Основы современного анализа - Дьедонне Ж.

Автор: Дьедонне Ж.
Теги: анализ математика переводная литература издательство мир прогнозирование
Год: 1964
Похожие
Математический анализ (функции одного переменного). Части 1 и 2
Математический анализ. Функции одного переменного Ч.1 и 2
Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка
Действительный анализ в задачах
Текст
                    Ж-ДЬЕДОННЕ
ОСНОВЫ
СОВРЕМ ЕН II ОГО
АНЛ/1М34

FOUNDATIONS
OF
MODERN ANALYSIS
J. DIEUDONNE
Institut des Hautes Etudes Sclentiflques,
Paris
ACADEMIC PRESS • NEW YORK AND LONDON
1960
Ж. Дьедонне
ОСНОВЫ
СОВРЕМЕННОГО
АНАЛИЗА
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
И. А. ВАЙНШТЕЙНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1964
Автор этой книги — Жан Дьедонне — выдающийся французский ана-
литик, один из вдохновителей и активных членов известной группы Бурбаки.
Формально от читателя требуется лишь знание .первых правил мате-
матической логики” и элементарной линейной алгебры. На самом же деле
книга рассчитана на тех, кто уже знаком с основами математического ана-
лиза и хочет взглянуть на известные факты с новой точки зрения.
Характерной чертой книги является строгий аксиоматический подход и
систематическое использование понятия векторного пространства. Автор
умышленно не пользуется чертежами, однако его изложение в высшей сте-
пени геометрично.
Стремясь сделать книгу цельной и доступной для изучения в пределах
одного академического года, Дьедонне очень строго отобрал материал. При
этом его подход отличается от принятого у нас. Так, он не включил понятие
меры и интеграла Лебега, но зато изложил общие факты теории функций
одного и нескольких комплексных переменных. В книге со вкусом подо-
браны разнообразные и интересные задачи.
Эту оригинальную книгу с интересом прочтут не только студенты стар-
ших курсов университетов и аспиранты (которым она непосредственно пред-
назначена), но и все лица, желающие углубить свои познания в современном
математическом анализе.
Редакция литературы по математическим наукам
ПРЕДИСЛОВИЕ
Этот том возник на основе курса, предназначенного для студентов
старших курсов или для особо подготовленных студентов младших
курсов1). Цель этого курса (прочитанного в Северо-западном уни-
верситете в 1956—1957 гг.) была двоякой: во-первых, дать запас
необходимых элементарных сведений из всех областей современной
математики, связанных с „анализом" (фактически из всех, за исклю-
чением, быть может, логики и чистой алгебры); во-вторых, натре-
нировать слушателей в употреблении наиболее фундаментального
математического орудия нашего времени—аксиоматического метода
(с которым за время первых студенческих лет они если и сталки-
ваются, то очень мало).
Читателю будет совершенно очевидно, что особое ударение мы
всюду делаем на идейном аспекте каждого понятия, а не
на его вычислительном аспекте, которым главным образом
интересовался классический анализ (см. [26]). Это верно не только
по отношению к тексту, но и по отношению к большинству задач.
Мы включили в книгу значительное число задач, чтобы дополнить
текст и указать дальнейшие интересные направления. Эти задачи
одновременно дадут возможность проверить, насколько хорошо усвоен
изложенный материал.
Хотя этот том включает в себя много материала, по большей
части излагаемого в болёе элементарных курсах (в том числе в так
называемых „дополнительных главах анализа"), точка зрения, с ко-
торой рассматривается этот материал, полностью отлична от обычно
принимаемой в этих курсах. Основные понятия теории функций и
дифференциального исчисления излагаются в рамках теории, доста-
точно общей для того, чтобы показать размах, силу и истинную
природу этих понятий гораздо лучше, чем это возможно при обычных
ограничениях „классического анализа". Нет необходимости подчер-
кивать хорошо известную „экономию мысли", являющуюся резуль-
татом такого общего подхода, но можно указать, что существует и
Ввиду различий в системах университетского образования у нас и
в США нам пришлось перевести термин „undergraduate student” как „сту-
дент младших курсов”, a „graduate student” как „студент старших курсов"
(имея в последнем случае в виду студента, выбравшего кафедру, на кото-
рой он будет работать). — Прим, перев.
б
П редисловие
соответствующая „экономия обозначений", истребляющая рои индек"
сов, подобно тому как векторная алгебра упрощает классиче-
скую аналитическую геометрию. Однако такой подход вызывает
необходимость строгого соблюдения аксиоматических методов без
всякой ссылки на „геометрическую интуицию", по крайней мере в
формальных доказательствах — необходимость, которую мы подчер-
киваем, умышленно воздерживаясь от введения в книгу каких бы то ни
было рисунков. Я считаю, что учащийся, если он собирается когда-
нибудь понять то, что общепринято в математических исследованиях,
должен как можно скорее получить основательную тренировку
в абстрактном и аксиоматическом способе мышления. Этот том имеет
целью помочь учащемуся выработать „интуицию абстрактного", кото-
рая так существенна для современного математика.
Ясно, что студенты, прежде чем приступить к этому курсу, должны
обладать хорошими рабочими знаниями классического анализа. Однако
со строго логической точки зрения изложение не опирается ни на
какие предварительные сведения, за исключением:
1. Первых правил математической логики, математической индук-
ции и основных свойств целых (положительных и отрицательных)
чисел.
2. Элементарной линейной алгебры (над полем), с которой чита-
тель может познакомиться у Халмоша [14], Джекобсона [16] или
Бурбаки [4]; эти книги, впрочем, содержат намного больше мате-
риала, чем нам действительно нужно (например, мы не будем поль-
зоваться теорией двойственности, и читателю достаточно знать понятия
векторного подпространства, гиперплоскости, прямой суммы, линей-
ного отображения, линейной формы, размерности и коразмерности).
В доказательстве каждого утверждения мы опираемся исключи-
тельно на аксиомы и на теоремы, уже доказанные в тексте, с двумя
только что упомянутыми исключениями. Эта строгая последователь-
ность логических шагов несколько нарушается в примерах и задачах,
где мы часто пользуемся определениями Ийи результатами, которые
еще не были (или даже вообще не будут) доказаны в тексте.
Имеются различные мнения о том, какие части анализа студент
должен изучить на первом году специализированного обучения.
Поскольку мы хотели сохранить содержание этой книги в пределах
того, что может быть реально продумано в течение одного акаде-
мического года, некоторые разделы пришлось исключить. Одни из них
были опущены потому, что они слишком специальны, другие — по-
тому, что могут потребовать большей математической зрелости, чем
обычно можно ожидать, третьи — потому, что их материал, несо-
мненно, вошел в курсы дополнительных глав анализа. Если бы мы
должны были предложить общую программу для специализирующихся
студентов—математиков, мы рекомендовали бы каждому из них
ознакомиться с содержанием этой книги, какова бы ни была сфера
его будущей деятельности.
Предисловие
7
Я хочу выразить благодарность математикам, которые помогли
мне подготовить эти лекции, особенно А. Картану и Н. Бурбаки;
они открыли мне доступ к неопубликованным записям лекций и ру-
кописям, оказавшим большое влияние на окончателы ую форму этой
книги. Я очень признателен также моим коллегам по математиче-
скому отделению Северо-западного университета, которые предо-
ставили мне возможность прочитать этот курс в тех направлениях,
в каких я его планировал, и очень поддержали меня своей конструк-
тивной критикой.
Ж. Дьедонне
Апрель 1960 г.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
В нижеследующих определениях первая цифра указывает номер главы,
в которой , появляется обозначение, а вторая — параграф в этой главе.
t
$
cz
ф
{x£X|P(x)]
0
(a)
W)
x\y. cxr. or
и
n
{x, y]
(fl. b) .
РГ1С, pr2c
XXY
хгхх2х...ххГ1
(xv x2....x„)
pr^
Xn
F{x)
Yx, %(X, У)
x -> T (x)
F(A)
F~\A')
F-'(y)
J A
равно, совпадает; 1.1
отлично от; 1.1
является элементом, принадлежит; 1.1
не является элементом; 1.1
является подмножеством, содержится в; 1.1
содержит; 1.1
не содержится в; 1.1
множество элементов, принадлежащих X и
обладающих свойством Р\ 1.1
пустое множество; 1.1
множество, имеющее а своим единственным
элементом; 1.1
множество подмножеств.множества Х\ 1.1
разность между множествами X и Y, дополне-
ние множества Y в X; 1.2
объединение; 1.2
пересечение; 1.2
объединение множеств {х} и {у}; 1.2
упорядоченная пара; 1.3
первая и вторая проекции пары с; 1.3
произведение двух множеств; 1.3
произведение п множеств; 1.3
элемент произведения п множеств; 1.3
1-я проекция; 1.3
произведение п множеств, равных Х\ 1.3
значение отображения F на элементе х; 1.4
множество отображений X в У; 1.4
отображение; 1.4
образ; 1.5 .
прообраз;- 1.5
прообраз множества {у}; 1.5
естественное вложение; 1.6
Обозначения
9
F 1
GoF
(*xXei
N
{*1..x„}
IK IK
X
ГК f|xx
Л£ L	X
R
x+y, xy
0
— X
I
X-1, 1/x
X<y, У>-*:>
X < у, у > X
[a, b [, [a, Z>],
[a, b [. ] a, Z>]
R+> R+
|x|, x+, x~
Q
z
sup X
inf AT
sup/(x), inf/(x)
x£A x£A
d(x, y)
R2, R3
^(Л)
R
—oo, —oo
d(A, B)
В (a; r), B'(a; r),
S(a; r)
8(Л)
о
л
A
отображение, обратное к биективному; 1.6
композиция отображений; 1.7
семейство; 1.8
множество целых чисел 0; 1.8
множество элементов конечной последователь-
ности; 1.8
объединение семейства множеств; 1.8
пересечение семейства множеств; 1.8
множество действительных чисел, действитель-
ная прямая; 2.1, 3.2
сумма и произведение действительных чисел; 2.1
нуль — элемент множества R; 2.1
противоположное число в R; 2.1
единица — элемент множества R; 2.1
обратное число в R; 2.1
отношение порядка в R; 2.1
промежутки в R; 2.1
множество действительных чисел 0 (соот-
ветственно > 0); 2,2
абсолютная величина, положительная и отри-
цательная части действительного числа х; 2.2
множество рациональных чисел; 2.2
множество целых чисел; 2.2
верхняя грань множества Х\ 2.3
нижняя грань множества X; 2.3
верхняя и нижняя грани функции f на мно-
жестве А; 2.3
расстояние между элементами х й у; 3.1
действительная плоскость, эвклидово простран-
ство; 3.2
множество ограниченных отображений множе-
ства Л в R; 3.2
расширенная действительная прямая; 3.3
бесконечные точки в R; 3.3
расстояние между двумя множествами; 3.4
открытый шар, замкнутый шар, сфера с цен-
тром а и радиусом г; 3.4
диаметр множества А; 3.4
внутренность множества А; 3.7
замыкание множества А; 3.8
10
Обозначения
FrQ4)
lim /(x)
x->a, x£A
lim xn
л->оо
2 (a; /)
logax
I
CO
Ik
n = 1
к
ax
xa
C
z-\-z', zz'
0, 1, I
aUz, gz
z
kl
0
Ik II
A-\-B
2U
«£4
(Co) '
^(£; П
II «II
.....П
в
граница множества A; 3.8
предел функции; 3.13
предел последовательности; 3.13
колебание функции; 3.14
логарифм действительного числа; 4.3
множество иррациональных чисел; 3.14, за-
дача 4
бесконечное произведение; 3.20, задача 7
канторово множество; 4.2, задача 2
показательная функция (экспонента); 4.3
степенная функция; 4.3
множество комплексных чисел; 4.4
сумма и произведение комплексных чисел; 4.4
элементы множества С; 4.4
действительная и мнимая части комплексного
числа z; 4.4
сопряженное комплексное число; 4.4
модуль комплексного числа; 4.4
сумма и произведение на скаляр в векторном
пространстве; 5.1
элемент векторного пространства; 5.1
норма; 5.1
множество всех действительных непрерывных
на I функций; 5.1
сумма множеств в векторном пространстве,
прямая сумма; 5.1, задача 2, 5.4
сумма ряда; 5.2
сумма абсолютно суммируемого семейства; 5.3
пространство последовательностей, сходящихся
к нулю; 5.3, задача 5
пространство линейных непрерывных отобра-
жений; 5.7
норма линейного непрерывного отображения; 5.7
пространство полилинейных непрерывных ото-
бражений; 5.7
пространство абсолютно сходящихся рядов; 5.7,
задача 1
Обозначения
11
Г
[х • у]
(•ИУ)
РР
I2, /r. /с
^с(Л
^И). ^й(Л),
^СИ)
^(£)
ЗТ(£)
/(х+), /(х_)
sign х
f'(x0\ D/(x0)
f'. D/
fd^\ D+/(«)
/;(₽). d_/(P)
и  t
f f(№
a,
e
exp(x), In x
Di/(«i. a2),
d2/(A. «2)
ЛЛ.......
.....и
D (/1...Л)
о (?i..U ’
<?(/>.... Л)
<?(e>..ел)
Г(х0), D2f (x0\
f^(x0), Dpf (x0)
/*P
3>T (Л)
пространство ограниченных последователь-
ностей; 5.7, задача 1
билинейное отображение; 6.1
скалярное произведение; 6.2
ортогональная проекция; 6.3
гильбертовы пространства последовательно-
стей; 6.5
множество всех комплексных непрерывных на
I функций; 6.5
пространства ограниченных отображений; 7.1
пространство непрерывных отображений; 7.2
пространство ограниченных непрерывных ото-
бражений; 7.2
пределы справа, слева; 7.6
функция; 7.6, задача 2
(полная) производная в точке х0; 8.1
производная (как функция); 8.1
правая производная; 8.4
левая производная; 8.4
элемент (Е\ F); 8.1
интеграл; 8.7
число; 8.8
функции действительного переменного; 8.8
частные производные; 8.9
частные производные; 8.10
якобиан; 8.10
производные высшего порядка; 8.12
регуляризация; 8.12, задача 2
пространство р раз непрерывно дифференци-
руемых отображений А в F со всеми ограни-
ченными производными; 8.12, задача 8
12
Обозначения
|« |, Мв, D“, 1ХИ,
In z, ez, exp (г),
sinz, cosz,
(»)•('+2>'
тс
U
R_
- T°
11 v ъ
J f(z)dz
7 J (a-, -f)
E(z, P)
Г (2)
I
w(o; /), <o(o)
C(t, s)
^(E)
uv
1
S(«)
E(C), E(C. u)
и
N(k), N(k; u),
F(E)-, F(k- u)
k(K), *(X; и)
a*
пространство p раз непрерывно дифференци-
руемых отображений; 8.13
символы, где а — составной индекс; 8.13
функции комплексного переменного; 9.5
число; 9.5
единичная окружность в С; 9.5 arg z аргумент
комплексного числа; 9.5, задача 8
отрицательная действительная полупрямая; 9.5,
задача 8
дуга, противоположная дуге; 9.6
соединение дуг; 9.6
интеграл вдоль (конечного или бесконечного)
пути ]•; 9.6, 9.12, задача 2
индекс точки а относительно контура 7; 9.8
первичный множитель; 9.12, задача 1
гамма-функция; 9.12, задача 2
постоянная Эйлера; 9.12, задача 2
порядок функции в точке; 9.15
резольвента линейного дифференциального урав-
нения; 10,8
алгебра операторов в пространстве f; 11.1
композиция операторов; 11.1
тождественный оператор; 11.1
спектр оператора «; 11.1
собственное пространство оператора и, соот-
ветствующее собственному значению С; 11.1
непрерывное продолжение; 11.1, задача 5
подпространства, соответствующие собствен-
ному значению X вполне непрерывного операто-
ра и; 11.4
кратность собственного значения; 11.4
сопряженный оператор; 11.5
Глава 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Мы не будем пытаться установить теорию множеств на аксиоматическое
основание. Читателя, интересующегося полным аксиоматическим описанием,
мы отсылаем к книгам Келли [18] и Бурбаки [3]. Утверждения, встречаю-
щиеся в этой главе и не сопровождаемые доказательством или определением,
могут рассматриваться просто как аксиомы, связывающие те термины, кото-
рые не были до этого строго определены.
Глава начинается с нескольких элементарных определений и формул,
касающихся множеств, подмножеств и произведения множеств (1.1—1.3).
Центральная часть главы посвящена фундаментальному понятию отображе-
ния, являющемуся современным обобщением классического понятия (число-
вой) функции одной или нескольких числовых .переменных". В связи с этим
понятием заслуживают внимания два момента.
а)	Принципиально важным (и характеристическим) свойством отображе-
ния является то, что любому .значению" переменной оно ставит в соответ-
ствие единственный элемент; иными словами, такого понятия, как
„многозначная" функция, не существует (хотя во многих книгах этим поня-
тием оперируют). Вполне правомерно, конечно, определить отображение,
значениями которого являются подмножества некоторого данного мно-
жества, состоящие более чем из одного элемента; но такое определение
(по крайней мере в элементарном анализе) практически бесполезно, потому
что не удается разумным образом определить алгебраические опе-
рации над .значениями* таких функций. Мы вернемся к этому вопросу
в гл. 9.
Ь)	Как можно скорее следует освоиться с идеей, что функция f есть
единый объект, который сам может .изменяться* и вообще может мыслиться
как .точка" особого „функционального пространства". В самом деле, можно
сказать, что одно из главных различий между классическими и современ-
ными понятиями анализа состоит в следующем. Если в классической мате-
матике пишут f(x), то / рассматривается как нечто .фиксированное",, а х
как .переменное". В наше же время в качестве .переменных" рассматри-
вают и f и х (и иногда фиксируется именно х, a f становится „перемен-
ным" объектом).
В последнем параграфе (1.9) приводятся элементарные свойства счетных
множеств. Это — начало обширной теории .кардинальных чисел", развитой
Кантором и его последователями, с которой интересующийся читатель
может познакомиться по книге Бурбаки ([3], гл. III) или (Детальнее) по
14	Г л. 1. Элементы теории множеств
книге Бахмана ([2])*). Оказывается, однако, что, если не считать важного
отрицательного результата — теоремы о несчетности множества действи-
тельных чисел [см. (2.2.17)], в приложениях теории множеств к анализу
крайне редко используется что-либо, кроме этих элементарных свойств.
1.	Элементы и множества
Мы будем иметь дело с различными объектами. Объекты могут
обладать некоторыми свойствами или находиться в определенных
отношениях между собой. Объекты обозначаются символами (глав-
ным образом, буквами); свойства или отношения — комбинациями сим-
волов тех объектов, к которым они относятся, и некоторых других
символов, характеристических для рассматриваемого свойства или
отношения. Отношение х = у означает, что объекты, обозначаемые
символами х и у, совпадают; его отрицание записывается так: х =/= у.
Некоторые из объектов называются множествами.
Если X—множество, то отношение х^Х означает, что х есть
элемент множества X, или что х принадлежит X. Отрицание
этого отношения записывается так: xffcX, или х £ X.
Если X и Y — два множества, то отношение X с Y означает,
что каждый элемент множества X является элементом множества Y
(иначе говоря, оно эквивалентно отношению (Vx)(x £ Х=)х £ К)).
Мы имеем X с X, а из отношений X с Y и /с Z следует отноше-
ние X с. Z. Если X с Y и Y с X, то X = Y; иными словами, два
множества равны в том и только в том случае, если они состоят
из одних и тех же элементов. Если X с Y, то говорят, что X со-
держится в Y, или что Y содержит X, или что X является под-
множеством Y; пишут также Y гэ X. Отрицание отношения X с Y
записывается так: X ф Y.
Если даны множество X и свойство Р, то существует единствен-
ное подмножество X, состоящее из всех тех элементов х£Х, для
которых истинно Р(х); это подмножество обозначается символом
(х£Х\Р(х)].~ Например, мы имеем: X = {х£X |х = х) и X —
— {х£Х\х£Х}. Отношение {х £ X |Р(х)} cz {х £ X | Q(x)| эквива-
лентно отношению(Vx £ Х)(Р(х)=фф(х)). Отношение {х £	Р(х)} =
= {х£Х | Q (х)} эквивалентно отношению (Vx £ Д') (Р(х)фг=ф<2(х)).
Множество 0Х = (х £Х| х + х} называется пустым подмно-
жеством множества Х\ оно не содержит элементов. Если Р — произ-
вольное свойство, то отношение х £ 0	(х) истинно для каждого х,
так как для каждого х истинно отрицание отношения х<~ 0Х (напом-
ним, что Qzz^P означает „не Q или Р“). Таким образом, если X и
') См. также Ф. Хаусдорф, Теория множеств, М., 1937.—Прим,
перев.
1. Элементы и множества
15
Y —множества, то из х £ 0Х следует х £ 0Г, иначе говоря, 0Х cz 0Г
и точно так же 0гс 0Л; значит, 0х=0у’ все пустые множе-
ства равны. Поэтому они обозначаются символом 0.
Если а — некоторый объект, то множество, имеющее а своим
единственным элементом, записывается так: {а}.
Если X—множество, то существует (единственное) множество,
элементами которого являются все подмножества Х-, оно обозна-
чается символом (X). Имеем: 0 £ (X), X £ $ (X); отношения х £ X
и (х)^^(А') эквивалентны; отношения Y с X и К£ф(А') экви-
валентны.
Задача
Покажите, что множество всех подмножеств конечного множества,
состоящего из п элементов (п > 0), есть конечное множество, состоящее
из 2" элементов.
2.	Булевская алгебра
Если X и Y —такие два множества, что Y с X, то множество
являющееся подмножеством X, называется раз-
ностью между X и Y, или дополнением Y в X, и обозначается
символом X \ Y, или QXY (или QY, когда это не может привести
к путанице).
Пусть X и Y—два множества. Существует множество, состоя-
щее из элементов, принадлежащих и X и Y,—именно множество
{х £ X | х £ К}; оно называется пересечением X и Y и обозначается
символом X П Y. Существует также множество, состоящее из эле-
ментов, принадлежащих по крайней мере одному из двух мно-
жеств X и Y', оно называется объединением X и Y и обозначается
символом X (J Y.
Из определений сразу вытекают следующие предложения:
Х\Х=0,
(1.2.1)
(1.2.2)
(1.2.3)
Х\)Х = Х,	Х(}Х = Х.
X()Y = Y\JX, XftY = Y(\X.
(1.2.4)	Отношения XcY, X U Y = Y, X()Y— X эквивалентны
(1.2.5)	X<=X\]Y, XftYcX.
(1.2.6)	Отношение „Xcz.Z и Y c Z“ эквивалентно отношению
X (J Y c Z; отношение „Zc.X и Z a. Y“ эквивалентно отноше-
нию Z cz X П Y.
16	Гл. 1. Элементы теории множеств
(1.2.7)	XU(ruZ) = (XuK)UZ.
это объединение обозначается символом X (J Y (J 2;
ХП(ГП2) = (ХПК)Пг,
это пересечение обозначается символом X f| У П Z.
(1.2.8)	Хи(УП2) = (*иЮП(*иЮ.
X П (У U Z) — (X П У) U (X П Z) (дистрибутивность).
(1.2.9)	Для подмножеств X и У множества Е
С(СХ) = Х;
С (X U У) = (СХ) П (СЮ. С (X П У) = (СХ) U (СЮ
(вместо С£ мы пишем С). Отношения XcY, СХ о СУ эквива-
лентны. Отношения XC\Y=0, X с СУ. У czCX эквивалент-
ны. Отношения Х\}У~Е, СХ cz У, СУ с X эквивалентны.
Объединение {х} (J {у) обозначается символом {х, у); подоб-
ным же образом {х} (J {у} U {?} обозначается символом {х, у, z] и т. д.
3.	Произведение двух множеств
Любым двум объектам а, b соответствует новый объект —
их упорядоченная пара (а, Ь)\ отношение (о, Ь) — (а', Ь') экви-
валентно отношению „а = а' и /> = £'“; в частности, (а, b) = (b, а)
в том и только в том случае, если а = Ь. Первый (соответственно
второй) элемент упорядоченной пары с = (о, Ь) называется первой
(соответственно второй) проекцией пары с и обозначается симво-
лом а — рг* с (соответственно Ь — рг2 с).
Для любых двух множеств X и У (различных или нет) существует
(единственное) множество, состоящее из всех упорядоченных пар (х, у),
где х £ X и у £ У. Оно обозначается символом X X У и называется
декартовым произведением (или просто произведением) X и У.
Отношению R(x, у) между х£Х и у£У соответствует свой-
ство R(pr, z, рг2д) элемента г^ХХУ; подмножество произведе-
ния X ХУ, состоящее из элементов, для которых истинно это свой-
ство, есть множество пар (х, у), для которых истинно R(x, у).
Это подмножество называется графиком отношения R. Любое под-
множество О произведения X X У есть график некоторого отноше-
ния, именно отношения (х, у) £ G. Если X' а X, У' с: У, то график
отношения „х£Х' и у£У'“ есть Х'^У'.
Следующие предложения сразу вытекают из определений:
(1.3.1)	Отношение X X У = 0 эквивалентно отношению „X — 0
или У = 0“.
4. Отображения
17
(1.3.2)	Если XyY Ф 0 (это означает, что и X и Y не пусты),
то отношение X'y,Y' C.XXY эквивалентно отношению
„Х'сХ и Y' cP.
(1.3.3)	(*XW'XK)=(W)XK.
(1.3.4)	(X х Y) n {X' х И = (X п X') X (Г П П-
Произведение трех множеств X, Y, Z по определению есть
X X ^Х 2 = И X ^)Х 2, а произведение п множеств аналогично
определяется по индукции Хх X Х2 X • • • X Хп — (Ху X Х2 X ...
... Х.Хп_1)'Х Хп. Элемент z произведения Хх X X Хп обозна-
чается (хР х2.хп) вместо ((...(Хр х2), х3).x„_j), х„);
xz есть 1-я проекция элемента z; она обозначается симво-
лом xz==przz, где 1^/^д. Если Х1 = Х2= ... — Хп = Х,
то вместо X X X X • • • X X (п раз) мы пишем Хп.
4.	Отображения
Пусть X и Y —два множества, R(x, у) — отношение между х£Л
и у£К. Говорят, что R функционально по у, если для каждого
х £ X существует один и только один такой элемент у £ К,
что /?(х, у) истинно. График F такого отношения называется функ-
циональным графиком в X X Y. Подмножество F произведе-
ния X X Y можно охарактеризовать, следовательно, таким образом:
для каждого х £ X существует один и только один такой эле-
мент у £ Г, что (х, у) £ F\ этот элемент у называется значением F
в х и обозначается символом F (х). Функциональный график в X X V
называется также отображением X в Y или функцией, опреде-
ленной в X и принимающей значения в Y.
Обычно, особенно в разговоре, об отображении и функциональ-
ном графике говорят так, как будто они являются двумя различ-
ными видами объектов, находящимися во взаимно однозначном соот-
ветствии, и по этой причине пользуются выражением „график ото-
бражения'. Но это только психологическое различие {соответствующее
тому, понимать ли F „геометрически' или же „аналитически').
Во всяком случае, в современной математике важнейшую роль играет
рассмотрение отображения (функции) как единого объекта (такого же,
как точка или число) и проведение ясного различия между отобра-
жением F и любым из его значений F (х)-, первое есть элемент
множества X X)v второе — элемент множества Y, причем
^=={(х, у)€*Х Г|у = Г(х)}.
Подмножества произведения X X ¥> которые могут быть функ-
циональными графиками, образуют подмножество множества ф(<¥ X К),
2 Ж, Дьедонне
18
Гл. 1. Элементы теории множеств!
называемое множеством отображений X в Y и обозначаемое
символом Yx или §(Х, К).
Примеры отображений. (1.4.1) Если/» — элемент множе-
ства Y, то Л" X есть функциональный график, называемый
постоянным отображением X в Y со значением Ь\ существенно
отличать его от элемента b множества Y.
(1.4.2)	При Y — X отношение у — х функционально по у. Его
график является множеством всех пар (х, х) и называется диагональю
произведения X X X, или тождественным отображением мно-
жества X в себя.
Если для каждого х£Х построить объект Т(х), являющийся
элементом множества Y, то отношение у = Т(х) будет функциот
нально по. у; соответствующее отображение обозначается симво-
лом х—>7’(х). Это, конечно, обычное определение функции; оно
в сущности совпадает с определением, данным выше, потому что
если F—функциональный график, то он является отображением
х—>F(x). Примеры (1.4.1) и (1.4.2) записываются соответственно
так: х->Ь и х—>х.
(1.4.3)	Отображение Z->X\Z множества ф(Х) в себя.
(1.4.4)	Отображения z->pr1z произведения X XY я X и г->рт22
произведения X X Y в Y, называемые соответственно первой и вто-
рой проекциями в X ХУ- pri(X X Y) = X; рг2(Х X Y) = Y.
Из определения равенства множеств (1.1) следует, что отноше-
ние F = G между двумя отображениями множества X в Y экви-
валентно отношению „F (х) — G (х) для каждого х£Х“.
Если А — подмножество множества X и F — отображение X в Y,
то множество F П (И X Е) является функциональным графиком в А X Y,
который как отображение называется сужением отображения F
на множестве А. Когда F и G имеют одно и то же сужение на А
[т. е. когда F(x) = G(x) для' каждого х£А], говорят, что они
совпадают на А. Отображение F множества X в Y, имеющее
сужение Г'на Л, называется продолжением отображения F' на X-
вообще говоря, существует много различных продолжений функции F'.
Мы будем рассматривать в качестве аксиомы (аксиомы вы-
бора) следующее предложение:
(1.4.5)	Если дано такое отображение F множества X в ?Р(К),
что F (х) + 0 для каждого х^Х, то существует такое ото-
бражение f множества X в Y, что f (x)£F (х) для каждого
х£Х,
5. Образы и прообразы
19
Иногда удается показать, что теорему, доказанную с помощью
этой аксиомы выбора, в действительности можно доказать, не поль-
зуясь ею. Мы никогда не будем входить в обсуждение такого рода
вопросов, по существу относящихся к курсу логики.
5.	Образы и прообразы
Пусть F— отображение множества X в Y. Для любого подмно-
жества Ac. X подмножество множества У, определяемое свойством:
„существует такой элемент х£А, что у = В(х)“, называется обра-
зом множества А при отображении F и обозначается символом В (Л).
Имеем следующие утверждения:
(1.5.1)	Г(Д) = рг2(ГП(ЛХЮ).
(1.5.2)	Отношение Л ¥= 0 эквивалентно отношению F(Л)	0.
(1.5.3)	В({х}) = {В(х)} для каждого х£Х,
(1.5.4)	Из Ас В следует F(A)cF(B).
(1.5.5)	F (A f) В) с F (А) (] F (В).
(1.5.6)	F(A\]B) = F(A)\}F(B).
В самом деле, в силу (1.5.4), F(A)cF(A (J В) и F(B)cF(A (J В).
С другой стороны, если у £ F (Ли В), то существует такой эле-
мент х^А\}В, что y — F(x). Так как х£А или х£В, то y£F(A)
или у £F (В).
Легко привести примеры, когда F (Л П В) Ф F (Л) fl В (В) (в каче-
стве F можно, например, взять первую проекцию произведения).
Для любого подмножества А' с У подмножество множества X,
определяемое свойством В(х)£Л', называется прообразом А' при
отображении F и обозначается символом В-1(л).
Отметим такие утверждения:
(1.5.7)	В-Чл'^рг^ВПСГХ Л')).
(1.5.8)
потому что для каждого х £ X имеем F (х) g F (X).
(1.5.9)	/?-1(0)=0
2*
20 Гл. Г Элементы теории множеству
[но равенство F~1(a')=0 может иметь место й для непустых под-
множеств А' сИ — именно для тех, для которых А' П F(X) = 0].
(1.5.10)	Из А'с В' следует F~'(а') с F~l (в’).
(1.5.11)	В'1 (д' П В') = F~\a') П F-1 (В').
(1.5.12)	В’1 (Д' U В') = В’1 (Д') U В-1 (в ).
(1.5.13)	В-1(д'\ В') = В-1(д ) \ В-1(В ), если д'	В'.
Отметим различие между (1.5.11) и (1.5.5). Если ВсДс/,
то в силу (1.5.6) В (Д) = В(В) U В (Д \ В), поэтому В(Д\В)гэ
3 В (Д) \ В (В); но между В (X \ Д) и Y \ F (Д) нет никакой связи').
Множество В-1 ({у}) обозначают также символом В-1 (у); таким
образом, В(х) = у эквивалентно х£В-1(у).
Мы имеем:
(1.5.14)	В(В”1(Д')) = Л'ПВ(Л) для A'cY.
(1.5.15)	В-1(В(Д))=>Д для ДсХ.
В заключение отметим специальные соотношения, имеющие место
в произведении.
(1.5.16)	ргГ1(Д) = ДХ1/ для любого AcX;
рга1 (А') = X X А' для любого А'сУ.
(1.5.17)	Zczprx (Z) X рг2(Z) для любого ZcX X ¥
Задачи
1.	Приведите пример таких двух подмножеств Ас В множества X и
отображения В, чтобы В(Л\В) #= В (Л)\В (В).
2.	Приведите примеры отображений В:Х->/ и подмножеств А с X,
дла которых:
а)	В(Х\Л) с Г\В(Л);
Ь)	В(Х\ Л)зГ\ВЦ);
с)	ни одно из множеств В (X \ Л), Y \ В (Л) не содержится в другом
(в качестве X и Y можно, например, взять конечные множества).
3.	Для любого подмножества G произведения X X Y, любого подмно-
жества АсХ и любого подмножества А' с Y положим G (J) = рг2 (ОП(ДХО)
и G'1 (Д') = Pri (О П (Х%А') ). Для х£Х и y^.Y вместо G ( (я) ) и
’) Очевидно, имеет место включение Г\В(Л)с (B\B(X))UB(X\Л).—
Прим, перев.
6. Сюръективные, инъективные и биективные отображения
21
G-1 ({у}) будем соответственно писать G (х) и G-1 (у). Докажите, что
эквивалентны следующие четыре свойства:
a)	G есть график отображения некоторого подмножества X в Y;
Ъ)	С(О-1Ц'))сЛ' для любого подмножества А' с. Y;
с)	G-1 (Л'ПВ')= G-1(A')nG-1 {В’) для любой пары А', В' подмно-
жеств Г;
d)	G-1 (А')ПО-1 (В') = 0 для любой пары А', В' подмножеств У, для
которой А' П В' = 0.
[Совет: покажите, что когда не выполняется а), нарушаются Ь), с) и d).J
6.	Сюръективные, инъективные и биективные отображения
Пусть F— отображение множества X в У. Отображение F
называется:
сюръективным (или отображением на или накрытием), если
F (X) = Y, т. е. если для каждого у £ У существует (по крайней
мере один) такой элемент х £ X, что у = F (х);
инъективным (или взаимно однозначным или вложением),
если из F (х) = F (х’) следует х = х'-,
биективным (или наложением), если оно является одновре-
менно и сюръективным и инъективным.
Любое сужение инъективного отображения инъективно.
Любое отображение F множества X в У может также рассма-
триваться как отображение X в F (X)-, в этом случае оно является
сюръективным, а если (как отображение X в У) оно было инъек-
тивно, то как отображение X на F (X) оно является даже биективным.
Примеры. (1.6.1). Если А — произвольное подмножество X,
то сужение на А тождественного отображения х —> х является
инъективным отображением J,, называемым естественным вло-
жением подмножества А в X. Для любого подмножества ВсХ
имеем уд1 (В) = В ПЛ.
(1.6.2)	Если F — любое отображение X в У, то отображение
х->(х, F(x)) множества X в X X У инъективно.
(1.6.3)	Проекции ptj и рг2 являются сюръективными отображениями
X X У соответственно на X и У.
(1.6.4)	Тождественное отображение любого множества биективно.
(1.6.5)	Отображение Z—>X\Z множества ^(Х) в себя биективно.
(1.6.6)	Если У = {ft} состоит из одного ,элемента, то отображение
х -> (х, ft) множества X в X X {ft} биективно.
22
Гл. 1. Элементы теории множеств
(1.6.7)	Отображение (х, у)->(у, х) произведения X X в Y X X
биективно.
Если Р—инъективное отображение, то Р~Х (F(A))~ А для
любого AczX. Если F—сюръективно, то F(F~X (А')) — А' для
любого A'cY.
Если F — биективное отображение, то в соответствии с опреде-
лением отношение y-F(x') функционально по х. Соответствующее
отображение множества Y в X называется отображением, обратным
отображению F, и обозначается символом F~x (если же F не биек-
тивно, то это отображение не определено!). Таким образом, отно-
шения у = /7(х) и х = Р~х(у) эквивалентны, Р 1 само биективно и
(F_1)_1 = F. Для каждого подмножества 4'сУ образ А' при Р 1
совпадает с прообразом А' при F, так что обозначения согласуются.
Задача
Пусть F— отображение X->Y. Покажите, что эквивалентны следующие
свойства:
a)	F— вложение;
b)	F~x (F(Я)) = А для любого подмножества АсХ;
с)	/?(ЛПб) = /г(Я)П^г(^) Для любой пары А, В подмножеств X;
d)	F (Л) П F (В) = 0 для любой пары Л, В подмножеств X, для которой
ллв = 0;
е)	F (Л \ В) — F (Л) \ F (В) для любой пары А, В подмножеств X, для
которой В с. А.
7.	Композиция отображений
Пусть X, Y и Z— три множества, F — отображение множества
X в Y, О — отображение множества Y в Z. Тогда x->G(F(x))
есть отображение множества X в Z, которое называется компози-
цией отображений G и Р (в этом порядке!) или сложным отобра-
жением и обозначается символом Н = G □ F.
Справедливы соотношения:
(1.7.1)	Я(Л) = О(Р(Л)) для любого АсХ.
(1.7.2)	Н~х (Л") = F~l (G-1 (Л")) для любого A"<=Z.
Если и F и G — инъективные (соответственно сюръективные,
биективные) отображения, то viH — GoF — инъективное (соответ-
ственно сюръективное, биективное) отображение; если F и G биек-
тивны, то Н~х = F 1 oG \ Если F биективно, то F xoF — тожде-
ственное отображение множества X, a FoF 1—тождественное
отображение множества Y,
8. Семейства элементов
23
Пусть X, Y, Z и Т — множества, Fx— отображение множества
X в Y, F2—отображение Y в Z, F3—отображение Z в Т. Тогда
из определения следует, что F3 о (F2 о Fr) = (F3 о F2) о Fv Это ото-
бражение множества X в Т обозначается символом F3 о F2 о Fv Точно
таким же образом определяется композиция любого числа отобра-
жений.
Задачи
1.	Пусть А, В, С, D — множества, f—отббражение А в В, g — отобра-
жение В в С, h — отображение С в D. Покажите, что если g о f и h о g
биективны, то и все отображения /, g, h будут биективными.
2.	Пусть А, В, С —множества, f — отображение А в В, g — отображе-
ние В в С, h — отображение С в Л. Покажите, что если среди отображе-
ний h ° g ° /, g о f о h, f о h о g любые два являются сюръективными,
а третье — инъективным или же два являются инъективными, а третье
сюръективным, то все три отображения /, g, h. биективны.
3.	Пусть F — подмножество произведения Xy^Y, G — подмножество
произведения YX.K. Предположим, что в обозначениях, введенных в за-
даче 3 § 1.5, G (F (х)) = {%} для любого л £ X и F (G (у)) = {у} для любого
у £ Y. Покажите, что F — график биективного отображения X на Y, а О —
график отображения, обратного F.
4.	Пусть X, Y — два множества, f — инъективное отображение X в Y,
g — инъективное отображение Y в X. Покажите, что существуют такие два
подмножества А, В множества X, А{]В = X, и такие два подмножества А', В'
множества Y, А'ЦВ' = Y, что Л'=/(Л) и В = g (В').
[Пусть R — X\g(Y) и h = g о f; в качестве А возьмите пересечение
всех подмножеств МсХ, для которых М з X*U h (Al).]
8.	Семейства элементов. Объединение и пересечение
семейств множеств
Пусть L и X — два множества. Отображение множества L в X
иногда называется также семейством элементов множества X,
имеющим L множеством индексов, и обозначается символом X—>хх,
или	или, когда это не может привести к недоразумению,
просто (хх). Наиболее важные примеры дают последовательности
(конечные или бесконечные), соответствующие случаям, когда L —
конечное или бесконечное подмножество множества N целых
чисел J>0.
Следует отличать семейство (хх)х^А элементов множества X
от подмножества множества X, состоящего из элементов этого
семейства; это подмножество служит образом множества L при ото-
бражении X—>хх и вполне может иметь только один элемент. Раз-
личные семейства могут, таким образом, иметь одно и то же мно-
жество элементов.
24	Гл. 1. Элементы теории множеств
Для любого подмножества	сужение на М отображения
X—>хх называется подсемейством семейства (хх)Х£д. имеющим мно-
жество индексов М, и обозначается символом (хх)Х€Д1.
Множество элементов конечной последовательности (хД .
записывается в виде {хр х2........хп]; аналогичные обозначения
можно применять и для множества элементов бесконечной последо-
вательности.
Если(Дх)Х£Л—семейство подмножеств множества X !), то мно-
жество элементов х£Х, для которых существует такое Х££, что
х£Дх, называется объединением семейства (Дх)Х£д и обозначается
символом Н Лх или U Лх. Множество элементов х £ X, для кото-
" XgZ.	X
рых х£Дх при каждом X^L, называется пересечением семейства
(ЛД-£ И обозначается символом Q Лх или Q Лх. При £={1, 2}
Х£4	х
объединением и пересечением соответственно являются ДОЛг и
Лх П Л2.
Легко проверяются следующие предложения:
(1.8.1)
\Х£Д	1	Xg4
(1.8.2)	U (АПВД
\Х£Д	/	\Р-€Ж	/	(X, р.)С4хЛ!
(1.8.3)	( П ЛДU (П = П • (4U ед
\Х£4	/	\Р-€Л!	/	(X, p.)g4x4<
(1.8.4)	Z'7U Лх]=дГ(Лх).
\Xg4	/	Xgz.
если F— отображение X в V и (Дх)Х€д—семейство подмножеств
множества X.
(1.8.5)
\xg4	/	xgi
(1.8.6)	П^'ЧлЭ.
\Х£Д	/	Х£Д
если F — отображение X в Y и (Лх)х^д—семейство подмножеств
множества Y.
*) То есть отображение множества L в множество ф (X).—Прим. ред.
9. Счетные множества
25
Если В — подмножество X, то покрытием В называют такое
семейство (А)Хсд подмножеств множества X, что Вс: |J Лх.
xgz. .
Задача
Пусть	—конечное семейство множеств. Для любого подмно-
жества Н промежутка [1, п] множества N положим: Рц = X и
Q =	Пусть — множество всех подмножеств промежутка [1, л],
состоящих из k элементов. Покажите, что
(J Q„z> П Рн, если 2А<л-|-1,
(J Q„c: П Рн, если 2А>п+1.
W€8ft Я£8Й
9.	Счетные множества
Множество X называется равномощным множеству У, если
существует биективное отображение X на У. Ясно, что Л" , равно-
мощно X; если X равномощно У, то У равномощно Х‘, если X
и У равномощны Z, то X равномощно У. Множество называется
счетным, если оно равномощно множеству N целых чисел 0.
(1.9.1)	Любое подмножество множества N целых чисел^О
конечно или счетно.
В самом деле, допустим, что 4cN бесконечно. Определим ото-
бражение п -> хп множества N в А с помощью следующего индук-
тивного процесса: х0 есть наименьший элемент множества А, х„ —
наименьший элемент множества А \ {х0, .... Хд^}, которое, по
предположению, не пусто. Прежде всего отсюда следует, что xz=#x„
при I < п и поэтому отображение п -> ха инъективно. Докажем
вдобавок, что xt < хп при i < п. Воспользуемся индукцией по I
при фиксированном п. По определению х„ мы имеем х0 < ха, и
если неравенство Xj < х„ доказано при j < I, то по определению xt.
имеем xt <1 х„ и, следовательно, xz < хп, так как xz =/= хя. Далее,
из неравенства xt < хп при I < п с помощью индукции по п сразу
следует, что п хя для каждого п; поэтому, если а £ А, то мы
имеем а -С ха- Пусть теперь а > х0 и т — наибольшее целое
число < а, для которого хт < а. Если бы нашлось такое число
Ь£А, что хт < b < а, то мы по определению имели бы хт+1^
<Сй<а, что противоречит определению 'числа т. Таким обра-
зом, а — наименьший элемент множества А \ {х0, .... хт}; иными
25
Гл. 1. Элементы теории множеств
словами, а — хт+1 и отображение п->хп является сюръективным,
ч. т. д.
Из (1.9.1) следует, что любое подмножество счетного множества
конечно или счетно; такое множество называется также не более
чем счетным.
(1.9.2)	Пусть А — счетное множество и f — отображение А
на множество В. Тогда В не более чем счетно.
Пусть п—>ап— биективное отображение N на А. Тогда
n—>f(a„)—отображение N на В, и, следовательно, мы можем счи-
тать, что 4 = N. Для каждого Ь^В, по предположению, множество
f~l(b) не пусто; пусть т(Ь)—его наименьший элемент. Тогда
f (m(b)) — b, а потому т—инъективное отображение множества В
в N. Можно рассматривать т как биективное отображение В на
m(B)cN, и в силу (1.9.1) т(В) не более чем счетно, ч. т. д.
Заметим, что если множество А не более чем счетно, то всегда
существует сюръективное отображение N на А. Это очевидно,
если А бесконечно; в противном же случае существует биективное
отображение f промежутка	на А, и, полагая g(n) = f(m)
при п > т, можно продолжить f до сюръективного отображения
всего N.
(1.9.3)	Множество NXN = N2 счетно.
Полагая
/<х. у)=<"+з->(->+> + Ч+л
определим инъективное отображение f множества NXNbN („Диа-
гональная нумерация"; отображение f оказывается даже биективным,
но этот результат нам не потребуется). В самом деле, (а-{-1)Х
X (« 4~ 2)/2 = а -|- 1 4- а (а 4- 1)/2; поэтому если х-\-у = а и х-|-
-|- У < хг 4- у', то, так как у а, имеем f(x, у) а 4~ а (а 4" 1 )/2<
</(х', у'), а если х4-у = х'4~у' jj у' < у, то /(х, у) —
— fix', у') = у — у'. Таким образом, из (х, у)4=(х', у') следует
№ у) ¥= /(х', у'). Затем применяем (1.9.1).
Будем говорить, что семейство (хДе/, счетно (соответственно
не более чем счетно), если счетно (соответственно не более чем
счетно) множество индексов L.
(1.9.4)	Объединение счетного семейства счетных множеств
счетно.
Пусть (ДХ)Х£Л — счетное семейство счетных множеств. Существует
биективное отображение п —> множества N на L и (для каждого
k £ Z,) биективное отображение « -> Л (и) множества N на Поло-
9. Счетные множества
'27
жим А= U Ях и рассмотрим отображение (/n, n)—>fK (m) произ-
х gz.	л
ведения N X N в А. Это отображение сюръективно. В самом деле,
если	то существует такое п, что р = Хп, и такое ш, что
х =	= f\n(jri). Так как А бесконечно, нужный результат сле-
дует теперь из (1.9.3) и (1.9.2).
Предложение (1.9.4) останется справедливым, если слово „счет-
ное" всюду заменить словами „не более чем счетное". Нужно
только, пользуясь замечанием, сделанным после (1.9.2), заменить
в доказательстве биективные отображения сюръективными.
Наконец, будем рассматривать в качестве аксиомы следующий
результат:
(1.9.5)	Каждое бесконечное множество содержит счетное под-
множество.
Задачи
1.	Покажите, что множество gf (N) всех конечных подмножеств мно-
жества N счетно.
[Запишите его как объединение счетного множества счетных множеств.)
2.	Покажите, что множество всех конечных последовательностей эле-
ментов множества N счетно.
[Воспользуйтесь задачей 1; обратите внимание на различие между по- •
следовательностью и множеством элементов этой последовательности!]
3.	Докажите утверждение задачи 4 § 1.7 следующим методом: положите
и = g о f, v = f ° g и по индукции определите ип и vn условиями: ип =
= и.п_х о и, vn— vn-i ° v; затем рассмотрите в X (соответственно в Г) воз-
растающую последовательность множеств ип(Х) [соответственно сл(К)]
и их образы при f (соответственно при g) в Y (соответственно в X).
4.	Покажите, что для того чтобы множество X было бесконечно, необхо-
димо и достаточно следующее условие: для каждого отображения f мно-
жества X в себя существует такое непустое подмножество А с X, что
А X и f (Я) с А
[Покажите сначала, что если бы f не обладало этим свойством и X было
бесконечным, то X было бы счетным и можно было бы считать, что X = N
и f (п) > п при л 0; покажите, что это приводит к противоречию.)
5.	Пусть Е — бесконечное множество, D — не более чем счетное под-
множество Е, причем Е \ D бесконечно. Покажите, что Е \ D равномощно
множеству Е.
[С помощью (1.9.4) и (1.9.5) определите биективное отображение Е
на £\Z3.)
Глава 2
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Материал этой главы является вполне классическим. Главное отличие
от большинства изложений теории действительных чисел состоит в том, что
здесь их свойства выводятся из небольшого числа утверждений, взятых
в качестве аксиом, тогда как на самом деле эти утверждения могут быть
доказаны как следствия из аксиом теории множеств (или же аксиом нату-
ральных чисел вместе с некоторыми аксиомами теории множеств, позволяю-
щими провести классические конструкции „дедекиндовых сечений' или
.канторовых фундаментальных последовательностей'). Эти доказательства
представляют большой логический интерес, и исторически они очень помогли
выяснению классического (и несколько туманного) понятия .континуума*.
Но они не имеют к анализу никакого отношения. Интересующийся читатель
найдет их практически в любой книге по анализу; особенно ясное и четкое
изложение см. в книге Ландау [19].
1. Аксиомы действительных чисел
Поле действительных чисел есть множество R, для которого
определены:
1°) два отображения (х, у)->х + у и (х, у)->ху произведения
R X R в R;
2°) отношение х (записываемое также в виде у х) между
элементами множества R,
удовлетворяющие следующим четырем группам аксиом:
(I)	Множество R есть поле, иными словами:
(1.1)	х + (У-|-г) = (х+У)-|-г;
(1.2)	х4-у = уЧ-х;
(I. 3) существует такой элемент 0£R, что 0-[-х = х для каждого
x£R;
(1.4)	для каждого элемента x£R существует такой элемент — x£R,
что х —|—(—х) = 0;
1. Аксиомы действительных чисел
29
(1.5)	x(yz) = (xy)z;
(1.6)	ху = ух;
(1.7)	в R существует такой элемент 1 =А 0, что 1  х = х для каждого
x€R;
(1.8)	для каждого элемента х 0 в R существует такой элемент
x~!£R (обозначаемый также символом 1/х), что хх-1 = 1;
(1.9)	х (у + z) = ху + xz.
Мы предполагаем, что элементарные следствия из этих аксиом
(общая теория полей) известны !).
(II)	Множество R есть упорядоченное поле. Это означает, что
выполняются следующие аксиомы:
(II. 1) из х<^у и y^.z следует х z;
(II.2) отношение „х<(у и у<^х“ эквивалентно отношению х = у;
(II.3) для любых двух элементов х, у множества R или х У или
У-О;
(II. 4) из x<j следует x-}-z <^у-}-,г;
(II. 5) из 0 < х и 0 у следует 0 ху.
Отношение „х у и х + у” записывается в виде х < у или
У > х.
Для любой пары элементов а и b множества R, такой, что а < Ь,
множество действительных чисел х, удовлетворяющих условию
а < х < Ь, называется открытым промежутком с началом а и
концом b и обозначается символом ]а, &[; множество действитель-
ных чисел х, удовлетворяющих условию, a х Ь, называется
замкнутым промежутком с началом а а концом b и обозна-
чается символом [а, (при а = Ь символ [а, а] обозначает одно-
точечное множество {а}); множество действительных чисел х, удо-
влетворяющих условию а < хb (соответственно а х назы-
вается полуоткрытым промежутком с началом а а концом Ь,
открытым в а (соответственно в Ь) и замкнутым в b (соответственно
в а) и обозначается символом ] а, (соответственно [а, b [). Начало
и конец промежутка называются также „концами” этого промежутка.
(III) Множество R есть архимедово упорядоченное поле. Это
означает, что оно удовлетворяет аксиоме Архимеда: для любой
’) См. Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, Физматгиз, 1962.—
Прим. ред.
30
Гл. 2. Действительные числа
пары х, у действительных чисел, такой, что 0 < х, 0<^у, суще-
ствует такое натуральное число п, что у пх.
(IV) Множество R удовлетворяет аксиоме о вложенных
промежутках: если ([а„, Ьп]) — последовательность таких замк-
нутых промежутков, что ап а„+1 и bn+1-^.bn при каждом п, то
пересечение этой последовательности не пусто.
2.	Порядковые свойства действительных чисел
Отношение х<^у эквивалентно отношению „х < у или х = у“.
(2.2.1)	Для любой пары действительных чисел х, у выпол-
няется одно и только одно из трех отношений: х < у,
X =у, X > у.
Это следует из (II. 3) и (II. 2), так как если х #= у, то невоз-
можно, чтобы одновременно выполнялись оба неравенства х < у
и х > у.
(2.2.2)	Из каждого из отношений „х<Су и у <. z“ и „х у
и у ^z“ следует отношение х <z.
В самом деле, в силу (II. 1) из них следует неравенство x<^z,
и если бы мы имели x — z, то мы имели бы одновременно х У
и у < х (или же х < у и
у х), что абсурдно.
(2.2.3)	Любое конечное подмножество А множества R имеет
наибольший элемент b и наименьший элемент а (т. е. для
каждого х £ А имеем: а х Ь).
Проведем индукцию по числу п элементов множества А. При
п = 1 свойство очевидно. Пусть с — произвольный элемент множе-
ства А и В = Л\{с). Так как В имеет п—1 элемент, то суще-
ствует в этом множестве наименьший элемент а' и наибольший
элемент Ь'. Если а'-^с^Ь', то а' — наименьший, а Ъ' — наиболь-
ший элемент множества А. Если b'-^с, то с — наибольший, а а' —
наименьший элемент множества А. Если с-^й'.то с — наименьший,
а Ь'—наибольший элемент множества А.
(2.2.4)	Если А — конечное подмножество R, состоящее из п
элементов, то существует единственное такое биективное -
отображение f множества 1п натуральных чисел I, удовлетво-
ряющих условию	на А, что	пРи i<iJ-
Отображение / называется естественным упорядочением мно-
жества А.
Проведем индукцию по п. При п = 1 результат очевиден. Пусть
b — наибольший элемент множества А (2.2.3) и В = Л\{^}. Пус^ь
2. Порядковые свойства действительных чисел
31
g— естественное упорядочение множества В. Любое отображение f
множества 1п на А, обладающее указанными выше свойствами, должно
быть таким, что f (n) = b, и, следовательно, f (/n_j) = В. Поэтому f
на /п_} должно совпадать с естественным упорядочением g мно-
жества В, откуда следует, что f единственно. Наоборот, определяя /
как отображение, равное g на /л-1 и такое, что /(«) = />, сразу
видим, что / обладает требуемыми свойствами.
(2.2.5)	Если (х,) и (у;)— две такие конечные последователь-
ности, состоящие из п действительных чисел (1	что
xi^.yi &ля каждого I, то
х1 + х2"1~ •••	.У1Н-.У2+ •••
Если, кроме того, по крайней мере для одного индекса I
имеем X; < у(-, то
Х1 + х2 + ••• +Хл<5’1 + Уг+ ••• +Уп-
При п = 2 из предположений с помощью (II. 4) последовательно
получаем
xi + х2 <	+ *2 <	+ У2
и, таким образом, первое заключение в этом случае верно. Кроме
того, из равенства xs х2 — У1 + у2 следует хг + х2 = Xj 4- у2 =
— У14-у2> поэтому х2 —у2 и х1 = у1, откуда вытекает наше второе
утверждение. Доказательство завершается индукцией по п, причем
применяется результат, только что установленный для п — 2.
(2.2.6)	Отношение х С у эквивалентно отношению x-\-z ^.y-^-z;
тот же результат останется справедливым, если знак С
заменить на <.
Нам уже известно (II. 4), что из Х-С следует х z у 4- z.
Наоборот, из x-f-.z<;y4-z следует x-H^ + C—z) Су -|- z (— z),
т. е. х^у. С другой стороны, х-±- z = у A- z эквивалентно х = у.
(2.2.7)	Отношения х^.у, 0<^У— х, х — УС 0, —у С — х,
эквивалентны-, тот же результат останется справедливым,
если знак С заменить на <.
Это следует из (2.2.6), если последовательно положить z =— х,
z~ — у И Z — — X — у.
Действительные числа, удовлетворяющие условию х О (соответ-
ственно х > 0), называются положительными (соответственно
строго положительными), а числа, удовлетворяющие условию х-^О
(соответственно х < 0), называются отрицательными (соответ-
ственно строго отрицательными)1). Множество положительных
') В переводе сохранена терминология автора, отличающаяся от обще-
принятой.— Прим, перев.
32
Гл. 2. Действительные числа
-----------(--------------
(соответственно строго положительных) чисел обозначается сим-
волом R+ (соответственно R^).
(2.2.8)	Если числа X]......хп положительны, то и сумма
х1Н-х2'4_ ••• ~{~хп положительна; если, кроме того, не имеют
места равенства Xj = x2= ... = хп = 0, то х14~>'24- ...
... 4- хп > 0.
Это — частный случай \2.2.5). В силу этого утверждения отно-
шение х^>0 (соответственно х>0) эквивалентно отношению лх^-0
(соответственно пх > 0) для любого целого п > 0.
Положительное число b — а называется длиной промежутка с на-
чалом а и концом Ь.
(2.2.9)	Пусть Jv ..., Jn — п открытых промежутков, никакие
два из которых не имеют общих точек, и пусть I — проме-
п
жуток, содержащий Тогда~если lk—длина промежутка
Л = 1
Jk (1 ^.k^n) и I — длина I, то Л4-^+   •
Пусть I = ] а, &[, Jk—]ck, dk [. Для каждого k + 1 мы имеем
или ck < dk с, или t/j < dk, так как в противном случае пере-
сечение Л ПЛ было бы непусто. При п=1 утверждение прове-
ряется непосредственно; поскольку а с1 < dx Ь, то — q — а
и Л —	— а. Проведем индукцию по п. Пусть Л,. .... J{ —
промежутки, содержащиеся в 1а, сх [, и Jj.Jj___—про-
р р
межутки, содержащиеся в ]dp И; тогда по индукции ^h.^Ci — а,
Л = 1 й
п-1—р
2 lJk<b—Л и
ы .к
р n-1-p
Z1+/2+ ... -Нл=а+2 + 2
Л Л Л-1	*
Л — сг 4- сх — а -|- Ь — dx = b — а.
Для любого действительного числа х определим абсолютную
величину числа х как число, равное х, если х 0, и — х, если
х<^0. Таким образом, |—х| = |х|; отношение |х|=0 эквива-
лентно отношению х = 0. Обозначим х+ =	(положитель-
( I I — х\
ная часть числа х) и х~ = ——---------l (отрицательная часть
числа х). Очевидно, что
х+ =
X,
0,
если х > 0,
если х 0;
Х=ах+ —х~;
f 0, если
х~ =
( — х, если
•| х | — х+ -|- х~.
х>0,
х < 0;
2. Порядковые свойства действительных чисел
33
(2.2.10)	Если а > 0, то отношение | х| а эквивалентно отно-
шению — а^х^а, а отношение jx| <а эквивалентно отно-
шению — а < х < а.
В самом деле, если х^-0, то неравенство х>— а выполняется
всегда и отношение | х [ а (соответственно | х | < а) эквивалентно
отношению х^..а (соответственно х < а). Если же х <;0, то всегда
выполняется неравенство х < а и отношение ] х | а (соответственно
] аг] < а) эквивалентно отношению —х а (соответственно — х < а).
(2.2.11)	Для любой пары действительных чисел х, у
1-*+уКИ + 1у| « IИ — |у||<!•*—у|-
Если оба числа х, у положительны или отрицательны, то первое
неравенство вытекает из определения (2.2.8). Если же, например,
х<0^у, то х -]- у << у	у -1- | х | = | у | -]- | х | и х4-у>х>
х— |у| =— | х| — |у|. Из первого неравенства следует: |х| =
= |У~Нх—У)К|у|Н-|х—У| И |у| = ]х+(у—х)|< |хЦ-|у-х|,
поэтому | X — у |	| X | | У |	| X — у |.
Из (2,2.11) по индукции следует, что
|Х14-Х24~ ••• 4" -С 1*11 + 1Х2| + ••• +!Хл|-
(2.2.12)	Если то из х^у следует- xz ^yz.
В самом деле, в силу (2.2.7) из х<^у следует 0<^у— х, и,
значит, в силу (1Г. 5) 0^2 (у— x) = zy—zx.
(2.2.13)	Из х<0 и у^>0 следует ху^.0; из х 0 и у^О
следует ху^О. Те же результаты останутся справедливыми,
если знак заменить на <. В частности, для любого действи-
тельного числа х2^>0, а если х ф 0, то х2>0.
Первое утверждение следует из (II. 5) и из того, что (—х)у =
= —(ху), (—х)(—у) = ху; с другой стороны, из ху = 0 следует
х = 0 или у = 0.
Из (2.2.13) вытекает, что для любой пары действительных
чисел х, у
М = I *1 • |У|>
Из (2.2.13) и (I. 7) следует, что 1 = I2 > 0; поэтому в силу (2.2.8)
действительное число п  1 (1 складывается п раз) при п > 0 будет
> 0; это показывает, что отображение п п • 1 множества нату-
ральных чисел') в R инъективно и сохраняет отношение порядка,
сложение и умножение. Поэтому натуральные числа с помощью
!) См. примечание на стр. 31; автор причисляет к натуральным числам
и 0. —Прим, перев.
3 Ж, Дьедоии
34
Гл. 2. Действительные числа
этого отображения отождествляются с соответствующими действи-
тельными числами.
(2.2.14)	Если х > 0, то х-1 > 0. При д > 0 отношение х у
эквивалентно отношению xz yz. Отношение 0 < х < у экви-
валентно отношению 0 < у1 < х-1.
Первое утверждение следует из того факта, что хх-1 = 1 > 0,
поэтому в силу (2.2.13) х-1 > 0. Второе утверждение следует из
первого и из (2.2.12), так как x = {xz)z~1. Третье утверждение
является очевидным следствием второго.
Действительные числа вида +r/s, где г и s—натуральные числа,
s =# 0, называются рациональными числами. Рациональные числа,
у которых $ = 1, называются целыми числами (положительными
или отрицательными).
Множество всех целых чисел обозначается буквой Z, а множество
рациональных чисел — буквой Q.
(2.2.15)	Множество Q рациональных чисел счетно.
Поскольку Q является объединением множеств Q П R+ и Q П (—R+)>
достаточно доказать, что счетно пересечение Qf]R+. Но существует
сюръективное отображение (т, п)—>т/п подмножества произведения
N X N, состоящего из всех пар, у которых п =£ 0, на Qf]R+, и,
таким образом, требуемый результат следует из (1.9.2), (1.9.3)
и (1.9.4).
(2.2.16).	Каждый открытый промежуток в R содержит бес-
конечное множество рациональных чисел.
Достаточно доказать, что ]а, й[ содержит одно рациональное
число с, потому что тогда и промежуток ] а, с [ содержит рацио-
нальное число, и индукция докажет окончательный результат.
Пусть х~Ь— а > 0; в силу (III) существует целое число п > 1/х,
поэтому в силу (2.2.14) 1/п < х. Мы можем считать, что b > 0
(в противном случае мы рассмотрели бы промежуток ] — Ь, —а[,
где — а > 0). Ввиду (III) существует такое целое Л>0, что b^k/tt.
Пусть h — наименьшее целое число, для которого b^hjn. Тогда
(Л— l)/n<Z>. Покажем, что (Л — 1)/п>й. Если бы это было не
так, то в силу (2.2.9) мы имели бы b—а—х^ 1/п в противоречии
с определением п.
(2.2.17).	Множество действительных чисел несчетно.
Проведем рассуждение от противного. Допустим, что имеется
биективное отображение п хп множества N на R. Определим, по
индукции последовательность п-^-р(п) целых чисел. Положим
р(0) = 0; и пусть р(1) —наименьшее значение п, для которого
х„ > х0. Допустим, что р(п) уже определено для п^2/и—1 и
что хр (2т_2У < хр {2т_1у Тогда множество ] Хр (2т~2)’ Хр I
в силу (2.2.16) бесконечно. В качестве р(2т) возьмем наименьшее
3. Верхняя и нижняя грани	35
целое число k > р(2т — 1), для которого хр (2т_2) < хк < хр (2лг_и,
затем определим	1) как наименьшее целое число Л> р(2т),
для которого хр <.xk<xp Сразу видно, что последова-
тельность (р(п)) является строго возрастающей, поэтому р(п)~^п
для всех п.. С другой стороньц из построения следует, что замкну-
тый промежуток [хр (2т), хр (2m+1)J содержится в открытом про-
межутке ] хр (2т_2}, хр (2m_i) [.
В силу (IV) существует действительное число у, принадлежащее
всем замкнутым промежуткам [хр (2m), хр (2т+1)Ь и оно не может
совпадать ни с одним из концов этого промежутка, так как концы
любого такого промежутка не принадлежат следующему. Пусть q —
целое число, для которого y = xq, и пусть п — наибольшее целое
число, такое, что р (n)^q, и, значит, q < р (n -f- 1). Предположим
сначала, что п = 2m; тогда неравенства хр (2m) < xq < хр (2т+1) <
< хр (^-^противоречат определению числа р(2т-}~ 1). Если, напро-
тив, п = 2m — 1, то неравенства хр (2m_2) < хр (2лг) < xq < хр (2m_n
противоречат определению числа р(2т). Теорема доказана.
Задачи
1.	Пусть А — счетное подмножество R, обладающее следующими свой-
ствами: для каждой пары элементов х, у множества А, для которой х < у,
существуют такие элементы и, v, w множества А, что u<x<v<y<w.
Покажите, что существует такое биективное отображение f множества А
на множество рациональных чисел Q, что из х < у следует / (х) < / (у)-
[Пусть п -> а„ и п->Ьп — биективные отображения множества N на А
и Q. Индукцией по п покажите, что существуют конечные подмножества
Ап с А, В„ с Q и биективное отображение /л множества А„ на В„, обла-
дающие следующими свойствами:
1°) элемент	при	принадлежит А„;
2°) элемент	при	принадлежит В„;
3°) из х < у в А„ следует fn (х) < /„ (у);
4°) А„сА„+1 и /л есть сужение биективного отображения /л+1 на Лл.]
2.	Покажите, что множество I всех иррациональных чисел равномощно
множеству R.
[См. задачу 5 § 1.9.]
3.	Верхняя и нижняя грани
Действительное число b называется мажорантой (соответственно
минорантой) некоторого множества X действительных чисел, если
х sQb (соответственно Ь^х) для каждого х^Х. Множество XcR
называется мажорируемым или ограниченным сверху (соответ-
ственно минорируемым или ограниченным снизу), если множество
мажорант (соответственно минорант) множества X не пусто. Если X
мажорируемо, то —X (множество чисел —х, где х£Х) мино-
3*
36
Гл. 2. Действительные числа
рируемо, и для каждой мажоранты b множества X число —Ь
является минорантой множества — X и наоборот. Множество, огра-
ниченное и сверху и снизу, называется ограниченным.
(2.3.1)	Для того чтобы множество XcR было ограничено,
необходимо и достаточно, чтобы существовало такое целое
число п, что |х| п для всех х£Х.
В самом деле, из (III) следует, что если а — миноранта и Ъ —
мажоранта множества X, то существуют такие целые числа р, q,
что — р < а и < </; возьмем п = р q. Обратное очевидно.
(2.3.2)	Если непустое множество XcR мажорируемо, то
множество М его мажорант имеет наименьший элемент.
Пусть а£Х, Ь£М\ в силу (III) для каждого натурального
числа п существует такое целое число т, что Ъ^а-\-т2~п. С дру-
гой стороны, если с — мажоранта множества X, то мажорантой будет
и каждое число у Г>> с и, таким образом, существует наименьшее
целое число рп, для которого а-\-рп2~п будет мажорантой множе-
ства X. Отсюда следует, что если /л = [а-)-(/>„— l)2-n, a-f-pn2~n],
то /пПХ не пусто. Поскольку рп2~п = 2рп2~п~г и число
(2рп — 2)2-л-1 не является мажорантой, мы необходимо имеем
рп+} = 2рп или рп+1 = 2рп— 1, иными словами /л+1с/л. Из (IV)
следует, что промежутки 1п имеют непустое пересечение J. Если бы J
содержало хотя бы два различных элемента а < р, то промежуток
[а, р] содержался бы в каждом Iп, и, следовательно, в силу (2.2.9) мы
имели бы 2-л<^р—а или 1^>2П(Р—а) для каждого п, а это
противоречит аксиоме (III) (напомним, что 2п^-п, что очевидным
образом доказывается по индукции). Следовательно,
Покажем прежде всего, что ? является мажорантой множества X.
Если бы это было не так, то существовал бы такой элемент х £ X,
что х > у, но тогда нашлось бы такое п, что 2~л < х—у, и,
так как -у^/л, мы имели бы а^-рп2~п < х вопреки определению рп.
С другой стороны, каждый элемент у £ М удовлетворяет условию
у -у. В противном случае нашлось бы такое п, что 2~" < -у— у,
и, так как ч(ДП, мы имели бы аП-}-(рп— 1)2~л>у и число
a-j-(pn— 1)2-л не было бы мажорантой множества X; это снова
противоречит определению рп.
Таким образом, число у является наименьшим элементом мно-
жества М; оно называется верхней гранью множества X и обозна-
чается символом sup X.
(2.3.3)	Если непустое множество ATazR минораруемо, то мно-
жество М' его минорант имеет наибольший элемент.
Нужно (2.3.2) применить к множеству —X.
3. Верхняя и нижняя грани
37
Наибольший элемент множества М' называется нижней гранью
множества X и обозначается символом inf X. Для непустого огра-
ниченнного множества X существуют и inf Л" и sup X, и при этом
inf X sup X.
(2.3.4)	Верхняя грань мажорируемого множества X есть
действительное число 7, характеризующееся следующими двумя
свойствами'.
Г) 7 является мажорантой множества Х\
2°) для каждого целого числа п > 0 существует такой эле-
мент х£Х, что 7 — 1/п<х^7.
Из определения следует, что 7 = sup X обладает обоими свой-
ствами, так как второе из них выражает тот факт, что число 7 — 1/п
не является 'мажорантой множества X. Если, наоборот, число 7 обла-
дает этими свойствами, то мы не могли бы иметь sup<¥ — Р < 7,
потому что в этом случае существовало бы такое п, что 1/п< 7—{3,
поэтому Р < 7 — 1/п и число 7—1/п было бы мажорантой множе-
ства X вопреки свойству 2°.
Аналогичным образом, применяя (2.3.4) к множеству —X и
пользуясь тем, что infX=—sup(—X), можно охарактеризовать inf А”.
Если множество Xc:R имеет наибольший элемент b (соот-
ветственно наименьший элемент а), то ft = supX (соответ-
ственно n = inf X) и вместо sup Л- (соответственно inf X) мы пишем
шах Л- (соответственно min 20. В силу (2.2.3) это, в частности,
относится к конечным множествам. Но нижняя и верхняя грани
ограниченного бесконечного множества X не обязаны принадлежать X.
Например, если X — множество всех чисел вида 1/п, где п— целые
строго положительные числа, то нижней гранью X является О,,
a min X не существует.
(2.3.5)	Если HcR мажорируемо и Вс.А, то В мажорируемо
и sup В sup А.
Это следует из определений.
(2.3.6)	Пусть (Дх)х£/, — семейство непустых мажорируемых
множеств в R; пусть X = и В — множество чисел sup
Для того чтобы А было мажорируемо, необходимо и достаточ-
но, чтобы было мажорируемо В, и в этом случае sup Д = sup В.
Из определения сразу следует, что любая мажоранта множества А
является мажорантой и множества В и наоборот, откуда и вытекает
требуемый результат.
Пусть f — отображение множества А в множество R действи-
тельных чисел; это отображение / называется мажорируемым
38
Гл. 2. Действительные числа
(соответственно минорируемым, ограниченным) в А, если мно-
жество /(Л)сК мажорируемо (соответственно, минорируемо, огра-
ничено). Введем обозначения
sup / (Л) = sup f (х), inf f (Л) = inf f (x)
xCA	x£A
{верхняя и нижняя грани отображения / на множестве Л), когда
эти числа определены. Если f мажорируемо, то — f минорируемо и
inf (— f (х)) = — sup f (х).
х£А	х^А
(2.3.7)	Пусть f—отображение произведения АГУ{А2 8 R-
Если f мажорируемо, то
SUP /(Хр Х2) = SUp ( SUp /(Хр х2)А.
(Xi,	Л)х д2	-K’lC А \-*2€А	/
В самом деле, /(/ЦХА?) мы можем записать как объединение
множеств / ((xj X Л2), где хх пробегает множество Лр а затем
применить (2.3.6).
(2.3.8)	Пусть /, g— такие два отображения множества А
в R, что f(x)^g{x) для каждого х£Л, Тогда если g мажо-
рируемо, то и f мажорируемо и sup/(x)<^ supg(x).
х£А	х£А
Это сразу следует из определений.
(2.3.9)	Пусть f и g — два отображения множества А в R.
Если и / и g мажорируемы, то мажорируемо и f-\-g [т. е-
отображение х —> / (х)-j-g (х)] и sup(/(x)-|~^(x))<sup/(x)4-
-1- sup g (х). Если g, кроме того, и минорируемо, то
sup/(x)-|- inf ^(x)<sup(/(x) + g(x)).
х£А	х£А	х£А
Пусть а = sup/ (х),6=sup£(x). Тогда для каждого х£Л имеем
xgA	х^_А
f{x)^a и g{x)^.b, поэтому f {х)-\- g{x) ^а-^Ь, откуда следует
первое неравенство. Пусть с= inf g{x). Тогда для каждого х£Л
х£А
имеем: /(х)-|- с < / (х) 4~ (х)<<d = sup(/(х) + g(x)). Но это
А
дает f{x)^d— с для каждого х£Л, значит, a^d— с, или
а + с d, и мы получили второе неравенство.
(2.3.10)	Пусть / — мажорируемое отображение множества
Л в R. Тогда для каждого действительного числа с имеем
sup (/ (х)+ с) = с -I- slip / (х).
xgA	х£А
В (2.3.9) в качестве g нужно взять постоянную функцию, рав-
ную с.
3. Верхняя и нижняя грани
39
(2.3.11)	Пусть J\ (соответственно f2)— мажорируемое ото-
бражение множества Аг (соответственно А2) в R. Тогда ото-
бражение (хР х2)—>/1(х1)-|-/2(х2) мажорируемо и
sup (/1(х1) + /2(х2))= sup ЛСхОН- sup /2(х2).
(х,, х2)£Л1Х Aj	АёА	Xs£A2
Это вытекает из (2.3.7) и (2.3.10).
Мы предоставляем читателю сформулировать аналогичные свой-
ства для inf (всюду нужно изменить знаки).
Задача
Пусть х->/(х) — отображение множества R в множество открытых
промежутков в R, где / (х) — открытый промежуток с центром х и дли-
ны < с (с— некоторое данное положительное число). Покажите, что для
каждого замкнутого промежутка [а, &] в R существует конечное число
точек xt С [а, 6], обладающих следующими свойствами:
Г) промежутки / (х;) образуют покрытие промежутка [а, &];
2°) сумма длин промежутков / (х/) не превосходит с 2 (Ь — а). Приве-
дите пример, подтверждающий, что это — наилучшая возможная оценка.
[Докажите, что если теорема верна для любого промежутка [а, х], где
а < х < и < Ь, то существует такое о, что и < v < Ь и что теорема все
еще верна для любого промежутка [а, у], где а < у < v. Затем рассмотрите
верхнюю грань всех таких чисел и < Ь, что теорема верна для любого про-
межутка [а, х], где а < х < и.]
Глава 3
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Эта глава вместе с гл. 5 составляет сердцевину книги: в ней разви-
вается геометрический язык, на котором теперь выражаются результаты
анализа. Этот язык позволяет придать им полную общность и вместе с тем
дать наиболее простые и наиболее отражающие суть дела доказательства.
Большая часть понятий, вводимых в этой главе, в применении к „обычному*
трехмерному пространству очень наглядна. После того как читатель, решив
ряд задач и прочитав следующие главы, приобретет некоторый опыт в обраще-
нии с этими понятиями, он убедится, что с должными предосторожностями
геометрическая интуиция и в общей ситуации является исключительно
надежным руководителем и что было бы жалко ограничить ее использование
лишь классическими областями.
В этой главе почти нет настоящих теорем; большинство результатов
непосредственно следует из определений, а те из них, которые тре-
буют несколько большего труда, никогда не лежат очень глубоко. Пара-
графы 3.1—3.13 по существу посвящены установлению терминологии. Непод-
готовленному читателю может показаться, что есть очень много терминов,
особенно в 3.5—3.8, которые на самом деле позволяют лишь различными
способами снова и снова говорить одно и то же. Причину этой очевидной
перегруженности языка следует искать в приложениях: отказ от нее (теоре-
тически возможный) привел бы к очень неуклюжим и громоздким выраже-
ниям, а на практике доказано, что для достижения большей ясности стоит
обременить память несколькими дополнительными терминами.
Наиболее важными понятиями, изучаемыми в этой главе, являются поня-
тия полноты (3.14), компактности (3.16—3.18) и связности (3.19). Прежде
чем идти дальше, читатель должен попытаться овладеть ими как можно
лучше, так как они будут неоднократно и широко использоваться.
Метрические пространства составляют только один из частных видов
„топологических пространств”, и эта глава может, таким образом, рассма-
триваться как введение в изучение „общей топологии”, излагаемой, напри-
мер, у Келли [18] и Бурбаки [5]. Путь к этому обобщению указывается
в (3.12), где становится ясным, что в большинстве вопросов расстояние,
определяющее метрическое пространство, играет лишь вспомогательную
роль и что, существенно не нарушая изучаемых явлений, его можно заме-
нять „эквивалентными” расстояниями.
2. Примеры расстояний
41
1. Расстояния и метрические пространства
Пусть Е— некоторое множество. Расстояние в Е есть отобра-
жение d произведения Е X Е в множество R действительных чисел,
обладающее следующими свойствами:
(I) d (х, у) > О для любой пары элементов х, у множества Е.
(II) Отношение d(x, у) = 0 эквивалентно отношению х—у.
(Ill) d(y, x)f=d(x, у) для любой пары элементов х, у мно-
жества Е.
(IV) d (х, д) d (х, у)+d (у, z) для любых трех элементов х, у, z
множества Е (неравенство треугольника).
Из (IV) по индукции следует для любого п > 2
</(хр x„)<d(xp x2)H-d(x2, х3)+.... +d(x„_P x„).
(3.1.1) Если d — расстояние в Е, то
|й(х, z) — d(y, z)\^.d(x, у)
для любых трех элементов х, у и z множества Е.
В самом деле, из (III) и (IV) следует, что
, d(x, z)^d(y, z)-[-d(x, у)
и
d(y, z)<^d(y, x)-{-d(x, z) = d(x, y)-{-d(x, z),
поэтому
— d(x, y)<id(x, z) — d(y, z)^.d(x, y).
Множество E вместе с заданным в E расстоянием называют метри-
ческим пространством.
2.	Примеры расстояний
(3.2.1)	Функция d(x, у)=|х— у| есть расстояние в множестве R
действительных чисел, как это сразу следует из (2.2.11). Соответ-
ствующее метрическое пространство называется действительной
прямой. Если R рассматривается как метрическое пространство,
причем в явной форме не оговорено, при каком расстоянии, то всегда
подразумевается, что речь идет о только что введенном расстоянии.
(3.2.2)	В обычном трехмерном пространстве R3 = RXRXR Для
обычного эвклидова расстояния, определяемого формулой
d(x, у) = У(х1 — У])2 + (х.2 — у2)2 + (х3 — Уз)2,
где х = (хР х2, х3) и у = (ур у2, у3) — два элемента, аксиомы (I),
(II) и (III) тривиальны; аксиома (IV) проверяется прямым вычислением.
42
Гл. 3. Метрические пространства
(3.2.3)	На действительной плоскости R2 = R X R для любых
двух элементов х —(хР х2) и у = (у1, у2) положим
d(X, y)=|xi—yjH-1^2—у2|;
аксиомы (I), (II) и (III) снова проверяются тривиально, а (IV) сле-
дует из (2.2.11).
(3.2.4)	Пусть А — произвольное множество, Е = $(А)—множество
ограниченных отображений Л в R (см. 2.3). Тогда для любых
двух функций / и g, принадлежащих Е, разность f—g также при-
надлежит Е и определено число
d (/, g) = sup | f (f) — g (01.
Отображение (/, g)->d(f, g) является расстоянием в E. В самом
деле, (I) и (III) тривиальны, а (IV) сразу следует из (2.3.9) и (2.3.8).
Далее, если d(f, g) — 0, то /(0 — g(?) = 0 Для всех t^A’, но это
означает, что f = g (см. 1.4), откуда следует (II).
(3.2.5)	Пусть Е — произвольное множество; положим d(x, у) = 1,
если х?=У и d(x, х) = 0. Тогда аксиомы (I), (II) и (III) выполняются.
Аксиома (IV) очевидна, если два из трех элементов х, у, z равны;
если же это не так, то d(x, z)==l, d(x, y)-{-d(y, z) = 2, и, таким
образом, аксиома (IV) справедлива во всех случаях. Соответствую-
щее метрическое пространство, определяемое на Е этим расстоянием,
называется дискретным метрическим пространством.
(3.2.6)	Пусть р — простое число. Для любого целого п > 0 опре-
делим vp{n)— показатель степени числа р в разложении числа п на
простые множители. Из определения сразу следует, что
(3.2.6.1)	vp (пп') = vp (n) + vp(n')
для любой пары целых чисел >0. Пусть, далее, x= + r/s — ра-
циональное число ¥= 0, где г и s — целые числа >0. Положим
vp (х) — vp (г) — VP(S)- Из (3.2.6.1) сразу следует, что это число
не зависит от способа представления числа х в виде дроби. То же
соотношение показывает также, что
(3.2.6.2)	®p(^y) = TFp(x)+Vp(y)
для любой пары рациональных чисел 0.
Для любой пары рациональных чисел х, у положим теперь
d (х, у) — p~vp(х-у), если х ф у,
d(x, х) = 0.
Докажем, что это — расстояние (так называемое р-адическое рас-
стояние) на множестве Q рациональных чисел. Аксиомы (I), (II) и (III)
3. Изометрия
43
сразу следуют из определения. Кроме того, мы докажем следующую
усиленную форму аксиомы (IV):
(3.2.6.3)	d(x, z)^max(d(x, у), <7 (у, г)).
Так как в случае, когда два из трех • элементов х, у, z равны, это
неравенство очевидно, то мы можем считать, что все они различны,
и тогда нам нужно доказать, что для любой пары рациональных
чисел х, у, для которой х + 0, у =£ О и х — у О, мы имеем
(3.2.6.4) vp(x — у) > min (ир (х), vp(y)).
Можно считать, что vp(х)vp(у); если учесть (3.2.6.2), то нера-
венство, которое нужно доказать, сведется к неравенству
(3.2.6.5)	• vp(z — 1)>0
для любого рационального числа z, такого, что z 0, z 1 и
v (z) > 0. Но в этом случае, по определению, z = ± phrls, где
аг и s не делятся на р. Так как знаменатель числа не де-
лится на р, неравенство (3.2.6.5) следует из определения vp.
Другие примеры будут подробно изучаться в гл. 5, 6 и 7.
3.	Изометрия
Пусть Е, Е' — два метрических пространства, d, d' — расстояния
в Е и Е'. Биективное отображение / пространства Е на Е' назы-
вается изометрией, если
(3.3.1)	d'(f(x), /(y)) = d(x, у)
для любой пары элементов пространства Е; обратное отображение /-1
является тогда изометрией пространства Е' на Е. Два метрических
пространства Е и Е' изометричны, если существует изометрия Е
на Е'. Любая теорема, доказанная в Е, в которой участвуют только
расстояния между элементами пространства Е, немедленно дает соот-
ветствующую теорему в любом изометричном пространстве Е' отно-
сительно расстояний между образами при отображении / элементов
пространства Е, о которых шла речь в исходной теореме.
Пусть теперь Е — метрическое пространство, d — расстояние в Е
и / — биективное отображение Е на множество Е' (в Е' до этого
расстояние могло быть и не определено). Мы можем тогда опреде-
лить в Е' расстояние d' с помощью формулы (3.3.1), и в таком
случае / будет изометрией пространства Е на Е'. Говорят, что рас-
стояние d' было перенесено с Е на Е' отображением /.
(3.3.2)	Пример: расширенная действительная прямая R. Функ-
ция /, определенная на R условием /(х) — х/(1 -ф-1 х |), является
44
Гл. 3. Метрические пространства
биективным отображением R на открытый промежуток 1 — ] —1, -|-1 [.
Обратное отображение g определяется формулой g(x) = х/(1 —[ х |)
при | х | < 1. Пусть J — замкнутый промежуток [—1, 4~1] и пусть
R—множество, являющееся объединением R и двух новых элемен-
тов, обозначаемых символами -|-оо и —со (бесконечные точки).
Продолжим / до биективного отображения множества R на J,
полагая / (-)- со) —	1, /(—оо) = — 1, и будем вновь буквой g
обозначать обратное отображение. Так как J—метрическое про-
странство с расстоянием |х— у |, мы можем применить описанный
выше процесс и, положив d(x, y) = \f(x)— f (у) ], превратить R
в метрическое пространство. С этим расстоянием [которое, когда
оно рассматривается для элементов пространства R, отличается
от расстояния, определенного в (3.2.1)] метрическое пространство R
называется расширенной действительной прямой. Отметим, что
d(-\-oo, х)— 1/(1 4- I х |) при х>-0 и d(—со, х)= 1/(1 4~1 х |)
при х 0.
Введем в R отношение порядка, по определению считая нера-
венство х^у эквивалентным неравенству /(х)<^/(у). Легко про-
верить, что когда х и у принадлежат R, это отношение порядка
эквивалентно отношению порядка, уже определенному в R, и что,
кроме того, для любого x£R мы имеем — оо < х < 4~оо. Действи-
тельные числа называются также конечными элементами простран-
ства R. Все свойства и определения, рассмотренные в гл. 2 и свя-
занные только с отношением порядка (исключая все то, в чем уча-
ствуют алгебраические операции), можно немедленно „перенести”
на, R отображением g.
Непустое подмножество А пространства R при рассматриваемом
отношении порядка всегда ограничено, и, следовательно, sup Л
и inf А определены, но могут оказаться как действительными числами,
так и 4-оо или —оо. Верхняя и нижняя грани зири(х) и inf и(х)
_	х£А	х£А
(любого отображения и множества Л в R) определяются точно так же,
и, в частности, без изменений сохраняются свойства (2.3.5), (2.3.6),
(2.3.7) и (2.3.8).
4.	Шары, сферы, диаметр
В теории метрических пространств чрезвычайно удобно пользо-
ваться геометрическим языком, на который наталкивает классическая
геометрия. Элементы метрического пространства обычно будут на-
зываться точками. Если даны метрическое пространство Е с рас-
стоянием d, точка а£Е и действительное число г > 0, то открытый
шар (соответственно замкнутый шар, сфера) с центром а и
радиусом г есть множество В (a; r) = [x^E\d(a, х)<г] (соот-
4. Шары, сферы, диаметр
45
ветственно В7 (а; г)=[х£Е |<7(а, хХл), S(a; /)={% g Е | d(a, х)=г}).
Открытые и замкнутые шары с центром а всегда содержат точку а,
но сфера с центром а может оказаться пустой (примеры „странных”
свойств, которыми могут обладать шары в общем метрическом про-
странстве, см. в задаче 4 § 3.8).
Примеры. На действительной прямой открытый (соответственно
замкнутый) шар с центром а и радиусом г есть промежуток ] а — г,
Д-ЬН (соответственно [а—г,	сфера с центром а и ра-
диусом г состоит из двух точек: а — г и а-р-г.
На расширенной прямой R открытый шар с центром схэ и ра-
диусом г < 1 есть промежуток ](1 —г)/г, -f-оо].
В дискретном пространстве Е шар (открытый или замкнутый)
с центром а и радиусом г < 1 сводится к а, а соответствующая
сфера пуста. Если, напротив, г^-1, то В (а; г)==В'(а; г) — Е,
a S(a; г)=0 при г>1 и S(a; /-) = £\{a) при г = 1.
Пусть А, В—два непустых подмножества пространства Е. Рас-
стояние от А до В, по определению, есть положительное число
d(A, В) = inf d(x, у).
х^А.у^В
Если А состоит из одной точки х, то вместо d(A, В) пишут
также d(x, В). В силу (2.3.7) имеем d(A, B) = infd(x, В). Если
х£А
Af\B=£0, то d(A, В) = 0, но обратное может и не иметь места.
Вообще если d(A, В) = а, то не обязательно существуют такие две
точки х£А, у^В, для которых d(x,y) = a. Пусть, например,
на действительной прямой А — множество всех целых чисел 1,
а В — множество всех чисел вида п— 1/п для всех целых чисел
ц 2. Хотя Л и В не имеют общих точек, но расстояние
d(n, п—1/п)—1/п сколь угодно мало; поэтому d(A, В) = 0 (см.
задачу 2 § 3.17)
(3.4,1)	Если точка х не принадлежит шару В (а; г) [соответ-
ственно В'(а; г)], то d (x, В (а; r))^-d(a, х)— г [соответ-
ственно d(x, В'(а; r))^-d(a, х)— г].
В самом деле, из предположения следует, что d(a, х)~^г. Для
любой точки у£В(а;г) [соответственно у£В'(а; г)] в силу не-
равенства треугольника d(x, y)/^d(a, х)— d(a, y)/^d(a, х)— г.
(3.4.2)	Если А — непустое множество в пространстве Е и х,
у — две точки Е, то
|d(x, A) — d(y, 4)|<d(x, у).
46
Г л. 3. Метрические пространства
Для каждой точки z£A имеем d(x, z)^.d(x, y)-]-d(y, z),
поэтому
d(x, A) = inf d(x, z)^.int(d(x, y)+d(y, z)) =
z£A	z£A
= d(x, y)4-infd(y, z) = d(x, y)4~d(y, A)
z£A
в силу (2.3.8) и (2.3.10). Точно так же d(y, A)^.d(x, y)-^-d(x, А).
Диаметр произвольного непустого множества АсЕ, по опре-
делению, есть 8(Л) = sup d(x, у); он может быть положительным
А, у£Д
действительным числом или -f-oo. Из Ас.В следует 8(Л)<(8(В).
Равенство 8(Д) = 0 имеет место в том и только в том случае, если
А — одноточечное множество.
(3.4.3)	Для любого шара 8 (В'(а; г))<^2г.
В самом деле, если d(a, х)^. г и. d(a, у)^.г, то в силу не-
равенства треугольника d(x, у)<^2г.
Ограниченным множеством в Е называется непустое множество,
диаметр которого конечен. Ограниченным может быть и все про-
странство Е, как показывает пример расширенной действительной пря-
мой R. Непустое подмножество ограниченного множества ограничено.
(3.4.4)	Объединение двух ограниченных множеств А и В огра-
ничено.
В самом деле, если а£А, Ь£В и х, у — две любые точки
объединения A U В, то либо и х и у принадлежат А, и тогда
d(x, у) С 8 (А), либо обе они принадлежат В и d(x, у)-^Ь(В),
либо же, например, х£А и у£В, и тогда в силу неравенства
треугольника d(x, y)^.d(x, a)-\-d(a, b)~\-d(b, у), поэтому
В(ЛиВ)<с?(а, b)4-8(Я) + 8(В).
Поскольку это верно для любых а £ А, Ь£В, имеем
8 (Л (J 5) < (Л, В)4-8(Л)-|-8(В)
по определению d(A, В).
Из доказанного следует, что если А ограничено, то, какова бы
ни была точка х0£Е, множество А содержится в замкнутом шаре
с центром х0 и с радиусом d(x0, /4)4-8 (Л).
5.	Открытые множества
Открытым множеством в метрическом пространстве Ес рас-
стоянием d называется подмножество ЛсВ, обладающее следующим
свойством: для любой точки х £ А существует такое г > 0, что
6. Окрестности
47
В(х; г)сЛ. Пустое множество открыто (см. 1.1); все простр.анство Е
открыто.
(3.5.1)	Любой открытый шар является открытым множеством.
В самом деле, если х£В(а; г), то, по определению, d(a, х) < г;
поэтому из неравенства d(x, у) < г — d(a, х) следует неравенство
d(a, y)^d(a, x)-{-d(x, у) < г, которое доказывает включение
В (х-, г—d(a, х))сВ(а; г).
(3.5.2)	Объединение любого семейства {A-K)^L открытых мно-
жеств открыто.
В самом деле, если х£А^ для некоторого то существует
такое г > 0, что В(х; /)сЛ11сЛ = и Ах.
xgz
Например, на действительной прямой R любой промежуток
1«. + оо [ открыт как объединение открытых множеств ] а, х [ для
всех х > а. Точно так же открыт и промежуток ] — оо, а[.
(3.5.3)	Пересечение конечного числа открытых множеств
открыто.
Достаточно доказать, что открыто пересечение двух открытых
множеств Alt А2, а затем провести индукцию. Если	т0
существуют такие т\ > 0 и г2> О, что В (аг; rJaz-Aj и В(х; г2)сЛ2;
очевидно, В(х; ^с^ПДг- где r = min(r1, г2).
Пересечение бесконечного семейства открытых множеств, вообще
говоря, не будет открытым. Например, пересечение промежутков
]—1/га, 1/«[ в R— одноточечное множество {0}, которое в силу
(2.2.16) не открыто.
(3.5.4)	В дискретном пространстве любое множество открыто.
На основании (3.5.2) достаточно доказать, что открыто одно-
точечное множество {а}. Но по определению {а) = В(а; ’/г)’ и
утверждение следует из (3.5.1).
6.	Окрестности
Если А — непустое множество в метрическом пространстве Е,
то открытой окрестностью множества А называется любое откры-
тое множество, содержащее А, а окрестностью множества А—любое
множество, содержащее открытую окрестность А. В случае когда
А — {аг}, мы говорим об окрестностях точки х (а не множества {х}).
(3.6.1)	Для любого непустого множества АсЕ и любого г > 0
множество Vr(A)={x£E\d(x, А) < г) является открытой
окрестностью А.
48
Гл. 3. Метрические пространства
В самом деле, если d(x, Л) < г и d(x, у) < г—d(x, А), то
из (3.4.2) следует, что d(y, A)<.d(x, А)г — d(x, А)~т, поэтому
Vr(A) открыто и, очевидно, содержит А.
В случае когда Д=[а], множество УГ(Д) есть открытый шар
В (а; г).
Фундаментальная система окрестностей множества А есть
семейство (£7Х) окрестностей А, обладающее тем свойством, что
любая окрестность А содержит хотя бы одно из множеств £7Х. Для
произвольного множества А множества ИДИ) (г > 0), вообще говоря,
не образуют фундаментальную систему окрестностей А [см.,
однако, (3.17.11)]. Из определений следует, что
(3.6.2)	Шары В(а; 1/п) (ге — целые числа >0) образуют фунда-
ментальную систему окрестностей точки а.
(3.6.3)	Пересечение конечного числа окрестностей множества А
является окрестностью множества А.
Это следует из (3.5.3).
(3.6.4)	Для того чтобы множество А было окрестностью
каждой из своих точек, необходимо и достаточно, чтобы А
было открыто.
Условие, очевидно, достаточно. Если, напротив, А — окрестность
каждой точки х£А, то для каждой точки х£А существует откры-
тое множество UxcA, содержащее х. Из того, что х £Uxc.A,
заключаем, что А = |J {х} с (J UxcA. Поэтому на основании (3.5.2)
х£А
А — J Ux является открытым множеством.
х£А
Задача
Покажите, что на действительной прямой множество N всех целых
чисел ^>0 не имеет счетной фундаментальной системы окрестностей.
[Допустите противное и воспользуйтесь следующим замечанием: если
(лтп) — двойная последовательность чисел > 0, то последовательность (6П),
где Ьп = апп/2, обладает тем свойством, что ни для какого номера т не-
равенство Ьп~^>атп не может выполняться сразу для всех номеров п.]
7.	Внутренность множества
Точка х называется внутренней точкой множества А, если А
является окрестностью точки х. Множество всех внутренних точек
множества А называется внутренностью множества А и обозна-
чается символом А,
8. Замкнутые множества, точки прикосновения
49
Например, внутренность любого промежутка с началом а и кон-
цом b (а < й) на действительной прямой R есть открытый промежу-
ток ] а, b [, так как ни а ни 6 не могут быть внутренними точками
промежутков [а, Z>], [а, b [_и ] а, 5]: никакой промежуток с центром а
или b не может содержаться в этих трех промежутках.
(3.7.1)	Для любого множества А внутренность А есть наи-
большее открытое множество, содержащееся в А.
В самом деле, если х £ А, то существует открытое множество
17хсА, содержащее х. Для всякой точки у £ U х, по определению,
А есть окрестность у, поэтому у£А и, значит, UxcA, откуда
в силу (3.6.4) следует, что А открыто. Если, наоборот, множество
ВсА открыто, то из определения ясно, что ВсА. Таким образом,
открытые множества характеризуются условием А = А.
(3.7.2)	Если АсВ, то АсВ.
Это сразу следует из (3.7.1).
(3.7.3)	Для любой пары множеств А и В имеем. ЛП5=ЛГ)5-
Включение ЛИДсЛлВ следует из (3.7.2). С другой стороны,
в силу (3.5.3) пересечение АП В открыто и содержится в ДЛВ.
о
Поэтому ввиду (3.7.1) А П Вс А Л В.
Внутренность непустого множества может быть пуста. Это, на-
пример, имеет место для одноточечных множеств в R.
Внутренняя точка множества Е \ А называется внешней точкой
для А, а внутренность множества £\Л — множеством внешних
точек множества А.
(3.7.4)	Для того чтобы точка х £Е была внешней для А, не-
обходимо и достаточно условие d{x, А) > 0.
В самом деле, из этого условия следует, что В (х; d (х, А)) cz
<=£: \ А, поэтому х является внутренней точкой множества Е \ А.
Наоборот, если х — точка, внешняя для А, то существует шар В (х; г),
где г > 0, содержащийся в Е \ А. Для любой точки у£А мы,
таким образом, имеем d(x, у) > г, и, значит, <7(х, Д)^г.
8.	Замкнутые множества, точки прикосновения,
замыкание множества
По определению замкнутое множество в метрическом про-
странстве Е есть дополнение открытого множества. Пустое мно-
жество замкнуто, замкнуто и все пространство Е, Промежутки
4 Ж. Дьедонне
50
Гл. 3. Метрические пространства
[a, -|—оо[ и ] —оо, а] и множество Z целых чисел — замкнутые
множества на действительной прямой. Промежутки [а, &[ и ]а,
не являются ни открытыми, ни замкнутыми множествами.
(3.8.1)	Замкйутый шар есть замкнутое множество-, сфера
есть замкнутое множество.
В самом-деле, в силу (3.4.1) если х^В'(а; г), то d(x, В'(а; г))^-
^d(a, х)— г > 0. Поэтому открытый шар с центром х и радиусом
d(a, х) — г содержится в дополнении шара В'(а; /); тем самым
доказано, что это дополнение открыто. Дополнение сферы S(a; г)
является объединением шара В(й; г) и дополнения шара В' (а; г),
и ввиду (3.5.2) оно открыто.
(3.8.2)	Пересечение любого семейства замкнутых множеств
замкнуто.
(3.8.3)	Объединение конечного числа замкнутых множеств
замкнуто.
Утверждения следуют соответственно из (3.5.2) и (3.5.3), если
перейти к дополнениям [см. формулы (1.2.9) и (1.8.1)].
В частности, одноточечное множество (х) замкнуто.
(3.8.4)	В дискретном пространстве любое множество замкнуто,
Это сразу вытекает из (3.5.4).
Точкой прикосновения множества А называется такая точка
х £ Е, каждая окрестность которой имеет с А непустое пересечение.
Множество всех точек прикосновения множества А называется замы-
канием А и обозначается символом Л.
Таким образом, сказать, что х не является точкой прикосно-
вения множества А, значит сказать, что она является внутренней
точкой дополнения Е \ А.
(3.8.5)	Замыкание множества А есть дополнение множества
внешних точек А.
Замыкание открытого шара В (а; г) содержится в замкнутом
шаре В'(а; г), но может не совпадать с ним. Если подмножество А
действительной прямой ограничено сверху (соответственно снизу),
то, как это следует из (2.3.4), его верхняя грань sup А (соответ-
ственно нижняя грань inf Л) является точкой прикосновения А.
Ввиду (3.8.5) свойства внутренних точек и внутренности мно-
жества, доказанные в 3.7, с помощью формул булевской алгебры
можно переформулировать как следующие свойства точек прикосно-
вения и замыкания.
(3.8.6)	Для любого множества А замыкание А есть наимень-
шее замкнутое множество, содержащее А.
8. Замкнутые множества, точки прикосновения	51
В частности, замкнутые множества характеризуются условием
Д = Д.
(3.8.7)	Если Acz.B, mo Ас.В.
(3.8.8)	Для любой пары множеств А и В имеем А\$В — А\$В.
(3.8.9)	Для того чтобы точка х была точкой прикосновения
множества А, необходимо и достаточно, чтобы d(x, Д) = 0.
(3.8.10)	Замыкание множества А есть пересечение открытых
окрестностей УГ(Д) множества А.
Это просто другая формулировка утверждения (3.8.9).
(3.8.11)	Любое замкнутое множество в метрическом простран-
стве Е является, пересечением убывающей последовательности
открытых множеств-, любое открытое множество является
объединением возрастающей последовательности замкнутых
множеств.
Первое утверждение доказываем, рассматривая открытые мно-
жества Vi/n (Л), а второе следует из первого, если перейти к до-
полнениям.
(3.8.12)	Если точка прикосновения х множества А не при-
надлежит А, то пересечение V Л Л множества А с любой
окрестностью V точки х бесконечно.
Допустим противное, и пусть УП А = {У1.......у„).	По пред-
положению rk — d(x, yfe)> 0. Выберем г > 0 так, чтобы В(х; г)с:У
и г < min (rv .... г„). Тогда пересечение А и В (х; г) вопреки
предположению пусто.
Точка х£Е называется граничной точкой множества А, если
она является точкой прикосновения как А, так и СД. Множество
Гг(Д) всех граничных точек множества А называется границей А.
Ясно, что Рг(Д)== А Л С Л = Fr(C4). В силу (3.8.2) Fr (Д)— замкну-
тое множество, которое может быть и пустым [см. (3.19.9)].
Граничная точка х множества А характеризуется тем свойством,
что в любой ее окрестности содержится по крайней мере одна
точка множества А и по крайней мере одна точка множества СА.
Все пространство Е является объединением внутренности множества А,
множества его внешних точек и его границы, потому что если
окрестность точки х не содержится ни в А ни в СД. то она должна
содержать точки обоих этих множеств. Любые два из этих трех
множеств не имеют общих точек.
Граница любого промежутка с началом а и концом Ъ в R есть
множество [а, граница множества Q в R есть само R.
4*
52	Гл. 3. Метрические пространства
Задачи
1.	а) Пусть Л —открытое множество в метрическом пространстве Е. Пока-
жите, что для любого множества ВсЕ справедливо включение А |"| В cz А Г) В.
Ь)	Приведите примеры таких открытых множеств А, В на действитель-
ной прямой, что все четыре множества А |"| В, В|"|Л, ЛПВ и Л Г) В различны.
с)	Приведите пример двух промежутков А, В на действительной пря-
мой, для которых Л(~|В не содержится в А(]В.
2.	Пусть А — произвольное множество в метрическом пространстве Е.
о	—
Обозначим а (Л) = Л и 3 (Л) = А.
а)	Покажите, что если Л открыто, то Лса(Л), а если Л замкнуто,
то Л Z5 3 (Л).
Ь)	Покажите, что а (а (Л)) = а (Л) и Р (? (Л)) = Р (Л) для любого Л [вос-
пользуйтесь а) ].
с)	Приведите пример такого множества Л на действительной прямой,
О _	О	—
для которого все семь множеств Л, Л, Л, а (Л), § (Л), а (Л) и^^(Л) раз-
личны и не связаны никакими включениями, кроме следующих: Л cz Л cz Л,
A cz а (Л°) cz ₽ (Л) cz Л, Л cz а (Л) cz ;3 (Л) cz Л.
3.	Пусть Е—метрическое пространство.
а)	Покажите, что для каждого множества Ас Е справедливо включе-
ние Fr (Л) cz Fr (Л) и Fr (Л) cz Fr (Л), и приведите примеры, когда эти три
множества (на действительной прямой) различны.
Ь)	Пусть Л, В — два множества в пространстве Е. Покажите, что
Fr (Л L) -В) cz Fr (Л) L) Fr (В), и приведите пример, когда эти множества
(на действительной прямой) различны. Покажите, что если А[]В = 0,
то Рг(ЛиВ) = Рг(Л)иРг(В).
с)	Покажите, что если Л и В открыты, то
(Л flFr (В) )(_1(ВП Fr (Л)) cz
cz Fr (Л П В) cz (Л П Fr (В)) U (В П Fr (Л)) J (Fr (Л) f| Fr (В)),
и приведите пример, когда эти три множества (на действительной прямой)
различны.
4.	Пусть d — расстояние в множестве Е, удовлетворяющее ультра-
метрическому неравенству
d (х, г) < max (d (х, у), d (у, г)),
где х, у, z£E [см. пример (3.2.6)].
а)	Покажите, что если d (х, у) d (у, z), то
d (х, z) = max (d (x, у), d (у, z)).
b)	Покажите, что в таком метрическом пространстве любой открытый
шар В (х; г) является одновременно и открытым и замкнутым множеством
и что В (у; г) = В (х, г) для любой точки у 6 В (х; г).
с)	Покажите, что в таком метрическом пространстве любой замкнутый
шар В' (х; г) является одновременно и открытым и замкнутым множеством
и что В'(у; г) = В'(х; г) для люЗой точки у€В'(х; г).
9. Плотные подмножества; сепарабельные пространства
53
d)	Покажите, что если два шара в Е имеют общую точку, то один из
них содержится в другом.
е)	Покажите, что расстояние между двумя различными открытыми
шарами радиуса г, содержащимися в замкнутом шаре радиуса г, равно г.
9.	Плотные подмножества; сепарабельные пространства
Множество А в метрическом пространстве Е называется плотным
относительно множества В, если любая точка-множества В является
точкой прикосновения множества А, иными словами, если ВсА (или,
что равносильно, если любая окрестность каждой точки х £ В содер-
жит точки множества А).
(3.9.1)	Если А плотно относительно В и В плотно относи-
тельно С, то А плотно относительно С.
В самом деле, из включения ВсА на основании (3.8.6) следует,
что ВсА, и так как по предположению СсВ, мы имеем СсА.
Множество А, Плотное относительно Е, называется всюду плот-
ным или просто плотным в Е. Такие множества характеризуются
тем, что А = Е, или, равносильно, что всякое непустое открытое
множество содержит точку множества А.
Метрическое пространство Е называется сепарабельным, если
в Е существует не более чем счетное плотное множество.
(3.9.2)	Действительная прямая R сепарабельна.
В самом деле, в силу (2.2.16) множество Q рациональных чисел
плотно в R, а в силу (2.2.15) Q счетно.
Семейство (Gx)x^£ непустых открытых множеств называется базой
открытых множеств метрического пространства Е, если каждое не-,
пустое открытое множество пространства Е является объединением
некоторого подсемейства семейства (Gx).
(3.9.3)	Для того чтобы семейство (0>.X(_L было базой, необхо-
димо и достаточно, чтобы для каждой точки х£Е и каждой
ее окрестности V существовал такой индекс X, что x^G^cV.
Это условие необходимо, потому что по определению существует
открытая окрестность WcV точки х, и, поскольку W является
объединением множеств Gx, существует по крайней мере один такой
индекс р, что х £ О^. Условие достаточно, ибо если оно выполняется
и U — произвольное открытое множество, то в силу (1.4.5) для
каждой точки х £U существует такой индекс р. (х), что х £ G,, cJ.
Следовательно, Uc (J
54
Г л. 3. Метрические пространства
(3.9.4)	Для того чтобы метрическое пространство Е. было
сепарабельно, необходимо и достаточно, чтобы существовала
не более чем счетная база открытых множеств пространства Е.
Условие достаточно, потому что если (Оя) — база и ап — точка,
принадлежащая Оп, то каждое непустое открытое множество является
объединением некоторых Оп и поэтому его пересечение с не более
чем счетным множеством точек ап не пусто. Допустим, напротив,
что существует такая последовательность (ап) точек пространства Е,
что множество точек этой последовательности всюду плотно. Тогда
не более чем счетное [в силу (1.9.3) и (1.9.2)] семейство открытых
шаров В(а„; 1//п) является базой открытых множеств пространства Е.
Действительно, для каждой точки х £ Е и каждого г > 0 существует
такой индекс т, что 1/т < г/2, и такой индекс п, что а„£В(х; 1/т).
Отсюда следует, что лг£В(ап; 1/m). С другой стороны, если
у£В(ал; 1/т), то d(x, y)^.d(x, a„)4r,d(an, y)</2/m < г, так что
В(а„; 1/т)сВ(л; г), а потому на основании (3.9.3) доказательство
закончено.
Задачи
1.	Покажите, что объединение открытого множества и множества его
внешних точек в метрическом пространстве Е всюду плотно.
2.	Пусть А— множество в метрическом пространстве Е. Точка
называется изолированной, если существует такая окрестность V точки х
в Е, что У(]Л состоит из одной лишь точки х.
а)	Покажите, что множество всех изолированных точек сепарабельного
метрического пространства Е не более чем счетно.
Ь)	Покажите, что любое семейство	непустых открытых мно-
жеств сепарабельного метрического пространства Е, обладающих тем свой-
ством, что = 0 при X =/= р, не более чем счетно.
3.	Пусть А — непустое множество на действительной прямой и В — мно-
жество точек л € Л, для которых существует промежуток ]л, у] (где у > х),
имеющий пустое пересечение с А. Покажите, что В не более чем счетно.
[Покажите, что В равномощно множеству открытых промежутков,
попарно не имеющих общих точек.]
4.	Пусть Е—сепарабельное метрическое пространство. Точка х£Е назы-
вается точкой конденсации множества АсЕ, если в любой окрестности
точки х содержится несчетное множество точек из А. Докажите следую-
щие утверждения.
а)	Если А не имеет точек конденсации, то оно счетно.
[Рассмотрите пересечения А с множествами, входящими в базу откры-
тых множеств пространства Е.[
Ь)	Если В — множество точек конденсации множества А, то каждая
точка, принадлежащая В, является точкой конденсации множества В, а мно-
жество Л()(СВ) не более чем счетно.
(Убедитесь, что В замкнуто, и примените а).]
10 Подпространства метрического пространства	55
5.	Покажите, что из каждого открытого покрытия сепарабельного метри-
ческого пространства можно выделить счетное открытое покрытие.
6.	Пусть Е— сепарабельное метрическое пространство, f — произволь-
ное отображение Е в R. Будем говорить, что в точке х0£Е отображение /
достигает относительного максимума (соответственно строгого относи-
тельного максимума), если существует такая окрестность V точки х0,
что / (х)< f (х0) [соответственно f (х) < f (x0)j для любой точки х € V,
отличной от х0. Покажите, что множество М точек хРЕ, в которых f
достигает строгого относительного максимума, не более чем счетно.
[Пусть (ЦП)— база открытых множеств пространства Е. Рассмотрите те
значения л, для которых существует единственная такая точка х £ Un,
что f (х) равно верхней грани отображения f в Un.]
10.	Подпространства метрического пространства
Пусть F — непустое подмножество метрического пространства Е.
Сужение на F X F отображения (х, у)—>J(x, у), очевидно, является
расстоянием в F, называемым расстоянием, индуцированным в F
расстоянием d пространства Е. Метрическое пространство, определяе-
мое этим индуцированным расстоянием, называется подпростран-
ством F метрического пространства Е.
(3.10.1)	Для того чтобы множество BczF было открыто в под-
пространстве F, необходимо и достаточно, чтобы существо-
вало такое множество А, открытое в Е, что B = Af\F.
Если а £ F, то пересечение F [) В (а; г) является открытым шаром
с центром а и радиусом г в подпространстве F. Если А
открыто в Е и х £ А П F, то существует такое г > 0, что В(х; г)сА,
следовательно, х £ F Л В (х; г)сЛ Л F и потому F Л А открыто в F.
Если, наоборот, В открыто в подпространстве F, то для каждой
точки х £ В существует такое число г (х) > 0, что F Л В (х; г (х) )сВ.
Тогда В = U (ГЛ В (х; г(х))) = ГЛЛ, где zl=|jB(x; г(х)),
х£В	х£В
и в силу (3.5.1) и (3.5.2) А открыто в Е.
(3.10.2)	Для того чтобы каждое подмножество Вс.Р, откры-
тое з F, было открыто вЕ, необходимо и достаточно, чтобы F
было открыто в Е.
Полагая B = F, видим, что условие необходимо; ввиду (3.10.1)
и (3.5.3) оно достаточно.
(3.10.3)	Ерли x£F, то, для того чтобы подмножество Wc.F
было окрестностью точки х в F, необходимо и достаточно,
чтобы 1У = УЛ^> где V — окрестность точки х в Е,
56
Гл. 3. Метрические пространства
(3.10.4)	Для того чтобы каждая окрестность в F точки x£F
была окрестностью точки х в Е, необходимо и достаточно,
чтобы F было окрестностью точки х в Е.
Эти свойства сразу следуют из (3.10.1) и определения окрестности.
(3.10.5)	Для того чтобы множество BcF было замкнуто
в подпространстве F, необходимо и достаточно, чтобы суще-
ствовало такое множество А, замкнутое в Е, что B~A(]F.
Сказать, что В замкнуто в F, значит сказать, что F \ В открыто
в F, а это в силу (3.10.1) равносильно существованию такого мно-
жества С, открытого в Е, что F \ В — С П F. Но это равенство
эквивалентно равенству В — F П (Е \ С), откуда и следует требуемый
результат.
(3.10.6)	Для того чтобы каждое подмножество Bcz.F, замкну-
тое в F, было замкнуто в Е, необходимо и достаточно,
чтобы F было замкнуто в Е.
Доказательство точно такое же, как для (3.10.2); нужно приме-
нить (3.10.5) и (3.8.2).
(3.10.7)	Замыкание в F множества Bcz.F равно B[\F, где В —
замыкание множества В в Е.
В самом деле, для всякой окрестности V точки x£F в Е имеем
V Л В — (V fl Р) Л В, и требуемый результат следует из (3.10.3) и
определения точки прикосновения.
(3.10.8)	Пусть F — множество, плотное в пространстве Е. Для
каждой точки x£F и каждой окрестности W точки х в F
замыкание W окрестности W в Е является окрестностью
точки х в Е.
По определению существует такая открытая окрестность U точки х
в Е, что U ЛЕсй7. Достаточно доказать, что UaW. Но если у££7
и V — любая окрестность точки у в Е, то U Л V является окрест-
ностью точки у в Е. Поэтому F Л (U Л V) не пусто, а это означает,
что (FnH)nV’ не пусто, т. е. y^Fnt/cW7.
(3.10.9)	Любое подпространство сепарабельного метрического
пространства сепарабельно.
В самом деле, если (Оя) — не более чем счетная база открытых
множеств пространства Е, то в силу (3.10.1) и (1.8.2) множества
Gn Л F образуют счетную базу открытых множеств подпространства
Fc.E. Отсюда на основании (3.9.4) следует требуемый результат.
11. Непрерывные отображения
57
Задачи
1.	Пусть В и В'—два непустых множества в метрическом простран-
стве Е и А — подмножество пересечения В П В', открытое (соответственно
замкнутое) и в В и в В'. Покажите, что А открыто (соответственно замкнуто)
в BUS'-
2.	Пусть (Z7a) — покрытие метрического пространства Е, состоящее из
открытых множеств. Покажите, что для того, чтобы множество Ас. Е было
замкнуто в Е, необходимо и достаточно, чтобы каждое множество
было замкнуто в t/a.
3.	Множество А в метрическом пространстве Е называется локально
замкнутым, если у каждой точки х б А существует такая окрестность V,
что AQV замкнуто в V. Покажите, что локально замкнутыми множествами
в пространстве Е являются множества вида U П F, где U открыто,
a F замкнуто в Е.
[Для доказательства того, что локально замкнутое множество имеет
этот вид, воспользуйтесь задачей 2.]
4.	Приведите пример такого подпространства А плоскости R2, что в А
существует открытый шар, являющийся замкнутым множеством, но не
замкнутым шаром, и замкнутый шар, являющийся открытым множе-
ством, но не открытым шаром.
[Возьмите в качестве А две точки (0, 1) и (0, —1) и подходящее под-
множество оси х.]
5.	Докажите утверждение (3.10.9), не пользуясь понятием базы (иными
словами, укажите не более чем счетное подмножество, плотное в подпро-
странстве).
§ 11.	Непрерывные отображения
Пусть Е и Е'— два метрических пространства, d и d' — расстоя-
ния в них. Отображение f пространства Е в Е' называется непре-
рывным в точке х0£Е, если для каждой окрестности Vх точки
f (х0) в Е' существует такая окрестность V точки х0 в Е, что
/(V)cV'. Отображение / называется непрерывным в Е (или просто
непрерывным), если оно непрерывно в каждой точке простран-
ства Е.
Если принять, что математическое понятие окрестности соответ-
ствует интуитивной идее „близости”, то предыдущее определение можно
выразить еще нагляднее, сказав, что точка /(х), где /— непрерыв-
ное отображение, сколь угодно близка к /(х0), как только точка х
достаточно близка к х0.
(3.11.1)	Для того чтобы отображение f было непрерывно
в точке х0£Е, необходимо и достаточно, чтобы прообраз
f~x (V) каждой окрестности V' точки /(х0) в Е' был окрест-
ностью точки х0 в Е,
58
Гл. 3. Метрические пространства
(3.11.2)	Для того чтобы отображение f было непрерывно
в точке х0£Е, необходимо и достаточно, чтобы для всякого
е>0 существовало такое 8 > 0, что из d(xQ, х) < 8 следует
d'(f(x0), /(х))<е.
Это—только другие формулировки определения.
Естественное вложение jF.F->E подпространства РсЕ в Е
[см. (1.6.1)] непрерывно. Любое постоянное отображение непрерывно.
(3.11.3)	Если х0£Е— точка прикосновения множества Аа:Е и
если отображение f непрерывно в точке х0, то /(х0)— точка
прикосновения множества f{A).
В самом деле, если V — окрестность точки f (х0) в Е', то
/-1(V')— окрестность точки х0 в Е. Поэтому существует точка
и, значит, /(У)С/(Л) Л V'.
(3.11.4)	Пусть f — отображение пространства Е в Е'. Сле-
дующие свойства эквивалентны-.
а)	/ непрерывно-,
Ь)	прообраз f~l{A') каждого множества А', открытого
в Е', открыт в Е\
с)	прообраз /-1(Л') каждого множества А', замкнутого
в Е', замкнут в Е\
d)	для каждого множества АсЕ имеет место включены
/(Л)с/(Л).
Ввиду (3.11.3) имеем a)=^d). Далее, d)^>c), потому что если Л'
замкнуто и Л = /-1(Л/), то f (Л)сЛ' = А'; следовательно,
Ac. f~l (А') = А, и так как ЛсЛ, то Л замкнуто. Доказательстве
с)^>Ь) проводится на основании определения замкнутого множества
и формулы (1.5.13). Наконец, Ь)^>а), потому что если V — окрест-
ность точки /(х0), то существует открытая окрестность W'cV'
точки /(х0); прообраз /-1 (1У'> является открытым множеством, со-
держащим х0 и содержащимся в /-1(У'), и, таким образом, в силу
(3.11.1) отображение / непрерывно в каждой точке х0.
Следует заметить, что образ открытого (соответственно замкну-
того) множества при непрерывном отображении, вообще говоря, не
будет открытым (соответственно замкнутым) множеством. Напри-
мер, отображение х->х2 непрерывно в R, но образ [0, 1[ откры-
того множества] — 1, -ф- 1] не открыт; отображение х—>1/х непре-
рывно на подпространстве Л = [1, -|-оо[ пространства R, но образ
замкнутого множества Л есть промежуток ]0, 1], не замкнутый в R
[см., однако, (3.17.9) и (3.20.13)].
(3.11.5)	Пусть f — отображение метрического пространства Е
в метрическое пространство Е' и g — отображение простран-
И. Непрерывные отображения
59
ctnea Е' в метрическое пространство Е". Если f непрерывно
в точке хй и g непрерывно в точке /(х0), то h — gof непре-
рывно в точке х0. Если f непрерывно в Е и g непрерывно в Е',
то h непрерывно в Е.
Второе утверждение, очевидно, следует из первого. Пусть W" —
окрестность точки h (х0) == g (/ (х0)). Тогда из (3.11.1) и предполо-
жений следует, что £-1(1У")— окрестность точки /(х0) в Е' и
— окрестность точки х0 в Е. Но /-1(£-I(Wr//))=
=	В частности,
(3.11.6)	Если f — отображение метрического пространства Е
в метрическое пространство Е', непрерывное в точке ха, и
Е — подпространство пространства Е, содержащее хй, то
сужение отображения f на F непрерывно в точке х0.
В самом деле, это сужение является отображением / о у^, где
у^— естественное вложение подпространства F в Е.
Отметим, однако, что сужение отображения f:E-±E' на под-
пространстве F может оказаться непрерывным и в случае, когда f
не является непрерывным ни в одной точке х £ Е. Примером слу-
жит отображение /:R->R, равное нулю на множестве Q рациональ-
ных чисел и единице на его • дополнении {функция Дирихле)’,
сужение отображения f на Q постоянно и потому непрерывно.
Равномерно непрерывное отображение пространства Е в Е'
есть отображение, обладающее тем свойством, что для каждого е > О
существует такое 8 > 0, что из неравенства d (х, у) < 8 следует
d' (f (х), /(у))<е. Из этого определения и (3.11.2) вытекает, что
(3.11.7)	Равномерно непрерывное отображение непрерывно.
Обратное, вообще говоря, не верно. Например, функция х—>№
не равномерно непрерывна на R, так как для данного а > 0 раз-
ность (х-|-а)2— х2 = а (2х -|- а) может принимать сколь угодно
большие значения [см., однако, (3.16.5)].
В приведенных выше примерах (постоянное отображение; есте-
ственное вложение) отображения были равномерно непрерывны.
(3.11.8)	Для любого непустого множества Аа:Е отображение
x~>d{x, А) равномерно непрерывно.
Это следует из определения и (3.4.2).
(3.11,9).	Если f — равномерно непрерывное отображение Е
в Е' и g — равномерно непрерывное отображение Е' в Е", то
h~g°f равномерно непрерывно.
В самом деле, для заданного е>0 существует такое 8 > 0, что
из d’(х’, /) <8 следует d"(g(x'), g(y')) < е; далее, существует
такое 7j > 0, что из d(x, у) < tj следует d'(f (х), /(у))<8. Таким
образом, из d(x, у)<.т[ следует d"(h(x), А(у))<е,
60
Гл. 3. Метрические пространства
Задачи
1.	Пусть f — отображение метрического пространства Е в метрическое
пространство Е'. Покажите, что следующие свойства эквивалентны:
a)	f непрерывно;
Ь)	для каждого множества Л7 с Е' имеем /-1 (Л/)с(/-1 (Л'))°;
с)	для каждого множества А' с Е' имеем /-1 (А') cz (Л'). Приве-
дите пример непрерывного отображения f и такого множества А' cz Е',
что У"1 (ЛЭ не является замыканием прообраза /-1 (Л7).
2.	Покажите, что для любого метрического пространства Е любого
числа г > 0 и любого множества Л сЕ множество Vr (Л) замкнуто.
(V' (Л) — множество таких точек х £ Е, для которых d (х, Л) г.)
[Примените (3.11.8).]
3.	Пусть А и В — два непустых множества в метрическом простран-
стве Е, для которых А[}В = А(}В = 0. Покажите, что существует такое
открытое множество U о Л и такое открытое множество V zd В, что
U[\V=0.
[Рассмотрите функцию х -> d {х, Л) — d (х, В).]
12.	Гомеоморфизмы. Эквивалентные расстояния
Отображение f метрического пространства Е в метрическое про-
странство Е' называется гомеоморфизмом, если: 1°) оно биективно;
2°) и f и обратное отображение /-1 непрерывны. Такие отображе-
ния называются также взаимно непрерывными. Обратное отобра-
жение /-1 является в этом случае гомеоморфизмом пространства Е'
на Е. Если f — гомеоморфизм пространства Е на Е’ и g— гомео-
морфизм пространства Е' на Е", то отображение go f в силу (3.11.5)
является гомеоморфизмом пространства Е на Е". Гомеоморфизм
может не быть равномерно непрерывным (например, гомеоморфизм
х~->х? действительной прямой R на себя).
Два метрических пространства Е и Е' гомеоморфны, если суще-
ствует гомеоморфизм пространства Е на Е'. Два пространства, го-
меоморфные третьему, гомеоморфны. Отступая от правильного сло-
воупотребления, пространство, гомеоморфное дискретному метри-
ческому пространству (3.2.5), называют дискретным пространством,
даже если расстояние в нем определено не как в (3.2.5).
Изометрия в соответствии с определением всегда взаимно не-
прерывна и потому является гомеоморфизмом. Например, расширен-
ная действительная прямая R, согласно определению, гомеоморфна
подпространству [—1, 1] пространства R.
Пусть dx и d2 — Два расстояния в множестве Е. Они определяют
на Е два метрических пространства, которые нужно рассматривать
как различные (хотя они, имеют одно и то же множество точек).
12. Гомеоморфизмы. Эквивалентные расстояния
61
Пусть £\ и Е2— эти пространства. Если тождественное отображение
х->х пространства Е} на Е2 является гомеоморфизмом, то dT и d2
называются эквивалентными расстояниями (или топологически
эквивалентными расстояниями) в Е. Из (3.11.4) видно, что
в этом случае в Ег и Е2 совпадают семейства открытых множеств.
Семейство открытых множеств метрического пространства Е часто
называют топологией пространства Е; эквивалентные расстояния —
это такие расстояния, которые порождают одну и ту же топологию.
Можно убедиться в том, что определения окрестностей, замк-
нутых множеств, точек прикосновения, замыкания, внутрен-
ности множества, множества внешних точек, плотных мно-
жеств, границы, непрерывной функции зависят только от топо-
логии рассматриваемых пространств; они являются топологическими
понятиями. С другой стороны, понятия шаров, сфер, диаметра,
ограниченного множества, равномерно непрерывной функции
не являются топологическими. Топологические свойства метрического
пространства инвариантны при гомеоморфизмах.
Может случиться, что тождественное отображение х—>х про-
странства Е\ на Е2 непрерывно, но не взаимно непрерывно. Возьмем,
например, Е = R, d2(x, у) = | х — у |, a dT(x, у) — расстояние, оп-
ределенное в (3.2.5) и принимающее только значения 0 и 1. В таком
случае расстояние (соответственно топология пространства Ех)
называется более сильным (соответственно сильной), чем расстоя-
ние d2 (соответственно топология пространства Е2).
Задачи
1.	Пусть а — иррациональное число >0. Для каждого рационального
числа х > 0 пусть fa (х) — такое (однозначно определенное) действительное
число, что 0 < fа (х) < а и что х — fa (х) является целочисленно кратным
числа а. Покажите, что fa — непрерывное инъективное отображение про-
странства Q+ рациональных чисел > 0 в промежуток ]0, а[ пространства R
и что fa (Q*+) плотно в ]0, а[. Выведите из этого результата и из задачи 1
§ 2.2, что существует непрерывное биективное отображение пространства Q.
на себя, не являющееся взаимно непрерывным [ср. с (4.2.2)].
2.	Пусть f — непрерывное отображение метрического пространства Е
в метрическое пространство F.
а)	Пусть (Ух)—покрытие пространства F открытыми множествами.
Покажите, что если для каждого X сужение отображения f на подпростран-
стве /-1 (У?) есть гомеоморфизм этого подпространства на подпростран-
ство V\C.F, то f—гомеоморфизм пространства Е на пространство F.
Ь)	Приведите пример такого отображения /, не являющегося инъектив-
ным, и такого покрытия ({/„) пространства Е открытыми множествами, что
сужение отображения / на каждом из Ua есть гомеоморфизм подпростран-
ства Uacz Е на подпространство f (Ua) cz F.
[И E и F можно взять дискретными.] . .
62
Гл. 3. Метрические пространства
3.	Пусть Е, F и О — три метрических пространства, f—непрерывное
отображение пространства Е в F и g — непрерывное отображение простран-
ства F в О. Покажите, что если f сюръективно и g°f— гомеоморфизм про-
странства. £ на О, то / — гомеоморфизм £ на £ и g — гомеоморфизм F на О.
13.	Пределы
Пусть Е— метрическое пространство, А — подмножество в нем,
а — точка прикосновения множества A, f — отображение множен
ства А в метрическое пространство Предположим сначала, что а
не принадлежит А. Мы будем говорить, что f(x) имеет предел
а' £Е' при х£А, стремящемся к а (или а' есть предел ото-
бражения f в точке а£А по множеству Л), если отображе-
ние g подпространства Ли {о} в Е', определяемое условиями:
g(x) = f (х) при х£А и g(а) = а', непрерывно в точке а. В этом
случае мы пишем
ar— lim /(х).
х->а,х£А
Если а £ Л, то мы пользуемся той же терминологией и теми же
обозначениями в случае, когда отображение / непрерывно в точке а,
причем а' — f (а).
(3.13.1)	Для того чтобы точка а'£Е' была пределом отобра-
жения f(x) при х£А, стремящемся к а, необходимо и до-
статочно, чтобы для каждой окрестности V точки а' в Е'
существовала такая окрестность V точки а в Е, что
f(V(\A)cV'.
(3.13.2)	Для того чтобы точка а'£Е' была пределом отобра-
жения fix') при х£Л, стремящемся к а, необходимо и до-
статочно, чтобы для каждого е > 0 существовало такое 8>0,
что из х £ Л и d(x, а) < 8 следует неравенство d'(af, /(х))<е.
Эти критерии являются лишь перефразировкой определений.
(3.13.3)	Отображение может иметь лишь один предел по
множеству А в данной точке а £ Л.
В самом деле, если бы а' и Ь' были двумя пределами отобра-
жения / в точке а, то из (3.13.2) и неравенства треугольника сле-
довало бы, что d'(а', 6')<2е для любого е > 0, что невозможно,
если а' Ь'.
(3.13.4)	Пусть /— отображение пространства Е в Е'. Для
того чтобы / было непрерывно в точке х0£Е, являющейся
13. Пределы
63
точкой прикосновения множества Е\{х0), необходимо и до-
статочно, чтобы /(х0) = lim /(х).
^€£\{л-0], x-*xt
Это лишь пересказ определений.
(3.13.5)	Пусть а'— Пт / (х). Тогда для каждого подмно-
х^А,х-^а _
жества Вс.А, для которого а£В, точка а' является преде-
лом отображения f в точке а и по В. Это, в частности,
относится к случаю, когда В = УП-^> где V — окрестность
точки а.
Очевидное следствие определения и (3.11.6).
(3.13.6)	Пусть / имеет предел а' в точке а£А по множе-
ству А. Если g — отображение пространства Е' в Е", непре-
рывное в точке а', то g(a')= lim g(f(x)).
х£А,х-+а
Это сразу следует из (3.11.5).
(3.13.7)	Если а' — lim /(х), то a'£f(A).
х-ьа, х£А
В самом деле, в силу (3.13.1) для каждой окрестности V точки а’
пересечение У'|"|/С<4) содержит образ /(УПД). который не пуст,
поскольку а £ А.
Важным является случай предела последовательности. Рассмотрим
на расширенной действительной прямой точку +оо, являющуюся
точкой прикосновения множества N целых чисел 0. Отображение
множества N в метрическое пространство Е есть последовательность
л-»х„ точек ЗТого пространства. Если а£Е — предел этого ото-
бражения в точке -]-оо по множеству N, то мы будем говорить,
что а есть предел последовательности (хя) [или что последова-
тельность (хл) сходится к а], и писать а= lim х„. Критерии
Д->со
(3.13.1) и (3.13.2) в этом случае превращаются в следующие:
(3.13.8)	Для того чтобы а= lim хя, необходимо и достаточно,
П->СО
чтобы для каждой окрестности V точки а существовал такой
номер п0, что из неравенства п^пй следует xn£V.
Иными словами, V содержит хя при всех индексах п, за исклю-
чением конечного числа индексов.
(3.13.9)	Для того чтобы a — lim хя, необходимо и достаточно,
П-+ОО
чтобы для каждого е > 0 существовал такой номер л0, что
из п~^>п0 следует d(a, хп)<е.
Последний критерий можно также записать в виде lim d(a, хл) = 0.
Л->оо
64	Гл. 3. Метрические пространства
Подпоследовательность последовательности (х„) есть последо-
вательность k->xnk, где k—>nk— строго возрастающая бесконечная
последовательность целых чисел ^>0. Из (3.13.5) видно', что
(3.13.10)	Если а = lim хп, то а = Пт х для любой подпо-
П-+СО	£->СО	&
следовательности последовательности (хп).
Пусть (хл) — последовательность точек в метрическом простран-
стве Е. Точка Ь£Е называется предельной точкой последователь-
ности (хл), если существует такая подпоследовательность (хп ), что
b= lim хп .
Предельная точка, подпоследовательности последовательности (хл)
является предельной точкой и самой последовательности (хп). Если
последовательность (хп) имеет предел а, то, как следует из (3.13.10),
а является единственной предельной точкой этой последовательности.
Обратное, вообще говоря, не верно; например, последовательность
(хл) действительных чисел, где х2п=1/п и х2л+1 = л (n1), имеет
нуль своей единственной предельной точкой, но не сходится к нулю
[см., однако, (3.16.4)].
(3.13.11).	Для того чтобы точка Ь£Е была предельной точкой
последовательности (хл), необходимо и достаточно, чтобы для
любой окрестности V точки b и любого номера т существовал
такой номер п^>т, что хп £ V. .
