(т, п), разрешается передать правому соседу одну из следу юищ
карточек: (п,т), (т + п,п) или (|т —п|,п). Один из школьник<
получил карточку (19,90). Может ли у кого-то из стоящих прав*
оказаться карточка: а) (31,13); б) (12,21)?
Новый цикл задач посвящен вопросам о том, как быстро мол
но проводить некоторые вычисления (как сейчас стали говорить з!
сложности вычислений).
8.18*	. Покажите, как с помощью калькулятора, умеющего зап!
минать только два числа, можно возвести х в n-ю степень, сдел<
1{п) + А(п) — 2 умножений, где Z(n) — число разрядов в двоичне
записи п, а А(п) — число единиц в этой записи.
8.19*	. На первый взгляд кажется, что в условиях 8.18 быстр*
вычислить хп, чем отмечено там, нельзя. Покажите, что однаю
х2 fc-1 можно вычислить с помощью Fk+i + к — 4 умножений. i
8.20.	(Бинарный алгоритм Евклида) Докажите следующие утве!
ждения: если и и v четны, то (н,г) — 2(u/2,v/2)‘, если и чета
a v нечетно, то (н,г) = (u/2,v); если и к v нечетны, то и —(
четно, |u — < шах (и, г) и (u,v) = (|u — v|, min {и, v)). Предложи!
алгоритм, основанный на этих утверждениях, и примените его да,
доказательства равенства
(2т - 1,2” - 1) = 2<т'п> - 1.	j
8.21.	Докажите, что при любом а € N справедливо равенств
(а"1 — 1, а" — 1) =	— 1.	
8.22.	Проверьте, что при любых т и п Е > п, чисЛ(
вычитаний, выполняемых бинарным алгоритмом в применении к па|
чисел	1
и = 2m+1 - ап+2,п = ап+2, где а = (2П - (—1)")/3,	5
1
равно т + 1.	Ji
8.23*	. (Д.Кнут) Докажите индукцией по [log2 «] + [log2 v], что числ
вычитаний, выполняемых бинарным алгоритмом в применении к пай
чисел u,v не больше 1+Jlog2 max («, г)] и равенство возможно лиШ
когда [log2 (u + v)] > [log2 max («, v)].	3
8.24.	В результате работы бинарного алгоритма получается цепоч!
равенств вида (2u,2v) =. 2(u, v), (2u, 2v + 1) = (u,2v + 1), (2u + 1,2и)ч
98
= (2u + 1, v), (2м + 1,2v + 1) = (2|u — w|, 2 min(u, v) + 1). На первый
взгляд кажется, что среди всех цепочек того же вида с данными
началом и концом она будет кратчайшей, однако это не так. Пусть
Д1 — 3,а*+1 = 8а^ +3,k 6 N,u = 3an ± l,v = 2an + 1. Проверьте, что
в применении к и и v бинарный алгоритм делает 6п шагов, в том
числе, и Зп — 2 вычитаний, а обычный алгоритм — только три uiai\
г) = (2ап + 1, а„) = (1, ап), и еще 2п — 1 вычитание и Зп — 2 деления
пополам требуются для получения цепочки, заканчивающейся парой
(1,1)-
При выполнении деления больших чисел столбиком возникает такая
задача: как найти частное q от деления п + 1 разрядного числа
и — и0...ип на п- разрядное число v = vi...vn (числа десятичные,
старшие разряды -слева)? Это число равно [u/v] и-находится обычно
подбором. Следующий прием облегчает его нахождение. Положим
q* = min ([(IOuq + «1	9).
8.25.	(Д.Кнут) Докажите, что q* > q, а при щ > 5 к тому же
q* — 2 < q. Умножив и и v на [10/(г>1 + 1)], можно, не изменяя u/v,
добиться того, что Vi > 5. Покажите, что неравенство q* — 2 < q,
вообще говоря, усилить нельзя.
8.26.	(Д.Кнут) Докажите, что: а) если u0 = vi, то q = 9 или 8;
б)	q > [(IOuq + ui)/(v! + 1)];
в)	если при г* = IOuq + uj — q*vi справедливо неравенство
v2q* > Юг* + и2,
то q = q* — 1 или q = q* — 2, а если
v2q* < Юг* + u2,
то q = q* или q = q* — 1;
г)	если t>i > 5, v2<?* < Юг* + u2, но q* ф q, то и — qv > 7п/10, (т.е. с
вероятностью 0,7 все же q* = q).
Назовем обобщенным алгоритмом Евклида последовательность
вычислений вида
а = bq2 + <2r2,b = r2q3 + c3r3,r2 = r3q4 + c4r4,...,
Гк-З = rk-iqk-l + ffc-lHs-l, Пс-l = rkqk,
где
6, = ±1,0 < n <	> 1,6 = ri,a = Tq.
Число k— 1 назовем его длиной. Как и в обычном алгоритме Евклида
(а,6) = гк обозначим L(a,b) минимальную длину обобщенного алго-
ритма Евклида для вычисления (а, 6). Назовем алгоритмом Евклида
4»
99
с выбором минимального остатка обобщенный алгоритм Евклида
котором всегда 2г,- < r,_i, т.е. на каждом шаге из двух возможны
вариантов деления	4
й
П-2 =	+ г,, где 0 < г, < г,_ь	|
выбираем тот, при котором получается минимальный по абсолютно]
величине остаток (если они равны по модулю, то берем любой И
них). Обозначим L0(a,b) минимальную длину алгоритма Евклида 1
выбором минимального остатка.	1
8.27.	(Кронекер) Докажите, что число всех различных обобщенны^
алгоритмов Евклида для пары (а, Ь) взаимно простых чисел равно 1
8.28*	. (Кронекер) Докажите, что при а > 2Ь справедливо неравен
ство	1
L0(a,b) < L0(a,a — b).	1
I
8.29*	.	(Кронекер)	Докажите, что	j
Lo(a, b) < L(a, b).
8.30.	Докажите для последовательности
Un - 2U„_1 + U„-2,U1 = l,u0 - О
формулу	;
uk = 2"3/2(v/2 + 1)* - (1 - T2)\
и соотношение	5
7
Ufc < n <=> k < [logft (2i/2n 4- y/2)],
где a = \/2 + 1.
8.31*	. (Дюпре). Докажите, что Lq(«, b) <
< min {[log„ (2\/2min (a, b) 4- x/2)], [log,, (2\/2(a + b) + x/2)] “ 1}-	1
и проверьте, что равенство достигается при	1
b = u,i,a = ип + u„-i.	I
Следующая задача предложена Д.А.Масловым, студентом одного ИЯ
авторов. Она хорошо дополняет теоремы Дюпре и Кронекера.
100
8.32*	. В предыдущих задачах фактически было показано, что
разложение любого рационального числа £ в цепную дробь с мини-
мальным по модулю остатком не длиннее обычного разложения этого
числа в цепную дробь. Докажите, что минимум отношения их длин
равен | и достигается на 
Другими словами, алгоритм Евклида с выбором минимального по
модулю остатка на каждом шаге не более чем вдвое короче по числу
шагов деления обычного алгоритма Евклида.
УКАЗАНИЯ
8.4. Выведите из 7.22.
8.6. Используйте 7.io-
в.7. Используйте 7.6.
8.10.	Заметьте, что это множество содержит нуль и замкнуто относительно
сложения. Рассмотрите в нем наименьшее положительное число и докажите,
что все числа в нем кратны этому числу. Для этого рассуждайте от противного
и, применяя деление с остатком, получите противоречие.
8.11.	Докажите, что 1 принадлежит В, и , используя равенство а(Ь4-1) = аб+а,
докажите методом от противного, что если а и 6 взяты из Л, то и ab принадлежит
А. Далее примените указание к задаче 8.10.
8.12.	Докажите, что множество А всех сумм, которые можно уплатить
выпущенными деньгами, замкнуто относительно сложения и, начиная с некоторого
места, содержит все кратные некоторого числа и только их. Пусть хну
такие числа из А, что их разность d = X — у > 0 минимальна. Тогда все числа
из А кратны d, ибо если z = qd 4- v, 0 < v < dy то v ~ z + qy — qx, и если z
принадлежит А, то z + qy и qx тоже, что ведет к противоречию. Считая далее,
что d = 1 (сократив на d все числа из А в противном случае), заметьте, что
любое п > ху представимо в виде
п — qx -f- v = (q — v)x + (х + 1)v = (q — v)x 4- vy,
где <v < x>q — v > у — x = 1, значит, n принадлежит A.
8.18.	Пусть
n = У7
fc = 0
где ak — 0 или 1, причем единиц Л(п) штук. Положим п равным сумме последних
к ненулевых слагаемых, разделенной на минимальное из них, и число ук, равным
Тогда вычисляете последовательно ук = х, где Пк — 1 = 2mfcn*—1» храня
при этом число х в памяти, а у к сохраняя на индикаторе.
8.19.	Примените 7.31.
8.22.	Воспользуйтесь тем, что последовательность ап удовлетворяет рекур-
рентным соотношениям ап — ап—1 + 2ап_з,Лп 4-Дп+1 = 2П.
8.23.	Положим тп = [log2 u],n = [log2 v]. Пусть тп = n. Можно считать, что
u > v. Выполнив шаг деления-едвига, по индукции получаем, что нужно еще
выполнить не более тп 4~ 1 шагов деления. Бели бы понадобилось ровно тп 4~ 1
^Дгов, то мы имели бы
[log2 ((u - v)2“r 4- v)] > [bg2 v],
101
где г > 1 — число уже выполненных сдвигов вправо, что невозможно, так «Л
(и — v)2~г + v < (и — v) 4- v = и.
Пусть т > п. Выполнив шаг деления, получим пару (uz,v), где	1
и* — (u — v)2~r, г > 1, [log2 и'] = т — к, к > 1.	1
Согласно предположению индукции осталось сделать не более l+max(m— к,п) <
< т шагов. Если требуется ровно т шагов, то согласно предположению индукции
[log2 (и' + и)] > т, откуда
[log2 (и + v)] = [log2 2((и - v)/2 + v)] >
> [log2 2(u' + v)] > m + 1 > [log2 v],
8.25.	Можно считать, что q* < 9, тогда
7* = [(10u0 -J- ui)/vi],g*vi > (Юио + uj) - vi 4-1,
значит,
u —	< и — 10n“1vi7* <
< u010” + - 4- un - 10ntx0 - 10n-1ui 4- ЮП“Ч1 - 10n-1 << 10п“Ч1 < v.
Отсюда следует, что q* > q. Допустим, что q* > q + 3, Тогда
q* < (lOuo + ui)/vi = (10nu0 + 10n-’u1)/(10n~1v1) <
< u/(10n-1vi) < u/(v - IO”-1),
значит,
3 < ?* - g < u/(v - IO”-1) + 1 - u/v = 1 + (u/v)10n—*/(v — 10n—1),
поэтому
u/v > 2(v - 10n~1)/10n“1 > 2(vi - 1),
откуда
6 > q* — 3 > q = [u/v] > 2(vi — 1), vj < 4,
противоречие.
Для доказательства последнего утверждения заметьте, что
v[10/(v + 1)] < (v + 1 )[10/(v + 1)] < 10,
и при v > 5, очевидно, v[10/(v + 1)] > v > 5.	]
Если же 1 < v < 4, то v[10/(v + 1)] > v(10/(v -f- 1) — 1) > 4, так как	1
v(10/(v+ 1) - 1) - 4 = v(9 — v)/(v+ 1) > 0.	‘
Пример, когда неравенство q* — 2 < q обращается в равенство, таков:
и = 4100, v = 588.	
8.26.	a) u/v > uolO’Vfv, + IJlO"-1 > 10(1 - l/(vj + 1)) > 10(1 - 1/5) = 8. J
6) (lOuo + uj)/(vi -f-1) < u/10n-1(v + 1) < u/v.
в)	В первом случае
u — q*v < и — q*vi 10n-1 - q*v2 10n-2 = u210n~2 + ... + u„ + r*10" —
-q‘v210n~2 < 10n~2(u2 + 1 + 10г* - q*V2) < 0,
102
и так как и — qv > 0, то q* > q.
Во втором случае, предположив, что q* — 2 > 9, заметьте, что тогда
и < (9* — l)v < g*(vi IO”"1 + (v2 + l)10n — 2) — v < 9*(vj 10n 1 + V210n—2)+
+ юп-1 - V < q*v1Wn~l + (10r* +u2)10n—2 + 10n-1 - v = u010n+
+10”~Iui + u210n—2 + 10n-1 - v < u010n + 10n-1ui + u210n~2 < u,
противоречие.
г)	Предположив, что u —gv<7v/10, получите, что
q*(y — 10n-2) < /(vilOn4 + v210n“2) < u010n + 10n_1U! + u210n"2 <
1 = q* — q < u/(v — 10n~2) — u/v + 0, 7,
откуда
0,3 < (u/v)10n~2/(v - 10n-2) <	10n-2),10n + 3 • 10n“2 > 3v,
что противоречит неравенству v, > 5.
8.27.	Воспользуйтесь индукцией. База (Ь — 1) очевидна. Обозначим у>(а, 6)
число число всех различных обобщенных алгоритмов Евклида для пары (а, 6).
Первый шаг любого из них имеет вид а — bq + г или
а = b(q + 1) — (6 — г), 0 < г < 6, (г, 6) = (6, Ь — г) = 1, если b > 1.
Тогда q>(a, Ь) = у>((6, г) + q>(b, b — r) = r-\-b — r = b.
8.28.	Воспользуйтесь индукцией. База (а = 2) очевидна. Для обоснования
шага индукции рассмотрите три случая. Пусть а > ЗЬ,
а = bq? + с2г2,2г2 < Ь,
тогда а = (а — Ь) • 1 + Ь, так как 2b < а — 6, и
а - b = b(q2 — 1) + е2г2,
поэтому- Lq(a, b) — Lq(a, а — 6) — 1.
Пусть теперь 26 < а < 56/2. Тогда первые два шага алгоритма в применении
к паре (а, 6) имеют вид
а = 6 • 2 + (а - 26), 6 = г2д3 + С3Г3, г2 = а - 26,
a в применении к паре (а, а —6) имеют вид
а = (а — 6) • 2 - (а - 26), а-6=6 + г2 = г2(дз + 1) + С3Г3.
Поэтому Lg(a, 6) = Lq (а, а — 6).
В третьем случае считаем, что 56/2 < а < 36. Тогда первый шаг алгоритма
в применении к паре (а, 6) имеет вид
а — 6 • 3 — (36 — а), г2 = 36 — а,
значит, Lo(»,6) = Бо(6,г2) + 1. а в применении к паре (а,а—6) — следующий
вид:
а = (а — 6) • 2 — (а — 26) = (а — 6) • 2 — (6 — г2),
103
значит, Lo(a, а - b) = Lo(a — b, b — r2) 4- 1. Так как a - b — 2b - r2 = b 4- (b — r2), v
из равенства
a - b = (b - г2)27з + t3r3
следует равенство
b = (b - г2)2(дз - 1) 4-£зг3,
поэтому
Lo(“, b) = L0(a - b, b - r2) + 1 = Lo(b - r2,r3) + 2 = L0(b, b - r2) + 1.	!
Согласно предположению индукции Lo (b, b — r2) — Lq (b, r2), откуда
L0(a, b) — a - b).
8.29.	Примените индукцию и задачу 8.28. Пусть	;
я = bg2 + с2 г2, 2г2 < b, а = bq2 4~ £2 г2 	;
Если г2 = г2, то £2	£2>?2 = ?2 и согласно предположению индукции
/
Lo(a,b) = Lo(b,r2) + 1 < L(b,r2) + 1 = L(a,b).	।
Если же г2 < г2, то £2 = —£2,?2 — 32 — £2,г2 = b — г2 и согласно предположений
индукции и задаче 8.28 имеем	j
La (a, b) = Lo(b, r2) 4- 1 < L(b — r2, b) + 1 = L(a, b).	j
8.30.	Формулу
«fc = 2-3/2 ((У2 4- 1)* - (1 - 72))
докажите по индукции. Выведите из нее, что ближайшее целое к числу
2“3/2(\/2 + 1)* есть и заметьте, что, так как число 2“3^2(\/2 + 1)к — 1/2
нецелое (оно иррационально), то
0<ufc-2-3/2(72 4-l)*4-l/2< 1,	j
и значит,	1
uk < п <=> 2~3/2(\/2 4- 1)* - 1/2 < n,	1
j
откуда следует, что
u*. < п <=> к < [log0 (2х/2п 4- 72)].	. j
8.31.	Пусть алгоритм Евклида порождает равенства	']
!
« = bg2 4- (2Г2, b — r2q3 4- £зг3,г2 = г3<н 4-	..., rk_3 =
= rk-24k-l 4-	= гкдк,	;
где 2r, < Ti-i, i = 2,..., к, r, = b. Тогда
ri = r,+i7,+2 4- r,+2 ^2r;+i 4- r,+2,« - 1.к - 2,г*_, > 2г*,
откуда с пЬмощью индукции получается, что > и,+1, t — 0,..., А: — 1, значив
6 > ид., а > Ь 4- гг > Ь 4- Ufc—i, а 4- b >	— i •
104
Из 8.30 следует теперь, что
/г < [logQ (2\/2min (а, b) + к < [loga (2\/2(а + Ь) + У2)] - 1.
8.32.	Для произвольного рационального числа рассмотрим следующие
цепные дроби: обычную
1
Р
— — ао +
Ч
с длиной разложения п и
цепную дробь с минимальным по модулю остатком
Р- = А0 +
Я

длина которой равна т.
Пусть последовательностью подходящих дробей для обычного разложения
будет последовательность
Р1 Рп
?1 ’	’ Чп
. Выделим из этой последовательности подпоследовательность
следующим образом:
ит. д., т. е.,
ищется так:
Рч
9ч
Е1_
£2.
42 ’
Р*ж
если значение —мы
если а\ > 1,
если а] = 1,
выбрали равным то значение
Рч + 1
9ч+ 1
Pfc+i
Pfc + 2
Як+2 ’
если afc+i > 1,
если = 1.
Покажем, что построенная таким образом последовательность является по-
следовательностью подходящих дробей для разложения £ в цепную дробь с
минимальным по модулю остатком методом математической индукции.
Предположим, что	(равное по построению 2J-). Покажем, что
ищется по формулам (1): если >1 и к 4- 1 п, то остаток, получающийся
На этом шаге при обычном разложении, будет
1 1 1
г — ------------.----- < ---- <
afc+i + ---,	1 afc+i 2
afc + 2+—~1~
'•'+on
т« е., г < 1/2, следовательно, г совпадает с остатком при разложении с
Минимальным по модулю остатком.
И тогда	. Поэтому, если >1 и /г 4-1 = п, то доказательство
кончено.
105
Если же
разложении
“*+1 = 1, то k + 1 #
будет
п,
и получающийся остаток при
обыч.
так как
1.
Таким образом, г > j.
модулю остатком остаток
1 _ 1
1 + 1 - 2’
Следовательно, для разложения с минимальным п
R полагается
равным 1 — г. Получаем:
Аг -
“к+Ь
1,
<4 + 2 + !•
-
'J
1
1
1
Тогда соответствующая часть разложения с минимальным по модулю остатков
будет выглядеть следующим образом:
1
(-1)“- + !
2------- = ак + 1 -
Л,+ 1	<4+2 + 1

= а, + (1-----1—) :
<4+2 + 1
1 1
"Ь " “TV —	1	;	— (Ik -f-
°*+2-Н К 1 4- —1—	*
1 л , . ~
<4 + 2 ч_
<4+2 + 1
1
и, значит, будет равна соответствующей части обычного разложения, однак<1|
короче на одно деление. Из последней серии равенств в частности следует, что
= £Ь±2.. Тем самым шаг индукции выполнен и утверждение доказано. Из
Ч« + 1	Як 4-2
него выводится, что 2т > п.
Рассмотрим два разложения для дроби Фибоначчи	• Последовательно-
стью подходящих дробей для обычного разложения будет	I
= 0- — = — =
41	' 42	^2
р Рз _ J*2 _ 1
?3 Ез 2
Р2 п _ 1*2 п-1
42 п 1*2 п
— всего 2 71 элементов.
Последовательностью
выше алгоритмом, является
строящейся в
соответствии с изложенные
Р.1 _ Р2 _ р р.г _
Чч	42	’ Ч<2
- п элементов.
Значит, наименьшее отношение
Р4 _ 2
Чл 3
р.
ч,
Р2п _ ^2 п-1
42 п -/*2 п
длин m/n разложений равно
I
§9. ТАЙНА ПИФАГОРЕЙЦЕВ
Алгоритм Евклида, примененный к паре отрезков, построит отрезок^
укладывающийся целое число раз в каждом из них; он является общей.
106
мерой рассматриваемых отрезков. Задолго до Евклида пифагорейцы
обнаружили поразительный факт, что существуют несоизмеримые от-
резки, не имеющие общей меры. Алгоритм Евклида, будучи применен
к таким парам отрезков, никогда не закончит работы.
9.1.	Докажите геометрически, что сторона и диагональ квадрата, а
также, что основание и боковая сторона равнобедренного треугольника
с углами 72° при основании, несоизмеримы.
9.2.	Вычислите отношения длин упомянутых пар отрезков и
разложите их в цепные дроби (они, конечно, будут бесконечными).
Как отмечалось в параграфе 6, любое положительное рациональное
число можно представить в виде бесконечной периодической дроби.
Будем рассматривать также бесконечные непериодические дроби. Чи-
сла, представляемые ими, называются иррациональными.
9.3.	Докажите, что следующие числа иррациональны:
КГ1 + 10“4 + ... + К)-"’ + ...., КГ1 + 10-2 + ... + 10-п! + ...,
З-1 + З-3 + ... + з^С"-1)/2 +... .
9.4.	Докажите, что не существует 11 бесконечных десятичных
дробей, каждые две из которых совпадают лишь в конечном числе
разрядов.
9.5.	Докажите, что в каждой бесконечной дроби существует
последовательность десятичных знаков произвольной длины, которая
в разложении дроби встречается бесконечное число раз.
9.6*	. (ВМО, 83) В бесконечной дроби встречаются все цифры.
Пусть и„ — количество различных цифровых отрезков длины п,
встречающихся в ней. Докажите, что если дробь изображает ир-
рациональное число, то ип строго монотонно возрастает и поэтому
всегда ип > п + 9, а если дробь периодична, то последовательность
un сначала монотонно возрастает, а потом стабилизируется и поэтому
начиная с некоторого п выполняется неравенство ип < п.
Следующие задачи указывают путь более строгого построения си-
стемы действительных чисел, чем это обычно делается в школе.
Далее будем рассматривать бесконечные десятичные дроби, а конеч-
ные дроби, если нужно, превращать в бесконечные, добавляя к ним
в конце бесконечную последовательность нулей.
9.7.	Будем говорить, что одна бесконечная десятичная дробь не
Меньше другой, если в них несколько начальных цифр совпадают,
а следующая цифра в первой дроби больше, чем во второй (или
сРазу начальная цифра первой дроби больше). Могут ли эти дроби
Изображать равные числа?
9.8.	Докажите, что между любыми двумя числами найдется
бесконечно много как рациональных, так и иррациональных чисел
(число а лежит между бис, если b < а < с).
107
9.9.	Докажите, что для любой бесконечной возрастающей огЛ|
ниченной последовательности десятичных дробей найдется дробь, 
которой для любого п первые п цифр совпадают с первыми п цифрами
любой дроби из этой последовательности, имеющей достаточно болы
шой номер (последовательность ограничена, если все ее дроби меньше
некоторой одной и той же дроби). Докажите, что эта дробь опре-
деляется по последовательности однозначно (и называется пределом
этой последовательности).
9.10.	Для каждой дроби, заканчивающейся девяткой в периоде,
найдется дробь, заканчивающаяся нулем в периоде, изображающая
то же самое рациональное число. Остальные дроби назовем истинно
бесконечными. Различные истинно бесконечные дроби изображают
различные числа.
9.11.	Докажите, что любая дробь является пределом некоторой
бесконечной ограниченной возрастающей последовательности дробей,
а для истинно бесконечной дроби эту последовательность можно
составить из дробей, заканчивающихся нулем в периоде.
Определим сумму двух бесконечных дробей, не заканчивающихся
девяткой в периоде, следующим образом. Рассмотрим последователь-
ности из предыдущей задачи, построенные для этих дробей (если
дробь заканчивается нулем в периоде, то в качестве такой последо-
вательности берем саму эту дробь, повторенную бесконечное чисд
раз). Складывая члены этих последовательностей, имеющие один!
ковые номера, получим последовательность такого же вида. Преде
ее и назовем суммой двух дробей.
9.12.	Докажите, что для любых чисел а, Ь, с имеем
а + b — b + а, а + (Ь + с) = {а + Ь) + с	;
(не забудьте, что рациональные числа вида т  10-" изображаютс
дробями двумя способами).
9.13*	. По аналогии с предыдущей задачей определите умноженй
дробей и докажите тождества ab — Ьа, а(Ьс) = (ab)c, (а + Ь)с = ас + Ьс.
9.14*	. Докажите, что для любой дроби а найдется дробь Ь, така!
что ab — 1. Выбрав дробь «о так, чтобы 0 < 1 — аоа, можно получи^
число а как предел последовательности дробей ап-ц — 2ап — аа„.
Из 9.14 следует, что для любых дробей а и Ъ найдется дробь <
такая, что cb = а; соответствующее ей число обозначают а/Ь.
Аналогичная задача для сложения имеет решение только есЛ
а > Ь; тогда через а — b обозначают такое число с, что с + Ь = а. Чтоб1
она имела решение всегда, введем в рассмотрение отрицательны
числа, которые будем изображать дробями со знаком минус персу
ними (нулевая дробь пишется без знака:—0 = 0). Определим операци]
над положительными и отрицательными дробями с помощью равенст
(—а)Ъ — а(—Ъ) — —ab,	= ab, (—а) + (—6) = —(а + b), j
108	'
{b — a,	.	если	b	> a,
—(a —	b),	если	b	< a,
( a — b,	если	a	> b,
I — (b —	а),	если	a	< b.
9.15.	Докажите, что для дробей со знаками и так определенных
операций над ними справедливы все тождества, указанные в задачах
9.12 — 15, а также что для любых дробей а и b найдется дробь с
такая, что с + b = а.
Соответствующее число обозначается а — b и называется разностью
а я Ь. Разность 0 — а обозначается просто —а.
9.16*	. Докажите, что для любого а > 0 и любого натурального п
найдется такое единственное Ь, что Ьп = а-, оно обозначается i/a.
Далее предлагаются задачи на доказательство иррациональности
некоторых чисел.
9.17.	Докажите, что для любого a € N либо у/а G N, либо оно
иррационально.
9.18.	Докажите иррациональность чисел
1/2 + i/З, 1/2 + ^3, ^2 + v^, 1/2 + \/3 + 1/5.
9.19*	. Докажите иррациональность чисел	^4+ У8,
9.20.	Будет ли иррациональным число (у/2 + 1)" — (1/2 — 1)п?
9.21.	Будет ли иррациональным число i/n3 + 1 при нечетном п?
А при четном?
9.22*	. (Материалы жюри IMO) Будет ли иррациональным число
У1/5 + 2- ^1/5-2?
Числа xi,...,xn называются рационально независимыми, если для
рациональных чисел qi, ...,qn равенство 9iXi + ... + g„a:„ = 0 справедливо
лишь когда все q, — 0.
9.23*	. Пусть 61,...,6т — разные произведения различных простых
чисел из множества {pi, ...,pn}, т < 2П — 1 (произведение может со-
стоять и из одного множителя) . Докажите, что числа 1, y/5i,..., лДт
являются рационально независимыми и выведите отсюда, что число
\/2 +	+ 1/5 + л/7 + л/П + 1/13 иррационально.
9.24.	Пусть pi,...,pn — различные простые числа. Докажите, что
их логарифмы 1пр,- рационально независимы.
Следующие задачи посвящены понятию предела.
9.25.	Докажите, что из любой бесконечной последовательности
чисел можно выбрать монотонную бесконечную подпоследовательность
(неубывающую или невозрастающую).
109
9.26.	а) (Вейерштрасс) Докажите, что монотонная ограниченна
последовательность чисел имеет предел.
б)* Докажите, что число
е = 2 + 1/2! + .... + 1/п! +
равное пределу lim (2 + 1/2! + .... + 1/п!), иррационально,
и—too
9.27.	(Больцано - Вейерштрасс) Докажите, что из любой ограна
ченной бесконечной последовательности можно выбрать бесконечную
подпоследовательность, имеющую предел.
В последнем цикле задач речь идет о бесконечных цепных дробя)
9.28.	Докажите для любой цепной дроби, что подходящие к не;
дроби с четными номерами образуют возрастающую, а с нечетными ->
убывающую последовательность. При этом любая дробь с нечетны!
номером больше любой дроби с четным номером.
9.29.	Докажите, что значение а цепной дроби связано с е
подходящими дробями неравенством |а — ^-| < qkq 
Наряду с конечными можно рассматривать и бесконечные цепнь!
дроби, причем составленные из произвольных положительных элеме!
тов. Для таких дробей верны утверждения 9.25, 27. Дробь называете
сходящейся, если пределы последовательностей четных и нечетны
подходящих к ней дробей равны.
9.30.	Докажите, что любая цепная дробь с натуральными элемен-
тами сходится.
Можно доказать, что для сходимости произвольной цепной дро-
би необходимо и достаточно, чтобы сумма первых п ее элементов
неограниченно росла с ростом п.	!
Отметим, что любое рациональное число разлагается в конечнуВД
цепную дробь. Если же разложить иррациональное число в цепную)
дробь, то она окажется бесконечной.
9.31.	Докажите, что предел цепной дроби числа равен самому
числу.
Тем самым устанавливается взаимно-однозначное соответствие ме-
жду действительными числами и представляющими их цепными дробя-
ми. Рациональным числам соответствуют конечные, а иррациональ-
ным — бесконечные дроби.
9.32.	Докажите, что	!
/ 1 ! \3 _ 1 i / 1 1 \2 _ 1 1
\1+1 + / — 4+4+’”’ \1+1 + / ~3-3^ ””
9.33.	И вообще, для произвольных натуральных п, к существую
такие натуральные m,l,s, что	'
/_1___1_ \2fe+1_ J_____1_	/ 1 1	_ 1 1
\n+n+	/ m+ m+ \n+n+	) l—l— ’’ r
no
(2 i V_j__L
\n— n— J s— s—
9.34*	. Докажите, что справедливы следующие равенства
/_i___iVfc+1__L_L 1 У2*_ i j_
\ 1+ 1 + /	я+ я+ у 1+ 1+/ b— b—
где a = F2k+2 + F2k,b = F^k+i + F^k-1, a Fn —последовательность
Фибоначчи.
9.35*	. В равенствах задачи 9.33 при п = F2r+2 + ^2г числа т и I
равны
т = -F(2fc + l)(2r+l)+l + ^(2fc + l)(2r + l)-li
I = ^2fe(2r+l)+l + ^*2Л(2г + 1) —1 >
а если n = F^r+i + F2r-i, to s = Ftrk+i + T^rfe-i-
9.36*	. (Л. H. Колмогоров) Пусть, как и ранее, символ [х] обозна-
чает Целую часть числа х. Положительным вещественным числом
называется однозначная функция
т — <р(п),
определенная для всех натуральных чисел п, принимающая целые
значения т и обладающая следующими свойствами:
1)	для всех натуральных чисел к справедливо равенство
у>(п) =
y(kn)
к
2)	для любого натурального числа п существует такое натуральное
число к, что
ip(kn) > к<р(п).
Положительные вещественные числа будем обозначать малыми гре-
ческими буквами, а множество всех положительных вещественных чи-
сел буквой Ф. Отношение порядка и операции сложения и умножения
вводятся в множестве Ф следующим образом.
Неравенство < ф между вещественными числами <р, гр обозначает,
что существует такое натуральное число п, для которого имеют место
соотношения
<р(п) <	= V'(l), • -.,<р(п - 1) = t/>(n - 1).
Сумма х — Ч> + Ф обозначает, что для всех натуральных п
\ <р(кп) + ф(кп)'
Х(п) = max -i—,
fc	k
111
i к максимум берется по всем натуральным к. -
Произведение х — Р ’ Ф обозначает, что для всех натуральных п
х(”)
= max
к,к1
<р(кп)ф(кп)
кк'п
где максимум берется по всем парам натуральных чисел к, к'.
Докажите, что множество Ф с определенными выше отношением
порядка и операциями сложения и умножения обладает всеми свой»
ствами обычных положительных вещественных чисел, т.е. изоморфна
системе положительных вещественных чисел, построенных любы»
другим общепринятым способом.
УКАЗАНИЯ	;
9.14.	Если 1 — апа = еп, то сп+1 = <п’
9.20.	Ответ: нет.	!
9.21.	Примените индукцию по п.
9.22.	Ответ: нет, так как оно равно 1.	;
9.23.	Примените индукцию.	,
9.24.	Примените основную теорему арифметики (задача 3.17).
9.26.	б) Сначала примените задачу 9.26а), а при доказательстве иррациС
нальности рассуждайте от противного.
9.32-9.35. Положим	j
- 1	1	I
п+	П-1-	’	J
тогда	ч
Р = —;— ,	0 < р < 1,
п + Р
значит,
\/п^ + 4 — п
Обозначим р 2fc+' — p2k 1 через у*, тогда
Уо = ~У1 = ~п, уь+i = Ук(р2 + р 2) - J/k-i = У*(п2 + 2) -	£ N,
поэтому p2fc"*’1 есть корень уравнения
1	ч
Г = ---;--,7П = У*+1бК.
х + т	,
Значит,	.	j
р2*+> =------!__ = J—1
ТП 4-	?п+ ?пЦ-	<1
1
так как 0 < р2*+1 <1.	'
Пусть n = 1. Докажем, что Ук = ^2к-2 + ^2к  Это верно при fc=l,2. Дале)
по индукции имеем
У к+1 — $Ук — У к-1 = 3F?k + 3F2j,_2 — ^2fc-2 ~ ^2fc—I =	j
= 3F2(t + 2F2fc_j - F2fc_4 —
= Fik + (IFlk -H'2^2*-2 ~ Гк-2 + ^2Р-з) =
= F2k + (2F2fc + F2k-2 + p2k-3 ) = Fik + (2F2k + Fzk-l ) —	1
= p2k + (Fik + F2*+i ) = F2k+2 + ?2k-
112
Обозначим р 2к + р2к через zk, тогда
го = 2, zi - п2 + 2, zk+i = zkzi - zk~i = zk(n2 + 2) - zk~i 6 N,
поэтому
2Jb
рл есть корень уравнения
l = Zfc+1 eN.
Значит,
p2k
так как
Если
О < p2k < 1.
n = 1, TO zk = F2k+i + F2k-i, так как
«1 — 3 = F3 + Fi, zo = 2 = Ft + F—i,
zk+i = 3zfc - zfc_i = 3F2fc+i + 3F2it-i - F2k~i - F2k~3 — К2*+з + F2fc+J.
Пусть
1
1
1
n--------
тогда A = ^,
Обозначим А к + Afc через хк, тогда
х0 = 2,xi = n,rfc+i = xfc(A + j) - xk_i
=	— Xfc-i € N,
следовательно, А* есть корень уравнения
S = Sfe-ц e
N.
X = --------
I — X
1
1
1
A =
n
2
1
X = ---------
S — X
Поэтому
А*
1
1
s —
1
3 —
так как 0 < А* < 1.
9.36. Покажите, что при любом натуральном
числе г функция
<^>(n) = ¥>r(n) = nr — 1
113
удовлетворяет условиям 1 и 2, т.е. является положительным вещественным
числом.
Это “число” ipr естественно идентифицировать с натуральным числом г.
Присоединив к множеству Ф функцию <р = 0, т.е. число нуль, условившись,
что
0 + 0 = 0, 0-0 = 0
и для всех из Ф
0 < ip, ip + 0 = 0 + ip = fp, <р - 0 — 0 • = о,	л
i
получим систему неотрицательных целых чисел.
Для любого <р из Ф положим |у>] = m — наибольшему целому числу, н«Г
превосходящему ip, т.е.	|
m < tp < m + 1	Л
(целая часть числа р).	J
Затем для любого неотрицательного целого числа тп и натурального числм
п определим операцию деление в Ф как действие, обратное умножению и целом
число [тп/п], которое совпадает с неполным частным этих чисел, определенным!
непосредственно.
Наконец, 14Ъжно -доказать, что для любого р из Ф	1
{рп — 1,	если ip — целое число,
г 1	1
— 1,	если ip — нецелое число.	«
Таким образом </>(п) — наибольшее целое число т, для которого
ч
m
~ < р.
п	’
§ 10.	КВАДРАТНЫЕ КОРНИ, ЦЕПНЫЕ
ДРОБИ И УРАВНЕНИЕ НЕЛЛЯ
10.1.	Разложите в цепную дробь числа х/3, х/5, л/б.
10.2.	Разложите в цепную дробь числа у/»2 + 1, где п — нату-
ральное.
10.3.	Разложите в цепную дробь числа
у/(пт)2 + 2m и /(пт)2 + т,
Ч
где т, п — натуральные.	‘
10.4*	. Докажите, что среди чисел у/У только числа вида, указан-!
ного в 10.3, разлагаются в цепные дроби с. двучленным периодом.
10.5*	. (Серпинский) Докажите, что для числа О =
— [(4m2 4- 1)п + т]2 + 4тп -|- J, где т,п — натуральные, цепная дробь
для у/Т) начинается с числа а = (4m2-|- l)n-|-m, и далее является
периодической с элементами периода 2z/i, 2m, 2а.	,
114	j
Серпинский доказал, что только квадратные корни указанного вида
разлагаются в цепные дроби с трехчленным периодом.
Целью этого трудного цикла задач является доказательство теоре-
мы Лагранжа - Галуа о периодичности цепных дробей для квадра-
тичных иррациональностей и оценка длины периода.
Число называется квадратичной иррациональностью, если оно
является корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами.
Это уравнение будет определено однозначно, если потребовать, чтобы
его коэффициенты не имели общего делителя, на который их можно
было бы сократить, а старший коэффициент был бы положителен.
10.6.	Докажите, что квадратичная иррациональность имеет вид
где Р — целое, a Q и D — натуральные, D не является
точным квадратом, а Р2 — D делится на Q.
Числа P~qD и называются сопряженными.
Квадратичная иррациональность а представляется в виде PiqP,
указанном в 10.6, не однозначно.
10.7.	Докажите, что если из всех представлений числа а выбрать
представление с. минимальным D, то оно уже будет единственным,
причем D будет равно дискриминанту минимального квадратного
уравнения для а, определенного в 10.6. Это число называется дис-
криминантом иррациональности а.
Числа ли/? называются эквивалентными (обозначение л ~ /?),
если для некоторых целых чисел p,p',q,q' таких, что \pq' — p'q[ = 1,
справедливо равенство
р/? + р'
а — —-----
?/? + q
10.8.	Докажите, что а~а,а'----л, а ~ л + т при всех целых т,
а ~ 1/л; если а ~ /?, то /? ~ л; если л ~ /?,/? ~ 7, то а ~ 7; если л
разложено в цепную дробь, то все ее остатки гп ~ а.
10.9.	Докажите, что если квадратичные иррациональности а и /3,
эквивалентны, то их дискриминанты равны.
10.10.	Докажите, что все числа вида ai + Лгл/О, где ai и
«2 рациональные, являются квадратичными иррациональностями с
дискриминантами, делящимися на D; их множество обозначим Q(y/D).
Проверьте, что результат арифметической операции над числами из
множества	принадлежит ему же.
Число а =	называется приведенным, если а > 1 и для
сопряженного числа а' справедливо неравенство — 1 < л' < 0.
10.11.	Докажите, что
0<Q< Р + У5<2/0, \VD-Q\ < Р < у/D,
115
и, следовательно, существует лишь конечное количество приведен-
ных квадратичных иррациональностей с данным дискриминантом D,
которое обозначим через K(D). Проверьте, что
K(D) < [VD]2 + [х/D],
и для Q = 1 существует лишь одна приведенная иррациональность,'
а именно [х/Д] + х/О, которая среди всех приведенных иррациональ-
ностей с данным дискриминантом D наибольшая по величине, а для,
числа Q = 2[\/D] также существует лишь одна приведенная иррациоД
дальность, именно,	я
([л/Р] + v<D)/2[v<D],	I
которая среди всех приведенных иррациональностей с данным дис-^
криминантом D наименьшая по величине.
10.12.	Проверьте, что вторая по величине среди приведенных ир-
рациональностей с данным дискриминантом D, равна ([х/О] + y/D)/2,
если D и [х/D] одинаковой четности, и равна ([х/Д] — 1 + \/D)/2, если
D и [х/Д] — 1 одинаковой четности, причем она является единственной
приведенной иррациональностью с Q — 2. Проверьте, что третья по
величине среди приведенных иррациональностей с данным дискрими-
нантом D, в случае D вида ЗА: равна (Р + \/Д)/3, где Р — то из чисел.
[х/Д] - 2, [х/Д] - 1,[л/27], которое кратно 3, (в этом случае имеется!
одна приведенная иррациональность с Q = 3), в случае D вида ЗА:-|-1|
равна (Р+х/Д)/3, где Р наибольшее из [х/Й] — 2, [х/Д] — 1, [х/Д], нё|
кратное 3 (в этом случае имеются две приведенные иррациональности^
с Q = 3), в случае D вида 12А: + 8 или 12&4-5 равна (Р + y/D)/4, где]
Р — то из чисел [х/Д], [х/Д] — 1, которое имеет одну четность с О
(в этом случае не имеется ни одной приведенной иррациональности
с Q= 3), а в оставшихся случаях она не больше ([х/Д] + х/Д)/5, та^
как тогда нет ни одной приведенной иррациональности с Q — 3, 4.
10.13*	. Обозначим /С(Д, Q) число таких Р— 1,2, что D — Р2
делится на Q. Докажите, что
K(D) < K(D, 1) + K(D, 2) + ... + K(D, 2[х/Д]) < х/^Д3/4 +	j
V »	V м	J
Проверьте, что при всех D справедливо неравенство	;i
, $
K(D) < D.	j
10.14*	. Докажите, что чисто периодическая цепная дробь равна i
квадратичной иррациональности а такой, что а > 1, — 1 < а' = —< 0, j
где /? определяется цепной дробью, период которой записывается теми !
же числами, что и а, только в обратном порядке.	1
116
10.15.	(Эйлер) Докажите, что любая (смешанно) периодическая
цепная дробь изображает квадратичную иррациональность.
10.16*	. (Лагранж - Галуа) Докажите, что любая квадратичная
приведенная иррациональность с дискриминантом D разлагается в*
чисто периодическую цепную дробь с периодом, йе превосходящим
/ад.
Согласно 10.8 все приведенные квадратичные иррациональности с
дискриминантом D разбиваются на непересекающиеся классы, состо-
ящие из всех попарно эквивалентных чисел каждый.
10.17*	. Докажите, что для каждой приведенной иррациональности
длина периода соответствующей дроби равна количеству чисел в
классе, содержащем эту иррациональность, и, следовательно, сумма
периодов попарно не эквивалентных приведенных- иррациональностей
с дискриминантом D не больше K(D).
10.18*	. Докажите, что все элементы цепной дроби из 10.16 не
превосходят 2[а/7?], причем на периоде это число встречается не бо-
лее одного раза, а все остальные элементы периода не превосходят
наибольшего из чисел [x/jD] и [а/О] — 1, имеющего одинаковую чет-
ность с D, причем это число встречается на периоде не более одного
раза. Если на периоде цепной дроби для иррациональности с дис-
криминантом D встречается число 2[а/О], то эта иррациональность
эквивалентна у/Т).
10.19*	. Докажите, что y/N + [a//V] представляется чисто периоди-
ческой цепной дробью, причем период начинается числом 2[x/jV], а
оставшаяся его часть состоит из чисел, не превосходящих [x//V], и не
меняется, если ее записать в обратном порядке, причем числа [\/А]
или [v^/V] — 1 могут стоять только в ее середине.
10.20*	. (Теорема Лагранжа) Докажите, что любая квадратичная
иррациональность с дискриминантом D разлагается в периодическую
цепную дробь с периодом, не превосходящим K(D).
Следующий цикл задач посвящен уравнению Пелля, которое, воз-
можно правильнее называть уравнением Архимеда - Брахмагупты -
Бхаскары - Ферма. Пусть N не является квадратом натурального
числа. Уравнению х2 — Ny2 = 1, которое надо решить в натуральных
числах, Эйлер по недоразумению приписал имя Пелля (в случае,
когда N — квадрат, оно не имеет таких решений, — разложите на
множители).
10.21.	Проверьте, что если (xi,j/i) и (а^Уг) — решения этого
уравнения, то натуральные х и у такие, что
х + yy/~N = (ii + У1а/А)(ж2 +У2у/^),
тоже будут его решениями.
117
10.22.	Докажите, что если два числа представимы в виде x2 — Ny2,
где х т у — натуральные, то их произведение тоже представимо в
таком виде.
10.23.	Пусть
= х2 - Nvl ~ к,
к — натуральное число, пары	и	различны и имеют оди-
наковые остатки при делении на к. Докажите, что пара натуральны^
х и у таких, что	;
х + yy/N = (xi + yiy/N)/(x2 - yiVN) =
s
= (xi + yiy/N)(x2 + y2y/N)/(x2 - Nyl),	«
является решением уравнения х2 — Ny2 = 1.
10.24.	Докажите, что если пара натуральных чисел (х, у) —
решение уравнения х2 — Ny2 — 1, то пары натуральных чисел {хп,уп)/
такие, что
хп + Упу/N = (xi + yiy/N)n,
являются также его решениями.
10.25*	. Пусть пара натуральных чисел (х,у) — решение уравнения
х2 — Ny2 — 1 с наименьшим х + yy/~N. Докажите, что все решения
уравнения получаются из х,у так, как указано в 10.24.
В следующих задачах речь идет о решении отдельных типов урав-
нения Пелля.
10.26. 10.27. 10.28.	Решите уравнение х2 — (п2 + 1 )т/2 = 1. Решите уравнение х2 — ((пт)2 4- т)у2 — 1.	’ Решите уравнение х2 — ((пт)2 + 2т)у2 = 1.
10.29.	Решите уравнение х2 — (п2 — l)j/2 = 1.
10.30.	Решите уравнение х2 — (п2 — 2) у2 = 1.
10.31.	Решите уравнение х2 — ((nm)2 — т)у2 — 1.
10.32.	Решите уравнение х2 — ((nm)2 — 2т)у2 = 1.
Далее	предлагается доказать разрешимость уравнения Пелля 1
общем виде.	
10.33. Разложим т/N в цепную дробь.Докажите, что
0 < Р2п - N<12n < Ъ'/М + !•
10.34*	. (Лагранж) Докажите, что уравнение Пелля х2 — Ny2 = ij
имеет бесконечно много решений в натуральных числах.	<
118
10.35*	. (Метод лорда Браункера) Пусть разложение y/N в цепную
дробь имеет вид
1
а о Ч----------------------
oi Ч-----------------
1
ап Ч---------------------------
2 а о Ч-------------------
ад Ч---------------
(а это верно согласно 10.19). Тогда числитель и знаменатель п-й
подходящей дроби рп/Уп удовлетворяют уравнению
а;2 - Ny2 = (-!)"“
Если п нечетно, то получается решение уравнения Пелля. Если п
четно, то его решением будет х = Р2п+1, У = </2»>+1 •
Можно доказать, что метод Браункера в действительности дает ми-
нимальные решения;однако, видимо, неизвестно, как охарактеризовать
^исла 7V, для которых получается четное п.
1 10.36*. Применяя метод Браункера, найдите решения уравнений
Пелля для N = [(4m2 Ч- l)n + m]2 + 4тп + 1, где т,п — натуральные.
В следующем цикле задач рассматривается так называемое урав-
нение “минус Пелль”.
10.37	*. В отличие от уравнения Пелля уравнение х2 — Ny2 = — 1
не всегда имеет решение. Докажите, что если N делится на 4 или
какое-нибудь простое число вида 4k 4- 3, то это уравнение решений
не имеет.
Условие, указанное в 10.37, не является необходимым, так как оно
не выполняется для N = 34, а уравнение х2 — 34у2 = —1 неразрешимо
в целых числах. В тех случаях, когда уравнение х2 — Ny2 = М
разрешимо, его решения можно отыскать с помощью подходящих
дробей к цепной дроби для y/N.
10.38	*. (Лежандр) Докажите, что если р — простое чиуло вида
4Jt-|-
4-1, то уравнение х2 — рту2 = —1 при т 6 N разрешимо в натуральных
числах.
119
10.39	*. Докажите, что если длина периода дроби для у/N нечетна,
то N можно представить в виде суммы квадратов натуральных чисел.
То же самое верно, если найдутся две приведенные квадратичные
иррациональности, у которых периоды взаимно обратны, то есть
один из них получается из второго, если его числа переставить в
противоположном порядке.
10.40	. Докажите, что если уравнение х2 — Ny2 = М разрешимо в
целых числах, то оно имеет бесконечно много таких решений.
10.41	*. Пусть длина периода цепной дроби для у/N равна п.
Докажите, что последовательность р% — N<]% периодическая с периодом
п, если п четно и антипериодическая с антипериодом п, если п нечетно,
а, следовательно, периодическая с периодом 2п. Период начинается
с k — 1 (последовательность называется антипериодической, если ее-
член меняет знак при прибавлении к ее номеру длины антипериода).;
Несколько задач на применение уравнения Пелля.	J
10.42	. Сколько существует прямоугольных треугольников с це-)
лочисленными сторонами (пифагоровых треугольников), у которых)
длины катетов отличаются на 1?	:
10.43	. Решите в целых числах уравнение (х + I)3 — z3 = у2.	[
10.44	. Докажите, что если уравнение х2 — 2у2 — п разрешимо]
в целых числах, то существует его решение, для которого имеем]
неравенства 0 < х < у/2п, 0 < у < у/п/2.	1
Два примера радикалов с длинными периодами цепных дробей. I
10.45*. Докажите, что разложение д/»2 + и + 1 при п = 3fe имеет!
период
1,1,^ - 1,1,5,^- 1,1,..., 1,2-З’-1 - 1, '~~ 1, 1,..., 1,2 • З*-1 - 1,1,2»
о	о9	i
и его длина с точностью до нескольких единиц равна ~ log3 D, где ;
D = п2 + п + 1.	I
10.46*. Докажите, что разложение числа у/Т) при D = п2 — а,
п = (2ак + а + 1)/2 и нечетном а > 1 имеет период	,
1,2afc-1, а, 2afc-2, а2,...,	'
2а,ак~1,2,п- 1,2,а*-1,2а,...,а,2afc-1,1,2п- 2
и его длина с точностью до нескольких единиц равна 2 loga D. J
10.47**. (М. 3. Гараев) Докажите, что уравнение
х3 + У3 = (ху)2 + (z + у)2
не имеет решений в натуральных числах х,у.
120
10.48	**. (М. 3. Гараев) Докажите, что уравнение
х3 +	- (Sxyz - I)2
не имеет решений в натуральных числах х,у, z.
10.49	**. (М. 3. Гараев) Пусть тп,п — натуральные числа, п > 2.
Докажите, что уравнение
2”-1(х"+«/")= (х-у)тп
не имеет решений в натуральных числах х,у.
10.50	**. Докажите, что: а) уравнение Л. Эйлера
t2 = Axyz — х — у
не имеет решений в натуральных числах t,x,y, z.
б) ** (М. 3. Гараев) Обобщенное уравнение Л. Эйлера
t2 = Axyzuv — хи2 — yv2
не имеет решений в натуральных числах t,x,y, z,u,v.
10.51**. (В. Серпинский) Докажите, что: а) уравнение
х4 + 9;с V + 27/ = z2
не имеет решений в целых числах х, у, z.
б) **. (М. 3. Гараев) Уравнение
х3 + / + 4у3 = 6xyz
имеет в ненулевых целых числах х,у, z единственное решение (1,1,1)
с точностью до пропорциональности общему множителю чисел х, у, z.
10.52**. (Д. Д. Сильвестр) Пусть А, В, С, D — произвольные ве-
щественные числа, (а,/?,у) — произвольное решение уравнения
Ах3 + By3 + Cz3 — Dxyz.
Тогда, докажите, что
ABCf3 + g3 + h3 = Dfgh,
где
h = A2Ba6^ + B2Cffy3 + С2Л76а3 - ЗЛВСа3/?3-/3,
g = ЛВ2а3/?6 4- ВС2(Ру6 + СА2у3а& - ЗАВСа303у3,
121
f = a/h(A2a6 + В2/?6 + G2/ - ABa3ff3 - ACa3-f - BCffiy3). 4
10.53**. (M. 3. Гараев) а) Пусть n — целое число и уравнение ;
х3 + у3 + у3 = nxyz
разрешимо в ненулевых целых (натуральных) числах.
Тогда докажите, что для любого натурального числа N существу»
такой набор (x(N),y(N), z(N)) ненулевых целых (натуральных) Ч]
сел, являющийся решением этого уравнения, который удовлетворяв
условиям
(г(ЛГ),2/^)) = (г/(^(^Л) = 1.
б)	Пусть п — натуральное число, х, у, z — попарно взаимно проста
натуральные числа, удовлетворяющие уравнению
i,
О о *э
х 4- у + у = nxyz.
Пусть, далее, d = (х + у, z), т.е. х + у = da, z = db, (a, b) — 1.
Тогда докажите, что существует натуральное число а, такое, чЦ
п3 дает остаток 27 при делении на число а, (а, а) = (а, Ь) = .
наибольший общий делитель чисел а и nb — а является делителе
числа 4, кроме того, выполняются равенства	i
a(4rf2&2 + п(х — у)2) — a(n2ab — па2 4- 1262),
a(d2b2 + п(х — у)2) = (nb — а)(па2 — 362).
в)	Пусть натуральное число п имеет вид 4к или 8fc — 1 ил:
22m+1(2fc- 1)4-3, где к и т — натуральные числа. Тогда уравненм
х3 + у3 + z3 = nxyz
и
не имеет решений в натуральных числах x.,y,z.	)
г)	При значениях п, указанных в п. в) этой задачи уравнение '
не имеет решений в натуральных числах х,у, z.
10.54	**. (М. 3. Гараев) Пусть функции	д(п,т) натураль-
ных аргументов п,т, принимающие неотрицательные целые значения,;
таковы, что система неравенств
( п <	/(», т) + '2д(п, т) + 5,	",
[ т < 2/(z», т) + д(п, т) + 5,
122
имеет конечное число решений в натуральных числах п, т.
Тогда докажите, что уравнение
х3 + f(x, z)x2 4- д(х, z)x + у + 1 — xyz
также имеет конечное число решениий в натуральных числах х, у, z.
10.55	**. (X. Хессами Пилеруд) а) Пусть к — не делящееся на 3,
нечетное число. Тогда докажите, что уравнение
х2 = у3 — (4ж2 — 1)
не имеет решений в натуральных числах х, у.
б) Докажите, что уравнение
х2 = у3 - 10
не имеет решений в натуральных числах х, у.
10.56	*. (М. 3. Гараев) Пусть при целых х,у число к =	—
целое. Тогда к = 1.
10.57	**. (X. Хессами Пилеруд) а) При N = 205,12317 = 109 -113,505
уравнение х2 — Ny2 = — 1 неразрешимо в целых числах.
б)	Пусть уравнение х2 — Ny2 = — 1 разрешимо в целых числах.
Тогда существует представление числа N в виде N = А2 + В2, где А
и В — натуральные числа, (А, В) = 1, причем А является нечетным
числом и квадратичным вычетом по модулю N.
в)	Пусть р — простое число, р = 5 (mod 8). Тогда уравнение
х2-2ру2 = -1	(*)
разрешимо в целых числах.
г)	Пусть р = 1 (mod 8), т.е. р — А2 + 16В2, где А, В — натуральные
числа. Тогда если р= 1 (mod 16), В — нечетное число, то уравнение
(*) не имеет решений в целых числах; если р 1 (mod 16), В —
четное число, то это уравнение также не имеет решений в целых
числах.
Одной из классических задач теории диофантовых уравнений явля-
ется задача о разрешимости уравнения
х3 + у3 = az3
в целых ненулевых числах х,у, z. Здесь а — целое число. Фундамен-
тальный вклад в исследование подобного рода уравнений был внесен
Б. Н. Делоне и Д. К. Фаддеевым.
Ряд важных результатов, касающихся этого уравнения, приведен
в известной монографии Л. Д. Морделла “Diophantine equations”,
Academic Press (London), 1969. Там же доказано следующее утвер-
ждение.
123
Теорема, (см. стр. 127) Пусть pi,P2,p,q — простые числаЯ
Р1,рг,р = 5 (mod 18),9 = 11 (mod 18). Тогда, если	|
а G {P,2p,9p,p2,9p2,4p2,pg,p1p^9,4g,9g,292,g2,992,gi92,p2?2},
то уравнение х3 + у3 — az3 не имеет решений в ненулевых целых
числах x,y,z.
Ниже через Z[p] будем обозначать кольцо целых чисел a + Ьр, где
a, b G Z, р2 4- р + 1 = 0. Для чисел zi,z2,c из этого кольца будем
писать zi = Z2 (mod с), если Д1~га G Z[p],
10.58	. (X. Хессами Пилеруд) Пусть а, b — целые числа, s— простое
число, а2 + 362	0 (mod s). Тогда (а + Ьу/^3),3~1 = 1 (mod s).
10.59	**. (Нагель) Пусть q — простое число, q = 1 (mod 3), q =?
, где 91,92 — натуральные числа. Тогда все делители числа
9192 являются кубическими вычетами по модулю q.	i
10.60	**. (X. Хессами Пилеруд) Пусть р, q — простые числа,р = ‘
(mod 3), 9 = 1 (mod 3), 4q— р2 3 (mod 9). Пусть, далее, р не является
кубическим вычетом по модулю q. Тогда уравнение
х3 + у3 = pqz3
не имеет решений в ненулевых целых числах х,у, z.
10.61	. Пусть А Е N, А ф 1, и пусть для каждого t Е N величины ut £
N, vt Е N определены из соотношения ut+vt>/A2 — 1 = (А + >/А2 — l)f.
Тогда при n Е N,m 6 N и (n,m) = 1 имеем
{А, если п — нечетное, m — четное,	|
1	I
1, в остальных случаях,	J
I А, если п — нечетное, m — нечетное,	;
(Дп , Дт) — I
(. 1, в остальных случаях.
10.62	. Пусть А Е N, А / 1, t — нечетное натуральное число. Тогда
натуральные числа X, U однозначно определяются из равенства }
При этом имеем
^±Ах2 - —-и2 = 1.
2	2
В 1963 г. В. Серпинский и А. Шинцель нашли все решения уравнения
(г2 - 1)(у2 - 1) - (z2 - I)2, ar.y.zGZ, М#|у|, |z| # 1,
с условием х — у = 2z. З.-Ф.Као и Я. -Б. Ван доказали, что это
уравнение не имеет решений, удовлетворяющих условию х — у =
kz, к € N, к < 30, к ф 2. Для произвольных значений параметра к Е N
подобный результат был получен в работе X. М. By и М. X. Ле, но
при условии, что неизвестные х, у являются четными натуральными
числами.
10.63	. Докажите, что рассматриваемое выше уравнение не имеет
решений в целых (x,y,z), удовлетворяющих условию х — у = кг, где.
kE®, к £2.
УКАЗАНИЯ
10.4.	Воспользуйтесь задачей 10.11.
10.9.	Если а/32 4- Ьр 4- с ~ 0, D = Ь2 — 4ас, то число а =	удовлетворяет
уравнению Аа2 4- Ва 4- С — 0,
В2 - 4АС - D(pq' - p'g)2 = D, '
поэтому дискриминант числа а не больше дискриминанта числа р\ меняя а и
р местами и применяя 10.8, получаем обратное неравенство.
10.13.	Применяя 4.10, проверьте, что
K(D,Q) = K(D,p°')...K(D,p°*),
где Q —	...р„п — каноническое разложение на простые множители числа Q;
заметьте, что K(D.p'^P) равно или 0, или его можно оценить сверху числом
таких Р = 1,...,Рт”> что А2 — Р2 делится на Pm”, где А — одно из чисел
l,..,Pmm1 такое, что D — А2 делится на p™"; если (A,pm) — 1,рт > 2, то искомая
оценка равна 2 и то. же верно в случае, когда А2 не делится на р™", а если
рт = 2, то искомая оценка равна 4, и в оставшихся случаях оценка равна
р^"*/21; в итоге получается, что K(D, Q) < 4^/Q/3 и остается воспользоваться
неравенством
1 4- \/2 4- - 4-	< -г3/2 4- -х1/2.
3	2
10.14.	Примените 7.6 и 7.8.
10.16.	Докажите индукцией по п, что все остатки этой цепной дроби будут
приведенными квадратичными иррациональностями и примените 10.8,10.9,10.11;
заметьте, что если rn = rmt то гп = гт и, положив [in — г—> выведите из
равенства гп =	> что Дп+1 =	+ где otn—1 —‘ Целая часть числа
125
Рп, а так как rn = rm, то r„+1 = rm+i,rn+1 = rm+1,pn - pm,an-l =
значит,
1 1
r п— 1 — лп —1 4“	— ат— 1 +	— rm — I*
гп	Г т
10.20.	Проверьте, что при достаточно больших п остаток гп — приведенная
квадратичная иррациональность и примените 10.16.	,
10.26.	Наименьшее решение есть х = 2п2 4- 1,у — 2п; действительно, прц|
0 < у < 2п имеем	|
n2y2 < (n2 + 1)у2 + 1 < п2 + 2пу + 1 = (ny + I)2.	<
•*
10.27.	Наименьшее решение есть х — 2п2т + 1,у = 2п; действительно, npi
0 < у < 2п имеем
(пту)2 < ((nm)2 + т)у2 + 1 < (пту + I)2.	
10.28.	Наименьшее решение есть х = п2тп 4- 1,1/ = п; действительно, npi
0 < у < п имеем
j
(пту)2 < ((пт)2 4- 2т)у2 4- 1 < (пту + I)2.
10.29.	Наименьшее	решение	есть	х = п,у = 1.
10.30.	Наименьшее	решение	есть	х = п2 — 1,у = п.
10.31.	Наименьшее	решение	есть	х = 2п2т — 1, у = 2п.
10.32.	Наименьшее решение есть х = п2т —	= п.	?
10.33.	Примените 10.29 и заметьте, что	'
Pin + VNЧ2п —	q2n + Р2п - VNЯ2п <
< i^Nqin Ч--------< (2\/N + 1)<?2п+1
92п+1
10.35.	Так как rn+i = y/7V + c«o, и согласно 7.12 имеем
— Гп+*РП + Рл —1
fn+19n + 9п-1	,	|
то ввиду иррациональности \/N получим
Рп-i = Nqn - «opn,7n-i = рп - аод«;
далее примените 7.10.	.
10.37.	Если х2 — Ny2 — — 1, х, у Е Z, и N делится на простое р = 4к + 3, тсЙ
xp~l + 1 делится на р вопреки малой теореме Ферма.	4
10.38.	Пусть а и 6 — минимальное решение уравнения х2 — рту2 = 1, тогда:
а — нечетно, а2 — 1 делится на ртЬ2 и 4, значит, a±l = 2u2, а Т 1 = 2pmv2^
где 2uv — Ь, откуда u2 —pmv2 = ^1, но равенство и2 — pmv2 = 1 невозможно, так)
как |и| < а, |v| < Ь.	Я
10.39.	Найдется такой остаток г этой дроби, у которого период будем
симметричным, тогда согласно 10.14,10.8,10.9 для некоторых P,Q имеем г
=	= “г’ ОТКУД^ Р2 4- Q2 = АГ.	I
10.41.	Проверьте, что ^fc4~n =:	, где rn+i = <>о 4~ и восполь*|
9fc + n	“n + 14nT9n —1	т	Як	1.|
зуйтесь тем, что pn_j = Nqn — «оРп, 9п-1 =Рп —«о9п согласно указанию к 10.35J
и тем, что р2 - Ng2 = (-1)"-1.	Я
126
10.42.	Решите в целых числах уравнение (2х + I)2 — 2у2 = —1.
