Автор: Хаушильд В. Мош В.
Теги: электротехника теория вероятностей и математическая статистика электроэнергетика статистика электрооборудование статистическая физика переводная литература энергоатомиздат
ISBN: 5-283-04440-8
Год: 1989
Текст
В. Хаушильд
В.Мош
СТАТИСТИКА
для ЭЛЕКТРО-
ЭЛЕКТРОТЕХНИКОВ
в ПРИЛОЖЕНИИ
к ТЕХНИКЕ
ВЫСОКИХ
НАПРЯЖЕНИИ
Перевод с немецкого М. К. Ярмаркина
Ленинград
ЭНЕРГОАТОМ ИЗДАТ
Ленинградское отделение
1989
ББК 31.24
Х26
УДК 621.315.6:519.2
Wolfgang Hauschild, Wolfgang Mosch
Statistik fur Elektrotechniker
Eine Darstellung an Beispielen aus der
Hochspannungstechnik
VEB Verlag Technik, Berlin, 1984
Редактор В. Н. Миханкова
Хаушильд В., Мош В.
Х26 Статистика для электротехников в приложении к тех-
технике высоких напряжений/Пер, с нем.— Л.: Энергоатомиз-
дат. Ленингр. отд-ние, 1989.—312 с: ил.
ISBN 5-283-04440-8
Описано использование методов математической статистики для ис-
исследования изоляционных конструкций высокого напряжения. Рас-
Рассмотрены вопросы статистической обработки экспериментального мате-
материала, планирования и проведения измерений, статистического обосно-
обоснования стандартизованных методов испытаний, а также характерные
статистические свойства газообразных и твердых изолирующих мате-
материалов. В специальном разделе описано использование лабораторных
испытаний в реальных устройствах. Книга снабжена большим количе-
количеством примеров.
Для инженеров-высоковольтников, а также может быть полезна
студентам и аспирантам, специализирующимся в области электротех-
электротехники.
© VEB Verlag Technik, Berlin, 1984
Перевод на русский язык. Энергоатомиздат, 1989
ISBN 5-283-04440-8
ПРЕДИСЛОВИЕ
С увеличением масштабов решаемых задач по повыше-
повышению производительности труда, экономии сырья и энергозатрат
для инженеров-исследователей, конструкторов и технологов рас-
растет необходимость учитывать случайные воздействующие фак-
факторы. Лишь при этом условии можно гарантировать высокую
надежность и безотказность эксплуатации изделий.
Сказанное в полной мере относится к изделиям электро-
электротехнической промышленности, в особенности высоковольтной
техники, предъявляющей особенно высокие требования ко всем
показателям процесса .производства, включая энергоемкость
оборудования и качество транспортировки электрической энер-
энергии.
Это привело к давно назревающей необходимости ввести
в курсы обучения и повышения квалификации инженеров-элект-
инженеров-электриков дополнительный материал в области математической ста-
статистики, позволяющей, в особенности при дорогостоящих экс-
экспериментах, получать наиболее существенные результаты при
минимальных затратах.
Эта книга посвящена наиболее существенным способам об-
обработки результатов высоковольтных исследований и длитель-
длительных испытаний. Она предполагает познакомить студентов-элект-
студентов-электриков (и прежде всего — студентов-высоковольтников) с необ-
необходимыми для работы инженера навыками в использовании
статистических методов, а также в рационализировании и по-
повышении эффективности работы инженера путем применения
математической статистики. Это относится прежде всего к об-
обработке экспериментального материала. Ведущая роль экспе-
экспериментатора в высоковольтной технике делает эту книгу важ-
важной прежде всего для специалистов в области техники высоких
напряжений, однако в ней можно найти сведения, представляю-
представляющие интерес и для других областей электротехники.
При апробации описанных методов математической стати-
статистики нам помогали многочисленные студенты, дипломники и
преподаватели кафедры «Техника высоких напряжений» Дрез-
Дрезденского технического университета. Всем им авторы приносят
сердечную благодарность. Особенно заметную помощь оказал
благодаря своим обширным математическим познаниям и ак-
активной работе сотрудник кафедры ТВН доктор И. Шпек.
Предлагаемая книга не могла бы возникнуть без тесного
многолетнего сотрудничества с кафедрой «Теория вероятностей
и математическая статистика» ДТУ. Авторы благодарны док-
доктору П. X. Мюллеру, оказавшему им действенную и самоотвер-
самоотверженную поддержку и ставшему для них наиболее желанным
партнером для дискуссий. С большим вниманием просмотрел
он рукопись этой книги.
Большую поддержку в создании этой книги оказал иссле-
исследовательский центр ELTRA фирмы TuR, достижения которого
в высоковольтной индустрии ГДР раскрыли широкие возмож-
возможности для применения методов математической статистики. Ав-
Авторы благодарны руководству фирмы TuR, в особенности ди-
директору доктору Кештнеру, а также начальнику производства
доктору Швабу.
Авторы приносят благодарность сотрудникам Бюро секции
электротехники и прежде всего Еве Бислих за работу и внима-
внимание при подготовке рукописи, а также сотрудникам берлин-
берлинского издательства «Техника», в особенности редактору Инге
Эпп, с которыми авторов связывает уже испытанное и надеж-
надежное сотрудничество.
В. Хаушильд, В. Мош
ОБОЗНАЧЕНИЯ ВАЖНЕЙШИХ ВЕЛИЧИН
Несмотря на то, что в работах по математической статистике при-
принято использовать системы обозначений, подчиненные строгим логическим
законам, в различных книгах физические величины обозначены по-разиому.
В предлагаемой книге использованы обозначения, тесно связанные с рабо-
работами [1, 17, 27], однако при употреблении некоторых распространенных
в электротехнике терминов принят ряд компромиссов. Все использованные
обозначения расшифрованы непосредственно в тексте, поэтому ниже при-
приведены лишь наиболее существенные из них.
Необходимо учитывать, что случайные события и описывающие их слу-
случайные величины обозначены прописными буквами (например, X), а их
реализация — строчными (например, х). Оценки параметров снабжены звез-
звездочкой при обозначении теоретического параметра (например, \*). Символы
с чертой над ними (например, иПр) представляют собой оценки средних зна-
значений соответствующей случайной величины.
А — площадь поверхности
аху, аух — коэффициенты наклона прямых регрессии
ЬхУ, ЬуХ — коэффициенты регрессии
С=0,5772... — постоянная Эйлера
D2X — дисперсия случайной величины
о — расстояние между электродами
ЕХ— математическое ожидание случайной величины
£пр—электрическая прочность
£пР ши—максимальная напряженность пробоя
eh — коэффициент кривизны
F(x)—функция распределения случайной величины А' в точке х
Fmi-m2;q — квантиль F-распределения (порядка q со степенями сво-
свободы тс и тг)
{(х)—плотность функции распределения случайной величины
в точке х
gn; gn — границы доверительных интервалов
На — проверяемая гипотеза
h — относительная частость
Ля — относительная суммарная частость
«', / — текущий номер
k — число наблюдаемых событий
ka — критическое значение теста
/ — длина
/ш — относительная длительность жизни
т — число наблюдений; число ступеней в опыте с неизменяемым
напряжением
тн — эмпирический момент fe-ro порядка
я — объем выборки; масштабный коэффициент
Р— вероятность (для преобразований)
p—вероятность (конкретное значение)
Р2о — давление изолирующего газа при 20 °С
q—порядок квантиля
<7имп—импульсный заряд (кажущийся заряд)
R—вероятность ошибки (главным образом при статистиче-
статистической координации параметров изоляции)
Rx, Ry — ранги
г — коэффициент длительности жизни; радиус
•S (Ипр) =F(tinp) — функция суммарной частости напряжения пробоя
s — среднее квадратическое отклонение
$ху — ковариация двух выборок
t — значение теста
?пР — время до пробоя
tm; q — квантили ^-распределения (порядок q, число степеней сво-
свободы т)
tn — длительность нагружения; длительность испытаний
Uи. от — номинальное выдерживаемое напряжение
и — значение f-теста
Нпр — напряжение пробоя
V — объем
V(Unp) — функция поведения напряжения пробоя
v=sjx—коэффициент вариации
vu — скорость нарастания напряжения
X — случайная величина
х — реализация случайной величины
Хо — начальное значение; параметр распределения Вейбулла
Y—случайная величина
у — реализация случайной величины
2= (х—ц)/о> — реализация стандартизованного нормального распределения
а — вероятность ошибки; уровень значимости
р — статистическая надежность
Г(р) —гамма-функция
у—мера разброса двойного экспоненциального распределения
Ди —■ разность потенциалов
Д?—интервал времени
б — мера разброса распределения Вейбулла (показатель экс-
экспоненты)
8 — статистическая надежность
т| — 63 %-ный квантиль распределения Вейбулла и двойного
экспоненциального распределения; коэффициент неодно-
неоднородности Швайгера
X—параметр распределения Пуассона и экспоненциального
распределения
Хя—квантиль нормального распределения
ц, — математическое ожидание, параметр нормального распре-
распределения
\ik — момент k-ro порядка
р — коэффициент корреляции
а — стандартное отклонение; параметр нормального распреде-
распределения
о2 — дисперсия
т —• доверительная граница
Ф(я) —функция нормального распределения
<f(x)—плотность функции нормального распределения
у}т; q — квантиль х2"Распределения (порядка q с числом степеней
свободы т)
ВВЕДЕНИЕ
Большинство явлений в природе, обществе и технике
характеризуется случайными отклонениями. Этой случайностью
часто пренебрегают при изучении указанных явлений. Чтобы
установить сущность исследуемых взаимосвязей, внимание кон-
концентрируется на средних значениях величин. Часто, однако,
определение только среднего значения оказывается недостаточ-
недостаточным и необходимо знать более детальные характеристики по-
поведения данной системы. В технике, как правило, до настоя-
настоящего времени считают, что известное среднее значение вели-
величины должно быть умножено на так называемый коэффициент
безопасности. Таким способом, например, при определении ме-
механической прочности различных конструкций учитывают ожи-
ожидаемые статические и динамические колебания нагрузки. Одно-
Одновременно с точным описанием объекта сегодня более чем
когда-либо необходимо находить наилучшие решения рассмат-
рассматриваемых проблем для экономии сырья и энергии. Для этого
на место строго детерминированного описания средних значе-
значений величин вплоть до конструктивного оформления техниче-
технических разработок должен быть выдвинут статистический подход
к случайным событиям. Эту задачу, однако, проще сформули-
сформулировать, чем реализовать. Часто она сталкивается как с экспе-
экспериментальными проблемами в любой специальной области, так
и с трудностью формулировки соответствующих математиче-
математических задач. Основным принципом решения проблем поэтому
должны быть не замкнутые расчеты в какой-либо специальной
области, а скорее решение частных технических задач в тес-
тесном сотрудничестве инженеров и математиков.
Сказанное относится также и к электротехнике. Чтобы пояс-
пояснить это и одновременно сформулировать цели данной книги,
необходимо рассмотреть приведенные ниже примеры. Первона-
Первоначально, до статистического описания случайных (стохастиче-
(стохастических) процессов [1], должно быть известно их феноменологиче-
феноменологическое описание. Оно должно начинаться главным образом
с экспериментов, результаты которых (измерения) позволяют
установить границы случайных отклонений (см. п. 1.1.1). Иссле-
дование разброса экспериментальных результатов позволяет ус-
установить, проистекает ли процесс в соответствии с сутью на-
наблюдаемого явления при данных внешних условиях или имеет
место ошибка измерения, которая должна быть минимальной и
точно определенной. В дальнейшем ошибки измерений не при-
принимаются во внимание.
Зависимость между началом случайного процесса и внеш-
внешними условиями часто является центром внимания исследова-
исследователей. При этом стремятся в зависимости от обстоятельств
сформулировать влияние внешних условий на протекание слу-
пКл
180
120
60
щ
■#
и
1
t
20
60
мин
Рис. В.1. Случайные колебания уровня частичных разрядов во времени (пер-
(первичная запись кажущегося заряда) <?имп
чайного процесса и поддерживать их неизменными (см. п.
2.1.3). Часто это связано с большими затратами, а иногда и
просто невозможно. Примером может служить пробой изоли-
изолирующего промежутка в атмосферном воздухе при совершенно
не ясном влиянии климатических условий, ультрафиолетового
и космического излучения, ветра и пыли. Можно в специальных
экспериментах изучить влияние лишь некоторых внешних фак-
факторов, однако необходимо учитывать, что пробой изолирующих
промежутков происходит под влиянием целого комплекса внеш-
внешних факторов.
Установить влияние какого-либо одного фактора может быть
столь же полезным для понимания всего комплекса взаимо-
взаимосвязей, насколько целесообразно при исследованиях не делать
различия между внутренне присущей данному процессу случай-
случайностью и воздействием случайных внешних условий. Влияние
внешних условий в эксперименте устанавливают таким же, как
и в реальной действительности. Один случайный эксперимент
дает при этом случайным образом меняющуюся измеренную
характеристику (реализация случайной величины, см. п. 1.1.4)
(рис. В.1), которую необходимо оценить. Изложенные в книге
исследования ограничены этой статистической оценкой, в то
время как статистическое оценивание в полном объеме естест-
естественно включает в себя предварительное планирование экспе-
эксперимента и ход его выполнения. Для выполнимого и вообще при-
пригодного к применению обзора, помимо необходимых основ ма-
математической статистики (гл. 1), будут изложены специальные
пояснения, указания к применению, параметры случайных про-
процессов, а также связь со стандартизованными методами испыта-
испытаний и измерений непосредственно для высоковольтной изоляци-
изоляционной техники (§ 2.6). Все изложенное совершенно аналогично
исследованиям в других экспериментальных областях энергети-
энергетической электротехники —■ от низковольтной изоляции, плазмо-
техники, электроэнергетики (высоких напряжений и больших
токов) до комплекса проблем электромашиностроения (комму-
(коммутирующие элементы, механическая прочность), так что эта
книга может вызвать интерес всех электротехников.
Получив предварительно данные статистических оценок для
моделей, элементов устройств и целых блоков, можно уже об-
обсуждать надежность существующих электротехнических уст-
устройств. Исследование надежности имеет большое значение для
всех областей техники; ее теория и применение в наибольшем
объеме и наиболее глубоко развиты для электроники. Описа-
Описание проблем исследования надежности не включено в данную
книгу, его следует искать в специальной литературе (например,
[2-6]).
Эта короткая вводная глава не может быть закончена без
обсуждения того, как дальше будет развиваться применение
статистики в электротехнике.
При увеличивающемся числе параметров стоимость экспе-
экспериментальных исследований возрастает и делается весьма вы-
высокой. Если моделировать интересующее явление на основе не-
немногочисленных экспериментов и экстраполировать данную
модель на другие комбинации параметров, то эту стоимость
можно снизить. При моделировании, естественно, должен быть
сохранен статистический характер процесса. Во многих слу-
случаях, например при решении проблем высоковольтной техники,
хорошо зарекомендовал себя метод Монте-Карло [7—9]. Часто
следует рассматривать физические явления как статистический
процесс, так как теория статистических процессов [1, 10—14]
дает необходимый для этого математический аппарат. В каче-
качестве примера рассмотрим развитие лавины электронов в эле-
газе [15, 16].
Каждая лавина начинается с одного начального электрона,
который может быть образован космическим излучением, рас-
распадом отрицательного иона или эмиссией с катода в процессе,
зависящем, например, от времени и напряженности электриче-
электрического поля. Это процесс Пуассона, и теория случайных процес-
9
сов позволяет установить, с какой вероятностью на единицу
времени будет освобождено заданное число начальных элект-
электронов.
Последующее развитие лавины опять является случайным
процессом: при ударе начальных электронов в молекулу газа
образуется еще один электрон (ионизация, размножение элект-
электронов), либо он теряется (прилипание, потери электронов), или
же остается неизменным (упругое соударение, число электро-
30
го
ю
1 2 3
(
и
г.лгЛ
'1.Г
-■• г
0,01
0,02
0,03
мм
Рис. В.2. Моделирование шести лавин (/—6) электронов в однородном поле
в элегазе (р20=0,1 МПа; £=90 кВ/см;' га — число электронов; / — путь, прой-
пройденный лавиной)
нов не меняется). В электронной лавине поэтому число электро-
электронов меняется дискретными случайными ступенями (рис. В.2),
причем относительно малому числу начальных электронов мо-
может удастся образовать настолько мощную лавину (гек»108
носителей заряда), что произойдет пробой. Для математиче-
математической формулировки проблемы используются коэффициенты
ионизации и прилипания, характеризующие интенсивность об-
образования и гибели электронов. С их помощью можно вычис-
вычислить зависящую от напряженности поля и числа начальных
электронов вероятность того, что будет достигнуто критическое
число электронов в лавине пк. Поскольку эта вероятность дол-
должна восприниматься как вероятность пробоя, ее связь с необ-
необходимой для пробоя напряженностью поля дает чрезвычайно ин-
интересную с технической точки зрения функцию распределения
пробивной напряженности Епр (например, в однородном поле,
рис. В.З, а). Хорошо известно, что с увеличением числа началь-
начальных электронов элемент случайности теряется. Если, как при
10
a) 1,0
0,8
0,6
0,2
if/
ilr
I
t-np
85 90 95 100 105 110 115 кВ/см
S) 0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
т
/
''И
/f
0,75
1
ол
пртах
85 90 95 100 105 кВ/см
Рис. В.З. Функция распределения напряженности пробоя в элегазе, найден-
найденная путем статистического моделирования при р20=0,1 МПа: а — однородное
поле A — пк=оо; 2—100; 3—10 (число начальных электронов); 4 — пк=1);
б—коаксиальные цилиндры с одним начальным электроном (внутренний
цилиндр с отрицательным потенциалом; радиус наружного цилиндра 5 см;
штриховая линия — распределение в однородном поле)
импульсном напряжении, образуется очень мало электронов, то
внутренне присущая процессу случайность отчетливо выра-
выражена. Напротив, большое число начальных электронов, как при
длительном приложении напряжения, приводит к детерминиро-
детерминированному поведению процесса. (Большой разброс значений из-
измеренного напряжения пробоя обусловлен случайными внеш-
внешними условиями, например наличием пыли в системе.) В неод-
неоднородном поле на процессы образования и гибели электронов
не наложено каких-либо существенных ограничений, однако
для понимания процесса необходимы численные расчеты.
Функция распределения максимальной пробивной напряжен-
напряженности электрического поля £Пртах зависит, однако, от геоме-
геометрии электродов (на рис. В.З, б приведен пример распределения
для одного начального электрона) и по граничным значениям
11
\
\
г
близка к функции распределения в однородном поле. Кроме
того, имеется зависимость от полярности приложенного напря-
напряжения, поскольку от нее зависит направление развития лавины
электронов.
Статистическое моделирование дает возможность исследо-
исследовать вероятность пробоя в зависимости от начальной точки
появления начального электрона (рис. В.4). При этом очевидно,
что эффект полярности пробивного напряжения должен суще-
существовать.
0,40
0,30
о,го
0,10
0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 см
Рис. В.4. Зависимость вероятности пробоя в элегазе от места образования
начального электрона и полярности внутреннего электрода (внутренний ра-
радиус коаксиального цилиндра 0,75 см, наружный — 20 см; р2о=О,1 МПа;
£max=110 KB/CM)
/ — отрицательная полярность; 2 — положительная полярность
Обе части случайного процесса (образование одного или бо-
более начального электрона и развитие лавины), естественно,
еще должны будут рассматриваться. Созданная модель чрез-
чрезвычайно сложна математически, и достигнутые возможности
позволяют предсказать исход процесса, правда, вполне удовлет-
удовлетворительно качественно, но не количественно.
Поскольку для физических случайных процессов главным
образом используют статистическое моделирование, дальнейшее
развитие разработанных методов будет происходить в очевид-
очевидном направлении туда, где находятся непосредственно требую-
требующиеся в технике результаты. Предпосылкой этого является вос-
восприятие инженерами статистических категорий. Относительно
простые математически, предлагаемые в данной книге с инже-
инженерных позиций статистические оценки должны поэтому по-
помочь дальнейшему проникновению статистических методов
в электротехнику.
12
Глава первая
ОБЗОР ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ
Большинство доводов, соображений и методов [17] ма-
математической статистики основано на доказательствах, которые
не имеют большого значения ни для понимания изложенного
в этой главе, ни для практического применения в высоковольт-
высоковольтной технике. Введение сделано поэтому коротким и очень схе-
схематичным, оно дополняется, с одной стороны, ссылками на ли-
литературу, а с другой — примерами и ссылками на технику вы-
высоковольтных исследований.
1.1. Основные понятия
теории вероятностей
1.1.1. Случайный опыт и случайный результат. Случай-
Случайный опыт — это, в самом общем смысле, опыт, результат кото-
которого внутренне определен, однако делается неопределенным
в зависимости от различных физических факторов и при рав-
равных внешних условиях может быть повторен любое число раз
[17-19].
В процессе выполнения случайных опытов происходят слу-
случайные (статистические) события. Случайные воздействия при-
приводят к случайным результатам опыта. Возникающая неопре-
неопределенность в появлении определенного исхода описывается
в теории вероятностей с помощью численных характеристик
(см. п. 1.1.2). Случайные события будут обозначаться боль-
большими буквами А, В, С,...
Пример 1.1. Изоляционная конструкция испытывается напряжением
с заданными формой кривой и уровнем (испытания неизменным напряже-
напряжением). В процессе эксперимента в изолирующем материале в результате,
например, случайного процесса образования начальных электронов, размно-
размножение носителей зарядов может достичь необходимого для самостоятельных
частичных разрядов уровня и перейти в пробой. В качестве результата экспе-
эксперимента можно рассматривать различные события: произошли ли взаимо-
взаимоисключающие события пробоя (Ь) и отсутствия пробоя (N) или более де-
детальное рассмотрение события пробоя (D), возникновение стабильных ча-
частичных разрядов (Г) или их отсутствие (F). При повторении испытаний
число событий N будет равно сумме числа событий Т и F. Для событий D
13
и N или, что то же, D, Т и F вероятность их появления может быть задана
одним числом.
Пример 1.2. Рассматривается то же изоляционное устройство, что и
в примере 1.1, однако напряжение установлено настолько большим, что
пробой происходит каждый раз. В качестве случайного исхода в этом слу-
случае может рассматриваться время до пробоя, которое из-за случайности
факта пробоя колеблется внутри определенных границ. Результатом изме-
измерений является неотрицательное, определенное, поддающееся измерению
время.
Пример 1.3. Изолирующее устройство повторно подвергается воздейст-
воздействию возрастающего напряжения до наступления пробоя (испытания осу-
осуществляются плавным подъемом напряжения). При одинаковом физическом
смысле, как и в примере 1.2, пробой здесь наступает обязательно, однако
значение пробивного напряжения случайно.
Связь между случайными событиями обычно описывается
с помощью понятий алгебры событий [17—22]. При этом вво-
вводят следующие определения:
1) событие V(/) называют достоверным событием, если оно
возникает при каждом выполнении опыта (например, пробой
в примере 1.3);
2) событие У(Ф) называют невозможным, если оно никогда
не происходит при выполнении опыта (например, отсутствие
пробоя в примере 1.3);
3) событие А называют дополнительным к событию А, если
А обязательно происходит, когда не происходит А (например,
D и N в примере 1.1 являются дополнительными);
4) два события называются несовместимыми или дизъюнк-
дизъюнктивными, если их одновременное появление невозможно (на-
(например, в этом смысле исключают друг друга события Т и F
в примере 1.1);
5) логическую сумму двух событий (A\JB) называют объе-
объединением; это означает, что по меньшей мере одно из собы-
событий— А или В — обязательно имеет место (например, в при-
примере 1.1 выполняется соотношение N = T+F);
6) логическое произведение (Af\B) двух событий называют
совмещением: например, если у двух параллельных изолято-
изоляторов / и 2 не наблюдаются поверхностные пробои, то и вообще
поверхностного пробоя не произойдет: N — Nif)N2.
Если с появлением события А обязательно происходит вто-
второе событие В, то говорят, что А влечет за собой В (например,
электрический пробой всегда происходит вслед за появлением
частичного разряда).
1.1.2. Относительная частость и вероятность. Пусть при
n-кратном выполнении случайного опыта случайное событие А
произошло m раз. Отношение
hn(A)^m/n A.1)
называют относительной частостью. Поскольку 0<m<n, для
относительной частости имеет место
14
о < К < 1,
A.2)
так как для достоверного события Л„(/) = 1, а для невозмож-
невозможного события Л„(Ф)=0. Для двух несовместимых событий В
и С относительная частость логической суммы hn(B\jC) =
= hn{B) +hn(C). Для решения задач высоковольтной техники
особенное значение имеет относительная частость двух допол-
дополнительных событий А и А:
A.3)
Пример 1.4. Изолирующее устройство подвергалось испытаниям посто-
постоянным напряжением (пример 1.1) п=20 раз, причем т=7 раз произошло
событие «пробой». При этом
относительная частость состав- 1,0
ляет в соответствии с форму-
формулой A.1) hn(D) =0,35. Собы-
Событие «иепробой» (N) при этом дд
является дополнительным, так '
что в соответствии с выраже-
выражением A.3) можно получить
его относительную частость
hn(N) = \— /in(D) =0,65.
0,6
Рис. 1.1. Зависимость относи-
относительной частости hn(A) от
числа выполняемых опытов п
(дискретные измеренные значе-
значения соединены сплошной ли-
линией лишь для наглядно-
наглядности)
Если серию п случайных опытов повторять многократно
(рис. 1.1), то не всегда будет получаться шрежняя величина
hn{A). Это означает, что относительная частость hn{A) колеб-
колеблется около некоторого определенного значения, приближаясь
к нему по мере увеличения пив качестве предельного значе-
значения достигая
lim h{A) = p{A). A.4)
Эту предельную величину называют (статистической) вероят-
вероятностью случайного события. Каждое случайное событие А мо-
может быть сопоставлено с вероятностью р(А) как мерой степени
достоверности ее появления. Поскольку сама вероятность р(А)
не может быть определена экспериментально, она оценивается
с помощью относительной частости hn(A). В § 2.2 подробно
обсуждается, насколько такая оценка корректна и целесооб-
целесообразна в высоковольтной технике. В соответствии с определе-
определением на основании твердо установленных свойств относитель-
15
ной частости для вероятности имеет место' (см., например,
[17-22])
0<Р(Л)</; A.5)
Р (/)=/; Р(Ф) = 0; р(А) = 1-Р(А). A.6)
Далее имеет место правило сложения вероятностей [18, 19,
22]
Р(А[)В) = Р(А) + Р(В)~-Р(А()В), A.7)
откуда следует
причем для несовместных событий, когда А и В взаимно ис-
исключают друг друга, имеет место равенство. Одновременно
с использованным здесь статистическим определением вероятно-
вероятности важную роль играет также «классическое», введенное Ла-
Лапласом для равновероятных случайных событий (например, при
игре в кости) [18, 19, 23, 24].
1.1.3. Условная вероятность и независимые события. Пусть
при выполнении случайного опыта наблюдается событие А и
одновременно произошло событие В. То, что событие В заве-
заведомо произошло, означает некоторую дополнительную инфор-
информацию относительно исследуемого события А. Целесообразно
ввести вероятность того, что событие А произойдет при усло-
условии, что имеет место В. Для такой условной вероятности ис-
используют обозначение Р(А/В).
Пример 1.5. При испытаниях постоянным напряжением (пример 1.1)
событие «непробой» может быть обусловлено некоторыми причинами. От-
Отсутствие пробоя имеет место, если одновременно наблюдаются частичные
разряды (Т) и можно установить условную вероятность P(N/T). Для собы-
события «отсутствие пробоя» при условии отсутствия частичных разрядов (F)
можно ввести условную вероятность P(NIF), Естественно, что P(N) =
=P(N/T)+P(N/F).
Пример 1.6. При изучении вероятности пробоя в случае возникновения
электронной лавины, например в однородном поле в газе, в качестве усло-
условия следует ввести исходное состояние. Примером может служить вероят-
вероятность того, что данную точку х в поле достигнет строго определенное число
электронов пк, если в качестве исходного условия используется образование
на катоде (*=0) определенного числа начальных электронов по. Это запи-
записывают как Р[п(х)>пк/п@)=п0], причем по=1 [25].
1 При общих рассуждениях для обозначения вероятности будет исполь-
использоваться прописная буква, а при обозначении конкретной величины —
строчная.
16
Условная вероятность А при В определяется как частное от
деления вероятностей логического произведения А (~| В и со-
события В:
Р(А/В)= Р{АПВ) A.8)
К ' Р (В) V '
при Р(В)>0. Аналогично
Р(В/А)= р<лпв> A.9)
К ' Р (А) К
при Р(А)>0. Из выражений A.8) и A.9) следует
Р (А П В) = Р (В) Р (А/В) = Р(А)Р (В/А) A.10)
— так называемый закон перемножения вероятностей.
Следствием закона перемножения вероятностей является
чрезвычайно важное для дальнейшего рассмотрения свойство—
определение независимого случайного события, гласящее: два
события являются полностью независимыми, если каждое из
них не зависит от условия появления другого:
Р(А1В) = Р(А) и Р(В/А) = Р(В). A.11)
Для двух независимых событий из выражений A.10) и
A.11) следует
Р (А П В) = Р (А) Р (В) A.12)
— так называемый закон перемножения вероятностей независи-
независимых событий.
При допущении внутренней независимости происходящего
процесса закон перемножения A.12) позволяет статистически
учесть законы подобия для вероятности пробоя (число или по-
поверхностей, или объемов изоляции, длительность испытаний)
(см. главу 5).
Пример 1.7. Для двух изоляторов при испытаниях постоянным напря-
напряжением были получены оценки вероятностей пробоя по поверхности pi = 0,45
и р2 = 0,60. Какова вероятность пробоя р, если оба изолятора включены па-
параллельно и разряды на одном изоляторе независимы от разрядов на дру-
другом? По определению дополнительного события отсутствие пробоев проис-
происходит с вероятностью 1—pi = 0,55 и 1—рг=0,40. Отсутствие пробоя системы
двух изоляторов происходит с вероятностью 1—р при отсутствии пробоев
на каждом отдельном изоляторе, что с учетом формулы A.12) означает, что
р = 1 — 0,22 = 0,78.
При параллельном соединении вероятность пробоя возросла.
Независимость случайных событий играет особенно'важную
роль при определении статистических характеристик прежде
всего в том случае, если выполняются испытания с большим
17
числом измерений. Одно произошедшее событие (например,
один пробой) может таким образом исказить испытания, что
результаты последующих опытов будут испытывать влияние
изменившихся условий. Необходимо найти подходящий крите-
критерий (см. пп. 2.2.2 и 2.3.2) и использовать его для контроля не-
независимости испытаний (см. п. 1.5.3).
1.1.4. Случайные величины и выборки. Исследование случай-
случайных событий часто связано с получением их числовых характе-
характеристик. Если фиксировать случайные события с помощью най-
найденных, поддающихся измерению значений, то получается слу-
случайная величина. Случайные величины будут обозначаться
прописными буквами, например X, Y, Z и т. д. Какую именно ве-
величину следует выбрать в качестве случайной характеристики
статистического процесса, должно быть решено в зависимости
от удобства математической обработки при изменяющихся ус-
условиях с учетом физико-технических особенностей объекта.
Пример 1.8. Если изолирующая конструкция подвергается испытаниям
плавным подъемом напряжения (см. пример 1.3), то в качестве случайной
величины можно использовать значение пробивного напряжения С„р (в ки-
киловольтах). Если события рассматриваются с общих физико-технических
позиций, то с учетом геометрии поля целесообразно с помощью £/пр вычис-
вычислить случайную величину максимальной пробивной напряженности ЕПр max
(в киловольтах на сантиметр) или электрической прочности £пр (в кило-
киловольтах на сантиметр) (см., например, [25]) и в дальнейшем использовать
эту величину. При определенной постановке вопроса, как при изучении вре-
времени жизни, в качестве случайной величины рекомендуется выбирать не
пробивное напряжение Unp (в киловольтах), а время, прошедшее до про-
пробоя при заданном уровне напряжения.
При выполнении случайного опыта образуется реализация х
случайной величины X. Реализации будут обозначаться строч-
строчными буквами'. Все возможные реализации называют гене-
генеральной совокупностью, состоящей из конечного или бесконеч-
бесконечного числа значений. Если при реализации случайная величина
может принимать только определенные фиксированные значе-
значения, то говорят, что имеет место дискретная случайная вели-
величина. Если, напротив, случайная величина меняется в некото-
некотором непрерывном диапазоне, то имеет место непрерывная слу-
случайная величина.
Пример 1.9. При испытаниях постоянным напряжением (пример 1.1)
при изучении события (пробоя или иепробоя) случайная величина имеет
конечную генеральную совокупность; событию, например, можно приписы-
приписывать значения 0 или 1. Дискретная случайная величина возникает, напри-
1 В практике высоковольтной техники часто бывает трудно различить
прописные и строчные буквы, обозначающие физические величины, однако
эти символы являются традиционными. В дальнейшем изложении поэтому
будут использоваться именно такие обозначения.
18
мер, если нас интересует, при каком числе изоляторов возникнет скользящий
разряд за определенное время. Напротив, время до пробоя при испытаниях
постоянным напряжением (см. пример 1.2) является непрерывной случай-
случайной величиной из бесконечной генеральной совокупности [0<?np«:°°]. Так
получается всегда и при испытаниях плавным подъемом напряжения (при-
(пример 1.3).
Для анализа случайных событий на практике может быть
выполнено лишь ограниченное число опытов и поэтому может
быть получено лишь конечное число реализаций. Если эти
опыты независимы, то такую серию реализаций x{i=l,...,n)
называют выборкой объема п.
Пример 1.10. При испытаниях постоянным напряжением (см. примеры
1.1 и 1.2) была получена выборка объемом п. Регистрировались, например,
т пробоев (т<.п), которым приписывалось значение 1, и п—т непробоев,
обозначавшихся как 0. Для оценки используется относительная частость, как
в примере 1.1. При испытаниях плавным подъемом напряжения (пример 1.3)
получена выборка объемом п из п значений пробивного напряжения i/npi(i=
= 1, 2,..., п). В обоих случаях речь идет о конкретных выборках объ-
объемом п.
Пример показывает, что для вынесения заключений относи-
относительно вероятностей на основе генеральной совокупности необ-
необходима математическая обработка выборки. Вспомогательным
средством при такой обработке являются функции выборки
(например, известные формулы для среднего арифметического,
дисперсии и т. д. приведены в п. 1.2.3 и § 1.5), которые могут
быть получены с помощью «математической выборки» [17—22].
Математическая выборка объема п состоит из п независимых
одинаково распределенных случайных величин (о функции рас-
распределения см. в п. 1.2.1). Рассматриваемая здесь конкретная
выборка возникает как реализация математической выборки.
Основной задачей предлагаемой книги является пояснение
того, как именно наиболее удобно планировать и обрабаты-
обрабатывать конкретную выборку применительно к высоковольтной тех-
технике. Необходимая для этого функция выборки будет введена
в § 1.2—1.5.
1.2. Функция распределения
1.2.1. Определение и свойства. Закон распределения слу-
случайной величины удобно описывать с помощью соответствую-
соответствующей функции распределения. Пусть рассматривается событие
Ах = Х<х и его вероятность Р (Ах) = Р (Х<х) для известной
числовой величины х. Функция распределения определяется как
F(x)^P(X<x). A.13)
Функция распределения в точке х показывает, с какой ве-
вероятностью случайная величина X принимает значение меньше
19
уровня х. Функция распределения обладает следующими основ-
основными свойствами:
1. Вследствие допустимого диапазона изменения вероятно-
вероятности A.5) для функции распределения имеется следующий диа-
диапазон изменения:
О < F(x) < 1. A.14)
2. Функция распределения монотонно возрастает (не убы-
убывает)
F (хх) < F (Xi) для xt < хг. A.15)
3. Граничные значения
lim F(x) = F(— oo) = 0; A.16)
х-*-—оо
lim F(x)=*F ( + oo)=l. A.17)
4. Каждая определенная по формуле A.13) функция рас-
распределения непрерывна слева.
Каждая функция, обладаю-
обладающая описанными четырьмя
а) \Р(Х*х) свойствами, может рассмат-
1,0 ~~^=л риваться как функция распре-
распределения некоторой случайной
0,8 V \ величины и характеризоваться
j выражением A.13). Поскольку
I в теоретических и практиче-
! ских действиях используются
| | лишь определенные функции
' распределения, большинство
02 . i возможных функций распре-
деления будет изучено вдаль-
i . ,% нейшем (см. § 1.3). Целесооб-
8 10 разно установить различия
8) ЬР(х- ) между функциями распреде-
/ Тп^"х/ ления дискретной и непрерыв-
непрерывной случайной величины.
Функция распределения
0,2
Л
Т , i i э Рис. 1.2. Функция распределения дис-
8 10 кретной случайной величины: а —
ступенчатая функция распределения
(суммарная вероятность) Р(Х<х);
б — дискретная плотность функции
распределения (отдельные вероятно-
вероятности Р(Х=х); б —таблица вероятно-
вероятностей
20
дискретной случайной величины (рис. 1.2, а) описывается вы-
выражением
F{x) = P(X<x) = £ Р(Х = х,)= £ л, A.18)
причем Х{ являются дискретными величинами, заданными слу-
случайной величиной X, Pi — соответствующие им начальные веро-
вероятности. Если генеральная выборка конечна, то
а если бесконечна, то
Z
£=1
Помимо дискретной функции распределения дискретную слу-
случайную величину можно охарактеризовать также вероятно-
вероятностями
f{x) = P{X = xt) = pt A.19)
(рис. 1.2, б), играющими роль дискретной плотности распреде-
распределения вероятностей. Дискретную случайную величину удобно
описывать с помощью таблицы вероятностей
X
( ХХ Хг Х3 . . . \
' \ Pi Pi Рз • • • /
в которой дискретные значения х,- сопоставлены с вероятно-
вероятностями pt = P(X=Xi) (рис. 1.2, в) или с суммарными вероятно-
вероятностями P(X<Xi). Для дискретных случайных величин часто бы-
бывает удобнее в расчетах использовать не функцию распределе-
распределения A.18), а непосредственно имеющиеся в распоряжении
вероятности р^
Наиболее информативными характеристиками, помимо функ-
функции распределения, являются математическое ожидание и дис-
дисперсия. Математическое ожидание (среднее значение)' дискрет-
дискретной случайной величины X задается с помощью
ZxiPi, A.20)
1 Если функции распределения приписать общую массу Л1= 1, то ма-
математическое ожидание покажет центр тяжести распределения масс.
21
\ff(x)dx=F(b)-F(a)
Рис. 1.3. Функция распределения (а) непрерывной случайной величины и ее
плотность F)
а дисперсия (параметр разбросаI как
A.21)
Моментом &-го порядка случайной величины X относительно а
называют ожидаемую величину, вычисляемую на основании об-
общих выражений (X—a)h, т. е.
-a)k'pi. A.22)
Тогда математическое ожидание является первым моментом
(или моментом 1-го порядка [17]) для а = 0, а дисперсия явля-
является вторым моментом — a = \i = EX (центральный момент 2-го
1 В модели, описанной формулой A.20), дисперсия является моментом
инерции центра тяжести.
22
порядка). Квадратный корень из дисперсии называют стандарт-
стандартным отклонением а.
Для вычислений математического ожидания и дисперсии су-
существуют следующие правила:
A.23)
A.24)
; A.25)
A.26)
а для независимых случайных величин —
Е (ХХХ,) = Е (Хх) Е (Х2); A.27а
D2(X1 + X2) = D2(X1)+D2(X2). A.276)
Функция распределения непрерывной случайной величины
(рис. 1.3) изображается в форме
F (х) = Р (X < х) = J / @ dt, A.28)
—оо
а выражение
f (r\— —^— F (г\ (\ 9О\
обозначает функцию плотности распределения вероятностей
(плотность вероятности). Функция плотности вероятности имеет
следующие свойства:
f(x) > 0 (для всех х); A.30)
ff(x)dx=l. A.31)
—оо
Всякая функция, обладающая этими двумя свойствами,
может рассматриваться как функция плотности вероятности не-
непрерывной случайной величины. Следует ли описывать случай-
случайную величину функцией распределения или функцией плотно-
плотности вероятности, должно быть решено не столько из-за сравни-
сравнительной простоты математического аппарата, сколько просто
из-за удобства описания физических и технических свойств
объекта. Как правило, особенно применительно к высоковольт-
высоковольтной технике, удобнее работать с функцией распределения.
Вероятность того, что непрерывная случайная величина по-
попадает в интервал Ах, задается выражением
ь
Р (а < X < Ь) = J f (x) dx = F (b)—F (а). Д1.32)
а
23
При этом для такого интервала имеет место приближенное ра-
равенство
Р (х < X < х+ Ах) « f (х) Ах. A.33)
Величина реализации x=qp, соответствующая определен-
определенному значению функции распределения F(qp)=p, называется
р-квантилем (квантилем порядка р) [17].
Пример 1.11. Для вероятности пробоя р=0Д0 A0 %) соответствущий
10 %-иый квантиль пробивного напряжения £/Пр ю определяется в соответ-
соответствии с национальным и международным стандартами [171, 172 и др.] как
статистическое выдерживаемое напряжение и используется для координа-
координации изоляции.
Для непрерывной случайной величины также могут быть за-
заданы моменты относительно а аналогично k-u моментам [см.
формулу A.22)]:
]ik = Е [(X~a)k] = J (х - а)Ч (х) dx, A.34)
которые обладают следующими свойствами:
k=\, a=0 соответствует математическому ожиданию как
среднему значению функции распределения;
k = 2, a = \i задает а2 как меру ширины функции распреде-
распределения;
k = 3, а = ц задает третий центральный момент цз, который
используется для вычисления отношения у=\1з/о3 как меры
асимметрии функции распределения (так называемый коэффи-
коэффициент асимметрии распределения);
k = 4, а — ц задает четвертый центральный момент р,4, исполь-
используемый для вычисления эксцесса 6 = fW(a4—3) как меры откло-
отклонения от нормального распределения (см. п. 1.3.2).
Для расчетов с математическим ожиданием и дисперсией
справедливы сформулированные выше правила A.23) — A-27).
В результате функциональных взаимосвязей с участием одной
или нескольких случайных величин с известными функциями
распределения или функциями плотности распределения вероят-
вероятности образуют новые случайные величины, функции распреде-
распределения которых представлены в табл. 1.1. Окончательное вы-
выражение этих функций однако часто является достаточно
сложным.
Существует большое число математически хорошо изучен-
изученных функций распределения [см., например, выражения A.14) —
A.17) и A.29) — A.31)] дискретных или непрерывных случай-
случайных величин. Такие функции распределения, как биномиальная,
распределение Пуассона, нормальное распределение, распреде-
распределение Вейбулла и другие (например, указанные в § 1.3), из-
известны как хорошие математические модели и должны поэтому
обозначаться в наших выкладках как «теоретические» функции
распределения. Эти теоретические функции распределения пол-
24
Таблица 1.1
Операция
Линейное преобразо-
преобразование
Сложение
Умножение
Деление
Вычитание
Возведение в квадрат
Произвольная функция
Исходная
величина
X;F(x);f(x);
а> Ь~коис-
танты, а>0
V • f tv \
/V 2» /2^л2/
■*»■ 1» 1\.\^Л)»
V * f /v \
V • f /v \
Л 2 j t2\rr2)
Л 2» /2(-^2)
X; fx{x)
Функция
К=Х2
Функция распределения
F(y) и функция плотности
вероятности f iy)
'«"'('"') i'i
-—oo
У- ft (У — *i) dx\
(интеграл свертки)
—00
\ Xi / \ X\ 1
—oo
XI xx | d*!
—00
X /2 (xi — y) dxx
(интеграл свертки)
i
f (У) 7=- \fx (Vy) +
2 У У
f (у) = Ыф-1 («/)]х
^ф"~* (у)
25
ностью характеризуются своими параметрами [17]. Формулы
для расчета их моментов по заданным параметрам хорошо из-
известны, при нормальном распределении параметрами являются
математическое ожидание и дисперсия. С помощью моментов
удобно сравнивать различно распределенные случайные вели-
величины (например, нормально распределенное и распределенное
по закону Вейбулла время до пробоя). Теоретические функции
распределения записываются в общей (стандартизованной)
форме. Существует много распределений, возникающих при
экспериментальных исследованиях и описываемых такими тео-
теоретическими функциями распределения.
Возникающие в результате эксперимента выборки прежде
всего задают эмпирическую функцию распределения, т. е. оп-
определяют взаимосвязь между отдельными реализациями и ве-
вероятностью их появления в соответствии с формулой A.13).
При этом эмпирическую функцию представляют в виде таб-
таблицы или графически как полигон (см. п. 1.2.2). Для удобства
дальнейшей обработки следует, однако, позаботиться об аппрок-
аппроксимации эмпирической функции распределения какой-либо име-
имеющейся параметрической теоретической функцией распределе-
распределения. Для этого необходимо оценить параметры этой теоретиче-
теоретической функции на основании имеющейся реализации (см.
п. 1.2.3). При аппроксимации используется произвольное тео-
теоретическое распределение как подходящее для, вообще говоря,
неизвестного закона распределения исследуемой случайной ве-
величины. Поскольку параметры являются уже более или менее
оцененными величинами, в результате аппроксимации остается
установить эмпирический характер функции распределения.
1.2.2. Эмпирическая функция распределения и ее изображе-
изображение. При случайных опытах получают выборку объемом п.
Реализации регистрируются в порядке их появления и записы-
записываются в форме протокола для дальнейшей статистической об-
обработки.
Пример 1.12. В системе коаксиальных цилиндров в элегазе измеряется
пробивное напряжение в опытах с плавным увеличением напряжения (при-
(пример 1.3). Оцениваемая выборка объемом п = 24 имеет следующую последо-
последовательность значений напряжения пробоя (в киловольтах): £/Пр = 210; 208;
208; 175; 182; 206; 190; 194; 198; 205; 212; 200; 205; 202; 207; 210; 202; 201;
188; 205; 209; 201; 216; 196.
С помощью протокола можно получить таблицу первичной
обработки: все значения Хи между наименьшей хт\а и наиболь-
наибольшей хтах реализациями записываются по ступеням с наимень-
наименьшей кажущейся подходящей или просто произвольно выбран-
выбранной величиной ступени. Все значения упорядочиваются в табл.
1.2, где указаны абсолютная частость hmh (Xi=Xk), относитель-
относительная частость
hk = hmk!(n+l) A.35)
26
и относительная суммарная частость
Z
A.36
В отличие от формулы A.1) в A.35) используется объем
выборки не п, а Л+1. Это особенно существенно при малых
объемах выборки п, причем все реализации могут использо-
использоваться для оценок с помощью вероятностной сетки (см. п. 1.5.1).
Таблица 1.2
_ са . В
в £ Е а
я Е с
1 и с •
со к^> ;
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
Протокол
реализа-
реализаций
+
-\-
_|_
_|-
Частост!
к
ь
2
бсол
cajs
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
л
с;
V
в л;
тнос
ая h
о х
0,04
0
0
0
0
0
0
0,04
0
0
0
0
0
0,04
0
0,04
0
0
0
0,04
0
»
J, о.
3 ^ л»
s >» W
тнос
ая с
ая h
О X X
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,08
0,08
0,08
0,08
0,08
0,08
0,12
0,12
0,16
0,16
0,16
0,16
0,20
0,20
к са • В
х £ с о.
х Ё с
1 я в ■
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
Протокол
реализа-
реализаций
+
-f-
-f-
-j—\-
-)—\-
-J—|—|-
4-
4-
-j—[_
+
-)—\-
+
Частость
к
(Я
ЮТУ
ll
1
0
1
0
1
2
2
0
0
3
1
1
2
1
2
0
1
0
0
0
1
д
Ч
V
X ■**
тнос
ая h
о х
0,04
0
0,04
0
0,04
0,08
0,08
0
0
0,12
0,04
0,04
0,08
0,04
0,08
0
0,04
0
0
0
0,04
X* W
тнос
ая с
ая И
ОХ X
0,24
0,24
0,28
0,28
0,32
0,40
0,48
0,48
0,48
0,60
0,64
0,68
0,76
0,80
0,88
0,88
0,92
0,92
0,92
0,92
0,96
При увеличении п относительная частость в соответствии
с уравнением B.35) совпадает с полученной по формуле A.1);
при п>50 можно использовать только п.
Пример 1.13. В соответствии с табл. 1.1 напряжения £/пр min = 175 кВ,
£AiPmax = 216 кВ. Наименьшая подходящая величина ступени Д£/=1 кВ
(например, Д£/=240 ... 209 кВ). В таблице первичной обработки для зна-
значений между 175 кВ и 216 кВ указываются не только абсолютная и отно-
относительная частость, ио и суммарная частость.
Для уменьшения объема записи в таблице первичной обра-
обработки могут быть представлены только реализованные вели-
27
чины Xi, большие установленных уровней, однако проще, как
показано в табл. 1.2, рассортировать все реализованные вели-
величины #fc = unpfc- Ручная обработка таблицы первичной реализа-
реализации при больших объемах выборки чрезвычайно трудоемка.
Для уменьшения объема расчетных работ выделяют величины
xh в диапазоне от xmin до хтах и для них определяют частости.
Таким способом образуется таблица частостей. Перед тем как
приступить к ее построению, тщательно проверяют, чтобы пере-
переход от таблицы первичной обработки к таблице частостей про-
происходил без потерь информации.
Всегда, когда объем расчетов не имеет большого значения
(например, при малом объеме выборки или при использовании
ЭВМ), следует отказываться от построения таблицы частостей
и выполнять дальнейшие оценки по таблице первичной обра-
обработки.
Необходимые для таблицы частостей размеры интервалов
деления можно получить в результате следующей оценки: число
ступеней k желательно иметь между 7 и 20, для чего прини-
принимают
А: = 5 Inn. A.37)
После установления числа интервалов k следует по вели-
величине промежутка
R = xmax-xmin A.38)
определить длину интервала
R/k.
A.39)
Выходное значение Х\п (нижняя граница первого интервала)
должна быть меньше наименьшей суммарной величины (х\и<
<*min) и d должно быть таким, чтобы ни одна из границ ин-
Таблица 1.3
Номер
интервала
1
2
3
4
5
6
* = 7
Границы
нижняя
"пр 1к
174,5
11180,5
1 186,5
192,5
198,5
204,5
210,5
интервала
верхняя
"пр(в
180,5
186,5
192,5
198,5
204,5
210,5
216,5
Центр
интервала
"пр1 ср
177,5
183,5
189,5
195,5
201,5
207,5
213,5
Протокол
реализаций
+
—ь
—1—Ь
-|—| |—|—\-
- + + + +
а х
1
1
2
3
5
10
2
Частость
гноен-
гльная
он
0,04
0,04
0,08
0,12
0,20
0,40
0,08
и х 2-е
о н и х
0,04
0,08
0,16
0,28
0,48
0,88
0,96
28
тервалов не совпадала с какой-либо измеренной величиной.
Желаемое число интервалов k и начальное значение Х\и уста-
устанавливают эмпирическую функцию распределения. Насколько
неопределенным является построение этих интервалов, видно
по изображенным на рис. 1.4 эмпирическим функциям распре-
распределения, которые все построены по одному протоколу из при-
Рис. 1.4. Эмпирические функции распределения, построенные на основании
примера 1.12
/ — по табл. 1.3 при k=7; d=6 кВ; «пр1И = 174,5 кВ; 2 — при ft=10; d=5 кВ; un lH =
= 170,5 кВ; 3 —при *=7; с(=7 кВ; ипр 1и =170,5 кВ; 4 — по табл. 1.2
мера 1.12 и, несмотря на это, существенно отличаются одна от
другой.
Пример 1.14. Согласно примеру 1.12 k=5 lg 24=6,9011; заданные k=7;
/? = 216—175 кВ = 41 кВ; d=R/k=4l кВ/7=5,8571; положим d=6 кВ.
Начальное значение ипр т= 174,5 кВ.
В таблицу частостей (табл. 1.3) сведены интервалы, число реализаций
в каждом интервале и частости A.35)—A.36).
Для инженерной обработки эмпирической функции распре-
распределения ее графическое изображение непригодно. Одновременно
с таблицей первичной обработки (табл. 1.2) эмпирическая
функция распределения может быть изображена в виде ступен-
ступенчатой кривой, кривой суммарной частости и полигона суммар-
суммарной частости, как, например, в табл. 1.4. Приведенные здесь
графические изображения с помощью линейной шкалы орди-
ординат h s используются относительно редко. Чаще используют
подходящую вероятностную сетку, на которой шкала ординат
29
со
о
Таблица 1.4
Вид изображения
Способ получения изображения с помощью
таблицы распределения (табл. 1.2) таблицы частостей (табл. 1.3)
Пример изображения
Ступенчатая
кривая
Суммарные частости h-^k
[см. формулу A.36)J изобра-
изображаются ступеньками с шири-
шириной, равной минимальному
изменению аргумента [Д* =
= min (х(+г — х)], меняю-
меняющегося в пределах, заданных
таблицей: х = Xk
Суммарные частости Л^/
изображаются в виде ступенек
на всех интервалах
175 185 195 205 215 кВ
Полигои сум-
суммарной частости
(особенно реко-
рекомендуется!)
Значения суммарных часто-
частостей ftjfe изображаются точ-
точками с ординатами, соответ-
соответствующими реализациям Х{,
и соединяются ломаной ли-
линией; каждая реализация ото-
отображается одной точкой
Суммарные частости h^i
изображаются точками, со-
соответствующими верхним
границам интервалов аргу-
аргумента, и соединяются ломаной
линией
175 185 195 205 215 кВ
Кривая суммар-
суммарной частости
Суммарные частости hs,k на-
наносятся так же, как для по-
построения полигона суммар-
суммарной частости, и по ним про-
проводят плавную кривую
Суммарные частости As/ на-
наносятся так же, как для по-
построения полигона суммарной
частости, и по ним проводят
плавную кривую
175 185 195 205 215 кВ
Примечание. 1. Ступенчатая кривая является прямым эмпирическим аналогом функции распределения A.13) — см.
также выражения A.1) и A.36). Для технических задач часто удобнее использовать полигои и кривую суммарной частости,
которые могут быть построены с помощью выражений A.35) и A.36).
2. При использовании вероятностной сетки кривые превращаются в прямые линейной регрессии (см. § 1.4).
размечена после обращения соответствующей функции распре-
распределения. Если рассматриваемая эмпирическая функция распре-
распределения совпадает по типу с теоретической, то на вероятност-
Таблица 1.5
Форма
изображения
Способ получения изображения
с помощью таблнцн частостей
(табл. 1.3)
Пример изображения
Гистограмма
(ступенча-
(ступенчатая кривая)
Относительные частости
hild из каждого класса изо-
изображаются прямоугольни-
прямоугольниками (d — ширина класса)
175 185 195 205 215
Полигон
частости
Относительные частости
hild нанесены точками в цен-
центре интервала и соединены
ломаной линией
175 185 195 205 215 кВ
Кривая
частости
Относительные частости
hild нанесены так же, как
при построении полигона, и
по ним проводят плавную
кривую. Проведение кри-
кривой упрощается при исполь-
использовании вероятностной сет-
сетки (например, при отказе от
опорных точек)
175 185 195 205 215 кВ'
ной сетке она будет прямой линией. Использование вероятност-
вероятностной сетки описано в п. 1.5.1.
Для изображения эмпирической функции распределения сле-
следует исходить из таблицы частостей (табл. 1.3), поскольку
таблица первичной обработки (табл. 1.2) чаще всего запол-
заполнена недостаточно плотно. Эмпирическая функция плотности
вероятности может быть изображена в виде гистограммы (сту-
(ступенчатой кривой), полигона частости или кривой частости в со-
соответствии с табл. 1.5. Следует отметить, что число интерва-
интервалов ft и их ширина d вместе с начальным значением xiB влияют
31
еще сильнее на функцию плотности, нежели на функцию рас-
распределения (рис. 1.4). Изображение не лишено элемента про-
произвольности. Здесь также удобно пользоваться вероятностной
сеткой (см. п. 1.5.1).
1.2.3. Оценка параметров. При описании функций распреде-
распределения целесообразно использовать параметры, наиболее инте-
интересные для всех функций распределения: математическое ожи-
ожидание, дисперсию, квантили, среднее значение и т. д. (о функ-
функциональных параметрах см. в работе [26]), и такие, которые
имеются в формулах теоретической функции распределения
(параметры распределения описаны в работе [26]). Естест-
Естественно, что между этими двумя группами параметров имеется
тесная взаимосвязь; однако функциональные параметры изо-
изображаются чаще в виде функции распределения параметров и
иногда даже идентифицируются с ними.
В качестве функциональных параметров можно взять теоре-
теоретические значения математического ожидания, дисперсии и
квантилей (см. п. 1.2.1). Если они должны быть определены
эмпирически по выборке, то отдельные реализации следует ма-
математически преобразовать в функцию выборки. Одной из та-
таких функций выборки является эмпирический момент &-го по-
порядка относительно Q
тк = — j\{Xi-a)\ k=\, 2, 3, ... , A.40)
с помощью которого могут быть заданы важнейшие функцио-
функциональные параметры.
В качестве среднего значения могут быть приняты следую-
следующие функции выборки:
1. Среднее арифметическое (также среднее выборочное) —
эмпирический момент при k=\ и а=0
п f=\
и одновременно оценка математического ожидания.
При выделении отдельных интервалов выражение A.41)
может быть также записано
х = — У Л, cpx, ср = У h,x, ср, A.42)
п /=i i=i
где л:/Ср — центр интервала; Л(СР и hi — абсолютная и относи-
относительная частость интервала. Поскольку большинство мини-ЭВМ
обладают программами для вычисления х, уравнение A.42) и
подобные простые формулы (вычисления произведений, сумм
32
[18]) используются лишь в особых случаях. Среднее арифмети-
арифметическое ввиду его свойства давать оценку математического ожи-
ожидания имеет особо важное значение.
Мода х — это квантиль, соответствующий максимальному
значению функции плотности вероятности. Ее можно оценить
также по выборке с помощью табл. 1.5 по формуле
*cp»-ftcp<B-i) у (L43)
■'«ер и — «ср (и-1) — «ср (м+1)
где хни — нижняя граница наиболее заполненного интервала;
hcvu — соответствующая абсолютная частость; hCp(u-\) и
Лср(и+1) — абсолютные частости в соседних интервалах; d — ши-
ширина интервалов. Для некоторых распределений мода является
также параметром распределения (например, в двойном экс-
экспоненциальном распределении, см. п. 1.3.2) и поэтому пред-
представляет практический интерес.
2. Среднее геометрическое
[х„ . {lM)
которое в практике измерений удобно вычислять по формуле
tf-ij**. 0.45)
играет заметную роль в статистике экономики; его применение
в высоковольтной технике неизвестно.
3. Среднее гармоническое
* = »/.!-j- A-46)
используется, если по полученным данным должно быть опре-
определено среднее значение, например среднее значение скорости
или плотности на интервале. (Если путь АВ пройден со ско-
скоростью Oi = 30 км/ч и обратный путь В А со скоростью «2 =
= 60 км/ч, то средняя скорость в соответствии с выражением
B.46) будет и = 40 км/ч.)
В качестве меры разброса находят применение следующие
функции выборок:
1. Разброс (размах) выборки A.38)
охватывает все измеренные величины и при весьма малом
объеме выборки (примерно л<5) дает необходимую меру раз-
разброса. Величина R связана со средним квадратическим откло-
33
иением s (см. ниже) при среднем объеме выборки
=^100) соотношением R «4 s.
Соответственно интервал квантилей
/=»лср—лс,, A.47)
например /8о=*9О-г-*ю> является аналогом размаха выборки как
разность двух избранных эмпирических квантилей. Эмпириче-
Эмпирическое среднее квадрэтическое отклонение s можно оценить с по-
помощью интервала квантилей: s=h(h-i6=X5o—*i6- Другие пара-
параметры распределения также могут быть выражены через ин-
интервал квантилей, т. е. через определенные квантили.
2. Среднее квадратическое отклонение (эмпирическое стан-
стандартное отклонение) —это корень квадратный из эмпириче-
эмпирического момента при k = 2 и а—х (эмпирической дисперсии):
В отличие от математического ожидания вместо объема вы-
выборки п используется уменьшенная величина (л—1). При дроб-
дроблении иа интервалы в соответствии с обозначениями A.42)
!=V v~r /?,
Aicpfoep— *)*• A.49)
Как правило, в настоящее время от использования этого
выражения и других, упрощенных выражений [18] отказыва-
отказываются, поскольку s легко определяется с помощью мини-ЭВМ.
Как и среднему арифметическому х, при изучении выборки
среднему квадратическому отклонению s придают основопола-
основополагающее значение.
Часто соотношение между изменением случайной величины
и ее средним значением представляет значительно больший ин-
интерес, чем сами функциональные параметры. Отношение
v = slx A.50)
называют коэффициентом вариации и используют как нагляд-
наглядную меру относительного отклонения случайной величины.
С помощью коэффициента вариации удобно выполнять срав-
сравнение различных случайных величин.
Пример 1.15. Для выборки из примера 1.12 можно установить следую-
следующие функциональные параметры:
среднее арифметическое «=201,25 кВ— A.41);
центр распределения (медиана) х—203,5 кВ;
мода (центр плотности) х= 1204,5 Н — 1 кВ = 206,8 кВ —
L 20 — 5 — 2 J
A.43);
34
Рис. 1.5. Определение функциональных параметров для выборки из при-
примера 1.12
Расшифровка символов приведена в примере 1.15; светлыми точками указаны реа-
реализации из первичной таблицы распределения (табл. 1.2, полигон суммарных часто-
стей)
среднее геометрическое (практически не представляющее интереса) х =
= 201,02 кВ-( 1.44); J
среднее гармоническое х=200,77 кВ—A.46);
размах выборки #=216—175=41 кВ;
интервал квантилей /=212—188=24 кВ—A.47);
среднее квадратическое отклонение s=9,76 кВ—A.48);
коэффициент вариации v=9,76/201,25=0,0485— A.50).
Некоторые из них представлены на рис. 1.5.
Поскольку для оценки функциональных параметров исполь-
используется функция выборки, которая обсуждается вместе с неко-
некоторыми теоретическими функциями распределения ниже (см.
§ 1.3), в данном разделе она дана лишь в общем виде. Оценка
может быть прежде всего точечной, когда нужный параметр
оценивается по одному дискретному числовому значению. При
получении точечной оценки оцениваемый параметр выражают
с помощью теоретических моментов или квантилей. Далее тео-
35
Рис. 1.6. Доверительные интер-
интервалы для среднего арифметиче-
арифметического значения
ретический момент или
квантиль оценивают с по-
помощью соответствующего
эмпирического момента или
квантиля (см. п. 1.2.1), по-
получая таким образом иско-
искомую точечную оценку (ме-
(метод моментов или кванти-
квантилей) [18, 19, 22]. Кроме
того, для выполнения то-
точечной оценки можно ис-
11 пользовать методику «мак-
?ру симального правдоподобия»
101 102 103 Ш 105 кВ [17, 21, 22, 24, 26]. При всех
возможных способах полу-
получения параметров от каждого из них требуют максимальной
вероятности (правдоподобия) при данной выборке.
Точечные оценки имеют то преимущество, что они дают
конкретное числовое значение, и тот недостаток, что никто не
знает, насколько оно достоверно. Неизвестное «истинное» зна-
значение параметра может оказаться далеким от выполненной
оценки. Никак не проявляется в результате сделанной оценки
также и объем выборки, который существенно влияет на точ-
точность оценок такого рода.
При методе доверительных интервалов определяется интер-
интервал (доверительный диапазон, интервал доверия) с нижней и
верхней границами / [gK, gB], который содержит в себе неизвест-
неизвестный параметр (конкретное значение!) с определенной заданной
статистической надежностью е (доверительный уровень вероят-
вероятности). Доверительная оценка обусловлена точечной оценкой.
Например, для параметра у записывают
P(gn < V <£в) = е = 1— а, A.51)
причем а является дополнительной величиной к е и называется
вероятностью ошибки.
Ширина доверительного интервала зависит от желаемой
статистической надежности е, объема выборки в и от распре-
распределения случайных значений, в особенности от разброса.
Длина и ширина доверительных интервалов определяется
также имеющейся (случайной) выборкой. Рисунок 1.6 поясняет
это на примере десяти доверительных интервалов для среднего
арифметического (как параметра нормального распределения,
см. п. 2.3.2), вычисленных на основе десяти имеющихся выборок
36
объемом я=10, каждая из которых получена в одинаковых ус-
условиях. Поскольку е<1, не каждый доверительный интервал
должен накрыть истинную величину. С той же статистической
надежностью при одной выборке с я= 100 определяется значи-
значительно более узкий доверительный интервал.
Границы gH, gB не обязательно должны быть конечными ве-
величинами. Если выбраны ga=—оо или gB= + °o, то говорят об
одностороннем доверительном интервале /=[—се, gB] или
/=[g-H) +oo]. Напротив, двухсторонний доверительный интервал
обладает конечными границами I=[ga, £в] (рис. 1.7). От физи-
"P
Двухсторонний доверительный
интервал
Односторонний доверительный
интервал с нижней границей
Односторонний доверительный
интерВал с Верхней границей
102,0 102,5 103,0 103,5 104,0 кВ
Рис. 1.7. Определение односторонних и двухсторонних доверительных ин-
интервалов
ческой или технической постановки проблемы зависит, должны
ли использоваться одно- или двухсторонние доверительные гра-
границы.
Для точечной оценки и определения доверительных интер-
интервалов функции выборки будут определены при обсуждении
функций распределения (см. § 1.3).
1.3. Выбор теоретической
функции распределения
На основе случайной величины создается математиче-
математическая модель случайного процесса, если «теоретический» закон
распределения этой случайной величины твердо установлен
(см. п. 1.2.2). Основываясь на математической модели, стара-
стараются подобрать такой теоретический закон распределения, ко-
который достаточно правдоподобен и может употребляться в вы-
высоковольтной технике.
При этом стараются использовать такие функции распреде-
распределения, которые способствуют пониманию сути явления (пп.
1.3.1, 1.3.2) или играют особенную роль при выполнении конт-
37
Рис. 1.8. Вырожденное (причинное)
распределение, функция плотности
е(х) и ступенчатая функция распре-
распределения Е(х)
роля оценок (п. 1.3.2). Изо-
Изображения функций распреде-
распределения сознательно схематизи-
схематизированы, так что данный раз-
раздел в особенности пригоден
для справок. Существуют соответствующие таблицы, среди ко-
которых чрезвычайно наглядными и удобными для применения
являются «Таблицы математической статистики» Мюллера,
Неймана и Шторма [27], которые следует использовать при ис-
исследованиях во всех высоковольтных лабораториях или испыта-
испытательных стендах'. Завершают изложение указания о выбороч-
выборочном параметрическом оценивании и применении его в высоко-
высоковольтной технике.
1.3.1. Дискретные случайные величины.
Вырожденное (причинное) распределение.
Модель. Случайная величина X может возникать только
с одним твердо установленным значением х = а; в величине а
сконцентрирована общая мера вероятности 1 (рис. 1.8). По-
Поскольку при этом нет никакого элемента случайности, то имеет
место детерминированное поведение.
Значения вероятностей (функция плотности): е(хJ. Таблица
вероятностей
Х:\ j у A.52а)
что означает pi = P(X = a) = 1.
Суммарная вероятность (функция распределения):
*<*>={? !i!; о-526)
Параметр: а.
Математическое ожидание: ЕХ=а.
Дисперсия: D2X = 0.
Применение. При применении законов преобразования (см.
гл. 5) функция распределения с некоторой начальной величи-
1 Достаточное число аналогичных таблиц издано на русском языке, на-
например: Л. Н. Большее, Н. В. Смирнов. Таблицы математической стати-
статистики. — М.: Наука, 1983. (Прим. перев.)
2 Здесь и ниже значение функции плотности распределения вероятностей
в общепринятом смысле равно бесконечности в точках возможных реализа-
реализаций случайной величины. {Прим. перев.)
38
Рис. 1.9. Дискретное равномерное
распределение с параметром я=6
Функция g(x) и ступенчатая функция рас-
распределения G(x)
Q(x)i
г-1
_Tt T I T T
Т
*
ной Хо' становится вырожден-
вырожденным распределением случай-
случайной величины с л->-оо.
Дискретное равномерное О Х1 хг хз х* xs x*
распределение.
Модель. Случайная величина X может принимать л различ-
различных значений xt (i=l,...,n) с равными вероятностями р,= 1/га
(рис. 1.9).
Значения вероятностей (функция плотности): g(x). Таблица
вероятностей
Суммарная вероятность (функция распределения): G(x).
Таблица суммарной вероятности
при *1<*2< . . . <хп.
Параметры: п, xt (i=l,...,n).
Математическое ожидание:
1 п
EX =— 2j
Дисперсия:
П !=1
Применение. При идеальной игральной кости выбрасывае-
выбрасываемое значение является примером равномерно распределенной
случайной величины с л=F. Равномерное распределение играет
большую роль при создании генераторов случайных величин
[27, табл. 12А]. Случайные значения нужны, например, при об-
обработке выборки. Таким образом, равномерно распределенная
случайная величина должна всегда вычисляться, когда имеет
1 В начальной точке х0 ограниченная слева функция распределения при-
принимает нулевое значение, т. е.
F(x)=Q при х<*о;
F(x)>Q при х>хо+е, е>0.
39
место опыт с конечным числом равновероятных случайных зна-
значений. Кроме того, она находит применение при расчетах на-
надежности.
Биномиальное распределение.
Модель. При схеме опыта _Бернулли возможны два взаимо-
взаимоисключающих исхода — А и А (например, пробой или отсут-
отсутствие пробоя), которые появляются с вероятностями Р(А)=р
и P(A) = q(p + q= 1). Биномиальное распределение задает.ска-
кой вероятностью в п независимых опытах событие Л возник-
возникнет ровно k раз. Рассмотрим для наглядности несколько слу-
случаев:
при п--=\
при л=2 Р(&=2
при n = 3
при n = 4 (p + q)n=l.
Для неизменного п и заданной вероятности появления k со-
событий (&<п) сказанное можно обобщить с помощью биноми-
биномиальных коэффициентов
,(п-\) . . . (и —fe+l)
1-2 . . .k
/ п \_ п\ пл
\k)~ k\(n-k)\ ~
Значения вероятностей (функция плотности):
р)"-», fe = 0, 1, 2, . . . , п. A.54)
Суммарная вероятность (функция распределения):
P(X<k)=t( I )pm(l-p)n-m. A-55)
m=0 \ tn J
Параметры: п (число рассматриваемых случаев); р (веро-
(вероятность появления Л).
Математическое ожидание:
ЕХ = пр. A.56)
40
Рис. 1.10. Биномиальное рас-
распределение с параметрами р=
=0,2 и п=10
P(X=k) = b(k- n; р) — вероятности
реализаций; P(X<k) = B(k; n; р) —
ступенчатая функция распределения
Дисперсия:
= np(\—p).
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
Qfi
0,3
0,2
0,1
о
P(X*k)=b(k;n;V)
I >« * ' \ * * * *
Ль.....
0 1 23456789
A.57)
Пример: рис. 1.10.
Таблицы [27, табл. 1А
1В] имеются для единич-
единичных и суммарных веро-
вероятностей при л=1-г-25.
Точечные оценки для р. В качестве точечной оценки пара-
параметра р (вероятности) используют относительную частость
hn = k/n [см. формулу A.1)], с которой k раз появилось собы-
событие А.
Доверительная оценка для р:
1. С помощью F-распределения (см. п. 1.3.2) получаем од-
односторонний доверительный интервал с верхней границей
A.58)
n-k+{k+l)Fnii тг. е
где Fmi;m2e — квантиль ^-распределения порядка <7 = е (е — до-
доверительная вероятность); mi = 2(k+l) и m.2=2{h—k)—число
степеней свободы; / = [0; р„]. Односторонний доверительный ин-
интервал с нижней границей
^' A-59)
k+(n-k+l)F,
m3; m,; e
где пгъ=2(п—k+l); mi=2k\ I=[pB; 1].
2. Двухсторонние доверительные интервалы табулированы
Нейманом [27, табл. 1С]1 для п, равного 1...30. Для больших
п выполняется асимптотическое соотношение
Рн
Рв
где Kg — квантиль нормированного нормального распределения
(см. п. 1.3.2) порядка <7=A+е)/2.
1 См. примечание перев. на стр. 38.
41
Рис. 1.11. Доверительные иижияя ря
и верхняя рв границы неизвестных
вероятностей в зависимости от отно-
относительной частости в выборке Л„ при
доверительной вероятности е=0,95
[27, табл. 1С]
Эти доверительные интер-
интервалы изображены графически
на рис. 1.11. Они пригодны
к непосредственному исполь-
использованию.
Пример 1.16. При испытаниях
постоянным напряжением в п=100
опытах зарегистрировано £=20 про-
пробоев. Вероятность пробоя р следует
оценивать как параметр биноми-
биномиального распределения.
1. Точечная оценка согласно
формуле A.1): h„=20/100=0,2.
2. Доверительная оценка с по-
помощью /•'-распределения (при е=
=0,95)—см. выражения A.58) и
A.59):
числа степеней свободы: mi =
=42, m2=160, ш3=162, «4=40;
квантили: /чг, i6o, o,9S= 1,47;
Fl62, 40, 0,95=1,56;
односторонний доверительный
интервал с верхней границей /=
= [0; 0,278];
односторонний доверительный
интервал с нижней границей /=
= [0,137; 1].
3. Доверительный интервал по Нейману (е=0,95): из рнс. 1.11 следует,
что двухсторонний доверительный интервал /=[0,13; 0,29]; тот же результат
дает уравнение A.60).
Применение. Биномиальное распределение возникнет во
всех задачах испытательной техники, когда имеются явления
типа «да — нет» и объем выборки мал в отличие от генеральной
совокупности'. (Если делать выборку из генеральной совокуп-
совокупности, то необходимо возвратиться к использовавшемуся гипер-
гипергеометрическому распределению.) Особенно важным является
применение биномиального распределения в испытаниях по-
постоянным напряжением с альтернативной постановкой вопроса
(пример 1.1 и § 2.2) при оценке стандартными методами (см.
гл. 3). При выполнении опытов, которые можно повторять
сколько угодно раз, генеральная совокупность бесконечна.
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
Qfi
0,3
0,2
0,1
/
А
/,
Ш
II
%
У/,
/А
/А
1
ж
I
I
//
i
р»
р.
{
а,
щ
\
У/
Ъ//ц
1
V/
/
к
0,Z Ofi 0,6 0,8 1,0
1 Распределение будет в точности биномиальным, если генеральная со-
совокупность полиостью независима от выполняемых опытов, т. е. если объ-
объекты сделанных опытов возвращают обратно в генеральную совокупность или
если она бесконечно велика.
42
Пример 1.17. В соответствии с рекомендациями МЭК н национальными
стандартами испытания самовосстанавливающейся изоляции считаются ус-
успешными, если в 15 опытах при воздействии на изоляцию импульсным но-
номинальным выдерживаемым напряжением имеют место только два пробоя
(см. § 3.3). Какова вероятность выдержать испытания, если при импульс-
импульсном номинальном напряжении имеется вероятность пробоя р=0,05? Испы-
Испытания выдержаны, если при я=15 число наблюдаемых пробоев k будет
равно 0, 1 нлн 2, т. е. будет соответствовать закону сложения A.7):
Рисп = Ро (k = 0; п = 15) + pi (k = 1; и = 15) + рг (k = 2; и = 15);
причем сумма вероятностей трех возможностей может быть использована
как суммарная вероятность
Рисп = РзF<2; п= 15).
На основании работы [27, табл. 1А] ро=О,4633; pi=0,3658 и р2=0,1348;
таким образом, Рлисп = 0,9639.
Искомая вероятность при выполнении испытаний получается равной
ps = 0,9638 = р„сп [271.
При обсуждении результатов высоковольтных испытаний
с использованием биномиального распределения большую роль
играют доверительные оценки вероятности (см. пример 1.16).
Использованная литература: [28—30].
Распределение Пуассона.
Модель. Распределение Пуассона получается из биномиаль-
биномиального распределения, когда п неограниченно возрастает и одно-
одновременно пр = Х остается постоянным (предельная теорема
Пуассона):
lim(I)
П-УОО, \ К /
A.61)
(k = 0, 1, 2, ...). Поскольку при большом п и пр = К=const ве-
вероятность jo весьма мала, распределение Пуассона описывает
редкие события.
Значение вероятностей (функция плотности):
Р(Х = А:)= — гЛ A.62)
Суммарная вероятность (функция распределения):
Параметр: Я (распределение имеет только один параметр!).
Математическое ожидание;
Л. A.64)
43
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
О
Г1
I
I
г1 I
Рис. 1.12. Распределение Пуас-
соиа с параметром к=2
P(X"k)=p(k\ X,) — вероятности реа-
реализации; P(X<k)=P(k; X,) — сту-
ступенчатая функция распределения
Дисперсия:
0 12
Точечная
A.65)
Пример: рис. 1.12.
Таблицы. [26, табл. 2А
и 2В] заданы для функции
К распределения и функ-
» а с я * я о in* ции плотности при 0,01<
j н о о i a if w <^д.<^50 и 0<fe<80.
оценка для К следует прямо из уравнения A.64):
Тт..
Доверительная оценка для К. С помощью полученной по вы-
п
борке суммы k= J] xt [27] может быть установлен доверитель-
доверительный множитель для нижней (A.fe „) и верхней (xt ^ доверительной
границы. При <7 = е (статистическая надежность) устанавли-
устанавливают односторонний доверительный интервал
оо I или, что то же, / =
а при <7= A+е)/2 — и двухсторонний интервал
Г
L
.Ь;
A+е)/2
ЧA+е)/2
»
A.67а)
A.676)
Поскольку и для распределения Пуассона доверительные
множители для построения доверительных интервалов устанав-
устанавливаются по квантилям %2"РаспРеДеления (см. п. 1.3.2), при
этом можно использовать таблицы [27].