Условие, очевидно, необходимо. Допустим, напротив, что оно
выполняется, и определим подпоследовательность следующим
образом: nk есть наименьший номер > пк_х, для которого
d(b, хп^<_ 1/k. Так как d(xnk, b} < 1/А при любом k^> h, то под-
последовательность (хЛ/.) сходится к Ь.
(3.13.12)	Если b — предельная точка последовательности (хп)
в Е и если отображение g пространства Е в Е’ непрерывно
в Ь, то g(fi) — предельная точка последовательности (g(xn)).
Ясно из определения и (3,13.6).
Из (3.13.7) следует, что если b — предельная точка (и тем более
предел) последовательности (х„) точек, принадлежащих множеству
АсЕ, то#£Л. Наоборот:
(3.13.13)	Для любой точки а£А существует такая последова-
тельность (хп) точек Множества А, что а = lim хп.
77->оо
В самом деле, по предположению множество ЯП В (а; 1/л) не
пусто. Поэтому в силу (1.4.5) для каждого п существует точка
13. Пределы
65
хя^ЛПВ(а; 1/и), и на основании (3.13.9) последовательность (хя)
сходится к а.
(3.13.14)	Пусть f — отображение множества АсЕ в метри-
ческое пространство Е' и а£ А. Для того чтобы f имело пре-
дел а' £Е' в точке а по А, необходимо и достаточно, чтобы
для каждой последовательности (хя) точек множества А, схо-
дящейся к а, последовательность f (x^ сходилась к а'.
Необходимость следует из определений и (3.13.6). Допустим,
напротив, что условие выполняется и что а’ не является пределом
отображения / в точке а по множеству А. Тогда в силу (3.13.2)
существует такое а > 0, что для любого номера п существует точка
хя£Л, удовлетворяющая двум условиям: d(a, хп)<,1/п и
d(a', f (хп))^ а. Это означает, что последовательность (хя) схо-
дится к а, но последовательность (/(хя)) не сходится к а', и мы
пришли к противоречию.
Зад а.ч и
1.	Пусть (ия) — последовательность действительных чисел > 0, сходя-
щаяся к нулю. Покажите, что существует бесконечно много таких номе-
ров п, что и„ ит при каждом /л > л.
2.	а) Пусть (хя) — последовательность в метрическом пространстве Е.
Покажите, что если сходятся три подпоследовательности (х2я), (x2n+i)
и (х3л), то сходится и последовательность (хя).
Ь) Приведите пример последовательности (хя) действительных чисел,
которая не сходится, но обладает тем свойством, что для каждого й > 2
подпоследовательность (л>л) сходится.
[Рассмотрите подпоследовательность где (pft) — строго возрастаю-
щая последовательность простых чисел.]
3.	Пусть Е — сепарабельное метрическое пространство, f — произволь-
ное отображение пространства Е в R. Покажите, что множество тех
точек а £ Е, для которых предел lim f (х) существует и отличен
х-+а, хфа
от f (а), не более чем счетно.
[Для каждой пары рациональных чисел р, q, удовлетворяющих усло-
вию р < q, рассмотрите множество точек а£Е, для которых
/ (а) < р < q < lim f (х),
х->а, хф а
и, пользуясь задачей 2, а) § 3.9, покажите, что это множество не более чем
счетно. Аналогично рассмотрите множество точек а £ Е, для которых
lim f (х)< р < q < f (а).
х-+а, х=р а
5 Ж. Дьедоние
66
Г.1. 3. Метрические пространства
14.	Последовательности Коши. Полные пространства
Последовательность Коши в метрическом пространстве Е есть
последовательность (х„), удовлетворяющая следующему условию: для
любого е > 0 существует такой номер л0, что из р^-п0 и q п0
следует d (хр, х?) < е.
(3.14.1)	Любая сходящаяся последовательность является по-
следовательностью Коши.
В самом деле, если а = lim хп, то для любого е > 0 существует
Л-»оо
такой номер «0, что из п~^п0 следует d(a, хпХ&12. В силу не-
равенства треугольника из р п0 и qп0 вытекает d (хр, хч) < е.
(3.14.2)	Если (х„)—последовательность Коши, то любая пре-
дельная точка этой последовательности является ее пределом.
Действительно, если задано е > 0, то существует такой номер л0,
что из р'^-Пц и q^-По следует d(xp, х?) < е/2, и если b—пре-
дельная точка последовательности (хп), то в силу (3.13.11) суще-
ствует такой номер	что	d(b,	xPl)<el2. Из неравенства
треугольника тогда вытекает, что d (b, хп) е для любого п п0.
Метрическое пространство Е называется полным, если любая
последовательность Коши в Е сходится (разумеется, к точке про-
странства Е).
(3.14.3)	Действительная прямая R является полным метриче-
ским пространством.
Пусть (хя)— последовательность Коши действительных чисел. По
индукции определим последовательность (nk) целых чисел следующим
образом: nk+i есть наименьшее целое число > пь, такое, что при
и	выполняется неравенство \хр—xJ<l/2*+2;
возможность такого определения чисел пк следует из того факта,
что (хя)— последовательность Коши. Пусть lk—замкнутый проме-
жуток [хЛр— 2-*,	Так как |хЯд—	| < 2-*-1, мы
имеем Ik+Xalk. С другой стороны, при m^nk по определению
xm£lk. Теперь из аксиомы [2.1. (IV)] следует, что вложенные про-
межутки Ik имеют непустое пересечение. Пусть a£Jk при всех k.
Тогда ясно, что |а — xm[<2-ft+1 при всех m^nk, и поэтому
a — lim хп.
п-+оо
(3.14.4)	Если подпространство F метрического пространства Е
является полным, то F замкнуто в Е.	_
В самом деле, в силу (3.13.13) любая точка a£F является пре-
делом последовательности (хя) точек множества F. Последователь-
ность (хя) в силу (3.14.1) является последовательностью Коши и
14 Последовательности Коши. Полные пространства
67
поэтому, по предположению, сходится к точке Ь, принадлежа-
щей F. Но ввиду (3.13.3) Ь — а и, следовательно, a£F. Таким
образом, Л —Л, ч. т. д.
(3.14.5)	В полном метрическом пространстве Е любое замкну-
тое множество F является полным подпространством.
Действительно, последовательность Коши (хя) точек множества F,
по предположению, сходится к точке а£Е, и так как x„£F,to
в силу (3.13.7) a(^F=F.
Теоремы (3.14.4) и (3.14.5) позволяют (исходя из того факта,
что действительная прямая является полным пространством) сразу же
строить примеры и полных и неполных пространств.
Фундаментальная важность полных пространств основывается на
том, что для доказательства сходимости некоторой последователь-
ности в таком пространстве достаточно доказать, что она является
последовательностью Коши (говорят также, что такая последователь-
ность удовлетворяет критерию Коши). Главное различие между
проверкой этого критерия и проверкой определения сходящейся
последовательности состоит в том, что в критерии Коши не нужно
заранее знать значение предела.
Мы уже упоминали, что два расстояния d1 и d2 в одном и том же
множестве Е могут быть топологически эквивалентны, но тождествен-
ное отображение пространства Ех на Е2 (где Ех и Е2 — соответствую-
щие метрические пространства) может не быть равномерно непре-
рывным. Это, например, будет иметь место, если взять Е — 9.,
d2(x, у)=|х — у|, a dj(x, у) — расстояние на расширенной дей-
ствительной прямой, рассматриваемое только на R. Пространство Е2
будет тогда полным, но Е} полным быть не может, так как оно не
замкнуто в R.
Когда два расстояния dr и d2 таковы,, что тождественное отобра-
жение Ег на Е2 и обратное к нему отображение равномерно непре-
рывны, dj и d2 называются равномерно эквивалентными. Тогда
последовательности Коши при том и другом расстоянии совпадают.
Например, если существуют два таких действительных числа а>0
и р-> 0, что для любой пары точек х, у пространства Е выполняются
неравенства adx{x, y)^.d2(x, уУ-^фб^х, у), то . dx и d2 — равно-
мерно эквивалентные расстояния.
Пусть Е и Е' — два метрических пространства, А — множество
в Е, f— отображение множества А в Е'. Колебание отображе-
ния f на А есть, по определению, диаметр 8 (/(Я)) (который может
оказаться равным и оо). Пусть а — точка прикосновения множе-
ства А. Колебание отображения / в точке а по множеству А
есть число S(a; /) — inf 8 (/ (V П А)), где V — всевозможные окрест-
v
5*
68
Гл. 3. Метрические пространства
ности точки а (или же V принадлежат только фундаментальной
системе окрестностей).
(3.14.6)	Пусть Е'— полное метрическое пространство. Для
того чтобы существовал предел Jim f (х), необходимо и
х~>а, х£А
достаточно, чтобы колебание отображения f в точке а по
множеству А было равно нулю.
В силу (3.13.2) условие необходимо. Допустим, напротив, что
оно выполняется, и пусть (х„)— последовательность точек множе-
ства А, сходящаяся к а. Тогда из предположения следует, что по-
следовательность (/(хп)) является в Е' последовательностью Коши.
В самом деле, если задано е > О, то существует такая окрестность V
точки а, что для любых двух точек х, у, принадлежащих V П А,
выполняется неравенство d' (f(x), /(у))<г. Но мы имеем хл£УП-4
при всех п, за исключением конечного их числа. Поэтому последо-
вательность (/(хл)) имеет предел а'. Далее, какова бы ни была
другая последовательность (ул) точек множества А, сходящаяся к а,
пределы последовательностей (/(хл)) и (/(у„)) совпадают. Действи-
тельно, ' как только и хп и ул попадут в V П А, мы будем иметь
^'(/(.Хд), /(уя))< е. Таким образом, из определения предела и
(3.13.14) следует, что lim f(x) = ar.
х->а, л-£Д
Задач и
1.	а) Пусть £ — ультраметрическое пространство (задача 4 § 3.8).
Покажите, что для того, чтобы последовательность (хп) была в £ последо-
вательностью Коши, необходимо и достаточно, чтобы lim d (хп, хп+1) = 0.
Ь) Пусть X — произвольное множество, £ — множество всех бесконеч-
ных последовательностей х = (х„) элементов множества X. Для любых двух
различных элементов х = (х„) и у — (ул) множества £ пусть k (х, у) — наи-
меньший номер п, при котором хл =# ул. Пусть d (х, у) = Ifk (х, у),
если х =Г у и d (х, х) = 0. Докажите, что d — ультраметрическое расстоя-
ние в £ и что метрическое пространство £, определяемое расстоянием d,
является полным.
2.	Пусть <р — возрастающая действительная функция, определенная на
промежутке 0 < и < оо и такая, что <f (0) = 0, <f (и) > 0 при и > 0 и
<р (w -j- v)< (н) J- (у). Пусть d (х, у) — расстояние в множестве £. Тогда
dt (х, у) = (d (х, у)) — другое расстояние в £.
а)	Покажите, что если функция непрерывна в точке и — 0, то рас-
стояния d и d, равномерно эквивалентны. Наоборот, если для расстояния d
существует точка х0 € £, не изолированная в £ (задача 2 § 3.9), и если d
и rfj топологически эквивалентны, то функция непрерывна в точке и = 0.
Ь)	Докажите, что функции
’ w'(0<r<l), ln(l+«), a/(l + «), inf (1, и)
15. Элементарные теоремы о продолжении	69
удовлетворяют указанным выше условиям. Рассматривая две последние
функции, убедитесь, что для любого расстояния в Е существует равно-
мерно эквивалентное расстояние, являющееся ограниченным.
3.	Пусть на действительной прямой d (х, у) = | х — у | — обычное рас-
стояние и d' (х, у) = | х3 — у31. Покажите, что эти два расстояния тополо-
гически эквивалентны и что последовательности Коши при этих двух рас-
стояниях совпадают, но что они не равномерно эквивалентны.
4.	Пусть Е — полное метрическое пространство, d — расстояние в Е,
А — пересечение некоторой последовательности (f/„) открытых множеств
пространства Е. Положим Fn = Е \ Un и для каждой пары точек х, у мно-
жества А определим
fn {х’ у) = | d (х, F„) ~ d (у, Fn) | *
СО
dn (х, у) = fn (х, у)/(1 + /я (х, у)) и d' (х, у) = d (х, у) + 2 dn {х, у)12п.
п =0
Покажите, что на подпространстве Ас Е расстояние d' топологически
эквивалентно расстоянию d и что с расстоянием d' подпространство, А
является полным метрическим пространством. Примените это к подпро-
странству IС R, состоящему из всех иррациональных чисел.
[Обратите внимание на то, что последовательность Коши при d'
является последовательностью Коши и при d, но что ее предел в £ не может
принадлежать ни одному из
15.	Элементарные теоремы о продолжении
(3.15.1)	Пусть / и g— два непрерывных отображения метри-
ческого пространства Е в метрическое пространство Е'.
Множество А точек х£Е, в которых f (х) = g (х), замкнуто вЕ.
Докажем равносильное утверждение, а именно что множество
Е \ А открыто. Пусть а £ Е \ А; тогда / (а) ¥= g (а). Пусть
df (f {a), g (а)) = а > 0. Из непрерывности отображений / и g
в точке а и из (3.6.3) следует, что существует такая окрестность V
точки а в Е, что при x£V имеем d'(f (а), /(х))<а/2 и d'(g(a),
g(x))<a/2. Тогда при x£V будем иметь f(x)&g(x), так как в
противном случае из неравенства треугольника мы получили бы
<*'(/(«). Я («))<“•
(3.15.2)	(Принцип продолжения тождеств) Пусть f
и g — два непрерывных отображения метрического простран-
ства Е в метрическое пространство Е'. Если f(x) — g(x) во
всех точках х множества А, плотного в Е, то f = g-
В самом деле, множество точек х, в которых / (х) = g (х),
в силу (3.15.1) замкнуто и содержит А.
(3.15.3)	Пусть f и g — два непрерывных отображения метри-
ческого пространства Е в расширенную действительную прц-
70	Гл. 3. Метрические пространства
мую R. Множество Р точек х£Е, в которых /(x)^g(x),
замкнуто в Е.
Докажем, что множество Е\Р открыто. Допустим, что /(а)>
> g (а), и пусть P£R выбрано так, что f (а) > р > g (а) [ср. (2.2.16)
и определение пространства R в 3.3]. Прообраз V при f открытого
промежутка ] р, -|-оо] в силу (3.11.1) является окрестностью точки а\
окрестностью точки а является и прообраз W при g открытого
промежутка [—оо, р [. Следовательно, окрестностью точки а на
основании (3.6.3) будет и V П W, а при х^УП^ имеем /(х)>
> р > g.(x), ч. т. д.
(3.15.4)	(Принцип продолжения неравенств) Пусть /
и g — два непрерывных отображения метрического простран-
ства Е в расширенную действительную прямую R. Если
f(x)^.g(x) во всех точках х множества А, плотного в Е,
то f(x)^g(x) при всех х£Е.
Доказательство следует из (3.15.3), так же как (3.15.2) было
получено из (3.15.1).
(3.15.5)	Пусть А — множество, плотное в метрическом про-
странстве Е, и f— отображение множества А в метрическое
пространство Е'. Для того чтобы существовало непрерывное
отображение f пространства Е в Е', совпадающее на А с f,
необходимо и достаточно, чтобы для любой точки х£Е в Е'
существовал предел lim / (у). Непрерывное отображение f
у->л, у£Д
в этом случае единственно.
Поскольку любая точка х£Е принадлежит А, на основании
(3.13.5) мы должны иметь /(х) —	lim /(у) и, значит, /(х) =
у-+х, у£Л
'= lim /(у). Тем самым доказаны необходимость условия и тот
у->х, х£А
факт, что если непрерывное отображение существует, то лишь одно
]это следует также из (3.15.2)]. Допустим, напротив, что условие
выполняется, и докажем, что отображение /, определяемое равен-
ством /(х) = . lim /(у), есть решение задачи о продолжении.
У->х, у£Л
Прежде всего если х£А, то из существования предела по опреде-
лению следует /(х) = /(х), поэтому отображение / продолжает /,
и остается убедиться в том, что / непрерывно. Пусть х£.Е и
V — окрестность точки /(х) в Е'. -Существует замкнутый
шар В' с центром /(х), содержащийся в V'. По предположению,
в силу (3.13.1) существует такая открытая окрестность V точки х
в Е, что /(У Л Л) с В'. Для любой точки у£У точка /(у) является
пределом / в точке у по множеству А, значит ввиду (3.13.5) и пр
16. Компактные пространства
71-
множеству Vf)A. Поэтому из (3.13.7) следует, что / (у) £ / (V П А),
и, так как шар В' замкнут, /(у)£В', ч. т. д.
(3.15.6)	Пусть А — множество, плотное в метрическом про-
странстве Е, и f — равномерно непрерывное отображение
множества А в полное метрическое пространство Е'. Тогда
существует непрерывное отображение f пространства Е в Е',-
на А совпадающее с f. При этом отображение f равномерно
непрерывно.
Чтобы доказать, что отображение / существует, в силу (3.15.5)
и (3.14.6) нужно лишь убедиться в том, что колебание отображе-
ния / в любой точке х £ Е по множеству А равно нулю. Для
любого е > О существует такое 8 > О, что из d(y, z) < 8 следует
d' (f (у), / (z)) < е/3 (у и z принадлежат Л). Поэтому диаметр мно-'
жества f(A П В(х;8/2)) не больше е/3, и наше утверждение дока-
зано. Рассмотрим теперь любые две точки s, t пространства Е, для
которых d(s, f) < 8/2. Найдутся такая точка у £4, что d(s, у) < 8/4
и d'(f(s), f(y)) < е/3, и такая точка г £4, что d(/, г)<8/4 и
d'(f(t), f(z)Xs/3- Из неравенства треугольника следует, что
d(y, z) < 8, и, поскольку у и z принадлежат A, d'(f(y), f(z))< е/3.
Таким образом, в силу неравенства треугольника d' (f (s), f(t))<^e.
Это доказывает, что / равномерно непрерывно.
Задача
Пусть и -> гп — биективное отображение множества N на множество. Д.
всех рациональных чисел х, удовлетворяющих неравенствам 0 х 1
(2.2.15). Определим на £ = [0, 1] функцию /, полагая f (х) — 2 1/2я> .где;
гя<х
бесконечная сумма распространяется только на те п, для которых гп < х.-
Покажите, что сужение отображения f на множестве В всех иррациональ-
ных чисел х 6 [0, 1] непрерывно, но оно не может быть продолжено до
функции, непрерывной в Е.
16.	Компактные пространства
Метрическое пространство Е называется компактным, если оно
удовлетворяет следующему условию (аксиоме Боре ля— Ле-
бега): для каждого покрытия (U-jx^L пространства Е откры-
тыми множествами (открытого покрытия) существует ко-
нечное подсемейство (Ux\^H (Нс L и конечно), являющееся,
покрытием пространства Е.
72
Гл. 3. Метрические пространства
Метрическое пространство Е называется вполне ограниченным,
если для любого е > 0 существует конечное покрытие простран-
ства Е множествами диаметра < е. Это условие, очевидно, экви-
валентно следующему: для любого е > 0 существует такое конечное
множество FcE, что d(x, F)<.e для всякой точки х£Е.
В теории метрических пространств эти понятия служат заменой
понятия „конечности” в чистой теории множеств: они выражают
свойство метрического пространства быть, так сказать, „приближенно
конечным”. Заметим, что (это следует из определения) компактность
является топологическим понятием, но полная ограниченность топо-
логическим понятием не является [см. замечание после (3.17.6)].
(3.16.1)	Для метрического пространства Е следующие три
условия эквивалентны-.
а)	Е компактно-,
Ь)	любая бесконечная последовательность в Е имеет по
крайней мере одну предельную точку-,
с)	Е является полным и вполне ограниченным.
а)	=фЬ): Пусть (хл)— последовательность в компактном про-
странстве Е и пусть Еп — замыкание множества {хл, хя+1.хп+р,...}.
Докажем, что существует точка, принадлежащая всем Fn. Если бы
это было не так, то открытые множества Un = E\Fn составляли бы
покрытие пространства Е и поэтому нашлось бы конечное число
[}л, .... этих множеств, образующих покрытие Е. Это озна-
чало бы, что	••• (\Fn =0. Но это абсурдно, так как
если п больше, чем max(«!......nk), то множество Fn (по опре-
делению не пустое) содержится во всех Fn. (1<J<; k). Таким об-
оо
разом, пересечение Fn содержит по крайней мере одну точку а.
Л = 1
В силу (3.13.11) и определения точки прикосновения а является
предельной точкой последовательности (хл).
Ь)	с): Прежде всего любая последовательность Коши в Е имеет
предельную точку; поэтому в силу (3.14.2) она сходится и, следо-
вательно, Е является полным пространством. Допустим, что Е не
вполне ограничено, т. е. что существует такое число а >0, что Е
не имеет конечного покрытия шарами радиуса а. Тогда мы можем
определить последовательность (хл) по индукции следующим обра-
зом. Допустим, что при I =/= j, l^Z^n—1, 1<J<« — 1 уже
d(x;, ху)^>а. Объединение шаров с центром хг (1<J<^«—1)
и радиусом а не составляет всего пространства, и, значит, суще-
ствует точка хп, для которой. d(xt, хп)^-а при I < п. Последова-
тельность (хя) не может иметь предельной точки, потому что
если бы а была такой точкой, то нашлась бы подпоследователь-
ность (хп^, сходящаяся к а, и тогда при k^> некоторого Ло мы
16.' Компактные пространства
73
имели бы d(a, < а/2 и, следовательно, при h^ka, k~^> k0 и
h^k выполнялось бы неравенство d(xnft, < а, что противо-
речит определению последовательности.
с)=фа): Допустим, что (£/x)xgi— открытое покрытие простран-
ства Е, никакое конечное подсемейство которого не покрывает Е.
По индукции следующим образом определим последовательность (В„)
шаров. Предположим, что Вп_х имеет радиус 1/2”-1 и что не суще-
ствует конечного подсемейства семейства (^x)xg£> покрывающего Вп_х.
Тогда рассмотрим конечное покрытие (^)1<А<т пространства Е
шарами радиуса 1/2я. Среди шаров Vk, имеющих непустое пересече-
ние с В„_р найдется по крайней мере один такой шар Вп, который
не покрывается никаким конечным подсемейством семейства (Ut).
В самом деле, в противном случае, поскольку шары Vk образуют
покрытие шара Вп_г, нашлось бы конечное подсемейство семей-
ства (L7J, покрывающее Вп_х.
Пусть хп — центр шара Вп. Так как и Вп имеют общую
точку, из неравенства треугольника следует, что
d(xn_v х„)<	+	< 1/2"-2.
Поэтому, если п р < q, мы имеем
d{Xp, Xg)^d(xp, Xp+1)+ ...
...+</	h • • • + 2?-2 < 2л-2 •
Это доказывает, что (хя) — последовательность Коши в Е, и, следо-
вательно, она сходится к некоторой точке а. Пусть Хо,— индекс,
при котором a^U^. Существует такое а>0, что В (а; а)а(/х,.
Из определения точки а следует, что найдется такой номер п, что
d(a, х„)< а/2 и 1/2"<а/2. Неравенство треугольника тогда пока-
зывает, что Во с В(а; «)с 1\. Но это — противоречие, так как
предполагалось, что никакое конечное подсемейство семейства (t/x)
не может быть покрытием шара Вп.
(3.16.2)	Любое вполне ограниченное пространство сепара-
бельно.
Если Е вполне ограничено, то, по определению, для любого п
существует такое конечное множество Ап с Е, что для каждой
точки х£Е выполняется неравенство d(x, Лп)<1/я. Пусть
= Множество А не более чем счетно, и для каждой точки
п
х£Е при любом п мы имеем d(x, A)-^d(x, Ап)<. l/п; следова-
тельно, d(x, A) = Q и Е = А.
74
Гл. 3. Метрические пространства
{3.16.3) Пусть Е — метрическое пространство. Из любых двух
следующих свойств вытекает третье'.
а)	Е компактно-,
b)	Е дискретно {точнее, гомеоморфно дискретному про-
странству)-,
с)	Е конечно.
Из а) и Ь) следует с), потому что всякое одноточечное множе-
ство {*} в этом случае открыто и, значит, семейство множеств (х}
является открытым покрытием пространства Е, а конечное подсе-
мейство этого семейства может быть покрытием Е только если Е
конечно. С другой стороны, из с) следуют и а) и Ь), потому что
в этом случае, поскольку каждое одноточечное множество замкнуто,
всякое подмножество пространства Е замкнуто, как объединение
конечного числа замкнутых множеств. Поэтому всякое подмножество
пространства Е открыто и, следовательно, Е гомеоморфно дискрет-
ному пространству. Наконец, так как существует только конечное
число открытых множеств, Е компактно.
(3.16.4) Любая последовательность {хп) в компактном метри-
ческом пространстве Е, имеющая только одну предельную
точку а, сходится к а.
Допустим, что а не является пределом последовательности (х„).
Тогда найдется такое число а > 0, что существует бесконечная под-
последовательность (хп^) последовательности (х„), точки которой
принадлежат множеству ЕХВСа;®). По предположению эта под-
последовательность имеет предельную точку Ь, и так как множество
Е\В(а;а) замкнуто, то в силу (3.13.7) Ь£Е\В{а-, а). Таким
образом, последовательность (хп) имеет две’ различные предельные
точки, в противоречии с предположением.
(3.16.5) Любое непрерывное отображение f компактного мет-
рического пространства Е в метрическое пространство Е'
равномерно непрерывно.
Предположим противное. Тогда существует такое число а > 0 и
две последовательности (хя) и (у„) точек пространства Е, что
й(хл, Уп) < Vй и <*'(/(*„). /(У„)) Найдется подпоследова-
тельность (xnJ, сходящаяся к некоторой точке а и, так как
i/nk> из неравенства треугольника следует, что тогда
и последовательность (уя^ будет сходиться к а. Но f непрерывно
в точке а, поэтому существует такое В > 0, что при d{a, х) < 8
будет выполняться неравенство d'(f(a), /(х))<а/2. Возьмем
номер Л, при котором d(d, хпJ < 8 и d(a, уя ) < 8. Тогда
<T(/(x„ft), /(УяЛ))<а в противоречии с определением последова-
тельностей {хп) и (у„).
16. Компактные пространства
75
Задачи
1.	а) Пусть Е— компактное метрическое пространство, ((7x)xgz—от-
крытое покрытие пространства Е. Покажите, что существует такое число
а > 0, что любой открытый шар радиуса а содержится по крайней мере
в одном из (свойство Лебега).
[Пусть для каждой точки х(Е шар В (х; гх) выбран так, что шар
В (х, 2гх) содержится в каком-либо из UK. Покройте Е конечным числом
шаров В (х, гх) и покажите, что наименьший из соответствующих радиу-
сов гх обладает требуемым свойством.]
Ь) Приведите пример вполне ограниченного пространства, для которого
утверждение а) неверно.
2.	Покажите, что для метрического пространства Е эквивалентны сле-
дующие свойства:
а)	Е компактно;
Ь)	каждое счетное открытое покрытие пространства Е содержит конеч-
ное подпокрытие;
с)	каждая убывающая последовательность (Р^ непустых замкнутых
множеств пространства Е имеет непустое пересечение;
d)	для любого бесконечного открытого покрытия (t/\)xg£ пространства Е
существует подмножество HqL, отличное от £ и такое, что (£\)xg/y все
еще является покрытием Е;
е)	каждое точечно конечное открытое покрытие (U^) пространства Е
(т. е. такое покрытие, что для любой точки х£Е включение xcUk имеет
место лишь для конечного числа индексов) содержит конечное подпокрытие;
f)	каждое бесконечное дискретное подпространство пространства Е не
замкнуто.
[Пользуясь (3.16.1), покажите, что из f) следует а) и что «з d) и е)
следует f).]
3.	Пусть Е — метрическое пространство, d — расстояние в Е, § (Е) cz
cz ф (Е) — множество всех непустых замкнутых подмножеств пространства Е.
Предположим, что расстояние d ограничено в Е (задача 2 § 3.14). Для
любых двух элементов А, В множества § (Е) положим р (Л, В) = sup d (х, В)
и h (А, В) = sup (р (Л, В), р (В, Л)).
а)	Покажите, что Л является расстоянием в gr (£) (хаусдорфово рас*
стояние).
Ь)	Покажите, что если Е — полное пространство, то и § (Е) — полное
пространство.
[Пусть (2f„) — последовательность Коши в $ (Е). Пусть Уп для каждого п
есть замыкание объединения множеств Хп+р, где р>0. Рассмотрите в Е
пересечение убывающей последовательности (Fn).]
с)	Покажите, что если Е вполне ограничено, то и §(£) вполне ограни-
чено. Следовательно, если Е компактно, то и $ (£) компактно.
[Примените задачу из 1.1.]
76
Гл. 3. Метрические пространства
17.	Компактные множества
Компактным (соответственно вполне ограниченным) множе-
ством в метрическом пространстве Е называется такое множество А,
для которого подпространство А пространства Е компактно
(соответственно вполне ограничено).
(3.17.1)	Любое вполне ограниченное множество ограничено.
Это следует из того, что объединение конечного числа ограни-
ченных множеств ограничено (3.4.4).
Утверждение, обратное к (3.17.1), вообще говоря, не верно, по-
тому что любое расстояние эквивалентно ограниченному расстоянию
(задача 2 § 3.14) [см., однако, (3.17.6)].
(3.17.2)	Любое компактное множество в метрическом про-
странстве замкнуто.
В самом деле, в силу (3.16.1) такое подпространство является
полным, и нам остается только применить (3.14.4).
(3.17.3)	В компактном пространстве Е всякое замкнутое мно-
жество компактно.
Действительно, такое множество, очевидно, вполне ограничено и
в силу (3.14.5) является полным подпространством.
Относительно компактным множеством в метрическом про-
странстве Е называется множество АсЕ, замыкание ,А которого
компактно.
(3.17.4)	Любое подмножество относительно компактного (со-
ответственно вполне ограниченного) множества относительно
компактно (Соответственно вполне ограничено).
Это сразу следует из определений и (3.17.3).
(3.17.5)	Относительно компактное множество вполне ограни-
чено. В полном пространстве вполне ограниченное множество
относительно компактно.
Первое утверждение сразу следует из (3.17.4). Допустим, далее,
что Е — полное пространство и что АсЕ вполне ограничено. Для
любого е > 0 существует покрытие множества А, состоящее из ко-
нечного числа множеств CtcA диаметра < е/2. Каждое Ск содер-
жится в замкнутом (в Е) шаре Dk радиуса е/2. Таким образом
причем объединение замкнуто и каждый шар Dk
л	*	_
имеет диаметр <^е. С другой стороны, в силу (3.14.5) А является
полным подпространством, откуда и следует требуемый результат.
Вполне ограниченное, но неполное пространство Е дает пример
вполне ограниченного множества, не являющегося относительно ком-
пактным в Е.
17. Компактные множества
77
(3.17.6)	(Теорема Бореля — Лебега) Для того чтобы мно-
жество на действительной прямой было относительно ком-
пактно, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограни-
чено.
Благодаря (3.17.1), (3.17.4) и (3.17.5) нам нужно только доказать,
что любой замкнутый промежуток [а, 6] вполне ограничен. Для
каждого целого п > 0 положим xk = а 4- k (Ь — а)/п (0 k п).
Тогда открытые промежутки с центром xk длины 2 (Ь — а)/п обра-
зуют покрытие промежутка [а, &], ч. т. д.
Если на действительной прямой рассмотреть два расстояния dx
и d2, определенные в 3.14, то из (3.17.1) следует, что Е2 не
вполне ограничено, а Ег вполне ограничено, так как расширенная
действительная прямая R, будучи гомеоморфна замкнутому проме-
жутку [—1, 4-1] пространства R (3.12), в силу (3.17.6) компактна.
(3.17.7)	Для того чтобы множество А в метрическом про-
странстве Е было относительно компактно, необходимо и
достаточно, чтобы каждая последовательность точек мно-
жества А имела предельную точку в Е.
Ввиду (3.16.1) это условие, очевидно, необходимо. Допустим,
напротив, что оно выполняется, и докажем, что каждая последо-
вательность (хП) точек множества А имеет предельную точку в Е
(которая, следовательно, в силу (3.13.7) принадлежит А); тогда на
основании (3.16.1) А компактно. Из определения замыкания следует,
что для всякого п существует такая точка уп £ А, что d(xn, у„)^ 1/п.
По предположению найдется подпоследовательность сходящаяся
к некоторой точке а. Из неравенства треугольника следует, что и
сходится к а, ч. т. д.
(3.17.8)	Объединение двух относительно компактных мно-
жеств относительно компактно.
Из (3.8.8) следует, что достаточно доказать компактность объеди-
нения двух компактных множеств А н В. Пусть (f/x)Xg£—откры-
тое покрытие подпространства A J В. Каждое множество 1Д в силу
(3.10.1) можно записать в виде (ДиВ)ЛИх, где V\ открыто в Е.
По предположению существует такое конечное подмножество Н
(соответственно К) множества L, что подсемейство (Д Л ИХ)А^Я (со-
ответственно (BnVx)AgA.) покрывает А (соответственно В). Тогда
ясно, что семейство ((Д U В) fl ^xX^hUa" п0КРывает U В.
(3.17.9)	Пусть f — непрерывное отображение метрического
пространства Е в метрическое пространство Е'. Образ / (Д)
каждого компактного {соответственно относительно компакт-
78
Гл. 3. Метрические пространства
кого) множества Ас.Е компактен и поэтому замкнут в Е'
(соответственно относительно компактен в Е').
Достаточно доказать, что если компактно А, то компактно и f (А).
Пусть (i/x)xgz. — открытое покрытие подпространства /(Л). Тогда
в силу (3.11.4) множества ЛП/Ч^х) образуют открытое покрытие
подпространства А. По предположению существует такое конечное
подмножество HcL, что при ),£_Н множества ЛП/-1(^х) все еще
образуют покрытие А. Но тогда множества Ux — f(A П/-1 (t/x))
при X £ Н образуют покрытие / (Л), ч. т. д.
(3.17.10)	Пусть Е — компактное метрическое пространство
и f — непрерывное отображение пространства Е в R. Тогда
f(E) ограничено, и в Е существуют такие две точки а и Ь, что
/(a) = inf/(x),
х(_Е
Первое утверждение следует
стороны, в силу (3.17.2) /(£)
sup/(В) и inf / (Е), являющиеся
жества f(E), принадлежат /(f).
/ (й) = sup / (х).
из (3.17.9) и (3.17.1). С другой
замкнуто в R, и поэтому точки
точками прикосновения мно-
(3.17.11)	Пусть А — компактное множество в метрическом
пространстве Е. Тогда множества УГ(А) (см. 3.6) образуют
фундаментальную систему окрестностей множества А.
Пусть U — окрестность множества А. В силу (3.11.8) дей-
ствительная функция x->d(x, E\U) непрерывна в А и > 0. По-
этому ввиду (3.17.10) существует такая точка х0£А, что
d (х0, E\U) = inf d (х, Е \ L7). Но d (х0, E\U) — r>0, следова-
х£А
тельно, Vr(A)c:U.
(3.17.12)	Если Е — компактное метрическое пространство и
f — непрерывное инъективное отображение пространства Е'
в метрическое пространство Е', то f — гомеоморфизм Е на f(E).
Ввиду (3.11.4) нам нужно лишь доказать, что образ /(Л) ка-
ждого замкнутого множества ЛсЕ замкнут в / (Е). Но это следует
из (3.17.3) и (3.17.9).
Задачи
1.	Пусть / — равномерно непрерывное отображение метрического про-
странства . Е в метрическое пространство Е’. Покажите, что образ f (Л)
любого вполне ограниченного множества Ас.Е вполне ограничен.
2.	Пусть А — компактное и В — замкнутое множества в метрическом
пространстве Е и А(]В = 0. Покажите, что d (А, В) > 0.
18. Локально компактные пространства
79
3.	Пусть Е — компактное ультраметрическое пространство (§ 3.8, за-
дача 4) и d — расстояние в Е. Покажите, что для каждой, точки хй С Е образ
пространства Е при отображении х -> d (х0, х) является не более чем счет-
ным подмножеством промежутка [0, -f-oo [, в котором каждая точка (кроме,
быть может, точки 0) изолирована (§ 3.9, задача 2).
[Рассмотрите для любого r = d (ха, х) > 0 верхнюю грань функции
d (х0, у) на множестве точек у, в которых d (х0, у) < г, н нижнюю грань
функции- d (х0, г) на множестве точек г, в которых d (х0, г) > г; восполь-
зуйтесь задачей 4 § 3.8.]
4.	Пусть Е — компактное метрическое пространство, d — расстояние в Е
и / — такое отображение. Е в Е, что для любой пары точек (х, у) про-
странства Е выполняется неравенство d (f (х), / (у)) > d (х, у). Покажите;
что / является изометрией Е на Е.
[Пусть а и Ь— две произвольные точки пространства Е. Положите
/„ = /„_! °/, ая = /я(а) и bn = fn(b). Покажите, что для любого е > 0 су-
ществует такой номер k, что d (а, а/,) < е и d(b, b^) < е, и выведите от-
сюда, что / (£) плотно в Е и что d(f(a), f(b)) — d(a, £).]
5.	Пусть Е и Е' — два метрических пространства и / — отображение Е
в Е'. Покажите, что если сужение / на любом компактном подпростран-
стве пространства Е непрерывно, то / непрерывно в Е.
[Примените (3.13.14).]
18.	Локально компактные пространства
Метрическое пространство Е называется локально компактным,
если у каждой точки х£Е в Е существует компактная окрестность.
Любое дискретное пространство локально компактно, но не ком-
пактно, если оно бесконечно (3.16.3).
(3.18.1)	Действительная прямая R локально компактна, но не
компактна.
Это немедленно следует из теоремы Бореля—Лебега (3.17.6). '
(3.18.2)	Пусть А—компактное множество в локально ком-
пактном метрическом пространстве Е. Тогда существует
такое г > 0, что множество Vr(A) (см. 3.6) относительно ком-
пактно в Е.
У каждой точки х £ А существует компактная окрестность Vx.
Множества Vx образуют открытое покрытие множества Л; поэтому
существует такое конечное множество точек (хР .... хл} в А,
что VXI (1 I п) образуют открытое покрытие А. Множество
п
U= |JVX в силу (3.17.8) компактно и является окрестностью мно-
жества А. Применяя (3.17.11.), получаем требуемый результат.
80
Г л. 3. Метрические пространства
(3.18.3)	Пусть Е — локально компактное метрическое про-
странство. Следующие свойства эквивалентны:
а)	в Е существует такая возрастающая последовательность
(Uп) открытых относительно компактных множеств, что
Unc:Un+1 при каждом п и Е = {JUп\
п
b)	Е является счетным объединением компактных подмно-
жеств-,
с)	Е сепарабельно.
Так как множества Un компактны, ясно, что из а) следует Ь).
Если Е есть объединение последовательности (/Сл) компактных
множеств, то [в силу (3.16.2)] каждое подпространство Кп сепара-
бельно, и если Dn — не более чем счетное подмножество Кп, плот-
ное в Кп, то £) = ^j£)n не более чем счетно и, поскольку
п
Е — U |j£)nc£), плотно в Е. Таким образом, из Ь) следует с).
п п
Допустим, наконец, что Е сепарабельно, и пусть (Ул) не более
чем счетная база открытых множеств пространства Е [см. (3.9.4)].
У каждой точки х £ Е существует компактная окрестность Wx, и
поэтому в силу (3.9.3) найдется такой номер я(х), что х£ Vn(X)<=.Wx.
Отсюда следует, что те из V„, которые относительно компактны,
уже образуют базу открытых множеств пространства Е. Мы можем,
следовательно, считать, что все Vn относительно компактны. Опре-
делим теперь множества Un по индукции следующим образом:
U1 = V1, Un+i есть объединение Ул+1 и Vr(Un), где г > 0 выбрано
так, что множество Vr (Uл) относительно компактно [ввиду (3.18.2)
такой выбор возможен]. Тогда ясно, что последовательность ((/„)
удовлетворяет условиям, указанным в а).
(3.18.4)	Каждое открытое и каждое замкнутое подпро-
странство локально компактного метрического пространства Е
локально компактно.
Пусть А открыто в Е. Из определения локально компактного
пространства и (3.17.3) следует, что для каждой точки а£А в Е
существует компактный замкнутый шар В'(a; r). С другой стороны,
существует такое г'^г, что шар В'(а; г') содержится в А. Так
как в силу (3.17.3) он компактен, А локально компактно.
Пусть А замкнуто в Е и а£А. Тогда, если V — компактная
окрестность точки а в Е, пересечение V (] А в силу (3.10.4) является
окрестностью точки а в А, а в силу (3.17.3) компактно. Это дока-
зывает, что А локально компактно.
19. Связные пространства и связные множества
81
Задачи
1.	Покажите, что если Л —локально компактное подпространство мет-
рического пространства Е, то А локально замкнуто в Е (§ 3.10, задача 3).
Обратное верно, если Е локально компактно.
[Примените (3.18.4).]
2.	а) Покажите, что пересечение, двух локально компактных подпро-
странств локально компактного метрического пространства локально ком-
пактно (ср. с задачей 1).
Ь) Приведите пример двух локально компактных подпространств дей-
ствительной прямой, объединение которых не локально компактно, и пример
локально компактного подпространства действительной прямой, дополнение
которого не локально компактно.
3.	а) Приведите пример локально компактного метрического простран-
ства, не являющегося полным.
Ь) Пусть Е — метрическое пространство, для которого существует такое
число г > 0, что каждый замкнутый шар В' (х; г) (х б Е) компактен. Пока-
жите, что Е — полное пространство и что для любого относительно ком-
пактного множества Лс£ множество У'/2(Л) точек х£Е, удовлетворяю-
щих условию d (х, А) < г/2, компактно.
19.	Связные пространства и связные множества
Метрическое пространство Е называется связным, если из всех
подмножеств пространства Е только пустое множество 0 и само Е
одновременно открыты и замкнуты. Эквивалентная формулировка:
Е связно, если не существует двух таких открытых непустых под-
множеств Л и В пространства Е, что А[}В = Е и Л(|Д —0- Про-
странство, состоящее из одной точки, связно.
Множество F в метрическом пространстве Е связно, если связно
подпространство F пространства Е.
Метрическое пространство Е локально связно, если у каждой
точки х £ Е есть фундаментальная система связных окрестностей.
(3.19.1)	Для того чтобы множество А на действительной пря-
мой R было связно, необходимо и достаточно, чтобы А было
промежутком (ограниченным или нет). Действительная пря-
мая— связное и локально связное пространство.
Второе утверждение, очевидно, следует из первого.
Пусть А связно. Если А состоит из одной точки, то А — про-
межуток. Допустим, что А содержит две различные точки а < Ь.
Докажем, что каждая точка х, удовлетворяющая условию а < х < Ь,
принадлежит А. В противном случае А было бы объединением не-
пустых множеств В = ЛП]—со, х [и С = ЯП]*, +оо[. причем
оба эти множества открыты в А и Bf|C=0. Из этого свойства
заключаем, что А необходимо является промежутком. В самом деле,
б Ж. Дьедоннв
82
Гл. 3. Метрические пространства
пусть с£А и пусть р и q — нижняя и верхняя грани множества А
в R. Если р — — оо, то для каждой точки х < с найдется точка
у < х, принадлежащая Л; поэтому х £ А и, таким образом, проме-
жуток ]—оо, с] содержится в А. Если нижняя грань р конечна
и р < с, то для каждой точки х, удовлетворяющей условию р <
< х < с, найдется такая точка у £ А, что р < у < х; поэтому снова
х£ А, так что Л содержит промежуток ]р, с]. Точно так же можно
показать, что если q > с, то Л содержит промежуток [с, д[. Отсюда
следует, что в любом случае множество Л содержит промежуток
]р, ql и, значит, оно должно быть одним из четырех промежутков
в R с концами р и q [конечно, если р = — оо (соответственно
9 = 4-00), то р (соответственно q) не входит в Л].
Предположим, наоборот, что Л—промежуток с началом а и
концом b в R (возможности а = — оо, а (£ Л и b = 4" °°, Д не
исключаются). Допустим, что Л = ВиС, где В и С — непустые от-
крытые множества в А н В (]С = 0. Пусть, например, х£В, у£С
и х <у. Пусть z — верхняя грань ограниченного множества ВП [х, у].
Если z£B, то z < у и, по предположению, существует промежуток
[z, z-j-/i], содержащийся в [х, у] и в В, что противоречит опре-
делению z. Если, с другой стороны, z£C, то х < z и точно так же
существует промежуток ]z — h, z[cCn[x, у], что снова противо-
речит определению Z [см. (2.3.4)]. Таким образом, z не может при-
надлежать ни В, ни С, что противоречит включению [х, у] с Л. Сле-
довательно, Л связно.
(3.19.2)	Если А — связное множество в метрическом про-
странстве Е, то всякое множество В, Ас.В<^А, связно.
В самом деле, допустим, что X ч Y —два таких непустых от-
крытых в В множества, что A" (J К = В и X[)Y = 0. Так как Л
плотно в В, множества Ар Л и КП Л не пусты, открыты в Л, и
мы имеем (А Л Л) U (К Л Л) = А и (А Л Л) Л (К Л Л) = 0, что проти-
воречит связности Л.
(3.19.3)	Пусть (ЛХ)Х££ — семейство связных множеств в мет-
рическом пространстве Е, имеющее непустое пересечение.
Тогда А= Лх связно.
хед
Пусть а—точка множества Р)ЛХ; допустим, что Л=ВЦС, где В
и С — непустые множества, открытые в Л и Bf)C— 0. Пусть, на-
пример, а£В. По предположению существует по крайней мере
один такой индекс X, что С П Лх 0- Тогда, так как В ПА 4= 0,
19. Связные пространства и связные множества	83
множества В[)ЛХ и С Л не пусты, открыты в Лх и таковы, что
(В П Лх) (J (С П Лх) = Лх и (ВЛ Л х) Л (С Л Лх) == 0, что невозможно.
(3.19.4)	Пусть (AX</<n—последовательность связных мно-
жеств, обладающая тем свойством, что А(ПА1+1^0 при
п
— 1- Тогда объединение (JЛ; связно.
/ = 1
Это сразу выводится из (3.19.3) индукцией по п.
Из (3.19.3) следует, что объединение С(х) всех связных мно-
жеств пространства Е, содержащих произвольную точку х£Ё,
связно и потому является наибольшим связным множеством, содер-
жащим х. Оно называется компонентой связности точки х в Е.
Ясно, что для любой точки у£С(х) имеем С(у) = С(х), а если
у(£С(х), то C(x)QC(y)~ 0. Кроме того, из (3.19.2) следует, что
С(х) замкнуто в Е.
Для любого множества АсЕ компоненты связности точек под-
пространства Л называются компонентами связности множества А.
Если каждая компонента связности множества Л состоит из одной
точки, Л называется вполне несвязным.
Дискретное пространство вполне несвязно; множество рациональ-
ных чисел и множество иррациональных чисел в силу (2.2.16) и
(3.19.1) вполне несвязны.
(3.19.5)	Для того чтобы метрическое пространство Е было
локально связно, необходимо и достаточно, чтобы компоненты
связности открытых множеств пространства Е были от-
крыты.
Условие достаточно, потому что если V — открытая окрестность
точки х£Е, то компонента связности точки х в подпространстве V
является связной окрестностью точки х, содержащейся в V, и, сле-
довательно, Е локально связно.
Условие необходимо, потому что если Е локально связно,
Л — открытое в Е множество и В — компонента связности множе-
ства Л, то у любой точки х£В, по предположению, существует свя-
зная окрестность V, содержащаяся в Л. Таким образом, по определе-
нию В имеется включение VcB и, следовательно, В является окрест-
ностью каждой из своих точек, а значит — открытым множеством.
(3.19.6)	Любое непустое открытое множество А на действи-
тельной прямой R является объединением не более чем счет-
ного множества открытых промежутков, попарно не имеющих
общих точек.
Из (3.19.1) и (3.19.5) следует, что компоненты связности множе-
ства Л являются промежутками и открытыми множествами, следова-
6*
84
Г л. 3. Метрические пространства
тельно — открытыми промежутками. Пересечение А Г) Q множества А
с множеством Q рациональных чисел счетно, и каждая компонента
множества А в силу (2.2.16) содержит точки множества ЛПР-
Отображение г—>С(г) множества А П Q в множество 6 компонент
связности множества А сюръективно, а поэтому ввиду (1.9.2) (5, не
более чем счетно.
(3.19.7)	Пусть f — непрерывное отображение Е в Е'. Образ
f (А) любого связного множества АаЕ связен.
Допустим, что / (Л) = 44(1 АГ, где Л1 и А/— непустые множества,
открытые в f (Л), и Л1ПА/=0. Тогда в силу (3.11.4) пересечения
ЛП/-1(Л1) и ЛП/-1(М) являются непустыми множествами, откры-
тыми в Л, и такими, что Л = (л П/-1 (-41)) U (Л П/-1 (А/)) и
(Л П Г1 (М)) П GW1 (АО) = 0 в противоречии с предположением.
(3.19.8)	(Теорема Больцано) Пусть Е — связное простран-
ство и f — непрерывное отображение пространства Е в дей-
ствительную прямую R. Пусть а и b — две точки образа / (Д)
и а < Ь. Тогда для любого числа с, удовлетворяющего условию
а<_с<.Ь, существует такая точка х£Е, что f(x) — c.
В самом деле, в силу (3.19.7) образ f(E) связен в R и поэтому
в силу (3.19.1) он является промежутком.
(3.19.9)	Пусть А — множество в метрическом пространстве Е.
Если В — такое связное множество в Е, что и ЛПВ и
(Е\А)(}В не пусты, то пересечение Рг(Л)ПВ не пусто.
В частности, если Е связно, то любое множество АаЕ, от-
личное от Е и от 0, имеет по крайней мере одну граничную
точку.
Допустим, что Рг(Л)ПВ=0. Пусть А' — Е\А. Так как Е
о о
является объединением А, А' и Рг(Л), то В должно быть объедине-
о	о
нием множеств = Л f| В и V = Л' П В, каждое из которых открыто
в В и по предположению не пусто (поскольку Рг(Л)ПВ = 0, то
любая точка множества Л П В должна принадлежать Л П В и анало-
гично для А' П В). Так как U $\V = 0, то это противоречит пред-
положению о связности В.
Замечание. Если мы условимся называть „кривой* образ про-
межутка действительной прямой при непрерывном отображении (см.
задачу 5 § 4.2), то (3.19.7) показывает, что „кривая” связна,
а (3.19.9) — что „кривая”, соединяющая точку множества Л и точку
дополнения Е \ А, пересекает Рг(Л), и это соответствует интуитив-
ной идее „связности” (см. ниже задачу 3 и задачу 4 § 5.1).
19. Связные пространства и связные множества	85
Задачи
1.	Пусть Е— связное метрическое пространство, расстояние в котором
не ограничено. Покажите, что каждая сфера в £ не пуста.
2.	а) Пусть Е — компактное метрическое пространство, в котором замы-
кание любого открытого шара В (а; г) есть замкнутый шар В' (а; г). Пока-
жите, что в Е любой открытый шар В (а; г) связен.
[Допустите, что В (а; г) является объединением C(JD двух непустых
открытых в В (а; г) множеств, для которых С ["[ D = 0. Если а £ С, то рас-
смотрите точку x£D, у которой расстояние d(a, х) минимально (3.17.10).]
Ь)	Приведите пример вполне несвязного метрического пространства,
в котором замыкание любого открытого шара В (а; г) есть замкнутый
шар В' (а; г).
с)	Пусть Е — компактное подпространство плоскости R2, рассматриваемой
с расстоянием d (х, у) = max (| Xj— yj, | х2— у21), состоящее из точек
(Хр х2), у которых х1=0 и 0<х2<1 или же 0<Сх, < 1 и х2 = 0. По-
кажите, что в Е каждый шар связен, но замыкание открытого шара В (а; г)
не обязательно есть В' (а; г).
3.	Пусть Е — подпространство плоскости R2, состоящее из точек (х, у),
у которых или х иррационально и 0<у<1, или же х рационально
и — 1 <2 у < 0.
а)	Покажите, что Е связно и не локально связно.
[Примените (3.19.1) и (3.19.2) к изучению строения одновременно откры-
того и замкнутого подмножества подпространства £.]
Ь)	Пусть	g(t))— непрерывное отображение промежутка [0, 1]
в Е (где f и g непрерывны). Покажите, что функция / постоянна.
[Если существуют точки t0 € [0, 1], в которых g(ta)<0, то рассмотрите
открытое множество U с [0, 1], состоящее из всех t, в которых g (t) < 0,
и примените (3.19.6).]
4.	Пусть А и В — два таких связных множества в метрическом про-
странстве Е, что А(}В =£0. Покажите, что 4[J13 связно.
5.	Пусть А и В — два непустых множества в метрическом простран-
стве Е. Покажите, что если А и В замкнуты, a .4[J.8 и -4QB связны, то А
и В связны. Приведите пример множеств на действительной прямой, пока-
зывающий, что предположение о том, что А и В замкнуты, отбросить нельзя.
6.	Пусть Е — связное метрическое пространство, имеющее по крайней
мере две точки.
а)	Пусть А—связное множество в Е, а В—подмножество дополнения СА, 
одновременно открытое и замкнутое в С А Покажите, что объединение Л[]В
связно.
[Примените задачу 1 § 3.10 к двум множествам .4UB и СА]
Ь)	Пусть А — связное множество в Е, а В — некоторая компонента
связности дополнения СА Покажите, что СВ связно.
[Проведите доказательство от противного и примените а).]
с)	Покажите, что в Е есть два таких непустых связных множества М
и N, что M{JN — Е и МПN = 0.
[Примените Ь).]
86
Г л. 3. Метрические пространства
7.	Покажите, что в счетном метрическом пространстве Е каждая точка
имеет фундаментальную систему одновременно открытых и замкнутых
окрестностей.
8.	а) Покажите, что компонента связности точки х в метрическом про-
странстве Е содержится в каждом одновременно открытом и замкнутом
множестве, содержащем х.
Ъ) Пусть Ап — множество пар (1/п, у) на плоскости R2, где — 1 < у 1,
В — множество пар (0, у), где 0<уС1, и С—множество пар (0, у), где
— 1 < у < 0. Пусть Е — подпространство R2, являющееся объединением В,
С и А„ при и>1. Покажите, что Е локально компактно, но не локально
связно. Компонентами связности множества Е являются В, С и Л„ (п> 1)>
но пересечение всех одновременно открытых и замкнутых множеств,
содержащих В, равно ВЦ С.
9.	Пусть Е—локально компактное метрическое пространство.
а)	Пусть С—компактная компонента связности пространства В. Пока-
жите, что множество С является пересечением всех одновременно открытых
и замкнутых его окрестностей.
[Пользуясь (3.18.2), сведите задачу к случаю, когда Е компактно. До-
пустите, что пересечение В всех одновременно открытых и замкнутых
окрестностей С отлично от С. Тогда В есть объединение двух замкнутых
множеств М С nN без общих точек. Рассмотрите в Е два открытых
множества U ZD М и Vz^N, не имеющих общих точек (§ 3.11, задача 3),
и возьмите пересечение множества £\(Af(JAr) с дополнениями одновре-
менно открытых и замкнутых окрестностей множества С.]
Ь)	Пусть Е связно и А — относительно компактное открытое множе-
ство в Е. Покажите, что всякая компонента связности множества А имеет
по крайней мере одну точку прикосновения в СД.
[Предположив, что это не так, примените к каждой такой компоненте
результат а) и получите противоречие.]
с)	Выведите из Ь), что пересечение компонент связности любого ком-
пактного множества Кс£с £\К не.пусто.
20.	Произведение двух метрических пространств
Пусть Ех и Е2—два метрических пространства, a dx и d2— рас-
стояния в Ех и Е2. Для любой пары точек х = (хр х2) и у = (ур у2)
произведения Е = Ех X Е2 положим
d{x, y) = max(d](x1, уД d2(x2, у2)).
Непосредственно проверяется, что эта функция удовлетворяет аксиомам
(1) — (IV) § 3.1, иначе говоря, она является расстоянием в Е. Метри-
ческое пространство, получаемое из Е, если взять в нем в качестве
расстояния d, называется произведением метрических пространств Ех
и Е2. Отображение (хР х2)—>(х2, Xj) пространства Ех X Е2 на Е2ХЕх
есть изометрия.
20. Произведение двух метрических пространств	87
Легко проверить, что две функции й! и d", определяемые фор-
мулами	;
4'{х, y) = d1(x1, y1)~kd2(x2, у2),
d" (Х, у) = /(djCXp У1))2	У2)Л
также представляют собой расстояния в Е, равномерно экв.жа жит-
ные расстоянию d (см. 3.14), так как
d(x, y)<d"(x, y)<Cd'(x, y)^2d(x, у).
Таким образом, во всех вопросах, относящихся к топологическим
свойствам (или к последовательностям Коши и равномерно непрерыв-
ным функциям), безразлично, какое из расстояний—d, df или d"—брать
в Е. В случае когда не будет сделано никакой оговорки, мы будем
рассматривать в Е расстояние d.
Открытые (соответственно замкнутые) шары для расстояний d,
dv d2 будут соответственно обозначаться символами В, Вг, В2 (соот-
ветственно В', В{, Вг) вместо стандартного обозначения В (соответ-
ственно В')> которым мы пользовались до сих пор. 
(3.20.1)	Для любой точки a=(av а2)£Е и любого г>0 имеем
В(п; г) = В1(а1; г) X В2(а2; г) и в' (а-, г) = bJ(а; г) X В2(а2; г).
Это сразу следует из определения d.
(3.20.2)	Если Аг — открытое множество в Ег и А2 — открытое
множество в Е2, то множество X Л2 открыто в Ех X Е2.
В самом деле, если a = (av а2)^А1У.А2, то существуют такие
/j > 0 и г2 > 0, что В! (af,-Г1)а: Д, и В2(а2; г2)с:Д2. Возьмем г =
= min(rlt г2). Тогда в силу (3.20.1) В(а; г^А^Х'А^
(3.20.3)	Для любой пары множеств А1<^Е1 и А2с.Е2 имеем
X X А2 — А X А2. В частности, для того чтобы At X А2 было
замкнуто в Е, необходимо и достаточно, чтобы At было
замкнуто в Ег и А2 было замкнуто в Е2.
Если a = (alt a2)^AtX^’ то п0 предположению для любого
е>0 существуют такие точки х1£А1 и х2£А2, что dl(ai, < е
и d2(a2, х2) < е. Поэтому для точки x = (xlt х2) имеем: d(a, х) < s.
С другой стороны, если (ар а^^АуХ^, то или а1^А1 или же
а2^А2. В первом случае множество (Е1\А1)уЕ2 в силу (3.20.2)
открыто в Е, содержит а и имеет непустое пересечение с А{ X А2,
и, таким образом, а(£А1Х А2; второй случай рассматривается точно
так же.
88	Гл. 3. Метрические пространства
(3.20.4)	Пусть z f (z') = (fx(z'), f2(z))— отображение метри-
ческого пространства F в Е = ЕХУ.Е2. Для того чтобы f
было непрерывно в точке zQ, необходимо и достаточно, чтобы
и /j и /2 были непрерывны в z0.
Пусть х0 —/2(д0)). Тогда в силу (3.20.1)
0)=Л-1 (в1(Л(?о);	(В2(Л(^О); г))
и требуемый результат следует из (3.11.1) и (3.6.3).
(3.20.5)	Пусть f = (jx,f2)— отображение подпространства А
метрического пространства F в Е1\Е2 и пусть а£А. Для
того чтобы f имело в точке а предел по множеству А, не-
обходимо и достаточно, чтобы существовали оба предела
bx = lim /j(z) и b2 — lim /2(z),
г->а,	г->а, г£А
и в этом случае предел отображения f равен b = (bx, b2).
Это сразу следует из (3.20.4) и определения предела. В частности,
(3.20.6)	Для того чтобы последовательность точек zn — (xn, у„)
е Е = Еху>Е2 сходилась, необходимо и достаточно, чтобы
существовали оба предела а= lim хп и b— lim уп, и в этом
п->со
случае lim zn = (a, b).
п->со
Заметим, что если ^а, Ь)— предельная точка последовательности
((хя, У„)). то, как следует из (3.20.6) и определения предельных
точек, а является предельной точкой последовательности (х„),
а b — последовательности (у„). Но может случиться, что и (хя)
и (у„) имеют предельные точки, а последовательность ((х„, у„))
предельных точек не имеет; например, на плоскости R2 возьмем
х2я—1/й, у2п = п, х2п+х = п, У2п+1—1/п- Однако если (х„) имеет
предел а, а (ул) — предельную точку Ь, то из (3.20.6) следует, что
(а, Ь) будет предельной точкой последовательности ((хя, уя)).
(3.20.7)	Для того чтобы последовательность точек zn — (xn, уя)
в X £2 была последовательностью Коши, необходимо и до-
статочно, чтобы каждая из последовательностей (х„) и (уя)
была последовательностью Коши.
Это сразу следует из определения расстояния в Ех X Е2 и опре-
деления последовательности Коши.
(3.20.8)	Пусть z->f (z') = (fx(z), /2(г))— отображение метри-
ческого пространства F в £\ X К2. Для того чтобы f было
равномерно непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы и fx
и f2 были равномерно непрерывны.
Это немедленно следует из определений.
20. Произведение двух метрических пространств
89
(3.20.9)	Если Е — метрическое пространство и d — расстояние
в Е, то отображение d произведения Е X Е в R равномерно
непрерывно.
В самом деле, в силу неравенства треугольника
|d(x, у) — d(x', y')|<d(x, х') + <Цу, у')-
(3.20.10)^7	р секции рг; «рг2равномерно непрерывны вЕ = Ег ХЕ2.
Достаточно к тождественному отображению пространства Е при-
менить (3.20.8).
(3.20.11)	Для любой точки а2£Е2 (соответственно аг£Е^)
отображение xl —>(xv а2) (соответственно х2—>(аР х2)) есть
изометрия пространства Ех (соответственно Е2) на замкнутое
подпространство £\ X {ai} (соответственно (aj X Дг) произве-
дения Ег X Е2.
Это — очевидное следствие определения расстояния в Ех X Е2
и (3.20.3).
(3.20.12)	Для любого множества А открытого (соответственно
замкнутого) в ЁгХ Е2 и любой точки а1£Е1 множество А(а1) =
= рг2(Л П ({«1} X Е2)) открыто (соответственно замкнуто) в Е2.
В силу (3.20.11) достаточно доказать, что множество А П ({«1} X Е?)
открыто (соответственно замкнуто) в {aj X Д>- Но это следует из
(3.10.1) и (3.10.5).
(3.20.13)	Для любого множества А, открытого в EtX Ё2, мно-
жество рггЛ (соответственно рг2Л) открыто в Ех (соответ-
ственно в Е2).
В самом деле, мы можем написать рг2Л =	Л^), и требуемый
результат следует тогда из (3.20.12) и (3.5.2).
Отметим, что если Л замкнуто в Е, X Е2, то множество рг2 Л
может не быть замкнуто в Ev Например, гипербола с уравнением
ху — 1 представляет собою замкнутое множество на плоскости R2,
но обе ее проекции являются дополнениями в R точки {0} й, таким
образом, не замкнуты.
(3.20.14)	Пусть f — отображение произведения Е — ЕгХЕ2
в метрическое пространство F. Если f непрерывно в точке
(av а2) (соответственно равномерно непрерывно), то отобра-
жение xl-^-f(xv а2) непрерывно в аг (соответственно равно-
мерно непрерывно).
Это отображение можно представить в виде х1->(х1, а2)~>
->/(Хр а2). Поэтому требуемый результат следует из (3.20.11),
(3.11.5) и (3.11.9).
90
Гл. 3. Метрические пространства
Утверждение, обратное к (3.20.14), вообще говоря, не верно.
Классический противоречащий пример дает функция /, определяемая
в R2 формулой f(x, у) = ху/(х2Н-у2) при (х, у) =# (0, 0) и /(0, 0) = 0.
Функция f не непрерывна в (0, 0), так как f(x, х)=1/2 при х + 0.
(3.20.15)	Пусть Ег, Е2, Fx и F2 —четыре метрических про-
странства и fx (соответственно f2)— отображение простран-
ства Ех в Fx (соответственно пространства Е2 в F2). Для того
чтобы отображение f; (хр х2)->(fx (хг), f2(x2)) произведения
EtXE2 в Fx X Е2 было непрерывно в точке (ар а2) (соответ-
ственно равномерно непрерывно), необходимо и достаточно,
чтобы /д было непрерывно в ах и f2 — в а2 (соответственно
чтобы fx и f2 были равномерно непрерывны).
Отображение (хр х2) —>fx (хх) можно представить в виде /°ргР
поэтому достаточность условия следует из (3.20.4), (3.20.8) и (3.20.10).
С другой стороны, отображение fx можно представить в виде хх —>
-*PriV(xi’ аг)) и необходимость условия следует из (3.20.14)
и (3.20.10).
(3.20.16)	Пусть Ех и Е2 — два непустых метрических прост-
ранства. Для того чтобы произведение Е = ЕхХ Е2 было про-
странством одного из следующих типов'.
(i)	дискретным',
(ii)	ограниченным',
(iii)	сепарабельным',
(iv) полным',
(v)	компактным',
(vi)	вполне ограниченным;
(vii)	локально компактным;
(viii)	связным;
(ix)	локально связным;
— необходимо и достаточно, чтобы Ех и Е2 были простран-
ствами того же типа.
Доказательство необходимости для свойств (1) — (vii) про-
водится по одной и той же схеме: из (3.20.11) следует, что Ех и Е2
изометричны замкнутым подпространствам произведения Ех X Е2,
а эти свойства (i) — (vii) „наследственны" по отношению к замкнутым
подпространствам [для (i) и (ii) это очевидно; для свойств (iii)—(vii)
доказано в (3.10.9), (3.14.5), (3.17.3), (3.17.4), (3.18.4)]. Для свой-
ства (viii) необходимость следует из теоремы (3.19.7), примененной
к проекциям ргх и рг2. Аналогично если Е локально связно., то для
любой точки (ар а2)£Е и любой окрестности точки ах в Ех
произведение X Е2 является окрестностью точки (ах, а2) и поэтому,
содержит связную окрестность W этой точки. Но тогда в силу
20. Произведение двух метрических пространств	91
(3.19.7) и (3.20.13) рг2 U7 будет связной окрестностью точки
содержащейся в VP
Достаточность условия для (1) и (11) является очевидным
следствием определения расстояния в £\ X Е2. Если множества Dx
и £)2 не более чем счетны и плотны соответственно в £\ и в Д2,
то в силу (1.9.3) произведение Dx X D2 не более чем счетно,
а в силу, (3.20.3) — плотно в Е, т. е. утверждение для (Hi) верно.
Перейдем к свойству (iv). Если (.?„) — последовательность Коши в Е,
то в силу (3.20.7) (рт! zn) и (рг2 2Л) являются последовательностями
Коши соответственно в Ег и в Е2, поэтому они сходятся соответ-
ственно к некоторым точкам аг и а2 и, значит, ввиду (3.20.6) по-
следовательность (zn) сходится к (ар я2). Достаточность условия
для (vi) очевидна: если (Лг) (соответственно Bj)— конечное покры-
тие пространства Е} (соответственно Е2) множествами диаметра < е,
то (Ai X Bj) является конечным покрытием произведения Ег X Е2
множествами диаметра < е. Достаточность условия для (iv) и (vi)
в силу (3.16.1) доказывает и достаточность условия для (v). Доказа-
тельство достаточности для (v) дает и доказательство достаточности
для (vii), если вспомнить определение окрестностей в Ег X Е2.
Наконец, обратимся к свойству (viii). Пусть (ар а2) и (&р ft,) —две
произвольные точки пространства Е. В силу (3.20.11) и предполо-
жения множества {aj X Ё2 и Е} X связны и имеют общую
точку (ар Ь2). Поэтому на основании (3.19.3) их объединение связно
и содержит обе точки (ар а2) и (ftp Ь2). Следовательно, компонента
связности точки (ар а2) в Е есть само Е. То же рассуждение, учи-
тывая определение окрестностей в Е, доказывает достаточность
условия и для (ix).
(3.20.17) Для того чтобы множество А<^Е1ХЕ2 было от-
носительно компактно, необходимо и достаточно, чтобы
ptj А и рг2Д были относительно компактны, соответственно
в Ег и в Е2.
Необходимость следует из теоремы (3.17.9), примененной к ртт
и рг2. Достаточность следует из (3.20.16), (3.20.3) и (3.17.4).
Все определения и теоремы, рассмотренные в этом параграфе,
сразу же распространяются на случай произведения конечного
числа метрических пространств.
Задачи
1.	Пусть Е, F— два метрических пространства, Ас.Е и BczF- Пока-
жите, что Fr (Л X В) = (Fr (-4) X X Fr (В)).
2.	Пусть Е, F — два связных метрических пространства, А =£ Е—мно-
жество в Е и В =£ F — множество в F, Покажите, что дополнение в Е X F
множества А X В связно.
92
Гл. 3. Метрические пространства
3.	а) Пусть Е, F— два метрических пространства и А (соответственно В) —
компактное множество в Е (соответственно в F). Покажите, что если W —
произвольная окрестность множества Л X В в E%F, то существуют такая
окрестность U множества А в Е и такая окрестность V множества В в F,
что U X V cz W.
[Сначала рассмотрите случай, когда В состоит из одной точки.]
Ь)	Пусть Е—компактное метрическое пространство, F — метрическое
пространство, А — замкнутое множество в Ey^F. Покажите, что проекция
множества А в F является замкнутым множеством.
[С помощью а) докажите, что дополнение проекции рг2 А -открыто.]
с)	Пусть, наоборот, Е — метрическое пространство, обладающее тем
свойством, что для любого метрического пространства F и любого замкну-
того подмножества А произведения Ey^F проекция А в F замкнута в F.
Докажите, что Е компактно.
[В противном случае в Е нашлась бы последовательность (хл), не имею-
щая предельной точки. Возьмите в качестве F подпространство действи-
тельной прямой R, состоящее из нуля и точек 1/п (п— целые числа 1),
и в E%F рассмотрите множество точек (хп, 1/га).]
4.	Пусть Е—компактное метрическое пространство, F—метрическое
пространство, А — замкнутое множество в Еу^Р и В — (замкнутая) проек-
ция множества А в F. Пусть у0 € В и С — сечение А~] (у0)={х g £| (х, у0) С Л].
Покажите, что для любой окрестности V множества С в Е найдется такая
окрестность W точки у0 в F, что из у € W следует Л-1(у)с7 (непрерыв-
ность „корней* уравнения, зависящего от параметра).
[Воспользуйтесь задачей 3, а).]
5.	а) Пусть f — отображение метрического пространства Е в метриче-
ское пространство F и пусть G — график отображения f в произведении
Ey(F. Покажите, что если f непрерывно, то множество G замкнуто в Е X F
и сужение проекции prL на О является гомеоморфизмом G на Е.
Ь)	Наоборот, если F компактно и G замкнуто в Ey^F, то/ непрерывно.
[Воспользуйтесь задачей 3, Ь). ]
с)	Пусть F — метрическое пространство, обладающее тем свойством,
что для всякого метрического пространства Е любое отображение простран-
ства Е в F, график которого замкнут в Ey^F, непрерывно. Покажите,
что F компактно.
[Примерите конструкцию из задачи 3, с). ]
6.	Пусть Е, F, G — три метрических пространства, А — множество
в Ey^F, В — множество в Fy^G, С = Во А = {(х, г) б £Х О I ЗУ такое,
что (х, у) € А и (у, z) £ В]. Пусть А и В замкнуты и проекция множества А
в F относительно компактна. Покажите, что С замкнуто в Ey^G.
[Воспользуйтесь задачей 3, Ь). ]
7.	Пусть (Еп) (л > 1) — бесконечная последовательность непустых метри-
ческих пространств, и пусть при всех п расстояние dn в Еп таково, что
диаметр Еп не превосходит единицы (см. задачу 2, Ь) § 3.14). Пусть Е —
множество всех последовательностей х = (хл), где хп£_Еп при каждом и
20. Произведение двух метрических пространств
93
^бесконечное произведение последовательности (£„); его обозначают сим-
°°
волом Е — JJ Еп .
я = 1
со
а)	Покажите, что в Е функция d ((х„), (уп)) = У, dn (хп, у„)/2л является
Л = 1
расстоянием.
Ь)	Пусть для любой точки х = (хп) € Е, любого целого m > 1 и любого
числа г > 0 множество Vm (л:; г) есть множество всех таких точек у = (y„) g Е,
что dk(xk,yk)<r при k^m. Покажите, что множества Vm(x; г) (при
всех иг и г) образуют фундаментальную систему окрестностей точки х в Е.
с)	Пусть (д/т))— последовательность точек	j простран-
ства Е. Покажите, что, для того чтобы последовательность (х^) сходилась
в Е к а = (ап) (соответственно была в Е последовательностью Коши), не-
обходимо и достаточно, чтобы при каждом п последовательность	j
сходилась в Еп к ап (соответственно была в Еп последовательностью Коши).
Для того чтобы Е было полным пространством, необходимо и достаточно,
чтобы полным было каждое Еп.
d)	Пусть А„ — множество в Е„ при любом и. Покажите, что замыка-
ОО	со
ние в Е множества А — JJ А„ равно JJ А„.
П=1	Л=1
е)	Покажите, что,, для того чтобы Е было вполне ограничено (соответ-
ственно компактно), необходимо и достаточно, чтобы каждое Еп было
вполне ограничено (соответственно компактно).
f)	Покажите, что, для того чтобы Е было локально компактно, необхо-
димо и достаточно, чтобы каждое Еп было локально компактно и чтобы все Еп,
за исключением не более конечного числа из них, были компактны.
g)	Покажите, что, для того чтобы Е было связно, необходимо и доста-
точно, чтобы каждое Еп было связно.
h)	Покажите, что, для того чтобы Е было локально связно, необходимо
и достаточно, чтобы каждое Еп было локально связно и чтобы все ЕП,
за исключением не более конечного числа из них, были связны.
Глава 4
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПРЯМОЙ
Многие из свойств действительной прямой уже упоминались в гл. 3
в связи с различными рассмотренными в ней топологическими понятиями.
Факты, собранные в настоящей главе, по большей части элементарные и
классические, йе имеют с этими понятиями непосредственной связи, но
именно они фактически являются теми свойствами, которые ставят действи-
тельную прямую в столь исключительное положение среди других, более
общих пространств.
Логарифмическая и показательная функции вводятся несколько неорто-
доксальным образом: мы отправляемся не от показательной функции, а от
логарифмов. Это дает нам известное техническое преимущество, делая не-
обязательным предварительное определение ат^п (т и п — целые числа > 0)
в качестве основного шага перед определением ах для любого х.
Теорема Титце — Урысона занимает в настоящее время и в функцио-
нальном анализе и в алгебраической топологии центральное место. Ее можно
рассматривать как первый шаг в изучении общей задачи продолжения не-
прерывного отображения замкнутого подмножества А пространства Е в про-
странство F цо непрерывного отображения всего пространства Е в F.
В книге Н. Стинрода [22] читатель может увидеть, как эта общая задача
естественно приводит к наиболее важным и наиболее активно изучаемым
задачам, современной алгебраической топологии.
1.	Непрерывность алгебраических операций
(4.1.1)	Отображение (х, у)—> х-\-у произведения RXR « R равно-
мерно непрерывно.
Это сразу следует из неравенства
1(*' + у') —(* + У) К !*' — *! +|У' — У|
и определений.
(4.1.2)	Отображение (х, у)->ху произведения R XR в R непре-
рывно', для любого a£R отображение х-+ах действительной
прямой R в R равномерно непрерывно.
Непрерывность ху в точке (х0, у0) следует из тождества
*У — *оУо = *о (У — Уо) + (* — *q) Уо + (* ~ *о) (У — Уо)-
1. Непрерывность алгебраических операций
95
Если задано произвольное в > 0, то возьмем 8 так, чтобы 0 < 8 < 1
и 8 (| л:0] —I у0 j —j— 1) < е. Тогда из неравенств |х—х0| < 8, | у—yd| < 8
будет вытекать неравенство | ху — xQy01 < в. Равномерная непрерыв-
ность отображения х-> ах очевидна, так как справедливо равен-
ство | ах' — ах | == | а 11 х' — х |.
(4.1.3)	Любое непрерывное отображение f действительной
прямой R в себя, удовлетворяющее условию f(x -|- у) = /(х)4~
+ /(у), имеет вид х->сх, где c£R.
В самом деле, для каждого целого п > 0 индукцией по п полу-
чаем f(nx) = nf(x). С другой стороны, /(0-4-х) — /(0)4-/(а:),
поэтому /(0) = 0 и /(х4-(— х)) = /(ос)+/(— х) = /(0)±=0,
следовательно, /(—х) — — f (х). Отсюда следует, что f(xlri) =
= f(x)ln для любого целого п > 0, поэтому для любой пары целых
чисел р и q, где q > 0, имеем /(pxjq) = pf (x)lq\ иными словами,.
/(гх) = г/(х) для любого рационального числа г. Но любое дей-
ствительное число t является пределом последовательности (гя)
рациональных чисел [в силу (2.2.16) и (3.13.13)]. Поэтому из пред-
положения Относительно / и (4.1.2) находим
f(tx) = f( lim r„x) = lim/(глх)= lim гл/(х)==/(х)- limгa~tf(x).
\Л->ОО J П->00	Л->со ’	rt->co
Положив с = /(1), мы получим /(х) = сх для каждого x£R.
(ДА А) Отображение х—> 1/х непрерывно в каждой точке хо=#О
пространства R.
В самом деле, если задано произвольное в > 0, то возьмем 8 > 0
так, чтобы 8 < min (| х01/2, в | х012/2). Тогда из неравенства | х—х01 < 8
прежде всего следует, что | х | > | х01 — 8 > | х01/2, а затем что
11____LI = I — * I 21 аг0 — лг]	£
I Л Х0 I	IXха I	|х0|2
(4.1.5)	Любая рациональная функция
(хр .... х„)_->Р(Х1....x„)/Q(X].....х„),
где Р и Q — многочлены с действительными коэффициентами,
непрерывна в каждой точке (av .... ап) пространства R",
в которой Q(np .... ап) ф 0.
Непрерывность одночлена в R" доказывается индукцией по его
степени на основании (4.1.2). Затем, исходя из (4.1.1), индукцией
по числу членов доказывается непрерывность многочленов Р и Q.
Окончательный результат следует из (4.1.4).
(4.1.6)	Отображения (х, y)-»-sup(x. у) и (х, у)—>inf(x, у) равно-
мерно непрерывны в R X R-
Так как sup(x, у) = (х4~ У 4~ I х— У | )/2 и inf(x, у) =
==(х4-У — Iх — у|)/2, утверждение следует из (4.1Л) и (3.20.9).
96 Гл. 4. Дополнительные свойства действительной прямой
(4.1.7)	Открытый промежуток в R гомеоморфен R.
Из (4.1.1) и (4.1.2) следует, что любая линейная функция
х-> ах-\-Ь при а =£ 0 является гомеоморфизмом пространства R на
себя, потому что обратное отображение х—>а-1х— а~хЬ имеет ту
же форму. Любые два открытых промежутка ]а, р[, ]у, 8[ являются
образами один другого при отображении х —> ах -{- Ь, поэтому они
гомеоморфны. Рассмотрим теперь отображение х -> х/(1 -)- | х |) про-
странства R на промежуток ]—1, -|-1[; обратным к нему является
отображение х—>х/(1 —| х |) и оба они непрерывны, так как непре-
рывно отображение х—х|. Так доказывается, htoR гомеоморфно лю-
бому ограниченному открытому промежутку. Наконец, при только что
рассмотренном гомеоморфизме пространства R на] —1, -f-l[ любой не-
ограниченный открытый промежуток ] а, -{-оо [ или ] — оо, b [простран-
ства R отображается на ограниченный открытый промежуток, содер-
жащийся в ]—1, -]-1[. Поэтому эти промежутки также гомеоморфны R.
(4.1.8)	Функция (х, у)—>х-|-у в каждой точке (а, Ь) про-
странства RXR. за исключением точек (—оо, -{-оо) и (+<?о, —оо),
имеет предел по множеству R X R- Если по крайней мере одна
из координат а, b равна -{-оо (соответственно —оо), то этот
предел равен -{-оо (соответственно —оо).
Докажем, например, что если а =£—оо, то х-{-у имеет в точке
(а, -{- оо) предел, равный -{- оо. Если задано произвольное с £ R,
то из неравенств х~Д>Ъ и у>с— b следует неравенство х-{- у> с,
и промежутки ]£, -[-оо] и ]с— Ь, -|~эо], если b взято конечным и < а,
являются соответственно окрестностями точек а и -f-оо. Отсюда сле-
дует наше утверждение. Остальные случаи рассматриваются аналогично.
(4.1.9) Функция (х, у)->ху в каждой точке (а, Ь) простран-
ства RXR, за исключением точек (0, -{-оо), (0, —оо), (-{-со, 0),
(—оо, 0) имеет предел по множеству R X R- Если по крайней
мере одна из координат а, b бесконечна и если при этом
обе координаты имеют один и тот же знак (соответственно
противоположные знаки), то этот предел равен -{- оо (соот-
ветственно — оо).
Покажем, например, что если а > 0, то ху имеет в точке (а, +°°)
предел —{—оо. Если задано произвольное c£R, то из неравенств
х > b и у > с/b при b > 0 следует неравенство ху > с и проме-
жутки ]£, -{- оо] и ]с/Ь, -{- оо], если b взято конечным и < а,
являются окрестностями точек а и -)-оо. Аналогичны доказатель-
ства и для других случаев.
Мы опускаем доказательства следующих двух свойств:
(4.1.10)	lim 1/х = 0, lim 1/х = -)-оо, lim	1/х'=—оо.
•г->±оо	х-»0, л>0	л->0, -г<0
(4.1.11)	Отображения (х, у)—>sup(x, у) и (х, у)—>inf(x, у)
непрерывны в R X R-
2. Монотонные функции
97
2. Монотонные функции
Пусть Е— непустое подмножество расширенной действительной
прямой R. Отображение / множества Е в R называется возра-
стающим (соответственно строго возрастающим, убывающим,
строго убывающим), если из х<у (в Е) следует /(х)^/(у)
(соответственно /(х)</(у), /(х)>/(у), /(х) >/(у)). Функция,
являющаяся возрастающей или убывающей (соответственно строго
возрастающей или строго убывающей), называется монотонной, (соот-
ветственно строго монотонной). Строго монотонное отображение
инъективно. Если f—возрастающее (соответственно строго возра-
стающее) отображение, то — / убывающее (соответственно строго
убывающее) отображение. Если / и g — возрастающие отображения и
отображение f-{-g определено, то f-\-g возрастающее отображение;
если вдобавок и f и g конечны и хотя бы одно из них является строго
возрастающим, то и fg строго возрастающее отображение.
(4.2.1)	Пусть Е — непустое множество в R и a = supE. Для
любого монотонного отображения f множества Е в R предел
lim /(х) существует и равен sup/(x), если f — возрастаю-
х->а,х^Е .	Х(.Е
щее, и inf /(х), если f — убывающее отображение.
х£Е
Допустим, например, что f — возрастающее отображение, и пусть
с — sup / (х). Если с =— оо, то / постоянно (равно —со) на Е
х£Е
и результат тривиален. Если с>—оо, то для любого b < с су-
ществует такая точка х£Е, что (></(х)<с. Поэтому при у£Е
и х<у<а мы, по предположению, имеем b < /(х)	/ (у) с,
откуда следует наше заключение.
(4.2.2)	Пусть I — промежуток в R. Любое непрерывное инъек-
тивное отображение f промежутка I в R строго монотонна-,
любое непрерывное строго монотонное отображение f проме-
жутка I в R является гомеоморфизмом I на промежуток f(J).
Пусть отображение / непрерывно и инъективно. Пусть а и b —
две такие точки из I, что а < Ь, и допустим, например, что /(а)<
< f (b). Тогда при а < с < b мы должны иметь / (а) < f (с) < / (Ь).
В самом деле, из наших предположений следует, что /(с)=#/(й)
11 f (с) =# /(«), и если бы мы, например, имели /(с) >/(£), то по
теореме Больцано (3.19.8) нашлась бы такая точка х, что
а < х < с и f(x) = f(b), что противоречит предположению. Ана-
логично мы убеждаемся в том, что невозможно и неравенство /(с)</(а).
Если теперь b < с, то f (b) < / (с), ибо предыдущее рассуждение
показывает, что f(b) должно содержаться в промежутке с концами
f (а) и f (с). Точно так же, если с < а, то /(£)</(«)• Наконец,
если х и у — две произвольные точки промежутка / и х < у, то,
7 Ж. Дьедонне
98 Гл. 4. Дополнительные свойства действительной прямой
повторяя предыдущее рассуждение по отношению к а, х и у вместо
а, b и с, мы получим f (х) < f (у), и первое утверждение доказано.
Если / непрерывно и строго монотонно, то оно является биек-
тивным отображением I на f(I), a f (/), будучи связным, должно
быть промежутком [(3.19.1), и (3.19.7)]. Для любой точки х£1
образ при f любого промежутка, содержащего х и содержащегося
в /, является тогда промежутком, содержащим /(х) и содержа-
щимся в f(J). Это доказывает, что образ при отображении / лю-
бой окрестности точки х в I является окрестностью точки /(х)
в f(I). Следовательно, f — гомеоморфизм [см. (3.11.1)].
Задач и
1.	Пусть /—отображение R в R, при котором / (ху) = / (х)-{-/ (у).
а)	Покажите, что если f на промежутке ] а, Ь [ ограничено сверху, то
оно на нем ограничено и снизу.
[Если с — фиксированная точка промежутка ] а, b [, то рассмотрите пары
точек х, у этого промежутка, для которых х < с < у, а отношение
(у — с)/(с — х) рационально.]
Ь)	Докажите, что при том же предположении отображение / ограничено
на любом компактном промежутке и непрерывно в R и поэтому имеет вид
f (х) = сх.
[Пользуясь аксиомой выбора, можно показать, что существуют решения
уравнения f (х -[- у) — f (х) /(у), неограниченные на каждом промежутке.]
2.	Пусть Ь — целое число > 1.
а)	Покажите, что для любой бесконечной последовательности (сп) целых
ОО
чисел, удовлетворяющих условию	— 1, ряд У, сп[Ьп сходится
«=о
к числу х£[0, 1]. Обратно, для любого х£[0, 1] существует такая после-
ОО
довательность (с„), что 0 сп <2 Ь — 1 при каждом п и х = У сп!Ьп. Если х
•	и=0
не имеет вида k[bm (к и m— целые числа >-0), то эта последовательность
единственна; в противном случае существуют ровно две последовательно-
сти (с„), обладающие требуемыми свойствами.
[Воспользуйтесь тем фактом, что для любого целого tn > 0 и любого
х£[0, 1] существует единственное целое число k, при котором kjbm<Z.x<
<(й + 1)/6'”.]
Ь)	Пользуясь случаем Ь = 2 задачи а) и задачей 5 § 1.9, покажите, что
множество [0,1] [а поэтому и само R, см. (4.1.7)] равномощно множеству (N).
с)	Пусть К — подмножество промежутка [0, 1], состоящее из всех чисел
ОО
вида У c„/3", где сп = 0 или сп = 2 (троичное канторово множество).
л = 0
Покажите, что К компактно, а его дополнение в [0,1] является объедине-
нием счетного множества неперекрывающихся открытых промежутков. Опи-
шите эти промежутки и покажите, что (бесконечная) сумма их длин равна 1.
2. Монотонные функции
99
ОО
d)	Для каждой точки х 6 К, где х = У, сп!Зп, определим / (х) как действи-
ям
СО
тельное число У1, Ьп/^, где Ъп = сл/2. Покажите, что если х записывается
п=о
ОО
в виде У, сл/Зл двумя различными способами, то два соответствующих
п=о
СО
числа У 6Л/2Л равны. Докажите, далее, что f является непрерывным сюръек-
«=о
тивным отображением множества К на промежуток [0, 1] действительной
прямой R и что, следовательно, К и R равномощны. Объясните, как можно
продолжить / в непрерывное отображение промежутка /=[0, 1] на себя,
постоянное на каждой компоненте связности (3.19.6) дополнения /\К.
3.	а) Пусть Е— метрическое пространство, удовлетворяющее следую-
щему условию: для каждой конечной последовательности s = (£/)1<z<n, эле-
менты которой равны 0 иди 1, существует такое непустое множество
Л5с£, что
(i)	Е является объединением двух множеств Л(0), Л(1) и если для каждой
конечной последовательности s, состоящей из п элементов, s' и s" — две
последовательности из п 4-1 элемента, первые п элементов которых совпа-
дают с s, то Л5 —Л5.[)ЛГ;
(ii)	для каждой бесконечной последовательности (ел)л>1, элементы
которой равны 0 или 1, диаметр множества ASn, где ®я = (£i)i<z < л> стре-
мится к нулю при п стремящемся к 4-°° и пересечение множеств ASn
не пусто.	1
Покажите, что при этих условиях существует непрерывное отображение
троичного канторова множества К (задача 2) на Е и потому, в частности,
Е компактно.
Ь)	Пусть, напротив, Е — произвольное компактное метрическое про-
странство. Покажите, что существует непрерывное отображение К на Е.
[Примените метод задачи а) и определение вполне ограниченного про-
странства (3.16); обратите внимание на то, что из свойств (1) и (II) не выте-
кает, что два множества Л5, и As„ должны быть отличны от Л^ для всех
последовательностей s.]
с)	Если 'вдобавок Е вполне несвязно и не имеет изолированных точек
(задача 2 § 3.9), то Е гомеоморфно К.
[Сначала докажите, что для каждого е > 0 существует покрытие про-
странства Е конечным числом множеств Л/, одновременно открытых и
замкнутых и имеющих диаметр X е; для этой цели воспользуйтесь задачей 9, а)
§ 3.19. Затем примените метод задачи а).]
4.	а) Пубть Е (соответственно F) — множество четных (соответственно
нечетных) целых чисел- >0. Покажите, что, ставя пару (Xf) Е, X(]£) в соот-
ветствие каждому подмножеству X cz N, мы определяем биективное отобра-
жение множества ф (N) на ф (£) X (₽ (£)
7*
100
Гл. 4. Дополнительные свойства действительной прямой
Ь) Выведите из а), что при всех п > 1 множества R” равномощны R
(см., однако, задачу 6 § 5.1).
5.	Пусть I — промежуток [0,1] в R. Покажите, что существует не-
прерывное отображение / промежутка I на .квадрат" /Х^ (.кривая
Пеано).
[Покажите сначала, что существует непрерывное отображение канторова
множества К на ?Х^ (задача 3), а затем линейно продолжите это отобра-
жение на компоненты связности дополнения множества К в /.]
6.	Пусть g— отображение промежутка ] 0, 1] в промежуток [—1,1];
предположим, что lim g (х) = 0. Покажите, что существуют такое не-
х->0, л->0
прерывное убывающее отображение g[ и такое непрерывное возрастающее
отображение g2 промежутка [0,1] в промежуток [—1,1], что gi (0)=g2 (0) = 0
и gi (х) < g (х) < g2 (х) при 0 < х < 1.
[Для каждого целого п рассмотрите нижнюю грань хп множества точек х,
в которых g (х)	1/п.]
3.	Логарифмы и показательная функция
(4.3.1)	Для любого числа а> 1 существует единственное воз-
растающее отображение f промежутка R+ = ]0, -|-оо[ в R,
удовлетворяющее условиям-, f (ху) = f (х)-\-f {у) и f(a)—l.
При этом f является гомеоморфизмом промежутка R+ на R.
Предварительно докажем лемму.
(4.3.1.1)	Для любого х>0 существует такое целое число т
{положительное или отрицательное), что ат х ат+1.
Допустим сначала, что х^-1. Последовательность (а№) является
строго возрастающей. Если бы мы имели ап х для всех целых
п > 0, то b= lim ап = sup ап было бы конечным, >1 и X х. Но
/?->СО	п
в силу (4.1.2) b= lim an+1 = а • lim ап, откуда b — ab, что про-
Л->со
л~>со
тиворечит предположению о том, что а>1.
ствует такое целое п, что х < а". В качестве
наименьшее из этих целых чисел. Если же,
то х-1>1, и если аЯ!^х‘1^ат+1, то мы
а-(т+1) + 1.
Следовательно, суще-
т-\- 1 возьмем тогда
напротив, 0 < х < 1,
имеем
Обратимся теперь к (4.3.1). Предположим, что существует функ-
ция f, обладающая свойствами, перечисленными в (4.3.1). Тогда f
является гомоморфизмом мультипликативной группы R+ в аддитивную
группу R, и, таким образом, при любом х > 0 и любом целом п
(положительном или отрицательном) мы должны иметь /(1) = 0,
f (xn) = nf (х) и, в частности, f{an) — n. Кроме того, если ат
хп ат+1, то f(am)^f(xn)^f(am+1). Иными словами, т
3. Логарифмы и показательная функция
101
/г/(х)<С m-\- 1, поэтому /п/м^/(х) и |/(х)— т/п\^ 1/п. Это
показывает, что если мы обозначим через Ах множество рациональ-
ных чисел т/п (т положительное или отрицательное,	для
которых ат хп (заметим, что неравенства ат хл и атч хпя,
где q — целое число > 0, эквивалентны), то будет выполняться ра-
венство / (х) = sup Ах, которое показывает, что f единственно.
Чтобы доказать, что отображение / существует, остается убе-
диться в том, что отображение /:х—^-supH^. удовлетворяет всем
нашим условиям. Пусть х и у — два элемента множества R*. Пусть
для любого целого га^>1 целые числа т и т' таковы, что ат
х№ ат+1 и ат' у" ат'+\ Из этих неравенств следует, что
т+т' / \п	т + т' +2	ТП . £ , \ . т -4-1	т' ~
а + <(*У)	• Поэтому — </(х)<—, —<
т+т' .	, ,т4-т'4-2	т4-т' .
f (У)	1— , — ---f (ху)	11—, а также —!-----
J	п	п	\ л 'О	л	л
, ,, , , л г ' т-\-ТП' + 2 п
^/(х)+/(уХ.—L--—1— Отсюда мы заключаем, что
о
|/(*у)—f(x)~/(у)|<-£.
и, так как п произвольно, f(xy) — /(х)+/(у).
Из (4.3.1.1) следует, что для любого z > 1 существует такое
целое число га^>1, что а < zn. Поэтому /(г)^>1/«>0, откуда
следует, что f — строго возрастающее отображение, так как
если х < у, то y = zx, где z>l, и f (у) = f(x)-\-f(z) > /(х).
С другой стороны, имеем следующую лемму:
(4.3.1.2)	Для любого целого га^-1 существует такое z>l,
что z" ^.а.
Заметим, что существует' такое х, что 1 < х < а, поэтому а = ху,
где у>1. Если z1 = min(x, у), то ху = а и гг > 1. По ин-
дукции определим zn>l, так чтобы zjzn-v откУДа 2%и
тем более zJJ а.
Лемма показывает, что 0 < / (z)	1/я. Для любого x£R* возь-
„	х-4-8 _ х — В 1	_	.	,,
мем такое о, что——< z и —-—>у. Тогда | f (у) — /(х)|-<
<С/(.г)С	1/« при |у — х|-<8. Этим доказано, что отображение f
непрерывно. Следовательно, в силу (4.2.2) f является гомеоморфиз-
мом промежутка R^ на некоторый промежуток /czR. Но поскольку
f (ап) = п произвольно велико, этот промежуток есть сама действи-
тельная прямая R.
(4.3.2)	Для любого числа а> 0 и _^=1 существует одно и только
одна непрерывное отображение f промежутка R^ в R, удо-
влетворяющее условиям /(ху) = /(х)-|-/(у) и f(a)=\.
102
Гл. 4. Дополнительные свойства действительной прямой
Пусть Ь~> 1. По теореме (4.3.1) мы имеем такой гомеоморфизм
/0 промежутка R* на R, что /0(ху) = /0(х) + /0(у) и/0(/»)=1.
Пусть g0— обратный гомеоморфизм, так что gg (х -|- у) =
— £о(х)&о(У) и — Если f удовлетворяет условиям теоремы
(4.3.2), то h = f о g0 есть непрерывное отображение пространства R
в себя, такое, что h(x-\- y) — h(x)-\- h(y). В силу (4.1.3) h (х) = сх.
Следовательно, /(х) = с/0(х) и существует только одно значение с,
при котором /(а) = 1, именно с=1//0(а) (так как а^=1, то
/0(а) #= О = /о(1)).
Отображение, охарактеризованное в (4.3.2), называется логариф-
мом при основании а, а функция / (х) обозначается символом logax.
Из доказательства теоремы (4.3.2) сразу следует, что если а, b > 0
и =£ 1, то loge х и log6 х пропорциональны. Поэтому, полагая х = а,
получим
(4.3.3)	log& х = log*, а • loge х.
Из (4.3.1) и (4.2.1) следует, что
limlogax = —оо и	lim logex = -|-oo при а>1,
Х->0	Х->+со
lim loge х = -|-оо и	lim logax — — оо при а < 1.
Х-»0	Х-> + со
При любом в>0и =£1 отображение, обратное отображению
x-*logax, называется показательной функцией (экспонентой)
с основанием а и обозначается символом х->ах. (Это — согласо-
ванное обозначение, так как loga(an) = n и, следовательно, для це-
лых значений х новое обозначение имеет тот же смысл, что и старое,
алгебраическое.) Кроме того, по определению мы полагаем 1*=1
для всех действительных чисел х.
Если d > 0, х и у — произвольные действительные числа, то из
определения следует, что
ах+у = ахау, а~х = -^,	ай=\.
ах
Заменяя в (4.3.3) х на Ьх и меняя местами а и Ъ, получаем
(4.3.4)	loge(H = х loga b (Z> > 0, x — действительное число),
а заменяя в этой последней формуле b на ау,- находим
(4.3.5)	(ах)у — аху (х, у — действительные числа, a > 0).
При а>1 отображение х —>ах является строго возрастающим
и таким, что
lim ах = 0, lim ах = -|-оо.
Л->-00
3. Логарифмы и показательная функция
103
При а<1 отображение х—>ах является строго убывающим и та-
ким, что
lim а* = -(-00, lim ах = 0.
Х->-со	Х->+со
(4.3.6)	Отображение (х, у)->ху непрерывно eR*+XR« стре-
мится к пределу в каждой точке пространства R X R, при-
надлежащей замыканию множества R^ X R и отличной от
точек (0, 0), (4-оо, 0), (1, -J-oo), (1, —оо).
Из (4.3.4) получаем ху = ау log« х (а—фиксированное число > 1),
поэтому результат следует из (4.1.2) и (4.1.9).
(4.3.7)	Любое непрерывное отображение g промежутка R*
в себя, удовлетворяющее условию g (ху) — g (х) g (у), имеет вид
х—>ха, где а — действительное число.
В самом деле, если £> > 1, то отображение f(x) = logbg(bx) для
действительных х и у удовлетворяет условию / (х-|-у) = / (х) f (у)
и непрерывно. Поэтому в силу (4.1.3) f(x) = cx, следовательно,
g (Ьх) — Ьсх— (Ьх)с, что и доказывает утверждение.
Так как logb (х“) = а • logft х, то отображение х —> ха (степен-
ная функция) при а > 0 является строго возрастающим, а при а < О
строго убывающим. Кроме того, при а > О
а при а < О
limx“ = 0 и lim х“ = -|-оо,
Х->0	х-> + оо
lim х“ = -|-оо
j:->0
и lim ха = 0.
Ж-»+ео
Таким образом, при а^О отображение х->х“ на основании (4.2.2)
является гомеоморфизмом промежутка R^ на себя. Обратным отобра-
жением является х —> xV«.
Задача
Пусть / — отображение действительной прямой R в себя, удовлетво-
ряющее условиям /(х + у) = /(х)-(-/(у) и f (ху) — f (х) f (у). Пока-
жите, что либо / (х) = 0 при каждом х € R, либо же / (х) = х при каж-
дом x6R-
[Если /(1)^=0, то /(1) = 1. Во втором случае покажите, что /(х) = х
для рациональных х, а затем, пользуясь тем фактом, что любое действи-
тельное число г > 0 является квадратом, покажите, что / — строго возра-
стающее отображение.]
104
Гл. 4. Дополнительные свойства действительной прямой
4.	Комплексные числа
Формулами
((х, у), (х', у'))-*(х + х', у + У).
((х, У), (х', у'))-*(хх' —уу', ху' + ух')
определим два отображения множества R2 X R2 в R2. Они соответ-
ственно называются сложением и умножением и обозначаются сим-
волами (г, Х)->,г-[-Х и (z. z')-+zzf. Если положить
0==(0, 0), 1=(1, 0) и	при z = (x, у)#=0
[из (2.2.8) и (2.2.13) видно, что при z -4= 0 имеем х2-|-у2^=0], то
эти два отображения будут удовлетворять аксиомам [2.1, (I)] поля.
Таким образом определенное поле обозначается буквой С и на-
зывается полем комплексных чисел, а его элементы называются
комплексными числами. Отображение х-> (х, 0) пространства R
в С инъективно и сохраняет сложение и умножение. Поэтому мы
отождествим R с подполем поля С, состоящим из элементов (х, 0).
Элемент 1 = (0, 1) обладает тем свойством, что i2 = (—1, 0) = —1,
и для любого элемента (х, у)£С мы можем писать, что (х, у) =
= х-[-/у.
Если z = х-\-1у, где х и у—действительные числа, то х обо-
значается символом cilz и называется действительной частью
числа z, а у обозначается символом z и называется мнимой ча-
стью z.
(4.4.1)	Любое рациональное отображение (zv .... гл)->
->P(zl	zn)/Q(zv .... zn), где Р и Q — многочлены с комп-
лексными коэффициентами, непрерывно в каждой точке
(«!.....а„) пространства С", в которой Q(ax,	a^=/=Q.
Это доказывается точно так же, как (4.1.5), с помощью теорем,
аналогичных (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.4); эти теоремы сразу следуют из
написанных выше формул для суммы, произведения, обратного ком-
плексного числа и из (3.20.4) и (4.1.5).
Для любого комплексного числа z=x-|-Zy число z = x—iy
называется числом, сопряженным с г. Имеем
~z = z, z-\-z' = z-{-z', zz'=z-z'-,
иными словами, z->z есть автоморфизм поля С, который в силу
(3.20.4) и (4.1.2) является взаимно непрерывным. Действительные
числа характеризуются условием z = z, числа вида ix (х действи-
тельно; такие числа называются также чисто мнимыми) — усло-
вием z — — z. Если z = х-\-iy, то zz — х2-|-у2^>0.
Положительное действительное число |z\ = (гг)'1г называется
модулем числа Z и в случае, когда z действительно, совпадает
5. Теорема Титце — Урысона о продолжении
105
с абсолютной величиной, определенной в (2.2). Равенство |г|=0
равносильно равенству г = 0. Имеем \zz'\2 = zz'zz' — zzz'z' =
— |z|2|z'|2, поэтому . Izz'l = |z| • [z'l, откуда следует, что при
z Ф 0 справедливо равенство |1/г| = 1/|г|. Наконец, прямым вычи-
слением проверяется неравенство треугольника
k+5'K И + И.
которое показывает, что |z — z'\=d(z, z') есть расстояние,
определенное в С = R X R, равномерно эквивалентное расстоянию,
рассмотренному в (3.20). Шары, соответствующие этому расстоянию,
называются кругами.
Любсе комплексное число z =# 0 одним и только одним спосо-
бом может быть записано в виде произведения К, где г > 0 и |С|=1,
а именно нужно положить r = |z| и С = г/|г|.
Задач а
Пусть f — непрерывное отображение пространства С в себя, удовлетво-
ряющее условиям f (z 4- г') = f (г)	/ (*') и / (zz') = f (г) f (г'\ Пока-
жите, что либо f (г) = 0 при каждом z 6 С, либо же f есть одно из отобра-
жений z -> г, z ->г.
[Воспользуйтесь (4.1.3).]
5.	Теорема Титце — Урысона о продолжении
(4.5.1)	(Теорема Т итце—У рысона о продолжении.) Пусть
Е — метрическое пространство, А — замкнутое подмноже-
ство Е и f — непрерывное ограниченное отображение множе-
ства А в R. Тогда существует непрерывное отображение g
пространства Е в R, на А совпадающее с f и такое, что
supg(x) = sup/(y), inf g(x) = inf/(у).
x^E	y£A	x£E	y£A
Заменяя, если потребуется, f отображением У —>а/(у)4-р, а=#0
(случай, когда f постоянно, тривиален), можно считать, что
inf/(y)=l, sup/(у) = 2.
У£А	у£А
Определим отображение g (х) так: g (х) равно f (х), если х £ А, и
, .	. £ / (у) d (х, у)
g (х) = inf J	,
у€А а(х> Л)
если х£Е\А. Из неравенств 1 <:/(у)<;2 при у(Л и определе-
ния расстояния d(x, й) следует, что 1<^§’(х)^2 при х£Е\А.
Нам нужно, таким образом, только доказать непрерывность отобра-
106
Гл. 4. Дополнительные свойства действительной прямой
жения g в каждой точке х£Е. Если х^к, то непрерывность сле-
дует из предположения относительно непрерывности f. Если х при-
надлежит открытому множеству Е \ А, то мы можем написать g(x)—
= h(x)/d(x, А), где h(x)~ inf (f(y)d(x, у)), и так как d(x, Л)
у£А
непрерывно и =£ 0 [в силу (3.8.9) и (3.11.8)], то [ввиду (4.1.2) и
(4.1.4)] нам остается только доказать, что h непрерывно в каждой
точке х £ Е \ А. Пусть г — d(x, А); при d(х, х') s < г мы имеем
d(x, y)-^.d(x', у) 4- е, поэтому (так как /(у)<2) й (х)<^ й (х7) + 2е
и точно так же й(х')<;й(х)-|-2е, что и доказывает непрерывность
Отображения й. Допустим, наконец, что х — граничная точка мно-
жества А. Пусть г > 0 выбрано для данного е > 0 так, что
|/(у)— /(х)| е при у£ДГ)В(х; г). Пусть С = Д Г)В(х; г),
О== А\С. Если х'£Е\ А и d(x, х')<>/4, то для каждой точки
y£D имеем d(x', y)i>d(x, у) — d(x, х')>Зл/4, поэтому
inf(/(y)d(x', у))>
у££>
С другой стороны, f(x)d(x', x)^2d(x', х)^.г/2 и, следовательно,
inf(/(y)d(x7, y)) = inf(f(y)d(xf, у)). Но так как при у£С вы-
у£Л	у£С
полняются неравенства
/(х) — е </(у)</(х)4-е- и infd(x', y\=d(x', А),
у?с
то
(/(*) —е) <*(*'• Д) < inf (/(у) d(x', y)X(/(x)4-s)d(x', Д),
У€»
откуда следует, что |g(x')—при х'£Е\ А и d(x, х7)^
<^г/4. Если же х'^А и d(x, х')^.г/4, то |g(x')—/(х)| —
= |/(х')—/(х)| <С£- чт0 и завершает доказательство теоремы.
(4.5.2)	Пусть А и В—два непустых замкнутых множества
в метрическом пространстве Е, причем А(]В=0. Тогда суще-
ствует такая непрерывная в Е функция f со значениями
в [0, 1], что /(х)=1 на А и /(х) = 0 на В.
Применяем (4.5.1) к отображению ДиВ->К, равному 0 на В
и 1 на Д и непрерывному на A (J В.
Задача
1. Пусть (Еп) — последовательность замкнутых множеств в метрическом
пространстве Е и А — объединение множеств Fn. Покажите, что при х А
существует функция />0, ограниченная и непрерывная в Е и такая, что
/ (х) = 0 и f (у) > 0 в каждой точке у С Л.
[Воспользуйтесь (4.5.2) и (7.2.1).]
5. Теорема Титце — Урысона о продолжении
107
2. а) Пусть Е — метрическое пространство, обладающее тем свойством,
что каждое ограниченное в Е множество' относительно компактно. Пока-
жите, что Е локально компактно и сепарабельно.
[Воспользуйтесь (3.16.2).]
Ь) Пусть, наоборот, Е — локально компактное (но не компактное) сепа-
рабельное метрическое пространство и <Г— расстояние в Е. Пусть ({/„) —
такая последовательность относительно компактных открытых подмножеств
пространства Е, что Un cz(7n+1 и Е является объединением последователь-
ности (Цп) (3.18.3). Покажите, что существует такая действительная функ-
ция /, непрерывная в Е, что / (х)< п при х£ Un и / (х) >и при х 6 E\U№
Тогда расстояние d' (х, y) = d(x, у) -|-1 / (х) — / (у) | топологически эквива-
лентно расстоянию d и при расстоянии d' любое ограниченное множество
относительно компактно.
[Примените (4.5.2).]
Глава 5
НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Терминология, введенная в гл. 3, соответствует таким свойствам геоме-
трических объектов, которые интуитивно остаются неизменными при
„деформации". В настоящей же главе мы значительно ближе подходим к по-
нятиям классической геометрии, так как здесь с топологической точки зре-
ния изучаются прямые, плоскости и т. д. (Напомним, что чисто алгебраиче-
ские аспекты этих понятий составляют линейную алгебру, которую мы
предполагаем известной читателю.)
В этом контексте свое естественное определение получает понятие
ряда. Особенно следует подчеркнуть тот факт, что для наиболее важного
типа сходящихся рядов (5.3) остаются справедливыми обычные свойства
коммутативности и ассоциативности конечных сумм. Это, естественно, при-
водит к заключению, что в случае таких рядов порядок их членов совер-
шенно несуществен. Это же позволяет разумным образом сформулировать
теорему о произведении двух таких рядов действительных чисел [си. (5.5.3)]
в отличие от нелепого так называемого „умножения Коши", все еще встре-
чающегося в некоторых учебниках и не имеющего смысла ни для каких
рядов, кроме степенных рядов одной переменной.
Основными результатами этой главы являются критерий непрерывности
(5.5.1) и теорема Ф. Рисса (5.9.4), характеризующая конечномерные прост-
ранства и являющаяся ключом к элементарной спектральной теории, разви-
ваемой в гл. 9.
Конечно, эта глава представляет собой лишь краткое введение в общую
теорию банаховых пространств и линейных топологических пространств,
которая излагается, например, в книгах Тейлора [23] и Бурбаки [6]. Глав-
ных же вопросов — понятия „бэровской категории* и теории двойствен-
ности,— играющих фундаментальную роль в доказательстве более глубоких
результатов функционального анализа, мы здесь не касаемся.
1. Нормированные пространства и банаховы пространства
Когда в этой и следующих главах мы говорим о векторном
пространстве, мы всегда имеем в виду векторное пространство
(конечной или бесконечной размерности') над полем действительных
чисел или над полем комплексных чисел (эти пространства назы-
ваются соответственно действительным и комплексным вектор-
1. Нормированные и банаховы пространства
109
ними пространствами). Если поле скаляров не указано, то подразу-
мевается, что и определения и результаты верны в обоих слу-
чаях1). Если в одном и том же утверждении речь идет о несколь-
ких векторных пространствах, то предполагается (если не сказано
противное), что все они имеют одно и то же поле скаляров.
Комплексное векторное пространство Е может также рассматри-
ваться и как действительное векторное пространство, у которого
скаляры принадлежат R; когда необходимо различать эти простран-
ства, мы говорим, что это действительное векторное пространство Ео
является базисным для комплексного векторного пространства Е.
Если Е имеет конечную размерность п над С, то Ео имеет размер-
ность 2п над R.
Норма в векторном пространстве Е есть отображение (обычно
записываемое в виде х-+ ||х||, причем, если потребуется, знак ||... ||
сопровождается индексами) пространства Е в множество R действи-
тельных чисел, обладающее следующими свойствами:
(I)	||х|| ^>0 для каждого элемента х^Е.
(II)	Отношение ||х|| =0 эквивалентно отношению х = 0.
(III)	||Хх)| = |Х| • ||х|| для любого элемента хб-Е и любого ска-
ляра X.
(IV)	||х + у||< ||х|| + ||у|| длЯ любой пары элементов простран-
ства Е {неравенство треугольника).
(5.1.1) Если х—> ||х|| — норма в векторном пространстве Е,
то d(x, у) = ||х — у||—расстояние в Е, обладающее тем свой-
ством, что d{x-\-z, y-^-z) = d{x, у) и d(kx, Xy)==|X|d(x, у)
для любого скаляра X.
Проверка аксиом из (3.1) тривиальна.
Нормированное пространство есть векторное пространство
с заданной в нем нормой. Такое пространство всегда можно рассма-
тривать как метрическое пространство с расстоянием d{x, у) —
||х — у||. Банахово пространство есть полное нормированное
пространство.
Если Е — комплексное нормированное векторное пространство,
то х||х|| является также нормой и на базисном действительном
векторном пространстве Ео, и потому метрические пространства Е
и Ео тождественны. Если Е— банахово пространство, то и Ео — ба-
нахово пространство.
Примеры норм. (5.1.2) Пространства, рассмотренные
в (3.2.1)—(3.2.4), являются действительными векторными простран-
) Произведение скаляра X и вектора х записывается и в виде Хх и
в виде хХ. Нейтральный элемент аддитивной группы векторного простран-
ства обозначается символом 0.
но
Гл. 5. Нормированные пространства
ствами, а введенные в них расстояния получены из норм указанным
в (5.1.1) способом. Определенные в примерах (3.2.1)—(3.2.3) нор-
мированные пространства на основании (3.20.16) и (3.14.3) являются
полными и потому банаховыми. Пространство, рассмотренное в при-
мере (3.2.4), будет специально изучаться в гл. 7 и, как мы увидим,
также является банаховым.
(5.1.3)	Новые примеры получаются, если всюду в предыдущих при-
мерах заменить действительные числа комплексными [и в примере
(3.2.2) выражение (xz— yz)2 заменить на |xz— yz|2].
(5.1.4)	Пусть I — [a, Z>] — замкнутый ограниченный промежуток в R
и E = ^r(/) — множество всех действительных непрерывных в I
функций. Покажем, что Е— векторное пространство ' (где f-{-g
и К/ соответственно являются отображениями t f (/) -|- g (t) и
t-+\f(t)). Если мы запишем
»
11/111 = f l/(*w.
а
т0 11/111 будет нормой в Е. Единственной аксиомой, проверка ко-
торой нетривиальна, является аксиома (И), но она следует из тео-
ремы о среднем значении (см. гл. 8). Можно доказать, что Е—не-
полное пространство (см. задачу 1).
Другие важные примеры норм см. в 5.7 и в гл. 6.
(5.1.5)	Если Е—действительное (соответственно комплексное)
нормированное пространство, то отображение (х, у)->х4~У
равномерно непрерывно в Е\Е, отображение (X, х)->Хх не-
прерывно в R X Е (соответственно в С X £), отображение
х->\х равномерно непрерывно в Е.
Доказательства проводятся по той же схеме, что и доказатель-
ства утверждений (4.1.1) и (4.1.2). Например, чтобы доказать непре-
рывность отображения ^, х)—>Хх в точке (Хо, х0), воспользуемся
формулой
|| Хх Хохо|| = ||Хд (х— х0)-|- (X — Хо) х0-|-(Х —Хд) (х — х0)||
P-о I • IIх *oll + Р — \)| • II хо11 |Х-\)| • IIх,-х0 ||.
Как следствие из (5.1.5) получим, что любой сдвиг x->a-j~x и
любое гомотетическое отображение х—>\х (X 0) являются го-
меоморфизмом пространства Е на себя, потому что обратное
отображение снова есть сдвиг (соответственно гомотетическое ото-
бражение).
1. Нормированные и банаховы пространства
111
Задачи
1.	Пусть 7 = [0,1] и пусть Е—нормированное пространство, опреде-
ленное. в (5.1.4).
а)	Пусть fn для любого п > 3 есть непрерывная функция, определенная
в 7 и удовлетворяющая следующим условиям: /„ (7) = Гпри 0 < t < 1/2,
/л(7) = 0 при 1/21/п<7< 1 и fn(t) имеет вид а„74-?л на промежутке
[1/2,1/2-[- 1/и], (где ап и —константы, которые следует подобрать). По-
кажите, что fn есть последовательность Коши в Е, которая не сходится.
[Покажите, что если бы у последовательности fn в Е существовал
предел g, то необходимо должно было бы быть |gr(7)=l при 0< t 1/2 и
g (7) = 0 при 1/2 < 7< 1, что несовместимо с непрерывностью £.]
Ь)	Покажите, что расстояние в Е, определенное в (5.1.4), топологически
не эквивалентно расстоянию, определенному в (3.2.4).
[Приведите пример последовательности в Е, сходящейся к 0 при рас-
стоянии ||/—g’lli, но не имеющей предела при расстоянии, определенном
в (3.2.4).]
2.	Пусть А и В — два множества в нормированном пространстве Е.
Обозначим через А 4- В множество всевозможных сумм а 4- Ь, где а € Л,
а)	Покажите, что если одно из множеств Л и В открыто, то и Л 4- В
открыто.
Ь)	Покажите, что если и Л и В компактны, то и Л 4-В компактно.
[Примените (3.17.9) и (3.20.16).]
с)	Покажите, что если Л компактно и В замкнуто, то Л 4-В замкнуто.
d)	Приведите пример двух замкнутых множеств Л и В в R, для которых
Л 4-В не замкнуто [ср. пример, приведенный перед (3.4.1)].
3.	Пусть Е — нормированное пространство.
а)	Покажите, что замыкание открытого шара в Е есть замкнутый шар
с тем же центром и того же радиуса, внутренность замкнутого шара в Е
есть открытый шар с тем же центром и того же радиуса и граница откры-
того шара (или замкнутого шара) в Е есть сфера с тем же центром и
того же радиуса (см. задачу 4 § 3.8).]
Ь)	Покажите, что открытый шар В (О; г) гомеоморфен Е.
[Рассмотрите отображение х -> гх/(\ 4-1| х ||).
4.	Сегмент в нормированном пространстве В есть образ промежутка [0,1]
пространства R при непрерывном отображении t->ta-J-(l—t)b, где а£Е
и b£E', а и b называются концами этого сегмента. Сегмент компактен и
связен. Ломаная линия в Е есть такое множество Ьс.Е, что существует
конечная последовательность (х/)0</<л точек пространства Е, обладающая
тем свойством, что L есть объединение сегментов В/ с концами xi и x/+t
при	п—1. Говорят, что последовательность (х/) определяет лома-
ную линию L (данная ломаная линия, вообще говоря, может определяться
бесконечным числом различных конечных последовательностей). Если
Л — множество в пространстве Ена, b — две точки множества Л, то
говорят, что а и b соединены в А ломаной линией, если существует такая
112	Гл. 5. Нормированные пространства
последовательность	что а = ха, b = хп и что ломаная L, опре-
деляемая этой последовательностью, содержится в А.
Если любые две точки множества А могут быть соединены в А ломаной
линией, то А связно. Покажите, что, наоборот, если Ас£ — связное откры-
тое множество, то любые две точки множества А могут быть соединены
в А ломаной линией.
[Докажите, что множество тех точек у g А, которые могут быть соеди-
нены в А ломаной линией с данной точкой а б Л, одновременно открыто
и замкнуто в Л].
5.	Линейное многообразие V в действительном векторном простран-
стве Е есть множество вида а М, где М — линейное подпространство
пространства Е; размерность (соответственно коразмерность) многообра-
зия V есть, по определению, размерность (соответственно коразмерность ')
подпространства М. Если b V и V имеет конечную размерность р (соот-
ветственно конечную коразмерность q), то наименьшее линейное многообра-
зие W, содержащее и Ь и V, имеет конечную размерность р -f-1 (соответ-
ственно конечную коразмерность q — 1).
Пусть Л — открытое .связное множество в действительном нормированном
пространстве Е и пусть (Vn) — счетная последовательность линейных
многообразий в Е, каждое из которых имеет коразмерность 2. Покажите,
что если В — объединение всех Vn, то множество ЛП(£\В) связно.
[Воспользуйтесь задачей 4; докажите, что если L — ломаная линия,
соединяющая в Л две точки а и Ь множества Л[](£\В), то существует
другая ломаная линия L', „близкая" к L и содержащаяся в Лр(£\В).
Чтобы это доказать, заметьте, что ввиду (2.2.17) для любой точки хб£\В
множество тех точек у g Е, для которых сегмент с концами х и у не пере-
секает ни одного из многообразий У„, плотно в £.]
В частности, если размерность пространства £>2 и D — счетное мно-
жество в Е, то множество ЛП(£\£>) связно.
6.	Покажите, что если Е — действительное нормированное пространство
размерности >2, то никакое непустое множество, открытое в Е, не может
быть гомеоморфно никакому подмножеству действительной прямой R.
[Примените задачу 5.]
7.	а) Покажите, что никакой шар в нормированном пространств Е не
может содержать линейного многообразия (задача 5) размерности > 0.
Ь) Пусть (Еп) — бесконечная последовательность нормированных про-
странств размерности > 0. Покажите, что в метрическом пространстве
ОО
Е = JJ Еп не существует такой нормы, что расстояние |[ х — у || топологи-
л = 0
) Коразмерностью (фактор-размерностью) подпространства М cz Е на-
зывают размерность алгебраического дополнения в £ к подпространству М.
См., например, Райков Д. А., Векторные пространства, Физматгиз, М.,
1962. — Прим. ред.
2. Ряды в нормированном пространстве	ИЗ
чески эквивалентно расстоянию, определенному в задаче 7 § 3.20 (где
в качестве dn взято ограниченное расстояние в Еп, эквивалентное расстоя-
нию, определяемому в Еп нормой этого пространства).
[Примените а).]
2.	Ряды в нормированном пространстве
Пусть Е— нормированное пространство. Пара последовательно-
стей (^л)л>0. ($л)л>о называется рядом, если их элементы хп, sn
при любом га связаны соотношениям:! sn = х0 4~	4- ... -]-хп, или,
что равносильно, xQ = sQ, xn — sn — sn_l при ra^l. Элемент хп
называется п-м членом, a sn — п-й частичной суммой ряда. Рас-
сматриваемый ряд часто называется рядом с общим членом хп
(СО
или иногда рядом ~^хп, что следует
п = 0
признать неудачным^.
Ряд (х„) называется сходящимся к s, если lim sn == s~, в этом
Л->оо
случае s называют суммой ряда и пишут $ = х04- ... 4~
4-х„4- ... или в = 2*я- Величина rn = s— sn называется п-м
я = 0
остатком ряда; гп есть сумма ряда, имеющего А-м членом xn+k',
из определения следует, что lim гп = 0.
Л->оо
(5.2.1)	(Критерий Коши) Если ряд с общим членом хп схо-
дится, то для любого е > 0 существует такой номер п0, что
при п^>п0 и р~^>0 имеет место неравенство
llsn+p —	— llxn+l+ ••• 4~хл+р1К£-
Наоборот, если выполняется это условие и если Е—пол-
ное пространство, то ряд с общим членом хп сходится.
Это — лишь приложение критерия Коши для последовательности
(s„) (см. 3.14).
В качестве очевидного следствия из (5.2.1) получаем, что если
ряд (х„) сходится, то lim хп — lim ($„ — $„_1) = 0. Но это необхо-
П->ОО	П~>СО
димое условие ни в коем случае не является достаточным.
(5.2.2)	Если ряды (хп} и сходятся и имеют суммы s и s',
то ряд (хл4-.х^) сходится к сумме s-\-s', а ряд (Ххл) для
любого скаляра X— к сумме Xs.
Сразу следует из определения и из (5.1.5).
3 Ж. Дьедонне
114______________Гл. 5. Нормированные пространства____________
(5.2.3)	Если (хл) и — ^а таких ряда, что х'п = хп при
всех п, за исключением конечного их числа, то оба они схо-
дятся или оба расходятся.
В самом деле, ряд (х'п— х^ сходится, так как его члены при
всех п, за исключением конечного их числа, равны 0.
(5.2.4)	Пусть (Лл)— строго возрастающая последовательность
целых чисел 0 и йо = О. Если ряд (хп) сходится к s и если
уп — 2 хр’ т0 Ря& (Уп) также сходится к s.
P = kn
П
Это сразу следует из равенства 2 V/ = 2 xi и из (3.13.10).
,/»о	/=о
Задачи
1)	Пусть (ап) — произвольная последовательность в нормированном про-
странстве Е. Покажите, что существует такая последовательность (х„) то-
чек пространства Е, что Иш х„ = 0, и такая строго возрастающая последо-
Л->со
вательность (Ал) целых чисел, что = х0 + xi +  • • + xkn ПРИ каждом п.
2.	Пусть а — биективное отображение N на себя и пусть <р(п) для ка-
ждого п означает наименьшее число таких промежутков [а, 6]_ в N, что
объединение этих промежутков есть а ([0, п]).
а)	Предположим, что ? ограничено в N. Пусть (хп) сходящийся ряд
в нормированном пространстве Е. Покажите, что ряд (х,^) сходится в Е
со	оо
И ЧТО 2 *Л = 2 %а(л)-
П = 0 '	/! = 0
Ь)	Предположим, что ? неограничено в N. Постройте сходящийся ряд
(хп) действительных чисел, для которого ряд (хв^) не сходится в R.
[Индукцией по k постройте строго возрастающую последовательность (mk)
целых чисел, обладающую следующими свойствами: 1°) если nk — наиболь-
ший элемент множества а ([0, m*J), то [0, nftJ содержится в а ([0, тй+]]);
2°) ? (mft) > * +1- Затем при пк < и < л^+1 определите хп так, чтобы хп'= 0
при всех п, за исключением 2k подходящим образом выбранных значений п,
при которых хп поочередно равно 1/А или — 1/A.J
3.	Пусть (хл) — сходящийся ряд в нормированном пространстве Е. Пусть
а — биективное отображение множества N на себя и пусть
г(я) = |’(п) —я| -sup ||хот||.
m >л
Покажите, что если Иш г(л) = 0, то ряд (xotnx) сходится в Е, и что
Л->оо	* '
оо	оо
2 Х п = 2 Ха(лУ
п=0	л=0
[л	л
Оцените разность 2 %<?(й)— 2 ПРИ больших п-
*=0	й=0
3. Абсолютно сходящиеся ряды	115
4.	Пусть (хтп) (т>0, п>0)— двойная последовательность точек нор-
мированного пространства Е. Допустим, что:
1°) ряд хт0-\- хт1 + .. • + хтп + ... при каждом т > 0 сходится в £;
пусть Уш — его сумма и гтп = хтп-^ хт, п+1 +
2°) ряд r0n4-rln4- ...	... при каждом и>0 сходится в Е\
пусть tn— его сумма.
а)	Покажите, что ряд хап + *in+ ••• +*тл+ ••• ПРИ каждом п>0
сходится; пусть zn — его сумма.
ОО	со
Ь)	Для того чтобы имело место равенство 2 Ут = 2 гт необходимо
т=0	л=0
и достаточно, чтобы lim /„ = 0.
л->оо
5.	а) Покажите, что ряд	2	—2-, где т — целое число > О,
л>1, п-=(=т.
сходится и его сумма равна — 3/4т2.
[Разложите дробь 1/(т2— №).]
Ь) Пусть итп—\1(тг — п2) при т Ф п и ипп — 0. Покажите, что
ОО / ОО	\	СО / 00	\
2 ( У	итп j —	У ( 2 итп ] Ф
т~0 \л = 0	/	л=О\лг=О /
6.	Если f — функция, определенная в NXNc значениями в метриче-
ском пространстве, то обозначим через lim f(m,n) предел функции f
т-±со, п-^со	__
(если он существует) в точке (-|- со, со) пространства R X R по подпро-
странству N\N (3.13). Пусть (хот„)—двойная последовательность действи-
тельных чисел и smn =	2	***•
/2<Л1, А<Л
а)	Если предел lim smn существует, то lim х^л = 0- При-
т->оо, Л~>со	т->оо, я<»оо
ведите пример, в котором хпт = хтп, xm,in = — хш>2„+1 = — xm+l, гп при
т > 2п 1, х2„, 2п = 0, предел lim smn = 0 и ни один из рядов
•*то4~*л>1 + +лй1л+ •> х0лН-л1л_1_ +хтл+ не СХОДИТСЯ.
Ь)	Приведите пример, в котором хтп — 0 при всех тип, кроме
)(	СО	оо
так что все ряды 2ллгл и 2 хтп схо-
л = 0	т = 0
оо	ео
> X хтп = 2 хтп = 0 при всех т и п, но предел lim sm„
"о	n->°°
не существует.
3.	Абсолютно сходящиеся ряды
(6.3.1)	Для того чтобы ряд (хп) положительных чисел схо-
дился, необходимо и достаточно, чтобы для некоторой воз-
растающей последовательности (Ал) целых чисел ^>0 последо-
3*
116
Гл. 5. Нормированные пространства
вательность частичных сумм была ограничена сверху,
СО
в этом случае сумма s = 2xn равна sup .
п = 0	п
Предположение о том, что хп~^>0, эквивалентно условию
sn_i^.sn, и потому результат сразу следует из (4.2.1).
Ряд (х„) в банаховом пространстве Е называется абсолютно
сходящимся, если сходится ряд с общим членом
(5.3.2)	В банаховом пространстве Е абсолютно сходящийся
II 00	оо
2 хп	Il хп II •
I /? = 0	л = 0
По предположению' для любого е > 0 существует такой номер га0,
что при га(>га0 и при любом />^>0 имеем ||хя+1|| + •• +
+ 1К+р1Г<е; поэтому
11хл+1+ ••• + хи+р1Ке-
Отсюда в силу (5.2.1) следует сходимость ряда (х„). Кроме того,
||х0 + ... + Хл|| ||х0|| 4- ... -|- ||хл|| при любом П. Тогда нужное
неравенство следует из принципа продолжения неравенств (3.15.4).
(5.3.3)	Если (х„) — абсолютно сходящийся ряд и а—биектив-
ное отображение множества N на себя, то (ул), где уп = х1!(П),
есть абсолютно сходящийся ряд и
СО
2 хп = 2 у
п=0	п=0
п
(коммутативность абсолютно сходящихся рядов).
п	п
Пусть $„=2хь> s'„— 2 Уь- Пусть для каждого п число т —
k = 0
наибольшее в множестве а([0, га]). Тогда, по определению,
пт	,
У ||уй|| <4 211^11 и из (5.3.1) следует, что ряд (ул) абсолютно схо-
*=о	i=0
дится. Пусть, далее, для произвольного е > 0 номер га0 выбран так,
что ||х„+1|| 4- ••• + IIхп+рII <8 ПРИ «>«о и Р>0. Если тогда
т0 — наибольшее число в а-1 (]0, га0]), то при п^т0, р^>0 имеем
1|УП+1Н + ••• -Н|Уп+р1Ке- Разность —s„o является суммой
членов Xj с номерами j">nQ, поэтому — 5Ло||^£- Следовательно,
при га(>га0 и га т0 выполняется неравенство ||s^ — sn || Зе, а это
ОО	оо
доказывает, что 2 хп ~ 2 Уп-
л=0	п=0
Пусть А — произвольное счетное множество. Мы будем говорить,
что семейство элементов банахова пространства Е абсолютно
3. Абсолютно сходящиеся ряды
117
суммируемо, если для некоторого биективного отображения <р мно-
жества N на А ряд (хт(П)) абсолютно сходится. Из (5.3.3) следует,
что это свойство не зависит от выбора биективного отображения ср
СО
и что можно определить сумму семейства (хя)я_д как 2 хч(п)'>
п=0
будем обозначать ее также символом 2 хт Так как любое счетное
а£А
множество ScE можно рассматривать как семейство (с S в каче-
стве множества индексов), то мы можем также говорить об абсо-
лютно суммируемом (счетном) множестве в пространстве Е и
об его сулг.ие.
(5.3.4)	Для того чтобы счетное семейство (ха)а^А элементов
банахова пространства Е было абсолютно суммируемо, необ-
ходимо и достаточно, чтобы конечные суммы 2 II М (-/с=Л
tt£ J
и конечно) были ограничены. В этом случае для любого е>0
существует такое конечное подмножество НсА, что каково
бы ни было конечное подмножество КсА, для которого
Н(\К=0, имеет место неравенство У1 ||хя|| а для любого
o-tK
конечного подмножества ЬтэН множества А — неравенство
I 2*а— 2*я|<2£-
|| «ел	II
Первые два утверждения сразу следуют из определения и из
(5.3.1). Далее, для любого конечного подмножества ЬгзН множе-
ства А мы можем написать L — H\] К, где Н [\К = 0, поэтому
II 2ха— Zj Ха II -С е- Из определения суммы 2 х« следует (после
||«€д	||	«ел
того, как А упорядочено в соответствии с произвольным биектив-
ным отображением множества N на А), что 2 ха—	-!MsCe и>
||а£А	«£//	||
следовательно, || 2 х« — 2 xj<2e.
II «6 А «£1	||
(5.3.5)	Пусть (хя)я£Д—абсолютно суммируемое семейство эле-
ментов банахова пространства Е. Тогда для любого множе-
ства В с А семейство (ха)а^в абсолютно суммируемо и
2 1К11<2 ||ХЯ||.
а£В	а С А
Если В конечно, то результат немедленно следует из определе-
ния. Если В бесконечно, то 2 llx«ll 2 11х«11 Для каждого конеч-
а£ J	а£А
ного подмножества Jc.B, и результат следует из (5.3.4).
118
Г л. 5. Нормированные пространства
(5.3.6)	Пусть (хД^а—абсолютно суммируемое семейство эле-
ментов банахова пространства Е. Пусть (В„)— такая беско-
нечная последовательность непустых подмножеств А, что
A = {jBn и ВрГ\В9= 0 при р =/= q. Пусть, далее, zn = У хЛ.
П	а^Вп
Тогда ряд (zn) абсолютно сходится и
/1 = 0	а£А
(ассоциативность абсолютно сходящихся рядов).
Пусть задано произвольное е > 0 и пусть п — любое целое число
0. Тогда в силу (5.3.2) для каждого k п существует конечное
подмножество Jkc.Bk, такое, что ||zft||^ 2 llxJH“e/(ft+!)• Если
л	п
мы положим J= то будем, таким образом, иметь || zk\]
л=о	"о
2 1Ш1 ~Н < 2 IKII +е’ и 113 (5.3.1) тогда следует, что ряд (z„)
a£j	а£А
абсолютно сходится. Пусть, далее, Н — такое конечное подмноже-
ство А, что для любого конечного подмножества АГсД, для кото-
рого И (]К — 0, выполняется неравенство 2 IIхаII	е> и поэтому
«с к
для любого конечного подмножества LccA, содержащего Н, нера-
венство I 2 ха—2 2е 1см- (5.3.4)]. Пусть п0 — наибольшее
|| а£ A	jj
целое число, для которого И П ВПа ф 0, и пусть п — произвольное
целое число я0. Пусть Jk для каждого k п — конечное под-
множество Вк, содержащее Н(]Вк и такое, что для любого конеч-
ного подмножества Lkc.Bk, содержащего Jk, выполняется неравен-
п
СТВО
Zk — 2 Ха
^Lk
мы имеем
<£/(« + О (5.3.4).