10.43.	Сведите его к уравнению (2у)2 — 3(2x4* 1)2 = 1.
10.44.	Если х, у — решение уравнения, то |3х — 4у|, |2х — Зу| тоже его
решение, причем, если х, у € N, х > \/2п, то х < 2у и |3х — 4у| < х, |2х — Зу| < у.
10.47.	Рассуждаем от противного. Пусть х 4" у = u, ху — v. Тогда
v2 4- 3uv — и2(и — 1) = 0, (2w 4- Зи)2 = и2(4и 4- 5).
Отсюда следует, что существует натуральное число tt такое, что	z
4u + 5 = (2t+ I)2, и = t2 + t - 1,
2v + 3Z2 4- 3Z - 3 = (Z2 + t - 1)(2Z 4- 1), v - (t2 + t - 1 )(Z - 1).
Итак, имеем
x 4- у = Z2 4-1 - 1, xy = (Z2 4-1 - 1 )(t - 1), t > 2.
Поэтому
(т - J,)2 = (Z2 4- t - 1 )(t2 4- t - 1 - 4(Z - 1)).
Числа Z2 4- Z — 1 и Z2 4- Z — 1 — 4(Z — 1) — взаимно просты, стало быть, число
Z2 4-1 — 1 — полный квадрат. Но при Z>2 имеем, что
Z2 < Z2 4- t - 1 < (Z 4- I)2.
Противоречие.
10.48.	Рассуждаем от противного. Пусть x,y,z — решение уравнения. Тогда
его можно переписать в виде
(х 4- у)((х 4- у)2 - Зху) = (3xyz - 1)2.
Поскольку х 4- У не делится на 3 и (х,у) = 1, то х 4“ У и (х4- у)2 — Зху —
взаимно просты. Поэтому существует натуральное число и, такое, что х4-у = и2.
Перепишем первоначальное уравнение в виде
9г2 (ху)2 — (6z — Зи2)ху — (и6 — 1) = 0.
Отсюда имеем	___________________
2z - и2 ± у/(2;Г- и2)2 4- 4z2(u6 — 1)
ху = ---------------------------------.
Подкоренное выражение в последней формуле должно быть полным квадратом,
поэтому 4z2u4 — 4г 4-и2 — полный квадрат. Так как и > 2,
(2zu2 - I)2 < 4г2и4 - 4г 4- и2 < (2ги2 4- I)2,
то х 4- у = и2 — 4г.
Используя это, из первоначального уравнения получим, что г = 1, и
{х + у =	4,
ху -
Что для натуральных чисел х,у невозможно.
127
10.49.	Рассуждаем от противного. Пусть х,у — решение уравнения. Тог;
х, у имеют одинаковую чётность, причём х у. Будем считать, что х >
Обозначив х 4- у = 2и, х — у — 2v, имеем
2n"1((u4-v)" - (u- v)n) =2nmvnm,
+ Qun-%2 + •  • = 2n(’n-1)vnm.
Пусть (u,v) = d, т.е. и = duj, v = dvi, (u,,vi) = l. Тогда получим
u" + Q)u7-2v? + --=2n(m-1)dn<,T,-1>^m.
Отсюда следует, что и” делится на гц. Ввиду (ui,Vi) = 1 из последнег^
утверждения имеем к, = 1. Таким образом, получим u = vui- Следовательно,
2n-1v"((ui + 1)” - (ui - 1 )n) = 2nmvnm,
т.е. (и, + l)n - (“1 ~ О" = 2tn, где t =	;
Отсюда и из очевидных неравенств (п > 2)
2u" < (ui + l)n + (ui - 1)” < 2(u, + l)n
приходим к противоречию.
10.50.	Рассуждаем от противного.	,
а)	. Пусть t,x,y,z — решение уравнения Эйлера. Тогда Тогда число t2
делится на число 4yz — 1. Положим y = 2fcyi, где J/i — нечётное число. TorjS
по свойствам символа Якоби имеем	’
1 = ( -у ) = -( 2*yi U-(-i)n( У1 )=	'
Uyz-lJ '2k+2y\z—\'	1	1 К2*+2у12-1/
1
Противоречие.
б)	. Без ограничения общности можно предположить, что (u, v) = 1, где и —
нечетное число. Сначала сводим уравнение к случаю (у, v) = 1. Затем, используя
свойства символа Якоби, покажем, что система сравнений
{t2 = —yv2 (mod u),
t2 = — yv2 (mod (4yzv — u)),
не имеет решений.
10.51.	Рассуждаем от противного.
а)	Пусть (т,у,г) — решение уравнения. Среди всех решений (т,у, z) выберем
то, для которого значение у — минимально. Имеем (х,у) = (y,z) = (z,x) = 1«
Число у — четное, а число xz — нечетное. Полагая у = 2yi, будем иметь
z - (а? + 18у?) z + (х2 + 18yf)	.
-----2---------------Г~~ = 27У1'
Числа +18у1) и +18»,) — взаимно просты.
128
|t2-9i2|4-r _ 27/4
2
взаимно просты. Стало быть, существуют
такие, что
Далее, существуют натуральные числа 0 < а < 3, такие, что
г - (т2 + 18у?) _
2
z 4- (г2 + 18у?) _ 3з-<,/4
2
У1 — Н,
т.е. X2 + 18/2t2 = 33~ert4 — 3°74, откуда а — 3.
Из предыдущего равенства имеем
|f2 — Э/2| _ ж
2
Числа 1^-* и	-
натуральные числа n, т,8, 0 < 6 < 3,
|t2 — 9<2| —о: . 4	|t2 -9/2| + т з-*_4
————— = з п .	----------= 3 m ,
2	2
I = nm, |t2 — 9/2| = 36п4 4- З3“*тп4.
Достаточно рассмотреть случай 5 = 0. Имеем
|? - 9Z2| = п4 +З3т4.
Отсюда получим, что числа n, t делятся на 3, если t2 — 9/2 = п4 4- З3тп4.
Следовательно, на 3 дедятся и х,у, но (х,у) = 1. Противоречие.
Если же 9/2—t2 = п4 +З3т4, то по выбору решения (х, у, z) должно выполняться
соотношение 2nmt = у < т. Противоречие, что и требовалось доказать.
б)	Рассуждаем от противного. Тогда существуют целые ненулевые числа
x,y,z, х у, такие, что
х3 4- у3 4- 4г3 = бхуг.
Отсюда имеем тождество
3(г + у + 2z)(x - у)2 = (2z - (х 4- у))((ж 4- у)2 - 4г(х 4- у) - 8л2).
Введём обозначения:
4л — 2(х 4- у)
и = -----------, v — 2z + х + у, w — 2(х — у).
Тогда предыдущее равенство примет вид
fw\2 _ 3v	9	9и
'и /	2и ,2	8и’
причём uvw 0. Следовательно,	1
((-Y	- (—	_ 27
Ч'-и-'	2/	\8у	2и)	4’
г к уда имеем
4	„22	4	(9и3 ЗиУ
w4 4- 9w2u2 4- 27u’ = I -4---
\ Sv 2
Арифметика. Алгоритмы.
Сложность вычислений
129
Противоречие с утверждением пункта а).
10.53.	а) Пусть (ri,yi,zj) — решение уравнения, п # 3, п — целое число
Определим следующие функции:
f(x,y,z) = xyz(x6 +ув + z6 - х3у3 - y3z3 - z3x3),
g(x,y,z) =x3ys +y3ze + z3x6 -3x3y3z3,
l/_ л, _\ _ 6 3 ।	6 3 । 6 3	q,—3-.3 _3
/1(07, y}Z)~X у + у Z + Z X — ox у z .
Рассмотрим последовательности наборов (xk, у*, z*), определяемые соотношениями
(fc > 1):
fk	9k	^k
*+1	hfc) ’ Wfc+1 (/k,3k>7lfc) ’ * + 1
где
A = /(^k.l/fci2*). Як = я(хк,Ук,2к), Ilk = h.(xk>ykiZk),
и выражение (Jk,9k-Jik) обозначает наибольший общий делитель чисел fki9kJik-
Согласно задаче 10.51 набор (xt,yfc,z*) является решением нашего уравнения
для любого числа к и (х^Ук) = (Ук>гк) = (zktxk) = 1-
Если (xi,yi,zi) — натуральные числа, то (a:fc>!/fc,2k) — также натуральные
числа. При 1>к имеем, что Х( делится на (яь I/*,2*). Поэтому (yjz<, у*z^) = 1,
откуда следует справедливость утверждения задачи.
б)	Из уравнения имеем
d2(a3 + b3) = (За + nb)xy.
Далее, так как (г, у) = 1, то (d2,xy) = 1. Поэтому существует натуральное число
а, такое, что
2a + nb = ad2, a3 + Ь3 = аху.
В силу условия (a,b) = 1 имеем, что (а, а) = (а,Ь) = 1, число п3 — 27 делится
на а и (4а, а) = (nb — а, а), т.е. число (а,пЬ —а) является делителем 4.
в)	Рассуждаем от противного. В силу пункта а) в качестве решения
можно взять набор (х,у, z), который удовлетворяет условиям (х,у) = (yz,2n) = 1.
Используя свойства символа Якоби и квадратичный закон взаимности, при
условиях и обозначениях пункта б) получим, что система сравнений
{a(4d262 + п(х — у)2) = 0 (mod a),
a(d2b2 + п(х — у)2) =	0 (mod (nb — a)),
не имеет решений при п, имеющих одну из следующих форм
4к, 8к — 1, 22m+1(2fe- 1) + 3.
г)	Используя утверждение задачи 10.51, сведите задачу к пункту в).
10.55.	Рассуждаем от противного, а) Пусть (х,у) — решение уравнения
х2 = у3 - (4fe2 - 1).
Очевидно, что у — нечетное число. Следовательно, число х — четное. Далее
имеем
х2 + 4к2 = (у + 1 )(у2 - у + 1).
130
Положим (г, к) = d. Тогда из четности х и нечетности к получим х = 2dxi,
к = dki, (xi,kt) = 1,
4d2(r? + A:J) = (!/ + l)(y2 -у 4-1).
Поскольку у2 — у + 1 — нечетное число, то число у + 1 делится на 4. Тогда
число у2 — у + 1 при делении на 4 дает в остатке число 3. Следовательно,
существуют простое число р = 3 (mod 4) и натуральное число п такие, что
у2 - у + 1 = 0 (mod р2п-1), у2 - у 4- 1 О (mod р2п).
Так как к не делится на 3, то а;24-4А:2 не делится на 3. Значит, (у 4-1, у2— У4-1) = 1.
Но в этом случае получаем, что
d2(x2 4- к2) = О (mod p2n-1), d2(r? 4- А:2) ?£ 0 (mod р2п).
Учитывая то, что р = 3 (mod 4), (zi,fei) = l, приходим к соотношениям
d2 = 0 (mod р2"-1), d2 £ 0 (mod р2").
Противоречие.
б)	Рассуждаем от противного. Пусть (х, у) — решение в натуральных числах
уравнения
х2 = у3 - 10.
Тогда ху — нечетное число. Имеем
х2 + 9 = (у - 1)(У2 + у + 1).
В силу того, что х2 4- 9 = 2 (mod 4), имеем у = 3 (mod 4). Следовательно,
у2 4- у + 1 = 1 (mod 4). Если х = 0 (mod 3), то у = 1 (mod 3), у2 + у + 1 = 0
(mod 3). Поэтому натуральное число (х/3)2 4-1 делится на (у2 4-1/4-1)/3. Но это
невозможно, так как
у2 +зУ + 1 = 3 (mod 4).
Если же х 0 (mod 3), то переписав уравнение в виде
х2 + 2 = (у - 2)(у2 + 2у 4- 4),
получим, что = 1.
При этом у — 2 = 1 (mod 4). Из свойств символа Якоби выводим, что у — 2 = 1
(mod 8), т.е. у = 3 (mod 8).
С другой стороны, имеем
х2 + 18 = (у + 2)(у2 - 2у + 4).
Учитывая то, что у 4- 2 £ 0 (mod 3), получим = 1. Но это противоречит
тому, что у = 3 (mod 8).
10.56.	Если х = 0, то у = ±1. Следовательно, к = 1. Поэтому можно
Предполагать, что х,у — натуральные числа и к ф 1. Перепишем уравнение в
вИде
((2к - 2)х 4- ку}2 - (к2 - к)(2х 4- у)2 =1.
Так как к ф 0, то к2 — к, к2 — к 4- 1 не равны полным квадратам. Основной
еДиницей уравнения Пелля
X2 - (к2 - k)Y2 = 1
131
•'.удет е = 2k — 1 + 2у/№ — k. Следовательно, существует натуральное число
такое, что
((2k — 2)х 4- ky) —	— k(2x + у) = еп.
Отсюда имеем, что 2х 4- у — четное число. Значит, число у — четное,
последнее невозможно, поскольку А:(4г2 — у2) = 4г2 — 1 — нечетное число.
10.57. а) Непосредственно из уравнения
х2 - Ny2 = -1,
(1)
следует, что необходимым условием разрешимости его в целых числах является
представимость N в виде суммы двух квадратов взаимно простых чисел.
Уравнение (1) разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда длина
периода цепной дроби числа \/7V равна нечетному числу. Тогда для N = 12317 =
- 109- 113= (З2 + 102)(72 + 82) = 1012 + 462 = 592 + 942 имеем
При N = 505 = 192 +122, имеем.	~
= — 1 неразрешимо в целых числах х,у, так как
но уравнение я;2 — 505у2 =:
\/505 = 22 + --------------;---------
22+ >/505
и период цепной дроби \/505 имеет четную длину равную 4 (см. 10.57 б)).
б)	Пусть х,у являются решением уравнения (1). Тогда имеем (я?4-г)(я? — г) = Ny2
Если N — нечетное число, то числа x + i,x — i, будут взаимно простыми
кольце Z[i].
Если же N — четное число, то х — нечетное, и в этом случае чиб!
frf бУДУТ целыми взаимно простыми числами кольца Z[i].
Отсюда следует, что в обоих случаях найдутся целые числа	таки
что	9
W = А2 4- В2, я; 4- i - (В 4- *А)(з 4- it)2, 1 = A(j2 - t2) + 2Bst,
а это значит, что число А нечетное и выполняется равенство (Аз-^-Bt)2—Nt2 = |
Теперь утверждение теоремы следует из того, что числа А и — А являют,
квадратичными вычетами по модулю N одновременно (все нечетные прост!
делители числа N сравнимы с 1 по модулю 4).	J
в)	Если р — простое число, р = 5 (mod 8), то уравнение
х2 — 2ру2 = —1	(2)
разрешимо в целых числах.
Действительно, пусть (u,v) — решение уравнения Пелля х2 — 2ру2 = 1
натуральных числах с наименьшим значением v. Тогда
(и — 1)(и + 1) = 2ри2.	Я
Следовательно, существуют натуральные числа а,Р,х, у, такие, что u —1 = 2ах2,
и + 1 = 2/Зу2, и = 2ху, а(3 = 2Р, Ру2 —ах2 — 1. Ввиду минимальности числа v
имеем а 56 2р. Поскольку	= -1, то Р = 2р, а = 1, т.е. х2 - 2ру2 - -1
132
г)	Для случая р = 1 (mod 8) воспользуемся п. б). Число 2р допускает
единственное представление в виде суммы двух квадратов натуральных чисел:
2р = (А + 4В)2 + (А - 4В)2
Если предположить, что уравнение (2) разрешимо в натуральных числах хуу,
ТО либо	— Ъ либо	= 1- Замечая, что
mm=(“
имеем
/ А + 4В \ _ / А — 4В
\ Р J \ Р
Пусть В = 2fcBi, где k > 0 — целое, В, — нечетное число. Тогда
1 =
А + 4В
А2 + 16В2
А2 + 16В2
А + 4В
v '	\A + 4BJ \a + 4bJ
= (-1)Д^+И+ЧТ)2~1 (fc+D + ^f+^V- (А + 4В) (А + 4В) =
-	(* + l) + ^B(k+l)+5V' AJ'+A¥J- fc+4T± =
— ( —1) А а”1 +(/=+1)= (_
т.е.( —	+	= 1, откуда следует требуемое.
10.58. При з = 2 утверждение очевидно. Пусть простое число з > 2. Тогда
очевидным образом имеем
(а 4- 6х/=3)а = а5 + Ь9\/^3*
а + Ь(~3) Ъ •	3 (mods),
(а + Ь\/—3)? = а5 4- Ь*(—З)-^ 2	-(—3) 2 \/ —3 = а 4-	3 (mods),
т.е.
(а 4- Ь\/ —3)'* =Е а 4- b\/—3 (mod $),
откуда, ввиду того, что а 4- 6\/—3 и s являются взаимно простыми числами в
кольце Z[p], где р2 4- Р 4- 1 = 0, следует требуемое.
10.60. Доказательство проведем методом ”от противного”. Пусть при
Условиях теоремы уравнение х3 4- З/3 = PQZ3 разрешимо в ненулевых целых
Числах х, у, z. Среди всех наборов (т,у,z) являющиеся решением этого уравнения
выберем тот, для которого |z| имеет наименьшее значение. Очевидно, что тогда
(х,у) = (y,z) = (z,x) = 1. Ввиду того что число х2 — ху 4- З/2 не имеет простых
Делителей вида 2 (mod 3), то имеем х 4- У = 0 (mod р). Будем считать число z
Натуральным.
Возможны несколько случаев, в зависимости от того делится ли число х 4- У
на q или нет.
1) х 4- у — ot2pqu3.
Тогда
(ж + у)2 + 3(г - j/)2	2
------------------- — otv ,
4
133
где а 6 {1,3}, z = auv, uv — натуральные числа.
Следовательно,
а2р2д2иб + %(х - у)2 _
4
Ясно, что (v,pq) = 1.
Рассмотрим сначала возможность a): or = 1.
Поскольку в кольце Z[p] имеет место основная теорема арифметики, то и
последнего уравнения следует, что существуют целые числа а, b такие, что
рди3 + у/^3(х - у) _ ^а + by/^З^3
где С 6' {1, *±^"3 ). При этом v = “	, (а, Ь) 6 {1,2}.	|
Поскольку 4g — р2 3 (mod 9), то либо у 1 О (mod 3), либо ?
(inod 3).	1
Если р 2, то беря за з ту из чисел р,д, для которой 3	£ 0 (mod 3) |
возведя обе части равенства (*) в степень , согласно задаче 10.58 получив
.2-1	,2_!
(У-3(ж - у)) 3 = < 3 (mod s).
Здесь мы учли, что (а2 4- 362, pq) = (w, pg) = 1.
Поэтому
С з = w (mod s),
где w — некоторое целое рациональное число.
Учитывая, что £3 — 1, 3 ~1	0 (mod 3) имеем единственно возможный случай
C=1.	j
Следовательно,	]
а(а — ЗЪ)(а + 36) = 4pgu3.	J
При этом (а, 6) G {1,2}, а 5* 0 (mod 3). Напомним также, что z = uv = а yfc2  1
Далее, имеем
а = (Т1Х3, а — 36 = (Т2У3, а + 36 = (T3Z3,
где (Г\, аг, <73, Xi У» Z — целые числа, <71(72^3 = 4р • q • 23^, Где (3 е {0,11
u — 2^XYZ. Все это означает, что
<т2Г3 +<r3Z3 = 2<rtX3	'
Перебирая всевозможные варианты для <7,, <г2, <гз, (3 мы легко приходим •
противоречию либо с тем, что р не является кубическим вычетом по модулю %
либо с минимальностью значения z в первоначальном уравнении для которог^
уже имеем	I
а2 4- ЗЬ2 л
z - ---X----2^XYZ.
4	J
Пусть теперь р = 2. Докажем, jito (, = 1. Если ( =	, то возведя обе част!
(*) в степень 4 ~1 как и выше, убеждаемся в том, что q = 1 (mod 9). кронИ
того, из (*) имеем	“	1
I67U3 = а3 — 9а62 ± 96(а2 — 62),	Ч
134
откуда, ввиду g = 1 (mod 9), получим а3 = —2u3 (mod 9), т.е. а = и = О
(mod 3). Противоречие с условиями (х,у) = (y,z) = (z, ж) = 1.
Таким образом С = 1. Из (*) имеем
а(а — 36)(а 4- 36) = 8gu3,
откуда противоречие получается вышеописанным способом.
Пусть теперь имеет место б): а = 3. Тогда
При этом (а, 6) € {1,2},	(mod 3). Напомним также, где а, 6 — некоторые
целые числа, <( € {1, i
Проведя дальнейшие рассуждения в точности также, как и в пункте а) мы
приходим к противоречию.
Теперь рассмотрим случай 2) х -f- у = а2ри3, (д+у) +3(д~у) — agV3> где
а €{1,3}, и, v — целые числа, z = auv. Имеем
а3р2и6 + ^(х - у)2
------------------ = ,v .
Пусть сначала имеет место а): а == 1. Тогда существуют целые ненулевые
числа gi,g2, такие, что
рц3 4- у/^3(т - у)	_	91 4- у/^Здз	/а 4-	бу/^ЗХ
2	“	2	\	2	)	’	' '
912 4- Здз2
’ =------~4--
Тогда
8pu3 = 91 (а3 — 9а62) — 9дз(а2Ь — 63),
откуда 9i2 = р2 (mod 9). Это означает, что
Здз2 = 4д - gi2 = 4д - р2 £ 3 (mod 9),
т.е.
дз2 1 (mod 3)
Следовательно дз = О (mod 3). Положим дз = З92, где дг — целое число. Тогда
912 4- 27д22
Из (**) имеем
рц3 4-	- у) _ gi 4- Зу/—Зд2 /а 4- 6у/^3\3
2	~	2	’ \	2 J ’ '
Умножим обе части последнего соотношения на 27д23 и рассмотрим полученное
равенство как сравнение по модулю д = 21—42Z2i_. Очевидными преобразованиями
получим, что
27д23рц3 4- 27у/^3(ж - у)д23 _ gi 4- 3у/^3д2 /Зд2д 4- Зд26у/С3\ 3 _
2	2	’ \	2	/
135
_ 91 + 3-У^3<72 /Здг« + 91ft ~ ft(91 ~ ЗУ^372)\3 _
2	’ к	2	/
_ 91 +З<392 . ^392О±91Ьу (mod9)i
откуда
8 • 27923u3 • p = 91 (392a + 916)3 (mod 9).
Но так как z + у = pu3, u 0 (mod 9), то получим, что
p№ = 91 (mod 9),
где X — целое число. Согласно задаче 10.59 существует целое число Y такщ
что Y3 = 9i (mod 9). Поэтому
pX3 = Y3 (mod 9), (У, g) = l,	•
откуда следует, что р является кубическим вычетом по модулю д, что прот|
воречит условию теоремы.
Пусть теперь имеет место б): а = 3. Тогда
(х - у)2 + 27р2и3	3
--------4----- = qV ’
Это означает, что существуют целые числа 91,931^,6, для которых
х - у + Зри3\/—3 _ 91 + >/—З93 /а + ftx/=3\	;
2	2	’ \	2 J ’	j
912 + З932
9 = ----------•	
4
Следовательно,
3 • 8ри3 = 91 (За2Ь - ЗЬ3) + 93(а3 - 9а62),
откуда либо а = 0 (mod 3), либо дз = 0 (mod 3).
Если а = 0 (mod 3), то х — у = 0 (mod 3), что вместе с х + у = 0 (mod J
противоречит условию (х,у) = 1.	|
Поэтому дз = 0 (mod 3). Пусть дз = Здг, где Q2 — целое число. Тогда $
912 + 27922
х — у + Зри3 3 _ 91 + ЗУ-З92 / а + Ьу/^3 \ 3	J
2	“	2 I 2 J ‘	I
Умножим обе части последнего соотношения на 279г'3 и рассмотрим полученир!
равенство как сравнение по модулю q = 71 +^793 , Так же как и в пункте а)
имеем
8-	27ри3 = 9г(3ад2 + ft91)3 (mod 9)
откуда, ввиду (х + y,q) = 1, т.е. (и, 9) = 1, используя лемму 2 получим, что р
является кубическим вычетом rib модулю 9, что противоречит условию теоремы.
Полученные противоречия доказывают утверждение.
10.61	. Доказательство проведем методом математической индукции по вели*
чине max{n,m}. При n = 1, тп = 1 утверждение очевидно. Пусть при некотором
136
sgN оно верно для всех п < з, т < з с условием (n,m) = 1. Докажем, что оно
верно и при п < з + 1, m < s + 1 с (п,т) = 1.
Согласно предположению индукции, достаточно считать, что либо п = s + 1,
либо 7П = «+1. Кроме того, п т, так как (n,m) = l. Очевидно также, что
и2 _	_ 1)„2 = 1 , *= 1,2,...	(1)
Возможны два случая: a) n = s + 1, тп, < s и б) т = з 4- 1, n < s. Рассмотрим
случай а). Имеем
Un 4- vny/А2 - 1 = (um 4- Ут\/А2 -	4" Vn-mVА2 - 1),
откуда
*	Un “	4- (А2 — l)vmVn — m-	(2)
Так как (п — ?п,тп) = (п,тп) = 1, то из (1), (2) и предположения индукции
получим, что
(Un> Мт) — (umun—тп» Um) —
{А, если п — т = 1 (mod 2),т = 0 (mod 2),
1, в остальных случаях,
(un,Um) — ((^2 ~ 1 )wmwn—тп» Um) =
( А, если тп = 1 (mod 2), п — т = 0 (mod 2),
— (Um t Уп—т) = 1
11, в остальных случаях,
что и требовалось доказать в случае а).
Рассмотрим теперь случай б) тп = з 4- 1,п < л. Тогда
«тп + Vm\/А2 - 1 = (un + VnVА2 - l)(um-n + Vrn-nVА2 - 1).
Имеем
Um — UnUm—п + (А2 — 1 )МпМт — п» Мт ~ ип^гп—п 4" UnUm—п-	(3)
Так как (т — п,п) = (ti, тп.) = 1, то с учетом (1), (3) и предположения индукции
получим:
(un»Um) — (Un,UnUm — n) —
{А, если п = 1 (mod 2), тп — п = 1 (mod 2),
1, в остальных случаях,
(un , Um ) = (Um (^^ “ 1 )unUm —п) =
{А, если п = 1 (mod 2), тп — п = 0 (mod 2),
1, в остальных случаях.
Утверждение доказано полностью.
10.62. Существование таких чисел XyU следует из равенства
+	(#?+#?) (л + ^Т)*
Их единственность имеем из иррациональности числа yjпРи любом А €
N, 4^1.
137
J **
В этом параграфе речь пойдет о приближениях иррациональнь
чисел рациональными. Первый цикл задач посвящен приближений
квадратных радикалов.
11.1.	Докажите,что для любого N, не равному квадрату цело
числа и любого натурального р справедливо неравенство	j
1
2py/N’
а для любой дроби q/p — неравенство
1 1
(//V + q / р)р1 2	2y/Np2+p
11.2.	Докажите, что найдутся бесконечно много несократим»
дробей p/q таких, что	!
1^ ^Р\ (y/N + q/p)p2
1
2y/Np2 -р'
11.3.	Целые числа q и р являются решением уравнения Пелл
х2 — Ny2 = 1 если и только если
1 1
(y/~N + q/p)p2	2y/Np2—p
11.4.	(Румыния, 78) Докажите, что если у/1 — т/п >0, т,п —:
натуральные числа, то >/7 — т/п > 1/тп.	,
Рациональные приближения, цепные дроби и ряд Фарея. J
11.5.	Пусть {pk/qk} — последовательность подходящих дробей К
дроби	!
111
а = а0 4-------... —.
«1+ «г+ «п
Докажите, что последовательность	<
Pfc-2 Pfc-2 4- Pfc-1 Pfc-2 + 2pfc-i	Pfc-2 + HfcPfc-l Pfc
?fc-2 ’ 9fc-2 + 9fc-i ’ ?fc-2 + 2g*-i ’	’ Pfc-2 + rtfc9fc-i ’
монотонна.
11.6.	Докажите, что
1	„ Pfc 1
---7--------------\ < a	< ----------------- •
?fc(<?fc+l + <7fc)	qk <7fc<7fc+l
138
Дробь т/п называется наилучшим приближением к числу а,
если всякая дробь с. меньшим знаменателем удалена от а на большее
расстояние.
11.7.	Докажите,что наилучшее приближение к числу а есть одна
из подходящих или одна из промежуточных дробей к цепной дроби
для а (промежуточными называются дроби из последовательностей,
указанных в 11.5).
11.8.	Для нахождения наилучшего приближения к числу а Е [0,1]
среди дробей со знаменателем, не большим N, надо в последователь-
ности Фарея Fn выбрать одну из двух соседних дробей, заключающих
между собой а. Докажите, что отрезок с концами в этих дробях мож-
но получить из отрезка [0,1], разбивая его медиантой концов на два
отрезка и выбирая из них тот, который содержит а, и повторяя эту
процедуру достаточное число раз.
11.9.	Какое наименьшее число участников может быть в матема-
тическом кружке, если девочек в нем 43,... % ?
11.10.	(Англия, 78) Докажите, что в десятичной записи любой
дроби со знаменателем, не большим 100, не могут встретиться цифры
1, 6, 7 подряд.
11.11.	(Дирихле) Докажите, что для любого а найдется бесконечно
много дробей p/q таких, что |а — p/q\ < 1/g2.
11.12*	. (Усиление теоремы Дирихле, принадлежащее Валену) До-
кажите, что для любого а найдется бесконечно много дробей p/q
таких, что
1« - Р/ч\ < 1/2?2-
Наилучшие приближения второго рода.
Дробь т/п назовем наилучшим приближением второго рода
к числу а, если для любой другой дроби p/q знаменателем q < п
справедливо неравенство
|<?а — р| >	— т|.
11.13*	. Докажите, что всякое наилучшее приближение второго рода
есть подходящая дробь.
11.14*	. Докажите, что и обратно, любая подходящая дробь при
к > 1 является наилучшим приближением второго рода к числу а.
11.15*	. (Лежандр) Докажите, что всякая несократимая дробь
Удовлетворяющая неравенству
I т I 1
Г 71 < 77’
является подходящей дробью числа а .
139
11.16.	Докажите, что уравнение Пелля при N = 2,3 имеет беско-
нечно много решений; в случае N = 2 все подходящие дроби к у/2
будут давать решение, а в случае N = 3 из каждых двух соседних
подходящих дробей хотя бы одна дает решение.
Теоремы Маркова, Гурвица и Бореля.
11.17*	. Пусть {^} — последовательность подходящих дробей к
дроби
1 1 1
а = а0--------...----... ,
<Ji+ аг+ Пп+
г* — последовательность остатков этой дроби,
Тк = --------, Фк = '-Рк + Гк.
Чк-1
Докажите, что если k > 2, фк < V&, Фк-i < >/5, то у>к > (\/5 — 1)/2.
11.18*	. (Борелъ) Докажите, что среди трех последовательных под-
ходящих дробей хотя бы одна удовлетворяет неравенству
Рк
Чк
1
11.19.	Докажите, что для любого а найдется бесконечно много
дробей p/q таких, что
1“-р/<?1 < I/x/5g2.
Это усиление теоремы Л. Дирихле было доказано А.Гурвицем, ;
еще ранее (в других терминах) — А.А.Марковым.	i
11.20*	. Докажите, что для числа <р = (у/5+1)/2 и любого с <
неравенство — p/g| < c/q2 имеет лишь конечное число решений.
Одно представление элементов цепной дроби.
11.21.	Докажите, что при п > 2	|
'Н?П-1<*|Г
. Ikn«ll .
«п+1 —
9n-i + qn	= 1-
11.22.	Докажите, что при n > 1 и 0 < а < 1
||?na|| = a/r2 .. ,rn+i.
Эквивалентность цепных дробей и чисел.
140
Обозначим через G множество всех дробно-линейных функций
где a, b,c,d-— целые, |ad — 6с| = 1, через G^. — множество всех дробно-
линейных функций , где а, Ь, с, d £ Z, ad — be = 1, а через G_ —
множество всех остальных функций из G.
11.23.	Проверьте, что если f(x),g(x) £ G, то f(g(x)) £ G и для
любой функции f(x) £ G найдется такая д(х) £ G, что
f(g(xY) = g(f(*)) = X,
и аналогичные утверждения верны для G+ , а если f(x),g(x) £ G_,
то f(g(z)) G G+. Проверьте, что fa(x) — (ах + 1)/х £ G при любом
целом а, и для любой цепной дроби а из 11.17
I"= fa0 (fa. (fa, • • • (fa. (*)) • • )) G G,
qnx + 9n-i
причем при n нечетном эта функция принадлежит G_|_ , а при п
четном — множеству G_.
Будем говорить, что а и Р эквивалентны, если а = /(/?) для
некоторой /(х) £ G.
11.24.	Докажите, что значение любой цепной дроби а эквивалентно
любому ее остатку ап, точнее, если п четно, то для некоторой
функции f(x) £ G’+ имеем ап — /(а), а если п нечетно, то для
некоторой функции f(x) £ G_ справедливо равенство ап = f(a).
11.25*	. Пусть а и Р иррациональны, a — f(P), причем/(х) =
=	£ G,c > d > Q,p > 1. Тогда b/d и a/c — последовательные
подходящие дроби кай число Р равно некоторому остатку цепной
дроби для а .
11.26*	. (Серре.) Докажите, что а = f(P), где f(x) £ G, тогда и
только тогда, когда для некоторых п, тп Е N остатки ап и Рт цепных
дробей для а и Р равны, или, что равносильно, для некоторого t при
всех достаточно больших п элемент ап цепной дроби для а равен
элементу bn+t цепной дроби для р .
Функция Маркова - Лагранжа
Дпя иррационального числа а обозначим через р(а) такое число
что при любом v < р(а) имеется лишь конечное число дробей p/q,
Удовлетворяющих неравенству \a — p/q\ < v/q2, а при любом v > р(а)
неравенство |а — p/q\ < v/q2 имеет бесконечное число решений. Если
при любом и > 0 неравенство |а — p/q\ < v/q2 имеет бесконечное число
решений, то положим по определению р(а) = 0.
11.27.	Проверьте, что в этом определении неравенство
|а - p/q\ < v/q2
Можно заменить неравенством
9 ||?« - Р|1 < у-
141
докажите, что для люоого неквадратного натурального IV
p(VW) = 1/2VN
и для любого иррационального числа а
р(а) < 1/л/5,
а для <р — (\/5 + 1)/2
= 1/\/5.
11.28*. Докажите, что если а и /3 эквивалентны, то ц(а) — р(/3).
11.29*. (Первое звено в цепочке теорем А. А. Маркова) Для
любого иррационального а, не эквивалентного числу = (д/б + 1)/2,
справедливо неравенство р(а) < 2-3/2, точнее, найдется бесконечно
много дробей p/q таких, что
1<* “ р/я\ < 2 3/2д 2,
причем константу 2 3/2 заменить на меньшую нельзя.
11.30. Неравенство 11.19 усиливает неравенство
Рп
а------
Яп
< Я
-2
п
хотя и для бесконечно многих, но все же не для всех п. На примере
числа а =	покажите, что для любого е > найдется п
такое, что
Q_ ~ > U -е)?п2>
Яп
значит, для всех п
существенно усилить неравенство
Рп
Яп
-2
нельзя.
Задача Чебышева.	Ж
11.31. Докажите, что для любых взаимно простых р и q и любым
целых t, п найдутся целые х и у такие, что рх — qy = t, п < х < n + tfaj
11.32*. (Задача П. Л. Чебышева). Докажите, что для любого ир41
рационального а и любого действительного /3 найдется бесконечней
много натуральных х таких, что	Л
< 3/|я|.
142
11.33	. Докажите тем же методом, что в неравенстве 11.32 можно
заменить 3 на 2, если разрешить х принимать любые целые значения.
11.34	*. Докажите, что для любого а и любого целого х, 1 < х < q,
где qn —знаменатель n-й подходящей дроби для а, справедливо, что
{ах} > l/2gn.
11.35	**. (Уточнение 11.33 методом Морделла) Докажите, что в
11.33 в неравенстве константу 3 можно заменить на 1/2.
11.36	*. Применяя метод Морделла, покажите, что в 11.32 можно
константу 3 заменить на 1.
11.37	*. Докажите, что если число /3 представимо в виде ma + n, где
т, п целые, то неравенство ||ах —/3|| < 1/(\/5|х|) имеет бесконечно
много решений в целых числах.
11.38	**. Докажите, что и в случае, когда /3 не представимо в виде
та + п, где т, п целые, то все равно неравенство
Нах -/3|| < 1/(^5 |х|)
имеет бесконечно много решений в целых числах.
Г.Минковский доказал, что в 11.38 можно вместо у/5 поставить 4,
а еще увеличить эту константу уже нельзя.
Односторонние приближения
11.39	. Докажите, что если \p/q — а\< 1/д2 , то
Р грп+1 + р„ ...	.	1 Л 1 о	1	л
- ::----------, 0 < г < ап+2, п = — 1,0,1,2,... , р-i = 1, g_i=0.
Я TQn+1 + Яп
Для иррационального числа а обозначим через р+(а) такое число,
что при любом р < д+(а) имеется лишь конечное число дробей
p/q, удовлетворяющих неравенству 0 < p/q — а < р/g2, а при любом
р > Д+(а) неравенство 0 <-p/q — а <
< р/g2 имеет бесконечное число решений. Если же при любом числе
р > 0 неравенство 0 < p/q —а < р/д2 имеет бесконечное число решений,
то положим по определению Д+(а) =0. Аналогично определим д_(а),
только вместо неравенства 0 < p/q — а используем неравенство 0 <
a - p/q.
11.40*	. Докажите, что
д+(а) = liminfg2n+i ||g2n+ia||,
д_(а) = liminfg2n ||g2„«||,
где liminfan — наибольшее такое а, что неравенство ап < а выпол-
няются лишь конечное число раз, а qn — знаменатели подходящих
Дробей для a .
143
11.41.	Проверьте, что	Я
р(о) = min{(p+(a),p_(a)} = liminf?n ||?n«|| •	Я
11.42.	Выведите 11.20 с помощью 11.41, 6.12 и 6.13.	1
11.43.	Проверьте, что
пн1	1	9п-1 -	1
qn 9пл|| = ---= ---------------зт->^п+1 — ------— ----;---,
V'n + l	«п + 1 + ^n + 1 + rn+2	ап <f>n
*
г-1 -________!____ !
'п+2 —	,	-1 •
^п + 2	“Ь	7*п-|.з	1
11.44.	Докажите, что р(о) > 0 тогда и только тогда, когда вс
элементы цепной дроби для а ограничены.
11.45*	. Докажите, что если р+(а) = 1, то /*-(«) = 0, и если /«-(а) =
= 1, то р+(а) = 0. Докажите, что всегда справедливы неравенств!
д+(а) < 1 и р_(а) < 1. Проверьте, что для эквивалентных чисел q
и /3 имеем равенства р+(а) = ц+(/?) и Р-(а) — Я-(/О или, наоборот!
д+(а) = q_(/?),p_(o) =р+(/?).	J
11.46*	. Докажите, что если а = /(/?), f(x) 6 G+, то р+(а) = /х+(/Я
и р-(а) = а если /(х) 6 G_, то ц+(а) = и р_(а) = р+(^
11.47.	Приведите примеры а таких, что р+(а) = 1 или р_(а) = 1J
11.48.	Проверьте, что	)
p+((V5+ 1)/2) = l/V5 = p_((V5+ 1)/2),р+(У2) = 1/Т8 = р_(У2), ?
Р+(л/5) = 1/(2ч/5) = р_(ч/5),ц+(УЗ) = 1/(2х/3),	(Л) = 1/73,	'
Р+(х/7) = 1/(277), ц_(г/7) = 3/(2л/7).
11.49.	Проверьте, что для любого натурального п	;
1
у/п2 + 4п
1
s/п2 + 4п
Односторонние приближения и уравнение Пелля
11.50*	. Докажите, что'для любого натурального п минимальное
натуральное число, представимое в виде пх2 — (п + 2)у2, где х,у —
натуральные числа, равно п.
144
11.51*	. Пусть минимальное натуральное число, представимое в
виде Nx2 — y2, где — натуральные числа, равно к. Докажите, что
P-(>/N) = k/(2y/N)
и для любой дроби р/д, если VN — р/д > 0, то
y/N — р/д > k/(2jN).
11.52.	Докажите, что в условиях 11.51 для любых целого Р и
натурального Q
(P-Q\	Q	(P~Q\	kQ
Р+ \ VN J	~	2y/N'	2^N'
/ P + Q \	<	Q	/ P + Q \	<_	kQ
P+ \ VN )	~	zVn’ ^~ \ Vn J	~	2>/n'
11.53.	Докажите, что для любой квадратичной иррациональности
а с дискриминантом D числа д+(а) и д_(а) не меньше \./2у/О.
11.54*	. Докажите снова утверждение 10.32, а также то, что урав-
нение х2 — Ny2 = — 1 разрешимо в натуральных числах тогда и только
тогда, когда
а также тогда и только тогда, когда период цепной дроби для y/N име-
ет нечетную длину, и что для любой квадратичной иррациональности
а с дискриминантом D
Р+(«) =Р-(«)
тогда и только тогда, когда период цепной дроби для у/D имеет
нечетную длину.
11.55*	. Докажите, что решения уравнения Пелля, указанные Бра-
ункером (см. 10.32), являются наименьшими возможными.
11.56.	Докажите, что простое число вида 4к + 1 представимо в
виде суммы двух квадратов натуральных чисел, причем единственным
образом. Вместе с задачей 10.32 это дает конструкцию для такого
представления.
11.57*	. Пусть к - наименьшее натуральное число, для которого
разрешимо уравнение х2 — Ny2 = — к. Докажите, что k < ‘2y/~N и
наибольший элемент цепной дроби для y/N, стоящий на нечетном
Месте, равен |2л/У/&J или [2v<V/*] - I-
11.58*	. Докажите, что оценка из 10.15 точная, и покажите, что
для N = (пт)2 + 2т, т < п, наименьшее к, для которого разрешимо
Уравнение х2 — Ny2 = —к, равно 2т, а для N = (пт)2 + т,т < п,
145
оно равно т, тем самым подтверждается, что оценка 11.57 близка к
точной.
11.59.	Докажите, что в разложении в цепную дробь числа y/~N,
N = п2 — 1, период имеет вид 1, 2п — 2 и что p(y/N) = (2п — 2)/2y/N,
к = 2[x/7V], тем самым подтвердив, что оценка 11.57 точная.
11.60.	Докажите, что в разложении в цепную дробь числа y/N,
N = п2 — 2, период имеет вид 1,, п — 2,1,2п — 2 и что
м(7«) =
v	2y/N
11.61.	Докажите, что наименьшее натуральное к, для которого
разрешимо в натуральных числах уравнение х2 — Ny2 = —к, равно
2п — 2 при N = п2 — 1 и 2п — 3 при N = п2 — 2. Найдите наименьшие
решения уравнений
х2 — (п2 — 1)у2 = —2п 4- 2, х2 — (п2 — 2)у2 = — 2п + 3.
В частности, из 11.61 следует сформулированное в §10 утверждение
о том, что уравнение х2 — 34у2 = — 1 неразрешимо.
11.62.	Докажите при |Л7| < y/~N, что если уравнение х2 — Ny2 = М
разрешимо в натуральных числах, то все его решения имеют вид
(pk+tn, Qk+tn), где 1 < к < t, t — наименьшее четное число, делящееся
на период дроби для y/N, п Е N. Докажите, что если период дроби
четен, то при М ф 1 имеется не менее двух серий решений (с
различными А), и проверьте, что каждая из них порождается своим
минимальным решением (рк,Як) по формулам
Pk+tn + Як+tn'/N = (Рк + qk'/N'liPt +
Будем говорить, что цепная дробь а с элементами ап правоэкви-
валентна цепной дроби /? с элементами Ьп , если для некоторого
четного t для всех достаточно больших п
Пп — ^n+t;
и левоэквивалентна, если это верно для некоторого нечетного t.
11.63.	Докажите, что а эквивалентно 0 тогда и только тогда,
когда они право- или левоэквивалентны. Докажите, что если а право-
(лево)эквивалентно 0 , то найдется такая функция /(х) 6 G+ (б G-),
что а = Проверьте, что а и /3 и право- и левоэквивалентны тогда
и только тогда, когда они являются периодическими с одинаковыми
периодами нечетной длины.
11.64.	Докажите, что-если число а правоэквивалентно числу /? ,
то р+(а) = р+(/?) и р_ (а) =	(/?), а если а левоэквивалентно 0, то
д+(а) = р_(/3) и р_(а) =р+(0).
146
Пусть задано вещественное число а и пусть существуют после-
довательности Рп G Z и Qn 6 N и арифметическая функция /(п),
удовлетворяющие условиям:
а)	1“ “	(Pn’Q”) = i;
6)	.Qn—»+оо при n —>-boo;
6) /(Qn)->+oo при n —>-f-oo.
Тогда последовательность Pn/Qn называется последовательно-
стью хороших приближений вещественного числа а.
11.65.	Докажите, что если а — рациональное число, то не
существует последовательности Pn/Qn его хороших приближений.
11.66.	Пусть г, s Е N U {0}, г > s. Докажите, что
а)	f f	dxdy =	(P,Q) = 1, где Q | dr2, dr - [2,...,r];
о о
6)	f f	dxdy =	(P,Q)=1, где Q | dr3;
о о
в)	ПЙ^^ = С(2)-1-^----------------
о о
r) f f т^%хГуг dxdV = C(3) ~ 1 - £----Л-
0 0
11.67.	Докажите, что при достаточно большом г справедливо
неравенство
[2,...’г] < Зг.
11.68.	Докажите, что
а)	(Эйлер) число £(2) — иррационально;
б)	(Апери) число £(3) — иррационально.
УКАЗАНИЯ
11.1.	Заметьте, что Np2 - g2 > 1, так как \/N иррационально и поэтому
/Vp2 — д2 О.
11.2.	Выведите из 10.22.
11.4.	Проверьте, что 7п2 — т2 0,1,2, тогда
3
пу/14- m
г.'/1 — тп >
> 1/m.
11.5.	Примените 6.10.
11.6.	Выведите из 11.4 и 8.26.
11.9.	Разложите 0,44 в цепную дробь.
11.10.	Сведите к случаю, когда дробь начинается с этих цифр и подобно
11.9 докажите, что это невозможно.
147
11.11.	Примените 11.6 или 2.1; третье доказательство можно получить,;
.рассматривая числа 0,1, {пог}, п б 7V, п < q, и применяя принцип ящиков'
Дирихле (и не используя ни дробей Фарея, ни цепных дробей).
11.12.	Примените 11.6 или 2.1 и заметьте, что
2	—j —2
——	< Чк + Чк+1	:
согласно неравенству между средним геометрическим и средним арифметическими
11.13. Пусть тп/п — наилучшее приближение к	Я
111	1
а = a,Q 4----.. .--....
4- <12 4"	®п4"
1
если бы т/п < ао или т/п > Pi/qi , то ао/1 было
к а , чем т/п\ если бы т/п Pi/Qi, то найдется
т/п < pk+i/qk+i, тогда
бы лучшим приближением,
к такое, что pk-i/qk-i <•
m
т
1
1
Рк-1
Чк-l I “ пЧк — 1
п
Рк-1
Чк — 1 I ЧкЧк — 1
откуда п > qk
, а, с другой
стороны, согласно 8.25 и 11.6
1
|noi — т
_ Р*+1
9*+1 I “ Чк+1
лишь если а =
причем |na — m| = |gfcC*“Pfc|
предположению, значит, |па — ?п| > |дд.а — pjJ , п > и получается противоречием
11.14.	Примените индукцию по к.	
11.17.	Используя 6.10, проверьте, что 1/(Рп+1 4- l/rn+j = и выведите из£
условий задачи, что	1
— = —xi, что невозможно п<
n ?k + l	I
(У5-¥>к)(У5- —) > 1,
4>к
откуда
значит, (ipk — ^/5/4)2 < 1/4, и <рк
11.18.	Выведите из 6.12, что
V5(Vk + —) > 0,
4>к
> (х/5 — 1)/2.
Р* _	1
Чк I 'Фк+1Ч1
и, предположив, что утверждение
п = к, к — 1, к — 2, потом примените 11.16 и получите, что ак =	— <Pk < 1
Выведите из 11.18.
Пусть ip — p/q — c/\/bq2 , |с| < 1, тогда
теоремы неверно, заметьте, что i/'n+i
11.19.
11.20.
_ р , р2 _
ч ч2
С2 С	2	2 е2
ГТ - “7 + 5/4' -9 - РЧ + р = ГТ
5g’ q*	5q2
но — g2 — pq+p2 целое и
значит,
не равно цулю (иначе число p/q было бы иррациональным)
с2
.2
?2 = ________________________________
5(-q2 - РЧ + Р2 + с) 5(1 - |с|)
1
4
5 -
а
4
148
-'<’^’-^^^^'‘^^’'/''‘-'-/'''^^1ЯИИИИИ^ИИИИИИИ11^^ИИНИИИИИВИИИИ11МИИ
и поэтому таких дробей конечное число.
11.21.	Примените 6.10 и заметьте, что ||gna|| = |gna — Рп| •
11.24.	Воспользуйтесь равенством
9n-iotn + gn-2
а = --------------.
Чп-1<*п + 9п-2
11.25.	Разложите а/с в цепную дробь и выберите ее так, чтобы
а = Рп-1, с = Чп-1, Рп—хЧп—2 - Чп — хРп—2 = ad — be,
тогда pn-i(d-gn_2) = 4n-i(b — pn_2), значит, qn-i делит (d-gn_2), но так как
|d-9n-2l < ?n-l, ТО d = gn_2, откуда b = рп_2 и
Рп-Хр + Рп-2
,	Ot = ----------,
Чп-хР + Чп—2
и поэтому а/с = pn-i/<Jn-i и b/d = Рп-2/Чп—2 — подходящие дроби к а и п-й
остаток цепной дроби для а равен Р .
11.26.	Пусть а = f(P), где
СХ + а
и без ограничения общности считаем, что с/3 + d > 0; тогда согласно 11.24
__ Q-1 /Зщ + Ъ*
с'Рт + d' ’
где
с' = Чт-Х (сР'?-~1 + dV d' = Чт-2 (сР™~2 4- (Л ,
\ 9m—1	/	\ 9m—2	/
и можно выбрать т таким большим, что —и Рта~2 близки к в, тогда с' и
Чт-Х Чт-2
d' > 0, а если т четно, то и с' > d', кроме того, при тп > 2 рт > 1 и остается
применить 11.25.
11.27.	Примените 11.1 и 11.2, а потом 11.19 и 11.20.
11.28.	Пусть
ар + b
а —
ср + d
и существует бесконечно много решений неравенства q |ga — р| < и при некотором
и , тогда
^_р' = ±2^, •
а — са
где д' = д(а — са) + c(qa — р), значит,
ч' |q'/3 - р'| < д|да - р|+ -——- Igor-———-I <
|а — са| J |а — са| |
<^ + (-)2<^'
ч
Для любого фиксированного v' > 1/, если q достаточно велико, откуда следует,
что неравенство д' |д'/1 — р'| < р' имеет бесконечно много решений при любом
> р, т. е. р(Р) < м(о').
149
11.29.	Если а не эквивалентно ср, то в его разложении в цепную дробь для
бесконечно многих п справедливо неравенство ап > 2; проверим, что для таких
п либо
I Рп—1 . о-3/2 -2
Г - п---- < 2	<
I 9n-l I	;
либо
h - 2-3/2 9"2’
либо
9„+Г
Действительно, иначе
1
Яп — 1
Pn-1 • L	\ о—3/2 /2	. Л2\
«--------+ «------->2	(9п-1+9п)>
I	9п — 1 II 9п |
откуда -----j > о значит, < х/2 + 1 (ведь равенство невозможно}
— 1 Яп — 1	~	Яп— 1
аналогично < ^/2 + 1, Поэтому	!
Яп	'
_|_ ——-- < dn ---- — ---- < V 2 т 1,	i
V 2 + 1	Яп—1 Яп	*
т. е. 2 < ап < 2, что невозможно. Константу 2~3^2 заменить на меньшую нельзя!
так как для всех чисел а, эквивалентных >/2, согласно 11.28, д(а) = 2“"3^2. j
11.31.	Если рхо — ЯУо = 1» то ПРИ любом fc Е числа хо = fx + kq Ид
у = tyo + кр удовлетворяют условию рх — qy = t; остается подобрать к так, чтобы]
п < х < п + q.	1
11.32.	Пусть целые p,g,t таковы, что |а — p/q\ < g“2 и \q(3 — й| < 1/2, ай
целые х и у таковы, что < х < и рх — qy = t, тогда	|
|ах-у-/?|<|—-у + -|<аг|ог--|+Ь--|<-^- + ^-<-.
I Я 9 1 I 9 I I 91	92 2g х
11.34.	Пусть при некотором х, 1 < х < gn,
{аг} = ах — у < l/2gn < 1/2х,
значит, согласно 11.15 при некотором у дробь у/х
подходящей дроби , k < п, для числа а , но
будет равна некото
— I >	1
Як I Як(.Як + 9*4-1) ’
тогда {ах} > 1/(2gn) и получаем противоречие.
11.35.	Заметьте, применяя принцип Дирихле, что среди множества ИЗ
2g чисел вида {ах}, 1 < х < д, и вида {ах — (3), 1^< у < д, найдутся дв<
числа, принадлежащие одному из 2g — 1 отрезков [((fc —л)/(2д — l),fe/(2g — l)Jjl
1 < /: < 2д — 1; но два числа одного вида, скажем {ах} и {ах'}, не могут при'
Я = Яп принадлежать одному отрезку, так как тогда для некоторого х 6 N, х < g,i
будет {ах} < 1/2д ,что противоречит 11.34, поэтому при некоторых х и х' {ах'}!
150
и {ах"-11} е [(к- 1)/(2? — l),fc/(2g — 1)], значит, при х = х" — х' и соответствующем
целом у
\ах-у-Ц\< 1/(2?-1)< 1/(2*).
11.37.	Примените 11.19. Пусть |<» - £ | <	, т > 0, тогда при д>т,х =
= q — т, у — р — п
, 1 1
|аж - у - 0| <
vnq х/5х
случай in < О рассматривается аналогично.
11.38.	Согласно 11.19 существует бесконечно много р и q таких, что
а = 1/q + S/q2V5, |<5( < 1,
тогда,' выбрав t так, что \/3q — t| < 1/2, и х, у так, что рх — qy = t, |ж| < ?/2,
получим, что
|жр	tI	I	рI	I	„	11	_
-----У + - < X а-------+ L®--------<
Ч	91	I	Ч I	I 9I
< Х	1 < 1	1 < 1 1 < 1
— \/5?2	2? — 2\/5?	2? ~ 4\/5 |а?|	4 |т| ~ л/5 |а:| ’
так как при |х| < а для некоторого еа > 0 справедливо неравенство
еа < ||аж - 0|| < |«ж — 0 — у| < -±=- +
2v5g 2g
a q можно выбрать сколь угодно большим, то и я при этом будет сколь угодно
большим.
11.39.	Пусть
£ - ГРп-Н + Р" < Р < (г + !)Рп-Ц +Рп _
Q	гЧп-ы+Чп Ч (р + 1)9п+1 + Чп Q’’
тогда
1/92 > р/9 - а > P/ч ~ P/Q > 1/4Q
l/Q'q<P'/Q'-p/q<P'/Q'-P/Q^l/QQl.
11.40.	Если
|р/9 - <*| < 1/72,
то
Р rpn+i+pn
- = --------, 0 < г < ап+2,
9	г7п+1 + Чп
9||9«|| = 9 |9<* - р| = (г9п+1 + 9n)(|gn« - Рп| - Г |?„+1 а - pn+i |) =
= hn+l + 9n)(||9n<>|| - г||9п+ ! «II),
значит, согласно свойствам квадратного трехчлена
9||9<*Н > min {9n||gna||, 7n+2||9n+2«||} •
11.43.	Используйте указание к 11.17.
11.51.	Домножить >//V — p/q на сопряженное.
151
11.54.	Воспользуйтесь 11.1, 11.2, 11.51, 10.15, 11.43,11.52.
11.57.	Примените 11.51, 11.43, 11.40 и указание к 10.30.
11.58.	Примените 10.3, 11.40,11.43, 11.51 и 10.33. При указанных к решения
существуют, так как можно взять у = 1, а? = пт.
11.65.	Предположим противное. Пусть существует последовательност»!
Р/Q хороших приближений числа а = p/q, (p,q) = 1. Очевидно, имеют место
неравенства
)
qQ ~ \q <?| Q/(Q)’	1
откуда следует, что f(Q) < q- Последнее неравенство противоречит условию
неограниченности последовательности {/(<?)}.
Возьмем любое <7 > 0.
Имеем тождество
11.66.
о о
_JL_
1 - ху
dxdy =
о о
у+<г ^(ory)* dxdy =
fe=o
fc=0 ~ т ' т “ т
а) При <7 = 0
получим
X у
------ dxdy =
1 - ху
о о
— з \s + 1
Отсюда имеем
Q | [г — л, s + 1, з + 2,... , г] | [2,.
б) Имеем
—xT+ays+a dxdy = —1-
ху	г — s
о о
Кроме того, справедливы соотношения
в) При г = з для величины 7(<т) имеем
--------- dxdy =
1 — ху
о о	^’=°
Отсюда при <т = 0 получим

(fc + r + <z + l)2‘
хгуг
------ dxdy = <(2) - 1
1 - ху
о о
1
22
1_
г2’
г) Дифференцируя по а выражение п. в), получим
Inxy	r + a	+	>
-------х т у т dxdy = >
1 — ху-t—*
оо	*=0
(к + г + <7+1)3-
1
1
1
1
в
1
Q
1
1
2

152
Следовательно,
1	1	г г
~f J TT^ln{xy} ^ = 2(c(3)-l-^--------------^)-
о о
11.67. Наименьшее общее кратное L = L(r) чисел 2,...,г можно представить
в виде ПрСгР*”- где = [1пг/1пр]. Следовательно,
L = {J р[,п Г/|ВИ < П е'ПГ = е’г(г)1пг,
р<г	р<г
где тг(г) — количество простых чисел, не превосходящих г. Для величины тг(г)
при г —> оо справедлива асимптотика тг(г) ~ Используя это, получим, что
существует rg такое, что для всех г > го выполняется неравенство L < Зг.
11.68. а) Рассмотрим многочлен Лежандра
1 dn
Рп(х)=-—(хП(\-Х)п).
п! dxn
Используя результаты пп. а) и в) задачи 11.66, имеем
7 _ [ [(1-У)пРп(х) ,, _ An+Bn((2)
•In — I I ;---------dxdy — -----—-----.
J J 1 - ry	d*
о о
Оценим сверху |Jn|. Интегрируя по частям, получим
уп(1-у)"х"(1-х)»
(1 - жу)”*1
dxdy
о о
Это означает, что последовательность {11 у является последовательностью
хороших приближений числа С(2). Отсюда согласно задаче 11.65 число £(2) —
иррациональное.
б) Согласно задаче 11.66 б), г) имеем
J J 1 - ху	<Р
оо
'’см., например, И. М. Виноградов. Элементы высшей математики. (Аналитиче-
ская геометрия. Дифференциальное исчисление. Основы теории Чисел). Учеб, для
вузов. М.: Высш, шк., 1999, с. 362, вопрос 9.
153
Воспользуемся тем, что
1
In ху __ f dz
1 - ху J 1 - (1 - xy)z
о
Получим
ООО
где
1 1 1
Г f f dxdydz
I = J J J l-(i-xy)z-
0 0 0
Отсюда находим
|<(3)
< ^-^(У2-1)4п/<
&n
1 /4\n
Bn \5/
Следовательно, согласно задаче 11.65 число С(3) — иррациональное.
§ 12.	ГЕОМЕТРИЯ ЧИСЕЛ
Точка плоскости называется целой, если обе ее координаты —
целые числа. Множество целых точек называется целочисленной
решеткой. Целая точка называется примитивной, если ее коор-
динаты взаимно просты. Только такие точки “видны” из начала
координат.	:
Параллелограмм с вершинами в целых точках называется фунда-
ментальным, если он не содержит больше никаких других целых!
точек. Точки (х; у) и (и; и) называются соседними, если они вместе
с началом координат и точкой (г + и; у + v) определяют фундамен-
тальный параллелограмм.	«
Площади фигур на клетчатой бумаге	;
12.1.	Проверьте, что площадь фундаментального параллелограммам
определенного соседними точками, равна
|хи — уи| =1.
12.2*	. Докажите, что площадь любого фундаментального параЛ
лелограмма равна 1.
12.3.	Докажите, что пустой треугольник с вершинами в целы:
точках, т. е. не содержащий других целых точек, является половино
фундаментального параллелограмма!, значит его площадь равна 1/2
12.4.	(Г.Полиа) Сопоставьте каждой дроби из последовательное®
Фарея Fn примитивную точку из треугольника с вершинами в точка
154
(0;0), (n;0), (n;n). Проверьте, что это соответствие будет взаимно
однозначным и внутри любого угла, образованного направлениями на
две примитивные точки, соответствующие соседним дробям из Fn ,
не содержится в пределах рассматриваемого треугольника ни одной
целой точки. Докажите, что соседним дробям из Fn соответствуют
соседние примитивные точки и модуль разности этих дробей обратен
произведению их знаменателей (это другое доказательство теоремы
Фарея - Коши, см. § 3).
12.5.	Докажите, что все примитивные точки из треугольника
с вершинами в точках (0;0), (п;0), (п; п) могут быть получены из
точек (1;0) и (1; 1) с помощью вставки между соседними из ранее
построенных точек их суммы, т. е. точки, соответствующей сумме
векторов, соединяющих начало координат с. этими точками (операция
образования суммы точек соответствует построению медианы дробей).
12.6.	Выведите из теорем 12.5 и 12.4 утверждение 3.1.
12.7*	. (Формула Пика) Все вершины несамопересекающегосЯ мно-
гоугольника являются целыми точками. Докажите, что его площадь
равна а/2 + b— 1, где а — число целых точек, лежащих на его границе,
а b — внутри.
12.8*	. (Блихфельдт) На плоскости расположена фигура площади
S, не равной целому числу. Докажите, что ее можно передвинуть
параллельно самой себе так, что на ней окажется:
а)	не более [.S'];
б)	не менее ]5[ целых точек.
12.9.	(Москва, .85) На плоскости расположен квадрат площади
четыре. Какое наименьшее число целых точек он содержит?
12.10.	(Москва, 85) На плоскости расположен квадрат площади
четыре, содержащий не менее семи целых точек. Доказать, что он
содержит ровно девять целых точек.
12.11*	. (Ньюмен) Квадрат размера пхп накрывает не более (п+1)2
целых точек.
12.12*	. (Минковский) На плоскости расположен выпуклый цен-
трально - симметричный многоугольник площади не меньше 4, центр
симметрии которого является целой точкой. Докажите, что этот
многоугольник накрывает еще две целые точки.
12.13.	Пусть в условии задачи 12.12 число 4 заменено на число
тг = 3, 14... . Докажите, что этот многоугольник можно повернуть
вокруг своего центра симметрии так, чтобы он накрыл еще две целые
точки.
12.14.	Докажите с помощью 12.12 теорему Дирихле: для любого
а и сколь угодно больших натуральных q справедливо неравенство
||ga|| < 1/q.