Применение. С помощью предельной теоремы Пуассона би-
биномиальное распределение аппроксимируется для больших п
и малых р под специальным формальным названием — распреде-
распределение Пуассона. Это удобно на практике, когда биномиальное
распределение не табулировано (/г>30); оно применяется
также в теории надежности и теории элементарных делителей.
Пример 1.18. Вероятность пробоя некоторого изолирующего устройства
составляет р=0,01. Какова вероятность того, что прн я=100 опытам будет
44
пробито не более одного образца? Ее можно вычислять с помощью бино-
биномиального распределения как суммарную вероятность
Р (k < 1) = Р (k = 0) + Р (k = 1).
Биномиальное распределение, для которого при п=100 уже иет таблиц,
дает
Р (fe < 1; п= 100; р = 0,01) = ( W0 Yo,Ol°- @.99I0» +
+ ( Ш\ 0,01х @,99)" = 0,3664+0,3701 = 0,7365.
Распределение Пуассона прн Х=рп=1 без специальных вычислений
дает искомую вероятность
Р (fe < 1; к = 1) = 0,7358.
Установлено, что распределение Пуассона дает более точные значения
искомых величин, чем исходное биномиальное распределение.
Использованная литература: [31].
1.3.2. Непрерывные случайные величины.
Непрерывное равномерное распределение.
Модель. Случайная величина X на интервале а<х<6 с оди-
одинаковой вероятностью попадает в равные интервалы (рис. 1.13).
Функция плотности вероятности:
0
/(*) =
х<а;
1/F —а) а < х < 6;
A.68)
0
Функция распределения:
0
х>Ь.
F(x) =
x<a;
r—a)!(b —a) a<x
x>6.
6;
A.69)
Параметры: а; Ъ.
Математическое ожидание: ЕХ= (а + Ь)/2.
Дисперсия: D2X= (b—aJ/12.
Применение. Равномерное распределение играет определен-
определенную роль, когда исследуются физические процессы с независи-
Рис. 1.13. Плотность распреде-
леиня }х н функция распреде-
ления F (х) непрерывного рав-
номерного («прямоугольного»)
распределения (а н Ь — пара-
параметры)
fix)
X
45
мой постоянной плотностью вероятности (например, плотность
переносимых зарядов). Так при изучении ионизационных про-
процессов равномерно распределены во времени и пространстве
начальные электроны.
Нормальное распределение.
Модель. Случайный процесс обладает нормальным распре-
распределением, если он может быть представлен суммой большого
числа произвольным образом распределенных случайных вели-
величин, каждая из которых создает незначительный вклад в сумму
(центральная предельная теорема A7]). Ввиду большого числа
подобных случайных процессов в природе и технике эта мо-
модель придает исключительно большое значение нормальному
распределению, введенному Муавром A667—1754), Лапласом
A749—1827) и Гауссом A777—1855) (функции ошибок и раз-
разбросы).
Функция плотности вероятности:
Л/2я a
Функция распределения:
A-70)
X
ф(Х; ц; o2) = _L_ С ехрГ—£=f£-l«tt. A.71)
л/2я а i L 2ff J
Параметры: ц (действительная величина; среднее значе-
значение = медиана = мода); а2 (>0; дисперсия; а — стандартное
отклонение). Обозначение: ^(ц,; о2)=Ф(х; ц,; о2).
Математическое ожидание: ЕХ = ц (равно параметру).
Дисперсия: D2X = o2 (равно параметру).
Нормирование:
2 = (ж—(i)/a. A.72)
Нормированное распределение имеет jx=O; a2 —1; ЛГ @; 1).
При этом записывают Ф{х; ц; о2)=Ф(г) и ф(х; ^; o2)=q>(z)fa
дляЛ^@; 1).
Пример: рис. 1.14.
Свойство симметрии нормированного нормального распреде-
распределения:
ф(-2) = фB); Ф(-2)=1-ФB).
В работе {27] с учетом свойства симметрии задаются вели-
величина плотности функции распределения, а также квантили. Не-
Некоторые квантили Яд порядка q приведены в табл. 1.6.
46
1,0
OJB
0,6
ол.
0,2
-1
Рис. 1.14. Плотность распределения <р(х) и функция распределения Ф(х)
нормированного нормального распределения (ц=0; а2=1)
Пример 1.19. Напряжение пробоя воздушного промежутка распреде-
распределено нормально с ц=200 кВ и а=10 кВ. Определим вероятность того, что
реализация окажется в интервале 170 кВ<иПр<185 кВ. Используя норми-
нормирование A.72) и свойство симметрии, имеем
РA70
Р (— 3<z< — 1,5) = Ф (— 1,5) — Ф (— 3) = [1 — Ф A,5)] —
По табл. 1.6 находим Р A70 кВ<ипр<185 кВ) =0,998650—0,933193
=0,065457.
Таблица 1.6
Порядок q
0,9
0,95
0,975
0,99
0,995
0,999
Квантиль X,
1,281552
1,644854
1,959964
2,326348
2,575829
3,090232
Квантиль А,-
0
0,5
1
1.5
2
2,5
3
Порядок q
0,500000
0,691462
0,841345
0,933193
0,977250
0,993790
0,998650
Точечная оценка:
для
для о '. о = &
_1_
п
^E
A.73)
A.74)
47
Таблица 1.7
Параметр
Среднее значение ц
ПРИ tm,q
(табл. 1.22)
Разброс а2 при
%m,q (Табл- L2°)
Доверительные интервалы
односторонние ограниченные
сверху
[—со; gB];
*п— 1; 8 .
Vп
[0; gB]:
(П—\) S2
снизу
Ыи. +оо]:
'п—1; 8 .—
■yn
(п—1) s2
ff" v2
An—1; e
Двухсторонние
£н==-*; 'я— 1; A-(-е)/2Х
Х^з
(л—1) sa
Z2 •
(П-1) S2
§В 2
Хп_1; A—8)/2
причем х50* и Xi6* — квантили эмпирической функции распреде-
распределения.
Доверительная оценка. Предположим, что оба параметра
неизвестны; доверительный интервал для \л следует из ^-рас-
^-распределения (см. п. 1.3.2), а для о2 — из ^-распределения (см.
п. 1.3.2). Они сведены в табл. 1.7.
Если при доверительной оценке для ц, параметр а2 известен,
это дает возможность уточнить и доверительный интервал для
ц (см. [27, гл. 3]).
Еще проще выполняется расчет доверительных границ для
стандартного отклонения а при использовании [27, гл. 7].
Пример 1.20. В опытах с нарастающим напряжением при я=10 имеет
место нормально распределенное напряжение пробоя, причем точечные
оценки 0.73) и A.74) дают эмпирические значения параметров х = 21,10 кВ и
s=0,55 кВ. Доверительные границы прн доверительной вероятности е=0,95
вычисляются по формулам табл. 1.7; по ним вычисляются доверительный
интервал для ц: односторонний с /„_[. е= tg; 095 = 1,83 н двухсторонний с
tn—i- (i-f-8)/2== ^9- о 975 = 2,26; доверительный интервал для а: односторонний
i; i_e = Хэ; 0,05 = 3>33 или> что т0 же> Xn_i; е = "&; 0,95 = 16-92 н
48
Таблица 1.8
Параметр
Среднее
значение ц
Стандартное
отклонение
а
Точечная
оценка
ппр=21,10 кВ
s = 0,55 кВ
Доверительные интервалы
односторонние ограниченные
сверху
[—то; пПр. bJ:
"пр. В1=
=21,42 кВ
[0; «и]:
sBi=0,90 kB
снизу
[«np.Hi; +oo]:
"пр. и1==
=20,78 кВ
[Shi; +°°]:
sH1=0,40 кВ
двухсторонние
["пр^на; "пр. вг]
"пр. Н2=
=20,71 кВ;
"пр. В2=
=21,49 кВ
[sH2l 5Вг]:
«н2=0,38 кВ;
sB2=l,00 kB
СТОРОННИЙ t\-l- A_е)/2 = Х9; 0,025 = 2>70 или> что то же- Хп-1; A+8)/2 =
= Хд. 0 975= 19,02. Результаты сведены в табл. 1.8.
Доверительные границы. Построение доверительных границ
с помощью доверительных интервалов для параметров нор-
нормального распределения ц и а дает лишь весьма грубое, оце-
оценочное представление о доверительном интервале всей функции
распределения (доверительный интервал слишком широк — см.
рис. 1.15, а и пример 1.20).
Для получения статистически надежных данных относи-
относительно очень малых квантилей (например, выдерживаемое на-
напряжение) или очень больших квантилей (например, статисти-
статистического напряжения пробоя) желательно, однако, иметь удобное
приближение для доверительных границ. Поскольку точных до-
доверительных значений таких квантилей нет, в качестве довери-
доверительного интервала можно принять его приближенную оценку
[17, 27]. При этом, что очень удобно, еще до определения функ-
функций распределения A.13) можно рассчитать односторонние до-
доверительные интервалы: выше нижней доверительной границы
(/=[тн; +°°]) или ниже верхней доверительной границы (/=
= [—оо; тв]) лежит по меньшей мере доля генеральной совокуп-
совокупности у при заданной статистической надежности р.
Для малых, близких к нулю, квантилей порядка A—у)
можно поэтому интерпретировать тн как нижнюю односторон-
одностороннюю доверительную границу, а для больших, близких к 1, кван-
квантилей порядка (у—tB) — как верхнюю одностороннюю довери-
доверительную границу. На основе сделанных оценок параметров нор-
нормального распределения (х, s) вычисляют т„, Тв и определяют
табулированный доверительный множитель femp;v (табл. 1.9 [27]):
49
'0,99
0,95
0,90
0,70
q,eo
olio
,30
0,20
0,10
0,05
0,01
p
/
/
-I
1
1
to-
to1
ll
«2J
/
I
I
/
1
/
|
/ /
/
/
f
J
/
If
j
if i
/
/
U-np
'0J99 -
0,95
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
OfiO
0,30
0,20
0,10
0,05
0,01
■p
A
У
иар.н
Л
I—t
t }
1
и
r
1
18 19 20 21 22 23 Kg 18 19 20 21 22 23 кв
Рис. 1.15. Доверительные границы нормального распределения, построенные
с помощью доверительных интервалов (параметры ц и а — двухсторонние) —■
а и односторонние доверительные границы [27] — б (вероятностная сетка)
j\=X±kn;fryS.
A.75)
Для больших п доверительный множитель может быть рас-
рассчитан по приближенному выражению
n; p; v :
■х
.-I)
X
2—
A.76)
при этом Яр и Ку—квантили порядка р или у нормального рас-
распределения N @; 1).
Пример 1.21. На основании примера 1.20 при п=10 необходимо вычис-
вычислить доверительные границы использованного эмпирического нормального
распределения (ыПр=х=21,10 кВ; s=0,55 кВ). По заданной статистической
надежности Р=0,95 определяем доверительный множитель £l0;0,95, v по
табл. 1.9 для y=0,90 — как 2,355, для у=0,95 — как 2,911, для v=0.99 —
как 3,981. Определенные по выражению A.75) доверительные границы изо-
изображены на рис. 1.15,6. Штриховые линии показывают, что односторонние
доверительные границы совпадают с односторонним доверительным интер-
интервалом средней величины.
Замечание. Более полное описание расчетов и использование довери-
доверительных границ можно найти в работе [27]. С помощью произвольных до-
доверительных границ можно планировать необходимый объем выборки (см.
п. 2.3.1).
50
Таблица 1.9
Объем
выборки п
5
10
15
20
30
50
100
500
ео
Порядок квантиля у или 1—у
0,90
3,413
2,355
2,069
1,926
1,778
1,646
1,527
1,386
1,282
0,95
4,209
2,911
2,566
2,396
2,220
2,065
1,927
1,763
1,645
0,99
5,746
3,981
3,519
3,294
3,063
2,862
2,684
2,475
2,326
Применение. Нормальное распределение имеет основопола-
основополагающее значение для многих статистических оценок и тестов.
Оно особенно удобно для описания таких случайных процессов
высоковольтной техники, как пробой воздушных промежутков
и пробой по поверхности изоляторов (см. § 4.2), однако нахо-
находит широкое применение и для описания процессов в других
областях. В высоковольтной технике инженерные расчеты, свя-
связанные с многочисленными преобразованиями, основаны на
нормальном распределении, ссылки на которые лучше всего го-
говорят инженеру о необходимости всегда иметь его в своем рас-
распоряжении.
Использованная литература: [29, 30, 32—43].
Логарифмически нормальное распределение.
Модель. Случайную величину У>0 называют распределен-
распределенной по логарифмически нормальному закону, если при пре-
преобразовании X=lgY (или Х=\п У) образующаяся случайная
величина обладает нормальным распределением. Для преобра-
преобразованной случайной величины X пригодна при этом модель нор-
нормального распределения. Для X можно использовать все соот-
соотношения, полученные относительно N(n; а2)—см. п. 1.3.2.
Если вместо случайной величины У рассматривать случай-
случайную величину Y* = Y+a, образуется трехпараметрическое ло-
логарифмически нормальное распределение с начальным парамет-
параметром а, с помощью которого преобразованием Y=Y*—а можно
перейти к двухпараметрическому распределению.
Рисунок 1.16 поясняет необходимые преобразования для
перехода от трехпараметрического логарифмически нормаль-
нормального распределения к стандартному нормальному распределе-
распределению N @; 1). Одновременно делается ясным, что из усеченного
логарифмически нормального распределения (начальная вели-
величина а для Y* или 0 для У) получается распределение при про-
произвольных значениях аргумента.
51
*)%0
0,8
0,6
ОЛ
0,2
г)
•-1,0
0,8
0,6
0,2
-з -2 -1 о 1 г з ц-
Рис. 1.16. Преобразование логарифмически нормального распределения: а —
трехпараметрическое логарифмически нормальное распределеиие с начальным
значением а= 100 000; б—логарифмически нормальное распределение (а=0;
p,=lg 100000=5; a=lg 1,7783=0,25); в — нормальное распределение (|Х=5;
а=0,25); г — нормированное нормальное распределение (|Х = 0; 0=1)
Плотность распределения (двухпараметрического):
при X=\nY:
@ (г/<0);
; а2)
A.77а)
A.70)
52
A.776)
In 10
Функция распределения (двухпараметрическая):
при X=\nY:
(у < о);
'(In у; ц; а2) (у>0); AJ8a)
при X=lgy:
/ °
^~\ <D(lgy; ^; а2)
Параметры: ц (вещественный; среднее значение преобразо-
преобразованной величины); о2 (больше 0; дисперсия преобразованной
величины).
Математическое ожидание:
при Х=\п У:
(£) A.79а)
при X=lgY:
EY = ехр (\л In 10+ — a2ln210V A.796)
Дисперсия:
при Х=1п У:
D2F = [ехр (а2) — 1 ] ехр Bц + а2); A.80а)
при X=\gY:
D2F=[exp(a2ln2l0)—I] ехр Bji in 10 +a2 In210). A.806)
Пример: рис. 1.17. В отличие от нормального распределения
логарифмически нормальное распределение несимметрично;
дисперсия и математическое ожидание определяются обоими па-
параметрами ((х, а2).
Таблицы. Поскольку работают только с преобразованной
случайной величиной, используются таблицы нормального рас-
распределения N@; 1) [27].
Точечные и доверительные оценки. Параметры распределе-
распределения преобразованной случайной величины Х = 1пУ или X = \gY
оценивают и вычисляют аналогично расчету параметров нор-
нормального распределения ц и а (см. п. 1.3.1).
Применение. Это распределение первоначально использова-
использовалось в таких задачах высоковольтной техники, как определение
53
■- Fib)
Рис. 1.17. Логарифмически нормальное распределение случайной величины Y
при различных значениях jx и а
времени пробоя и времени жизни [44—47], в последнее время,
правда, эти процессы чаще описываются распределением Вей-
булла.
Распределение Вейбулла и экспоненциальное распределение.
Модель. Распределение Вейбулла [48] принадлежит к группе
экспоненциальных распределений [49], образующихся по одной
модели. В зависимости от обстоятельств случайная величина
является экспериментальной величиной (максимумом или ми-
минимумом) всех возможных реализаций. Примером может слу-
служить пробой параллельных изолирующих промежутков, возни-
возникающий в случайном месте с ослабленной электрической
прочностью. Уже поэтому делается ясным большое значение
экстремальных распределений (с минимальным значением) для
высокочастотной техники.
Для получения экстремального распределения [22, 49] рас-
рассмотрим п элементарных событий, заключающихся в возникно-
возникновении случайных значений Xj, распределенных по одинаковому
закону FA(x). Рассматриваемая случайная величина X должна
быть минимальной из всех возможных значений: X=min (Xj).
По закону умножения (см. п. 1.1.3), или, что то же, по за-
закону суперпозиции (см. гл. 5), для непоявления события X не-
необходимо, чтобы
х) = [\— FA(x)]n,
откуда для его возникновения, или, что то же, для функции рас-
распределения случайной величины X,
A.81)
54
Предельное распределение возникает при п-*~оо и одновре-
одновременно при FA(x)-*-0:
l~[l-F,i(x)]»} = F(*). A.82)
Л-VOO
FA (J0-+O
Какое предельное распределение F(x) возникает при этом,
зависит от FA (х) — его так называемого начального распреде-
распределения. Поскольку при предельном переходе нас интересует
только окрестность ^л(^)-^-0, не требуется определять всю
функцию распределения FA(x). Достаточно того, что функция
«возрастает справа», т. е. F(xo)—0 и F(xo + e)>0 при е>0.
Этим требованиям удовлетворяют очень многие функции.
Как определил Гнеденко D9], произвольная функция FA (x) мо-
может привести лишь к трем типам экстремальных распреде-
распределений:
1) неограниченное распределение; применяется при решении
задач минимизации: двойное экспоненциальное распределение,
см. п. 1.3.2;
2) ограниченное сверху, неограниченное снизу; в высоко-
высоковольтной технике не применяется;
3) ограниченное снизу; неограниченное сверху; применяется
при решении задач минимизации; распределение Вейбулла.
Начальное распределение, порождающее распределение Вей-
Вейбулла, может быть обобщено в форме
где х>х0; tjX); 6>0. Для хо = 0 и 6=1 имеет место особый
случай распределения Вейбулла — экспоненциальное распре-
распределение.
Плотность распределения:
f(x)=
0 (x < x0).
A.83)
Особый случай экспоненциального распределения: хо = О;
6=1; п=1Д.
Функция распределения:
F(x) =
(х>х0);
О (х< х0).
1.84
Особый случай экспоненциального распределения: *о = 0;
6=1; т] = 1Д.
55
Параметры: х\=хвз—х0 F3%-ный квантиль соответствую-
соответствующего двухпараметрического распределения); б (дисперсия, по-
показатель экспоненты Вейбулла); х0 (начальное значение).
При хо = О трехпараметрическое распределение Вейбулла
сводится к двухпараметрическому. Экспоненциальное распре-
распределение при хо = О и 6=1 имеет только один параметр, обычно
обозначаемый как К (Я=1/т)).
Математическое ожидание:
A.85)
где ГA/б+1) —табулированная гамма-функция [50]1.
1,50
1,25
1,00
0,75
0,50
0,25
О
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3.0
Рис. 1.18. Плотность распределения fw(x) и функция распределения Fw(x)
двухпараметрического распределения Вейбулла с параметрами Хо=О н г\ =
= •«63=1 (при 6=1—экспоненциальное распределение)
Экспоненциальное распределение: ЕХ=г\=1/к.
Дисперсия:
A.86)
Экспоненциальное распределение: D2X = r\2= 1Д2.
Пример: рис. 1.18. Распределение Вейбулла, особенно
трехпараметрическое распределение, обладает разнообразными
формами. Трехпараметрическое распределение возникает из
1 См. также Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш. Специальные функции.—М.:
Наука, 1968. (Прим. перев.)
56
Таблица 1.10
Порядок q
0,01
0,05
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
0,95
0,99
0,5
0,0001
0,0026
0,0111
0,0498
0,1272
0,2609
0,4805
0,8396
1,4496
2,5903
5,3019
8,9744
21,2076
Квантиль е>„. 5
1,0
0,0101
0,0513
0,1054
0,2231
0,3567
0,5108
0,6931
0,9163
1,2040
1,6094
2,3026
2,9957
4,6052
1,5
0,0466
0,1381
0,2231
0,3679
0,5029
0,6390
0,7832
0,9434
1,1317
1,3734
1,7437
2,0781
2,7680
для в, равного
2,0
0,1003
0,2265
0,3246
0,4724
0,5972
0,7147
0,8326
0,9572
1,0973
1,2686
1,5174
1,7308
2,1460
3,0
0,2158
0,3716
0,4723
0,6065
0,7092
0,7994
0,8850
0,9713
1,0638
1,1719
1,3205
1,4416
1,6637
4,0
0,3166
0,4759
0,5697
0,6873
0,7728
0,8454
0,9124
0,9784
1,0475
1,1263
1,2318
1,3156
1,4649
двухпараметрического при линейном преобразовании, например,
как это выполнено на рис. 1.18 при сдвиге оси абсцисс.
Для упрощенного распределения Вейбулла (т) = (овз = 1; хо =
= 0) в табл. 1.10 приведены квантили ач-б- Квантили обоб-
обобщенного распределения Вейбулла задаются выражением
(Лд;6;Ч,Хо = Хо + Ц(Л(,.6. A.87)
Таблицы: [27].
Точечные оценки. Оценки параметров распределения Вей-
Вейбулла очень сложны. Если начальная величина известна или
равна нулю, это распределение рассматривается как двухпара-
метрическое распределение с параметрами ti и б.
Простую оценку для большинства случаев, встречающихся
в высоковольтной технике, можно сделать на основе эмпириче-
эмпирических квантилей, которые образуются при графическом изобра-
изображении выборки (см. п. 1.5.1)
Ч* = хвз; A.88)
6* -
К1п тз
(it)
или при известных вентилях хвз и
6*=
*05
A.90)
где F(xi) и F(x2) — порядки, т. е. величины функции распреде-
распределения, соответствующие эмпирическим квантилям Х\ и х2 [см.
табл. 1.10 и уравнение A.84)].
Дальнейшие точечные оценки делают на основе метода мо-
моментов (табл. 1.11, п. 1) или метода наибольшего правдоподо-
57
Таблица 1.11
Параметр
1. Показатель экспо-
иеиты б
63 %-ный квантиль т)
2. 63 %-ный квантиль
Начальное значение
Показатель экспонен-
экспоненты б известен, причем
б< 1
Точечная оценка
б* = ^_Л1
Уб sy
*-•*(.+ -£■)
f xl (xl < *min)
xo — \
Оценивают х*0 = xmin, и в осо-
особенности r\*, с помощью принципа
максимального правдоподобия [531
Вспомогательные величины, пояснения
Начальное значение х0 известно
/£('п(х- хй й*
rti = i " V п — 1
М — поправочный коэффициент, зависящий от объема
выборки (lim Ж = I), табл. 1.12; С = 0,577226 —
постоянная Эйлера
Известен показатель экспоненты 6 ^ 1
х — среднее арифметическое из A.41); s — среднее ква-
дратическое отклонение из A.48); gb — поправочный ко-
коэффициент, зависящий от показателя экспоненты б,
табл. 1.13;
kf, — поправочный коэффициент, зависящий от показа-
показателя экспоненты б, табл. 1.13; х^= х — т|*£{,; хт\п —
наименьшая реализация в выборке
in
о
3. Показатель экспо-
экспоненты б
63 %-ный квантиль т|
Начальное значение х0
6*: используют табл. 1.13 при
g = у/, и определяют в Р качестве
оценки соответствующие табличные
значения б
г,- s
gb
Все три параметра неизвестны
х — среднее арифметическое из A.41); s — среднее квадра-
тическое отклонение из A.48);
эмпирическая асимметрия; k/,, ёь< Уь — табулированные
величины, зависящие от показателя экспоненты 6, табл.
1.13
Таблица 1.12
п
5
7
10
15
м
0,738
0,808
0,863
0,906
п
20
30
40
50
м
0,928
0,950
0,961
0,969
п
60
80
100
120
М
0,974
0,980
0,984
0,986
бия [17, 22, 51—53]1. Если показатель экспоненты Вейбулла из-
известен, то для обоих оставшихся параметров (и\ и х0) метод мо-
моментов (табл. 1.11, п. 2) дает удобную оценку при б>1, в то
время как при 6<Cl работает метод максимального правдопо-
правдоподобия [53].
При обобщенном трехпараметрическом распределении Вей-
Вейбулла оценка начального значения х0 исключительно сложна,
однако имеет важное значение в технике. Здесь также исполь-
используют графические методы. После получения реализации трехпа-
раметрического распределения Вейбулла его изображают на
вероятностной сетке двухпараметрического распределения (см.
п. 1.5.1), что дает некоторую кривую, на пересечении которой
с прямой снимают значение оценки Хо* для х0, соответствую-
соответствующее выполнению уравнения у=х—Хо*. Оценка делается при
удобном предположении относительно х0* с последующим гра-
графическим контролем. Если реализация дает прямую линию, то
считают, что предположение относительно Хо* дает хорошую
оценку параметра. В качестве окончательного значения х0* сле-
следует принять такую величину, которая меньше наименьшей из
реализации приблизительно на 20 % при малых объемах вы-
выборки и приблизительно на 10%—при больших объемах вы-
выборки.
В работах [54 и 55] xq оценивают по трем произвольным
квантилям с помощью соотношения
'g
*2 — XO
, A.91)
If?
которое следует решать относительно х0 численно.
Правда, в работе [30] указывается, что определенное таким
способом значение х0* обладает большим разбросом и поэтому
1 См. также И. П. Клепиков, С. И. Соколов. Анализ и планирование
эксперимента методом максимального правдоподобия.— М.: Наука, 1965.
(Прим. перев.)
60
получается физически бессмысленная величина. Рекомендуется
обрабатывать все реализации одновременно с помощью ЭВМ
до выполнения условия A.91) и исследовать распределение
оценки F(x0) [57]. Мода этой функции дает наилучшую оценку.
Таблица 1.13
Показатель
экспоненты 6
0,20
0,22
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,70
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
6,00
7,00
8,00
10,00
12,00
15,00
ft. = Г A + в)
120,0
56,33
24,00
9,261
5,029
5,029
2,479
2,000
1,505
1,266
1,133
1,052
1,000
0,9649
0,9407
0,9236
0,9114
0,9027
0,8922
0,8862
0,8873
0,8930
0,8997
0,9064
0,9126
0,9182
0,9277
0,9354
0,9417
0,9514
0,9583
0,9657
Поправочные коэффициенты
gb = Vr (A + 2/6)-
1901,0
665,1
199,4
50,08
19,98
10,44
6,46
4,472
2,645
1,851
1,428
1,171
1,000
0,8783
0,7872
0,7164
0,6596
0,6129
0,5402
0,4633
0,3797
0,3246
0,2847
0,2543
0,2301
0,2103
0,1798
0,1572
0,1397
0,1145
0,0970
0,0790
уь = (l/g-J) (Г A +
+ З/в) — 3fth Г A +
+ 2/6)+2fcj>)
190,1
112,3
60,1
28,33
16,74
11,35
8,413
6,619
4,593
3,498
2,815
2,345
2,000
1,734
1,521
1,346
1,198
1,072
0,865
0,6311
0,3586
0,1681
0,0251
—0,0872
—0,1784
—0,2541
—0,3733
—0,4632
—0,5336
—0,6378
—0,7107
—0,7871
Метод моментов дает возможность оценки трех параметров
(табл. 1.11, п. 3), если известно, что теоретический коэффи-
коэффициент асимметрии распределения уь (см. п. 1.2.1) связан только
с показателем экспоненты Вейбулла б {52, 53]. Если положить
эмпирический коэффициент асимметрии распределения g
равным теоретическому уь (табл. 1.11, п. 3), то табл. 1.13 сразу
61
же дает оценку для б (более подробные таблицы, выполненные
при линейной интерполяции, приведены в работах [52 и 53].
Дальнейшее уточнение соответствует более точному определе-
определению экспоненты Вейбулла б.
Пример 1.22 [54, 56]. В опытах с нарастающим напряжением (см. § 2.3)
полученные п=39 реализаций случайной величины пробивного напряжения
промежутка стержень — плоскость в масле с минимальным шагом разбиты
на 15 интервалов (табл. 1.14 дает таблицу исходного распределения). Для
Таблица 1.14
Номер
ступени
напряжения
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Напряжение
пробоя
и •, кВ
пр г
542,00
550,46
558,93
567,39
575,86
584,32
592,78
601,25
609,71
618,18
626,64
635,10
643,57
652,03
660,50
Число
пробоев
к при
"пр < "пр 1
1
2
4
7
9
11
14
17
21
26
31
36
37
38
39
Относитель-
Относительная
суммарная
частость ftj.
0,025
0,050
0,100
0,175
0,225
0,275
0,350
0,425
0,525
0,650
0,775
0,900
0,925
0,950
0,975
Приведенные случайные
значения, кВ
"пр 1~ "прО
52,00
60,46
68,93
77,39
85,86
94,32
102,78
111,25
119,71
128,18
136,64
145,10
153,57
162,03
170,50
"пр i "пр 0
18,00
26,46
34,93
43,39
51,86
60,32
68,78
77,25
85,71
94,18
102,64
111,10
119,57
128,03
136,50
расчета начального значения используются интервалы 2, 6 и И; с по-
помощью соотношения A.91) получена оценка «{,'^„=490 кВ. Преобразуя у=
=«пр *—"пр о, все реализации наносят иа вероятностную сетку и проводят
прямую линию (рис. 1.19, кривая 2). Оценка всех возможных JV= C5) =455
комбинаций показывает, что 127 из них не удовлетворяют соотношению,
а еще 80 комбинаций физически бессмысленны (иПр о<О или ыПр о>«пр i—
наименьшей реализации). Мода функции распределения оставшихся 248
комбинаций дает оценку «ifpo = 524 кВ. При этом также получается пря-
прямая линия иа вероятностной сетке (рис. 1.19, кривая /). Как показывает
оценка параметров в соответствии с выражениями A.89) н A.90), обе функ-
функции существенно различаются:
fA)Kp):"^0 = 490KB: fB)Kp):"np0
„(I) „A) 10Q С k-R» -nffl tiffl
~"Mnp63 "npO~ «3i° kd, i| — "Пр 63
„(I)
= 524 кВ;
= 4,162. бB)= 2,593.
62
°>о1
fcp.p
/
7
7
t
У
/
/
2
1
A
i
с
/
1
#
1
1
f
}
%
И
V
* /
~1"—:—
г
&
»
20 J0 W 55 в» вО /09 кВ
Рис. 1.19. Изображения выборки нз табл. 1.14 в качестве трехпараметриче-
ского распределения Вейбулла с различными начальными значениями (ве-
(вероятностная сетка распределения Вейбулла)
;-«BH = 524KB 0/ = «пр(.-«<2)о> 2_Й«)О=49ОКВ (, = % . - «<>> „)
Метод моментов дает при ипр =605,4 кВ, s=29,5 кВ эмпирический коэф-
коэффициент асимметрии распределения g=— 0,3735 (табл. 1.11, п. 3). При g<=
=Yb (см. табл. 1.13) следует, что 6=6,00; йь=0,9277 и £Ь=0,1798. При ис-
использовании этих величин с помощью формулы п. 3 из табл. 1,11 получают
наилучшую оценку:
"п3р о = 453>2 кВ: Л*3' = 164,0 кВ;
8<3>=6,00.
"п3р 63
кВ.
Изменение одного параметра («пР о) влечет изменение всех остальных
параметров. Интересно, что величина unpo+tj=Wnpm почти не зависит от
«пр о (изменяется только нз-за неточности расчетов при графической обра-
обработке), в то время как испытывает исключительно сильное влияние началь-
начальной величины.
Точечная оценка для экспоненциального распределения:
£
A.92)
Доверительные оценки. Доверительные оценки параметров
распределения Вейбулла исключительно трудны. К настоящему
времени сколько-нибудь общий способ оценки существует
только для начальной величины [51, 57—59]; для остальных па-
параметров доверительные оценки могут быть сделаны, если за-
заданы расчетные формулы (табл. 1.15) и необходимые квантили
(табл. 1.16). Кроме того, в работе [52] предложена другая
63
Таблица 1.Н
Параметр
Доверительные интервалы
Вспомогательные величины,
пояснения
63 %-НЫЙ
квантиль г\
^v табулировано в работе
[53], частично в табл. 1.16 — для
5 < п < 120;
— для
V
и > 120; %q — квантиль нор-
нормального распределения
(табл. 1.6)
Показатель
экспоненты
б
6*
^v табулировано в работе
[53], частично в табл. 1.16 —
для 5 < и < 120;
б*
n;(l —e)/2
),608
дл?
п > 120; %q — квантиль нор-
нормального распределения
(табл. 1.6)
Примечание. Начальное значение х0 известно.
Таблица 1.16
вы-
с
? я
Объе
борк
5
7
10
15
20
30
40
50
60
80
100
120
Множитель W^l
интервал для ri)
0,02
—1,631
—1,196
—0,876
—0,651
—0,540
—0,423
—0,360
—0,318
—0,289
—0,248
—0,221
—0,202
0.05
—1,247
—0,874
—0,665
—0,509
—0,428
—0,338
—0,288
—0,254
—0,230
—0,197
—0,174
—0,158
(доверительный
при q, равном
0,95
1,107
0,829
0,644
0,499
0,421
0,334
0,285
0,253
0,229
0,197
0,175
0,159
0,98
1,582
1,120
0,851
0,653
0,549
0,435
0,371
0,328
0,297
0,255
0,226
0,205
Множитель WJj.' (доверительный
интервал для 6) при q, равном
0,02
0,604
0,639
0,676
0,716
0,743
0,778
0,801
0,817
0,830
0,848
0,861
0,871
0,05
0,683
0,709
0,738
0,770
0,791
0,820
0,839
0,852
0,863
0,878
0,888
0,897
0,95
2,779
2,183
1,807
1,564
1,449
1,334
1,273
1,235
1,208
1,173
1,150
1,133
0,98
3,518
2,640
2,070
1,732
1,579
1,429
1,351
1,301
1,267
1,222
1,192
1,171
64
доверительная оценка, точность которой, однако, не может
быть достаточно определенно установлена.
Пример 1.23. Для выборки из примера 1.22 с объемом и=39 н оценоч-
оценочными параметрами и^,, =453,2 кВ, т)<3' = 164 кВ, бC'=6,00 надо оценить
доверительные интервалы для т) и б с доверительной вероятностью ^=0,90.
Выражения q= A+е)/2=0,95 и <?= A— е)/2=0,05 вместе с объемом выборки
п=40 (табл. 1.16) дают:
-0,288;
^0,95=1.273; V© о.об =0.839-
С помощью формул табл. 1.15 получаем доверительный интервал для
[l64 KBexpf °^
L V 6,0
i.OO J \ 6,00
= [156,4 кВ; 172,1 кВ]
и для б—
6,00 6,00
г_мр_ _*001 [4J18. 718Ц>
L 1,273 ' 0,839 J
Использование. Как и нормальное распределение, распреде-
распределение Вейбулла принадлежит к наиболее широко используемым
при исследованиях процессов в высоковольтной технике, в осо-
особенности двухпараметрического распределения — при решении
проблем определения длительности жизни. Это относится,
в первую очередь, к проблеме времени перед пробоем в твер-
твердых диэлектриках [44, 45, 60—66 и др.]. Распределение Вей-
Вейбулла применяется, с одной стороны, при изучении пробивных
напряжений или электрической прочности полимерных изоли-
изолирующих материалов для определения допустимой длительности
эксплуатации [64, 67] (см. п. 4.5.2); с другой стороны, естест-
естественно, возможно и его прямое использование [68—74 и др.].
В обоих случаях, однако, наиболее успешным его использова-
использование будет при переходе к трехпараметрическому распределению
Вейбулла. Встречающиеся при этом проблемы поясняются при-
примером 1.22; на основании одной выборки (табл. 1.14) могут по-
получиться весьма различные распределения Вейбулла
(рис. 1.19). Поскольку для оценки надежности определяемая
начальная величина имеет еще и физический смысл выдержи-
выдерживаемого напряжения (или напряженности), то в особенности
при использовании закона умножения (см. гл. 5), из-за этих
неопределенных оценок начальной величины, техническую
ошибку необходимо существенно уменьшить.
Если в двухпараметрическом распределении Вейбулла встре-
встречается 6>10, удобно изобразить исследуемую случайную вели-
величину с помощью двойного экспоненциального распределения.
Использованная литература: [51—57, 60—74].
65
Двойное экспоненциальное распределение.
Модель. Поскольку двойное экспоненциальное распределение
относится к группе экстремальных распределений, основные
черты модели идентичны описанным ранее для распределения
Вейбулла (см. п. 1.3.2), причем используется лишь следующая
форма исходного распределения:
где tj — действительная величина; у>0 {49] (закон распределе-
распределения минимума).
/пр>*пр
1,0
0,8
V*;
V
-3-2
-1
Рис. 1.20. Плотность распределения fnp(x) и функция распределения Fap(x)
двойного экспоненциального распределения
Плотность распределения:
{1-expt—ехр ((х—г$/у)])х= ^ехр [—ехр((х—ц)/у)]Х
Х[—ехр ((х—tj)/y)- 1/т = A/V) ехр Цх—чЦ/у] ехр[ —exp((x—Tj)/Y)].
A.93)
Функция распределения:
[(^i)] A.94)
Параметры: ц F3 %-ный квантиль; мода); у — мера раз-
разброса.
Математическое ожидание:
ЕХ = г\ — уС (С = 0,5772—постоянная Эйлера). A.95)
Дисперсия:
D2X= — л2?2. A.96)
о
66
Таблица 1.17
Аргумент
X
—7
—6
5
—4
—3,5
—3
—2.5
2
—1,5
—1
—0,5
0
0,5
1
1,5
2
3
Функция
распределения
%<*'
0,0009
0,0025
0,0067
0,0181
0,0297
0,0486
0,0788
0,1266
0,2000
0,3078
0,4548
0,6321
0,8077
0,9340
0,9887
0,9994
1,0000
Плотность
fnp <*>
0,0009
0,0025
0,0067
0,0180
0,0293
0,0474
0,0756
0,1178
0,1785
0,2546
0,3307
0,3679
0,3170
0,1794
0,0507
0,0046
0,0000
Порядок
9
0,001
0,01
0,02
0,05
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
0,95
0,98
0,99
Квантиль
"я
—6,9079
—4,6001
—3,9019
—2,9702
—2,2504
—1.4999
—1,0309
—0,6717
—0,3665
—0,0874
0,1856
0,4759
0,8340
1,0972
1,3641
1,5272
Пример: рис. 1.20. С помощью преобразования у= (х—
—t))/y Двойному экспоненциальному распределению придают
стандартную форму с ц — х6з=0 и у= 1, как показано
в табл. 1.17. Квантиль порядка q двойного экспоненциального
распределения в общем виде вычисляется на основе его значе-
значения для стандартной формы как
dq-.ч v = ^Y + Tl- A-97)
Точечные оценки. Параметры оцениваются одновременно
с квантилями эмпирической функции распределения
■п* — г • 1\ <ХЛ\
I — *^вз» \ «то/
A.99)
у* = (*вз—хО6)/з.
Равным образом возможна точечная оценка с помощью эмпи-
эмпирических моментов A.95) и A.96). Для получения правильной
оценки при этом следует рассматривать выборки ограничен-
ограниченного объема. С помощью множителей k{n (lim k^ = -\fnV6 \ и
fe«2) (lim fej,2) = С — 0,5772 . . Л, зависящих от объема выборки, и
табл. 1.18 [22, 49] получаем:
— 1 f=1
A.КХР
67
Таблица 1.18
вы- 1
е
»«
* о.
8
10
12
15
20
25
30
35
40
45
Мно~житель
, (I)
п
для оценки V *
0,9043
0,9497
0,9833
1,0206
1,0628
1,0915
1,1124
1,1285
1,1413
1,1519
Множитель
B)
п
для оценки т) *
0,4843
0,4952
0,5030
0,5128
0,5236
0,5309
0,5362
0,5403
0,5436
0,5463
БЫ-
С
s s
о-8
50
60
70
80
100
200
300
500
1000
оо
Множитель
*»0)
п
для оценки 7 *
1,1607
1,1747
1,1854
1,1938
1,2065
1,2360
1,2479
1,2588
1,2685
я2/6 = 1,282. . .
Множитель
п
для оценки я *
0,5485
0,5521
0,5548
0,5569
0,5600
0,5672
0,5699
0,5724
0,5745
С = 0,5772 . . .
И ,
A.101)
Доверительные оценки. Доверительные оценки параметров
двойного экспоненциального распределения до настоящего вре-
времени неизвестны. Указания для расчета некоторых «контроль-
«контрольных интервалов», которые в среднем диапазоне двойной экспо-
экспоненты могут быть приняты за доверительные интервалы, име-
имеются в работе [22].
Применение. Двойное экспоненциальное распределение с ус-
успехом применяется для описания случайных величин пробив-
пробивного напряжения и электрической прочности, причем это рас-
распределение особенно эффективно для описания процессов в изо-
изоляции со сжатым газом [25]. При большом значении показателя
экспоненты Вейбулла F->-о°) двухпараметрическое распреде-
распределение Вейбулла сливается с двойным экспоненциальным рас-
распределением; уже при 6>20 целесообразно использовать
двойное экспоненциальное распределение. При использовании за-
закона умножения (см. § 5.3) нормальное распределение при воз-
возрастающем коэффициенте п->-оо переходит в двойное экспонен-
экспоненциальное распределение. Этот переход открывает дальнейшие
возможности его применения.
Использованная литература: [25, 49, 75—78].
Распределение с двухсторонним ограничением (распределе-
(распределение Вольмута).
Модель. Неограниченность нормального распределения не-
неудобна при решении некоторых специальных технических задач.
При этом на нормальное распределение накладывают ограни-
ограничения в точках хн = ц,—k5 и xB = \i + kb (чаще всего при этом k
меняется от 2 до 3), или устанавливают какие-либо другие гра-
68
1,0
0,99
0,95
0,90
0,70
0,50
0,30
0,10
0,05
0,01
V
-г
у
/г
1-
if
г
У
о,г
0,4
0,6
0,8
1.0
Рис. 1.21. Сравнение распределения с двухсторонним ограничением Fd((/)
кривая / [80] и нормального распределения # [0,5; A/6J] — кривая 2
Вероятностная сетка распределения
ницы [79]. Как показано в работах [56, 80], математически удоб-
удобным является распределение с двухсторонним ограничением, ко-
которое в широком диапазоне очень хорошо аппроксимируется
нормальным распределением, ограничено с двух сторон и имеет
только два параметра (рис. 1.21).
Функция распределения:
0
FD(x) =
■[■
Г Xus-x 41.635 / х-х„
I \ x~x« ) n \ x<ao—x
—2
1,635
■]
{x < x0);
(xo<.x<xm);
(x ^ *ioo)-
A.102)
Параметры: х0 (начальное значение); хш (конечное зна-
значение).
Нормирование. При уо = О и г/юо=1
и= Х"х° : 1—»— Xl"> —x
— ха
«100
Поскольку функция плотности симметрична относительно
# = 0,5, можно табулировать FD(y) только в диапазоне Ъ
<0,5; 1—FD(у) —в диапазоне 0,5<у<1 (табл. 1.19).
Таблица 1.19
У
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0
0,00000
0,00019
0,00060
0,00118
0,00192
0,00280
0,00384
0,00502
0,00635
0,00783
0,00945
0,01123
0,01316
0,01525
0,01750
0,01992
0,02252
0,02532
0,02835
0,03165
0,03529
0,03936
0,04396
0,04920
0,05518
0,06199
0,06973
0,07846
0,08822
0,09905
0,11096
0,12392
0,13791
0,15289
0,16880
0,18560
0,20321
0,22157
0,24060
0,26025
0,28045
0,30113
0,32223
0,34370
0,36548
0,38752
0,40977
0,43218
0,45472
0,47734
10
2
0,00001
0,00026
0,00070
0,00131
0,00208
0,00300
0,00406
0,00528
0,00663
0,00814
0,00979
0,01160
0,01357
0,01569
0,01797
0,02043
0,02307
0,02591
0,02898
0,03235
0,03607
0,04024
0,04496
0,05033
0,05647
0,06343
0,07139
0,08032
0,09030
0,10135
0,11346
0,12663
0,14082
0,15600
0,17209
0,18906
0,20682
0,22532
0,24449
0,26425
0,28455
0,30532
0,32650
0,34803
0,36987
0,39195
0,41424
0,43668
0,45924
0,48187
8
4
0,00004
0,00033
0,00081
0,00145
0,00225
0,00320
0,00430
0,00554
0,00692
0,00846
0,01014
0,01198
0,01398
0,01613
0,01845
0,02094
0,02362
0,02650
0,02963
0,03306
0,03686
0,04114
0,04598
0,05150
0,05780
0,06497
0,07310
0,08224
0,09243
0,10369
0,11601
0,12939
0,14378
0,15914
0,17542
0,19255
0,21046
0,22910
0,24839
0,26827
0,28867
0,30952
0,33078
0,35238
0,37427
0,39639
0,41872
0,44119
0,46376
0,48640
6
6
0,00008
0,00041
0,00093
0,00160
0,00243
0,00341
0,00453
0,00580
0,00722
0,00878
0,01050
0,01236
0,01439
0,01658
0,01894
0,02146
0,02418
0,02711
0,03029
0,03379
0,03768
0,04205
0,04702
0,05269
0,05916
0,06652
0,07484
0,08419
0,09459
0,10607
0,11861
0,13219
0,14678
0,16233
0,17878
0,19607
0,21414
0,23291
0,25232
0,27231
0,29280
0,31374
0,33507
0,35673
0,37867
0,40084
0,42320
0,44569
0,46829
0,49093
4
8
0,00013
0,00050
0,00105
0,00176
0,00261
0,00362
0,00477
0,00607
0,00752
0,00911
0,01086
0,01276
0,01482
0,01704
0,01943
0,02199
0,02474
0,02772
0,03096
0,03453
0,03851
0,04300
0,04810
0,05392
0,06056
0,06810
0,07663
0,08618
0,09680
0,10849
0,12124
0,13503
0,14981
0,16555
0,18217
0,19962
0,21784
0,23674
0,25628
0,27637
0,29696
0,31798
0,33938
0,36110
0,38309
0,40530
0,42769
0,45021
0,47281
0,49547
2
10
0,00019
0,00060
0,00118
0,00192
0,00280
0,00384
0,00502
0,00635
0,00783
0.00945
0,01123
0,01316
0,01525
0,01750
0,01992
0,02252
0,02532
0,02835
0,03165
0,03529
0,03936
0,04396
0,04920
0,05518
0,06199
0,06973
0,07846
0,08822
0,09905
0,11096
0,12392
0,13791
0,15289
0,16880
0,18560
0,20321
0,22157
0,24060
0,26025
0,28045
0,30113
0,32223
0,34370
0,36548
0,38752
0,40977
0,43218
0,45472
0,47734
0,50000
0
0,99
0,98
0,97
0,96
0,95
0,94
0,93
0,92
0,91
0,90
0,89
0,88
0,87
0,86
0,85
0,84
0,83
0,82
0,81
0,80
0,79
0,78
0,77
0,76
0,75
0,74
0,73
0,72
0,71
0,70
0,69
0,68
0,67
0,66
0,65
0,64
0,63
0,62
0,61
0,60
0,59
0,58
0,57
0,56
0,55
0,54
0,53
0,52
0,51
0,50
У
70
Математическое ожидание:
Дисперсия:
DaX = ( Хц»~х° V.
Точечные оценки:
xo~x—3s; A.103)
л;1ОО=х+ 3s, A.104)
где х — среднее арифметическое [см. выражение A.41)]; s —
среднее квадратическое отклонение [см. A.48)].
Применение. Распределение с двухсторонним ограничением
можно использовать вместо нормального распределения [56,80].
Следует лишь учитывать, что при использовании распределения
с двухсторонним ограничением нельзя использовать закон ум-
умножения, поскольку функция распределения превращается в то-
точечное распределение вблизи х0.
Гамма-распределение и ^-распределение.
Модель. Функция распределения задана табулированной
[50]1 гамма-функцией
^-распределение, являющееся частным случаем гамма-рас-
гамма-распределения, является распределением суммы квадратов п оди-
одинаково распределенных N @; 1) случайных величин.
Плотность распределения:
Гамма-распределение
f(x)=-
0 (х < 0);
ьр A.105)
Т(р)
^-распределение (ft=l/2; p = m/2):
О
Параметры: Гамма-распределение — Ь и р; %2-распределе-
%2-распределение — m (число степеней свободы).
1 См. также Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш. Специальные функции.— М.:
Наука, 1968. (Прим. перев.)
71
0,2
О 2 4 6 8 10 12 14
Рис. 1.22. Плотность распределения f%(x) — штриховые кривые и функция
распределения Fx (x) — сплошные кривые (^-распределение с от степенями
свободы)
Функция распределения и функция плотности распределения
изображены на рис. 1.22.
Математическое ожидание и дисперсия:
Гамма-распределение: EX=p/b; D2X=p/b2;
^-распределение: ЕХ=пг; D2X=2m.
Таблицы. Задаются важнейшие квантили для числа степе-
степеней свободы из диапазона 1<т<100 [27, табл. 4] — табл. 1.20.
Таблица 1.20
Число степеней
свободы m
1
2
3
4
5
7
9
14
19
24
29
39
49
59
74
99
0,025
0,001
0,051
0,261
0,484
0,831
1,69
2,70
5,63
8,91
12,40
16,05
23,65
31,55
39,66
52,10
73,36
Квантили "Ст. порядка q, равного
0,05
0,004
0,ЮЗ
0,352
0,711
1,15
2,17
3,33
6,57
10,12
13,85
17,71
25,70
33,93
42,34
55,19
77,05
0.95
3,84
5,99
7,81
9,49
11,07
14,07
16,92
23,68
30,14
36,42
42,56
54,57
66,34
77,93
95,08
123,23
0,975
5,02
7,38
9,35
11,14
12,83
16,01
19,02
26,12
32,85
39,36
45,72
58,12
70,22
82,12
99,68
128,42
72
Применение. Гамма-распределение находит применение
в теории надежности; ^-распределение играет важную роль
при доверительных оценках дисперсии (см. п. 1.3.2) и при те-
тестах (см. § 1.5): х2"кРитеРии приспособляемости, эс2-тест неза-
независимости, х2-тест рассеивания и др. [27].
Рис. 1.23. Плотность распределения fr(x) /•'-распределения с т степенями
свободы
/•-распределение.
Модель. Если Y и Z — две независимые случайные величины,
распределенные по закону %2 с т.\ и т2 степенями свободы,
то частное
Х
Z/m2
имеет /^-распределение со степенями свободы гп\ и т2.
Плотность распределения:
О
(х < 0);
(——
rmj2-l
в
V 2 ' 2 )
A.107)
где В (г; s) = (xr~l {1-х)s~' dx — бета функция [50].
о
Параметры: т.\ и т2 — степени свободы.
73
Функция плотности ^-распределения изображена на
рис. 1.23.
Математическое ожидание:
Дисперсия:
-2) (ma>2).
+ m2-2)
— 2J (от2 — 4)
(т2>4).
Таблицы. Задаются важнейшие квантили для степеней сво-
свободы из диапазона l^mi<c°°, I<m2<:oo [27, табл. 6] —
табл. 1.21.
Таблица 1.21
Число степеней
свободы т,
Квантили Fт^ m2; 4 ^-распределения при числе
степеней свободы /л,, равном
10
13
16
20
6
8
10
13
16
20
4,28
3,58
3,22
2,92
2,74
2,60
Порядок
4,15
3,44
3,07
2,77
2,59
2,45
q = 0,95
4,06
3,35
2,98
2,67
2,49
2,35
3,98
3,26
2,89
2,58
2,40
2,25
3,92
3,20
2,83
2,51
2,33
2,18
3,87
3,15
2,77
2,46
2,28
2,12
6
8
10
13
16
20
5,82
4,56
4,07
3,60
3,34
3,13
Порядок
5,60
4,43
3,85
3,39
3,12
2,91
q = 0,975
5,46
4,30
3,72
3,25
2,99
2,77
5,33
4,16
3,58
3,11
2,85
2,64
5,24
4,08
3,50
3,03
2,76
2,55
5,17
4,00
3,42
2,95
2,68
2,46
Применение. Распределение F играет важную роль в стати-
статистических тестах (см. п. 1.5.2): при сравнении дисперсий
(.F-тест), дисперсионном анализе, сравнении средних величин
и т. д. [27].
f-распределение.
Модель. Если Y и Z — независимые случайные величины, ве-
величина Y распределена нормально как N @; 1), a Z имеет
^-распределение с т степенями свободы, то отношение
X=YI+JZIm обладает ^-распределением cm=l степенями сво-
свободы. Кроме того, отношение двух независимых нормально рас-
74
0,5
0,4,
11/0,2
Jr 0,1
l
Л
Ч 771= °°
\
-3-2-1 0 1 i
Рис. 1.24. Плотность распределения ft(x) ^-распределения с m степенями
свободы
пределенных JV(O; 1) случайных величин обладает ^-распреде-
лением с числом степеней свободы т=1.
Плотность распределения:
Г (от/2)
A.108)
Параметр: m — число степеней свободы.
Поскольку /-распределение симметрично и неограниченно,
при т-+оо оно переходит в нормальное распределение N@; 1)
(рис. 1.24).
Математическое ожидание:
Дисперсия:
от-
Таблицы. Задаются важнейшие квантили tm-q ^-распределе-
ния для 1<т<оо [27, табл. 5] — табл. 1.22; ввиду симметрии
функции распределения tm;i-q = —tm-,q-
Применение, ^-распределение играет важную роль при дове-
доверительных оценках и тестах: доверительных оценках средних
величин (см. п. 1.3.2), регрессионном анализе (см. п. 1.4.3),
сравнении средних величин (см. п. 1.5.2), проверках на незави-
независимость и др. [27].
75
Таблица 1.22
Число
степеней
свободы т
1
2
3
4
5
7
Квантили tm. q <-распре-
делення порядка ц,
0,95
6,31
2,92
2,35
2,13
2,02
1,89
равного
0,975
12,7
4,30
3,18
2,78
2,57
2,36
0,99
31,8
6,96
4,54
3,75
3,37
3,00
Число
степеней
свободы т
9
14
19
24
40
120
оо
Квантили tm. q /распреде-
лення порядка
0,95
1,83
1,76
1,73
1,71
1,68
1,66
1,64
равного
0,975
2,26
2,14
2,09
2,06
2,02
1,98
1,96
а.
0,99
2,82
2,62
2,54
2,49
2,42
2,36
2,33
1.3.3. Суперпозиция распределения. Многие эмпирически по-
получаемые функции распределения представляют собой наложе-
наложение двух или нескольких теоретических функций '.
Пример 1.24. Рассматривается пробивное напряжение в горизонтально
расположенном коаксиальном кабеле с элегазовой изоляцией, в котором
имеется дефект в виде свободно перемещающейся частички.
При постоянном напряжении частичка движется и, когда оиа прибли-
приближается к внутреннему электроду, происходит пробой. Инициированный ча-
частицей пробой при постоянном напряжении распределен по нормальному
закону [рис. 1.25, F(иПр. пост)]. При импульсах коммутационных перенапря-
перенапряжений частичка не перемещается, пробой является следствием возмущения
поля и пробивное напряжение выше, чем при постоянном напряжении. Функ-
Функция распределения пробивного напряжения при импульсах коммутационных
перенапряжений опять аппроксимируется нормальным распределением
[рис. 1.25; F(Unp. ком)]- При наложении постоянного напряжения и импуль-
импульсов коммутационных перенапряжений процесс пробоя в каждый момент оп-
определяется суммарным напряжением. Если частица случайно окажется
в своем движении под действием постоянного напряжения вблизи внутрен-
внутреннего электрода, то пробой произойдет, как при постоянном напряжении; если
частица будет оставаться вблизи наружного электрода, то пробой произой-
произойдет, как при импульсах коммутационных перенапряжений.
В результате такого наложения функция распределения представляет
собой суперпозицию двух распределений [рис. 1.25, F(unpcK)]. В опреде-
определенных случаях возникают распределения, способные описать процессы,
при которых в изолирующей конструкции пробой может иметь место без
частичных разрядов и с частичными разрядами нли когда пробою предшест-
предшествуют различные формы частичных разрядов.
Физической причиной возникновения подобных суммарных
результирующих законов распределения
F(х) = £ aiFi(x) при
: 1
A.109)
1 См. также Г. С. Кучинский. Частичные разряды в высоковольтных кон-
конструкциях.— Л.: Энергия, 1979. (Прим. перев.)
76
0,99
0,95
0,90
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,05
°'O11OO 110 Щ~ W^fW 150 160 к В
Рис. 1.25. Пример суперпозиции распределений
Пробой промежутка между коаксиальными цилиндрами в элегазе; / — функция распре-
распределения при постоянном напряжении Р(«Пр. пост'' 2— Функция распределения при су-
суперпозиции F(«nn CM); 3 — функция распределения при коммутационных перенапря-
перенапряжениях ^(«п„ КОмм'; вероятностная сетка нормального распределения
p
~i
f
T=7
_J
/o
F~
—,■/
X
K0]
«—
1
t-
x"
7
/
3
uap.neer50:
25k'B -
x/
1
/•
L_
n
-x/ *■■
рз
SKM=5
-Ш5
5kB
,50s
'кВ —
unp
являются различные механизмы [описываемые различными
функциями распределения Fi(x)], под действием которых может
образовываться результирующий процесс, описываемый функ-
функцией распределения F(x).
Наряду с такими «суммарными» сложными распределе-
распределениями часто говорят о «перемножаемых» [69]. Это относится
к применению распределения Вейбулла (см. п. 1.3.2) в описан-
описанных моделях («пробой в слабонеоднородном поле»), основан-
основанном на законе перемножения вероятностей. Перемножаемые
сложные распределения образуются в случае, применения за-
закона перемножения (см. § 5.3 и 5.4).
Рассматриваемые суммируемые сложные распределения [26,
40, 69, 81—83] чрезвычайно трудно изучить математически. Рас-
Расчетная обработка распределения двух нормальных распределе-
распределений связана уже с рассмотрением пяти параметров (ць 6i,
(in. on, аI, является чрезвычайно сложной и приводит к боль-
большим погрешностям. При этом остается эмпирический путь, осно-
основанный либо на использовании аналоговых вычислительных
1 Параметр а в соответствии с выражением A.109) задает <zi=<* и аи —
= 1—а.
77
машин [40], либо просто на графической обработке с помощью
вероятностной сетки [81, 84, 85]. При графической обработке ис-
исходят из эмпирической функции плотности распределения f*(x),
которую интуитивно заменяют функцией плотности Ft* (x) опре-
определенного типа распределений, после чего в результате нало-
наложения Fi*(x) вновь переходят к исходной плотности f*(x). Эта
процедура облегчается в том случае, например, когда при ис-
использовании вероятностной сетки нормального распределения
внешний вид эмпирической функции плотности F*(x) стремится
к прямым линиям, если обе суммируемые функции плотности
/<*(*) нормальны. При графической обработке следует исхо-
исходить из этих прямолинейных ветвей.
Пример 1.25. Сложное распределение из примера 1.24 необходимо раз-
разложить иа составные части (рис. 1.25). Поведение сложной функции
F("пр. см) и описываемая модель наводят на мысль, что F(иПр. см) состоит
из двух нормальных распределений. Для получения эмпирической плотно-
плотности распределения данные измерений должны быть сведены в таблицу (см.
п. 1.2.2) и обработаны (табл. 1.23, объем выборки л=199). Эмпирическая
функция распределения изображается графически (рис. 1.26) и интуитивно
делится на два слагаемых.
В таблице указывается эмпирическая частость каждого слагаемого.
Сумма этих частостей задает теперь уже параметры aj = 0,42=a и ац =
=0,58= 1—а. Для графического определения параметров как квантилей
Таблица 1.23
«I
о.
I
s
"л
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Границы
интер-
вала
"npfeH
107,5
112,5
117,5
122,5
127,5
132,5
137,5
142,5
147,5
152,5
157,5
162,5
"npft в
112,5
117,5
122,5
127,5
132,5
137,5
142,5
147,5
152,5
157,5
162,5
167,5
Частость
абсо-
лют-
лютная
hmk
2
4
12
20
19
15
20
28
34
26
11
2
отно-
ситель-
сительная
hXk
0,010
0,050
0,120
0,220
0,315
0,390
0,490
0,630
0,800
0,930
0,985
0,995
К
X
lag
Отно
сумм
част<
0,010
0,040
0,070
0,100
0,095
0,075
0,100
0,140
0,170
0,130
0,055
0,010
0,995
ОтПЛРИ
частость !
Ч£Л ib H Э Я
! ПОЛМНО-
жестве
hi
0,010
0,040
0,070
0,100
0,093
0,062
0,032
0,010
0,002
—
—
а/ =
= 0,419
а « 0,42
hkll
—
—
—
0,002
0,013
0,068
0,130
0,168
0,130
0,055
0,010
«// =
= 0,576
1—а»
«0,58
Относительная
суммарная
частость в под-
подмножестве
h2kl
0,024
0,119
0,286
0,525
0,747
0,895
0,971
0,995
0,999
—
—
Чип
—
—
0,003
0,026
0,144
0,370
0,662
0,888
0,983
0,999
78
Рис. 1.26.
0,001
105
Разложение
115 125 135 П5 155 165 кВ
сложного распределения f («др. сн), изображенного
на рис. 1.25
(Ипр so/, Si, иПр so/;,
ные частости
следует для каждого слагаемого получить суммар-
суммар1 *
; // J=l
В результате будет найдена следующая сумма двух нормальных рас-
распределений:
Р («пр. си) = 0.42Ф (ипр; 127 кВ; G,5 кВ)*) + 0.58Ф (иПр;
149,5 кВ; F,5 кВJ).
Параметры распределений-слагаемых хорошо совпадают с параметрами
функции распределения при постоянном напряжении и при импульсах ком-
коммутационных перенапряжений (рис. 1.25 и 1.26).
Из-за связанных со сложной функцией распределения мате-
математических трудностей ее следует использовать лишь тогда,
когда к ней приводит физическая модель, например подобная
описанной в примере 1.24. Ни в коем случае не следует пы-
пытаться определять по сложному распределению эмпирических
взаимосвязей без такой модели. Несомненно, что сложные
функции распределения образуются при суперпозиции много-
многочисленных взаимосвязей в природе и технике, однако в конеч-
конечном итоге в интересующем диапазоне преобладают отдельные
влияния, рассмотрение которых для техники оказывается доста-
достаточным. Например, при использовании закона умножения (см.
гл. 5) для сложной функции распределения из примера 1.25
следует рассматривать одно нормальное распределение, най-
найденное для области I.
79
1.4. Основы теории корреляции
и регрессионного анализа
1.4.1. Определения и принципы. Если при испытаниях одно-
одновременно измеряются несколько случайных характеристик (на-
(например, интенсивность частичных разрядов при известном
испытательном напряжении и уровень пробивного напряжения),
то представляет интерес, связаны ли между собой эти характе-
характеристики, насколько сильна эта связь и как ее математически
сформулировать. Понятия корреляции и регрессии дают ответ
на эти вопросы [17].
Корреляционный анализ в первую очередь исследует вопрос,
ие является ли взаимосвязь между изучаемыми случайными
характеристиками X и У линейной и описывает уровень этой
связи коэффициентом корреляции р. Пусть случайные вели-
величины X и У распределены по нормальному закону. Коэффициент
корреляции может принимать значения | р | < 1. Величины X и
У будут некоррелированы, если р = 0 (рис. 1.27,а, б), что озна-
означает отсутствие линейной связи между ними. Чем ближе |р|
к единице, тем сильнее выражена корреляция. При р>0 вели-
величины X и У одновременно увеличиваются или уменьшаются;
тогда говорят о положительной корреляции (рис. 1.27, в). При
р<0 увеличение X связано с уменьшением Y и имеет место
отрицательная корреляция (рис. 1.27,г). При |р| = 1 имеет ме-
место полная корреляция, что означает прямую функциональную
зависимость (рис. 1.27,5). Определение оценки г для коэффи-
коэффициента корреляции р по выборке п пар величин (Хг\ г/,) будет
описано в разделе 1.4.2.
Регрессионный анализ по выборке устанавливает возмож-
возможность существования функциональной взаимосвязи, с одной сто-
стороны, между двумя случайными величинами X и У, а с дру-
другой — между случайными величинами и параметрами (напри-
(например, зависимость предпробоиного времени от приложенного на-
напряжения). Изложенные проблемы математически формально
решаются одинаково. В простейшем варианте при регрессии
графически изображают пары (*«; yt) (Xi являются, к примеру,
Щ
X
Рис. 1.27. Изображения реализаций случайных величин X и У (схема): а —
корреляция отсутствует (р=0); б — линейная корреляция отсутствует (р=0);
в — положительная корреляция @<р<1); г — отрицательная корреляция
(—1<р<0); д — полная корреляция (функциональная взаимосвязь) (р=1)
80
параметром, у%— реализацией случайной величины). При этом
должен рассматриваться лишь случай линейной взаимосвязи
между характеристиками X и Y или приводящейся к линейной
путем простых преобразований: X*=fi(X) и Y*=f2(Y) (линей-
(линейная регрессия).
Пример 1.26. При исследовании связи между приложенным напряже-
напряжением и„р н временем до пробоя tnv высокополнмерной изоляции имеет место
линейное соотношение между нх логарифмами в форме
lg «пр = lg 'пр + lg "пр о
п
(закон длительности жизни). Выполняя измерения, используют линейную ре-
регрессию между величинами Igunp и lglnp.
При линейной регрессии нормально распределенные случай-
случайные величины связываются линейной функцией. Прямая регрес-
регрессии изображает математические ожидания как
CV п I RJ7Y. "V п I RY /1 1114
СГ = ОС -f- рЕЛ, I =ОС-)-рЛ. \ 1.111}
В простейшем случае ее проводят по выборке таким обра-
образом, чтобы графические изображения пар величин (*i; yi) были
разделены примерно поровну (рис. 1.28). Если имеются точные
значения, то по методу наименьших квадратов должны быть вы-
вычислены оценочные значения коэффициентов а и р (а; Ь) (ко-
(коэффициенты регрессии) (см. п. 1.4.3). Если разброс реализаций
велик, а наклон прямой регрессии и коэффициент регрессии
мал,,то имеет место слабая линейная взаимосвязь между ве-
величинами X и Y (рис. 1.28,а). Если разброс, напротив, мал и
коэффициент р велик, то ясно видна сильная взаимосвязь
(рис. 1.28, б). По этому признаку разделяют зависимые и неза-
р-мдло;
$2-6елико,
Рис. 1.28. Изображения реализаций случайных величии X и У прн различ-
различной степени взаимной зависимости (схема): а — слабая зависимость; б —
сильная зависимость (Р — коэффициент регрессии; s2 — разброс)
81
30
Рнс. 1.29. Смена зависимой н независимой переменной прн регрессионном
анализе: а — регрессия у по.хB(Д«/<J=min); б — регрессия х по #B(Дх<2) =
=min)
висимые характеристики (параметры). При оценке зависимо-
зависимости у от х эмпирическая прямая регрессии
у = аух + Ьухх A.112)
является оптимальной аппроксимацией эмпирически определен-
определенной величины у (рис. 1.29,а). При этом минимальной будет
сумма вертикальных отклонений, в то время как в противопо-
противоположном случае
у A.113)
минимальна будет сумма горизонтальных отклонений
(рис. 1.29,6). Какую регрессию следует выполнять, зависит от
конкретных условий. При увеличении корреляции разница
между прямыми регрессии A.112) и A.113) уменьшается
(рис. 1.30). При коэффициенте корреляции |г| = 1 обе регрес-
регрессии совпадают и для коэффициеитов регрессии имеет место
A.114)
' У
,1
X'
Рнс. 1.30. Взаимосвязь между прямыми регрессии х по у (илн у по х) и ко-
коэффициентом корреляции г (схема) прн г=0 (а), 0<г<1 (б) н г=\ (в)
82
в то время как в общем случае (jr|<l)
г = ybyxbxy
A.115)
Ниже будет показано, как определяются коэффициенты
корреляции и регрессии в простейшем линейном случае. Спе-
Специальная литература по статистике предлагает инженерам об-
обширный материал для многих других случаев [17, 18, 22, 26,
82, 83].
1.4.2. Оценка коэффициента корреляции. Пусть имеется вы-
выборка п пар данных (**; yi). Для ее описания вычисляются
средние арифметические хну {см. выражение A.41)] и средние
~1'-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2
0,2 Ofy 0,6 0,8 1,0
Рис. 1.31. Двухсторонние доверительные интервалы для коэффициента кор-
корреляции с доверительной вероятностью е=0,95 в зависимости от объема вы-
выборки п
83
квадрэтические отклонения sx и sy [см. A.48)]. Их дополняет
эмпирический коэффициент ковариации
sxy=
П—\ i=\
A.116)
связывающий обе величины и являющийся усредненным произ-
произведением отклонения от средних величин. '
С помощью этой величины определяется эмпирический коэф-
коэффициент корреляции
r = sj(sjiy) A.117а)
или
-n?) , A.1176)
как его удобнее вычислять.
В соответствии с предложенным в работе {83] (рис. 1.31) мо-
может быть определен двухсторонний доверительный интервал
для коэффициента корреляции г. Поскольку для р = 0 довери-
доверительных интервалов не существует, он может быть использован
лишь при наличии корреляции с р=т^О. Сравнение коэффициен-
коэффициентов корреляции из различных выборок приведено в работе [18].
Пример 1.27. При определении интенсивности частичных разрядов (им-
(импульсных зарядов <?имл) при испытательном напряжении иИсп=50 кВ и
пробивного напряжения ипр при десяти подъемах напряжения должно быть
определено, разрушается лн изоляция под действием частичных разрядов.
Графическое изображение измеренных величин (рис. 1.32) не дает ясного
ответа. Для ответа поэтому следует вычислить коэффициент корреляции и
его доверительный интервал в предположении о нормальном законе распре-
распределения. ___ _
Определяют: <7имп=34,5 пКл; иир=98,6 кВ; s,=26,0 пКл; su=6,l кВ;
коэффициент ковариацин sqvL —
—— —— —~т—— ==85,4 кВ-пКл.
ПКлГгг I I I Г7 I Отсюда коэффициент корреля-
корреляции
во
60
го
■ц
'чип
* S
X
/
/.
ff
/
1 -X
' **£
i
/
/
/
/
f
/
X
85,4
= 0,54.
85 90 95 100 105 КВ
26,0-6,1
С помощью рис. 1.31 определя-
определяем доверительный диапазон [£н=
=—0,12; gB = +0,84]. При этом до-
Рис. 1.32. Графическое изображение
реализации случайных величин из
примера 1.27 и возможные прямые
регрессии
Регрессия <7ИМП по и пр — сплошная ли-
линия; регрессия ипр по <7ИМП ~ штриховая
84
верительный интервал проходит через величину р=0. С полной уверенностью
нельзя утверждать, что имеется корреляция между интенсивностью частич-
частичных разрядов и пробивным напряжением. Для получения четкого ответа не-
необходимо увеличить объем выборки п.
1.4.3. Оценка коэффициента регрессии. Пусть задана вы-
выборка пар чисел (г,-; у с), описанная в п. 1.4.2. При регрессии у
по х A.112) определяют коэффициент регрессии
byx = J^- = r-^-; A.118а)
я _ _ п
Ь„х= £ (x{r— x)(yt— y)lYj (xi—XY- A.1186)
При регрессии х по у получается выражение A.113):
6w = -^L = r-^-; A.119a)
4 Sy
y^ t{yt-yf • A.1196)
В обоих случаях свободный член а задается как
аУх = у—Ьухх~\ A.120)
аху = х-Ьхуу. A.121)
Пример 1.28. Для данных из примера 1.27 необходимо вычислить обе
прямые регрессии и нанести на рис. 1.32.
Регрессия <7Жмп по unv:
bqu = 2,29 пКл/кВ; aqu = — 191,3 пКл;
Wi[пКл1 = — 191,3+2,29ипр [кВ].
Регрессия апр по <7имп
Ьи„ = 0,126 кВ/пКл; auq = 94,2 кВ;
94,2+0,12б<7имп [пКл].
Две прямые регрессии не совпадают; регрессия подтверждает выводы
примера 1.27.
Естественно, что реализация определяет прямые регрессии
(рис. 1.32). Как меру для этого влияния вычисляют остаточную
дисперсию (остаточное изменение). Оно задается:
п
.£ (yt -а„х— byxXif; A.122)
—4" ^ (Xi—axy-bxyyif. A.123)
ft — £ (=1
Дисперсии задаются также и для коэффициентов регрессии
и свободных членов. Они должны быть заданы здесь только
85
для регрессии у по х, как во всех случаях, когда выполняется
регрессия по какому-либо заданному параметру.
Дисперсия свободного члена а определяется как
A.124)
и для коэффициента регрессии b
С помощью этих двух дисперсий [83] могут быть вычислены
двухсторонние доверительные интервалы для свободного
члена —
ая\ ух~
и для коэффициента регрессии —
: tn-% (i+E)/2Sbyx ■ A.127)
Здесь tm;q — квантиль /•'-распределения с т = п—2 степенями
свободы порядка ^=A+е)/2. В работах [18 и 83] имеется опи-
описание вычисления доверительных интервалов для всех прямых
регрессии. Сравнение двух прямых регрессии может быть вы-
выполнено с помощью статистических тестов [18, 27, 83]'.
Как указывалось выше, линейная регрессия может быть ис-
использована, если с помощью каких-либо преобразований дости-
достигается линейность связи между исследуемыми величинами. Это
играет большую роль прежде всего при исследовании времени
жизни высокополимерных материалов (пример 1.26) для опре-
определения его распределения в опытах с постоянным напряже-
напряжением (см. п. 1.2.4). Если для функции распределения имеется
определенная теоретическая функция распределения [например,
нормальное распределение Ф(х)], то линейность достигается
использованием согласующего обратного преобразования
[Ф'(Л)(Л)]
Пример 1.29. В опытах с постоянным напряжением (см. п. 2.1.1) при
пяти различных напряжениях «Лр< ('=1. 2,..., 5) каждый раз делалось
по л=10 измерений. Относительная частость пробоев используется как ве-
вероятность пробоя. Связь между наблюдаемыми напряжениями и вероят-
вероятностью пробоя (т. е. функция распределения) можно считать осуществляю-
осуществляющейся по нормальному закону. Эмпирическая функция распределения должна
быть определена с помощью регрессионного анализа. В предлагаемом слу-
случае напряжение ипр ( является параметром, который с помощью оценки
1 См. также Дж. Сквайре. Практическая фнзнка. — М.: Мир, 1971. (Прим.
пере в.)
86
a) 1
0,8
0,6
ОЛ
0,2
h
/
/
/
57 58 59 60 61 62 KB
Ъ) 0,977
0,9
0,5
0,1
0,023
V
1
- О
-1
--2
s
y
unpf0
У
57 58 59 60 61 62 кВ
Рис. 1.33. Линейная регрессия (пример 1.29); аппроксимация нормальным
распределением: а — нелинейная задача; б — линеаризованная задача (веро-
(вероятностная сетка)
относительной частости пробоя hi определяет, по предположению, нормально
распределенную величину. Должна быть выполнена регрессия Л,- по ипр i.
Чтобы линеаризировать задачу (рнс. 1.33, а), рассмотрим вместо случайной
величины hi преобразованную случайную величину г(з(Л4) (рис. 1.33, б),
причем i|i(fti)—функция, обратная нормальному распределению [27, табл.3].
(Такое же преобразование лежит в основе масштабирования нормальной
сетки нормального распределения — см. п. 1.5.1). В такой форме корреляцию
и линейную регрессию рассматриваемых величин лучше всего делать в форме
таблицы (табл. 1.24). В результате заполнения табл. 1.24 имеем:
эмпнрнческнй коэффициент корреляции A.117)
г = sXyl(Sxsy) = 0,985;
его доверительный интервал, с помощью рнс. 1.31 определяемый лишь
приблизительно: [=*0,70; 1];
коэффициент регрессии прн нужной регрессии г/[г(з(А()] по х(ипр()—см.
A.118)
свободный член — см. A.120)
аух=~у — Ьухх = -37,38.
Это дает прямую регрессии
у= — 37,38+0,621х/кВ;
гр= — 37,38+0,621аПр/кВ
и позволяет вычислить остаточную дисперсию s2rxv (табл. 1.24). Далее по-
получаем:
дисперсию постоянного члена — см. A.124)
slyx= 14,26; «ОДЛ = 3,78;
дисперсию коэффициента регрессии — см. A.125)
4^ = 0,0040 кВ~2; sbyx = 0,063 кВ.
Остается лишь определить доверительные интервалы прн доверитель-
доверительной вероятности е=0,95 с помощью квантиля <з; о,в75 = 3,18 [27, табл. 5]:
для свободного члена аух — см. A.126): [—49,39; —25,37];
87
oo
00
Таблица 1.24
ервал
н
а
X
о.
Номе
1
2
3
4
т = 5
Уравне-
Уравнение
Резуль-
Результат
х =
напряжение
«пр 1- кВ
58
59
60
61
62
A.41);
A.48)
ппр = 60 кВ;
su= 1,58 кВ;
4 = 2.60 «В»
О
If
с
t при
ogodu
о
исл
ЕЛ
1
А!
1
2
5
6
9
_
г
. про
стость
5*
К
А
№
л
К
н С
53-
О ?
0,1
0,2
0,5
0,6
0,9
_
—.