Положим L = JJ Lk. Тогда
* = 0
и, так как LcdH, из определения Н
п
Zk
следует
п	II
2 zk— 2ха -^Зе, что и завершает доказательство.
*»0 а£А II
Существует аналогичный (и более простой) результат, относя-
щийся к случаю, когда А разлагается на конечное число под-
множеств Bk (1<А<га). В этом случае справедливо и обратное
к (5.3.6) утверждение, а именно: если каждое из семейств (ха)а^в
абсолютно суммируемо, то абсолютно суммируемо и семейство
(xa)agA. Доказательство следует из критерия (5.3.4) индукцией по п.
3. Абсолютно сходящиеся ряды
119
Задачи
1. Пусть (dn) такая последовательность действительных чисел rf„>0,
(л	\
т. е. lim У dk = + с° ) Что можно сказать о
л->°°л=о	/’
сходимости следующих рядов:
&п . dn . dn . dn
1 + ^л ’ 1+ л^л’ l + n2d„’ 1 + ^„
2. Пусть («„) — сходящийся (но не абсолютно сходящийся) ряддействи-
ОО
тельных чисел и пусть s = У ип. Покажите, что для каждого числа s' > s
л=0
существует такое биективное отображение а множества N на себя, что
СО
а (п) = п для всех п, для которых и„ > О, и что У, иа (n) = s'.
л = 0
[По индукции покажите следующее: для каждого п существует такое
биективное отображение ал множества N на себя, что ап (k) = k для всех k,
для которых uk 0, и, если обозначить = иа существует индекс р,-,
обладающий тем свойством, что при £ > рп
Биективное отображение ап+1, кроме того, таково, что а„+1 (к} = а„ (£) для
всех к, для которых а„ (£) < рп, и всех к, для которых ик < — 1/п.]
3. Покажите, что для каждого конечного семейства (-*i)jg/ точек
пространства R" (с нормой || х || = sup | |, где х = (5й)1<й<п) имеет
место неравенство
2 II||<2п • sup II У Л/Ц.
[Сначала рассмотрите случай п — 1.]
4.	Ряд (хл) в нормированном пространстве Е называется коммутативно
сходящимся, если для каждого биективного отображения а множества N
на себя ряд (ха <я)) сходится.
а)	Покажите, что, для того чтобы сходящийся ряд (х„) был коммута-
тивно сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для каждого е > О
существовало такое конечное подмножество J множества N, что для любого
подмножества //czN, для которого	выполнялось бы неравенство
СО
II У хп || е. Если это условие выполняется, то сумма У х„ („) не зави-
II п£Ц ||	«=о
сит ОТ а.
[Доказательство последнего утверждения и достаточности условия про-
водится так же, как в (5.3.3). Чтобы доказать, что условие необходимо,
допустите противное. Тогда существует такое а > 0 и бесконечное число
120
Гл. 5. Нормированные пространства
попарно не пересекающихся подмножеств /Z^czN (Л = 1, 2, ...), для кото-
У, хп II > а при каждом пользуясь этим, определите такое а, что
n^Hk II
рых
ряд (х0 („)) расходится.]
Ь)	Допустим, что ряд (хл) обладает тем свойством, что для любой
строго возрастающей последовательности (лй) целых чисел > 0 ряд (хл^)
сходится. Покажите, что ряд (хл) является коммутативно сходящимся.
В предположении, что Е — полное пространство, докажите обратное.
[Примените а)].
с)	Пусть Е — R". Покажите, что в Е любой коммутативно сходящийся
ряд абсолютно сходится.
[Воспользуйтесь задачей 3 и критерием из а).]
d) Распространите ассоциативное свойство (5.3.6) на коммутативно схо-
дящиеся ряды.
5.	Пусть Е — действительное векторное пространство, состоящее из всех
бесконечных последовательностей х= (5л)л>0 действительных чисел, удо-
влетворяющих условию lim 5Л = 0. Для любой точки х С Е положим [[ х || =
Л->со
= sup I |.
л
а)	Покажите, что ||х|| есть норма в £ и что Е с этой нормой является
банаховым пространством (пространство (с0) Банаха).
Ь)	Пусть ет — последовательность (8mn)n>0, где 6тл = 0, если т^п,
ОО
И Ътт = 1. Покажите, что для каждой точки х = ($л) £ Е ряд У 1пеп ком-
п = 0
мутативно сходится в Е и что его сумма равна х. Приведите пример, когда
этот ряд сходится не абсолютно.
4.	Подпространства и конечные произведения
нормированных пространств
Пусть Е—нормированное пространство и F—векторное под-
пространство пространства Е (т. е. подмножество, обладающее
тем свойством, что для любой пары а и 3 скаляров из x£F и y£F
следует ах {Зу £ F). Сужение на F нормы пространства Е, оче-
видно, является нормой в F, определяющей в F расстояние и топо-
логию, индуцированные расстоянием и топологией пространства Е.
Когда мы будем говорить о „подпространстве” пространства Е, мы
будем, если не оговорено противное, подразумевать векторное
его подпространство с э т о й индуцированной нормой.
Если Е—банахово пространство, то любое замкнутое подпро-
странство FczE в силу (3.14.5) является банаховым пространством.
Наоборот, если подпространство F нормированного пространства Е
является банаховым пространством, то в силу (3.14.4) Р замкнуто
в Е.
4. Конечные произведения нормированных пространств
121
(5.4.1)	Если F — векторное подпространство нормированного
пространства Е, то его замыкание F в Е есть векторное
подпространство.
По предположению отображение (х, у) —>х-\-у произведения
EXE в Е переводит F X F в F• и поэтому в силу (3.11.4) ото-
бражает F X в F- Так как ввиду (3.20.3) F X F = Е X F, то из
x£F, у£Р следует x-\-y£F. Точно так же, пользуясь непрерыв-
ностью отображения (X, х)—>Хх, показываем, что для любого ска-
ляра X из x£F следует Xx£F.
Мы будем говорить, что множество А в нормированном про-
странстве Е тотально, если (конечные) линейные комбинации
векторов из А образуют подпространство, плотное в Е. Мы будем
говорить, что семейство (ха) тотально, если тотально множество
его элементов.
Пусть Ej и Е2— два нормированных пространства; рассмотрим
векторное пространство — произведение Е = Ех X Е2 [где (хр х2)+
-|-(ур y2) = (Xj “ЬУр х2~\~Уг) и х2) = (Ххр Хх2)]. Немедленно
проверяется, что отображение (хр х2) -> sup (|| хг ||, ||х2||) является
нормой в Е, определяющей в Е расстояние, соответствующее рас-
стояниям в Ej и Е2, и, следовательно, топологию пространства-
произведения Ег X ^2’ как оно определено в 3.20. „Естественные"
вложения Xj—>(хр 0) и х2—>(0, х2) представляют собой изометрии
пространств Е, и Е2 соответственно на замкнутые подпространства
е{=Е1Х {0} и Ег = {0} X ^2 пространства Е (3.20.11), и Е есть
прямая сумма своих подпространств Ej и Ег, часто отождествляемых
соответственно с Ех и Е2: Е = Ех -|- Е2.
Наоборот, допустим, что нормированное пространство Е есть
прямая сумма двух векторных подпространств Fp Е2. Каждый
элемент х £ Е может быть единственным образом записан в виде
х = рг (х) -|- р2 (х), где Р1(х)£Е1, p2(x)£F2 и pv р2 являются
линейными отображениями пространства Е соответственно в Ft и F2
(„проекциями" пространства Е на Fj и F2). „Естественное" отобра-
жение (ур у2) -> У1 -р у2 пространства-произведения Fx X ?2 на Р
линейно, биективно и в силу (5.1.5) непрерывно, но не обязательно
взаимно непрерывно (см. задачу 2 § 6.5).
(5.4.2)	Для того чтобы отображение (ур Уг) У1Ч-У2 было
гомеоморфизмом пространства Fx X ?2 на Р< необходимо и
достаточно, чтобы одно из линейных отображений рх, р2было
непрерывно.
Заметим, что так как х = pY (х) р2 (х), то, если непрерывно
одно из отображений и р2, непрерывным будет и другое. Ото-
бражение x->(pj(x), р2(х)) пространства Е на Ft X Р\ является
122
Г-л. 5. Нормированные пространства
отображением, обратным отображению (ур у2) -> -f--у2; поэтому
заключение следует из (3.20.4).
В случае когда выполняется условие утверждения (5.4.2), Е
называется топологической прямой суммой пространств Fx и F2.
Подпространство Fc.E, для которого существует такое другое под-
пространство О, что Е есть топологическая прямая сумма F и О,
называется топологическим прямым слагаемым пространства Е,
а любое подпространство О, обладающее указанным свойством,
называется топологическим дополнением подпространства F.
Любое топологическое прямое слагаемое обязательно замкнуто
[в силу (3.20.11)], но могут существовать замкнутые подпространства,
не являющиеся топологическими прямыми слагаемыми (хотя любое
подпространство всегда имеет в Е алгебраическое дополнение).
Примеры таких пространств см. в книге Бурбаки [6].
Определения и результаты относительно произведения двух нор-
мированных пространств немедленно распространяются (индукцией
по п) на случай произведения конечного числа п нормированных
пространств.
5.	Критерий непрерывности полилинейного отображения
(5.5.1)	Пусть Ех.....Еп — п нормированных пространств,
F — нормированное пространство, и — полилинейное отобра-
жение X ... X fn в F. Для того чтобы и было непрерывно,
необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число
а > 0, что для любой точки (хр .... xn)^£j X +Х • •  X
IIх2.........х„)Ц<allxJI • ||х2|| ... ||х„||.
Проведем доказательство для случая « = 2.
Достаточность. Чтобы доказать, что и непрерывно в про-
извольной точке (ср с2), напишем:
U (Хр Х2) — U (Ср С2) = U (Х; — Сх, Х2) + U (Ср х2 — с2).
Отсюда следует, что
||«(Хр х2) — и(сх, Сг)|| <л(||Х1 —С1|| • ||*2|| + |kill • II*2 — М)•
Пусть В — любое число, удовлетворяющее условиям 0<8 < 1,
ll*i —С11К8 и 11*2 — М<8 «• значит, ||*2||< ||с2|| + 1. Тогда
||ц(*р х2) —«(Ср с2)||<0(11^11 + 11^11 +1)6,
где правая часть произвольно мала вместе с 6.
Необходимость. Если и непрерывно в точке (0, 0), то
в Ех X Е2 существует такой шар В : sup(||x1||, || х21|) + г, что из
(Хр х2)£В следует ||«(хр х2)||<; 1..Пусть теперь (хр х2)—про-
извольная точка. Допустим сначала, что Xj =# 0, х2 =/= 0. Тогда,
полагая гх — г*1/||*1||» г2 = гх2/||х2||, получим jlzjll = ||z2|| —г и,
5. Критерий непрерывности полилинейного отображения 123
следовательно, ||«(Zj, z2)||<; 1. Но u(zv г2)=г2и(хг, х2)/||х1|| • ||х2||
и, значит, ||и(Х], х2|| < allXjH • ||х2||, где а—1/r2. Если же Xj—О
или х2 —О, то «(хр х2) = 0 и поэтому предыдущее неравенство
остается справедливым.
(6.5.2)	Пусть и — непрерывное линейное отображение банахова
пространства Е в банахово пространство F. Если (хп) —
сходящийся (соответственно абсолютно сходящийся) ряд в Е,
то (и(хп))—сходящийся (соответственно абсолютно сходя-
щийся) ряд в F и ^я(хп)—и (2хЛ
я	\ я /
Сходимость ряда(«(х„))и равенство ^и(хп) = и (Ухл\ сразу
следуют из определения непрерывного линейного отображения [см.
(3.13.14)]. Из (5.5.1) следует, что существует такая константа а > О,
что J|«(xn)||< <z[[x„[|, и поэтому в силу (5.3.1) ряд (и (х„)) абсо-
лютно сходится, если абсолютно сходится ряд (хп).
(5.5.3)	Пусть Е, F и Q — три банаховых пространства и
и — непрерывное билинейное отображение произведения E^(F
в G. Если (хп) — абсолютно сходящийся ряд в Е и (ул)—абсоЛ
лютно сходящийся ряд в F, то семейство (и(хт, уп)) абсо-
лютно суммируемо и
2 а(Хт< Уп)=ч(^Хп, 2
т, п	\ п п /
На основании критерия (5.3.4) нам нужно доказать, что для
любого р суммы У, || и (хт, уп) || ограничены. Но в силу (5.5.1)
существует такое а > 0, что ||и(хт, у„)|| а ||хт|| • ||уп||, поэтому
2 МИ О S 11-М • ИМ =
т<р, л<р	яг<р, л<р
\я=0	/ \л=0	/
и из предположений относительно (хп) и (у ) следует, что правая
часть ограничена. Кроме того, из (5.3.6) и (5.5.2) следует, что
ОО / СО	\ со
2 М = 2 (2 и(хт, Уп))= 2 U(xm, s') — u(s, s').
т, п	т=0\п=*0	/	т=0
где $ = 2х„, $' = 2у„.
п	п
(5.5.4)	Пусть Е—нормированное пространство, F — банахово
пространство, О — подпространство, плотное в Е, и f — не-
прерывное линейное отображение подпространства О в F.
Тогда существует единственное непрерывное линейное отобра-
жение f пространства Е в F, являющееся продолжением f.
124	Гл. 5. Нормированные пространства
Так как ||/(х) —	= \\f(x — у)||< а • ||х — у][, из (5.5.1)
следует, что / равномерно непрерывно в G. Поэтому в силу (3.15.6)
существует единственное непрерывное продолжение / отображения
/ на Е. Из (5.1.5) и принципа продолжения тождеств (3.15.2) сле-
дует, что f линейно.
Задачи
1.	Пусть и — отображение нормированного пространства Е в нормиро-
ванное пространство Г, обладающее тем свойством, что и (х-ру) = «(•*) + и(у)
для любой пары точек х, у пространства Е и что и ограничено в шаре
В (0; 1)с£. Покажите, что и линейно и непрерывно.
[Рассмотрите отображение х->||и(х)|| пространства Е в R и убедитесь
в том, что || и (х + у) || < || и (х) || 4- || а (у) || и и(гх) = га(х) для рациональ-
ных г, для доказательства того, что и (кх) — ки (х) при любом действитель-
ном X, воспользуйтесь тем же рассуждением, что и в задаче 1 § 4.2.]
2.	Пусть Е, F—два нормированных пространства и и — линейное отобра-
жение Е в F. Покажите, что если для каждой последовательности (хл) в про-
странстве Е, для которой lim хп = 0, последовательность (и (хп)) в F
Л->со
ограничена, то и непрерывно.
[Проведите доказательство от противного.]
3.	а) Пусть а и b — две точки нормированного пространства Е. Пусть
В] — множество всех точек х££, для которых ||х — д|| = ||х—b || =
= || а— b || /2, а Вп, п> 1 —множество всех точек х^Вп_х, для которых|| х—у || <
<8(Вл_])/2 для всех у^Вп_х (где 8(4) — диаметр множества А). Покажите,
что 8 (Вл)<|8 (Вл_])/2 и что пересечение всех Вп есть точка (а4-Ь)/2.
Ь) Выведите из а), что если /—изометрия действительного нормиро-
ванного пространства Е на действительное нормированное пространство F,
то / (х) = и (х) + с, где и — линейная изометрия и с € Л
4.	Назовем прямоугольником bN/N произведение двух промежутков
множества N. Для любого конечного множества HcEN X N, пусть ф (Н) —
наименьшее число прямоугольников, объединением которых является Н.
Пусть (Нп) — возрастающая последовательность конечных подмножеств про-
изведения N X N, объединение которых равно N X N, обладающая тем свой-
ством, что последовательность (ф (Нп)) ограничена. Пусть Е, F, G — три
нормированных пространства, (хл) (соответственно (ул)) сходящийся ряд в Е
(соответственно в У7) и /—непрерывное билинейное отображение Ey^F в G.
Покажите, что
(*)	Нт У f (xh, yk) = f ( 2 xn, 2 Уп ).
n"*°° (А, *)€Н;г	\n=o n=o /
5.	Пусть (Hn) — возрастающая последовательность конечных подмно-
жеств произведения N X N, объединение которых равно N X N. Для каждого
j£N и каждого «CN пусть ?(/, п) — наименьшее число промежутков мно-
жества N, объединение которых есть множество /7Л 1 (у) всех целых чисел/,
7. Пространства полилинейных отображений
125
для которых (Z, J)£Hn. Предположим, что <f(j, п) ограничено в N/N.
Пусть (х„) — сходящийся ряд в нормированном пространстве £, (ул) — абсо-
лютно сходящийся ряд в нормированном пространстве А и и — непрерывное
билинейное отображение Еу^Е в нормированное пространство G. Покажите,
что формула (*) из задачи 4 сохраняет силу.
[Воспользуйтесь (5.5.1) и убедитесь в том, что суммы У- Xt при
ленп 
всех j и п ограничены в £.]
6.	Эквивалентные нормы
Пусть Е — векторное пространство (над полем действительных
или комплексных чисел), || х^ и || х||2— две нормы в Е. Мы будем
говорить, _что норма ||xlli сильнее нормы ||х||2, если топология,
определяемая нормой ||х||р сильнее топологии, определяемой нормой
||х||2 [см. 3.12]. Если мы обозначим через Ег (соответственно Е2)
нормированное пространство, определяемое нормой || xHj (соответ-
ственно ||х||2), то это означает, что тождественное отображение
х—>х пространства Ех на Е2 непрерывно. Поэтому в силу (5.5.1)
это условие эквивалентно существованию такого чйсла а > 0, что
IWhOllxllr
Будем говорить, что две нормы ||х||Р ||х||2 эквивалентны,
если они определяют в Е одну и туже топологию. Предыдущее
неравенство сразу даёт
(5.6.1)	Для того чтобы две нормы ЦхЦ! и ||х||2 в векторном
пространстве Е были эквивалентны, необходимо и достаточно,
чтобы существовали такие две константы а > 0 и д > О, что
для любой точки х£Е.
Соответствующие расстояния будут в этом случае равномерно
эквивалентны (3.14).
Например, нормы sup (||Xj ||, ||х2||), Цх^ + ||х2||, /IjXj ||2+ ||х2||2
в произведении^ X Е2 двух нормированных пространств эквивалентны.
Норма II/Hj в пространстве Е —	(/), определенная в (5.1.4), не
эквивалентна норме Ц/Ц^ = sup | f(f) | (см. задачу 1 § 5.1).
7.	Пространства непрерывных полилинейных отображений
Пусть Е и F— два нормированных пространства. Как следует
из (5.1.5), (3.20.4) и (3.11.5), множество Д?(Е, F) всех непрерывных
линейных отображений пространства Е в F является векторным про-
странством.
126
Г л. 5. Нормированные пространства
Для каждого отображения и^^(Е\ F) пусть ||«||— нижняя
грань всех чисел а > 0, для которых при всех х£Е выполняется
неравенство || и (х) || О || х || [см. (5.5.1)]. Мы можем также написать
(5.7.1)
||«|| = sup ||«(х)||.
В самом деле, по определению, для каждого л>||«|| и каждой
точки х с нормой ||х||<1 имеем ||«(х)||<;а и, значит,
sup || и (х)||	|| и ||; это доказывает равенство (5.7'1) при || и || = 0.
ЦхЦ<1 ,
Если || а || > 0, то для любого Ь, удовлетворяющего неравенствам
0 < й < || а ||, существует такая точка х^Д, что ||«(х)||> £||х||.
Следовательно, х =# 0 и поэтому если мы положим г = х/||х||, то
все еще будем иметь ||«(z)|(>ft||z|| — b, и так как ||z|| — 1, то
отсюда следует, что b^. sup ||а(х)||, т. е. ||«|)<^ sup ||«(х)||, и
Цж||<1	1И1<1
формула (5.7.1) доказана.
Точно такое же рассуждение показывает, что
(5.7.2)
||«|| = sup ||a(z)||.
11*11=1
Покажем теперь, что ||«|| есть норма в векторном простран-
стве ^{Е-, F). В самом деле, если а = 0, то в силу (5.7.1) ||«|| =0.
Наоборот, если ||а||=0, то и(х)=0 при ||х||<^1, поэтому для любой
точки х =£ 0 пространства Е имеем н(х)= ||х||и(х/-||х||) = 0.
Из (5.7.1) также следует, что ||км|| —|к| • ||и||. Наконец, если
<w~ u-j-v, то ||да(х)||^||и(х)|| 4" ||®(х)||, и, следовательно, в силу
(5.7.1) ||да||О|| + ||<
(5.7.3)	Если F — полное пространство, то и ^f(E; F) — пол-
ное пространство,
В самом деле, пусть (ап) — последовательность Коши в ^(Е; F).
Таким образом, для любого е > 0 существует такое п0, что при
т^>п0 и п^п0 выполняется неравенство \\ит — ап||<<^е. Следова-
тельно, в силу (5.7.1) для любого х с нормой ||х||<^ 1 при т^>п0
и	мы имеем ||ат(х) — ия(х)||<^е, а это показывает, что
(ая(х)) есть последовательность КоШи в F. Поэтому она сходится
к некоторому элементу v (х) £ F. Это верно и для любого х £ Е,
так как мы можем записать х —Xz, где ||г||<Д, и поэтому ая(х) =
= Хая (z) сходится к пределу v (х) = X® (z). Из равенства ая (х 4- у) ==
= «„(х)4-«п(У) и из (5.1.5) следует, что ®(х + у) —u(x)4~'t>(y).
и точно так же покажем, что ®(Хх) = Х®(х); иными словами, v
линейно. Далее, из неравенства ||ат(х)—а„(х)||<^е, выполняющегося
при zn>-/i0 и п>-я0, заключаем, что ||®(х) — «п(х)||Се при
||х||< 1. Следовательно, ||®(х)||<^ ||«я|| 4-е, чем [в силу (5.5.1)]
доказано, что v непрерывно и, таким образом,-принадлежит ^(Е; F).
7. Пространства полилинейных отображений
127
Наконец, — un||<^e ПРИ п^-п0 [в силу (5.7.1)] и,-значит, после-
довательность («„) сходится к V.
Из определения следует, что для каждой точки х £ Е и каждого
u^^F(E\ F)
(5.7.4)	||ц(х)||<||«||  ||х||,
откуда на основании (5.5.1) следует,- что билинейное отображение
(х, и)—>и(х) произведения ЕХ,У(Е; F) в F непрерывно.
Определение нормы в J?(E; F) зависит от норм в Е и в F. Но
легко видеть, что если мы заменим нормы в Е и в F эквивалент-
ными нормами, то новая норма в (Е-, F) будет эквивалентна старой.
(6.7.5)	Пусть и — непрерывное линейное отображение норми-
рованного пространства Е в нормированное пространство F
и v — непрерывное линейное отображение пространства F
в нормированное пространство О. Тогда ||®о м||^||г«|| • ||и||.
В самом деле, если ||х||С1, то в силу (5.7.4) ||v(и(х))||
<||о|| • ||и(х)||<||®|| • ||а||, и утверждение следует из (5.7.1).
(5.7.6)	Если F — действительное (соответственно комплексное)
нормированное пространство, то отображение, ставящее
каждому a£F в соответствие элемент 9а:	простран-
ства ^(R; F) [соответственно JF(C; F)[, есть линейная изо-
метрия пространства F на .^(R; F) [соответственно на
^(С; F)].
Отображение а —> 9а, очевидно, линейно. Оно сюръективно, так
как каждое линейное отображение f пространства R (соответственно С)
в F имеет вид /(£) = /(£• 1) = $/(1) = ?а, где а = /(1). Наконец,
по аксиоме (III) § 5.1 ||9а|| == sup ||£а|| = ||а||.
15|<1
Пусть теперь Ег....Еп, F — n-|- 1 нормированное пространство.
Определим ^(Ev .... Еп; F) как векторное пространство всех не-
прерывных полилинейных отображений произведения Ег X ... X F„
в F. Рассуждения, аналогичные предыдущим, показывают, что при
u^L(Elt ...,Еп; F) нижняя грань ' ||«|| всех чисел а > 0, для
которых
ll«(*i....11*111	||*«Ц.
может быть определена равенством
(5.7.7)	||«||= sup ((«(Хр .... х„)||.
0*1 К1....1КИ1
Мы видим также, что ||«|| ,есть норма в ^(£Р ..., Еп; F). Однако
в действительности это векторное пространство может быть сведено
к пространствам ~2?(Х; К).
128	Гл. S. Нормированные пространства
(5.7.8)	Для каждого иб-_Д?(Е, F; О') и каждого х^Е пусть
их— линейное отображение у->и(х, у). Тогда if.x—>ux есть
линейное отображение пространства Е в Jg’f.F-, О), а отобра-
жение и—> и есть линейная изометрия пространства Д?(Е, F\ О)
на пространство Д?(Е; .S?(F\ О)).
Имеем Ц«х(у)|| = ||и(х,	• ||х|| • поэтому в силу
(5.5.1)	отображение их непрерывно. Далее, ||их|| — sup ||п(х, -у)||,
Л	11У1К1
следовательно, учитывая (2.3.7),
sup ||М= sup ||«(х, у)|| = ||«||.
|Х|<1	IU1K1,11УII <1
Поэтому отображение х—>их (очевидно, линейное) непрерывно,
а отображение и —> и есть изометрия пространства ,3? (Е, F; G)
в пространство 3f(E\ ^(F; О)). Наконец, отображение и—>и
сюръективно, так как если v^^2,(E\ r3?(F-, О)), то отображение
и : (х, у)—>(г» (х))(у), очевидно, билинейно и, поскольку ||(©(х) )(у)||<С
<Нг’(х)|| • ||5’1К1|«|| • IWI • И всилу (5.7.4) непрерывно и v(x)—их,
что завершает доказательство.
Индукцией по п убеждаемся, что пространство Д? (Ег, Е2, . Е, Еп; F)
может быть естественным образом (с сохранением нормы) отожде-
ствлено с пространством
^(£f, ^(Д2; .... ^(Д„; F))...).
Задачи
1.	а) Пусть Е—пространство (с0) Банаха, определенное в задаче 5 § 5.3;
мы сохраним обозначения этой задачи. Пусть и — непрерывное линейное
отображение пространства Е в R и и (еп) = rin. Покажите, что ряд У, rin
абсолютно сходится и что в банаховом пространстве Е' — Jg (Е\ R) норма
ОО
ll«ll= Shnl.
л= О
[Примените (5.5.1) к подходящим значениям х£Е.]
Наоборот, для любого абсолютно сходящегося ряда (?„) действительных
чисел существует одно и только одно непрерывное линейное отображение и
пространства Е в R, для которого и (еп) = при каждом п, и если
ОО	оо
х = У znen £ Е, то и (х) = У i]„$n (пространство Е' с определенной выше
/1=0	л =0
нормой есть пространство I1 Банаха).
Ь)	Как векторное пространство (без нормы) Е' может рассматриваться
как подпространство пространства Е. Покажите, что норма в Е' строго
сильнее (в смысле 5.6), чем сужение на Е' нормы пространства Е.
с)	Покажите, что пространство Е" = Jg (£'; R) непрерывных линейных
отображений пространства £' в R можно отождествить с пространством всех
8. Непрерывные линейные формы
129
ограниченных последовательностей х = (Сл) действительных чисел с нормой
||лсО = sup 1 Сл | [пространство 1°° Банаха). Пространство Е может рассма-
п
триваться как замкнутое подпространство пространства Е".
[Примените тот же метод, что и в а).]
d)	Пусть Р — подмножество пространства Е', состоящее из всех абсо-
лютно сходящихся рядов и = (т]л) с членами >)„ > 0. Любой элемент про-
странства Е' может быть записан в виде и — V, где и и v принадлежат Р.
Покажите, что внутренность множества Р тем не менее пуста.
2.	а) Пусть Е — пространство (с0) Банаха и U — непрерывное линейное
отображение пространства Е в себя. Пусть в обозначениях задачи 1
U (еп) = 2 атпет. Покажите, что: 1°) lim = 0; 2°) ряд 2 | апп | схо-
т=0	ш->оо	л=о
ОО
дится при каждом т; 3°) верхняя грань sup 21 атп I конечна. .
т Л =о
[Тот же метод, что и в задаче 1, а).]
Докажите обратное и покажите, что банахово пространство (Е\ Е)
можно отождествить с пространством двойных последовательностей U = (атл),
ОО
удовлетворяющих предыдущим условиям, с нормой || U || = sup 21 атп I-
01 л=о
Ь) Пусть —пространство Z1 Банаха (задача 1). Покажите, что бана-
хово пространство (Е'\ Е') можно отождествить с пространством двойных
ОО
последовательностей U == (атя), удовлетворяющих условиям: Г) ряд |	|
/п=0
00
сходится при каждом п; 2°) верхняя грань sup 2 | атп | конечна. В этом
л т-0
ОО
случае норма равна || U || = sup 21 атп !•
Я т^О
3.	Пусть Е—нормированное пространство. Покажите, что не может
существовать двух непрерывных линейных отображений u, v пространства Е
в себя, для которых uov — voa=l (тождественному отображению).
[Докажите, что из предположения о существовании такого отображения
следовало бы, что иогл+*—vn+i о и = (n-f- 1) v", т. е. (п +1) || Vя [| С
< 21| и || • || v || • И ип ||, откуда v” = 0, как только п достаточно велико, и, значит,
v -- 0.J
8. Замкнутые гиперплоскости и непрерывные линейные
формы
Напомним, что линейная форма в Действительном (соответ-
ственно комплексном) векторном пространстве Е есть линейное ото-
бражение f пространства Е в R (соответственно в С). Ядро
Н =	(0) этого отображения есть тогда такое векторное подпро*
9 Ж, Дьедонне
130
Гл. 5. Нормированные пространства
странство, что для любого а(^Н пространство Е есть алгебраиче-
ская прямая сумма Н и Ra (соответственно Со).
Подпространство, обладающее этим последним свойством, назы-
вается гиперплоскостью. Если Н — некоторая гиперплоскость,
а(£Н и если для любого х££ мы напишем х = /(х) • а-|-у, где
У(х) — скаляр и У^Н, то / есть линейная форма и Н —	(0).
Отношение /(х) = 0 называется уравнением гиперплоскости Н.
Если /] — другая линейная форма, для которой W = /1'1(0), то
— (а — скаляр). Напомним также, что гиперплоскость макси-
мальна: любое векторное подпространство пространства Е, содержа-
щее гиперплоскость Н, если либо Н, либо само Е.
(5.8.1)	Пусть Н — гиперплоскость с уравнением /(х) = 0в дей-
ствительном (соответственно комплексном) нормированном
пространстве Е. Для того чтобы гиперплоскость Н была
замкнута в Е, необходимо и достаточно, чтобы форма f
была непрерывна. В этом случае для любого Ь(£Н простран-
ство Е есть топологическая прямая сумма (5.4) гиперпло-
скости Н и одномерного подпространства D — ЦЬ (соответ-
ственно D — Cb).
Ясно, что если форма f непрерывна, то гиперплоскость /7 —
= у1 (0) замкнута [см. (3.15,1)]. Докажем обратное. Пусть эле-
мент а(£Н выбран так, что /(л)=1. Так как гиперплоскость Н
замкнута, то [в силу (5.1.5)] и множество а-\-Н замкнуто, и, так
как 0(£а-|-77, найдется шар V: ||х||<^г, не пересекающий а-^-Н.
Таким образом, из x£V следует f(x)4=\. Докажем, что из х
следует | / (х) |	1. Допустим противное, и пусть У(х) = а, где
|а|>1. Тогда ||х/а|| == (1/|а[)||х|| < г и /(х/а)=1, что противо-
речит „определению V. Из однородности и (5.5.1) следует, что
форма f непрерывна. Если Ь^Н, то для каждого х £ Е мы имеем
x = g(x)b-\-y, где у £Н, и g (х) = 0 — другое уравнение гипер-
плоскости Н. Поэтому форма g непрерывна и, значит, отображение
х—>g(x)b пространства Е в £) = Rft (соответственно СЬ) непре-.
рывно, что в силу (5.4.2) и доказывает последнюю часть нашего
утверждения.
(5.8.2)	Гиперплоскость И в нормированном пространстве Е
или замкнута или всюду плотна.
В самом деле, Н [в силу (5.4.1)] есть векторное подпростран-
ство, которое может только совпадать или с Е, или с Н.
8. Непрерывные линейные формы
131
Задачи
1.	Пусть Е — (неполное) подпространство пространства (с0) Банаха,
состоящее из последовательностей х = (6Л) действительных чисел, имеющих
лишь конечное число отличных от нуля элементов. Для любой по-
ОО
следовательности (а„) действительных чисел отображение х->«(х)= V ал5л
л=0
есть линейная форма в Е, и таким способом получаются все линейные формы
в Е. Какие из них непрерывны?
[См. (5.5.4) и задачу 1 § 5.7.]
2.	а) Пусть Н—замкнутая гиперплоскость с уравнением и(х) = 0
в нормированном пространстве Е, где и — непрерывная линейная форма.
Покажите, что для любой точки а С Е расстояние d (а, Н) = | и (а) | /1| и ||.
оо
Ь) Пусть Я—замкнутая гиперплоскость с уравнением и (х) =	2~л5л=0
в пространстве (с0) Банаха. Покажите, что если а(Н, то не существует
точки Ь^Н, для которой d (a, H) = d (а, Ь).
3.	Линейные многообразия коразмерности 1 (задача 5 § 5.1) в действи-
тельном векторном пространстве Е также называются гиперплоскостями',
они представляют собой множества, определяемые уравнением вида и (х) — а,
где и — линейная форма, а а — произвольное действительное число. В тек-
сте § 5.8 рассматривались фактически те из этих гиперплоскостей, которые
содержат 0; оии называются также однородными гиперплоскостями. Любая
гиперплоскость, определяемая уравнением и (х) = а, называется параллель-
ной однородной гиперплоскости, определяемой уравнением и(х) = 0. Если
4 _ непустое множество в пространстве Е, то опорная гиперплоскость
множества А есть гиперплоскость /7, определяемая таким уравнением
и (х) = а, что либо для всех точек х € А выполняется неравенство и (х) —
— а>0, либо же для всех точек х € А выполняется неравенство и (х) — а'<0,
и по крайней мере для одной точки Хр € А имеет место равенство и (х0) = а.
а)	Опорная гиперплоскость Множества А в действительном нормирован-
ном пространстве Е, содержащего хотя бы одну внутреннюю точку, замк-
нута [см. (5.8.2)].
Ь)	Пусть А — компактное множество в действительном нормированном
пространстве Е. Покажите, что для любой однородной замкнутой гиперпло-
скости /7е, определяемой уравнением и(х) = 0, существуют две опорные
гиперплоскости множества А, которые определяются уравнениями вида
и (х) — а и, вообще говоря, могут и совпадать. Расстояние между этими
гиперплоскостями не превосходит диаметра множества А.
с)	Рассмотрите в пространстве (с0) Банаха непрерывную линейную
со
форму х->а(х) = У1, 2~Л5Л. Покажите, что замкнутый шар В'(0; 1) не имеет
л=0
опорной гиперплоскос?и, определяемой уравнением вида и (х) = а [ср. с за-
дачей 2, Ь)].
9*
132
Гл. 5. Нормированные пространства
9.	Конечномерные нормированные пространства
(5.9.1)	Пусть Е — п-мерное действительное (соответственно
комплексное') нормированное векторное пространство. Если
(«,, .... ап)~базис пространства Е, то отображение
(Bj....••• ~\-^пап
пространства R" (соответственно Сл) на Е взаимно непре-
рывно.
Докажем сначала это утверждение для n—1, а затем проведем
индукцию по п. Из (5.1.5) мы знаем, что отображение >^аг не-
прерывно. Так как а1 =# 0 и 1ЫНЫНМ- то |?|<(1/||о1 ID-
откуда на основании (5.5.1) следует непрерывность отображения
Допустим, что теорема доказана для п—~ 1, и пусть Н — гипер-
плоскость в пространстве Е, порождаемая элементами а1...ап~\-
Из индуктивного предположения следует, что норма в Н (индуци-
рованная нормой в Е) эквивалентна норме sup |£J, поэтому
1 < i 1
Н — полное пространство (и с той и с другой нормой) и, следова-
тельно [в силу (3.14.4)], замкнуто в Е. Из (5.8.1) следует, что
отображение (5^1 + ...	непрерывно, и это вместе
с индуктивным предположением завершает доказательство [в силу
3.20.4) и (5.4.2)].
(5.9.2)	Пусть V — замкнутое подпространство и W — конечно-
мерное подпространство нормированного пространства Е.
Тогда V-|- W замкнуто в Е. В частности, любое конечномер-
ное подпространство замкнуто в Е-
Мы можем провести индукцию по размерности подпространства W
и, таким образом, свести доказательство к случаю, когда эта раз-
мерность равна 1. Пусть BZ — Ra (соответственно W = Ca). Если
a£V, то VW = V, и нам нечего доказывать. Если а(£V, то
любой элемент х £ V-|-W мы можем записать в виде х = f (х~)а-\-у,
где у£У, и так как V — замкнутая гиперплоскость в V'-j-W', то
в силу (5.8.1) / — непрерывная форма в Й-|-№. Пусть (хл) — по-
следовательность точек подпространства VUZ, сходящаяся к пре-
дельной точке b этого подпространства [см. (3.13.13)]; запишем
хп = f (хп) а + уп. В силу (5.5.1.) последовательность (f(xn)) яв-
ляется в R (соответственно в С) последовательностью Коши и по-
этому сходится к некоторому пределу X, Тогда последовательность
уп = хп— f(x^)a сходится к b — Ха. Но V замкнуто, предел по-
следовательности (уя) принадлежит V. и, значит? b £ V -|- W, ч. т. д.
(см. задачу 2 § 6.5).
9. Конечномерные нормированные пространства	133
(5.9.3)	Пусть V — замкнутое подпространство конечной ко-
размерности (т. е. подпространство, имеющее конечномерное
алгебраическое дополнение) нормированного пространства Е.
Тогда любое алгебраическое дополнение подпространства V
является и его топологическим дополнением.
Пусть W — алгебраическое дополнение подпространства V в Е.
Проведем индукцию по размерности п подпространства W\ для га—1
утверждение уже доказано в (5.8.1). Мы можем написать W = D-\-U,
где D одномерно и U — (п — 1)-мерно (прямая сумма). В силу (5.9.2)
V -p-D замкнуто в Е, поэтому по индуктивному предположению U
есть топологическое дополнение подпространства V -|- D. Иными
словами, Е естественно гомеоморфно (V-]-Z))X(7. В силу (5.8.1)
V-|-Z) естественно гомеоморфно V X В, поэтому Е естественно
гомеоморфно V X В X U. Наконец, так как D'KU естественно го-
меоморфно W, то Е естественно гомеоморфно V X ч- т. Д-
(5.9.4)	(Теорема Ф. Рисе а) Локально компактное норми-
рованное пространство Е конечномерно.
Заменяя, если потребуется, норму пространства Е эквивалентной
нормой, можем считать, что шар В: ||х||^1 компактен. Таким
образом (3.16.1), существует такая конечная последовательность
точек аг (l^i-^ra), что В содержится в объединении шаров
с центром гаг и с радиусом 1/2. Пусть И — конечномерное подпро-
странство, порожденное точками raz. Докажем от противного, что
V — Е. Пусть, в самом деле, существует точка х £Е, не принад-
лежащая V. Так как V замкнуто [в силу (5.9.2)], d(x, V) = a>0.
По определению расстояния d (х, V) найдется такая точка у £ И,
что а^||х— у||<^За/2. Пусть z = (x — у)/||х— у||. Так как
||г||=1, то существует такой индекс г, что || z— «/||<^1/2.
Напишем
х = у+ ||х —у|| z = y+ ||х —у|| oz+ ||х — у|| (г —дг)
и заметим, что у-1- ||х — у|| at£V. Поэтому по определению рас-
стояния d(x, V) мы будем иметь ]|х— у|| • ||z — aj| >-a, и, зна-
чит, ||х — у||>2а, что, так как а ф 0, противоречит выбору у.
Задачи
1.	Покажите, что если Е — конечномерное нормированное пространство,
то каждое линейное отображение Е в нормированное пространство F не-
прерывно.
[Воспользуйтесь (5.9.1) и (5.1.5).]
2.	Напомним, что базис векторного пространства Е есть такое семей-
ство (Лх)х^£ его элементов, что любой элемент пространства Е может быть
единственным образом записан в виде линейной комбинации конеч-
134	Гл. 5. Нормированные пространства
ного числа из а^. Отсюда, в частности, следует, что элементы а-> линейно
независимы.
а)	Пусть (ап) — последовательность в банаховом пространстве Е, эле-
менты которой линейно независимы. Следующим образом определим по
индукции последовательность (р-л) действительных чисел > 0: если dn —
расстояние точки цпап от подпространства Vn_I, порождаемого элементами
а1( .... ал_! [заметим, что в силу (5.9.2) dn > 0], то выберем |хл+1 так,
’ оо
чтобы | [лл+11 • ||ал+11К dn/3. Покажите, что ряд р.„ап абсолютно схо-
0=1
дится и что его сумма х не принадлежит ни одному из подпространств V„.
b)	Выведите из а), что банахово пространство бесконечной размерности
не может иметь счетного базиса.
3.	Покажите, что нормированное пространство, в котором существует
компактная сфера, конечномерно.
[Заметьте, что множество точек нормированного пространства Е, удо-
влетворяющих неравенствам а<||х||< 6 (где а > 0), гомеоморфно произве-
дению промежутка [а, Ь] и сферы S; [|л|| = 1; примените теорему Рисса
(5.9.4).]
10.	Сепарабельные нормированные пространства
(5.10.1)	Если в нормированном пространстве Е существует
тотальная (5.4) последовательность, то Е сепарабельно. На-
оборот, в любом сепарабельном нормированном пространстве Е
существует тотальная последовательность, состоящая из ли-
нейно независимых векторов.
Пусть (ал) — тотальная последовательность и D — множество всех
(конечных) линейных комбинаций ггаг-\- ... -}-гпап с рациональ-
ными коэффициентами (в случае когда. Е — комплексное векторное
пространство,' под „рациональным* скаляром мы понимаем ком-
плексное число	с рациональными а и р). В силу (1.9.3) и
(1.9.4)	D — счетное множество. Так как, по определению, множе-
ство L всех линейных комбинаций векторов-'ап плотно в Е, тонам
нужно лишь доказать, что D плотно в L, а так как
п
 + Чап)— (г1«1+ ••• +'-п«я)1К 5 Ну —'/I • ||П/Ц,
то это следует из (2.2.16).
Допустим, наоборот, что Е сепарабельно. Мы можем, конечно,
считать, что Е бесконечномерно (в противном случае любой базис про-
странства Е уже был бы конечным тотальным подмножеством).
Пусть (ап) — бесконечная всюду плотная последовательность векторов
пространства Е. По индукции построим ее подпоследовательность (аь ),
обладающую тем свойством, что она состоит из линейно независимых
векторов и что ат есть линейная комбинация векторов а^, ..а^
10. Сепарабельные нормированные пространства	135
для любого m<^kn. Для этого возьмем в качестве kv первый индекс,
при котором ап^=0, а в качестве kn+l — наименьший индекс m > kn,
при котором ат не принадлежит подпространству Vn, порождаемому
векторами .... akn- Такой индекс существует, так как в про-
тивном случае Vn [являющееся, в силу (5.9.2), замкнутым множе-
ством] содержало бы замыкание Е множества всех ап, что противо-
речит предположению. Теперь ясно, что последовательность (я*п)
обладает требуемыми свойствами, и из построения очевидно, что она
является тотальной последовательностью.
Задача
Покажите, что пространства (с0) и I1 Банаха (задача 5 § 5.3 и зада-
ча 1 § 5.7) сепарабельны, а пространство /°° (задача 1 § 5.7) не сепарабельно.
[Пользуясь задачей 2, Ь) § 4.2 и (2.2.17), покажите, что в Г° существует
несчетное семейство (хх) таких точек, что [| хх — х^ || — 1 при К ф р..]
Г л а в а .6
ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Гильбертовы пространства являются наиболее важными примерами бана-
ховых пространств не только потому, что они представляют наиболее есте-
ственное и ближайшее обобщение на случай «бесконечной размерности'
классической эвклидовой геометрии, но главным образом из-за того, что они
До сих пор являются наиболее полезными пространствами в приложениях
функционального анализа.
. За исключением теоремы (6.3.1), все результаты настоящей главы легко
Следуют из определений и из основного Неравенства Коши — Шварца (6.2.4).
1. Эрмитовы формы
Для любого действительного или комплексного числа К символом X
мы обозначаем сопряженное с ним комплексное число (равное X,
если X действительно). Эрмитова форма в действительном (соот-
ветственно комплексном) векторном пространстве Е есть отображе-
ние / произведения Е X Е в R (соответственно в С), обладающее
следующими свойствами:
(I)	/(х + х', у) = /(х, у)+/(х'. у),
(П)	/(х, у + У)==/(х, у)+/(х, у'),
(!!!)	/(Хх, у) = Х/(х, у),
(IV)	/(х, Ху)=Х/(х, у),
(V)	/(У. х) = /(х. у).
[Заметим, что тождества (II) и (IV) следуют из остальных тождеств;
из (V) вытекает, что /(х, х) действительно.] В случае когда
Е — действительное векторное пространство, условия (!) — (IV)
выражают тот факт, что отображение / билинейно '), а условие (V)
превращается в условие /(у, х) = /(х, у), выражающее тот факт,
что / симметрично.
Для любых конечных систем (xz), (уу), (аг), (j3y) скаляров индук-
цией по числу элементов этих систем получаем
(6.1.1)	5 «z₽;/(^z- У/)-
’) Билинейное отображение / (х, у): Е X Е -> R иногда в дальнейшем
обозначается символом (х, у) -> [х • у]. — Прим. ред.
1. Эрмитовы формы
137
' Из (6.1.1) следует, что если Е конечномерно и (az) — базис про-
странства Е, то форма / полностью определяется ее значениями
&tj — f (fii, aj), причем в силу (V) имеют место равенства
(6.1.2)
В самом деле, в этом случае при х = 2 ^iai и У — 2 имеем
(бл.з)	/(х, у)=2
Наоборот, какова бы ни была система (а^) действительных (соот-
ветственно комплексных) чисел, удовлетворяющих условиям (6.1.2),
правая часть (6.1.3) определяет в действительном (соответственно
комплексном) векторном пространстве Е некоторую эрмитову форму.
(6.1.4)	Пример. Пусть D — относительно компактное открытое
множество в R2 и Е — действительное (соответственно комплексное)
векторное пространство всех действительных (соответственно ком-
плексных) ограниченных непрерывных функций в D, имеющих в D
ограниченные непрерывные первые производные.' Тогда отображение
(/ £)->?(/. #)=f f(a(x, У)/(х, y)g(x. у) +
D	__ _______________
+ ь^х' »%-%f}dxdy
(где а, Ь, с — непрерывные ограниченные действительные функции
в D) есть эрмитова форма в Е.
Пара векторов х, у векторного пространства Е ортогональна
относительно эрмитовой формы / в Е, если /(х, у) —О [из (V)
следует, что это отношение симметрично относительно х и у).
Вектор, ортогональный самому себе [т. е. такой, что /(х, х) = 0],
называется изотропным относительно /. Для любого множества
МсЕ множество векторов у, ортогональных всем векторам х^М
есть векторное подпространство пространства Е, называемое орто-
гональным множеству М (относительно f). Может случиться,,
что существует вектор а =# 0, ортогональный всему пространству Е.
В этом случае говорят, что форма f вырождается. Среди эрмито-
вых форм / в конечномерном пространстве Е, определяемых форму-
лой (6.1.3), не вырождаются те, для которых матрица (atj) обратима.
Задача
а)	Пусть / — эрмитова форма в векторном пространстве Е. Покажите,
что если Е— действительное векторное пространство, то
4/(х, у) = /(х + У> Х-+-У) — /(х — у, х — у),
а если Е — комплексное векторное пространство, то •
4/(х, у) = /(х + у, x-f-y) —/(х —у, х,—у) +
4- if (х + iy, х + /у) — If (х — iy, х — Zy).
138
Гл. 6. Гильбертовы пространства
Ь)	Выведите из а), что если f (х, х) == 0 для любого вектора, принад-
лежащего подпространству М пространства Е, то / (х, у) = О для любой
пары векторов х, у, принадлежащих М.
с)	Докажите Ь), не пользуясь тождествами, установленными в а).
[Запишите, что /(х-(->.у, х-(-Ху) = 0 для любого X,]
2.	Положительные эрмитовы формы
Говорят, что эрмитова форма / в векторном пространстве Е
положительна, если /(х, х)^>0 для любого х£Е. Например,
если а, Ь, с 0 в D, то форма <р, определенная в примере (6.1.4),
положительна.
(6.2.1)	(Неравенство Коши — Шварца) Если f — положи-
тельная эрмитова форма, то
\f(x, у)|2</(х, х)/(у, у)
для любой пары х, у векторов пространства Е.
Положим a = f(x, х), b — f(x, у), c = f(y, у) и вспомним,
что а а с действительны и 0. Предположим сначала, что с =£ 0,
и запишем, что /(х-|-Ху, x-j-Xy)^-0 для любого скаляра X, откуда
а + ^Х -)-#Х-[- сХХ^-,0. Подставляя сюда Х = — b/с, получаем нужное
неравенство. Точно такое же рассуждение годится в случае, когда
Сж=0, а + 0. Наконец, если а — с = 0, то, подставляя Х = — Ь,
находим —2W^0, т. е. Ь = 0.
(6.2.2)	Для того чтобы положительная эрмитова форма f в Е
была невырождающейся, необходимо и достаточно, чтобы не
существовал изотропный относительно f вектор, отличный
от 0, т. е. чтобы для любого вектора х =£ 0 пространства Е
выполнялось неравенство f(x, х) > 0.
В самом деле, из / (х, х) = 0в силу неравенства Коши — Шварца
следует /(х, у) = 0 для всех у£Е.
(6.2.3)	(Неравенство Минковского) Если f — положи-
тельная эрмитова форма, то
*+у)< //(X, X)4-//(у, у)
для любой пары х, у векторов пространства Е,
Так как /(х+у, х-{-у)=/(х, х)+/(х, у)+/(х, у)+/(у, у),
неравенство Минковского эквивалентно неравенству
291/(х, у) = /(х, у)+Д^у)<2У/(х, х)/(у, у),
которое следует из неравенства Коши — Шварца.
2. Положительные эрмитовы формы
139
Таким образом, функция	f (Л, к) удовлетворяет усло-
виям (I), (III) и (IV) § 5.1. В силу (6.2.2) условие (II) §5.1 экви-
валентно требованию, чтобы форма f была невырождающейся. Следо-
вательно, в случае, когда / есть невырождающаяся положительная
эрмитова форма (называемая также положительно определенной
формой). |//(х, х) есть норма в пространстве Е.
Предгильбертово пространство есть векторное пространство Е
вместе с заданной в Е невырождающейся положительной эрмитовой
формой. Когда не может возникнуть никаких недоразумений, мы
будем эту форму обозначать символом (х|у), а ее значение называть
скалярным произведением векторов х и у. Предгильбертово про-
странство Е мы всегда будем рассматривать как нормированное
пространство с нормой ||х|| — }А(х| х); конечно, такое пространство
одновременно является метрическим пространством с соответствую-
щим расстоянием d(x, у)= ||х— у||.
В этих обозначениях неравенство Коши — Шварца запишется
в виде
(6.2.4)	|(*|у)К1И1 • ||У||;
и из него на основании (5.5.1) следует, что если Е — действитель-
ное предгильбертово пространство, то (х, у) —>(х|у) есть непре-
рывная билинейная форма в Е X Е. [В случае когда £—комплексное
предгильбертово пространство, можно провести рассуждения тео-.
ремы (5.5.1) и также доказать непрерывность отображения (х, у)->
—>(х|у), хотя в этом случае оно не является билинейной формой.]
В качестве частного случая (6.1.1) имеем
(6.2.5)	(Теорема Пифагора) Если х и у—ортогональные век-
торы в предгильбертовом пространстве Е, то
||х + у||2=||х||2+||у||2.
Изоморфизм предгильбертова пространства Е на предгильбер-
тово пространство Е' есть линейное биективное отображение Е на Е',
обладающее тем свойством, что (/(х)|/(у)) = (х| у) для любой
пары х, у векторов пространства Е. Ясно, что изоморфизм есть
линейная изометрия пространства Е на Е’.
Пусть £ — предгильбертово пространство. Тогда сужение ска-
лярного произведения на любом векторном подпространстве F про-
странства Е есть положительная невырождающаяся эрмитова форма.
Если не оговорено противное, то всегда, когда F рассматривается
как предгильбертово пространство, имеется в виду именно это ска-
лярное произведение.
Гильбертово пространство есть полное предгильбертово/
пространство. Любое конечномерное предгильбертово пространство
140	Гл. 6. Гильбертовы пространства
в силу (5.9.1) является гильбертовым пространством;, другие при-
меры гильбертовых пространств будут построены в 6.4.
Если в примере (6.1.4) взять а > 0, й^-0, с^-0, то можно
показать; что таким образом определенное предгильбертово про-
странство не будет полным.
Задача
1.	Докажите последнее утверждение в случае а=1, 6 = с = 0 (см. за-
дачу 1 § 5.1).
2.	Пусть Е— действительное нормированное пространство, в котором
для любых двух точек х, у пространства Е справедливо равенство Ц x-f-y ||2 +
+11 х—у ||2=2 (И хII2 + II у II2). Покажите, что f (х, у) = || х + у ||2 — [| х ||2 —1| у ||2
есть положительная невырождающаяся эрмитова форма в Ё.
3.	Пусть f — положительная невырождающаяся эрмитова форма. Для
того чтобы были равны правая и левая части неравенства (6.2.1), необхо-
димо и достаточно, чтобы х и у были линейно зависимы. Для того чтобы
были равны правая и левая части неравенства (6.2.3), необходимо и доста-
точно, чтобы х и у были линейно зависимы и, если оба эти вектора =/= 0,
чтобы у = Ах, где А действительно и >0. Докажите эти утверждения.
4.	Пусть а, Ь, с, d — четыре точки в предгильбертовом пространстве Е.
Покажите, что
||a-c||.||6-d||<||a-ft|l.||c-d||+(]ft-cU-|]a-rf!l-
Когда правая и левая части неравенства равны?
[Сведите задачу к случаю, когда а — 0, и рассмотрите в Е преобразо-
вание х -> х/Ц х ||2, определенное при х 0.]
3.	Ортогональная нроекция на полное подпространство
(6.3.1)	Пусть Е — предгильбертово пространство, F— полное
векторное подпространство пространства, Е (т. е. гильбер-
тово пространство). Для любой точки х£Е существует одна
и только одна такая точка y=PP(x)£F, что ||х—-у|| =d(x, F).
Точка у = Рр(х) является также единственной точкой z£F,
для которой разность х — z ортогональна F. Отображение
х—>РР(х) пространства Е на F линейно, непрерывно и, если
F #= {0}, имеет норму 1. Его ядро F —Ррг(0) есть подпро-
странство, ортогональное F, и Е есть топологическая прямая
сумма (5.4) F и F'. Наконец, F есть подпространство,
ортогональное F'.
Пусть a = d(x, F); по определению существует последователь-
ность (уя) точек подпространства F, для которой lim || х — уя||= а.
3. Проекция на полное подпространство	141
Докажем, что (у„) есть последовательность Коши. В самом деле, из
(6.1.1) следует, что для любых двух точек и, v пространства Е
(6.3.1.1)	||«-W2+ ||« —Vl|2 = 2(|]«|]2 4- ||-п||2).
Поэтому II уш—у„ II 2=2 (|| x-ym||2+1| X—у„ ||2)—4| * - у	Уп) |* •
Но у(ут+у„)€Л следовательно, |x — -~(ym+ у„)||2> а2. Таким
образом, если п0 выбрано так, что при п^.п0 выполняется нера-
венство ||х—y„||2<a24-s, то ПРИ tn^-n0 и п^>п0 мы будем иметь
||ут— уп||2^4е, что доказывает наше утверждение.
Так как F— полное, последовательность (у„) сходится к некото-
рой точке y£F, для которой ||х—у||=d(x, F). Допустим, что точка
у' CF также обладает тем свойством, что || х—у' || = d (х, F). Снова
II 1	’ II2
пользуясь (6.3.1.1), получаем |(у— у'||2=4<х2 — 4 х—у (у-{-/)•
и, так как (у + у') € Р> отсюда следует, что ||у — у'||2 С 0, т. е.
у' == у. Пусть теперь z #= 0—произвольная точка подпространства F.
Для любого действительного скаляра X =£ О выполняется неравенство
||х — (y-f-Xz)|| > а2. Ввиду (6.1.1) отсюда получаем
2Х$(х —у| г) + Х2||г||2 > О,
и если бы сЛ(х — у | z) #= 0, то, выбрав соответствующим образом X,
мы пришли бы к противоречию. Поэтому сЯ(х—у|z) = б, а (в слу-
чае когда Е — комплексное предгильбертово пространство) заменяя z
на lz, получаем, что и 0 (х — y|z) = 0. Значит, в любом случае
(х — y|z) = 0, иными словами, разность х — у ортогональна F.
Пусть y'£F—.такой вектор, что разность х — у' ортогональна F.
Тогда для любого вектора х #= 0, принадлежащего F, по теореме
Пифагора ||х—(у'-|-г)||2= ||х— у'Ц2-}-||z||2, и это в силу преды-
дущего доказывает, что у' = у.
Теперь легко убедиться, что отображение у = Рр(х) линейно.
В самом деле, если х—у и х'—у' ортогональны подпространству F,
то ему ортогональны и векторы Хх — Ху и (х-|-х')— (у-|-у') =
= (х—у)-|-(х'— у')> а так как y-f-y'^F и XygF, то это пока-
зывает, что у у' — Рр (х + х') и Ху==Рг(Хх), По теореме Пи-
фагора
(6.3.1.2)	||х||2= Рл(х)И2+ ||х-Р^ (х)||2.
Следовательно, Ц^(*)1Ю1*11» и в силу (5.5,1) отображение Рр
непрерывно и имеет норму 1. Но поскольку при x£F мы имеем
Pf(x)=sx, то, если F не состоит из одной лишь точки О, ||PF|| = 1.
Из определения отображения PF следует, что ядро F = Р^’(0)
состоит из векторов х, ортогональных F,
142	Гл. 6. Гильбертовы прострйнстёй
Так как для любого вектора х£Е мы имеем х = Р/,(х)-|-
+(х— /’уг(х)) и х — Pf(x)£F', то Ё = F + F’. Кроме того, если
x^F[\F', то х изотропен, поэтому х = 0, и это показывает, что
сумма F-\-F' здесь прямая. Далее, поскольку отображение x->PF(x)
непрерывно, Е есть топологическая прямая сумма F и F' (5.4.2).
Наконец, если вектор х£Е ортогонален F', то, в частности,
(х|х— Рр(х)} — Ъ. Но мы имеем также (PF (х)| х—Р/,(х)) = 0,
значит, |[х— PF (х) ||2 = 0, т. е. x — Pf(x)£F, ч. т. д.
Линейное отображение Рр называется ортогональной проекцией
пространства Е на F, а его ядро F' — ортогональным дополне-
нием подпространства F в Е. Теорема (6.3.1) в силу (3.14.5) при-
менима к любому замкнутому подпространству F гильбертова про-
странства Див силу (5.9.1) — к любому конечномерному подпро-
странству предгильбертова пространства.
(6.3.2)	Пусть Е — предгильбертово пространство. Тогда для
любого вектора а^Е отображение х-±(х\а) есть непрерыв-
ная линейная форма с нормой ||а||. Наоборот, если Е — гиль-
бертово пространство, то для любой непрерывной линейной
формы и в Е существует единственный такой вектор а£Е,
что «(х) = (х|а) для любого х£Е.
По неравенству Коши — Шварца |(х| а)|<^ ||а|| • ||х||, откуда
в силу (5.5.1) следует, что форма х-»(х|а) непрерывна и имеет
норму <^||а||. С другой стороны, если а #= 0, то для х0=а/]|а||
мы имеем (х01а) = ||а||. Так как ]|х0|| = 1, то это показывает, что
норма формы х—>(х\а) не меньше ||а||.
Допустим теперь, что Е — гильбертово пространство. Так как
в случае, когда и = 0, существование вектора а (—0) очевидно,
мы можем предположить, что и #= 0. Тогда Н — и~1 (0) есть замкну-
тая гиперплоскость в Е. Ортогональное дополнение Н' гиперпло-
скости Н есть одномерное подпространство; пусть b #= 0 — точка
из Н'. Тогда в силу (6.3.1) гиперплоскость Н ортогональна Ь,
другими словами, мы имеем (х|й) = 0 для любого вектора х£Н.
Но любые два уравнения гиперплоскости пропорциональны, поэтому
существует такой скаляр X, что «(х) = Х(х| Ь) = (х\а) для всех
х£Е, где а — \Ь. Единственность а следует из того факта, что
форма (х|у) не вырождается.
Задачи
1.	Пусть В — замкнутый шар с центром 0 и радиусом 1 в предгильбер-
товом пространстве Е. Покажите, что для каждой точки х сферы с цент-
ром 0 и радиусом 1 существует единственная опорная гиперплоскость
шара В (задача 3 § 5.8), содержащая х.
2.	Пусть Е — предгильбертово пространство, А — компактное множество
в Е, В — его диаметр. Покажите, что существуют две точки а и b мно-
4. Гильбертова сумма гильбертовых пространств
143
жества А, для которых [| а — b || = 8, и две параллельные опорные гипер-
плоскости множества А (задача 3 § 5.8), содержащие соответственно а и Ь
и такие, что расстояние между ними равно 8.
[Рассмотрите шар с центром а и радиусом 8 и примените утверждение
из задачи 1].
3.	Пусть Е— гильбертово пространство, F— всюду плотное линейное
подпространство пространства Е, отличное от Е. Покажите, что в предгиль-
бертовом пространстве F существует такая замкнутая гиперплоскость Н,
что в Г не существует вектора =/=0, ортогонального Н.
4.	Гильбертова сумма гильбертовых пространств
Пусть (fn) — последовательность гильбертовых пространств; ска-
лярное произведение в Еп мы будем обозначать символом (хл | уп).
Пусть Е — множество всех таких последовательностей х =
= (Х], х2.....хп, ...), что хп£Еп при каждом п и ряд (||хл||2)
сходится. Сначала определим на Е структуру векторного про-
странства. Ясно, что если х = (хп)£Е, то последовательность
(Хх2.....Ххл, ...) также принадлежит Е. Если, с другой стороны,
у = (уп) — вторая последовательность, принадлежащая Е, то заме-
тим, что в силу (6.3.1.1) ||хл + Уп||2<2(||хл||2+||ул||2), поэтому
ряд (|| хп -1- уп ||2) в силу (5.3.1) сходится и, значит, последо-
вательность (Xj-(-yj.....хл + ул, ...) принадлежит Е. По опреде-
лению полагаем х -j- у = (хл -j- ул), Хх = (Ххл); проверка аксиом век-
торного пространства тривиальна.
Далее, по неравенству Коши — Шварца
1(хп|уп)|<||х„||. Ы<4(К1|2+ ||У„||2).
Поэтому если х = (хв) и у = (ул)— последовательности, принадле-
жащие Е, то ряд ((хл|ул)) (действительных или комплексных чисел)
абсолютно сходится. Для х = (хп)£Е и у = (у„)€Е' положим, по
ОО
определению, (х |у) = 2 (хп IУп)- Немедленно проверяется, что ото-
Л = 1
бражение (х, у)->(х|у) есть эрмитова форма в Е. Кроме того,
ОО
(х|х)= 2 ||х„||г. поэтому (х|у) есть положительная невырождаю-
л = 1
щаяся эрмитова форма, и она определяет на Е структуру предгиль-
бертова пространства.
Докажем, наконец, что Е в действительности является гильберто-
вым пространством, иными словами, что оно полно. Пусть, в самом
деле, (х(т)) =» (xnm)) — последовательность Коши в Е. Это означает,
что для любого е > 0 существует такое /и0, что при р'^>тй и q tnQ
144
Гл. 6. Гильбертовы пространства
имеем
(6.4.1)	SII4₽)-
П = 1
Отсюда прежде всего следует, что при каждом фиксированном п
выполняется неравенство ||	||2 поэтому последователь-
ность	2 является в Еп последовательностью Коши и, зна-
чит, сходится к некоторому пределу у„. Из (6.4.1) заключаем, что
для любого данного N
N
Л = 1
как только р и q будут ^тп0, поэтому из непрерывности
нормы следует, что при р ^>mQ будет выполняться неравенство
2|1хл₽) — Ул||2<^е. и так как оно верно для любых номеров N,
п = 1
ОО
то —Ул|Г<е- Это, во-первых, доказывает, что последова-
л-1
дельность (x„0> — уп) принадлежит Е, а во-вторых, что при р т0
выполняется неравенство ||х<₽) — у||2^е и, значит, последователь-
ность (х(т>) сходится в £ к у. Утверждение доказано.
Так определенное гильбертово пространство Е называется гиль-
бертовой суммой последовательности гильбертовых пространств (£:„).
Заметим, что каждое из пространств Еп мы можем отобразить в Е,
поставив в соответствие каждому вектору хп £ Еп последовательность
/„(%„)€£, равную (0........О, хп, 0, . ..) (все члены равны 0, за
исключением, n-го, который равен хл). Легко проверяется, что Jn
есть изоморфизм Еп на (необходимо замкнутое) подпространство Е'п
пространства Е‘, Jn называется естественным вложением простран-
ства Еп в Е.
Из определения скалярного произведения в Е следует, что при
тфп, любой вектор из Ет ортогонален любому, вектору из Еп.
Далее, из определения нормы в Е следует, что для любого х =
оо
==(х„)^£ ряд (/п(х)) сходится в Е и х = 2 JAxn) [заметим, что,
л = 1
вообще говоря, ряд (ул(хп)) сходится не абсолютно]. Это доказы-
вает, что (алгебраическая) сумма подпространств Е'п пространства Е
(очевидно, являющаяся ирямой) плотна в Е, иными словами, что
наименьшее замкнутое векторное подпространство, содержащее
все ЕП, есть само Е. Обратное утверждение:
(6.4.2)	Пусть F — гильбертово пространство и (Fn)— такая
последовательность замкнутых его подпространств, что:
4. Гильбертова сумма гильбертовых пространств
145
1°) при тфп любой вектор из Fm ортогонален любому
вектору из Fn;
2°) алгебраическая сумма Н подпространств Рп плотна в F.
Тогда если Е — гильбертова сумма подпространств Fn, то
существует единственный изоморфизм пространства F на Е,
совпадающий с естественным вложением jn подпростран-
ства Fn в Е на каждом Fn.
Пусть Fn = Jn(Fn) и пусть hn — отображение Fn на Fn, обрат-
рое jn. Пусть G — алгебраическая сумма подпространств F„ в Е.
Поскольку эта сумма прямая, мы можем определить линейное отобра-
жение h суммы G в F так, чтобы на каждом Fn оно совпадало с hn.
Докажем, что h есть изоморфизм G на предгильбертово простран-
ство Н [это вместе с тем докажет, что (алгебраическая) сумма под-
пространств Fn является прямой суммой в F], Учитывая определе-
ние скалярного произведения в Е, нам нужно проверить, что
2 хк
Л = 1
п.	\ п
2j у к )= 2 (Л (МЛ (Ук))
Л=1	/	Л=1
при хк £ Fk, ук £ Fk. Но по предположению если hj=k, то (хЛ| ук) = О,
и требуемый результат следует из того факта, что каждое Jk яв-
ляется изоморфизмом.
Теперь в силу (5.5.4) существует единственное непрерывное про-
должение h отображения А, являющееся линейным отображением
G — E в H = F. Из принципа продолжения тождеств (3.15.2) и не-
прерывности скалярного произведения следует, что h есть изомор-
физм пространства Е на подпространство пространства F, которое,
будучи полным и всюду плотным, должно совпадать с F. Изомор-
физм, обратный А, удовлетворяет условиям, указанным в (6.4.2).
Единственность такого изоморфизма вытекает из того факта, что он
полностью определен в Н и непрерывен в F (3.15.2).
При условиях, указанных в (6.4,2), гильбертово пространство F
часто отождествляется с гильбертовой суммой его подпространств Fn.
(6.4.3)	Замечание. Мы можем также доказать (6.4.2), уста-
новив сначала, что сумма подпространств F„ п р‘я м а я. В самом
п
деле, если	= где xi£.Ft	то мы также имеем
i=i	.
( Xj 2 */^=0 при любом и, так как(ху|хг)=0 приэто дает
|| Xj\ 2 = 0 и, значит, Xj = 0 при	Затем определим отобра-
жение g, обратное h так, чтобы оно совпадало с /„ на каждом Fn.
Сразу (как выше) проверяется, что g есть изоморфизм Н на G,
и затем точно так же, как и раньше, применяем (5.5.4),
IQ Ж, Дьедонн»
146
Гл. 6. Гильбертовы пространства
Заметим, что это рассуждение сохраняет силу и в случае, когда
F — предгильбертово пространство, a Fп — его полные под-
пространства. Оно доказывает, что существует изоморфизм простран-
ства Р на подпространство, плотное в гильбертовой сумме Е под-
пространств Fn, причем этот изоморфизм на каждом Fn совпадает с J„.
5.	Ортонормальные системы
Если (в обозначениях 6.4) в качестве каждого Еп мы возьмем одно-
мерное пространство [тождественное полю скаляров со скалярным произ-
ведением (5|т)) = £?)], то их гильбертова сумма даст пример бесконечно-
мерного гильбертова пространства, обычно обозначаемого символом /2
(с индексом R или С, если необходимо указать, какие скаляры).
Пространство Zr (соответственно 1с) есть, таким образом, прост-
ранство всех последовательностей х = (?„) действительных (соот-
ОО
ветственно комплексных) чисел, таких, что ряд У, | Ы2 сходится.
ОО
Скалярное произведение (х|у)= У £„т)п.
Л = 1
Пусть (еп) — принадлежащая /2 последовательность, все элементы
которой равны 0, за исключением n-го, который равен 1. Тогда мы
имеем (еет|е„) = 0 при т=/=п и ||en|| =* 1 при каждом п, а в 6.4 мы
видели, что в этом случае для каждого вектора х = (£п)£12 можно
ОО
написать х = 2 £„еп, где ряд сходится в Z2. Это показывает, что
Л = 1
последовательность (еп) тотальна в I2, и поэтому в силу (5.10.1)
пространство I2 сепарабельно.
Рассмотрим теперь произвольное предгильбертово пространство F.
Будем говорить, что (конечная или бесконечная) последовательность
(а„) в F является ортогональной системой, если (ат|ап) = 0 при
тфп и апфГ> при каждом п. Мы будем говорить, что (а„) — орто-
нормальная система, если, кроме того, ||а„|| = 1 при каждом п.
Из любой ортогональной системы (а„) с помощью „нормировки” мы
сразу получаем ортонормальную систему: достаточно рассмотреть
последовательность векторов Ь„ — а„/\\ап\\.
Мы уже видели пример ортонормальной системы в I2. Вот дру-
гой важный пример.
(6.5.1)	Пусть I — промежуток [—1, 1] действительной прямой R и пусть
F=&c(T) — векторное пространство всех непрерывных на / комплекс-
ных функций. Определим в F скалярное произведение формулой
1
(/|g) = f
—1
5. Ортонормальные системы
147
(тот факт, что это — невырождающаяся положительная эрмитбва
форма, легко проверяется). Пусть для каждого положительного или
отрицательного целого числа п
Легко убедиться в том, что (<рп/1/2)— ортонормальная система в F;
она называется тригонометрической системой.
Пусть теперь (ап) — произвольная ортонормальная система в гиль-
бертовом пространстве F. Для каждого число сп(х) = (х\ап)
называется п-м коэффициентом (или п-й координатой) вектора х
относительно системы (ап) [п-й коэффициент Фурье вектора х
в случае системы (6.5.1)].
(6.5.2)	Пусть (ап)— ортонормальная система в гильбертовом
пространстве F и V — замкнутое подпространство простран-
ства F, порожденное векторами ап. Тогда для любого век-
тора x£F:
ОО
1°) ряд 2 Кх|ап)|2 сходится, причем
У |(х|а„)|2 = !|^(х)||2<Цх1|2 (неравенство Бесселя),
П = 1
И
ОО
S СФЯ) (у I «„)=(*) I pv (у) );
n=i
2°) ряд с общим членом (xfan)a„ сходится в F, причем
ОО
2 (*|л„) an = Pv(x).
п = 1
Наоборот, пусть (Хп) — последовательность скаляров, для ко-
ОО
торой ряд 2 |*я|2 сходится. Тогда существует такой един-
71 = 1	х
ственный вектор y£V, что (у|an) = k„ при каждом п\ любой
другой вектор x£F, для которого (х|я„) = \п при каждом п,
имеет вид x = y-\-z, где вектор z ортогонален V, и наоборот.
Для любого x£F мы можем написать x — Pv(x)-{-z, где век-
тор z ортогонален V (6.3.1), и, таким образом, имеем (х|а„) =
= (Ру(х)\ап). Чтобы доказать теорему, можно, следовательно, счи-
тать, что V = F. Но тогда одномерные подпространства Fn, порожден-
ные векторами ап, удовлетворяют предположениям теоремы (6.4.2), и
требуемый результат (принимая во внимание определение гильберто-
вой суммы) является теоремой (6.4.2), лишь иначе сформулированной
в применении к рассматриваемому частному случаю.
10*
148	Гл. 6. Гильбертовы пространства
Наиболее интересен случай, когда V — F, т. е. когда ортонор-
мальная система (а„) тотальна. В этом случае она называется орто-
нормальным базисом пространства F; система (еп) представляет
такой базис для I2. В (7.4.3) будет доказано, что тригонометри-
ческая система (6.5.1) тотальна.
В случае гильбертова пространства F и тотальной ортонормаль-
ной системы (ап) мы можем всюду в (6.5.2) заменить отображение Pv
тождественным отображением. Тогда равенства
СО
2 |(х|л„)|2 = ||х||2,
. Я = 1
оо
2 ОК)(У|ап) = (*|У)
Л = 1
называются равенствами Парсеваля. Из (6.5.2) сразу следует, что
эти равенства представляют не только необходимое, но и доста-
точное условие того, чтобы система (ая) была тотальной системой
в гильбертовом пространстве.
(6.5.3)	Для того чтобы ортонормальная система (а^) в гиль-
бертовом пространстве F была тотальной, необходимо и до-
статочно, чтобы из выполнения при каждом п условий (х|ап) = О
следовало, что x — Q.
Действительно, в силу (6.5.2) это означает, что из Pv(x) = 0
следует х = 0, а это [так как Pv(x— Рг(х)) = 0] эквивалентно
тому, что V — F.
(6.5.4)	Замечание. Пусть Е — предгильбертово пространство
и ортонормальная система (ап) в Е тотальна. Тогда сохраняют силу
утверждения 1° и 2° теоремы (6.5.2), в которых Pv(x) заменено на х.
Это доказывается аналогично (6.5.2), причем нужно учесть замеча-
ние (6.4.3).
Задачи
1.	Пусть Е— гильбертово пространство с ортонормальным базисом
Пусть А — множество в Е, состоящее из всех линейных комбина-
л	п
ций	(1—где и ХА = 1 (п произвольно).
Л=1	_ ft=1
а)	Покажите, что замыкание А есть множество всех сумм рядов
ОО	со
kn (1— —где ^л>0> РЯД 2^" СХ0ДиТСЙ и имеет сумму,, равную 1.
Л = 1	Л=1
Ь)	Докажите, что диаметр множества А равен 2, но не существует пары
точек а, b множества А, для которых || а — b || = 2 (ср. задачу 2 § 6.3).
6. Ортонормализация
149
2.	Пусть Е— гильбертово пространство с ортонормальным базисом
<ел)л>о- Пусть ап = е2п и bn =	+	е2„+1 при каждом п>0. Пусть А
(соответственно В) — замкнутое векторное подпространство пространства Е,
порожденное векторами ап (соответственно Ьп). Покажите, что:
а)	Л|"]В = {0}, поэтому сумма А + В прямая (алгебраически).
Ь)	Прямая сумма	не является топологической прямой суммой.
[Рассмотрите в этом подпространстве последовательность точек Ьп — ап
и примените (5.4.2).]
с)	Подпространство А В пространства Е плотно, но не замкнуто в Е.
ОО
Покажите, что вектор 2 (^л — ап) не принадлежит Л-|-В.
л=0
3.	Покажите, что банахово пространство & (I1; Z2) можно отождествить
с пространством двойных последовательностей U = (аетп), удовлетворяющих
©О
условиям: Г) ряд 1“тл12 сходится при каждом п; 2°) верхняя грань
m =«0
со	/ со
sup V | amn |2 конечна. Норма в этом случае равна || U || = sup ( V |«mn|2 ) .
m=0	v	n \m«0	/
[Тот же метод, что и в задаче 2, Ь) § 5.7.]
4.	а) Пусть и — непрерывное линейное отображение пространства I2
в себя и пусть «(<?„) = У amnem. Покажите, что ряды I amn I2 и У 1атп1г
гп =0	п-0	т^-0
сходятся при всех значениях типи что их суммы <J|u||2.
[Убедитесь в том, что отображение х -> (и (х) ] ет) является непрерывной
линейной формой в £ и примените (6.3.2).]
Ь) Приведите пример такой двойной последовательности (amn), что
СО	00
2 I атп |2^ 1 И 2 । а»»л I2 •С 1 ПРИ всех значениях т и п, но не суще-
л = 0	т=0
ствует непрерывного линейного отображения и пространства I2 в себя, для
которого для любой пары (т, и) выполняются условия (и (е„) | ет) = ат„.
[Пусть V — подпространство пространства I2, порожденное векторами еп<
где п^Н и Н—множество, состоящее из р целых чисел >0. Покажите,
что существует такое линейное отображение ир подпространства V в себя,
что (ир (е„) | ет) = 1/К р для всех индексов т и п из множества Н, но
11ирЦ>У"р.]
6.	Ортонормализация
(6.6.1)	Пусть Е— сепарабельное предгильбертово простран-
ство, (Ьп)— тотальная последовательность линейно независи-
мых векторов в Е (5.10.1) и пусть V„ — п-мерное подпростран-
ство пространства Е, порожденное векторами bv .... bn.
150
Гл. 6. Гильбертовы пространства
Тогда если мы положим cn=^bn—PVti_x(b^), mo последователь-
ность (сП) будет тотальной ортогональной системой, обладаю-
щей тем свойством, что при каждом п векторы сь ..., сп
порождают Vn.
Проведем индукцию по п, предполагая, что Cj.......сп_х — орто-
гональная система, порождающая Тогда по определению проек-
ции Ру (6.3.1) вектор сп ортогонален Vn_lt откуда следует, что
(d | Cj) = 0 при 1	Далее, так как, по предположению,
то сп^° и поэтому ср .... сп_р сп — ортогональная
система. Кроме того, Ьп —	следовательно, векторы С;....с„
порождают то же подпространство, что и объединение Vn_j и {#„},
т. е. подпространство Vn. Это завершает доказательство.
Нормируя систему (с„), то есть полагая ап = сп/\\сп\\, приходим
к системе (ап), про которую говорят, что она получается из (Ьп) про-
цессом ортонормализации. Например, в пространстве F = <&С(Г),
рассмотренном в (6.5.1), последовательность (tn) тотальна [как будет
доказано в (7.4.1)] и, очевидно, состоит из линейно независимых век-
торов. Если мы обозначим через (Qn) ортонормальную систему, по-
лученную из (/") с помощью ортонормализации, то ясно, что
Qn(t) — antn-\- ... есть многочлен степени п (где an=f=Q) с действи-
тельными коэффициентами. Многочлены Q„ (с точностью до постоян-
ного множителя) равны полиномам Лежандра (см. задачу 1 § 8.14).
(6.6.2)	Любое сепарабельное предгильбертово пространство
(соответственно гильбертово пространство) изоморфно всюду
плотному подпространству пространства Р (соответственно
пространству Р).
Так как в сепарабельном предгильбертовом пространстве в силу
(6.6.1) существует тотальная ортонормальная система, то утвержде-
ние сразу следует из (6.5.2).
Задачи
1.	Пусть Е—сепарабельное неполное предгильбертово пространство.
Покажите, что в Е существует ортонормальная система, которая не тотальна,
но не является собственной частью никакой ортонормальной системы.
[Погрузите Е в гильбертово пространство в качестве его плотного под-
пространства и примените задачу 3 § 6.3.]
2.	Пусть Е — бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство
и V — замкнутое его векторное подпространство. Покажите, что если V
бесконечномерно, то существует изометрия пространства Е на V.
[Запишите Е как прямую сумму V и его ортогонального дополнения V
и возьмите в V и V ортонормальные базисы.]
6. Ортонормализация	151
3.	Пусть (,Xi)l<i<n — конечная последовательность точек в предгиль-
бертовом пространстве Е. Определитель Грама этой последовательности
есть определитель О (xlt х2, ..., х„) = det ((xi I xj)).
а)	Покажите, чтой^р хп):>0и О (х,............хп) = 0 в том и только
в том случае, если векторы X/ линейно зависимы.
[Рассмотрите ортонормальный базис подпространства, порожденного
векторами xz-, и выразите хг как линейные комбинации элементов этого
базиса.]
Ь)	Пусть векторы х/ линейно независимы и пусть V — n-мерное под-
пространство, которое они порождают. Покажите, что расстояние х от V
равно V О (х, .....  хп)/О	(х1г х2..х„).
[Найдите проекцию вектора х на V и запишите ее как линейную ком-
бинацию векторов X;.]
Глава 7
ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
По евоему значению в функциональном анализе пространства непрерыв-
ных функций уступают лишь гильбертовым пространствам. Введение этих
пространств позволяет придать значительно более наглядный смысл класси-
ческому понятию равномерной сходимости. Наиболее важными результа-
тами в этой главе являются:
1°. Теорема Стоуна — Вейерштрасса об аппроксимации (7.3.1), предста-
вляющая мощный инструмент для доказательства общих теорем о непрерыв-
ных функциях. Такого рода теоремы доказываются по следующей схеме:
сначала они устанавливаются для функций какого-либо специального вида,
а затем распространяются на все непрерывные функции с помощью сообра-
жений, связанных с плотностью. .
2°. Теорема Асколи (7.5.7), лежащая в основании большинства доказа-
тельств компактности в функциональных пространствах и вместе с теоре-
мой (7.5.6) мотивирующая введение понятия равностепенной непрерывности.
Последнее понятие играет еще более существенную роль в общей теории
двойственности, упоминавшейся в гл; 5.
В последнем параграфе настоящей главы в качестве полезного техниче-
ского орудия в развитии анализа вводятся функции, которые с классической
точки зрения описываются как «функции с точками разрыва первого рода'.
Стремясь сделать термин более кратким и избежать повторения избитого
слова «regular* (регулярный), автор сделал попытку ввести неологизм
«regulated functions* (соответствующий французскому «fonctions regimes*) '),
который, как он надеется, не будет звучать слишком варварски для читате-
лей, говорящих по-английски.
1.	Пространства ограниченных функций
Пусть А — произвольное множество и F — действительное (соот-
ветственно комплексное) нормированное пространство. Отображение /
множества А в F ограничено, если множество /(А) ограничено в F,
или, что то же самое, если верхняя грань sup ||/(0|| конечна. Мно-
жество &f(A) всех ограниченных отображений множества А
) При переводе был выбран термин «простые* функции. — Прим.перев.
и. ред.
1. Пространства ограниченных функций
153
в F является действительным (соответственно комплексным) вектор-
ным пространством, поскольку ||/ (0-j-g (01КН/(Oil + ||^(0||.
Кроме того,
(7.1.1)
sup ||/(0||
t^A
есть норма в этом пространстве, что можно без труда проверить.
Если F конечномерно и («/)1<z<n — базис пространства F, при-
чем ||az|| = 1, то любое отображение множества А в F может быть
одним и только одним способом записано в виде
(7.1.1.1)	<-*/(0 = /1(0в1+ ... +Л(0«л.
и / ограничено в том и только в том случае, если скалярные ото-
бражения fi (1 I п) ограничены. Кроме того, норма отображения
/->/z(0az равна ||/г(0|| • || «Л = ||/,||, (норма отображения /г берется
в $ц(А), соответственно в ^с(^))- Из (5.9.1), (5.4.2) и (5.5.1)
следует, что существует такая константа с, что для каждого t£A
выполняется неравенство |/z(0| < с-1|/(0||, и, значит, ||/z||Cc* ||/||.
Пусть Lz— подпространство пространства $?Р(А), состоящее из
всех ограниченных отображений вида t -> / (0 at (f скалярно). Тогда,
если снова воспользоваться (5.4.2) и (5.5.1), предыдущие замечания
докажут, что
(7.1.2)	Если F конечномерно, то $Р(А) есть топологическая
прямая сумма подпространств Lt, каждое из которых изо-
метрично &r(A) (соответственно $‘с(А')').
В частности, если мы рассмотрим действительное нормированное
векторное пространство, базисное для пространства ^с(Д)> то уви-
дим, что оно есть топологическая прямая сумма ^к(Л)-]-^к(Д).
(7.1.3)	Если F — банахово пространство, то и $Р(А)— бана-
хово пространство.
Пусть (/„) — последовательность Коши в $?F(A). Это означает,
что для любого е > 0 существует такое п0, что при т п0 и п^>п0
выполняется неравенство ||/т—/„|| Из (7.1.1) следует, что для
любого t£A при т^>п0 и п^п0 имеем ||/ет(0— /„(0IIO, по-
этому, так как F — полное пространство, последовательность (/„(0)
сходится к некоторому элементу g (0 £ F. Далее, по принципу про-
должения неравенств для любого t£A и всех т п0, мы имеем
||/т(0— g(0|| е. Отсюда прежде всего заключаем, что при всех
t£A имеет место неравенство ||g(0||<C||/m|| +6 и, значит, отобра-
жение g ограничено. Кроме того, при всех т^-п0 имеем ||/m—g||
154
Гл. 7. Пространства непрерывных функций
а это значит, что последовательность (/„) сходится в пространстве
^(Л) к g.
Вообще если (/„) — последовательность отображений множества А
в метрическое пространство F, то говорят, что последовательность
(/„) просто сходится в А к отображению g множества А в F,
если для каждого t£A последовательность (/„(О) сходится в F
к g(t). Говорят, что последовательность (/„) равномерно сходится
в А к g, если последовательность чисел (supd(/n(Z), git))) стре-
t^A
мится к 0. Ясно, что из равномерной сходимости следует простая
сходимость; обратное не верно.
Если F — нормированное пространство, то сходимость последова-
тельности элементов пространства $Р(А), таким образом, по опре-
делению, означает равномерную сходимость этой последователь-
ности в А. Точно так же говорят, что ряд (ип), сходящийся в (Л)
к сумме s, равномерно сходится в Л к сумме s.
Если F — банахово пространство, то из (7.1.3) следует: для того
чтобы ряд («„) отображений,, принадлежащих $Р(А), был равно-
мерно сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0
существовал такой номер п0, что при п^п0, и при любом
t £ А выполнялось неравенство
11мл(0Ч~ Йл+1Ю+ • • • +	(011 < г-
Из (7.1.3) и (5.3.2) следует, что если F — банахово Пространство
и если ряд («„) ограниченных функций обладает тем свойством, что
ряд (||ип||) в R сходится, то ряд (и„) сходится равномерно. Кроме
того, так как ||a„(0ll < ||ип||. в Этом слУчае РЯД (“л (О) ПРИ каж'
дом t£A сходится абсолютно. Однако обратное неверно: из этих
Двух последних свойств не следует, что ряд (||и4||) сходится. Чтобы
избежать недоразумений, мы будем поэтому в случае, когда сходится
ряд (||«п||), говорить, что ряд (и„) в &Р(А) сходится нормально,
Подобным же образом определяем нормально суммируемое семей-
ство <их)Ае£ в &F(A) [Z. счетно, ср. (5.3)].
Задачи
1.	Пусть —функций, принадлежащая пространству _$*r(R), равная 1/н
При rt < < n Н- 1 и 0 при всех остальных значениях t. Покажите, что ряд
(«„) сходится равномерно и коммутативно (задача 4 § 5.3) и что при каж»
дОм /CR ряд (un(0) сходится абсолютно, но что вместе с тем ряд (ип) не
сходится нормально.
2.	Пусть А — произвольное множество. Покажите, что отображений
и -> sup и (f) пространства J^R (Л) в R непрерывно.
2. Пространства ограниченных непрерывных функций 155
3.	Пусть Е— метрическое пространство иЕ — нормированное простран-
ство. Покажите, что множество всех отображений f р(Е), колебание
которых (3.14) в каждой точке пространства Е не превосходит данного
числа а > 0, замкнуто в пространстве 33 F (£).
2.	Пространства ограниченных непрерывных функций
Пусть теперь Е— метрическое пространство. Обозначим через
&F(E) векторное пространство всех непрерывных отображений
пространства Е в нормированное пространство F, а через
&р (Е)— множество всех ограниченных непрерывных отображе-
ний Е в F. Заметим, что если Е компактно, то в силу (3.17.10)
87(Е) = 8>(Е), вообще же %р (Е) = Р (Е) Л 33 р (Е). Если , не
сказано противное, мы будем рассматривать ^р (Е) как нормирован-
ное подпространство пространства ЗЗр(Е).
Если F конечномерно, то f непрерывно в том и только в том
случае, если непрерывно каждое из в разложении (7.1.2.1) [см.
(3.20.4) и (5^4.2)]. Замечания, предшествующие (7.1.2), показывают,
что в этом случае ftp1 (Е) есть топологическая прямая сумма конеч-
ного числа подпространств, каждое из которых изометрично (Е)
(соответственно (£)). В частности, базисное действительное нор-
мированное пространство для пространства (Е) есть топологиче-
ская прямая сумма ^r (Е) -|- Z^r (Е).
(7.2.1)	Подпространство &р(Е) замкнуто в $?р(Е)\ иначе го-
воря, предел равномерно сходящейся последовательности огра-
ниченных непрерывных функций есть непрерывная функция.
Действительно, пусть (/п) — последовательность ограниченных
непрерывных отображений пространства Е в F, сходящаяся в 3ffF(E)
к g. Тогда для любого е > 0 существует такой номер nQ, что при
имеет место неравенство ||/„— /7||<О/3. Пусть Zo— произ-
вольная точка пространства Е и V — такая окрестность точки Zo,
что (|/„o(Z) — /я„(4)||"^s/З для любой точки t£V. Тогда, поскольку
для всех t£E имеем |]/По(О — £(0||<^е/3, Для любой точки 1£Е
выполняется неравенство ||g(Z)— £’(^о)|| чт0 и доказывает не
прерывность отображения g.
Хорошо известные примеры (например, х—>х" в [0, 1]) показы
вают, что предел просто сходящейся последовательности не-
прерывных функций может не быть непрерывной функцией. С дру-
гой стороны, легко привести примеры последовательностей непре-
156
Гл. 7. Пространства непрерывных функций
рывных функций, неравномерно сходящихся к непрерывной
функции (см. задачу 2). Однако [см. также (7.5.6)]:
(7.2.2)	(Теорема Дини) Пусть Е—компактное метрическое
пространство. Если возрастающая (соответственно убываю-
щая) последовательность (fn) действительных непрерывных
функций просто сходится к непрерывной функции g, то она
сходится к g равномерно.
Предположим, что последовательность возрастающая. Для каждого
е > 0 и каждой точки t£E существует такой номер п (t), что при
m'^n(t) выполняется неравенство g(f)—fm(f)^-l3- Так как g
и /п(/) непрерывны, у точки t существует такая окрестность V((),
что из t'£V(!) следует | g(t) — g(t')\^ е/3 и \ fn (<)(0~ fn иЮ1<
Се/3. Таким образом, для любой точки !'£V (!) мы имеем g(i') —
fn (t) (О "СВыберем теперь конечное число точек it ££ так,
чтобы окрестности V (it) покрывали Е, и пусть nQ — наибольший
из номеров п(!^. Тогда любая точка !£Е принадлежит по крайней
мере одной из окрестностей V(if), поэтому при п(^> п0 имеют место
неравенства g (!)—fn(i)< g (!) ~ fn(i)<. g (!) —	(0< e. ч. т. д.
Задачи
1.	Пусть £ — метрическое пространство, Г—нормированное простран-
ство и (ип)— последовательность ограниченных непрерывных отображений
пространства Е в F, просто сходящаяся в £ к ограниченному отображе-
нию V.
а) Для того чтобы отображение v было непрерывно в точке ха£Е,
необходимо и достаточно, чтобы дляцпобого е > 0 и любого целого т суще-
ствовали такая окрестность V точки ха и такой номер п > т, что || v (х) —
— ип(•*)НС £ в каждой точке х€ V.
Ь) Пусть Е, кроме того, компактно. Тогда, для того чтобы отображе-
ние v было непрерывно в Е, необходимо и достаточно, чтобы для любого
г > 0 и любого целого т существовало конечное Число таких номеров щ > т,
что для каждой точки х g Е нашелся бы по крайней мере один индекс /,
для которого Ц v (х) — ип^ || < е.
[Примените а) и аксиому Бореля — Лебега.]
2.	Пусть gn (где п — любое целое число > 0)'— непрерывная функция
в R, определяемая следующими условиями: gn(!) = 0 при t<0 и при t2/п,
gn(l/n)=* 1, а в каждом из промежутков [0, 1/л] и [1/л, 2/л] функция g„(i)
имеет вид ctf+P (где а и р— надлежащим образом выбранные константы).
Последовательность (gn) сходится в R к О просто, но сходимость не является
равномерной ни в одном открытом промежутке, содержащем точку ! = 0..
2. Пространства ограниченных непрерывных функций
157
Пусть m rm — биективное отображение множества N на множество Q
ОО
рациональных чисел и пусть fn(t)= 2~mgn (t — rm). Функции fn непре-
m=0
рывны (7.2.1), и последовательность (/„) просто сходится в R к 0, но схо-
димость не является равномерной ни в каком открытом промежутке в R.
Докажите эти утверждения.
3.	Пусть / — компактный промежуток в R и (/„) — последовательность
монотонных действительных функций в I, просто сходящаяся в / к непре-
рывной действительной функции /. Покажите, что функция f монотонна
и что последовательность (/п) сходится в / к f равномерно.
4. Пусть Е—метрическое пространство, F—банахово пространство,
А — множество, плотное в Е, Пусть (/„) — последовательность ограниченных
непрерывных отображений пространства Е в F, для которых сужения ото-
бражений /п на А образуют равномерно сходящуюся последовательность.
Покажите, что последовательность (/„) равномерно сходится в Е,
5. Пусть Е — метрическое пространство й F —нормированное простран-
ство^ Покажите, что отображение (х, «) -> и (х) пространства Е X (£)
в F непрерывно.
6. Пусть Е, Е' — метрические пространства и F—нормированное про-
странство. Для каждого отображения / пространства Еу^Е' в F и каждой
точки у £Е' обозначим через /у отображение х -> f (х, у) пространства Ев F,
а) Покажите, что если f ограничено и каждое из fy непрерывно в Е
и если отображение у -> fy пространства Е' в (£) непрерывно, то f не-
прерывно. Докажите обратное, дополнительно предполагая, что Е компактно.
[Примените задачу 3, а) § 3.20.]
Ь) Пусть Е = Е' — F — ^, ав качестве f (х, у) возьмем функцию sin ху,
которая непрерывна и ограничена в Еу^Е'. Покажите, что отображение
у -> fy пространства Е' в 41^ (£) не является непрерывным ни в одной точке
пространства Е'.
с) Предположим, что’ оба пространства Ен Е' компактны, и для каждого
отображения f р(Еу^Е') обозначим символом / отображение у->/у про-
странства Е' в ‘Sр (Е). Покажите, что отображение /->/ есть линейная изо-
метрия пространства %р(ЕУЕ') на пространство (£)(£').
7. Пусть Е — метрическое, a F—нормированное пространство. Для ка-
ждого ограниченного непрерывного отображения f пространства Е в F
обозначим через О (/) график отображения / в пространстве Е X F.
а)	Покажите, что /-> О (/) — равномерно непрерывное инъективное
отображение нормированного пространства (£) в пространство g (£Х^)
замкнутых множеств произведения Ey^F, рассматриваемое в качестве
метрического пространства с хаусдорфовым расстоянием (см. задачу 3 § 3.16).
Ь)	Пусть Г — образ пространства (£) при отображении f ->G (f).
Покажите, что если Е компактно, то обратное отображение О-1 множе-
ства Г на ?“(£) непрерывно.
[Проведите доказательство от противного.]
158
Гл. 7. Пространства непрерывных функций
с)	Покажите, что в случае, когда £ = [0, 1] и E=R, отображение О-1
не равномерно непрерывно.
8. Пусть Е — метрическое пространство с ограниченным расстоянием d.
Пусть dK для каждой точки х£Е — ограниченное непрерывное отображение
y^>d(x, у) пространства Е в R. Покажите, что есть изометрия про-
странства Е на подпространство банахова пространства (Е).
3. Теорема Стоуна — Вейерштрасса об аппроксимации
Для любого метрического пространства Е векторное простран-
ство %”r(Е) (соответственно ^’с’(Е)) является алгеброй над полем
действительных (соответственно комплексных) чисел. Из (7.1.1) сле-
дует, что в этой алгебре мы имеем ||/£ 11^11/II ' IIАГ II- поэтому
в силу (5.5.1) билинейное отображение (/, g)-> fg непрерывно. Из
этого замечания легко следует, что для любой подалгебры А алгебры
(Е) (соответственно &с (Е)) замыкание А множества А в (Е)
(соответственно в &с (Е)) также есть подалгебра [см. доказательство
теоремы (5.4.1)].
Мы будем говорить, что подмножество А пространства _$*r(E)
(соответственно ^с(^)) отделяет точки пространства Е, если
для любой пары различных точек х и у пространства Е существует
такая функция f£A, что /(x)#= f(y)-
(7.3.1) (Теорема Стоуна — Вейерштрасса) Пусть Е — ком-
пактное метрическое пространство. Если подалгебра
содержит постоянные функции и отделяет точки простран-
ства Е, то множество А плотно в банаховом пространстве
%я(Е).
Иными словами, если S — подмножество пространства S’r (Е),
отделяющее точки, то для любой непрерывной в Е действительной
функции f существует такая последовательность (gn) функций,
равномерно сходящаяся к /, что каждая функция gn может быть
представлена как многочлен относительно функций, принадлежащих S,
с действительными коэффициентами.
Доказательство распадается на несколько шагов.
(7.3.1.1)	Существует возрастающая последовательность дей-
ствительных полиномов (ил), равномерно сходящаяся в про-
межутке [0, 1] к уТ.
Определим ип по индукции, взяв их — 0 и положив
(7.3.1.2)	ип+1(0 = «п(0 + -5-(^ —и^(0) при п>х-
По индукции Докажем, что an+i^'Mn и	в [0, 1]. Из
(7.3.1.2)	видим, что первое утверждение следует из второго. С дру*
3. Теорема Стоуна—Вейерштрасса
159
гой стороны,
Vt - “п+1 (0 = /г - (0 -1 (t - «2 (0) =
= (]Л"-«Я(О)(1	+ МО)).
и из un(t)^yt следует, что у (]/7-{-«„(/))<; ]/7	1. Таким об-
разом, в каждой точке [0, 1] последовательность («„(0) воз-
растает и ограничена и, следовательно, сходится к некоторому пре-
делу v(t) (4.2.1). Но формула (7.3.1.2) дает t — v2(t) = Q, и так
как	то v{t)=yt. Поскольку функция v непрерывна и
последовательность («„) возрастает, из теоремы Дини (7.2.2) следует,
что эта последовательность равномерно сходится к V.
(7.3.1.3)	Для любой функции f функция |/| принадлежит
замыканию А множества А в 8r(£).
Пусть а= ||/||. В силу (7.3.1.1) последовательность функций
и„(/2/а2), принадлежащих А (по определению алгебры), равномерно
сходится в £ к У f2[a2 = | f \ja.
(7.3.1.4)	Для любой пары функций /, g, принадлежащих А,
функции sup(/, g) и inf (_/, g) принадлежат А.
В самом деле, мы можем написать sup (/, g) = i (/ -|-g- -|-
+ 1/ —£|) и inf (/ g) = ^(f + g—таким образом, тре-
буемый результат следует из утверждения (7.3.1.3), примененного
к алгебре А.
(7.3.1.5)	Для любой пары различных точек х, у простран-
ства Е и любой пары действительных чисел а, (3 существует
такая функция f£A, что f(x) — a. и /(у) = р.
По предположению существует функция g£A, для которой
g(x) ¥= £(у)- Так как А содержит постоянные функции, то мы можем
взять /==» + (₽ —a)(g —1)/(8 —1), где 7 = g(x) и 8 = g(y).
(7.3.1.6)	Для любой функции f (^^(Е), любой точки х£Е и
любого е > 0 существует такая функция g£A, что g(x) — f(x)
и что для любой точки у£Е имеет место неравенство g(y)^.
Пусть hz для любой точки z£E есть функция, принадлежащая А
и такая, что йг(х) — f (х) и hz(z) f (2)-j-e/2; существование такой
функции при z — x очевидно, а при z Ф х следует из (7.3.1.5).
160	Гл. 7. Пространства непрерывных функций
Ввиду непрерывности функций f и hz существует такая окрест-
ность V (z) точки z, что при у £ V (д) выполняется неравенство
Покроем Е конечным числом окрестностей V{zt).
Тогда в силу (7.3.1.4) функция g = inf(AzJ принадлежит А и, по-
скольку каждая точка у£Е принадлежит некоторой окрестности
V(гТ), удовлетворяет требуемым условиям.
(7.3.1.7)	А = &К(Е).
Пусть f—произвольная функция из &н(Е). Для любого е>0 и для
каждой точки х£Е выберем функцию gx£ А так, чтобы gx(x)=f(x)
и чтобы для всех точек у £Е имело место неравенство £л-(у)^/(у)~|-е
(7.3.1.6). Тогда ввиду непрерывности функций f и g найдется такая
окрестность U (х) точки х, что для всех точек y£U(x) будет вы-
полняться неравенство gx(y)^>/(у)— е. Покроем Е конечным числом
окрестностей U (х(). Тогда в силу (7.3.1.4) функция ср = sup (gXi)
принадлежит А и (поскольку каждая точка у £ Е принадлежит неко-
торой окрестности U (х^) для всех у£Е будут выполняться нера-
венства /(у)— е ср(у)<^/(У)Ч~е; иными словами, ||/ —
А это показывает, что f принадлежит замыканию множества А,
т. е. самому множеству А.
Соответствующая теорема для ^с(Е) не верна (см. гл. 9);
имеется только более слабый результат:
(7.3.2)	Пусть Е — компактное метрическое пространство. Если
подалгебра А алгебры ^с(Е) содержит постоянные функции,
отделяет точки пространства Е и обладает тем свойством,
что для всякой функции f £А сопряженная функция f также
принадлежит А, то множество А плотно в Й’с(Д)-
Заметим, что для любой функции функции =
и ^/ = (/—/)/2/ также принадлежат А. Поэтому если До — (дей-
ствительная) подалгебра А, состоящая, из действительных функций,
то из определения сразу следует, что Ло отделяет точки простран-
ства Е и содержит (действительные) постоянные функции. - Следо
вательно, Ао плотно в ^(f) и отсюда, поскольку Л = Ао-|-М0,
сразу следует, что А плотно в g’c(£,) = &’R(£')-|-Zg’R(E).
4. Приложения
В теореме Стоуна — Вейерштрасса возьмем в качестве Е любое
компактное множество в пространстве R", а в качестве А — алгебру
сужений на Е многочленов от п координат. Так как у любых
4. Приложения
161
двух различных точек множества Е по крайней мере одна из коор-
динат имеет различные значения, условие об отделении точек Е вы-
полняется. Таким образом, мы получаем классическую теорему Вейер-
штрасса о приближении:
(7.4.1)	Любая действительная непрерывная функция на ком-
пактном множестве Е в пространстве R" является пределом
равномерно сходящейся на Е последовательности многочленов.
Возьмем теперь в качестве Е единичную окружность х2-|-у2=1
в R2, параметризованную углом itt, так что непрерывные на Е функ-
ции могут быть отождествлены с функциями, непрерывными в про-
странстве R и имеющими период 2 (см. гл. 9). В качестве А возьмем
(комплексную) алгебру, порожденную константами и функциями е*“
и е~%11. Ясно, что элементы А—тригонометрические многочлены
2	cne*nit. Так как функция е^* отделяет точки пространства Е,
n=-N
то все условия теоремы (7.3.2) выполнены. Таким образом:
(7.4.2)	Любая комплексная непрерывная функция в R, периода-
ческая с периодом 2, является пределом равномерно схо-
дящейся в R последовательности тригонометрических много-
членов.
Этот последний результат позволяет нам дать доказательство
следующего факта, уже упоминавшегося в 6.5:
(7.4.3)	Тригонометрическая система тотальна в предгильбер-
товом пространстве Р = <&с(Г).
[Это пространство определено в (6.5.1); заметим, что здесь мы
не вводим в #с(С норму (7.1.1).]
В самом деле, для любой функции /С^с(7) и любого целого
числа п > 0 рассмотрим функцию g, равную f при — 1 -|- 1/n t 1,
равную /(1) при t = — 1 и линейную между —1 и —1-|-1/п.
Тогда/(0 —£(0 = 0, если — l-f-1/n, и |/(0 — £(0|< 4ЦД,/
при всех остальных значениях t [символом || •  обозначена норма,
определенная формулой (7.1.1), а символом || • • ||2— предгильбертова
норма]. Следовательно,
1
Il/-£||! = f 1Г(0-£(0|2^<4|И&
-1
иными словами, норма ||/ —g||2 сколь угодно мала. Так как функция g
непрерывна и (поскольку £(1) = £(—1)) может быть продолжена пе-
риодически на всю ось t, то в силу (7.4.2) существует такой триго-
нометрический многочлен ft, что норма ||£ —
сколь угодно мала, и это завершает доказательство.
11 Ж.. Дьедонне
162
Гл. 7. Пространства непрерывных функций
(7.4.4)	Если Е — компактное метрическое пространство, то
пространства	и ^с(Е) сепарабельны.
Так как (Е) есть топологическая прямая сумма пространств
^К(Е) и i^R(E). то нам нужно провести доказательство только
для Й’н(Е). Пусть (U„) — счетная база открытых множеств простран-
ства Е (3.16.2) и пусть gn(f) = d(t, E\Un). Одночлены g“l...ga"
относительно gn также образуют счетное множество (Лл) [ввиду
(1.9.3) и (1.9.4)], а векторное пространство А, порожденное функ-
циями hn, есть подалгебра алгебры %н(Е), порожденная элемен-
тами gn. Если мы докажем, что А плотно в &r(E), то доказатель-
ство будет закончено (5.10.1).
Итак, нам нужно только применить теорему Стоуна — Вейер-
штрасса и, значит, убедиться в том, что семейство (£„) отделяет точки
пространства Е. Но если х=£=у, то существует такая окрестность Uп,
что x£Un и y£U„. Поэтому по определению £л(х)=£0 и gn(y) —
=0, ч. т. д.
Задачи
1.	Пусть Е и F— два компактных метрических пространства и f—не-
прерывное отображение произведения Е'% F в R. Покажите, что для лю-
бого е > 0 существуют такая конечная система (И/)] г < п непрерывных
отображений пространства Е в R и такая конечная система (v^j п
непрерывных отображений пространства F в R, что для любой точки
(х, у) ё E%F выполняется неравенство
п
f<x, у) — 2
е.
[Примените теорему Стоуна — Вейерштрасса к алгебре, порожденной
непрерывными отображениями (х, у) -> и (х) и (х, у) -> v (у), где и £ #R (Е)
и v €	(Е).[
2. Пусть л->гп— биективное отображение множества N на множество
рациональных чисел, принадлежащих промежутку [0, 1] —Z. По индукции
определим последовательность (Z„) замкнутых промежутков, содержащихся
в I и удовлетворяющих следующим условиям: 1°) центром промежутка 1п
является число />л, где kn—наименьший индекс р, для которого число гр
не содержится в Объединении промежутков Гь с индексами h < п; 2°) длина
промежутка 1п < 1/4" и 1п не пересекается ни с одним из промежутков Z*
с h < п. В произведении IX R определим действительную непрерывную огра-
ниченную функцию и, обладающую следующими свойствами: 1°) для каждого
целого числа л>0 отображение х->«(х, п) принимает значение 1 при х = г*л,
равно 0 при х(7п и 0<в(х, л)< 1 во всех точках х ё Z; 2°) для каждой точки
XCZ функция у->и(х, у) в каждом из промежутков ]—со, 0] и [л, n-f-l],
n€N, имеет вид ау-{-р. Покажите, что не существует конечной системы
функций Vi € #R (Z), Wi C R (R) (1 < i < n), для которых в Z X R
и (x,
n
y)—2 vi (*) wi (>)
<=1
1/4.
5. Равностепенно непрерывные множества
163
[Допустим противное; рассмотрим функции ип: х -> и (х, п), принадле-
жащие ^R(l), и заметим, что ||ия[|=1, [|«л — um ||=1 при т±п. Если бы
существовало конечномерное подпространство £ пространства “^(Z), для
которого при каждом п имело место неравенство d (и„, Ey^lJA, то в £
нашлась бы такая бесконечная последовательность (й„), что || hn || = 2
и || hn — hm || > 1/2 при ш^п, что противоречит (5.10.1).]
3.	Пусть £ — промежуток [0, 1] в R.
а)	Покажите, что если а* (1 k С п) — п различных точек проме-
жутка £, то функции х->[х— ah | линейно независимы в ^R(E).
Ь)	Выведите из а), что функция (х, у)->| х— у| в EXE не может
п
быть представлена в виде конечной суммы 2 ti/ (х) wt (у), где Vj и
i = i
непрерывны в £.
4.	Покажите, что банахово пространство (R) не сепарабельно.
[Примените метод, аналогичный тому, которым пользовались в задаче
§ 5.10.]
5.	Равностепенно непрерывные множества
Пусть Н— множество в пространстве $Р(Е) (Е— метрическое
пространство, F — нормированное пространство). Мы говорим, что Н
равностепенно непрерывно в точке х0£Е, если для любого е > 0
существует такое 8 > 0, что из d(x0, х)<| 8 следует ||/(х)— /(х0)||<л
для каждой функции (здесь важно, что 8 не зависит от /).
Далее, И равностепенно непрерывно, если оно равностепенно не-
прерывно в каждой точке пространства Е.
Примеры. (7.5.1) Допустим, что существуют такие две константы с,
а > 0, что для любой функции f £Н и любой пары точек х и у
пространства Е выполняется неравенство ||/(х)—/(у)||«С с • (й(х, у)/.
Тогда Н равностепенно непрерывно.
(7.5.2)	Любое конечное множество функций, непрерывных в точке х0
(соответственно в Е), равностепенно непрерывно в х0 (соответственно
равностепенно непрерывно). Более общее утверждение: любое объ-
единение конечного числа множеств функций, равностепенно непре-
рывных в точке х0 (соответственно равностепенно непрерывных),
равностепенно непрерывно в точке х0 (соответственно равностепенно
непрерывно).
(7.5.3)	Пусть (/„)— последовательность функций, принадле-
жащих ^р(Е), просто сходящаяся к функции g и равносте-
пенно непрерывная в точке ха (соответственно равностепенно
непрерывная). Тогда функция g непрерывна в точке х0 (соот-
ветственно непрерывна).
11*
164
Гл. 7. Пространства непрерывных функций
В самом деле, допустим, что для любой точки х, для которой
d(x, х0)-<8, и любого п выполняется неравенство ||/„(х0)—
— /л(х)11^е- Тогда по принципу продолжения неравенств для
любой точки х, для которой d (х, х0)	8, мы будем иметь
llg’(x) —g(x0)||<e, ч. т. д.
(7.5.4)	В пространстве %™(Е) замыкание любого равносте-
пенно непрерывного множества равностепенно 'непрерывно.
Это сразу следует из (3.13.13) и из доказательства (7.5.3).
(7.5.5)	Пусть F— банахово пространство, (/„) — равносте-
пенно непрерывная последовательность в ^^(Е) и пусть по-
следовательность (fn(x)) для любой точки х множества D,
плотного в Е, сходится в F. Тогда последовательность (/„)
просто сходится к (непрерывной) функции g.
Так как F — полное пространство, нужно лишь доказать, что для
каждой точки х(^Е последовательность (/л(х)) является в У7 после-
довательностью Коши. Для любого е > 0 существует такое 8 > О,
что из d(x, у)С8 следует ||/„(х)— /„(у)|| ^е/Зпри каждом п.
С другой стороны, существует такая точка y£D, что d (х, у) ^8,
и, по предположению, найдется такой номер п0, что при т^п0
и п>-и0 будет иметь место неравенство ||/т(у)— /Л(У)||<С е/3-
Отсюда следует, что при т п0 и п п0 мы будем иметь
II/mW — /яО)1Ке> ч. т. д.
(7.5.6)	Пусть Е —компактное метрическое пространство,
(fn) — равностепенно непрерывная последовательность в &Р(Е).
Если последовательность (/„) сходится в Е к функции g про-
сто, то она сходится к ней в Е равномерно.
Пусть задано е > 0. У каждой точки х £ Е существует такая
бкрестность V (х), что из у£У(х) следует ||/„(х) — 7л(У)||<Се/3
при каждом п. Покроем Е конечным числом окрестностей V(xt).
Выберем номер п0 так, чтобы мы имели ||g(xz) — /л(Х/)||-<е/3 при
п^2>п0 и при всех индексах I. Но любая точка х £ Е принад-
лежит какой-либо из окрестностей V (х{), поэтому при всех п выпол-
няется неравенство ||/л(х) — /n.W)ll^ е/3. и, устремляя п к -j-oo,
получаем ||£(х) — £W)||-<e/3. Таким образом, для любого
и любой точки х£Е мы имеем ||#(х)—/nW||<W ч. т. д.
(7.5.7)	(Теорема Аскол и) Пусть F — банахово простран-
ство и Е — компактное метрическое пространство. Для того
чтобы подмножество И банахова пространства %Р(Е) было
относительно компактно, необходимо и достаточно, чтобы Н
было равностепенно непрерывно и чтобы для каждой точки
х£Е множество Н(х) всех f(x), для которых f£H, было
относительно компактно в F,
5. Равностепенно непрерывные множества
165
Необходимость. Если Н относительно компактно, то для
любого е > 0 существует конечное число таких функций ft £ Н,
что для каждой функции / £ Н найдется индекс I, при котором
II/ — /г11^е/3 (3.17.5). Отсюда прежде всего следует, что для
каждой точки х£Е выполняется неравенство ||/(х)— /г(х)||<|е/3,
и, поскольку F— полное пространство, это ввиду (3.17.5) показы-
вает, что Й(х') относительно компактно. С другой стороны, пусть
V — такая окрестность точки х, что из y£V при каждом I сле-
дует || ft (у) — /i(-v)||^e/3. Тогда для любой функции f
из у£У следует ||/(у) — /(х)||<^е, что доказывает равностепенную
непрерывность множества И.
Достаточность. Так как пространство <tfF(E') в силу (7.1.3)
и (7.2.1) является полным, нам нужно лишь доказать, что Н вполне
ограничено (3.17.5). Возьмем произвольное е > 0. Для каждой точки
х^Е пусть V(х)— такая ее окрестность, что из у£У(х) для всех
f£H следует ||/(у) — /(х)||<; е/4. Покроем Е конечным числом
окрестностей V (х;) (1	Каждое из множеств Н(х^, по пред-
положению, относительно компактно в F, поэтому относительно
компактным будет и их объединение /С Пусть (сД<7<„— такое
конечное подмножество множества К, что каждая точка из К содер-
жится в шаре с центром в одной из точек Cj и радиусом е/4. Пусть
теперь Ф — (конечное) множество всех отображений промежутка
[1, т] в [1, п] (промежутки в N). Для каждого отображения ср £Ф
обозначим через £? множество всех функций f £Н, для которых
при всех Z£[l, /и] выполняется неравенство ||/(хг) — с?(/)||^е/4.
Некоторые из множеств Lif могут оказаться пустыми, но из опре-
деления точек Cj следует, что объединение всех £и покрывает И.
Чтобы завершить доказательство, нам нужно только показать, что
диаметр каждого из множеств £? не превосходит е. Пусть функции
f и g принадлежат £?. Для каждой точки у £ Е найдется такой
номер I, что у£У(хг), и, следовательно, ||/(у) — /(•*:/)||^е/4 и
Цй’(у) — g (хг)||< е/4. Так как по определению множества £ можем
написать ||/(хг)— g (х;)||<Г е/2, то для каждой точки yGE имеем
11/(У) —g(y)||<e, т. е. И/ — £||<е, ч. т. д.
Задачи
1.	Пусть Е— метрическое пространство, F—нормированное простран-
ство и //—ограниченное множество в f (Е). Для каждой точки х^Е
пусть х есть отображение «->«(х) множества Н в F, являющееся непре-
рывным и ограниченным. Покажите, что, для того чтобы Н было равно-
степенно непрерывно в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы отобра-
жение х->х пространства Е в tfp (Н) было непрерывно в точке х0.
166
Гл. 7. П ространства непрерывных функций
2.	Пусть Е—метрическое пространство, F—нормированное простран-
ство и (/ )— равностепенно непрерывная последовательность в #“(£).
Покажите, что множество точек х б Е, для которых (fn (х)) есть последо-
вательность Коши в F, замкнуто в F.
3.	Пусть Е — промежуток [0, оо [ в R и пусть для любого п
/„(/) = sin V^ + 4n27t2
— функция на множестве Е. Покажите, что последовательность (/„) равно-
степенно непрерывна в £ и просто сходится в £ к 0, но не относительно
компактна в пространстве (£).
[Покажите, что если бы она была относительно компактна, то она равно-
мерно сходилась бы к 0.]
4.	Пусть £ — метрическое пространство, £ — нормированное простран-
ство и (/ )—последовательность функций, принадлежащих Vp (£), равно-
степенно непрерывная в точке a £ £. Покажите, что если последователь-
ность (/„ (а)) сходится к Ь € F, то для любой последовательности (хп) в £,
для которой lim хп = а, последовательность (/„ (х„)) сходится в F к Ь.
П~>СО
5.	Пусть £—метрическое пространство и £— нормированное простран-
ство. Будем говорить, что множество Н сг.Ър (£) равномерно равносте-
пенно непрерывно, если для любого е > 0 существует такое 8 > 0, что из
d (х, у) С 8 следует || f (х) — f (у)||< г для каждой функции f £ Н. Любая
функция f равномерно непрерывна; когда Н конечно, верно и обратное:
конечное множество равномерно непрерывных функций равномерно равно-
степенно непрерывно. Покажите, что для множества И, ограниченного
в ‘бр (£), эквивалентны следующие свойства:
а) Н равномерно равностепенно непрерывно;
₽) отображение х->х пространства £ в ‘8’“ (//) (задача 1) равномерно
непрерывно;
у) отображение («, х)->и(х) пространства Ну(Е в F (Н рассматри-
вается как подпространство пространства %р (Е)) равномерно непрерывно.
6.	Пусть £ — метрическое пространство, £ — нормированное простран-
ство и Н—-равномерно равностепенно непрерывное множество в #“(£)
(задача 5). Покажите, что замыкание множества Н в (£) равномерно
равностепенно непрерывно.
7.	Пусть £—компактное метрическое пространство и £ — нормирован-
ное пространство. Покажите, что любое равностепенно непрерывное мно-
жество в %р (£) равномерно равностепенно непрерывно.
8.	Пусть £ — компактное метрическое пространство и £ — банахово
пространство. Покажите, что если множество Н в "йр (£) относительно ком-
пактно, то объединение всех множеств И (х), где х £ £, относительно ком-
пактно в £.
[Примените задачу 5 § 7.2. [
6. Простые функции
167
9.	Покажите, что заключение теоремы Асколи (7.5.7) останется спра-
ведливым, если предположение о том, что Н (х) относительно компактно
в F для всех точек х € Е, заменить предположением, что Н (х) относительно
компактно только для всех точек х б D, где D — множество, плотное в Е,
10.	Пусть Е—метрическое пространство и Н—равностепенно непре-
рывное множество в 'й'д (Е). Покажите, что множество А точек х С Е, для
которых Н(х) ограничено в R, одновременно открыто и замкнуто в Е.
Если Е компактно и связно и если для одной точки х0 € Е множество Н (х0)
ограничено в R, то Н относительно компактно в (Е).
И. Пусть Е — метрическое пространство и Н — равностепенно непре-
рывное множество в #R (Е). Для каждой точки х € Е положим
v (х) = sup f (х), w (х) = inf f (х).
fi.fi	fi.fi
Покажите, что если верхняя грань v (соответственно нижняя грань w)
конечна в некоторой точке х0, то она конечна и непрерывна в некоторой
окрестности точки х0; если v (х0) = -|- со (соответственно w (х0) = — со),
то о(х) = +оо (соответственно w (х) = — со), в некоторой окрестности
точки х0. Заключите отсюда, что множество точек xi_E, для которых v (х)
(соответственно w (х) ) конечно, одновременно открыто и замкнуто в Е.
6.	Простые функций
Пусть / — промежуток в R с началом а и концом b (а или b
или и а и b могут быть бесконечны) и F— банахово пространство.
Мы будем говорить, что отображение / промежутка / в F есть
ступенчатая функция, если существует такая возрастающая ко-
нечная последовательность (хг)0</<п точек промежутка / (замыкания
промежутка / в R), что х0 = а, хп = Ь и что отображение f
постоянно на каждом из открытых промежутков ] х{,
(0</<n —1).
Для любого отображения f промежутка / в F и любой точки
х£/, отличной от Ь, будем говорить, что f имеет в этой точке
предел справа, если существует предел lim /(у); в этом случае
у£Л у>*
у->х
такой предел обозначается символом /(х-|-). Точно так же для
каждой точки х£/, отличной от а, мы определяем предел слева
отображения f в точке х и обозначаем его символом f (х—); эти
пределы мы называем также односторонними пределами отобра-
жения /.
Отображение f промежутка I в F называется простой функ-
цией, если оно имеет односторонние пределы в каждой точке про-
межутка /. Ясно, что каждая ступенчатая функция является простой-
168
Гл. 7. Пространства непрерывных функций
(7.6.1)	Для того чтобы отображение f компактного проме-
жутка I = [а, Ь] в F было простым, необходимо и достаточно,
чтобы f было пределом равномерно сходящейся последова-
тельности ступенчатых функций.
Необходимость. Для каждого целого и>0 и каждой точки
x£Z существует такой открытый промежуток У(х) = ]у(х), z(x)[,
содержащий х, что ||/(s) — f (/)||1 [п, если обе точки $ и t при-
надлежат ]у(х), x[RZ или обе они принадлежат ]х, .г(х)[[")/.
Покроем Z конечным числом промежутков V (xz), и пусть
(''Axjcm— строго возрастающая последовательность, состоящая
из точек a, b, xt, у(х^) и z(xt). Так как каждая точка Cj содер-
жится в некотором промежутке V (xz), то су-+1 либо принадлежит
тому же промежутку V (xz), либо же мы имеем Cj+l = z(xl) (где
J ^.т—1). Иными словами, если точки s и t принадлежат одному
и тому же промежутку ] с^ с;+1[, то ||/($) — /(/)||<; l/п. Пусть
теперь gn — ступенчатая функция, равная f в точках Cj и в сере-
дине каждого промежутка ] Cj, Cj+1 [ и постоянная в каждом из этих
промежутков. Ясно, что ||/ — g’JI-C 1//г.
Достаточность. Пусть f — предел равномерно сходящейся
последовательности (/„) ступенчатых функций. Для каждого е > О
существует такое п, что ||/ — /п||^е/3- Далее, для каждой точки
x£Z найдется такой промежуток ] с, d{, содержащий х, что
||/„($)— fn(Z)||<Cе/3, если обе точки s и t содержатся в ] с, х[-
или обе они содержатся в ]х, d[. Поэтому при том же предполо-
жении ||/($) —	и, поскольку F— полное пространство,
это доказывает существование односторонних пределов отображе-
ния f в точке х (3.14.6).
Теорему (7.6.1) можно сформулировать по-другому, сказав, что
множество простых функций замкнуто в $Р(Е) и что множество
ступенчатых функций плотно в множестве простых функций.
(7.6.2)	Любое непрерывное отображение промежутка ZczR
в банахово пространство является простым', любое монотон-
ное отображение промежутка / в R является простым.
Это следует из определения, если принять во внимание (3.16.5)
и (4.2.1).
Задачи
1.	Пусть /—простое отображение промежутка ZczR в банахово про-
странство F. Покажите, что образ / (Н) каждого компактного подмноже-
ства Н промежутка 1 относительно компактен в F. Приведите пример,
показывающий, что образ / (Н) может быть не замкнут в F.
2.	Функция / (х) = х sin-i-при х/=0 и /(0) = 0 непрерывна и, значит,
проста в Z = [0, 1]; функция g (х) = sign х (g (х) = 1 при х > 0, g (0) = 0,
6. Простые функции
169
g (х) = —'l при х < 0) проста в R, но сложная функция g о f не является
простой в I.
3.	Пусть 1~[а, 6] — компактный промежуток в R. Функция ограни-
ченной вариации в I есть отображение f промежутка I в банахово про-
странство F, обладающее ' следующим свойством: существует такое число
V^O, что для любой строго возрастающей конечной последовательности
точек промежутка I имеет место неравенство
Л-1
2 ||/(/г+1)-/аг)н< V.
»=о
а)	Покажите, что множество f (I) относительно компактно в F.
[Докажите от противного, что /(/) вполне ограничено.]
Ь)	Покажите, что f — простая функция в I.
[Примените а) и (3.16.4).]
с)	Функция, равная х1 sin при х =# 0 и 0 при х = 0, не является
в I = [0,1] функцией ограниченной вариации, несмотря на то, что она имеет
производную в каждой точке промежутка I.
Глава 8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Эта глава содержит лишь элементарные теоремы дифференциального
исчисления, но способ, которым они излагаются, вероятно, окажется новым
для большинства читателей.
Такое изложение, строго соответствующее нашей общей „геометри-
ческой" точке зрения на анализ, имеет целью как можно ярче и выпуклее
оттенить основную идею. дифференциального исчисления, а именно идею
„локального" приближения функций линейными функциями. В клас-
сическом преподавании анализа эта идея с самого начала затемняется тем
случайным фактом, что между линейными формами в одномерном векторном
пространстве и числами существует взаимно однозначное соответствие.
Поэтому производная в точке определяется в классических курсах анализа
не как линейная форма, а как число. Рабское подчинение фетишу
числовой интерпретации, чего бы это ни стоило, приносит намного больше
вреда, когда такая интерпретация распространяется и на функции нескольких
переменных. Именно так, например, обстоит дело с теоремой (8.9.2), выра-
жающей частные производные сложной функции. Ее классическая запись
лишена какой бы то ни было наглядности, в то время как эта теорема,
конечно, состоит в том, что (полная) производная композиции функций есть
композиция их производных (8.2.1) — весьма естественная формулировка
для того, кто привык рассуждать в терминах линейных приближений.
Такие „внутренние" формулировки определений и теорем анализа в от-
личие от рутины классических формул требуют, несомненно, известного
умственного напряжения, обусловленного большой „абстрактностью" и
в частности, тем, что приходится вновь и вновь покидать исходное про-
странство и взбираться все выше и выше в новые „функциональные про-
странства" (особенно в теории производных высшего порядка). Но резуль-
тат вполне заслуживает потраченного труда, так как он подготавливает
к усвоению более общей идеи анализа — идеи дифференцируемого много-
образия. Читатель, желающий познакомиться с этой идеей и с вопросами,
к которым она приводит, может обратиться к книгам Шевалле [9] и
де Рама [12]. Конечно, он заметит, что все встречающиеся в этих прило-
жениях векторные пространства имеют конеяную размерность. Разу-
меется, это дополнительное предположение можно при желании сделать и во
всех теоремах настоящей главы. Однако читатель сам увидит, что теоремы
от этого не сделаются ни на йоту короче или проще. Иными словами, предпо-
ложение о конечной размерности для рассматриваемого материала абсолютно
несущественно. Поэтому лучше вообще обойтись без такого ограничения,
1. Производная непрерывного отображения	171
хотя приложения дифференциального исчисления к конечномерному случаю
намного превосходят остальные как по числу, так и по важности.
Формальные правила дифференциального исчисления выводятся в 8.1—8.4.
Остальные параграфы этой главы посвящены различным приложениям, по-
жалуй, самой полезной теоремы анализа — теоремы о среднем значении, до-
казываемой в 8-5. Читатель заметит, что формулировка этой теоремы (кото-
рая дается для вектор-функций) по форме отличается от классической теоремы
о среднем значении (для действительных скалярных функций), обычно запи-
сываемой в виде равенства f (b) — f (а) = f (с) (Ь — а). Неудобства этой
классической формулировки состоят в следующем:
1°) нет ничего на нее похожего, если f принимает векторные значения;
2°) в ней полностью затушевывается тот факт, что о числе с не известно
ничего, кроме того, что оно лежит между а и Ь.
Между тем для большинства приложений нужно знать только то, что f (с)
есть число, заключенное между нижней и верхней гранями производной f'
на промежутке [а, 6], а вовсе не то, что это и в самом деле значение произ-
водной. Иными словами, настоящая природа теоремы о среднем значении
выявляется, если записать ее не в виде равенства, а в виде неравенства.
Наконец, читателю бросится в глаза отсутствие интеграла Римана,
составляющего освященный временем раздел курса анализа. Можно быть уве-
ренным, что если бы этот раздел не носил столь авторитетное имя, он давно
был бы исключен из 'курсов анализа, ибо любому работающему математику
(при всем уважении к гению Римана) совершенно ясно, что в наши дни эта
„теория* может претендовать лишь на место не слишком интересного упраж-
нения в общей теории меры и интеграла. Только упрямый консерватизм
педагогической традиции сохраняет интеграл Римана как полноправную часть
учебной программы, хотя давно уже он пережил свое историческое значение.
Конечно, чтобы избежать каких бы то ни было рассуждений из теории
меры, вполне возможно ограничить процесс интегрирования классом функ-
ций, достаточно широким для всех целей элементарного анализа (иа уровне
нашего курса), но достаточно близким к классу непрерывных функций.
Именно это мы и сделали, определив только интеграл от простых
функций (иногда называемый интегралом Коши). В случае когда требуется
более мощный инструмент, не имеет смысла останавливаться на полпути,
и единственное разумное решение дает общая теория (лебеговСкого) инте-
грирования.
1. Производная непрерывного отображения
Пусть Е, F — банаховы пространства (оба действительные или же
оба комплексные) и А — открытое множество в Е. Пусть f и
g— дВа непрерывные отображения множества А в F. Будем говорить,
что / и g карательны в точке х0 £ Л, если
н/(*) —g(*)ll
IIX — Х0 II
= 0,
lim
Х-^Хц, X =рха
172
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
откуда, конечно, следует, что f (х0) = g (х0). Заметим, что это опре-
деление зависит только от топологий пространств Е и F, потому
что если / и g касательны при данных нормах в пространствах Е
и F, то они останутся касательными и при эквивалентных нор-
мах (5.6). Если f и g касательны в точке х0 и g и h касательны
в точке х0, то, как следует из неравенства
||f (х) — h(х)|К||f (x) — g(x)||4- ||g(x) — h(x)||,
отображений f и h касательны в точке x0.
Среди всех функций, касательных к функции / в точке х0,
существует не больше одного отображения вида х->/(х0)4"
4~и(х — х0), где и линейно. В самом деле, если две такие функ-
ции х -> f (х0) 4- «1 (х—х0) и х->/(х0)4-«2(х — хо) касательны
в точке х0, то для линейного отображения v = их — и2 это означает,
что lim ||‘»(У)||/||У|| — 0. Но отсюда следует, что т» = 0. Дей-
у->о, у=£о
ствительно, если задать произвольное е > 0, то найдется такое г > 0,
что при ||у || г будет выполняться неравенство ||® (у)|| е ||у,||.
Это последнее неравенство будет справедливо и для любой точки х=£0,
в чем можно убедиться, применив его к у = гх/|]х||. Так как е
произвольно, то мы видим, что v(x) = 0 для любой точки х.
Будем говорить, что непрерывное отображение f множества А
в F дифференцируемо в точке х0£А, .если существует такое
линейное отображение и пространства Е в F, что отображение
х->/(х0)4-«(х — х0) касательно к f в точке х0. Мы уже видели,
что такое отображение в этом, случае единственно; оно назы-
вается производной (или полной производной) отображения f
в точке х0 и обозначается символом /'(-^о) или D/(x0).
(8.1.1) Если непрерывное отображение f множества А в про-
странство F дифференцируемо в точке х0, то производная f' (xQ)
является непрерывным линейным отображением простран-
ства Е в F.
Пусть u — f'(xQ). Если задано е > 0, то существует такое г,
что 0.< г < 1 и что из ||£|| О следует ||/(х0+*)— /(х0)|| -Се/2
и l|A*o+*)~/(*о) —»(*)ll <е11*11/2- Поэтому из |4|Кг следует
IIи (011 что в силу (5.5.1) доказывает непрерывность отобра-
жения и.
Производная непрерывного отображения f множества А в F
в точке х0£А (когда она существует) является, таким образом,
элементом банахова пространства ^F(E',F) [см. 5.7],
а не пространства F. Ниже для любого отображения и^^(Е; F)
и точки t£E вместо и (/) мы будем писать и • t. Напомним (5.7),
что ||« • *|| < ||«|| • 11*11 И ||«|| = sup ||и • /||.
У1К1.
В случае когда Е имеет .конечную размерность n, a F— конеч-
ную размерность /и, производную f (х0) можно, таким образом,
1. Производная непрерывного отображения
173
отождествить с матрицей, имеющей m строк и п столбцов. Эта
матрица будет определена в (8.10).
Примеры (8.1.2) Постоянная функция дифференцируема
в каждой точке множества А, и ее производная есть элемент 0 про-
странства S (Е; F).
(8.1.8) Производная непрерывного линейного отображения и
пространства Е в F существует в каждой точке х£Е и
D«(x) = и.
Действительно, по определению и(х0)-]-и(х—х0) = и(х).
(8.1.4) Пусть Е, F и G—три банаховых пространства и
(х, у)->[х-у]— непрерывное билинейное отображение про-
странства EXF в О. Тогда это отображение дифференци-
руемо в каждой точке (х, у)£ЕХТ и его производная есть
линейное отображение (s, t) -> [х • t] -j- Is • У1-
В самом деле, мы имеем
К* ~Н)  (у + 01 — [х • у] — [х • /] — [s • у] = [а • Л.