12.15*	. (Г.Полиа) Вокруг каждой целой точки из круга с центром в
начале координат и радиусом R описан кружок радиуса г. Докажите,
155
что при г < 1/y/R? + 1 они не заслоняют вида из начала координат,
а при г > 1/Я — заслоняют.
. 12.16*. (Москва, 86) Вокруг каждой целой точки описан круг
радиуса г. Докажите, что при R > (3 + т~2)/2 любая окружность с
радиусом R пересекает хотя бы один из этих кругов.
Теоремы Минковского и диофантовы приближения
12.17.	(Минковский) Пусть |а</- 6с| = Д / 0, тп > А. Докажите,
что найдутся целые х и у, такие, что |ax + 6j/| < т и |сх 4-	< п.
12.18*	. (Минковский) Пусть |ad — 6с| < Д/2, |М| < Д, Ь > 0. Дока-
жите, что для некоторого целого и справедливы неравенства
|a + 6«||с + du| < Д/4, |а + 6п| < Ъ.
12.19*	. (Минковский) Пусть |ad—&с| = Д / 0, т, п — произвольные
числа, тогда для некоторых целых х,у
|ax + Ьу + m||cx + dy +	< Д/4.
Если а/b иррационально, то для любого е > 0 найдется целочислен-
ное решение предыдущего неравенства, для которого |ax + by+ т| < е.
12.20.	Покажите, что в 12.12 и 12.19 константы 4 и 1/4 нельзя,
вообще говоря, улучшить.	j
12.21*	. (Минковский) Если а иррационально и не представима
в виде та + п, где т,п— целые, то для бесконечно многих целых a
||ga + /?|| < l/(4g).	|
12.22.	Укажите еще одно доказательство утверждения 11.35.
Пелые точки в круге	Л
12.23*	. (Гаусс) Докажите, что число целых точек в круге радиуса
R > 2 заключено между тг(Л — у/2)2 и тг(Я + у/2)2 .	|
12.24.	(ВМО, 68) На плоскости расположена окружность радиуса
100, не проходящая через целые точки и не касающаяся прямым
целочисленной решетки. Сколько квадратов этой решетки она перёв
секает?	|
12.25*	. (Эйлер) Целая точка может лежать на окружности радиусе
R с центром в начале координат, лишь когда R = y/N, где N —ч
натуральное число. Докажите, что если N делится на простое числе
р вида 4k + 3, то на этой окружности не может быть примитивные
целых точек.	Я
12.26.	(Эйлер) Докажите, что если в разложение N на простЫЯ
множители некоторое простое число pl вида 4k + 3 входит в нечетное
степени, то на соответствующей окружности нет целых точек. -1
12.27.	(Эйлер) Докажите, что для всех остальных чисел N нЯ
соответствующей окружности имеются целые точки.	Я
156
12.28.	(Эйлер) Пусть п — делитель числа N и п делится только
на простые числа вида 4к + 1, а частное N/п — только на простые
числа вида 4k + 3, причем они входят в его разложение на простые
множители только в четных степенях (т. е. число N удовлетворяет
условиям 12.27). Докажите, что на окружностях с центром в (0; 0)
и с радиусами и у/п лежит поровну целых точек, причем на
первой из них нет примитивных целых точек.
12.29.	(Эйлер) Докажите, что на окружностях с общим центром
в (0; 0) и радиусами у/п и \/2п, где п — натуральное число, лежит
поровну целых точек, а если число п нечетно — то поровну и
примитивных целых точек.
12.30.	Докажите, что все целочисленные пифагоровы треугольники
имеют длины сторон 2pq, р2 — q2, р2 + q2, где p,q — натуральные
числа.
12.31.	Докажите, что при нечетном п примитивных целых точек на
окружности радиусом п столько же, как и на окружности с радиусом
у/п и тем же центром (0;0).
12.32.	Докажите, что при четном п на окружности радиуса п с
центром (0; 0), а при п, кратном 4, и на окружности радиуса у/п нет
примитивных целых точек.
12.33.	Назовем произведением целых точек (х;у) и (Х;У) целую
точку (хХ — yY'xY + уХ). Проверьте, что вектор (хХ — yY;xY + уХ)
получается из вектора (х',у) растяжением в \/X2 + Y2 раз и поворотом
на угол, зависящий только от X, Y.
12.34.	Докажите тождество Фибоначчи:
(хХ - yY)2 + (хУ + уХ)2 = (х2 + у2)(Х2 4- У2)
и проверьте, что произведение может быть примитивно, лишь когда
сомножители примитивны.
12.35*	. (Гаусс) Пусть N = р(' .. .р^*, где р, — просты? вида 4& + 1.
Докажите, что число целых точек на окружности с центром (0; 0) и
радиусом y/~N равно 4d(N), где d(N) — («i + 1) ... (am +1) — число
всех натуральных делителей N, а число примитивных целых точек
равно 2т+2.
Для любого натурального N определим cr(N) как d(n), где п
делит N и п делится только на простые числа вида 4Л+ 1, a N/n —
произведение четных степеней простых вида 4к + 3; если в разложение
N какое-то простое вида 4&-I-3 входит в нечетной степени, то положим
cr(/V) — 0. Если N делится на простое вида 4& + 3 или на 4, то положим
i](N) — 0, в противном случае определим r/(7V) как 2т, где т — число
различных простых делителей вида 4к + 1 у числа N.
12.36.	Докажите, что число целых точек на окружности с центром
(0; 0) и радиусом y/N равно 4<r(N), а число примитивных целых точек
157
равно 4r](N). Проверьте, что функции <r(N) и y(N) обладают свойством
мультипликативности: если (р, ?) = 1, то
<т(рд) = <т(р)сг(д), rj(pq) = q(p)??(g).
12.37.	Докажите, что если на окружности с центром (0; 0) есть
целые точки, то их не менее восьми, причем ровно восемь их может
быть только тогда, квадрат ее радиуса есть простое число вида 4fc+l.
12.38.	Докажите, что если на окружности с центром (0; 0) лежат,
только примитивные целые точки, то квадрат радиуса не будет^
делится ни на один квадрат натурального числа, и обратно.	1
12.39.	Докажите, что для любого е > 0 и некоторой константы
С(е) число целых точек на окружности с центром (0; 0) и радиусом
N меньше, чем C(e)Ne.
Геометрическое доказательство теорем Дирихле
и Маркова - Бореля - Гурвица
Предположим далее, что на плоскости введена система координат
с началом в точке О и через нее проведена прямая у = ах, где
а > 0 — произвольное иррациональное число. Для произвольной^
точки А с координатами (g;p), q,p > 0, обозначим А' “проекцию”
точки А на прямую у = ах, т. е. пересечение этой прямой с прямой
х = q — перпендикуляром, опущенным из точки А на ось абсцисс
Координаты точки А' есть (<?; aq) .
12.40.	Докажите, что площадь треугольника ОАА' равна
|а-р/?|<?2/2-
Параллелограмм единичной площади с целочисленными координа-'
тами вершин назовем фундаментальным (согласно задаче 12.2 это
определение равносильно данному в начале главы.)
12.41.	Докажите, что существует последовательность пересекаю-;
щихся прямой у = ах и лежащих в положительном квадранте плоско-;
сти фундаментальных параллелограммов ОАпВпСп с возрастающими)
координатами вершин.	1
С помощью этих задач легко доказать теорему Дирихле.
Доказательство теоремы. Пусть ОАпВпСп —5
один из параллелограммов задачи 12.41 и прямая у = ах пересекает,
например, отрезок АпВп (через точку Вп она проходить не может, ибо»
а — иррациональное число ). Тогда треугольник ОАпА'п содержите!
в треугольнике О АВ, значит площадь треугольника ОАпА'п меньш!
1/2. Обозначим через (qnrPn) координаты точки А. Тогда согласий
задаче 12.40	!
, , , 1
\a~Pn qn\ < -г,
Яп

158
а согласно задаче 12.41 имеем qn —> оо. Теорема доказана.
Иногда полезно использовать теорему Дирихле в другой, несколько
более сильной, форме: для любого действительного числа а и любого
N > 0 найдутся такие целое р и натуральное q < N, что
Для доказательства рассмотрим множество всех фундаментальных
параллелограммов ОАпВпСп, пересекающихся прямой у = ах, у ко-
торых абсциссы вершин Ап и Сп неотрицательны и меньше N (это
множество содержит, например, единичный квадрат), и выберем в нем
параллелограмм с наибольшей возможной абсциссой вершины Вп (он
существует, так как эта абсцисса натуральна и ограничена сверху
числом 2/V.) Если абсцисса вершины Лп положительна, то абсцисса
вершины Вп больше N, так как в противном случае, предполагая,
например, что треугольник ОАпВп пересекается прямой у — ах, и
достраивая его до параллелограмма OAnDnBn, очевидно, принадле-
жащего рассматриваемому множеству, замечаем, что у него абсцисса
вершины Dn больше, чем у Вп, вопреки предположению. Если же
вершина Ап лежит на оси ординат, то полученный параллелограмм
имеет абсциссу точки Dn, такую же, как и у Вп, но при этом точка
Dn имеет большую, чем у Вп, ординату, но не превосходящую а + 1
(рассматриваемая ситуация возможна лишь при единичной ординате
точки Ап, единичной абсциссе точек Вп и Dn — в противном случае
площадь параллелограмма OAnDnBn была бы больше 1), и выбирая
среди таких параллелограммов тот, у кого будет наибольшей ордината
точки Dn, замечаем, что прямая у = ах должна пересекать отрезок
DnBn (иначе в нашем множестве можно указать параллелограмм с
еще большей ординатой точки Dn ), и достраивая треугольник ODnBn
до параллелограмма ODnCnBn, опять получаем в нашем множестве
параллелограмм с большей абсциссой “диагональной” вершины, чем
параллелограмм ОАпВпСп, вопреки предположению.
Итак, можно считать, что параллелограмм ОАпВпСп фундамен-
тальный, пересекается с прямой у = ах и имеет абсциссы точек Ап
и Сп меньше N, а абсциссу точки Вп — больше N. Пусть прямая
у = ах пересекает, например, отрезок ВпСп- Выберем на нем точку
К с абсциссой N, а на прямой у = ах — точку С' с той же абсциссой
?, что и у точки Сп- Тогда четырехугольник ОС'КСп содержит-
ся в треугольнике ОВпС'п и поэтому имеет площадь, не большую
1/2. Применяя для вычисления площади треугольника ОС'Сп зада-
чу 12.40 и аналогичным образом вычисляя площадь треугольника
С'КСп, получаем, что площадь четырехугольника ОС'КСп равна
|ga - р|д/2 + |?о - p|(W - g)/2 = |ga - p\N/2,
159
где р — ордината точки Сп- Так как эта площадь не больше 1/2, то
|</а — p\N/2 < 1/2, значит, \а — p/q\ < 1/qN.
Это рассуждение несколько длиннее предыдущего, но зато оно не
ссылается на 12.41 и доказывает более сильное утверждение.
С помощью более тонких рассуждений можно доказать несколько
более сильную, чем теорема Дирихле, теорему Валена: для любого
иррационального числа а существует бесконечно много рациональных
дробей рп/Чп таких, что
\a-Pn/qn\ <
Подобно теореме Дирихле она вытекает из следующей геометриче-
ской леммы.
Лемма. Пусть ОАпВпСп — один из параллелограммов задачи
12.41. Тогда площадь одного из треугольников ОXX', где X = Ап
или Сп, меньше 1/4.
Доказательство. Прямая у = ах пересекает отрезок АПСП
в точке D, отличной от его середины (иначе эта прямая проходит
через точку с рациональными координатами, что невозможно). Без
ограничения общности считаем, что треугольник ОАПА'П содержится
в треугольнике OAnD, тогда треугольник ОСПСП содержит треуголь-
ник OCnD. Если отрезок AnD короче половины отрезка АПСП, то
площадь треугольника ОАПА'П меньше 1/4, так как с треугольником
ОАПСП площади 1/2 у него общая высота и более чем в два раза
меньшее основание. Если отрезок АПО длиннее половины отрезка
АПСП, то площадь треугольника AnA'nD больше площади треуголь-
ника CnC'nD ввиду их подобия в силу равенства углов (и того, что
последний из них меньше первого), значит, площадь невыпуклого
пятиугольника OAnA'nCnCn, составленного из этих треугольников
меньше площади треугольника ОАПСП, равной 1/2. Отсюда следует
утверждение леммы, так как в противном случае площадь пяти-
угольника OAnA'nCnCn была бы не меньше 1/2. Случай, когда этот
пятиугольник вырождается в треугольник ОАПСП, очевиден.
Докажем теперь теорему Маркова. Она немедленно вытекает;
подобно теореме Дирихле из следующей геометрической леммы. 1
Лемма. Пусть ОАПВПСП — один из параллелограммов задачи
12.41. Тогда площадь одного из треугольников ОXX', где X = АП);
В„ или Сп, меньше 1/(2>/5).	j
Далее мы предлагаем доказательство этой леммы, использующее
некоторые тригонометрические вычисления, разбитое на ряд неслож-
ных задач. Заметим, что лемма легко бы доказывалась, если бЫ1
параллелограмм был квадратом, а прямые ОА'П и АПА'П были бы пер-
пендикулярны. Свести лемму к этому частному случаю не удается,
160
> можно свести к случаю, когда параллелограмм будет прямоуголь-
ником. Это делается с помощью следующих двух задач.
Назовем “перекосом” преобразование плоскости, переводящее точку
с координатами (т.;у) в точку с координатами (х + ку,у), где к —
коэффициент “перекоса”.
12.42.	Докажите, что с помощью подходящего “перекоса” можно
преобразовать чертеж леммы так, что площади параллелограмма и
треугольников не изменятся, а прямые XX', где X = Ап,Вп или Сп,
будут перпендикулярны к прямой ОХ'.
Назовем “сжатием” преобразование плоскости, которое переводит
точку с координатами (х; у) в точку с координатами	где к —
коэффициент “сжатия”.
12.43.	Предполагая выполненным утверждение задачи 12.42, до-
кажите, что с помощью подходящего “сжатия” можно преобразовать
чертеж леммы так, что отношения площадей параллелограммов и
треугольников не изменятся, а параллелограмм станет прямоуголь-
ником. Выполнив потом гомотетию, можно считать, что его площадь
равна единице.
12.44.	Докажите, что при “перекосе” и “сжатии” прямые переходят
в прямые и отношение, в котором делит отрезок внутренняя точка,
не меняется.
После применения задач 12.42 - 12.44 можно считать, что ОАВС —
прямоугольник, А', В', С — перпендикулярные проекции А, В, С на
ось ординат (или абсцисс — это все равно) и отрезки О A', OB', ОС
соизмеримы, так как они были соизмеримы до применения перекоса
и сжатия в силу целочисленности координат точек А, В, С. Надо
доказать, что площадь одного из треугольников ОХХ', где X = А, В
или С, меньше 1/(2л/5). Без ограничения общности считаем, что
|0Л| = я > 1, и обозначим угол Z.COC через Допустим, что
площади треугольников ОХХ', где X = А или С, не меньше 1/(2-\/5).
Тогда надо доказать, что площадь О В В' меньше 1/(2>/5).
12.45.	Докажите, что удвоенные площади треугольников ОХХ',
где X — А, С, В, равны соответственно
1 2 .
-a sin 2у?,
1 -2
2
sin 2у>,
я cosy?—я 1 sin (я sin у? + я 1cosyi) =
— а 2) sin 2у? 4-cos2y?
= |(«2 + я 2)|sin(2y?+ 2/?)|,
4
где (3 = ЛАОВ.
Из сделанных предположений следует, что
я2 sin 2 у? > 2/л/5, я sin-2 2у? > 2/у/Ь,
Арифметика. Алгоритмы.
Сложность вычислений
значит,
1 < а2 < л/б/2, sin 'lip > 2а2/л/б > 2/ч/б > ^/3/2,	Я
поэтому 2тг/3 > 2<р > тг/i.	Я
12.46.	Докажите, что площадь треугольника ОВВ' не превосходи
|a4/V5 - 1/Уб + У1-4а4/б| и равенство возможно лишь при условия
sin Ър — 2а2/\/5-
12.47.	Докажите неравенство 0 < а4/ч/б + >/1 — 4а4/5 < 2/-\/5 пр,
1 < а2 < х/б/2. Равенство возможно лишь при а — 1.	'
Теорема Маркова - Бореля - Гурвица вытекает теперь из следу
ющей задачи.
12.48.	Площадь треугольника ОВВ' меньше 1/(2\/б)-
Геометрическая интерпретация Клейна цепной дроби ;
Предположим, как и в предыдущем цикле задач, что на плоскост;
введена система координат с началом в точке О и через эту точк’
проведена прямая у = ах, где a > 0 — произвольное иррационально
число. Для произвольной точки А с координатами (<?;р), q,p > (
обозначим А' “проекцию” А на прямую у = ах, т. е. пересечение эта
прямой с прямой х = q — перпендикуляром, опущенным из точки j
на ось абсцисс. Координаты точки А' есть (q;aq). Длину отрезк!
АА', равную |<?а —р|, назовем расстоянием до прямой у = ах.
Предположим, что во всех целых точках первого квадранта плос|
кости поставлены колышки. Привяжем к колышку (1;0) веревку JI
натянем ее вдоль прямой, не пересекая ее, так, чтобы между ве-
ревкой (которая примет форму бесконечной ломаной с вершинами
в некоторых колышках) и прямой не было колышков. Аналогично,
отправляясь от (0; 1), натянем выше прямой вторую веревку. Веревки
вместе с осями координат ограничат бесконечные многоугольники, на-
зываемые полигонами Клейна. Обозначим вершины верхнего полигона
через А,, Аз, Ag,... , а нижнего — через Аг, А4, Ад,.... Координаты
точки Ап обозначим (рп;<7п)- Для любого i определим вектор АПАП>,-
равным вектору ОАп+], умноженному на г.	(
Обозначим через an элементы бесконечной цепной дроби, равно!
числу a.	J
12.49.	Докажите, что точка An an+1 совпадает с точкой An+i, I
точка АП1ап+1+1 — с точкой Ащ.1,1, треугольники	J
''
OAn An,l , OAn,l Ап,2, • • • , ОАп,ап+1-2АП1ап+1-1, ОАП1ап+1_1 Ап + 2
не содержат целых точек я
Рп | — an + l|9n + ia	Рп + 1| 4" |?п+2О! Рп+2|,
162
|?n+2« — Pn+2| < |?n + l<* — Pn+l|-
12.50.	Докажите, что координаты точки Ап совпадают с числи-
телем и знаменателем п—й подходящей дроби к числу а, а также
равенство ||gna|| =	- Рп|-
12.51.	Выведите из предыдущих задач утверждения задач 7.9 — 7.10
и 11-21.
12.52.	Докажите, что если q < qn+x, то ||<?а|| > ||gna|| и выведите
отсюда утверждение 11.14.
12.53.	Докажите, что если p/q < а и q < <72п+1, то
Р/Я < Р2п-\л/Я2п + 1,
а если p/q > а и q < qzn, то p/q > P2n/<72n, т. е- наилучшими
односторонними приближениями являются подходящие дроби.
12.54.	Докажите, что полигоны Клейна выпуклы, т. е. вместе с
любыми двумя точками содержат соединяющий их отрезок.
12.55.	Докажите утверждение 11.12.
Цепные дроби и “прыжки” по окружности
12.56.	(Материалы жюри IMO) На окружности с центром О ради-
уса 1 от точки Ао отложим точки Ai,... ,Аюоо так, что угол AgOAk
равен в радианной мере k. Окружность в точках А; разрезается.
Сколько различных по длине дуг при этом получится?
Пусть 0 < г < 1. Расположим в порядке возрастания числа е,
2г,... , Ne (дробные части от е, 2г,... , /Уг.) Обозначим через а наи-
меньшее, а 1 — /3 — наибольшее из них, а = ае, 1 — (3 = be.
12.57*	. Докажите, что для всех s < N — а имеем (s + а)г — se = а и
для всех и < N — b справедливо равенство ие — (и + Ь)е = /?, и, значит,
N < a + b— 1. Докажите, что при N — a + b— 1 после разрезания отрезка
[0,1] точками г,2г,... ,Ne получается ровно а отрезков длины (3 и b
отрезков длины а, откуда следует, что
ba + ab = 1, аВ — ЬА = 1, А/а < е < В/6,
где А = [аг], В = 1 -I- [6г].
Пусть 0 < г < 1/2. Определим монотонные последовательности
Натуральных чисел qn и рп, </i — 1, pi = 0, так, что
||?пЕ|| = |gnE - Pn|, ||9n+ie|| < ||?пе||
и при 0 < q < qn+i
НИ > Н^Н-
12.58.	Докажите, что qn+ipn - qnpn+i - (-1)",
9n||9n+ie|| + qn+i||?пЕ|| = 1, (qne ~ pn)(qn+ie - pn+i) < 0.
6*
163
12.59.	Докажите, чТо при п > 2 для некоторого натурального ап
Qn + 1 — Qn^n + l + Qn — l,Pn + l “ РпПп + 1 "Ь Рп — 1,
|?n —Рп — 11 — ^п + 1 |?п£ Рп | + | Qn +1 £ Рп 4-11-
12.60*	. Докажите, что при N = (т + 1)дП4-1 + Qn + где цел
О < к < <7п+1, т > 0, справедливы равенства
а = ||?п4-1 е11- 0 = ||?г.е|| - (™ + 1)l|Wi*ll
и отрезок [0,1] разбивается точками е, 2е,... , Ne на N — qn+i отрезк
длины a, qn+i — k — l отрезков длины а + 0 и fc+l отрезков длины
12.61.	Выведите из 12.60 утверждения 12.56 и 12.59.
Круги Форда
Обозначим через круг радиуса l/2fc2, касающийся сверху о<
Ох в точке с абсциссой h/k, где h/k — несократимая дробь, к > О
12.62.	Докажите, что разные круги Форда \h/k и \Н/К пересек
ются и могут касаться лишь когда h/k — Н/К = ±1/Кк.
12.63.	Докажите, что круг Форда |(Л + Н)/(к + К) касается круге)
\h/k и \Н/К и оси Ох.
12.64.	Докажите, что между любыми двумя касающимися кру-
гами Форда \h/k и \Н/К расположена бесконечная в обе стороны
последовательность кругов Форда, каждый из которых касается своих
соседей справа и слева и одного из кругов \h/k и \Н/К, и проекции
кругов этой последовательности заполняют весь интервал (h/k,H/К).
12.65.	Докажите теорему Валена: для любого иррационального
а найдется бесконечно много рациональных дробей p/q таких, что
Пусть а, Ь, с — проекции на ось Ох вершин криволинейного трЯ
угольника АВС, ограниченного попарно касающимися друг друМ
кругами \(h + Н)/(к + К), \h/k и \Н/К.	j
12.66.	Докажите, что	Я
_hk + HK	_hk + hiki hiki + HK	1
“ “ (Р + Л'2 ’ “ k2 + kf ’ с = kl + K2 ’	I
где
,	.	, ,	.	„	A2(s2-s-l)
kt = k + К, hi—h + H, b-a=-rzz------ ------7-5-,
(fc2 + A2) (A:2 + k^)
где s = K/k, а также, что леравенство b > а равносильно неравенств;
вида s > (1 +-\/5)/2, а неравенство b < а равносильно неравенств;
вида s < (1 4- \/5)/2.
164
Пусть прямая х = а пересекает криволинейный треугольник АВС.
Без ограничения общности считаем, что К < к.
12.67.	Докажите, что если а < Ь, то
|а - Н/К\ = Н/К - а < Н/К -а = 0(s)/K2 < 1/(V5K~2),
где 9(s) = s/(s2 4- 1), а если а > Ь, то
Л1
ki
hi _ hj ф) 1
ki ° kt k\	’
где
_ s(s +
s2 + (s + I)2
12.68.	Докажите еще раз теорему Маркова — Бореля - Гур-
вица: для любого иррационального а найдется бесконечно много
рациональных дробей p/q таких, что
Последний в этом параграфе цикл задач посвящен обобщению
теоремы Маркова - Бореля - Гурвица на односторонние приближе-
ния, указанному Б.Сегре. Другое доказательство было предложено
И.Нивеном. Далее приводится еще одно доказательство, в основе
которого лежит следующая геометрическая лемма.
12.69*	*. Пусть О АВС — параллелограмм единичной площади,
прямая у = ах, проходящая через начало координат О, пересекает
отрезок ВС, и точки X, Y, Z выбраны на этой прямой так, что
АХ, BY, CZ параллельны оси Оу. Тогда если площади треугольников
ОАХ и OBY не меньше т/-(2\/1 + 4т), то площадь треугольника OCZ
не больше 1/(2\/1 + 4т), причем равенство возможно лишь когда
площади треугольников ОАХ и О BY равны т/(2\/1 + 4т).
12.70.	(Б.Сегре) Для любых иррационального а и положительного
т существует бесконечно много рациональных дробей p/q таких, что
-\/1 +4т92 <a~plq< + 4rg2 •
УКАЗАНИЯ
12.2.	Разрежьте параллелограмм на части квадратами решетки и проверьте,
что, параллельно переместив эти части, можно из них составить единичный
Квадрат.	4 • '
165
12.3.	Если во второй половине параллелограмма есть целая точка, отличная
от его вершин, то симметричная ей относительно центра параллелограмма точка
тоже целая, лежит в нашем треугольнике и отлична от его вершин.
12.4.	Воспользуйтесь 12.3 и 12.1.
12.5.	С помощью 12.3 проверьте, что сумма двух точек будет соседней с
ними обеими.
12.7.	Проверьте справедливость формулы Пика для пустых треугольников
и для любого многоугольника, составленного из многоугольников, для которых
верна формула Пика, и разрежьте любой многоугольник с вершинами в целых
точках на пустые треугольники с вершинами в целых точках.
Можно также непосредственно проверить формулу Пика для прямоугольников
со сторонами, параллельными линиям решетки целых точек, потом для пря*
моугоЛьных треугольников с катетами, параллельными линиям решетки целых
точек, и, наконец, для произвольных треугольников, причем для простоты
можно ввиду сказанного выше ограничится случаем пустых треугольников.
12.8.	Разрежьте фигуру на части квадратами решетки и перенесите их
параллельно самим себе так, чтобы они собрались в одном квадрате решетки,
и заметьте, что некоторые его точки будут покрыты частями фигуры не более
[S], а некоторые другие, — не менее ]5[ раз.
12.9.	Уже вписанный в квадрат круг накрывает не менее двух узлов.
Квадрат с центром в точке с одной целой, а с другой полу целой координатами
и сторонами, наклоненными под углом 45° к осям координат, содержит ровно
две целые точки.
12.10.	Если квадрат содержит две целые точки на расстоянии 2\/2, то он
содержит девять целых точек. Остается случай, когда он содержит семь целых
точек, выпуклая оболочка которых образует симметричный шестиугольник.
Докажите, что проекция этого шестиугольника на одно из двух взаимна
перпендикулярных направлений не меньше двух.	J
12.11.	Рассмотрите выпуклую оболочку всех целых точек, накрытых квм
дратом, заметьте, что ее площадь не больше п2, периметр не больше 4п и КШ
меньше числа целых точек, лежащих на нем. Далее примените 12.7.
12.12.	Делая, если надо, преобразование подобия с коэффициентом 1 +
е, можно считать, что площадь больше 4. Применяя 12.8, заметьте, что
в многоугольнике найдутся две точки, соединяющиеся вектором с четными
координатами (для этого примените подобие с коэффициентом 1/2). Потом
отразите одну из них относительно центра симметрии и соедините отрезком со
второй — середина полученного отрезка является целой точкой, принадлежащей
многоугольнику, так же как и симметричная ей точка.
12.13.	Многоугольник имеет диаметр длины большей 2, проходящий через
центр симметрии. Вращая его, можно накрыть еще две целые точки.
12.14.	Примените 12.9 к параллелограмму, ограниченному прямыми у =
= ах ± 1/ХуХ = ±Х,Х > 1. Тогда для некоторых натуральных чисел p,q точка
(р;д) принадлежит ему, откуда |ga — р| < 1/Х < 1/д.
12.15.	Для доказательства второго утверждения примените 12.8 к каждому
прямоугольнику с длиной 2R и шириной 2/R и центром в начале координат
или вместо 12.8 примените рассуждение, подобное решению 12.4, рассмотрев в
порядке возрастания углов все примитивные точки в круге радиуса R и обратив
внимание на их соседство в смысле задачи 12.1, заметьте, что сумма соседних
точек лежит вне круга, и расстояние от них до прямой, направленной на сумму,
меньше 1/R.
Для доказательства первого утверждения рассмотрите точки (1;0) и ([Я—1];1)
и прямую, направленную на их сумму.
166
12.16.	Рассмотрите самую крайнюю прямую целочисленной решетки, пересе-
нощую окружность, и на ней выберите два соседних кружка, лежащие один
внутри, а другой вне ее; отдельно рассмотрите случай, когда такие кружки
найти нельзя.
12.17.	Проверьте, что площадь параллелограмма, ограниченного указанными
неравенствами, равна 4тпп/Д, и примените 12.8.
12.18.	Можно считать, что —Ь < а < О и с > О, взяв в случае необходимости
вместо а и с соответственно а 4- by и с 4- dy при подходящем целом у и —с,
~d вместо с и d\ тогда и = 0 или 1 обеспечивает справедливость теоремы
(рассмотрите отдельно случаи с 4- d < 0 или с 4- d > 0 и примените неравенство
< (х 4- J/)/2 и условия теоремы).
12.19.	Согласно 12.17 найдутся целые хо,уо> такие, что |аа?о + &3/01 < г и
|cro 4“^2/о| < Д/г и можно при этом считать, что ахд 4- Ьуо > 0. Выберем xj и
yi так, чтобы — ®11/о = 1, и сделаем замену переменных х — х*хд 4-1/хь
= я7/2/о4“3/,3/1 » тогда ax4-6i/ = а'х'+^у1 и ex~\~dy = с'х'+£у*, где ad—be — a,d, — b,c/ и
1 < а' < е, |6| < Д/е. Остается выбрать целое у1 так, чтобы Imc' — па1 — Д$/| < Д/2,
I применить предыдущую задачу при а — Ь'у' 4“ т, с = d'y* 4“ n, b = а', d = с\
ля доказательства первого утверждения в качестве е надо взять (Д^1/2.
12.20.	Заметьте, что |я; 4~ 1/2||у 4~ 1/2| > 1/4.
12.21.	Из 12.19 следует, что для любого е > 0 найдутся целые р и д, такие,
что |g||ga4-/?4-p| < 1/4 и |да4-/34-р| < г. Устремите е к нулю и заметьте, что 1/4
достигается самое большее один раз, так как иначе а было бы рациональным.
12.22.	Воспользуйтесь 12.21.
12.23.	Сопоставьте каждой целой точке квадрат решетки, у которого эта
точка является левой нижней и заметьте, что полученный квадрильяж содержит
круг радиуса R—x/2 и содержится в круге радиуса Я 4-х/2.
12.24.	Ответ: 800 или 799.
12.25.	Пусть х2 4- У2 — N, (х, у) = 1, р | ДТ, тогда (р, я) = (р, у) = 1, значит при
некотором целом т число р делит тх — у, откуда следует, что р | х2 4“ (mr)2,
поэтому р | х2 4- 1 и pl^P”1 4- 1 вопреки малой теореме Ферма.
12.26.	Пусть х2 4- у2 — Ny(x,y) = rf, тогда (x/d)2 4- (у/d)2 — N/d2 и
p\N/d2, (x/d, у/d) = 1 вопреки 12.25.
12.27.	Примените аналог задачи 10.21 и задачу 11.40.
12.28.	Пусть х2 4- У2 — N, (xty) — d, р — любой простой делитель числа N
вида 41:4-3, тогда (x/d)2 4- (y/d)2 — N/d2 и (р, N/d,2) = l согласно 12.25, значит,
N/d2 '— делитель п, причем d2n/N = »п2, поэтому (тх / d)2 + (ту / d)2 = п, где
mx/d,m.y/d, d/m^y/N/n — целые числа.
12.29.	Пусть (х\у) — целая точка первой окружности, тогда (х + у\х — у) —
целая точка второй окружности и обратно, если (х\у) — целая точка второй
окружности, тогда ((х 4- у)/2] (х — у)/2) — целая точка первой окружности.
12.30.	Пусть числа x,y,z попарно взаимно просты и х2 4- у2 =-г2, тогда z
(Нечетно и, например, у тоже нечетно, откуда
f	(х/2)2 — uv, и = (z - у)/2, v = (z 4- у)/2, (u, v) = 1,
значит, u = p2,v=q2, pfq — натуральные, и (р,д)=1.
12.31.	Воспользуйтесь 12.30 и заметьте, что восьмая часть всех примитивных
Целых точек на окружности с радиусом \Jn имеет вид (p;g), р > д, а восьмая
часть всех примитивных целых точек на окружности с радиусом п имеет вид
('2р?;(р2 - g2)), р > д.
12.35.	Пусть
ж2 + у2 = /V, (х,у) = d,
167
р — любой простой делитель N/t&, тогда при
ж, = x/d, yi = у/d, Ni — N/d2	>
справедливы равенства
+y? = №, (si.yi) = (xi,p) = (ri,p) = 1, p|xi -	,
где о = ±1, 0 — наибольшая степень, на которую делится , a h — така
единственное число, что р^|1 + h2, 1 < А < р^/2. Единственность h следует И
того, что если р^	то или —/ц, или p&\h + hi. Существование числя
h при /3 = 1 следует из того что для а = ((р — 1)/2)! число а2 4-1 делится на.|
так как р | а2 — (р — 1)!, р | (р — 1)! + 1, а при (3 > 1 существование такого числ
а доказывается индукцией по [3 путем прибавления, если надо, к предыдущему
значению а подходящего кратного р^3”1 и выбором Л в виде ±а 4- p&s. Пуст
числа Х2,У2 таковы, что х^+У? ~ Р&•> Р^\х2 ~&hy2 (существование их следует а
12.5,12.34 и предыдущих рассуждений), тогда точка (х;у) является произведение
примитивных целых точек (х2',У2) и ((ж,^ + У1Уг)/Р^; (—®11/2 + Х2У1 )/Р&) и дал<
по индукции она разлагается в произведение п примитивных целых точек, гД
п равно числу различных простых делителей Ni, причем таких разложений!
как и различных примитивных точек на окружности у/Ni, будет ровно 2п.	!
12.36.	Воспользуйтесь 12.35,12.32,12.29,12.28,12.26.	J
12.37,	12.38. Воспользуйтесь 12.36.	]
12.41.	Выберите А, = (0;1), В, = (1; 1), С, = (1;0) и далее в качеств®
ОАпВпСц выбирайте параллелограмм, изображающей сложение либо векторов^
0Ап и 0Вп, либо векторов ОВп и ОСп.
12.42.	Примените “перекос”, взяв за ось абсцисс прямую 0пА', и восполь-
зуйтесь тем, что площадь треугольника не меняется, если не меняются его
основание и высота.
12.43.	Докажите, что при “сжатии” площадь параллелограмма умножается
на к. Воспользуйтесь тем, что площадь треугольника с гипотенузой b и углом
/3 равна ^-б2 sin 2/3.
12.45.	Заметьте, что 1 > tg/З > 2/\/з > 1/х/з, значит, тг/4 > р > тг/6, и поэтому
тт/2 < 2((р 4- 0) < 4тг/3, следовательно, площадь треугольника ОВВ1, равная
| - (а2 — а-2) sin 2(р 4- - cos2ip| = (а2 4- а"2) |sin(2ip 4- 20)|,
не превосходит
||(а2 - а~2)2а2/>/5 - уЛ - 4а4/б|.	j
12.46.	Неравенство	1
а4/х/б - ^1 - 4а4/5 >0	,	|
верно, так как а > 1 и	।
а4/У5 > 1/У5 > у/1 - 4а4/5.	Л
Для доказательства неравенства
а4/>/5 + у/1 - 4<х4/5 < 2/\Л	|
168
положите х yi - 4а</5 и проверьте, что на отрезке 0 < х < 1/\/б функция
х + >/5(1 — х2)/4 возрастает, так как ветви параболы направлены вниз, ее ось
симметрии есть прямая х = 2/75, и наш отрезок лежит левее ее. Значение
функции в точке х— \/\/5 равно 2/75.
12.47.	Из 12.45 и 12.46 следует, что площадь треугольника О В В' не
больше 1/2\/5, причем равенство было бы возможно, лишь когда а = 1 и
sin2(^> = 2а2/>/5 = 2/\/б. Но тогда ОС/ОА' = tg<p, а так как
sin2<p = (2tg<p)/(tg2 <р + 1),
то tg<p иррационален, что противоречит соизмеримости отрезков О A1,OB',ОС,
вытекающей из сохранения преобразованиями “перекоса” и “сжатия” отношения,
в котором точка делит отрезок.
12.49.	Примените индукцию.
12.50.	Воспользуйтесь 12.49 и тем, что подходящая и промежуточная
дроби Рп+з/?п+з И (р„+2 +Рп+1)/(?п+2 + 9п+1) лежат по одну сторону от а, а
подходящая дробь рп+2/?п+2 — по другую.
12.51.	Разбейте треугольник OAn+iAn на треугольники ОАпА'п, А„АпАп+1>
OA'nAn^.i, где А'п — точка с координатами (чп',ачп), и воспользовавшись
12.1,12.3,12.40, заметьте, что их площади равны
1/2, gn||?na||/2, (gn+i - ?n)||?na||/2, д„||д„+1а||/2,
откуда
9n||?n+ia|| + 9n+l||?na|| = 1.
12.52-1	2.54. Примените 12.49- 12.50.
12.55.	Рассмотрите треугольники OAnAn^.i,OAnA'n, ОАп-цЛ^,, АпА'пС,
^In+iA^jC, где С — точка пересечения прямой у — ах и отрезка АпАп+1,
вычислите их площади с помощью 12.40 и 12.3 (как в указании к 12.51) и
заметьте, что последние два из них подобны, а потом, применяя 12.49— 12.50,
докажите, что площадь первого из них больше. Выведите отсюда, что
9п+1 ||?п+1<*|| + <?n||gna|| < 1.
12.57.	Если бы первое утверждение было неверно, то (з + а)е < а. Второе
утверждение доказывается аналогично. Для проверки третьего утверждения
заметьте, что (6 + а)е < а.
12.58.	Воспользуйтесь 12.57 при Nn = Чп+1 + Ч ~ 1, тогда
а = Чп, Ъ = Чп+1 •
12.59.	Воспользуйтесь 12.58 и заметьте, что (рп,?п) = 1 и рп(?п+1 — Чп) =
~= 9п(Рп+1 “ Рп).
12.60.	Проведите индукцию по N.
12.62.	Квадрат расстояния между центрами кругов минус квадрат суммы
их радиусов равен
(Нк - Kh)2 - 1
(W ’
12.63.	Воспользуйтесь 12.62 и заметьте, что
I h + Н	/il_ 1 U + Я	HI 1
|fc + K “	k(k + K)’\k+K	K\ -	K(k +	K)'
169
12.64.	Воспользуйтесь 12.63.	Я
12.65.	Примените 12.64 и заметьте, что прямая х == а пересекает бесконечш
много кругов Форда.	я
12.67.	В первом случае s > (14-\/5)/2 и 0(s) монотонно убывает, а во втором
s < (1 +У5)/2 и £($) монотонно возрастает.	*
12.68.	Прямая х = а пересекает бесконечно много криволинейных треуголь-
ников, ограниченных кругами Форда.
12.69.	Положим для краткости А = 1/v 1 4- 4т, д = Ат, тогда д =
= (1 — А2)/4А, 1 — 4А^ == А2. Выполнив афинное преобразование, можно считать,
что ОАВС — прямоугольник, его стороны ОА == а, ОС = 1/а, а роль прямой
у = ах играет ось ординат (при афинных преобразованиях отношение площадей
не меняется). Обозначим угол между вектором ОС и осью абсцисс через 7г/2 —
а угол Z.AOB — через 5 . Тогда ip + 8 < тг/2 и площади треугольников О АХ,
OCZ и OBY равны соответственно
a2 sin 2^ а 2 sin 2ip
- ( _
(а2 4- а 2) sin 2(V> 4- 5) _ (а2 — а 2) sin2i/» 4- 2 cos2i/»	,
4	4	i
Поэтому для доказательства леммы достаточно предположить, что a2 sin 2^-
> 2д, а~2sin2V' > 2А и вывести отсюда неравенство
(а2 — a 2)sin2i/'
-
4- cos 2ip < ц.
Обозначим шах{2^/а2, 2Аа2} через у . Очевидно, что если выполнено неравенств!
7 > cos 28, то 2ip > тг/2 — 28, значит, функция sin 2(ip 4- 5) убывает с ростом 1р
поэтому нужное неравенство следует из неравенства
(а2 - а-2)'у/2 + у/1 - а2у < ц.	(*)
Докажем его вместе с неравенством 7 > cos 28. Очевидно, что 7 < 1.	J
Рассмотрим два случая. Пусть 2д/а2 < 2Аа2, тогда имеем т > а4, 7 = 2д/а^
а так как 7 < 1, то
> 2Аа2, 7 = 2-~ > 4дгА = ---------,
а2 ~	1 4- 4т
и неравенство 7 > cos 28 вытекает из неравенства
4т tg2 5—1 _ а4 — 1
1 4- 4т ~ tg2 5 4- 1 а4 4- 1 *
а оно очевидно в силу неравенств
а4 < 4т,
а4 — 1
а4 4- 1
4т — 1 4т
“ 4т 4- 1 < 4т 4- 1
Неравенство (*) в рассматриваемом
случае принимает вид
М-ца 4 +	- (2ц/а2)2 < ц.
170
Полагая х = д/а4, получаем из него неравенство >/1 — 4 да? < х, которое при
х > ^1Г = очевидно, так как его правая часть возрастает, а левая - убывает,
и при х = А оно обращается в равенство.
Предположим теперь, что 2д/а2 < 2Аа2. Тогда
т < а4, 7 = 2Аа2 > cos25 = —-------,
а4 + 1
потому, что при а < 4т
. 2д
7 > “Г > 4дА =
а‘
4т
4т 4- 1
а4 — 1
а4 4- Г
а при а4 > 4г производная по а левой части, равная 4Аа, больше производной
по а левой части, равной 8а3(а4 4~ 1)—2, так как
А = -^= > —— > —— > 2а2(а4 + 1)“2.
\/1 4- 4т 4т 4- 1 а4 4- 1
Неравенство (*) в рассматриваемом случае принимает вид
Аа4 — А 4- \/1 — 4 А2 а4 < ц.
Полагая х = Аа4, получаем из него неравенство
х 4- \/1 —~4Ах < д 4“ А,
которое при х > Ат = д выполняется, потому что при х — д обращается в
равенство, а его левая часть убывает, так как ее производная по х равна
1 — 2А/\/1 — 4Ао? и при т > д она меньше —1. Из доказанного следует, что
неравенство (*) обращается в равенство лишь при а4 = т и sin 2-ф = 7 = 2д/а2 =
= 2Аа2, т.е. когда площади треугольников ОАХ и OCZ равны д/2 и А/2.
12.70.	Построим на координатной плоскости последовательность параллело-
граммов О АпВпСп с единичными площадями и целочисленными координатами
вершин такую, что прямая у = ах пересекает отрезки ВпСп- Построение прово-
дится по индукции. Полагаем А' = Вп>С* = Сп, и в качестве вектора ОВ1 берем
ОВп+ОСп. Прямая у == ах пересекает либо В’С, либо А'В'. Если имеет место
первый случай, то полагаем OAn^.iBn^.\Cn^.i = ОА'В'С1. Во втором случае
строим по рекуррентным формулам
— А'ю ^fc+i —	“ OB'k 4- ОА'к
последовательность параллелограммов ОА^В^С^, начиная с параллелограмма
= О А1 В1 О' до тех пор, пока не получим параллелограмм ОА^В^С^, в
котором сторона В^О^ Пересекает прямую у = ах, и полагаем OAn+iBn+iOn+i =
OAfmBfmCfm.
Координаты последовательностей Ап и Вп возрастают, а последовательность
Сп не может стабилизироваться с некоторого номера тп. Поэтому можно
выбрать подпоследовательность параллелограммов ОАпВпСп со стремящимися
к бесконечности координатами.
Применяя лемму к параллелограмму ОАпВпОп, получаем, что либо площадь
одного из треугольников ОАпХ и OBnY меньше т/(2\/1 4- 4т), либо площадь
треугольника OCnZ меньше, чем 1/(2\/1 4“ 4т), либо все три площади равны
Указанным значениям. Вычисляя площади этих треугольников через координаты
171
вершин AntBniCn по формуле половина произведения основания на высоту
(высоту проводим из вершины О), выводим, что для некоторой последовательности
рациональных дробей Pn/qn справедливы неравенства
1	_ Рп т
у/1 + 4тд2 - Яп ~ Vl + 4тд2
На самом деле при иррациональном а эти неравенства строгие, так как иначе,
в силу равенства площадей треугольников ОАпХ и OBnY и рационального
отношения их высот q и q1, отношение их оснований р — otq и р1 — otq' тоже
рационально, а так как pfq р'/q1 (из-за неколлинеарности векторов ОАп и
ОВп)} то и а рационально, что противоречит предположению
§ 13.	ПОКРЫТИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА КВАДРАТАМИ,
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И РЕАЛИЗАЦИЯ
РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ФОРМУЛАМИ
Работу алгоритма Евклида1) можно представить следующим обра-
зом: в прямоугольник размерами хЛ укладываем а, квадратов раз-
мера I? х/г, в оставшийся прямоугольник размерами х/з укладываем
й2 квадратов размера 1з х /3 и т. д., пока не покроем прямоугольник
размера Zi х квадратами k разных размеров в общем количестве
ai + ... + а* штук (см. §8).
Если считать целью алгоритма Евклида покрытие прямоугольника
квадратами, то он действует как “жадный алгоритм”: на каждом
шаге помещает в прямоугольник на свободное место квадрат макси-
мальных размеров. На первый взгляд кажется, что он всегда строит
минимальное (по числу используемых квадратов) покрытие. Далее
мы увидим, что это не так.
Обозначим через L(m, п) наименьшее число квадратов в покрытии
прямоугольника размером тпхп. Обозначим через 1(г) сумму элементов
цепной дроби, представляющей рациональное число г. Число квадратов
в покрытии прямоугольника размером тпхп, которое строит алгоритм
Евклида, равно 1(тп/п).
13.1.	Докажите, что L(5,6) = 5, 2(5/6) = 6.
Далее будет показано, что L(m, п) может быть гораздо меньш
чем 1(тп/п).	;
Рассмотрим следующий класс покрытий (разбиений) прямоугольна
ка. Разрежем прямоугольник на два прямоугольника, потом какой*
нибудь из них разрежем на два прямоугольника и т. д. до тех rtop
пока не получим разбиение исходного прямоугольника на квадратЦ
^Евклидовой метод алгоритмом, конечно, не называл, термин этот стал попула
рен в нашем веке и происходит от искажения имени Аль Хорезми — выдающегося
среднеазиатского математика, название одной из книг которого дало имя целом
разделу математики — алгебре.
172
Такие разбиения назовем последовательно-параллельными (со-
кращенно П) разбиениями (покрытиями) и обозначим минимальное
число квадратов в П-разбиении прямоугольника т х п через Ln(m,n).
13.2.	Докажите, что введенная функция симметрична и зависит
только от отношения т/п и то же верно для функции L(m, п).
Далее будет показано, что иногда L(m, п) < Ьц(т,п).
Определим теперь понятие последовательно-параллельной электри-
ческой цепи из единичных резисторов. Один-единственный резистор
считаем П-цепью с сопротивлением единица. Если Ri и Яг — П-цепи
с сопротивлениями п и г? соответственно, то цепь, которая получа-
ется из цепей Я,- параллельным соединением, имеет сопротивление
(г^1 Ч-г^1)-1, а цепь, получающаяся из тех же цепей Я,- последо-
вательным соединением имеет сопротивление п + гг . Наименьшее
число единичных сопротивлений, из которых можно построить П-цепь
с сопротивлением г, обозначим через Ьц(г).
13.3.	Установите взаимно-однозначное соответствие между 11-
разбиениями прямоугольника т х п и П-цепями с сопротивлением
т/п и выведите отсюда, что
Ln(n,m) — Ln(m,n) = Ln(m/n) = Ln(n/m).
Далее под словом цепь будем понимать П-цепь, если не оговорено
противное. Повторим построение произвольной цепи Е, заменив на
каждом его шаге параллельное соединение подцепей на последова-
тельное, а последовательное соединение подцепей на параллельное. В
результате получаем новую цепь Е*, которую назовем двойственной
цепью для цепи Е.
Очевидно, что двойственная цепь для цепи Е* совпадает с перво-
начальной цепью Е.
13.4.	Докажите, что двойственные друг другу цепи имеют взаимно
обратные сопротивления, ’и выведите отсюда последнее равенство
задачи 13.3.
Далее рассмотрим некоторые классы формул, реализующих раци-
ональные числа. В качестве базисов будем рассматривать следующие
множества операций:
В — {х + у, х - у, ху, х-1,1}, : Bi = {х + у, ху, x~l, 1},
В2 = {х Ч- j/,x-1,1}, В3 = {х + у, (х-1 + у"1)"1,1}.
Понятие формулы над базисом В (или В,) и реализуемой ею
функции определим индуктивно. Константу 1 объявляем формулой.
Если Ф] и 4>2 — формулы в базисе В и Г], гг — реализуемые ими
числа, а ш 6 В — базисная операция, то выражение Ф = у(Ф1,Фг)
По определению является формулой, реализующей число w(ri,r2).
173
Если операция ш(х) есть операция обращения х-1, то выражение
о?(Ф1) = Ф/1 является формулой, реализующей число w(/i) = /f1.
Сложностью формулы назовем число символов констант 1 в
формуле. Сложностью числа г назовем минимальную сложность
реализующей его формулы и обозначим ее через Lb (г). Обозначим
через L(r) знаменатель обычной несократимой дроби, равной г.
Определим по индукции понятие ветвящейся цепной дроби.
Обычные цепные дроби считаем частным случаем ветвящихся цепных
дробей. Если Ri, i = l,...,n, — ветвящиеся цепные дроби, а —
натуральное число, то дробь
а + Ri +... + Rn	1
тоже назовем ветвящейся, а все элементы дробей Ri и число а —i
ее элементами. Сумму ветвящихся цепных дробей и произвольного
целого а тоже считаем ветвящейся цепной дробью, а ее элементами
— все элементы слагаемых и число а.
Докажите утверждения 13.5 — 13.9.
13.5.	Для любой дроби г число Ьв2(т) равно наименьшей сумме
элементов в ветвящихся цепных дробях, представляющих г.	|
13.6.	Для любой дроби г справедливо равенство Lb3(t) = Ln(r). S
13.7.	Для любой дроби Ьв3(г) = Лв2(г).	1)
13.8.	Для любой дроби Ьв3(г) = Lb2(1/t).	i
13.9*	. Для любой дроби г	<
Ьв2(г) < l(r) < max L(r), L(l/r),	f
4
причем равенство достигается лишь для аликвотных дробей и для»
дробей вида 1 - 1/q = 1/(1 + \/(q - 1)).	t
Простейшую нижнюю оценку для ЬвАр/q) и ЬвАр/q) дает следуй
ющая задача.
13.10*	. Справедливы соотношения
= £Вз(р/?) = ^вЛч/р) = Le3(q/P) > max(g,p)/min(p,g).
Равенство достигается только на аликвотных дробях.
Как показывает следующая задача, базис В; сильно отличается от
В2 и В3.	।
13.11*	. Справедливо неравенство
г'
lbApI4\~> 31og3(max(9,p)/min(p,?)),	(
которое достигается только при p/q — 3", п — целое. .	i
174
Вернемся к произвольным разбиениям прямоугольника на квадра-
ты. Им можно сопоставить плоские электрические цепи, состоящие из
единичных сопротивлений. Для этого выделим в прямоугольнике все
горизонтальные отрезки, состоящие из сторон квадратов разбиения и
не удлиняемые с сохранением этого свойства (в их число входят и
обе горизонтальные стороны прямоугольника). В середине каждого
из выделенных отрезков возьмем точку. Две точки соединяем отрез-
ком, если некоторый квадрат разбиения касается обоих отрезков, на
которых выбирались эти точки.
Если от первоначального чертежа оставить только выбранные точки
и соединяющие их отрезки, то получится плоское изображение графа.
Графом называется объект, состоящий из некоторого множества
вершин и некоторого множества ребер, соединяющих эти вершины
попарно. Если вершинам графа сопоставить точки на плоскости,
а ребрам — отрезки, соединяющие соответствующие вершины, то
получается изображение графа. Изображение называется плоским,
если отрезки в нем пересекаются только в вершинах. Граф, имеющий
плоское изображение, называется также плоским.
Если ориентировать каждое ребро рассматриваемого графа в напра-
влении от одной горизонтальной стороны прямоугольника к другой и
написать на каждом ребре длину стороны квадрата, изображаемого
этим ребром, то получим ориентированный граф с нагруженны-
ми ребрами, называемый также двухполюсной сетью (полюсами
являются вершины, изображающие горизонтальные стороны прямо-
угольника).
Заметим, что сумма чисел, приписанных всем ребрам, выходящим
из одного полюса, равна сумме чисел, приписанных всем ребрам,
входящим в другой полюс, и обе они равны длине горизонтальной
стороны прямоугольника. Если заменить каждое ребро графа единич-
ным резистором, то получим электрическую схему, соответствующую
нашему разбиению. Если считать, что сила тока в каждом резисторе
равна числу, приписанному соответствующему ребру, то для каждой
вершины сумма втекающих в нее токов будет равна сумме вытека-
ющих. Действительно, обе эти суммы равны длине горизонтального
отрезка, в центре которого выбиралась рассматриваемая вершина.
Назовем гранью любую часть плоскости, ограниченную двумя
непересекающимися ориентированными цепями ребер графа с общи-
ми началом и концом. Количество вершин графа обозначим Ь, а
количество граней — г.
Для каждой грани суммы чисел, приписанных ребрам обеих цепей,
равны друг другу. Действительно, каждой грани можно сопоставить
вертикальный отрезок внутри прямоугольника, состоящий из сторон
квадратов разбиения и ограниченный сверху и снизу подобными же
горизонтальными отрезками, тогда обе рассматриваемые суммы равны
175
длине этого отрезка. Каждую из этих сумм можно интерпретировать
как сумму падений напряжения на каждой из рассматриваемых цепей.
В результате получаются 6+ г уравнений Кирхгофа для рассматри-
ваемой схемы. Падение напряжения между полюсами схемы равно
длине вертикальной стороны прямоугольника, а ее сопротивление —
отношению вертикальной и горизонтальной сторон.
Электрическую схему можно сопоставить нашему разбиению и
другим способом, а именно, повернув прямоугольник на 90°. ЭтП
схему назовем двойственной первоначальной схеме.	1
13.12.	Проверьте, что для П-цепей введенное понятие двойствен!
ности совпадает со старым.
В теории графов двойственным графом данного плоского графа
называется граф, у которого вершинами являются грани исходного
графа, а ребра, соединяющие вершины, соответствуют ребрам, при-
надлежащим одновременно обоим циклам, ограничивающим грани,
соответствующие этим вершинам. Число вершин в двойственном гра-
фе равно числу граней в исходном и наоборот, а число ребер в обоих
графах одинаково. Обозначим его через р.
13.13.	Установите связь между понятием двойственности для
плоских электрических цепей и двойственностью для плоских графов.
13.14*	. (Эйлер) Для любого плоского графа докажите формулу
b — р + г = 1.
13.15.	Перечислите все графы не более чем с девятью ребрами,
соответствующие не П-разбиениям.
13.16.	(Москва,40) Докажите, что прямоугольник нельзя разбит^
не более чем на шесть разных квадратов.	®
13.17*	. Докажите, что имеются только два разных разбиение
прямоугольника не более чем на девять разных квадратов.	«
Далее понадобятся некоторые факты о числах Фибоначчи, частично
известные читателю по § 7.
13.18.	Докажите, что:
FnFk-i + Fn+1Fk = Fn+k;	(1
FnFk+i — Fn+iFk = (—l)kFn-k',	(5
Fn-i/Fn + Fn+k_2/Fn+k = (FnFn+k + (-l)nFk)/FnFn+k- (2
Fn-i/Fn + Fn^/Fn+1 = (FnFn+1 + (-l)")/Fn,F„+1;	(<
Fn-i/Fn + Fn/Fn+2 = (FnF„+2 + (—l)n)/FnFn+2;	(I
F„_2/Fn + Fn+^t/Fn+k = (FnFn+k + (-l)n+1Ffc)/F„F„+fc;	((
Fn_2/Fn + Fn/Fn+X = (FnFn+1 + (~l)n+1)/F„F„+1;
F„_2/F„ + Fn+1/Fn+2 = (F„Fn+2 + (-If+^/F.Fn^; (J
176
Fn-i/Fn — Fn+fc_i/Fn+* — (—1)" Fk / FnFn+k', Fn_i/Fn - Fn/Fn+i = (-1)"/F„F„+1; Fn-i/Fn — Fn+l/Fn+2 — (—l)"/FnFn+2; (Fn, Ffc) = Ffn,*); Fn+fe < Fn+iFfc+1 < Fn+fc+i;	(9) (10) (И) (12) (13)
причем левое неравенство в (13) обращается в равенство при к = 1
или п ~ 1, а правое — при к = 0 или п = 0;
Fn+k+m-i < Fn+iFh+iFm+i — Fn-iFk-iFm-i,	(14)
причем равенства возможны лишь при п,к,тп <2;
Fk < п к < [log^n + 1/2)л/5)] .	(15)
Следующий цикл задач посвящен сложности реализации рацио-
нальных чисел формулами. Сначала докажите три неравенства задач
13.19-13.21.
13.19*	. Если 0 < yi,Pi,qi < х, и pi + qi < х, + yi, i = 1,2, то
Р1Р2 + 9192 < xiX2 + У1У2, причем при 0 < yi < Xi, i = 1,2, равенство
возможно, лишь когда р, = х,, q, = у, или когда р,- = р,-,	= Х{,
i= 1,2.
13.20.	Если 0 < yi,Pi,qi < Xi Pi + qi < Xi + yi, i — 1,... ,n, to
Pi   -Pn + qi   -qn < Xi.. .xn + yi .. ,yn.
13.21*	. В условиях задачи 13.19 справедливо неравенство Р192+
+Р291 + 9192 < Х1у2 4- ж2у1 + Х1Х2- При 0 < yi < Xi, i — 1,2, равенство
возможно, лишь когда р,- = yi, qi = ц, i = 1,2.
Далее, даются оценки сложности рациональных чисел.
13.22*	*. (О. М. Касим-заде) Пусть p/q — несократимая дробь,
Р,Я — Целые, LB(p/q) = L. Тогда |р|, |?| < FL+1, |р( + |р| < FL+2.
13.23.	Для любой несократимой дроби p/q, где p,q —натуральные,
LB2(p/q) > LbAp/ч} > LB(p/q) > [log¥,(V/5(max(9,p) - 1/2))],
LB2(p/q) > LbAp/ч} > Le(p/q) > [logv,(y/5(p + 9 - 1/2))] - 1.
13.24*	*. В случае max(p,p) = Fn первое из неравенств задачи 13.23
Достигается только на дробях p/q = FkFn_k/Fn или Fn/FkFn^.k, где
(&,п) < 2. В случае p + q = Fn это неравенство достигается только на
Дробях p/q = Fn/(FkFn_k)-l или FkFn_k/(Fn-FkFn_k), где (п,к) < 2.
13.25*	*. Среди всех несократимых дробей со знаменателем Fn
наименьшую сумму элементов в представляющих их обыкновенных
177
цепных дробях имеют дроби Fn-i/Fn и Fn-2/Fn. Минимальные фор4
мулы в базисах В, Во, Bi, Bz для этих чисел соответствуют цепным
дробям	<
[0; 1_^_Д] и [0; 1_^_Д 2],	
п — 1	п — 3	j
где 2=14-1, и цепным дробям
[0; 21. ..Д] и [0;2 1... , 12],	I
п—3	п —4	j
где 2=14-1 или 14-1-1. Сложность каждой из них равна я —1. Среди
всех несократимых дробей со знаменателем Fn наименьшую сумму1
элементов в представляющих их ветвящихся цепных дробях имею1
дроби FkFn-k/Fn, где (к,п) <2.
Минимальные формулы в упомянутых базисах для этих чисе
соответствуют ветвящимся цепным дробям вида	*
1
-------------------------------- j
Ф1 4- ф2
где Ф1— формула, соответствующая цепным дробям
[0; 1... , 1] или [0; 1... , 1 2],	*i
р-i	р-з	
а Ф2 — формула, соответствующая цепным дробям
[1;1... Д]или[1;1...,12],	]
»-1	»-з
где {s,p} = {к,п — к} (формулы, записи которых в приведенной
формулировке не имеют смысла из-за отрицательности чисел s—3, р—3J
п — 3, п — 4, естественно, следует исключить из этой формулировки).)
Сложность каждой из них равна п — 2.
13.26.	Докажите, что для любого положительного рационального
числа г справедливы неравенства
£в(~г) <2-|- £в(г), Lb(—г) > ^в(р),
Le^-Fn^/Fn) = п, LB(-Fn-.2/Fn) = п.
В следующей задаче приводятся новые примеры чисел, для которых
достигаются оценки 13.23.'
13.27.	Первое неравенство из неравенств задачи 13.23 достигается
при п,тп> 2 для дробей FnFm/(Fm+iFn+i), у которых (n4-l,m) < 2,
178
(m+l,n) < 2, дробей Fn_iFm/(Fn+iFm+i), у которых (n-l,m+l) < 2,
(n+l,m) < 2, и дробей Fn-iFm_i/(Fn+1Fm+i), у которых (n-l,m+l) <
< 2, (n + 1, m — 1) < 2 (это утверждение теоремы верно и для базиса
Bi), а также для дробей Fn/Fn+1 о Fm/Fm+i, K-i/fn+i о Fm/Fm+i,
Fn-i/Fn+i о Fm_i/Fm+i, у которыхх (n + l,m + 1) < 2, n,m > 2, a
символ о означает + или — (если символ о есть +, то утверждение
теоремы верно и для базисов В? и Вз).
13.28*	*. Второе неравенство задачи 13.23 достигается для дробей
___________________1___________________
(Fk-K,/Fk+i) + (Fi-х/F<+i) + (Fm-ц/Fm+1) '
у которых к, A, р = 0,1 и (fc + 1, Z + 1) < 2, (& + l,m+l)<2, (Z +1, m +
1) <2, k,m,l > 2, причем для этих дробей первое неравенство не
достигается (это утверждениё теоремы верно и для базисов Вг и Вз).
13.29*	. Если Lb(p/<i) — L, i— 0,1,2,3, и при некотором натуральном
числе к
Fkp+ Fk+iq > Fi+k,Fk-ip+ Fkq > Fb+k-i,
то при любом натуральном n
LB,([0;L^lp/g]) = L + n.
n
Следующая теорема дает серию дробей, для которых не только
достигается первое из неравенств задачи 13.13, но и достигается первое
неравенство задачи 13.9.
13.30*	*. Для следующих дробей г :
г = [0; 1... 1], [0; 1... 121... 1], [0; 1... 1221... 1], [0; 1... 12221... 1],
[0; 1... 122221... 1], [0; 1... 1222221... 1], [0;2222221... 1],
[0; 1... 131... 1], [0; 1... 1231... 1], [0; 1... 12231... 1],
[0; 1... 122231... 1], [0; 1... 12321... 1], [0; 1... 1321... 1],
[0; 1... 13221... 1], [0; 31... 1], [0;331... 1], [0;41... 1], [0;421... 1]
выполняется равенство
Вв,(’’) = l(r) — jlog¥,(V5(L(r) - 1/2)) £ + с, с = 0 или с = 1
Следующая теорема дает некоторые точные неравенства между
мерами сложности I, L, L^t-
179
13.31*	. Для любого положительного рационального г справедливы
соотношения
/(г) > LBa(r) = LB,(r) > LBi(r) > LB(r) > [logip(\/5(L(r) - 1/2))] >
> [logv;(V5(/(r) - 1/2))] > [log(V5(LB2(r) - 1/2))].