у ^ — преобразован-
преобразованная частость
—1,28
-0,84
0
0,25
1,28
A.41);
A.48)
sy = 5ф = 0,997;
г^ = ^ = 0,994
Гпр)
1
а
с
1*-
1
«Г*
—2
—1
0
1
2
Расчетные величины
£
1
—1,16
—0,72
+0,12
+0,37
+ 1,40
A.116)
1
I
Г а
•-. в
+2,32
+0,72
0
+0,37
+2,80
Коэффициенты ковариации:
= 1,553
кВ
щ.
О
f
II
j
—0
—0
+0
+1
О.
+ 0,62
,36
,74
,12
,50
,12
i
£
1
0,0064
0,0100
0,0144
0,0625
0,0256
A.122)
Остаточный разброс:
SRyx
=
=
0,119;
0,040
для коэффициента регрессии Ьчх — см. A.127): [0,421; 0,821].
В особенности интересно, что параметры нормального распределения
легко вычисляются по коэффициентам прямой регрессии:
для хм=х(^=0)
Чо = "пр so = — ayxlbyx, A.128)
ДЛЯ ДС84=ДС(г|1=1)
*84 = "пр 84 = A — аух)/Ьух;
для эмпирического относительного среднего квадратического отклонения
s = xai— хбо= \/Ьух. A.129)
В данном примере найдем для параметров искомого нормального рас-
распределения: "пр 50=60,2 кВ и s= 1,6 кВ.
Изображенная на рнс. 1.33,6 прямая регрессии и оценка ее параметров
являются наиболее надежными оценками, возможными при заданных т=Ъ
точках измерений. Несмотря на чрезвычайно малый объем выборки, корре-
корреляция очевидна и показана очень наглядно. Естественно, что доверитель-
доверительные интервалы для коэффициентов прямой регрессии очень велики.
1.5. Проверка истинности гипотез
Статистическим тестом [17] является процедура, с по-
помощью которой проверяют, является предположение или ут-
утверждение о (полностью или частично) неизвестной функции
распределения вероятностей согласующимся с полученной кон-
конкретной выборкой или принятое распределение отклоняется от
имеющегося распределения существенно, т. е. статистически
значимо. Сделанное допущение является при этом статистиче-
статистической гипотезой, математическая формулировка которой выра-
выражается с помощью так называемой нулевой гипотезы Но. (Аль-
(Альтернативная гипотеза #i в противоположность нулевой гипотезе
отражает различие их поведения.)
Выдвинув, например, статистическую гипотезу о том, что
среднее значение ц какого-либо распределения равно принятой
(или заданной) величине ц0, получаем нулевую гипотезу Но:
ц = ц0. (Напротив, альтернативная гипотеза о том, что среднее
значение ц данного распределения больше, чем \ю, должна
быть выражена как Н\: ц>ц0)
Процедура выполнения статистического теста без рассмот-
рассмотрения альтернативной гипотезы — так называемая проверка на
значимость — состоит из четырех характерных последователь-
последовательных действий:
1. Выдвижение гипотезы Но.
В дальнейшем обсуждаются гипотезы, например, относи-
относительно типа рассматриваемой функции распределения (см.
п. 1.5.1), относительно принадлежности выборки к генеральной
совокупности (см. п. 1.5.2), а также относительно случайности
(и в особенности независимости) получения данной выборки
(см. п. 1.5.3).
2. Разработка критерия Т.
Для дальнейшего выполнения теста выдвигают подходящий
критерий, основанный на преобразовании выборки. Это некото-
некоторая (случайная) функция выборки, распределение которой из-
известно, если справедлива нулевая гипотеза Но. Для какой-
либо конкретной выборки задается соответствующая реализа-
реализация теста t.
3. Определение критических диапазонов К (или критических
величин ka).
Критический диапазон является частью области изменения
теста Т, внутрь которого с вероятностью не больше чем а попа-
попадает реализация теста Яо при условии справедливости гипотезы
#о- При этом а называют уровнем значимости, который должен
быть выбран в соответствии с конкретной постановкой вопроса
(обычно выбирают а<0,1; чаще всего а=0,05 или а=0,01).
В зависимости от выбранного уровня значимости при помощи
критической величины ka задаются границы критического диа-
диапазона, например: K = (kal; оо) или /( = (=—оо; Ла2) — при
одностороннем тесте (рис. 1.34, а) или /( = [( — оо; &аН); (&аВ;
Критический
диапазон
*
Критический /
диапазон /
a/Z
/
f
Л,
\
i
?
Критический
диапазон
Ли
О t
\t*t
Рнс. 1.34. Иллюстрация к использованию одностороннего (а) и двухсторон-
двухстороннего (б) тестов
Значение теста U: гипотеза не отвергается; значения тестов U, U: гипотеза отвергается;
*<х' *ав' *аи — критические значения; а — уровень значимости
90
°°)]i &ан<&ав—при двухстороннем тесте (рис. 1.34, б). В по-
последнем случае оба диапазона целесообразно выбирать по
возможности равновеликими.
4. Принятие решения (соглашение).
Если при данной конкретной выборке величина теста t по-
попадает в критический диапазон, то гипотеза Но должна быть
отклонена, в противном случае Но не отвергается данным те-
тестом (рис. 1.34). При этом при повторном выполнении теста
лишь в 100 а% случаев может произойти ошибка, при которой
верная гипотеза Но будет отвергнута (ошибка первого рода).
На этом основании величину а называют также вероятностью
ошибки. При установлении критических диапазонов данного
теста играет роль также вероятность возникновения так назы-
называемой ошибки второго рода — не отвергнуть ложную гипотезу
Но, которую следует по возможности уменьшать. Многочислен-
Многочисленные тесты формулируют так, что Но отвергается, если
mi*i
Использование тестов может быть облегчено с помощью но-
номограмм или графических зависимостей. Несколько наиболее
важных для высоковольтной техники тестов описаны ниже.
1.5.1. Исследование распределений. При изучении распреде-
распределений исследуется расхождение между эмпирической функцией
распределения (см. п. 1.2.2) и некоторой теоретической функ-
функцией и устанавливается, является ли оно случайным или значи-
значимым. С точки зрения инженерного, технического применения
удобно связывать процедуру проверки с графическим изобра-
изображением эмпирической функции распределения на вероятност-
вероятностной сетке теоретической функции распределения. Оценка гра-
графического изображения является по сути графическим тестом,
который должен быть выполнен прежде всего ввиду его на-
наглядности.
Графический способ (вероятностные сетки).
Для каждой функции распределения F(x) может быть по-
построена вероятностная сетка [18, 32, 81], в которой линейный
масштаб оси ординат у=р @<р<1) преобразуется с помощью
функции, обратной рассматриваемой функции распределения.
Таким образом линейное деление шкалы z отразит величину
функции по оси у (вероятность р).
Пример 1.30. Вероятностную сетку нормального распределения получают
обращением стандартного нормального распределения г|;((/)=ф-1 (у) [27].
Линейное деление шкалы г=Ф~1 (у) определяется вероятностью:
г = 0 у = Ф @) = 0,5;
г = 1 </ = ФA) = 0,841;
г= — 1 </ = Ф (—1) = — 0,159 и т. д.
(см. [27, табл. 2.6Ь]). Рисунок 1.35 поясняет эту взаимосвязь для нормаль-
нормального распределения.
91
A y=F(x)=p a z-F~f(y)
1,0
0,8
0,6
0,2
0
X
—*■
•0,999
'0,98
+ 0,50
* 0,16
0,02
-+0,001
Рис. 1.35. Масштабы вероятностных сеток
Пример пригоден для нормального распределения Р(х)=Ф(х) и F
=ty (у)
В других случаях конструируется своя система осей вероят-
вероятностной сетки. На рис. 1.36 приведены ординаты таких сеток,
при которых различные специальные функции распределения
имеют одинаковые 50%-ные квантили и одинаковое стандарт-
стандартное отклонение (абсцисса х на рис. 1.36,а). Для нормального
распределения (рис. 1.36,6 и в) показаны ординаты, уже приве-
приведенные на рис. 1.35. Для распределения Вейбулла (рис.
1.36, г—е) для линейной абсциссы х в зависимости от показа-
показателя экспоненты б имеются различные ординаты, в то время как
для двойного экспоненциального распределения (рис. 1.36, ж)
при любом значении параметра имеется только одна ордината.
Известно также, что по мере увеличения б ордината распреде-
распределения Вейбулла переходит в двойное экспоненциальное распре-
распределение. Ординаты двойного экспоненциального распределения
могут быть использованы для любого распределения Вейбулла,
если случайная величина обладает не линейной, а логарифми-
логарифмической зависимостью.
Вероятностная сетка нормального распределения может
быть использована также и для логарифмически-нормального
распределения, поскольку и здесь ось абсцисс имеет логариф-
логарифмический масштаб.
Таблица 1.25 устанавливает принцип конструирования ве-
вероятностных сеток, которые чаще всего применяются при опи-
описании процессов в высоковольтной технике. Существуют раз-
различные вероятностные сетки1; однако следует отметить, что ло-
логарифмический масштаб оси абсцисс лучше любого другого
позволяет выполнять оценку рассматриваемой выборки.
1 Издательство специальных бумаг Плауен (распределение: нормальное
№ 500 и 606, логарифмически-нормальное № 485, Вейбулла № 687).
92
X505S
J
50
0.) J
9
г)
3)
0,001
*Я** XS0'2S
X50
[
-4
-J
-1
I
0,001 0,01 0,1 10,2 0,3 0,40,5 0,6 0,7 0,8
I !
0,001 0,01 0,1 \0,2 0,4 | 0,6 0,8
! !
0,001 0,01 0,1 \о,г ол 10,6 0,8
0,001 0,01
0,1 \0,2 44 0,6 0,8
I I
I !
X5o*2s x50*3s X Случайная
* Величина
0,9 '" 'o,39 0,39S
x Отклонение для нор-
нормального распределения
х Нормальное
0,3 0,39 0,939
x Распределение
~* Вейбулла при: S"=3,3
—*■ 5 = 5
0,9 0,99 0,933
\0,9 0,99 0,999
$=10
0,01
0,1 \0,2 0,4 0,6 0,8 I 0,99 0,999
0,9
x ДВойное экспоненциальное
—*■ распределение (распреде-
(распределение Вейбулла при $~»о)
Рис. 1.36. Сопоставление ординат различных вероятностных сеток при одинаковом 50 %-ном квантиле и одинаковом
стандартном отклонении [69]
Таблица 1.25
Разметка оси
абсцисс
Линейная
Логарифмиче-
Логарифмическая
Разметка оси ординат
Обращенная функция
нормального распределения
Вероятностная сетка нор-
нормального распределения
Вероятностная сетка лога-
логарифмически-нормального
распределения
Обращеаиая функция двойного
экспоненциального распределе-
распределения
Вероятностная сетка двойного
экспоненциального распреде-
распределения
Вероятностная сетка распреде-
распределения Вейбулла
Для выполнения графической проверки эмпирическую функ-
функцию распределения (лучше всего — полигон суммарной часто-
частости) изображают на вероятностной сетке того теоретического
распределения, на основании которого должна быть выполнена
проверка. Далее по реализации проводят аппроксимирующую
прямую — либо произвольно, либо с помощью точечной оценки
параметров, т. е. линейной регрессии (см. пп. 1.3.2 и 1.4.3). От-
Отклонения оцениваются либо визуально, что означает использо-
использование грубого количественного критерия, либо сравнивается
с границами доверительных интервалов (см. п. 1.3.2). Количе-
Количественная оценка выполняется также, если для суммарной ча-
частоты задан доверительный
диапазон: гипотеза относи-
относительно типа функции распре-
распределения не может быть при-
принята, если аппроксимирующая
прямая выходит за все дове-
доверительные области (рис. 1.37).
Если тип функции распре-
распределения неясен, необходимо
выполнить изображение на
различных вероятностных
сетках.
0,01
Рис. 1.37. Графическая проверка ги-
гипотезы о применимости нормального
распределения с помощью довери-
доверительных интервалов
Заштрихован диапазон возможных пря-
прямых; доверительный интервал 7: про-
проверка не отвергает гипотезу; доверитель-
доверительный интервал Та (вместо 7): гипотеза
отвергается
94
т-п 6H,99
0,95
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,05
0,01
V
/
"а
13
t
1
1
1,
А
If
/J
i
>
;
I/
1
/
180 200
'0,99
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,30
0,20
0,10
0,05
0,01
V
/
/
1=
j
*
I-
1 i
J
V
J
-■§■
/
у
и„р.
180 200 кВ
0,99
0,90
0,80
0,70
0'6On
0,50
ОАО
0,30
0,20
0,10
0,05
0,01
V
/
/
:'a
id ,
J
7
i
/
1
i
a
i
/
у
180
200 кВ
Phc. 1.38. Графический контроль таблицы распределення из примера 1.12
с помощью вероятностных сеток: а —для нормального распределення (ипРбо=
=201 кВ; s=10 кВ); б — для логарифмического нормального распределения
(*5о=2,ЗО2; s=0,020); в — для двойного экспоненциального распределення
("пр63=206 кВ; y=9 кВ); г — для распределення Вейбулла ("про=О;
«пР бз=206 кВ; 6=22,5)
Пример 1.31. Для выборки из задачи 12 (первичная таблица распреде-
распределения, табл. 1.2) необходимо установить, какая теоретическая функция рас-
распределения наилучшим образом описывает эмпирические данные. Для этого
полигон суммарной частости был нанесен на вероятностные сетки нормаль-
нормального (рис. 1.38, а), логарифмнческн-иормального (рис. 1.38, б), двойного
95
экспоненциального (рис. 1.38, в) и двухпараметрического вейбулловского
(рис. 1.38, г) распределений и произвольно проведены аппроксимирующие
прямые. Установлено, что лучше всего получается аппроксимация при двой-
двойном экспоненциальном распределении. При этом максимальное расхожде-
расхождение между полигоном и сглаживающей прямой dmax = 0,08, для распреде-
распределения Вейбулла — ^тах = 0,09, для нормального распределения — dmax=0,14,
для логарифмически-нормального — dmax = 0,17. К тому же двойное экспо-
экспоненциальное распределение дает наилучшую аппроксимацию в диапазоне
«малых» квантилей, представляющем наибольший интерес применительно
к высоковольтной технике для определения выдерживаемого напряжения
(см. п. 2.4.2) и закона умножения (см. гл. 5). Для приближенных качест-
качественных оценок в целом графический метод представляет большое удобство.
При малых объемах выборки E<я<20) при проверке нор-
нормального распределения для сокращения расчетов можно отка-
отказаться от вероятностной сетки, если имеется шаблон Муртина
«Минилот»'. С помощью этого шаблона находят реализации,
соответствующие данной ординате вероятностной сетки, причем
определяется уже относительная суммарная частость.
Все вероятностные сетки дают возможность выполнить пря-
прямую оценку параметров по графическому изображению с по-
помощью метода квантилей. Необходимые для этого неизвестные
квантили определяются по эмпирической функции распределе-
распределения при любом типе распределения (см. п. 1.3.2).
Расчетный способ.
При расчетной проверке аппроксимации эмпирической
функции распределения какой-либо теоретической последова-
последовательно выполняются описанные выше действия (выдвижение
гипотезы, теста, критической величины, сравнение). В дальней-
дальнейшем основное внимание уделено тесту Колмогорова [17, 27, 83
' и др.], при котором оценивается максимальное отклонение эм-
эмпирического и теоретического распределений. Применяемый
иногда тест х2 Пирсона, учитывающий все отклонения при по-
построении критерия, здесь лишь упомянут. Он подробно описан
в литературе [18, 27, 83].
Тест Колмогорова.
Гипотеза. Для заданной выборки объема п неизвестная (эм-
(эмпирическая) функция распределения Fn (x) сопоставляется
с ожидаемой теоретической функцией распределения Fo (х).
Величина критерия. Критерием является максимальное от-
отклонение между эмпирической и теоретической величинами:
dma^max\Fn(x)—F0(x)\ (-ос<х<+оО), A.130)
как поясняет рис. 1.38.
Значение критерия можно определять графически (см.
рис. 1.38), что удобно связывать с графическим тестом, или
с помощью точечной оценки параметров Fa(x) в форме таб-
таблицы максимальных отклонений (путем дополнения таблицы
1 Подробное описание приведено в работе [18].
96
Таблица 1.26
Объем выборки я
8
12
16
20
24
30
40
50
75
100
П -*■ оо
(асимптотическое при-
приближение)
kn. a для уровня значимости а, равного
0,10 '
0,410
0,338
0,295
0,265
0,242
0,218
0,189
0,170
0,139
0,121
1,224
ук
0,05
0,454
0,375
0,327
0,294
0,269
0,242
0,2101
0,188
0,154
0,134
1,358
ук
0,02
0,507
0,420
0,366
0,329
0,301
0,270
0,235
0,211
0,173
0,150
1,517
Уп
исходных реализаций всеми отклонениями между эмпирической
и теоретической суммарными частостями в точках реализаций).
Критическая величина. Критическая величина для двухсто-
двухстороннего теста табулирована ([27, табл. 19], частично —
в табл. 1.26).
Сравнение. Гипотеза отклоняется, если dmax>kn;a.
x-s
x+s
Рис. 1.39. Границы приемлемых значений теста Колмогорова [34] (уровень-
значимости а=0,10)
97
Проблемы. Значение теста kn\ а с одной стороны сущест-
существенно зависит от объема выборки, и при малом объеме выборки
тест не является точным. С другой стороны, особенно при гра-
графическом изображении значения теста (рис. 1.39 — «границы
Колмогорова») оказывается, что оценка типа распределения
в диапазоне «малых» и «больших» квантилей требует чрезвы-
чрезвычайно большого объема выборки, что, как правило, не может
быть реализовано в высоковольтной технике. Рекомендуется
также увязывать выполнение теста с графическим изображе-
изображением (рис. 1.38), чтобы уменьшить число точек, требующих
внимания. Для сравнения различных данных можно получить
сумму отклонений между эмпирическими и теоретическими ве-
величинами (или сумму их квадратов) в диапазоне р<ро (на-
(например, ро = О,1).
Пример 1.32. Необходимо оценить расхождение между эмпирической и
теоретической функцией распределения из примера 1.31 (рис. 1.38) с по-
помощью критерия Колмогорова. При уровне значимости а=0,10 для выборки
■с п=24 табл. 1.26 дает критическое значение &24; о,ю=0,242. Все отклонения
меньше этого значения, и таким образом гипотеза о соответствии не отвер-
отвергается. Эта проверка является недостаточно полной, чтобы отвечать той же
постановке вопроса при лучшей аппроксимации. Для повышения надежно-
надежности необходимо увеличить объем экспериментальной выборки л. Если такой
же полигон построен прн л=100 реализациях, то при ftioo; o,io=0,121 гипо-
гипотеза о нормальном распределении (dmax=0,14) илн логарифмически-нор-
логарифмически-нормальном (rfmax=0,17) определенно отвергается. Оба экстремальных распре-
распределения значительно лучше описывают имеющиеся соответствия (dmах = 0,08
нли 0,09).
1.5.2. Проверка принадлежности выборки генеральной сово-
совокупности. Часто необходимо выполнить сравнение выборок, для
того чтобы принять решение о возможности объединения от-
отдельных выборок в одну большую выборку, определить влия-
влияние определенного экспериментального параметра или выявить
наличие изменений в ходе выполнения эксперимента (см.
п. 1.5.3). Такое сопоставление, с одной стороны, может быть
выполнено при известной зависимости функции распределения
от ее параметров (параметрический тест, проверка гипотезы
относительно определенного параметра), а с другой — с по-
помощью критериальной величины как характерного признака
объединенной выборки' при неизвестной функции распределе-
распределения (свободнораспределенный или непараметрический тест, на-
например ранговый тест, а также £/-тест).
Существует большое количество тестов [27 и 83}, с помощью
которых проблема может быть решена. Здесь могут быть об-
обсуждены лишь несколько выбранных тестов, которые сведены
в табл. 1.27—1.31, позволяющие систематизировать проблему,
1 Объединенная выборка составляется путем объединения всех сравни-
сравниваемых выборок.
98
сослаться на возможные тесты и на литературу с примерами
применительно к высоковольтной технике:
табл. 1.27 — сравнение двух независимых выборок или вы-
выборки с известной генеральной совокупностью при непрерыв-
непрерывных случайных величинах (параметрический и непараметриче-
непараметрический тест);
табл. 1.28 — сопоставление более чем -двух независимых вы-
выборок при непрерывных случайных величинах {k — 2 — см.
в табл. 1.27);
табл. 1.29 — сравнение объединенных выборок; такие вы-
выборки возникают, например, когда одинаковые серии измере-
измерений получены до и после какого-либо определенного действия
(например, нагревания или длительной выдержки под напря-
напряжением), так что в каждом испытании получена одна пара
реализаций; тест устанавливает влияние обработки;
табл. 1.30 — сопоставление относительных частостей и эм-
эмпирических параметров функций распределения дискретных
случайных величин;
табл. 1.31 — тесты корреляции и регрессии.
Параметрические тесты особенно развиты для нормального
распределения. При обсуждении усредненной тенденции, од-
однако, эти тесты можно использовать в центральном диапазоне
и других распределений, поскольку в диапазоне x5o±s имеются
лишь весьма незначительные расхождения между различными
распределениями (рис. 1.36). Ниже приведены два параметри-
параметрических теста и один непараметрический тест для сравнения
двух выборок из постоянной генеральной совокупности, а также
тест сопоставления двух вероятностей.
/•"-тест (сопоставление двух эмпирических дисперсий) [18,
27, 83}.
Гипотеза. Дисперсии ах2 и ау2 двух генеральных совокупно-
совокупностей с нормальным распределением, представленных двумя вы-
выборками объемом пх и пу и эмпирическими дисперсиями sx2 и
sy2, идентичны: а^ = ау2.
Значение теста:
A.131)
причем при обозначении выборок следует установить. s^^Sy.
Критическое значение. Критическое значение Fm ; m ■ q зада-
задается /^-распределением (табл. 1.21) как квантиль при числе степе-
степеней свободы m.i = nx—1; пг2 = Пу—1 порядка q=\—а/2 (двухсто-
(двухсторонний тест с уровнем значимости а).
Сравнение. Гипотеза отвергается, если t>Fm^ т^ q.
Пример 1.33. Имеются две выборки значений пробивного напряжения
объемом «1 = 17 и л2 = 21 и их эмпирические дисперсии Si2=63,68 кВ2 и
s22=32,60 кВ2. Поскольку Si2>s22, обозначим sx2=sxa, s?=sv*; rti=nx; л2=
— пч. В соответствии с выражением A.131) значение теста /=1,95. Если
4* 99
Таблица 1.27
Задача
Принадлежит ли выборка
с эмпирической дисперсией
Sa генеральной совокупно-
совокупности с дисперсией Oq?
Принадлежат ли две вы-
выборки с эмпирическими дис-
дисперсиями s£, s^ генераль-
генеральным совокупностям с оди-
одинаковыми дисперсиями?
Принадлежит ли выборка
со средиим арифметическим
значением х генеральной со-
совокупности с математиче-
математическим ожиданием ц„?
Тест
Дисперсионный
тест X2
F-тест
Дисперсионный
f-тест
Тест Пиллаи
Тест математи-
математического ожида-
ожидания
f-тест
Условие применимости
Генеральная совокупность рас-
распределена по нормальному зако-
закону; Oq известна
Генеральная совокупность рас-
распределена по нормальному зако-
закону; произвольные объемы выборок
пх и пу
То же, но при пх = пу
Закон распределения генераль-
генеральной совокупности близок к нор-
нормальному, произвольные малые
объемы выборок: пх < 10; пу ^ 10
Генеральная совокупность рас-
распределена по нормальному зако-
закону; параметры ц0 и Од известны
То же, ио при неизвестной Од
Источник
[18, с. 139;
27, с. 120]
Пункт 1.5.2;
[18, с. 141;
27, с. 137;
83, с. 261]
[83, с. 261)
[83, с. 276J
[18, с. 124;
27, с. 99;
83, с. 257]
[18, с. 131;
27, с. 130]
Применение в высоко-
высоковольтной технике
Сопоставление
свойств нового об-
образца и известных
характеристик
Оценка данных из-
измерений; определе-
определение разброса образ-
образцов
Сопоставление
свойств нового образ-
образца и известных ха-
характеристик
Принадлежат ли две вы-
выборки со средними арифме-
арифметическими значениями х и
у генеральным совокупно-
совокупностям с одинаковыми мате-
математическими ожиданиями?
Принадлежат ли две вы-
выборки одной генеральной
совокупности независимо от
их функций распределения?
Двойной <-тест
Тест Вельха,
тест Вейра
Тест Лорда
Тест Мостел-
лера
Быстрый тест
Тукеи
Тест Колмого-
Колмогорова — Смирнова
Х-тест (Ван-
дер-Вардена)
У-тест (Вилко-
ксона)
Генеральная совокупность рас-
распределена по нормальному зако-
закону; дисперсии совпадают, но не-
неизвестны (т. е. F-тест не дает от-
отрицательного результата; если
двойной <-тест не дает отрица-
отрицательного результата, то имеет
место общая генеральная совокуп-
совокупность)
То же, но прн неизвестных и
различных дисперсиях
Закон распределения генераль-
генеральной совокупности близок к нор-
нормальному; малые объемы выборок:
п х= «у < 20
х=
Произвольное распределение;
малые объемы выборок; грубые
оценки
То же, но обе выборки имеют
приблизительно одинаковый объ-
объем
Произвольные распределения
при средних и больших объемах
выборок (очень чувствительный
тест)
То же, но менее трудоемкий и
менее чувствительный
Пункт 1.5.3;
[18, с. 136;
27, с. 131;
83, с. 266]
[83, с. 270;
83, с. 273]
[83, с. 277]
[83, с. 284]
[83, с. 289]
[83, с. 291]
[27, с. 224]
[27, с. 231;
83, с. 293]
Оценка данных из-
измерений
Определение раз-
разброса образцов в опы-
опытах с нарастающим
напряжением (оди-
(одинаковые измерения
на двух образцах из
различных партий)
Таблица 1.2S
Задача
Принадлежат ли средние
арифметические значения
к выборок *i, . . . , Xk ге-
генеральной совокупности с
математическим ожиданием
Но?
Принадлежат ли эмпири-
эмпирические дисперсии к выбо-
выборок S|, . . . , s^ генеральной
совокупности с дисперсией
а20?
Принадлежат ли к выбо-
выборок одной генеральной со-
совокупности?
Тест
Вариаци-
Вариационный ана-
анализ
(F-тест)
Тест
Шеффи
Тест
Дункана
Тест
Кохрана
Тест
Хартлея
Тест
Бартлетта
//-тест
(Крускала—
Валлиса)
Условие применимости
Генеральная совокупность рас-
распределена по нормальному закону;
дисперсии неизвестны, но совпадают
То же, применяется после откло-
отклонения гипотезы вариационного ана-
анализа для проверки значимости раз-
различия к средних арифметических
значений
То же, но из k величин два про-
произвольно выбранных средних ариф-
арифметических значения после отклоне-
отклонения гипотезы вариационного ана-
анализа проверяются на совпадение
Предпосылки как для вариацион-
вариационного анализа, однако выборки дол-
должны иметь одинаковый объем
То же, но проще выполняется и
менее чувствителен
То же, но объемы выборок могут
быть различны
Произвольные распределения (ана-
(аналогично [/-тесту для двух выборок
Источник
[27, с. 138;
83, с. 485]
[27, с. 138;
83, с. 492]
[27, с. 160]
[27, с. 158;
83, с. 480]
[83, с. 480]
[83, с. 483]
[83, с. 302]
Применение в высоковольтной
технике
Сопоставление новых
данных с результатами
многолетних испытаний
Особый интерес предста-
представляют при испытаниях об-
образцов с последующим ста-
статистическим анализом ре-
результатов, в особенности при
измерениях частичных раз-
разрядов
Присоединение ново!-
выборки к имеющейся вы-
выборке чрезвычайно боль-
большого объема
Объединения отдельных
выборок
Таблица 1.29
S
Задача
Принадлежат ли средние
арифметические значения
двух выборок генеральным
совокупностям с одинаковы-
одинаковыми математическими ожида-
ожиданиями?
Принадлежат ли эмпири-
эмпирические дисперсии двух объ-
объединяемых выборок гене-
генеральным совокупностям с
эдинаковыми дисперсиими?
Тест
^-тест для по-
попарных раз-
разностей
Тест Вилкок-
сона для по-
попарных раз-
разностей
Максималь-
Максимальный тест
Тест значимо-
значимости (Диксона—
Муда)
Сравнение пе-
переменных
Условие применимости
Генеральные совокупности распре-
распределены по нормальному закону; дис-
дисперсии неизвестны, но совпадают
Произвольные распределения, од-
однако почти столь же высокая чув-
чувствительность, как у ^-теста; сопо-
сопоставляются не столько средние зна-
значения, сколько общий характер за-
зависимостей
То же, но значительно менее чув-
чувствителен
То же, но тест может быть исполь-
использован при случайном извлечении пар
элементов из двух независимых вы-
выборок
Генеральные совокупности распре-
распределены но нормальному закону
Источник
[18, с. 134,
83, с. 309]
[83, с. 313]
[83, с. 314]
[27, с. 220;
83, с. 315]
[83, с. 311]
Применение в высоко-
высоковольтной технике
Измерения интенсив-
интенсивности частичных разря-
разрядов на одной группе об-
образцов до и после дли-
длительного приложения
нагрузки; оказало ли оно
влияние на интенсив-
интенсивность частичных разря-
разрядов?
Таблица 1.30
Задача
Принадлежит ли выборка с от-
относительной частостью h = kin
альтернативной генеральной сово-
совокупности с вероятностью р0?
Принадлежат ли две выборки
с относительными частостямн Aj =
= kjn и Л2 = kjn альтернатив-
альтернативной генеральной совокупности
с вероятностью р0?
Принадлежат ли две выборки
с оцениваемыми параметрами двух
распределений Пуассона одной
генеральной совокупности?
Тест
Проверка от-
относительной ча-
частости
Сравнение двух
относительных
частостей
Сравнение двух
абсолютных ча-
частостей
Четырехкрат-
Четырехкратный хг-тест
G-тест Вульфа
Сравнение па-
параметров распре-
распределения Пуас-
Пуассона
Условие применимости
Тест эмпирических
параметров биномиаль-
биномиального распределения р
Сравнение эмпириче-
эмпирических параметров двух
биномиальных распре-
распределений
Быстрый тест для
ориентировочной оцен-
оценки
Сравнение эмпириче-
эмпирического параметра р би-
биномиального распреде-
распределения с табличными
данными
Тест близок к четы-
четырехкратному х2"тестУ>
однако имеет преиму-
преимущества прн расчете и
лучшую теоретическую
базу
Сравнение эмпириче-
эмпирических параметров двух
распределений Пуас-
Пуассона
Источник
[18, С. 154;
27, с. 100]
Пункт 1.5.2;
[18, с. 156;
83, с. 333]
[83, с. 340]
[18, с. 181;
27, с. 123;
83, с. 341]
[83, с. 346]
[83, с. 187]
Применение в высоковольт-
высоковольтной технике
Проверка соответст-
соответствия контрольных изме-
измерений вероятности про-
пробоя известным данным
Проверка соответствия
вероятностей пробоя
двух образцов при по-
постоянном напряжении
Сравнение очень малых
вероятностей пробоя
Таблица 1.31
Задача
Соответствует ли эмпириче-
эмпирический коэффициент корреляции
г теоретическому значению р?
Значимо ли различие двух
эмпирических коэффициентов
корреляции?
Значимо ли отличие эмпири-
эмпирического коэффициента корре-
корреляции от нуля? Зависимы или
независимы одна от другой две
исследуемые характеристики?
Тест
Тест на основе
преобразования
Фншера
Тест на основе
преобразования
Фишера
t-тест независи-
независимости
Тест макси-
максимальной реализа-
реализации случайной
величины
Х2-тест незави-
независимости
Условие применимости
Генеральнаи совокупность
распределена по нормальному
закону
Генеральная совокупность
распределена по нормальному
закону; важное замечание:
если г случаен и отличен от
нуля, исследуемые характери-
характеристики могут быть все же неза-
независимы одна от другой
Взанмная независимость про-
проверяется не с помощью коэф-
коэффициента корреляции, а на ос-
основе использования табличных
данных
Источник
[18, с. 158;
27, с. 174]
[18, с. 161;
27, с. 175]
[27, с. 132]
[27, с. 170]
[27, с. 123]
Применение в высоко-
высоковольтной технике
Соответствие извест-
известных величин новым дан-
данным
Выяснение взаимо-
взаимосвязи двух измеряемых
величин
Установление взаимо-
взаимосвязи между интенсив-
интенсивностью частичных раз-
ридов и уровнем напря-
напряжения пробоя
о
о
Продолжение табл. 1.31
Задача
Соответствует ли эмпириче-
эмпирический коэффициент регрессии
Ьух теоретическому значению
Соответствует ли эмпириче-
эмпирическое значение свободного чле-
члена в уравнении регрессии тео-
теоретической величине?
Значимо ли расхождение
двух прямых регрессии?
Тест
<-тест коэффи-
коэффициента регрессии
Определение
остаточного раз-
разброса с помощью
F-теста, сопоста-
сопоставление коэффи-
коэффициентов регрес-
регрессии
Условие применимости
Зависимая характеристика у
распределена по нормальному
закону
Зависимые характеристики
ух и у2 распределены по нор-
нормальному закону
Источник
[18, с. 167;
27, с. 133;
83, с. 426)
[18, с. 167;
83, с. 427]
[18, с. 168;
83, с. 428]
Применение в высоковольт-
высоковольтной технике
Соответствие измерен-
измеренной длительности жиз-
жизни полученным ранее
значениям (а0, Ьо)
Соответствие двух
измеренных длительно-
длительностей жизни или двух
функций поведения
гипотеза проверяется с уровнем значимости а=0,05, то при tni = \6, тг=20 и
9=0,975 по табл. 1.21 находим критическое значение Fie; зо; о,в75=2,55. По-
Поскольку 1,95<2,55, гипотеза о том, что обе генеральные совокупности об-
обладают одинаковыми дисперсиями, ие может быть отвергнута.
Двойной tf-тест (сопоставление двух средних величин) [18,
27, 83].
Гипотеза. Средние величины [ix и \iy двух нормально рас-
распределенных генеральных совокупностей идентичны: ц,ж = ц,у.
Тест выполняется при условии равенства дисперсий (тест про-
проводят после предварительного применения F-теста с положи-
положительным результатом!) для двух выборок объемом пх и пу со
средними величинами х и у и эмпирическими дисперсиями
sx2 и sy2.
Значение теста:
t== (х — у) л/пхпу/(пх + пу) A132)
Критическое значение. Критическое значение tm; q задается
/-распределением (табл. 1.22) как квантиль при числе степеней
свободы пг = пх+Пу—2 порядка q=\—а/2 (двухсторонний тест
с уровнем значимости а).
Сравнение. Гипотеза отвергается, если \t\^>tmlq.
Пример 1.34. Имеются две выборки измерений пробивного напряжения
с известными значениями n*=18; х = 53,2 кВ; s*2=22,5 кВ2; n=24; i/ =
= 48,4 кВ; Sj,2= 16,4 кВ2. В соответствии с выражением A.132) значение
теста /=3,53, а по табл. 1.22 при /я=40 для а=0,05 и ^=0,975 критиче-
критическая величина составляет tio-, 10,975=2,02. Ввиду того что 3,53>2,22, гипотеза
отвергается. Следовательно, выборки принадлежат различным генеральным
совокупностям.
Для двойного /-теста возможен также графический способ
[18] (сетка для него имеет № 621 в издательстве специальных
бумаг Шафера, Плауена).
{/-тест (независимое от распределения сопоставление двух
выборок) [18, 83].
Гипотеза. Две генеральные совокупности с функциями рас-
распределения F(x) и F(y) представлены двумя выборками объ-
объема пх и пу с реализациями Х\, ..., хи ..., хпх и уи ■ ■ •> Уз, • • •.
упу. Их функции распределения идентичны: F(x)=F(y).
Значение теста. Все значения объединяются в выборку объ
ема пх + пу и нумеруются в порядке возрастания от 1 до пх +
+ пу. Номер называют рангом r(xi) или г (г/г), причем одинако-
одинаковые реализации получают равные ранги (средняя величина
номеров этих реализаций).
107
Таблица 1.32
пу
8
10
12
15
20
25
30
35
40
8
13
17
22
29
41
53
65
77
89
10
17
23
29
39
55
71
87
103
119
Значения £/_
пх
12
22
29
37
49
69
89
109
129
149
15
29
39
49
64
90
117
143
169
196
; л ; „ при л , равном
у а х
20
41
55
69
90
127
163
200
237
274
25
53
71
89
117
163
211
258
306
354
30
65
87
109
143
200
258
317
375
434
35
77
103
129
169
237
306
375
445
515
40
89
119
149
196
274
354
434
515
596
Примечание. Тест двухсторонний; а = 0,05.
Для каждой выборки определяют сумму
рангов:
присвоенных
по которым и определяют значение теста
гдеы -R
1ДС Ux— Кх
u = min(u/, uy),
я* <"*+!) ■ и -R М"
A.134)
Критическое значение. Критическое значение Vn^nxa для
одно- и двухстороннего теста табулировано ([27, табл. 18], ча-
частично— в табл. 1.32).
Сравнение. Гипотеза отвергается, если и < Uп ■, п ■, а-
х у
Пример 1.35. Имеются две выборки измерений пробивного напряжения,
ранги которых указаны в табл. 1.33. После вычисления сумм рангов опре-
определяются и*=92 и и„ = 40; значение теста и = 40. Если проверяется гипотеза
о возможности объединения обеих выборок с уровнем значимости а=0,05,
то с помощью интерполяции (табл. 1.32) нли прямо из работы [27] нахо-
находится критическое значение I/i2; ц;о,о5=33. Поскольку 40>33, гипотеза не
может быть отвергнута. Обе выборки могут считаться принадлежащими
одной генеральной совокупности.
Сравнение двух вероятностей [18, 83].
Гипотеза. Вероятности pi и рч двух различных генеральных
совокупностей, представленные двумя относительными часто-
стями h\ = k\\ti\ и h2 = k2/n2, идентичны: р\ = р2-
Значение теста.
—/ц)
■). A.135)
108
Таблица 1.33
Выборка 1 (Пд.= 12);
Напряжение пробоя
"пр- кВ
221
226
228
190
203
208
200
204
232
202
222
235
Сумма рангов Rx = 170
и 170 12<12+1)
2
протокол х
Ранг
15
19
20
4
10
13
7
11
22
9
17
23
Выборка 2 (п = 11)
Напряжение пробоя
"пр- кВ
198
231
225
207
189
221
221
201
186
195
184
Сумма рангов Ry =
и 106 11(П +
" 2
; протокол у
ранг
6
21
18
12
3
15
15
8
2
5
1
■—
106
1) 40
Значение теста min (92; 40) = 40
Критическое значение. Критическое значение Xq задается
стандартным нормальным распределением (табл. 1.6) как
квантиль порядка q=l—а/2 (двухсторонний тест с уровнем
значимости а).
Сравнение. Гипотеза отвергается, если |
Пример 1.36. Двумя выборками определены относительные частости
hi —12/25 = 0,480 и Л2 = 11/30=0,367. При испытании нулевой гипотезы полу-
получено значение теста по формуле A.135): 2=0,846 и при а=0,05 по табл. 1.6
критическое значение А,о,975 = 1,960. Поскольку 0,846<1,960, гипотеза ие мо-
может быть отвергнута. Следует исходить из того, что обе выборки принадле-
принадлежат одной генеральной совокупности.
1.5.3. Проверка независимости реализации. Статистическая
оценка выборок допустима, если реализации выбираются из ге-
генеральной совокупности случайно в том смысле, что они неза-
независимы одна от другой (см. п. 1.1.3). Эта проблема может быть
разъяснена для любой статистической оценки с помощью те-
тестов. При этом рекомендуется выполнять простой графический
тест уже в процессе выполнения эксперимента, в то время как
для расчетной обработки удобен полностью заполненный лист
109
испытаний (см. пп. 2.2.2. и 2.3.2). В дальнейшем изложении
объяснены несколько наиболее важных тестов на независи-
независимость и для реализаций сложных событий (вероятностей про-
пробоя), основанных на известных методах (табл. 1.34) обработки
выборок непрерывных случайных величин.
Сложные события.
В процессе эксперимента желательно выполнять следующий
способ контроля независимости:
Реализации биномиально распределенной случайной вели-
величины (в высоковольтной технике — главным образом, пробой
или его отсутствие) фиксируются по мере их возникновения и
делятся на равные группы, для которых определяются относи-
относительные частости (табл. 1.35).
Если относительные частости отдельных групп меняются по
отношению к среднему значению объединенной выборки слу-
случайно, то имеет место независимость (табл. 1.35, п. 1). Если
фиксируется последовательное уменьшение (табл. 1.35, п. 2),
увеличение или тенденция к периодическому колебанию, это
означает их взаимную зависимость. Графический контроль мо-
может быть дополнен количественно, путем сравнения вероятно-
вероятностей отдельных групп друг с другом, или же расчетной обра-
обработкой объединенной выборки (см. пример 1.36 [86]). Чтобы
получить с помощью теста надежное суждение, необходимо,
чтобы объем каждой группы пт был не слишком мал. Рекомен-
Рекомендуемое значение лт>20; недопустимо, чтобы ит<10. Если рас-
расчетный материал ограничен, то в большинстве случаев бывает
достаточно сравнить первую и последнюю или наиболее разли-
различающиеся группы.
Пример 1.37. При сравнении отклонений средних величин объединенной
выборки, изображенной в табл. 1.35, п. 1, и отдельных выборок их можно
считать независимыми. Таблица 1.35, п. 2 заставляет предположить тенден-
тенденцию к быстрому уменьшению относительной частости (зависимость). Срав-
Сравнение вероятностей (см. п. 1.5.2) первой (ft,i = 0,95) и последней (/г;5=0,05)
частичной группы дает значение теста z=5,692, что значительно больше,
чем критическая величина Ао,975=1,960 при уровне значимости а=0,05, так
что гипотеза о совпадении относительных частостей обеих групп очевидным
образом отвергается.
Графический контроль при завершающем сопоставлении
позволяет сделать определенное утверждение относительно тен-
тенденции выборок, но не относительно того, случайно или нет
расходятся реализации обоих сложных событий.
Каждую группу однородных событий, т. е. каждую группу
пробоев или непробоев, называют итерацией. Если встречается
мало итераций, то имеет место «группирование» результатов,
что уже является признаком взаимной зависимости, как и
слишком редкая смена событий. С помощью итерационного
теста [21, 83] проверяется, является ли число итераций доста-
достаточным, чтобы выборку можно было квалифицировать как
ПО
Таблица 1.34
Задача
Тест
Условие применения
Источник
Применение в высоковольтной
технике
Являются ли случай-
случайными последовательно
возникающие сложные
события?
Итерационный
тест Стевенса —
Валлиса — Фисца
Реализации оцениваются
в порядке их появления (за-
(записи в протокол)
Пункт 1.5.3;
[21; 83, с. 369]
Выбор последовательно-
последовательности измерений в опытах с не-
неизменяемым напряжением
Являются ли случай-
случайными последовательно
возникающие реализации
непрерывной случайной
величины?
Фазовый тест
Валлиса и Мура
Последовательно возникаю-
возникающие реализации оцениваются
по их разностям
[83, с. 371]
Выбор последовательно-
последовательности измерений в опытах с
нарастающим напряжением
Тест Кокса и
Стюарта
Сопоставление реализаций
в начале и конце протокола
[83, с. 372]
Тест Неймана
Последовательно возникаю-
возникающие реализации оцениваются
по квадратам их разностей
[83, с. 367]
Модифициро-
Модифицированный итера-
итерационный тест
Вычисляется и оценивается
среднеарифметическое значение
последовательности реализаций
Пункт 1.5.3;
[83, с. 369]
Принадлежит ли подо-
подозрительная величина
(выброс, максимальное
или минимальное значе-
значение) той же генеральной
совокупности, что и ос-
остальная часть выборки?
Тест на выброс
Генеральная совокупность
распределена по нормальному
закону; если исследуемое зна-
значение определено как выброс,
его удаляют из выборки
Пункт 1.5.3;
[27, с. 194;
83, с. 279]
Устранение ошибок из-
измерения и регистрации
в опытах с нарастающим на-
напряжением
Правило Томп-
Томпсона
Ранговый тест
на выброс
Последовательно возникаю-
возникающие реализации оцениваются
по их разностям
[27, с. 198]
B7, с. 199]
Таблица 1.35
Графический контроль взаимной независимости событий
(дополнительные события)
Относитель-
Относительная частость
1. Промежуток сфера — плоскость в атмосферном воздухе
— XXX X— ХХХХХХХ— X— X 0,65
X — X
XXX XX — XX— ХХХХХХ
— ХХХХ — ХХХХХХ— X— XXX
XXX— XX — X— X X — XX X — X
XX— ХХХХ X— X — ХХХХХХ —
0,75
0,70
0,60
0,70
0,68
2. Промежуток сфера — плоскость в замкнутом сосуде
ХХХХХХХХХХХХХХХХХХ — X 0,95
X— X— XX— XX XXX— X X —
X X X — X X— X X— X— X X
— X X
— X • — X — X X X
X
0,55
0,50
0,35
0,05
0,48
Примечание. Крестики — пробой; черточки — отсутствие пробоя.
«случайную», что означает независимость реализаций одна от
другой.
Гипотеза. Реализации взаимно независимы.
Значение теста:
[2 ("-*>П A.136)
L пуп J
при объеме выборки п, числе положительных результатов k и
числе итераций г (групп одинаковых результатов).
Критическое значение. Критическое значение lq задается
стандартным нормальным распределением (табл. 1.6) как
112
квантиль порядка q=\—а/2 (двухсторонний тест с уровнем
значимости а). При малых объемах выборки критическое зна-
значение следует выбирать из [83, табл. 99].
Сравнение. Гипотеза отвергается, если \z*\>Xq.
Пример 1.38. Итерационный тест выполняется для выборки табл. 1.35,
п. 1. При объеме выборки л=100, числе пробоев k=68 и числе итераций
/•=47 получается величина z*=0,800. При уровне значимости <х=0,05 кри-
критическое значение ал,он =1,960. Поскольку 0,800< 1,960, гипотеза не может
быть отвергнута. Выборка может рассматриваться как случайнаи.
Графический контроль и итерационный тест дополняют друг
друга своими указаниями относительно общей тенденции к на-
направленному изменению или случайной последовательности; их
необходимо использовать одновременно (см. п. 2.2.2). Осталь-
Остальные указанные в табл. 1.34 способы и примеры их применения
в высоковольтной технике описаны в работах [87, 88] вместе
с соответствующими тестами (F-тест дисперсий, tZ-тест, срав-
сравнение доверительных интервалов).
Непрерывные случайные величины.
В данном случае также рекомендуется прежде всего исполь-
использовать графический метод: реализации наносят на диаграмму
в зависимости от номера N отдельного опыта в последователь-
последовательности их появления (рис. 1.40). Прежде всего в процессе экс-
эксперимента можно выполнить визуальную оценку: если реали-
реализации распределены около среднего значения случайным об-
образом, то не возникает возражений против допущений об их
МПа
0,25
0,15
0,10
220
180
- 100
60
• ..V
f •
•
-'•V
•
•
• ••
•
1
• •. • ,
20
W
60
80
100
Рис. 1.40. Графический контроль независимости непрерывной генеральной
совокупности
Коаксиальные цилиндры в элегазе; для давлений р20, равных 0,15, 0,25 и 0,40 МПа,
реализации независимы; для давления ра>=0,10 МПа — зависимы; частота напряжения
пробоя 50 Гц
113
взаимной независимости (рис. 1.40). Границы диапазонов дав-
давления р2о соответствуют 0,15; 0,25 и 0,40 МПа. Если имеют ме-
место уменьшение (рис. 1.40, р2о=О,1 МПа), возрастания или тен-
тенденция к периодическим колебаниям давления, то следует при-
принять существование взаимной зависимости реализаций.
Путем сравнения отдельных групп из общей выборки
(F-тест, f-тест, U-recr — см. п. 1.5.2) можно повысить качество
графического контроля. Для ответа на вопрос о взаимной не-
независимости в особенности следует исследовать первую и по-
последнюю группу объединенной выборки. В каждой группе дол-
должно быть не менее 10 реализаций.
Целесообразно чередовать выполнение теста на независи-
независимость непрерывно меняющихся реализаций с итерационным
тестом. При этом реализации сравниваются со средним ариф-
арифметическим: если их значения больше — говорят о положитель-
положительном отклонении, если меньше — об отрицательном. В этих слу-
случаях сложные события исследуют итерационным тестом (см.
п. 1.5.3). Большие значения k получаются при положительном
отклонении, поскольку среднее значение должно уменьшаться
одновременно с уменьшением реализаций.
Пример 1.39. Для приведенной в табл. 1.36 выборки объемом л = 14 вы-
выполняется тест на независимость. С этой целью реализации сравниваются
со средним значением uuv= 104,8 кВ и затем проводится итерационный тест:
при k=7 положительных результатов и г=8 итераций по формуле A.136)
получаем значение теста z* = 0,535. При уровне значимости <х=0,05 имеет
место критическое значение ко,975= 1,960. Поскольку 0,535< 1,960, гипотеза
не отвергается. Нет также никаких возражений против того, чтобы рассмат-
рассматривать реализации как независимые.
Таблица 1.36
Номер
опыта i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Напряжение
пробоя
«пр г »В
103
107
101
109
104
102
106
105
108
102
100
99
ПО
111
Знак разности
пр i "пр
<"пр = 104.8 к В)
+
+
+
+
+
+
+
Число положи-
положительных
разностей k
1
2
.—.
.—
3
4
5
—
—
6
7
Итерации
г
1
2
3
4
5
6
—
—
7
8
114
Часто возникает подозрение, что какая-либо величина в вы-
выборке является ошибочной (например, из-за ошибки в измере-
измерениях или в ведении протокола). Эта по всей вероятности оши-
ошибочная величина не представляет генеральной совокупности и
поэтому должна быть удалена как так называемый выброс.
Чтобы проверить, имеет ли место выброс, можно выполнить
тест на выброс (табл. 1.34 и [27, 83]).
Гипотеза. Величина хЕ принадлежит генеральной совокуп-
совокупности с нормальным распределением, представленной выбор-
выборкой со средним арифметическим х и дисперсией s2; xE не явля-
является выбросом.
Значение теста:
t* = (xE-I)/s. A.137)
Критическое значение. Критическое значение Wm a табули-
табулировано ([27, табл. НС]; частично для двухстороннего теста
с уровнем значимости а — в табл. 1.37).
Сравнение. Гипотеза отвергается, если \t* |>№„; «, т. е. хЕ
является выбросом.
Пример 1.40. Даниьге измерений приведены в табл. 1.36. Эта выборка
имеет среднее значение иПр= 104,8 кВ и среднее квадратическое отклонение
s = 3,83 кВ. При выполнении одного дополнительного измерения объем вы-
выборки делается л=15. При этом получено значение иПрЕ = 89 кВ. Возни-
Таблица 1.37
Объем
10
15
20
30
40
50
Я -> оо
(асимпто-
(асимптотическое
приближе-
приближение)
и —
Значение Wn
0,02
2,540
2,800
2,959
3,156
3,281
3,370
/
■ а для уровня
0.05
2,414
2,638
2.77S
2,958
3,075
3,160
2 (я
Л/ 2я-5+и2+C +
V 2я )
значимости а, равного
-1)
л2 + 2и*)
0,05 \
2я )
0,10
2,294
2,494
2,623
2,792
2,904
2,987
1
6 Bя — 5)
, Л 0,10 \
ч 2я ;
Примечание, tyq = Ф~г (q) — функция, обратная функции нормаль-
нормального распределения (см. табл. 1.6 и [27]).
115
кает подозрение, что эта величина является выбросом. Выборка пополня-
пополняется величиной Ипр е и приобретает параметры иПр = 103,7 кВ и s=5,50 кВ.
С помощью формулы A.137) получаем значение теста при проверке на вы-
выброс t*=—-2,681. По табл. 1.37 при уровне значимости а=0,05 определяем
(с помощью линейной интерполяции) критическое значение Wu; o,os=2,638.
Поскольку |—2,6811 >2,638, гипотеза отвергается; «ЦЕ должен рассмат-
рассматриваться как выброс и ие может быть включен в выборку.
Глава вторая
ПЛАНИРОВАНИЕ, ВЫПОЛНЕНИЕ
И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Описанные в гл. 1 основы математической статистики
создают возможность для планирования, проведения и оценки
высоковольтных измерений. Каким образом могут быть исполь-
использованы указанные взаимосвязи и методы, должно быть уже из-
известно из примеров гл. 1. Там, однако, основное внимание
было уделено математической стороне проблемы. В предлагае-
предлагаемом разделе на первый план выдвинуты соображения высоко-
высоковольтной техники и показана их взаимосвязь и логически сле-
следующие из них выводы.
2.1. Выбор метода измерения, исследуемых параметров
и испытательного оборудования
2.1.1. Методы испытания изоляции. Экспериментально
оцениваемая функция распределения случайных величин, опи-
описывающих возможности изоляции (пробивного напряжения,
наибольшей пробивной напряженности электрического поля,
электрической прочности и т. д.), должна хранить информа-
информацию относительно рассматриваемой изоляции непосредственно
в условиях практического использования. Поэтому характер
воздействий, при которых определяется функция распределе-
распределения, должен быть согласован с воздействиями, имеющими
место при практической эксплуатации. Например, изоляция
какого-либо электротехнического устройства подвергается стан-
стандартным испытаниям (см. гл. 3) напряжением, уровень и за-
зависимость от времени которого однозначно определены, даже
если не всегда известным способом. Случайным, таким обра-
образом, является не воздействие на изоляцию, но поведение самой
изоляции: имеет место пробой (или частичные разряды) или
нет? Повторные нагружения одинаковым (в этом смысле «по-
«постоянным») напряжением приводят к проблеме биномиального
распределения: как часто будет возникать событие (пробой)
при выполнении серии п испытаний (см. п. 1.3.1). В ре-
116
Импульсы
без пробоя
Импульсы
с пробоем
mm
Ступень
напряжения... 1
Число опытов
на ступени ...10
Число
npoboeS /
Частость
пробоя 0,1
Общее число
пробоев 7
2
10
1
0,1
2
3
10
2
о,г
4
10
4
ОЛ
5
10
5
0,5
13
6
10
7
0,7
20
7
10
8
0,8
28
8
10
9
0,9
37
Рис. 2.1. Последовательность выполнения опытов с неизменным напряжением
(схема)
зультате серии таких опытов объемом п образуется оценка ве-
вероятности пробоя при заданном напряжении. Как правило, та-
такую же процедуру повторяют при ином, на определенную сту-
ступеньку Д'и большем напряжении (рис. 2.1) и таким образом
определяют относительную частость пробоя как оценку для
вероятности пробоя при заданных уровнях напряжения. Эту
процедуру, наглядно изображенную на рис. 2.1, для увеличи-
увеличивающихся (постоянных) напряжений принято обозначать как
«опыты с неизменным напряжением» [39, 43, 89]. Следуя Хох-
райнеру [90], будем называть связь между нагрузкой и вероят-
вероятностью пробоя (или вероятностью начальных частичных разря-
разрядов), найденную в опытах с неизменным напряжением, функ-
функцией поведения. Значение функции поведения при определенном
напряжении является вероятностью пробоя V(u)=p. Функ-
Функцию поведения, как и функцию распределения, изображают на
вероятностной сетке (см. п. 1.5.1)—рис. 2.2, хотя ее свойства
могут и отличаться от функции распределения, как это будет
показано ниже (см. п. 2.1.2).
Пример 2.1. Графическое изображение относительных частостей пробоя
как точечной оценки вероятности пробоя, найденных для приведенного иа
117
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
o,oin
p*
и
A
A
• A
/ I
/ |
/ !
i
i
i
/
100 102 ЮН 106 108 кВ
6,391 „* | 1 ^1 | | 1 Рис. 2.2. Изображение функции по-
поведения иа вероятностной*ч:етке нор-
нормального распределения (схема со-
соответствует рис. 2.1; вместо 1,3а от-
откладывается 1,3s)
рис. 2.1 случая т=8 уровней напря-
напряжения, позволяет установить, что
функция поведения, как и эмпириче-
эмпирическая функция распределения может
быть аппроксимирована нормальным
распределением. Его параметры мо-
могут быть найдены как квантили (см.
п. 1.3.2) нли с помощью линейной
регрессии (см. пример 1.29).
Использование в практике
измерений результатов экспе-
экспериментов с неизменным на-
напряжением не представляет за-
затруднений. Их реализация, однако, затруднена как по техниче-
техническим, так и по экономическим причинам, поскольку напряжение
нарастает не мгновенно, но достаточно медленно (постоянное и
переменное напряжение), а испытания дороги. В данных испы-
испытаниях часто желательно получить точную информацию лишь
относительно того, имеет ли место решение типа «да» или
«нет». В этом случае в течение опыта напряжение поднимают
определенным образом вплоть до пробоя. При этом может
быть использовано как непрерывно возрастающее постоянное
напряжение, так и непрерывно увеличивающееся переменное
напряжение с заданной амплитудой, или импульсное напряже-
напряжение, увеличивающееся на величину Д'и после каждого приложе-
приложения напряжения (рис. 2.3). Пробой при этом является вполне
достоверным событием, случайным является значение пробив-
пробивного напряжения (или какая-либо полученная на ее основе
величина). Подобный «опыт с подъемом напряжения», состоя-
состоящий из последовательного увеличения напряжения, дает вы-
выборку из п реализаций требуемой возрастающей случайной ве-
величины. Оценка этой выборки делается точно так же, как это
описано в пп. 1.2.2 и 1.5.1), и приводит к эмпирической функ-
функции распределения, которая в отличие от функции поведения
будет обозначаться как «функция суммарной частости» [39, 43,
89, 90] (рис. 2.4). Разумеется, здесь уже отмечалось, что пара-
параметры опытов с нарастанием напряжения (скорость нараста-
нарастания напряжения vu или величина ступени Д'н, начальное на-
напряжение Но) оказывают влияние на поведение функции сум-
суммарной частости. Опыт с нарастанием напряжения по сравне-
сравнению с опытом с неизменным напряжением требует меньшего
числа нагружений, приводящих к пробою (по сравнению с 37
пробоями на рис. 2.1 имеет место 9 пробоев на рис. 2.3), и
118
KB '
110
108
106
№
102
100
98
96
1
Г Ui Т
-
-
■
-
—1
1
Номер серии..
Число пробоеб
в серии...
if
1
1
.1 2
1 1
.. Импульсы
ji, ъ без пробоя
11> >
1 /
1 /
,|
-
1
I
3 Ч. 5 6
1 1
1 1
Импульсы
с пробоем
I *
/ j
, J j
- -
1
7 8 9
1 1 1
%МастРош,...0,6 0,2 0,9 ' 0,5 0,1 0,7 0,3 0,k 0,8
Рис. 2.3. Последовательность выполнения опытов с нарастающим напряже-
напряжением при импульсном напряжении и установленном начальном значении щ
(схема)
дает больше информации, хотя результат зависит от парамет-
параметров эксперимента и не может быть перенесен немедленно
в практическую эксплуатацию изоляции. Необходимо поэтому
предварительно рассмотреть свойства функции поведения и
функции суммарной частости.
2.1.2. Функция поведения и
функция суммарной частости. 0,99
Монотонное увеличение функ-
функции поведения от нуля до еди-
единицы, как это изображено на
рис. 2.2, необязательно. Воз-
Возможно, например, что при дан-
данном межэлектродном проме-
промежутке в каком-либо газе (в так
называемом аномальном диа-
диапазоне— для промежутков
стержень — плоскость или
Рис. 2.4. Изображение функции сум-
суммарной частоты Ле на вероятност-
вероятностной сетке нормального распределения
(схема соответствует рис. 2.3)
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0W
,
0,30
0,20
0,10
0,01
Р%
/
/
/
/
А
1
1
1
1
А
у
,5к8
"яр
98 100 102 10Ц- 106 108 кВ
119
Рис. 2.5. Эмпирическая функция поведе-
поведения, которую нельзя аппроксимировать ка-
какой-либо теоретической функцией распреде-
распределения [93]
Коаксиальные цилиндры в воздухе диаметром
7,5 и 90 мм; импульсы коммутационных пере-
перенапряжений + 190/18 600
между коаксиальными цилиндрами
в воздухе при расстояниях в не-
несколько сантиметров [91, 92J пробой
наступает при пониженном напря-
напряжении в форме стримерного раз-
разряда и при повышенном напряже-
напряжении— как разряд по поверхности. Это изменение в механизме
пробоя, зависящее от напряжения, приведет к тому, что по мере
увеличения напряжения вероятность пробоя вначале уменьша-
уменьшается, а затем вновь возрастает. Подобные результаты приво-
приводятся, например, Раскиным [93] (рис. 2.5), однако это отклоне-
отклонение от монотонного роста не следует рассматривать как типич-
типичное для функции поведения. В большинстве случаев в относи-
относительно узком диапазоне различий в реализациях зависящей от
напряжения смены механизма разряда не возникает. При этом
большинство функций поведения монотонно возрастает, как и
функция распределения (рис. 2.2). Нет никаких сомнений, что
функцию поведения можно аппроксимировать функциями рас-
распределения непрерывных случайных величин (п. 1.3.2) и обра-
обрабатывать их так же, как функции распределения (см. § 2.2).
Если возникает подозре-
подозрение, что функция поведе- q gg
ния возрастает не моно-
монотонно, это следует прове-
проверять с помощью довери-
доверительных оценок вероятно-
вероятности пробоя (рис. 2.6).
Если это подозрение под-
подтверждается, то, естест-
естественно, аппроксимацию
функций распределения
выполнить невозможно.
В этих редких случаях
следует работать в даль-
Рис. 2.6. Обработка функции
поведения (схема) 0,05
/ — аппроксимация функцией рас-
распределения возможна; 2 — аппрок-
аппроксимация функцией распределения п л>
затруднительна UfUl
120
нейшем с полученной эмпирической функцией поведения. Если
для какого-либо определенного импульсного напряжения (или
для постоянного или переменного напряжения) заданной вели-
величины и длительности функция поведения V(uttp) данного изоля-
изолятора известна, то, следуя Тетзнеру [94], можно вычислить и
функцию суммарной частости для любой ступени Аи (см.
также [39]).
Вероятность того, что пробой возникает при исходном зна-
значении напряжения и0, определяется прямо по функции поведе-
поведения как Po-V(uqI. Вероятность пробоя при напряжении на
одну ступеньку выше этого напряжения (ио+Аи) равна
V(uo+Au); однако первый пробой на этой ступени означает,
что ранее пробоев не было. Для пробоя на первой ступени
можно также записать
Аналогично для одного пробоя на второй ступени (ио+2Аи)
следует, что при обеих пройденных ступенях не было пробоя
и для пробоя на второй ступени имеет место
Pz = V(u0 + 2Au)[l-V(u0)][l-V(u0+Au)].
Для пробоя на fe-й ступени имеем
pk = V(u0 + kAu) П [\-V(uo + jAu)].
i=o
Величина функции суммарной частости в точке (uo+kAu)
является суммой вероятностей пробоя на отдельных ступе-
ступенях2, причем число ступеней и абсолютный уровень напряже-
напряжения определяется по величине ступени Ли и соотношению
У («о—А'«)=0:
SSu(u0 + kAu) = Z \v(uo + iAu) i[[l-V(uo + jAu)])- B-1)
i=0 ( ;=0 j
При заданной функции поведения V{unp) величина SAu(unp)
отличается от нее тем больше, чем меньшей выбрана величина
ступени Аи, т. е. чем больше ступеней необходимо для дости-
достижения определенного уровня напряжения. В этой связи рис. 2.7
показывает результаты вычислений с помощью ЭВМ: в каче-
качестве функции поведения выбрано нормированное нормальное
1 Естественно, желательно выбирать «о таким, чтобы пробой был мало-
маловероятен, т. е. чтобы К(«о) «0.
2 Вероятности от ро до pk дают эмпирическую функцию плотности ве-
вероятности.
121
Ax=0t02 0,1
-з
1
Рис. 2.7. Расчет функций суммарной частости S\x(x) прн различных уров-
уровнях ступени Ах функции поведения V(x), аппроксимированной распределе-
распределением ЛГ(О; 1):
Ах = Аи/а; х = (и — ц)/а
распределение V(x)=N@; 1) и в соответствии с формулой
B.1) при приведенной величине ступени Дл: = Л«/(т вычислена
функция суммарной частости SAx(x). Видно, что функция сум-
суммарной частости располагается выше «достоверной» функции
поведения и дает слишком большие значения вероятности про-
пробоя. Для Дл:>1 (Дихт) разница между V(x) и SAx (x) незна-
незначительна.
Способ определения функции суммарной частости может
быть также модифицирован, если на каждой ступени выпол-
выполняют большое число опытов. Изучение взаимосвязи между
функцией поведения и возможными функциями суммарной ча-
частости приводит к результату, аналогичному B.1) [95]. Это
означает, что такой способ можно использовать для определе-
определения малых квантилей пробивного напряжения [78, 96, 97] — см.
п. 2.4.2.
2.1.3. Статистическое планирование эксперимента. Планиро-
Планирование большого количества высоковольтных измерений сле-
следует выполнять с учетом того, что стоимость испытаний, необ-
необходимого испытательного оборудования и затрат труда обслу-
обслуживающего персонала, как правило, весьма значительна. При
определении параметров эксперимента в первую очередь сле-
следует учитывать, что:
желательно сопоставление результатов с другими лабора-
лабораторными исследованиями и известными практическими слу-
случаями;
определение обобщенной зависимости результатов обеспе-
обеспечивается целенаправленным изменением экспериментальных
параметров и достаточно большим объемом выборки.
Чтобы достичь этого, предварительно необходимо точно
определить статистическую цель экспериментов (например,
оценка средней тенденции зависимости или всей функции рас-
122
пределения). При определении экспериментальных параметров
следует использовать известные теоретические положения от-
относительно исследуемых взаимосвязей (например, стримерную
теорию газового разряда, накопление разрушений в твердом
диэлектрике); Если имеет место большое число эксперимен-
экспериментальных параметров и основные тенденции поведения неиз-
неизвестны даже качественно, их обязательно следует определить
с помощью заданного объема экспериментов. Для этого удобно
использовать методы статистического планирования. В то время
как при традиционном планировании эксперимента предпола-
предполагается, что одна переменная изменяется ступенями, пока ос-
остальные остаются неизменными, при статистическом планиро-
планировании все многочисленные переменные меняются одновременно.
После относительно небольшого числа опытов удается отде-
отделить существенные переменные (главные факторы) от несу-
несущественных, а также осмыслить влияние изменения различных
переменных (параметров). Метод статистического планирова-
планирования впервые описал Р. А. Фишер [98]. В настоящее время в этой
области существует весьма обширная математическая литера-
литература. Шефлеру принадлежит предназначенная Для инженеров
работа, в которой опущены математические подробности, что
характерно для работ Бокса [100], касающихся, однако, глав-
главным образом химии и металлургии. Предложенный Шефлером
линейный метод прост для описания и поэтому должен быть
использован для поясняющего примера. Это пояснение пресле-
преследует лишь цель направлять читателя и облегчить ему переход
к другой, специальной литературе (например, [157, 158]) и
к более сложным примерам применительно к высоковольтной
технике [159—161].
Рассмотрим случайный процесс, испытывающий влияние
большого числа воздействий (переменных, параметров) Х\—Xh,
причем направление и степень их влияния неизвестны. Для
каждого параметра исследуются лишь два значения; их назы-
называют меньшей величиной (исходное состояние, обозначаемое как
«—») и большей величиной (конечное состояние, обозначаемое
как « + ») этого параметра. При планировании эксперимента Ис-
Исходят из всех возможных комбинаций параметров. При k пара-
параметрах имеет место Ы = 2к комбинаций, и поэтому необходимо
также N отдельных опытов. В табл. 2.1 эти комбинации пара-
параметров изображены для случая k = 4 в так называемой матрице
плана. Таблица может включать матрицы плана для k — 2 (N =
= 4 опыта), k = 3 (jV = 8 опытов) и k = 4 (jV=16 опытов). В мат-
матрице ответов изображены результаты (ответы) yni этих N опы-
опытов. При этом может оцениваться одна величина (например,
Уи = «пр — напряжение пробоя), однако в матрицу ответа мо-
могут быть включены и несколько величин (например, у2] = Ш —
начальное напряжение частичных разрядов; ие — напряжение
123
Таблица 2.1
/
1
2
3
4
5
6
Матрица плана
(независимые
переменные) х.
х,
+
X,
1 I + + 1 1
Хз
1 1 1 1 + +
Xt
—
Матрица независимых переменных (обозначение ж(..)
1
Влияние отдельных
независимых перемен-
переменных
Влияние попарных
произведений
Влияние произведений
независимых перемен-
переменных по три
Влияние произведений
независимых перемен-
переменных по четыре
0
-
-
-
-
1
О
+
2
О
1 1 + + 1 1
12
О
1
3
О
+ + 1 1 1 1
13
О
+ 1 + 1 1 +
23
О
+ + 1 I I I
123
О
+
4
О
1 1 1 1 1 1
14
О
24
О
+
124
О
+1 1 + +■ 1
34
О
1
134
О
+
234
О
1234
О
+ 1 + 1 1 +
Матрица
ответов ynj
а-
опытов
SSI
■e?
+ 1 +
+ + [
+ + +
+ + +
о» (о >—
1 + 1
1 + +
+ 1 1
+ + +
О (О
+ 1
1 1
1 1
+ +
00 ~J
+ 1
+ +
+ +
1 1
1
E
X
к
•а
I
1
3
+ I
+ +
+ I
+
+
+ 1
+ I +
+ + I
+ I Н-
+ I
+
-H
1+
+ I
+ +
+ +
+ 1 + 1 | +
+ + 1 I 1 I
+
+ +
+ I +
+ + I
+ I I
+ I +
_+ l_
+ +
+ +
+ +
+ +
I I [
I +
Результаты
Ответы
стабильных частичных разрядов и т. д.) и позднее оценены
в матрице эффекта. Для того чтобы выполнить такую оценку,
должна быть построена матрица независимых параметров.
Для этого должны быть выделены влияния самих парамет-
параметров xi (в табл. 2.1 1=1, 2, 3, 4), их попарных произведений A2,
13, 23, 14, 24, 34), по три A23, 124, 134, 234) и произведения
всех четырех параметров A234), причем используются соот-
соответствующие обозначения. Матрица независимых переменных
содержит элементы, с помощью которых следует комбиниро-
комбинировать результаты уП}-1- В качестве сравниваемой величины оп-
определяют средние арифметические каждого столбца (столбец
0: только положительные члены) как оценку изменения под
действием каждого параметра.
Матрица эффекта содержит вычисленные на основе отве-
ответов значения
Jto=-J7 !>!#„/). B-2)
где Л^ — число опытов; 2г;- — обозначение ij-ro элемента мат-
матрицы независимых переменных (t— значение главного пара-
параметра, или фактора, см. табл. 2.1). Матрица эффекта содержит
одновременно и средние арифметические ответов уП) (приг = 0).
Численные значения этих средних являются наибольшими
величинами в строках матрицы эффекта, с которыми могут
сравниваться вычисленные по формуле B.2) величины (эф-
(эффекты) . Сумма вычисленных для отдельных влияющих факто-
факторов или параметров эффектов является мерой их влияния на
исследуемый процесс.
Как правило, достаточно рассмотреть влияние каждого от-
отдельно взятого параметра (табл. 2.1: t=l, 2, 3, 4) и изменение
под действием произведения двух параметров (табл. 2.1: 12,
13, 23, 14, 24, 34). Влияния произведений более высокого по-
порядка могут быть опущены. Важность рассматриваемых пара-
параметров обсуждается в зависимости от эффекта, производимого
их изменением, это позволяет осуществить оптимальный отбор
влияющих величин. Эти взаимосвязи поясняет следующий
пример.
1 Элементам матрицы плана (воздействующих параметров) присвоены
значения +1 при максимальном и —1 прн минимальном уровне рассматри-
рассматриваемого параметра Хц (в табл. 1.1 1=1, 2, 3, 4). Каждая строка матрицы
плана переписана в строке матрицы независимых переменных в столбцах,
содержащих в индексе i одну цифру (обозначение одного воздействующего
фактора). Остальные элементы каждой строки независимых переменных по-
получены как произведение элементов матрицы плана, соответствующих пере-
перечисленным в индексе, i параметрам [например, для строки матрицы плана
■с / = 4 элемент 4-й строки матрицы независимых переменных с t ==» 124 полу-
получен как 2124,4=( + 1) • ( + 1) • (—1)=—1]. (Прим. перев.)
126
я ._/ ж
ео,25мпа
Внутренний
paautfc rt
Рис. 2.8. Схема статистического плана испытаний (к примеру 2.2)
Пример 2.2. Должны быть выбраны оптимальными параметры газового
промежутка между коаксиальными цилиндрами в элегазе. (В практических
случаях, естественно, одновременно можно выполнить теоретическую опти-
оптимизацию с помощью моделирования пробоя в элегазе [25].) Рассматривается
давление газа р2 в диапазоне 0,25.. .0,40 МПа, радиус /ч внутреннего элек-
электрода 3...6 см, радиус гг наружного электрода 15 см и наибольшая ше-
шероховатость р внутреннего электрода 4. ..10 мкм. Обозначая знаками «+»
и «—» наибольшие н наименьшие значения воздействующих факторов в ха-
характеризующей их влияние матрице плана (табл. 2.2), можно получить
ЛГ=23 = 8 комбинаций, которые для ясности обозначены буквами j—a з.
Матрица независимых переменных получается при k=3 или #=8 прямо из
табл. 2.1. Целью оптимизации параметров является определение наиболее
высокого напряжения пробоя промежутка, матрица ответов поэтому содер-
содержит только значения измеренных напряжений пробоя прн восьми комбина-
комбинациях параметров (матрица ответов состоит из одного столбца, табл. 2.2).
Для оценки построена матрица эффекта B.2), содержащая в качестве срав-
сравниваемой величины среднее арифметическое ыПр = 1038 кВ [см. формулу
A.41)]. При наибольшей длине промежутка при £=1 вызванное давлением
элегаза «*пр i = 469 кВ, причем радиус (£=2) оказывает очевидное влияние
(«*nP2=89 кВ). В завершение увеличение шероховатости (»=3) оказывает
слабое отрицательное действие (и*прз =—14 кВ), что означает уменьше-
уменьшение пробивного напряжения. Связанное с изменением давления газа дей-
действие остается относительно сильным (£=12 или 13 сравнительно с £=123*).
Можно заключить, что оптимальный диапазон лежит в области высоких
давлений, больших радиусов внутреннего электрода и малой шероховато-
шероховатости (при }=ж). Это заключение должно быть наглядно и критически про-
проверено.
При k=3 серии экспериментов могут быть изображены в виде куба,
вершины которого изображают экспериментальные точки (рис. 2.8). На-
1 Используемая запись означает не равенство £ натуральному числу
123, а учет значений хи х2 н хл из матрицы плана. (Прим. перев.)
127
Таблица 2.2
i
1
2
3
4
5
6
7
8
а
б
в
г
д
е
ж
э
Матрица плана (независимые перемен-
переменные)
Л=1
Давление
Рго
@,25 МПа)
+
@,40 МПа)
+ + 1 + | + 1
*=2
Радиус
C см)
F см)
+ + 1 1 + + 1 1
*=3
Шерохова-
Шероховатость р
D мкм)
A0 мкм)
+ + + + I I I I
Матрица эффекта
Матрица независимых переменных
Влияние отдельных
независимых пере-
переменных
Влияние попарных
произведений
Влияние произведе-
произведений независимых
переменных по три
0 | 1 | 2
О
+
+
+
+
+
+
+
+
1038
О
1 + 1 + 1 + 1 +
469
О
1 1 + + 1 1 + +
89
12 | 3 | 13 | 23 | 123
О
+ .1 1 + + I I +
76
О
1 1 1 1 + + + +
—14
О
+ 1+1 1 + 1 +
71
+ + 1 1 1 1 + +
44
О
+ 1 1 + 1 + + 1
49
Матрица
ответов
Усредненное
значение пере-
переменного напря-
напряжения пробоя
«пр. кВ
815
1230
735
1400
780
1150
885
1310
\ Матрица ре-
| зультатов
а)кВ >
13
11
9
0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 Mfla
0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 Ша
Рис. 2.9. Графическое изображение влияния одного параметра (рго) —
и влияние произведения двух параметров (р2о и р) — б (к примеру 2.2)
пример, нижняя грань куба соответствует исходному («—») давлению газа,
верхняя — конечному («+»)• Для радиуса используем левую и правую
грани, для шероховатости переднюю и заднюю. Наиболее сильно различа-
различаются средние значения результатов, полученные в конечных состояниях (б,
г, е, з) ив исходных состояниях (а, в, д, ж). Результатом двухфакторного
взаимодействия является, например, для ( = 12 при конечном значении
третьего фактора (шероховатости) половина разности между средними зна-
значениями результатов в точках е, з и д, ж или при начальном значении ше-
шероховатости — между б, г и а, в. Эти взаимосвязи могут быть изображены
в форме любой из диаграмм рис. 2.9. Наиболее отчетливо исследуемое вли-
влияние давления при принятой линейной зависимости величины пробивного
напряжения получается при переходе от какого-либо исходного состояния
(а, в, д, ж — рис. 2.9, а) к конечному состоянию (б, г, е, з) при усредне-
усреднении имеющихся зависимостей. Результат взаимодействия A3) давления и
шероховатости (рис. 2.9, б) получается из результата при конечном состо-
129
йНии шероховатости (прямые д, ж — е, з) и при исходном состоянии шеро-
шероховатости (прямые а, в—б, г). Сдвигая обе прямые параллельно до пере-
пересечения среднего значения иПр=1038 кВ, можно считать при конечной ве-
величине давления («+») искомый результат взаимодействия 13 (рис. 2.9, б).