и по предположению существует такое число с > 0, что ||[а- ЛII
< с  ||а|| • ||Л| (5.5.1). Поэтому для любого е > 0 из sup (j|s||, |]/||) =
T=.II(S’ 0li<^e/c следует, что
1![(х + д)-(у + Л1 —[x-у] —[х-Л —[Д-У]II
11(5.011	’
и наше утверждение доказано.
Этот результат легко обобщается на случай непрерывного поли-
линейного отображения,
(8.1.5) Пусть F — Fj X F2 X • •. X Fm — произведение банаховых
пространств и f —	..., /т) — непрерывное отображение
открытого в пространстве Е множества А в пространство F.
Для того чтобы f было дифференцируемо в точке х0, необхо-
димо и достаточно, чтобы каждое отображение fL было диф-
ференцируемо в точке х0; в этом случае f (х0)=(/{(х0) f'm (х0))
{считая, что S {Е; F) отождествлено с произведением про-
странств S{E\- Fi)).
Действительно, любое линейное отображение и пространства Е
в F единственным образом можно записать в виде a = («j.«от),
где ut — линейное отображение пространства Е в Ft, и, по опреде-
лению, мы имеем тогда ||и (х) || — sup (||«1(х)||, .... || ит (х)||). Отсюда
[в силу (5.7.1) и (2.3.7)] следует, что ||«|| =sup(||«1||.||«т||), и
это позволяет отождествить пространство S{E~, F) с произведением
т
JJ_S(E; F(). Из определения сразу следует, что и является произ-
м
174
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
водной отображения f в точке х0 в том и только в том случае,
если и; является производной отображения-/г в точке х0 при 1 I т.
Пусть Е, F — комплексные банаховы пространства и Ео, Fo — ба-
зисные для них действительные банаховы пространства. Тогда если
отображение f множества А, открытого в пространстве Е, в F диф-
ференцируемо в точке х0, то оно также дифференцируемо и имеет
ту же самую производную и как отображение множества А в Fo
(линейное отображение пространства Е в F будет линейным и как
отображение пространства Ей в Fo). Но обратное не верно, как
сразу показывает пример отображения z —>z пространства С в себя.
В качестве отображения пространства R2 в себя отображение и : z -> z
(которое можно записать в виде (х, у)->(х, —у)) дифференци-
руемо и в силу (8.1.3) имеет в каждой точке производную, равную и;
но и не является комплексным линейным отображением, откуда
и следует наше утверждение. Мы вернемся к этому вопросу
в гл. 9 (9.10.2).
Когда отображение / множества А в F дифференцируемо в каждой
точке множества А, оно называется дифференцируемым в А. Ото-
бражение х—> f' (x) — Df (х) множества А в JF(E; F) обозначается
символом f' или D/ и называется производной отображения f
в множестве А.
2. Формальные правила дифференцирования
(8.2.1) Пусть Е, F и G — три банахова пространства, А — от-
крытая окрестность тонки х0£Е, f — непрерывное отображе-
ние окрестности А в F, у0 — f (х0), В—открытая окрестность
точки у0 в F и g — непрерывное отображение окрестности В
в G. Тогда если f дифференцируемо в точке х0 и g дифферен-
цируемо в точке у0, то отображение h = g°f (которое опре-
делено и непрерывно в некоторой окрестности точки х0) диф-
ференцируемо в точке х0 и
ft'(.xo) = g'(yo)°f,(xo')-
По предположению для заданного е > 0, удовлетворяющего усло-
вию 0<е<1, найдется такое г > 0, что при ||s|| <4 г и ||/||
мы можем написать
/ (х0 + «) — f (х0) + f (х0) • s 4- 01 (s),
g (Уо +*) = g (Уо) + g' (Уо)  * + о2 (О.
где HOj($)|| е ||$|| и ||о2(0||	е1И1- С другой стороны, в силу
(8.1.1) и (5.5.1) существуют такие числа а и Ь, что для любых s
и t
*!l OIHI и 11£'(Уо)-Л1
2. Формальные правила дифференцирования	175
Следовательно, при ||s||^r
||/'(аг0) • « + oi(s)|| <(а+ 1)||$||.
Таким образом, при |js]| О/(а-|-1) имеем
И
||£'(Уо)- 01 (S)ll < М 5II-
Поэтому можно написать
/z(x04-s) = £(yo + /'(x0) • sH-01(s)) =
= g (Уо) + g' (Уо) • (f (*о) -!)+о3 (S),
где ||о3($)||	1)е||$||, и теорема доказана.
Теорема (8.2.1) имеет, конечно, бесчисленное множество прило-
жений, из которых мы упомянем только следующее:
(8.2.2) Пусть f и g— два непрерывных отображения откры-
того множества А пространства Е в F. Если fug диффе-
ренцируемы в точке х0, то f-\-g и а/ (а — скаляр) дифферен-
цируемы в точке х0, причем (J g)' (xQ) = f (x0)-j- g' (xo) и
(а/)'(х0) = а/' (х0).
Отображение f-\-g есть композиция отображения («, v)->w-]-v
пространства F X F в F и отображения х -> (/ (х), g (х)) мно-
жества А в F X F. Оба эти отображения в силу (8.1.3) и (8.1.5)
дифференцируемы, и наше утверждение (относительно f-{-g) сле-
дует из (8.2.1). Для отображения а/ рассуждение еще проще ввиду
того, что отображение и—>а.и пространства F в себя в силу (8.1.3)
дифференцируемо. Разумеется, теорему (8.2.2) можно очень просто
доказать и непосредственно.
Пусть Е, F—два банаховых пространства, А — открытое мно-
жество в £ и В — открытое множество в F. Если А и В гомео-
морфны и если существует дифференцируемый гомеоморфизм /
множества А на В, то отсюда н е следует, что для каждой точки х0 £ А
производная /'(х0) является линейным гомеоморфизмом простран-
ства Е на F (рассмотрите, например, отображение простран-
ства R на себя).
(8.2.3) Пусть f — гомеоморфизм открытого множества А ба-
нахова пространства Е на открытое множество В банахова
пространства F и g — обратный гомеоморфизм. Пусть ото-
бражение f дифференцируемо в точке х0 и f (хй) есть линей-
ный гомеоморфизм пространства Е на F. Тогда отображе-
ние g дифференцируемо в точке у0 — /(х0) и g' (у0) является
отображением, обратным отображению f{Xg) [ср. (10.2.5)].
176
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
По предположению отображение s—>f(x0-l~s)— /(х0) есть
гомеоморфизм некоторой окрестности V точки 0 в £ на некоторую
окрестность W точки 0 в £ и отображение ^->£(Уо+^) — ё(Уо)
является обратным гомеоморфизмом. По предположению линейное
отображение пространства Е на F имеет обратное отображе-
ние и, которое непрерывно, и поэтому в силу (5.5.1) существует*
такое с > 0, что для любой точки t£F выполняется неравенство
||«(0|| <с||И1- Возьмем произвольное е, удовлетворяющее условию
О <е < 1/2с. Тогда найдется такое г > 0, что если мы напишем
/(х0-|-$) — /(х0) = /'(*0) •	°i(s)> то из ||s|| О будет следо-
вать ЦоДв)!! -Се||®||- Пусть теперь г' — такое число, что шар ||£||
содержится в W и что его образ при отображении t ~>g (уо + О_£ (Уо)
содержится в шаре ||$|| <г. Пусть z = g(y0-±-t)— g(y0)- По опре-
делению из этого равенства при ||£|| следует, что t = /(Xo + 2) —
—/(х0), и> так как 11г11 мы можем написать t = f' (х^)-г~\- ol(z),
где Hoj^lKe ||z||. Отсюда по определению и имеем
и  t =	(х0)  z) 4- и • оJ (г) = z -|- и • Oj (z),
причем ||a.ojz)|| <t||Oi(z)|| <ce||z|| < ||z||/2 и, значит, ||и-#||>
> ||z||— ||z||/2 = ||z||/2. Следовательно, ||z|| < 2||и • f|| < 2с||/||,
и, наконец, || и • ог (z)|| ^ce||z|| <1 2с2е[|£||. Таким образом, мы дока-
зали, что из || *|| <г' следует ||g(y0-|-f) — g(y0) — а • f|| <2с2е||/||,
и, поскольку е произвольно, это завершает доказательство.
Теорему (8.2.3) можно также (при тех же предположениях) запи-
сать в виде
(8.2.3.1)	(/'1)'(/(^о)) = (/(^)Г1.
За дачи
Г. Пусть Е—действительное предгильбертово пространство. Покажите,
что отображение х-> || х|| пространства Е в {^ дифференцируемо в каждой
точке х Ф 0 пространства Е и что его производная в такой точке есть
линейное отображение s -> (s | х)[1| х ||.
2.	а) Покажите, что норма х-> ||х|| в пространстве (с0) Банаха
(задача 5 § 5.3) дифференцируема в точке х = ($„) в том н только в том
случае, если существует такой номер п0, что при каждом п > п0 выпол-
няется неравенство | J > | /. Вычислите производную.
Ь) Покажите, что Йорма х-> ||х|| в пространстве I1 Банаха (задача
1 § 5.7) не дифференцируема ни в одной точке.
[Воспользуйтесь (8.1.1) и задачей 1, с) § 5.7.]
3.	Покажите, что в пространстве tfR(Z), где 1= [0, 1], норма х -> ||х||
не дифференцируема ни в одной точке.
4.	Пусть f — дифференцируемая действительная функция, определенная
в открытом множестве А банахова пространства Е.
3. Производные в пространствах непрерывных линейных функций 177
а)	Покажите, что если в точке ха£А функция f достигает относитель-
ного максимума (задача 6 § 3.9), то D/ (х0) =0.
Ь)	Пусть Е конечномерно, А — относительно компактно, функция f опре-
делена и непрерывна на Л" и равна 0 на границе множества А. Покажите,
что существует точка х0 С А, в которой D/ (х0) = 0 (теорема Ролля).
[Примените а) и (3.17.10).]
3.	Производные в пространствах непрерывных
линейных функций
(8.3.1)	Пусть Е, F и G— три банаховых пространства. Тогда
отображение (и, v)—>vou (обозначаемое также через vu)
произведения .&(£, РУХ.ЗЧР', G) в ^(Е; G) дифференцируемо,
и его производной в точке (и0, Dq) является отображение
(S, t) -> о S t о Uo.
Если мы заметим, что в силу (5.7.5) отображение (и, v)-*-v°u
билинейно и непрерывно, то станет ясно, что наше утверждение
является частным случаем теоремы (8.1.4).
(8.3.2)	Пусть Е и F — такие два банаховых пространства,
что существует по крайней мере один линейный гомеоморфизм
пространства Е на F. Тогда множество всех этих линей-
ных гомеоморфизмов открыто в ^(Е; F); отображение и->и~х
множества на множество линейных гомеоморфизмов
пространства F на Е непрерывно и дифференцируемо, и про-
изводная отображения и—ж-1 в точке и0 есть линейное ото-
бражение $->—о s о и"1 (пространства ^(Е-,Р) в J? (F-, Е)).
Рассмотрим сначала случай, когда F — E, и обозначим через 1
тождественное отображение пространства Е1). Тогда
(8.3.2.1)	Если ||®||<1 в ^(Е-, Е), то линейное отображение
l-4-ia является гомеоморфизмом', обратное к нему отобра-
жение (1-j-ia)-1 равно сумме абсолютно сходящегося ряда
со
У (—и имеет место неравенство
п=0
(8.3.2.2)	|| (1 -J- W)~x - 1 -|- w j <	.
N
Имеем 2 ||®||n = (l — WO/U-MX 1/(1"- IHI). поэтому
л=0
В силу (5.7.5), (5.3.1), (5.3.2) и (5.7.3) ряд У, (—1)"тг/л абсолютно
л=0 
’) Таким образом, символом 1 обозначается и число 1 и тождественное
отображение. — Прим, перев.
12 Ж. Дьедонне
178
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
сходится в JF(E; Е), Кроме того,
(1—}—та)(1—та-j-W2-]- ... -|-(—1)Л’1t>N) =
= (1 —W-)-W2-|- ... +(—1)л'тал')(1 -j-w) = 1 —WN + 1,
и так как w'v+1 стремится к 0 вместе с 1/W, то по определению
ОО
и в силу (5.7.5) для элемента v=2(—1)" та" пространства „g* (Е; Е)
п = 0
имеют место равенства (1-|-та)'У = 'У(1-|-та)= 1, и первые два
утверждения доказаны. Неравенство (8.3.2.2) следует из соотношения
(l-j-та)-1 — 1-|-та = та2(1—та-|-та2-4- ...) и из (5.7.5) и (5.3.2).
Рассмотрим теперь в теореме (8.3.2) общий случай. Пусть эле-
мент s£j?(E; F) удовлетворяет условию ||$|| • |«-1||<1. Тогда ввиду
(5.7.5) и (8.3.2.1) элемент 1*5 пространства J? (Е; Е) имеет
обратный, и так как мы можем написать и0-ф- s = и0(1 -f- w^s),
то это верно и для элемента u0-|-s, обратным к которому является
элемент (1\ Поэтому
('“о + ^Г1 —“о-1 = (0 + “о’’*)'1 — 0 “o'*
Применяя (8.3.2.2) к w = u^1s. при ||s|| < 1/||И”1|| получаем
f
|(ио+О
IkT-hii2
1 — II«о-1 II I'4 sИ '
Следовательно, если взять 1/2|| то мы будем иметь
I (“о + *)"* “ ио“’ + “o'suo' I < c II* II2’
где с = 21| Uq1 I]3, и это завершает доказательство.
4. Производные функций одной переменной
Если в качестве Е взять одномерное векторное пространство
(отождествленное с R или С), то, отождествляя вектор b£F с ли-
нейным отображением	пространства Е в F, мы естественным
образом отождествляем пространство ^{Е\ F) с самим простран-
ством F (5.7.6). Если f — дифференцируемое отображение открытого
множества АсЕ в F, то его производная D/(E0) в точке £0£Л
отождествляется тогда с вектором пространства F, а отображение
D/ — с отображением множества А в F. Если само F одномерно
(отождествлено с R или С), то мы получаем классический случай
производной (в точке) как числа. Общие результаты, установленные
выше, превращаются в этом последнем случае в классические фор-
мулы дифференциального исчисления. Например, когда Е и F одно-
4. Производные функций одной переменной	179
мерны, (8.3.2) сводится просто к теореме о том, что при £ #= О
производная функции 1Д равна —1/£2. Сформулируем следствие из
теоремы (8.2.1):
(8.4.1) Пусть Е и F— два действительных (соответственно
комплексных) банаховых пространства, f — диффе ренцируемое
отображение открытого множества А пространства Е в F
и g— дифференцируемое отображение открытого множества /
пространства R (соответственно С) в А. Тогда производная
в точке 1(^1 сложного отображения h — f°g множества I
в F есть вектор из F, равный Df (g (f))  g'(%).
Напомним, что g'(t) принадлежит Е, a T>f(g(ty)— про-
странству ^(Е; F).
Замечание. Пусть F — комплексное банахово пространство
и f — дифференцируемое отображение открытого множества Лег С
в F. Его производная в точке z £ А отождествляется тогда с век-
тором пространства F. Пусть теперь g—дифференцируемое отобра-
жение открытого множества /cR в пространстве С (рассматриваемое
как базисное двумерное действительное векторное пространство).
Тогда fog есть дифференцируемое отображение множества I в ба-
зисное действительное банахово пространство Ро пространства F и
теорема (8.4.1) показывает, что его производная в точке ££/ равна
g' (?) D/ (g (У) (напомним, что здесь g' (?) есть комплексное число).
В случае когда Е = R и F — действительное банахово
пространство, понятие производной может быть значительно обобщено:
для любого множества JczR и любой точки ?0£ J, являющейся точкой
прикосновения множества J\ {50}, мы можем определить производ-
ную отображения f множества J в F в точке ?0 (относи-
тельно множества J) как предел
11ш .
Е->Ео, £€/\{Ео} S —
если он существует. В этом случае мы говорим, что / дифферен-
цируемо в точке ?0 относительно J.
Будем рассматривать только случай, когда J—промежуток в R.
Тогда во внутренней точке промежутка J производная относи-
тельно J совпадает (если она существует) с обычной производной.
Производная отображения / относительно J в начале а (соответ-
ственно конце Р) промежутка J, если а (соответственно р) прина-
длежит J, называется также правой (соответственно левой) произ-
водной отображения f в точке а (соответственно р) и обозначается
символом f'd(a-) или D+/(a) [соответственно /^.(Р) или D_/(P)j.
Теорема (8.4.1) остается справедливой и в предположении, что
/ — промежуток и g имеет производную относительно / в точке £.
В этом случае, если / дифференцируемо в А, отображение f ° g
12*
180
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
имеет в точке £ производную относительно / и ее можно найти
по той же формуле (заменив g' (?) производной отображения g отно-
сительно /). Доказательство проводится (с очевидными изменениями)
так же, как в (8.2.1). Мы опускаем самые обычные следствия этой
теоремы, вроде результата, соответствующего (8.2.2).
Задачи
1.	а) Пусть / — Непрерывное отображение промежутка / cR в банахово
пространство Е. Для того чтобы f было дифференцируемо во внутренней
точке х0 промежутка I, необходимо и достаточно, чтобы отношение
(/ (хо + Л) — / (*о — Л) )/(Л А) имело в Е предел, когда точка (Л, k) стре-
мится к (0, 0) по множеству пар, удовлетворяющих условию Л > 0, k > 0-
b)	Действительная функция /, равная х2 sin (1/х) прих ^=0 и 0 при х = 0
дифференцируема в R, но отношение (/(х)— f (у))1(х— у) не имеет пре-
дела, когда (х, у) стремится к (0, 0) по множеству пар, удовлетворяющих
условию х > 0, у > 0, х 4= у.
с)	Последовательность непрерывных функций /„ в промежутке / = [0,1],
определяется следующим образом: f0 (t) = /; при каждом и > 1 функция fn
в каждом из 3" промежутков Л/3" < t (А 4-1)/3" приО^й<ГЗл—1 имеет
вид а<4“Р и> кроме того,
Покажите, что последовательность (/„) сходится в I равномерно к не-
прерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке промежутка I.
[Примените а).]
2.	Пусть f — непрерывное отображение открытого промежутка / с R
в банахово пространство Е, имеющее в каждой точке и левую произ-
водную fg(i) и правую производную f'd(t).
а)	Пусть U — непустое открытое множество в Е и А — множество
точек t С /, в которых f d (t) € U. Для любого а > 0 пусть Ва — подмножество
промежутка /, состоящее из точек t, для которых существует по крайней
мере одна такая точка s € /, что t — а<. s <t и (/ (t) — f — s)£U.
Покажите, что Ba открыто и что пересечение ДПСВа счетно. На основа-
нии этого результата заключите, что множество точек t £ А, в которых
й, не более чем счетно.
[Примените задачу 3 § 3.9.]
Ь)	Выведите из а), что множество точек t СI, в которых f' (t) 4= fd (t),
не более чем счетно.
[Сначала убедитесь в том, что f (/) есть объединение счетного числа
компактных метрических пространств, и, рассмотрев замкнутое векторное
4. Производные функций одной переменной
181
подпространство пространства Е, порожденное f (/), сведите задачу к случаю,
когда в Е существует счетная база (С7Л) открытых множеств. Затем заметьте,
что для каждой пары различных точек а, b пространства Е существует пара
множеств Up, ич, удовлетворяющая условиям a£Up, bC-Uq, Up[\Uq = Q.\
3.	а) Пусть отображение f определено в R2 условиями
/
п₽и * = (Мг)¥=(0,0)и/(0) = 0.
Ч + *2
Покажите, что для любых точек х £ R2 и у G R2 предел
lim (/(%-)-/у) — f (x))lt = g(x, у)
i->0,
существует, но отображение у -> g (0, у) не является линейным (и поэтому
отображение / не дифференцируемо в точке 0).
Ь) Пусть отображение f определено в R2 условиями
^2
/ (*) = ,4 -2 П₽И Х = ^1’ & + <°> °) И f (°) = °’
Ч “Г *2
Покажите, что предел g (х, у) существует при каждых х и у и отображе-
ние у -> g (х, у) линейно при каждом х С R2, но f не дифференцируемо
в точке 0.
4.	а) Пусть f — непрерывное отображение открытого множества А бана-
хова пространства Е в банахово пространство F. Будем говорить, что функ-
ция f в точке х0 £ А квазидифференцируема, если существует линейное
отображение и пространства Е в F такое, что для любого непрерывного
отображения g промежутка / — [0, 1] в А, такого, что g (0) = ха и что су-
ществует производная g' (0) отображения g в точке 0 (относительно /),
отображение t -> f (g (t)) имеет в точке t = 0 производную (относительно /),
равную и (gr (0)). Линейное отображение и называется в этом случае ква-
зипроизводной отображения f в точке х0. Покажите, что если / квази-
дифференцируемо в точке дг0, то его квазипроизводная единственна. Распро-
страните свойство (8.2.1) на квазидифференцируемые отображения.
Ь) Покажите, что если f квазидифференцируемо в ха, то его квазипро-
изводная и — непрерывное линейное отображение пространства Е в F.
[Допустим, что хй = 0 и f (х0) = 0. Проведите доказательство от про-
тивного: если бы отображение и не было ограничено в шаре В (0; 1), то
нашлась бы такая последовательность (ал) векторов в Е, что ||вл||=1, и
такая последовательность (/„) чисел >0, что lim tn = 0 и что || t ~ 1/(7лал)|| = ап
стремится к -|-оо; можно считать, что последовательности (tn) и <*„(„)
убывают и стремятся к 0. Определите непрерывное отображение g про-
межутка [0, 1] в Е, такое, что g(0) = 0, что производная g' (0) существует
и равна 0 и что g (Уап tn) = tnan.\
5.	а) Пусть Е, F — два банаховых пространства и f — непрерывное
отображение открытого множества А с Е в F. Покажите, что если f диф.
182
Г л. 8. Дифференциальное исчисление
ференцируемо в точке х0 € Л, то оно квазидифференцируемо в х0 и его
квазипроизводная равна его производной.
Ь) Предположим, что Е имеет конечную размерность. Покажите, что
если f квазидифференцируемо в точке х0 € А, то оно дифференцируемо
в точке ха.
[Проведите доказательство от противного. Пусть и — квазипроизводная
отображения f в точке ха и пусть существует такое число а > 0 и такая
последовательность (хл) точек множества А, сходящаяся к точке х0, что
II f (хп) — f (х0)— м • (хп — хо) || > а || хп — х0||. Пользуясь локальной ком-
пактностью пространства Е, покажите, что можно считать, что последова-
тельность (||хп—х01|) убывает и последовательность гп=(хп—х0)/||хл—х0||
имеет в Е предел. Затем определите такое непрерывное отображение g про-
межутка [0,1] в Е, что g (0) = х0 и существует производная g' (0), но и (g' (0))
не является производной отображения ^-*/(^(0) в точке Г = 0.]
6.	Пусть 7=[0, 1] и пусть Е — банахово пространство #R(7). Для того
чтобы отображение х -> |[ х || пространства Е в R было квазидифференцируемо
в точке ха, необходимо и достаточно, чтобы функция t -> | хй (t) | достигала
своего максимума в 7 в единственной точке Го € Л Квазипроизводная отображе-
ния х -> || х || в точке хй есть в этом случае такое линейное отображение и,
что и (г) — z (ta), если ха (/0) >0, и и (г) = — z (t0), если ха (t0) < 0 (см. зада-
чу 3 § 8.2).
[Чтобы доказать необходимость, допустим, что ] ха | достигает своего
максимума по крайней мере в двух различных точках 7а, 7(. Пусть у — не-
прерывное отображение промежутка 7 в себя, равное 1 в и 0 — в
Исследуйте поведение отношения (|| х0 Ху || — ||х0||)/Х, когда действитель-
ное число X =А 0 стремится к 0. Чтобы доказать достаточность, допустим,
что Х->2х—непрерывное отображение промежутка 7 в Е, имеющее в точке
X = 0 производную а^Е и такое, что г0 — 0. Убедитесь в том, что если
— наибольшее число в 7 (или наименьшее число в 7), в котором функция
t -> | х0 (f) + (f) I достигает своего максимума, то стремится к t0, когда X
стремится к 0.]
7.	Пусть f—непрерывное отображение открытого множества А бана-
хова пространства Е в банахово пространство F. Предположим, что f
удовлетворяет в А условию Липшица; это значит [см. 10.5.4)], что
существует такая константа k > 0, что для любой пары точек множества А
выполняется неравенство || /(xj— /(x2)IKfe||x1—х21|. Пусть ха€-4 и
пусть существует такое линейное отображение и пространства Е в F, что
для любого вектора а #= 0 в Е предел отношения (/ (ха at) — f (ха)
при t 0 и стремящемся к 0 в R существует и равен и (а). Покажите,
что f квазидифференцируемо в точке ха.
8.	а) Пусть а и b — две точки в банаховом пространстве Е. Покажите,
что отображение t -> || а tb || пространства R в себя в каждой точке Z€R
имеет правую и левую производную.
[Докажите, чтоесли0<^ < з, то (||а-[-И|| —11^11 )Д< (||«+йз||— l|a||)/s>
и примените (4.2.1).]
5. Теорема о среднем значении
183
Ь) Пусть и — непрерывное отображение промежутка I cz R в Е. Пока-
жите, что если в точке t0 СI отображение и имеет правую производную,
то в точке tQ правую производную имеет и отображение t->||и(/)11 и
D+ II «(МП <11 D4 «(Mil•
[Примените a).]
с) Пусть U — непрерывное отображение промежутка I в (£', E).
Покажите, что если отображение U имеет в точке правую производ-
ную и U (М есть линейный гомеоморфизм пространства Е на себя, то ото-
бражение t ->||(£7 (О)-4 II, которое определено в некоторой окрестности
точки М имеет в правую производную и D+ (||(U (М )-1 II) 1 <11 D+6A (МП •
5.	Теорема о среднем значении
(8.5.1)	Пусть I — [a, fl] — компактный промежуток в R, f — не-
прерывное отображение I в банахово пространство F и
ср — непрерывное отображение I в R. Предположим, что суще-
ствует такое счетное подмножество D cz J, что в каждой
точке ££/\£> отображения f и ср имеют производные отно-
сительно I и \\f (OIK <р' (£)• Тогда |[/(₽) — /(а) ||< <?(?) — ? (а)-
Пусть п -> р„ — биективное отображение множества N на D.
Мы докажем, что для любого е > 0 выполняется неравенство
||/(Р)—/(а)1К'?(Р)— ?(а)те(? — a+D> и так как левая часть
не зависит от е, то тем самым теорема будет доказана.
Пусть А — подмножество промежутка I, состоящее из всех
точек 0 для которых при а<;С<£ имеет место неравенство
11/(0— /(«)1К<Р(0 — ?(а) + е(С — «) + е 2 2"". Ясно, что а£Л;
если и а < т] < £, то по определению и Это показы-
вает, что если f—верхняя грань А, то А должно совпадать либо
с промежутком [а, у[, либо с промежутком [а, 7]; но в действи-
тельности из определения А сразу следует, что А = [а, у]. Более
того, из непрерывности / и ср следует, что
(8.5.1.1)	||/(7) — /(а)|К<р(7) — <р(а)-Н(7 — а)+е 5
и, таким образом, нам остается только доказать, что 7 = р.
Допустим, что 7 ¥= Р; если 7^0, то из определения производ-
ной следует, что существует такой промежуток [7, 7-)- X], содержа-
щийся в I, что при 7	< 7 + X
||/(Q-/(7)-/'(7)(^-7)11<|(С-7)
и
|?(С)—<р(7) —/(7)(^ —7)Ку(С —7).
184
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
Поэтому
+ у (С — 1Х <р (С) — <р Сг)+5 (С — т).
и из (8.5.1.1) получаем
11/(0-/(«)IK<f(Q—М-М-«)+* 2 2-п< .
Р„<Г
<?(С)-ср(аХХ-а) + е 2 2~П
Рл<<
в противоречии с определением у. Если	то пусть •у==рт.
Из непрерывности / и ср следует, что существует такой промежу-
ток [у,	содержащийся в /, что при
11Ж-/(1)11<4 2-”1, |<p(C)-?(l)|<f 2~т,
поэтому снова из (8.5.1.1) получаем
II/(Q-/(«)IX?(Q-<pW+s(t-*)-Н 2 2“л<
рл<<
ср (С) — <р (а)	е (С — а) + е 2 2 ”,
Рл<с
и мы вновь приходим к противоречию, ч. т. д.
Наиболее важен случай, когда ср (0 = М (? — а), где М > 0:
(8.5.2)	Если существует такое счетное подмножество Dd,
что в каждой точке ££/\£> отображение f имеет производ-
ную относительно I, удовлетворяющую условию, || f (Е)|| М,
то ||/(р) — /(а)||<Л1(р — а).
Для действительных функций точно такие же рассуждения, как
в (8.5.1), доказывают первую часть следующей теоремы:
(8.5.3)	Пусть ср — такое непрерывное отображение проме-
жутка / в R, что в каждой точке £ £ / \ D отображение ср
имеет производную относительно I и т d ср' (£)<^ М. Тогда
т(ф— а) ср (р) — <р (а) М (Р— а); строгие неравенства
т($— а) < ср (р) — <р(а) < ЛЦР —а)
имеют место, если <р (£)=?<= ср (а)-{- т(^ — а) и ср (£)=/= ср (а)—214 ($—}—а)
при
Чтобы доказать вторую часть, заметим, что в силу первой части
функция ср($) — ср (а) — /п($ — а) возрастает в /; если она не тож-
дественно равна 0, то ср (Р)— ср (а) — т(Р— а) > 0. Для второго не-
равенства проводим точно такое же рассуждение.
5. Теорема о среднем значении
185
Определим сегмент, соединяющий две точки а и b в нормиро-
ванном пространстве Е, как множество точек	— а), где,
1.
(8.5.4)	Пусть Е, F — два банаховых пространства a f— не-
прерывное отображение в F некоторой окрестности сег-
мента S, соединяющего две точки ха и х0+/ пространства Е.
Если f дифференцируемо в каждой точке сегмента S, то
||/(^о+О —/(^o)IK'llZll • sup ||/'(*0-НО||.
Рассмотрим отображение g промежутка / = [0, 1] в F, опреде-
ляемое формулой g (Q — / (х0 -]- tf). В силу (8.4.1), (8.2.2)
и (8.1.3) g дифференцируемо в каждой точке промежутка / (относи-
тельно /) и его производная равна /'(х0-]-?/) • t. Отсюда и из (8.5,2)
и (5.7.4) следует требуемый результат.
Задачи
1.	а) Пусть /= ]а, 6[— открытый промежуток в R и f — действительная
функция, определенная в / и непрерывная слева в каждой точке t^I
[т. е. удовлетворяющая условию f (t) = f(t—)]. Предположим, что существует
такое счетное подмножество D ccl, что в каждой точке t £ / \ D функция f
возрастает справа (это означает, что существует такой промежуток
[Л /-[- Л] (Л > 0), что при	выполняется неравенство
/(/)</(/'))• Покажите, что функция f возрастает в /.
[Проведите рассуждение такого же характера, как в (8.5.1).]
ОО
Ь) Для каждого числа/£ J — [0,1 [ пусть ап1‘2‘—единственное „двоич-
--	'	л = 0
ное“ разложение числа Z, где ап равно 0 или 1 и не существует такого
номера т, что ап = 1 при всех п'^т. (см. задачу 2 § 4.2). Пусть
ОО
/(/) = 2 ап1^п- Покажите, что функция f непрерывна справа в каждой
л = 0
точке / С/ [т. е. /(/-[-)=/(/)], не постоянна ни в одном подпромежутке J,
содержащем более одной точки, и имеет в каждой точке t С J правую произ-
водную, равную 0.
2.	Покажите, что заключение теоремы (8.5.1) останется справедливым,
если предположить только, что j и имеют в каждой точке $ £ I \ D (исклю-
чая (3) правую производную и что || f'd (5) | <; y'd (Е).
3.	Пусть f—действительная непрерывная функция в компактном про-
межутке [а, р], имеющая в каждой точке промежутка ]<х, Р[ правую произ-
водную. Пусть т и М — нижняя и верхняя грани f'd в ]а, р[.
а)	Покажите, что если f не есть отображение	то множество
всех чисел вида (/(х) —/(у))/(х— у), где х и у — произвольные числа из
промежутка [а, р], и х #= у совпадает с промежутком ]т, М[.
186	Гл. 8. Дифференциальное исчисление
[Вычтя подходящим образом выбранную функцию вида £--> М н, све-
дите задачу к доказательству того, что если /^(7) f'd (3) < 0 и у < 8, то в про-
межутке J-у, 6[ существуют две различные точки, в которых f принимает
одно и то же значение.]
Ь)	Покажите, что если /, кроме того, в каждой точке промежутка ]а, ₽[
имеет левую производную, то верхние (соответственно нижние) грани
производных f’d и f' в ]а, ₽[ совпадают.
с)	Выведите из Ь), что если f в каждой точке промежутка ]«, Р[ имеет
производную, то образ при f любого промежутка, содержащегося в ]а, 0[,
связен [см. (3.19.1)].
4.	Пусть f—отображение промежутка / = [—1, l]cR в R2, опре-
деляемое следующим образом: f (t) — (0, 0), если —1 t 0, и f (t) ==
= (£2 sin (1/0, t2 cos (1/0), если 0 < f < 1. Покажите, что f имеет производную
в каждой точке промежутка ]—1,	но образ этого промежутка при
отображении f несвязен.
5.	Распространите теорему (8.5.4) на случай, когда f предполагается
только квазидифференцируемой (задача 4 § 8.4) в каждой точке сегмента S
и f обозначает квазипроизводную.
6.	Пусть F — действительное гильбертово пространство. Выведите тео-
рему (8.5.1) из такой же теоремы для действительных функций g, приме-
няя ее к действительной функции 5-> (/ ($) | а), где a^F. (Этот метод
фактически можно применить к любому банахову пространству и даже
к более общему классу топологических векторных пространств; см. книги [6]
и [23].)
,6. Приложения теоремы о среднем значении
(8.6.1)	Пусть А — открытое связное множество в банаховом
пространстве Е а /— непрерывное отображение множества А
в банахово пространство F. Если f имеет в каждой точке
множества А производную, равную 0, то f постоянно.
Пусть х0— произвольная точка множества А и В — множество
тех точек х^А, в которых f (х) = /(х0). Очевидно, В замкнуто
в А (3.15.1). С другой стороны, если х£В и U — открытый шар
с центром х, содержащийся в А, то U содержит сегмент, соединяю-
щий х с любой из его точек у; поэтому в силу (8.5.4) / (у) =
= / (х) == / (х0). Это показывает, что множество В и открыто
в Л и, значит, совпадает с А (3.19).
Более сильные результаты можно получить с помощью (8.5.2).
Например, если £ = R и А—промежуток в R, то для доказатель-
ства постоянства f достаточно предположить, что производная ото-
бражения / существует -и равна 0 во всех точках, за исключением
счетного множества:
(8.6.2)	Пусть Е, F — два банаховых пространства и f— диф-
ференцируемое отображение в F некоторой открытой окрест-
6. Приложения теоремы о среднем значении
187
ности А сегмента S, соединяющего две точки а и Ь. Тогда
для каждой точки х0 £ А имеем
II/(£)~/(«) — /' (х0)(& — а)1К1Р~ а II sup ||/'(л; — f' (х0)||.
x^S
Достаточно применить (8.5.4) к отображению
Х~>/(х) —/'(Xq)’ X,
производной которого в силу (8.2.2) и (8.1.3) является
/->(/'(х)-№))•*.
(8.6.3)	Пусть А — открытое связное множество в банаховом
пространстве Е и (/л)— последовательность дифференцируе-
мых отображений множества А в банахово пространство F.
Предположим, что'.
1°) существует по крайней мере одна такая точка х0£Л,
что последовательность (/„(х0)) сходится в F;
2°) для каждой точки а^-А существует такой шар В (а)
с центром а, содержащийся в А, что в В (а) последователь-
ность (/л) сходится равномерно.
Тогда для каждой точки а£А последовательность (/я) рав-
номерно сходится в В (а). Если, кроме того, f (x) = lim fп(х) и
л->со
(х) = lim/л(х) для каждой точки х£А, то и g(,x) = /' (х)
л->оо
для каждой точки х£А.
ПуСть г — радиус шара В (а). Тогда в силу (8.5.4) для любой
точки х £ В (а) имеем
II/л (*) — Лл (*)-(/„ (а)-Лл (»))II < II х~а II 'г SUP) I) f'n - /т (г)|| <
(8.6.3.1)	.	^supa)||/;(z)-/;n(2)||.
Так как последовательность равномерно сходится в В (а),
a F — полное пространство, то это доказывает, что если последова-
тельность (/„ (х)) сходится в какой-нибудь точке шара В (а),
то она сходится ив каждой точке В {а), а в действительности
равномерно сходится в В {а). Отсюда прежде всего следует, что мно-
жество U точек х, в которых последовательность (/„(х)) схо-
дится, одновременно открыто и замкнуто в Л, а так как оно но
предположению не пусто и А связно, то U — А.
Наконец, докажем, что g— производная отображения /. Пусть
задано е > 0. Тогда, по предположению, существует такой номер п0,
что при п п0 и т п0 для каждой точки z £ В (а) имеет место
неравенство \\f'n(z) — /m^)||^-e и’ кРОме того, неравенство
||g‘(«)—/|»||< е- Устремляя индекс т в (8.6.3.1) к -J-oo, видим,
что при п п0 и х £ В (а)
Н/(х) —/(а) —(/„(х) —/л(а))||<е||х —а||.
188
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
С другой стороны, для произвольного n!fna существует такое г' г,
что неравенство ||/л(х)— /л(а)•—/л(а)(х— а)|<е ||х — а|| -вы-
полняется при || х — в||О'. Пользуясь (5.7.4), при (| х — а||О'
находим
II/W — /(«) — g(a)(x —а)||<3е ||х —а||,
тем самым доказывая, что производная f (а) существует и равна g(a).
В случае когда E = R и А — промежуток в R, мы можем снова
установить более сильные результаты:
(8.6.4)	Пусть (§„) — последовательность отображений проме-
жутка /cR в F и пусть при каждом п для всех точек
за исключением точек счетного множества Dn с /, функ-
ция gn (£) есть производная непрерывной функции fп. Пред-
положим, кроме того, что'.
1°) существует по крайней мере одна такая точка
что последовательность	сходится в F;
2°) у каждой точки / существует такая окрестность B(f)
относительно I, что в B(f) последовательность (gn) сходится
равномерно.
Тогда для каждой точки последовательность (/л) рав-
номерно сходится в B(f), и если мы положим / (?) = lim/л (£) и
-	л~>оо
£•(£)= limgn(£), то в каждой точке промежутка I, не принад-
П~>СО
лежащей |j£)n, выполнено равенство /'(0 = ^(5).
п
Нужно повторить доказательство теоремы (8.6.3), воспользовав-
шись (8.5.2) вместо (8.5.4).
Из (8.6.3), в частности, получаем
(8.6.5)	Пусть А — открытое связное множество в банаховом
пространстве Е и (ип)—последовательность дифференцируемых
отображений множества А в банахово пространство F. Если
для каждой точки aGA существует такой шар В (а) с цент-
ром а, содержащийся в А, что ряд равномерно сходится
в В (а), и если существует такая точка х0£А, что ряд (ил(х0))
сходится, то для каждой точки аРА ряд (ип) равномерно
сходится в В (а) и его сумма s (х) в каждой точке х £ А имеет
производную, равную S «' (х).
. л = 0
Задачи
1.	Пусть f и g— две действительные дифференцируемые функции
в открытом промежутке ZczR. Предполагается, что в I выполнены неравенства
/ (О > 0, g (!) > 0, /'(t) > 0 и g' (t) > 0. Покажите, что если функция fig'
строго возрастает в I, то функция fjg либо строго возрастает в I, либо
6. Приложения теоремы о среднем значении
189
строго убывает в I, либо же существует такая точка с СI, что функция f/g
при t^.c строга убывает, а при t~^-c — строго возрастает.
[Докажите, что если f' (s)/g'(s) < f (s)[g (s), то для любого t < з имеем
/'(O/g'(O</(0/g(0]
Примените это к отношению
tgf tga
t а
t tg t — a tg a
в промежутке ] a, it/2[, где a > 0.
2.	а) Пусть I — открытый промежуток в R, x0£R— один из его концов
и f—непрерывное отображение промежутка I в банахово пространство Е.
Допустим, что существует такое счетное множество D с /, что в каждой
точке множества / \ D отображение f имеет правую производную. Докажите
следующий критерий: для того чтобы производная fd(t) имела предел,
когда t стремится к х0 по множеству /\О, необходимо и достаточно,
чтобы отношение (/ (0 — f (s) )/(Z — з) имело предел, когда пара (s, t) стре-
мится к (х0, х0) по множеству, определяемому условиями 3 g/, s=f= t.
Оба предела в этом случае совпадают. Покажите, что если с—их общее
значение, то f(t) имеет предел в Е, когда t стремится к х0 по I, и что
если /• продолжить по непрерывности на Z(J {х0} (3.15.5), то отношение
(f(t)—f(xa))f[t— х0) будет стремиться к с, когда t стремится к х0 по /.
[Воспользуйтесь теоремой о среднем значении и критерием Коши.]
Ь) Покажите, что в каждой точке /£/\£>, в которой производная fd
непрерывна слева, отображение f имеет левую производную. Если в точке
t g I \ D производная fd непрерывна, то f имеет производную в точке t.
[Примените а).]
3.	Пусть f — дифференцируемое отображение открытого множества
Ac:EbF(EhF — банаховы пространства). Докажите:
а)	Для непрерывности производной f в точке х0 необходимо и доста-
точно, чтобы для любого е>0 существовало такое 8 > 0, что из || з |К 8,
Р||<8 следует ||/(х0 + s) — f (х0 + 0 — f (х0) (« — 0 IK £ II« — *11-
Ь)	Для равномерной непрерывности производной f в А необходимо и
достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало такое Б > 0, что из
||з|[<8, х£ Л,х + 5з'е А при 0<Е<1 следует ||/(х-|-з)—/(х)—/'(х) «1К
<«l|s||.
4.	Пусть /—непрерывное отображение компактного промежутка /cR
в R, имеющее в I непрерывную производную. Пусть S — множество точек
t £I, в которых /' (0 = 0. Покажите, что для любого е > 0 существует
СО
такая последовательность (г„) чисел > 0, что 2	и что множество/(S)
л=0
содержится в объединении счетного числа промежутков Jn с диаметрами
[Для любого а > 0 рассмотрите открытое подмножество Ua проме-
жутка I, состоящее из точек t, в которых | /' (01 < а; воспользуйтесь (3.19.6)
и теоремой о среднем значении.]
190
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
5.	Пусть f — такое непрерывное отображение промежутка ZczR в С,
что / (0 #= 0 в / и что в дополнении счетного множества Dc.1 суще-
ствует f'd (t). Покажите, что, для того чтобы функция | f | была возрастаю-
щей в I, необходимо и достаточно, чтобы в /\ D выполнялось неравенство
а(Л(0)/(/(0)>0.
6.	Пусть Е, F — два банаховых пространства, Л —открытое множество
в Е и В — замкнутое подмножество подпространства А, внутренность кото-
рого пуста и которое обладает тем свойством, что любой сегмент в Е, не
содержащийся в В, имеет с В не более чем счетное пересечение. Пусть
f — непрерывно дифференцируемое отображение множества А \ В в F,
и предположим, что в каждой точке Ь~ В существует предел f (х) по мно-
жеству А \ В. Покажите, что отображение f может быть продолжено по
непрерывности в непрерывно дифференцируемое отображение f множества
А в F.
[Тот же метод, что и в задаче 2, а).]
7.	Первообразные и интегралы
Пусть f — отображение промежутка ZczR в банахово простран-
ство F. Мы будем говорить, что непрерывное отображение g про-
межутка I в F есть первообразная отображения f в /, если суще-
ствует такое счетное множество Dczl, что g дифференцируемо
в каждой точке £ £ I \ D и g' © = f (£).
(8.7.1)	Если gx и g2 — две первообразные отображения f в I,
то отображение gx — g2 постоянно.
Это сразу следует из обобщения теоремй (8.6.1).
Замечание. Любой промежуток I в R (не состоящий из одной
точки) является объединением возрастающей последовательности ком-
пактных промежутков Jn. Чтобы убедиться в том, что функция /,
определенная в I, имеет первообразную, нужно только проверить
это для сужения отображения f на каждом из этих промежутков Jn.
В самом деле, если £0 — внутренняя точка промежутка Jx и если gn
для каждого п — такая первообразная в Jn сужения / на Jn, что
gn(^) = 0 [в силу (8.7.1) однозначно определенная], то сужение
отображения g„+1 на Jn является первообразной отображения /
в обращающейся в 0 в точке ?0, и, значит, равно gn. Мы можем
поэтому определить отображение g промежутка I в F, полагая g
равным gn в Jn, и очевидно, что g является первообразной отобра-
жения / в I.
(8.7.2)	Пусть I—промежуток в R. Любое простое отобра-
жение промежутка I в банахово пространство F (7.6)
(в частности, любое непрерывное отображение в F и, — в слу-
7. Первообразные и интегралы
191
чае, когда F^R,—любая монотонная функция) имеет пер-
вообразную в I.
Из предыдущего замечания следует, что промежуток I мы можем
считать компактным. Тогда из (8.6.4) и (7.6.1) вытекает, что нам
нужно доказать теорему только для ступенчатых функций.
Пусть f — ступенчатая функция и (\)0 < г < л — возрастающая
последовательность таких точек в промежутке I — [a., pj, что Хо —
= а, Хя = р и отображение f (?) в промежутке ] Xz, Х/+1 [ равно по-
стоянной cz(O^Z<^n—1). Если тогда отображение g определить
так, чтобы в каждом промежутке [Х;, Хг+1] (О	— 1) выпол-
нялось равенство g (?) = с, (£— M + S cft(Xft+1—то легко про-
л=о
верить, что g является первообразной отображения /.
Первообразная ступенчатой функции называется также кусочно
линейной функцией
Для непрерывной функции далее имеем
(8.7.3)	Если g — первообразная непрерывного отображения f
промежутка I в F, то в каждой точке	отображение g
имеет производную относительно I, равную f(t>).
В самом деле, из (8.5.2) следует, что в каждом промежутке
[£, ^+м<=/
sup Ц/^ + т;)-/(ОН,
где	а верхняя грань sup ||/G + т])— /(ОН по предпо-
ложению сколь угодно мала вместе с X.
Если g — произвольная первообразная простой функции /, то
разность £(Ю — §(“) для любых двух точек промежутка / ввиду
(8.7.Г) не зависит от выбора рассматриваемой первообразной g. Эта
₽
разность обозначается символом j’fffidt и называется интегралом
а.
от функции f от а. до р.
Любое формальное правило дифференцирования можно перевести
на язык этих обозначений и получить соответствующую формулу „ин-
тегрального исчисления". Мы выпишем в явном виде лишь три наибо-
лее важные формулы. При этом, если g — первообразная простой
функции /, мы будем писать g' вместо /, хотя g, вообще говоря,
имеет производную не всюду, и, даже когда эта производная сущест-
вует, она может быть не равна / (в точках счетного множества).
(8.7.4)	(Замена переменных) Пусть <р — действительная
первооб разная некоторой простой функции, определенная
в промежутке I; пусть / — произвольная простая функция,
192
Тл. 8. Дифференциальное исчисление
определенная в промежутке Jz3<p(F). Тогда если f непрерывна
или ср монотонна, то для любых двух точек а и р проме-
жутка I
₽
p(?(wm= J мок.
« ? («>
Единственное, что нужно проверить — это что /(?(0)?z(0 есть
простая функция. Но это сразу следует из предположений и из
определения простой функции (7.6). Тогда, если g— первообраз-
ная функции /, обе части написанного равенства ввиду (8.4.1) равны
g(<F(?)) —£(?(«) )•
(8.7.5)	(Инте г р и р о ва н ие по частям) Пусть fug — пер-
вообразные некоторых простых функций, определенные
в промежутке I и принимающие значения соответственно
в двух банаховых пространствах Е и, F, и пусть (х, у)->
>[х-у]— непрерывное билинейное отображение произведения
E%F в банахово пространство G. Тогда для любых двух
точек а « р промежутка I
/I/ (О  g' (01 Я = [/ (Р) • g (Р)1 - [/ (а) • g (а)] — f [/'(О • g(01 dt
а*	а
Снова нужно лишь проверить, что If • g'] и \f  g]— простые
функции, и тогда утверждение следует из (8.1.4) и (8.4.1).
(8.7.6)	Пусть f — простое отображение промежутка I в ба-
нахово пространство F и и — непрерывное линейное отобра-
жение пространства F в банахово пространство О. Тогда
3	Л3	\
f u(f(Q)d^ = ulf /(0^1-
а	\а	✓
Это следует из (8.4.1) и (8.1.3).
Перевод на язык интегралов теоремы о среднем значении выгля-
дит так:
(8.7.7)	Для любой простой функции f в компактном про-
межутке I
II 3	3
f/G)dd< f ||/(0И<(₽-«)sup 11/(011-
И	J	£ € /
|| а	а
И здесь, чтобы применить (8.5.1), нужно только проверить, что
функция 6-> ||/(0Н проста.
7. Первообразные и интегралы
193
В заключение выразим на языке интегралов результаты, соответ-
ствующие теоремам (8.6.4) и (8.6.5):
(8.7.8)	Если последовательность (g„) простых функций, опре-
деленных в компактном промежутке / = [а, р], равномерно
/ ₽	\
сходится в I к функции g, то последовательность-1 j'gn(k) dk I
\а	J
3
сходится к j" g(£)di.
Напомним, что в силу (7.6.1) функция g проста.
(8.7.9)	Если ряд (ип) простых функций, определенных в ком-
пактном промежутке / = [х, pj, нормально сходится в/(7.1),
0
то ряд с общим членом un(%)d% абсолютно сходится и
а
р	оо ' р	оо
f “(0^ = 2 J* «„ G)d£. где « = 2
а	/1 = 0 а	/2 = 0
Абсолютная сходимость сразу следует из предположения и из
теоремы о среднем значении (8.7.7).
Задачи
1.	Пусть f — простая функция, определенная в компактном проме-
жутке I cz R. Покажите, что для любого г > 0 существует такре число
6 > 0, что для любой возрастающей последовательности х0 х,
<: xk <xft+I ... < хп точек промежутка I, удовлетворяющих
условию х* + 1 — хк <1 8, выполняется неравенство
хп	 л—1
Ха	А=0
(Раминовы суммы; рассмотрите сначала случай, когда f — ступенчата*
функция.)
2.	а) Пусть f — простая функция, определенная в компактном про-
межутке / = [а, />]. Покажите, что для любого е > 0 существует такая
ь
функция g, непрерывная в /, что J ||/(0 — g (О II dt < е.
а
Ь)	Пусть f принимает значения в Е, пусть Л — простая функция,
определенная в / и принимающая значения в F, и пусть (х, у) -> [х • у] —
непрерывное билинейное отображение произведения Ey^F в G (£, Fa G —
13 Ж.. Дьедонне
194	Гл. 8. Дифференциальное исчисление
банаховы пространства). Покажите, что
ь	ь
lim f [/(/)-Л (* + *)! Л = f[/(O-A(O]«.
5 -> 0, $ > 0 *	J
а	а
с)	Покажите, что
ь	ь
lim f f (?) sin п tdt = lim If (t) cos ntdt = 0,
n —> CO d	П~±<Х> d
a	a
b	b
lim f f (t) | sin nt | dt = —- f f (t) dt.
n^> co d	75 d
a	a
d)	Пусть и — первообразная функции /, и предположим, что u (Z) со-
держится в шаре В cz Е. Покажите, что если g — монотонная функция в 7,
то
ь
f f(t)g (О Л = (и (6) — с) g (&) + (С — « (а) ) g (а),
а
где с С В. В частности, если f — действительная функция, то существует
такая точка s СI, что
b	sb
f f(t)g(t)dt = g(a) f f(t)dt + g(b) f f(t)dt
a	as
(вторая теорема о среднем значении).
[Во всех этих задачах воспользуйтесь тем же методом, что и в за-
даче 1.]
3.	Пусть f — простая функция, определенная в компактном проме-
жутке I — [а, 5]. Для любого целого п > 0 и любого целого А, удовлетво-
ряющего условию 0<А<п, положим х*=а-|-А(& — а)/п. Пусть
п	Ъ
2 /(**) — f
А = 1	а
а)	Пусть f имеет в / непрерывную производную. Покажите, что
lim nr (п) = -Ь ~~-а (/ (b) — f (а) ).
л->оо	“
л-1 *k+l
[Запишите r(n)=^ J” (/(*A+i) — /(0)^1 примените теорему о
Л«0 Х&
среднем значении и задачу 1.]
Ь)	Пусть f — возрастающая действительная функция в промежутке
Покажите, что
(/(&)-/(«))•
7. Первообразные и интегралы	195
с)	Приведите пример возрастающей непрерывной функции / в /, для
которой произведение пг (п) не стремится к —а (/ (6) — f (а)), ко-
гда п стремится к -|- со.
|Ъ качестве f возьмите предел последовательности (/„) возрастающих
непрерывных кусочно-линейных функций, удовлетворяющих условиям
2Л	ь
(b-a)^fa(a-\-k^^-^ f fn(t)di>^(l>-a)(fn(b)-f„(a))
fe«= 1	а
и
fn+i (g-М	(а+* при 0<£<2n.j
4.	Покажите, что при п, стремящемся к -ф-оо. многочлен
J (1—/2)"#
fn (*) = -Ц-----------
на любом промежутке [—1, —е] равномерно сходится к —1, а на любом
промежутке [е, -ф-1] равномерно сходится к-ф 1 (е — произвольное число,
удовлетворяющее условию 0 < е < 1).
1 1
Воспользуйтесь неравенством f (1 — t2}n dt~^> J (1 — t)n dt.
»	0	.
X
Пусть g„(x) = J" fn(t)dt. Покажите, что многочлены. gn равномерно
о
сходятся в промежутке [—1, ф-1] к функции | х |, получив тем самым но-
вое доказательство утверждения (7.3.1.3).
5.	Пусть f—непрерывное отображение промежутка [х0, -f-oo[ в бана-
хово пространство Е, обладающее тем свойством, что при каждом X > О
lim (/(х-ф-Х) — /(•*)) = 0.
х->+оо
а)	Покажите, что /(х-ф-Х)— f (х) равномерно стремится к 0, когда х
стремится к 4* оо, а I принадлежит компактному промежутку К = [а, &] с
с [0, оо [ (т. е. для каждого е > 0 существует такое А > 0, что из х > А
следует справедливость неравенства || / (х X) — f (х) || при любом X £ К).
[Проведите доказательство от противного. Допустим, что существует
такая последовательность (хл), что lim хл = -|-оо, и такая последователь-
п ~>оо
ность (Хл) точек промежутка К, что при каждом п выполняется неравен-
ство ||/(хл-ф-Хл)--/(хл)|| > а > 0. Заметим, что у Хл существует такая
окрестность Jn в К, что неравенство ||/ (хл -ф- X) — f (х„) || > а выполняется
13*
196
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
для любой точки По индукции определим убывающую после-
довательность замкнутых промежутков 1кс:Ки подпоследовательность (хЛл)
последовательности (хп) так, чтобы ||/(хпА + 1Л) — /(*nft)|| >“/3 при ка-
ждом р- € Чтобы определить /й+ь когда промежуток Ik уже построен,
заметим, что если — длина промежутка Ik и q — целое число, для кото-
рого qbft > b — а, то при достаточно большом х имеет место неравенство
II/U + M-/WIKW]
/Х + 1	\
Ь)	Выведите из а), что lim I I f (i) dt — f (x) = 0, и , заключите
X~>+oo	I
отсюда, что lim f (x)/x = 0.
X~> +OO
6.	а) Покажите, что существует дифференцируемая действительная функ-
ция f (соответственно g) в R, обладающая тем свойством, что /'(/) =
= sin (1/t) (соответственно g' (f) = cos (1/0 ) при t #= 0 и f' (0) = 0 (соот-
ветственно g' (0) = 0). Функции f и g' не являются простыми.
[Рассмотрите производные функций f2 cos (1/0 и t2 sin (1/0.]
b)	Пусть Р (t, и, v) — многочлен относительно и и v, коэффициенты
которого являются непрерывными действительными функциями от t в откры-
том промежутке I с R, содержащем 0. Покажите, что существует такая диф-
ференцируемая функция f в I, что Г (0 = Р (t, sin (1/0, cos (1/0) при
t =/= 0.
[Выразите одночлены относительно sin (1/0 и cos (1/0 как линейные ком-
бинации членов вида sin (kft) и cos (kit) и примените а).]
Каково значение f (0)? Покажите, что можно получить /' (0) =/=
=# Р (0, 0, 0).
с)	Покажите, что существует такая дифференцируемая функция f в про-
межутке [—1, 4-1], что f (0 = sin (1/sin (1/0) в каждой точке t, отличной
от 0 и от точек 1/пл (л— целое число, положительное или отрицательное).
[В окрестности точки i = l/nn возьмите £ = 1/(лл -[- arc sin и) и с помо-
щью Ь) докажите, что существует f' (1/лте). Далее, покажите, что существует
такая константа а > 0, не зависящая от л, что
2/(2я-1)п z
Г .	1	,,
I sin--------j- dt
2/(2л+1)я sin y
при любом целом л > 0. Затем рассмотрите функцию
1 .
sin------j- ds
sin —
s
при t > 0 и подобным же образом определите / при t < 0.]
7. Первообразные и интегралы
197
7.	Пусть / = [О, 1 [ и пусть Е — векторное пространство простых ком-
плексных функций, определенных в I, ограниченных и непрерывных справа
(т. е. /(/ + ) = f (0 при t € /).
+1
а)	Покажите, что (/ | g) = J* / (t) g (f) dt есть невырождающаяся поло-
-1
жительная эрмитова форма в Е [см. (8.5.3)]. Докажите, что таким образом
определенное предгильбертово пространство Е не является полным.
[Используйте тот факт, что функция, равная sin (1/f) при t> Q и 0 при
t = 0, не принадлежит £.]
Ь)	Определим последовательность (/„) элементов пространства Е сле-
дующим образом:
1°) /о есть постоянная функция 1;
2°) пусть m для каждого целого п > 0 — наибольшее целое число, удо-
влетворяющее условию 2m<n, и пусть n = 2m-\-k; тогда функция fn
равна 2m'2 при 2Л/2т+1 </< (2*+l)/2m+1, —2т/2 при (2k + l)/2m+1<
<</ < (2A j- 2)/27!q l и 0 при всех остальных значениях 1 в /. Докажите,
что в предгильбертовом пространстве Е последовательность (/„) является
ортонормальной системой (ортонормальной системой Хаара).
с)	Для каждого п > О пусть Vn — подпространство пространства Е, по-
рожденное функциями fk с индексами k п. Покажите, что существует
такое разложение промежутка I на n-]- 1 промежуток вида [а, 3 [ без общих
точек, что на каждом из этих промежутков всякая функция, принадлежа-
щая Vn, постоянна. Наоборот, всякая функция, обладающая этим свойством,
принадлежит Vn.
[Рассмотрите размерность векторного подпространства пространства Е,
порожденного этими функциями.]
d)	Пусть g — произвольная функция из Е и h — ее ортогональная проек-
ция в Vn (6.3). Покажите, что h (t) =

в каждом из про-
се
межутков [а, ₽ [, на которых все функции, принадлежащие Vn, постоянны.
е)	Пользуясь d), покажите, что для всякой непрерывной в / функции
g ~ Е ряд с общим членом (g | /л) fn (/) равномерно сходится в I и что его
сумма равна g (f). Заключите из этого результата, что (/л) есть тотальная
ортонормальная система в Е.
8.	Пусть f — простая действительная функция в компактном проме-
ь
жутке / = [a, i] и пусть J" | f (t) | dt = с. Покажите, что для любого е > О
а
существует такая действительная непрерывная функция gel, что |£(01=С1
ь
в / и что j’ f (t) g (t) dt'^e — s.
a
[Сведите задачу к случаю, когда / — ступенчатая функция.]
198
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
8.	Приложение: число е
Каково бы ни было число а > 0, функция х—> ах непрерывна
X
в R (4.3). Поэтому функция g(x) = j'aidt определена и диффе-
о
ренцируема в R и всюду
г+1	х	х+1
= J a* dt = f a* dtj"
О	О	х
g'(x) = ax. Очевидно, что
a1 dt. Но в силу (8.7.4)
£•(* + 1)==
х+1
J a1 dt —
1 1
— J ах+и du = ax у a!1 du, и так как а* inf (а, 1) при 0 х С 1,
о	о
1
то в силу (8.5.3) число с —у а“йи>0. Таким образом, мы можем
о
записать

и, следовательно, функция ах дифференцируема в R и D(ax) =
= ср (де) • ах, где ср (а) =£ 0, если а=£ 1. Пусть а =# 1 и пусть Ь—лю-
бое число > 0. Мы можем написать
, , х 1ог„ ь
0х=а а 
и, следовательно, в силу (8.4.1)
 bx ==\ogab  у(а)  Ьх\
иными словами,
<р (&) = (? (a) loga&.
Таким образом, существует одно и только одно такое число
е > 0, что <р (е) = 1, именно число е — а1^^. Так как D (ех) = ех > О,
то ех — строго возрастающая функция [ввиду (8.5.3)], и поэтому
е = е1>е°==1. Функцию ех обозначают также символом ехр(х)
или ехрх. Функция logex обозначается символом 1п х, и из (8.2.3)
и (4.2.2) следует, что D(lnx)—1/х при х > 0. Далее, D(ax) =
— ах1па.
Задача
Изучите изменение функций
при х > 0, где р—произвольное фиксированное положительное число. Най-
дите их пределы при х, стремящемся к оо.
9. Частные производные
199
9.	Частные производные
Пусть /—дифференцируемое отображение открытого множества А
банахова пространства Е в банахово пространство F; D/ есть тогда
отображение множества А в пространство .S?(E\ F). Мы будем гово-
рить, что / непрерывно дифференцируемо в А, если отображе-
ние D/ непрерывно в А.
Предположим теперь, что Е —	Для каждой точки
(ар а2)€ мы можем рассмотреть частные отображения хг -±f(xy, а2)
и	х2) открытых подмножеств пространств Ех и Е2 в F.
Будем говорить, что отображение f в точке (ар а2) дифференци-
руемо по первой (соответственно по второй) переменной, если
частное отображение хг—>/(хр а2) (соответственно х2 —>f(a1, х2))
дифференцируемо в точке а{ (соответственно а2). Производная этого
отображения, являющаяся элементом пространства S^tEf, F) (соот-
ветственно пространства _2’(£'2; F)), называется частной производ-
ной отображения / в точке (ар а2) по первой (соответственно по
второй) переменной и обозначается символом Dj/(aP «2) (соответст-
венно D2/(ap а2)).
(8	.9.1) Пусть f — непрерывное отображение открытого мно-
жества А пространства ЕГХ Е2 в F. Для того чтобы f было
непрерывно дифференцируемо в А, необходимо и достаточно,
чтобы f было дифференцируемо в каждой точке А и по
первой и по второй переменной и чтобы ' отображения
(хр x2)->Di/(xp х2) и (хр х2)—> D2/(xp х2) (множества А в
JX(E^ F) и в jg(E2, F)) были непрерывны в А. В этом случае
производная / в каждой точке (хр х2) множества А равна
(8.9.1.1) D/(xp х2)-(/р /2)=Di/(xp х2) • + D2/ (хр х2) • t2.
Необходимость. Отображение Xj—>/(хр а2) является ком-
позицией отображения / и отображения Х]->(хР а2) пространства
Ех в X причем производная этого второго отображения в силу
(8.1.2), (8.1.3) и (8.1.5) есть /j->(/p 0). Тогда в силу (8.2.1) ото-
бражение Х]->/(хР а2) имеет в точке (ар а2) производную, рав-
ную /!->D/(ap а2) • (fp 0). Если мы обозначим через (соответ-
ственно z2) естественное вложение tx-+(tx, 0) (соответственно t2—>
->(0, /2)), являющееся постоянным элементом ^(ff, Ех X ^г) (соот-
ветственно ^(Е2, Е1ХЕ2), то мы, таким образом, увидим, что
D1/(al, a2)==D/(aP и D2/(zzp a2)=D/(ap а2)ог2(все это
справедливо, если отображение / предполагается просто диффе-
ренцируемым в А). Так как отображение (т>, u)-^>v°u прост-
ранства ^’(Е1 X В2, FyX.S’fEv Е1ХВ?) в ^(Ej-, F) непрерывно
[(5.7.5) и (5.5.1)], то непрерывность отображений D,/ и D2/ следует
из непрерывности D/. Наконец, так как (/р t2) = ll(tl)-^-l2(t2), мы
получаем формулу (8.9.1.1).
200
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
Достаточность. Запишем
/(OjH-fp а2-|-<2) — f(av а2) =
= (/(<4 + ^, a2-\-t2) — /(а, 4-/. а2) )Н-(/(а1 4-/, a2)—f(av а2)).
Если задано е > 0, то по предположению существует такое г > 0,
что при ||/ || <; г
||/(а1 + <1, а2)— f (av а2) —Dj/fa,, а2) • /||< е11М-
С другой стороны, в шаре В с центром (ар а2), содержащемся в А,
в силу (8.6.2) имеем
II f (®1 4" 4' а2~Ь^2)-®2)---------^2/(®14~^1> аг)  М •С
<IIM'SUP ||D2/(ei + ^i. ®2Ч-2) —D2/(«!-+-Zp а2)||.
IWKIIMI
Из непрерывности отображения D2/, таким образом, следует, что
существует такое г/>0, что при ||/|Кг/ и ||/|| ^4'
ll/(®i + ^i’ ^2 + ^2) — /(®1 + Л> ®2)— D2/(a14~/1 ®2)42|Ке11М’
и, кроме того,
l|D2/(®i +	®2)— 02/(®р а2)||<е;
поэтому в силу (5.7.4)
IID2/(®1 4К- ®2)-<2—D2/(Op ®2)-/||<е||/||.
Наконец, при sup (||/||, ||/||К inf (г, г') имеем
Ц/^!4-/р «24-/2)_/(«1, а2) —D,/(ap а2)' Л — D2/(ap </) •/|К
<4е sup (НУ, 11/11),
что и доказывает формулу (8.9.1.1). Непрерывность отображения D/
следует из того факта, что формулу (8.9.1.1) можно записать в виде
D/==D!/oi|-|-D2/o/,, и из (5.7.5).
Теорема (8.9.1) с помощью индукции по п может быть немед-
ленно обобщена на произведение п банаховых пространств. Сопо-
ставляя этот результат с (8.2.1), получаем
(8	.9.2) Пусть f — непрерывно дифференцируемое отображение
п
открытого множества А произведения E' = JjE'i в F и пусть gt
1 = 1
для каждого I есть непрерывно дифференцируемое отображе-
ние открытого множества В банахова пространства Q в Et,
причем для любой точки z£B точка (g\(z), .... gn(z))£A.
Тогда сложное отображение f°(g}........gn) непрерывно диф-
ференцируемо в В и
O(/°(£i.....ffn))=ij(Dft/)o(g’I....gn)°ngk.
Л = 1
9. Частные производные
201
Задачи
1.	Пусть Е и F— два банаховых пространства и f—непрерывное ото-
бражение открытого множества Л с Е в F. Предположим, что для любой
точки х £ А существует такой элемент и (х) g (Е\ F), что для всякого
вектора ус£ предел отношения (/(х + ^у)—f (x))/t, когда t =£0 стремится
в R к 0, существует и равен и (х) • у. Предположим, кроме того, что
х -> и (х) есть непрерывное отображение множества А в (Е\ F). Пока-
жите, что тогда f непрерывно дифференцируемо в Л и что и (х) = D/ (х)
для каждой точки х € Л.
[Примените теорему о среднем значении к функции t->f(x-\-ty) при
^[0,1].]
2.	Пусть Е—пространство (с0) Банаха (задача 5 § 5.3). Пусть F — ком-
плексное банахово пространство (с0) -[- I (с0) (состоящее из всех последо-
вательностей z =	комплексных чисел, удовлетворяющих условию
lim Ся = 0) с нормой ||г|| = зир|Сд|. Обозначим через Fa действительное
Я->оо	П
банахово пространство, базисное для F (5.1). Пусть /ей — открытый
промежуток, содержащий 0, и для каждого целого п>0 пусть fn—такое
непрерывное отображение промежутка I в С, что из lim <я = 0 следует
Л->ОО	'
lim /„ (tn) = 0. Тем самым определено отображение /: (;л) -> (fn (in)) про-
я->оо
странства Е в Fo.
а)	Пусть / непрерывно в некоторой окрестности точки 0. Для того
чтобы f было квазидифференцируемо в точке 0 (задача 4 § 8.4), необхо-
димо и достаточно, чтобы при каждом п существовала производная /„(0)
и чтобы sup I f' (0) | <-|- оо.
п 1	1
Ь)	Для того чтобы f было дифференцируемо в точке 0, необходимо и
достаточно, чтобы для любого е. > 0 существовало такое 8 > 0, чтобы из
I / К 8 при каждом п следовало | fn (t) — fn (0) — f'n (0) 11 < e 111.
с)	Для того чтобы производная f существовала в некоторой окрест-
ности точки 0 в £ и была непрерывна в 0, необходимо и достаточно, чтобы
существовала такая окрестность J d точки 0 в R, чтобы 1°) каждая про-
изводная fn существовала в J; 2°) sup I f'n (0) I < -|- оо; 3°) последователь-
п
ность была равностепенно непрерывна в точке 0 (7.5).
[См. задачу 3 § 8.6.]
d)	Пусть /„ (<) = enltfn для каждого л ;> 1 и /0 (t) — 1. Покажите, что
отображение f квазидифференцируемо в каждой точке х £ Е. Покажите, что
если и (х) — квазипроизводная отображения / в точке х, то отображение
(х, у) -> а (х)  у пространства Е X Е в Fo непрерывно, но f не дифферен-
цируемо ни в одной точке пространства Е.
3.	Пусть f—непрерывное отображение открытого множества А бана-
хова пространства Е в банахово пространство F. Допустим, что для любой
202
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
точки х€ А и любой точки у 6 Е предел lim (/ (х + ty) — f (х))Д = g (х, у)
Z->0, <=£0
существует в Е. Покажите, что если для у, € £, 1 < i < п и х0 С А каждое
из отображений х -> g (х, уД непрерывно в точке х0, то
g (хо< У1 + Уг + •  • + Уп) = 2 Е (х°’
( = 1
[Примените теорему о среднем значении.]
4.	Пусть £н Е2 и Е — три банаховых пространства и f—непрерывное
отображение открытого множества А пространства Et X Е2 в Е. Для того
чтобы /было дифференцируемо в точке (д,, a2)M, необходимо и доста-
точно, чтобы: 1°) существовали производные DI/(a1, а2) и D2/(ab а2);
2) для любого е > 0 существовало такое 8 > 0, чтобы из || tt || <_ В и
II 1г ||< 5 следовало
|1/(а1~К1> а2~Ь^г)—/(д1~Кь дг)—f (ао а2 + ^2) f (а1> аг) |К
<*(|1М+НМ)-
Покажите, что второе условие будет выполнено, если существует производ-
ная D(/(a(, а2) и если найдется такая окрестность V точки (а,, а2)
в Ei^En что в V существует производная D2/ и отображение (хь х2) ->
-b-Diffxi, х2) окрестности V в „S? (Е2, F) непрерывно.
5.	Пусть / — действительная функция, определенная в R2 условиями
/ (х, у) = (xy/r) sin (1/г) при (х, у) =/= (0, 0), где г = ]/х2 -)- у2, и / (0, 0) = 0.
Покажите, что частные производные D,/ и D2/ существуют в каждой
точке (х, у) € R2 и что четыре отображения x->D,/(x, b), у-+Г>,/(а, у),
х -> D2/ (х, Ь) н у -» D2/ (а, у) непрерывны в R для любой точки (a, b) £ R2,
но отображение / не дифференцируемо в точке (0, 0).
. 6. Пусть I — промежуток в R и / — такое отображение пространства 1Р
в действительное банахово пространство Е, что для любой точки (аг,.. .,ар) g IP
каждое из отображений ху ->/(ах, ..., aj_u xj, aj+l, ..., ар) (1 < j < р)
непрерывно и дифференцируемо в / и, кроме того, р функций Dy/ (1 <. /X/’)
ограничены в 1Р. Покажите, что / непрерывно в 1Р.
[Примените теорему о среднем значении.]
10.	Якобианы
Общую теорему (8.9.1) рассмотрим теперь для наиболее важных
частных случаев.
A)	£ = R" (соответственно £ = Сл). Если / — дифференцируемое
отображение открытого множества А с: Е в F, то частная производ-
ная Dft/(aj.....ап) отождествляется с вектором пространства F
(8.4), а производная отображения f есть отображение
п
(Сх...сл)-> 2	.....%)СА.
*=1
10. Якобианы
203
Если непрерывна производная D/, то непрерывна и каждая из част-
ных производных Наоборот, если каждое из отображений Dft/
существует и непрерывно в Д то f непрерывно дифференцируемо
в А.
В)	£ = Rn и F — Rm (соответственно Е — Сп и F = Cm). В этом
случае мы можем написать, что f = {ylt .... rpm), где <pz— скалярные
функции, определенные в Е, и в силу (8.1.5) отображение f не-
прерывно дифференцируемо в том и только в том случае, если не-
прерывно дифференцируема каждая из функций ф;. Но в силу А)
функция непрерывно дифференцируема в том и только в том
случае, если каждая из частных производных Dycpz (являющаяся теперь
скалярной функцией) существует и непрерывна. Далее, (полная) про-
изводная отображения f есть линейное отображение
(Ci....Q-*0h........*1™).
где
4Z= S(D/PZ(«1.......an))Cy.
Иными словами, производной являющейся линейным отобра-
жением пространства R" в Rm (соответственно Сл в Ст), соответ-
ствует матрица (Dypz(a1, .... ал)), называемая матрицей Якоби
отображения f (или функций <pz......<pm) в точке (az.......ая).
Когда т — п, определитель (квадратной) матрицы Якоби отображе-
ния / называется якобианом отображения / (или функций
cpj....сря). Теорема (8.9.2) в этом случае превращается в
(8.10.1) Пусть у] (!</•<«)—т скалярных функций, непре-
рывно дифференцируемых в открытом множестве А про-
странства R" {соответственно Сл). Пусть ф( (l^i^p) — р
скалярных функций, непрерывно дифференцируемых в откры-
том ‘множестве В пространства Rm {соответственно Ст), со-
держащем образ множества А при отображении (®j............<pm).
Если тогда 6Z (х) = ipz (<pj (х).<рт(х)) при х£А и 1 Iр,
то имеет место соотношение
(Dftez)==(Dytpz)(DftTy)
между матрицами Якоби. В частности, при т = п = р имеет
место соотношение
det(DA6z) = det(Dyipz)det(Dftcpy)
между якобианами.
Упомянем здесь об обычных обозначениях /'	.... Вя) и
...........£л) частной производной Dz/($j.........Е.я), которые,
к сожалению, приводят к безнадежной путанице, когда делается
подстановка (что, например, означают символы ./'(у, х) или
204
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
f'x(x, х)?). Якобиан det (Dj (ВР .... $„)) обозначается также сим-
волом D(<pp .... <f>„)/D(£p	?„) или д(<рр .... <р„)/д(^...£„).
И. Производная интеграла, зависящего
от параметра
(8.11.1)	Пусть I = [<х, р] с. R — компактный промежуток, Е и
F—банаховы пространства, f — непрерывное отображение
проазведения I X А в F (Л — открытое множество простран-
ства Е). Тогда отображение g(z) = J/(£, z)d% непрерывно в А.
а
Пусть заданы точка z0£A и е > 0. Тогда для любой точки
£ £ / существует такая ее окрестность V ($) в I и такое число
г(£)>0, что при	и || 2—г'о||<^г(£) выполняется неравен-
ство ||/(т;, 2)— /($, 20)||Се. Покроем I конечным числом окрест-
ностей V ($г) и положим г = inf (г (£,)). Тогда при || г — 20||^г Для
любой точки ££/ выполняется неравенство ||/(<;, 2) — /(£, 20)||О.
Поэтому в силу (8.7.7) \\g(z) — g(20)||<e(P — а) при ||2 — 20||<т,
Ч. т. д.
(8.11.2)	(Правило Лейбница). Пусть выполняются предпо-
ложения теоремы (8.11.1) и пусть, кроме того, частная про-
изводная D2/ по второй переменной существует и непрерывна
в 1%А. Тогда отображение g непрерывно дифференцируемо
в А и	р
Dg(z) = f D2f(t, z)dt
а
[Заметим, что обе части этого равенства, принадлежат ^(Е, F).]
Те же рассуждения, что и в (8.11.1), в применении к D2/ пока-
зывают, что для заданного е>0 и точки ZO£A существует такое
г > 0, что при || 2 — 20||^ г для любой точки !•£/ выполняется не-
равенство ||D2/G, 2) —D2/($, z0)||<e. Поэтому в силу (8.6.2)
ii/G, 2О+о-/а. 20)-.D2/a, г0)-*н<Ф11
для любой точки и любого t, удовлетворяющего неравенству
||/||<г. На основании (8.7.7) мы, таким образом, имеем
₽
g (zo Ч- 0 — S (го) J* (^2/ (5. ^0) ’ 0
a
Но в силу (8.7.6) и (5.7.4) J"(D2/(B, 20)-Z)4^ =
е(Р-а)|И|.
7 ₽	\
JD2/G, 20)d5p
для любого t, и это завершает доказательство.
11. Производная интеграла, зависящего от параметра
205
Задачи
1.	Пусть /cR — открытый промежуток, Е и F— два банаховых про-
странства, А — открытое множество пространства Е, f—непрерывное ото-
бражение произведения J X А в F, для которого частная производная D2/
существует и непрерывна в JX Л “ и р — два непрерывно дифференцируе-
мых отображения множества А в J. Пусть
₽(г)
£(*) = f f(k,z)dt
»И
Покажите, что отображение g непрерывно дифференцируемо в А и что
g' (z) есть линейное отображение
/ ( (г)	\
<-> f D2/($, z)dl\-t + ^'(z).t)f^{z),z)-(a'(z).t)f{a(z), г).
\“	/
[Примените (8.9,1) и (8.11.2).]
2.	Пусть f и g — две действительные простые функции в компактном
промежутке [а, 6], причем f убывает на [а, 6], a 0<g-(f)<l. Покажите, Что
f(t)dt^ ff(t)g(t)dt^ f f(t)dt,
b-\	a	a
b
где к = J* g (t) dt. В каком случае имеют место равенства?
у	а+Л(у)
[Рассмотрите интегралы I f (/) g (/) dt и I f (t) dt, где h (y) =
a	a
У
= j" g(t) dt, как функции от у и аналогичные интегралы для второго не-
а
равенства.]
3.	Пусть выполняются предположения задачи 1 с тем лишь отличием,
что а и 8 непрерывны, а не обязательно дифференцируемы, и, кроме того,
предполагается, что f (а (г), г) = 0 и f (р (г), г) = 0 для любой точки г Е А.
Покажите, что отображение g (z) непрерывно дифференцируемо в А и что
₽(г)
= f D2fd,z)di.
а (г)
[С помощью теоремы Больцано (3.19.8) докажите, что если £ принад-
лежит промежутку с концами р (г0) и р (z), то существует такая точка
z'^A, что ||г' — г0||<||г—г01| и $ = р (.?') С помощью теоремы о среднем
значении покажите, что если М—верхняя грань нормы ||D2/|| в произволь-
ной окрестности точки (р (г0), zQ), то || f (6, z)||< М||z — z01|.]
206
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
.	4. Пусть I = [а, />], А = [с, d] — два компактных промежутка в R и
f — такое отображение произведения / X А в банахово пространство JS,
что: 1°) для каждой точки усА функция x->f(x, у) проста в / и для
каждой точки х^1 функция у -> f (х, у) проста в А; 2°) отображение /
ограничено в / X А; 3°) если D — подмножество произведения / X А, со-
стоящее из точек (х, у), в которых f не является непрерывным, то для
каждой точки х0 £ / (соответственно у0 6 А) множество тех у (соответ-
ственно х), для которых (х0, у) 6 D (соответственно (х, у0) С D), конечно.
ь
а)	Покажите, что функция g (у) = J" f (t, у) dt непрерывна в Л.
а
[Если заданы у0 £ А и е > 0, то покажите, что существуют такая окрест-
ность V точки у,, в А и конечное число промежутков Д с: / (1 < k < »),
что сумма длин промежутков 7* не превосходит г и что отображение /
п
непрерывно в W X V. где W — / \ (J Для доказательства этого утвер-
Й = 1
ждения примените теорему Бореля — Лебега (3.17.6).]
Ь)	Выведите из а), что
а ь	ь d
f dy f f(x, y)dx = f dxf f(x, y) dy.
c a	a c
[Рассмотрите две функции
z ь
f аУ f f У) dx
c a
z-> J* dx J f(x,y) dy
a c
при z 6 A]
5. а) Пусть f — строго возрастающая непрерывная функция на проме-
жутке [0, а], причем f (0) = 0; пусть g — обратная функция, являющаяся
непрерывной и строго возрастающей на промежутке [0, /(а)]. Покажите,
С
что j / (t) dt — j (a — g (m) ) du.
0	'	0
[Примените задачу 4 к функции, равной 1 при	0 < у < f (х)
и0при0<х<а, /(х) < у < f (в).]
Ь) Покажите, что при	и 0<у</(а) имеет место следующее
неравенство:
ху < J f (0 dt + У g (и) du,
о	о
причем правая и левая части равны в том и только в том случае, если у = f (х).
12. Производные высшего порядка
207
с) Выведите из Ь) неравенства:
ху <х-logx-|-e>'_1 при х > 0, у £ R;
ху < ахр + by9 при х>0, у>0, р > 1, q > 1,
у +	= 1, а > О, b > 0 и (pa)9 (qb)p 1.
12.	Производные высшего порядка
Пусть f — непрерывно дифференцируемое отображение открытого
множества А банахова пространства Ё в банахово пространство F.
Тогда производная D/ является непрерывным отображением множе-
ства А в банахово пространство F). Если это отображение
дифференцируемо в точке х0 £ А (соответственно в А), то мы будем
говорить, что / дважды дифференцируемо в точке х0 (соответ-
ственно в Л), а производную отображения D/ в точке х0 будем
называть второй производной отображения f в точке х0 и обозна-
чать символом /"(х0) или D2/(x0). Эта производная является эле-
ментом пространства ^(Е; ^(Е; F)), но мы знаем (5.7.8), что это
последнее пространство естественным образом отождествляется с про-
странством ^(Е, Е; F) (обозначаемым символом .S^fE; F)) непре-
рывных билинейных отображений произведения Е X Е в F. Напомним,
что такое отождествление осуществляется, если каждому элементу
и^^(Е; .SHE; F)) поставить в соответствие билинейное отобра-
жение ($, ^)->(«•$)• Л Этот последний элемент записывается также
в виде и  (s,f).
(8.12.1)	Пусть / дважды дифференцируемо в точке х0. Тогда
при любом фиксированном t£E производная отображения
х—> D/(x) • t множества А в F в точке х0 равна $-> D2/(x0)-(s, t).
Если мы заметим, что отображение х—>D/(x)-/ является ком-
позицией линейного отображения и-ь-и-t пространства SHE; F)
в F и отображения х -> D/(x)' пространства Е в S?(E; F), то
результат будет следовать из (8.2.1) и (8.1.3).
(8.12.2)	Если отображение f дважды дифференцируемо
в точке х0, то билинейное отображение (s, t) -> D2/ (х0) • (s, t)
симметрично; иными словами,
D2/(x0)-(s, Z) = D2/(x0)-(#, s).
Рассмотрим функцию
ff(5) = /(xo4-^+O-/(xo+Ss)
действительной переменной tj в промежутке [0, 1], где s и t удо-
влетворяют условиям ||s||<r/2,	и шар с центром х0 и
208
Гл/. 8. Дифференциальное исчисление
радиусом г содержится в А. Из (8.6.2) получаем
||g(l) — g(0) — g'(0)||< sup ||g'G) — g'(0)||.
В силу (8.4.1)
g'® = (f'(x0 + ks + t)-f'(x0 + lsy)-s==
= ((.f (x0 + fs +1) - f (x0)) - (/' (x0 + £s) - f (x0)) ) • s.
По предположению, для заданного е > 0 существует такое г' + г,
что при ||$||<Сг'/2 и |7||<+72 имеем
II f (х0 + +1) - f (х0) - Г (х0) • (^+ О || < S (|| s1| + 1И ||)
и
\\Г (х0 + £s) - f (х0) - Г (х0). (^)|| < е || s II;
поэтому
к'(?)-(/"(*о) • 0 • *||<2е|ИКИ + 1И1)
и, следовательно,
||g(l)-g(O)-(/"(xo) • 0 • s||<6e||s||(||s|| + ||/||).
Но разность g.(l) —g(0)==/(x0+$ + O —/(хо + О~/(х0-Н)+
-|-/(Хо) симметрична относительно $ и t‘, поэтому, меняя suf
местами, находим
II (/" (х0). О . s - (/" (х0) • $)  11| < бе (|| s || + \\t || )2.
Это неравенство доказано пока при ||s||^r72 и ||/||^г72- Но
если мы заменим $ и t на Xs и Н, то обе части неравенства будут
иметь множителем |Х|2. Поэтому оно справедливо при всех s и t,
принадлежав:ix Е, и, в частности, при ||$|| = ||/|| = 1, откуда [в
силу (5.7.7)] следует, что
||/"(х0)-(7 s)-f"(x0)-(s, ^)||<24e||s|||7||
при всех s и t. Так как е произвольно, то теорема доказана.
В частности,
(8.12.3)	Пусть А — открытое множество в R” {соответственно
в С"). Если отображение f множества А в банахово прост-
ранство F дважды дифференцируемо в точке х0, то частные
производные дифференцируемы в точке х0 и
DiDif (x0) = Dpj (х0), 1 < I < п, 1 < j < п.
Нам нужно только применить (8.12.1), специальным образом
выбрав значения t, и заметить, что при $ = (у и ^ = (т;г) значение
производной D2/(x0) • (s, ^) = (D2/(x0)  s) • t равно S(D/Djf (Xq))^
(cm. 8.10),
12. Производные высшего порядка
209
Определим теперь по индукции р раз дифференцируемое ото-
бражение f открытого множества АсЕ в F как (р—1) раз диф-
ференцируемое отображение, (р—1)-я производная Dp-1/ которого
дифференцируема в А. Производная d(Dp-1/) называется р-й про-
изводной отображения f и обозначается символом Dp/ или /р>.
Производная Dpf (х0) отождествляется с элементом пространства
F) непрерывныхр-линейных отображений произведенияЕр bF,
и соответствующее отображение обозначается символом
(^. h....y->Dp/(x0).(^..........tp).
Как и в (8.12.1), видим, что отображение
t2...tp)
является производной в точке х0 отображения
x->Dp-1/(x) • (/2.......................tp).
Теорема (8.12.2) обобщается следующим образом:
(8.12.4)	Если отображение f является р раз дифференцируемым
в А, то полилинейное отображение Dpf(x) для каждой точки
х£А симметрично.
Доказательство проводится индукцией по р. Фиксируем ^, .... tp
и рассмотрим отображение х—>g(x)= Dp-a/(x) • (/3, .... tp). Тогда
ясно, что вторая производная отображения g в точке х равна
(Л. ^)->dp/(x).(^, /2, t3.....tp).
Поэтому в силу (8.12.2)
(8.12.4.1)	Dp/(x) • (Z2, tv t3..tp) = Xdpf {х) • (tx, t2, t3.tp).
С другой стороны, для любой перестановки а множества ин-
дексов {2, 3..../?} индукционное предположение дает
Dp"7(x). (/.(2), t,(3r.... t'(p} ) = Dp-1/(x) • (t2, t3.tp)
и, взяв первую производную от обеих частей (где tt фиксированы),
получаем
(8.12.4.2)	Vpf(x)-(tx, ta®....ta(p}) = Dpf(x).(tv t2.......tp).
Сопоставляя (8.12.4.1) и (8.12.4.2), прежде всего видим, что
Dp/(x)-(/p t2, .... tp) не изменится, если индекс 1 переставить
с любым другим индексом, а также если переставить любые два
индекса 2. Но такого рода транспозиции порождают любую
перестановку из индексов 1, 2...р, ч. т. д.
14 Ж. Дьедонне
210
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
(8.12.5)	Если отоб ражение / является т раз дифференцируемым,
а производная £>т/, кроме того, п раз дифференцируема в А,
то / будет mA- п раз дифференцируемо в А и D'"+/J f = Dn(D,,!/).
При п — 1 это просто определение, а при п > 1 это сразу до-
казывается индукцией по п с помощью определения.
(8.12.6)	Пусть f =	.... /от) — непрерывное отоб ражение от-
крытого множества AczE в произведение F\ X • • • X Fт бана-
ховых пространств. Для того чтобы f было р раз диффе-
ренцируемо в А, необходимо и достаточно, чтобы каждое из
отображений f, было р раз дифференцируемо в А, и в этом
случае	....D₽/J-
Это следует из (8.1.5) с помощью индукции по р.
(8.12.7)	Пусть А — открытое множество в R” (соответственно
в Сл). Если отображение / множества А в банахово прост-
ранство F является р раз дифференцируемым, то для
=	(1 I р, 1^/^га) имеет место формула
Ър/(х)-(И.....tp) =	2 D;D D /(Х)Ь
(Л- >2.'р)	/	Р
где сумма распространяется на все пр различных последо-
вательностей С/*)1<А<р целых чисел, принадлежащих [1, п].
Это немедленно доказывается индукцией по р, исходя из (8.10).
Элементы DjDj? ...	f(x~) называются частными производ-
ными порядка р отображения f в точке х; их всегб пр. Любые
две частные производные, отличающиеся только перестановкой ин-
дексов, в силу (8.12.4) равны.
Мы будем говорить, что отображение f является р раз непре-
рывно дифференцируемым в А, если производная Dp/ существует
и непрерывна в А.
(8.12.8)	Пусть А — открытое множество пространства R"
(соответственно Ся) и f—непрерывное отображение множе-
ства А в банахово пространство F. Если все пр частных
производных отображения f существуют и непрерывны в А,
то f р раз непрерывно дифференцируемо в А.
При р = 1 это просто теорема (8.9.1) (распространенная на про-
изведение п пространств). В общем случае нам нужно только про-
вести индукцию по р и воспользоваться формулой (8.12.7).
Мы будем говорить, что отображение f бесконечно дифферен-
цируемо в Л, если оно р раз дифференцируемо в А при любом р.
Все производные Dpf в этом случае бесконечно дифференцируемы
в Л.
12. Производные высшего порядка-
211
Пример. (8.12.9) Любое непрерывное билинейное отображе-
ние бесконечно дифференцируемо, и все его производные по-
рядка 3 равны 0.
Из (8.1.4) следует, что производная билинейного непрерывного
отображения в точке (х, у) равна (s,	• d + ls • У1- Если обо-
значить это линейное отображение через g(x, y^J? (Е X F; G), то
по предположению и в силу (5.5.1) существует такое с > 0, что
в E '/ F выполняется неравенство ||[х •!у]||^с||х|| • ||у||. По опреде-
лению нормы в пространстве ^(Е X Е; G) (5.7.1) имеем
||g(x, у)||<с(||х|| + Ily||)<2csup(||x||, ||у||).
Поэтому g есть непрерывное линейное отображение пространства
Е X Е в (Е X Е; G) и, следовательно, отображение (х, у)->[х • у]
дважды дифференцируемо, а его вторая производная в точке (х, у)
[в силу (8.1.3) и (8.12.1)] равна
((sp ^i)> (s2< ^2)*lsi ’ ^гИ~ts2' ^il-
Так как это отображение не зависит от (х, у), то отсюда следует
наше утверждение.
(8.12.10) Пусть Е, F и G — три банаховых пространства,
А — открытое множество в Е и В — открытое множество в F.
Если отображение f множества А в В и отображение g мно-
жества В в G р раз непрерывно дифференцируемы, то h = go f
есть р раз непрерывно дифференцируемое отображение мно-
жества А в G.
При р=1 утверждение следует из (8.2.1) и того факта, что
в силу (5.7.5) (и, v)-+v<>u есть билинейное непрерывное отобра-
жение пространства ^(f; FjX.S’iF,. G) в ^(Е\ G). Теперь про-
ведем индукцию по р. Так как h' (х) = g' (f (х))о /'(х) и так как /'
и g' являются р — 1 раз непрерывно дифференцируемыми, то ин-
дукционное предположение показывает, что р — 1 раз непрерывно
дифференцируемо отображение g'° f. Из (8.12.6) и (8.12.9) тогда
следует, что h.' непрерывно дифференцируемо р — 1 раз, и поэтому
в силу (8.12.5) h непрерывно дифференцируемо р раз.
Пример. (8.12.11) Допустим, что существует по крайней
мере один линейный гомеоморфизм банахова пространства Е
в банахово пространство F и что @fflcc.S’(E’, F) -^откры-
тое множество таких гомеоморфизмов в ES?(E\ F) (8.3.2).
Тогда отображение и~+и~у множества еЕв на бесконечно
дифференцируемо.
Индукцией по р мы докажем, что отображение «-ж”1 диффе-
ренцируемо р раз, причем при р — 1 в силу (8.3.2) это утвержде-
ние верно. Для данных элементов v и w пространства ,S?(F-, Е) = М
пусть f (г>, w) — линейное отображение t —> v о t о w пространства
14*
212
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
Е=Д?(Е\ F) в Л4. Ясно, что f билинейно [и отображает М X Л4
в ^(Л; Л4)], а теорема (5.7.5) показывает, что 11/(1/,	• ||w||;
поэтому / непрерывно и, значит, в силу (8.12.9) бесконечно диф-
ференцируемо. Теперь первой производной отображения и—> и~г
ввиду (8.3.2) является отображение и—>/(«-1, и-1). На основании
(8.12.6) и (8.12.10) отсюда следует, Что если р раз дифференци-
руемо отображение и—>и~1, то р раз дифференцируемо отображе-
ние м->/(м-1, м-1) и, следовательно, в силу (8.12.5) р-\-1 раз
дифференцируемо отображение а—>и-1.
В случае когда / есть отображение промежутка JcR в дей-
ствительное банахово пространство F, мы ранее определили (§ 8.4)
понятие производной отображения / в точке с0 £ J относительно J.
С помощью индукции по р определим р-к> производна о отобра-
жения / в точке ;0 относительно J как производную в точке £0
относительно J от (р—1)-й производной отображения / (которая,
таким образом, предполагается существующей в некоторой окрест-
ности точки £0 в J). Эта производная является элементом простран-
ства F и здесь обозначается символом D₽/(;o) или /(₽)(£0)- Если £0
принадлежит внутренности промежутка J, то p-я производная, как
она определена для общих отображений, совпадает с полилинейным
отображением (С;.....Ср) —> /<₽> (£0) CjC2 . • • пространства Rp в F.
Задачи
1. Пусть f — дифференцируемое /?раз отображение промежутка/c:R в ба-
нахово пространство Е. Покажите, что при любом х G /, для которого € I,
[Проведите индукцию по п.]
2. а) Пусть р — функция, определяемая в R условиями
р (О =
ехР (-при
0 при — 1 или <>>1.
Покажите, что функция р бесконечно дифференцируема в R.
[Воспользуйтесь тем, что при любом п > 0 предел lim хпе~х = 0.]
Л-> +оо
Ь) В этой задаче мы условимся любую простую функцию /, опреде-
ленную в компактном промежутке [а, 6] пространства R, продолжать на
все R, полагая ее равной 0 при t < а и при t > Ь. Мы будем при этом
+ оо	b
писать J" f (t) dt вместо интеграла J* f (t) dt, который равен также
—со	а
12. Производные высшего порядка
213
d
интегралу J" f (t) dt при с < а и d > ft. Для любой такой функции f положим
fn (t) = nc J" f (s) p (n (t — s))ds = nc j* f {t — s) p (ns) ds,
+1
где 1/с = J* р (ft) dt (регуляризация функции f с помощью р; мы
-1
пишем рп (ft) = р {nt) и fn = f* Рл)- Покажите, что функция /„ бесконечно
дифференцируема и обращается в 0 на дополнении к некоторому компакт-
ному промежутку [см. (8.11.2)]. Если функция f действительна и возрастает
(соответственно строго возрастает) на [a, ft], то и функция fn возрастает
(соответственно строго возрастает) на промежутке ]-—, ft — —J. Если
функция f (продолженная на R) р раз непрерывно дифференцируема, то
Dpf'n (0 = nc f (s)) p (n {t — s)) ds = nc J (Dpf {t — s)) p (ns) ds.
с) Покажите, что
J” f {t) dt при любом и.
d) Если функция / (продолженная на R) непрерывна (соответственно р
раз непрерывно дифференцируема), то последовательность (/„) (соответ-
ственно Dp/„) равномерно сходится в R к f (соответственно к D₽/).
е) К какому пределу стремится fn (ft0) (где ta б R), когда функция f пред-
полагается только простой в [a, ft]?
[Сначала рассмотрите случай, когда f является ступенчатой функцией;
затем примените (7.6.1).]
1)	Покажите, что для любой простой функции f в [a, ft]
ь
Hm f |/(О-/„(0|Л = О.
Л->ОО J
а
3.	Пусть f—действительная функция, определенная на ] — 1, 1 [, п раз
дифференцируемая на этом промежутке и удовлетворяющая на нем условию
1/(0 К1-
а)	Пусть mk {J) — наименьшее значение |	{t) | в промежутке J, со-
держащемся в ] — 1, 1 [. Покажите, что если / разлагается на три последо-
вательных промежутка J\. /2 и /3 и если /2 имеет длину р, то
mk U) < 4-(OTfe-i СЛ) + mk-i (Л))-
Г
[Примените теорему о среднем значении.]
214
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
Выведите из этого неравенства, что если J имеет длину Л, то
Mfe (•/) <
2Й (ft+l)/2 kk
кк
[Проведите индукцию по А.]
Ь)	Выведите из а), что существует такое число ап, зависящее только
от п, что если \f' (0)|><хп, то уравнение /(">(<) = 0 имеет в J—1, 1[ по
крайней мере п — 1 различных корней.
[Индукцией по k покажите, что существует такая строго возрастающая
последовательность х^, ] < х^, 2 < ... < хк, k точек промежутка ] —1, 1 [,
что /<А) (xk, i)f№ (хц, i+i) < 0 при 1 < i < k — 1; примените теорему Ролля.]
4.	Пусть Е, F — два банаховых пространства, А — открытое множество
в £ и f — дифференцируемое п раз отображение множества А в F. Пусть
п
х0$А и h^E (l<Z<n) таковы, что -|-2	при
1 = 1
1 "С1 -С п- С помощью индукции по k (1 k п) определим
Л1/(-«о; Л1) = f(xa + Aj) — f(x0),
Аг •••’ Ай) = Д*-Ч(хо: Ai.........................Ай-1)>
где
gk (х) = f (х + hk) — f(x).
а)	Покажите, что
|| A»/ (x0; Ai,..., hn) II < II Л, II • || Л21| •... - || Л„|| sup || Dnf (z) ||,
.	z£P
n
где P—множество точек 2 ^А;’	1.
i=i
[Проведите индукцию по и.]
b)	Выведите из а), что
IIЛя/(х0; Л,..Ля) — Dnf(x0) (fa.....hn)\]^
< II fh II • IIЛ2II • ... • || Л„ || sup П Dnf(z) - Qnf(x0) И.
zCP
5.	Пусть /— непрерывно дифференцируемое отображение открытого
множества А пространства R2 в банахово пространство Е, и пусть в окре-
стности V точки (а, Ь)^А производная D2 (DJ) существует и непрерывна.
а)	Пусть (х, у) € V. Покажите, что для каждого е > 0 существует такое
В > 0, что из | h | < 8 и | k | < 6 следует неравенство1)
II Л2/(х, у; h, k) — D2D1/(x', у) hk||< e | hk |.
[К функции g (t) = f(x +1, у + k) — f (x + t,y) —	y) tk при-
мените теорему о среднем значении и воспользуйтесь (8.6.2).]
Ь)	Докажите, что производная D] (Dj/) существует в У и равна Dj^/).
[Воспользуйтесь а).]
>) Здесь А2/ (х, у, Л, k) =f(x-{-h, у -f- k) — f (х + Л, y)—f(x, y + *)-|-
+ /(•*» У)- — Прим, перев.
12. Производные высшего порядка
215
с)	Приведите пример функции, удовлетворяющей предыдущим пред-
положениям, для которой обе производные D| (D,/) и D2(D2/) не существуют
ни в одной точке (см. задачу 1 § 8.4).
6.	Пусть f— действительная функция, определяемая в R2 условиями
/(О, 0) = 0, f (х, у) = ху (х1 — у2)/(х2 + у2) при (х, у) ф (0, 0). Покажите,
что все четыре производные D! (D,/), Dj (D2/), D2(D,/) и D2 (D2/) суще-
ствуют всюду в R2, но что Dj (D2/) =£ D2 (D^) в точке (0, 0).
7.	Обозначения те же, что и в задаче 2 § 8.9. Пусть gn (t) = t/(\ -|- п 111)
t
и fn (t) — J" gn (u) du для каждого t € R. Покажите, что функция /: (6„) ->
о
-> (fn (U) непрерывно дифференцируема в £ и что для каждой точки
y = (i|n)g£ отображение x-+f'(x)y дифференцируемо в точке х = 0, но
отображение f не дифференцируемо в этой точке [ср. (8.12.1)].
8.	Пусть Е и F— два банаховых пространства, Л —открытое множество
в £ и (Д) — векторное пространство р раз непрерывно дифференцируе-
мых отображений множества А в F, таких, что f и все его производные Dkf
(1<&<р) ограничены в А. Для любого отображения f^^^(A) пусть
11/11,= sup (||/(x)|| + llD/(x)[|+ ... + ||Dp/(x) ||).
Р х£А
Покажите, что ||/||р есть норма в 3>^ (Л), при которой это пространство
становится банаховым пространство'м.
[Воспользуйтесь (8.6.3).]
Отображение /-> D/ является непрерывным линейным отображением
пространства (Д) в	(соответственно в ^(£;,)(Д) при/>=1).
9.	Пусть Е, F, Q — три банаховых пространства и L, М, N—соответ-
ственно банаховы пространства (Е),	(F),	(Е). При f^L, g £ М
пусть Ф (/, g) = g°f£ N.
а)	Пусть (/о, go) € L X М. Покажите, что если отображение D₽g-0 равно-
мерно непрерывно в F, то отображение Ф непрерывно в (/01 £0).
[Проведите индукцию по р.]
Если Е, F и G конечномерны, то Ф непрерывно в
[Примените (3.16.5).]
Ь)	Пусть Nk =	(Е) при 1 < k < р, где ^^ (£) =	(£). Пока-
жите: что как отображение произведения L X Л4 в Л’, отображение Ф нет
прерывно в каждой точке; для того чтобы Ф (как отображение произведе-
ния	в Л^) было дифференцируемо в точке (/0, g0), достаточно,
чтобы отображение D₽g,0 было равномерно непрерывно; что производная D®
есть линейное отображение
(и, и) ->((D^0)o/0).U-|-UO/0.
с)	Пусть Uf — линейное отображение g-*-g°f пространства М в N.
Покажите, что Uf непрерывно. Мы можем также Uf рассматривать как эле-
мент пространства ,3? (Л4; Nk) при любом k^p. Покажите, что отображе
216
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
ние f-^Uf пространства L в	непрерывно и что отображение
f ->Uf пространства L в (М; N2) дифференцируемо, причем элемент
DUf С (L; „g7 (М; N3)) есть билинейное отображение (u, v) -> ((Du) of)- и.
d)	Выведите из b) и с), что как отображение произведения L X М в Nk
отображение Ф дифференцируемо k — 1 раз.
10.	Пусть f — действительная дважды дифференцируемая функция,
определенная в открытом множестве А банахова пространства Е. Допустим,
что в точке хдЕ производная D/(xo) = O и что существует такое число
с > 0, что D2/ (х0)  (/, f) < — с Н^Н2 для каждой точки t^E. Покажите, что
в точке ха функция f достигает строгого относительного максимума (зада-
ча 6 § 3.9). Если Е конечномерно, то предыдущее условие можно заменить
условием D2/ (х0) • (t, t) <0 для любой точки t =£ 0 в Е.
[Используйте компактность сферы [|£|| =1 в £.]
11.	а) Пусть f — действительная функция, определенная в открытом
промежутке /cR и дифференцируемая в /. Пусть [а, Ь]аЛ, и предположим,
что f" существует в открытом промежутке ] а, Ь [, но /' может и не быть
непрерывной в точках а и Ь (см. задачу 6 § 8.7). Покажите, что существует
такая точка с £ ] а, Ь [, что /' (Ь) — /' (а) = (b — a) f (с).
[Воспользуйтесь задачей 3 § 8.5.J
Ь) Каково соответствующее свойство для функций, определенных в /
и принимающих значения в гильбертовом пространстве (см. задачу 6 § 8.5)?
13.	Дифференциальные операторы
Пусть А — открытое множество в R" (соответственно в С”) и
F—действительное (соответственно комплексное) банахово простран-
ство. Обозначим через	множество всех р раз непрерывно
дифференцируемых отображений множества AeF. Из (8.12.10)
ясно, что (Л) есть действительное (соответственно комплексное)
векторное пространство. Теорема (8.12.10) показывает, что верно
и более общее утверждение: ^^(Д) (соответственно {^(Д)) есть
кольцо, а (А) — модуль над этим кольцом.
Для любой системы (ар ..., ая) = « целых чисел ^>0, удовле-
п
творяющей условию | а | = У а; р, положим Ма = X’tX% ... Х*п
i-1
и определим D“ или как отображение D^D^2 ... D“n простран-
ства ^р\а) в	(Л). Линейный дифференциальный опера-
тор есть линейная комбинация D = 2a«De> где	и аа—не-
а
прерывные скалярные функции, определенные в А. Если аа — 0
при |«| > k и каждая из функций ал непрерывно дифференцируема
(р — k) раз, то D линейно отображает пространство ®^(Д)
в ^ГкЧА).
13. Дифференциальные операторы
217
(8.13.1)	Если оператор 2 ««0я тождественно равен 0, то
а
каждая из функций аа тождественно равна О в Л.
Запишем, что D/ = 0 для /(х) = с • ехр(Х^-)- ... —Н Хп£я), где
с + 0 принадлежит Р, a Xz— произвольные константы. На основании
8.8 и (8.4.1) получим:
«^а,(х)Д(Х1.........X„)^exp(Xj^4- ... -4-Х„ея) = О
тождественно в А. Но это условие эквивалентно условию
2 аа (х) Л4Я(Х], ..., Хя)_ 0. Поскольку Хг произвольны, отсюда еле-
а
дует, что для каждого « в любой точке х £ А функция а„ (х) = 0.
Коэффициенты аа линейного дифференциального оператора, таким
образом, определены однозначно. Наибольшее значение |«| , для
которого аа =£ 0, называется порядком оператора D.
Каждому многочлену Р— 2ЬаМа степени р с постоян-
а 
ными коэффициентами можно поставить в соответствие линейный
оператор	порядка р. Ясно, что DP1+P2 — DP1 Dp2,
а
а из (8.12.3) следует, что если многочлен РГР^ имеет полную сте-
пень р, то DPip2 — DP1Dp2. В частности, из (8.12.7) следует, что
при фиксированных £Z;- оператор	где
D/(x) = D7(x).((1.....tp)
может быть записан в виде
р
П&А + ... +?z„d„).
«=1
(8.13.2)	(Ф о р м у л а Л е й б н и ц а) Пусть Р(Хх.Xп) — много-
член степени р и предположим, что />(А’1-|-К1, .... Xn-\-Y^ =
= 2 PG’ • • •  Xп)	(^i....Гя)’ г&е а — одночлены,
k
Пусть (х, у)—>[х-у]— билинейное непрерывное отображение
произведения EXF в О. Тогда для любого отображения
f £$>\А) а любого отображения g'CSpP-d) отображение [/•£]
принадлежит %>q (А) и имеет место формула
Достаточно доказать формулу для случая, когда Р есть одно-
член М. Проводя индукцию по полной степени Р, мы можем допу-
стить, что Р— XtM, и, значит, Dp = DzDjM. По предположению,
218
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
имеем
Поэтому в силу (8.1.4)
о, I/  Л = 2 -Г. ( [D,D4/ • 0^] + [	 D,D^] ) .
Правую часть мы можем записать в виде
2'/• D.v^l -
Л L "h nh J
где суммирование распространяется на все пары одночленов
(М(*1....................Хп), N"h(Y,.....Yn)\
такие, что либо N = X <_Mk и N'h— М& для некоторого индекса It,
либо же Nh — Mk и = для некоторого индекса k. Для
каждого из рассматриваемых индексов h существует в точности один
такой индекс k, и мы имеем = После этого наше утвержде-
ние очевидно.
Задачи
1.	Пусть А — открытое множество в R”, Е, F, G — три банаховых про-
странства и (х, у) -» [х • у] — непрерывное билинейное, отображение произве-
дения ЕуД в G. Покажите, что отображение (/,£)->[/•£] произведения
Я^(А) X (Л) в (Л) (задача 8 § 8.12) непрерывно.
2.	Пусть / — компактный промежуток в R, J — открытая окрестность
промежутка I. Покажите, что существует бесконечно дифференцируемое
отображение / пространства R в промежуток [О, 1], равное 1 на / и 0 на
дополнении J.
[Рассмотрите функции g*?n (задача 2, Ь § 8.12), где g равно 1 на
таком компактном промежутке К, что IaKc.J, и 0 на R\K.]
Покажите, что если и — бесконечно дифференцируемое отображение
пространства R в банахово пространство Е, то существует такое бесконечно
дифференцируемое отображение v пространства R в Е, что v (t) = и (t) на /
и v(f) = O на R\J.
14.	Формула Тейлора
(8.14.1)	Пусть I — открытый промежуток в R, f и g — две
функции, принадлежащие соответственно	“ &/?>(/).
и (х, у)->[х-у] — непрерывное билинейное отоб ражение про-
изведения Е'/.F в G. Тогда
l/-Dpg]— (— 1)₽ [D₽/• §] = D ([/ Dp-^1-[D/- Dp-2^]+ ...
... -H-l)p-][Dp~’/-gi).
Это немедленно проверяется с помощью (8.1.4).
14. Формула Тейлора
219
(8.14.2)	Пусть I—открытый промежуток в R, f — функция,
принадлежащая &$(/). Тогда для любой пары а, $ точек про-
межутка I
/(?) = /(*)++	/" (а)+ •••
Е
а
Применим (8.14.1) к билинейному отображению (X, х)->Хх и к
функции g (С) = (с —	— 1)! и проинтегрируем обе части
от а до £.
(8.14.3)	Пусть Е и F — два банаховых пространства, А — от-
крытое множество пространства Ей f — р раз непрерывно
дифференцируемое отображение множества А в F. Тогда если
сегмент, соединяющий точки х и х-{-1, содержится в А, то
/(х + О=/(х) + ^г/'(х)-^ + ^г/"(х).^+---
(1	\
н(р)-
о	J
где № обозначает (t, t, ..., t) (k раз). В частности, для вся-
кого е>0 существует такое г > 0, что при ||^||<СГ
||/(*+0-/(X)-^|/'(X)- t - ±Г(Х)  /(2) - ...
... ~7Г/(Р,(Х)- ^>||<е||/||'.
Чтобы получить первую формулу, применим (8.14.2) к функции
g (В) = f (хИ) на промежутке [0, 1]. В силу (8.12.10) функция g
непрерывно дифференцируема р раз, и с помощью индукции по k,
пользуясь (8.4.1) и (8.1.3), сразу видим, что g(k} (?)=/(Л) (х-НО • №.
Чтобы получить вторую формулу, заметим, что ввиду непрерывно-
сти /(Р) число г можно выбрать так, чтобы при 0<^С^1 и
выполнялось неравенство	(x-f-CZ) —/(₽) (х)|| р!е- Тогда тео-
рема о среднем значении (8.7.7) дает
о
£,
и наше утверждение следует из (5.5.1).
220
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
3 а дачи
1.	Полином Лежандра п-го порядка определяется формулой
^(0 = J^D^^-l)»).
а)	Покажите, что с точностью до положительного множителя Рп является
п-м элементом последовательности, получаемой путем ортонормализации
в предгильбертовом пространстве (/), где / = [—1, +1], из последова-
тельности (in) (6.6).
[Для доказательства того, что скалярное произведение Р„ (t) и tm при
т < п равно 0, воспользуйтесь (8.14.1).]
Ь)	Покажите, что Рп (1) = 1, Рп (— 1) = (— 1)".
[Воспользуйтесь (8.13.2).]
с)	Покажите, что между тремя последовательными полиномами Ле-
жандра имеет место следующее рекуррентное соотношение:
пРп (0 - (2л - 1) tPn_x (0 + (п-1) Р„_2 (t) = 0.
[Заметьте, что если число сп выбрано так, чтобы разность Рп (t) —
— сДРп~Д1) имела степень < п—1, то эта разность ортогональна всем tk
при k^n— 3 и поэтому должна быть линейной комбинацией Рп_2 и Рп_й
воспользуйтесь также Ь).]
d)	Покажите, что все корни Рп являются действительными и простыми
и содержатся в промежутке ] — 1, 1 [.
[Если бы полином Рп менял знак в промежутке ] — 1, 1 [ только
в к^п — 1 точках, то существовал бы такой многочлен g(t) степени к,
что при — 1 < t < 1 выполнялось бы неравенство Рп (t) g (t)	0. Покажите,
что это приводит к противоречию с тем фактом, что полином Р„ (t) при
h < п ортогонален
е)	Покажите, что полином Рп удовлетворяет дифференциальному урав-
нению
(1-6 р"п (о - 2<р; (0 + п (п + 1) Рп (Z) = 0.
[Покажите, что при к < п производная D((l —	ортого-
нальна tk.}
2.	а) Пусть f — дважды дифференцируемое отображение промежутка
/ = [— а, а] в банахово пространство Е; пусть Мо = sup || / (/) || и
М2 = sup || /" (t) ||. Покажите, что для каждого 161
tti
+	м2.
[Пользуясь формулой Тейлора, оцените каждую из разностей f (а) — f(t)
и/(—а) —/(0-] ’
Ь)	Пусть /— дважды дифференцируемое отображение промежутка J
(ограниченного или нет) в Е. Покажите, что если верхние грани
Ма = sup||/(Л|| и М2 = sup||/"(ОН конечны, то конечна и верхняя грань
14. Формула Тейлора
221
Mt = sup \\f (Oil , и что
t^J	______ _________________________
{M, < 2 VЛ10Л12, если длина J >2 /Л1о/М2.
Л1, + )ЛШ0Л12, если J — R.
[Воспользуйтесь а).]
Докажите, что в этих двух неравенствах числа 2 и У 2 не могут быть
заменены меньшими.
[Если предположить, что f имеет в J только правую производную fЛ,
то неравенства (*) могут фактически превратиться в равенства, если в ка-
честве f' взять кусочно-линейное отображение. Затем нужно применить за-
дачу 2, d) § 8. 12.]
с)	Выведите из Ь), что если отображение / является р раз дифферен-
цируемым в R и если верхние грани Мо — sup || f (t) || и М„ = sup||/W (ОН
конечны, то при 1 + k у. р — 1 конечна и верхняя грань — sup ||	(f) ||, и
(**)	Мk < 2к - k^2MlQ-klPMkplp
[Проведите индукцию по р. Сначала, применяя индукционное предпо-
ложение и первое из неравенств (*), покажите, что верхняя грань нормы
|] f" (t) || на большом промежутке не может быть слишком велика; при этом
нужно также воспользоваться задачей 2 § 8.12. Затем, пользуясь вторым
из неравенств (*), по индукции докажите неравенство (**). ]
3.	Пусть Е, F — два банаховых пространства и А — открытый шар в Е
(или все пространство Е). Покажите, что норма
sup (||/(х) ||+ || D/'/(x)H)
х£А
в пространстве УУ (Л) эквивалентна (6.6) норме ||/||р, определенной
в задаче 8 § 8.12.
[Воспользуйтесь результатом, полученным в задаче 2, с). ]
4.	Пусть Е — банахово пространство н (с„)— произвольная последова-
тельность элементов пространства Е.
а)	Покажите, что существуют строго убывающая последовательность («„)
чисел, сходящаяся к 0, и последовательность (м„) бесконечно дифференци-
руемых отображений пространства R в Е, обладающие следующими свой-
ствами: 1°) «„(0 = 0 при |/[>«„; 2°) || «^ (0 || < 2-л при |/|<«„+1 и
0<Л<«—1; 3°) «^(0 = 0 при +|<«„+1 и й>«+1; 4°) и(пп) (0) = сп.
[Воспользуйтесь задачей 2, § 8.12.]
Ь)	Выведите из а), что существует такое бесконечно дифференцируе-
мое отображение f пространства R в Е, что /("> (0) = сп для каждого п.
с)	Таким же способом докажите, что если задано произвольное семей-
ство (ся) элементов пространства Е, где а = (а,, ...,ар) пробегает все си-
стемы, состоящие из р целых чисел 0, то существует такое бесконечно
222
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
дифференцируемое отображение f пространства Rp в £, что D“/ (0) = са для
каждого а.
d)	Выведите из Ь), что если g — бесконечно дифференцируемое отобра-
жение замкнутого промежутка ZczR в Е и J — открытый промежуток, содер-
жащий /, то существует бесконечно дифференцируемое отображение f про-
странства R в Е, совпадающее с g на / и равное 0 на R \ J.
5.	Пусть f—отображение промежутка I с: R в банахово простран-
ство Е, и предположим, что f п раз дифференцируемо в точке a g 1. По-
кажите, что
/(«)-/(«)-Г («)	- ...
lim --------:-------------Ь™-----------------------= 0.
ее/	(? — «)"
[Проведите индукцию по п и воспользуйтесь (8.5.1), взяв <р ($) =
= (?-«)«-.]
6.	Пусть / cz R — промежуток, содержащий 0, a f является п — 1 раз
дифференцируемым отображением промежутка / в банахово пространство Е.
Запишем равенство
/	/л-i
/(0 = /(0)+/'(0)ji + ... +/(л-,)(0) (я_-щ+Л(О
определяющее /„ в /\{0}.
а)	Покажите, что если f дифференцируемо п-{-р раз в точке / = 0,
то отображение fn может быть непрерывно продолжено на / и при таком
продолжении превращается в функцию, пД-р—1 раз непрерывно диффе-
ренцируемую во всех точках некоторой окрестности V точки 0 в/
и р раз дифференцируемую в точке t = 0. Далее,
№(0) =	^П+ ** (0) при 0 < k < р
и
11m	(0 tk = 0 при 1 < А < п — 1.
/->0,/^0, к-у
[Выразите производные /„ с помощью тейлоровских разложений (за-
дача 5) производных отображения f и воспользуйтесь задачей 2 § 8.6.]
Ь)	Наоборот, пусть g является п-\-р—1 раз дифференцируемым ото-
бражением множества /\{0} в Е, для которого при 0 А и—1 суще-
ствуют пределы lim g(p + ®	Покажите, что отображение g
может быть продолжено в р — 1 раз дифференцируемое отображение про-
межутка / в Е и что отображение g(t)tn дифференцируемо п-\-р раз в 1.
Если, кроме того, существует g№ (0), то g(t)tn дифференцируемо п р раз
в точке 0.
с)	Предположим, что /=]—1, 1[ и что отображение / четно в /,
т. е. что выполняется условие /(—Z) = /(0- Пользуясь а) и Ь), покажите
что если f дифференцируемо 2и раз в /, то существует п раз дифферен-
цируемое отображение h промежутка I в Е, для которого / (/) = Л(/2).
14. Формула Тейлора
223
7.	а) Пусть / — бесконечно дифференцируемое отображение простран-
ства R” в банахово пространство Е. Покажите, что
/(Хр . ., х„) = /(0, .... 0) 4- л,/, (л,.хп) 4- х2/2 (х2,	л„)4-
4- • • 4- xnfп (хп)>
где fk бесконечно дифференцируемо в R"_ft+1 (1 k ^n).
[Запишите f(xt..... х„) = (/(х,..... хп) — /(0, х2, .... хп) ) 4-
+ / (0- хг, , хп) И к первому слагаемому, рассматриваемому как функция
от хр примените (8Д4.2); при подходящем выборе значения р (зависящем
от к) это докажет, что отображение (/(х|(	. х„)— /(0, х2....хп))/хл
дифференцируемо k' раз в точке (0, ..., 0). В заключение проведите индук-
цию по п.]
Ь) Выведите из а), что при любом р > 0
/(*) = 2 Л1 • • •(х),
|« I <р
где все /в бесконечно дифференцируемы.
8.	а) Пусть S — метрическое пространство, А и В — непустые мно-
жества в S, М — векторное подпространство пространства ^R(S) действи-
тельных непрерывных функций в S, N — векторное подпространство про-
странства М и «->£(«) — линейное отображение пространства М
в пространство RA всех отображений множества А в R. Предположим, что:
1°) существует такая функция «0 С N, что L («0) есть тождественная 1 на Л;
2°) если и С N и существует такая точка t^B, что a (t) — 0, то существует
такая точка х Р А, в которой (L (и)) (х) = 0. Пусть функция v^M такова,
что L (о) = 0. Покажите, что для любой функции и С М, для которой
и — v£N, и любой точки t £ В существует такая точка f) £ А (зависящая
от t), что и (t) = v (0 4- Ио (0 (7- (и)) (9)-
[Заметьте, что и0 (f) / 0 и что, следовательно, существует такая кон-
станта с (зависящая от 7), что и (t) — v (t) — си0 (f) = 0.]
b) Допустим, что S компактно, А связно и плотно в S и что все функ-
ции u.cN обращаются в 0 на S\B. Допустим, что L (и) непрерывно в А
для каждой функции и С М и что если функция ii^N обладает тем свой-
ством, что (L (и)) (/) > 0 для любого t £ А, то и не имеет в В строгого мак-
симума. Покажите, что в . таком случае условие 2° задачи а) также вы-
полняется.
9.	а) Пусть / есть п раз дифференцируемая действительная функция,
определенная на промежутке /; пусть х1 < х2 < ... < хр — точки проме-
жутка / и щ (1 <4 < р) — целые числа > 0, такие, что nt 4- п2 4- ...
... пр — п- Допустим, что в каждой из точек х/ при 0 < k щ — 1 про-
изводная /(й) (х;) = 0. Покажите, что в промежутке ] х1( хр [ существует
такая точка Е, что /^”“1’(Е) = 0.
[Несколько раз примените теорему Ролля.]
Ь) Пусть g есть п раз дифференцируемая действительная функция,
определенная в /, и пусть Р — действительный многочлен степени п—1,
224
Гл. 8. Дифференциальное исчисление
такой, что g‘k^ (Xj) = (xi) при	—1, 1 <. I р. Покажите, что
внутри наименьшего промежутка, содержащего х и точки х, (1 <1 i <; р),
существует такая точка $, что
z	72 , .	X /2«	f
(х — Л1) 1 (х — Х2)	... (х — Хп) р . .
g(x^p (X) + 3------!г_:----”-------'-----gw (е).
[Примените задачу 8, а) или же дайте прямое доказательство; в обоих
случаях воспользуйтесь а).]
10.	Пусть g — действительная нечетная функция, определенная и пять
раз дифференцируемая в симметричной окрестности / точки 0 в R. Пока-
жите, что для каждой точки х € I
8 (л> = т (fi'/ +2g'(0)> ~ W ^(5)
где $ — точка, принадлежащая открытому промежутку с концами 0 и х.
Выведите из этого результата, что если f — действительная функция, опре-
деленная и пять раз дифференцируемая в [а, 6], то
/(*)-/(«) =	[/' (а) + Г {b) + V'	/(5) (0.
где а <Л < b (формула Симпсона).
11.	Пусть I = [а, Ь] — компактный промежуток и пусть Л40 — векторное
пространство действительных непрерывных функций, определенных в / и
обладающих тем свойством, что предел
(£(/>>»>- >» я»+ *>+/<>-*>-VW
Л->0,	«г
существует в R для любой точки t£]a, 5[. Покажите, что все действитель-
ные функции, дважды дифференцируемые в /, принадлежат Мо.
а)	Пусть М — векторное подпространство пространства Л40, состоящее
из функций /, для которых предел £(/) непрерывен в ]а, Ь[. Покажите,
что любая из функций/ С М дважды дифференцируема в ] а, & [ и. что
£(/) = /"•
[Примените задачи 8, а) и Ь), положив S = I, А = В—]а,Ь[ и взяв
в качестве N подпространство пространства М, состоящее из функций /,
для которых / (а) = / (Ь) = 0.]
Ь)	Покажите, что функция / (/), равная t cos (1/0 при t^=0 и 0 при t = 0,
принадлежит Ма, несмотря на то, что она недифференцируема в точке t = 0.
12.	Какие свойства функций с значениями в гильбертовом пространстве
соответствуют свойствам действительных функций, рассмотренным в зада-
чах 9, Ь), 10 и 11? (См. задачу 6 § 8.5.)
Глава 9
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В этой главе мы попытались собрать наиболее общие факты, относя-
щиеся к теории аналитических функций, и, в частности, установить как
можно больше результатов для аналитических функций любого числа
переменных. До 9.13 теоремы, касающиеся только функций одной пере-
менной, помещены в такой контекст, в котором они выглядят лишь как под-
готовка к общим утверждениям. Только в 9.14 — 9.17 и во многих задачах
речь пойдет о свойствах, специально относящихся к случаю одной пере-
менной. Далее, до тех пор, пока это возможно (т. е. до 9.5), мы одновре-
менно рассматриваем аналитические функции действительных переменных
и аналитические функции комплексных переменных. Наконец, всюду после-
довательно проведен наш общий принцип, состоящий в том, чтобы -е самого
начала рассматривать функции, принимающие векторные значения. Это
не требует никаких изменений в доказательствах, и в гл. 11 читатель уви-
дит, насколько полезным является изучение таких функций.
Конечно, здесь можно найти только наиболее элементарную часть чрез-
вычайно обширной теории аналитических функций. Определение таких функ-
ций дается исходя из локального существования степенного ряда, опреде-
ляющего функцию, дифференциальные свойства аналитических функций
устанавливаются с помощью аппарата степенных рядов (9.3.5). Обычное
определение аналитических функций, использующее существование непре-
рывных производных, приложимо, конечно, только к функциям комплекс-
ных переменных, и поэтому такое рассмотрение откладывается до 9.10.
Основными результатами относительно степенных рядов являются лемма
Абеля (9.1.2), из которой выводится чрезвычайно существенная возмож-
ность подстановки степенного ряда в степенной ряд (9.2.2), и принцип
изолированности нулей (9.1.5), наиболее важным следствием кото-
рого является принцип аналитического продолжения (9.4.2), выражающий „един-
ство" значений аналитической функции в точках области ее определения.
Начиная с этого момента мы предполагаем, что переменные комплексны.
За исключением принципа максимума (9.5.9), все основные свойства анали-
тических функций комплексных переменных выводятся из единственной
новой идеи — идеи „комплексного интегрирования" и ее фунда-
ментальных следствий: теоремы Коши (9.6.3), формулы Коши (9.9.1) и ее
обобщения — теоремы о вычетах. Формулировка теоремы Коши, которую
мы здесь приводим, не является наилучшей. Она утверждает, что интеграл
вдоль контура есть инвариант гомотопического класса этого контура,
тогда как на самом деле этот интеграл является инвариантом его г о м о-
15 Ж. Дьедонне
226
Гл. 9. Аналитические функции
логического класса. В большинстве случаев такая формулировка не
вызывает никаких неудобств, однако' в то время, как доказательство этой
слабой формы теоремы Коши почти не нуждается в топологической подго-
товке, доказательство полной теоремы потребовало бы привлечения алгеб-
раической топологии в объеме, который, как мы считаем, превышает уро-
вень настоящего курса. Интересующийся читатель найдет полную теорему
Коши вместе со всеми необходимыми предпосылками у Альфорса [1] и
Спрингера [21].
Мы думаем, что,' вместо того чтобы, пользуясь дополнительными ре-
зультатами из алгебраической топологии, получить эти уточнения теоремы
Коши, читателям будет интересно увидеть, как с помощью простого метода,
предложенного С. Эйленбергом, можно получить очень глубокую информа-
цию о топологии действительной плоскости (включая теорему Жордана
о кривых), пользуясь только элементарными фактами, относящимися к ком-
плексному интегрированию. Метод Эйленберга изложен в добавлении
к главе (которое, кстати сказать, не используется нигде в дальнейших гла-
вах и может быть, таким образом, пропущено без какого бы то ни было
ущерба).
Как было отмечено уже в гл. 1, читатель не найдет ниже никакого упо
минания о так называемых „многозначных” функциях. Конечно, очень не-
приятно, что в поле С нельзя определить настоящую непрерывную функцию
У г, которая удовлетворяла бы уравнению (Кг )2 = г. Но разрешение этой
трудности, несомненно, нельзя искать в намеренном извращении общего
понятия отображения, внезапно объявив, что в конечном счете такая „функ-
ция” имеется; однако она обладает необыкновенным свойством: для каждого
z О она имеет два различных „значения”. Расплата за это глупое „ново-
введение” наступает немедленно: над такими „функциями” невозможно хоть
с какой-нибудь разумной уверенностью производить даже простейшие
алгебраические операции.. Например, соотношение 2]Лг=)Лг-|-pCz, оче-
видно, неверно; в самом деле, если мы будем следовать „определению” )Лг,
то при г =# 0 мы будем вынуждены левой части приписать д в а, а пра-
вой — три различных значения.
К счастью, существует разрешение этой трудности, не имеющей ничего
общего с такого рода бессмыслицами. Оно было указано более ста лет
назад Риманом и состоит в восстановлении единственности значения Уг
с помощью, так сказать, „удвоения” области изменения переменной г, так
что два значения Уz вместо единственной точки г соответствуют двум
различным точкам. Если вообще бывают гениальные открытия, то это было
одним из них, и оно положило начало обширной теории римановых по-
верхностей и их современного Обобщения—комплексных многообразий.
Читателя, который пожелает познакомиться с этими красивыми и активно
развивающимися теориями, мы отсылаем к классической книге Г. Вейля [25]
и современному изложению Спрингера [21] по теории римановых поверх-
ностей, материалам семинара А. Картана [8] и недавней книге А. Вейля [24]
о комплексных многообразиях.
1. Степенные ряды
2'27
1.	Степенные ряды
Во всем последующем К будет обозначать или действительное
поле R, или же комплексное поле С; его элементы будут называться
скалярами. Открытый (соответственно замкнутый) полицилиндр
в векторном пространстве Кр над полем К есть произведение р
открытых (соответственно замкнутых) шаров. Иными словами, это
есть множество Р точек £ = (2^, .... zp), удовлетворяющих условиям
вида [ zt— at | < г, (соответственно | Z-. — a^^r^, 1 р, при-
чем для любого индекса гг > 0. Точка a — (av .... ар) есть центр
полицилиндра Р, а г1....гр — его радиусы (таким образом, шар в Кр
является полицилиндром, все радиусы которого равны между собой).
(9.1.1)	Цусть Р и Q — два открытых полицилиндра в Кр, для
которых P{\Q + Q5- Тогда сегмент (8.5), соединяющий любые
две точки х и у пересечения P[\Q, содержится в P(\Q; в ча-
стности, пересечение P(\Q связно.
В самом деле, если |х; — аг | < г; и | у(- — at | < rt, то при
0 < t <; 1 имеем |fx;-|-(l—ОУ, —< ri-
Последнее утверждение следует из того факта, что [в силу (3.19.1)
и (3.19.7)] сегмент связен, и из (3.19.3).
Введем следующие обозначения: для любого элемента v = (np .... пр)
множества ^(л, — целые числа >> 0) и любого z=(z}...........zp)£Kp
мы будем писать Z'‘ — z"'z"* . .. z”p и | ч | = п} -|- п2 -|- . . . -}-пр.
Если Е — банахово пространство (над /С) и (с,)
— семейство эле-

Р
ментов пространства Е, имеющее Np множеством индексов, то мы
будем говорить, что семейство
Е

элементов пространства
есть степенной ряд относительно р переменных z^l^i^p)
с коэффициентами сг
(9.1.2)	(Лемма Абеля) Пусть точка b~(b1, .... Ьр)£Кр та-
кова, что b^Q при 1^1^.р и что семейство (с,Ь') ограни-
чено в Е. Тогда для любой системы радиусов (гг), удовлетво-
ряющей условию 0 < гг < | дг | (где 1	р), степенной ряд (cvz“)
нормально сходится в полицилиндре с центром 0 и радиусами rt.
В самом деле, если для любого v£Np выполняется неравенство
то из определения нормы в Кр следует, что при
ЫО/ < l^zK1	имеем || с^ || < Aq\ где q = (qx.qp),
qi — rl!\bi\<_ 1. Из (5.5.3) следует, что семейство (q^) р положи-
тельных чисел абсолютно суммируемо, откуда на основании (5.3.1)
вытекает требуемый результат.
15*
228
Гл. 9. Аналитические функции
(9.1.3)	При предположениях (9.1.2) сумма степенного ряда (с^)
непрерывна в открытом полицилиндре с центром 0 и радиу-
сами | bi |.
Так как каждая точка этого полицилиндра является внутренней
для некоторого замкнутого полицилиндра с радиусами г,- < | bt |, то
утверждение следует из (7.2.1).
Пусть q — целое число, удовлетворяющее условию
Для любого э = (пх....... пр) положим '/ = (п1...... nq),'/'~
^={nq+x, .... Пр). Будем рассматривать Кр как пространство, тожде-
ственное с произведением КЯУ,КР~Я, и для z — (zx, ..., zp)£Kp
писать z'= (zx, .... z?), z" — (zq+x, .... zp). При этих обозна-
чениях справедливо утверждение
(9.1.4)	Пусть степенной ряд (c,..z'') абсолютно суммируемое поли-
цилиндре Pcz.Kp с радиусами г; и центром 0. Тогда для лю-
бого	ряд (c(,'t	) абсолютно суммируем в поли-
цилиндре Р', являющемся проекцией полицилиндра Р в Кя. Если
обозначить сумму этого ряда через gs(z'), то для любой точки
z’ £Р' степенной ряд (g^(z')z"'1) абсолютно суммируем в поли-
цилиндре Р", являющемся проекцией Р в Кря, и его сумма
равна сумме ряда (cvz’).