Для r=(q + l)/q,q/(q + 1), где q = FnFn+i или FnFn+2, n>2,
Le3(r) = LB3(r) = LB1(r) = LB(r) =
= [logv(\/5(/(r) - 1/2))] = [log^m - 1/2))],
а для r — 1/q при тех же q
LB(r) = [log^V5(£(r) - 1/2))] = [1о^(л/5(£Вз(|г|) - 1/2))].
Вернемся к покрытиям прямоугольника квадратами.
13.32.	Докажите, что
Z(m/n) > Ln(n,m) > [logv,(A/5(max(m, n) - 1/2))] >
> [log^(^(Z(m/n) - 1/2))],	|
а для q = FnFn+1 или FnFn+2, « > 2,	1
Ln(q + 1, q) = [logv(V5(Z((? + l)/g) - 1/2))] =
= pogv>(T5(max(g+ 1,?) - 1/2))].
Задача 13.32 показывает, в частности, что Ец(п,гп) может быть
гораздо меньше /(m/п), и устанавливает точное неравенство между
ними.
Для базиса В и любого рационального г 6 (0,1) сложности чисел
г и 1 — г, а также г и 1/(1 +г) отличаются не более чем на 1. Для
базисов В, при i > 1 дело обстоит иначе, что видно из следующей
задачи.
13.33.	Для любого рационального числа г £ (0,1)
LB,(1 + г) = LBi(l/(l + г)) > [logv,(V5(LB.(г) - 1/2))],
^.(l-r)>[log„(V5(LB1(r)-l/2))],
причем для г = 1/q, где q = FnFn+i или FnFn+2, п> 4,	]
Lb,(1/(1 + г)) = 1в,(1 -г) = [log^(^(LB.(r) - 1/2))].
180
13.34*	. Докажите, что Цт,п) может быть меньше Ln(n, т).
13.35*	**. Докажите, что для некоторых последовательностей тк и
пь справедливо неравенство
b(nifc,nfc)/Ln(nifc,nfe) < 0.89.
13.36*	**. (М.Ден) Докажите, что если прямоугольник разрезан
произвольным образом на квадраты, то его стороны соизмеримы.
13.37*	**. Докажите оценку L(m, п) > log2(m + п).
УКАЗАНИЯ
13.7.	Так как функция (г-1 + J/-')-1 выражается в базисе В2 в виде
бесповторной суперпозиции, то любую формулу в базисе Вз можно без изменения
сложности преобразовать в формулу в базисе В2, откуда Lg3(r) > Ьд3(г). Любая
подформула вида Ф-1 формулы в базисе В представима в виде (Ф”14-.. .+Фп 1 )-1»
где Ф) — подформулы меньшей сложности или константы 1. Тогда формула 'Ф
эквивалентна формуле той же сложности
((...((((ф-1+ф2-1)-1)-1 + ф3-1)-1)-1 + ...+)-1 + ф-1)"1 =
= -у(7(.. .7(7(Ф1> Фг),Фз), •  .),Фп),
где 7(1, j/) = (х~1 +у—1) —', построенной в базисе В2иВ3 и содержащей на один
символ -1 меньше. Повторяя это преобразование, получим для любой формулы
в базисе В2 эквивалентную ей формулу той же сложности в базисе В3. Значит,
LB3(r) < LBi(r), откуда ЬВз(г) = ЪВз(г).
13.9.	Очевидно, что любую конечную цепную дробь с натуральными
элементами можно преобразовать в формулу в базисе В2 сложности, равной
сумме элементов цепной дроби (заменяя каждый элемент а на формулу 1 + < > .4-1).
Поэтому Lg2(r) < /(г).
Неравенство /(г) < L(r) доказывается индукцией по высоте цепной дроби для
г, которую можно считать правильной. База (п = 1) очевидна.
Шаг индукции. Так как
где r*i = [0; аг ..  , ап], то согласно предположению индукции имеем 1(г\)
значит,
Z(r) = /(ri) + О] < /(ri) + <11 + (/(ri) - 1)(«! - 1) = /(п)»! + 1 <
< L(l/r])ai + 1 < L(r).
Равенство возможно, лишь когда Z(rj) — 1 или a, = 1 и одновременно ri —
Натуральное, т. е. либо когда г = 1 /(aj + 1), либо когда
г = 1/(1 + l/a2) = a2/(l + а2).
13.10.	Докажем индукцией, что l/LBj(r) < г. Пусть Ф — формула сложности
^(г) в базисе В2, реализующая г. Можно считать, что Ф не содержит подформул
вида ((Ф])-1)-1. Рассмотрим оба возможных случая. Пусть Ф = Ф] + Ф2, Ф,
181
реализует г,- и имеет сложность Li = L(ri), тогда L\ = La 4-Li, Га = г2 4-rj
Согласно предположению индукции г, > 1/Li, откуда	i
г = rj + га > 1/Li 4- I/L2 > 1/L.
Если же Ф = (Ф1 Ч-Фа)-1, то в силу предположения индукции 1/г; > 1/Li
откуда 1/г = Г] 4-г2 < Li + La = L, причем равенство возможно, лишь когд|
г, = L,, т. е. г = 1/L.
13.11.	Докажем индукцией, что	£
3—^/з < г < зь/3 э
где L = Ls1(r). Пусть Ф — формула сложности L(r) в базисе В?, реализуют*
г. Можно считать, что Ф не содержит подформул вида ((Ф1)-1)-*. Рассмотри!
три возможных случая. Предположим, что формула Ф=:Ф1+Ф2,Ф| реализув
г, и имеет сложность L; = L(r;), тогда L = Li 4- La,г = rj 4-гг- Согласии
предположению индукции	1
3^./3 > г > з~£*/з,
откуда	i
г = Г] 4- Г2 > 3-L1/3 4- 3-Ls/3 > З-1/3.	’
В случае Li 4- L2 > 3 очевидно, что
j
г = rj + г2 < Lj +	— L < 3L/3.
Если L\ = 1 и L2 > 3, то в силу неравенства
1 < з(з1/3 - 1) < З£з/3(31/3 - 1)	J
имеем	d
Г = Г1 ч- Г2 < 1 + 3Дз/3 < з(Д2+1,/3 = 3£/3,	I
и аналогично рассматриваем случай L2 = 1 и >3.	1
Если же Li > 2 и L2 > 2, то в силу неравенства	1
1 < (32/3 - 1)(32'3 - 1) < (З£з/3 - l)(3Ll/3 -1)	\
верно, что
г = Г1 4~ Г2 < 3Ь1/3 4-3Ьз/3 <
< 3Д1/З _|_	_ j (з^1/3 _ 1)(3^2^3 — 1) — з(^1 + ^з)/3 = З^/3.
Во всех рассмотренных случаях равенство возможно, только если г = 3.
Случай Ф = (Ф1 4-Фз)-\ очевидно, сводится к уже рассмотренному. В слу*Ц
Ф = Ф1*Ф2» из предположения индукции следует, что	j
3~Ь1/з .3-Ь2/3 < Г1Г2 _ г _ Г1Г2 < 3Z.1/3,3£2/3 _ 3L/3^
причем равенства возможны, только если г, =3L,13 и соответственно г; =
т. е. когда г = Зп,п	i
Случай Ф = (Ф1 • Фг)-1 рассматривается аналогично.
13.18.	Равенства (3) и (6) следуют из (2), а (4),(5),(7)—(11) следуют из
и (6), (13) следует из (1). Неравенство (14) доказывается по индукции. J
182
13.19.	Сначала заметим, что при условиях р < я, 0 < Ь < а и р 4- д < х + у
справедливо неравенство ра 4- дб < га 4- yb. Действительно,
ра 4- qb — ха — yb = (х — р)(6 — а) 4- Ь(р + q — х — у) <0.
В силу симметричности условия, можно считать, что р\ > q\. Тогда, применяя
два раза сформулированное выше неравенство, получаем
Р1Р2 4-7192 < Р1^2 + 91У2 < Я1#2 4-1/11/2-
При pi > 91 > 0 равенство возможно, так как р, = х%, qt = yi, г = 1,2. При qi = 0
равенство невозможно, поскольку pi 4-91 < ^1 +1/1* При Pi = 91 > 0 равенство
опять невозможно, ибо тогда равенства pj 4*91 = xi + Pl? Pi = Х1 несовместны.
13.20.	Примените индукцию.
13.21.	Сначала заметим, что при pi 4- 91 < Х1
Р192 + Р291 + 9192 < (Р1 + 91 )(Р2 + 92) < Xi(x2 + у2) <
< *1У2 + ®2У1 + *1X2,
и, аналогично, такое же строгое неравенство справедливо при Р2 4“ 92 < х2-
Считая далее, что р» 4- 9» > xi, имеем
Р192 + Р291 + 7192 = (Pl + 91 )(Р2 + 92) - Р1Р2 =
= (Р1 + 91 )(Р2 + 92) - (pi + 91 - 92)(Р2 + 92 - 92) <
< (Р1 + 91 )(Р2 + 92) - (Р1 + 91 - Х1)(р2 + 92 - *2) =
= (Р1 + 91)*2 + *1(Р2 + 92) - *1*2 < (*1 + У1)*2 + (*2 4-Уг)*1 - *1*2 =
= ^11/2 4- ^2У1 4" Х1Х2-
13.22.	Оба неравенства докажем по индукции. База индукции (L == 1)
очевидна.
Выполним шаг индукции. Пусть Ф — формула сложности L в базисе В.
Тогда или Ф = Ф1 ± Фз, или Ф = Ф1 • Ф2, где Ф; — формулы сложности L,,
Li 4“ L == L, или Ф = Ф^"1 , где Ф1 имеет сложность L. В последнем случае
обоснование шага индукции очевидно. Рассмотрим первые два случая. Согласно
предположению индукции формулы Ф1 реализуют дроби Pi/qt, такие, что
,	|р«1, Ы < Fti+i, |р,| +19,| < fLi+2,p,, 9 е Z.
Тогда формула Ф реализует дробь p/q, такую, что 9 = 9192? и р = Р192±91Р2 в
первом и р = Р1Р2 во втором случае.
В первом случае, применяя задачу 13.19 при х± = Fl «ц, у, = Fl и используя
соотношение (1) 13.18, получаем неравенство
IpI < Ipi 11<?21 + |9i I |ргI < Fb^iFij + i + F^1FLq = Ft1 + t2+i.
Во втором случае такое же неравенство, очевидно, следует из одного только
соотношения (13) из 13.18. Так же доказывается неравенство для |д|. Оценим
Теперь |?| + |р|  В первом случае, применяя 13.21 при х, =fi,, + i, yi = /*£,. и
Используя соотношение (1) из 13.18, получаем неравенство
|9| + |р| < Ipi | Ы + |911 |Р21 + |911 |92| <
183
< FLi + lFLi + l +	+	+ l = FL1 + 1F£2q.2 + •Р’ь^ЬэИ = Я
FL i + L 3 + 2 •	Я
Во втором случае, так же как и в неравенстве для |р| первого случая,	я
hl + |р| < |Р111₽21 + hll l«l < P'l,. + i^L2 + i + FLlFL2 = FL1 + l3+\.	I
13.23.	Начальные неравенства в обеих цепочках очевидны, так как базисм
В2 и Bi содержатся в Во  Докажем неравенство	Ji
Ьв(р/<?) > [logv(V'5(max(p,<3) - 1/2))].	]
Обозначив 1>в{р/ч) через L и применив 13.22,. получаем, что тах(р, д) < 7*7,+$
Отсюда и из соотношения (15) задачи 13.18 получаем, что
L + 1 > [bgv(\/5(max(p, 9) - 1/2))]
а, значит, и наше неравенство. Неравенство
Ьв0(р/?) > [logv,(v/5(p + g - 1/2))]- 1
доказывается аналогично, только вместо первого неравенства задачи 13.2
используем неравенство p + 9<^L+2-	;
13.24.	В случае max(p, q) = Fn неравенство
£в0(р/?)> Llo«<p(\/5(max(p, q) - 1/2))J
принимает вид L > п — 1. В равенство оно обращается тогда и только тогда, когд
max(p, g) = Fn = 7*7,+ i. Пусть Ф — формула сложности L, реализующая дрЫ
р/g. Тогда Ф = Ф10Ф2 или (Ф10Ф2)”1, где о — одна из арифметических onepauji
<< + >>,<<"’>>><<>>> а Ф| — подформулы сложности Li, L\ + L2 =
Обозначим дроби, реализуемые формулами Ф, , через pi/qi. Можно считав
что qi € N. Согласно задаче 13.22
max(|p,|,?i) < FLt + i, |pj + q, < FL>+2.
Тогда в случае Ф = Ф} 0Ф2 в силу 13.19, как и в доказательстве теоремы 13.
имеем	]
Р < |pi Ц921 + IP2II91I < FL1 + iFl2 + ! + FL1FL2 = FL1 + L2+i = Fl+1 ,
hl II92I < /*£ 1 + 1 ^1.2+1 < ^Ь1 + Ьэ+1 — Fl+1,
Ho max(p, g) = Fl+1 , a согласно задаче 13.19 равенство здесь возможно, лиЙ
когда
Ipi|/?i = Fcl/F[_1 + i, IP2I/92 = Fl2 + i/FL2
или когда
|Pil/?i = FL1 + i/F^lt IP2I/92 = FL2/Fl2+i,	I
и только при о = + и положительных р,, или при о =+, положительном рг
отрицательном рг (ведь в случае о = • согласно задаче 13.18 было бы
Р < |Pi||P2| < Fli + iFl2 + i < Flt + £,2 +1 = Ft+i.)	]
!
184	1
Во всех этих случаях р/g равно
^Ь-ц/(^Ь1^2-ц)
или
n+1/(FL3F£l + 1),
т. е. p/q = Fn/(FkFn—k)- Последняя дробь, в силу следующих из 13.18 равенств
(Fn,Fk) = F(ni*j = F(nn_fc) = (Fn,F„_fc),
будет несократимой тогда и только тогда, когда (п, к) < 2.
Случай (Ф1оФ2)-1, рассматривается аналогично. В этом случае равенство
max(p, q) = Fl+i возможно тогда и только тогда, когда q/p = Fn/(FkFn_k), (п, к) <
2. Из доказанного следует, что минимальная формула Ф для числа Fn/(FfeFn_*)
при (п, к) < 2 имеет вид Ф1 ±Ф2, где Ф, — минимальная формула для числа
Fa-i/Fs (числа F,+i/Fs ), а Ф2 — минимальная формула для числа Fp^\/Fp
(числа Fp—i/Fp), где {s,p} = {к,п— к}, и минимальная формула для (FkFn_k)/Fn
— вид Ф1 ± Фг-
Найдем условия равенства в случае р + q = Fn- В этом случае неравенство
^В0(р/9) > L9 log Ф('/5(Р + Ч ~ 1/2))]
принимает вид L > п — 2. В равенство оно обращается тогда и только тогда,
когда р 4- q = Fn — Fl±2' Пусть, как и в предшествующих рассмотрениях, Ф —
формула сложности L, реализующая дробь p/q, Ф = Ф1 о Ф2 или (Ф1 оФг)-1, ,
где о — одна из операций << + >>,<< — >>,<<  >>, а Ф, — подформулы
сложности L,, реализующие числа Pi/q^, такие, что
£1 +£2 = L,q, 6 N, шах(|р;(, q<) < Ftl + i, |pi| + q, < FLt+2-
Тогда в случае Ф = Ф1ОФ2 в силу 13.21 как и в доказательстве теоремы 13.22,
имеем
Р + Ч < |Р1 ||?г| + |Р2п?11 + 9192 <
< Ff,1 + iF£3 + i + FLl + jFt3 FFtj^.jFtj = Ftl + L3+2 = Ft+2.
Но р + ? = /*1д+2» а согласно 13.21 равенство здесь возможно, лишь когда
|pi I/91 = Ft1/Ft1 + i,|p2|/92 = ^Lj/^Lj + l,
и только при о = и положительных pt , или при о = —, положительном pi
и отрицательном р% (ведь в случае о = • согласно 13.19 было бы
Р + 9 < IpiР21 + 9192 < FL1 + £,a + 1 = Fi+1.)
Во всех случаях
Р _ Fn - FfcFn fc _ Fn _ t
9 FfcF„_|; FfcFn_*
где (n, k) < 2 (последнее условие есть условие несократимости дроби).
Случай (Ф1ОФ2)-1, рассматривается аналогично. В этом случае равенство
Р + q — Fl+2 возможно тогда и только тогда, когда
9 = Fn
Р F*..Fn-fc
- l,(n,fc) < 2.
185
Из доказанного следует, что минимальная формула Ф для числа
---------1
FkFn-k
при (п, к) < 2 имеет вид Ф1 ±Фг , где Ф — минимальная формула числа Fs-i/Fa,
а Фг — минимальная формула для числа Fp-i/Fp, где {«, р} = {к,п — к}, и
минимальная формула для числа	1
FkFn-k
Fn - FkFn-k
о сумме элементов цепных и ветвящихся дробей следую1
i/Fn, которое доказываете:
— вид (Ф] ± Фг) 1 •
13.25.	Утверждения
из 13.23 и 13.5, а также утверждения о дробях F,
индукцией по п. База (п = 2) очевидна. ’
Выпоним шаг индукции. Пусть Ф — минимальная формула в базисе В; ,
» < 2, реализующая Fn_ i/Fn. Согласно задаче 13.24 формула Ф имеет сложност:
п-1 и вид (Ф] ± Фг)~ *, где Ф: — формула сложности п — 2 для Fn-i/Fn—1
и Ф2 — формула сложности 1 для iBz/Fj — ±1- Так как число —1 имея
сложность больше 1, то формула Ф может иметь только вид (Ф: + I)-1, гд
Ф1 — минимальная формула для Fn-2/Fn-i- По предположению индукции Ф|
соответствует одной из цепных дробей 1... , 1 и 1 ... , 1,2 . Значит, Ф соответствуя
п—2	п—4
одной из цепных дробей 1 ... ,1 и 1 ... ,1,2, что и завершает индукцию.
'—.—-	'---.---' ’
п—1	п—3
Пусть теперь Ф — минимальная формула, реализующая Fn_2/Fn. Согласи1
задаче 13.24, формула Ф имеет сложность n — 1 и вид (Ф] ±Ф2)-1, где ф
— формула сложности 71 — 3 для Fn—з/Fn—2 и Ф2 — формула сложности
для iFt/Fs = ±2. Так как число —2 имеет сложность больше 2, то форму!
Ф может иметь только вид (Ф( + 2)-1, где Ф — минимальная формула д1
Fn-s/Fn-l  Используя доказанную выше часть утверждения 13.25, получав
что формула Ф соотвествует цепным дробям 1 ... , 1 и 1... , 1, что и требовалоС
n—3
Пусть теперь Ф — минимальная формула, реализующая FkFn—k/Fn, И
(к, п) < 2. Согласно задаче 13.24, формула Ф имеет сложность 71 — 1 и вид (Ф,
±®2)-1, где Ф] — формула сложности s для Fs^i/Fs и Фг —формула сложное!
р —1 для ±Fp-i/Fp, где left{s,pright} = left{k,n-krigh.t}. Легко доказать I
индукции, что сложность числа — Fn-i/Fn не меньше п. Действительно, ба:
индукции (?i = 2) очевидна, а если Ф — формула сложности n—1, реализуют!
Fn—i/Fn, то она согласно задаче 13.24 имеет вид (Ф1±Ф2)-1, где Ф1 — форму!
сложности 71— 2 для — Fn—2/Fn—i и Ф2 — формула сложности 1 для F2/F1T
что невозможно по предположению индукции.
Из доказанного следует, что минимальная формула, реализующая FkFn—k/Fn,
имеет вид (Ф1 +Фг)—*, где Ф1 — формула сложности s для Fs^.i/Fs и Ф2
— формула сложности р—1 для Fp-i/Fp. Применяя доказанную выше часть
утверждениия 13.25, получаем последнее утверждение теоремы.
13.26.	В доказательстве предыдущего утверждения было показано, что
Так как
--Lsf-Fn-i/Fn) > п.
—Fn-i/Fn = Fn-2/Fn — 1,
186
то на самом деле
Fei-Fn-i/Fn) > я,
и, аналогично,
bs(-^n-2/Fn) > П.
13.27.	Из утверждения 13.25 легко вытекает, что первые три числа, указанные
в формулировке, имеют сложность т + п, а последнее — сложность т + к 4-I.
Как известно, если дроби а/b и c/d несократимы, то дробь ac/bd несократима
тогда и только тогда, когда
(a, d) — (Ь, с) = 1,
дробь
a/b + c/d = (ad + bc)/bd
несократима тогда и только тогда, когда (Ь, d) = 1, а дробь
a/b + c/d + //д = (adg + cbg + Jbd)/bdg
несократима тогда и только тогда, когда	'
(M) = (d,g) = (t,g)= 1.
Условия, наложенные на т и п, в силу соотношения (12) из 13.18 гарантируют
несократимость упомянутых дробей. Тот факт, что сложность дробей
Fn/Fn+i О Fm/ Fm^\, Fn-x/F«+l ° Fm/Fm^l , Fn-i /Fn+l ° Fm-i /Fm+i
не меньше m + n, вытекает теперь из первого неравенства задачи 13.23 и
соотношения (13) из 13.18.
13.28.	Тот факт, что сложность дробей
1
не меньше т + / + к, вытекает из второго неравенства 13.23 и неравенства
F*-iF(+1Fm+1 + F*+iF|_jFm+i + F*+1F|+iFm_t + F*+1F|+1 Fm+j >
> Fk+t+m+1.
Правильность упомянутых дробей обосновывается очевидным неравенством
Fk-i /Fk+t +	/F(+1 + Fm_i/Fm.|.i > 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1,
ведь
Fn+i = Fn + Fn-i = 2Fn-i + F„_2 < 3Fn-i-
Докажем предыдущее неравенство двойной индукцией по к и I. Проверим базу
индукции. При к = 2,1 = 2 неравенство принимает вид
2Fm+i + 2Fm+i + 4Fm-t + 4Fm.|.i > Fm+5,
и, очевидно, выполняется, так как
Fm+5 = Fm^-4 + Fm+3 = 2Fm+3 + Fm^2 = 3Fm+2 + 2Fm+i =
187
— 5Fm+l + 3Fm,
37^+1 + 4Fm_] > 3Fm—i 4- 3Fm—2 = 3Fm-
При к = 2,1 = 3 или к = 3,1 = 2 неравенство принимает вид
3Fm-|-i 4- 2Fm_|.i 4- 6Fm_i 4- 6Fm+i > Fm+e,
и, очевидно, выполняется, так как
Fm+6 = 7rm+4 4- Fm+5 = 3Fm^.i 4- 2Fm 4- 57?m+1 4- 3Fm = 8Fm^i 4- 5Fm, j
3Fm+i 4- 6Fm_j = 3Fm 4- 9Fm_j = 12Fm-1 4- 3Fm-2 >
> 5Fm_, 4- 5Fm-2 = 5Fm.
При к — 3,1 — 3 неравенство принимает вид	I
3Fm+i 4-3Fm+] 4-9Fm_1 4-9Fm+J > Fk+7,	j
и, очевидно, выполняется, так как	1
Fm-i-7 = Fm+s 4- Fm+e = 5Fm_|.i 4- 3Fm 4- 8Fm+J 4- 5Fm	i
i
I
= 13Fm+i+8Fm,	,
2Fm_|.i 4-9Fm_i = 2Fm 4- H^m-i > 3Fm,
ведь
llFm—i = 6Fm-i 4- 5Fm—i = 6Fm_j 4- 5Fm-2 4- 5Fm_3 >	>
> SFm_i 4- 5Fm_2 4- Fm_3 4- Fm_4 = 6Fm-i + 6Fm-2 - 6Fm-

Сделаем шаг индукции от (к— 1,1,т) и (к,1,т) к +	Соглаа
предположению индукции	I
Fk-^Fi+iFm+i 4-FfeFi-iFtn+i 4- FkFi+lFm-i + FkFi^iFm+i >
> T^+i+m,
Fjt—iFj+iFm+i + F*+I F,_iFm4-i + F*+i F/^i Fm_j 4- F*+i F/+i Fm+1 >
> f'fc+l+m+l •
Складывая эти неравенства, и учитывая, что	’’
Fk-2 + Fk-i = F*+1, F*+i + Ffc = Fj.+2,.
Fk + l+m + Fk + l+m+1 — Fk+l+m+2,
получаем неравенство
4
FkFi+iFm+i 4- Fk^2Fi-iFm+i + F*+2F|+iFm_i 4-Ffc+2F|+iFm+i > j
'	> Fk+i+rn+2i
которое и означает справедливость доказываемого неравенства для троЙ!
индексов (&4-1,/,тп).
188
Шаг индукции от (к,1 — 1,тп) и (к,1, т) к (к,1 + 1,т) обосновывается (в
силу симметрии доказываемого неравенства относительно любых перестановок
индексов) аналогично.
Применяя индукцию по к, получаем справедливость неравенства для всех
троек индексов к, 2,т и к, 3,т, а применяя индукцию по I, получаем наше
неравенство для любых к, 1,т > 2. Воспользоваться первым неравенством 13.23
нельзя, так как при к, I, т —> оо
l^I+l fm-l < F/,+l+m,
что легко проверяется с помощью формул
у5+1
Fn =------
и неравенства Зср < 5.
13.31.	Первое неравенство уже доказано в 13.9. Второе неравенство доказано
в 13.23. Последнее неравенство вытекает из предыдущего и второго неравенства
задачи 13.9.
Докажем остальные утверждения. Пусть q = Fn^n+i« Применяя в зависимости
от четности п одно из равенств
Fn-1/Fn + Fn_l/Fn+l = (FnFn+i + (-l)")/FnFn+1,
Fn_2/F„ + Fn/Fn+1 = (F„Fn+1 + (-l)n+1)/FnFn+1,
и пользуясь равенствами
/(Fn_,/F„) = 1(F„_2/F„) = n - 1,
получаем, что
Lb, (1 + 1/q) < bB;(Fn-i/Fn) + Lp^Fn-i /Fn+i) < n — 1 + n = 2n — 1,
LBi (1 + 1/9) < Lb, (Fn—2/Fn) + LB,(Fn/Fn+i )<n—l+n = 2n—1.
Применяя неравенство из задачи 13.18
Fn+k < F„+i Ffc+1 < Fn+*+l, n, к > 2,
замечаем, что при п < 2
Fin-i < Я — FnFn+i < F2n,
значит, g + 1 < F2n, откуда согласно задаче 13.18
Llogv(x/5(? + 1/2))J = 2n - 1,
a согласно 13.9,
LBi(A + 1/9) > llog^v^ + 1/2))J = 2n - 1,
Ьв,(1 + 1/9) = 2n - 1 = U°gv(^(9 + 1/2))J.
189
Пусть теперь q = Fn^n+2- Применяя, в зависимости от четности п, одно из
равенств
Fn-l /Fn + Fn/fn+2 = (^‘n^'n+2 + (~ 1 )П)/^п^*п+2 »
Fn-i/Fn + F„+i/Fn+2 = (FnFn+2 + (-l)"+*)/F„Fn+2,
получаем аналогично предыдущему
Ьв,(1 + 1/?) < 2n.
Опять применяя неравенство задачи 13.18, замечаем, что при п < 2
F2n < Ч — FnFn+2 < F2n+i,	j
откуда опять согласно задаче 13.18	|
LI°g^(\/5(9 + l/2))J = 2п,
и согласно утверждению 13.9
Ьв,(1 + 1/?) = 2n = [log,, (4/5(7 + 1/2))J.
13.32.	Примените 13.31.
13.33.	Примените 13.29 и 13.3.
13.34.	Используя 13.17, покажите, что £(61,69) = 9. Из 13.22 выведите, чт4
£п(61,69) > 10.	1
13.35.	Рассмотрите электрическую цепь с вершинами 1,2,... ,8 и единичными
резисторами, соединяющими пары вершин (1,2), (1,3), (2,3), (2,6), (3,4), (3,5и
(4,5), (4,7), (5,6), (5,7), (6,8), (7,8). Проверьте, что при напряжении межд!
полюсами 1 и 8, равном 377, по резисторам пойдет ток (в направлении оя
меньших номеров к большим) силы 123, 138, 10, 113, 68, 75, 7, 61, 28, 5а
141, 115 соответственно. Постройте по этой цепи разбиение прямоугольника
256 х 377 на 12 квадратов со сторонами 123, 138, 10, 113, 68, 75, 7, 61, 28, 54|
141, 115. Рассмотрите последовательность прямоугольников с размерами рп*Чп,
определяемую рекуррентными формулами
Рп+1 = Рп + Чп, Чп+1 = РпЧп, Ро= 377, 70 = 256,
и докажите по индукции, что НОД(рп,7п) = 1 и Црп,Чп) < 2П • 12 ( в
доказательстве неравенства шаг индукции обосновывается тем, что прямоугольник
Рп X Чп разбивается на два прямоугольника, подобных прямоугольнику рп—1 '
Хдп-1)- Отсюда следует, что
L(Pn,4n)/io^,pn < 12/108^,377 < 0,89.
Далее примените 13.23.
13.36.	Напишите систему линейных уравнений для сторон Xi,... ,хп квадратов
разбиения прямоугольника X X Y и решите ее методом исключения переменных.
Если все неизвестные выразятся через одну, то все ясно. Допустим, что
неизвестные ху,... , хк выразились через свободные переменные Xit-j-i,... , хп, X, Y
и покажем, что это невозможно. Если изменить Y на достаточно малую величину
е, то получим бесконечно много разбиений прямоугольников X хУ (е) на квадраты
со сторонами
Х1(е),... ,хк(е),хк+1,... ,хп-1,Жп + е,	,
190
соответствующих одной и той же электрической цепи. Из геометрических
соображений интуитивно ясно, что некоторые из функций o?i(e),... , a?^(f) должны
меняться с изменением е, поэтому в формулах
= т, + Aie
не все Ai равны нулю. Записав вытекающие из сравнения площадей равенства
XY = x2 + ... + x2n,X(Y+e)=x2(S) + ... + x2(e)+x2^l+... + x2n,
рассмотрев их разность и разложив по степеням е, получаем
х — 2(413?! + ... 4- Акхк) 4- e(Aj 4- ... 4- Л£),
а это противоречит произвольности е.
13.37.	Докажем, что если прямоугольник т х п разрезан на L квадратов
и (тп,п) = 1, то т 4- п < 2^. Достаточно это доказать в предположении, что
сторона ни одного из этих квадратов не совпадает со стороной прямоугольника.
Действительно, тогда утверждение в общем случае легко доказывается индукцией
по L.
Рассмотрим электрическую схему, соответствующую рассматриваемому разби-
ению. Обозначим через а общее число резисторов, выходящих из обоих полюсов
схемы, и через 6 — длину цикла из резисторов, ограничивающего эту схему.
Из сделанного предположения следует, что а > 4 и Ь > 4, причем ровно четыре
резистора одновременно входят в оба рассматриваемых множества. Напишем
систему уравнений Кирхгофа, состоящую из v уравнений для вершин схемы
и д уравнений для граней плоского графа, изображающего схему. Матрица
коэффициентов этой линейной системы имеет размеры (L — 1) X L и состоит
из 0 и ±1, причем в четырех столбцах (соответствующих упомянутым четырем
резисторам) будет по две ±1, в а 4- 6 — 4 столбцах (соответствующих остальным
резисторам из упомянутых двух множеств) будет по три ±1 и в остальных
L — а — Ь столбцах — по четыре ±1 (потому, что каждый такой резистор
принадлежит ровно двум граням и входит ровно в две вершины). Перенеся
переменную х^ из каждого уравнения (в котором она есть) в правую часть,
получим систему из L— 1 уравнения с L— 1 неизвестными	i.	Так как
исходная система имела согласно задаче 13.36 для каждого значения xt ровно
одно решение, то рассматриваемая система тоже имеет для каждого значения
А ровно одно решение, находя которое по правилу Крамера, получаем
- p^xjq^
где и qi — целые (так как определители с целыми коэффициентами — целые).
Так как все векторы (a?i,... ,а?ь), удовлетворяющие указанному соотношению,
коллинеарны, то целочисленное решение системы j/,,1 < i< L, состоящее из
взаимно простых в совокупности чисел, определяется однозначно с точностью до
смены знака, поэтому квадраты в рассматриваемом разбиении прямоугольника
Имеют стороны yi < qt. Если обозначить номера переменных, соответствующих
иетырем выделенным ранее резисторам, через	а номера резисторов,
содержащихся в цикле, ограничивающем схему, или входящих в полюса схемы,
°бозначить ji,... , ja+b—4> то будет справедливо соотношение
2(т + п) = 2 (у,, + ... + у,4 + уп +...*+ yja+b_t) <
191
< 2	4-..  4- ?i4 + g/j 4-... gJe+b_4 ) •
Так как согласно неравенству Адамара определитель п X п матрицы А =
не превосходит
L-a-b
то
< 23 • За+Ь~4.4


Поэтому
2(т + п) < 4 • (23 .за+ь~4 .4l‘-a-l>y/2 4. (а 4. (,) (г4 • 3°+Ь~5 .4b-а-ь)1/2 <
< 2L-5/2 + (1/9)2д+3/2 • (а + Ь) • (3/4)(о+ь)/2 < 2Ь+1,
так как а 4- b > 8 и
(а + Ь) • (3/4)(“+Ь)/2 < 8 -81/256= 81/32.
§14. О СЛОЖНОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЕ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ	;
Будут рассматриваться следующие меры сложности приближена
действительных чисел рациональными:
L(a, е) = min{L(r) : |а — г| < е},	!
где L(r) — знаменатель несократимой дроби, представляющей число
г, а также
Ьв,(а’£) — тт{ЬвДг) : |« — г| < е}, * = 1,2,
где базисы В, были определены в предыдущем параграфе.
14.1.	Докажите, что
Ж£)<
и при а рациональном
L(a,€) < Са,
где Са — зависящая от а константа, а также
£в(а,е) <	< £в2(а,е).
Рассмотрим приближения только дробями со знаменателями 10 И
соответственно изменим определение функции L(a,e).
192
14.2*	. Найдите точную верхнюю грань для произведения Ца,е)е.
Числа а и /9 называются эквивалентными, если а = где
a,b,c,d целые, |atZ — ci>| = 1. Как было доказано в § 11, a = [ао; ai,...]
и /9 = [&о;&!,•••] эквивалентны тогда и только тогда, когда при
некотором п и любом тп > тпо справедливо равенство ат = Ьт+п.
Число [0; 111...], обратное числу = [1; 111...], называется золотым
сечением. Как известно из §8,
F"~ У5 '
Имеет место следующее известное экстремальное свойство золотого
сечения.
14.3.	Для любого иррационального числа а и некоторой последо-
вательности £п, стремящейся к нулю, докажите, что
L(a,en) < , —,
Vv5en
и для всех а, эквивалентных при некотором <f(e), стремящемся к
нулю, когда е стремится к нулю, докажите, что
V л/Se
14.4.	Для а, не эквивалентного <р, и некоторой последовательности
еп —> 0 докажите, что
L(a,e„) <   2^.
V V8en
Далее понадобятся некоторые факты о цепных дробях, известные
нам по предыдущим разделам, которые для удобства собраны в
следующих задачах.
14.5.	Последовательность еп = |a -pn/?n| = l/(gn(an+i?n + 9n-i))
монотонно стремится к нулю при возрастании п. Четные подходящие
Дроби, возрастая, стремятся к а. Нечетные подходящие дроби, убывая,
стремятся к а. Если дробь p/q лежит между дробями pn/qn я
Pn-i/qn-i, то q > qn-i, а если к тому же p/q /	то q > qn.
Последовательность qn удовлетворяет равенствам qn+i = «п+1 + qn +
<?"-1 и поэтому возрастает. Последовательность остатков дроби а
Удовлетворяет равенствам ап = an + l/an+i-
Определим промежуточные дроби pn,r/<fri,r при 1 > г < ап^2 равен-
ством
Рп,г   грп+1 + рп
Чп,г	rqn+1 + qn
Арифметика. Алгоритмы.
Сложность вычислений
7
193
14.6.	Последовательность
Pn,r
Чп,
&П+-2 ~ Г
Qn,r (otn+lQn + l + Чп)
монотонно убывает при возрастании г от 0 до ап+2, а последо-
вательность {gn,r} — возрастает. Последовательность рп,т/Чп,г при
О > г > ап+2 монотонно изменяется от рп/<1п До pn+2/gn+2- Если дробь
p/q лежит между промежуточными дробями рп,г/Чп,г и Рп,г-1/Чп,г-1
, 1 > г > ап+2, то q > qn,r-i , а если к тому же p/q / рп>г_г/qn,r-i,
то q> qn,r-
В следующей задаче точно вычисляются функции Лв-(у?,е) и
14.7*	*. Для любого i = 1,2 докажите, что
| log,, (Vb/e + - 1 < LBi (р, е) =
2-log,, (х/5/е — 1)]	[-logy, (з/5/е + 1)
4	’	4
< l°gv + 1) + 1,
= FLb^c) = -L	.
V& 4	7
Назовем верхним пределом limsup/(б) наибольший из всех преде-
£-> О
лов lim /(бп)) взятых для стремящихся к нулю последовательностей
п—>оо
{еп}- Аналогично (с заменой наибольшего предела на наимень-
ший) определяется нижний предел. Будем писать f(e)<g(e), если
lim inf > 1.
с~+0 Wl ~
14.8	*. Докажите, что
L<P,e)<
lim sup е)\/ё —
£ 0
liminf L(<p, e)\fe = -^=
Целью дальнейшего изложения будет доказательство четырех те-
орем о мере сложности приближения иррациональных чисел L(a,e).
Первая теорема дае1? одно экстремальное свойство золотого сечения.
194
Теорема 1. Для всех иррациональных чисел a
liminf L(<p,e)y/e < —=, limsup Lhp, е)д/ё > \ -
,/5	£_>o	V e
limsupL(^,e)>/e
e-+0
-------------—. > to
liminf L(<p, e)y/e ~
£—>0
причем каждое неравенство обращается в равенство лишь при а,
эквивалентных <р.
Во второй теореме устанавливаются неравенства для меры сложно-
сти L(a,e) в терминах скорости роста элементов цепной дроби для а.
С ее прмощью строятся примеры чисел, у которых функция L(a,e)
для некоторой последовательности {<5П} растет очень медленно, а для
некоторой последовательности {еп} — почти максимально быстро.
Теорема 2. Пусть f(x) — функция, равная в нуле нулю и мо-
нотонно стремящаяся к -f-оо при х —> Ч-оо, и положительное число a
разлагается в цепную дробь с элементами an G N, которые бесконечно
часто удовлетворяют асимптотическому неравенству an+i > f (gn), где
Рп/Чп — n-я подходящая дробь. Обозначим д(х) обратную функцию
к функции f(x)x. Тогда для некоторых последовательностей {еп} и
{<$п}, стремящихся к нулю, справедливы асимптотические неравенства
L(<*,en)>	1 	L(a,6n)<g(l/6n).
Если же всегда an+i < /(<7п), то
Для того чтобы сформулировать третью теорему, введем следующие
обозначения.
Пусть a = [во; ai • •  , an • •	— бесконечная цепная дробь, рп/Чп —
последовательность подходящих дробей к ней, V'n+i = Чп/Чп+i, а
an — [an;an+i...] — последовательность остатков.
Если an+2 нечетно, то положим rn — (an+2 + 1)/2.
Если an четно, то положим гп+2 = вп+з/2 в случае V’n+ian+z > 1
и г — (an+2 + 2)/2 в противном случае. Положим
= <L+l+^«lzih+2)iG,(Aa,o) =
(г + V<)(1 + a(a + Ф)	1 + a(a + V0
7(a) = limsup7n(a),
n->00
где
7n (a) = max {Gr„ (V’n+i, «n+з, «п+г), FTn (V>n+i, «п+з, a»+2)} •
195
Теорема 3. Справедливо равенство
limsupeL2(a,e) = 7(a).
с-Ю
Обозначим через Ка множество всех положительных чисел a, j
которых разложения в цепные дроби не содержат элементов, превос-
ходящих а, а > 1. В четвертой теореме указываются экстремальные
свойства некоторых цепных дробей в классах Ка.
Теорема 4. При любом четном а и нечетном а>7 для всех а 6
€ К справедливо неравенство 7(0) < 7([1; alal - .]), причем равенство
возможно лишь для чисел, в разложениях которых в цепную дробь
содержатся сколь угодно длинные последовательности следующих друг
за другом элементов, совпадающие с последовательностями alal...
. При a = 5 среди чисел a 6 К5 наибольшую величину 7(a) имеют
числа вида
a = [.. .1515^. .514 1515 ... 151...1515 ...15141515...151..1
^2	^2п—1	^2п	я
где последовательность {min (&2n-i, &2п)} имеет верхним пределом
бесконечность, а в промежутках между соседними блоками
1515...15141515...151,
^2п—1	^2п
могут стоять любые элементы, и только такие числа.
При a = 3 среди чисел a € К наибольшую величину 7(0) имеют
подобным же образом определяемые числа
[... 1313;. .312 1313... 131.. .1313. ..1312 1313.. .131...],
*1	<=2	*2n-1	*2.
И только они.
Для доказательства этих теорем понадобится ряд лемм. Предложим
их в виде задач.
14.9	**. (Модернизация теоремы Гюйгенса - Смита) Докажите, что
limsupeL2(a,e) = limsup max (g2 Гпе„+1, ^,Гп+1е„,Гп).
e—>0	n—>oo
Теперь можно доказать теорему 3.
14.10	*. Докажите, что limsupeLjta,£) = 7(a)-
€ —k0
Для доказательства теорем 1 и 2 понадобится еще несколько лемм.
196
14.11	. Докажите, что если, ipn+i<*n+3 > 1 и ап+2 четно, то
7„(а) = Frn (V’n+i, On+з, ап+г) = gn,rn+ie".’-„-
Далее для краткости будем опускать индексы у rn, V’n+i, “n+з и
вп+2 (если это не вызывает недоразумений). Также для краткости
введем следующие обозначения:
grW = (г + v>)3 - (г - 1)(г + ^+ I)2, /r(V’) = (r +V>+ 1)2/<7г(^)>
*	. / /л _ (г + У> + 2)2
rW дг+1М + (г + ф + 2У
14.12	*. Если а = 2г— 1, то Fr(ip,a,a) > Gr(ip,a,a) тогда и только
тогда, когда или gr(ip) < 0, или gr(ip) > 0 и а < Условие
дг (ip) < 0 равносильно
2^2 + 1 +	+ 5
2(1-V-)
Функция
2^2 + 1 + \/4ip + 5
2(T^V)
растет на интервале (0,1), поэтому неравенство gr(ip) > 0, равносильно
V1 > V’r, где gr(ip) =0. Функция fr(ip) убывает на интервале (^>г, 1) -
14.13	*. Если а = 2г — 2 и ipa < 1, то Fr(V>, а, а) > Ог(^, а, а) тогда
и только тогда, когда а < Лг_1(^>). При любом > 0 справедливо
неравенство hr-i(ip) < 1/^>. Функция ftr-i(V’) убывает на интервале
0,1).
14.14	*. Функция Gr(ip,a,a) монотонно растет при возрастании а
или ip (и фиксированных а и г) и удовлетворяет неравенствам
(г+1)2
2г- 1
г + I)2 г , . X
---—- > GrW,a,a) >
а 4* 1
2	2
Г	Г
а + 1 — 2т + 1
14.15	*. Функция Fr(V>,a,a) убывает с	ростом	а.	При	а <	4	и
соответствующих г она убывает также с	ростом	ip.	При	a =	5	и
< оответствующем г — 3 она убывает при ip < 2a — 2, имеет минимум
при ip = 2a — 2 и возрастает при ip > 2a —	2, если,	конечно, a <	3/2,
и противном случае она убывает при 0	< ip <	1.	При	а =	6	и
г = 4 эту функцию имеет смысл рассматривать только при ip < 1/a
(согласно определению гп) и тогда она убывает при 0 < ip < 2a — 3,
имеет минимум при ip = 2a — 3 и возрастает при ip > 2a — 3, если,
конечно, 2a — 3 < 1/a, т. е. при a < (3 + \/17)/4, в противном случае
197
она убывает при 0 < ф < l/о. Во всех остальных случаях функци
Fr(i/>,ot,a) возрастает с ростом ф.
14.16	. Докажите, что	!
•	I	(г 4- 2)2
2^1 ~ Т+Т “ тах(^(^а,а),Сг(^а,а)) <
Положим т(а) = [0;а1а1...] и М(а) = [а; 1а1а...]. Очевидно, чп
т(а) 6 К и М(а) 6 К.
14.17	. Докажите, что
, .	1	1 + т(а) у/а2 + 4а — а \/Ц- 4/а — 1 ;
а+Т+^У а + 1 + ат(а)	2а	2	’ 
2/ \ ,	( \	1 »// \	1/ / \	* а т ‘«а “г w
а • т (а) 4- а • т(а) = 1, М(а) = 1/т(а) —-----.
14.18	. Во множестве Ка элемент т(а) — минимальный, а М(а) —-
максимальный. Все его рациональные точки изолированы друг от
Друга.
Положим при k = 21— 1	,,
В(а, к) = max{max (Fr(^, а, к), Gr(i/>, а, к)) :
ш(а) <ф < ——т-г, 1 + т(а) < а < М(а)},
X т- Т71101
Ь(а, к) = min{max (Fr(i/>, a, k),Gr(i/>, а, к)) :
т(а) < ф <
——;-г, 1 + т(а) < а < М(а)},
1 4- т(а)
а при к = 2г
B(a,k) = max{max(Fro(V>,a,/:),Gro(V’, а, к)) :
ш(а) <	1 + т(а) < а < М(а)},	1
~	— 1 + п»(а)	—	—	j
Ь(а, к) = min{max(Fro(^, а, £),СГо(^, <*,£)) :	|
т(а) <	, 1 + т(а) < а < М(а)},	!
~	~ 1 + т(а)	~	~	i
где го(г, ф, а) = г, если at/> > 1, и г0(г, ф, а) = г + 1, если aip < 1.
14.19	**. Докажите, что при г > 4
Ь(а, 2т — 1) = Fr(m(a), М(а), 2т — 1), Ь(а, 5) = Рз(^>1(а), М(а), 5),
198
fr(a,3) = F2(^o(a),M(a),3),
где /з(^1(а)) - Af(a),/2(^o(a)) = M(a).	..
14.20	. Докажите, что при г > 3
В(а, 2г — 1) = Fr ( —т-J т(а) + 1, 2г — 1 ) ,
\m(a) 4-1	)
В(а, 3) = Fztmia), т(а) 4-1,3).
14.21	**. Докажите, что при любом натуральном г
B(«,2r) = Gr+, (-j-’-pmla) + 1,2г) =
=^G^ho'"’(0)+1'2’')'
14.22	***. Докажите, что при любом r> 1
&(a,2r) — Gr+i (т(а), max (hr (m(a)) , m(a) 4- 1) ,2r),
при r > 3
b(2r, 2r) = Gr+i (m(2r), hT (m(2r)), 2r),
при r > 2
6(2r, 2r) = Gr+i (m(2r),m(2r) 4-1,2r).
Заметим, что при доказательствах 14.19 - 14.22 нигде не исполь-
зовались формулы для m(a) и М(а), и, значит, эти леммы были
доказаны для любых т и М, таких, что тМ = 1, 0 < т < 1/2.
Заменив в определениях функций Ь(а, к) и В(а,к) числа m(a) и М(а)
на произвольные т и М, удовлетворяющие соотношениям тМ = 1,
О < т < 1/2, получим определения последовательностей {&(т, &)} и
{В(т,к)}. Тогда справедлива следующая лемма.
14.23	***. Докажите следующие утверждения. Последовательности
{6(m, 2г — 1)}, {6(2г — 1,2г — 1)}, {b(m, 2r)),{b(2r, 2г)),
{В(т, 2г)}, {В(т, 2г — 1)}
монотонно возрастают. Последовательность {Ь(т,к)} монотонно воз-
растает, начиная с к = 3. Последовательность {В(т,к)} монотонно
возрастает, начиная с к = 5. При г > 3 и к = 2г — 1 справедливы
неравенства
В(т,к) < к/4+ 3/2- 1/(4к+ 12),1
199
а при к = 2r — неравенства
B(m, к) < к/4 + 3/2 + l/(fc + 2), В(к, к) < к/4 + 3/2 + 1/(2* + 2).
При г > 3 и к — 2г — 1 справедливы неравенства
Ь(т, к) > к/4 + 1 — 0(1/к), Ь(к, к) > к/4 + 1 — т(к)/5,
а при к = 2г — неравенства
6(пг, к) > к/4 + (1 4- т)/2 — 1/(2* + 4m).
14.24	**. Докажите, что для эквивалентных чисел а и а' величины
7(а) и 7(а') совпадают.
14.25	***. Докажите теорему 1.
14.26	***. Докажите теорему 4.
Для доказательства теоремы 2 нам понадобится следующая лемма.
Через Л+ обозначается множество всех действительных положитель-
ных чисел.
14.27	*. Пусть непрерывная функция f : R+ —> R+ такова, что
отношение f(x)/x монотонно стремится к бесконечности nig = f~1 —
обратная к ней функция. Тогда при любом у > f(x) справедливо
неравенство
В частности, при уо > у имеем
д(у) < д.М < д(у) (1 + у° •
\ 2У /
14.28	***. Докажите теорему 2.
УКАЗАНИЯ
14.3.	Утверждение этой задачи легко вытекает из известной нам по
предыдущим разделам теоремы Маркова - Гурвица: для любого иррационального
числа а существует бесконечно много рациональных дробей р/q таких, что
|« - р!ч\ < 1/ (v^5?2)
и для чисел а, эквивалентных <р, и любого положительного к < 1/\/5 неравенство
|а - p/g| > «/д2
имеет лишь конечное число решений.
14.4.	Воспользуйтесь задачей 11.29.
14.5,	14.6. Воспользуйтесь задачами из §7.
200
14.7. Положим en = |<Р ~ Vn|, где <рп = Рп/Чп = Fn+z/Fn+i —п-я подходящая
дробь для <р. Согласно задаче 14.6 для произвольного числа е Е [еп-ц,еп) имеем
£п+1 — еп—1,1 < с < £п < £п —1,0 — £п— 1,
а так как
|¥> ~ Рп-1,1/?п-1,1 | = Еп-1,1 < г.
то, согласно определению,
L(<p,e) < ?n-l,l = <?п-Ц = F„+2-
Докажем, что при еЕ[«п+ьб>) справедливо неравенство
Ц<р,е) > Чп+1
и, значит,
L (<Р,е) = Чп+1 = Fn+2-
Пусть |<р — р/?| < е. Если дробь p/q лежит по ту же сторону от числа <р, что
и Рп/Чп , то p/q лежит между дробями pn+i/qn+i и рп/чп, причем p/q£ Pn/qn
в силу неравенств
|<р - p/q\ < е < е„ = |<р - рп/Чп\-
Поэтому, согласно 14.5, имеем q > gn-f-i • Если же дроби p/q и Рп/Чп лежат
по разные стороны от числа <р, то в силу неравенства
|<Р ~ Р/ч\ < « < «п-1
дробь p/q лежит между дробями Рт+2/Чт+2 и рт/чт , где индекс т =
n + 2k— 1 > п — 1. Значит, согласно 14.6, эта дробь лежит между Рт,1 /Чт,1 и
Рт,о/Чт,о, причем при т = п— 1 дробь р/ч # Рт,о/Чт,о ввиду неравенства
|<Р - р/ч\ < е < £п-1-
Применяя еще раз 14.6, получаем, что при тп п — 1
Ч > Чт,0 = Чт > Чп+1,
а при тп = п — 1 в силу неравенства р/ч Рт,о/Чт,о получаем, что
Я > Ят, 1 ~ Ятп+2 = Яп+\ 
Значит, во всех случаях равенство L (<р, е) = Еп+2 доказано.
Применяя 14.22, выводим отсюда для произвольного е Е [£п-|-н£п) неравенство
Lg, (v>£) > п + 1,
а применяя 14.24, из неравенства
— ^п+1 /^п+г| < Е
выводим неравенство Lb < п + 1, и> значит, в результате равенство
Lb{ (у, £) = и + 1- Так как согласно 14.5
е„ = l/(F*+lV> + Fn+1F„),
201
то при е Е [^п+ь^п) число п является максимальным натуральным число!
удовлетворяющим неравенству
P'n+i + F„+1 F„ <
В силу равенства
к у» - (-у)-»
^5
предыдущее неравенство равносильно каждому из следующей цепочки неравенст,
| > (vn+1 - (-^Г”-1)2 V + (-Vn+1 - (-уГП-‘) (v” - (-v)-n)
« | > <Л,+3 + 2 (-1 )n v + V-2"-1 + V2n+1 - <p-2n-1 - (-1)” v 4- (-1)" /v
<=> - > V2n (*>® + ¥>) + (-1)” (¥> + l/v>) •» . ", л.  > ¥>2n+2 + (-1)” «•
e	e(¥> + l/¥>)
- (-1)” > V2n+2 log,, - (-l)n^ > 2n + 2.
При четном n это неравенство равносильно неравенству
” 1 > п/2,
а при п нечетном — неравенству
logv (Vs/e + 1)
4
- 1 > (”+ 1)/2-
Из полученных неравенств следует, что
п равно
при е Е [ffn+i, £п) максимальное значени^Я
Отсюда следуют все равенства 14.7.
14.8. Так как при «б[еп+1>€п)
= Кп+2>^„+1¥> + Fn+iFn < 1/с,
то
L(v,e) = Fn+2 ~ <pF2+1,
F2"+1 (v+ 1/v) < (1 + o(l))F2n+1v + Fn+1Fn < 1/e,
откуда
L(v,e) ~ y>Fn+i <
y(l + o(l))
x/(<p+ !/</>) e
202
а при в - sn —► О
/1+ з
т t \	1/2	2\/5
V---------»
V €
значит,	________
/1	3
limeupL(v>,E)yF=^- + ^.
Аналогично, при еб[е„+1,еп)
f^n+2 (^ + 1/v) ~ Fn+iV + -Fn+z^n+i > 1/e,
поэтому
L(¥>,e) = Fn+2 > -/======= ~
ye(¥>+l/^) уЬу/е
а при e= en+i
L(v,’ff)~ W’
откуда
lim inf L (</>, ff) \/e =
<-+0
14.9. Используя 14.5, проверяем, что при г > гп
Чп,г . /	.	1
	= Г + V'n+i < ап+2 +	Г = ап+2 - г,
Qnfi-----------------------<»п+з
откуда
<*п+2 ~ Г <	1
Чп,г 9п+1
а так как, согласно 14.5 и 14.6,
£n+i = |а - Pn+i/9n+i| = ---;--------------г
Чп+1 (а„+29п+1 + Чп)
И
еп,г — |а — Рп,г/Яп,г\ — --;-------------Г,
9п+1(«п+29п+1+Чп)
то при г > гп справедливо неравенство еп+1 < &ntr- Поэтому для произвольного
t € [en+2,en+i) либо найдется такое г > гп, что
en,r+i < с < еп,г,
либо
сл,гп < в < вп+1 < en,rn “1 ’
Рассмотрим первый случай. Тогда, так как
I» - Рп,г+1 /Чп,г+11 = «П,г+1 < «,
то согласно определению L (а, е) < Qn,r+1 • Докажем, что
Ца,е) > Чп,г+1
И, значит, Ца,е) = 9п,г+1 при e„ir+i < е < еп,г.
203
Пусть |а — p/q\ < е. Если дробь p/q лежит по ту же сторону от числа <
что и p/q , то p/q лежит между дробями р„+2/9п+2 и Рп+1/qn+2, приче
p/q # Pn+l/?n+l в силу неравенств
|«-р/?| < е < «п+1 = |a-p„+i/gn+i|.	!
Поэтому, согласно 14.5,
9 > 9п+2 = »п+2?п+1 + qn > (г + 1) ?п+1 + 9п = ?п,г+1 •	1
Если же дроби p/q и Рп+1/?п+1 лежат по разные стороны от числа а, то
силу неравенства
1“ ~ Р/ч\ < е < е„,г < е»	1
дробь p/q лежит между подходящими дробями Рт+г/зт+2 и pm/qm, ГД
т = n + 2k, к > 0. Значит, согласно 14.6, эта дробь лежит между промежуточным
дробями Pm,s+i/qm,s+l И Рт,з+1 /<1т,1Ц , причем при т = п непременно s>
а в случае з = г дробь p/q не равна дроби pn,r/qn,r в силу неравенства
|с» - p/q\ < е < е„|Г.	'
Применяя еще раз 14.6, получаем, что при т/п	!
q > Чт, s > 9т > 9п+2 > 9п,г+1 ,	i
а при т = п, s > г имеем q > qn,, > дП|г+1, и в случае т = п, з = г	|
9 > 9п,г+1	И
в силу неравенства p/q / pn,r/qn,r- Значит, во всех случаях при еп,г+1 < е <
равенство L (а, е) = gn r+i доказано.	!
Пусть теперь
£п,гп — Е < £п+1 < ®п,гп— !•
Так как при г = гп — 1 справедливо неравенство
|а - Pn,r/9n,r| = Сп.г < е,
то согласно определению L(a,e) < qn,r„- Применяя при г = rn — 1 только чт<
доказанное при условии еп,г+1 < е < £п,г неравенство
L («>е) > 9п,г+1 ,
имеем
L(a,e) > qn,rn,
а, значит, верно равенство L(otye) = qn,rn ПРИ условии
£п,гп < С < Сп+1«
Из доказанных равенств следует, что при г > гп
sup{eL2 (a,e) + e„ r+1 < е < е„,г} = e„,rg2 r+1,
а также
sup{eL2 (а,е) : е„,Гп < е < en} = en+i92 Гп,
204
откуда имеем
sup{eL2 (а,е) : en+2 < е < en+1} = max ^?n,rn £n+i» max (?n,r+i ®n,r) j 
Докажем теперь равенство
max (t/n.r+ie">r) = 9n,rn + icn,rn •
Для этого заметим, что согласно задаче 14.6
2	_	?п,г+1 (а”+2 ~ г)
£П,Г Чп,г+ 1 ““	/	I \ ’
9п+1 (<*п+29п+1 + Чп)
а последовательность {qn,r+i/Чп,г} = {1 + <7п+1 /Чп,г} убывает с ростом г и
последовательность {gn,r+i («п+2 — г)} тоже убывает с ростом г при г > гп ,
так как выражение
Чп,г+1 («п+2 - г) = ((г + 1) 9п+1 + Чп) («п+2 - г)} =
= 9п+1 (г + 1 + V'n) («п+2 - г)
относительно г является квадратным трехчленом с полусуммой корней, а значит,
и максимумом, в точке
(«п+2 — 1 — V'n) /2 = (ап+2 + 1/«п+3 — 1 - V*n) /2 < Яп+г/2 < гп.
Положим для краткости
» = max (<?*1Г„ + 1еп,гп,гп+1?£,Гп) 
Из доказанных равенств
max (9п,г+1£п»г) “ 9п,Гп + 1Сп.г»»
г>гп
sup{eL2 («,е) : е„+2 < е < еп+1} = max (?2 Гп е„+1, max (9„,r+ien,r))
следует равенство
sup{eL2 («,е) : еп+2 < е < еп+1} = «п-
Пусть {5п} — такая последовательность, что 5П -4 0 и
lim <£пЬ2 (a,5n) = limsupeL2 (а,е).
П^ОО	е_>0
Определим последовательность {А.*п} так, чтобы
in G (efc„+2. £fcn + l),
тогда
lim ini2 («,in) = lim supeL2 (a,e) < limsups*n < limsup sn-
n—¥OQ	c—>0	n-^oo	n—too
Выберем теперь последовательность {тпп} так, чтобы
lim $тп = limsupsn,
П—>ОО	п—>оо
205
а последовательность {5„},	6 [«тя+г.^т»), так, чтобы
Smn - <5дЬ2 (<Мп)	°-
Тогда
liin 5;ь2 (a, <$(,) > liinsupeL2 (а,е)
г-too	<-+0
Iimsupjmn = limsupsn.
n—too	n—>OO
Из полученных неравенств следует равенство
jni/nb2 («X)
limsupsn*
пчоо
14.10.	Для доказательства заметим, что
2
9п,гя + 1еп,гЛ
((гп + 1) 9п+1 + Чп)2 (<*п+2 - Гп)
?п,г„ (Оп+29п+1 + Чп)
_ ((гп + 1) 9п+1 + ?п)2 («п+2 ~ Гп) _
(гп9п+1 + Чп)(«п+29п+1 + Чп)
_ ((Гп + 1) <?п+1 + 9п)2 (Яп+2 + 1/«п+3 ~ ГП)
(гп9п+1 + Чп) ((оп+2 + l/an+3)qn+1 + дп) ’
откуда, сокращая на Ч„+1/ап^.з и заменяя Чп/чп+l на V'n+l, получаем
9п,г„ + 1£п,г„ = Fr„ (V'n+i,«n+3,an+2) =
	_ (гп 4-14- У'п+1 )2 ((дп+2 — Гп) «п+3 4-1) (гп 4- tAn+l ) ((“п+2 4- tAn+l ) «п+з 4- 1) ’
и, аналогично,	2	(гп?п+1 4" Чп) ^п,гп£п^1 —	(	v — 9п+1 («п+29п+1 + Чп) _ (гп 4- У?п+1 )2 _	(гп 4- V'n+i )2	_ «п+2 4-^п+1	«п+-2 4- 1/«п+-3 4-V'n+1
=	<*п+з (гп 4- ^п+1)2	_ ,,	, .	п , ....	- ОГп (^п+ЬЛп+3,ап+2) • ап+2«п+з +1+ Vn+i^n+a
Остается применить 14.9.
14.11.	Для доказательства заметим, что при ipa >1 и а = 2г справедли
неравенство Gr (t/s я) < Fr а) • Действительно,
так как
,	(г-Щ-^)3((а-г)а-Ц)
Fr (4>,a,a) _	(г+у,)(1+а(о+у.))	_
Gr (ф, а, а)	(г+¥-)3
1 + а(а+^)
(г -ь 1 -ь ip)2 (га + 1) (г 4- 1 4- У’)2 г
(г 4-j/i)3 а	(ri’/')3
(г 4- 1 4- ip)2 г 4-
(г 4-V-)2	г ’
206
потому что
(г + 1 + V-)2 r + i/-	2	2	1 V- _ i/- + r
(г + 1/»)2 г	(г + V-)	г+1_ Г г г
14.12.	Для доказательства заметим, что при а = 2г — 1 неравенство
Fr (У-, а, а) _ (г + 1 + У-)2 ((г - 1)а + 1) t
Сгг (У-, <*,«)	(г + ф)3 а
равносильно неравенству
(г - 1)а + 1 (г + У)3
а	(r + i/-+l)2’
а, значит, и неравенству
1>_к±<_ + 1_г=_Ь.