Приведенный в примере способ ограничен предположением о линейно-
линейности, что, естественно, может быть весьма важным для дальнейшей поста-
постановки эксперимента. Хотя для изображенных иа рис. 2.9 взаимосвязей ма-
математическая формулировка опущена (см. например, [160]), однако если до-
допущение об нх линейности стоит под вопросом, ее пригодность также проб-
проблематична. В выбранном примере такова, например, зависимость пробив-
пробивного напряжения от радиуса внутреннего электрода /ч, когда для коакси-
коаксиальной системы достигается максимум (/?//ч=е=2,72...). Если при этом
исходное и конечное значение г, C и 6 см) различаются слишком снльио,
линейное статистическое планирование ошибочно укажет на оптимум при
возможно большем значении радиуса внутреннего электрода.
В этом случае используют аппроксимацию взаимосвязей между воздей-
воздействующим фактором и целевой функцией (напряжением пробоя) с помощью
квадратичного многочлена [161]. Если использовать статистическое планиро-
планирование эксперимента с такой квадратичной аппроксимацией (одновременно
с линеаризацией и разделением взаимодействий), то выполненная в примере
качественная оценка влияния отдельных факторов невозможна, однако воз-
возможна количественная оптимизация параметров систем. Статистическое пла-
планирование эксперимента будет при этом первым необходимым инженерным
средством, когда должна быть оптимизирована система с большим числом
параметров и минимизирован объем экспериментов или расчетов.
Статистическое планирование эксперимента — почти как
теория надежности — развивается как отдельная ветвь мате-
математической статистики; дальнейшее изложение выходит за
рамки предлагаемой книги. Может быть указана лишь соот-
соответствующая литература [98—100, 157—161].
2.1.4. Высоковольтные испытательные установки для много-
многократных измерений. При планировании большого числа изме-
измерений основное внимание должно быть уделено выбору высо-
высоковольтной испытательной установки. Естественно, следует ис-
исходить из имеющегося в распоряжении испытательного обору-
оборудования, однако уже при проектировании или реконструкции
необходимо учитывать статистическую точку зрения на буду-
будущие измерения.
Для уменьшения субъективных влияний, снижения затрат
труда и рационального использования испытательного оборудо-
оборудования можно рекомендовать описанное ниже автоматизирован-
автоматизированное проведение испытаний. Усилия по автоматизации процесса
исследования предпринимаются в многочисленных высоко-
высоковольтных лабораториях (например [101—103]), где созданы со-
совершенные измерительные и управляющие системы [104, 105].
В одной из таких систем (рис. 2.10) для исследований при пе-
переменном напряжении (и в аналогичной установке для посто-
постоянного напряжения [104]) программа для управляющего уст-
устройства задается на перфоленте (например, требуемая ско-
скорость нарастания напряжения и число опытов) и с помощью
цифрового измерительного прибора определяется случайная
130
Устройство
управления
Измерение
амплитуды
импульса
Ввод программы
с перфоленты
Печать
Память
1
Осциллограф
1 i
|
Графо-
Графопостроитель
печать
Рис. 2.10. Принципиальная схема измерительного и управляющего комплекса
для работы на переменном напряжении фирмы TuR (ГДР)
величина пробивного напряжения. Эти данные затем печата-
печатаются или с помощью выходного перфоратора наносятся на пер-
перфоленту для дальнейшей обработки с помощью ЭВМ. Такая
же система может быть создана для измерения частичных раз-
разрядов (рис. 2.10), причем напряжение в данном случае фикси-
фиксировано, а в качестве случайной величины выступают исследуе-
исследуемые характеристики частичных разрядов, воспроизводимые
в аналоговой или цифровой форме.
Следует отметить, что цифровое представление данных из-
измерений имеет исключительное значение для статистической
оценки, поскольку такая информация может быть немедленно
обработана на ЭВМ. Аналоговый сигнал считывается со шкал
(например, киловольтметров) с ошибками, в результате чего
в протоколе случайные значения концентрируются вблизи оп-
определенных величин. Поэтому следует ориентироваться на циф-
цифровые измерительные приборы.
Многочисленные статистические измерения импульсных на-
напряжений могут выполняться с помощью классических уст-
устройств с ручным управлением, при условии установки совре-
современного устройства управления [106, 107], однако лучшие ус-
условия для статистической оценки дает автоматизация всего
процесса испытаний [105]. Измерительные и управляющие уст-
131
Измерение зарядного
напряжения
Буферное
Печать
устройстбо
1
Память
Рис. 2.11. Принципиальная схема измерительного и управляющего комплекса
для работы на импульсном напряжении фирмы TuR (ГДР)
ройства для импульсных напряжений (рис. 2.11 и 2.12) могут
быть выполнены сходными с аналогичными устройствами для
переменного напряжения, однако вместо максимума импульс-
импульсного напряжения в протокол или на перфоленту наносится ин-
информация о возникновении события пробоя, уровне напряже-
напряжения и дополнительные сведения о климатических условиях или
времени суток.
С установкой аналого-цифровых преобразователей и микро-
ЭВМ следует ожидать дальнейшего существенного расширения
возможностей статистических измерений [102, 108]. Перевод по-
поступающих с делителя напряжения аналоговых сигналов
(рис. 2.13) в цифровые позволяет с помощью микро-ЭВМ фик-
фиксировать и запоминать в процессе пробоев реализации описы-
описываемых случайных величин (например, максимум пробивного
напряжения, мгновенное значение напряжения пробоя, время
пробоя). Прежде чем эти данные будут выведены, они будут
по меньшей мере дополнены с помощью микро-ЭВМ. В про-
простейшем случае микро-ЭВМ может выполнить статистическую
оценку. В настоящее время невозможно предвидеть все откры-
открывающиеся при этом возможности.
132
Рис. 2.12. Измерительный и управляющий комплекс для работы на импульс-
импульсном напряжении фирмы TuR (ГДР)
Ясно, что необходимость статистических многократных из-
измерений в высоковольтной технике в последние годы сущест-
УстройстВо
управления
Поджиг
Микро -
процессор
Периферийные
устройстк
т
Измерение
зарядного
напряжения
Программа
Образец
1
т
Аналога-цифродой
преобразователь
1
Индикатор
пробоя
Выдача обработанных
данных
Рис. 2.13. Принципиальная схема измерительного и управляющего комплекса
с микропроцессором
133
венно повлияла на развитие высоковольтных испытательных
устройств. Каждый, кто интересуется мнргократными исследо-
исследованиями, должен обратить пристальное внимание на новейшее
развитие испытательных установок. Это в высшей степени под-
подтверждается совершенствованием исследований в отдельных
лабораториях [40, 101—103].
2.2. Определение функции распределения в опытах
с неизменным напряжением
Опыты с неизменным напряжением могут. выполняться
при всех видах напряжений. При импульсных напряжениях это
соответствует классической методике определения вероятно-
вероятностей пробоя: каждое воздействие состоит, как правило, из од-
одного импульса напряжения; в принципе, однако, можно и боль-
большее число импульсов считать одним воздействием. (Если при
этом возникнет хотя бы один пробой, это будет расценено как
событие «пробой» для всего воздействия.) При длительном
приложении напряжения (переменного и постоянного напряже-
напряжения) отдельное воздействие заключается в приложении напря-
напряжения заданных значений и длительности. Например, при вы-
выполнении стандартных испытаний требуется приложение на-
напряжения длительностью 1 мин. Для изучения возможностей
изоляции при длительном приложении напряжения отдельное
нагружение может длиться десять, сто или несколько тысяч
часов. В дальнейшем основные взаимосвязи будут поясняться
на примере импульсных напряжений (один импульс на одно
воздействие); они могут, однако, быть прямо использованы
для любых опытов с неизменным напряжением при различных
видах напряжения.
2.2.1. Параметры эксперимента и объем выборки. Всякий
опыт с неизменным напряжением должен быть спланирован и
выполнен таким образом, чтобы была обеспечена независи-
независимость опытов друг от друга, воспроизводимость и общность ре-
результатов эксперимента. Для этого все влияющие на ход экс-
эксперимента факторы должны быть тщательно учтены путем из-
измерений в качестве параметров эксперимента. Параметрами
эксперимента, естественно, является известное значение ис-
используемого испытательного напряжения (определяющие стан-
стандарты [109—П2]1, окружающие условия (для воздушной изо-
изоляции необходимо приведение к нормальному давлению [113]),
а также параметры используемого измерительного устройства
[114, 115]. Параметры эксперимента с неизменным напряже-
напряжением тесно связаны с ходом опыта (рис. 2.1):
число ступеней напряжения т\
1 См. также ГОСТ 1516.1—76 и 1516.2—76. {Прим. перев.)
134
числб приложений нагрузки на одной ступени п;
значение напряжения ступени Аи;
длительность паузы между двумя приложениями на-
нагрузки At.
Общее число отдельных опытов
z = mn B.3)
и испытывает влияние, с одной стороны, степени разброса ис-
исследуемых случайных процессов, а с другой — требований
к точности результата и соображений экономики (стоимости
испытаний, длительности эксперимента, затрат труда). Прини-
Принимаемые инженерно-технические решения должны учитывать
вероятность отказа изоляции в последующих лабораторных ис-
исследованиях, высоковольтных испытаниях и, в особенности,
в процессе эксплуатации. При этом существует та трудность,
что в данном опыте каждое новое испытание должно прово-
проводиться в идентичных внешних условиях. Только лишь длитель-
длительность паузы задается затратами времени на переключения и
восстановление напряжения. Если, как при использовании ат-
атмосферного воздуха в качестве изоляции, постоянно требовать,
чтобы свойства изоляции полностью восстанавливались между
двумя испытаниями, то все отдельные опыты могут быть вы-
выполнены в идентичных условиях. Длительность паузы А*, как
и общее число испытаний г, должна устанавливаться для обес-
обеспечения независимости результатов (см. п. 2.2.2).
Число ступеней напряжения т и разница в напряжениях
ступеней Аи взаимно связаны. Прежде всего с помощью пред-
предварительных опытов и оценок необходимо установить, в каком
диапазоне напряжения AuR вероятность пробоя больше нуля и
меньше единицы @<р(ипр)<1).
Число ступеней напряжения тт получают на основе значе-
значения напряжения ступени АиР:
тт=^_. B.4)
Оцениваемое для опыта число ступеней напряжения т<
<тТ должно быть по возможности больше 10, во всяком слу-
случае при определении полной функции распределения его при-
принимают соответствующим принятому в работах [30, 43, 89].
В особых случаях, когда должно быть оценено лишь 50%-ное
пробивное напряжение, удовлетворяются величиной т>2 [116].
Разница напряжений
Аи « AuR/m, B.5)
причем необходимо еще раз отметить, что на всех т ступенях
вероятность пробоя должна оставаться заметно больше нуля
и меньше единицы, а число пробоев k — удовлетворять усло-
135
1,0
0,8
0,6
ОЛ
0,2
}
P=0,5
■~~^
^-
1
*"^
^"
«■■
*
h
Ph
1
—i—
——
7
I
10 20
50 100 200 500
Рис. 2.14. Доверительный интервал с границами ри и рв при измеренной от-
относительной частости Ап=0,5 в зависимости от объема выборки (при дове-
доверительной вероятности f$=0,95)
вию \<k<(n—1). Важно, однако, изучить также ступени, при
которых р(ипр) близка к нулю или к единице.
Неизменность числа испытаний п на каждой ступени ока-
оказывает существенное влияние иа точность результатов. Если,
например, на двух ступенях при весьма значительном числе
испытаний вероятность пробоя оценивается практически точно,
это жестко задает и, например, нормальную функцию распре-
распределения или какую-либо другую двухпараметрическую функ-
функцию распределения. Для определения п можно использовать
доверительный интервал неизвестной вероятности (см. п. 1.3.1,
рис. 1.11). Ширина доверительного интервала уменьшается
с увеличением объема выборки. Рисунок 2.14 показывает, что
для р = 0,50 можно задаться случайной ошибкой Ар=рв—0,5 =
= 0,5—рн (например, Ар = 0,1) и определить необходимое при
этом число опытов п (объем выборки) (например, п=90).
Описанный путь, т. е. и интересующий нас квантиль про-
пробивного напряжения, ограничены определенной вероятностью.
При рт^0,5 аналогичная номограмма (см. рис. 2.14) легко по-
получается из рис. 1.11 или рассчитывается с помощью выражений
A.58) —A.60). Можно, однако, исходить и из всей функции
распределения, обрабатывая ее соответствующим образом. Для
математически точно заданной функции распределения объем
выборки в опыте с нарастанием напряжения задается в п. 2.3.1.
Основанный на методе доверительных интервалов способ для
опытов с неизменным напряжением был модифицирован в ра-
работах [117, 118]. Здесь, как и в п. 2.3.1, используется его ориги-
оригинальная публикация. Следует обязательно учитывать, что оп-
136
ределяемый объем выборки п должен быть приписан не общему
числу отдельных опытов z, но числу воздействий на каждой из
т ступеней.
Сказанное можно пояснить примером.
Пример 2.3. Необходимо определить функцию распределения для воз-
воздушной изоляции в автоматизированных опытах с помощью импульсов ком-
коммутационных напряжений. Статистические параметры опытов с неизменным
напряжением должны быть заданы так, чтобы ошибка в определении веро-
вероятности пробоя не превышала Ар<0,1. При /?в = Д/э+0,5 = 0,6 из рис. 2.14
получаем число опытов я*=90; выбираем я=100 опытов на ступень. В пред-
предварительных испытаниях было установлено, что при напряжении выше
1140 кВ встречаются лишь пробои, а ниже 1065 кВ — только непробои. Это
определяет интересующий нас диапазон напряжения Див = 75 кВ. Поскольку
импульсный генератор позволяет получать лишь дискретные значения на-
напряжения ступени Дир=5 кВ, то возможное число ступеней получаем по
формуле B.4)—тт = 15. Ввиду относительно большого числа опытов на
каждой ступени в качестве подходящего рассматривается число ступеней
т=12, что позволяет определить различие напряжения каждой ступени по
выражению B.5)—Ди»6 кВ. Общее число отдельных опытов по формуле
B.3) составляет z=1200. Напряжение первой ступени лежит на уровне
1065 кВ (если при я =100 приложениях напряжения не будет ни одного про-
пробоя, эта ступень не будет учитываться). Поскольку изолирующие свойства
воздушной изоляции восстанавливаются относительно быстро, необходимое
генератору время между двумя импульсами Д<=30 с достаточно велико.
В приведенном примере описаны относительно точные изме-
измерения, при грубых оценках исходят из существенно меньшего
числа опытов, а прецизионные измерения, напротив, требуют
значительно больших затрат. Если функция распределения дол-
должна быть определена вплоть до весьма малых квантилей, не-
необходимо принять очень большое число опытов на каждой сту-
ступени (например, в диапазоне р(ипр)<0,03 или р(и„Р)>0,97
должно быть предусмотрено п^400) [78, 96, 119]. Столь боль-
большое число измерений требует длительного времени, поэтому
следует обратить особое внимание на постоянство параметров
эксперимента и снижение эффекта тренировки (в особенности
из-за обгорания электродов и образования поверхностных слоев
на электродах —см., например, [25]) [78, 96, 119, 120, 121].
2.2.2. Гарантирование независимости опытов. Если для каж-
каждого нового опыта не используется новое исследуемое устрой-
устройство, то следует контролировать взаимную независимость реа-
реализаций. Причиной зависимости результата данного опыта от
результата предыдущего являются физические изменения объ-
объекта исследования, обусловленные взаимосвязью между собст-
собственно испытуемым устройством (изолирующим материалом,
электродами), видом напряжения, вкладом энергии при пред-
предшествовавших частичных разрядах или пробоях, а также вы-
выбранной длительностью паузы между опытами.
При использовании атмосферного воздуха в качестве изоля-
изоляции практически неограниченный объем газа приводит к его
постоянному объему, так что при длительности паузы при-
137
мерно в несколько секунд воздействия предшествующей элек-
электрической дуги уже не заметно. Основные изменения в элек-
электродах происходят под действием частичных разрядов или про-
пробоев. Электроды с малым радиусом кривизны (острия) особенно
чувствительны к обгоранию, а электроды с малой площадью
поверхности — к увеличению шероховатости поверхности и об-
образованию неметаллического слоя. Если необходимо исследо*
вать склонный к этому промежуток, то, с одной стороны, сле-
следует предварительно принять соответствующие меры в отно-
отношении техники эксперимента, чтобы противодействовать его
изменениям (например, ограничить с помощью предвключен-
ного сопротивления или параллельно включенного разрядника
выделяющуюся при пробое энергию), а с другой — контролиро-
контролировать независимость реализаций в процессе эксперимента (см.
п. 2.3.2).
При изоляции сжатым газом к упомянутым для воздушной
изоляции проблемам, связанным с электродами, добавляются
изменения в ограниченном объеме газа. С одной стороны, сле-
следует учитывать, что разряды приводят к химическим реакциям
[25] и поэтому к изменению состава газа, с другой — иметь
в виду, что остающийся после пробоя пространственный заряд
рекомбинирует относительно медленно. Если после пробоя по-
последующее нагружение происходит до рекомбинации про-
пространственного заряда, то образуется измененное распределе-
распределение напряженности электрического поля, которое ускоряет или
затрудняет развитие разряда по сравнению со случаем отсутст-
отсутствия объемного заряда. Если в изоляцию привнесена поверх-
поверхность твердого диэлектрика, например, поддерживающего изо-
изолятор, то, как и при использовании атмосферного воздуха в ка-
качестве изоляции, на поверхности образуются связанные заряды
[50, 51], приводящие к изменениям результатов эксперимента.
При этом следует чрезвычайно осторожно выбирать длитель-
длительность паузы между опытами [25] и стремиться активно ее ис-
использовать [86]. Для этого в паузе между двумя — чаще всего
импульсными — нагружениями изоляции прикладывают огра-
ограниченное по амплитуде переменное напряжение (примерно
10—20% импульсного напряжения), ускоряющее рекомбина-
рекомбинацию пространственных и объемных зарядов. Контроль незави-
независимости реализаций в процессе измерений остается необхо-
необходимым.
При использовании жидкой изоляции имеют место те же
соотношения, что и при изоляции сжатым газом, лишь хими-
химические изменения под действием разрядов (разложение, газо-
газообразование) более интенсивны и подвижность пространствен-
пространственного заряда меньше. Опыты с неизменным напряжением могут
выполняться лишь в особых случаях при достаточной длитель-
длительности паузы; следует переходить к опытам с нарастающим на-
138
пряжением, при которых легче достичь независимости ([94,124],
п. 2.3.2).
При использовании в качестве изоляции твердого диэлек-
диэлектрика практически нет никакой перспективы использовать один
образец более чем для одного опыта. Разряд приводит к необ-
необратимым разрушениям структуры тела, и уже начальные ста-
стадии разряда следует считать приводящими к существенным из-
изменениям структуры. Для каждого отдельного опыта должен
использоваться отдельный образец. Взаимная зависимость опы-
опытов может возникнуть, только если сами образцы взаимозави-
взаимозависимы (например, из-за зависимости процессов их изготовле-
изготовления). Образцы должны выбираться совершенно случайно,
в данном случае — с помощью таблицы случайных чисел [18,
27, 53].
Возможности контроля взаимной независимости описаны
в п. 1.5.3. Поскольку взаимная зависимость может проявиться
как в неслучайности выборки (например, увеличении вероят-
вероятности пробоя в ходе приложения напряжения), так и в неслу-
неслучайном чередовании обоих дополнительных исходов (пробоя
или непробоя), оба эти признака необходимо контролировать.
Неслучайность выборки может контролироваться в процессе
эксперимента в форме таблицы (табл. 1.35); сразу же после
завершения измерений проверяются на совпадение вероятности
отдельных областей выборки (см. п. 1.5.2). Проверка того,
имеет ли место достаточно частая смена пробоев и непробоев,
выполняется с помощью итерационного теста после заверше-
завершения эксперимента.
Пример 2.4. В планируемом (см. пример 2.3) опыте с неизменным на-
напряжением на каждой ступени напряжения должна контролироваться неза-
независимость результатов. Выполним это для ступени 1=7 («пр=1100 кВ) —
табл. 2.3: по результатам я=100 опытов строится таблица (протокол) из
10 групп по 10 опытов в каждой, содержащая полученные реализации. Про-
Протокол заполняется в процессе эксперимента. В них нет никакой скученно-
скученности и частость пробоев групп А,3- колеблется относительно аналогичной ве-
величины всей выборки hn случайным образом. Нет также никакого повода
преждевременно прерывать эксперимент и повторять его при измененных
параметрах. Полный протокол позволяет установить отсутствие каких-либо
систематических изменений. Сравнение двух крайних значений вероятности
(A7i-8o=O,5O и Лег—90=0,1) при критическом значении теста по формуле
A.135) 2=1,952 и при критической величине уровня значимости ос=0,05
(^0,975=1,960) также не противоречит гипотезе о принадлежности отдель-
отдельных групп одной генеральной совокупности, т. е. отсутствует также и по-
последовательное искажение результатов. Полученное число чередований про-
пробоев и непробоев обрабатывается с помощью итерационного теста [см.
формулу A.136)]: значение теста z* = 1,66 ниже критической величины
(А«,975 = 1,960) при уровне значимости ос = 0,05. Поскольку нет сомнений ни
в отсутствии последовательных искажений, ни в чередовании результатов,
выборка должна рассматриваться как независимая.
Разумеется, необходимый для обсуждения независимости
протокол не должен заполняться от руки: автоматическая
139
Таблица 2.3
i-i
1 — 10
11—20
21—30
31—40
41—50
51—60
61—70
71—80
81—90
91—100
Графический контроль независимости
X
—
—
X
X
X
—
—
—
X
—
X
—
X
.
X
X
X
—
—
X
—
—
—
X
—
X
—
—
X
—
—
X
—
—
—
X
X
—
—
X
—
—
—
X
—.
X
X
—
X
—
X
—
X
—
—
X
—
X
X
—
X
—
—
—
X
0,30
0,20
0,40
0,20
0,30
0,30
0,20
0,50
0,10
0,40
Примечание. 1. Черточки — отсутствие пробоя, крестики — пробой.
2. Число воздействий п = 100; число итераций т = 48; число пробоев k =
= 29; А„=0,29.
3. Итерационный тест: значение теста по формуле A.136): 2* = 1,66; крити-
критическое значение для а = 0,05 составляет V975 = 1,960 (выборка случайна).
испытательная установка (см. п. 2.1.4) печатает такие списки
после или уже в процессе оценивания протокола.
2.2.3. Эмпирическая функция поведения. Как описано в при-
примере 2.4 для одной ступени напряжения, относительная час-
Таблща 2.4
Ступень
напряже-
напряжения 1
1
2
3
4
5
6
7
(табл.
2.3)
8
9
10
11
т= 12
Напряже-
Напряжение
"rnv кВ
пр
1065
1071
1076
1083
1089
1094
1100
1107
1111
1120
1128
1135
Число
пробоев
2
3
5
11
10
21
29
48
56
88
98
99
Относи-
Относительная
пробоев
0,02
0,03
0,05
0,11
0,10
0,21
0,29
0,48
0,56
0,88
0,98
0,99
95%-иые доверитель-
доверительные rt.
1 ямины
(рис. I.II)
Рн
0
0,01
0,02
0,07
0,06
0,14
0,21
0,39
0,46
0,81
0,93
0,95
Рв
0,07
0,08
0,12
0,19
0,17
0,29
0,39
0,59
0,65
0,93
1
1
Тест независимости
по общей
тенден-
тенденции
резуль-
результатов
+
_)-
-[-
-j-
Jf.
Jf.
4-
-j-
+
по числу
измене-
изменений
резуль-
результатов
+
+
+
+
+
Примечание
каждой ступени.
140
Изоляционный промежуток — воздушный; п = 100 на
Рис. 2.15. Эмпирическая функция по-
поведения искрового промежутка в воз-
воздухе (к примеру 2.5)
1.0
0,8
0,6
0,2
0.
г'
\
ь
1
f
I
1
и*
1050 1070 1090 НЮ 1130 кВ
тость пробоев должна быть
определена для всех т ступе-
ступеней. Таблица, где по мере воз-
возрастания напряжения упоря-
упорядочены частости пробоя, дол-
должна давать представление об
эмпирической функции пове-
поведения.
Пример 2.5. Результаты запла-
запланированных в примере 2.4 опытов
с неизменным напряжением пред-
представлены в табл. 2.4 в виде эмпи-
эмпирической функции поведения. Различия напряжений между двумя соседними
ступенями обработаны не так точно, как запланировано (Ди=6 кВ), но ко-
колеблются между Ди = 4 кВ и Аи=9 кВ, поскольку используемый импульсный
генератор не допускал совершенно точного регулирования. Величина эмпи-
эмпирической функции поведения из-за этого задается не совершенно точными
шагами напряжения. Рекомендуется рассчитать доверительные интервалы
для вероятностей пробоя (см. п. 1.3.1.) или, что проще, считать их с рис. 1.11.
Равным образом в таблице должны быть приведены результаты описанного
в предыдущем разделе теста на взаимную независимость (знак «+» озна-
означает, что гипотеза о независимости не отрицается). Графическое изображе-
изображение табл. 2.4 дает наглядное представление об эмпирической функции рас-
распределения (рис. 2.15). Доверительные интервалы позволяют установить,
что незначительное уменьшение вероятности пробоя между 1083 и 1089 кВ
является случайным и несущественным. При этом функция поведения может
считаться монотонно возрастающей, а ее аппроксимация теоретической
функцией распределения не составляет труда (см. п. 2.2.4).
При опытах с неизменным напряжением информация, полу-
получаемая из отдельного опыта (пробой или непробой), относи-
относительно невелика. Для повышения информативности одновре-
одновременно с результатом опыта стремятся получить и другие сведе-
сведения, для чего при заданном максимальном значении напряжения
регистрируют и оценивают уровень пробивного напряжения
«шпр или время до пробоя ^Пр- Для регистрируемого пред-
разрядного времени имеет место нормальная эмпирическая
функция распределения F(^np), так же как и для мгновенного
пробивного напряжения F(umnp), если рассматривается не об-
общее число опытов я, а число пробоев k. В качестве F(^np) и
F(umnp) следует принимать функции суммарной частости
(рис. 2.16), позволяющие сделать интересные выводы. Функ-
Функцию F(tnp) следует предпочтительнее использовать при им-
импульсах атмосферных перенапряжений, a F(wmnp)—при ком-
коммутационных импульсах, поскольку в данном случае пробои
возникают главным образом на фронте импульса. Для пробоев
141
1,0 0,8 0,6 Ofy 0,2 О
0,2
Ofi
0,6
0,8
Рис. 2.16. Определение функций поведения мгновенных значений напряже-
напряжения пробоя F(um пР) и времени до пробоя F(tnv) в опытах с неизменным
напряжением при импульсах коммутационных перенапряжений й и 19 про-
пробоях в серии из я=25 опытов
Светлые точки — суммарная частость пробоя промежутка F(um nD)* и ^С™)*; темные
точки — мгновенное значение напряжения пробоя ит п_; крестики — оценка функции по-
поведения V*; р — вероятность пробоя в опытах с неизменным напряжением; ит п„—
мгновенное значение^ напряжения пробоя; F(um Пр)*> ''('пр'* — суммарная частость;
^*'um пр! "пр'~ оценка функции поведения; tn — время до пробоя
на максимуме и на спаде импульса в качестве мгновенного
должно быть принято общее значение максимального напря-
напряжения «пр.
В соответствии с работами [126—129] можно использовать
также и общее число испытаний п, причем в опытах с неизмен-
неизменным напряжением на основе вероятностей пробоя получают
окончательно функцию V*(umnp; ыпр), тесно связанную с функ-
функцией поведения V(unp) (рис. 2.16). Если влияние формы им-
импульса, т. е. длительности нарастания напряжения, на напря-
напряжение пробоя при коммутационных импульсах отсутствует, эти
функции могут быть пересчитаны одна по другой [126, 129 —
142
1,0
Рис. 2.17. Определение контурных ли-
иий [129]
Опыты с неизменным напряжением для
восьми различных уровней импульсов ком-
коммутационных перенапряжений с формой волиы
680/5200; опорный изолятор в воздухе
130]. Как правило, однако, этого
не делают. Функция V* (iim пр;
ыпр) может оказать помощь при
выполнении координации изоля-
изоляции и изучении чрезвычайно
сложных вспомогательных соот-
соотношений статистики при сопо-
сопоставлении воздушных изолирую-
изолирующих устройств: для используе-
используемого напряжения строится кри-
кривая напряжение— время и мгно-
мгновенные значения, приводящие
к одинаковым вероятностям про-
пробоя соединяются так называемой контурной линией (рис. 2.17).
Повторяя эти действия при различных формах импульса, по-
получают семейство контурных линий (рис. 2.18). Их огибающая
при требуемой вероятности называется «минимальной контур-
контурной линией» [на рис. 2.18 штрихами они нанесены при ртш =
= 0,50 (кривая /) и при pmin=0,023 (кривая 2)]. Минимальные
контурные линии (рис. 2.19) являются чрезвычайно полезным
средством, позволяющим обсуждать поведение воздушной изо-
изоляции в расширенном возможном диапазоне коммутационных
импульсов. Естественно, что контурные линии можно получать
также, изучая функции поведения при различных формах
*10г мкс
MB'
Ы
1,0
0,8
60/3900 270/Ш0 680/52001700/дОООмкс
5,0 х10г мкс
Рис. 2.18. Контурные линии для четырех уровней импульсов коммутацион-
коммутационных перенапряжений и определение минимальной контурной линии [129]
Опорный изолятор в воздухе; Рт\п— вероятность минимальной контурной линии
143
импульсов и представляя затем в форме рис. 2.19. Предложен-
Предложенный в работе [129] способ при сложных измерениях (не только
максимального напряжения, но и мгновенного значения) обла-
обладает преимуществом малых затрат. Для получения всевозмож-
всевозможных многочисленных сведений, представляющих интерес как
для понимания физики явлений, так и в технических приложе-
приложениях, опыты с неизменным напряжением (и не только в подоб-
подобной воздушной изоляции) должны быть также тщательно за-
запланированы.
2.2.4. Аппроксимация функции поведения теоретическими
функциями распределения. Если функция поведения меняется
монотонно (см. рис. 2.15), то нет никаких сомнений, что она
может быть аппроксимирована какой-либо теоретической функ-
функцией распределения. При этом необходимо учитывать, что для
этого вовсе не требуется воспроизводить теоретико-вероятност-
теоретико-вероятностную природу явлений, а можно использовать лишь хорошо раз-
разработанный прием математической формализации на основе
теоретической функции распределения. По сути взаимосвязь
между вероятностью пробоя и напряжением (или другой зада-
задаваемой величиной) остается функцией поведения, как это от-
отмечалось при оценках параметров изоляции (см. п. 1.1.1).
Для аппроксимации функции поведения известными функ-
функциями распределения должны учитываться следующие основ-
основные моменты.
Функция распределения должна достаточно хорошо совпа-
совпадать с функцией поведения. Критерий качества аппроксимации
может быть получен, с одной стороны, на основании физиче-
физической или технической постановки задачи, а с другой — при ис-
использовании статистических испытаний распределений (см.
п. 1.5.1).
Теоретическая функция распределения (см. § 1.3) должна
быть в состоянии по сути связать с исследуемым физическим
процессом соответствующую модель. Подобная взаимосвязь
существует, например, между процессом зажигания газового
разряда и моделью на основе экстремального распределения
[25, 130, 131]. Развиваю-
Мв' " " " "
1,2
1,0
0,8
144
v Диапазон критической
\ длительности фронта
—Т
^t
Г '
*Ф
щийся из частичных раз-
разрядов пробой в воздухе
удобно описывать нор-
нормальным распределе-
10
100
1000 мкс
Рис. 2.19. Избранные квантили
напряжения пробоя в зависи-
зависимости от длительности фронта,
определенные по методу мини-
минимальной контурной линии [129]
(опорный изолятор в воздухе)
нием. Другие указания об этом сделаны в описаниях теорети-
теоретических функции распределения в п. 1.3.2 и в гл. 4 при описании
возможностей изоляции.
Наконец, используемая для аппроксимации функции пове-
поведения теоретическая функция распределения должна быть
также удобна для инженерных расчетов. Следует избегать
сложных аппроксимаций.
Взаимосвязь между приведенной в табл. 2.4 эмпирической
функцией поведения и теоретической функцией распределения
устанавливается главным образом с помощью изображения на
вероятностной сетке, а еще лучше с помощью линейной регрес-
регрессии (см. п. 1.4.3). В примере 1.29 уже обсуждалась аппрокси-
аппроксимация нормальным распределением. К этой оценке в данном
случае ничего добавлять не нужно. Имеющиеся для нормаль-
нормального распределения обширные статистические разработки
(п. 1.3.2) делают возможными грубые оценки доверительных
интервалов и доверительных границ. В качестве объема вы-
выборки при этом следует принять число воздействий п на одной
ступени напряжения. Для вероятностей пробоя, как и для лю-
любого квантиля приближающего функции поведения нормаль-
нормального распределения, доверительные границы остаются равными
вычисленным [38, 116, 132, 133]. Оценка опытов с неизменным
напряжением может быть выполнена по методу, предложен-
предложенному в работе [37], и без регрессионных расчетов, однако рас-
расчеты регрессии при использовании микро-ЭВМ чрезвычайно
просты и более предпочтительны К
Для аппроксимации эмпирических функций поведения не-
непрерывных случайных величин вместе с нормальным распреде-
распределением можно использовать и другие функции распределения.
Предпочтительными являются экстремальные функции распре-
распределения. Действия в этом случае должны быть пояснены ап-
аппроксимацией с помощью двойного экспоненциального распре-
распределения.
Пример 2.6. Изображенная на рис. 2.15 и заданная табл. 2.4 эмпириче-
эмпирическая функция поведения должна быть исследована путем приближения с по-
помощью двойного экспоненциального распределения. Для этого прежде всего
была выполнена точечная и доверительная оценка на вероятностной сетке
двойного экспоненциального распределения (рис. 2.20). Установлено, что
через все доверительные интервалы можно провести прямую линию. Наи-
Наилучшая прямая, однако, должна быть найдена путем регрессионного ана-
анализа. Для этого ордината линеаризуется с помощью преобразования, об-
обратного для двойной экспоненты:
«/=1п[ — ln(l-p)], B.6)
1 Доверительные границы всей прямой регрессии [18, 83] являются до-
доверительными границами для любого квантиля функции поведения.
145
1,0
о
-1,0
-2,0
-$,о
[У 0,99
0,01
1060
1080
Рис. 2.20. Аппроксимация эмпирической функции р* поведения изолирующего
промежутка со слабонеоднородиым полем в воздухе с помощью двойного
экспоненциального распределения (к примеру 2.6)
и в табл. 2.5 рассматривается лишь линейная задача. С преобразованной
вероятностью пробоя у и пробивным напряжением иПр=х связана прямая
регрессии
у = аух + Ьухх = — 88,7 + 0,0797x,
откуда могут быть вычислены параметры двойного экспоненциального рас-
распределения:
B.7)
B-8)
63 = ~~ аух/Ьух'
у* = иьих,
которые можно сравнить с нормальным распределением из примера 1.29, урав-
уравнения A.128) и A.129). В данном случае u*npea=1113 кВ и -у*=12,5 кВ.
Описываемое этими параметрами двойное экспоненциальное распределение
на рис. 2.20 проходит через все доверительные интервалы вероятности про-
пробоя и хорошо аппроксимирует эмпирическую функцию поведения. Для под-
подтверждения этого может быть, например, выполнен тест Колмогорова (см.
п. 1.5.1).
2.2.5. Схема оценки и расчета. На рис. 2.21 еще раз пред-
представлены все отдельные шаги выполнения опытов с неизмен-
неизменным напряжением. После подготовки и выполнения экспери-
эксперимента выполняется оценка протокола экспериментов на всех
т ступенях напряжения. Они должны быть проверены на вза-
взаимную независимость опытов и после установления независи-
независимости оцениваться далее. После определения вероятностей про-
пробоя на каждой ступени напряжения образуется эмпирическая
146
Таблица 2.5
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
m= 12
дс(-—напряжение
"пр {• кВ
1065
1071
1075
1083
1089
1094
1100
1107
1111
1120
1128
1135
~х= 1098 кВ;
sx = 22,8 кВ;
4 = 521,8 кВа
Относи-
Относительная
частость
hi
0,02
0,03
0,05
0,11
0,10
0,21
0,29
0,48
0,56
0,88
0,98
0,99
У/— преобразо-
преобразованная частость
у — 1п[—1пA—ht-)]
—3,902
—3,491
—2,970
—2,150
—2,250
—1,445
—1,072
—0,425
—0,197
0,752
1,364
1,527
~у = —1Д88;
sy = 1,839;
s2y = 3,381
Вычисляемые величины
—33
—27
—23
—15
—9
—4
2
9
13
22
30
37
—2,714
—2,303
—1,782
—0,962
—1,062
—0,257
0,116
0,763
0,991
1,94
2,552
2,715
(jt—jtJX
XU/j-tf)
89,6
62,2
41,0
14,4
9,6
1,0
0,2
6,9
12,9
42,7
76,6
100,5
Коэффициент ковариации
Sxy — 41,6; коэффициент
корреляции
коэффициенты
Ьух = 0,0797,
= —88,7, прямая
сии у = —88,7 +
г = 0,992;
регрессии:
аух =
регрес-
0,0797 х
функция поведения, которая при монотонно нарастающем ха-
характере может быть аппроксимирована какой-либо теоретиче-
теоретической функцией распределения. После контроля и аппроксима-
аппроксимации могут быть получены параметры функции поведения и
квантили, важные в технических приложениях. Результаты экс-
эксперимента должны быть представлены в форме, удобной для
их дальнейшей интерпретации. Для каждого из описанных ша-
шагов в предлагаемой книге указан способ математической фор-
формализации; цифры в скобках на рис. 2.21 обозначают соответ-
соответствующий раздел.
Поскольку оценка каждого варианта состоит из известных
математических и логических шагов, ее выполнение с помощью
ЭВМ не составляет труда, тем более что протокол экспери-
эксперимента в современных испытательных установках может быть
введен в расчет немедленно [104, 105]. Во многих высоковольт-
высоковольтных лабораториях существуют программы расчета для стати-
статистической оценки в процессе получения результатов [41,103, 134,
135]. Программы для отдельных операций приводятся в опуб-
опубликованной книге [136] и в крупных вычислительных центрах.
Передача программ не составляет также принципиальных за-
затруднений, скорее наоборот, так как каждая из имеющихся
147
Параметры эксперимента B.2.1):
число ступеней напряжения т;
число опытов на каждой ступени напряжения л;
величина ступени напряжения Аи;
длительность паузы Д(„
В процессе выполнения эксперимента B.2.2):
графический контроль независимости A.5.3)
Оценка результатов
Протокол
Проверка независимости
Контроль общей тенденции A.5.2).
Итерационный тест A.5.3)
Частость
Точечные оценки A.1.2).
Доверительные оценки A.3.1)
Эмпирическая функция
поведения B.2.3)
Таблица.
Графическое изображение A.2.2)
Аппроксимация функцией
распределения B.2.4)
Графический метод A.5.1).
Регрессионный анализ A.4.3)
Контроль аппроксимации
Определение физического смысла.
Тест Колмогорова A.5.1)
Параметры функции
поведения
Точечные оценки.
Доверительные оценки.
Определение доверительных границ A.3.2)
Определение технически
интересных квантилей
50%-ное напряжение пробоя.
Статистическое длительно выдержи-
выдерживаемое напряжение.
Статистическое разрядное напряжение
Выводы о результатах эксперимента
Интерпретация результатов эксперимента:
физические выводы;
технические выводы;
обобщение;
пересчет к усложненным промежуткам
Рис. 2.21. Схема оценки
результатов опыта с неиз-
неизменным напряжением
148
ЭВМ в определенной степени обладает свойством совместимо-
совместимости. Ввиду этого здесь не приводится никаких программ.
При введении в автоматизированные испытательные уста-
установки микропроцессоров появилась возможность выполнять
оценки в процессе эксперимента. Первые шаги в этом направ-
направлении уже сделаны — см. рис. 2.13 [101, 102].
2.3. Определение функции суммарной частости
в опытах с нарастающим напряжением
Опыты с нарастающим напряжением могут быть вы-
выполнены при любом виде напряжения. Если исключить из рас-
рассуждений присущую испытательным установкам ступенчатость
в регулировке напряжения, то можно говорить, что постоянное
напряжение и амплитуда переменного напряжения нарастают
непрерывно (рис. 2.22, а). Увеличение напряжения может, од-
однако, происходить и ступенями величиной Д« (рис. 2.22, б),
причем и постоянное и переменное напряжение остаются не-
неизменными в пределах заданной длительности ступени Д^с
(Д^с выбирается по желанию и может составлять от несколь-
нескольких десятков секунд до сотен часов при длительных испыта-
испытаниях). Требующееся для перехода к следующей ступени время
Д^и должно быть пренебрежимо малым по сравнению с дли-
длительностью ступени Д^с (Д^н<^Д^с). Если в процессе нарастания
напряжения имеет место пробой, то следует считать его про-
произошедшим на той ступени, от которой было начато нараста-
нарастание. Импульсные напряжения в опытах с нарастающим напря-
напряжением увеличиваются всегда ступенями (рис. 2.3), причем на-
начальное напряжение Мо, величина ступени Аи и длительность
паузы Д/п являются важнейшими параметрами.
В опытах с неизменным напряжением, как и в опытах с на-
нарастающим напряжением, мгновенные значения пробивного на-
напряжения Umnp или времени до пробоя оцениваются как функ-
функции суммарной частости (см. рис. 2.16, п. 2.2.3).
2.3.1. Параметры эксперимента и объем выборки. Как и
в опытах с неизменным напряжением (см. п. 2.2.1), в опытах
с нарастающим напряжением необходимо гарантировать вза-
взаимную независимость и обобщаемость результатов экспери-
эксперимента. Общие параметры экспериментов (испытательное на-
напряжение, внешние условия, методика измерений [109—115])
должны поддерживаться неизменными. Статистическими пара-
параметрами эксперимента в опытах с нарастающим напряжением
при непрерывном его нарастании являются (рис. 2.22, а):
скорость нарастания напряжения vu;
число отдельных опытов я (идентичное числу пробоев), реа-
реализаций, объем выборки;
длительность паузы между двумя соседними опытами Д/п;
начальное напряжение и0. Причем в опытах с нарастающим
149
и.
■прл
S) к и
Рис. 2.22. Процедура выполнения опытов с нарастающим напряжением при
длительном приложении напряжения (схема): а — непрерывное нарастание
напряжения; б — ступенчатое нарастание напряжения с изменением началь-
начального напряжения «о
напряжением при ступенчатом увеличении напряжения (рис. 2.3
и 2.22, б) лишь вместо скорости нарастания напряжения имеет
место величина ступени Аи (при длительных испытаниях одно-
одновременно с длительностью ступени А^с и длительностью нара-
нарастания Atn<g.Atc).
Для каждого очередного опыта необходимо использовать
новый образец. Только в том случае, если гарантируется пол-
полное восстановление изолирующей способности, все опыты мо-
можно выполнять на одном образце. При установлении длитель-
длительности паузы Л^п и числа опытов п — как было пояснено и для
опытов с неизменным напряжением (п. 2.2.1)—не должна вы-
вызывать сомнений взаимная независимость реализаций. Тща-
Тщательному выбору подлежат также все параметры эксперимента.
Начальное напряжение и0 при всех опытах с нарастающим
напряжением должно быть выбрано больше нуля. Однако
чтобы не повлиять на результаты экспериментов, и0 должно
150
быть меньше некоторого твердо определенного значения Ыов
(см. п. 2.3.4), которое и0 превзойти не может @^«о^«ов).
В качестве основного правила для его определения подходит,
чтобы наименьшее из измеренных напряжений пробоя «npmin
по меньшей мере на 10% превосходило «o("npmin>l,l Uo).
Для этого должны быть выполнены предварительные опыты.
Прн ступенчатом нарастании напряжения щ должно быть вы-
выбрано тем ниже, чем меньше высота ступени Аи. Далее целе-
целесообразно варьнровать величину Ыо между некоторым нижним
значением «oi н верхним Uo2 = "oi + Aw минимально возможными
(или фиксируемыми измерительными приборами) установлен-
установленными ступеньками (рис. 2.22, б может быть использован также
при импульсных напряжениях — ср. рис. 2.3 с неизменной ве-
величиной и0). При таком способе реализации случайной вели-
величины пробивные напряжения не ограничиваются несколькими
дискретными значениями, напротив, они образуют непрерыв-
непрерывное множество, как при непрерывном нарастании. В обычном
случае в опытах с нарастающим напряжением при пробое на-
напряжение отключается и регулятор переводится в положение,
соответствующее «о. После паузы Ata, отсчитываемой с момента
пробоя, будет включено напряжение Ио. Оно не должно, естест-
естественно, привести ни к пробою, ни к какому-либо изменению об-
образца, влияющему на процесс пробоя. Если возникает такая
опасность, следует установить и0 таким, чтобы оно не влияло
на результаты эксперимента.
Величина ступени Дм ограничена снизу минимальной дости-
достижимой в данной испытательной установке ступенькой напря-
напряжения A«min. Сверху Аи не должно быть больше среднего квад-
ратического отклонения пробивного напряжения s: следует
стремиться, чтобы A«s»0,5s. Длительность ступени при посто-
постоянном или переменном напряжении Atc зависит от физических
или технических целей эксперимента. При кратковременном
эксперименте желательно, чтобы Д^с=1 мин, так как эта вели-
величина стандартизована для определения номинального выдер-
выдерживаемого напряжения (см. § 3.2). Длительность увеличения
напряжения At» должна быть настолько мала, насколько это
возможно; она должна быть пренебрежимо мала по сравнению
с Д/с(А<н<А?с). Во всяком случае необходимо иметь в виду,
чтобы из-за высокой скорости нарастания напряжения в тече-
течение Л/н следующая ступень напряжения не была превышена.
При непрерывном нарастании напряжения скорость его уве-
увеличения vu связана с параметрами ступенчатого нарастания
соотношением
vtt « ЫМа. B.9)
Значения Дм и vu зависят от целей эксперимента. Часто ре-
регулятор напряжения высоковольтной испытательной установки
151
0,20
0,16
0,12
0,08
О
А
V
\
■—Z2
Щ
0J0
^^
■ __
а
20 40 60 80 100
Рис. 2.23. Относительная ширина
доверительных интервалов при
Р = 0,95 в зависимости от объема
выборки п и коэффициента ва-
вариации t>=S/Unp50
работает нелинейно; этим
недостатком, в особенно-
особенности, обладают регулировоч-
регулировочные трансформаторы. Не-
Необходимо поэтому иметь
не зависимое от регулятора
напряжения свидетельство
о фактическом ходе зависи-
зависимости напряжения от вре-
времени, которому следует ис-
испытательная установка при
нарастании напряжения.
Значительные отклонения от идеальной зависимости (рис.
2.22, а) могут привести к искажению результатов эксперимента.
С другой стороны, например, напряжение пробоя газовой изо-
изоляции в слабонеоднородном поле почти не зависит от выбора
скорости нарастания напряжения. Во всяком случае поведение
испытательной установки следует сопоставить эксперимен-
экспериментально с реакцией испытываемого объекта. Прежде всего такое
сопоставление может показать, соответствует ли реализован-
реализованная в испытательной установке скорость нарастания напряже-
напряжения требованиям статистики. Число отдельных опытов, как и
объем выборки п, определяются требуемой точностью резуль-
результатов экспериментов (см. п. 2.2.1). Кроме того, естественно, что
на точность оценок влияет разброс исследуемого случайного
процесса. Для выбора объема п можно исходить из относитель-
относительной ширины доверительного интервала А для среднего значе-
значения с учетом коэффициента вариации (рис. 2.23) [43, 89].
Если по соображениям экономики требуется ширина
< О)о2,
«пр
то во всяком случае гарантировано п^20. Измерения с мень-
меньшим объемом выборки могут еще дать оценку среднего значе-
значения, но никак не достаточную информацию относительно функ-
функции распределения.
Далее, существует возможность установить объем выборки
с помощью непараметрических доверительных границ [27]:
рис. 2.24 указывает со статистической надежностью р = 0,95 по-
порядок квантиля, соответствующего наименьшему (нижняя до-
доверительная граница тн) или наибольшему (верхняя довери-
152
Рис. 2.24. Верхняя тв й нижняя j Q
Тн доверительные границы для '
определения квантилей по вы-
выборке заданного объема п с на- по
дежностью р=0,95 и*
тельная граница тв) из- gg
меренному значению.
Например, наименьшая
реализация «npmin при 0,4
п= 100 и E = 0,95 не мень-
меньше 3.%-ного квантиля д„
"про.ОЗ- При Л = 28 «npmin '
может рассматриваться
как 10%-ный квантиль. О „„,„,. —*цп
Определение объема вы- Ю 20 40 60 80100 200
борки может быть сделано еще проще, на основании рис. 2.25,
на котором доверительные границы изображены почти пря-
прямыми в двойном логарифмическом масштабе. В заключение
приведем еще один пример.
Пример 2.7. Напряжение пробоя должно быть измерено в воздушном
промежутке шар — плоскость при непрерывном нарастании напряжения при
переменном напряжении. Предварительными экспериментами установлено,
р
.—•
■—"■
■-■■■.
■и
—■
ИИ
••
0,700
0,800
0,900
0,950
0,980
0,990
0,995
0,998
0,999
0,300
' 0,100
0,100
0,050
о,ого
0,010
0,005
0,001
0,001,
X
X
X
V
s
»■ ля
*: \
5 —
0,90
X
\
Л
s
s
п.
10 20 W 60 100 200 400 600 1000
Рис. 2.25. Не зависящие от распределения доверительные границы с надеж-
надежностью р [27] (п — объем выборки)
153
Что Скорость нарастания напряжения в диапазоне 5 к8/с<уи<35 кб/с не
влияет на уровень пробивного напряжения. Принятия величины уи =
= 20 кВ/с достаточно для того, чтобы отклонение ±15 кВ/с из-за условий
работы испытательной установки (нз-за смещения обмотки регулировочного
трансформатора) не сказывалось иа результатах эксперимента. Длитель-
Длительность паузы между двумя опытами может составлять Д/п=0, если ввиду
возможных перенапряжений начальное напряжение выбрано ыо=О и экспе-
эксперимент протекает нормально (снятие напряжения регулирующим устройст-
устройством н иарастаиие напряжения) при вполне достаточном для восстановления
параметров изоляции времени между двумя пробоями, соответствующем
1 мин. Объем выборки определяется по рис. 2.25: при статистической на-
надежности р=0,90 наименьшая измеренная величина должна рассматриваться
как 5 %-ный квантиль. Рисунок 2.25 дает п=44. Выбирается п=49, чтобы
использовать в расчетах удобную цифру «+1=50.
2.3.2. Гарантирование независимости опытов. В опытах
с нарастанием напряжения гарантии независимости зависят от
того, каким образом восстанавливаются изолирующие свойства
изоляции после пробоя. Ранее на примере опытов с неизмен-
неизменным напряжением это уже было показано для изоляции раз-
различного типа (см. п. 2.2.2).
При нарастании напряжения взаимная независимость от-
отдельных опытов, как правило, выше, чем в опытах с неизмен-
неизменным напряжением, поскольку после пробоя напряжение отклю-
отключается (рис. 2.3 и 2.22). Между двумя пробоями проходит
обычно значительное время, в течение которого приложенное на-
напряжение остается на низком уровне в диапазоне начального
напряжения и происходит восстановление. Влияние начального
напряжения на результат эксперимента сказывается таким же
образом, как и влияние напряжения в интервале между опы-
опытами, в опытах с неизменным напряжением. В целом взаимная
независимость гарантируется легче при напряжении, меняю-
меняющем знак (например, при переменном напряжении), нежели
при униполярном (например, постоянном). Для изоляции ат-
атмосферным воздухом, сжатыми газами, а также для жидкой
изоляции опыты с нарастающим напряжением планируются,
как правило, таким образом, чтобы взаимная зависимость
была минимальной D1, 43, 89, 94, 134, 137].
Возможности контроля независимости указаны в п. 1.5.3.
Как и в опытах с неизменным напряжением, контроль в вы-
выборке должен осуществляться как обсуждением протокола ис-
испытаний, так и путем контроля отклонений реализации с по-
помощью итерационного теста. Протокол испытаний должен изо-
изображаться графически в процессе эксперимента; остальные
тесты возможны, когда выборка уже получена.
Пример 2.8. Будут одновременно выполняться запланированный в при-
примере 2.7 опыт п с нарастанием напряжения и графическое изображение его
протокола (рис. 2.26). Графическое изображение ие позволяет установить
какого-либо взаимного влияния опытов; внешне реализации отклоняются
от среднего значения «пр so случайно в диапазоне примерно ± 2s (s — стаи-
154
50
Рис. 2.26. Графическое изображение протокола испытаний по схеме опытов
с нарастающим напряжением (пример 2.8) (п — номер опыта)
дартное отклонение). Для проверки сравниваются первые и_ последние де-
десять значений выборки. Для средних значений первой (ы„р i =949,6 кВ;
s,2=288,3 кВ2) и последней (апр. ф=952,5 кВ; s2<j, = 203,8 кВ2) группы F-тест
дает значение критерия <р = 1,414, а /-тест дает tt = 0,413 (см. п. 1.5.2). Обе
величины меньше нужных критических значений F»; 9;»,975=4,03; t^-, 0.975=
=2,101) н таким образом ие свидетельствуют против их принадлежности
к одной генеральной совокупности, т. е. против независимости выборки. Не-
Необходимое число отклонений получают путем сравнения со средним значе-
значением (см. п. 1.5.3), причем число итераций может быть считано с рис. 2.26:
всем реализациям выше ыПр so присваивается положительный знак, а ниже
его — отрицательный. Число итераций получается по объему выборки «=49
и числу пересечения прямых с линией г=30 прн 6 = 25 «положительных»
знаках. Критерий итерационного теста имеет при этом значении [см. выра-
выражение A.136)] z*= 1,574, т. е. меньше определенного для нормального рас-
распределения при уровне значимости а=0,05 (Хо,975 =1,960) критического зна-
значения. Представленная иа рис. 2.26 выборка обладает числом колебаний,
достаточным, чтобы считать ее независимой. Модифицированный итерацион-
итерационный тест учитывает при контроле также еще одно обстоятельство: контроль
выполняется, если знак среднего значения в начале выборки совпадает со
знаком в конце выборки. Если тест успешно выполнен, как правило, можно
проводить испытания иа основании объединенной генеральной совокупности.
2.3.3. Эмпирическая функция суммарной частости и ее ап-
аппроксимация известными функциями распределения. Опреде-
Определение и изображение эмпирических функций суммарной часто-
частости идентично ранее описанному в пп. 1.2.2 и 1.5.1 относительно
эмпирических функций распределения.
Пример 2.9. На рис. 2.26 приведен протокол запланированного в при-
примере 2.7 опыта с нарастанием напряжения. Одновременно в табл. 2.6 при-
приведена связанная с ним первичная таблица распределения (см. п. 1.2.2).
Наиболее наглядно первичную таблицу распределения можно представить,
если графически изобразить все реализации. На рис. 2.27 эмпирическая функ-
функция суммарной частости hs. изображена в линейном масштабе вероятности.
155
Таблица 2.6
g о.
Н
«I?
915
917
924
926
931
935
938
941
943
944
945
947
948
949
950
951
952
953
Отметки
о пробоях
+
+
Ч- + + +
+
+
+
+
+ +
+
+
+
ч- •
+
+
+ +
+ + + +
+
Относи-
Относительная
частость
h
0,02
0,02
0,08
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,04
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,04
0,08
0,02
Относи-
Относительная
суммар-
суммарная
частость
0,02
0,04
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,42
0,50
0,52
<и -г.
5 о.
£ с
*3
н
955
956
958
959
960
961
963
965
966
968
970
972
973
975
977
979
984
985
991
Отметки
о пробоях
+
+
+ + +
+
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
+
Относи-
Относительная
ч астость
h
0,02
0,02
0,06
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,06
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
Относи-
Относительная
суммар-
суммарная
частость
0,54
0,56
0,62
0,64
0,66
0,68
0,70
0,72
0,78
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
Эмпирическая функция суммарной частоты также может
быть аппроксимирована теоретической функцией распределе-
распределения. Для этого пригодны уже сформулированные относительно
опытов с неизменяемым напряжением положения (см.
п. 2.2.4): хорошее приближение, связь между физической и ма-
математической моделями и
удобство использования. Ап-
Аппроксимация теоретической
функции распределения скла-
складывается из оценки парамет-
параметров (см. п. 1.3.2), изображе-
изображения эмпирической функции
распределения на какой-либо
вероятностной сетке и расчет-
расчетного исследования распреде-
0,2
900 920
156
960
980 кВ
ления (см. п. 1.5.1).
Рис. 2.27. Эмпирическая функция
суммарной частости /is искрового
промежутка в воздухе (пример 2.9)
Нижняя доверительная
граница
0,95
900
980 кВ
Рис. 2.28. Эмпирическая функция суммарной частости Ле и ее аппрокси-
аппроксимация на вероятностной сетке нормального распределения (пример 2.10)
Пример 2.10. Относительно запланированного в примере 2.7 опыта
с нарастающим напряжением в промежутке шар — плоскость в воздухе из-
известно, что, как правило, напряжение пробоя распределено по нормальному
закону. Поэтому и эмпирическую функцию суммарной частости (рис. 2.27)
следует аппроксимировать нормальным распределением. Точечная оценка
параметров приводит к значениям математического ожидания m=uav —
= 953 кВ и стандартного отклонения s = 18,2 кВ. Нормальное распределение
с этими параметрами в виде прямой линии изображено на вероятностной
сетке одновременно с эмпирической функцией суммарной частости. Видно,
что нормальное распределение N (953; 18,22) хорошо аппроксимирует экс-
экспериментальные взаимосвязи. Это впечатление подтверждается тестом Кол-
Колмогорова (см. п. 1.5.1): значение критерия rfmax = 0,07 (рис. 2.28) явно
меньше граничного значения А5о; п,п5 = 0,188. Расчет доверительных границ
(см. п. 1.3.2. и штриховые линии на рис. 2.28) еще очевиднее говорит о том,
что и в диапазоне весьма малых вероятностей аппроксимация нормальным
распределением дает надежные результаты. На этом основании не остается
никаких сомнений, что исследуемое напряжение пробоя должно рассматри-
рассматриваться как нормально распределенное. Рекомендуется лишь вычислить до-
доверительные границы для параметров этого нормального распределения.
С помощью формул табл. 1.7 для статистической надежности е=0,95 выпол-
выполняются доверительные двухсторонние оценки математического ожидания
(947 и 959 кВ) и стандартного отклонения A5,0 и 22,8 кВ).
Описанный общепринятый путь оценки параметров дает
наиболее удовлетворительную, а при одновременном графиче-
157
ском изображении — также и весьма наглядную оценку. При
затруднениях в параметрической оценке, например, при рас-
распределении Вейбулла после графического изображения на ве-
вероятностной сетке прямая искомой теоретической функции рас-
распределения может быть найдена также путем регрессионного
анализа (см. п. 1.4.3 и пример 2.6). Следует, однако, заметить,
что для регрессионного анализа должны быть использованы
все имеющиеся реализации. По проведенной прямой могут быть
определены как параметры, так и квантили.
2.3.4. Определение функции поведения по функции суммар-
суммарной частости. Выбор параметров эксперимента обеспечивает
глубокую взаимосвязь функции суммарной частости и функции
поведения (см. п. 2.1.2). При известной функции поведения воз-
возможные функции суммарной частости SAu (ы) (рис. 2.7) рассчи-
рассчитываются в соответствии с формулой B.1). В отличие от опы-
опытов с неизменным напряжением, выполняемым для определе-
определения функции суммарной частости, опыты с нарастающим на-
напряжением требуют технических удобств, однако, практические
выводы относительно поведения изоляции могут быть сделаны
и по одной лишь функции поведения на основании наблюдений
в процессе эксплуатации (см. п. 2.1.1). Функцию суммарной ча-
частости без какого бы то ни было технического риска можно ис-
использовать в качестве функции поведения, поскольку функция
суммарной частости лежит неизменно с более «надежной» сто-
стороны от функции поведения (рис. 2.7). Тем не менее рекомен-
рекомендуется внимательнее относиться к определению функции пове-
поведения по функции суммарной частости.
При ступенчатом нарастании напряжения взаимосвязь
между обеими функциями должна проявляться наиболее сильно
и поэтому должна обрабатываться в первую очередь. Начав
увеличение импульсного (рис. 2.3) или длительно приложен-
приложенного напряжения (рис. 2.22, б) с какого-нибудь определенного
начального значения «о, повторяют его затем во всех отдель-
отдельных опытах при неизменной величине этого напряжения. Есте-
Естественно, после завершения заключительного опыта при любом
значении напряжения можно оценить вероятность пробоя по
соотношению между числом событий «пробой» и числом при-
приложений напряжения. Например, на рис. 2.3 при мДР=102 кВ
и mi* = 8 приложениях напряжения получено k\* — l пробоев
(вторая серия экспериментов), а при ыпр= 105 кВ и т2* = 5 при-
приложениях напряжения — &2* = 2 пробоев (первая и четвертая
серии). Полученные при этом оценки вероятностей пробоя
pi* = 0,125 и р2* = 0,40 принадлежат искомой функции поведе-
поведения. Изменения в схеме действий следуют непосредственно на
основании оценок функции поведения; разумеется, столь боль-
большие квантили оцениваются весьма неточно.
Оценка может быть улучшена, если расчеты выполнять на
158
Оснований аппроксимации функции суммарной частости какой-
либо теоретической функцией распределения. Это выполнено
в работах C9, 41, 43, 124, 137], и описанный ниже метод вычис-
вычислений выполняется для любой функции суммарной частости
5дЛ«пр) при строгом определении лишь уровня ступени Аи.
Используя обозначения из формулы B.1)
(i = 0, I, 2, 3, . . . );
) (Л = 0, 1, 2, 3, . . .)'
запишем B.1) в форме
Далее
t-l
г к t-l -j
\ l—a0— 1>гПA— а,)
L <=i /=o J
a0 — bk).
При этом можно положить ao=V(«o)=O, поскольку в на-
начале вероятность пробоя должна проходить вблизи нуля. От-
Отсюда следует, что
— bk
или после замены сокращенных обозначений первоначальными
искомое выражение для вычисления функции поведения по
функции суммарной частости будет
(Дв). B.10)
1 — 5д„ (ыпр — Д«)
Если функция суммарной частости достаточно хорошо из-
известна, то нет никаких препятствий для вычисления по точкам
и функции поведения при используемой величине Аи.
При аппроксимации SAu математически несложной функ-
функцией распределения соответствующая функция поведения мо-
может быть вычислена ее подстановкой в выражение B.10). На-
Например, если для SAa(«np) получено двойное экспоненциаль-
экспоненциальное распределение с параметрами «np63s н у, окончательное
решение будет
«пр— «npess — Vln I — expj 11
V (Ыпр) = 1 -ехр -ехр [- L Ь *_ZiL
B.11)
159
Функция поведения также обладает двойным экспоненци-
экспоненциальным распределением с 63%-ным квантилем (модой):
1>пР esv = %р ess — Y In J1 — exp ( ~ Д" J\. B.12)
Если выбрано А«>\, то разница между «np63s и рвз
превышает 2%. При достаточно большой величине ступени Аи
можно отказаться от пересчета и интерпретировать SAu(unp)
непосредственно как функцию поведения У(«пр), поскольку
ошибка при этом лежит в технически допустимом диапазоне.
Если функция суммарной частости аппроксимирована слож-
сложной математической функцией, то при подстановке ее в фор-
формулу B.10) часто не получается такого наглядного решения
для функции поведения. Сложные соотношения возникают при
использовании в качестве функции суммарной частости нор-
нормального распределения. Для решения этой проблемы разра-
разработан метод перехода [39], связанный с моделированием на
ЭВМ.
Напряжения пробоя данного изолирующего промежутка
в опытах с неизменным и нарастающим напряжением прибли-
приближаются к нормальным распределениям (случайные величины
СПр и UnpAu; параметры ц, <т2 и ц.д„, <тди). Обе случайные ве-
величины нормализуют по отношению к ц, и а2:
Х = ([/пр-ц)/а; B.13)
XAx=(UnpAu-V)/a. B.14)
Функция поведения V(unp) переходит при этом в нормаль-
нормальное распределение Ф(х) с параметрами ц=0 и а2=1. Функция
суммарной частости SAu(unp) делается нормальным распреде-
распределением FbX(x) с параметрами Цд* и ад*. Равным образом
нормируется величина ступени
Ах = Аи/о. B.15)
Случайные величины X и ХАх связаны соотношением
- BЛ6)
Взаимосвязь между Ф(х) и Fax(x) осуществляется соотно-
соотношением B.1). Используемые соотношения изображены на
структурной схеме (рис. 2.29). Если по функции SAu(«np) дол-
должна быть определена функция поведения V(unp), можно ис-
использовать также нормирование
у__ ^прАц — ЦАц in j
160
,«(z-i3) .1
Рис. 2.29. Схема преобразований для определения функции поведения
К(«пр) по функции суммарной частости Sau (мПр)> обладающей нормальным
распределением
Из уравнений B.16) и B.17) следует
у UnpAu — ЦД" „. i ..
А аАх+ Рах-
Сравнивая коэффициенты из выражений B.14) и B.18), по-
получают искомые параметры функции поведения:
адц
ОАх
Для нормированной ступени B.15) теперь получаем
Соотношение
О Аи V
B.19)
B.20)
B.21)
А«/аДы =
эквивалентно соответствующему линейному переходу. Оно из-
известно по результатам опытов с неизменным напряжением.
Для расчета а и ц, необходимо знать стДл. и цДл, определяе-
определяемые моделированием на ЭВМ с учетом Ах/аАх=Аи/а&и. Необ-
Необходимые для расчетов величины приведены в форме диаграмм
(рис. 2.30), как и нормированная величина ступени (рис. 2.31).
161
a)
1,0
0,8
0,6
0,4
о*.
/
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
У-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
-1,2
-1,4
О 0,2 0,4 0,6 0,6 1,0
J
4
/
f
/
Дх,
Рис. 2.30. Номограмма для определения параметров преобразованной функ-
функции суммарной частости, обладающей нормальным распределением: а — стан-
стандартное отклонение ад*; б — математическое ожидание цд*
Моделирование взаимосвязей на ЭВМ приводит также
к ограничениям случайной верхней границы «Ов начального на-
напряжения «о (см. п. 2.3.1). Это необходимо учитывать, когда
функция суммарной частости зависит от начального напряже-
напряжения. При нормировании
*ов = («ов—[Ади)/<Тди B- 22)
требуемое начальное напряжение вполне определенным обра-
образом (рис. 2.32) зависит от величины ступени Ах (рис. 2.31):
1,0
0,8
0,6
0,2
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Рис. 2.31. Нормированная вели-
величина ступени Аде и иезависимое
отношение Аи/ад„ = .'
>
/
/
Ли
0 0,2 0,4 0,6 Ofi 1,0
-2,0
-2,5
-3,0
-3,5
-4,0
Рис. 2.32. Верхняя граница
дсов начального напряжения ц,
в опытах с нарастающим на-
напряжением
Допущение: функция суммарной
частости описывается нормальным
законом
/
\Х0В
162
>—0—С
i В—С
I /
Р—О—С
/
/
/
1—0—<
/
/
/°|
!
1
L/
/
/
/i
/ 1
t
/
/
/
/
0,95
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
OfiO
0,30
0,20
0,10
°'°5110 120 130 ПО " 150 160 170 180 190 200 к В
Рис. 2.33. Определение функции поведения по функции суммарной частости,
описываемой нормальным распределением (пример 2.11)
Импульсы коммутационных перенапряжений +50/5000
чем меньше величина ступени, тем меньше должно быть вы-
выбрано начальное напряжение.
Пример 2.11. Необходимо определить функцию поведения промежутка
острне — плоскость в масле (расстояние между электродами d=50 мм). Пря-
Прямое эмпирическое исследование нецелесообразно [94, 124], поскольку ход
функции суммарной частости уже известен. До начала эксперимента необ-
необходимо оценить среднее значение функции суммарной частости
и
пР sos
= 1501кВ
и стандартное отклонение
0Ды = 0,08ц.Ды = 12 кВ.
Выбираем величину ступени Ди=5 кВ. Для оценочной величины ди
отсюда следует значение чуть более 0,4, для которого рис. 2.31 дает
Дх»0,25. Нормированная верхняя граница начального напряжения задается
как *ов=— 2,7 (рис. 2.32), так что иОв = ц*Аи +*Ов<Тдц = 150— 2,7-12 ж
«118 кВ.
163
При выборе начального напряжения «о=110 кВ<Мов функция 5ды («Пр)
будет определена точно. Несмотря на то, что «о должно изменяться, здесь
для наглядности оно поддерживается постоянным. Число опытов фиксиро-
фиксировано: я=20. Результаты экспериментов наглядно представлены на рис. 2.33.
Параметры функции суммарной частости оцениваются как цДы = мпр 50S =
= 148 кВ и 0дц = SAu = 15 кВ. С помощью эквивалентного соотношения
A«/SAu = 0,33 (рис. 2.30, а) следует, что одЛ = 0,65 и цДл; = — 0,88
(рис. 2.30, б).
Используя выражения B.19) и B.20), вычисляем параметры функции
распределения (нормальное распределение) s=23 кВ и «npsov = 169 кВ, изо-
изображенного на рис. 2.33. Если бы этот расчет не был выполнен, то в каче-
качестве математического ожидания было бы принято лежащее ниже напряже-
напряжение мПр 5os=148 кВ.
Процесс пересчета можно вполне успешно контролировать
по результатам эксперимента [124]. Пусть (рис. 2.34), как
в предыдущем примере, по функции суммарной частости
5ди(«пр) определяется функция поведения V (ипр) воздуш-
воздушного промежутка (для наглядности измеренные значения
опущены). Прямое определение функции поведения в опытах
с неизменным напряжением дает доверительные интервалы, ко-
которые очень хорошо подходят к функции поведения, пересчитан-
пересчитанной с 5Ди(иПр). Этот метод очень удобен для использования
и, поскольку в опытах с неизменным напряжением также нет
взаимной зависимости, приспособлен для контроля. При ана-
аналогичном контроле масляного промежутка [124] подобное сов-
совпадение имеет место, только если в опытах с неизменным на-
напряжением используется длительность паузы более Д<п = 300 с
(рис. 2.35). При более коротких паузах (Д^п = 30 с) в опытах
с неизменным напряжением имеет место взаимное влияние, ис-
искажающее результаты. Причиной этого является наличие про-
пространственного заряда и после пробоя, не имеющего возмож-
возможности рекомбинировать при более коротких паузах A24, 137,
138]. Для жидкой изоляции и герметизированных устройств
[25] рекомендуется определять функцию поведения через функ-
функцию суммарной частости.
Если функция поведения определяется вплоть до весьма
малых вероятностей, рекомендуется выполнять опыты с неиз-
неизменным напряжением при большем числе нагружений на каж-
каждой ступени (т>1) [97, 139, 140]. Начиная с некоторого на-
напряжения и0 .его увеличивают ступенями по Аи, пока на ка-
какой-либо ступени не наступает пробой. При этом неважно, на
котором из т приложений напряжения на данной ступени не
возникает. После пробоя опыт прекращается независимо от
того, сколько еще воздействий на данной ступени следовало
бы сделать, и для дальнейших экспериментов напряжение
вновь снижается до «о. Вероятность того, что на данной сту-
164
0,99
0,95
0,90
0,80
0,70
0,50
0,30
0,10
0,05
°'°195 100 105 110 кВ
Рис. 2.34. Функция суммарной часто-
частости и функция поведения искрового
промежутка острие — плоскость
в воздухе
d=*150 мм; импульсы атмосферных пере-
перенапряжений 1,2/50
V'
/
т/
ТД/
-Л-
>
/
-/ 1
VAl V
*1илр/1
)/
Л
f
A\
Uap
0,99
0,95
0,90
0,80
0,70
0,50
0,30
0,10
0,05
0,01
200 230 260 290 кВ
Рис. 2.35. Функция суммарной часто-
частости и функция поведения изолирую-
изолирующего промежутка острие — плоскость
в масле
d=70 мм; импульсы коммутационных пе-
перенапряжений 200/3000
1
1
j
1
'/
V
Т 1
-р/
А
А
7
/
f
1
J
А
т
/
л
t
к-"
f
ЬХ„=300с
■ Vfrnp)
ийр
пени при т приложениях напряжения не будет пробоя, зада-
задается выражением
PNk = U-V(u0+kAu)]>». B.23)
С вероятностью
pDk=l-pNk=l — [l-V{uo + kAu)]m B.24)
имеет место по меньшей мере один пробой, причем после пер-
первого пробоя испытания прекращаются (95, 96]. Эти соотноше-
соотношения позволяют рассчитывать функцию суммарной частости по
функции поведения (см. п. 2.1.2) только при т повторных воз-
воздействиях (т>1). Для значения функции суммарной частости
в точке «о при известной функции поведения V (uo + kAu)
имеем
i l
V («„+ ;Лы)Г)П l\-V(uo + jAu))A. B.25)
При т=1 уравнение B.25) переходит в B.1). Наоборот,
при известной функции суммарной частости 5Ды(«Пр), опре-
определенной при т>1 приложениях напряжения на каждой сту-
ступени, аналогичным образом из уравнения B.10) может быть
вычислена функция поведения
V (Ипр) =1-1/1
У
1 — S (мПр — Дм)
B.26)
165
Для уже изученного случая т=\ уравнения B.26) и B.10)
идентичны. В процессе выполнения опыгов с неизменным на-
напряжением при т нагружениях на ступени (обычно т=10...
100) при использовании выражения B.6) можно определить
функцию поведения в диапазоне крайне малых вероятностей.
Разумеется, общее число необходимых нагружений будет
весьма большим (см. п. 2.4.2).
В заключение данного раздела, посвященного проблемам
ступенчатого нарастания напряжения, рассмотрим некоторые
соображения относительно их связи со способом непрерывного
увеличения напряжения (рис. 2.22). В дополнение к напряже-
напряжению в данном случае необходимо ввести величину «время».
При линейном нарастании напряжение и время взаимно про-
пропорциональны, как и реализации напряжения пробоя и вре-
времени до пробоя:
«пР = vjnp. B.26а)
Функция поведения должна вычисляться лишь для одного
времени нагружения То, при выборе которого следует учиты-
учитывать физико-технические свойства объекта исследования,
меньшего по сравнению с общей длительностью опыта с увели-
увеличением напряжения. Время То может быть, например, длитель-
длительностью полуволны переменного напряжения. В неопубликован-
неопубликованных работах Шпека непрерывное нарастание напряжения пре-
преобразуется в ступенчатую функцию с длительностью ступени
Atc и временем перехода То. Используя на основании этой
модели B.1) — B.10), полагая опыты взаимно независимыми,
подставляя вместо напряжения время из уравнения B.26а) и
переходя к пределу А£с-к#пР, получаем
» (,'пр> '0/ —' *
1 - S (fnp)
<2266>
При этом S (tnp) вычисляется при tnp = unp/vu по эксперимен-
экспериментально определенной при vu функции суммарной частости
Sv(Unp). Величина dS (tnp)/dtnp, как и функция плотности
s(^np), является крутизной функции суммарной частости в рас-
рассматриваемой точке tnp.
Если приписать функции суммарной частости Sv(«np) двух-
параметрическое распределение Вейбулла (параметры ыпРбз;
166
6), то уравнения B.26а) И B.266) дадут функцию поведения
напряжения пробоя
V{unp; T0)=l —
Если Sv(unp) распределено по двойному экспоненциальному
закону (ыпрбз; у), то и для V (ыпр; То) справедливо двойное
экспоненциальное распределение:
Г0)=1-ехр{ ~^»Г° ехр( в°р-в»ф«« )}. B.26г)
Естественно, для 5«(«np) возможно применение и других
теоретических функций распределения, однако они приводят
к менее наглядным выражениям.
Уравнения B.266) — B.26г) дают принципиальную возмож-
возможность сравнивать, например, функцию суммарной частости
напряжения пробоя, полученную в опытах с непрерывным на-
нарастанием переменного напряжения, с функцией поведения на-
напряжения пробоя того же промежутка при импульсах коммута-
коммутационных перенапряжений. Хотя они и используются ниже,
например в исследовании времени жизни, примеры их примене-
применения в дальнейшем изложении отсутствуют. Эту проблему сле-
следует рекомендовать к дальнейшему изучению.
2.3.5. Структурная схема оценки и расчета. Отдельные шаги
выполнения и оценки опытов с нарастающим напряжением изо-
изображены на рис. 2.36. После подготовки и выполнения экспе-
эксперимента для дальнейшей обработки имеется протокол, содер-
содержащий п реализаций. Должна быть проверена взаимная неза-
независимость реализации, при подтверждении независимости
оценка может быть продолжена. На основании протокола оп-
определяется эмпирическая функция суммарной частости. При
этом имеются возможности либо аппроксимировать эту функ-
функцию каким-либо теоретическим распределением и с помощью
приближающей функции выполнить пересчет к функции пове-
поведения, либо вычислять эмпирическую функцию поведения по
точкам. Поскольку первая из этих возможностей часто приво-
приводит к определенным приближениям функции поведения
(например, в п. 2.3.4 — двойным экспоненциальным распределе-
распределением, а при пересчете — нормальным распределением), следо-
следовало бы, в особенности при втором варианте, аппроксимиро-
аппроксимировать эмпирическую функцию поведения теоретической функ-
функцией распределения. Функция поведения позволяет получить
важные в технических приложениях квантили. Результаты экс-
эксперимента представляются в удобной форме и интерпретиру-
интерпретируются. В примечаниях на схеме (рис. 2.36) в скобках отмечены
необходимые математические операции. Как и при оценке опы-
167
Параметры эксперимента B.3.1):
объем выборки л;
скорость нарастания напряжения ru;
длительность ступени/величина ступени: Ats/Au;
начальное напряжение и „;
длительность паузы Afn
В процессе выполнения эксперимента B.3.2):
графический контроль независимости A.5.3)
Оценка результатов
I Проток
±
Проверка независимости
Контроль общей тенденции A.5.2).