Так как zv = z'' z,r> , то тот факт, что каждый из рядов
(C(V, V.)Z'V z//V) (У7 фиксировано) абсолютно суммируем и что
2 (z') z"~‘ — 2 следует из (5.3.5) и из теоремы ассоциатив-
vn	v
ности (5.3.6) для абсолютно суммируемых семейств. Если мы возьмем
точку z"£P" так, чтобы при q-1- 1 I р было zz¥=0, то отсюда
будет следовать абсолютная суммируемость ряда (с(,'ж ^z,'>).
(9.1J5) (Принцип изолированности нулей)Пусть (c„zn) —
степенной ряд относительно одной переменной, сходящийся
в открытом шаре Р радиуса г, и пусть f(z)~= У cnzn. Тогда
п = 0
если не все сп равны 0, то существует такое г' < г, что
f(z)=^0 при 0 < | z | < г'.
Пусть h — наименьший номер, для которого cft¥=0. Тогда мы
можем написать f (z) = zh (ch-\-ch+xz + ... -|- ch+mzm + ...), при-
чем ряд (ch+mzm) сходится в P. Если g(z) = ch-\- cA+1z + ...
...	Ch+m?”1 + •••• то в силу (9.1.3) функция g непрерывна в P
и, так как g(0)= ch^0, существует такое г' > 0, что при jz|<r'
функция g(z)=£0. Отсюда следует требуемый результат.
1. Степенные ряды
229
(9.1.6) Пусть два степенных ряда (a^z1) и (Ь^) абсолютно сум-
мируемы и имеют в полицилиндре Р одну и ту же сумму.
Тогда для каждого коэффициенты а^ = Ь...
Проведем индукцию по р. При р = 1 результат сразу следует
из (9.1.5). Переходя, еЬли потребуется, к разности двух рассматри-
ваемых рядов, можем считать, что bv = 0 для каждого ч. Применяя
СО
теорему (9.1.4) при q = p—1, имеем 2	= 0; поэтому
gn(z') = Q для каждого п и каждой точки z' проекции Р' поли-
цилиндра Р в КР~Х. Применяя к каждой функции gn предположение
индукции, получаем, что при любом э коэффициент ач = 0.
Задачи
1. Пусть (сч2г’) — степенной ряд относительно р переменных zt (1 <i< р)
и пусть а = (а., ..., ар) € К. Для того чтобы действительное число г>0
обладало тем свойством, что для любого числа 16 /С, удовлетворяющего
условию 111 < г, ряд (с„ (toj)”1 ... (tap)nP) абсолютно суммируем, необходимо
и достаточно, чтобы для всех индексов ч = (п,......пр), исключая, быть
может, конечное их число, выполнялось неравенство
1 /	р	\
In r-f- —т( 1п|| с,|| + 2 nzln| at | <0.
\	i = i	/
[Примените (9.1.2).]
В частности, при р=1 существует наибольшее число /?>-0 (радиус
сходимости, который может также быть равен от), такое, что ряд (спгп)
сходится при | z | < /?; это число определяется формулой
-i-= lim pup (|| cn+k || )1/(n+ft)\ ,
К n->co \ft>0	'
причем правая часть обозначается также символом lim sup || сп ||1/л. Если суще-
Л->со
ствует предел lim || сп Ц1^", то он равен 1//?.
л->со
2.	Приведите примеры степенных рядов относительно одной комплексной
переменной, имеющих радиус сходимости /?=1 (задача 1) и таких, что:
а)	ряд нормально сходится при | z | — R;
Ь)	ряд сходится в некоторой точке г окружности | z | = R, но не схо*
дится в остальных точках этой окружности;
с)	ряд ие сходится ни в одной точке окружности |г] = /?.
3.	Приведите пример степенного ряда относительно двух переменных,
абсолютно суммируемого в точках (at, а2) и (bit Ьг), но не в точке.
( ai 4“ аи \
2	’	2 Г
[В степенном ряде с одной переменной замените z на Z\Z2.\
4.	Пусть (спгп) и (dnzn) — два степенных ряда относительно одной пере-
менной со скалярными коэффициентами. Если их радиусы сходимости (задача 1)
230
Гл. 9. Аналитические функции
Л и R' и если ни R, ни /?' не равны 0, то радиус сходимости /?" степен-
ного ряда (cndnzn) не меньше RR' (это произведение считается равным со,
если R или R’ равно + оо). Приведите пример, когда R" > RR'.
2. Подстановка степенных рядов в степенной ряд
Пусть Q — полицилиндр в № с центром 0; предположим, что р
степенных рядов	относительно q переменных со скалярными
коэффициентами абсолютно суммируемы в Q [здесь р. = (/Пр ..., m?),
и = («1.....и?)	и u* = (<u™i ... Положим gk(u) = ^^u\
р-
Gk {и) = 21	| и*. Пусть, с другой стороны, (а^г’) — степенной ряд
р
относительно р переменных с коэффициентами из Е, абсолютно сум-
мируемый в полицилиндре Р пространства Кр с центром 0 и радиу-
сами	(1 < А < р). Если мы „формально" заменим в члене
=	... znpP каждое zk степенным рядом gk(и), то нам придется
взять формальное „произведение" л1-(-п24- ••• рядов, т. е.
выбрать по члену в каждом из /^4-	+ множителей, составить
их произведение и затем „просуммировать" все полученные таким
путем члены. Таким образом, для каждого v = (np п2, .... пр) нам
нужно рассмотреть множество всех конечных семейств (p.fey) = р,
где	k пробегает от 1 до р и при каждом k индекс j ме-
няется от 1 до пк. Такому р мы ставим в соответствие член
р пц
р	fe=i;=i
При этих обозначениях имеет место теорема
(9.2.1) Пусть Sj.....sq — q чисел > 0, удовлетворяющих усло-
виям Gft(sp .........где \^k^.p. Тогда для каждой
точки и, принадлежащей открытому полицилиндру SaKq
с центром 0 и радиусами st(X ^. q) семейство (tf(u)) (где р
пробегает все счетное множество индексов А= |J абсо-
,С.кд
лютно суммируемо, и, если f =	. «го сумма равна
f(gi(u), g^W......gpW)-
Иными словами, при условиях Gk(sv .... s?) < r*(l Р)
„подстановка" рядов gk (и) вместо zk(l ^.k р) в ряд / дает абсо-
лютно суммируемое семейство даже прежде, чем все члены tf(u},
имеющие относительно иг......uq одинаковые степени, будут со-
браны вместе.
3. Аналитические функции
231
Чтобы доказать (9.2.1), нужно лишь убедиться в том, что семей-
ство (£р («).) абсолютно суммируемо; то, что его сумма равна
/(gi(«). ••• ЕР(и))> следует из применения теоремы ассоциативно-
сти (5.3.6) к подмножествам Л, множества А и из теоремы (5.5.3),
которая показывает, что сумма У tf (и) равна a, (gx (и) )"i ... (gp (и))"р.
Р	/
Для доказательства того, что семейство (/р(и))ред абсолютно сумми-
руемо, воспользуемся теоремой (5.3.4). Для любого конечного под-
множества Bcz.A в силу (5.3.5) и (5.5.3) имеем
2 .||^(«)11<И11 -«Ш. .... s9))n‘...(op(S1............S))np,
(£вПа,
и, по предположению, правая часть этого неравенства есть член
с индексом ч абсолютно суммируемого семейства; отсюда следует
наше утверждение.
р пь
Запишем tЛи) = си\ где Х = (ХР ..., X ), \ — У, (если
к	к	k=i
^kj — {mkjx....Из (9.2.1) и (5.3.5) (в предположении, что
все wz#=0, «£•$) следует, что для каждого X семейство всех ср,
где р пробегает все элементы множества А, соответствующие одному
и тому же X, абсолютно суммируемо в Е. Если dx — его сумма,
то по теореме ассоциативности (5.3.6) мы видим, что
(9.2.1.1)	/(^(«).........^(a))	= 3dx«i.
где ряд в правой части равенства абсолютно суммируем в полици-
линдре S. По определению этот степенной ряд называется степен-
ным рядом, полученным в результате подстановки рядов gk(u)
вместо zk при 1 k р в степенной ряд (a^z*).
(9.2.2)	Если точка (gj(O), .... gp(0)) пространства Кр принад-
лежит полицилиндру Р, то в пространстве Кя существует
такой открытый полицилиндр S, что при u£S ряды gk(u)
можно подставить вместо zk(\ ^.k С р) в степенной ряд (a^z').
Заметим, что, по определению, Gk (0) = | gk (0) | при
Так как функции Ok в силу (9.1.3) непрерывны в точке 0, то суще-
ствование таких чисел st > 0 (1 <7 <;</), что Ok ...3 * s^<rb
при 1 k р, сразу следует из предположения.
3. Аналитические функции
Пусть D — открытое множество в пространстве Кр. Мы будем
говорить, что отображение / множества D в банахово простран-
ство Е над К является аналитическим, если для каждой точки a^D.
232
Гл. 9. Аналитические функции
существует такой открытый полицилиндр Pcz.D с центром а, что в Р
отображение f(z) равно сумме абсолютно суммируемого степенного
ряда относительно р переменных zk— ak(l р) [в силу (9.1.6)
этот ряд необходимо единственен]. Предположим, что /С = С; пусть
b— точка множества D и В — прообраз множества D при отобра-
жении х—>6 + х пространства Rp в Ср. Тогда из определений сразу
следует, что отображение х—является аналитическим
в открытом множестве В пространства Rp.
(9.3.1)	Пусть (a^z'1) — абсолютно суммируемый степенной ряд
в открытом полицилиндре Рс.Кр. Тогда сумма ряда f{z)=^
— 2 aiz'‘ является аналитической в Р; точнее, если	р) —
радиусы полицилиндра Р, то для любой точки b = (Ь^£Р ото-
бражение f (z) равно сумме абсолютно суммируемого ряда
относительно zk — bk в открытом полицилиндре с центром b
и радиусами rt —	(l<J<;p).
Это сразу следует из теоремы (9.2.1), в которой следует взять
q = P, gk(u') = bk~sruk- в этом слУчае	и Усло-
вия Oft(Sj, . ,.,s)<rft (1 k р) превращаются в условия sk <
<'»- IM (1 <£<£)•
Целая функция р переменных есть отображение / простран-
ства Кр в Е, равное сумме степенного ряда, абсолютно суммируемого
во всем пространстве Кр [ср. (9.9.6)]. В силу (9.3.1) для любой
точки b £ Кр в этом случае / (г) равно сумме степенного ряда отно-
сительно zk—bk, который абсолютно суммируем во всем Кр.
(9.3.2)	Пусть А—открытое множество пространства Кр,
В — открытое множество пространства К9, (1	р ) — р
скалярных функций, определенных и аналитических в В, и
предположим, что образ множества В при отображении
(gj....gp) содержится в А. Тогда для любого аналитического
отображения f множества А в Е отображение f(gx.........gp)
является аналитическим в В.
Это сразу следует из определения и из (9.2.2). В частности, если
отображение f является аналитическим в АаКр, то для любой си-
стемы (aq+l, ..., ар), состоящей из р — q скаляров, отображение
(zr....zq)—>/(z1, .... zq, aq+x...ap) является аналитическим
в открытом множестве A(aq+1....ар) пространства №.
(9.3.3)	Для того чтобы отображение f = (fv ..., f) откры-
того множества Ас.Кр в К9 было аналитическим, необходимо
и достаточно, чтобы каждая из скалярных функций f Z(1
была аналитической в А.
Очевидно из определения.
3. Аналитические функции
233
(9.3.4)	Пусть zk —	+ lyk при	где хк и ук—дей-
ствительные числа. Если отображение f является аналити-
ческим в открытом множестве AcV, то отоб ражение
(хР У!.....х , ур) -> f (Xi + 1ух...xp-]~iyn) является анали-
тическим в множестве А, рассматриваемом как открытое
множество в R2P.
В самом деле, в силу (9.3.2) эта функция является аналитической
в открытом множестве ВсС2Р, являющемся прообразом множества А
при отображении (нр Vj....ир, vp)->(ux-[- ivx...up-}-ivp') про-
странства С2Р в Ср. Поэтому она будет аналитической в пересечении
Л=ВПИ2Р, когда А рассматривается как подмножество простран-
ства R2P.
(9.3.5)	Пусть (сп^...» ^i1 '• • • zpp) — степенной ряд, абсолютно
суммируемый в открытом полицилиндре Р с центром 0, и
f(z)— его сумма. Тогда степенной ряд
(п.с zn\ .. . ztk~x . . . гПр\
к *ЧЛ2. ” пр I k	Р !
абсолютно суммируем в Р, и его сумма есть частная произ-
водная v>kf
Для любого z£P мы можем в рассматриваемый ряд вместо zt
при l=Ek подставить само zz, а вместо zk— сумму Zk-\-uk и таким
образом получить степенной ряд относительно р-\- 1 переменных
zv ..., zp, ик, который в силу (9.2.1) будет абсолютно суммируе-
мым при \zl\<rl(i^k) и l^l+KK''* (где г1.............^ — ра-
диусы полицилиндра Р). На основании (9.1.4) мы можем, следова-
тельно, написать f(zx, .... zk-j-uk.zp) = ukfx(z)-{- ...
... -|- u%fn(z')-\- .... где каждое из fn является степенным рядом,
абсолютно суммируемым в Р, и правая часть при каждом z£P
является степенным рядом относительно ик, абсолютно суммируемым
в некотором открытом шаре В (зависящем от z) с центром 0. Кроме
того, из формулы бинома Ньютона следует, что
Л(^) = 2 nkc z"> ...	... znp,
<	у	I P	r
и так как
(/(*i....zk+uk.......Zp)-f(zy)luk^fx(z)-i-... +unk-lfn(z)+....
в силу (9.1.4) есть абсолютно суммируемый степенной ряд (относи-
тельно ик) в В (при фиксированном z), то из (9.1.3) мы заключаем,
что /j (z) = Dkf (z) при любом z£P. Из этого результата и из (9.1.3)
получаются выражения коэффициентов через производные отобра-
жения /, а именно
(9.3.5.1)	v!Cv=D’/(0),
234
Гл. 9. Аналитические функции
где D'I = D”1 ... D”p и v! = n1!n2! ... пр! Эта формула сразу выво-
дится индукцией по |»| == «j —. -\-пр.
(9.3.6)	Функция, аналитическая в открытом множестве АсКр,
бесконечно дифференцируема, и все ее производные являются
аналитическими в А.
Это — очевидное следствие ’теорем (9.3.5) и (8.12.8).
При р—1 имеем теорему, „обратную" (9.3.5):
(9.3.7)	Пусть (cnzn) — степенной ряд, сходящийся в шаре
ОО
Р: |г| < г пространства К, и пусть /(z)=2 спгП 8 Тогда
л = 0
степенной ряд cnzn+xj(ji-\- 1) сходится в Р, и его сумма является
первообразной отображения f.
Ввиду (9.3.5) нам нужно только убедиться в сходимости ряда
cnzn+1l(n-\- 1), но она сразу следует из неравенства
|^Tv"+1|<lkJI • И"+1
и из (9.1.2).
Задачи
1.	Пусть (апгп) и (6„г") — два степенных ряда относительно одной пере-
менной, причем Ьп — действительные числа > 0. Допустим, что lim = s.
л->со Ьп
а) Предположим, что ряд (bnzn) сходится при |г| < 1, но не сходится
k
при z — 1 (это значит, что lim ck = со, где ск = V £>„). Покажите, что
*->°°	л=о
ряд (anzn) абсолютно сходится при [ z | < 1 и что
где Л== [0, 1 [.
lim
z->i,
СО
2
ОО
2 №
п=0
S,
[Заметьте, что lim ( V й„гл\ = -|-оо при любом данном А.)
L	г->1> г€7\л>*	)	]
Ь) Предположим, что ряд (6пгл) сходится при каждом z. Покажите, что
ряд (апгп) абсолютно сходится при каждом z и что
2а«г"
Нга ----------
ип£
п~0
S,
где J — промежуток [0, + °°1 в R-
3. Аналитические функции
235
ОО
с) Покажите, что если ряд (ап) сходится и ап — s, то ряд (a^)
л = 0
00
при |г|<1 абсолютно сходится и lim anzn = s (теорема Абеля).
z->l, гс/л=о
[Примените а), взяв bn = 1 при каждом л.]
d) Степенной ряд ((—1)”гл) имеет радиус сходимости 1, и его сумма
1/(1 4~2г) стремится к пределу, когда г стремится к 1 по /, но ряд ((— 1)”)
расходится (см. задачу 2).
2.	Пусть (апгп) — степенной ряд относительно одной переменной, имеющий
радиус сходимости, равный 1. Пусть f(z)— его сумма; предположим, что
существует предел f (1—). Покажите, что если, сверх того, lim пап = О,
л->оо
то ряд (ап) сходится и его сумма равна /(1—) (теорема Таубера).
[Заметьте, что если при выполняется неравенство |пал|<е, то
для любого N > k и 0 < х < 1
<^(1-х) и [S^kjVd'-x)-
II n>N ||
3.	Пусть (anzn) — степенной ряд относительно одной переменной, имеющий
радиус сходимости г > 0, и пусть (£>„) — такая последовательность скаля-
ров =£0, что q = lim (b^b„+}) существует и | q | < г. Покажите, что если
л->оо
сл = й06л+в1*л-1 +	+ «л^о> то предел lim (сп)Ьп) существует и равен f (q)-
п-^оо
4.	Пусть (pnzn) и (Япх") — два степенных ряда с комплексными коэф-
фициентами и радиусами сходимости =£0 и пусть f(z) = 2 Pnz" и g (z) =
п
= У qn2" в окрестности U точки 0, в которой оба ряда абсолютно сходятся,
л
Предположим, что qo = g(O)=£O. Тогда существует степенной ряд У, cnzn,
л
абсолютно сходящийся в окрестности V cz U точки 0 и имеющий сумму,
равную / (z)/g (z) в V.
[Заметьте, что ряд (г”) при | z | < 1 сходится, и примените (9.2.2).]
Покажите, что если все qn > 0, последовательность qn+\!qn возрастает,
коэффициенты рп действительны и таковы, что последовательность pn/qn
возрастает (соответственно убывает), то сл<^0 (соответственно с„ 0) при
каждом zz > 1.
[Выразите разность Pnjqn—P„_llqn_1 через qk и cft и проведите индук-
цию по п.]
Выведите из этого результата, что все производные функции x/ln (1 — х)
при 0 < х < 1 будут > 0.
5.	Пусть gk (1 k < р) — р скалярных целых функций, определенных
в Кр. Если f — целая функция, определенная в Кр, то / (glt .... gp) есть
целая функция в №.
236
Гл. 9. Аналитические функции
4.	Принцип аналитического продолжения
(9.4.1)	Пусть Р и Q — два открытых полицилиндра в про-
странстве Кр с центрами а и Ь, причем Pf\Q=TQ. Пусть
(сП}...п	— ар)Пр) — степенной ряд относительно
Xi — а^ абсолютно суммируемый в Р, и пусть f (х)— его
сумма. Пусть {dni...np{x\—bif1 ... (хр— Ьр)пр') — степенной
ряд относительно xt — bit абсолютно суммируемый в Q, и пусть
g (х)— его сумма. Если существует такое непустое открытое
подмножество U пересечения P[\Q, что f(x') — g(x') в любой
точке x£U, то f (х) = g (х) в любой точке x£Pf\Q.
Пусть u^U и пусть v — произвольная точка пересечения Р П Q-
Тогда сегмент, соединяющий и и V, в силу (9.1.1) содержится
в PRQ- Пусть h(t) = f(u-\-1 (v — и)) — g(u-\-t(v — и)), где
t — действительное число; ввиду (9.3.2) это—аналитическая функция
от t в некотором открытом промежутке /, содержащем [0, 1]. Пусть
А—замкнутое подмножество промежутка [0, 1], состоящее из тех t,
для которых Л(5) = 0 при	По предположению существует
открытая окрестность точки 0 в промежутке [0, 1], содержащаяся
в А; поэтому верхняя грань р множества А, естественно, > 0.
Мы докажем, что р— 1, и тем самым теорема (9.4.1) будет
доказана. Прежде всего заметим, что й(£) = 0 при 0 t < р, сле-
довательно, по непрерывности й(р) = О. Так как h— аналитическая
функция в точке р, существует степенной ряд относительно t — р,
сходящийся при \ t — р| < а, где а > 0, сумма которого при —р| < а
равна A(t). Но .при 0<^<^р, по предположению, Л(^) = 0. Из
принципа изолированности нулей (9.1.5) тогда следует, что h(t) = Q
при \t — р| < а, и, если бы р было <1, это противоречило бы
определению р.
(9.4.2)	(Принцип аналитического продолжения). Пусть
Ас.Кр — открытое связное множество, f и g — две аналити-
ческие функции в А с значениями в Е. Если существует такое
непустое открытое подмножество U множества А, что
/(x) = g(x) в U, то /(x) = g(x) в каждой точке х£Л.
Пусть В — внутренность множества точек х£Л, в которых
/(x) = g(x). Ясно, что В открыто и, по предположению, не пусто.
Мы докажем, что В замкнуто в Л и, следовательно, равно А, так
как А связно ]см. 3.19]. Пусть а£А—точка прикосновения мно-
жества В. Поскольку f и g — аналитические функции, существует
такой открытый полицилиндр Р с центром а, содержащийся в А,
что /(х) и g(x') в Р равны суммам двух степенных рядов относи-
тельно xz — at, абсолютно суммируемых в Р. Но по определению
пересечение PftB содержит открытый полицилиндр, в котором
4. Принцип аналитического продолжения	237
/(х) = g(х). Применяя (9.4.1) к P = Q, заключаем, что f(x) — g(x)
в Р; иными словами, Рс.В и, в частности, а £ В, ч. т. д.
При р = 1 мы можем следующим образом усилить предыдущую
теорему:
(9.4.3)	Пусть Ас. К— открытое связное множество в К, f
и g— две аналитические функции в А с значениями в Е. До-
пустим, что существует такое компактное подмножество
Нс: А, что множество М точек х£Н, в которых f (х) = g (х),
бесконечно. Тогда f(x') = g(x) в каждой точке х£А
Пусть (z„) — бесконечная последовательность различных точек
множества М. Так как Н компактно, последовательность (дл) имеет
предельную точку Ь£Н и, значит, любой шар Р с центром Ь,
содержащийся в А, содержит бесконечное множество точек из М.
Но мы можем считать, что в шаре Ре. А с центром b функции /
и g равны суммам сходящихся степенных рядов относительно z—b.
Принцип изолированности нулей (9.1.5) тогда показывает, что /(х) =
= g(x) в Р, и мы можем теперь применить (9.4.2).
При А*== С мы также можем усилить теорему (9.4.2):
(9.4.4)	Пусть АаСр — открытое связное множество, f и g — две
аналитические функции в А с значениями в комплексном бана-
ховом пространстве Е, U — открытое подмножество А,
b — точка множества U. Предположим, что f (х) = g(x) в пере-
сечении (7 П (^ Н~ Rp)- Тогда f{x) = g(x) в каждой точке х£Д.
Производя, если потребуется, перенос, можем считать, что А = 0.
Пусть h=f — g и пусть Р — полицилиндр в Ср с центром О,
содержащийся в U и такой, что в Р функция h(z) равна сумме
абсолютно суммируемого степенного ряда (cvzv). Множество Р П Rp
является полицилиндром в Rp, и в PflRp функция й(х) = 0. Это
на основании (9.1.5) показывает, что cv = 0 при каждом v, поэтому
Л(д) = 0 в Р, и мы можем применить (9.4.2).
Пусть АсКр— открытое связное множество. Мы будем гово-
рить, что подмножество М cz А есть множество единственности
в А, если любые две функции, определенные и аналитические в А,
совпадают в А, коль скоро они совпадают в М. Теоремы (9.4.2) —
(9.4.4) показывают, что непустое открытое подмножество (7gzM,
или же пересечение U n(^ + Rp) (если оно не пусто), или, при р— 1,
компактное бесконечное подмножество А являются множествами
единственности. В (9.9) для К = С мы встретим еще один пример.
Последняя теорема показывает, что если открытое связное мно-
жество АсСр обладает тем свойством, что MnRp¥=0. то любая
функция /, аналитическая в А, вполне определяется своими значе-
ниями в A flRp. Сужение функции / на A (1RP является аналитической
функцией, но, вообще говоря, функция, аналитическая в А П Rp>
238
Гл. 9. Аналитические функции
не может быть продолжена в функцию, аналитическую в А. Мы
имеем, однако, более слабый результат:
(9.4.5)	Пусть Е—комплексное банахово пространство, А—от-
крытое множество в Rp и f— аналитическое отображение
множества А в Е. Тогда существуют открытое множество
ВсСр, для которого BnR₽ = -4, и аналитическое отображе-
ние g множества В в Е, являющееся продолжением f.
В самом деле, для каждой точки а=(ах, .. ар)£А существует
открытый полицилиндр Ра в Rp, определяемый условиями \xi—al\<.ri
(1 <3	р), содержащийся в множестве А и такой, что в Ра отобра-
жение f(x) равно сумме абсолютно суммируемого степенного ряда
(Слг..пр{*\ — 01)”* • • • (я?—ар)Пр}- Пусть Qa— открытый поли-
цилиндр в Ср с центром а и радиусами rz. Тогда в силу (9.1.2) степенной
ряд ... np(.zi—ai)n' (zp — ар)Пр) абсолютно суммируем в Qa;
пусть ga(z)— его сумма. Если а и b — две точки множества А, для
которых Qa П Qb =А 0, то пересечение Ра П Pb = (Qa П Qb) П Rp не пусто,
и в Ра[\Рь мы имеем ga(x) = gb(x~) = f(x). Кроме того, ввиду (9.9.1)
пересечение" Qa(]Qb связно. Из (9.4.4) следует, что ga(z) = gb(z)
в Qa П Qb- Мы можем теперь взять В = Qa и определить g как
а£ А
отображение, равное ga на каждом Qa; аналитичность отображения g
следует из (9.3.1).
Доказательство теоремы (9.4.5) показывает, что если /— целая
функция, определенная в Rp, то она может быть продолжена в целую
функцию, определенную в Ср, и что эта функция в силу (9.4.4)
единственна.
Задачи
1.	а) Пусть Р(И|,..иг+1) — многочлен с коэффициентами из g и
а],.... аг — элементы g, удовлетворяющие условию |'az| < 1, 1 <Z<r. Пред-
положим, что в К существуют шар В с центром 0 и скалярная функция /,
аналитическая в В и такая, что для каждого г£В справедливо равенство
f (z) = Р (z, / (a ,z),f (arz)). Покажите, что функцию f можно продол-
жить в функцию g, аналитическую во всем пространстве g и удовлетво-
ряющую в g тому же самому функциональному уравнению.
[Воспользуйтесь (9.4.2).]
Ь) Пусть g = С, и предположим, что существуют действительное число ?
и скалярная функция /, аналитическая при Яг > и удовлетворяющая на
этом множестве уравнению / (г) = Р (z, f (г Д- ах),  ., f (z-j-ar)), где az—ком-
плексные числа с Яах > 0. Покажите, что функция f может быть продол-
жена в функцию g, аналитическую в С и удовлетворяющую тому же самому
функциональному уравнению.
5. Примеры аналитических функций
239
с) Обобщите предыдущий результат на случай функций любого числа
переменных.
2.	Пусть D — связное открытое множество в Ср и D' — образ мно-
жества D при отображении (г,, ..., zp)^(zl....zp). Пусть f — комплекс-
ная функция, аналитическая в D, и предположим, что пересечение £>ПЙР
не пусто и что f принимает в Df]R₽ действительные значения. Покажите,
что функция f может быть продолжена в функцию g, аналитическую
в £>UO'.
[Рассмотрите в D' функцию (гь ..., zp) ~>f(z., ..., гр) и приме-
ните (9.4.4).]
5.	Примеры аналитических функций; показательная
функция. Число л
(9.5.1)	Пусть P(z) и Q(z)— два многочлена в Кр, причем Q
не равен тождественно .0. Тогда частное P(z)/Q(z) является
аналитической функцией в (открытом) множестве точек z,
в которых Q(z)^=Q (т. е. в множестве точек, на котором
это частное определено).
Очевидно,: что любой многочлен является целой функцией. На
основании (9.3.2) нам нужно лишь показать, что функция 1/д является
аналитической при z #= 0. Но если z0 =# 0. то можно написать
J 1 L J z — z0 . (z — z0)3 
г0
где степенной ряд абсолютно суммируем при \z — zQ\ < |z0|, ч. т. д.
Рассмотрим теперь функцию ех действительной перемен-
ной х; докажем, что она является целой функцией. Из формулы
Тейлора (8.14.3), пользуясь (8.8), для лювого п получаем
о
(X~t)n
п!
е* dt.
Так как ех в силу (8.5.3) является возрастающей функцией, то при
мы имеем |ez|O|x|, следовательно,
1 X 1	г I
/ >•	» Но если — целое число > х ,
(п+1)!	и	1 1
1 хп I I X Iя- I х |л°
полняется неравенство	—	~п( '* и’
J п!
то при п > п0 вы-
таким образом, для
240
Гл. 9. Аналитические функции
любого х С R
у	у2
*х=1+л+1г+	+ ^г +	.
причем в силу (9.1.2) этот ряд нормально сходится во всяком
компактном промежутке.
Пользуясь замечанием, следующим после доказательства тео-
ремы (9.4.5), мы можем определить в С целую функцию ez
(обозначаемую также символом exp z) как функцию, равную сумме
степенного ряда (г”/га!). Имеем
(9.5.2)	ez+z'=ezez',
ибо обе части равенства являются целыми функциями в С2, совпа-
дающими в R2 ввиду (9.4.4).
Для действительного х комплексное число е~1Х является сопря-
женным с е1Х, поскольку (—ix)n есть число, сопряженное с (1х)п.
Из (9.5.2) следует, что — 1. По определению для действитель-
ного х имеем: cosx = cReZx и sinx=‘Jelx.
В силу (9.3.3) эти функции являются целыми функциями действи-
тельной переменной х, а соотношение = 1 эквивалентно соот-
ношению cos2x-|-sin2x= 1, откуда следует, что |cqsx| 1 и
[sinх|^ 1 для любого действительного х. Кроме того, имеем
(9.5.3)	D (ег) = ег,
так как обе части равенства являются [в силу (9.3.5)] целыми функ-
циями в С, совпадающими в R. В частности [см. замечание, следую-
щее за (8.4.1)], для действительного х имеем D (е1Х) — 1е1х-, поэтому
(9.5.4)	D(cosx) = — sin х, D (sin х) — cos х.
Формулы, определяющие cos х и sin х для действительного х, можно
также записать в виде cos х — (eix -|- е~‘х) и sin х = (eix — e~ix).
Эти формулы можно использовать для определения cos z и sin z для
комплексного z, заменяя в правой части этих формул х на z.
При этом определении формулы (9.5.4) остаются справедливыми и
для комплексных значений аргумента.
(9.5.5)	Существует такое число те > 0, что решениями уравне-
ния ег = 1 являются числа 2пт (га— положительные или отри-
цательные целые числа).
Если z = x-\-iy, то мы имеем |ег| = е(у| = ех\ поэтому из
ez=\ следует, что х = 0, z = iy. Сначала докажем:
(9.5.5.1) Множество точек х^-0, в которых cosx = 0, не
пусто.
Допустим противное. Тогда, так как cos 0 = 1, для любого х)>0
мы должны были бы иметь cos х > 0, поэтому в силу (9.5.4) и (8.5.3)
5. Примеры аналитических функций
241
sinx был бы строго возрастающей функцией, значит, при любом
х>0 он был бы > 0 и в силу (9.5.4) и (8.5.3) cosx при х)>0
был бы строго убывающей функцией. Прежде всего заметим, что
невозможно, чтобы при всех х^ 0 выполнялось неравенство cos х^-1/2.
В самом деле, отсюда по теореме о среднем значении (8.5.3) следо-
вало бы, что sinx^x/2 при всех х)>0, и это при |х| >2 нару-
шало бы неравенство |sin х| 1. Допустим поэтому, что cos а < 1/2.
Тогда при х)> а также cos х < 1/2, и отсюда следует, что sinx 1/2
при х^-а. Но тогда теорема о среднем значении снова дает
- х — а
COS X--COS <2	-----2--,
и это показывает, что cos х 0 при достаточно большом х, ч. т. д.
Так как cos х — непрерывная функция, множество D корней урав-
нения cosx = 0, удовлетворяющих условию х)>0, замкнуто (3.15.1)
и не содержит 0, следовательно, оно имеет наименьший элемент, ко-
торый мы обозначим через тс/2. Тогда мы имеем sin2тс/2 = 1 и, так
как sinx при 0 х тс/2 возрастает, sinтс/2 = 1, a el~/2~i. Это
уже показывает, что е2~‘ = 1; поэтому е2п~л = 1 для любого целого п
и в силу (9.5.2)
(9.5.6)	ег+2пк1 = ez
Чтобы завершить доказательство утверждения (9.5.5), нам остается
только показать, что в промежутке ] 0, 2тс {. нет корней уравнения
е1х=\. Но из (9.5.2) получаем cos (х-|-тс/2) =— sinx, следова-
тельно, cosx^O при тс/2 х тс, и, так как cos(x-(-tc) = — cosx,
мы видим, что cos х < 1 при 0 < х < 2тс, и доказательство закончено.
(9.5.7)	Отображение х—>е1Х есть непрерывное биективное ото-
бражение любого промежутка [а, а-|-2тс[ на „единичную
окружность* U:|z| — 1 в С и гомеоморфизм промежутка
]<2, а-|~2тс[ на дополнение точки е1а в U.
Рассматриваемое отображение, очевидно, непрерывно и в силу
(9.5.2) и (9.5.5) инъективно. Чтобы доказать, что оно является
сюръективным отображением промежутка [а, «4-2тс[ на U, мы
можем, очевидно, предполагать, что а = 0, потому что если C£U,
то и Се~‘а также принадлежит U. Пусть £ = а-]-/[3, а2-]-[32~1. Так
как |а|	1 и cos х в промежутке [0, тс] непрерывен, a cos 0=1 и
costc==—1, то по теореме Больцано (3.19.8) существует такое
У 6Г0> тс], что cos у = а. Тогда siny=+p. Если siny = |3, то все
в порядке; если же это не так, то cos(2tc — y) = cosy = a и
sin (2тс — у) =— siny = p. Пусть V—дополнение точки е1а в U и
=	где а < b < а-]- 2тс. Если бы отображение, обратное
сужению отображения х—>е1Х на промежутке ] а, а-]-2тс[, было не
непрерывно в точке Со, то в }а, а 2тс [ существовала, бы последо-
16 Ж. Дьедонне
242
Гл. 9. Аналитические функции
вательность (х„), элементы которой принадлежали бы дополнению
некоторой окрестности точки b и вместе с тем lim eiXn~С3. Но тогда
п->°о
в силу (3.16.1) в компактном множестве [a, a-j~2ir] нашлась бы под-
последовательность (хп 1 сходящаяся к точке с =/= Ь, и, так как
.	\ к/
ес 4= е , мы пришли бы к противоречию. [Существует другое дока-
зательство, использующее (10.3.1).]
(9.5.8)	Единичная окружность U связна.
Это следует из (9.5.7), (3.19.1) и (3.19.7).
(9.5.9)	(П р и нц и п максимума) Пусть (с ,/')— степенной ряд
с комплексными коэффициентами, абсолютно суммируемый
в открытом полицилиндре PczCp с центром 0, и пусть f(z)—
его сумма. Допустим, что существует такой открытый шар
BczP с центром 0, что \ f(z)\ С |/(0)| для каждой^ точки z£B.
Тогда для каждого индекса v =/= (0, ..., 0) коэффициент cv = 0;
иными словами, функция f постоянна.
Докажем сначала, что если теорема верна для р — 1, то она верна
и для любого р. В самом деле, для любой точки z = (Zp ..., zp)£P
рассмотрим функцию g(t) = f(tzv .... tzp) одной комплексной пере-
менной, аналитическую при |/| < 1-}-е, где е достаточно мало. Так
как при достаточно малых значениях t выполняется неравенство
|g(0| С |g(0)|, то- по предположению, g(t) — g(G) и, в частности,
/(Zj.... zp) = g(l) = /(0). При р=\ мы можем считать, что
с0 =/= 0, так как в противном случае утверждение очевидно в силу
(9.1.6). Допустим, что существуют индексы п > 0, для которых
с„ =£ 0, и пусть т — наименьший из таких индексов. Мы можем
написать
/(z) = Co(l + M'n+z"W))-
где Ьт =/= 0, h — функция, аналитическая в Р, и /г(0) = 0. Пусть
г>0 выбрано так, что круг |z| содержится в В и что при
|z| г имеет место неравенство |A(z)| |йт| (9.1.3). Запишем
Ът—\Ьт\^, гДе N = 1- В СИЛУ (9-5.7) существует такое действи-
тельное число t, что emit — \~X. Для z = relt мы, таким образом,
имеем
11 + bmzm+zmh(z)\ = 11 + \bm\ rm + zmh. (z)| > 1 + 11^| rm.
что противоречит предположению о том, что |/(z)|	|с0[ в В.
Теорема (9.5.9) не будет верна, если в ней С₽ заменить на Rp,
ОО
как показывает пример степенного ряда 1 /(1 -[- z2) — 2 (—1)" z2"
/1 = 0
(при |z| < 1).
5. Примеры аналитических функций
243
(9.5.10)	Пусть / — комплексная фунсцая, аналитическая в от-
крытом множестве ЛсСр, не постоянная ни в какой компо-
ненте связности множества А. Для любого компактного под-
множества HczA точки z£H, в которых |/(z)| = sup |/(х)|
{такие точки в силу (3.17.10) обязательно существуют] являются
граничными точками множества Н.
Это сразу следует из (9.5.9) и из принципа аналитического про-
должения (9.4.2).
Задачи
1.	Покажите, что если й г «СО, то для любого целого п|>0
/ X2 х^	х2^ \
cos X — ^1 — 2]' + ’4Р~-	+ (—1)"72п)Т/
I X |2n+1
(2п+1)!
[Формулу Тейлора (8.14.2) примените к функции t->ezt.]
2. Докажите, что для любого действительного х
Ixl2"4-2
^(гп+г)!
и разность слева под знаком абсолютной величины имеет тот же знак, что
и (—1)”+1; точно так же
I	/	.	х2^ 1
- |sin х~ [х~ зг+ бГ~ •••	1)"	(2п —1)1
и разность слева под знаком абсолютной величины имеет тот же знак, что
и (—1)"х.
[Проведите индукцию по п.]
3.	а) Пусть U — относительно компактное открытое множество в Ср и
f — комплексная аналитическая функция в U, не постоянная ни в какой ком-
поненте связности множества U. Предположим, что существует такое число
М > 0, что для каждой граничной точки х множества U и любого е > 0
найдется такая окрестность V точки х, что для любой точки z С U П V вы-
полняется неравенство | f (г) | < М -)- е. Покажите, что | f (г) | < М для
любой точки z£U, причем равенство не может достигаться ни в одной точке
множества U.
[Воспользуйтесь (9.5.10) и компактностью границы множества U-]
Ь) Пусть U — открытое множество в С, определяемое условиями 9tz > 0
и — тс/2 < 3 г < л/2. Покажите, что целая функция ехр (ехр (г)) ограничена
на границе множества U, но не ограничена в U.
4.	а) Пусть Е — банахово пространство С2 с нормой ||(21F г2)|| =
= sup (] Zi |, | z21). Функция z -> f (z) = (1, 0) -j- (0, 1) г есть аналитическое
отображение пространства С в С2, обладающее тем свойством, что норма
|| / (г) || при | г ; < 1 постоянна.
Ь) Распространите теорему (9.5.10) на функции, определенные в откры-
том множестве A cz Ср и принимающие значения в комплексном гильберто-
вом пространстве.
16*
244
Гл. 9. Аналитические функции
, [Если норма ||/(г)|| достигает максимума в точке 20€ А то рассмотрите
комплексную функцию г -> (/(г) | f (г0)); сравните с а).]
5.	Пусть U — открытое множество в Ср и PcU — замкнутый полици-
линдр с центром а = {ах, ...,ар) и радиусами rk{\ k р). Пусть / — ком-
плексная функция, аналитическая в U; предположим, что на множестве
S = {(г/) | | zt — at | = rt при 1 < I < p} (т. e. на произведении окружностей
I zi — at I = ri) имеется оценка | f (г) |< M. Покажите, что | f (г) |< М для
любой точки z g Р.
[Рассмотрите функцию (г2, ..., zp) ->f{b}, z2, ..., zp), где | bx—ax | =
и проведите индукцию по р.]
6.	Пусть Р {х, у) — многочлен от двух комплексных переменных с ком-
плексными коэффициентами максимальной степени m по х и п по у. Пред-
положим, что для действительных хну, удовлетворяющих условию
— 1<х<1, — 1<у<1, выполняется неравенство |Р(х, у)|<Л1. Пока-
жите, что | Р{х, у) К М ( | х | -]-Ух2— 1)т( | у | + Уу2_ 1)" для действи-
тельных х и у, для которых | X ] > 1 и | у | > 1.
[Примените задачу 5 к функции smtnP (s s-1, /-j-/-1) при | s | < 1,
1*|<1.]
Распространите это утверждение на случай многочленов от любого числа
переменных.
7.	а) Пусть f {z)— комплексная аналитическая функция одной комплекс-
ной переменной в круге В : | z | < 1; пусть | / {z) | < М в В и f (0) = 0. По-
кажите, что | f {z) | < М | z | в В (лемма Шварца).
[Рассмотрите функцию f {z)!z, являющуюся аналитической в 5.]
Ь) Рассмотрим в С₽ норму ||г || = (| гх |2 + ... -|-1 zp [2)1/2, где
z = {гх, .... zp) (называемую эрмитовой нормой). Пусть В — шар ||г|| < 1
при этой норме и пусть f—комплексная аналитическая в В функция, такая,
что f (0) = 0 и | f (г) К М в В. Покажите, что | f (z) | < М || z || в В.
[Рассмотрите функцию t -> f {zxtx,..., zpt) одной комплексной перемен-
ной и примените а).]
8.	а) Пусть R_ {отрицательная действительная полупрямая) — под-
множество комплексного поля С, определяемое условиями S'z = 0,
пусть F— дополнение множества R_ в С. Пусть, с другой стороны', S —мно-
жество, определяемое условием —л < 9z < л. Покажите, что отображение
z~>ez есть гомеоморфизм S на F.
[Воспользуйтесь (9.5.7).]
Обратное отображение обозначается символом z->lnz и называется
главным значением логарифма г. Имеем Inz = In | г | arg г, где arg г —
единственное число 6, удовлетворяющее условиям — л < 0 < л и z = | z |
{аргумент г). Покажите, что если все три числа г, г' и zz' принад-
лежат F, то разность 1пгг' — In z — In г' равна 0, 2л/ или —2л/.
Ь)	Степенной ряд ((—1)" гп1п)п > х абсолютно сходится в шаре В: | z | < 1;
пусть f {z)—его сумма. Покажите, что f {z) = In (1 Н-г). Из этого резуль-
тата заключаем, что In г есть функция, аналитическая в F.
[Заметив, что при г С В имеем 1 -\-z С F, покажите, что f {z) = 1/(1 z)t
и выведите отсюда, что / (г) = In (1-i-г), когда z — действительное число и
5. Примеры аналитических функций
245
— 1 < z < 1; в заключение рассмотрите аналитическую функцию и при-
мените (9.4.4).]
с)	Для любого комплексного числа t и любого целого числа п > 0 пусть
п
=	—1) ... (t — л-f- 1)/л! = Ckntk> где ekn — рациональные числа
ьо
(мы полагаем = Покажите, что степенной ряд (cknzntk) абсолютно
суммируем в В X С.
[Заметьте, что для любого числа г > О
(l+^)(l + i)...(1 + i)<esp(r(l + l+...
где а — константа.]
Докажите, что сумма этого ряда равна exp (t In (1 z)).
[Сначала рассмотрите случай, когда г и t — действительные числа,
и к функции	примените формулу Тейлора (8.14.2). Затем вос-
пользуйтесь (9.4.4).]
Функция exp (t In (1 -|- г)) обозначается также символом (1 -)- гУ; пока-
жите, что | (1 -1- гУ | = | для действительных значений t.
d)	Покажите, что при t > 0 функция г -> (1 гУ может быть по непре-
рывности продолжена на замкнутый круг |z|<l.
^Заметив, что 1 — s < e~s при s > 0, воспользуйтесь оценкой для | j | •
аналогичной оценке, полученной в c).j
9.	а) Пусть fjk (1 < j < m, 1 < k < n) — скалярные аналитические функ-
ции в открытом связном множестве А с Ср и — действительные числа 0.
Покажите, что непрерывная функция
п
«(*)=.£ I /.» (*) | “1АI fzk (г) Г2А • • • I fmk (*) I
. А = 1
не может достигать относительного максимума ни в одной точке множе-
ства Л, если каждое из произведений |/lft (г) |а,А ... | fmk (г) | *тк (1 < k < п)
не постоянно в А.
[Заметим, что если f(z) — функция, аналитическая в А, и f (гй) 0, то
для каждого действительного числа X существует такая функция gy (г), ана-
литическая в некоторой окрестности точки гй, что | g-f (z) | = |/(г) Iх в этой
окрестности; для доказательства этого воспользуйтесь задачей 8, с).]
Распространите этот результат на случай, когда ajk— произвольные дей-
ствительные числа, предполагая, что ни одна из функций fjk не обращается
в А в 0.
Ь) Обобщите на функции и (г) утверждение задачи 3, а).
246
Гл. 9. Аналитические функции
10.	Пусть /(z)— комплексная функция одной комплексной перемен-
ной, аналитическая в открытом множестве А, определяемом условиями
7?, < | г | < Т?2 (гДе 0<Л,С7?2). Для любого г, такого, что Rx < г < Rt,
пусть Л4 (г) = sup|/(z)|. Покажите, что если Rx < rx < r2 < r3 < R2, то
I z | =r
i w г , lnr2— Inr, ,	,	lnr3— Inr2 , ... ,
In M (Г2) < -j---j-— In M (r3) -L --i-j-- In M (Г,).
' lnr3— Inr, ' ' 1 lnr3 — Inr, u
(теорема Ада мара о трех окружностях). Когда может иметь
место равенство?
[Примените задачу 9 к функции | z |а  |/(z) |, где действительное число а
выбрано подходящим образом и функция |z|a-|/(z)| рассматривается на
множестве г, < | z | < г3.]
11.	Введем в Ср и С? эрмитовы нормы (задача 7). Пусть /—аналити-
ческое отображение шара В: || г || <1 в пространстве Ср в С?; мы имеем
/=(/,, ..., /?), где fk—комплексные функции, аналитические в В. Пред-
положим, что f (0) = 0. Покажите, что если при z С В выполняется неравен-
ство || f (z) || < М, то при z£B выполняется и неравенство ll/(z)IK
< М  || z ||. Когда имеет место равенство?
[Для каждой точки z € В рассмотрите функции t->fk (tz)lt и при-
мените задачи 9 и 3.]
12.	Введем в Ср эрмитову норму (задача 7).. Пусть F и G — два ана-
литических отображения шара В: ||z|| < 1 в пространство Ср, являющиеся
гомеоморфизмами шара В соответственно на открытые множества U = F (В)
и V = G (В), и пусть обратные отображения являются аналитическими соот-
ветственно в F(B) и G(B) (последнее условие в действительности следует
из остальных; см. задачу 2 § 10.3). Для любого г, удовлетворяющего усло-
вию 0<г<1, пусть Вг—шар ||z|| <г и пусть L7r = F(Br) и Vr ==
= G (Br) (17 г и Vr являются открытыми подмножествами соответственно
U и V). Покажите, что если аналитическое отображение и множества U
в V обладает тем свойством, что и (F (0)) = G (0), то и (Ur) cz Vr для
каждого г, удовлетворяющего условию 0 < г < 1.
[Воспользуйтесь задачей 11.]
13.	Пусть f — комплексная аналитическая функция одной комплексной
переменной в шаре В : | z | < R. Для любого г, удовлетворяющего условию
0 < г < R, пусть А (г) = sup й / (z).
z<r
а)	Покажите, что если функция f непостоянна, то функция г -> А (г)
строго возрастает.
[Рассмотрите ехр (/ (г)).]
Ь)	Покажите, что при A (R —) < оо
л(°)+л»-,.
[Примените задачу 12, взяв F(z) = Rz, а в качестве G (z) — функцию
вида (аг -]- b)!(cz -|- d), где константы а, Ь, с, d выбраны так, чтобы мно-
жество G (В) было полуплоскостыр, определяемой условиям 9lz < A (R—).]
5. Примеры аналитических функций
247
14.	а) Пусть А — относительно компактное открытое множество в Ср и
Е — замкнутое подмножество границы множества Л. Предположим, что суще-
ствует комплексная функция g, аналитическая в некоторой окрестности замыка-
ния А, равная 0 в Е и не тождественно равная 0 в А Пусть f — комплек-
сная функция, аналитическая и ограниченная в А. Допустим, что существует
такое число М, что для каждой граничной точки х£Е множества А и вся-
кого е > 0 существует окрестность V точки х’в Ср, обладающая тем свой-
ством, что | f (г) | < М е при .?сЛ Г|У. Покажите, что | f (z) | < М для
каждой точки z^A. Можно считать, что | g (z) |< 1 при z G А.
[Рассмотрите функцию | f (г) |  | g (г) |’, где <х'> 0 произвольно, и при-
мените к этой функции утверждение из задачи 9, Ь).]
Ь) Покажите, что утверждение задачи а) не останется верным, если
отбросить предположение о том, что функция f ограничена в Л.
[Рассмотрите функцию exp (exp ((1 — z)/z)) и воспользуйтесь зада-
чей 3, Ь).]
15.	Пусть <о (х) — действительная функция, определенная в промежутке
[0.+ со [ и удовлетворяющая условиям <о (х) > 0 и lim ш (х) = -)- оо. Пока-
Х->+со
жите, что если комплексная функция f является аналитической в некото-
рой окрестности полуплоскости А: X z^-О, то существует по крайней мере
одна такая точка £ € Л, что | / (С) | < ехр (<о ([ С |) С).
[Проведите доказательство от противного: с помощью задачи 9, а) пока-
жите, что если бы заключение было неверно, то функция | ег | • | f (z) [“•
для каждого значения е > 0 была бы< 1 в А]
16.	Пусть Л — открытое относительно компактное множество в про-
странстве Ср и / — комплексная функция, аналитическая в Л. Предполо-
жим, что существуют такое число М > 0 и такая комплексная функция g,
аналитическая в Л, что в любой точке z^A функция g(z)=£0 и что вы-
полняется следующее условие: для каждой точки х границы множества Л
и каждого е > О существует такая окрестность V точки х, что при г € Л П V
имеет место неравенство | / (z) | < М | g (г) |*. Покажите, что | f (г) | < М
в Л (принцип Фрагмена — Линделефа).
[Воспользуйтесь задачей 9, Ь).]
17.	Пусть U — открытое множество, определенное в задаче 3, Ь), и
пусть f — комплексная функция, аналитическая в некоторой окрестности Л
замыкания U и обладающая следующими свойствами: 1°) | f (г) ] < 1 на
границе множества U; 2°) существует такая константа а, что 0 < а < 1 и
что при г 6 U выполняется неравенство I / (г) | < ехр (ехр (айг)). Докажите,
что | f (г) К 1 в U.
[Заметьте, что отображение г-> l/(z-1-1) переводит U в относительно
компактное множество, и примените принцип Фрагмена — Линделефа (зада-
ча 16), взяв функцию g (z) вида ехр (ехр (bz)).]
248
Гл. 9. Аналитические функции
6.	Интегрирование вдоль пути
Траектория в С есть непрерывное отображение у компактного
промежутка / = [а, Z»]cR, состоящего более чем из одной точки,
в С. Если '[(ЛсЛсС, то мы будем говорить, что у есть траек-
тория в А. Точка у (а) (соответственно ?(&)) называется началом
(соответственно концом) траектории; обе эти точки называются
также концами траектории 7. Если 7 (а) = •[(&), то 7 называется
петлей; если отображение 7 постоянно в /, то мы будем также
говорить, что траектория 7 сводится к точке. Отображение 70
промежутка / в С, удовлетворяющее условию 70 (Z) = 7 {а -|-Ь — t)
есть траектория, называемая противоположной траектории 7.
Пусть 1г — \Ь, с] — компактный промежуток в R, начало кото-
рого служит концом промежутка /, и пусть /2 — I (J1Х — [а, с].
Если 7j — траектория, определенная в /, и такая, что 7t (b) = 7 (Ь),
и если мы определим отображение 72, равное 7 в / и у, в /р то 72
будет траекторией, которую мы будем обозначать символом 7VT1
и называть соединением траекторий 7 и 7^
Мы будем говорить, что траектория 7, определенная в / =
= [а, Z»]cR, есть путь, если 7 является первообразной некоторой
простой функции (8.7.2); если, кроме того, 7(a)— 7(6), то мы
будем говорить, что 7 есть контур. Ясно, что траектория, проти-
воположная пути, есть путь и что соединение двух путей есть
путь.
Пусть 7 и 7j—два пути, определенные соответственно в про-
межутках I и /Р Мы будем говорить, что 7 и 7j эквивалентны,
если существует такое биективное отображение <р промежутка /
на /р что <р и <р-1 являются первообразными некоторых простых
функций и что 7 = 7j о <р (и, следовательно, 71 = 7оср~1), Из (8.4.1)
сразу ^следует, что это действительно есть отношение эквивалент-
ности между путями.
Если путь 7 определен в I—[а, &], то существует путь 7Р экви-
валентный пути 7 и определенный в любом другом промежутке
J = Ic, £?]. В самом деле, существует линейное биективное отобра-
жение t —><р(£) = а£-|-р промежутка J на промежуток /, и требуе-
мыми свойствами обладает путь 7] = 7<><р.
Пусть 7 — путь, определенный в I = [а, b], a f—непрерывное
отображение компактного множества 7(/) в комплексное банахово
пространство Е. Функция t—>• f(y(t)) тогда непрерывна в /,
и поэтому t —> f (7 (t)) 7' (t) есть простая функция. Интеграл
ь
J/('Т(О)Т,(О^ называется интегралом от отображения f
а
вдоль пути 7 и обозначается символом J f(z)dz. Из (8.7,4) сразу
т
6. Интегрирование вдоль пути
249
следует, что если —путь, эквивалентный пути 7, то J f(z)dz =
Т1
= J* f(z)dz. Кроме того, из определения сразу следует, что
т
(9.6.1)	f f(z)dz — — f f (z) dz;
7°	7
(9.6.2)	f f(z)dz = f f(z)dz-}~ f f(z)dz,
TiV72	71	72
если определено соединение yjVfa-
Пусть у — контур, определенный в / — [а, £]. Для любой точки
с£1 рассмотрим отображение fj промежутка J=[c, c-]-b — а],
определяемое следующим образом: 7i(0=l(0. если	и
7j(/)=7(/—6-j-a), если	—а. Немедленно прове-
ряется, что 7! есть контур, для которого 7Х (У) = 7 (/), и что для
любого непрерывного отображения f множества 7 (/) в Е выпол-
няется равенство J* f(z)dz = J f(z)dz. Иными словами, интеграл
?!	7
от f вдоль контура не зависит от начала этого контура.
Пусть 70 и 7j — две траектории, определенные в одном и том
же промежутке /, и пусть А — такое открытое множество в С, что
70(/)с:Л и 71(/)сгЛ. Гомотопия траектории 70 в 7г в множе-
стве А есть непрерывное отображение ср произведения / X [“. Р]
(а < р в R) в множество А, обладающее тем свойством, что
y(t, a)=70(f) и ср (t, P)=7j(£) в /. Говорят, что траектория 7j
гомотопна траектории 70 в А, если существует гомотопия тра-
ектории 7о в траекторию 7} в А. Ясно, что для любой точки
В С [«, Р] отображение /->ср(/, £) есть траектория в А. Если и 70
и 7; — петли, то мы будем говорить, что ср есть петельная гомо-
топия петли 70 в петлю 71 в А, если отображение t -> ср (t, у Для
любой точки | £ [а, р] есть петля. Когда мы будем говорить, что
две петли 70 и 71 гомотопны в А, мы будем подразумевать, что су-
ществует петельная гомотопия (а не просто гомотопия) петли 70
в петлю 7j в А.
♦ Если ср—гомотопия траектории 70 в 71 Б определенная
в /XIя. р]. то отображение (/, £)—>ср(/, a-f~p — £) является гомо-
топией траектории 7Т в 70 в А; с другой стороны, если ср—гомо-
топия траектории 71 в 72 в определенная в произведении
/ X Iя'. P'L то мы можем следующим образом определить гомото-
пию 6 траектории 70 в 72 в А: берем 0 == ср в /XIя, Р1 и. полагая
Р" —рл_]_р — а', берем 0 (/, $) = ф(/,	— Р) в /Х1Р. Р"1- Это
разумно, поскольку обе формулы по предположению дают 0(/, р) =
= 7iW> и немедленно проверяется, что отображение 0 непрерывно
250
Гл. 9. Аналитические функции
в ZX[a, Р"), принимает значения в Л и что, кроме того, a) =
= То(0 и	Это показывает, что отношение „траек-
тория fl гомотопна траектории у0 в А" является отношением
эквивалентности между траекториями в А; оно является также
отношением эквивалентности между петлями в А, потому что в слу-
чае, когда <р и ф являются петельными гомотопиями, петельной гомо-
топией будет и отображение, определенное выше.
(9.6.3)	(Теорема Коши) Пусть ЛсС — открытое множество
и f—аналитическое отображение множества А в комплекс-
ное банахово пространство Е. Если 1\ и Г2 — два контура
в А, гомотопные в А, то J* f(z)dz — J* f(z)dz.
г,	г2
Предположим, что и Г2 определены в 1=\а, &], и пусть
ср — гомотопия контура 1\ в контур Г2 в А, определенная в /Х[“. ₽1-
Отметим, что не предполагается, что при £=£а и петля Z—><р(£, 5)
является контуром. Так как отображение ср непрерывно, А =
= <р(/Х[а, Р1) есть компактное множество, содержащееся в А. По
определению и по аксиоме Бореля — Лебега в L существуют конеч-
ное число точек ak(\ ^.т) и для каждого k открытый шар
РкС-А с центром ак, такие, что: 1°) шары Pk образуют покрытие
множества L\ 2°) в каждом шаре Pk функция /(г) равна сумме
степенного, ряда относительно z — ak, сходящегося в Рк. Существует
такое число р > 0, что для каждой точки х £ L открытый шар
с центром х и радиусом р содержится по крайней мере в одном из
шаров Рк). Чтобы это доказать, допустив противное, извлечем из L
сходящуюся последовательность (хл) таких точек, что шар Вл
с центром хп и радиусом 1/п не содержится ни в одном из Pk. Так
как предел х последовательности (х„) принадлежит некоторому
шару Pk, то существует шар ВсРА с центром х и радиусом г.
Но тогда, если точка хп выбрана так, что |хл— х| 1/я < г,
шар Вл содержится в Pk, что противоречит допущению. Из (9.3.1)
следует, что для каждой точки х£А отображение f(z) равно в ша-
ре В(х; р) сумме сходящегося степенного ряда относительно z — х.
Поскольку отображение ср равномерно непрерывно в 1X Р1
(3.16.5), существует такое е > 0, что из	е и |£ — £'|<С.е
следует |<р(£, ?)—ср(^, 5')|.^р/4. Пусть (^)0<z<r—возрастающая
последовательность в /, такая, что t§ = a, tr — b и tl+1 — £Z<C?
при	— 1, и G;)0<y— возрастающая последовательность
в [a, р], такая, что $o = a, $S = P и Ej+1 —	приО^/^s—1.
Определим следующим образом:
7>(о=<р(^,	?;))
') См. задачу 1,а) § 16 гл. 3. — Прим, перев.
6. Интегрирование вдоль пути
251
при tt t ti+1,	—1 и	— 1; кроме того, пусть
Уо^Г; и ^ = Г2. Тогда у; при 0	есть контур в Л, и
нам остается только доказать, что J* f(z)dz = § f (z) dz при 0
У	У+i
—1. Заметим, что ввиду выбора tt и все точки 7;(0
и 7у+1(0> где ^ti+1, принадлежат открытому шару QtJ с цен-
тром <р(^, ^) и радиусом р.. В силу (9.3.7) и (9.3.1) существует
функция gy, аналитическая в Qz?- и такая, что gtj(z)~ f(z) в Q^.
Так как пересечение <?г_ь j П Qu не пусто и в силу (9.1.1) связно, то
разность gt-\,j — gtj в пересечении	ввиду (8.6.1) по-
стоянна. Теперь по определению
r-l^ + i	г-1 *1+1
J / W dz = 2 f f(lj W) 7j (0 dt = 2 f g'u (Ъ(Z)) l'j dt =
= 2 [£o- (Ii (W) - gij (7/ (O )]•
1=0
Таким образом, нам нужно доказать соотношение
S [fyfyO- ^(7y(Q)] = S tei/(7/+i (W) — £,; (7j+i W)L
1=0	1 = 0
которое можно также записать в виде
г-1
(9.6.3.1) 2 1g ц (7j (*i+i)) -gij(7у+1 ai+i)) - gij (7; (*i)) +
+1МЫУ)1 = 0-.
Но уу{tt) и	при	принадлежат Qz_b;П0,7> поэтому,
как мы видели выше,
gij (7; (^)) — gij (7j+i W) = gi-i, j (7j(О) — gi-i, j(7/+i ft))
и, значит, левая часть (9.6.3.1) сводится к
gr-i.j (7; ft)) — gr~i, j(Ty+i (Q) — goj(7y (^o)) + А/ (7>+i tto) )•
Так как 7^ и fj+1 — контуры, мы имеем 7;(Q = 7y(Q и 7j+i(^o) —
— 7j+1 (^)- Кроме того, эти две точки принадлежат пересечению
QyflQr-i,/. которое связно; таким образом, в силу (8.6.1) разность
gr-i,j — gOj на этом множестве постоянна, и это завершает дока-
зательство.
252
Гл. 9. Аналитические функции
(9.6.4)	Пусть ?! и у2 — два пути в открытом множестве ЛсС,
имеющие одно и то же начало и и один и тот же конец v и
такие, что существует гомотопия <р пути 71 в путь .f2 в А,
оставляющая неподвижными и и v (это означает, что если ото-
бражение определено в [а, 6] X [a, fj], то <р(а, £) = « и <р(£, !•) = v
для любой точки ££[а, ^]). Тогда для каждой функции f, ана-
литической в А, имеем J* f(z)dz — J f(z)dz.
Ti	r2
Пусть 7° — путь, противоположный 7Г и пусть у3(/)=
для b^t^2b— а-, 73 есть путь, эквивалентный пути 7°. По опре-
делению, соединения 7i V 7з и 7г V 7з являются контурами. Кроме
того, эти контуры гомотопны в А, потому что если мы определим
отображение ф(£, $) так, чтобы оно было равно tp(f, ?) при
и 73(О при b^t^.2b—а, то ф будет петельной гомотопией в А.
Применяя (9.6.3), получаем J f(z)dz-\- f f(z)dz = J f(z)dz +
Yi	Тз	h
+ f f(z)dz, 4. T. Д.
Т»
7.	Первообразная аналитической функции
в односвязной области
Односвязная область Лез С есть открытое связное множество,
обладающее тем свойством, что любая петля в А гомотопна в А петле,
сводящейся к точке. Ясно, что любое открытое множество в С,
гомеоморфное области А, есть односвязная область.
(9.7.1)	Пример. Звездообразная область АсС относительно
точки а£А есть открытое множество, такое, что для любой точки
z£A сегмент, соединяющий а и z, содержится в А. Такое мно-
жество, очевидно, связно [(3.19.1) и (3.19.3)]. Если 7 — произволь-
ная петля в Л, то можно записать <р (Л £) = а -|-( 1—0 (7 (0 — а)
при	1; тогда <р будет петельной гомотопией петли 7 в петлю,
сводящуюся к точке а. Открытый шар является звездообразной
областью относительно любой из своих точек.
(9.7.2)	Если ДсзС — открытое связное множество, то для
любых двух точек и и -и множества А существует путь с на-
чалом и и концом V.
Нам нужно только доказать, что подмножество В с. А, состоящее
из всех концов путей в А, имеющих началом и, одновременно
замкнуто и открыто в А (3.19). Если х£А(]В, то существует
шар 5 с центром х, содержащийся в А, и, по предположению.
7. Первообразная аналитической функции
253
S содержит конец v некоторого пути у с началом и. Сегмент
с концами v и х содержится в S, и если путь у определен в [а, Ь],
то путь Тр равный 7 в [а, Ф] и 71(^) = v-|-(^—Ь)(х—v) в [6,	1],
содержится в Л и имеет началом и, а концом х; следовательно,
х £ В. С другой стороны, если у £ В, то существует шар S с цен-
тром у, содержащийся в А. Для любой точки сегмент с кон-
цами у и и содержится в S, и мы можем точно таким же способом
определить путь с началом и и концом v, содержащийся в А; сле-
довательно, ScB, ч. т. д.
(9.7.3)	Если АсС—односвязная область, то любая функция f,
аналитическая в А, имеет первообразную, аналитическую в А.
Пусть а и z—две точки области А, а и у2 — два пути в А
с началом а и концом z. Тогда J* f(x)dx — J* f(x)dx. Действи-
Т(	Т2
тельно, заменив, . если нужно, у2 эквивалентным путем, мы можем
считать, что путь 7; определен в [6, с], а 7/—в [с, d]. Тогда сое-
динение 7 = V 72 есть контур в А, который, таким образом, гомо-
топен в А точке. Следовательно, по теореме Коши J* f(x)dx = 0,
г
и это доказывает наше утверждение. Поэтому мы можем в ка-
честве g(z) взять значение интеграла J*f(x)dx по любому пути 7
т
в А, имеющему началом а и концом z, и тогда в силу (9.7.2) функ-
ция g будет определена в А. Теперь для любой точки z0£A суще-
ствует открытый шар ВсА с центром z0, в котором функция f(z)
равна сумме сходящегося степенного ряда относительно z — z0.
Поэтому в силу (9.3.7) существует первообразная h функции f в В,
которая является аналитической и обладает тем свойством, что
A (z0) = g (г0). Следовательно, при z£B мы имеем
1
h(z) — h(z0) = J* f{z0 + t{z — zQ})(z — z0)dt.
0
Но правая часть есть, по определению, интеграл J* f(x)dx, где
а — путь t—>za-\-t(z — zQ), определенный в промежутке [0, 1].
Так как этот путь содержится в ВсА, то по определению функции g
мы имеем g(z) — g(z0)= f f(x)dx, и, следовательно, g (?) = h (z)
(У
в В, ч. т. д.
254
Гл. 9. Аналитические функции
8.	Индекс точки относительно контура
(9.8.1)	Любая траектория 7, определенная в промежутке
1 = [а, и такая, что у(/) содержится в единичной окруж-
ности U= [z £ С | |z| — 1}, имеет вид t—^e1^, где ф— непре-
рывное отображение промежутка / в R. Если 7— путь, то
ф есть первообразная некоторой простой функции.
Так как отображение у равномерно непрерывно в Л существует
такая возрастающая последовательность точек tk (0 ^.k р) в I,
что tQ=a, tp — b и что колебание (3.14) функции у в каждом?;
из промежутков Ik — [tk, fA+1]	—1) будет 1. Отсюда еле-
дует, что 7 (Ik) =/= U. Если точка 6А £ R такова, что е'8* (£ 7 (/4) (9.5.7),
то отображение х—>ег(х+8л) есть гомеоморфизм промежутка ]0, 2те[
на дополнение точки егв* в U (9.5.7). Если — обратный гомеомор-
физм, то при t£Ik мы можем, таким образом, написать 7(t) = е1^
где отображение фА (t) —	(7 (/)) 0ft непрерывно в Ik. В силу (9.5.5)
имеем фА+1 (^+i) = фА (^А+1) -h 2nAir, где nk — некоторое целое число
(О & С Р — 2).
Определим теперь отображение ф в промежутке I следующим
образом: при t£I0 ф(0 = Фо(0« а ПРИ	определим ф(0
по индукции по k, полагая ф(0 = Ф*(04-ф(^)—	По индук-
ции немедленно убеждаемся в том, что разность ф (tk) — фА (/А) при
О k р — 1 есть целочисленное кратное 2тс. Следовательно,
7(/) = е'Ф(0 при и отображение ф, очевидно, непрерывно в /.
Кроме того, если 7 (/) = a (t)-ф- г’Р (Г), то мы имеем а (£) — cos ф (/),
Р (Y) = siп ф (£) и одно из чисел созф(0 и sin ф (!) не равно О,
Из (9.5.4) и (8.2.3), применяя их к одной из функций cos х и sin jC
в точке, где эта функция имеет производную + 0, заключаем, что
если 7 имеет производную в точке t, то ее имеет и ф, и гф'(£)=4
= 7'(0/l(0- что и завершает наше доказательство.
(9.8.2)	Для любой точки а£С и любого контура 7, соиерлх,^
щегося в С\ {а}, интеграл J* dz/(z— а) равен 2n~i, где п — поло-
т
жительное или отрицательное целое число.
Произведя, если нужно, перенос, можем считать, что а = 0.
Допустим, что отображение 7 определено в I = [Ь, с]; функций
•V ff\
ср(/, Е) = Е , У/ -|~(1—07(0 непрерывна в I X [0, 1] и являете#
17 И) I
петельной гомотопией (в-С* = С\{0}) контура 7 в контур 71(7)=3
— 7(0/17(01 • удовлетворяющий условию 7j(/)c:U. Так как функ*
ция 1/2 является аналитической в С*, то теорема Коши (9.6.3) пока-
зывает, что j’y- = §	' Н° в силу (9.8.1) 7j (£) = е'ФОТ, где
8. Индекс точки относительно контура
255
ф — первообразная некоторой простой функции, поэтому по опре-
с
делению	J ф'(0<# = Цф(с)— ф(й)). Так как, по пред-
т.	ь
положению, 71 (£) = fl (с), то требуемое заключение следует из (9.5.5).
Замечание. Более простое доказательство теоремы (9.8.2),
не опирающееся на (9.8.1), можно провести следующим образом
t
(Л. Альфорс). Пусть h(t) — f ? ds . Эта функция всюду в /, за
J 7 Is) а
ь
исключением точек не более чем счетного множества, имеет произ-
водную, равную h' (f) = /д—-•  Поэтому если g’(0=e-A<<)(7(0— а),
7 (О а
то мы видим, что всюду в /, за исключением не более чем счетного
множества, g'(f) = 0. Отсюда мы заключаем (8.6.1), что функция g
•у ___ Q,
постоянна; следовательно, eh<0 =	_д Но мы имеем 7(c)— 7 (£),
и, значит, =1, откуда в силу (9.5.5) следует, чго й(с)=2гак/,
где п—некоторое целое число.
Мы будем говорить, что число п есть индекс точки а относи-
тельно контура 7 (или же индекс контура 7 относительно
точки а), и писать n = j(a; 7). Из теоремы Коши следует, что
если 7j и 72 — контуры в множестве С\{а], гомотопные в этом
множестве, то они имеют относительно точки а один и тот же
индекс.
(9.8.3)	Индекс j(x\ 7) является постоянным в каждой ком-
поненте связности дополнения А компактного множе-
ства 7 (/).
В самом деле, заметим, что отображение х—>/' (х; 7) непрерывно
в открытом множестве А. Действительно, по определению, индекс
точки х-|- Л относительно контура 7 (если х-j-т й (£ 7 (/)) равен ии-
дексу точки, х относительно контура 71: t—>^(t)—h. Но если
В — шар с центром х и радиусом г, содержащийся в А, то ото-
бражение <р(£,0 —7(0 — ?й (определенное в произведении /Х10. П)
является при |h| < г петельной гомотопией в С\{х) контура 7
в контур 7j и, следовательно, по теореме Коши /(х-ф-й; 7) = /(х; 7).
Так как множество Z целых чисел является дискретным простран-
ством, заключение следует из (3.19.7).
(9.8.4)	Пример. Пусть ел— контур t-+enlt, определенный в про-
межутке / = [0, 2ir], где п — положительное или отрицательное
целое число. Имеем ел (/) = (!. Контур ел называется единичной
256
Гл. 9. Аналитические функции
окружностью, обойденной п раз. Заметим, что открытое мно-
жество С \ U имеет две компоненты связности, а именно шар
В: |z| < 1 и множество Е внешних точек шара В, определяемое
условием |г| > 1. Действительно, шар В связен как звездообраз-
ная область (9.7.1), а в силу 4.4 и (9.5.7) множество Е является
образом произведения ]1, -|-оо[ X [0. 2ir] при непрерывном отобра-
жении (х, f)-+xe‘l, и поэтому наше утверждение следует из (3.19.1),
(3.20.16) и (3.19.7) (точно такое же рассуждение доказывает также
связность шара В и множества В \ {0}). Наконец, множества В и Е
одновременно открыты и замкнуты в С \ U, так как В открыто в С
и В— (С\Н)ПВ и, кроме того, £?П£,= 0. Из определения и
из (9.5.3) следует, что 7(0; ел) — п, и, значит, /(z; ел) = га для
любой точки z шара В. Покажем, что y(z; ел) = 0 для любой
точки множества Е. Имеет место более общее утверждение.
(9.8.5)	Если контур 7 содержится в замкнутом шаре
D : \z— а\^г, то j(z-, 7) — 0 для любой тонки z, внешней
для D.
Действительно, допустим, что контур 7 определен в промежутке
I = [Ь, с] и что в этом промежутке 17' (t)| М. По определению
С
/dz С 7' (t)dt .	. . u
7=7 = J 7(0 —г при \2~а\>г- Но так как
т	в
17(0 — то для любой точки t£I имеем 17(t)—z\~^-\z—а[—г
и, следовательно, по теореме о среднем значении 2т: | j (г; 7)|
. М (с — Ь)	.г .	,
7 аj _г  Когда \z — а\ достаточно велико, правая часть ста-
новится < 2п, и, так как j(z; 7) — целое число, отсюда следует,
что j (z; 7) = 0. Но множество внешних точек шара D, как мы
видели выше, связно и, таким образом, требуемое заключение сле-
дует из (9.8.3).
(9.8.6)	Для любого контура 7 в С, определенного в /, мно-
жество точек х£С\7(/), для которых j(x; 7) =# 0, относи-
тельно компактно в С.
Действительно, в силу (9.8.5) это множество содержится в любом
замкнутом шаре, содержащем 7(7).
(9.8.7)	Пусть ДсгС — односвязная область (9.7) и 7—контур
в А. Для любой точки	индекс J (х; 7) = 0.
По предположению в А существует определенная в I X -7 петель-
ная гомотопия ср контура 7 в контур, сводящийся к точке. Так как
х £ ? (7 X то теорема Коши показывает, что J* dz/(z—х) = 0.
1
9. Формула Коши
257
9.	Формула Коши
(9.9.1)	Пусть ЛсС — односвязная область (9.7) и f — анали-
тическое отображение области А в банахово пространство Е.
Для любого контура 7 в А, определенного в 7, и любой точки
х£Л\7(7) имеет место следующая формула'.
1
(формула Коши).
f ___ f (х\
Рассмотрим функцию g(2), определенную в А, равную - z_x
при z =/= х и /' (х) в точке х. Функция g является аналитической
в А, потому что в силу (9.3.2) и (9.5.1) она, очевидно, аналитична
в Л\{х}; с другой стороны, существует такой шар ВсА с цен-
тром х, что /(*)==/(*) + (*—*)/'(*) +  • •	(Х)+ •••
при z £ В, где ряд сходится в В\ отсюда следует, что для любой
точки z£B функция g(г) равна сумме сходящегося ряда
/'(х)+|(*-х)/"(*) + ••• +(г~Х)Пга!1/<',)(Л)+
и поэтому является аналитической в х. По теореме Коши (9.6.3)
имеем f g(z)dz = Q и, записав g(z) = ^^ f (х)  -—-, полу-
J	z — X	Z X
г
чаем формулу (9.9.1) из определения индекса,
Обратно:
(9.9.2)	Пусть 7—путь в С, определенный в промежутке
I = [£>, с], пусть g — непрерывное отображение множества 7(7)
в комплексное банахово пространство Е. Тогда функция
f (2) = J*	определена и является аналитической в до-
't
полнении множества Точнее, если мы положим ck=s
__ Г g (х) dx	любой точки а £ С \ 7 (7), то степенной
J (х — a)k + 1
ряд (сп (z — а)П) будет сходиться в некотором открытом шаре В
с центром а, содержащемся в С \ ( (7), и его сумма в В будет
равна f(z).
В самом деле,
О < q < 1. Тогда
-.... К—)"11
17 Ж. Дьедонне
допустим, что fz — al ^q_- d(a, 7(7)), где
для любой точки х £ 7 (7) имеем ==
V (z — а)	| (z — a)n '^1 „w
258
Гл. 9. Аналитические функции
где 8 = d(a, ?(/)). Если ||g(x)|| < М в у(/) и |?'(0| «С гп в I, то
для любой точки t£I выполняется неравенство
1' (t)g(i(t))(z-a)n
(7 (0-а)л+1
Afzn п тт	л	1' (0 g (.1 (О) (г— а)п
-r-q. Поэтому ряд с общим членом - >	v нор-
b	Mt) —а) +1
мально сходится в /. Из (8.7.9) следует, что ряд (cn(z— а)п) схо-
дится в шаре |z—а | qb и его сумма в этом шаре равна f(z).
(9.9.3)	При предположениях теоремы (9.9.1) для каждой точки
х£Л\у(7) и каждого целого & >0 имеет место формула
Это сразу следует из формулы Коши, единственности коэффициентов
степенного ряда с данной суммой (9.1.6), соотношений (9.3.5) между
этими коэффициентами и производными и, наконец, из (9.9.2).
(9.9.4)	Пусть Ас.Ср — открытое множество и f—непрерыв-
ное отображение множества А в комплексное банахово про-
странство Е, такое, что для i^k-^pu любой точки (аА)£ Ср
отображение zk^f(ax.......ak-i’ zk< ak+v •••> ap) является
аналитическим в открытом множестве
^(«1.....«Л-Р «А+1........«р)с=С.
если это множество не пусто (3.20.12). Тогда отображение f
является аналитическим в А. Точнее, пусть а = (ак)— точка
множества А и Р — замкнутый полицилиндр с центром а и
радиусами rk (A^k^p), содержащийся в А. Для каждого k
пусть — контур t -> ак гkelt в С (0^/^2т:) и пусть
Оп п .. п — К С dX, I* 4/Хэ
1”» Р (2itz)p J	‘J	2
П Та
Г fM..........Xp)dXp
J .п, +т ~	. л„+i •
Оч—«1) 1	... (хр— ар) р
Тогда степенной ряд (c4(z — а)4) абсолютно суммируем в Р,
и его сумма равна f(z).
Пользуясь формулой КоШи и тем фактом, что j (0; 6^=1
[см. (9.8.4)[, по индукции по р — k получаем
(9.9.4.1) /(xj.......хк, гА+1........zp) =
fdxk+1 fdxk+2...f
Ta-h Tft+2	Ip
f (-^i> • • •» Xp) dXp
(.Xk -j-1	^q_|) ... (Xp Zp)
9. Формула Коши
259
при \xj — aj\=rj (1</<А) и \z} — о,|<гу (* + 1 < j < р)-
С другой стороны, при \zk— ак1<гк (1 < k <. р) мы можем
написать
_________1_______= у (г,-а,)”- ... (^-gp)nP
... (xp-zp) Li	"'{Хр_ар)пР+х '
где \хк— ak\~rk- Степенной ряд в правой части равенства в силу
(5.5.3) нормально суммируем на множестве F, определяемом усло-
виями | хк — ак[ — rk. Если мы напишем
Л-..,--/*......х*>-
_	1 г	г	f(x\...xp)dxp
X*+1 ’ ’ ’ / (^+1-^+.)'’A+1 + 1 W'+‘ ’
•A+l	‘p
то с помощью индукции по p — k, пользуясь теоремой о среднем
значении, получим
<9-9л-2)
гА + 1 ’ ' • Гр
если ||/(Xj.... х,)!! М в F. Отсюда следует, что степенной ряд
(^+1 ...п(Х1...*Ж + 1 - аА + 1)”А + ' • • • (гР-ар)Пр) относи-
тельно Zj — aj абсолютно суммируем в Р. Проводя индукцию по
р — k и применяя (5.3.5) и (8.7.9), видим, что сумма этого ряда
равна /(X;.....хА, zk+1....zp). Требуемое заключение получается
при k = 0.
Кроме того, неравенство (9.9.4.2) при & = 0 доказывает [при
тех же предположениях и обозначениях, что и в (9.9.4)], что
(9.9.5)	|Ч"..-.,К7Г1Л'-
'1 •гр
если ||/(х)|| М в произведении окружностей |хА — ак\—гк
(l^fc^p) (неравенства Коши).
Если в (9.9.4) мы возьмем А = СР, то увидим, что
(9.9.6)	Аналитическое отображение пространства Ср в ком-
плексное банахово пространство есть целая функция.
Заметим, что этот последний результат не верен для аналитиче-
ских функций действительных переменных (противоречащий
пример дает функция 1/(1-|-х2)). Далее, непрерывная функция _/(х, у)
17*
260
Гл. 9. Аналитические функции
j\syx действительных переменных может быть аналитической
по каждой из переменных, но не аналитической в R2. Пример дает
функция /(х, у) =	. при (х, у)¥=(0, 0) и /(0, 0) = 0.
Замечание. Из (9.9.4) следует, что множество F—произве-
дение окружностей |xt— ak\~rk (l^A^p)— есть множество
единственности в А (если А связно). В самом деле, степенной ряд
(cv(z — af) полностью определяется значениями отображения f на F.
Поэтому если две аналитические функции в А совпадают в F, то
они совпадают в Р, и наше утверждение следует из (9.4.2).
Задачи
1.	Пусть А — относительно компактное открытое связное множество в С.
Пусть <f — такое непрерывное отображение произведения [a, ft] X [0, 1]
в А, что отображение t -»<р (t, $) — (f) при 0 < £ <: 1 есть контур, содер-
жащийся в А, а отображение i -> f0 (0 = ?	0) — контур, содержащийся в А
(который может содержать граничные точки множества А). Предположим,
кроме того, что для каждого е > 0 существует такое 8 > 0, что из ] Л—р |	8
при t С [a, b]\D следует | (t) — 7' (i) | < е, где D — некоторое счетное
множество. Пусть теперь f — непрерывное отображение множества А
в комплексное банахово пространство Е, сужение которого на А является
аналитическим. Покажите, что теорема Коши
няет силу.
У f (z) dz = J* / (z) dz coxpa-
v0	Vl
[Воспользуйтесь (8.7.8).]
2.	Пусть A — открытое множество в С и f — непрерывное отображение
множества А в комплексное банахово пространство Е, аналитическое в А П О+
в Л(]О_, где D+ (соответственно О_) определяется условием Sz > 0
(соответственно Зг < 0). Покажите, что отображение f является аналити-
ческим в А.
[Предположим, что круг | z [ < г содержится в А. Пусть 7+ (соответ-
ственно 7_) — контур, определенный в промежутке [—1,4-1] формулой
7+ (0 = (2/4-1)г при — 1<^<0 и формулой 7+ (<) = reKit при 0</<1
(соответственно 7_ (V) = гем при —1</<0 и 7_(0 = (1—2/) г при
0</<1). Покажите, пользуясь задачей 1, что если | г | < г и Зг > 0, то
f = _L_ f f (x) dx 0	1 C f(x)dx
J ' 2iw J x — z ’ 2tcz J x — z
T+	T_
Поэтому если 7 — контур t->reTdt, определенный в [—1, 4-1], то
1
Затем примените (9.9.2).]
9. Формула Коши
261
3.	Покажите, что заключение теоремы (9.9.4) остается верным, если
отображение / предполагается только ограниченным в каждом ограничен-
ном полицилиндре, содержащемся в А, а не обязательно непрерывным.
[Воспользуйтесь задачей 6 § 8.9. В действительности одна глубокая тео-
рема Хартогса показывает, что даже эти ослабленные предположения не
необходимы. Иными словами, функция, аналитическая в отдельности по
каждой из р комплексных переменных гр является аналитической в Л.]
ОО
4.	Пусть f(z) = 2 апг" — аналитическая комплексная функция в круге
л=0
| г | < R. Покажите, что при 0 < г < R
2те	оо
л=к / I2 dt=21 |2г2п-
О	л-0
Выведите нз этого результата другое доказательство неравенств Коши.
ОО
5.	Пусть f(z) = 2 апгП — аналитическая функция в круге |г| <R и
л=о
пусть
/1’0
Пусть также М (г, f) = sup || f (г) ||.
[z|-r
а)	Покажите, что при 0<.r < r-|-8 < R
М (г, f)<Ml (г; /) <	м (г + 8; /).
[Примените неравенства Коши.]
Ь)	Покажите, что если, кроме того,/—комплексная функция, то (в обо-
значениях задачи 4)
—Г(У5) Л4, (г, /) < М2 (г + 8; /) < М (г + 8; /).
[Примените неравенство Коши —Шварца (6.2.1).]
с)	Покажите, что при тех же предположениях
lim (Af, (г; /п) )1/n = lim (М2 (г, fn) )1/n = М (г; /).
д->оо	п->оо
[Воспользуйтесь неравенствами, доказанными в а) и Ь), тем фактом, что
Л4 (г; /п) = (М (г, /))'’, и непрерывностью отображения г -> М (г; /).]
6.	Предположим, что степенной ряд (спгп) относительно одной комплекс-
ной переменной с комплексными коэффициентами сходится при | г [ < R, и
пусть f(z) = 2 спг"- Для любого г, удовлетворяющего условию 0 < г < R
п
пусть А (г) = sup Яf (z). Покажите, что для каждого п > О
I Сп | гп + 2й/ (0) < sup (4Л (г), 0).
262
Гл. 9. Аналитические функции
[Докажите, что при и^>0
2тс
’[c„| Г« = 1 J*
о
7.	а) Пусть А — открытое множество в пространстве Кр и f — беско-
нечно дифференцируемое отображение множества А в банахово простран-
ство Е. Для того чтобы отображение f было аналитическим в А, необхо
димо и достаточно, чтобы для каждого компактного подмножества La А
существовали такие целое число г > О и число а > 0, что для любого
индекса а = (з,...а_) верхняя грань sup || Da f (х) ||< а ( | а | -|- г).
[Чтобы доказать, что это условие необходимо в случае, когда К = С,
примените неравенства Коши к шарам фиксированного радиуса, содержа-
щимся, в Л и имеющим центры в Д; в случае когда К = R, восполь-
зуйтесь (9.4.5). Чтобы доказать, что это условие достаточно, воспользуйтесь
формулой Тейлора (8.14.3) и докажите, что последний член этой формулы
равномерно стремится к 0 в любом замкнутом шаре, содержащемся в А и
имеющем центром х.]
Ь)	Приведите пример бесконечно дифференцируемой функции в R,
которая не является аналитической (см. задачу 2 § 8.12).
с)	Предположим, что отображение / действительно и бесконечно диф-
ференцируемо в открытом промежутке /cR. Пусть, кроме того, суще-
ствует такое целое число р>0, что при любом п>0 обращается в О
не более чем в р точках промежутка I. Покажите, что f является анали-
тическим в I.
[Воспользуйтесь а) и задачей 3, Ь) § 8.12.]
10.	Критерии аналитичности функций комплексных
переменных
(9.10.1)	Непрерывно дифференцируемое отображение f откры-
того множества АаСр в банахово пространство является
аналитическим.
Применяя (9.9.4), мы немедленно сводим эту теорему к случаю
р=1. Чтобы доказать, что / аналитично в точке а£А, мы можем
(произведя, если потребуется, перенос и гомотетическое отображение)
считать, что а = 0 и что А содержит единичный шар В: |г|^1.
Для любой точки z£B и любого X, удовлетворяющего условию
0<Х<1, имеем |(1—X) z \elt | С 1—Х-{-Х=1. Рассмотрим
интеграл
2тс
(9.10.1.1)	g (X) = f + r ~	~ / <г) g» dt.
В силу (8.11.1) и правила Лейбница (8.11.2) функция g непрерывна
в промежутке [0, 1] и имеет в каждой точке промежутка ]0, 1[ произ*
10. Критерий аналитичности
263
водную, равную
2тс
g'(Х) = f f'+х(eit~ ^eltdt
0
[см. замечание после (8.4.1)]. Ho \f' (г-^-УДе1*— z))elt есть произ-
водная отображения t->— if (г-}-Х(ен—z))\ поэтому g'(k) = Q при
X 0 и, следовательно [см. замечание, следующее за (8.6.1)], функ-
ция g постоянна в [0, 1]. Так как £(()) = 0, то g(K) — 0 при
О^Х<С1. В частности, отсюда при Х== 1 следует, что f(z) =
= _2лГ f ДЛЯ Л1°б°й точки & [в силу (9.8.4)], и требуе-
61
мое заключение следует из (9.9.2).
(9.10.2)	(Условия Коши — Римана) Пусть f — непрерывно
дифференцируемое отображение открытого множества ДсзЦ2р
в комплексное банахово пространство. Для того чтобы функ-
ция g, определенная в А (рассматриваемом как подмножество
пространства Ср) равенством f(xv х2.........хр, .......Ур)~
= g(Xi + iyv .... хр-\-1ур), была аналитической в А, необхо-
димо и достаточно, чтобы при l^k^.p в А выполнялись
df , . df n
соотношения -ч-----Н -ч-~ = 0.
дхь дЧ
Снова с помощью (8.9.1) сразу сводим доказательство к случаю
.	„	я	df (х, у)
р=1. Пусть (х, у) — точка множества А; положим а= $х ~
и b =	. Выражая тот факт, что пределы
lim g(* + *y + fr) —£(* + гУ) и iim g(л + ‘У + — £(-* + О')
Л->0	А	Л->0	гА
(7г—действительное число + 0) совпадают, получаем а-{-г7> = 0.
Если, напротив, это условие выполняется, то в силу (8.9.1.1)
для любого е>0 существует такое г > 0, что при 7г2-}-£2 <Сг
имеет место неравенство ||£ (х-}-/у-|-	—g (x-\-iy)—a(h\-lk)\\^
е ]/й2~-|- А2, и это доказывает, что отображение z^>g(z) имеет
в точке z = x-\-ly производную а. Требуемое утверждение следует
тогда из (9.10.1).
Задачи
1.	Покажите, что Дифференцируемое отображение f открытого множе-
ства А с Ср в комплексное банахово пространство является аналитическим
в А. (Теорема Гуре а; производная f не предполагается непрерывной.)
[Пусть X — произвольная точка нз промежутка ]0, 1[. Докажите [в обо-
значениях доказательства теоремы (9.10.1)], что производная g' (X) существует
264
Гл. 9. Аналитические функции
и равна 0. Сначала покажите, что для заданного е > 0 существуют
точки t0 = 0 < < ... < tm = 2zt, число р > 0 и по точке в* в каждом из
промежутков [7*, f*+1], такие, что если Сд. = 2-[-х(е * — г) и + х =
= г + (X + Л) (elt — 2), то |/(С*4-х)— /(Cft) — Л «*) * К * I * 1> как только
| h | -С р и th < t < th+1 (докажите это от противного, пользуясь компакт-
ностью промежутка [0,2zt] и существованием производной f в каждой
точке). Затем каждый интеграл
1
f /(g + (X+ft)(g“ — г))~ /(-?+X(g» — 2)) d{
J	еи — г
сравните с выражением
при I Л I < Р-1
2.	Пусть А — открытое односвязное множество в С. Покажите, что если
f — непрерывное отображение множества А в комплексное банахово про-
странство Е, такое, что | f (z) dz — 0 для любого контура 7 в А, то ото-
Т
бражение f является аналитическим в А (теорема Морера).
[Покажите, что f имеет в А первообразную.]
3.	Пусть А — открытое множество в Ср, у— путь, определенный в про-
межутке I = [а, 6], и f — непрерывное отображение произведения 7 (/) X А
в комплексное банахово пространство Е. Предположим, что для каждой
точки л С 7(7) функция (zlt ..., 2р)->/(х, г1г .... гр) является аналитиче-
ской в Л и что каждая из функций ^~(х>	....гр) непрерывна
в 7 (7) X А (1 < k < р). Покажите, что при этих условиях функция
g(Zi, zp) = J f(x, 2i, ..., zp)dx является аналитической в А
т
[Воспользуйтесь (9.10.2). Так как производная 7' (7) является только
простой функцией и может не быть непрерывной, правило Лейбница (8.11.2)
непосредственно неприменимо, но его доказательство с небольшими изме-
нениями сохраняет силу.]
4.	Пусть А — открытое связное множество в пространстве Rp (р > 2)
и f — аналитическое отображение множества А в комплексное банахово
пространство Е. Предположим, что существует открытый полицилиндр Р cz А
с центром =	и радиусами (1 < k<р), такой, что для ка-
ждой точки (Cj) полицилиндра Р существует такое число р < inf (г,, г2), что
функция Xi4-zx2-> f (ль хг, с3....Ср) является аналитической в открытом
множестве | Х] ix2 — (<4 + its) I < P пространства С (отождествленного-
с R2). Покажите, что тем же свойством обладает каждая точка (Q) б А.
[Воспользуйтесь (9.10.2) и (9.4.2).]
11. Теорема Лиувилля
265
5.	Пусть S — шаровой слой в R₽ (р>3), определяемый условием
(R — е)2 < х2 %2 "Ь  • • +	< (Я + е)2	(0 < е < R).
Предположим, что f — аналитическое отображение S в комплексное бана-
хово пространство Е, и пусть для любой точки и = (х3, хр) отображе-
ние xt -j-ix2	х2, -и) является аналитическим в некоторой окрестности
(в С) каждой точки множества S (и) [если S (и) не пусто].
а)	Для любой точки и = (х3, ..., хр), удовлетворяющей условию
|| и ||2 = х2 4- • • • -\-x2p< R1, пусть 7 («) — путь в С, определяемый отобра-
жением t -» (7?2 — || и ||2)'/» elt при — тс <7 < тс. Пусть
„(2>ц)= 1 f Z(y, «)*у
А '	’ 2tcZ J у —г '
где у = х, 4~ ix2 и у (у, и) = у (х„ х2, и); g определено при | г ]2 4-1| и ||2 < R2,
и отображение z-+g(z, и) является аналитическим при | z] < (R2—1| и Ц2)1^.
Пусть, далее, для любой тбчки v — (х3, ..., хр), такой, что || v || < R, по-
строена функция
h (г	f /(У'Ц)^У
г О)
Покажите, что hv (z, и) = g (г, и) при ||v|| < ||u|| < || о|14~ s и I г | <
< (Л2 — I! !12),/г-
[Примените теорему Коши (9.6.3).]
Покажите, что, с другой стороны, g (z, и) =f (z, и) при R — е < || u|| < /?
и | z | < (R2 —1| и ||2)'12. Заключите отсюда, что У может быть продолжено
в отображение у, аналитическое во всем шаре В: Х24-,..4-х2 <(/?4-е)2.
Остается ли эта теорема верной при р = 2?
[Примените (9.4.2) и задачу 3.]
Ь)	Покажите, что если Е = С, то у (В) cz f (S).
[Результат из задачи а) примените к функции 1/(У — с), где с £ У (S).]
В частности, если отображение f ограничено в S, то отображение f
ограничено в В. Распространите это последнее свойство на случай, когда
Е есть комплексное гильбертово пространство.
[Используйте метод задачи 6 § 8.5.]
И. Теорема Лиувилля
(9.11.1)	(Теорема Лиувилля) Пусть f — целая функция в Ср
с значениями в комплексном банаховом пространстве Е.
Предположим, что существуют такие р целых чисел mk (1
<£</>) « такое число а > 0, что для любой точки z£Cp
266
Гл. 9. Аналитические функции
выполняется неравенство ||/(z)||^a • | ггг \z2lm2 . ..\zplmp.
Тогда f (г) есть сумма конечного числа „одночленов“
сп, ...п г”' ... z”pp, где с„ ... п£Е и пк^.тк при 1
1 р	1 р
Пусть / СЮ = 2 в ’ причем степенной ряд всюду абсо-
лютно суммируем. Неравенства Коши (9.9,5), примененные к поли:
цилиндру с центром 0 и радиусами rk( \ ^k^p), для любого ин-
декса v = (np ..., пр) дают
„	,	Ш,— Я.	ги„ — п
1К-У<а'Г1 ГрР р-
Так как радиусы rk произвольны, это показывает, что сЛ1 ... „ =0,
если пк не тк при 1 k р.
(9.11.2) (Основная теорема
f (г) = aozna1zn~i... +<z„
коэффициентами имеет в С по
В противном случае функция
(9.3.2) и, значит, целой функцией
тельное число, что при 1<^А^
>(«+ 1)| лй/а0|. Тогда при \z\^
алгебры) Любой многочлен
(а0 + 0, п>1) с комплексными
крайней мере один корень.
1/f была бы аналитической в С
(9.9.6). Пусть г — такое действи-
п выполняется неравенство г
> г
|/(2)| = |а0^1  | 1 4
“1 I	| “л |
ааг 'г ’ ’ ‘ "г аогп |
1 До I Г”
п+1 •
Иными словами, функция l/f при | z | г . ограничена. С другой
стороны, она непрерывна в компактном множестве | z | г и поэтому
ограничена и на этом множестве (3.17.10). Таким образом, функ-
ция 1// ограничена в С. Из теоремы Лиувилля тогда следует, что
функция 1// постоянна; значит и функция f постоянна, что противо-
речит предположению, так как при | z | г выполняется неравенство

|Др| • 4Г
п+1 •
Задачи
1.	Покажите, что при р 2 функция, аналитическая в дополнении неко-
торого компактного множества в Ср, является целой функцией. Поэтому
если она вдобавок и ограничена в дополнении некоторого компактного мно-
жества в Ср, то она постоянна. Верен ли этот результат при р = 1?
(Воспользуйтесь (9.11.1) и задачами 4 и 5 § 9.10.]
12. Сходящиеся последовательности
267
2.	Пусть f — комплексная целая функция в СрПокажите, что заклю-
чение теоремы (9.11.1) останется справедливым, если предположить, что
Slf (z)< a  I Zi I 1 ... | Zp [ p
для любой точки z С. Cp.
[Воспользуйтесь задачей 6 § 9.9.]
СО
3.	Пусть f (z) = апгП — целая функция. Для любого г > 0 пусть
л = 0
Р (г) = sup || ап || гп и М (г) = sup ||/(z)||, так что р(г)<Л1(г). По тео-
л	|zl=r
реме Лиувилля lim р (г) = -|- оо. Допустим, что существуют такие две кон-
Г->оо
станты а > 0 и а > 0, что р(г)< а  ехр (г“). Покажите, что существуют
такие положительные константы b и с, что М (г)	6г“р(г) -]-с.
Г	I еа Х"!* 1
Заметьте, что ||«лП<| —I •!
12. Сходящиеся последовательности аналитических функций
(9.12.1) Пусть (fn) — последовательность аналитических ото-
бражений открытого множества А а: Ср в комплексное бана-
хово пространство Е. Предположим, что для каждой точки
z£A последовательность (fn(z)) сходится к пределу g(z) и
что сходимость равномерна на каждом компактном подмно-
жестве множества А. Тогда g— аналитическое отображение
в А, и для каждого индекса ч = (пг, ..., /ip)£Np последова-
тельность №/п(г)) для каждой точки z£A сходится к Vfglz),
причем сходимость равномерна на каждом компактном под-
множестве множества А.
Так как отображение g непрерывно в А (7.2.1), то, чтобы до-
казать, что g аналитично в А, нам нужно только в силу (9.9.4)
убедиться в том, что каждое отображение zft->g(ai...zb.....ар)
аналитично в множестве Л(ар .... аь_х, ak+l, .... ар). Иными сло-
вами, задача сводится к случаю р=1.
Для каждой точки а £ А с С пусть В — замкнутый шар с центром а
и радиусом г, содержащийся в Л, и пусть f — контур t->a-)-
4- relt (0 t 2it). Тогда для каждой точки z(*B и каждого п по
1 Г f (xl
формуле Коши (9.9.1) имеем fn(z) = j ~2^dx, ^о 110 пРеД‘
т
положению последовательность (/„ (х)) при | х — а | *= г равномерно
сходится к g(x), а так как |г —	1г|, То и Последойа-
тельность (% фиксировано) при | х — а] = г равномерно
268
Гл. 9. Аналитические функции
сходится к  Поэтому в силу (8.7.8) §(«)= 2^т J"  от-
т
куда в силу (9.9.2) следует, что отображение g аналитично в В.
Кроме того, так как в силу (9.9.3) f'n (z) = f	, точно
г
такое же рассуждение [и теорема (9.9.3), Иримененная к g] показы-
вает, что последовательность f'n(z) для каждой точки z£B схо-
дится к g' (z). Далее, по теореме о среднем значении
(9.12.1.1)	||g'(«) — /'„(«) || <-7^sup_J| g-(x) —/л(х)||.
Возвращаясь к общему случаю (р произвольно), покажем теперь,
что последовательность (Dft/„(z)) равномерно сходится к Dkg(z)
на любом компактном множестве ТЙсЛ. Существует число г > О
и компактная окрестность V множества М, содержащаяся в Л и
содержащая все точки множества А, находящиеся от М на расстоя-
нии С г (3.18.2). Для произвольного е>0 пусть п0 выбрано так,
что для каждого п~^-п0 и каждой точки z£V выполняется нера-
венство llg'(z) — /„(z)|| е- Тогда, применяя (9.12.1.1) к последо-
вательности функций zft->/„(aj.......ab-v zk’ ak+i........ap)> Для
каждой точки z£M получаем ||Dftg(z)—	(z) || ^ е/r, как только
п nQ. Это завершает доказательство теоремы в случае, когда
... -\-пр=1. После этого доказательство в общем случае
Проводится С ПОМОЩЬЮ индукции ПО «! + ... + пр.
Отметим здесь снова, что теорема не остается верной для ана-
литических функций действительных переменных, так как по теореме
Вейерштрасса об аппроксимации (7.4.1) последовательность много-
членов может иметь пределом произвольную (например, недиф-
ференцируемую) непрерывную функцию на компактном множестве.
Задачи
1. а) Пусть («л)1<й<р — конечная последовательность комплексных
р
Чисел, для которой 2 I ak I = “ < 1- Покажите, что
Л-1
р	 д
JJ(l + aft)-l-^aft
*=1	6 = 1
Ь)	Целые функции Е (z, 0) = 1 — г,
•£(г, р) = (1 — z) ехр	4- ... +-у
12. Сходящиеся последовательности
269
называются первичными множителями. Покажите, что при |z | < 1/2
| E(z, р)- 11 <4| z|p+1.
[Заметьте, что при |z 1/2
I, ..	. .	. г2 .	. гР |	2lz|p+1
и что |ez — l|<2|zl при |z|< 1.]
с)	Пусть (ля) — такая последовательность комплексных чисел =# 0. что
последовательность (| ап |) возрастает и lim | ап [ = оо. Покажите, что для
л->со
любой точки г € С ряд с общим членом абсолютно сходится.
d)	Выведите из а), Ь) и с), что последовательность целых функций
п
равномерно сходится на каждом компактном множестве пространства С.
[Примените критерий Кошн и оцените, пользуясь а) и Ь), разность
РтАг)
1
при т > л; затем примените
с).]
Таким образом, предел f (z) последовательности (рп (г)) является целой
функцией, которую записывают в виде
п—11. Пока-
жите, что единственными точками, в которых f (г) — 0, являются точки ап.
е) Допустим, что существует такое целое число р > 0, что ряд с общим
членом | ап |_ р сходится. Подобным же образом покажите, что последова-
тельность целых функций
п
 "-1)
равномерно сходится на каждом компактном множестве в С. Ее предел
ОО
снова обозначим через g(z) = пе(—, р—1). Докажите, что суще-
лЛ" 'а" '
ствует такая константа с > 0, что
| g (z) ,|< exp (с [ z |р).
[Для любой данной точки z рассмотрите отдельно произведение множи-
телей, для которых | дп|>.2 [z |, и остальных множителей. Первое произве-
дение оцените с помощью b). С другой стороны, докажите, что существует
такая константа Ь, что для любой точки z£C имеет место неравенство
\E(z, р—l)|<expO|zl/’-1).]
270
Гл. 9. Аналитические функции
2. Покажите, что последовательность целых функций
/л(г) = £(£+1)^(£±^
nz  п!
(где, по определению, иг=ехр(г1пп) равномерно сходится на каждом ком-
пактном множестве в С к целой функции
(**)
е~ z‘n,
где t =
— 1пп) (постоянная Эйлера).
Чтобы сравнить (*) и (**), воспользуйтесь результатом задачи 1, е), запи-
п
шите 1пп= ^1п-£----р и с помощью теоремы о среднем значении мажо-
Л = 2
I 1	1 Ml
рируите	r|.j
Докажите, что, если z не есть целое число —п<0, гамма-функция
Г (г) удовлетворяет функциональному уравнению
Г(г+1) = гГ(г)
и что Г (п) = (и — 1)! для целых и > 0.
3.	Бесконечный путь в открытом множестве Ла С есть непрерывное
отображение 7 пространства R в А, в каждом компактном промежутке I a: R
являющееся первообразной некоторой простой функции. Если / — непре-
рывное отображение множества 7 (R) в комплексное банахово простран-
ство Е, то / называется несобственно интегрируемым вдоль пути 7, если в Е
существует несобственный интеграл /(7(0)7' (t) dt (т. е. если в Е
— ОО
>	0
существуют оба предела lim f /(7(О)7'(О^ и 1*т |/ (7 (0)7' (t)dt).
0	а
Значение этого интеграла называется в этом случае интегралом от
отображения f вдоль пути у и обозначается символом J* f(z)dz.
t
Пусть В — открытое множество в Ср и g — непрерывное отображение
произведения t(R)X^ в Допустим, что для каждой точки x£f(R) функ-
ция (г,, ..., 2р) -> g (х, z,, .... zp) является аналитической в В и что каж-
дая из функций ~-(х, ги ..., zp) непрерывна в произведении 1(R)X^'
Допустим, наконец, что для каждой точки (г,, ...,zp)€B функциях-*
-> g (х, Zj, .... Zp) несобственно интегрируема вдоль 7 и что интеграл
12. Сходящиеся последовательности
271
п
J" гк •••> Zp)l'(!) когда точка (zI( .... zp) остается в некото-
- п
ром компактном подмножестве множества В и п стремится к -|- со, равно-
мерно стремится к интегралу J* g(x, .....zp) dx. Покажите, что при этих
предположениях функция (zlt ..., гр) -> J" g(x, zt, zp) dx является ана-
Т
литической в В,
4.	Распространите утверждение из задачи 2 § 9.9 на функции р ком-
плексных переменных, причем множество D+ (соответственно £>_) опре-
деляется условиями STzp > 0 (соответственно ffzp < 0).
[Заметьте, что в силу (9.12.1) для каждой точки zp, для которой STzp =0
и пересечение В множества А с множеством Cp-1X{2p} не пусто, функ-
ция (z1( ..., zp^j) -> f (г,.zp-\,	zp) является аналитической в В.]
5.	Пусть Q — квадрат с центром 0 на плоскости С, определяемый усло-
виями ]#z| < 1, \ffz] < 1. Пусть Qo, Qi> Qa и Q3 — образы квадрата Q при
-	1 -4- i I z	— 1 —I z — 1 — i । z
отображениях z----------z ->-----------+ у, z->----------------Н J и
।__I г
г—>—g------Ьр Пусть то = О и mA = 4-|-424- ...+4ft для любого
Л>1. Если п ~ mh + 4k j, где Л>1, 0<fc<4ft— 1 и 0</<3, то
по индукции определяем квадрат Q„ следующим образом. Пусть «1 =
= mh_ j + k, и zn — центр квадрата Qn. Тогда полагаем <ря_ (z) = zni + z/2ft
и
а)	Пусть В — единичный круг | z |	1 и U — единичная окружность
| z | = 1. С помощью индукции по п покажите, что существуют три после-
довательности чисел (ап), (сп) и (/„), определенные при л>4и обладающие
следующими свойствами: 1°) 0<ал<1, | tn | = 1, сп g С; 2°) если gn (z) =
= сп (1 —	при z g В (определение см. в задаче 8 § 9.5) и
п
fn^) = z-\-^gq(z), то /n(B)c:Q и 7n(fft)CQa при й<п; 3°) ряд
9 = 4
У, | Сп | сходится.
п
[Заметьте, что £л(<л) = сл, но что для любой заданной окрестности Vn
точки tn в В число- а„ можно взять столь малым, чтобы gn(z) было
в В \ Vn произвольно малым. Выберите tn близким к tn (в обозначениях
введенных выше), где все tn различны, и возьмите окрестность Vn так,
чтобы она не содержала ни одной из точек tk с номером k < п.[
Ь)	При предыдущих условиях предел / (z) последовательности (/л(г))
существует для любой точки z g В, отображение f непрерывно в В и ана-
литично в В и / (U) = Q (кривая Пеано, см. задачу 5 § 4.2).
272
Гл. 9. Аналитические функции
13. Равностепенно непрерывные множества
аналитических функций
(9.13.1) Пусть А — открытое множество в Ср и Ф — некото-
рое множество аналитических отображений множества А
в комплексное банахово пространство Е. Предположим, что
для каждого компактного подмножества La А существует
такое число тс>0, что || / (г) || mL для всех f £Ф и каждой
точки z£L. Тогда Ф равностепенно непрерывно в А (7.5).
Если Е, кроме того, конечномерно, то для каждого компакт-
ного подмножества La А множество Ф£ сужений на L ото-
бражений /£Ф относительно компактно в пространстве
(7.2).
Пусть а£А. Существует замкнутый шар Ра А с центром а и
радиусом г, и так как шар Р компактен, || f (z) j] тр для всех
z£P и всех /£Ф. Пусть Q — замкнутый шар с центром а и ра-
диусом г ft. Для любой точки z £ Q и любого f £ Ф мы можем
написать
р
/(*)—/(«) =	....zk, ak+1, .... а) —
— /(*1......zk_v ak, ak+1.......ap)).
Теперь
..., zk_r, zk, a/!+l...ap) —
—	.....zk_v ak. ak+1.......ap) =
*=f DJCZi.......zk_v ak + t(zk — ak), ak+1, .... ap)(zft-aft)dt
о
Положим gk(u) = f (zx.....u, ai+i, ap). Отображение gk
является аналитическим в некотором открытом множестве простран-
ства С, содержащем шар |:« — ак\^г и ||g'ft(«)|K Шр в этом шаре.
Применяя (9.9.3) к gk и к контуру t -> ak-\-relt, определенному
в промежутке [0,2тг], получаем
4/п
при \и — ak\^rft. Следовательно, для любой точки и любого
f £Ф имеем
Арт„
II f (*) — f (а)||< —1z — a|.
что доказывает равностепенную непрерывность множества Ф в точке а.
Последнее утверждение теоремы (9.13.1) следует из того факта, что
любое ограниченное множество в конечномерном пространстве отно-
сительно компактно [(3.17.6) и (3.20.17)1, и из теоремы Асколи
(7.5.7).
14. Ряд Лорана
273
(9.13.2)	Пусть А—открытое связное множество в Ср и Ф—не-
которое множество аналитических отоб ражений множества А
в комплексное банахово пространство Е. Предположим, что
для каждого компактного подмножества La А множество Фл
сужений на L отображений /£Ф относительно компактно
в <ёЕ{Е). Если М — множество единственности {ЧА) в А и если
последовательность (/„) отображений из Ф сходится в М про-
сто, то последовательность (/„) сходится равномерно {к не-
которой аналитической функции) на любом компактном под-
множестве А.
Из (3.16.4) следует, что нам нужно только доказать, что для
каждого компактного множества La А последовательность сужений
отображений fn на L имеет в ^E{L) только одну предельную
точку. Допустим противное и пусть (gn) и (йл)— две подпоследо-
вательности. последовательности (/л), каждая из которых равномерно
сходится в L и пределы которых различны. Так как А локально
компактно (3.18.4) и сепарабельно, существует возрастающая после-
довательность (Uп) открытых подмножеств множества А, для кото-
рых U„ (замыкание в Ср) компактно и содержится в U„+1, и
A =	(3.18.3). По индукции по k определим такую последова-
п
тельность {glin)a=1 2	. что (gkn) есть подпоследовательность после-
довательности {gk-lt„), причем gQ„=gn, и что {gkn) равномерно
сходится в U к\ это возможно ввиду предположения относительно Ф.
Тогда „диагональная" подпоследовательность (£„„) равномерно-схо-
дится в каждом из Un и поэтому в силу (9.12.1) ее предел g
является аналитическим в А. Точно таким же образом из последо-
вательности (Лл) можно выделить подпоследовательность (йлл), схо-
дящуюся в Л к аналитической функции h. Но по предположению
g {z) = h{z) для z £ М и по определению мы должны иметь g — h,
что противоречит определению подпоследовательностей (g„) и (йл),
ч. т. д.
14. Ряд Лорана
(9.14.1)	Пусть А — открытое множество в С и г0 и гг — два
числа, удовлетворяющие условию 0 < г0 < гг, и предположим,
что „открытое кольцо* S, определяемое условиями r0<Z \z] < rv
таково, что его замыкание S в С (т. е. „замкнутое кольцо*
rQ^ lzl содержится в А. Для любого аналитического ото<
бражения f множества А в комплексное банахово простран-
ство Е имеем
f(r\— 1 f f (*) dz_____L f
' ' ' MJ г — x M J z — x
18 Ж. Дьедокне
274
Гл. 9. Аналитические функции
для любой точки x£S, где f0 (соответственно fj) есть кон-
тур t->rnea (соответственно t-^-r^e'*).
Как и в доказательстве теоремы (9.9.1), прежде всего отметим,
что функция g(z\ равная f'(x) в точке х и	При z=£x,
z£A, является аналитической в А. Далее, отображение ср (Л £) =
= £гое‘7-|-(1—%)rieit	0<£<1) является петельной
гомотопией в А контура у0 в контур поэтому по теореме Коши
(9.6.3) J g(z)dz — f g(z)dz. Но при г0<|х|<г1 мы имеем
То	Т1
j(x; 7о) = О и j (х\ fi)=l 1см. (9.8.4) и (9.8.5)], откуда и следует
наше утверждение.
(9.14.2)	При тех же предположениях, что и в (9.14.1), суще-
ОО
ствует степенной ряд gx (z) = 2 cnzn, сходящийся при |z| < rv
n = Q
и степенной ряд относительно 1/z и без постоянного члена
оо
g2(z) = 2 dnz~n, сходящийся при |z| > г0, такие, что f(z) =
л = 1
~ g\{z)-\-g2(z) в S (ряд Лорана отображения /). Кроме
того, степенные ряды gx и g2, обладающие этими свойствами,
единственны, и для каждого контура у в S имеем
7(°;	= i f 7(0; T)rfn = i- f ^f^dx.
т	т
со
В силу (9.9.4) при |z| < мы имеем J	~ cnz"<
Т1	»=°
1 Г f (х) dx	। । .	r,
где cn=2^f I — ^.n+1— и ряд сходится при |z| <гг С другой
Т1
стороны, при |г|>г0 и |х|=г0 имеем
СО
1	__yi х”~'
Z — х~ Zd zn ’
л = 1
где ряд в правой части равенства нормально сходится при |х|=г0
1 i* f (х\ dx
(z фиксировано). По теореме (8.7.9) получаем г- I  --------=
J Z ’*“• X
То
СО
= ^</л2,-л, где ^л=2^у J'xn~1f(x)dx и ряд сходится при
п ~ 1	То
> г0. Это доказывает первую часть теоремы (9.14,2).
15. Изолированные особые точки; нули; вычеты	275
Допустим, далее, что мы имеем в 5
оо	со
(9.14.2.1)	/W=2v" + 2M-’,
л = 0	л = 1
где оба ряда сходятся в S. Пусть сначала у— контур в S, опреде-
ленный в I. Существуют такие точки t и t' в I, что у (/) = inf т (s) = г
и 7 (/') = sup 7 (s) = г (3.17.10); поэтому для любой точки s£I
s^I
r0 < r < 7 (SX г'<'г Но при г | z | г' оба ряда в (9.14.2.1)
нормально сходятся (9.1.2), поэтому в силу (8.7.9) для любого по-
ложительного или отрицательного целого числа m
ОО	Оо
J zm~x f(z)dz =2 ап J*zn+m~y dz-\- bn J zm~n~'ldz.
у	л=0 у	п=1 у
’Так как гй+1/(& + 1) — первообразная функции zk при k + — 1, то
для любого контура о мы имеем j'zltdz — 0. Формулы в (9.14.2),
а
таким образом, следуют из определения индекса.
Если теперь у лежит в S, то заметим, что существует открытое
кольцо Sji (1—e)r0< \z \ < (1 -1-е)гр содержащееся в А (3.17.11),
и мы вновь возвращаемся к предыдущему случаю.
15.	Изолированные особые точки; полюсы;
нули; вычеты
Пусть F— множество в метрическом пространстве Е. Изолиро-
ванная точка множества F есть точка хй£Р, у которой суще-
ствует такая окрестность V, что V П F — [ х0} • Если каждая точка,
множества F изолирована, то топология подпространства F является
дискретной [т. е. совпадаете топологией, определяемой расстоя-
нием (3.2.5)], и наоборот, так как это означает, что каждое одно-
точечное множество (х) в F открыто.
(9.15.1)	Пусть А — открытое множество в С, а — изолирован-
ная точка множества С \ А, г — число > 0, обладающее тем
свойством, что все точки шара \z — а | г, исключая а, при-
надлежат А. Если f — аналитическое отображение множе-
ства А в комплексное банахово пространство Е, то при
0 < | z — а | < г имеем
ОО	оо
/(*) = ^c„{z — п)п+ ^dn{z — а)~п,
п^О	л=1
18*
276
Гл. 9. Аналитические функции
причем оба ряда сходятся при 0< \z— а\ <^г и
=	/(Х\аЛ1 - dn = ут / (* - «)“"7 (*) dx,
2itz J (х — a)	2r-i J
71	7.
где 7 — контур t^»-a-\-relt (О^/С2к).
Это сразу следует из теоремы (9.14.2), примененной к кольцу
р | z — а | г, где р сколь угодно мало.
СО
Заметим, что ряд а(х) = ^jd„xn является целой функцией и
Л = 1
и(0) —0. Функция и	называется главной частью функ-
ции / в окрестности точки а (или в точке а). Если и — 0, функ-
ция f в открытом множестве U : 0 < \z — а [ < г совпадает с функ-
СО
цией g(z) — ^cn(z — а)п, аналитической при \z— а\ <г. Наобо-
л = 0
рот, если f есть сужение на U аналитической функции fv опреде-
ленной при \z — а\<г, то в силу (9.9.4) и (9.15.1) j\ — g и, зна-
чит, « = 0. В случае когда «=#0. мы будем говорить, что а есть
изолированная особая точка функции /. Если и — многочлен
степени 1, мы будем говорить, что а есть полюс порядка п
функции /. Если это не так (т. е. если dm =/= 0 для бесконечного
числа номеров т), мы будем говорить, что а есть существенная
особая точка (или существенная особенность) функции /. Вообще*
определим порядок «>(а; /) или и>(а) функции / в точке а следую-
щим образом: <в(а) =— сю, если а — существенная особенность;
ф(а)=: — п, если ,а — полюс порядка п^>1; w>(a) — m, если / #= 0,
СО
и —0 и если в степенном ряде S cn(z— а)п, равном f(z) при
л = 0
0<|z — а | < г, т есть наименьший номер, для которого ст =£ 0;
наконец, ш(а; 0)—4-оо. В случае когда <u (a; f) = m~> 0, мы будем
также говорить, что а есть нуль порядка т функции /.
Заметим, что если обе функции f и g являются аналитическими
в открытом множестве U : 0 < \z—а[ < г и если они принимают
значения в одном и том же пространстве, то ш(а; f-\-g) =
= min(«>(a; /), u>(a; g)). Если одна из функций f и g комплексна,
то, предполагая, что одно из чисел - w(a; /) и ш(а; g) конечно,
имеем и>(а; fg) = u>(a\ /)-j-o>(a; g). Любая функция /, аналитиче-
ская в U и имеющая конечный порядок п (положительный или отри-
цательный), единственным образом может быть записана в виде
(г — а)п fv где /j—функция, аналитическая в U и имеющая в точке а
порядок 0. Наконец, если f — комплексная функция, аналитическая
в U и имеющая конечный порядок т, то из принципа изолирован-
ности нулей и из (9.3.2) следует, что существует такое число г', что
15. Изолированные особые точки; нули; вычеты
277
0<г' < г и что функция 1// является аналитической в открытом
множестве 0< |z — а| < г'. В этом случае мы имеем ш(а; 1//) —
= — “(а; /)•
(9.15.2)	Пусть f — аналитическая функция в открытом мно-
жестве U : 0 < \z— а| < г. Для того чтобы <о(а; f)~^-n, где
п— положительное или отрицательное целое число, необхо-
димо и достаточно, чтобы существовала такая окрестность V
точки а в С, чтобы функция (z— а)~п f (г) была ограничена
в V п и.
Условие, очевидно, необходимо, так как функция, имеющая
в точке а порядок 0, является сужением функции, аналитической
в шаре \z — а\<г. Рассматривая теперь, наоборот, функцию
(z—a)~nf(x), мы можем считать, что п — 0. Тогда из (9.15.1) и
теоремы о среднем значении следует, что если || f (z)|| М в U, то
для любого р, удовлетворяющего условию 0 < р < г, при любом
т^ 1 выполняется неравенство -С Мрт. Так как р произвольно,
отсюда следует, что для каждого т^> 1 коэффициент dm = 0, ч. т. д.
Коэффициент dl в (9.15.1) называется вычетом отображения f
в точке а.
Задачи
1.	Покажите, что у аналитических функций р>2 комплексных пере-
менных не существует изолированных особых точек (иными словами, если
А — открытое множество в Ср, а^Аи f — аналитическое отображение мно-
жества А \ {л} в комплексное банахово пространство Е, то оно является
сужением некоторого аналитического отображения множества А в Е).
[Воспользуйтесь задачей 5 § 9.10.]
2.	Пусть f — комплексная аналитическая функция одной комплексной
переменной, имеющая в точке а £ С существенную особенность. Покажите,
что, каково бы ни было комплексное число X, функция 1/(/ — X) не может быть
определена и ограничена ни в каком открытом множестве вида У\{а],
где V — открытая окрестность.
[Воспользуйтесь (9.15.2).]
Заключите отсюда, что для любой окрестности У точки а, для которой
функция f аналитична в У\{а], множество /(У\(а}) плотно в С.
(Теорема Вейерштрасса; см. задачу 8 § 10.3.)
3.	Целая функция, не являющаяся многочленом, называется трансцен-
дентной целой функцией. Пусть / — комплексная целая трансцендентная
функция одной комплексной переменной.
а) Покажите, что для любого целого п > 0 открытое множество D (п)сзС,
состоящее из всех точек г 6 С, для которых | / (г) [ > п, не пусто и не может
содержать множества внешних точек никакого шара.
[Примените задачу 2 к функции f (1/г).]
278
Гл. 9. Аналитические функции
Ь) Пусть К(п)— компонента связности (3.19.5) множества £>(п). Пока-
жите, что множест во К (п) не ограничено и что функция [ f (г) | неограни-
чена в /<(п).
^Ёсли а(£/( (п), то рассмотрите функцию /	и воспользуйтесь
задачей 14 § 9.5.
с) Покажите, что существует такое непрерывное отображение у проме-
жутка [0, + со [ в С, что у в каждом промежутке [0, а] является перво-
образной некоторой простой функции и что lim | у (7) | = со и
lim | f (7 (0) 1 = 4- со.
<->+оо
[Рассмотрите последовательность таких открытых множеств Ln cz С,
что Ln есть компонента связности множества D (и) и что Z.n+1czAn при
каждом п; существование такой последовательности вытекает из Ь). Затем
воспользуйтесь (9.7.2).]
d) Распространите предыдущие результаты на комплексные целые транс-
цендентные функции произвольного числа комплексных переменных.
[Если f(zu
 > zp) — 2 ап
п z"i ... znp, то существует по крайней
р 1	р
мере один такой индекс k, что есть бесконечно много членов с ненулевым
коэффициентом ап п и сколь угодно большим nk. С другой стороны,
1 ’ ’ р
докажите, что если (gm) — счетное семейство целых комплексных функций р
комплексных переменных, никакая из которых не равна тождественно 0, то
существуют точки (с,....ср), в которых gm (cit ..., ср) 0 при каждом т.
Чтобы это доказать, проведите индукцию по р и воспользуйтесь тем фак-
том, что для функции h (г) одной комплексной переменной, аналитической,
в A cz С и не равной тождественно 0, ^множество решений z уравнения
h(z) — 0 не более чем счетно (см. (9.1.5).]
4. Пусть 7 (х) — произвольная возрастающая и положительная действи-
тельная функция в промежутке [0, -|-оо[. Пусть (kn)— такая строго воз-
растаю щая последовательность целых чисел, что = 1 и 1-^—j-j >
> ? (n +1) ПРИ n > 1. Покажите, что степенной ряд
л-2
сходится при всех z$ С и что для каждого действительного числа х >2
выполняется неравенство f (х) <р (х) (иными словами, существуют целые
функции, стремящиеся к бесконечности „быстрее”, чем любая заданная дей-
ствительная функция).
5. Для любых действительных чисел а и где р > 0, пусть 7.а> — бес-
конечный путь' (задача 3 § 9.12), определяемый следующим образом!
15. Изолированные особые точки; нули; вычеты'
279
Z,a, 8(/) = а — 1%—t—1 при — 1; £а, р (/) = апри —и
(0 = “ + '?+*— 1 при ПУСТЬ G«, р = £«, з(R)-
«—г	71» г> 37С	Д»
а)	Покажите, что если "2 < ^ < “2“ и если х ₽’ то ФУНК1*ИЯ г->
-> ехР ^еХ^*г- несобственно интегрируема вдоль Lx, р. Далее, если числа
и р2 таковы, что | Зх | < ₽, < ?2, или ] Зх | > ?2 > ?i, или Ях < а, то инте-
гралы вдоль ДЯ1 и вдоль р2 совпадают. Точно так же, если Ях < а1 < а2,
или а] < а2 < Ях, или | Зх | > р, то интегралы вдоль р и вдоль La^ р
совпадают.
[Воспользуйтесь теоремой Коши.]
Ь)	Выведите из а), что если L = До> Е, то функция
£(х)= * рхр(ехрг)^
' ' 2тч J z — x
L
может быть продолжена в целую функцию.
с)	Покажите, что
2^- У ехр (expz)dz = l.
L
[и
Докажите, что интеграл вдоль ДЯ1 р от функции exp (exp z), если у <
. Зг.	1
< р <	, не зависит от а и (3.
d)	Покажите, что если точка х принадлежит открытому множеству А,
определяемому условиями %х < 0 или | Зх | > я, то
£(х)=- — + ^Р~.
' ’ х ' х2
где функция F (х) ограничена в А.
[Выразите F (х) через интеграл вдоль £0, р, где р < я, пользуясь а)
и с).]
е)	Покажите, что если точка х принадлежит открытому множеству В,
определяемому условиями -%х >0 и | Зх | < я, то
_, ,	.	.	1 . G (х)
Е (х) = ехр (ехр х) — —	,
где функция О (х) ограничена в В.
[Пользуясь формулой Коши, докажите сначала, что если —1 < Ях < 0
и | Зх | < я, то
с / \ z х । 1 Г ехР (ехР -г) j
£(х) = ехр(ехрх) + -2^ J г — х dz>
L'
где Д' = Д_11П. Затем, пользуясь (9.4.2), покажите, что эта формула остается
справедливой при х£В, и выразите О (х) через интеграл вдоль £_ь р, где
₽ > я.]
280
Г л. 9. Аналитические функции
f)	Пусть Н(х) = Е(х)е Е^х\ Покажите, что Н есть целая трансцен-
дентная функция, обладающая тем свойством, что lim Н(ге <9) = 0 для
г-Ы-оо
каждого действительного числа 8.
[Воспользуйтесь d) и е); сравните с результатом задачи 3.]
6. Пусть f—комплексная целая функция р>2 комплексных перемен-
ных. Покажите, что если f (а.....ар) = Ь, то для каждого г > 0 существует
такая точка z = (z„ гр), что У [ zk — ak[2 = r2 и f (z{, zp) = b.
k
[Воспользуйтесь задачей 5, b) § 9.Ю.]
7. Пусть f — аналитическое отображение открытого множества А с Ср
в комплексное банахово пространство Е. Граничная точка za множества А
называется правильной точкой отображения /, если существует открытая
окрестность V точки za и аналитическое отображение объединения Д[_|У
в Е на А, совпадающее с /. Граничная точка множества А называется
особой для /, если она не правильна.
а)	Пусть /?<+оо — радиус сходимости (задача 1 § 9.1) степенного
ряда f (г) — У anzn, от одной комплексной переменной. Существует по
п
крайней мере одна точка z0, для которой | гй | = R и которая является осо-
бой точкой для /.
[В противном случае окружность | г [ = R можно было бы покрыть
конечным числом открытых шаров Bk, центры bk которых лежат на этой
окружности и которые обладают тем свойством, что в каждом открытом
множестве В (0; R) [J Bk существует аналитическая функция /А, совпадающая
с f в В (0; R). Пользуясь (9.4.2), покажите, что тогда для любых двух ин-
дексов h и k, для которых Bh[\Bk ф 0, функции fk и fk совпадали бы
в Bh[}Bk, и заключите из (9.9.1) и (9.9.2), что радиус сходимости ряда
2 апг" был бы > /?.]
п
Ь)	Допустим, что в обозначениях а) коэффициенты >• 0 при каждом в.
Покажите, что точка z = R является особой точкой функции /.
[Можно считать, что R — 1. Пусть е,Л— особая точка функции /. Тогда
Гп'{ге1а) —г в точ-
п!
п
ности равен 1 г (9.9.1). Заметьте, что | (reia) | <	(г), и воспользуй-
тесь (9.1.2).]
с)	Допустим, что в обозначениях а) радиус сходимости R = 1. Пусть b
и с — два действительных числа, удовлетворяющих условиям 0 < b < 1
и с=1 — Ь, и пусть р — целое число > 1. Для того чтобы точка г=1
была особой точкой функции /, необходимо и достаточно, чтобы ряд Тейлора
g^ (0) ~ функции g («) = f(.bup 4-cup+1) имел радиус сходимости 1.
п
[Заметьте, что при | и |	1 и | bup cup+l |<; 1 и что обе части послед-
него неравенства могут быть равны только при и = 1. В доказательстве^
16. Теорема о вычетах
281
необходимости воспользуйтесь (10.2.5), для того чтобы показать, что в не-
которой окрестности точки г = 1 существует такая аналитическая функ-
ция Л (г), что z = g (h (г)) в этой окрестности.]
d)	Допустим [в обозначениях а)], что коэффициенты ап = 0 для всех п,
исключая последовательность (nj) номеров, удовлетворяющих условию
пк+\ > (1 + 6) пк при каждом k, где 0 > 0 — некоторое фиксированное число.
Покажите, что каждая точка za окружности | г | = 1 является особой
точкой функции f (теорема Адамара о лакунах; окружность
| z | = R называется естественной границей функции /).
[Можно считать, что R = 1. Воспользуйтесь критерием из с), взяв р > 1/0,
ОО
Пусть g (и) = 2 апи" — тейлоровское разложение функции g в точке и = 0.
п=0
По предположению, для данного е > 0 существует такая последовательность
(т/) номеров, что | ат^ |>(1— с)т1 (задача 1 §9.1). С другой стороны,
функция F (и) = 2 (bupсир+г)т1 — 2 епип в силу Ь) имеет точку и = 1
1	п
своей особой точкой. Поэтому существует такая последовательность (fy)
номеров, что >(1—е)?г. Докажите, что |rf?J>(l — е)2?г.
16.	Теорема о вычетах
Прежде всего заметим, что любое множество 5сС, состоящее
из изолированных точек, не более чем счетно. В самом деле, под-
пространство 5 пространства С в этом случае дискретно и сепара-
бельно [в силу (3.9.2), (3.20.16) и (3.10.9)] и поэтому является един-
ственным своим плотным подмножеством (3.8.4).
(9.16.1)	(Теорема о вычетах) Пусть ДсС— односвязная
область, (ап)— (конечная или бесконечная) последовательность
различных точек области А и S — множество точек этой по-
следовательности. Предположим, что все точки S изолированы
в S. Пусть f — аналитическое отображение множества Л\5
в комплексное банахово пространство Е и пусть f—контур
в A\S. Тогда имеет место формула
f f (г) dz = 2та У j (ап\ \) R (ап),
т	«
где R(an)— вычет отображения f в точке ап и в правой части
равенства только конечное число членов 0.
Очевидно, мы можем считать, что каждая точка ап является осо-
бой точкой отображения /. Действительно, мы можем по непре-
рывности продолжить отображение f на все неособые точки ап,
не изменяя обеих частей формулы (так как если точка ап не
282
Гл, 9. Аналитические функции
является особой, то /?(ал) = 0). При этом предположении для любого
компактного множества LcA пересечение /,(]•£ конечно. В са-
мом деле, поскольку, по определению, множество А \ S открыто
в С, пересечение 7-П 5 замкнуто в L. Таким образом, это пересече-
ние, являясь компактным и дискретным, конечно (3.16.3).
Пусть / — промежуток, в котором определен контур 7, и пусть
Р — множество точек х £ А, для которых /(х;у)^0. Мы знаем
(9.8.6.), что замыкание Р множества Р в С компактно и что Р не со-
держит ни одной граничной точки множества А. Действительно,
такая точка не может ни принадлежать множеству 7 (/), ни иметь
индекс 0 относительно у [в силу (9.8.7)]. Так как множество то-
чек x^C\f(/), в которых индекс у(х; у) принимает произвольное
данное значение, открыто Х9-8.3), то любая точка замыкания Р,
не принадлежащая 7 (/), содержится в Р, и поэтому РсЯ. С дру-
гой стороны, пусть (/, £)—петельная гомотопия в А контура 7
в одноточечный контур t,£J, где J — некоторый компактный
промежуток). Тогда M —	есть компактное подмножество
области А. Пусть Нс N — конечное множество тех номеров п, для
которых ап£М\)Р. Для каждого Н пусть ил(—-—)—главная
часть отображения / в точке ап. Пусть В — дополнение в А мно-
жества точек ап с номерами п(£Н. Тогда множество В открыто,
потому что любая компактная окрестность произвольной точки из В,
содержащаяся в А, имеет с S конечное пересечение.