« (г + У- + 1)2	/r(V’)
Это неравенство выполнено при любом а, если дг (ф) < 0. Так как
(г + У-)3 - (г - 1) (г + У- + I)2 =
= V- (г + У-)2 + ’•((’’ + V')2 - (г + V' + 1)2} + (г + + 1)2 =
= ф (г + i/z)2 - г (2г + 2ф + 1) + (г + V' + I)2 =
= ’/'(’’ + У)2 - Г (г + V') + (г + ф + 1) (ф + 1) =
— Ф(г + ф)2 - г (г + ф) + г (ф + 1) + (Ф + I)2 =
= (ф- 1)г2 + (2ф2 + I) г + ф3 + (ф + I)2
и у этого квадратного (относительно г) трехчлена дискриминант равен
{2ф2 + I)2 + 4 (1 - ф) (V-3 + (Ф + I)2) =
= (2ф2 + I)2 + 4 {ф3 - ф4 + (V- + 1) (1 - Ф2)) =
= 4ф4 + 4ф2 + 1 + 4(ф3 - ф4 +ф + 1 - ф2 - ф3) = 4ф + 5,
а корни его имеют разные знаки (согласно теореме Виета), то при г
неравенство дг (ф) < 0 равносильно неравенству
2ф2 + 1 + x/4V> + 5
Г- 2(1 - V-)	’
Поэтому при
2У-2 + 1 + У*Ф + 5
2(1-1/-)
имеем дг (ф) > 0, значит, при этом условии неравенство
1/а > 1//г(ф)
207
равносильно неравенству а < /г (’/') • Так как числитель дроби
2V2 + 1 4- У^Ф 4- 5
2 (1 - V-)
возрастает, а знаменатель — убывает с ростом величины Vs то сама дров
растет на интервале (0,1).
Функция /г (1Д) убывает при V» > V'r, ведь дробь
_1_ = _±+<__(г_1) ‘
frW) (r + tA+1)2 V ’
возрастает, так как функция
(r + V'+l)2 = 1	2	1	]
(г 4- V-)3 Г + ’А (г 4- V')2 (г + Ф)3	j
убывает.	’
14.13.	Для доказательства заметим, что при а = 2г — 2 неравенство
Fr (У>,а,а) _ (г 4- 1 + У')2 ((г - 2) a 4- 1) х	|
Gr (Ф, с», а)	(г 4- Ф)3 а	;
равносильно неравенству	<
(г - 2) а 4- 1 (г 4- Ф)3	’
а	(г 4-V» 4- I)2 ’
а, значит, и неравенству	i
S (r + V,)3	,|2-	1
a (г4-’/'4-1)2	hr_ 1(Ф)
Так как
(г 4-V1)3 — (г — 2) (г 4-V1 + I)2 —	'
= (г 4- Ф)3 - (г - 1) (г 4- Ф 4- I)2 4- (г 4- Ф 4-1)2 =
= (ф - 1) г2 4- (2V-2 4- 1) г 4- Ф3 4- (Ф 4- I)2 4- (г 4- Ф 4- I)2 =	!
= Ф • г2 4- (2V»2 4- 1) г 4- Ф3 4- (Ф 4- I)2 4- (Ф 4- 1) (2г 4- ф 4- 1) > 0,
то предыдущее неравенство равносильно неравенству а < Ar_i (V0 •
Неравенство /1г_i (V0 < 1/V* равносильно неравенству	19
(г 4- Ф)3 > (г - 2 4- ф) (г 4- Ф 4- I)2 ,	|
которое при х = г 4- Ф принимает вид
х > (г- 2) (г 4- I)2 =Х3 -Зя-2,	3
т.е. становится очевидным.
Убывание функции hr доказывается так же, как и убывание /г в предыдущей
задаче.	Л
208
14.14.	Функция
1	_	1	1 + а (а — г) 1
Gr(^, <*,“)	(Г+У,)2« а (г + V’)2 г + ф
l+o(a+V)
убывает с ростом так как убывает каждое слагаемое. Поэтому
1 1 1
(г+,1)\ < Gr(Vsa,“) < т^3-’
Ifa(afl)	1 + aa
значит,
(г+ I)2 а	г2 а
------:	 > Gr(V6 <*»<*) > 	•
1 + a (a + 1)----------------1 + aa
Так как функции
(r + l)2a , ч г2а
-------Gr (v, <*> a),	
1 + a (a + 1)	1 + aa
дробнолинейны относительно a, при a = 0 равны нулю, а при a > 0 положи-
тельны, то при росте а они возрастают, следовательно
(r+ I)2 > (r+ I)2 (г 4- I)2 а
2г - 1 “ a + 1 > 1 + a(a + 1)
r2a г2 г2
> Gr (Vs <*,<•) > ---- > ----- > -------.
' 1+aa 1 + a “ 2r + 1
Из свойств монотонности вытекает также, что
Г Г,/	(г + ^)2“ г (г +
Gr (Vs «, a) < -—— < ——-----------.
а + V' 1 + a
14.15.	Первое утверждение следует из того, что функция Fr(Vs <*><>)
с точностью до не зависящего от а множителя совпадает с дробно-линейной
относительно а функцией
(а — г) а + 1
1 + а (а + V) ’
которая при а = 0 равна 1, а лри а —> оо стремится к числу
a — г
---- < 1,
a + V
и поэтому убывает с ростом а. Для доказательства остальных утверждений
исследуем знак производной функции
и _ (г + 1 + У>)2
v (’’ + VO (1 + а (“ + V1))
По переменной V1 (эта функция совпадает с Fr (Vs a, a) с точностью до поло-
жительного не зависящего от V множителя). Знак производной совпадает со
знаком выражения u'v — v'u, который совпадает со знаком выражения
2 (г + VO (1 + a (a + V')) - (г + V' + 1) (1 + а (а + V0 + а (г + V0) =
= (г + V1) (1 + а (а + V0) - (1 + а (а + V')) - а (г + V0 - а (г + т/>)2 =
209
= (г 4- ф) (1 + а (а - г)) - (1 + а (а 4- тД)) - а (г 4- ф) —
— ф (1 4- а (а - г - 2)) - (1 4- а (а 4- г)) 4- г (1 4- « (а - г)) =
= ф(1 + а (а — г — 2)) — 1 4- г 4- а (г (а — г — 1) — а).
Так как при а < 4 справедливо неравенство а > г > а — 2, то
а — г — 2 < 0, а — г (а — г — 1) > г,
откуда
+ а(а - г — 2)) — 1 4- г 4- а (г (а — г — 1) — а) < Ф — 1 + г (1 — а) < О,
значит, функция Fr (ф,ск,а) убывает с ростом переменной ф при указанн!
ограничениях на а и
г. При г == а — 2 (а это возможно лишь при а = 5,6) им<
ф (1 4- а (а — г — 2)) — 14-г4-а(г(а — г — 1) — а) = ф — 3 + а — 2а,
откуда следует, что функция Fr (ф,а>а) убывает при ф < 2а 4-3 — а, имеет
минимум при ф = 2а 4- 3 — а и возрастает при ф > 2а 4- 3 — а. Учитывая, что
следует рассматривать нашу функцию лишь при 0 < ф < 1, а если а = 6, г = 4, то
даже при 0 < ф < 1/а, отсюда получаем соответствующее утверждение леммы,
В остальных случаях (т.е. при а — 6, г = 3 и при а > 7, а = 2r, 2г — 1, kj
2г — 2) имеем а — г — 2>0,г(а — г — 1) — а>0, значит,	;
Ф (1 4- о (а — г — 2)) — 1 4- г 4- а (г (а — г — 1) — а) > О,
j
и функция Fr (ф, а, а) возрастает при 0 < ф < 1.
14.16.	Нижняя оценка следует из 14.13. Оттуда же следует, что
Из задачи 14.15 выводим, что	<
Fr(^,a,a) < Fr(i/>,O,a) _ (r + 1 + V-) < (r + 2) ,	!
Г + Ф	Г + 1
так как функция Fr(V',O,a) возрастает с ростом V', ибо согласно доказательст!
14.15 производная этой функции по переменной V' равна
V' (1 + « (а — г — 2)) — 1 + г + а (г (а — г — 1) — а) — i]> — 1 + г > 0.
14.18. Из 14.5 легко следует, что любая точка из Ka\Q является предельно
точкой множества Kar\Q. Докажем индукцией по длине дроби а 6 Ка nQ, чЯ
при а > 1 справедливо неравенство
а при 0 < a < 1 — неравенство
т (а) < а < М (а) - а = —-----------—••
1 + Ш (я)
База индукции (а = 0,1,... , а) Очевидна.
210
Выполним шаг индукции. Пусть
а = а' + l/a^O < а1 < а, о/ € Ка П Q.
Цэ предположения индукции следует, что тп (а) < а1 < Л/(а). Отсюда при а' = О
имеем а = 1/ах и поэтому из неравенства а' > 1 следует, что а < 1 и при at 1
справедливы неравенства
"»(“) = 77ТТ < 1/"' = “ = 1/"/ < н . 1 z и = М(а)~ а,
М (а)	(1 + тп (а))
а при а' > О имеем а > 1 и, значит, справедливы неравенства
1 4- тп (а) < а/ + m (а) < с/ + — = а = а7 + — <а'+-*	< М (а).
а'	а1	1 + тп (а)
Шаг индукции сделан и неравенства доказаны. Из них предельным переходом
получаем, что аналогичные, но нестрогие неравенства, справедливы и для
любого числа а € Ка. Для доказательства изолированности в Ка рациональных
точек достаточно проверить, что для любых неравных чисел а и p/q из Ка
справедливо неравенство
1« - Р/?1 > ; ’ —г-
(а + 1)ад2
Действительно, пусть цепные дроби для чисел а я p/q различаются впервые в
n-м элементе. Тогда, согласно 14.5, имеем
Р г	-I ГпРп-1 + Рп-2
- = |а.о, «1, • • ,ап-1,rnJ = --------,гп £ Ла П<у,
9	ГпРп-1+Рп-2
г	, OnPn-l+Pn-2	„ о
а = [ао, «1,..., ап-1,ап] — ---------, ап € Kar\Q,
ОГпРп-1 + Рп-2
и целые части дробей гп и ап не совпадают. Если разность между целыми
частями равна 1, то согласно доказанным выше неравенствам
|гп - an| > m (а) 4- 1 - М (а) + а =
+ а 1	а 4- \/а2 4- 4а
= ---------(- 1 4- а-------- =
2	2
1	+	У^йй-а » +
2	2	2 а 2
& если разность между целыми частями больше 1, то последнее неравенство
тем более верно. Из полученного неравенства и следует, что
|а-р/9| =
|оп - гп| 1/а >	1
q (anqn-l + Чп-2)	9 ((1 + а) 9n —1 4-9п—2)	(а 4- 1) ад2
14.19.	Согласно задаче 14.10
тах{Е'г (ф, а, 2г — 1), Gr (ф, а, 2г — 1)} = Fr (ф, а, 2г — 1)
211
тогда и только тогда, когда или gr (V') < 0 или gr (V') >0 и а < /г (V1), причвк
при а = /г (>/) справедливо равенство	11
Fr (ip, а, 2г — 1) = Gr (1/, а, 2г — 1).	Ц
Если г > 3, то согласно 14.13 и 13.15 при а и ip, удовлетворяющих
неравенствам
m(a) < а < М(а),
Fr (т (а), М (а), 2г — 1) < Fr (i/, а, 2г — 1),
поэтому
b (а, 2г - 1) > Fr (т (а), М (а), 2г — 1).
Из утверждения 14.10 следует, что последнее неравенство обращается в
равенство, если при 1/ = тп(а)
2^ + 1 + >/4i/ + 5
г > ------:----:-----,
2(1 -V-)
причем указанная дробь возрасстает на интервале (0,1). Но
?п(а) < т(2) = (х/З — 1 )/2 < 0,4,
г > 4, поэтому неравенство для г будет выполнено, ведь
1,32 +
4 > _2----v 1 .
1,2
Если г = 2 или 3, то согласно 14.15 при а и удовлетворяющих неравенствам
т(а) < а < Л/(а), имеем, что
Fr (ф, Л/ (а),2г — 1) < Fr (1Д, а, 2т — 1),
а так как
а + >/а2 + 4а 2 + У12
Ща) = ---------Т2---- > ---2---- > 3/2,
то Fr (ip, М (а), 2г — 1) убывает с ростом ip. Согласно утверждению 14.10 нераг
венство gr (ip) > 0 равносильно неравенству 1рг > ip, и функция /г (ip) убывает
при 1рг > ip- Следовательно, при m(a) < ip < |/>г_г(а), где /rfV'r-zCa)) = М(а), и
а < Л4(а), согласно 14.10,14.15 справедливо неравенство
max/Fr (i/л а, 2г — 1), Gr(ip, а, 2г — 1)} = Fr(ip, а, 2г — 1) >	Я]
> Fr(ip, М(а),2г — 1) > Fr(ipr—2 (а), Л/(а), 2г — 1).	1И
Если же 1 > ip > ipr—2(®) и 1 < <т < М(а), то согласно задачам 14.10, 14.13,ЦИ*
при а > fr(ip) имеем
tnax{Fr(ip, а, 2г — 1), Gr(ip, а, 2г — 1)} = Gr(ip, а, 2г — 1) >	В|
> Gr(ip,ir(ip),‘2r - 1) = Fr(ip, fr(ip),'2r - 1),	Я
и в противном случае	И
tnax{Fr(ip, а, 2г — 1), Gr(ip, а, 2г — 1)} = Fr(ip, а, 2г — 1) > Fr(ip, fr(il>),2r ~~ 1)- Й
212	UL
Заметим, что функция
Гг(ф,А(ф),2г-1) = Ог(ф,/г(ф),2г-1)=	 > =
1 + frW(2r - 1 + ф)
_ (г + V')2(r + ^ + I)2	_ (г + ф)(г+ ф + I)2
Рг(ф) + (г + 1 + t/)2(2r - 1 + V>) (г + V")2 + (г + 1 + V')2
возрастает, потому что функция
1	r + V- ,	1
Ог(ф,/г(ф),2г-1) “ (г + 1 + V-)2 + г + ф
убывает, ведь функция
1
х + 2 + 1/г
при х = г + V» убывает на интервале (0,1). Поэтому при 1 > т/ > Фг—2(а) и
1 < а < М(а)
max{Fr(i/», а, 2г — 1), Gr(t/, а, 2г— 1)} >= Fr (Ф, а, 2г — 1) >
> fr(>/',/r(V'),2r - 1) > Fr(V'r-2(a),A/(a),2r - 1).
В итоге во всех случаях
тах{Кг(ф, а, 2г — 1), Gr(i/», а, 2г - 1)} > Кг(фг-2(а), Л/(а), 21— 1),
Откуда при г = 2 или 3
6(а,21— 1) = Fr(i/r_2(a), М(а), 2i— 1).
14.20.	Согласно задаче 14.10
max{Fr(V', а, 2г — 1), йг(ф, а, 2г - 1)} = Fr(i/, а, 2г — 1)
тогда и только тогда, когда или дг(Ф) < 0 или дг(Ф) > 0 и а < /Г(Ф), причем
при а - /r(V')
Fr(i/», а, 2г — 1) = Gr(i/z, а, 2г — 1).
Если г > 3, то согласно утверждениям 14.13 и 14.15 при а и ф, удовлетво-
ряющих неравенствам т(а) < ф < 1/(1 + m(a)), 1 + т(а) < а < М(а), справедливы
неравенства
Fr (  ---7—г, 1 + т(а), 2г - 1) > Ег(ф,а, 2г - 1),
\1+т(а)	/
к	Gr(------5——,Л4(а),2г-1 ) > Ог(ф,а,2г-1),
/	\1 + т(а)	/
Причем последнее неравенство верно при любом г, поэтому
2г — 1) = max /Fr (----—, 1 + rn(a), 2г — 1 ) , Gr (----Л/(а), 2г — 1 ) 1 .
I \1+?п(а)	/	\1 + т(а)	J)
Если г = 3, то согласно задаче 14.15 при тех же а и V» имеем
max /Fr(?n(tx), 1 + тп(а), 2г — 1), Fr (-2r — 1 ) 1 >
I	\l+m(a)	/J
213
> Fr(t/>, а, 2г — 1),
так как максимум функции 1 + m(a),5) достигается на концах от
[m(a), 1/(1 + m(a))], а минимум - в точке ф = 2m(a) < l/(m(a) 4-1), ведь
. х -l + v/l + 4/a	-1 + 7з
тп(а) = ---------1------ < ------------
' '	2	“	2
, , 1 1
2т(а) — ~т=----- < ------—г,
Ч/3 + 1 “ 1 4-тп(а)
поэтому
В(а, 5) = шах< F3 ( ——, 1 т(а), 5 ) ,
(	\тп(а)4-1	/
/	1	\ 1	i
F3 (тп(а), 1 + m(a),5) ,G3 I —-- — ,М(д),5 I k
\тп(д)4-1	/J
Если r = 2, то согласно задаче 14.15 при тех же а и ф
F(m(a), 1 + тп(д), 2г — 1) > F(t/, а, 2г — 1),
так как функция Вг(ф, 1 + 2r — 1) убывает на отрезке ^тп(д),	, поэтоЦ
В (а, 3) = max{F2(m(a), 1 + тп(д),3), <7а( 1 /(m(a) 4- 1)), М (a), 3)}.	*
j
Покажем, что при г > 3	!
Fr(l/(m(a)+ 1)),1 4-тп(д),2г - 1) > Gr(l/(m(fl)4- 1)), Л/(д), 2г - 1),
откуда немедленно следует (с учетом доказанного выше равенства) первое 
равенств леммы при г > 3. Сначала заметим, что	|
1	ТП2+ш+1	I
т 4- ---- — ---------- > 1,	J
»71 4- 1 т 4- 1	и
и поэтому (здесь и далее опускаем в т(а) и М(а) для краткости скобки) '
/ 1	\ ОЧ-тт-РМ (»тг-)2
Gr ( —,М,2г - 1 ) = --------<	< ------L-ll’l'-	<
К1 + 7П	J (’• + т+^)2 m + 2r-1+bF^
2г	'\
при любых г > 1 и a > 1. Так как при х > 4
х3 - 4г2 4- 2 > О,
ведь при х = 4 это неравенство верно, а производная положительна, то
2г4 — г3 < 2(х2 — I)2 = 2(х 4- 1)2(х — I)2 < 2(х 4- l)2(i--—)2,	•
.	тп 4- 1	:
значит,	(
х2	(х 4- 1)2(ж - 1)
2(1- < *(2*-1)
214
откуда при а: = г + l/(m + 1), г > 3, следует, что
GT ( ———,М,2г
\ 1 + т
(’•+^)(2г-1 + ^Т)
(г+1+^Тг) ((г - 1)("1+!) + О
(’’ + m+т) 0 + (”• + П (2г- 1 + ^г)) "
= Fr (----, 1 + m, 2г — 1 ) .
\m + 1	/
При г = 3 последнее неравенство тоже верно, потому что при r = 3+l/(mfl)
х2 _ х2 (х 4- 1)2(ят — 1)
2 (х - _1_) “ Т <	г(2г-1)
Действительно, при 3 < х < 4 имеем 2г4 — 8г3 < 0, значит,
2г4 - 7х3 - 6х2 + 6х 4- 6 < х3 - 6г2 + 6х + 6 < О,
ведь при х — 3 или х = 4 это неравенство верно, а при х = 0 — нет, поэтому
рассматриваемый кубический многочлен имеет корни на интервалах (0,3) и
(4,+оо), следовательно, этот многочлен отрицателен на всем отрезке [3,4], иначе
он имел бы еще два корня на этом отрезке.
Для того чтобы доказать первое неравенство леммы при г = 3, осталось
установить неравенство
F3(l/(m + 1), 1 + m, 5) > F3(m, 1 4- т, 5).
Оно равносильно неравенству
(4+ ^+т) (2(т 4- 1)4- 1)	_ (4m 4-5)2(2m 4-3)
(3+^т)(1 + ("‘ + 1)(5+^т)) ~ (3m + 4)(5m + 7) >
(4 4-т)2(2(1 4-т) 4-1)
>(3 4- т) (1 4- (т 4- 1 )(5 4- т)) ’
которое равносильно неравенству
16m® 4- 184m4 4- 769m3 4- 1473?n2 4- 1320m 4- 450 >
> 15m® 4- 176m4 4- 757m3 4- 1476m2 4- 1328m 4- 448,
Очевидно следующему из неравенства 2 > 3m2 4- 8m. Последнее же очевидно, так
Как m = m(5) > 1/5.
Для того чтобы доказать второе неравенство леммы, достаточно установить
Неравенство
G2(l/(m4 1), М, 3) < Fj(m, 1 4- т, 3).
215 .
Так как согласно доказанному выше неравенству
1
т 4- 1
, Л/, 3) <
1 у
2т + 2 / ’
1 + —!—У < fi + —!—V
2т + 2 /	\ т + 2 /
(т 4- З)2
(т + 2)2
= F2 (т, 1 4- т, 3),
то это неравенство, а вместе с ним и лемма
14.21. Согласно определению В (а, 2г), и
соотношение В (а, 2r) = max{Bi, В2, В3}, где
доказаны.
задачам 14.10—14.12 справедл!
Bi = max < Fr (Ф, а, 2г) : аф > 1, т < ф <
--------, 1 4- т < а < М
т 4- 1
В2 = max < Fr+1 (ф,а, 2г) : а < hr (ф) ,т < Ф < -----------, \ + т < а < М
(	т 4" 1
В3 = max < Gr+i (ф,	2г) : hr (ф) < а—,
I	Ф
т < ф < ------, 1 4- m < а < Л/
т 4- 1
Из утверждения 14.15 следует равенство (учитываем, что Мт = 1)
В] = max < F (ф, —, 2г ) : т < ф < -----
I \ Ф )	т 4- 1
а при г > 3 — равенство
В2 = Fr+i (f>m,r,m4 1,2г),
где Ьг(фт,г) — т 4- 1- Для доказательства последнего из них пользуе*
монотонным убыванием функции hr (ф), монотонным убыванием по а и ма
тонным возрастанием по ф функции +V+1 (ф, а, 2г) (согласно 14.12,14.15, у1
тывая, что 2(14-т) — 3 < 0), а существование фт,г следует из неравен^
hr (1/(ш 4- 1)) < т 4- 1 и	j
hr (0) =
(г + 2)2
(г 4- I)3 - (г - 1)(г 4- 2)2
(г + 2)2
Зг 4- 5
> 25/14 > 1 4-т-
<^2
Из задачи 14.13 при любом г следует равенство (учитываем, что Мт = 1)
В3 = max < Gr+1 \ф, 1 /ф, 2г) : т < ф <
1
т 4- 1
Так как функция
Gr+1 (ф,1/ф, 2г) = Fr (ф, 1/ф, 2г) = (TjLL±2plLZ£±2L -
r+nv, /V,	/V, )	(г4-Ф)(2 4-2г/1/-))
(г + 1 + ф)2
2(г + ф)
= 7 ((г+ф) +. 2 л)+1
2 \	(г + Ф) /
21С
монотонно возрастает, то
Bi — Вз — Gr+1 ( ---— ,m + 1,2г
\m + 1
Из равенства
Bi = Fr+i (V'm.r.m + 1,2г-)
вытекает неравенство Вз < Bi, если учесть, что
Fr+i (V-m,r,m + l,2r) = Fr+1 (фт,г,Ьг(фт,г),2г) =
= Gr+i (фт,г,Нг (Фт,г) ,2г) =
= Gv+1 (фт,г, —— ,2г) < <7г+1 (—,тп + 1>2г
\ Vm,r /	\m 4-1
Значит, при г > 3
В (а, 2г) — max {81,83, 83} = В\ — Grj.j (----, т + 1,2г
\тп + 1
Пусть теперь г < 2. Тогда из монотонного убывания по а и </ функции
Fr+i (Ф, а, 2г) (согласно 14.15) следует равенство
Вз = F-+, (тп, т 4- 1, 2г).
Для окончания доказательства осталось проверить, что при г < 2
Fr+1 (тп, тп 4- 1, 2г) < Gr+i ( —-—, тп 4- 1> 2г
\тп 4- 1
Так как уже проверено, что
Fr+i (тп, тп 4- 1,2г) =
(г 4-2 4-тп)2 ((г — 1) (тп 4-1) 4-1)
(г 4- 1 4- тп) (1 4- (тп 4- 1) (2г 4- тп)) ’
То достаточно установить неравенство
(г 4- 2 4- тп)2 ((г - 1) (тп 4- 1) 4- 1) < ((тп 4- 1) (г 4- 1) 4- I)2
(г 4- 1 4- тп) (тп 4- 1) (2г 4- тп) “ 2 (г (тп 4- 1) 4- 1) (тп 4- 1) ’
Которое при г = 1 равносильно неравенству
(2т 4- З)2	(3 4- тп)2
2	“ (тп4-2) ’
°Чевидно, верному, так как
------- <
(тп 4-2) - 2
217
и, значит,
О 	,	1	(3 4- т)2
2т2 4- 6т 4- 9/2 > т 4- 9/2 > т 4- 4 4-	\
(т 4- 2)	т42
а при г — 2 равносильно неравенству
(4 4- т) (т 4- 2) (Зт + 4)2
(3 4- т) - 2 (2т 4- 3) ’
которое верно, так как у многочлена
(3m + 4) (т + 3)
все коэффициенты не меньше соответствующих коэффициентов многочлена
(4 4- т) (т 4- 2) (4т 4- 6).
14.22. Согласно определению 6 (а, 2г) и 14.10,14.12 справедливо соотношение
Ь (а, 2г) = min{ti, !>2, Ьз}, где
bi = min < Fr (ф, а, 2г) : аф > 1, т < ф < -,14-т<а<Л/>,
I	т 4- 1	J
bi — min < Fr+i (ф, а, 2г) : а < hr (ф), т < ф < —-—, 14-т<а<Л/>,
I	т 4- 1	)
Ьз — min < Gr+i (ф, а, 2г) : hr (ф) < а < —,
I	Ф
т < ф < -----, 1 4- т < а < М > .
~ т+Г ~ “ J
Из задачи 14.15 при г > 3 следует равенство bi = Fr(m,M, 2г) (учитываем,
что Мт = 1), а при г < 2 — равенство
bi - Fr (—-—,M,2r ] ,
\m41	/
и при любом г — равенство
bi = min {Fr+1 (ф, hr (Ф), 2r) : m < ф < фт,г} ,
где фт,г такая же, как в предыдущей лемме (в случае фт,г < m формально
положим bi = +оо). Из 14.13 следует равенство
Ьз = min < Crr-j.i (ф, max (hr (ф), m 4- 1), 2г) : т < ф < - > .
I	m 4- 1 J
Так как
Fr+i (ф, hr (Ф), 2г) = <7r+i (ф, hr (Ф) , 2г) =	=
1 4- hr (Ф) (2г 4- Ф)
= (г -Иф Ф)2 (г 4-2 4-У-)2	= (г 4- 1 4- У-)2 (г 4- 2 4- Ф) =
(г 4- 1 4- Ф)3 + (г 4- 2 + У-)2 (г 4- 1 4- У-) (г 4- 1 4- У-)2 4- (г 4- 2 4- У-)2	(
218
= Gr+i (Vs/r+i (V-),2r+l),
то, согласно доказанной в 14.19 монотонности Gr (ip, jT (ip), 2r — 1) , функция
Fr+1 (ф, hr (iP), 2r) = Gr+i (iP, hr (V-), 2r)
тоже монотонно возрастающая, поэтому согласно 14.13 при ipm,г > тп
62 = Fr+1 (тп, hr (тп) , 2г) = Gr+i (тп, hr (тп), 2г) = 63,
так как
min < Gr+i (i/»,max{/ir (ip) , тп + 1} ,2г) : тп < ip < -> =
I	т + 1)
/	_ min {min {Gr+i (V>, Лг (ip) , 2r) : m < ip < ipm,r} ,
min {Gr+i (ip,m + 1,2r) : ip < i/'m.r}}
= min{Gr+i (m,hr (тп) , 2r),Gr+i (ipm.r,m + 1,2г)} =
= min{Gr+i (m,hr (тп), 2r), Gr+i (ipm,r,hr (ipm,r) ,2r)} =
= Gr+i (тп, hr (тп), 2г) = max {Gr+i (»n, hr (тп) ,2г), Gr+i (тп, m + 1, 2г)},
а при ipm,г < тп
Ьз = Gr^i (тп, max (hr (тп), тп + 1), 2г) = Gr+i (тп, тп + 1,2г) =
= max{Gr+i (тп, hr (тп), 2г) , Gr+i (тп, тп + 1,2г)} .
Согласно 14.13, неравенству hr (тп) < 1/тп из задачи 14.12, равенству 1/т = М
и установленному в доказательстве предыдущей задачи равенству
Gr+i (ip, l/ip, 2г) = Fr (ip,l/psi, 2г)
имеем, что при г > 3
61 = Fr (тп, М, 2г) = Fr (тп, 1/тп, 2г) = Gr^i (тп, 1/тп, 2г) =
= Gr+i (тп, М, 2r) > Gr+i (тп, max (hr (тп), тп + 1), 2г) = 63.
Из полученных соотношений* следует, что при г > 3
6 (а, 2г) = min {61,62,63} = min {Fr (тп, М, 2г), 63} = 63,
а при г < 2
6 (а, 2г) = min {61,62,63} = min ^Fr	М, 2г^ , 63} .
Тем самым при г > 3 первое равенство задачи доказано. Для его доказательства
При г < 2 достаточно проверить, что
Fr (—— ,М,2г ) > 63.
к тп + 1 J -
Проверим, что
Fr —i-j, М, 2г^ > Gr+i (тп,тп + 1,2г).
219
Так как
Fr ( —-—,М, 2г
\т + 1
(r + i + dn)2<rM + 1)2
m+т) (>+«(2г+^))
((г 4- 1) (т 4- 1) 4- 1) (г 4- т)
(г (т 4- 1) 4- 1) ((тп 4- 1) (тп 4- 2г) 4- 1)
= <7Г.|.1 (тп, тп 4- 1,2г) =
(г 4- тп 4- 1)2 (тп 4- 1)
1 4- (тп 4- 1) (2г 4- тп) ’
то при г = 1 достаточно проверить, что
(2 4- тп)3 < (2т 4- З)2 ,
а это верно, ведь т < т(2) < 1/2, значит,
2m2 4- тп3 < 1,
откуда
(2 4-тп)3 < (2тп 4-З)2 .
Если же г = 2, то достаточно проверить, что
(2 4- тп) (Зтп 4- 4)2 > (2т 4- 3) (тп 4- 1) (т 4- З)2 ,
или, полагая 2 4- тп = х, убедиться в справедливости неравенства
х (Зх - 2)2 > (2г - 1)(г- 1)(г4- I)2 .
Это неравенство равносильно неравенству
9г3 — 12х2 + 4х > 2г4 + х3 — За?2 — х + 1,
а значит, и неравенству
О > 2х4 - 8г3 4- 9г2 - 5г 4- 1,
которое справедливо при 2 < х < 2,5, а значит, и при х = 2 4- тп, потому что
рассматриваемый многочлен имеет корни в интервалах (0; 1), (2, 5; 4~оо), так как
1 > 0 > -1 и 4-1,5 • (3,5)2 - (2,5) • (5,5)2 < 150/2-605/8 < 0. Если бы последнее
неравенство не выполнялось, то еще два корня лежали бы на интервале (2; 2, 5),
и тогда сумма корней была бы больше 6, что противоречило бы теореме Виета.
Проверим, что
FT
( —-—, М, 2г
\т 4- 1
> Gr+i (тп, hr (тп) ,2г).
Так как функция hT (ф), как доказано в 14.12, монотонно убывает, то при г = 1
hr (m) < hr (0) =	= 9/8
Зг 4- 5
и при г = 2
hr (тп) <
16
ТТ'
220
(’©гласно задаче 14.13
С?г+1 (m, hr (т) , 2r) < C?r+i (тп, hr (0) ,2r)
и поэтому достаточно доказать, что при г < 2
((г 4- 1) (т 4-1)4- I)2 (тп 4- г)	(г 4- тп 4- I)2 hr (0)
(г(т4 1)4 1) ((тп 4- 1) (тп 4- 2г) 4- 1)	1 4- hr (0) (2г 4- т)
При г = 1 это неравенство заменой х = 2 + т сводится к неравенству
(2х — I)2 (х - 1)	Эх2/8
i((s-l)r41) ~ 14-9х/8’
которое равносильно неравенству
9х® - 45г4 4- 49г3 4- 19г2 - 31г 4- 8 < 0,
справедливому при 2 < х < 3, поскольку тогда
9х5 - 45х4 4- 49т3 < -5т3,
так как квадратный трехчлен
9т2 — 45а: 4- 49
на концах отрезка [2,3] принимает равные значения —5, и поэтому на этом
отрезке он не превосходит —5, а многочлен —5а:3 4- 19г2 — 31г 4- 8 отрицателен
на отрезке [2,3], ведь он имеет корень на интервале (0,2), так как принимает
на его концах значения разных знаков, и если он принимает неотрицательные
значения внутри отрезка [2,3], то имеет там два корня (или один двукратный
корень), значит, сумма его корней больше 4, что противоречит теореме Виета.
При г — 2 неравенство
((г 4- 1) (тп 4- 1) 4- I)2 (т 4- г)	(г 4- тп 4- I)2 hr (0)
(г (тп 4-1) 4-1) ((тп 4-1) (тп 4-2г) 4-1)	1 4- hr (0) (2г 4- тп)
принимает вид
(тп 4- 2)2 (Зтп 4- 4)2	(3 4- тп)
(2тп 4-3) ((тп 4-1) (тп 4-4) 4- 1) > 14-(4 4-тп)||
и, значит, равносильно неравенству
32тп5 4- 256тп4 4- 589тп3 4- 338тп2 - 272т - 240 < 0,
которое справедливо при тп < 1/2, так как тогда
4	4	2
к т	т	т	т
тп < ---- < --- < --- < —,
2	4	8	16
и, следовательно,
32тп® 4- 256тп4 4- 589тп3 4- 338тп2 - 272т - 240 <
221
< m ^2 + 32 + 5^ + 169 - 272^ - 240 < 240m - 240 < 0.	.
Из доказанных при г < 2 неравенств	Я1
Fr (—-—, Л/, 2г ) > Crr+i (m, Аг (тп), 2г)
\m + 1	/
и
Fr (—2г) > Gr+i (т,, тп + 1, 2г)
вытекает неравенство
Fr ( —-—,М,2г | > Ь3
Чт + 1	/
и тем самым первое равенство задачи доказано и в случае г < 2.
Для доказательства второго равенства задачи достаточно проверить, что при
г > 3
hr (тп (2г)) > 1 4- тп (2г).
Это неравенство равносильно неравенству
(г + 1 + тп)3 (тп + 1) - (г + 2 + т)2 (г (1 + тп) — тп) < 0,
а, значит, и неравенству
тп2 4- тп — 1) 4- г (2тп3 4- бтп2 4- бтп — 1) 4- (1 4- тп)4 4- т (т 4- 2)2 < 0.
Так как т — т (2г) < 1/2г < 1/6, то последнее неравенство следует из неравенства
.2

_>	3 _2	5
3 + -г 2 + -г 1 - 1
2	2
2
которое, в свою очередь, следует из неравенства
, г 1	5	3
-5+;+5+5
1г-2
4
48 54	169
36 36 + 216
очевидно, верного, так как
2 Г 3
2 - - + -
2	2
1 1
1
1г-2
4
—9 —
3	„
— + — 4" — — —10 4“ —
2	2	36	36
2	36
36
и
1 1
36 + 4
5
2
169
--- < 0.
216
Для доказательства последнего равенства задачи достаточно проверить, что пр»
Это неравенство равносильно неравенству
’тп2 4- тп — 1) 4- г (2тп3 4- бтп2 4- бтп — 1) 4- (1 4- тп)4 4- тп (тп 4- 2)2 > 0,
которое при г = 1 имеет вид
тп2 4- тп — 1 4- 2тп3 4- бтп2 4- бтп — 1 4- (1 4- тп)4 4- тп (тп 4- 2)2 > 0,
222
или, что равносильно,
т4 + 7m3 + 17m2 4- 14m — 1 > О,
л при г = 2 — вид
(тп2 4- т — 1)4-2 (2т3 4 6т2 4 5т - 1) + (1 + т)4 4 т (т 4 2)2 > О,
или, что равносильно,
т4 4 9т3 4 26т2 4 22т — 5 > 0.
Гак как
3
10’
го неравенство (*) справедливо, а так как
т(2) =
ю неравенство (**) тоже справедливо.
14.23.	Согласно задачам 14.19,14.22 при г > 4
b (т, 2г
1) - Fr (т, М, 2г — 1) -
(г 4 1 4 т)2 (г - 1 4 т)
(г 4 т) (2г — 1 4 2т)
и при г > 3
b (т, 2г) = Gr+i (т, Аг (т), 2г) =
(г 4 т 4 1) (г 4 т 4 2)2
(г 4 »п 4 I)2 4 (г 4 2 4 т)2
Проверим, что 6 (т, 2г — 2) < b (т, 2г — 1). Действительно,
b (т, 2г - 2) =	<
(г 4 т)2 4 (г 4 1 4 т)2
<	+	-1 + ™) = Ь (т, 2г - 1),
(г 4- т) (2г — 1 4- 2т)
так как
_______(г 4 т)_______ < (г - 1 4 т)
(г 4 т)2 4 (г 4 1 4 т)2 (г 4 т) (2г - 1 4 2т) ’
Потому что при г > 2
(г 4 rn)2 4 (г 4 1 4 т/ =	2	+	1	2 |	2
(г 4- тп)2	г 4- тп (г 4- тп)2 г 4- тп
1	_ 2г — 1 4- тп
>2 4* 1 '	~~ '	,
г 4 m — 1 г—14m
°ткуда
(г 4 т)2	г — 1 4 т
(г 4 т)2 4 (г 4 1 4 т)2 2г — 1 4 2т
223
Проверим, что 6 (тп, 2г — 1) < 6 (тп, 2г). Действительно, неравенство
(г 4- 1 4- тп)2 (г - 1 4- тп) (г 4- тп 4- 1) (г 4- тп 4- 2)2
(г 4- тп) (2г - 1 4- 2т) (г 4- тп 4- I)2 4- (г 4- 2 + тп)2
равносильно неравенству
(г 4- 1 4- тп) (г — 1 4- тп)	(г 4- тп 4- 2)2
(г 4- тп) (2г - 1 4- 2т) (г 4- тп 4- 1 )2 4- (г 4- 2 4- тп)2 ’
а так как
(г 4- тп) (2г - 1 4- 2тп) = 2 (г 4- тп)2 - 2 - (г 4- тп - 1) 4- 1,
(г 4- m 4- I)2 4- (г 4- тп 4- 2)2 = 2 (г 4- тп 4- 2)2 - (2г 4- тп 4- 3),
то равносильно и неравенству
1	1	2г 4- 2тп 4- 3
2_____________р______________________ >2_____'________
г4-тп4-1	(г4-»п4-1)(г4-тп — 1)	(г4-тп4- 2)2 ’
которое, очевидно, выполняется, потому что
1 2г 4- 2тп 4- 3
*	г 4- тп 4- 1 (г 4- тп 4- 2)2 ’
ведь при г > 2
(г 4-гп 4-2)2 = (г 4-тп 4-I)2 4-2 (г 4-тп 4-1) 4-1 <
< 2 (г 4- т 4- I)2 4- г 4- тп 4- 1 = (г 4- тп 4- 1) (2г 4- 2тп |- 3).
Из доказанных при г > 4 неравенств
b (ту 2г — 2) < b (чп, 2г — 1) < b (т, 2г)
следует монотонность последовательности	при k > 6.
Функция
х (х 4- I)2
х2 4- (х 4- I)2
монотонно возрастающая. Справедливы неравенства
г 4- тп (2г) <г4-1<г4-14-тп (2г 4- 2).
Далее согласно задаче 14.19 при г = 2 или г = 3 имеем
b (тп, 2г — 1) : Fr (тДг-г (тп), Л/, 2i— 1) =
(r4-V>) (г +-ф + 1)2
(г 4- V-)2 4- (г 4- 1 4- V-)2 ’
где
/г (V'r—2 (»«)) = Л4, l/> = V’r—2 (тп) •
При г > 3, согласно утверждению 14.22, также имеем
b (т, 2г) = С?г+1 (*п, hr (m), 2r) =
(г 4- тп 4- 1) (t- 4- тп 4- 2)2
(г 4-»п 4-I)2 4-(г 4-2 4-tn)2
224
Используя это, получим, что последовательности	и {6(2г,^/^} моно-
тонны, начиная с г = 3, а последовательности {Ь(т,2г-1)} и {b (2г — 1,2г — 1)}
монотонны, начиная с г = 2. Значения 6(m,2r —1) и Ь(2г—1,2г —1) при г = 1
нам не понадобятся, но рассуждая таким же образом, можно заметить, что
упомянутые последовательности монотонны, начиная с г = 1.
Проверим, что последовательности {6 (m,2r)} и {6 (2г, 2г)} монотонны, начиная
с г = 1. Заметим, что при х — г + -ф
1,2	1
-------------- +-----------
hr (V>)--------------------& + 1 х + 2 + 1 /х
значит, последовательность hr (V0 возрастает, а функция
Gr+i (а,ф,2г) _ (х 4- I)2
a	14-ot (2а: — ф)
монотонно возрастает при x > 1+V* (в чем можно убедиться дифференцированием).
Поэтому последовательность {тпаг(1 4- m,/ir (m))} возрастает, а так как при г > 3
max (1 4- m, hr (тп)) — hr (m) ,
то с помощью задач 14.13,14.22 получаем, что последовательность {6(тп,2г)}
монотонна, начиная с г = 1.
Согласно утверждению 14.22, учитывая равенство т (2) (т (2) 4- 1) = 1/2, имеем
b(2,2) = G2 (m(2),m(2) + 1,2) =
_ (2 4- тп)2 (тп 4- 1) _ тп3 4- 5тп2 4- 8тп 4- 4
m2 4- 3m 4- 3
тп2 4- 3m 4- 3
6 4-4,5m 21 4- 15\/3
——-------- - —-----—• = 1,8069523... .
3, 5 4- 2m 26
Аналогично
b (4,4) = <7з (m (4), m (4) 4-1,4) =
_ (3 4- m)2 (m 4- 1) _ m3 + 7m2 4- 15m 4- 9
m2 4- 5m 4- 5	m2 4- 5m 4- 5
10, 5 4-9, 25m	47 4-37^2
= —	---- = ------= 2,0425905 ... ,
5, 25 4- 4m 26 4- 1672
а при r > 3 после некоторых вычислений получаем
6 (2r, 2r) = Сгг_|_1 (m (2r), hr (m (2r)), 2) =
I2
„,2 ~
_ у/l + 2/г (бг3 + 14г2 + 8г 4- 1) 4- (4г“ 4- 14г3 4- 18г2 4- 14г 4- 7)
х/1 4- 2/г (8г2 4- 8г) 4- (8г3 4- 16г2 4- 12г 4- 4)
, ,	„	, ,	313-75/3 4-913
Ь (2г, 2г) > 6 (6,6) = -~=L=--- = 2, 5138234... ,
96^5/3 4- 400
что и доказывает монотонность последовательности {t (2г, 2г)}.
8 Арифметика. Алгоритмы.
Сложность вычислений
225
2	4(г 4- тп) 4	2	2к 4- 4ттг ’
(г 4- 1 + тп)2 (г — 1 4-	__ х 3	1	9
(г 4- «г) (2г — 1 4- 2т)	2	4 8х 8(2х2 — зт)
,,	,, (г + m + 1) (г + m + 2)2 х 4- 1	1	1/4
о (т, к)------------=------------=--------------4- —------------
(г + т + I)2 + (г + 2 4-т)2	2 4х 2х2 4- 2х + 1
г + ?n + 1	1 к т 4- 1	1
а при к — 2г — 1
6 (?71, к) =
Так как х = г 4- т
1
значит,
b (к, к) У к/4 + 1 — ?п/5.
Согласно задачам 14.20—14.21
и ?п = [0; кА ...] > 1 /2г*, то при г > 3
9	1	9	7	_ 7 1	7т
8(2х2 — х)	8х	40лт	20г	5 4г	10 ’
В (7П, 2г) = Gr ( ------------tM, 2r — 1
\ 1 4- m
и при г > 3
В (т, 2г - 1) = Fr (-—, т 4- 1,2г — 1 ] =
\ 1 4- 771	/
(г+1+т+^) ((г-1)(тп4-1) 4-1)
(г+ н^) (1 + (« + 1)(2г-1 + т^))’
Очевидно, что при г > 3
В (т, 2г — 1) < В(т, 2г),
так как
(Г-1)(п14-!)4-1	< 1
1 + (т + 1)(2г-1 + т^)	2
Проверим, что при г > 4
В (т, 2г — 2) < В („I, 2г — 1).
Это равносильно неравенству
2 ((m + 1) (г + 1) 4- I)2 ((тп 4- 1) (г - 1) 4- I)2 >
226
> ((m + l)r + I)3 ((m + 1) (2r - 1) + 2),
которое после разложения обеих его частей по степеням т + 1 и сокращения
на т + 1 принимает вид
(т + I)3 (г3 - 4г2 4- 2) + (m + 1) (Зг2 - 8r) + (т + 1) (Зг - 4) + 1 > О.
Очевидно, что это неравенство справедливо при г > 4 и любом т , так как все
коэффициенты при степенях т + 1 положительны. При г = 3 оно принимает вид
7m3 + 18m2 + 10m < 2,
и не выполняется при т> 1/6, а, значит, и при т = m (5). Поэтому
I	В (m, 2г — 1) < В (т, 2г) < В (т,2г + 1)
при г > 3, значит, начиная с к = 5, последовательность {В (m, fc)} монотонно
возрастает, но при т = т (5)
В (т, 4) > В (т, 5).
Монотонность при всех г последовательности {В(т,2г)},
легко следует из монотонности при х > 1 функции (ж + 1)2/а;. По той же
причине монотонно возрастает последовательность
j (г -Ц + у,)2 J
Так как функция
(г - 1)а + 1
1 + а(2г - 1 + т/>)
дробно-линейна относительно г, равна нулю при г = 1 + 1/а и положительна
при г > 1 + 1/а, то последовательность {5Г},
sr = (г~ 0п +1
1 + а (2г - 1 + V<) ’
монотонно возрастает, а, значит, монотонно возрастает последовательность
{Fr(Vs а,2г - 1)},
Fr (V-, а, 2г - 1) = дг (г + 1 + ^)2 .
rip
Поэтому
В (m, 1) = Fi (т,т + 1,1) < F2 (т,т + 1,3) =
= В (т, 3) < F3 (т, т + 1,5),
а так как при решении 14.19 установлено, что
F3 (m, т + 1, 5) < F3 ( —-—, т + 1,5 | = В (т, 5),
\т + 1	/
8*
227
то последовательность {B(m,2r —1)} монотонна.
Наконец, оценим сверху В(т,к). Если к — 2г — 1 и х = г+^~-, то
В (тп, к) —
(т+ I)2 (х - 1)	х ( 3	1 к ( 3	1
ж(2ж - 1)	< 2 + 4 " 8х < 4 + 2 ” 4*:+ 12’
Если же к — 2г, то
г + 3	1/2 к 3	1
-----+------- — — + — +------•
2 г + 1	4	2 к + 2
Так как
1
(k} ____t____	—
2(m + 1)	2	2 ’
имеем
В (2г, 2г) ==
2
к 2	1
4 + 2 + 2fc + 4 '
14.28. Докажем неравенство
£(а,е) < 1/(2е5(1/е)).
Рассмотрим последовательность подходящих дробей {рп/дп} к дроби
а и полож
Еп = |сг - Рп/?п|.
Согласно утверждению 14.10 и введенным в доказательстве утверждения 14.23
обозначениям справедливо равенство
sup{eL2 (а, е)
en+i < е < Oi} = 7n-1 («) = Г (V'n, «п+2, «п+1) •
Положим
Л/n = f (<Jn-f-2 ) 4" 1 < Мп = 1 /Л/п 
Тогда в силу указанных в 14.5 соотношений
&п — «П 4" 1 /<*п+11
фп = [0; ап,... , ai],
монотонности
неравенства
функций / и \/х и неравенства an+i < fn (?) справедливы
тп < Фп < 1/ (тп + 1),	1 +	< «п+2 < М„.
Поэтому в силу утверждения 14.22 и определения функций В(т,к) и 6(?п,Аг)
имеем
°n+l t 1	0(1)
4	2 an+i
< I (vn, «п+2> «п+1) < —~— + Г +
4	2
1
«п+1 + 2’
228
откуда
sup{eL2 (a,ff) : en+i < e < en} = 7n-i (a) < ““У + “ + ---
4	2 an+l + 2
I- r 2 /	\	/ \ •. an+l 1 О (1)
sup{eL (a, e) : en+i < e <	} = 7n-l (<*) > —— + -----------•
4	2 an+i
При ffn+i < e < en в силу неравенства an+i < /п (<?) и 14.5 справедливо
неравенство
1/£ > I/£п > 9п9п+1 > an+19п — ап+1	(ап+1 ) —
= / (^ (ап+1)) /i2(an+i),
где h — обратная функция к / (и, следовательно, тоже монотонная), откуда
в силу монотонности функции р, обратной к функции x^ffx), имеем, что
д (1/е) > A(an+1), и, значит,
/ (9 (I/*)) > / (/l (an+l)) = a„+l •
Отсюда и из доказанного выше неравенства с учетом монотонности функции
х/4 4- 1/ (х 4- 2) при х > 0 следует, что
Так как / (р (1/е)) t;2 (1/е) = 1/е, то из последнего неравенства вытекает, что
i2(“-s)<^2G(;))32(;) + l+32 (;)<
откуда
I	3	13
ь(“’е) < х/ (я (VO) .3 (1/«0 + -9 (1/е) = -—7—рт + -9(1/е) =
2	2	ZegylfCj 2
2еЯ(1/е) (1 + 3г?Э (1/е))	2е5(1/е) (’ ^ /(а(1/е))) '
Для получения нижней оценки выберем последовательность {mn} так, чтобы
ат„ + 1 > c(9mn)/(gm„), и на интервале (^тп4-Ье"»п) возьмем такую точку <п,
чтобы
lim (CnL2 (a,Cn) - sup{eL2 (a,e) : гт„ + 1 < e < em„}) = 0.
Как установлено в доказательстве утверждения 14.9, число £п можно выбрать
в интервале	ПРИ любом 5 > 0. Значит, опуская для
краткости нижние этажи в индексах, а также индексы при г, с помощью задач
14.5 — 14.6 получаем,| что ПРИ ш —> оо справедливы неравенства
1	. 9тп—1,г (c*m4-19m + 9m—1) r -
	4- d <
ЧП	1 “ Г------*
229
< (rgm + ?m-l) (?m (flm+l + 1) + 7m-l) <
am+1 r
< Im (“m+l + 2) fl + -------'j < 4m (am+i + 9) ,
\ «m+l ~ 2/
а поэтому и неравенства
7~ > — > »m+Hm > c(?m)?m/(9m),
Sn £m
откуда в силу монотонности функции д имеем
9 ( <	Ч'
\ \Чт) Сп /
Отсюда, учитывая полученные выше соотношения, выводим неравенство
(a><n) > ± С+1 _ 2111) > а™+19™
Cn \ 4	2 ат+1 /	4
из которого следует, что
L2(a,Cn)>
а так как
< Чтп (атп+1 + 9) ,
Чп
то получаем неравенство
/у* 1Q С ) >	J	~ »»»Т *	 >	-ТП-Г
2	2(ат^1 4" 9) QmCn 2<]гпСп
Из него, учитывая неравенства
имеем
Из 14.27, полагая
выводим неравенство
1 ~ C(frn)\
2c(?m) /
Если c(qm) > 1/3, то из предыдущих неравенств, учитывая, что
1
“m+1 > c(gm)/(gm)’
получаем следующую нижнюю оценку:
“ c(9m)9/(,m)) (3c(9m) - 1)
L(a,Cn)> ----------------------------•
4с(gm) Cnj (
230
При c(qm) —►! полученная оцецка принимает вид
L(a,C„)> (1-о(1))
1
2<nS (ст)
Из доказанных неравенств
7~ < ?т (“т+1 + 9) < ?^ (/ (9т) + 9) ,
Чп
х / 1 \ Л . 1 - С(Чт)'\
Чт < д ( — ) (1 + -r~t—г- )
\ Cn / \ 2с (?т) /
при стремящейся к единице величине с(дт) следует равенство
Чт - (1 + о(1))р ( -i- ) .
I	\ Чп /
Если в качестве c(q) взять 1 —0(1//(д)), то полученная оценка принимает вид
Ь(а,Сп) >
2СпР
Докажем нижнюю оценку для L (а, £п). Пусть
«п+2 < « < «п+1 •
Согласно 14.9, если
«п,г < « < min{en>r_i,e„+i), гп - 2 < г < ап+2,
где
_	Оп+2-Г	_	_
£п,г — -----Т------------Г, Чп,г — **9п+1 4“ 9п» ап —
Чп,г («п+29п+1 + Чп)
-	= ап + ------, гп > —-—,
<»п+1	2
то, так как min{enr_1,en+i} = en+i лишь при г = гп — 2, имеем
Ь (ft) Сп) — ЧП'Г •
Так как при г < ап+2 —1
/	. ч \	। ап+2 4" 1	. ч ап+2 4" 1
. (ап+2 4- ЧЧп+1 + Чп < -------(гЧп+1 4- Чп) = --------Чп,г,
то
1	1	< (rqn+1 + 9n) ((«n+2 + 1) Яп+1 + Чп) < (an+2 + 1) Чп,г
« “ «п,г	Яп+2 - Г	(ап+2-г)г
Квадратный трехчлен (a«+2 — г)г имеет максимум в точке (ап+2)/2 и убывает
при г > (ап+2)/2, поэтому при г > ап+2 ~ 1 справедливо неравенство
1 1
€п>г
(ап+2 + 1)Чп,г
(ап+2 ~г) г
(ап+2 + 1)<?п/
ап+2 ~ 1
< 3?п,г = 3Z/2(t»,e).
231
Если же г = ап+2 ~ 1> то в силу соотношений qn+2 = Чп,
справедливо неравенство
1
1
1
е
п,г (/ (Зп,г) + 2) >
значит,
41
1
£ (1 + 2//(gn,r))	’
причем последнее неравенство верно и при г < ап+?, откуда следует, что
д
1
+ 2//(gn,r))
= L(a,e).
Применяя 14.27 при
1
_ 1
У ~ е(1 + 2//(9„,г))’ У° “ 7
получаем неравенство
1
®(1 + 2//(7п,г))7
с помощью которого предыдущее неравенство можно переписать в виде
s(l/«) (! - !//(9n,r)) < s(l/s) (1 + l//(gn,r)) < L(a,e).
Так как qn,r стремится к бесконечности, то
1 . , .
Qn.r > -з(1/е),
4
значит,
и
1
Q ( 1 / £ ) ( 1 —  77-— I \ и | и  с I.
Ч /(Ь(1Л))У ' ’
Из полученного неравенства следует асимптотическое неравенство
з(1/с) < (1 + o(l))L(a,e).
Докажем последнее утверждение теоремы. Согласно проведенным
рассуждениям L(a,en) = gn. Выбирая последовательность mn так же,
выше, и полагая 5п = £тп, получаем (как и выше) неравенство
выше
как и
9 (“гАт
\ С (<]тп )
(здесь и далее для краткости опускаем нижние этажи в индексах). Используя
полученное выше неравенство
1 А < 0 М \ Л , 1-фт)\
с(дт)&п/ \&п/ \ 2с(дт )'
232
выводим отсюда, что
L(a,<5„) < д
1 - с(дтп)
2c(gm
При c(qm) —> 1 полученная оценка принимает вид
L(a,Sn) < (1 + o(i))g(l/Sn).
Так как при г = ат
Чт — Ят—2,г >	2,r) — ~ff(l/^n),
то в^случае c(g) = 1 — O(l//(<j)) полученная оценка принимает вид
L(a,Sn) <11 + —)—г- | р(1/<5п)-
J	V
$
Заметим, что фактически были доказаны неравенства
L(a,e) <
1 + 3//(g(l/e)
2ер(1/е)
р(1/е) ( 1-----г—------г- ] < L(a,e),
а если для некоторой последовательности {шп}
amn + l > / (?mn) — 0(1),
то доказано, что для некоторых последовательностей {6П} и {£п} справедливы
неравенства
L(a,Sn) < ( 1 + 771-7777-77 ) яС1/15»), Ца,(я) >
\ J \29ЛЧ°пП )
1 - ОЩ-------
24пг(1/«п)
§ 15.	ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА НА РАВНЫЕ ЧАСТИ
ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ
Допустим, что на плоскости дано некоторое множество точек,
прямых и окружностей, которое обозначим Мо-
Назовем построением циркулем и линейкой при заданном Mq
любую последовательность множеств Мо, М\,... , Ml , начинающуюся
с Мо, и такую, что каждое следующее множество M,+i получается из
предыдущего множества Mi добавлением либо некоторой прямой, про-
ходящей через какие-то две точки из множества Mi, либо окружности
с центром в какой-то из точек множества Mi и радиусом, равным
длине некоторого отрезка с концами в точках из Mi, а также всех
233
точек пересечения добавленной линии со всеми линиями из множества,
М,. Число L назовем сложностью этого построения. Сложностьк)
построения множества М точек, отрезков и окружностей и прямых
при заданном Мо назовем минимальную сложность такого построения
Мо, М\,, Ml , для которого множество Ml содержит все прямые
и окружности из М, все точки из М и концы всех отрезков из М.
Аналогично определяется сложность построения одним цирку-
лем.
Первый цикл задач принадлежит итальянскому математику Мас-
керони1).
15.1	. Даны единичная окружность с диаметром и отрезок длины
х, х < 1. Постройте на этом диаметре отрезок длины х2 одним
циркулем со сложностью 2.
15.2	. Решите предыдущую задачу со сложностью 3, если диаметр
задан только одним своим концом, а не начерчен целиком.
15.3	. Даны единичная окружность и отрезок длины х > 1 с
началом в ее центре. Постройте отрезок длины х~г одним циркулем
со сложностью 2. Постройте отрезок длины ж"1 одним циркулем со
сложностью .3, если отрезок длины х задан только своими концами,
а не начерчен целиком.
15.4	. Даны отрезки с длинами а,Ь,с, где b и с < 2а. Постройте
одним циркулем со сложностью .3 отрезок длины х такой, что а : Ь =
= с : х.
15.5	. Даны единичная окружность, отрезок длины с < 2 с началом
в ее центре и еще отрезок длины b < 1. Постройте одним циркулем
отрезок длины Ьс со сложностью 2.
15.6	. Постройте одним циркулем одновременно отрезки длины 2
и 3, лежащие на одной прямой с данным единичным отрезком, со
сложностью 3.
15	.7.	Поделите пополам отрезок одним циркулем:			
а)	со	сложностью 4,	если дана прямая,	на которой лежит отреч, ;	
б)	со	сложностью 5,	если дан только сам отрезок;		
в)	со	сложностью 6,	если даны только	его концы.	
В	первом издании		“Математического	калейдоскопа”	Штейнгауча
последняя задача была решена со сложностью 8.
15.8	*. Поделите на три равные части отрезок одним циркулем: j
а) со сложностью 5, если дана прямая, на которой лежит отрезок!
б) со сложностью 8, если дан только сам отрезок;
в) со сложностью 11, если даны только его концы.
Разумеется, с помощью, линейки сложность построений можнС|
уменьшить.	
РСвою книгу “Геометрия циркуля” он подарил Наполеону.
i
234
15.9	. Разделите циркулем и линейкой отрезок пополам со слож-
ностью 3 и на четыре равные части со сложностью 6.
15.10	*. (Москва, 66) Разделите циркулем и линейкой отрезок на
шесть равных частей со сложностью 8.
15.11	. Проведите через точку вне прямой параллельную ей прямую
со сложностью 3.
15.12	. На сторонах угла отложены от его вершины отрезки длины
а, b и 1 (два из них — на одной стороне, а один — на другой).
Постройте со сложностью 3 отрезок длины ab на одной из сторон
угла.
Следующий цикл задач принадлежит Мору1).
15.13	. Постройте со сложностью 5 одним циркулем одновременно
отрезки /длины у/а2 — 62, 2\/я2 — Ь2, 26, 36, >/36, если отрезки я и 6,
я > 6, заданы.
15.14	. Постройте со сложностью 5 одним циркулем одновременно
отрезки длины т/2я, д/Зя, \/8я, 2я, Зя, если отрезок длины я задан.
15.15	. Постройте со сложностью 11 одним циркулем одновременно
отрезки длины у/а2 + 62, 2у/а2 + 62, у/а2 — Ь2, 2у/а2 — 62, у/2а, у/За,
а/8я, 2я, Зя, 26, 36, д/36, если отрезки я и 6, я > 6, заданы.
15.16	. Постройте со сложностью 15 одним циркулем одновременно
отрезки длины я + 6, я — 6, аЬ/у/а2 + 62, у/а2 + 62, 2у/а2 + 62, у/а2 —Ь2,
2у/а2 — 62,\/2а, л/Зя, х/8я, 2я, Зя, 26, 36, У36, если отрезки я и 6,
я > 6, заданы.
15.17	.Если отрезки длины я и 6 заданы на одной прямой, то
отрезок длины я+ 6 можно построить одним циркулем со сложностью
2.
15.18	. Даны отрезки длины 1 и я < 1 с общим концом, вложенные
один в другой. Постройте со сложностью 7 одним циркулем отрезок
длины у/а. В случае я > 1 подобное построение можно осуществить
со сложностью 9.
15.19	. Докажите теорему Мора - Маскерони о построениях одним
циркулем.
Следующий цикл задач посвящен “быстрому” делению отрезка на
равные части циркулем и линейкой.
15.20	**. Задан единичный отрезок. Постройте циркулем отрезок
длины 2-2 :
а)	со сложностью 2п +4, если дана прямая, на которой лежит
отрезок;
б)	со сложностью 2п + 5, если дан только сам отрезок;
0 В своей книге “Датский Евклид” он на столетие раньше Маскерони доказал
возможность проведения всех геометрических построений одним лишь циркулем. Эту
книгу случайно нашел в двадцатые годы нашего века известный датский геометр
Хьельмслев в букинистическом магазине в Копенгагене.
235
в)	со сложностью Зп + 6, если даны только его концы.
15.21	*. Разделите отрезок циркулем на 2т равных частей:
а)	при т = 2” со сложностью б + п + 2’”-1;
б)	при т = 2" + 1 со сложностью 5 + п + 2т-1,
если дана прямая, на которой лежит отрезок.
15.22	. Разделите отрезок циркулем на восемь равных частей со
сложностью 9, а на 16 частей — со сложностью 14.
Назовем аддитивной цепочкой любую начинающуюся с 1 после
довательность натуральных чисел, в которой каждое число являете
суммой каких-то двух предыдущих чисел (или удвоением какого-тс
предыдущего числа). Обозначим /(п) наименьшую длину аддитивно!
цепочки, заканчивающейся числом п.
15.23	. Наименьшее число операций умножения, требующихся для
возведения числа х в степень п, равно I (п).
15.24	**. (А.Брауэр) Докажите, что при к < log2 log2 п справедливс
неравенство
I (n) < (1 + l/к) ]log2 n[ + 2fc-1 - к + 2.
15.25	*. (А.Брауэр) Докажите, что
lim I (n) / log2 n = 1.
15.26	*. Задан единичный отрезок. Постройте циркулем отрезок
длины 2~п со сложностью не более (2 + £n) log2 п, где (п стремится к
нулю при п, стремящемся к бесконечности.
15.27	*. Постройте со сложностью не более 2п циркулем и линейкой
такое множество точек, что среди отрезков с концами в этом множестве
найдутся отрезки с длинами 1,2,... , п2 . Выполните то же построение
со сложностью не более 4п одним циркулем.
15.28	**. Дан отрезок длины х < 1. Постройте со сложностью не
более 4п одним циркулем такое множество точек, что среди отрезков
с концами в этом множестве найдутся отрезки длиной х,х2,... ,хп .