Модифицированный итерационный тест.
Проверка на выброс A.5.3)
Г
1 Эмпирическая функция сум-
[ марной частости B.3.3)
♦
Аппроксимация функцией рас-
распределения и ее контроль
B.3.3)
*
Пересчет к функции поведения
B.3.4)
Аппроксимация функции пове-
поведения функцией распределения
B.2.4)
f
Определение технически ннте-
ресных квантилей
Первичная таблица распределения A.2.2).
Графическое изображение A.2.2,1.5.1)
Оценка параметров A.3.2):
графический контроль функции распре-
распределения A.5.1);
расчетный контроль функции распре-
распределения A.5.1);
построение доверительных границ
A3.2);
определение доверительных границ па-
параметров A.3.2)
Точечный пересчет (.при произвольном
распределении).
Аналитическое решение (например, при
двойном экспоненциальном распреде-
распределении).
Метод преобразования (нормальное
распределение)
Графический метод A.5.1) [регрес-
[регрессионный анализ A.4.3) ].
Контроль аппроксимации A.5.1).
Параметрическая оценка A.3.2)
50%-ное напряжение пробоя.
Статистическое длительно выдержи-
выдерживаемое напряжение (статистическое
разрядное напряжение)
Выводы о результатах эксперимента
Интерпретация результатов эксперимента:
физические выводы;
технические выводы;
обобщение;
пересчет к усложненным промежуткам (гл. 5)
Рис. 2.36. Схема оценки результатов опытов с нарастающим напряжением
168
тов с неизменным напряжением (см. п. 2.2.5), аналогичный
формальный подход может быть введен на рис. 2.36 для оценки
опытов с нарасгающим напряжением с помощью ЭВМ. Тем не
менее на основании изложенного ранее (см. п. 2.2.5) в на-
настоящей работе принято решение отказаться от изложения
программы для ЭВМ и ограничиться ссылками на литературу
[41, 103, 134—136]. С введением в управление высоковольтными
испытаниями микропроцессоров возникает возможность выпол-
выполнять наиболее простые операции статистических оценок прямо
в процессе эксперимента.
2.4. Методы определения отдельных квантилей
2.4.1. Метод «вверх—вниз». Этот метод [141] позво-
позволяет выполнить оценку 50 %-ного напряжения пробоя. При
нормальном распределении пробивного напряжения метод дает
также оценку стандартного отклонения. Если напряжение про-
пробоя не может считаться распределенным нормально, то сле-
следует отказаться от оценки дисперсии. В соответствии с цен-
центральной предельной теоремой ([17], п. 1.3.2) метод «вверх —
вниз» дает также и в этом случае приемлемую оценку «*пр5о
для 50 %-ного пробивного напряжения.
Следуя данному методу [89, 141], напряжение поднимают
от начального значения «о, при котором заведомо не возни-
возникает пробоя, ступенями заданной величины Аи, до пробоя при
напряжении иц (рис. 2.37).
а)
160
150
1¥)
130
At
9
h I
I I I I I I I I I I I I
I I I I I I I I I
t
Ступень
i
7
2
1
0
—
il
1
1
0
M
A:
Ti
ti
2
5
3
1
«^
li
кВ
1bb
150
145
140
A35)
n
I I I I ' I
I I I I
I I I I I I I I I I I I I I I I
I I I I I I I I I I I I I I I I | I
Номер опыта
Напряжение
икВ
Результат
!!,,
Рис. 2.37. Метод «вверх —вниз» [141]: а —схема опыта; б и в—обработка
результатов (п — объем выборки; D — пробой; N — отсутствие пробоя; k —
число пробоев)
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,050
0,020
0,010
0,005
0,002
0,001
p,
й
//
ч
/
/
/
/
u=0,2i
\
Л
\
\
N
\
\
\
\
\
Аа-1,2
\
\
Л
\
и,
■пр50
Рис. 2.38. Вероятность первого пробоя в методе «вверх — вниз» [142]
После этого напряжение уменьшают на Аи. Если при на-
напряжении щ2=Щ\—Аи пробоя не возникает, напряжение вновь
повышают на Аи, в противном случае еще раз снижают на Дм.
Процедура продолжается, пока не набирается заранее опреде-
определенное число га напряжений щи щ2, ..., щп-
Среднее арифметическое этих значений, особенно при боль-
большом объеме выборки га, дает начальную оценку исследуемого
50 %-ного напряжения пробоя [89]. При внимательном рассмот-
рассмотрении, однако, делается очевидным, что величина ступени \и
оказывает существенное влияние как на результаты исследо-
исследования вероятности пробоя, так и на напряжение первого про-
пробоя и„р1 (рис. 2.38). Чем меньшим выбрано Дм по отношению
к стандартному отклонению генеральной совокупности, тем при
меньшем напряжении кц и с меньшей вероятностью р{ возни-
возникает первый пробой [142, 143]. Далее согласно работе [141] для
определения оценок «„^so и s исходят из того, какое событие
(пробой или непробой) реже встречалось при п напряжениях.
Пусть это событие возникло в п опытах k раз; дополнительное
к нему — q раз (n = k + q). Для оценивания эксперимента п зна-
значения напряжений щ классифицируют (рис. 2.37, в). Уровень
т, при котором рассматриваемое (более редкое) событие встре-
встречается первый раз, обозначают индексом г = 0. Более высокие
ступени получают индексы г=1, 2, ..., г; 50%-ное напряжение
пробоя может быть оценено как
> U 1 N.
B.27)
17П
2,0
1,5
1,0
°'5O 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
Рис. 2.39. Множители дли определении стандартных отклонений оценок ма-
математического ожидания (G) и стандартного отклонения (Я) [141]
Gz и Яг должны быть использованы вместо G и Я, если оценка математического
ожидания лежит в промежутке между двумя ступенями; если она лежит выше всех
ступеней, используют С и Я (Ди/о" — относительная величина ступени)
-
a
^
.—■—
~£
»z
Аи/6
где y4=2jffej (ki — число рассматриваемых событий на t-й
ступени). Если рассматривается событие «пробой», то в урав-
уравнении B.27) ставят знак «—■», если отсутствие пробоя — то
Стандартное отклонение оценивают как
s<*> = 1,62Ли (kB~A* +0,029)
B.28)
где В =
Далее в соответствии с работой [141] выпол-
няются оценки стандартного отклонения для 50 %-ного напря-
напряжения пробоя
^ B.29)
л/k
и для эмпирического стандартного отклонения
„ s(*)
B.30)
причем множители G и Н должны быть взяты с рис. 2.39. Со-
Согласно [141] с помощью sm и ss определяются доверительные
оценки для ы„р5о
(*, в, н) (*) ,
Ипр50 = "пр80±
и для других квантилей иПрд:
"пр q — '
171
2,50
2,25
2,00
1,75
1,50
1,25
1'°°10 20 30 40 50 60 70
Рис. 2.40. Корректирующий множитель К\ для расчета стандартного откло-
отклонения в методе «вверх — вниз» [116]
К'
\
\ X
\
\
\
ом*
,Au=0,2s*
\
\ N
\0,6s*
1,5s*
' .
,
===
— ,
— I—
= 71
где ^(i+e)/2 и Kq являются квантилями нормального распреде-
распределения N @; 1).
Моделирование метода «вверх — вниз» показывает, однако,
что к уравнениям B.27) — B.30), а потому, естественно, и к до-
доверительным оценкам следует относиться с известной осторож-
осторожностью [116, 142—144]. Особенно внимательно следует рассмат-
рассматривать влияние числа приложений напряжения п и величины
ступени Аи (ии, .... ищ). Отклонения от истинных значений
будут тем значительнее, чем меньше п и чем ниже выбрана
величина ступени Аи [116]. Согласно работам [116, 142, 143]
рекомендуется корректировать вычисленную по уравнению
C.28) оценку стандартного отклонения с помощью множителя
/Ci (рис. 2.40):
s = tflS<*>. B.31)
Оценка 50 % -ного напряжения пробоя по формуле B.27)
обладает лишь незначительной погрешностью, в особенности
если Аи выбрано не слишком малым. Выполняется корректи-
корректировка:
"np6o = "np5o + s/C2, B.32)
где /Сг должно быть получено с рис. 2.41. С помощью изобра-
изображенного на этом же рисунке множителя /Сз согласно [142, 143]
могут быть оценены доверительные границы для ыпР5о:
B.33)
«пвр а$ = «пР бо
172
Рис. 2.41. Корректирующие множители для расчета математического ожида-
ожидания (Кз) и доверительного интервала для математического ожидания (Кз)
в методе «вверх — вниз» [142, 143]
При выполнении метода «вверх — вниз» оказывается целе-
целесообразным выбирать Alices и поддерживать его неизменным
(для использования оценки а как s* или s). Если требуется
лишь грубая оценка, то следует выбирать значение Ли^>
да @,01.. .0,10) «пр so и удерживать его изменения в этом диа-
диапазоне. Оценочное значение ипР5о должно быть затем вычислено
как среднее арифметическое напряжений «и, "/2, •.., и/'п {89,
97]. Начальное напряжение и0 слабо влияет на результат. Об-
Общее число выполняемых воздействий п в методе «вверх — вниз»
должно быть, как правило, не менее 20, лишь в редких слу-
случаях выбирают я = 60 и более. В пределах этих границ метод
оценки 50%-ного напряжения пробоя самовосстанавливаю-
самовосстанавливающейся изоляции тщательно проверен (например, [28, 97, 142,
145]). Для оценки нормирования, т. е. также и абсолютных
173
значений параметров нормального распределения, следует вы-
выполнять опыты с неизменным или нарастающим напряжением
(см. § 2.2 и 2.3).
Пример 2.12. Требуется выполнить изображенный на рис. 2.37 опыт
с «о=12О кВ, Д«=5 кВ и я=20. Получено 9 пробоев и 11 непробоев; по-
поэтому устанавливается &=9 и <7=11 (k — число более редких событий).
Наиболее низкое напряжение пробоя равно 140 кВ; эта ступень получает
обозначение «о (индекс i—Q). Далее получают число пробоев на ступени kt
(рис. 2.37, в) и поэтому величины Л = 1 • 3+2 • 4+3-1 = 14, а также В = 12Х
ХЗ+22-4+32-1=28. Согласно уравнению B.27) и^до=145,3 кВ и по фор-
формуле B.28) s<*>=58 кВ. Обе эти величины обладают стандартным отклоне-
отклонением sm= 1,89 кВ или s,=2,82 кВ [см. B.29) и B.30)]. Целесообразно, од-
однако, улучшить оценку стандартного отклонения s=6,7 кВ; при этом кор-
корректировка среднего значения несложна: мпр 5о= 144,8 кВ. Согласно формуле
B.33) вычисляются доверительные границы для «Пр so {Кл — по рис. 2.41).
Получаем м^'д^ 140,4 кВ и и\$т =149,3 кВ.
В работе [146] предложен «расширенный» метод «вверх —
вниз». Он основан на том, что процедура может быть выпол-
выполнена при т>\ приложениях напряжения на ступени (рис.2.37;
т=\), причем переход к следующей ступени осуществляется,
если либо т воздействий проходят без пробоя (увеличение на
Aw), либо происходит один пробой (понижение на Аи,рис.2.42).
Если функция поведения при т~\ считалась распределенной
по нормальному закону N (и%уц\ <*i2b то функция поведения
при т>1 соответствует закону преобразования масштабов (см.
§ 5.3) [146] (рис. 2.43). Значению V{5) (ugj>M) =p<5> = 0,5 функции
"■о.
1 1
1
1 1
1
1 2 3
2 3 4 5
2
6
3
1
5
1
7
1
4
6
1
8
5
1
7
9
6
8
10
7
9
11
1
8
10
12
t
9-
11
13
i
n
"■max
N
1 6 11 16 21 25 30 35 40 42 45 50 51 55
Рис. 2.42. Схема обобщенного метода «вверх —вниз» (т=5 приложений на-
напряжения на ступень; п — число серий, завершившихся пробоем; п — число
учитываемых серий; «max —общее число выполненных серий; W — число опы-
опытов)
174
0,999
0,99
0,90
0,50
0,10
0,01
0,0001
m
'■ем
1
Yl.
и
§
f
У 7
г
„(Я
7/
ГУ
7
-0,13
7
'/
ияр
\so'l6i
и.10
V»
Рис. 2.43. Вероятность пробоя р<т>,
при котврой при числе воздействий m
на каждой ступени напряжением unp
происходит по меньшей мере один
пробой [146] (pi<"=W(M<i>np6o; ffi2),
считается известной; любому напря-
напряжению «пр соответствует своя веро-
вероятность рт(«Пр) и соответственно
р(')(«Пр)—в пг приложениях напря-
напряжения)
поведения при пг~5 нагруже-
ниях на ступень соответствует
на рис. 2.43 значение рA) = 0,13
при гп= 1. Равным образом
определение 50 %-ного кван-
квантиля при /п = 5 приводит
к 13 %-ному квантилю при
т=\. Эта взаимосвязь пред-
представлена еще раз для различ-
различных т на рис. 2.44, на кото-
котором изображена зависимость вероятности пробоя р<!> при т=\,
соответствующая 50 %-ному напряжению пробоя u(m>nP5o в за-
зависимости от т. На практике по рис. 2.44 можно также вначале
определить соответствующее желаемому квантилю (например,
«A)прю> т. е. p(i)=0,l) требуемое число приложений напряжения
на ступень т (например, т=7). Пусть выполнена процедура
расширенного метода «вверх — вниз» (как на рис. 2.42 при
т = 7) и как для т=\ определен эмпирический квантиль
«(т)*пр5о- Полученная величина напряжения является также
оценкой для искомого квантиля ыA)*Прю. Если, кроме того, из-
известным методом определено ы<1>*пР5о при т=\, то имеются уже
два эмпирических квантиля нормального распределения
N (иA)*Пр5о; cf2i), с помощью которых может быть просто опре-
определена и сгь
Таким образом, расширенный метод «вверх—вниз» дает луч-
лучшую оценку дисперсии, чем классический способ.
Разумеется, необходимо учитывать, что при т>\ большин-
большинство функций поведения не обладает нормальным распределе-
распределением (рис. 2.43). Метод «вверх — вниз», однако, предложен
для нормально распределенных генеральных совокупностей.
Поэтому функции поведения У(т)(ыпр) должны быть аппроксими-
аппроксимированы нормальными распределениями N (u^so ; crm2), при-
причем зависящая от т связь между ат и oi изображена на
рис. 2.45. Поскольку принятие нормального распределения для
V<m)("np) является лишь приближенным, достаточно вычислить
«прбо как среднее арифметическое и обойтись без трудоемких
расчетов по формулам B.27) и B.32).
J75
0,50
0,20
0,05
0.01 L
0,Ь05 ■
f
4
— m
5 10 20 50
Рис. 2.44. Вероятность про-
пробоя p(') при напряжении
«<m)np so в зависимости от
числа воздействий т [146]
(в т воздействиях с вероят-
вероятностью рт происходит по
меньшей мере одни пробой)
\
\
та
1,0
0,5
12 5 10 20 50
Рис. 2.45. Отношение
стандартных отклонений
при т и при одном при-
приложении напряжения на
ступень при нормаль-
нормальном распределении [146]
В работах [145, 146] описаны исследования, основанные на
расширенном методе «вверх — вниз» и имеющие большое зна-
значение для выбора параметров эксперимента. Если считать точ-
точность оценки равной стандартному отклонению
значения
^
среднего
(полученного по стандартному отклонению ат
30 40 60
Рис. 2.46. Качество оценки матема-
математического ожидания и<т>Пр so, опре-
определяемое по его относительному
стандартному отклонению в зависи-
зависимости от числа п выполняемых серий
[146] (a(m)ui/crm — относительный
разброс напряжения первого пробоя;
ки=ат — величина ступени)
176
30
20
ю:
■
•
Си
0,75
I
\л
/Ж
г\
п
10
20 30 4060
Рис. 2.47. Усредненное число не-
необходимых серий п в зависимости
от числа выполняемых серий п
[146] (a(J">ui/crm — относительный
разброс напряжения первого про-
пробоя; Д« = от — величина ступени)
Рис. 2.48. Максимальное общее число
серий «max в зависимости от числа
выполняемых серий п [146]
(a<m)ui/am — относительный разброс
напряжения первого пробоя; Ам»<т —
величина ступени)
70
50
W
30
20
':nmaz
■
-
-
— —
I—'
7
1,5
0,75
A
W
r
J
A
n
i
10
20 30 ¥MQ
нормального распределения
при аппроксимации V<m) (иПр)),
то точность возрастает с числом 10 tr
выполненных серий п (рис.
2.46). Разумеется, стандарт-
стандартное отклонение a(m)«i первого
пробоя (ср. с рис. 2.38) влияет
на точность оценки при малом
числе выполняемых серий п. При я>30 величина a<m)ui не ока-
оказывает никакого влияния.
Метод «вверх — вниз» дает п первых пробоев (рис. 2.37);
при расширенном методе_ в соответствии с рис. 2.42 оно равно
числу требуемых серий п. Поскольку этот первый пробой обла-
обладает случайным разбросом, число реализуемых серий п зави-
зависит от его стандартного отклонения аЙ*- Число выполняе-
выполняемых серий может быть больше или меньше требуемого числа
и существенно зависит от числа серий п (рис. 2.47). При /г>20
значения п и п практически одинаковы, при меньших п рас-
(т)
сматривается еще и зависимость его от ои\ ■
Затраты, ограничивающие применение расширенного метода
«вверх—вниз», определяются максимальным общим числом се-
серий Ящах, которое растет, естественно, быстрее, чем число вы-
выполняемых серий (рис. 2.48). Оценка требуемых затрат при-
приведена на рис. 2.47 и 2.48.
В среднем общее число приложений напряжения
N tst'jim B.34)
определяет погрешность оценок. Путем моделирования [146]
были определены стандартные отклонения о1—оо) стандарт-
стандартного отклонения ст, и оценки квантили и„Рд—аи(т) (рис. 2.49).
С их помощью можно оценить доверительные границы, как это
описано в примере 2.12 [146].
Пример 2.13. С помощью расширенного метода «вверх —вниз» необхо-
необходимо оценить 50%-ное и 2 %-ное напряжение пробоя, а также стандартное
отклонение изолирующего промежутка.
Прежде всего определяется м*пр so при числе приложений напряжения
на ступени т=\. Чтобы исключить влияние разброса первого пробоя, в со-
соответствии с рис. 2,46 выбирается я=30. Начальное напряжение «о весьма
слабо влияет на результаты; на основании предварительных оценок иссле-
исследуемого промежутка при «о =1000 кВ не должно возникнуть ни одного про-
пробоя. Равным образом на основании более раииих исследований известно, что
177
a)O,t>
0,4
0,2
^>
5
J 2
3
Ш
—
2
5H,6
0,4
0,2
30 50 100 200 300 WO 10
V
N
V
Ч
s
ч
S
6,1
к
S,
4=002
Г"
N
50 100 200
Рис. 2.49. Оценка погрешности метода «вверх—вниз» [146]: а — стандартное
отклонение а0г'оценки о"ь б — стандартное отклонение a(m'u оценки «(т>ир «
'~""пр50 при "™25; т=1 и "припРи т=6 '" произвольно); 2 — и„ ^ при «=25;
т=1 и иПр0,05прн т=13 (" произвольно); 3 — ипр и при «=25; т=1 и «пр 002 прн
ш=34 (« произвольно); 4 — «пр м (я произвольно; ш = 1); 5 — ип_ 94 и unp0J,e прн
т-11 (ге произвольно); q — порядок квантиля
коэффициент вариации имеет величину порядка 0,06. Поскольку величина
ступени А« должна быть установлена близкой к <Ti, ее принимают прибли-
приближенно Лмя*0,06 «о=6О кВ. Выполнение эксперимента показано в табл. 2.7,
п. 1. Простая оценка среднего значения дает «*пр so= 1194 кВ. Рисунок 2.46
дает для л=30 стандартное отклонение среднего значения^1' =0,25A!. Од-
lip
новременно с его верхней оценкой s( =0,06 ■ 1194=72 кВ определяем s'1' =
"пр
=0,25si=18 кВ. Диапазон [«„pso* ^u''
"пр
= [Н58 кВ; 1230 кВ] можно
считать 95 %-ным доверительным диапазоном для «Пр so.
Перейдем к определению «*пр о.ог. Рисунок 2.44 дает для /><D=0,02
необходимое число приложений напряжения на ступень т=34. Величина
ступени должна быть принята А«»аз4. Рисунок 2.45 дает аз4~0,5 а1»36кВ,
и поэтому А«=36 кВ. Общее число опытов W должно лежать между 100 и
200. При N=mn и т=34 будет выбрано я=5. Если будет принято aHi =
= ff'1' (разброс первого пробоя равен разбросу среднего значения), то
пр
получаем аи, = о{/' = 0.25а, « 18 кВ и oWas4=0,5. Из рис. 2.47 далее сле-
следует для я=5 среднее число требуемых серий я=4 и из рис. 2.48 максималь-
максимальное число серий «max = 6. В качестве начального напряжения предусмотрено
принять 2 %-ное пробивное напряжение, для чего можно обойтись несколь-
несколькими сериями. Это дает
«0 * «
пр 0,02
= «пР 50 -
= 1047 кВ.
Теперь все параметры эксперимента установлены и можно выполнять
процедуру метода «вверх — вниз» при т=34 (результаты приведены
в табл. 2.7, п. 2). Определяя среднее значение, находим «^pJo =1083 кВ =
= "про02' где а> может быть вычислено как разность двух квантилей:
a, = s, =
»пр50-»пр0.02 =
2,05
178
6 L\
1047
О
О
—
1083
О
X
X
1119
X
-
1
I!
ел
9
II
1000
О
о
1060
о
о
-
1120
О
о
X
о
о
о
0811
X
X
О
о
о
X
X
о
о
о
о
-
1240
X
О
X
X
о
X
X
X
о
со
1300
—
X „
а
II
°
3
II
X
X
со
Напряжение
Г кВ
t
Peayj
iьтаты
экс
пер
имента
Число пробоев
на ступени
С помощью рис. 2.49, а и соответствующего используемым параметрам
эксперимента («пр so при л=30, т=\ и Ипр о.ог при п=5, т=34) среднего
суммарного числа опытов
iV = (H — 0,25 (n— l))m= 102
осталось оценить стандартное отклонение a{j' стандартного отклонения Oj'.
ss(I» = 0,25 si=13,5 кВ. Диапазон [Si±2s,('>]=[54 кВ±27 кВ]=[27 кВ; 81 кВ]
является доверительным диапазоном для исследуемого стандартного откло-
отклонения. Остается определить разброс auC4> 2 %-ного пробивного напряжения
(<7=О,О2) по рис. 2.49, б при ЛГ=102 как <t«(S4>=0,35 st=19 кВ: 95 %-ный
доверительный интервал 2 %-иого пробивного напряжения составляет
1<4M0 ± 2sL34)l = Кр*о,О2 ± 2sW] = [1083 кВ±38 кВ]=[1045 кВ; 1121 кВ].
В заключение вычисляется верхний доверительный интервал для «пр so
при точном значении si=54 кВ. Из рис. 2.46 следует для я=30, что
а(" ]а, = 0,25; sj.1' = 0,25s, = 13,5 кВ; 95 %-иым доверительным иитерва-
"пр "пр
лом 50 %-ного пробивного напряжения при этом является м*р50 ± 2s^ \ =
= [1194 кВ ± 27 кВ] = [1167 кВ; 1221 кВ]. "Р
Результаты доверительных оценок для 50 %-ного напряжения пробоя:
мпВр50=A194±27) кВ'> 2 %-ного напряжения пробоя: «(пВро,о2= (Ю83±38) кВ;
стандартного отклонения: ai(B' н>= E4±27) кВ.
2.4.2. Методы определения квантилей малого порядка. Как
уже отмечалось в п. 2.3.4, «малые» квантили пробивного напря-
напряжения могут быть определены в опытах с нарастающим напря-
напряжением при т приложениях напряжения на ступень напряже-
напряжения. Если сразу же после первого пробоя опыт прерывается
(рис. 2.50), то при п повторениях будет получена эмпирическая
функция суммарной частости соответствующего напряжения про-
пробоя UnPq, при т нагружениях которым образуется по меньшей
мере один пробой. Если п достаточно велико и начальное на-
напряжение варьируется точно (см. п. 2.3.1), то, например, мате-
kU
:n-iS
л
о
8
Рнс. 2.50. Определение малых квантилей напряжения пробоя в опытах с на-
нарастающим напряжением (т>1)
п — число серий; а — номер ступени
180
матическое ожидание E(Unpq) =unVq будет именно квантилем
малого порядка.
Многочисленными авторами (в том числе [137, 147, 148]) ис-
исследовалась методика, дающая при возможно меньшем числе
пробоев и допустимом общем числе приложений напряжения
информацию относительно квантилей <7<0,1, а также опреде-
определяющая статистически выдерживаемое напряжение. Аналогич-
Аналогичные методы имеются для «больших» квантилей <7>О,9 и для ста-
статистического напряжения пробоя разрядника или искрового
промежутка.
В простейшем случае такие опыты с нарастающим напряже-
напряжением выполняются лишь однажды с начального напряжения
«о = «пР so—ks B.35)
при т>1 (число п={ должно быть использовано для мПр5о и
s; k>0). Под статистически выдерживаемым напряжением по-
понимают такой наибольший уровень напряжения
"прд = "пр50— Р«. B.36)
при котором при всех т нагружениях не возникает ни одного
пробоя. Число ступеней, при которых происходит первый про-
пробой, является случайной величиной А. Для случайной величины
выдерживаемого напряжения при этом имеем
(/„Р, = Ыо + (Л-1)Ди, B.37)
а для его математического ожидания
£(^пр,) = ыо—bu + AuE(A) = UuPq. B.38)
Вероятность того, что первый пробой произойдет на ступени а,
вычисляют аналогично рассмотренным ранее [см. выражения
B.1) —B.25)] как
Р(А = а) = \\-A -V (а))™} П A -V (i))m, B.39)
1=0
где V(a) или V(i) — уровни соответствующих пробивных на-
напряжений (значения функции поведения).
При математическом ожидании
Е(А)= £ а[1~A—У(а))"ЧПA—V(Q) B-40)
<и=1 i=0
и с учетом формулы B.38) для математического ожидания ста-
статистически выдерживаемого напряжения получаем
-^, B.41)
q) =
Еа[1A
Е(()НП(@
181
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,05
0,025
0,010
0,005
0,003
и
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0,03
0,1
ш
<
0,2
i
VA
7 3 4
/
0,5
5
/
у
у
/
1*10'
==
/
,1'
у
.3'
ч
6'
к
Рис. 2.51. Зависимость ожидае-
ожидаемого квантиля иПр в и среднего
квадратического отклонения sp
от начального напряжения и0
(число опытов иа ступени т;
величина ступени Au/s)
Среднее квадратическое отклоне-
отклонение So множителя р при Ди/s.
равном 0,1, и т, равном 20, 10,
5 (кривые 1—3), и Ды/s, равном
0,5, и т, равном 20,10, 5 (кри-
(кривые 4—6); множитель р B.36) и по-
порядок q квантиля "Пр? при Ди/s,
равном 0,5, и т. равном 5, 10, 20
(кривые 4'—6'), и kills, равном 0,1,
и т, равном 5, 10, 20 (кривые
/'—3'); q — порядок квантиля — на-
начального напряжения "про='
k — множитель для определения на-
начального напряжения B.35)
\0 3,8 3,6
3,2 3,0
зависящее от начального значения ы0 (определяемого в соответ-
соответствии с B.35) по величине k), числа приложений напряжения
на ступени т и величины ступеньки Аи. Для дисперсии числа
ступеней, при котором происходит первый пробой, имеем
и таким образом для дисперсии выдерживаемого напряжения
> а—1
'£а2[1—A^ V
.0=1
i=0
f
a=i
B.42)
Дисперсия выдерживаемого напряжения может быть выражена
через дисперсию sp с помощью множителя р уравнением B.36).
В предположении, что V(unp), а потому и V(a), удовлетво-
удовлетворяют нормальному распределению, выполнены исследования
влияния на результаты эксперимента начального напряжения
«о (полученного в соответствии с k, рис. 2.51), числа нагруже-
ний напряжения т (рис. 2.52) и величины ступени Ды (рис. 2.53)
[149]. Если начальное напряжение выбрано Ыо<«пр5о—3s, то оно
не влияет ни на математическое ожидание, ни на дисперсию
статистически выдерживаемого напряжения. Число воздействий
на одной ступени т существенно влияет на математическое
ожидание и слабо — на дисперсию. Чем больше т, тем меньше
182
0,50
0,¥>
0,30
0,20
Рис. 2.52. Зависимость ожидае- _ if. 8 12 16 20
мого квайтиля иар , и сред- 050
него квадратического отклоне-
отклонения sp от числа опытов иа
ступени т (начальное напря-
напряжение «0=«пр50—3« = "пР0,013;
величина ступени Au/s)
Среднее квадратическое отклоне-
отклонение sp множителя ff при Au/s, рав-
ном 0,10; 0,25; 0,50 — соответст-
соответственно кривые 1—3; множитель 0
B.36) и порядок q квантиля в„р q J
при Ди/s, равном 0,50; 0,25; 0,10,—
соответственно кривые 3'—/'
0,05
порядок ожидаемого
квантиля (рис. 2.52). 0,025\
Хотя малые величины
ступени и приводят к ма-
лым квантилям, ихвлия-
ние на дисперсию умень-
шается с величиной ступени (рис. 2.53). Эти взаимосвязи не-
необходимо пояснить примером.
я о
[ 0,5
1,0
1,5
2,0
х
\
= 1,28
— —
1
•——.
т
F
.
0,50
o,w
0,30-
0,20-
0,10
0,05
0,025
0,010
0,005
0,003
_ 0 0,1 0,1 0,3 0,4 0,5
" 0,5
1,0
1,5
2,0
- 2,5
7*
/ ■***
Y
Щ
2
3y
/^
\
—
Рис. 2.53. Зависимость квантиля ивр q и среднего квадратического отклоне-
отклонения s от величины ступени Au/s
Среднее квадратическое отклонение sr множителя 0 при т, равном 20, 10, 5, — кри-
кривые 1—3; множитель f? B.36) и порядок q квантиля ип q при т, равном 5, 10, 2, -
кривые З'—Г
183
Пример 2.14. 10%-ное пробивное напряжение изоляции должно быть
определено в опытах с нарастающим напряжением при одном воздействии
на каждой ступени (рис. 2.50). По результатам эксперимента должны быть
оценены параметры мПр so н s; возможно, должны быть выполнены предва-
предварительные эксперименты. Параметры эксперимента должны быть выбраны
такими, чтобы оцениваемая ошибка не оказывала существенного влияния
на результаты. Поскольку при неуверенной оценке s безопасным является
значение начального напряжения «о<«пр5о—3s, полагаем его «о = и*пР5о—
—4s*. При выборе величины ступени Л«»0,25 s* результаты эксперимента
слабо зависят от Ли (рнс. 2.53^. Предполагая, что разброс Sp не чрезмерно
велик, именно этот множитель 0 используется: А«=0,25 s*. В соответствии
с рис. 2.52 математическое ожидание наибольшего уровня напряжения, до-
достигаемого без пробоя, соответствует 10%-иому пробивному напряжению
(Р=1,28), если выбрано т=2. Разумеется, результаты при т=2 совершенно
ненадежны, поскольку колебания весьма значительны (sp = 0,6).' Надеж-
Надежностью 90 % определяемое статистически выдерживаемое напряжение об-
обладает при вероятности пробоя, меньшей 30 %:
ипр ю: «пР so — Ps; 0 = 1,28; sp = 0,6;
ипр во — (Р — l,28sp)~s = ипр so — 0,512s = unp <».
(Прн этом число 1,28 является 90 %-ным квантилем нормального распре-
распределения, табл. 1.6.) Поскольку определяемое статистически выдерживае-
выдерживаемое с надежностью 90% напряжение должно быть меньше, чем 10%-ное
пробивное напряжение, следует выбрать'E—1,28= l,28sp, т. е. f)»l,9. Число
приложений напряжения для этого должно составлять т=8. Эксперименты
должны выполняться при Ыо="*пр5о—4 s*; А«=0,25 s* и т=8. Далее не-
необходимо подсчитать, что пробой наступит приблизительно на 8-й ступени
и для иего потребуется примерно 70 импульсов.
Осталось модифицировать данный метод таким образом,
чтобы опыты с нарастающим напряжением повторялись т раз.
Предполагая, что V(unp) описывается двойным экспоненциаль-
экспоненциальным распределением с параметрами ыпрбз и у, эту методику ис-
исследовали в работах [78, 95, 96]. Согласно сделанным выводам
для математического ожидания ступени, на которой происходит
первый пробой, справедливо соотношение
Е(А) = а= -*-(—0,5772
Аи V
(,52m
Аи V "У
-In ехр(Ая/у) V B.43)
ехр (Аи/Т) -1 ) У '
а для дисперсии —
Математическое ожидание напряжения первого пробоя
-lnm-ln exp(AM/v)
е
184
-lnm-ln exp(AM/v) V B.45)
ехр (Ди/y) — 1 )
Напряжению u%q соответствует вероятность пробоя
/-A) \ ^ 0,72
пр ч msa
B.46)
Среднее квадратическое отклонение номера ступени sa есте-
естественно не задается уравнением B.44), в котором мера раз-
разброса, лежащего в основе всего рассуждения о двойном экспо-
экспоненциальном распределении, является неизвестной, однако она
вычисляется методом A-48) эмпирически по реализациям пер-
первых пробоев на ступенях с номерами а, (/=1,..., п), получен-
полученным в опытах с нарастанием напряжения,
при
B.47)
B.48)
Число подъемов напряжения п оказывает влияние на точ-
точность оценки q [см. B.46)]. В соответствии с работой [78] для
п= 10 при доверительной вероятности со статистической надеж-
надежностью е = 0,95 порядок q составляет ^±0,5 q, а для « = 25 — со-
составляет <7±О.З q.
На практике задаются порядком q требующегося квантиля
«np<f, например <7 = 0,001. Оценка объема суммарного числа не-
необходимых опытов N, для которой справедливо N^anm, может
быть выполнена с помощью рис. 2.54. При этом следует учиты-
учитывать, что необходимые затраты могут быть существенно умень-
уменьшены при приложении напряжения к параллельным изолирую-
изолирующим промежуткам (см. гл. 5, а также [40]). Расширенный ме-
метод «вверх — вниз» ([146] и п. 2.4.1) также модифицирован
таким образом, что желае-
желаемый квантиль можно немед- w
ленно получить по результа-
результатам экспериментов как сред-
среднее значение результативных
ступеней [150, 151].
Метод, позволяющий полу-
получить технически важное 10%-
ИГ
Рис. 2.54. Общее число опытов, не-
необходимое для определения квантиля
"вр , [84]
п — число подъемов напряжения (объем
выборки); т — число опытов на ступени;
а — номер ступени, иа которой происхо-
происходит первый пробой
iff
\
\
\
\
\
\
1 III
\
\
\
V
>
\
25
-10
\
\
\
10
10'
10'
185
iooooou oooox
1 OCCOOX
к ooooooo oooox
iDOOOOOO
1 I г
1 2 34 5 6 7 8 9 10 11 12 13 П 1516
5).
> U
m=7
-H f-i-
:xo Vxxxxx;
ХЧХХЧХХ
x хш Vxxxxxx хххххху xxxxxxx
1<X0 WxXXXX X6 \XX4«S SOOOOOCX
n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 П 15 16
Рис. 2.55. Определение напряжения пробоя [151]: а—10 %-ное напряжение
16 16
пробоя: ипр10= £ «,-„; 6 — 90 %-ное напряжение пробоя: мпр w = £ U/n
п=1 п= 1
и 90%-ное пробивное напряжение (ыПр ю и ыпрэо) столь же бы-
быстро, как и математическое ожидание [152], предложен в работе
[151] (рис. 2.55). Он разработан для т = 1 приложений напря-
напряжения на ступени для и=16 серий и при высоте ступеньки на-
напряжения Au^s*. Для получения мпрю эксперимент начинают
вблизи 50%-ного пробивного напряжения, снижая его на Аи
до тех пор, пока при т = 7 не будет получено больше ни одного
пробоя (рис. 2.55, а). Эта серия будет первой значимой серией.
Далее выполняется расширенный метод «вверх — вниз»
(рис. 2.42), пока не будут выполнены 16 серий, после чего на-
напряжение мПр ю вычисляется как среднее арифметическое. Для
определения ыпрэо выполняются аналогичные действия, но нача-
началом считается серия, не содержащая ни одного непробоя
(рис. 2.55, б). Широкое применение нашел очень близкий к нему
метод [153] — а-тест, когда опыты начинают выполнять при
т = Ъ приложениях напряжения на ступень, начиная с напряже-
напряжения и0, при котором не следует ожидать ни одного пробоя. На-
Напряжение увеличивают на Дм» @,025 ... О,О5)м*пр5о до тех пор,
пока на какой-либо ступени не будет зарегистрирован пробой.
После снижения на 2Дм метод (р-тест) используют при т = 25
186
р-тест
1
Рис. 2.56. Определение выдерживаемого напряжения [153] (ожидаемое значе-
значение «ст = ипро,ов; 95%-ный доверительный интервал «пр о.оог^Мст^Мпр о,в)
приложениях напряжения. Если при этом возникает пробой, то
напряжение вновь снижают на 2Д«, однако Дм увеличивают.
Когда по мере увеличения напряжения в процедуре р-теста воз-
возникает первый пробой, испытания прекращают. Наибольшая
ступень напряжения, при которой ни в а-, ни в р-процедурах не
было ни одного пробоя, является статистически выдерживае-
выдерживаемым напряжением мст. Математическое ожидание этого выдер-
выдерживаемого напряжения при нормальном распределении напря-
напряжения пробоя соответствует его 0,6 %-ному квантилю (мПро,об);
его 95 %-ным доверительным интервалом является [мпр5о—3,6 s;
«при—1.4 s], т. е. приблизительно [«про.оог; «npo,e].
Этот метод [153] зарекомендовал себя как менее чувстви-
чувствительный к неизвестному типу функции распределения напря-
напряжения пробоя и применяется при весьма редких пробоях (на
рис. 2.56 — при трех) [137]. Действие метода может быть еще
улучшено с помощью небольших изменений, предложенных
в работах [154, 155]: если выбрать Дм:>0,04 ы*пр5о (рис. 2.56),
то при увеличении и уменьшении напряжения следует остав-
оставлять Дм неизменным; лишь при Дм<О,О4м*пР8о следует выпол-
выполнять процедуру, описанную в [153], снижая все время напряже-
напряжение на 2Ди. Естественно, что число приложений напряжения
в а- и р-процедурах может меняться. В работе [155] рекоменду-
рекомендуется выполнять в а-тесте пг=8 и в р-тесте т=52 приложения
напряжения и прерывать опыт после первой же серии р-теста
без пробоя (Дм = 0,02 щ). Как правило, в течение всей про-
процедуры возникают лишь два пробоя, причем в основном для рас-
рассмотрения используются 100 приложений напряжения. Пара-
Параметры мпр5о и s могут быть оценены в предположении о нор-
нормальном типе распределения [155], и таким образом немед-
немедленно может быть вычислен любой квантиль.
187
и
f
i\
t-mecm
/
*
/
p-mecm
ТЭООО0000ОХ
m=20
SJ
«w
ct
<
-mecm\
1
4 i
■ \|
i
т=1 i
i
p-mecm
(ХХХХХХХХХХХХХЮСХХКХ
oocxxxxxxxxxx
XXXXXXXKXXXWOCXXXXXXX
лег
N
1
Рис. 2.57. Определение статистически выдерживаемого напряжения (97 %-иый
доверительный интервал: мСт^«о,в) —а н статистического напряжения про-
пробоя: «пр. СТ>"92 — б [97]
При использовании метода, описанного в [97, 140] (рис.2.57),
напряжение увеличивают в соответствии с процедурой а-теста
при т= 1 нагружениях до тех пор, пока при ыпр i не возникает
пробоя. Затем выполняется р-тест при т = 20. Далее напряже-
напряжение последовательно снижают на Ды= @,01 ... 0,04) ыпр i до тех
пор, пока на трех следующих друг за другом ступенях не будет
больше ни одного пробоя (рис. 2.57, а). Наибольшая из этих
ступеней дает статистически выдерживаемое напряжение мСт-
При нормальном распределении пробивного напряжения со ста-
статистической надежностью е = 0,977 оно лежит ниже 8 %-ного
напряжения пробоя. В работе [154] рекомендуется вначале сни-
снижать напряжение начиная с ы„р i на Дм=0,05 m,ipi> а затем, если
на двух ступенях возник лишь один пробой, уменьшать его до
Ды=0,025 «„pi- Этот метод имеет большое значение при опре-
определении статистического напряжения пробоя (рис. 2.57,6).
В методе, рекомендованном в [156], имеются только сниже-
снижения напряжения. В нем исходят из наличия некоторого напря-
напряжения включения1 ипро (рис. 2.58,а), при котором с высокой
1 В качестве напряжения включения следует понимать любое напряже-
напряжение, если нет каких-либо иных соображений. Здесь напряжение включения
обозначается ипр „, а мгновенное значение — unpom.
188
ф
npi ""npOm
\xxox
DOOOOOOOOOX
0,01й„р1
S)
0,50
0,30
0,20
0,10
0,05
0,025
0,010
0,005'
0,0013
■% о
■ 0,5
■ 1ft
. 1,5
■2,0
■2,5
■ 3,0
1 2 k 6 10 20 40 100 200 WO
\
p-1,Z8 y
P=i
ffiL.
8
-
-
^—r
^—'
-
-
—
-
———
—
-N
—,
Рис. 2.58. К определению статистически выдерживаемого напряжения [156]:
а — процедура; б — определение среднего квадратического отклонения sp
(кривая /) и квантиля ипр q (кривая 2)
Ь — пробой; N — отсутствие пробоя; сплошные кривые — распределение Вейбулла (х0—
=—3; £Х=0; D2X=1), штриховая кривая — нормальное_распределение N @; 1); Р кваи-
вероятностью происходит пробой и мгновенное значение про-
пробивного напряжения ыПрот измерено. Напряжение снижают на-
начиная с «прот не менее чем на Дм ^ 0,02ыПр о. На каждой сту-
ступени напряжение прикладывают до возникновения пробоя,
затем измеряют мгновенное значение напряжения. Снижение
напряжения выполняют описанным способом. Процедура вы-
выполняется до тех пор, пока не будет выполнено намеченное за-
заранее суммарное число приложений напряжения N. Выбор
числа N зависит от желаемого порядка q ожидаемого квантиля
MnPg, от его дисперсии и типа распределения (рис. 2.58,6). Не-
Необходимый при этом формализм идентичен описанному в опы-
опытах с нарастающим напряжением при т>1 приложениях на-
напряжения в серии [см. рис. 2.50, 2.52, уравнение C.35)].
Пример 2.15. Необходимо определить 10%-ное напряжение пробоя. Из
рис. 2.58 следует, что число приложений напряжения #=6. Разумеется, ну-
нужно определить одновременно со средним квадратическим отклонением
множитель Р для sp = 0,6. Для этого используется квантиль с иПр, при
189
^c надежностью 90 % Junp io=«"nP5o—0s при р= 1,28; npHsp=0,6
имееммПр jo—(P —l,28sp)s== мпр 30 (см. пример 2.14). Если нужно указать
границы 90%-ного доверительного интервала «Пр «, то должно быть вы-
выбрано Р= 1,28+ l,28sp, причем необходимо учитывать, что So является ве-
величиной, которой соответствует выбранное число N (рис. 2.58, б). Если
принять Sp«0,4, то 0, = 1,28+1,28-0,4 «1,8. Этой величине 01=1,8 соответ-
соответствует требующееся суммарное число иагруженнй Af=18.
После ЛГ=18 приложений напряжения опыт должен быть прекращен.
Если последнее приложение напряжения ие привело к пробою, то это на-
напряжение «пр 1 рассматривается как квантиль «Пр ч, соответствующий N=18.
Если имеет место один пробой, то полагают, (ГнР9 = 0,99 <?Пр и Как указыва-
указывается в работе [156], данный метод дает хорошее совпадение с методикой,
описанной в [153] (рис. 2.56).
Какой из предложенных методов определения малых кван-
квантилей пробивного напряжения должен выполняться, зависит от
объекта испытаний, допустимых затрат на эксперимент и от
требуемой точности. Если изоляция полностью восстанавливает
свои свойства, то число получаемых пробоев не играет роли и
без дальнейших изменений применяются расширенный метод
«вверх — вниз» (рис. 2.42, 2.55), а также методы, описанные
в [151] (рис. 2.55) и в [156] (рис. 2.58). Если для каждого про-
пробоя необходимо иметь новый образец, то следует использовать
расширенный метод опытов с нарастающим напряжением
(рис. 2.50) и метод, описанный в [153] (рис. 2.56) и в [97, 140]
(рис. 2.57). Разумеется, при этом следует учитывать, что и при
отсутствии пробоев могут происходить изменения. Полная яс-
ясность существует только в том случае, если для каждого опыта
используется новый образец. В этом случае особенно экономич-
экономичными являются методы с малым числом приложений напряже-
напряжения (например, рис. 2.58).
Глава третья
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА
СТАНДАРТИЗОВАННЫХ МЕТОДОВ ИСПЫТАНИЙ
Изоляция может сохранять свои свойства до тех пор,
пока не происходит внедрение в нее зарядов, приводящих к про-
пробою. В технических приложениях изолирующая способность
должна описываться с помощью соответствующих напряжений.
Поскольку характеризующее изолирующую способность напря-
напряжение— так называемое выдерживаемое напряжение — вво-
вводится через событие «непробой» (наибольшее напряжение, при
котором отсутствует пробой), оно должно также выражаться
через дополнительное событие «пробой», так как лишь эти со-
190
бытия могут быть зафиксированы. Это делают с помощью ста-
тистического выдерживаемого напряжения. Оно является кван-
квантилем напряжения пробоя порядка р (обычно р^О.Ю). Исполь-
Используемые в сетях при одинаковом напряжении изолированные
устройства должны соответствовать друг другу (о координации
параметров см. в § 3.1) по номинальному выдерживаемому на-
напряжению. Номинальные выдерживаемые напряжения являются
установленными (стандартизованными) уровнями напряжения,
которые изоляция в состоянии выдерживать в стандартизован-
стандартизованных испытательных процедурах A62, 163]. Такие процедуры вы-
выполняются во всем мире для массовых и индивидуальных испы-
испытаний изоляции. Понять их можно, лишь вникнув в их статисти-
статистические основы. Ниже в сжатой форме изучается взаимосвязь
между изложенным выше относительно случайной величины
«напряжением пробоя» (см. гл. 2) и стандартизованными мето-
методами испытаний и координацией параметров изоляции.
3.1. Цели и проблемы координации изоляции
При эксплуатации изоляция машин и установок подвер-
подвергается воздействию рабочего напряжения (переменного, реже —
постоянного), длительных превышений напряжения и перена-
перенапряжений (коммутационных и атмосферных). С помощью коор-
координации изоляции [162, 163] достигается:
соответствие изолирующей способности изоляции ожидае-
ожидаемым нагрузкам;
ограничение перенапряжений до безопасного максимального
значения с помощью специальных мер;
гарантия соответствия между параметрами различных видов
изоляции.
Наконец, по выполняемым функциям изоляции в электро-
электроэнергетической системе (например, фазная изоляция, линейная
изоляция и межконтактная изоляция коммутирующих аппара-
аппаратов), по возможностям изоляции восстанавливать утраченную
электрическую прочность (регенерирующая способность: само-
самовосстанавливающаяся, например атмосферный воздух; ча-
частично самовосстанавливающаяся, например сжатые газы, или
несамовосстанавливающаяся изоляция, например твердый ди-
диэлектрик), и по уровню параметров изоляции (например, воз-
воздушная изоляция и изоляция трансформаторов) изоляция де-
делится на группы [163]:
1-я группа — межконтактные промежутки разъединителей,
аварийных выключателей, сетей относительно друг друга;
2-я группа — изоляторы, проходные изоляторы, выключа-
выключатели (за исключением межконтактных промежутков), транс-
трансформаторы, преобразователи, кабели и др.;
191
Таблица S.I,
Наибольшее рабочее
напряжение U ,
кВ V
3,6
7,2
12
17,5
24
36
Номинальный выдерживаемый уровень
атмосферных перенапряжений [/„ г, кВ,
для класса изоляции
ЗЛГ
20
40
60
75
95
145
2ЛГ
40
60
75
95
125
170
Номинальное выдер-
выдерживаемое перемен-
переменное E0 Гц) напряже-
иие "ном.в- кВ-
для изоляции клас-
классов 2ЛГ и ЗЛГ
10
20
28
38
50
70
3-я группа — комплексные распределительные устройства
состоящие из элементов второй группы, т. е. подверженные дей-
действию закона масштабирования, см. гл. 5;
4-я группа — изоляция управляющих устройств;
5-я группа — изоляция вращающихся машин.
Номинальное выдерживаемое напряжение каждой группы
для каждого класса напряжения установлено способом, обсуж-
обсуждение которого выходит за рамки данной главы [162, 163], при-
причем группа 1 обладает наибольшим, а группа 5 — наименьшим
номинальным выдерживаемым напряжением.
Таблица 3.2
Наибольшее ра-
рабочее напряжение
Максимальное
фазное напряже-
кВ
Номинальный вы-
выдерживаемый уро-
уровень атмосферных
перенапряжений
Uu_r, кВ
Номинальное выдер-
выдерживаемое переменное
E0 Гц) напряжение
4N, ЖЕ, WE
2ZL
ЗЛЕ1,2SE, 3SE 325 2SE, 3SE
192
Наиболь-
Наибольшее рабо-
рабочее напря-
напряжение
н.р>к
Максималь-
Максимальнее фазное-
напряжение
кВ
Таблица 3.3
Уровни выдерживаемых напряжений, к В, при
перенапряжениях
коммутационных
#в.к
"km
ив.к
грозовых
^в.г
ив.к
300
362
765
1,55 —24002/W»UBi
Установленные международные номинальные выдерживае-
выдерживаемые напряжения [162] представлены на примере изоляции про-
проводник—земля в табл. 3.1 для сетей среднего класса напряже-
напряжения, в табл. 3.2 — для высоковольтных сетей и в табл. 3.3 —
для сетей сверхвысокого напряжения1 [162, 163]. Из них выби-
выбирают подходящие устанавливаемые номинальные напряжения
1 См. также Г. Н. Александров, В. Л. Иванов. Изоляция электрических
аппаратов высокого напряжения.—Л.: Энергоиздат, 1984. (Прим. перее.)
7 Заказ № 2084 193
Таблица h.4
Группа
иаоляцин
1
2
3
Номинальный выдерживаемый
уровень атмосферных перенапря-
перенапряжений 1/в г, кВ
1050
850
750
Номинальное выдерживаемое
переменное E0 Гц) напряжение
УНОМ. В' кВ
460
360
325
Примечание. Наибольшее рабочее напряжение на изоляции для 4-й
и 5-й группы не превышает 245 кВ.
с учетом требований конкретных испытаний и класса изоляции.
Класс изоляции зависит при этом от устройства системы зазем-
заземления и степени защищенности от перенапряжений (глухое за-
заземление нейтрали — NE; отсутствие заземления нейтрали — N;
глухое заземление и отсутствие защиты от перенапряжений —
SE).
Пример 3.1. В соответствии с таблицей 3.2 необходимо выбрать номи-
номинальное напряжение при наибольшем рабочем напряжении на изоляции
Uв. Р=245 кВ и классе напряжения NE (табл. 3.4)
По отношению к средствам ограничения напряжения (раз-
(разрядникам, управляемым искровым промежуткам) номинальные
выдерживаемые напряжения изоляции соответствуют номиналь-
номинальным напряжениям срабатывания.
Классический способ координации изоляции состоит в том,
что только что изготовленные изолирующие устройства подвер-
подвергаются испытаниям в соответствии со стандартизованными опи-
описанными ниже процедурами (см. § 3.2 и 3.3). Если изолирую-
изолирующее устройство с данным (правильно выбранным) номиналь-
номинальным выдерживаемым напряжением устанавливается в сети, то
координация параметров изоляции считается гарантированной.
Очевидно, что эта относительно простая методика не может
учитывать ни статистического разброса параметров изоляции,
т. е. и пробоев, и перенапряжений, ни снижения уровня элект-
электрической прочности изоляции в результате старения, увлаж-
увлажнения или загрязнения. Ни в коем случае не отказываясь от
классической методики, следует лишь определить границы ее
применимости.
Классический способ координации изоляции основан на зна-
знании функции плотности вероятности перенапряжений f(un)
в рассматриваемой сети и функции поведения изоляции V(u).
Указанная функция поведения может быть экспериментально
определена только для самовосстанавливающейся изоляции, по-
поскольку, например, невозможно эмпирически определить функ-
194
цию поведения изоляции крупных трансформаторов и даже
достаточно надежно ее оценить. Описанный ниже статистиче-
статистический метод можно использовать только для изоляции атмо-
атмосферным воздухом. Относительно функции плотности вероят-
вероятности f(«n) в большинстве случаев также имеются лишь
оценки или результаты исследований на моделях (сетевые
анализаторы, программы для ЭВМ) [164—168]. Хотя реги-
регистрация перенапряжений в сетях и выполняется [169], однако
объем подобных измерений невелик, они являются дорого-
дорогостоящими и не могут использоваться без последующего обоб-
обобщения. Естественно, что неполные исходные данные при ко-
координации изоляции приводят к ненадежности результатов и
ограничивают ее применение. Тем не менее этот способ спосо-
способен учитывать случайный характер нагрузок в сетях и свойств
изоляции. Можно поэтому с уверенностью утверждать, что он
и в дальнейшем будет развиваться.
Для математического описания метода рассматривают слу-
случайную величину уровня перенапряжения Un и напряжения
пробоя изоляции ипр. Пробой изоляции наступает, если
ил^илр. Если ввести случайную величину
D = Unp-Un, C.1)
то условием пробоя будет D<0. Вероятность пробоя (риск /?),
таким образом,
R = FD(d* = 0)= f fD(d*)dd\ C.2)
— во
причем функция плотности вероятности fo(d*) разности D
C.1) может быть вычислена с помощью интеграла свертки:
для напряжения и=ип с функцией плотности вероятности
перенапряжений fn(u) и напряжений пробоя fnp(«) —
fD(d*)= ffn(u)fnp(u + d*)du. C.3)
Из уравнений C.2) и C.3) следует, что
Я= I ffn{u)fnP(u+d*)dudd*
—оо —во
и окончательно
+0С
#= J fn (и) Vnp (и) du, C.4)
—во
где Упр(и)—функция поведения напряжения пробоя.
Рисунок 3.1 поясняет описанные взаимосвязи; вероятность
пробоя идентична заштрихованной области; Ср=Ипр10/ыо.8 =
8=8 Сю/98-
0,99
0,98
0,95
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,05
0,02
0,01
0,001
0,0002
p "и A^f 1
98\/\ I
/ |
/ [
/ 1 .
/ i /
| /
/ Unpioj
/ ? J
] /
/
/
/ m
\\\\\wT
4\\\\\\V
1 —
Рис. 3.1. Определение вероятности ошибки R = J f (u)Vap(u)du
—oo
/ — функция распределения напряжения скользящего разряда f(u); 2 — функция плот-
плотности вероятности скользящего разряда f(u)\ 3 — функция поведения напряжения про-
пробоя Vnp ("); 4 — произведение Hu)Vap(u) (схема изображена на вероятностной сетке
нормального распределения; R численно совпадает с площадью под кривой 4)
Вводя функцию нормального распределения перенапряже-
перенапряжений ф (ы; ы„; ап2) и нормальное распределение напряжения про-
пробоя Ф("; ыпр; Опр2), получаем [166], вероятность пробоя
1 . / О I 2 i I
V Л/ О ~4- О /
\ V П ' пр •
C.5)
которая может быть получена также с помощью таблицы нор-
нормального распределения (табл. 1.6, [27]). Для других функций
распределения необходимо использовать формулу C.4).
В соответствии со сказанным вероятность пробоя зависит
от числа перенапряжений. При известном числе перенапряже-
перенапряжений в год можно Подсчитать ожидаемое ежегодное число про-
пробоев и затем оценить ущерб. Статистическая координация
198
изоляции заключается в том, что задаются случайным значе-
значением вероятности пробоя Rz (обычно #2=Ю~4... 10~6) и вы-
выбирают размеры- изоляции, т. е. сдвигают УПр(и), такими,
чтобы вычисленная вероятность пробоя удовлетворяла усло-
условию R = Rz или чтобы R находилось в заранее выбранном диа-
диапазоне около Rz. Таким образом, ясно, насколько существенно
помогает снижение перенапряжений созданию экономически
выгодной изоляции.
В заключение можно отметить, что классическая (детерми-
(детерминированная) координация изоляции исходит из представления
случайных величин перенапряжения и электрической прочно-
прочности (напряжения пробоя) с помощью неслучайных значений
и определенного расстояния между ними (коэффициента за-
запаса), определяющего номинальные выдерживаемые напря-
напряжения. Различные значения коэффициента запаса (номиналь-
(номинальные выдерживаемые напряжения) гарантируют при этом ко-
координацию различных категорий изолирующих промежутков.
При статистическом подходе обрабатываются сами случайные
величины: с помощью задания определенной вероятности про-
пробоя должна быть полностью определена функция распределе-
распределения напряжения пробоя изоляции, т. е. должны быть выбраны
соответствующие размеры изоляции. Координация будет вы-
выполнена, когда изолирующим промежуткам различного значе-
значения будет присвоен соответствующий уровень вероятности
пробоя.
Оба метода нуждаются в изучении статистических взаимо-
взаимосвязей. Прежде чем будут изложены два примера подхода
к выбору размеров изоляции (см. § 3.4), необходимо разрабо-
разработать процедуры, используемые для определения электрической
прочности.
3.2. Определение номинального длительно допустимого
переменного и постоянного напряжения
При испытаниях переменным (или постоянным) на-
напряжением необходимо доказать, что изоляция выдерживает
рабочее напряжение, кратковременные превышения напряже-
напряжения и только для высших классов напряжения — коммутаци-
коммутационные перенапряжения. Для определения номинального стати-
статистического длительно допустимого напряжения £/НОм. ст [162,
163, 170, 171] образец подвергается процедуре [109, 172], прак-
практически одинаковой для переменного и постоянного напряже-
напряжения.
Напряжение поднимают от нуля (или от какого-либо зна-
значения, при котором коммутационные перенапряжения при
включении наверняка не влияют на результаты эксперимента)
таким образом, чтобы при надежном считывании результатов
197
измерений напряжения измерительными устройствами дли*
тельность испытаний не затягивалась. Как правило, это га-
гарантируется, если выше 0,75 £/Вом. ст напряжение поднимают
со скоростью 0,02 £/ном. ст в секунду. После достижения дли-
длительно допустимого напряжения UH0U. CT его оставляют неиз-
неизменным в течение заданной длительности испытаний tH, опре-
определяемой целью эксперимента. Обычно выбирают ta=l мин
[109]. При исследовании полупроводниковых элементов с за-
запирающими слоями или полимерных изолирующих материа-
материалов длительность испытаний должна быть существенно увели-
увеличена ввиду медленно происходящего внедрения зарядов. Для
испытаний образцов элементов, выполненных из эпоксидных
смол, в качестве необходимой рассматривается длительность
испытаний ^н= 10 ч и даже ?и=100 ч [173, 174]. После завер-
завершения испытаний переменное напряжение должно быть бы-
быстро снижено (но не отключено внезапно во избежание пере-
перенапряжений). При постоянном напряжении образец отклю-
отключают от питающей сети и затем разряжают через резистор
с достаточно большим сопротивлением. Изоляция считается
выдержавшей испытания, если в течение всей процедуры не
возникло ни одного пробоя. Более конкретные требования
к испытаниям изоляции устаиавливаются стандартами.
Номинальное напряжение пробоя £/Ном.щ>, при котором уст-
устройство для ограничения перенапряжений «наверняка» дол-
должно сработать (например, пробивается искровой промежу-
промежуток), определяется с помощью следующей процедуры: напря-
напряжение включают, как описано выше, и увеличивают до
возникновения пробоя. Достигнутое к моменту пробоя напря-
напряжение £/пр регистрируется. Номинальное напряжение сраба-
срабатывания является установленным, если в заданном заранее
числе таких циклов п значения £/щ>г (' = 1, • • •, п) остаются
меньше t/ном.пр- Число п устанавливается стандартами.
Какая-либо итоговая статистическая оценка этих процедур
невозможна. Для газовой и жидкой изоляции (при отсутствии
мощных частичных разрядов) влияние длительности испыта-
испытаний и скорости нарастания напряжения на результаты испы-
испытаний относительно мало, а дисперсия пробивных напряжений
при определении номинального напряжения срабатывания
лишь ненамного больше ошибок измерения напряжения. Ре-
Результаты также получаются весьма надежными. По этой при-
причине при координации поведение изоляции при переменном
или постоянном напряжении играет менее значительную роль
по сравнению с поведением при импульсных напряжениях.
Совершенно иная картина имеет место при определении
номинального выдерживаемого напряжения твердой изоля-
изоляции, для которой существует сильная зависимость пробивного
напряжения от времени (см. § 4.5), и в особенности при крат-
198
КйвреМеннЫх воздействиях дблжен учитываться большой раз-
разброс напряжений пробоя. Для координации изоляции ее по-
поведение при многолетнем воздействии рабочего напряжения
может представлять больший интерес, нежели при перенапря-
перенапряжениях. Эти вопросы широко рассмотрены в имеющихся ра-
работах, посвященных координации изоляции. Наконец, име-
имеется опасность того, что в процессе определения номинального
выдерживаемого переменного напряжения в твердой изоляции
из-за частичных разрядов возникнут необратимые разруше-
разрушения, которые снизят надежность изоляции в эксплуатации. По-
Поэтому стремятся связать определение номинального выдержи-
выдерживаемого напряжения с измерениями частичных разрядов. Ис-
Исследования частичных разрядов иллюстрируют состояние
изоляции значительно точнее, чем результаты типа «да—нет»
испытаний на номинальное выдерживаемое напряжение.
3.3. Определение допустимого уровня
импульсных перенапряжений
Если значения длительно допустимых напряжений
регламентируются стандартами, то для импульсных перена-
перенапряжений имеющиеся стандарты [111,112,162,172] предлагают
различные способы определения их значений. Результаты
этого определения, однако, не являются идентичными (см.
п. 3.3.2). Ниже приведено краткое изложение и оценка ре-
результатов определения значений перенапряжений этими спо-
способами.
3.3.1. Процедуры испытаний. Для определения номиналь-
номинального уровня выдерживаемых коммутационных и атмосферных
перенапряжений UH0W. CT используются совершенно одинако-
одинаковые процедуры.
Для самовосстанавливающейся изоляции (воздушная изо-
изоляция, условно — изоляция сжатым газом) установлены два
равнозначных способа:
1) при известной функции распределения напряжения про-
пробоя изоляция считается выдержавшей испытания, если для
10%-ного пробивного напряжения гарантируется unpw>OH.CT;
поскольку функция распределения является также основой
для статистической координации изоляции, этот метод при-
пригоден при полностью статистическом подходе;
2) изоляцию считают выдержавшей испытания, если при
15 приложениях импульсов напряжением Un. cT имело место
не более двух пробоев (&2
Пример 3.2. Вероятность того, что изоляция выдержит испытания, вы-
вычисляется с помощью биномиального распределения (см. пример 1.17). Она
складывается из вероятностей
199
=i; n= 1Й) + М* = 2; n = 15) C.6)
как суммарная вероятность
Ри = Р2 (k ^ 2; п = 15). C.7)
Если положить вероятность пробоя изоляции при Овоы. от равной
р=0,01, то согласно C.7) и с помощью таблицы суммарных вероятностей
биномиального распределения [27] получаем, что испытания выдерживаются
с вероятностью рн=0,9996.
Несамовосстанавливающаяся изоляция (изоляция твер-
твердыми материалами, комбинация из твердой и жидкой или
твердой н газообразной изоляции) считается выдержавшей
испытания, если при и=3 нагружениях до уровня 0и. ст не
имело места ни одного пробоя: k — 0.
При комбинации самовосстанавливающейся и несамовос-
станавливающейся изоляции (например, элегазовая изоляция
выключателя, в которой газовые изолирующие промежутки
самовосстанавливаются, а промежутки вдоль поверхности
твердых изоляторов не являются самовосстанавливающимися)
изоляцию считают выдержавшей испытания, если при 15 им-
импульсных нагружениях не было ни одного пробоя в несамовос-
станавливающейся части (£=0) и возникло не более двух
пробоев в самовосстанавливающейся (k^.2) [172]. Этот способ
основан на том, что место пробоя может быть точно установ-
установлено. Если это не так, не должно быть допущено ни одного
пробоя.
Номинальное импульсное напряжение пробоя считают оп-
определенным, если при «1 = 5 импульсах с уровнем 0и. пр либо
все пять привели к пробою (&i = 5), либо имело место &i = 4
пробоя и все десять последующих нагружений (п2=10) также
привели к пробою (&2=Ю).
Пример 3.3. В случае биномиального распределения вероятностей при
известной вероятности пробоя р вероятность выдержать испытания
Ра = Ръ (ях = 5; ki = 5) + р4 («1 = 5; fti = 4) р10 (па = 10; k2 = 10). C.8)
При р=0,99 в соответствии с формулой C.8) находим, что изоляция
выдержит испытания с вероятностью рн=0,994.
Все процедуры должны выполняться при обеих полярно-
полярностях, однако если достаточно точно известно, что при другой
полярности вероятность пробоя делается чрезмерно высокой
(при определении номинального выдерживаемого напряже-
напряжения) или низкой (при определении номинального напряжения
срабатывания), можно испытывать и при одной полярности.
Более подробные требования к испытаниям изоляции устанав-
устанавливаются соответствующими стандартами.
200
Хорошая изоляция
1,0
0,8
0,6
0,2
0,01 0,02 0,040,06 0,1 0,2 0,4 0,6 1,0
Рис. 3.2. Вероятность изоляции выдержать испытания рЛ при определении
номинального импульсного выдерживаемого напряжения
3.3.2. Обсуждение.
Процедуры испытаний изоляции осуществляются следую-
следующими методами:
Плохая изоляция
п=3;к=0
р(й
Н.СТ
■ч»
)-
N
0,10-
\ n=15;
А
- ■
'%
V
S;
ч
*
\
ч
2) га=15; k<2 приОи.сг;
3) я = 3; & = 0 при (Ун.ст.
При успешных испытаниях эти процедуры обрабатываются
одинаково. Остающееся между этими процедурами различие
заключается в различной поступающей от них информации
(см. также [30, 175, 176]). Для проверки этого предположения
для всех трех методов была вычислена и изображена в зави-
зависимости от вероятности пробоя изоляции р вероятность успеш-
успешного испытания ри (рис. 3.2).
По методу п. 1 надежной считается изоляция, вероятность
пробоя которой при номинальном выдерживаемом напряже-
напряжении рфн.ст)<0,1, а вероятность изоляции выдержать испыта-
испытания ри=1. При р@И.ст)>0,10 испытания не выдерживаются
(ри = 0). Методы пп. 2 и 3 не дают такого четкого разграниче-
разграничения. Существует также возможность того, что при испытаниях
по методу п. 1 безукоризненно выполненная изоляция (р<0,1)
не выдержит испытаний (риск изготовителя) и что дефектная
изоляция (р>0,1) испытания выдержит (риск потребителя).
При малых объемах выборок метод п. 3 оказывается еще более
нечетким, чем метод п. 2. Вариант п. 3 важен для несамо-
восстанавливающейся изоляции, когда не может быть опреде-
определена функция поведения. Применение наиболее удобных ме-
методов пп, 2 и 3 приводит к известному риску как для изгото-
201
вителя, так и для потребителя, причем — как можно видеть на
рис. 3.2 — риск для потребителя значительно больше. Вели-
Величины рисков, однако не следует переоценивать, поскольку при
классической координации изоляции между наибольшими до-
допустимыми перенапряжениями и номинальным выдерживае-
выдерживаемым напряжением имеется значительный запас надежности.
Желая снизить величины рисков, следует координировать па-
параметры изоляции не по значению p(UH.CT) =0,1, а, например,
ПОр(&н.ст)=0,02.
Недостатком метода п. 1 является то, что функция поведе-
поведения должна определяться эмпирически и представляет собой
лишь оценку для истинной функции поведения. При этом мо-
можно также вычислить нижнюю доверительную границу для
10%-ного квантиля ипр 10 нормального распределения (см.
п. 1.3.2) и выполнить на основании этой величины точечную
оценку иПр ю-
3.4. Указания по координации изоляции
При выборе размеров изоляции в настоящее время
еще часто поступают полностью эмпирически: вначале с по-
помощью опытных данных, а также частично на основании
полуэмпирических методов расчета (например, на основе со-
соотношения Швайгера [177]) пытаются оценить размеры изоля-
изоляции, изготовляют лабораторный образец и испытывают его
по методу пп. 2 и 3 (§ 3.3). При этом следует отчетливо со-
сознавать, что таким путем вряд ли можно достичь оптимума.
Настоятельно требуется по возможности лучше оценить функ-
функцию поведения, проверить затем эту оценку в эксперименте и
осмыслить возможности изоляции с помощью метода п. 1.
При этом необходимо координировать размеры различных
изолирующих промежутков в соответствии с их значением и
способностью к восстановлению электрической прочности.
Подобная координация должна удовлетворять установлен-
установленным для нее правилам, а также выполнять последующую оп-
оптимизацию размеров равновеликих изолирующих промежут-
промежутков в соответствии с нынешними представлениями о координа-
координации параметров изоляции.
В рамках рассматриваемой книги круг проблем, относя-
относящихся к координации параметров изоляции, может быть очер-
очерчен лишь приблизительно. Этим проблемам посвящена обшир-
обширная литература, из которой здесь можно выбрать лишь не-
несколько работ: [164—166, 178—184].
Естественно, что между знаниями о физике процесса про-
пробоя и основами координации параметров изоляции возникает
тесная взаимосвязь (например, [185]); примером может слу-
202
Жить исследованная в работах [186, 187] проблема нагруже-
ния изоляции импульсными напряжениями, форма импульсов
которых отклоняется от стандартизованных импульсов атмо-
атмосферных или коммутационных перенапряжений. Все больше
работ появляется в области координации параметров линей-
линейной изоляции, например [188, 189, 190]. При этом следует учи-
учитывать, что в будущем все более пристально будет исследо-
исследоваться не только координация параметров вновь создаваемой
изоляции, но также и снижение качества изоляции (например,
вследствие образования поверхностных слоев, старения).
Ниже на двух примерах будет пояснено, каким образом
при выборе размеров может быть выполнена координация па-
параметров изоляции при заданном номинальном выдерживае-
выдерживаемом напряжении и возможности появления случайных ошибок.
Пример 3.4. Рассмотрим однофазный герметизированный кабель с эле-
газовой изоляцией (рис. 3.3). Газоизолированный кабель обладает лишь
следующими изолирующими промежутками, равнозначными в смысле обыч-
обычной координации параметров изоляции:
газовые промежутки;
промежутки вдоль поверхности изоляторов;
промежутки в твердом изолирующем материале изоляторов.
Изоляция этих промежутков обладает весьма различными чертами.
В газе (Г) после пробоя (например, при испытаниях) изолирующие способ-
способности восстанавливаются полностью, на поверхности изоляторов (П) — ча-
частично, а в твердом материале (Т) — не восстанавливаются совершенно.
Кроме того, напряжение пробоя в твердом материале сильно зависит от
времени. Поскольку начальное напряжение частичных разрядов и напря-
напряжение пробоя снижаются одновременно (Мг = мПр), ни в одном из промежут-
промежутков частичные разряды недопустимы. Для того чтобы перераспределить
нагрузки между критическими точками изоляции, чувствительными к воздей-
воздействию электрического поля и одновременно технически сложными, предохра-
предохранить такие точки от вероятных при испытаниях разрядов и достичь возмож-
возможной простоты обслуживания, рекомендуется [25] установить следующие
соотношения уровней перенапряжений изоляции этих промежутков, напри-
например, для 2 %-ных напряжений пробоя апр о,ог
Г<*П<$Т. C.9)
т п г
I
Рис. 3.3. Элемент газонаполненного коаксиального кабеля (Г и Г—путь про-
пробоя в теле твердого диэлектрика и в газе (SFe); П — путь скользящего раз-
разряда по поверхности изолятора; / — длина единичного элемента)
203
С помощью предварительного расчета функции поведения напряжения
пробоя в элегазе (см. § 4.3) можно выполнить изоляцию таким образом,
чтобы была достигнута координация параметров, требуемая соотношением
C.9). При этом следует исходить из номинального выдерживаемого напря-
напряжения объединенного испытуемого устройства, состоящего из т одинаковых
элементов (иа рис. 3.3 показан один элемент). При известном типе распре-
распределения можно с помощью номинального статистически выдерживаемого
напряжения объединенной установки UB. ст вычислить номинальное стати-
статистически выдерживаемое напряжение отдельного элемента Ua. CT на осно-
основании закона преобразования масштаба (см. § 5.3). При допущении, что
элегазовая изоляция описывается двойным экспоненциальным распределе-
распределением, справедливо
U3.ct=UB.ct + y*lnm, C.10)
где у* — оценочная величина дисперсии двойного экспоненциального рас-
распределения.
Для дальнейшего рассмотрения должна быть принята во внимание воз-
возможная неточность предварительного расчета. Следствием ее, с одной сто-
стороны, может быть то, что требуется £/э. ст<«{,Эр 002, хотя и исходят из рас-
рассмотрения отдельных элементов в соответствии с методом п. 1 § 3.3
(«про.ог—2 %-ное напряжение пробоя отдельного элемента). Кроме того,
в качестве границы для погрешности вычисленного 2 %-ного напряжения
пробоя отдельного элемента может быть принята величина б =@,01...
...0,03) t/э.ст. Необходимое значение 2 %-ного напряжения пробоя может
быть вычислено с помощью уравнения C.9) и заданного напряжения £/э. ст
[см. формулу C.10)], б и е. Для газового промежутка устанавливают
"..«+»< «йода <"э.ст+2в;
для промежутка вдоль поверхности —
и». ст + 2S + е < и<пр>0,02 < и9ш ст + 36 + в;
для промежутка в толще твердого материала
U3 ст + 36 + 2е < «« 002< иЯш ст + 46 + 28.
Если в результате^ геометрия промежутков выбрана оптимальной, так
что вычисленное 2 %-ное пробивное напряжение лежит в требуемом диа-
диапазоне, должен быть изготовлен опытный образец единичного элемента и
измерена функция поведения напряжения пробоя. Оиа должна быть иден-
идентична вычисленной для газового промежутка. При элегазовой изоляции мо-
можно использовать аппроксимацию двойным экспоненциальным распределе-
распределением (параметры и^рбЗ' Y(D>)- Безусловно, завершать расчет должен конт-
контроль требуемого номинального выдерживаемого напряжения объединенной
установки в соответствии с методом п. 1 (§ 3.3):
^н.ст<Упр10 = «пр)бз-\ЭB.25+1пт). C.11)
Естественно, что при высокой стоимости следует действовать также
способом исключительно экспериментальной подгонки отдельных изолирую-
изолирующих промежутков до требуемой величины без расчета.
Пример 3.5. Выбор параметров разъединителя сверхвысокого напряже-
напряжения осиоваи иа описании его в работе [191].
При координации параметров изоляции [162, 163] разъединителя
(рис. 3.4) необходимо, чтобы электрическая прочность изоляции между
контактами («продольная изоляция») была выше, чем изоляция на землю,
поскольку продольная изоляция (в разомкнутом состоянии разъединителя)
отделяет электрические сети друг от друга (тогда оба контакта разъедини-
204
Рис. 3.4. К определений ос-
основных размеров разъедини-
разъединителя (пример 3.2 [221])
D — межконтактный промежуток
(«продольная нзоляцня>); "я~
кратчайшее расстояние до зазем-
заземленного подножннка («расстояние
от изоляции до земли»); Н„ — вы-
высота подножннка; Н — общая вы-
высота
теля находятся под раз-
различным напряжением), либо
часть сети от энергосистемы
(один контакт — под напряже-
напряжением, другой — заземлен), если
например, на участке системы
производятся работы. Послед-
Последний случай подробно рассмат-
рассматривается ниже с помощью ме-
метода статистической коорди-
координации параметров изоляции (см. § 3.1) на основе экспериментального иссле-
исследования [191].
Определяют эмпирическую функцию поведения напряжения пробоя раз-
различных промежутков разъединителя — межконтактиого D, изолирующего
промежутка до заземленного основания #„ и высот Н, #„ или Яп (неза-
(независимо от того, пробивается промежуток D или #„) (табл. 3.5). Относи-
Относительная частость всех пробоев может быть аппроксимирована нормальным
Таблица 3.5
Высота
подиож-
ника Нп,
м
3,8
3,8
5,3
Высота
опорно-
изоляцион-
изоляционной конструк-
конструкции Ни, м
4,2
5,7
4,2
Суммар-
Суммарная
высота
Н, м
8
9,5
9,5
Длина
межкоитакт-
ного проме-
промежутка D, м
4
5
6
4
5
6
4
5
6
50и-ное
напряже-
напряжение
пробоя
"пр 50'
кВ
1475
1530
1530
1580
1650
1730
1530
1560
1580
Коэффи-
Коэффициент
вариации
о, %
5,1
5,9
7,5
6,3
5,2
5,9
6,5
9,3
7,0
Отношение
числа
пробоев
межконтакт-
межконтактного проме-
промежутка к
общему
числу пробоев
2»сум
0,48
0,12
0,05
0,72
0,57
0,11
0,51
0,24
0,014
205
Фть—j—ff-4—i
0,90
0,50
0,10
0,01
ir
/
/
v
к
/.