По определению главной части существует функция g, аналити-
ческая в В и равная в каждой точке z ап (п£Н) разности /(z)—
—	(z—-д~)' Так как по 0ПРеделению контур у гомо-
топен в В одноточечному контуру. Поэтому по теореме Коши
j'g(z)dz = 0, или, иначе, J f(z)dz = ^ J" «Д j dz. Требуе-
1	т
мый' результат следует теперь из теоремы (9.14.2), примененной
к каждой из функций ип (—-—в открытом «кольце» с центром
содержащем 7 (/).
17.	Мероморфные функции
Пусть Д —открытое множество в С и S — Подмножество А, со-
стоящее из изолированных точек. Отображение f множества А \ S
в комплексное банахово пространство Е называется мероморфным
в Д (в нарушение принятого словоупотребления),
17. Мероморфные функции
283
если оно является аналитическим в А \ 5 и имеет порядок > — оо
в каждой точке множества S. Несколько нарушая терминологию,
мы будем всегда отождествлять отображение f с его продолжением
по непрерывности на все точки множества 5, не являющиеся полю-
сами /. Рассуждение, проведенное в доказательстве теоремы (9.16.1),
тогда показывает, что мы можем всегда считать, что для любого
компактного множества LclA пересечение Z.QS конечно.
Если f и g— две мероморфные функции в А, принимающие зна-
чения в одном и том же пространстве, и если S и S'— соответ-
ственно множества их полюсов в Л, то в силу предыдущего заме-
чания все точки объединения 5 (J S' изолированы в нем. Функция
/-[-£ определена и аналитична в множестве ^\(S(JS') и имеет
порядок > — оо в каждой точке множества 5 (J S'. Поэтому она
мероморфна в Л (заметим, что некоторые из точек объединения 5 U S'
могут оказаться не особыми для /-(-£). Подобным же образом,
если f и g мероморфны в Л и g, принимает комплексные значения,
то произведение fg мероморфно в Л.
Если отображение / мероморфно в Л, S — множество его полю-
сов и Т — множество его нулей, то все точки множества SUT1 яв-
ляются изолированными. В самом деле, если а£А и ш(а)=й, то
/(z) = (z— а)А/1(г) на множестве 0<|z— а\ < г, где отображе-
ние аналитично в \z— а \ <(г и /1(а)=?^0. Принцип изолирован-
ности нулей (9.1.5) показывает, что существует такое число г', что
0<г'<г и что f(z)^Q при 0 <|z— а|<г'. Это доказывает
наше утверждение и, кроме того, показывает, что для любого ком-
пактного подмножества £с=Л пересечение L f) (S (J Т) конечно [то же
рассуждение, что и в (9.16.1)].
В частности, если / принимает комплексные значения, то отоб-
ражение 1// в Л мероморфно, S есть множество его нулей, а Г —
множество его полюсов. Сверх того, при тех же обозначениях,
что и выше, мы имеем /'(z) = A(z — a)ft-1 f\(z)-\-(z— a)hf[(z)
при 0 < [z—al<r. Поэтому функция f'/f, являющаяся аналитиче-
ской при 0 < \z— a\<j’, имеет в точке а порядок 0, если й = 0,
и порядок — 1 и вычет h, если h #= 0.
(9.17.1)	Пусть А—односвязная область в С, f — комплексная
мероморфная функция в A, S (соответственно Т) — множество
полюсов (соответственно нулей) этой функции и g — аналити-
ческая функция в А. Тогда для любого контура у в Л\(5и7’)
имеет место формула
Г (?)
/ s W
Г
dz=2tii j(a-,\)g(a)v(a\f).
причем в правой части равенства только конечное число чле-
нов 4= 0,
284
Гл. 9. Аналитические функции
Это сразу следует из теоремы о вычетах, потому что вычет
функции в точке а £ S [J Т равен произведению g (а) на вычет
функции в этой точке.
(9.17.2)	Пусть в предположениях теоремы (9.17.1) <->?(£)
(t £7) есть контур в A \(5(J Т). Если Г — контур / (у(0). то
>(0;Г)=	j(a; 7) ш (а;/).
aesyr
В самом деле, из (8.7.4) сразу следует, что J" J
г т
Поэтому требуемый результат является частным случаем
(9.17.1), получающимся при g—1.
f(2)
теоремы
(9.17.3)	(Теорема Руте) Пусть ЛсС — односвязная область
и f и g— две аналитические комплексные функции в А. Пусть
Т — (не более чем счетное) множество нулей функции f, Т'
множество нулей функции f-\-g в А и 7— контур в А\Т,
определенный в промежутке I. Тогда если (z)| < |/(z)| в 7(7).
то функция f-\-g не имеет нулей в у (I) и
/(«; 7)ш(а;/) =	J(b-,i)w(b\f-\-g).
Ь$Т’
Первое утверждение очевидно, так как из f (z) 4- g (z) = 0 сле-
дует |/(z)| = |g(z)|. Функция h — определена в A \ T и ме-
роморфна в А. Имеем	~ 4- в A\(7'UTV)- Ввиду
з т 8 Г я
(9.17.2) нам нужно только доказать, что индекс точки 0 относительно
контура Г : 7 —> А (] (7)) равен 0. Так как функция gjf непрерывна
и конечна в компактном множестве 7(7), то из (3.17.10) и предпо-*
я (г)
ложения следует, что г = sup ЯН- < 1. Иными словами, контур
Г содержится в шаре \z—11 < г, и, так как точка 0 лежит вне
этого шара, требуемый результат следует из (9.8.5).
(9.17.4) (Непрерывность корней уравнения как функ-
ций от параметров) Пусть А — открытое множество в С,
F—метрическое пространство и f — такая непрерывная ком-
плексная функция в 4 X Е, что для каждой точки a£F функ-
ция z—>f(z,x) является аналитической в А. Пусть В — от-
крытое подмножество множества А, замыкание В которого
17. Мероморфные функции
285
в С компактно и содержится в А, и пусть точка a0£F обла-
дает тем свойством, что ни один нуль функции /(z,a0) не при-
надлежит границе множества В. Тогда существует такая
окрестность W точки а0 в F, что-.
1°) для любой точки a£W функция f(z,a) не имеет нулей,
принадлежащих границе множества В;
2°) для любой точки а £ W сумма порядков нулей функции
f(z,a), принадлежащих В, не зависит от а.
Число различных нулей функции f(z, а0) в В конечно; пусть
а1,	, ап—эти точки. У каждой граничной точки х множества В
существует компактная окрестность Ux, содержащаяся в А, такая,
что функция /(z,a0) не имеет в этой окрестности нулей (9.1.5). Если
мы покроем (компактную) границу множества В конечным числом
множеств Ux., то объединение U замыкания В и этих множеств Ux.
будет компактной окрестностью замыкания В, содержащейся в Л и
такой, что функция f(z, a0) не имеет нулей в U(\(A\B). Пусть
г—наименьшее из чисел \ак—aj\ (&#=/), и для каждого fe (1<^&О)
пусть Dk— открытый шар \z— aA| < rk радиуса rk<_r/2, содержа-
щийся в В; тогда Dk(]Dj= 0 при k #= j. Пусть /7 = /7\((j Dk).
k
Это — компактное множество; пусть т — наименьшее значение функ-
ции |/(г, а0)| в Н-, в силу (3.17.10) т > 0.
Теперь для каждой точки х £ В существуют такая окрестность
Vx точки х, содержащаяся в Л, и такая окрестность Wx точки а0
в F, что при y£Vx и a£Wx выполняется неравенство |/(у, а) —
— /(х,Оо)| <^т1Ч. Так как множество В компактно, его можно по-
крыть конечным числом множеств Vx (l^Z<^p). Пусть 1Г = р|1Гх •
I	t i'
это — окрестность точки а0 в F, и по определению этого множества для
любой точки a £ U7 и любой точки у £ В выполняется неравенство
|/(у, а) — f(y, а0)| < т. Отсюда прежде всего следует, что /(у, а) =£ 0
при у £77 и а£1Г. С другой стороны, так как \f(z, a) — f(z, а0)\ <
<|/(z, a0)| в H, то, применяя теорему Руше к каждому из конту-
ров t -> ак + гк еа (0 t 2я), видим, что сумма порядков нулей
функции / (г, а) в Dt не зависит от a £ W. Теорема доказана.
Задача
1.	Пусть Л с С — открытое односвязное множество и f — комплексная
мероморфная функция в А, обладающая тем свойством, что каждый ее полюс
является простым и что ее вычет в каждом из этих полюсов есть положи-
тельное или отрицательное целое число. Покажите, что в А существует
такая мероморфная функция g, что f — g'lg.
[Покажите, что если точка г0 не является полюсом функции f, то для
любой точки zt ё А, не являющейся полюсом функции /, и любого пути ч
286
Гл. 9. Аналитические функции
в А, определенного в /cR, с началом г0 и концом zt и такого, что мно-
жество 1(/) не содержит никакого полюса функции /, число expf J/(x)rfx\
\т /
зависит только от г0 и г, и не зависит от пути 7, удовлетворяющего пре-
дыдущим условиям. Воспользуйтесь теоремой о вычетах.]
2.	Пусть f — целая функция одной комплексной переменной, для любых
действительных чисел х и у удовлетворяющая условию If(x-j-iy) |
Покажите, что для любого числа z Ф пт. имеет место представление
d / f (?) \ = _ у (-1)"/(М
dz \sin^/	(г —nit)2
где ряд в правой части равенства
множестве в С, не содержащем
[Рассмотрите интеграл
нормально сходится на любом компактном
ни одной из точек пл (п —целое число).
1 Г f{x) dx
2л/ J sin х (х— z)2
Тв
где 7п есть контур t -> (п 1/2) т.еа при — л t < л. Заметьте, что для
каждого е > 0 существует такое число с (е) > 0, что из того, что для
каждого целого n С Z выполняется неравенство | г — пл | > е, следует, что
| sin z | >• с-(Е)	। > и воспользуйтесь теоремой о вычетах.]
3.	а) Покажите, что если z =£ пл (п — целое число), то
ОО
c‘g2 = -j + s
п = 1
2г
Z2 — п2л2 ’
где ряд в правой части равенства нормально сходится на любом компактном
множестве в С, не содержащем ни одной из точек пл.
[Воспользуйтесь задачей 2 и соотношением lim f ctg г-—М=о.]
г->0 \	г 1
Ь) Выведите из а), что
sin z — г
z2 \
П2Л2 J ’
п
где произведение определяется как предел произведения (1 —
равномерно сходящегося на каждом компактном множестве в С.
17. Мероморфные функции.
287
+ оэ
[Рассмотрите целую функцию f(z) = Ц (1—(§ за"
— ОО
дача 1) и с помощью а) докажите, что функция (sin z)]zf (z) постоянна.]
с) Выведите из Ь) тождество (см. задачу 2 § 9.12)
Г(г)Г(1—z) = V Sln 71г'
4.	Пусть f — комплексная функция, аналитическая в открытой окрест-
ности А точки 0 в Ср; для удобства будем писать w вместо zp н z вместо
(г„ ..., гр_,). Предположим, что / (0, 0) = 0 и что функция f (0, w), являю-
щаяся аналитической в некоторой окрестности точки w = 0 в С, не тожде-
ственно равна 0. Тогда существуют целое число г > 0, г функций hj (z),
аналитических в некоторой окрестности точки 0 в С^'1, и функция g (z, w),
аналитическая в некоторой окрестности Вс А точки 0 в Ср и ^0 в этой
окрестности, такие, что
f(z, w) = (wr -f-Л, (г) гг>г-1+ ... -{-hT(z))g(z, w)
в некоторой окрестности точки 0 в Ср (подготовительная теорема
Вейерштрасса).
[Если функция f (0, w) имеет в точке w — 0 нуль порядка г, то с по-
мощью (9.17.4) докажите, что существуют такое число е > 0 и такая окрест-
ность V точки 0 в С^1, что для любой точки г £ V функция w^>f(z, w)
имеет в круге | w | < е точно г нулей и не имеет нулей на окружности
| w | = е. Пусть 7 — контур t -> при — л С t л. Покажите, что суще-
ствуют функции hj(z) (1</<г), аналитические в V и такие, что много-
член F (z, w) = wr-j- ht (z) wr~} ... -|- hr (z) при z £ V и | w | > e удовле-
творяет тождеству
(-г. w) 1 / f'a (z, и) 1
F (z, w) ~ 2лг J f (z, u) w — и
t
5.	Пусть (/„) — последовательность комплексных аналитических функций
в связном открытом множестве Л с С. Предположим, что для каждой
точки г £ Л последовательность (f„ (г)) сходится к пределу g (г) и что эта
сходимость равномерна на каждом компактном подмножестве множества Л.
Предположим, кроме того, что каждое отображение г -> fn (z) множе-
ства Л в С инъективно. Покажите, что отображение g или постоянно
в Л или же является инъективным.
[Для любой точки г0 £ Л рассмотрите последовательность (/„ (г)—(г0))
и примените теорему (9.17.4) и принцип изолированности нулей.]
6.	Пусть — действительная дважды дифференцируемая функция в про-
межутке [0, 1]. Предположим, что | <р (0) | < | <f> (1) |, и пусть х0 — один
288
Гл. 9. Аналитические функции
из корней уравнения <р (0)—<р (1) cos х = 0 в промежутке ] — те, т. [, Пока-
жите, что целая функция
1
F (z) = J* <р (/) sin zt dt
о
имеет счетное множество нулей. Далее, можно определить сюръективное
отображение п^>-гп множества Z на множество нулей функции zF (г), такое,
что в каждый нуль отображается столько целых чисел, каков его порядок,
и что
lim (г2п — ха — 2пте) = lim (г2я+1 + х0 — 2лте) = 0.
Л-> ± оо	Л-» ± оо
[Дважды проинтегрировав по частям, покажите, что можно написать
zF{z) = ^(fl)— у (1) cos.a-|- G(z), где | G (г) |< ae ^z \/\z\. Оцените функ-
цию | (0) — ср (1) cos z | снизу вне окружностей, имеющих центры в нулях-
этой функции таким же образом, как в задаче 2 был оценен | sin z |, и под-,
ходящим образом воспользуйтесь теоремой Руше.]
Аналогично рассмотрите случаи, когда | ср (0) | > | <р (1) | или же
1<е(0)| = 1?0)|.
Добавление к главе 9
ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
К ТОПОЛОГИИ ПЛОСКОСТИ
(Метод Эйленберга)
1.	Индекс точки относительно петли
(Д.1.1) Если	(а <&) — траектория в открытом мно-
жестве А с= С, то в А существует гомотопия ср траектории 7
в некоторый путь 7Р такая, что отображение ср определено
в [а, X [0, 1] и для каждой точки $00, 1] выполняются
равенства у (а, $) = у(а) и ср(й, $) —7(5).
Пусть 1 = [а, Ь]. Так как множество у (/) компактно, расстоя-
ние d (•((/), С \ А) = р > 0 (3.17.11). Поскольку отображение 7 равно-
мерно непрерывно в I (3.16.5), существует такая строго возрастающая
последовательность (7*)0<л<т точек промежутка I, что tQ-=a, tm = b
и колебание (3.14) отображения 7 на каждом из промежут-
ков Z4+1] (0	& X m — 1) меньше р. Отображение 7j определим
в I следующим образом: при	полагаем 7i(0 = T(^ft) +
+	1^*))	— О- Ясно, что 7! есть
путь, причем 7;(а) = 7(а) и il(b) = ~[(b), и, поскольку 7j(\tk, /A+J)
содержится в открытом шаре с центром 7(/А) и радиусом р, мно-
жество 7i (/) содержится в А. Тогда положим ср(/, $) = $7j (/) +
-01 —В) 7 (I). Легко проверить, что при th t tk+l (0	т—1)
и 0 <$< 1 точка ср(t, $) содержится в открытом шаре с центром 7(/й)
и радиусом р. Поэтому ср удовлетворяет требуемым условиям.
В частности, если 7—петля, то мы видим, что ср есть петель-
ная гомотопия в А петли 7 в контур 7Р
Рассмотрим теперь произвольную петлю 7 в С, определенную
в I, и любую точку а (£7(7). Так как в силу (Д.1.1) существует
контур, гомотопный 7 в С \ {а}, то мы можем определить индекс j(a-, 7)
как число, равное индексу у (a; 7J для любого контура 7Р гомо-
топного 7 в С \ {а}. По теореме Коши (9.6.3) этот индекс не зави-
сит от выбора контура 7Р гомотопного 7 в С \ {а}.
Пользуясь (Д. 1.1), легко убедиться в том, что индекс точки относи-
тельно петли не зависит от начала петли (9.6) и что если в форму-
лировках свойств (9.8.3) и (9.8.5) — (9.8.7) слово „контур" заменить
словом „петля", то все эти свойства останутся справедливыми.
19 Ж- Дьедонне
290
Добавление к. гл. 9
2.	Существенные отображения в единичную окружность
Пусть Е — метрическое пространство. Мы будем говорить, что
отображение f пространства Е в единичную окружность U : | z | = 1
несущественно, если найдется такое непрерывное отображение g
пространства Е в R, что f(x) = elz№ для каждой точки х£Е.
Непрерывное отображение f пространства Е в U называется суще-
ственным, если оно не является несущественным.
(Д.2.1) Если fx и f2— несущественные отображения простран-
ства Е в U, то и отображения fxf2 и l/fx = несущественны.
Если fx существенно, a f2— несущественно, то отображе-
ния fxf2 и fff2 существенны.
(Д.2.2) Если f — несущественное отображе ние пространства Е
в V и g— непрерывное отображение метрического простран-
ства F в Е, то отображение fog несущественно.
Эти свойства являются очевидными следствиями определения.
(Д.2.3) Любое непрерывное отображение f метрического про-
странства Е в U, удовлетворяющее условию f(E)=£\J, несу-
щественно.
Пусть Co£U\/(£). Существует такая точка a£R, что ^==ei!l,
и сужение отображения t —> elt на открытом промежутке ]а, а 2к[
является гомеоморфизмом этого промежутка на U \ (Q (9.5.7). Если
ф — обратный гомеоморфизм, то для каждой точки х £ Е мы имеем
/(х) = e1^ C/W), ч. т. д.
(Д.2.4) Если ft и /2 — два непрерывных отображения метри-
ческого пространства Е в U, для каждой точки х£Е удовле-
творяющих условию /\(х)=/=—/2(х), и если fx существенно
(соответственно несущественно), то и f2 существенно (соот-
ветственно несущественно).
В самом деле, / = Л/Л есть непрерывное отображение простран-
ства Е в U, не принимающее значения —1 и поэтому в силу (Д.2.3)
несущественное.
(Д.2.5) Пусть Е — компактное метрическое пространство,
I = [0, 1] и f — непрерывное отображение произведения Е X /
в U. Если отображение x->f(x, 0) существенно (соответ-
ственно несущественно), то и отображение x->f(x, 1) суще-
ственно (соответственно несущественно).
Так как отображение f равномерно непрерывно в Еу(1 (3.16.5),
то найдется такое целое число п^-1, что из ]s —	1/# для любой
точки х£Е следует |/(х, s)— f(x, /)| С 1- Пусть fk(x) = f (х, k/n)
при	Таким образом, для любой точки х£Е при
2. Существенные отображения в единичную окружность
291
О < k п—1 имеем |/й(х)— fk+x (х) |	1, итак как | fk (х) | =
= 1Л+1(Х)1 =1 для люб°и точки то AW^-A+iW
при х^Е. Отсюда на основании (Д.2.4) следует наше утверждение.
(Д.2.6) Любое непрерывное отображение f замкнутого шара
(в R") в окружность U несущественно.
Пусть Е — шар d (х, а) .< г. Положим g (х, t)~ f(a-\-t (х — а)).
Тогда отображение g непрерывно в £ X [0. 1]. g(x, l)==f(x) и
g{x, 0) = f(a). Так как отображение x->g(x, 0) несущественно
(Д.2.3), то несущественно и отображение f (Д.2.5).
(Д.2.7) Пусть А и В — два замкнутых множества в метрическом
пространстве Е, такие, что Е = А\]В и что пересечение AQB
связно. Пусть f — непрерывное отображение пространства Е
в U. Если сужения отображения f на А и на В несущественны,
то и f несущественно.
По предположению существуют такие непрерывные отображе-
ния g и h множеств А и В в R, что / (х) = W в Л и f (х)= elh(x'>
в В. При х£А(\В мы, таким образом, имеем =
Поэтому (9.5.5) (£(х) — й(х))/2и есть целое число. Но (поскольку
отображение g — h непрерывно в связном множестве А Л В) отсюда
в силу (3.19.7) следует, что разность g — h на ЛрВ есть постоян-
ная 2/гк. Пусть тогда a(x) = g(x) в Ли и (х) = h (х) -|- 2/гтг в В.
Ясно, что /(x) = e'“W в Е, а так как g и Л-|-2/гтг на ЛП-8 сов-
падают, то отображение и непрерывно в Е, ч. т. д.
(Д.2.8) Для того чтобы непрерывное отображение f окруж-
ности U в себя было существенным, необходимо и достаточно,
чтобы индекс /(0; 7) петли 7 : t-> f {elt) (0 2it) относи-
тельно точки 0 был =£ 0.
В силу (9.8.1) мы можем написать f (elt) = elW>, где функция ф
непрерывна в промежутке [0, 2ir] и ввиду (9.5.5), ф (2к) — ф (0) = 2/гтг,
где п — индекс j (0; 7). Пусть ш(Л ?) = ф (t) -j- В {nt -f- ф (0) — ф(/)).
Если для С - ‘ elt (0 < i < 2к) и 0	$ С 1 положить g (С, В) = е1и>
го отображение g на основании (9.5.7) будет непрерывно
в (U \ {1})Х [0. 1]. и, так как е1ш V == е1ш <Р’® — f (1) для любой
точки отображение g можно по непрерывности продолжить
на (J X [0. 1]- В силу (Д.2.5) доказательство теоремы сведено к слу-
чаю отображения
Ясно, что при п = 0 отображение f несущественно. Предпо-
ложим, что п Ф 0, и докажем, что отображение / не может быть
несущественным. В противном случае существовало бы непостоянное
непрерывное отображение й окружности U в R, для которого С" = elh
в U. Так как образ й (U) есть компактное (3.17.9) и связное
[(9.5.8) и (3.19.7)] множество в R, то й (U) есть компактный про-
межуток [а, й], где а < й (3.19.1). Пусть точка Co£U выбрана так,
19*
292
Добавление к гл. 9
что й(Со) = а. Таким образом, мы имеем Со —е/а. Существует окрест-
ность V точки Со в U, колебание (3.14) отображения й в которой < к.
С другой стороны, применяя к промежутку ]а — к/п,	тео-
рему (9.5.7), видим, что существует такая точка С £ V, что С” = е1
где е>0 достаточно мало. В силу (9.5.5) Л (С) —(а — е) есть число,
кратное 2тг, а из выбора окрестности V следует, что это число
при е < к может быть только равно 0. Но это противоречит опре-
делению а.
(Д.2.9) Тождественное отображение С—окружности U на
себя существенно.
3.	Разрезы плоскости
Мы будем говорить, что множество А в метрическом простран-
стве £ отделяет две точки х и у множества Е \ А, если компо-
ненты связности (3.19) точек хи ув£\Д различны. Мы будем
говорить, что А разрезает пространство Е (или является разрезом
пространства £), если множество Е \ А несвязно.
Для любых двух точек а и Ь, а #= Ь, в С рассмотрим функцию
sa>b(z)'.z-^{z — a)/(z — b), определенную в С \ {£}. Легко прове-
рить, что sab есть гомеоморфизм множества С \ {£} на С\{1}.
(Д.3.1) (Критерий Эйленберга) Пусть Н — компактное
множество в С. Для того чтобы Н отделяло две различные
точки а и b множества С\Н, необходимо и достаточно,
чтобы отображение z->saib(z)[\ sa, b(z) | множества Н в U было
существенно.
Достаточность. Допустим, что а и b принадлежат одной
и той же компоненте связности А множества С \ Н. Так как мно-
жество С\// открыто в С и С локально связно [(3.19.1) и (3.20.16)],
то множество Л открыто в С (3.19.5). В силу (9.7.2) в А суще-
ствует траектория /—>•[(/), определенная в / = [0, 1] и такая,
что т(0) = а и f(l) = Z>, Так как	при любом значении t,
то отображение (z,	t) = «а,т(о(-г)/1яа,г(о(г)1 непрерывно
в HXI и, кроме того, /(?, 0)=1 и /(г, 1) = sa, b(z)l\saib(z)
Наше утверждение следует из (Д.2.5).
Необходимость. Пусть А — компонента связности множе-
ства С \ Н, содержащая точку а. Множество А открыто в С, и все
его граничные точки принадлежат Н (они не могут принадле-
жать другой компоненте множества С \ Н, ибо тогда А имело бы
с этой открытой компонентой общие точки). Так как Ь^АЦН.
то d(b, Л(_|77)>0. Пусть А' и Н'—образы множеств А и Н
при гомеоморфизме z-+saib(z) множества С \ {£] на множе-
ство С\ {!}. Множество Н' компактно, а А' есть связное открытое
4. Простые дуги и простые замкнутые кривые
293
подмножество множества С \ Н', ограниченное и содержащее точку 0.
Кроме того, граничными точками множества Я' в С являются точки
из множества Н' и (возможно) точка 1. Поэтому множества А'
и	компактны. Если при этом точка 1 принадлежит границе
множества Л', то это означает, что множество А неограничено и
поэтому содержит точку, внешнюю по отношению, к некоторому
шару, содержащему Н. Но множество внешних точек этого шара
связно (9.8.4) и, значит, по определению компоненты связности
(§ 3.19) оно содержится в А. Это показывает, что существует такой
шар V с центром 1, что У\ {1} с А'. Следовательно, 1 не является
граничной точкой множества С \ А', и, таким образом, доказано,
что граница этого множества всегда содержится в Н'.
Нам нужно показать, что отображение «—>а/|«| множества Н'
в U существенно (Д.2.2). Допустим противное. Тогда существует
такое непрерывное отображение / множества Н' в R, что
и/|и| =е*/(“) ПрИ и£Нг. По теореме Титце — Урысона (4.5.1) f может
быть продолжено в непрерывное отображение g множества A' (J Н'
в R. Определим отображение й пространства С в U, полагая
й(и) = «/|«| при «£С\Д' и й(«) = е/«'<“> при и £ А'. Из опреде-
ления g сразу следует, что отображение й непрерывно в С. Пусть
число г > 0 выбрано так, что А! содержится в шаре В: | Z | г.
Сужение отображения й на В .несущественно (Д.2.6); поэтому несу-
щественно и сужение отображения й и на 5:|z| = r. Но тожде-
ственное отображение окружности U на себя может быть запи-
сано в виде hx°g^ где hY— отображение д->г/|г| окружности S
на U, a gx — отображение С->гС окружности U на S. Однако ото-
бражение Й1 есть сужение отображения й на S и потому несуще-
ственно. Следовательно, должно быть несущественно и отображе-
ние hx°gt (Д.2.2). Но это противоречит (Д.2.9).
(Д.3.2) (Теорема Янишевского) Пусть А и В—два
компактных множества в С, и а, Ь — две различные точки
множества С \ (A (J В). Если ни А, ни В не отделяют точки а
и b и если пересечение ЛПВ связно, то и объединение Л()^
не отделяет точки а и Ь.
Из предположения и из (Д.3.1) следует, что сужения отображе-
ния z->sa<b{z)l\saib(z)\ на А и на В несущественны. В силу (Д.2.7)
сужение этого отображения на A (J В также несущественно. Поэтому
требуемое заключение вытекает из (Д.3.1).
4.	Простые дуги и простые замкнутые кривые
Траектория 7->-[(/) в С, определенная в промежутке / = [а, {3]
и являющаяся инъективным отображением I в С, называется простой
траекторией. Множество в С называется простой дугой, если оно
294
Добавление к гл. 9
является- множеством точек 7(7) некоторой простой траектории.
Петля f, определенная в I, называется простой петлей, если для
всякой пары (s, t) различных точек__промежутка I, хотя бы одна
из которых не является его концом, 7($)=7=7(7). Множество в С
называется простой замкнутой кривой, если оно является множе-
ством точек некоторой простой петли. Эквивалентные определения:
простая дуга есть множество, гомеоморфное промежутку [0, 1],
а простая замкнутая кривая есть множество, гомеоморфное еди-
ничной окружности U (9.5.7).
(Д.4.1) Дополнение в С произвольной простой дуги связно
(иными словами, простая дуга не разрезает плоскость').
Пусть у — простая траектория, определенная в I, и пусть / — не-
прерывное отображение множества 7(7) на 7, обратное 7. Пусть а
и b — две различные точки множества С \ 7(7). В силу (Д.3.1) нам
нужно доказать, что сужение ср отображения z^-saib(z)l\sa> ь(г)\
на 7 (7) несущественно. Но мы можем написать ср = (ср о 7) о f. Непре-
рывное отображение ср о 7 промежутка I в U несущественно (Д.2.6);
поэтому ввиду (Д.2.2) несущественно и ср.
(Д.4.2) (Теорема Жордана о кривых) Пусть Н—простая
замкнутая кривая в С. Тогда:
а)	Множество С \ Н имеет точно две компоненты связ-
ности, одна из которых ограничена, а другая не ограничена.
Ь)	Границей каждой компоненты связности множества С \ Н
является Н.
с)	Если 7—простая петля, определенная в I и такая,
что ~[(1) — Н, то J(x; 7) = 0, если точка х принадлежит не-
ограниченной компоненте множества С\Н, и J(x; 7)= ± 1,
если х принадлежит ограниченной компоненте множе-
ства С\ Н.
Доказательство проводится в несколько шагов.
(Д.4.2.1) Сначала докажем Ь) без какого бы то ни было пред-
положения относительно числа компонент множества С \ Н.
Пусть А — компонента связности множества С \ Н. Так как мно-
жество С \ Н открыто, то, как мы видели в (Д.3.1), граница мно-
жества А содержится в Н. Пусть z £ Н и пусть f — гомеоморфизм
окружности U на Н. Пусть точка С = e/e £ U выбрана так, что / (С) = z.
Пусть W— произвольная открытая окрестность точки г в С и
V с W — замкнутый шар с центром z. Тогда существует такое
число со, что 0 < ш < тс и что /(е1*)£У при 0—ш<7<0-|-ш.
Пусть J—образ этого промежутка при отображении 7—> f(elt).
Тогда дополнение L множества J в Н является образом при отобра-
жении t-> f(elt) компактного промежутка [6 -(- и> — 2и, 0 — ш] (9.5.7)
и в силу (9.5.7) — простой дугой. Из (Д.4.1) следует, что открытое
множество С\7=эС\7/ связно.
4. Простые дуги и простые замкнутые кривые
295
Поэтому (9.7.2) для любой точки Л с С\А в С \ £ суще-
ствует траектория ?, определенная в I — [а, />] и такая, что у(а) = х
и -j (&) = г. Множество f (/) Л J компактно и содержится в V. Пусть
Л1— его прообраз при f. Тогда Л4 есть компактное подмножество
промежутка / и а(£М. Пусть c = infAl>a. Тогда образ при f
промежутка [а, с[ есть связное множество Р [(3.19.7) и (3.19.1)],
не пересекающее ни J, ни L и поэтому содержащееся в С \ (7 □ А) =»=
= С \ Н. Так как множество Р содержит х, оно в соответствии
с определением компоненты связности содержится в А. Но когда t < с
стремится к с, точка у (/) С А стремится к f (с) £ V. Поэтому f (/) £ W,
если разность с—t достаточно мала, и это доказывает, что z £ А, ч. т. д.
(Д.4.2.2) Докажем затем теорему при дополнительном пред-
положении, что Н содержит некоторый сегмент S с различ-
ными концами.
Совершая, если нужно, в С гомеоморфизм z->Xz-|-[x, мы можем
считать, что 5 есть промежуток [—а, а] действительной оси R.
Пусть p==d(O, £/\S). Рассмотрим открытый шар D : [ z | < г, где
г < р. Тогда D Л (С \ £/) = £> Л (С \5) и ясно, что пересечение
£>П(С\5) есть объединение двух множеств £>j : | z | < г, <Jz>0
и £>2: | z | < г, $ z < 0, не имеющих общих точек. Немедленно про-
веряется, что сегмент, соединяющий две точки множества Dx (соот-
ветственно £>2), содержится в (соответственно в £>2). Поэтому
множества Dx и £>2 связны. С другой стороны, в (Д.4.2.1) мы ви-
дели, что каждая компонента связности множества С \ Н пересе-
кается с D и, значит, с Dx или с £>2. Но если две компоненты
связности множества С \ Н пересекаются с Dx (соответственно с £>2),
то они непременно совпадают, так как множество Dx (соответ-
ственно £>2) связно и содержится в С \ Н (3.19.4). Это доказывает,
что множество. С \ Н имеет не более двух компонент связности.
Докажем, далее, что множество С \ Н несвязно и поэтому
имеет точно две компоненты. Допустим противное, и пусть х££>1
и у £D2- Так как шар D связен, множество С\£> не отделяет
точек х и у. С другой стороны, если С \ Н связно, то множество И
не отделяет х и у. Но пересечение £/Л(С\£>) есть дополнение в Н
открытого промежутка ] — г, г[. В силу (9.5.7) это дополнение
является, таким .образом, простой дугой и поэтому связно. По тео-
реме Янишевского (Д.3.2) объединение H\J(C\D) не отделяет
точек х и у. Но это невозможно, так как дополнение множества
H[i(C\D) в С есть £>! (J О2, a £>j и О2 являются открытыми мно-
жествами без общих точек и, значит, их объединение несвязно.
Так как множество Н компактно, оно содержится в некотором
шаре с центром 0, дополнение которого в С связно и потому содер-
жится в некоторой компоненте связности множества С \ Н. Это
показывает, что одна из этих компонент А не ограничена, а другая
296
Добавление к гл. 9
В ограничена. Кроме того, ясно, что при х£А индекс J(x; 7) = О
(9.8.5). С другой стороны, множество Dr содержится в одной из
компонент множества С\Н, а множество D2— в другой. Таким
образом, все, что нам нужно доказать, это то, что /(Хр у) —
— j(x2, т)= ± 1 для какой-нибудь одной точки xl^D1 и какой-
нибудь одной точки x2£D2 (9.8.3).
Предположим, что начало петли 7 есть точка а £ S. Пусть
о	о •
Jc.1 — прообраз при 7 множества /7\5 (где 5 — внутренность
множества S в Н), являющийся компактным промежутком [а, р],
и пусть —траектория £—>?(/)• определенная в J, с концами —а
и а. В силу (Д.1.1) вС\О существует гомотопия tpj траектории fj
в траекторию 72, такая, что отображение определено в JX[0. 1].
(а, В) = f (а) и ср1 ф, £) = у ф) при любом £. Определим ср в 7 X [0, 1 ],
как отображение в JX[0, 1], равное <рр а для любой точки
(f, e)€(/\J) X [0. 1] равное y(f). Тогда для любой точки xl^Dl
(соответственно x2£Z)2) ср есть петельная гомотопия в С \ {xj
(соответственно в С \ (х2}) петли 7 в некоторый контур 73.
Таким образом, мы можем ограничиться доказательством того,
что У(Хр 7) — У(х2; 7)= ± 1 в случае, когда 7 есть контур,
определенный в промежутке / и обладающий следующими свойствами:
1°) 5с7(/), и если Т — прообраз 7 1 (S), то Т есть частичный
промежуток промежутка I, и сужение отображения 7 на - Т есть
гомеоморфизм Т на S;
2°) образ 7 (/ \ Т) содержится в С \ D (заметим, что не исклю-
чено, что этот новый контур 7 не является простой петлей).
Тогда прообраз при 7 промежутка [—г, г] есть частичный промежу-.
ток [X, |i] промежутка Т. Допустим, например, что 7 (X) = —г, 7 ф) = г.
Мы можем считать (заменяя 7 эквивалентным контуром), что Х = —«
и р. = 0 и, кроме того, что —г есть начало контура 7, так что
I = [— «, ш], где <в > 0. Возьмем Xj = Z? и х2 = — %, .где 0 < 5 < г.
Пусть а — путь Z->7(Z), —«<^7^0, 82 — путь
и Bj — путь t->re~u, —	Тогда, применяя теорему Коши
к полуплоскости z (соответственно £7 £>—$)• являющейся
згездообразной областью (9.7.1), получаем
/dz ______ r dz
z — ii J z — Z6
а	52
Поэтому
2^(У(*1; 7) —/(х2; 7))= J
82
/dz f dz
z-}-fc J z-±ii
dz f dz , f 2iif' (i) dt
z — ii ~ J	(T(t) )*+P •
0
Левая часть этого равенства не зависит от £. Пользуясь же тем.
что | 7 ф) | >- г при 0 t со,
и теоремой о среднем значении для
4. Простые дуги и простые замкнутые кривые	297
оценки последнего интеграла и теоремой (8.11.1), видим, что, когда $
стремится к 0, правая часть этого равенства стремится к 2itf.
(д.4.2.3) Обратимся теперь к случаю, когда Н не содержит
ни одного сегмента с различными концами.
Пусть а и b — две различные точки множества Н и 5 — сегмент
с концами а и Ь. Мы снова можем считать, что S есть замкнутый
промежуток в R. По предположению, существует по крайней мере
одна точка х£5П(С\/7). Пусть J—компонента связности точки х
в S П (С \ И), являющаяся открытым промежутком ] у, z[, поскольку
множество 5П(С\/7) открыто в R [(3.19.1) и (3.19.5)]. При этом
его концы у и г принадлежат Н. Пусть g — гомеоморфизм множе-
ства Н на единичную окружность U и пусть g(y) = eic и g(z) = eld,
причем мы можем считать, что c<d<c-|-2iv (9.5.7). Пусть Ux
и U2 — две простые дуги, являющиеся образами при отображении
t—>elt промежутков с <1Z d и d 7 с + 2«, и пусть Нх
и Н2— образы этих дуг при гомеоморфизме / окружности U на Н,
обратном g. Пользуясь (9.5.7), немедленно, видим, что существует
гомеоморфизм j\ (соответственно /2) множества Ux (соответственно 172)
на замкнутый промежуток J=[y, z], такой, что fx(eie) = f2(eie)=y
и Л (еИ)='/2 («“) = *•
Пусть Ах (соответственно й2)— отображение окружности U в С
на Ох (соответственно на 17), равное /, а на (72 (соответственно на Ux),
равное /2 (соответственно Д). Из определения J следует, что hx и
Л2 являются гомеоморфизмами окружности U на две простые замкну-
тые кривые Gj = Нх (J J и О2 = Т/2 U Л каждая из которых содержит
сегмент J. Пусть — точка, отличная от у й г. Существует
открытый шар D с центром w, не пересекающийся с компактным
множеством О2. В силу (Д.4.2.1) каждая компонента связности мно-
жества С \ Ох имеет точки в D.
Далее, если и>' и чв"— две точки шара D, принадлежащие одной
и той же компоненте связности множества С \ Ор то точки w' и чи"
не отделяются множеством ОР Они не отделяются и множеством G2,
так как принадлежат шару D с С \ О2, который связен. Но пере-
сечение О] П О2 = 7 связно. Поэтому по теореме Янишевского (Д.3.2)
точки -w’ и vo" не отделяются ни объединением Gx (J О2, ни тем
более множеством 77c:GiUG2. Иными словами, точки ни' и ю" при-
надлежат одной и той же компоненте связности множества С \ Н.
Но так как множество С \ Gr имеет точно две компоненты связ-
ности, а каждая из компонент множества С\77 в силу (Д.4.2.1)
имеет точки в D, то отсюда следует, что С \ Н имеет не более
двух компонент связности.
С другой стороны, из (Д.4.2.2) следует, что в D существуют
две точки тю' и w", отделяемые множеством Gv Мы покажем, что
они отделяются и множеством Н. В противном случае, так как они
298
Добавление к гл. 9
не отделяются множеством О2, а пересечение О2(\Н — Н2 связно,
они не отделялись бы и объединением 02U/7roOj (Д.3.2), что про-
тиворечит предположению. Итак, мы показали, что множество С \ Н
имеет точно две компоненты связности. Точно такое же рассу-
ждение, как в (Д.4.2.2), показывает, что одна из них, А, не огра-,
ничена, а другая, В, ограничена.
Наконец, мы можем считать, что у есть начало петли 7, и, если
1 — [а, р], что /71 = т([а, X]) и /72 = f([X, ^]). Определим петли
Yj и ^2 следующим образом:	= — а-|-1)(у — z)-\-z, при
а—и 71 (/) = у (/) при	= при
Х<С<<Р и y2(0 = у + (t — p)(z — у) при	Поль-
зуясь (Д.1.1), немедленно проверяем, что для любой точки x^G1\JG2
индекс У(х; 7) = У(х; 71) + У(х; т2). Пусть D — шар, рассмотрен-
ный выше, и пусть снова w' и w" — две точки шара D, отделяемые
множеством ОР Тогда мы имеем равенство У (то'; 72) =	т2),
так как точки w' и то" не отделяются множеством О2 (9.8.3), и
У(то'; 71) —	7i)= ± 1 в силу (Д.4.2.2). Отсюда следует, что
j(w'; ~[) — Ji'w"', 7) = ’± 1, и теорема доказана.
(Д.4.3) Пусть Н — простая замкнутая кривая в С и D — огра-
ниченная компонента связности множества С\Н. Тогда для
любой петли 7 в D индекс j(x\ 7) = 0, какова бы ни была
точка х£Н.
Пусть U — открытый шар с центром х, не имеющий общих
точек с множеством 7(/) точек петли 7. В U найдется точка
д^С\(Ои^) = С\ £> (Д.4.2), и, так как шар U связен, У(х; 7) =
==У(г; Т) (9.8.3). Но j{z\ ~[) = j(y; 7) для всех точек у неограни-
ченной компоненты связности С\О множества С \ И (9.8.3),
а в этой компоненте существуют точки у, внешние для замкнутого
шара, содержащего 7(/). Для таких точек У (у; 7) = 0 (9.8.5),
откуда и следует наше утверждение.
Задачи
1.	Пусть А — связное открытое множество в С. Покажите, что для
любых двух точек а и b множества А существует простая траектория 7,
содержащаяся в Л и имеющая точки а и b своими концами, множество
точек которой есть ломаная линия (задача 4 § 5.1; иначе можно сказать,
что отображение 7 кусочно линейно).
[Проведите рассуждение, похожее на рассуждение в (9.7.2). Если
„квадрат" Q^I'XJC.A (где I — замкнутый промежуток в R, имеющий
внутренние точки) не содержит точку а и если существует простая траек-
тория t -> 7] (/) в А, определенная в /cR, с началом а и концом с g Q, то
рассмотрите наименьшее значение t0 б J, для которого 7] (/0) б Q, и заметьте,
что сегмент с концами 71 и произвольной точкой из Q содержится в Q.J
4. Простые дуги и простые замкнутые кривые
299
2.	Будет ли верна теорема Янишевского, если А и В предполагаются
только замкнутыми множествами в С, даже если пересечение А(]В ком-
пактно (и связно)? Покажите, что утверждение этой теоремы остается верным
в следующих двух случаях: Г) А и В — два замкнутых множества, одно
из которых компактно; 2°) А и В — два замкнутых множества без общих
точек.
[Если с — точка, достаточно близкая к а, то рассмотрите отображение
г -> 1/(г — с) и образы а, Ь, А и В при этом отображении.]
3.	Для любой простой замкнутой кривой Н в С обозначим через ₽ (AZ)
ограниченную компоненту множества С\7/.
а)	Пусть А — связное открытое множество в С и Н — простая замкнутая
кривая, содержащаяся в А. Покажите, что множество А \ Н имеет точно
две компоненты связности, являющиеся пересечениями А и компонент связ-
ности множества С\Я.
[Воспользуйтесь задачей 2.]
Ь)	Более общее утверждение: если HL (1 < i < г) — г простых замкнутых
кривых, содержащихся в Л и попарно не имеющих общих точек, то допол-
нение в А объединения Ц HL имеет точно г +1 компоненту.
I
[Проведите индукцию по г.]
с)	Покажите, что если Н и Н'— две простые замкнутые кривые в С
без общих точек, то либо ₽ (^)П₽	— 0> либо же замыкание одного
из множеств ₽ (Я) и р (Н') содержится в другом.
[Пользуясь (3.19.9), покажите, что если Н(Н'), то неограниченная
компонента множества С \ Н' не имеет общих точек с ₽ (Н).]
d)	Предположим, что связное открытое множество Т в С имеет гра-
ницу, являющуюся объединением г попарно не пересекающихся простых
замкнутых кривых Hi (1 < i < г). Покажите, что существуют только две
возможности: 1°) Т неограничено, множества ₽ (Hi) попарно не пересекаются
и их объединение является дополнением замыкания Г; 2°) существует одно
из множеств Hit скажем, Нт, такое, что замыкания р (Hi) при 1 i < г — 1
содержатся в ₽ (Нт), множества 0 (Hi) (1 < i < г— 1) попарно не пересекаются
и Т является дополнением в р (Нт) объединения замыканий [J (//,) при
1<»<г—1.
[Заметьте, что если — простая петля, множество точек которой есть
HL (1 < i < г), то индексы J (х\ {.) при х С Т постоянны, и что не более
чем один из них может быть =f= 0. Пользуясь с), покажите, что в противном
случае по крайней мере одна из кривых Hi не содержалась бы в границе
множества 7\]
4.	Пусть А — ограниченное открытое связное множество в С, обладаю-
щее тем свойством, что для любой петли 7 в А и любой точки z 6 С \ Л
индекс j (г; 7) = 0.
а)	Покажите, что для любой простой замкнутой кривой Н G Л ограни-
ченная компонента £ (Н) содержится в Л.
300
Добавление к гл. 9
[Пользуясь (3.19.9) и утверждением Ь) из теоремы Жордана о кривых,
покажите, что в противном случае эта кривая содержала бы точки из С \ А.]
Ь)	Решетка с шагом а > 0 в С есть множество точек вида (т -|- in) а,
где т и п — произвольные целые числа; эти точки называются вершинами
решетки. Для каждой вершины (т + in) а четыре вершины ((т ± 1) +
+ z’(n ± 1))а называются соседними с вершиной (m-^-in)a. Множество Qmnj
состоящее из. точек х + гу, где та < х < (m-f- 1)а и па < у < (л+ 1) а
называется открытым квадратом решетки с индексами т, п. Его замы-
кание Qmn называется замкнутым квадратом решетки с индексами т, п_
Граница квадрата Qmn содержит четыре вершины и является объединением
сегментов, соединяющих те из этих вершин, которые являются соседними
(стороны квадрата Qmn или квадрата Qmn)-
Пусть В — объединение конечного числа замкнутых квадратов решетки.
Покажите, что если некоторая вершина решетки принадлежит Fr (В), то
число соседних с ней вершин, принадлежащих Fr (В), равно 2 нли 4. Пока-
жите, что если нет ни одной вершины решетки, принадлежащей Fr (В) и
такой, что всё четыре соседние с ней вершины принадлежат Fr (В), то
Fr (В) есть объединение конечного числа попарно не пересекающихся про-
стых замкнутых кривых, каждая из которых является объединением сторон
квадратов решетки.
[Начав с каких-нибудь двух соседних вершин а1 и аг решетки, принад-
лежащих Fr (В), покажите, что можно по индукции определить последова--
тельность (ап) вершин решетки, принадлежащих Fr (В) и таких, что ап и
ап+1 являются соседними вершинами.]
с)	Пусть В — объединение конечного числа замкнутых квадратов
решетки с шагом а, обладающее тем свойством, что в границе Fr (В) нет
вершины, все соседние с которой четыре вершины принадлежат Fr(B),
и что Fr (В) есть простая замкнутая кривая (объединение сторон квадратов
решетки). Пусть а и b — две соседние вершины, принадлежащие Fr(B).
Покажите, что существует такое непрерывное отображение (г, t) -> <р (г, t)
произведения Z?X[0> 1] в В, что: 1°) ?(г, 0) = г в В; 2°) <р (г, t) = z для
любой точки /€[0,1] и любой точки z сегмента S с концами а и. Ь;
3°) f (z, 1) € S для любой точки z £В.
[Проведите индукцию по числу N квадратов, объединением которых
является В- Пусть т — наибольшее целое число, для которого существует
Qmn С В, и для этого т пусть и — наибольшее целое число, для которого
QmcB. Следует различать два случая в  соответствии с тем, принад-
лежит ли точка (m-\-in)a границе Fr (B) или нет, и в каждом из этих
случаев нужно рассмотреть В как объединение двух аналогичных множеств,
каждое из которых является объединением менее чем N квадратов решетки.}
Заключите отсюда, что внутренность множества В односвязна.
d)	Пусть В — объединение всех замкнутых квадратов решетки с ша-
гом а, содержащихся в Л; число а предполагается настолько малым, чтобы В
было не пусто. Пусть D — одна из (открытых) компонент связности мно-
жества А. Покажите, что в Fr(£>) нет ни одной вершины решетки, все
соседние с которой четыре вершины принадлежат Fr (£>).
4. Простые дуги и простые замкнутые кривые
301
[Допустим противное и для простоты предположим, что эта вершина
есть 0. В таком случае, например, Qoo и Q_b _j входят в D и существуют
точка zt tQ_i,o и точка z2<zQ0, _ь принадлежащие Рг(Д). С помощью
задачи 1 покажите, что найдется простая петля Г, содержащаяся в ДЦ {0}
и содержащая сегмент с концами (1 —]—/) а/2 и —(1 -1-1) а/2. Рассуждая,
как в (Д.4.2.2), покажите, что индексы J (г,; Г) и J (г2; Г) не могут быть
равны, что и приводит к противоречию.]
е)	В обозначениях задачи d) покажите, что граница Fr (£>) есть простая
замкнутая кривая.
[Пользуясь Ь) и задачей 3, d), докажите, что если бы граница Fr (D)
была объединением .более чем одной простой замкнутой кривой, то на-
шлись бы простая петля 7 в А и точка г 6 Fr (Л), для которых выполнялось
бы равенство j (z; 7) = 1.]
f)	Заключите из доказанного, что А односвязно и что оно является
объединением возрастающей последовательности (Дл) открытых односвязных
множеств, каждое из которых есть ограниченная компонента дополнения
некоторой простой замкнутой кривой.
[Воспользуйтесь с) и е).]
Наоборот, такое объединение всегда односвязио.
g)	Распространите утверждение из f) на произвольные односвязные
открытые множества в С.
[Для каждого п рассмотрите замкнутые квадраты решетки с шагом 1/и,
содержащиеся в пересечении множества А с шаром В (0; и).]
— h) Пусть А — открытое связное множество в С, дополнение С \ А
которого не имеет ограниченной компоненты. Покажите, что в этом случае
множество А односвязно.
[Воспользуйтесь (9.8.5).]
5.	Покажите, что следующие открытые в С множества односвязны, но
их граница не является простой замкнутой кривой:
1°)-множество Д точек x-f-z’y, где 0 < х < 1 и —2<у< sin (1/х);
2°) множество Аг точек x-f-zy, где —1<х<0и —1 < у < 1, или
0<х< 1 и 0 < | у | < 1.
[В каждом из этих случаев постройте возрастающую последовательность
ограниченных компонент 0 (Нп), где Нп — простая замкнутая кривая, такую,
что объединение всех [3 {Н^ есть данное открытое множество. Чтобы до-
казать, что граница Fr (Л]) не гомеоморфна U, покажите, пользуясь (3.19.1),
что она не локально связна. Чтобы доказать аналогичное свойство для
Fr (Д2), рассмотрите дополнение точки z = 1 в этой границе.]
Гомеоморфны ли множества Fr (Л;) и Рг(Д2)?
6.	Пусть А — односвязное открытое множество в С, отличное от С.
Покажите, что граница множества А содержит по крайней мере две раз-
личные точки.
[Покажите, что в противном случае Д = С\{а). При этом, чтобы до-
казать, что точек, внешних для А, не существует, воспользуйтесь теоре-
мой (3.19.9) и тем фактом, что множество С\{а] связно. С помощью
(9-8.4) и (9.8.7) придите к требуемому заключению.]
302
Добавление к. гл. 9
7.	Пусть у — простая петля, определенная в промежутке 7 — [0, 2], и
пусть Н = у (7) — соответствующая простая замкнутая кривая. Пусть а —
простая траектория, определенная в промежутке 72 = [1, 2] и такая, что:
1°) а (1) = 7 (1), а (2) — 7 (2) = 7 (0); 2°) а (/) £ р (Я) для каждой точки t G ] 1, 2[.
Пусть L = а (/2). Определим простые петли 7j и у2 в I условиями:
71(<) = 7(Z)	при 0</<1, 7t(0 = “(0 ПРИ
72(/) = а(2 — t) при 0<7<1, 72(0 = т(0 ПРИ ,1<7<2.
Пусть Я) = 7| (7) и Я2 = 72 (7).
а)	Покажите, что для любой точки г С С, не принадлежащей Я] J Я2,
индекс /(?; 1) = / (< Yi) + /(^ h)-
[Воспользуйтесь (Д. 1.1).]
Ь)	Докажите, что существуют точка г,1ёР(Я), для которой J(zt; 71) = 0,
и точка г2 б Р (77), для которой j (г2; у2) = 0.
[Воспользуйтесь утверждением Ь) теоремы Жордана о кривых (Д. 4.2).]
с)	Выведите из а) и Ь), что Р (77) есть объединение множеств р (Я]),
р (Я2) и ДПР (77), причем никакие два из этих множеств не имеют общей
точки.
8.	а) Пусть Я—простая замкнутая кривая, Д^(1^А<л)— п простых
дуг, таких, что их концы принадлежат Я, а остальные точки, отличные от
концов, содержатся в р (И). Предположим, кроме того, что никакие две из
дуг Lk не имеют общих точек, принадлежащих Р(Я). Тогда внутренность
п
дополнения множества U Lk имеет в р (Я) л —}-1 компоненту связности,
каждая из которых является ограниченной компонентой дополнения неко-
торой простой замкнутой кривой в С.
[Проведите индукцию по л и воспользуйтесь задачей 7.]
Ь) Пусть Я1 и Я2—две простые замкнутые кривые в С, пересечение
771П77г которых конечно. Покажите, что каждая компонента связности пере-
сечения Р(Я1)П₽(772) является ограниченной компонентой дополнения в С
некоторой простой замкнутой кривой.
[Воспользуйтесь а).]
$5. Пусть 7 — простая петля в С, определенная в промежутке / = [— 1, 1],
пусть 77=7(7), и (для простоты) предположим, что 7(0) = 0 и что диаметр
множества Я > 2. Определим по индукции две убывающие последователь-
ности чисел (ал) и (рл), стремящиеся к 0, такие, что pi = 1, ап есть наиболь-
шее число > 0, для которого выполняется неравенство | 7 (7) | < рл при
|7| <а„, и рл+1 = inf (1/(л-|- 1), 6Л), где 6Л — расстояние от точки 0 до мно-
жества точек 7 (7), у которых 111 > ап.
а)	Докажите, что если г и z' — две точки компоненты р (Я), удовлет-
воряющие условию |^[<pn+1 и | г' | < Ря+1, то существует траектория
с концами z и г', содержащаяся в пересечении р (Я) и замкнутого круга
с центром 0 и радиусом рл.
[Пусть L — простая ломаная линия с концами г и г', содержащаяся в р(Я)
(задача 1). Предположим сначала, что сегмент S с концами г и г' не имеет
с I общих точек, отличных от г и г'. Тогда 7? = L |J S есть простая замк-
4. Простые дуги и простые замкнутые кривые
303
нутая кривая. Докажите, что если точка t ё I такова, что f (0 € ₽ (/?), то
|/| < ая; заметьте, что пересечение R[\H содержится в S, и покажите, что
если бы нашлась точка t б /, для которой у (<) € 3 (Л) и 111 > ап, то нашлась бы
и другая точка t' € /, для которой f (tr) б S и | f | > ап в противоречии
с определением ря+1. Завершите доказательство в рассматриваемом случае,
взяв компоненту связности пересечения множества р (/?) и открытого круга
с центром 0 и радиусом ря, содержащую точки, сколь угодно близкие к S,
и применив к границе этой компоненты задачу 8, Ь). В общем случае,
когда L и S имеют больше чем две общие точки, проведите индукцию по
числу этих точек.]
Ь)	Докажите, что для любой точки х € р (//) существует простая дуга
с концами 0 и х, все точки которой, отличные от 0, содержатся в |3 (Н)
(Теорема Шенфлиса).
[Рассмотрите последовательность (гя) точек множества ₽ (Н), удовлет-
воряющих условию | гп | < ря+1, и к двум соседним точкам этой последо-
вательности примените а).]
Глава 10
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
В математике, разумеется, встречаются теоремы существования многих
видов, однако в этой главе мы будем иметь дело лишь с теоремами одного
вида, именно с теми, которые связаны с понятием полноты. Наиболее
интуитивный результат (10.1.3) утверждает, говоря грубо, что если тождест-
венное отображение в банаховом пространстве „слегка" возмущено в окре-
стности некоторой точки дополнительным членом, то вблизи этой точки оно
еще остается гомеоморфизмом. Слово „слегка" понимается здесь во вполне
определенном смысле, означающем нечто большее, чем одну лишь „малость*
возмущающей функции (см. задачу 2 § 10.2), известные ограничения, обычно
называемые условиями „лишпицевского" типа, накладываются и на скорость
изменения этой функции. Ввиду этого естественное поле приложения теорем
этого вида состоит из уравнений, для которых известны некоторые ограни-
чения на производные рассматриваемых функций. Кроме того, теоремы
существования, получаемые таким путем, имеют локальный характер.
В следующей главе мы встретимся с теоремами существования другого типа,
которые могут быть применены к глобальным задачам.
Главными приложениями общих теорем существования из 10.1 являются:
1. Теорема о неявной функции (10.2.1) вместе с ее следствием — тео-.
ремой о ранге (10.3.1), которая (локально) приводит непрерывно дифферен-
цируемые отображения постоянного ранга в конечномерных пространствах
к канонической форме.
2. Теорема существования Коши для обыкновенных дифференциальных
уравнений (10.4.5) с различными ее усилениями и следствиями.
Обе эти теоремы входят в число наиболее полезных орудий и класси-
ческого и современного анализа.
Конечно, то, что в этой и следующей главах говорится о дифференци-
альных уравнениях, составляет лишь очень небольшую часть этой обширной
теории. Читателя, который захотел бы продвинуться дальше в этом напра-
влении, мы отсылаем к книгам Коддингтона и Левинсона [10], Айнса [15]
и Камке [17].
В качестве последнего приложения мы приводим теорему Фробениуса
(10.9.4), которая в том виде, в каком она у нас высказана, возникает как
естественное обобщение теоремы существования Коши на случай функций не-
скольких переменных. Обычно ее формулируют более геометрически: как
теорему существования многообразия, имеющего в каждой точке данное „каса-
тельное пространство". Такую формулировку и важные приложения, которые
1. Метод последовательных приближений
305
она имеет в дифференциальной геометрии и в теории групп Ли, читатель
найдет в книгах Э. Картана [7] и Шевалле [9].
Нет необходимости еще раз напоминать, что все результаты мы форму-
лируем для функций с векторными значениями, так что, например, мы
практически никогда не говорим о „системах уравнений'. Одно из достоинств
„метода векторных пространств' как раз и состоит в том, что никогда не
нужно рассматривать больше, чем одно уравнение, по крайней мере при
доказательстве общих теорем.
1.	Метод последовательных приближений
Как и в гл. 9, К будет обозначать поле действительных или
комплексных чисел, и предполагается, что в любом высказывании
относительно банаховых пространств, в котором не говорится, каково
поле /С, речь идет всегда о банаховых пространствах над одним и
тем же полем.
(10.1.1)	Пусть Е « F — два банаховых пространства и U
(соответственно V) — открытый шар в Е (соответственно в F)
с центром 0 « радиусом а (соответственно {3). Пусть v— не-
прерывное отображение произведения U X в F, обладающее
тем свойством, что при x£U, уг£У и y2£V выполняется не-
равенство ||и(х, yL) — v(x, у2)|| k • ||У1 — у2||, где k — кон-
станта, удовлетворяющая условию 0^А<1. Тогда если
0)11 < {3(1 — /г) для любой точки x£U, то существует
единственное такое отображение f шара U в V, что
(10.1.1.1)
f(x) = v(x. f(x\)
для любой точки x£U, и f непрерывно в U.
Покажем, что для любой точки х £ U существует последователь-
ность (у„) точек шара V, такая, что уо = О и yn = v(x, уя_г) при
любом п^>1. Нам нужно показать, что если точки ур определены
при	и принадлежат V, то v(x, y„)£V. Но тогда при
мы имеем ур— yp-i — v(x, yp_j) — v(x, ур_2), следова-
тельно, ||ур —	||Ур-1 — Ур-гИ- и индукцией по р мы за-
ключаем, что ||ур — Ур-ill <*Р-1||У1Н- Поэтому
(10.1.1.2)	||у,||<(1 + * + й2+ ...	< р,
и наше утверждение доказано. Кроме того, пользуясь индукцией
по п, мы можем написать уп = fn(x), где fn — непрерывное отобра-
жение шара U в V (3.11.5). Далее, мы имеем ||/я(х) — /„-i(Jc)|K
Сй”_1р(1—k) при x^U, и, значит, ряд (f„ — fn-\) нормально
сходится (7.1) в &р(1Г).
20 Ж, Дьедонне
306
Гл. 10. Теоремы существования
Так как F— полное пространство, ряд (/п(х)—	схо-
дится для любой точки x£U и, если f(x)— его сумма, отображе-
ние / непрерывно в U (7.2.1). Кроме того, применяя принцип
продолжения неравенств к (10.1.1.2), получаем, что ||/(х)||
<1 ||®(х, 0)||/(1—&)<Р для любой точки x£U; поэтому / есть
отображение шара U в V. Из соотношения fn(x) = v(x, fn_l(x)')
для любой точки x£U, переходя к пределу, выводим соотноше-
ние (10.1.1.1). Наконец, пусть g— другое отображение шара U в V,
такое, что g(x) — v(x, g(x)') для любой точки x£U. Тогда из
этого соотношения и из (10.1.1.1) получаем
II £(*)--/О) II = II® (х, g(x)) — v(x, f (х))]|	• ||g-(x) — /(х)||
и, так как А < 1, отсюда следует, что g-(x) = /(x).
(10.1.2) (Теорема о неподвижной точке) Пусть F — ба-
нахово пространство и V — открытый шар в F с центром у0
а радиусом р. Пусть о— отображение шара V в F, обладаю-
щее тем свойством, что для любой пары точек ур у2 шара V
выполняется неравенство ||t'(y1) — ®(У2)||	• ||У!— Уг11> г&е
k — константа, удовлетворяющая условию 0 k < 1. Тогда
если ||®(у0) — у0|| <₽(1—k), то существует одна и только
одна такая точка z£V, что z = v(z).
Замечаем, что отображение о непрерывно в V, и применяем тео-
рему (10.1.1) к отображению (х, у)—>®(у+у0)— Уо, которое не
зависит от х.
(10.1.3) Пусть F — банахово пространство и V — открытый
шар в F с центром 0 и радиусом [3. Пусть vo— отображение
шара V в F, обладающее тем свойством, что для любой пары
точек уР у2 шара V выполняется неравенство ||«’(у1) — w(у2)||
k  ||У1 — у2||. где k — константа и 0^&<1. Тогда если
||w(0)|| <р(1—А)/2, то существует такая открытая окрест-
ность W с V точки 0, что сужение на W отображения
У —> £ (У) = У-|-w (у) есть гомеоморфизм окрестности W на не-
которую открытую окрестность точки 0 в F.
Применим теорему (10.1.1) к E = F, где U — открытый шар
с центром 0 и радиусом а:=*[3(1—й)/2, и к отображению
(х, y)->ti(x, у) = х—•а’(у). Условия теоремы (10.1.1) в этом слу-
чае выполняются, и поэтому существует такое непрерывное отобра-
жение f шара U в V, что /(х)==х— w(/(x)); иными словами,
g (f (х)) = х при x£U. Чтобы доказать, что f есть гомеоморфизм
шара U на f(U), нам нужно только показать, что g есть инъек-
тивное отображение V в g(V) (так как /, очевидно, инъективное
отображение шара U). Но из g(yj) = g‘(y2) следует	— у2|| =
= |]w(y1) — w(y2)||-C А: ]]У1 — у2]|, и, так как А<1, У1 = у2. Сле-
довательно, g есть гомеоморфизм множества W — f(U) на U, обрат-
1. Метод последовательных приближений
307
ный /; при этом множество W = g~l(U) открыто в F, поскольку U
открыто в F (3.11.4). Наконец, мы имеем ибо это условие
эквивалентно условию ^(О)^С^, которое означает, что ||w(0)|| < а,
а последнее неравенство эквивалентно неравенству || w(0) || <
<₽(1—Л)/2.
Задач а
1.	Пусть А — компактное метрическое пространство, а — расстояние
в Л и v — отображение пространства А в себя, обладающее тем свойством,
что для  каждой пары (х, у) различных точек пространства А расстояние
d (v (х), v (у)) < d (х, у). Покажите, что существует такая точка z £ А, что
v (z) = z.
[Проведите доказательство от противного. Рассмотрите число
с = inf d (х, v (х))
х£ а
и докажите, что существует точка у С Л, для которой d (у, v (у)) = с.]
2.	Пусть В — шар ||х||< 1 в пространстве (с0) Банаха (задача 5 § S.3).
Пусть и — непрерывное линейное отображение пространства (е0) в себя,
такое, что и (е„) = (1 — 1/2”+ ’) <?„+1 (п>0), и пусть у (х) = (1/2) (1 + ||х||) е0+
и (х). Покажите, что v есть непрерывное отображение шара В в себя,
обладающее тем свойством, что для любой пары (х, у) различных точек
шара В норма || v (х) — v (у) || < || х — у ||, но что не существует точки z £ В,
для которой v (г) = г.
п	п
[Воспользуйтесь неравенством JJ (1—«/)>1—2 ai ПРИ 0<а/<1.]
i=l	i=l
3.	Пусть Б и F — два нормированных пространства и и — линейный
гомеоморфизм пространства Е на подпространство и (Е) пространства А
Пусть v.u(E)-+E— отображение, обратное и, и пусть т=
а)	Пусть Л — открытое множество в Е и w — отображение множества Л
в F, обладающее тем свойством, что ^(xj — w (х2)||<kllxt— х2Ц для лю-
бых точек х1( х2 множества Л. Покажите, что если константа k такова,
что km < 1, то отображение х -> / (х) = и (х) -|- w (х) есть гомеоморфизм
множества Л на / (Л). Покажите, что если вдобавок Е и F являются бана-
ховыми пространствами и и (£) = F, то / (Л) есть множество, открытое в -F,
[Воспользуйтесь (10.1.3.).]
Ь)	Предположим, что w есть непрерывное линейное отображение прост-
ранства Е в F, такое, что |] w || < 1/т. Покажите, что в этом случае / есть
линейный гомеоморфизм пространства Е на / (£). Далее, покажите, что для
любой точки у0£а(£), для которой |Jy0|| =» 1, существует такая точка
Уб/(Д), что ||у — у0||<m||w|]. Наоборот, для любой точки у €/(£), для
которой || у || == 1, существует такая точка уоёи(£), что
1|у — Уо11 <m||w||/(l — m||w||).
4.	Пусть Е и F — нормированные пространства и и — непрерывное ли-
нейное отображение пространства Е в F, такое, что N = u~l(0) есть
20*
338	Гл. 10. Теоремы существования
конечномерное подпространство и что существует *) замкнутое топологическое
дополнение М подпространства N (5.4), для которого сужение отобра-
жения и на М есть гомеоморфизм Л4 на и (М) = и (Е). Пусть w — непре-
рывное линейное отображение пространства Е в Г. Покажите, что если
норма ||«Н] достаточно мала и / = и w, то (0) имеет конечную раз-
мерность, не превосходящую размерности и-1(0), и что существует замкну-
тое топологическое дополнение Р подпространства f~1 (0), для которого
сужение отображения f на Р есть гомеоморфизм Р на f (Р) = f (JE).
[Воспользуйтесь задачей 3, Ь).]
5.	Пусть Е — банахово пространство, F—нормированное пространство и
и — линейный гомеоморфизм пространства Е на такое подпространство и (Е),
что существует топологическое дополнение Q подпространства и (Е) в F.
Покажите, что если w — непрерывное линейное отображение пространства
Е в F с достаточно малой нормой || w || и f = и те, то Q является топо-
логическим дополнением подпространства f(Е) в F.
[Пользуясь задачей 3, покажите, что если норма ||®|| достаточно мала,
то проекция пространства F на и (Е), если ее рассмотреть только на / (Е),
является линейным отображением на и (Е).]
6.	Пусть Е и F — два банаховых пространства и и — такое непрерывное
линейное отображение пространства Е на F, что W= и-1 (0) имеет конечную
размерность р и топологическое дополнение М, для которого сужение ото-
бражения и на М есть гомеоморфизм М на и (М) = и (Е). Предположим,
кроме того, что и (Е) имеет конечную коразмерность q в F. Пусть w — не-
прерывное линейное отображение пространства Е в F. Покажите, что если
норма || w |( достаточно мала, то отображение f = и w обладает тем свойст-
вом, что размерность г подпространства /-1(0) удовлетворяет неравенствам
р— q < г < р и что коразмерность подпространства / (Е) в F равна q — p-j- г.
[Воспользуйтесь задачами 4 и 5, а также (5.9.3).]
7.	Пусть /=[0,1] и пусть Р — подпространство банахова пространства
(/) (7.2), состоящее из сужений на / многочленов х (t) с действительными
коэффициентами. Пусть и — тождественное отображение х-+х в нормирован-
ном пространстве Р л пусть w — линейное отображение пространства Р,
ставящее каждому многочлену x(t) (рассматриваемому только на /) в соот-
ветствие многочлен х(Р), рассматриваемый на /. Для любого е, удовлетво-
ряющего условию 0 < а < 1, линейное отображение /=и-[-еда есть линей-
ный гомеоморфизм Р на подпространстве f (Р), но коразмерность подпрост-
ранства / (Р) в Р бесконечна (ср. с задачей 6).
8.	Пусть Е и F — два банаховых пространства и и — непрерывное
линейное отображение пространства Е в F, такое, что и (Е) = F и что су-
ществует ’) такое число m > 0, что для любой точки y^F найдется точка
х б Е, для которой и (х) = у и || х ||	|| у ||. Пусть w — непрерывное отобра-
жение открытого шара U = В (а; г) с Е в F, обладающее тем свойством,
что |[ w (%i) — «'(**) II <*!!*! — -*2II для любых двух точек х1г х2 в U. Дока-
’) Можно показать, что это последнее условие является следствием
остальных (см. Н. Бурбаки [6]).
1. Метод последовательных приближений
309
жите, что если k и || w (а) || достаточно малы, то образ f (U) при непрерыв-
ном отображении х->/ (х) = и (х) -j- w (х) содержит некоторый открытый
шар с центром и (а).
[Воспользуйтесь тем же методом, что и в доказательстве теоремы
(10.1.1)]
9.	Допустим, что Е, F, U, V и v удовлетворяют предположениям тео-
ремы (10.1.1). Пусть, кроме того, у — непрерывное отображение шара U
в себя, для любой точки х € U удовлетворяющее условию || <р (х) || 1| х ||.
Покажите, что [при условии, что ||v(x, 0)|| < р (1 — k) прих€£7] суще-
ствует единственное такое отображение f шара U в V, что /(х) =
= о(х, /(<р(х))) и что f непрерывно в U. Обобщите это утверждение на
уравнения вида
/ (х) = о (х, /(у, (х))../(<рр (х))).
10.	Пусть Е, F, U и У имеют тот же смысл, что и в (10.1.1). Предпо-
ложим, что непрерывное отображение v произведения U)(V в F удовле-
творяет следующим условиям:
1°) IIv(x, у,) — V(x, у2)|| < с(IIх||2,1+||У1II2,1 + Ш!21*-) ||У1—у2||;
2°) ||о(х, 0)|Кс||х||1+21*, где с и.у— константы >0.
Пусть — элемент поля К, для которого | Х| > 1. Пусть, наконец, х->Л(х)—
непрерывное линейное отображение пространства Е в F и х-><р(х)—
непрерывное отображение шара U в себя, для которого ||<р(х)||<||х||.
Покажите, что существует отображение f окрестности IF с U точки 0 в V,
обладающее следующими свойствами:
1°) f удовлетворяет в W уравнению /(х) — X/ (х/Х) = v (х, f (ср (х)));
2°) lim (/(х) — L (х) )/||х|| = 0.
х->о
Далее, любые два отображения, обладающие этими свойствами, совпадают
в некоторой окрестности точки 0.
[Сведите задачу к случаю, когда L (х) = 0. Заметьте, что если f удо-
влетворяет предыдущим условиям, то в некоторой окрестности точки 0 мы
должны иметь
ОО
<*> /(»(+))).
п = 0
где ряд нормально сходится в этой окрестности. Затем, пользуясь методом
доказательства теоремы (10.1.1), покажите, что в достаточно малой окрест-
ности точки 0 существует решение уравнения (*). С помощью индукции
по л покажите существование такого г > 0, что при ||х||<: г выполняются
неравенства ||/я(х)||<||х||,+|1 и ||/л (х) —(х)||<||х||1+П|£.]
II.	а) Пусть F (xt,..., хр, у) — целая функция в Кр*\ обладающая
тем свойством, что в степенном ряде, равном /г(х1.......хр, у), все члены
имеют полную степень + 2. Пусть ср — такое линейное отображение про-
странства Кр в себя, что для любой точки х == (х,, .... хр) £ Кр выпол-
310
Гл. 10. Теоремы существования
няется неравенство || <р (х)||<||х||. Пусть, наконец, L(x) — произвольная
линейная форма в Кр. Покажите, что существует единственное решение f
уравнения
/(х) —A/00 = F(x,/(<р(х))) (|Х|>1),
определенное в некоторой окрестности точки 0 и такое, что
lim (/ (х) — L (х)) / f| х || = 0.
х-»о
Покажите, далее, что это решение есть целая функция в Кр.
[Примените задачу 10 к окрестности точки 0; сведите задачу к слу-
чаю К—С и, чтобы доказать, что / — целая функция, воспользуйтесь
(9.12.1) и (9.4.2).]
Ь) Покажите, что не существует решения уравнения f (х)— Х/(х/Х) =
= х (А > 1), определенного в некоторой окрестности точки 0 в R и такого,
что частное f(x)lx ограничено в окрестности точки 0.
12.	Пусть /= [0, а], Н=[—b,b} и пусть f — действительная непре-
рывная функция в Ту^Н. Положим
Л4=» sup | f (х, у) |; J = [0, inf (а, Ь/М)1.
(х,
а)	Для любой точки х g J пусть Е (х) есть множество таких точек у £Н,
для которых у = xf (х, у). Покажите, что Е (х) есть непустое замкнутое
множество. Покажите, что если gt (х) = inf (Е (х)) и g3 (х) = sup (Е (х)),
то (0) = g3 (0) = 0 и lim g{(x)!x = lim g3 (x)/x = f (0, 0).
X->0, X>0	X->0, X>0
Если gi — g3 = g в J, то функция g непрерывна (ср. с задачей 5 § 3.20).
b)	Предположим, что а = Ь = \. Пусть Е—объединение семейства сег-
ментов 5я:х=1/2", 1/4"+1 < у < 1/4” (л>0), сегментов S^:y = l/4",
1/2” < х < 1/2"-1 (л > 1) и точки (0,0). Определим функцию f (х, у) сле-
дующим образом: /(0, у) = 0; при 1/2" < х< 1/2"-1 и у < 1/4" полагаем
f(x, y) = (y/x+d((x, у), £))+; при 1/2" <х<1/2”~1 и 1/4"<у<х2
полагаем f(x,y) — ylx — d((x, у), Е) и, наконец, при 1/2" < х< 1/2”-1
и у>х! полагаем f (х, у) = х— d ((х, х2), £), л > 1. Покажите, что функ-
ция f непрерывна, но что не существует функции g, непрерывной в неко-
торой окрестности точки 0 в Z и такой, что g (х) = xf (х, g (х)) в этой
окрестности.
с)	Пусть иа — непрерывное отображение промежутка J в Н. По индук-
ции определим отображения ип (х) = xf (х, ип_} (х)) при л > 1; ип являются
непрерывными отображениями промежутка J в Н. Допустим, в обозначениях
задачи а), что в промежутке [0, с] G / предел lim (ип+1 (х) — ип (х)) = 0
Л->ОО
для каждой точки х и (х) = g3 (х). Покажите, что при 0<х<с предел
lim ип (х) = gi (х). Примените этот критерий к двум следующим случаям:
Л->со
1’) существует такое k > 0, что при х€/, и z3^H выполняется
неравенство |/(х,	— /(х, г2) |< k | zL — гг | [ср. с (10.1.1)]j
2. Неявные функции
311
2°) при 0<х<у<а, г, € Н и z2 € Н выполняется неравенство
I f(x, z{) — f(x, г2) | < |г,— z2\lx.
d)	Если f — функция, определенная в Ь), то последовательность (ип(х))
сходится в каждой точке х € / к предельной функции, которая не непре-
рывна.
е)	Положим а = b = 1; f (х, у) = у/х при 0 < х-< 1, | у ] <х2; /(х, у) = х
при 0<С х X 1, у >х2; f (х, у) = — х при 0 <х < 1, у X — х2. Любая функ-
ция g, непрерывная в / и удовлетворяющая условию | g (х) | X х2, является
решением уравнения g (х) = xf (х, g'(x)), хотя при 0<х<1, z^H и
z2cH выполняется неравенство |/(х, г,) — f (х, г2) | < | г, — г2 |/х. При
любом выборе «о последовательность (ил) равномерно сходится к такому
решению.
f)	Определим /, как и в е), и пусть /, (х, у) = — / (х, у). Функция О
есть единственное решение уравнения g (х) = х/, (х, g (х)), но существует
непрерывная функция и0, для которой последовательность (ип (х)) не схо-
дится ни для какой точки х^О, несмотря на то, что при 0<х<1, г, €//
и г2 g/У выполняется неравенство |/, (х, г,)—/, (х, г’2)1Х12т— г2|/х.
13.	Обобщите результаты задач 12, а) и с) на случай, когда промежу-
ток Н заменяется кругом с центром (0, 0) в R2.
[Воспользуйтесь результатом задачи 3 § 10.2.]
2. Неявные функции
(10.2.1) (Теорема о неявной функции) Пусть Е, F и G —
три банаховых пространства и / — непрерывно дифференци-
руемое отображение (8.9) открытого подмножества А произ-
ведения Е X F в G. Пусть (х0, у0) — такая точка множества А,
что f(xn, уо) = О и что частная производная D2/(x0, у0) есть
линейный гомеоморфизм пространства F на G. Тогда суще-
ствует такая открытая окрестность Uo точки х0 в Е, что
для каждой открытой связной окрестности U точки х0, со-
держащейся в Uo, существует единственное непрерывное отобра-
жение и окрестности U в F, такое, что и (х0) = у0, (х,«(х))£ Д
и f(x, м(х)) = 0 для любой точки x£U. Кроме того, отобра-
жение и непрерывно дифференцируемо в U и его производная
определяется формулой
(10.2.1.1)	«'(*) = —(D2/(x, «(x)))-1o(D1/(x, «(х))).
Пусть То— линейный гомеоморфизм D2/(x0, у0) пространства F
на О и То1 — обратный линейный гомеоморфизм. Запишем соотно-
шение /(х, у) = 0 в эквивалентной форме
(10.2.1.2)	у = у — To'-f(x, у)
312
Г л. 10. Теоремы существования
и обозначим через g(x, у) правую часть (10.2.1.2). Докажем, что
к отображению
(х', y')->g(,x0-{-x', у0+У) —Уо
произведения Е X F в F в достаточно малой окрестности точки (0, 0)
можно применить теорему (10.1.1). Так как, по определению,
TV’° 70=1, то -для любых двух точек (х, У]) и (х, у2) в А мы
можем написать
£(х, yj) — g(x, у2) =
= 7’o"1'(D^(Jco’ у)-(у —У) —(/(*’	У))).
Пусть е>0 выбрано так, что еЦТо 1||^ 1/2. Так как отображе-
ние f непрерывно дифференцируемо в А, то из (8.6.2) и (8.9.1)
следует, что существует такой шар Uo (соответственно Уо) с иен-
тром х0 (соответственно у0) и радиусом а (соответственно Р) в Е
(соответственно в F), что при х £ Uo, уj g VQ и у2 £ VQ выполняется
неравенство
||/(х, у,) — /(х, у2) —D2/(x0, Уо) • (У! — у2)11 <е11У1 —У2||;
поэтому для любых точек х £ Uo, у, £ Vo и у2 £ Vo выполняется не-
равенство ||g(x, У1) —g(x, y2)|Ke||7'o1|!j|yi—У2 1К11У1—У2И/2.
С другой стороны, g(x, у0) — у0= — Тог • f(x, у0) и, так как
/(х0, у0) = 0 и / непрерывно, мы можем взять а столь малым,
чтобы при x£U0 выполнялось неравенство ||g(x, у0) — Уо11^Р/2-.
Таким образом, мы можем применить теорему (10.1.1), из которой
следует существование и единственность такого отображения и
окрестности Uo в Уо, что /(х, и(х)) = 0 для каждой точки х£(70.
Поскольку /(х0, Уо) = О, это, в частности, дает и(х0) = у0. Нако-
нец, отображение и непрерывно в Uo.
Докажем, далее, что если U с. UQ — связная открытая окрест-
ность точки х0, то и есть единственное непрерывное отобра-
жение окрестности U в F, для которого и(х0) — у0, (х, «(х))£Д
и /(х, и(х)) = 0. Пусть v — второе отображение, удовлетворяющее
этим условиям; рассмотрим множество М с U точек х, в которых
a(x) = v(x). Это множество, по определению, содержит х0 и зам-
кнуто (3.15.1). Нам нужно, таким образом, только доказать,
что М открыто (3.19). Но, по предположению, отображение
х—>D2/(x, а(х)) непрерывно в Uo, поэтому (заменяя, если потре-
буется, UQ меньшей окрестностью) мы можем считать в силу (8.3.2),
что D./(x, и(х)) при х£770 есть линейный гомеоморфизм про-
странства F на G. Пусть а£Л4. Первая часть доказательства пока-
зывает, что существуют такая открытая окрестность Ua с U точки а
и такая открытая окрестность Va с V точки b-= и (а), что и (х) для
любой точки х £ Ua есть единственное решение у уравнения
/(х, у) = 0, для которого у С Уд. Однако, так как отображение о
2. Неявные функции
313
непрерывно в точке а и v(a) = u(a), существует такая окрест-
ность W точки а, содержащаяся в Ua, что при x£W имеем v(x)£Va.
Предыдущее замечание тогда показывает, что v (х) = и (х) при x£W,
а это доказывает, что М открыто, и, значит, u = v в U.
Покажем, наконец, что если а взято достаточно малым, то ото-
бражение и непрерывно дифференцируемо в Uo. Положим t~
= «(х-|-$) — «(х), где х и x-j-s принадлежат Uo. По предполо-
жению, f(x-{-s, «(х)+^) = 0 и t стремится к 0, когда $ стремится
к 0. Поэтому для данной точки х £ UQ и для любого 8 > 0 суще-
ствует такое г > 0, что из ||s|l-Cr следует
||/(х + И(*) + О— /(*> «(•*))— S(x)-s — 7'(х)-/||<
+ И).
где S(x) = D1/(x, «(х)) и 7'(x) = D2/(x, а(х)) (8.9.1). По опре-
делению, это эквивалентно неравенству
||S(x)-s+T(x)./||<8(H + IH|)>
и так как Т (х) есть линейный гомеоморфизм пространства F на О,
то из последнего неравенства получаем
•(10.2.1.3)	||(7'-1(х)о5(х)).а + /||<8||7'~1(х)||(1|5|Ц-11^11).
Допустим, что 8 выбрано так, что 8||7"1 (х)||<J/2. Тогда, если мы
положим a = 2||7'-1(x)oS(x)||-|-1, то из (10.2.1.3) будет следо-
вать, что
И-^r-И	+ М).
т. е. ||^|| a ||$||, и, следовательно,
h+(7'-1(x) oS(x)) • s || <8 (а4- 1)||7'-1(х)|| • ||S||,
как только ||s||< г. По "определению t это доказывает, что и диф-
ференцируемо в точке х и имеет производную, определяемую фор-
мулой (10.2.1.1). Ввиду (8.3.2) и (8.3.1) формула (10.2.1.1) тогда
доказывает, что отображение « непрерывно дифференцируемо в Uo.
Сформулируем в^ явном виде наиболее важный частный случай
теоремы (10.2.1), т/е. случай, когда Е — Кт и F = G=^Kn— ко-
нечномерные пространства.
(10.2.2)	Пусть мы имеем п скалярных функций ft, определен-
ных и непрерывно дифференцируемых в окрестности U \V
точки (йр .... ат, Ьь £„) произведения E%F, таких,
что ft{ar......ат, blt ..Ьп) = 0 при l^t^n и что
якобиан д(/х......••.•’Уп) не равен 0 в этой точке.
Тогда существует такая открытая окрестность WoczU точ-
ки (аи .... ат), что для любой связной открытой окрестно-
314
Гл. 10. Теоремы существования
cmuWaW;) точки (ар ат) существует единственная си-
стема п скалярных функций gt	определенных
и непрерывных в W и таких, что gi(av am) = bi при
1 < 1 -< я и
ft(Xi....хт, g^, .... хт), .... g„(X1, .... xm)) = 0
для 1<г<п и любой точки (Xj..........xm)£W. Кроме того,
функции gt непрерывно дифференцируемы в W и матрица
Якоби (Djgi(x)) равна —В~ХА, где А (соответственно В) полу-
чается из матрицы Якоби (dfjdx^ (соответственно dfjdyj)
при замене yf на gl (хр .... хт) (1
(10.2.3)	Если выполняются предположения теоремы (10.2.1) и
если, кроме того, отображение f непрерывно дифференци-
руемо р раз в некоторой окрестности точки (xQ, у0), то ото-
бражение и непрерывно дифференцируемо р раз в некоторой
окрестности точки х0.
Индукцией по k докажем, что при 1 k р отображение и
непрерывно дифференцируемо k раз. При k — 1 это следует
из (10.2.1). Кроме того, u'(x)~F(x, и(х)), где отображение
F(x, у) = — (D2/(x, у))-1 o(D!/(x, у)) в силу (8.12.9), (8.12.11)
и (8.12.10) р—-1 раз непрерывно дифференцируемо. В силу (8.12.10)
отсюда следует, что производная и' непрерывно дифференцируема
k — 1 раз (при k^.p), и это на основании (8.12.5) означает, что
отображение и непрерывно дифференцируемо k раз.
(10.2.4)	Предположим, что пространства Е, F и G конечно-
мерны и что отображение f аналитично в А. Тогда отобра-
жение и является аналитическим в некоторой окрестности
точки х0.
Если поле скаляров К есть С, то утверждение следует из (10.2.1)
и из (9.10.1).
Предположим теперь, что A'==R,E' = Rm и F = 0 = R". Тогда
существует такое открытое множество В<=Ст+п, что £?nRzn+” = А
и аналитическое отображение g множества В в С”, являющееся про-
должением / (9.4.5). Отождествляя D2/ и с матрицами Якоби,
видим, что Р2^(х0, у0) преобразует базис пространства R" над R
в базис пространства R", и эти базисы являются также базисами про-
странства С” над С. Поэтому D2£(x0, у0) есть линейный гомеоморфизм
пространства С" на себя. Таким образом, мы можем применить к g
теорему (10.2.1), и из нее будет следовать существование и един-
ственность такого аналитического отображения v окрестности W
точки х0 в С"1, что g(z, ®(z)) = 0 и г»(х0)=у0. Кроме того, из
формулы (10.2.1.1) с помощью индукции по |v| следует, что все
производные РЧ* в точке х0 отображают пространство Rm в про-
2. Неявные функции	315
странство R” [так как все производные отображения g в точке (х0, у0)
равны соответствующим производным отображения /]. Поэтому
в силу (9.3.5.1) v отображает окрестность точки хй в Rm в про-
странство R”, и та часть теоремы (10.2.1), которая относится к един-
ственности, таким образом, доказывает, что сужение отображения v
на W П Rm тождественно с и, ч. т. д.
Одним из наиболее важных приложений теоремы (10.2.1) является
следующая теорема:
(10.2.5)	Пусть Е и F— два банаховых пространства и / — не-
прерывно дифференцируемое отображение окрестности V
точки х0£Е в F. Если f (х0) есть линейный гомеоморфизм
пространства Е на F, то существует такая открытая ок-
рестность U eV точки х0, что сужение отображения / на U
есть гомеоморфизм окрестности U на некоторую открытую
окрестность точки y0 = f(x0) в F. Далее, если f непрерывно
дифференцируемо в U р раз (соответственно аналитично в U,
причем Е и F конечномерны), то обратное отображение g
окрестности f (U) на U непрерывно дифференцируемо р раз
(соответственно аналитично) в f (U).
Применим теорему (10.2.1) к функции h(x, y) = f(x) — у, по-
меняв роли х и' у. Так как DjA(x0, у0) = f (х0)> мы заключаем,
что существуют открытый шар W с центром в F и такое не-
прерывное отображение g шара W в Е, что g(W)czU, f (g (у)) = у
в IF и §’(Уо) = хо. Далее, в силу (10.2.3) [соответственно (10.2.4)],
если отображение f непрерывно дифференцируемо р раз (соответ-
ственно аналитично), то и отображение g непрерывно дифференци-
руемо р раз (соответственно аналитично). Из тождества / (g (у)) — у
следует, что отображение g на W взаимно однозначно и, значит,
является биективным отображением шара W на А — g (IF) с U.
Кроме того, множество g (Д?) —	(W) открыто в £ и / является
гомеоморфизмом множества X = g(lF) на W, что и завершает "до-
казательство.
Задачи
1.	Пусть Е и F— два банаховых пространства, А — открытая окрест-
ность точки х0€£ и f — непрерывное отображение окрестности А в F, диф-
ференцируемое в точке ха (но не обязательно дифференцируемое в осталь-
ных точках окрестности А). Предположим, что /' (ха) есть линейный гомео-
морфизм пространства Е на его образ в F. Покажите, что существует такая
окрестность U с А точки х0, что f (х) f (х0) для каждой точки х G U,
отличной от х0.
[Заметьте, что из предположения следует существование такой константы
с > 0, что || f (х0)  s||>с||sИ для всех точек s^E (5.5.1).]
2.	Пусть / = (/1, /2) — отображение пространства R2 в себя, определяе-
мое следующим образом: fx(xv х2) = хх; /2(хг -*2) =I хг ~ ПРИ х1-<х2’
316
Гл. 10. Теоремы существования
/2(-*1> х2) = (х| — xix2)/xi ПРИ 0^x2<Xj и, наконец, /2(х1’ ~х2)~
= — хг) ПРИ х2^0. Покажите, что отображение f дифференцируемо
в каждой точке пространства R2. В точке (0,0) производная D/ есть тожде-
ственное отображение пространства R2 на себя, но производная D/ не непре-
рывна. Покажите, что в каждой окрестности 'точки (0,0) существует такая-
пара различных точек х' и х", что f(x') = f(x") [ср. с (10.2.5)].
3.	Пусть В — единичный круг ||г||< 1 в С и пусть z->f (z) = г-]-g (z)—
непрерывное отображение круга В в С, для каждой- точки z, для которой
| г | = 1, удовлетворяющее условию | g (г) | < | z |. Покажите, что f (В) есть
окрестность точки 0 в С (теорема Брауэра для плоскости ’)).
[Пусть f — петля t-+f (elt), определенная в промежутке [0, 2л]. Пока-
жите, что для всех точек х некоторой окрестности V точки 0 индекс j (х; у)=1
(см. доказательство теоремы (9.8.3)). Пользуясь тем фактом, что в В петля у
гомотопна 0, заключите, что в У не существует точки, принадлежащей допол-
нению множества / (В).]
4.	Пусть Е и F — два банаховых пространства и В — единичный откры-
тый шар || х || <1 в Е. Пусть и0 — непрерывно дифференцируемый гомео-
морфизм шара В на некоторую окрестность точки 0 в F, для которого и0 (0)=0.
Предположим, что обратный гомеоморфизм Uq 1 непрерывно дифференцируем
в шаре Уо: || у || < г, содержащемся в и0 (В), и что производная Ьи0 ограни-
чена в В, а производная Dzz(y1 ограничена в Уо. Пусть V—щар || у || <₽, где|5 < г,
а)	Покажите, что для любого а < 1 существует такая окрестность fi
отображения и0 в пространстве Sift (В) (задача 8 .§ 8.12), что для любого
отображения и €.Н сужение этого отображения на U: || х || < а есть гомео-
морфизм шара U на открытое множество пространства F, содержащее V,
такой, что сужение гомеоморфизма и-1 на V есть непрерывно дифференци-
руемое отображение Ф (и) шара V в Е.
[Воспользуйтесь (10.1.1).]
Ь)	Покажите, что отображение и -> Ф (и) окрестности И в пространство
(У) Дифференцируемо в точке «0 и что его производная в точке «0 есть
линейное отображение з-> —(и0°Ф (и0))-1 • (зоФ («0)).
5. Пусть Е и F — два банаховых пространства и f—непрерывно диф-
ференцируемое отображение окрестности У точки хв б Е в F. Предположим,
что существуют такие два числа ? > 0 и X > 0, что: Г) || f (х0) || < Р/2Х;
2°) колебание производной f в шаре U •. ||х — х0|| < р не превосходит 1/2Х;
3°) для каждой точки х € U производная f (х) есть линейный гомеоморфизм
пространства Е на пространство В, удовлетворяющий условию || (f'(x))~11|<|Х.
Пусть (гл) — произвольная последовательность точек шара U. Покажите, что
существует такая последовательность (хп)п>0 точек шара ЛА,чтохл+1==
=хл — (/'(z„))-1  / (хл) при п>0. Докажите, что эта последователь-
) Можно показать, что тот же результат будет вереи и для любого
пространства R", причем В — эвклидов шар ||х|К1, и условие, налагаемое
на g, имеет вид ||g(x)|| < |]х|| при |'|х|| =1.
2. Неявные функции
317
ность (хл) сходится к точке у С U, являющейся единственным решением
уравнения f (х) = О в U (метод приближений Ньютона),
[С помощью (8.6.2) докажите индукцией по п, что ||хя— хл_,|| <2~п$
И ||/(х„)|| < 0/2я+1М
6. Пусть Е и F— два конечномерных векторных пространства над К,
А — связное открытое множество в £ и f—непрерывно дифференцируемое
отображение произведения Ay^F в F. Предположим, что множество Г пар
(х, у) € ЛХЛ Для которых f (х, у) = 0, не пусто и что для любой пары
(х, у)£Т частная производная D2/(x, у) есть обратимое линейное отобра-
жение пространства F на себя.
а)	Покажите, что для каждой точки (х0, у0) 6 Г существует такая откры-
тая окрестность V этой точки в Г, что сужение проекции рг, на V
есть гомеоморфизм окрестности V на некоторый шар с центром х0, содер-
жащийся в А.
[Воспользуйтесь тем фактом, что существуют такой открытый шар U
с центром х0 в А и такой открытый шар W с центром у0 в F, что для каж-
дой точки х € U уравнение f (х, у) = 0 имеет единственное решение у б W,
и примените теорему (10.2.1).]
Ь)	Выведите из а), .что каждая компонента связности G множе-
ства Г (3.19) открыта в Г и что множество pt! (G) открыто в А. Не обя-
зательно должно быть prj (Г) = А [как показывает пример А = Е = F = R,
f (х,у) = ху2 — 1]. Не обязательно также в случае, когда рг! (Г) = А, должно
быть prx (G) = А для каждой компоненты связности G множества Г [как
показывает пример А — Е = F = R, / (х, у) = ху2 — у]. Докажите, что если
множество рг2 (Г) ограничено в F, то рг, (G) = А для каждой компоненты
связности G множества Г.
[Покажите, что если х0 — точка прикосновения множества рп (G) в А,
то существует такая последовательность (хл, ул) точек множества G, что
lim хл = хй и что в F существует предел lim ул; затем примените а).]
Л->СО	/1->ОО
с)	Понятия траектории, петли, гомотопии и петельной гомотопии
в А определяются так же, как в 9.6, только С заменяется пространством Е.
Предположим, что существует такая компонента связности G множества Г,
что ри (G) = А. Покажите, что если f — траектория в А, определенная в про-
межутке I — [a, b]czR, то существует такое непрерывное отображение и
промежутка / в G, что рг, (и (<)) = (t) для каждой точки t € I.
[Рассмотрите в / нижнюю грань с множества тех точек 5, для которых
существует непрерывное отображение и^ промежутка [а, 5] в G, обладающее
тем свойством, что рг1 (/)) = (t) при а < t < $, и воспользуйтесь а).]
Всегда ли это отображение единственно?
[Рассмотрите случай E = F—C, Л = С—{0} и f (х, у) = у2— -*]
Покажите, что если два непрерывных отображения и и v промежутка /
в G обладают тем свойством, что рг, (и (?)) = ри (о (<)) = т (О для каждой
точки t С /, и если они равны для одного значения t g I, то и = v.
d)	Пусть при тех же предположениях, что иве),? — непрерывное ото-
бражение произведения /X/ в А, где J=[c, d)cR. Пусть v—такое непре-
318
Гл. 10. Теоремы существования
рывное отображение промежутка J в G, что рг, (о (£)) = <? (а, ?) при и
пусть для каждой точки £ 6 J и, есть единственное непрерывное отображение
промежутка / в G, такое, что ргх (и^ (<)) = <р (t, с) при t С / и tu (а) = v (?).
Покажите, что отображение (/, $)	(t) непрерывно в lyj.
[Для данной точки С б J существует такое число г > 0, что для любой
точки t € I пересечение V) множества Г с замкнутым шаром в Е X F с цен-
тром (0 и радиусом г содержится в G и обладает тем свойством, что проек-
ция рг1 есть гомеоморфизм V t на замкнутый шар в £ с центром у(г!) и радиусом г.
Если L — щ (/), то пусть М означает верхнюю грань нормы ||(D2 f (х, у))-1 о
(Dj/(x, у))|| для всех точек (х, y)^G, находящихся на расстоянии <. г
от L. Пусть г > 0 выбрано так, что е < г/4 и гЛ4 < г/4. Покажите, что если 8
таково, что из | 5 — С К 8 следует ||<р(£ ?)— <? (t, С) || < г при/g/, то из
| $ — С | < 8 при t £ / следует || u£ (t) — a. (t) || < г/4. Докажите это, рассмотрев
верхнюю грань точек t € /, для которых имеет место это неравенство, и при-
менив (10.2.1).]
е)	Заключите из d), что если петля у, определенная в промежутке /=[а, 6],
петельно гомотопна в А точке, то любое непрерывное отображение а про-
межутка / в О, для которого pri (а (<)) = 7 (<) при t£f, обладает тем свой-
ством, что а (6) = а (а). В частности, если А односвязно (т. е. если любая
петля в А гомотопна в А точке), то проекция pr t есть гомеоморфизм G на А,
т. е. существует единственное непрерывно дифференцируемое отображение g
множества А в F, такое, что f (х, g (х)) = 0 в А и что точка (х, g (х)) при-
надлежит G для по крайней мере одной точки х £ А.
7.	Покажите, что в обозначениях задачи 6 условие ргг (G) = А удовле-
творяется для каждой компоненты связности G множества Г в каждом
из следующих случаев:
Г) f (х, у) = ft (у) —	(х, у) и существуют такие числа 7? > 0, k > 0 и
А>0 н такая положительная непрерывная функция х->/7(х) в А, что при
||у || >7? выполняются неравенства Ц/j (у)|| > ||у ||* и ||/2 (х, у)|| <
< Я(х)||у ||*"А.
2°) F=C, Е — векторное пространство над С и f(x, у) = е?— g (х),
где g — аналитично в А и g (х) =£ 0 в А.
[Это последнее условие уже обеспечивает, что рг2 (Г) = А. Заметим, что
из f (х, у) = f (х, у') следует, что число у' — у является кратным числа 2-z;
поэтому для любой точки х £ А существует такой открытый шар U с цент-
ром х, содержащийся в А, что для любой компоненты связности V пересе-
чения prf1^)^! проекция рГ] есть гомеоморфизм множества V на 77.
Если х—точка прикосновения множества ри (G), то множество G должно
иметь общую точку с одной из этих компонент V и, значит, содержать V.]
8.	а) Покажите, что если f — комплексная целая функция в С₽, такая,
что/(х) =7=0 для каждой точки х£С₽, то существует такая комплексная
целая функция g в С₽, что f{x) = eB(X} (ср. с задачей 7).
Ь) Пусть f—произвольная комплексная целая функция в С, не равная
тождественно 0. Существует такая конечная или бесконечная последователь-
ность (ал) (где и> 1) комплексных чисел (которая может оказаться и пустой).
2. Неявные функции
319
что | ап | < | ая+11, /(ая)=0 для каждой точки с С С, для которой /(с)=0>
и число йомеров п, при которых ап = е, равно порядку ш (с; /); в случае
когда эта последовательность (а„) бесконечна, lim|a„| = -|-оо (9.1.5). Пока-
Л->ОО
жите (в обозначениях задачи 1 § 9.12), что существует такая целая функция g,
что f(z) = eg№ JJ E(z[an, л —1).
n = l
9.	Пусть А и В — две открытые окрестности точки 0 в пространстве
Е = Ср, причем окрестность А связна. Пусть (х, y)^>U (х, у) — аналитическое
отображение произведения А X В в пространство (Е; Е) (отождествленное
с пространством матриц размера />ХР с комплексными коэффициентами).
а)	Предположим, что существует такая последовательность (и7) анали-
тических отображений окрестности А в В, что и0 (х) = 0 в Я и ип (х) =
= U(x, ип_1(х))-х в А при л>1. Предположим также, что, для каждого
компактного множества L с А сужения отображений ип на L образуют отно-
сительно компактное подмножество пространства ^£(L). Докажите, что по-
следовательность (ия) равномерно сходится на любом компактном подмножестве
окрестности А к такому аналитическому отображению v окрестности А в В,
что v(x)=U (х, v (х)) • х в А. Кроме того, v есть единственное отображе-
ние, удовлетворяющее этому уравнению.
[Воспользуйтесь (10.2.1) и (9.13.2).]
Ь)	Предположим, что А и В — открытые шары в Е с центром 0 и ра-
диусами а и Ь. Пусть <р — такое непрерывное отображение произведения
[0, а [X [0> b [ в R, что функция »)->• <р ($, >)) для каждой точки 5 € [0, а [
является возрастающей на промежутке [0, Ь [, и предположим, что
|| U(х, у) || < <р (|| х ||, |[ у П ) в А X В. Предположим, кроме того, что суще-
ствует такое непрерывное отображение 0 промежутка [0, а [ в промежуток
[0, b [, что 6 (С) = <р ($, 6 (?)) $ в [0, а [. Докажите, что при этих условиях
существует единственное аналитическое отображение v шара А в В, такое,
что v (х) = U(х, v (х)) • х в А и что || v (х) ||< 0 (||х||) в А.
[Воспользуйтесь а); существование отображений и„ докажите индукцией
по л.]
с)	Предположим, что шары А я В определены, как в Ь). Пусть ф (>)) —
верхняя грань нормы J|tZ (х, у) II при ||х|| < а и ||у|| < »), где т; > 0, и по-
ложим ф (0) = ф (0 +). Допустим, что ф (0) > 0 и что функция ») -> ц/ф (»))
возрастает в некотором промежутке [0, у [, где у X b и Т/Ф (7 —) <а- Тогда
существует единственное аналитическое отображение v открытого шара Р
с центром 0 и радиусом -у/ф (у —) в В, такое, что v (х) = U (х, v (х)) • х
в Р.
10. Пусть f и g —две комплексные аналитические функции в некоторой
окрестности замкнутого полицилиндра РсС!с центром (0, 0) и радиусами а
и Ь. Пусть ЛА (соответственно N) — верхняя грань | / (х, у) | (соответственно
Ig' (х, у) |) при | х | = а и | у |< b (соответственно при | х I X а и | у | = Ь).
Тогда существуют две однозначно определенные функции и (s, t) и v (s, i),
аналитические при | s | < а/М и 111 < bjN и такие, что (u (s, t), v (s, t) ) £ Р ,
320
Гл. 10. Теоремы существования
когда точка (s, t) принадлежит полицилиндру Q, определяемому предыду-
щими неравенствами, и что
и (s, t) — sf (и (s, t), v (s, /)) = 0 и v (s, t) — tg (u (s, t), v(s, Z)) = 0
в Q. Пусть, далее,
Д (x, у, s, f) =
. df df
1 -s~- — s-^~
dx	dy
1-t^-
dx	dy
и пусть Л(л, у, s, t)— произвольная аналитическая функция в	Пока-
жите, что
h (и (s, t), V (s, t), s, t) _ У . -mtn
L (u (s, t), v (s, t), s, t)	mn
m > 0, n > 0
при (st t) € Q, где cmn — значение функции
1 лт+п
Ж отя[А (х‘у’s’ °(/ (х'у) }т (g (х’у} п
при х = у = 0 и ряд в правой части равенства сходится в Q. Заметим, что
коэффициенты стп зависят от s и t, если от них зависит h (формула
обращения Лагранжа).
[Сначала примените теорему Руше (9.17.3) к функции х — sf (х, у),
рассматриваемой как функция от х\ в силу (10.2.4) она определит аналити-
ческую функцию w(s, у), для которой w (s, у) — sf (w (s, у), у) = 0. Затем
подобным же образом примените теорему Руше к функции у — tg (w (s, у), у),
рассматриваемой как функция от у. Пусть, наконец, 7 и 6 — контуры
0->ое‘в и 0->&е/9 в С (0 <. 0 < 2л). Рассмотрите повторный интеграл
f dv f_________h (x, у, s, t) dx____
J yJ (x — sf(x, y))(y — tg(x, y)) •
«	7
С одной стороны, найдите значеиие этого интеграла повторным примене-
нием теоремы о вычетах (9.16.1), а с другой — рассмотрите степенной ряд,
являющийся разложением функции (1—$)-1 (1—ц)-1, в которое $ заме-
нено на sf(x, у)/х, а V] — на tg(x, у)/у.]
Обобщите это утверждение на случай любого числа комплексных пере-
менных. Из формулы обращения для одной переменной выведите формулу
СО
A(«(s)) = *(0) + 2 D’" W (°) >“)’
П = 1	/
где u(s) — sf (о (s)) = 0, ] s | < а/М (здесь М— sup [/(х)|), a h—функ-
1 ле!
ция, аналитическая при [ х ] < а.
3. Теорема о ранге
321
3. Теорема о ранге
Пусть Е и F—два конечномерных векторных пространства раз-
мерностей пит, А — открытое множество в Е' и / — непрерывно
дифференцируемое отображение множества А в F. Ранг линейного
отображения /' (х) в точке х £ А есть наибольшее число р, такое,
что в матрице отображения /'(х) относительно некоторых двух ба-
зисов пространств Е и F существует по крайней мере один минор
порядка р, отличный от 0. Такие миноры являются непрерывными
функциями от х; поэтому если ранг отображения f (х0) равен р,
то у точки х0 существует окрестность, в которой ранг отображе-
ния /'(х) не меньше р. Но он может быть р в каждой
точке х =£ х0 этой окрестности, как показывает пример отображения
(х, у)->(х2— у2, ху) в точке (0,0).
(10.3.1) (Теорема о ранге) Пусть Е — п-мерное простран-
ство, F—т-мерное пространство, А — открытая окрестность
точка а£Е а / — непрерывно дифференцируемое отображение
{соответственно q раз непрерывно дифференцируемое отобра-
жение, аналитическое отображение') окрестности А в F, для
которого ранг f'{x) в А есть постоянное число р. Тогда
существуют'.
1°) открытая окрестность U с: А точки а и гомеомор-
физм и окрестности U на единичный uiap 1п : [ х,| < 1 (1 I <п)
в Кп, непрерывно дифференцируемый {соответственно q раз
непрерывно дифференцируемый, аналитический) вместе с обрат-
ным гомеоморфизмом-,
2°) открытая окрестность Vzd/ {U) точка Ь = / {а) и гомео-
морфизм v единичного шара lm : | у, | < 1 (1 I т) простран-
ства Кт на V, непрерывно дифференцируемый {соответственно q
раз непрерывно дифференцируемый, аналитаческий) вместе
с обратным ему гомеоморфизмом,
— причем гомеоморфизмы и uv удовлетворяют соотношению
f = vafQou, где f0 — отображение
(*1.....х„)-+{хх.....хр, 0.....0)
шара /" в шар 1т.
Мы проведем доказательство для случая непрерывно дифференцируе-
мых отображений; изменения, нужные для других случаев, очевидны.
Заменяя, если это необходимо, отображение / отображением х —>
—>/(а-|-х)— мы можем считать, что а = 0и Ь = 0. Пусть М—
ядро линейного отображения /'(0), являющееся {п—/>)-мерным под-
пространством пространства Е, и пусть N —(р-мерное) алгебраиче-
ское дополнение подпространства М в Е. В качестве базиса про-
странства Е возьмем систему (сД <г <п, состоящую из таких и век-
торов, что Ср .... ср образуют базис V, а ср+1....сп — базис
подпространства М, и для любого элемента х£Е будем писать
21 Ж. Дьедонне
322
Гл. 10. Теоремы существования
п
х = ^ ^i(x)ci, где <pz— линейные формы. Если	еп—кано-
4 = 1
нический базис пространства Кп, то обозначим через x->G(x) ли-
п
нейное отображение х-> У, cpz(x)ez пространства Е на подпро-
i = р + 1
странство Кп~р пространства Кп, порожденное элементами ez с но-
мерами / > р.
Пусть Р — образ пространства Е (и подпространства N) при
линейном отображении /'(0). Очевидно, Р есть р-мерное подпро-
странство пространства F, имеющее в качестве базиса элементы
di = f (0)  cz (1<7	р). Возьмем базис (^Д пространства F,
в котором первые р элементов образуют указанный базис подпро-
странства Р, и для любого элемента у £ F будем писать у =
ш
— У Фj (У) / гДе Ф,- — линейные формы. Обозначим через у->Н(у)
’•
р
линейное отображение у—>2 Ф/(У)е/ пространства. F на подпро-
М
странство Кр пространства Кп, порожденное элементами е. с номе-
рами I р.
Рассмотрим теперь отображение x->g (х) = Н (/(%))+ G (х)
окрестности А в Кп. Это отображение непрерывно дифференцируемо.
Кроме того, для любой точки s£E мы в силу (8.1.3) и (8.2.1)
имеем g'(х) • s = H(f'(x')~) • s-|-G (s); поэтому g'(0)-cz = ez при
1<3^и [т- е- отображение g' (0) представляется единичной матри-
цей относительно базисов (cz) и (ez)]. Пользуясь теоремой (10.2.5),
заключаем, что существует такая открытая окрестность Uo с: А
точки 0, что сужение отображения g на Uo есть гомеоморфизм
окрестности Uo на некоторую окрестность точки 0 в Кп и что об-
ратный гомеоморфизм g"1 непрерывно дифференцируем в g(U^).
Пусть г > 0 выбрано так, что шар | xz [ < г (1 I Д п) содержится
в g((70), и пусть U — прообраз этого шара при гомеоморфизме g,
являющийся открытой окрестностью точки 0. Наше отображение «
будет сужением на U отображения x->g(x)/r.
До этого момента мы не пользовались предположением о том,
что ранг отображения /'(х) постоянен в А. Из этого предпо-
ложения следует, что образ Рх пространства Е при отображении f (х)
для любой точки х£Л имеет размерность р. Теперь мы можем
предположить, что окрестность Uo взята столь малой, что g' (X) при
х £ Uo есть линейное биективное отображение пространства Е на Кп
(8.3.2). Так как при мы имеем g' (х) • $ = Н (f (х)  s), то
сужение отображения /z(x) на N должно быть биективным отобра-
жением этого р-мерного пространства на Рх, а сужение отображе-
ния Н на Рх — биективным отображением пространства Рх на Кр.
Обозначим через Lx биективное отображение пространства Кр на Рх,
3. Теорема о ранге
323
обратное предыдущему отображению. Тогда мы можем написать
f (х) = Lx° Н ° f (х).
Рассмотрим теперь пространство Кп как произведение Ег X Е2,
где ЕХ~КР и Е2 = Кп р. Перейдем к доказательству того, что
отображение (2Р z2)->f1(zl, 22) = /(и-1 (2Р 22)) шара 1п в F не
зависит от 22, т. е. что D2f1(z1, z2)~0 в 7" (8.6.1). По опре-
делению мы можем написать /(х) = f\(H(f(x))/r, G(x)r). По-
этому в силу (8.9.2) для любой точки t£E
rf{x)-t = ^J^H{f{x)), |б«).Я(/'(х)-О+
+ D2/j (i/7(/(x)), yG(x)j-O,(0.
Это дает
(10.3.1.1)	/7 (/(*)) |ow)-G(f) = Sr//(/'(x)-0,
где Sx—rLx— D1/1(77(/(x))/r, G(x)fr) есть линейное отобра-
жение пространства f(p=E1 в F. Докажем, что Sx = 0 для любой
точки x£U0. Действительно, если	то по определению
0(f) —0 и, значит, в силу (10.3.1.1)	• H(f(x) • /) = 0. Но ото-
бражение t -> Н (f' (х)  /) = g' (х)  t при x^UQ есть биективное
отображение пространства N на Ev и это доказывает, что 5х = 0.
Из (10.3.1.1) мы тогда заключаем, что справедливо равенство
D2/i(/7(/(хУ)/г, G (х)/г) • G (7) = 0 для любой точки t£E. Но G
отображает пространство Е на Е2, поэтому по определению производ-
ная D2/1(77(/(x))/r, О(х){г), являющаяся линейным отображением
пространства Е2 в F, для любой точки x£U0 равна 0. Соотношение
D2/1(2’p 22) = 0в7" тогда следует из того факта, что отображение
х->(Н(/{хУ)1г,. G(х)/г) есть гомеоморфизм окрестности Uo на не-
которое открытое множество; содержащее 7".
Мы можем теперь вместо /г (zp z2~) писать (2j) и рассматри-
вать /j как непрерывно дифференцируемое отображение пространства
Ех — Кр в F. Тогда мы имеем /(х) =	(х))/г) при x^U,
иными словами, у =/j (77 (у)/г) при у £/(77). Это доказывает, что
отображение у->77(у)/г есть гомеоморфизм множества / (77) на
1Р с Е} и что 2j -> j\ (24) есть обратный ему гомеоморфизм.
Рассмотрим теперь пространство Кт как произведение Ег X Е3,
где Е3 = Кт~р. Пусть Т — линейнбе биективное отображение про-
странства £3 на дополнение Q подпространства Р в F, порождаемое
элементами dp+v .... dm, отображающее канонический базис про-
странства Кт~р на элементы <7р+1, .... dm. Положим ®(г1( z3) =
= /1 (zi) + (*з) ПРИ zi£lP и z3^Jm~P- Очевидно (8.9.1) v (zlt z3)
есть непрерывно дифференцируемое отображение. По определению
имеем H(v{z,, z3)) = H(f1(zJ)) = rzv Поэтому из соотношения
®(2r z3') = v[z'v z3) следует z’l = zv и, значит, оно сводится
21*
324
Гл. 10. Теоремы существования
к соотношению Г = Т (z'), которое дает z's = zs. Следовательно,
отображение v инъективно. Доказанное выше соотношение Sx = О
показывает, что /' (z^ — rLx для любой точки гг£1р, где х — про-
извольная точка из U, для которой/(x) = /1(z1). Производная ото-
бражения v в точке (zp 23) есть, таким образом, линейное отобра-
жение (ZP Z3) -> rLx • Zj -|- T(Z3) (8.9.1) и (8.1.3). Но так как сужение
отображения И на Рх взаимно однозначно, Рх — алгебраическое
дополнение подпространства Q в F и v' (zp z3)— линейный гомео-
морфизм пространства на F. Для любой точки (zp .г3)£/т,
таким образом, в силу (10.2.5) существует такая открытая окрест-
ность W этой точки в Im, что сужение отображения v на W есть
гомеоморфизм окрестности W на открытое множество v (IF) про-
странства F. Так как, кроме того, отображение v взаимно одно-
значно, то оно является гомеоморфизмом шара I™ на открытое мно-
жество V — для которого обратный гомеоморфизм непрерывно
дифференцируем в V. Соотношение / = v о /0 о и следует тогда из
определений.
Задачи
1.	Пусть Е и F— два банаховых пространства, А — открытая окрест-
ность точки xQ С Е и f — непрерывно дифференцируемое отображение окрест-
ности А в F.
а)	Предположим, что /' (х0) есть линейный гомеоморфизм простран-
ства Е на его образ в F. Покажите, что существует такая окрестность U с А
точки х0, что / есть гомеоморфизм окрестности U на f (U).
[Воспользуйтесь задачей 3"§ 10.1.]
Ь)	Предположим, что отображение f' (х0) сюръективно и что суще-
ствует такое а > 0, что для любой точки s С Е .выполняется неравенство
II/' (х0) • s|| > а\\ s || ’). Покажите, что существует такая окрестность Vcz А
точки х0, что f (V) есть окрестность точки f (х0) в Л.
[Воспользуйтесь задачей 8 § 10.1.]
2.	Пусть Л —открытое множество в Ср и / —аналитическое отобра-
жение множества А в Ср. Покажите, что если f инъективно, то ранг ото-
бражения D/ (%) для каждой точки х С А равен р.
[Проведите доказательство от противного и индукцию по р. При р = 1
применяем теорему Руше (9.17.3). Предположим, что D/ (а) для некоторой
точки а £ А имеет ранг < р. Покажите сначала, что (произведя, если по-
требуется, линейное преобразование в F) можно считать, что если f (z) ==
= (/i (г)..fp (2))> то DJ, (а) = 0, и если g (г) = (/2 (г), ..., fp (г)), то
ранг D^-(а) в точности равен р—1; тогда существует такая окрестность
U с. А точки а, что D^-(х) при x£U имеет ранг р—1. Пользуясь теоремой
*) Можно показать, что это последнее свойство является следствием
того факта, что отображение f' (х0) непрерывно и сюръективно; см..
Н. Бурбаки [6]..
3. Теорема о ранге
325
о ранге (10.3.1), сведите доказательство к случаю, когда а = 0 и (г) = гк
при 2 < k < р.]
Остается ли утверждение верным, если С заменить на R?
3.	а) Пусть Л — односвязное открытое множество в С, отличное от С,
и пусть а и Ь — две различные точки границы Fr (Л)’ (задача 6 § 9Д.4). По-
кажите, что существует такая комплексная аналитическая в А функция h,
что (Л(г))2 = (г —а)/(г —Л) (задача 7 § 10.2). Далее, Лесть аналитический
гомеоморфизм множества А на некоторое односвязное открытое множество
В с: С. [задача 2 и (10.3.1)]. Наконец, Bf](—В) = 0; поэтому существуют
точки пространства С, внешние для В.
Ь) Выведите из а), что существует аналитический гомеоморфизм мно-
жества А на односвязное открытое в С множество, содержащееся в круге
U : | г | < 1 и содержащее точку 0.
4.	а) Пусть А — односвязное открытое множество в С, содержащееся
в единичном круге U : |г[ < 1 и содержащее точку 0, и пусть Н—множет
ство все# комплексных аналитических в А функций g, дающих инъективное
отображение Л в С и удовлетворяющих следующим условиям: | g (г) | < 1
в A, g (0) = 0 и g' (0) есть действительное число > 0. Для каждого ком-
пактного подмножества LcA множество HL сужений на L функций из Н
относительно компактно в #с(£) (9.13.2). Покажите, что множество Всех
действительных чисел g' (0) (для g£H) ограничено [ср. доказательство
теоремы (9.13.1)]. Пусть А — верхняя грань этого множества- Покажите, что
существует функция ga G Н, для которой g'o (0) = X.
[Воспользуйтесь утверждением из задачи 5 § 9.17.]
Ь) Предположим, что функция g(zH таковаг что g (Л) =£ U, и пусть
с g (Л). Заменив, если потребуется, функцию g функцией git опреде-
ляемой соотношением gt (г) — е~‘9g (zei9) при подходящем выборе 9, можем
считать, что число с действительно и > 0. Существует функция h, анали-
тическая в А и такая, что
(Л (г))2
c~g(z)
1 — eg (г)
и Л (0) = /с" > 0.
[То же рассуждение, что и в задаче 3, а).]
Покажите, что функция g2, определяемая соотношением
Л(г) =
/с — ^2(г)
1—/£>«(*)
принадлежит Н и что g2 (0) > g (0).
с) Заключите из а) и Ь), что функция ga, определенная в а), являете,
аналитическим гомеоморфизмом множества А на U. На основании задачи 3, Ь)
отсюда следует, что для любого односвязного и открытого множества D с С,
отличного от С, существует аналитический гомеоморфизм множества D на U
(теорема о конформном отображении)..
326
Гл. 10. Теоремы существования
5.	а) Пусть / — комплексная аналитическая функция в единичном
круге £7: | г | < 1, такая, что /(0) = 1 и \f(z)\<M в U. Покажите, что
при | г |< 1/Л1 выполняется неравенство | f (г) — 1| < М | г
[К функции g (г) = М (f (г) — 1)/(ЛР—/(г)) примените лемму Шварца
(задача 7 § 9.5).]
Ь)	Пусть f—комплексная аналитическая функция в U, такая, что
f (0) =0, /' (0) = 1 и | /' (г) К М в U. Покажите, что при | г 1/Л1 вы-
полняется неравенство |/(г)— z |С М \г |2/2.
[Примените а) к /'.]
с)	Покажите, что при предположениях Ь) сужение функции f на круге
В (0; 1/Л1) есть аналитический гомеоморфизм этого круга на открытое мно-
жество, содержащее круг В(0; 1/2Л4).
[Примените теорему Руше (9.17.3), воспользовавшись результатом за-
дачи Ь).]
d)	Для любого комплексного числа a^U пусть и (г) = (г— a)l(az— 1).
Покажите, что для любой комплексной функции /, аналитической в U, если
g (г) = / (и (г) ), то |^'(г)|(1 —|г|2) = |/'(«(г))|(1 —[«(г)|2) для лю-
бой точки z € U.
е)	Покажите, что существует действительное число b > 1/3]^3 (по-
стоянная Блоха), обладающее следующим свойством: для любой ком-
плексной функции /, аналитической в U итакой, что f (0) = 1, существует
такая точка г0££7, что открытый круг В с центром ха, где х0 = / (г0),
и радиусом b содержится в f (£/), и существует функция g, аналитическая
в В и такая, что g (В) C.U и f (g (г)) = г при г^В.
[Рассмотрите сначала случай,'когда функция f аналитична в некоторой
окрестности множества U, и возьмите в качестве г0 точку, в которой до-
стигает максимума функция | f' (г) | (1 — [ г |2). Затем, пользуясь d), сведите
задачу к случаю, когда г0 = 0, и затем примените результат из задачи с)
к функции вида а f (Rz), где а и R — подходящим образом подобранные
комплексные числа. В общем случае рассмотрите функцию f ((1 — е) z)/(l — е),
где е > 0 произвольно мало.]
6.	а) Пусть ЭК—множество всех комплексных функций /, аналитиче-
ских в единичном круге U: | z | < 1, для которых f(U) не содержит точек
0 и 1. Для любой функции существует такая единственная аналити-
ческая в U функция g, что ехр (2~ig (г) ) = f(z) в U и что |	(0) | < -.
(задача 7 § 10.2); множество g(U) не содержит никакого положительного
или отрицательного целого числа. Далее (та же ссылка), существует такая
функция h, аналитическая в U, что g(z)!(g (г)— 1) = ((1-]-Л (z) )/(1—h (г)))2.
множество h(U) не содержит ни одной из точек 0, 1, с'п = (Yп -f- pSi — I)2
и с" = (/п-/^П)2 (п — целое число >1). Наконец, существует такая
функция <f, аналитическая в U, что ехр (<р (г)) = h (г); множество <р (U) не
содержит ни одной из точек lnc'„-]-2fau и lnc„-f-2£iu (А — положительное
или отрицательное целое число, п 1). Покажите, что никакой круг ради-
уса > 4 не может содержаться в ? (£7). Пользуясь задачей 5, е), выведите
3. Теорема о ранге
327
из этого результата, что при ] х | < 1
(Рассмотрите функцию t -> су (х (1—| х |) t) для подходящим образом
выбранной постоянной с.]
Заключите отсюда, что существует такая функция F (и, и), конечная и
непрерывная в произведении (С\{0, 1}) X [О, 1 [> что для каждой функции
SOI при любом |z|<r < 1 выполняется неравенство 1п|/(г) |<Г(/(0), г).
Ь) Пусть функция f € SOt такова, что | f (0) | < 1/2 или | f (0) — 11 < 1/2.
Покажите, что для данного г, удовлетворяющего условию 0<г<1: или
при | г К г выполняется неравенство | f (г) | < 5/2, или же существует
такая точка х, |х) < г, что | f (х) |> 1/2, |/(х)— 11 > 1/2 и 11//(х) | >1/2.
Применяя результат из задачи а) к функции f ((z — x)/(xz — 1)), заклю-
чите, что существует такая функция Л| (и, v), конечная и непрерывная
в произведении [0,оо [ X [0, 1 [, что для любой функции /GS01 из
I f (°) К 5 и Iz К г следует | / (г) |< Fx (s, г) (теорема Шоттки).
7.	Пусть А — открытое’ связное множество в С и (/„) — последователь-
ность функций из множества (задача 6). Покажите, что для любого ком-
пактного подмножества АсЛ существует такая подпоследовательность (/лЛ),
что или эта подпоследовательность равномерно сходится в L, или же после-
довательность (1//лА) равномерно сходится в £ к 0.
[Докажите, пользуясь теоремой Шоттки, что точки х € А, для которых
lim (1//я (х)) = 0, образуют открытое и замкнутое подмножество множе-
п->со
ства А, таким образом, равное А или пустое. Во втором случае покажите,
пользуясь компактностью множества L, что существует подпоследователь-
ность последовательности (/„), ограниченная в некоторой компактной
окрестности множества L, и примените (9.13.1). В первом случае подоб-
ным же образом воспользуйтесь теоремой (9.13.1), примененной к последо-
вательности (1//я)-]
8.	а) Пусть / — комплексная функция, аналитическая в открытом мно-
жестве V: 0 < | z а | < г, и пусть а — существенная особенность функ-
ции / (9.15). Покажите, что множество C\/(V) или пусто, или сводится
к одной точке (теорема Пикара).
[Пусть, IF — открытое подмножество множества V, определяемое усло-
виями г/2 < \г — а | < г. Рассмотрите в W семейство аналитических функ-
ций fn(г) = f (z/2n). Если множество C\/(V) содержит по крайней мере
две различные точки, то примените к последовательности (/„) задачу 7 и,
пользуясь (9.15.2), придите к противоречию с задачей 2 § 9.15.]
Ь) Выведите из а), что если g — целая функция в С, не являющаяся
постоянной, то множество С \ g (С) пусто или сводится к одной точке.
[Рассмотрите функцию g(l/z) на множестве С\{0}.]
9.	а) Покажите, что существует целая функция / (х, у) в С2, удовле-
творяющая тождеству
/ (4х, 4у) - 4/ (х, у) = - 5 (/ (2х, - 2у) )2 + 2 (/ (2х, - 2у))®.
328
Гл. 10. Теоремы существования
и такая, что члены степени < 1 в тейлоровском разложении функции /
в точке (0, 0) суть х-|-у (задача 11 § 10.1).
Ь) Пусть g (х, У) == / (2х, — 2у) и пусть J (х, у) = д (f, g)/d (х, у).
Покажите, что J(2x, —2у) = J (х, у), и заключите отсюда, что J(x, у) = —4
в С2.
[Выразите f (х, у) и g(x, у) через /(2х, —2у) и g(2x, —2у).]
Докажите, что аналитическое отображение и: (х, у)->(/(х, у), g(x, у))
пространства С2 в себя инъективно.
[Если бы это было не так, то из предыдущих выражений следовало бы,
что оно не взаимно однозначно в некоторой окрестности точки (0, 0).]
с) Покажите, что существует окрестность точки (1, 1), не содержащаяся
в множестве и (С2).
[Заметьте, что существует такое число е, что 0 < е < 1 и что из
[/(2х, — 2у) —1|<е и |g(2x, — 2у) — 1 |<е следует |/(х, у) —1|<е
и | g (х, у) — 1 К е, Покажите далее, что из последних двух неравенств
следовало бы | f (0, 0) — 11< е и | g (0, 0) — 1 i < е, что невозможно; ср.
с задачей 8, Ь).]
4.	Дифференциальные уравнения
Пусть Е— банахово пространство, I — открытое множество
в поле К, Н~открытое множество в пространстве Е и / — не-
прерывно дифференцируемое отображение произведения
I X Н в Е. Дифференцируемое отображение и открытого шара Jal
в Н называется решением дифференциального уравнения
(10.4.1)	x' = f(t. х),
если для любой точки t£J
(10.4.2)	u'(t) = f(t, u(t)).
Из (10.4.2) сразу следует, что в этом случае отображение и не-
прерывно дифференцируемо в / [и, значит, в силу (9.10.1)
аналитично, если К = С].
(10.4.3)	Для того чтобы в шаре Jal с центром t0 отобра-
жение и шара J в Н было решением уравнения (10.4.1), удо-
влетворяющим условию u(t0) = x0£H, необходимо и доста-
точно, чтобы отображение и было непрерывно (соответственно
аналитично) в J, если /C = R (соответственно ^ = C), и чтобы
t
(10.4.4)	u(t)=x^-\- J* f(s, u(s))ds
[где, если K = C, интеграл берется вдоль прямолинейной
траектории	0-С5-СИ-
4. Дифференциальные уравнения
329
Из определения первообразной следует, что если отображения /
и и являются аналитическими, то аналитическим будет и отображе-
ние	u(s)) (9.3.2).
(10.4.5)	(Теорема существования Коши) Если отображе-
ние f непрерывно диффе ренцируемо в I X И, то для любой
точки t^I и любой точки х0£Н существует такой откры-
тый шар J с: I с центром t0, что в J существует одно и
только одно решение и уравнения (10.4.1), удовлетворяющее
условию и (/0) = х0.
Сначала докажем лемму:
(10.4.5.1)	Пусть А — компактное метрическое пространство,
F— метрическое пространство, В — компактное множество
в F a g — непрерывное отображение произведения A'/F
в метрическое пространство Е. Тогда существует такая
окрестность V множества В в F, что множество ?(4ХЮ
ограничено в Е.
Так как отображение g непрерывно, то для любой точки t £ А
и любой точки z£B существуют шар Stt г с центром t в А и
шар Ut'Z с центром z в В, такие, что множество g (S(j z X Ut, г)
ограничено. Для любой точки z^B покроем пространство А конеч-
ным числом шаров St.,z, и пусть Vz — шар Vt.iZ наименьшего ради-
уса. Тогда множество g(A'/, Vz) ограничено (3.4.4). Покроем теперь
множество В конечным числом шаров^ Vz.\ объединение V этих
шаров Vz. удовлетворяет нужным требованиям (3.4.4).
Докажем теперь теорему (10.4.5) в случае, когда /C = R. Пусть
Ja — компактный шар с центром t0 и радиусом а, содержащийся
в /. В силу (10.4.5.1) существует такой открытый шар В с цент-
ром х0 и радиусом Ь, содержащийся в Н, что верхние грани
М = sup ||/ (t, х)|| и k— sup ||D2/ (t, x)|| конечны.
Пусть Jr, где г < а, есть замкнутый шар с центром и радиусом г
и пусть FT — пространство непрерывных отображений у шара Jr
в пространство-^, являющееся банаховым пространством с нормой
|| у || = sup ||у (f)|| (7.2.1). Пусть Vr — открытый шар в Fr, имеющий
‘^Jr
центр х0 (отождествленный с постоянным отображением t->x0) и
t
радиус Ь. Для любого y£Vr отображение	J/($, y(s))ds
/о
определено и непрерывно в Jr, так как по определению при y£V,
имеем у ($) £ В. Пусть g (у) — это ' отображение; таким образом
g есть отображение шара Vr в FT. Мы докажем, что при доста-
точно малом г отображение g удовлетворяет условиям теоремы
330
Гл. 10. Теоремы существования
(10.1.2).	Тогда, применяя эту теорему и теорему (10.4.3), мы закон-
чим доказательство нашей теоремы, причем J будет совпадать с Jr.
Для любых двух точек у, и у2 из шара Vr мы в силу, (8.5.4)
ик еем
ll/(s. У1 (s)) — /(s- У2(«))||<*- 1|У100 —УгООИС* • НУ1—у2|1
для любой точки s£Jr. Следовательно, в силу (8.7.7) для любой
точки t£Jr
f (f(s, yt(s)) — f(s, y2(.s)))ds <МУх— у2||.
поэтому (^(yj) — g(y2)||< &Н1У1 — y2ll- С другой стороны, для
любого отображения у £ Vr и для любой точки s£Jr выполняется не-
равенство || f(s, y(s))||<X а значит — в силу (8.7.7) — неравенство
f(s, у (s')) ds и, следовательно, ^(хд)— Хд||<^Л4г. Таким
образом, мы видим, что для того, чтобы иметь возможность приме-
нить теорему (10.1.2), мы должны иметь kr < 1 и Л4г<6(1—kr),
и оба эти неравенства будут удовлетворяться, если взять
г <b!(M-\-kb).
Предположим теперь, что К — С. Определим Ja, Jr, В, М я k
так же, как и выше, и обозначим через FT пространство отображе-
ний у шара JT в пространство Е, непрерывных в Jr и аналитических
в JT. В силу (7.2.1) и (9.12.1) это снова банахово пространство
с нормой || у ||= sup || у (ОН - Для y£Vr (шар Vr определен выше) ото-

бражение 7->x0-f- I /(s. y(s))ds и на этот раз принадлежит FT.
В самом деле, оно аналитично в JT, поскольку в Jr аналитично
отображение s->f(s, y(s)) (9.7.3), а его непрерывность в JT сразу
следует из (8.11.1). Итак, мы определили отображение g шара Vr
в Fr, и доказательство заканчивается так же, как и-выше.