15.29	”. Задан единичный отрезок. Постройте циркулем отре ж
длины 2~п со сложностью не более
9	.. -L log2 п . (2 log2 n) (log2 l°g2 1оё2 « + С)
logj log2 n	(log2 log2 71)
15.30	**. Разделите данный отрезок на 2” равных частей со
сложностью не более 2”-1-|-9 одним циркулем, и со сложностью не
более 2п-1 + 7 циркулем и линейкой.
Назовем схемой вычисления многочлена р(х) начинающуюся с
1 и а: и заканчивающуюся р (х) последовательность многочленов, в
которой каждый многочлен равен сумме, разности или произведению
236
каких-то предыдущих. Сложностью многочлена назовем длину
наикратчайшей схемы его вычисления. Такие схемы назовем ми-
нимальными. Сложность можно понимать как наименьшее число
арифметических операций, нужных для вычисления многочлена.
15.31	***. (Лупанов - Сэвидж) Докажите, что сложность произволь-
ного многочлена степени п с коэффициентами 0 и 1 не превосходит
п Л 3 log2 log2 » + С
log2n \	log2n
где С — некоторая константа.
Далее « означает натуральное число. Назовем схемой вычисле-
ния числа п начинающуюся с 1 и заканчивающуюся п последова-
тельность'чисел, в которой каждое число равно сумме, разности или
произведению каких-то предыдущих. Сложностью числа п назовем
длину наикратчайшей схемы для его вычисления.
15.32	**. (Лупанов - Штрассен) Докажите, что сложность произ-
вольного числа п не превосходит
log2 » Л + 31og2 log2 log2 n + C\
l°g2 l°g2 n \ l°g2 l°g2 «	)
15.33	**. Задан единичный отрезок. Постройте циркулем и линей-
кой отрезки длины п и 1/п со сложностью не более
log2»
l°g2 log2 п
Л + 31og2 log2 log2n + C
\ log2 log2 n
15.34	**. Улучшите предыдущую оценку до оценки
log2n / +
21og2log2n \
3 log2 log2 log2 n + С
l°g2 l°g2 n
15.35	**. Разделите отрезок циркулем и линейкой на п равных
частей со сложностью-не более
« + log2» Л + 3 log2 log2 log2 п + С
2 21og2log2n \	log2log2n
15.36	. Докажите, что сложность разделения отрезка циркулем и
линейкой на п равных частей не меньше ](n — 1) /2[.
15.37	**. Задан единичный отрезок. Постройте одним циркулем
отрезки длины п и 1/п сложностью не более
logs п Л + 2 l°g3 l°g3 lpg3 » +
log3 log3 п \	log3log3n
237
15.38	**. Докажите, что сложность построения отрезка длины п
одним только циркулем не меньше [log^ (п + 1/2)], где = (\/5 + 1) /2.1
15.39	**. Разделите отрезок на п равных частей одним циркулем
со сложностью не более
, log3n Д , 21og3log3log3n +
п + 3 log3 п + --:--- 1 Н------:---:-------- I •
log3 log3 п \	log3 log3 п )
15.40	. Докажите, что сложность разделения отрезка одним цир-
кулем на п равных частей не меньше п — 1.
15.41	**. Задан единичный отрезок. Постройте отрезки длины тпп
и т~п со сложностью не более
(2 + бп) log2 п + (3 + fm) log2 т
где бп —> 0 при п —> оо, с помощью одного циркуля. Разделите отрезок
на тп равных частей со сложностью не более тп + (3 + (т) l°g2т
одним циркулем и со сложностью не более тп/2 + (3 + fm) log2 т
циркулем и линейкой.
Из задач 15.38 и 15.34 вытекает, что в некоторых случаях использо-
вание линейки в построениях может уменьшить их сложность. Задача
15.26 показывает, что оценка задачи 15.34 иногда бывает грубой. Но в
общем случае она точна по порядку, что видно из следующей задачи.
15.42	**. Докажите, что для некоторой бесконечной последователь-
ности чисел п сложность построения отрезка длины п циркулем и
линейкой больше |	_ •
6 log2 log2 n
15.43	. Докажите, что сложность некоторого многочлена степени п
с коэффициентами 0 и 1 больше 2 |о" п.
15.44	***. Докажите, что число минимальных схем сложности
L для вычисления произвольных многочленов от переменной х не
превосходит (£ (£ + 1))Ь-2 / (L — 2)!
15.45	***. (Шеннон - Лупанов) Докажите, что сложность не-
которого многочлена степени п с коэффициентами 0 и 1 больше
_д_	+ log2[l°g^ ”~С ) , где С — некоторая константа.
Задача деления на п равных частей заданной дуги окружности
циркулем и линейкой сильно отличается от задачи деления отрезка.
Во-первых, она разрешима циркулем и линейкой для произвольной
цуги только при п = 2"1.1) Во-вторых, покажем, что сложность ее
решения в указанном случае несколько отлична от аналогичной задачи
цля отрезка.
*) Это доказал в тридцатые годы прошлого века немецкий математик Ванцель,
)пираясь на результаты Гаусса. Гаусс в восемнадцатилетнем возрасте полностью
>ешил вопрос о возможности построения правильных многоугольников циркулем и
жнейкой, который эквивалентен делению окружности на п равных частей.
238
15.46	*. Дуга окружности задана хордой а и радиусом г. Постройте
одним циркулем одновременно центр окружности, отрезок длины
\/а2 + г2 и середину данной дуги со сложностью 7.
Следующие задачи усиливают утверждения задач 15.15 - 15.16.
15.47	. По данным отрезкам а и b постройте со сложностью 5
одним циркулем отрезок длины \/а2 + &2 •
15.48	*. По данным отрезкам а и b постройте со сложностью 11
одним циркулем одновременно отрезки длины а + b и а — Ь.
В следующих задачах дуга задана вместе с ее радиусом.
15.49	. Постройте со сложностью 2п + 1 циркулем и линейкой дугу,
в 2" раз меньшую данной.
15.50	.( Разделите со сложностью 2п-1+2п циркулем и линейкой
данную дугу на 2П равных частей.
15.51	*. Постройте со сложностью не более 5п+1 одним циркулем
дугу, в 2" раз меньшую данной.
15.52	**. Разделите со сложностью не более 2"-1 + 4п + 5 циркулем
данную дугу на 2" равных частей при п > 2. Разделите дугу на
четыре равные части со сложностью 12.
15.53	. Докажите, что нельзя разделить циркулем и линейкой
данную дугу на 2" равных частей со сложностью, меньшей 2”-1.
15.54	**. Докажите, что нельзя построить циркулем и линейкой
дугу, равную 2п-й части единичной окружности, со сложностью,
меньшей п — 1.
Введенное выше определение схемы вычисления числа п с помо-
щью операций сложения и умножения легко обобщить на случай
вычисления рациональных чисел с помощью всех арифметических
операций, а также некоторых иррациональных чисел (далее называ-
емых пифагоровыми), если к арифметическим операциям добавить
операцию извлечения квадратного корня. Назовем сложностью ра-
ционального числа наименьшую длину вычисляющей его схемы с
арифметическими операциями, а сложностью пифагорова числа
— наименьшую длину вычисляющей его схемы с использованием
квадратного корня. Назовем арифметической сложностью £ -
приближения произвольного действительного числа а наимень-
шую сложность рационального числа, уклоняющегося от а не более
чем на £ . Геометрической сложностью £ - приближения числа
а назовем наименьшую сложность пифагорова числа, уклоняющегося
от а не более чем на £ .
Следующий (и последний в этой главе) цикл задач труднее преды-
дущих.
15.55	. Докажите, что отрезок длины а можно построить циркулем
и линейкой тогда и только тогда, когда а — пифагорово число.
Л	239
Кэ.к известно,числа и не являются пифагоровыми/ откуда
следует неразрешимость циркулем и линейкой задач удвоения куба и<
квадратуры круга. Изобретаемые иногда и до сих пор решения этих
задач являются на самом деле лишь приближенными. В связи с
этим введем следующее определение. Сложностью ^-приближения
числа а пиркулем и линейкой назовем наименьшую сложность
построения отрезка, длина которого отличается от величины а не
более чем на е .
15.56	***. Докажите, что сложность е-приближения \/2 (как
арифметическая, так и геометрическая) не превосходит величины
41og2log2 1/е + 4, а сложность е -приближения -^2 циркулем и линей-
кой не превосходит:
a)	61og2 log2 1/е + 8;
б)	91og3log3 1/е+ 5.
15.57	***. (J.M. Borwein, P.B.Borwein) Докажите, что сложность
е-приближения ^/тг циркулем и линейкой не превосходят Clog2log21/е,
где С — некоторая константа.
15.58	***. Докажите, что арифметическая сложность е-приближения
и у/тг больше log2 log2 1/е — С, где С — некоторая константа.
УКАЗАНИЯ
15.1	. Проведите окружность с центром в конце данного диаметра и
радиусом х и окружность того же радиуса с центром в точке пересечения
первой окружности с заданной в условии окружностью и рассмотрите точку
пересечения второй построенной окружности с заданным диаметром заданной
окружности. Воспользуйтесь подобием треугольников.
15.2	. Воспользуйтесь указанием 15.1, но проведите две окружности радиуса х
с центрами в обеих точках пересечения первой окружности с заданной и заметьте,
что точка пересечения этих окружностей совпадает с точкой, построенной в
указании 15.1.
15.3	. Проведите окружность радиуса х с центром в конце данного отрезка
длины х и с центром в точке пересечения этой окружности с заданной единичной
окружностью и постройте еще одну единичную окружность. Рассмотрите точку
пересечения этой окружности с данным отрезком.
15.4	. Проведите окружности радиуса а с центрами в концах данного
отрезка длины с и с центром в точке пересечения этих окружностей проведите
окружность радиуса Ь. Две подходящие точки пересечения этой окружности
с двумя предыдущими задают нужный отрезок. Для доказательства найдите
на чертеже два равных равнобедренных треугольника, а потом два подобных
равнобедренных треугольника.
15.5	. Примените задачу 15.4.
^первое из этих утверждений^ а также неразрешимость трисекции угла, дока-
зал Ванцель. Второе утверждение является легким следствием трансцендентности
числа 7Г, доказанной в восьмидесятые годы прошлого века немецким математиком
Линдеманом.
240
15.6	. Проведите две единичные окружности с единичным расстоянием между
центрами, а потом с центром в одной из точек их пересечения проведите
окружность, проходящую через вторую точку пересечения. Рассмотрите цен-
тры единичных окружностей и точки пересечения их с третьей построенной
окружностью.
15.7	. Примените 15.6 и 15.3.
15.8	. а) Пусть АВ — единичный отрезок, лежащий на данной прямой. С
помощью единичной окружности с центром А построим на этой прямой отрезок
СВ длины 2, а с помощью окружности с центром В и радиусом 2 построим на
этой прямой отрезок АВ длины 3. Проведем окружность с центром В и радиусом
АВ = 3 до пересечения в точке Е с упомянутой единичной окружностью, а
потом проведем единичную окружность с центром Е до пересечения в точке F
с отрезком АВ. Согласно 15.3 отрезок AF имеет длину 1/3. Остается провести
окружность с центром F и радиусом AF.
б)	Примените задачи 15.7 и 15.3.
в)	Примените задачу 15.4.
15.91 Поделите пополам и примените 15.1.
15.10.	Постройте окружности с центрами в концах отрезка радиусами,
равными его длине, через точки их пересечения проведите прямую, которая
разделит отрезок пополам, проведите радиусом, равным половине отрезка,
окружность, концентрическую к одной из построенных, до пересечения с отрезком,
соединяющим ее центр с одной из ранее построенных точек пересечения, и
соедините со второй из упомянутых точек только что построенную точку.
Полученный отрезок делит данный отрезок в отношении 1 : 2. Осталось провести
окружности радиусами в третью и в шестую часть данного отрезка с центрами
в его середине.
15.11.	Пусть А — данная точка, а ВС — данная прямая. Проведите
окружности с центрами А и С и радиусами ВС и АВ соответственно и прямую
через точку их пересечения и точку А.
15.12.	Примените 15.11 и теорему Фалеса об отрезках, высекаемых на
сторонах угла параллельными прямыми.
15.13.	С помощью 15.7 постройте отрезок длины 2а вместе с его серединой,
проведите окружности с центрами в его концах и радиусом 6, и точки их
пересечения соедините прямой.
15Л4._ С помощью 15.7 постройте отрезок длины \/За и примените задачу
15.13 при b = х/За.
15.15.	Примените 15.14 и постройте у/2а, потом 15.13 и постройте \/а2 — 7>2,
и еще раз 15.13 при Ь= \/2а и с = х/а2 — 62.
15.16.	Примените 15.15 и 15.14.
15.17.	Пусть на прямой даны отрезки АВ и СВ длиной а и 6 соответственно.
Проведите окружности с центром А и радиусом AD и ВС.
15.18.	Обозначим координаты концов данных отрезков 1 и 1 — а (за начало
координат на прямой, содержащей эти отрезки, берем второй конец единичного
отрезка). Строим с помощью 15.17 точку 2 — а, затем с помощью 15.3 точку
1/(2-а) и, наконец, с центром в ней и тем же радиусом 1/(2—а) окружность
до пересечения с ранее построенной единичной окружностью с центром в точке
0. Отрезки, соединяющие эту точку с точками 1 и 1 — а, равны \/а.
В случае а > 1 примените теорему о произведении секущей на ее внешнюю
часть, свойство перпендикулярности касательной к радиусу, проведенному в
точку касания, свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр, и задачу
15.7.
241
15.19.	Алгебраический метод решения задач на построение сводит любую из
них к построению по данным отрезкам а и b отрезков аоб, где о =	и отрезка
х/а. Эти задачи решаются с помощью 15.16, 15.4 и 15.18. Необходимое перед
применением последних задач масштабирование осуществляется многократным
применением 15.6 и 15.7.
15.20.	Примените 15.7, затем п раз 15.1 или 15.2.
15.21.	Поделите отрезок пополам с помощью 15.6, а потом, используя
в первом случае окружность единичного радиуса, а во втором — единичного
диаметра, проходящие через середину отрезка, примените 15.20. Во втором случае
для деления пополам половины отрезка примените 15.3, воспользовавшись уже
построенными окружностями. Построив концентричный с данным отрезок,
имеющий в к/2 раз меньшую длину (где k = 2т) и проводя к/2 — 2 окружностей
с центрами в середине этого отрезка, разделите его на к равных частей.
Обратите внимание, что часть окружностей проводить не нужно, так как они
были построены ранее при применении 15.20.
15.22.	Для деления на восемь частей примените 15.21, но при делении
отрезка пополам воспользуйтесь 15.9. После этого, воспользовавшись одной
построенной окружностью, примените 15.3 для построения 1/16 отрезка. Можно
сэкономить одну окружность, не доводя до конца построение 1/8 отрезка, так
как после проведения окружностей с центром середине отрезка и радиусами в
1/16, 2/16,..., 7/16 его длины отрезок делится на 16 равных частей. Заметьте,
что окружность радиусом 4/16 = 1/4 уже проведена ранее и ее можно не считать.
15.23.	При логарифмировании мультипликативная цепочка превращается в
аддитивную.
15.24.	Представьте п в двоичной записи:
m
п =	а, 2',
1=0
где а, = 0 или 1, т = [Iog2 п]. Разбейте набор («о>  • • , <»т) не более чем на
блоков 4о,... ,Л_., з <]т^1 [, каждый из которых, кроме последнего, начинается
с 1, состоит из подряд идущих цифр и последняя единица в нем отстоит от
первой не более чем на к — 1 позицию, а последний блок состоит ровно из к
цифр (несколько подряд идущих нулей, возможно стоящих в начале, не входят
ни в один из рассматриваемых блоков). Числа, двоичными записями которых
являются эти блоки, не превосходят 2к — 1 и, кроме, возможно, последнего,
нечетны. Пусть эти числа суть ао,... , а. . Тогда п можно представить в виде
п = 2'» (2/] ... (2'-* (2'--1	фа,.,) фа,_2) ф...фа,) ф а0) ,
где Is 4* /j-i +.. • + Iq = mj-1 - к. Все числа ао,... , i содержатся в аддитивной
цепочке 1,2,3,5,7,... ,2^ — 1 длины 2^ 14-1. Поэтому для вычисления п достаточно
добавить к ней последовательность
л j, 2(is, 4аs,... , 2 ’ ag, 2^’а$ 4“11 $ — 1)
г^Х.фа,.-,) ,4(2'-а, + а,_1).......
21»-1 ^2(' as 4-	) , 2*'-1 (2l'a3 фа,-]) ф as_2
2'.-2 (2'-> (2'*а,. + as_,) + а,_2) ,
242
211	. 2(' 2 ^2|,_ 1 (21’ at + as—+ а._2) + • • • + »i) + ao> • • • >
2'° (2'> (... 2'—2 (2'-* (2l’as + as_i) + a.-г) + ... + <и) + a0) ,
длина которой равна
Is 4" G—1 4".--4"/o4"a4"l==Tn'4‘24-s — к.
Поэтому
l(n) < 2k~1 +l+m + 2 + s- k <m + 2 + j [ + 2*-1 - к.
Можно считать, что п 2т, тогда т 4- 1 = ]log2 п[ и
I (n) <] log2 n[(l + 1/k) + 2к~1 - к + 2.
15.25.	Воспользуйтесь 15.24 при к = [log2 log2 п ~~ 2 log2 log2 log2 п].
15.26.	* Примените 15.25, 15.2, 15.5.
15.27.	Постройте на прямой точки с координатами
1,2,... , п — 1, п, 2п,..., (п — 1) п, п2
со сложностью 2п — 2 циркулем и линейкой и со сложностью 4п — 1 одним
циркулем с помощью 15.6 и 15.17. Расстояния между построенными точками
реализуют все числа от 1 до п2, так как расстояние ап 4* 6 реализуется между
точками (а4-1)п. и п — Ь.
15.28.	Постройте единичные окружности с центрами в точках А и В
— концах единичного отрезка, потом окружность радиуса х с центром в В
до пересечения в точке С с единичной окружностью с центром А, потом
единичную окружность с центром С. Пересекая две построенные единичные
окружности, проходящие через А, окружностью с центром А и радиусом ху
получите согласно 15.4 отрезок, длины х2. Повторяя это построение с помощью
о	>
окружности радиуса ху получите отрезок длины х и т.д., пока не построите
отрезок длины хп . Далее,, повторяя проведенное построение с хп вместо
х, постройте отрезки длины х2пу... , д?(п~1)п и проведите такими радиусами
окружности с центром В до пересечения с единичной окружностью с центром В
а точках С2,... , Сп—1 соответственно. Потом проведите единичные окружности
центрами в С2,... , Сп—1 (окружность с центром в точке С\, такой, что
= хпу уже построена ранее). Применяя 15.4, заметьте, что окружность с
центром в А и радиусом ха при пересечении с единичными окружностями с
центрами В и С дает отрезок длины ха+пЪ.
15.29.	Примените метод построения мультипликативных цепочек 15.25,
предварительно построив с помощью задачи 15.28 со сложностью 4 • 2*^2 все
отрезки с длинами 1/2, 1/4,..., 22	, и выполняя возведение в квадрат и
умножение со сложностью 2 с помощью 15.2 и 15.4. Потом положите к =
~ 2[log2 log2 п - 2 Iog2 log2 log2 п].
15.30.	С помощью 15.7 постройте середину А данного отрезка, потом со
сложностью 5 постройте циркулем точки В и С, такие, что АВ и АС равны
данному отрезку,а ВС — вдвое меньше его, и окружности с центрами в В и
С, проходящие через А. Окружность, построенная на данном отрезке, как на
243
диаметре, в пересечении с окружностями В и С согласно 15.4 дает отрез<>
вчетверо меньший данного. Проведя радиусом, равным построенному отрез^
окружность с центром А, аналогично построим отрезок в восемь раз меньши
данного, и т.д. Построив таким образом п окружностей, получим отрезов
в 2п раз меньший данного. Для разделения данного отрезка на 2п равнь|
частей остается провести 2п~1 — п окружностей с центром в А ( так как 1
окружностей уже проведены). Радиусы их определяются “бесплатно” с помощы
уже проведенных окружностей.
15.31.	Решение этой задачи основано на идеях О.Б.Лупанова. Представил
полином р (г) в виде	’
(х)х*2,
»=0
где з = ]n/fc2 [ — 1, pi (х) — полиномы степени /г2 — 1,
Л-1
р« (*) = Z2 Рм(ж)	\
j=0
(®) — полиномы степени /с—1. Так как среди полиномов Pij (х) не более 2к —
различных, и каждый из них представим в виде суммы некоторых слагаемы:
из списка 1, х,... , хк~1, то для вычисления всех этих полиномов достаточт
2к — 3 операций. Для вычисления всех полиномов Pi3(x)xkj нужно еще не боле*
(2к — 1) (к — 1) 4- 1 умножений. После этого для вычисления всех полиномо!
Pi (х) достаточно ]п/к2 [(/г — 1) сложений. Остается вычислить р(х) по схем*
Горнера
р (х) =	(х) хк +ps-i(x)^xk + ... + Pl (х)) хк + РО (х) ,
затратив на это 2з + 1 операцию и положить А: = [log2n—3 log2 log2 п]. Заметим
что основная сложность приходится на операции сложения — их приблизительж
п/ку а операций умножения не более 2кк 4- п/к2 .
15.32.	Представьте п в двоичной записи:
m
п = ZL"12'-
»=0
/
где а» = 0 или 1, т = [log2 п], заметьте, что п = р(2), где
тп
1=0
и примените 15.31.
15.33.	Примените 15.3, 15.32 и замечание в конце указания к 15.31.
15.34.	Примените 15.31 и 15.32 при четном к. Для построения системы
отрезков pij(2)2k} постройте с помощью 15.27 а = 2 • 2fc/2 — 2 точек на прямой
расположенных на отрезке от 1 до 2к у попарные расстояния между которыми
реализуют все числа от 1 до 2к — 1, потом еще а точек, попарные расстоянии
между которыми реализуют числа 2к,2-2к,,... , (2fc — 1)-2* (растянув с помощьК
подобия с коэффициентом 2к ранее построенную систему), и т. д., и, наконец
систему из а точек, реализующую расстояния 2<fc-1)*, 2 •	,... , (2* — 1)|
2(*-l)fc Сложность построения всех систем вместе не превосходит 2к-(2к/2 — 1И
244
После этого со сложностью ]n/fc2 [(/г — 1) строятся все отрезки с длинами pt* (2).
И, наконец, с помощью 15.12 и схемы Горнера, приведенной в указании к 15.31,
строится отрезок длины п со сложностью, не превосходящей 4п//с24-3. Полная
оценка сложности этого построения имеет вид n/Л: + Зп/Л:2 + 2Л: • Остается
выбрать к = 2 [log2 п — 3 log2 log2 n].
15.35.	В случае четного п разделите отрезок пополам, применяя 15.34,
постройте отрезок в п раз меньшей длины, и последовательно проводя окружности
с центром в середине данного отрезка, разделите его на п равных частей. В
случае нечетного п действуйте аналогично, только вначале стройте отрезок в
2п раз меньшей длины.
15.36.	Через каждую из п — 1 точек деления проходит хотя бы одна из
линий построения, поэтому этих линий не меньше п — 1. Но на самом деле
при этом подсчете некоторые окружности могут учитываться два раза, так как
пересекают отрезок в двух точках. Поэтому правильная нижняя оценка имеет
вид ] (п - 1)/2[.
15.37.	Согласно 15.3, достаточно построить отрезок длины п. Представьте п
в троичной записи:
т
п = У а,3*, .
1=0
где at =0,1 или 2, т — [log3 п]. Разбейте набор	, «тп) не более чем
на ] — j^1 [ блоков 4о,   • , Л,, 5 < ] т£1 [, длины не более к каждый. Числа,
троичными записями которых являются эти блоки, не превосходят 3* — 1. Пусть
эти числа суть ао,.-. Тогда п можно представить в виде
п — 31° + (з*1 ... (з*'~3	4- а^-Q + а«—2^ 4“ ... 4" «1) + ао^ ,
где 19 4- /л—1 4- ...4*/о = w + 1 - Е С помощью 15.27 со сложностью не более
4.3fc/2 — 1 одним циркулем постройте все отрезки с длинами ао,... ,	( к
считаем четным). Потом, применяя 15.7 и 15.17, постройте отрезок длины п со
сложностью не более
3(h 4-G-1 4- ... 4- /0) 4- 2s < 3m 4-6 - Зк-^-2т/к.
Поэтому полная сложность построения отрезка п не превосходит
3m + 5 - 3k + 2m/fc + 4 • 3fc/2.
Остается выбрать к = 2[log3 т — 2 log3 iog3 тп].
15.38.	Докажите по индукции следующую лемму. Пусть множество Мп,
состоящее из окружностей и точек их пересечения, получается из множества
Мп-i добавлением некоторой окружности с центром в одной из точек Мп_\
и радиусом, равным некоторому отрезку с концами из Afn_i , и точек
пересечения ее с окружностями из Мп-1 , а множество Мо состоит из двух
точек на расстоянии 1. Обозначим Dn максимальное расстояние между точками
из Мп. Тогда
Dn < Dn_2 4" • • • 4" 2Z?o» &о — 1» Di = 1, D2 = \/3.
База индукции (?i = 0,1,2) проверяется непосредственно. Для доказательства
индукционного перехода обозначаем xotXit... ,rn_i центры окружностей, которые
245
использовались в построении точек A/i,...,Afn. Для произвольной точки у ж
Мп рассмотрим последовательность точек хП1,... , хП1» где
п — 2 > ni > ni — 1 > П2 > ... >	1 — 1 > п*,
и точку х = xq или х\, такую, что точка х лежит на окружности с центров
хП1, точка хП1 — на окружности с центром	точка хПк_1 — hi
окружности с центром хПк (ведь точка хП1 при г < к лежит на пересеченш
двух окружностей с центрами в точках хт, где т < п, ). Для другой точки у
из Мп аналогичным образом построим последовательность точек
Пусть р — минимальный номер, такой, что хПр лежит на окружности <
центром хт,., г > р, а г — тоже минимальное число с этим свойством. Tai
как расстояние между точками хП1 и гП|+1 не больше , то, согласие
неравенству треугольника, расстояние между точками у и у' не больше
4- •   + &пр 4"	4"^тП2 4" • • • 4"	,
а поэтому, согласно выбору числа р и в силу монотонности это расстояние
при тг = Пр = к не больше
Рп-2 + • • • + ^fc+2 4" 2^»
и при к = тг > пр не больше
£>п-2 4- • • • 4-
Если же такого р не существует, то аналогичным образом получается оценка
2 4- • • • 4- 2Z?o-	ufl
Применяя предположение индукции, получите, что во всех случаях	- М
7?п < Пп_2 4- • •  4" 2/?о«	,
Из доказанного неравенства индукцией выведите, что Dn < Fn±i при п
Воспользуйтесь для этого равенством	Я
Fn-1 + • - • 4~ 2Fj = F„+1,
которое доказывается индукцией с помощью равенства Fn^i — Fn + Fn~i Из
полученного неравенства с помощью задачи из §7 выведите, что если какие-та
две точки множества Мк определяют отрезок длины п, то к > [log^ (п 4- 1/2)]»
где 95 = (\/5 + 1) /2.
15.39.	Разделите отрезок пополам, с помощью 15.37 постройте отрезок длины
1/п и проводя окружности с центром в середине отрезка и с центром в точке,
удаленной от середины на 1/п, в случае четного п разделите его на п час'гей
точками пересечения этих окружностей. В случае нечетного п, постройте отрезки
длины \/'2п и 1/п и действуйте аналогично.
15.40.	Каждая из п — 1 точек, делящих отрезок, получается в результате
пересечения хотя бы двух окружностей. Каждая из окружностей пересекает
отрезок не более чем в двух точках. Если в построении использовалось m
окружностей, то 2т не меньше числа пар “окружность и точка деления отрезка,
лежащая на ней”, а число таких пар не меньше 2(п — 1), значит m>n —1.
246
15.41.	Примените задачу 15.37 и воспользуйтесь идеями построений задач
15.30 и 15.39. Отдельно рассмотрите случай нечетного п подобно задаче 15.39.
15.42.	Рассмотрите последовательности множеств определенные в начале
главы и начинающиеся с множества Л/о > состоящего из концов единичного
отрезка. Оцените сверху число различных множеств Если его обозначить
/Уд, то имеет место неравенство
Nl <Nl^(L2 -3L + 4)((£2 -3L + 4)2 - 1 )/2,
так как количество точек в Nl по сравнению с Nl—i увеличилось не более чем
на 2L — 2 (добавленная линия пересекается с каждой из L — 1 ранее проведенных
не более чем в двух точках), откуда по индукции получается, что точек в Nl
не более L2 — L-J-2, а если число точек в АД —i обозначить а, то число способов
провести L-ю линию не больше
По индукции получит^ с помощью этого неравенства, что
Nl < 14((L - l)!/2)622-i < ((£ - 1)!)62-l < L6L~e2~L.
Выведите отсюда, что количество различных отрезков с концами в одном из
Nk , к < L, не превосходит
l6L-12-L
Значит, при п > 4 и
L - log2п
6 log2 log2 n
число отрезков, которые можно построить со сложностью не больше L, не
превосходит 2“^n/L < п, т. е. найдется такое натуральное тп, что отрезок
длины т < п нельзя построить со сложностью, меньшей либо равной
£ -	|о&2п
6 log2 log2 n
15.43.	Оцените сверху число различных схем сложности L. Если его
обозначить Nl, то имеет место неравенство
Далее действуйте подобно указанию 15.42.
15.44.	Занумеруем произвольным образом все элементы схемы от 3 до L
(номера 1 и 2 присваиваем константе 1 и переменной х ). Каждому элементу
г сопоставим символ (a(t), 6(t), c(t*)), где a(t) < b(i)— номера элементов схемы,
над которыми выполняет операцию элемент t, a c(t) = 1, если эта операция
сложение, или 2, если она умножение. Сопоставим каждой минимальной
схеме последовательность символов (a(t), 6(t), c(t)). Оцените число всех таких
последовательностей числом (L(L+1))^*"2• Переставьте любым из (L — 2)! способов
номера элементов схемы и заметьте, что все полученные для этих перестановок
последовательности будут различны (так как в силу минимальности схемы
разным ее элементам сопоставляются разные символы, то будет получено
противоречие, если найти такой элемент, что при перестановке номеров он
247
сменил номер, а элементы, над которыми он выполняет операцию, нет). Отсюда
следует оценка
(L(L+1))l-2/(L-2)!
для числа различных минимальных схем сложности L.
15.45.	Примените предыдущую задачу и оцените различных минимальных
схем сложности не выше L как (3L)1' (при этом воспользуйтесь неравенствами
п! > (п/3)п и (1 4- 1/п)п < 3). Тогда при
L = п (1 + |о&2 |оЙ2 п - С
log2 п \ ,ОЙ2
где С - некоторая константа, числа схем “не хватает’5 для реализации всех
2П+1 многочленов степени п с коэффициентами 0 или 1.
15.46.	Пусть АВ - заданная хорда длины а окружности радиуса г.
Тогда центр О окружности строится как пересечение окружностей радиусов г
с центрами А и В. Проведите окружность с центром О и радиусом а до
пересечения с упомянутыми окружностями в точках С и D. Тогда согласно
теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма СВ = AD = х/2а2 4- ^2.
Постройте точку К как пересечение окружностей радиуса \/2а2 4- г2, с центрами
С и D. Из теоремы Пифагора следует, что КО = \/а2 4- Постройте точку L
как пересечение окружностей радиуса \/л24“Г2. с центрами С и D. Из теоремы
Пифагора следует, что LO = г, значит L - середина дуги АВ окружности
радиуса г с центром О, так как AL = BL в силу того, что L лежит на
срединном перпендикуляре к отрезкам АВ и CD.
15.47.	См. указание к предыдущей задаче.
15.48.	Примените 15.46 при г — Ь > а, потом, проведя окружность радиуса
а с центром D до пересечения с такой же окружностью с центром О,
получите отрезок длины х/За как их общую хорду, далее, проведя радиусом
х/За окружности с центрами С и D, постройте их общую точку М и радиусом
ОМ, равным \/2а по теореме Пифагора, проведите окружность с центром D до
пересечения с ранее построенной окружностью с диаметром CD в точках Р и
R. Из теоремы Пифагора следует, что PR — диаметр последней окружности,
перпендикулярный диаметру CD, значит (см. указание к предыдущей задаче),
LP = b — a,LR — b 4- а.
15.49.	Примените п раз школьный метод деления дуги пополам, используя
одну из окружностей во всех п построениях.	Я
15.50.	Примените 15.49 и, подобно решению задачи 15.35, разделите дугу на 2т|
частей, проведя 2n—* — 1 окружностей с центрами в ее середине, последователыя
определяя их радиусы.	’
15.51.	Приемом, которым решалась задача 15.46, можно поделить данную
дугу пополам со сложностью 6, так как точку L можно получить пересечением
этой дуги и окружности радиуса х/а2 + с центром С (или D ). Далее тем же
приемом поделите пополам полученную половину дуги, и т.д., причем, как и в
решении 15.49, можно использовать одну из окружностей во всех п повторениях
этого построения.
15.52.	Вначале со сложностью 6 методом 15.46 постройте середину L заданной
дуги АВ окружности радиуса г с центром О, а потом параллельно перенесите
весь чертеж на вектор OL, получив дугу А'В' с серединой L1. При этом точка
А' получается пересечением ранее построенной окружности радиуса г с центром
А и окружности радиуса г с центром L, аналогично (и уже без проведения
новых окружностей) строится точка В', а точка L' получается пересечением
только что построенной окружности с окружностью радиуса AL с центром А
248
(или Bz), таким образом, общая сложность построения равна 8. Далее, дуга
Д'В'делится так же как в предыдущей задаче (со сложностью 5(п — 1) + 1)
n —1 раз подряд пополам, вплоть до построения дуги в 2п раз более короткой,
чем дуга АВ. При этом будут построены п — 1 концентрических окружностей
с центром L и радиусами, равными хордам дуг, равных половине, четверти,
..., 2п~1 части дуги АВ. Д&лее делите дугу АВ на 2п равных дуг так, как
указано в решении 15.50, но учитывая, что из требуемых 2П“1 — 1 окружностей
с центрами в L уже построены п — 2. Чтобы поделить дугу на четыре равные
части, вначале, как и в 15.51, поделите два раза пополам со сложностью 11, а
потом еще одной засечкой циркуля постройте третью точку деления.
15.53.	Каждую из 2П — 1 точек деления можно получить лишь в результате
пересечения данной дуги с какой-то окружностью. Но так как любая окружность
пересекается с нашей дугой не более чем двух точках, то для построения нужных
нам точек требуется не менее 2n—1, окружностей.
15.54.	Докажем, что число проведенных в этом построении линий не меньше
п — 1. Для этого рассмотрим определенную в начале параграфа последователь-
ность множеств Мп и обозначим Fn минимальное комплексное числовое поле,
содержащее все точки из Мп • Если Мп+\ получается из Мп присоединением
линии и точек ее пересечения с ранее проведенными линиями, то или Fn+\
получается из Fn присоединением квадратного корня из какого-то элемента из
Fn , не являющегося квадратом в поле Fn , или = Fn • В справедливости
этого утверждения легко убедиться, вычисляя координаты точек пересечения
прямых и окружностей с помощью формул аналитической геометрии. Очевидно,
F\ - поле рациональных чисел. Степенью поля F над подполем К, содержа-
щимся в F, называется максимальное число элементов aj,... , am поля F таких,
что для любого набора О'],... , ат элементов поля К, в котором есть ненулевые
числа, сумма Ojai + ... + втЯт не равна нулю. По индукции докажите, что
степень поля Fk над полем рациональных чисел равна 2* , где / не превосходит
числа окружностей в последовательности М\,... , Mk> Минимальное поле F,
содержащее число е’г*2	, имеет степень над полем рациональных чисел 2П“1.
Поэтому I > п — 1, если множество Mk содержит точку
е**2	= i sinrr21“n + cos7r21~n.
15.55.	Примените 15.4, 15.18, 15.48 и рассуждения из указания к предыдущей
задаче.-
15.56.	Рассмотрите последовательность
З7о = 3/2, хп+1 = 2(хп + х~2)/3.
Положим
6п = (я7п — 2)/Ззг^,
тогда
> 0, 3?п — дп = #п+ 1 >
и, рассуждая по индукции, получим, что
~~ 2 = Ззт^5п» £п+1 = ^n+i ~2~ (хп ~~ <$п) — 2 = ЗзТп^п ~~ $п =
= ffn(3^n - <5п)/9з7„ > 0,<5п+1 > 0, еп+1 < е„/3а£ < е„/6.
Непосредственно проверяется, что
С2 < 0» 005,
откуда следует, что
е„+2 < 6 • (5/6000)2” < 2"2”+3,0 < жп+2 - 21/3 < e„+23~l I3 < 2~2”+3.
Так же непосредственно проверяется, что неравенство
ООп-21'3 < 2-2”+*
верно при любом п > 0.
Подготовив число 2/3 заранее, (п 4- 1)-й член последовательности можно
вычислить по п-у члену со сложностью 4, а циркулем и линейкой построить со
сложностью 6. Для этого используйте 15.1,15.3,15.5, заранее построив точки с
координатами 0,2/3,1 на оси абсцисс, и проведя единичные окружности с этими
центрами. Имея точку с абсциссой жП( постройте точку xj1, потом х„2, и проведя
окружность радиусом » с центром 0 постройте точку — Хп2, которая вместе с
точкой хп ограничивает отрезок длины Хп2+хп. С центром в точке пересечения
единичных окружностей с центрами 0 и 2/3 проведите окружность радиусом
Хп2 + хп- Согласно 15.5 она пересекает эти окружности в четырех точках, две из
которых ограничивают отрезок длины xn+i = 2(a?n2+^п)/3. Проведя окружность
этим радиусом с центром 0, получите точки ±;гп+1 на оси абсцисс. Рассуждая
по индукции, можно считать, что и в начале у нас были обе точки , так что
точку — Хп2 можно не строить. Для обоснования базы индукции постройте со
сложностью 9 упомянутые выше единичные окружности и точки с координатами
3/2 и —3/2. Для этого проведите ось абсцисс, единичные окружности с центрами
0,1,2, общую хорду последних двух, окружности радиусом 3/2 с центрами в
точках 0 и 3/2, применяя 15.3 постройте точку 2/3 и единичную окружность
с ней в центре. Сложность построения отрезка длины хп в результате будет
равна 6п + 8 (последнюю окружность радиуса хп можно не проводить). Выбрав
п так, чтобы
2-2”+* <е<2~2П,
получаем, что при е < 1/4 и п = [log2 log2 Vе] справедлива оценка
0<г„-21/3 <2-2”+‘ < е,
значит, е-приближение к числу 21/3 можно построить со сложностью не выше
8 + 6 [log2 log2 1/eJ.
Для доказательства неравенства б) рассмотрим последовательность
х0 =3/2,r„+i =ж„/2 + 3/(2(а;-1 + ж2)).
Положим
Sn = (x3n-2)/(2x2n + 2x~1),
тогда, замечая, что
Хп ““	~ Я'П+П^П < Хп > 0
и, рассуждая по индукции, получаем
хп — 2 = 2xnSn + 2<5п/ Хп,	1 —	1 — 2 = (хп~<5п)3 — 2 =
=	+ '2&п/хп 4- Злтп^п — 5^ — $п(2хп 1 — х^ ) + Зхп<5п ~	=
250
— <5n( —2oTn5n — 25n/^n) + 3;En<Sn ~	“ ^nC^n — 2/Xfi) ~	“
= 5„(25n + 25n^“3) ~ «5n = *n(l + 2^n3) =
= 4(l + 2r-3)(2r2 +2r-')“3 >0,5n+1 >0,£n+1 <4+1/54.
Непосредственно проверяется, что ej <0,021, откуда имеем
0 < Хп+1 - 21/3 < 3“14~1/3еп+1 < 3“Ч’1/3х/54(в1/У54)зП < З’5 3”.
Выбрав п так, чтобы 3~5’3 е < з~5-Зп получаем, что при е < 1/27 и
п = [log3 log3 1/е] справедлива оценка
0 < хп - 21 /3 < 3-5 3П е.
Сначала, используя 15.1,15.3,15.5, построим точки с координатами 0,—1,3/2
на оси абсцисс и проведем единичные окружности с центрами 0 и -1. Имея
точку с абсциссой хп , построим точку Хп* , проведя вначале окружность с
центром хп и радиусом хп. Потом, проведя окружность с центром 0 и радиусом
хп » и прямую через ее точки пересечения с предыдущей окружностью, построим
точку а?п/2. Проведем окружность радиусом хп и центром в точке пересечения
единичной окружности с центром —1 и окружности с центром 0 и радиусом хп •
Построенная окружность пересекается с осью абсцисс в точке — х\ . С помощью
отрезков длины уп — х\ 4- хп и 3/2 построим методом 15.4 со сложностью 3
отрезок длины zn = 3/2уп> Проведя окружность радиусом zn с центром в tfn/2,
построим, наконец, точку a;n+i = xn/2 + zn. Общая сложность построения хп^1
по данному хп равна 9, откуда, применяя индукцию, выводим, что точку хп
можно построить со сложностью 5 + 9п.
15.57.	Воспользуйтесь алгоритмом J.M. Borwein, P.B.Borwein: пусть
х0 = 6 - 4ч/2, i/о = Л - 1|3/„+1 = (1 - (1 -4)1/4) / (1 + (1 -Уп)1/4) -
Ml — (1 + 1/n+i )4^n — 22n+3j/n+1 (1 4- yn+i + 4+1 )>
тогда
0 < хп - 1/тг < 16 • 4П • е-2"4” .
Следовательно, последовательность точек (яо,уо)« • • • »(%п,Уп) можно построить
со сложностью О(п).
15.58.	Определим по индукции понятие арифметической формулы глубины
D. Формулой глубины 0 назовем константу 1. Если Ф, уже определенные
формулы глубины Dx , то Ф = (Ф1оФз) при любой арифметической операции
называется формулой глубины max{D\, D^}- Сложностью формулы назовем
число единиц в ней, причем “верхние” единицы в “подформулах” вида 1/Ф
не будем учитывать. Проверьте, что арифметическая сложность любого числа
не меньше наименьшей глубины вычисляющей его формулы. Докажите по
индукции, что сложность формулы не превосходит , где D — ее глубина.
Пусть p/q — несократимая рациональная дробь, вычисляемая этой формулой.
Тогда из задачи 13.22 следует, что
Я < ^2° + 1 ’
где Fn — последовательность Фибоначчи. Поэтому при q > 4
D > log2 log2 q.
251
Пусть	-1
\p/q - 21/31 < e < 1/4096,	i
c
тогда
e > IP/9 - 21/3| = ?3((p/g)2 + 2i/3p/g + 4i/3)	1 /8«3’
D > log2 log2 q > log2 log2(2-1e-1/3) > log2 log2 1/e - 2.	|
Утверждение о числе у/тг доказывается точно так же, если воспользоваться!
известной теоремой Миньотта о том, что
к - р/ч\ > я~20,6,я >1-	?.
§ 16. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ
ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Рассмотрим некоторую последовательность действительных чисел
X],хп,... и построим соответствующую ей последовательность дроб-
ных частей
{ж1},... , {хп},... .
Обозначим через F(N,a,ff) — количество членов этой последователь-;
ности таких, что а < {xn} < Р и п < N, где 0 < а < /? < 1.
Положим
D(N) = sup \F(N,a,p)/N - (р - а)\.
0<«</9<l	1
Величина D(N) называется отклонением первых N членов после^
довательности {xn}.	1
Будем говорить, что последовательность {хп} равномерно рас|
пределена по модулю, равному единице ( сокращенно р.р. л
(mod 1) или просто р.р.), если lim D(N) = 0. В решении зад Ж
этого параграфа часто будет использоваться следующая теорема, кН
торая называется критерием Г.Вейля равномерной распределенное^
последовательности по модулю, равному единице.	И
Теорема. Следующие утверждения эквивалентны:	|
(i) последовательность {хп} р.р. (mod 1);	J
(И) при любых фиксированных а и р, 0 < a < Р < 1, имеет места
соотношение lim F(N,a,P)/N —Р~a.	j
(Hi) для любой интегрируемой по Риману функции f(x), опредед
ленной на отрезке [0,1], справедливо соотношение	i
N
lim АГ1 У
о
252
= [ /(«) dx.
(iv) для любой непрерывной на. отрезке [0,1] функции f(x) спра-
ведливо равенство
М	1
lim ЛГ1
N—>оо
(v) при любом целом m О имеет место равенство
N
lim Г’Уе2""11» =0)
N—юо
П = 1
где величина е'х, по определению, равна cos ж + i sin ж, at — мнимая
единица.
Приведем новый вариант доказательства этой классической теоре-
мы. Докажем, что выполняется цепочка следствий
(i) -> (ii) —> (iii) -> (iv) -> (v) —> (i).
Следствия (i) —> (ii) и (Hi) —> (iv) —> (v) очевидны. Докажем, что
(ii) —> (iii). Определим функцию g(x), периодическую с периодом 1,
равенством
{1, если oi < х < /3,
О — в противном случае.
Тогда утверждение (Н) можно представить в виде
N
lim AT1 ^g(xn) =
N—too .
П = 1
1
о
dx.
Заметим, что если последнее равенство выполняется для нескольких
функций gi(x), ...,gk(x), то оно выполняется для любой их линейной
комбинации cigi(x) + ... + ckgk(x). Поэтому это равенство имеет место
для любой кусочно-постоянной функции.
Возьмем теперь любую интегрируемую по Риману функцию f(x),
определенную на отрезке [0,1]. Тогда для всякого е > 0 существует та-
кое разбиение Т : 0 = жо < ... < xr = 1 отрезка [0,1], что выполняются
Неравенства
s
S(T) - s(T) < t/3,
о

где
s(T) = V'mtAxt, S’(T) = У2 Л1( Дж(, mt = inf f(x),
Mt = sup /(ж), A^t = xt — xt-i-
,®t)
Суммы Дарбу s(T) и S(T) можно также представить в виде
. 1 1
s(T) - У h(x)dx, S(T) = У H(x)dx,
о	о
где h(x) = mt и Я(ж) :: Mt, если
х G [ж*—г,act),/ =	Так как
h(x) и Н(х) кусочно-постоянные функции, то существует такое
No, что для всех N > Nq выполняются неравенства
1
число
N
n-'Y
о
N
N~XY
1
о
Следовательно, имеем
s(T) - е/3 < АТ1 < АГ1 52 НМ < S(T) 4- е/3.
П=1	П=1
Поскольку для всех х & [0,1] выполняются следующие неравенства
Л(ж) < /(ж) < Н(х), будем иметь
N	N	N
к-112h(x^ < N~r Е fM < n-1 52 н(хп).
n=l	n=l	n=l
Поэтому из предыдущего неравенства следует, что
N
з(Т) - е/3 < АТ1 52 f(xn) < S(T) + с/3.
П = 1
Учитывая также неравенства между суммами Дарбу и интегралом otJ
/(ж), выводим отсюда неравенство	5
< S(T) - s(T) + 2е/3 < с.
254
Это и означав!, чти утверждение (ш) доказано.
Труднее доказывается, что (v) —> (1). Сначала заметим, что
N
F(N,a,(3) = ’^2д(хп),
П = 1
где д(х) была определена ранее. Положим р(х) = 1/2—{ж} и заметим,
что д(х) = p(J3 — х) — р(а — х) + (3 — а.
Для функции р(х) при Nq > 1 имеет место следующее соотношение
(см. задачу 16.1):
№	• о
г—» sin 2япх
“ 7ГП

где фм(х) = , J ; , М = ^(2N0 + 1) > No.
у/l+Af3 sin** тга?
Функция трм(х) представляется в виде ряда (относящегося к классу
так называемых рядов Фурье)
оо	N
Фм(х) = V cme2”imx = lim V сте2к'тх —
N-+00
тп= — (х>	m= — N
N
= lim > am cos 2лтх,
TV—>oo	'
m=0
где коэффициенты am (называемые коэффициентами Фурье) оце-
ниваются следующим образом (см. задачу 16.2):
О < ат < 2em/M(ln М + 2)/М.
Таким образом,
No
д(х) — /3 — а + ^2(sin27rn(/? — ж) — sin27rn(a' — ж)) + Rnb(x),
П — 1
где
1й№(ж)| < V>m(/? - ®) + 'Фм(« - х).
Положим Mq = [Л/1пМ] + 1 и представим функцию ^м(х) в виде
<Мж)=	сте2’г<та:+Ф(ж),
0<|т|<Л/о
255
где |Ф(х)| < С(1п Л/)/Л/, С — некоторая константа (для оценки оста-
точного члена применяется формула суммирования геометрической
прогрессии и неравенство е~х < 1 + х/2, справедливое при малых
положительных х).
Преобразуем теперь функцию F(N,a,fi), исходя из соотношений на
функцию д(х). Учитывая неравенства Nq < Мо и
|(sin2тгш(/3 - хп) - sin2Trm(a - х„))| < |Тт(/?)| + |Тт(а)|,
где = Yln=i	и аналогично определяется Тт(а) (по-
следнее неравенство вытекает из неравенства b < |а + 6г|), получаем
следующую оценку:
\F(N,a,/3)/N- (/?-а)| =
N-^дЫ-^-а)
П = 1
< N-1	(|Тго(/?)| + |Тт(а)|) + 2С’(1пМ)/М.
Заметим, что для любого р справедливо равенство
|Тт (/?) | = |e2’r‘m^||Tm(0)| = |Tm(0)| = Тт.
Возьмем любое е,0 < е < 2С и выберем Nq и соответственно М так,
что С(1пМ)/М < е/4.
По условию (v) существует такое число Ny — М(е}, что для всех
N > Ni и для всех т < Мо = [М In М] + 1 выполняется неравенство
N^Tm <е/(16(2 + 1пМо)).
Учитывая, что
0<|m|<Afo
< Af-1(2+ln.Mj £2 е-т^м + - £2 — <
О<т<Л1о	0<m<Afo ™
< (2 4- In Af) + 2(111 Mq + 1) /тг <с 4 In Л/q 4" 7,
выводим из полученных ранее оценок, что для всех N > TVi
Р(ЛГ)= sup \F(N,a,P)/N-(/?-а)| < е.
О<а<)0<1
Это и означает, что lim D(N) — 0. Теорема доказана.
N-too
256
16.1	**. Докажите, что для функции р(х) = 1/2—{х} при любом
No > 1 имеет место соотношение
n0
sin27T7lX
7ГП
< V'm(z),
где = 7 -  „—, м = ^(2N0 + 1) > No.
у/ 1+Л/3 sin3 irx
16.2	**. Докажите, что функция V’Af(a:) представляется в виде ряда
Фм(х) - ^2 сте2”'тх = ат cos Zirrnx,
771 = —ОО	771=0
где коэффициенты ст и ат оцениваются следующим образом:
|cm| < М~1(2 + 1пМ)е~|т|/м, |ат| < 2М~1(2 + InМ)е~т/м.
Следующие задачи, интересные и важные сами по себе, будут
существенно использованы в решениях основного цикла задач.
16.3	. Число е — основание натуральных логарифмов — обычно
определяется как lim (l + 1/n)”. Докажите, что при некотором
71—>ОО
в = #(п),0 < 9 < 1, справедливо равенство
е = 1 + 1 + 1/2! + ... + 1/п! + 0/п-п!.
Докажите, что е — иррационально.
Далее будем использовать следующие обозначения: /(х) = 0(<у(х)),
если |/(х)| < С  д(х), где С > 0 — некоторая константа; /(х) =
о(<у(х)) при х —> хо, если. f(x)/g(x) —> 0 при х -> Хо; вместо /(х) =
О(д(х)) иногда будем писать /(х) -С <?(х); /(х) ~ д(х) будет заменять
соотношение /(х)/^(х) —>-1.
16.4	*. Докажите, что 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/п = Inn + 7 + о(1), где
7 — постоянная Эйлера, 7 = 0,577....
16.5	**. (Харди) Пусть 7 > 0 и при х, стремящемся, монотонно
возрастая, к единице, справедливо соотношение
ОО	N
V атхт = lim V атхт = о((1 - х)^),
>оо
т=0	7п=0
и пусть также
limsup nan/п7 = 0.
п—юо
Докажите, что
9 Арифметика. Алгоритм.
Сложность вычислений
257
16.б*. (Коши - Штольц) а) Пусть lim |ап| = 0. Докажите, что
п—>00
lim jV~'	|«пI = 0.
ЛГ-»оо
П = 1
б) Пусть последовательность уп > 0 такова, что Уп неограни-
fc=i
ченно возрастает, и существует предел отношения хп/Уп при п —> оо.
Тогда
п
,•	fc = l	,• хп
lim —-----= lim —.
п—юо Jt,	n-»oo w_
E Уп
k-1
Напомним, что если z = а+Ы — комплексное число, то z = а — Ы —
сопряженное к нему число, a \z| = |z| = yfzi — у/а2 + Ь2. Складываются
комплексные числа покомпонентно, а перемножаются по формуле
(а + 6i)(c + di) = ас — bd + (ad + bc)i.
16.7***. (Неравенство Вейля - ван дер Корпута) Пусть заданы
некоторые комплексные числа ui,...,uq; uq — сопряженные к
ним, Н — натуральное число, 1 < Н < Q. Докажите, что
2
Н + Q	2
> , ич < —fj— > , W +
0<q<Q	0<q<Q
~h)	52 “9и«+л •
Л=1	0<q<Q-h
16.8	***. (ван дер Корпут) Пусть f(x) —дважды дифференцируемая
при а < х < b функция и на всем Промежутке [а, 6] выполняется
неравенство 0 < г < f"(x) (или f"(x) < —г < 0). Докажите, что
а<п<Ь
<(|/'(а)-/'(6)| + 2)(3 + Зг-1/2).
Назовем разностью функции f(x) в точке а с шагом Л число
Д/(а) =/(а + Л) —/(а), a n-й разностью функции f(x) в точке а с
шагом h — число’ Дп/(а) = Д(Д(...Д/(а)...)). Определим по индукции
п
п-к> производную функции f(x) равенством
= (Г(х))”-1.
258
16.9	*. (Обобщенная теорема Лагранжа о конечных приращениях)
Докажите, что для некоторого £ такого, что а < £ < а + nh, выпол-
няется равенство Д"/(а) = hnf(n\£)-
16.10	*. (Вон) Пусть /(п) - произвольная функция и Л(п) - функция
Мангольдта,
f log р, если п = рг, г > 1, р — простое,
Л(п) = {
I 0	- в противном случае.
Докажите, что при 1 < и < N справедлива формула
[X/d]
52 л(п)/(^)= 52 м(^) $2/(^)iog^- 
u<n<N	l<d<u <=1
- 52	52 л(п) 52
l<d<u	г==1
- 52	52 A(n)/(nm) I 52	) •
u<m<JV/uu<n<N/m	\d|m,d<u /
16.11.	Пусть последовательность {жп} p.p. (mod 1) и m - фик-
сированное целое число, не равное нулю. Докажите, что последова-
тельность {mz„} p.p. (mod 1).
16.12.	Докажите, что при добавлении или исключении конеч-
ного числа членов p.p. (mod 1) последовательности она остается
p.p. (mod 1). Если две p.p. (mod 1) последовательности объединить
в одну, чередуя члены этих последовательностей, то получится р.р.
(mod 1) последовательность.
16.13.	Докажите, что последовательность дробных долей р.р.
(mod 1) всюду плотна на отрезке [0, 1], т. е. на любом отрезке I,
лежащем в [0,1], найдется бесконечно много чисел, равных дробным
долям членов этой последовательности.
Множество натуральных чисел назовем расширяемым по основа-
нию Ь, если для любой конечной последовательности 6-ичных цифр
найдется число из этого множества, 6-ичная запись которого начина-
ется с этой последовательности цифр.
16.14.	Докажите, что множество {si,S2, •••} расширяемо по осно-
ванию Ь, если и только если последовательность дробных частей
{logj, sn} всюду плотна на отрезке [0,1].
В следующих далее задачах всюду п — натуральное число.
16.15.	(Кронекер) Докажите, что последовательность {ап 4- /?}
всюду плотна на отрезке [0, 1], если а — иррационально. Пользуясь
этим, докажите, что функция sinх + cos^/2х непериодична.
9*
259
16.16.	Докажите, что последовательность ап расширяема по осно-
ванию Ь, если и только если степень а с натуральным показателем не
равна степени b с натуральным показателем. В частности, десятичная
запись 2" может начинаться с любой комбинации цифр.
16.17.	Пусть последовательность {яп} всюду плотна на отрез-
ке [0,1], а последовательность {уп} имеет предел. Докажите, что
последовательность {жп + уп} всюду плотна на отрезке [0,1].
16.18.	Если упомянутый в предыдущей задаче предел целочислен-
ный и отличный от нуля , а последовательность хп ограничена, то
последовательность {хпУп} всюду плотна на отрезке [0,1].
16.19*	. В предыдущей задаче отбросить предположение о целочи-
сленности предела, вообще говоря, нельзя. Точнее говоря, для любого
нецелого а найдется такая ограниченная последовательность хп, что
{хп} всюду плотна на отрезке [0, 1], а последовательность {ажп} —
нет.
16.20.	В задаче 16.17 отбросить предположение об ограниченности
последовательности хп также, вообще говоря, нельзя. Точнее говоря,
для любой стремящейся к бесконечности р.р. (mod 1) последователь-
ности хп найдется стремящаяся к нулю последовательность уп такая,
что последовательность {®пУп} не всюду плотна на отрезке [0,1].
16.21.	Докажите, что если Дхп — xn+i — хп —> 0 при п —> оо и хп
стремится к бесконечности, то последовательность {а.’п} всюду плотна
на отрезке [0,1].
В следующих задачах log означает логарифм по произвольному
заданному основанию.
16.22.	Докажите, что последовательность {logn} всюду плотна на
отрезке [0,1].
16.23*	. Докажите, что последовательность {logn!} всюду плотна
на отрезке [0,1].
16.24.	Докажите, что последовательность п! расширяема по про-
извольному основанию.
16.25.	(Москва,66) Докажите, что десятичная запись п! может
начинаться с цифр 1966.
16.26.	Докажите, что последовательности пк и С„, где к —
фиксированное натуральное число, расширяемы по произвольному
основанию.	- '
16.27.	Докажите, что последовательности пк и С„, где к —
фиксированное натуральное число, большее 1, не могут заканчиваться
(в десятичных записях) на произвольную заданную комбинацию цифр.
16.28.	(Больцано - Вейерштрасс) Докажите, что любая последова-
тельность {хп} имеет на отрезке [0,1] предельную точку (т. е. точку, к
которой будет сходиться некоторая ее подпоследовательность). Если
последовательность {хп} всюду плотна на отрезке [0,1], то любая
точка из [0,1] является предельной.
260
16.29*	. Докажите, что в любой последовательности (в том числе
и p.p. (mod 1)) можно так переставить члены, что новая последова-
тельность не будет p.p. (mod 1).
16.30*	**. (ван дер Корпут) Докажите, что в любой последователь-
ности, дробные части которой всюду плотны на отрезке [0,1], можно
так переставить члены, что она станет p.p. (mod 1).
16.31.	Пусть для множества {si,S2,...} натуральных чисел по-
следовательность дробных частей {log^ sn) p.p. (mod 1), и a < с —
натуральные числа с одинаковыми длинами 6-ичных записей. Дока-
жите, что в этом множестве чаще встречаются числа, начало 6-ичной
записи которых совпадает с числом а, чем числа, начало которых
совпадает с числом с. Другими словами, среди первых N чисел
si, «2,...,«дг доля “начинающихся с а” больше доли “начинающих-
ся с числа с” (под словом “доля” мы понимаем здесь отношение
количества чисел, удовлетворяющих заданному условию, к числу N).
Сравните следующую задачу с задачей 16.17.
16.32*	. Пусть последовательность {хп} Р-Р- (mod 1), а последо-
вательность {j/n} имеет предел. Докажите, что последовательность
{«п + Уп} Р-Р- (mod 1).	;
Сравните следующую задачу с задачами 16.11 и 16.18.
16.33.	Пусть ограниченная последовательность {хп} равномерно
распределена по модулю единица и последовательность {уп} имеет
пределом целое число, не равное нулю. Докажите, что последова-
тельность {xnj/n} Р- Р- (mod 1).
Следующая задача усиливает в частном случае задачу 16.32.
16.34*	. Пусть последовательность {ж„} p.p. (mod 1),
N
lim	= 0.
.	N —>oo 
71 = 1
Докажите, что последовательность {in+!/n} P-P- (mod 1).
Следующая теорема усиливает теорему 16.15. Она появилась не-
зависимо в работах П.Боля, В.Серпинского и Г.Вейля.
16.35*	. Докажите, что последовательность {and-/?} p.p. (mod 1),
если а иррационально.
16.36.	С какой цифры чаще начинается десятичная запись числа
2" — с единицы или двойки ?
16.37*	. (Г.Полна - Г.Сеге) Пусть е — основание натуральных
логарифмов. Докажите, что последовательность {ne} p.p. (mod 1),
но последовательность {п!е} имеет число 0 в качестве единственной
предельной точки.
16.38.	Докажите, что lim sin (2тгеп!) = 0.
п—»оо
16.39.	Докажите, что последовательность {sinn} не имеет предела
при п —>оо.
261
Следующая задача усиливает предыдущую.
16.40*	. Докажите, что последовательность {sinn} всюду плотна на
отрезке [0, 1], но не р.р. (mod 1).
16.41*	. Докажите, что последовательность {\/n} р.р. (mod 1).
Следующая задача дополняет 16.22.
16.42*	. (Френель) а) Докажите, что последовательность {log я} не
р.р. (mod 1).
б)	(Олимпиада мехмата МГУ) Будет ли последовательность
{14-1/24-1/3 + ... 4- 1/п} р.р. (mod 1)?
16.43	***. (ван дер Корпут) Пусть Д/(п) монотонно стремится к
нулю и п|Д/(п)| —> оо при п —> оо, где Д/(п) = /(n + 1) — /(п).
Докажите, что последовательность {/(n)} р.р. (mod 1).
16.44	*. (Фейер) Пусть функция /(х) дифференцируема при х >
> 1, f'(x) —> 0 и а:|/'(а:)| —> оо при х —> оо. Докажите, что последова-
тельность {/(n)} р.р. (mod 1).
Читатель “проникнется большой любовью” к критерию Г.Вейля,
если попробует элементарно доказать про любую из большого коли-
чества приведенных далее последовательностей даже не р.р. (mod 1),
а хотя бы всюду плотность на отрезке [0,1].
16.45	. Докажите, что последовательность {апа lnT n} р.р. (mod 1),
если выполнено одно из условий:
а)	а/0,0<<т<1 и т — произвольное число;
б)	а 0, <т = О и т > 1;
в)	а / 0, <т = 1 и т < 0.
16.46	**. (Кейперс - Кеннеди) Пусть последовательность {/(п)} р.р.
(mod 1). Докажите, что limsupп|Д/(п)| = оо.
П-+ОО
16.47	**. (ван дер Корпут) Докажите, что последовательность
{nlnn} р.р. (mod 1).	I
Следующая задача усиливает 16.23.
16.48	**. Докажите, что последовательность {logn!} р.р. (mod 1). *
16.49	. С какой цифры чаще начинается десятичная запись числа
п! — с семерки или восьмерки ?
16.50	**. Докажите, что последовательность {nlnlnn} р.р. (mod 1).
Следующая задача обобщает задачи 16.50 и 16.47.