_ A
i 7>
l/
•
)^l
к
X ^<
/
-X—X-J|
/
-Кум
r_1
e I
i
<г
1,6 1,8 MB 1,2 f,4 1,6 1,B MB 1,2 1,4 1,6 1,8 MB
Рис. З.5.- Относительная частость пробоя изоляции в целом hT и межкон-
межконтактного промежутка hi разъединителя на рис. 3.4 [221]: а — Я=8 м; Яи=
=4,2 м; D=4 м; б — Н=8 м; Яи=4,2 м; D=5 м; в —Я=8 м; Яи=4,2 м;
£>=6 м
распределением (рис. 3.5 — ЛСум; табл. 3.5 — параметр «Dp so и коэффици-
коэффициент вариации v=s/uap 50). При каждом уровне подаваемого напряжения до-
дополнительно определяется число пробоев межконтактного промежутка
(рис. 3.5 — Лмк; Ф — в табл. 3.5). Этн данные должны быть обобщены для
определения размеров разъединителя.
■
-
-
'A
К/
//
V
H
0,99
0,90
0,50
0,10
0,01
Ь 6 8 10 M
Рис. З.6. Отношение ф числа
пробоев межконтактиого про-
промежутка к общему числу про-
пробоев в зависимости от общей
высоты разъединителя Я=
=ЯИ+3,8 м [221]
0,99
0,90
0,50
0,10
0,01
<р
8,5-
■ 8,3-
8,0
V-1
V
1
1
■■12,0м
.10,5
,10,0
г 9,5
Л, 7
\
HI
8
Рис. 3.7. Отношение ф числа
пробоев межконтактного про-
промежутка к общему числу про-
пробоев в зависимости от длины
межкоитактного промежутка
разъединителя при Н=НЯ+
+3,8 м [221]
206
MB
1,7
1,6
1,5
1,3
и
пр50
А
V
В=6,0м
Х-
,'5,5
''5,0
-3£
4,0-
н
8
9
10
м
Рис. 3.8. Напряжение пробоя в зави-
зависимости от общей высоты разъеди-
разъединителя Н=НЯ+3,8 м и длины меж-
коитактного промежутка D [221]
6 М
Рис. 3.9. Линии постоянства напря-
напряжения пробоя «Пр so в зависимости
от длины межэлектродного проме-
промежутка D и общей высоты разъеди-
разъединителя Я=ЯИ+3,8 м [221]
Соотношение ф для межконтактных и суммарных пробоев имеет решаю-
решающее значение для координации параметров изоляции. При постоянном меж-
межконтактном промежутке D это соотношение возрастает с увеличением вы-
высоты разъединителя Я=3,8 м+Яи (причем, естественно, высота Яи увели-
увеличивается, рис. 3.6) и уменьшается при увеличении межконтактного проме-
промежутка D при неизменном Я (рис. 3.7). Уже эти кривые могут оказать зна-
значительную помощь в выборе размеров промежутков при заданном значе-
значении ф, если, кроме того, известно 50 %-ное напряжение пробоя сложного
промежутка (рис. 3.8) н одновременно задан коэффициент вариации а =
= 0,06 = const (табл. 3.5 — Яп = 3,8 м). Работа существенно облегчается, если
линии постоянного 50 %-ного на-
напряжения пробоя нанесены на
диаграмму зависимости D от Я
(рис. 3.9; он получен из рис. 3.8).
Аналогичным образом может
быть задана кривая постоянного
отношения ф для пробоев между
контактами и общего числа про-
пробоев (рис. ЗЛО). На обеих диа-
диаграммах изображены случайные
м
10
Рис. 3.10. Линии постоянства от-
отношения ф числа пробоев меж-
коитактного промежутка к общему
числу пробоев в зависимости от
длины межкоитактного проме-
промежутка D и общей высоты разъ-
разъединителя Я=ЯИ+3,8 м [221]
8
н
^ Л
/,
/
'' /
у
f
/
/
/
/
/
/
/
/
/
к
/
/
/
/
%,
/
/
* *
'/
/ /
/
/*
/ i
.' /
/
//
0
' /д
м
207
Рис. 3.11. Линии постоянства ве-
вероятности пробоя изоляции разъ-
разъединителя [221] в зависимости от
общей высоты разъединителя Н
и длины межкоитактного про-
промежутка D
Сплошные кривые — общая вероят-
вероятность пробоя R
сум-
штриховые кри-
кривые — вероятность пробоя межконтакт-
межконтактного промежутка /?мк
параметры части поверхностей
уровня: например, задавшись
значением уровня ф=0,1 (это
означает, что на каждые десять
пробоев изолирующего проме-
промежутка Яи должен быть учтен
один пробой межконтактного про-
промежутка), в диапазоне изменения
D и Н на рис. 3.10 следует про-
провести точную прямую линию.
ЕСЛИ ПРИНЯТЬ P = S/«np 50 =
= 0,06, ТО При «пр 50, ВЗЯТОГО
с рис. 3.9, в соответствии с фор-
формулой C.4), зная функцию пове-
поведения У(и)=Ф(и; «пр so; а2I и
заданное нормальное распределе-
распределение коммутационных перенапря-
перенапряжений /п(«)=Ф*[«; 925 кВ;
A39 кВJ]2, можно вычислить об-
общую вероятность ошибки при
статистической координации па-
параметров изоляции
#сук= J Ф*1«. 925 кВ; A39 кВJ] Ф (tr, «пр во', о2) du. C.12)
—оо
Если рассматривается отношение ф числа пробоев между контактами
и общего числа пробоев (рис. 3.10), то вероятность ошибки в подсчете чи-
числа пробоев между контактами оказывается
Ямк = ф#сум- (ЗЛЗ>
Для дальнейшего изучения вероятности пробоя обоих изолирующих про-
промежутков (Ясум, Ямк) вновь изображены на рис. 3.11, а. Случайный диа-
диапазон параметров D и Н должен быть ограничен путем задания случайной
вероятности пробоя. В данном случае положена величина общей вероятно-
м
1 Выражение Ф (и; «пр so; а2) обозначает функцию нормального распре-
распределения с параметрами ц,=«Пр5о и а*.
2 Выражение ф* [«; 925 кВ; A39 кВJ] обозначает функцию плотности
вероятности нормального распределения с параметрами ц=925 кВ и а =
= A39 кВJ. Внимание: ф* не идентична отношению ф числа пробоев про-
продольной изоляции и суммарного числа пробоев!
сти пробоя /?сум = 10~4, а вероятности пробоя для межкоитактиого проме-
промежутка /?l = 10~5. При этом соответствующими линиями /?мк=.б=10-5 (до
точки Г) и /?сум=Л = 10-* (от точки Г) задается диапазон параметров D
и Н (рис. 3.11, б). Все пары значений D и Я, лежащие левее этой границы
(диапазон / на рис. 3.11, б), непригодны в качестве размеров разъединителя.
Для значений справа при задании случайного отношения числа пробоев
между контактами к общему числу пробоев (ф=0,1 на рис. 3.10) вновь
должно быть сделано различие: в диапазоне // отношение ф<0,1, в диапа-
диапазоне /// Ф>0,1 (рис. 3.11, б). Скоординированность параметров изоляции имеет
место лишь в диапазоне ///. Уже Каррара поставил вопрос [191], не следует
ли задаться исключительно малой вероятностью пробоя /?ми=Ю~5, отка-
отказаться от координации параметров и исключить оба диапазона — II а III.
Последующее изложение показывает, что это может быть чрезвычайно эко-
экономичным: все условия будут выполнены, если выбрать #=ЯИ+З,8м=8,15м
(так как #„=4,35 м) и /5=5,45 м (точка Г). Если, например, увеличить вы-
высоту до #=9 м (#„=5,2 м) из-за загрязнения поверхности изоляции, то при
той же вероятности пробоя можно уменьшить расстояиие D до 4,9 м (точка
Д). Выполняя координацию параметров, необходимо увеличить D до 6,10 м
(точка Е). При этом вероятность пробоя продольной изоляции сиижается до
значения /?Сум<Ю-в (что совершенно излишне), а габаритные размеры
разъединителя увеличиваются и он становится дороже.
В работе [191] имеется также исследование вопроса о том, с какой ве-
вероятностью изоляция будет считаться выдержавшей стандартизованные ис-
испытания по методу п. 2 (n=15; k<2; см. § 3.3).
Изложенное в примерах 3.4 и 3.5 позволяет облегчить вы-
выбор параметров изоляции. Естественно, что в специальных
случаях оба метода должны модифицироваться; они должны
привести читателя к аналогичным рассуждениям. Безусловно,
необходимо выполнять обобщение на основе ограниченного
числа результатов измерений. В то время как для примера
3.4 подобное теоретическое обобщение выполнено в работе
[25], в примере 3.5 оно вытекает непосредственно: при относи-
относительно малом числе измерений получается целое семейство
кривых (например, рис. 3.6—3.11).
Глава четвертая
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
ВОЗМОЖНОСТЕЙ ИЗОЛЯЦИИ
Исходным моментом для эксперимента в высоковольт-
высоковольтной технике должно быть отчетливое представление о проис-
происходящих физических процессах и описывающих их случайных
величинах. При определении параметров эксперимента и объ-
объема выборок неизбежно должны быть приняты определенные
допущения относительно математического ожидания и диспер-
дисперсии (или коэффициента вариации) исследуемых случайных
величин (см. например, пп. 2.2.1, 2.3.1, 2.3.4). Чем лучше эти
2Q9
допущения соответствуют последующим результатам экспери-
эксперимента, тем целенаправленнее может быть выполнен экспери-
эксперимент. По этой причине в предлагаемой главе даются указа-
указания относительно ожидаемого типа распределения, парамет-
параметров распределения и функциональных параметров в основных
межэлектродных промежутках в газообразных, жидких сре-
средах и твердых изолирующих материалах. Эти указания сле-
следует понимать лишь как ориентировочные данные. Естест-
Естественно, что каждый экспериментатор должен использовать
кроме них опубликованную по данной проблеме специальную
литературу и прежде всего собственный опыт. Для отдельных
типов изоляции в дальнейшем даны рекомендации, каким об-
образом может быть гарантирована случайность и взаимная не-
независимость результатов.
4.1. Выбор случайных величин
До настоящего момента изложение ограничивалось
рассмотрением случайного процесса «электрического пробоя»
и, в особенности, его описанием с помощью случайной вели-
величины напряжения пробоя. Вместе с тем в высоковольтной тех-
технике имеют место, с одной стороны, другие существенные слу-
случайные процессы (например, начало и развитие частичных
разрядов, описываемое известными диэлектрическими харак-
характеристиками старение), а с другой стороны, процесс пробоя
может быть описан также и другими случайными величинами.
Далее в предлагаемой книге с помощью физических и ма-
математических методов рассматривается также происходящее
случайным образом развитие разряда. Рассматривавшиеся до
настоящего момента случайные процессы обладали преимуще-
преимущественно экспериментальным характером, который может быть
перенесен на основании установленных методов и на другие
важные случайные процессы, естественно, с учетом имею-
имеющихся физических взаимосвязей. Специальный подход суще-
существует лишь для статистики частичных разрядов (см. § 4.6).
Выбор случайных величин для описания процессов пробоя
зависит от физической или технической постановки проблемы.
Поскольку случайная величина «напряжение пробоя» Unp
прямо определяется в большинстве экспериментов, измери-
измерительные системы дают непосредственно реализацию мПр- При
выполнении экспериментов по исследованию изоляции, кото-
которая должна находиться в сети под рабочим напряжением, яв-
является целесообразным оставить в качестве случайной вели-
величины напряжения пробоя. Возможность сопоставления функ-
функций поведения напряжения пробоя при рабочем напряжении,
испытательном напряжении или функции распределения при
перенапряжениях уже обсуждалась. Необходимо поэтому счи-
гю
Рис. 4.1. Определение функции
поведения напряжения пробоя
в длительных испытаниях (схема
для 8 уровней напряжения пря
п=10 образцах); а —результаты
измерений — пары значений «Пр|
taV; б — эмпирическая функция
распределения:
. _ k (tnp < frip i) .
n+ 1
в — эмпирическая функция пове-
поведения напряжения пробоя при
трех длительностях приложения
напряжения — tnv ,; fnp s; 'пр з
таться с тем, что используемое в эксперименте напряжение
должно быть охарактеризовано четко определенными пара-
параметрами. Это необходимо учитывать, например, при выполне-
выполнении длительных (особенно в отношении высокополимерной
твердой изоляции) испытаний по определению функции пове-
поведения напряжения пробоя (определяют главным образом
функцию поведения времени до пробоя при определенном
(пробивном) напряжении). При этом длительные приложения
переменного напряжения к какому-либо образцу могут слу-
служить также для определения функции поведения напряжения
пробоя при различной длительности нагрузки (рис. 4.1). Функ-
Функция поведения напряжения пробоя при различной длительно-
длительности нагрузки потребуется ниже (§ 5.7) при статистическом
изучении эффекта времени.
При исследовании слабонеоднородного поля часто пред-
представляет интерес обобщение данных о напряжении пробоя.
Случайная величина пробивной напряженности ЕПр вычисля-
вычисляется при расстоянии между электродами d и коэффициенте
211
неоднородности т| при случайной величине напряжения прб-
боя UaP следующим образом:
Enp=Unpl(d4). D.1)
Если, кроме того, известен коэффициент кривизны е рас-
рассматриваемого изолирующего промежутка, учитывающий вли-
влияние кривизны электродов на процесс пробоя [25, 192], то
в качестве свойства материала может быть введена случайная
величина электрической прочности
Ё ! D.2)
е ах\е
Естественно, что эта прочность зависит еще и от длитель-
длительности приложенной нагрузки (см. рис. 4.1, в). Технически
целесообразно и вполне оправдано с точки зрения физики про-
процесса описывать случайность процесса пробоя с помощью слу-
случайного коэффициента времени [25, 193, 194]
kt=ImVL, D.3)
где £про — это прочность в течение заданного времени (на-
(например, 10=1 мин).
В качестве примера может служить такое приложение им-
импульсного пробивного напряжения, при котором происходя-
происходящее во времени случайное образование начальных электронов,
т. е. случайное, зависящее от времени образование зарядов,
проявляет свой случайный характер. Непрерывно меняющиеся
удачно выбранные (найденные) случайные величины следует
вводить по аналогии с коэффициентом времени ku если с их
помощью может быть удачно описан рассматривающийся слу-
случайный процесс пробоя и обобщены экспериментальные дан-
данные.
Наконец, часто оказывается удобным рассматривать слу-
случайную величину времени до пробоя Гпр. Реализации tnp этой
случайной величины получают в опытах с заданным напряже-
напряжением, что позволяет, как и в опытах с нарастающим напряже-
напряжением (§ 2.3), определить эмпирическую функцию распределе-
распределения F * (tnp) и аппроксимировать ее какой-либо теоретической
функцией распределения. В то время как в отношении напря-
напряжения пробоя и связанных с ним случайных величин пред-
представляют интерес главным образом функции поведения (см.
п. 2.1.2), время до пробоя дает исключительно функцию рас-
распределения. В особых случаях является даже целесообразным
определять функцию поведения времени до пробоя (например,
с помощью импульсов равной амплитуды, но различной дли-
длительности tup).
212
Выбор случайной величины Не является Математической
проблемой, он должен осуществляться исключительно с точки
зрения физики процесса и (или) технической целесообразно-
целесообразности и удовлетворительной стоимости выполнения экспери-
эксперимента.
4.2. Воздушная изоляция
Атмосферный воздух является важнейшим видом изо-
изоляции, начиная с низших классов напряжения до сверхвысо-
сверхвысоких перенапряжений, и поэтому изучен лучше других изоли-
изолирующих материалов. Слишком большое для полного обзора
число публикаций приводит к тому, что ниже могут быть от-
отражены лишь важнейшие моменты, причем исходным пунктом
может являться прекрасная монография Мика и Крэггса
[195]'.
4.2.1. Проблемы техники исследований. Атмосферный воз-
воздух является единственным изолирующим материалом, кото-
который можно рассматривать как полностью самовосстанавли-
самовосстанавливающийся. Изолирующие свойства испытывают влияние кли-
климатических колебаний (температуры, давления, влажности).
С помощью корректирующих множителей [113, 170] характе-
характеристики окружающей среды эксперимента должны быть со-
соотнесены с действующим номинальным напряжением при нор-
нормальных условиях B0°С; 101,3 кПа; 11 г/м~3 воды). Напря-
Напряжение пробоя, напротив, обычно должно быть соотнесено'
с характеристиками при нормальных условиях. Разумеется,
стандартизованные корректирующие множители [113, 170] яв-
являются эмпирическими величинами, полученными в резуль-
результате сравнительных измерений во всем мире. Новые широко-
широкомасштабные измерения (например, [196—201]), в результате
которых должны быть вычислены более точные значения, по-
позволяют решить проблему корректирующих множителей. Раз-
Различие климатических условий и (еще и сегодня) соответ-
соответствующих им корректирующих множителей является важной
причиной разброса и плохой воспроизводимости результатов.
Развитие разряда зависит от образования в воздухе на-
начальных электронов прежде всего под действием космических
лучей, а также ультрафиолетового излучения [25, 202]. По
этой причине оба вида излучения явно влияют на напряжение
пробоя [194, 203, 204, 205]: напряжение пробоя уменьшается
при увеличении интенсивности излучения, особенно в проме-
промежутках со слабонеоднородным полем без стабильных частич-
частичных разрядов, а также в возмущенном слабонеоднородном
1 См. также Мик Д. М., Крэггс Д. Д. Электрический пробой в газах. —
М.: Изд-во иностр. лит., 1960. (Прим. перев.)
213
кВ
225
ZOO
175
Unp50
<
Г'
•
700 750 BOO 850 900 v''gffff ЮОО 1200 1W0 кВ
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,3
0,2
OS,
ч
I
I
/
/
/
/
(
/
/
/
■Z
Unp
Рнс. 4.2. Влияние интенсивности кос-
космического излучения /в на напряже-
напряжение пробоя uDp so шарового разряд-
разрядника [203] (радиус шаров 12,5 см;
длина межконтактного воздушного
промежутка d=6 см; импульсное
напряжение с крутизной фронта
0,25 кВ/мкс)
Рнс. 4.3. Влияние ультрафиолетового
излучения на функцию поведения на-
напряжения пробоя [194] (диаметр
шара 1,5 м с выступом — плоскость;
rf=2,5 м)
/ — при ультрафиолетовой подсветке; 2 —
без подсветки
поле, причем влияние космического излучения в диапазоне ее
естественных колебаний (рис. 4.2) меньше, чем влияние ис-
искусственного ультрафиолетового излучения (рис. 4.3). Ультра-
Ультрафиолетовое излучение получают в лабораториях, например,
при действии искровых разрядников импульсного генератора.
Действие излучения существенно зависит от материала и гео-
геометрии электродов.
В атмосферном воздухе постоянно находятся пылинки
больших или меньших размеров, причем состав пылинок
в большинстве случаев неизвестен. Плотные лежащие на
электродах пылинки влияют на напряжение пробоя слабо
[206, 207], в то время как подвижные частицы в слабонеодно-
слабонеоднородном поле могут за-
метно его понизить [207,
208]. Перемещение пыли-
0,8
0,6
0,2
О
214
V
г1
\
и
/
х-
/
V
—~гх
V
нок приводит к зарядке
Рнс. 4.4. Влияние пыли на
время до пробоя в шаровом
разряднике в воздухе [207]
(радиус шаров г=6 см; длина
промежутка d=2,5 см; й„=
= 69,5 кВ)
/ — в нормальном комнатном воз-
воздухе; 2 — в профильтрованном воз-
воздухе
частиц у электродов и вследствие этого — к зажиганию раз-
разряда [25].
Указанные взаимосвязи приводят, например, к тому, что
в искровом промежутке между сферами в профильтрованном
воздухе получают значительно более длительное время до
пробоя, чем в нормальном комнатном воздухе (рис. 4.4). Воз-
Возникающий в профильтрованном воздухе большой разброс
данных говорит о том, что в отличие от комнатного воздуха
в нем имеется лишь весьма небольшое число частиц пыли
(действие закона преобразования масштаба, см. гл. 5).
Результаты экспериментов в высоковольтных лаборато-
лабораториях определяются типом экспериментальной установки, про-
процедурой выполнения эксперимента (см. гл. 2) и параметрами
испытательного оборудования. Особенно сильно влияет на ре-
результаты эксперимента собственная энергия испытательного
устройства, имеющая место вследствие прохождения боль-
большого тока из-за предшествующего пробою процесса внедрения
заряда (лидера) [209—212]. Следует поэтому внимательно от-
относиться к выбору предразрядных сопротивлений, если огра-
ограничение энергии, вкладываемой в канал разряда, является
желательным в отношении обгорания или эрозии электродов.
Скорость нарастания напряжения не оказывает никакого
влияния на результаты экспериментов с воздушной изоляцией
в слабонеоднородном поле, а в промежутках с частичными
разрядами напряжение пробоя с увеличением скорости нара-
нарастания напряжения возрастает [213].
Длительность паузы между приложениями напряжения не
играет практически никакой роли при импульсных напряже-
напряжениях, если ориентироваться на импульсный генератор с обыч-
обычными параметрами (t>lO с).
Многие явления весьма неясным образом влияют на ре-
результаты эксперимента. Функции распределения напряжения
пробоя, полученные при, казалось бы, одинаковых условиях,
воспроизводятся не идентично (рис. 4.5), причем, разумеется,
свою долю в ненадежные оценки вносит и ограниченность объ-
объема выборок. Анализ воспроизводимости измеренных напря-
напряжений пробоя, сильно зависящей от формы электродов и рас-
расстояния между ними, показал (табл. 4.1 [214]), что в одной и
той же лаборатории относительные колебания значений изме-
измеряемых величин (например, мПр5о) могут составлять и = 0,055.
Поскольку результаты могут быть распределены по меньшей
мере в диапазоне ±2v, к воспроизводимости экспериментов
в атмосферном воздухе нельзя предъявлять слишком высоких
требований.
4.2.2. Воздушная изоляция в слабонеоднородном поле. Изо-
Изолирующие промежутки в слабонеоднородных полях нагру-
нагружены относительно равномерно. Начало самостоятельного
2|5
48 50 52
58 60 62 64 66 кВ
Рнс. 4.5. Воспроизводимость функции распределения напряжения пробоя ([40],
вероятностная сетка нормального распределения)
Показаны 30 эмпирических функций суммарной частости, полученных в одинаковых
условиях в воздухе на промежутке острие — плоскость (d=100 мм) (средние характе-
характеристики ипр -58,6 кВ, s*=2,8 кВ)
разряда (стримера) приводит к пробою. Следует учитывать,
что при эксплуатации на открытом воздухе влияние загрязне-
загрязнений, дождя, росы и т. д. на поверхность электродов приводит
к тому, что поле нарушается и делается сильнонеоднородным
(см. п. 4.2.3). Промежуток со слабонеоднородным полем
в виде классического шарового разрядника является объектом
измерений, поэтому электроды высоковольтных испытатель-
испытательных установок, и в последнее время также изолирующие про-
216
Таблица 4.1
Межэлектродиый
промежуток
Стержень—стержень
(d>J,2j*)
Стержень—плоскость
(rf> 1,2 м)
Стержень—плоскость
(d< 1,2 м)
Гирлянда изоляторов
в сухом состоянии
Гирлянда изоляторов
в увлажненном состоя-
состоянии
Относительное отклонение результатов измерений
(например, в 50) в одинаковых условиях
в одной лаборатории с интервалом времени
между измерениями
малым
0,012
0,018
0,015
0,017
0.015
0,030
0,029
0.037
0.055
—
—
большим при объектах испытаний
различных
с,
0,023 . . . 0,035
0,024 . . . 0,030
—
0,034
0,035 . . . 0,054
0,05
0,041
0,05
СХОЖИХ V,
—
—
—
0,090
0,06 . . . 0.085
0,07 . . . 0,085
0,130
0,095 . . . 0,130
в раэвых лаборато-
лабораториях »а
0,038
0,040
0,058
0,025
0,061
0,049
0,045
0,090
0,058
0,080
0,098
с Примечание. Данные разброса результатов повторяющихся измере-
измерений при одинаковых условиях: первая строка — прн переменном напряжении
50 Гц; вторая строка — при атмосферных перенапряжениях; третья — прн ком-
коммутационных перенапряжениях.
межутки в диапазоне средних напряжений (герметизирован-
(герметизированные выключатели), делают таким образом, чтобы образовыва-
образовывалось слабонеоднородное поле. Необходимо внимательно
следить за отсутствием нарушений воздушной изоляции (на-
(например, в лабораториях — путем очистки).
В таких условиях напряжение пробоя обладает относи-
относительно малым разбросом и может быть аппроксимировано
функцией нормального распределения (например, [33, 43, 194,
205, 215]). Если сравнить это с качественно отличающимся
процессом зажигания в элегазе, приводящим к экстремально
распределенным пробивным напряжениям (см. п. 2.3.2), то не-
необходимо предположить, что на открытом воздухе причиной
217
CM
100
80
60
20
X
\
max
\
\
ч
кВ
см
--^
"--^
"■»«».
г
Рис. 4.6. Зависимость напря-
напряженности ПробОЯ £пр max
в воздухе от радиуса г элект-
электродов [192] (расстояние между
цилиндрическими электродами
много больше, чем их радиусы)
явлений, описываемых
нормальным распреде-
распределением, является более
случайный характер име-
имеющихся граничных усло-
условий (движение воздуха,
пыль и т. д.).
Если в ходе экспери-
эксперимента необходимо вы-
выполнить оценку матема-
,010,02 0,05 0,1 0,2 0,5 1 2 Т~ш тического ожидания _на-
пряжения пробоя и*пр,
его можно вычислить с помощью соотношеия D.1) [177] по зна-
значению пробивной напряженности поля Епр [192] (рис. 4.6):
Mnp=£npdil, D.4)
где d — расстояние между электродами; ц— коэффициент не-
неоднородности.
Сходные описания предварительного расчета математиче-
математических ожиданий имеются, например, в работе [216]. Математи-
Математическое ожидание напряжения пробоя меняется лишь очень не-
незначительно в зависимости от длительности приложенного
напряжения; в большинстве случаев эффектом времени практи-
практически следует пренебречь (см. § 5.7)—рис. 4.7, а. Это под-
подтверждается равным образом известной классической номо-
номограммой шарового разрядника [216, 217], построенной на ос-
основании современных измерений при электродах с большой
площадью поверхности и малой кривизной [205, 218, 219]. На-
Напряжение пробоя сильно зависит от качества поверхности
электродов: при шероховатой поверхности вследствие усиле-
усиления напряженности поля на микровыступах макроскопическая
пробивная напряженность обычно оказывается ниже 25 кВ/см
(см. рис. 4.6). Этот эффект, особенно сильный для электродов
с большой площадью поверхности, следует определять в пред-
предварительных экспериментах.
Ожидаемый коэффициент вариации зависит в первую оче-
очередь от длительности приложенного напряжения и поэтому от
формы импульсов напряжения (рис. 4.7, б): при импульсах
атмосферных перенапряжений и*<0,025, для коммутационных
перенапряжений и*<0,017 и для переменного напряжения
у*<0,010.
218
о
Ь) 0,03
0,5 1,0 1,5 2,0 м
0,5 1,0 1,5 2,0 м
Рис. 4.7. Математическое ожидание (о) и коэффициент вариации (б) на-
напряжения пробоя воздушного промежутка шар — плоскость, обладающего
нормальным распределением [205] (радиус шара /-=0,25 м; Я —пробой; С —
образование стримеров)
/ — импульсы атмосферных перенапряжений +1,2/50; 2 н 3 — импульсы коммутацион-
коммутационных перенапряжений соответственно +180/2300 и +800/7400
4.2.3. Воздушная изоляция в сильноиеоднородном поле.
В промежутках с неоднородным полем напряженность е, при
которой существуют стабильные частичные разряды, опреде-
определяет уровень напряжения пробоя и идентична удельному про-
пробивному напряжению Mnp/d. Результаты исследований в про-
промежутке стержень — плоскость (табл. 4.2) показывают, что до
пробоя имеют место стабильные частичные разряды. При им-
импульсах атмосферах перенапряжений и постоянном напряже-
напряжении математическое ожидание пробивного напряжения иПр*
пропорционально напряженности начала частичных разрядов
е и линейно связано с межэлектродным расстоянием d
(рис. 4.8, кривая /), _
u'ap=ed. ~DТ5)
219
Таблица 4.2
Форма напряжения
Переменное напряжение
частоты 50 Гц
Постоянное напряжение
полярности:
положительной
отрицательной
Импульсы атмосферных
перенапряжений поляр-
полярности:
положительной
отрицательной
Импульсы коммутацион-
коммутационных перенапряжений по-
полярности:
положительной
отрицательной
Напряженность, кВ/см,
возникновения стабильного
частичного разряда1'
(пробивная иапряжеиность)
самостоятель-
самостоятельного «с
4,5
первичного
«п
1
5
9. . . 11
5
15
4,5
10
1
1
Коэффициент вариации
С»
<0,05
(увеличивается с увели-
увеличением длины проме-
промежутка)
<0,01
<0,03
0,01 . . . 0,02
Несколько больше, чем
прн положительной по-
полярности
0,04 . . . 0,06
Почти такой же как
при положительной по-
полярности
Напряженность начала самостоятельного разряда. (Прим. перев.)
Если перед пробоем имеет место стабильный стримерный
разряд, то переменное напряжение и импульсы коммутацион-
коммутационных перенапряжений приводят к одинаковым результатам
(d<do~l,5 м). При d>d0 напряжение пробоя возрастает зна-
значительно медленнее при увеличении расстояния d (рис. 4.8,
кривая 2). В соответствии с моделью Лемке [195, 216, 220, 221]
для d>d0 математическое ожидание пробивного напряжения
при последовательном развитии стримерного ес и первичного
еп разрядов (в киловольтах на сантиметр) определяется как
-j-Y D.6)
При этом do должно быть вычислено по какой-либо изме-
измеренной величине пробивного напряжения при d>do. При ком-
коммутационных перенапряжениях существует известное, завися-
380
Рис. 4.8. Напряжение пробоя MB
промежутка стержень — пло-
плоскость
1 — положительное напряжение и о 5
импульсы атмосферных перенапря- '
женнй +1,2/50; 2 — переменное на-
напряжение с частотой 50 Гц; 3 —
положительные импульсы коммута-
коммутационных перенапряжений с дли-
длительностью фронта, соответствую-
соответствующей минимальной электрической
прочности
2,0
1,5
щее от длительности
фронта волны минималь-
минимальное пробивное напряже- 1,0
ние, положение которого
зависит от длины проме-
промежутка. Зависимость ми-
минимальных пробивных на-
напряжений (рис. 4.8, кри-
кривая 3, [222]) проходит еще
0,5
UnpSO I/
//
!
&
10
15 20 25
м
значительно ниже, чем при переменном напряжении и позволяет
указанным способом [см. уравнение D.6)] оценить напряжение
пробоя.
Если необходимо отказаться от определения d0 в предвари-
предварительных экспериментах, то для промежутков с сильнонеодно-
сильнонеоднородным полем математическое ожидание напряжения пробоя
при коммутационных перенапряжениях можно оценить по за-
зависимости электрической прочности промежутка стержень —
плоскость и промежутков различной конфигурации (табл. 4.3):
D. /)
пр стержень—плоскость»
где k — коэффициент промежутка.
Таблица 4.3
Промежуток
Стержень—плоскость
Стержень—подножник
Провод—плоскость
Провод—окно опоры
Провод—подножннк
Стержень—стержень (длина промежутка 3 м)
Провод—подножннк (в присутствии соседних проводов)
Стержень—стержень (длина промежутка 6 м)
Провод—металлическая оттяжка опоры
Провод—траверса опоры
Провод—стержень (длина промежутка 3 м)
Провод—стержень (длина промежутка 6 м)
Провод—стержень (при развитой ошиновке)
Коэффициент
промежутка k
,00
,05
,15
,20
,30
,30
,35
1,40
1,40
1,55
1,65
1,90
1,90
Примечание. На один из электродов подан высокий потенциал, дру-
другой — заземлен.
221
Таблица 4.4
Диапазон 50 К-ного
пробивного напряжения, кВ
<600
600 ... 800
900 ... 1200
1200 ... 1500
>1500
Коэффициент вариации vv
коэффициента вариации и(.
Число необходимых изме-
измерений в каждом диапазоне
напряжений
Коэффициент
стер-
стержень —
плоскость
*;
0,034
0,055
0,045
0,051
0,057
0,27 . . .
0,52
6 ... 45
стер-
стержень-
стержень
*;
0,037
0,045
0,055
0,063
0,052
0,28 . . .
... 0,5
6 ... 48
варнацнн
опорного
изолято-
изолятора
0,032
0,054
0,056
0,063
0,070
0,16. . .
. . . 0,44
8 ... 33
промежутка
гврлянды
изолято-
изоляторов
0,036
0,035
0,038
0,043
0,049
0,27 . . .
. . . 0,62
11 ...
... 133
Усреднен-
Усредненное
значение
Р*
0,034
0,044
0,042
0,051
0,053
0,16 . . .
. . . 0,62
—
Многочисленные измерения пробивных характеристик про-
промежутков с сильнонеоднородным полем показывают, что при
всех видах напряжений напряжения пробоя целесообразно
описывать нормальным распределением. Соответствующее
значение коэффициента вариации находится в табл. 4.2. Ра-
Разумеется, коэффициент вариации в отдельных промежутках,
а потому и уровень напряжения, сильно зависят от размеров
промежутка (табл. 4.4). Тем не менее в большинстве случаев
эти значения пригодны для планирования измерений характе-
характеристик пробоя.
Промежутки с большой, подверженной повреждениям по-
поверхностью должны быть помещены между описанными про-
промежутками с сильно- и слабонеоднородным полем [194, 205,
224—227]. При этом может получиться, что приводящий к про-
пробою заряд вносится в промежуток либо с выступов на поверх-
поверхности (в виде предшествующих стабильных частичных разря-
разрядов), либо с ненарушенной части электрода. В результате
получают «мультипликативное» наложение распределений
пробивных напряжений (рис. 4.9). Если пытаться определить
коэффициент вариации, он составит значение о*=0,20.
При атмосферных перенапряжениях имеют место описан-
описанные выше закономерности, однако в данном случае вероятно-
вероятности пробоя являются чрезвычайно трудновоспроизводимыми
(рис. 4.10), поскольку в течение короткого времени действия
222
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,30
0,20
0,10
0,05
0,01
°-001ко
V*
1
1
I
i
i
|
1
У
Г'
А
i
1
\%
800
900
кВ
Рис. 4.9. Функция поведения напря-
напряжения пробоя промежутка шар —
плоскость прн предельной чистоте об-
обработки поверхности шара (радиус
шара г=75 см; длина промежутка
d=50 см)
/ — шероховатая поверхность; 2 — полиро-
полированная поверхность
напряжения, например, в ма-
малом объеме вблизи микровы-
микровыступа начальный электрон мо-
может образоваться лишь с ма-
малой вероятностью.
При переменном напряже-
напряжении на микровыступах возни-
возникают частичные разряды и
описывающая эти явления
функция распределения на-
напряжения пробоя может быть
аппроксимирована нормаль-
нормальным распределением (в осо-
особенности при конструктивных
выступах или при большом
числе выступов; коэффициент
вариации и^ОДО) или распределением Вейбулла {205]. Если
на выступе при низком напряжении возникают стримерные раз-
разряды, а при высоком — тлеющий разряд, то напряжение про-
пробоя описывается суммарным смешанным распределением
(рис. 4.11). В промежутках с нарушенным слабонеоднородным
полем в воздухе предварительные опыты для определения па-
параметров эксперимента являются необходимыми.
В настоящее время интенсивно изучаются многоэлектрод-
многоэлектродные системы с целью исследования межконтактных промежут-
промежутков, а также линейной изоляции. В таких промежутках рас-
распределение напряженности электрического поля зависит от
геометрии и потенциала электродов, и результаты эксперимен-
экспериментов трудно систематизировать. При этом необходимы предва-
предварительные эксперименты; указания имеются, например, в ра-
работах [227, 229, 230].
4.2.4. Изоляторы. Поверхностное пробивное напряжение
изоляторов из неорганических изолирующих материалов су-
существенно зависит от состояния поверхности раздела твердое
вещество — воздух [216].
В сухом состоянии электродов поверхностное пробивное
напряжение соответствует сильнонеоднородному полю; влия-
влияние размеров тела изолятора также является пренебрежимо
малым. (В сильнонеоднородном поле влияние слоя воздуха
223
0,99
0,95
0,90
0,80
0,70
0,60.
0,50
QfiO
0,30
0,20
0,10
0,05
0,01
p*
1т
L
T
t
к
■-J-T-
--
J
If
ff
1
}
.1 /1 Unp
1000 1100 1200 1300 1400 KB
Phc. 4.10. Воспроизводимость вероятности пробоя при импульсах атмосфер-
атмосферных перенапряжений (штриховая линия — шар (г=75 см) с выступом-ост-
выступом-острием (/=0,35 см)—плоскость; d=\ м; сплошная линия — функция поведе-
поведения при отсутствии острия на шаре)
между электродом и телом изолятора может быть идентич-
идентичным воздействию дефекта в однородной системе — см.
п. 4.2.3.)
В увлажненном состоянии электродов поверхностное про-
пробивное напряжение понижено, поскольку разряд развивается
частично в слое воды. Поверхностное пробивное напряжение
понижается почти до 0,85 сухоразрядного переменного напря-
напряжения и до 0,90 сухоразрядного импульсного напряжения [231,
232]. И для сухих и для увлажненных изоляторов равным об-
образом пригодна аппроксимация нормальным распределением
[231, 232 и др.]. Коэффициент вариации различается для обоих
случаев лишь незначительно и может быть взят из табл. 4.4
и 4.5.
В загрязненном состоянии (пробой по увлажненной загряз-
загрязненной поверхности) имеет место значительное снижение по-
поверхностного пробивного напряжения, поскольку приводящие
к пробою разряды (частичные разряды) возникают на поверх-
поверхности, обладающей электролитической проводимостью [216].
224
Таблица 4.5
Форма импульса
напряжения
Переменное напряжение
частоты 50 Гц
Коммутационные пере-
перенапряжения полярности:
положительной
отрицательной
Атмосферные перенапря-
перенапряжения обеих полярно-
полярностей
Источники
Коэффициенты вариации о* поверхностного пробивного
напряжения для гирлянд изоляторов
длинностержневых
0,016 .
0,052 .
0,034 .
0,020 .
J. Kucera,
Bull. EGU
№ 6. — S.
. . 0,128
. . 0,088
. . 0,052
. . 0,030
V. Fiklik//
— 1968. —
5—6.
тарелочных
0,010 . . . 0,030
0,040 . . . 0,080
0,013 . . . 0,026
0,005 . . . 0,010
В. Hutzler, J.-P. Rin//
IEEE Trans. PAS. —
1979 — H. 98.—№ 3;
F. S. Young//IEEE
T-PAS, — 1980. —
H. 99.— № 2;
K.-H. Schneider//
Elektra. — 1979. — № 57.
При увеличении проводимости слоя загрязнения поверхност-
поверхностное пробивное напряжение уменьшается. Измерения этого на-
напряжения при перенапряжениях обладают высокой стоимо-
стоимостью, и поэтому преобладают опыты с неизменным напряже-
напряжением (см. п. 2.2.1). На результаты эксперимента может
оказать заметное влияние мощность источника напряжения;
по этой причине требуют, чтобы при наличии слоя загрязне-
загрязнения напряжение понижалось не более чем на 5 % по сравне-
сравнению с напряжением холостого хода испытательной установки
[234]. Естественные слои загрязнения чрезвычайно многооб-
многообразны и практически невоспроизводимы. Используемые в ла-
лабораториях искусственные загрязнения воспроизводятся лишь
в определенных пределах, так что уже по этой причине ре-
результаты эксперимента обладают существенным разбросом.
Поскольку из-за высокой стоимости объемы выборок часто
являются весьма малыми, функция поведения поверхностного
пробивного напряжения аппроксимируется главным образом
нормальным распределением. О планировании и выполнении
весьма сложных экспериментов можно прочесть в литератур-
литературных источниках [234—240]. На основании данных о времени
пробоя твердой изоляции (см. § 4.5) в работе [241] время до
225
0,99
0,95
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,05
0,01
\p*
i
и
г
I
iS
if
il
if
ij
i
f
2
i
1
1
1
i
1
1
1
ri
r3
i
f
i
600
700
800
900
KB
Рис. 4.11. Функция суммарной частостн напряжения пробоя искаженного воз-
воздушного промежутка шар — плоскость при переменном напряжении [шар
(г=75 см) с выступом-острнем (/=0,35 см)—плоскость; d—\ м; 25 кВ/см]
1 — функция суммарной частости при наличии стримериой стадии F\(u ); 2 — функ-
функция суммарной частости всего промежутка ^("пв); 3 — функция суммарной часто-
частости при пробое вследствие тлеющего разряда F2(u
)
пробоя загрязненной изоляции интерпретируют в предполо-
предположении, что функция поведения поверхностного пробивного на-
напряжения аппроксимируется распределением Вейбулла и что
в логарифмическом масштабе кривая времени до пробоя яв-
является прямой линией (рис. 4.12, а). Это дало возможность
соотнести измеренные поверхностные пробивные напряжения
с одним значением проводимости. Для этой проводимости слоя
загрязнений поверхностные пробивные напряжения обладают
распределением Вейбулла (рис. 4.12, б), однако ее использо-
использование при исследовании изоляторов еще нуждается в под-
подтверждении.
Изоляторы из органических материалов ведут себя в су-
сухом чистом состоянии так же, как изоляторы из неорганиче-
неорганических материалов. Однако при наличии загрязнений и увлаж-
увлажнений из-за эрозии поверхности под действием частичных раз-
разрядов, а также из-за диффузии влаги образуются следы
226
кВ
120
100
во
ВО
Ь) 0,99
0,90
0,80
0,60
0,20
0,10
0,05
0,03
0,02
• * /
Pc>0,10
h^0,63
*s
6 8 10
20
60 80 mkCm
0,01
r
/
/
/
/
J
A
/
/
i
/
A
-
1
/
/
80 85 90 95 100 105 110 115 кВ
Рис. 4.12. Пробивное поверхностное напряжение перекрытия скользящего раз-
разряда по поверхности длинностержневого изолятора LF75/16 [241]: а — кри-
кривая напряжения скользящего разряда (иск = kpXs — я*; лх = 0,3; на-
напряжение отключается; светлые точки — отсутствие пробоя; темные точки —
пробой); б — распределение Вейбулла напряжения скользящего разряда для
>cso=2O мкс, где каждая пара значений (ut; xs t) нз рнс. а пересчитана по
формуле
U(, = I
(напряжение и0 поддерживалось в интервале шириной Ди)
разрядов и взаимная независимость опытов едва ли может
быть гарантирована. Это напоминает пробой твердых мате-
материалов при длительном приложении напряжения (см. § 4.5)
[242].
227
4.3. Изоляция сжатым газом
В настоящее время среди используемых в качестве
высоковольтной изоляции сжатых газов преобладающим тех-
техническим значением обладает шестифтористая сера —элегаз
(SF6). По этой причине приведенный ниже материал ограни-
ограничен описанием элегаза и тесно связан с монографией [25].
Описание других газов и газовых смесей целесообразно опу-
опустить.
4.3.1. Проблемы техники исследований. Если в каком-либо
замкнутом объеме газа имеет место пробой, то изолирующая
способность восстанавливается уже не столь быстро, как в от-
открытом воздухе. Способность к восстановлению, а поэтому
и независимость экспериментов, тем ниже, чем большая энергия
вложена в единицу объема. От энергии зависят масштабы
плазмохимических реакций, происходящих в сжатом газе при
электрическом пробое [25]. С этой энергией далее связана ве-
величина пространственного заряда, остающегося в объеме по-
после пробоя и способного оказать влияние на результаты по-
последующих опытов. Поэтому необходимо, хотя бы и вопреки
соображениям экономичности, не снижать интереса к незави-
независимости испытаний и стремиться снизить энергию в канале
разряда. Для этого используются защитные сопротивления ре-
резисторов, включенных между испытуемым образцом и источни-
источником напряжения, а также —при длительном приложении
напряжения — быстродействующие выключатели. Хорошим ре-
решением является использование искрового промежутка, вклю-
включаемого при разряде параллельно испытываемому образцу и
принимающего на себя ток разряда.
Важной причиной взаимной зависимости опытов являются
частицы в сжатом газе, которые могут привести к пробою,
а затем и сами могут быть уничтожены во время пробоя. По
этой причине онн в меньшей степени снижают напряжение
пробоя в последующем опыте и при увеличении числа прило-
приложений напряжения значение напряжения пробоя возрастает
(рис. 4.13). Это явление, используемое в технике лишь для
гомогенных систем (например, в конденсаторах со сжатым га-
-___^______т———1 зом), называют эффектом кондицио-
кВ ипр нирования. Рекомендуется конди-
200] 1 1 \ 1 ционировать изоляцию со сжатым
газом перед началом основной ста-
150
100
<
•
?^
к
О 10 20 30
Рис. 4.13. Эффект кондиционирования (тре-
(тренировки) в элегазе (радиусы коаксиальных
цилиндров 0,6 и 2 см; р2о = 0,4 МПа; де-
дефект—частица шарообразной формы диа-
диаметром 0,2 мм; штриховая линия — опыты
в невозмущенном поле; k — число пробоев
228
"so
S)
•
о
о
о
о
•
о
о
о
•
о
о
•
о
•
о
•
о
о
о
о
о
о
о
•
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
0,80
0,40
о,го
0,10
0
0,30
•
О1
•
о
•
0
•
о
•
о
о
•
о
о
о
о
о
•
о
о
•
•
о
о
•
о
о
о
о
•
о
о
•
о
о
•
о
о
о
о
0,90
0,60
0,30
0,20
0,20
0,44
Рис. 4.14. Протокол опытов с неизменным напряжением при импульсах ат-
атмосферных перенапряжений в элегазе (радиусы коаксиальных цилиндров
0,6 и 2 см; р2о=О,25 МПа; светлые точки — отсутствие пробоя; темные
точки — пробой): а — длительность паузы tn — 15 с (ипр = —150 кВ); б — дли-
длительность паузы ^п=200 с (цПр = —160 кВ)
тистической серии экспериментов. В опытах с неизменным на-
напряжением при импульсных воздействиях остающийся после
пробоя пространственный заряд является причиной сильной вза-
взаимной зависимости [25, 243], которая может не исчезнуть даже
при относительно больших паузах между опытами (рис. 4.14).
Выходом из этого затруднения может быть выполнение вместо
опытов с неизменным напряжением опытов с нарастающим на-
напряжением и приведение функции суммарной частости к функ-
функции поведения (см. п. 2.3.4). В опытах с нарастающим напря-
напряжением длительность паузы между пробоями, естественно, зна-
значительно больше, чем в опытах с неизменным напряжением;
образовавшийся пространственный заряд может рекомбиниро-
вать или рассеиваться в результате диффузии, причем относи-
относительно слабые нагрузки в начале каждого отдельного опыта
ускоряют этот процесс. Это дает возможность выполнять опыты
с неизменным напряжением, прикладывая в промежутках между
опытами относительно низкое переменное напряжение, ускоря-
ускоряющее рекомбинацию и диффузию пространственного заряда
(см. п. 2.2.2). Оба пути приводят к выборкам, которые после
соответствующих тестов (см. п. 1.5.3) могут считаться незави-
независимыми.
В опытах с нарастающим напряжением при постоянном
или переменном напряжении скорость нарастания напряжения
может повлиять на результаты эксперимента. Для элегазовой
изоляции, однако, показано, что влиянием скорости нараста-
229
0,99
0,90
0,80
0,60
0,20
0,10
0,01
р*
/
/
у
Л
J/
/
/
/
/
/
/
' Л
J L
/ /
/ /
/ /
<r-
J/f'
¥
I//
7
V
130
135
П5.
150
155
Phc. 4.15. Влияние скорости нарастания напряжения на функцию распре-
распределения напряжения пробоя в элегазе (вероятностная сетка двойного экспо-
экспоненциального распределгния)
Радиусы коаксиальных цилиндров 0,6 и 2,0 см; р2о=О,25 МПа; ф — скорость нараста-
нарастания напряжения 0,03 кВ/с; © — 0,3 кВ/с; ф — 3.0 кВ/с; О — 13,0 кВ/с
ния напряжения вполне можно пренебречь в технически инте-
интересном диапазоне (рис. 4.15). Даже если регулятор источника
напряжения не может обеспечить линейного нарастания на-
напряжения, не следует опасаться влияния полученной реализа-
реализации. Скорость нарастания напряжения может быть выбрана
в соответствии с имеющимся источником питания и экономич-
экономичностью эксперимента.
Если взаимная независимость основных параметров экспе-
эксперимента обеспечена, то, несмотря на единую технологию
выполнения эксперимента (чистоты электродов, монтажа ка-
камеры, вакуумирования, заполнения газом и т. д.), при повто-
повторении серии опытов необходимо вновь вычислять эмпириче-
эмпирические функции распределения, чьи различия следует объяснять
не случайностью развития пробоя, а допусками монтажа, за-
заполнения газом, а также различной степенью кондициониро-
кондиционирования и ошибками измерений. Тем не менее при умеренных за-
затратах на экспериментальную технику может быть достигнута
хорошая воспроизводимость (рис. 4.16).
4.3.2. Элегазовая изоляция в слабонеоднородном поле. Изо-
Изоляция сжатым газом используется, как правило, в слабонеод-
слабонеоднородных полях. Случайное зажигание самостоятельного раз-
230
0,01
130
кВ
Рис. 4.16. Воспроизводимость эмпирической функции распределения напря-
напряжения пробоя в элегазе (приведены пять функций распределения, опреде-
определявшиеся с интервалом в четыре недели каждая; радиусы коаксиальных ци-
цилиндров 0,6 н 2,0 см; р2о=О,25 МПа)
ряда сразу же приводит к пробою [25]. Случайность в зажига-
зажигании является причиной статистических колебаний значений
параметров, получаемых в больших сериях экспериментов ре-
реализацией напряжения пробоя. При статистическом моделиро-
a) 0,97
0,90
0,50
0,10
0,01
0,001
р"
/
7
ы
I
1
Т
k
г
/
/
160
1В0 к8/см
5) 0,90
0,50
0,10
0,01
0,001
р
-
ft
°;
о/
KB
см-
V
Г
г
о
и
1
6) 0,90
0,50
0,10
0,01
20 W кВ/си
0,001
р
о
—ч
J
г
у
140
160
W кв/см
Рис. 4.17. Аппроксимация функции распределения электрической прочности
в элегазе при р20=0,25 МПа: а — нормальное распределение (вероятностная
сетка нормального распределения); б — распределение Вейбулла (вероятност-
(вероятностная сетка распределения Вейбулла); в — двойное экспоненциальное распре-
распределение (вероятностная сетка двойного экспоненциального распределения)
231
кВ/см
300
250
200
150
100
80
ВО
30
1-ррБЗст
J
//,
/у
4^3
/
f
/
/
/
/
f
у
/
ho
Sj
кВ/см
И
о!8
0,6
ол
0,3
0,05 0,1
0,2 0,3 ОЛ МПа
0,1
/
/
/
/
-f—1
f
А
/
■■¥•
/
/
/
/
4л
у
У
/
и —
V ~
/
/
Р»
О 0,1 0,2 0,3 ОЛ 0,5МПа
Рис. 4.18. Параметры £Првзст (а) и уЕ (б) двойного экспоненциального рас-
распределения при аппроксимации электрической прочности в элегазе
/ — внутренняя электрическая прочность; 2 — переменное напряжение 50 Гц (совпадает
с кривой для постоянного напряжения); 3 — отрицательные иипульсы коммутационных
перенапряжений 250/2500; 4 — отрицательные импульсы атмосферных перенапряжений
1,2/50; для 7 указаны среднее значение и 90 %-ный доверительный интервал
вании этого процесса [25, 130, 131, 244] исходят из экстремаль-
экстремального распределения напряжения пробоя. Экспериментальная
проверка подтверждает (рис. 4.17), что эмпирическая функция
распределения электрической прочности значительно лучше
описывается не нормальным распределением (рис. 4.17, а),
а экстремальными распределениями (рис. 4.17, б и в).
Аппроксимация распределения Вейбулла осложняется тем,
что исходные значения ыпр о или £ПР 0 чрезвычайно зависимы от
всех параметров эксперимента, в особенности от трудноопре-
трудноопределимой микрошероховатости поверхности электродов и ми-
микрочастиц в объеме газа. По практическим соображениям (хо-
(хорошая аппроксимация, удобство работы, единообразие) наи-
наиболее удобно описывать электрическую прочность двойным
экспоненциальным распределением [25]. Если для какой-либо
серии экспериментов необходимо оценить характеристиками
напряжения пробоя, чтобы установить оптимальные значения
параметров эксперимента, то в соответствии с рис. 4.18.
пр бз
= Е
Пр вз ст
D.8)
D.9)
где d — расстояние между электродами; г\ — коэффициент не-
неоднородности. Естественно, что эмпирическая функция распре-
232
0,99
0,95
0,90
0,50
0,30
0,10
0,05
0,03
0,02
0,01
f
p
i
1
i
/
/ *
/
1
/
/
I-
/
/
1
I
t
•
/
/
/x
-4—
7l
Ц 6
* °i
7 ?
7 ?
/
/°l
И
7 1
f
Я
J
3
/л /
I 1 i
/ /
/ /•
10
zo
V) 60 80 100
ZOO
Рис. 4.19. Функция распределения предразрядного времени при импульсах
атмосферных перенапряжений в элегазе, аппроксимированная трехпараметри-
ческим распределением Вейбулла (вероятностная сетка распределения Вей-
Вейбулла; радиус коаксиальных цилиндров 0,75 и 2 см; р2о=О,25 МПа; поляр-
полярность положительная)
1 — начальное значение 'про*""'" НС| KJ^™3"8 импульса S=983 кВ/мкс; 2 — <п_ 0 =?
=220 не; S=571 кВ/мкс; 3-/„р0=280 не, S=403 кВ/мкс; 4-/пр0=450 не, S=
=■244 кВ/мкс
деления аппроксимируется двойным экспоненциальным рас-
распределением и является компромиссом, причем при более вы-
высоких давлениях аппроксимация лучше, чем при низких,
а диапазон величин остается неограниченным — в противопо-
противоположность распределению Вейбулла, которое использовалось,
например, в работах [72, 142 и 143], несмотря на ненадежность
определения исходных значений.
При изучении времени пробоя в элегазе требуется трехпа-
раметрическое распределение Вейбулла (рис. 4.19). Исходное
значение £Про времени до пробоя tnv может быть получено
с помощью рассмотрения физики процесса [25]: начальное
время ^пРо при известном ходе зависимости напряжения от
времени (например, заданной крутизной нарастания напряже-
напряжения 5 в киловольтах в микросекунду) определяется значением
напряжения ы(^Про), при котором следует ожидать пробоя при
длительном приложении напряжения [см. уравнение D.8)].
Этот способ легко выполним, и оценка параметров делается
233
a) 0,90
0,80
0,60
OfiO
0,20
0,10
0,01
j
ЫПаЛ
I
1°
55
65 kB/cm 125 135
p*
/
A.
/o
/
jb
J
У
--0,25МП
3
йпр~
0
/у
о!
/
/
укмьное)
/
s
ШПа
жпреда
пение
кВ/см 180 ' ПО 200 210 кВ/см
Рис. 4.20. Электрическая прочность промежутка в элегазе при наличии твер-
твердого диэлектрика (во всех случаях длина граничной поверхности твердого
диэлектрика одинакова; вероятностная сетка двойного экспоненциального рас-
распределения): а — для коаксиальных цилиндров с радиусами 5 и 15 см;
бив — для коаксиальных цилиндров с радиусами 0,675 и 2 см
еще проще, чем при двухпараметрическом распределении Вей-
булла (см. п. 1.3.2).
Равным образом электрическая прочность может быть опи-
описана двойным экспоненциальным распределением в элегазо-
вых промежутках с сильнонеоднородным полем (рис. 4.20, а,
б) при наличии твердой изоляции.
Параметры напряжения пробоя исследуемого промежутка
могут быть вычислены с помощью уравнений D.8) и D.9),
а также значений Япрбзст и^ с рис. 4.21. Если переход ме-
между электродом и граничной поверхностью диэлектрика не
свободен от нарушений электрического поля, чего следует осо-
особенно опасаться при высоком давлении в элегазе, то аппрокси-
аппроксимация электрической прочности и напряжения пробоя с по-
помощью нормального распределения часто является более точной
(рис. 4.20, в). Если тем не менее выполнять аппроксима-
аппроксимацию двойным экспоненциальным распределением, то возникает
ошибка в «безопасную сторону».
4.3.3. Элегазовая изоляция в возмущенном сильнонеодно-
сильнонеоднородном поле. Конструируемое слабонеоднородное поле в сжа-
сжатом газе нельзя получить при наличии ошибок монтажа, при-
приводящих к частичным разрядам. Подобные дефекты поля мо-
могут быть неподвижными (острые края, грани, заусеницы, щели)
или двигаться под действием сил электростатического поля
234
) Ж
см
200
100
80
60
40
30,
/
/
/
/
Т
у
/
/
/
/
/
/
/ /
/
ho
0,05 0,08 0,1
0,1 0,3 МПа
S) кб
' см
10,0
8,0
6,0
2,0
1,0
0,8
0,6
0,3
Ге
i
/
/ ;
X X
/
X
X
• X
•
о
о о
X *
/
/
'о/
/
/
' X
•
о ,
X
>
/
/■■"
/
с
/
/
/
1
/
/
ho
' 0 0,1 0,2 0,3 Ofi .МПа
Рис. 4.21. Электрическая прочность .Ь'првзст (о) и разброс Уе (б) прн ап-
аппроксимации электрической прочности промежутка в элегазе при наличии
твердой изоляции двойным экспоненциальным распределением
/ — переменное напряжение (на рис. б —крестики); 2 — отрицательные импульсы ком-
коммутационных перенапряжений (темные точки); 3 — отрицательные импульсы атмосфер-
атмосферных перенапряжений (светлые точки); штриховые прямые —V£ при переменном на-
напряжении
(частицы) [25]. Обе группы дефектов часто воссоздаются в ла-
лабораториях с целью изучения. Они приводят обычно к сниже-
снижению— иногда чрезвычайно сильному [25] — пробивных напря-
напряжений по сравнению с ненарушенной изоляцией сжатым га-
газом, причем экстремальное распределение больше не может
быть использовано.
При неподвижных дефектах (рис. 4.22) частичные разряды
наблюдаются в основном в форме стримеров или вспышек и
в форме тлеющего разряда [25]. Если пробой развивается не-
непрерывно из какого-либо одного частичного разряда, то напря-
напряжение пробоя удобно аппроксимировать нормальным распре-
распределением. Напротив, если пробой развивается из самостоя-
самостоятельного разряда или тлеющего, то имеет место смешанное
распределение пробивных напряжений (рис. 4.22, переменное
напряжение, р2о=О,25 МПа).
При свободных подвижных дефектах (частичках) при стан-
стандартизованных типах напряжения (переменное напряжение —
рис. 4.23, одна частичка; постоянное напряжение и коммута-
коммутационные перенапряжения —рис. 1.25) возникает нормальное
распределение пробивных напряжений. Если в изоляцию вне-
внесено более одной частицы (рис. 4.23), то при одинаковом типе
235
0,01
кВ
Рис. 4.22. Функция распределения элегазовой изоляции при наличии дефекта,
фиксированного на поверхности электрода (вероятностная сетка нормального
распределения)
Радиус коаксиальных цилиндров 5 н 15 см; дефект — острие на внутреннем цилиндре
длиной /=0,5 см; переменное напряжение частоты 50 Гц при Рго=ОД МПа (кривая 1)
и при рм=0,25 МПа (кривая 5); положительные импульсы атмосферных перенапря-
перенапряжений 1,2/50 при рм=0,1 МПа (кривая 2) и при р20-0,25 МПа (кривая 4); отрицатель-
отрицательные импульсы атмосферных перенапряжений 1,2/50 при Pso^O.l МПа (кривая 3)
частиц из закона преобразования масштаба (см. § 5.3) сле-
следует, что по мере увеличения числа частиц тип распределения
приближается к двойному экспоненциальному. При весьма
большом числе частиц, как и в слабонеоднородном поле без
частиц, следует вести расчеты с экстремальным распределе-
распределением. Это наводит на мысль, что свободная от дефектов изо-
изоляция в виде сжатого газа обладает большим числом микро-
микродефектов, существенно влияющих на случайные процессы [25,
130, 248]. Если элегазовая изоляция с частицами нагружается
напряжением, имеющим импульсы сложной формы (напри-
(например, наложением постоянного напряжения и коммутационных
перенапряжений), то возникает смешанное распределение про-
пробивных напряжений (рис. 1.25).
236
0,10
0,05
0,01
' 125 135 П5 155 165 175 кВ
Рис. 4.23. Функция распределения напряжения пробоя элегазовой изоляции
при наличии свободных подвижных частиц N (переменное напряжение ча-
частоты 50 Гц; вероятностная сетка нормального распределения)
Радиусы сферического конденсатора 5 и 10 см; длина промежутка d = 1 см; р2о=
= 0,1 МПа; дефекты — сферические частицы диаметром 1 мм
4.4. Жидкая изоляция
Изолирующие жидкости обладают электрической проч-
прочностью от 100 до 1000 кВ/см [216], испытывающей исключи-
исключительно сильное влияние состояния жидкости. Поскольку наи-
наибольшее значение имеют изолирующие технические минеральные
масла, на их примере будут пояснены основные взаимо-
взаимосвязи, возникающие в ходе статистического эксперимента и
оценки его результатов. Влияние чистоты жидкого диэлек-
диэлектрика будет описано ниже, а сжиженные газы в качестве изо-
изоляторов и связанные с ними проблемы подробно описаны
в литературе [249—252]. При комбинации твердой и жидкой
изоляции статистические свойства определяются параметрами
твердой изоляции; при этом следует сослаться на § 4.5.
4.4.1. Проблемы техники исследования. Изолирующие свой-
свойства жидких изоляторов восстанавливаются после разряда
лишь частично: в результате плазмохимических реакций, на-
например, изолирующие масла разлагаются на низкомолеку-
низкомолекулярные составляющие, газообразные оксиды углерода и чистый
углерод (сажу). Газ частично растворяется в масле, однако
237
кВ'
200
150
]
100
50
К"!
V
IS.
к.
^ч
■i
г
Е-
тс
О
1
г/л
Рис. 4.24. Влияние содержаиия сажи в изоляционном масле иа электрическую
прочность [254] (межконтактный промежуток маслонаполнеиного выключа-
выключателя нагрузки 12 кВ; 95 %-ный доверительный интервал)
/ — импульсы коммутационных' перенапряжений; 2 — переменное напряжение
может накапливаться в масле также и в виде пузырьков, за-
заметно снижающих изолирующие свойства [253]. Сажа приво-
приводит к еще более заметному снижению напряжения пробоя, за-
зависящему, разумеется, от вида изолирующего промежутка
(образование углеродных мостиков — рис. 4.24) [264, 265]. Как
уже отмечалось при описании сжатых газов, необходимо поза-
позаботиться о том, чтобы вносимая в объем энергия разряда
была достаточно малой. Для этого можно перемешивать ма-
масло, одновременно фильтруя его или тщательно обрабатывая.
Движение масла весьма слабо влияет на напряжение пробоя
[256]. Таким способом даже при больших объемах выборки
удается ограничивать влияние продуктов разложения.
Остающиеся в масле после пробоя заряды обладают чрез-
чрезвычайно малой подвижностью и поэтому обусловливают силь-
сильное влияние предыдущего опыта на последующий [138, 256].
Как и для сжатых газов, опыты с нарастающим напряжением
обладают удачной возможностью снизить взаимную зависи-
зависимость по сравнению с опытами с неизменным напряжением
[49, 94, 124, 138]. По всей вероятности, должна существовать
также такая длительность паузы между опытами (см. п. 2.2.2),
при которой взаимное влияние в жидкостях будет уменьшено
или устранено.
238
см
WO
300
200
100
О
1
1 1 1 1 1 f 1 1 I 1 ' 11 1 1 1 1 1 1 1 1 I
к т J- "
1
ч
*
\
1
S
ч
1
1
77
i
'?
0
__ ._
6 810 20 40 60 100 200 № °/00
Рис. 4.25. Электрическая прочность изоляционного масла в зависимости от
содержания влаги
1 — область молекулярно-растворимой воды; // — область эмульгированной воды; штри-
штриховая линия — граница растворимости воды
Состояние электродов также может меняться под влиянием
изолирующих жидкостей, и в особенности разрядов, и по этой
причине явиться источником взаимной зависимости опытов.
Ограничение вкладываемой в канал разряда энергии жела-
желательно также и по этой причине. Если в масле имеется не-
небольшое число частичек или пузырьков газа, они могут быть
устранены несколькими кондиционирующими разрядами или
просто приложением напряжения.
В опытах с нарастающим напряжением при постоянном
или переменном напряжении колебания скорости нарастания
напряжения в 3—5 раз не влияют на результаты эксперимента
[257]. Поэтому колебания скорости нарастания напряжения,
создаваемые регуляторами напряжения, не оказывают влия-
влияния на результаты.
Как и для сжатых газов, в опытах с нарастающим напря-
напряжением существенную роль играет технология выполнения экс-
эксперимента. Особенно сильной является зависимость электриче-
электрической прочности от содержания влаги (рис. 4.25), из-за чего
принимаются строгие меры по осушке масла и испытательной
камеры, а также по снижению увлажнения в процессе экспе-
эксперимента. Если работают с хорошо очищенным маслом, то за-
заметным оказывается пребывание испытательной камеры в от-
открытом состоянии в течение суток и менее. Для больших се-
серий экспериментов рекомендуются закрытые испытательные
камеры, перемешивание масла и возможная осушка. Для очи-
очистки электродов и камеры, процесса сушки (с возможной
239
вакуумировкой), заполнения и выбора скорости перемешивания
масла имеются указания, например, в работах [138, 256, 257].
4.4.2. Используемые функции распределения. Оценка функ-
функции распределения напряжения пробоя изолирующих проме-
промежутков в масле или другой жидкости выполняется не так про-
просто, как это было показано для газов (см. § 4.2 и 4.3), по-
поскольку последнее достигнутое состояние жидкости определяет
математическое ожидание и дисперсию напряжения пробоя.
Новые работы в области пробоя в масле также относительно
редки, так что здесь будут указаны применяемые функции
распределения. Данные о предварительном расчете математи-
математического ожидания напряжения пробоя имеются в работе [216];
подробнее о функциях распределения изложено в специальной
литературе —например, [35, 73, 138, 254, 256—260].
В многочисленных, в основном несколько устаревших, ра-
работах пробивные напряжения описываются нормальным рас-
распределением [35, 124, 138, 256, 258]. В настоящее время точно
установлено, что такая аппроксимация вполне удовлетвори-
удовлетворительна для изоляции в сильнонеоднородном поле и в проме-
промежутках с малой площадью поверхности электродов, испыты-
испытывающей действие сильного поля [259]. Для межэлектродных
промежутков с сильнонеоднородным, а также однородным по-
полем описание пробивного напряжения нормальным распреде-
распределением связывают обычно с выборками относительно малого
объема, поэтому такая аппроксимация пригодна лишь для
приближенного описания. Кроме того, неудачная процедура
Таблица 4.6
Межэлектродиый
промежуток
Плоскость—плоскость
(d = 0,5 ... 12 мм)
Стержень—стержень
(d = 50 мм; г = 10 мм)
Игла—плоскость
(d = 20 . . . 100 мм)
Плоскость—плоскость
с барьером (d = 12 мм)
Плоскость—плоскость
с покрытием, а также
с барьером (d = 6 . . .
12 мм)
Форма напряжения
Переменное
Импульсы атмосферных
перенапряжений
Импульсы коммутаци-
коммутационных переиапряже-
иий
Импульсы атмосферных
перенапряжений
Переменное напряжение
Коэф-
Коэффициент
вариации о
<0,10
0,05
0,08
0,08
0,10 . . . 0,18
Источник
[258]
[256]
[138, 39,
124]
[258]
240
Рис. 4.26. Распределение Вейбулла
напряжения пробоя промежутка
плоскость — плоскость в трансформа-
трансформаторном масле при различной дли-
длительности приложенного переменного
напряжения [73]
/—длительность воздействия 10 ч; 2 —
1 ч; 3—10 мин; 4—1 мин; 5—10 с
эксперимента и (или) совме-
совмещение весьма большого числа
серий измерений может приве-
привести к заключению о нормаль-
нормальном типе распределения [256]
и установлению его парамет-
параметров. Нормальное распределе-
распределение следует использовать
только для приближенного
описания и для промежутков
с сильнонеоднородным полем.
Некоторые значения коэффи-
коэффициентов вариации при пробое
0,99
0,95
0,90
0,50
0,10
0,05
0,01
р*
—
—
—
и
2„
3-
\
W//I
/// / j
ш
ш
1
40 50 60 70 90100 150 KB
± . 1 ж-
промежутков в минеральном масле приведены в табл. 4.6.
В американской литературе экстремальные распределения,
описывающие проблемы масляной изоляции, использовались
уже в пятидесятых годах [68—75]; этот случай описан в каче-
качестве типичного в классической книге по статистике [39]. Новые
публикации возвращаются к этим работам и используют как
двойное экспоненциальное распределение [260], так и распре-
распределение Вейбулла [54, 73]. Весьма большая дисперсия пробив-
пробивных напряжений в изолирующем масле приводит к тому, что
уже двухпараметрическое распределение Вейбулла очень хо-
хорошо подходит для аппроксимации [73]; в практике измерений
трехпараметрическое распределение Вейбулла (см. п. 4.3.2) не
является безусловно необходимым. Интересно, что длитель-
длительность нагрузки не влияет на показатель экспоненты Вейбулла,
т. е. на крутизну функции распределения (рис. 4.26). Эта тен-
тенденция подтверждается и для электродов с покрытиями [260].
Распределение Вейбулла успешно используется как для описа-
описания масляных изолирующих промежутков, так и для бумажно-
масляной изоляции [260—262], и дает возможность единого
описания этого типа изоляции. Поскольку часто масляная изо-
изоляция может изучаться лишь на малых моделях, большую
роль играет правильность их соотнесения с крупными техниче-
техническими изделиями (например, изоляция трансформатора) с по-
помощью закона преобразования масштаба (см. гл. 5). Экстре-
Экстремальные распределения и в этом случае раскрывают благо-
благоприятные перспективы. По этим причинам распределение
241
Вейбулла (или двойное экспоненциальное распределение) ре-
рекомендуется для описания пробивных напряжений в масляной
изоляции в слабонеоднородных и однородных электрических
полях.
4.5. Твердея изоляция
Электрическая прочность твердых изолирующих мате-
материалов может достигать значений 1000 кВ/см и выше, однако
она настолько сильно зависит от состояния изоляции, что
в технике редко может быть использовано значение свыше
100 кВ/см. Кроме того, изолирующие свойства органической
и неорганической изоляции заметно меняются в зависимости
от длительности нагружения напряжением: в то время как
для неорганических изолирующих материалов (например, фар-
фарфор, стекло) имеет место относительно слабая зависимость от
времени нагружения, эта зависимость настолько велика для
создаваемых органических изолирующих материалов (напри-
(например, эпоксидной смолы, полиэтилена и др.), что ее называют
«кривой жизни» [216]. По этой причине время до пробоя, как
а) 0,99
0,95
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
o,w
0,30
0,20
0,10
0,05
бт
0,03
0,02
р*
А
/,
/
j
а
- /
j
г
А
V
5) 0,99
0,95
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,05
ю~2 ю'' ю° ю1 Ю2 105
0,024
•
•
•
«
• /
/
/
./
/
/
F
ft
ш
/
£
/
/
Юг 10'' 10° 101 Ю2 103
Рнс. 4.27. Аппроксимация функции распределения времени до пробоя в от-
отрезке кабеля с полиэтиленовой изоляцией [263]: а — аппроксимация двухпа-
раметрнческим распределением Вейбулла (вероятностная сетка распределе-
распределения Вейбулла); б — аппроксимация логарифмически нормальным распределе-
распределением (вероятностная сетка логарифмически нормального распределения);
напряжение пробоя при переменном напряжении «П1-) = 49 кВ; радиусы коак-
коаксиальных цилиндров 1,5 и 3,5 мм, длина 1 м
242
и напряжения пробоя, являются важнейшими случайными ве-
величинами при оценках свойств изоляции. В дальнейшем изло-
изложение ограничено исследованием высокополимерных изоли-
изолирующих материалов ввиду их благоприятных свойств, имею-
имеющих преобладающее значение в настоящее время и в будущем.
Целесообразно также включить в рассмотрение и другие ор-
органические изолирующие материалы (например, бумагу),
а также исследовать развитие разряда вдоль органических по-
поверхностей, при котором на поверхности твердого тела имеют
место термические и плазмохимические реакции.
В опытах с неизменным напряжением (см. п. 2.2.3 и § 4.1)
определяют функцию распределения времени до пробоя
(рис. 4.27), которая, как правило, аппроксимируется двухпа-
раметрическим распределением Вейбулла или нормальным
логарифмическим распределением (см. п. 1.3.2). Опыт послед-
последних лет явно указывает на то, что с точки зрения математики
распределение Вейбулла предпочтительнее нормального лога-
логарифмического распределения, когда должен быть выполнен
пересчет на основании соотношений времени до пробоя (см.
п. 4.5.2) или закона преобразования масштаба (см. гл. 5).
Кроме того, модель на основе экстремального распределения
является более предпочтительной и из физических соображе-
соображений, когда электрический пробой распространяется в твердом
теле с какого-либо (экстремального) острия.
Функцию суммарной частости и функцию поведения напря-
напряжения пробоя также удобно описывать распределением Вей-
Вейбулла (рис. 4.28), хотя существует и принципиальная возмож-
возможность аппроксимации логарифмическим нормальным распреде-
распределением.
Если внешние условия эксперимента заметно меняются (см.
п. 4.5.1), может получиться, что измеренные пробивные напря-
напряжения распределены нормально. Свойства случайного процесса
проявляются в этом случае в меньшей степени, нежели свой-
свойства внешних условий.
Как и для жидкой изоляции, в дальнейшем могут быть сде-
сделаны лишь указания по технике эксперимента и решению ос-
основных проблем статистики. Указания по предварительной
оценке функции распределения напряжения пробоя и времени
до пробоя носят недостаточно общий характер, чтобы их можно
было привести в имеющемся объеме материала. Как правило,
действуют на основании предварительных экспериментов (на-
(например, при исследовании времени до пробоя — на основании
предварительных кратковременных испытаний).
4.5.1. Проблемы техники исследований. Каждый электри-
электрический разряд приводит к необратимым нарушениям структуры
твердого тела, т. е. твердые изолирующие материалы не яв-
являются самовосстанавливающимися. Поэтому для каждого
243
a) 0,99
0,95
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,05
0,04
0,03
0,02
p*
/1
•
•
/
f
•
70 80 90 100 110 120 кВ
Ь) 0,99
0,98
0,95
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
OfiO
0,30
0,20
0,10
0,05
0,02
p*
У
z
\
t
/
У
4
/У
/
/
/
••
/
70 80 90 100 110 120 кВ
Рнс. 4.28. Аппроксимация функции поведения напряжения пробоя отрезка
кабеля с полиэтиленовой изоляцией [263]: а — аппроксимация двухпараметрн-
ческнм распределением Вейбулла (вероятностная сетка распределения Вей-
булла); б — аппроксимация логарифмически нормальным распределением
(вероятностная сетка логарифмически нормального распределения); скорость
нарастания переменного напряжения аи=1 кВ/10~2 ч; радиусы коаксиальных
цилиндров 1,5 и 3,5 мм, длина 1 м
отдельного опыта требуется свой образец. Результаты последу-
последующих экспериментов показывают, что даже если пробой и не
имел места, длительное воздействие, например, процессов по-
поляризации и протекания тока проводимости в образце нару-
нарушает его структуру. Чтобы устранить этот эффект, необходимо
устанавливать новый образец для каждого нового испытания,
причем под испытанием можно понимать либо полностью оп-
определенный импульс напряжения (рис. 2.3), либо нарастание
напряжения (рис. 2.22). Поскольку твердые образцы относи-
относительно дороги, как правило, приходится использовать неболь-
небольшое число образцов; по этой причине в первую очередь дол-
должен быть определен объем выборки (см. пп. 2.2.1 и 2.3.1). Со-
Состояние образца определяется технологией изготовления [173,
263—270 и др.], поэтому следует следить за тем, чтобы образцы
изготавливались по возможности таким же способом, каким
в дальнейшем будут изготавливаться изоляторы, и были сход-
сходными с ними конструктивно. Например, в качестве образцов
для изучения параметров кабеля с полиэтиленовой изоляцией
могут служить отрезки аналогичного кабеля меньшего размера.