(10.4.6)	Замечание. Доказательство теоремы (10.4.5) показывает,
что результат остается в силе, если 7(=R и если / удовлетворяет
следующим более слабым предположениям:
а)	для каждого непрерывного отображения t->w(t) множества /
в 7/ отображение	rw(t)) является простой функцией
в I (7.6);
Ь)	для любой точки (t, х)£!\Н существуют такой шар J
с центром t в I и такой шар В с центром х в Н, что отображе-
ние / ограничено в J X В и что существует такая константа
5. Сравнение решений дифференциальных уравнений
331
k 0 (зависящая от J и от В), что для любой точки s £ J и любых
У1 и у2 из В выполняется неравенство ||/(s, У\)— f(s, у2)||
^А||у,— Уг11- Такая функция f называется локально липшицевской
в 1\Н. В этом случае имеется в виду, что уравнение (10.4.2)
удовлетворяется только на дополнении не более чем счетного под-
множества шара J. Это последнее замечание позволяет также заме-
нить открытые промежутки I и J промежутками любого вида в R.
5.	Сравнение решений дифференциальных уравнений
Мы будем говорить, что дифференцируемое отображение а от-
крытого шара J qz / в Н есть приближенное решение уравнения
(10.4.1) с точностью е (или, короче, г-решение), если для любой
точки t£J выполняется неравенство
(10.5.1) Пре	дположим, что ||D2/(Z, х)||<;А в / X 77. Если и
и v — два приближенных решения уравнения (10.4.1) в откры-
том шаре J с центром 70 с точностью ej и е2, то для любой
точки
(10.5.1.1)	|| a (t)—v (t) || < || и (Q-ц (70) || е* । '-'.I -J- (е, + е2)е--*-‘.
|^При А —0 отношение-^- (еь — 1) нужно заменить на |/ — 70|.j
Полагая / =	|а| = 1, £^-0, немедленно сводим теорему
к случаю /( = R, /о = О и /^>0. В самом деле, тогда «j(£) =
= и(70-|-а£) и ($) = v (f0 al) являются приближенными реше-
ниями уравнения х' = af(f0-j- al, xfa).
Из неравенства || и' (s) — /($, «($)) || в промежутке 0 s X t
на основании (8.7.7) получаем
II	1	II
и(7) — и (0) — J f(s, u(s))ds|<е^
II	о	II
и аналогично
/ ||
®(7)— w(0) — J f(s, v(s))ds <e2t
о	У
откуда
Il«(0-W)ll<ll«(0)-*'(0)II+
-h f(f(s> «(s)) —/(s, v(s)))ds -|l(2l4-e2)^
0
332
Гл. 10. Теоремы существования
На основании предположения относительно D2/ и ввиду (8.5.4) и 
(8.7.7) это дает
t
(10.5.1.2)	®|(/)<(®|(0)-|-(е1-|-е2)/-) /г J w(s)ds,
о
где w ( ( ') = " и ( Г)— Теорема (10.5.1) вытекает теперь из сле-
дующей леммы:
(10.5.1.3)	Если ср и ф— две простые функции О .в проме-
жутке [0, с], то для любой простой функции w)>0 в про-
межутке [Г>, с], удовлетворяющей неравенству '
i
(10.5.1.4)	‘к>(0<?(0+/ф («)“«’(s)cfs,
о
в [0, с] справедлива оценка
«	f t \
(10.5.1.5)	w(t)<<р (f)4- J ср(s)ф(s)ехрI J ф(£)dr 1 ds.
0	' 5	/
t
Положим у (f) — J" ф (s) w (s) ds. Функция у непрерывна, и из
о
(10.5.1.5)	следует, что на дополнений некоторого счетного подмно-
жества промежутка [0, с] имеем
(10.5.1.6)	/(0-ф(0у(0<?(0ф(0
(t \
— У Ф (s) ds j; неравенство
о /
(10.5.1,6) эквивалентно неравенству
(t	\
—	(s) ds j.
о /
Используя условие г(0) = 0 при t £ [0, с], получаем на основании
(8.5.3)
f	/	5	\
z (О < J ? (s) ф ($) ехР I — J Ф (О rfU ds,
о	\	о /
откуда по определению
<	/ t	\
У (t) С У ср ($) ф ($) ехр / У ф (0 dZ j ds,
о	\ s	/
5. Сравнение решений дифференциальных уравнений	333
и неравенство (10.5.1.5) следует теперь из исходного неравенства
(О (0 + У (О-
(10.5.2)	Предположим, что отображение / непрерывно диф-
ференцируемо в 1у,Н. Если и и v — два решения уравнения
(10.4.1), определенные в открытом шаре J с центром t0 и та-
кие, что u(tQ) — v(t^, то u = v в J.
Достаточно доказать, что и и v совпадают на каждом компакт-
ном шаре L с центром t0, содержащемся в У. А это следует из
теоремы (10.5.1), примененной к и и V, если только мы будем знать,
что производная ограничена на некотором множестве L X Н',
где Н' — открытое подмножество множества И, содержащее и и (Z.)
и v (Е). Но существование такого множества сразу вытекает из (10.4.5.1).
(10.5.3)	Предположим, что Е конечномерно, a f аналитично
в 1у,Н. Тогда любое решение уравнения (ЮАЛ') в открытом
шаре Jc! является аналитическим.
Если К = С, то это немедленно следует из определения.
Предположим, что АГ = R, и пусть f = Rm. Тогда для любой
точки (t0,	существуют такой шар £ос:С с центром t0
и такой шар Рс.Ст с центром х0, что Z,0HRc:/ и P{]Rmc.H и су-
ществует аналитическое отображение g произведения La X Р в Ст,
сужение которого на (£0 0 R) X (Р П Rm) совпадает с f (9.4.5). В силу
(10.4.5) найдется такой открытый шар Lc.L0 с центром t0 в С, что
существует единственное решение v дифференциального уравнения
z'=g(t, z), принимающее в точке t0 значение х0, и отображение v
является аналитическим в L. Пользуясь соотношением v'(t)~g(t, v(f))
и определением g и D, немедленно индукцией по п проверяем, что
все производные у(п)(^о) принадлежат Rm. Поэтому (см. (9.3.5.1))
значение при /££HR принадлежит Rm. Это доказывает, что
сужение и отображения v на множестве L П R является решением
уравнения (10.4.1) [см. 8.4, замечание], удовлетворяющим усло-
вию «(/0)=х0. Но в силу (10.5.2) любое решение •w уравнения
(10.4.1) в шаре Л4 с центром f0, удовлетворяющее условию ®/(/0) —
— х0, в пересечении EfiM совпадает сии поэтому является ана-
литическим в точке /0, 4.т.д.
(10.5.4)	Замечание. Доказательство теоремы (10.5.1) показывает,
что, если К — R, неравенство (10.5.1.1) сохраняет силу в случае,
когда отображение / является липшицевским в I X Н с константой
(т. е. удовлетворяет условию а) замечания (10.4.6) и для лю-
бых точек хх£Н и х2^_Н имеем ||/(t, хг)— f(t, х2)||
- </г  || хг — *2II). В качестве J можно взять промежуток с началом
(или концом) t0, содержащий t0, а в качестве и и v — первообраз-
ные некоторых простых функций в J, и можно предполагать, .что
неравенства ||«'(/) — f (t, и(())|| £i и ||®'(0 — /(£ ®(0)1Ке2
выполняются только на дополнении некоторого не более чем счетного
334
Гл. 10. Теоремы существования
подмножества промежутка J. Теорема единственности (10.5.2) так
же остается в силе (в случае, когда К = при единственном
предположении, что отображение f является локально липшицев-
скам (10.4.6) в I /„Н-
(10.5.5)	Пусть f — аналитическое отображение в 1\Н, если
К = С, и локально липшицевское отображение в 1\Н, если
/C = R. Предположим, что v— решение уравнения (10.4.1),
определенное в открытом шаре J: — /0| < г< &ля которого
Jd и v(J)cz.H, и что отображение	ограничено
в J. Тогда существуют шар J': \t — Z0|<r', r'>r, содержа-
щийся в I, и решение уравнения (10.4.1), определенное в J'
и совпадающее в J с V.
ZC = R. По предположению, при Z^/мы имеем ||/(Л ®(0)||С Л1,
поэтому ||г/(Z)||<^ Л4 на дополнении некоторого не более чем счетного
подмножества шара J. Отсюда по теореме о среднем значении (8.5.2)
следует, что при s£Jh t£J выполняется неравенство H'u(s) — v (Z)||C
Л4|$ — £|. На основании критерия сходимости Коши (3.14.6) за-
ключаем, что пределы v ((/0— О+) и iy((^o + r)—) существуют
и принадлежат множеству v(J)czH. В силу (10.4.6) существует ре-
шение Wj (соответственно w2) уравнения x'=f(t, х), определенное
в некотором открытом шаре (соответственно U2) с центром /0Ц-г
(соответственно 10 — г), содержащемся в I, и принимающее в этой
точке значение т>((£0-|-г)—) (соответственно — г)+). Из
(10.5.2), кроме того, следует, что отображение те/! (соответственно w2)
в пересечении UX[\J (соответственно U2[\J) совпадает с и, и тео-
рема, таким образом, доказана.
/С = С. Для любого комплексного числа С, для которого |С| = 1,
положим t—Z0-|-Cs, где s)>0, и	(s)=® (Zo 4~ £$) Тогда то же рас-
суждение, что и выше, доказывает, что в Н существует предел vz(r—).
Поэтому существует решение уравнения х' — f (t, х), определен-
ное в некотором открытом шаре Ус с центром Z0-]-Cr, содержа-
щемся в Z, удовлетворяющее условию wz(tQ-{-Zr)=vz (г—). Из (10.5.2)
следует, что и V совпадают на пересечении множества
с сегментом с концами t0 и £0—|—Сг. Так как эти функции являются
аналитическими в /ПИС, они в силу (9.4.4) совпадают на множе-
стве /ПИС. Теперь покроем компактное множество |/ — /0|=г ко-
нечным числом .шаров (1</</п). Если г П + 0, то функ-
ции и совпадают в П Vt. В самом деле, обе они совпа-
дают с v на непустом открытом множестве JП УС/ Л V\., и нам
остается только применить теорему (9.4.2). [Чтобы доказать, что
предыдущее пересечение не пусто, заметим, что (как следует из
предположения) r|Cz — С/ <pz-f-P/> где Pt и ру— радиусы шаров
и Ус . Поэтому существует такое число ]0, 1[, что гХ|^— Cjl<
5. Сравнение решений дифференциальных уравнений	335
< pz и г(1—X)|CZ— 1 < ру Отсюда следует, что точка /04~
г((1—X) 4 4-Х^) принадлежит пересечению JO VC( fl Vc .] Таким
образом, существует решение уравнения x' = f(t, х), равное v в J
и wc. в каждом из Vr., и найдется открытый шар с центром t0
и радиусом г' > г, содержащийся в объединении этих множеств
(3.17.11). Теорема доказана.
(10.5.6)	Пусть f и g— два непрерывно дифференцируемых
отображения произведения I у Н в Е; предположим, что
в IX Н выполняются неравенства ||/(7, x) — g(t, х)||<>
и D2g(t,	Пусть (t0, х0) — некоторая точка произве-
дения 1У, Н, р. > 0, е 0 « <р(£) = р.е^4-(а4-е)(еА£ — 1)/^ пРа
Е 0. Пусть и есть г-решение уравнения x' = g(t, х),
определенное в открытом шаре J: |/ — ^0|<£, содержащемся
в /•, и такое, что для любой, точки t£J замкнутый шар с цен-
тром u(t) и радиусом <р(|/ — /0|) содержится в Н. Тогда для
любой точки у^_Н, для которой || у — х0||<(р., существует един-
ственное решение v уравнения x' — 'f(t, х), определенное в J,
принимающее значения в Н и удовлетворяющее условию v(t0) = y.
Кроме того, при t£J выполняется неравенство ]|«(7) — у(0||^
С ?(I* —*о|)-
Пусть А — множество чисел г, таких, что 0<r<^Z> и что су-
ществует решение vr уравнения х' = / (t, х), принимающее значе-
ния в Н, определенное в шаре Jr'. |7— /0| <г и удовлетворяющее
условию vr(t^) = у. По теореме существования Коши (10.4.5) мно-
жество А не пусто. Кроме того, в Jr мы имеем ||о'(0 — g(t, ®г(0)|-Са!
иными словами, vr есть a-решение уравнения x' = g(t, х), и на
основании (10.5.1.1) мы заключаем, что ||«(7)—	<р(|7—70|)
в Jr. Если числа гиг' принадлежат А и если г < г', то в силу
(10.5.2) vr и vr< совпадают в Jr.
Пусть с — верхняя грань множества А. Нам нужно доказать,
что с = Ь. Допустим противное. Тогда существует единственное ре-
шение v уравнения x' = f(t, х) в Jc, равное vr в каждом из ша-
ров Jr при г < с, принимающее свои значения в Н и такое, что в Jc
||и(7) — v (<)|| <р (11—70 ]). Таким образом, имеемв Jc: || g (t, v (f)) ||
X || g (t, uif))II 4~ ky(j t —10 |), и так как отображение t-+ g(t, и (7))
непрерывно в Jc, то оно ограничено в этом компактном шаре, откуда
следует, что отображение t->g(t, v(f)) ограничено в Jc. С другой
стороны, любая точка прикосновения z множества ®(7С) является
пределом последовательности (у(7„)), где tn£Jc и tn стремится
к точке /04~сч, 14 С1. В силу непрерывности мы имеем
|| z — и (70 + cQH-C ?(с I £ | )• поэтому по предположению z£H. Таким
образом, мы можем применить теорему (10.5.5) и получить решение
уравнения х' = f(t, х), определенное в некотором шаре Jr>, где г'>с,
336
Гл. 10. Теоремы существования
и принимающее в точке /0 значение у, что противоречит опреде-
лению с.
Снова заметим, что, если ^ = R, мы можем ослабить предполо-
жения относительно отображений f и g, потребовав только, чтобы g
было липшицевским с константой k, a f — локально липшицевским
в / X И.
Задачи
1.	Пусть f (t, х)—действительная непрерывная функция в шаре |
| х | < b в R2, обладающая тем свойством, что f (t, х) < 0 при tx > О
и f(t, х) > 0 при tx < 0. Покажите, что х = 0 есть единственное решение
дифференциального уравнения х' = f (t, х), определенное в некоторой
окрестности точки 0 и удовлетворяющее условию х (0) = 0.
[Допустите противное и рассмотрите в некотором компактном проме-
жутке, содержащем 0, точки, в которых решение достигает максимума
и минимума.)	’’’
2.	Пусть /(/, х)—действительная непрерывная функция, определенная
в R2 следующими условиями: f (t, x) — ~2t при х>/2, f (t, х) =— 2х//
при | х | < t2 и f (t, x) = 2t при x<— t2. Пусть (ул) — последовательность
t
функций, определяемая соотношениями y0 (/) = t2, yn (t) = J* f (u, yn_t (u)) du
о
при n > 1. Покажите, что последовательность (yn (/)) не сходится ни в од-
ной точке t £ R, несмотря на то, что дифференциальное уравнение х' = f(t, х)
имеет единственное решение, удовлетворяющее условию х(0) = 0 (задача 1).
3.	Для любой пары действительных чисел а > 0 и р > 0 функция, рав-
ная — (t — а)2 при t < а, 0 при а < Т {3 и (/ — 6)2 при t > {3, является ре-
шением дифференциального уравнения х' — 2 |х |'\ удовлетворяющим условию
х (0) = 0. Пусть и0 — произвольная непрерывная функция в компактном проме-
t
жутке [а, 6], и определим по индукции функции ил(/) = 2 J* | un_t (s) р ds
о
при 16 [а, 6]. Покажите, что если 7 есть наибольшее число в промежутке
[а, 6], для которого ua(t) = 0 в [а, 7], то последовательность (ил) равно-
мерно сходится на [а, 6] к решению уравнения х’ = 2 | х 11/2, равному 0 при
и (Т — 7)2 при 7</<6.
[Рассмотрите сначала случай, когда ua(t) — Q при /<7 и и0(Т) =
= k (t — 7)2 при 7 < t Ь. Затем заметьте, что, заменив, если потребуется,
и0 на ub можно считать, что функция и0 возрастает на [а, Ь]. Убедитесь
в том, что для любого числа е > 0 существуют такие два числа kt > 0
и k2 > 0, что в промежутке [а, А] имеем k^vait—е)<и0(0<й2^о(^—7+ Е),
где va (t) = 0 при t < 0 и va (t) = t2 цри < > 0.)
4.	Обозначения те же, что и в 10.4. Предположим, что К = R, отобра-
жение f непрерывно и ограничено в IX Н, и пусть М = sup || f (t, х) ||.
5. Сравнение решений дифференциальных уравнений	337
Пусть х0 — точка множества И и S — открытый шар с центром ха и ра-
диусом г, содержащийся в Н.
а)	Предположим вдобавок, что / равномерно непрерывно в /%S (это
условие автоматически выполняется, если Е конечномерно и I содержится
в таком компактном промежутке 10, что отображение / непрерывно в
Докажите, что для любого е > 0 и любого компактного промежутка [/0, ta -[- Л]
(соответственно [f0 — h, i0]), содержащегося в / и такого, что h < гЦМ е),
в этом промежутке существует приближенное решение уравнения х' = f (t, х)
с точностью е, принимающее при t = ta значение ха.
[Предположим, что 8 > 0 выбрано так, что из ] t\—t21 X 8 и Цх, — х2||<8
следует ||/ (/,, xj— f (t2, х2)||<е. Рассмотрите подразделение промежутка
[^о> to + на промежутки длины, не превосходящей inf (8, 8/Л4), и после-
довательно определите приближенное решение в каждом из этих малень-
ких промежутков, начиная с f0-l
Ь)	Предположим, что Е конечномерно и что / = ]f0 — a, 70	а[: Дока-
жите, что существует решение уравнения х' = f (f, х), определенное в про-
межутке [foi to + с] (соответственно [f0— с, /0]), где с = inf (а, rjM), при-
нимающее занчения в S и равное х0 при t = ta (теорема Пеано).
[Для каждого п пусть ип есть l/n-решение (определенное в промежутке
Jn = ро, fo + c—существование которого доказано в а). Заметьте, что
для каждого т сужения функций ип (при п > т) на промежутке Jm обра-
зуют относительно компактное множество в нормированном пространстве
^Е^т) (7-5.7), и воспользуйтесь .диагональным процессом*, как в доказа-
тельстве теоремы (9.13.2). В заключение примените (10.4.3) и (8.7.8).}
5.	Пусть / — отображение пространства (с0) Банаха (задача 5 § 5.3)
в себя, такое, что если х = (хл), то f (х) = (ул), где ул=| хп |'^-|-1/(п+1).
Покажите, что отображение f непрерывно в (с0), но не существует реше-
ния дифференциального уравнения х' = f (х), определенного в некоторой
окрестности точки 0 в R, принимающего значения в (с0) и равного 0
при t = 0.
[Допустив, что такое решение и (t) = (ил (t)) существует, вычислите
значения каждой из функций и„ (<) с помощью непосредственного интегри-
рования и покажите, что при последовательность (ил(О)л>.о не стРе‘
мится к 0.]
6.	а) Обозначения те же, что и в 10.4. Пусть отображение f является
аналитическим в 1У\Н, если К = С, и локально липшицевским в
если К = R. Пусть /0 — открытый шар с центром /0 и радиусом а, содержа-
щийся в /, и S — открытый шар с центром х0 и радиусом г, содержащийся
в Н. Пусть h (s, z) — непрерывная функция, определенная в произведении
[0, а [X [0, г [ с R2, такая, что h (s, г)>0 и что для каждого s € [0, а[ функ-
ция z -> h (s, г) возрастает на промежутке [0, г[. Предположим, что:
1’) II/(^, -*)IK h (11 — I, || x — x0||) в /0XS; 2°) существуют такой про-
межуток [0, а], где а < а, и такая функция <р, являющаяся в промежутке
[0, а] первообразной некоторой простой функции ?что <р (0) = 0,
22 Ж. Дьедонне
338	Гл. 10. Теоремы существования
<р (s) € [0, г [ и <?'(s) > h (s, <р (s)) в промежутке [0, а], за исключением
не более чем счетного множества значений $. Покажите, что существует
решение и уравнения х' = f (I, х), определенное в открытом шаре J
с центром /о и радиусом а, принимающее значения в S и удовлетворяющее
условию и (/0) — х0. При этом || и (Г) — х0||< <р (] t —101) в J.
[С помощью (10.5.5) докажите, что найдется наибольший открытый шар Jo
с центром ta, содержащийся в /0, в котором существует решение v уравнения
х' = f (t, х), принимающее значения в S и удовлетворяющее в Ja условию
||o(f)—ха ||<<р (11—101), и, кроме того, что это решение единственно. Затем,
пользуясь теоремой о среднем значени i, от противного докажите, что /czJo-l
b)	Предположим, что Н = Е и что существует функция h (г) > 0, опре-
деленная, непрерывная и возрастающая в промежутке [0, -|-оо[ и такая, что
+ оо
J* dz/h (г) — + оо и что [| f (t, х) || X h (|| х ||) в /0 X Е. Покажите,. что каж-
о
дое решение уравнения х' = f (t, х), определенное в некоторой, окрестности
точки ta, определено в 1а.
[Воспользуйтесь а).]
с)	Если || f (t, х) || X Л1 в /0Х5, то существует решение и уравнения
х' — f(t, х) в шаре J с центром t0 и радиусом min (а, r/М), принимающее
значения в S и удовлетворяющее условию и (t0) = х0 (возьмите h ($, г) = Л4).
Предположим, что К — Е=С и а>г/Л4. Покажите, что если отображение f
не постоянно, то существует такой открытый шар J' 73 J, что и может быть
продолжено в решение уравнения х' = f (t, х) в шаре J', принимающее зна-
чения в S.
[Заметьте, что на основании принципа максимума (9.5.9) при t G J вы-
полняется неравенство | и' (Z) | М. Для любой точки С, для которой ] Z | =1,
рассмотрите функцию ис (s) = и (t0 -|- С$) и, рассуждая как в (10.5.5), пока-
жите, что выполняются условия теоремы (10.5.5).]
Как показывает пример функции f (t, х) = ( (1	л)/2)1,,п (задача 8
§9.5)	= 0 и<г = г=Л4=1 (п — произвольное целое число > 1),
в качестве радиуса шара J' нельзя взять число, зависящее только от а, г
и М и не зависящее от самого отображения /.
7. Пусть / — действительная ограниченная непрерывная функция в от-
крытом полицилиндре Р: И — 1 < а, |х — х01 < й в R2 и пусть М =
= sup \ f (t, х) |. Пусть г = min (а, Й/Л4) и пусть /=]/0—г, t0 -)-/•[. Пусть
МгР
Ф — множество всех решений и уравнения х’ = / (t, х), определенных в /,
принимающих значения в открытом промежутке ]х0 — Ь, л0-|- й[ и при t = t0
равных х0; множество Ф не пусто (задача 4, Ь)). Для каждой точки t С / пусть
v (t, t0, хд) — inf u(f) и w (t, tQ, x0) = sup и (f). Покажите, что функции v
u£9	и£Ф
и w принадлежат Ф (задача 11 § 7.5); v (соответственно w) называется мини-
мальным (соответственно максимальным) решением уравнения х’ = f (t, х)
в /, соответствующим точке (f0, х0).
Для каждой точки т € / положим $ ~ v (т, /0, х0). Покажите, что
v(t, 6) = и (Л t0, х0) в некотором промежутке вида [т, т -|- Л[, если т > ta,
6. Линейные дифференциальные уравнения	339
и вида ]г — Л, г], если т < t0 (где h > 0). Заключите отсюда, что суще-
ствует наибольший открытый промежуток ]/(, t2[, содержащийся в проме-
жутке ]£0 — а> + содержащий точку ta и обладающий тем свойством,
что функция v (/, t0, х0) может быть продолжена в непрерывную функцию g,
определенную в промежутке ]^„ /2[, принимающую значения в промежутке
]х0 — Ь, хй + й[ и такую, что g (s) = v (s, t, g (i)) для каждой точки t £ ]Л, t2[
на некотором промежутке вида [/, <-]-Л[, если t > t0, и вида ]t — h, /], если
t < to (i-де h > 0).
[П скажите, что если g]—другое такое продолжение функции v{t, to, х0)
на промежуток ]/р <2[, то g и gj совпадают на пересечении промежутков
Кь /г] и Fi> t2[. Для этого рассмотрите верхнюю (соответственно нижнюю)
грань множества точек s этого пересечения, для которых g и gt совпадают
на. [/0, (соответственно на ]s, /0]). Покажите далее, что либо tt= t0 — а
(соответственно, t2 = t0-\-a), либо же g (^ -]-) = ±b (соответственно
g(t2—) = Xo±b).]
6.	Линейные дифференциальные уравнения
Теорема существования (10.4.5) в частных случаях может быть
усилена:
(10.6.1)	Пусть 1сК — открытый шар с центром t0 и радиу-
сом г. Пусть / — отображение, непрерывное в /ХЕ, если
Af = R, и аналитическое в /ХЕ, если К = С, и пусть при
всевозможных t £/, хх£Е и х2£Е выполняется неравенство
||/(/, *1)— f(t, х2)||<А(|/ — /о|) • ll*i — x2ll- где ?-**(;) — не-
которая простая функция в промежутке [0, г[. Тогда для
каждой точки х0£Е существует единственное решение и урав-
нения (10.4.1), опрёделенное в I и удовлетворяющее условию
и (/о) = *0'
Пусть с — верхняя грань таких чисел р, 0 < р < г, что- суще-
ствует решение уравнения (10.4.1), определенное при —/0| < Р
и принимающее в точке t0 значение х0. Нам нужно только дока-
зать [в силу (10.5.2)], что с = г. Допустим противное. Тогда в силу
(10.5.2) существует решение v уравнения (10.4.1), определенное
в шаре J: |/ — /0| <с и удовлетворяющее условию v(/0)=x0.
Мы собираемся показать, что выполняются предположения теоремы
(10.5.5). Тогда, применяя теорему (10.5.5), мы приходим к проти-
воречию.	___
Так как в нашем случае Н = Е, то условие	выполняется
тривиально. Таким образом, нам нужно только проверить, что ото-
бражение t->f(t, v(/)) ограничено в J. Но функция k ограничена
на компактном промежутке [0, с]; точно так же непрерывная функ-
ция t-> ||/(/, ограничена на компактном множестве J, Поэтому
22*
340
Гл. 10. Теоремы существования
существуют такие два числа m > 0 и h. > 0, что ||/(7, х)||<^ т||х||-}-й
при t^J и х£Е. Отсюда следует, что ||о'(7)||С /п||©(0|Ц-Л при
t£J. Если мы положим w(£) — ||®(^o+^)lh где IM = 1> то по
г
теореме о среднем значении получим ||х0|| -j-hc~}-m f w&dt.
о
Следовательно, мы можем применить лемму (10.5.1.3), которая пока-
зывает, что || 1) (0|| -яг™ 11~1° 1-|-# в J (а и b— константы). Поэтому
отображением ограничено в J, а значит, и ||/(t, м(7))||||м(7)1|+ h.
В случае когда A^ = R, условие непрерывности, налагаемое на /,
можно ослабить, заменив условием а) замечания (10.4..6).
Линейное дифференциальное уравнение есть уравнение (10.4.1)
специального вида
(10.6.2)	х' — A(t)  x-\-b(t)	(т. е. /(7, х)~ A (Г) • x-\-b(t)),
где А — отображение множества I в банахово пространство Е)
непрерывных линейных отображений пространства Е в себя (5.7),
а b — отображение множества 7 в Е. Мы имеем здесь Н = Е, и
в силу (5.7.4) ||/(7, Xj) —/(7, х2)||< || А (7)||  || ^ — х2|| для всех
7 £7, хх£Е и х2£Е. Применяя теорему (10.6.1) и следующее за
ней замечание, мы, таким образом, получаем
(10.6.3)	Пусть IczK — открытый шар с центром 70. Предполо-
жим, что функции А и b просты в I, если К = Ъ, и аналитичны
в I, если К —С. Тогда для каждой точки х0£Е существует
единственное решение и уравнения (10.6.2), определенное в I
и удовлетворяющее условию «(70) = х0.
Заметим, что если Ь = 0 и х0 = 0, то решение и уравнения (10.6.2)
равно 0.
Из (10.6.3) легко выводим более общий результат:
(10.6.4)	При тех же предположениях, что и в теореме (10.6.3),
для каждой точки s^I и каждой точки x0GE существует
единственное решение и уравнения (10.6.2), определенное в I
и удовлетворяющее условию и($) = х0.
Заменяя, если нужно, 7 на 7 — 70, можем считать, что 70 = 0.
Предположим, что I — шар радиуса г. Легко проверить, что
отображение 7 —> г2 —?— есть аналитический гомеоморфизм шара 1
на себя, переводящий точку s в точку 0 (нужно только написать
2 7—S г2/.	г2—Ш2\
г	— 1  ----—чтобы оценить верхнюю грань абсо-
St 1 ’ Г* <S \	7* st j
лютной величины правой части при |7|<^г и убедиться, что она
7. Зависимость решения от параметров
341
равна г). Очевидно; что если теперь
Aj (t)
(st —Г2)2	.[ 2 t — s X .... (st —г2)2 , / 9 t — зХ
— — -----------— А г2  ------- и b, (t) = —1------------— b г2 =----1
r2(|s|2 — г2)	( st — г2 /	r2(|s|2 —г2) \ st—г*)
и если о есть единственное решение дифференциального уравнения
х' = Ay(f) 
определенное в I и удовлетворяющее условию т»(О) = хо, то
(t 1 li S \
г2 --- есть единственное решение уравнения (10.6.2),
st — г2 ]
определенное в / и удовлетворяющее условию и (з) = х0.
В случае когда Е = Кп, A (t) == (а/;- (t)) есть квадратная матрица
порядка п, a b(t) = (bt(t)) — вектор, причем функции «уЮ и *z(t)
просты в /, если X' = R, и аналитичны, если К = С. Если
х —(xz)1<z<n, то уравнение (10.6.2) эквивалентно системе скаляр-
ных линейных дифференциальных уравнений
(10.6.5)	x' = 2«/y(t)xy-+-^(0	(l<Z<n).
Линейное скалярное дифференциальное уравнение порядка п > 1
(10.6.6)	D"x — a1(t)D',’1x— ... — e„_!(0Dx — an(f)x = b(f)
эквивалентно системе вида (10.6,5): положим х1 = х, xp = D₽-1x при
2^р^п, и тогда уравнение (10.6.6) превратится в систему
<f0 6 71 I Х* = *Й+1 П₽И
* I < = fli(O^ + a2^)x«-i+ ••• +«„+
7.	Зависимость решения от параметров
(10.7.1)	Пусть Е— банахово пространство над полем К,
I — открытое множество в К, Н — открытое множество в Е,
Р — метрическое пространство и f — отображение произведе-
ния I X Н X Р в Е. Предположим, что: 1°) (t, x)->f(t, х, z)
есть непрерывно дифференцируемое отображение произведения
I у^Н в Е для любой точки z£P: 2°) / и T)2f непрерывны
в 1'^Н'^Р. Тогда для любой точки (t0, х0, z^^I^H'^P
существуют такой открытый шар JcJ с центром t0 и такой
открытый шар TczP с центром z0, что для каждой точки
z£T в J существует одно и только одно решение t->u(t, z~)
уравнения х' = х, г), удовлетворяющее условию a(t0, г) = х0.
342
Гл. 10. Теоремы существования
Кроме того, отображение (t, z)—>u(t,z') ограничено и непре-
рывно в J XT.
Доказательство очень похоже на доказательство теоремы (10.4.5).
Пусть -Ja — компактный шар с центром tQ и радиусом а, содержа-
щийся в /. В силу (10.4.5.1) существуют такой открытый шар В
с центром х0 и радиусом Ь, содержащийся в Н, и такой открытый
шар Т с центром г0 в Р, что ||/(Л х, z)||</M и ||D2/(£, х, z)||<; k
в JaX В XT- Пусть Jr — замкнутый шар с центром t0 и радиусом г,
где г < а. Если A" = R, то определим Рг как пространство ограни-
ченных непрерывных отображений у произведения JrXT в Е,
являющееся банаховым пространством. Если К = С, то определим Рг
как пространство отображений у произведения JrXT вЕ, ограни-
ченных и непрерывных в Jr X Т и таких, что для каждой точки
z £ Т отображение t -> у (/, г) является аналитическим в Jr; это снова
в силу (9.12.1) банахово пространство. Остающаяся после этого
часть доказательства теоремы (10.4.5) не изменяется.
(10.7.2)	Пусть 1аК — открытый шар с центром t0. Предполо-
жим, что А и b непрерывны в I X Р и, если К = С, обладают
тем свойством, что для каждой точки zGP отображения
t->A(t, z) и t-^-bit, z) являются аналитическими в I. Для
любой точки xGE пусть t—>u(t, z) есть решение уравнения
x' = A(t, z) • x-\-b(t, z), определенное в I и удовлетворяющее
условию u(t0, z) — x0. Тогда и непрерывно в 1\Р.
Пусть ZO£P; рассмотрим произвольный компактный шар Jczl
с центром t0 и радиусом г. Достаточно доказать, что и непрерывно
в каждой точке (Л г0), где t(^J. Так как отображение u(t, zQ) не-
прерывно в J, то оно ограничено на этом компактном множестве;
пусть ||и(t, z0)||^Al в J. В силу (10.4.5.1) существует такая окрест-
ность U точки z0 в Р, что || А (Л z)|| < k при zfU и t£j. Покажем
теперь, что если задано произвольное е > 0, то существует такая
окрестность VczU точки z0 в Р, что при t£J и z^V выполняются
неравенства || A (t, z) — A(t, г0)||<е и ||£(/, z)—b(t, z0)||<e. Нужно
только заметить, что для любой точки s£J существуют окрест-
ность Ws точки s в J и окрестность Vsc.U точки z0 в Р, для которых
предыдущие неравенства выполняются в Ws X Vs. Покроем тогда
шар J конечным числом окрестностей Ws. и в качестве V возьмем
пересечение окрестностей У,.. Мы можем теперь написать
u'(t, z) — u'(t, z0)=A(t, z)-(u(t, z) — u(t, z0)) +
+ (А(Л z) — A(t, z0))-u(t, z0)+b(t, z) — b(t, zQ).
Поэтому при t£J и z£V
\\u'(t, z) — u'(t, z0)||<A- ||и(Л z) — u(f, z0)|| 4-е(Л44- 1).
7. Зависимость решения от параметров
343
Положим t = где |Х| = 1 и 0<^<(г, и введем функцию w(£) =
= II«(A) + ^. z)—zo)ll- Тогда по теореме о среднем зна-
чении	1)г4-& J'wCQrfC при 0^£^г и, пользуясь
о
(10.5.1.3)	, получим w (?) .<( е(Л1Д-l)reftr при 0<(£^г. Иными сло-
вами, при 7 £ J и z £ V мы имеем || и (t, z) — u(t, z0) || e (M 1) rekr.
Так как e произвольно, это завершает доказательство (поскольку
отображение 4.->и(7, z0) непрерывно в J).
(10.7.3) В добавление к предположениям теоремы (10.7.1) до-
пустим, что Р есть открытое множество в банаховом про-
странстве О и что f непрерывно дифференцируемо в IX Н X Р•
Пусть Jxc.I — открытый шар с центром и Т,сР— откры-
тый шар с .центром г0, такие, что для каждой точки г£Т\
существует решение t->u(t, z) уравнения х' — f(t, х, z) [в силу
(10.5.2) необходимо единственное}, определенное в Jx и удовле-
творяющее условию u(t0, z) — x0. Тогда для любого открытого
шара J с центром t0, для которого JczJlt существует такой
открытый шар ТсЛ\ с центром z0, что отображение (t, z)->
—>u(t, z) непрерывно дифференцируемо в JXT. Далее, для
любой точки z£T отображение 7->D2«(7, z) равно в J реше-
нию U (t, z) линейного дифференциального уравнения
(10.7.3.1)	U' = A(t, z)°U + B(t, z),
удовлетворяющему условию U (t0, z) — Q, где
A(f, — u(t, z), z) и B(t, z) = Оз/(Л u(t, z), z).
Пусть J—открытый шар с центром t0 и радиусом г, для кото-
рого В силу (10.4.5.1) существуют такой открытый шар SczH
с центром х0 и такой открытый шар TcTj с центром z0, что
частные производные D2/ и D3/ ограничены в JXS\T; пусть
||D2/(7, х, г)||< а и ||Оз/(Л х, г)||<Л. Тогда в силу (8.5.2)
и (8.9.1)
(10.7.3.2)	||/(/, хР ^) —/(7, х2, ^IKallXj —х2|| + ^||2г1—z2||
при 7 С J, Xj и х2 в S и zx и z2 в Т. Принимая во внимание (10.7.3.2),
видим, что в силу (10.5.1) при t^J, z^T и z2£T имеет место
неравенство
(10.7.3.3)	||«(7, z,) — u(t, z2)\\^c]\Zl — z2\\,
где c = b(ear—1)/я. Докажем теперь, что если заданы точка z£T
и е > 0, то существует такое р /> 0, что для любой точки w£P,
344
Гл. 10. Теоремы существования
для которой z-\-w^T и ||w||^p, и для любой точки выпол-
няется неравенство
(10.7.3.4)	||/(Л u(t, z^-w), z~\-w) — f(t, u(t, z), z) —
— A(t, z)-(u(t, z-\-'w)—u(t, z))—B(t, z) • w||<^ e||w||.
В самом деле [на основании (8.6.2), (8.9.1), непрерывности произ-
водных D2/ и D3/ в I X Н X Р и неравенства (10.7.3.3)], для каждой
точки s£J существует такая окрестность точки s в Jr и такое
число p(s)>0, что неравенство (10.7.3.4) выполняется при t(^Ws
и р (s). Если теперь покрыть J конечным числом окрестно-
стей Ws., то, чтобы иметь (10.7.3.4), достаточно только в качестве р
взять наименьшее из р (sz). Учитывая определение отображения и (t, z),
мы можем неравенство (10.7.3.4) переписать также в виде
(10.7.3.5)’	||Dj«(Л z-\-w')— Dj«(/, z)—
— A(t, z) • (u(t, z~}--w)—u(t, z))— B(t, z) • w|Ke||w||.
Теперь существование решения U (t, z) в J\T гарантируется
теоремой (10.6.1). Положим v(t, z, w) = u(t, z-j-w)— u(t, z) —
— U(t, z)  чо. Эта функция имеет производную пО t, в силу (10.7.3.1)
равную
Dfu(/, z, .«’) = D1a(Z, z-j-w) — Dj«(/, z) —
— A (t, z) • (U (t, z) • w) — В (t, z)  w.
Неравенство (10.7.3.5), таким образом, можно записать в виде
||-D1‘»(/, z, w) — A(t, z)-v(t, z, w)||<;e||w||
для любой точки t£J и для любой точки w, для которой Z-\-W^T
и ||w || <(р. Иными словами, v(t, z, w) есть приближенное решение
с точностью е||«’ll линейного дифференциального уравнения
(Ю.7.3.6)	y' = A(t,z)-y.
Далее, по определению мы имеем v(t0, z, «») = 0. Так как
||Д(Л z)||<(a в J^T, то из (Ю.5.1) мы заключаем [поскольку 0
является решением уравнения (Ю.7.3.6)], что
1|«(Л 2, «Oll^c^lMI,
где с0 = (еаг—1)/а. Это неравенство справедливо для любой точки
t£J и любой точки w, для которой z-j-w^T' и ||w||^p. Так
как е произвольно, определение производной показывает, что ото-
бражение и дифференцируемо по z в любой точке (7, z) £ J X Т и что
D2« (Л z) = U (t, z).
Наконец, из предположений и из (10.7.2) следует, что U непре-
рывно в J^T. С другой стороны, производная DjM^, z) =
7. Зависимость решения от параметров
345
= /(t, u(t, Z), z) непрерывна в J^T в силу (10.7.1). Следова-
тельно. по теореме (8.9.1) отображение и непрерывно дифферен-
цируемо в J X Т, и это завершает доказательство.
(10.7.4)	В добавление к предположениям теоремы, (10.7.3) до-
пустим, что отображение f непрерывно дифференцируемо
в I X Н X Р Р Раз- Тогда для любого открытого шара J с цент-
ром £0, для которого JczJx, шар Т можно выбрать так,
чтобы отобраЖение и было р раз непрерывно дифференци-
руемо в JXT.
В случае р = 1 это теорема (10.7.3). Проведем индукцию по р.
Допустим, что утверждение уже доказано для (р — 1) раз непре-
рывно дифференцируемых отображений. Тогда Л и В в правой части
уравнения (10.7.3.1) являются в Jy^T [в силу (8.12.10)] р — 1 раз
непрерывно дифференцируемыми отображениями. Следовательно, по
теореме (10.7.3) (примененной к U (t, z)) производная D2«(/, z)
непрерывно дифференцируема в J'y.T р—1 раз (если Т выбрано
подходящим образом). С другой стороны, производная T)xu(t, z) =
— f(t, и (t, z), z) непрерывно дифференцируема в J X Т р — 1 раз
по предположению индукции и (8.12.10). Таким образом, в силу(8.9.1),
(8.12.9) и (8.12.10) производная D«(Z, z) непрерывно дифферен-
цируема в р — 1 раз. Но отсюда ввиду (8.12.5) следует, что
отображение и непрерывно дифференцируемо в J X Т р раз.
(10.7.5)	Предположим, что банаховы пространства Е « G ко-
нечномерны и что отображение f аналитично в I^HyP.
Тогда для любого открытого шара J с центром t0, для кото-
рого JcJlt шар Т можно выбрать так, чтобы отображение и
было аналитическим в J X Т.
Если /С = С, то это сразу следует из (10.7.1), (10.7.3), (9.10.1)
и (9.9.4). Если ^ = R, то проводим рассуждение, в точности похо-
жее на доказательство теоремы (10.5.3).
(10.7.6)	Замечания. Существует несколько усилений и вариантов
предыдущих теорем. Например, в теореме (10.7.3) в случае, когда
К = R, для того чтобы обеспечить существование производной
D2«(/, z), существование производной Dj/ не требуется. Нужны
только непрерывность производных D2/ и D^f как функций от (х, z)
и их ограниченность в J X S X Т, а также тот факт, что отображе-
ние	h(t), z) простое в I для любой функции Л, непрерыв-
ной в I, и аналогичные требования относительно D2/ и
Можно также рассмотреть случай, когда / есть открытое мно-
жество в R и Е— действительное банахово пространство, а О—ком-
плексное банахово пространство. Для любой точки t £ отображение
z->u(t, z) является тогда аналитическим в Т.
346
Гл. 10. Теоремы существования
Задачи
1. Обозначения те же, что и в 10.4. Пусть / — открытый шар в К
с центром ta и радиусом a, S — открытый шар в Е с центром х0 и радиу-
сом г и G — нормированное пространство (/ X 3) (7.2). Для каждого
М > 0 пусть GM — шар ||/[|<;Л4 в О. Пусть L — множество в G, состоя-
щее из всех непрерывных липшицевских отображений произведения / X S
в Е (10.5.4). Для каждого М > 0 пусть J№—открытый шар в К с центром /0
и радиусом min (a, rfM). Для каждой функции f£L[\GM существует един-
ственное решение « = (/(/) уравнения х' = f (t, х), принимающее значения
в 3, определенное в JM и удовлетворяющее условию и (/0) = ха (задача 6, с)
§ 10.5'.
а)	Пусть (/п) — последовательность функций, принадлежащих L f] GM, и
предположим, что последовательность fn равномерно сходится в / X
к функции /. Покажите, что каждая предельная точка последовательности
функций un = U (f„) в пространстве	является решением уравнения
х' = f (t, х), принимающим значения в 3 и при t — ta равным х0.
[Воспользуйтесь (10.4.3) и (8.7.8).]
'. Приведите пример, когда последовательность («„) не имеет в
ни одной предельной точки (см. задачу 5 § 10.5).
Ь)	Предположим, кроме того, что Е конечномерно. Пользуясь результа-
том задачи а), дайте новое доказательство теоремы Пеано (задача 4, Ь) §10.5).
[Воспользуйтесь теоремой Асколи (7.5.7) и теоремой Вейерштрасса об
аппроксимации.]
2. а) Пусть g и h — две действительные непрерывные функции в поли-
цилиндре Р: ] t — ta\<a, | х — х01 < b в R2, удовлетворяющие в Р неравен-
ству g (t, х) < h (t, х). Пусть и (соответственно v) — решение уравнения
х' = g (t, х) (соответственно х' = h (t, х)), определенное в промежутке
Ко» to-F с [, принимающее значения в промежутке] х0—Ь, х04-И и удовле-
творяющее условию и (/о) = х0 (соответственно v (/0) = х0). Покажите, что
при ta < t < /о4~с имеет место неравенство и (/) < v(t).
[Рассмотрите верхнюю грань таких точек s промежутка [/0, /04-с[, Для
которых при t0 < t < s имеет место неравенство м (/) < «(/)•]
Ь) Пусть g — непрерывная действительная функция в Р и и — макси-
мальное решение уравнения х' = g (t, х), соответствующее точке (/0, х0)
(задача 7 § 10.5). Предположим, что и определено (по крайней мере) в про-
межутке [/e, t0 с [ н принимает значения в промежутке ] х0 — Ь, х04-^[-
Покажите, что в каждом компактном промежутке [Zo, 1а d], содержащемся
в [/0, ta 4- с [, при достаточно малом е >0 определены максимальное и мини-
мальное решения' уравнения х' = g (t, х) 4-они принимают значения
в промежутке ] х0 — Ь, ха 4" Ь [ и равномерно сходятся к и, когда е стре-
мится к 0.
[Если задано е0 > 0> то существует такое, s > /0, что максимальные и
минимальные решения всех уравнений х' = g (/, х) 4- е при 0 е е0, coot-
7. Зависимость решения от параметров
347
ветствующие точке Ro> *о), определены в промежутке [Zo, .s] и принимают
на нем значения в промежутке] х0— Ь, х0-}-Ь [. Заметьте, что все эти функ-
ции образуют на промежутке Ro, .s] равностепенно непрерывное множество
и, применяя результат задачи а), теорему Асколи н теоремы (10.4.3) и (8.7.8),
докажите равномерную сходимость к и на промежутке Ro, $]. Наконец,
пользуясь, в частности, последним утверждением задачи 7 § 10.5, покажите,
что верхняя грань чисел d, обладающих указанным свойством, необходимо
равняется с.]
с) Пусть g и h — две непрерывные действительные функции в поли-
цилиндре Р, удовлетворяющие в Р неравенству g (t, x)^h (t, x). Пусть
Ro-А>+с].— промежуток, в котором определены и принимают значения
в промежутке] x0 — b, x0-f-&[ решение и уравнения х' = g (t, х), удовле-
творяющее условию и Ro) = хй, и максимальное решение v уравнения
х’ = h (t, х), соответствующее точке Ro, xQ). Покажите, что при ta < t < tQ -f- с
имеет место неравенство и R)<. v R).
[Примените а) и Ь).]
3.	а) Покажите, что заключения задачи 6,а) § 10.5 остаются справедли-
выми, если Е конечномерно и если предположения изменены следующим
образом: 1°) отображение / предполагается непрерывным в / X Н (в случае
когда A = R), но ие обязательно локально липшицевским; 2°) функция <р
является максимальным решением (задача 7 § 10.5) уравнения z' = h (s, z)
в промежутке [0, а], соответствующим точке (0, 0).
[Воспользуйтесь результатами задач 1, а) и 2, Ь) и примените диагональ-
ный процесс, как в задаче 4, Ь) § Ю.5.]
Ь) Предположим, кроме того, что существует последовательность (/„)п>0
действительных функций, непрерывных в промежутке [0, а], принимающих
s
значения в промежутке [0, г] и таких, что для п>1 Yn (s) = J* h (5, Yп_, R)) di
о
при 0<;а<а. Пусть отображение у0 непрерывно в J, если К = R, и анали-
тично в J, если К = С, принимает значения в S и удовлетворяет в J усло-
вию ||у0 R) — х0||< YB (11 — ta |). Покажите, что существует последователь-
ность (Уге)ге>1 отображений шара J в 5, непрерывных, если A=R, аналити-
"	t
ческих, если К = С, и таких, что y„R) = *o + J" f (0> Уге-1(0))^0 и что
^0
|| уп R) — х0|| < Yn (11 — tB |) в J при каждом п > 1. В случае когда К = С,
заключите отсюда, что последовательность (ул) сходится в J (равномерно иа
каждом компактном подмножестве шара J) к единственному решению и
уравнения х' = f R, х).
[Воспользуйтесь (9.13.2) и доказательством теоремы (10.4.5).]
Справедливо ли последнее утверждение в случае, когда A=R и отобра-
жение f не предполагается локально липшицевским (ср. с задачей 2 § 10.5)?
4.	а) Пусть I = Ro, tB с [с R и пусть <* — действительная непрерыв-
ная функция > 0, определенная в / X R- Пусть S — открытый шар с цент-
348
Гл. 10. Теоремы существования
ром хй в Е и пусть f—непрерывное отображение произведения / X S в Е,
для которого при всевозможных t g I, xt g 5 и х2 € S выполняется неравенство
lf(t,X\) — f(t, х2)|К<л(Л ||х,—х2||). Пусть и и V—два решения уравнения
х' = f (t, х), определенные в /, принимающие значения в 5 и удовлетворяю-
щие условиям и (t0) — х, и v (t0) = х2. Пусть w — максимальное решение
(задача 7 § 10.5) уравнения г' = <о (Л г), соответствующее точке (4, || xt — х2 Ц),
и предположим, что w определено в I. Покажите, что в I имеет место не-
равенство || и (Г) — v (0 [I w (0.
[Рассмотрите для достаточно малого е > 0 максимальное решение w (t, е)
уравнения z' = <о (t, z) -f- е, соответствующее точке (t0, [|xt — х2 [|), определен-'
ное в промежутке [Zo, /0—где d<c (задача 2). Покажите, допустив
противное, что при i < -[-d имеет место неравенство || и (Г) — v (0|i«C
w (t, е). Рассмотрите верхнюю грань 0 точек t, в которых || у (0 || > w (/, е),
где у (t) = и (f) — v (f), и заметьте, что при t > tx
IIу (Oil—IIу (ЛЖИ (0-У (OK sup ИУ'(0U-(* —0)1
Ь) Пусть /' = ]/0— с, t0], и предположим, что выполняются предполо-
жения задачи а), если I заменить на Г. Пусть теперь хк — минимальное:
решение уравнения Х = «>(/, г), соответствующее точке (0, Цх,— х2||), и
предположим, что оно определено в Г. Покажите, что в /' имеет место,
неравенство || и (0— v (0 || > w (t).
[Тот же метод.]
5.	а) Пусть I — открытый промежуток ] 0, а [ в R и пусть о — такая
непрерывная функция в произведении IX [0, + со [, что <л (t, г) >. 0 и
ш (t, 0) = 0 при I. Функция о может быть продолжена на / X R> условием
ш (t, г) = (t,—г) при z < 0. Пусть, далее, w— решение уравнения
z' — ы (/, г), определенное в открытом промежутке ] 0, а, [ с /, которое, пола-1
гая w (0) = 0, можно по непрерывности продолжить на полуоткрытый про-
межуток [0, а [. Допустим, что если, вдобавок, в этом случае производная
®' (0) будет определена и равна 0, то необходимо w (0 = 0 тождественно на
промежутке ] 0, а [. Пусть теперь S — открытый шар с центром ха в дей-
ствительном банаховом пространстве Е и f—непрерывное отображение
произведения [0, а [ X •$ в Е, для которого при 0 < t < a, x^Sk x2$S
выполняется неравенство ||/(0 х0— f(t, x2)||<w(0 Цх,— х21|). Покажите,
что в промежутке [0, а], где а < а, существует не более одного решения w
уравнения х' =f(t, х), удовлетворяющего условию н(0) = х0.
[Проведите доказательство от противного: если v — второе решение,
удовлетворяющее условию v (0) = х0, то оцените || и (0 — v (01| в ] 0, а] снизу,
пользуясь результатом задачи 4, Ь).]
Ь) Пусть 0 (0 — непрерывная функция, определенная в промежутке
а
Г 6(0
]0, л[ и. такая, что О (0>О. Покажите, что если интеграл I —j— dt exc-
el
дится, то результат задачи а) применим к функции (0 0 = (1 4- 0 (0) ?//.
7. Зависимость решения от параметров
349
а
Г 0 (О
Если, напротив, I —rf/ = -j-oc, то приведите пример непрерывной дей-
о
ствительной функции f в произведении [0, а [X R> Для которой выполняется
неравенство \ f (t,	—	х2) | <	| Xj — х2|, а уравнение х' =
= f (t, х) имеет в промежутке [0, а [ бесконечное множество решений,
равных О при t =. 0.
/ а	\
/ Г 10 (s)	)
Пусть <? (t) — ехр I — I •-------ds I. Определите f (t. х) как функ-
\ t	7
цию, равную (1	0 (t)) xjt при | х | X ? (О и не зависящую от х при
I X | > <Р (0-1
6. Пусть 7— открытый промежуток в R и Н—открытое множество
в банаховом пространстве Е над R. Пусть t0 — точка промежутка I.
а)	Предположим, что отображение f непрерывно в IX И и существует
такое число k, 0 < k < 1, что при tf-tQ и произвольных хХ77 и х2 € Н
выполняется неравенство || fit, x^ — fft, х2)||<(й/11 — /01) II— х21| •
Тогда существует ие более одного решения уравнения х' = f (t, х),'при-
нимающего при t = t0 данное значение х0 € Н и определенного в некото-
рой окрестности точки 70 (задача 5, а)). Пусть, далее, и и о — два прибли-
женных решения с точностью sj и е2 уравнения х' = f ft, х) в открытом
промежутке J с центром /0, целиком содержащемся в 7, удовлетворяющие
условиям и (70) = v (4) = х0. Тогда для любой точки t(iJ
II u(t) — v (t) || <	1z — 7o I-
[Используйте тот же метод, что и в (10.5.1).]
Ь)	Пусть 7 = ] — 1, 1 [, Н = Е = R и пусть Ф — множество всех дей-
ствительных функций /, непрерывных в	и таких, что для любой
точки /=£0 промежутка I выполняется неравенство ] f (t, xf)— f ft, x2) | X
< ||X| — x21| I ] 11. Тогда существует не более одного решения уравнения
х' — f (t, х), принимающего при t = t0 данное значение и определенного
в некоторой окрестности точки /0 (задача 5, а)). Но докажите, что не суще-
ствует ни одной такой функции (t, е)>0, чтобы для любой пары
(и, v) приближенных решений с точностью г любого уравнения х'=/ (t, х),
где / С Ф, определенных в I и удовлетворяющих условию и (70) = v (70), для
каждой точки tfl выполнялось неравенство || и ft)— v (t) || X ? (1t1> 0-
[Для любого a g ] 0, 1 [ пусть f — непрерывная функция, равная х/7 при
|х |<72/(а— 0> 0</<а, и при и не зависящая от t при остальных зна-
чениях (t, х), для которых 7>0. При /<0 положим fft, х) = /(—t, х).
Пусть и = 0 и v (t) = е/ при 1t1X “> а при остальных значениях t в каче-
стве v возьмите решение уравнения х' = f(t, х).]
7.	Обозначения те же, что и в 10.4. Предположим, что Е конечно-
мерно и f непрерывно в 1/\Н. Пусть (70, х0) — точка произведения 7
350	Гл. 10. Теоремы, существования
J — открытый шар с центром Zo, содержащийся в /, и 5 — открытый шар
с центром jt0, для которого Sc.ll. Предположим, что отображение f огра-
ничено в J)<,S и что выполняются следующие условия:
1°) существует не более одного решения уравнения х' — f(t, х), опре-
деленного в некотором открытом промежутке, содержащемся в J и содер-
жащем ta, и принимающего при t = ta значение х0;
2°) существует такая последовательность (ил)„ > 0 непрерывых отобра-
t
жений шара J в 5, что ия(/) = лг0-]- J f (s, un_l(s))ds при л > 1 и
1	to
3°) для каждой точки t^J последовательность (ия+1 (i) — ип (/)) при п,
стремящемся к-|-оо, сходится к 0.
Покажите, что последовательность (и„) равномерно сходится на каждом
компактном промежутке J' С J, содержащем 4- к такому решению уравнения
х'~ f (t, х), которое при t = t0 равно ха.
[Заметьте, что последовательность (ия) равностепенно непрерывна; вос-
пользуйтесь теоремой Арколи (7.5.7), а также теоремами (3.16.4) и (8.7.8).]
8.	Предположим, что пространство Е конечномерно, <> и f удовлетво-
ряют условиям задачи 5 и, кроме того, для каждого t С] 0, а [функция
z -> ш (Z, г) возрастает на промежутке [0, —оо [. Тогда существует не более
одного решения уравнения х’ = f (t, х), определенного в промежутке
[0, a [cz [0, а [ и принимающего при t = 0 значение хй (задача 5, а)). Предпо-
ложим вдобавок, что в промежутке J = [0, a] cz [0, а [ существует последо-
вательность (ип)п 0 непрерывных отображений промежутка J в S, таких,
t
что ип (f) = х0 4- J" f (з. чп~ 1 (s)) ds ПРИ «1 и t g J.
о
а)	Для каждой точки ZgJ пусть уп (/) = || ип+, (/) — и.п (t) ||, zn (Z) =
= sup Уп+k (О и w (О = 1п1 гп (0> Покажите, что функции zn и w непре-
й>0	л>0
рывны в J.
[Воспользуйтесь задачей 11 § 7.5.]
Ь)	Пусть t и t — h — две точки промежутка J (h > 0). Покажите, что
для каждого В > 0 существует такое N, что при nS^N
t
|Ул(0 — yn{i — h)\< J ® (s, w (s) + 6) ds.
t-h
[Воспользуйтесь теоремой о .среднем значении (8.5.1), а также теоре-
мой (7.5.5).]
с)	Выведите из Ь), что при N
t
I гп(Г) — zn{t — h) |< f ш (s, W (s) + 5) ds.
t-h
[Рассмотрите случаи zn (t) ^zn{t — h) и zn (t)	— h).] .
8. Зависимость решения от начальных условий
351
t
Поэтому | w (t) — w (t — h) | J" a (s, w (.s)) ds.
t-h
[Используйте (8.7.8)].
d)	Заключите, что w(t) = 0 в J [то же рассуждение, что и в задачах
4, Ь) и 5, а)], и, пользуясь задачей 7, докажите, что последовательность («„)
равномерно сходится в J к решению уравнения х' = f (t, х), принимаю-
щему при t = 0 значение хй.
9.	Обозначения те же, что и в 10.4. Предположим, что Е конечно-
мерно, a f непрерывно и ограничено в /Х^Л Предположим, кроме того,
что существует не более одного решения уравнения х’ = f (t, х), опреде-
ленного в любом открытом промежутке J С /, содержащем /0, и при t = t0
равного х0 С Н. Предположим, что для любого целого п > 0 существует
1/«-решение ип уравнения х’ — f (t, х), определенное в I, принимающее
значения в Н и удовлетворяющее условию и„ (70) = х0. Покажите, что на
любом компактном промежутке, содержащемся в I, последовательность (ил)
равномерно сходится к решению и уравнения х' = f (t, х), принимающему
значения в Н и удовлетворяющему условию и (/0) = х0.
[Проведите то же рассуждение, что и в задаче 7.]
8.	Зависимость решения от начальных условий
(10.8.1) Пус	ть отображение f является локально липшицев-
ским (10.4) в I X П, если 7( = R, и аналитическим в IXH,
если К—С. Тогда для любой точки (а, Ь)£/ХН'-
Г. Найдутся открытый шар Jc! с центром а и откры-
тый шар V с. Н с центром Ь, такие, что для каждой точки
(70,	существует единственное решение t->u(t, t0, х0)
уравнения (10.4.1), определенное в J, принимающее значения
в Н и удовлетворяющее условию u(t0, t0, х0) — х0.
2°. Отображение (t, tG, х0)—>«(/, /0, х0) равномерно непре-
рывно в JX J XV.
3°. Существует такой открытый шар W с V с центром Ь,
что для любой точки (t, t0, x0)£J X / X уравнение х0 = и (Zo, t, х)
имеет в V единственное решение x = u(t, tG, х0).
1°. По предположению существуют такой шар Jo с / с центром а
и такой шар Во с Н с центром b и радиусом г,, что в Jo X выпол-
няется неравенство ||/(Л х||<; М и что при t^J0, х1^В0 и х2£В0
выполняется неравенство ||/(/, хг)—f(t, х2)||-СА • HXj — х2||.
В силу (10.4.5) существуют открытый шар Jx cz Jo с центром t0 и
единственное решение v уравнения (10.4.1), определенное в Jv при-
нимающее значения в Н и удовлетворяющее условию v(a) = b. Мы
собираемся показать, что нашим требованиям отвечают, если только р
достаточно мало, открытый шар V с центром b и радиусом г/2 и от-
крытый шар J е центром а и радиусом р. Применим теорему (10.5.6)
352
Гл. 10. Теоремы существования
к случаю а == е = 0. Она показывает, что если для каждой
точки t£J
(Ю.8.1.1) МО—&II-+ М4))—-М**1 <~'’1 < г>
то существует решение уравнения (10.4.1), определенное в J, при-
нимающее значения в Во и равное x0£V в точке Но по тео-
реме о среднем значении для каждой точки /мы имеем |[t) (0 — 6'1</
< М ] t — а|</Л4р. Так как по предположению || х0 — Ь]]^г/2,
то неравенство (10.8.1.1) будет удовлетворяться, если р выбрано
так, что
(10.8.1.2)	Л1р + (л1р+у)е2^ <г,
что, конечно, будет выполнено при достаточно малых значениях р > 0.
2°. По теореме о среднем значении
(10.8.1.3)	||и(^1, t0, х0)— и (/2> ^0’ *o)ll<^2 Л|
при tx^J, t2^J и x0£V. В силу (10.5.1)
(10.8.1.4)	\\u(t, tQ, Xj) — u(t, t0, x2)||< e2ftp | x2— xj
при	Xj£V и x2£ V. Наконец, неравенство (10.8.1.3) дает
по определению при /0 —/2
||и(/р t2, х0) — х0|]<Лф2 — #i|,
и [поскольку /->и(Л t2, х0) есть единственное решение уравне-
ния (10.4.1) в J, которое в точке tx равно u(tx, t2, х0)] мы в силу
(10.5.1) имеем
(10.8.1.5)	||«(Л tx, x0) — u(t, t2, х0)||<Л1е2*Р|г2 —
при t g J, tx£J,t2£Jnx0£V. Три неравенства — (10.8.1.3), (10.8.1.4)
и (10.8.1.5) — доказывают, что отображение и равномерно непре-
рывно в J X J X V.
3°. В силу (10.8.1.3) в JX/XV выполняется неравенство
||«(Л t0, х0) — х0||<Л4|/ — /0|<2Л1р. Предположим, что р удовле-
творяет неравенству (10.8.1.2) и, кроме того, неравенству 2Л4р < г/4.
Тогда если W — открытый шар с центром Ь и радиусом г/4,
то при	t0£J н х0£W мы будем иметь и(t, tQ, х0)£V. Пусть
x = u(t, tD, х0) для таких значений t, ta и х0. Тогда отображение
s->u(s, t, х) определено в J и является единственным решением
уравнения (10.4.1), принимающим значения в Н и равным х в точке t.
Но так как отображение $->«(«, t0> х0) обладает этими свойствами,
то при s£J мы имеем u(s, t, x) = u(s, t0, x0). В частности,
x0 — u(t(1, t0, x0) = «(£0, t, x). Предположим теперь, что точка у £V
такова, что «(/0, t, у) = х0. Тогда отображение $->«($, /, у)
является решением уравнения (10.4.1), определенным в J и при s = t0.
8. Зависимость решения от начальных условий
353
принимающим значение х0. Следовательно, и (s, t, у)=?и (s, t0, х0)
для любой точки s £ J, и, в частности, у = и (f, t0, х0) = х при s = t,
что и завершает доказательство.
(10.8.2)	Предположим в обозначениях теоремы (10.8.1), что f
непрерывно дифференцируемо [соответственно р раз непре-
рывно дифференцируемо, аналитично (если Е конечномерно)]
в IX Н. Тогда J и V можно выбрать так, что функция
(t, t0, x0)-+u(t, t0, Xq) будет непрерывно дифференцируема (соот-
ветственно р раз непрерывно дифференцируема, аналитична)
в JXJXV.
Действительно, если мы положим v(s, t0, х0) = и(10-]- s, t0, х0)—х0,
то мы увидим, что отображение s->i»(s, t0, х0) является решением
уравнения z' = /(/0Ч“5> хоЧ~ принимающим в точке s — О значе-
ние 0. Наше утверждение тогда следует из (10.7.3), (10.7.4) и (10.7.5).
Для линейных дифференциальных уравнений имеются значи-
тельно более точные результаты. Уравнение
(10.8.3)	x' = A(t)-x'
называется однородным линейным дифференциальным уравнением,
соответствующим уравнению (10.6.2). Разность любых двух решений
уравнения (10.6.2) в I является решением уравнения (10.8.3) в I,
и решения уравнения (10.8.3) в / образуют векторное подпростран-
ство $6 пространства %Е(1) всех непрерывных отображений мно-
жества I в Е.
(10.8.4)	Для каждой точки (s, х0) пусть t->u(t, s, х0) есть
единственное решение уравнения (10.8.3), определенное в I и
удовлетворяющее условию u(s, s, х0) = х0. Тогда:
Г. Для каждой точки t£I отображение x0—>u(t, s, х0)
есть линейный гомеоморфизм C(t, s)^<S’(E) пространства Е
на себя.
2°. Отображение t—>C(t, s) шара I в банахово простран-
ство Л? (Е) есть решение линейного однородного дифферен-
циального уравнения
(10.8.4.1)	U' = A(t)<>U,
при i = s равное 1Е (тождественному отображению простран-
ства Е).
3°. Для любых трех точек г, s и t шара I
(10.8.4.2)	C(r, t) = C(r, s)oC(s, t) и C(s, t) = (C(t, s))~\
Ясно, что отображение u(t, s, xx)-\-u(t, s, x2) (соответственно
~ku(t, s, х0)) есть решение уравнения (10.8.3), при t = s рав-
ное Xj-f-x2 (соответственно Xx0). Поэтому (10.6.4) оно равно
u(t, s, Xj-|-х2) (соответственно u(t, s, Xx0)) в I. Тем самым доказано.
23 Ж. Дьедонне
354
Гл. 10. Теоремы существования
что отображение х0->«(/, s, х0) линейно. Обозначим его симво-
лом С (Л s) (мы еще не-доказали, что это отображение непре-
рывно в £).
Билинейное отображение (X, о Y произведения i>g2(E)X^’(£')
в JflE) непрерывно дифференцируемо (8.1.4). Обозначим через R(t)
непрерывное линейное отображение U->A(t)°U пространства ^(Е)
в себя. Из (5.7.5) сразу следует, что
/?(П1КМ (О—Л(П1|.
Поэтому в случае, когда A^ = R, если отображение
простое, то и отображение t—>R(t) простое. С другой стороны,
если отображение t->A(f) дифференцируемо, то дифференцируемо
и отображение t—>R(t), и его производной [отождествленной (8.4)
с элементом пространства Д/ДЕ)] является отображение U-+A'(t)oU
[(8.1.3) и (&.2.1)]. Поэтому если непрерывно отображение t->A’(t),
то непрерывно и отображение t->R'(t).
Таким же образом мы можем заключить, что если К — С и если
отображение t->A(t) является аналитическим в /, то и отображе-
ние t-+R(f) будет аналитическим (9.10.1).
В любом из случаев мы можем к уравнению (10.8.4.1) приме-
нить теорему (10.6.4). Пусть V (t)— решение этого уравнения, кото-
рое при t = s равно тождественному отображению. Для любой точки
t имеем
D(V(/)  х0) = V(!)  х0 = A(t) • (V(t) • х0)
[(8.1.3) и (8.2.1)] и, кроме того, при t~s имеем V£(s) • х0 = х0.
Следовательно, применяя теорему (10.6.4) к уравнению (10.8.3),
получаем, что С (Л а)  х0 = V (f) • х0 для любой точки х0 £ Е,
и поэтому С (t, s) — V (t) при t £/. Это доказывает, что С (t,	(Е)
и что отображение	s') есть решение уравнения (10.8.4.1),
при t = s равное тождественному отображению.
Наконец, функция t-+C(t, г)  х0 есть решение уравнения (10.8.3),
при t — s равное C(s, г) • х0. Поэтому по определению для любой
точки х0 £ Е
C(t, r)-x0 = C(E s)-(C(s, г)-х0) = (С(Л s)cC(s, г))-х0,
что доказывает первое из соотношений (10.8.4.2). Это соотношение
дает С (Л s)»C(s, £) = С(Л /), где C(t, t)— тождественное отобра-
жение. Поэтому линейное отображение C(s, t) является биективным
отображением пространства Е, обратным к которому является ото-
бражение C(t, s) (таким образом, также принадлежащее простран-
ству ^(Е)). Этим мы завершили, доказательство теоремы (10.8.4).
Оператор С(Л s) называется резольвентой уравнения (10.8.3)
[или уравнения (10.6.2)] в 1,
8. Зависимость решения от начальных условий	355
(10.8.5) Отображение (s, f)->C(s, t) произведения lyj в ^(Е)
непрерывно.
В самом деле, мы можем написать C(s, t) = С(s, t0)o(C(t,
и требуемый результат следует тогда из (10.8.4), (5.7.5) и (8.3.2).
Знание резольвенты C(s, t) позволяет дать явное решение урав-
нения (10.6.2), принимающее при t = t0 значение х0.
(10.8.6) Функция
t
u(t) = C(t, /0)-х0 + /(£(*• s)-b(s))ds
h
есть решение уравнения (10.6.2) в /, при t — t^ равное х0
(если К = С, то интеграл берется вдоль сегмента с началом t0
и концом t).
В самом деле, в силу (10.8.4.2) мы можем написать, поль-
зуясь (8.7.6),
/	/ t	\
J (С (/, «) • b (s)) ds = С (t, t0)  I J” (C (t0, s') • b (s)) ds j.
to	'/о	*
Следовательно, мы имеем ы(/) = С(Л /0) •£(/), где
t
z(t) = Xo + f (С(/о, s)-b(s))ds.
Поэтому [(8.1.4) и (8.2.1)]
и' (t) = C' (t, t0) • z (t) + C (t, t0)  z' (t).
Но в силу (10.8.4.1) C (t, t^) — A(t)°C(t, t0) и, с другой сто-
роны, по определению, z'(t)~C(t0, t)-b(t). Таким образом,
u'(t) = А (/)•«(/) + b (t),
и, так как «<(/0) = х0, это завершает доказательство.
В случае когда Е~Кп и уравнение (10.6.2) записывается как
система скалярных линейных дифференциальных уравнений (10.6.5),
резольвента *) С (s, t) есть невырожденная квадратная матрица
(ctj(s, t)) порядка п, элементы которой непрерывны в /ХА а функ-
ция /-><?;;(/, $) есть первообразная некоторой простой функ-
ции в /, если ЛГ = К, и аналитическая функция в /, если К — С.
) Называемая в этом случае фундаментальной матрицей решений. —
Прим. ред.
23*
356
Гл. 10. Теоремы существования
Задачи
а)	Предположим, что А и b в линейном дифференциальном уравне-
нии (10.6.2) являются аналитическими функциями в односвязном открытом
множестве Нс С. Покажите, что для любой точки ta£H и любой
точки х0 G Е существует единственное решение и уравнения (10.6.2), опре-
деленное в Н и удовлетворяющее условию и (ta) = х0.
[Проведите рассуждение такого же характера, как в (9.6.3): тео-
рема (10.6.3) позволяет определить решение уравнения (10.6.2) вдоль лома-
ной линии (задача 4 § 5.1) в Н, и рассуждение из (9.6.3) вместе с локаль-
ной единственностью приводит к требуемому результату.]
Ь)	Покажите, что результат задачи а) несправедлив для скалярного
дифференциального уравнения х' = t/x: если дано любое односвязное
открытое множество Н с С и любая точка ta С Н, то существует такая
точка ха € Е, что 0 и что не существует никакого решения этого урав-
нения, определенного в Н и при t = t0 равного х0.
9.	Теорема Фробениуса
Пусть Е и F— два банаховых пространства (над К), А (соот-
ветственно В) — открытое множество в Е (соответственно в F)
и U — отображение произведения А/В в банахово простран-
ство ^(Е', F) (5.7). Дифференцируемое отображение и множества А
в множество В является решением дифференциального уравнения
(10.9.1)	y' = U(x, у),
если для любой точки х£А мы имеем
(10.9.2)	и' (x) = U (х, и(х)).
В случае когда Е — К, пространство ^(Е; F) отождествляется
с F (5.7.6), и дифференциальное уравнение (10.9.1) является, таким
образом, обыкновенным дифференциальным уравнением (10.4.1).
В случае когда пространство Е = Кп конечномерно, линейное ото-
бражение U пространства Е в F определяется своими значениями
в каждом из п базисных векторов пространства Е, и по определе-
нию уравнение (10.9.2), таким образом, эквивалентно системе п
уравнений с частными производными
(10.9.3)	Diy = /;(x1, .... х„, у) (1 </<«)•
Вообще говоря, такая система при п > 1 не будет иметь реше-
ния, даже если в правой части равенства являются непрерывно
дифференцируемыми функциями. Мы будем говорить, что уравне-
ние (10.9.1) вполне интегрируемо в Ау^В, если для каждой
точки (х0, у0) £ А X В найдется такая открытая окрестность 5
точки х0 в А, что существует единственное решение и уравне-
9. Теорема Фробениуса
357
ния (10.9.1), определенное в S, принимающее значения в В и удо-
влетворяющее условию и(х0) = у0.
Во всем последующем мы будем предполагать, что отображе-
ние U непрерывно дифференцируемо в ,4 X В. Для каждой
точки (х, у) £ А X В частная производная Т)ги (х, у) (соответственно
D217 (х, у)) является элементом пространства „^(В; J-ffE; F))
(соответственно ^{F', ^(Е; F))), который можно отождествить
с непрерывным билинейным отображением (Sp s2)->(D1(J(x,
произведения В X Е в F; этот элемент обозначается символом (8Р s2)->
—>Djt7(х, у)  (sP s2) (соответственно с непрерывным билинейным ото-
бражением (A s)->(D2(7(x, у) • I)  s произведения F X Е в F, обо-
значаемым символом (Л 8)->D2(7(x, у) • (Л а)) (5.7.8). Далее,
линейное отображение s1->(D117(x, у) • $i) • $2 пространства Е в F
для каждой точки s2£E является в силу (8.2.1) и (8.1.3) производной
в точке (х, у) отображения х->£7(х, у) • s2 пространства Е в F;
точно так же линейное отображение t—>(D2t/(x, у) • t) • s простран-
ства F в F для каждой точки s£E является производной в точке
(х, у) отображения у->17(х, у) • s пространства F в F.
(10.9.4)	(Теорема Фробениуса) Предположим, что U непре-
рывно дифференцируемо в Д X В. Для того чтобы уравне-
ние (10.9.1) было вполне интегрируемо в А\В, необходимо
и достаточно, чтобы для каждой точки (х, у)£ЛХ^ и для
любой пары (Sp s2) из Е'Д Е выполнялось следующее соотно-
шение'.
(10.9.4.1)	Djt/(x, у) • (Sp s2)H-D2t/(x, y)-(t/(x, у) • sP s2) =
= Djt/(х, у) • (s2, Si) + D277(х, у)  (U(х, у) • s2, sj.
Необходимость. Предположим, что и есть решение уравне-
ния (10.9.1) в открытом шаре S cz А с центром х0, удовлетворяю-
щее условию и(Хо) = уо. Тогда из (10.9.2) и предположения сле-
дует, что производная и' (х) дифференцируема в S. Далее, для любой
точки s2£E производная в точке х0 отображения х-> и' (х) • s2
в силу (8.12.1) есть отображение	zz" (х0) • (sP s2). Но на осно-
вании (10.9.2) эта производная [в силу (8.2.1), (8.1.3) и (8.9.1)]
равна также отображению
s1->(Dlt/(x0, y0)-81)-s2+(D2t/(x0, у0) • (и'(х0) • Si))- s2.
Вновь пользуясь соотношением (10.9.2) и выражая тот факт, что
вторая производная отображения и в точке х0 есть симметрическое
билинейное отображение (8.12.2), получаем соотношение (10.9.4.1)
в точке (х0, у0). Но по предположению эта точка в А X В может
быть выбрана произвольно, откуда и следует наше утверждение.
Достаточность. Пусть So с: А — открытый шар с центром х0
и радиусом а и Тос.В — открытый шар с центром у0 и радиусом р,
такие, что отображение U ограничено в SqX пусть (х, у)||^ М-
358
Гл. 10. Теоремы существования
Для вектора z^E рассмотрим (обыкновенное) дифференциальное
уравнение
(10.9.4.2)	w' = U(x0-\-^z, w)-z = f(^, -w, z)
(где ? £ К) и заметим, что если отображение и в окрестности
||х — х0|| < р точки х0 удовлетворяет условию (10.9.2) и при х = х0
принимает значение у0, то отображение ?-> и (х04- ?г) при ||д|| <р
является решением уравнения (10.9.4.2) в шаре |?| < 1 в К, прини-
мающим при ? = 0 значение у0 [что в силу (10.5.2) уже доказывает
единственность и]. Теперь правая часть уравнения (10.9.4.2) непре-
рывно дифференцируема при |?|<^2, ||w — Уо||<₽ и ||z|| < <х/2,
и для таких значений мы имеем ||/(?, w, г)||^ Л4||г||. Применяя
теорему (10.5.6) к f и к g = 0, заключаем, что для любой
точки z£E, для которой ||д|| < Р/(2ТИ), существует единственное
решение ?->®(?, z) уравнения (10.9.4.2), определенное при |?| <2,
принимающее значения в Н и удовлетворяющее условию v (0, z) = у0.
Мы собираемся доказать, что функция и(х)~®(1, х — х0) является
решением уравнения (10.9.1) в шаре ||х — х0|| < (3/(2Л1).
Мы знаем из (10.7.3), что при ||г|| < р/(2Я4) и |?| <2 отображе-
ние v непрерывно дифференцируемо и что отображение ?->D2®(?, д)
при |?| <2 является решением дифференциального уравнения
V' = D2/G, т»(?, z), д)оУ+Оз/($, ®(?, z), z),
принимающим при ? = 0 значение 0. Для любой точки st£E поло-
жим g (?) = D2t» (?, z) • Мы имеем g' (?) = D2/ (?, v (?, z), z) • g (?) +
-+-Оз/(?, т»(?, z), z)-Si и ввиду определения f это можно перепи-
сать в виде
= Л(?).(£(?), z)4-B(?).S1 + ?C(?)-(sP z).
где Д(?) = О2(У(х0 + ?г, ®(?, z)), В(?) = £/(х0 + ?2г, -у(?, z)) и
C(?) = D1t/(x04-?2, »(?, z)). Мы хотим доказать, что £(?) —
= ?(/(х04-?д, &(?, ?))•«! и по этой причине рассмотрим разность
h(,i) = g(£)— ?t/(x04-?z, »(?, z)) • S1 = g(k) — ?B(?) • Sp Пользуясь
тем, что D1v(?, z) = (/(x0-l-?z, у(?, z)) • z = B(ty  z, находим
h'® = A®-(g®, z)+B^sx + t,C®-(sv z)-B&-sx-
— ?C (?) ; (z, S1) — ?Д(?) • (В (?)  z, sx}.
Но соотношение (10.9.4.1), в частности, дает
С(?)-(д, sJH-Д (?) • (В(?) • z, Sj) = C(?)-(Sp z) + 4(?).(B(?)-Sp z),
поэтому
/г'(?) = Д (?)•(§•(?) —?В (?)• Sp z)=4 (?)•(/?(?), z).
Кроме того, Л(0) = 0. Но единственное решение линейного диффе-
ренциального уравнения г' = A (?)-(r, z), обращающееся в 0 при ? = 0,
есть г (£) — 0 (10.6.3). Следовательно, Л(?) —0 при |?| .<2, откуда
9. Теорема Фробениуса
359
следует равенство
D2t»(5, z) •	(x0-j-5z, г» (5, £))-$i
для любой точки s^E, т. е. D2t»(£, z) = 4,U ,(х04~^>	?))• Это
верно при |5| <2 и ||z|| < (3/(2Л1). В частности, при 5=1, полагая
x — x0-\-z, получаем u'(x) — U(x, и(х)) при ||х — х0|| < Р/(22И),
что и завершает доказательство.
(10.9.5) Предположим, что U непрерывно дифференцируемо
в АХ В и удовлетворяет условию Фробениуса (10.9.4.1). Тогда
для каждой точки (а, Ь)£АХВ существуют открытый
шар S с А с центром а и открытый шар Т с В с центром Ь,
обладающие следующими свойствами: Г) для любой точки
(х0. уд) £ S X Т существует единственное решение х->и(х, х0, у0)
уравнения (10.9.1), определенное в S и такое, что (х0, х0, у0) = Уо',
2°) и непрерывно дифференцируемо в S У S X Т. Если, кроме
того, U непрерывно дифференцируемо р раз (соответственно
аналитично, если Е и F конечномерны) в АХ В, то и и непре-
рывно дифференцируемо р раз (соответственно аналитично)
в S X $ УТ. Наконец, существует такой открытый шар Wcz Т
с центром Ъ, что для каждой точки (х, х0, y0)£S у S yW
уравнение у0 = и(х0, х, у) имеет в Т единственное решение
у = и(х, х0, Уо)-
Пусть So с А — открытый шар с центром а и радиусом а и
То с В — открытый шар с центром b и радиусом р, такие, что
в S„XTo выполняется неравенство ||t/(x, У)||С М. Рассмотрим
обыкновенное дифференциальное уравнение
(10.9.5.1) w' = U(x0-l-&, УоН-w) -z — f^,, w, z, x0, y0).
Как и в доказательстве теоремы (10.9.4), убеждаемся в том, что
если ||х0 — fl|| < а/8, ||z|| < min (а/4, р/(2Я4)) и ||у0 — £|| < р, то су-
ществует единственное решение 5-*® (5, z, х0, у0) этого уравнения,
определенное при |5| < 2 и такое, что т»(0, z, х0, у0) = 0. Далее,
теорема (10.7.3) показывает, что отображение v непрерывно диффе-
ренцируемо при этих значениях 5, z, х0 и у0, если только а и [S
выбраны так, чтобы производная отображения U была ограничена
в So X То. Тогда теорема (10.9.4) показывает, что отображение
и(х, х0, у0) = Уо + ®(1- х— х0, х0, у0) является единственным ре-
шением уравнения (10.9.1), определенным в шаре S: || х — я|| < а/8,
принимающим при х = х0 значение у0. Поэтому отображение
(х, х0, у0)-> и (х, х0, у0) непрерывно дифференцируемо в 5 X 5 X Го-
Доказательство того, что и непрерывно дифференцируемо р раз
(соответственно аналитично) в случае, когда U обладает соответ-
ствующим свойством, проводится точно так же, только вместо тео-
ремы (10.7.3) нужно воспользоваться теоремой (10.7.4) [соответственно
теоремой (10.7.5)]. Наконец, последнее утверждение теоремы (1Q.9.5)
360
Гл. 10. Теоремы существования
доказывается с помощью того же рассуждения, что и утверждение 3
теоремы (10.8.1).
В случае когда Е = Кп, условие Фробениуса (10.9.4.1) полной
интегрируемости эквивалентно для системы (10.9.3) .соотношениям
(10.9.6)	. .... хп. у) +
+ -^Л(х1.......xn.y)-fj{xx.......х„.у)=
.....+	.....хл- У)
где нужно вспомнить, что
д , .
~ду ft (х1> • • • > хп'
пространства „^(F; F) (матрицей, если
У)
F
является элементом
конечномерно), а
fj(xv .... хп, у) — элементом пространства F
Глава 11
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Выбор содержания этой главы диктовался двумя соображениями: во-
первых, излагаемая здесь теория представляет первый шаг в одном из
главнейших разделов современного функционального анализа, так называе-
мой „спектральной теории*, а, во-вторых, она черпает формулировки своих
понятий и доказательства свои? теорем практически в каждой из предыду-
щих глав и, таким образом, может убедить читателя, что „абстрактные*
рассуждения этих глав не были бесполезными обобщениями.
Общая спектральная теория, будучи тесно связанной с общей теорией
интегрирования, остается за пределами этой книги, и читатель не найдет
в настоящей главе никаких результатов этой теории, за исключением до-
казательства существования спектра (11.1.3) и нескольких простейших
свойств сопряженного оператора (11.5).
Мы сосредоточили внимание лишь на теории линейных вполне непре-
рывных операторов, которые снова можно рассматривать как „легкие* воз-
мущения общих операторов, хотя и совсем не в том смысле, который пре-
обладал в гл. 10. Здесь в качестве „пренебрежимого* рассматривается то,
что происходит в конечномерных подпространствах. Сущность цен-
тральной теоремы (11.3.3) о вполне непрерывных операторах состоит в том,
что если мы прибавляем такой оператор к тождественному, то в результате
снова получаем линейный гомеоморфизм, если только ограничиться рас-
смотрением подходящего подпространства конечной коразмерности.
Особый интерес представляют вполне непрерывные самосопряженные
операторы в гильбертовом пространстве. Дело не только в том, что об их
спектре можно получить значительно более точную информацию (11.5.7),
чем о спектре общих вполне непрерывных операторов, но главным образом
в том, что их общая теория немедленно применяется к интегральному ура-
внению Фредгольма с эрмитовым ядром (11.6) и, в частности, в классической
задаче Штурма—Лиувилля, которую мы выбрали в качестве осо-
бенно яркой иллюстрации силы методов функционального анализа (11.7).
Более полное представление о спектральной теории и об ее мощных
приложениях читатель может найти в книгах') Тейлора [23], Данфорда и
') См. также, например, Ахиезер Н. И. и Глазман И. М., Тео-
рия линейных операторов в гильбертовом пространстве, Гостехиздат, М.—Л.,
1950. — Прим. ред.
362	Гл. 11. Элементарная спектральная теория
Шварца [13] и Люмиса [20]. Мы также усиленно рекомендуем классический
труд Куранта и Гильберта [11] — книгу, написанную великолепным стилем
и содержащую богатую информацию.
1.	Спектр непрерывного оператора
Пусть Е — комплексное нормированное пространство. Ли-
нейное отображение и пространства Е в себя часто называется опе-
ратором в Е. Множество ^(Е-, Е) непрерывных операторов
(которое мы будем просто обозначать символом ^(Е)) есть ком-
плексное нормированное пространство (5.7). Оно является также
некоммутативной алгеброй над С, в которой „произведение" есть
отображение (и, т»)—>«о®, записываемое также в виде (и, v)->uv.
Тождественное отображение пространства Е служит единичным эле-
ментом алгебры ,3?(Е), обозначаемым символом 1. Отображения
(й, v)->u-\~v и (и, т/)—>и непрерывны в ^1Е) X .S’(Е) (5.7.5).
Мы будем говорить, что комплексное число С является регуляр-
ным значением непрерывного оператора и, если оператор и—С - 1
имеет в S(E) о б р а т н ы й оператор (т. е. является линейным
гомеоморфизмом пространства Е на себя). Комплексное число С, не
являющееся регулярным значением оператора и, называется его
спектральным значением, а множество всех спектральных значений
оператора и называется его спектром S(u).
Если число С£С обладает тем свойством, что ядро отображения
и—С - 1 ще сводится к 0, то С есть спектральное значение опера-
тора и. Такие спектральные значения наываются собственными
значениями оператора и. Любой вектор х 0, принадлежащий
ядру отображения и—С - 1, т. е. вектор, для которого ц(х) = Сх,
называется собственным вектором оператора и, соответствующим
собственному значению С. Собственные векторы и 0 образуют зам-
кнутое векторное подпространство пространства Е, ядро отображения
и—С - 1, называемое также собственным подпространством опе-
ратора и, соответствующим собственному значению С, и обозначаемое
символом Е(С) или Е(С; и).
В случае когда пространство Е имеет конечную размерность п,
элементарная линейная алгебра показывает, что любое спектральное
значение оператора' и является и его собственным значением. Спектр
оператора и есть конечное множество, состоящее не более чем из п
элементов, являющихся корнями характеристического многочлена
det (и — С-1) оператора и; степень этого многочлена равна п. Но
если Е бесконечномерно, то могут существовать спектральные зна-
чения, не являющиеся собственными значениями.
(11.1.1)	Пример. Пусть Е — комплексное гильбертово про-
странство и (ап) — тотальная ортонормальная система в Е (6.6.1).
1. Спектр непрерывного оператора
363
Каждому вектору х = 2 ^пап в Е (где 11х112 = 2 I I2) поставим
п	п
в соответствие вектор и (х) = 2 ^nan+i- Легко проверить, что ото-
п
бражение и линейное и что ||и(х)|| = ||х||; следовательно, отобра-
жение и непрерывно (5.5.1). Кроме того. «(f) есть подпространство
пространства Е, ортогональное af, поэтому и не является отобра-
жением на все Е, и это показывает, что С = О является спектраль-
ным значением оператора и. Но из «(х) = 0 следует х = 0, и,
значит, 0 не является собственным значением и.
(11.1.2).	Предположим, что Е есть комплексное банахово про-
странство и и — непрерывный оператор в Е. Множество Ru
регулярных значений С£С оператора и открыто в С, а ото-
бражение С—>(«—С - I)-1 множества Ra в ,2? (Е) является ана-
литическим.
Пусть Со £RU и пусть ®о = (и—• I)-1- Для любого числа С£
£ С мы можем в ^(Е) написать и —С • 1 — и —Со • 1—(С—Со) • 1 =
= («— Со- 1)(1—(С — Со)®о)- Но в СИЛУ (8.3.2.1) при |С—Со|<
оператор 1—(С — Со)®о имеет в J? (f) обратный оператор,
ОО
равный сумме абсолютно сходящегося ряда 2 К—	Поэтому
rt=*0
для таких значений С оператор и — С - 1 обратим в	( Е) и обрат-
ный ему оператор, равный (1—(С — Co)v0)-1v0, может быть записан
СО
в виде (и—С-!)"’= 2К~Q"®3+’. причем ряд абсолютно схо-
дится при |С — Cq|-С ||®oll-1* что и завершает доказательство.
(11.1.3)	Если Е — комплексное банахово пространство, то
спектр любого непрерывного оператора и в Е есть непустое
компактное множество в С, содержащееся в шаре |C|<J|«||.
Прежде всего заметим, что и—С - 1= — С(1—С-1«) при С =/= 0
и, следовательно, в силу (8.3.2.1) оператор и—С - 1 при |С|> ||«||
обратим в J? (f). Далее, при |С|>||«|| имеем (и — С-1)-1 =
ОО
= —2^~п~'ип, где ряд абсолютно сходится, и |](«—С-1)-1||<
л = 0
со
2КГ”-1 IIй ||" = (К1 — Ии11)-1- Таким образом, при ]С|^-2 ||«||
мы имеем ||(« — С - 1)-1||<С ||«||-1. Если бы теперь мы имели Ra = С,
то оператор (и—С • I)-1 был бы целой функцией (9.9.6), ограни-
ченной в С, поскольку он ограничен как на компактном множестве
|С| <2||«||, так и на его дополнении. Тогда по теореме Лиувилля
364	Гл. 11. Элементарная спектральная теория
(9.1Г.1) оператор (и — С-1)-1 был бы постоянным, значит, постоян-
ным был бы и обратный ему оператор и—С - 1, что неверно. Пер-
вая часть этого доказательства, кроме того, показывает, что опера-
тор (и —С • I)-1 существует и является аналитическим при ]С] > || и ||.
Следовательно, спектр оператора и, будучи замкнутым в С, компак-
тен и содержится в шаре |С|-С||И1Ь
Можно привести примеры операторов, спектр которых является
произвольным компактным множеством в С (см. задачу 3).
Задачи
1.	Пусть Е — комплексное банахово пространство, «— элемент про-
странства (Е) и S («) — его спектр.
а)	Покажите, что если комплексное число С обладает тем свойством,
что для любого целого р > 1 выполняется неравенство | С > || иР ||, то
С регулярно для «.
^Воспользуйтесь (11.1.3) и из сходимости ряда £~припр заключите,
СО
что ряд 2 также сходится.
л = 0	J
Ь)	Покажите, что число р («) = inf |[ и" ||равно радиусу наименьшего
п
круга с центром 0, содержащего S («), и, кроме того, что последователь-
ность (||«"|]1/п) имеет предел, равный р(«).
[Воспользуйтесь задачами а), 1 § 9.1 и теоремой (9.9.4), Пример, когда
Р («) ¥= II «II > см. в задаче 4 § 11.4.]
2.	Пусть « и v — два элемента пространства -g’(E), где Е— комплекс-
ное банахово пространство. Покажите, что в обозначениях задачи 1 справед-
ливо равенство: S (vu) = S (ми).
[Заметьте, что если f и g — два элемента пространства .S’ (Е), для
Которых оператор 1—fg обратим, и если Л = (1—/£)-1> т0 оператор
1~ЬдЛ/ является обратным оператору 1—£/.]
3.	Пусть Е — сепарабельное комплексное гильбертово пространство и
(е„)п > 1 — ортонормальный базис пространства Е. Пусть S — произвольное
бесконечное компактное множество в С и пусть (рп) — счетное множество
точек из S, плотное в S (3.10.9). Покажите, что существует единственный
элемент	такой, что и (Рп) = ?пеп при каждом п!>1. Докажите,
что спектр оператора и совпадает с S, а собственными значениями опера-
тора и являются числа рл. Покажите, что если С £ S и С не равно ни одному
из р„ и если ос = « — С-1, то образ vc(E) плотен в Е, но не равен Е.
[Для доказательства первого из этих утверждений воспользуй-
тесь (6.5.3).]
4.	Покажите, что спектр оператора и, определенного в (11.1.1), есть
кРУг 14 К 1 в С; и не имеет собственных значений. Покажите, что если
2. Вполне непрерывные операторы
365
vz = и — С • 1, то при. |С| < 1 образ (Е) не плотен в Е, но при | С ] = 1
образ Vr (Е) плотен в Е и отличен от Е [ср. (6.5.3)].
5.	Пусть Е — комплексное банахово пространство и Ео — плотное под-
пространство пространства Е. Покажите, что для любого элемента и ё (Ео)
спектр оператора « совпадает со спектром единственного его непрерывного
продолжения и на Е (5.5.4). Приведите пример такого оператора и С (Ео)
и его спектрального значения С, чтобы vt = u — С-1 было биективным ото-
бражением подпространства Ео на себя ).
[Рассмотрите подпространство Ео пространства Е из задачи 3, состоящее
из всех (конечных) линейных комбинаций векторов еп.]
2.	Вполне непрерывные операторы
Пусть Е и F— два нормированных (действительных или ком-
плексных) пространства. Мы будем говорить, что линейное отобра-
жение и пространства Е в F вполне непрерывно, если образ и (В)
любого ограниченного множества BclE относительно компактен в F.
Эквивалентное условие состоит в- том, чтобы у любой ограниченной
последовательности (хп) в Е существовала такая подпоследователь-
ность (ХлА), что последовательность (и (х»*)) сходилась бы в F.
Так как любое относительно компактное множество ограничено
в F (3.17.1), то из (5.5.1) следует, что вполне непрерывное ото-
бражение непрерывно.
Примеры. (11.2.1) Если Е или, F конечномерно, то каждое
непрерывное линейное отображение пространства Е в F вполне не-
прерывно [в силу (5.5.1), (3.17.6), (3.20.16) и (3.17.9)].
(11.2.2)	Если F — бесконечномерное нормированное пространство,
то тождественный оператор в Е в силу теоремы Рисса (5.9.4) не
является вполне непрерывным.
(11.2.3)	Пусть I = \а, 6]—компактный промежуток в R, Е = с£с(Г)—
банахово пространство непрерывных комплексных функций в I (7.2)
и ($, /)->ЛГ(з, I) — некоторая непрерывная комплексная функция
ь
в / X I. Для любой функции f £Е отображение f —> J К (s, t) f (s) ds
a
в силу (8.11.1) непрерывно в /; обозначим эту функцию через Uf.
Тогда отображение f ->Uf пространства Е в себя линейно.
’) Можно показать, что в банаховом пространстве Е это невозможно,
так как любое взаимно однозначное непрерывное линейное отображение
пространства Е на себя является гомеоморфизмом; см. Н. Бурбаки [6].
366	Гл. 11. Элементарная спектральная теория
Докажем, что оно вполне непрерывно. В самом деле, если g =
— Uf, то при и t £ I мы можем написать
ь
(11.2.3.1)	g(t) — g(t0) = f (K(s, t) — K(s, tQ))f(s)ds.
a
Так как функция К равномерно непрерывна в / X/ (3.16.5), то для
любого е>0 существует такое S > 0, что из |/— следует
| К(s, t) — K(s, /0)|<е для любой точки . $ £7. Поэтому для любой
функции /££ по теореме о среднем значении
(11.2.3.2)	|^(O-g(7o)l<e(d-a)||/||.
Это показывает, что образ U (В) любого ограниченного множества
Вс:Е равностепенно непрерывен в каждой точке/0 промежутка 7(7.5).
С другой стороны, для любой точки мы подобным же образом
имеем |g-(O|<*ll/l|> если |ЛГ($, /)|<А в / X/• По теореме Ас-
коли (7.5.7) множество U (В) относительно компактно в Е.
(11.2.4)	При тех же обозначениях и при тех же предположениях
относительно К, что и в (11.2.3), пусть теперь F— пространство
комплексных простых функций в / (7.6), снова являющееся бана-
ховым пространством, если его рассматривать как подпространство
пространства J?c(/)- В этом случае функция Uf определяется, как
и в (11.2.3) для любой функции f£F, и неравенство (11.2.3.2)
остается в силе. Рассуждени^, проведенное в (11.2.3), доказывает,
что (/ив этом случае является вполне непрерывным отображением
пространства F в Е.
(11.2.5)	Если и и v— два вполне непрерывных отображения
пространства Е в F, то и сумма u-\-v вполне непрерывна.
Пусть (хл) — ограниченная последовательность в Е. По предпо-
ложению, существует такая подпоследовательность (хл) последователь-
ности (хл), что последовательность (« (хл)) сходится в F. Так как
последовательность (л/) ограничена в Е, то у нее существует такая
подпоследовательность (•£„), что последовательность 07 (хл)) схо-
дится в F. Тогда в силу (3.13.10) и (5.1.5) последовательность
(и (•*„) + ® (XZ)) СХОДИТСЯ в F, ч. т. д.
(11.2.6.) Пусть Е, F, Е} и Fy — нормированные пространства,
f — непрерывное линейное отображение пространства Ег в Е
и g — непрерывное линейное отображение пространства F
в Fv Тогда для любого вполне непрерывного отображения и
пространства Е в F отображение ux = g<>uof пространства
Ех в Fx вполне непрерывно.
2. Вполне непрерывные операторы
367
В самом деле, если множество В{ ограничено в Ev то множе-
ство / (Bj) в силу (5.5.1) ограничено в Е, множество u(f (Bj) отно-
сительно компактно в F по предположению и множество g (u(f (В1)'))
относительно компактно в F} в силу (3.17.9).
(11.2.7)	Если и — вполне непрерывное отображение простран-
ства Е в F, то сужение и на любом векторном подпростран-
стве Ех пространства Е является вполне непрерывным ото-
бражением Ег в и(Е1).
В самом деле, в силу (11.2.6) это сужение является вполне не-
прерывным отображением подпространства Ег в F. Если В—огра-
ниченное подмножество Ev то и {В) является тогда компактным под-
множеством пространства В и, так как «(B)cz«(£'1), множество «(В)
относительно компактно в и(Ех).
(11.2.8)	Пример. Пусть теперь, при тех же обозначениях и тех
же предположениях относительно функции К, что и в (11.2.3),
G есть предгильбертово пространство, определяемое на множестве
ь
^с(/) скалярным произведением (/1 g)= f/(t)g(t) <//(6.5.1). Норму
а	*	______
в этом пространстве будем обозначать символом ||/||2 =	\f).
чтобы отличить ее от нормы ||/|| = sup|/(/) |; обозначим через Е
пространство ^с(Л с нормой ||/||. Тождественное отображение
f —> f пространства В в G непрерывно, так как по теореме о сред-
нем значении	V&— а - ||/||. Но оно не взаимно непрерывно
и G не является банаховым пространством. Неравенство Коши —
Шварца (6.2.1) записывается в виде
ь
а
(11.2.8.1)
2	, Ъ	\ ! b
<( f	I f ib(/w
\ a	/ \ a	j
При тех же обозначениях, что и в (11.2.3), мы можем, таким об-
разом, вывести из (11.2.3.1) и (11.2.8.1), что при )f
(11.2.8.2)
\g^-g(t2)\^Vb-a • ||/||2
и аналогично | g (/) k — а • ||/||2 для любой точки t£I. По-
этому в силу точно такого же рассуждения, как и в (11.2.3), /—>
-> Uf есть вполне непрерывное отображение пространства О в Е.
А так как тождественное отображение Е в О непрерывно, то ото-
бражение f~>Uf в силу (11.2.6) есть также и вполне непрерывное
отображение G в G,
368
Гл. 11. Элементарная спектральная теория
(11.2.9)	Пусть Е и F — два банаховых пространства, Ео
(соответственно /%) — подпространство, плотное в Е (соот-
ветственно в F), и—вполне непрерывное отображение под-
пространства Fo в Fo и и—единственное его непрерывное
продолжение как отображение пространства Е в F (5.5.4).
Тогда u(E)cz.Fq и и есть вполне непрерывное отображение про-
странства Е в Fo.
Очевидно, что любой шар ||х||^г в £ содержится в замыкании
любого шара в Ео с центром 0 и радиусом > г (3.13.13). Поэтому
любое множество, ограниченное в Е, содержится в замыкании неко-
торого множества В, ограниченного в Ео. Множество и (В) в силу.
(3.11.4) содержится в замыкании в F множества и(В')~и(В).
Множество и(В) относительно компактно в Ро, т. е. его замыкание
в Fo компактно и, значит, замкнуто в F и, таким образом, совпадает
со своим замыканием в F. Это показывает, что множество и (В) со-
держится в Fo и относительно компактно в этом пространстве, ч. т. д.
(11.2.10)	Пусть Е — нормированное пространство, F — бана-
хово пространство и (ип) — последовательность отображений,
принадлежащих S’ (Е-, £) (5.7), сходящаяся в S(E\ F) к и.
Тогда если вполне непрерывно каждое из отображений ип, то
вполне непрерывно и отображение и.
Пусть В — произвольное ограниченное множество в Е. Так как
F — полное пространство, то нам нужно только доказать, что мно-
жество и(В) вполне ограничено (3.17.5). Пусть множество В со-
держится в некотором шаре ||х||^а. Для любого е>0 найдется
такое п0, что из	будет следовать ||и—ип||<^е/(2а) и, значит
(в силу (5.7.4)], ||и(х) — «„(х)|Ке/2 для любой точки х£В. Но,
поскольку множество «л,(5) вполне ограничено, оно может быть
покрыто конечным числом шаров с центрами yj (1 -СУ-^Ст) и ра-
диусом е/2. Для любой точки х£В, таким образом, существует
такое у, что || и„0 (х) — уу||^е/2 и, следовательно, ||«(х)— у/|-^е,
и шары с центрами у у и радиусом е покрывают и (В), ч. т. д.
В частности, любой предел в S (Е; F) последовательности ото-
бражений конечного ранга в силу (11.2.1) и (11.2.10) вполне непре-
рывен. Вопрос о том, будет ли, напротив, любое вполне непрерывное
отображение равно такому пределу,' все еще остается открытым.
Задачи
1.	Пусть Е—банахово пространство, Л —открытое множество в £ и
F — конечномерное векторное пространство. Покажите, что для любого
> 1 тождественное отображение f f банахова пространства 3)^ (Л)
(задача 8, § 8, 12) в пространство 3>^~1^(А) [которое при р = 1 нужно
заменить на (Л)| есть вполне непрерывный оператор.
3. Теория Ф. Риоса
369
[Воспользуйтесь теоремой о среднем значении и теоремой Асколи.]
2.	Пусть « — вполне непрерывное отображение бесконечномерного ба-
нахова пространства Е в нормированное пространство F. Покажите, что
в Е существует такая последовательность (лг„), что ||хя|| = 1 при каждом п
и что lim и (хп) = 0.
л->со
[Заметьте, что существуют такое число а > 0 и такая последователь-
ность (уп) точек пространства Е, что ILyn||=l при каждом п и что
IIУтУлП>а ПРИ т^п (задача 3 § 5.9 и (3.16.1)), и рассмотрите по-
следовательность (и (ул)).]
Заключите отсюда, что если образ при и сферы S:||jc|| =1 замк-
нут в F, то он содержит 0.
3.	Пусть Е — сепарабельное гильбертово пространство и (е„) — орто-
нормальный базис в Е. Покажите, что если и — вполне непрерывное ото-
бражение пространства Е в нормированное пространство F, то последова-
тельность («(ел)) сходится к 0.
[Допустите противное и покажите, что невозможно, чтобы последова-
тельность (и(ел)) имела в F предел 6#=0.]
Покажите, обратно, что если F — банахово пространство и если ряд
с общим членом || и (ел) ||2 сходится, то отображение и вполне непрерывно.
[Для доказательства того, что образ шара || х || < 1 при и вполне огра-
ничен, воспользуйтесь неравенством Коши — Шварца.]
4.	Пусть F — нормированное пространство, обладающее следующим
свойством: существует такая константа с > 0, что для любого конечного
множества («j)i^t- <п в F и любого е > 0 существует разложение F = М N
пространства F в прямую сумму двух замкнутых подпространств, такое,
что М конечномерно, d М) < г при 1	< п и что если для любого
вектора х € F имеем х = р (х) -]- q (х), где р (х) g М н q(x)£ N, то || q (х) || <
с  d (х, М). Покажите, что при этом предположении любое вполне непре-
рывное линейное отображение нормированного пространства Е в F является
в .S’ (Е; F) пределом некоторой последовательности линейных отображений
конечного ранга.
[Воспользуйтесь определением вполне ограниченных пространств.]
- Покажите, что любое гильбертово пространство, а также простран-
ства (с0) (задача 5 § 5.3) и /' (задача 1 § 5.7) удовлетворяют предыду-
щему условию.
5.	Пусть / = [а, 6] — компактный промежуток в R и К (s, t) — комплек-
сная функция, непрерывная в /XI и удовлетворяющая предположениям
задачи 4 § 8.11. Покажите, что если отображение U определено как
в (11.2.3), то U остается и при этих предположениях вполне непрерывным
отображением пространства Е = “&с (/) в себя.
3.	Теория Ф. Рисса
Нам многократно потребуется следующая лемма:
(11.3.1)	Пусть и — непрерывный оператор в нормированном
пространстве Е, v=\—и, a L и М — два замкнутых
24 Ж. Дьедонне
370
Г л. 11. Элементарная спектральная теория
векторных подпространства пространства Е, такав, что McL,
M4--L и v(L)<z.M. Тогда существует такая точка а££ПСЛ4,
что ||а||<1 и что для любой точки х£М выполняется нера-
венство ||«(а)— а(х)||^>1/2.
По предположению, существует такая точка b£L, что Ь(^М и,
значит, d(b, Л4) = а>0. Пусть точка у£Л4 выбрана так, что
||#— УII 2а, и возьмем точку а = (Ь— у)/|(#— у||. Тогда || а || = 1
и а—z = (b—у—||#— у||г)/||#— у|| для любой точки z£M. Так
как у-|- H# — у||д^Л1, то H# — у—H#—у||zЦ^.а. Поэтому для
любой точки z £ М выполняется неравенство ||а—z\\^l/2. Но при
х£М имеем «(а) — и(х) = а—(х-|-г»(а) — f(x)) и по предпо-
ложению х-|-®(а) — v(x)£M, откуда и следует наше заключение.
(11.3.2)	Пусть и — вполне непрерывный оператор в нормиро-
ванном пространстве Е и пусть ®=1—и. Тогда-.
1°) ядро w-1(0) конечномерно',
2°) образ v(E) замкнут в Е;
3°) v(E) имеет в Е конечную коразмерность-,
4°) если -y i (0)= {0}, то v есть линейный гомеоморфизм
пространства Е на v(E) [ср. (11.3.4)].
Г). Для любой точки x£N = ®-1(0) мы имеем «(х) = х. По-
этому образ шара В: || х||<С 1 в N при и есть сам шар В. По
предположению множество и (В) относительно компактно в Е, а зна-
чит, и в N, поскольку N замкнуто в Е. Но отсюда по теореме
Рисса (5.9.4) следует, что N конечномерно.
2°). Пусть y£v(E). Тогда в Е существует такая последователь-
ность (х„), что y = linw(x„) (3.13.13). Предположим сначала, что
л->со
последовательность (d (хп, N)) не ограничена. Тогда (если потребуется,
выделив подпоследовательность) мы можем считать, что limd(xn, N) =
л->со
==-]- оо. Пусть zn — xn/d (хп, N). Сразу видим, что d (zn, N) == 1 и что,
следовательно, существует такая точка tn£N, что \\zn — /„Ц-^2.
Пусть sn=azn — tn. По определению v(sn) = ‘u(zn) — v(xn)/d(xn, N)
и d(sn, N)=l. Из предположений сразу выводим, что linw(sn) = 0.
rt->oo
Но последовательность (зл) ограничена в Е. Так как оператор и
вполне непрерывен, то существует такая ее подпоследовательность (Snfe),
что последовательность («($лЛ)) сходится к некоторой точке а£Е.
Так как lim(s„ — u(sn)) = 0, то мы также имеем Iimsn —а, и, зна-
л->оо	л->оо . *
чит, поскольку отображение х —>d(x, N) непрерывно,' d(a, N)=l.
Но г>(а) = limv(sn ) = 0, а это противоречит определению N.
Л->оо 4
Таким образом, мы можем предполагать, что последовательность
(d(xn, N)) ограничена некоторым числом М— 1. В таком случае
существует такая последовательность (х'^, что хп — x'n^N и
3. Теория Ф. Рисса
371
|| х'п || М. Так как v (хя) = v (хп), то мы можем считать, что
||хп||<Л4. Тогда, так как оператор и вполне непрерывен, сущест-
вует подпоследовательность	Для которой последовательность
сходится к'некоторой точке Ь^Е. Поскольку последова-
тельность Xnk — u(Xnk)~‘v(Xnk) сходится к у, последователь-
ность сходится к Ь-\-у, и ввиду непрерывности, мы имеем
®(^Н~У) = У- Это доказывает, что y£v(E) и что, следовательно,
образ v(E) замкнут.
3°). Сказать, что v(E) имеет в Ебесконечную коразмерность, значит
сказать, что существует такая бесконечная последовательность (ал)
точек пространства Е, что при каждом п точка ап не принадлежит
подпространству V„_v порожденному v(E) и точками av .... an_v
Так как подпространство v(E) замкнуто, то [ввиду (5.9.2)] замкнуто
и каждое из подпространств Vn. В силу (11.3.1) мы можем по ин-
дукции определить, такую последовательность (6Л), что Ьп £ Ул,
bn^Vn-v ПМК1 и Н«(*п) —и(^)||> U2 при любом п — 1.
Отсюда следует, что последовательность («(&„)) не имеет предель-
ных точек — в противоречии с . предположением о том, что опера-
тор и вполне непрерывен.
4°). Чтобы доказать, что в случае, когда г»~1(0)=(0), отобра-
жение v есть гомеоморфизм пространства Е на 'о(Е'), нужно только
показать, что образ v(A) любого замкнутого множества Ас:Е замк-
нут в.Е [а потому и в ©(£)] (3.11.4). Но это доказывается точно
таким же рассуждением, как то, которое было проведено в 2°), только
всюду Е нужно заменить множеством A (a N— множеством {0)).
(11.3.3)	При тех же предположениях, что и в (11.3.2), опреде-
лим по индукции подпространства N1 = 'O-1(0), Nk = ©~1(Д7А_1)
при k> 1, Fj — v(E) и Fk — v(Fk_1) при &> 1. Тогда:
1°). Nk образуют возрастающую последовательность конеч-
номерных подпространств, a Fk— убывающую последователь-
ность замкнутых подпространств конечной коразмерности.
2’). Существует такой наименьший номер п, что при k~^>n
имеет место равенство Nk+1—Nk. Тогда при k~^>n справед-
ливо равенство Fk+l = Fk, пространство Е есть топологиче-
ская прямая сумма (5.4) подпространств Fп и Nп и сужение
оператора v на Fn есть линейный гомеоморфизм подпрост-
ранства Fn на себя.
1°). Определим по индукции vx = ,u, vk=vk_yov. Убедимся, что
vk~l—ак, где ик— вполне непрерывный оператор. Это легко по-
казать индукцией по k. Действительно, ®ft=(l—zzA_j)°(l—a) =
= 1—uk-i—	и поэтому наше утверждение сразу сле-
дует из индуктивного предположения и из (11.2.6) и (11.2.5). Тогда
по определению Nk — v~1 (0) и Fk — vk (Е), и 1 °) следует из (11.3.2).
24*
372	Гл. 11. Элементарная спектральная теория
2°). Предположим, что Nk=^Nk+1 при каждом k. При А>1 мы
имеем v(Nk+l)c.Nk. В силу (11.3.1) существует бесконечная после-
довательность (xk) точек пространства Е, такая, что xk£Nk,
xk^Nk-v ll-^IK1 ПРИ k>1 и II «(*») — «'(</) II > V2 при лю-
бом J < k. Отсюда следует, что последовательность (и (хя)) не имеет
предельных точек — в противоречии с предположением о том, что
оператор и вполне непрерывен.
Подобным же образом предположим, что Fk+1=pFk при каждом
k. При £	1 имеем v(F ^)cz.F к+х. В силу (11.3.1) существует беско-
нечная последовательность (xft) точек пространства Е, такая, что
xk$Fk, xk^Fk+x, ||xft||< 1 при Л>1 и ||«(х*) —«(*>•) ||> 1/2
при любом j > k. Это снова приводит к противоречию, и поэтому
существует наименьший такой номер т, что Fk+x = Fk при k^-m.
Докажем, далее, что Nn f) Fn = {0}. Если y^Fn[\Nn, то сущест-
вует такая точка х£Е, что у = vn(x), и, с другой стороны, vn(y) — 0.
Но ^отсюда следует, что и2л(х) = 0, поэтому x^N2n~Nn и
У=г*„(л) = 0-
По определению мы имеем Fm<=.Fn и v{F^) = Fm. Докажем,
что Fn = Fm. В противном случае мы имели бы т > п. Пусть
точка z выбрана так, что z ^Fm_xcFп и z(£Fm. Так как t»(z)£ Fm —
— v(Fm), то существует точка t£Fm, для которой v (z) = v (Г),
т. e. z — t^Nl<^Nn. Но поскольку z — tfzFn, мы заключаем,
что z = t, и наше исходное предположение мы привели к противо-
речию.
Для каждой точки х £ Е мы имеем vn (х) £Fn = Рт, и [так как по
определению т vn(Fn) = Fn\ существует такая точка y^Fn, что
vn(х) = vn(у), поэтому х — y£Nn и, следовательно, Е — Fn-\- Пп.
Эта последняя сумма является прямой, так как Fn (}Nn = {0). Подпро-
странство Fn замкнуто, a Nn— конечномерно, следовательно, (5.9.3),
Е есть топологическая прямая сумма подпространств Fn и Nn. На-
конец, сужение оператора v на Ё„ является отображением на все Fn,
и его ядром является Fn П Ml^Fn П Nn — {0}, значит, оно и взаимно
однозначно. В силу (11.3.2.4°)) это сужение есть линейный го-
меоморфизм подпространства Fn на себя, и это завершает доказа-
тельство.
(11.3.4)	При тех же предположениях, что и в (11.3.2), если
отображение v инъективно [т. е. если v~1 (0)= [0}[, то v и
сюръективно и, следовательно, представляет собой линейный
гомеоморфизм пространства Е на себя.
В самом деле, из предположений следует, что Nk = {0} при
каждом k. Следовательно, п = 1 и Nx сводится к 0. Таким обра-
зом, в силу (11.3.3) FX=E, и требуемый результат следует из
(11.3.3).
3. Теория Ф. Рисса
373
) таким образом, чтобы ряд с общим членом || уп — у
/	r k+\	nk
Задачи
1. Пусть Е и F — два банаховых пространства и / — непрерывное ли-
нейное отображение пространства Е в F, такое, что f(E) = F и что1) су-
ществует такое число т > 0, что для любой точки у С F найдется точка
х£Е, для которой f(x) = y и || х < яг || УII  .
а)	Покажите, что если (у„) — последовательность точек пространства F,
сходящаяся к точке Ь, то из нее можно выделить такую подпоследователь-
ность (ул ) и найти такую последовательность (хЛ) точек пространства Е,
сходящуюся к некоторой точке а, что при каждом k будет выполнено равен-
ство /(xft) = y„ft.
nk
сходился.]
Ь)	Пусть «— вполне непрерывное отображение пространства Е в F и
пусть v = f — и. Покажите, что образ v(E) замкнут в Л и имеет в F ко-
нечную коразмерность.
[Доказательство должно следовать той схеме, что и доказательство
теоремы (11.3.2); нужно воспользоваться задачей а).]
с)	Определим по индукции f1 = v(£) и Fk+l = v (/-1 (Fk)) при Л>1.
Покажите, что существует такой номер п, что = при
[Тот же метод.]
d)	Предположим, что E = F—сепарабельное гильбертово пространство,
и пусть («л)п> 1 — ортонормальный базис в Е. Определим f и и так, чтобы
/(««) = ел-з ПРИ ">4> У(ел) = ° при л <3, «(е«) = еп-2/л при п>6,
и (е{) = и (<?3) = 0, и (ег) = — ег, и (е4) = е, и «(е5) = + (е3/5). По индукции
определим Nj = v-1 (0) и ЛУ>+1 = о-1 (/(АГ*) ) при ft > 1. Покажите, что все
подпространства Nk различны и конечномерны.
2.	Пусть Е и F — два нормированных пространства, f — линейный го-
меоморфизм пространства Е на замкнутое подпространство /(£) простран-
ства F и и — вполне непрерывное отображение пространства Е в F и пусть
V = f — и.
а)	Покажите, что подпространство v-1 (0) конечномерно, a v(E) замк-
нуто в F. Кроме того, если v-1(0) = {0), то v есть линейный гомеомор-
физм пространства Е на v(E).
[Нужно следовать тому же методу, что и в (11.3.2).]
Ь)	Определим по индукции Ni = v~l (0) и Nk+l — v~l (У(Л^)) при ft > 1.
Покажите, что существует такой номер п, что Nk+l = Nk при ft>n.
с)	Приведите пример, когда если Fl = v(E) и Fk+l = v(f~x (£ft)) при
ft>l, то все подпространства Fk различны.
[В качестве £ = F возьмите сепарабельное гильбертово пространство,
а в качестве f и и отображения, сопряженные (11.5) отображениям, обозна-
ченным буквами f и « в задаче 1, d).]
’) Можно показать, что это условие является следствием того, что
f(E) = F, если £ и F — банаховы пространства; см. Н. Бурбаки [6].
374
Гл. 11. Элементарная спектральная теория
3.	Пусть Е— банахово пространство и £ —непрерывное линейное ото-
бражение пространства Е в себя, удовлетворяющее условию ||£|| < 1/2.
Тогда f = 1 — g есть линейный гомеоморфизм пространства Е на себя
(8.3.2.1). Пусть и — вполне непрерывный оператор в £ и пусть и = /—и.
Тогда все утверждения теорем (11.3.2) и (11.3.3) справедливы.
[Сначала докажите следующий результат, соответствующий лемме
(11.3.1): если	и v(Z.)czAl, то существует такая точка a^LftCM,
что || а || <1 1 и что для любой точки х^М, для которой ||х||<1, выпол-
няется неравенство ||и (а) — и (х)||>(1 — 21|g||)/2.]
4.	Пусть f — автоморфизм пространства Е—Г (задача 1 § 5.7; мы со-
храняем обозначения этой задачи), такой, что f(eik) = е^+г {k >0), f(Pi) — ео
и f (^2й+1) = «2*-1 при k^l, и пусть и—вполне непрерывное отображе-
ние, такое, что ц(еп) = 0 при п=/=1 и и (е() = е0. Покажите, что если
v = f—и п Fk и Nk определены, как в (11.3.3), то Л^+1=£Л^ и ^k+i^^k
при каждом k.
4. Спектр вполне непрерывного оператора
(11.4.1) Пусть и — вполне непрерывный оператор в комплекс-
ном нормированном пространстве Е. Тогда:
1°). Спектр S оператора и есть не более чем счетное ком-
пактное множество в С, каждая точка которого (с возмож-
ным исключением точки 0) изолирована. Если Е бесконечно*
мерно, то 0 принадлежит S.
2°). Каждое число X =/= 0, принадлежащее спектру, 'есть
собственное значение оператора и.
3°). Для каждого X =£ 0, принадлежащего спектру S, сущест-
вует единственное разложение пространства Е в топологи-
ческую прямую сумму двух подпространств F(X) и N (X) [обо-
значаемых также символами F(k-,u) и N(l;u)], такое, что:
(i)F(X) замкнуто, a N (X) конечномерно-,
(ii) и (F (X) )c:F (X) и сужение оператора и — X- 1 на F(X) есть
линейный гомеоморфизм этого пространства на себя-,
(iii)«(N(X))cN(X), и существует такое наименьшее целое
число k — k(k), называемое кратностью X [и обозначаемое так-
же символом й(Х; «)], что сужение оператора {и — X  1)* на N(X)
равно 0.
4°). Собственное пространство Е(к) оператора и, соответ-
ствующее собственному значению X 0, содержится в N (к)
(и поэтому конечномерно).
5°). Если X и р. — две различные точки спектра S, отличные
от 0, то N (y.)czF (к).
6°). Если Е—банахово пространство, то тогда функция
С—>(и—С-1)-1, которая определена и аналитична в C\S,
имеет в. каждой точке X 0 спектра S полюс порядка k (X).
4. Спектр вполне непрерывного оператора
375
Пусть X =£ О— произвольное комплексное число. Так как опера-
тор Х~! и вполне непрерывный, то к нему можно применить теорию
Рисса (11.3). В силу (11.3.4) если X не есть собственное значение
оператора и, то оператор 1—X"1 и является линейным гомеомор-
физмом пространства Е на себя. Это же верно, конечно, для опе-
ратора и — X- 1= — Х(1—X-1«), т. е. X есть регулярное значение-
оператора «, что доказывает 2°).
Предположим, напротив, что X — собственное значение оператора
и. Тогда существование разложения F(X)-|-2V(X) пространства Е
со свойствами (i), (ii) и (iii) следует, как и утверждение 4°), из (11.3.3)
[Е(X) есть ядро, обозначаемое в (11.3.3) буквой NJ. Чтобы закон-
чить доказательство утверждения 3°), нам нужно только доказать
единственность подпространств F (X) и N (X). Предположим, что су-
ществует второе разложение Е — F'-\-N', обладающее теми же свой-
ствами, и положим -и —и— X- 1. Тогда для любой точки х^У'мы
можем написать х = у-\-z, где y£F(X) и z£2V(X). По предположе-
нию существует такое h > 0, что г/1(х) = 0, и поэтому ®Л(у) = 0.
Так как сужение оператора т/1 на F (X) есть, по предположению,
гомеоморфизм, то у = 0 и x£N(X). Это доказывает, что A"cW(X),
и точно такое же рассуждение доказывает, что N(X)czAT. Далее,
если x = y-$-z£F', где y£F(X) и ^£N(X), то мы имеем ®*(х)==
= ®*(у); следовательно, ?(F')cF(X). Но, поскольку v(F') = F',
отсюда вытекает, что F'c.F(K), а включение F (Х)с/7' доказывается
аналогично.
Обозначим через иг и и2 сужения оператора и соответственно
на F (X) и на N(X). Из соотношения («2—  1)* = 0 на основании
линейной алгебры следует, что в Л^(Х) существует такой базис, что
матрица оператора «2— X - 1 по отношению к этому базису является
треугольной, причем по диагонали стоят 0. Если d = dim (М (X)),
то определитель оператора «2 — С-1, таким образом, равен (X — .
и это доказывает, что оператор и2— С - 1 при С =# X обратим. Дока-
жем, с другой стороны, что при достаточно малом С — X обратим
оператор их — С  1. Мы можем написать их — С • 1 = + (X — С) • 1,
где -Dj = «j — X • 1. Из 3°) мы знаем, что оператор vx обратим. В силу
(5.7.4) мы, таким образом, имеем Ц^Г1 (*)||-С||®Г1|| ’ 11х11 в
что можно также записать в виде |]®1(х)|| с • ||х||, где с — ||№||- •
Если бы теперь было С ¥= 0 и оператор их— С • 1 не был бы обратим,
то в силу 2°) [примененного к подпространству F (X) и оператору их
с учетом (11.2.7)] в F (X) нашлась бы такая точка х =# 0, что их(х) —
= Сх и, следовательно, |С — Х| • ||х[| = ||®j(х)||>-с • ||х||, что невоз-
можно, если |С — Х|< с. Это показывает, что если С =£ 0, С =£ X и
|С — Х|< с, то оператор и—С - 1 обратим (поскольку обратимы его
376
Гл. 11. Элементарная спектральная теория
сужения на F(n) и на М(Х)), т. е. что С не принадлежит S. Таким
образом, все точки К Ф 0 спектра 5 изолированы, и спектр 5 не бо-
лее чем счетен. В силу 2°) для каждого числа X =£ О, принадлежа-
щего S, в Е существует такая точка х 0, что и(х) = Хх и, зна-
чит, в силу (5.7.4) |Х| • ||х||^||и|| • ||х|| и |Х|^||«||, что доказывает,
что множество S компактно. Предположим, чтобы закончить дока-
зательство утверждения 1°), что Е бесконечномерно. Если бы опе-
ратор и был гомеоморфизмом пространства Е на себя, то образ
а (В) шара В :Цх||<(1 был бы окрестностью точки 0 в £ и, так
как он относительно компактен в Е, это нарушало бы теорему
Рисса (5.9.4).
Если р. — точка множества S, отличная от 0 и от К, и если
x£Af(|*), томы можем написать x = y-|-z, где у = Л(Х) и z£N(X).
Мы уже видели выше, что сужение оператора = и— р • 1 на N(X)
есть гомеоморфизм. Так как та>Л(х) = 0 при достаточно большом Л
и (у) £ F (X), a •wh (z) £ N (X), то мы должны иметь wh (у) =	(z) =
= 0, что доказывает утверждение 5°).
Займемся теперь доказательством утверждения 6°). Если Е — бана-
хово пространство, то аналитичность функции (и—С - 1)-1 вС\5
следует из (11.1.2). При тех же обозначениях, что и выше, X не при-
надлежит-спектру оператора uv Поэтому [в силу (11.2.7)] функция
(иг—С • I)-1 является аналитической в некоторой окрестности точки X.
В частности, существуют такие числа р> 0 и М > 0, что при
x£F(X) и |С — Х|^р выполняется неравенство ||(aj — С- 1) 1 (х)||
М • ||х||. С другой стороны, мы можем написать и2 —	1 —
— ('г— С)-14~®2, где v2 — и2 — X- 1, и мы знаем, что при С =£ X
оператор «2 — С-1 обратим. Кроме того, так как v$ = 0,
k
(11.4.1.1)	(«,-С - I)’1 =-£ (С-Х)-"^1 .
Л = 1
Отсюда следует существование такого числа М' > 0, что для любой
точки х£М(Х) при |С — Х|<р и С¥=Х выполняется неравенство
|С — Х|*  ||(й2 — С • 1)-1(х)||<Л1' • ||х||. Далее, для любой точки
х£Е мы можем написать x = y-\-z, где у^/7(Х) и z£2V(X), и су-
ществует такая константа а > 0, что || у ||	а || х|| и ||z||	а || х ||
(5.9.3). Таким образом, мы видим, что для любой точки х^Е при
|С — Х|<р и С #= X выполняется неравенство. |С—Х]А||(«—<  1)-1(х)||^
a1-ЛГ)||х||. Иными словами, мы имеем|С—X|ft. ||(«—С-1)-1||^
<^а(Л1р,'-]-Л1/) при С ^Х и |С — Х[^р. На основании (9.15.2) отсюда
следует, что X есть полюс порядка^k функции (и — С - I)-1. Но по
определению существует такая точка х £ N (X), что ®2-1 (х) ф 0;
следовательно, функция (С —X)fe-1((u — С • 1)-1(х)), когда С =# X
стремится к X, не ограничена, и это доказывает, что X есть
полюс порядка k. Доказательство теоремы (11.4.1) завершено.
4. Спектр вполне непрерывного оператора
377
Мы будем называть размерность пространства N (X) алгебраи-
ческой кратностью собственного значения X оператора и, а размер-
ность собственного пространства Е(Х)— его геометрической крат-
ностью. Они совпадают в том и только в том случае, если Л(Х) = 1;
в случае, когда Е— банахово пространство, это условие эквивалентно
утверждению, что X есть простой полюс функции («—С - I)-1.
(11.4.2).	Пусть Е — банахово пространство, Ео— подпрост-
ранство, плотное в Е, и — вполне непрерывный оператор в Ео
и и — единственное его непрерывное продолжение на Е. Тогда
спектры операторов и и и совпадают, а для каждого собст-
венного значения X Ф о оператора и имеют место равенства
N (Х;«) = Л(.(Х; и), Е (к; и) = Е (к-, и) и k (X; и) = k (X; и}.
Из (11.2.9) мы знаем, что оператор и вполне непрерывен и что
он отображает Е в £0. Если X =/= 0 — собственное значение опера-
тора и, то любой собственный вектор х, соответствующий X, обла-
дает тем свойством, что х = Х-1«(х)££,0; поэтому X есть собствен-
ное значение , оператора и и £(Х; и)сЕ(к; и). Так как обратное
включение очевидно, то S («) = <$ (и) и Е(к\ и) = Е(к-, u)cz.E0 для
каждого собственного значения X =£ 0. Аналогично, рассматривая
ядра оператора (и—X • 1)* и его продолжения («— Х-1)А, убеж-
даемся, что они равны. Следовательно, £(Х; «) = £(Х; и) и N(X; «) =
= N(X; и)с£0.
Задачи
1.	Пусть Е — комплексное банахово пространство и и — вполне непре-
рывный оператор в Е. Сохраним обозначения, теоремы (11.4.1) и, кроме
того, обозначим через р, (или рх и qy = 1 —ру проекции пространства Е
на N (X) и на F [к) в разложении пространства Е в прямую сумму F (к) -j-
+ А(Л).
а)	Покажите, что для каждого X б S (и), такого, что X =£ 0, вычет меро-
морфной функции (« — С-1)'1 в полюсе X равен — ру.
Ь)	Покажите, что если ..., кг — различные точки спектра S («), то
проекции рх. (1 < j<;г) коммутируют, и что	есть проекция
пространства £ на .V (Х[) -|- ... .V (Хг) в разложении пространства Е
в прямую сумму этого подпространства и подпространства F (Х1)П/?(Х2)П •  
...(]F(kr).
2.	Пусть Е — бесконечномерное комплексное банахово пространство,
а — вполне непрерывный оператор в £ и (ил)л ] — последовательность
вполне непрерывных операторов в Е,- сходящаяся кив банаховом про-
странстве j? №)•
378
Гл. 11. Элементарная спектральная теория
а)	Докажите, что для любого ограниченного множестваВсЕ объеди-
нение |Ju„(B) относительно компактно в Е.
п
[Покажите, что оно вполне ограничено.]
Ь)	Покажите, что если А. С С не принадлежит S (и), то существуют такой
открытый шар D с центром А и такой номер п0, что при п п0 пересече-
ние S(пл)(]О — 0 [воспользуйтесь (8.3.2.1)] и что при последователь-
ность (пл —С-1)'1 равномерно сходится к (« —С-1)-1.
с)	Пусть (рп) — последовательность комплексных чисел, для которой
£ S («„) при каждом п; такая последовательность всегда ограничена. По-
кажите, что если X — предельная точка последовательности (рл), то X g S (и).
[Можно предполагать, что А = lim =/=• 0. Тогда существует такая
П->оо
точка хп 6 Е, что || хп || = 1 и ип (хп) = Х„л:л; затем воспользуйтесь зада-
чей а).]
d)	Обратно, пусть А =/= 0 принадлежит- S («). Покажите, что для каж-
дого п существует по крайней мере одно такое число	что А =
= lim рп.
[В противном случае можно считать (выделяя, если потребуется, из («„)
подходящую подпоследовательность), что существует открытый шар D
с центром А и радиусом г, такой, что Df]S(n)= [А] и ОП-$(ил) = 0- Пусть
тогда у — путь ^ -> А relt, определенный в промежутке [0, 2л]. Рассмотрите
интеграл J" («„— С-1)-1 (С— A)'1 dZ — O и с помощью задачи Ь) получите
г
противоречие.]
е)	Пусть А =/= 0 принадлежит S («) и пусть D — открытый шар с цент-
ром А и радиусом г, такой, что £>(]•£(“)= [X]. Существует такой номер п0,
что при п > п0 пересечение спектра S (н„) с окружностью | С — X | = г
пусто..
[Воспользуйтесь с).]
Пусть р1( ...,рг — точки пересечения DПS(и„); положим kn =
г
=	wn). Покажите, что существует такое п(, что &ЛС>&(Х; и) при
7 = 1
[Используйте тот же метод, что и в задаче d), умножив («л— С • 1)—1
на подходящий многочлен относительно С степени Ал.]
Приведите пример, когда k„ > k (X; и) при каждом п.
f)	Пусть, в обозначениях задачи е), р = р} и и рп = 2 и  Покажите,
что в банаховом пространстве (£) предел lim рп = р.
л->со
[Воспользуйтесь задачами Ь) и 1.]
4. Спектр вполне непрерывного оператора
379
Выведите из этого результата, что существует такое п2, что при п > пг
подпространств? Nn= N(p-r; ы«)+ ••• Н_Лг(|1л ил) есть алгебраическое до-
полнение в Е подпространства Е (X; и).
[Предтоложим, что п таково, что ||/>— />л||< 1/2. Если бы нашлась точка
для которой || xn|| = 1, то соотношения р(лг„) = О и рп(хл) =
= хп противоречили бы предыдущему неравенству. Подобным же образом
докажите, что пересечение ?/(Х;«) и подпространства. F([x1; «„)f|...
 •  СИ (Р-г> ип) сводится к 0.] •
3.	Пусть и—вполне непрерывный оператор в бесконечномерном ком-
плексном банаховом пространстве Е и пусть Р (С) — многочлен без свобод-
ного члена; положим v = Р (и). Покажите, что спектр S (у) тождествен
с множеством чисел Р (X), где X С S (и). Далее, для каждого $ S (о) про-
странство N (|л; v) есть (прямая) сумма подпространств 2V (?,ft; и), для кото-
рых Р (Xfe) = |л, а F (л, v) — пересечение соответствующих подпространств
F Q-k, “)
[Пусть V — замкнутое подпространство пространства Е, такое, что
«(У)сУ,и пусть — сужение оператора и на У. Покажите, что существует
такая константа М, не зависящая ни от У, ни от п, что || (Р («^) )” || Мп || Uy ||.