16.51	**. Пусть функция /(х) имеет непрерывную вторую произ-
водную и для любого сколь угодно малого е > 0 найдется такое
«о = хо(е), что для всех х > хо при некоторых постоянных А > О
и В > 0 выполняются неравенства Ах~а~с < /"(х) < Вх~а~е. Тогда
при 0 < <т < 2 последовательность {/(n)} р.р. (mod 1).
16.52	. Докажите, что последовательность {an17} р.р. (mod 1) при
а / О и 1 < а < 2.
16.53	*. Пусть функция /(х) дважды дифференцируема при х > 1
262
и при х —> сю вторая производная f"(x) монотонно стремится к нулю:
f'(x) -> ±оо, (/'(х))2х-2/|/"(х)|-> 0.
Докажите, что последовательность {/(я)} р.р. (mod 1).
16.54	. Для фиксированного целого d и любого целого числа
а, 0 < а < d, последовательности {xdn+a} р.р. (mod 1). Докажите, что
последовательность {хп} р.р. (mod 1).
16.55	***. (Теорема ван дер Корпута о разностях) Для любого нату-
рального т последовательность {xn+m — хп} р.р. (mod 1). Докажите,
что последовательность {х„} Р-Р- (mod 1).
16.56	. Покажите, что обращение предыдущей теоремы неверно.
16.57	*. (Г.Вейлъ) Пусть у многочлена F(n) старший коэффициент
иррационален. Докажите, что последовательность {F(n)} р.р. (mod 1).
16.58	. Пусть у многочлена F(n) все коэффициенты натуральные.
С какой цифры чаще начинается десятичная запись числа 2F<n> — с
восьмерки или девятки?
16.59	. Докажите, что число решений в целых числах системы
неравенств
2х4 + х2 < у2 < 2х4 + 2х2
бесконечно.
16.60	**. (Г.Вейлъ) Пусть у многочлена F(n) хотя бы один ко-
эффициент, кроме свободного члена, иррационален. Докажите, что
последовательность {F(n)} р.р. (mod 1).
16.61	. Если у многочлена F(n) все коэффициенты, кроме сво-
бодного члена, рациональны, то последовательность {F(n)} не всюду
плотна на отрезке [0, 1].
Из следующей теоремы легко следует утверждение задачи 16.35.
16.62	**. (ван дер Корпут) Пусть Дхп = xn+i — хп —> 6 при п —> оо,
9 — иррационально. Докажите, что последовательность {хп}
р.р. (mod 1).
16.63	*. Пусть Fn — последовательность Фибоначчи. Докажите, что
последовательность {logaFn} р.р. (mod 1) при любом натуральном а.
16.64	. Докажите, что при любом натуральном а число Фибоначчи
может начинаться с любой заданной комбинации a-ичных цифр.
16.65	. Пусть ип — рекуррентная последовательность, определяемая
равенством ип+2 = pun+i +<7«п, где р и q — целые числа и уравнение
х2 — рх — q = 0 имеет действительные иррациональные корни xt > 1 и
О < Х2 < 1. Докажите, что последовательность {logaun} р.р. (mod 1)
при любом натуральном а.
16.66	. Докажите, что последовательность {х"}, где xj взято из
предыдущей задачи, не р.р. (mod 1).
16.67	*. (ван дер Корпут) Пусть /'(х) —> 9 при х—> оо,9 — ирра-
ционально. Докажите, что последовательность {/(я)} р.р. (mod 1).
263
16.68	*. (ван дер Корпут) Пусть при некотором фиксированном 1
предел lim Afexn иррационален. Докажите, что последовательное™
{xn} p.p. (mod 1).	В
16.69	*. (ван дер Корпут) Пусть функция f(x) является к рЛ
дифференцируема при достаточно больших х и предел lim
иррационален. Докажите, что последовательность {/(n)} p.p. (mod 1).
16.70	. Докажите, что последовательность {ап*1 + у’(п)}
p.p. (mod 1), если а иррационально и lim ip(k\x) = 0.
X —>оо
16.71	*. (ван дер Корпут) Пусть при некотором фиксированном к
справедливо следующее:
a)	Afc/(n) монотонно стремится к нулю при п —> оо;
б)	n|Afc/(n)| -> оо при п —> оо, где Д*/(п) — к-я разность после-
довательности /(п). Докажите, что последовательность {/(п)}
p.p. (mod 1).
16.72	*. (Фейер - ван дер Корпут) Пусть при некотором фикси-
рованном к для некоторой к раз дифференцируемой функции /(х)
справедливо следующее:
а)	к-я производная (х) монотонно стремится к нулю при х —> оо;
б)	х|/0)(х)| —> оо при х —> оо.
Докажите, что последовательность {/(n)} p.p. (mod 1).
16.73	. (Чиллаг) При а ф 0 и нецелом <т последовательность {ап’}
p.p. (mod 1).
Эта задача обобщает 16.41 и 16.52. Следующая задача обобщает
задачи 16.73 и 16.45 а).
16.74	*. При а ф 0, нецелом <т и произвольном действительном г
последовательность {an’ lnT nJ p.p. (mod 1).
Далее следует задача, которая обобщает задачи 16.45 б), в) и
дополняет задачу 16.74.
16.75	*. Пусть к — натуральное число, а ф 0,т < 0 или r > 1.
Докажите, что последовательность {anfclnTn} p.p. (mod 1).
16.76	**. Пусть а ф 0,0 < т < 1. Докажите, что последовательность
{anfclnrn} p.p. (mod 1) при к = 1 и 2.
16.77	**. (Н.М.Коробов, А.Г.Постников) Пусть q > 1, q > г > 0 —
целые числа и при любом натуральном h последовательность {хп+д —
xn} Р Р- (mod 1). Докажите, что последовательность {xgn+r}
p.p. (mod 1).
16.78	*. (Фейер) Пусть функция </(х) такова, что;
а)	</(х) монотонно возрастает к бесконечности при х —> оо;
б)	ее производная д'(х) непрерывна при х > 1 и монотонно стре-
мится к нулю при х -> оо так, что х</(х) —> 0. Докажите, что
последовательность {<?(п)} — не p.p. (mod 1), но всюду плотна на
отрезке [0,1].
264
16.79	. Пусть а/0,0<т<1. Докажите, что последовательность
{а(1пп)т} — не р.р. (mod 1), но всюду плотна на отрезке [0,1].
16.80	****. (А.А.Карацуба) Пусть а > 0, 1 < г < 3/2. Докажите, что
последовательность {е"|п ”} — р.р. (mod 1).
16.81	****. (Эрдеш) Пусть в — иррациональное число, а ш(п) —
количество различных простых делителей числа п. Докажите, что
последовательность {w(n)0} р.р. (mod 1).
16.82	****. (И. М. Виноградов) Пусть 0 — иррациональное число и
р принимает значения последовательных простых чисел. Докажите,
что последовательность {р#} р.р. (mod 1).
16.83	****. (И.М.Виноградов) Пусть у многочлена F(n) хотя бы один
коэффициент, кроме свободного члена, иррационален. Докажите, что
последовательность {F(p)} р.р. (mod 1).
16.84	***. Докажите, что последовательность {logp} не р.р. (mod 1),
но всюду плотна на отрезке [0,1].
16.85	. Докажите, что десятичные записи чисел вида р и 2F(p\ где
F(n) — произвольный многочлен с натуральными коэффициентами, а
р — простое число, могут начинаться с любой заданной комбинации
цифр.
16.86	**. (Полиа) Пусть 1/п = Uj < ... < wv(nj <1 — последова-
тельность всех несократимых дробей со знаменателями п. Докажите,
что для любого а, 1 > а > 0, количество N(a) этих дробей, не
превосходящих а, удовлетворяет неравенству
|W(о)Мп) - о| < -i-
?[n> d|n
правая часть которого стремится к нулю при п —> оо.
16.87	**. (Полиа) Обозначим через Sn последовательность из задачи
16.86. Выписывая друг за другом последовательности б’г.б’з,...,
получаем перестановку всех рациональных чисел из интервала (0,1).
Докажите, что полученная последовательность р.р. (mod 1).
16.88	*. (Полиа) Пусть 1/п = Wi < • • • < wjy = 1 — последователь-
ность всех несократимых дробей со знаменателями, не большими п
(ряд Фарея). Докажите, что для любой интегрируемой по Риману
функции f(x) имеет место равенство
1 N
lim IV
о
16.89	**. (Френель - Ландау) Пусть — p-я дробь Фарея со знаме-
нателем, не превосходящим n,Nn = ^(1) + • • •+ у>(п) — их количество,
а	— v/N. Докажите, что если для всякого с > 0 выполнено
любое из неравенств:
265
a)	limsupn1 £
n—>oo
6)	limsupn1/2-' l<M < °°> T0
n—>oo
fc=l
= O(n1/2+£)
(утверждение об оценке суммы значений функции Мёбиуса эквива-
лентно знаменитой гипотезе Римана о нулях дзета-функции, до сих
пор не доказанной).
16	.90***. Пусть А// —> 0 при N —> оо и при т < Д^ЧпД^1
справедлива оценка
т„ = £ s2"1"« N^n-
n<N
Докажите, что для количества <т(/У;а,/?) членов последовательности
{а:п} с номерами, не превосходящими У, и таких, что а < {xn} < 0,
при N —> оо выполняется асимптотическая формула
<r(N;a,0) = (0 - a)N + O(N£n InA^1).
В следующих задачах дано обобщение понятия равномерного рас-
пределения по модулю единица.
16.91.	(М. Пю) Пусть задана последовательность положительных
вещественных чисел {Ап}, удовлетворяющая условиям:
ОО
1° Ai > Аг > • • • > Ап > ..., 2° ряд ^2 расходится.
п = 1
Будем говорить, что последовательность {хп}, 0 < xn < 1, является
A-равномерно распределенной по модулю единица, если для
любого интервала I, содержащегося в [0, 1] и имеющего индикаторную
функцию <р(х), которая равна 1 при х G I и нулю в противном случае,
справедливо предельное соотношение:
ц А1У>(Ж1) +  •  + Апу(жп)
где |/| — длина интервала I.
Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:
(i)	последовательность {хп} является A-равномерно распределенной
модулю единица;
(ii)	для любой интегрируемой по Риману функции fix), определен-
ной на отрезке [0,1], справедливо соотношение
lim
и—>оо
Ai/(xi) Ч-----F Ап/(жп)
Ai +----1- Ап
dx\
266
(iii)	для любой непрерывной на отрезке [0,1] функции f(x) спра-
ведливо предельное соотношение предыдущего равенства;
(iv)	при любом целом т ф 0 имеет место равенство
W	W
lim ГАпе2"т1- = о ГАп
Лг-4ОО	\
п=1	\п=1
где величина е,х, по определению, равна cosx + isinx, a i — мнимая
единица.
16.92.	(М. Ею) Пусть последовательность {х„} равномерно рас-
пределена по модулю единица, и пусть задана последовательность
положительных вещественных чисел {Ап}, удовлетворяющая усло-
виям 1° и 2° предыдущей задачи. Тогда последовательность {хп}
является Л-равномерно распределенной модулю единица.
16.93.	(И. Шёнберг) Пусть на Е — [0,1] задана функция распреде-
ления ^(7) :
у>(0) = 0, у?(1) = 1, неубывающая на Е,
и пусть для каждого интервала (0,7) С Е отношение количества
Qn членов последовательности {хп}, 1 < п < N, попадающих в
интервал (0,7), к числу /V, стремится при N -> оо к величине ^(7),
т. е. последовательность {хп} имеет функцию распределения <^(7).
Докажите, что эта последовательность имеет функцию распределения
тогда и только тогда, когда для любого фиксированного числа
т 0 при N —> оо выполняется предельное соотношение:
N
’	lim У"е2’"™
(Примеры последовательностей, имеющих функцию распределения,
дают разложения иррациональных чисел в цепную дробь).
УКАЗАНИЯ
16.1. Положим p(t) = 1/2 — {t} и докажем, что при 0 < t < 1/2 справедлива
формула
N . ~	.
z ч sin 2irnt . .
р(О = Е---------
п=1	™
где
0,5
rjv(t) =	«п^ЛГ-Ц).
J sinirz
267
Действительно, имеем
N . о ,	N . о ,
, ч	SinZTTnt .	SinzTrnr
rN(t) = p t - 52---------= 1/2 -1 - 52---------=
' 7ГП	7ГП	<
П=1	71=1
, f ,	v~> f ,	. ,	, f sin?r(2N+l)u ,
= 1/2 - I du — 2 I cos (2rrnu) du = 1/2 — / -------------- du,
J	— J	J	Sin 7TU
0	"-1о	0
так как согласно формулам тригонометрии
(N	\
1+2 52 cos (2n2) I sin z —
n=l	/
N
= sill z + £(sin (2n + 1)2 — sill (2n — 1)2) = sin (2N + l)z.
n=l
Поскольку при t = 1/2 выполняется, равенство г/Д1/2) = 0, из предыдущего
равенства получим, что
0,5
f sinTr(2N + 1)г ,
/ -----\ т . dz _ 0> 5
J	Sill 7Г2
о
Следовательно, согласно свойству аддитивности интеграла, при О < t < 1/2 имеем
0,5
rw(t) = sinK(2N+l)z
J sinirz
t
Докажем теперь, что при TV > 1 и 0 < t < 1/2 имеет место неравенство
|гдт(0| < min(l/2,2/(7r(2N+ 1)siiiTrt)).
Действительно, так как 1/sinTru убывает и положительна на отрезке [t, 1/2], то
в силу второй теоремы интегрального исчисления о среднем значении найдется
на этом отрезке такое число £, что
о,5	е
. . f sinTr(27V 4- l)z .	1 f ,	. жг .	,
rpi(t) = / ----:------dz = —------ I sinTr(27V + 1)2 dz.
J sin7F2	sin irt J
t	t
Следовательно, интегрируя и используя то, что |cosx| < 1, получаем неравенство
гх(01 $ 2/(tt(2N + 1) sinfrt).
Покажем, что |rjy(0( < 1/2. Сначала рассмотрим случай 1/(2N+ 1) < t < 1/2.
Поскольку 27V 4- 1 > 3, применяя предыдущее неравенство и учитывая убывание
дроби sinx/x в силу выпуклости sinr на отрезке [0, тг/2], получим
|тдг(t)| < 2/(tt(27V 4-1) sin тг<) < 2/(тг(27У 4- 1) sin (rr/(27V 4- 1))) =
268
=	< 1®/! = .,^ < ,/2.
ttz 81ПЯ/3 ir* вштг/З
Рассмотрим теперь оставшийся случай 0 < t < 1/(2N +1). Так как тогда, согласно
известному неравенству | sinx| < |х|, при 1 < п < N имеем, что 0 < sin 2тгп£ < 2тгп<,
то для
N . л
. v ,Л	sin27rnt
rN(t) = 1/2 —t — 2S------
7rn
получим оценки
-1/2 < 1/2 - t(l + 2N) < rN(t) < 1/2.
Следовательно, при 0 < t < 1/2 справедливо неравенство |r-jv(t)| < 1/2. Далее,
так как при |а| < 1/2
, ,	/ 1	3 \~1/2	/	3 \~1/2
а при |а| > 1/2 очевидно, что
то справедливо неравенство
/	з \-1/2
inin (1/2, |а|) < ( 1 + — )
\	4а^ /
учитывая которое, выводим из полученного ранее неравенства для |rjg(t)| оценку
Нлг(О1 < V'JVfW» гДе
V'mU) = (1 + Af2 sin nt) , Л/ — tt(2N + 1 )л/з/4-
Эта оценка имеет то преимущество, что функция 1/чи(0 является аналитической.
Заметим, что поскольку функции |rjg(t)| и V'AfCO четные периодические с
периодом единица, последняя оценка имеет место для любого вещественного
числа f.
16.2. Представим функцию (1 4-Af2 sin2 х)-1/2 в виде
оо
Ck cos2fcx.
к=0
Для этого заметим, что
(1 + Af2 sin2 х)“1^2 = (14- Л12)-1^2(1 — geos2 х)-1^2,
где g = 1 — 1/(1 4- Af2), и воспользуемся известными формулами
оо
(l-t)-1/2 = ^anr,an=(;)4-"
п=0
(эта формула является частным случаем биномиального ряда Ньютона и легко
доказывается с помощью формулы Тейлора) и
cos2n х = 2-2n+1 П )/2 4- cos2Jkx j
\	к=0	/
269
(она легко доказывается индукцией с помощью формулы преобразования пре
изведения косинусов в полусумму и тождества Паскаля для биномиальны
коэффициентов). Получаем формулу
(1 + Л/2 sin2 а:)-1/2 = Cfc cos2kx,
k=o
где
оо ,
Ск=mi+м2г1/2 е (п ~ )2-2п+1«п9-,
n=fc
{1, если к > О,
1 /2, если к = 0.
Так как
CV*) = ("К*. bn,fc = (n!)2((n-k)!)-*((n+ *)!)-*,
\ 2п '	'•2П/
и согласно 4.51 имеем а2 < 1/(2п+1), то при к>0
ОО	оо
ск < 2М~* У2 а2пЬп>кдп < М"1 £ Ьп,кдп/п
п=к	п—к
И
СО < (2М)-1 (1 + У>п/п) .
X П=1	/
Как известно, 14-х < ех, так как касательная к графику функции ех есть 14" х
и расположена она ниже его. Поэтому производная разности е~2х — равная
2(1 4- х)~2 — 2е”2*, неотрицательна, значит, при неотрицательном х справедливо
неравенство
-2х	1
- 1 +х’
откуда при п > 2к
6nfc = _2_frlzJZ2<2e-*3/n>
’ п — к 1 + i/n
а так как Ьп к = Ьп_1к/(1 — (fc/n)2), то ЬП:к растет с ростом п, и при п < 2к
имеем, что Ьп к < 2е~*/2, значит, при к > 0
2fc
Е Ьп,кЧП/п < 2(к + l)e~kt2 / к < 4е-*/2.
п=к
Так как
п 4- к “ 1 4- i/n
то, используя формулу суммирования геометрической прогрессии, и неравенство
1 4- х < ех, получим, что при т = [(/с 4- 1)(Л/2 4- 1)] 4- 1
оо
У2 Ьп,*9П/п < (чт/т)(1 + q + д2 + ...) = gm/(m(l - g)) <
n=m
270
< (1 + М2)?(А+1)(Л/2+1)/(*:+ 1)(М2 + 1) < e-k~1/(k+ 1).
В силу неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим
fc2/n + n/(l + М2) > 2Jt(l + М2)-1/2 = а,
поэтому при п > 2k
Ьп,кЯп < 2е-к^п~п^м2+1'> < 2еа,
значит,
тп—1	тп —1
£ ЬпЛд"/п<2е» £ 1/п < 2е»(1п ((т - l)/(2fc 4- 1)) 4- 1) <
n=2fc+l	n=2fc+l
< 2еа(1п(М2 + 1)4-1),
согласно неравенству
1/А: < in (гп/п) 4- 1.
к=п
Поэтому при М > Л/о и любом к > 0 справедливо неравенство
с* < М~‘(4е-*''2 + е~* 4- 2еа(2 In М + 2)) <
< 4e-2fc(Ms+1)-I/2(inM + 2)/М < 2е~к/м(\пМ + 2)/М.
Впрочем, при к = 0 можно получить лучшую оценку, если воспользоваться
разложением в ряд Тейлора функции 1п(1 4-ат), а именно
= (1 -1п(1 - д))/2Л1 = (1 + 1п(Л12 4- 1))/2М.
16.3. Пусть
Имеем, что последовательность {сп} является монотонно возрастающей и огра-
ниченной. Действительно,
11 1 1
e"<1 + 1+2 + ^ + ”+^=3-F^
Следовательно, существует предел 1ппп-+оо сп — «г- Далее, так как
/ 1 \п
«п = 1 4- - 1 = <г < сп
\ п/
< е,.
Кда при фиксированном s < п имеем
271
Отсюда
е = lim ап > Нт d9(n) = с^,
п—+<х>	п—>оо
т.е. е — верхняя грань для {cs}. Но так как
lim с, — sup{ca} = ej,
s —>оо	.
то е > ci. Следовательно, е = ei. Заметим еще, что если е = сп4-гП1 то
1 1 / 1 1
0 < Гп	fc! - (п + 1)! V + П + 2 + (п + 2)2 + ’ ’
_	1__________1	_ п + 2	1
“ (п + 1)! 1 - 1/(п + 2) ” (п + 1)(п+ 1)! п • п!’
Покажем, что число е — иррациональное. Допустим противное. Тогда
e — p/q, (р,д) = 1, и с учетом сделанного выше замечания имеем
Домножая обе части неравенства на qi, получим, что А = д!(е — Сд) есть целое
число и в то же время 0 < А < 1/д, что невозможно.
16.4. Пусть
7п = 1 + - Н-----1----In п.
2	п
Покажем, что существует предел -у = lim 7„.
п—>оо
Последовательность {7п} монотонно убывает. Действительно,
7п-ц - 7п — ——- - In (п + 1) + in п = ——- - In (1 + — ) < О,
п+1	п+1	\	п/
так как
/ мп+1
1 < 1п I 1 + — I , поскольку
Далее покажем, что последовательность
Имеем	п
In ^1 + —	<1, т.е.
Поэтому
{тп} ограничена снизу числом 0.
 " + 1 _ 1
In-------- < —
п п
Тп
,	1	1	,2,3	, п + 1	,
= 1 + - + • —|--In п > 1п —|- In —h  • • + In-In n =
2	n	12	n
n
1
------ > 0.
n + 1
Следовательно, по теореме Вейерштрасса последовательность {7n} имеет предел,
что и требовалось доказать.
16.6. а) Пусть lim ап = а. 'Покажем, что
П-+ОО
Я1 +  • • + Яп
lim --------------- = а.
П—>ОО	fl
272
Действительно, пусть
что
Ьп = ап — л- Тогда lim Ьп = 0, и достаточно доказать,
п-юо
61 + • • • 4- Ьп
lim ------------
П—ЮО	п
= 0.
Так как {6п} — бесконечно малая последовательность , то существует с > 0
такое, что при всех п имеем
|t>n| < С
при всех п.
Кроме того, для любого е > 0 существует по = по (с) такое, что при всех п > по
справедливо неравенство |6п| < Следовательно,
bi + • • • + 6По bno + i 4" * • • 4- Ьп I спо
п	— п
(п - п0)с
п
< 2е,
если только спо/п < с, п > спо/е, т.е. п > max ^по, спо/е). Отсюда уже легко
следует требуемый результат.
16.7. Для удобства рассуждений определим числа ип для всех целых
значений п следующим образом: ип = 0 при п < 0 и при n > Q. Тогда имеет
место равенство
Q	Q + H-1 Я-1
Н Un = 52 52 ип-т-
П=1	П=1	771 = 0
Возводя обе части этого равенства в
квадрат, и, пользуясь неравенством Коши:
< У?|«^|252i^i2»
получим
я2
2
< (Q + Н — l)Wt
где
З + Я-1 Н-1
w = 52 52 ип~т
П=1 7П = 0
Преобразуем сумму W. Для этого выделим сумму “диагональных” членов Wi
и сумму “недиагональных” членов И2. Имеем
H-1H-1Q + H-1
52 ^n-mun_k = W1+W2,
m=0 к=0 n=l
где
Я-l Q + H-l
Wi = 52 52 “n-m
Q + H-l
ZZ 52 (ип—тйп—к 4" Un—m^n—fc)*
0<m<fc<H-l n=l
Очевидно, справедливо равенство
Q + H-l	Q
2 un~m = Un>
n=l	n=l
273
поскольку un = 0 при п < 0 и при n > Q. Поэтому
Wi = Н
2
Преобразуем сумму И/а- Для этого обозначим п — т = 1,п — = Получим
Н-1 Н-тп-1 N-h
= 52 52 52	+fiiui+h)-
m=0 h=l i=l
Меняя порядок суммирования по А и
по т в сумме и переходя к
неравенствам, имеем
Н-1 H-h-1
1^1 <2 52 £
h=l m=0
Q-h
52 и'“<+л
1=1
H-l
2 52(Я-А-1)
h=l
16.11.	Примените критерий Вейля.
16.14.	Число а начинается с 6-ичных цифр ai...an тогда и только тогда
когда
logb (ai,a2...a„) < logb a < logb (ai,a2 ...an + 6-n+1).
16.15.	Так как a — иррационально, то все числа вида {an 4- /3} различны
Для любого к среди первых А + 1 этих чисел найдутся два, попадающие i
один отрезок вида [р/А,(р + 1)/А],0 < р < к. Беря их разность, получаем, чт<
для некоторого п < к либо {an} < l/к, либо 1 — {an} < 1/к. Рассматривав
подпоследовательность с номерами п,2п,..., заметьте, что в любой из отрезко!
[р/А, (р+1)/А] попадет ее член с номером, не большим п(1/ min (1 — {an}, {an})+l).
Для доказательства непериодичности функции sin;r + cos\/2;r следует заметить,
что верхняя грань ее значений, равная 2, не достижима, но для любого е > О
функция принимает значение, большее 2-е, т. е. рассматриваемая функция не
имеет максимума. Непрерывные же периодические функции имеют максимум.
16.16.	Примените 16.14 и 16.15.
16.17.	Рассмотрите отдельно случаи, уп = const и уп —> 0.
16.18.	Примените 16.11 и 16.17.
16.19.	Если а — иррационально, то возьмите хп = п/at и примените задачу
16.15. Если а = p/q, р — целое, q > 1 — натуральное, (р, q) — 1, то выберите
тп > За и для каждого к = 0,1,...,m — 1 определите подпоследовательность
xmn+k так, чтобы ее дробные доли	были всюду плотны на отрезке
[к/т, (к + 1)/т], а целые части [ятп+к1 удовлетворяли равенству
{«fcnn+k] + ак/т} - r/mq, 0 < г < т.
Для этого в качестве числа г возьмите остаток от деления рк на т и выберите
[tfmn+fc] = « так, чтобы рзт — г — рк + qmd, d — целое число, с помощью леммы
о том, что наибольший общий делитель а и 6 представим в виде ах + by, где
х и у — целые (см. § 3); в случае г — рк = 0 выбирайте число з кратным д, а
число d — кратным р так, чтобы ps — qd. Тогда последовательность {жп} всюду
плотна на отрезке [0,1], а последовательность {ох„} содержится на отрезке
[0,1/q + а/m], лежащем в отрезке [0,5/6].
16.20.	Возьмите уп = 1/хп-
16.21.	Для любого е > 0 выберите такие N и М, что |a?jvf — r;y| > 1 и для
всех k,N < к < М, — H+i| < е. Тогда на каждом отрезке длины е, лежащем
274
в отрезке [0,1], находится одно из чисел {r^}, N < к < М. Для ограниченных
последовательностей утверждение задачи неверно. Контрпримером служит любая
последовательность, имеющая конечный предел.
16.22.	Примените 16.21.
16.23.	Пусть а — основание логарифма. Для любого е > 0 выберите
минимальное п так, что ап > 1 4- с/ In а, и заметьте, что при к = N, ..., N +
[4а/е], N = [а4п + а3п] и достаточно малом е
е/4а < {log(k 4- 1)!} - {logА:!} < е,
поэтому на каждом отрезке длины е, лежащем в отрезке [0,1], находится одно
из чисел {log/:!}, к “ N,..., N 4- [4а/е] 4- 1.
16.24.	Примените 16.23 и 16.14.
16.25.	Следует из 16.24.
16.26.	Примените 16.21 и 16.14.
16.27.	Последовательность пк не может оканчиваться на 10, так как если
пк кратно 5, то оно же кратно 5*.
16.28.	Постройте вложенную последовательность отрезков с длинами
2“‘1, 2""2,..., каждый из которых содержит бесконечно много членов после-
довательности. Докажите, что точка, общая всем этим отрезкам, является
предельной.
16.29.	Выберите какую-нибудь предельную точку и переставьте члены
последовательности так, чтобы для любого 2~п нашлось бы такое Nnt что
среди первых Nn членов переставленной последовательности не более чем logjyR
членов были удалены от предельной точки более чем на 2“п.
16.31.	Число вп начинается с 6-ичных цифр сц ... ап, изображающих число
а. Тогда для этого п справедливо неравенство
Iogb(a6~n+1) < {logb а} < logb((a+ l)b~n+1).
Поэтому частота появления цифр числа а в начале записи членов последовав
тельности зп равна
logb ((a 4- Ofc-"*1) - logb (ab-"+1) = logb (1 + 1/a)
и Поэтому монотонно убывает с ростом а.
16.32.	Положите уп — Z4-oin> воспользуйтесь критерием Г.Вейля и неравенством
N
4-	N'1	2 |sin2Tr»notn| <
П=1
N
+ 2irmN~l |а„|
П»1
275
и теоремой Коши (см. задачу 16.4.).
16.33.	Примените 16.11 и 16.31.
16.34.	Примените критерий Г.Вейля и неравенство
e2irim(s„ + s/n)
N
С"' fe2irim(xn +уп) _ е:
2irimx.
e2nimy„
N
^2тг»тх.
N
+ ^‘Е2 |sin 2irmyn | <
N
e2Trimin
N
+ 2irmN~l |1/„| -
16.35.
поэтому
Так как а — иррационально, то sinTrnio ^0 при любом целом т, и
N
7V-1 e2’rim(Qn+0) < l/(N|sin?rma|) ^4 0
при N -4 оо. Далее примените критерий Г.Вейля.
Примените 16.35 и 16.31.
Воспользовавшись задачей 16.1 получите неравенство
16.36.
16.37.
0 < {еп!} < 1/п,
выведите из него иррациональность е и примените 16.35.
16.38.	Воспользовавшись неравенством из указания к 16.37 и периодичностью
синуса, докажите, что
0 < sin (2тгтеп!) < sin (2?г/п) < 2тг/п.
16.39.	Пусть lim sinn = а. Тогда из формулы
п—loo
sin (п 4- 1) = sin 7i cos 1 4- cos п sin 1
следует, что lim cosn = a(l — cos 1)/sin 1. А из равенства
n—loo	'
sin (2n) = sin (2n — 2) cos 2 4- cos (2n - 2) sin 2
следует, что тот же предел равен a(l — cos2)/sin2. Поэтому при а^О имеем
cos4 = 1. В случае а == 0 получается, что lim cosn = 0 = lim sinn, а это
n—юо	n—loo
противоречит равенству sin2 n + cos2 n = 1.
16.40.	Возьмем любое a,0<a< 1, и выберем о так, что a — sin 2ira,
0 < a < 1/4. Зададимся произвольным e > 0. Чтобы доказать первое утверждение
задачи, достаточно найти такое п, что
sin (2тг(с« — е)) < {sinn} < sin (2ir(a + е)).
276
Для выполнения этого неравенства достаточно, чтобы
а — е < {п/2тг} < а 4- е.
Но такое п существует в силу иррациональности тг согласно задачи 16.15.
Покажем теперь, что последовательность {sinn} не p.p. (mod 1). Пусть 0 <
а < 1, а = sin(27ra), 1 — а = sin(2?r6),O < а,6 < 1/4. Неравенству {sinn} < а
удовлетворяют такие числа п, что выполняется хотя бы одно из неравенств
{п/2тг} < а, 1/2 - а < {п/2тг} < 1/2,1/2 + Ь/е{п/2тг} < 1 - Ь.
Так к'ак cos(?r/2 — 2тг6) = sin(2Tr6) = 1 — а, то сумма длин указанных отрезков
равна 2a4-arccos(l — а)/тг и асимптотически равна д/2а/тг при а —> 0. В силу р.р.
(mod 1) последовательности {п/2тг} частота появления таких п, что {sinn} < a,
асимптотически равна ^/2а/тг при а —> 0. Если бы последовательность {sinn}
была бы p.p. (mod 1), то эта же частота равнялась бы а. Противоречие.
16.41.	Из определения p.p. (mod 1) достаточно при любом фиксированном
а, 0 < а < 1, показать, что число Т решений системы неравенств
{\/n} < a, n < Nt
асимптотически равно aN. Действительно, система равносильна тому, что при
m < VN < m + 1 выполняется одно из неравенств
fc < \/nlek + at, k = 1,..., тп — 1, тп < \/п < min {x/N, ТП + о}.
Следовательно, справедливо равенство
Т= £2([2fca + a2] + l) + 2eiy7V'+l = 2a 4-402777 =
к<т	к<т
= ат(т — 1)4- 402 V77 = aN 4- 40v7V,
где 0 < 0, < 1, |0| < 1.
16.42.	а) Аналогично предыдущей задаче число Т решений системы неравенств
{logn} < а, п < N,
равно общему числу решений семейства неравенств
fc < loga n < к 4- а, к = 0,т — 1, [loga TV] = тп <
< loga п < min (loga TV, m 4- a).
Следовательно, при Nm — am справедливо равенство
T = Тт = ([afc+Q - a*] 4- 1) 4- 1 = (aa - 1) ак 4- От 4- 1 =
fc<m	’	k<m
am - 1
= (aQ — 1)------4- Gm 4- 1 = N(aa — l)/(a — 1) 4- Gm 4- 1,
a — 1
где 0 < G < 1.
277
Если бы последовательность {loga п) была бы р.р. (mod 1), то частота
появления {logo п} в отрезке [0, а] была равна а. Тогда при всех а, 0 < а < 1,
имеем
а = lim Tm/7Vm = (aQ - 1)/(а - 1).
m—>оо
Противоречие.
б) Примените пункт а) и задачи 16.4 и 16.32.
16.43. Примените критерий Г.Вейля. Для этого преобразуйте при т О
тригонометрическую сумму:
7^ _ e2irim/(n) _ у* e27Tim/(n) e2nimf(N) _
„ .	> 1 - е2’'™АЛ")
,2rrim/(n) 1 с___________
1	_ e2?rimA/(n)

,2nimf(n) _ e2?rim/(n+l)
1 — e2?rimA/(n)
e2>rim/(N) _
e2nimf(n)
1 — e2irimA/(n)
e2Trim/(n)
Z—✓ j _ е2тг»тД f (n—1)
e2irimf(N}
e2Kim/(l)	e2.rim(/(N) + Af(N-l))
J _ e2rrimA/(l) j _ e2jrimA/(N —1)	+
+ V e2trimf(n) /______J_____:____________J_______\
' Z—✓	\ 1 — е2тг1тД/(п) i _ е2тг»тД/(п-1) J
n=2	4	'
и перейдите в этом соотношении к неравенствам:
'	— 2| з'штгтД/(1)| + 2|э1птгтД f(N — 1)|
+ -	| ctg (тгтпД/(п)) - ctg7T7nA/(n - 1)|
2	п=2
(для этого воспользуйтесь равенством
I»—1—4^1 = |lct8«- ct8^l>
11 — e‘ia 1 — e£ip |	2
вытекающим из соотношений
1	1	e2*a — e2*P
1 -	“ 1 -	= (l-e2‘«)(l-e2^)’ 11 " e ’71 = 2|s,n71’
|e2io _ e2.0| ~',|e2ia||1 _ e2i(^-a) | = Ц _ e2i(^-a) |,
sin (0 — a)
—------= ctg a - ctgf}).
sin a sin p
278
Так как Д/(п) монотонно стремится к нулю, то при любом фиксированном тп
для некоторого к при всех N > к справедливо неравенство	1)| < 1/2,
значит (учитывая, что | sinx| > 2|гг|/тг при |а;| < тг/2),
v-1IT I < ________1________I________-________к
n ~ 2N|siiiTrmA/(l)| 4|m|NA/(N—1)
1 к
+ -Т7 52 I ctg (’гтпДУ(п)) - ctgTrmA/(n - 1)|+
n=2
+ ^(ctg(irmA/(N - 1))) - ctg(?rmA/(fc)).
Отсюда, используя предельное соотношение lim NA/(N) = оо и асимптотическое
N—►оо
равенство ctga^ 1/а при а —> О, выведите, что
lim N-1Tjv = 0.
N->oo
16.44.	Примените 16.43 и теорему Лагранжа о конечных приращениях (см.
задачу 16.9).
16.45.	Положите /(х) == аха 1пг х и проверьте, что
}*(х) = ахст-1(<т 1пт х + т in1"*1 х)
и в случаях а) — в) функция J(x) удовлетворяет условиям предыдущей задачи.
16.46. Пусть последовательность {/(п)} р.р. (mod 1) и
limsup/V|A/(N)| < +оо.
JV—>оо
Из критерия Вейля следует, что
N
lim TV"1 V e2vimi^ = 0.
N—коо
n=l
Кроме того, справедливо неравенство (ввиду того, что хорда короче стягиваемой
ею дуги)
|e2iri/(n+l) _ е2я./(п) | _ |e27ri/(n) ||р27г;Д/(п) _	_
=	- 1| < 2тг|Д/(п)| < С/п,
где С > 0 — некоторая постоянная (последнее неравенство имеет место в силу
предположения об ограниченности верхнего предела). Из тауберовой теоремы
Харди (см. задачу 16.5) тогда следует, что
lim е2’г,тИп) = 0,
N-too
это противоречит равенству |е2,г‘Лп) | = 1.
16.47.	Пусть /(х) = ах Inx, х > 1, тогда f'(x) = а + а 1пт, /"(х) =
а/х. Имеем
fc<r
279
где
2fc-l	N
Sk= 52 e2,r,m/(n>, s'r+l = 52 e2’r,m/<n>, 2r < 2r+1.
2*-l	n=2r
Для оценки Sk и Sy 4-1 воспользуемся теоремой ван дер Корпута (см. задачу
16.8.). Получим
|SfcI < 2*-Im1/2A*/2 Ч-вт-'^А-1/2,
где Аг — минимум f"(x) на отрезке [2*-1,2к — 1], т.е. Аг = а21— *. Следовательно,
^|<2<fc-1)/2+4m1/2a1/2.
Аналогично,
l-5r+I|<2r/2+4m1/2a1/2.
Отсюда следуют неравенства
TN = N-'lam)1'1 £ 2(fc-*)/2+4 =	(ат)1/2^-^^—-
к=1	V 2 — 1
< 3-2N-l(am)ll2(V2N - 1) < 64N-1/2(am)1/2.
Поэтому Tjv —> 0 при N —> оо. Значит, по критерию Вейля последовательность
{anlnn} p.p. (mod 1).
16.48.	Приведенное выше доказательство без существенных изменений про-
ходит и для последовательности {(п 4-1/2) Inn — п}. Так как согласно формуле
Стирлинга
Inn! = (п 4- 1/2)/пп - п 4- 1п\/27г 4- £п,
где еп —► 0 при п —> оо, то остается применить задачу 16.32.
16.49.	Примените 16.48 и 16.31.
16.50.	Рассуждайте так же, как и в задаче 16.47. Для оценки тригономе-
трической суммы
' e2iriman In In n
Л<п<2Л
примените теорему ван дер Корпута и получите, что
|Т(А)| « А(атп)1/2А~1/2(1пА)-1/2 + (am)-1/2AI/2(ln А)1/2.
Отсюда следует, что
« (om)1/2/V~1/2(ln TV)1/2.
Поэтому Тдг —> 0 при N —> оо, и по критерию Вейля последовательность an In In пт
p.p. (mod 1).
16.51.	С помощью теоремы ван дер Корпута докажите, что	j
|Т(А)| =
« „г1/2А1-ст/2-'/2 + М-‘/2Дст/2+‘/2.
Применяя критерий Вейля, как и в 16.47, выведите из этой оценки при 0 < а < 2,
что последовательность {/(n)} p.p. (mod 1).
280
16.52.	Следует из 16.51.
16.53.	Подобно 16.47 следует из критерия Вейля и оценки ван дер Корпута.
16.54.	Примените последний пункт критерия Вейля или непосредственно
определение.
16.55.	Для любого натурального Н и любого целого тп О согласно
неравенству ван дер Корпута (см. задачу 16.6):
N	2
уу—1 e2irtmxn
п=1
<H + N-1	у;1 (Н 4-N - 1)(Н - А)
HN +	H2N
п~ 1
N-h
П=1
для любого фиксированного А последовательность	— агп} является р.р.
(mod 1), следовательно, согласно критерию Вейля при N —>• оо
N-h
д/—1	e2,rim^x"+b ~Хп) -4 0.
П=1
Переходя к пределу в неравенстве ван дер Корпута, получим
N—>оо
limsup
Так как Н можно взять сколь угодно большим, то
N
lim N-1 У = о,
N-кх,
П=1
а это согласно критерию Вейля и означает, что последовательность {хп}
р.р. (mod 1).
16.56.	Контрпримером служит последовательность задачи 16.15.
16.57.	Индукция по степени многочлена. База индукции доказана в 16.35.
Пусть для многочленов степени к теорема верна, a F — многочлен степени
к+ 1. Тогда многочлен Ф(х) = F(x 4- А) — F(x) имеет степень к и при любом
целом h его старший коэффициент —иррациональное число. Следовательно,
по предположению индукции последовательность {Ф(п)} р.р. (mod 1). Но тогдд
согласно задаче 16.55 последовательность {F(n)} р.р. (mod 1).
16.58.	Примените 16.57 и 16.31.
16.59.	Возьмите у — '/'lx2 4- i, где 2-3/2 < S < 1/2 и х достаточно велико,
тогда
2а:4 4- х2 < у2 < 2а:4 4- 2а:2.
Чтобы у можно при этом выбрать целым, подберите целое х так, чтобы
1/2 < {/1х2} < 1 - 2-3/2.
Для этого примените 16.57.
16.60.	Сначала предположите, что все коэффициенты при нелинейных членах
полинома F рациональны, т.е. F = Рх2 4- ах 4- /3, где а — иррационально, а
коэффициенты полинома Q = Рх2 — рациональны. Пусть наименьшее общее
281
кратное их знаменателей равно д, тогда последовательность {Q(n)} периодична
с периодом д, ибо Q(n + g) — Q(n) — целое число (равное сумме слагаемых вида
(p/q)((n + я) п)> т.е. целых чисел). Поэтому у последовательности хп — {F(n)}
каждая из q подпоследовательностей xnq+r, г = 0,1, ...,g — 1, имеет вид
{n(ag) + (аг + 0 + {Q (г) })},
и, значит, равномерно распределена согласно задаче 16.35. Из 16.54 тогда
следует равномерная распределенность последовательности хп. Пусть теперь
иррациональный коэффициент в многочлене F ьстречается у к-Vi степени, но ни
у одного из членов высших степеней. Докажем теорему индукцией по к подобно
задаче 16.57. База индукции (к = 1) только что доказана. Индукционный переход
выполняется так же, как и в 16.57. Нужно лишь заметить, что при любом
целом h у многочлена
$(x) = F(x + li)-F(x)
члены степени к и выше имеют рациональные коэффициенты, а член степени
к — 1 — иррациональный коэффициент.
16.61.	Пусть наименьшее общее кратное знаменателей коэффициентов
многочлена равно д, а свободный член равен (3. Тогда последовательность
{F(n)} принимает лишь конечное число значений, а именно, значения вида
{p/q + 0}, 0 < р < ?,р е N.
16.62.	Пусть
N
^п+1 —	= 0 + О!П, lim otn — о, Sjv = N”1 e2irimxn
ПЧОО	'
n= 1
Тогда
N	N
SNe2*ime - N~' У2 e2*imx*+l = N~l J2 e2’r,m*”+1 + rn,
n=l	n=l
где
(N	\
p2«mx„+i-a, _ e2irimi„+1 )
n=l	/
Отсюда следует, что
SN(1 - e2’"'1'’) = rN + N-1	.
Правая часть этого равенства стремится к нулю при N —> оо. Действительно,
N	N
|rN| = N~1 52 |е-2я,тОп - 1| = 2N-1 52 Isinirmanl <
71=1	71=1
N
< 2тг|т|№1 52 1“п|
П=1
в силу равенства |е2|Л — 1| = 2|sinx| и неравенства |sinar| < |а;|, а так как
lim ап = 0, то согласно теореме Коши (см. задачу 16.6)
п—>оо
N
lim N~1 У2 |°п| — °>
1—^00	 *
п= 1
282
поэтому lim = 0. Так как в силу иррациональности 6 имеем
п—>оо
1 - е2’г,в # 0,
то lim S/у = 0, а это и означает, согласно критерию Вейля, что последова-
N-Юо
тельность {гп} Р-Р- (mod 1).
16.63.	Так как F„+1 /Fn -> (\/5 + 1)/2 = tp при п —> оо (см. § 7), то
logeFn+i — loge Fn “► log0 сходится к иррациональному числу (если бы loga <р =
р/д, где р,д — натуральные, то ар = но ар — целое, а
¥>’ = Ч>4~2(ч> + 1) = Ч>4~х + фч~2Ч>4~3	+1) + <p4~4(ip + 1) = - • • = Fq<p + Fq-1
— иррациональное число, так как ср — иррациональное число), значит, согласно
задаче 16.62 последовательность {logaFn} p.p. (modi) при любом натуральном
числе а.
16.64.	Примените 16.63 и 16.14.
16.65.	Обобщение задачи 16.63.
16.66.	При п = 1,2,... последовательность x^-t-x^ принимает целые значения.
Поэтому {х{*} = {1 — х£ }• Но xj —> 0 при п —► оо, значит, {xj*} —> 0.
16.67.	Из теоремы Лагранжа о конечных приращениях следует, что
lim Д/(п) = 0. Отсюда на основании 16.62 последовательность {/(п)}
п—>оо
p.p. (mod 1).
16.68.	Индукция по к. База (к = 1) доказана в 16.62. Шаг индукции. Пусть
утверждение верно при к = т. Докажем, что оно верно при к = т + 1. По
условию Дт+1хп —> 9 при п -4 оо, 9 — иррациональное число. Обозначим
Xn+h - хп через Д^Гп- Тогда
Дл(Дтх„) = Дттп+/1 - Дтх„ =
= Дт+1г„ + Дт+1гп+1 +•• + Дт+1гп+л+1.
Поэтому при фиксированном hgel и п —> оо
Дь(Д’пх„) -4 h9.
Так как Д/>(Дтхп) = Дт(Д/1хп), то в силу предположения индукции, при-
мененного к последовательности Д/>хп, она будет p.p. (mod 1) при любом
фиксированном h. Тогда, согласно 16.55, последовательность {xn} р-р- (mod 1).
16.69.	Примените обобщение теоремы Лагранжа (см. задачу 16.9) и задачу
16.68.
16.70.	Следует из 16.69.
16.71.	Индукция по к. При к — 1 утверждение доказано в 16.43. Пусть
утверждение верно при к = тп. Докажем, что оно верно при к = т + 1.
Воспользуемся равенством
Д„(Дт/(п)) = Дт(Д„/(п)) =
= Дт+1/(п) + Дт+1/(п + 1) + •  • + Д ”•+»/(„ + h + 1),
доказанным в решении 16.68. Из условия теоремы следует, что последовательность
АДт(Дь/(п)) монотонно стремится к нулю при п —> оо и п|/1Дт(Дь/(п))| —> оо
при ц —> оо. Следовательно, по предположению индукции последовательность
283
Д/,/(п) р.р. (mod 1) при любом фиксированном h. Тогда, согласно 16.55, после-
довательность {/(n)} р-р. (mod 1).
16.72.	Примените предыдущую задачу и обобщенную теорему Лагранжа (см.
задачу 16.9).
16.73.	Примените предыдущую задачу при k = [<r] + 1.
16.74.	Примените задачу 16.72 при k = [<z] + l.
16.75.	При т > 1 и х —> оо имеем, что
д(х) = (ахь1птх)(к + 1^ = (1 + о(1 ))(А: + 1)!эт(1пт х)/х —> О,
lim xgix) = +оо.
ХЧОО
Следовательно, по утверждению задачи 16.72 при т > 1 последовательность
{an*lnTn} р.р. (mod 1).
Если т > 1 и х —> оо, то
/	.	\ (fc)
/i(x) = (аг* 1пт х]	= к!ат1пт х(1 + о(1)) —> О,
lim xh(x) —> +оо.
X —юо
Поэтому последовательность {ап* 1пт п} р.р. (mod 1).
16.76.	Рассуждайте так же, как и в задаче 16.47. Для оценки тригономе-
трической суммы
27riman 1пг п
е
А<п<2А
примените теорему ван дер Корпута. Так как на отрезке [А, 2А] вторая
производная функции атх 1пт х по порядку равна
(ат 1пт~1 А)/А,
Т(А)= Г
получите, что
|Т(А)| «С A(am)1/2A-1/2(ln А)(т-1)/2 + (am)-1/2A1/2(ln А)-(т-1>/2 «
« (ат)~1/2А1/2(\ПА^1~Т^2.
Отсюда следует, что
TN =
N
— 1 p2jrimnalnrn
п= 1
« (am)-1/2N-1/2(lnN)(1-T)/2.
Поэтому Тц —> 0 при N —> оо, и по критерию Вейля последовательность {anlnTn
р.р. (mod 1).
Для доказательства р.р. (mod 1) последовательности
{ап2 1пт п}, 0 < т < 1, а О,
согласно теореме ван дер Корпута достаточно доказать, что при любом фикс*
рованном h € Н последовательность {Дьап2 lnT n} р.р. (mod 1). Заметьте, чт
вторая производная функции-Д^ах2 1пт х при х —> оо имеет такой же порядо!
что и вторая производная функции axlnTx. Оценивая тригонометрическую сумм
с функцией man2 lnT п в экспоненте так же, как и в предыдущем случае,
применяя критерий Вейля, получите, что и {an2lnTn} р.р. (mod 1).
284
16.77.	При q = 1 утверждение совпадает с теоремой ван дер Корпута. Пусть
q > 1, тп 0 и
N
SN = N-1 £2 е27Г1тх««+г .
п= 1
Так как при s, кратном д, сумма
я
q-l^e2nib,/4
Ь=1
равна единице и при s, не кратном q, равна нулю (поскольку e2’г,’/,	1) и
согласно формуле суммирования геометрической прогрессии
Я	я a2irib
V е2™Ь,/ч = е2”,а/ч-----^7- = 0),
Z—j	i _ pZiribfq '
b=l
TO
Я Nq
Sn = (Ng)-1 EE e2irim(x,-f.r +bt/mq)
b=l »= 1
Из условия теоремы и задачи 16.32 следует, что последовательность у, =
— {жа+г+Ь — ®s+r + bh/rnq} р.р. (mod 1). Значит, по теореме ван дер Корпута
последовательность z, = {rs_|.r + bs/mq} р.р. (mod 1), так как у, = z,^.^ — z,.
Поэтому, согласно критерию Вейля, при N —> оо
Nq
E2e2’rim(I,+r+l”/m’) °-
«=1
Так как q — фиксированное число, то	—> 0 при N —> оо. А это по критерию
Вейля означает, что последовательность {х^п+г} р.р. (mod 1).
16.78.	Так как g(t) монотонно стремится к бесконечности и непрерывна
(в силу дифференцируемости), то для любого а, 0 < a < 1, найдется такая,
стремящаяся к бесконечности последовательность tfc, что {g(tfc)} = Определим
последовательность целых чисел m из условия	< тк + 1. Из теоремы
Лагранжа о среднем (см. задачу 16.9) следует, что при некотором	<
< tfc, и при некотором целом Пк справедливо неравенство
|д(т*) - a - п*| = |з(тк) - p(t*)| < |я'(£*)|>
а так как при к —> оо имеем g'l^k) 0> то при достаточно большом к
- <*| = |p(m*,) - g(tk)| < |/(£*)|,
и {д(ш^)} —> ct при к —> оо. Таким образом, из условий а), б) получаем, что
последовательность {g(n)} всюду плотна в [0,1].
Условие б) противоречит необходимому условию р.р. (mod 1), указанному в
задаче 16.46.
16.79.	Если g(t) = a(/nt)a, то д'(1) = aa(lnt)a~l/t монотонно стремится к
нулю при t —> оо и tg'(t) = aa(lnt)a~l тоже. Согласно предыдущей задаче
последовательность {g(n)} всюду плотна в [0,1], но не является р.р. (mod 1).
16.80.	Решение этой очень трудной задачи см. в книге А. А. Карацубы
“Основы аналитической теории чисел” (М. Наука, 1983, с.103 и 210).
1&81.	Решение этой трудной задачи см. в статьях: P.Erdos. On the uniform
distribution of the functions. - Amer. J. Math., 1939. 61. P. 722 - 725; H.Delange.
On some arithmetical functions. III. - Amer. J. Math. 1958. 2. P. 81 - 87.
16.82. Для решения этой исключительно трудной задачи понадобятся
следующие леммы.
285
Лемма 1 (преобразование Абеля). Пусть /(ж) непрерывно дифференцируема
на отрезке [а, 6], с„ — произвольная последовательность,	,
С(х) = lim сп-	1	1
а<п<х	„	1
Тогда	|
X cnf(n) = C(b)f(b)~ f C(x)j'(x)dx.	j
а<п<Ь	а	J
Доказательство. Положим	|
{1,	если	п < х < Ь,	1
о	х	’
О,	если	х < п.	i
Имеем
ь
C(b)/(b)_ $2 с„/(п) = 52 с„(/(Ь) -/(п)) = 52 [ Сп/'М dx =
а<п<Ь	а<п<Ь	а<п<Ьп
b	b	"
= 52 [ cna(n,x)f>(x)dx= [ 52 Cn9(n,x)f'(x)dx=	i
а<п<Ьа	а а<п<Ь
Ъ	Ъ
= У 52 cnf'(x)dx = [ C(x)f'(x) dx.	i
а “<n<*	а	‘
Лемма доказана.	;
Лемма 2. При Р > 1 и действительном а
Р
\ 5 2тг»ап
< min(P, 1/2||а||).
п= 1	‘
Доказательство. Без ограничения общности считаем, что О < а < 1. Тогда в J
силу равенства |е2’г*°' — 1| = 2|siii7ra (вытекающего из того, что основание равно-1
бедренного треугольника с единичными боковыми сторонами равно удвоенному»
синусу половины угла при вершине) и неравенства sinTra > 2а при 0 < а < 1/23
(вытекающего из выпуклости синуса ) имеем	i
|е2я(аР _
—-------4 < min (Р, 1 /2||а||).
е2ж.а _ 1	-	'	' "
Лемма доказана.
Лемма 3. Для любых комплексных чисел а/, и b^, 1 < к < п, справедлива*
неравенство Коши
2
- 52 ia*i2 221Ь*|2-
fc=l	fc=l k=l
Доказательство. Действительно,
то
521«*12 У21Ь*12 - 52 акь* -
к=1	к=1	к=1
= 52(а>^ _ ajM(5ibj
i<3
Лемма доказана.
так как |с|2 = сс, где с — х — гу при с = +
= 52 ia*i2 521Ь*12 - 52 а*ь* 52	,
k=l fc=il	I
-аА) = 52м>-<»л12 >o-	।
286
Лемма 4. Если числа а„, Ьп действительны, то
52 аке'Ьк
fc=l
= ± ака}е^-^.
fc,J=l
Доказательство. Так как ае,х = ае ,х при действительных х и а, то
57 ake'bk ~ 57 аке'Ьк 57 а*е|Ь* =
k=l	к=1	к=1
— 57 аье*Ьк 57 а*е~’Ь|с-
fc=l	к=1
Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть а = а/д + 0/дт, |0| < 1, 1 < q < ту (a,q) = 1. Тогда при любом
/?, U > О, Р > 1 имеем
Р
52 min (и> 1/Н“" + 011) < 5(Р/д 4- 1)(У + g logg).
n= 1
Доказательство. Достаточно доказать, что
я
S = 52 min (£7, 1/||<*п + /?||) < 5(1/ + glogg).
П=1
Так как при у = ап + [д/?] имеем
ап + 0 = у/д + в1 /дг, в1 = вп + {q0}r, |0'| < п + т < 2т,
а функция ||х|| — периодическая с периодом 1, то, делая замену у = an+[g/?] — gm,
где тп — целое и — q/2 < у < д/2, найдем
S= 52 min (U, 1/||у/д +
-?/2<B<<Z/2
Если 2 < |у| < д/2, то
Wv/q + б7?т|| > (|1/| - 2)/?,
и поэтому
s<5l/+	52	?/(|1/| - 2) < 5(17+ q logд),
2<11/1<«/2
так как
1/(к - 2) < 2 52 1/fc < 2 logn.
к=3	к=2
Лемма доказана.
287
Лемма 6. Пусть а = a/q + 9/qT, |(?| < 1, 1 < q < т, (a, q) = 1. Тогда
1ч/2]
52 1/Н“п11 < 4?*°8?-
Доказательство. Для любого натурального числа п выберем у = у(п) так,
что 0 < у = ап — qm < g, и положим
{У,	если у < q/2,

q - У, если у > q/2.
Тогда
||<*п|| - №/? + */?т11 > 11“/? ~ 1/2?1Ь
и, учитывая, что разным значениям п, 1 < п < q/2, соответствуют разные
значения u(n), имеем
[9/2]	[т/2]
52 1 / 11“ПН ч 52 1/(п ~ 1/2) - 4<? 1°89,
п=1	п=1
так как
52 i/k < 2 52 i/л < 2 iogn.
k=l	fc=2
Лемма доказана.
Лемма 7. Пусть а = a/q + 6/q-r, |#| < 1, 1 < q < т < N, (а,д) = 1.
Тогда при U < N имеем:
а)	52 min (N/d, l/||ad||) < 45(U + q + N/q) lo%N,
d<u
и при любом U и М
б)	52 rnin (М, 1/||ас<||) < 10(UM/q + U logg + q logg).
d<U
Доказательство. Сумму первых [q/2] слагаемых оцениваем по лемме 6.
Сумму остальных слагаемых разбиваем на непересекающиеся подсуммы вида
52 > гДе А' = min (2А, U), и каждую из них оцениваем по неравенству а)
A<d<A'
леммы 5, учитывая, что
A/q 4- 1 < ЗА/q, N/d < N/A.
Складывая полученные оценки
15(N/q + Alogg),
и применяя формулу суммирования геометрической прогрессии, получаем оценку
15((N/g) log[7 + ЗП log д),
откуда и следует оценка а) леммы. Оценка б) доказывается аналогично, но
проще, с помощью однократного применения леммы 5.
Лемма доказана.
288
Лемма 8. Обозначим число делителей п через т(п). Тогда при х > 2
X
52 т2(п) = O(xloga:).
п= 1
Доказательство. Переставляя порядок суммирования, имеем
52 т2<п) = 52 т<п) 521 = 52 52 т<п) =
п<х	п<х тп|п тп<хп<х,т|п
= 52 Мт) + т(2тп) + • •  + т(т[ж/т]).
т<х
Используя очевидное неравенство т(аб) < т(а)т(Ь), и оценку Дирихле из § 1,
получаем, что
(т(т) + т(2т) 4-  • • + т(т[х/т]) < т(т) 52 Т(п) < т{т)х logx/m
n<x/m
откуда
52 т(п) « х log х 52 т(п)/п.
П<Х	П<Х
к
Применяя лемму 1 и еще раз оценку Дирихле, находим, что
X
52 т(п)/п < 52 т(п)/х + 0(1) 4- f (t logt 4- O(t))t-2 dt <
n<x	n<x	1
/ X	\ X
< loga: + О I J t~1 dt j 4- J t-1 log t dt < i log2 x 4- O(loga:),
\1	/1
так как по формуле Ньютона - Лейбница
X	X
Jt-1 dt = logx, J t-1 logt dt - i log2 x.
1 1
Отсюда следует оценка леммы.
Лемма 9; Для любого т > 1 и любого иррационального числя в найдется
такое натуральное число д(т) < т и целое число а(т), что
9 - а/? 4- /?, |0| < 1/?т, (а, д) = 1,
причем д(т) —> оо при т —> оо.
Доказательство. Все, кроме последнего утверждения, вытекают из теоремы
Дирихле, многократно доказанной в этой книге. Предположим, что последнее
утверждение неверно, тогда для некоторого с при любом т > 1 верно, что
?(т) < с, значит, для любого N существуют т,, тг > N такие, что
6 - <ч/ч> 4- 0i, 10.1 < 1/giTi, aj/gi a2/?2,
/
10 Арифметика. Алгоришы
Сложное ib вычислений
289
откуда имеем
с 2 < l/?i92 <	- «2/92I = |01 — 021 < 1011 + |0а| <
< п 4- Т2 < 2/7V,
а это ведет к противоречию, так как N —> оо.
Для доказательства теоремы И.М.Виноградова достаточно (согласно критерию
Г.Вейля) проверить, что для любого фиксированного целого к 0 справедливо
соотношение
lim N-1 £ /(р) = О,
где f(n) = е2,г,е*п, а переменная суммирования р пробегает последовательно все
простые числа, не большие N.. Используя лемму 7, положим T = N/logh7V, где
h = 8, представим вк в виде
9к = а/д + /3, |0|<1/?т,
и рассмотрим два случая:
1)д < logh N и 2) logh N < д < N/loghN.
Рассмотрим вначале второй случай. Используя обозначения, введенные в
задаче 16.10, и применяя эту задачу и лемму 1, при некотором to, U < tg < N,
имеем
Е /(р)= 52 /(n)A(n)/logn + 0(№/2logN),C7 = Nl/3,
p<N	U<n<N
(так как при р* < N, к > 1, выполняются неравенства р < Nll2,k < logN),
N
Е /(n)A(n)/logn = S(N)/ logN + f S(t) dt/(tlog2 t),
U<n<N	£
N
|/(n)A(n)/ logn| < |S(7V)|/logN + |S(t0)| J dt/ftiog* t) =
U
= |S(N)|/logN 4- |S(t0)|(l/logCJ - 1/logN) <
< |S(t0)|/logCJ < 3|S(t0)|/logJV,
где
S(N)= E /(n)A(n) = 0!-02-03,
U<t<N
0i = E	E (bgjj/brf), 02 = E	E A<n) E ^(ndr),
d<U	j<N/d	d<V	n<U r<N/dn
03 = E E	E /(nw)A(n).
U<m<N/ird\m,d<U U<n<N/m
Для доказательства теоремы в рассматриваемом случае достаточно получить
оценки Si = o(N/ logTV).
290
Сначала оценим сумму Si. Промежуток суммирования внутренней суммы
(l,N/cZ] разобьем на O(logN) промежутков вида (Л1,Л/1],
М > 1, М1 = min (2Л1, N/d).
Рассмотрим сумму
Si(M) = У (logj)/(jd)-
Применяя леммы 1, 2, неравенство
У g(t)dt/t < У |g(t)|c!t/t < max
dt/t = max |я(t) | logM/M
и лемму 7a), имеем
Л/j
S1(M) = logMj
JW<j<Afi
M
|St (M)| < (log4M) min (M, 1/2Ц0ЫЦ),
l5il < E E (bgj)/(jd) < £ £>.(M)| =
d<U }<N/d	d<U M
= O(log2 N) 52 min (N/d, 1/2||0М||) = O(U + q + N/q} log3 N,
d<U
откуда ввиду неравенств log** N < q < N/ log** N следует, что
$1 =o(N/logN).
Сумма S% оценивается подобным же образом, но несколько проще. Перепишем
ее в следующем виде:
s2 - Е a(m) Е
m<U2 n<N/m
где
а(т) = Е м(^)Л(г).
dr=m
d<U,v<U
Заметим, что a(m) < logm. Действительно, если число чп содержит в своем
разложении хотя бы две нетривиальные степени простых, то для любых d и г
таких, что dr = m, либо г не равно степени простого, либо d не свободно от
квадратов, и поэтому, согласно определению функций д и Л, имеем а(т) = 0.
Если же т = Р^Р2 • • • Рк> то ПРИ <* > 1
|a(m)| < max (|Л(р“)^(р2 ... pfc)|, |Л(р“-1 )ц(р1р2 .. .pfc)|) < logpi,
а при а = 1
к
ia(m)i <	= |osm-
1=1
10*
291
Поэтому
15г| < 52	52 /(nm)
m<U2	n<N/m
<2iogiz 52	52 anm) .
m<U2 n<N/m
Применяя леммы 2, 7a), имеем
|S2| = O(logTV) 52 min(N/m,l/2||efcm||) = 0(U2 + g + N/?)log2N,
m<U*
откуда ввиду неравенств logh N < q < N/ logh TV, следует, что
S2 =O(N/logN).