Если исследователей интересуют лишь данные о свойствах
твердого материала, можно работать с рассматривавшимися
244
0,99
0,95
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,W
0,30
0,20
0,10
0,05,
F
1-&
1
j
J
\
5 2
j
/ /
f
Jr
I
j
T
f
r
1
1
1
¥—
50
60
7/7 * ft? kB/hm
Рис. 4.29. Влияние частиц меди на
эмпирическую суммарную частость
пробоя в отрезке кабеля с поли-
полиэтиленовой изоляцией [271] (радиусы
коаксиальных цилиндров 1,2 и
2,5 мм; длина изолирующего про-
промежутка 1,3 мм; длина модели
300 мм; скорость нарастания напря-
напряжения оц=0,5 кВ/с)
1 — размер частиц меди 140 мкм; 2 —
70 мкм; 3 — 40 мкм; 4 — частицы отсут-
отсутствуют
0,99
0,90
0,80
0,60
0,h0
0,20
0,10
0,05
11 12 13 К 15 16 17 18 19 20 кв
Рис. 4.30. Функция распределения на-
напряжения образования проводящего
канала в промежутке острие—пло-
острие—плоскость в полиэтиленовой изоляции;
длина промежутка 3 мм; опыты с на-
нарастающим напряжением; вероят-
вероятностная сетка распределения Вей-
булла [269]
/ — изоляция сразу после изготовления;
2 — изоляция спустя 1 год после изго-
/
/
i
V
Ч
г/
/.
/
/
у
/
7
/.
у
i
J
д
у
/
I
промежутками типа стержень — плоскость («испытание иг-
иглой»), шар — плоскость или плоскость — плоскость.
На взаимную независимость экспериментов в первую оче-
очередь оказывают влияние параметры самих образцов. Между
различными партиями может быть существенная разница в хи-
химическом составе, плотности, количестве примесей (см. ниже)
и геометрии, а также в расстоянии между электродами. Тес-
Тесная взаимосвязь существует между изолирующей способностью
и механическими напряжениями в твердом теле, причиной ко-
которых может явиться процесс обжига, а также различие в ко-
коэффициентах теплового расширения электродов и твердой изо-
изоляции, в особенности при заливке [266, 268]. Существует
настоятельная необходимость в тщательном планировании экс-
эксперимента, причем важные указания для этого дают резуль-
результаты работ [266 и 268].
Изолирующая способность может быть в заметной степени
понижена из-за загрязнений, в особенности металлическими
частицами [263, 271, 272] (рис. 4.29). Чем больше имеется при-
245
Рис. 4.31. Зависимость длины
проводящего канала от дли-
длительности приложенного напря-
напряжения в промежутке острне —
плоскость в эпоксидной смоле
[270] (/' — время, прошедшее
после изготовления образца)
месных частиц, тем ниже
63%-ное напряжение про-
пробоя (штриховая линия);
напротив, малые квантили
меняются лишь незначи-
незначительно (рис. 4.29), по-
поскольку и технически «чи-
«чистые» изолирующие мате-
материалы обладают загряз-
загрязнениями.
При хранении после
изготовления происходят
дальнейшие химические
10 15 20 25 мин процессы и изменения
структуры образцов. На-
Например, установлено, что при длительном хранении образца
после изготовления напряжение начала образования проводя-
проводящего канала в полиэтилене снижается (рис. 4.30). Наоборот,
скорость прорастания канала при частичных разрядах умень-
уменьшается при увеличении длительности хранения после изготов-
изготовления (рис. 4.31). Оба процесса могут оказывать противополож-
противоположное влияние на напряжение пробоя, что показывает, насколько
MM
L,5
2,0
1,5
1,0
0,5
I
■
/
/
/ у
/
I
J
/
y
/
rtH
■
8
\
/
/
31
115
ym
/
/
L / -
\
63
/
/
*■'
t
KB
20
10
В
и
t
5
-^
ч. 2
л
*
\
\
10~3 1О'г
10°
10г 103
Рис. 4.32. Влияние вида пропитки изоляции из полиэтиленовой пленки на
время до пробоя (длительность жизни) [273] в промежутке острие — пло-
плоскость; толщина пленки 50 мкм (четыре слоя)
1 — кремнийорганическая жидкость; 2 — элегаз; 3— воздух
246
Рис. 4.33. Функция распределения
времени до пробоя для проме-
промежутка стержень — плоскость в по-
полиэтиленовой изоляции при раз-
различных видах окружающей среды
[274]
1 — кремнийорганическая жидкость; 2 —
трансформаторное масло, кратковре-
кратковременное погружение; 3 — трансформа-
трансформаторное масло (погружение до завер-
завершения диффузии)
0,99
0,95
0,84
0,50
0,16
0,05
0,01
p* </
$Jff°
A
/
A
//
10"
ю' юг
10
мин
существенную роль может играть длительность выдержки между
изготовлением образцов и выполнением эксперимента.
В значительной степени на результаты экспериментов вли-
влияют окружающие условия ~и в особенности окружающая среда,
способная диффундировать внутрь образца или вступать в плаз-
мохимические реакции с ним [273—275]. Полученная в работе
[273] в «испытаниях иглой» кривая времени до пробоя поли-
полиэтиленовой изоляции (рис. 4.32) из-за образования щавелевой
кислоты имеет излом вниз при длительности до пробоя при-
примерно 50 ч (кривая <?), а при погружении в кремнийорганиче-
скую жидкость благодаря диффузии уже примерно через 10 мин
возникает излом вверх [273]. Поскольку все мыслимые про-
процессы равным образом зависят от времени, длительность хра-
хранения в той или иной окружающей среде оказывает влияние
кВ
110
100
90
BO
70
60
50
Чч
1"
,\Г=20°С
н<го°с^
J
у
rS
10'
10°
10'
102
101
Рис. 4.34. Построение кривой времени до пробоя (длительности жизни)
в опытах с нарастающим напряжением при одновременном изменении тем-
температуры [267] для эпоксидной смолы; промежуток шар (радиус 5 мм) —
плоскость, длина промежутка 1 мм
/ — скорость нарастания напряжения 1 кВ/10""а ч- 2—1 кВ/10~' ч- 3—\ кВ/2 ч- 4 —
I кВ/48 ч
247
Рис. 4.35. Определение функции рас-
распределения времени до пробоя (а),
времени до пробоя (кривой жизни)
(б) и функции поведения напряже-
напряжения пробоя (в) [216]
на функцию распределения
пробивного напряжения и дли-
длительности до пробоя (рис.
4.33). Если, кроме того, состоя-
состояние образцов меняется в про-
процессе измерений, из-за этих
изменений могут возникнуть
процессы, описываемые сме-
смешанным распределением.
Окружающая среда поэтому
должна быть выбрана такой
же, как и в последующей экс-
эксплуатации, а процессы диффу-
диффузии до начала эксперимента
необходимо подавить. В про-
противном случае следует иссле-
исследовать влияние окружающей
среды на эксперимент.
При увеличении темпера-
температуры окружающей среды €■
изолирующие качества твер-
твердых материалов понижаются
(рис. 4.34); превышение темпе-
температурой определенной граничной температуры приводит к теп-
тепловому пробою [216].
Выбор процедуры испытаний определяется целью исследо-
исследования. Надежные обоснованные данные относительно функции
распределения времени до пробоя дают опыты с неизменным
напряжением; определение длительности жизни, однако, тре-
требует очень большого времени. Опыты с нарастающим напряже-
напряжением (рис. 4.34) выполняются при меньших затратах, однако
обобщение данных эксперимента является весьма проблема-
проблематичным. В последующих двух разделах (см. также § 4.1 и
рис. 4.1) рассматриваются вопросы, связанные с процедурой
и оценкой результатов испытаний.
4.5.2. Функции распределения пробивного напряжения и
времени до пробоя. Рассмотрим вначале опыт с неизменным
напряжением, выполняемый на п образцах при уровне напря-
напряжения кпР1. Известным способом получают эмпирическую
функцию распределения времени до пробоя (рис. 4.35, а), ко-
которая, как и хотелось бы, хорошо описывается распределением
Вейбулла [62, 263, 267, 273, 276—279] (см. рис. 4.27, а),
248
) J
F (tnp\ Wnp i) = 1 —
По выбранным квантилям этого распределения можно по-
построить диаграмму напряжение пробоя — длительность до про-
пробоя, или кривую длительности жизни, которая в двойном ло-
логарифмическом масштабе изображается эмпирической прямой
Линией (рис. 4.35, б и 4.36). Если известен доверительный ин-
интервал рассматриваемого квантиля, то его можно перенести и
на кривую времени до пробоя. Для квантиля времени до про-
пробоя порядка р эта кривая описывается как
и —Ь f
г1/г
■ г
•пр р1пр
D-11)
где knpp — константа, характеризующая геометрию промежутка,
а г — зависящий главным образом от изолирующего материала
показатель экспоненты времени до пробоя (например, для по-
полиэтиленовой пленки г~9, для эпоксидной смолы с наполии-
аH,95
0,90
10~2 1С'1
Рис. 4.36. К построению кривой времени до пробоя в опытах с неизменным
напряжением [263]: а —■ функция распределения времени до пробоя (веро-
(вероятностная сетка распределения Вейбулла); б —кривая времени до пробоя:
1— Ипп=40 кВ; 2 — 30 кВ; 3 — 20 кВ
249
телем г» 12). Излом на этой кривой свидетельствует об изме-
изменениях, связанных со старением (процессом пробоя) [173].
Принимая аналогично формуле D.10) распределение Вей-
булла также и для напряжения пробоя ипр при фиксированном
времени до пробоя tnp i
F(unp; *пр1)=1_ехрГ-( ^=2——У""|, D.12)
L \ «пр вз (<пр l) / J
при равных вероятностях пробоя F(tup\ unpi) =/r(unp; tnpi)
имеем
]V
"пр 63 (tnp l) [*„р !]««/«« = «пр х [*np 63 (Ипр l)]VV D. 133)
Предполагая, что показатель экспоненты г может быть ис-
использован для всех квантилей, с помощью закона длительно-
длительности жизни D.11) получим связь между парой величин (unpi =
= Мпр бз; ^пр 0
Ипр 63 (tnp i) [tup j}1" = knp „. D. 136)
Приравнивая коэффициенты в левых частях уравнений
D.13а) и D.136), получим соотношение между показателями
экспоненты времени до пробоя и напряжения (<6<; 6U) и пока-
показателем экспоненты длительности жизни г в форме [173, 216]
r = 8J8t. D.14)
Эта связь верна лишь в том случае, если случайные вели-
величины Тпр и £/Пр действительно обладают распределением Вей-
булла (рис. 4.28 и 4.35, в). Необходимо подчеркнуть, что фор-
формула D.14) и предложенная модель могут быть использованы
только в том случае, если коэффициент г одинаков для всех
квантилей. Например, в работе [267] доказано, что в эпоксид-
эпоксидной смоле г уменьшается с уменьшением порядка рассматри-
рассматриваемого квантиля. Можно действовать с большей уверенностью,
если функция поведения напряжения пробоя прямо определена
в эксперименте (см. рис. 4.1.4).
4.5.3. Взаимосвязь исследований при неизменном и нара-
нарастающем напряжении. В опытах с нарастающим напряжением
для данной скорости нарастания напряжения vu получают ти-
типичную функцию суммарной частости пробивного напряжения.
Она в любом случае может быть использована для определе-
определения кривой времени до пробоя (длительности жизни), изобра-
изображенной при данной vu диаграммой ЫцР—^щ> и помеченной в точ-
точках наиболее интересных квантилей отрезками прямых (или
их доверительными интервалами) (рис. 4.34). Прямые, удовлет-
удовлетворительно проходящие по заданным точкам, могут быть ин-
интерпретированы как кривые времени до пробоя при нарастаю-
нарастающем напряжении [267, 273, 276 и др.]. Стоимость этих опытов
значительно ниже, чем стоимость исследований неизменным
250
напряжением, хотя они и несколько сложнее. По этой причине
существует необходимость установить взаимосвязь результатов,
полученных в опытах с нарастающим и неизменным напряже-
напряжением.
Теоретическая база для пересчета создана при разработке
модели накопления повреждений Пиллинга [173] и других ав-
авторов [276, 281, 282], а также работы Старта и Эндикота [280].
Под накоплением повреждений понимают развитие необрати-
необратимых разрушений структуры твердого тела при большой отно-
относительной длительности нагружения изоляции
U = tJtap, D.15)
где tnp — время до пробоя, a taS^np — длительность нагруже-
нагружения изоляции. Для любого, не обязательно известного квантиля
из уравнения D.15) следует, что
и поэтому при известном постоянном показателе экспоненты г
пара значений ыПр, tnp может быть соотнесена с эквивалентной
в смысле равенства времени до пробоя парой щ*, tH* [173, 216]:
D.16)
Кратковременные интенсивные нагрузки могут привести
к таким же последствиям (к такой же длительности жизни),
как длительные и менее интенсивные. Это зависит, в первую
1,0
0,8
0,6
0,4-
0,2
1ж1+1жг
у
У
1
/
/
f
-г
8
12 16 20 2Ц- 28
Рис. 4.37. Связь между показателем экспоненты кривой времени до пробоя
г и долей интенсивного воздействия в суммарном воздействии на изоляцию
[216] (/ж 1 соответствует воздействию Нф_; ?hi = 219 000 ч=25 лет; /ж2 —воз-
—воздействию «фКЗ; ^н2=Ю0 ч)
251
0,98
0,90
0,70
0,50
0,30
0,10
/
/t
/
1-^4
4
10'
10'
10"
Рнс. 4.38. Функция распределения
времени до пробоя для изоляции нз
полиэтиленовой пленки толщиной
200 мкм (вероятностная сетка нор-
нормального распределения) [273]
/ — опыты с неизменным напряжением;
2 — опыты с нарастающим напряжением
(светлые точки)
Кв
20
10
tapSO
10~
10'
10° 101
Рис. 4.39. Зависимости времени до
пробоя от напряжения пробоя изо-
изоляции из полиэтиленовой пленки, по-
полученные из опытов с нарастающим
(/) и неизменным B) напряжением
[273] (промежуток острие — пло-
плоскость; длина промежутка 200 мкм;
окружающая среда — воздух)
| 1 — доверительный интервал .для
"пр 50 в опытзх с нарастающим напряже-
напряжением (J); X X— для <пГ1с„Б опытах
пр 50
B);
с неизменным напряжением . .. „ _
приведение зависимости 2 к зависимости /
очередь, от значения показателя г: если, например, твердая
изоляция нагружена 25 лет напряжением Ыф и 100 ч напряже-
напряжением У^Ыф (короткое замыкание), то длительность жизни
(время до пробоя) будет определяться показателем степени
г<8, соответствующим длительно приложенному напряжению
иф, и показателем г>20, соответствующим короткому замыка-
замыканию при напряжении ЫФУ^(РИС- 4-37)- ПРИ достижении отно-
относительной длительности нагружения единицы [см. формулу
D.15)] наступает пробой.
Если используется модель длительности жизни (время до
пробоя) из опытов с нарастающим напряжением («пр. нр, Л«>. нр),
то по аналогии с уравнением D.16) для различных опытов с не-
неизменным напряжением могут быть вычислены время до про-
пробоя и напряжение пробоя в эквивалентных опытах с неизмен-
неизменным напряжением («пр. нзм, tnp. нзм).
Считая, что напряжение возрастает от нуля до ипр. НЗм =
= «пр. ир, Для любого квантиля имеем
'пр. нзм — 'пр. нр
./(!+»■)
D.17)
и, положив tnp. нзм = ^пр. нр. получаем
Ыпр. изм = Unp. нр/У 1 + Т ■
D.18)
Если нарастание напряжения начинается со значения ыо>О,
то необходимо гарантировать, что в диапазоне 0<u<u0 при
одинаковой скорости нарастания напряжения выполняемым
временем длительности жизни /жо можно пренебречь. При со-
252
ответствующем значении /ж0> например, равном 0,01, и оценоч-
оценочной величине ы*пр.нр для ипР. „р начальное напряжение
«про = «пр. нр У 1ж о- D.19)
Для использования описанной схемы пересчета с помощью
уравнений D.17) и D.18), безусловно, необходимо знать точ-
точное значение г во всем рассматриваемом диапазоне кривой
длительности жизни и для всех квантилей функции распреде-
распределения. Если на кривой длительности жизни имеется излом, то
с уравнением D.17) работать нельзя.
Если все условия выполнены, то функция распределения про-
пробивного напряжения в опытах с неизменным напряжением мо-
может быть определена с большой точностью в расчетах времени
до пробоя, проведенных в опытах с нарастающим напряжением
в соответствии с формулой D.17) (рис. 4.38). Соответствие яв-
является особенно хорошим в диапазоне средних значений, как
это показано на рис. 4.39.
4.6. К статистике частичных разрядов
В условиях постоянного увеличения степени исполь-
использования для расчетов электрической прочности изолирующих
материалов измерения заряда частичных разрядов играют все
более возрастающую роль [25, 283—285]. С помощью совре-
современных систем измерения частичных разрядов (например, [286,
287]) можно измерять различные характеристики (заряд в им-
импульсе, максимальное значение импульсного заряда, а также
кажущийся заряд, суммарный заряд, среднее значение тока ча-
частичного разряда, энергию частичного разряда, частоту им-
импульсов и т. д.), которые без исключения следует рассматри-
рассматривать как случайные величины (как и «средние» величины).
В рамках данной книги могут быть сделаны лишь наиболее су-
существенные замечания относительно статистики частичных раз-
разрядов, касающиеся наиболее важной измеряемой величины —
заряда импульса (кажущегося заряда). При этом особенно
необходимо учитывать взаимодействие между случайным про-
процессом и измерительной цепью [287, 288].
В большинстве устройств для измерения частичного разряда
может быть установлен рабочий интервал времени (время
чувствительности), начинающийся в заданную фазу испыта-
испытательного напряжения и обладающий заданной длительностью
(рис. 4.40, а, б). Случайный процесс разряда возбуждает в из-
измерительной цепи [283, 286] протекание тока, состоящего, как
правило, из импульсов тока со случайным значением, длитель-
длительностью, зарядом и частотой следования (рис. 4.40, в). Им-
Импульсный заряд (область под времятоковой характеристикой
253
a)
Начало частичных1
I разрядов
I ^^г * ' V 9 а*ч^>> vv VI* »**»
--(- -^р частичных разря)
г)
Максимальный импульсный
заряд ч„МП
Рнс. 4.40. Измеряемые характеристики импульсных разрядов (схема)
импульса) определяется с помощью электронного измеритель-
измерительного устройства; система генерирует соответствующий импульс,
заряд и амплитуда которого пропорциональны импульсному
заряду частичного разряда (рис. 4.40, г). Форма этого им-
импульса меняется в зависимости от используемого принципа из-
измерений: чем в более узкой полосе работает система измере-
измерения заряда частичного разряда, тем длиннее этот импульс по
сравнению с исходным импульсом тока. Даже в широкополос-
широкополосных устройствах длительность генерируемого импульса больше,
чем исходного [286].
По измерениям отдельных импульсных зарядов может быть
определена функция распределения. Поскольку оценка полу-
получающихся осциллограмм весьма трудоемка и подвержена
ошибкам, используют импульсные анализаторы [288]. Они од-
одновременно оценивают импульсный заряд и частоту импуль-
импульсов как меру интервала времени между двумя импульсами за-
заряда. В качестве абсолютного распределения частот в известной
254
7,5
5,0
2,5
h
\
\
\
5) 0,98
0,95
0,90
0,50
50 100 150 пКл
0,10
0,05
0,02
/
V
\
—
1
1
1
j
/
к-
\
h
\
\
80 120 160 пКл
Рис. 4.41. Функция распределения импульсных зарядов [288] в воздушном
промежутке стержень — плоскость: а — результаты измерений с помощью
анализатора импульсов; б — функция распределения B) и частость превыше-
превышения заданного уровня (/) (вероятностная сетка нормального распределения)
степени принимают взаимосвязь между импульсным зарядом и
абсолютной частотой следования импульсов, причем в экспе-
эксперименте задаются заряды и может быть определена частота
возникающих импульсов заряда этого уровня. Несколько реже,
руководствуясь этой экспериментально определенной кривой,
изображают функцию распределения импульсного заряда
F (qi) (рис. 4.41, б, кривая 2) как дополнительную к ней час-
частость превышения заданного уровня (рис. 4.41, б, кривая 1)
Во многих случаях для функции F(qt) может быть принято
нормальное распределение, если прежде всего имеет место от-
отдельная точка образования частичного разряда. Естественно,
что особый интерес представляют интенсивные импульсные
разряды, когда функция Hc{qi) связана с малой вероятностью,
a F(qi) представлена большими квантилями. При этом исполь-
использование функции Яс(<7г) технически наглядно, a F(qi)—мате-
F(qi)—математически удобно. При известном навыке не остается сомнений
в том, что следует работать непосредственно с функцией рас-
распределения F(qi).
Максимальный импульсный разряд можно, с одной стороны,
как уже отмечалось, характеризовать как квантиль [288],
а с другой стороны, видно, что он же является величиной, из-
измеряемой в большинстве систем измерения частичных разря-
разрядов, и необходим в качестве полезной информации (см.
рис. 4.40, г, [286]). Информация от измерительного устройства
представляется при этом значением, усредненным по большому
255
Рис. 4.42. Образование наложений импульсных зарядов (/)
и группы импульсов тока (//), а также экстремального заряда
(///) (схема)
числу интервалов чувствительности, хотя и испытывающим
колебания, однако обычно в разумных пределах (рис. В.1).
Это, с одной стороны, наглядно характеризует случайность
процесса разряда, а с другой — может иметь причиной работу
собственно измерительной системы. Если интервал времени
между двумя исходными импульсами тока частичных разрядов
весьма мал, то в измерительной системе импульсы заряда на-
накладываются и воспринимаются как чрезвычайно большой ка-
кажущийся заряд (рис. 4.42, б — /). При интенсивных и развет-
разветвленных разрядах, и в особенности при наличии параллельно
действующих источников разрядов [288], множество импульсов
тока часто накладывается друг на друга, превращаясь в сум-
суммарный импульс, оценка которого в измерительном устройстве
может оказаться столь же проблематичной (рис. 4.42, а — //,
///). По этой причине при измерениях частичных разрядов при-
принято делать передаточную функцию и принцип оценки измере-
измерений измерительного устройства по возможности проще, а ре-
результаты измерений представлять в наиболее удобной форме.
При обсуждении результатов измерений частичных разря-
разрядов необходимо принимать во внимание частоту следования
импульсов, время интегрирования (при изображении частичных
разрядов как тока в зависимости от времени), передаточную
функцию и в особенности влияние помех. Если существует уве-
уверенность, что измерительная система не искажает результатов и
отсутствует наложение измеряемых величин, то к результатам из-
измерений частичных разрядов могут быть применены методы ста-
статистики— например, закон преобразования масштабов. При
256
этом выгодно оценивать не одну какую-либо измеряемую ве-
личину, например подверженное искажениям в измерительной
цепи значение максимального заряда, ио полиостью использо-
использовать возможности измерительной системы и учитывать воз-
возможно большее число известных величин. Чем более точно пре-
преобразуется сигнал частичных разрядов в электронном усили-
усилителе и чем сильнее могут быть подавлены помехи, тем лучше
система измерения частичных разрядов. Поскольку система
подавления помех постоянно совершенствуется, в будущем ши-
широкополосные системы измерения частичных разрядов навер-
наверняка будут давать больше информации о состоянии изоляции,
нежели имеющиеся узкополосные устройства, значительно ис-
искажающие исходные импульсы при усилении.
Глава пятая
ЗАКОН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАСШТАБА
5.1. Постановка задачи
До сих пор считалось, что в рассматриваемом изоли-
изолирующем промежутке случайным образом развивается до про-
пробоя лишь один отдельный разряд и что этот случайный про-
процесс полностью описывается функцией распределения подхо-
подходящим образом выбранной случайной величины—£/пр, £щ>, 7*пр
и т. д.
В том случае, если изоляция обладает большими размерами
и если источник напряжения имеет достаточную мощность [289],
имеется возможность для параллельного развития во времени
и в пространстве нескольких процессов, приводящих к пробою.
Там, где разряд по случайным причинам будет завершен быст-
быстрее, произойдет пробой промежутка. Примером пространст-
пространственно протяженной изоляций, состоящей из -дискретных изо-
изолирующих промежутков, является множество параллельных
изоляторов распределительных устройств и проводов, высоко-
высоковольтная изоляция параллельных обмоток трансформаторов,
катушек, дросселей и вращающихся машин или изоляция от-
отдельных конденсаторов в высоковольтных испытательных ус-
установках и компенсаторах. В качестве примера.пространственно
протяженной изоляции с непрерывной структурой можно ука-
указать изоляцию кабелей, элегазовую изоляцию распределитель-
распределительных устройств и газонаполненных кабелей, а также обладаю-
обладающие развитой поверхностью экраны высоковольтных испыта-
испытательных установок. В этих случаях возникает та проблема, что
25?
в лабораториях или на испытательных стендах определяется
функция поведения лишь одного отдельного изолятора или
какой-либо части протяженной изоляции, в то время как при
практическом использовании интерес представляет функция по-
поведения полномасштабной изоляции. Поэтому необходимо
использовать лабораторные измерения на моделях для выбора
размеров технической изоляции, а также учитывать действие
увеличения объема изоляции (например, при увеличении не
длины, а диаметра кабеля). Аналогичным образом возникает
проблема увеличения продолжительности нагружения изоля-
изоляции напряжением при эксплуатации в сетях по сравнению
с длительностью лабораторных испытаний. И, наоборот, пред-
представляет интерес влияние уменьшения пространственных
размеров или снижения длительности нагрузки на изоля-
изоляцию.
С точки зрения статистики все эти случаи учитывает закон
преобразования масштаба, представляющий собой практиче-
практическое использование закона умножения вероятностей независи-
независимых событий A.12) Р(А(]В)=Р(А)Р(В). (Термин «Закон
преобразования масштаба» введен Видманом [35]; это же по-
понятие называют также «законом роста» [69] или «законом по-
поверхности и объема» [68, 75].) При этом, разумеется, исходят
из взаимной независимости событий при параллельном про-
пространственно-временном развитии разрядов или увеличении
длительности нагрузки на изоляцию. Это допущение оправды-
оправдывается во многих практических случаях, хотя малое расстояние
между развивающимися разрядами [40] приводит к взаимному
влиянию (взаимной зависимости), запрещающему использо-
использовать закон преобразования масштаба. При увеличении длитель-
длительности нагрузки допущение о полной взаимной независимости
последовательно развивающихся процессов является особенно
проблематичным: последовательное разрушение твердой изоля-
изоляции (время до пробоя [44]) является процессом, прямо приво-
приводящим к статистической взаимной зависимости. Решение про-
проблем длительности жизни изоляции в отдельности от закона
преобразования масштаба приводит к успеху лишь в особых
случаях.
При исследовании влияния изменения масштаба прежде
всего необходимо решить проблему взаимной независимости,
причем соответствующие тесты физических исследований (см.
п. 1.5.3) могут быть лишь дополнены. Обсуждающиеся ниже
взаимосвязи могут быть использованы в полном объеме только
в том случае, если взаимная независимость гарантирована. На-
Наконец, для наглядности представления статистических основ
закон преобразования масштаба использует наиболее важные
теоретические функции распределения. Ниже следуют описания
параллельных дискретных изоляторов, увеличения непрерывной
258
изоляции за счет связанной с разрядами поверхности (эффект
площади) или объема (эффект объема), а также влияния уве-
увеличения длительности нагрузки (эффект времени).
5.2. Статистические основы
Для статистического описания увеличения или умень-
уменьшения протяженности испытаний в пространстве (объем V)
или во времени (время Т) вводят четырехмерный множитель п,
который при переходе к новому состоянию (Vn, Tn) из исход-
исходного состояния (Vi, Ti) имеет вид
^ °о). E.1)
В дальнейшем будем основываться прежде всего на этом
масштабном множителе га, причем естественно оказываются ох-
охваченными все частные случаи трех-, двух- и одномерных мас-
масштабных множителей, как при изменении объема (n=VnfVi;
Tn — Ti), изменении площади (n=An/Ai = Vn/Vl; Tn = T\), изме-
изменении времени (п=Тп/Т\; Vn = V\) или при параллельном вклю-
включении отдельных изоляторов (п — число параллельных изоля-
изоляторов).
При увеличении изоляции с вероятностью пробоя pi = Fi(xQ)
с масштабным множителем п под действием нагрузки х0 (на-
(например, Хо = ио) новая вероятность пробоя pn = Fn(Xo) опреде-
определяется непосредственно законом умножения вероятностей
A.12), в котором рассматривается дополнительное событие от-
отсутствия пробоя. Отсутствие пробоя в увеличенном промежутке
A—рп) означает отсутствие пробоя во всех исходных проме-
промежутках A—Pi),, t=l, 2,..., п:
A-ря) = A-р,IA-р1), • • • A-Pi)». E-2)
что при A— Pi) 1 = A—PiJ= ... = A—Pi)n дает
р„=1-A-р1)». E.3)
Если рассматривать не только дискретные значения вероят-
вероятностей, но всю функцию распределения Fi(x) или Fn(x), то
получим
Fn(x)='l-[l-F1(x)V. E.4)
До этого момента при изменении масштаба всем п элемен-
элементам приписывались идентично распределенные случайные ха-
характеристики. На практике, однако, это не всегда так. Напри-
Например, вероятности пробоя различны (Рп при t=l,..., га), если
при увеличении объема имеет место изменение распределения
напряженности электрического поля хотя бы вследствие
259
Рис. 5.1. Преобразование размеров коаксиального кабеля: а — увеличение
длины; 6 — увеличение радиуса
изменения радиусов коаксиальных систем. Уравнение E.2) при-
приобретает вид
A—р„) = A —Pi)(l—/»«) - - - A —Л) (« = 1 я). E-5)
откуда для разделенных изоляторов общая форма закона пре-
преобразования масштабов примет вид
или
M*)=i—П
1=1
E.6)
E.7)
Использование формул E.3), E.4), E.6) и E.7) не пред-
представляет затруднений при разделенных изоляторах (см. § 5.4),
если известны F\(x) или Fn{x). При протяженной изоляции
использование этих соотношений требует более или менее про-
произвольной дискретизации. Например, для коаксиального ка-
кабеля увеличенной длины это достигается разделением его на п
одинаковых частей (рис. 5.1, а) с одинаковой вероятностью
260
пробоя, что представляет, однако, существенные затруднения,
если при изменении масштаба произошло изменение распре-
распределения напряженности поля. Если коаксиальный промежуток
постоянной длины увеличивается в радиальных размерах, не-
необходимо сделать выбор цилиндрических объемов различных
размеров (рис. 5.1, б), обладающих, естественно, различной
вероятностью пробоя. В таких случаях выгоднее отказаться от
произвольной дискретизации и использовать интегрирование
по объему. В качестве элементарного объема можно принять
произвольный элемент объема V\ в однородном поле при про-
произвольно выбранной длительности нагрузки 7\ (исходные зна-
значения V\T\). Любое неоднородное поле из-за присущей ему не-
неоднородности распределения напряженности непригодно в ка-
качестве элемента для преобразования или сопоставления.
Пример 5.1. Пусть измеряется напряженность пробоя на коаксиальной
модели полиэтиленового кабеля с отличающимися от оригинала внутренним
радиусом, длиной и толщиной изолирующего слоя. В соответствии с опи-
описанной ниже методикой эмпирическая функция распределения различных
моделей кабеля может быть приведена к функции распределения единич-
единичного элемента в однородном поле с объемом, например, Vi = \ см3. Вычис-
Вычисляемые параметры функции распределения для Vi сравниваются между со-
собой. Исходя из определенной таким способом функции распределения для
Vi можно вычислить функцию поведения произвольной изоляции, если
верна используемая статистическая модель.
Единичному элементу (V\Ti) соответствует функция распре-
распределения используемой случайной величины X с параметрами а
и р, неизвестная первоначально и определяемая затем спосо-
способом, указанным в примере 5.1 (см. § 5.6):
F1(x) = F1(x; a; 0).
Произвольному бесконечно малому элементу величиной
dvdt в рассматриваемом неоднородном поле соответствует слу-
случайная величина Хе, имеющая важную физически осмысленную
связь со случайной величиной X, характеризующей единичный
элемент. Это в особенности подходит к случайным значениям
пробивной напряженности электрического поля Х=Еартах и
электрической прочности Х=Епр [25]. В целом связь между Хе
и X должна осуществляться с помощью специальной функции
геометрии и (или) времени в форме f(v; t):
Xe = Xf(v; t) = Xe(Unp; v; t). E.8)
В дальнейшем показано, что случайная велична Хе распре-
распределена идентично характеристике единичного элемента X, т. е.
что для дифференциального элемента пригодна функция F(xe;
a; P) с хе, удовлетворяющим условию E.8). Полный промежу-
промежуток состоит из бесконечно большого числа дифференциальных
элементов, каждый из которых необходимо учесть.
261
Прежде чем переходить к интегрированию, следует преобра-
преобразовать формулу E.7) для дискретного элемента
_£ FM(*)J, E.9)
(
При переходе к бесконечно малому элементу dvdt имеет
место Fu(x)-+F(xe; a; Р), а переходящее в интегрирование
суммирование в уравнении E.9) дает обобщенный закон пре-
преобразования масштабов
Т V
In[ 1 ~Fn(х)] = -L- ff In[l—F(xe; a; P)]d«ff; E.10)
Fn (x) = 1 -exp [-pL- J J In [1 —F (xe; a; P)] daft] . E.11)
Это, по необходимости, несколько абстрактное изображение
закона преобразования масштаба для изоляции с протяженной
структурой будет пояснено при изучении влияния поверхности
(§ 5.5), объема (§ 5.6) и времени (§ 5.7).
5.3. Применение теоретических
функций распределения
Выраженные уравнениями E.4) и E.7) общие законо-
закономерности должны использоваться лишь по отношению к вы-
выбранным теоретическим функциям распределения. Прежде
всего интересным является основное различие, возникающее
при применении закона преобразования масштаба к различ-
различным типам распределений: если приводящий к пробою процесс
описывается не случайным, а детерминированным, так назы-
называемым одноступенчатым, распределением, то нет и никакого
влияния изменения масштаба (рис. 5.2, а). Детерминирован-
Детерминированная величина пригодна для любых размеров рассматриваемого
промежутка.
Для функции распределения Fi(x), ограниченной снизу
(нижняя граница х0 — например, логарифмически-нормальное
распределение, илн распределение Вейбулла), при масштабе
преобразования я-»-оо функция распределения превращается
в одноступенчатое распределение, т. е. соответствует х0
(рис. 5.2, б). Начальная величина имеет первостепенное значе-
значение, так как отмечает точку, ниже которой в изоляции произ-
произвольной величины пробоя быть не может. Если по какой-либо
выборке Хо оценено неверно — слишком высоко, то могут воз-
возникнуть существенные технические последствия.
Не ограниченная снизу функция распределения Fi (x) (на-
(например, нормальное распределение, двойное экспоненциальное
распределение) превращается при я-»-оо в функцию Fn(x)-+l
(рис. 5.2, в). Поскольку в технике масштабные коэффициенты
262
Рис. 5.2. Действие закона преобра-
преобразования масштаба на распределе-
распределения различных типов (схема):
о — причинное (вырожденное)
распределение; б — функция рас-
распределения с нижней границей;
в — функция распределения
с верхней границей
Штриховые кривые — F(x)
пуиктирные кривые — F(x)
ши
штрих-
;сплош-
ные кривые — F(x) ,"Fo(*)
п> 104 возникают редко,
этот предельный случай не
представляет интереса. Ра-
Разумеется, при использова-
использовании закона преобразования
масштаба с большими мас-
масштабными коэффициентами
по отношению к неограни-
неограниченным распределениям су-
существует опасность, что бу-
будут получены излишне пес-
пессимистические или даже
лишенные физического
смысла распределения (на-
(например, с «отрицательным»
математическим ожида-
ожиданием).
Экстремальные распре-
распределения (см. п. 1.3.2) обладают математическими выраже-
выражениями, инвариантными по отношению к закону преобразования
масштабов. Если при экстремальном распределении при иден-
идентичных элементах используется закон преобразования, то тип
распределения остается неизменным, а меняются лишь пара-
параметры распределения. Если закон преобразования применен
при другом типе распределения, то при изменении масштаба
меняется и тип распределения.
Двойное экспоненциальное распределение.
Поскольку двойное экспоненциальное распределение [см.
уравнение B.94)]
F! (х) = 1 ^-ехр [ —ехр ((х—хх „)/у)]
переходит в идентичную форму при применении закона преоб-
преобразования масштаба, то получается
Д*)=1 —ехрГ—
— V In n
)]■
E.12)
263
0,95
0,90
0,70
0,50
0,30
0,10
0,05
0,05
0,001
■p
n-ttl
I
\
1
x.
/ /
/ /
-/ л
i 11/
/ / /
I U
Ill i 1 ц
Mil
In
/ h / / / /
//////
Uin±_
10*11 I 1 l\ 1
ПНИ htio
Ш
i-expy)
It—.-... "
У у
-20 -15
-10
-5
Рис. 5.3. Преобразование масштаба при двойном экспоненциальном распре-
распределении (вероятностная сетка двойного экспоненциального распределения)
где jci бз и у — параметры исходного распределения, а п—мас-
п—масштабный коэффициент. При изменении масштаба меняется
лишь математическое ожидание распределения
E.13)
в то время как мера разброса Yi='Yn = Y остается неизменной.
На вероятностной сетке функции распределения, получающиеся
из стандартизованного двойного экспоненциального распреде-
распределения (Xi63='O; y=1. табл. 1.17), проходят параллельно исход-
исходной функции Fi(x) (рис. 5.3). Изменение приведенного значе-
значения математического ожидания при изменении масштаба E.13)
наглядно представлено на рис. 5.4.
Если параллельно включены п элементов, случайные харак-
характеристики которых обладают двойным экспоненциальным рас-
распределением с различными параметрами (*нбз; уи), то исполь-
264
100
1000
10000
Рис. 5.4. Параметр хп вз двойного экспоненциального распределения в зави-
зависимости от коэффициента преобразования масштаба п
зование обобщенной формы закона преобразования масштаба
E.7) дает
E.14)
Данная функция распределения преобразованного проме-
промежутка непригодна для дальнейших преобразований, поскольку
тип двойного экспоненциального распределения утерян.
Распределение Веибулла.
Если с помощью закона преобразования масштаба E.4)
распределение Веибулла Fi(x) = l—ехр{[(х—xo)/i\\]6} [см. урав-
уравнение A.84)} преобразовано к идентичной форме, то получим
E.15)
где Tii, хо и б— параметры исходного распределения. При п-
кратном изменении масштаба меняется только 63%-ный кван-
квантиль
Цп = {*>пт— *о)вЗ =
= (Х1т—Х0)вз П
E.16)
а начальное значение х0 и показатель экспоненты б остаются
неизменными. На вероятностной сетке функции распределения,
получаемые из приведенного распределения Веибулла (t)i=1,
хо = О, табл. 1.10), проходят параллельно начальному распре-
265
0,0014,
10е
10~6 10'5 10'* 10~3 10* 10'' 1
10
Phc. 5.5. Преобразование масштаба при распределении Вейбулла (вероятно-
(вероятностная сетка распределения Вейбулла)
делению Fi(x) (рис. 5.5). Изменение математического ожида-
ожидания при преобразовании масштаба E.16) представлено на
рис. 5.6.
При параллельном включении п элементов со случайными
характеристиками, обладающими распределением Вейбулла, но
с различными параметрами ч)ц, xOi и б;, с помощью обобщен-
обобщенного закона преобразования масштаба получаем аналогично
уравнению E.14)
E.17)
В этом случае, как и при двойном экспоненциальном рас-
распределении, тип распределения теряется.
266
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
О
ш
Us
\
V
\
V
\
■■» •*
ч
ч
- ——
s
Ч
<
—
" -
—«.
ч
ч
—.
ч
Ч
= т
-■-^
1—<.
•—
—i —
■~-»
■— .
■— ..
1
"■—.
— —
20
10
6
— —
Шяшт • -
1
— -«
--.
- п.
10
100
1000
10000
Рис. 5.6. Параметр цп= (Хпт—*о)бз распределения Вейбулла в зависимости
от коэффициента преобразования масштаба
Нормальное распределение.
Если закон преобразования масштаба E.4) использован по
отношению к нормальному распределению A.71), решение за-
задачи не может быть представлено в явном виде; требуется чис-
численное решение. Соответствующие данные [40] при изображе-
изображении на вероятностной сетке поясняют (рис. 5.7), что при
0,90
0,80
0,50
0,10
0J05
0,01
0,005
0,001
0,0005
0,0001
р
/
/1
///i
t
/
///
fffi
'/ft
V//
УХ/
//I//
п**096~иШ 1
.204
■10U
9 111
; л//
f~-~/jt/1
512^J/I/ /
256-
128-
ш
/ft
///
///
T/J
///
№/.
%
'//
'//
'/s
//J
r/J
'//
G/
Uj
V/
7/
7/
7/
//,
/A
/
(
1
и
£/-
//,
<<
r
//
1
1
(I
' /
//
//
//
//■
r~~-
'
v
/ J
V
v~
//
7 /
/г
/
/
f /
/
' /
/
7^32
~~-1B
~~~8
- L
•1
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
СЦг)~Н[0;1)
/
/
,-ЕЬ
, б1
-в
-5
-3
-2
-1
0
Рис. 5.7. Преобразование масштаба при нормальном распределении (вероят-
(вероятностная сетка нормального распределения) [40]
267
Рис. 5.8. Снижение отдельных квантилей нормального распределения
(Д/) в зависимости от коэффициента преобразования масштаба п [40]
нормальном типе исходного распределения преобразованный
промежуток нельзя более описать нормальным распределением.
Можно показать, что при увеличении масштабного коэффици-
коэффициента п тип распределения Fn{x) переходит в двойное экспо-
экспоненциальное (см. п. 1.3.2) [290]. Искривление зависимости на
вероятностной сетке наглядно демонстрирует это превращение
(рис. 5.7).
С помощью полученной в работе [40] номограммы (рис. 5.8)
можно, основываясь на стандартизованном нормальном рас-
распределении, определить квантили хар при масштабном коэф-
коэффициенте я=104. Показанное на номограмме относительное
уменьшение квантилей ДХр/ai при исходном распределении
N(\n; (Ti2) с квантилями Х\р происходит в соответствии с выра-
выражением
г. E.18)
Если построенную по точкам с помощью E.18) функцию
распределения Fn(x)^N(n; а2) необходимо представить нор-
Таблица 5.1
Коэффициент
изменения
масштаба п
Множители:
а
Ь
1
0
1
10
1,54
0,59
10'
2,50
0,43
103
3,25
0,35
10'
3,85
0,30
268
a) 0,9
■0,8
0,7
0,6
0,5
ОЛ
0,3
0,2
0,1.
5H,99
0,98
0,95
0,90
0,80
0JO
0,60
0,50
0,30
0,20
р
^/
2-
/л
^//>
////
Л
>ш
Ж/,
/
У I
W
\ /
\/
•5
4з
z %
■з -г
0,10
-3
-1 о
p
/
/
/
/
/
/
/
/
f
/
/
i
/
Ы/
/f~6
//
/
/
/
/
f
/
/
/
/
/
4/
V
/
/
/
/
У
/
/
-2
-1
0
1
Рис. 5.9. Результирующая функция распределения при параллельном включе-
включении двух элементов с нормальным распределением случайных величии [40]:
а —Цп = Ц12=Ц1з=и; Онфацфоа; б — \ФФ
l-Fn\}Fn; 2-Fn\]Fu; 3 — Fn(z) = N@; 1); 4 - F
fi-Fls(z)=JV(-2; 1); 7 -
0; 4);
B; 1)
5 -
0,25);
мальным распределением, это делают с помощью множителей
а и Ь (табл. 5.1) [291] и параметров исходного распределения
Pn = lii—(Mi, E.19)
в„=Ьох. E.20)
Параллельное включение элементов, случайные характери-
характеристики которых хотя и обладают нормальным распределением,
но имеют различные параметры (цн; о2и), делает соотношения
весьма сложными, если проблема решается не на основании
точечных оценок (см. гл. 3), но в возможно более общем виде.
Рисунок 5.9, а показывает результирующую функцию рас-
распределения при параллельном включении двух изолирующих
269
промежутков в двух частных случаях, когда ц,ц = Ц12
и \1пФц12; (Tn=«Ti2. В обоих случаях результирующая функ-
функция распределения заметно отличается от исходных распреде-
распределений, обладая в рассматриваемых случаях большей вероят-
вероятностью пробоя [40].
Логарифмически-нормальное распределение.
Все описанные свойства нормального распределения могут
быть использованы для логарифмически-нормально распреде-
распределенной случайной величины V, если осуществлено преобразо-
преобразование X=\ogY. Обратное преобразование следует выполнять
с помощью номограммы рис. 5.8 и уравнения E.18) (см.
п. 1.3.2). При усеченном распределении (начальное значение
уо = 0) логарифмически-нормальное распределение по мере уве-
увеличения масштабного множителя п превращается в двухпара-
метрическое распределение Вейбулла (начальное значение
*о = 0).
Смешанное распределение.
Закон преобразования масштаба использовался в работе
[69] для получения смешанных распределений на основе рас-
распределения Вейбулла и в работе [40] на основе нормального
распределения. Рисунок 5.10 ясно показывает, что уже весьма
малая доля @,8%!) с малым математическим ожиданием до-
достаточна для исключительно сильного снижения функции
Fn(x) (ср. с рис. 5.7). Если разложить смешанное распределение
0,10
0,05
0,01
0,005
0,001
-в -7 -6 -5 -4-3-2-1
Рис. 5.10. Преобразование масштаба при суммировании двух нормальных
распределений (вероятностная сетка нормального распределения) {40]
270
0,9999
0,9995
0,998
0,995
0,99
0,95
0,9
0,8
il
0,3
0,2
0,1
0,Q5
0,01
0,005
0,001
0,0005
0,0001
Pa/
//
// 1
//
//
/A
-
■e-S
i i
/,
7
_-^
^^
,/
/
/
(
>
**■
и*"
«^
/
/
/
*
0*
0m
t h
/ . '
/
— , •
*•-
' ' /
/
/
У
! r
. .-=
у
--^
^-*
/
U0*>
00*
0*+
00*
0*
0*
/
/
t *
^.
^ * "
.
/
f
/
/
i ' J
/
r
1
^—*
/
у
^0"*
00—*
0-*~
/
/
у
■^*
^-
-»
0"
0*
*
/
/
/
/
у
t '
/
/
/
-*-
—
/
/
***
J
(
0*
0+
0»
0»
00
J
z
— 1-
f
j
-'n
0,0001
0,00005
0,00001
0,000005
0,000001
0,0000005
0,0000001
0,00000005
7 2 4 6 810 20 W 60 100 200 WO 1000 2000 WOO 10000
Рис. 511. Зависимость вероятности пробоя от числа одинаковых параллельно включенных элементов [40]
на составляющие (например, нормальные распределения),
то по отношению к каждой из них могут быть использованы
закономерности, найденные для функций распределения [40].
Так называемые мультипликативные распределения [69] по-
получаются непосредственно при использовании закона преобра-
преобразования масштаба [например, A.14) и A.17)]. Они поэтому не
являются фундаментальными исходными распределениями, но
сами составляются на их основе. Для них, как и для всех дру-
других функций распределения, функция распределения преобра-
преобразованного промежутка определяется либо полным расчетом по
формуле E.4), либо по точкам в соответствии с уравнением
E.3), а лучше — с помощью номограммы (рис. 5.11), приве-
приведенной в § 5.4.
5.4. Взаимно независимые параллельно включенные
разрядные промежутки
При параллельном включении взаимно независимых
разрядных промежутков масштабный коэффициент является
одномерным и равен известному числу промежутков п. В каче-
качестве объекта исследования может быть рассмотрена, с одной
стороны, любая изоляция, состоящая из отдельных элементов
(параллельно включенных изоляторов, изоляции параллельных
обмоток и т. д.), а с другой стороны — любая протяженная
изоляция, допускающая недвусмысленную дискретизацию (ка-
(кабели, коаксиальные сборные шины в оболочке и др. при уве-
увеличении длины), причем для последней в качестве единичного
элемента можно использовать любой удобный для эксперимен-
экспериментального изучения отрезок (например, в лабораториях выде-
выделяют отрезок кабеля длиной 2 м). Если, как при увеличении
площади и объема, подобная дискретизация возможна, то та-
такой путь является предпочтительным, что сильно упрощает
расчеты.
При параллельном включении одинаковых элементов ис-
используют уравнения E.3) и E.4). Для очень малых вероятно-
вероятностей пробоя (Pi<Cl/n) более детальные выкладки [40] приводят
к простому выражению для полномасштабной изоляции
рп = прг E.21)
или
Fп (х) = nF! (x) в диапазоне ^(jc)^ \ln. E.22)
Использование этого подхода [уравнения E.3) или E.21)]
изображено на рис. 5.11, с помощью которого при заданной
вероятности пробоя единичного элемента (pi) можно опреде-
определить вероятность пробоя при п^Ю4 параллельно включенных
элементах. Вероятность рп относится к полному промежутку и
272
0,01
0,005Л
198 201 ZQb 207 210 213 21В 219 222 кВ
Рис. 5.12. Эмпирическое исследование действия преобразования масштаба
при параллельно включенных искровых воздушных промежутках [40] ост-
острие— плоскость (длина промежутка 40 см; импульсы атмосферных перена-
перенапряжений 1,2/50)
определяется пробоем любого числа элементов, хотя можно
с уверенностью считать одновременный пробой двух или более
элементов чрезвычайно маловероятным [292].
Использование этих соотношений позволяет прежде всего
определить функцию распределения п параллельиых элементов
по данным об одном элементе. При этом для искровых проме-
промежутков типа острие — плоскость закон преобразования мас-
масштаба используется на основании нормального распределения
(рис. 5.12), а для параллельно включенных изоляторов в ва-
вакууме следует исходить из распределения Вейбулла [293].
Особенно важной проблемой при разработке кабелей и гер-
герметизированных сборных шин является разделение коаксиаль-
коаксиального цилиндрического промежутка на элементы длиной U, ко-
которые при наращивании длины включаются параллельно («=
= /п/Л). При моделировании кабеля с полиэтиленовой изоля-
273
и,зи
0,90
0,70
0,50
0,30
0,10
0,05
p 1
г
" A
71=25^
•
j
>
в
i
«и*
A—«2-
-^~
A
a
12,5
(-^««
I-
*^^ A
1
x it
-*
Pi
Рис. 5.13. Увеличение длины кабеля с полиэтиленовой изоляцией: преобра-
преобразование масштаба по отношению к случайной величине времени до пробоя,
распределенной по закону Вейбулла
Радиусы коаксиального кабеля 1,5 и 3,5 мм; длина кабеля
1000 мм
цией возможность использования закона преобразования мас-
масштаба была подтверждена на основе распределения Вейбулла
для напряжения пробоя и времени до пробоя (рис. 5.13), в то
время как в отношении электрической прочности элегазовой
изоляции коаксиальных цилиндров следует исходить из двой-
двойного экспоненциального распределения (рис. 5.14) [40, 69 и др.].
Далее, существует возможность обращения соотношений,
при котором функция распределения единичного элемента
Fi (x) выражается через функцию распределения п параллельно
включенных элементов Fn(x):
E.23>
E.24>
Если вероятность пробоя изоляции должна быть определена
вплоть до весьма малых значений, рекомендуется исследовать
п параллельно включенных изоляторов и затем перейти к рас-
расчету параметров изоляции с помощью уравнений E.23) или
E.24).
Пример 5.2. Необходимо определить функцию распределения проме-
промежутка стержень — плоскость (d=40 см) при атмосферных перенапряжениях
вплоть до значения pi = 0,0005. Для этого требуется не менее /=2000 ис--
274
Рис. 5.14. Преобразование масш-
масштаба при удлинении коаксиального
цилиндрического промежутка
в элегазе (радиусы коаксиальных
электродов 6 и 20 мм, длина 1\ —
= 10 мм)
0,99
0,90
0,70
0,50
0,30
пытаний. Затраты будут сущест-
существенно уменьшены, если иа основе
изображенной на рис. 5.12 эмпи- 0,10
рической вероятности пробоя
(/=100) для п, равных 32, 16, 8, 0,05
4 н 2, параллельно включенных
искровых промежутков выпол- qq2
ннть пересчет к одному проме- '
жутку с помощью формулы E.23) qjjj
(рис. 5.15). Естественно, сущест-
существует принципиальная возмож- 0,005
ность при расчетах соотнести па-
параметры нескольких параллельно
включенных элементов (например,
ге=32) с параметрами одного 0,001.
промежутка. При этом удобно '
использовать рис. 5.11. Для конт-
контроля точности следует получить границы доверительного интервала вероятно-
вероятности пробоя (см. п. 1.3.1) с помощью уравнения E.23), например, для п=32
искровых промежутков при /=100 и сравнить их с непосредствеиио опреде-
определенными при /=2000 границами.
р
/
о
/
/■
/
г О
о у
V
1
Г X
ыо
г
з-yi
У,
\ i
У
J-
\
V
У
f
Епр
150
160
ПО кВ/см
Сопоставление эмпирически определенных коэффициентов
вариации для одного и п параллельно включенных изоляторов
может быть также использовано для определения типа распре-
распределения [294]. При этом требуется предварительно определить
соотношения между коэффициентами вариации при параллель-
параллельном включении нескольких элементов — vn = sn/xn и для одного
элемента vi = Si/x{ для различных теоретических функций рас-
распределения (табл. 5.2 и графики рис. 5.16), а затем проверить,
какой теоретически определенный ход vn — f(n) описывает эм-
эмпирически найденные величины наилучшим образом.
Пример 5.3. При исследовании времени до пробоя параллельно вклю-
включенных искровых промежутков между остриями в зависимости от масштаб-
масштабного коэффициента были получены следующие коэффициенты вариации:
Масштабный коэффициент п
Коэффициент вариации vn
1
0,175
5
0,078
25
0,048
Сопоставляя эти значения с теоретически найденными зависимостями
(рис. 5.16 и табл. 5.2) замечаем, что эмпирическая кривая vn=fn лучше
всего описывается трехпараметрнческим распределением Вейбулла. В ис-
исследуемых искровых промежутках время до пробоя описывается распреде-
распределением Вейбулла.
275
0,995
0,99
0,98
0,95
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,¥)
0,30
0,20
0,10
0,05
0,02
0,01
0,005
0,002
0,001
0,0005
OfiOO2,
V
Л
—х$
Л
7
V
8 /
+ />
п'
А
д+
/°
и/
л/
/
/
/
198 201 20b 207 210 213 216 219 222 кВ
Рис. 5.15. Эмпирическое определение функции поведения искрового воздуш-
воздушного промежутка по п параллельным промежуткам (рис. 5.12)
С практической точки зрения существенное значение пред-
представляет параллельное включение различных типов изоляции —
например, различных изоляторов в выключателях или обла-
обладающих различной изоляцией обмоток трансформаторов [295],
причем задача может быть решена только на основе уравнений
E.6) и E.7). В частном случае параллельного включения двух
изоляторов с вероятностями пробоя рн и Pi2 результирующая
вероятность пробоя может быть определена по номограмме
рис. 5.17 (например, при рц = 0,05; pl2 = 0,15 получаем рг =
= 0,20).
276
Таблица 5.2
Вид распределения
Приведение (_£_Л к ( s
V * /1
Примечание
Двухпараметрическое
Вейбулла (х0 = 0)
Коэффициент вариации
ие зависит от преобразо-
преобразования масштаба
Трехпараметрическое
Вейбулла
)п \ X /1
Х
где *о. 5 — параметры
Для х0 = 0 распределение
будет двухпараметриче-
ским
Двойное экспоненци-
экспоненциальное
D,) =D-) х
V X )п \ X /1
X
s W6
Inn
Нормальное
\ X )п \ X .
х
X
= 1/2 Aft/ —
^ Г 0,84
, А2„=1/2Х
1—1 —
х
пг—
У 0,84
и Х
/ 0,16j|
и Хл^ — кван-
/0,84' Г 0,16
тили порядка -/0,84 и
у'ОДб нормального рас-
распределения N @; 1)
Рис. 5.16. Зависимость коэффициеита
вариации vn=(s/x)n от коэффици-
коэффициента преобразования масштаба п
при различных теоретических фуик-
циях распределения [294] (при 6=
= 1,7 сильнее всех меняется трехпа-
раметрическое распределение Вей-
Вейбулла)
1 — двойное экспоненциальное распреде-
распределение; 2 — двухпараметрическое Вей-
Вейбулла; 3 — нормальное; 4 — трехпарамет-
рическое Вейбулла
0,40
0,20
QQ2
у
aw
— —
^ -
5
■ 2
N3
V
■*•
•
Ч
п
в ею
го зо
277
0,9999
0,9995
0,999
0,995
0,99
0,98
0,95
0,90
0,80
0.70
ОАО
0,30
0,20
0,10
0,05
0,02
0,01
Щ°052
0,001
0,0005
0,0001
- ■
■ ;
i
&
Гч
1
и
\
"—
-r>
■> '■
'0
'\
■^
^-a
■^
4^
=---;
4
\
\
••m
V
\
=
=9
=5
■4,
•a,
■*-,
*N
4,
4,
4,
■«.
•Sm
ь,
-.
?
.
•Si
e=
__
4,
■-^
•*^
4
ч
4,
4
4
S \
M
W
и
\
\
4.
N
V
\
V
у
\
\
\
^
4
X
4,
s
s
\
A
4 V
Ma.
ч \
s
S
4
1
\
\
)
s
s
1
\
s
s
\
\
\
\
\
S,s
v
*o
Ч5
1 \
s \4
s4S
y\\
^ \
i \\' ii \
\W WW vi
и! Illil
1
t
III 1 Г
u
1 1
v=0,9999999l
'0,9999999
0,9999998
0,9999995
0,999999
0,999998
0,999995
0,99999
0,99998
0,99995
Рис. 5.17. Вероятность пробоя при параллельном включении двух различных
элементов [40]
5.5. Влияние на пробой изменения
площади поверхности изолятора
.Электрический заряд развивается при критической про-
пробивной напряженности неоднородного поля в определенном
объеме, который определяется, с одной стороны, поверхностью
электродов (т. е. частью поверхности с достаточно высокой на-
напряженностью), а с другой стороны — длиной силовой линии
Ах (рис. 5.18). Если длина Ах мала по сравнению с расстоя-
расстоянием между электродами d или если напряженность меняется
вдоль пути разряда слабо, то от рассмотрения «пространствен-
«пространственного пробоя» можно перейти к «поверхностному пробою».
В этом случае вместо математического исследования влияния
на пробой объема изолятора можно изучать влияние площади
поверхности.
Представления о влиянии на пробой площади поверхности
изолятора подтверждаются экспериментами в слабонеоднород-
слабонеоднородном поле, главным образом, для тонких слоев твердых и жид-
жидких диэлектриков. Они пригодны, например, для пленочных
изоляторов в конденсаторах, кабелях, вводах [65, 291, 296, 297],
а также и для масляных каналов в трансформаторах [35, 75,
298] (рис. 5.19), причем описание напряжения пробоя можно
278
Равномерно
'распределенные
дефекты
Рис. 5.18. К определению влия-
влияния иа электрическую проч-
прочность изменения площади и
объема1, а—влияние объема
(твердый диэлектрик); б —
влияние площади поверхности
при Ax<d и £»£пр (сжатый
газ); в — влияние площади по-
поверхности при £»const (тон-
(тонкий слой изоляции)
d — изолирующий промежуток; х —
критическая длина лавины
производить нормальным,
двойным экспоненциаль-
экспоненциальным распределением или
распределением Вейбул-
Вейбулла. Кроме того, модель
влияния на пробой изме-
изменения площади поверхно-
поверхности особенно хорошо за-
зарекомендовала себя по
отношению к сжатым изо-
изолирующим газам в слабо-
слабонеоднородном поле [70—
72, 76, 77, 299], где приво-
приводящая к пробою критиче-
критическая лавина развивается
на пути длиной, воз-
возможно, менее 1 мм.
В первую очередь по-
поэтому оказывается при-
пригодным использование двойного экспоненциального распределе-
распределения (рис. 5.20) и распределения Вейбулла.
При математическом описании влияния на пробой измене-
Объем
зарождения
разряда
60
tn
?0
•=;
0
a.
•'—,
mm
T
10
100
1000
Рис. 5.19. Эмпирическое исследование влияния изменения площади поверх-
поверхности в изоляционном масле (вероятностная сетка двойного экспоненциаль-
экспоненциального распределения) {75]
279
кв
см
160
^~пр
I
•
•
•
■—— —
—s
10
100
1000
CAT
Рис. 5.20. Влияние иа электрическую прочность изоляции изменения площади
поверхности в элегазе (вероятностная сетка двойного экспоненциального рас-
распределения) [25]
ния площади поверхности делают следующее допущение отно-
относительно механизма пробоя: к пробою приводит максимальная
напряженность на поверхности электрода. Если при увеличении
размеров электрода эта напряженность остается неизменной
(например, в коаксиальном кабеле, рис. 5.1, а), то рекоменду-
рекомендуется соответствующая дискретизация и решение проблемы, как
при параллельном включении нескольких элементов (см. § 5.4).
В противном случае, если напряженность на поверхности элек-
электродов меняется, следует использовать уравнение E.11)
в форме
1= 1— ехр
L А\
I ln[l-F(A
a;
]■
E.25)
Чтобы получить решение этого уравнения, следует изобра-
изобразить случайную величину Хе, характеризующую бесконечно
малый элемент поверхности dA, как произведение случайной
характеристики единичного элемента X и так называемой гео-
геометрической функции, т. е., как следует из уравнения E.8),
е = 4(у, г),
E.26)
где у и z — координаты на поверхности электрода. Чтобы удоб-
удобнее отобразить поверхность электрода, следует выбирать под-
подходящую систему координат. Поясним это на примере.
Пример 5.4. Электрическая прочность элегаза может быть описана двой-
двойным экспоненциальным распределением [25], причем для единичного эле-
элемента с площадью поверхности Ai=10 см2 в однородном поле при давлении
газа рго=О,25 МПа и при удовлетворительной шероховатости поверхности
значения параметров £Првз=182 кВ/см и у=6 кВ/см. Искомой величиной
является функция поведения электрической прочности коаксиального ци-
цилиндрического промежутка с полусферическим окончанием (рис. 5.21, а)
с размерами rt= 10 см; г2=20 см и Длиной /=10 000 см (например, газо-
газонаполненного кабеля). '-
280
Рис. 5.21. Допущения для определения влияния на пробой изменения пло-
площади поверхности в элегазовом промежутке (пример 5.4): а — промежуток;
б — напряженность на поверхности; в — кусочно-лииейная аппроксимация рас-
распределения напряженности вдоль поверхности внутреннего электрода
В качестве случайной характеристики выступает электрическая проч-
прочность, т.е. хв=Еит)(,г) или £ар(ф). Чтобы иметь возможность сравнивать
различные части рассматриваемого промежутка друг с другом, необходимо
знать напряженность Еа на поверхности внутреннего электрода (рис. 5.21, б).
Имеются следующие характерные области:
/ — коаксиальные цилиндры длиной I—U;
II — переходная область длиной I;
III — концентрические сферы.
Напряженность поля ЕтЛ1=Елз максимальна в промежутке между
сферами ///. Чтобы соотнести проблему с пространственно протяженным
процессом разряда с поверхностной задачей, при напряженности пробоя и
прн коэффициенте кривизны eh3= 1,050 [25] определим электрическую проч-
прочность в области /// и используем эту область в качестве единичного эле-
элемента [см. формулу E.26)]
£пр з = =- = ЕПр. E-27)
В цилиндрическом поле имеет место электрическая прочность (при
t/=const), удовлетворяющая формуле E.26):
£п_ 1 = ■
■ = 0,732£пр.
E.28)
281
Если отказаться от коррекции напряженности пробоя с помощью eh,
то эти числа меняются незначительно, так как ем = 1,035 близко к е*з. Кор-
Коррекция тем не менее необходима, если в данной системе радиусы кривизны
существенно различаются. Для переходной области // примем линейный
переход от £Пр i к £пр s (рис. 5.21, в), т. е. запишем формулу E.26) в форме
пр. E.29)
Чтобы выполнить интегрирование в соответствии с уравнением E.25),
для каждого участка следует выбрать подходящую систему координат. Для
областей I я II расчеты будут выполняться в цилиндрической системе коор-
координат с элементом поверхиости
dAi, 2 = 2nridz, E.30)
в то время как для области III удобны сферические координаты с элемен-
элементом
dA3 = 2пг! cos фг]4ф. E.31)
Введем на элементе поверхности dAj электрическую прочность, описы-
описываемую двойным экспоненциальным распределением (см. § 5.3):
F (£пр,) = 1 - ехр [_ ехр ^ £"Р / ~ £пР ,8 Jj E 32)
При £ар j, удовлетворяющей выражениям E.27) — E.29), уравнение
E.25) примет форму
РЯ (£ПР) = 1 - «рГ-j- IJ [- ехр @.732£np-Z-np,3)j x
L г
X 2nrldz + J [-
о
E.33)
E.34)
На основании этого решения можно сделать вывод, что при описании
областей / и /// выполняется закон преобразования, как при параллельном
включении одинаковых элементов с масштабными коэффициентами: «i =
282
— 2nri(t—h)/Ai и n3=2nri2/Ai. В области // ввиду того, что Enps=EnV(z)
[см. E*29)], «масштабный коэффициент» зависит от случайной величины:
пр
, _ ехр (_
E.35)
Вычисления по этой формуле показывают, что в диапазоне 140 кВ/см<
<£пр<180 кВ/см масштабный коэффициент я2 в области // лежит между
10,0 и 7,8 и явно меньше, чем л,=62 770 и л3=63. В то время как обычно
случайную характеристику, зависящую от масштабного коэффициента, не-
необходимо вычислять по формуле E.35), в данном случае следует вести вы-
вычисления приближенно с постоянным значением масштабного коэффициента
«2=8,8 (чисто геометрически получается Л2=63). При этом выражение
E.34) приобретает форму E.14) и, таким образом, при параллельном вклю-
включении элементов, электрическая прочность которых описывается двойным
экспоненциальным распределением с различными параметрами,
B?пр) = 1 - ехр
ехр
-158
—169
-ехр(
£"Р~157
Y1.
E.36)
Графическое изображение этих соотношений показывает (рис. 5.22), что
в диапазоне длительно допустимого напряжения функция распределения
0,99
0,90
0,70
0,50
0,30
0,20
0,10
0,05
0,01
0>005120 130 ПО 150 WO Т.ТО 180 кб/см
Рис. 5.22. Влияние поверхности в элегазовом промежутке (пример 5.4)
/ — полный промежуток (Л„=628 956 см2); 2 — цилиндрическое поле (Л1=627 700 см*);
3 — сферическое поле (AS=G28 см2); 4 — переходный участок (Л2=628 см2); 5 —исход-
—исходный элемент с однородным полей .До-10 см'
283
р
/,
/
/
J
1-
/
1
/
/
у/
i
*
у
/
1
■
/
/ /
\т-/^
/ /
/
/
/
/
/
/
f
7
/
7/
—~t
z
/
/
i
/
/
/
/
/
/
/
>
/
/
/
/
/
/
г/—
переходной области // не оказывает почти никакого влияния на FnCjjl- По-
Поэтому формулу E.36) можно упростить:
Fn (£пр) = 1 - ехР [- ехР (^_1^_) _ ехр (-^р^)] ■ E.37)
Поскольку двойное экспоненциальное распределение утеряно, обладаю-
обладающая большой поверхностью область / из-за большой дисперсии определяет
малые квантили, в то время как средние значения явно испытывают влияние
полусферической области ///. Полученный результат может быть использо-
использован для улучшения исходной системы, в особенности для области /(п/гг=е=
=2, 7,...) и для выбора формы участка III [25].
Пример явно показывает, что влияние на пробой площади
поверхности при напряженности, неравномерно распределенной
вдоль поверхности, будет описываться функцией распределе-
распределения, которая более не соответствует введенным теоретическим
функциям распределения, трудна в обращении и не наглядна.
Поскольку это влияние имеет большое значение для газоизо-
газоизолированных систем со слабонеоднородным полем, уравнение
E.25) следует использовать при расчетах с помощью ЭВМ.
Сходный в своей основе, но не вполне последовательный по
выполнению путь учета влияния на пробой площади исследо-
исследован в работах [70, 71]. Рассматривается распределение напря-
напряженности вдоль поверхности, и в отношении наиболее нагру-
нагруженной полем части поверхности используется закон преобра-
преобразования масштаба в обычной форме. При таком подходе
исключается возможность зависимости масштабного коэффи-
коэффициента от напряженности [см. уравнение E.35)].
Во многих случаях результаты такого подхода соответст-
соответствуют полученным выше, однако в некоторых частных случаях
(например, при описании электродов сложной формы в коакси-
коаксиальной системе [25]) при этом методе следует опасаться ошибки.
5.6. Влияние на пробой изменения
объема изоляции
Если развитие разряда, приводящее к пробою, не может
быть, как описано выше, изображено зависящим лишь от пло-
площади поверхности, а носит выраженный пространственный ха-
характер, необходимо рассматривать эффект преобразования мас-
масштаба по отношению к объему. В особенности тщательно это
явление изучалось для изоляции технически чистым маслом
в большом объеме (рис. 5.23) [35, 68, 73, 258, 259, 291, 294] и
прежде всего для твердой высокополимерной изоляции [64,
300], где частички могут быть распределены по всему объему
изоляции.
Если увеличение объема изолирующего промежутка проис-
происходит в плоскопараллельном поле в осевом направлении (на-
284
м
см
2000
1000
800
600
Ш
300
ZOO
100
<
3 V ""
о ^w
■ ч++
\ s
X
*
O'S
10* 1O'S 10'* 10
'*
~г
Iff2
10 е см3
Рис. 5.23. Эмпирическое исследование влияния изменения объема VM на
электрическую прочность изоляционного масла (вероятностная сетка рас-
распределения Вейбулла) [73]
Светлые точки — коммутационные импульсы; крестики — грозовые импульсы
пример, как показано на рис. 5.1, а при удлинении отрезка
кабеля), это не окажет влияния на распределение напряжен-
напряженности и можно разделить полный промежуток на технически
удобные участки. Необходимо лишь добиться того, чтобы раз-
развитие разряда на этих участках не оказывало взаимного влия-
влияния. При подобном увеличении масштаба можно работать лишь
с дискретными элементами (см. § 5.4), используя известные со-
соотношения между теоретическими функциями распределения
(см. §5.3).
Существенную сложность представляет увеличение объема
изоляции, при котором происходит изменение распределения
напряженности. Обобщенный закон преобразования масштаба
F.11) принимает вид
Fn {х) = 1 ^ ехр |-1- f In [I -F (xe; a; ft)] dv\. E.38)
Случайная характеристика Хе малого элемента объема dV—
=dudydz будет произведением случайной характеристики X
единичного элемента V\ и геометрической функции; для их реа-
реализаций имеет место
xt = xf{u\ у; z). E.39)
285
Для определения геометрической функции следует выбрать
подходящую систему координат.
Пример 5.5. Электрическую прочность полиэтиленовой изоляции для
единичного элемента V±= 10 см3 в однородном поле следует описывать двух-
параметрическим распределением Вейбулла
f(£np)=l-exPr-(-^JL_Y] Ш--!
L \ £пр вз / J
E.40)
с параметрами £ар вз и б. Необходимо найти функцию поведения электри-
электрической прочности кабеля с произвольными внутренним и внешним радиу-
радиусами (г2; Г\) и длиной /. В качестве предварительных допущений примем,
что все распределенные по объему кабеля частицы могут вызвать пробой
под действием одного и того же зависящего от напряженности поля меха-
механизма и что пробой одного элемента означает непосредственно пробой всего
промежутка. В промежутках с большой степенью неоднородности поля
(t)>0,7) эти допущения столь же оправданы, как и при малой степени не-
неоднородности (т]<0,4). В отдельных случаях их справедливость следует
контролировать.
В качестве случайной характеристики будет служить электрическая
прочность, которая в данном случае должна быть идентична максимальной
напряженности поля пробоя. Поскольку нагрузка меняется не в осевом, но
в радиальном направлении, в соответствии с присущим цилиндрическим си-
системам распределением напряженности для зависимости оцениваемой слу-
случайной характеристики электрической прочности в элементе объема dV из
E.39) следует
£пр е = Ещп1г. E.41)
Влияние на пробой увеличения объема изоляции уменьшается так же,
как и влияние изменения радиуса. Соответственно получаем следующую за-
зависимость элемента объема от радиуса (цилиндрический слой толщиной dr,
см. рис. 5.1, б)
dV = ЧлЫг. E.42)
В соответствии со сделанным допущением пробой одного элемента dV
приводит к пробою кабеля. С помощью формул E.40)—E.42) уравнение
E.38) приобретает вид
Fп (£пр) = 1 — ехр
и окончательно F=5^2)
(£Пр)=1-ехр —
прйз
B-6)
Для масштабного коэффициента в данном случае справедливо выраже-
выражение
я =
^B-6)
E.45)
Как и при увеличении длины кабеля (см. рис. 5.13), при описании на-
напряженности для коаксиальной цилиндрической изоляции сохраняется двух-
286
Рис. 5.24, а. Влияние на пробой
изменения объема изоляции
при радиальном увеличении ко-
коаксиального цилиндрического
промежутка длиной 1 м (при-
(пример 5.5) при R/r= 1,5
Рис. 5.24, б. Влияние на про-
пробой изменения объема изоля-
изоляции при радиальном увеличе-
увеличении коаксиального цилиндри-
цилиндрического промежутка длиной
1 м (пример 5.5) при R/r=3
Электрическая прочность единич-
единичного элемента объемом 10 см3
в однородном поле обладает рас-
распределением Вейбулла
1,0
0,8
0,6
0,2
О'
1,0
0,8
0,6
ОЛ
0,2
О
\
ч<^
\
S
0
1
=^—в
■ .
■
г
0,5 1,0 1,5 см
JW4V
Слр63п/.
\\\
\
%S3
^В=10
—~-.
—■—.
1———
•
г
0,5
1,0 1,5
см
параметрическое распределение Вейбулла и меняется лишь 63%-ный кван-
квантиль и и из уравнения E.45) в соответствии с E.16). Таким образом,
VlB-6)
F
F
= Е
пр вз
Необходимо отметить, что столь простой учет влияния на пробой уве-
увеличения объема изоляции возможен только при сделанных допущениях
(цилиндрическое поле, распределение Вейбулла). В поле иной конфигурации
и при использовании другого типа распределения, как, например, при учете
влияния на пробой изоляции площади поверхности, тип распределения те-
теряется E.34). В общем случае также и при учете влияния на пробой из-
изменения объема следует исходя из уравнений E.38) и E.39) использовать
численные методы решения.
Если параметры распределения Вейбулла (£пр вз, 6) известны для еди-
единичного элемента объема Vi, то: при сделанных допущениях относительно
механизма пробоя, описываемого распределением Вейбулла, параметры
(£пр вз п, 6) могут быть вычислены в нужном диапазоне для любого ци-
цилиндрического кабеля (рис. 5.24).
287
Кроме того, уравнение E.46) может быть использовано также н для
сопоставления различных коаксиальных цилиндрических промежутков, ко-
которым можно приписать одинаковый показатель экспоненты б [64, 300]. Если
рассматриваются два промежутка с параметрами гл, гп, h и ггг, Пг, h,
то дли отношения 63 %-иых квантилей (идентичных максимальной напря-
напряженности поля пробоя), имеет место
1/а
£пр ез 1 _ { h
J
г12
/а
— 1
{—V-
\ Гц )
E.47)
Если оптимизируется не максимальная напряженность, а напряжение
пробоя, то из соотношения между напряжением пробоя и электрической
прочностью в коаксиальном цилиндрическом поле (£ар вз=£пр max бз) сле-
следует
i -^- , E.48)
'пр —
а из формулы E.47) для отношения пробивных напряжений
U
1п-
през!
Гц
U
Пр 63 2
B/б)-1
Г12
— 1
1/е
E.49)
Рисунок 5.25 показывает применение уравнения E.49) в частном слу-
случае при 6=5, I\ = l2=l, Г21=Г22=г2 как функции соотношения внутренних ра-
радиусов гц/гп. В этих условиях изменению rn/rl2 естественно соответствует
изменение длины изолирующего промежутка
d = г2 — ги = г2 — г12
Гц
П2
E.50)
По распределению максимумов на рис. 5.25 следует сделать вывод, что
при заданном г4г существует некоторое оптимальное значение гц/ru, т. е.
оптимальная длина промежутка, которая зависит не только от изменения
напряженности поля [см. формулу E.48)], но и весьма существенно от ста-
статистического влияния объема
на пробивное напряжение
(подробнее см. в работе [300]).
При математических
выкладках следует учи-
учитывать, что влияние на
пробой изменения объема
Рис. 5.25. Оптимизация напря-
напряжения пробоя в коаксиальном
кабеле при учете влияния из-
изменения объема при 6=5
Распределение Вейбулла; U=lf
=/, Л|=Л2=Л, г-1 мм, "през 2 из"
вестно
20 30 40 50
изоляции вычисляется по отношению к какой-либо избранной
физически целесообразной случайной характеристике (в дан-
данном случае— Euv=Enpmax). При известной связи с другими слу-
случайными характеристиками, например с напряжением пробоя
E.48), результат может быть на любом этапе соотнесен с желае-
желаемой случайной величиной. Разумеется, при этом необходимо
принимать во внимание, что время до пробоя должно быть по-
постоянным или пренебрежимо малым, в противном случае необ-
необходимо рассматривать влияние увеличения времени нагруже-
ния (см. § 5.7). Особую роль такое влияние времени играет
в отношении высокополимерной твердой изоляции. Оптимиза-
Оптимизация, например, геометрии кабеля с полиэтиленовой изоляцией
только с учетом влияния изменения объема E.49) и экспери-
экспериментальные результаты, полученные в опытах с нарастающим
напряжением, требуют поэтому определенной осторожности и
должны завершаться пересчетом к опытам с неизменным на-
напряжением (см. п. 4.5.3).