Примените это замечание и задачу 1 § 11.1, взяв в качестве У подходящее
пересечение конечного числа подпространства вида F (X; и).]
4.	Пусть Е — сепарабельное гильбертово пространство и (ел)л > 0_
ортонормальный базис в Е. Покажите, что оператор и, определенный усло-
вием и(гл) = ел+1Ди-|-1) при п>0, вполне непрерывен и что S(u) сво-
дится к 0 (точнее, и не имеет собственных значений).
5.	Пусть и — непрерывный оператор в комплексном банаховом про-
странстве Е. Риссовская точка оператора и есть точка X, принадлежащая спек-
тру S (и) и такая, что: 1°) точка X Изолирована в S (и); 2°) Е есть прямая сум-
ма замкнутого подпространства F (X) и конечномерного подпространства (X),
обладающих такими четырьмя свойствами: « (F (X) ) cz Е (X); и (N(X)) с .V (X);
сужение оператора и — X • 1 на F (X) есть линейный гомеоморфизм; суже-
ние оператора и — Х-1 на ?/(Х) нильпотентно.
а)	Покажите, что если X и р — две различные риссовские точки в S («),
то (;л) cz Д (X) и F (X) есть прямая сумма ЛЦ|л) и /7 (Х)ПД ((?)
Ь)	Риссовский оператор, и, по определению, есть непрерывный опера-
тор, у которого все точк^исключая 0) спектра S (и) являются риссовскими
точками. Для любого е > 0 множество точек X С S (и), для которых | X1е,
есть тогда конечное множество {ptj, ..., р-r}- Пусть p-t — проекция про-
странства Е на /У ([*•/) в разложении пространства Е в прямую сумму
Г
N (w) + Z7 (l2/) (1 < i -С г), и пусть v = и — и о pt. Покажите, что S (v) со-
/ = 1
держится в шаре |С|<> и что поэтому (задача 1 § 11.1) lim ||vn||< е.
rt->co
с)	Пусть — замкнутое (11.2.10) подпространство банахова простран-
ства (£), состоящее из всех вполне непрерывных операторов. Покажите,
380
Гл. II. Элементарная спектральная теория
что для того, чтобы оператор «€_?’(£') был риссовским, необходимо и до-
статочно, чтобы lim (d (u",	)]/" = 0.
n->oo
[Чтобы доказать, что условие необходимо, заметьте, что ип = vn-|- wn,
где wn — оператор конечного ранга, и, значит, вполне непрерывный, и вос-
пользуйтесь задачей Ь). Чтобы доказать, что условие достаточно, восполь-
зуйтесь результатом задачи 3 § 11.3, который можно интерпретировать сле-
дующим образом: если ||£|| <1/2, то либо точка X = 1 не принадлежит
S (£	и), либо же является риссовской точкой для g и.]
5.	Вполне непрерывные операторы в гильбертовых
пространствах
Пусть Е — предгильбертово пространство и и — оператор в Е,
Мы будем говорить, что и имеет сопряженный оператор, если
в Е существует такой оператор- и* (он и называется сопряженным),
что для любой пары х, у точек пространства Е
(11.5.1)	(«(х) | У) = (х | и* (у)).
Сразу видим, что оператор и* является единственным (если он суще-
ствует) и что [в силу 6.1 (V)] в этом случае оператор («’)* суще-
ствует и равен и. Подобным же образом убеждаемся в том, что
если и и v имеют сопряженные операторы, то сопряженные опера-
торы имеют «—(—“П, Х« и uv и они соответственно равны +
Х«* и
(11.5.2)	Если оператор и непрерывен и имеет сопряженный
оператор, то оператор и* непрерывен и в J^(E) выполняется
равенство ||«*|| — ||«]|. Если Е — гильбертово пространство,
то каждый непрерывный оператор в Е имеет сопряженный
оператор.
Из (11.5.1) и неравенства Коши — Шварца (6.2.4) заключаем, что
для любой пары точек х и у
|(х|«*(у))|<||«(х)|| • ||у||<||«|| • 1И1 • 11Я-
Полагая х = «*(у), получаем || и* (у)|| |j и ||  ||у|| для любой точки
у С £, откуда следует непрерывность оператора и* и неравенство
1ИК1К
Обратное неравенство будет доказано, если в рассуждении по-
менять местами и и и*.
Если Е — гильбертово пространство и оператор и непрерывен,
то для любой точки у ГЕ линейная форма х->(«(х)|у) непрерывна,
и в силу (6.3.2) существует единственный такой вектор и*(у), для
которого имеет место равенство (11.5.1). Из единственности и* (у)
5. Вполне непрерывные операторы
381
заключаем, что отображение и* линейно, и потому «* есть оператор,
сопряженный и.
Второе утверждение теоремы (11.5.2) не переносится на пред-
гильбертовы пространства.
Оператор и в предгильбертовом пространстве Е называется само-
сопряженным (или эрмитовым'), если он имеет сопряженный опе-
ратор и если и* —и. Отображение (х, у)->(«(х) | у) = (и (у) | х)
есть тогда эрмитова форма в Е. Самосопряженный оператор и на-
зывается положительным (соответственно невырождающимся),
если соответствующая эрмитова форма положительна (соответственно
положительна и не вырождается). В этом случае пишут и 0 (соответ-
ственно и > 0). Для любого оператора, имеющего сопряженный опе-
ратор, « + «* и /(«— «*) являются самосопряженными операторами.
Если Р — ортогональная проекция пространства Е на полное
векторное подпространство F (6.3), то при х^Е и у£Е имеем
(Рх\у— Ру) — 0, следовательно, (Рх | у) — (Рх | Ру) = (х| Ру), и
это доказывает, что Р есть положительный эрмитов оператор.
(11.5.3)	Если непрерывный оператор и в предгильбертовом
пространстве Е имеет сопряженный оператор, то и*и и ии*
являются самосопряженными положительными операторами
и || «*«|| = || «и*|| = || м||2 = || «*||2. В частности, если и — само-
сопряженный оператор, то ||м2|| = ||«||2.
Тот факт, что операторы и*и и ии* являются самосопряженными,
следует из соотношений («*)* = « и (uv)* = v*u*. Кроме того,
(и*и (х) | х) — (и (х) | и (х)) > 0 для любой точки х £ Е, и точно так же
доказывается, что положителен оператор ии*. Далее, это последнее
равенство в силу неравенства Коши — Шварца показывает, что
||«(х)||2<||«*»(х)|| ||х||. Поэтому [ввиду (5.7.4)] ||и||2<|| и*и||.
С другой стороны, в силу (5.7.5) и (11.5.2) ||«*«||<^||и*|| • ||а|| =
= || «||2, и это завершает доказательство.
(11.5.4)	Если Е — гильбертово пространство, то оператор,
сопряженный вполне непрерывному оператору и в Е, сам
является вполне непрерывным.
Так как Е — полное пространство, достаточно доказать, что
образ и*(В) шара В: ||у]|<С 1 вполне ограничен. Пусть F = u(B);
тогда F — компактное множество в Е. Рассмотрим в пространстве
^с(^) (7-2) множество Н сужений на F линейных непрерывных ото-
бражений х—>(х|у) пространства £ в С, где у^В. Мы докажем,
что Н относительно компактно в ^C(F). Действительно, в силу не-
равенства Коши — Шварца мы имеем |(х — х'|у)|^||х — х'||, по-
скольку ||у||-С I- Это показывает, что множество Н равностепенно
непрерывно. С другой стороны, F содержится в шаре ||х||^||«||;
поэтому для любой точки у £ В и любой точки х £ F выполняется
382
Гл. 11. Элементарная спектральная теория
неравенство ] (х | у)| -С||«||> и остается лишь воспользоваться теоремой
Асколи (7.5.7).
Таким образом, для любого е > 0 существует конечное число
таких точек (1	и3 В, что, какова бы ни была точка у£В,
существует такой номер у, что неравенство | («(х) | у —
имеет место сразу для всех точек х£В. Но в силу (11.5.1) это
последнее неравенство можно записать в виде |(х|и*(у)— и* (yj)) |
О, и потому либо и*(у)~ и* (у,), либо же мы можем взять
x = zf\\z\\, где z — u*(y) — и*(у^. Отсюда мы заключаем, что
|[«*(у) — «*(у;.)||<е, и это завершает доказательство.
Заметим, что доказательство того, что образ и* {В) вполне огра-
ничен, сохраняет силу и в случае, когда пространство Е не является
полным. Но может случиться, что вполне непрерывный оператор
в предгильбертовом пространстве Е имеет сопряженный оператор,
не являющийся вполне непрерывным.
(11.5.5.) Пусть и — вполне непрерывный оператор в комплекс-
ном предгильбертовом пространстве Е, имеющий вполне не-
прерывный сопряженный оператор и*. Тогда'.
1°). Спектр S(u*) является образом спектра S(u) при ото-
бражении 5->5.
2°). Для любого числа X 0, принадлежащего S(a), имеем
k (X; и) — k (X; и*).
3°). Если v — и — X- 1, то v* (Е) есть ортогональное дополне-
ние (6.3) подпространства т>-1(0) = £’(Х; и) и размерности
собственных пространств £(Х; и) и £(Х; «*) совпадают.
4°). Подпространство Е (к; и*) является ортогональным до-
полнением подпространства N (X) и) и размерности подпрост-
ранств N (X; и) и N (X; и*) совпадают.
Мы имеем т>* — и* — Х-1; поэтому в силу (11.5.1) (г»(х)|у) =
= (x|v*(y)), и, следовательно, из соотношения т>(х) = 0 вытекает,
что вектор х ортогонален подпространству v*(E). Применяя тео-
рему (11.4.1) к оператору и*, получаем, что v*(E) есть топологи-
ческая прямая^сумма Е (X; «*) и подпространства v*(NQ.; и*)) про-
странства N (X; «*), а из линейной алгебры следует, что коразмер-
ность подпространства v*(E) равна размерности подпространства
v*~l (0) = ЕQc, и*). Поэтому мы имеем dim£'(X; «)^dim£'(X; и*).
Но и = («*)*, и, таким образом, мы имеем dim£'(X; tt) = dim£'(X, «*).
Далее, ортогональное дополнение подпространства Е(к; и) со-
держит v*(E) и имеет ту же коразмерность, что и v*(E)-, значит,
они совпадают, что доказывает утверждение 3°). Это также показы-
вает, что для любого собственного значения X =£ О оператора и
5. Вполне непрерывные операторы
383
число X является собственным значением оператора и*, и так как
обратное следует из равенства « = (и*)*, то мы доказали и Г).
Точно такое же рассуждение можно применить к последователь-
ным итерациям т/1 оператора v. Оно покажет, что образ простран-
ства Е при v*h = (t/1)* является ортогональным дополнением ядра
отображения тА Пользуясь (11.3.2), (11.4.1) и равенством а = (и*)*,
тогда немедленно доказываем 2°) и 4°).
Теоремы (11.4.1) и (11.5.5) можно превратить в критерий для
решения уравнения и(х) — Хх = у.
(11.5.6) При предположениях теоремы (11.5.5):
(1) если X не принадлежит спектру оператора и, то урав-
нение и(х)— \х = у имеет в Е для каждого вектора у^Е
единственное решение',
(ii) если X принадлежит спектру оператора и, то, для
того чтобы при у£Е уравнение и(х)— Хх = у имело в Е ре-
шение, необходимо и достаточно, чтобы вектор у был орто-
гонален решениям уравнения и*(х)— Хх = 0.
Для конечномерного пространства этот критерий сводится к клас-
сическому критерию существования решения системы скалярных ли-
нейных алгебраических уравнений.
(11.5.7) Пусть и — вполне непрерывный самосопряженный опе-
ратор в комплексном гильбертовом пространстве Е. Тогда'.
1°). Каждый элемент спектра S (и) является действитель-
ным числом, и для каждого собственного значения X =£ О опе-
ратора и имеем £(Х)_ 1.
2°). Если X и р. — два различных собственных значения опе-
ратора и, то собственные подпространства Е(к) и Е(\ь) орто-
гональны.
3°). Пусть (р.„)— строго убывающая (конечная или бесконеч-
ная) последовательность собственных значений > 0, a (vn) —
строго возрастающая (конечная или бесконечная) последо-
вательность собственных значений < 0. Для каждого k, для
которого определено значение |хй (соответственно vft), пусть
р'ь {соответственно Fk)— ортогональное дополнение подпро-
странства Д^)-)- ... +£(1^-1) (соответственно f(vj)+ ...
... -|-f(vft_1)). Тогда (соответственно мй) есть наибольшее
(соответственно наименьшее) значение функции х->(«(х)| х) на
сфере ||х|| = 1 в Ек {соответственно F*), и точки этой сферы,
в которых (и (х) | х) = |хл (соответственно (и(х) \ х) — чк), суть
точки, принадлежащие подпространству Е(рк) (соответственно
Д(>А)). Кроме того, ||а|| — sup (р.Р — V0.
384
Гл. 11. Элементарная спектральная теория
4°). Пространство Е является гильбертовой суммой (6.4)
подпространств Е(рп), Е(уп) и Е(0) = «-1(0).
(Может случиться, что либо значения р.„, либо значения v„, от-
сутствуют. Но из 3°) следует, что единственный случай, когда нет
отличных от нуля собственных значений, есть случай и = 0.)
Для любого собственного значения X =£ 0 оператора и мы имеем
(и(х)\х) = ^(х[х), где х — собственный вектор, соответствующий X.
Но число («(х)| х) = (х| «(х)) = (и(х)| х)для любого х£Е дей-
ствительно. Поэтому, так как число (х | х) действительно и + 0, X
действительно. Если т>=« — X- 1, то мы, таким образом, имеем
v* — v и, значит, в силу (11.5.4) v(E) есть ортогональное дополне-
ние подпространства £,(Х) = ‘и-1(0). Отсюда следует, что сужение
оператора v на v(E) взаимно однозначно. Поэтому по определению
[см. (11.3.3)] Д7 (X) = £ (X), Е (X) =iV(E) и, следовательно, &(Х)=1.
Это доказывает .утверждение 1°), а так как для любого собственного ,
значения р^Хв силу (11.4.1) Е(р) = N (pi)c:/7 (X), то мы доказали
и 2°).
Сначала мы докажем последнюю часть утверждения 3°). Пусть
р — sup({*j, — Vj). Тогда в силу (11.1.2) отображение С->(« — С • 1)-1
при | С| > р является аналитическим, откуда сразу следует, что ото-
бражение £->(1—Ви)-1 является аналитическим при |5|< 1/р- Если
теперь В принадлежит достаточно малой окрестности точки 0, то
степенной ряд 2^пип сходится в _^(£) к (1—£«)-1 (8.3.2.1).
п =0
В силу (9.9.4) этот степенной ряд сходится при каждом 5, для ко-
торого |?| < 1/р.
Далее, если М — максимум нормы |](1—£«)-1|| при | £ | = г, где
г — произвольное число, удовлетворяющее условию 0 < г < 1 /р, то
неравенства Коши (9.9.5) дают ||ия||^ M/rn Alp". В частности,
если мы воспользуемся (11.5.3), то мы отсюда получим	Л4р2”
при каждом n> 1. Беря корень 2"-й степени и устремляя п к -|-оо,
на основании (4.3) получаем ||«||<; р. С другой стороны, мы в силу
(11.1.3) имеем р^||и|| и, значит, ||«||=р.
Обозначим теперь через (р„) строго возрастающую последователь-
ность абсолютных величин собственных значений оператора и, так
что pj = р = sup ([Ар —Vj), и пусть О„ равно сумме подпространств
Е (X), для которых | X | = рп (конечно, существует только одно или же
два таких собственных значения X). Пусть, далее, Еп — ортогональное
дополнение подпространства Gj-]- ... -|-Оя_р В силу Г) имеем
и(Еп)сЕп. Докажем, что сужение «„ оператора и на Еп удовлет-
воряет условию ||«п|| < рп_р В противном случае по только что
доказанному [и по теореме (11.2.7)] в Еп нашелся бы такой соб-
ственный вектор х, что а(х) = Хх, где |^|^ря-г Но это проти-
воречит определению Fа.
5. Вполне непрерывные операторы	385
Напишем теперь x = y-\-z для каждого вектора x£Fn, где
У С ^л+1 и 2 С ®п- По неравенству Коши — Шварца
— K+ill • |1Я2 + («(г)|*)<(«(х)| х)<||«я+1|| • ||у||24-(И(Д)| г).
Допустим, что р„ =	и в соответствии с этим напишем
г = Zj + z2, где z^ £ Е (рЛ) и z2£E (\ft). Это дает (и (z) | z) =
= Рл(1Ы12— hall2)- Так как |И|2= ||Я2+11М2+ Н^Н2- то, поль-
зуясь предыдущим неравенством и неравенством || «я+11| < рп, сразу ви-
дим, что наибольшее значение функции («(х) | х) на сфере ||х|| = 1 в Fn
равно р„ и что оно достигается только в точках подпространства £(р.й),
а наименьшее значение равно — ря и оно достигается только в точках
подпространства Е (vft). Этот же результат получается аналогично и
проще, если нет такого й, что р„ = — или же такого й, что
рп —Рл- Наконец, если мы заметим, что Fk = Fп-{-Е(у^-\- ...-\~Е(у^,
если рЛ = Рп и $ — наибольшее значение k, для которого ря < —и
точно так же р"к = Fn + Е(рг) + ••• -bf(Pr). если = — р„ и
г — наибольшее значение h, для которого р„ < рЛ, то почти тожде-
ственное рассуждение завершает доказательство утверждения 3°).
Пусть теперь F^ — замкнутое подпространство, являющееся пере-
сечением всех Рп. По определению и (.F^czF^, и у сужения опе-
ратора и на F^ не может быть собственных значений =£ 0. В силу 3°)
отсюда следует, что «(х) = 0 в F^. Далее, если вектор х^Е орто-
гонален F^ и всем Е (pft) и Е (\й), то по определению он ортогонален
всем Оп и поэтому принадлежит Рт. Поскольку он ортогонален и
он Равен 0- Это [на основании (6.3.1)] доказывает, что алге-
браическая сумма подпространств Е (pft), Е (>й) и F_ri плотна в Е.
Следовательно, в силу (6.4.2) Е есть гильбертова сумма этих про-
странств. Любой вектор х £ Е может, таким образом, единственным
способом быть записан в виде х = 2 x'k~i~ Zj хкЧ~ хо> где xk' х"ь
k	k
и x0 — ортогональные проекции вектора х соответственно
на £(pft), £(vft) и F^, а суммы, когда множество индексов беско-
нечно, представляют собой ряды, сходящиеся в Е (каноническое
разложение х). Отсюда мы заключаем, что и (х) = 2 ^x'k + Ъ \х'к,
k	k
и ввиду единственности этого представления мы видим, что из
и(х) = 0 следует х £ F^. Иными словами, F^ = и-1 (0), и тем самым
завершено доказательство последнего утверждения 4°) теоремы (11.5.7).
Замечания. (11.5.8) Пусть Ео — предгильбертово пространство,
являющееся плотным подпространством некоторого гильбертова про-
странства Е. [Можно доказать, что для любого предгильбертова про-
странства Ео существует гильбертово пространство Е, обладающее
этим свойством; в (6.6.2) мы доказали эту теорему в частном случае,
когда Ео сепарабельно.] Пусть и — вполне непрерывный самосопря-
25 Ж. Дьедонне
386
Гл. 11. Элементарная спектральная теория
женный .оператор а Ео. Тогда утверждения 1°), 2Э) и 3°) теоремы
(11.5.7) без изменени-я остаются справедливыми и для и.
В самом деле, из принципа продолжения тождеств следует, что
единственное непрерывное продолжение и оператора и на простран-
ство Е является самосопряженным, и легко проверить, что || «Ц = ||«||.
Наше утверждение тогда следует из (11.4.2) и из следующего факта:
если Ео — конечномерное подпространство пространства Ео, Go — его
ортогональное дополнение в Ео и G — его ортогональное дополне-
ние в Е, то О0 плотно в О. Этот факт вытекает из- того, что
если о===1—Рр^ в J? (Е)[обозначения см. в 6.3], то отображение v
непрерывно, причем v(E) = O и v(Eq) — G0 [см. (3.11.3)].
Относительно же утверждения 4°) теоремы (11.5.7) можно сказать
следующее. Ясно, что ядро оператора и является пересечением про-
странства Ео с ядром оператора и, и поэтому оно есть подпрост-
ранство векторов из Ёо, ортогональных всех собственным простран-
ствам Е (X) с X 4= 0. Но если мы рассмотрим каноническое разложе-
ние х = У x'-f- 2	+ хо элемента х£Е0, то суммы в правой
k	k
части и элемент х0 не обязаны принадлежать Ео.
(11.5.9)	Если х = 2х;+2х" + х0 и У = 2Уй + ЗУй' + Уо—ка-
k	k	k	k
ионические разложения двух векторов х и у пространства Е, то
(и (х) 1 у)=3 (х; । у;)+2 \ (х* [ у"к).
причем ряды в правой части равенства абсолютно сходятся (6.4).
Эта формула показывает, что самосопряженный оператор и
положителен в том и йголъко в том случае, если у него нет
отрицательных собственных значений vk, и что он не выро-
ждается в том и только в том случае, если и~ 1(0) = {0}. Если
оператор и не вырождается и если в каждом собственном пространстве
Е (X) (X 4= 0) мы возьмем некоторый ортонормальный базис (состоя-
щий из конечного числа векторов), то объединение всех Вх есть
счетное множество, составляющее тотальную ортонормальную систему
в Е(6.5).
(11.5.10)	Нужно заметить, что при предположениях, сделанных
в (11.5.8), вполне может случиться, что самосопряженный оператор и
в пространстве Ео будет невырождающимся, а его непрерыв-
ное продолжение и на пространство Е будет вырождающимся
(иными словами, ядро оператора и не обязательно плотно в ядре
оператора и). Это возможно даже если и — положительный самосо-
пряжрнный оператор.
5. Вполне непрерывные операторы
387
Для вполне непрерывных самосопряженных операторов в гиль-
бертовом пространстве Е теорема (11.5.7) дает формулу для реше-
ния в Е уравнения «(х)— Хх = у.
(11.6.11)	Пусть	Уо — каноническое разложе-
k	k .
ние вектора у в Е. Тогда’.
Г). Есла X не принадлежит спектру S(u), то единственное
решение х уравнения и(х')— ~hc = у дается его каноническим,
разложением
(H.S.H.1)	‘
6 й	ь й
2°). Если X— одно из собственных значений (соответст-
венно чй), то, для того чтобы уравнение и (х)-—Хх = у имело
решение, необходимо и достаточно, чтобы было y'b=S>^cqom-
ветственно у"ь==0). В этом случае решения даются формулой.
(11.5.11.1), в которой член, соответствующий (соответст-
венно чД нужно заменить произвольным элементом простран-
ства £(рй) (соответственно Е(^ь)).
3°). Для того чтобы уравнение и(х) = у имело решение.
необходимо и достаточно, чтобы уо«=О
2||Х’*||2/|лй а 2||У*||2/'*й были сходящимися. В
шения даются формулой
и чтобы ряды
этом случае ре-
(н.5.11.2)	*=££>;+Xi >:+•«»
k	k
где х0 — произвольный элемент пространства и-1(0).
Утверждения 1°) и 2Э) сразу следуют из (11.5.7) и (11.5.6), при-
чем формулы получаются, если воспользоваться единственностью
канонического разложения. Точно такое ж’е рассуждение доказывает,
что если существуют решения уравнения и(х) = у, то они необхо-
димо даются формулой (11.5.11.2), откуда следует необходимость
условий. Если же эти условия выполняются, то правая часть фор-
мулы (11.5.11.2) является [в силу (6.4)] элементом пространства Е,
удовлетворяющим уравнению и(х) = у.
Задачи
1.	Пусть Е — векторное пространство всех бесконечно дифференцируе-
мых комплексных функций в промежутке [0, l]cR (8.12). <2 помощью
эрмитовой формы
(х|у) = fx(t)7(ijdi
о
25*
388
Гл. 11. Элементарная спектральная теория
Е превращается в предгильбертово пространство. Пусть и — линейное ото-
бражение пространства Е в себя, удовлетворяющее условию и (х) = 1х',
Покажите, что и самосопряженно, но не непрерывно в Е.
[Рассмотрите последовательность (хп), где хя (t) = (sin nt)fn.\
2.	Пусть F— сепарабельное гильбертово пространство,	— орто-
нормальный базис в F и v — вполне непрерывный оператор в F, такой,
что v (еп) = (et + еп)/п (задача 3 § 11.2). Пусть £= v(F) и пусть и — суже-
ние оператора v на F, удовлетворяющее условию и (£) с Е. Покажите, что
и — вполне непрерывный оператор в предгильбертовом пространстве Е,
не имеющий сопряженного.
3.	а) Пусть Е — комплексное гильбертово пространство и f — непре-
рывная эрмитова форма в Еу^Е. Покажите, что существует такая кон-
станта с, что |/(х, у)|<с||х|| • ||у|| [ср. с (5.5.1)]. Покажите также, что
существует единственный непрерывный эрмитов оператор U в Е, для кото-
рого f (х, у) = (Ux | у).
Ь)	Предположим, что Е сепарабельно, и пусть (0n)n>i — ортонормаль-
ный базис в Е. Пусть V — непрерывный линейный оператор в Е, опреде-
СО
ляемый условиями Vet = 2 еп/п и У₽г = 0 при i > 1, и пусть W = VV*.
71 = 1
Пусть £0 — подпространство пространства Е, состоящее из всех (конечных)
линейных комбинаций элементов еп, и пусть f — сужение на £оХДо ото-
бражения (х, у) -»(Wx | у). Покажите, что / есть непрерывная эрмитова
форма в Еа X	но что не существует линейного оператора U в £0, для
которого в Ео X Ео выполнялось бы равенство f (х, у) = (Ux | у).
с)	Покажите, что если и — оператор, определенный в задаче 1, то эрми-
това форма (х, у)->(и(х) |у) не непрерывна в EXE.
4.	Пусть Е — комплексное гильбертово пространство и и — эрмитов
оператор в Е. Докажите, что и обязательно непрерывен.
[Предположите противное и покажите, что тогда можно по индукции
определить последовательность (хп) точек пространства Е, для которых
II хп 11=1 при каждом п, и ортонормальную последовательность (еп) так,
чтобы: 1°) элемент хп был ортогонален ufa), ..., u(en^t); 2°) если уя—
ортогональная проекция элемента и. (хп) на подпространство Vn, ортогональ-
ное элементам е.
.,en-i> то ||уя||>'2п3 и ||уя||>2п2
' /п-1
И ( У xk/k2
. \*=1
3°) еп = Уп/ II Уп II • Затем рассмотрите точку х = 2 хп/п2 в £ и получите
П = 1
противоречие, показав, что при каждом п имеет место неравенство
| (в (х) рп) [ > Для этого разложите х в сумму х’п-}-(хп/п2^-\-х", где
•х'„ = 2 xklk<l и хп = У, хбД2 и всюду используйте тождество (н (у) I г)=
•= (у | и (г)) (метод скользящего горба). Ср. с задачей 3, с).[
5. Вполне непрерывные операторы
389
5.	Пусть Е — комплексное предгильбертово пространство. Если U и
V — два эрмитовых оператора в Е, то мы пишем > V, когда эрмитов
оператор U—V положителен, т. е. когда (Ux | х) >(Кх | х) для любой
точки х ё Е.
а)	Предположим, что Е — гильбертово пространство и что существует
такое число m > 0, что U > m • 1. Покажите, что U есть линейный гомео-
морфизм пространства Е на себя.
[Сначала заметьте, что для любого элемента х £ Е выполняется неравен-
ство ||fJxl|>m||x||, и поэтому (задача 4) U есть линейный гомеоморфизм
пространства Е на некоторое его замкнутое подпространство Л4. Затем убе-
дитесь в том, что если х ё Е ортогонален Л4, то х = 0.]
Ь)	Пусть Е—подпространство предгильбертова пространства Е, опре-
деленного в задаче 1, состоящее из сужений на промежутке [0, 1] всех мно-
гочленов с комплексными коэффициентами. Пусть U —оператор, ставящий
каждому многочлену x^F в соответствие многочлен (l-j-Z)x(Z). Покажите,
что U есть непрерывный эрмитов оператор в F, удовлетворяющий усло-
вию (7 >> 1, но что образ U (F) плотен в F и отличен от F.
6.	а) Покажите, что если U — положительный эрмитов оператор в ком-
плексном предгильбертовом пространстве Е, то для любой точки х^Е
|| Ux ||4 < (Ux | х) (U2x | Ux\
[Рассмотрите положительную эрмитову форму (х, у) -»(Ux | у) и вос-
пользуйтесь (6.2.1).]
Ь) Предположим, кроме того, что оператор U непрерывен [ср. с зада-
чами 3, с) и 4)]. Выведите из а), что || U || = sup (Ux |х).
1|х||<1
7.	Пусть F и О — два сепарабельных комплексных гильбертовых про-
странства, (а„) (соответственно (/>„)) (n 1) — ортонормальный базис в F
(соответственно в О) и L — гильбертова сумма (6.4) пространств 7 и G.
Пусть v — непрерывный оператор в L, определяемый условиями о(а„) = 0
и ц(6я) = а„/п, и пусть Е = v (G)-{- v* (v (G)). Пусть и. — сужение опера-
тора v на пространстве Е. Покажите, что оператор и вполне непрерывен
и имеет сопряженный оператор, но и* не является вполне непрерывным.
[Заметьте, что образ v (G) плотен в F, но не замкнут в F. Покажите,
что если (х„) — ограниченная последовательность точек из v (О), сходящаяся
к некоторой точке из F, но не из v(G), то последовательность (и*(х„))
сходится к точке, принадлежащей L, но не принадлежащей £; при этом
воспользуйтесь тем фактом, что сужение оператора v* на F взаимно одно-
значно.]
8.	Обозначения и предположения те же, что и в (11.5.7). Пусть (Хл) —
убывающая последовательность чисел > 0, такая, что для каждого k коли-
чество индексов п, для которых Хя = рй, равно dim (Е (p.ft)). Пусть (ап)-~
такая ортонормальная система в Е, что для индексов п, для которых .
элементы ап образуют базис подпространства £(р.^). Мы будем говорить,
что (Х„) есть полная последовательность строго положительных собствен-
ных значений оператора и.
390
Гл. И. Элементарная спектральная теория
а)	Покажите, что Х„ есть максимальное значение функции (и (х) | х),
когда х меняется на подмножестве пространства Е, определяемом усло-
виями ||х||=1 и (x|aft)==0 при	— 1. Покажите, далее, что это
максимальное значение достигается при х — ап.
[Воспользуйтесь (11.5.7,4°)).]
Ь)	Пусть	— произвольные векторы в Е, и обозначим через
ри (гь ..., гп_1) верхнюю грань функции (и (х) | х), когда х меняется в под-
множестве пространства Е, определяемом условиями ||х|| =1 и (x|zft) = 0
при 1<Л<п —1. Покажите, что Х„ = рц(alt ..., a„_tXра(zlf
(минимак с ный принцип).
[Возьмите х в подпространстве, порожденном элементами аь .... ап,
так, чтобы при 1 X k < п — 1 выполнялись соотношения (х | zk) = 0.]
с)	Пусть и' и и"— два компактных самосопряженных оператора и пусть
« =	и". Пусть (Х„)' и (Хл)" — полные последовательности строго поло-
жительных . собственных значений соответственно операторов и' и и",
а (ал) и (а") — соответствующие ортонормальные системы. Покажите, что
если определены Хр, X" и Хр+?_1, то Xp+?_i<^ + x?-
[Рассмотрите ри(л[...ap_v а", ..., а”_$\
Если последовательность (Х^) конечна и имеет N элементов и если
определены Х'р и Хр+ЛГ, то Х₽+ЛГ<Х^.
[Тот же метод; заметьте, что (и" (х) | х) < 0, если (х | aj) = 0 при
1
d)	При тех же предположениях, что и в с), покажите, что если опре-
делены Хр и Хр, то |Хр —Хр|< ||«"||.
[Воспользуйтесь соотношением = рц .., л₽-1)-]
Далее, если uz>0 (соответственно uv<0), то Хр>Х^ (соответственно
ё) Для случая, когда Е конечномерно, выскажите результаты задач Ь),
С) и d) на языке эрмитовых форм на ЕХ-Е (см. задачу 3). Примените их
к следующей задаче. Пусть /г(1</<п) — простые функции в ком-
пактном . промежутке I = [а, 6] и пусть Г = [с, d] — промежуток, содержа-
(* \	/ d	\
J* fif j	I и Д' = det J f if j dt j — определи-
a	/	\c	)
тели Грама, соответствующие Z и Z'. Покажите, что Д'<Д, выразив опре-
делители Грама как произведение собственных значений.
9.	а) Пусть и — вполне непрерывный самосопряженный оператор в ком-
плексном гильбертовом пространстве Е. Пусть Н—замкнутое подпростран-
ство Е и р — ортогональная проекция пространства Е на Н (6.3). Покажите,
что сужение v оператора рои (Или роиор) на Н вполне непрерывно
и.ёамрсопряженнр и что (у (у) [ у) = (и (у) | у) при у^Н.
[Воспользуйтесь соотношением />* = />.]
5. Вполне непрерывные операторы
391
Пусть (А„) и (р-п) — полные последовательности строго положительных
собственных значений соответственно операторов и и v. Покажите, что
если определены и р-п, то р-п < >п.
[Воспользуйтесь задачей 8, Ь).]
Ь) Предположим» кроме того, что оператор и положителен. Покажите,
что для любой конечной последовательности (xn)l < k < „ точек простран-
ства Е имеем det ((и (х,) [ Xj)) <.	. \п det ((х, | ху))
[Примените задачу а) к подпространству Н, порожденному элементами
Xj, ..., хп.]
10.	а) Пусть и — эрмитов оператор в комплексном предгильбертовом
пространстве Е. Покажите, что для любого целого «>0 и любой точки
х G Е имеет место неравенство || ип (х) [|2 < || ип~1 (х) |] • || ип+1 (х) |[.
[Воспользуйтесь неравенством Коши — Шварца.]
Ь) Предположим, что Е — гильбертово пространство, ад — вполне не-
прерывный самосопряженный оператор. Покажите, что если и (х) =£ 0, то
и" (х) =£ 0 для любого целого п > 0 и что последовательность положитель-
ных чисел ап = ||ал+1(х)Ц/1|»л(х)|| убывает и стремится к пределу, рав-
ному абсолютной величине некоторого собственного значения оператора и.
Охарактеризуйте это собственное значение в терминах канонического раз-
ложения вектора х. Когда последовательность векторов ип (х)/1| ип (х) ||
имеет в Е предел?
[Воспользуйтесь (11.5.7).]
11.	Пусть и — вполне непрерывный самосопряженный оператор в ком-
плексном гильбертовом пространстве Е и пусть f—комплексная функция,
определенная и непрерывная на спектре S (и). Покажите, что существует
единственный непрерывный оператор v такой, что [в обозначениях теоремы
(11.5.7)] сужение оператора v на £(p-ft) (соответственно на E(vft), на Е(0))
есть гомотетическое отображение у -> f (p-ft)y (соответственно У-*-/(*й)У>
у->0). Этот оператор обозначается символом /(и). Имеем (/(«))* = У (и).
Если g — вторая функция, непрерывная в S (и), и Л == f g (соответственно
h = fg), то h (и) — f {и) g (и) (соответственно h (и) — f (и) g (и)). Пока-
жите, что для того, чтобы оператор /(«) был самосопряженным (соответ-
ственно положительным и самосопряженным), необходимо и достаточно,
чтобы функция f (С) была на S (и) действительной (соответственно чтобы
на S (и) выполнялось неравенство f 0). Для того чтобы оператор f (и)
был вполне непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы f (0) = 0. >
12.	Пусть w — вполне непрерывный положительный эрмитов оператор
в комплексном гильбертовом пространстве Е. Покажите, что существует
единственный вполне непрерывный положительный эрмитов оператор v в. Е,
такой, что v2 = и. Оператор v называется квадратным корнем из опера-
тора и.
13.	Пусть Е — сепарабельное комплексное гильбертово пространство
и (еп)п > 1 — ортонормальный базис в Е. Пусть и — вполне непрерывный
оператор в Е, определяемый условиями и (ег) = 0 и «(₽n)=en_1/n при
392
Гл. 11. Элементарная спектральная теория
п > 1. Покажите, что в £ не существует непрерывного оператора v, такого,
что v2 = и.
[Заметьте сначала, что Н=и*(Е) есть замкнутая гиперплоскость, орто-
гональная eit и что она содержится в Н' = v*(E). Так как Н' ортогонально
х, = v то отсюда с необходимостью заключаем, что х, = 0. Затем рас-
смотрите элемент х2 = v (г2) и заметьте, что и (о (е2)) — 0, поэтому необ-
ходимо х2 = ^е1, где X — скаляр. Но отсюда следует, что х2=0, и, значит,
и (е2) = 0, что и приводит к противоречию.]
14.	Пусть Е — сепарабельное комплексное гильбертово пространство,
(ел)„>0—ортонормальный базис и и — вполне непрерывный положительный
эрмитов оператор в Е, определяемый условиями и (е0) = 0 и и (е„) = еп!п
СО
при п>1. Точка а= У (gn/n) не принадлежит и(£). Пусть Ео — подпро-
п = 1
странство, плотное в Е, являющееся прямой суммой подпространства и (£) и
одномерного подпространства С (е0 -]- а). Покажите, что сужение v опера-
тора и на Еа есть вполне непрерывный положительный эрмитов оператор,
который не вырождается, хотя его непрерывное продолжение v = и на Е вы-
рождается. Кроме того, покажите, что в каноническом разложении (11.5.8)
вектора (е0а) € £0 не-все слагаемые принадлежат £0.
15.	а) Пусть U — вполне непрерывный оператор в комплексном гиль-
бертовом пространстве Е. Обозначим через R и L квадратные корни (за-
дача 12) вполне непрерывных положительных эрмитовых операторов U*U
и UU*. Покажите, что существует единственный непрерывный оператор V
в пространстве Е, сужение которого на подпространстве F = R (£) есть
изометрия на подпространстве U (£), сужение которого на ортогональном
дополнении F' подпространства F равно 0 и который обладает тем свойством,
что U = VR.
[Заметьте, что || Ux || = || Rx || длй каждой точки х £ £.]
Докажите, что R = V*U = RV*V и L— VRV.
b)	Пусть (а„) — полная последовательность строго положительных соб-
ственных значений оператора R и (а„) — соответствующая ортонормальная
система (задача 8). Покажите, что если b = Van, то (/>„) есть ортонормаль-
ная система, и что для любой точки х££ имеем Ux = У, ап (х | ап) Ьп, где
п
ряд в правой части сходится.
г	'	п
I Обозначив Rnx = У ak (х | ak) ак, покажите, пользуясь доказатель-
L	s=i
ством теоремы (11.5.7), что lim |[ Z? —	|[ = 0, и примените а).
Л-»ОО	J
Выведите из этого результата, что (а„) является также полной последо-
вательностью строго положительных собственных значений оператора L и
что (/>„) есть соответствующая ортонормальная система. Последователь-
ность (ая) называется также полной последовательностью особых значе-
ний оператора U.
5. Вполне -непрерывные операторы
393
с)	Пусть (рп) — последовательность различных собственных значений =# О
оператора U, расположенных в таком порядке, что | Ил I >-1 Hn+i I Для ка-
ждого п, для которого определено р„+1. Пусть dn— размерность простран-
ства ЛГ(Нл) и пусть (Х„) — последовательность, такая, что = н, |	| |> | Х„+11
для каждого л, для которого определено Х„+1, а для каждого й,< для кото-
рого определено р^, индексы п, для которых = Рь, образуют промежуток
в N, имеющий dk элементов. Покажите, что для каждого индекса п, для
'	п	п
которого определены кп и ап, выполняется неравенство JJ | Xt-| JJ аг-.
1 = 1	t=i
[Пусть V — (прямая) сумма подпространств N (|тА) при 1<Л<г и
пусть Uy — сужение оператора U на V. Покажите, что в V существует
такой ортонормальный базис (£/)i^;^m> что (Ц (й7)|йа) = 0 при £>•/.
Пусть Wn— подпространство пространства V, имеющее своим базисом эле-
менты .......еп, где п-^m, пусть Un — сужение оператора U на Wn и
пусть Рп — ортогональная проекция пространства Е на Wn. Покажите, что
п
произведение JJ | f.j12 равно определителю оператора UnUn = PnU UPn, и.
/ = 1
примените задачу 9, а).]
d)	Пусть Т — произвольный непрерывный оператор в £ и пусть ({„)
(соответственно (6„))— полная последовательность особых значений опера-
тора UT (соответственно TU). Покажите, что < ап || Т || (соответствен-
но 8Я < ап || Т ||) для всех значений п, для которых определены ап, и
[Заметьте, что если S=TU, то || ТЦг U*U, и воспользуйтесь за-
дачей 8, d).]
е)	Предположим, что оператор Т, кроме того, вполне непрерывен, и
пусть (3„) — полная последовательность его особых значений. Покажите, что-
п	/ п \ / п \
jj- П “/)(п I для всех значений п, для которых определены
i-i	\j = i /\y = i /
ап< Рл и tn-
[Примените задачу 9, Ь).]
16.	Пусть Е — комплексное гильбертово пространство, (ап) — последо-
вательность точек пространства Е и (Х„) — последовательность действитель-
ных чисел. Покажите, что если ряд и (х) = У, (х | ап) ап сходится в Е для
п
каждой точки х£Е, то и есть эрмитов оператор в Е. Условие сходимости
всегда выполняется, если абсолютно сходится ряд с общим членом || ап ||2-
Если, вдобавок, (а„) есть ортонормальная система, то условие сходимости
выполняется, если порледовательность (Х„) ограничена. Если все Хя1>0 и
выполняется условие сходимости, то и есть положительный эрмитов опе-
ратор.
17.	Пусть Е—бесконечномерное комплексное гильбертово пространство.
Для положительного эрмитова оператора Т в пространстве Е эквивалентны
следующие условия: Г) образ Т (£) плотен в £; 2°) Г-1 (0) = (О);
394	Гл. 11. Элементарная спектральная теория
3°) (Гх|х)>0 для любой точки х =# 0 [примените к (Гх] у) неравенство
Коши—Шварца]; 4°) оператор Г не вырождается. Мы будем говорить, что
вполне-непрерывный оператор U в Е квазиэрмитов, если существует такой
невырождающийся положительный эрмитов оператор Г, что TU = Ui:T.
а)	Покажите, что если U =!= О, тр TU2 =!= 0.
[Заметьте, что (TU2x | х) = (TUx | Ux).]
Покажите, далее, что для любого целого р > 0 справедливо неравенство
||ГУ2Р||2<||пЛ’-2|| IIГ(72₽+2||.
[Воспользуйтесь неравенством Коши — Шварца.]
СО
Заключите отсюда, что если U =)= 0, то ряд t,nTUa не может схо-
п = 0
диться для каждого числа С £ С и, следовательно, спектр оператора U не
может сводиться к 0.
Ь)	Покажите, что если X — собственное значение оператора U, то
Г (N (X; U) ) С N (X; U*) и Г (Е (X; U)) cz Е (X; U*). Выведите из этих вклю-
чений, что X — действительное число и что k(k;U) = l, следовательно,
A^X; G) = £(X; X/).
[Воспользуйтесь (11.5.5) и тем фактом, что из (Тх\х) следует х = 0.]
Покажите, далее, что Г (Е (X; U)) = Е (X; U:t).
с)	Пусть Р — ортогональная проекция пространства Е на F (X; U). Пока-
жите, что PUP есть квазиэрмитов вполне непрерывный оператор в£(Х;Х7).
[Заметьте, что PUP = UP в F (к; U) и что РТР есть невырождающийся
положительный эрмитов оператор в F (X; (/).]
d)	Пусть (Х„) — последовательность различных собственных значений
оператора U, такая, что | Х„ | > | Х„+1 ] при каждом л, и предположим, что
эта последовательность бесконечна. Покажите, что пересечение G замкнутых
подпространств F (Х„; U) равно U~i (0).
[Заметьте, что если Р—ортогональная проекция пространства Е на G,
то PUP есть квазиэрмитов компактный оператор в G, и воспользуйтесь а).]
Обозначим через Рп ортогональную проекцию пространства £ на F (Х„; U).
Покажите, что Е есть гильбертова сумма G и подпространства Е (Хя; PnU*Pn).
Заключите отсюда, что сумма G и подпространств Е (Х„; U) (являющаяся
прямой в алгебраическом смысле) плотна в Е. Покажите, далее, что если Н
есть сумма подпространств £ (Х„; Z7), то G|"|f?={0}.	_
[Заметьте, что подпространство пространства £, ортогональное Н, есть
ядро G' = (G*)-1 (0), и что Г (G) с. G', и используйте тот факт, что из
(Гх | х) =- 0 следует х = 0.]
е)	Обратно, пусть U — вполне непрерывный оператор в £, такой, что:
Г) все собственные значения Х„ оператора U действительны и k (Х„; U) — 1
для каждого л; 2°) если Н есть сумма подпространств £ (Х„; U), то сумма
G = U~1 (0) и 7Г является прямой и плотной в £. Покажите, что в таком
случае U и U* — квазиэрмитовы вполне непрерывные операторы (и, следо-
вательно, оператор, сопряженный квазиэрмитову оператору, квазиэрмитов).
[Так как G' == (G )-1 (0) есть подпространство, ортогональное Н,
а сумма Н' подпространств £ (Х„; U*) такова, что Н' есть подпространство,
6. Интегральное уравнение Фредгольма
395
ортогональное G, то U* удовлетворяет тем же условиям, что и U. Рассмо-
трите эрмитов оператор Т в Е, такой, что Tx = (х I ьп) Ьп, где ап > О,
п
а (£„) образуют тотальное подмножество пространства Е (5.4) и являются
собственными векторами оператора U*; ср. с задачей 16.]
6.	Интегральное уравнение Фредгольма
Теперь мы применим предыдущую теорию к примеру (11.2.8).
Мы рассмотрим здесь предгильбертово пространство О непрерывных
комплексных функций в промежутке / = [а, &] с скалярным произ-
ведением
(/ |£)= $fWg(t)dt
и оператор.U, такой,
что Uf есть
функция"
ь
K(s, f)f(s)ds.
а
Мы будем говорить, что оператор U определяется ядром К.
(11.6.1)	Вполне непрерывный оператор U в О имеет вполне
непрерывный сопряженный оператор, определяемый ядром К*,
где к* (s, t) = K(t, s).
Докажем при а х С b тождество
х	ъ	ь ~х
(11.6.1.1) fg(OdffK(s,i)f(s)ds = ff(s)d6fk^ljg(t)dt,
а	а	а	а
которое, при х = Ь в соответствии с определением даст требуемый
результат. Обе части равенства (11.6.1.1) являются дифференцируе-
мыми функциями от х в промежутке [а, Ь] в силу (8.7.3) и правила
Лейбница (8.11.2). Обе они обращаются в нуль при х — а, и их
производные равны в силу (8.7.-3) и (8,11.2) в каждой точке х£\а, Ь].
Поэтому они равны всюду в [а, £>] (8.6.1).
Мы предоставляем читателю сформулировать критерий (11.5.6)
для .этого частного случая (а л ь те р н а т и в а Фредгольма).
Если К (t, s) — K (s, t) (в этом случае ядро К называется эрмитовым),
то вполне непрерывный оператор U является самосопряжен-
ным. Так как предгильбертово пространство О сепарабельно ((7.4.3)
или (7.4.4)], то его можно рассматривать как плотное подпростран-
ство гильбертова пространства О (6.6.2) и, таким образом, мы можем
применить к оператору U результаты, описанные в (11.5.8). Обозна-
чим через (Х„) последовательность (положительных или отрицатель-
ных) собственных значений оператора U, каждое из которых повто-
396
Гл. 11. Элементарная спектральная теория
рено столько раз, какова его кратность, и которые упорядочены так,
чтобы |Х„|>|Хл+1|. Обозначим, далее, через (срл) такую ортонор-
мальную систему в Q, что если значениями п, для которых Xn = p.ft
(соответственно Xn = vs) являются т, m-^-l,	т-\-г, то функ-
ции срт, <рт+1, .... <?т+г составляют базис собственного простран-
ства (соответственно £(vft)). Таким обраЗом, U (<рл) = Хлсрл при
каждом п. Функции <рл называются собственными функциями ядра /С.
(11.6.2)	Если К — эрмитово ядро, то ряд 2^л сходится и
п
b Ъ
j"dt j" IK(s, t)l2ds.
a a
2Х«
п
Действительно, если мы применим к функции s—>K(s, t) и орто-
нормальной системе (<рл) неравенство Бесселя (6.5.2), то получим для
любого N
N ь	2 ь
f K(s. t)<?n(s)ds < f |K(s, t)l2ds,
n = l a	a
T. e.
АГ	Л
(П.6.2.1)	2 X2|i2< f !*(«• ')l2^
n = l	„
для каждой точки t £ I. Интегрируя обе части равенства на проме-
жутке / и пользуясь равенствами (<р„ |ср„) = 1 и (11.6.1.1), получаем
требуемый результат.
Каноническое разложение в О любой функции f £0 (11.5.7)
может здесь быть записано в виде f = 2 Crtfn 4“ /о> гДе сп — (f I <Рп) —
п
b
— J f (f)yn(t)dt. Но, как уже было замечено, /0 может не принад-
а
лежать Q. С другой стороны, ряд 2 сходится в гильбертовом
__	п
пространстве О, но, вообще говоря, не сходится в банаховом
пространстве E~'£q(J') /иными словами, ряд 2сл?л(0 не обяза-
\	п
тельно сходится в каждой точке t £ /1. Однако
(11.6.3)	Если К — эрмитово ядро и f = Ug для некоторой
(ь	\
m.e.f(t)= j К(s, t)g(s)ds I, то ряд 2 с„«p,
a	J
сходится абсолютно и равномерно к f(t) в промежутке /.
6. Интегральное уравнение Фредгольма
397
Мы имеем в О каноническое разложение g — У ^л?л ~Ь So- Так
п
как U — непрерывное линейное отображение пространства О
в Е — ^с{Г) (11.2.8) и так как Ugo = O, то f = Ug — У, Хлй?л<рл,
п
где уже сходимость рассматривается в Е, т. е. ряд У X„d„tp„(f) равно-
л
мерно сходится к /(f) в промежутке I. Так как сп — (f | <?„) =
= (Ug\<Рл) = (£| ^?л) = хл(§'1	т0 теорема (11.6.3) дока-
зана, если не считать утверждения относительно абсолютной сходи-
мости. Но для любого номера N по неравенству Коши — Шварца
(для конечномерных пространств) имеем
/ N	\2	/ N \ / Л'	\
21^(01 <( SKI2)(2/2|?я(0|2 .
\л = 1	/	\л = 1	/ \л = 1	1 /
и правая часть в силу неравенства Бесселя (6.5.2) и неравенства
(11.6.2.1) ограничена числом, не зависящим от N.
(11.6.4)	Если ядро К эрмитово и число X не принадлежит
спектру оператора U, то единственным решением f уравне-
ния Uf— \f = g для любой функции g£G является функция
f(t) =— j g(f)H- У (Х„ /Х(Х„— X)) й?лсрл (f), где ряд абсолютно и
п
равномерно сходится в промежутке I, a dn = (g\^n).
Мы знаем, что, поскольку g^G, единственное решение уравне-
ния Uf — '^f — g в G принадлежит G (11.5.6), а в силу (11.5.11)
мы имеем ся = (/| <рл) = 1/(Хл— X). Так как g-y-kf — Uf, то мы
можем применить теорему (11.6.3), и это доказывает наше утвер-
ждение.
(11.6.5)	При тех же предположениях, лто и в (11.6.4), един-
ственное решение уравнения Uf — \f = g может быть запи-
ь
с ано в виде fit) —— y£(f) + J R(s, t\ \)g(s)ds, где R(s, f, X) =
a
--=---^/C(s, f)-f- 2(^л	— ^)) т„(5)<P„(0. u ряд абсолютно
п
и равномерно сходится при (s, f)£/XZ.
Из доказательства теоремы (11.6.3) следует, что У Мл?лй =
п
— Ug(t), где ряд абсолютно и равномерно сходится в /. Так как
1	, 1 _ Хл
Х(ХЯ-Х) ' X2 ~ Х(ХЯ —А) ’
398
Гл. 11. Элементарная спектральная теория
то формула из (11.6.4) дает
*
t)g(s)ds+
а
}2	ь ________
+ S Х(^-Х) '?« f S ($) ?» (S) ds.
п	а
Наша теорема будет доказана, коль скоро будет установлена
равномерная сходимость ряда 2	(s) |2- Действительно, суще-
ствует такое 8 > 0, что для всех п выполняется неравенство |ХЯ—X |С>8.
Поэтому в силу неравенства Коши — Шварца
2 щ-|Х„—х| I	(О I -С-g-j-xT 2 Ч | ?« 00 (О | <
Л=р	П~Р
1	/14	\ I 4	\
<Т|ТгУ	2к’М')|г 
1 1 7	\П = р	/ \П=Р	/
и это доказывает, что ряд	х))?„(^)?я(0 абсолютно и
равномерно сходится в IX !• Требуемое заключение тогда следует
из (8.7.8).
ъ
Рассмотрим теперь функцию H(s, t) = J К(и, s)K(t, и) du. Для
а
каждой фиксированной точки t £ / мы можем применить к ней тео-
рему (11.6.3). Мы видим, что H{s, t} = ^^$n(s)yn(t), где ряд схо-
п
дится для любой пары (s,	В частности, H(s, s)~
л	1
для всех s£I и функция H(s, s) непрерывна. По теореме Дини (7.2.2)
этот ряд равномерно сходится в промежутке /, ч. т. д.
(11.6.6)	Если ядро К эрмитово, то
lim f K(s, t) — 2Xft?ft(s)cpft(f)
Л->со “	й = 1
2
d/ = 0
равномерно при s£ I.
В обозначениях доказательства теоремы (11.6.5) имеем
(п ______________________________ \
Н (s, я) — 2	(«) (s)) = о
fe = i	J
равномерно при $ £ /. Если мы преобразуем интеграл, о котором
говорится в (11.6.6), пользуясь тем, что являются собственными
6. Интегральное уравнение Фредгольма
399
функциями оператора U, и тем, что они ортогональны, то мы полу-
чим выражение, стоящее под знаком предела в левой части равен-
ства (11.6.6.1), откуда и следует наше утверждение.
Вообще говоря; ряд 2(s)?n(O не будет сходиться
п
для всех пар (s, f)£I XI- Но имеется результат частного характера:
(11.6.7)	(Теорема Мерсера) Предположим, что вполне не-
прерывный оператор U, определяемый эрмитовым ядром K(s, t),
положителен. Тогда имеет место формула
K{s, 0 = 2\йЖ(0-
п
где ряд абсолютно и равномерно сходится в I XI-
Напомним, что в нашем случае Хя > 0 для каждого п (11.5.9).
Докажем сначала, что для каждой точки s£J ряд 2 \ I	(®)12 схо-
п
дится. Для любой точки s £ I имеем К (s, s) 0. Действительно,
в противном случае нашлась бы такая окрестность V точки s в I,
что при (s, t)£VXV выполнялось бы неравенство (s,	8 < 0,
где 8 — некоторое число. Пусть — непрерывное отображение про-
межутка I в промежуток [0, 1], равное 1 в точке s и 0 в/\У (4.5.2).
Тогда мы имеем в силу (8.5.3)
ь ь
J* <р (t) dt J* К (s, t) <p (s) ds
a	a
< o.
Но левая часть есть (Uy | <p), и это неравенство противоречит пред-
положению о том, что U — положительный оператор.
'Заметим теперь, что для любого конечного числа собственных
п
значений Х4 (1 k п) функция Кп (s, t) = K (s, t) — 2	(О
fe = i
является ядром для положительного оператора Uп. В самом деле,
п
fe = l
Но правая часть этого равенства, как легко проверить, может быть
п
записана в виде (Ug ]§), где g = f—	и поэтому по-
Л = 1
ложительна по предположению. Из того, что Кп (s, s) 0, на осно-
вании (5.3.1) тогда следует, что ряд 2 | (s) 12 сходится, и мы
п
имеем	(s)|2 С K(s, s) при всех s£I.
п
400
Гл. 11. Элементарная спектральная теория
В силу неравенства Коши — Шварца отсюда мы заключаем, что
?	Г1~ч ' \ / <?	\
(11.6.7.1)	3Xl?n(0l2)<
п = р	Г	\П = Р	/ \п = р	/
<1/к a,
для всех (s,	Следовательно, так как функция K(t, f)
ограничена в /, при фиксированном «£/ ряд 5	(s) Тл (0 Рав-
И
номерно сходится в/. Тогда из (11.6.6), (8.7.8) и (8.5.3) мы
заключаем, что	— t) для всех (s, ЭД^/ХЛ так
а	_____
как функция	t) — 2^п?п(5)?л(А Г непрерывна в/, а ин-
I	л	I
теграл от нее по промежутку I равен 0. В частности, имеем
K(s, s) — I ($)|2- Таким образом, по теореме Дини (7.2.2)
п
ряд У Хп | (s) |2 равномерно сходится в /, а неравенство (11.6.7.1)
п	___
показывает, что ряд 5 \>?я (s) (0 абсолютно и равномерно схо-
И
дится в / X А что и завершает доказательство.
Замечания. (11.6.8) Теорема (11.6.7) останется справедливой,
если только предположить, что U имеет конечное число соб-
ственных значений < 0 (1 <ГпГ). Действительно, утвержде-
ние (11.5.7, 3°)) показывает, что в этом случае сужение оператора U
на подпространстве Fm+\, являющемся ортогональным дополнением
подпространства £(V])-{- ... -|-£('/m) в G, положительно.
Применяя тогда теорему (11.6.7) к этому оператору, соответствую-
щему, как легко проверить, ядру K(s, Г) — S	(s) ?й (А- где h
h
пробегает все индексы (в конечном числе), для которых Хй < 0, не-
медленно получаем требуемое заключение.
(11.6.9) Мы можем рассмотреть оператор U в большем предгиль-
бертовом пространстве, именно пространстве F+ простых функ-
ций (7.6), непрерывных справа (т. е. удовлетворяющих усло-
вию /(/+) = /(/) при «^/<(>) и таких, что f(b) = O. Для таких
ь
функций соотношение J |/(/)|2бД = 0 влечет за собой /(ЭД = 0
а
всюду в промежутке /=[а, &], ибо из него следует, что — O
всюду, за исключением точек некоторого счетного множества D
[в силу (8.5.3)], а каждая точка t промежутка [а, ЭД является пре-
делом убывающей последовательности точек из I \ D.
6. Интегральные уравнения Фредгольма
401
Пространство О можно отождествить с подпространством про-
странства F+, изменяя значение непрерывной функции / (О в точке Ь.
Легко доказать [пользуясь (7.6.1)], что G плотно в Р+. Рассужде-
ние, проведенное в примере (11.2.8), тогда показывает, что U есть
вполне непрерывное отображение пространства F + в банахово про-
странство Е — (и тем'более вполне непрерывное отображение
предгильбертова пространства F+ ₽ себя). Все результаты, доказан-
ные для оператора U в О, остаются справедливыми (вместе с их
доказательствами), если Q заменить на F+.
Задачи
1.	Распространите результаты § 11.6 [за исключением теоремы (11.6.7)]
на случай, когда K(s,t) удовлетворяет предположениям задачи 4 § 8.11.
[Воспользуйтесь этой задачей, а также задачей 5 § Н.2.]
2.	Пусть (/„) — тотальная ортонормальная система (6.5) в предгильбер-
п
товом пространстве 0(11.6). Пусть Кп {s, t) = 2 fk (s) fk (f) и пусть
л = 1
ь
Hn (s) = J* I &n (s> О I dt (п~я лебегова функция ортонормальной си-
а
п
стемы (/„)). Для любой функции g е О пусть sn (g) = 2 (ДI Л) /»- так что
Й = 1
ь
sn (g) (х) ~ f (х< О g (О для Л1°бой точки х С I.
а
а)	Докажите, что если для некоторой точки х0 6 I не ограничена после-
довательность (Н„ (х0)), то существует функция g С О, для которой не огра-
ничена последовательность (s„ (g) (х0)).
[Допустите противное и покажите, что в этом случае можно опреде-
лить строго возрастающую последовательность натуральных чисел (nft) и
последовательность (g^) функции из G, обладающие следующими свой-
ствами:
ь
1°). Пусть сл = !
п
sup f Нп (xQ, t) gh (f) dt (число, которое по предполо-
П J
b
а
жению конечно), пусть dk = с, +сг+ • • • + пусть mk — § | /<„* (jc0, ^)| dt
а
и пусть 9ft = max(m1, .... mft_1); тогда тк >2ft+1 (qk 4- l)(^ft + k)-
2°). Пусть tpft — непрерывная функция, удовлетворяющая условиям
ь
J ^(Х0’ О** ^dt
а
ткр (см.
^(«) = ^(4) = 0, |<pft(O|<l в I и
задачу 8 § 8.7); тогда gk = ^kpk{qk + 1).
26 Ж. Дьедонне
402
Гл. 11. Элементарная спектральная теория
ОО
Затем покажите, что функция g — 2 gk непрерывна в I, что проти-
fe = i
ь
воречит предположению. Чтобы оценить интеграл J Кп. (хо’ *) S (0 Раз-
а
ложите функцию g в сумму 2	+	2 проминорируйте второй
i<k	i>k
интеграл и промажорируйте два других (метод скользящего
горб а).]
Ь)	Покажите, что для тригонометрической системы (6.5) на проме-
жутке / = [—1, 1] п-я лебегова функция есть постоянная hn и что
lim hn = + оо.
Й->оо
kin
/| Sin nnt I	r,
s~j at 2/Arc при 2 < k X n.
L .
Заключите отсюда, что для любой точки х0 С / существует такая не-
прерывная функция g в промежутке /, что g (—1) = g (1) = 0 и что ча-
п / 1	\
Стичные суммы у I J g (t) e~i!nt dt j eikltx .ряда Фурье* функ-
'-1	>
ции g при х = х0 не ограничены.
3.	Пусть g — непрерывная комплексная функция в промежутке / = [—1,1],
удовлетворяющая условиям g (—1) = g (1) = 0. Функцию g можно продол-
жить в непрерывную функцию периода 2 в R. Пусть K(s, f) — сужение
функции g (s — t) на / X I. Если g (— t) — g (/), то вполне непрерывный
Оператор U, определенный ядром К (s, t), является самосопряженным. Пока-
жите, что функции <tn (t) = eniclt/y2 являются собственными векторами опе-
ратора U, причем соответствующее собственное значение есть „коэффи-
1
циент Фурье* ап= j" g (Z) e~n~lt dt функции g.
-‘i
Пользуясь этим результатом и задачей 2, приведите пример эрмитова
ядра К, для которого ряд с общим членом Xn<pn ($)	(/) имеет частичные
суммы, неограниченные при некоторых значениях s и t, и пример положи-
тельного эрмитова ядра К, для которого существует такая функция f £G,
ОО
что ряд 2 (/1 Чп)	(0 имеет частичные суммы, неограниченные при не-
П = 1
которых значениях t.
4.	Пусть I — [— 2г, 2тс] и пусть ядро К (s, t) в I при 0 s 2тс,
‘	00
0<7-<2гс равно сумме абсолютно сходящегося ряда sin ns  sin nt,
n-i
а при остальных значениях (s, t) £ IX t равно 0. Приведите пример функ-
Л= Г
6. Интегральные уравнения Фредгольма	403
ции / € G, в каноническом разложении которой функция /0 не принад-
лежит G.
[Собственными функциями ядра К являются функции уп, определяемые
следующим образом: <рл (/) = 0 при — 2я < t < 0 и <f>„ (t) = (sin п()/У~п при
Возьмите в качестве / функцию, непрерывную в / и равную
ОО
2и — t в промежутке [0, 2я], и покажите, что ряд 2 (/1 Ч’п) (0 сходится
всюду в I, но имеет разрывную сумму.]
5.	Пусть в обозначениях 11.6 К есть эрмитово ядро, определенное
в IX Д и пусть U — соответствующий самосопряженный вполне непре-
рывный оператор в G. Покажите, что для каждого h > 0 оператор Uh
соответствует эрмитову ядру /<А, которое индуктивно определяется усло-
виями: К\ = К и
ь
Kh (Д *) = f 1 (s> «) К (и< О du-
а
со
Докажите, что при й > 2 имеем Kh (s, 0 = 2 X*<f„ (s) <?п (0, где РЯД абсо-
П=1
лютно и равномерно сходится в /ХД Покажите, кроме того, что
Г	°°
ds I I Кь t) 12 dt = I Ki |2A и что последовательность (XA+
а а	« = ’
возрастает и имеет предел, равный ] Х[ |2, где X, —собственное значение
ядра К, имеющее максимальную абсолютную величину.
[Воспользуйтесь неравенством Коши — Шварца.]
6.	Пусть в обозначениях 11.6 К—произвольное непрерывное ядро
в IXI и пусть U — соответствующий вполне непрерывный оператор в G.
Пусть М — конечномерное подпространство пространства G, для которого
(J(M)cM, и пусть	— ортонормальный базис пространства М.
n	b b
Положим Utyh— 2 Покажите, что 2 I ahk I2 "С I dt I | К («, 0 I2 ds.
* = 1	.	I,	а
[Для каждой точки t С / примените к функции з -> К (з, t) и ортонор-
мальной системе (фА) в G неравенство Бесселя (6.5.2).]
Пусть (Х„) — последовательность, определенная (для оператора U) в за-
ОО	со
даче 15, с) § 11.5. Докажите, что ряд 2 । М2 сходится и что 2 R«l2<
П=1	Л-1
ь ь
< J dt J | /< (s, t) |2 ds.
a a
[Примените предыдущий результат к любой сумме подпространств N (р*)
в обозначениях задачи 15, с) § Н.5.]
7 Приведите пример такого эрмитова ядра К (з, 0, чтобы, если U —
соответствующий вполне непрерывный оператор в G и V — квадратный
26*
404
Гл. 11. Элементарная спектральная теория
корень из иг (задача 12 § 11.5), не существовало эрмитова ядра, которому
соответствует вполне непрерывный оператор И.
[Если бы такое ядро существовало, то к нему была бы применима тео-
рема Мерсера (11.6.7). Возьмите тогда в качестве К ядро из первого при-
мера задачи ?•]
8. Ядро X(s. t), определенное в 7X7 (где 7 = [а, &]) и удовлетворяю-
щее предположениям задачи 4 § 8.11, называется ядром Вольтерра, если
X (s, t) = 0 при s > Г Пусть М — sup | К (s, 7) I- Покажите, что если U —
(5, ое/х/
вполне непрерывный оператор в G, соответствующий X (задача 1), то опе-
ратор Un соответствует ядру Вольтерра Хп. удовлетворяющему условию
| Хл (s, 0 |< Мп (t — s)n-1/(n — 1)! при п > 1 и s < t.
[Проведите индукцию по п.]
Выведите из этого утверждения, что спектр оператора U сводится к 0
и что для любого числа С ЕС имеем оценку ||(1 — £77)-1— 1J|<
7.	Задача Штурма — Лиувилля
Рассмотрим в компактном промежутке / —[a, ^JczR линейное
дифференциальное уравнение второго порядка
(11.7.1)	у" — ?(х)у + Ху = /(х),
где q (х) — действительная непрерывная функция в 7, f (х)—
комплексная простая функция в I, непрерывная всюду,
за исключением конечного числа внутренних точек, и X — комплекс-,
ное число. Под решением уравнения (11.7.1) понимают непрерывно
дифференцируемую комплексную функцию у(х), производная у' (х)
которой является первообразной некоторой простой функции,
имеющей лишь конечное число точек разрыва, и для которой соот-
ношение
у" (х) — </ (х) у (х) + Ху (х) = f (х)
выполняется в дополнении в / некоторого конечного подмножества /.
Задача Штурма—Лиувилля состоит в нахождении решения,
удовлетворяющего, кроме того, двум граничным условиям
(11.7.2)	A1y(a)4-ft1y'(a) = 0. А2У W + Mz(^) = 0,
где ЛР kv h2 и k2— действительные числа, причем йг и kt одно-
временно не равны 0 (/=1, 2).
Мы будем в дальнейшем предполагать известной элементарную
теорию линейных дифференциальных уравнений [см, (10.8)]. Сначала
7. Задача Штурма — Лиувилля
405
мы рассмотрим однородное уравнение, получающееся из (11.7.1) при
/(х) = 0:
(11.7.3)	у" — q(x) у + Ху = 0.
Заметим, что вторая производная у" любого решения этого уравне-
ния непрерывна в /.
(11.7.4)	Существует такое число г > 0, что если число X действи-
тельно и — г, то единственное решение уравнения (11.7.3),
удовлетворяющее граничным условиям (11.7.2), есть 0.
Так как q, К и все /г; и kt действительны, то ясно, что если
какое-либо решение уравнения (11.7.3) удовлетворяет условиям (11.7.2),
то его действительная и мнимая части также являются решениями,
удовлетворяющими тем же граничным условиям. Таким образом, мы
можем ограничиться действительными решениями.
Предположим сперва, что kxk2 Ф 0, так что мы можем считать
kx=k^ = —1. Тогда можно считать, что у(а)=£0, так как в про-
тивном случае мы имели бы у'(а) = 0, и в силу теоремы существо-
вания наша теорема была бы доказана. Умножая, если потребуется,
у на подходящую константу, мы можем, таким образом, предпола-
гать, что у(а)—1 и y'(a) = hv
Если мы положим z = y'/y при у(х)=#0, то получим уравнение
(11.7.4.1)	z' = q(x) — X — z2.
Пусть Al = sup[<7(x)| и допустим, что Х<^ — М — /ц— 1. Тогда
лг6/
мы будем иметь z'(a) = q(a) — X — Й1)>1 и, следовательно, функ-
ция z строго возрастает в некоторой окрестности точки а в I.
Убедимся, что у(х)=£0 в Z и что z(x)>Aj во всех точках х > а.
Допустим сначала, что у(х) обращается в промежутке I в 0, и пусть
Xj — наименьшее решение > а уравнения у(х)=0. Тогда у(х)>0
при а^х<хр и поэтому производная у'(х1)<0 (она не может
быть равна 0, так как иначе функция у была бы тождественно
равна 0 в промежутке I). Поскольку при всех х £ / выполняется
неравенство q(x) — Х>0 при а<Сх<хР мы в силу (11.7.3) имеем
у"(х)>0. Поэтому производная у' при a^x<Xj убывает и,
значит, на этом промежутке она < 0. Отсюда следует, что когда
х < Xj стремится к хР то z(x) стремится к —оо. Так как функ-
ция z при а х < Xj непрерывна, на этом промежутке должно
найтись наименьшее такое число х2 > а, что z(x^ — hx и hx<z(x)
при а < х < х2. Отсюда вытекает, что zz(x2)<;0. Но z'(x2) =
= ^(х2)— X — й?^-1, и мы пришли к противоречию, которое дока-
зывает оба наших утверждения. Точно так же мы убеждаемся в том,
что если Х<С — М — $ — 1, то z (х) < Л2 в 1. Итак, функция z
должна в I удовлетворять условию |z(x)|^ с — maxOAJ, |й2|),
где с не зависит от X.
406	Гл. 11. Элементарная спектральная теория
Теперь из (11.7.4.1) мы находим z'(x')'^-—М — X— с2 = р.;
поэтому по теореме о среднем значении h2—hl = z (b)—z (a)^-{*(fr—a).
Если мы выберем X так, чтобы
—	—с2 —1,
Ь — а
то мы придем к противоречию, и это завершает доказательство
теоремы (11.7.4) в случае, когда &;A!2#=0.
Предположим теперь, что ^=0, a k2 0 (поэтому мы можем
считать, что k2 =—1). В этом случае (умножая, если потребуется,
у на подходящую константу) мы можем предполагать, что у(а) = 0
и y'(a)= 1. Тогда если х > а стремится к а, то z стремится к Ц-со.
Допустим, что X — М — 2. Прежде всего покажем, что у' (х)	1
в I. Так как в силу (11.7.3) в некоторой окрестности точки а
при х>а выполняется неравенство у"(х)>0, то в этой окрест-
ности при х > а мы будем иметь у' (х) > 1. Допустим, что у'(х)= 1
для некоторых х > а, и пусть Xj — наименьшее решение этого
уравнения. Тогда при а < х ха будет у'(х)^>1. Следовательно,
у(х)>0 на этом промежутке, и, значит, в силу (11.7.3) у" (х) > 0.
Но, с другой стороны, мы должны иметь у" (хх) 0, что приводит
к противоречию. Таким образом, мы видим, что функция у строго
возрастает в промежутке I, и поэтому функция z при а < х b
конечна.
-Далее, убедимся, что г(х)>)/Л—Л1 — X—1. В противном слу-
чае нашлось бы наименьшее х2, для которого z(x2)= ]/—Л1—X—1,
и в этой точке мы должны были бы иметь г'(х2)^0. Но из (11.7.4.1)
следует, что z' (х2)^> — М—X — z2(x2)^>1, и мы снова приходим
к противоречию. Если теперь мы предположим, что X выбрано так,
что Лг < — М — X—1, то найдем, что равенство z(b) = h2 будет
невозможно. Поэтому теорема доказана.
Случай, когда k2 — 0, a kx Ф 0, рассматривается аналогично.
Наконец, если ^1 = ^2 = 0, то снова мы можем считать, что у (а) = 0
и у'(а)=1, и только что проведенное рассуждение показывает, что
при X — М — 2 функция у строго возрастает на промежутке /.
Но это, конечно, находится в противоречии с условием у(Ь) = О.
Теорема полностью доказана.
Заменяя, если необходимо, q(x) на q(x)-^-r, а X на Х-|-г, мы
можем, начиная с этого момента, считать, что при Х^0 не суще-
ствует нетривиальных решений уравнения (11.7.3), удовлетворяю-
щих обоим граничным условиям (11.7.2).
Мы будем пользоваться следующим тождеством:
ь
(11,7.5).	J(u"v —v"u)dt = [u'(b)v(b) — u(b)v' (fr)) —
— (a' (a) v(a) — и {a) v' (a)),
7. Задача Штурма — Лиувилля
407
немедленно вытекающим из частного случая р = 2 формулы (8.14.1)
(предполагается, что и" и v" — простые функции в /).
(11.7.6)	Для любого t, такого, что а<(<Ь, существует
действительная функция х —> Kt(x), непрерывная в промежутке I
и обладающая следующими свойствами:
1°). В каждом из промежутков а х < t и t < х функ-
ция К( дважды непрерывно дифференцируема и является реше-
нием уравнения у" — q(x)y = 0.
2°). Функция Kt удовлетворяет граничным условиям (11.7.2).
3°). В точке x = t производная КДх) имеет предел справа
и предел слева и Kt(t-\~)— Kt(t—)~— 1.
На основании элементарной теории линейных дифференциальных
уравнений существует решение «j #= 0 (соответственно и2 0) урав-
нения у"—q(x)y=0, удовлетворяющее условию fi1u1(a)-j-klu'1{a)~O
(соответственно Л2и2 (b)k2u'2 (b) = 0), причем иг и и2 не пропор-
циональны (в противном случае нашлось бы нетривиальное решение
уравнения (11.7.3) при Х = 0, удовлетворяющее обоим граничным
условиям (11.7.2)). Поэтому любое решение уравнения у"—q{x)y — 0
единственным способом может быть записано в виде у — с1и1 с2и2,
где с, и с2— постоянные коэффициенты, а функция и1(х)м2(х)—
— и2(х)и’}(х) [в силу (8.14.1)] является постоянной б?=#0. Нам
нужно теперь только выбрать константы с1 и с2 так, чтобы функ-
ция Kt, равная с1и1 при а х t и с2и2 при t х Ь, была
определена и непрерывна в точке t и удовлетворяла условию 3°). Это
дает нам соотношения
схих (/) — с2и2 (0 = 0; схи\ (t) — с2и2 (t) — 1
и, следовательно, в качестве решения нашей задачи можно выбрать
числа Cj = — u2(f)/d и с2 = —u^ff/d.
Мы будем говорить (нарушая принятое словоупотребление), что
Kt есть элементарное {фундаментальное) решение уравнения
у"—q(x)y=0, соответствующее особенности t. Функция (Л х)—>Kt(x)
обозначается также через К (t, х) и называется функцией Грина,
соответствующей рассматриваемой задаче Штурма — Лиувилля. Она
определена только при а <.Ь и a^x^ft и равна — и2 (/) их (x)/d
при х<;/'и —ul{t)u2{x)jd при х^>Л а поэтому непрерывна.
Ее можно по непрерывности продолжить на t — а и t — b, полагая
К {а, х) =— «!(a)K2(x)/d и К{Ь, х) = — u2(b) ui{x)fd. Кроме того,
как сразу следует из определяющих ее формул, она обладает свой-
ством симметрии
(11.7.7)	К (Л х) = К(х, t).
408
Гл. 11. Элементарная спектральная Теория
(11.7.8)	Для того чтобы функция у(х) была решением уравне-
ния у" — q(x)y = f(x) и удовлетворяла граничным усло-
виям (11.7.2), необходимо и достаточно, чтобы имело место
равенство y(x) — —Jx(l, x)f(t)dt(zde f—комплексная простая
а
функция в промежутке /, непрерывная всюду, за исключе-
нием конечного числа точек промежутка Г).
Достаточность. Так как
Ь	х
= J	f ux(t)f(t)dt,
X	а
То проверка того, что функция у удовлетворяет дифференциальному
уравнению (в точках, в которых функция f непрерывна) и граничным
условиям,, сводится к простому вычислению производных [и примене-
нию теоремы (8.7.3)].
Необходимость. Применим тождество (11.7.5) к обоим про-
межуткам	и	взяв а(/) —у(/) и v(t) = Кх(/).
ь
Тогда равенство у(х) — — f К (t, x)f(t)dt сразу будет следовать
а
из свойств (11.7.6) функции Грина.
Из (11.7.8) следует, что любое решение задачи Штурма — Лиу-
вилля является решением интегрального уравнения Фредгольма с эр-
ми т о в ы м ядром
ь
(11.7.9)	у(х) — XJK(t, x)y(t)dt = g(x),
а
где
ь
g{X)=~ f ка, xyaydt,
a
и обратно. Числа Хя, обратные собственным значениям #=0 опе-
ратора U в предгильбертовом пространстве О [определенном в (11.2.8)],
соответствующего ядру К, называются собственными значениями
задачи Штурма — Лиувилля.
Теперь мы можем сформулировать следующую теорему, дающую
решение задачи Штурма — Лиувилля в каждом из возможных случаев.
(11.7.10)	Для любой действительной непрерывной функции q{x)
в компактном промежутке I— [а, £]:
7. Задача Штурма — Лиувилля
409
1°). Задача Штурма — Лиувилля имеет бесконечную строго
возрастающую последовательность (кл) собственных значений.
Все собственные значения являются действительными числами,
11ткл = -]-оо и ряд сходится.
П-^СО	П
2°). Для каждого собственного значения \п однородная
задача Штурма — Лиувилля имеет действительное решение
ь
<рл(х), удовлетворяющее условию J*<f2n(x)dx = I, и всякое другое
а
решение получается из <р„ умножением на постоянное число.
3°). Последовательность (<р„) является тотальной ортонор-
мальной системой в предгильбертовом пространстве 0(11.6).
4°). Пусть tv— комплексная непрерывная функция в про-
межутке I, являющаяся первообразной простой функции tv',
такая, что:
(i) функция tv' непрерывна всюду в 1, за исключением конеч-
ного числа внутренних точек-,
(11) функция tv' в каждом промежутке, в котором дна не-
прерывна, имеет непрерывную производную tv";
(Hi) функция tv удовлетворяет граничным условиям (11.7.2).
Тогда
имеем
tv(x)= 2 е„срп(х), где сп
п
=(w|cp„)= J W (/) ?л(/) dt,
а
и ряд абсолютно и равномерно сходится в 1.
5°). Если к не есть ни одно из собственных значений \п,
то для каждой простой функции /, непрерывной всюду
в промежутке I, за исключением конечного числа точек, задаче
Штурма — Лиувилля имеет единственное решение tv, коэффи-
циенты сп = (tv |срл) которого задаются формулой cn~dnIO.—).ny
ь
где dn — J f (t) фл (/) dt.
а
6°. При к = кп необходимое и достаточное условие того,
чтобы задача Штурма — Лиувилля имела решение, состоит
ь
в том, чтобы J* f(f)<fn(f)dt = 0. В этом случае для любого ре-
а
шения tv коэффициент с„ = (ю\уп) произволен, а при тДп коэф-
фициенты ст задаются той же формулой, что и в 5°).
Однородная задача Штурма — Лиувилля не может иметь двух
линейно независимых решений, так как в противном случае она
имела бы решение у, у которого у (а) и у'(а) были бы произвольны,
что невозможно; это доказывает 2°).
Тот факт, что все собственные значения Хл действительны, сле-
дует из (11.7.7) и (11.7.5). Кроме того, из (11.7.4) следует, что
410
Гл. 11. Элементарная спектральная теория
не более чем конечное число из Хя отрицательно. По теореме Мерсера
[(11.6.7) и (11.6.8)] для функции Грина имеем
(11.7.10.1) К(Л х) = 2-1-?я(/)<Рп(х).
п
где ряд абсолютно и равномерно сходится в I/I (предполагается,
и это вполне законно, что 0 не есть ни одно из Хя).
Заметим, что 4°) будет следовать из (11.6.3) и (11.7.8), если
сделать дополнительное предположение, что та и та' непрерывны в /.
Чтобы доказать 4°) в общем случае, обозначим через tt
точки промежутка I, в которых та' имеет разрыв, и пусть а( =
= та' (7Z+) — та'(t,—). Тогда функция T) — Ta-\-'^ia.iKt. удовлетво-
/ = 1 1
ряет всем условиям 4°) и, кроме того, в силу (11.7.6) имеет непре-
рывную производную. Пользуясь (11.7.10.1), получаем доказатель-
ство 4°).
Из того, что тождественное отображение пространства £ = ^с(/)
в G непрерывно, следует, что для функций та, удовлетворяющих
условиям 4°), мы можем также писать та = У ся<ря, где ряд схо-
п
дится в ' предгильбертовом пространстве G (11.2.8). Поэтому, чтобы
доказать 3J), достаточно показать, что множество Р таких функций та
плотно в G. Для этой цели для любой функции и £ G рассмотрим
непрерывную функцию тат, где т — целое число >0, равную и
в промежутке [а-{-.(1/т), b — (l/m)J, 0 в промежутках [а, а-\-(1/2пГ)\
и —(l/2/n), £>] и линейной функции в каждом из промежутков
1а-\-(1/2т), а-|-(1/т)] и [7>— (1/ffi), b — {\[2тУ\. Тогда ясно, чтовпро-
межутках [а, а-]-(1/т)] и [6 — (1/тп), £] выполняется неравенство
|и(х)—wm(x)| 4. 2||и|| и, значит, в силу теоремы о среднем зна-
чении норма ||и — Wmlb сколь угодно мала. Кроме того, функция тат
удовлетворяет граничным условиям (11.7.2). Взяв теперь, пользуясь
равномерной непрерывностью функции и, кусочно линейную непре-
рывную в I функцию а, равную тат на промежутках [а,
и [Ь — (1/zn), 7>] и достаточно мало отличающуюся по модулю от функ-
ции и на промежутке [а-|-(1/т)> Ъ—(1/яг)], получим, что норма ||«—т»||2
произвольно мала, а функция Т) удовлетворяет всем условиям, пере-
численным в 4°), что доказывает наше утверждение.
Поскольку 3°), таким образом, доказано, ясно, что тотальная
последовательность (<ря) должна быть бесконечной, и [учитывая (11.6.2)]
полностью доказано и утверждение 1°).
Наконец, 5°) и 6°) сразу следуют из (11.5.11).
Замечание. Относительно (ря и Хя можно получить значительно
более точную информацию и, в частности, доказать, что отноше-
ние ля//г2 стремится к конечному пределу (см. задачи 3 и 4).
7. Задача Штурма — Лиувилля
411
Задачи
1. Пусть I— [а, й]— компактный промежуток в R и пусть Нй— действи-
тельное векторное пространство всех действительных непрерывно дифферен-
цируемых функций в промежутке Z. Вводя скалярное произведение
ь
(*l?) = J (x'y' + xy)dt,
а
превращаем Но в действительное предгильбертово пространство.
а)	Покажите, что На сепарабельно (производную функции х£На аппро-
ксимируйте многочленами (7.4.1)). Таким образом, Но является всюду плот-
ным подпространством некоторого сепарабельного гильбертова простран-
ства Н (6.6.2).
Ь)	Покажите, что если (х„) — последовательность Коши в предгильбер-
товом пространстве Но, то последовательность (х„) равномерно сходится
в I к некоторой непрерывной функции v, и что если (уп) — другая после-
довательность Коши в Нй, имеющая в Н тот же самый предел, то после-
довательность (уп) равномерно сходится в I к той же функции v. Элементы
пространства Н, таким образом, могут быть отождествлены с некоторыми
непрерывными функциями в I, которые, однако, не обязаны быть диф-
ференцируемыми в каждой точке промежутка /.
Заметьте, что для каждой функции х^Щъ I выполняется неравенство
/ ь у/2 -
| х (0 — х (а) |< Vt — a j J* х'2 dt) •
/
Покажите, что для любой функции г £ Но, дважды непрерывно дифферен-
цируемой в I и удовлетворяющей условию г' (а) = г' (й) — 0, справедливо
ь	ь
равенство (о | г) = — J* vz" dt-f- § vz dt.
а	а
с)	Пусть аир — два действительных числа и q — непрерывная функция
ь
в I. Покажите, что в Яо функция х -> Ф (х) = J” (х'2 + qx2 )dt — а (х (а) )2 —
а
— р (х (й) )2 непрерывна. Пусть А — множество в Я, состоящее из функций х,
ь
для которых J* х2 dt = 1 (заметим, что А не является ограниченным мно-
а
жеством в гильбертовом пространстве Н). Покажите, что нижняя грань
функции Ф(х) на пересечении ЛС|Я0 конечна.
• [Нужно только рассмотреть случай, когда а > 0 и р > 0. Предположим,
что в А ПЯ0 существует такая последовательность (хп), что lim Ф (ля) = —со
412
Гл. 11. Элементарная спектральная Теория
/ ь
и lim 7П =-)-оо, где 7„=| I х'2 dt ] . Рассмотрите последовательность
Л->со	I J	I
\ а	)
функций уп = хп!~'п и приведите к противоречию тот факт, что, с одной
ь
стороны, lim I y2ndt = 0, а, с другой, существуют такой промежуток [а, с]с/
П->со J
а
и такое число р > 0, что | Уп (О I > Р ПРИ каждом п и для каждой точки
t Е [а, с].]
d)	Пусть Р] — нижняя грань функции Ф(х) на ЛП#о> Покажите, что
если (х„)— последовательность в ЛП//о> для которой lim Ф(х„) = р1, то
П->со
последовательность (х„) ограничена в Н.
[Тот же метод, что и в с).]
Выведите из этого результата, что, выделяя подходящую подпоследова-
тельность, мы можем считать, что последовательность (х„) равномерно
сходится в / к некоторой функции и (которая, однако, a priori не обязана
принадлежать Н).
[Воспользуйтесь теоремой Асколи (7.5.7).]
е)	Покажите, что Ф (х) есть квадратичная форма в Но, т. е. имеет место
равенство Ф (х 4- у) = Ф (х) Ф (у)	2'1" (х, у), где функция Ч? билинейна.
Для любой функции z, дважды непрерывно дифференцируемой в / и удо-
влетворяющей условию z' (а) = г' (b) = z(a) = z (Z>) — 0, имеем Чг (х, г) =
ь	ь
— — xz" dt-\- J* qxzdt. Этой же формулой функция Ч"(г', г) может быть
а	а
определена для любой функции о, непрерывной в I. Покажите, что для любой
такой функции г и любого действительного числа $ имеет место неравен-
ft
ство lim Ф (хп -[* £г) > Н I C*n + &)2 dt, и выведите из этого результата, что
д->со	J
а
ь
J* (иг" — quz v-iUz) dt = 0.
а
Поэтому если w — дважды непрерывно дифференцируемая функция, для
которой w" = qu — ij^u, то с помощью интегрирования по частям полу-
ft
чаем (и — да) z" dt = 0. Заключите отсюда, что и — да есть многочлен
а
степени 1 (заметьте, что если вычесть из и — да подходящий многочлен р
степени 1, то найдется такая функция г, что г" = и — да — р и г (а) = г (Ъ) =
= г' (а) = г' (Ь) = 0). Следовательно., функция и дважды непрерывно диф-
7. Задача Штурма — Лиувилля
413
ференцируема, удовлетворяет дифференциальному уравнению
U"--£U-(-Jx1U = 0
ь
и условию J* и2 dt = 1. Кроме того, и' (а) = —аи(а) и и' (b) =	(Ь).
а
[Чтобы доказать это последнее утверждение, выразите тот факт, что
для любой функции г^На, каково бы ни было действительное число 6,
ь
выполняется неравенство Ф (и + 6г) > p-j J" (и 6г)2 dt. j
а
2. а) Предположим сначала [в обозначениях теоремы (11.7.10)], что
*1A2=5feO, и пусть a = hxlkx и ? = —Л2/й2- Покажите, что функции ?п могут
быть (вплоть до знака) определены следующими условиями: 1°) функция
такова, что на сфере А: (у | у) = 1 в G функция Ф (определенная в за-
даче 1, с)) достигает своего минимума при у = ?] и этот минимум равен Xj;
2°) при п > 1 пусть Ап есть пересечение сферы А и гиперплоскостей
(у | ? ) = 0 для 1 < k < п — 1; тогда функция <fn такова, что на Ап функ-
ция Ф достигает своего минимума при у — ?п и этот минимум равен Хп.
[Это описание функции ?! сразу следует из результатов задачи 1; чтобы
охарактеризовать функции проведите рассуждение такого же характера.]
Ь) Докажите аналогичные утверждения для случая, когда = 0 и А2¥=0,
заменяя в определении функции Ф число а на 0, н<^ заменяя и сферу А ее
пересечением с гиперплоскостью в О, определяемой условием у (а) = 0.
Подобным же образом поступите в случае, когда kx Ф 0 и k2 = 0 или когда
kx = k2 = 0.
с) При предположениях задачи а) пусть г1;..., гп_] есть п—1 произвольная
дважды непрерывно дифференцируемая функция в / и пусть В(гх, .... zn_x)—
пересечение сферы Лип — 1 гиперплоскостей (у | гк) = 0 (1 k .< п — 1).
Покажите, что в некоторой точке множества В (zx, ..., zn_x) функция Ф
достигает своего минимума ?(гх, ..., гп_х) на этом множестве и что Х„ есть
верхняя грань чисел p(zx....zn~x), когда г/ меняются на множестве дважды
непрерывно дифференцируемых в промежутке / функций (минимакс-
ный принцип).
[Для доказательства существования минимума примените метод задачи
а); неравенство доказывается тем же методом, что и в задаче 8 § П.5.]
Распространите этот результат на случай, когда kxk2 ~ 0.
3. а) Рассмотрим на одном и том же промежутке I два линейных диф-
ференциальных уравнения второго порядка у"—?iy-|-Xy = 0 и у"—?2у j-Xy = 0
с одними и теми же граничными условиями (11.7.2). Пусть (Х^) и (Х^) — две
строго возрастающие последовательности собственных значений этих двух
задач Штурма — Лиувилля. Покажите, что если qx < q2, то х£' < Х^ при
каждом п, а если (/) — q2 (t) М в /, то | Х^ — X® | < М при каждом п.
[Воспользуйтесь минимаксным принципом.]
414
Гл. И. Элементарная спектральная теория
Ь) Заключите из а), что существует такая константа с, что при каждом п
п2^2
п - /2 <с'
где I — b — а.
[Изучите задачу Штурма — Лиувилля для частного случая, когда функ-
ция q постоянна.]
4. S) Пусть у— произвольное решение уравнения (11.7.3) в промежутке
1—[а,Ь] при А. > 0. Покажите, что существуют такие две постоянные Я
и <о, что у есть решение интегрального уравнения
(*)
у (/) = A sin (t “) -f
q (s) у (s) sin V \(t — s) ds.
Покажите, что существует такая постоянная В, не зависящая от А, что
Я2<В(у|у).
[С помощью неравенства Коши — Шварца мажорируйте интеграл в пра-
вой части равенства (*).]
Ь) Выведите из а), что если в задаче Штурма — Лиувилля
или же й, = й2 = 0, то существуют такие две постоянные Со и Cit что для
каждого п и каждой точки t € /

(О-]/ 4 A»cos w
с,
где 1з=Ь — а.
[Воспользуйтесь задачей а) и утверждением из задачи 3, Ь).]
Каков соответствующий результат, когда только одна из постоянных kt
и k2 равна О?
ЛИТЕРАТУРА
[1]	A h I f о г s L., Complex Analysis, New York, 1953.
[2]	Bach m a nn H., Transfinite Zahlen, Berlin, 1955.
[3]	Бурбаки H., Элементы математики, кн. I, Теория множеств, Мир, М.,
готовится к изданию.
[4]	Б у р б а к и Н., Элементы математики, кн. II, Алгебра (Алгебраические
структуры. Линейная и полилинейная алгебра), Физматгиз, М., 1962.
[5]	Б у р б а к и Н., Элементы математики, кн. III,
— Общая топология (Основные Структуры), Физматгиз, М., 1958.
— Общая топология (Числа и связанные с ними группы и простран-
ства), Физматгиз, М., 1959.
[6]	Бурбаки Н., Элементы математики, кн. V, Топологические вектор-
ные пространства, ИЛ, М., 1959.
[71 Картан Э„ Внешние дифференциальные системы и их геометриче-
ские приложения, Изд-во МГУ, М., 1962.
[8]	Cartan Н., Seminaire de 1’Ecole Nor-male Superieure, 1951—1952.
Fonctions analytiques et faisceaux analytiques.
[9]	Шевалле К., Теория групп Ли, ИЛ, М., т. 1, 1948, т. 2, 1958, т. 3,
1959.
[10]	К о д д и н г т о н Э., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, ИЛ, М., 1959.
[11]	Курант Р. и Гильберт Д., Методы математической физики, т. 1,
Гостехиздат, М.—Л., 1951.
[12]	де Р а м Ж., Дифференцируемые многообразия, ИЛ, М., 1956.
[13]	Данфорд Н. и Шварц Дж., Линейные операторы. Общая теория,
ИЛ, М„ 1962.
[14]	X а л м о ш П., Конечномерные векторные пространства, Физматгиз, М.,
1963.
[15]	Айне Э., Обыкновенные дифференциальные уравнения, ГНТИУ,
Харьков, 1939.
[16]	Jacobson N., Lectures in Abstract Algebra: II, Linear Algebra, New
York, 1953.
[17]	Kamke E., Differentialgleichungen reeller Funktionen, Leipzig, 1930.
[18]	К e 11 e у J., General Topology, New York, 1955.
[19]	Ландау Э., Основы анализа, ИЛ, М., 1948.
[20]	Люмис Л., Введение в абстрактный гармонический анализ, ИЛ, М.,
1956.
416	Литература
[21]	Спрингер Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, И'Л,
М„ 1960.
[22]	Steen rod N., Colloquium Lectures, to appear.
[23]	Taylor A., Introduction to Functional Analysis, New York, 1958.
[24]	Вейль А., Введение в теорию кэллеровских многообразий, ИЛ, М.
1961.
[25]	Weyl Н., Die Idee der Riemannschen Flache, Stuttgart, 1955.
[26]	Уиттекер Э. T., Ватсон Дж. H., Курс современного анализа.
Основные операции анализа, Физматгиз, М., ч. I, 1962, ч. П, 1963,
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
В нижеследующем указателе первая цифра указывает главу, в которой
можно найти данный термин, а вторая—параграф в этой главе.
Абеля лемма 9.1
— теорема 9.3, задача 1
Абсолютная величина действительного
числа 2.2
Абсолютно суммируемое подмноже-
ство, семейство 5.3
— сходящийся ряд 5.3
Адамара теорема о лакунах 9.15,
задача 7
----о трех окружностях 9.5,
задача 10
Аксиома Архимеда 2.1
—	Бореля — Лебега 3.16
—	выбора 1.4
— о вложенных промежутках 2.1
Алгебраическая кратность собственно-
го значения 11,4
Альтернатива Фредгольма 11.6
Аналитическая функция 9.3
----.вычет 9.15
----.главная часть в точке 9.15
----.естественная граница 9.15,
задача 7
----мероморфная 9.17 w
— —, множество единственности 9.4
----, нуль 9.15
----.особая граничная точка 9.15,
задача 7
----.особая изолированная точка9.15
----, полюс 9.15
----.порядок в точке 9.15
— —, правильная граничная точка
9.15, задача 7
----.теорема Коши 9.6
----.условия Коши — Римана 9.10
----целая 9.3
--------трансцендентная 9.15, за-
дача 3
Аналитическое отображение, см. Ана-
литическая функция
— продолжение 9.4
27 Ж- Дьедонне
Аргумент комплексного числа 9.5,
задача 8
Архимеда аксиома 2.1
Архимедово упорядоченное поле
2.1
Асколи теорема 7.5
Ассоциативность абсолютно сходя-
щихся рядов 5.3
База открытых множеств метрическо-
го пространства 3.9
Базис векторного пространства 5.9,
задача 2
—	ортонормальный 6.5
Базисное действительное векторное
пространство 5.1
Банаха пространства 5.3, задача 5;
5.7, задача 1; 8.9, задача 2
Банахово пространство 5.1
Бесконечно дифференцируемое ото-
бражение 8.12
Бесконечное произведение метриче-
ских пространств 3.20, задача 7; 8.9,
задача 2
Бесконечные точки 3.3
Бесконечный путь 9.12, задача 3
Бесселя неравенство 6.5
Биективное отображение 1.6
Билинейная симметричная форма
6.1
Билинейное отображение 6.1
Блоха постоянная 10.3, задача 5
Более сильная норма 5.6
----топология 3.12
—	сильное расстояние 3.12
Больцано теорема 3.19
Бореля — Лебега аксиома 3.16
----теорема 3,17
Брауэра теорема 10.2, задача 3
418
Предметный указатель
Вейерштрасса подготовительная тео-
рема 9.17, задача 4
— теорема об аппроксимации 7.4
----о существенных особенностях
9.15, задача 2
Вектор изотропный 6.1
— ортогональный множеству 6.1
— собственный 11.1
Векторное подпространство 5.4
— пространство действительное, ком-
плексное 5.1
----, его базис 5.9, задача 2
Векторы ортогональные 6.1
Верхняя грань множества, функции
(отображения) 2.3
Вершина решетки 9Д.4, задача 4
Взаимно непрерывное отображение
3.12
—	однозначное отображение 1.6
Включение 1.1
Вложение 1.6
—	естественное 1.6
Внешняя точка множества 3.7
Внутренность множества 3.7
Внутренняя точка множества 3.7
Возрастающая справа (слева) функ-
ция 8.5, задача 1
—	функция 4.2
Вольтерра ядро 11.6, задача 8
Вполне интегрируемое уравнение 10.9
—	непрерывный оператор 11.2
—	несвязное множество 3.19
— ограниченное множество 3.17
----пространство 3.16
Всюду плотное множество 3.9
Вторая теорема о среднем значении
8.7, задача 2
Вырождающаяся эрмитова форма 6.1
Вычет 9.15
Гамма-функция 9.12, задача 2
Геометрическая кратность собственно-
го значения 11.4
Гильбертова сумма гильбертовых про-
странств 6.4
Гильбертово пространство 6.2
----последовательностей 6.5
Гиперплоскость 5.8
— однородная, опорная, параллель-
ная 5.8, задача 3
Главная часть аналитической функ-
ции в точке 9.15
Главное значение логарифма 9.5,
задача 8
Гомеоморфизм З.Г2
Гомеоморфные метрические простран-
ства 3,12
Гомотетическое отображение 5.1
Гомотопия 9.6; 10.2, задача 6
Гомотопные траектории, петли 9.6;
10.2,	задача 6
Грама определитель 6.6, задача 3
Граница множества 3.8
Граничная точка множества 3.8
— — особая для аналитической
функции 9.15, задача 7
--- правильная для аналитической
функции 9.15, задача 7
Граничные условия для задачи Штур-
ма— Лиувилля 11.7
Грань верхняя 2.3
—	нижняя 2.3
График отношения 1.3
—	отображения 1.4
—	функциональный 1.4
Грина функция 11.7
Гурса теорема 9.10, задача 1
Действительная ограниченная функ-
ция 2.3
—	отрицательная полупрямая 9.5, за-
дача 8
—	плоскость 3.2
—	прямая 3.2
---расширенная 3.3
— часть комплексного числа 4.4
Действительное векторное простран-
ство 5.1
— число 2.1
---, его абсолютная величина 2.2
— —, его отрицательная и положи-
тельная части 2.2
Декартово произведение множеств 1.3
Диагональ 1.4
Диагональная нумерация 1.9
— подпоследовательность 9.13
Диаметр множества 3.4
Дини теорема 7.2
Дирихле функция 3.11
Дискретное метрическое пространство
3.2; 3.12
Дистрибутивность 1.2
Дифференциальное уравнение обык-
новенное 10.4
--------линейное 10.6
--------, резольвента 10.8
--------однородное 10.8
--------, максимальное, минимальное
решение 10.5, задача 7
--------, приближенное е-решение
10.5
--------.решение 10.4; 11.7
---с частными производными
10.9
\ Предметный указатель
419
Дифференциальный линейный опера-
тор 8.13
Дифференцируемое отображение 8.1
Длина промежутка 2.2
Дополнение множества 1.2
—	ортогональное 6.3
—	топологическое 5.4
Дуга простая 9Д.4
Единичная окружность 9.5
-----, обойденная п раз 9.8
Естественная граница аналитической
функции 9.15, задача 7
Естественное вложение 1.6
—	упорядочение 2.2
Жордана теорема 9Д.4
Задача Штурма — Лиувилля 11.7
Замена переменных в интеграле 8.7
Замкнутое кольцо 9.14
— множество'3.8
Замкнутый квадрат решетки 9Д.4,
задача 4
—	полицилиндр 9.1
—	промежуток 2.1
—	шар 3.4
Замыкание множества 3.8
Звездообразная область 9.7
Значение графика отображения 1.4
— непрерывного оператора 11.1
Изолированная особая точка 9.15
— точка множества 3.9, задача 2; 9.15
Изометрические пространства 3.3
Изометрия 3.3
Изоморфизм предгильбертовых про-
странств 6.2; 6.6
Изотропный вектор 6.1
Индекс точки относительно контура,
контура относительно точки 9.8
—	петли 9Д.1
Индуцированное расстояние 3.10
Интеграл 8.7
—	вдоль пути 9.6
—, замена переменных в нем 8.7
— несобственный 9.12, задача 3
Интегрирование по частям 8.7
Инъективное отображение 1.6
Каноническое разложение вектора от-
носительно эрмитова вполне непре-
рывного оператора 11.5; 11.6
27*
Канторово троичное множество 4.2,
задача 2
Касательные отображения 8.1
Квадратный корень из положительно-
го эрмитова вполне непрерывного
оператора 11.5, задача 12
Квазидифференцируемая функция 8.4,
задача 4
Квазипроизводная 8.4, задача 4
Квазиэрмитов оператор 11.5, задача 17
Колебание функции 3.14
Кольцо замкнутое, открытое 9.14
Коммутативность абсолютно сходя-
щихся рядов 5.3
Коммутативно сходящийся ряд 5.3,
задача 4
Компактное множество 3.17
— пространство 3.16
Комплексное векторное пространство
5.1
Комплексное число 4.4
----, аргумент 9.5, задача 8
— —, действительная и мнимая части
4.4
----, модуль 4.4
----сопряженное 4.4
Конец промежутка 2.1
—	сегмента 5.1, задача 4
—	траектория 9.6
Конечные элементы расширенной пря-
мой 3.3
Контур 9.6
Координата (п-я) относительно орто-
нормальной системы 6.5
Коразмерность линейного многообра-
зия 5.1, задача 5
Коши критерий для последовательно-
стей 3.14
----для рядов 5.2
—	неравенства 9.9
— последовательность 3.14
Коши — Римана условия для анали-
тических функций 9.10
Коши теорема об аналитических функ-
циях 9.6
----существования 10.4
— формула 9.9
Коши —Шварца неравенство 6.2
Коэффициент ](л*й) относительно ор-
тонормальной системы 6.5
—	(п-й) Фурье 6.5; 11.6, задача 3
Кратность собственного значения 11.4
Кривая 3,19
—	простая замкнутая 9Д.4
Кривая Пеано 412, задача 5; 9.12,
задача 5
Круг 4.4
Кусочно линейная функция 8,7
420
Предметный указатель
Лагранжа формула 10.2, задача 10
Лебега свойство 3.16, задача 1
Лебегова функция (п-я) 11.6, задача 2
Левая производная 8.4
Лежандра полиномы 6.6;	8.14,
задача 1
Лейбница правило 8.11
— формула 8.13
Лемма Абеля 9.1
— Шварца 9.5, задача 7
Линейная форма 5.8
Линейное дифференциальное уравне-
ние 10.6
— многообразие 5.1, задача 5
----, коразмерность и размерность
5.1, задача 5
—	отображение 5.7
Линейный дифференциальный опера-
тор 8.13
Липшица условие 8.4, задача 7; 10.5
Липшицевская функция 10.5
Лиувилля теорема 9.11
Логарифм 4.3; 9.5, задача 8
Локально замкнутое множество 3.10,
задача 3
—	компактное пространство 3.18
— липшицевская функция 10.4
— связное пространство 3.19
Ломаная линия 5.1, задача 4
Лорана ряд 9.14
Мажоранта 2.3
Мажорируемая функция (отображе-
ние), мажорируемое множество
2.3
Максимальное решение дифференци-
ального уравнения 10.5, задача 7
Максимум относительный 3.9, задача 6
----строгий 3.9, задача 6
Мероморфная функция 9.17
Мерсера теорема 11.6
Метод приближений Ньютона 10.2,
задача 5
— скользящего горба 11.5, задача 4;
11.6, задача 6
Метрические пространства гомео-
морфные 3.12
----изометрические 3.3
----, произведения 3.20
Метрическое пространство 3.1
----, база открытых множеств в нем
3.9
----дискретное 3.2; 3.12
— —.подпространство 3.10
----сепарабельное 3.9
Минимаксный принцип 11.5, задача
8; 11.7, задача 2
Минимальное решение дифференци-
ального уравнения 10.5, задача 7
Минковского неравенства 6.2
Миноранта 2.3
Минорируемая функция (отображе-
ние), минорируемое множество 2.3
Мнимая часть комплексного числа 4.4
Многообразие линейное 5.1, задача 5
Многочлен тригонометрический 7.4
— характеристический 11.1
Множества, декартов® произведение
1.3
—, ортогональность 6.1
—, пересечение их семейства 1.8
— равномощные 1.9
—, разность 1.2
Множество 1.1
—	внешних точек множества 3.7
—	внутренних точек множества 3.7
— вполне несвязное 3.19
—	— ограниченное 3.17
—	всюду плотное 3.9
—	, граница 3.8
—	, диаметр 3.4
—	.дополнение 1.2
' — единственности для аналитических
функций 9.4
—	замкнутое 3.8
—	, замыкание 3.8
—	индексов 1.8
— канторово 4.2, задача 2
— компактное 3.17
— локально замкнутое 3.10, задача 3
— мажорируемое, минорируемое 2.3
— не более чем счетное 1.9
— ограниченное в метрическом про-
странстве 3.4
---в R 2.3
---- сверху, снизу 2.3
—	ограниченных отображений 3.2
—	, отделяющее две .точки 9Д.З
—	открытое 3.5
—	относительно компактное 3.17
—	отображений 1.4
— плотное в пространстве, в другом
множестве 3.9
— подмножеств данного множества
1.1
— пустое 1.1
— равномерно равностепенно непре-
рывное 7.5, задача 5
— равностепенно непрерывное 7.5
— связное 3.19
—, содержащееся в другом множе-
стве, содержащее другое множе-
ство 1.1
—	счетное 1.9
—	тотальное 5.4
Предметный указатель
421
Множество функций, отделяющее точ-
ки пространства 7.3
Множитель первичный 9.12, задача 1
Модуль комплексного числа 4.4
Монотонная функция 4.2
Морера теорема 9.10, задача 2
Наложение 1.6
Начало промежутка 2.1
— траектории 9.6
Не более чем счетное множество, се-
мейство 1.9
Невырождающийся эрмитов оператор
11.5
Непрерывно дифференцируемое ото-
бражение 8.9
Непрерывное продолжение оператора
11.1, задача 5
Непрерывность корней уравнения как
функций от параметров 3.20, зада-
ча 4; 9.17
— отображения в пространстве, в
точке 3.11
—	слева 8.5, задача 1
—	справа 11.6
Неравенство Бесселя 6.5
—	Коши 9.9
—	Коши — Шварца 6.2
—	Минковского 6.2
—	треугольника 3.1
— ультраметрическое 3.8, задача 4
Несобственно интегрируемая функция
вдоль бесконечного пути, несоб-
ственный интеграл 9.12, задача 3
Несущественное отображение 9Д.2
Нижняя грань множества, функции
(отображения) 2.3
Норма 5.1
— более сильная 5.6
— эрмитова 9.5, задача 7
Нормально сходящийся ряд, нормаль-
но суммируемое семейство 7.1
Нормированное пространство 5.1
— —, подпространство 5.4
Нормированные пространства, их про-
изведения 5.4
Нормы эквивалентные 5.6
Нуль аналитической функции 9.15
Ньютона метод приближений 10.2,
задача 5
Область звездообразная 9.7
— одноовязная 9.7; 10.2, задача 6
Образ 1.5
Обратное отображение 1.6
Объединение двух множеств 1.2
Объединение семейства множеств
1.8
Обыкновенные дифференциальные
уравнения 10.4; 10.9
Ограниченная действительная функ-
ция 2.3
Ограниченное множество в метриче-
ском пространстве 3.4
— множество в R 2.3
— отображение 7.1
— сверху множество, ограниченная
сверху функция (отображение) 2.3
— снизу множество, ограниченная
снизу функция (отображение) 2.3
Однородная гиперплоскость 5.8, зада-
ча 3
Однородное линейное дифференциаль-
ное уравнение 10.8
Односвязная область 9.7; 10.2, за-
дача 6
Односторонний предел 7.6
Окрестность 3.6
—	открытая 3.6
Оператор 11.1
—	вполне непрерывный 11.2
— квази-эрмитов 11.5, задача 17
— линейный дифференциальный 8.13
—.непрерывное	продолжение 11.1,
задача 5
—.регулярное значение 11.1
— риссовский 11.4, задача 5
— самосопряженный 11.5
—.собственное значение 11.1
—.собственный вектор 11.1
—.сопряженный 11.5
—, спектр 11.1
—.спектральное значение 11.1
— эрмитов, см. Эрмитов оператор
Опорная гиперплоскость 5.8, за-
дача 3
Определитель Грама 6.6, задача 3
Ортогональная проекция 6.3
— система 6.5
Ортогональное дополнение 6.3
Ортогональные векторы 6.1
— множества 6.1
Ортонормализация 6.6
Ортонормальная система 6.5
----, n-й коэффициент относительно
нее 6.5
----Хаара 8.7, задача 7
Ортонормальный базис 6.5
Основная теорема алгебры 9.11
Особая граничная точка аналитиче-
ской функции 9.15, задача 7
— изолированная точка 9.15
Остаток (n-й) ряда 5.2
Открытая окрестность 3.6
422
Предметный указатель
Открытое кольцо 9.14
— множество 3.5
— покрытие 3.16
-----точечно-конечное 3.16, задача 2
Открытый квадрат решетки 9Д.4,
задача 4
—	полицилиндр 9.1
—	промежуток 2.1
—	шар 3.4
Относительно компактное множество
3.17
Относительный максимум 3.9, задача 6
— — строгий 3.9, задача 6
Отношение 1.1
—, его график 1.3
— функциональное 1.4
Отображение 1.4, см. Функция
— аналитическое, см. Аналитическая
функция
—	бесконечно дифференцируемое 8.12
— биективное 1.6
— билинейное 6.1
—	взаимно непрерывное 3.12
	однозначное 1.6
— возрастающее 4.2
	слева, справа 8.5, задача I
—	гомотетическое 5.1
—	, график 1.4
—	.дифференцируемое 8.1
	дважды, р раз 8.12
	по п-й переменной 8.9
—.значение 1.4
—	инъективное 1.6
— касательное в точке 8.1
— квазидифференцируемое 8.4, за-
дача 4
—	кусочно-линейное 8.7
—	линейное 5.7-
— монотонное 4.2
— непрерывно дифференцируемое 8.9
— непрерывное 3.11
—	несущественное 9Д.2
—	, обратное к ''биективному 1.6
— ограниченное 2.3, 7.1
	сверху, снизу 2.3
— постоянное 1.4
—	, продолжение 1.4
—	равномерно непрерывное 3.11
—	симметрическое 6.1
— сложное 1.7
— строго убывающее, строго возрас-
тающее, строго монотонное 4.2
—	существенное 9Д.2
—	сюръективное 1.4
—	тождественное 1,4
— убывающее 4.2
— четное 8.14, задача 6
.—.ядро 11.6
Отрицательная действительная полу-
прямая 9.5, задача 8
— часть действительного числа 2.2
Отрицательное число 2 2
Параллельная гиперплоскость 5.8,
задача 3
Пара упорядоченная 1 3
Парсеваля равенство 6.5
— тождество 6.5
Пеано кривая 4.2, задача 5; 9.12,
задача 5
Пеано теорема 10.5, задача 4
Первичный множитель 9.12, задача 1
Первообразная 8.7
Перенесенное расстояние 3.3
Пересечение двух множеств 1.2
— семейства множеств 1.8
Петельная гомотопия 9.6;	10.2,
задача 6
Петля 9.6; 10.2, задача 6
—	простая 9Д.4
Пикара теорема 10.3, задача 8
Пифагора теорема 6.2
Подготовительная теорема Вейер-
штрасса 9.17, задача 4
Подмножество 1.1
—	абсолютно .суммируемое 5.3
—, отделяющее точки пространства
7.3; 9Д.З
—	пустое 1.1
Подпоследовательность 3.13
—	диагональная 9.13
—	полная 11.5, задача 8
Подпространство векторного про-
странства 5.4
—	метрического пространства 3.10
— нормированного пространства 5.4
— собственное, соответствующее дан-
ному собственному значению 11.1
Подсемейство 1.8
Подстановка степенного ряда в сте-
пенной ряд 9.2
Показательная функция 4.3; 9,5
Покрытие множества 1.8
— открытое 3,16
— точечно-конечное открытое 3.16,
задача 2
Поле 2.1
— комплексных чисел 4.4
— упорядоченное 2.1
---архимедово 2.1
Полиномы Лежандра 6.6;	8.14,
задача 1
Полицилиндр замкнутый, открытый
9.1
— его центр, его радиус 9,1
Предметный указатель
423
Полная последовательность 11.5,
задача 8
---особых значений вполне непре-
рывного оператора 11.5, задача 15
---положительных собственных
значений 11.5, задача 8
— производная 8.1
Полное пространство 3.14
Положительная часть действительно-
го числа 2.2
— эрмитова форма 6.2
Положительное число 2.2
Положительно определенная эрмито-
ва форма 6.2
Положительный эрмитов оператор
11.5
Полуоткрытый промежуток 2.1
Полюс аналитической функции 9.15
Порядок аналитической функции в
точке 9.15
— линейного дифференциального опе-
ратора 8.13
—	полюса 9.15
Последовательность 1.8
—	Коши 3.14
—	, предел 3.13
—	.предельная точка 3.13
—	просто сходящаяся 7.1
—	равномерно сходящаяся 7.1
—	сходящаяся 3'13
Постоянная Блоха 10.3, задача 5
Постоянное отображение 1.4
Правая производная 8.4
Правило Лейбница 8.11
Правильная граничная точка анали-
тической функции 9.15, задача 7
Предгильбертову пространство 6.2
Предел односторонний 7.6
—	слева, справа 7.6
— функции, последовательности 3.13
Предельная точка последовательности
3.13
Приближенное е-решение дифферен-
циального уравнения 10.5
Принадлежность 1.1
Принцип аналитического продолже-
ния 9.4
—	изолированности нулей 9.1
—	максимума 9.5
— минимаксный 11.5, задача 8; 11.7,
задача 2
— продолжения неравенства 3.15
---тождеств 3.15
— Фрагмена — Линделефа 9.5,
задача 16
Продолжение аналитическое 9.4
— непрерывного оператора 11.1,
задача 5
Продолжение отображения 1.4
Проекция в произведении 1.4
—	в прямой сумме 5.4
—	ортогональная 6.3
—	первая, вторая, ..., п-я 1.3
Произведение метрических про-
странств 3,2i);	3.20, задача
7
— множеств 1.3
— нормированных пространств 5.4
— скалярное 6.2
Производная функции в открытом
множестве, в точке 8.1; 8.4
-----вторая.....р-я '8.12
----------------левая, правая 8.4
— — относительно множества 8.4
----------------промежутка 8.12
----------------полная 8.1
----------------частная 8.9
Промежуток, длина, конец, начало
2.1
— замкнутый, открытый, полуоткры-
тый 2.1
Прообраз 1.5
Простая дуга, простая замкнутая кри-
вая, простая петля, простая траек-
тория 9Д.4
—	функция 7.6
Просто сходящаяся последователь-
ность, просто сходящийся ряд
7.1	<-
Пространство базисное 5.1
—	Банаха 5.3, задача 5; 5.7, задача 1;
8.9, задача 2
—	банахово 5.1
— векторное, см. Векторное простран-
ство
—	вполне ограниченное 3.16
—	гильбертово 6.2
—	компактное 3.16
— локально компактное 3.18
-----связное 3.19
— метрическое, см. Метрическое про-
странство
— непрерывных линейных отображе-
ний 5.7
— нормированное 5.1
—	ограниченных отображений 6.1
—	полное 3.14
—	предгильбертово 6.2
—	связное 3.19
— сепарабельное 3.9
Противоположная траектория 9.6
Процесс ортогонализации 6.6
Прямоугольник 5.5, задача 4
Пустое множество 1.1
Путь 9.6
— бесконечный 9,12, задача 3
424
Предметный указатель
Равенство 1.1
— Парсеваля 6.5
Равномерно непрерывная функция
(отображение) 3.11
— равностепенно непрерывное мно-
жество 7.5, задача 5
— сходящаяся последовательность,
равномерно сходящийся ряд 7.1
— эквивалентные расстояния 3.14
Равномощные множества 1.9
Равностепенная непрерывность в точ-
ке, равностепенная непрерывность
7.5
Радиус сходимости степенного ряда
9.1, задача 1
— шара 3.4
Радиусы полицилиндра 9.1
Размерность линейного многообразия
5.1, задача 5
Разность двух множеств 1.2
Разрез плоскости 9Д.З
Ранг линейного отображения 10.3
Расстояние 3.1
—	более сильное 3.12
—	индуцированное 3.10
— между двумя множествами 3.4
--------элементами множества 3.1
---точкой и множеством 3.4
—	р-адическое-3.2
—	перенесенное 3.3
— хаусдорфово»3.|6, задача 3
— эвклидово 3.2
Расстояния равномерно эквивалент-
ные 3.14
— топологически эквивалентные 3.12
— эквивалентные 3.12
Расширенная действительная прямая
3.3 '
Рациональное число 2.2
Регуляризация 8.12, задача 2
Регулярное значение оператора 11.1
Резольвента линейного дифференци-
ального уравнения 10.8
Решение обыкновенного дифференци-
ального уравнения 10.4; 11.7
-----------линейного 10.8
-----------,	максимальное, минималь-
ное 10.5, задача 7
-----------,	е-приближенное 10.5
— фундаментальное (элементарное)
задачи Штурма — Лиувилля 11.7
Решетка 9Д.4
Римана суммы 8.7, задача 1
Рисса теорема 5.9
— теория 11.3
Риссовская точка 11.4, задача 5
Риссовский оператор 11.4, задача 5
Ролля теорема 8.2, задача 4
Руше теорема 9.17
Ряд 5.2
— абсолютно сходящийся 5.3
-------, ассоциативность и коммута-
тивность 5.3
-------, производная 5.3
— коммутативно сходящийся 5.3,
задача 4
— Лорана 9.14
—, п-я частичная сумма, n-й член, п-й
остаток 5.2
—	просто сходящийся 7.1
—	равномерно сходящийся 7.1
—	степенной 9.1
---.радиус сходимости 9.1, задача 1
—	, сумма 5.2
—	сходящийся 5.2
---нормально 7.1
—	Фурье 11.6, задача 2
Самосопряженный оператор 11.5
Свойство Лебега 3.16, задача 1
Связное множество, пространство 3.19
Сдвиг 5.1
Сегмент 5.1, задача 4; 8.5
Семейство абсолютно суммируемое
1.8
—	не более чем счетное 1.9
—	нормально суммируемое 7.1
— счетное 1.9
— элементов 1.8
Сепарабельное метрическое простран-
ство 3.9
Симметрическая билинейная форма 6.1
Симметричное отображение 6.1
Симпсона формула 8.14, задача 10
Система линейных дифференциальных
уравнений 10.6
— окрестностей фундаментальная 3.6
— ортогональная 6.5
— ортонормальная 6.5
— тригонометрическая 6.5
Скаляр 9.1
Скалярное произведение 6.2
Сложное отображение 1.7
Собственная функция ядра 11.6
Собственное значение задачи Штур-
ма— Лиувилля 11.7
---оператора 11.1
— подпространство, соответствующее
данному собственному значению
11.1
Собственный вектор оператора 11.1
Соединение двух траекторий 9.6
Сопряженное комплексное число 4.4
Сопряженный оператор 11.5
Спектральное значение оператора 11.1
Предметный указатель
425
Спектр оператора 11.1
Степенная функция 4.3
Степенной ряд 9.1
Стоуна — Вейерштрасса теорема 7.3
Строгий относительный максимум 3.9,
задача 6
Строго отрицательное, строго поло-
жительное число 2.2
— убывающее, строго возрастающее,
строго монотонное отображение 4.2
Ступенчатая функция 7.6
Сужение отображения 1.4
Сумма абсолютно суммируемого се-
мейства 5.3
—	гильбертова 6.4
—	прямая 5.4
— Римана 8.7, задача 1
— ряда 5.2
—	топологическая прямая 5.4
Существенно особая точка, сущест-
венная особенность 9.15
Существенное отображение 9Д-2
Сфера 3.4
Сходящаяся последовательность 3.13
Сходящийся ряд 5.2
Счетное множество, семейство 1.9
Сюръективное отображение 1.6
Таубера теорема 9.3, задача 2
Тейлора формула 8.14
Теорема Абеля 9.3, задача 1
—	Адамара о лакунах 9.15, задача 7
---о трех окружностях 9.5,.
задача 10
— Асколи 7.5
— Больцано 3.19
— Бореля — Лебега 3.17
— Брауэра 10.2, задача 3
— Вейерштрасса об аппроксимации
7.4
---о существенных особенностях
9.15, задача 2
---подготовительная 9.17, задача 4
—	Гурса 9.10, задача 1
—	Дини 7.2
—	Жордана 9Д.4
—	Коши 9.6
—	Лиувилля 9.11
—	Мерсера 11.6
— Морера 9.10, задача 2
— о вычетах 9.16
—	о конформном отображении 10.3,
задача 4
—	о неподвижной точке 10.1
—	о неявной функции 10.2
— о ранге 10.3
— о среднем значении 8.5
Теорема о среднем значении вторая
8.7, задача 2
— Пеано 10.5, задача 4
— Пикара 10.3, задача 8
—	Пифагора 6.2
—	Рисса 5.9
— Ролля 8.2, задача 4
— Руше 9.17
—	Стоуна — Вейерштрасса 7.3
—	существование Коши 10.4
—	Таубера 9.3, задача 2
—	Титце — Урысона 4.5
—	Фробениуса 10.9
—	Хартогса 9.9, задача 3
-	- Шенфлиса 9Д.4, задача 9
—	Шоттки 10.3, задача 6
—	Янишевского 9Д.З
Теория Рисса 11.3
Титце — Урысона теорема о продол-
жении 4.5
Тождественное отображение 1.4
Тождество Парсеваля 6.5
Топологическая прямая сумма, то-
пологическое прямое слагаемое
5.4
Топологически эквивалентные рас-
стояния 3.12
Топологическое дополнение 5.4
—	понятие 3.12
Топология 3.12.
—	более сильная 3.12
Тотальное множество (семейство) 5.4
Точечно-конечное открытое покрытие
3.16, задача 2
Точка 3.4
—	бесконечная 3.3
—	внешняя 3.7
—	внутренняя 3.7
—	граничная 3.8
— изолированная 3.9, задача 2; 9.15
— конденсации 3.9, задача 4
— особая изолированная 9.15
------граничная 9.15, задача 7
— правильная граничная 9.15,
задача 7
— предельная 3.13
— прикосновения множества 3.8
— риссовская 11.4, задача 5
— существенно особая 9.15
Точки, соединенные ломаной линией
5.1,	задача 4
Траектории гомотопные 9.6; 10.2,
задача 6
Траектория 9.6; 10.2, задача 6
—, ее конец, ее начало 9.6
— простая 9Д.4
— противоположная 9.6
—, сводящаяся к точке 9,6
426
Предметный указатель
Трансцендентная целая функция 9.15,
задача 3
Тригонометрическая система 6.5
Тригонометрические многочлены 7.4
Убывающая функция 4.2
Ультраметрическое неравенство 3.8,
задача 4
Упорядоченная пара 1.3
Упорядоченное поле 2.1
—	архимедово поле 2 1
Уравнение вполне интегрируемое
10.9
—	гиперплоскости 5.8
—	дифференциальное, см. Дифферен-
циальное уравнение
—	с частными производными 10.9
—	Фредгольма 11.6
Условие Липшица 8.4, задача 7; 10.5
Условия Коши — Римана 9.10
Фактор-размерность, см. Коразмер-
ность
Форма линейная 5.8
—	симметрическая билинейная 6.1
— эрмитова,- см. Эрмитова форма
Формула Коши 9.9
—	Лагранжа 10.2, задача 10
— Лейбница 8.13
— Симпсона 8.14, задача 10
— Тейлора 8.14
Фрагмена — Линделефа принцип 9.5,
задача 16
Фредгольма альтернатива 11.6
— уравнение 11.6
Фробениуса теорема 10.9
Фундаментальная матрица решений
10.8
—	система окрестностей 3.6
Фундаментальное решение 11.7
Функции, совпадающие на подмноже-
стве 1.4
Функциональное отношение 1.4
Функциональный график 1.4
Функция, см. Отображение
—	Грина для задачи Штурма — Лиу-
вилля 11.7
— Дирихле 3.11
—, ее колебание 3.14
— лебегова (п-я) 11.6, задача 2
— липшицевская 10.5
— локально липшицевская 10.4
— мажорируемая 2.3
— мероморфная 9.17
— минорируемая 2.3
Функция несобственно интегрируе-
мая вдоль бесконечного пути 9.12
задача 3
—	показательная 4.3, 9,5
—	простая 7.6
—	собственная 11.6
—	с ограниченной вариацией 7.6,
задача 3
—	степенная 4.3
—	ступенчатая 7.6
— трансцендентная целая 9.15,
задача 3
—	целая 9.3
Фурье коэффициент (п-й) 6.5; 11.6,
задача 3
—	ряд 11.6, задача 2
Хаара ортонормальная система 8.7,
задача 7
Характеристический многочлен 11.1
Хартогса теорема 9.9, задача 3
Хаусдорфово расстояние между дву-
мя множествами 3,16, задача 3
Целая функция 9.3
— трансцендентная функция 9.15,
задача 3
Целое число 2.2
Центр полицилиндра 9.1
— Шара 3.4
-Частичная сумма (п-я) ряда 5.2
Частная производная 8.9
Четное отображение 8.14, задача 6
Число действительное, см. Действи-
тельное число
— дробное, отрицательное, положи-
тельное 2.2
— комплексное, см. Комплексное
число
—	рациональное 2.2
— строго отрицательное, строго поло-
жительное 2.2
—	целое 2.2
—	чисто мнимое 4.4
Шаг решетки 9Д.4, задача 4
Шар, его радиус, его центр 3.4
— замкнутый, открытый 3.4
Шаровой слой 9.11, задача 5
Шварца лемма 9.5, задача 7
Шенфлиса теорема 9Д.4, задача 9
Шоттки теорема 10.3, задача 6
Штурма — Лиувилля задача 11,7
Предметный указатель	427
Эвклидово расстояние 3.2
Эйленберга критерий 9.3
Эйлера постоянная 9.12, задача 2
Эквивалентные нормы 5.6
—	пути 9.6
— расстояния 3.12
Экспоненты 4.3
Элементарное (фундаментальное) ре-
шение задачи Штурма — Лиувилля
11.7
Элемент 1.1
— наибольший, наименьший 2.2
— принадлежащий множеству 1.1
Эрмитов оператор 11.5
----невырождающийся 11.5
----положительный 11.5
Эрмитова норма 9.5, задача 7
— форма 6.1
----вырождающаяся 6.1
----положительная 6.2
----положительно-определенная 6.2
Ядро Вольтерра 11.6, задача 8
— отображения 11.6
Янишевского теорема 9Д.З
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .................................. 5
Обозначения .................................. 8
Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ	МНОЖЕСТВ.............. 13
1. Элементы и множества. 2. Булевская алгебра. 3. Произведение
двух множеств. 4. Отображения. 5. Образы и прообразы. 6. Сюръ-
ективные, инъективные и биективные отображения. 7. Композиция
отображений. 8. Семейства элементов. Объединение и пересечение
семейств множеств. 9. Счетные множества.
Глава 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.............................. 28
1. Аксиомы действительных чисел. 2. Порядковые свойства дей-
ствительных чисел. 3. Верхняя и нижняя грани.
Глава 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.......................... 40
1. Расстояния и метрические пространства. 2. Примеры расстояний.
3. Изометрия. 4. Шары, сферы, диаметр. 5. Открытые множества.
6. Окрестности. 7. Внутренность множества. 8. Замкнутые множе-
ства, точки прикосновения, замыкание множества. 9. Плотные
подмножества; сепарабельные пространства. 10. Подпространства
метрического пространства. 11. Непрерывные отображения. 12. Го-
меоморфизмы; Эквивалентные расстояния. 13. Пределы. 14. После-
довательности Коши. Полные пространства. 15. Элементарные тео-
ремы о продолжении. 16. Компактные пространства. 17. Компакт-
ные множества. 18. Локально компактные пространства. 19. Связ-
ные пространства и связные множества. 20. Произведение двух
метрических пространств.
Глава 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ
ПРЯМОЙ..................................................... 94
1. Непрерывность алгебраических операций. 2. Монотонные функ-
ции. 3. Логарифмы и показательная функция. 4. Комплексные числа.
5. Теорема Тнтце — Урысона о продолжении.
Оглавление
429
Глава 5. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА.......................108
1. Нормированные пространства и банаховы пространства. 2. Ряды
в нормированном пространстве. 3. Абсолютно сходящиеся ряды.
4. Подпространства и конечные произведения нормированных про-
странств. 5. Критерий непрерывности полилинейного отображения.
6. Эквивалентные нормы. 7. Пространства непрерывных полилиней-
ных отображений. 8. Замкнутые гиперплоскости и непрерывные
линейные формы. 9. Конечномерные нормированные ' пространства.
10. Сепарабельные нормированные пространства.
Глава 6. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА.........................136
1. Эрмитовы формы. 2. Положительные эрмитовы формы. 3. Орто-
гональная проекция на полное подпространство. 4. Гильбертова
сумма гильбертовых пространств. 5. Ортонормальные .системы.
6. Рртонормализация.
Глава 7. ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ.................152
1. Пространства ограниченных функций. 2. Пространства ограни-
ченных непрерывных функций. 3. Теорема Стоуна — Вейерштрасса
об аппроксимации. 4. Приложения. 5. Равностепенно непрерывные
множества. 6. Простые функции.
Глава 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ......................170
1. Производная непрерывного отображения. 2. Формальные пра-
вила дифференцирования. 3. Производные в пространствах непре-
рывных линейных функций. 4. Производные функций одной пере-
менной. 5. Теорема о среднем значении. 6. Приложения теоремы
о среднем значении. 7. Первообразные и интегралы. 8. Приложение:
число е. 9. Частные производные. 10. Якобианы. 11. Производная
интеграла, зависящего от параметра. 12. Производные высшего
порядка. 13. Дифференциальные операторы. 14. Формула Тейлора.
Глава 9. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ...........................225
1. Степенные ряды. 2. Подстановка степенных рядов в степенной
ряд. 3. Аналитические функции. 4. Принцип аналитического про-
должения. 5. Примеры аналитических функций; показательная
функция. Число л. 6. Интегрирование вдоль пути. 7. Первообраз-
ная аналитической функции в односвязной области. 8. Индекс
точки относительно контура. 9. Формула Коши. 10. Критерий ана-
литичности функций комплексных переменных. 11. Теорема Лиу-
вилля. 12. Сходящиеся последовательности аналитических функций.
430
Оглавление
13. Равностепенно непрерывные множества аналитических функций.
14. Ряд Лорана. 15. Изолированные особые точки; полюсы; нули;
вычеты. 16. Теорема о вычетах. 17. Мероморфные функции.
Добавление к главе 9. ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ К ТОПОЛОГИИ ПЛОСКОСТИ.............................289
1. Индекс точки относительно петли. 2. Существенные отображе-
ния в единичную окружность. 3. Разрезы плоскости. 4. Простые
дуги и простые замкнутые кривые.
Глава 10. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ . ........................304
1. Метод последовательных приближений. 2. Неявные функции.
3. Теорема о ранге. 4. Дифференциальные уравнения. 5. Сравне-
ние решений дифференциальных уравнений. 6. Линейные диффе-
ренциальные уравнения. 7. Зависимость решения от параметров.
8. Зависимость решения от начальных условий. 9. Теорема Фро-
бениуса.
Глава 11. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ................361
1. Спектр непрерывного оператора. 2. Вполне непрерывные опера-
торы. 2. Теория Ф. Рисса. 4. Спектр вполне непрерывного опера-
тора. 5. Вполне непрерывные операторы в гильбертовых простран-
ствах. 6. Интегральное уравнение Фредгольма. 7. Задача Штурма —
. Лиувилля.
Литература.......................................415
Предметный указатель. . . ..................  .	. . 417