Рассмотрим сумму S3. Разбивая в ней промежуток суммирования по т на
промежутки вида [Mi,M2], где Mi < М2 < 2М,, разложим ее на O(logN) сумм
вида
S(Mi)= 52	Ь(’п)	52	Л(п)/(птп),
М\<т<М\ U<n<N/m
где функции Л(тп) и 6(п) удовлетворяют неравенствам
|Ь(тп)| < т(»п), |Л(тп)| < logm.
Для оценки S(M\) применяем неравенство Коши. Имеем
W)i2< £ ib(m)i2 52
52	A(n)/(nm)
U<n<7V/m
=	52	i«>(™)i2v,
Mi <m<Mi
где сумму V с помощью леммы 4 и перемены порядка суммирования можно
представить в виде
^=52	£	Л(П1)	52	К(п2)^'кет^~п^.
Mi<m<Mi t/<ni<N/m	JZ<n2<N/m
Перепишем последнюю сумму, переставляя порядок суммирования, в виде
м
v= 52 л(п,) 52 л<п2) 52
I/<n1<N/m	tJ<n2<N/m тп—М^
где М = min (М2, N/ni, N/n2).
Применяя лемму 2, имеем (слагаемые при п, = п2 равны Mi)
V < log2 N £	52	min (Mi, 1 /2||0k(ni — n2)||).
Объединяя вместе слагаемые, для которых |r»i — n2| = n, получаем, что
V < (2 log2 TV) I (N/Mi) 52 niin(Mi,l/2||Wn||) + N
\	n<NJMi
292
откуда с помощью леммы 7б) имеем оценку
V < 2000g2 N)((N/Mi)(N/q + N log N/Mx 4- ?logN) + N) <
< 20(log2 N) ((N/q + (Ni/M)io&N + qNloSN)/Ml+N).
Применяя лемму 8, отсюда выводим, что
\S(Mt )|2 « Mt log Mi log N((N2/q + (N2/Mi + ?N)logN)/M, + N) «
« log5 N)(N2/q + ((№/M) 4- q/V) logN + NMi.
Воспользовавшись неравенством
(x + У + z 4- t)‘/2 <	4- „1/2 + г1/2 + tl/2,
просуммировав получившиеся геометрические прогрессии и учитывая, что
17 < Mi < N/U) имеем
|S3| < 52 ls(M)l « ^q~1'2 logN 4- (NU-1'2 4- (?N)1/2) log1/2 N+
4-7W1/2) log5/2 N = (Nq'1/2 4- NU'1/2 4- (<jN)1/2) log7/2 N.
Отсюда при log5 N < q < N/ log1* N следует, что
S3 = o(N/logN).
Рассмотрим первый случай, т.е. предположим, что
9k = a/q + /3, |/3| < 1/дт, т = N/ log5 N,q < logh N, (a,q) = 1.
Из полученного при рассмотрении второго случая равенства
52/(р)= 52 /(п)Л(п)/logn 4-О(№/2 logN), <7 = №/3,
p<N	U<n<N
следует, что достаточно получить оценку для
,S0(N)=	/(”)A(n)/iogn.
n<N
Справедлива следующая цепочка равенств:
S(N) = 52 /(п)Л(п) =	52	Л(п)е2-(“/’+«" =
n<N	1=1 n<N
' /	= 1 п=/ (mod <jr)
/ 	Я
j	=52 е2Т'а/Ч Z2 Л(п)е2,г,3п.
1=1	n<N
(i(q)=l	n = i (mod g)
Обозначим через	сумму
V/(x,gJ)=	52 Л(п) = x/y>(q) + R(x,q,l).
n<N
nSl (mod q)
293
В силу теоремы Зигеля - Вальфиша для любого фиксированного числа h > 1
и 1 < q < log^ х существует постоянная с = c(h) > 0 такая, что
|Я(х, ?,<)| = О	.
Применим преобразование Абеля (см. лемму 1) к внутренней сумме в выражении
для Sq(N). Получим
52	Л(п)е2^" = ^Мп,д,1)-^П-1,ч,1))е2^п =
n<N	n<N
п=/ (mod q)
= e2n'eN4,(N,q,l)+ 52 V-(n)gJ)(e2’r'^n - e2’"*3("+1)) =
n<N — 1
= -2Le2”^ + V —(e2'Mh> _ е2я.«п+1)) + R<N,q,l)e2”^N+ .
*(’)	n<V-l *<’)
+ 52 R(n,q,l)(e2n,^n - e2^(”+l)) = _2_ 52 e2’1*3" + R,
n<^-l	VW n<N
где
|/?|< |7?(N,g,0l+ 52 |H(n,?,<)||l - e2^| <
n<7V—1
< |fl(N,g,/)| +2^101 52 |7?(n,g,0| =
n<N — 1
= О I Ne-C'^ + 2%|/3|We-i‘>/'°s77 + 2?r|/3|	52 ne-cv/i°«7 j =
\	\/N<n<N	/
- О	, 6 = c/2,
в силу монотонности функции xe~c'^,og 1 (очевидной после ее логарифмирования).
Таким образом,
, «
So(N)=-7-v V е2’1*1'/’ 52 е^’^+До-зо + Яо,
(Ст) = 1
где
|Яо|= 52 |Я| = О (Nqe-b'fi°g”'j = О (Ne-1'/5’*'3*') , d = Ь/2.
/=1
(М) = !
Воспользуемся тем, что поскольку (a, g)= 1,
е2-“'/’ = ц(д).
1=1
('.<?) = !
Поэтому
1«о| < -у-Г
v(?)
< -2L
294
Учитывая, что q —> оо при N —> оо, окончательно имеем
|S0(N)|/N < (|Л0| + |Ho|)/N < О (e~<V^") + J- _> о.
\	)	<р(?)
16.83.	Решение этой трудной задачи можно получить, если воспользоваться
критерием Вейля и формулой Вона (задача 16.7).
16.84.	Рассмотрим следующие функции: <р(тп,£), которая равна 1/т-й
доле количества тех из первых т простых чисел, у которых дробная часть
натурального логарифма не превосходит заданного £, где 0 < 4 < 1; функции
<р_(<;) и ¥>+(£), которые равны соответственно нижнему и верхнему пределам
<р(тп,£) при т —> оо, и функцию N(x), равную количеству простых р, не
превосходящих ех. Тогда
N(x)<p(N(x),£) = N(1 + ()-N(l) + JV(2 + О - ЛГ(2) + • •  + ЛГ([аг] - 1 + {)-
—N([k] — 1) + N(min(x, [т] + £)) — N([a:]).
Из асимптотического закона распределения простых чисел Адамара и Валле-
Пуссена при х —> оо получим, что
N(x) ~ ех/х
(знак ~ здесь и далее обозначает асимптотическое равенство, т. е. a(n) ~ Ь(п)
означает, что lim a(n)/6(n) = 1). Отсюда и из теоремы Штольца - Коши (см.
П=1
задачу 16.6) при п —> оо следуют равенства
71 — 1	П — 1
N(n + £)~en+«/n, ^N(*-H)~ £2е*+«/*:.
fc=l	k=l
Проверим, что
(e-l)£efc/fe~e"/n.
fc=l
Для этого выберем число тп так, что 2\/п > п —тп > \/п, и оценим сумму сверху
и снизу следующим образом:
Воспользовавшись тем, что
(е-1)£е*/Л~е"/п,
получаем соотношение
^Я(к + е)~г"+е/(»(е-1)).
fc=l
295
Последовательность {lnpn} всюду плотна на [0,1), так как отношение двух
последовательных простых чисел стремится к единице при стремлении номера
простого числа к бесконечности согласно асимптотическому закону распределения
простых. Поэтому для любого а, 0 < а < 1, существует такая последовательность
натуральных чисел jn, что {1пруп}—при п —► оо. Заметим, что
N (In р,„) - jn-
Проверьте, что если а(п) ~ а'(п), 6(п) ~ Ъ'(п), то
min (a(n), 6(n)) ~ min (а'(п), 6'(п)),
если а(п), Ь(п) и а(п) + 6(п) одного знака, то к тому же
а(п) + Ь(п) ~ а'(п) + Ь'(п),
а если при некоторых константах С] и Cj > 0
, Cll“(n)l < 1“(п) ~ Ь(п)1 < С2|а(п)|,
то а(п) — b(n) ~ ах(п) — i/(n).
Тогда из предыдущих рассмотрений имеем
nlinio(p(N(lnpJn,€)) = F(^a),
где
eaF(£, а) = (е^ — 1 )/(е — 1) + min (еа, е^) — 1 =
{(е^ — 1)/(е — 1) + еа — 1, если 0 < а <
е(е€ _ 1)/(е — 1),	если £ < а < 1.
Функция F(£,a) на отрезках [0, £] и [£, 1] принимает минимальные и максимальные
значения в их концах 0,	1 и эти значения равны
(е«-1)/(е-1) и е(е« - 1)/(е- 1).
В силу выпуклости функции ех справедливы при 0 < £ < 1 неравенства
£ < ef - 1 < (е - 1)£.
Отсюда следует, что при 0 < £ < 1
° < V-(4) < (ef - 1)/(е -!)<{< e(ef - 1)/(е - 1) < <Р+(£) < 1-
В случае же равномерного распределения последовательности {In р} согласно
критерию Вейля
v-Ю = £ = ^+(£)-
Приведенное решение принадлежит А.Уинтнеру (On the cyclical distribution of
the prime numbers. //Quart.J.Math. 1935(1). 6. P.65 - 68).
16.85.	Примените задачи 16.82,16.83,16.14.
16.86	-	16.88.	Пусть	1/n =	rj/п < гг/n < • • • <	r^^j/n	=	(n	—	l)/n	—	все
правильные	несократимые	дроби	со знаменателем п.	Согласно	критерию	Вейля
для выполнения для любой интегрируемой функции /(х) равенства
1	*’(п)	Г
К™ -ГТ	52 Лг’/П) '= / Кх) dx
n-юо <^>(п) ТТ	J
*—1	о
296
необходимо и достаточно выполнения при любом целом к равенства
х ¥>(")
lim -т-т'У* g(krs/n) - О,
П-ЮО <р(п)
где д{х) = е2,г|Х. Для доказательства последнего равенства воспользуемся тожде-
ством для функции Мёбиуса
У^ 11(d) = 1, если п = 1, и fi(d) = 0, если n > 1.
d|rt	d|n
Меняя порядок суммирования, и заменяя далее индекс суммирования d на n/dy
имеем
¥>(п)	п
Sn = 52 з(кг,/п) = ^gikrsln) м(<0 =
3=1	3=1	d|(r,n)
[n/d]	d
= 52 9-(л) 52 s(Wr/n) = 52 м(«/^) 52a(fcr/d)-
d|n r=l	d|n	r=I
Отсюда с помощью формулы суммирования геометрической прогрессии выводим,
что
d
sn = 52^(n/o() 52a(fcr/d)= 52
d|n	r=l	d/midn
где
5(fc,d)=P’	«-И dlfc-
[ .0	- в противном случае.
Учитывая, что сумма имеет ненулевые слагаемые только при d | к и d | п
(поэтому каждое из них и их количество не превосходят к) имеем оценку
|*$п| —
52 id(n/d)ds(k,d)
d|n
52 l*(n/d)dS(k, d)
d|(n,fc)
из которой и следует, что
1 *’(n)	S
Нт —— 52 9(krs/n) = lim —= 0,
n->oo (p(n) ^7^	п-юо <p(n)
так как <f(n) —► оо ( как видно из формулы Эйлера). Тем самым доказано, что
lim	= / f(x) dxy
»-юо	J
0
где
V>(n)
= 52 /(r»/n)-
5= 1
297
Применяя теорему Штольца, получаем
/ N	\	/ N	\	’
jjj’So (УЗtn) /152	)= / л^)dx-
П->°° \п=1 /	\п=1	/	J
Приведенное решение принадлежит Дж.Пойя.
16.89.	Условия а) и б) можно переписать в следующем виде:
1)	Е ^ = О(п'">);
1/=1
2)	Е |5,| = О(п*/2+').
1/=1
Рассмотрим утверждение
3) IЕI = о(п1/2+е)-
Отметим, что оно эквивалентно не только гипотезе Римана о нулях дзета-
функции, но также и следующему утверждению: для количества тг(х) всех
простых чисел, не превосходящих ху справедлива формула 1
X
Ах) = [ А + °(ж1/2+‘)-
J In t
2
Доказывать это, однако, мы здесь не будем. Покажем, что справедлива цепочка
следствий 1) -> 2)-> 3). На самом деле, также справедливо следствие 3) —> 1),
которое мы тоже здесь не будем доказывать. Утверждение 1) —> 2) вытекает из
частного случая неравенства Коши
N	/ N	\
Ё^1<№/2
|/=1	\р=1 /
и неравенства 1), которое вместе с предыдущим неравенством и теоремой
Дирихле (см. § 3) дает, что
1/=1
Докажем утверждение 2) -4 3). Применяя формулу
p,(d) — 1, если п = 1 и У2 м(^) = 0» если n > 1,
d|n	d|n
меняя порядок суммирования и используя формулу суммирования геометрической
прогрессии, заметим, что
к	к
£2 е2^.т/* _ £2	22 M(d) =
m=l	d|(m,fc)
k/d
= ^y(d)'£e2’'id‘f'' = Li(k).
«=1
298
Из этого равенства выводим цепочку равенств
n	п к	N
£>(*) = £ Z e2’'m/fc = £e2-“-
fc=l	fc = l m=l	5=1
(rn,fc) = l
N
5Pe27ri(rf8+a/N) _
= 52 e2”is/N 4- 52 e2n,,/N (e2n,>’ - 1) = St + S2 = S2,
a=l	5=1
так как в силу формулы суммирования геометрической прогрессии
S1 = 52 e2’r,’/N = О.
Далее имеем
|S21 < £ le2-5- - 11 = £ |sin%5,| < Е l^l-
5=1	5=1	5=1
Таким образом в силу 2) доказано неравенство
< %£ |5„| = O(n*/2+‘).
j=l	•=!
16.90.	Для решения этой очень трудной задачи надо воспользоваться
разложением в ряд вида $2 ak sin 2тгкх + Ь* cos2?rA:x (ряд Фурье) функции /(г) с
периодом 1, определенной на интервале [0,1) равенством
/(*) =
1,
1/2,
0
если
если
а<г<^/3,О<а</3<1,
х = а илих ~ /3,
- в остальных случаях.
(См. И.М.Виноградов. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.,
Наука, 1980, с.22, лемма 2).
16.91	— 16.92. См. оригинальную работу M.Tsuji. On the uniform disribution
of numbers mod.1.//Journal of the Mathematical Society of Japan. 1952. - V. 4,
№3 - 4. P. 313 - 322.
16.93.	См. I. Schoenberg. Ueber die asymptotische Verteilung reeller Zahlen
mod.1.//Math. Z. 1928. - B. 28. S. 171 - 199.
§ 17. БЫСТРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ С ЦЕЛЫМИ
ЧИСЛАМИ, МНОГОЧЛЕНАМИ И ДРОБЯМИ
Еще средневековые математики Ближнего Востока нашли простой
подход к вычислениям с дробными числами — использование десятич-
ных позиционных дробей. Позиционная десятичная система попала
туда, видимо, из Индии, хотя позиционные дроби, правда не десятич-
ные, а шестидесятеричные, были известны в Шумере, а десятичные
дроби, кажется, впервые появились в Китае. Но заслуга введения
299
десятичных дробей и алгоритмов действия с ними в практику принад-
лежит нидерландскому ученому и инженеру Симону Стевину (1548 -
1620).' Сейчас эти алгоритмы с успехом работают в любом микро-
калькуляторе, что вполне может привести к тому, что школьники
совсем разучатся их выполнять вручную.
Однако мало кто знает, что относительно недавно были открыты
гораздо более быстрые алгоритмы умножения и деления многозначных
чисел и многочленов (и, разумеется, позиционных дробей). Первый
такой алгоритм придумал в 1962 г. А.А.Карацуба, отвечая на вопрос,
поставленный А.Н.Колмогоровым.
Идею метода Карацубы можно пояснить на следующем примере.
Пусть перемножаются восьмизначные числа U = Ui...ug и V =
= vi ... vs- Представим их как двузначные числа в 104-значной системе
счисления: U — UiU2, V = ViV2. Тогда их произведение можно
представить в следующем виде:
UV = [/j Vi 108 + ((/Л - [/2)(У2 - Vi) + lhVr + U2V2) 104 + U2V2.
Эта формула сводит умножение восьмизначных чисел к трем опера-
циям умножения и шести операциям сложения - вычитания четырех-
значных чисел (с учетом переносов в следующие разряды). Обычный
способ требует четырех умножений и трех сложений - вычитаний,
но так как три раза сложить четырехзначные числа можно быстрее,
чем один раз перемножить, то метод Карацубы уже восьмизначные
числа умножает быстрее. В общем случае он требует для умножения
n-значных чисел по порядку не больше
nlog33<nl,585
операций над цифрами, для школьного же метода требуется по
порядку я2 операций.
Впоследствии А.Л.Тоомом (в 1963 г.) и Ф.Штрассеном совместно
с А.Шенхаге (в 1969 г.) были построены более быстрые алгорит-
мы умножения n-значных чисел при больших значениях п (но эти
алгоритмы существенно более сложные для понимания). Так, ал-
горитм Шенхаге-Штрассена, требующий для умножения п-значных
чисел по порядку п log2 п log2 log2 п операций, начинает превосходить
по скорости работы метод Карацубы лишь при п порядка нескольких
тысяч.
Далее читатель познакомится с некоторыми результатами о слож-
ности вычислений более подробно.
В первом (очень простом) цикле задач речь идет о том, как по
возможности быстрее следует производить арифметические операции
с дробями, сводя их к операциям над целыми числами.
300
17.1.	Пусть (a,d) = gi,(b,c) = <72- Докажите, что
((«/<71) (с/5г), (d/gi) (b/g2)) = 1.
17.2.	Допустим, что дроби а/b и c/d несократимы и числа a,b, с, d
меньше 10" . Предложите способ умножения и деления этих дробей,
в котором все промежуточные результаты будут меньше 10" , если в
окончательном ответе числитель и знаменатель меньше 10" .
17.3.	Пусть
(a,b) = (с, d) =, 1, (b,d) = gi, t = ad/gr + bc/gx, (t,gl)=g2.
Докажите, что b делится на g2 и
(t/g2, (d/gi)(b/g2)) = i.
17.4.	Допустим, что дроби a/b и c/d несократимы и числа a, b, с, d
меньше 10" . Предложите способ сложения и вычитания этих дробей,
в котором все промежуточные результаты будут меньше 10" , кроме
одного, который будет меньше 102" , если в окончательном ответе
числитель и знаменатель меньше 10".
Легко видеть, что аналоги задач 17.1 - 17.4 имеют место и для
алгебраических дробей.
Прорешав следующий цикл задач, читатель научится быстрее умно-
жать многоразрядные числа и многочлены высоких степеней, чем его
учили в школе.
17.5.	Проверьте, что умножение двух многочленов степеней, мень-
ших 2п, можно свести к умножению трех пар многочленов степеней,
меньших п, и сложению четырех пар многочленов степеней, мень-
ших п, и вычитанию двух пар многочленов степеней меньших 2п с
помощью тождества
(Л*” +/о) (<71«п + <7о) =
= figix2n + ((/1 + /0) (gi + до) — j\gi — fogo) + fogo-
Обозначим через M(n) наименьшее количество операций сложения,
вычитания и умножения (выполняемых над коэффициентами много-
членов и промежуточными числовыми результатами), требующихся
для перемножения двух многочленов степеней, меньших п.
17.6.	Докажите, что М(п) < 2М (]n/2[) + М ([п/2]) + 4 [п/2] + 2п — 4.
17.7.	Проверьте, что обычный способ умножения многочленов дает
оценку М (п) < М„ (п) = п2 + (n — I)2 .
17.8*	. (Карацуба) Докажите, что при 2* | п справедливо неравенство
М (n) < 3fc (М (n/2fc) + 8n/2fe - 2) - 8n + 2,
301
а при любом п — неравенство
М(п) < (35/3) nlog=3.
17.9*	. Найдите наименьшее п, прй котором М (n) < Ms (п), и
наименьшее п, начиная с которого М (л) < М, (л).
17.10*	. Найдите возможно меньшую константу в оценке Карацубы
при больших я
М (я) <Сп|ов’3.
Обозначим через М (тп, я) наименьшее количество операций сложе-
ния, вычитания и умножения, требующихся для перемножения двух
многочленов степеней меньших т и я соответственно.
17.11.	Докажите, что при т > я справедливо неравенство
М (гп, я) < ]т/п[М (я) + т — т/п
и при т/п —> оо и предположении, что М (я) /я —> оо при я —> оо ,
справедливо асимптотическое неравенство
М (т, я) < тМ (я) /я.
Обозначим через М (я) наименьшее количество операций сложения,
вычитания и умножения, выполняемых над числами, меньшими а,
требующихся для умножения двух я-значных чисел, записанных в
позиционной системе счисления по основанию а.
17.12.	Докажите, что сложение двух я-значных чисел можно
выполнить за 2я — 1 операцию, вычитание из большего меньшее -
за Зя — 1 операцию, вычитание с определением знака разности - за
4я — 1 операцию, а сложение (я + позначного числа с я-значным
можно выполнить за 2я + т — 1 операцию.
17.13.	Докажите, что обычный способ умножения чисел дает
оценку
М (я) < М, (я) = 5я2 — Зя — 2.
17.14*	. Докажите методом Карацубы, что
М (2л) < ЗМ (я) + 19л - 2, М (2л + 1) < 2М (я + 1) + М (я) + 17л + 10.
17.15*	. Получите для М (л) оценку Карацубы (по возможности с
лучшей константой ).
17.16*	. Найдите наименьшее я, начиная с которого М (я) < М, (я).
Обозначим через М (гп, п) наименьшее количество операций сложе-
ния, вычитания и умножения, требующихся для умножения
m-значного числа на я-значное.
302
17.17.	Докажите, что при т > п справедливо неравенство
М (т, л) < ]т/п[М (л) + 2т — п + 1
и при т/п -> оо и предположении, что М (л) /п —> оо при п —> оо,
справедливо асимптотическое неравенство
М (т, л) < тМ (л) /я.
17.18*	. Предполагая, что М (я) /я монотонно стремится к оо при
п —> оо, докажите, что для возведения записанного в двоичной системе
числа х в N-ю степень достаточно 2М (]Nlog2 х [) (1 + о (1)) операций.
Если для любого С при достаточно большом т/п в сравнении с я
справедливо неравенство М (т) п/ (М (я) т) > С, то для любого е при
достаточно большом N в сравнении с х для вычисления xN требуется
не более Л/(]./Vlog2 х[) (1 + с) операций.
Получите аналогичный результат для возведения в степень много-
членов.
Очередной цикл задач посвящен быстрому делению многочленов.
В нем будет показано, что деление можно выполнять по порядку с
той же сложностью, что и умножение.
Обозначим через Dq (m, л) наименьшее количество арифметиче-
ских операций над числами, требующихся для нахождения неполного
частного при делении многочлена степени не выше т на многочлен
степени л, а через D(m,n) - сложность деления этих многочленов,
в которую включается также сложность нахождения остатка от де-
ления и произведения неполного частного на делитель. Очевидно,
что при т < п обе эти величины равны нулю. Далее для удобства
изменим определение. М (п,т), заменив его на М (л + 1, т + 1), т.
е. обозначим через М (т, л) сложность умножения двух многочленов
степеней тип соответственно.
Для любых двух многочленов р (х) и q (х) обозначим через
[р(х)/д(х)] целую часть рациональной функции р(х)/<?(х), т. е.
неполное частное при делении р (х) на q (х). Дробную часть этой
функции, т. е. разность р(х) /q (х) — [р(х) /q (х)], обозначим через
{р(х) /q (х)} . Тогда остаток от деления р(х) на q (х) равен числителю
последней дроби, т. е. q(х){р(х)/q (х)}.
17.19.	Докажите, что если определить D(m, л), не требуя вычи-
сления произведения неполного частного на делитель, то сложность
уменьшается не более чем на п.
17.20.	Докажите, что при т > л справедливо неравенство
D (т, л) < Do (т, п) 4- М (т — п, я) + л.
303
17.21.	Докажите, что при т > п справедливо неравенство
D(m, n) < D (2п — 1, п) [т/п] < mD (2п, п) /п.
Обозначим через R (тп, п) наименьшее количество, арифметических
операций над числами, требующихся для нахождения неполного част-
ного при делении многочлена хт на произвольный многочлен степени
п. Очевидно, что R (т, п) <. D (т, п) .
Правильной называется дробь, у которой степень числителя
меньше степени знаменателя.
17.22.	Докажите, что сумма правильных дробей - правильная
дробь, сумма дробных частей нескольких рациональных функций
равна дробной части их суммы, и то же самое верно для суммы
их целых частей. Если разность между рациональными функциями
равна правильной дроби, то их целые части равны.
17.23.	Пусть у рациональной функции Ri степень числителя не
больше степени знаменателя. Тогда для любой рациональной функции
7?2 справедливо равенство [Я1 [/?г]] = [7?i R2] •
17.24.	Докажите, что при т > к сложность вычисления к стар-
ших коэффициентов в произведении многочленов степеней т и п не
превосходит величины М (к, п).
17.25.	Докажите, что при т > п справедливо неравенство
Dq (m, п) < R (т, п) + М (т, т — п).
17.26.	Докажите, что функция М (п,т) монотонна по обеим
переменным, a D(m,n) и R(m,n) - только по первой.
17.27.	Докажите неравенства
М (п,т) > п + т + 1, D (п,т) > п + т + 1.
17.28*	. Пусть многочлен Рк =	, где д - заданный многочлен
степени п со старшим коэффициентом а, а следующим - b . Докажите,
что Pi (z) = а~1х — а~2Ь,
P2k+i = 2  хк+1Рк - [Р^д/х^1] , Р2к = 2 • хкРк - [Ркд/хп] .
17.29.	Положим для краткости Rk — R (п + к, п). Докажите, что
при любом к справедлива оценка
Я* < Ярс/2] + М ([^/2]) + М [к) + 2 [к/2] + 2.
17.30.	Положим
[&],. = [[*],-_!]!, Mi = [Л/2], т = [log2 к],
304
и обозначим через и (к) сумму всех цифр двоичной позиционной записи
числа к.
Докажите, что
тп	тп
'£[k]i = ^[k/2i]=k-y(k).
«=1	1=1
17.31.	Докажите, что справедливо неравенство
М (2n + 1, п) < 2М (я) 4- п.
Пусть М(я) обозначает любую функцию такую, что
М (я) < М(я) < М(2п) /2.
17.32.	Докажите, что Я* < ЗМ(А) + 2к + 2 [log2 — 21/ (к), в част-
ности, при к — 2’ — 1, справедливо неравенство
Rk < ЗМ(Л) + 2Л —2.
17.33.	Докажите, что
R (т;п) < 3M(m — п) + 2(т — п) + 21og2 (т — п).
17.34.	Докажите, что D (2я, п) < 6М(я) + 4п + 2 log2 я.
17.35.	Докажите, что при т > 2п справедлива оценка
6mM(n)
D (т, я) <--------1- 6т,
п
а при п —> оо и предположении, что М(п) /п —> оо справедливо
асимптотическое неравенство
D (т, п) < 6тМ(я) /п.
17.36.	Докажите, что при п < т < 2п справедлива оценка
D (т, п) < 2тМ(т — п) / (т — п) +
+4М(т — п) + п + 2 (т — п) + о (т — п),
а при условиях т — п —> оо, (т — п) /п —> 0 и предположении, что
М(п) /п —> оо и М(п) /я2 —> 0 справедливо асимптотическое неравен-
ство
D (т, я) < 2тМ(т — я) / (т — я).
305
17.37.	Докажите, что при любых неотрицательных целых т,п,к,з
справедливо неравенство D (т + к + з, п + к) > D (гя, л) , и, в частно-
сти, последовательность D(2л,п) монотонна.
17.38.	Докажите, что при любых натуральных п,к, к > 1, имеет
место неравенство D (пк, п) < (к — 1) D (2л, л).
17.39.	Пусть для рациональных функций Ri и Яг удвоенная сте-
пень многочлена [Яг] не меньше степени многочлена [Я1]. Докажите,
что справедливо равенство [Я1/ [Яг]] = [Я1/Я2] 
17.40.	Докажите, что для любых многочленов f и д степени п
справедливо тождество
_ x3nf '
19 " 1[^3"/<7]. ‘
Положим для краткости D (л) = D (2л, я).
17.41.	Докажите, что
Af (n) < 2D (я) + D (2л).
17.42.	Докажите, что D (2л) > М (я) /2.
Пусть Д (я) обозначает любую функцию, удовлетворяющую соот-
ношениям
D (я) < Д (я), Д (п) /Д (2я) —> 1/2.
17.43.	Докажите, что Д (я) > М (л) /4.
В следующем цикле задач речь идет о быстром делении чисел.
Его результаты во многом аналогичны предыдущему циклу. Далее
обозначаем через {{х}} ближайшее целое к числу х, причем при
целом п полагаем {{я+1/2}} = я 4-1, а вместо [2пх]2~” пишем хп .
17.44*	. Пусть г* = Zk-\Zkfi,Zkt\---Zktk — двоичная ^-разрядная
дробь такая, что
\zk - 1/?| < 2-fe,
где 1/2 < q < 1, и
Z2k-i = {{(2zk-q2k+2zt) 22*-1}} 21-2/с.
Докажите, что
|z2fe-i - 1/<?| < 2-2/c+1, 1 < z2fc_i < 2
и Z2&-1 - двоичная (2А — 1)-разрядная дробь.
Обозначим через Rk наименьшее количество операций над числами
О и 1, требующихся для. нахождения двоичной ^-разрядной дроби
zk такой, что |zfc — l/g| < 2~к, где q - заданная двоичная дробь,
1/2 < q < 1, а через М(л) - любую функцию, удовлетворяющую
соотношениям М (л) < М(л) < М(2л) /2.
306
17.45.	Докажите, что
Rk < Я[*/2]+1 + м ([fe/2] + 2) + М (2[Л/2] + 4) + О (к) <
< Л[*/2]+1 + М ([&/2] + 1) + М (к) + О (к).
17.46.	Докажите, что Rk < ЗМ(А) + О (к).
Обозначим через R(m, п) наименьшее количество операций над
числами 0 и 1, требующихся для нахождения [2m~1/Q], где Q -
п — 1
произвольное двоичное n-разрядное число, Q =	2‘ап_<, где otj = О
•=о
или 1, ап-1 = 1-
17.47.	Докажите, что R(k + п,п) < Rk + М (к,п) + 2к.
17.48.	Докажите, что
R (т>п) < 3M(m — п) + М (т — п,п) + О (гп — п).
Обозначим через D(m, п) наименьшее количество операций над
числами 0, 1 требующихся для нахождения неполного частного и
остатка при делении не более чем m-разрядного двоичного числа на
n-разрядное двоичное число, а также произведения неполного частного
на делитель.
17.49.	Докажите, что при т > п справедливо неравенство
D (m, n) < 4M(m — п) + М (п, т — п) + О (т).
17.50.	Докажите, что функция М (п,т) монотонна по обеим
переменным, a D(m, п) и R(m, п) - только по первой. Докажите,
что при любых неотрицательных целых т, n,k,s
D (т + к + s,n + к) > D (m, п), R(m + к + s,n + к) > R (тп, п),
и, в частности, последовательность {Л(п)}, равная по определению
{Р(2п,п)}, монотонна.
17.51.	Докажите неравенства
М (п, т) > п + т — 1, D (n, т) > п + т — 1.
17.52.	Докажите, что при т > 2п справедливо неравенство
D (m, п) < D (n)	1) + О (т) < mD (п) /п + О (т).
17.53.	Докажите, что D(n) < 5М(п) + О (п).
17.54.	Докажите, что при т > 2п справедливы оценки
D (m, п) < 5mM(n) /п + О (т) ,
307
а при л —> оо и предположении, что М(л)/л —> оо, справедливо
асимптотическое неравенство
D (т, п) < 5тМ(п) /п.
17.55.	Докажите, что при п < т < 2п справедлива оценка
D (гя, п) < nM(m — п) / (т — п) + 4М(т — я) + О (л) ,
а при условиях т — п —> оо, (т — л) /п —> 0 и предположении, что
М(л) /я —> оо и М(л) /п = о(п), справедливо асимптотическое нера-
венство
D (m, л) < nM(m — п) / (т — я).
17.56.	Пусть А и В - я-разрядные двоичные числа. Докажите,
что
*"",А = ля
17.57.	Докажите, что D (я + 1) < D (я) + О (я).
17.58.	Докажите, что
М (я) < 2D (я) + D (2я) + О (я).
17.59.	Докажите, что D (2л) > М (я) /2.
«V
Пусть Д (я) обозначает любую функцию, удовлетворяющую соот-
ношениям D (л) < Д (л), Д (л) /Д (2л) —> 1/2, Д (я) /л —> оо.
17.60.	Докажите, что Д (я) > М (я) /4.
В последнем цикле задач речь о возведении чисел в квадрат и
извлечении квадратных корней.
Обозначим через К(п) сложность возведения л-разрядного числа в
квадрат. Очевидно, что К(п) < М(п).
17.61.	Используя тождество
(a + b)2-(a-b)2
4
докажите неравенство М(п) < 2К(п) + Пл+ 0(1).
17.62.	Докажите, что для любого п-разрядного числа х число
24"-1
.[г4"-1^] - [24«-!/(г.+ 1)]J ~Х
отличается от х2 не более, чем на 3.
308
Обозначим для краткости Я(2п,п) через /?(п).
17.63.	Докажите неравенство
К(п) < /?(4п, 2п) + 2Я(4п, я) + О(я) < 3/?(3я) + О(п).
Из утверждений задач 17.53,17.60,17.61,17.63 вытекает, что функ-
ции К(п), М(п), D(n), R(n) имеют одинаковый порядок роста.
Определим теперь функцию. SQR(n) как сложность вычисления
для любого я-разрядного числа х целой части его арифметического
квадратного корня.
17.64.	Докажите для любого целого х, 0 < х < 2П, равенство
[\/212п+е + а: • 29п+6] = 26п+3 + х  23п+2 - х2
17.65.	Докажите неравенство К(п) < SQR(12n + 7) + 4я.
17.66*	. Докажите неравенство SQR(n) < С-М(п), где С - некоторая
константа.
УКАЗАНИЯ
17.1.	Воспользуйтесь тем, что ((а/<ц), (d/si)) = 1 = ((с/д2), (Ь/д2)) и приме-
ните, например, теорему об однозначности разложения на простые множители.
17.2.	Воспользуйтесь тем, что
(°/31)(с/зг) _ ас
Wgi)(b/g2) db’
и примените задачу 17.1.
17.3.	Для решения удобно применить теорему об однозначности разложения
на простые множители. Число b делится на д2, так как д2 | gi и gi | Ъ. Поэтому
32 I \d/gi)b, а так как д2 | t, то д2 | (t, (d/gt) b). Так как ((Ь/ffi) , (<*/31)) = 1 = (с, d),
то (t, (d/gi)) = 1, значит, (t, b) = (t, (d/gj) 6) и g2 | (t, b). Ho tgi = ad + 6c, (a, b) = 1,
следовательно, (t,b) | d, потому и (t,b) | (d, b) = git откуда имеем, что (t,b) |
(*>31) =32, а это вместе с тем, что д2 |(t,f>), дает равенства (t,b) = g2 и
(*/32 > (°*/31) (^*/32)) = (t,(d/gi)b) /д2 = (t,b)/g2 - 1.
17.4.	Примените 17.3 и равенство
*/32	_ ad + be
(d/gt)(b/g2) bd
а также неравенства д2 < gi < b < 10п.
17.6.	Применим равенство
(л*|п/21 + /о) (з1*(п/21+зо) =
= /151^2[п/2] + ((/1 + /о) (31 + зо) - /13! - /oso)^tn/21 + /озо,
309
где степени многочленов fi и gi меньше ]п/2[, а степени многочленов /о и Зо
меньше [п/2], и заметим, что для вычисления произведений /1З1, /оЯо требуется
не более М (]п/2[) + М ([п/2]) операций, для вычисления сумм /1 +/о, 31 +
+3о, /1З1+/0З0 нужно не более 2[п/2]+2[п/2]—1 операций (так как число операций
равно наименьшему из количеств ненулевых коэффициентов у складываемых
многочленов), для вычисления произведения (/1 +/0) (si + Зо) используется не
более Л1(]п/2[) операций, для вычисления разности (Д + /о)(31 + Зо) —/131 —/оЗо
достаточна п — 1 операция, так как
(/1 + /о) (31 + Зо) — /131 — /оЗо = /15о + /0З1.
значит, степень этого многочлена равна [п/2]+]п/2[—2 = п — 2, сложение мно-
гочленов /оЗо и /131Г2[п^2^ выполняется “бесплатно”, так как они не имеют
подобных членов, причем в их сумме отсутствует член вида т2!"/2!-1, поэтому
для сложения многочленов
/оЗо + /131 х2'"/2! и (/13о + /о31)*[п/2)
достаточно п —2 операции. В результате требуется дополнительно 4[п/2] + 2п —4
операции.
17.7.	Для вычисления произведения двух многочленов степеней, меньших п,
требуется п2 попарных умножений их коэффициентов и для вычисления каждого
из 2п — 3 коэффициентов, кроме старшего и свободного членов, требуются еще
операции сложения в количестве на 1 меньше, чем число соответствующих
слагаемых, поэтому общее число сложений на 2п — 3 меньше числа п2 — 2
складываемых произведений.
17.8.	Пусть 2fcm = n. Тогда неравенство
М (п) < 3* (М (тп) + 8тп — 2) — 8п + 2
доказывается индукцией по к. База (fc = 1) доказана в 17.6. Шаг индукции
обосновывается тем жё неравенством 17.6.
Выберем к так, чтобы 2* < п < 2fc+1. Тогда если 3 • 2*-1 < п, то
М (n) < М (2fc+1) < 3fc-1 (Л1 (4) + 30) < 3fc-1  55 <
< 55 • Г —У°*2 3 < —п'°*3 3.
ХЭ/	3	j
Если же п<3*2*-1, то	;
М(п) < М (.3 -2*-1) < 3*~‘ (М (3) + 22) < З*-1 -35 < (35/3)п|о«».
17.9.	С помощью 17.6 - 17.7 проверьте, что М (п) < М3 (п) при п = 6 и
8 < п < 15. Используя последнее утверждение как базу, докажите при п > 8
неравенство М (п) < Ms (п) по индукции, осуществляя индукционный переход от
пип+1к2пи2п+1с помощью 17.6 и неравенств
ЗМ, (п) + 8п - 4 = 3 (п2 + (п - I)2) + 8п - 4 < 4п2 + (2п - I)2 = М, (2п),
2AG (п 4- 1) +	(п) + 8п = ЗМ3 (п) + 16п — 4 <
< М9 (2п) 4- 8п — М? (2п 4- 1),
310
т. е. предполагая неравенство М (п) < Ма (п) верным при 2к~1 < п < 2*,
доказываем его справедливость при 2* < п < 2fc+1.
17.10.	Разбейте интервал 2* < п < 2fe+3 на части 2* < п < 3*2*, 3*2fe < п < 5-2fe,
5 • 2* < п < 7 • 2fc, 7 • 2fc < n < 2*+3 и рассуждайте подобно 17.8.
17.11.	Представьте многочлен степени, меньшей т, в виде
/о 4-/1х" +   • + /кхПк >
где к =]m/n[—1, и степени многочленов /; меньше п и, используя тождество
(/о + /1х” 4- • • • 4- Ax"fc) 9 = (fog 4- Едя" 4- •  • 4- АзхП*) ,
и неравенство m/п > ]т/п[—1, получите оценку
М (т, n) < ]m/n[Af (n) + (п — 1) (]m/n[—1) <
< ]m/n[Af (п) 4-т — т/п < тЛ/(п)/п 4-т 4-Af (п) =
= (тМ (п) /п) (14- п/М (п) 4- п/т).
17.12.	Если при вычитании из к-Ч цифры уменьшаемого к-R цифры вычи-
таемого получается отрицательное число, то нужна еще операция прибавления
к разности числа b - основания используемой системы счисления. Отсюда п
дополнительных операций при выполнении вычитания.
17.13.	Примените 17.12.
17.14.	Применим тождества
(/i6>n/2[4-/o) (sibln/2( 4- до) =
= /i5i b2jn/2f + (figi + fogo — (fi — /о) (gi - до))+ fogo,
где числа fi ч gi - [п/2]-разрядные, а числа /о и до соответственно ]п/2[
-разрядные, и заметим, что для вычисления произведений figi и fogo требуется
М (]п/2[) 4- М ([п/2]) операций, для вычисления разностей и суммы
/о - fi, до - 91. /131 4- fogo
требуется не более
n (1 4- [п/2]-]п/2[) 4- 2 ([п/2]4-]п/2[-1) 4- 2 ([n/2]4-]n/2[) - 1 =
= 4п-34-п(14- [п/2]-]п/2[)
операций, так как числа figi и fogo имеют не более чем 2[п/2] и 2]п/2[
разрядов соответственно, а в случае четного п нужно еще 2[n/2] = п операций
для предварительного сравнения чисел (чтобы не вычитать из меньшего большее).
Заметим далее, что для вычисления произведения (А — fo) (gi — до) требуется не
более Л/(]п/2[)4-1 операций (одна операция для вычисления знака у произведения
), для вычисления разности
/151 4- /оЗо - (/1 - /о) (si - Зо) = /130 4- /о31
требуется не более 2]п/2[4-1 4- 2]n/2[— 1 = 4]п/2[ операций, сложение чисел fogo и
/131<>2!п/2[ осуществляется “бесплатно” (записи этих чисел просто объединяются
в одну запись), а для сложения чисел	+ fogo ч (/15о 4-/о31)Ь1п/2[
311
требуется не более 2n-]n/2[+n + 1-1 = 2п + [п/2] операций (так как число
/100 + /о01 имеет не более п + 1 разряда, а младшие [п/2] разрядов числа /о0о
не участвуют в операциях). В результате требуется дополнительно	j
4п - 3 + n (1 + [п/2]-]п/2[) + 1 + 4]п/2[+2п + [п/2] =
= 7п + 3]п/2[+п(1 + (п/2]-]п/2[)-2
операций.
17.15.	Поступайте, как и в 17.10.	|
17.16.	Согласно 17.13, Мг (п) — 5п2 — Зп — 2. В частности, имеем Л/(2)=12,;
М (3) = 34, М (4) = 66, М (5) = 108, М (6) = 160, М (7) = 222, М (8) = 294. Применяя;
неравенства
М(2п) < ЗЛ1(п) + 19п - 2, Л/ (2п + 1) < 2М (п + 1) + М (п) + 17п+ 10,	1
проверьте, что для п =’8,9,...,15 справедливо неравенство М (п) < М, (п). ,]
Предполагая, что это неравенство верно при п = 2к~*,... ,2* — 1, докажите, что
оно верно и для п = 2fc,... , 2fc+1 — 1, проверяя, что
М (2n) < ЗМ (п) + 19п — 2 <
< 3MS (п) + 19п - 2 = 3 (5п2 - Зп - 2) + 19п - 2 <	И
< 5(2п)2 - 3(2п) - 2 = М, (2n),	j
М (2п + 1) < 2М (п + 1) + М (п) 4- 17п + 10 <
< 2М, (п + 1) + М, (п) + 17п + 10 =
= 2 (б(п + I)2 - 3(п + 1) - 2) + (5п2 - Зп - 2) + 17п+ 10 <
< 5(2n + I)2 - 3 (2n + 1) - 2 - Ms (2n+ 1).
17.17.	Представим m-разрядное число в виде	’
(/о + /1 Ьп 4- ... 4- /fcb”*) ,
где fc =]m/n[—1 и числа /, имеют не более п разрядов, и используя тождество ]
(/о 4- /1 Ьп 4-  •  4- д — (fog 4- figbn 4-... 4-	=
= (fog 4- figb2n 4- ••• 4-	4-
4- (hgbn 4- f3gb3n 4-... 4- /2]*/2[-iS«’”21fc/2[-1)
и неравенство mfn> ]m/n[—1, получим оценку	j
Л/ (m, n) < ]гп/п[Л4 (n) 4- 2 (?n - n) — 1 4- n <	j
<	mA/ (n) /n 4- Af (n) 4- 2m — n 4- 1 <	
<	(mM (n) /n) (1 4- 2n/M (n) 4- n/m) ,	Я
так как числа в скобках вычисляются “бесплатно”, младшие п разрядов числаЯ
fog не участвуют в нетривиальных операциях, а по старшим п разрядамЯ
312
большего из чисел /2[к/2] ff6"2tfc/21 и /2]*/2[-i5(>n21fc/21 1 проходит только перенос
единицы (который скорее всего быстро затихает где-то в начале).
17.18.	Если обозначить через Л (х) длину двоичной записи числа х, то будут
справедливы соотношения
А (х) 4- А (у) - 1 < А (ху) < А (х) 4- А (у),
mA (х) - тп 4- 1 < А (хт) < mA (х), А	=]А (х) /т[.
Выбрав п так, чтобы 24n < 7V, и п —> оо, и представив N в виде
(... (оц2п 4- аг) 2П 4- ... 4- Л( —i) 2П 4- <4,
где 0 < а, < 2n, / — [bg2 N/n] 4- 1, определим последовательность
а,	2п	а> 2п
У1 = X г.У2 = X 2У1	,У1 =	1 У|—1»
тогда
У = У1,У1-к<У2 ,k = 1,... ,1 - 1.
Используя 17.17, докажите, что последовательность х2,... ,х2" можно вычислить
со сложностью
О (22пМ (А (т))) = О (22пМ (X (у))/N) = О (2~пМ (А (у))) .
Если задано число г, то вычислить w = z2 можно со сложностью
£m(a(Z)) = £м(]2-"+‘А(»)[) <
fc=0	А:=о
п — 1
<	52 М ((2“"+* A (w)]) +О (2-п+*А(ш)) < М (A (w)) 4-0 (А (ш)).
fc=O
Воспользуйтесь для этого неравенствами
М (п 4- 1) < м (п) 4- о (n), М (2—fcn) < 2~кМ (п).
Применяя 17.17, покажите, что число уд. можно вычислить (в предположении,
•	о	лП .
что задано число Уь— 1 и последовательность х ,... ,х ) со сложностью не
М (2"А (ят)) (1 4- А (ук) / (2"А (х))) 4- М (А (у*)) 4- О (А (у*)).
Тогда сложность вычисления числа у = xN оценивается сверху величиной
к=2	2 Л W
4-М (2" А (т)) I 4- О (2~пМ (А (у))) <
I	I
<	£ ] 2(*-')"А (у) [ + М (2"А (х)) log2 N 4- 52 М (] 2(*-‘)"А (у) [) 4-
fc=2	fc=2
313
]2(fc-‘)nA (y) [M (2" А (х)) < (1 + О (2~п)) А (у) М (2ПА (о:))
+	2ПА (г)	~	2"А(г)
+М (А (у)) + О (А (у)) < (2 + О (2-n)) (М (А (у))) + О (А (у)).
17.19.	Для нахождения произведения неполного частного на делитель
достаточно вычесть из делимого остаток.
17.20.	Для нахождения остатка воспользуйтесь равенством г = f — g\J/g]
и тем фактом, что при вычитании все члены со степенями не ниже п-й
сокращаются, поэтому для вычисления остатка достаточно найти разности п
младших коэффициентов.
17.21.	Представьте многочлен степени т в виде
/о + fl хП + • • • + /кхПк.
где k = [m/n], степени многочленов /, меньше п, и используя тождество
f = /о + /1ХП + ... + fkxnk = f' + hkgxn<k~V =
= (/о + fixn + • •. + fk-2Xn(k~2) + ТкХп(к-"} + hkgxn{k-" ,
где hk = [(/tin + Л_])/у] - частное, a rk = fkxn + fk_r - ghk - остаток от
деления /*хп + fk — i на сведите деление f на д к делению на д и получите
неравенство
D (тп, п) < D (пк + п — 1, п) < D (пк — 1, п) + D (2п — 1, п),
из которого индукцией следует неравенство
D (тп, п) < D (пк + п — 1, п) < kD (2п — 1, п) =
— D (2п — 1, п) [тп/п] < —D (п).
п
17.22.	Первое из утверждений проверяется непосредственно, второе следует
из первого, третье — из второго, четвертое — из первого.
17.23.	Непосредственно проверяется, что произведение правильной дроби
на дробь, у которой степень числителя не больше степени знаменателя, будет
правильной дробью. Тогда, согласно последнему пункту задачи 17.22, справедливо
равенство
= [Я, ([Л2] + {Н2})] = [Я, [Я2] + Л, {Л2}] = [Л, [Я2]].
17.24.	Воспользуйтесь вытекающим из 17.23 тождеством
[/y/rm-fc+n] = [[//rm-fc] д/х”] ,
где степени многочленов fug равны тип соответственно.
17.25.	Воспользуйтесь вытекающим из 17.23 тождеством
[f/g] = 1Л*т /р]] = [/ [хт/д] /хт],
где степени многочленов f и д равны т и п соответственно.
17.26.	Первые два утверждения следуют из того, что при формальном
добавлении к сомножителям старших членов с нулевыми коэффициентами
произведение не меняется и при добавлении к делимому старших членов
314
с нулевыми коэффициентами частное и остаток тоже не меняются, так как
коэффициенты частного и остатка выражаются в виде рациональных функций от
коэффициентов делимого и делителя со знаменателями, являющимися степенями
старшего коэффициента делителя.
Последнее утверждение следует из тождества
[г-/3] - [[*"+"•/я] /г],
вытекающего из 17.23. Немонотонность по второму аргументу следует из того,
что при т < п, очевидно, O(m,n) = 0.
17.27.	Докажите, что произведение и частное двух многочленов существенно
зависят от их коэффициентов.
17.28.	Для доказательства равенства
P2Jt+1 = 2хк+хРк -
заметьте, что Р^д =	- дг} где г — {х*+п/^} , и выведите с помощью 17.22
и 17.23 равенство
[Р^з/г""1] = [р* (xfc+" - зг) /а;"-1] =
= [Р*^1 - Ркдт/г”-'] = Ркхк+1 - [РкЗг/®""*] =
-	Pkxk+1 - ^a:fc+n/3) 3r/Tn-1j = Pkxk+1 - [x*+1rj ,
из которых с помощью 17.22 немедленно следует, что
2 хк+1Рк - [Р^з/т"-1] = 2 хк+1Рк - Ркхк+1 + [а?+1г] =
-	Ркхк+1 + [т*+1г] = [PfcK*4'1 + ж^+’г] = |a:fc+1 (Рк + г)] =
= [^+1 ([^+"/з] +Р+П/з})] =
= [□:*+* (xfc+n/3)] = [х2*+1 + п/з] - P2fc+1-
17.29.	Применим 17.26 и рассмотрим случай нечетного к. Получаем нера-
Rk < R(k/2]+M ([fc/2]) + M (2[fc/2],n) + 2[fc/2] + 2.
Далее при 2[к/2] < п воспользуемся 17.28, 17.24 и заметим, что для вычисления
достаточно найти 2[Аг/2] + 2 старших коэффициента произведения
^[fc/2]^’ что можно сделать со сложностью Л/(2[/г/2] + 1,2[k/2]) < М (к). В случае
четного к последняя оценка заменяется на М (2[/с/2]) = М (к).
17.30.	Первое равенство доказывается по индукции с помощью задачи 1.2.
Второе равенство доказано в задаче 4.24.
17.31.	Для доказательства первых двух неравенств воспользуйтесь тождеством
(/1^п + /о) (pi^n + Jo) = /1Л^2п + (/ио + Ji/o)^n 4- /oJo.
где /1 и «л - имеют степени тп, а /о и да - степени меньше п.
17.32.	Из 17.29 и 17.30 вытекают неравенства
< м(W-) + м(2И>) + 2И- +2-
315
где [Jt], = [fc/2‘] , 0 < « < m. Складывая их и используя неравенства
М ([*:],) < M([fc],) < 2-М(2‘[*:],) < 2"‘M(Jt), М (1) > Н(1),
и соотношения 17.30, получаем оценку
Rk < ЗМ(*:) + 2к - 21/ (к) + 2[log2 fc].
17.33.	Примените 17.32.
17.34.	Примените 17.33, 17.20, 17.25, 17.31.	'
17.35.	Воспользуйтесь 17.34 и 17.21.
17.36.	Примените 17.20,17.25,17.33,17.11.
17.37.	В случае з = 0 доказательство основано на использовании очевидных
тождеств
[xkf/gxk] = [f/g], дхк {хк//дхк} = хк (д {f/g}).
Случай s > 0 сводится к рассмотренному с помощью 17.26.
17.38.	Докажите неравенство
D (пк, n) < D (пк — п — 1, n) + D (2п, п)
и примените 17.21,17.37.
17.39.	Примените 17.22 и заметьте, что у дроби Н1/([Я2]Я2) степень
числителя не больше степени знаменателя согласно условию задачи, откуда
вытекает, что Ri {Яг} / ([Яг]Яг) — правильная дробь.
17.40.	Примените 17.39.
17.41.	Примените 17.40 и 17.38.
17.42.	Воспользуйтесь 17.41,17.37. Тогда
М (n) < 2D (п) 4- D (2п) + < 2D (2п).
17.43.	Примените 17.41.
17.44.	Положим х'2к-\ —	— 42k+2zk' тогда
° < z2k-l ~ 2zk + 9Z* = (Ч - ?2fc+2)zfc < 2-2*-2 • 4 - 4~к.
Так как
|1 - 9zltl < 2~кд,
0< l/g - 2zk + gz2k = (1 - gzk)2 /д‘< 4~кд < 4-*,
поэтому
|г2*-1 ~ 1/?| < 4 *•
В силу неравенства g2fc+2 > 1/2 имеем
z2k-i = 2zk - Ч2к+2Хк < 2zk - zl/2 = 2 - (2 - z*)2 /2 < 2.
Отсюда и из соотношения
|г2к-1 ~ г2к-1 | =	~ {{г2*-122* Т}}21 2*| < 4“fc
следует, что
z2fe—l = { {z2k —1 22*1-* } } 21—2* <2,
316
|г2*-1 - 1/?| <	~ 1 /ч\ + 4"к < 2~2к+\
17.45.	Достаточно рассмотреть случай нечетного к. Воспользуйтесь задачей
17.44, фактом, что сложение и вычитание n-разрядных чисел выполняется со
сложностью О (п), и оценкой
Л/ (п + 1) < М (п) + О (п).
17.46.	Рассуждайте так же, как в решении задачи 17.32. Докажите по
индукции равенство [fc]; =: [(А: — 2) /2*] + 2, где [fc]f =	1], , [fc]l = [fc/2] + 1.
17.47.	Действительно, если при q = 2~nQ
а так как Q не степень двойки, то 2n+k~i/Q не является конечной двоичной
дробью, поэтому [2"+fc-1/Q] = 2fc-1Zfc_j либо 2*~*z*_i —1. Сравнивая 2k~1Zk-iQ с
2n+fc-1, находим [2n+fc-1/Q] точно. Для этого нужно дополнительно М (к,п) + 2к
операций.
17.48.	Примените 17.46 и 17.47.
17.49.	Применим задачи 17.47 - 17.48 и воспользуемся равенством [//з] =
—	/д]/2т~г] + а, где / — m-разрядное, а д — n-разрядное двоичные
числа, а а = 0, 1 или 2, вытекающим из неравенства
о < J/д- (//2т-1) [2т-7р] < Ц2т~1 < 2.
Для точного вычисления [//^] остается найти разность
сравнить ее с числами д и 2д и в зависимости от результата, возможно,
прибавить к числу [/[2m“1/p]/2m-1] единицу или двойку. Но таким образом
получается лишь оценка
D (тп, n) < R (тп, п) 4- М (тп, тп — п) 4- Л/ (п, тп — п) 4- О (тп).
Чтобы получить лучшую оценку, достаточно вместо числа [2т“взять число
a = 2fc-1Zfc^i, где k — т — п, на вычисление которого требуется Rk-i операций,
и такое, что [2т“1/^] равно а или а — 1.
Действительно,
|/[2'n-7s]/2m-1 - fa/2m~11 < //2"-1 < 2,
\ja/2m-1 - [Ц2т-к-1]а/2к\ < а/2к < 1,
значит,
|[/[2m-7p]/2m-1] - [[//2m~fc-1]a/2fc]| < 3,
на вычисление произведения [//2”‘~,с~1]а достаточно М (к) операций, так как
числа [//2"1-*-1] и а являются ^-разрядными, а вычисление чисел [//2т~*-1] и
Ь = [[//2т~к~1]а/2к] делается “бесплатно” (если числа а или [//2т—*] имеют
317
больше, чем к разрядов, то они являются степенями двойки, и произведение
[//2m”fc”1]a тоже вычисляется “бесплатно” ).
Из доказанных неравенств следует, что [//tj] = 6 + 0, где 0 = —3,... ,5,
и произведение gb равно числу g[f/g] или отличается от него на 0д. Для
точного вычисления [//р] и ^[//^] достаточно сравнить gb — / с числами гд,
где i= —2,... ,4 и закончить доказательство также, как и выше. Сложность
выполнения указанных действий не выше
М (к) + М (п, к) + 2m — 1 + m + 2п + 6 (п + 2) + Л: + 1
(так как числа ±р, ±2^, 4д вычисляются “бесплатно”, а сравнение gb — / с
нулем не нужно, ибо уже сравнили / с gb). Остается применить 17.45.
17.50.	Первое из утверждений следует из того, что при формальном
добавлении к сомножителям старших разрядов с нулевыми цифрами произведение
не меняется.
Монотонность Я(т,п) по первому аргументу выводится с помощью вытекаю-
щего из 1.2 тождества [[2//р]/2] = [//$]• Аналогично доказывается монотонность
D(m,n) по первому аргументу. Немонотонность по второму аргументу следует
из того, что при т < п, очевидно, £)(m,n) = 0. Доказательство неравенства в
случае з = 0 основано на применении очевидных тождеств
[2кЛ2кд] = [J/g}, 2кд {2kf/2kg} = 2к (д {f/g}).
Случай з>0 сводится к рассмотренному с помощью монотонности D(m,n) по
первому аргументу.
17.51.	Докажите, что произведение и частное двух чисел существенно зависит
от их цифр.
17.52.	Поступайте аналогично 17.21.
17.53.	Примените 17.49 и 17.17.
17.54.	Воспользуйтесь 17.53 и 17.52 и проверьте, что
D (271, 71) < 5M(7l) + О (71) , D (тп, 71) <
< mD (2пу п) /п < 5тпМ(п) /п + О (тп).
17.55.	Из утверждений 17.49 и 17.17 следуют неравенства
D (т, тг) < 4fW(m — ti) + М (п, тп — 71) + О (т) <
пТИ (т — ti)	- -1	ч
<------------1_ 4М(т — п) + О (т).
17.56.	Заметьте, что
m — п
АВ + 1 >
23п~1А
[2Зп-1/в] -
так как
(4В + 1)(-
в силу неравенств
- 1) = А -2'
23п-1
—------1 - АВ > А-2:
АВ < 22п
23п-1
318
•	17.57. Пусть f - (2п + 2)-разрядное, а д - (п+ 1)-разрядное числа. Положим
Ч = [//я], r = f-gg, 91 = [[//4]/[з/2]], ri = [//4]-9i[3/2],
тогда числа qi и 9i[fl/2] вычисляются со сложностью D (п) + О (п) , а значит,
и число 2qis, равное 4gi[g/2] при четном д и 4<и[д/2] + 2gi при нечетном д,
вычисляется со сложностью D (п) + О (п). Так как согласно
91 = [[//4]/[9/2]] = [//4[3/2]],
то
-2<2’'-'<5^4 + ,5ШЧ + ,<5'
значит, —2д < 2qxg - qg < 5д, -5д < / - 2qig < Зд. Сравнивая число / - 2gjfl с
числами — 4д, — Зд,... ,2д, представляем .его в виде з<? + г, где »= —5,... ,2, и со
сложностью О (п) находим остаток г и частное q = 2qi 4- з.
17.58. Примените 17.57, 17.56, 17.52 и заметьте, что последние три цифры
числа АВ можно определить за 0(1) операций по последним трем цифрам
чисел А и В, поэтому, зная число [24n-1 /D], для нахождения произведения АВ
достаточно за 0(1) операций найти разность [24n~1/D] и АВ (вычитая остаток
от деления [24п—1/£>] на 8 из остатка от деления АВ на 8 ) и потом за О (п)
операций само число АВ. Воспользуйтесь также 17.52 и заметьте, что число С
вычисляется со сложностью не выше
2R (4п, п) + О (n) < 2D (4п, п) + О (п) <
< 60 (2п, п) + О (n) = 6D (п) + О (п),
число D — со сложностью не выше
О (Зп + l,n + 1) + О (n) < 2£>(2п + 1, n + 1) + О (п) =
= 2О(п + 1) + О(п),
и, наконец, число [24п—1 /D\, согласно 17.50, вычисляется со сложностью не
выше
max {R (4n, 2n), R (4n, 2n + 1)} <
< max {Я (4n, 2п), R (4n + 1, 2n + 1)} <
< Я(4п + 1,2п+ 1) < R(4n + 2,2п+ 1) < D (2п + 1).
17.59.	Примените 17.57,17.58,17.51.
17.60.	Примените 17.57 и 17.58.
17.66.	Для вычисления у/х с заданной точностью примените рекуррентную
последовательность z„+i = zn(3—xz^)/2, zq = 1 и в качестве искомого приближения
возьмите xzn.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................^ИЗ
Введение .............................................
§1	. Целая и дробная части числа ........................
Указания ............................................... 15
§2	. Задача писца Ахмеса .................................. 19
Указания ............................................... 22
§3	. Открытие английского геолога ........................  24
Указания ............................................... 30
§4	. Что знали и чего не знали в древнем	Китае ........ 34
Указания ................................................ 41
§5	. Делится или не делится ............................... 45
Указания ................................................ 51
§6	. От десятичных дробей к “золотой	теореме” ..............59
Указания ............................................... 72
§7	. Алгоритм Евклида, цепные дроби	и	числа Фибоначчи . 81
Указания ................................................ 90
§8	. Применения алгоритма Евклида .......................... 96
Указания ................................................ 101
§9	. Тайна пифагорейцев ....................................106
Указания ................................................ 112
§10	. Квадратные корни, цепные дроби	и	уравнение Пелля.114
Указания ...............................................  125
§11	. Диофантовы приближения ...............................138
Указания ................................................ 147
§12	. Геометрия чисел ......................................154
Указания ................................................ 165
§13	. Покрытие прямоугольника квадратами, электрические цепи
и реализация рациональных чисел	формулами .................172
Указания ................................................ 181
§14	. О сложности приближенного вычисления действительных
чисел ....................................................192
Указания ...............................................200
§15	. Деление отрезка	на	равные	части	циркулем	и	линейкой .... 233
Указания .............................................. 240
§16	. Распределение значений	числовых	последовательностей .252
Указания ...............................................267
§17	. Быстрые вычисления с целыми числами, многочленами и
дробями ................................................  299
Указания ...............................................309
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Под общей редакцией
академика Российской Академии наук
В, А Садовничего
Архипов Г.И., Садовничий В.А.,
Чубариков В.Н.
Лекции по математическому анализу
Виноградов И.М.
Элементы высшей математики
(Аналитическая геометрия.
Дифференциальное исчисление.
Основы теории чисел)
Привалов И. И.
Введение в теорию функций
комплексного переменного
Садовничий В.А.
Теория операторов
Нечаев В.И.
Элементы криптографии
(Основы теории
защиты информации)