Учет влияния изменения объема изоляции в продольном не-
неоднородном поле требует информации о поверхностях с равной
напряженностью электрического поля. Она может быть полу-
получена, как правило, лишь при расчете напряженности поля, что
приводит к необходимости численного учета влияния измене-
изменения объема. В литературе имеются примеры, относящиеся
к промежуткам шар — плоскость [258], цилиндр — плоскость
[258, 259], закругленная кромка — плоскость [259] и стержень —
плоскость [64].
5.7. Влияние на пробой времени
нагружения изоляции
Как и увеличение геометрических размеров, увеличение
длительности нагрузки приводит к снижению изолирующих
свойств из-за статистической природы наблюдаемых явлений.
Не следует, однако, ожидать, что это влияние времени проявит
себя статистически так же, как влияние объема. Это связано
с тем, что параллельно развивающиеся процессы в большин-
большинстве случаев взаимно независимы и поэтому должны учиты-
учитываться законом преобразования масштабов как взаимно
независимые во времени процессы. Взаимная зависимость про-
процессов в последовательных интервалах времени часто объясня-
объясняется моделью накопления дефектов при пробое твердого тела.
В каком-либо из рассматриваемых интервалов времени это при-
приводит к необратимому разрушению изоляции каналом частич-
частичных разрядов, и в следующий момент через образовавшийся
сквозной канал происходит разряд. Таким образом, по-
повреждения накапливаются вплоть до пробоя [44, 45, 280
и др.].
289
кВ
80
70
60
50
30
Unp63
1 Vv.
—1
1—
1О'г 10
-1
1
10
1Ог
Рис. 5.26. Зависимость времени до пробоя от напряжения пробоя отрезка
кабеля с полиэтиленовой изоляцией [272] (радиусы внутреннего и наружного
проводников 1,5 и 3,5 мм, длина отрезка кабеля 1 м)
Эмпирически зависимость напряжения пробоя или электри-
электрической прочности высокополимерной изоляции от времени опи-
описывается так называемым законом длительности жизни (см.
п. 4.5.5)
E-51)
и
прл
Unn
-прп
— ( <рр" \
V /пр 1 /
-U г
где г — так называемая экспонента жизни, характеризующая
механизм старения. (В литературе обычно для г используется
обозначение п, однако в данном случае его можно спутать
с масштабным коэффициентом п.)
Если в качестве масштабного коэффициента рассматривать
/ti = n, то уравнение E.51) описывает зависимость вре-
времени, приводящего к пробою твердого диэлектрика, не разде-
разделяя его на время накопления дефектов и статистическое запаз-
запаздывание (рис. 5.26). При статистической обработке различие
между теорией и экспериментом позволяет сделать интересные
выводы относительно причин влияния изменения времени на-
гружения изоляции.
Как и для жидкой и газообразной изоляции, интересные
результаты относительно этих свойств получены в работе [35].
Интересные данные, полученные в [35] относительно влия-
влияния времени на изолирующие свойства жидких и газообразных
диэлектриков, показали также, что закон преобразования мас-
масштаба справедлив и для исследования изолирующего масла
при повторных нагружениях импульсным напряжением, даже
если длительность паузы между импульсами весьма велика.
Для длительных нагружений изолирующего масла эксперимен-
экспериментально подтверждена [73] пригодность для описания влияния
290
1,15
1,10
1,05
1,00
)
L_
ь
f «
X
Xх
i
50Гц I
I
I
I
I
i
II
*
1
|
•
• •
•
-*—
s 10'6
10~s 10
10'
1 Юг 10* 10s 108 с
Рис. 5.27. Эмпирическое исследование влияния воздействия на электрическую
прочность элегаза времени воздействия (р20=0,4 МПа)
Светлые точки — импульсные атмосферные перенапряжения 1,2/50 мкс; крестики — им-
импульсные коммутационные перенапряжения 250/2500 мкс; темные точки — напряжение
промышленной частоты
на пробой увеличения времени воздействия распределения
Вейбулла и возможность использования закона времени дли-
длительности жизни [см. формулу E.51)]. Длительные испытания
показали некоторое влияние увеличения времени на электриче-
электрическую прочность элегаза [25, 301], однако значительно более
слабое, чем следовало ожидать в соответствии с законом пре-
преобразования масштабов (рис. 5.27). Это заставляет предполо-
предположить, что данная зависимость связана с движением микроско-
микроскопических пылинок в изолирующем газе.
В то время как при длительных нагружениях большинства
изолирующих материалов чисто статистический эффект наблю-
наблюдается слабо, поскольку имеет место взаимная зависимость
процессов в последующих интервалах времени, при импульс-
импульсных воздействиях в нано- и микросекундном диапазоне про-
процесс разряда определяется случайными факторами, особенно
образованием начального электрона. По этой причине уже на
начальных этапах для описания времени до пробоя при им-
импульсном пробое использовался статистический подход [301,
302] (рис. 5.28), и до настоящего времени ведутся работы в об-
области статистического моделирования процессов, в особенности
в отношении элегазовой изоляции [16, 25, 303, 304, 305] (см.
п. 4.3.2).
Несмотря на ограниченность применения статистического
подхода к изучению влияния времени, следует обсудить его ма-
математическую формулировку. Для этого обобщенному закону
преобразования масштаба следует придать форму
291
0,998
0,99
0,95
0,90
0,50
0,10
0,05
0,01.
-P-
I
I
j
1
j
4-
T
j
1
1 I
I
L*
{
tf
r
1
1
2 /
/
i
/
/
0
—c
4
J
1
1
/c
г
\
1
о
/
i
-•-
У
/
/
f
•
i
7
/
f
t
•
■ ..
np
' 0,12 0,16 0,20 0,24 0,28 0,32 0,36 0,40 me
Рис. 5.28. Эмпирические функции распределения времени до пробоя коак-
коаксиального цилиндрического промежутка в элегазе (вероятностная сетка двой-
двойного экспоненциального распределения)
Радиусы коаксиальных цилиндров 7,5 и 20 мм; р»=0,1 МПа; / — скорость нарастания
импульсного напряжения 960 кВ/мкс; 2 — 650 кВ/мкс; 3 — 470 кВ/мкс; 4 — 360 кВ/мкс
Fn (х) = 1-ехр U- I In [1-F (*„; «; P)l dt\, E.52)
где случайная характеристика Хе малого интервала времени dt
является произведением случайной характеристики X единич-
единичного интервала времени h и некоторой функции времени:
Xe=Xf(t).
E.53)
Если случайная характеристика не является функцией вре-
времени (f(t)=const), то уравнение E.52) приобретает вид обоб-
обобщенного закона преобразования масштабов в отношении ди-
дискретных элементов с масштабным коэффициентом n = tn/t\ [см.
формулу E.4) и § 5.4]. В этом случае теоретическая функция
распределения должна быть преобразована (см. § 2.3). Напри-
Например, для твердой изоляции весьма важным является двухпара-
метрическое распределение Вейбулла
Епр бз п. = Епр бз 1 (—^- I • E.54)
292
Если закон длительности жизни следует этому соотноше-
соотношению, т. е. б = г, то зависимость от времени можно установить
отдельно от статистического влияния времени. Упомянутое
выше накопление дефектов отсутствует.
Если случайная характеристика зависит от времени, следует
при расчетах исходить из выражений E.52) и E.53).
Пример 5.6. Для единичного интервала времени tt электрическая проч-
прочность высокополимерной твердой изоляции описывается двухпараметриче-
ским распределением Вейбулла [см. формулу E.40)]. Будем считать, что
в процессе нагружения электрическая прочность из-за необратимых раз-
разрушений меняется в соответствии с законом длительности жизнн н изме-
изменением показателя экспоненты т. Из уравнения E.5) в соответствии
с E.53) за время dt для ее случайной характеристики следует
2пр вз е ~ I i \-Vm
Подставляя выражение E.55) в E.52), получаем
Fп (£пр) = 1 — ехр |
<5S6>
с окончательным решением
В данном случае масштабный коэффициент определяется выражением
т ( tn Ч(т+в)/т E 58)
т + 8 \ h
а для 63 %-ного квантиля имеет место
т
:пр 63 п '■
Уравнения E.57) — E.59) отражают одновременное действие расходо-
расходования ресурса длительности жизни и статистическое влияние времени, при-
причем естественно, что выбранная форма расходования ресурса длительности
жизни E.55) за время at является произвольной, поскольку она соответ-
соответствует макроскопическому опыту.
На рис. 5.29 одновременно приведены чисто статистическое влияние
времени E.54), эмпирический закон длительности жизни E.55) и суперпо-
суперпозиция статистического н функционального влияния времени E.59). При
б = оо (кривые /—5) уравнение E.59) задает зависимость от времени, соот-
соответствующую только расходованию ресурса длительности жизни E.55^, в то
время как для т=оо, 6 = 5 (кривая 6) имеет место чисто статистическое
влияние времени. Кривые 7—И показывают, что параллельное действие рас-
расходования ресурса длительности жнзни и статистического разброса дают
293
2,0
1,0
0,8
0,6
0,2
0,1
0,08
0,06
0,0k
0,02
7>
=4
/\
в /
9
10
2
/\ \
/\
3
s S
s\
\\
\
0~1
1O'Z 10~1 1 10
102 103
10°
Phc. 5.29. Наложение эффектов старения и статистического влияния времени
воздействия (пример 5.6)
/—5 — действие старения изоляции; б — граница наложения старения н статистического
влияния длительности воздействия; 7—11 — наложение старения и статистического влия-
влияния длительности воздействия; 6= <» (/—5), 6—5 F—11), т=соA, 6), т = 50 B, 7),
т=20 C, в), т-Ю D, 9), т-7 E, 10), т=5 (//)
особенно сильную зависимость от времени. То, что кривые не проходят через
точку A; 1), формально следует из уравнения E.58) и означает физически,
что единичное время t\ составлено из дифференциалов dt (см. выше).
Поскольку для указанного здесь метода расчета необходимо
выяснить, вызвана измеренная зависимость от времени стати-
статистическими эффектами или накоплением дефектов, рекоменду-
рекомендуется одновременно с экспериментами по увеличению объема
изоляции (например, с кабелями различной длины) выполнять
также исследования влияния времени нагружения изоляции
(например, на кабеле постоянной длины).
Для этого в опытах с неизменным напряжением
(рис. 5.30, а) определяют функцию поведения электрической
прочности, например, при двух длительностях нагружения
(tn = t\; ^г) и трех объемах различной величины при одинаковом
распределении напряженности электрического поля (например,
при длинах l=h; h; h). На основании опытных данных
(рис. 5.30, б) можно обсуждать как статистическое влияние
изменения объема, так и ход кривой длительности жизни. Если
определить 63%-ные квантили исследуемой прочности для рас-
294
Рис. 5.30. Связь между случайными
воздействиями и накоплением дефек-
тов изоляции (схема): а — опыты;
б — эмпирическая функция поведе-
поведения (k>k>h); в — статистическое
влияние объема (б1=82=б); г — ре-
результирующее влияние длительности
воздействия (rx=r2=r3=r)
сматриваемых кабелей (рис.
5.30, в), то описывающий вли-
влияние объема показатель экс-
экспоненты Вейбулла приобре-
приобретает вид
-•пр еЗ я
E.60)
Величина б должна быть
не зависима от длительности j^-f
нагружения tH (т. е. 6 = 61 =
= б2), что полезно проверить
по отношению к разрабаты-
разрабатываемой модели. Если это дей-
действительно так, то б является
ответственным также за ста-
статистическое влияние вре- г)
мени. Если с помощью рис.
5.30, б по длительности на-
нагрузки (рис. 5.30, г) опреде-
определен 63 %-ный квантиль проч-
прочности, то по наклону г эмпи-
эмпирической кривой
i-првЗ — к1гн » ^O.Olj
а из соотношения
m
показатель экспоненты расходования ресурса жизни
бг
m = ■
б-г
E.62)
Отрицательная величина m при Кг в уравнении E.62) оз-
означает, что изолирующий материал не стареет со временем
а улучшается (кондиционирование).
295
Применение закона преобразования масштаба в отношении
геометрических и временных различий между лабораторными
экспериментами и эксплуатацией в Сетях имеет большое значе-
значение для определения надежности изоляции: чем точнее опре-
определена функция поведения напряжения пробоя единичного эле-
элемента (с учетом описанных в предлагаемой книге статистиче-
статистических основ), тем лучше может быть описано поведение сложной
изоляции какого-либо крупного аппарата. Лишь на этом пути
имеется перспектива оценить функцию поведения напряжения
пробоя в эксплуатации таких чрезвычайно сложных с точки
зрения изоляционной техники установок, как герметизирован-
герметизированные распределительные устройства или мощные трансформа-
трансформаторы нагрузки. В будущем высоковольтники должны еще ин-
интенсивнее пользоваться статистическими методами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik — Lexi-
kon der Stochastik/P. H. Muller u. a.—Berlin: Akademie — Verlag, 1975.
2. Гнедеико Б. В. Математические методы в теории надежности: Основ-
Основные характеристики надежности и их статистический анализ.— М.: Наука,
1965.
3. Dummer G. W. A., Griffin N. В. Zuverlas — sigkeit in der Elektronik.—
Berlin: VEB Verlag Technik, 1968.
4. Reinschke K. Zuverlassigkeit von Systemen.— Berlin: VEB Verlag Tech-
Technik, 1976.—Bd. 1, 2.
5. Mann N. R., Schafer R. E., Singpurualla N. D. Methoden fur die sta-
tistische Analyse von Zuverlassigkeits— und Lebensdauerdaten.— New York:
Gohn Wiley & Sons, 1974.
6. PreuB H. Zuverlassigkeit elektronischer System.—Berlin: VEB Verlag
Technik, 1980.
7. Бусленко Н. П., Шрейдер Ю. А. Метод статистических испытаний
(Моите-Карло) и его реализация на цифровых вычислительных машинах.—
М: Фнзматгиз, 1961.
8. Бусленко Н. П. Математическое моделирование производственных про-
процессов на цифровых вычислительных машинах.— М.: Наука, 1964.
9. Melnyk М., Schwitter J. P. Weibullverteilung und Monte-Carlo-
Methode zur Ermittlung der Lebensdauer von Maschinen//Die Unternehmung.
Bd. 19.—1965.
10. Lahres H. Einfflhrung in die diskreten Markoff-Prozesse und ihre
Anwendung.— Braunschweig: Vieweg — Verlag, 1964; Leipzig: BSB B. G. Te-
ubner Verlagsgesellschaft, 1964.
11. Karlin S. Ein Einfuhrungskurs in stochastische Prozesse.—New York;
London: Academic Press, 1968.
12. Parzen E. Stochastische Prozesse.—San Francisco, 1962; Moskau:
Mir, 1971.
13. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей,— М.: Наука, 1969.
14. Bharucha-Reid A. T. Elemente der Theorie der Markoff-Prozesse
und ihre Anwendung.— New York; Toronto; London: McGraw — Hill, 1960.
15. Mosch W., Hauschild W. Hochspannungsisolierungen mit Schwefel-
hexafluorid.—Berlin: VEB Verlag Technik, 1979; Heidelberg; Basel: Dr. Al-
Alfred Huthig Verlag, 1979.
16. Zum EinfTuO stochastischer Prozesse auf das zeitliche Durchschalg-
verhalten schwach inhomogener Felder im SF6/W. Hauschild//Z. elektr. Infor-
mat.—und Energietechn,—Bd. 12.— 1982.—№ 4, 5.
17. Muller P. H. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Sta-
Statistik: Lexikon der Stochastik.— Berlin: Akademie-Verlag, 1975.
18. Storm R. Wahrscheinlichkeitsrechnungmathematische Statistik — sta-
tische Qualitatskontrolle.— 6 Aufl.— Leipzig: VEB Fachbuchverlag, 1976.
19. Winkler W., Ebersberger H. Mathematische Grungdlagen des komple-
xen Produktionsprozessen —Baustein: Wahrscheinlichkeitstheorie. KDT-Fern-
kurs, 1972.
20 Wunsch G. Systemanalyse.— Bd. 2: Statistische Systemanalyse.— Ber--
lin: VEB Verlag Technik, 1970.
21. Fisz M. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik.—
Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1965.
22. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс теорий вероятностей
и математической статистики для технических приложений.— М.: Наука,
1969.
23. Bauer H. Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzuge der Mafitheorie.—
Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1974.
24. Schmetterer L. Mathematische Statistik.—Wien; New York: Sprin-
Springer—Verlag, 1966.
297
25. Mosch W., Hauschild W. Hochspannungsisolierungen mit Schwefel-
hexafluorid.—Berlin: VEB Verlag Technik, 1979; Heidelberg; Basel: Dr. Al-
Alfred Huthig Verlag, 1979.
26. Pfanzagl H. Allgemeine Methodenlehre der Statistik.— T. I und II —
Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1974 (Sammlung Goschen Band 7047).
27. Mfiller H. P., Neumann P., Storm R. Tafeln der mathematischen Sta-
Statistik.—Leipzig: VEB Fachbuchverlag, 1973.
28. Anleitung zur statistischen Behandlung von Versuchsergebnissen, die
im Konstantspannungsversuch erhalten wurden/M. Boutteau//EdF Bull.— Ser.
В.—1971.—№ 3.
29. Betrachtungen zur Bestimmung der Stofiuberschlagspannung/G. Dra-
gan u. a.//E und M.—Bd. 89.— 1972.—№ 11.
30. Hauschild W. Bewertung von Hochspannungs-Impulsprufungen aus sta-
tistischer Sicht//Symposium on EHV Test Problems, Roorkee, India, 1980.
IPH-Mitt., Sonderheft.—1981.— № 23.
31. Heller В., Veverka A. Die Anwendung der Poisson — Statistik in der
Hochspannungstechnik//Acta Technica CSAV.— 1972.—№ 6.
32. Wohlfahrt O. Statistik als Instrument des Hochspannungs-Isolations-
technikers//E und M.—Bd. 74.— 1957.—№ 10, 12.
33. Woboditsch W. Charakteristik technischer Funkenstrecken mit stark
inhomogenem Feld//Diss. Techn. Hochsch.— Dresden, 1957.
34. Nemeth E., Csaki E. Statistische Methoden zur Auswertung von Ver-
suchsreihen zum elektrischen Durchschlag//Periodica Polytechnica Budapest.—
Bd. 7.—1963.—№ 1.
35. Widmann W. Das Vergrofierungsgesetz in der Hochspannungstechnik//
ETZ-A.—Bd. 85.— 1964.—№ 4.
36. Paderta В., Lesny V. Statistische Methoden in der Hochstspannugs-
technik//Elektrotechn.—Obzor 59.— 1970.—№ 6.
37. Brown G. W. Bestimmung kritischer Oberschlagspannungen und Stan-
dardabweichungen aus Daten der Oberschlagwahrscheinlichkeit//IEEE Trans.—
PAS 88.—1969.—№ 3.
38. Brown G. W. Prufungen fur die Summenhaufigkeitsverteilung der
Oberschlage//IEEE Trans.—PAS 89.— 1970 —№ 6.
39. Ebersbergen H., Hauschild W., Forster K.-H. Statistische Verfahren
fur die Bestimmung der Durchschlagwahrscheinlichkeit von Isolierstrecken//
Wiss. Z. Elektrotechn —Bd. 17.— 1971—№ 2/3.
40. Schrader W. Das Durchschlagverhalten paralleler Funkenstrecken//Diss.
Techn. Univ.— Dresden, 1974.
41. Hauschild W,, Koppe R. Statistische Auswertung hochspannungstech-
hochspannungstechnischer Messungen am Digitalrechner//ELTRA — Fortschrittsbericht.— Berlin,
1973.— H. 7.
42. Раскин В. Статистическая обработка результатов измерений харак-
характеристик электрического пробоя//Бюлл. СЭВ. Т. 63.— 1972.— № 5.
43. Hauschild W. Ober die Schwierigkeiten bei der Schatzung von Ver-
teilungsfunktionen der Durchschlagspannung//Z. elektr. Inform.— und Ener-
gietechn.— Bd. 5.— 1975.— № 3.
44. Pilling J. Ein Beitrag zur Interpretation der Lebensdauerkennlinien
und zur dielektrischen Bemessung und Prufung von hochpolymeren Fest-
stoffisolierungen//Diss. B. Techn. Univ.—Dresden, 1976.
45. Tschacher B. Zum Einflufi elektrischer Vorbeanspruchungen auf den
Durchschlag von Epoxidharzisolierungen bei Beanspruchung mit Wechsel —
und Impulsspannung//Diss. Techn. Univ.— Dresden, 1975.
46. Golinski S. Ionisationserscheinungen und Fragen der Lebensdauer von
Giefiharzisolationen//Elektrie.—Bd. 20.— 1966.—№ 9.
47. Schuppe W. Ober die Alterungsbestandigkeit von Kunststoff — Folien//
Bull. SEV.—Bd. 62.— 1971.—№ 16.
48. Weibull W. Eine Verteilungsfunktion von breiter Anwendbarkeit//J. of
Applied Mechanics.—Bd. 18.— 1951.—№ 9.
298
49. Gumbel E. J. Statistik der Extremwerte.— New York: Columbia Uni-
University Press, 1958; Moskau: Mir, 1965.
50. Бронштейн И. Н., Семеидяев К. А. Справочник по математике для
инженеров и учащихся вузов/Пер, с нем.— М.: Наука, 1981.
51. Stone G. С, Heeswijk R. G., van. Parameterschatzungen fur die Wei-
bullverteilung//lEEE Trans.—Bd. El 12.— 1977.—№ 4.
52. Reichelt С Rechnerische Ermittlung der Kenngrofion der Weibull-Ver-
teilung//Fortschrittsberichte der VDI-Z.— Reihe 1.— 1978.—№ 56.
53. Angewandte Statistik: Regeln zur Bestimmung der Schatzwerte und
Vertrauensbereiche fur die Parameter der Weibullverteilung (vollstandige In-
Information uber die Stichprobe). RGW-Standard Thema 01.913.10—76 (uberar-
beiteter Entwurf).
54. Veverka A., Kvasnicka V. Zur Weibullverteilung//Elektrotechn.—Ob-
zor 66.—1977.—№4.
55. Veverka A., Kvasnicka V. Die Weibullverteilung und die konventio-
nelle Abhangigkeit der Durchschlagwahrscheinlichkeit//Elektrotechn.— Obzor
67.—1978.—№3.
56. Wohlmuth F. Einige Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
und der mathematischen Statistik in der Hochspannungstechnik//Habilitation
Techn. Hochsch.— Prag, 1978.
57. Tomcik J. Zur Bestimmung der Parameter der Weibullverteilung//Elek-
trotechn.—Obzor 66.— 1977.
58. Mann N. R., Schafer R. E., Singpurwalla N. D. Methoden fur die
statistische Auswertung von Zuverlassigkeits- und Lebensdauerdaten.— New
York: Wiley-Interscience, 1974.
59. Billman B. R., Antle С E., Bain L. J. Statistische Schlufifolgerungen
aus Weibullstichproben//Technometrics.—Bd. 14.—1972.—№ 11; Technomet-
rics.—Bd. 11.— 1969.—№ 8.
60. Wanser G., Wiznerowicz F. CIGRE, 1972: Aktuelle Kabelfragen auf
der internationalen Hochspannungskonferenz. Elektrizitatswirtschaf t.— Bd.
71.—1972.—№ 26.
61. Kreuger F. H., Bentvelsen P. A. C. Durchschlagerscheinungen in PE-
isolierten Kabeln//CIGRE 21-05.— 1972.
62. Brookes A. S. Die Wiebullverteilung: Einflufi von Lange und Leiter-
durchmesser bei Prufkabeln//Electra.— № 33.
63. Лапшин В. А., Лысаковский Г. Г. Статистические закономерности про-
пробоя полиэтиленовой изоляции прн ограниченном сроке службы//Известия ву-
вузов. Энергетика.— 1973.— № 12.
64. Brakelman H. Zundvolumina inhomogen beanspruchter Feststoffiso-
lierungen//Bull. SEV 68.— 1977.—№ 12.
65. Riiffer K. Zur elektrischen Alterung hochpolymerer Schichtisolierun-
gen//Diss. Techn. Univ.— Dresden, 1976.
66. Koppe R. Ein Beitrag zur elektrischen Alterung von Modellisolierun-
gen aus Epoxidharz und zur Obertragbarkeit der Ergebnisse auf technische
Isolierungen//Diss. Techn. Univ.— Dresden, 1978.
67. Occhini E. Eine statistische Naherung fur die Diskussion der dielek-
trischen Festigkeit von Kabeln//IEEE Trans.—PAS 90.— 1971.
68. Wilson W. R. Ein grundlegender Faktor zur Festlegung einer einheit-
lichen elektrischen Festigkeit von O1//AIEE Trans.—Pt. III.— Bd. 72.—1953.—
№ 2; AIEE Trans.—Pt. III.—Bd. 74.— 1955.—№ 8.
69. Dokopoulos P. Wachstumsgesetze der Durchschlagwahrscheinlichkeit
von Hochspannungsisolierungen//Diss. Techn. Hoehsch. Braunschweig, 1967;
ETZ-A 89,— 1968.
70. Statistische Abschltzung der Durchschlagspannungs — Charakteristik
von grofiraumigen, druckgasisolierten Systemen/T. Nitta u. a.//ISGD Knox-
ville.— 1978.
71. Nitta Т., Shibuya Y., Fujiwara Y. Spannungs-Zeit-Charakteristik des
elektrischen Durchschlages in SFe//IEEE Trans.—PAS 93,— 1974.— № 1.
299
72. Nitta Т., Yamada N., Fujiwara Y. Flacheneffekt des elektrischen
Durchschlages in verdichtetem SF6//Trans. IEEE.—PAS 93.—1974.—№ 2.
73. lkeda M., lnoue T. Statistische Oberlegungen zur Durchschlagfestigkeit
von Transformatorisolierungen//3 ISH.—Mailand, 1979, 23.18.
74. Tsumoto M., Okiai R. Eine neue Anwendung der Weibullverteilung
auf den Impulsdurchschlag in Olkabeln//IEEE Trans.—PAS 93.—1974 —№ 1.
75. Weber K. H., Endicott H. S., Kaufmann R. B. Flachneffekt fur den
Impulsspannungsdurchschlag von Tansformatorenol//AIEE Trans.— Pt. III.—
Bd. 75.—1956.—№ 6; AIEE Trans —Pt. III.—Bd. 76.—1957.—№ 8; AIEE
Trans,—Pt. III.—Bd. 76.—1957.—№ 12.
76. Сысоев М. И. Статистический метод определения электрической проч-
прочности изоляции воздухонаполненных аппаратов//Электричество.— № 83.—
1962.—№8.
77. Бортник И. М. К определению рабочих и испытательных иапряжеи-
ностей в промежутках с элегазовой изоляцией//Электричество.-—Т. 91.—■
1970.—№5.
78. Der Einflufi der Oberflachenrauheit auf geringe Wahrscheinlichkeiten
fur den ersten Durchschlag im SF6/S. Vibholm, A. Pedersen, J. M. Christen-
sen, P. Thyregod//3 ISH.—Mailand, 1979. 32.06.
79. Veverka A., Wohlmuth F. Approximation der Normalverteilung mit
Grenzen//Elektrotechn.—Obzor 68.— 1978.—№ 6.
80. Wohlmuth F. Zweigrenzenfunktion der Oberschlagwahrscheinlich-
keitsverteilung: Prace Naukowe Politechniki Warszawskiej//Elektryka.— Bd.
53.— 1979.
81. Daeves K., Beckel A. Grofizahl—Methodik und Haufigkeitsanalyse.
Weinheim: Verlag Chemie GmbH, 1958.
82. Graf U., Hennig H.—J. Statistische Methoden bei textilen Unter-
suchungen.— Berlin, Gottingen; Heidelberg: Springer — Verlag, 1960.
83. Sachs L. Statistische Auswertungs — methoden.—Berlin; Heidelberg;
New York: Springer — Verlag, 1968.
84. Martin H. Rationelle statistische Auswertung von Mefiergebnissen bei
5 bis 20 Einzelwerten//Monatsberichte der DAW zu Berlin — Bd. 1.—1959.—
№ 7—10.
85. Hoppadietz F. Vereinfachtes Auswerteverfahren von Haufigkeitskur-
ven//Wiss. Z. der Techn. Hochsch.—Dresden.—Bd. 9—1959/60.—№ 3.
86. Schwarz J. Ein Verfahren zur Gewahrleistung der Unabhangigkeit bei
der Messung der Impulsdurchschlagspannung und — zeit im SFe//EIektrie.—
Bd. 35.—1981.—№ 1.
87. Paderta B. Ober die Beglaubigung der Unabhangigkeit von einzelnen
Versuchen//Acta Technica CSAV.—1968.—№ 1.
88. Paderta B. Uber die Beglaubigung der Unabhangigkeit von einzelnen
Versuchen in der Hochspannungstechnik//Acta Technica CSAV.— 1969.—
№ 1.
89. TGL 20618/07 Hochspannungspruftechnik; Statistische Ermittlung von
Durchschlagspannungen; Ausg. 6.78 (s. auch IEC-Publ. 60-2.—1973.— Anhang
A; VDE 0432/2 bzw. DIN 57432/2).
90. Hochrainer A. Verhaltensfunktionen und Summenhaufigkeitsfunktio-
nen//ETZ-A.— Bd. 90.— 1969.—№ 2.
91. Weicker W. Zur Kenntnis der Funkenspannung bei technischem Wech-
selstrom//Diss. Techn.—Bd. 90. Hochsch.—Dresden, 1905; ETZ.—Bd. 32 —
1911.—№ 18.
92. Woboditsch W. Charakteristik technischer Funkenstrecken mit stark
inhomogenem Feld//Diss. Techn. Hochsch.—-Dresden, 1957.
93. Rasquin W. Statistische Auswertung der Mefiergebnisse von Dur-
Durchschlag — Untersuchungen//Bul. SEV — Bd. 63.—1972.—№ 5.
94. Tetzner V. Bestimmung einer fur Isolieranordnungen unter 01 zweck-
mafiigen 50-%-Durchschlagstofispannung//Arch. f. Elektrotechn.—Bd. 44.—
1958.—№ 1.
300
95. Thyregod P. Statistik des ersten Durchschlages: Private Mitteilung
vom 11.10.1979//Techn. Univ. of Denmark. Department of Physics. Sec. II.
96. Vibholm S., Pedersen A., Thyregod P. Bestimmung kleiner Wahr-
scheinlichkeiten fur den ersten Duchschlag in komprimiertem SF6: ICPIG XIV
(Grenoble) C7-289//Journal de Physics —Bd. 40— 1978.—№ 7.
97. Bakken J. A. Bestimmung charakteristischer Spannungen bei Blitz-
und Schaltspannungsprufungen//IEEE Trans.— PAS 86.— 1967.— № 8.
98. Fisher R. A. Die Planung von Versuchen.— 7 Aufl.— London; Edin-
Edinburgh: Oliverand Boyd, 1960.
99. Scheffler E. Einfiihrung in die Praxis der statistischen Versuchsplan-
ung.— Leipzig: VEB Deutscher Verlag fur Grundstoffindustrie, 1974.
100. Box G. E. P. Die 2*-J>-Faktor-Versuchsplannung.— T. I und II//
Technometrics.—Bd. 3.— 1961.—№ 3, 4.
101. Bengalia A., Leva U., Vitali A. CESI: Neue Technik der Erfassung
und Verarbeitung von Mefidaten//CESI — Publ.— № 79/22.
102. Wiesendanger P. Automatische, digitale Aufzeichnung und Auswert-
ung von transienten Signalen in der Hochspannungstechnik//Diss. Elektro-
techn. Hochsch.—Zurich, 1977.
103. Praxl G. Automatische Auswertung von Hochspannungspriifungen//
3 ISH.—Mailand, 1979. 42.09.
104. MeB- und Steuersystem fiir Gleich- und Wechselspannungspriifanla-
gen des VEB TuR Dresden//Firmenschrift VEB Transformatoren- und Ront-
genwerk "Hermann Matern". № 8090.— Dresden, 1980.
105. MeB- und Steuersystem fiir Impulsspannungs — Priifanlagen des VEB
TuR Dresden//Firmenschrift des VEB Transformatoren- und Rontgenwerk
"Hermann Matern".—№ 8091 d — Dresden, 1979.
106. Trigatron-automatisches Triggergerat fiir Impulsgeneratoren//Wer-
beschrift der Firma Haefely (HVTS E 134.1 und E 134.2).
107. Steuergerate fiir Impulsspannungs-Priifanlagen in „Prflfeinrichtun-
gen/Mefieinrichtungen"//Firmenschrift des VEB Transformatoren- und Ront-
Rontgenwerk „Hermann Matern".— № 805/5d.— Dresden.
108. Thione L. Anwendung von Lichtleitkabeln fiir die Ubertragung von
Mefi- und Steuersignalen in Laboratorien und Hochspannungsanlagen//
ANIPLA/CESI — Publ.— № 79/07.
109. TGL 20620 Hochspannugspruftechnik; Priifung mit Wechselspan-
nung; Ausg. 8.77 (s. auch IEC-Publ. 60-2 A973); VDE 0432/2 bzw. DIN
57432/2; ST RGW 1072.—1978).
110. IEC60-2 Hochspannungspruftechnik; Priifprozeduren, Teil 2: Priifung
mit Gleichspannung. IEC-Publ. 60-2. 1. Ausgabe 1973 (s. auch VDE 0432/2
bzw. DIN 57432/2; ST RGW 1072.— 1978).
111. TGL 20621 Hochspannungspruftechnik; Priifung mit Blitzspannung;
Ausg. 12.78. (a. auch IEC-Publ. 60-2 A978); VDE 0432/2 bzw. DIN 57432/2;
ST GRW 1072.—1978).
112. TGL 20622 Hochspannungspruftechnik; Priifung mit Schaltspannung;
Ausg. 12.78 (s. auch IEC-Publ. 60-2 A978); VDE 0432/2 bzw. DIN 57 432/2:
ST GRW 1072—1978).
113. TGL 20618/02 Hochspannungspruftechnik; Begugsatmosphcre und Kor-
rekturen; Ausg. 12.76 (s. auch IEC-Publ. 60-1 A973); VDE 0432/1; ST RGW
1071,—5.80).
114. TGL 20618/03 Hochspannungspruftechnik; Allgemeine priiftechnische
Forderungen. Ausg. 12.76 (s. auch IEC-Publ. 60-1 A973); VDE 0432/1;
ST RGW 1071.—5.80).
115. TGL 20623 Hochspannungspruftechnik; Messung der Hochspannung;
Bl. 1 u. 2. Ausg. 12.76: Bl. 4 Ausg. 6.77; Bl. 5 Ausg. 12.78 (s. auch IEC-Publ.
60-3 A976); VDE 0432/2 bzw. DIN 57432/3; ST RGW (Entwurf) zum Thema
01.507.01—78).
116. Kouno Т., Oikawa T. Standardabweichung der Uberschlagwahr-
scheinlichkeit//JIEE.— Bd. 87.— 1967—№ 8.
301
117. Hoppadietz F. Rechnerische Ermittlung von statistischen Durch-
schlagspannungen und Stichprobenumfang//Elektrie.— Bd. 32.— 1978.—
№9.
118. Hoppadietz F. Statistische Toleranzgrenzen, Stichprobenumfang und
wahrscheinliche Oberdimensionierung//Elektrie.— Bd. 32.— 1978.— № 5.
119. Vibholm S., Pedersen A. Ober die Reproduzierbarkeit der Verteilungs-
iunktion der negativen Blitziiberschlagspannung einer Stab — Stab-Funken-
strecke//ICPIG XI Prag., 1973.—Pap. 190.
120. Vibholm S., Pedersen A. Einige Faktoren, die die Blitzdurchschlag-
spannung einer Stab — Stab-Funkenstrecke in atmospharischer Luft beeinflus-
sen//3 Int. Coni. Gas Discharges.— London, 1974.
121. Lennertz H. Reproduzierbare Blitzstofispannungsversuche bei einer
inhomogenen Elektrodenanordnung und ihr statistischer Nachweis//ETZ-A.—
Bd. 92.—1971.—№9.
122. Bohme K. Vorentladungen im schragen Luftspalt bei Wechselspan-
nung//Diss. Techn. Univ.— Dresden, 1968.
123. Buchholz K--H., Krey B. Ein Beitrag zur Bemessung von schwach
inhomogenen SFe-Isolierungen mit Grenzflachen//Diss. Techn. Univ.—-Dresden,
1974; Elektrie.—Bd. 28.—1974.—№ 9.
124. Hauschild W., Tschacher В., Gfinther H. Uber die Ermittlung repra-
sentativer Verteilungsfunktionen der Durchschlagspannung//Elektne.— Bd.
27.— 1973. .Чя 6.
125. KaNe V.. Ein Beitrag zur AufWaning des Festkorperdurchschlag-
mechanismu-//25 IWK Ilmenau.— 1980.— H. 3 (A3).
126. Ouyaiig M. Neue Methode zur Bestimmung des Isoliervermogens bei
Schaltimpubspannung//Proc. IEE.—Bd. 113.—1966.—№ 11.
127. Ouyang M. Interpretation von Impulsspannungsprufungen//Electr.
Times —1967 —№ 2.
128. Diskussion zu OUYANG: Neue Methode zur Bestimmung des Iso-
Isoliervermogens bei Schaltimpulsspannung/D. F. Oakeshott u. a.//Proc. IEE.—
Bd. 114.— 1967,— № 11.
129. Quyang M., Carrara G. Auswertung und Anwendung der Ergebnisse
von Impulsspannungspriifungen//Electra.— 1970.— H. 13.
130. Hauschild W., Burger W. Statistische Modelle fur den elektrischen
Durchschlag im Isoliergas SF6//Z. elektr. Inform.— und Energietechn.— Bd.
5.—1975.—№ 4.
131. Zum EinfluB stochastischer Prozesse auf das zeitliche Durchschlag-
verhalten schwach inhomogener Felder im SF6/W. Hauschi!d//Z. elektr. Infor-
mat.—und Energietechn.—Bd. 12.—1982.—№ 4, 5.
132. Kouno Т., Endo M. Simulation von Durchschlagwahrscheinlichkeits-
kurven und Vorabschatzung der Zuverlassigkeit der 50-%-Oberschlagspannung
mit Hilfe von Computern//JIEE.— Bd. 84.— 1964.
133. Kucera J. Statistische Methoden fur die Auswertung von Messungen
mit Impulsspannungen//3 ISH.—Mailand, 1979. 42.01.
134. Programmsysteme zur statistischen Auswertung von Hochspannungs-
versuchen/K. Wohlfahrt. J. Sautner u. a.//Jahresbericht 1979 ties Hochspan-
nungslaboratoriums der Techn. Hochsch.— Graz.
135. Carrara G., Marzio L. Durchschlagwahrscheinlichkeit bei dielektri-
scher Beanspruchung//CIGRE-Ber. 33-01.—1968.—Appendix V.
136. Nollau F. Statistische Analysen.—Leipzig: VEB Fachbuchverlag,
1977.
137. Ritzk F. A. M., Vincent С Ermittlung geringer Durchschlagwahr-
scheinlichkeiten unter besonderer Beriicksichtigung fliissiger Isolierstoffe/|
IEEE Trans — PAS 96.— 1977.— № 6.
138. Hauschild W. Zum Oldurchschlag im inhomogenen Feld bei Schalt-
spannung//Diss. Techn. Univ.— Dresden, 1970.
139. Sie T. H., Wohlfahrt O. Beitrag zur Messung der Impuls-Stehs-
pannung von Ol-Papier-Isolierungen//IEEE Trans.—PAS 88.—1969 —№ 6.
302
140. Bakken J. A. Bestimmung der hochsten Impuls — Stehspannung//The
Norwegian Research Institute of Electricity Supply, TR No. 1292E, 1965.
141. Dixon W. J., Mood A. M. Eine Methode zur Gewinnung und Auswer-
tung empfindlicher Daten//J. of American Statistical Assoc.— 1948.
142. Kucera J. Konfidenzgrenzen der 50-%-Oberschlagspannung bei der
Auf-und-ab-Methode//Acta Technica CSAV.—Bd. 17.—172.—№ 1.
143. Kucera J. Konfidenzgrenzen der mit der auf-und-ab-Methode ermittel-
ten 50-%-Oberschlagspannung//Power Research Institute Praha, CSSR, fur
CIGRE 33-71 (WG 03).
144. Brownlee K. A., Hodges J. C, Rosenblatt M. Die auf-ab-Methode bei
kleinen Stichprobenumfangen//J. American Statictical Assoc.—1953.—
№6.
145. Anis H., Abo—El—Saad M. Optimale Auf-und-ab-Priifung von
aufieren Isolierungen//3 ISH.—Mailand, 1979. 42.08.
146. Carrara G., Dellera L. Genauigkeit einer erweiterten Auf-und-ab-Met-
Auf-und-ab-Methode bei der statistischen Priifung von Isolierungen//Electra.— Bd. 23.
147. Hancox R-, Tropper H. Die Durchschlagfestigkeit von Isolierol bei
Impulsspannung//Proc. IEE.— 1957.
148. Hancox R. Die Interpretation der Ergebnisse von Impulsspan-
nungspriifungen//Proc. IEE.— 1958.
149. Klaus R., Plenio С Beurteilung vereinfachter Verfahren zur Ermitt-
lung der Stehspannung und der 50-%-Durchschlagspannung von Hochspan-
nungsisolatoren//Dipl.-Arbeit Sektion Mathematik. Wissenschaftsbereich Ma-
thematische Statistik der Techn. Univ.— Dresden, 1971.
150. Paderta B. Bestimmung der Haltespannung mit Hilfe einer modiffi-
zierten Auf-und-ab-Methode//Elektrotechn.—Obzor 62.—1973.—№ 5.
151. Powell С W., Ryan H. M. Isoliervermogen eines Mastfensters mit
V-Kettenisolatoren bei kiinstlichem Regen und Schaltspannung//3 ISH.— Mai-
Mailand, 1979. 52.11.
152. Wetherhill G. B. Reihenmethoden in der Statistik.—London: Chap-
Chapman and Hall Ltd., 1975.
153. Fryxell J. Bestimmung einer kritischen Stehspannung//CIGRE — Ber.
423.— 1966.
154. Paderta B. Beitrag zur Problematik der Haltespannung//Acta Tech-
Technica CSAV.— 1968.—№ 6.
155. Paderta B. Eine neue Methode zur Bestimmung der Impulsspan-
nungs-Festigkeit (engl)//Acta Technica CSAV.— 1970.—№ 4.
156. Hylten-Cavallius N., Fonseca R. J. Extremwertstatistik und Hoch-
spannungspriifungen//3 ISH.—Mailand, 1979. 42.06.
157. Bandemer H., Bellmann A. Statistische Versuchsplanung//Reihe
Mathematik fiir Ingenieure, Naturwissenschaftler, Okonomen und Landwirte.—
Leipzig: BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, 1979.
158. Ahlers H., Schwartz В., Waldmann J. Optimierung technischer Pro-
dukte und Prozesse.—Berlin: VEB Verlag Technik, 1981.
159. Bohme H. Zur Nutzung der Methode „Statistische Versuchsplanung"
in der Hochspannungs — Isoliertechnik//Elektrie.— Bd. 36.— 1982.— № 8.
160. Burgman M. Zur Anwendung der statistischen Versuchsplanung fur
die Bemessung von Hochspannungsisolierungen//Elektrie.— Bd. 36.— 1982.—■
№ 8.
161. Digmayer M. Optimierung schwach inhomogener Mehr-Elektroden-
Anordnungen//Eleklrie.— Bd. 36.—1982.—№ 8.
162. 1EC 71 lsolationskoordination: T. I. Begriffe, Definitionen, Prinzi-
pien und Regeln, 1976: T. II. Anwendungshinweise, 1976//IEC-Publ. 71-1 und
71-2.
163. TGL 20445 Elektrotechnik; lsolationskoordination. Blatt 01 Begriffe;
Ausg. 11.75, Blatt 02 Bet.riebsmittel und Anlagen mit Wechselspannung fiber
1 kV, Technische Forderungen; Ausg. 11.75; Blatt 03 Betriebsmittel und An-
Anlagen mitt Wechselspannung bis !000 V; Ausg. 9.76.
303
164. Berechnung elektrischer Energieversorgungsnetze.— Bd. I. Mathe-
matische Grundlagen und Netzparameter/H. Koettnitz, H. Pundt u. a.— Leip-
Leipzig: VEB Deutscher Verlag fur Grundstoffindustie, 1973.
165. Gert R. Aktuelle Probleme der Isolationskoordination//Elektrie.—
Bd. 27.—1973.—№ 11.
166. Koettnitz H. Beanspruchung elktrotechnischer Betriebsmittel//Lehr-
briefe 4 und 5. Beanspruchungen durch Oberspannungen und Koordination der
Isolation.—Berlin: VEB Verlag Technik, 1976.
167. Hoy С Netzanalysator—Untersuchungen zur Ermittlung der Ver-
teilungsfunktion von Einschaltiiberspannungen auf Hochspannungsleitungen//
Elektrie.—Bd. 27.—1973.—№ 1.
168. Bauer H., Drechsler E. Nutzfahige Programme zur Berecjinung von
Blitzuberspannungen//Elektrie.—Bd. 32.—1978.—№ 6; Elektrie.—Bd. 33.—
1979.—№ 6.
169. Daus W. Beitrag zur Registrierung der Haufigkeitsdichte von Ober-
Oberspannungen in elektrischen Energieversorgungsnetzen//Diss. Techn. Univ.—
Dresden, 1975.
170. 1EC 60-1 Hochspannungspruf technik: T. 1. Allgemeine Definitionen
und Priifanordnungen; IEC-Publ. 60-1, 1. Ausgabe 1973.
171. TGL 20618/01 Hochspannungspruftechnik; Allgemeine Begriffe;
Ausg. 12.76 (s. auch IEC-Publ. 60-1, 1973; VDE 0432/1; ST RGW 1071 —
5.80).
172. 1EC 60-2 Hochspannungspruftechnik. T. 2: Prufprozeduren; IEC-Publ.
60-2, 1 Ausgabe 1973.
173. Pilling J. Ein Beitrag zur Interpretation der Lebensdauerkennlinien
und zur dielektrischen Bemessung und Priifung von hochpolymeren Fest-
stoffisolierungen//Diss B. Techn. Univ.— Dresden, 1976.
174. Zur Bemessung und Zuverlassigkeit der Isolierung der feststpffiso-
lierten Schaltzellen Тур ASIF 36/K. Sieber u. a.//Elektrie.—Bd. 34.—1980.—
№2.
175. Mosch W., Hauschild W. Hochspannungs-Isoliertechnik: 1. Lehrbrief-
Isoliervermogen als Zufallsgrofie.— Berlin: VEB Verlag Technik, 1978.
176. Das M. K- Typenriifung mit Nenn-StehstoBspannung und Nenn-
Stehschaltspannung//ETZ-A.—Bd. 89.— 1968.—№ 2.
177. Schwaiger A. Elektrische Festigkeitslehre.— Berlin: Springer-Verlag,
1925.
178. Diesendorf W. Isolationskoordination in elektrischen Netzen.— Lon-
London: Butterworths, 1974.
179. Koettnitz H. Neue Grundsatze fur die Isolationskoordination von
Betriebsmitteln fiir Wechselstrom-Energieanlagen. fiber 1 kV//Elektrie.— Bd.
26.—1972.—№ 3.
180. Koettnitz H. Wesentliche Merkmale der internationalen Empfehlungen
zur Isolationskoordination//Elektrie.— Bd. 28.—1974.—№ 4.
181. Hylten — Cavallius N. Moderne Hochspannungsprfifverfahren und
ihre Standardisierung//WELC Moskau, 1977.—Beitrag 2-15.
182. Beitrag zum Studium der Isolationskoordination aus statistischer.
Sicht/G. Carrara u. a.//CIGRE-Ber. 421.— 1966.
183. IEC-TC 28 Erganzungen zu IEC-Publkiation 71 Isolationskoordi-
Isolationskoordination.— T. III. Prinzipien und Regeln fiir Phase-Phase-Isolationskoordination
(Entwurf).
184. Kiittner H. Untersuchungen zur Spannungsbeanspruchung und Di-
mensionierung von Niederspannungsiso!ierungen//Diss. Techn. Univ.— Dres-
Dresden, 1975.
185. Hutzler В., Gallet G. Beitrag der Entladungsphysik zur Isolationsko-
ordination//CIGRE-Ber. 33-04, 1976.
186. Результаты измерений внутренних перенапряжений в сетях высо-
высокого напряжения/М. В. Костенко, И. А. Михайлова и др./Энергетика.—Т. 29.—
1979.—№ 1.
304
187. Rasewig D. W., Dmochowskaja L. P. Statistik der Schaltiiberspan-
nungen//Theor. Probl. Elektroenergetika.— 1973.
188. Prufverfahren fflr Phase-Phase- uncl Langsisolierungen/K.-H. Week
u. a.//CIGRE-Ber. 33-09.— 1976.
189. Elektrische Festigkeit von SFe und Dreileiter — Rohrgaskabel bei
Phase-Phase-Oberspannungen/T. Takagi u. a.//IEEE Trans.—PAS 93.—
1974.
190. Week K--H., Carrara G. Dimensionierung und Priifung von Phase-
Phase-Isolierungen//Electra.— 1979.— № 64.
191. Carrara G., Pigini A., Polo-Dimel M. UHy-Trennschalter: Dimensio-
Dimensionierung und Priifung der Aufienisolierung bezQglich Schaltspannung//IEEE
Trans.—PAS 97.— 1978.—№ 6.
192. Schumann W. O. Elektrische Durchbruchfeldstarke von Gasen.—Ber-
Gasen.—Berlin: Springer-Verlag, 1923.
193. Hauschild W. Beitrag zum Verstandnis der elektrischen Festigkeit
von SF6 als Zuf allsgr6fie//Elektrie.— Bd. 33.— 1979.— № 6.
194. Engelmann E. Beitrag zum Entladungsverhalten grofiflachiger, stor-
stellenbehafteter Elektroden in Luft bei positiver Schaltspannung//Diss Techn.
Univ.—Dresden. 1981.
195. Meek J. M., Craggs J. D. Elektrischer Durchschlag von Gasen.—
Chichester; New York; Brisbane; Toronto: John Wiley & Sons, 1978.
196. Schmiedl G. Zum Einflufi der Luftfeuchte auf den Wechselspannungs-
durchschlag meterlanger Luftisolierstrecken//Diss. Techn. Univ.— Dresden,
1969.
197. Kucera J., Fiklik V. Korrektur der Schaltimpuls-Uberschlagspannung
hinsichtlich der Luftfeuchte//IEEE Trans.—PAS 89.—1970.—№ 3.
198. Feser K. Einilufi der Feuchtigkeit auf das Durchschlagverhalten bei
Wechselspannung//ETZ-A.—Bd. 91.— 1970.—№ 10.
199. Impuls-Uberschlagcharakteristiken langer Luftfunkenstrecken und at-
mospharische Korrektur/Y. Aihara, Harada, Y. Aoshima, Y. Jto//IEEE
Trans.—PAS 97.— 1978.—№ 2.
200. Busch W. Luftfeuchte: Ein wichtiger Faktor fur UHV-Konstruktio-
nen//IEEE Trans.—PAS 97.— 1978.—№ 6.
201. Praxl G., Gradischnig W., Egger H. Untersuchungen des Einflusses
der Wechselwirkungen zwischen Temperatur und Feuchte auf die positive
Durc.hschlagschaltspannung//6 Gasentladungskonferenz.— 1980.— T. 2.
202. Schreiber G., Bancos J. Untesuchungen der Ionenkonzentration in at-
mospharischer Luft//Rev. Gen. Electr.—Bd. 86.—1977.—№ 10.
203. Newi G. Streuung der Durchschlagspannung von Kugelfunkenstrec-
ken in Luft bei negativen Stofispannungen//I ISH.— Munchen, 1972.
204. Muller H., Wiesinger J. Einflufi der kosmischen Strahlung auf das
Durchschlagverhalten einer homogenen Luftfunkenstrecke//Bull. SEV.— Bd.
62.— 1971.
205. Laub S. Untersuchungen zum Einflufi der Wirkdauer und des zeit-
lichen Verlaufes der Spannung auf das Entladungsverhalten groBflachjger,
storstellenbehafteter Elektrodenanordnungen in Luft//Diss. Techn. Univ.—
Dresden, 1982.
206. Frank S. Der Staubeinflufi bei Funkenstrecken//Archiv f. Elektrotech-
nik.— Bd. 28.—1934.
207. Schulz W. Fremdteilchen als Ursache fiir Tiefendurchschlage in Luft
bei Gleich- und Wechsel-spannung//Diss. Techn. Univ.— Braunschweig, 1977.
208. Peier K-, Dohnal D. Der systematische Fehler von Kugelfunkenstrec-
ken bei Wechselspannungsmessungen//ETZ-A.— Bd. 98.— 1977.
209. Feser K. Einflufi des Innenwiderstandes der Spannungsquelle auf das
Durchschlagverhalten von Luftfunkenstrecken//ETZ-A.—Bd. 92.-1971.
210. Newi G. Durchschlagphanomene bei Schaltimpulsen: Priifkreisparame-
ter//IEEE Power Eng. Soc— 1974. CH 0910-0-PWR.
211. B5hm A. Funkenstrecken-Vorwiderstande bei positiver Schaltstof3-
spannung//2 ISH —Zurich, 1975.
305
212. VoB W. Untersuchungen zur Entwicklung paralleler Entladungen
beim Stofidurchschlag in Gasen//Diss. TU—Braunschweig, 1979.
213. Lalot J., Gallet G. Durchschlagphanomene bei Wechselspannung//3
ISH.—Mailand, 1979, 52.09.
214. Brasca E., Tellarini M., Zaffanella L. Die Vertrauensgrenzen von
Hochspannungs-Prflfergebnissen//IEEE Trans.—PAS 86.—1967.—№ 8.
215. Ritzk F. A. M. Der Einflufi von Regen auf die Schaltuberschlag-
spannung von Luftfunkenstrecken mit grofien Elektroden//IEEE Trans.—PAS
95.—1976.—№ 4.
216. Hochspannungs-Isoliertechnik/W. Mosch u. a.//Taschenbuch Elektro-
technik.—Bd. 6; Herausgeber E. Philippow.— Berlin: VEB Verlag Technik,
1982.
217. TGL 20624 Spannungsmessungen mit Kugelfunkenstrecken; Ausg.
12.66 (s. auch VDE 0430 und 0433).
218. Pingini A., Rizzi G., Thiome L. Einflufi der Elektrodengeometrie und
der Impulsform auf die Leadercharakteristik//Electra.— 1977.— № 53.
219. Standardmethoden der Hochspannungsprufung//IEEE-Studie 4.—
1978.
220. Lemke E. Beitrag zur Abschatzung der Durchschlagspannung langer
Luftfunkenstrecken//Z. elektr. Inform.- und Energietechn.— Bd. 3.— 1973.—
№4.
221. Lemke E. Ein Beitrag zur Abschatzung der raumlich-zeitlichen Ent-
Entwicklung des Durchschlages bei Schaltspannung//Wiss. Z. Techn. Univ.— Bd.
26.—1977.—№ 1.—Dresden.
222. Sprang H. D. Analyse des Durchschlagmechanismus von langen
Luftfunkenstrecken bei Schaltimpulsspannung mit Hilfe eines Modells analog
den Oberflachenentladungen//3 ISH.—Mailand, 1979. 51.07.
223. Paus L., Cortina R. Schalt- und Blitzimpulsentladungscharakteristika
von langen Luftfunkenstrecken und langen Kettenisolatoren//IEEE Trans.—
PAS 87.—1968.—№ 4.
224. Burger W. Beitrag zum Entlandungsverhalten grofiflachiger, schwach
gekriimmter Elektroden in Luft bei grofien Schlagweiten//Diss. Techn. Univ.—
Dresden, 1976.
225. Schneider H. M., Turner F. J. Schaltspannungs-Uberschlagcharakte-
ristik langer Kugel — Platte-Funkenstecken fiir den Entwurf von UHV-
Stationen//IEEE Trans.—PAS 94.— 1975.—№ 2.
226. Pingini A., Thione L., Brambilla R. Koronaphanomene an Hoch-
spannungselektroden in Luft//Wiss. Beitr. WELC—Moskau, 1977, Sekt. 2,
Pap. 21.
227. Ritzk F. A. M. Einflufi grofier Elektroden auf die Durchschlagcha-
rakteristik von Luftstrecken und Stationsisolierungen//IEEE Trans.— PAS
97.—1978.—№ 4.
228. Schaltspannungsfestigkeit der aufieren Phase — Phase-Isolierung/
G. Carrara u. s. [Arbeit der CIGRE-Working. Gr. 33-03]//Electra.—1979—
№64.
229. Der Einflufi nicht standardisierter Bedingungen auf die Schalt-
Schaltspannungsfestigkeit von Phase — Phase- Isolierungen/L. Thione u. a. [Arbeit
des CIGRE-Task Force 33-33.03]//Electra.— 1979.—№ 64.
230. Bondarenko V. E., Bonnie H. Durchschlag von Mehr-Elektroden-
Anordnungen//Elektrie — Bd. 34.—1980.—№ 11.
231. Streubel H. Zum Uberschlag beregneter Isolatoren bei Wechsel- und
Impulsspannung//Diss. Techn. Univ.— Dresden, 1967.
232. Hinweise zum Einsatz von Isolatoren, die Schaltuberspannungen wi-
derstehen sollen//IEEE Trans.—PAS 94— 1975.—№ 1.
233. Carrara G., Marzio L. Durchschlagwahrscheinlichkeit bei dielek-
trischer Beanspruchung//Anhang zum Bericht des CIGRE-Studienkomitees.—
1968.—№ 8.
306
234. TGL 20618/06 Hochspannungspruftechnik; Priiiung fremdschichtbe-
hafteter Isolierungen; Ausg. 3.75.
235. Obenaus F., Bohme H. Fremdschichtiiberschlag itn Labor und im
Netz und die Modellvorstellung vom Kriechiiberschlag//CIGRE-Ber. 407, 1966;
Elektrie.—Bd. 20.— 1966.—№ 11.
236. lssel G. Neuere Erkenntnisse fiber das Wesen des Kriechfiberschlages:
Oberschlagzeit, LoschlMnge der Vorlichtbogen, abhangig vom Verschmutzungs-
grad//Wiss. Z. Elektrot.—Bd. 7.—1966; G. lssel. Dissertation Techn. Univ.—
Dresden, 1966.
237. Bohme H. Kriechiiberschlag von zylindrischen Isolatoren mit Schir-
men//Elektrie.—Bd. 19.— 1965.—№ 6.
238. Erler F. Priifung von verschmutzten Isolatoren bei Impulsspannun-
gen//Elektrie.— Bd. 25.—1971.—№ 7. F. Erler. Dissertation Techn. Univ.—
Dresden, 1970.
239. Reichel R. Der Einflufi einer Parallelkapazitat auf den Kriechfiber-
schlag und seine Bedeutung fiir die Ermittlung der Kriechfiberschlaggleich-
spannung//Diss. Techn. Univ.— Dresden, 1977.
240. Merchalev S. D., Solomonik E. A. Isolierungen von Freileitungen und
Stationen in Gebieten mit verschmutzter Atmosphere.— Leningrad: Energija,
1973.
241. Bohme H., Pilling J., Streubel H. Zur Interpretation der Kriechiiber-
schlaghennlinie von Freiluftisolatoren//Elektrie.—Bd. 33.—1979.—№ 12.
242. Bar sen R., Bohme H., Schwarzer K. Zum Langzeitiibeschlag orga-
nischer Isolierungen mit Taubelag//22 IWK.— Ilmenau, 1977; R. Barsch. Diss.
Techn. Univ.—Dresden, 1979.
243. Jeske J. Der Einflufi vorangegangener Stofispannungsbeanspruchun-
gen im Durchschlagstreubereicjh auf die elektrische Stofibeanspruchung einer
abgeschlossenen Gasmenge technisch reinen SFe//Diss. Techn. Univ.— Berlin
(West), 1967.
244. Hauschild W., Burger W. Eine Schatzung des Verteilungstyps der
elektrischen Festigkeit von SF6//ICPIG XII.—Eindhoven, 1975.
245. Statistische Abschatzung der Durchschlagspannungs — Charakteristik
von grofiraumigen, druckgasisolierten Systemen/T. Nitta//ISGD Knoxville.—
1978.
246. Бортник И. М., Горюнов Б. А., Панов А. А. Характеристики газовой
изоляции при высоких давлениях//2-я конф. по эл. разряду в сжатых газах.—
Лондон, 1972.
247. Mosch W., Schwarz J., Hauschild W. Interpretation von Durchschlag-
Durchschlagspannungs — Durchschlagzeit — Kennlinien fiir eine koaxiale Anordnung im
SF6//ICPIG XV.—Minsk, 1981. P-ll-39.
248. Hauschild W., Speck J., Schierig S. Experimented Modellierung des
SF6 — Durchschlages mit Hilfe freibeweglicher Partikeln//Elektrie.—Bd. 30.—
1976.—№ 7.
249. BISssig H. Ober das Durchschlagverhalten von kondensiertem SFe im
Temperaturbereich von —20 °C bis —40 °C bei unterschiedlichen relativen
Feuchten//ETG-Fachtagung.—Baden-Baden, 1977; ETZ-A.—Bd. 98.—1977.—
№ 11.
250. Peier D. Untersuchung von Durchschlagvorgangen in fliissigem Stick-
stoff bei hohen Spannungen//Diss. Techn. Univ.— Braunschweig, 1975.
251. Gharabeiglu B. Das Durchschlagverhalten des flflssigen Schwefel-
hexafluorids//Diss. Techn. Univ.—Berlin (West), 1975.
252. Ушаков В. Я. Импульсный электрический пробой жидкостей.—
Томск: ТГУ, 1975.
253. Schone G. Zum Verhalten von Gasblasen in Isolierol im elektrischen
Feld//Diss. Techn. Univ.— Dresden, 1966.
254. Giinther H. Zum Durch- und Uberschlag von inhomogenen Iso-
lieranordnungen unter verrufitem Isolierol//Diss. Techn. Univ.—Dresden,
1973.
307
255. Gunther H., Hauschild W. Durch- und Oberschlag von Isolieranord-
nungen mit feuchtem, gealtertem Oder verrufitem Isolierol bei Impuls- und
Wechselspannung//Elektrie.—Bd. 25.—1971—№ 12.
256. Kpatzenstein M. G. Der Stofidurchschlag in Isolierol//Dis. Techn.
Hochsch.—Mflnchen, 1969.
257. Fiebig R. Erscheinungsformen und Mechanismus der Teilentladungen
bei Wechselspannung in Isolierfliissigkeiten im inhomogenen Feld//Diss. Techn.
Univ.—Dresden, 1967.
258. Palmer S., Sharpley W. A. Elektrische Festigkeit von Transformato-
risolierungen//Proc. IEE.— Bd. 116.—1969.—№ 12.
259. Kawaguchi Y., Murata H., Ikeda M. Durchschlag von Transformato-
renol//IEEE Trans.—PAS 91.— 1972 — № 1.
260. Spannungs-Zeit-Verhaltnisse fur den Teilentladungseinsatz in Olpa-
pierisolierungen von UHV Transformatoren/A. Bossi//WELC.— Moskau, 1977.
Beitrag 2—42.
261. Mosinski F. Ober die Anwendung der Weibullverteilung bei der Un-
tersuchung von Isoliersystemen Papier—Ol//Przeglad Elektrotechniczny.—
1978.—№ 2.
262. Asenjo E., Eidelstein G. Olpapierisolierungen — eine neue Definition
ihrer Zerstorung//IEEE Trans. El —Bd. 13.— 1978.—№ 6.
263. Kullig P. Zum EinfluB von Fehlstelien und Isolierstoffvolumen auf
die elektrische Lebensdauer von extrudierten Polyathylen — Isolierunger bei
Wechselspannungsbeanspruchug//Diss. Techn. Univ.— Dresden, 1982.
264. Eberhardt M. Schlagweite-Spannungs — Kurven und physikalische
Struktur von festen IsolierstofFen//Diss. Techn. Univ.— Dresden, 1964.
265. Mosch W. Elektrische Isolierungen unter dem Einflufi von Konstruk-
tion and Technologie//Elektrie,—Bd. 33.— 1979 —№ 12.
266. Georgi A. Ein Beitrag zum EinfluB der Verarbeitungstechnik auf den
elektrischen Durchschlag von Epoxidharzisolierungen//Diss. Techn. Univ.—
Dresden, 1977.
267. Koppe R. Ein Beitrag zur elektrischen Alterung von Modellisolierun-
gen aus Epoxidharz und zur Obertragbakeit der Ergebnisse auf technische
Isolierungen//Diss Techn. Univ.— Dresden, 1978.
268. Schirr J. Beeinflussung der Durchschlagfestigkeit ■ von Epoxidharz-
formstoff durch das Herstellungsverfahren und durch mechanische Spannun-
gen//Diss. Techn. Univ.— Braunschweig, 1974.
269. Ulrich J. Ober den Einflufi der Temperatur auf das Durchschlagver-
halten von Polyathylen im inhomogenen elektrischen Wechselfeld//Diss. Techn.
Univ.—Hannover, 1978.
270. Loffelmacher G. Ober die physikalischchemischen Vorgange bei der
Ausbildung von Entladungskanalen in Polyathylen und Epoxidharz im inho-
inhomogenen Wechselfeld//Diss. Techn. Univ.— Hannover, 1976.
271 Die Entwicklung der Technologie zur Herstellung von VPE-isolierten
Kabeln fur Spannungen von 138—345 kV/G. Behder u. a.//IEEE Trans.—
PAS 96—1977.—№ 6.
272. Kiillig P. Einflufi von Verunreinigungen und Isolierstoffvolumen auf
die elektrische Lebensdauer von extrudierten PE-Isolierungen//25 IWK Ilme-
nau 1980 Vortragsreihe Elektr. Isoliertechn.
273. Riiffer K. Zur elektrischen alterung hochpolymerer Schichtisolierun-
gen//Diss. Techn. Univ.— Dresden, 1976.
274. Feichtmayr F.-J., Wurstlin F. Die elektrische Zeitstandfestigkeit
von Polyathylen//ETZ-B.—Bd. 21.— 1969.—№ 6.
275. Olshausen R., Westerholt W. Dielektrische Beanspruchung von SF6-
impragnierten Polyathylen — Priifkorpern im homogenen Feld bei Wechsel-
spannung//3 ISH.—Mailand, 1979. 23.03.
276. Tschacher B. Zum Einflufi elektrischer Vorbeanspruchungen auf den
Durchschlag von Epoxidharzisolierungen bei Beanspruchung mit Wechsel- und
Impulsspannung//Diss. Techn. Univ.— Dresden, 1975.
308
277. Elektrische Langzeitfestigkeit von Kabeln mit PE-Isolierungen und
die Problematik der Extrapolation/E. F. Peschke//ETG-Fachtagung — Baden-
Baden, 1977.
278. Artbauer J. Elektrische Dauerfestigkeit und Kurzzeitfestigkeit//
ETZ-A.—Bd. 91.— 1970.—№ 6.
279. Brakelmann H. Ziindvolumina inhomogen beanspruchter Feststoffi-
solierungen//Bull. SEV.—Bd. 68.— 1977.—№ 12.
280. Starr W., Endlcott H. Ansteigende Beanspruchung, ein neues besch-
leunigtes Verfahren fur Dauerversuche//IEEE Trans.— PAS 55.—1961.—№ 8.
281. Meyer H. Zur Zeitabhangigkeit des elektrischen Durchschlages tech-
nischer Isolierungen//Diss. Techn. Hochsch.— Hannover, 1966.
282. Койков С. Н. Электрическое старение диэлектриков н надежность
электрической изоляции/Электричество.— 1978.— № 9.
283. IEC 270 Teilentladungsmessung//IEC-Publ. 270.—Ausgabe, 1981.
284. Lemke E. Ein neues Verfahren zur Messung von Teilentladungen an
langen Hochspannungskabeln//Elektrie.—Bd. 35.—1981.—№ 7; 3 ISH.—
Mailand, 1979. 43.13.
285. TE-Messungen an SF6-isolierten, metallgekapselten Hochspannungss-
chaltanlagen vor Ort — Eine Studie, basierend auf Grundlagen und bisherigen
Erfahrungen/D. Konig u. a.//CIGRE 23-09.— 1980.
286. Gerate zur breitbandigen Messung von Teilentladungen//Firmens-
chrift des VEB Transformatoren- und Rontgenwerk „Hermann Matern".—
Dresden, 1981.
287. Lemke E. Beitag zur elektrischen Messung von Teilentladungen un-
ter besonderer Beachtung eines Verfahrens zur breitbandigen Erfassung der
Summenladung//Diss. B. Techn. Univ.— Dresden, 1975.
288. Haller R. Beitrag ?ur breitbandigen TE-Messung unter besonderer
Beriicksichtigung paralleler Storstellen//Diss. Techn. Univ.— Dresden, 1976.
289. VoB W. Untersuchungen zur Entwicklung paralleler Entladungen
beim Stofispannungsdurchschlag in Gasen//Diss. TU.— Braunschweig, 1979.
290. Hauschild W., Burger W. Eine Schatzung des Verteilungstyps der
elektrischen Festigkeit von SF6//ICPIG XII.—Eindhoven, 1975.
291. Kappeler H. Neue Ausfiihrungsformen von 380-kV-Transformator-
durchfiihrungen//CIGRE — Ber. 126, 1958.
292. Paderta B. Ober die Koordination der Isolation paralleler Funkens-
trecken bei Beriicksichtigung der Statistik//Acta Technica CSAV.— 1971.—
№ 3.
293. Juchnewicz J., Mazurek В., Tyman A. Uber einige Vergrofierungs-
effekte von Hochspannungs — Vakuumisolierungen//3 ISH.— Mailand, 1979.
31.02.
294. Paderta В., Vavrina K. Uber die Analyse der Uberschlagzeiten in
Abhangigkeit von Zahl und Ausmafi der Priiflinge bei Anwendung von
Spannungen gleicher Art und Gro8e//Acta Technica CSAV.—Bd. 17.—1972.—
№ 1.
295. Heller В., Paderta B. Die Durchschlagwahrscheinlichkeit von Trans-
formatorwicklungen//Acta Technica CSAV.—1971.—№ 3.
296. Del Mar W. A. Elektrische Beanspruchung in Kabeln//AIEE Trans.—
Bd. 81,— 1962.—№ 6.
297. Girling D. S. Gleichspannungsdurchschlag von olimpragnierten Leis-
tungskondensatoren als eine Funktion der Flache//Electr. Communication.—■
Bd. 35.—1958.—№ 2.
298. Sie T. H., Wohlfahrt O. Ubertragbarkeit der Ergebnisse yon Experi-
menten an kleinen Modellen auf n-fach vergrofierte Prufobjekte mit Isolierun-
gen unter O1//AIEE Trans.— Pt. III.—Bd. 81 — 1962 —№ 12.
299. Mosch W.. Hauschild W. Die elktrische Festigkeit als Grundlage
fiir die Berechnung von Durchschlagvorgangen irn SF6//2 ISH.—Zurich, 1975.
300. KQHlig P., RQffer K. Der Einflufi des Isolierstoffvolumens auf die
Bemessung von feststoffisolierten koaxialen Zy!inderanordnungen//Der VEM
Elektro-Anlagenbau,—Bd. 15.— 1979.—№ 4.
309
301. Laue M., von Bemerkungen zu K. Zubers Messungen der Verzoge-
rungszeiten bei der Funkenentladung//Ann. Phys.— Bd. 76.— 1925.
302. Strigel R. Elektrische Stofifestigkeit.— Berlin; Gottingen; Heidelberg:
Springer — Verlag, 1955.
303. Boeck W. Volumen-Zeit-Gesetz beim Stofispannungsdurchschlag von
SF6//ETZ-A.— Bd. 96.— 1975.- № 7.
304. Boeck W., Taschner W. Isolationsverhalten SF6-isolierter koaxialer
Zylinderanordnungen bei Stofispannungsbeanspruchung//ETZ-A.— Bd. 97.—
1976.— № 6.
305. Knorr W. Ein Modell zur Beschreibung der Ziindverzugszeiten von
schwach inhomogenen Anordnungen im SFe//3 ISH.— Mailand, 1979. 31.11.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Обозначения важнейших величин . : 5
Введение 7
Глава первая. ОБЗОР ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ 13
1.1. Основные понятия теории вероятностей —
1.1.1. Случайный опыт и случайный результат —
1.1.2. Относительная частость и вероятность 14
1.1.3. Условная вероятность и независимые события 16
1.1.4. Случайные величины и выборки 18
1.2. Функция распределения 19
1.2.1. Определение и свойства —
1.2.2. Эмпирическая функция распределения и ее изображение 26
1.2.3. Оценка параметров 32
1.3. Выбор теоретической функции распределения 37
1.3.1. Дискретные случайные величины 38
1.3.2. Непрерывные случайные величины 45
1.3.3. Суперпозиция распределения 76
1.4. Основы теории корреляции и регрессионного анализа .... 80
1.4.1. Определения и принципы —
1.4.2. Оценка коэффициента корреляции 83
1.4.3. Оценка коэффициента регрессии 85
1.5. Проверка истинности гипотез 89
1.5.1. Исследование распределений 91
1.5.2. Проверка принадлежности выборки генеральной совокуп-
совокупности 98
1.5.3. Проверка независимости реализации 109
Глава вторая. ПЛАНИРОВАНИЕ, ВЫПОЛНЕНИЕ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТА-
РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 116
2.1. Выбор метода измерения, исследуемых параметров и испыта-
испытательного оборудования —
2.1.1. Методы испытания изоляции —
2.1.2. Функция поведения и функция суммарной частости . . .119
2.1.3. Статистическое планирование эксперимента 122
2.1.4. Высоковольтные испытательные установки для многократ-
многократных измерений 130
310
2.2. Определение функции распределения в опытах с неизменным
напряжением 134
2.2.1. Параметры эксперимента и объем выборки —
2.2.2. Гарантирование независимости опытов 137
2.2.3. Эмпирическая функция поведения 140
2.2.4. Аппроксимация функции поведения теоретическими функ-
функциями распределения 144
2.2.5. Схема оценки и расчета 146
2.3. Определение функции суммарной частости в опытах с нараста-
нарастающим напряжением 149
2.3.1. Параметры эксперимента и объема выборки —
2.3.2. Гарантирование независимости опытов 154
2.3.3. Эмпирическая функция суммарной частости и ее аппрокси-
аппроксимация известными функциями распределения 155
2.3.4. Определение функции поведения по функции суммарной ча-
частости 158
2.3.5. Структурная схема оценки и расчета 167
2.4. Методы определения отдельных квантилей 169
2.4.1. Метод «вверх — вниз» —
2.4.2. Методы определения квантилей малого порядка . ... 180
Глава третья. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА СТАНДАРТИЗОВАННЫХ МЕ-
МЕТОДОВ ИСПЫТАНИЙ 190
3.1. Цели и проблемы координации изоляции 191
3.2. Определение номинального длительно допустимого перемен-
переменного и постоянного напряжения 197
3.3. Определение допустимого уровня импульсных перенапряжений 199
3.3.1. Процедуры нспытаннй —
3.3.2. Обсуждение 201
3.4. Указания по координации изоляции 202
Глава четвертая. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ
ИЗОЛЯЦИИ 209
4.1. Выбор случайных величин 210
4.2. Воздушная изоляция 213
4.2.1. Проблемы техники исследований —
4.2.2. Воздушная изоляция в слабонеоднородном поле .... 215
4.2.3. Воздушная изоляция в сильнонеоднородном поле .... 219
4.2.4. Изоляторы 223
4.3. Изоляция сжатым газом 228
4.3.1. Проблемы техники исследований —
4.3.2. Элегазовая изоляция в слабоиеоднородном поле .... 230
4.3.3. Элегазовая изоляция в возмущенном сильнонеоднород-
сильнонеоднородном поле 234
4.4. Жидкая изоляция 237
4.4.1. Проблемы техники исследования
4.4.2. Используемые функции распределения 240
4.5. Твердая изоляция 242
4.5.1. Проблемы техники исследований ■■..'...... 243
4.5.2. Функции распределения пробивного напряжения и времени
до пробоя 248
4.5.3. Взаимосвязь исследований прн неизменном и нарастающем
напряжении 250
4.6. К статистике частичных разрядов ' 253
311
Глаша пятая. ЗАКОН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАСШТАБА 257
5.1. Постановка задачи —
5.2. Статистические основы 259
5.3. Применение теоретических функций распределения 262
5.4. Взаимно независимые параллельно включенные разрядные про-
промежутки 272
5.5. Влияние на пробой изменения площади поверхности изолятора 278
5.6. Влияние на пробой изменения объема изоляции 284
5.7. Влияние иа пробой времени нагружения изоляции .... 289
Список литературы 297
Производственное издание
Вольфганг Хаушильд
Вольфганг Мош
СТАТИСТИКА ДЛЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКОВ
В ПРИЛОЖЕНИИ К ТЕХНИКЕ
ВЫСОКИХ НАПРЯЖЕНИЙ
Редактор В. Н. Миханкова
Художник переплета В. Т. Левченко
Художественный редактор Т. Ю. Теплицкая
Технический редактор Я. А. Минеева
Корректор Я. Б. Чухутина
ИБ № 1808
Сдано в набор 14.09.88. Подписано в печать 27.12.88. Формат 60X90'/is. Бумага типо-
типографская № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 19.5. Усл.
кр,-отт. 19,5. Уч.-изд. л. 21,37. Тираж 3800 экз. Заказ № 2084. Цена 1 р. 70 к.
Энергоатомиздат, Ленинградское отделение.
191065, Ленинград, Д-65, Марсово поле, 1.
Ленинградская типография № 4 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского
объединения «Техническая книга» ни. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Го-
Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
191126 Ленинград, Социалистическая ул., 14.